/
Author: Жолков С.Ю.
Tags: математика информатика учебник математики естественные науки
ISBN: 5-8297-0089-1
Year: 2002
Text
С. Ю. Жолков
Математика и информатика
для гуманитариев
у ч е б н и к
С . Ю . Ж ОЛ КО 8
МАТЕМАТИКА
И ИНФОРМАТИКА
ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ
Допущено Министерством
образования Российской Федерации
в качестве учебника для студентов
гуманитарных специальностей и направлений
высших учебных заведений
р^рОлриКи
МОСКВА
2002
УДК51(075.8)
ББК22.1
Ж79
Рецензенты:
кафедра общих проблем управления МГУ им. М.В. Ломоносова,
зав. кафедрой д-р физ.-матем. наук, проф. В.М. Тихомиров,
академик С.В. Емельянов, академик НА. Кузнецов,
академик А. Т.Фоменко
Жолков С.Ю.
Ж79 Математика и информатика для гуманитариев: Учебник. — М.:
Гардарики, 2002. — 531 с.: ил.
ISBN 5-8297-0089-1 (впер.)
Математика рассматривается как важная и необходимая составляющая обще-
человеческой культуры, как образец структуры знаний «оружие для размышления».
Она трактуется прежде всего как образец построения концепций, в равной степени
важный для любой гуманитарной дисциплины. Выделены разделы, предназначенные
для студентов экономических специальностей. Принципиальная особенность
книги — повышенное внимание к (математической) логике и концептуальным во-
просам, поэтому в нее включены замечательные открытия математики XX в. (вклю-
чая основания информатики — дискретную математику, алгоритмы и рекурсию).
Изложение следует историческому пути развития математики и информатики во вза-
имосвязи с развитием других наук. Материал учебника соответствует государствен-
ному образовательному стандарту высшего профессионального образования. Мини-
мальные курсы для различных специальностей могут быть сформированы по мате-
риалам 100—120 страниц учебника (варианты приводятся в заключении). В конце
каждой главы даются задачи.
В тексте использованы иллюстрации академика А.Т. Фоменко.
Предназначен для студентов, аспирантов и преподавателей гуманитарных и эко-
номических факультетов.
УДК 51 (075.8)
ББК22.1
ISBN 5-8297-0089-1
© «Гардарики», 2002
© Жолков С.Ю., 2002
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение........................................................ 11
Глава!. Числа и фигуры. От натуральных чисел к действи-
тельным... и далее................................................... 22
§1. Числа. Развитие понятия числа.............................. 22
Натуральные числа: 1. Предметы и числа (22). 2. Свойства натуральных чисел (23).
Целые числа: 3. Немного истории (25). 4.Финансовый пример (26). 5. Свойства
целых чисел (27).
Рациональные числа: 6. Деление на части (27). 7. Определение рациональных
чисел (28). 8. Арифметические свойства рациональных чисел (29). 9. Геометрическое
представление рациональных чисел (30). 10. Пифагор Самосский и его школа (31).
Системы счисления: 11. О системах счисления в различных цивилизациях (36).
12. Двоичная система счисления (39). 13. Перевод чисел из десятичной системы в
двоичную (41). 14. Двоичный код в телеграфии (43). 15. Эффективность системы счис-
ления. Применение двоичной системы в вычислительной технике (43). 16. Десятичные
и двоичные дроби (45). 17. Другие системы счисления (45).
Иррациональные числа: 18. Несоизмеримые отрезки (46). #19. Алгоритм Евклида и
геометрическое доказательство иррациональности . Основная теорема арифмети-
ки (47). 20*. Квадратные уравнения и золотое сечение (48). 21. Степени и сложные
проценты (50). 22. Кризис числовой системы. Геометрическая алгебра (54). 23. Опре-
деление иррационального числа по Вейерштрассу (58).
§ 2. Действительные числа....................................... 65
Множества и операции над ними. Предварительные сведения: 24. Способы за-
дания множеств (65). 25. Операции надмножествами (68). 26. Функции и графики (71)
Принцип Кантора и свойство полноты. Аксиома Архимеда: 27.Фундаментальные
свойства числовой прямой (76).
Другие определения действительных чисел: #28*. Определение действительных
чисел по Дедекинду (79) и Кантору (83).
Действительные числа и их свойства: 29. Аксиоматика действительных чи-
сел (85). 30. Следствия из алгебраических аксиом (88). 31. Следствия из аксиом по-
рядка (88). 32. Максимум. Минимум. Модуль (89). 33. Следствия из аксиомы о точ-
ной верхней грани (90). 34. Единственность множества действительных чисел (91).
§3 . Комплексные числа....................................... 92
Генезис: 35. Появление комплексных чисел и их развитие (92).
Комплексные числа и операции над ними: 36.Основные определения(94). 37.Поле
комплексных чисел и действительные числа (96). 38. Модуль комплексного числа и
комплексно сопряженные числа (97).
Геометрическая интерпретация комплексных чисел: 39. Комплексные числа как
точки или векторы числовой плоскости (99). 40. Умножение комплексных чисел. Возве-
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
дение в степень и извлечение корня (102). #41. Квадратный корень из комплексного
числа (103).
Единственность множества комплексных чисел: 42*. Единственность множест-
ва комплексных чисел (104).
§ 4. Нечисловые объекты алгебры............................... 105
Векторная алгебра: 43. Векторы (105). 44. Сложение векторов. Умножение век-
тора на число (108). 45. Скалярное произведение векторов. Проекция по направле-
нию (110). 46. Векторное произведение (114). 47. Смешанное произведение. Разло-
жение вектора по базису (116).
Кватернионы: #48* Алгебра кватернионов (119).
§5 . Геометрии................................................ 123
Координатная плоскость. Числовая модель евклидовой плоскости: 49. Точки и
прямые на координатной плоскости (123). 50. Взаимное расположение точек и пря-
прямых на плоскости (126).
Трехмерное координатное пространство Евклида: 51 .Точки, прямые и плоскос-
ти в координатном пространстве (131). 52. Взаимное расположение точек, прямых и
плоскостей (134).
Другие геометрии: 53. Геометрия Лобачевского (138). 54. Геометрии Римана и
Минковского (145).
Заключение к главе I....................................... 148
Задачи к главе 1........................................... 150
ГлаваII. Элементы линейной алгебры и ее применения.... 154
§ 1. Линейные системы и модели............................ 154
55. Линейные системы и модели в экономике и математике (154).
§ 2. Матрицы и определители............................... 158
Алгебра матриц: 56. Матрицы и операции над ними (158). 57. Свойства алгебраи-
ческих операций над матрицами (160). 58. Транспонирование (161).
Определители: 59. Определители матриц (163). 60. Свойства определителей (165).
61. Методы вычисления определителей (166).
Обратная матрица: 62. Определение обратной матрицы и ее свойства (167).
63. Альтернативный метод вычисления обратной матрицы (169).
§ 3. Решение систем линейных уравнений.......................... 170
Метод Гlycca: 64. Описание метода (170).
Правило Крамера: 65. Правило Крамера решения систем линейных уравнений (172)
Решение линейных матричных уравнений. Собственные векторы и собствен-
ные значения: 66. Линейные матричные уравнения. Собственные векторы и собствен-
ные значения и их свойства (173).
§ 4. Некоторые линейные модели в экономике...................... 175
Модель межотраслевого баланса: 67. Модель межотраслевого баланса (175).
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
Модель международной торговли'. 68. Модель международной торговли (178).
Модель страхования валютных рисков: #69. Модель страхования валютных
рисков (колебаний) с помощью контракта типа break-forward (181). #70*. Крат-
кий анализ результатов (189).
§ 5. Векторы в координатах................................... 191
71. Основные операции над векторами в координатах (191). 72. Другие произве-
дения векторов (193).
§ 6. Определители в геометрии прямых и плоскостей............ 194
73. Применение определителей в геометрии прямых и плоскостей (194).
Заключение к главе II........................................ 196
Задачи к главе II............................................ 198
Глава III. Другие алгебры.................................... 200
§ 1. Алгебра логики.......................................... 200
Высказывания и логические операции: 74. Высказывания и логические связ-
ки (200). 75. Основные операции над высказываниями (202). 76. Формулы алгебры
логики (203).
Равносильность формул. Логические законы: 77. Равносильность и эквивалент-
ность формул (207). 78. Логические законы (208). 79. Равносильные преобразования
(210). 80. Совершенные нормальные формы (212).
Применение к задачам естественного языка. Анализ рассуждений: 81. Обще-
значимые применения алгебры логики (217). 82. Об ограниченной применимости
средств алгебры логики (223). 83.0 недостаточности средств алгебры логики (224).
§ 2. Алгебра множеств...................................... 226
84. Алгебраические свойства операций надмножествами (226). 85. Симметрическая
разность и булевы алгебры. Конечные алгебры множеств и конституанты (229).
Заключение к главе III..................................... 232
Задачи к главе III......................................... 232
Глава IV. Математический анализ. Элементы дифференци-
ального исчисления.............................................. 235
§ 1. Пределы и непрерывность.............................. 235
Естественно-научный генезис математического анализа: 86. Геометричес-
кий императив (235). 87. Физический императив (237). 88. Похвальное слово строго-
сти (241).
Последовательности. Принцип математической индукции: 89. Определение
последовательности (244). 90. Метод математической индукции (244).
Предел последовательности: 91. Пределы. Начальные понятия и факты (248).
#92. Основные теоремы о пределах (251). 93. Основные методы вычисления преде-
лов (252). 94. Таблица значений основных пределов (252). 95. Арифметические
операции и эквивалентность (253). #96. Предельные точки (256).
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
Числовые ряды. Начальные сведения: 97. Основные определения (258). 98. Кри-
терий Коши (261). 99. Абсолютно сходяшиеся ряды. Некоторые свойства сходящихся
радов (262). 100. Некоторые признаки сходимости радов (262). 101. Рады и элемен-
тарные функции (265).
Предел функции: 102. Основные определения (266). 103. Основные теоремы о пре-
делах (269). 104. Значения основных пределов (270). 105. Арифметические опера-
ции (270). #106. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций (273).
107. Эквивалентность и о-символика (274). 108. Основные методы вычисления пре-
делов (276). 109. Односторонние пределы (276).
Непрерывность: 110. Определение непрерывной функции (278). 111. Основные
свойства непрерывных функций (279). 112. Элементарные функции (281). 113. Ис-
пользование непрерывности для вычисления пределов (289). #114. Односторонняя
непрерывность. Классификация разрывов (292). #115. Непрерывность и разрывы
монотонных функций (294).
§ 2. Производная.............................................. 296
Определение производной. Физический и геометрический смысл производ-
ной : 116. Производная, ее физическая и геометрическая интерпретации (296).
Свойства производных. Основные методы вычисления производных: 117. Ос-
новные формулы (297). 118. Примеры математические, физические и экономичес-
кие (300).
Производная неявной функции и функции, заданной параметрически:
#119. Основные формулы (311).
Дифференциал: 120. Основные определения и формулы (312).
§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков................ 313
Определение производных и дифференциалов высишх порядков, их свойства:
121. Основные определения и формулы (313).
Формула Тейлора: 122. Формула Тейлора для глад кой функции (316).
Правила Лопиталя. Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей:
#123. Методы раскрытия неопределенностей (317).
Ряд Тейлора: 124. Степенные рады (323). 125. РадТейлора (325).
§ 4. Экстремальные задачи........................................... 327
126. Экстремальные задачи и методы их решения (327).
§5. Применение производных для исследования функций и постро-
ения графиков..................................................... 334
127. Глобальные свойства функции (334). 128. Локальные свойства функции (335).
129. Некоторые геометрические свойства графиков дифференцируемых функций
(336). 130. Построение графиков функций (337).
§ 6. Бесконечно малые и гипердействительные числа. Неставдартный
анализ................................................................. 342
131*. О гипердействительных числах и инфинитезимальном анализе (342).
ОГЛАВЛЕНИЕ
9
Задачи к главе IV.............................................. 347
Глава V. Математический анализ. Элементы интегрального
исчисления.............................,............................ 351
§ 1. Неопределенный интеграл .................................. 351
Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства: 132. Основ-
ные свойства неопределенного интеграла (351).
Основные методы вычисления неопределенных интегралов: 133. Общие мето-
ды (352).#134. Интегрирование рациональных функций (358).#135. Интегрирование
некоторых иррациональных функций (362). #136. Интеграл от дифференциального
бинома (363). #137. Примеры интегрирования иных элементарных функций (364).
§ 2. Определенный интеграл и формула Ньютона - Лейбница........ 367
138. Определенный интеграл (367). 139. Формула Ньютона - Лейбница (369).
140. Основные методы вычисления определенных интегралов (369).
§3. Несобственные интегралы.................................... 371
141. Переменные пределы интегрирования. Несобственные интегралы (371).
142. Признаки сходимости несобственных интегралов (373).
§ 4. Рады и интеграл........................................... 375
143. Интегрирование степенного ряда. Признаки сходимости (375).
§ 5. Физические, геометрические и экономические приложения опре-
деленного интеграла................................................. 378
144. Интеграл в планиметрических задачах (378). 145. Объемы и поверхности тел
вращения (382). 146. Интеграл в задачах физики и экономики (385).
§ 6. Приближенное вычисление определенного интеграла........... 388
#147. Приближенное вычисление определенного интеграла (388).
§ 7. Компьютерные системы, ориентированные на решение задач
математического анализа. О математическом моделировании детермини-
стических процессов................................................. 389
148. Компьютер в решении задач математического анализа (389). 149.0 математи-
ческом моделировании детерминистических процессов (391).
Заключение к главам IV и V................................... 393
Задачи к главе V.............................................. 394
Глава VI. Элементы математической логики. Об основаниях
математики. Алгоритмы и автоматы..........................J......... 396
§ 1. Логика: ее происхождение и развитие....................... 396
Логика классического эллинизма как наука о формах мышления и способах по-
знания: 150. Роль логического искусства в жизни Древних Афин (396). 151.0 логике
Сократа и Платона (398).
Логика Аристотеля: 152. О жизни и деятельности Аристотеля (401). 153. О ло-
10
ОГЛАВЛЕНИЕ
гических трудах Аристотеля (402). 154. Интерпретация на языке теории множеств,
трансформация (409). 155. Категорические силлогизмы Аристотеля (415).
Христианская логика. Логика Декарта и Лейбница'. 156.0 христианской логике
(420). 157. Луллий. Логика Декарта и Лейбница (425).
§ 2. Формализованные логические теории. Теория логического вывода 430
Исчисление высказываний: 158. Символика и построение формул в исчислении
высказываний (430). 159. Аксиомы теории L (432). 160. Выводимые формулы (теоре-
мы) теории L (433). 161. Интерпретация исчисления высказываний как алгебры логи-
ки (435). 162. Фундаментальные свойства исчисления высказываний (436).
Логико-математические языки: 163. Язык математической теории (437).
Исчисление предикатов: 164. Элементы исчисления предикатов (442).
§ 3. Мощность множеств.......................................... 447
Комбинаторика: 165. Четыре комбинаторные модели (447). 166. Бином Ньюто-
на (449).
Счетные множества: 167. Счетные множества и их свойства (450).
Несчетные множества: 168. Несчетные и континуальные множества (453).
§ 4. Основания математики....................................... 458
Анализ основ математики в конце XIX- начале XXв. Парадоксы «наивной»
теории множеств: 169. О фундаментальных проблемах математики к началу XX в.
(458).
Способы устранения антиномий. Различные взгляды на основы математики:
170. Логицизм (462). 171. Интуиционизм (464). 172. Формализм (466). 173. Теорети-
ко-множественное направление (470).
Две теоремы Гёделя. Неразрешимые проблемы: 174. Теорема Гёделя о неполно-
те (471). 175. Теорема Гёделя о непротиворечивости (475).
О важнейших аксиоматических теориях и моделях: 176. Аксиоматическая тео-
рия арифметики (477). 177. Аксиоматическая теория множеств (480).
Алгоритмы и автоматы. Конструктивизм. Компьютерные системы и
проблемы, связанные с искусственным интеллектом: 178. Алгоритмы (488).
179. Машина Тьюринга и тезис Чёрча (489). 180. Рекурсивные функции, множества
и предикаты (491). 181. Нормальные алгорифмы Маркова. Конструктивизм (493).
182. Компьютерные системы и искусственный интеллект (495).
Математика и реальность. Современный взгляд на фундаментальные про-
блемы математики, ее цели и средства: 183. Математика и реальность (500).
Задачи к главе VI........................................ 509
Заключение............................................... 513
Литература .............................................. 519
Именной указатель ....................................... 520
Предметный указатель .................................... 524
ВВЕДЕНИЕ
Математика в гуманитарном образовании
В соответствии с государственным образовательным стандартом выс-
шего профессионального образования Российской Федерации математи-
ка - необходимый компонент высшего гуманитарного образования. Ко-
нечно, можно посчитать это очередной напастью и тягостной повинно-
стью в ряду досадных событий, омрачающих жизнь студента. Именно
этот взгляд-будем честно смотреть на сложившееся общественное мне-
ние - сейчас наиболее распространен среди гуманитариев. Столь широ-
кое распространение исключает его случайность-к сожалению, опреде-
ленные основания для таких оценок имеются. Традиционный способ
преподавания математики заключается в изложении отдельных матема-
тических результатов и технических приемов и примеров их применения.
Подобный способ изложения предмета не создает цельной картины са-
мой математики и не дает истинного представления о связи ее с другими
знаниями, многие формулы непонятного происхождения и назначения
воспринимаются студентами как чистая схоластика и быстро забыва-
ются. К тому же, примеров, профессионально интересных филологам,
историкам или юристам, в учебной литературе найдется немного и боль-
шинство из изученных математических методов в дальнейшей деятельно-
сти гуманитариев практически не применяются. Поэтому многие специа-
листы-гуманитарии, уже далекие от студенческого возраста, утвержда-
ют, что знания математики, которые пытались им преподать в институте
или' университете, оказались ненужными в их профессиональной дея-
тельности.
Вполне возможно, что математика, какой они себе ее представляют,
гуманитариям и не нужна. Однако можно сделать такой выбор разделов
математики и стиля изложения, что курс математики окажется и инте-
ресным, и важным (поскольку будет носить не профессионально-мате-
матический, а общезначимый характер), и полезным в дальнейшей дея-
тельности специалиста гуманитарных профессий.
Математика может быть интересна человеку, далекому от нее (на-
пример, филологу или юристу), если будут рассматриваться прежде все-
го не частные задачи, а принципиальные и важные для общечеловече-
ской деятельности проблемы, с которыми сталкивались великие ученые
прошлого, проблемы, которые в свое время были основой математики и
вообще естественно-научных знаний (и открытий). Именно поэтому они
и стали называться классическими и составили базу учебных программ
по математике у потомков. Не надо пугаться слов «принципиальные
проблемы»: когда-то теорема Пифагора или теорема о несоизмеримости
12
ВВЕДЕНИЕ
стороны квадрата и его диагонали были великими открытиями - теперь
их знает каждый школьник.
Математика - это не собрание мертвых символов и формул, а
живая наука, которую создавали живые люди. Нас будут интересо-
вать не формулы, а прежде всего естественно-научные истоки проблем,
формализация их на языке математики (математическая модель) и прин-
ципиальные методы решения, открытые великими учеными (коротко: во-
первых- происхождение, во-вторых - цель, в-третьих - принципиальная
идея решения и только в-четвертых - математическая техника). Хотя,
конечно, вообще без формул не обойтись - математика есть математика.
Однако ни сложных доказательств, ни сложных формул, ни сложных
вычислений в курсе не будет (исключая специальные главы, предназна-
ченные для экономистов или статистиков, но у них уж судьба такая - са-
ми выбрали).
Чем и почему математика может быть важна гуманитарию? Здесь пре-
жде всего надо ответить на принципиальный вопрос, является ли мате-
матика частью общечеловеческой культуры. Вопреки традиции, идущей
от Древней Эллады, в настоящее время в минимум культурных знаний
редко включаются знания из области современной математики, которые
считаются специальными. Это принято объяснять сложностью матема-
тики - как будто писать хорошие литературные или музыкальные произ-
ведения проще, чем доказывать теоремы. Однако ничего особенно слож-
ного для понимания (а не доказательства!) в современной математике
учебного уровня нет. Между тем некоторые современные открытия ма-
тематики являются обязательными знаниями для любой профессии, к
тому же человек, собирающийся анализировать, например, произведе-
ния Достоевского или Прокофьева или конституционность законода-
тельных актов, обязан понимать принципиальные математические кон-
струкции (в той же степени, в какой математик - произведения литерату-
ры, искусства или философии). Такое понимание на интуитивном уровне
имеется, и часто приходится слышать разные рассуждения о научных
проблемах и открытиях из уст гуманитариев (чуть перефразируя Ч.Чап-
лина - о теории относительности говорят все, но мало кто ее понимает).
Поставим также вопрос несколько иначе: не знать и не читать Пушки-
на или Толстого нельзя и неприлично, не знать и не слышать Чайковско-
го и Прокофьева нельзя и неприлично, а позволительно ли не знать ве-
ликие открытия математиков (а также естественно-научную базу этих
открытий) и их авторов? Нет, для культурного человека непозволитель-
но и неприлично. И читатель убедится в этом, как и убедится, что наибо-
лее выдающиеся открытия математики являются достоянием не толь-
ВВЕДЕНИЕ
13
ко самой математики и близких к ней наук, но и всей мировой культуры в
целом. Математика является одной из ее важных составляющих, ибо
культура - это образ мира в целом. Науки и искусства вместе со-
ставляют неразрывную ткань человеческой культуры (прекрасная мело-
дия никогда не складывается из одного тона). Эту мысль с удовольствием
хочу завершить удивительными по красоте формы словами испанского
поэта Рафаэля Альберти:
...Многообразия в искусстве красота,
ты сеть, ты лабиринт,
в котором заперта
фигура пленная в недвижной форме бега.
Чем и почему полезна математика? Удивительная особенность челове-
ческой культуры - единство структуры знаний самой различной природы
[исходные понятия - концепции и допущения - правила логического вы-
вода (доказательств) - техника - результаты и их интерпретациями)] и
сходство путей их развития. Математика же - образец языка и общего ме-
тода формулирования и решения рационалистических (или рациональ-
ных-от лат. ratio-разум, рассуждение) проблем, относящихся к любому
вицу человеческой деятельности, причем отлаженный вековой практи-
кой. «Математика - это оружие для размышления», - пишет известный
современный физик Ричард Фейнман (R.Feynman, 1918-88) в книге
«Характер физических законов». Осознать стоящую проблему, сформу-
лировать, формализовать ее (т.е. пленить «в недвижной форме бега») на
языке, присущем этой проблеме, найти лучший метод решения, осно-
ванный на безупречных, по возможности, логических конструкциях и
выводах - вот общий путь решения любой проблемы (при этом следует
позаботиться и о компактности фундамента). Все сказанное и есть ос-
новные этапы анализа и рационалистического решения любой пробле-
мы (кратко, математика - это культура исследований), но особенно четко
этот процесс реализуется в математике. Метафорично: математика - это
бензин двигателя под названием «разум». При этом следует обязательно
отметить, что ни в коем случае нельзя абсолютизировать ни математику,
ни ее методы (об этом пойдет речь чуть дальше, это важные вопросы).
Место математики среди наук и искусств. Основные черты
математики и ее особенности
Плоды технических достижений науки окружают нас повсюду, и значимость математики и
ее влияние на техническую сторону жизни ни у кого не вызывают сомнений. Долгое время,
вплоть до XIX в., математика, с одной стороны, черпала задачи прежде всего из естественных
наук, а с другой - давала естественным наукам (в первую очеред ь физике и астрономии) точ-
14
ВВЕДЕНИЕ
ные и достоверные методы исследования и решения проблем. Ньютон придавал исключи-
тельную важность естественно-научным основаниям математических конструкций и методов:
«Главная обязанность натуральной философии - делать заключения из явлений, не измыш-
ляя гипотез, и выводить причины из действий...», - пишет он в «Оптике» (1704). Только в
XIX в. (если не считать исследований по основаниям геометрии) у математики появились
крупные внутренние (теоретико-математические) задачи. Тесная связь математики и естест-
вознания, конечно, сохранилась и поныне. Вдобавок появились новые проблемы и достиже-
ния, связанные с использованием компьютеров в физике, технике, экономике. Подробнее
обо всем этом говорится в 182-183.
Менее очевидно влияние математики на специалистов гуманитарных профессий. Навер-
ное, и полезно, и Приятно знать об основах, о фундаментальных свойствах мира, в котором
живешь, - но столь ли это уж необходимо? Между тем имеется не столь заметный, но не
менее важный, чем утилитарный, фактор воздействия математики на знания и деятельность
человека.
«Различие между познанием математическим и непосредственным. Начала матема-
тического познания отчетливы, но в обыденной жизни неупотребительны, поэтому с непри-
вычки в них труд но вникнуть; зато всякому, кто вникнет, они совершенно очевидны, и только
совсем дурной ум не способен построить правильного рассуждения на основе столь самооче-
видных начал.
Начала непосредственного познания, напротив, распространены и общеупотребительны.
Тут нет нужды во что-то вникать, делать над собой усилие, тут нужно другое - хорошее зре-
ние, и не просто хорошее, а безупречное, ибо этих начал так много и они так разветвлены,
что охватить их сразу почти невозможно. Меж тем пропустишь одно - и ошибка неизбежна.
Вот почему нужна большая зоркость, чтобы увидеть все до единого, и ясный ум, чтобы, осно-
вываясь на столь известных началах, сделать потом правильные выводы.
Итак, обладай все математики зоркостью, они все были бы способны к непосредственному
познанию, ибо умеют делать правильные выводы из хорошо известных начал, а способные к
непосредственному познанию были бы способны и к математическому, если бы дали себе
труд пристально вглядеться в непривычные для них математические начала.
Но такое сочетание встречается не часто, потому что человек, способный к непосредствен-
ному познанию, не пытается вникнуть в математические начала, а способный к математиче-
скому большей частью слеп к тому, что у него перед глазами; вдобавок, привыкнув делать
заключения на основе хорошо им изученных точных и ясных математических начал, он теря-
ется, столкнувшись с задачами совсем иного порядка.»
Так начинает свой знаменитый философский и этический труд «Мысли» (Pences) фран-
цузский ученый и философ Б. Паскаль (Blaise Pascal, 1623-62). Этот труд не имеет отноше-
ния к математике, но аналитический, рационалистический метод познания мира настолько
захватил ведущие умы XVII в. (Р. Декарт, Б. Спиноза, Н. Мальбранш, Г. Лейбниц), что Пас-
каль начал именно с противопоставления этих двух способов познания. Отвлекаясь от темы,
процитируем фрагмент 298 «Мыслей»: «...Справедливость является предметом споров, сила
же очевидна и неоспорима... Вот почему люди не смогли сделать справедливое сильным, но
сделали сильное справедливым» (может быть, прочитав эту замечательную мысль, читатель
захочет прочесть труд Паскаля целиком). Эта мысль, кстати, восходит еще к Платону, пи-
савшему: «Справедливостью я называю не что иное, как полезное сильнейшему».
Такое внимание к математическому методу как способу видения и по-
знания мира не случайно. В переводе с греческого ца&гща [мйтэма]-это
«познание, знание путем рассуждения, наука». С древних времен мате-
матика рассматривалась как наиболее безупречный метод достижения
достоверного знания о мире (и это справедливо). Более того, Леонардо
ВВЕДЕНИЕ
15
да Винчи считал, что «никакой достоверности нет в науках там, где нель-
зя приложить ни одной из математических наук, и в том, что не имеет
связи с математикой». А Иоганн Кеплер утверждал: «Главной целью
всех исследований внешнего мира должно быть открытие рационального
порядка и гармонии, которые Бог ниспослал миру и открыл нам на языке
математики».
Осознание значения математических дисциплин как части обязательных общекулыурных
знаний произошло давно. Древнегреческие ученые считали, что в основаниях Вселенной и
человеческой деятельности лежат законы математики (см. 10). В средневековой Европе поч-
ти до XVII в. светская составляющая среднего образования называлась septem artes liberates
(семь свободных искусств), его 1 -я ступень - тривиум - состояла из грамматики, риторики и
диалектики (позднее - из грамматики, физики, логики с философией), 2-я ступень - квддри-
виум - включала в себя арифметику, геометрию, астрономию и теорию музыки (по традиции,
восходящей к Пифагору, Платону и Аристотелю). Так, у Платона в «Государстве» «стражи»
(риЛа£) должны изучать именно квадривиум для того, чтобы понимать законы Вселенной.
Spiritus ubi vult spirum (дух веет куда хочет), говорили древние римля-
не. Однако это не совсем так: дух и вдохновение ограничены законами и
техническими правилами, образно говоря, полета, даже если дух не же-
лает в этом признаваться.
В природе существует внутренне присущая ей скрытая, гармония, отражающаяся в наших
умах в виде простых математических законов. Именно этим объясняется, почему природные
явления удается предсказывать с помощью комбинации наблюдений и математического ана-
лиза. Сверх всяких ожиданий убеждение (я бы лучше сказал, мечта!) в существовании гар-
монии в природе находит все новые и новые подтверждения в истории физики.
Это слова выдающегося математика нашего столетия Германа Вейля
(Н. Weyl, 1885-1955); и задача математического образования для гума-
нитариев - подтвердить этот тезис Вейля.
О тех же законах, но уже в применении к поэзии, пишет Александр
Блок в статье «О назначении поэта» (1921):
Порядок мира тревожен, он-родное дитя беспорядка и может не совпадать с нашими мыс-
лями... Поэт - сын гармонии; и ему дана какая-то роль в мировой культуре. Три дела возло-
жены на него: во-первых, освободить звуки из родной безначальной стихии, в которой они
пребывают, во-вторых, привести эти звуки в гармонию, дать им форму, в-третьих, внести эту
гармонию во внешний мир... Второе требование Аполлона заключается в том, чтобы... звук
был заключен в прочную и осязательную форму слова; звуки и слова должны образовать
единую гармонию. Это - область мастерства.
Итак, решение даже самой далекой от наук задачи требует кроме
эмоциональных средств еще и средств рационалистических. Следует
также иметь в виду, что и в чисто гуманитарной деятельности необходи-
мы критерии и концептуальные соглашения - если нет средств, позво-
ляющих отделить великого автора от посредственного и тем более диле-
танта, занятие этим видом деятельности не имеет смысла.
16
ВВЕДЕНИЕ
Общие законы рационалистического анализа проблем, относящихся к
любому виду знаний и деятельности, являются необходимой составляю-
щей решения любых частных проблем. Эти законы не только использу-
ются математикой, но и создаются ею.
Существует два принципиальных метода решения проблем, как стратегического, так и так-
тического характера в любой области человеческой деятельности: рационалистический метод
и интуитивно-эмоциональный. К сожалению, решения часто принимают, следуя интуиции и
эмоциям в ситуациях, требующих глубокого рационалистического анализа. Несомненно, слу-
чается, что эти решения оказываются правильными, а иногда просто блестящими, но подоб-
ные случаи - скорее исключение, нежели правило. Как правило, подобный путь приводит к
ошибкам, часто трагическим. Причиной недостаточно глубокого рационалистического анали-
за проблем является не его недооценка, а отсутствие глубокой и последовательной рациона-
листической практики. Правильно построенньШ и целостный курс математики дает исключи-
тельную возможность приобретения такой практики.
Следует выделить три основных элемента рационалистической проблемы любой природы:
видение и содержательное системное описание (модель) анализируемого объекта; правиль-
ные логические рассуждения, позволяющие получать глубокие новые знания об исследуемом
объекте и выбор метода исследования и решения (исключительно важно найти оптимальный
«метод атаки»); анализ и интерпретация результатов (возможны следующие варианты: ре-
зультат лежит в русле общепризнанных концепций и является их развитием; результат про-
тиворечит общепринятым представлениям и оказывается открытием; результат противоречит
общепринятым представлениям и оказывается ошибкой). Для того чтобы пройти все эти
этапы и в заключение дать правильную квалификацию результату (ошибка или открытие),
настоящему профессионалу надо иметь хорошую технику исследований (в своем предмете),
обеспечить полноту и корректность необходимых экспериментов и безупречность рассужде-
ний и логических выводов.
Математика - самый простой и удобный полигон для тренировки умений рациона-
листического (логического) решения проблем, поскольку ее отличает четкая поста-
новка проблем и отлаженный механизм решения.
Важность математики как общезначимого метода анализа довольно очевидна, но следует
обратить внимание на то, что математика является также и образцом видения предмета ис-
следований, а формализация проблемы, представленная математическим опытом, - ва|кная
возможность полного и точного видения проблемы, часто являющаяся ключом к ее разреше-
нию. Это первый элемент знания любой природы. Второй (и важнейший) элемент - построе-
ние концепций. Постановка проблемы, прочность и стройность фундамента будущей концеп-
ции (теории), корректность рассуждений (обоснований), достоверность и однозначность за-
ключений - вот вопросы, представляющие особый интерес для специалистов гуманитарных
профессий. Понимание законов построения концепций - барьер от непрофессионализма.
Любое знание можно разделить на две составляющие: декларативную часть и ее обоснова-
ние - созидательную часть знания. Глубина и последовательность обоснования в высшей
степени важны для любого знания, любой гуманитарной концепции. Это третий общезначи-
мый элемент знаний. Целостная концепция (модель) исследуемого явления станет основой
для анализа и принятия решения; адекватность, точность и целостность (непротиворечи-
вость) концепции играют здесь решающую роль. Математические знания и опыт будут при
этом незаменимы.
В математике так же, как и в гуманитарной деятельности, и в жизни,
есть и недоказуемые, и неопровержимые утверждения, и неразрешимые
проблемы. В современной математике истина неединственна, и это ни-
чуть не противоречит репутации математики как наиболее безупречного
ВВЕДЕНИЕ
17
метода достижения достоверного знания о мире. Изучая математику,
студент имеет возможность почувствовать, чтб можно считать настоя-
щим основанием, надежным фувдаментом для дальнейшего исследова-
ния, чтб такое строгая логика рассуждений или строгая аргументация
(столь необходимая для убеждения оппонента и тем более в состязатель-
ном судебном\арбитражном процессе) для основательных заключений,
сколь внимательно нужно подходить к интерпретации выводов и, нако-
нец, не удивляться существованию двух или нескольких корректных, но
различных интерпретаций полученных результатов и посему не считать
свою точку зрения единственно правильной.
Изучение курса математики послужит систематизации ума и позволит в
дальнейшем более успешно оперировать при решении профессиональ-
ных проблем не только эмоциями, но и холодным рассудком. Еще в
1267 г. Роджер Бэкон сформулировал: «Кто не знает математики, не мо-
жет узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего
невежества».
Что же касается корректности постановки задачи, качества и безу-
пречности выводов, то математика всегда была синонимом высокого
профессионализма. Именно эти качества, образно говоря, отличают фи-
лософа от софиста: софист стоит на зыбучйх песках и имеет большой
язык, а настоящий философ стоит на твердыне предметных знаний и
имеет большой ум.
Голландский математик Бартел Лендерт ван дер Варден (B.L.van der
Waerden, 1903-96), в книге [8, с. 9], которую мы неоднократно будем
цитировать в гл. I, пишет:
Математика и техника влияют даже на нашу духовную жизнь и настолько, что мы редко
можем представить это себе полностью. Вслед за необычайным взлетом, который пережило
в 17-м веке естествознание, последовал неизбежно рационализм 18-го века, обожествление
разума, упадок религии... Подобно этому вслед за триумфами техники 19-го века последовало
в 20-м веке обожествление техники. Увы, люди слишком склонны обожествлять все
могущественное и ведущее к ychexy.
Отсюда ясно, что наука накладывает печать на всю нашу жизнь, материальную и духовную,
во всех ее проявлениях, как хороших, так и дурных. Наука является важнейшим культурным
явлением нашего времени и важнейшей составной частью нашей цивилизации...
Впрочем, наука приносит нам не только блага. Всеуничтожающее оружие, с помощью
которого современное человечество разрушает собственную культуру, тоже является одним
из продуктов, который неизбежно является плодом развития математики и физики.
Хотя полет духа и ограничен законами, «поэт сам выбирает предмет
своего вдохновения», и наука, и рационалистический подход отнюдь не
всесильны, о чем пишут и физик Нильс Бор (N.Bohr, 1885-1962):
Причина, почему искусство может нас обогатить, заключается в его способности напоми-
нать нам о гармониях, недоступных для систематического анализа,
2-5091
18
ВВВДЕНИЕ
и Август Стривдберг:
...Все может произойти, все возможно и вероятно. Времени и пространства не существует.
На крошечном островке реальности воображение прядет свою пряжу и ткет новые узоры.
Основные принципы построения курса
Согласно государственному образовательному стандарту высшего профессионального
образования на 2000 г., из цикла общих математических и естественно-научных дисциплин на
преподавание математики отводится от 200-300 часов (для специальностей «Филология»,
«Журналистика», «Юриспруденция») до 600-800 часов («Экономика». «Статистика»,
«Менеджмент». «Социология»...). Учебник предназначен для разных гуманитарных специ-
альностей. поэтому материал в полном объеме безусловно избыточен, однако композиция
книги позволяет свободно выбирать размеры курса математики: от минимального (например,
для филологов) до полноценного (для экономистов, статистиков и т.п.), при этом, учитывая
здоровый консерватизм преподавательского корпуса, учебник построен так. что дает воз-
можность выбора: излагать традиционные разделы математики или изменить акценты в поль-
зу нетрадиционных материалов или стиля изложения. Выбор объема и направленности курса
математики - это дело конкретного учебного заведения и взглядов преподавателя. Данная
книга - математика неслучайных объектов - за исключением стохастики и дифференциаль-
ных уравнений полностью содержат знания, определенные государственным образователь-
ным стандартом для квалификации специалистов второго уровня высшего профессионально-
го образования (бакалавр) гуманитарных специальностей первой группы (200-300 часов).
Необходимый для специальностей второй группы (600-800 часов) материал содержится в
разделах, отмеченных знаком # (диез). Разделы, отмеченные звездочкой, содержат дополни-
тельный материал для квалификации специалистов третьего уровня профессионального
образования (в европейской классификации - магистра), т.е. дипломированного специалиста
в принятом в России понимании этого слова.
Курсы могут отличаться как широтой знаний, так и глубиной. Так. минимальные по объему
курсы в зависимости от количества часов, отведенных для изучения в данном учебном заведе-
нии. могут качественно отличаться по глубине изложения и обоснования. Создание курса для
конкретной специальности и конкретного учебного заведения, в котором были бы сбаланси-
рованы общекультурная, математическая и предметная компоненты. - отдельная и тонкая
задача. Минимальный описательный курс может быть сгруппирован не более чем из 100 -
120 страниц данного учебника - различные примеры приводятся в заключении. Однако
принципиально важно, что студенты могут видеть по полному объему, скольких трудов стоит
создать полную концепцию и строго обосновать ее. что им обязательно придется выполнять
непосредственно в своей профессиональной деятельности. При этом следует точно опреде-
литься: предлагаемый студентам курс - это курс математики или же курс «Некоторые мате-
матические методы решения избранных проблем (данной предметной области)». Второй
вариант прагматично демонстрирует полезность или даже необходимость применения мате-
матики. но в этом случае деятельность происходит на предметном поле, а не на математиче-
ском. Возможны, естественно, оба варианта, однако с принципиально различными результа-
тами. Во многом выбор будет определяться количеством часов, отведенных для изучения
математики. Так, за 30 или около этого лекционных часов прочитать целостный курс мате-
матики невозможно.
Строение курса соответствует историческому пути развития математики во взаимосвязи с
развитием других наук, д вижением всей цивилизации. Такое развитие математики в д инамике
со всеми ее временными несовершенствами и проблемами демонстрирует читателю или
студенту, что математика - не собрание догм, а живая наука. Читатель видит, как возникали
проблемы и как математика их решала, видит, что развивалась она, подобно другим знаниям,
в спорах, поисках и сомнениях. Принципиальная особенность курса - повышенное внимание
ВВЕДЕНИЕ
19
к (математической) логике и концептуальным вопросам: умение правильно (а также нестан-
дартно) мыслить и строить целостные концепции особенно важны именно для гуманитарных
профессий. Владение этим материалом - залог возможности сделать неожиданный ход и
совершить открытие; математический опыт играет здесь исключительную роль. Поэтому в
книгу включены замечательные открытия математики XX в. (связанные, в первую очередь, с
логическими основаниями концепций, математическим опытом устранения противоречий,
существованием неразрешимых проблем, с алгоритмами и компьютерными системами), ко-
торые имеют исключительно важный общезначимый характер, и их присутствие в образова-
тельных программах гуманитарных специальностей просто необходимо.
В настоящем курсе математика является скорее не целью, а методом решения, необходи-
мым инструментом для решения многих гуманитарных задач, которые приведены в тексте. В
то же время можно видеть, сколь тесно математика связана с другими областями человече-
ского знания; подробно и систематически эти вопросы излажены в гл.VI.
Круг обязательных технических приемов сужен: отобраны лишь метод ы, имеющие принци-
пиальный для понимания предмета характер. Математическая техника, которую традиционно
принято излагать, содержится в разделах, предназначенных для будущих экономистов и сту-
дентов других подобных специальностей. Приводятся доказательства только принципиально-
го характера и необходимые для понимания предмета или содержащие метод, который следу-
ет знать: здесь полнота предмета - в целостности и последовательности изложения, а не в
полноте доказательств. Но и эти доказательства не обязательны для специальностей с малым
курсом математики - главное то, что они приведены рядом и вполне доступны для понимания.
Неоднократно доказательство заключается в изложении идеи доказательства и основных его
этапов, а техническая сторона (выкладки) опущена, но всегда есть ссылка на литературу, где
при желании можно (но не обязательно) увидеть полное доказательство.
Материал и примеры отбирались так, чтобы почти все-задачи, обычно предлагаемые сту-
денту-гуманитарию в курсе математики, он мог решить без привлечения какой-либо литера-
туры. Повторяющихся примеров нет. В конце каждой главы приведен список задач, которые
должны уметь решать студенты в любом варианте.
Каждая глава доводится до пары (по крайней мере) содержательных прикладных (пред-
метных) результатов. Один из возможных способов композиции курса преподавателем -
реферативный, когда содержательные задачи становятся предметом реферата. Примеры и
теоретический материал отобраны с таким расчетом, чтобы читатель при желании имел воз-
можность достигнуть некоторой вершины или подняться на вершину более значительную.
В начале каждой главы в принципиальном ключе излагаются рассматриваемые проблемы
(включая их историческое развитие) и идеи их разрешения. Эти же проблемы и полученные
результаты повторно обсуждаются уже на качественно новом уровне (на базе приобретенных
знаний) в конце главы.
В тексте приведено множество примеров, относящихся к гуманитарным профессиям, даны
подробные объяснения математических понятий, методов исследования, принципов построе-
ния математических моделей, которые помогут читателю (действительно помогут!) в даль-
нейшей работе. Все необходимые для решения задач метод ы разобраны в примерах.
Рассмотренные в книге проблемы показывают, что математические исследования далеко не
всегда оторваны от жизни, как думал Паскаль, - многие решаемые задачи общезначимы,
однако возможность строго формулировать и решать абстрактные проблемы - одна из силь-
ных сторон математики, никак не наоборот.
Следует отметить еще одну особенность проблемы математического образования, появив-
шуюся только в послед нее время и связанную с развитием компьютерных технологий. В мире
создано несколько специализированных компьютерных систем (пакетов программ), ориенти-
рованных на решение общих или специальных математических задач. Это породило принци-
пиально новую ситуацию. Используя информационные системы, ориентированные на реше-
ние стандартных математических проблем, студент может получить конечную формулу, обра-
тившись к нужной программе. В специализированных математических программах компыо-
2*
20
ВВЕДЕНИЕ
терных библиотек содержатся все наиболее употребительные формулы и правила вывода.
Очевидно, эти библиотеки включают в себя все учебные задачи. Однако во избежание слу-
чайных ошибок и для контроля хода решения нужно знать, когда и к какой программе обра-
титься, как и какие ее возможности использовать. Указанная принципиальная возможность
является еще одним объективным аргументом для продуманного выбора формул и доказа-
тельств, которые должен знать студент-гуманитарий: задачи и методы их решения должны
быть важными, интересными и не должны содержать сложных вычислений.
В результате изучения курса студент должен уметь полно и точно формулировать проблему,
строить адекватную математическую модель, строго формулировать математические предпо-
ложения, правильно выбирать метод анализа для эффективного решения поставленной про-
блемы, профессионально грамотно интерпретировать результаты исследования.
В конце книги приведен список основной литературы. Кроме того, необходимые ссылки
даются по тексту и, конечно, полезно познакомиться с какой-либо из указанных книг и углу-
бить знания. Однако учебник составлен так, что любая из предложенных читателю задач или
экзаменационных тем может быть изучена без привлечения литературы. Если читатель вдруг
заинтересуется какой-то темой (бывают разные чудеса - сделаем все от нас зависящее, что-
бы дать им возможность сбыться), то ссылки позволят ему изучить заинтересовавший его
предмет на более высоком уровне.
Ссылки используются активнее, чем это принято обычно в учебной литературе. Цель - не
только возможное углубление знания, но и выработка навыка при решении профессиональ-
ной проблемы в любой области: изучить происхождение проблемы - использовать достиже-
ния предшественников при ее решении - катализатор собственных идей - уважение к трудам
коллег. Думаю, это пригодится читателю в его дальнейшей деятельности.
Текст, который при первом чтении или кратком курсе может быть пропущен, выделен пети-
том. Секции (подпараграфы), которые заключают в себе минимальные законченные фраг-
менты, имеют сквозную нумерацию по всей книге, их номера выделены жирным шрифтом. В
оглавлении в скобках указаны номера их начальных страниц. После названия каждого пара-
графа петитом изложены его основные темы.
Кроме указанной ранее категории гуманитариев, для которых математика - это стихийное
бедствие, есть еще одна категория, для которой незнание математики - предмет сожаления,
поскольку они столкнулись в своей профессиональной деятельности с необходимостью ис-
пользования математических методов в решении профессиональных задач, но сделать этого
не могут. Надеемся, что для них эта книга будет в особенности полезной как база для обра-
щения к специальной литературе.
В заключение отметим, что учебник написан с таким расчетом, чтобы его можно было счи-
тать прежде всего приглашением к размышлению и исследованию, а не набором скучных
«математических гамм», читатель же рассматривается не как усердный школяр, а как соуча-
стник исследований (имеющий полную возможность не следовать рекомендации Мефисто-
феля («Фауст», ч.1): «Профессору смотрите в рот // И повторяйте, что он врет»). Матема-
тика дает для этого прекрасную возможность, ибо она - «творение человеческого разума,
предназначенное не столько для знания, сколько для познания, для поиска, а не для отыска-
ния истины», - как писал французский математик Эварист Галуа (E.Galois, 1811—32).
Вербальный текст и формулы книги - это математика в символах. В книге также приведены
иллюстрации (между страницами 64 и 65, 146 и 147, 222 и 223, 486 и 487), которые можно
назвать математикой в образах. Они являются реальным подтверждением неоднократно
подчеркиваемой в тексте мысли о теснейшей взаимосвязи алгебры и геометрии. Образно
говоря, «алгебра - не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия - это
просто алгебра, воплощенная в фигурах» (Софи Жермен). Автор иллюстраций - акад. РАН,
проф. А.Т. Фоменко, которому хочу выразить свою искреннюю признательность за предос-
тавленную возможность использовать его графические работы.
Evadere ad auras
Hoc opus, hie labor est
Verg.En. VI, 128-9
Подняться к небесам -
Вот работа, вот труд.
Вергилий. Энеила. VI, 128-9
Глава I
ЧИСЛА И ФИГУРЫ. ОТ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
К ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ... И ДАЛЕЕ
§1. ЧИСЛА РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА
Натуральные числа
Предметы счета и натуральные числа; абстрактное число и арифметические
операции (1). Свойства натуральных чисел: арифметические свойства и свойства
следования чисел друг за другом; задачи теории чисел (2)
1. Предметы и числа. Задача счета предметов возникла вместе с ци-
вилизацией. Эта задача была важной не только д ля частных лиц (купцов,
строителей, боевых командиров и т.п.), ее важность носила общегосу-
дарственный характер. Древнеегипетский папирус, в котором один го-
сударственный писец насмехается над неумением другого, дает довольно,
полное представление о такого рода проблемах (цит. по [8, с. 20]):
Я хочу объяснить тебе, что это такое, когда ты говоришь: «Я писец, дающий приказы
армии». Тебе поручено выкопать озеро. Ты приходишь ко мне, спрашиваешь о запасах для
солдат и говоришь: «Сосчитай мне это». Ты оставляешь свою работу, и на мои плечи свали-
вается задача - учить тебя, как ее надо выполнить. Я ставлю тебя в тупик, когда приношу
тебе повеление от твоего господина, тебе - его царскому писцу... мудрому писцу, поставлен-
ному во главе этого войска. Дблжно сделать насыпь для подъема в 730 локтей длины и
55 локтей ширины; она состоит из 120 отдельных ящиков и покрывается перекладинами
и тростником. На верхнем конце она имеет высоту в 60 локтей, а в середине 30 локтей; уклон
ее - дважды по 15 локтей, а настил - 5 локтей. Спрашивают у военачальников, сколько по-
надобится кирпичей, и у всех писцов, и ни один ничего не знает. Все они надеются на тебя и
говорят: «Ты искусный писец, мой друг, сосчитай это для нас поскорей. Смотри, имя твое
славится. Сколько же надо для этого кирпичей? >
Заметим, кстати, профессия писца в Древнем Египте была почетной и
высокооплачиваемой, сам фараон в од ном из дошедших до нас папирусов
назван «писцом божьей книги».
Сначала, конечно, число было неотделимо от предмета счета. Но по-
степенно задачи усложняются, в том числе и в связи с простыми житей-
скими проблемами. Процитируем по ван дер Вардену [8, с. 39] тексты
другого древнеегипетского папируса, так называемого папируса Рината:
§ 1. Числа. Развитие понятия числа
23
Немало места в папирусе Рината занимают прикладные вычисления, как, например,
«вычисления песу», которые относятся к определению количества зерна, необходимого для
приготовления пива и хлеба. Технический термин «песу» - припек - обозначает число хлебов
или кружек пива, которые можно приготовить из од ного шефеля зерна. Таким образом, речь
вдет о следующих соотношениях:
(количествсгзерна) х (песу) = числу хлебов (или соответственно кружек пива) песу =
=(числу хлебов): (количество зерна).
Частное представляет собой «содержание» зерна в буханке хлеба или «крепость» пива.
При помощи простых соотношений можно просто решать все задачи «лесу», пока не
встречается никаких затруднений, вызванных различием в сортах зерна; для этих случаев
существовали переводные коэффициенты, которые вычислитель должен был знать. Соответ-
ствующие задачи могли быть еще усложнены тем, что происходил обмен хлебов разного
припека, итд.
Другие задачи относились к переводу мер веса или емкости в другие единицы, к вычисле-
нию количества корма, распределению заработной платы и т.п.
Постоянно не только проблемы усложнялись, но и человек умнел.
И вот однажды, правда, неведомо когда, под грузом задач астрономии (и
предсказаний разливов рек), строительства храмов и пирамид, геомет-
рии и мореплавания человек делает решительный шаг - он отделяет
число от предмета. Уже в упомянутом папирусе Рицдта решается масса
отвлеченных задач, например, задача №26 начинается со слов «Коли-
чество и его четвертая часть дают вместе 15...», а решение начинается
словами: «Считай с 4; от них ты должен взять четверть, имеют один;
вместе 5...»
Так рождается натуральное число. Это был выдающийся мыслитель-
ный акт, знаменующий начало абстрактного мышления.
Основные арифметические операции над числами - операции сложе-
ния и умножения. В процессе работы были выявлены основные свойства
натуральных чисел, которые мы сформулируем в удобной и компактной
форме в 2. В общих чертах они известны еще со школы и связаны с дву-
мя указанными арифметическими операциями и операцией следования
натуральных чисел друг за другом, что соответствует понятному всем
представлению о прибавлении ед иницы (1) к произвольному числу.
2. Свойства натуральных чисел. Арифметические свойства натураль-
ных чисел принято разбивать на три группы.
I. Свойства сложения. 1. х + (у+х) = (х+у) + х 2. х+/=у + х II. Свойства умножения. 1. x(yz) = (xy)z 2. ху-ух (ассоциативность сложения). (коммутативность сложения). (ассоциативность умножения). (коммутативность умножения).
24
Глава I. Числа и фигуры
3. 1х = х.
III. x(y+z)=xy + xz (дистрибутивность).
IV. Еще одну группу составляют неарифметические свойства, связан-
ные с порядком (следованием).
Для любого натурального х существует единственное натуральное чис-
ло Sx-x +1 (следующее за числом х), обладающее следующими свойст-
вами.
1. Sx# 1 д ля всех х.
2. Отношение порядка лря натуральных чисел определяется так:
а<Ь, если существует такое натуральное л, что b -а + п. Отсюда сразу
следует x<Sx<S(Sx')<...
Отношение порядка определяет естественный порядок среди нату-
р ал ьных чисел 1<2<3<...
3. Если Xi...х„ - различные натуральные числа, то среди них сущест-
вует минимальное, т.е такое х*, &£ л, что х*<х7 для всех к.
В частности, из любых двух натуральных чисел всегда одно большее, а
другое меньшее.
4. Если X], х2,... - различные натуральные числа, то, рассмотрев только
те, которые меньше xt, и выбрав из них минимальное, получим мини-
мальное ИЗ Xi, х2>...
Все эти свойства справедливы для любых входящих в них (натураль-
ных) переменных. Напомним, что знаки умножения (• или х) часто опус-
кают, что и было сделано в группе свойств II и в свойстве III.
Свойства I—IV ни в коей мере не следует воспринимать как систему
аксиом, определяющих натуральные числа (об этом речь пойдет в гл .VI).
Просто в дальнейшем в гл.1 мы будем пользоваться этими свойствами и
считать, что мы знаем, что такое натуральное число.
Отметим некоторые принципиальные следствия, вытекающие из ука-
занных свойств и связывающие порядок с арифметическими операция-
ми. Если а<Ь, то а+х<Ь+х и ах<Ьх для любого натурального х. Если
Ь>а, то всегда существует (IV.2) такое единственное натуральное х, что
6-а+х, это число называется разностью b и а и обозначается х= Ь-а.
Часть математики, изучающая свойства натуральных чисел, называет-
ся теорией чисел или высшей арифметикой. С основными результатами
теории чисел (свойствами простых чисел, разложением на множители,
алгоритмом Евклида, теорией сравнений по модулю, решением уравне-
ний в целых числах (диофантовыми уравнениями) и тд.) при желании
можно познакомиться, например, по книгам: [9] или Дэвенпорт Г. Выс-
шая арифметика. М., 1965.
§ 1. Числа. Развитие понятия числа
25
Целые числа
Проблемы и сомнения, сопутствовавшие появлению отрицательных чисел,
отношение к ним различных выдающихся математиков (3). Отрицательное число
как размер финансового долга; арифметические операции с целыми числами (4).
Свойства целых чисел (5)
3. Немного истории. Отрицательные числа воспринимаются нами как
нечто само собой разумеющееся, однако путь к их признанию был совсем
не прост. Исторически они появились позже дробей. Отрицательные чис-
ла можно найти в индийских книгах по математике уже с VII в. [ 10, с. 190],
а китайский «Математический трактат» Сунь-цзы, в котором они также
используются, датируется III в. [10, с. 162]. В Европе отношение к ним
было значительно более настороженным (что связано с традициями, за-
ложенными древнегреческими математиками, о них в 20), хотя применять
их начали уже с X-XI вв. Джироламо Кардано (G.Cardano, 1501-76),
о знаменитых работах которого речь пойдет чуть далее, называл отрица-
тельные корни алгебраических уравнений фиктивными [ 10, с.315]. Фран-
цузский математик Франсуа Виет (F.Viete, 1540-1603) отвергал их пол-
ностью. У Рене Декарта (R.Descartes, 1596-1650, о нем см. 157) также
были «серьезные претензии» к отрицательным числам. Мнение Жана
Д’Аламбера (Jean le Rond D’Alembert, 1717-83), французского матема-
тика, физика и философа-просветителя, члена Парижской академии на-
ук (с 1741), Петербургской академии наук (с 1764) и других академий,
воспроизведем полностью по [5, с. 140]:
В статье «Отрицательное», написанной для знаменитой французской «Энциклопедии»,
один из величайших мыслителей Века разума Жан Д'Аламбер утверждал: «Если задача при-
водит к отрицательному решению, то это означает, что какая-то часть исходных предположе-
ний ложна, хотя мы и считали ее истинной», и далее: «Если получено отрицательное реше-
ние, то это означает, что искомым решением служит дополнение к [соответствующему поло-
жительному] числу»...
В этом же источнике [5, с. 141] приводится взгляд члена Английского
королевского общества Френсиса Мазера (1731-1824):
...Насколько я могу судил», они (отрицательные числа] служат лишь для того, чтобы внести
замешательство во всю теорию уравнений и сделать смутным и загадочным то, что по самой
своей природе особенно ясно и просто... Чрезвычайно желательно поэтому не допускать
отрицательные корни в алгебру, а если таковые и возникнут, неукоснительно изгонять их...
а также следующее любопытное рассуждение [5, с. 136]:
Интересный довод против отрицательных чисел выдвинул близкий друг Паскаля теолог и
математик Антуан Арно (A.Amault, 1612—97). Арно усомнился в том, что -1:1= Г. -1. Как
может выполняться такое равенство, спрашивал он, если -1 меньше, чем 1? Ведь меньшее
число не может относиться к большему так же, как большее к меньшему. Лейбниц, признав
26
Глава I. Числа и фигуры
правильность возражения Арно, указал, что такого рода пропорции вполне допустимо ис-
пользовать в вычислениях, ибо по форме они правильны...
(Подумайте, почему Арно не прав и Лейбниц напрасно согласился с ним.)
Безусловно, одной из важных причин неприятия отрицательных чисел
являлся и чисто психологический момент: трудно представить себе кор-
ректность объекта, который меньше, чем «ничто» - нуль (об этом писал
Декарт).
Однако для объективности картины следует заметить, что Рафаэль
Бомбелли (R.Bombelli, 1530-72, итальянский математик и инженер),
Симон Стевии (S.Stevin, 1548-1620, нидерландский математик и инже-
нер) и Альбер Жирар (A.Girard, 1595-1632, нидерландский математик)
признавали отрицательные числа и работали с ними. Но первым систе-
матически работать с ними стал замечательный древнегреческий мате-
матик Диофант в своей «Арифметике» (см. 22).
Кому-то эти дискуссии могут показаться странными, но на самом деле
ничего странного здесь нет. Это теперь все мы знаем, что введение отри-
цательных чисел корректно и ни к каким противоречиям не приводит.
Тогда же вопросов было значительно больше, чем ответов, и, как всякий
новый, непривычный объект, отрицательное число непременно должно
было стать предметом споров. Все это очень актуально тем, что показы-
вает, насколько важной является традиция даже в математике.
4. Финансовый пример. Появление отрицательных чисел прекрасно
иллюстрирует пример, связанный с состоянием финансов купца: отрица-
тельные числа соответствуют размеру его долга (кстати, все древние ма-
тематические трактаты этот пример и используют). Справедливости ради
следует отметить, что это не единственный способ записи финансовой
динамики состояния купца. Так, в бухгалтерских счетах отрицательных
чисел не используют, просто активы и пассивы (долги) записывают по
разным строкам - по кред иту и дебету соответственно.
Долгу размером х соответствует число (-х), такое, что х + (-х) = О,
нуль соответствует пустому кошельку.
Таким образом, вместе положительные (натуральные) и отрицатель-
ные числа образуют целые числа 0, ±1, ±2,...
Определим операцию сложения для целых чисел. Пусть хиу-натура-
льные числа. Если х£у, то х+(-у) = -(у-х) (у-х уже задано в 2), если
у<,х, то положим х+(-у) = (х-у). Также полагаем (-х)+(-у) = -(х+у).
Операция умножения определяется всем известным способом:
х(-у) = (-у)х = (-ху),
(-х)(-у) = -(ху).
§ 1. Числа. Развитие понятия числа
27
5. Свойства целых чисел. Арифметические свойства целых чисел яв-
ляются расширением свойств натуральных чисел.
I. Свойства сложения.
1. х+ (y+z) = (х+у) + z (ассоциативность сложения).
2. х+у=у+х (коммутативность сложения).
3. Существует единственное число, называемое нулем (0), такое, что
0+х = х.
4. Для любого целого числа х существует единственное число (-х),
называемое противоположным, такое, что
(-х)+х = 0.
II. Свойства умножения.
1. x(yz) = (xy)z
2. ху-ух
3. 1х“х
III. x(y+z)~ xy+xz
(ассоциативность умножения),
(коммутативность умножения).
(дистрибутивность).
Доказывается, что все эти свойства справедливы для любых входящих
в них переменных.
IV. Свойства, связанные с порядком (следованием), распространяются с
натуральных чисел на целые следующим образом. Пусть 0<х<у, тоща
по определению -у < -х < 0. Также -х < 0 <у, где х и у - произвольные
натуральные числа.
Введенное таким образом отношение порядка определяет естествен-
ный порядок для целых чисел ...<-3<-2<-1 <0< 1 <2<3...
Отметим некоторые следствия из этих свойств. Для всех целых чисел операция вычитания
определена равенством х-у - х+(-у). Уравнение а+х - Ь (относительно неизвестного х)
всегд а имеет единственное решение в целых числах х=Ь-а. Это сразу следует из прибавле-
ния к обеим частям равенства числа (-а). Если а, 6 - целые и а<6, то ах <Ьх д ля любого
натурального х и ах>Ьх для любого отрицательного х. ,
Рациональные числа
Задачи деления на части, практические и теоретические (6). Определение
дробей и операций с ними (7). Арифметические свойства рациональных чисел;
неограниченная применимость арифметических операций; рациональные числа
как расширение целых чисел (8). Геометрическое представление рациональных
чисел, рациональные точки числовой оси (9). Пифагор и пифагорейская школа,
пифагоров музыкальный строй и дроби (пропорции), пифагоров взгляд на числа,
«фигурные числа», пифагоровы треугольники (10)
6. Деление на части. Задача деления на части известна с глубокой
древности. Неотрицательные дроби встречаются и в вавилонских, и в еги-
28
Глава I. Числа и фигуры
петских, и в индийских, и в китайских древних математических трактатах.
Принципиальная сторона проблемы - когда имеется целое, а необходимо
найти части - очень хорошо ввдна на примере задачи (практически необ-
ходимой) разделения суток на более мелкие временные интервалы (так
же, как месяца или года). Другой важный пример - деление наследства.
Из геометрии возникают задачи подобия, откуда появляются пропорции
и необходимость нахождения общей меры отрезков (решается с помо-
щью алгоритма Евклвда). Невозможность деления нацело с математиче-
ской точки зрения означает неразрешимость уравнения ах = Ь относи-
тельно х для всех натуральных (или целых) а и Ь. Задачи разделения -
финансов, рынков, территорий... т.е. интересов в разных проявлениях,
относятся как к частным, так и к межгосударственным проблемам.
Систематически начали оперировать с произвольными дробями в Элла-
де (Древней Греции). Эллинские математики умели сокращать, умно-
жать и делить дроби, а также складывать и вычитать путем приведения
их к общему знаменателю, т.е. выполняли все арифметические действия
с дробями с единственным ограничением - вычитать позволялось только
из большего меньшее.
7. Определение рациональных чисел. Итак, рассмотрим новый объект-
дроби (частные), т.е. числа вида — (или mln ), где т, п - целые, причем
п
п * 0. Напомним, что в этой дроби т называется числителем, ап- зна-
менателем. Они образуют рациональные числа, или в терминах теорети-
ческой математики - поле частных. Для этих новых символов нужно оп-
ределить понятие равенства и все алгебраические операции.
I. Равенства частных (дробей). По определению, ^- = 4, если ad = bc
b d
(а, Ь, с, d- целые).
Это определение (требование) становится понятным из необходимости
12 3 гр т тх
выполнения очевидных равенств типа - = - = Так что — = — для
г 2 4 6 л пх
любого целого х, в частности — = —, поэтому при определении дро-
Л “"Л
- Л1 /
бей можем ограничиться частными —, где т и п взаимно просты (не
имеют общих делителей), причем т - целое, ап- натуральное.
П. Умножение. Пусть г = ~ и s = . Тогда по определению
§ 1. Числа. Развитие понятия числа
29
III. Сложение. Пусть г = — и s = Тогда по определению
тп'+пт' ,
г+s = ——— (результат складывается из двух операции: приведения к
общему знаменателю л л' и затем сложения числителей).
IV. Определение порядка для рациональных чисел. Пусть г = — и
п
s = тогда по определению г <з, если тп'-пт' <0,т.е. тп’<пт’.
8. Арифметические свойства рациональных чисел.
I. Свойства сложения.
1. х+ (y+z) = (х+у) + г (ассоциативность сложения).
2. х+у=у+х (коммутативность сложения).
3. Существует единственное число, называемое нулем (0), такое, что
0+х = х.
4. Для любого целого числа х существует единственное число (-х),
называемое противоположным, такое, что
(~х)+х = 0.
II. Свойства умножения.
1. x(yz) = (xy)z (ассоциативность умножения).
2. ху=ух (коммутативность умножения).
3. Существует единственное число, называемое единицей (1), такое,
что
1х = х.
4. Для любого целого числа х*0 существует единственное число х-1,
называемое обратным, такое, что
хх-1 = 1.
Здесь х-1 - это другая запись дроби 1/ х.
III. Дистрибутивность.
x(y+z) = xy+x2
Доказывается, что все свойства справедливы для любых входящих в
них переменных.
Если отрицательные числа позволяют неограниченно применять опера-
цию вычитания, то введение дробей устраняет все препятствия для деле-
ния (исключая, конечно, деление на 0). Уравнение а+х = b (относитель-
но х) всегда имеет решение в целых числах: x-b-а. Конечно, это урав-
нение всегда имеет решение и в рациональных числах: если
30
Глава I. Числа н фигуры
то х=Ь-а =———. С другой стороны, например, уравнение Зх=2 в
целых числах решения не имеет, однако д ля рациональных чисел урав-
нение ах = Ь, а 0 (относительно х) имеет решение всегда: если а = —,
Л
. ж' Ъ Мп _ ,
/> = —, то »=- = • Таким образом, для рациональных чисел выпол-
нены все девять законов арифметических операций (четыре-д ля сложе-
ния, четыре - д ля умножения и дистрибутивность), к тому же все ариф-
метические (их также называют рациональными) операции: сложение,
вычитание, умножение и деление - выполнимы неограниченно.
Кроме того, можем считать, что целые числа являются частью-рацио-
нальных, если отождествить каждое целое число к с рациональным чис-
лом-дробью у. Иными словами, рациональные числа являются расши-
рением чисел целых.
9. Геометрическое представление рациональных чисел. Рассмотрим
произвольную прямую (рис.1) с выделенной на ней точкой 0. Отметим на
ней точку 1, т.е. единичный отрезок [0,1], длина которого, вообще гово-
ря, произвольна и задает масштаб на этой прямой. Такая прямая с выде-
ленной точкой 1, задающей направление на прямой, называется коорди-
натной прямой или числовой осью. Положительные и отрицательные
целые числа расположены справа и слева от 0 на прямой, каждая точка
на равном расстоянии от предыдущей.
—।-----1---1---1----1----1--1------►
-3 -2-10123
Рис. 1
Для того чтобы изобразить на этой прямой рациональное число г=—
Л
(а точнее, рациональную точку, соответствующую этому числу), где п-
натуральное, нужно разделить отрезок [0,1] на п частей (это можно
сделать при помощи циркуля и линейки). Первая справа от нуля точка
1 ж
соответствует дроби -; дробь — изображается точкой, получающейся
Л л
откладыванием отрезка - вправо т раз, если т>0, и влево (-т) раз,
Л
если т<0(рис. 2).
§ 1. Числа. Развитие понятия числа
31
Полученные таким образом точки на прямой изображают все рацио-
нальные числа. Эти точки принято называть рациональными точками ко-
ординатной прямой (числовой оси). Для любой рациональной точки г > О
длина отрезка [0, г] равна г, для г < 0 длина отрезка [г, 0] равна -г.
Число I г|, равное по определению г при г>0 и -г при г<0, называется
модулем рационального числа г; I г I - длина отрезка между 0 и г.
-1/л 0 1/л 2/п I
Рис. 2
г- т . т'
Если г=— и г'-— -два произвольных рациональных числа, то г =
= (mnr)s и где s=-^>0. Соответствующие рациональные
пп
точки гиг' числовой оси получаются откладыванием отрезка [0,5] со-
ответствующее число раз влево или вправо от точки 0 в зависимости от
знаков г и г'. Отрезок [0,5] называется общей мерой отрезков [0,1 г I ]
и [0,1 г'| ]. Таким образом, любые два отрезка рациональной длины име-
ют общую меру, или, иными словами, соизмеримы.
Как мы ввдели, между любыми двумя рациональными числами уста-
новлено отношение порядка, т.е. одно из них больше, а другое меньше.
На координатной прямой неравенству г<г’ соответствует расположение
точки г левее точки г (доказывать это утверждение мы не будем, хотя
сделать это совсем нетрудно).
Любознательному человеку должен прийти в голову вопрос: заполня-
ют ли рациональные точки всю координатную прямую? Этот умный и
важный вопрос связан с существованием несоизмеримых отрезков и
приводит к необходимости введения иррациональных чисел. (Данные
проблемы будут рассмотрены в 18-23 и 27.)
10. Пифагор Самосский и его школа (пифагорейцы). Знание рациональных чисел и мно-
гих закономерностей теории чисел и геометрии, о которых мы еще будем вкратце говорить,
свидетельствуют о высокой культурной организации античной Эллад ы. Наблюдая природные
явления, накапливая знания, греческие философы (т.е. ученые в нашем понимании) должны
были задаться вопросом, что лежит в основе природы и мира-хаос, игра случая или сверхъ-
естественных сил и капризы (греческих) богов или же определенный план и единая воля?
Нужно было иметь незаурядное мужество, чтобы задать этот вопрос, ибо, задав его, придется
искать ответ; нужно было еще большее мужество и человека, и ученого, чтобы, заключив,
что явления природы подчинены определенным законам, заняться поисками этих законов,
ибо кроме огромной научной значимости эта проблема имела и теологический аспект - неиз-
бежный отказ от многобожия и, следовательно, тогдашних религиозных ритуалов. Надо по-
нимать всю серьезность этого. Здесь как раз следует вспомнить, что Сократ был осужден за
неуважение к богам (эллинского пантеона).
32
Глава I. Числа и фигуры
Первая попытка создать целостную концепцию мира (натурфилософию) предприняли фи-
лософы ионийской школы (Фалес, Анаксимандр, Анаксимен, Гераклит, Анаксагор). Каждый
из них пытался объяснить устройство Вселенной, принимая за основу какую-то одну субстан-
цию (например, воду, как Фалес). С современной точки зрения картина получалась довольно
наивной, но не забудем, что это было в VI в. до н.э..
«Фантастические представления о природе ионийцы заменили рациональным подходом,-
пишет Моррис Клайн [5, с.20). - Ионийцы дерзнули объять разумом Вселенную, перестав
полагаться на богов... и другие мистические силы, якобы управляющие явлениями природы.
Квинтэссенцию воззрений ионийцев как нельзя лучше отражают слова Анаксагора «Разум
правит миром*.
С этим можно было бы согласиться, если понимать эту фразу как утверждение, что приро-
дой управляют законы. Однако едва ли какой современный человек, видевший или знающий
все трагические события XX в., согласится с тем, что миром правит разум. Значительно бли-
же к истине поэтический взгляд Ф.Шиллера: «Любовь и голод правят миром».
Все закономерности в мире имеют либо числовой или геометрический, либо логический
характер. «Если бы ни число и его природа, ничто существующее нельзя было бы постичь ни
само по себе, ни в его отношении к другим вещам... Мощь чисел проявляется... во всех дея-
ниях и помыслах людей, во всех ремеслах и музыке»,-утверждает древнегреческий философ
Филолай [5, с.21]. Вспомним, что основой научных знаний в Элладе были арифметика
(теория чисел), гармония (теория музыки), геометрия, астрономия и, конечно, софистика -
искусство логического вывода, т.е. логика в современном понимании.
Занимаясь теорией музыки, Пифагор (годы его жизни принято датировать примерно второй
половиной VI в. до н.э. - разные источники называют разные цифры) и его, говоря современ-
ным языком, коллеги обнаружили, что высоты музыкального тона струны или флейты будут
отличаться на октаву, квинту или кварту, если их д лины относятся как 1:2, 2:3 или 3:4 со-
ответственно. Указанные музыкальные интервалы называются консонантными, или благо-
звучными. Если рассматривать последовательно числа 6, 8, 9, 12, то 9:12=6:8 - отношение
кварты (по-гречески Epitriton), 8:12=6:9 - отношение квинты (по-гречески Hemiolion),
6:12=1:2 - октавы, причем средние числа 9 « i « у являются соответствен-
но сред ним арифметическим и сред ним гармоническим крайних. Для получения полного зву-
коряда за основу была взята пропорция, соответствующая квинте (2/3 струны): согласно
Пифагору, для диатонической гаммы интервал в тон (пифагорова секунда) определяется
отношением 8:9 и получается построением квинты от квинты, т.е. ноны
с после-
дующим понижением на октаву
секста получалась построением квинты от секун-
ды ~ «-ly); терция - построением квинты от сексты с понижением на октаву “ 2 я
= а септима - как квинта от терции Пифагоров полутон (лейма) опре-
делялся отношением 243/256. Таким образом, при пифагоровом строе мажорная гамма в
отношениях длин струн выглядит так:
ц 9’ 81’ 4* 3* 27’ 243’ 2*
Однако этот строй является неравномерным: последовательное отношение длин (интер-
вальные коэффициенты секунд) различны, хотя отличия проявляются только в десятом деся-
тичном знаке. Музыкальный строй Пифагора является незамкнутым: звуки, энгармони-
чески равные в современном равномерно темперированном музыкальном строе, когда октава
§ 1. Числа. Развитие понятия числа
33
делится на 12 равных полутонов (с интервальным коэффициентом полутона
^2 « L05946 , т.е. восходящий темперированный полутон имеет интервальный коэффициент
1/Ц/2 = 0.94387 , чуть меньший, чем s 0.9492), звучат неодинаково (например, си диез и
до). Так, си диез малой октавы, построенный по квинтам от си малой октавы, звучит чуть
выше, чем до первой октавы. Интервал между ними (чуть больше 1/9 секунды), т.е. дефект
пифагорова строя, называется пифагоровой коммой (по-гречески - отрезок).
В переходе к равномерно темперированному строю (XV-XVII вв.) приняли участие многие
европейские теоретики музыки (и даже великий Эйлер, см. с.93). Для доказательства досто-
инств окончательного варианта равномерной темперации и равноправия всех тональностей
Иоганн Себастьян Бах написал «Хорошо темперированный клавир* (1742-44) - двухтомный
сборник прелюд ий и фуг по одной прелюдии и фуге в каждой тональности в миноре и мажоре -
всего по 24 в каждом томе. Таким образом, появлению этого шедевра мы в определенной
степени обязаны и Пифагору.
Движения планет пифагорейцы также свели к числовым отношениям. Они считали, что
тела, двигаясь в пространстве, издают звуки. Должно быть, их на эту мысль навело наблюде-
ние: камень, раскручиваемый на веревке, со свистом разрезает воздух. Пифагорейцы пола-
гали, что быстро движущееся тело издает более высокий звук, чем тело, движущееся мед-
ленно. Согласно астрономическим воззрениям пифагорейцев, планеты движутся тем быст-
рее, чем дальше они находятся от Земли. Звуки, издаваемые планетами, изменяются в зави-
симости от удаления от Земли и образуют гармоническое созвучие. Но эта «музыка сфер»,
подобно всякой гармонии, сводится к числовым отношениям, поэтому и движения планет
также сводятся к числовым отношениям. Мы не слышим музыку небесных сфер, потому что
привыкли к ней с самого рождения [5, с.23].
Пифагорейцы считали, что в небесах должно быть ровно десять планет по причинам чисто
мистического характера (чуть позже увидим, почему). В центре - огонь, «вокруг которого
обращаются Земля, Солнце, Луна и пять известных в древности планет (Меркурий, Венера,
Марс, Юпитер, Сатурн), а также Противоземля, расположенная по другую сторону от цен-
трального огня. Центральный огонь и Противоземля невидимы, потому что поверхность
Земли, на которой мы живем, скрывает их от нас...» (5, с.23|. Правда, ван дер Варден рисует
несколько иную картину [8, с. 140].
После того как пифагорейцы «свели» астрономию и музыку к числу, музыка и астрономия
оказались связанными с арифметикой и геометрией, и все четыре дисциплины стали считать-
ся математическими. Они вошли в программу общего образования, причем это положение
сохранилось вплоть до Сред невековья. В средние века комплекс общеобразовательных д ис-
циплин, состоящий из арифметики, геометрии, музыки и астрономии, получил название
квадривиум[Ь, с.23].
Кроме того, сначала Пифагор предполагал, что все отрезки соизмеримы, а значит, все
длины, площади и объемы описываются рациональными числами, т.е. все метрические соот-
ношения в геометрии сводятся к арифметике натуральных чисел. Это привело пифагорейцев
к мысли, что все закономерности мира можно выразить с помощью чисел. Отсюда один шаг
до провозглашения арифметики основой модели мира. Если все четыре основные науки яв-
ляются «математическими» и их закономерности сводятся к законам чисел, то становится
ясным и оправданным знаменитый афоризм пифагорейцев «все вещи суть числа».
Пифагорейский взгляд на мир как на мир чисел изложен в «Метафизике» Аристотеля:
«...В числах пифагорейцы усматривали (так им казалось) много сходного с тем, что сущест-
вует и возникает, - больше, чем в огне, земле и воде (например, такое-то свойство чисел
есть справедливость, а такое-то - душа и ум, другое - удача, и, можно сказать, в каждом из
остальных случаев точно так же); так как далее они видели, что свойства и соотношения,
присущие гармонии, выразимы в числах; так как, следовательно, им казалось, что все ос-
3 - 5091
34
Глава I. Числа и фигуры
тальное по природе своей явно уподобляемо числам и что числа - первое по своей природе,
то они предположили, что элементы чисел суть элементы всего существующего и что все
небо есть гармония и число*.
Замечание Аристотеля о земле, воде и огне относится к первоосновам в понимании
ионийцев.
Как мы видим, в основание астрономии пифагорейцы положили значительную долю мисти-
ки и фантазии и намного меньше наблюдений. Это не случайно - если у большинства наших
современников имя Пифагора прежде всего ассоциируется с известной теоремой геометрии,
то для своих современников Пифагор был прежде всего религиозным философом и организа-
тором и главой религиозно-политического ордена.
Так, Геродот называет его «выдающимся софистом», т.е. учителем мудрости, и рассказы-
вает, что Залмокс, которого геты чтили как святого и который согласно легенде воскрес из
мертвых, был учеником Пифагора... Пифагор считался также и чудотворцем. О нем ходило
много сказок: что у него золотое бодро; что люд и видели его в од ин и тот же час в д вух разных
местах; когда он переходил через речку, она вышла из своего ложа и приветствовала его,
восклицая: «Да здравствует Пифагор» [8, с. 128].
Кроме математических результатов, касающихся чисел, пифагорейцы создали также и
мистическое числовое учение. Как справедливо замечает ван дер Варден, числовая религия и
числовая мистика пришли с Востока. «Но раз так, - пишет он, - то понятно, почему еще в
древности уверяли, что Пифагор путешествовал почти по всем странам Востока. Согласно
оратору Исократу, за которым повторяли это последующие авторы, Пифагор ездил в Египет.
В Египте, как рассказывалось далее, он попал в плен к Камбизу, персидскому завоевателю,
и его увели в Вавилон. Здесь жрецы посвятили его в мистериц... Более древние писатели
говорят только, что он вступил в сношения с «халдеем Заратой» (Заратустрой) или что он
учился у халдеев» [8, с.130].
Родился Пифагор на острове Самос. Когда он переехал в Южную Италию, в Кротон, и
основал там пифагорейский союз, ему уже было более 40 лет. Деятельность союза окутыва-
лась тайнами. Вступлению в союз предшествовал испытательный срок, в течение которого
строгая жизнь и изучение тайн гармонии и чисел должны были очистить душу претендента.
Только через пару лет после удачного испытания и посвящения новообращенный пифагореец
мог увидеть главу союза - Пифагора. Обилие таинств и ритуалов и строгая субординация
делают вполне обоснованным поименование этого союза орденом. От порядков пифагорей-
ского ордена действительно сильно веет Востоком. Может быть, Пифагор и совершил припи-
сываемые ему путешествия, может быть, наоборот, - близость Египта и Вавилона занесла
восточные «пряности» в Кротон (в конце XX в. все мы можем видеть в большом числе подоб-
ные организации, подобные легенды и многих «пророчествующих персон» на восточный лад,
которые, естественно, не могли общаться ни с Залмоксом, ни с вавилонскими магами, ни с
Заратустрой). Естественно, такой союз не мог не стать политической организацией. Так оно и
случились - и в начале V в. до н.э.. после неудачного выступления на политической сцене
пифагорейцы были изгнаны из Южной Италии.
А мистическая теория чисел пифагорейцев, можно считать, жива и поныне, поскольку в том
или ином виде оказывает влияние на большинство иррациональных теорий, в которых мани-
пулирование числами считается чуть ли не обязательным атрибутом.
Все числа пифагорейцы делили иа четные, с которыми они ассоциировали женское начало,
и нечетные - мужское начало. Единицу (1) они называли «монадой» и считали прародитель-
ницей всех чисел (что вполне соответствует действительности). Неудивительно, что в разных
трактовках 1 ассоциировалась либо с неделимым атомом, либо с самим Создателем. Число
2 - первое женское число, 3 - мужское, поэтому число 5 было символом брака. В геометри-
ческой символике 1 символизировала точку, 2 - прямую (или линию), 3 - плоскость (или по-
верхность тела), 4 - пирамиду (или трехмерное тело). В этом восхождении от нульмерных об-
§ 1. Числа. Развитие понятия числа
35
разов к трехмерным есть замечательная рациональная основа: две точки, как мы знаем,
определяют единственную прямую, три - единственную плоскость.
Числа 1, 2,3,4, символизировавшие Создателя и природные тела всех известных эллинам
размерностей, образовывали тетрактис - тетраду (единую четверку, четверицу). Геометри-
чески тетрактис изображался «совершенным треугольником» (рис. 3)
«
Попутно заметим, чтц в астрологических системах, как запад-
ных, так и восточных, количество стихий (элементе») в точно- • •
сти равно четырем: огонь, воздух, земля, вода. • • •
Поскольку 1+2+3+4 « 10, число 10 считалось идеальным и • • • •
символизировало Вселенную. Именно поэтому должно было
быть ровно 10 небесных сфер и планет - ни больше и ни меньше. Рис. 3
Закончим обзор пифагоровы! числовой мистики забавным изречением или даже скорее
заклинанием, приписываемым пифагорейцам: «Что такое божество? -Единица! Что
такое дельфийский оракул? -Тетрада, ибо она есть музыкальная гамма сирен!*
После краткого путешествия иррациональными путями вернемся к наукам. Поиски число-
вых законов и свойств чисел, т.е. научный взгляд, привели пифагорейцев к открытию инте-
ресных арифметических закономерностей. Они ввели в рассмотрение специальные классы
чисел (так называемые фигурные числа):
треугольные числа
квадратные числа
пятиугольные числа
кубические числа
1.3, 6,10.....
2
1,4, 9, 16,.... л2 ....
1,5,12,22,.„; "(3"-1)
1,8,27,64,..., я’,...
Рис. 4
Если рассмотреть расширяющиеся правильные треугольники, квадраты и пятиугольники
(рис. 4), то, суммируя число вершин (по штрих-ребрам), соответственно получаем числа
треугольные, квадратные и тд., т.е. школе Пифагора были известны формулы:
. . - . - , я(я+1) . •
1 +2+3+...+ п - —-— - представлеиме треугольных чисел суммой последовательных;
1+3+5+...+ (2л-1) = л2 - представление квадратных чисел суммой мечетных;
1 +4+7+... + [3(л - 1)+1 ] = - - представление пятиугольных чисел в ввде суммы;
[1+(л-1)л]+[3+(л-1)л]+..+[2л-1-(л-1)л] -if - представление кубических чисел
в вцдо суммы;
, л(л+1) л(л+1)(л+2) .
1 + 3+6 +...+ ——- = —-—--------- - представление пирамидальных чисел суммой треугольных.
3*
36
Глава I. Числа и фигуры
Пифагорейцам (Никомах) также было известно интересное свойство последовательного
суммирования одного, двух, трех и т д. нечетных чисел для получения кубических чисел:
1 + [3 + 5] + [7 + 9 + 11 ] + [ 13 + 15 + 17 + 19] + ...
II II II
23 З3 43
где первое слагаемое в и-й скобке имеет номер У »+1 по порядку нечетных чисел
(т.е. равно 2N-1). Известны были и красивые формулы суммирования квадратов и кубов:
Р + 2* + З2 +... + и1 = ; 1» + 2’ + з’ +... + л’ = Гf .
2-3 L 2 J
Часть этих результатов можно найти в более ранних источниках, в том числе вавилонских,
поэтому вопрос о приоритетах неясен. Вдобавок, неизвестно, какие из этих результатов при*
надлежат самому Пифагору, а какие - его ученикам.
Пиагорейцы выделили среди чисел простые числа, что было весьма важно в связи с дока-
занной чуть позже так называемой основной теоремой арифметики о разложении любого
составного числа в произведение простых. Простые числа пифагорейцы называли линейны-
ми, составные, представляемые в виде произведения двух простых, - плоскими, в виде трех
простых - телесными. Кроме того, они выделили совершенные числа, дружественные числа
и тд. (см. [8] и [10]).
Пифагорейцам также приписывается нахождение всех прямоугольных треугольников с
целыми сторонами, т.е. решение в натуральных числах уравнения
x2+y2 = z2.
Найденные общие формулы имеют вид:
либо х = , у=п, z= , где п - нечетное,
либо Xs и2— v2, y = 2wv, z2 = m2 + v2, H>V,
где и, v - произвольные натуральные числа. Такие треугольники или тройки чисел называют*
ся пифагоровыми, или пифагорейскими.
Пифагорейские числа излагаются в IX книге «Начал» Евклида в предложениях 21-34 и 36.
Более подробно о результатах школы Пифагора (в том числе о геометрических результа-
тах) можно прочесть в [8-11]. О геометрических результатах пифагорейцев мы кратко рас-
скажем в 18 -23 в связи с иррациональными числами.
Системы счисления
Десятичная и другие систем ы счисления; математика в различных цивилизациях,
происхождение цифр (11). Двоичная система счисления; арифметические опера-
ции в двоичной сйстеме, примеры (12). Перевод чисел из десятичной системы в
двоичную, примеры (13). Применения двоичной системы (14). Эффективность
систем счисления: экономичность, простота реализации арифметических
операций (15). Десятичные и двоичные дроби (16). Другие системы счисления (17)
11.0 системах счисления в различных цивилизациях. В основе обще-
употребительной записи чисел и числовых арифметических операций
лежит всем известная десятичная система счисления.
§ 1. Числа. Развитие понятия числа
37
В ней 10 цифр от 0 до 9, и запись л-разрядного натурального числа а в
виде crsanan_I...a1ao, 0йа*^9, 0<,к£п, означает, что a=a„-Vf+an.r10n~i+
...+ai-lO+ao. Часто, чтобы подчеркнуть, что в записи a=a„ar^l...aia0 стоит
последовательность знаков, а не произведение чисел (если по тексту мо-
гут быть какие-то сомнения), над цифрами ставят черту, т.е. употребля-
ют запись а = аяля_1...а1а0.
На языке математики 10 является основанием этой системы счисления
(т.е. записи чисел и счета). В принципе можно было бы взять за основа-
ние системы счисления любое натуральное число р>1, тогда запись а-
= (ana„-t...aiao)r, O^at^p, О^к^п, означала бы, что мы ввели однсим-
вольные обозначения всех цифр до р и a=a„-pn+an.i-pn~1+...+avp+ao. В
самом деле в древности существовали и другие системы счисления: шес-
теричные, двенадцатеричные, двадцатеричные и даже шествдесятерич-
ные и десятичная система совсем не всегда была доминирующей.
Все исследователи единодушны: популярность десятичной системы
связана с тем, что пальцы рук - наиболее простой аппарат счета, данный
самой природой, а таких пальцев у нас, как известно, десять. Сосчитав до
десяти, мы полностью используем возможности нашего природного
счетного аппарата, поэтому естественно принять число 10 за новую, бо-
лее крупную единицу (единицу следующего разряда). Символы, обозна-
чающие числа до 10 (т.е. цдфры), которыми мы все пользуемся, изобре-
тены в Индии. В Европу они попали из арабского Халифата, и поэтому
долгое время назывались арабскими.
Есть и другие, менее удачные способы записи цифр и чисел (римский,
греческий, славянский и тд.). Подробно об истории изобретения и раз-
вития чисел и техники счета можно прочитать в [8, гл.2].
В том, что изобретением современных цифр мы обязаны Индии, нет ничего удивительного:
в древние времена в Китае, Индии, Египте, Вавилоне и, конечно, в Элладе математика счи-
талась важным элементом культуры. Так, в Китае каждый чиновник обязан был сдавать
«экзамен на чин», в состав важнейших элементов которого входили экзамен по литературе и
каллиграфии, экзамен по философии и этике и экзамен по арифметике. Передвижению на
более высокий чин сопутствовал более сложный экзамен. Китайская империя была большим
государством, ее управление являлось непростой задачей. Правящая элита Китая понимала
значение высокопрофессионального чиновнического аппарата для процветания Поднебес-
ной (как китайцы именовали свою страну) и активно занималась его подготовкой.
В разделе «Индийские цифры» второй главы ван дер Варден [8] рассказывает о том, как
юный царевич Гаутама просит у князя Даццарани руки его дочери Гопы (конечно, это про-
изошло задолго до того, как Гаутама задумался о проблемах жизни и смерти, вступил на бла-
городцый путь Просветления и впоследствии достиг нирваны и стал Буддой). Непременное
условие согласия князя заключалось в том, что Гаутама должен был победить пять других
женихов в состязаниях в искусстве письма, борьбы, стрельбы из лука, бега, плавания и сче-
та. Как видите, счет входил в число обязательных компонентов.
38
Глава I. Числа и фигуры
Более противоречивую картину можно наблюдать в арабском Халифате. Так, второй (пос-
ле смерти Мухаммада) халиф Омар (634- 44), покорив Египет в 640 г. (или 642), приказал
уничтожить остатки знаменитой библиотеки Александрии (уже дважды горевшей при римля-
нах), провозгласив: «Либо в этих книгах написано то, что есть в Коране, и тогда нам незачем
их читать, либо они утверждают то, что противоречит Корану, - и тогда их не подобает чи-
тать». Это при том, что он, как любой правоверный (и тем более халиф - «заместитель»,
«представитель» пророка), обязан был знать слова Мухаммада «Ищи знания хотя бы и в
Китае» и следовать им. Полгода очаги и бани Александрии отапливались пергаментными
свитками. В огне погибли замечательные рукописи античных писателей, ученых, философов.
Однако это кощунственное деяние не прошло мимо внимания «высших сфер». После унич-
тожения Александрийской библиотеки Омар не прожил и четырех лет - в 644 г. он был убит
из мести рабом-персом. При всем при том халиф Омар ибн Хоттаб, надо отдать должное, был
энергичным военачальником и талантливым администратором; так, известный историк Густав
фон Грюнебаум, специалист по истории Халифата, называет халифа Омара «величайшим
представителем того времени» (Грюнебаум Г.Э. Классический ислам. М., 1986. С.52). Его
преемник, халиф Осман (644-56) был убит в 656 г. в дворцовых покоях во время чтения
Корана, и страна погрузилась в пятилетнюю гражданскую войну. В 661 г. был убит халиф
Али, двоюродный брат и зять Пророка Мухаммада. В исламе произошел раскол и образова-
лись три течения: сунниты, шииты и хариджиты.
По справедливости надо сказать, что не все исследователи признают достоверность факта
сожжения Александрийской библиотеки по приказу Омара. Так, Грюнебаум пишет: «...Ле-
генда, согласно которой Александрийская библиотека была сожжена по приказу халифа
(Омара], впервые появилась в 13 веке, ее происхождение не ясно...» Может быть. Однако
почти невозможно поверить, что и слова, приписываемые Омару, фальсифицированы - столь
яркая мысль всегда имеет одного отца, и им мог быть только человек выдающийся. >
В 762 г. ал-Мансур (754-75) (по-арабски читается «эль» мягкая), второй халиф династии
Аббасндов (750-1258), недалеко от Ктесифона, бывшей столицы персидских Сасанцдов,
основал город Багдад, ставший новой столицей Халифата. В Багдад со всего Ближнего и
Среднего Востока были приглашены ученые, поэты, философы, врачи. Были сделаны много-
численные переводы сочинений античных писателей и ученых на арабский. При пятом хали-
фе династии, Харун ар-Рашиде (786-809), прославленном сказками «1001 ночи» и европей-
скими легендами, был основан «Дом мудрости» («Байт ал-хикма»), научный центр, в котором
работали ученые и переводчики. Седьмой халиф, ал-Мамун (813-33), второй сын Харуна,
основал в Багдаде обсерваторию и Академию. Впоследствии Академия объединила обсерва-
торию, библиотеку, научный центр и коллегию переводчиков. Это были полтора века расцве-
та наук и искусств, в результате чего арабская цивилизация оказала сильное влияние на
развитие христианской Европы (кстати, арабское «ал-джебр», откуда и происходит слово
алгебра, algebra, означает перенесение отрицательного слагаемого в другую часть уравнения
с противоположным знаком). Увы, кХ в. политическая власть Аббасцдских халифов ослабла,
а в 1258 г. Багдад был захвачен монголами (хан Хулагу) и разрушен, последний халиф Мус-
тасим, имевший тогда только религиозную власть, казнен.
Но вернемся к системам счисления. Если в двузначном числе первая
(слева) цифра (первый знак) показывает число десятков, а вторая - чис-
ло единиц, то двузначное десятичное число позволяет записать все числа
от 0 до 99 включительно. Число 100 является единицей следующего раз-
ряда (числа сотен) и тд. Все это хорошо известно.
Теперь несколько слов о других системах счисления.
Происхождение шестеричной системы счисления связано, вероятно, с
интервалом в 6 суток между недельными фазами луны.
$ 1. Числа. Развитие понятая числа
30
Двддцатеричная система счисления связывается с количеством пальцев
на руках и ногах. Хотя эта система счисления была принята у ацтеков и
майя, и деление на 20 более мелких денежных единиц мы видим в анг-
лийской и французской денежных системах, она не получила большого
развития (может быть, потому что при помощи пальцев ног считать было
менее удобно). Между прочим, в «Утопии* Томаса Мора все улицы на
одноименном острове имеют ширину ровно 20 футов.
Двенддцатеричная система обычно связывается с числом фаланг на
четырех пальцах руки (исключая большой) по три на каждом пальце -
всего дюжина; двенадцатеричное и двадцатеричное деления можно на-
блюдать: в системе мер длины 1 фут = 12 дюймов, в английской денеж-
ной системе (до 1971 г.): 1 шиллинг — 12 пенсов, 1 фунт стерлингов =
= 20 шиллингов; в средневековой французской денежной системе 1 су =
= 12 денье, 1 франк = 20 су, 1 экю (ёси Ыапс) = 60 су, все по серебряным
монетам (а существовали еще и золотые франки, экю, луидоры... - во
Франции был биметаллический денежный стандарт).
Шестидесятеричная система счисления применяется в астрономичес-
ких измерениях и измерениях времени, ее происхождение не совсем яс-
но. Подробно об этой системе можно прочесть в (8, гл.2 и с.437-439].
12. Двоичная система счисления.
Сложение и умножение двоичных чисел. Очевидно, двойка - наи-
меньшее число, которое можно взять за основание системы счисления.
Система счисления с основанием 2 называется двоичной или диадиче-
ской. Двоичная система представляет особый интерес, поскольку лежит
в основе вычислительных схем и записи информации в компьютерной
технике.
В двоичной системе присутствуют только две цифры: 0 и 1, число 2 -
это уже единица второго разряда. Правила сложения и умножения в
двоичной системе чрезвычайно просты. В основе их лежат равенства,
определяющие правила действия над цифрами:
0+0 = 0, 0+1=1+0=1, 1+1= (ЮЬ,
0 0-0, 01=10=0, 11=1,
или в форме таблиц:
+ 0 1 1 X v 0 11
0 0 1 0 0 0
1 1 (Ю>2 1 0 1
где на пересечении строки и столбца стоит результат действия.
Правила сложения «больших» двоичных чисел просты «до изумления»,
40
Глава I. Числа и фигуры
выражаясь любимой лексической конструкцией императора Петра Ве-
ликого. Если в рассмотренном разряде стоят две единицы, то в сумме в
этом разряде пишем 0 и прибавляем 1 к следующему разряду (0 пишем, 1
«в уме»), а остальные случаи совсем элементарны.
Пример 1. Сложение двоичных чисел.
111111
(lllllOlOOOh
+
(11011010)2
(10011000010)2
В верхней строке стоят единицы, перенесенные в следующий разряд
для прибавления к цифрам этого разряда. Таким образом, алгоритм
(правило) последовательных действий при сложении двоичных чисел
аналогичен привычному нам при сложении десятичных чисел, только
еще проще.
Д ля понимания алгоритма умножения нужно заметить, что умножению
на 2к соответствует сдвиг числа на к разрядов влево, поэтому при умно-
жении двоичных чисел сдвиги по тем местам, где стоят 1, складываются.
Пример 2. Умножение двоичных чисел.
(1001)2 (1101)2
(ЮЮЪ (11Ю)2
1001 1101
+1001 + 1101
• 1101
(1011010)2 (10110110)2
Вычитание и деление. Вычитание двоичных чисел можно производ ить
«столбиком» так же, как известное всем вычитание десятичных чисел,
основываясь на элементарных равенствах:
(Ю)2 (101)2 (HOlh
1 1 (HOh
1 (11)2 (111)2
Рассмотрим более сложный пример с заимствованием из высших раз-
рядов при вычитании из нуля единицы.
81. Числа. Развитие понятия числа
41
Пример 3. Вычитание двоичных чисел.
(1100101)2 (1111101000)2
(11011)2 (11011010)2
(1001010)2 (1100001110)2
Деление «углом», всем известное в десятичной системе счисления,
таким же образом применяется и при делении с остатком в двоичной
системе.
Пример 4. Деление двоичных чисел. (1010)2
(1100100)2 -(IQOlh (1001)2 (1011010)2 -(1010)2
(ЮИЪ (lOOlh
111. 10.
1110 101.
1001 1010
1010 0
1001 1
13. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную. Пусть за-
дано произвольное число а. Тогда его записи в двоичной системе а =
- (aHaH-i...a0)2, а*“ 0,1, соответствует представление a=an-2"+aw.i-2"'*+
...+ at • 2 + oq. Поэтому а 2 [a,*2"-’+...+oi] + До, т.е. а0 -это остаток при
делении а на 2, число $ = +...+ ^-частное при делении а на 2; q\ =
= 2 [aR-2"“2+...+a2]+ai, т.е. ai -остаток при делении q\ на 2. Продолжение
этого процесса даст все двоичные цифры числа а. Не будем формулиро-
вать алгоритм перевода в двоичную запись словами-он ясен, лучше про-
следим его на примере.
Пример 5. Перевод в двоичную систему.
100 = (HOOlOOb.
42
Глава I. Числа и фигуры
Пример 6. Перевод в двоичную систему.
В схеме деления «углом» жирным шрифтом выделены последователь-
ные остатки (справа налево), т.е. цифры двоичного представления числа,
а числа, стоящие справа от них, - последовательные частные.
Обратный перевод двоичных чисел в десятичные очевиден.
Пример 7.Перевод в десятичную систему.
1. (11011010h = 1-27+1-2б+0-2$+1-24+1-23+0-22+1-2+0.
Заметим, что удобнее складывать справа налево:
(1101ЮЮЬ = 0+2+0-4+8+16+0+64+128 = 218.
2. (ЮОИООООЮЪ = 0+1-2+2б+27+210 = 2+64+128+1024 = 1218.
Таким образом, в примере 1 складывались числа 1000 и 218, в ре-
зультате, как и положено, получилось 1218.
Пример 8.Перевод в десятичную систему.
(lOOlh = 1+23 = 9, (1010)2 = 2+23 = 10,
(1011010)2 = 2+23+24+2б = 2+8+16+64 = 90.
Таким образом, первой парой сомножителей в примере 2 были числа
9 и 10, а результатом - число 90.
(HOlh = 1+22+23 = 13, (1110)2 = 2+22+23 = 2+4+8 = 14,
(10110110)2 = 2+22+24+25+27 = 2+4+16+32+128 = 182.
Таким образом, второй парой сомножителей в примере 2 были числа
13 и 14, а результатом - число 182. Все, как и положено.
Пример 9. Перевод в десятичную систему.
(1011)2= 1+2+23 = 11.
Поэтому в примере 4 первой парой чисел были 100 (делимое, пример
6) и 9 (делитель, пример 8). В результате получилось: 11 (частное) и
§ 1. Числа. Развитие понятия числа
43
1 в остатке. Второй парой были 90 (делимое, пример 8) и 10 (делитель,
пример 8). В результате получилось: 9 (частное) и нулевой остаток.
Особенно усердствовать, разбирая более сложные примеры арифмети-
ческих операций над двоичными числами, не стоит - этим занимаются
компьютеры и калькуляторы. Но нужно понимать основные принципы
работы в двоичной системе счисления, основной системе счисления ком-
пьютеров, и обладать элементарными навыками.
14. Д воичный код в телеграфии. Одно из сравнительно старых технических применений
д воичной системы - это телеграфный код. В то время, когда телеграф был наиболее опера-
тивным средством коммуникации, это применение было достаточно важным. С появлением
современных средств коммуникации телеграф потерял прежнее значение, н мы рассматрива-
ем этот хороший пример в силу его простоты, наглядности и аналогичности принципам рабо-
ты элементов компьютера. Изложим этот вопрос по популярной брошюре [ 12] (там же мож-
но познакомиться с механизмами шифрования с помощью д воичных кодов).
Выпишем русские буквы (без ё и й, но включая пробел «_» между словами) по алфвиту,
присвоив всем им порядковые номера:
_ А Б В Г Д Е Ж 3 И КЛМНОП Р
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16
СТУФХЦЧШЩЫЬЪЭ Ю Я
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Запишем номер каждой из букв в двоичной системе. Поскольку 26 * 32, то любой из этих
номеров представляется в двоичной записи не более чем Пятью знаками - мы же будем запи-
сывать с помощью ровно пяти знаков, добавляя в соответствующих случаях нули вперед и
первой значащей цифры. Получим
- 00000
А - 00001
Б - 00010
Я - 11111
Предположим далее, что у иас имеется пять проводов, соединяющих какие-то два пункта.
Тогда каждое из пятизначных чисел, обозначающих буквы алфавита, можно передать по
такой линии определенной комбинацией электрических импульсов: скажем, пусть нулю отве-
чает отсутствие, а единице - наличие импульса в соответствующем проводе. На месте прие-
ма эта комбинация импульсов может привести в действие печатающее устройство телеграф-
ного аппарата, в результате чего на ленте отпечатается буква, соответствующая данной ком-
бинации импульсов (т.е. данному д воичному числу).
Телеграфный аппарат представляет собой, в принципе, комбинацию двух устройств - пере-
дающей части, которая служит для перевода буквы в систему импульсов, посылаемых по
линии связи, и приемного устройства, которое по заданной комбинации импульсов печатает
на телеграфной ленте (или бланке) соответствующую букву. В реальности вместо пяти про-
водов используют только од ин, передавая сигналы последовательно.
Применение в телеграфии именно двоичной системы кодирования связано с удобством
превращения д воичного числа в систему электрических сигналов. 15
15. Эффективность системы счисления. Применение двоичной сис-
темы в вычислительной технике. Под экономичностью системы счис-
ления понимается тот запас чисел, который можно записать в данной
44
Глава I. Числа и фигуры
системе с помощью имеющегося в этой системе набора цифр (знаков) -
чем больше чисел можно записать, тем экономичнее система. Сравним
экономичность десятичной и двоичной систем на следующем простом
примере. Для того чтобы в десятичной системе записать.1000 чисел (от 0
до 999), необходимо 30 знаков - по 10 знаков (цифр) для каждого разря-
да. А в двоичной системе с помощью 30 знаков можно записать 215 раз-
личных чисел (так как д ля каждого д воичного разряда нужны только две
цифры 0 и 1, то с помощью 30 цифр можно записать числа, содержащие
до 15 двоичных разрядов), т.е. числа до 215—32764. Таким образом, имея
15 двоичных разрядов, можно записать значительно больше чисел, чем с
помощью трех десятичных разрядов - так что двоичная система эконо-
мичнее десятичной.
Пример 10. Можно ли с помощью 10 вопросов узнать, какое целое
число от 0 до 1000 загадал ваш оппонент, если на каждый вопрос он от-
вечает только ада» или «нет»?
Ответ. Можно, если задавать вопросы следующим образом.
Вопрос 1. Разделите задуманное число на -2. Делится ли оно без остат-
ка? Если ответ ада», то запишем для себя цифру 0, если «нет», то запи-
шем 1 (иными словами, мы запишем остаток от деления задуманного
числа на 2).
Вопрос 2. Разделите на 2 то частное, которое получилось при предыду-
щем делении. Делится ли оно без остатка? Если ответ ада», то снова за-
пишем для себя цифру 0, если «нет», то запишем 1.
Каждым следующим вопросом будем повторять второй вопрос.
Повторив его еще не более 8 раз, мы получим в результате представ-
ление нашего числа в двоичной системе, поскольку в точности повторим
процедуру примера 6. Нетрудно понять, что ровно десять вопросов нам
понадобятся для определения чисел, больших 29“512. Все числа от.О до
210=Ю24 записываются в двоичной системе с помощью не более 10 зна-
ков (а не 30, как в десятичной).
Поскольку, очевидно, вычисления хотелось бы вести в наиболее эко-
номичной системе счисления, возникает вопрос, чему должно быть равно
основание такой системы.
Таким основанием будет число, дающее максимум функции н(х)=хп*
[12, §14]. Нетрудно найти это число (оно единственно): максимума функ-
ция и(х) достигает при х=е, где е- основание натуральных логарифмов,
е-2.718281828459045235360287471352...
Наиболее близким к нему целым числом будет 3, т.е. троичная система
оказывается самой экономичной.
§ 1. Числа. Развитие понятия-числа
45
Основание 2 немного хуже, однако оно обладает радом других
преимуществ.
Простота реализации арифметических операций. Основной опе-
рацией при арифметических действиях над целыми числами является
операция сложения, поскольку умножение сводится к многократному
сложению, вычитание-к прибавлению отрицательных чисел, а деление -
к повторному вычитанию (подобно действиям при делении «углом»). В
свою очередь сложение многоразрядных чисел сводится к поразрядному
сложению.
Алгоритм поразрядного сложения очень прост (12, с.36] и реализуется
устройством, называемым одноразрядным сумматором. Еще одна осо-
бенность: наличие только двух цифр (знаков) позволяет реализовать их
двумя устойчивыми состояниями базовых элементов электронных схем,
что очень удобно и технологично.
Это основные принципиальные причины, объясняющие, почему имен-
но двоичная система счисления лежит в основе вычислительных конст-
рукций компьютерной техники.
16. Десятичные и двоичные дроби. Число
х — атат^\...а\Оо. b\b2...bn
(точка отделяет целую часть от дробной) является в десятичной системе,
как известно, записью числах=ая,-10т+аж_1-10м"’+...+01-10+ао+^г10"1 +
+ 62-10"2 +...+ Такие числа, т.е. числа вида к-10"", к - целое, на-
зываются десятично-рациональными.
Соответственно в двоичной системе произвольное число
х = dmdin.i...did0. в1в2...ея= 4и*2 ^m-i'2 +...+ </р2 + do+
+ вг2-1 + е2-2"2 +...+ ея-2~"
(где все db е} - 0,1) называется двоично-рациональным.
Все такие дроби называются конечными и, естественно, являются ра-
циональными числами как конечные суммы рациональных чисел. Оче-
видно, все конечные десятичные дроби являются десятично-рациональ-
ными числами, так как
ОтОт-1...а\Оо . Ьф2...Ь„ ~ (0m0m-l—010obt Ь2...Ь„) -10"",
то же д ля двоично-рациональных чисел.
Как известно из курса математики средней школы, не все рациональ-
ные числа представляются в ваде конечных дробей. Другая возможность-
это периодические дроби, о них речь будет ид ти чуть позже.
'17. Другие системы счисления. Об использовании других систем счисления в процессе
развития математики и цивилизации в целом уже шла речь в 11. В 15 мы упомянули заме-
46
Глава I. Числа и фигуры
нательное свойство троичной системы счисления - ее максимальную эффективность. В
принципе, все закономерности, о которых мы говорили при определении арифметических
операций в двоичной системе, переносятся на случай системы счисления с другим основани-
ем. Таким же образом осуществляется перевод из десятичной системы в произвольную сис-
тему счисления с основанием р: последовательно делим углом на р и выписываем остатки.
Подробнее (на элементарном уровне) с этим можно познакомиться, например, в [ 12] или
более серьезно по книге: Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. М., 1974. Т.2
(гл.4. Арифметика).
Иррациональные числа
Существование несоизмеримых отрезков (диагональ единичного квадрата) (18).
Алгоритм Евклида в алгебре и геометрии; основная теорема арифметики (#19).
Геометрические и алгебраические задачи, приводящие к иррациональным числам,
золотое сечение (20*). Степенная функция и сложные проценты, валютный
арбитраж (21). Кризис числовой системы в древнегреческой математике и пути
его преодоления, геометрическая алгебра; проблемы развития математики в
средневековой Европе (22). Иррациональное число по Вейерштрассу, десятичные
дроби; проблемы, сопутствующие определению иррационального числа; способ
вычисления квадратного корня (23)
18. Несоизмеримые отрезки. В 9 был поставлен вопрос: заполняют
ли рациональные точки всю числовую ось? Если это так, то в силу того,
что все рациональные числа соизмеримы, все отрезки будут соизмери-
мыми (9).
В первом примере несоизмеримых отрезков, который приписывают
поздним пифагорейцам, рассматривалась сторона квадрата и его диаго-
наль. В «Первой аналитике» Аристотель писал, что предположение со-
измеримости стороны квадрата и его диагонали приводит к равенству не-
четного числа четному. Таким образом, доказательство проводилось ме-
тодом «от противного» (он еще называется методом приведения к проти-
воречию - reductio ad absurdum). Доказательство несложно и содержит-
ся в конце X книги «Начал» Евклвда. Рассмотрим квадрат с единичной
стороной. В силу теоремы Пифагора его диагональ равна л/1+1 - ^2 .
Предположим, что сторона и диагональ соизмеримы, т.е. их д лины равны
ns и ms соответственно, где з - их общая мера, т, п- натуральные чис-
ла. Тогда л/2 = —; можем предположить, что дробь — несократима, в
л п
противном случае произведем необходимые сокращения общих множи-
телей. Поскольку 2=^}-, то т2=2п2, т.е. т четно (квадрат нечетного
п
числа нечетен), а поэтому представимо в ваде m=2Jt, к-натуральное чис-
ло. Отсюда 4й2ж2л2, т.е. л2”!^2, и п также четно. Это противоречит несо-
кратимости дроби —. Таким образом, -71 не может быть представлен в
Л
§ 1. Числа. Развитие понятия числа
47
виде -72 = —, т.е. не является рациональным числом.
Л
г— Д др
Число д/2 получается также из пропорции ~=у » которая определяла, согласно пифаго-
ровой числовой символике, аристократию. Символизировавшее аристократию число было
средним геометрическим первых д вух чисел 1 и 2 - символов божественного творения и тво-
рения земного (женского начала).
Это замечательное открытие (несоизмеримости) поразило древнегре-
ческих ученых, без преувеличения можно сказать, как удар грома. Об
этом пишут и Платон («Законы»), и Аристотель («Метафизика»).
#19. Алгоритм Евклида и геометрическое доказательство иррацио-
нальности -71. Основная теорема арифметики. Если а, b - два произ-
вольных натуральных числа, причем 1<Ь<а, то а можно разделить на b с
остатком, т.е. представить в виде a=bq+r, где 0<г<Ь (конечно, это нужно
доказывать, мы же ограничимся тем замечанием, что это представление
можно получить путем известного всем деления натуральных чисел
«углом»). Если г*0, то процесс можно продолжить:
e=ft^i+rb 0<Tf<b,
b = rxq2+r2, 0<r2<ri,
Г1 = Г2?э+гз, 0<Гз<г2,
г».1=г»ф*1+0
(поскольку между b и 0 лишь конечное число (b-Л) натуральных чисел,
то процесс уменьшения остатков Ь>гх>г^>...>0 оборвется на конечном
шаге и даст нулевой остаток). Эта процедура называется алгоритмом
Евклида (его можно найти в книгах VII и IX «Начал»).
Он важен тем, что достаточно просто позволяет найти наибольший об-
щий делитель (НОД) чисел а и Ь, обозначаемый <а,Ь>, т.е. наибольшее
из всех чисел, которые одновременно делят (без остатка) и а, и Ь. Этот
факт следует из равенств
<а, Ь> = <Ь, гх>- <п, г2> =...= <r_i, г„> = <г„ 0>=г„
(здесь через <х,у> обозначен НОД чисел х и у), доказывать которые мы
не будем, хотя сделать это и несложно [9, с.78-79].
Применим алгоритм Евклида для нахождения НОД чисел 1 и -72. В
геометрической интерпретации (рис. 5) это выглядит так: откладываем
на гипотенузе СА катет АВ и из полученной точки провод им перпен-
дикуляр fliQi. Нетрудно доказать, что BQx^RiQ^CRi. Получаем
48
Глава 1. Числа и фигуры
СА « АВ + СЯ1
СВ = 2СЯ1 + СЯ2
(здесь точка Л2 получена откладыванием катета на гипотенузе CQ\ равно-
бедренного треугольника CR\Q\). Дальнейший процесс нахождения НОД
сводится к последовательному откладыванию катета на уменьшающихся
равнобедренных прямоугольных треугольниках, порождая последова-
тельность равенств a?i=2CR2+CJ?3, CR2=1CR3+CRA,... Этот процесс бу-
дет продолжаться до бесконечности и свидетельствовать об отсутствии
общей меры СА и ВА, т.е. чисел л/2 и 1. Конечно, все это нужно акку-
ратно доказывать, но оставим это привилегией математиков (что, думаю,
не особенно огорчит читателя-гуманитария).
В заключение покажем, как использование алгоритма Евклида позво-
ляет доказать основную теорему арифметики (о разложении на простые
множители). Цепь последовательных утверждений выглядит так.
1. Доказывается,что г*=а*а+р*д,£=1,...,л,аьР*-целые.
2. Доказывается, что если произведение ab делится на простое р, то
либо а, либо Ь делятся на р (используется то, что 1=аа + $р, поскольку
<а,р>= 1).
3. Из п. 2 сразу получаем основную теорему арифметики: разложение
любого числа на простые множители:
*1 к
а = Рг -..•Рпя
и его единственность [9, с.80-83].
20*. Квадратные уравнения и золотое сечение. Алгебраически число
л/2 получается как решение простейшего квадратного уравнения x* = 2.
Уравнения вида
x2+px = q, з^-px+q, )?+q-px
с целыми положительными коэффициентами встречаются не только в
древнегреческих источниках, но и в вавилонских, а простейшие квадрат-
ные уравнения - уже у египтян. Там же идет речь и о системах
х+у= р
ху = q
или
х+у = р
х2 +у2 - q.
§ 1. Числа. Развитие понятия числа
49
Квадратные уравнения - первый алгебраический источник получения
иррациональных чисел. Однако древние математики рассматривали и
простые кубические уравнения. Много разных геометрических способов
получения иррациональных чисел описаны в X книге «Начал» Евклвда.
Еще одно замечательное иррациональное число связано с так назы-
ваемым золотым сечением - делением отрезка на две части (рис. 6), при
котором большая его часть является средним пропорциональным между
всем отрезком и его меньшей частью, т.е. а:х=х:(а-х)илих2=а(а-х)..
______
' X 1 о-х1
Рис. 6
Отсюда х является решением квадратного уравнения х2 + вх-а2 = 0.
Решая его, получаем х = а-^=-^«а-0.618, и а-х = а-0.392. Во II книге
«Начал» Евклад приводит также равносильную пропорцию для нахож-
дения х:
х:а = а:(а+х) или х(а+х)1=а2
и дает геометрическое построение отрезка д лины х.
Золотое сечение связано также с пятиконечной звездой и правильным
десятиугольником (рис. 7). Каждое из пяти ребер звезды делит каждое
другое в крайнем и среднем отношении: если АВ = a,BD =х, то BE .BD =
— ВС:ВА или (а-х):х = х: а. Рассматривая два равнобедренных тре-
угольника на рис.7б, где АВ“х- сторона правильного десятиугольника с
углом АОВ, равным 36°, вписанного в окружность радиуса а, получаем
АО:АВ-АВ:СВ (треугольникиЛОВ и АВСподобны) или а:х=х:(а-х)
(эти задачи Евклвд рассматривает в IV и XIV книгах «Начал»).
С золотым сечением связаны замечательная непрерывная дробь, со-
стоящая из одних единиц, и рад Фибоначчи 1,1,2,3,5,8,13,... (в котором
4-5091
50
Глава I. Числа и фигуры
каждый член, за исключением двух первых: 1,1, равен сумме двух преды-
дущих). Золотое сечение считалось важнейшей архитектурной пропорци-
ей в средневековой Европе. Сам термин «золотое сечение» ввел Лео-
нардо да Винчи.
Геометрически х2 представляет собой площадь квадрата со стороной х,
отсюда и название х-квадрат), х3- объем куба (х-куб). «Геометричес-
кий путь» на этом останавливается, однако древние работали и со степе-
нями выше 3. До этих «степеней» они дошли по дороге экономики, а точ-
нее, финансов(21).
Кроме задач, связанных с вычислением объемов, х3 появляется также
в алгебраических задачах, связанных с разбиением на несколько частей
капитала, фигуры, и т.п. Одну из таких задач рассматривает Архимед в
сочинении «О шаре и цилиндре». Она сводится к исследованию условий
существования положительных корней кубического уравнения х2(а-х) =
=pbc (подробнее [ 10, с. 86, 126]). Более того, кубическое уравнение х2х
х (12х +1) = 7/4 (в современной записи) встречается в вавилонских руко-
писях Для его решения писец умножает обе части уравнения на 122 и
получает (12х)2(12х+1)=252, и далее сразу объявляет, что 12х=б,т.е.х=
2. Столь быстрый ответ объясняется тем, что у вавилонян существовали
таблицы значений л2(п +1) при различных натуральных п. Хорошим При-
мером является также так называемая задача Тартальи: разделить число
8 на две такие части, чтобы произведение их произведения на их раз-
ность было максимальным. Если взять неизвестное разбиение 8 на части
в форме х и 8-х, то их разностью будет 8-2х, а произведением их произ-
ведения (х[8-х]) и разности будет полином (многочлен) третьей степени
р(х)=[х(8-х)](8-2х), и задача Тартальи сводится к нахождению его мак-
симума. Другой вариант переменного и полинома приводит Г.Цейтен
[11, с. 92]. Об этой задаче и о самом Тарталье мы еще будем говорить в
связи с комплексными корнями алгебраических уравнений (35) и нахож-
дением максимумов функций (§4 гл.IV).
21. Степени и сложные проценты. Уже в клинописных вавилонских
таблицах присутствуют задачи на сложные проценты. Так, в одной из них
ставится вопрос, за какое время удвоится сумма денег, ссуженная под
20% годовых с оборотом в 1 год. Решение древних математиков соответ-
ствует схеме сложных процентов с годовым оборотом (пример 11.2): вы-
числяются степени числа 1.2-в нашей (десятичной) системе это выгля-
дит так:у2=1-22=1.44,_уз=1.23=1.728,у|=1.24=2.0736. То есть находят, что
3 <х< 4 для искомого времени х. Далее для уточнения х они применяют
прием, называемый теперь линейной интерполяцией (рис. 8).
§ 1. Числа. Развитие понятия числа
S1
Это означает, что в течение третьего года доход пропорционален вре-
мени, т.е. используется схема простых процентов (пример 11.1). Получа-
ем 4-х= 0.0736/0.3456 = 0.21296 (года) или приблизительно 78 дней, т.е.
2 месяца плюс 16 -17 дней. Два с половиной месяца - существенное
уточнение к примитивному результату х=4. Так что в древнем Вавилоне,
видимо, умели считать деньги.
4-х =-----
Уа~Уз
Итак, степенная функция появляется самым естественным образом.
Теперь подробно разберем необходимый в реальной жизни пример -
процедуру образования сложных процентов.
Пример 11.Простые и сложные проценты.
1. Простые проценты и дисконтирование. Предположим, что на-
чальный капитал, помещенный в некоторое предприятие (депозит в бан-
ке, инвестиции в ценные бумаги или в производство и т.п.) на время
T=Nt (N лет или N кварталов или N месяцев), дает равномерный доход
(пропорциональный времени вложения) с процентной ставкой 100р за
время t. Это означает, что доход di за время t равен рМ0, а доход dN за
время Т определяется формулой dN=(pN)Mo, где Мо- начальный капи-
тал. Тогда финальный (конечный) капитал MT=MN=M0+dN=M0(l +pN).
Таким образом образуются простые проценты. Ставка P=pN называется
ставкой, приведенной ко времени Т. Замена дискретного времени N на
непрерывное х дает формулу Л/(х)=M0+(pN)x, что означает линейный
по времени рост капитала.
Начальный капитал получается уменьшением (дисконтированием) фи-
нального капитала с коэффициентом 1+pN: Мо-МТ1 (1+ pN).
2. Сложные проценты. Пусть период времени/"(например, год) раз-
бит на N более мелких периодов д лины Г, т.е. Т=Nt. Начальный капитал
размером Л/о помещается в надежный банк на период t под 100Р про-
центов, приведенных ко времени Т (например, годовых). Тогда через
время t (на первом обороте капитала) вкладчик получит доход d\=pM0=
р р
поскольку депозитная ставка р за время t равна у. Значит,
4*
52
Глава 1, Числа и фигуры
вкладчик после первого оборота получит сумму A/1=A/o+pA/o=(l+p)A/o.
Если вкладчик опять поместит сумму Л/i в банк на тех же условиях, то
после двух оборотов он получит M2=Mx+d2=:Mx+pM\=(\+p)M\=(X+p)2M(>,
и тд. На л-м шаге он получит сумму М„=М^х+с1„=Мп_х+рМп^\=(\+р)”Мй.
Поскольку Л/о является просто множителем во всех формулах, то можем
считать Мо= 1. Сведем результаты в таблицу.
Номер итерации т d м I /г
1 1 Р 1+р р Np
2 1+р Р(1+Р) (1+р)2 (1+р)2-1 -I 2 1
п (1+рГ* р(1+рГ* (1+рГ (1+РГ-1 л ”
N (1+р)"-* рО+рЛ* (i+pf (1+рЛ1 In
где Л/о=1, Л/я=(1+р)", т„=М„_х, dH=MH-MH-i=pM№-i -доходза л-й оборот,
I„-M„-Мо-доход за п оборотов, 1Т-доход за п оборотов, приведенный к
периоду Т (индексы в шапке таблицы, естественно, опущены).
Замена дискретного времени л на непрерывное х дает формулу Л/(х) =
=Л/0(1+р)х, что означает экспоненциальный по времени рост капитала.
В качестве числового примера заполним эту таблицу при ставке 100Р=
=24 (процента годовых), считая период t равным месяцу (У=12).
По условию Р=0.24, р=Р/12=0.02.
Номер месяца т d м I 1т
1 1 0.02 1.02 0.02 0.24
2 1.02 0.0204 1.0404 0.0404 0.2424
3 1.0404 0.020808 1.061208 0.061208 0.244832
4 1.061208 0.0212241 1.082432 0.082432 0.247296
5 1.082432 0.021648 1.1040808 0.1040808 0.249794
6 1.1040808 0.0220816 1.126162 0.126162 0.252336
7 1.1261624 0.022523 1.148685 0.148685 0.254889
8 1.148685 0.022974 1.171659 0.171659 0.257489
9 1.171659 0.023434 1.195093 0.195093 0.260124
10 1.195093 0.023901 1.218994 0.218994 0.262793
11 1.218994 0.024381 1.243374 0.243374 0.265450
12 1.243374 0.024867 1.268241 0.268241 0.268241
Еще один интересный пример - вкладчику необходимо решить, в какой
валюте ему выгоднее разместить сбережения. Такое сравнение доходно-
сти называется валютным арбитражем.
§ 1. Числа. Развитие понятия числа
53
Пример 12. Элементарный валютный арбитраж. Этот пример-
решение в элементарной постановке важной для любого человека зада-
чи, в какой валюте выгоднее разместить сбережения.
1. Предположим, что вкладчик собирается разместить свой капитал в
надежном (!) банке на срок Т, но должен решить, в какой валюте-в руб-
лях или в какой-то иностранной валюте. Считая известным относитель-
ное изменение Ьт валютного курса (по отношению к рублю) за время Т,
требуется найти равновесную (т.е. дающую тот же доход) валютную
ставку V, соответствующую рублевой ставке Р.
Решение. Пусть вкладчик размещает сумму в Ло рублей при валютном
курсе надень размещения со. Тогда равная сумма в валюте S^Rt/co.
Через интервал времени Тимеем:
С=(1+6т)Со,
Я-(1+Р)Яо,
S-R/c,
(1+И>Зо-
финальная сумма при размещении в рублях
эквивалентная сумма в валюте
финальная сумма при размещении в валюте
Следовательно, уравнение равновесия имеет вад
(1+г)$0 =—=
откуда
(1+Р) = (1+И(1+М или
Р=йг+Г(1+М-
Л=Л0(1+р)"
5=Л/с,
S>(l+vf.
2. Считая, что депозит за время Т совершит N оборотов (в любой ва-
люте), найти равновесную валютную ставку v за период t, соответст-
вующую рублевой р (за этот же период).
Решение. При N оборотах имеем:
финальный капитал при размещении в рублях
эквивалентная сумма в валюте
финальный капитал при размещении в валюте
Посему уравнение равновесия имеет ввд
(1+р)*= (l+ftrXl+v)* или 1+р = (l+v)4jl+bT .
Итак, используя полученные результаты, вкладчик может сделать свой
выбор, сравнивая процентные ставки, предложенные банком.
Замечание 1. Если период Т - это год, то приведенные ко времени Г став*
ки P~Np и И=Мг (а процентные ставки обычно указываются в годовых), поэто-
му для Р и V уравнение равновесия в этой финансовой схеме имеет ввд
54
Глава I. Числа и фигуры
Замечание 2. В реальности, конечно, невозможно указать точный курс
через длительный промежуток времени, например Т-1 год, т.е. точное значение
Ьт- Поэтому на практике нужно стремиться к хорошей оценке границ изменения
(т.е. стремиться уметь определять как можно более узкий интервал, внутри ко-
торого будет находиться истинное значение Ьт). Это непростая задача. Решение
ее определяется многими факторами, среди которых отметим макроэкономиче-
ские базисные ориентиры, объявленные правительством, динамику платежного
баланса страны (торгового - баланса товаров и услуг, финансового, полиинве-
стиционного), динамику уровня инфляции. Кроме экономических существуют и
внеэкономические (например, политические или случайные) факторы.
Факторы, определяющие динамику валютного курса, называются кур-
сообразующими. Хорошее решение задачи оценки валютного курса (по
отношению к выбранной валюте) для больших сумм (когда важны доли
процента) - это задача д ля профессионалов высокого класса.
В наиболее простом случае, котда государство декларирует обязатель-
ство поддерживать линейный рост курса, с постоянным коэффициентом
и узким корвдором колебаний реального ежедневного курса относитель-
но этой «стратегической зависимости» (с, = с0 (1+ bt)), решение задачи
валютного арбитража сильно упрощается.
22. Кризис числовой системы. Геометрическая алгебра. Открытие
несоизмеримых отрезков стало причиной серьезнейшего кризиса в
древнегреческой арифметике. Во-первых, рушилась принципиальная
концепция «все вещи суть числа». Во-вторых, существование длин от-
резков, не выразимых в числах, означало ограниченность применения
числовой системы, построенной трудами нескольких поколений матема-
тиков Эллады. Извлечение корней различных степеней давало множест-
во таких отрезков, поэтому проблема была очень серьезной. Кроме того,
с философской точки зрения существование несоизмеримых отрезков
означало крушение концепции соразмерности начал в природе.
Существует малоправдоподобная, но яркая легенда, согласно которой
сообщивший пифагорейцам во время морского плавания об этом откры-
тии Гиппазий (Гиппас) из Метапонта был выброшен ими за борт как
преступник, собиравшийся разрушить основы учения о мироздании. По
другой легенде, Гиппазия покарало Небо за раскрытие ужасной тайны и
он утонул во время шторма.
Философы-софисты, т.е. ученые спекулятивного толка, решали про-
блему «фигурой умолчания», иными словами, уходом от ответа-эти про-
блемы либо умело замалчивались, либо объявлялись предметом, не от-
носящимся к арифметике чисел. Таким образом, арифметика (алгебра) и
геометрия разводились в разные стороны. Поскольку обоснования мате-
§ 1. Числа. Развитие понятия числа
55
матикидаже после эпохального труда Евклвда содержали много «туман-
ных» мест, это можно было сделать.
Подобное «решение» проблемы для настоящих ученых (не только гре-
ческих) исключалось. Существовало несколько путей выхода из создав-
шегося положения. Первый путь (по которому пошли, например, в Ин-
дии) - заменять иррациональности их рациональными приближениями,
т.е. отказаться от строгого построения иррационального числа в прин-
ципе и оперировать только рациональными числами. Для древнегрече-
ских математиков, столь ценивших строгость обоснования и построения
математики, такой путь был неприемлем. К тому же этот подход был
слишком рискованным, поскольку содержал принципиальный изъян: для
нахождения приближения с нужной точностью необходимо знать алго-
ритм (правило), определявший это число. Причем, этот алгоритм (про-
цесс) должен сходиться, говоря современным языком, т.е., образно го-
воря, необходимо, чтобы в результате что-то получилось и мы не «про-
валились в пустоту» и это что-то было единственным. Так что для того
чтобы не заблудиться, без обращения к основаниям и решения принци-
пиальных вопросов все равно не обойтись.
Второй путь, по которому и пошли эллины, заключался в попытке
построения математики на основе геометрии, а не на числовой основе.
Такой подход можно признать вполне естественным: объекты геометрии
наглядны и интуитивно ясны (не то что абстрактные символы алгебры),
конструкции вывода утверждений стали после трудов Евклвда логически
строгими и стройными, так что доказательная база геометрии для того
времени может считаться безупречной.
«Кризис иррациональности» может быть при помощи этого подхода
разрешен следующим образом: поскольку л/2 не является числом в
смысле древнегреческих математиков, то уравнение х2=2 неразрешимо
в числах, зато оно разрешимо в области отрезков (как диагональ единич-
ного квадрата) и для его разрешения нужно из области чисел (ариф-
метики, алгебры) перейти в область геометрии. Не только это простей-
шее уравнение, но и многие другие решались математиками Эллады
геометрическими методами.
Если числам сопоставить точки прямой (9), то с помощью отрезков их
можно складывать и вычитать из большего меньшее, с помощью прямо-
угольников - умножать и тд. (вспомните линейные, плоские и телесные
числа пифагорейцев). Все это не плохо. Однако. Ясно, что дальше кубов
на этом пути продвинуться невозможно. Отрицательные числа появиться
не могут (вот почему отрицательные числа именовались «фиктивными»,
в этом корень многолетней, традиционной подозрительности по отноше-
56
Глава I. Числа и фигуры
нию к отрицательным числам, о которой шла речь в 3-5). Кроме того,
алгебраические действия с разными степенями в этой интерпретации
были громоздки и в высшей степени неудобны, а развитие алгебраиче-
ской символики останавливалось.
Но в принципиальном отношении древнегреческие математики были
совершенно правы: в геометрии был найден реальный объект, соответ-
ствующий квадратному корню, следовательно, с ним было позволитель-
но работать. А что, если такого числа нет вовсе? Тогда все алгебраиче-
ские манипуляции с корнями будут незаконными.
Не обсуждая достижения на этом пути, подробно укажем только, как
обосновывалась справедливость алгебраических тождеств с помощью
геометрии на примере рис. 9.
С помощью фигур на рис. 9 нетрудно доказать тождества:
(a+d)2ea2+2aft+62, (а-6)2=а2-2ад+62, (а-&)(а+6)ва2-&2.
Решение алгебраических задач с помощью геометрии в наше время
принято называть геометрической алгеброй.
Несмотря на естественность этого пути разрешения кризиса, логичес-
кую строгость и некоторые тактические успехи, в принципиальном отно-
шении он оказался стратегической ошибкой. Но ошибкой неизбежной.
Третий путь - расширение понятия числа так, чтобы эти новые числа
включали в себя и все иррациональности, был в то время нереализуем.
Кроме объективной трудности решения этой задачи существовали и
субъективные трудности.
Сначала укажем основную субъективную трудность. Согласно обще-
принятому взгляду, о котором уже говорилось, единица (1) была для
древнегреческих математиков неделимым целым, поэтому они и дробей-
то избегали, заменяя их пропорциями (какие уж там иррациональные
числа!). Платон в «Государстве» пишет:
Если ты захочешь делить единицу, то ученые математики высмеют тебя и не позволят это
сделать, если же ты размениваешь единицу на мелкие деньги, они полагают ее обращенной
во множество и остерегаются рассматривать единицу не как единое, но как состоящее из
многих частей.
§ 1. Числа. Развитие понятия числа
57
Итак, совершенно очевидно, что двинуться дальше рациональных чи-
сел при таком подходе было решительно невозможно.
Принципиальная объективная трудность (как мы знаем сейчас) заклю-
чается в невозможности разрешения «проблемы иррациональности» (т.е.
определения иррационального числа) финитными (конечными) метода-
ми - с помощью конечного числа символов или операций. Если рацио-
нальные числа задаются финитным образом - как отношение двух целых
чисел, то для иррациональных чисел определение такого рода принципи-
ально невозможно. Всем известное из курса средней школы определение
иррационального числа как бесконечной непериодической десятичной
дроби является частичной иллюстрацией этого тезиса.
Обсуждаемая проблема была слишком сложна и для эллинов, и для
последующих поколений. Ее полное преодоление произошло только во
второй половине XIX в. (I)
Это о причинах. Теперь о следствиях. Во-первых, поскольку все ирра-
циональности не есть числа, то операции над всеми несоизмеримыми
величинами могли производиться только в области геометрии. И резкую
границу между алгеброй и геометрией проводили уже во времена Евкли-
да (так, даже свой алгоритм нахождения НОД он излагает отдельно для
чисел и отрезков). Во-вторых, именно доминированию геометрических
идей и представлений европейская математика обязана резко критиче-
скому взгляду на отрицательные числа как не имеющие геометрической
интерпретации в терминах измерений (длин, площадей, объемов). В-
третьих, в силу отсутствия строгого обоснования, как в геометрии, ал-
гебра в научных кругах стала считаться наукой «второсортной», при-
званной обслуживать потребности строгой науки-геометрии (в качестве
замечательного исключения нужно отметить труды Диофанта Александ-
рийского, время жизни которого обычно датируют III в.; его основной
сохранившийся (частично) труд назывался «Арифметика»; в нем Дио-
фант предпринял исследование широкого круга алгебраических задач
алгебраическими методами (и даже ввел отрицательные числа и буквен-
ную символику) и достиг в своих исследованиях больших высот, став ос-
новоположником целого раздела алгебры, называемого теперь диофан-
товым анализом; в знак признания заслуг Диофанта важный класс урав-
нений, связанных с его исследованиями, получил название диофанто-
вых). Это отношение к алгебре было переломлено только во второй по-
ловине XVII в. (прежде всего трудами Ньютона, Лейбница и Эйлера и
практическим использованием их результатов), хотя подготовка к этому
перелому началась веком раньше (Кеплер, Декарт, Ферма, Виет, Вал-
лис, Стевин).
58
Глава I. Числа и фигуры
Кроме того, геометрические методы, в том числе геометрическая алгеб-
ра, кроме указанных недостатков имели ограниченную применимость в
смысле практическом. Так, в приложениях численный ответ обычно бы-
вает важнее строгого обоснования: в навигации, астрономии, строитель-
стве и т.п. требуются количественные результаты, а не обсуждение стро-
гости обоснования. К примеру, если с крыши дома высотой №20 м (или
крепостной стены) падает камень-очень жизненная ситуация, то соглас-
но результатам Галилея, время падения камня определяется формулой
t FZs л
t = > где g-ускорение свободного падения; если в данном месте
g * 9.816 м/с9, то время t будет иррациональным числом, которое надо
вычислить достаточно точно: когда этот камень падает на твою голову-
не до метафизических рассуждений, туг нужно конкретное число, а не
абстрактный отрезок. В этом смысле результат геометризации очевиден-
разрыв между теорией и практикой. Исход этого противостояния также
ясен - практика одержала полную победу: если важная задача требует
решения, то она будет решена настолько, насколько Позволяют имею-
щиеся знания. Математика стала оперировать иррациональными и даже
комплексными числами, отложив решение проблемы обоснованности
такихдействий.
Надо сегодня сказать лишь то,
что уместно сегодня.
Прочее все отложить
и сказать в подходящее время -
писал Гораций, хотя имел в виду не совсем то, что здесь обсуждается.
23. Определение иррационального числа по Вейерштрассу.
Рациональные числа и периодические десятичные дроби. Кроме
десятично-рациональных чисел, рассмотренных в 16, которые представ-
ляются в виде конечной десятичной дроби, существуют рациональные
числа (дроби), не представимые в виде конечных десятичных дробей.
Простой пример такого рода - число 1/3: если мы будем делить углом, то
у нас все время будет возникать один и тот же остаток, равный 1 (а в ча-
стном все время получаться 3), так что этот процесс не оборвется на
конечном шаге. В итоге получим 1/3=0.333...
Другие примеры: 1/11=0.090909..., 5/12=0.41666..., 37/330=0.1121212...,
122/1100=0.110909..., 3/13=0.230769230769...
Постоянно повторяющаяся цифра или группа цифр называется перио-
дом. Период принято заключать в круглые скобки: 1/3=О.(3), 1/11=
=0.(09), 5/12=0.41(6), 3/13=0.(230769) итд.
§ 1. Числа. Развитие понятия числа
59
Почему все дроби, не являющиеся десятично-рациональными, будут
периодическими? Ответ прост. Если мы рассмотрим обычный алгоритм
деления углом дроби m/л, то на каждой ступени деления возникает оста-
ток, не равный нулю (иначе дробь будет конечной). Поскольку все остат-
ки меньше л, то имеется не более л-1 возможных остатков: 1,2, ...,л-1.
Значит, не позднее, чем после л-1 деления, некоторый остаток появит-
ся вторично'. После этого все последующие остатки снова появятся в том
же порядке, в каком они уже возникали. Так образуется период, который
будет повторяться бесконечное число раз.
Примером, когда период состоит ровно из л-1 знака, служит дробь
1/7=0.(142857). Последовательными остатками при делении углом будут
3,2,6,4,5,1,3...
Кстати, конечная десятичная дробь может также считаться периодиче-
ской, если полагать, что в периоде стоит 0.
Напротив, как понимать бесконечную десятичную дробь, и как ее запи-
сать в виде частного? Сначала рассмотрим пример. Пусть а=0.11222...=
=0.11(2). Это означает, что
а= 10“’ +10’2+ 210“3+2-10м+...=—+210-3(1 +10"’ +10-2 +...),
100 ' '
т.е. нахождение а в форме частного сводится к вычислению бесконечной
суммы, называемой суммой бесконечной геометрической прогрессии со
знаменателем 9=10”’. Без обсуждения сумму $ = 1+д+<72
будем вычислять по формуле > известной из курса школьной ма-
тематики. Таким образом,
_ 11 2 10 _ 11 2 99 + 2 101
° 100 + 103 * 9 “ 100 + 900 ~ 900 ~ 900'
О суммах бесконечных рядов л, в частности, о геометрической про-
грессии на строгой основе, речь будет'вдги в 97-101.
Для лучшего понимания предмета рассмотрим еще един пример, после
чего сформулируем общее правило. Если />=0.11(21), то
/>=— + 2110‘4+21104S+.. .=— + 21 • 10-4 (1+10’2+10‘4+...)=
100 100
__ 11 21 1 11 21 1 11-33+7 37
“ 100 +10< * ._J_ = 100 +ю’ .99 “ 100 ’ 33 = 330 '
1 100
В общем случае, если a=0.ai... bj, то
60
Глава I. Числа и фигуры
a=0.ai...am+10-"(B10_")(l+10’"+10_2”+...)=10'
В 10"
а у ...а„ + • „
1 10" 10я-1
_ (д1...дж 10" -а1...аж) + Д = Д1-Д,Ь,..Л -а^.а,
io,"+"-iow 9...9.P.Q
где B^bl...b„ = bl-V)n-l+...+bn.
Заметим, что
0.д,...дт(9) = К^^±2 = о.д1...дж_11дж+1] (дж<9)
(к знаку в последнем разряде прибавляется 1), т.е. десятично-рацио-
нальные числа допускают двойную запись. Поэтому десятичные дроби,
оканчивающиеся на 9 в периоде, из рассмотрения исключаются.
На простом, всем понятном примере равенства числа 1/3 бесконечной
десятичной дроби 0.(3) мы впервые сталкиваемся с принципиально но-
вым объектом - бесконечной последовательностью, рассматриваемой не
как длящийся, а как законченный процесс (поскольку любая конечная
дробь 0.33...3 меньше, чем 1/3). Общая формула перевода бесконечной
периодической десятичной дроби в правильную дробь является описани-
ем завершенного бесконечного процесса посредством простой конечной
формулы, дающей вместо бесконечного процесса конкретное число.
С решением такого рода задач мы будем постоянно сталкиваться в гла-
вах, посвященных математическому анализу.
Для чисел, больших 1, выделяются целая и дробная части, к дробной
части применяется все вышерассмотренное, а затем прибавляется целая
часть.
Итак, можем сформулировать заключение: любое рациональное число
представимо в виде периодической десятичной дроби (конечной для де-
сятично-рациональных чисел), и наоборот, любая периодическая деся-
тичная дробь есть рациональное число.
Конечно, вместо десятичных дробей можно использовать двоичные.
Иррациональные числа как бесконечная непериодическая деся-
тичная дробь. Рассмотрим наше первое иррациональное число л/2 (ко-
торое пока что является лишь не наделенным смыслом символом) и по-
ставим цель найти десятичную дробь, которая бы приближала л/2 с точ-
ностью 10-1, 10'2 и тд. Для решения этой задачи можем поступить про-
сто (и нерационально) - заняться почти подбором:
§ 1. Числа. Развитие понятия числа
61
1=12 <2<22=4;
(1.4)2= 1.96<2<(1.5)2 = 2.25;
(1.41 )2 = 1.9881 < 2 < (1.42)2 = 2.0264;
(1.414)2 = 1.999396 < 2 < (1.415)2 = 2.002225;
(1.4142)2 = 1.99996164 < 2 < (1.4143)2 = 2.00024449;
Продолжая этот процесс, мы будем получать все новые десятичные
знаки для все более точного десятичного приближения числа с не-
достатком (снизу) - левые дроби и с избытком (сверху) - правые дроби в
этих неравенствах, причем приближения с недостатком возрастают, а
приближения с избытком убывают.
Мы знаем, что периодическая десятичная дробь в результате получить-
ся не может - значит, этот процесс приведет к бесконечной непериоди-
ческой дроби, которая и будет определять число л/2 .
Этим примерам мы проиллюстрировали идею Карла Вейерштрасса,
определившего иррациональные числа как бесконечные непериодиче-
ские десятичные дроби и тем самым задавшего общую форму (десятич-
ные дроби, другие варианты в 28) для всех чисел, как рациональных, так
и иррациональных. (Карл Вильгельм Вейерштрасс (K-Weierstrass, 1815-
97), немецкий математик, профессор Берлинского университета, между
прочим, учитель Софьи Ковалевской.)
Для понимания предмета необходимо отметить два момента. Во-
первых, фраза, заключающаяся только в словах еданное иррациональное
число - это бесконечная непериодическая десятичная дробь», не будет
корректным определением, поскольку никакая бесконечная дробь не
может быть записана на каком-либо материальном носителе, значит, это
определение не может быть реально реализовано. Поэтому одновремен-
но должно быть дано точное определение этого числа (как корня некото-
рой степени или как тригонометрической функции угла, или как резуль-
тата предельного перехода-длины окружности, например, или как ре-
шения некоторого уравнения). Именно в соответствии с этим определе-
нием мы можем построить алгоритм, позволяющий вычислить десятич-
ные приближения рассматриваемого иррационального числа с любой
точностью. Во-вторых, рассматривая иррациональное число как беско-
нечную непериодическую дробь, мы представляем этот бесконечный рад
десятичных цифр как законченное единое целое, т.е. вводим в оборот
такой объект, как бесконечное множество. И если, например, для чис-
ла 1/3 был выбор между правильной дробью и бесконечной периодиче-
ской дробью 0.(3), то д ля иррационального числа такого выбора нет.
Последствия не замедлят сказаться. Еще древнегреческие математики
62
Глава 1. Числа и фигуры
и философы считали недопустимым рассмотрение бесконечного множес-
тва не как длящегося, а как Законченного процесса («актуальной беско-
нечности» на языке философии). «Остается альтернатива, согласно ко-
торой бесконечное имеет потенциальное существование... Актуальной
бесконечности не существует», - писал Аристотель в «Метафизике».
Решая вопрос определения иррационального числа (а сделать это необ-
ходимо), мы будем вынуждены исследовать свойства бесконечных мно-
жеств и при этом можем столкнуться с неожиданными результатами, не
всегда согласующимися с нашей интуицией, а точнее, с первоначальны-
ми интуитивными представлениями.
Здесь мы опять следуем принципиальному курсу, сформулированному в
предисловии,-не затушевывать неизбежные трудности и не замалчивать
их (чтобы не построить «зданье на провале»), а на допустимом уровн^
сформулировать их, насколько возможно, рассказать о путях их преодо-
ления, но при этом подчеркнуть, что полное решение стоящих проблем
является уделом математиков. Однако четкое понимание предмета, с
которым имеешь дело, должно быть у студента, любой специальности.
Значит, должны быть определены все арифметические операции над
иррациональными числами. Это делается с помощью их рациональных
приближений. Так, для определения суммы двух иррациональных чисел
мы складываем их последовательные приближения с недостатком и из-
бытком соответственно и в результате получаем такой же процесс при-
ближения к числу, являющемуся их суммой. То же самое - д ля вычита-
ния, умножения и деления. Главный факт заключается в том, что все
девять законов арифметических операций, справедливые для рациональ-
ных чисел, остаются справедливыми и для чисел иррациональных. Это
важнейшее свойство безусловно требует доказательства, но это, к сча-
стью, выходит за рамки нашей программы.
Конечно, вместо десятичных дробей можно использовать двоичные -
результат будет тем же (все это, опять же, требует доказательства).
Итак, окончательный итог. Мы можем быть уверены, что корректное
определение иррациональных чисел существует, поэтому мы вправе со-
вершать над ними все арифметические операции. Более того, далее мы
поговорим (только в пределах необходимого) о том, что мы можем из-
влекать корни любой степени из положительного числа и возводить в
иррациональную степень, вычислять тригонометрические и другие эле-
ментарные функции, и даже обсудим вопрос о том, что является принци-
пиальной основой для их существования. С другой стороны, мы ответст-
венно можем заявить, что для практических нужд измерений и вычисле-
ний будет вполне достаточно рациональных чисел, т.е. десятичных или
$ 1. Числа. Развитие понятия числа
63
двоичных приближений, тем более что наиболее мощный вычислитель-
ный инструмент -компьютер - иных чисел и не знает.
Вместе взятые рациональные и иррациональные числа образуют дей-
ствительные числа.
Алгебраические свойства чисел (от натуральных до действительных)
удобно представить в форме таблицы, включив в нее и комплексные
числа, которые будут построены в 36-38. В таблице символами N, Z,
С^. R, С обозначены соответственно натуральные, целые, рациональ-
ные, действительные и комплексные числа, знак «+» означает, что соот-
ветствующее свойство выполнено или объект существует, знак «-» оз-
начает обратное.
Свойство N Z R с
Сложение
Ассоциативность + + + + +
х+(у+х)в(х+у)+х Коммутативность + + + + +
х+у=у+х
Существование 0 (нуля) — + + . + +
Существование (-х) противоположного — + + + +
Умножение
Ассоциативность + + + + +
x(yz)=(xy)z Коммутативность + + + + +
ху-ух
Существование 1 (единицы) + + + + +
Существование х-1 4_
(обратного)
Дистрибутивность + + + ' + +
x(y+z)=xy+xz
Последний существенный момент. С вычислительной точки зрения ал-
горитм, который определяет десятичные приближения, должен быть эф-
фективным, т.е. по возможности быстро давать приближения с нужной
точностью. В качестве иллюстрации рассмотрим процедуру извлечения
корня (указанная выше процедура получения десятичных приближений
числа л/1 неэффективна - корни извлекают иначе). Один из хороших
64
Глава I. Числа и фигуры
способов, восходящих еще к математике Древнего Вавилона [10, с. 141],
выглядит следующим образом.
Пусть необходимо найти 4а, аХ). Возьмем какое-нибудь начальное
приближение по избытку (верхнюю оценку) у0, чтобы у^а. Тогда
а
Уо
< 4а
будет нижней оценкой (приближением по недостатку). По-
Ло+Уо а гг 1 I а I г
ложим у. = —z—, х. = — . Поскольку ji = vl^o+— всилунера-
2 Л 2 \ УйУ
венства между средним арифметическим и средним геометрическим, то
опять ух- верхняя оценка, а Xj-нижняя. Продолжив этот процесс, полу-
чим последовательность оценок
х0£х2£...
гае у„+1 = Хп*Уп = 11 >'„+—), х„+1 = которые быстро сходятся к 4а.
** ~ х УмХ Ул+1
Пример 13.Вычисление корней.
1. Вычисление л/2. Поскольку 142=196, то возьмем х0=1.4. Тогда
у0=а/хсг=1.42857. На втором шаге у{ = ^(хо+.Уо)® 1414285,
xi=a^!»1.4141422. На третьем шаге у2 = |(х1+у,) «1.4142136,
х2=а4'2«1.41421353. Итак, приближение с точностью до шести десятич-
ных знаков получено уже на третьем шаге. Истинное значение л/2 с
точностью до 20 знаков
1.414213562373095048802...
2. Вычисление л/3.102 . Возьмем х0= 1.7, тогда yo=3.1O2/xo«1.8247O6.
На втором шаге у, = у(х0+у0)» 1.762353, xi=3.1024'1®1.7601468. На
третьем шаге у2 = у(х1+у1)®1.76125, х2=3.1024'2®1.7612491.
3. Вычисление л/729. Возьмем у0 = 30, тогда х0 = 729/30» 24.3. На
втором шаге У] = у(х0+у0)» 27.15, Xi=7294'1» 26.850828. На третьем
шаге у2 = у(х1+у1)® 27.000414, х2=7294'г« 26.999586. На четвертом:
у3=27, х3=27.
§2. Действительные числа
65
§2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Множества и операции над ними. Предварительные сведения
Способы задания множеств: перечисление и выделение, примеры множеств;
подмножества; последовательности и классы множеств (24). Операции над
множествами: пересечение, объединение, разность, прямое произведение,
примеры (25). Функции, основные способы задания функций, примеры;
классификация функций, примеры; обратная функция; графики функций (26)
24. Способы задания множеств. Определение иррациональных чисел
поставило нас перед необходимостью работать с бесконечными множе-
ствами. В этом нет никакой трагедии. На самом деле в геометрии вы уже
давно работали с этими объектами, так как любая геометрическая фигу-
ра - это множество точек: отрезок, окружность, круг, трапеция, конус...-
все эти фигуры содержат бесконечное множество точек. Геометрия так-
же работает с бесконечными прямыми, хотя ни на одном листе бумаги их
не изобразить-листы вмещают только конечные отрезки и тд.
Точно так же, как в геометрии, где изложение начинается с перечисле-
ния ее основных объектов-точек, отрезков, плоскостей, в теории мно-
жеств необходимо указать основные объекты теории. Такими объектами
будут множества и элементы. Эти объекты нельзя определить так же,
как точки или отрезки в геометрии, поскольку в определении будут при-
сутствовать другие термины, которые, в свою очередь, нуждаются в оп-
ределении. Иными словами, элементы и множества «в теории множеств
являются первичными. Все остальные объекты теории будут определять-
ся с их помощью.
Определить множества или элементы нельзя, но дать пояснение мож-
но: под множеством понимается произвольная совокупность элементов,
которая мыслится как единое целое. Примерами множеств могут слу-
жить:
- множество десятичных цифр, его элементами являются цифры (числа) 0,1,9;
- множество всех чемпионов мира по футболу после 1950 года (перечислять его элементы,
т.е. последовательно всех чемпионов, мы не будем);
- множество всех министров финансов России с января 1992 года (перечислять их мы также
не будем);
- множество всех частных легковых автомобилей, зарегистрированных в Москве к 01.06.97.
Итак, все необходимое о множествах. В высказываниях, касающихся
числовых и геометрических множеств (аксиомах, теоремах, формулах...),
в качестве переменных используются множества и их элементы. Выска-
5-5091
66
Глава I. Числа и фигуры
зывание «х является элементом множества X» (или синоним: «х принад-
лежит множеству X») записывается какхеХ.
Особым является множество, не содержащее ни одного элемента. Та-
кое множество называется пустым и обозначается 0.
Вполне может быть так, что элементами рассматриваемого множества
являются другие множества. Например, множество концентрических
(т.е. с одним и тем же центром) окружностей с фиксированным центром
и радиусами 1, 2, 3 состоит из трех элементов, каждый из которых явля-
ется множеством точек (окружностью).
Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются
конечными. Примерами конечных множеств могут служить все указан-
ные выше множества. Примерами бесконечных множеств будут:
- множество натуральных чисел, которое обозначается N;
- множество целых чисел Z;
-множество рациональных чисел Qj
-множество действительных чисел R.
Или известные из курса геометрии множества точек:
- интервал (а, Ь) с концами а и Ъ\
- отрезок [а, Ь];
- окружность, угол, многоугольник, пирамида и т.п.
Укажем две наиболее употребительные формы задания (определения)
множеств.
Первая - это перечисление, т.е. указание всех элементов множества,
которые принято заключать в фигурные скобки. Примеры перечислений
(кроме уже указанных):
- множество натуральных четных чисел 2N - {2,4,6,8,...}; .
- множество предметов, которые входят в учебный план специальности данного студента;
- множество неудовлетворительных оценок в зачетной книжке Андрея Николаевича Колмо-
горова-это множество пусто;
- множество основных томов БСЭ (Большой Советской энциклопедии) второго издания (чис-
ло их 50).
Еще один полезный пример. Пусть множество А состоит из русских
слов «кот», «поросенок» и числа «четыре» в стандартной символике, т.е.
Л={кот, поросенок, 4}. Множество А, состоящее из таких же англий-
ских слов и числа 4, будет другим: Я = {cat, sucking-pig, 4} (артикли
опущены). Так что надо быть точным в перечислении (т.е. задании мно-
жества путем перечисления).
В связи с этим обратите внимание на пример с БСЭ-он не совсем кор-
ректен. Поскольку существует много экземпляров полных наборов БСЭ,
то, если имеется в виду конкретный экземпляр БСЭ (например, при-
§2. Действительные числа
67
надлежащий автору этого учебника), получим один вариант, если име-
лись в виду все экземпляры, вышедшие из типографии (тираж 300 тыс.),-
другой вариант, если же иметь в виду только сохранившиеся к настоя-
щему моменту-третий вариант. Этот пример - еще один хороший повод
призвать к точности.
Вторая форма задания-выделение, когда среди элементов какого-либо
множества выделяются с помощью высказывания элементы, обладаю-
щие некоторым свойством (характеризующим это множество). Бывает,
конечно, что множество может быть задано обоими способами. Примеры
задания множеств в форме выделения:
- множество 2N“{««N: «делитсяна2}-{2,4,6,8,...};
- интервал (-l,l)—{xeR:-l<x<l}-{xeR: х1<1};
- множество X={xeR: 1 £| х | £ 2 };
- множество X-{xeZ: х’-х-0}-{-1,0,1}.
Если каждый элемент множества А принадлежит множеству X, то го-
ворят, что Я есть подмножество X, и записывают это какЛсХ или ХзА.
Если А - собственное подмножество X, т.е. в X есть элементы, не при-
надлежащие А, то это записывают как АаХ или ХзА.
Запись д ля множеств А=В означает, что множества А и В состоят из
одних и тех же элементов; А=В эквивалентно тому, что Лоб и ВсА.
Часто и в геометрии, и в математическом анализе приходится рассмат-
ривать не одно, не два множества, как в примере с окружностями, а це-
лое семейство. Примером может служить семейство концентрических
окружностей с фиксированным центром и радиусами 1, 2, 3,... Другой
пример - семейство отрезков • ”=1, 2,...
Обычно в теории множеств вместо термина «семейство множеств»
используется термин «класс множеств».
Если в примере с концентрическими окружностями окружность радиу-
са п обозначить через , то класс всех концентрических окружностей с
радиусами, принимающими значения натуральных чисел, можно опреде-
лить перечислением: {В»: п= 1, 2,...} или { S„ : леМ). В примере с от-
резками ' п eN| • Таким образом, элементы обоих классов мож-
но занумеровать. Такие классы называются последовательностями мно-
жеств. Последовательность множеств Ль ..., АН)... часто записывают в
ваде .
Последовательность множеств (4„),&i называется убывающей (возрас-
тающей), если Ля+1сЛя (соответственно А„+йэА„) для любого л=1,2,...
5*
68
Глава I. Числа и фигуры
Любое множество определяет одно с ним связанное важное множест-
во: множество всех своих подмножеств. Так, подмножествами двухэле-
ментного множества D={Q, 1} будут: 0,{О},{1}, {0,1}. У трехэлементногс
множества ^{0,1,2} будет 8 подмножеств: 0, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2},
{1,2}, {0,1,2}. Вообще, у конечного множества, состоящего из п элемен-
тов, будет ровно 2" подмножеств, включая пустое и его самого.
25. Операции над множествами. Над множествами можно произво-
дить операции, которые называются теоретико-множественными
Основные - операции пересечения, объединения и разности.
Пересечение. Пересечением двух множеств А и В называется множе-
ство, обозначаемое А р|В, которое состоит из элементов, принадлежа-
щих одновременно и А, и В, т.е.
Af)B={x: хеА и хеВ}.
Пересечением конечного числа множеств Ai,...,A# называется множе-
ство
N
р| А„ = {х: хеА„ для всех л=1,2,..., N}.
Л=1
Пересечением бесконечного числа множеств Л„.... Л„ называется мно-
жество
00
f}4, = {х: хеА„ для всех л=1, 2,...}.
Л=1
Пример 14. Примеры пересечений.
14.1. Если Л={0,1,2,3}, В={-1,0, 1, 10},то ЛГ|В={0,1}.
14.2. Если Л={2, 4, 6,...}-множество всех четных натуральных чисел
В={3, 6,...}-множество натуральных чисел, делящихся на 3, то A f"|B =
={6,12,...}-множество натуральных чисел, делящихся на 6.
14.3. Если Л-множество нечетных чисел, а В-четных, то Л ("}В =0.
14.4. Если Л={0, 1}, В={1, 2}, С={0, 2}, то ЛГ|В={1}, ЛПС={0}:
впс={2},лпвпс=0-
14.5. Если A_ = f--, л = 1,2,...,то Г|Д ={0}.
4 л »' Я=1
14.6 .Если Д_ = (-1--,1+-1 л = 1,2.то ПД„=[-1,1]
\ л л/
§2. Действительные числа
69
14.7. Еще три примера пересечений иллюстрированы рис. 10, где соот-
ветствующие пересечения заштрихованы.
Рис. 10
В последнем примере
А - прямоугольник,
В-круг,
С-треугольник
14.8. Если Я = {х eN: х>б}, В = {х eR: х2<111},то А Г|В ={7.8,9,10}.
14.9. Если А - {xdR.: х>5}, В = |xeR: х2 < 111}, то А (") В = (б, л/111).
Объединение. Объединением двух множеств А мВ называется множе-
ство, обозначаемое A UВ, которое состоит из элементов, принадлежа-
щих Л или В (в том числе одновременно и А, и В), т.е.
AIJB ={х: хеА или хеВ}.
Объединением конечного числа множеств Ai..Лу называется мно-
жество
N
или ={х: х принадлежит хотя бы одному Л„}.
Л=1
Объединением бесконечного числа множеств Ап,„. называется
множество
оо
U ={х: х принадлежит хотя бы одному А„}.
л=1
Пример 15. Примеры объединений.
15.1. Если Л={0, 1,2), В={-2, -1,0,1},то Л (JB "{-2, -1,0.1,2}.
15.2. Если Л={хеМ: х>5}, B=|xeR:x2Slllj, то Л |JB = {-a/111,a/111]
U{11»12,...}.
15.3. Объединение A |JB(JC заштриховано на рис 11.
А - верхний и нижний секторы,
В - левый сектор,
С - правый сектор
70
Глава I. Числа и фигуры
15.4. Если /„ =[-1+^,1-^], л=1,2..то U/„ = (-!, 1).
15.5. Результаты операций заштрихованы на рис 12.
Разность. Разностью двух множеств А и В называется множество
Л\В={хеЛ: х не принад лежит б}.
Пример 16. Примеры разностей.
16.1. Т4\(2М)={1,3,5,...}-множество натуральных нечетных чисел.
16.2. Если j4 = |xeR: |x|^lJ,B={xeR: х<0}.
то А\В = {х eR: 0£ х £ 1} = [0,1].
16.3. А=[-2,2], В=(-1,1), тогда А\В=
= {xeR: l^|x|^2}-[-2,-l]|J[l,2].
16.4. А\В заштриховано на рис. 13.
Рис. 13
Рисунки на плоскости, иллюстрирующие операции над множествами в
виде плоских фигур, принято называть диаграммами Эйлера-Венна.
Рассмотренные теоретико-множественные операции над множествами
называются также алгебраическими, потому что для них справедливы
алгебраические формулы, похожие на формулы для алгебраических опе-
раций с числами (но есть и принципиальные отличия). Об этом мы будем
говорить в 84,85.
§2. Действительные числа
71
Прямое произведение является важной неалгебраической операцией
над множествами. Прямым произведением множеств X и Y (обозначение
Хх У) называется множество упорядоченных пар
ХхУ={(х,у): хеХ, yeY},
причем, по определению, (х,у)=(х',^'), еслнх=х'пу=у'.
Аналогично
Xx(yxZ)=(Xx7)xZ={(x,y,z): хеХ, yeY,zeZ}.
Пример 17. Примеры прямых произведений.
17.1 Х=[0,1], У=[0,-1](рис.14а). 17.2.Х=(1,2), У=К(рис.14б).
17.3. X=R+={xeR: х>0}, У= [-1, 0] II (1, 2) (рис.15);
Рис. 15
результаты операций прямого произведения в примерах 17.1-17.3 за-
штрихованы на рис. 14 и 15.
17.4. R^R'xR'-ruiocKOCTb.
17.5. R3“R1xR*xR‘-трехмерное пространство.
26. Функции и графики.
Определение функции. Пусть X и Y- некоторые множества. Говорят,
что на множестве X определена функция f:X -> У., если каждому эле-
менту хеХ поставлен в соответствие каким-либо способом единствен-
ный элемент y=fl.x) из Y, который называется образом элемента х. При
этом х называется независимым переменным, а у-зависимым. Функцию
f записывают также в форме Дх) или Д•), чтобы подчеркнуть, что рас-
сматривается вся функция, а не только значение функции в одном эле-
менте х.
Если X и Y - подмножества действительных чисел, то функцию f на-
зывают числовой или функцией действительного переменного.
72
Глава I. Числа и фигуры
Множеством значений функции f называется множество
ran (Л) = {уеК: у=/(х), хе*}-
Например, ran [sin( •)]=[-1,1], ran [arccos( •)]=[(),я]; если то ran(/)=
= R+={xeR:x^0}, итд.
Кроме гап(/> используется также обозначение /(X).
Возможно, что функция f определена не на всем X, а только на неко-
тором его подмножестве А, тогда А называется областью определен»
и обозначается dom^). Например, dom[ln(-)]=R+\{0}, dom[arcsin(-)]“
= [-1,1], ) = R+, итд.
Если X- N, то функция у=/(л) называется последовательностью. Е<
значения у\, у2,..., которые записываются и в виде (уя)яг1, также назы-
ваются последовательностью. Если все у„- а = const, то последователь-
ность называется стационарной. Заметим, что последовательность >
множество значений функции-последовательности - это не одно и то же
например, для стационарной последовательности гап(/)={а}, а
= а, а, а,...
Основные способы задания (определения) функции:
- табличный (если X конечно);
- аналитический;
- алгоритмический.
Дадим необходимые пояснения и примеры.
Для конечных множеств функцию можно задать двустрочной таблицей
где в первой строке стоят элементы X, а во второй - элементы Y. При-
мер табличного способа задания функции:
Под аналитическим способом подразумевается способ определен»
функции с помощью формулы, содержащей известные функции, напри-
мер у = 1Д.т, у = 2x3+l““*+ lg(l+x2) итд. Функция может также зада-
ваться разными формулами на различных подмножествах области опре-
деления. Примером может служить функция
х2 -1 при х £ О,
-Ух +1 при х £ 0.
/(*) =
В примере табличной функции она задавалась формулами /(х) = х2 пр>
х£0 и /(х) “х2-1 при х>0. Часто в определение аналитического задан»
§2. Действительные числа
73
включают также предельный переход, который мы будем рассматривать
в гл. IV.
Функция, заданная в ваде алгебраического уравнения, связывающего
независимую и зависимую переменные, называется неявной. Примером
неявной функции может служить функция а2х2 +b2y2 = 1, у > 0.
Под алгоритмическим способом понимается задание функции с помо-
щью определенных правил последовательных действий (алгоритма) при
вычислении ее значений с использованием высказывательных функций
(словесного описания). Примером такой функции может служить функ-
ция Дирихле (Петер (Пьер) Лежен Дирихле (P.L.Dirichlet, 1805-59)-
профессор математики Берлинского и Геттингенского университетов)
£>(х), которая принимает значение 1 при рациональных х и значение О
при иррациональных х. Другим примером - функция, определенная на
множестве рациональных чисел, которая равна пятому знаку в нижнем
приближении л/х на третьем шаге алгоритма из примера 13. Целую
группу таких примеров дают тригонометрические функции: например,
sin х - это значение проекции на ось ординат Оу единичного вектора,
образующего угол х с осью абсцисс (конечно, и другие тригонометриче-
ские функции как входящие в число элементарных считаются функция-
ми, определенными аналитически). Об алгоритмических функциях, зада-
ваемых процедурой рекурсии, мы будем говорить в 178-180 в связи с
компьютерными операциями.
Если A=R2 , то функция y=fixb *г) называется функцией двух пере-
менных, функция y=fi?ci, х2, хз) - трех переменных. Функции нескольких
переменных мы будем рассматривать в гл. IX. Напротив, если К= R2 или
Y= R3, то функция называется векторной.
А вот пример нечисловой функции из отрезка X = ИЛ] в отрезок Y =
= [А', В’]: значения функции на отрезке [Л,С] задаются параллельным
переносом на [Л',С'], значения функции на [C,D] определяются с помо-
щью подобия с центром в точке О, а на [£>,В] образом каждой точки яв-
ляется точка В'(рис. 16).
О
1 % Ч ч
I................Г, JL ?
А С D В
Рис. 16
74
Глава I. Числа и фигуры
Основные классы функций. Еслит.е. все элементы Y являют-
ся образами каких-либо элементов из X, то функция / называется эпи-
морфизмом. Например, функция sin(x)-3To эпиморфизм R на [-1,1],
функция /(х)=х2+1-эпиморфизм R на множество K={/eR: yZ 1}.
Если каждый элемент из ran (/") является образом только одного эле-
мента из X, то функция/называется мономорфизмом. Примером моно-
морфизма могут служить функции у «1пх, у=4х,х>0>у=х* (рш:. 17), а
функция у=т? мономорфизмом не является. Функция у = sinx также не
является мономорфизмом.
Рис. 17
Пусть/-произвольный элемент Y. Полным прообразом / при функции
/ называется множество f~l(y)*{xeX: f(x)=y}.
Функция / будет мономорфизмом тогда и только тогда, когда любой
полный прообраз /"’(у), где /егап(/), состоит ровно из одного элемента.
Вообще же полный прообраз может быть пустым, если / не принадлежит
ran(f), или может быть как конечным, так и бесконечным множеством.
Например, для /(х)жх2 получаем /“*(1)—{-1,1), sin_,(O)={x»jdt: AeZ), а
для рассмотренной выше нечисловой функции из [А,В] в [Л',В'] имеем
гЧвхад.
Функции, являющиеся одновременно и мономорфизмами, и эпимор-
физмами, называются изоморфизмами. Примерами изоморфизмов яв-
ляются отождествление (8) или отождествление рациональных
чисел и рациональных точек на прямой.
Изоморфизмы играют важную роль в математике. Если при изомор-
физме сохраняются все алгебраические операции и свойства в задачах
алгебры или свойства предельного перехода или непрерывности в зада-
чах анализа, то изоморфный образ можно считать копией данного мно-
жества (пространства). Если в различных моделях получаются изоморф-
ные копии, то производят отождествление получившихся множеств
(пространств) и считают, что на самом деле построено одно и то же про-
странство. При расширении целых чисел до рациональных (8) мы именно
так и поступили. И в дальнейшем будем так делать не раз.
§ 2. Действительные числа
75
Обратная функция. Пусть функция f: X-tY является мономорфиз-
мом. Тогда f~x(y) для любого yef(X) состоит ровно из одного элемента,
а посему определена обратная функция из f(X) в X, ставящая каждому
у е f(X) в соответствие элемент _Г'(у) изХ Эта функция называется об-
ратной к/и обозначается f~x. Если, к примеру, /(x)~10x, то для любого
у > 0 определена обратная функция /"’(у), очевидно, f~x(y) “ Igy; если
/(x)=sinx, , то для любого1] определена обратная функ-
ция /“’(y)=arcsmy, ит.п.
Из определения обратной функции /^,/(x)sx для любого xedom(f).
Графики функций. Пред положим, что задана функция f: X-*Y. Мно-
жество пар Сгг(/)ж{(х,/(х)): xgX}cX*Y называется графиком функции
f Если функция определена не на всем X(как, например, логарифм), то
Сг(Л“{(х,Лх)): xedom (/)}.
Графиком функции действительного переменного является линия на
плоскости (примеры на рис. 17). Графиком функции двух переменных
будет поверхность в R3.
Если Gr (/) = {(х,Дх)): а £ х £ Ь} - график мономорфной функции/() из
[а, 6] на [a, fl, то для любой точки графика
(х, у), еде _у=^(х), точка (у, х) симметрична
точке (х,у) относительно главной диагонали
(биссектрисы первого и третьего координат-
ных углов). Но (у, х) (у,/"’(у)) по определе-
нию. Таким образом, график обратной функ-
ции симметричен графику функции f относи-
тельно главной диагонали (рис. 18).
Рис. 18
В случае, когда переменные х и у дискретны и зависимость задана
таблично, графиком будет конечное множество точек на плоскости.
Классические примеры такого рода дает экономика: в таблице на с.76
(Самуэльсон П. Экономика. Т.1. М., 1972. С.56) цены Р заданы в дол-
ларах США за бушель, количество Q - в миллионах бушелей. Какой из
параметров, Р или Q, является зависимым, а какой независимым, оп-
ределяется постановкой конкретной задачи (правильнее сказать, что они
взаимозависимы). В экономике принято откладывать Р по вертикальной
оси, a Q - по горизонтальной. В таблице заданы функции спроса на рын-
ке Q = D(P) и предложения Q~S(P), по техническим причинам (запол-
нить всю строку по ширине) значения расположены по вертикали, а не
по горизонтали.
76
Глава I. Числа и фигуры
р Q=D(P) Q=S(P) Давление на цены
5 9 18 Вниз
4 10 16 Вниз
3 12 12 Равновесие
2 15 7 Вверх
1 20 0 Вверх
Точка пересечения спроса D(P) и предложения S(P) называется точ-
кой равновесия - это точка устойчивых цен на рынке при условии посто-
янства всех остальных параметров рынка.
Для получения непрерывной кривой на плоскости (Q.P) можно соеди-
нить нанесенные точки либо отрезками,
либо гладкой кривой - для функции пред-
ложения 5 эта кривая (при Q по горизон-
тальной оси) будет возрастать и внешним
вадом напоминать параболу, кривая спроса
D будет убывать и внешним вадом походить
на гиперболу. Эти классические графики
(рис. 19) являются неотъемлемыми атрибу-
тами едва ли не любого учебника по эконо-
мике. Заметим, что выбор конкретного вада
гладких кривых, сглаживающих ломаную,
является отдельной задачей.
Рис. 19
Принцип Кантора и свойство полноты. Аксиома Архимеда
Последовательность вложенных отрезков имеет непустое пересечение;
измельчающаяся последовательность непустых отрезков имеет в пересечении
ровно одну точку; принцип (аксиома) Архимеда (27)
27. Фундаментальные свойства числовой прямой. Существование
несоизмеримых отрезков означает, что рациональные точки не заполня-
ют всю числовую ось (как говорят математики, рациональная прямая не
полна). Одна из таких точек, 41 , отмечена на рис. 20 крестом. Более
того, мы увидим, что оставшихся точек (не являющихся рациональ-
ными), так сказать, щелей (математический термин), будет значительно
больше, чем рациональных точек.
§2. Действительные числа
П
Если мы рассмотрим последовательные рациональные приближения,
например десятичные, числа х с недостатком х~ и с избытком х*, то
отрезки /„= [ х~, х* ] будут вкладываться друг в друга и образовывать
убывающую последовательность Л z>I2 э..., причем длины 1„ с возрас-
танием п становятся сколь угодно малыми. С геометрической точки зре-
ния существование иррационального числа х, определяемого рацио-
нальными приближениями х~, х*, п = 1,2,.... означает, что эта последо-
вательность отрезков имеет только одну общую точку, а именно,.точку х.
Свойство прямой в евклидовой геометрии, заключающееся в том, что
последовательность вложенных отрезков имеет непустое пересечение,
называется принципом Кантора, по имени сформулировавшего его не-
мецкого математика Георга Кантора (G.Cantor, 1845-1918), профессора
университета в Галле, автора многих замечательных идей и результатов в
математике (см.§ 3 гл. VI). Этот принцип входит в число обязательных
аксиом современной евклидовой геометрии. Подробно с аксиоматикой и
основаниями геометрии можно познакомиться по капитальному, но
очень ясному по стилю и изложению труду А. Д. Александрова «Основа-
ния геометрии» (М.,1987). Он предназначен не только для специали-
стов, но также для учителей математики и учеников старших классов
школы, собирающихся специализироваться в точных науках.
Из принципа Кантора следует, что измельчающаяся последователь-
ность вложенных отрезков 1„ (т.е. отрезков с длинами, сколь угодно ма-
лыми при возрастании п) имеет ровно одну общую точку. Это свойство
называется свойством полноты прямой и геометрически означает, что
иррациональные точки вместе с рациональными заполняют всю прямую
(как говорят математики, иррациональные точки пополняют неполную
рациональную прямую).
Для построенных нами действительных чисел (т.е. рациональных и ир-
рациональных) принцип Кантора (в числовой формулировке) выполня-
ется: если имеется последовательность чисел xi,.yi,..., хп,уп,... такая, что
78
Глава I. Числа и фигуры
Х1
X] £х2£у2£уи
Xi ...£уь
то существует хотя бы одно число х, такое, что x„£x£y„ для всех л, при-
чем, если разности хя-у„ становятся сколь угодно малыми при возраста-
нии п, то это число ед инственно. Конечно, все это нужно доказывать.
Построенные нами действительные числа могут быть отождествлены с
точками числовой оси (координатной прямой). Отождествление произ-
водится естественным образом: выделяется точка 0, отмечается единич-
ный отрезок, далее отмечаются все рациональные точки (см. 9), затем
каждое иррациональное число отождествляется с единственной общей
точкой измельчающихся интервалов, определяемых последовательно-
стью десятичных приближений по недостатку и избытку.
Идею отождествления действительных чисел с точками числовой пря-
мой, пространства упорядоченных пар действительных чисел RxR с плос-
костью R^R’xR1 и пространства троек чисел с трехмерным пространст-
вом R3 (метод координат) сформулировал Рене Декарт в «Геометрии»
(1637) и стал тем самым основоположником математической дисципли-
ны, называемой сейчас аналитической геометрией.
Построенные нами действительные числа обладают также свойством,
называемом принципом или аксиомой Архимеда. Этот принцип входит (в
геометрической формулировке) в список аксиом планиметрии. Он за-
ключается в следующем: если у- произвольное действительное число и
х < 0, то существует такое целое к, что
(к-1)х£у<кх.
Смысл этого свойства проясним с помощью его геометрической фор-
мулировки и иллюстрации: если отрезок [0, х] содержится в отрезке
[О, у] (рис. 21),
Рис. 21
то в процессе последовательного откладывания отрезка [0, х] на некото-
ром шаге (обозначим его; например, JE) точка у будет накрыта очередным
отрезком длины x,j.e. получится, что (fc-l)x£y<fcx.
Фактически принцип Архимеда мы уже использовали в алгоритме Ев-
клида, когда делили с остатком на каждом шаге. Именно справед ливость
§2. Действительные числа
79
принципа Архимеда обеспечивает возможность представления a =bq+r...
Еще одно важное следствие принципа Архимеда заключается в том, что
из него следует справедливость утверждения: между любыми двумя дей-
ствительными числами х и у всегда есть рациональное число г, т.е.
такое г, что х £ г < у. В геометрической интерпретации это означает,
что каждый отрезок на числовой прямой содержит рациональную точку.
Другие определения действительных чисел
Определение действительных чисел по Д едекинду и Кантору (#28*)
#28*. Определение действительных чисел по Дедекинду. Метод оп-
ределения иррационального числа, использующий отношение порядка
(т.е. больше\меньше) на множестве рациональных чисел Ц_, а не пред-
ставление в виде десятичной дроби, был предложен в 1872 г. немецким
математиком Рихардом Дедекиндом (R.Dedekind, 1831-1916), членом
Берлинской и других академий.
Говорят, что два ненулевых множества А и А' образуют разбиение
множества если Qj= А +А' (т.е. A г\А '-0 и Q=Л и А'). Нетрудно
видеть, что АОД А .
Разбиение на Л и А' называется сечением, если х<у для любых хеА
и уеАСечение будем обозначать <А, А '>. Множество А называется
нижним классом сечения <А,А '>, а множество Аверхним.
Число абЛаЦ, называется минимальным (или наименьшим) элемен-
том или числом в Л (обозначение а=ттЛ), если а £х для любого хеЛ.
Аналогично хеЛ называется максимальным (или наибольшим) элемен-
том или числом в Л (обозначение а=тахЛ), если а^х для любого хе А.
Пример #1.Примеры сечений.
1. Пусть г - произвольное рациональное число. Положим Л = {хеЦ_:
х S г} и Л'={х eQj х>г}, тогда <Л,Л '> - сеченйе. Ясно, что /=шах4.
Л' минимального элемента не имеет.
2. Пусть г - произвольное рациональное число. Положим A = {xeQ^:
:х<г}и Л'={хе<^: х^г},тогда <А,А'>-сечение. Ясно,что г=пппЛ'.
Л максимального элемента не имеет.
3. Пусть Л' = {хеЦ_: х2< и Л' = {хе<^: х2>1} . Очевидно, что Л и
А' образуют сечение. Покажем, что в Л нет максимального элемента, а
80
Глава I. Числа и фигуры
в А'- минимального. Пусть хе А, выберем натуральное n>Q~rvl)
т- ( . 1V 2 2х 1 2 2х+1 „ л
где v - знак максимума. Тогда х+— I -х +—+-s-<x +--------<2. По
V nJ п п п
этому х+1/л е А, т.е. никакое число х е А не будет максимальным
Аналогично показывается, что в А' нет минимального элемента.
Для произвольного сечения <А,А'> существуют три возможности:
1) А содержит максимальный элемент;
2) А' содержит минимальный элемент;
3) в Л нет максимального элемента, а в Аминимального.
Четвертая возможность-в А есть максимальный элемент г, а в Л'ми
нимальный элемент s исключается, поскольку число г0 = (г+5)/2 ра
ционально и r<r0<s, т.е. г0 не принадлежит ни Л, ни Л', что противоре
чит равенству Л +Л '=
В первых двух случаях число шахЛ или соответственно min Л' назы
вается граничным. В принципе совершенно безразлично, к какому мно
жеству относить граничное число, но согласно установившейся традицн!
граничное число относят к верхнему классу, и возможность 1) исключа
ют из рассмотрения, а оставшиеся два сечения называют правильными.
Если верхний класс правильного сечения <ЛПЛГ'> имеет граничны]
элемент г = пнпЛ' то это сечение называется собственным, в противно)
случае правильное сечение называют несобственным. Собственное се
чение называют рациональным числом по Дедекинду, а несобственное -
иррациональным числом по Дедекинду. Обозначим множество всех се
чений через CutQ^, его элементы называются действительными числам)
по Дедекинду. Если каждому собственному сечению <Л„ЛГ'> поставит
в соответствие число г, то полученная функция будет изоморфизмом ме
ЖДУ множеством рациональных чисел О_и множеством всех собственны
сечений QcCutQ^. Причем этот изоморфизм сохранит порядок на Q_i
все алгебраические операции, о чем мы будем говорить дальше. Поэтом;
мы можем отождествить г и <Аг,А/> или Ц_и Q и считать CutQ_ рас
ширением множества рациональных чисел Конструкция Дедекинд:
допускает естественную геометрическую интерпретацию (рис. 22):
А а А"
Рис. 22
- собственное сечение
(рациональное число г)
- несобственное сечение
(иррациональное число а)
§2. Действительные числа
81
и расширение до Cut геометрически соответствует заполнению
всех щелей (дыр) на рациональной прямой, или, как говорят математики,
пополнению рациональной прямой.
Кратко опишем правила действий с сечениями , т.е. с числами по Деде-
кинду, и их свойства.
Равенство сечений. Произвольные сечения а=<А,А'>м Р=<В,В'>
называются равными (а=/7), если А =В, откуда следует, что А '~В'.
Отношение порядка. Пусть а-<А,А'> и р-<В,В'>. По определе-
нию Р>а,если АсВ.
Свойства отношения порядка на CutQ~ последовательно изложим без
доказательств.
1. Для любых рациональных чисел г и s отношение r<s равносильно
тому, что <Аг,А/> < <Вг,В/>.
2. Для любых действительных (по Дедекинду) чисел а, р справед ливо
одно и только одно из отношений: а< Р, или а>р, или а=р.
3. Если а<Ри Р< у, то а< у (транзитивность).
4. Среди действительных (по Дедекинду) чисел нет ни наибольшего, ни
наименьшего.
5. Если а и р произвольны, причем а< р, то всегда существует такое
рациональное г, что скг<р. Отсюда сразу следует, что между а и р
существует бесконечно много рациональных чисел.
6. Для любого действительного (по Дедекинду) числа а и s> 0 сущес-
вуюттакие рациональные г и s, что r<a<s<+&
7. Действительное (по Дедекинду) число р называется верхней гранью
множества //(zCutQ^, если х^р для любого хеН. Множество, обла-
дающее верхней гранью, называется ограниченным. У ограниченного
сверху множества много внешних граней: если р - верхняя грань, то
P+h,h>0, также будет верхней гранью.
Аналогично (с переменой знака £ на S) определяется нижняя грань.
Верхняя грань а множества действительных чисел Н называется точ-
ной верхней гранью Я (обозначение a — sup//), если любая другая верх-
няя грань Н будет больше, чем а. Аналогично определяется точная
нижняя грань inf//.
Справедливо утверждение: любое Нс. Cutограниченное сверху (со-
ответственно снизу), имеет supH (соответственно inf Я).
С геометрической точки зрения это означает, что числовая прямая, на
которой точки отождествлены с действительными числами по Дедекинду,
не имеет щелей, т.е. полна.
6-5091
82
Глава I. Числа и фигуры
8. Пусть G,//GCutQj будем писать G<H, если х<у для любых xgG
и у^Н. Справедливо утверждение: пусть G<H (G, Н * 0) и для любого
е> 0 существуют такие xeG и уеН, что у-х<е, тогда supG = inf7f.
Таким образом, действительные по Дедекинду числа обладают всеми
привычными свойствами чисел относительно порядка (см. 29).
Арифметические операции. Дадим предварительное определение.
Пусть Л и В- произвольные множества рациональных чисел. Положим
Л+В={х=а+А:аеЛ, beB}, A-B={x=ab: аеА,ЬеВ}.
Для отождествления рационального числа г и соответственно собст-
венного сечения <Аг,А/> введем обозначение г=<Аг,А/>-, также бу-
дет использоваться обозначение <А„ A/> = is (г).
Если r,seC^ r = <Ar,A/>, s=<B„B,'>, то нетрудно доказать, что
пара (Аг + Вг, А/+ В,') будет собственным сечением, причем г + s =
= <Аг+В„А/+В/>.
Рассмотрим общий случай: пусть а=<А,А'> иД=<В,В'>-<произволь-
ные действительные (по Дедекинду) числа. Очевидно, что (А+В)<(А '+В'),
причем нетрудно доказать, что для множеств G=is (А+В) nH-is(A'+B')
выполнены условия утверждения из свойства 8 д ля отношения порядка.
Теперь полагаем а + sup (is (А +В)).
Элементарно доказывается, что для рациональных а и Р это опреде-
ление совпадает с предыдущим.
Заметим, что возникает соблазн «определить» сложение более про-
стым путем, полагая а+)9=<Л+В,Л'+В/>, однако пара <Л+В,Л'+В'>
не обязательно будет сечением: если А - {г<2: (2-г)2<2} и В = {г>2:
:(г-2)2<2}, т.е. а=2-л/2,Д = 2+л/2 , то а + Д=4, но 4еЛ'+В'. Ис-
пользуем это как очередной повод напомнить о необходимости соблюдать
точность.
Противоположное число -а для иррационального а=<А,А'> опре-
деляется равенством -а = <-А,-А'>. При определении рационального
а будет маленькая тонкость (подумайте какая!).
Далее обратимся кумножению. Пусть а~<А,А'> nfl- <В,/^-про-
извольные числа, причем хотя бы одно из них положительно. Тогда АВ <
<А'В', и, используя, как и для сложения, утверждение из свойства 8,
определяем afi= sup (is (A-В)), (sup(is(A-B) = inf (is(A'B')). Нетрудно
показать, что для рациональных а и р (одно из них положительно)
справедливо равенство ар-а-<АВ,А 'В'>.
Если же а,р< 0, то полагаем аР — -а (~р).
Теперь остается доказать, что операции сложения и умножения облада-.
§2. Действительные числа
83
дают всеми естественными свойствами (см. 25 или 29). Перечислять их
еще раз не будем.
Для полноты картины следует ответить на два вопроса. Первый: како-
во различие между действительными числами по Вейерштрассу и по
Дедекинду? Ответ именно таков, какой и следовало ожидать: можно до-
казать, что множества действительных чисел по Вейерштрассу и по
Дедекинду изоморфны, т.е. две разные конструкции в конечном счете
приводят к одному и тому же объекту. Однако в этих конструкциях есть
одно принципиальное различие: в отличие от десятичных приближений
конструкция Дедекинда сразу же использует новые объекты - множест-
ва, причем множества бесконечные. О проблемах, связанных с «актуаль-
ной бесконечностью» уже говорилось, подробно эти проблемы будут об-
суждаться в §4 гл.VI. С другой стороны, геометрическая интерпретация
конструкции Дедекинда более естественна, также более естественной в
конструкции Дедекинда выглядят аксиома о точной верхней грани (29).
Второй вопрос: что получится, если рассмотреть сечение во множестве
CutQj> Ответ - ничего нового; полученное множество будет изоморфно
Cut<^, т.е. в виде формулы Cut (CutQjs Cut<^.
Что касается сложности каждого из построений, то в полном объеме с
доказательствами они имеют примерно равную сложность и в этом
смысле выбор одной из них для профессионала будет делом вкуса. При
желании подробное изложение конструкции Дедекинда вместе с доказа-
тельствами можно найти, например, в книгах: Александров П.С. Введе-
ние в теорию множеств и общую топологию. М., 1977; Фихтенгольц Г.М.
Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., 1969.
Определение действительного числа по Кантору. Совсем иная конст-
рукция, связанная с идеями математического анализа (91-95), была
предложена д ля определения действительного числа Георгом Кантором.
В основу конструкции Кантора легло понятие числовой последователь-
ности. Произвольная функция х: ставит в соответствие каждому
натуральному л определенное рациональное число хв. Множество рацио-
нальных чисел (х.)^!, занумерованных натуральными числами, называ-
ется последовательностью (фактически с последовательностью десятич-
ных цифр мы уже встречались, когда рассматривали бесконечные деся-
тичные дроби). Последовательность записывают также в ваде xi,...,xm...
Среди последовательностей рациональных чисел выделяются такие, что
расстояние (разность) между любой парой элементов последовательно-
сти при возрастании их номеров становится сколь угодно малой - они
называются фундаментальными. Понятие фундаментальности формали-
6-
84
Глава I. Числа и фигуры
зуется следующим образом: последовательность рациональных чисел
(*п)»21 называется фундаментальной, если для любого рационального
числа £>0 существует такое натуральное N, что \хт-хп\<е для всех
m,n>N.
Определим понятие равенства для двух последовательностей. После-
довательности (хя) и (у„) называются равными, если д ля любого рацио-
нального $>0 существует такое натуральное N, что |x„-j„|<₽ для всех
n>N, т.е. разность |х„ - _у„| становится сколь угодно малой при больших
п (такой прием отождествления не нов: много разных по виду дробей
также оказывались равными (7)). Всевозможные фундаментальные по-
следовательности с определенным выше отношением равенства образу-
ют множество, которое обозначим SeqC^.
Пусть г-произвольное рациональное число, последовательность (г)=
= г,...,г,... называется стационарной. Каждая стационарная последова-
тельность (г) называется рациональным числом в SeqC^, при этом счи-
тается, что любая последовательность (х„), равная (г), это есть то же са-
мое число г. Обозначим множество всех рациональных чисел в SeqQ
через Q. Все числа в SeqQ^, не являющиеся рациональными, будем на-
зывать иррациональными числами по Кантору, а само SeqQ^- множест-
вом действительных чисел по Кантору.
Определим на множестве действительных чисел (по Кантору) отноше-
ние порядка. Если £-(хя)~ иррациональное число (по Кантору), то мож-
но показать, что д ля любого геС^ существует такое натуральное N-N(r),
что либо г<Хя,либо г>х„ для всех п >N\ соответственно полагаем £>г
или £< г. При этом несложно доказать, что определение не зависит от
выбора (х„) из всех равных последовательностей, определяющих т.е.
для любой последовательности (хя')=(хя) результат такой же. Так же ДЛЯ
любых двух разных иррациональных чисел £ = (х„) и q = (у„) при всех
достаточно больших п либо хя <у„, либо х„ > у„, тогда соответственно
полагаем £> q или £< q. При этом результат также не зависит от выбо-
ра конкретных последовательностей из любых равных между собой.
Определенное отношение порядка обладает всеми свойствами, указан-
ными д ля порядка действительных чисел по Дедекинду.
Алгебраические операции определяются самым естественным образом.
Пусть £=(х„) и q-(y^~ произвольные числа из Seq<±. Несложно дока-
зать, что последовательности (хя+уя),й1 и (x„%)„2i фундаментальны. По-
этому определение суммы и произведения равенствами £+ q-(х„+уя) и
g-q=(x„-y„) корректно и не зависит от выбора последовательностей (х„)
§2. Действительные числа
85
и (у») в обычном смысле: если (х„') - (х„) и (у„') == (у„), то (х„'+у„') -
= (х„ + у„) и (х„'- у„') = (х„ • у„). Определенные таким образом операции
обладают всеми обычными арифметическими свойствами.
Отождествление г=(г) сохраняет все обычные свойства рациональных
чисел, поэтому множество действительных чисел по Кантору SeqQ. мо-
жем считать расширением Множество SeqQ. будет изоморфной ко-
пией множества действительных чисел R (с сохранением порядка и ал-
гебраических операций).
Отметим, что конструкция Кантора так же, как и конструкция Деде-
кицда, с самого начала использует актуально бесконечные множества.
Итак, три разные на первый взгляд конструкции на самом деле приво-
дят к одному и тому же объекту (с точностью до изоморфного отождеств-
ления) -действительным числам.
Действительные числа и их свойства
Изложение основных свойств действительных чисел в виде системы аксиом:
алгебраических аксиом, аксиом порядка, аксиомы о точной верхней грани (29).
Основные следствия из аксиом, которые постоянно используются при работе
с действительными числами (30-33). Теорема единственности (34)
29. Аксиоматика действительных чисел, В 23 мы достигли основной
цели, поставленной в этой главе: отправляясь от натуральных чисел,
построили действительные числа и тем самым подготовили базу д ля из-
ложения математического анализа. Построили достаточно четко, обсу-
див на идейном уровне все трудности; конечно, доказательств нет, но это
и не входит в нашу задачу.
Теперь будет удобно изложить все необходимые свойства действитель-
ных чисел в евклидовом ключе-по образцу геометрии. А именно: основ-
ные свойства действительных чисел сформулируем в виде компактной,
но полной системы аксиом, однозначно их (числа) определяющей. А да-
лее сформулируем основные следствия (такой подход порадовал бы
древнегреческих математиков).
Изложим аксиоматику действительных чисел.
Множеством действительных чисел R называется множество, для всех
элементов которого (действительных чисел) определены следующие
операции и справедливы следующие аксиомы.
Для любых д вух действительных чисел х и у определены действитель-
ные числа: х+у, называемое их суммой, и х-у, называемое произведени-
ем (произведение также записывается в ваде хху или просто ху), кото-
рые обладают следующими свойствами.
86
Глава I. Числа и фигуры
I. Свойства сложения.
1. x+(y+z) = (x+y) + z (ассоциативность сложения).
2. х+у=у+х (коммутативность сложения).
3. Существует число, называемое нулем (0), такое, что
0+х=х.
4. Д ля любого действительного числа х существует число (-х), назы-
ваемое противоположным, такое, что 1
(-х) + х=0.
II. .Свойства умножения.
1. x(yz) = (xy)z (ассоциативностьумножения).
2. ху=ух (коммутативность умножения).
3. Существует число, называемое единицей (1), такое, что
1х=х.
4. Для любого действительного числа х#0 существует число х'1, на-
зываемое обратным, такое, что
хх“’= 1.
III. Дистрибутивность.
x(y+z)=xy+xz.
Все равенства справедливы при любых значениях переменных.
IV. Отношение порядка. Д ля любых чисел х и у справедливо хотя бы
одно из отношений х£у(хменыпе или равно у) или у Sx со следующими
свойствами:
1. xSx для каждого х; из xSy,У ^х следует х-х.
2. Из хSy, у Sz следует xSz (транзитивность).
3. Из х Sy для любого z из R следует x+z^y+z.
4. Из 0Sx, 0Sy следует 0 Sxy.
Отношение х Sy записывается также в эквивалентном вцде у £ х (у
больше или равно х). Отношение xSy при х#у записывается в ваде х<у
(х меньше у) или у>х(уболыпех).
V. Точная верхняя грань. Действительное число t называется верхней
гранью подмножества действительных чисел XcR, если xS t д ля каждо-
го хеХ
1. Множество, обладающее верхней гранью, называется ограниченным
сверху. У ограниченного сверху множества много верхних граней: если
t - верхняя грань, то, очевидно, t+h, h>Q, также будет верхней гранью.
$2. Действительные числа
87
2. Верхняя грань s подмножества действительных чисел X называется
точной верхней гранью X, если любая другая верхняя грань X больше,
чем 5. Точная верхняя грань множества X обозначается supJf (от лат.
supremum - наивысшее, наибольшее).
Очевидно, supX единственна.
Аксиома точной верхней грани. Любое ограниченное сверху под-
множество действительных чисел имеет точную верхнюю грань.
Аксиома точной верхней грани эквивалентна совместно принципу Кан-
тора и аксиоме Архимеда. Фактически именно на этой аксиоме строится
вся теория пределов.
Множество, обладающее всеми рассмотренными свойствами,
существует-им является построенное нами множество R (23).
Пример 18. Примеры точной верхней грани разных
множеств.
1. Множество натуральных чисел N не ограничено сверху и точной
верхней грани не имеет.
2. Х=«хя = 1 + ^-:л=1,2,...|=|о,|,|,|, j,..J. Для любого
1 13
п-lk,й=1,2..имеем 1+—<l + -=j, поэтому Яф-Х® 3/2.
3. Х= |хя =-|: л=1,2,...|=|-1,-|,-|,...,-|,...|; supX=0.
Докажем п. 3. Очевидно, что 0 - это верхняя грань множества X. По-
кажем, что на самом деле это точная (т.е. минимальная) верхняя грань.
Действительно, если какое-то число -s, где е > 0, тоже будет верхней
гранью, то возьмем, пользуясь аксиомой Архимеда, такое л, что л >-.
Тогда е>- и значит, никакое отрицательное число не может
п я
быть верхней гранью множества X, т.е. supAf = 0.
4. Х = {х„ = 1-^: л = 1,2,...|, supA^=l.
Доказательство аналогично проведенному в п. 3.
Укажем основные следствия из аксиом, которые используются при ра-
боте с действительными числами.
88
Глава I. Числа и фигуры
30. Следствия из алгебраических аксиом (1-Ш).
Следствия из аксиом сложения.
1. Во множестве действительных чисел существует только один нуль.
2. Для каждого действительного числа х существует лишь один про-
тивоположный элемент.
3. Уравнение х+a-b имеет единственное решение х-b-а.
Следствия из аксиом умножения.
1. Во множестве действительных чисел существует только одна единица.
2. Для каждого действительного числа х#0 существует лишь один об-
ратный элемент.
3. Если ху=0, то либо х=0, либоу=0.
4. (-1)х=-х.
5. Обратный элемент записывается также в виде 1. Произведение
х-— записывается также в ваде — или х/у и называется частным (от-
У У
ч ~ 111
ношением) х и у. Справедливо равенство —= —.
6. х , У
и V UV
7. Уравнение ах=Ь,а*0, имеет единственное решение х=Ь/а.
8. По определению, для любого п-1,2,...
х”=х-...-х п раз
и называется л-й степенью числа х. По определению, для любого х#0
х°=1, Х~"“— .
х
Для любых целых степеней J и Л
ХЛ* = Х/Х*(
(х)У = х}к.
31. Следствия из аксиом порядка.
Связь порядка и операции сложения.
1. Неравенства х£у, 0 £у-х, -у£-х, х-у £0 эквивалентны. То же для
строгих неравенств.
2. Правила сложения неравенств. Если х<у, то x+z <_y+z для любого
zeR.
3. Если Xi £yi х„<.у„, то Xi +...+ х„£.У1 Если хотя бы одно из
этих неравенств строгое, то Xi +... +х„ <yi +...+у„.
§2. Действительные числа
89
Связь порядка и операции умножения.
1. Если х>0 и/>0,то х/>0; если х£0,/^0, то х/£0; если х£0,/£0,
то х/^0.
2. Если х£у и 0<5, то xs£ys\ если х<у и 0<s, то xs<ys.
3. Если 0<х£/ и 0<5^/,то 0<xs£yt-правило перемножения нера-
венств.
4. Если 0<х</, то 0<х"</" для всех пж 1,2,...; если 0<х£у, то 0<x*^y.
5. Если 1<х, то 1<х<х*<х3...; если0<х<1,то 1>х>х2>х3>...
6. х2 £ 0 для любого х; если х>0,то —>0; если 0<х</,то 0<-<-.
х ух
7. Если число х неотрицательно и меньше любого положительного чи-
сла, то х=0.
32. Максимум. Минимум. Модуль. Если х£у, то х называется мини-
мальным из чисел х и у (минимумом), /-максимальным (максимумом).
Минимум двухчисел хи/ обозначается хлу или min{x,/}, максимум
обозначается xv/ или шах{х,/}.
Минимальным из чисел хь..., х„ (минимумом) называется такое х* из
них, что x^xj для всех/9 1 п. Максимальным из чисел хь...,хя (макси-
мумом) называется такое xt из них, что x&xj для-всех/ = 1,...,л. Мини-
п
мальное из чисел хь..., х„ обозначается л х> или min xt, максцмаль-
t«l * I4c*n
п
ное - v Xu или max хк .
Ь=1 к
Число | х| =(-x)vx называется модулем или абсолютной величиной
числа х. Ясно, что | х| — х, если х 0, и | х | = -х, если х £ 0. Для любого
х число |х|гЮ и |х| = |—х|. Для всех хи/ имеем |х/| = |х||/| и
х |х| _
- =г-г .если у#0.
У М
Для любого о > 0 неравенство | х | S а равносильно неравенству
-а^х^а, неравенство | х | <а - неравенству -а<х<а.
Для любых хи/
||х|-|/||^|х + /|^|х| + |/| и ||х|-И|^|х-/|.
Для любых ХЬ...,ХЯ
|х1+...+хя|^|хг| + ... + |хя|.
90
Глава I. Числа и фигуры
33. Следствия из аксиомы о точной верхней грани. Множество УсИ
называется ограниченным, снизу, если существует такое действитель-
ное число х, что х<,у для любого ytY. Всякое такое х называется ниж-
ней гранью. Если х - нижняя грань Y, то -х-верхняя грань множества
-У={-у: yeY}, и наоборот, поэтому, если множество Y ограничено сни-
зу, то множество -Y ограничено сверху, и наоборот.
Нижняя грань х множества Y называется точной нижней гранью, если
любая другая нижняя грань меньше, чем х. Точная нижняя грань мно-
жества Y обозначается inf У (от лат. infimum - низшее, наименьшее).
Справедливо утверждение: если 5 = supJV, то -s ж inf (-J); напротив,
если X” inf У, то -x=sup(-F).
Пример 19. Примеры точных верхних и нижних граней.
1. N не ограничено сверху. infN«l.
2. Z не ограничено ни сверху, ни снизу.
3. Пусть Х= I-: л = 1,2,...I, тогда infX=0, supX= 1; inf(-A’) = -l,
I n J
sup(-^)=0.
4.
5.
Пусть X=(-N)u( —: л = 1,2,...1. Тогда:
n J
X не ограничено снизу, a supA'=l,
(-X) не ограничено сверху, a inf(-J3=-l.
Если X “ •! : п = 1,2,
п
to supA'=l/2, infX=-l.
6.
Если X=J(-1)" 1
л = 1,2,...?,, to supX=l, infJV=-l.
Г
n
Из аксиомы существования точной верхней грани следует существо-
вание корня произвольной натуральной степени л из любого числа х>0
(т.е. такого у, что У=х). Напомним, что этот корень обозначается я/х .
Идея доказательства весьма прозрачна. Рассматривается множество
А = {zeR: z£0, z"Sx). Показывается, что А непусто и ограничено сверху.
Тогда, по аксиоме V (с. 86), множество А имеет точную верхнюю грань
у - sup Л. Доказательство равенства sup Л «я/х ведется от противного.
Предположение У <х быстро приводит к противоречию при помощи не-
равенства (у+Л)"-У £Л[(1+у)"-У],0£й£1 (егодоказательство-в примере
71.3): пусть х~У= £>0, тогда, взяв Л<
min^l,
----—получим (у+Л)"5
(1+у--У)
§2. Действительные числа
91
+ вжх, что противоречит равенству у* sup Л. Аналогично приводится
к противоречию предположение у > х. Единственность доказывается
совсем просто.
£
Корень степени п из * обозначается также xv" или х" . По определе-
нию, ^/x*”=xk/", keZ, откуда быстро следует, что (я/х)* = х*/я и
~ (Vx) * в х“*/я, что определяет степенную функцию у=хг для
любого рационального г. Для степённой функции с рациональным пока-
зателем справедливы равенства:
х^'-х'-х’,
(х')'жх",
(ху)г=х'-уг,
х,у>0, r.seC^-произвольны.
Из аксиомы существования точной верхней грани следует принцип
Архимеда, откуда в свою очередь вытекает, что любой интервал содер-
жит рациональную точку. Доказательства можно при желании посмот-
реть в [13].
Из аксиомы существования точной верхней грани следует принцип
Кантора и свойство полноты прямой.
34. Единственность множества действительных чисел. В заключение
остановимся на одном важном и интересном вопросе: однозначно ли сис-
тема аксиом действительных чисел определяет эти числа? Иначе говоря,
существуют ли пространства действительных чисел, отличные от того,
которое мы построили в данной главе? Ответ на этот вопрос отрицате-
лен. Точная формулировка этой важной теоремы выглядит следующим
образом.
Если кроме R есть еще одно множество R', удовлетворяющее всем
аксиомам действительных чисел (I-V), то существует изоморфизм
is: R->R', сохраняющий все алгебраические операции, порядок и струк-
туру непрерывности, т.е. если х'=is (х), у'1* is (у), то
1) is(x+y)“x'+y;
' 2) is(xy)=xy;
3) из х<у следует х'<у';
4) если x^supA, АсК,то 5ир[1‘$(Л)]“х'.
92
Глава I. Числа и фигуры
Это означает, что R' является копией множества действительных чисел
К. и элементы R* так же неотличимы от множества действительных чи-
сел, как, например, целые числа от дробей с единичными знаменателями.
Подробно свойства действительных чисел и почти все доказательства
результатов этого параграфа можно посмотреть в [ 13].
§ 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Генезис
Решение алгебраических уравнений и комплексное числа; формула Кардано-
Тартальи и преобразования Бомбелли; проблемы, связанные с определением
комплексных чисел (35)
35. Появление комплексных чисел и их развитие. В XVI в. в Италии были распростране-
ны математические турниры, на которых участники в присутствии публики излагали решения
задач, предложенных ранее каждому его противником. Эти соревнования собирали много
зрителей (чем, вероятно, способствовали популярности и улучшению материального поло-
жения победителей). Как известно, это был не единственный вид турниров - в те времена
сохранились еще военные рыцарские турниры (на одном из таких турниров в 1547 г. был
смертельно ранен французский король Генрих II Валуа). Такого рода турниры сохранились и
поныне, трансформировавшись в школьные и студенческие олимпиады и спортивные сорев-
нования соответственно.
Итак, 12 февраля 1535 г. в Италии состоялось математическое соревнование между мате-
матиками Фиоре и Тартальей. Фиоре (Fiore) был учеником профессора Болонского универси-
тета Сципиона дель Ферро (S.del Ferro, 1456-1526), Никколо Тарталья (N.Tartaglia, 1500-
1557) - преподавателем математики. Тарталья (заика) было его прозвищем (настоящая фа-
милия - Фонтана), которое он получил из-за того, что после военного ранения в горло не мог
свободно разговаривать. Тарталье было предложено решить около 30 алгебраических урав-
нений третьей степени вида х3+ах=b, a,b>Q. Тогда еще ие были известны общие формулы
решения уравнений третьей степени, поэтому задачи, предложенные Тарталье, оказались
весьма серьезными (для того времени).
Однако, как узнал Тарталья, профессор дель Ферро умел решать некоторые уравнения
указанного вида. А поскольку эти решения были средством конкурентной борьбы, профессор
ие стал публиковать полученные результаты, но сообщил их своим ученикам, в числе которых
находился Фиоре. За неделю до дня соревнований Тарталье удалось найти общий вид реше-
ния этих уравнений и с блеском победить на турнире (подробно об этом можно прочесть у
Цейтена [11, с. 18-20 и 89-98] или в книгах: Гиндикин СТ. Рассказы о физиках и математи-
ках//Квант. 1981.Вып.14; ГутерР.С., Полунов Ю JI. Джироламо Кардано. М., 1980).
Вскоре Тарталья нашел также решения уравнений и х?+Ь=ах (все коэффициен-
ты положительны). Для нас сейчас все эти варианты объединяются в единое уравнение
x?+ax+b=0, a,bcR, ио тогда, напомним, отрицательные числа предпочитали ие использовать.
Формулы, полученные Тартальей, были сообщены им своему коллеге, профессору Милан-
скрго университета Джироламо Кардано (G.Cardano, 1501-76), давшему обещание ие раз-
глашать их. Однако в своем труде «Великое искусство в вопросах алгебры» (Ars magna de
rebus algebraids), изданном в 1545 г., Кардано подробно изложил результаты Тартальи,
воздав ему должное как автору. Поэтому теперь эти формулы принято называть по имени
автора первой публикации формулами Кардано. Тарталья был глубоко обижен на человека,
нарушившего клятву. О последующем бурном развитии событий можно прочитать, напри-
мер, в [ 11 ].
§3. Комплексные числа
93
Формула для решения уравнения х*+Ь=ах, найденная Тартальей, выглядела так:
Эта формула действительно позволяет найти один корень (из трех) этого уравнения. Однако в
случае, когда (b/2)2- (а/З)3 < 0, возникают проблемы.
Так, например, Рафаэль Бомбелли (см. 3), рассматривая в своем очень известном впослед-
ствии труде «L'Algebra parte m«ggiore dell* Aritmetica» (Bologna, 1572) среда прочих кубиче-
ское уравнение jt-15x+4, нашел его корень х-4, который по правилу Тартальи должен
быть равен ^2 +л/-12? + -J2--7-12?. На самом деле таких примеров набралось немало.
В общем, не сдан раз получалось, что в процессе решения возникали какие-то странные, но
полезные числа, которые к концу решения должны были исчезнуть: вроде числа были
(результат-то получался правильный), а с другой стороны, вроде как и нет - эдакие, образно
говоря, созданья «дикие, но симпатичные». Причины этого парадокса долгое время остава-
лись непонятными (это теперь любой математик знает, что кубическое уравнение имеет три
действительных корня именно в «непривод имом случае», когда под знаком квадратного корня
в формуле Кардано - Тартальи стоит отрицательный дискриминант (Ь/2)2- (а/з)3 ).
Выход мог быть только сдан: где-то «по дороге» непонятные квадратные корни из отрица-
тельных величин должны были уничтожиться в результате правильных алгебраических пре-
образований. Значит, нужно было сформулировать правила действий с этими «мнимыми»
объектами, отложив их строгое определение иа будущее. Так и поступил Бомбелли, сформу-
лировав в своей «Алгебре» основные правила арифметических действий с этими «мнимыми»
числами, хотя и считал их в то время бессмысленной и хитроумной (ио полезной) выдумкой.
Кстати, заслуга введения в устойчивый математический оборот термина «мнимые числа»
принадлежит Декарту.
Как мы помним, в то время еще не разобрались как следует с иррациональными и даже
отрицательными числами, а тут такая напасть при решении кубических уравнений (и уравне-
ний 4-й степени, кстати, тоже - формулы для решения уравнений 4-й степени были найдены
Кардано и его учеником Луцджи Феррари (LFerrari, 1522-65)).
Как очень остроумно и точно пишет Моррис Клайн ([5, с. 138]):
«Так и не преодолев трудностей, связанных с иррациональными и отрицательными числами,
европейцы еще более'увеличили свое, и без того тяжкое бремя, когда набрели на новое от-
крытие, значение которого они осознали далеко ие сразу, - комплексные числа».
Таким образом, европейские математики именно «набрели» на открытие комплексных
чисел в процессе решения реальных задач; и ие надо думать, что причина появления ком-
плексных чисел была в том, что невозможность извлечения квадратного корня из -1 так
отравила жизнь какого-то великого математика, что ои ие успокоился, пока этот корень не
извлек, или в том, что другому великому математику мнимая ед иница i (см. 36) свалилась на
голову, как легендарное яблоко Ньютона.
Даже Ньютон, Лейбниц и Эйлер (Leonard Euler, 1707-83, швейцарец по национальности, с
1727 г. работал в Петербургской академии наук, академик с 1731 г., академик Берлинской
академии наук, где работал с 1744 по 1766 г., автор значительных результатов во всех облас-
тях математики того времени, внес существенный вклад в развитие математической физики,
небесной механики, астрономии, гидравлики, кораблестроения, баллистики, картографии,
оптики, автор 886 научных трудов), «трижды величайшие», выражаясь термином древних
эллинов («трисмегист», «трижды величайший» - так они величали Аполлона), не понимали
как следует, что же такое это комплексное число (все это ие помешало, однако, Леонарду
94
Глава I. Числа и фигуры
Эйлеру решить с помощью комплексных чисел немало задач вычислительной математики, а
также гидродинамики и картографии, кстати, именно он ввел символ i для мнимой ц&нищл).
Так, Ньютон во «Всеобщей арифметике» (1728) писал:
«Корни уравнений часто должны быть невозможными [комплексными] именно потому, что
они призваны выражать невозможные случаи задачи так, как если бы те были возможны».
Таким образом, согласно этой фразе, комплексные числа описывают решение задач, ие
имеющих физического смысла. Однако самое умопомрачительное высказывание принадле-
жит Лейбницу:
«Дух божий нашел тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойст-
венной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимыми
числами».
Но проблемы оставались. Только в результате трудов Эйлера, Гаусса, Лапласа, Коши,
Вейерштрасса, Римана, многочисленных применений комплексных чисел и функций ком-
плексного переменного в задачах физики и механики, а также после появления геометриче-
ской интерпретации комплексного числа (независимо Гаусс (1797), Бессель (1799), Арган
(1806)) отношение к комплексным числам, как к «нереальной сущности», было преодолено.
В настоящее время комплексные числа и методы теории функций комплексного переменно-
го являются мощным и эффективным аппаратом решения важнейших задач математической
физики и статистики.
Комплексные числа и операции над ними
Определение комплексного числа и операций сложения и умножения; свойства
алгебраических операций с комплексными числами (36). Поле комплексных чисел
как расширение поля действительных чисел, соглашения об упрошенной записи
комплексных чисел и их алгебраических выражений (37). Модуль комплексного
числа и комплексно сопряженные числа, их свойства, примеры (38)
36. Основные определения. Сформулируем задачу. Необходимо опре-
делить числа, включающие в себя все действительные числа, и сделать
корректными все операции при решении алгебраических уравнений.
Принципиальная идея такова: пополним запас действительных чисел
таким новым числом i, что »2= -1; новые числа будут иметь вид a+ib,
алгебраические операции с ними будут совершаться так же, как с линей-
ным полиномом а+х&; причем новые числа окажутся алгебраическим
расширением действительных чисел, т.е. для них все девять алгебраиче-
ских свойств (29) будут выполнены и любой полином будет иметь корень
(теорема Гаусса, см. с.514).
Формализуем эту идею, последовательно определив: равенство этих чи-
сел, алгебраические операции над Ними и свойства этих операций. Ком-
плексным числом называется выражение z=x+iy,x,yeHL, причем х назы-
вается действительной частью комплексного числа и обозначается Rez,
у-мнимой частью z и обозначается Imz. Таким образом, z=Rez+t Imz.
Знак сложения, участвующий в определении комплексного числа, не
имеет ничего общего со знаком сложения действительных чисел. Он, как
§ 3. . Комплексные числа
95
и i, является формальным символом, оба этих символа будут определены
теми законами (аксиомами), сформулированными ниже, которые позво-
лят нам работать с ними. Но по традиции этот символ совпадает с
обычным знаком сложения действительных чисел, поскольку это не мо-
жет вызвать никаких недоразумений.
По определению, равенство д вух комплексных чисел z\=z2 означает,
что Reziж Rez2 и Imzi = Imz2. По определению, суммой двух комплексных
чисел называется число z1+z2s(Re*i+Rez2)+t(Imzi + Imz2). Более по-
дробно: если Zi=xi+iyi,z2=x2+My2, то суммой комплексных чисел zt и z2
называется комплексное число zt+z2- (xi +х2)+ i(yi +yz). Знак сложения
внутри скобок - это обычный знак сложения действительных чисел.
I. Свойства сложения.
1. zi + (z2+z3) = (zi+z2)+z3 (ассоциативность сложения).
2. z^+z2=z2+zx (коммутативность сложения).
3. Для любого комплексного z
z+(0+i0)=z,
поэтому число О+iO называется нулем операции сложения.
4. Для любого z=x+iy число (-x)+i(-y) обозначается -z. По опреде-
лению сложения, z+(-z)~O+iO, поэтому число -z называется противо-
положным или обратным по операции сложения. Таким образом,
-z=(-Rez)+i (-Imz).
По определению, произведением двух комплексных чисел zt = xt+iyx
и z2 = x2+iy2 называется число
Zj -z2 = (xjX2-yxy2) + i (хху2 + х2ух ),
которое также обозначается zx z2. Внутри скобок - обычные алгебраиче-
ские действия над действительными числами.
II. Свойства умножения.
1. zi(z2Zi')!s(ziZ^Z3 (ассоциативность умножения).
2. zjz2=z2zi (коммутативностьумножения).
3. Для любого комплексного z, по определению,
z(l+i'O)=z,
поэтому число 1+tO называется единицей операции умножения.
4. Для любого комплексного числа z=х+iy, по определению умноже-
ния, z-ГЗТТГ+Ц-ТгТТГ “1, поэтому число -yy-y+i—Ат
\х +у \ X +у J) (_х +у к х +jrJ)
(см. также 5, с.98) называется обратным к z и обозначается z-1.
Ill. Дистрибутивность.
Для любых комплексных чисел z, , w2
96
Глава I. Числа и фигуры
z(wj +M’2) = ZW’1 +zw2.
Это равенство называется законом дистрибутивности комплексных чи-
сел. Все равенства справед ливы при любых значениях переменных.
Доказывать эти равенства мы не будем, хотя сделать это совсем несло-
жно - они вытекают из свойств действительных чисел.
Нетрудно показать, что из условия Zj z2 = О следует, что либо zt = О,
либо z2 = 0.
Очевидным образом задается деление комплексных чисел, обозначае-
мое прямой или косой чертой: по определению, — = z w-1, поэтому, если
w
z=x+iy, w=u+iv, то
Z / \( и -у \ (хи+yv уи-xv]
— = lx + iyl ——y + i ——j- = ——— + i ——j- .
w ' '\u +v и +v J \u +v и +v )
Для деления справед ливо равенство ~ ~~ж ““ •
Уравнение a+z-b имеет единственное решение z = Ь - а, уравнение
a-z=b, а #0, имеет единственное решение z = Ыа.
Пусть z2=zz. По определению умножения, z2=(x2-y2) + i(2xy); таким
образом, квадрат комплексного числа может быть не только отрицатель-
ным, но и комплексным. Результат л-кратного умножения г на себя обо-
значается z". Результат л-кратного умножения z*1 на себя обозначается
z"“. Также, по определению, z°= 1, и z1 = z, что определяет z" при всё-
целых л.
Множество всех комплексных чисел обозначается С.
Как мы видим, такие достаточно разные множества, как R и С
удовлетворяют девяти свойствам групп I—III. Множество произвольной
природы, обладающее этими свойствами, в алгебре принято называть
полем.
37. Поле комплексных чисел и действительные числа. Рассмотрим
множество R={x-H’O: xeR} и произведем отождествление комплексно-
го числа x+i 0 с действительным числом х. Этим мы определим функ-
цию из R в R. Все девять алгебраических свойств (групп I-Ш) д ля дей-
ствительных чисел и для комплексных чисел из R совпадают, поэтому
построенная функция есть алгебраический изоморфизм.
Если естественным образом определить, что неравенство (х( + /0)<
< (х2+«0) эквивалентно неравенству xi <х2 для действительных чисел, то
§ 3. Комплексные числа
97
нетрудно показать, что построенный изоморфизм сохраняет все свойства
порядка действительных чисел и аксиому о точной верхней грани на R.
Таким образом, множество R является изоморфной копией пространства
действительных чисел во всех смыслах. В силу этого принято (с извест-
ной долей вольности) не различать числа x+tO и х, т.е. в комплексном
числе x+iO опускают /0, или, иными словами, считают число х+х’О дей-
ствительным.
Число z, у которого Imz#0, называют мнимым, а число z-0+iy (т.е.
Rez=0) называют чисто мнимым.
Комплексное число 04-х 1 принято (также с известной долей вольно-
сти) записывать просто как i, опуская и 0, и 1, и знак +. Соглашения о
записи х вместо х4-х0 и iy вместо О+iy весьма удобны при преобра-
зовании алгебраических выражений с комплексными числами.
Число i называется мнимой единицей. При такой записи и трактовке
х4-х - это два I , поэтому число 12 (сокращенную запись числа 0+<2)
часто записывают в виде 2i, и числа х+х’1, х+<2, х4-х‘3... записывают
опять же с известной долей вольности как x+i, x+2i, x+3i..., имея в
виду, что, например, «икс плюс два i» произносится благозвучнее, чем
«икс плюс i два» или «икс плюс I на два». Кроме того, числа х + i (-у)
записывают также в виде x-iy, что можно считать алгебраическим вы-
ражением с условием, что iy-это О+iy, а х-это х+«0.
В силу принятых соглашений i 2= -1, поэтому можем считать, что i -
это решение уравнения z2 = -1. Таким образом, в классе комплексных
чисел это уравнение имеет решение.
По определению, х°= 1, i1 e i, и, как мы видели, х2= -1. Также нетрудно
видеть, что i3=-i, х'4= 1, и далее начинаются повторения: х'5=х итд.
38. Модуль комплексного числа и комплексно сопряженные числа.
Пусть z=x+iy, число фсг + уг называется модулем комплексного
числа z и обозначается |z| (т.е. |z| = -^Rez)24-(bnz)2 ), число z-x-iy
называется числом, комплексно сопряженным с z (напомним, что, по
соглашению, х-ху-это х+х(-у)), и обозначается z; иными словами,
z = Rez-ihnz.
Свойства комплексного сопряжения.
1. Равенство z = z эквивалентно тому, что z является действительным
числом.
У - 5091
98
Глава I. Числа и фигуры
2. Zj ±z2 = zt ±z2 .
3. Zj z2 = Zj z2 . t
4. Zj/z2 =Z] /z2 .
Свойства модулей комплексных чисел.
1. | Zj Z2 | = | Zj 11 z21.
2. z = z,|z| = |z|.
3. |zi /z2| = |z] |/|z2 |, z2#0.
4. |zj+z2|$|zj|+|z2|, |zj-z2|s||zi|-|z2||.
5. zz = |z|2, откуда z~l = -^-r.
И
Доказательства не проводим, хотя они и не сложны.
Заметим, что из свойства 5 модулей следует, что делить комплексные
числа очень удобно с помощью умножения числителя и знаменателя на
число, комплексно сопряженное со знаменателем:
В результате деление заменяется на более простую операцию - умно-
жение.
Пример 20. Алгебраические операции с комплексными
числами.
1. Найти z=(l+i)2+(l-i)2-
Z=(1+2i + i2) + (1 -2i+i 2) = 2i-2i=0 (
(пользуемся удобными договоренностями 37 об i uni).
2. Найти z=(l+ -м И-1-i)2.
2
i+2i.
X XX
3. Найти
»5
1 1 -i
-- = — — -- = — J
»5 i i (~i)
§ 3. Комплексные числа
99
4. Найти
1-в
1 + в = (1 + в)2 = 2 в = .
i-в а-вэа+в)_ 2
5. Показать, что число -—— будет чисто мнимым тогда и только то-
Z + 1
гда,когда |z| = l.
Пусть z-x + iy. Тогда )z| = x2 +уг и (z-1)(z +1) = (z-1)• (z+1) =
-zi+z-i-l-lzl’-l + Bix Отеки. 7^—x
Izl -1 2v _ г-l
----iT + * i-iT • Следовательно, Re—- “0 экви-
2 + l| |z + l| 2+1
валентно |z|2-l = 0 ,т.е. |z|2 = 1 .
Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Изоморфизм С и R2 (плоскост), модуль комплексного числа как длина вектора,
аргумент комплексного числа; геометрическая интерпретация операций
с комплексными числами (39). Умножение и деление комплексных чисел,
представленных в тригонометрической форме, извлечение корня (40). Квадратный
корень из комплексного числа (#41)
39. Комплексные числа как точки или векторы числовой плоскости.
Каждому комплексному числу z-x+iy поставим в соответствие точку £=
= (x,_y)eR2. По определению образом единицы 14-/0 будет точка (1,0), а
образом i - точка (0,1). При этом для действительных чисел это будет
стандартное отождествление их с координатной осью Ох. Если £= (*,у),
£'=(х',У)>Т0 полагаем £+£’=(х+х',у+.у') и ^•^в(хх,-уу,,ху,+х'у).
Построенная функция из С в R2 будет алгебраическим изоморфизмом
С и R2 (сохраняющим все алгебраические операции). Причем построен-
ный изоморфизм отождествляет чисто мнимые числа с точками коорди-
натной оси Оу.
Таким образом, в R2 можно ввести операцию умножения, превращаю-
щую R2 в поле. При этом обратным к £ж(х,у) элементом будет £~1 =
-(—*_______
II 2’1 1 I ’
\х+у х +y*J
7*
100
Глава I. Числа и фигуры
Нетрудно видеть (рис. 23), что комплексно сопряженное число
z = х - iy соответствует точке, являющейся отражением точки ^“(х,у)
относительно оси Ox, а | z | - это, согласно теореме Пифагора, длина от-
резка от начала коорд инат до точки £.
Эквивалентная возможность геометрической интерпретации-это ото-
ЖДествление числа z = х + iy с вектором О£. Хотя о векторах речь пой-
дет только в §4 (этой главы), интерпретация на языке векторов также
будет рассматриваться, поскольку векторы излагаются в школьном курсе
математики. В случае каких-либо затруднений необходимые свойства
векторов можно почерпнуть из следующего параграфа.
Угол между осью абсцисс Ох и вектором О£ называется аргументом
числа z (направление по часовой стрелке считается положительным) и
обозначается argz.
Согласно определению тригонометрических функций
Rez=x=rcos^-rcos(argz), Imz=y=rsm^arsin(argz),
где r = |z|. Представление комплексного числа z в ваде
z-r (cos?>+»sin<p)=|z| [cos(argz)+isin(argz)]
называется тригонометрической формой комплексного числа.
_ х Rez у Imz у Imz
Очевидно, cosffl = i-T = -T-r,sm© = r-r = -f-i- или tg® = — = -—, от-
И |z| |z| |z| X Rez
куда наход ится argz—p.
Так, например, i=lcosy+isinyj, -i=lcos^+isin^j=
$ 3. Комплексные числа
101
, , . /г «( (2л^ . . . (2яЛ^
-1+ »л/3 = 2 cos —1 + ism —I .
\ \ 3 / \ 3 //
Дадим таблицу соответствия градусных и радианных измерений углов:
30° 60° 90’ 120° 135° 150’ 180* ... а’
я т т X т Т Зж Т 5ж т Я ... 180 Я а
Пример 21.Тригонометрическая форма числа.
Найдем тригонометрическую форму комплексного числа z - —ЛТ +10».
Решение. |z|=^ll+100 =-Л1Т. Поскольку Rez<0, а Imz>0,то вектор
Рис. 24
z расположен во II четверти (рис. 24).
Поэтому arccos (->/11/111), либо ,
“«•-arcsin
Очевидно, что все углы, равные argz+2itk, keZ, дают один и тот же угол
на плоскости. Они обозначаются Argz, т.е. Argz= {p=argz+2nk, keZ}.
Замена какого-либо из значений Argz на argz (остаток от деления на 2л)
называется приведением аргумента.
Геометрически zi+z2 соответствует сложению векторов zj и z2 (число
x+iy и вектор {х,у} отождествлены), поэтому z+a соответствует сдвигу
z на а по горизонтали, a z+ib - сдвигу z на b по вертикали (рис. 25).
Множество (zeC: | z|=а, а>о}- это окружность радиуса а с цен-
тром в начале координат, а множество |zeC: |z-z0| = а,а>о}- это
окружность радиуса а с центром в точке z0, и тд.
102
Глава I. Числа и фигуры
40. Умножение комплексных чисел. Возведение в степень и извле-
чение корня. Пусть zx = rx (cos^ + i sin^ ), z2 = r2 (cos^2 + i sin^2 ), тогда,
по определению произведения комплексных чисел z2 = П ^(cospicos^z-
- sin^j sin^2)+i i\r2 (cos^sin^ + sin^ cos^)=r1r2 [cosC^+i^) +* sin(^1+
+Ф!г)]. Таким образом,
| 221 = I Zi || Z21, arg(zi 22) = aig(zi) + arg(z2),
причем если |aig(zI) + aig(z2)|>2#', то сумма аргументов считается
приведенной к 2я.
Аналогично для трех, четырех и тд. сомножителей. Таким образом,
умножать комплексные числа очень удобно, когда они представлены в
тригонометрической форме.
Соответственно при делении модули делятся, а аргументы вычитаются.
Итак, геометрически поворот вектора на угол а соответствует умно-
жению изоморфного ему комплексного числа на число с=cosa + i sina.
Таким образом, алгебраические операции над комплексными числами
получают естественную геометрическую интерпретацию: сложение рав-
носильно сдвигу на вектор-слагаемое, а умножение - повороту на угол
(равный аргументу множителя) с растяжением, т.е. элементарным гео-
метрическим преобразованиям.
Если г = г (cosp+i sinp),TO для любого натурального п справедлива
формула Муавра (1707)
2я = г "(cosnp+i sinnp)
(Абрахам де Муавр (A.de Мойте, 1667-1754), математик, работал в
Англии, член Лондонского Королевского общества, а также Парижской
и Берлинской академий наук). В частности, (cosp + isiiip)”=cosnp+
+i sinnp.
Из формулы Муавра очень просто получаются тригонометрические
формулы двойного, тройного и тд. углов через sin <р и cos <р.
Поскольку z-1 = r~'(cos(-p) +isin(-p)), то г~" = г(cos(-np) +
+ i sin(-n^)), т.е. формула Муавра справедлива и для целых отрица-
тельных показателей степени.
Пусть 2 = г(cosnp+i sinnp). Если я/z ” w = a(cosna+i sinna), to no
формуле Муавра r=a", <p-na, поэтому все n корней из w получаются
§ 3. Комплексные числа
103
ПО
г-j яр । г“ \
формуле H'0 = !yr^cos—+isin—J, w,I = !Vr^cos—-—+isin—-—
пг( $>+2ж(л-1) , . ^+2я(л-1й
*я-1= vr (cos--------+»sm---------—J.
Другими словами, при zxO существует ровно п различных корней сте-
пени п из г, определяемых по формуле
1 if (f 2* ) . . 2*
z" =r"l cosl —+—JH+isml—+—ill, i=0,l,..., л-L
\ \» n / n J)
Кроме обозначения z" используется также обозначение ^/z. Геомет-
рически корни л-й степени из z образуют правильный л-угольник, впи-
санный в окружность радиуса ^jz[, начальная вершина которого нахо-
_П“if argz . . argzA
дится в точке w0 =^|z|^cos-^—+»sm-^—J,a остальные получаются
2я*
последовательными поворотами м>0 на угол —.
#41. Квадратный корень из комплексного числа. В качестве простой
иллюстрации рассмотренных методов выведем полезную формулу, кото-
рая выражает -Уг через Rez и Imz.
Найдем квадратный корень без использования формулы Муавра. Пусть
z=x+iy. Если '7z = w = « + »v, то z = (и + iv)2 = ^w2-v2j+i(2uv), отку-
да получаем систему уравнений
2 2
U - V = X,
2«v -у.
Выражая v и подставляя в первое уравнение, получаем и2~
~-Ц- = х, или и4-ху2-4“ = 0. Следовательно,' u2 = ^±Jx2+y2 -
4и 4
-l[Rez + |z|] (минус не подходит, поскольку и2 £ 0), откуда и—
= ±-L-Jlzl + Rez . Значит, v = —_ , = ±-L .|т-у— = ± -U х
1 ±^7|z| + x •Л^И + Х
= ±-^-^|z|-Rez. Итак, имеем два значения корня: wi=
X
104
Глава I. Числа и фигуры
И w
Решим задачу с помощью формулы Муавра. В тригонометрической фор-
ме z=x+rp = r(cosp+isin0>) и wu2 =
Л = 0,1,...
1. При й—0
Sin
откуда Wj
2. При к = 1
W2 =л/2
Единственность множества комплексных чисел
Комплексные числа - единственная возможность превращения в поле двумерного
пространства. Невозможность превращения р поле трехмерного пространства
и пространств более высокой размерности. Об автоморфизмах комплексных
и действительных чисел (42*)
42*. Единственность множества комплексных чисел. Результат,
аналогичный теореме единственности действительных чисел, справедлив
и для комплексных чисел: если на R2 введена какая-либо операция
умножения, превращающая ее в поле (сложение для векторов про-
изводится всегда покомпонентно), то получившееся пространст-
во будет алгебраически изоморфно С.
Иными словами, никакой другой операции умножения, кроме «ком-
плексного умножения», на R2 ввести не удается.
Более того, справедлива также замечательная теорема, доказанная в
1906 г. немецким математиком Георгом Фробениусом (G.Frobenius,
1849-1917): ни в R3, ни в каком-либо ином л-мерном пространстве R”
нельзя ввести операцию умножения, превращающую его в поле.
Упомянем еще один интересный вопрос: существует ли нетождествен-
ные автоморфизмы (т.е. изоморфизмы в себя) поля комплексных чисел С,
сохраняющие все его свойства?
§4. Нечисловые объекты алгебры
105
Для действительных чисел таких автоморфизмов не существует. Дока-
зательство довольно просто: рассматривается произвольный автомор-
физм R и образ единицы Г при этом автоморфизме и показывается,
что образ будет единицей в R. Следовательно, в силу единственности
единицы он совпадает с 1. Далее используется инвариантность операции
сложения и доказывается, что каждое целое число переходит в себя; за-
тем используется инвариантность умножения и доказывается, что авто-
морфизм будет тождественным и на рациональных числах; завершает
доказательство использование свойства точной верхней грани, откуда
следует тождественность этого произвольного автоморфизма на всем R
[13,2.59].
А для комплексных чисел существует только один нетождественный
автоморфизм, сохраняющий все алгебраические свойства С, - функция
2 z, которая ставит каждому комплексному числу г в соответствие
число 2. Точную формулировку и доказательство при желании можно
посмотреть в [ 13, 2.75]. С точки зрения движений плоскости, о которых
идет речь в курсе школьной геометрии, этот автоморфизм является от-
ражением относительно действительной оси. Действительные числа при
этом остаются на месте, как и должно быть в силу отсутствия нетождест-
венных автоморфизмов R.
$4. НЕЧИСЛОВЫЕ ОБЪЕКТЫ АЛГЕБРЫ
Векторная алгебра
Векторные величины в физике; о первых трудах по векторному исчислению.
Основные определения: вектор, закрепленный вектор, равенство векторов, радиус-
вектор, норма вектора, коллинеарные векторы, компланарные векторы (43).
Определение суммы двух векторов, свойства операции сложения. Определение
умножения вектора на число и основные свойства; примеры (44). Скалярное
произведение векторов, ортогональность, свойства скалярного произведения.
Проекция вектора на ось и ее свойства; примеры (45). Векторное произведение и
его основные свойства, связь с задачами физики и геометрии; примеры. Сравнение
векторной алгебры с арифметикой (46). Смешанное произведение. Разложение
вектора по базису; линейная независимость и зависимость. Ориентация;
примеры (47)
43. Векторы. Многие физические объекты характеризуются не только
своей численной величиной (действительным числом), но и направлени-
ем, вдоль которого происходит со временем изменение этой величины.
Примерами могут служить перемещение материальной точки, скорость,
106
Глава I. Числа и фигуры
ускорение, момент силы, сила, напряженность магнитного поля и т.п.
Такие величины называются векторными, их исследованием занимается
математическая дисциплина, называемая векторным исчислением. Тес-
ная связь с физикой характерна для всех этапов развития векторного
исчисления. До XIX в. в изучении векторных величин применялся только
декартов координатный подход, т.е. векторы рассматривались Лишь в
связи с выбранной системой прямоугольных координат. Только в середи-
не XIX в. были систематизированы многие важные свойства векторов
алгебраического характера, которые не зависели от выбора системы ко-
ординат или, как говорят математики, были инвариантны относительно
выбора координат. Векторный анализ в инвариантной форме был дан в
1844 г. в труде британского (ирландского) математика Уильяма Роуана
Гамильтона (W.R.Hamilton, 1805-65), президента Ирландской академии
наук в течение многих лет*. Именно у Гамильтона впервые появился
термин «вектор». В это же время несколько иной подход к изучению век-
торов был предложен немецким математиком, физиком и философом
Германом Грассманом (H.Grassmann, 1809-77). Близкое к современно-
му изложение теории векторов было дано в конце XIX в. американским
физиком Джозайей Уиллардом Гиббсом (J.W.Gibbs, 1839-1903).
В отличие от школьного курса здесь векторы будут излагаться с алгеб-
раических позиций, нас будут интересовать алгебраические операции
над векторами и их законы.
Напомним основные определения. Вектором называется упорядочен-
ная пара точек (трехмерного пространства), первая точка называется
началом вектора, вторая - концом. Вектор с началом в Л и концом в В
обозначается АВ, геометрически вектор АВ изображается направлен-
ным отрезком (рис. 26 а). Вектор, у которого начало и конец совпадают,
называется нулевым и обозначается 0.
—> “ф
Два ненулевых вектора АВ и CD называются коллинеарными, если
прямые (отрезки) АВ и CD параллельны или совпадают. Нуль-вектор
считается коллинеарным любому вектору. Для определения сонаправ-
1 Интересно, что по своей должности Гамильтон был не математиком, а астрономом - он с
1827 г. и до последних дней жизни оставался профессором астрономии Дублинского универ-
ситета и директором обсерватории, что можно считать дополнительным штрихом к связи
векторного исчисления (да и всей математики того времени) с естественными науками. Отме-
тим, что этот пример не единичен - один из самых известных немецких математиков начала
XIX в. Карл Фридрих Гаусс (C.F.Gauss, 1777-1855) по должности был профессором астро-
номии Гёттингенского университета и д иректором обсерватории.
§4. Нечисловые объекты алгебры
107
ленности векторов необходимо прибегнуть к геометрической интерпре-
тации; коллинеарные векторы АВ и CD (рис. 266) называются сона-
правленными; в этом случае говорят, что вектор DC направлен проти-
воположно вектору АВ.
Рис. 26
—>
Модулем или нормой вектора АВ называется длина отрезка АВ. По-
скольку термин «модуль» уже употреблялся для действительных и ком-
плексных чисел, то будем преимущественно использовать термин «нор-
ма». Норма вектора АВ обозначается АВ или || А5Ц.
В зависимости от определения равенства векторов различают закреп-
ленные и свободные векторы. Два закрепленных вектора АВ и CD на-
зываются равными, если А=С и В=D. Примером закрепленного век-
тора в физике может служить сила. В физике начало закрепленного век-
тора называют точкой приложения. Но для большинства векторов в фи-
зике точка приложения не важна, в математике таким векторам соответ-
ствует понятие свободного вектора.
Два свободных вектора АВ и CD называются равными, если они кол-
линеарны, сонаправлены и их нормы равны. В дальнейшем будут рас-
сматриваться только свободные векторы. Прилагательное «свободный»
принято опускать, поэтому далее под термином «вектор» будем понимать
свободный вектор. Зафиксируем на плоскости точку О, для произвольно-
-> -> -»
го вектора АВ можем взять вектор ОР, равный АВ, тогда все равные
—> —> —>
АВ векторы (например, А 'В') можем отождествить с ОР (рис.26в) или,
иными словами, считать что все векторы имеют началом точку О (выхо-
дят из точки О)-, такие векторы также называются радиус-векторами,
если точка О фиксирована, то любой вектор задается только одним
параметром-своим концом; кроме обозначения вектора ОА также ис-
108
Глава I. Числа и фигуры
пользуется обозначение а (рубленым шрифтом) (рис. 27), норма вектора
а обозначается либо || а || либо просто а обычным шрифтом. >
—>
Любые два вектора ОА и ОВ всегда лежат в одной плоскости, по-
скольку три точки О, А, В определяют единственную плоскость. Векторы
аь а2, лежащие в одной плоскости, называются компланарными.
44. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Суммой двух
векторов а и Ь называется вектор а+b, определяемый следующим обра-
зом (рис. 27 а): от конца А вектора а откладывается вектор АС, рав-
ный b (т.е. четырехугольник ОАВС - параллелограмм), его конец С оп-
ределяет вектор ОС, по определению равный а+b. Геометрическая ил-
люстрация суммы д вух коллинеарных векторов очевидна.
а бег
Рис. 27
Заметим, что все векторные величины в физике (перемещение, ско-
рость, ускорение, напряженность и тд.) складываются именно таким
образом.
Вектором -а, противоположным вектору а # 0, называется вектор,
имеющий ту же норму, что а, но противоположно направленный
(рис. 276, где ОА '= ОА), по определению, -0 = 0.
Свойства операции сложения векторов.
1. a+(b+c)=(a+b)+c (ассоциативность).
2. a+b=b+a (коммутативность).
3. а+0=а.
4. а+(-а)=0.
Равенства справедливы для любых векторов а, в, с. Таким образом,
операция сложения векторов обладает всеми свойствами сложения
чисел (рациональных, действительных, комплексных).
Доказательство этих равенств практически очевидны: 2 следует из
рис. 27а, 3 абсолютно очевидно, 4 следует из рис. 276, 1 можно легко
усмотреть из рис. 27г.
§4. Нечисловые объекты алгебры
109
Разностью а-b векторов а и Ь называется, по определению, вектор
—►
а+(-Ь), равный вектору ВА , где Л - конец а, В-конец b (см.рис.27в).
Этот факт становится совсем очевидным, если заметить, что (a-b)+b =
= а + (-b) + b = а. Как и для чисел, векторное уравнение а+х = b всегда
имеет единственное решение х=b-а.
По определению, произведением вектора а на действительное число
2*0 называется вектор 2а, коллинеарный а, и сонаправленный с а,
если 2>0, или противоположно направленный, если 2<0, и имеющий
норму, равную \Л |-| а|. Если 2=0, то 2а=0а=0.
Вектор 4 а обозначают также — или а/2.
л JL
Из определения сразу вытекает, что а+а = 2а и сумма п слагаемых
а+...+а=»а в полном согласии со здравым смыслом.
Напомним, что числа принято называть скалярами.
Свойства умножения вектора на число.
si. 1а=а.
s2. 2(/я)=(2р)а.
s3. 2(a+b)=2a+2b.
s4. (2+д)а=2а+ра.
Эти свойства практически очевидны. Из них следует, что (-1 )а = -а, по-
•1 >4
скольку (-1)а+а=-1а+1а= (-1+1)а = 0а = о.
Введенные операции связаны с нормой соотношениями
Nl. j2а|=|л|<|а| (однородность),
N2. |a+b|^|a|+|b| (неравенствотреугольника),
которые также практически очевидны.
Если вектор а # 0, то вектор = а° есть единичный вектор, сона-
правленный с а, откуда а = | а | а°.
Если два вектора а и b коллинеарны, то всегда существует такое число
2, что а = 2Ь, это число обозначается или а/b и называется отноше-
D
нием коллинеарных векторов.
Пример 22. Используя векторы, доказать, что четырехугольник, у
которого диагонали в точке пересечения делятся пополам, есть паралле-
лограмм.
110
Глава I. Числа и фигуры
Решение. Пусть дан четырехугольник ABCD и S-точка пересечения
диагоналей АС и BD. По условию AS = SC и BS = SD, откуда AS+SD “
— BS+SC, но AS+SD = AD и BS + SC = ВС, следовательно, AD=BC.
По определению равенства Ьекторов, это означает, что стороны AD и
ВС равны и параллельны, т.е. ABCD - параллелограмм.
Пример 23. Доказать, что |a-b|^[]a|-|b|| для любых векторов а
иЬ.
Решение 1. Поскольку (а-Ь)+Ь—а, то |а - b|+1b| £ | а | согласно
N2, откуда |а-Ь|г||а|-|Ь||. Аналогично |Ь-а|ф|-|а|. Но
| b - а | = | - (b-а) | = | а - b |, следовательно, |a-b|^|a|-|b| и
|а-Ь|г|Ь|-|а|.т.е.|а-Ь|г||а|-|Ь||.
—> —►
Решение 2 (геометрическое). Пусть а = ОА и b = ОВ. Обозначим
через С конец вектора а+b. Тогда в параллелограмме ОАСВ одна диа-
гональ (ОС) равна а+b, а другая (ВА ) равна а-b. В треугольнике ОАВ
длина любой из сторон больше разности длин двух других, откуда
1>-Ь|г||а|-|ь||.
Кстати, в треугольнике ОАС д лина любой из сторон меньше сумм д лин
двухдругих, откуда 1а+Ь|ф|+|Ь|.
45. Скалярное произведение векторов. Проекция по направлению.
Пусть ОА и ОВ - произвольные векторы. Угол АОВ (в треугольнике
АОВ) называется углом между векторами ОА и ОВ. Угол между векто-
рами а и Ь обозначается ab. По определению, всегда 0 £ ab £ к.
Скалярным произведением произвольных ненулевых векторов а и b
называется число, обозначаемое ab или (а, Ь) и равное, по определению,
|а| |b|cosab. Если а=0 или Ь=0, то, по определению, ab-0.
Из определения следует, что ab = 0 для ненулевых векторов тогда и
только тогда, когда cosab = 0 , т.е. ab = у или, иными словами, а±Ь.
Перпендикулярные векторы также называются ортогональными.
$4. Нечисловые объекты алгебры
111
(коммутативность).
(однородность).
(линейность).
Свойства скалярного произведения векторов.
spl. ab=ba
sp2. X(ab)=(Xa)b
sp3. a(b+c)=ab+ac
sp4. aa = |a|2.
Все свойства, кроме sp3, доказываются элементарно. Свойство sp3 лег-
ко доказывается с помощью проекций, о чем мы поговорим чуть далее.
Из линейности сразу следует, что a(b-c)=ab-ac, поскольку а(Ь-с) =
=а(Ы-(-с))=ab+a(-c)=ab+(-ac)~ ab-ac. А также
ч>з Ч>1
(«1^1 *"®2®2)(А^1 */^2) = («181 + «283) ДЬ1 +(<2)8^ 4- Ct2^2^PJ^2 =
зрЗ
= АЦ («181+«282)+/^2 («181+«282) s (ДЬ1)(а]а1)+(ДЬ1)(а2а2-)+
+ (^2^2) («1®1 )"*‘(^2^г) («2®2)ф
Таким образом, скалярное произведение линейно по обоим аргументам.
Пусть V-произвольный ненулевой вектор. Прямая, одинаково направ-
ленная с V, называется осью (или направлением) V. Рассмотрим произ-
вольный вектор а = ОА и вектор OV = v. Пусть точка Av-проекция (ор-
тогональная) точки А на ось v (рис. 28а, AAv±v), вектор OAV называ-
ется проекцией или ортогональной проекцией а на ось (направление) v
и обозначается pr„a. Число, равное |prva | (т.е. длине ОАЧ), если v и
prva сонаправлены, и равное -|prva|, если направления v и /rva про-
тивоположны, называется значением или алгебраическим значением
проекции а на ось V. Значение проекции а на v обозначается av.
б
Рис. 28
Проекция и ее значение обладают следующими свойствами:
рг 1. prv(a+b)=prva+prvb.
рг2. ргу(Ая)-Лргча.
рг 3. ргча - av v°.
112
Глава I. Числа и фигуры
pr4. av=|a|cosav.
pr5. (aa+/?b)v = aav+/?bv.
рг6. av = av|v|=ve|a|.
Все переменные в равенствах произвольны. Идея доказательства свой
—► —► —► —► —>
ства рг 1 видна из рис. 286: а = ОА, b = OB, АС = ОВ, prv(a+b) = OCY
—> —> ->
prYa + prvb = OAV+ OBv = OCv. Доказательства остальных свойств ещ<
проще, но мы не будем ими заниматься.
Свойство скалярного произведения sp3 следует из свойств рг5 и ргб:
a(b+c)=(b+c)e|a| = (be+ce)|a|=be|a|+ce|a| = ab+ac.
Пример 24. Векторы и их свойства.
1. Доказать, что равенство 14 = 14 равносильно ортогональносп
векторов (а+Ь)и(а-Ь).
Поскольку (а+b) и (а-b)-диагонали ромба, построенного на а и I
(см. пример 23, решение 2), то геометрически это означает, что для того
чтобы параллелограмм был ромбом, необходимо и достаточно, чтобь
диагонали его были перпендикулярны.
Решение. Используя свойства скалярного произведения, получаем
ч»з 4,1 ч»1 ,2 . ,2
(а+ЬХа-Ь) - a(a-b)+b(a-b) - aa-ba +ab-bb = |а| -ab+ab-| Ь| =0,
ар4
откуда равенство нулю косинуса угла между (а+b) и (а-b), т.е. ортого
нальность (а+b) и (а-b), равносильно условию | а | = | b |.
2. Доказать теорему Пифагора, используя скалярное произведение.
—► —> —► —► —►
Решение. Пусть ОА =а, ОВ-Ь, и ОА 1ОВ. Если ОС = ОА+ОВ, то
по определению суммы векторов, четырехугольник ОАСВ является пря
Ч»4
моугольником, следовательно, гипотенуза AB-ОС. Но ЛВ = |а + Ь| =
= -7(a + b)(a+b) = аа + ba +ab+bb*=*-^|а|2+ |b|2 = *jOA2 +ОВ2 ,
откуда АВ = -JoA2 +ОВ2 - это и есть теорема Пифагора.
3. Пусть u±v, |u + vj = l, a=au+/?v и Ь—Ди+av Найл
/ \ / I-\ ab
(a+bVv и (a-bju+v, а также отношение «-----т.
§4. Нечисловые объекты алгебры
113
Решение. Поскольку векторы и и v ортогональны, to |u+v|2=(u+v)x
x(u+v)=uu+2uv+w=|u|2+|v|2. По определению, вектор (а+Ь) =
= (a+>0)u+(a+^v=(a+/9)(u+v), т.е. коллинеарен вектору u+v. Из гео-
метрических соображений отсюда мгновенно следует, что (a+b)e+v =
8+Ь
= » = (а+Р). Впрочем, и не прибегая к геометрии, из свойства ргб
(a + b)(u+v) (a + /?)|u + v|2
сразу получаем (a+b)„+v = —;----1;-----------s---= (а+fi).
|u + v| |u + vl
По определению, a-b=(a-y$)u+(/?-a)v=(a-/?)(u-v). Из свой-
(a - bYu +v)
ства ргб получаем (a-b)B+v=——=(a-^Xu~vXu+v)=(a-^)x
x (uu-w) = (a - Wlliif - Ivj2).
Ho ab=(au+/?v)G9u+civ)=oj9uu+/?2uv+a2uv+e^w=e^(|u|2+|v|2)=
ab aft
|a+b| |a+ft| ‘
=afl и|а+Ь|=|(а +j0)(u+ v)|=|а+>8|,откуда ‘
#4. Пусть |v1|=||v2|=l,v1vi=f>, a = a1v1+a2v2 и b=^-+^- (ai, a2*
®2
0). Доказать, что absO при любом <p, если числа ai,a2 одного знака.
г» . ( \( V! Vj'l а, „
Решение. ab=(alv1+a2v2)l ^-+^-l=^-v1v1+2v1v2+—v2v2 =
= T’IV1||2+T’IIV2||2+2IV1HV2|COS«’=T-+T’+2COS?’> поскольку |V1| =
=|v2|=L Обозначим — через х, тогда х>0. Поэтому в силу неравен-
11 0^2
ства между средним арифметическим и средним геометрическим
получим ^+^“шХ+7^2 • А поскольку cosp^-1 для лю-
бого <р, то ab^2(l+cosp)^0.
Заметим, что ab - 0 только в том случае, когда at = а2 и cos^ £ -1,
т.е. <р= я, при этом условии Vi = -V2 и а = Ь = О.
8 - 5091
114
Глава 1. Числа и фигуры
46. Векторное произведение. Пусть а, b-два произвольных неколли-
неарных вектора. Векторным произведением а х b называется вектор с
нормой, равной | а |*| b | sinab, перпендикулярный плоскости векторов
а, b и направленный в зависимости от взаимного расположения векто-
ров а, b так, как указано на рис. 29. Очевидно, рис. 29а и 296 исчерпы-
вают все возможности взаимного расположения двух векторов. Вектор-
ное произведение часто обозначают также [а,Ь].
В физике в виде векторного произведения записываются векторный
момент .силы, линейная скорость вращения, закон Био-Савара (146) для
напряженности магнитного поля и тд.
Как известно из элементарной геометрии, площадь параллелограмма,
построенного на отрезках д линой а и b с углом <р между ними, равна
aisingj, поэтому |axb| равно площади параллелограмма, построенно-
го на векторах а и Ь.
Сложение векторов (так называемая аддитивная операция) удовлетво-
ряет всем свойствам сложения чисел. Умножение векторов может рас-
сматриваться как кандидат на аналог операции умножения чисел
(результатом умножения векторов должен быть снова вектор, так же,
как умножение чисел дает число, поэтому скалярное произведение не
подходит). Какие свойства умножения чисел (так называемой мультип-
ликативной операции) сохраняются д ля векторов?
Рассматривая axb, сразу получаем (рис. 296), что bxa=-axb -таким
образом, уже коммутативности для векторного произведения нет. Теперь
выпишем основные свойства векторного произведения и потом продол-
жим сравнение с арифметикой.
Свойства векторного произведения.
рО. axb=0 при а,Ь#О равносильно allb.
pl. axb=-bxa
р2. (Xa)xb = A(axb)
рЗ. ax(b+c)=axb+axc
р4. ax(bxc)=(ac)b-(ab)c.
(антикоммутативность).
(однородность).
(дистрибутивность).
§4. Нечисловые объекты алгебры
115
р5. Пусть векторы i, j, к образуют ортонормальный базис трехмерного
пространства, т.е. имеют единичные длины, взаимно перпендикулярны и
расположены, как на рис. ЗОв (с.118). Тогда
ixj = k, jxk-i, kxi=j.
Доказательство свойств рО, р2 и р5 элементарно, при доказательстве
рЗ и р4 приходится преодолевать некоторые технические трудности.
pl
Согласно р5 имеем (ixj)xj=kxj= i, a ix(jxj)=ixO = 0, поэтому вёк-
торное произведение не ассоциативно (хотя в некоторых случаях бывает,
что ах(Ьхс) — (ах Ь)хс, см. пример 52). Для любых ненулевых векторов
а х b ± с по определению, поэтому нет такого вектора Ь, чтобы axb = а;
таким образом, единицы по операции произведения векторов не сущест-
вует. Итак, нет ни одного свойства произведения чисел, которое было бы
справедливо для произведения векторов. Кроме того, аха=0, т.е. в век-
торной алгебре есть ненулевые элементы, произведение которых равно
нулю - они называются делителями нуля. Конечно, в алгебре действи-
тельных или комплексных чисел делителей нуля нет. Все это означает,
что для векторов мы имеем совсем другую алгебру. Следовательно, за-
коны арифметики нельзя признать априори данными алгебраическими
законами. Алгебра кватернионов (48), алгебры логики или множеств
(гл. III) также являются примерами алгебр с законами, отличными от
арифметических.
Так же, как и скалярное произведение, произведение векторов линей-
но по обоим аргументам:
(<Zi&i + а2а2) х (ДЬ, + Д2Ь2) =
= («1ДХ81 х Ц) + (aiAXai х bj) + (а2ДХа2 х Ц) + (®гАХа2 х bj).
Пример 25.Использование векторного произведения.
1. Выразить (a+b)x(a-b) через axb. Дать геометрическую интерпре-
тацию равенства норм.
Решение. В силу линейности (a+b)x(a-b)=axa+bxa-axb-bxb=
= bxa+bxa=2(bxa)=-2(axb). Отсюда |(a + b)(а-Ь)| = 2|ахb|, т.е.
площадь параллелограмма, построенного на диагоналях, вдвое больше
площади первоначального параллелограмма.
2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
(i-2j+k) и (i+j-k).
Решение. Используя р5 и очевидные равенства ixi— jxj — kxk—О,
имеем (i-2j+k)x(i+j-k)=ixi+ixj-ixk-2jxi-2jxj+2jxk+kxi+kxj-kxk=k+j+2k+
+2i+j-i=i+2j+3k.
116
Глава 1. Числа и фигуры
Искомая площадь S’ = | i+2j+3k | = л/12 +22 +32 = л/14 в силу теоре-
мы Пифагора.
3. Найти значение проекции вектора b на направление, перпендику-
лярное вектору а,показав,что b = —l^-((ab)a+ax(bxa)).Векторы а и
1а1
Ь произвольны.
Решение. Согласно р4,
а х (Ь х с) - (aa)b - (ab)a = | а |2 b—(ab)a,
откуда сразу получаем выражение д ля Ь.
По определению, вектор Ьха лежит в плоскости, перпендикулярной а
и Ь, поэтому плоскость векторов а и Ьха перпендикулярна плоскости,
содержащей а и Ь. Следовательно, вектор а х (Ьха) перпендикулярен
вектору а и лежит в плоскости векторов а и Ь, т.е. определяет в плоско-
сти векторов а и b направление, перпендикулярное а. Поэтому формула
- разложение вектора b по взаимно перпендикулярным направлениям, и
—U-a х (b х а) - проекция b перпендикулярно а. Обозначим ее значение
hlr
через Ь±в.
Поскольку bla=|b|sinab и |а х b| = |a| |b|sinab, то bla = ,
откуда, кстати, I или |ax(bxa)| = |а|>|axb|.
47. Смешанное произведение. Разложение вектора по базису. Пусть
а, Ь, с - произвольные векторы. Их смешанное произведение, обозначае-
мое <а, Ь, с>, определяется равенством <а, Ь, о-a (Ьхс).
Если векторы а, Ь, с компланарны (т.е. лежат в одной плоскости), то
вектор Ьхс, по определению, перпендикулярен этой плоскости, следова-
тельно, Ьхс 1а, поэтому а(Ьхс)=0. Если векторы а,Ь,с некомпланар-
ны, то | Ьхс| - это площадь параллелограмма, построенного на векторах
Ь и с, а аьхс-значение проекции а на направление Ьхс, перпендикуляр-
ное этому параллелограмму, т.е. высота параллелепипеда, построенного
на векторах а, Ь, с, со знаком + или -. Следовательно, I <а, Ь, с> I - объ-
ем этого параллелепипеда, поскольку a(bxc)=|b х с|аЬхС. Таким обра-
§4. Нечисловые объекты алгебры
117
зом, равенство нулю смешанного произведения равносильно компланар-
ности ненулевых векторов.
Основное свойство смешанного произведения
<а,Ь,с>= (axb)c= (сха)Ь.
Единичные и взаимно перпендикулярные векторы i=OX, j= OY, k=OZ
образуют ортонормированный базис трехмерного пространства. Рас-
сматривая значения проекций а, произвольной точки Л на направ-
—>
ления i,j, к соответственно, получаем представление вектора а = ОА в
виде a=axi+ayj+aIk, которое называется разложением вектора по ба-
зису [i,j, к]. Произведения векторов a=axi+aj+axk и b—bxi+5J+5xk в
координатах(в базисе (i,j, к]) имеют вид
ab ох hx+ayby+ dgbg,
а х b = (ayb,-a,by) i + (atbx-axbt) j + (axby-aybt) к
(д ля доказательства нужно раскрыть скобки по дистрибутивности).
Изоморфизм а -> а - (ап ах) позволяет арифметизировать геомет-
рию, рассматривая вместо геометрических векторов тройки чисел. Этот
подход, восходящий к Декарту, называется координатным и рассматри-
вается в §5 гл. II. Он позволяет упростить решения многих вычислитель-
ных задач, связанных с векторами, но может, конечно, использоваться и
для исследования свойств векторов принципиального характера. Однако
при этом требуется объяснение, почему свойства инвариантны (неизмен-
ны) относительно выбора конкретного базиса, т.е. не изменятся, если
выбрать другой базис (где все коорд инаты д анных геометрических векто-
ров будут уже другими).
В представлении
а = axi + ayj+a,k = | а | [(cosax) i + (cosay) j + (cosaj kJ
cosax= рц, cosay= cosax= называются направляющими коси-
нусами вектора а, поскольку вектор единичной длины а°= =
= (cosax)i + (cosay)j + (cosax)k определяет направление а. Направ-
ляющие косинусы часто используются в математической физике и гео-
метрических задачах математического анализа.
Тройка чисел, в которой хотя бы одно число не равно нулю, называется
ненулевой. Для произвольной ненулевой тройки чисел (а, Др) вектор
v = ai+01+ yk имеет концом точку (а,поэтому v*0. Это свойство
118
Глава 1. Числа и фигуры
называется линейной независимостью векторов i, j, к. Если векторы а,
Ь, с линейно зависимы, т.е. аа+/7Ь+хс = 0 для некоторой ненулевой
тройки (а, Ду) (например, а#0), то а = —Ь +—с,т.е. а,Ь,с лежат в
а а
одной плоскости, и наоборот. Поэтому линейная зависимость тройки
векторов равносильна их компланарности. Линейная зависимость двух
векторов равносильна их коллинеарности.
Произвольная упорядоченная тройка некомпланарных векторов аьа2,
а3 преобразованием движения может быть приведена к одному из двух
видов (рис. 30). Тройка на рис. 30а называется левой, тройка на рис. 306-
правой (обе тройки a, b, axb на рис. 29 - правые). Говорят, что правая
тройка задает положительную ориентацию пространства, а левая - от-
рицательную. Ортонормальный базис [i,j,k] задает положительную ориг
ентацию пространства.
Для правой тройки ненулевых некомпланарных векторов а, Ь, с их сме-
шанное произведение <а, Ь, с> положительно, а для левой - отрица-
тельно.
Пример 26.Использование векторных операций.
1. Доказать, что (axb)(cxd) = (ac)(bd)-(ad)(bc), и вывести отсюда ра-
венство | а х Ь |2=| а |2| b Ц2 - (ab)2.
Решение. В силу свойства смешанного произведения (axb)(cxd) —
р4 sp2
= а [bx(exd) ]=a [(bd)c-(bc)d] = (acXbd)-(ad)(bc). Отсюда
| а х b J2 = (а х b)(ab) = (aa\bb) - (ab\ab) = |a|2|b|2-(ab)2.
Заметим, что |axb|2^0,поэтому (ab)2£ la^lbj2 или |ab|£ |ab||ab|-
это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского.
2. Определить двугранные углы трехгранного угла, плоские углы кото-
рого равны а,Д/.
§4. Нечисловые объекты алгебры
ПО
Решение. Пусть двугранный угол, к которому примыкают плоские
углы р, у. Отложим на ребрах угла лот вершины векторы а,Ь единичной
длины, на ребрах угла р~векторы а (уже отложен) и с. Тогда Ь,с будут
единичными векторами на сторонах угла у. По определению, угол р-это
угол между плоскостями векторов а, с и Ь,с, который'равен углу между
нормалями (перпендикулярами) к этим плоскостям, т.е. между ахс и Ьхс.
Следовательно cosm - -(* * СХЬ х е) ж (аЬХсс) - (acXcb)
Следовательно, cosp- |ах c|.|bxC|- |axC|.|bxc| '
Но ab = |a||b|cosa=cosa, сс=|с|2 = 1, ac=cos/?, be=cosy, |ахс|=
= sin Д | b х с | = sin у. Итого
cos а - cos Р cos у
cos tp =--;——---------.
sin p sin у
Аналогично определяются остальные двугранные углы.
Векторы, зависящие от времени, описывают многие важные физиче-
ские процессы. Векторная функция а(/), зависящая от скалярного пере-
менного, в математической физике называется векторным полем (напри-
мер, поле скоростей). Термин «векторное поле* также введен Гамильто-
ном в труде, упомянутом на с. 106.
Следует заметить, что кроме евклидовой аксиоматики геометрии воз-
можна аксиоматика плоскости и пространства, в основе которой лежит
аксиоматика векторов. Такая конструкция геометрии была предложена в
1918 г. немецким математиком Германом Вейлем (H.Weyl, 1885-1955) в
книге «Пространство, время, материя» (о Вейле см. 169,183). Были, ко-
нечно, и другие варианты векторной аксиоматики геометрии.
Кватернионы
Действительная и мнимая (векторная) части кватернионов, правила умножения
для мнимых единиц, связь умножения мнимых кватернионов со скалярным и
векторным умножением векторов. Обратный кватернион, алгебраические
свойства кватернионов, кватернионы как расширение чисел и векторов (#48‘)
#48*. Алгебра кватернионов. Найденное и в значительной степени
корректно осмысленное в начале XIX в. расширение действительных
чисел до поля комплексных чисел повлекло за собой вопрос о возможно-
сти дальнейшего расширения уже комплексных чисел. В силу известного
отождествления комплексных чисел с точками на плоскости поиски со-
ответствующей числовой системы можно попытаться заменить поиском
120
Глава I. Числа и фигуры
операций на трехмерных векторах. Как отмечалось в 46, векторное про
взведение не обладает ни одним свойством арифметического произведи
ния. Принципиальная невозможность введения умножения векгоро
размерности более 3, подобного арифметическому, была установлен
только в начале XX в. (42). Но в 1843 г. Уильям Гамильтон (о нем см.43
предложил (после пятнадцатилетних (!) поисков) операцию умиожени
для четверок чисел, которая сохраняла все свойства арифметическое
умножения, кроме коммутативности.
Эти новые «числа» были названы им кватернионами (от лат. quatemi
по четыре). В алгебраической форме четверка х=(хо, хь х2, х3) записыва
ется с помощью базиса [ 1, i, j, к] в ваде
х =xol +xi i +x2j 4-xj к = хь +xi i+х2 j +хз к,
т.е. к действительной единице присоединяется не одна (как для ком
плексныхчисел), а три «мнимые» единицы.
Сложение определяется, как и следовало ожидать, покомпонентне
если у^уо+у^ + у^+Уз*, то x+y=(x0+>'o)+(xi+yi)i + (x2+>«2)j-
+ (хз +у3) к. Эту сумму можно также интерпретировать как сумму мио
гочленов с независимыми переменными i, j, k.
Умножение, которое обозначается «жирной» точкой, для I, j, к опре
деляется равенствами
i-j = -j*i = k, j-k = -k-j = i, k-i = -i-k = j,
где i2 = i*i, и тд. Действительная единица 1 при умножении действуе
как обычная коммутативная единица.
Произведение двух произвольных кватернионов определяется обыч
ным раскрытием скобок по закону дистрибутивности, как для двух мно
гочленов.
Прежде чем приступить к рассмотрению произведения кватернионов ,
его свойств, сделаем несколько замечаний, после которых конструкци
умножения станет простой и изящной.
Слагаемое хо называется скалярной или действительной частью ква
терниона х, a vx =xi i+х2 j + х3 k - векторной или мнимой частью. Таюн
образом,
х=х0+ vx.
Подобно комплексным числам, слагаемые 0, 01, 0], 0k опускаются, т.е
кватернион х0 + 0i + 0j + 0k обозначается просто х0, кватернион 0+1Л
обозначается wx, Xq+0i+j+0k как x0+j ит.п.
Раскрыв скобки, перемножим произвольные векторные кватернион!
§4. Нечисловые объекты алгебры
121
vx=xi i+x2j+x3k и wy=j’i i+y2j+^3k, получим
Vx’Vy=-(xly,+x2y2+xiy3)+[(x2y3-xiy2)i+(х^Уз-ХзУ! )j+(Х1У2-Х2У1 )k ].
Если рассматривать vx и vy как обычные векторы, то, согласно формулам
из 47 получим
vx'vx=-vxvy+vxxvy,
т.е. кватернионное произведение векторных кватернионов равно разно-
сти векторного и скалярного произведений.
Пользуясь этим равенством, произведение кватернионов можно запи-
сать в достаточно простом виде:
X-y=(xb+Vx)-O'o+Vy)=(Xb>'o-VxVy) + [xbVy+yoVx+VxxVy].
Для любого числа Л равенство (Ях),у=х,(Яу)=Лх,у почти очевидно (в
произведении Л’Х числа на'кватернион знак умножения будем опускать,
очевидно, что Лх=йхо+2ух). Кватернион 1 является единицей по умно-
жению: Х1*=1Х“Х.
Непосредственной выкладкой проверяется ассоциативность умноже-
ния кватернионов: x,(yz)=(x,y) *z.
Коммутативность не выполнена, например i*j*j*i.
Теперь займемся поиском обратного элемента к кватерниону. Кватер-
нион х=х0—vx называется сопряженным к кватерниону x=xb+vx.
Имеем
Х’Х = (x0Xo-Vx(-Vx)) + [-XoVx+XoVx+VxX vx]= х° +х2 +х2 +х3.
Квадратный корень из этой скалярной суммы обозначим через |х| и бу-
дем называть нормой кватерниона х . Отсюда х*
х*х
= 1, при-
чем очевидно, что х*х=х*х, следовательно, любой ненулевой кватер-
нион х обладает обратным по умножению х_,=—^U-, для которого
1 -у’-х = 1.
122
Глава I. Числа и фигуры
Итак, для умножения выполнены все свойства, кроме коммутативно-
сти. Сведем полученные результаты в итоговую таблицу.
Алгебраические свойства кватернионов
№ Сложение № Умножение
1.1 x+(y+z)=(x+y)+z (ассоциативность) + II.1 x(yz)=(xy)z (ассоциативность) +
1.2 Х+У=У+Х (коммутативность) + 11.2 ху=ух (коммутативность) —
1.3 Существование нуля + 11.3 Существование единицы +
1.4 Существование (-X) (противоположного) + 11.4 Существование X”1 (обратного) +
В таблице знак «+» означает, что свойство выполнено, а знак «-» - не
выполнено.
Скалярные кватернионы ввда х = хь тождественны действительным
числам, кватернионы вида x=x0+xii-комплексным, векторные кватер-
нионы тождественны обычным векторам. Таким образом, кватернионы
являются (некоммутативным) расширением чисел и векторов.
Сам первооткрыватель - Гамильтон - рассматривал векторы лишь как
специального ввда кватернионы. Как уже говорилось, современной
трактовке векторов мы обязаны Д.Гиббсу (43). Со временем выясни-
лось, что значимость кватернионов несравнимо меньше значимости ком-
плексных чисел и векторов.
Пример 27. Доказать справедливость формул х • у = х. у и
|х.у 1=ИИ для любых кватернионов х и у.
Решение. Рассмотрим произвольные кватернионы x~xb+vx и у=уо+
+Vy. Имеем у.х ==(у0~Vy)* <*о~ vx) = (yox<>-(-rVy)(-vx))+ [-yovx-xbvy+
+(-Vy)x(-vx)]=(yoxo-vxVy))-[yovx+xbVy+vxx vy]= xTy.
Отсюда
|x.y|’ = (x.y).(x.y)=(x. y).y.x= x.(y.y).x=x.|y|2.x =
-|y|!(x.x)-|y|!|x|! н|х-у|-|У||х|.
§5. Геометрии
123
§5. ГЕОМЕТРИИ
Координатная плоскость. Числовая модель евклидовой
плоскости
Параметрические уравнения прямой, каноническое уравнение прямой на плос-
кости, общее уравнение прямой, уравнение прямой с угловым коэффициентом,
уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой, проходящей через две данные
точки; нормальный вектор, нормальное уравнение прямой, расстояние от начала
координат до данной прямой (49). Площадь треугольника в координатах.
Положительная и отрицательная полуплоскости, направление нормального
вектора; расстояние от точки до прямой. Условия параллельности двух прямых,
угол между непараллельными прямыми, условие перпендикулярных прямых;
уравнение нормали. Примеры. Числовая модель евклидовой геометрии (50)
49. Точки и прямые на координатной плоскости.
1. Параметрические уравнения прямой. Каноническое уравнение
прямой на плоскости. Пусть конец вектора г0 = ОРо (точка Ро) лежит
на прямой, параллельной данному вектору а#0. Тогда произвольная точ-
—>
ка Р, лежащая на прямой, определяет вектор Г=ОР (рис. 31а). Вектор
Р0Р = г-г0 лежит на прямой, поэтому он коллинеарен а, значит, сущест-
вует такое число t, что Р0Р = ta.
а б в
Рис. 31
Итак,
г=г0+га.
Это уравнение называется параметрическим уравнением прямой.
Предположим, что на плоскости векторов Го и г зафиксирована прямо-
угольная система координат (или, что то же самое, ортонормальный ба-
зис i, j) (46) и векторы Го, Г> и а имеют координаты (хо,уо)>(х,у) и (а^а,)
соответственно. Выведенное выше параметрическое уравнение прямой
записывается в коорд инатной форме в ввде уравнений
х = хъ+Гах,
y^yo + tay.
124
Глава I. Числа и фигуры
которые называются координатными параметрическими уравнениям»
прямой на плоскости.
Если ап ау* 0, т.е. вектор а не параллелен ни оси абсцисс i, ни оси
ординат j, то координатные уравнения равносильны уравнению
х~х0 У-Уо
ах ау
которое называется каноническим уравнением прямой на плоскости.
2. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффи-
циентом. Из канонического уравнения прямой имеем (y-ydiOy-fy-y^aj
или -apc+a^fxoay-yaadjpQ. Обозначая -ау через А, а, через В, (хоДу-Уо^
через С, получаем уравнение
Лх + Ву + С = 0,
которое называется общим уравнением прямой на плоскости (в коорди-
натах). Всегда предполагается, что А и В не равны нулю одновременно
(это равносильно условию а * 0). Отметим, что вектор с координатами
(В, -А) направлен вдоль прямой, определяемой общим уравнением.
Обратно, уравнение Ах+Ву+С= 0 есть уравнение прямой, проходящей
через точку (0,-СВ) при В*0 или точку (-С/А,0) при А #0 по направ-
лению вектора BI-.4J, и никакая другая точка плоскости ей не принад-
лежит (см. 50, п. 2).
Очевидно, что уравнение (ЛА)х+(АВ)у+(2С)=0, 2*0, задает ту же са-
мую прямую, что и уравнение Лг+Ву+С=0. Таким образом, коэффициен-
ты А, В, С в общем уравнении прямой определяются с точностью до про-
порциональности.
При А =0 общее уравнение Ву+С-0 определяет горизонтальную пря-
мую, проходящую через точку (0,-CZB); при В=0-вертикальную прямую,
проходящую через точку (-CZ4.0), с уравнением Лх+С=0.
Пусть В*0, тогда, разделив общее уравнение на В, получим уравнение
y = kx + b,
где к=-А/В, а Ь--С/В, которое называется уравнением прямой с угло-
вым коэффициентом. Эта прямая пересекает ось ординат (рис. 316) в
точке Ь (точнее, в точке Q • (0,й)), а ось абсцисс - в точке хь= -Мс (точ-
нее, в точке Р=(хь,0)), поскольку у=Ь при х=0 и у-0 при х=х0. Из тре-
угольника OPQ для угла наклона <р заданной прямой к абсциссе имеем
tg®= - к. Таким образом, угловой коэффициент прямой - это
ОР -х0
тангенс угла наклона прямой к абсциссе. Равенство b-б (откуда х0= 0) -
условие того, что прямая проходит через начало координат.
§5. Геометрии
125
3. Уравнение прямой в отрезках. Прямая, проходящая через точки
А = (а,0) и В = (О,Ь) на осях (рис. 31 в), имеет координатное уравнение
В самом деле, непосредственная подстановка координат в это уравне-
ние сразу подтверждает, что точки А и В лежат на прямой, определяе-
мой этим уравнением. А поскольку пара точек однозначно задает пря-
мую, то прямая, определяемая этим уравнением, и прямая, проходящая
через точки А и В, совпадают.
Прямая, задающаяся уравнением , отсекает отрезки ОА и ОВ
на осях координат, поэтому это уравнение называется уравнением пря-
мой в отрезках. (
4. Уравнение Прямой, проходящей через две данные точки. Для
определения уравнения прямой, проходящей через точки Рх = (хьуО и
Р2“ (хъУг), заметим, что РхР2 лежит на этой прямой и Д Р2 = (х2-хъУ2~У\)
(рис. 32 а). Следовательно, каноническое уравнение этой прямой как
—>
проходящей через точку Рх вдоль вектора РХР2 имеет ввд
_ У~У\
*2"*1 ” у2-ух ’
Рис. 32
5. Нормальный вектор. Нормальное уравнение прямой. Рассмотрим
точку N-(А,В) и векторы ON и а = Bi-AJ (лежащий на прямой, зада-
ваемой уравнением Ах+Ву+С=0). Тогда (ON ,а)=Л-В+В(-Л)=0,т.е. век-
тор n = A i+Bi будет ортогонален данной прямой. Он называется векто-
ром, нормальным к данной прямой, а ось нормального вектора - ее
нормалью (рис.326). По определению, |п | = л/л2+В2. Обозначим, как
обычно, через п° единичный вектор по направлению п, т.е. п° = Д».
126
Глава I. Числа и фигуры
I Л В I
Его координаты t 2"1 " можем записать как (cosftsin#), где
\^А2+вг ^a2+b2J
0-угол между векторами п и i. Поскольку после умножения всех коэф-
фициентов на (-1) уравнение будет определять ту же прямую, можем
считать, что 0. Разделив общее уравнение данной прямой на | п |,
получим уравнение той же прямой
xcosq +у sing - р = 0,
которое называется нормальным уравнением прямой. Заметим, что по
определению p~zto.
Если г-радиус-вектор с концом R - (х,у) на данной прямой, то нор-
мальное уравнение можно записать в векторной форме
Л°Г-р = 0.
Но произведение п°г- это значение проекции г на нормаль (45,ргЗ),
поэтому р- это д лина отрезка ОР (рис. 326), т.е. расстояние от О до дан-
ной прямой.
50. Взаимное расположение точек н прямых на плоскости.
1. Точка, пара и тройка точек на координатной плоскости. Если
Р=(х,у)~ точка на координатой плоскости, то, очевидно, расстояние ме-
жду ней и началом координат <ЦО, Р)— |ор| = 7*2 +У* • Расстояние
d(Pi,P2) между точками Pi“(xi,.yi) и Р2-(.Х1,У2) определяется по форму-
ле d(Pi,P2) = |p1P2 •
Если Р1=(Х1,.У1), Р2=(Х2,У1), Рзх(хз,Уз)- произвольные различные точки
на координатной плоскости, то площадь S треугольника Р]Р2Рз равна
—►
половине площади параллелограмма, построенного на векторах PtP2 и
Р^Р3. Следовательно (46,47),
S = |[(ж2-х1Хрз-Р1)" (*з-»1Хр2-Р1)] •
2. Точки и прямая. Прямая, заданная общим уравнением Лх+В>н-С=0,
разбивает плоскость на две полуплоскости: для точек (х,у) положитель-
ной (или правой) полуплоскости Лх+Ру+ОО, для точек отрицательной^
(левой) полуплоскости Лх+ДуК7<0 (рис. 33).
§5. Геометрии
127
В самом деле, если точка (х,у') лежит в положительной полуплоско-
сти, то, взяв точку (х,у) на прямой Лх+Ву+С=О, получим Ах+Ву' +С>
> Ах + By + С = 0, поскольку у' >у. Отсюда следует, что никакая точка
вне прямой не удовлетворяет этому уравнению.
Рис. 33
Отрезок, соединяющий любые две точки одной полуплоскости, не пе-
ресекает данную прямую; отрезок, соединяющий любые две точки раз-
ных полуплоскостей, пересекает данную прямую.
Нормальный вектор n =Л1+В] всегда направлен в сторону положитель-
ной полуплоскости: если Р=(х,^-произвольная точка на данной прямой,
а ф=(х+Л,у+В),то Рф=Пи А(х+А)+В(х+В)+С=(Ах+Ву+С)+А2+В2>().
Пусть данная прямая задается обычным уравнением Ях+В>н-С - 0 или
нормальным уравнением xcos0+>>sin0-p = O и Р = (х<>,Уо)-произволь-
ная точка координатной плоскости, не лежащая на этой прямой
(рис. 32в). Основание перпендикуляра, опущенного из Р на данную пря-
мую, обозначим Л/= (х,у). Тоща МР-расстояние от Р доданной прямой.
Поскольку МР коллинеарен нормали, а п° с координатами (cos#, sin0)-
единичный вектор нормали, то МР=
о
МР,П
( “* о
. Заметим, что ОМ, п
= xcos# + sin#=p, поскольку точка (x,j/) лежит на данной прямой, и
МР-ОР-ОМ. По свойству скалярного • произведения (44)
о
Л4Р.П
ОР-ОМ,П°
ОР,П° - (ОЛ/,П°
xocos0+y9sin0-
Итак, расстояние отточки (хо,уо) доданной прямой
I I I Axq+Bxq+C I
rf = |x0 cosfl+Уо sm0-p| =—Л,—.
128
Глава I. Числа и фигуры
3. Две прямые. Пусть заданы две прямые
Aix+Bjy+Ct-Q или y=k\x+b\, (1)
Atf+Biy+Ci-Q или у=к2к+Ь2. (2)
Прямые (1) и (2) параллельны, если их направляющие векторы V] =
и V2=B2i-i42j пропорциональны, т.е. ф-=—ф = 2 (еслиЛ1=Л2“
=0 или Bi -В2=0 (а другая пара ненулевая), то прямые параллельны со-
ответственно оси абсцисс или ординат, а посему параллельны друг другу),
то, домножая уравнение (1) на 1, получаем эквивалентное уравнение
Ait+Biy+OO (С-ЛС1). Таким образом, уравнения параллельных несов-
падающих прямых фактически различаются только свобод ными членами.
Расстояние d между параллельными прямыми А\хкВ\у^С\« 0 и А\х+
+В\у+С=0 определяется по формуле
. |Q-C|
А2 +*12
В самом деле, расстояние от произвольной точки (хь, уо) на прямой
. _ —, л _ ЬФха+Лд^л+С,! I-C+C.I
Aix+Biy+C=0 до другой определяется как 1 ‘-г. .-.гЛ., ‘J = х„,,„ I. .
А+А д/Л.’+Д2
Пропорция ф- = —Ф- при Я|,Л2 # 0 равносильна пропорции -ф-»
В2
= -^- = к , т.е. ki= к2, поэтому условие параллельности можно записать
в виде
АДЪ-АзВх^О или jti = Jt2.
Если прямые (1) и (2) не параллельны, то они имеют единственную об-
щую точку пересечения (хо,уо), определяемую из системы уравнений
|Ахо +В1У0 +С, = 0,
|Л2х0 + В2у0+С2 = 0,
решая которую, получаем
Хо = = ’ У ° ~ AlB2-A2Bl = kj-ki
Угол между непараллельными прямыми (1) и>(2) равен углу между их
направляющими или нормальными векторами; если считать угол у меж-
ду прямыми всегда острым, то
I п1пг| |A4i+A^i|
§5. Геометрии
129
Для вычисления sin/ воспользуемся равенством |n1 xn2|2 = |nt|2x
х[п2|2 —(п,п2)2 (см. 47), откуда |п! xn2|2=(^i2+В]2)(л22+В22)-
- (At А2 + В] В2 )2 = (Л, В2 - A2Bt )2. Следовательно,
. _ |П1хПз|2 _ |4В2~ЛВ1|
1П1НПг| 7л12+я12,7^22+в22
Отсюда
tg 8inr _ *2-*i
ы СО»/ Л^+В,^ |l+*i*2 ’
где последнее равенство получено делением числителя и знаменателя на
В\В2, поскольку кх - и fc2 = .
-В| -в2
Таким образом, условием перпендикулярности прямых будут равенства
Лр42+В1В2=0 или ^2=_Т" (cos/=0).
Уравнение нормали к прямой Ах+Ву+С=0 (или у-kx+b), проходящей
через точку (хь.Л'о) будет иметь ввд
~11411 5*“4>'+(4>'о-Вхь)вО, или >'=-^х+(>'о+|хо) •
Пример 28. Дана прямая х+2у=1 идее точки: Р=(1,1)и Q=(-l,5).
Написав уравнение прямой, проходящей через точки Р и Q, найти:
а) координаты середины А/ отрезка PQ и точки пересечения второй
прямой с осями;
' б) уравнения пучка прямых через точку М;
в) уравнение нормали кданной прямой, проходящей через точку А/;
г) расстояние от Л/до д анной прямой;
д) угол между рассматриваемыми прямыми.
Р е ш е н и е: а) Вектор PQ- направляющий вектор второй (искомой)
прямой - имеет координаты (-1-1,5 -1) = (-2,4). Возьмем в качестве
направляющего пропорциональный ему вектор с координатами (ЬЛЬУ) =
- (-1,2). Тогда каноническое уравнение второй прямой будет иметь вид
^151 - У^Уо. (где (хо,у0)=Р, т.е. , что равносильно уравнению
ь* °у -1 2
общего вида 2х+у-3=0.
9 - 5091
130
Глава I. Числа и фигуры
Согласно 51, if. 1, имеем: ^)=(0,3)-точка пересечения с
ординатой, а точка пересечения второй прямой с абсциссой находится из
условия 2х-3=0, т.е. это будет точка с координатами (1.5,0).
б) Пучком прямых через данную точку называется множество прямых
со всевозможными наклонами, проходящих через данную точку. Прямая,
проходящая через точку (Х1,_и) по направлению V = (v„ уД имеет кано-
х-х, У-У1 . .
ническое уравнение ---=—- и наклон к = vz/v» поэтому уравнение
v* vy
прямой через точку (xbyi) с наклоном к имеет вцду-у1=А:(х-Х1). Итак,
д ля пучка прямых через М имеем уравнение у-3=Ах, а д ля вертикальной
прямой через М - уравнение х=0.
в) Нормальный вектор к прямой х+2у=1 имеет координаты (1,2), по-
этому уравнение нормали к ней через точку М имеет вид
у —- 3
x=iy- или у=2х+3.
г) Расстояние d от М до данной прямой определяется (50) как
Кстати, проекцией точки М на данную прямую будет точка (-1,1).
д) Согласно (50), острый угол у между прямыми х+2у = 2 и 2х+у=3
определяется как
з
откуда у = arctg- « 0.6435.
4
. Отметим„что для решения задачи не понадобилось никакой геометри-
ческой иллюстрации. Это общая черта решений координатным методом,
сущность которого в замене геометрических объектов числами.
Но кроме удобства вычислений координатный метод содержит принци-
пиальную идею, может быть, значительно более важную, чем конкрет-
ные подсчеты. Рассматривая школьную планиметрию, определяемую :
аксиоматикой Евклида, резонно задать вопрос: а существует ли такой
объект - евклидова плоскость? Может быть, евклидовых прямых, тре-
угольников и т.п. вовсе не существует ни в природе, ни в теории. Вопрос
не праздный, поскольку возможны и неевклидовы геометрии, например
геометрия Лобачевского, о чем пойдет речь в 53, и долгое время ожив-
ленно обсуждался вопрос, какая именно геометрия реализуется в при-
роде, в реальном пространстве.
§5. Геометрии
131
Так вот, если точками плоскости назвать всевозможные пары действи-
тельных чисел (х,у), прямыми-пары, удовлетворяющие всевозможным
уравнениям Ах+Ву+С=0, то такой числовой объект будет удовлетворять
всем аксиомам планиметрии Евклвда (это, конечно, требует серьезного
доказательства) или, как говорят математики, будет моделью планимет-
рии Евклвда. Такая арифметизация заменяет вопрос о существовании
евклидовой плоскости на вопрос о существовании действительных чисел.
Важность этой замены в том, что математиками общепризнанно, что
числа являются более простым и интуитивно ясным предметом, чем объ-
екты геометрии, т.е. такая арифметизация является заменой более
сложного на более простое. Подробнее и серьезнее (но вполне доступно)
речь об этих интересных проблемах пойдет в § 4 гл. VI.
Трехмерное координатное пространство Евклида
Деление .отрезка в данном отношении; параметрическое уравнение прямой,
каноническое уравнение прямой. Общее уравнение плоскости, полуплоскости,
направление нормального вектора плоскости: нормальное уравнение плоскости;
уравнение плоскости в отрезках; параметрическое уравнение плоскости;
уравнение плоскости, проходящей через три данные точки (51). Условие
параллельности двух прямых, угол между двумя непараллельными прямыми,
условие перпендикулярности прямых. Расстояние .от точки до плоскости;
перпендикулярность прямой и плоскости. Условие параллельности двух
плоскостей, расстояние между параллельными плоскостями; угол между
непараллельными плоскостями. Примеры. Числовая модель евклидова
трехмерного пространства (52)
51. Точки, прямые и плоскости в координатном пространстве. Пусть
в трехмерном пространстве зафиксирован ортонормированный базис
—►
[i, j, k] (46, ориентация положительна). Тогда любая точка А и вектор ОА
fi пространстве однозначно характеризуются координатами (а* а?, аг),
—►
которые являются значениями проекций ОА на оси (47).
—>
Пусть Pi = (хь уь Zi) и Рг = (хг,уг, *г) - произвольные точки, И-ОРХ,
—►
г2= ОР2 . Тогда д ля произвольной точки Р=(х, у, г) на отрезке РхРг вектор
РХР коллинеарен вектору РХР2 , поэтому PxP-qPxP, где 0£?£ 1, по-
скольку РХР<РХР2. Положив ОР=г, получаем Р1Р=г-г1, ДР2=г2- г(,
откуда (г-Г1)=?(Г2-и) или r=(l-g)ri+gr2. Если обозначить 1-q через р
(р=РР2/Р1Р2),то получим г=/>Г1+(1-р)г2, OSpSl. Таким образом, лю-
9’
132
Глава I. Числа и фигуры
бая точка (х, jO на отрезке Р\Р2 задается координатными равенствами
х = рх} +(1-р)х,
' y = pyi+(l-p)y, 0£р£1;
z = pzx +(l-/>)z.
В частности, середина отрезка PiP2 имеет координаты
2 ’ У 2 2 V 2/
Если точка Р = (х, у) делит отрезок Р\Р2 в отношении Л=у, те
РХР/РР2~Л =-, то 1+Л = -^+1 = . откуда
3 РР} РР2 р
Х1+ЛХ2 1+Л ДХ|+£Г2 3+t ’
1 л Ух^Уг syi+b'i
г = йГ"+йГ= ““ у-'м
JZj+62
Lz“ i+л J+t
Для плоского случая получаем то же векторное равенство и те же дв;
первых координатных равенства (zi=z2=z=0).
Уравнения прямой. Любая точка Ро - (хо, Уъ го) и вектор a —-aj+axj 4
+ a,k однозначно задают прямую по направлению а, проходящую чере;
точку Ро, векторным равенством (параметрическое уравнение прямой
г- г0+/а,
где ro=x0i+yoj+zok, /-произвольное число, г=х1+у)+гк-радиус-векго|
с концом (х,у, z), являющимся произвольной точкой этой прямой. Дока
зательство почти дословно совпадает с доказательством в 49.
Три координатных равенства, эквивалентных параметрическому урав'
нению, очевидны (см. 49).
Параметрическое уравнение равносильно каноническому уравнения.
прямой в пространстве
х-хр у-уй Z-Zp
ах Оу аг
Прямая, проходящая через данные точки Piw(Xbyj,Zi) и Р2~(х2,У2, z2)
определяется, например, точкой Pi и вектором РХР2 =(x2-xi)i+(y2-pi)j4
+(z2-zi)k и посему имеет каноническое уравнение
Х-Х1 у-ух _ z-zt
*2"*1 "Pj-Pl *2“Z1’
§5. Геометрии
133
Уравнения плоскости. Для того чтобы написать уравнение плоскости,
проходящей через точку Ро = (*о, Уо> to) и перпендикулярной данному не-
нулевому вектору п с координатами (А, В, С), рассмотрим вектор Го=
= ОР0 и вектор r=xi+yj+zk с концом в произвольной точке плоскости
Р=(х,у,г)Логял Р0Р In, следовательно,(г-го)п=0 илиА(х-Хо)+В(у-уо)+
+C(z-zo)=O. Обозначив Axo+Byo+Czo через -D, получим общее уравне-
ние плоскости
Ax+By+Cz+D^Q или rn+D=0.
Плоскость разбивает пространство на два полупространства-положи-
тельное (правое), для точек (x,y,z) которого Ax+By+Cz+D >0, и отрица-
тельное (левое), где Ax+By+Cz+D <0. Нормальный вектор п всегда на-
правлен в сторону положительного полупространства. Доказательства
точно такие же, как д ля прямой на плоскости (50, п.2).
Напротив, всякое уравнение вида rn+D-О есть уравнение плоскости,
перпендикулярной вектору с координатами (А,В, С) и проходящей (пусть,
к примеру, А * 0) через точку (-D/A, 0,0). Если А = D = 0, то уравнение
By+Cz=Q определяет плоскость, проходящую через ось i. Если Л=0, то
уравнение By+Cz+D - 0 определяет плоскость, параллельную оси абс-
цисс i; если А = В = 0, то уравнение Cz+D = 0 определяет плоскость, па-
раллельную координатной плоскости векторов i,j; если A-B-D-d, то
уравнение Cz=0, равносильное z=0, определяет координатную плоскость
векторов i, j; и т.п. Все это сразу следует из направления нормального
вектора (А, В, С).
Для получения нормального уравнения плоскости будем считать, чтс
D<0, чего всегда можем добиться умножением на -1, поскольку общее
уравнение, умноженное на ненулевую константу, определяет ту же плос-
кость. Разделив общее уравнение на |п| = л/л2 +В2 +С2 , получим таь
называемое нормальное уравнение плоскости
XCOS0x +>»C0S6^ +ZCOS0, -р = 0,
где р > 0 - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат ш
плоскость, a cos ft, cos ft, cos в, - его направляющие косинусы (47). До
казательство практически повторяет векторное доказательство дл>
плоскости.
Плоскость, пересекающая ось i в точке (а, 0,0), ось j в точке (0,А,0)
ось к в точке (0,0, с), может быть описано также уравнением, называв
мым уравнением плоскости в отрезках,
134
Глава I. Числа и фигуры
X у 2 ,
-+f+-=1,
а о с
в чем убеждает непосредственная подстановка координат этих точек в
уравнение в отрезках.
Фиксированная точка Po~(x^yo,z^ и пара векторов и и v определяют
плоскость, проходящую через точку Ро параллельно плоскости векторов
и и V, векторным параметрическим уравнением
г = ib+fu + sv,
где t,s-числа, ro=x0i+j'oj+zok, а г - переменный вектор с концом в про-
извольной точке на искомой плоскости.
Для того чтобы написать уравнение плоскости, проходящей через три
заданные точки Pi=(xi,yi,Zi), Рт*(*2,У2, z2), Рз=(*з,Уз, 2э), не лежащие на
—►
одной прямой, заметим, что векторы РХР2 и РХР3 принадлежат искомой
плоскости, поэтому параметрическое уравнение искомой плоскости име-
ет ввд
Г’П + гСГг-гО + ^Гз-Г!),
где r„=xj +y»j+z.k, л = 1,2,3.
Другой вариант-заметить, что векторы Г-Гь г-г2, г-г3 компланарны,
поэтому (47)
<Г-Г1,Г-Г2,Г-Гз> = 0.
В координатном ваде это уравнение удобно писать с помощью определи-
телей (см. 73).
52. Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей.
1. Условием параллельности двух прямых
. . Х-Х- у-Уа Z-Za
г«*гв-1-та или —e--z_zs-_—
ах Яу а2
г-г»+тЬ „ли =
Ьу bt
является коллинеарность направляющих векторов а и Ь:
. . Ь, Ьу ь.
b — 2а или — = — = —.
«х «у az
Если, кроме того, они имеют общую точку, то они совпадают.
Угол <р между двумя непараллельными прямыми г=го+/а и г=r»+rt>
определяется как угол ab между направляющими векторами:
§5. Геометрии
135
„Сй> _ ab _ аА-^А^А
1®ЦЬ| 7ах2-м/-н>Л7ьх2+*/+*,2 ’
2. Условие взаимной перпендикулярности прямых:
ab = аА+ оА+ а,Ьг-0.
Расстояние d от точки Poe (xb.J'o.zo) Д° плоскости Ax+By+Cz+D = 0
аналогично 50 определяется по формуле
а> _ |Ллд+Ду()Ч€1о+Р|
Тл2+в2+с2
Прямая перпендикулярна плоскости Ax+By+Cz+D ”
ах а2
= 0, если направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости
параллельны, т.е.
ах ау аг
Дре плоскости Aix+Bjy+Ciz+Di-О и Ap+By+Ctf+E^O параллельны,
если их нормали коллинеарны, т.е. пропорциональны:
4 _ А _ G _
4 A Q
Деля уравнение второй плоскости на Л, получаем, что любая плоскость,
параллельная первой, задается уравнением Atx+Biy+Ciz+D=O.
Расстояние d между параллельными плоскостями A\x+Byy+Ciz+
+Di = 0h A\x+B^y+C\z+D=0 определяется аналогично 50:
а- . Ш-°1 .
W+b.’-x;’
Угол <р между двумя непараллельными плоскостями Л1Х+£1у+С|Х+
+£>i = 0 и A&+B1y+C1z+D2=0 совпадает с углом между их нормальными
векторами, поэтому
_ ПА___________
I ni| I л/А2 -А2 +А2 +Q2
Пример 29. Найти координаты точки, симметричной началу коорди-
нат относительно плоскости, отсекающей равные отрезки на осях коор-
динат и проходящей через точку (2,1, -2), и расстояние от нее до этой
плоскости. Каковы координаты основания перпендикуляра, опущенного
из начала координат на эту плоскость?
Решение. Решение не единственно: расположение плоскости зависит
от знаков коорд инат концов отсекаемых на осях отрезков. Пусть рассма-
136
Глава I. Числа и фигуры
триваемая плоскость отсекает на осях отрезки с концами в точке аХ) на
каждой оси. Тогда уравнение плоскости в отрезках будет иметь вид
—=1 (51) или x+y+z=o. Так как точка с координатами (2,1,-2)
а а а
лежит на плоскости, то 2+1-2=а, т.е. а= 1.
Нормальный вектор к этой плоскости имеет координаты (1,1,1). Нор-
маль к плоскости через начало координат ему параллельна, поэтому ее
каноническое уравнение (51) имеет вад , или х-у-z - это
главная диагональ в коордйнатном пространстве.
Расстояние от начала координат до плоскости d = j0"1! . -4- (52,
Vi’+r+i1
п.2). Точка, симметричная началу координат, лежит на диагонали в дру-
гой (положительной) полуплоскости на том же расстоянии; если ее абс-
цисса равна хо, то xQ=yo=zo, поэтому расстояние от нее до плоскости
j *о+Уо+^>“1 1 „ , .
определяется как а+ = г— = -т- или Зх0-1 = 1, следовательно, ее
V3 л/3
2
координаты x0=y0=z0=-. Искомое основание перпендикуляра принад:
лежит одновременно и главной диагонали, и рассматриваемой плоско-
сти, поэтому для его координат xuyi,Z\ имеем Xi =у\=zx и xitji+zi = 1,
откуда 3xi=l или xi=j- Итак, координаты перпендикуляра
Другой, чуть отличающийся вариант решения, получим в случае, если
плоскость проходит через точки (а, 0,0), (0, а, 0), (0,0, -а): уравнение в
отрезках тогда будет иметь вид: =1 или x+y-z-a. Подставляя
а ’ а —а
в него точку (2,1,-2), получим 2+1+2=а, т.е. а=5 итд.
Аналогично для всех других вариантов.
Пример 30.Использование метода координат.
1. Найти площадь S треугольника с вершинами в точках Л=(х1,у1, zt),
^“(х^д^хД и P3=(x3,y3,z3), не лежащих на одной прямой.
Решение. Пусть г„ = ОР„, я = 1,2,3. Треугольник Р\Р3Рз образован
векторами Р}Р2 и Р2Р3 .поэтому (46,50) его площадь
S =у| ^1ЛХ ^2^з|=у|(Г2 -Г1) х (Г3 “ Г1)| •
§5. Геометрии
137
Окончательные вычисления удобно проводить с помощью определите-
лей (71).
2. Найти условие того, что четыре точки лежат на одной плоскости.
Решение. Четыре точки Рп-{хп,уп, z„), п-1,...,4 лежат в одной плос-
кости тогда и только тогда, когда векторы РХР2 ,РХР3,РХР^ компланар-
ны, что эквивалентно (47) < Р]Р2» ДА» ДА > = 0.
В координатной форме это просто записать с помощью определи-
телей (72). '
3. Найти угол между прямой = —— = и плоскостью
«х «у “г
Лх+Ву+С?=0.
Решение. Если угол между данными прямой и плоскостью равен д>, то
угол между прямой и нормальным вектором n = A i+Bj+Ck к плоскости
равен у-р,но cosna=pqy^j, где а - axi+ayj+atk-направляющий век-
тор данной прямой, следовательно,
(я \ л Алх +Вау +Сох
sin?=cos I -г- ? J = cos па = । , , , i , , 1 , •
>2 *7 7Л+В+С jax2+ay2+a,2
Для определения острого угла надо взять модуль.
Итак, можем подвести некоторые итоги. Во-первых, для координатного
решения пространственных задач, как и планиметрических, не понадо-
билось никаких рисунков (при желании их, конечно, можно сделать), что
характерно для этого метода. Во-вторых, кбординатный метод, как мы
видим, позволяет довольно просто решать вычислительные задачи,
особенно с использованием определителей (см. § 6 гл. II). В-третьих,
принципиальный вопрос - координатная арифметизация трехмерного
пространства (аналогично плоскости), в которой точками будут тройки
чисел (x,y,z), прямыми-точки, удовлетворяющие каноническим уравне-
ниям прямых, а плоскостями - точки (тройки чисел), удовлетворяющие
уравнениям (например, общим) плоскостей, определяет числовую мо-
дель евклидовой стереометрии. Все, что говорилось касательно числовой
модели геометрии в 50, справедливо и для модели евклидовой стерео-
метрии.
О других вариантах геометрий и их связи с пространством и временем
пойдет речь в 53-54.
138
Глава I. Числа и фигуры
Другие геометрии
Геометрия Евклида и аксиома о параллельных; об анализе евклидовой аксиоматики;
о трудах и неевклидовых идеях Гаусса. Публикации Лобачевского и Бойаи. Риман,
римановы пространства. Модели Бельтрами, Клейна и Пуанкаре. Описание модели
Пуанкаре (53). О римановой геометрии на сфере. Геометрия Минковского и ее
связь с теорией относительности (54)
S3. Геометрия Лобачевского. Со времен классического эллинизма
геометрия, изложенная Евклидом, считалась наукой о пространственном
строении реального, наблюдаемого нами мира. Аксиомы Евклида, на
основании которых было возведено все здание геометрии, считались ап-
риорными и несомненными истинами, присущими как физическому про-
странству, так и изначальным интуитивным представлениям каждого
человека о нем (пространстве). Посредством этих схем разум восприни-
мает и осознает опыт, выводя новые знания о мире как логические след-
ствия. Столь длительное (вплоть до середины XIX в.) господство этой
точки зрения объясняется не только совершенствами труда Евклида, но
и решительной поддержкой ее виднейшими философами. Последним по
времени философским трудом мирового класса к началу XIX в., в кото-
ром развернуто излагалась эта точка зрения, была «Критика чистого
разума» Иммануила Кайта (1781).
Естественно, что высокая значимость евклцдоврй геометрии явилась
причиной повышенного интереса к ней и ее детального анализа. Любой
серьезный ученый, изучая даже самый уважаемый труд, анализирует его
и составляет свое собственное мнение о его достоинствах и возможных
недостатках. В результате анализа было установлено, что аксиоматика
Евклида неполна и он молчаливо использует в доказательствах несколь-
ко несформулированных им аксиом. При этом одна из аксиом Евклида
была предметом особого внимания, поскольку казалась математикам
менее очевидной, чем остальные, - это так называемая аксиома о парал-
лельных:
Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, мень-
шие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где
углы меньшие двух прямых.
То есть если а+р< я (рис. 34а), то прямые 1 и 2, продолженные дос-
таточно далеко, пересекутся. Неоднократно предпринимались попытки
заменить эту формулировку эквивалентной, но более простой. Совре-
менным вариантом аксиомы о параллельных: на плоскости через точ-
ку вне прямой можно провести единственную прямую, параллель-
ную данной, мы обязаны, скорее всего, популярному учебнику геомет-
§5. Геометрии
139
рии (1795) английского математика Джона Плейфера (1748-1819), хотя
подобную формулировку можно найти уже в книге афинского математи-
ка и астронома Прокла (410-485).
Рис. 34
Однако Евклвд сформулировал аксиому о параллельных именно так не
случайно. Фигурирующие в аксиоме прямые хоть и далеко, но пересека-
ются, поэтому фактически речь вдет о конечных прямых, т.е. отрезках,
продолжаемых так далеко, как это необходимо. Именно с отрезками
предпочитал иметь дело Евклвд, избегая по возможности бесконечных
прямых. Характерно, что второй постулат определяет (бесконечную)
прямую как возможное продолжение ограниченной прямой (отрезка).
Подчеркнем, что именно отрезок, а не прямая является изначально не-
определяемым понятием в учебнике АД. Александрова «Основания гео-
метрии» (27).
Следует отметить, что начальная группа теорем доказана Евклидом без
использования- аксиомы о параллельных. Лишь доказав все, что можно
было, без аксиомы о параллельных, Евклвд начинает затем использовать
ее. Возможно, здесь дело не только в общем научном принципе доказа-
тельства в минимальных предположениях и научной интуиции специали-
ста - согласно [10, с. 108], мудрые эллины допускали возможность гео-
метрий, в которых сумма углов треугольника не равна я (180 °).
Но гипотезы — не доказательства. Целые поколения математиков пы-
тались выяснить, является ли аксиома о параллельных независимой от
остальных аксиом или следует из них. В исследованиях приняли участие
не только математики. Значительные результаты были получены свя-
щеннослужителем Джироламо Саккери (1667-1733), профессором уни-
верситета в Павии, который попытался из отрицания аксиомы о парал-
лельных получить противоречие. Саккери получил много интересных
теорем, одна из которых показалась ему настолько странной, что он счел
ее противоречащей остальным. Свои результаты он изложил в книге,
изданной в 1733 г. Однако впоследствии математики выяснили, что Сак-
кери ошибся, и эта странная теорема противоречила только интуиции
автора. Вопрос о независимости аксиомы о параллельных оставался от-
140
Глава I. Числа и фигуры
крытым. Безуспешные попытки разрешить эту проблему были столь
многочисленны, что Д’Аламбер назвал в 1759 г. проблему параллельных
«скандалом в области оснований геометрии».
Кстати, занимались аксиомой о параллельных не только в Европе. На-
пример, посвященный ей труд написан известным поэтом и ученым Ома-
ром Хайамом.
Наиболее значительные обобщающие результаты к началу XIX в. при-
надлежат Георгу Клюгелю (G.S. Klugel, 1739-1812), Генриху Ламберту
(J.H. Lambert, 1728-77) и учителю Гаусса профессору Гёттингенского
университета Абрахаму Кестнеру (A.G. Kastner, 1719-1800), которые
интуитивно пришли к убеждению о независимости аксиомы о парал-
лельных от других аксиом Евклида.
Гаусс также занялся этой проблемой, но многолетние попытки вывести
злосчастную аксиому из остальных ни к чему не привели. Невозмож-
ность выполнить чисто логический вывод заставила Гаусса вспомнить
тезис своего учителя о том, что значимость геометрии определяется ее
соответствием опыту, реальному миру. В течение нескольких лет Гаусс
занимался топографической съемкой — его интересовал вопрос, будет
ли сумма углов треугольника равна 180 °. Учитывая тогдашние погреш-
ности измерительных приборов, Гаусс пришел к выводу, что возможные
отклонения от 180° можно обнаружить лишь в треугольниках очень боль-
ших размеров, т. е. в астрономических наблюдениях.
Отметим, что в «измерительной» постановке речь может идти только о
проверке свойств конечных объектов, поскольку реальные измерения
относятся лишь к конечным объектам — еще одно свидетельство про-
зорливости Евклида, сформулировавшего аксиому о параллельных в
терминах ограниченных прямых.
К 1829 г. Гаусс окончательно пришел к убеждению, что неевклидова
геометрия применима для описания физического мира ничуть не хуже,
чем евклидова, и аксиома о параллельных невыводима из остальных ак-
сиом. Примерно с 1813 г. Гаусс начал работать над вариантом неевкли-
довой геометрии, названной им астральной (звездной), но об этих рабо-
тах было известно только нескольким его друзьям-математикам. Более
того, в письме к немецкому астроному и математику Фридриху Виль-
гельму Бесселю (F.W. Bessel, 1784-1846), профессору Кенигсбергского
университета и директору обсерватории, он писал, что вряд ли опублику-
ет свои открытия, опасаясь неизбежного возмущения не только матема-
тиков (при том, что научная репутация Гаусса была высочайшей). Заме-
тим, что представления об окружающем пространстве были достоянием
не только математиков, но, согласно школьным программам, едва ли не
§5. Геометрии
141
каждого человека, а истинность евклидовой геометрии была освящена
как многовековыми традициями, так и авторитетом многих философов, в
том числе столь высокочтимого, как Кант. Поэтому можно утверждать,
что первые создатели неевклидовых геометрий как целостных теорий,
противоречивших общепринятым представлениям, совершили не только
научное открытие, но и просто мужественный поступок.
В 1829-30 гг. профессором и ректором Казанского университета
Николаем Ивановичем Лобачевским (1792-1856) была опубликована
работа «О началах геометрии», в которой излагалась содержательная и
целостная теория неевклидовой геометрии (первая частичная публика-
ция в 1826 г.). В 1831-1832 гг. венгерский математик Янош Бойаи, в
другой транскрипции Больяи (J. Bolyai, 1802-60), в то время офицер
австрийской армии, в приложении к первому тому сочинения по матема-
тике своего отца, профессора математики Фаркаша Бойаи (F. Bolyai,
1775-1856), кстати, состоявшего в многолетней научной переписке с
Гауссом, также опубликовал основы геометрической теории, в которой в
качестве аксиомы принималось отрицание аксиомы о параллельных.
Достоверно установлена независимость этих трудов. Существование не-
противоречивой неевклидовой геометрии означало крушение многове-
ковой математико-философской концепции, -согласно которой окру-
жающее нас физическое пространство априорно и несомненно имеет
структуру геометрии Евклида. Евклцдовость физического пространства
не может быть гарантирована никакими априорными соображениями,
коль неевклидова геометрия логически непротиворечива. Сомнительна и
возможность эмпирического обоснования: единственность бесконечной
параллельной прямой через данную точку непроверяема опытным путем,
как и любое свойство, связанное с бесконечной удаленностью, а точное
равенство суммы углов треугольника 180 ° неустанавливаемо в силу не-
избежной погрешности измерения.
Неудивительно, что работы Лобачевского и Бойаи, которые можно
назвать подобными открытию Коперника и Галилея, получили резко от-
рицательные отзывы. Даже Гаусс, которому, казалось, нечего было бо-
яться, столь высоко он был вознесен своими трудами, не решился дать
не только положительный отзыв на какую-нибудь из этих работ, но и
какой-либо отзыв вообще, хотя и явился инициатором избрания Лоба-
чевского членом-корреспоцдентом Гёттингенского научного общества.
Николай Иванович Лобачевский опубликовал еще несколько трудов в
подтверждение и развитие своих идей, однако непризнание стало для
него причиной многих печалей. А для Бойаи все это кончилось тяжелым
нервным потрясением, в особенности после отрицательного отзыва на
142
Глава I. Числа и фигуры
другую его блестящую работу по алгебре.
Но тонкая поддержка Гаусса прищла с другой стороны. Он предложил
своему ученику Георгу Бернхарду Риману (G.B. Riemann, 1826-66) для
вступления в должность приват-доцента Гёттингенского университета
прочитать лекцию об основаниях геометрии, которая в присутствии Га-
усса была прочитана в 1854 г. Эта лекция, содержавшая много глубоких
идей, не была сразу понята и должным образом оценена современника-
ми, но впоследствии оказала значительное влияние на развитие матема-
тики. В ней, анализируя как априорное понимание пространства, так и
эмпирические факты, известные о физическом пространстве, Риман
пришел к концепции пространства в широком понимании, включая ис-
кривленные пространства. Идеи Римана послужили стимулом к изуче-
нию неевклидовых геометрий, т.е. конкретно описываемых математиче-
ских объектов, на которых выполняется вся аксиоматика неевклидовых
(во множественном числе) геометрий, в частности геометрии, предло-
женной Лобачевским и получившей впоследствии название геометрии
Лобачевского.
Несмотря на то что лекция Римана была опубликована только спустя
14 лет в 1868 г. под названием «О гипотезах, лежащих в основании гео-
метрии» («Ober die Hypothesen, weiche der Geometric zu Grunde
liegen»), ее содержание было известно в математическом мире. И вот в
том же 1868 г. итальянским математиком Эудженио Бельтрами
(Е. Beltrami, 1835-1900) в труде «Опыт толкования неевклидовой гео-
метрии» был приведен пример так называемой поверхности постоянной
отрицательной кривизны (см. рис. 34 б), на которой реализовывались
аксиомы геометрии Лобачевского.
В основу создания этой модели Бельтрами была положена следующая
идея (восходящая к Риману). На евклидовой плоскости из всех гладких
кривых, проходящих через две данные точки, отрезок отличается тем, что
имеет наименьшую длину. Кратчайшая линия на искривленной гладкой
поверхности между двумя точками называется геодезической (кривой).
Так, на сфере геодезическими будут всевозможные дуги больших кругов
(проходящих через центр) — в силу искривленности на поверхности мо-
жет не существовать отрезков вовсе.
Если точками геометрии Лобачевского считать точки на поверхности
Бельтрами, отрезками — геодезические, а преобразование движения на
евклидовой плоскости заменить на перемещение по сфере с деформаци-
ей, сохраняющей длины, то д ля такой конструкции будут выполнены все
аксиомы геометрии Лобачевского. В результате все теоремы геометрии
Лобачевского получали наглядную интерпретацию на геометрической
§5. Геометрии
143
модели — это был первый пример ограниченной (части, а не всей) плос-
кости Лобачевского.
В основу этой модели были положены метрические, т.е. связанные с
расстоянием, свойства пространства и поверхностей. Отметим, что
именно метрическими свойствами определялись абстрактные простран-
ства в лекции Римана. С другой стороны, на основании метрического
подхода Бельтрами решал в 1865 г. задачи картографии. Поэтому трудно
сказать, что внесло больший вклад в создание неевклидовых моделей —
чистая теория или чистая практика.
С этого времени неевклидовы геометрии получили признание и стали
быстро развиваться. В настоящее время никому не приход ит в голову счи-
тать их «еретическими». В объяснение приведем слова выдающегося
немецкого физика Макса Планка, сказанные им в начале XX в.:
Новая научная теория побеждает не потому, что ее противники убеждаются в ее правиль-
ност и прозревают, а именно по той причине, что противники постепенно вымирают, а новое
поколение усваивает эту истину буквально с молоком матери.
Замечательно то, что истинность геометрии Евклида обеспечивает ис-
тинность противоположных, неевклидовых геометрий: если евклидова
геометрия непротиворечива, то существует поверхность Бельтрами, за-
дающаяся несложным уравнением или аналитическими выражениями, а
следовательно, модель геометрии Лобачевского. Подробно подобные
мнимые парадоксы будут обсуждаться §4 гл.У1.
Кроме теоретического обоснования логично вслед за Гауссом заняться
поиском неевклидовых закономерностей физического пространства. Со-
гласно законам физики, свет распространяется по кратчайшему пути,
поэтому исследование траекторий световых лучей может дать ответ на
вопрос, по каким законам «живет» свет и электромагнитные волны во-
обще. Эксперименты, поставленные физиками в подкрепление положе-
ний общей теории относительности, подтвердили искривление световых
лучей в полях сильного тяготения и, следовательно, обоснованность
применения неевклидовых моделей для описания пространственной
структуры световых полей. Далее мы вернемся к физике и уточним содер-
жание предыдущей фразы.
В 1872 г. немецкий математик Феликс Клейн (F. Klein, 1849-1925), в
то время профессор математики Эрлангенского университета, в труде,
посвященном анализу различных геометрий, указал модель для всей
плоскости Лобачевского на внутренности круга с расстояниями, отлич-
ными от евклидовых, а также модель для пространства Лобачевского.
Позднее французский математик и философ Анри Пуанкаре
(Н. Poincarg, 1854-1912), профессор Парижского университета и член
144
Глава I. Числа и фигуры
Парижской академии наук, предложил другую модель геометрии Лоба-
чевского на внутренности круга. Она проста, изящна, ее основные мо-
менты вполне доступны для понимания непрофессионалом.
За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, т.е. круг
без внешней граничной окружности, его точки называются точками
плоскости Лобачевского. Прямыми в модели считаются дуги окружно-
стей внутри круга, ортогональных граничной окружности данного круга
(ортогональность означает перпендикулярность касательных в точках
пересечения) и диаметры круга как окружности бесконечнбго радиуса.
Углами между модельными прямыми называются углы между соответст-
вующими дугами в обычном смысле (т.е. углы между касательными в
точке пересечения).
Если точка S не лежит на модельной прямой а, то существуют две мо-
дельные прямые (т. е. перпендикулярные к а дуги в обычном смысле),
имеющие с а общие концы на внешнёй окружности (рис. 35). Эти концы,
по определению, не принадлежат плоскости Лобачевского, поэтому рас-
сматриваемые прямые не пересекаются с а. Угол а между модельной
прямой b (или Ь') и перпендикуляром к а из точки S называется углом
параллельности. Параллели, образующие с а угол параллельности, с
одной стороны, сколь угодно близко приближаются к а, а с другой сто-
роны, бесконечно удаляются. Прямые, проходящие через S’ и не пересе-
кающиеся с а, называются расходящимися с а прямыми или сверхпарал-
Рис.35
дельными ей. Если называть параллельными непересекающиеся пря-
мые, то в геометрии Лобачевского через точку вне данной прямой про-
ходит бесконечно много параллельных ей прямых. По мере удаления
точки S от прямой угол параллельности возрастает до я/2 (рис. 35а) или
убывает до нуля (рис. 356).
Движения, без которых подобно евклидовой геометрии невозможно
определить равенство геометрических фигур, определяются в модели
Пуанкаре как преобразование круга в себя, сохраняющее углы. Длина в
геометрии Лобачевского (и модели Пуанкаре) определяется сложнее,
чем в геометрии Евклида, и поэтому «искривляет» геодезические.
$5. Геометрии
145
В геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше
я и может быть сколь угодно близкой к нулю (чем меньше треугольник,
тем ближе к я сумма его углов), разность между я и суммой углов дан-
ного треугольника называется дефектом треугольника; подобных, но не-
равных треугольников не существует; линия, равноудаленная от данной
прямой, не является прямой - это особая кривая, называемая эквиди-
стантой; длина окружности не пропорциональна радиусу, а возрастает по
экспоненте, в аргументе которой стоит произведение радиуса на кривиз-
ну (характеристика пространства Лобачевского, входящая во все форму-
лы измерения длин и углов); в геометрии Лобачевского много и других
интересных свойств, отличающих ее от геометрии Евклида. Уменьшению
кривизны области в пространстве Лобачевского соответствует уменьше-
ние самой области, при уменьшении кривизны формулы геометрии Ло-
бачевского становятся сколь угодно близкими к формулам геометрии
Евклида.
Отметим, что все теоремы, доказываемые в евклидовой геометрии без
использования аксиомы о параллельных, остаются справедливыми и в
геометрии Лобачевского, и отдадим должное прозорливости Евклида,
выделившего их в отдельную группу.
Определенный итог исследованиям геометров подвел труд (1899) не-
мецкого математика Давида Гильберта (D.Hilbert, 1862-1943) «Осно-
вания геометрии» (о Гильберте см. § 4 гл. VI), в котором была дана
полная и компактная аксиоматика евклидовой геометрии и доказана ее
непротиворечивость, изложены целостная трактовка оснований неевк-
лидовых геометрий и анализ принципов обоснования альтернативных
геометрических концепций.
54. Геометрии Римана и Минковского. Очень кратко остановимся на
двух геометрических концепциях, тесно связанных с современной физи-
кой,-со структурой пространства-времени и физических полей.
Как уже говорилось, факт существования по крайней мере двух раз-
личных геометрий, пригодных д ля описания физического пространства,
известный и Гауссу, и Риману, заставлял задуматься, что же собственно
достоверно известно об окружающем нас реальном пространстве. Со-
вместный анализ математических и физических проблем привел Римана
к созданию глубокой теории неоднородных пространств. Простейший
пример изученных Риманом пространств - пространство постоянной по-
ложительной кривизны (в отличие от пространства с отрицательной кри-
визной, являющегося моделью геометрии Лобачевского). Моделью плос-
кости постоянной положительной кривизны является сфера. Для опреде-
10 - 5091
146
Глава I. Числа и фигуры
ления геометрии Римана диаметрально противоположные точки сферы
отождествляются. Прямыми в этой модели будут дуги больших окружно-
стей (т.е. внешних, граничных окружностей больших кругов, проходящих
через эти точки и центр сферы). Модельным отрезком, соединяющим
произвольную пару точек, считается дуга большой окружности, прохо-
дящей через эти точки. На этой плоскости Римана параллельных нет во-
все: любые две большие дуга пересекутся.
Более сложной и интересной является геометрия Римана с непостоян-
ной кривизной, она описывает метрические (т.е. связанные с измере-
ниями) свойства неоднородных физических сред. Содержательное обсу-
ждение этих вопросов требует знания дифференциального исчисления
(гл. IV) и дифференциальной геометрии, однако простой пример так на-
зываемого псевдориманова пространства, которое играет фундаменталь-
ную роль в специальной теории относительности, вполне доступен.
В этом пространстве, называемом пространством Минковского
(Герман Минковский (H.Minkowski, 1864-1909), немецкий математик и
физик, родился в России, с 1902 г. профессор Гёттингенского универси-
тета), пространственные координаты и время связаны воедино, т.е. точ-
ками (Элементами) этого пространства будут четверки чисел (x,y,z,ct),
где с- скорость света. Таким образом, в этом четырехмерном простран-
стве первые три координаты определяют положение наблюдаемого объ-
екта - точки в пространстве, а последняя координата - время наблюде-
ния. Скалярное произведение и метрика (т.е. расстояние), связывающие
воедино координаты (в физической интерпретации - пространство и
время), определяются не совсем обычно и поэтому имеют приставку
«псевдо»: если ^-(x,y,z,ct) и £• = (*♦, z., сб)-две произвольные
точки пространства Минковского, то псевдоскалярное произведение
(£,£)„, в пространстве Минковского определяется равенством
(£,£)„; = хх»+уу» +zz»- с2 tt* и соответственно квадрат псевдонормы
II ^ll^i = (6 ~ х2+У3 +*2 ~ °2 *2 • Таким образом, псевдонорма может
оказаться мнимой или нулевой.
В зависимости от знака квадрата псевдонормы элементы пространства
Минковского делятся на три класса: >0 - пространственноподоб-
ные, IC <0 - времениподобные, =0 - световые. Метрические
соотношения в пространстве Минковского имеют следующую физиче-
скую интерпретацию. Если два наблюдаемых в фиксированной системе
отсчета точечных объекта имеют координаты £o-(xo,yo,zo,cto) и
§5. Геометрии
147
= (x,y,z, ct) соответственно, то пространственное расстояние между ними
| ГI = J(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 , где r=(x-xo,y->'o, z-z0), а интервал
времени между ними равен Г-/ь- Можно также считать, что £о и это
пространственно-временные координаты одного наблюдаемого объекта
в начальный момент наблюдения t0 и в другой момент времени t. Если
элемент = (x-Xo.y-jo.z-Zo, с(Л-Г0)) времениподобен, то ||£- с=
= |r|I-c2(/-/o)I<0. Величина Г=^(г-/0)3-ргЦе|2 называетсявре-
менным интервалом; с физической точки зрения время, которое затрачи-
вает свет на прохождение расстояния |г|, равно |г|/с, времениподоб-
ность эквивалентна |/-Т0|>-||г||, откуда t>to или t0>t. Согласно „
С
современной физике, величина || &|^ инвариантна в любой системе
координат (т.е. не меняется при переходе к другой системе координат),
поэтому наблюдения £ и & будут последовательны в обычном смысле
(одно будет предшествовать другому), а временной интервал Т не будет
зависеть от системы отсчета. Если £о пространственноподобен, то
||г||2>с2(/-Г0)2,чтоэквивалентно|г-г0|<^|г| или -^|г|<Г-Г0<Д|г|.
С физической точки зрения это означает, что в пределах этих границ и
величина, и знак разности t-to могут меняться в зависимости от системы
отсчета (четырехмерных координат). Про такие наблюдения (события)
нельзя сказать, какое предшествует другому, они называются квазиод-
новременными. Величина R = называется их про-
странственным интервалом. Множество элементов, для которых
|| £ |^ = 0, называется световым конусом, так как луч света, направлен-
ный из начала координат, будет распространяться по образующей
х2 +у2 +z2 = с2 I2 этого конуса. Деление этого уравнения на Г2 приво-
дит к уравнению сферы v2 +v2 +v2 = с2 для скоростей.
Во всех геометриях выделяется принципиально важный класс преобра-
зований, сохранявший метрические свойства фигур. В физике такими
преобразованиями являются преобразования Лоренца, описывающие
изменения физических характеристик при переходе от одной инерциаль-
ной системы отсчета к другой. Преобразования Лоренца сохраняют квад-
10'
148
Глава I. Числа и фигуры
рат релятивистской квазинормы |^|^, закон (уравнение) распростра-
нения фронта световой волны и уравнения электродинамики Максвел-
ла-Лоренца. Скорость света в свободном пространстве также постоянна
в любой системе отсчета и является предельной скоростью распростра-
нения любого действия. Зато пространственные расстояния (и длины
тел), длительность процессов - течение времени, масса и энергия тела -
относительны, т.е. изменяются при переходе от одной системы отсчета к
другой. Преобразования Лоренца также сохраняют сферу скоростей, и
метрические соотношения внутри нее соответствуют формулам геомет-
рии Лобачевского. Релятивистское сложение скоростей и и v выполня-
ется по формуле и +п1у = (и+v) / (1+, которое при малых скоростях
превращается в обычную сумму iHv, поскольку слагаемое «v/с2 в зна-
менателе ничтожно мало.
Указанные физические свойства согласуются с опытами, физическая
теория, описывающая структуру пространства-времени на основании
геометрии Минковского, называется теорией относительности и связы-
вается прежде Всего с именами Альберта Эйнштейна и Анри Пуанкаре.
Эти вопросы являются предметом физических дисциплин, и здесь рас-
сматриваться не будут.
С подробным изложением событий, связанных с анализом геометрии
Евклвда и открытием неевклидовых геометрий, можно познакомиться по
книгам: Бонола Р. Неевклидова геометрия. СПб., 1910; Каган В.Ф.
Лобачевский. М.;Л., 1948; с математической стороной дела можно озна-
комиться по книгам: Новиков С.П., Фоменко А.Т. Элементы дифферен-
циальной геометрии и топологии. М., 1987; Каган В.Ф. Лобачевский и
его геометрия. М., 1956.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ К ГЛАВЕ I
Развитие понятия числа от предмета счета и измерения до абстрактных конструкций
было неизбежным следствием постоянных попыток анализа окружающего мира и досто-
верности человеческих знаний о нем. Числа и фигуры окружают нас явно и неявно в
самых разных областях деятельности, ле только в естественных науках и экономике, но
и в живописи, архитектуре, музыке. Возникавшие в процессе описания и анализа мира
все новые задачи привели к открытию иррациональных и комплексных чисел. Необхо-
димость убедиться в достоверности полученных результатов заставила обратиться к
анализу основ. Весь этот процесс носил целостный и естественный характер.
Числа и их свойства лежат в основе всех дальнейших построений алгебры и анализа.
Теснейшая дозь чисел и геометрических фигур и соответственно алгебры и геометрии
демонстрировалась в этой главе неоднократно и будет отмечаться в следующих главах
не оаз.
Заключение к главе 1.
149
Исследованию и обсуждению подверглись количественные и качественные свойства
как чисел, так и фигур. Требования удобства записи и эффективности вычислительных
процедур обусловили создание двух систем счисления - двоичной и десятичной. Двоич-
ная система объективно является едва ли не самой удачной числовой системой для
компьютеров и других видов вычислительной техники (конкурентом может быть только
троичная). Выделение же десятичной системы связано с традициями и очень удачной
индо-арабской вычислительной символикой. Однако вычислительные аспекты затронуты
в минимально необходимом объеме - основное внимание уделено качественным свой-
ствам и принципиальным проблемам (в данной главе) алгебраического и геометрическо-
го характера.
Числа и алгебраические операции, геометрические фигуры и их свойства - вот те
необходимые выразительные средства для описания и обсуждения указанных проблем,
без которых все превратилось бы в совершеннейшее пустословие. С другой стороны,
анализ проблем иррациональности показал, что за ними стоят не только скучные фор-
мулы и вычисления, но и серьезные философские проблемы, связанные с понятием
бесконечности (23).
Геометрия прямых и плоскостей на алгебраическом языке описывается линейными
уравнениями, простейшими из возможных, в рамках математической дисциплины, на-
зываемой аналитической геометрией. Дальнейшее обсуждение линейных структур будет
проведено в гл. II (линейная алгебра). Простейшая кривая, рассматриваемая в элемен-
тарной геометрии, - окружность, как известно, имеет уравнение + Л2 в системе
координат с началом в центре окружности (R - радиус этой окружности). Может воз-
никнуть естественный вопрос, что представляют собой кривые, описываемые всевоз-
можными квадратными уравнениями с двумя переменными. Это - так называемые кри-
вые второго порядка, которые также являются предметом изучения в курсе аналитиче-
ской геометрии. Задача эта давно решена, и доказано, что существуют всего три вида
возможных (невырожденных) кривых второго порядка:* эллипсы (в частном случае ок-
ружность), гиперболы и параболы - иных возможностей нет. При надлежащем выборе
системы координат эти кривые задаются уравнениями: у2 »2рх (каноническое уравнение
X2 V2 X2 V2
параболы), —+£_«1 (эллипса), -=--^-«1 (гиперболы). С геометрической точки зре-
<г Ъ? а1 Ъ1
ния все кривые второго порядка могут быть получены как сечения прямого кругового
(двухполостного) конуса (конической поверхности). Если секущая плоскость пересекает
только одну полость конуса, то линией пересечения с конусом будет эллипс; если секу-
щая плоскость параллельна образующей, то линией пересечения будет парабола; если
же секущая плоскость пересекает обе полости конуса, то линией пересечения будет
гипербола. Конические сечения были известны уже древнегреческим математикам.
Наиболее полно теория конических сечений была изложена в знаменитом сочинении
«Konika» древнегреческого геометра евклидовой школы Аполлония (ок.200г. до н.э.).
Арифметические законы, т.е. законы сложения и умножения рациональных, действи-
тельных и комплексных чисел, оказались не единственными возможными свойствами
алгебраических операций - с этим мы столкнулись уже при рассмотрении алгебры век-
торов. Вычисление средней скорости в физике также происходит по неарифметическим
правилам: если объект прошел путь Si за время Л (т.е. со средней скоростью vi «Si/rO,
путь Si за время г2 (средняя скорость Уз-$з/Гз), то, обозначая операцию сложения сред-
них скоростей через ©, получаем для суммарной средней скорости на всем пути
у.фу2= л**5?*Vi+Vi (в частности, если $1в$з, то —-—« — [—+—]). Таким же
Г1+<2 2 Vi®V2 2\Vj v27
образом вычисляется суммарная результативность в серии спортивных соревнований, а
также процентное содержание спирта или вина при смешении нескольких объемов двух-
компонентных или многокомпонентных алкогольных напитков. Релятивистская сумма
150
Глава I. Числа и фигуры
скоростей (54) м+^у = также отличается от арифметической суммы. Можно
привести много таких примеров из физики - о применимости (и неприменимости) зако-
нов арифметики к описанию физических объектов, известный немецкий физик Герман
Гельмгольц написал об этом в 1887 г. книгу «Счет и измерение». Примеры важнейших
алгебр с законами, отличными от арифметических, содержатся также в гл. II и III.
Об отсутствии точного определения действительного числа, о шаткости оснований
математического анализа и геометрии вплоть до середины XIX в. не раз говорилось в
этой главе (подробнее о математическом анализе см. гл. IV), к середине XIX в. не была
* обоснована практически ни одна область математики. Как оказалось впоследствии, это
была не только теоретическая проблема, и не только математики, но и физики, и фило-
софии - о важности и плодотворности анализа основ подробно говорится в 53z54. Там
же идет речь о тяжкой силе многовековых традиций и авторитетов. Испытывая силь-
нейшее давление, Николай Иванович Лобачевский был вынужден до конца своих днёй,
как бы извиняясь, называть открытую им геометрию «воображаемой». Возможно, и в
других областях человеческих знаний дремлют подобные открытия по причине незнания
(печального) опыта математики.
Отметим, что, начав со счета предметов, мы достигли значительных высот и уже
столкнулись с достаточно естественными конструкциями, либо не имеющими прямой
физической интерпретации (кватернионы), либо требующими тонкого понимания и тео-
ретического анализа (четырехмерная структура пространства-времени, неевклидовы
геометрии). С другой стороны, познакомившись с элементами теории относительности с
математической точки зрения, можно видеть, что ничего особенно сложного или
«мистического» в них не наблюдается. И классические «парадоксы» относительности
типа «парадокса близнецов» (улетевший в межпланетное путешествие со скоростью,
сравнимой со световой, близнец вернется значительно более молодым, чем оставшийся
на Земле его брат - в разных системах отсчета время течет с разной быстротой), и дру-
гие интересные факты релятивистской динамики должны стать после 54 достаточно
понятными.
Математика (равно как и другие науки, только более точно, а потому ясно) дает при-
меры мнимых парадоксов, вся парадоксальность которых - в непривычности, т.е. в не-
соответствии полученных результатов нашей начальной интуиции. Великие открытия
часто свидетельствуют о том, насколько ненадежны здравый смысл и начальная интуи-
ция. Вряд ли в голову, не обремененную специальными знаниями, может прийти мысль о
возможности существования разных геометрий или разных алгебр и тем более о необ-
ходимости установления непротиворечивости геометрии Евклида или арифметики. Ме-
жду тем, непротиворечивость отстаиваемой концепции или существование истинной
альтернативной концепции - проблемы, столь же важные и для нематематических пред-
метов. После получения этих знаний человек уже вполне может задуматься и предполо-
жить, что мир более сложен и интересен, чем может показаться на первый взгляд, а так-
же обратиться к вопросу о достоверности знаний, коль оказывается, что истина не одна.
Результатов этой главы достаточно только для того, чтобы сформулировать проблемы.
О путях их решения будет говориться в гл. VI (на базе знания всех предыдущих глав).
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I
1. С помощью рис. 9 из 22 доказать равенства
(a±b)2 -a2 ±2ab+b2, (а+Ь)(а-Ь) = а2 -Ь2.
#2. Решить задачу пифагорейцев, упоминаемую Плутархом («Изида и Осирис»,42):
найти все прямоугольники с целыми сторонами, у которых площадь равна пе-
риметру.
Задачи
151
3. По следующему стихотворному жизнеописанию:
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа повед ать
Могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. Шестую
Часть его составляло прекрасное детство;
А половина части шестой протекла еще жизни - покрылся
Пухом тогда подбородок; доле сед ьмую в бездетном
Браке провел Диофант. Еще пять лет минуло -
Был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца-сына,
Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
Дал на земле по сравненью с отцом. И печали глубокой
Старец земного удела конец восприял, переживши
Года четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи,
Скольких лет жизни достигнув, смерть восприял Диофант?
определить время жизни Диофанта, а также, сколько ему было лет, когда он
женился и когда стал отцом.
4. Найти все натуральные решения уравнения £ =105.
5. Решить в простых числах уравнение х*-2/=1.
6. При каких целых п число 4л4+1 будет простым?
7. Решить следующие задачи индийского математика Бхаскары (И 14—1185):
1) установить справедливость равенства
0<К?;
У У \ 2 V 2
2) доказать равенство ^5+^24 = ^2 +л/3;
3) доказать равенство №+-724+^40+-7бО = л/2 + -7з +-75 .
8. Проверить справедливость следующих равенств, взятых из трудов арабского
математика Мухаммада ал-Багдада ибн Абу ал-Баки (XI в.):
л/10±л/8 = л/18±^320, 7б±>/20 =л/5±1.
9. Доказать, что числа -Тз и Vz+д/з иррациональны.
10. Полином р(п) = л2-79л+1601 дает простые числа [9, с.54] при всех п £ 79
(проверьте это на нескольких частных примерах по выбору). Однако Х^О) явля-
ется составным числом - докажите это.
11. Найти представление чисел 33,77,127 в двоичной системе.
# 12. Составить таблицу умножения для шестеричной системы счисления (т.е. все
произведения чисел до 5x5 включительно). Пользуясь ею, перемножить «стол-
биком» (352)бХ(245)б.
13. Разложить в десятичные дроби числа 145,1/7,11/90,1/13,2/13,1/9 без помощи
калькулятора или компьютера.
#14. Свойство разложения дроби 1/7:
1) разложить в десятичные дроби числа 1/7,2/7,3/7,4/7,5/7,6/7;
2) используя разложение 1/7 в периодическую десятичную дробь, объяснить,
Почему при умножении числа 142857 на 2,..., 6 получаются числа с такими же
цифрами, но в разных порядках (его перестановки).
152
Глава I. Числа и фигуры
15. Записать в ваде правильной дроби числа 0.(12), 0.1(23), 0.2(1).
16. Разложить 1/3 в периодическую двоичную дробь.
17. Найти комплексные числа, равные соответственно
26+32 i 1 / ,7 ,.7\ 1-1 1+< Г 1-iY flilY (
11+7 i ’ 2i\ * * Г l + i+ 1-i* U+iJ ~ 11-J ’ 11+ J
18. Представить в тригонометрической форме числа 3- i ^[з , -3-4 i.
#19. Найти модуль комплексного числа ——.
xy^+iyx4+y4
20. Найти комплексное число z, если | z | - z = 1+2 i.
21. Выбрав целесообразную для данного числа форму (алгебраическую или
тригонометрическую), найти комплексные числа, равные
1) f““+<—1 ~fcos-“+^sin—1 ,
' k 2 2 J v ' [2V 18 18J
2) J-40 - 42i, Vl.
v V 2 2
22. Показать, что все корни уравнения zn = 1 представимы в виде
1, s9 s\ ..., sn.
#23. Пусть m-произвольное целое число. Найти сумму ж-х степеней всех кор-
ней уравнения z” = 1.
24. Подтвердить справедливость двух формул Бомбелли
^2±л/-121 =2±i, ^52+л/-2209 = 4+i.
25. В банк помещен вклад размером 10 000 (единиц) под 12% годовых. Найти
размер вклада через год при начислении процентов: а) ежегодно; б) ежеквар-
тально; в) ежемесячно (с оборотом капитала при начислении).
26. Рост курса некоторой иностранной валюты предполагается в размере 8% в
год. Надежный банк предлагает ставки по вкладам в размере 19% годовых по
национальной валюте и 12.5% - по иностранной. Решить, в какой валюте выгод-
нее поместить сбережения в банк (считая предполагаемый рост курса истин-
ным). При каком росте курса иностранной валюты ставка 19% в национальной
валюте будет равновесной?
#27. Банк получает кредит по ставке 100р% за время Т (например, год) при по-
средничестве фирмы, которой при получении кредита выплачивает комиссион-
ные в размере z (единиц) и дает заем в размере х (единиц) на срок Т под 100г%.
По какой ставке банк должен выдавать займы, чтобы иметь возможность рас-
платиться с кредитором по рассматриваемому кредиту? Какой ставке соответст-
вует риск невозврата займа посредником? Вычислить значения этих ставок при
z = 0.05, х = 0.1, р = 0.06, г = 0.07.
28. Найти противоположный к вектору v = у [(За - 2Ь - с) - (а - 2Ь - Зс)].
Задачи
153
29. Пусть || а || = || b || = 1. Найти (За+2Ь) (6а-4Ь).
30. Доказать, что || а - b || = || а + b || для любых ортогональных векторов а и Ь.
31. Найти скалярное произведение ab, где a = u+Xv и b = u-Xv при условии,
что ||u|| = X||v||.
32. Найти угол между векторами u=2a+b и v=a-2b, если ||а||=||Ь|| и угол
между векторами а и b равен х/3.
# 33. Доказать какое-либо из свойств проекции.
# 34. Доказать какую-либо формулу скалярного и векторного произведения.
# 35*. Доказать, что каждый кватернион х с единичной нормой может быть пред-
ставлен в ваде №cosa+(sina)u, где||и||=1.
# 36*. Пусть и и v-два ортогональных векторных кватерниона и w=u.v. Пока-
зать, что тройка u,v,w может быть взята в качестве базиса для векторных ква-
тернионов (т.е. обладает теми же свойствами, что и базис [i, j, k]).
37. Через точку с координатами (1,1) проведена прямая т, отсекающая от коор-
динатного угла треугольник, площадь которого 5=9/4. Найти уравнение прямой
/, проходящей через центр координат и середину отрезка прямой т, заключен-
ного между осями координат, а также уравнение прямой, перпендикулярной / и
проходящей через точку (1,1). Найти, кроме того, расстояние от центра коорди-
нат до прямой т.
38. Доказать, что расстояние d от точки Р* = (д>, >*, 2>) до параметризованной
плоскости г = Го+ Г и + з v может быть определено по формуле
'Нгп
' w,|UxV|
39. Показать, что для того, чтобы три точки Р>= (лзь Уь л), £ = 1,2,3, лежали на
одной прямой, необходимо и достаточно выполнение любого из двух условий:
Гз-Г1 = Х,(Г2-Г1) или в координатах -- = —, (1)
*2-*! У2-У1
(Гз-Г1)х(г2-Г1)=0, (2)
где
40. Верно ли, что условие < (гЛ - г* ), а, Ь> = 0 необходимо и достаточно для того,
чтобы параметризованные прямые г=гЛ+/а и г=г*+Л лежали в одной плоскости.
41. Найдя c+,tf v для произвольной скорости v, убедиться, что скорость света
(в вакууме) максимальна.
42. Два объекта движутся равномерно и прямолинейно в противоположных на-
правлениях со скоростями, равными с/2. С какой скоростью движется второй
объект относительно первого в релятивистской механике?
43. Пусть w,v<c.
1. Показать, что и+ы и > м+rwv, если и > v.
2. Воспользовавшись неравенством между средним арифметическим и средним
геометрическим, показать, что u+„i и <с.
Таким образом, сумма двух произвольных скоростей, меньших скорости света
с, также будет меньше с.
Глава II
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ
Стоимости многокомпонентных продуктов, матричный вид записи линейных
выражений; поворота и отражения в плоскости как примеры линейных
преобразований координат перемещаемых точек; функциональный пример:
линейные функции нескольких переменных и линейные операторы как линейные
преобразования векторов в координатах, матрица линейного оператора;
системы линейных уравнений в экономических моделях (55)
55. Линейные системы и модели в экономике и математике. Линей-
ная зависимость является наиболее простой из возможных зависимо-
стей, связывающих переменные, поэтому исследование объектов
(систем), которые описываются линейными моделями, оказывается дос-
таточно легкой задачей.
Рассмотрим несколько характерных задач, демонстрирующих истоки
линейной алгебры и ее методы.
Пример 31. Экономический. Если в распоряжении имеется два
продукта, первый в количестве хь а второй в количестве х2, причем це-
ны единицы каждого продукта равны соответственно с\ и с2, то общая
цена (совокупного продукта) С - ciX\+c&2. Предположим, что каждый
продукт состоит из двух компонентов, в единице первого продукта со-
держится оц единиц первого компонента и at2 единиц второго компо-
нента, в единице второго продукта соответственно a2t ед иниц первого
компонента и а22 единиц второго. Если стоимость единицы первого ком-
понента равна а второго 52, то стоимость компонентов в единице пер-
вого продукта (затраты на сырье) =ац^1 +«1Л> а затраты на компонен-
ты для второго продукта b2*a2\S\+a2^s2. Следовательно, общие затраты
(стоимость компонентов) в совокупном продукте ВжЬ\Х\+Ь&2, а раз-
ность между общей ценой и общими затратами С-В~(с\-Ь\)х\4\с2-Ь2)х2
Если подставить значения Ьх и Ь2, получим B = (anSi+ai2s2)xi+(a2iSi+
+a22y2)x2=(anxi+a2ix2)ji+(ai2xi+o22x2)x2.
Этот результат можно записать в удобной компактной форме, если
принять следующие соглашения (правила). Пара чисел, записанных в
51. Линейные системы и метели
155
строку х = (х1,х2), называется вектор-строкой (размерности 2), пара
чисел
*1
*2
, записанных столбцом, называется векгор-столбцом. Если
х-вектор-строка, то соответствующий вектор-столбец обозначается х'.
Пусть х = (х1(х2), у = (у1,у2)-вектор-строки. Положим, по определе-
у.
нию, ху' = (хьх2)
[л.
Содержание компонентов в продуктах запишем в виде таблицы
_°21
- Х1У1 +хгУ2 ~ произведение строки на столбец.
. Такая таблица А называется квадратной матрицей (раз-
°12
°22.
мерности 2). Она также обозначается IZJ, к £2, или
Л=|а^|. Определим произведение матрицы А на вектор-столбец
S1
s' =
l/ij
следующим образом. Пусть «1 =(ан,а12), «г =(°21>а2г)> Т0ГДа
an3i -t-a1232
As' =
°11 а12
_в21 a22jL^2j 1в2 J 1а2Л+о22®2.
Соответственно, по определению,
хЛ=(х1,х2) °” °12 = (xlan+x2a2i,xlat2+x2a22)
L°21 «22.
есть произведение вектор-сгроки х на векгор-столбцы матрицы.
Таким образом, В = х(Лз') = (хЛ)з' и С=сх' = хс'.
Те же формулы получаем для трех трехкомпонентных товаров, с той
лишь разницей, что векторы и матрица будут иметь размерность 3 и про-
Гл'
изведение (х,^^) у2 = х1у1-bx^+xy^.
.Уз.
Необходимые действия легко запомнить, если записать матрицу, стро-
ки и столбцы в таблицу
Х1 Х2
ci ац ап Ji
С2 021 022 32
XI Х2 хз
с\ ан ап он
С2 021 022 023
сз аз1 а» а»
XI
32
33
156
Глава IL Элементы линейной алгебры и ее применения
Пример 32. Геометрический. Для доказательства равенства ос-
новных фигур планиметрии (отрезков, углов, треугольников и т.п.) необ-
ходимо убедиться в совмещении их при наложении (друг на друга). Для
этого одну из фигур перемещают (двигают) по плоскости, при этом каж-
дая точка перемещаемой фигуры переходит в другую определенную точку
плоскости, что задает функцию из R2 в R2, или, иными словами, преоб-
разование плоскости, называемое движением. Можно доказать, что су-
ществуют только два вада движений: параллельный перенос и поворот.
Другой вад перемещения при совмещении - это отражение относительно
некоторой прямой.
Найдем координаты точки, в которую переходит произвольная точка
(х,_у) при повороте на угол <р в положительном направлении (про-
тив часовой стрелки) относительно начала координат (рис. 36):
Рис. 36
Предположим, что вектор с координатами £=(х,у) образует угол 6 с
осью абсцисс Ох, тогда x-rcos6,y-rwa.0, где г = -]х2 +у2 - длина
. этого вектора. По определению поворота, вектор (х',у') будет образовы-
вать угол 0+<рс осью Ох, следовательно, х' =rcos(0+^) = r[cos0cosp-
-sin#sin0>] = xcos^-ysinp и y'=rsin(0+p)= г [sinpcostf+cospx
xsin0]=xsmp+ycosv>. Или в векторном ваде кратко и красиво
х1
cosp -яп^ЛГх
sinp cosp _ [у_
вается матрицей поворота на угол <р.
Отражение относительно оси Ох записывается в координатной форме
х' = х, у' = -у (рис. 37)
—--------
.О
. Матрица, участвующая в этой формуле, назы-
f-y
о
Рис. 37
§1. Линейные системы и модели
157
Отражение относительно оси Оу - в ввде х' = -х,у' -у. Таким обра-
зом, матрицы отражений имеют вод соответственно
О
-1
-1
О'
1
1
О
и
О
Пример 33. Функциональный. Линейная функция Дх)=ах являет-
ся простейшей из возможных функциональных зависимостей. По опре-
делению, /(aw+^x)=a/(w)+^/(x).
Функция A: R3->R, удовлетворяющая условиям:
1) А(х+у) = Ах+Ау (аддитивность);
2) А(2 х) - А А(х) (однородность),
где х = (х1,х2,х3),у = (у1,у2,у3),х+у = (хх+у1,х2+у2,х3+у3) (покоор-
динатное сложение),' Ax-(Axi,Ax2,A Х3), А - произвольное действи-
тельное число, называется линейной функцией (трех переменных) или
линейным оператором.
Пусть ех = (1,0,0), е2 = (0,1,0), е3 - (0,0,1) - единичные векторы, об-
разующие оси координат, в] - Ае^, = А«^,03 = А^. Нетрудно дока-
зать, ЧТО ДЛЯ ЛЮбОГО X = (Xj, х2, х3)
где а = (аъа2,а3).
Точно так же определяется линейный оператор A :R3 -> R 3. Для него
справед лив аналогичный результат
«11 «12
«13
А(х)= а21 а22
,«з1 а32
«23 *2
«ззЛ.*з.
где А(ву) = (а1;, a2j, a3J), J= 1,2,3, - вектор-столбцы матрицы А = [в^
которая называется матрицей оператора А (в базисе е,, Cj, ^).
Возможен еще один вариант линейного оператора: А: R3 -> R2. Если
A(et) = (au, а»), к - 1,2,3, то
А(х) =
«11 «12 «13
«21 «22 «23
*1
*2
*3
«11*1 +«12*2 +«13*3
«21*1 +«22*2 +«23*3
158
Глава II. Элементы линейной алгебры и ее применения
Это пример произведения вектор-столбца и прямоугольной матрицы.
Пример 34. Система линейных уравнений. Предположим,для
производства каждого из трех продуктов используются три компонента
(комплеюующие, сырье...), причем для единицы /-го продукта использу-
ется ау единиц первого компонента, ау—второго, ау -третьего (/= 1,2,3).
Определить, сколько единиц каждого продукта можно произвести, имея
в наличии Ь\ единиц первого компонента, А2~второго, Ь3 -третьего.
Решение. Если произведено Xj единиц/-го продукта, то Jt-ro компо-
нента использовано: аиХ1 - для первого продукта, - ДЛЯ второго,
а*эх3-для третьего, а всего aHxi +аиХ2+а*эх3, т.е. по условию имеем по-
компонентно и в векторном виде соответственно
ац^+аиХз+аиХз^,
«21*1+022X2+03X3=^,
озл+а^хг+а33хз =ftj,
*i
*2
bi
bi
°П а12 а13 *1 bl
a2l °22 °23 *2 ~ k
_o31 a32 К
Нахождение из этой системы линейных уравнений неизвестных хь х2, х3
и есть решение поставленной задачи. Система линейных уравнений мо-
жет также трактоваться как распределение статей государственного бюд-
жета после первого чтения или распределение семейного бюджета на
покупку различных товаров, поэтому в экономике ее часто называют
бюджетной задачей. Такие задачи, и методы их решения будут рассмотре-
ны в 64,65.
Задачи, привод ящие к системам линейных уравнений, встречаются еще
в вавилонских клинописных текстах [8, с. 89]. К решению систем линей-
ных уравнений сводится очень широкий круг задач экономики, механики
и математической физики, геодезии, а также задач, использующих мето-
ды приближенного решения уравнений.
$ 2. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Алгебра матрии
Матрицы и операции над ними: сложение и умножение матриц, умножение
матрицы на число (56). Алгебраические свойства операций над матрицами;
примеры (57). Транспонирование матрицы; алгебраические операции
и транспонирование (58)
56. Матрицы и операции над ними. Матрицей (прямоугольной
матрицей) размера т х п называют таблицу действительных чисел (эле-
ментов матрицы)
§2. Матрицы и определители
159
а11 ........ а1л
а21 ........ а2п
.Рт\ ........ ^тп.
которую также записывают в виде А = j,, или в ви-
де А = |вф |. Набор аа.аь, называется к-й строкой матрицы Л, набор
аи
: -j-м столбцом. Если хотят указать размер матрицы, то пишут Атх„ ,
а"9
это означает, что в матрице А т строк и п столбцов.
Матрица, состоящая из одной строки, называется векгор-строкой
(матрицей-строкой); матрица, состоящая из одного столбца, называется
вектор-столбцом (матрицей-столбцом). Если т = п, матрица называется
квадратной размера лхл или размерности (порядка) п.
Элементы квадратной матрицы «n,a22 атназываются диагональны-
ми и образуют главную диагональ матрицы. Матрица, у которой все эле-
менты, кроме диагональных, равны нулю, называется диагональной и
записывается в ваде Diagn(en,..., ат).
Две матрицы называются равными, если их размер и элементы
совпадают.
Матрицы, у которых элементами являются комплексные числа,
называются комплексными. Хотя они не менее важны и полезны,
чем матрицы с действительными элементами, в нашем курсе они рас-
сматриваться не будут. В данной главе мы будем иметь дело только с
матрицами малых порядков (размерностей) - второго и третьего, по-
скольку все необходимые идеи и методы достаточно хорошо прослежи-
ваются и на этих матрицах.
Операции над матрицами определяются с помощью операций над их
элементами.
1. Сложение матриц. Суммой двух матриц Лжхя и 5тхя=[\]
называется матрица А + В = [а^ +^]. Например,
160
Глава II. Элементы линейной алгебры и ее применения
’1 2 31 Г-3 -2 -11 Г-2 0 2
3 2 1J + |_O 1 2]“|_3 3 3
2. Умножение матрицы на число. Если А = j. то, по определению,
Л А = для любого Л eR.
3. Умножение матриц. Произведение матрицы на
матрицу 5Ях, =[^и] есть матрица АВ = Стхг = [си], где
сы - - (ан,
Пример 35. Умножение матриц: А-
, тогда
57. Свойства алгебраических операций над матрицами.
I. Свойства операции сложения.
1. Л+(В+С)=(4+В)+С (ассоциативность сложения).
2. А+В=В+А (коммутативность сложения).
3. Существует нулевая матрица, обозначаемая [0], элементы которой
равны нулю, она обладает свойством А+ [0] =А для любой матрицы А.
4. Для любой матрицы А существует обратная матрица -А = [-а#],
для которой Л+(-Л)=[0].
Таким образом, свойства сложения матриц повторяют все свойства
сложения чисел.
С умножением не все так просто.
II. Свойства операции умножения.
1. А(ВС)=(АВ)С (ассоциативность умножения).
2. Равенство АВ=ВА выполнено не всегда, т.е. умножение некоммута-
тивно, см. пример 35).
3. Матрица 7=Diag„(l,..., 1) называется единичной (порядка л), при-
чем IA-A и IB=В для любых матриц: А, имеющей л строк, и В, имею-
щей л столбцов. Единичную матрицу часто обозначают также символом
Е (а не I).
§2. Матрицы и определители
161
4. Вопрос о существовании обратной матрицы будет рассмотрен в 62;
III. Дистрибутивность. Для любых матриц Л, В, С, Ль Вь Сь у кото-
рых определены соответственна операции сложения и умножения,
Л(В+С)=ЛВ+ЛС, (А 1+В0С1 = Л1С] +В\С}.
IV. Умножение матрицы на число.
1. Л(А+В) = ЛА + ЛВ.
2. (а+р)А = а А+рА.
3. 2 (АВ) = (Л А)В = А(Л В).
4. а(р А) = (а р)А .
Все равенства справед ливы для любых входящих в них переменных.
Доказывать перечисленные свойства мы не будем (хотя для сложения и
умножения на число доказательства очень просты).
IV. Возведение в степень. Пусть т - натуральное число. Для любой
квадратной матрицы А степенью т матрицы А называется матрица
Ат = А-...-А.
ж раз
Очевидны равенства Л" •Л" = Ат+п, (А1”)” = А"".
Пример 36. Степени матрицы. Пусть
ГО -1'
Л"[1 -1 ’
Найти А2 и Л3.
Решение.
-11 Г1 О'
-ij“|o 1.
Таким образом, введенные алгебраические операции превращают мат-
рицы в своеобразный алгебраический объект, частично схожий по свой-
ствам с числами, но в-основном, конечно, иной.
58. Транспонирование. Транспонированной к матрице Лмхя = г]
называется матрица Л'хя =[а^1, где а'л = |ав|, - в которой строки и
11-5091
162
Глава II. Элементы линейной алгебры и ее применения
столбцы поменялись местами. Подробнее:
аи
°21
°12
а22
_®ж1
°Ж1
ат2
^жя.
аМ
Пример 37. Транспонирование. Если
Л =
1 2 з
3 2 1
В =
1 -1 1
О 1 О
-1 1 2
то Л' =
В' =
1
-1
1
-1
1
2
1
2
3
3
2
1
О
1
О
Если матрица А квадратная, то А' получается симметричным отраже-
нием относительно главной диагонали.
Свойства операции транспонирования.
1 .(Л')' = Л. 3.(А+ВУ = А'+В'.
2 . (ЛА)' = ЛА'. 4. (АВ)' = В'А'.
Из свойств 2 и 3 сразу следует, что (А - В)' = А'-В'.
Квадратная матрица называется симметричной, если А' = А.
Пример 38. Показать, что матрицы А-А' и АВ'+ВА' симмет-
ричны. .
1. Если Л = Лжхя,то А’=АЯХЯ1, поэтому произведение А-А' всегда
определено и является квадратной матрицей. (АА’)' =(Л')'-Л' = АА',
таким образом, матрица А-А' симметрична.
2. Если Л = ЛЖХЯ и произведение АВ' определено, то В' обязательно
имеет п строк, т.е. В' = В'яхг, поэтому В = Вгхя, т.е. количество столбцов
у матриц А и В одинаково. Поскольку В = Вгхя, А' - А^хт, то
ВА' =(Д4')Гхж и -^В' = (АВ')Я1ХГ. Для того чтобы их сумма была опре-
делена, матрицы ВА' и АВ’ должны быть одного размера, т.е. т=г. Та-
ким образом, В = Втхя, а матрица АВ'+ВА1 будет квадратной размера '
т*т. Кроме того, (АВ' + ВА’У = (АВ')'+(ВА')' = (В')’А'+(А')'В' =
= ВА'+АВ', следовательно,матрица АВ'+ВА' симметрична.
§2. Матрицы и определители
163
Определители
Определители матриц малой размерности; миноры и алгебраические дополнения;
примеры (59). Свойства определителей (60). Методы вычисления определителей;
пример (61)
59. Определители матриц. Рассмотрим систему линейных уравнений
0,1^+012^ =*1.
.а21Х1+о22д^ =^2
и в предположении а21*0 (иначе х, уже исключено из второго уравне-
ния и неизвестное х, находится сразу) умножим второе уравнение на —
в21
и вычтем из получившегося второго уравнения первое. Получим
апх, +а12х2
а11а22 в1Д <^>
aUX\ + ^~Х2 =
«21 «21
fluxi +аг2х2 =Ь},
-hM
а22Х2 ~°2 >
где О£2)=апа22-а12а21, Ь2>=ац^2-а2А- Дальнейшее просто: находим
х2 (если а22*0, то х2 = Ь21)/а22; если а22=0, •621)*0, то решений нет;
если а^=Ь^=О; то х2 произвольно, т.е. решений бесконечно много) и,
подставив х2 в первое уравнение, находим х,. Таким образом, число а22
играет определяющую роль в решении рассмотренной системы. Оно на-
зывается определителем матрицы А
ап
_в21
Ли
ап
и обозначается
ап
а2\
°12
°22
, также используются обозначения |Л| или deL4.
Для матриц первого порядка det[an]-on.
Определителем матрицы А третьего порядка называется число
°12 °13
°2i
°з1 °32 °зз
-eilO22afe+ol2®2Al+elAl<%2“a13fl(a<%l_alAl<%3~Olle!23%2 >
которое обозначается также |Л| или deU.
Оно играет ту же роль при решении системы Ах?=Ь' третьего порядка
(см. 64, ), что а22 для систем второго порядка.
164
Глава IL Элементы линейной алгебры и ее применения
Каждое слагаемое определителя является произведением элементов
матрицы, по одному из каждой строки и каждого столбца. То же для оп-
ределителя матрицы произвольного порядка, но в этой главе мы ограни-
чимся рассмотрением определителей второго и третьего порядков.
Знаки слагаемых в определителе третьего порядка удобно запомнить,
пользуясь рис. 38:
Рис. 38
Пример 39. Вычисление определителя.
Найти
1 -1 1
о 1 1
1 1 2
Решение. По определению,
1 -1 1
о 1 1
1 1 2
= 11-2 + (-1)11+0-1.11-111-0 = -1.
Определители используются при решении систем линейных уравнений,
при обращении матриц, для упрощения вычислений в векторной алгебре
и геометрии.
Минором элемента матрицы л-го порядка называется опре-
делитель (л-1-го порядка) матрицы, полученной из матрицы Л вычерки-
ванием Jt-й строки иу-го столбца.
Например, для матрицы третьего порядка
Алгебраическим дополнением А* элемента называется число
Пример 40. Найти все алгебраические дополнения матрицы
1 -1 1
о 1 1
1 1 2
§2. Матрицы и определители
165
Решение. Согласно определению,
4i=(-D1+1 1 1 1 2 = 1; Л12 = (-1)1+2
л21=(-1)2+1 -1 1 1 2 = 3;Л22=(-1)2+2
41» (-D341 7 ; =-2;4i=(-i):
0 1 1 2 = 1; Л13=(-1)1+3 0 1 1 1 = -1;
1 1 1 2 = 1; Лз=(-1)2+3; -1 1 -2;
1 1 1 0 1 = -1; Л33=(-1)3+- 11 • 0 -1 1 = 1.
60. Свойства определителей. Сформулируем свойства определителей
произвольного порядка, поскольку они почти не отличаются от формули-
ровок для определителей малых размерностей.
1. Определитель матрицы с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.
2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.
3. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо одной
строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предвари-
тельно умножив их на одно и то же число.
Из этого свойства сразу следует, что определитель, у которого две
строки (два столбца) пропорциональны, равен нулю.
4. Для произвольного к
Я1 Яг ••• °tl Яг ”• Яя Я1 °а Яя
... ... ... ... ... ...
Я-ц Я-u - *-1л ак-1,1 ак-1,2 Я-1,я Я-и Я1Ч2 ••• я-и»
Vq Ь *2 - ьп + q Я ...
я+u Я+и Я+1,1 ак+\Л ак+\,п Ямд я+и •" qt+кя
... ... ... ... ... ...
Яч - Чш Я.1 Яс Яс ••• я«
То же самое для столбцов.
5. Для п| роизвольного к
Я1 Я2 Яя а11 а12 •" °1я
Я-и Я-u ” Я-1л а к-1,1 а к-1,2 "• ак-1,п
^Ян ^Яи " ^Яя =-1 я+u я+u я+и> Яч Яс ат ак1 ак2 акп а*+1,1 at+l,2 ак+1,п ап1 аН2 ат
166
Глава IL Элементы линейной алгебры и ее применения
То же для столбца, умноженного на произвольную константу.
6. det(40) = detd detB.
7. det A' = detA
8. det(AB)' = det A det B.
61. Методы вычисления определителей. Если определители второго
порядка элементарно считаются исходя из определения, то для опреде-
лителя третьего и тем паче более высокого порядка приемы, позволяю-
щие упростить вычисления, весьма актуальны.
1. Матрицы
а11 °12 °13 °1я 1— о о о л
0 °а ^гз — ^21 *22 0 0
л= 0 0 и А = °31 °32 °зз " 0
0 0 0 • Л1 ^л2
у которых под д иагональю или над ней стоят нулевые элементы, называ-
ются соответственно верхнетреугольной и нижнетреугольной, каждая из
них называется треугольной.
Справедливо утверждение: для любой треугольной матрицы А ее опре-
делитель det A =an •а22-...*аяв равен произведению диагональных эле-
ментов. В частности, det[l>iag(an...ami)] = аи\.лгт.
2. Для любого к справедливо равенство (теорема Лапласа)
п
detA = ak}Ak} +а12Лн+...-юь,ЛЬ| = котоРое называется раз-
/=1
ложением определителя по к-й строке.
Справедливы и аналогичные разложения по столбцам:
det Л -ацАц +а2;Л2у+...+а^Л^ = Ео^Ад.
к=1
Формулы разложения по строке и по столбцу позволяют свести вычис-
ление определителя порядка п к вычислению определителя меньшего
порядка. Эти формулы особенно эффективны в случае, когда в строке
или столбце много нулей.
3. Достаточно эффективным бывает комбинирование формулы разло-
жения с преобразованием строк или столбцов определителя согласно
свойству 3 (60): исходя из конкретного вада определителя прибавить к
§2. Матрицы и определители
167
выбранной строке (столбцу) строку (столбец), пропорциональную дру-
гой, чтобы в результате получилась строка (столбец), в которой много
нулей, а далее разложить по этой строке (столбцу).
Пример 41. Найти разными способами определитель матрицы
о -1 1'
А = 1 1 1
1 1 2
Решение. 1. Непосредственно по определению det А=0-14-1-1-0+
+2=1.
2. Раскладывая по первой строке, получаем
det Л = (-1)Л,2 + Л13 =-(-1),+2 J * +(-1),+3 J J
= -(-1) = 1.
3. Вычтем из третьей строки вторую и затем разложим по третьей стро-
ке (альтернатива: переставить вторую и третью строки)
о -1
1 1
1 1
1
1
2
Обратная матрица
Присоединенная матрица; невырожденность и обратимость матриц; свойства
обратных матриц; примеры (62). Альтернативный способ обращения матриц;
пример (63)
62. Определение обратной матрицы и ее свойства. Рассмотрим вопрос
о существовании обратной матрицы, т.е. выясним, когда существует та-
кая матрица Ачто A~lA = AA~l = I. Заметим, что из существования
обоих произведений следует, что матрица А должна быть квадратной, а
следовательно, и обратная матрица будет квадратной матрицей того же
порядка (если она существует, конечно).
Квадратная матрица А называется невырожденной, если det Л * О, в
противном случае Л называется вырожденной (или сингулярной, или
особенной).
Матрица, транспонированная к матрице всех алгебраических дополне-
ний элементов матрицы Л, называется присоединенной к Л и обознача-
ется Лv:
168
Глава 11. Элементы линейной алгебры и ее применения
Основная теорема о существовании обратной матрицы.
Если det Я #0, то Л”1 = —-—Av.
det Я
Таким образом, невырожденности матрицы достаточно для существо*
вания обратной. Очевидно, невырожденность также является необходи-
мым условием: если существует Л"1, то 1 = detd = detAd”1 = det Л-det Л 4,
поэтому оба сомножителя отличны от нуля.
1 -1
Пример 42. Найти обратную для матрицы Л = о 1
L1 1
1
1
2
Решение. deM = -l (пример 39), а все алгебраические дополнения Л
найдены в примере 40. Итак,
Для нахождения Л"1 этим методом нужно вычислить определитель Л и
32=9 алгебраических дополнений.
Пример 43. Выразить в общем виде обратную матрицу через эле-
менты произвольной матрицы второго порядка.
Решение. Пусть Л =
вп
Л1
*12
*22.
Л22=Яц, поэтому Л
, тогда Ли - а22 > Л12 - -а21, Л21 - -а12,
_Глп л21
[^12 ^22.
*22 “*12
.“*21 Лц _
Следовательно,
А 1 det Л
□22 “*Ц
_“*21 «и _
Свойства обратной матрицы.
1. (л-1)”* =Л. 2.(ЯА)~'=Л~'А~\
§2. Матрицы и определители
169
3.(АВ)~' 5.deM-1 =l/deM.
Предполагается, что все матрицы в этих равенствах произвольны и
невырождены.
63. Альтернативный метод вычисления обратной матрицы. Сущест-
вует более простой и эффективный способ нахождения обратной матри-
цы [14, с. 109—112], особенно актуальный для матриц большой размер-
ности.
Следующие преобразования над строками матрицы будем называть
элементарными: f
- перестановка строк с номерами s nt (обозначение операции Fst);
- прибавление к 5-й строке Лй строки, умноженной на число Л
(обозначение FJf(2));
- умножение 5-й строки на число Л (обозначение Fg(A)).
Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных
преобразований таков: записывают радом матрицу А и единичную, затем
начинают последовательно выполнять элементарные преобразования над
А так, чтобы превратить ее в единичную, а радом производят точно такие
же операции с единичной матрицей; когда А превращается в единичную
матрицу, единичная превращается в обратную Л-1.
Пример 44. Обратить с помощью элементарных преобразований
’1 -1 f
матрицу А = 0 1 1
1 1 2.
‘1 -1 1
Решение. 0 1 1
1 1 2
1 -1
0 1
о о
1 0 о’ ’1 -1
0 1 0 0 1
0 0 1 ° 2
1
1
о
1
-2
-1 -1
1
0
0
1
о
о
1-10 1
1 0 0
1 1
1 о
170
Глава II. Элементы линейной алгебры и ее применения
1-111
0 10-1
0 0 11
0
—1
2
-1
О
—1
1
-1
-1
2
1
1
-1
10 0-1
0 10-1
0 0 11
-3 2
-1 1
2 -1
Для матриц третьего порядка преимущества этого метода не очень
ощутимы, но для матриц большей размерности вычисления л2 определи-
телей порядка л-1 для присоединенной матрицы - значительно более
трудоемкий процесс, чем цепочка элементарных преобразований, тем
более что ее проще алгоритмизировать. В обоих случаях необходимо
применение вычислительной техники и специальных методов вычисле-
ний, которые учитывают конкретный вид матриц.
$ 3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Метод Гаусса
64. Описание метода. Напомним, что системой линейных уравнений
третьего порядка называется система (справа - в матричном вцде)
анх, +апХ2 +013X3=^, аи а12 а13 V X'
<a21Xl+fl22*2+a23*3=*2, а21 °22 а23 *2 = *2
а3Л+а32*2+взз*з=*з, _а31 °32 °33. *з. А.
где неизвестные хь х2, *з удовлетворяют всем трем уравнениям.
Система уравнений с двумя неизвестными рассмотрена в 59. Системы
линейных уравнений с произвольным числом неизвестных, в том числе и
случай, когда число неизвестных и число уравнений не совпадают, рас-
сматриваются, например, в [14]. Заметим, что систему записывают так-
же в виде уравнений, разделенных запятыми, с фигурной скобкой справа
или вовсе без скобки (см. задачу 7 к настоящей главе).
Метод Гаусса заключается в последовательном уменьшении числа не-
известных в уравнениях путем линейных преобразований системы и при-
ведении ее к треугольному виду. Для системы линейных уравнений с
двумя неизвестными решение методом Гаусса рассмотрено в 59. Анало-
гично 59 в системе с тремя неизвестными исключаем х1э вычитая из
второго и третьего уравнений в равносильной системе первое:
§3. Решение систем линейных уравнений
171
«11*1+«12*2+«13*3 =*1
, Лц
«21*1 +«22*2 +«23*3 = *2 *
«31*1 +«32*2 +«33*3 = ^3 X щр
«11*1 + «12*2 +«13*3 =*1>
„ V . «Н«И . «11«2Э «1А-
«11*1+ „ *2 + - *3“ „ >
«21 «21 «21
„ , «11«32 „ . «11«33 v _ «1Д
«11*1+ „ *2+ „ *3“ а
«31 «31 «31
Затем из второго и третьего уравнений исключаем х2, как уже дела-
лось для системы двух уравнений, в результате получим треугольную
систему
«11*1+«12*2+«13*3 sii»
л(|)-г 4-л7(1>г -А(1>
«22*2 +«23*3 ~ «2 »
_(2)„ _А(з)
«33*3=«3 •
И в зависимости от вида коэффициентов в треугольной системе будет
три возможности: решение единственно, решений бесконечно много,
решений нет (т.е. система несовместна).
К треугольному виду удобно приводить, используя только коэффици-
енты матрицы А и свободные члены bj, записывая их рядом с матрицей.
Пример 45. Решить методом Гаусса систему
*1 — *2 +*з = 0.
*2 +*з=1.
*1 +*2 +2*3 1-
Решение. Преобразование системы или матрицы
1 -1
А = 0 1
1 1
1
1
2
удобно записывать с помощью символов элементарных Преобразований
строк (63).
Совершим преобразования
'1 -1 1 Q ‘1 -1 1 о 1 -1 1 о'
0 1 1 1 М-0 . 0 1 1 1 М-0 . 0 1 1 1 ,
1 1 2 1 0 2 1 1 0 0 -1 -1
откуда х3=—^ = 1, х2+х}= 1, т.е. х2 = 0, х1-х2+х3 = О, т.е. Xj=-x3=-L
172
Глава IL Элементы линейной алгебры и ее применения
В итоге система имеет единственное решение: Xj = -1, х2 = 0, х3 = 1.
Заниматься анализом условий, приводящих к каждой из возможностей
(одно решение, бесконечно много решений, решения отсутствуют), мы в
этой главе не будем.
Правило Крамера
65. Правило Крамера решения систем линейных уравнений. Возвра-
щаясь к системе с двумя неизвестными, заметим, что = det А,
ЬР = 0,1 ? ,
2 a2i ^2
тель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца на стол-
бец свободных членов:
и введем обозначения Д = deM , Ду (у = 1,2) - определи-
Д1 -
ь\
ь2
а\2
а22
, Д2 -
°n
й21 Ь2
Как мы уже видели, х2 = Д2/Д, если Д *0. Подставив это значение х2
в первое уравнение, нетрудно показать, что х, = А, /Д.
Точно такой же результат справед лив д ля системы трех линейных урав-
нений с тремя неизвестными. Объединим эти результаты в одну теорему.
Теорема (правило Крамера). Пусть Д = det А *0. Тогда система
Ах'= Ь', где х = (хр.... x„), Ъ = ,..., Ь„), имеет единственное решение
Д> д»
*1 =_Г>- ->хп =~v.
1 Д ’ ’ " д
где Ду - определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой /-го
столбца на столбец свободных членов.
Если же Д=0, то в случае Д]= ... =Д„=0 решений бесконечно много, а
если хоть один определитель Ду^О, то решений у системы нет.
В частности, для л = 3
в12 ^1
а22 Ь2
азг
Эта теорема справедлива и д ля л > 3 , но для обсуждения систем размер-
ности выше третьей нужно ввести понятие определителя соответствую-
щего порядка, чем мы в этой главе не занимались.
§3. Решение систем линейных уравнений
173
Пример 46. Методом Крамера решить систему
Xi -х2 +х3 =0,
• х2 +х3 = 1,
Х]+х2+2х3=1.
Решение. Д = -1 (пример 39), Д3 =1 (вычислено в примере 41), Д2
и Д3 вычислим, например, разложением по первой строке:
Д2-
-1
1
1
£
-1
Таким образом, Х]
суется с результатами примера 45.
1
= 1-1=0, Д3= О
1
-1, х2 = 0, Xj = Ц = 1, что полностью согла-
=-1
1
О
1
О
1
1
1
1
2
1 1
1 2
о
1
1
1
О
1
1
1 1
1 1
О
1
1
1
Решение линейных матричных уравнений. Собственные векторы
и собственные значения
66. Линейные матричные уравнения. Собственные векторы и соб-
ственные значения и их свойства. Система уравнений Лх'=Д'
(det Л #0) может быть также решена следующим образом: домножим
обе части уравнения на Л-1 слева, тогда
Л-,(Лх') = (лчл)х' = х' = Л’1*'.
Матричное уравнение АХ = В, в котором матрицы А и В известны, в
случае det Л *0 имеет ед инственное решение X = А~ХВ, которое полу-
чается, если обе части уравнения домножить на матрицу Л-1 слева:
Л’1(ЛХ) = (л_,л)а' = 1¥ = Х. Аналогично уравнение ХА = С имеет
решение X = СА"1.
Ненулевой вектор (вектор-столбец) х' называется собственным
вектором матрицы Л (или линейного преобразования (см. пример. 33),
определяемого матрицей Л), соответствующим собственному значе-
нию Л матрицы Л (или указанного преобразования), если
Ах' = Лх'.
С геометрической точки зрения преобразование Ах' такого собствен-
ного вектора х' привод ит просто к его растяжению в Л раз.
Уравнение Ах'=Лх' эквивалентно Ах' -Л1х'= 0 или (Л-ЙУ)х' =
= 0. Если tet(A - ЛГ) * 0, то, согласно правилу Крамера, х'= 0, поэтому
174
Глава II. Элементы линейной алгебры и ее применения
только в случае <1е1(Л-й7) = 0 может существовать ненулевой собст-
венный вектор. Определитель det(X-JZ) является полиномом
(многочленом) л-й степени относительно Л; этот многочлен называ-
ется характеристическим многочленом матрицы А, а уравнение
det(^ - АГ) = 0 - характеристическим уравнением матрицы А.
Мы, как уже говорилось, в данной главе полагаем л £ 3.
Некоторые свойства собственных векторов.
1. Собственные векторы (т.е. векторы с координатами, определяемыми
вектор-столбцами), соответствующие различным собственным значени-
ям матрицы А, линейно независимы.
2. Если х - собственный вектор, а а-произвольное действительное
число, то и ах-собственный вектор, соответствующий тому же собст-
венному значению, что и вектор х.
3. Собственные векторы, соответствующие различным собственным
значениям симметрической (А = А') матрицы Я, ортогональны.
4. Если матрица А размерности л имеет ровно л различных собствен-
ных значений, то соответствующие собственные векторы образуют орто-
гональный базис.
Вектор-строка (хь х2, х3) тождествен геометрическому вектору xj+
-t-xj-l- x3k (подробно в §5 этой главы), поэтому линейную независимость
и ортогональность можно понимать в обычном смысле (47,45).
С доказательствами и подробным изложением математических про-
блем, рассматриваемых в этой главе, можно при желании познакомиться
по любой из книг ]15-18].
Пример 47. Найти собственные значения и собственные векторы
матрицы А =
-1 2
2 2 ’
Решение. det(j4-^/) =
-1-Я
2
2*л = (я-2)(я+1)-4=Я2-Я-б=(я+2)х
х(Я-З), поэтому Л1=-2,А2-3. Находим первый собственный вектор
£i=(xi»*2) из условия (Л-Я,/)^=0. Поскольку A-A^I = А+21 =
'1 2
2 4
то система
дает уравнение xt +2х2 =0 (второе
уравнение пропорционально этому и ничего нового не дает), которое
§4. Некоторые линейные модели в экономике
175
определяет (х1;х2) с точностью до пропорциональности. Полагаем
х2 = 1, тогда х, = -2, т.е. = (-2,1).
Аналогично
и для второго собственного вектора
^=(^,£2) получаем систему
2р»1_Г0'
-УлЛ®.
что дает уравнение
2
2S] =0, откуда, полагая д, = 1, ймеем з2 = 2,т.е. £2 =(1,2).
Координатные векторы & и & могут быть отождествлены с геомет-
рическими векторами -2i+j и i+2j соответственно. Их скалярное произ-
ведение равно (-2)-1+2-1=0 - таким образом, они ортогональны. Однако
Ы = Ы = ^22+12 = л?5. Нормировав их, получим ортонормальный базис
из собственных векторов
=s/kl=• «2 = &/kl=•
§4. НЕКОТОРЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ
Модель межотраслевого баланса
Консервативная система взаимодействия отраслей экономики, уравнение
межотраслевого баланса, количественные и стоимостные модели межотраслевого
баланса, матрица прямых затрат, продуктивные модели, критерий продуктивности;
пример (67)
67. Модель межотраслевого баланса. Рассматривается п отраслей
экономики в течение фиксированного промежутка времени. Каждая от-
расль производит свою продукцию (товары и\или услуги); часть произ-
веденной продукции (продукты обмена) используется данной отраслью и
другими для внутриотраслевых целей (в том числе для производства ко-
нечного продукта обмена), другая часть предназначена для внепроизвод-
ственного частного или общественного потребления (конечный продукт
потребления). Если в рассматриваемую модель (систему) включены все
отрасли, использующие все произведенные продукты обмена, то такая
система называется консервативной. Будут рассматриваться только кон-
сервативные системы.
Пусть:
хк- объем продукции, произведённой к-й отраслью;
w# - объем продукции к-й отрасли, используемый J-й отраслью;
Ук- объем конечного продукта потребления, произведенного к-й отраслью.
176
Глава 11. Элементы линейной алгебры и ее применения
Так как система консервативна, то вся произведенная отраслью про-
дукция либо используется участвующими в модели отраслями, либо вдет
на конечное потребление, т.е. имеем равенства
= А: = 1,2,...,л,
/=«
которые называются уравнениями (межотраслевого) баланса.
Если все величины выражаются в количественных единицах произве-
денной, используемой и потребляемой продукции, то рассматриваемая
модель называется количественной моделью межотраслевого баланса;
если же все величины выражаются в деньгах, то модель называется
стоимостной моделью межотраслевого баланса. Поскольку количество
продукта и его стоимость связаны очевидным соотношением - стоимость
продукта равна произведению количества продуктов на стоимость еди-
ницы продукта, то в принципе несущественно, какую из этих моделей мы
будем рассматривать.
Предположим, что рассматривается стоимостная модель баланса. В
этом случае стоимость приобретенного отраслью продукта обмена явля-
ется прямыми затратами отрасли на производство своего отраслевого
продукта. Частные
аь =-----, £,/ = !,...,л,
4 Xj
характеризующие долю затрат на приобретение продукции Jt-й отрасли в
стоимости произведеннойу-й отраслью продукции, называются коэффи-
циентами прямых затрат. В терминах коэффициентов прямых затрат по-
лучаем систему (справа в матричном виде)
*1 = дпх1+...+а1лхл+у1, V — °11 - а\п V + У\
х„ =aMXi+...+amx„+y„, .°»1 ••• апп_ Х„_ -Уп.
Таким образом, имеем уравнения баланса в векторном виде:
x' = w'+y' или х' = А х'+у',
где по смыслу задачи.все величины ж = (х|,...,хл), у = (у1э...,ул),
= (wj,...,w„),wt = Wfcj-1-...+Wb,, А=[а^] должны быть неотрицательными.
Модель межотраслевого баланса ставит своей задачей отыскание тако-
го вектора валового выпуска продукции х, который при известной мат-
рице прямых затрат Л обеспечивает заданный вектор конечного продукта
У (1.5 2.7].
§4. Некоторые линейные модели в экономике
177
Переписав уравнение баланса х' = АХ'+у‘ в ввде (1-А]х' = у', в
случае невырожденности матрицы I-А получим
х' = (/-Л)чу'.
Матрица прямых затрат A (A S 0) называется продуктивной, если для
любого вектора конечного продукта у (у^О) существует решение х (х^О)
уравнения баланса.
В случае существования продуктивной матрицы модель межотраслево-
го баланса называется продуктивной.
Естественно, возникает вопрос, о достаточных условиях (требованиях к
матрицей), которые обеспечивают продуктивность модели. Укажем одно
из таких условий [ 1, § 2.7].
Критерий продуктивности. Модель (матрица А) будет продуктив-
ной, если:
п п
1) max £ 1, 2) некоторого j.
*=! (
Выясним экономический смысл матрицы Если у=е}=
= (0,...,0,1,0,...,0)-единица нау-м месте, то х' = Sy’ = .
Таким образом, .у = (о,...,О,1,О,...,о), т.е. при
стоимости произведенной продукции Зц,,..,з^ соответственно только
у-я отрасль создает конечный продукт, а весь продукт, произведенный
другими отраслями, будет продуктом обмена, т.е. s# к * у, - полный
список внешних затрат при создании единицы продукции у-й отраслью
для каждого у (образно говоря, при плане выпуска ^,..., все отрас-
ли, кромеу-й, сами производят, сами же и потребляют).
Рассмотренная модель была создана в 1936 г. американским экономи-
стом русского происхождения Василием Леонтьевым (1906-99), Нобе-
левским лауреатом в области экономики 1973 г.
Заметим, что в модели Леонтьева все величины предполагаются неиз-
менными в течение рассматриваемого промежутка времени, поэтому
модель будет адекватно отражать реальную ситуацию только в том слу-
чае, когда рассматриваемый период времени разбит на интервалы при-
мерного постоянства производственных параметров. Согласно гипотезе
Леонтьева, матрица А существенно стабильнее других экономических
характеристик, например х и у, поэтому такое выделение периодов по-
12-5091
178
Глава IL Элементы линейной алгебры и ее применения
стоянства А адекватно отражает реальную экономическую ситуацию.
Практика подтвердила справедливость его гипотезы.
Пример 48. Консервативная система производства двух отраслей
представлена следующими характеристиками:
X* W У1
100 70 20 10
80 20 48 12
Найти необходимый стоимостный объем производства каждой отрасли
для увеличения продукта потребления соответственно на 40. и 25%.
0.7 025'
02 0.6
ку 0.7+0.2 = 0.9 <1 и 0.25+0.6 = 0.85 < 1, матрица А будет продуктивной.
г л Г 03 -025
'-А‘ -02 0.4
Решение. По условию, /ху, поэтому А =
. Посколь-
v 0.4
= 02
025
03
(пример 43), a det(Z-^)=0.12-
-0.05 = 0.07. Поэтому (I-А)‘
0.4 025
1 40 25
1
det(Z-^)[o2 03] 7 [20 30
Новый вектор потребления у определяется из условия ух -104.4=14,
у2 —124.25=15, так что вектор продукта потребления у —(14,15). Сле-
довательно, вектор-столбец необходимого производства
7
40 25Т14'
20 30JJ5
1 935
"7 7зо
'13357'
10429
Таким образом, стоимость продукции, произведенной первой от-
раслью, должна в нормированных величинах увеличиться на
(935/7-100)/100 = 235/7 «33.57/100 (т.е. на 33.57%), а для второй от-
раслина (730/7 - 80)/80 = 170/560 * 30.36/100 (т.е.на30.36%).
Модель международной торговли
Консервативная модель международной торговли, структурная матрица торговли;
уравнение сбалансированного торгового обмена, существование сбалансированной
модели международной торговли и собственные векторы; пример (68)
68. Модель международной торговли. Рассматривается п стран;
национальные доход ы этих стран, направляемые на потребление, т.е. при-
§4. Некоторые линейные модели в экономике
179
обретение товаров и услуг, равны соответственно хь..., х„. Предполо-
жим, что система консервативна, т.е. каждый доход Xj целиком тратится
внутри рассматриваемой системы стран, - часть национального дохо-
да Xj, которая тратится на приобретение товаров и услуг к-й страны, а
Ptj = ^ч/хз ~ соответствующая ей доля Национального доход а (рц - доли
национальных доходов, которые тратятся на покупку товаров и услуг
внутри каждой страны,у— 1,..., я). Матрица
Рп ••• Pin
Р =
.Pnl Рт,
называется структурной матрицей торговли. По определению, wy+ ...+
+w^=xj, поэтому сумма элементов каждого столбца матрицы Р равна 1;
такие матрицы называются стохастическими по столбцам.
Для каждого к= 1,...,л первая страна тратит на приобретение товаров
и услуг у Л-й страны сумму жм, вторая - сумму wn,..., п-я - сумму ж*»,
поэтому выручка от внешней и внутренней торговли Jt-й страны
Ук =’»’«+...+*'*„ = pkixl +...+р4яхя = ркх',
где рк =(/>*]..Рь,) -к-я строка матрицы?, a x=(xi,...,x„).
Торговля между этими странами называется сбалансированной, если
торговый баланс любой из стран является бездефицитным: yj £ х} для
всех J - 1..л, т.е. потребление не должно превышать выручку.
Для сбалансированной торговли, по определению, имеем систему не-
равенств
Pll*l + ?12*2+*-+Plnxn **1,
Pnl*l +Рп2Х2+---+РппХп^хп-
Если хотя бы для одной строки имеем строгое неравенство, то,
складывая эти строки, получаем (рп +• .+ря1 )х, + (р12 +.. -+рП2 )х2 + • • •+
+ (/>!,,+...+рия)хя = Х1+Х2+...+Хя>Х1+Х2+...+Хп, поскольку А/+—+
+р^ -1 для всех J. Это противоречивое неравенство означает, что вы-
писанная выше система неравенств на самом деле является системой
линейных уравнений
Рх' -х'
12*
180
Глава II. Элементы линейной алгебры и ее применения
сбалансированного торгового баланса консервативной системы стран.
Существование собственных значений и собственного вектора для этой
линейной системы эквивалентно существованию национальных доходов,
реализующих бездефицитную торговую систему со структурной матри-
цей Р, т.е. существованию сбалансированной модели торговли группы
стран со структурной матрицей Р.
Поскольку система £х'=х' эквивалентна системе (Р-7)х = 0, тц.
наличие ненулевого вектора потребления х эквивалентно вырожденно-
сти матрицы Р-I, т.е. условию det (Р-7) = 0.
Длительная несбалансированность торгового обмена (в числе четырех-
пяти основных характеристик состояния экономики) служит серьезным
сигналом близящегося изменения валютного курса, так что эта модель
имеет очевидное практическое значение.
Пример 49 [ 1, §3.9]. Структурная матрица торговли консервативной
Г1/3 1/4 1/2]
системы трех стран Р= 1/3 1/2 1/2 .
1/3 1/4 0
Найти вектор потребления х этих стран для сбалансированной (безде-
фицитной) торговли.
Решение. Поскольку
det(P-
-2/3 1/4 1/2 W) -2/3 1/4 1/2
/)= 1/3 -1/2 1/2 1/3 -1/2 ! 1/2.
1/3 1/4 -1 0 3/4 -3/2
-2/3 1/4 1/2
__2 -3/8 3/4
0 -3/8 3/4 = 0,
”"з 3/4 -3/2
0 3/4 -3/2
такой вектор существует. Используя сделанные в определителе элемен-
тарные преобразования, заменяем данную систему (Р-/)х = 0 эквива-
= 0.
-3/2] [х3_
лентной
-3/8 3/4
3/4
Так как решение этой системы определено с точностью до пропорцио-
нальности, положим хз=1; дальнейшее тривиально: х2=(ух31/^,
j Xj=х2 х3, т.е. х,=|-. Таким образом, ( j, 2, 1) будет собственным
§4. Некоторые линейные модели в экономике
181
вектором, соответствующим собственному значению Л= 1, так же, как и
любой пропорциональный ему вектор (см. свойство 2 собственных век-
торов), например вектор (3, 4, 2). Итого, будем иметь сбалансированную
торговлю между этими странами для любого вектора потребления (xi, х2,
х3), в котором компоненты относятся как 3: 4: 2.
Модель страхования валютных рисков
Немного о механизмах валютного регулирования; курсы spot и swop; механизмы
контракта break-forward, курсы отсечения, нахождение границы выигрышного
курса, соответствующего выигрыша и затрат; пример (#69). Анализ результатов,
возможных стратегия участников и вариантов хеджинга (#70*)
#69. Модель страхования валютных рисков (колебаний) с помощью
контракта типа break-forward. Как известно, курс национальной валю-
ты по отношению к валютам других стран подвержен колебаниям, кото-
рые могут быть весьма значительными. Учебники по экономике расска-
зывают о процедурах «порчи монеты» в европейских странах, упомина-
ется также о последующих за этим финансовых и социальных потрясени-
ях. С введением в 1821 г. Английским банком золотого стандарта, т.е.
свободного обмена как финансовыми институтами, так и частными лица-
ми фунта стерлингов на золото, начинается эра системного регулирова-
ния курсов национальных валют и денежных рынков в целом. В 1914 г.с
началом Первой мировой войны эпоха золотого стандарта фактически
закончилась, и последующие международные механизмы регулирования
обменных курсов валют, особенно после краха в 1973-1974 гг. Бреттон-
Вудской валютно-кредитной системы, становились все более сложными
и разнообразными. Подробнее об этих проблемах можно узнать из книг
по экономике: Долам ЭДж., Кэмпбелл КД., Кэмпбелл РДж. Деньги,
банковское дело и денежно-кредитная политика. М.;Л., 1991 (гл. 22);
СамуэльсонП. Экономика.М., 1992(т.1.,гл. 17);МатюхинГ.Г.Доллар
США и валютные отношения Запада. М.,1989.
Остановимся на одном маленьком штрихе любопытнейшей картины
использования динамики валютных курсов в интересах участников ва-
лютных рынков. В 1986 г. «Мцдлевд бэнк» (Midland bank, London) раз-
работал и ввел в практику форвардный контракт на приобретение валю-
ты, названный им «брейк-форвард» (break-forward). Рассмотрим один из
вариантов этого контракта.
Предположим, что резидент финансового рынка Британии (а проще
говоря, английская фирма или гражданин Соединенного Королевства),
именуемый далее «покупатель», должен через интервал времени t, к
182
Глава II. Элементы линейной алгебры и ее применения
примеру через три месяца, приобрести 5 долларов для оплаты товаров
или услуг и т.п. Пусть на текущий момент валютный курс доллара к анг-
лийскому фунту стерлингов составляет у0 долларов за 1 фунт (по тради-
ции в Англии чаще используют косвенную котировку). Положим, напри-
мер, /0 = 164 (курс на 23.01.98). Покупатель при наличии свободных
денег может бесхитростно купить в банке доллары по текущему курсу
(так называемому курсу «спот* - spot). Кроме того, он может заключить
контракт на покупку долларов через интервал времени t по курсу, сло-
жившемуся в текущий момент на финансовом рынке (так называемый
срочный курс «своп» - swap или swop); предположим, что финансовый
рынок считает, что фунт достиг своего пика котировки к доллару и через
/=3 месяца курс фунта будет ниже текущего с величиной скидки D, ко-
торая называется дисконтом (discount) или депортом (deport). При по-
купке долларов по косвенному курсу swop у = /0 - D участник понесет
потери ——— = S—(D л\ • но 0ТСР0ЧИТ платеж и сможет использо-
го-о Го Го[го-Ь]
вать в течение времени t эти деньги на другие цели или получить деньги,
ныне отсутствующие,-в этом смысл срочного контракта.
В реальности же курс доллара может как упасть, так и подняться, шан-
сы простого покупателя угадать реальную динамику курса невелики. Ес-
ли покупателю кажется, что курс национальной валюты - фунта может
вырасти и тогда через три месяца ему придется платить меньше, то он
Может заключить с Midland bank контракт break-forward, согласно ос-
новному варианту которого банк за премию в свою пользу в размере
100 d, процентов от курса swop, что эквивалентно дополнительному де-
порту в размере D»=y d, (т.е. установлению менее выгодного курса
swop у» = у - D, =(1-л)у = (1-с/.)(у0 долларов за фунт), пред-
лагает покупателю следующие финансовые услуги: банк обязуется через
три месяца установить для данного покупателя курс доллара
(продажа\покупка), равный у»\у*, т.е. обязуется продать покупателю
S долларов по курсу у» и купить столько же по курсу у* >у .
(Здесь и далее звездочка сверху характеризует рост курса националь-
ной (для покупателя) валюты, а звездочка снизу - падение.)
§ 4. Некоторые линейные модели в экономике
183
«Курс отсечения» у* называется также ставкой break. Естественно,
и у* >у0, причем, раздвигая границы и увеличивая spread
(«спрэд», разрыв между курсом покупки и курсом продажи), банк
страхует себя от возможных колебаний курсов. Смысл этой операции
для покупателя в том, что в случае падения доллара до ставки выше
ставки break / он может купить доллар на рынке по более выгодному
для себя курсу, а от падения курса фунта ниже курса у. он застрахован
возможностью покупки доллара в банке по курсу у., так что заключение
контракта break-forward можно также считать страхованием валютных
рисков. Казалось бы, все детали операции описаны и осталось только
посчитать, на какую премию банку и какой курс отсечения соглашаться.
Однако издержки покупателя существенно зависят от условий контрак-
та. Рассмотрим в принципиальном ключе основные возможности.
Проанализируем, какие преимущества могут заставить покупателя
предпочесть break-forward простому форвардному контракту swop
(покупке валюты в определенное время по заранее оговоренному курсу)
и за какие финансовые услуги банк хочет получить премию.
При истинном курсе spot (через три месяца) у > у* (на что и рассчиты-
вал покупатель, заключая контракт break-forward) использование курса
отсечения у * позволяет продать банку валюту дороже, чем ее можно
купить на рынке. Разность между ценой покупки и ценой продажи 7*(с)—
=S/y-S/y-это чистый доход покупателя.
Если покупатель заключает простой форвардный контракт на покупку
через /=3 месяца S долларов по курсу swop, то при платеже через три
месяца его затраты в GBP (Great Britain Pounds - английских фунтах
стерлингов) R = Sly = S с, где с = Му фунтов за доллар - ожидаемый
рынком курс swop.
Вычислим все остальные параметры контракта break-forward в прямых
котировках. Котировка с» = 1/у» =~х—-—= с(1+6»), где Ь, = у-^—1 =
Г(1-А) *"**
= (обратный перевод rf» = y^j-) дает повышение курса - репорт
(report) В» = с, - с = cb,; естественно предполагать, что банк и покупа-
тель посчитают отклонение от ожидаемого курса swop в обе стороны в
равной степени возможным (как условие взаимовыгодности контракта
184
Глава II. Элементы линейной алгебры и ее применения
break-forward), тогда (1 + Л), и с* = 1/х*=т^г=стг^г= *
Д €<V Д'ТХО*
где b*= 1 - . При этом депорт В* = cb, и с0=1/у0 = с- В,
где В = / ’-Хо-1-депорт в прямой котировке.
Возможны два варианта условий контракта break-forward, по-разному
определяющих обязательства банка и размер его вознаграждения.
1. Премия банку М определяется депортом d, и составляет разность
между затратами при покупке $ долларов по курсу у. и затрата-
ми при покупке S долларов по курсу swop, т.е. M = Sc, - Sc = Sc*
хЦ1 + - 1 j = Scb, = SB,; при уплате такой премии покупателю бу-
дет предоставлено право обменять S’ долларов на фунты стерлингов по
курсу отсечения break.
2. Покупателю будет предоставлено право обменять S долларов на фун-
ты стерлингов по курсу отсечения break только в том случае, если он ку-
пит у банка S долларов по курсу у. (такую процедуру обязательной куп-
ли-продажи мы будем называть конверсионным циклом). Затраты поку-
„ S 3 з( 1 1 )
пателя по конверсионному циклу составят Z =--z=—--------------=
у, у* ?\l-d* 1+d»)
S Id* J \ . М . „
= 2 --— = 2—— или в прямой котировке Z=S(c,~
f 1-(Л)2------------1-</* 1+rf* 1+Л
-с*) = Sc[(l + b,) - (1 - 6.)] =
Scb. 1+ 1+2Ь>
.2М^=2М[1-б’].
Штраф покупателя при расторжении им контракта равен М в первом
варианте и Z во втором.
Теперь определим, когда преимущества break-forward перед контрактом
swop оправдывают затраты. Возможны два сценария изменения курса.
А
1. Через три месяца курс GBP у падает ниже ожидаемого, т.е. у < у
или эквивалентно с>с.
1.1. При выполнении контракта и покупке долларов по курсу у, чистые
потери L(y,) = M=Scb,, следовательно, норма потерь (по отношению к
л d,
затратам swop) L(y,)IR = b, =
§4. Некоторые линейные модели в экономике
185
Существует ли курс, при котором выгодно отказаться от контракта и
заплатить штраф? Для этого должно выполняться условие — >
>^+М =Sc,>Sc +S(c,-с) = с>с , что противоречит сценарию.
Поэтому при у < у. break-forward всегда хуже, чем swop, и можно
утешаться лишь тем, что spot еще хуже, а при у. <у</ нет и этого
(слабого) утешения.
1.2. При падении курса GBP использование конверсионного цикла
бессмысленно.
2. Курс spot у долларов за один GBP через три месяца будет выше
ожидаемого (на это и рассчитывает покупатель), т.е. у > у , что эквива-
лентно с < с .
2.1. Покупка долларов на рынке и выплата премии банку определят
Л Л л S
затраты G(c) = Sc + М— S(c + cb.) <S(c + cb,) = —, т.е. так и следует
поступить.
Теперь можем рассмотреть, когда break-forward будет выгоднее, чем
swop. Необходимое для этого неравенство G(c)=Sc+A/=S(c+ci,)<Sc,
что эквивалентно с< с(1-6«) = с*, определит границу курса с*, вы-
ше которого затраты по swop превысят G(c). Но
с -
1+6*
1+26»
-(1-*.)
Л 1+6»-(1-6*+26*-26?) 26*
С 1+26* = 1+26*
>0,
поэтому
/Лф Лф * л» у л л
1/с =Г >Г И г
= 2d'.
Следовательно,
Л. . 1-Л J a 2dl
г -Г =r[iZw--<l+A)J = r
На самом деле, поскольку /*>/*, из затрат нужно еще вычесть при-
быль от продажи долларов банку по курсу break, поэтому для реальных
затрат:
G*(с, c+) = S(c+ cb+) - S(c* -с) <Sc = 2c < с*+с* = с< j(c*+ с*) = ^+ •
186 Глава II. Элементы линейной алгебры и ее применения
Таким образом, именно с+ определяет границу курса, выше которого
break-forward будет выгоднее, чем swop. Очевидно, с*<с+ <с*.
Вычислим истинную границу с+:
с(1-М -с
1+4. _£
1+24. J 2 х
1+24»-4*-24?+1+4. л \+b»-bi
Х 1+24* = С 1+24*
= с 1-4.
= с(1-4+)=с,1де 4+—
, 1+4»
0$ — — .
1+24»
1=Ш=1 Щ-11-Ш Ш Ш4
ултПI ГТгЮТ гт гтп _____________
т-»-Е+-|——------ L»
Рис. 39
с
с'
с*
•<7
п + 1 1 1+24.
Для косвенных котировок: у+ = — - -
du
А 1+2 7Т~
Л 1-Л
“г—;—
а»
1+ (1-Л)2
А 1-<й-н2<» (I-*)2 А 1-<Й
У (1-Л)2+А(1-*)-<й ~У 1-Л-<
2
X 1+--------Г
1— <А
1 + Л
*-------------7
1 -
>у*. откуда у.-у
diO-d*) + л. л[7, .1+4.) „ . J л.(. 1+4.)
х ис ~с =С|У ° 1+24.J~
’ §4. Некоторые линейные модели в экономике
187
Для затрат по покупке валюты на break при росте GBP получим
G*(c,c+) = Sc +Sc= & + S|c-c*|— S(c*~ c)=S 2c+c —(c*+c)
= S 2c +c -2c'
S c -2(c+-c)
и для выигрыша в сравнении с контрактом swop
Sc -G*(c,c+) =2s(c+ -с).
Сведем полученные результаты и содержание рис. 39 в следующие
таблицы по косвенным и прямым котировкам.
i I i j-.z——
(1 + ^)
4 II *4 > •i И* k г и* n
/-P(1 + Z)
d‘= J/ । /«4
Г.= р(1-<Ь)
c. = c(l +6.)
। ।
c*« c(l - 6*)
i ; ••-•-ж
»‘-i (I-**)
188
Глава II. Элементы линейной алгебры и ее применения
2.2. Во втором варианте контракта затраты будут равны Z, т.е. почти
вдвое превысят затраты первого варианта. Вычисление соответствую-
щих границ мы проводить не будем.
Итак, подведем основные итоги (собственно говоря, только это и
надо знать для практических нужд). Границы выигрышного по сравне-
нию со swop курса в прямой и косвенной котировках, затраты и размер
выигрыша равны соответственно:
с+ = c(l-ft+),
Г+ = у (1+</*),
° 1+2/»
(при малых d» получим d* « = А* ),
G* (с, с+) = S
Л
с-2(с+ — с)
л .
w-Sc-G (с,с )-2S(c -с).
Пример 50. Покупателю 21 октября 1997 г. требовалось через три
месяца приобрести S= 1 млн долл. Пусть ft = 1.64, курс swop у =1.63, пре-
миальный депорт А=1.9/100 (соответственно с=0.6135, />.=0.019/0.981=
= 1.9368/100).
1. Найти границу у+.
2. Какими будут затраты по контракту break-forward, если курс у будет
равен 1.67? Каков выигрыш по сравнению с контрактом swop?
Решение. 1. Проведем вычисления в косвенных котировках. Имеем
D,=гd,-0.03097*0.031, у.= 1.63 -0.031=1.599, /=1.63 +0.031=1.661.
Далее, по определению, 0.98i°^i - 0^9 “ 0 019375 и
у + = у (1 + </*) = 1.63-1.019375 = 1.6616; таким образом, заключение кон-
тракта покупателем будет свидетельствовать о весьма оптимистической
(см. котировки июля-сентября) оценке динамики курса фунта стерлин-
гов, хотя по справедливости следует заметить, что в ноябре 1997 г. курс
GBP поднимался до 1.6947, а в декабре - до 1.6657.
2. По условию, с =1/у= 1/1.67 = 0.5988024, £=$с6» - $0.6135 1.9368 х
х 102—10~2$-1.1882268—11882.268 фунтов стерлингов, &=598802.4,
§4. Некоторые линейные модели в экономике .
189
с = 1/у=0.602, /(с)=5(с*-с) = - 05988024) =
V 1.661 /
602046.96 - 598802.4
= 3244.56. Следовательно, G*(c, с4) = 598802.4 + 11882.27 - 3244.56 =
= 610684.67-3244.56 = 607440.11, и w = 613496.93 -607440.11 = 6056.82.
Рассмотрена лишь небольшая деталь финансовых рынков, но до конца,
в соответствии с девизом Гаусса (см. с.518). Широкая картина финансо-
вых технологий представлена в учебнике: Маршалл Дж.Ф., Бансал В.К.
Финансовая инженерия. М., 1998.
#70*. Краткий анализ результатов. Значения основных границ с + и
с* зависят линейно от ожидаемого рынком курса swop с, а основные
характеристики G* и w зависят линейно от с и с. Таким образом, мо-
дель линейна относительно прямых котировок с и с.
В рассмотренном случае покупатель приобретал иностранную валюту
(д ля покупки американских товаров или иных целей), т.е. был импорте-
ром (американских товаров или услуг, или просто денежных знаков). Для
экспортера модель и стратегия страхования валютных рисков в рамках
идеи контракта break-forward претерпят изменения.
Наиболее интересный д ля обеих сторон вариант контракта предусмат-
ривает возможность использования права покупки валюты по курсу
break в любое время в течение периода t (к примеру, t-3 месяца). Для
покупателя это выгодно тем, что он может реализовать свое право в тот
момент, когда курс фунта стерлингов пересечет границу у+(с+ в прямых
котировках), для банка - тем, что он получает то же вознаграждение за
более короткий срок (рис. 40 а иллюстрирует такой вариант). Возможен
также вариант, когда размер вознаграждения банку не постоянен, а рас-
тет со временем до В., подобно процентной ставке на срок, тогда и де-
порт bt*b., а например, 5,=5г(рис.40б иллюстрирует такой вариант).
Отметим, что формой взаиморасчетов обычно служит депозит, разме-
щенный в банке.
Рис. 40
190
Глава II. Элементы линейной алгебры и ее применения
Вознаграждение банка M=Scb, дает норму прибыли Ь- по сравнению
с продажей валюты покупателю по курсу swop, в примере 1006.=
= 1.9368%, что составляет 7.7472% годовых - примерно на 3.3% выше
средних еврокредитных ставок по GBP. Поэтому рассмотренные в
примере ставки можно оценить как выгодные для банка, зато относи-
тельно профессионализма финансовой службы покупателя возникают
определенные сомнения. Рассмотренные цифры делают оправданным
некоторое повышение депозитных ставок банка с целью привлечения
дополнительных заемных средств в размере проданных контрактов
break-forward. Между прочим, поскольку норма вознаграждения банка
b*>d*, то в случае, если покупатель понимает премию 100<f процентов по
отношению к курсу как норму вознаграждения банка, могут возникнуть
недоразумения, а при втором варианте контракта, когда вознаграждение
почти вдвое больше, конфликт может перерасти в кризис.
Привлечение заемных средств с кредитного рынка также актуально с
целью хеджирования (hedge, hedging)-страхования валютных рисков и
потерь (например, при слишком больших колебаниях курса, превышаю-
щих границы конверсионного цикла), а также д ля того, чтобы уменьшить
spread и сделать условия контракта более привлекательными для клиен-
тов. Аналогичные проблемы хеджирования стоят и перед покупателем.
Более тонкий анализ рассмотренных проблем приводит к значительно
более сложным моделям.
Наконец, последнее-это ошибки округления. При валютных контрак-
тах или опционах (а они заключаются на миллионы долларов) следует
вести вычисления с точностью до 6-го знака, в то время как курсы уста-
навливаются с точностью до четвертого; пренебрежение этим может
привести к накоплению значительных ошибок. Кроме того, особенности
конкретного контракта часто делают невозможным прямое использова-
ние теоретической схемы, что влечет нетривиальные изменения.
Для оперативного решения рассмотренных проблем все такие модели
должны быть доведены до компьютерных программ, именно потому из-
ложение фактически носило алгоритмический характер.
Несмотря на линейную зависимость G* и w от с, с+ и с, формулы для
промежуточных переменных нелинейны. Так что, модель носит комбини-
рованный характер - ее нельзя назвать линейной в строгом смысле этого
слова. Комбинированные математические модели рассмотрены также в'
21. Много моделей содержат, например, книги: Кочович Е. Финансовая
математика: теория и практика финансово-банковских расчетов. М.,'
1994; Ващенко Т.В. Математика финансового менеджмента. М., 1996. :
§5. Векторы в координатах
191
§5. Векторы в координатах
/
Координаты вектора в ортогональном базисе, норма координатного вектора;
алгебраические операции над координатными векторами: умножение вектора на
число, сумма, скалярное произведение и векторное произведение векторов в
координатах; вычисление угла между векторами и площади построенного на них
параллелограмма; примеры (71). Смешанное произведение в координатах,
двойное векторное произведение в координатах; примеры (72)
71. Основные операции над векторами в координатах Если i,j, k-
единичные векторы (орты) осей прямоугольной (декартовой) системы
координат трехмерного пространства, то любой вектор а единственным
образом представляется в виде а жах i+aj+axk, поэтому любой вектор
трехмерного пространства может быть отождествлен с тройкой чисел
а=(ах,ау,ах) и также рассматриваться как вектор-строка. Вектор-
строка а называется координатным вектором или просто вектором. Чис-
ла ах,ау,аг называются координатами вектора а в ортогональном бази-
се [i,j,kj.
Длина вектора а, которая обозначается |а| и называется также нор-
мой координатного вектора а, может быть (по теореме Пифагора) выра-
жена через координаты формулой |а| = ^ах2 +ау2 +аг2 , а для коорди-
натного вектора |а| = по определению. Сумма, скаляр-
ное и векторное произведения (см. 45-47) двух векторов выражаются в
координатах следующим образом.
1. Умножение вектора на число. Если а = (ах,ау,ах) и Л-произ-
вольное действительное число, то, по определению, Л а=(2ах, Лау, Лах).
2. Сумма векторов. Если а = (ах,ау,ах), Ь= (bx,by,bx), то а+b =
= ^x+bx,ay+by,at +Ьг).
3. Скалярное произведение. Если а = (ах,ау,аг),Ъ = (Ьх,Ьу,Ьх), то
скалярное произведение
(a,i) = aj>x +а^>у +a,b, = ab'.
В последнем равенстве а и Ъ рассматриваются как вектор-строки. В
частности, получаем |а|2=(а,а). Напомним, что скалярное произведе-
ние является линейной функцией по обоим аргументам (45).
192
Глава II. Элементы линейной алгебры и ее применения
4. Векторное произведение. Если а = (ах,ау,аг),Ь = (Ьх,Ьу,Ьг), то
векторное произведение
ах Ь-
j
by
Все операции над координатными векторами и их свойства совпадают с
соответствующими операциями над геометрическими векторами и их
свойствами (44-47).
Таким образом, координатная форма представления векторов позволя-
ет достаточно просто найти результаты указанных операций.
Возможен, кстати, и другой подход: задать операции 1-4 над тройками
чисел аксиоматически, а затем показать, что функция (ах, ау, аг)-+ах1+
+ayj+a, к задает изоморфизм троек чисел и геометрических векторов,
определенных в ортонормальном базисе с сохранением всех опе-
раций.
Поскольку a b=|a||b|cosy, где у-угол между векторами а и Ь, то
сразу получаем простую формулу д ля векторов в коорд инатах:
eb' аФх + aJ>y +a&_______
|а||л| ^ах2+ау2+а,2\1ьх2+ьу2+ьг2 '
А поскольку площадь S параллелограмма, построенного на векторах а
и Ь, задается формулой S = |ax Ь | (см. 46), то в координатах
Пример 51. Даны два вектора а = (2,1,0),й = (0, -2,1) . Найти:
1) угол <р между векторами а и 4;
2) вектор а х b;
3)угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
а и Ь;
4) площадь этого параллелограмма .
Решение. 1.Имеем |а| = -^22+1 =л/5 =|А|,(а,А)=а4' = 2-0+1-(-2)+
. л 1 («•*) 2 - / 2\ *
+0-1, откуда cosy = » =~т Следовательно, у = aiccosl-4l>—.
«11*1 5 \ э/ 2
§5. Векторы в координатах
193
Изобразив эти векторы в координатах, можно наглядно убедиться, что
угол (р тупой.
2. По определению, а х b =
1 0 0 2 2 1
-2 1’1 0 ’|о -2
]=а-2.-4).
3. Возможны дваодинаково простых решения. Во-первых, |а| = |А||,
т.е. этот параллелограмм - ромб, что является необходимым и достаточ-
ным условием перпецдикулярности диагоналей в параллелограмме
(см. пример 24 или курс школьной геометрии). Во-вторых, покоординат-
ным сложением и вычитанием получим а-Л = (2,3,-1), в+й = (2,-1,1),
откуда (а+й,«-А)=2-2+3-(-1)+(-1)-1=0, т.е. а и b перпендикулярны.
4. Искомая площадь S = |«xi| = -712+22+42 = л/21.
72. Другие произведения векторов. Смешанное произведение (47) трех
векторов <a,b,c>=(a*b,c) в координатах также находится по простой
формуле (по строкам стоят координаты векторов а,Ь,с)
<а,Ь,с>=
ау
by Ьг
су сг
Знак этого определителя указывает на ориентацию тройки (правая,
если знак «+», левая, если знак «-»). Поскольку смешанное произведе-
ние векторов равно алгебраическому значению объема параллелепипе-
да, построенного на этих векторах (47), то этот определитель дает про-
стой способ вычисления указанного выше объема, а также может рас-
сматриваться как критерий компланарности (линейной зависимости)
векторов (в этом случае определитель равен нулю).
Двойное векторное произведение ах (Ах с) просто записывается в
форме определителя
ах( Ьхс) =
b
(М)
с
(.а, с)
= (а,с) b-(a,b)c.
В заключение приведем еще одну красивую формулу
(а х Ь, с х rf) =
(а,с) (Ь,с)
(a,d) (b,d) '
откуда
что дает еще один простой способ вычисления площади параллелограм-
ма 5 на а и Ь.
13 - 5091
194
Глава II. Элементы линейной алгебры и ее применения
Пример 52. Даны векторы в] = (1,1,0), 4j = (2, -1,0), с—(0,1,1).
1. Найти < а,Ь,с > и выяснить, будут ли векторы а = + е2, b = Ьг + е3
и с линейно независимыми.
2. Найти ах(4хс)и(вх4)хс.
Решение. Поскольку е2=(0,1,0),е3-(0,0,1),то «=(1,2,0),b=(2,-1,1).
1
2
0
1. По определению, < а, Ь, с >=
2 0 fw(-1) 12 0 J
-11 = 2-10 =
11 0 11
2
-2
значит, векторы линейно независимы и имеют левую ориентацию.
2. Поскольку (а,4) = 0 = (4,с), и (в,с) = 2, а векторное произведе-
ние антикоммутативно, то
с
2
а х (4 х с) =
Ъ
(а,Ь)
с Ъ
(в,с) 0
= 24,
(а х Ь) х с = -с х (а х Ь) = -
в
(с, в)
= 24.
b
а 4
2 0
Таким образом, для этих векторов векторное произведение ассоциа-
тивно, т.е. а х (4 х с) = (а х 4) х с.
§ 6. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ В ГЕОМЕТРИИ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
Координатный метод как простой и эффективный способ решения разных
задач планиметрии и стереометрии (73)
73. Применение определителей в геометрии прямых и плоскостей
Определители являются простым и красивым аппаратом решения мно-
гих задач геометрии прямых и плоскостей. Укажем основные.
Планиметрия.
1. Уравнение прямой, проходящей через точки (xbyi) и (х2,уг) на пло-
скости Оху, может быть задано в виде (см. также 49):
- у 1
*1 У\
*2 У1
1 =о.
1
2. Площадь 5 треугольника с вершинами в точках (X],>>]), (х2,у2),
(х3,_у3) плоскости Оху задается формулой
§ 6. Определители в геометрии прямых и плоскостей
195
S = -
2
*1 Уз
Х2 У2
*3 Уз
1
1
1
Поэтому равенство нулю этого определителя является необходимым и
достаточным условием, чтобы эти три точки лежали на одной прямой.
3. Для того чтобы три прямые Ахх+Вху+Сх ”0, ^2x+82yK72=0,
Язг+В3у+€з=0 пересекались в одной точке или были параллельны, не-
обходимо и достаточно, чтобы
Л
А
А
В,
А
Вз
С2
Сз
= 0.
Стереометрия.
4. Уравнение Ax+By+Cz+D=0 плоскости, проходящей через три дан-
ные точки (хьуь zi), (x2.y2.z2) и (x3.y3.z3), задается равенствами
А = if if * <5* Л» В-* l—t , В = Z1 *1 1 Z2 *2 1 z3 х3 1 , с= *1 Уз 1 х2 у2 1 Хз у3 1 , D = - *1 Уз zi х2 У2 г2 Хз Уз z3
Отсюда сразу следует, что необходимым и достаточным условием того,
чтобы точки (xx,yx,zl),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3) и (x0,y0,z0) лежали в
одной плоскости, является равенство Axo+By0+Cz0+D=0.
Другая форма получения этого же уравнения - равенство
x-xi у-ух z-zx
*2"*1 У1~У1 *2”*1 =0-
*з"*1 Уз~У\ Z3-Z\
5. Объем V треугольной пирамиды с вершинами в точках (хь уь zt),
к = 0,..., 4, может быть определен простой формулой (внешняя верти-
кальная черта означает взятие модуля)
V =
2
б
Хо-*1
*0~*2
*0"*3
Уо~У\
У0-У2
Уо-Уз
zo-zi
Z0-Z2
z0~z3
6. Расстояние d отточки (х^ уъ z0) до прямой, задаваемой уравнением
л Х-Х, у-V1 Z-Z1
г = Г] +ta или ---------L = =----L
ar а„ а,
13-
196 Глава II. Элементы линейной алгебры и ее применения
(а = (ах,ау,аг), г = (х,у, г), г0 = (хь,Уо> го)> Л = <Х1 >Я>*1) ). определяется
|*x(»b-'i)|
по формуле а = |--j—।----
Напомним (71), что \а\ = ^ах2+ау2+а2 .г-г^х-х^у-у^г-г^, а
числитель удобнее всего вычислить по формуле (см. 72) |4х (г-г.
= |в|2|г-Г]| -(а,г-гх)2 (альтернативную возможность см. в 71).
7. Достаточно сложная для чисто геометрических методов задача на-
хождения расстояния между двумя непараллельными прямыми имеет
простое решение в координатах: расстояние d между прямыми, задан-
ными равенствами
r = ra+ta „ди = =
dy аг
r = rb+tb £z^=Zz2k=£z£,
by bz
может быть вычислено по формуле
|а х b
(о вычислении векторного произведения см. выше, а смешанного произ-
ведения - в 72).
Если прямые параллельны (эквивалентно а = b , см. 52), то
= |«x(re-^)|/|e|.
Отсюда сразу следует, что необходимым и достаточным условием того,
чтобы эти прямые лежали в одной плоскости (т.е. пересекались или бы-
ли параллельными), является равенство <га-ъ,а,Ь >=0.
Взаимное расположение плоскостей также достаточно просто описы-
вается в терминах определителей - при желании с этим можно познако-
миться по какому-либо учебнику аналитической геометрии, например по
указанным в 66. >
ЗАКЛЮЧЕНИЕ К ГЛАВЕ II
Линейные зависимости и линейные функции многих переменных описывают количест-
венные связи и характеристики, бессчетного множества объектов и систем, состоящих
из многих элементов, когда характеристики всей системы складываются из характерис-
тик ее элементов. Такие системы встречаются и в физике, и в химии, и в биологии, и в
Заключение к главе II
197
экономике, и прочая, и прочая... На простых, но значимых и интересных примерах из
экономики и геометрии был продемонстрирован способ компактной записи длинных
сумм и дано описание модели в целом. Поэтому мы сразу столкнулись с необходимо-
стью выяснить хотя бы основные свойства объектов (матриц и определителей), столь
сильно упростивших нам формулировку и решение поставленных задач. Как это обычно
бывает в любой области исследований, если такие объекты удается найти, их анализ
приводит к созданию весьма содержательных теорий. Действительно, немногие усилия
по овладению и осмыслению новых понятий и операций и знакомству с основными ре-
зультатами § 2 и 3 (все труды выпали на долю математиков XVIII и XIX столетий) дали
возможность рассмотреть и исследовать в $4 весьма интересные и содержательные
(хотя и описанные в первом приближении) экономические системы и процессы, а также
их модели.
В $ 5 и 6 с помощью определителей был продемонстрирован эффективный путь реше-
ния многих нетривиальных геометрических задач. Таким образом, без лукавства можно
заявить, что описанные в гл. II математические объекты, методы и результаты дают оп-
тимальный способ описания линейных задач и эффективный путь их решения.
Рассмотренные в этой главе задачи и методы их решения свидетельствуют о тесной
взаимосвязи различных наук, составляющих единое здание мира и разумной человече-
ской деятельности, в чем мы еше не раз убедимся. Особенно ярко вновь проявилась
взаимосвязь алгебры и геометрии, в очередной раз подтвердив знаменитый афоризм
«алгебра - не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия - это просто
алгебра, воплощенная в фигурах». (Обратите внимание, ни одна из геометрических
задач в этой главе не потребовала геометрической иллюстрации для своего решения!)
Вновь остановимся на необходимости точной формулировки задачи, полного и кор-
ректного задания модели. В §4 подробно описаны все предположения и числовые ха-
рактеристики анализируемых систем и процессов; только в случае справедливости всех
допущений модели будут адекватны описываемой реальности, а результаты будут иметь
экономическую, а не только математическую ценность. Более того, возможные много-
численные разночтения в break-forward (69), могут привести не просто к недоразумени-
ям и спорам партнеров, а даже к настоящему кризису в их отношениях и крупным эко-
номическим потерям.
Модели межотраслевого баланса и торгового обмена в большинстве случаев, конечно,
содержат более трех участников, так же как, например, и расчет курсов синтетических,
искусственных единиц межгосударственных валютных расчетов - международной рас-
четной валюты СДР (SDR - special drawing rights, специальные права заимствования)
или европейских: ЭКЮ (ECU - European currency unit, европейская валютная единица)
или EURO осуществляется методом «валютной корзины». Согласно этому методу курс
синтетической единицы вычисляется как взвешенная сумма валютных курсов основных
индустриальных стран, т.е. как сумма курсов, умноженных на коэффициенты, отра-
жающие размер ВВП страны и ее долю во взаимной торговле участников «корзины», - и
в этом случае число переменных существенно больше трех.
Рассмотрим еше один важный пример - так называемую транспортную задачу. Пусть
т пунктов отгрузки (отправления) содержат ...9ая единиц однородного груза соответ-
ственно номерам пунктов отгрузки, который нужно доставить в п пунктов назначения в
количествах bi единиц в первый пункт, Ь2 - во второй,..., Ьл - в л-й пункт, причем из £-го
пункта отгрузки в j-й надо доставить хц единиц груза, а стоимость этой перевозки равна
сц, и требуется найти такие неотрицательные чтобы совокупная стоимость перевозок
т я
С= была минимальной (задача минимизации по критерию стоимости, а бы-
*=!_/=!
вает еше минимизация по критерию времени). Эта задача обычно содержит по крайней
мере несколько десятков переменных и уже не имеет геометрического аналога
(интерпретации). Такого рода задачи требуют рассмотрения новых, абстрактных про-
198
Глава II. Элементы линейной алгебры и ее применения
странств, порождают новые проблемы, рождают новые методы.
Не единожды случалось так, что сначала удавалось решить задачи, сформулирован-
ные в абстрактной форме, и только потом, применив полученные абстрактные резуль-
таты и разработанные методы к первоначальной, чисто конкретной, прикладной задаче,
решить ее. Кроме того, часто и формулирование, и анализ абстрактной задачи позволя-
ют уточнить условия первоначальной конкретной задачи, выделить среди них наиболее
важные, существенные, изменить или заменить какие-либо условия, устранить противо-
речия. Слабой иллюстрацией этого является постоянно повторяемый механизм анализа
и решения задач в данной главе: численные данные и численный ответ - это последний
этап. Безусловно, столь серьезный тезис должен быть убедительно аргументирован, но
пока наша подготовка не дает такой возможности - мы вернемся к нему в гл. VI, обладая
более высоким уровнем знаний. Кроме указанного хода: новая абстрактная модель -
новый абстрактный метод - конкретные следствия часто встречается и обратный ход
мысли: новые реальные задачи - новые модели и теории. Такова динамика взаимосвязи
абстрактных и конкретных прикладных проблем. Она характерна для любой области
науки и искусства, где требуется и выполняется рационалистический анализ.
Нелинейное движение, нелинейные законы, нелинейные кривые, неплоские поверхно-
сти и фигуры требуют других моделей и новых методов. Они будут рассмотрены в по-
следующих главах.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II
1. Найдя АВ и ВА, выяснить, коммутируют ли матрицы А =
f
3
2
4
иВ =
(т.е. верно ли равенство АВ=ВА)?
2. Найти матрицы АА' и ЛЯ, где А =
3. Доказать, что для любых матриц А и В матрица С =АВ'-ВА' будет косо-
симметрической (т.е. С'=-С), и найти ее для А
4. Пусть А =
. Найти Л22, Л41 и А 1.
2
6 ’
1 a I _
6 з иВ-
4
5. Найти обоими способами (62 и 63) обратную для матриц А =
и
с
Ь
1
о
1
о
О
6. Пусть Л = о
1
1
О .Доказав, что Л2 3 =/, найти Л-1 и Л21.
О
Задачи
199
7. Решить систему линейных уравнений
xi + jti-ль = 8,
Х1+7х1-л5= 2,
4xi-xi+jifc=12
методом Гаусса, а также с помощью определителей и с помощью обратной мат-
рицы.
8. Консервативная система производства двух отраслей представлена следую-
щими характеристиками:
X* W У'
$00 400 100 200 220 40 200 140
Найти объем производства каждой отрасли, необходимый для увеличения про-
дукта потребления отраслей соответственно в 2 раза и на 25%.
9. Структурная матрица торговли консервативной системы трех стран
1/2 1/3 0
1/4 2/3 1/2
1/4 0 1/2
Найти вектор потребления х этих стран для сбалансированной (бездефицит-
ной) торговли.
10. Найти собственные значения и соответствующие им собственные векторы
о
О 1
О 1
1 о
матриц А
и В = 0
1 0 . Убедиться, что векторы, соответствующие
1
0 о
разным собственным значениям, ортогональны.
11. Доказать любое из свойств обратной матрицы (с. 168 -169).
Глава III
ДРУГИЕ АЛГЕБРЫ
§1. АЛГЕБРА ЛОГИКИ
Высказывания и логические операции
Высказывания; истинность и ложность высказываний; логические связки; язык
исследователя (метаязык) и язык математической логики (74). Пять основных
логических операций и их таблицы истинности (75). Формулы алгебры логики;
таблицы Куайна; все независимые логические формулы от одной и двух
переменных и их таблицы истинности (76)
74. Высказывания и логические связки. Одним из важнейших во всех
смыслах объектов нечисловой природы, над которыми можно естествен-
ным образом производить операции, во многом аналогичные алгебраи-
ческим операциям над числами, являются высказывания.
В этой главе мы не будем анализировать ни природу используемых вы-
сказываний, ни их структуру. Высказывания «Гай Юлий Цезарь - рим-
ский император и автор "Записок о гражданской войне"*, «2-2 = 4»,
«Платон - автор "Апологии Сократа"», «В равностороннем треугольни-
ке любая биссектриса делит противоположную сторону пополам»,
«Париж - столица Италии», «С2Н5ОН - химическая формула воды»,
хотя и относятся к совершенно различным областям знаний, дают при-
меры тех объектов, с которыми придется работать в данном параграфе.
Будем считать, что нам известно, что такое «высказывание», пока никак
не конкретизируя это понятие.
Нетрудно видеть, что последние два высказывания принципиально от-
личаются от предыдущих четырех: первые четыре истинны, а последние
два ложны. Будем считать, что все рассматриваемые в алгебре логики
высказывания могут быть квалифицированы либо как истинные, либо
как ложные, причем и то, и другое вместе невозможно, т.е. каждому вы-
сказыванию можно придать истинностное значение. Такое свойство вы-
сказываний не является обязательным: недоказанным или неопроверг-
нутым гипотезам нельзя придать никакого значения истины, так же как и
спорным или метафорическим высказываниям, на справедливость кото-
рых у разных людей могут быть разные точки зрения. Вот поэтические
§1. Алгебра логики
201
примеры: «Любовь есть предисловие к разлуке» (И.Бродский), «И кто
уезжает, увозит с собой лишь четверть страданий...» (Саади), «Если бы
жизнь продолжалась без конца, не улетучиваясь, подобно росе на равни-
не Адаси и не уносясь, как дым над горой Торибэ, ни в чем бы не было
очарования. В мире замечательно именно непостоянство» (Кэнко-хоси),
«Мужайся сердце до конца:// И нет в творении творца!// И смысла нет
в мольбе» (Ф.Тютчев). Некоторые высказывания, носят чисто ритори-
ческий или неопределенный характер, как, например, известное выска-
зывание Козьмы Пруткова: «Бди!» Такого рода высказывания из рас-
смотрения исключаются.
В естественной речи от любого высказывания можно образовать его
отрицание (например, отрицанием высказывания «Париж есть столица
Италии» будет высказывание «Париж не есть столица Италии»), выска-
зывания могут быть соединены связками «и», «или», «если..., то» и т.п.
(например, высказывание о Цезаре состоит из двух высказываний, со-
единенных союзом «и»). В алгебре логики высказывания соединяются
логическими символами, которые называются логическими или пропо-
зициональными связками, в результате этих операций получаются новые
высказывания. Перечислим основные логические связки.
Отрицание 1 «не»
Конъюнкция А «и»
Дизъюнкция V «или»
Импликация Z) «влечет», «если..., то...»
Эквиваленция (эквивалентность) S «эквивалентно», «равносильно» «тогда и только тогда »
Здесь слева - название связки, в середине - ее символ (обозначение),
справа - аналог в естественной речи.
Язык естественной речи поясняет конструкции языка математической
логики и в значительной степени аналогичен ему, но никак не тождест-
вен. Более того, это принципиально разные языки и по целям, и по сред-
ствам, и по методам. Язык, с помощью которого определяются объекты
математической логики (в данной главе - алгебры логики), операции над
ними, законы и утверждения алгебры логики, называется предметным
языком или языком-объектом. Это строгий язык определений, схем,
правил и утверждений, его внематематическое приложение, его значе-
ние для общечеловеческих знаний (того, что мы называли рационалисти-
ческим методом познания) - быть инструментом и образцом системати-
зации научного знания, точного формулирования проблемы и предмета
исследований, правильного рассуждения и доказательства (обоснова-
202
Глава III. Другие алгебры
ния). Язык, с помощью которого исследуются проблемы математической
логики, называется метаязыком или языком исследователя. Следующий
пример [19, с. 12] точно иллюстрирует различие этих языков: «В учебни-
ке французского языка, написанном по-английски, французский язык
является предметным, а английский - языком исследователя». Однако, с
успехом решая задачи математической логики, ее язык (не только наи-
более простой язык алгебры логики, но и язык исчисления предикатов,
рассматриваемый в гл.VI), как любой формализованный язык (любая
формализованная модель), не может учесть многих нюансов естествен-
ного языка человеческого общения, примеры будут рассмотрены в дан-
ном параграфе чуть позднее.
75. Основные операции над высказываниями. Формализуем опера-
ции над высказываниями. В этих операциях объектами (переменными)
выступают высказывания, которые обозначаются заглавными латински-
ми буквами А, В, С, Р, Q,... Каждое высказывание имеет истинностную
оценку. 0 будет означать то, что высказывание ложно, 1 - истинно.
1. Пусть Л-произвольное высказывание. 14 («не Л», «отрицание Л») -
высказывание, которое ложно, когда Л истинно, и истинно, когда Л лож-
но. Иными словами, высказывание 1Л задается таблицей истинности (1).
Пусть Л и В - произвольные высказывания.
2. Конъюнкция АлВ («Л и В»)-высказывание, задающееся таблицей
истинности (2).
3. Дизъюнкция Л vB («Л или В»)-высказывание, задающееся таблицей
истинности (3).
4. Импликация ЛоВ («Л импликация В»)-высказывание, имеющее по
определению таблицу истинности (4). В импликации высказывание Л
называется посылкой (или антецедентом), В - заключением (или след-
ствием, или консеквентом).
А 1л
1 0
0 1
А в ЛлВ
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
А в AvB
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
§1. Алгебра логики
203
5. Эквивалентность А =В («А эквивалентно В»)-г высказывание, име-
ющее по определению таблицу истинности (5). Таким образом, высказы-
вание А=В будет истинным тогда и только тогда, когда А и В истинны
или ложны одновременно.
А в А=>В
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
А в А*В
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
76. Формулы алгебры логики. Из произвольных высказываний по-
следовательным применением пропорциональных связок могут быть об-
разованы новые высказывания сколь угодно сложного ввда. Такие вы-
сказывания называются (логическими) формулами (алгебры высказыва-
ний), первоначальные высказывания называются переменными этой
формулы. Истинностное значение формулы может быть получено путем
последовательного нахождения истинностных значений каждой логиче-
ской операции данной формулы. Так, последовательно применяя таблицу
истинности для отрицания и дизъюнкции, получаем, что формула ЛЦ14)
является истинной при любом значении переменной А, формула Лл(Ъ4)
всегда ложна, формула (((>1v(BaC))v(1B))v(14)) всегда истинна. В связи
с последней формулой возникают по крайней мере две задачи: нахожде-
ние способов упрощения формул и принятие соглашения о порядке вы-
полнения логических операций для того, чтобы избавиться от лишних
(после этого соглашения) скобок. Начнем со второй задачи. Последова-
тельность выполнения логических операций такова:
' • = л!
сначала выполняются те операции, которые расположены правее (как
еще говорят, они «связывают сильнее >), конъюнкция и дизъюнкция
имеют равную силу и д ля определения очередности между собой требуют
скобок. Приведем примеры: 114п4 означает (1 (14 ))=х4, формула Az>BvC
означает AzjBvC), формула C*AaBz>1AvC означает С=((ЛаВ)о((1Я^
vC)). Внешние скобки (скобки последнего действия) всегда опускаются.
Если /(4Ь ...,Л„) - (логическая) формула с переменными (А, ...,А„), то
истинностное значение формулы удобно вычислять с помощью метода,
называемого таблицей Куайна. Последовательность действий по запол-
204
Глава III. Другие алгебры
нению (созданию) таблицы Куайна следующая: под каждым из перемен-
ных записываем столбиком нули и единицы так, чтобы в совокупности по
всем переменным были выписаны всевозможные неповторяющиеся
комбинации - таких столбцов будет п, длина каждого столбца будет рав-
на 2” (на каждом месте в комбинации может стоять либо О,
либо 1, поэтому число различных комбинаций составит 2-...*2= 2"),
л раз
затем последовательно выполняются определяемые формулой
действия.Например:
(4aB)v(14a1B)
А А в V ТА А 1В
1 1 0 0 л 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1
(4a1B)v(14aB)
А А 1В V и А в
1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0
Двойной вертикальной чертой выделено последнее действие, т.е. резуль-
тат, истинностная оценка формулы.
Очень удобно принять соглашение, по которому сначала записываются ,
1 (значения истины) для Ах (в количестве 2"'1), потом для А2 (в коли-
честве г"-2), потом для А3 и тд., затем записывают 2"“2 нуля для А2 и ;
тд. Не будем точно выписывать общий алгоритм, а покажем действие •
этого соглашения на примере двух и трех переменных: ]
§1. Алгебра логики
205
А В
1 1 . 0 0 1 0 1 0
А в с
1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0
Это соглашение предает единообразие всем таблицам Куайна. Для
рассмотренной выше формулы (4v(BaC))v(1 Bvl А) таблица Куайна
имеет ввд
А V (В Л Q V (1в V В)
1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ,1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
Несложная таблица Куайна (шесть действий) подтвердила высказан-
ное ранее утверждение, что эта формула истинна при любых значениях
переменных, однако данный факт почти очевиден (мы убедимся в этом в
80, рассматривая равносильные преобразования логических формул, но
перед этим перечислим все неравносильные, т.е. имеющие разные таб-
лицы истинности, формулы с од ним и д вумя переменными).
Для одного переменного таких формул четыре; перенумеруем их и вы-
пишем таблицы истинности
F0 Ял1Л А Fi f2 Fa f4
F2) А F3) U 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1
F<) Av]A
206
Глава III. Другие алгебры
Для двух переменных таких формул 16 (каждой формуле соответствует
истинностный столбец из четырех элементов, на каждом из четырех мест
может стоять 0 или 1, поэтому всего различных комбинаций из четырех
нулей и единиц 2x2x2x2 = 16 вариантов); перенумеруем их:
F$) Ла14; F«) АлВ; F7) XaIB;
F8) 14аВ; F9) IAaIB; Fio) A;
Fn) В; Fi2)U; Fi3) IB;
F14) (4aB)v(Ua)B); F1S) (4a1B)v(14aB);
Fie) AvB; Fn) XvlB; Fig) UvB;
F19) UvlB; Fjo) AvlA.
Таблицы истинности д ля Fu и Fi$ уже найдены; для всех остальных
формул они почти очевид ны - выпишем их:
A в Fj F« f7 Fg f9 Fio Fn Fn
1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1
A в Fb F14 Fn Fw F17 Fig F19 F20
1 1 0 1 0 1 1 1 0 1
1 0 1 0 1 1 1 0 1 1
0 1 0 0 1 1 0 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 1 1
Заметим, что таблица истинности дд^Рцуовпадает с таблицей истин-
ности д ля эквивалентности (А *В), а д ля Fig - с таблицей истинности
для импликации (ЛэВ), и перейдем к определению и исследованию рав-
носильности логических формул. Цель - приведение формул к макси-
мально простому виду.
§1. Алгебра логики
207
Равносильность формул. Логические законы
Равносильные и эквивалентные формулы; примеры (77). Логический закон; свод
наиболее важных логических законов; об обосновании логических законов (78).
Равносильные преобразования, теорема о замене; примеры (79). Нормальные
формы, дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формулы и формы (ДНФ и
КНФ); приведение к ДНФ и КНФ; критерий истинности и ложности логической
формулы; примеры; двойственность логических, формул; альтернатива,
логические формулы, связанные с альтернативой; несовместные высказывания;
конституанты; совершенные ДНФ (СДНФ); примеры (80)
77. Равносильность и эквивалентность формул. Логические форму-
лы f(Ax....Ля) и g(Ax.....Ля) называются равносильными, если при
всех истинностных значениях переменных А},...»А„ они одновременно
истинны или ложны.
Непосредственно из определения эквивалентности следует, что фор-
мулы равносильны тогда и только тогда, когда формула ,..., А„)
sg(^|,..., Ля) истинна при всех значениях переменных (тождественно
истинна).
Равносильность двух формул сокращенно записывается с помощью
символа <=>: f(At,..., А„) <=> g(A,..Ля). Символ о - это символ
языка исследователя, а не алгебры логики.
Предположение о том, что исследуемые на равносильность формулы
зависят от одних и тех же переменных, не является ограничительным:
если они зависят от разных переменных, то переменные можно объеди-
нить и считать, что каждая формула зависит от всей совокупности пере-
менных, просто истинностные значения добавленных к каждой формуле
переменных не влияют на значение формулы.
Пример 53. Доказать равносильность следующих формул:
1) Xvl4<=>BvlB, 4) AvBoBvA,
2) Ал1А <=>Вл1В, 5)
3) ПЛ <=>Л, 6) AmB^IAvB.
208
Глава IH. Другие алгебры
Доказательство. Нетрудно проверить, что обе формулы в 1 тождес-
твенно истинны, в 2 - тождественно ложны; равносильность формул в 5
и 6 проверена при вычислении таблицы истинности для FH и Fig. Для
подтверждения 3 и 4 выпишем таблицы исрйнности:
(1 А)
1 0 0 1 1 0
А в V
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
в А V
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0. 0
Таким образом, равносильность формул в 3 фактически очевидна, рав-
носильность формул из 4 сразу усматривается из приведенных выше
таблиц истинности: любые комбинации значений А и В приводят для
обеих формул к одинаковому результату.
Формулу -dvl-d будем обозначать символом V, формулу Лл1 А -симво-
лом О; V и О не зависят от переменной А и обозначают любую из рав-
носильных тождественно истинных или тождественно ложных формул
соответственно.
78. Логические законы. Любая тождественно истинная (т.е. истин-
ная при любых истинностных значениях переменных) формула называет-
ся общезначимой формулой или логическим законом.
Теорема 1. Справедливы следующие логические законы.
Al. I.j4v(BvQ я (4vB)vC.
А2. l.Ax/B&BvA.
АЗ. I. OvB = B.
А4. 1.Ал(Вч(^ = (АлВ)\/(АлС).
А5. I. (4vB)aB я В.
1\.Ал(ВлС) я (ЛлВ)лС.
П.ЛаВяВаЛ.
П.УлВяВ.
II. Av(BaC) я (AvB)a(AvC).
II. (4aB)vB*B.
Доказательство заключается в проверке равносильности правой и ле-
вой части каждой эквивалентности. Мы его проводить не будем.
Утверждение «данная формула А является логическим законом* - это
то же самое, что и утверждение «формула А яУ истинна».
Часто используется еще один вид символьной записи высказывания
«данная формула А является логическим законом»: I” А. Символ I—
является символом языка исследователя (метаязыка). Так, например, с
помощью этого символа равносильность формул А и В может быть за-
писана в виде |= Л яВ.
§1. Алгебра логики
209
Отметим, что используется также (в метаязыке) еще один синоним об-
щезначимой формулы - «тавтология».
Указанные выше логические законы называются соответственно: А1.1 -
ассоциативность дизъюнкции, А1.П - ассоциативность конъюнкции;
A2.I - коммутативность дизъюнкции, A2.II - коммутативность конъюнк-*
ции; A3.I и A3.II - законы поглощения; A4.I и A4.II - первая и вторая
дистрибутивность; A5.I и А5.П - законы элиминаций.
Данные законы аналогичны соответствующим числовым алгебраиче-
ским законам, что объясняет термин «алгебра логики».
Отметим некоторые важные (в том числе для приложений к высказы-
ваниям естественного языка) логические законы, сгруппированные, как
принято, в соответствии с используемыми операциями.
1.Лл14«О. 3. А\ЛА»У.
2.1(14) «Л. 4.1(Ял14).
Закон Av\As\f (вдругой форме АхЛА) называется законом исключения
третьего (tedium non datur, как формулировали римляне); закон Ал]А*
®О- законом противоречия; равносильный ему закон 1(ЛлЪ4)-законом
отрицания противоречия; 1(14 )*А - законом двойного отрицания.
5. (А=>В)л(В=зС)=>(А=>С). 7. Л=>В«1В=>14.
6. 4»Вл(В«С)=Х4яС). 8. 14z>(4z>B).
В этой группе представлены: закон силлогизма (5), транзитивность экви-
валентности (6), контрапозиция (7), отрицание посылки (или акцедента)
(8). Закон силлогизма называют также гипотетическим силлогизмом,
поскольку последняя импликация верна как при истинном А, так и при
ложном. Заметим, что из закона контрапозиции сразу следует равно-
сильность высказываний А&В и 14=15.
9. 1 (AvB) в 14л1В. 10.1 (4 лВ) в IdvlB.
Это первый и второй законы де Моргана (Augustus de Morgan, 1806-71,
английский (шотландский) математик и логик, первый президент Лон-
донского математического общества). Согласно Клини [19, с.27], законы
9 и 10 в применении к высказываниям естественной речи (богословие)
можно встретить уже в трудах («Summa logicae») английского философа
и богослова Уильяма Оккама (W.Ockham, ок. 1285-1350).
Из законов 9 и 10 следуют законы де Моргана для трех и более пере-
менных: 1 (4vBvQ »14л1 (BvC) в 14л1Вл1С и т.п.
В 81-83 будут подробно обсуждены применения логических законов к
проблемам логики естественной речи.
14 - 5091
210
Глава III. Другие алгебры
Существует еще несколько десятков логических законов принципиаль-
ного характера (более 60); при желании их можно найти в [19, с.26-27].
Логические законы, связанные с импликацией, которых мы пока не ка-
сались, будут рассмотрены в 158-162. Существуют два принципиально
разных пути обоснования (доказательства) справедливости этих формул,
именуемых логическими законами. Первый путь - составление таблицы
истинности и проверка того, что рассматриваемая формула общезначима
(тождественно истинна). Но есть и другой путь: в совокупности все логи-
ческие законы не являются независимыми, на самом деле из законов
А1-А5 все остальные законы могут быть выведены (20, с.36-40] в ре-
зультате операций над высказываниями (формулами). Эти операции,
позволяющие, кроме того, упрощать логические формулы (и потому они
очень полезны для приложений), подобны алгебраическим преобразова-
ниям и будут рассмотрены в 79.
79. Равносильные преобразования. Метод упрощения логических
формул базируется на следующем несложном, но принципиальном ут-
верждении.
Теорема 2(озамене). Если f^Ax.....A„,f0(Px...PW)J-произволь-
ная логическая формула и формулы /0(Р1 Рм) и g0(Px Pm) равно-
сильны, то f(Ax...A„,f0(Px...Рш)) и /(4,...,Л,go^,...^рав-
носильны, т.е. 1= /(.4j A„,f0(P\ Л.))=/(Л >•••» Ап, g0 (^i Pj) •
Доказательство почти очевидно. Для любых истинностных значений
ех,...,ет высказываний Рх.Рт формулы f0 и g0 по условию принима-
ют одно и то же значение е0, поэтому для любых значений dx,..., d„ пе-
ременных АХ,...,А„ и ех.е„ переменных Рх.Р„ значение /(Л] ,...,А„,
f0(Px,...,Pm)) равно f(dx....<4,еь) и совпадает со значением
f(Ax...AH,g0(Px,...,Pm)).
Пять введенных нами логических операций (1, л, v, о, = ) не являют-
ся независимыми, например, рассмотрение таблиц истинности (76) для
Fu и FH уже привело нас к заключению, что иЛеВо
ЛлЖ/(1Лл]В), т.е. Az>B можем заменять в формулах на lAvB, AsB - на
(4aB)v(14a]B) - результатом будет равносильная формула. Более того,
из закона де Моргана и транзитивности эквивалентности (6) следует
§1. Алгебра логики
211
11 (AvB) = 1 (1Ла1В) <=> АvB s 1 (Ъ4а1В),
так что каждая логическая формула может быть преобразована в равно-
сильную формулу, содержащую только отрицание 1 и конъюнкцию л. С
другой стороны, согласно второму закону, де Моргана,
11 (4лВ) = 1 (14vlB) АлВ »1 (b4vlB),
поэтому каждая логическая формула может быть преобразована в рав-
носильную формулу, содержащую только отрицание 1 и дизъюнкцию v.
В соответствии с этим говорят, что (l,v) или (1, л) образуют базисы
логических операций.
Еще один важный базис: (1, э). В самом деле, (14z>B)el 14vB b4vB и
1 (Лэ1В) s 1 (UvlB) = АлВ. Этот базис является основным в исчислении
высказываний и предикатов.
Алгебре логики присуще приведение формул к виду, содержащему
только операции 1, a,v.
Пример 54. Равносильные преобразования.Показать,что
1. 1= АлВ Z3 AvB.
2. A bB«>(14vB)a(4v1B).
3. Я = В <=> (Л оВ)л(Вп4).
4. 1= (14г5В)л(Ъ4=1В)=14.
Решение. 1. По определению импликации, |—(4aB)z>(4vB)81(4aB)v
10 Al
v(4vB) 8 (]Av\B)vAvB 8 1Bv(T4v4)vB в IBvVvB 8 V. Здесь и далее сим-
вол сверху над знаком эквивалентности - это номер использованного
логического закона.
А4.П
2. Как было установлено, А (4aB)v(L4a1 В) s ((4aB)vL4)a
A2.I А4.1
a((^aB)v!B Ж (W(4a8))a(1Bv(4aB)) 8 ((1?1v4)aC^vB))a((1Bv^)a
АЗ A2
a(1BvB)) 8 (1?1vB)a(1Bv4) s CL4vB)a(4v1B). В цепи эквивалентностей
все соседние эквивалентности тождественно истинны, поэтому в силу
транзитивности эквивалентности (6) 1= (b4vB)A(4vlB)8(4AB)v(L4AlB),
или иными словами (1/(vB)a(4v1B)<=>(4/^)v(1/(a1B), следовательно,
А ж В <=> ( X4vB)a(4v1B).
3. Как было установлено, Ai>B<^>\AvB и Brx4<=>]Bv4, а А&Во(}АчВ)л
a(1Bv4), следовательно, по теореме о замене ЛжВ <=> (4=>В)а(2£з<4). Эта
равносильность формул алгебры логики тождественна всем понятной
14*
212
Глава III. Другие алгебры
формулировке естественного языка «если из утверждения А следует ут-
верждение В и из В следует А, то А нВ эквивалентны».
4. По определению импликации и теореме о замене,
2
(14=>B)a(B=>B)zv4 s (1(14)vB)a(1(14)v1B)=i4 « 1 ((4vB)a(4v1B)M я
10 9 А4
я (1 (4vB)vl (4v]B))v<4 = (14a1B)v(L4aB)v4 = (L4a(1BvB))v<4 я L4vA я
eV, т.е. исследуемая формула истинна.
Эта формула - обоснование доказательства от противного: если из ]А
следует и В, и 1В, т.е. отрицание А приводит к противоречию, то А ис-
тинно.
В' заключение этого примера заметим, что доказать равносильность
формул А и В - это то же (77), что доказать общезначимость эквива-
лентности Л=В (т.е. I— Л«В). Мы будем производить равносильные пре-
образования в обеих формах.
Пример 55.
1. Доказать закон контрапозиции ЯоВ <=> 1В=>1Л.
2. Из первого закона де Моргана получить второй.
Решение. 1. iBblA^lBvlA^IAvB^A^B.
2. Применив первый закон де Моргана к событиям 1А и ]В, получим
2
1 (1 Av1B)sAaB <=> 1 ("i (14v]B)) »1 (ЛлВ) о MvlB = 1 (ЛаВ), что и тре-
бовалось, поскольку равносильность P*Q и Q*P, хотя и не отмечена
ранее, фактически очевидна (следует, например, из таблицы истинности
или из вида замены эквивалентности на комбинацию 1, v, л).
80. Совершенные нормальные формы. Элементарной дизъюнк-
цией (соответственно конъюнкцией) назовем логическую формулу, со-
стоящую только из дизъюнкций (конъюнкций) переменных или их отри-
цаний.
Примеры элементарных дизъюнкций: AvBv] С, Av] CvlA. Примеры
элементарных конъюнкций: Ал]С, Ал]ВлСл]А.
Элементы (т.е. переменные или их отрицания) в элементарной дизъ-
юнкции (конъюнкции) принято называть слагаемыми (соответственно
множителями).
Теорема 3. Чтобы элементарная дизъюнкция (конъюнкция) была
тождественно истинной (соответственно ложной) необходимо и доста-
точно, чтобы в ней содержалось хотя бы одно переменное вместе со сво-
им отрицанием (т.е. пары Pv]P и Рл]Р соответственно).
Доказательство этого утверждения несложно, при желании его
можно найти в [21, с. 50-51 ].
§1. Алгебра логики
213
Возвращаясь к формуле ^v(BaQv(1Bv!4) (76), можно вьщелить из
нее элементарную дизъюнктивную составляющую Av\Bx7\A, которая в
силу коммутативности равносильна (4vl4)vlB, а поскольку A v!4»V, то
V поглотит все остальные составляющие дизъюнкции, поэтому резуль-
тат действительно очевиден: I” 4v(Ba0v(1Bv14)»V.
Дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формулой назовем
логическую формулу, состоящую из дизъюнкции (конъюнкции) элемен-
тарных конъюнкций (соответственно дизъюнкций).
Дизъюнктивная нормальная формула, эквивалентная данной формуле,
называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) данной формулы.
Аналогично определяется конъюнктивная нормальная форма (КНФ).
Пример 56 (21, с.53]. НайтиДНФ и КНФдля формул:
1.А»В.
2.1 (4vB) »4лВ.
Решение. 1. Согласно F14, формула (4aB)v(14a1B) есть ДНФ экви-
валентности, a (14vB)a(4v1B) - ее КНФ (пример 54.2).
2. Заменив на Fn, получим 1 (4vB) АлВ о 1 (4vB)a4aBv(4vB)a
9,10 А4
а!(4аВ) <=> (14a!B)a4aBv(4vB)a(14vlB) <=> (4a1B)v(14лВ), в последнем
равносильном преобразовании использована эквивалентность ОлС«О
д ля любой логической формулы С.
Для КНФ используем КНФ эквиваленции:
9,10
1(4 vB) *АлВ <=> (11 (4vB)v(4aB))a(1 (4vB)vl (4аВ)) о
А5Л
<=> (4vBv(4aB))a((14a1B)v1Av1B) <=> (4vB)a(14v1B).
Теорема .4. Для каждой логической формулы существуют ее дизъ-
юнктивная и конъюнктивная нормальные формы.
Доказательство этой теоремы может быть быстро получено ([21,
с.51-52] при помощи равносильного преобразования данной формулы в
формулу, содержащую только знаки 1 a,v.
ДНФ и КНФ являются удобным аппаратом для определения истинно-
сти или ложности сложных формул без составления полной таблицы ис-
тинности (если в формуле п переменных, то всего в таблице будет 2”
комбинаций их истинностных значений, которые надо применить ко всем
логическим операциям-тяжкая процедура) согласно критерию, сформу-
лированному в следующей теореме.
Теорема б. Для того чтобы логическая формула была тождественно
истинной, необходимо и достаточно, чтобы:
214
Глава III. Другие алгебры
- либо ее ДНФ имела хотя бы одно слагаемое V или пару вида (A vL4);
- либо каждый множитель ее КНФ имел в числе слагаемых по крайней
мере одну пару слагаемых вида Ач1А (и следовательно, был тождествен-
но истинным).
Теорема 5'. Для того чтобы логическая формула была тождественно
ложной, необходимо и достаточно, чтобы:
- либо ее КНФ имела хотя бы один множитель О или противоречивую
пару вида (Лл]Л); '
- либо каждое слагаемое ее ДНФ имело по крайней мере два противоре-
чивых множителя вида Лл] А (и, следовательно, было тождественно
ложным).
Кроме тождественно истинных и ложных логических формул сущест-
вуют и формулы, принимающие разные истинностные значения при раз-
личных истинностных значениях переменных. Формула, не являющаяся
тождественно ложной, называется выполнимой. Определение истинно-
стного характера логической формулы называется проблемой разреше-
ния. Заметим, что исключительно важная задача проверки непротиворе-
чивости различных законодательных актов также является проблемой
разрешения. Теорема 5 (критерий истинности) и двойственная ей теоре-
ма 5' (критерий ложности) указывают алгоритм решения проблемы раз-
решения. Так, например, согласно критериям, все формулы из примера
56 выполнимы.
Пример 57. Выяснить, выполнимы ли следующие формулы:
1. Bv(4a1B)v(1Ja1B).
2. (4aBaC)v(14a]BaC)v(4a1Ba1C).
A4.I
Решение. 1. Bv(4a1B)v(1<4a1B) о Bv1Ba(4vL4)<=>Bv|B, следова-
тельно, и ДНФ, и КНФ этой формулы будет V.
2. Эта формула уже представлена в ДНФ и, согласно критерию 5', бу-
дет выполнимой (такой же ответ на основании приведения формулы к
КНФ можно найти в [21, с. 55]). Один из множителей КНФ данной
формулы имеет ввд ^vlBvlC, поэтому формула не является общезна-
чимой (тождественно истинной).
Укажем несколько полезных для приведения к нормальным формам
законов поглощения.
11.1- АчАлВ я А. 13.1- Ач(\АлВ) *АчВ. 15.1- Hv(4a5) 14vB.
12. \-Ал(АчВ)*А. 14. |-Яа(1/КВ)»ЯаЯ. 16.|-14a(4v5)«X4aB.
Или в форме равносильности: АчАлВоА (11) и тд. Доказательства их
весьма просты.
$1. Алгебра логики
215
Теоремы 5 и 5' были названы двойственными - этот эпитет не случаен.
Операция а двойственна по определению операции v и наоборот.
Формулы f(At....А„) и /*(А}....Ля), включающие в себя только
символы 1, a, v, называются двойственными, если одна получается из
другой заменой каждой операции на двойственную.
Примеры: если формула /(А,В,С) определена как (4v1B)aBaC, то
f*(A,B,C) есть формула (4a1B)vBvC; если формула /(4,...,Л4) оп-
ределена как 1(41у42)л(14з^41лЪ44), то f*(At,...,A4) - этоформула
1(4ia42)v(U3a4iv1A4), и т.п.
Теорема 6 (принцип двойственности). Справедливы утверждения:
О если I- 1/(4,..., 4,), то .......14,);
2) если I- /(4..А„), то I- 1/(14.......1ЛЯ);
3)если 1-/Ц..4,)«g(4,...,4,),To |-/*(4,...,4n)s /(4,...,4Я);
4)если |-/(4,...,4)=g(4,...,4),To I- /(4»...,4,)э/(4»...,4,)
(натуральный параметр п, конечно, произволен). Утверждения 1 и 2 мо-
гут быть заменены на утверждение 1 /(4.4.) <=>/*(14.—,14,,). а ут-
верждение 3 на утверждение: если /(4j,...,4„)» g(4,”-»4)> то
Альтернативой или разделительной дизъюнкцией высказываний А и
В называется формула (4vB)a1 (ЛаВ), т.е. или Л, или В, но не оба вместе.
ДНФ альтернативы будет формула (4a1B)v(14aB) (FiS), а КНФ-фор-
мула (4vB)a(1Av1B). Альтернативу высказываний А и В будем обозна-
чать А ФВ.
Из законов де Моргана следует, что А ФВ о 1(4мв) или, иными слова-
ми, 1(4 Ф В)АяВ, т.е. альтернативу можно интерпретировать как ха-
рактеристику неэквивалентности высказываний.
Справедливы следующие логические законы, связанные с альтернати-
вой:
Al*. I- ЛФ(ВФС)«(4ФВ)ФС.
А2+. I- АФВяВФА.
А3+. I- ОФЛ»Л.
А4+. I- 4Ф4-0.
Таким образом, Ф является аналогом алгебраической операции сложе-
216 Глава III. Другие алгебры
ния, ложное высказывание О - нулем этой операции, а согласно А4+,
каждое высказывание себе обратно по операции Ф.
Кроме того, операции Ф и л связаны законом дистрибутивности:
А5+. 1= Лл(ВФС) = (4лВ)Ф(ЛлС).
Таким образом, по своим свойствам операции Фил являются анало-
гами сложения и умножения на множестве целых чисел.
Высказывания А и В называются несовместными, если |=ЛлВжО.
По определению, А Ф В о AvB для несовместных высказываний.
Дизъюнкцию несовместных высказываний принято называть суммой. По
соглашению о порядке выполнения действий, суммирование производит-
ся после конъюнкции.
Для произвольного высказывания Л положим Л ° <=> Ъ4 иЛ’оЛ.
Предположим, что фиксированы произвольные высказывания Ах...А„
(л также произвольно).
Каждую элементарную конъюнкцию А^л.. , где <4=0,1,к= 1,..., л,
назовем конституантой высказываний Ль ...,А„ (используется также
более д линное название - совершенный конъюнктивный член).
Так, например, Л’^.учЛ’ <^Л1Л...лЛя, А°л...лА° <=> (ТЛ1)л...л(1Ля),
Л® лЛгА-.учЛ’ <=> (1Л1)лЛ2л...лЛя итд.
Конституанты обладают следующими свойствами:
К1) любые две различные конституанты несовместны;
К2) сумма всех конституант тождественно истинна;
КЗ) каждое At равносильно сумме всех конституант, содержащих мно-
житель А[;
К4) любая формула /(Л(.....Л„) равносильна сумме некоторого числа
конституант.
Конституанты могут быть интерпретированы как элементарные альтер-
нативы, порожденные высказываниями Ai,...,A„ (элементарные еще и в
том смысле, что не могут быть разложены ни в какую сумму альтернатив,
связанных с Л]...Ля). Поэтому они могут рассматриваться как наибо-
лее детальные элементы логического анализа, что может быть особенно
важно д ля законодателей, правоведов или практикующих юристов.
Представление согласно К4 логической формулы в форме суммы кон-
ституант называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой
(СДНФ) данной формулы.
Пример 58. Привести к СДНФ формулы:
1) Av(Ba(/1v1B));
§1. Алгебра логики
217
2) AvB;
3) AvBvC;
4) (4iv42)aCL41aX42V^3)vX43v((41v^2)a(44v^5)).
A4.I А5Л
Решение. 1. Hv(Ba(4v1B)) о >1v(4aS)v(Ba1B) <=> A.
А2.П
2. Согласно КЗ, имеем А oAaB&AaVJ, ВоВаА ФВл14, откуда AvB<=>
<эАлВ Ф Аа1В Ф "]АлВ.
3. Аналогично п.2 имеем А<2>АаВаСФАаВа']С®Ал"\ВлС®Аа']Вл]С и
тд., откуда АуВ\'С<^>АлВлС®АаВа']С®Аа'\ВлС®Ал']Вл~\С®'\АлВаС®
Ф14лВл1С ф 1Лл]ВлС. Таким образом, в сумме СДНФ стоят все воз-
можные комбинации переменных, исключая слагаемое Ъ4л1Ва1С, кото-
рое, согласно закону де Моргана, равносильно 1 (4vBvC).
А4
4. (4iv42)a(T4ia142v43)v143v((4iv<42)a(44aX5))<^ (4ia'|Ai/v42)v(<42a‘Ui
a142)v((4iv42)aA3)v‘|43v((4iv42)a(44a45))<^((i4iv<42)aA3)v143v((4iv42)a
16 AS
a(44v45))»1 ^3v(4iv42)v(4iv42)a(44v45)<=>>11vj42v1 Л3. Согласно п.З,
последняя формула равносильна СДНФ, в которой участвуют все кон-
ституанты, кроме 1Л1а142а4з.
В реальных задачах большинство конституант ложны, поэтому в СДНФ
остается не слишком много слагаемых. Только в случае, когда информа-
ция, содержащаяся в высказываниях Ai, ...,Аъ существенно различна,
независима, все конституанты выполнимы.
Возможно и приведение формулы к конъюнктивной нормальной форме
[21, с.62].
Применение к задачам естественного языка.
Анализ рассуждений
Теоремы, связанные с данной, необходимые и достаточные условия; закон доста-
точного основания и его применения; проверка версий; особенности материальной
импликации; применение алгебры логики для решения сложных (запутанных) в ло-
гическом отношении задач (81). Об ограниченной применимости средств алгебры
логики для решения задач естественного языка, примеры (82). О недостаточности
средств алгебры логики для решения задач естественного языка, примеры; о
высжазывательных функциях и предикатах (83)
81. Общезначимые применения алгебры логики. В данной главе вы-
сказывания и операции над ними рассматривались преимущественно с
алгебраической точки зрения, по крайне мере, акценты были расставле-
ны именно так. Однако исторически логика высказываний появилась
прежде всего для разрешения проблем, возникавших в процессе че-
ловеческой деятельности, - политических, правовых, морально-этичес-
218
Глава III. Другие алгебры
ких. Подробно об этом будет рассказано в гл-VI. Здесь мы применим не-
которые результаты алгебры логики для точного формулирования или
решения вполне реальных задач.
Пример 59. Если посылка (условие) Л - это условие теоремы, а за-
ключение (следствие) В - заключение теоремы, то утверждение Az>B
называется теоремой.
Теорема ВзА (из В следует А) называется обратной к теореме А^зВ.
Истинность прямой теоремы не всегда влечет истинность обратной.
Примеров множество - приведем три. 1. Из школьного курса геометрии:
теорема «если два угла вертикальны, то они равны» верна, а обратная -
«если два угла равны, то они вертикальны» очевидно неверна. 2. Из
арифметики: утверждение «если целое число оканчивается на нуль, то
оно делится на 5» верно, а обратное утверждение «если число делится на
5, то оно оканчивается на 0» неверно. 3. Из жизни: если ограничиться
пешеходами, которые при сильном дожде открывают зонт, то утвержде-
ние «если пойдет сильный дождь, то пешеход откроет зонт» будет ис-
тинным, чего нельзя сказать об обратном утверждении «если пешеход
откроет зонт, то (всегда) пойдет сильный дождь*-
Теорема Ъ4э1В называется противоположной теореме AzzB. Согласно
закону контрапозиции, она равносильна обратной теореме В~зА, т.е. ис-
тинность противоположной теоремы равносильна истинности обратной
теоремы. Утверждение 1 Bz>]A называется теоремой, противоположной
обратной; она равносильна прямой теореме согласно закону контрапо-
зиции, т.е. истинность прямой теоремы равносильна истинности проти-
воположной обратной теоремы.
Если при анализе истинности предположения А»В оказывается спра-
ведливой теорема Az>B, то условие А называется достаточным (оно дос-
таточно для истинности В\, если верна обратная теорема, то условие А
называется необходимым (при истинности В необходимо, чтобы А также
было истинным); наконец, равносильность А и В означает, что верны
как прямая теорема, так и обратная.
Следующий пример -простейшая иллюстрация закона двойственности.
Пример 60 [19, с.77]. «Если бы он ей не сказал [1С], она ни за что
не узнала бы [1У]. А не спроси она его [ТВ], он бы и не сказал ей. Но она
узнала. Значит, она его спросила».
Решение. В квадратных скобках заключены обозначенные русскими
буквами высказывания естественного языка. В символах логики выска-
зываний условие и заключение могут быть записаны виде (1С=>1У)л(1Во
=>1С) э (СэВ) («из того, что она узнала, следует, что она его спросила»).
81. Алгебра лентам
219
Из двух контрапозиций 1С:э1УоУэС и IBdIC <=> Cz>B следует, что
(1СЫУ)л(]Во1С)о(Уз>С)а(Сз>В). Закон гипотетического силлогизма
(5,78) означает общезначимость рассматриваемой логической формулы,
что и требовалось доказать.
Условие задачи может быть сформулировано и в несколько иной фор-
ме: ((1Со1У)л(1Вг>1С)л(Уи¥))г>В. Последние д ве фразы трактуются так:
если У истинно, то из всего сказанного следует, что она его спросила.
Покажем, что в такой форме утверждение примера 60 также верно. Сна-
чала заметим, что (УмУ)»(У:эУ)л(УэУ)<э(1У\/¥)л(1^У)»УлУ«эУ.
Затем, заменив импликации дизъюнкциями, получим ((1Сэ1У)а(1Вэ|С)а
л(У=¥))<=> (1 YvC)a(Bv1 С)лУ (1 УлВ vl Ул1 С v ВлС)лУ <=> ВлСлУ.
Следовательно, по теореме о замене и закону де Моргана, ((1Сэ1У)л
A(lB=>lC)A(y«V))=B»(BACAy)=>B»l(BACAy)vB»lCviyv(lBvB)<»
<*V.
Пример 61. Закон достаточного основания. Если из А дос-
товерно следует В и А истинно, то и В истинно.
С юридической точки зрения справедливость этого утверждения может
быть интерпретирована так: если основания (улики) А достаточны для
заключения о виновности и улики собраны (основания подтверждены),
то обвиняемый виновен.
Решение. Выделим три результата, которые будут доказаны в процес-
се решения.
1. I” Ал(4=>В)^В - общезначимость этой формулы означает верность
самой схемы рассуждений в формулировке закона (логическую коррект-
ность аргументации обвинения).
2. Если Az>B»V и А*У, то B»N - формулировка закона на языке ло-
тки (предметном языке).
3. Если Ло«¥ и (j4ov4i2B)mV, то (Л1=эВ)«¥. Интерпретация: если в
совокупности Ао или Ai являются достаточным основанием и установле-
но, что Ао ложно, то основание Аг достаточно для обвинения; поэтому,
согласно п.2, его истинность повлечет обвинительный приговор.
4. I- (ЛоУ41=эв)лХ4оэ(Л1эв) - схема рассуждений в п.З правильна.
1. По определению, А=»В <=>1А\/В, поэтому Лл(Лз>В) сэЛаС1 >lvB) <=>
А4
« (4л1 Л )vzl лВ<=>ЛлВ, следовательно, Ал(АзВ)=>В^АлВзВ^1 (AaB)v
9
vB €>1.4v(15vB)<»V. Замена'части формулы на эквивалентную спра-
ведлива согласно теореме о замене.
2. Если А «V, то ^z3B<=>14vBe>OvB оВ, поэтому Л=эВ«¥ «>В«У.
220
Глава III. Другие алгебры
3. Если Ло=¥, то AovA^B<=>AiZ>B, следовательно, (AovAi)^BaiV<^
о(Л1оВ) = У.
118
4. Сделаем равносильные преобразования: (j4ov4]^B)a14o<=>(1(^ov4i)v
А2.П А4
vB)a!H0 <=> 1Лол((Ъ4оа1Л1^В)»Ъ4ол(Ъ4оаЪ41^ (]HoAB)«>(b4oAT4i)v
9
А4
v(14oaB) о ]Xqa(‘L4ivB)«>'L4oa(4iZ)B). А поскольку DaFz3F<*\(DaF)\/F&
olDv(lFvF)oV для любых формул D и F (фактически это уже доказа-
но в п.1, то Ъ4ол(41ЭВ)=>(<410В)вУ.
Пример 62. Проверка версий. Если две альтернативы
(несовместные по определению) исчерпывают все возможности и досто-
верно известно, что первая альтернатива Л1 влечет следствие В, то в
случае, когда установлено, что Ао ложна, заключение (следствие) В
можно признать верным.
С юридической точки зрения справедливость этого утверждения явля-
ется строгим обоснованием практики косвенного доказательства версии
и достоверного заключения из нее.
Решение. Выделим два результата, которые будут доказаны в процес-
се решения.
1. Ao®Ai*V=>Ai»1Ao, таким образом, если Ао ложно, тоЛ] истинно.
2. Если ЛоФЛ1»¥ иЛ1эВ»¥,то £¥-непосредственное утверждение.
1. Выполним равносильные преобразования:Ло®Л1®¥<=>(4о®Ло)ФЛ1«
Л0Ф¥, но Л0ФЛ0«О и Ло®¥<=>(Лол1¥)\/(¥лТЛо)<=>(^ТЛо<=>'1Ло, от-
куда Ло®Л1«¥оОФЛ1«1Ло<=>Л1 и1Ло.
2. Если Ао ложно, то А, в¥ согласно п.1 и в силу закона достаточного
основания В истинно.
Некоторые следствия из примеров 61 и 62.
1. Правило проверки версий остается справедливым в случае, когда
альтернатив больше двух: последовательное исключение ложных аль-
тернатив выявит единственную верную. Доказательство состоит либо в
последовательном применении рассуждений примера 62, либо в исполь-
зовании метода математической индукции (90).
2. Полнота альтернатив (отсутствие иных) является обязательным ус-
ловием справедливости заключения и самого утверждения. Пример из
известного телефильма «Место встречи изменить нельзя»: следователь
делает заключение о виновности подозреваемого (И.С.Гвоздев\
С.Ю.Юрский) из условия совпадения времени убийства и времени тран-
si. Алгебра логики
221
сляции футбольного матча (сосед ввдел подозреваемого во время транс-
ляции по радио футбольного матча), но не проверяет альтернативу -
трансляцию другого матча в другое время.
3. Результаты примеров 61 и 62 говорят о причинно-следственных, а не
временных связях высказываний или событий. Так, многократно повто-
ряемый в учебниках пример: однажды древние римляне видели ворону,
каркавшую справа, и проиграли битву, в другой раз - слева, и выиграли,
из чего сделали заключение, что карканье вороны справа - предвестник
поражения, а слева - победы [ 19, с.28], является примером суеверия, а
не жизненного применения закона достаточного основания. Единичный
эксперимент никоим образом не является достаточным основанием для
подтверждения справедливости гипотезы. В этих событиях есть только
одна достоверная связь - временная: одно событие произошло после
другого, но «вслед-не значит вследствие».
Заметим, что Светоний (Гай Светоний Транквилл) в книге «Жизнь
двенадцати цезарей» приводит замечательные примеры того, как Боже-
ственный Юлий остроумно обращал дурные приметы в свою пользу.
В этом следствии, третьем и последнем, мы столкнулись с необходимо-
стью анализа внутренней структуры высказываний, что выходит за рамки
предмета логики высказываний. Говоря об этих же проблемах, следует
упомянуть об одной особенности импликации: таблица истинности гла-
сит, что импликация истинна в случае ложности посылки вне зависимо-
сти от характера заключения («из ложного следует любое»). Так, пусть
А - высказывание «мука сделана из зеленого сыра», а В-«2+2=5». То-
гда, формула АнВ будет истинной, хотя между А и В нет никакой смы-
словой связи. Точно так же, если В - это «2+2=4», то АиВ истинна...
Некоторые авторы считают это парадоксом [19, с. 19].
Известна также шутка Бертрана Рассела (о его трудах мы много будем
говорить в гл.У!) на эту тему. Когда его попросили, пользуясь тем, что из
ложного высказывания следует любое, показать, как из утверждения
«5=4» следует, что он - папа римский, Рассел ответил: «О, это не труд-
но: из 5=4 тотчас следует, что 2=1. Папа и я образуем двойку, стало быть,
мы одно и то же».
Напротив, согласно таблице истинности, если заключение В истинно,
то импликация истинна вне зависимости от смысловой связи с посылкой
А или истинностного значения посылки. Например, импликация «из то-
го, что (у льва есть когти [4]), следует, что (снег белый [В])» [21, с. 38]
истинна, поскольку В истинно, хотя по смыслу между когтями льва и
цветом снега нет ии причинно-следственной, ни смысловой связи
222
Глава III. Другие алгебры
(уточним, что высказывание В следует понимать как «чистый снег бел »).
Подводя итог, наверно, более естественно было бы считать, что ука-
занные примеры свидетельствуют не о «парадоксальности*, а о том, что
сама логика рассуждений верна (вот в чем истинность импликации), од-
нако смысл и логическая связь высказываний естественного языка не
всегда доступны средствам анализа формальной логики высказываний.
Отличие естественного языка от языка логики высказываний про-
является также в том, что все термины и конструкции алгебры логики
однозначны и точны, а интерпретации результатов алгебры логики мно-
гообразны. Например, импликация имеет не менее трех возможных
интерпретаций, несовместные высказывания называются также в ин-
терпретациях противоположными, или противоречащими друг другу, или
контрадикторными, или несовместимыми. В тексте были и будут другие
подтверждения этой многозначности, которую можно сравнить с перево-
дом текста с одного языка на другой - к переведенному значению всегда
указывается рад синонимов.
Заметим в связи с этим, что выражение «Л, только если б» переводит-
ся на язык математической логики формулой ЛоВ (т.е. В необходимо), а
конъюнкция АлВ является также символической записью выражений
«не только Л, но и В», «В несмотря на Л », «Л, в то время как В».
Пока что все наши строгие результаты имели очень ясный интуитив-
ный смысл.
Не осмелимся утверждать, - пишет С.Клини, - что, узнав формулировку контрапозиции в
виде «логического закона», мы можем намного легче И уверенней, чем раньше, разбираться
в (сложных логических) ситуациях... Как бы ни относиться к вопросу, возрастают ли наши
способности наход ить верные доводы в результате изучения логики или нет, бесспорно, что в
результате изучения логики увеличивается возможность проверять правильность предложен-
ных рассуждений. Ведь ланка дает методы анализа рассуждений... путем фиксации вида
корректных рассуждений (теория доказательств). Поэтому к формальной логике можно при-
бегать для установления справедливости нашего рассуждения или с тем, чтобы найти в нем
ошибки, если есть риск запутаться.
Добавим, что в судебных делах, когда от решения зависят судьбы лю-
дей, правильность рассуждений во многом определяет выводы и решение
суда, поэтому одной только пользы проверки, указанной Клини, доста-
точно с лихвой. Но подробно рассмотренные в этом параграфе методы
преобразований и упрощений логических формул и разбиения на консти-
туанты позволяют значительно уверенней разбираться и в запутанных
логических ситуациях. В подтверждение рассмотрим классический при-
мер немецкого логика XIX в. Эрнста Шрадера (E.Schrtkier, 1841-1902)
из его «Лекций по алгебре логики» (Voriesungen Ober die Algebra und
Logik. Leipzig. 1890-1905. Bd I-Ш.). .
§1. Алгебра логики
223
Пример 63. «Один химик, имея в виду обосновать на этом дальней-
шие умозаключения, сказал: «Соли, которые не окрашены, суть соли,
которые не являются органическими соединениями, или суть органиче-
ские соединения, которые не окрашены». Другой химик оспорил это ут-
верждение. Установить, кто прав».
Решение. Хотя приведенное высказывание химика не является запу-
танным, оно требует формализации в ваде простых высказываний, со-
единенных логическими связками, для того чтобы мы оказались в «поле
действия» методов логики высказываний и смогли воспользоваться ее
результатами. Рассмотрим три простых высказывания:
А: «некоторое вещество есть соль»;
В: «некоторое вещество есть органическое соединение»;
С: «некоторое вещество окрашено».
Тогда высказывание «соли не окрашены» - это (Лл1С); высказывание
«соли, которые не являются органическими соединениями» формализу-
ется высказыванием (4л1В); неокрашенные органические соединения -
это (Вл1С), а связка «суть» более точно формализуется связкой «тогда
будут», т.е. импликацией. Итак, нам следует проверить общезначимость
(тождественную истинность) сложного логического высказывания
(формулы)
(A a1Q=>((Aa1B)v(Ba1C)).
Заменим импликацию (Fig) и применим формулу 12 (80):
П»
v(Fa!£>), получим (A a!C)Z5((4a1B)v(Ba1C))«^1(4a1C)v(4a1B)v(Ba1C)
10 А2 12
о (14 vQv(4a1B)v(Ba|C) о (14v(4a|B))v(CVBa1C) о (HvlB)vBvC <=>
о 14v(]BvB)vC о V.
Итак, первый химик был прав, а оспоривший его утверждение ошибся.
Подробнее об анализе рассуждений с помощью логики говорится в
§1 гл.VI.
82. Об ограниченной применимости средств алгебры логики
1. О недостаточности в алгебре логики прямых средств д ля выяснения
следования событий друг за другом по времени уже говорилось в связи с
особенностью материальной импликации.
2. Коммутативность дизъюнкции 4vBoBv4 представляется бесспор-
ным фактом, однако следующий пример [19, с.82] свидетельствует о не-
учтенных особенностях: фразы «У Джейн родился ребенок, и она вышла
замуж» и «Джейн вышла замуж, и у нее родился ребенок» будут пони-
маться знакомыми Джейн по-разному. Здесь неучтенные алгеброй ло-
224
Глава III. Другие алгебры
гики особенности связаны со следованием событий друг за другом по
времени: обычно человек считает, что в сложносочиненном предложе-
нии первая фраза предшествует второй по времени - с этой особенно-
стью надо считаться.
3. Высказывание .«А, если не В» выражается в языке алгебры логики
как]1£з4 («если не В, toA»)<^TIBvA c>BvA. Однако высказывание «Я
не приду, если она не извинится» отличается от высказывания «Она не
извинится, если я не приду» (1Л=>В <=> AvB) [ 19, с. 82].
Таким образом, мысль перевести рассуждения «под юрисдикцию» ал-
гебры логики (т.е. в ее язык) и затем с помощью науки решить все про-
блемы (ср. с идеями Лейбница, 157) естественна, но требует точности. А
есть случаи, когда это вовсе невозможно. Рассмотрим один из примеров.
4. Логический закон противоречия Ал] А «О не вызывает сомнений.
Однако известные строки французской поэтессы Луизы Лабе (ок. 1525-65)
Живу и гибну, и горю дотла,
И замерзаю - не могу иначе.
От счастья я в тоске смертельной плачу.
Легка мне жизнь, легка и тяжела,
а также стихотворение римского поэта Гая Валерия Катулла (ок. 87-54
до н.э.)
И ненавижу ее и люблю. «Почему же ?»-ты спросишь. 4
Сам я не знаю, нотах чувствую я-и томлюсь
(пер. Ф. Петровского) или в переводе Адриана Пиотровского
Да! Ненавижу и вместе люблю. - Как возможно, ты спросишь?
Не объясню я. Но так чувствую, смертно томясь
неподвластны «юрисдикции» математической логики, и предмет их -
предмет поэзии, а не математики. Они вндвь напоминают нам о «гар-
мониях, недоступных систематическому анализу».
83. О недостаточности средств алгебры логики (логики высказыва-
ний). Начиная параграф, посвященный алгебре логики, мы условились
не касаться внутренней структуры высказываний. Однако анализ внут-
ренней структуры позволяет построить логическую теорию, более со-
держательную, чем логика высказываний. Эта теория называется исчис-
лением предикатов. Необходимость анализа структуры высказываний
проиллюстрируем двумя примерами.
Пример 64 [22, с.60]. Однажды путешественник попал в руки жес-
токого туземного племени и был поставлен перед дилеммой: умереть от:
§1. Алгебра логики
225
яда или сгореть заживо (у Клини [19, с.224] в аналогичной задаче гово-
рится о миссионере). Чтобы сделать этот «выбор», бедняга должен был
произнести всего одну фразу - если при этом он скажет правду* то его
отравят, а если солжет - сожгут заживо.
Как осужденный сумел избежать трагического исхода?
Решение. После некоторого размышления умный путешественник
объявил: «Меня «ожгут заживо».
Теперь возможны два варианта. Если он сказал правду, то путешест-
венника надо начинать травить, но стоит приступить к этой процедуре,
как окажется, что он сказал ложь, и ее по условию надлежит прервать.
Если же путешественник сказал правду, то следует приступать к разве-
дению костра, но при попытке его сжечь окажется, что он сказал правду,
поэтому сжигать путешественника нельзя. Таким образом, после произ-
несения этой фразы, путешественника нельзя ни отравить, ни сжечь.
После того как ответ известен, решение кажется очевидным. Поэтому
значительно интереснее понять, какие соображения навели на это спа-
сительное высказывание. Соображения следующие: по условию надо бы
произнести нечто такое, чего логически нельзя выполнить, и один из та-
ких вариантов заключается во внутренней противоречивости требования
сожжения устами самой жертвы.
Более тонкий пример такого рода конструкции дает другая задача из
того же источника.
Пример 65. Дверь свободы [22, с.61-62]. Султан, державший
узника в заключении, повелел запереть его в темнице вместе с двумя
своими верными слугами, один из которых всегда лжет, а другой говорит
только правду. В комнате были две двери: «дверь свободы» и «дверь
рабства». Дверь, через которую узник захочет выйти из темницы, и ре-
шает его судьбу.
Узник имеет право задать только один вопрос одному из двух слуг. Ра-
зумеется, узник не знает, кто именно из слуг лжет, а кто говорит правду.
Может ли узник безошибочно найти способ выйти на свободу?
Решение. Может, задав вопрос: «Если бы я попросил твоего товари-
ща указать мне «дверь свободы», то что бы он мне ответил?»
В обоих случаях слуга укажет на «дверь рабства». Читателю предос-
тавляется возможность убед иться в этом самостоятельно.
Конструкция спасительных ответов восходит к так называемому пара-
доксу Эвбулвда, о котором пойдет речь в гл. IV.
Важная несообразность, о которой также следует сказать, касается
алгебраического подхода к задачам логики рассуждений естественного
'5 - 5091
226
Глава III. Другие алгебры
языка. В алгебре логики стандартом является приведение логической
формулы к формулам, содержащим только операции 1, v, а, а для логи-
ки естественных рассуждений характерной задачей (и приемом) является
исследование причинно-следственных связей, т.е. приведение к логиче-
скому базису (1, э). Это приведение и выполнено в исчислении высказы-
ваний и исчислении предикатов (§ 2 гл.У1).
И наконец, высказывание типа «весь цвет аристократии Петербурга
соберется завтра на балу у князя N* или обращение ехидного профессо-
ра к студентам на предэкзаменационной консультации «чувствую, не все
студенты вашей группы сдадут завтра мне экзамен* выходят за рамки
высказываний алгебры логики, поскольку содержат переменную: раз-
личных аристократов, о которых идет речь в первой фразе, и различных
студентов, о которых вдет речь во второй фразе. Такие высказывания
называются высказывательнымн функциями.
Анализ этих высказываний (более сложных, чем высказывания алгеб-
ры логики) восходит еще к Аристотелю и будет рассмотрен в гл.VI (164,
«Исчисление предикатов»).
§2. АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ
Множества и операции над ними: объединение, пересечение, разность, дополнение;
свойства теоретико-множественных операций, доказательство поэлементное и
алгебраическое; примеры (84). Симметрическая разность множеств и ее свойства,
алгебраическая аналогия с числами и высказываниями; булевы алгебры; конечная
алгебра множеств и конституанты (85)
84. Алгебраические свойства операций над множествами. Предвари-
тельные сведения о множествах и операциях над ними содержатся в
гл.1 (24-25). Напомним, что множество, не содержащее элементов, на-
зывается пустым и обозначается 0. Множество А содержится в множе-
стве В (обозначается Aq В), если всякий элемент из А принадлежит В,
знак с называется знаком включения; A-В означает, что AqB я Bq А.
Строгое включение Ас В означает, что Aq В и А*В, в этом случае А
называется собственным подмножеством В.
Напомним определения основных операций над множествами (25), ко-
торые запишем в компактной форме с использованием символов ло-
гики. Объединение A<jB={x; (xe4)v(xeB)}, или эквивалентно хеЛ^Во
<=> (xe4)v(xeB); пересечение АгВ={х: (хеЛ)л(хеВ)}, или эквивалентно
хёЛгВ (хеЛ)л(хеВ); разность А\В={хеА: 1(хеВ)}, илихеА\В&
о (хеЛ)лТ(хеВ). По соглашению о порядке действий, если нет скобок,
то пересечение производ ится перед объединением.
§2. Алгебра множеств
227
Если «се множества, рассматриваемые в некоторой задаче, содержатся
в некотором максимальном (по включению) множестве V, то для каждо-
го множества А^У определено дополнение У\А, которое обозначается
А' или СА. В качестве К для любой формулы можно взять объединение
всех участвующих в формуле переменных (множеств). По определению,
А \В-А п В'. Согласно определению и логическому закону противоре-
чия, А г> А' = 0. Согласно закону исключения третьего А и А’ —V (78).
Пересечение и объединение обладают следующими свойствами:
SAI. I. Ли(5иС)=(4иВКХ7.
SA2. I.
SA3. I. 04jB=B.
SA4. I. Лг>(ВоС>(4пВМ4пС).
SA5. \.(Д^В)гВ = В.
II. Лп(Вг>С)=(4г>В)пС.
II. АгВ = Вг>А.
II. УгВ-В.
II. Ли(ВпС)»(4мВ)г>(4кдС).
II. (АгВК>В = В.
Доказательства этих равенств (из них SA4.II и SA5 не имеют арифме-
тических аналогов) заключаются в проверке того, что всякий элемент
левой части равенства принадлежит правой и наоборот; это сразу следу-
ет из свойств А1-А5 для высказываний (78). Такое доказательство на-
зывается поэлементным.
Докажем, например, SA4.I. По определению, хеЛг>(ВоС) <=> (хеЛ)л
л (хеВиС). Обозначая высказывание (хе4) через А*, (хеВ) через В-,
(хеС) через С. и применив для них логический закон A4.I: А*а(В*уС<-)=
=(4.aB.)v(4« лС.), получим хе<4г»(ВиС) <=> (хеА)л(хеВоС) о (хеА)л
A((xeB)v(xeC))«> ((хе4)л(хеВ)М(хе4)л(хеС)) <=> (xe4nB)v(xe4r>C) <=>
о xe(ArB u Ar>Q.
Поэлементно (воднустроку)доказывается, что A\BqA и ЛсВ«>Лг>В=
-А. В силу А5 имеем AqA^jB, BqAkjB, AcBqA, AcBqB. To же для
строгих включений.
Дальнейшие равенства, связывающие операции над множествами,
можно доказывать как поэлементно с использованием соответствующих
логических законов, так и алгебраически, т.е. преобразовывая формулы
подобно арифметическим преобразованиям на основании свойств SA1-
SA5.
Отметим несколько простых и полезных свойств множеств: А\аА-АгА=
=Л; AcBoA^jB^B; если Лг>С=0 и АиС=У, то С-А' (свойства, опре-
деляющие дополнение); ЛсВ яА'^В' (контрапозиция); (А')' = А;
Аг>0=0аА для любого множества А, поэтому 0 является минималь-
ным множеством по включению (их доказательство очень просто, см.
например, [20, с. 37-39]).
15*
228
Глава 1Ц. Другие алгебры
Полезно иллюстрировать эти соотношения диаграммами Эйлера -
Венна (25).
Если АглВ=0, то принято писать А+B вместо AkjB.
Рассмотрим несколько примеров алгебраических операций с множест-
вами.
Пример 66. Доказать равенства:
1. А^В=А+(В\А)=В+(А\В).
2. А=В+С => С=А\В.
Решение. 1. Применив двойственную дистрибутивность SA4.II и
SA3.II, получим А^(В\А)=АиВгА' = (А^>ВУ>(АиА') -АиВ, причем
Аг,(В\А)=АгуВгА'=(АгА')гВ=0; В^(А\В)=ВиАгуВ'=(В^АУ>(Ви В')=
-A\jB итд.
SA4.I
2. По условию, Вг>С=0=>С=Сп(В+В') = Сг,В+СслВ’ =Сг\В\
т.е. СсВ'. Пересечем обе части равенства А=В+С с В', получим
SA4.I
А г, В' = {В + С)г\В' = Сг,В' = С или А\В=С.
Пример 67. Формулы де Моргана.
1. Доказать алгебраически формулу де, Моргана (Л В) = А' г> В’.
Решение. А\->ВГ\(А'г,В') = ((АоА')г>В')Ц(-4'П(Вг>В'))=0 и
А^В и(я ’^В’) (a<jB<jA’) Г}(А'иВ^В')=(УиВ) и(л \->у)=У - эти
два свойства определяют дополнение, поэтому А' г\В' = (avjb) .
Конечно, это равенство можно доказать в две строчки поэлементно с
помощью формулы де Моргана алгебры логики (77).
2. Из первой формулы де Моргана получить вторую: (ЛпВ) =
= Л’ий'.
Решение. В силу п.1 имеем (л'иВ') =(л') г>(в') «ЛпВ, по-
этому А'е» В'=((Я'иВ')') = (Аг>В) .
3. С помощью формул де Моргана показать, что А\АгВ=А\В.
Решение. А\(Аг\В) = Ап(Аг\В) = Аг,(А’иВ’) = Аг,В' = А\В.
$2. Алгебра множеств
229
* Пример 68. Доказать, что для любых множеств Аи А2, Ви В2, для
которых А 1Г\42=0, и BinB2=0,
(Л]+Я2)х (Bi+B2)=.4i xBi-h4ixB2+.42xBi+.42xB2,
где х - знак прямого произведения (25).
Решение. Напомним, что сначала выполняется прямое произведение,
а потом пересечение и объединение. По определению прямого произве-
дения,
(х,у) е( Д +4)х (В, +Вг) <=> ((хеД +4)л(у еВ, +Bj)) <=>((хеД )\/(хеД)) л
A((yeBl)vOeB2))»((xe4)A(y6Bl))v((xb4i)AOeB2))v((xe4)v
v(yeBi)) v((x e4)v0eBj)) <s> ((х,у)еД xB,) v((x,y)e^1x v
v((x ,у)еЛ2 x Д) v((x,y)e42 x ВД
причем все д изъюнкции разделяющие (альтернативы), поскольку ДхДп
п Ае х Bj- — 0, если только i * i' или J * j'.
85. Симметрическая разность и булевы алгебры. Конечные алгебры
множеств и конституанты. Симметрической разностью двух мно-
жеств А и В называется множество ЛдВ=(4\В)+(В\Л).
Но (Л\В)п(В\Л)=(ЛпВ')п(Л'пВ)=0, поэтому знак + оправдан.
Симметрическая разность определяет несовпадение множеств А и В
(рис. 41а: А - круг, В - треугольник, результат заштрихован).
а б в г
Рис. 41
Симметрическая разность Д обладает следующими свойствами.
Д1. Лд(ВдС)=(4дВ)дС.
Д2. ЛдВ=Вд4.
ДЗ. 0д4=Л.
Д4. АдА=0.
Таким образом, Д является аналогом алгебраической операции
сложения, пустое множество - нулем этой операции, Д4 - специфиче-
ское свойство, согласно которому каждое множество себе обратно по
операции Д. Кроме того, симметрическая разность является полным
230
Глава III. Другие алгебры
аналогом логической альтернативы (разделительной дизъюнкции).
Операции Д и г-> связаны законом д истрибутивности
Д5. Лп(ВдС)=(ЛглВ)л(4г^С).
Таким образом, по своим свойствам Д и п - аналоги сложения и ум-
ножения на множестве целых чисел, но со специфическим свойством Д4.
Объединение тоже является аналогом арифметического сложения, но
в меньшей степени, чем симметрическая разность, поскольку в отличие
от неё необратимо, т.е. у непустого множества нет обратного по объеди-
нению, т.е. такого Ао, чтобы ЛмЛо=0, и уравнение A\jX-B не всегда
имеет решение относительно X.
Доказательства свойств Д2 - Д4 очень просты, чуть сложнее доказы-
ваются Д1 или Д5, но также не слишком сложно.
# В подтверждение этому приведем доказательство Д1 (самое длин-
ное). По определению, АдВ=(4\5)+(В\А)=АгчВ'+А'пВ. Воспользовав-
шись законами дистрибутивности и де Моргана, получим (4дй)'= (<4г>
г\В'мЛ'г>5)'= аналогично (Вд0'.=Вг>С+
+В'пС< Следовательно, (4дВ)дСя(4дЙ)г>С'<->(4ДВ)'пС=(<4пД'к-|А'г>
r>B)r>C\j(4r>BuA 'гуВУ^С-АгуВ'г^С'^А 'r\Br\C'<jAr\Br>C uA'nB'rvC,
с другой стороны, Ад(Вд0=Лг>(ВдС)«»л4,п(Вд0=Аг>(Вг>С’^В^~>С')’-’
иА'п (ВсуС'иВ'гчС) я Аг\Вг\Си АгуВ'гуС'и А'г\Вг\С'и А'гхВ'гуС. В
силу коммутативности это означает (ЛдВ)дС=Лд(Вд0.
Если АгВ-0, то, очевидно, A<jB=A+B=A&B.
Через пересечение и симметрическую разность остальные операции
определяются следующим образом: 4мВяЛдВд(ЛгД), А'=АдИ В самом
деле: 4дВд(ЛгД)=Вд(Дд4гД)=Вд [(A\AnS ЦАг'В\А)]-Вь(А\В)=В+
+(Л\В)=АоВ, второе равенство очевидно.
Пара операций Д и г» в наибольшей степени похожа на арифметиче-
ские сумму и произведение, свойства Д1 - Д5 и SA1.II - SA3.II свиде-
тельствуют об определенной общности алгебры множеств и арифметики
(как, впрочем, и об их различиях). А операции n, <->, ', Д для множеств
по своим алгебраическим свойствам являются копиями логических опе-
раций л, v, 1, Ф, так что связь между алгебрами логики и множеств зна-
чительно более тесная.
Множество В произвольной природы с элементами а, Ь, с,...., на ко-
тором аксиоматически определены операции л, v, ', удовлетворяющие
условиям А1-А5 (где 0=алд' V—ava'ue зависят от выбора а), называ-
ется булевой решеткой. Множество, на котором аксиоматически опре-
делены операции а и Ф, удовлетворяющие условиям А1+-А5+, называ-
§2. Алгебра множеств
231
ется булевой алгеброй (в честь английского математика Джорджа Буля
(G. Bool, 1815-64), впервые определившего и начавшего систематиче-
ское изучение таких объектов, о нем см. 157). Из операций л, v,' можно
получить операции л, Ф, и наоборот, поэтому булева решетка и алгебра
определяют фактически один и тот же объект (подробнее см. [20,
гл.1, §6]).
Кроме логики и множеств примером булевой алгебры может служить
множество чисел на [0,1], где л и v - операции минимума и максимума
чисел соответственно, х'=1-х, роль V играет 1. Еще один пример - так
называемые контактные (электрические, пневматические, электронные)
схемы, где АлВ определено на рис.416 (схема замкнута, когда замкнуты
оба контакта А и В), a AvB - на рис.41 в, контакт А' определен на
рис.41г, О - постоянно разомкнутый контакт (разрыв сети), V -
постоянно замкнутый контакт (рабочая сеть). Контактные схемы позво-
ляют технически моделировать любую формулу булевой алгебры.
Для произвольного множества А положим А°-А' и А1-А. Пусть заданы
произвольные множества Ai,...,А„ (л тоже произвольно).
Каждое множество Ai'rr.r'A^, где 4t-0,1, к-1....п, назовем кон-
ституантой множеств Ах,..., А„.
Так, например, =Л1п...гЛ„ Axr>..s>A% = А1,гх..гА„'
Ах nA^.j^A' »А1'г*А2п...пАя итд.
Конституанты обладают следующими свойствами:
К1) любые д ве различные конституанты не пересекаются;
К2) сумма всех конституант равна V (ж Ах u..ajA„);
КЗ) каждое А» равно сумме всех конституант, содержащих множество А[;
К4) любая формула f(Ax.....может быть разложена в сумму неко-
торого числа конституант.
Конституанты могут быть интерпретированы как наименьшие по вклю-
чению множества, порожденные Ах,...» А„, непустые конституанты на-
зываются также атомами алгебры множеств Ах.....А„.
Конституанты множеств являются аналогами логических конституант.
Для произвольных множеств Ai,... Л, положим V=Ax<j..ajA„ и образу-
ем всевозможные объединения, пересечения, дополнения и разности
этих множеств. Получившийся класс множеств называется алгеброй
множеств Ах,А„ и обозначается Alg(Ai,...,?lM). Он играет важную
роль в конечной теории вероятностей. Любое непустое множество из
232
Глава HL Другое алгебры
Alg(i4b Ая) является суммой некоторого числа конституант (пере-
формулировка свойства К4) - это объясняет, почему непустые конститу-
анты называются атомами.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ К ГЛАВЕ III
В этой главе рассмотрены два новых (и очень важных) вида алгебр нечисловой приро-
ды. На первый взгляд может показаться странным, что предложения человеческой речи
оказываются объектами алгебраических операций и могут быть подвергнуты анализу
алгебраическими методами. Но ведь человеческая речь - это также объект окружающе-
го мира в числе многих других, и с этой точки зрения не так уж и удивительно, что ма-
тематиками найдена возможность анализа рассуждений и логических конструкций че-
ловеческой мысли математическими методами. С другой стороны, этот факт еще раз
подчеркивает глубокую взаимосвязь математики и человеческой культуры в целом.
Математизация высказывательных конструкций позволяет не только проанализиро-
вать их непротиворечивость или корректность, но и выявить неожиданные особенности,
недоступные поверхностному взгляду, а также продемонстрировать важность точной
формализации выразительных средств речи (81-83). При этом может оказаться, что
формализация возможна не единственным способом.
Рассмотренные алгебраические методы позволяют проанализировать истинность
сложных логических конструкций путем редукции к известным логическим законам или
приведения к дизъюнктивной или конъюнктивной форме. Однако этот путь далек от
рассуждений и логических выводов, которые мм применяем в дискуссиях или судебных
и т.п. разбирательствах. К тому же алгебраический метод недостаточно хороню приспо-
соблен для выявления истинности составляющей высказывания, а не всего высказыва-
ния целиком - примеры из 82 и 83 в достаточной степени демонстрируют это. Кроме
того, истинность доказательств и логических выводов естественнее устанавливать с по-
мощью логической операции следования (импликации), а не алгебраических операций.
Такой подход и метод анализа демонстрируется в гл. VI (исчисление высказываний). А
более глубокий и тонкий анализ, включающий анализ внутренней структуры высказыва-
ний, проводится с помощью теории исчисления предикатов (164).
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III
1. Заполнив таблицы Куайна, определить, при каких истинностных значениях
переменных следующие формулы ложны:
a)* 4vBz>(14a£)vC4aTB);
б) AvBvCz>(AvB)a(AvC);
в) Лэ(ВуСэ(Сэ14)).
Все ли формулы выполнимы?
2. Равносильными преобразованиями упростить следующие логические форму-
лы или установить их общезначимость:
а) ((ЛэВлС)э(1Вэ1Л)э1^ г) АлВ=>А;
б) TAaB^AvB; д) AvB^AaB;
ff) ТЛлВэТВ; е) (ЛэВ)э(&ь4);
ж) ((Л=>В)=й)^4 (закон Пирса).
3*. Доказать общезначимость следующих логических формул:
а) (А^>В)л(В^С)^(АаС) (закон силлогизма);
б) (ЛэВ)э((&5С)э(ЛэС)) (цепь заключений);
в) (Лэ(ВэС))2>«Л2>В)э(ЛэС));
Задачи
233
г) (4dCXBdC)a(4vB)dC (простая конструктивная дилемма);
д) (^z>C)a(BoD)a(1Cv'ID)o14v"|B (сложная деструктивная дилемма).
4. Сформулировать на языке логики высказываний следующие утверждения и
проверить их истинность. При необходимости сделать уточнения (обращаем
внимание на неоднозначность возможной формализации естественной речи, а с
другой стороны - насколько обедняются нюансы речи при судой формализации).
4.1. Знаменитая шутка 1940 г. одного финского журналиста: «Немец не может
быть одновременно умным, порядочным и нацистом. Если он нацист и умен, то не
порядочен; если же он порядочен и нацист, то не умен; а если немец умный и
порядочный, то он не нацист».
4.2. В бюджете возникнет дефицит, если не повысят пошлины. Если в бюджете
будет дефицит, то государственные расходы на общественные нужды придется
сократить. Значит, если повысят пошлины, то государственные расходы на об*
щественные нужды не сократятся.
4.3. Если он автор этого слуха, то он глуп или беспринципен. Но он не глуп и не
лишен принципов, значит, не он автор этого слуха.
4.4. «Если вы примете в соображение прежнюю жизнь подсудимой и то влияние, которое
она встретила в тюрьме и которому подвергалась в течение всего своего заключения, то, по
всей вероятности, вы не отнесетесь к ней так неумолимо строго, как отнесся товарищ проку-
рора, вы признаете ее женщиной легкомысленной, но не более. А от легкомыслия прийти к
заключению о возможности такого преступления, в котором обвиняется подсудимая, престу-
пления над лицом, которое было ей так близко, для сохранения связи с которым она пожерт-
вовала обеспеченной будущностью, нет достаточных данных, нет оснований, которые бы
допускали подобное заключение. Таким образом, как вы ни посмотрите на дело... вы должны
будете прийти к тому заключению, что нет достаточных оснований произносить обвинитель-
ный приговор в том важном преступлении, в котором ее обвиняют, нет оснований обвинять
ее в чем-либо больше неосторожности.» (Речь К.КАрсеньева по делу А. Рыбаков -
ской; Арсеньев Константин Константинович, 1837-1919, русский литератор и
литературный критик, в 1860-1870-х гг. адвокат, в 1880-1890-х - в земских
органах, с 1901 г. почетный академик, автор книг «Судебное следствие» (1871),
«Заметки о русской адвокатуре» (1875), послужил М.Е.Салтыкову-Щедрину
прототипом для образа Нескладина в «Дневнике провинциала» (см. гл.У!)).
4.5. В гл. VI «Знака четырех» между Шерлоком Холмсом и доктором Ватсоном
происходит диалог, фрагмент которого воспроизводится ниже.
- Вы просто не хотите применить мой метод,- сказал он, качая головой. - Сколько раз я
говорил вам, отбросьте все невозможное, то, что останется, и будет ответом, каким бы неве-
роятным он ни казался. Нам известно, что преступник не мог попасть в комнату ни через
дверь, ни через окна, ни через дымовой ход. Мы знаем также, что он не мог спрятаться в
комнате, поскольку в ней прятаться негде. Как же он проник сюда?
- Через крышу! - воскликнул я.
- Без сомнения. Он мог проникнуть в эту комнату только через крышу.
(Конан Дойл А. Собр.соч.: В 8 т.; Т.1/С.189).
5. В некотором клубе были приняты следующие правила. Члены финансового
комитета должны избираться среди членов общей дирекции (1). Нельзя быть
одновременно членом общей дирекции и членом библиотечного совета, не буду-
чи членом финансового комитета (2). Ни один член библиотечного совета не
234
Глава III. Другие алгебры
может быть членом финансового комитета (3). Приведя совокупность правил к
конъюнктивной форме, показать, что правила клуба равносильны требованию
(1) и требованию «ни один член общей дирекции не может быть членом библио*
течного совета» [19, с.92].
6*. Доказать равенства:
1) А\В=А\АВ\ 4) (Л\В)\С=Л\(В^О;
2) Ас^В\С)=АВ\А(>АВ\С=АВ\ВС\ 5) Л\ (В\С)=(Л\5)иЛС;
3) ЯиВ\С=(Л\С)и(В\С>, 6)
Напомним, что отсутствующий между множествами знак означает пересечение.
7*. Доказать равенства, связанные с симметрической разностью:
1) А ДВ = (АиВ)\АВ\ 3) ЛДВ =Л'Д В';
2) Лп(ВДС)=ЛВ ДЛС; 4) ЛДВ - (АиВу^А'иВ').
8*. Базисы для системы операций. [Четыре основные операции над множествами -
это операции объединения, разности (дополнения), пересечения и симметрической разности
(а вообще существует 16 попарно неравносильных двухместных операций, аналогичных опе-
рациям алгебры высказываний). Однако эти операции не являются независимыми в том
смысле, что выражаются друг через друга, например АгВ = А \ (А \ В). Минимальный набор
операций, через которые выражаются все остальные, называется базисом. Доказать, что
следующие операции образуют базисы.]
8.1. Базис (Д, п): через операции симметрической разности и пересечения опре*
делить операции объединения и разности.
8.2. Базис (п,С): выразить через пересечение и дополнение операцию объедине*
ния. Показать невозможность выразить ЛиВ через АгВ, А\В или В\Л и их пе-
ресечения д ля любой пары множеств Л#В.
8.3. Базис (\, включая дополнение).
8.4. Базис (и, \), в частности (u,С).
8.5. Базис Шейера (Т): определим ЛТВ-Л'пВ'. Доказать, что ЛВ-(ЛТЛ)Т
Т(ВТВ),‘Л\В-Л'ТВ.
Отметим, что для всех базисов, за исключением (Д, п) и (и,\), молчаливо
подразумевается, что кроме данной пары множеств Л, В позволительно исполь-
зовать еще и максимальное множество д ля дополнения.
В аксиоматической теории множеств используется именно базис (и,\).
9. Задачи, основные трудности в которых - логические.
9.1. Может ли переход ученика из класса в класс увеличить средний балл в обо-
их классах?
9.2. Контрольная называется легкой, если каждую задачу решил хотя бы один
студент; контрольная называется простой, если хотя бы один студент решил все
задачи. Какие из следующих высказываний истинны: легкая контрольная явля-
ется простой; простая контрольная является легкой; если контрольная является
легкой и простой, то каждый студент решил все задачи?
9.3. В карманах у шести пиратов 9 золотых дублонов. Докажите, что хотя бы у
двух пиратов одинаковое число дублонов.
9.4. Могут ли быть расставлены натуральные числа в таблице 5x5 так, чтобы
сумма чисел в каждой строке была четной, а в каждом столбце - нечетной?
Глава IV
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЭЛЕМЕНТЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§1. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Естественно-научный генезис математического анализа
Задачи геометрии, приводящие к предельному переходу; результаты Евдокса
и Архимеда (86). Задачи механики и математической физики (87). О
необходимости строгого подхода к решению естественно-научных задач и задач
вычислительной и теоретической математики (88)
86. Геометрический императив. Наиболее простые математические
модели, описывающие процессы реального мира,-линейные. В этих мо-
делях зависимость между числовыми характеристиками исследуемых
процессов задается линейной функцией одного'или нескольких перемен-
ных. Таковыми являются многие экономические модели, динамика по-
следовательностн-прямолинейных и равномерных движений в физике.
Геометрия прямых и плоскостей также описывается линейной числовой
моделью после введения декартовых координат. Этим предметом (но не
только им) занимаются самые простые из математических дисциплин -
аналитическая геометрия и линейная алгебра.
Но уже такая древняя и известная задача - определение длины столь
простой кривой, как окружность, и площади столь простой плоской фи-
гуры, как круг (сейчас она входит в курс школьной математики), неиз-
бежно приводит к необходимости предельного перехода и вычисления
предела. Это было осознано и сформулировано в неявной форме еще
математиками Эллады.
Считается, что приоритет при формулировке предельного перехода
принадлежит древнегреческому ученому Евдоксу (годы жизни д атируют-
ся приблизительно 406—355 до н.э.). Метод исследования, названный
Евдоксом «метод исчерпывания», систематически излагается в V, VI
книгах Евклидовых «Начал». Для определения площади или объема ис-
следуемой фигуры Евдокс вписывает в нее последовательно фигуры,
размеры которых известны и образуют монотонно возрастающую после-
довательность, причем эти фигуры таковы, что разность между ис-
236
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
следуемой фигурой и вписываемой фигурой становится сколь угодно ма-
лой. Не формулируя понятия предела, он таким образом вычисляет объ-
емы пирамиды и конуса, а также доказывает, что площадь круга пропор-
циональна квадрату диаметра. А ученик Евдокса Динострат фактически
устанавливает, что (в современных обозначениях) = 1. Этот
»-*о sinx
факт теперь в курсах математического анализа принято называть первым
замечательным пределом.
Значительно дальше пошел в своих трудах Архимед Сиракузский
(287-212 до н.э.). Используя формулу удвоения для сторон правильного
многоугольника, вписанного в круг единичного радиуса:
а21я =2-2-^1-^- (рис.42);
\ ! ЯС=а2в,ЯВ = А2я/2,ЛО = ОС=1;
\ ; АС2=АО2 + ОС2-2ОС ОВ-,
'‘О ов = у1ао2-ав2 =Ji-4
V 4
Рис. 42
при и=3-24 = 48, т.е. рассматривая приближение длины единичной
окружности периметром правильного многоугольника с 96 сторонами,
Архимед в труде «Измерение круга» получает знаменитую оценку (в со-
10 2841 667| j
временных обозначениях): 3 — < 3 +--< я < 3+-----V < 3 —.
71 2017| 46731 7
То есть 31^<л<3^1, а поскольку 31g-3.14090965... и
1335
^9347 = 3-14282657..., то их полусумма 3.14186811 дает приближение
числа
л-3.141592653589793238462...
с ошибкой 2.75 • 10-4 - замечательный результат!
Применяя процедуру удвоения, все упоминавшиеся выше авторы ис-
пользовали то, что периметры вписанных многоугольников последова-
тельно возрастают, но ограничены сверху. Из этого они молчаливо за-
ключали, что существует (конечное) число, к которому они сколь угодно
близко приближаются, — оно и есть длина окружности, т.е. фактически
использовали аксиому точной верхней грани (29).
§1. Пределы и непрерывность 237
п
У sin/1х =
f(x2+dx)dr = y+hy И
В сочинении о «Коноидах и сфероидах» Архимед с помощью сумм
, и(п+1) X"'z»r\2 и(и+1)(2и+1) j -
2^«й = —:—л и Zj(kn) =-------т-----h находит объемы сегментов па-
t=i 2 t=i °
раболоцда, эллипсоида и гиперболоида вращения, а также витка спира-
ли, называемой теперь архимедовой. Используя найденную им формулу
(в современных обозначениях) S sin— = ctgz- он вычисляет «методом
k=i " 2И
исчерпывания» площадь сферы, а с помощью формулы
(l-cosnx)cos(x/2)-sinnxsm(x/2)
2sin(x/2)
находит площадь поверхности сферического сегмента. При решении гео-
метрических задач Архимед фактически находит (об интегралах см. 138)
а
Jsinxdr = 1-cosa.
о
Таким образом, некоторые определенные интегралы умел вычислять
еще Архимед. В сочинении «О спиралях» Архимед решает задачу диффе-
ренциальной геометрии — находит параметры касательной к спирали. В
работе «О шаре и цилиндре» он проводит исследование условий сущест-
вования положительных корней кубического уравнения х2(а-х)=р/>с
(задолго до Тартальи) и находит точку максимума функции р(х)=х?(а-х),
2
0<х<а (х0=—а), т.е. решает экстремальную задачу (см. 126). Подробно
о жизни Архимеда можно прочитать в I томе «Сравнительных жизнеопи-
саний» Плутарха (Марцелл) или в книге: Веселовский ИЛ. Архимед. М.,
1957; о математических трудах Архимеда рассказывают [8] и [ 10]; пере-
вод сочинений Архимеда на русский язык издан в 1962 г.
87. Физический императив. Другой класс задач, д ля решения которых
необходимы методы математического анализа, связан с задачами меха-
ники и математической физики, в частности с криволинейным или не-
равномерным движением. Как известно, тело, движущееся прямолиней-
но и равномерно (т.е. с постоянной скоростью v), за время t пройдет путь
S = vt поэтому, зная расстояние Si, пройденное телом за произвольный
5
интервал времени (То, 71), можно найти скорость v=—, где Л = 71 - То-
Но если тело в интервале времени (То, 71) двигалось прямолинейно и
равномерно с постоянной скоростью Vi, а в интервале (ТьТг)-с постоян-
238
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
ной скоростью V2, то средняя скорость v в интервале (То, Т2), по опреде-
лению, вычисляется из условия v(z, + t2)=vi/i +v2z2, гДе Ч~тг ~т\>
- V.A+V,/,
т.е. v = ——— и не совпадает, вообще говоря^ ни с vi, ни с v2.
*1+<2
Однако наиболее интересен случай, когда тело движется равно-
ускоренно. Это выяснилось после опытов Галилео Галилея (G. Galilei,
1564-1642 - итальянский физик, механик, астроном и философ), прове-
денных им в Падуе, где с 1592 по 1610 г. он возглавлял кафедру
математики. Исследуя количественные характеристики свободного
падения тел, он установил, что независимо от массы и формы тела за
время t свободного падения оно пройдет путь, пропорциональный Л а
его скорость будет равномерно возрастать пропорционально времени.
Если обозначить коэффициент пропорциональности через g, то скорость
v(/)=g/. Опытным путем Галилей установил, что значение g*9.8 м/с2, а
формула для пути определилась как S = ^g/2. В этом случае средняя
скорость v(0 в момент t определяется соотношением v t = S(0, откуда
v(/)=—g/ = -v(/), т.е. оказывается равной полусумме нулевой началь-
2 2
ной скорости и конечной скорости v(0- Итак, геометрически v(fl явля-
ется линейной функцией, a S(t) — параболой, каждое значение которой
равно площади под функцией скорости v(/) (рис. 43).
Рис. 43
Если взять изменение скорости за интервал (t, t+h), т.е. v(/+A)-v(0, то
ее отношение к промежутку времени А должно дать быстроту (скорость)
изменения скорости по отношению к приращению времени:
——J = g —это и есть постоянное ускорение свободного падения.
Если же взять быстроту (скорость) изменения пройденного пути по от-
ношению ко времени ——j—- = gf+-fft, то по самому смыслу скоро-
сти при h, стремящемся к нулю, это должно дать скорость v(t). Действи-
тельно, по смыслу второе слагаемое gA/2 при уменьшении времени й
§1. Пределы и непрерывность
239
становится сколь угодно малым и, так сказать, в пределе при Л = 0 ско-
рость изменения пути становится равной мгновенной скорости v(0 для
любого t, что и должно быть.
Аналогичным образом решается задача определения характеристик
тела, выпущенного под углом к горизонту. Ее решил Галилей, показав,
что без учета сопротивления воздуха траектория движения тела — пара-
бола. Теперь эта задача входит в школьную программу курса физики (мы
поговорим о ней немного в 118).
Так, военный или каскадер, которому придется прыгнуть с высоты
трехэтажного дома ^=12 м, должен быть готовым к тому, что его ско-
рость при столкновении и землей будет равна g/=8= ftSg •
*15.349 м/с*55.26км/ч , т.е. близка к предельной скорости движения
автомобиля в городе.
Определение параметров движения важно и для разработки средств
тушения пожаров, и для обеспечения надежности авиакосмической
техники, и для подготовки цирковых номеров, и для подготовки
каскадеров в кинематографе, и, конечно, для ведения боевых и'
аНтитеррористических действий. Жизненно важно знать мгновенную
скорость, с которой пуля долетает до человека или снаряд до цели.
Искусство Архимеда позволило сиракузянам создать такие снаряды и
машины, которые обратили в бегство даже «железные» римские
легионы и едва не спасли город. Вообще, математическая физика —
очень полезная наука, а созданная с ее помощью военная техника
помогла образумить многих фюреров и террористов.
Следует особо сказать о принципиальном подходе Галилея к исследова-
ниям физических явлений. Основой этих исследований Галилей считал
прежде всего опыт, а описание результатов опыта считал исключительно
важным, даже если пока не известны ни физические причины иссле-
дуемого явления, ни его объяснение. Об этом он прямо пишет в своем
сочинении «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух
новых отраслей науки». Взгляды Галилея на естествознание противоре-
чили основным постулатам философии Платона, во многом не сходились
и со взглядами Аристотеля и, кстати, современника Галилея — Декарта.
Однако Галилея это не смущало. А поскольку он ценил опыт выше
«незыблемых истин авторитетов», то астрономические наблюдения и
анализ трех законов Кеплера небесной механики привели Галилея к
убеждению, что господствующая в то время астрономическая картина
мира Птолемея-Аристотеля неверна. Последовавшая после опублико-
240
Г лава IV. Элементы дифференциального исчисления
вания в 1632 г. во Флоренции книги «Диалог о двух главнейших
системах мира — птолемеевой и коперниковой» печальная история
взаимоотношений Галилея с инквизицией (несмотря на то, что в 1623 г.
папский престол под именем Урбана VII занял друг Галилея кардинал
Барберини) общеизвестна, при желании с ней можно в деталях
познакомиться по книге М. Л. Выгодского «Галилей и инквизиция».
Причина движения, природа тяготения и основные законы движения
(динамики) были сформулированы Ньютоном («Philosophicae naturalis
principia mathematicae» — «Математические начала натуральной фило-
софии», 1687 г., натуральная философия - тогдашний синоним совре-
менной физики или естествознания в широком смысле). Хотя сэр Исаак
Ньютон (I.Newton, 1642—1727) и не нуждается в представлении,
напомним, что с 1669 по 1701 г. он возглавлял кафедру физики и мате-
матики Кембриджского университета, с 1672 г. член Лондонского коро-
левского общества, с 1703 г. его президент, с 1699 г. член Парижской
академии наук, с этого же года директор Королевского монетного двора.
Созданная Ньтоном стройная картина физики, базирующаяся на матема-
тических законах, явилась блестящим подтверждением точки зрения,
которой придерживались все наиболее значительные ученые, занимав-
шиеся исследованием законов природы: в основе законов природа лежат
законы математики. Как резюмировал французский механик и математик
Жозеф Луи Лагранж (J. L. Lagrange, 1736-1813): «Ньютон был счаст-
ливейшим из смертных, ибо существует только одна Вселенная и именно
Ньютону удалось открыть ее законы» (как мы теперь знаем после работ
Максвелла, Эйнштейна, Бора и других корифеев физики, Ньютон от-
крыл далеко не все законы и не всегда точно, что никоим образом не
умаляет величия его деяний). Говоря об открытиях Ньютона только
лишь в области астрономии и небесной механики, отметим объяснение
им природа океанских приливов, вычисление массы Луны, объяснение и
описание отклонений земной оси, объяснение смещения равноденствий,
описание д вижения Луны и комет.
Наиболее знаменитым результатом применения законов Ньютона к
астрономии является открытие Нептуна: положение и масса предпола-
гаемой неизвестной планеты были вычислены в сентябре 1845 г. англий-
ским астрономом Джоном Адамсом (J. Adams, 1819-92) и независимо в
сентябре 1846 г. французским астрономом Урбеном Жаном Жозефом
Леверье (U. J. J. Leverier, 1811-1872); 23 сентября 1846 г. берлинский
астроном Иоганн Готфрид Галле (J. G. Galle, 1812-1910) получил пись-
§1. Предалыи непрерывность
241
мо Леверье, в котором тот сообщал о месте, где ему следует искать но-
вую планету, и в тот же вечер обнаружил на небосводе эту планету, при-
чем погрешность предсказания составила десятитысячную процента! '
Раздел, касающийся взаимосвязи математики и опытных данных физи-
ки, вполне уместно закончить словами Леонардо да Винчи:
Мон предметы родились из простого и чистого опыта, который и есть истинный учитель...
Опыт никогда не ошибается, ошибочными бывают только наши суждения, заставляющие нас
ждать от опыта таких явлений, которые он не содержит.
88. Похвальное слово строгости. Для исследовании неравномерного
движения тела методами математического анализа характерна замена
такого движения последовательностью прямолинейных и равномерных
движений тела в следующих друг за другом малых интервалах времени
по ломаной, сколь угод но близкой к траектории движения при неограни-
ченном увеличении числа звеньев этой ломаной, что соответствует
уменьшению временных интервалов (подобно процессу удвоения сторон
вписанного многоугольника при определении длины окружности). Полу-
чение простой конечной формулы, описывающей числовые характери-
стики завершенного бесконечного процесса равномерных прямолиней-
ных движений на «бесконечно малых» промежутках времени, которые
заменяют сложное криволинейное движение, — принципиальное дости-
жение творцов математического анализа. Впервые с такого рода форму-
лой мы столкнулись на простом примере обращения бесконечной перио-
дической десятичной дроби в правильную дробь(23).
Математический анализ, элементы которого вам предстоит изучить, и
лежит в основе всей математической физики.
Для подтверждения необходимости строгого подхода к предмету и
обоснования принципиальных' вопросов приведем несколько классиче-
ских примеров. Основателями математического анализа было установ-
лено, что бесконечные ряды являются важнейшими средствами решения
многих задач и, в частности, они необходимы д ля вычисления значений
функций, называемых элементарными (с рядами мы уже сталкивались
при определении периодических десятичных дробей). Но рассматривая
простой ряддляфункции у = 1/(1 ч-х):
—= 1-х+х2 -х3 4-...+(-1)"х" 4-...
14-Х
при х= 1, мы, с одной стороны, получаем, что сумма ряда 5=(1-1)-(1-1)4-
4-... =0, а с другой стороны, 5=1-(1-1)-(1-1)-... = 1. Если же предста-
16 - 5091
242
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
вить S = = 1 -S, то вроде бы S = 1/2, что совпадает со
значением функции у = 1 / (1+х) при х=1. Что может последовать из этой
неразберихи? Бог знает что. Так, профессор-университета в Пизе, из-
вестный своими исследованиями лепестковых кривых, теолог Тввдо
Гранди (1671-1742) в своей работе 1703 г. «Квадратура окружностей и
гипербол» утверждал, что одновременное равенство суммы этого рада
и 0, и 1, и 1/2 означает, что мир сотворен из ничего, и подтверждает
существование Бога.
Кроме того, разложив в рад
—Ц- = 1-2х+Зх2 -4х3 +...,
(1+х)2
при х=1 вроде бы получим 1/4 = 1 -2+3-4+..., что выгладит очень по-
дозрительно. А при х° -1 получим правдоподобное равенство оо - 1+2+
+3+... Если же рассмотреть при х=2 разложение =1+х+...+х"+...,
то вроде получим, что -1 = 1+2+4+8+..., откуда сам Л. Эйлер (34) заклю-
чил (1755), что оо= 1+2+3+...< 1+2+4+...= -!. Он же дал пример еще
1 п
более парадоксального «результата»: из разложения п+л + ...=-— и
п
,11 П - 11,. 2 . П П
1+—+-=-+...=— якобы следует, что ...+-т+-+1+л+л +...=—-+-— =
п п* л-1 п п л-1 1—л
= 0. Ясно, что все получившиеся «результаты» означают некорректность
производимых операций. «Что касается меня, - писал Д’Аламбер, - то
признаюсь, что все рассуждения и вычисления... основанные на несходя-
щихся радах ... всегда кажутся мне крайне подозрительными». Значи-
тельно более эмоционально реагировал на сложившуюся ситуацию
(1826) выдающийся норвежский математик Нильс Генрик Абель
(N.HAbel, 1802-1829, первым доказал невозможность выражения кор-
ней полинома общего вида 5-й степени через его коэффициенты с помо-
щью алгебраических операций):
Расходящиеся ряды - поистине изобретение дьявола, и основывать на них какое бы то ни
было доказательство - стыд и позор. Используя их, можно прийти к любому заключению,
именно поэтому эти ряды и породили так много логических ошибок и парадоксов... Я так
болезненно реагирую на все это, потому что, за исключением геометрической прогрессии,
нет ни одного бесконечного ряда, сумма которого была бы строго определена. Иначе говоря,
то, что имеет наибольшее значение в математике, обосновано хуже всего. Удивительно, что
многие из результатов, несмотря на все сказанное, верны.
Но, как указывалось в 22-23, в те времена не было ясности даже
с числами. С обоснованием математического анализа дело тогда также
§1. Пределы и непрерывность
243
обстояло неладно. В частном письме (1826) Абель, сетуя на «не-
обычайную неразбериху, несомненно царящую в анализе», позволил
себе очень резкую оценку:
В нем не чувствуется плана, полностью отсутствует всякая система. Странно, что столько
людей занимаются математическим анализом. Хуже всего, что в нем ничего не рассматрива-
ется строго. В высших разделах анализа имеется лишь несколько теорем, доказанных с более
или менее приемлемой строгостью. Повсюду встречаются жалкие заключения от частного к
общему. Странно, что такой способ доказательства не привел к гораздо большему числу
парадоксов.
Первое корректное определение предела числовой последовательности
дали чешский математик, профессор Пражского университета Бернард
Больцано (В. Bolzano, 1781-1857) в 1817 г. и французский математик,
член Парижской академии наук Огюстен Луи Коши (A.L. Cauchy, 1789-
1857) в 1821 г. Но только после работ Вейерштрасса (23), приведших к
точному определению действительных чисел и выявлению их фундамен-
тальных свойств, стало возможным завершение многолетних трудов ма-
тематиков по обоснованию математического анализа и устранению до-
пущенных ошибок. Дело даже не только и не столько в репутации мате-
матики как достоверного знания: о печальных последствиях недостаточно.
глубокого понимания основ уже шла речь в 53 (неевклидовы геометрии),
напротив, глубокий анализ основ математики привел к появлению фун-
даментальных результатов как в математике, так и в других областях ес-
тественных наук (см. § 4 гл.¥1). Необходимость этой работы к середине
XIX в. стала ясна не только математикам; как пишет Моррис Клайн [5,
с.204], после заседания Парижской академии наук, на котором Коши
изложил свою теорию сходимости радов, Лаплас (один из наиболее вы-
дающихся в то время физиков) поспешил домой и оставался там взапер-
ти до тех пор, пока не проверил на сходимость (98,100) все рады, кото-
рые он использовал в своей «Небесной механике». Велика же была его
радость, когда он обнаружил, что рады сходятся (и его эмпирика стоит на
хорошей теоретической опоре). «Увлекающийся практикой без науки, -
писал Леонардо,-словно кормчий, ступающий на корабль без руля или
компаса; он никогда не уверен, куда плывет. Всегда практика должна
быть воздвигнута на хорошей теории...» Как видно, опираясь на зыбкие
основы, можно в любой профессии зайти настолько д алеко, что появля-
ется риск не вернуться вовсе.
Итак, подчиняясь необходимости, формализуем основные понятия:
стремление последовательности или функции к какому-то числу (пре-
дел), непрерывность, скорость (производная), овладеем основными при-
емами решения задач, познакомимся с наиболее важными результатами
(теоремами) и наиболее полезными методами вычислений. Доказатель-
16-
244
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
ства теорем технического характера и сложные формулировки и приемы
вычислений приводиться не будут. Полностью будут изложены только те
немногие доказательства, которые имеют принципиальный характер и
необходимы д ля понимания предмета.
Последовательности. Принцип математической индукции
Определение последовательности; примеры (89). Метод математической индукции
как способ формулирования гипотез и нахождения формул с числовым
параметром и их проверки; примеры (90)
89. Определение последовательности. Напомним (26), что функция
х=х(п), где независимым переменным являются натуральные числа, назы-
вается последовательностью и обозначается (хя)ягЬ её значения хь х2,.„
называются элементами или членами последовательности (хя)яг]; х„ на-
зывается общим членом последовательности.
Примеры последовательностей уже были: в связи с супремумами в
примере 18 (2,3), в связи с инфимумами в примере 19 (3,5,6).
Приведем еще три простых примера.
Пример 69.Некоторые последовательности.
1. Последовательность 1,2Г,..., пг,... имеет общий член хя=лг.
2. Последовательность с общим членом x„ = cosnl.
3. Последовательность х„ = ((-1)" lgw)nil.
90. Метод математической индукции. Часто возникает задача про-
верки справедливости формулы с натуральным переменным (например,
1+...+л = ) или некоторых утверждений (высказывательных
функций) с натуральным переменным (пример такого утверждения:
(1+х)"£ 1+лх, х >-1, для любого п - 1,2,...).
Предположим, нам удается проверить справедливость утверждения
А(п) для каких-то конкретных п, например для первых семи, но не уда-
ется доказать А(п) в общем виде с переменным п (или еще более инте-
ресная задача: сформулировать гипотезу Л(л) на основании найденных
формул для первых нескольких значений натурального переменного л).
Возникает вопрос: существует ли эффективный метод, который позволял
бы из конкретных примеров вывести общую формулу, справедливую для
всех значений параметра л?
О том, что такая проблема существует, свидетельствует блестящий
пример из книги Д.Пойа «Математика и правдоподобные рассуждения»
(гл.1, пример 14.'Логик, математик и инженер):
§1. Пределы и непрерывность
245
- Взгляни на этого математика, - сказал логик. - Он замечает, что первые девяносто девять
чисел меньше сотни, и отсюда с помощью того, что он называет индукцией, заключает, что
любые числа - меньше сотни.
- Физик верит, - сказал математик, - что 60 делится на все числа. Он замечает, что 60
делится на 1,2,3,4,5 и 6. Он проверяет несколько других чисел, например, 10,20,30, взятых,
как он говорит, наугад. Так как 60 делится также и на них, то он считает экспериментальные
данные достаточными.
- Да, но взгляни на инженера, - возразил физик. - Инженер подозревает, что все нечетные
числа простые. Во всяком случае, 1 можно рассматривать как простое число, доказывает он.
Затем идут 3,5 и 7, все, несомненно, простые. Затем идет 9 - досадный случай, по-видимому,
оно не является простым числом. Но 11 и 13, конечно, простые. Возвратимся к 9, - говорит
он, - я заключаю, что 9 должно быть ошибкой эксперимента.
А вот серьезный пример.
Пример 70.Ошибки неполной индукции.
1. Числа 22°+1 = 3, 22*+1=5, 22*+1»17, 22,+1=257, 22* +1= 65537
простые. Пьер Фермй (Pierre de Fermat, 1601-65, французский матема-
тик и физик, в наибольшей степени знаменитый своими работами по
теории чисел, его гипотеза о неразрешимости в целых числах уравнения
x"+y=z" при п>2, так называемая проблема Ферма,-одна из самых зна-
менитых нерешенных математических проблем нескольких столетий;
только в 1999 г. она была решена профессором Принстонского универ-
ситета (США) Эндрю Уайлзом (на финальном этапе решения - совмест-
но с профессором Оксфордского университета Ричардом Тейлором))
предположил, что все числа вида 22" +1 будут простыми. Однако Леонард
Эйлер нашел, что 22*+1= 4294967297 = 641-6700417, т.е. является
составным. Таким образом, гипотеза Ферма оказалась ошибочной.
2. Квадратный трехчлен Е(х)=х2+х+41 замечателен тем, что при х =
- 0,1, 2,..., 39 его значения являются простыми числами (на это обстоя-
тельство обратил внимание еще Эйлер). Но при х= 40 получается 402 +
+40+41 = 412, и тем более, Е(41) делится на 41. А ведь вполне можно
было, добросовестно проверив первые 30 чисел, предположить, что Е(х)
дает простые числа при подстановке любого натурального параметра х (и
ошибиться).
Другие примеры такого рода можно найти у Пойа или в брошюре:
Соминский И.С. Метод математической индукции. М.,1965.
Метод выведения общей формулы существует и называется методом
(принципом) математической индукции. Он состоит в следующем:
Утверждение справедливо для любого натурального п, если
1 °) утверждение справедливо для л-1;
2°) из справедливости утверждения для произвольного натурального п=к
246
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
следует его справед ливость д ля п=fc+l.
Доказательство справедливости принципа математической индук-
ции. Предположим, что, несмотря на выполнение 1° и 2°, наше утвер-
ждение справедливо не для всякого л. Тогда среди всех натуральных
чисел, для которых оно не справедливо, существует минимальное (см.2).
Обозначим его через т. Но пдскольку оно минимальное из всех, для ко-
торых утверждение неверно, то для л = т-1 оно верно. Таким образом,
мы получили, что наше утверждение верно при л « т -1, но неверно при
л = л», что противоречит 2°.
Иногда требуется проверить справед ливость утверждения А(п), начи-
ная не с 1, а с какого-либо другого целого числа, например с л=-1, или с
л = 0, или с л = 6. В этом случае надо проверить Л (л) д ля начального зна-
чения л, затем установить справедливость 2°. Это обеспечит справедли-
вость Л (л) для всех л, больших начального.
Итак, справедливость принципа математической индукции следует из
существования у любого подмножества натуральных чисел минимально-
го элемента. Справедливо и обратное. Обычно в список аксиом, опреде-
ляющих натуральные числа, включают именно принцип математической
индукции (176), поскольку его формулировка не требует введения поня-
тия множества.
Пример 71. Применение метода математической индукции.
1. Методом математической индукции доказать равенство
. я-1 ,
l+х+...+х =-;---,x#L
1-х
Доказатель ство. Пусть l+х+...+х""1 = S’,,.
1°. При л=1 очевидно Sj = 1 = (1-х’)/(1-х).
2°. Пусть S„ = (1-х")/(1-х) при л=£. Тоща для л=А+1 получаем
+...+Х*-Sk+xk. Но по предположению индукции, Sk =
1—
поэтому St+1 = -у^-+х* = |_х" • т-е утверждение справедливо и для
л «= А+1. Методом математической индукции утверждение доказано.
Отметим также другой способ получения формулы суммы конечной гео-
метрической прогрессии: (х+х2+...+х")(1-х)=х+х2+...+х"-х2-х3-...
—х" -х"*1 =х-х"+1, значит, 1+х+...+х"= —---+ 1 = —---.
1-х 1-х
§1. Пределы и непрерывность
247
2. Рассмотрим последовательные суммы нечетных чисел: 5j=l, Sj=l+
+3=4,53=1+3+5=9,54=1+3+5+7=16,5s=l+3+5+7+9=25. При минимальной
наблюдательности можно заметить, что 5i=l2, 5г=22,5j=32, 54=42,5s=52,
и предположить, что 5„=1+3+...+2л-1=л2. Подтвердим эту гипотезу мето-
дом математической ицдукции.
1°. 5!=12.
2°. Пусть S„=n2 при л=Л. Тогда при л=А+1, по определению, 5Hi = 5t+
+[2(л+1)-1]=5t+(2A+l). Но Sn-lc1 по индукционному предположению,
следовательно Sw = Л2* (2А+1) = (А+1)2.
Значит, согласно принципу математической ицдукции, наша гипотеза
5„= л2 справедлива при всех л.
/
3. Доказать д ля любого ,у>0 справедливость неравенства
(y + Af-yiARl+j/)"-/], OiAil.
'Доказательство.
1°. Для л=1 получаем очевидное неравенство h£h.
2°. Пусть утверждение справед ливо д ля п=к, тогда д ля л=А+1 получим
(у+А)*+1-уН1=(у+А)(у+А)*-уН1=_у(у+А)ь-_у*+1+А(у+А/=у’[(у+А)*->'*]+А(у+А)*.
Но Л'[(у+А)*-у*] ^>А[(1+у)*-Л^] в силу индукционного предположения
при п = к, а А(у+А)* £h(\+y?, поскольку Ail. Следовательно, (y+A)w-
-ум i^A[(l+>')t-/]+A(l+y/=A[y(l+>’)*-/,’1+(l+y)t]=A[(l+y)b’1-/"1], т.е.
анализируемое неравенство справедливо и при л=А+1.
4. Доказать, что при любом целом л^О сумма А„= 11"*2* 122"+1 делится
на 133.
Доказатель ство.
1°. Для л=0 получаем Л,= 133.
2°. Пусть утверждение справедливо для л=А, тогда для л = к+1 получим
Ям = 11**3+12“+3= 11 11*+2+144122**1 = 11-11*+2+133-122**1 +11-122**1 =
= 11-Л*+1 +133422**1. А поскольку первое слагаемое делится на 133 по
предположению ицдукции, то и вся сумма делится на 133. Утверждение
доказано.
С помощью метода математической ицдукции можно легко доказать
все пифагорейские формулы для фигурных чисел (10), а также формулы,
использованные Архимедом (86); возможны и другие, не более сложные
пути доказательств.
Многочисленные примеры использования принципа математической
ицдукции можно найти, например, в [9] или у И.С. Соминского (с.245).
248
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Предел последовательности
Определение предела последовательности, бесконечно малые последовательности
и бесконечно большие последовательности; первые примеры; элементарные
свойства сходящихся последовательностей; предел комплексной
последовательности (91). Основные теоремы о пределах (# 92). Основные методы
вычисления пределов: предел монотонной последовательности, основные приемы
при нахождении начального списка пределов (93). Значения основных пределов
(94). Арифметические операции; примеры (95). Предельный точки, теорема
Болыино-Вейерштрасса (#96)
91. Пределы. Начальные понятая и факты. Последовательность
(x»)>ei называется возрастающей, если xi<...< х„<..., неубывающей, если
Xi £...£ х„ £...; последовательность (х„)^ называется убывающей, если
Xi >...>хя >..., невозрастающей, если Xi i...£ х„ ^... Все такие последова-
тельности называются монотонными, возрастающие и убывающие по-
следовательности называются строго монотонными.
Последовательность (x„)«ai ограничена сверху (снизу), если существует
такое число Л/(соответственно т), что х„£ М (соответственно хя^т)
для всех п - 1,2,... Последовательность ограничена, если она ограничена
и сверху, и снизу.
Рассмотрим одну из наиболее простых по своей структуре последова-
тельность с общим членом хя- 1/л. Нарисовав последовательно на [0,1]
первые, к примеру, десять ее элементов, можно заметить, они, моно-
тонно убывая, неограниченно приближаются к нулю. Подобный процесс
на обычном языке характеризуется словами «эти числа стремятся
к нулю». Такого рода свойство последовательности мы сейчас и форма-
лизуем.
Говорят, что последовательность (x„)^i сходится к а (обозначение
х„ -+а) при (п стремящемся к бесконечности), если для любого
е>0 существует такое N =N($, что для любого n>N
|хя-а|<«
Число а называется пределом последовательности и обозначается
a- limxn. С использованием логических символов условие сходимости
записывается компактно:
а= limx„ « Vs>03 У= N(s) Vn > N (|хя-а |<s) .
»»->«
.Поскольку |x„-al< f<=> -s<xn-a < soa-s<x„< a + e, сходимость
означает, что все элементы последовательности с номерами, большими
N, не выходят из интервала (а-в, а+ д); образно говоря, они оказываются
§1. Пределы и непрерывность
249
безысходно затянутыми в него, словно в водоворот, как в известном рас*
сказе Эдгара По «Низвержение в Мальстрем».
В частности, (хж)^1 называется бесконечно малой, если limx„=0, и
Я->ОО
бесконечно большой, если VA/>03# = N(M) 4n>N (| x„ |>A/), т.е.
начиная с некоторого номера, она будет по модулю превосходить любое
наперед заданное число. Для бесконечно большой последовательности
считают (с известной долей условности), что она сходится к бесконечно-
сти (limx_ = оо).
*“►<*>
Из определения сразу следует, что условие limx„=a эквивалентно
я-><*>
тому, что последовательность с общим членом а,= х,- я, будет беско-
нечно малой.
Пример 72 Различных последовательностей.
1. Последовательность 1,2Г,..., лг,..., где г > 0, монотонна, ограничена
снизу, но не ограничена сверху и является бесконечно большой.
В самом деле, nrZ 1 для всех п, т.е. т-1. С другой стороны, из школь-
ного курса алгебры известно, что степенная функция у=хг, г>0, возрас-
тает на множестве R+={x: х^О} (о степенной .функции мы поговорим в
112), поэтому для любого А/>0 неравенство пг>М эквивалентно нера-
венству п>МУг, т.е. пг>М для любого п>МУг. Таким образом, никакое
число М не ограничивает нашу последовательность сверху, и она явля-
ется бесконечно большой.
2. Последовательность с общим членом x„=cos«! ограничена.
Это очевидно, поскольку |cosn !| £ 1.
3. Последовательность lx =(-l)"lgn) является бесконечно большой.
' 'яя
Неравенство |x„|=lgw>A/ эквивалентно неравенству п > 10м. Даль-
нейшее очевидно.
4. Пусть |х|<1. Доказать, что limx” = 0.
я->®
Это следует из цепи эквивалентных неравенств |x"|=|xr<ff«*nlg|x|<
< 1g£• <=>л>lg«-/lg|x| для произвольного е, поскольку lg|x|<0. Значит,
|х"|< е для любого п, большего, чем ^=lgf/lg|x|. Таким образом, су-
ществование N установлено, что и требовалось доказать.
Например, если «= 10-6, а х= 10"’ -знаменатель периодической дроби с
одной цифрой в периоде, то У(г)= (-6)/(-1) = 6.
250
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Справедливо утверждение: последовательность (х.)^ является бес-
конечно большой тогда и только тогда, котда последовательность
(1/х.) . является бесконечно малой.
' "'nil
Доказательство просто и полезно, приведем его. Пусть 1йпх=<ю
»•->«
(доказываем необходимость). Возьмем для любого Л/>0 такое У=У(М),
что |х„|>Л/для любого n>N. Тогда неравенство |х„|>М эквивалентно
1 1
м
поэтому, взяв М > - для любого е> 0, получим,
с
неравенству
при любом л>ЛГ(М). Это означает, по определению, что
Для доказательства достаточности нужно провести все рассуждения в
обратном порядке - проделайте это.
Следствия.
1. lim(-7]=0, limf—т)=0,г>0.
7 я-*®\ п /
2. lim((-l)"/lgn) = 0.
Также условились считать, что 1ппхя=+<ю, если VA/ > 03У=
Vn>N(x„>M), и limx„=-oo, если ^M>03N=N{M)^n>N(xK<-M).
Пример 73. limlgn = +oo; limlg—= -limlgn = -оо.
Я->«О /J
Для последовательностей справедливы три элементарные теоремы.
1. Последовательность может иметь не более одного предела.
2. Любая сходящаяся последовательность ограничена.
3. Если последовательность (x^i сходится к а, а последовательность
к b ихя^уя,то a£b.
Доказательства этих утверждение нетрудны; при желании можно по-
пробовать провести их самостоятельно или посмотреть в любом учебни-
ке по математическому анализу.
Последовательность (z.)^ с комплексными элементами сходится к
комплексному числу с (обозначение zn->c) при л-»<ю,если
Vff>03tf = N(p) Vn>N (|^-c|<z) .
§1. Пределымнепрерывность
251
Число с называется пределом последовательности (х,)^ и обознача-
ется c=limz„.
я-ио
Если г^Хя+гр^тодля того, чтобы хя->с=о+1А, необходимо и доста-
точно, чтобы хя-»а и уп-*Ь. Это сразу следует из очевидного неравен-
ства | xn -а | V | -Ь| ^(хя-а)2+(уя-b)2 £ |хя-а|+|А„-А |, посколь-
ку | z„ - с| = -^(хя - а)2 + (уя - b)1 . Таким образом, вычисление преде-
лов ^комплексных последовательностей сводится к вычислению пределов
последовательностей с действительными элементами.
Понятия бесконечно малых и бесконечно больших последовательно-
стей дословно переносятся на комплексный случай. Все теоремы о пре-
делах, исключая теоремы, связанные с неравенствами, справедливы и
для комплексных последовательностей.
К
#92. Основные теоремы о пределах.
1. Если lim хя = lim и„ = а и для всех л ” 1, 2,... выполнены неравен-
я->«о
ства хя £ у„ <. и„, то lim у„ = а.
Это утверждение следует из теоремы 3 (91).
2. Критерий Коши. Для существования предела последовательности
необход имо и достаточно, чтобы
V«>03 У = У(«) У»»,л> У (| хж-хя|<£).
Перефразировкой этого условия является требование |х„+*- х„|<? для
любого натурального к и всех л, больших некоторого У=У(г).
Последовательность, удовлетворяющая этому условию, называется
фундаментальной, поэтому, согласно критерию Коши, для сходимости
числовой последовательности необходимо и достаточно, чтобы она была
фундаментальной. Смысл всего этого в том, что проверить условие Коши
(фундаментальность) для последовательности обычно значительно легче,
чем устанавливать ее сход имость каким-либо иным путем.
Справедливость критерия Коши обеспечивается свойством полноты
или принципом Кантора (27).
3. Если lima„=O, а последовательность (х,)^ ограничена, то
Iim(a„x„) = O (произведение бесконечно малой последовательности на
ограниченную является бесконечно малой последовательностью).
252
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Доказательство проводится по стандартной схеме, которую полезно
знать. По условию, существует такое Л/, что | х„ | < Л/ для всех п. Пусть
выбрано произвольное е > 0. В силу бесконечной малости последова-
тельности (о;,) найдется такое N, что | а„ | < ©А/ при всех n>N. Тогда
I= |х„11 а„\< привсех n>N, т.е. lim(a„x„) =0.
м л-мо
93. Основные методы вычисления пределов. Основной теоремой,
на которой базируется вычисление пределов, является
Теорема о монотонной последовательности: всякая монотонная
и ограниченная последовательность имеет предел. Точнее, если последо-
вательность (хя),21 ограничена (сверху) и Xi^x2S..., то limx„=supx„; если
п
(хя)яг1 ограничена (снизу) и Х] £х2 £..., то limxn = inf хя.
IB-МО п
Доказательство того, что sup и inf являются пределами, несложно,
главное - то, что они существуют, а это обеспечивается аксиомой точной
верхней грани.
Из этой теоремы следует утверждение: если последовательность (x^i
монотонна, начиная с некоторого номера п0, то она сходится. Доказа-
тельство несложно.
Фактически три предела на основе этой теоремы уже посчитаны в
гл. I: примеры 18.3 (lim(-l/») = 0), 18.4 (lim(l -1/л) = 1) и 19.3
(lim (1/л) = 0).
л->«
Предел невозрастающей последовательности обозначается также
lim4 х„, а неубывающей - limt х„.
п п
Приемы при нахождении начального списка пределов таковы:
-установить монотонность последовательности и вычислить sup или inf;
- показать, что данная последовательность будет обратной к бесконечно большой;
- оценить данную последовательность сверху и снизу: хп£уя£ ия и, зная
lim х„= Нтмп=а, из теоремы 1 (92) получить limjn=a;
л-мо я-м»
- комбинировать эти приемы с использованием результатов 92.
94. Таблица значений основных пределов.
1. lim(l/nr) = 0, г>0. 2. 1нп(1/1пл) = 0.
Я-»«
§1. Пределы и непрерывность
253
3. lim-Цпл =0, г>0.
л->® П
4. lim —= 0, а>1.
ап
_ v sin(l/n)
5. lim—------ = 1.
1/п
( 1V
6. lim 1+— =е.
я->« х nJ
Число е иррационально, приближенно е—2.71828..., более точное зна-
чение см. 15.
95. Арифметические операции и эквивалентность.
Пусть существуют limx„ и limy„. Тогда:
Л->« Л-*>®
1) lim(x„±y„) = limx„±limy„;
я->« л-»« я-*®
2) lim(xwyB) = limx„*limy„;
я-»« л->« я->«
3) lim(xn/y„) = limx„/limy„, limy„#0.
л->« я-»« я->« л->«
# Для примера приведем доказательство второго утверждения (пер-
вое - самое простое, а третье будет доказано д ля функций в 105). Пусть
limx =а, a limy, =b, тогда последовательности с общими членами
л—>« л->«
(х„-а) и (у.-Ь) будут бесконечно малыми. Очевидно, |хяуя-а£|=|(хяуя-
-x„b)+(xnb-ab)\ £|хя(у(Г-Ь)|+|Ь(хя-а)|. Сходящаяся последовательность
(х„) ограничена, поэтому последовательность с общим членом (x„)(y„-h)
будет бесконечно малой, так же как последовательность с общим чле-
ном Ь(х„-а). Следовательно, согласно утверждению 1, получим 0£
£lim|xBy«-ab|£lim|x,,(y(,-b)|+lim|b(x),-a)|«O, т.е. Iimx_y„=a6.
л-мо л—>® л->« л->«
Последовательности (хя)яг] и (уя)„ы называются эквивалентными (запи-
сывается хя~уя), если lim(х„ /у„)=1
Лт+®
Важность и польза понятия эквивалентности в том, что последователь-
ности в произведениях и частных можно заменять на эквивалентные при
вычислении пределов. Замена на более простую эквивалентную после-
довательность позволяет упростить вычисления. В примерах мы рас-
смотрим этот прием, основной же список эквивалентных будет д ан сразу
для функций в 107.
Пример 74. Вычисление пределов.
1. Найти 1йпал(л--7л2 +1).
254
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
~ г;— ал|л -(л + 1)1 -ап
Решение. 1нпал(л-Лл2+1) = lim------, — = lim---==
**• л+-^л2+1 "_>вл + ул1+1
.. ~а ~а а тт
= hm----5== =--------f== = - -. Для
1+J1+-F l+limJl+T
I и* „->• I и
, Г, i" , 1
воспользовались тем, что 1<п/1+-т<1+-
V п п
вычисления lim./1+Д- мы
я->« V Л
и lim(l+^) =1+ lim- = L
я->« л-ф® П
2”
2. Найти lim——.
-и. 2+л‘
Решение. З'ч = 1/11+~г1
2 +л2 / I 2я)
но lim^ = O (предел 4 из 94), еле-
я-ио 2
довательно,
3. Пусть x„=(n+l)F-nF, 0<р<1. Найти limx„.
Очевидно,
(поскольку
хр<х при х< 1). Так как lim ; „ = 0 (см. предел 1 из 94), то по теоре-
Л->« П
ме 1 о неравенствах(93) имеем limx„ = 0.
. .. Уи7+8и4+л.Ьл
#4. Найти lim-1------------сое л!
Л л/и
Решение. Несмотря на громоздкий внешний ввд, задача несложная. Поскольку
limf 1+ 1+ lim+ lim-!- 1, то
л’ л6/ •-♦•л’ «-^л t
7/S $/л7+8л4+Л л7/5 1 In
* л \ Следовательно, л——т----------. Поэтому
п^п п п~5 п
Ьал **
§1. Пределы и непрерывность
255
~ In л, откуда lim ^/я t2L. hi л « lim -Д— In л « 0 согласно пределу 3 из (94).
л1'15 лл/л — и1'15
«/л7 +8л4 +л In л
Последовательность (совл !)ш ограничена, следовательно, lim -----=------cos л! = О
л V»
как предел произведения бесконечно малой последовательности на ограниченную.
Фактически все рассуждения свелись к доказательству того, что (а^л*+...+0^+09) ~
остальное элементарно.
ая
#5.Пусть х**—,в>0, где л!“Ь2-3-...л. Найти limx*.
л! |ГИ*
1. Если а<1, то lime**0, а последовательность с общим членом ^“л! является,
очевидно, бесконечно большой. Поэтому limх.«lima"-lim—«О .
**• »*•
2.' Пусть а > 1. Заметим, что x„+i« , поэтому, начиная с любого л > а-1, после-
довательность (х«) становится убывающей и, следовательно, сходится, поскольку ограниче-
на снизу нулем. Пусть limХи*Ь, тогда Ь» limxi,+1* limx^, • lim-^-«b-0, откуда fc-O.
Я Я я ц+1
ая
Итак, lim — «0.
я-м» п\
#6. Последовательность (x«>ai задана рекуррентным соотношением ^«>/2,
хя+1 * ^2+х^ • Док*3****410 эта последовательность сходится и найти ее предел.
Решение. Поскольку х2 «^2+5/2, х3 хя « |2+^+^н& , ясно, что последо-
Я кормЯ
вательность (х») монотонно возрастает.
Докажем по индукции, что x*<j2 + l для любого л. В самом деле, <^2+1;
если предположить, что х»< ^2 +1, то x^j»^2+xj, < ^2 + ^2+1 < ^2 + 2^2 + 1«
»-J(^+l)2 «Л+1-.
Таким образом, последовательность (х.) имеет предел, поскольку она монотонна и ограни-
чена. Пусть Imax^x. Очевидно, что limX^-x, и в силу непрерывности квадратного корня
(112) tinLj2+xn» |2-hlimx~« J2 + x . Следовательно, х«limх^+1« limл/2+х^»
Я-МО * У
»те- 2+Х Уравнение х*-х + 2 = 0 имеет два корня Xi—1ИХ1«2. Поскольку
х > 0, получаем я 2 •
#7. Пусть а>0,хо>0, положим xw+i « — I хя + — I. Доказать, что Итх^^/а.
256
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Решение. В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим.
хя+1 £ 4а при любом п, поэтому хя+1-хя= if — - х 1 =£z5l_< о . Таким образом, по-
2 \ *п / ^Хц
следовательность (x^K^i убывает. Следовательно, она имеет предел, поскольку ограничена
снизу числом 4а, Пусть 1йпхя«Ь, тогда, переходя к переделу в равенстве
л->«
справа и слева, получим b « . Отсюда Ь = а2, т.е.
Таким образом, мы доказали, что процесс, рассмотренный в конце 23, действительно по-
зволяет вычислить -Ja .
#96. Предельные точки. Число £ называется предельной точкой
последовательности (хя)яг1, если у этой последовательности существует
такая подпоследовательность (х„д) tai, что limx„4 = £ Для того чтобы £
была предельной точкой последовательности (хя)яг1, необходимо и доста-
точно, чтобы в любом интервале (£-г,£+г) с центром в £ содержалось
бесконечное число элементов последовательности (х„).
Пример 75. Предельные точки.
1. Найти предельные точки последовательности с общим членом
Решение. При четных п-2к имеем х„=ха= 1, при нечетных л = 2Л-1
имеем хя = Хг*_1 = 0. Таким образом, последовательность имеет вид 0,1,
0, 1,..., поэтому у нее будут две предельные точки: Oslimx^] и
l = limx2t, причем 0 = infx„H l = supx„.
Ar->=o п п
2. Пусть х„=(-2)"л2. Найти предельные точки последовательности
(ХЯ)Я21.
Решение. Последовательности (2")яг1 и (л2)^ монотонно возрастают
и не ограничены. Поэтому конечных предельных точек у последователь-
ности (хя)яг1 нет. Однако в терминах бесконечных пределов limx2t=
= lim[224 (2Jt)2l=+oo, limx2t_i = liml-22t(2A:-l)2|=-oo и limx =oo.
3. Найти предельные точки последовательности с общим членом
х„ = л+ (-1)"Гл — — .
§1. Пределы и непрерывность
257
Решение. При четных п = 1к
. 1
получаем х„=х»=х + 2к~ —
= 2л - , при нечетных л = 2к -1 соответственно х„ = i = 2k -1 -
—77 = -. Таким образом, последовательность (хя)й1
2Аг—1 п
ограничена снизу (нулем), но не ограничена сверху (изобразите ее на
числовой оси); подпоследовательность (х»)ь1 возрастает и limx2t=+oo,
подпоследовательность (х». i)tai убывает и lim x2t_]= inf х„= 0.
п
Для определения существования предельных точек последовательно-
сти справедлива принципиальная теорема (Больцано - Вейерштрасса):
всякая ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну
предельную точку.
Каждая последовательность имеет верхнюю предельную точку, которая
обозначается limx„ или limsupxn, и нижнюю предельную точку, кото-
• п
рая обозначается limx- или lim inf х„ (может быть, бесконечные). Они
п п
получаются следующей нехитрой процедурой. Пусть х„ = supxm = V х„
min
(возможно, Хл=+оо) и хл = inf х„ = А хт (возможно, х„=-оо). По
nten "&*
определению, х,£х2;>...и х^х^..., причем х„£хя для любого
п, тоща lim sup хл =1шь1х„ и liminfx„ = limtx„. Среди возможных
Я я я я
предельных точек lim supх„ является максимальной, a lim inf х„ - ми-
Я я
нимальной.
Если последовательность имеет единственную предельную точку, то
она, очевидно, является пределом этой последовательности. Всегда
liminfx„£limsupx„. Если liminf x„=limsupx„, то lim inf x„ = limx„ =
я я я я п П-+*>
= limsupx„.
Я
17-5091
258
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Числовые ряды. Начальные сведения
Сходящиеся ряды, примеры, суммы некоторых числовых рядов; комплексные
ряды (97). Критерий Коши (98). Некоторые свойства сходящихся рядов:
сочетательное, переместительное, теорема Римана о перестановке членов
условно сходящихся рядов (99). Некоторые признаки сходимости рядов: признак
сравнения, признак Д'Аламбера, признак Лейбница, радикальный признак
Коши (100). Ряды и элементарные функции (101)
97. Основные определения. Выражение вида
at+a2 +...+в„...= £ая,
л=1
где все a„€R (действительные числа), называется числовым рядом
или просто радом. Числа аь а2,... - члены рада, а.-общий член рада.
Определяемая радом последовательность
Si = аь
$2 ~ Oi + О2,
S„ = ai+ а2 +...+
называется последовательностью частичных сумм ряда,
оо
Рад сходится, если существует конечный
л=1
limSn=S,
оо
называемый суммой рада S а„; в противном случае рад расходится. Для
оо
суммы сход ящегося рада разрешается писать S=^a„.
л=1
00
Сумма rn = Т.ак-S-Sn называется л-й остаточной суммой ряда или
/г=л+1
остатком ряда. Согласно свойствам пределов последовательностей, для
сходящегося ряда lim(SM -£)= limr„ = limr^ =0. В частности, общий
член сходящегося ряда обязан стремиться к нулю.
Если все члены ряда имеют одинаковые знаки, то рад называется зна-
копостоянным (могут быть знакоположительные ряды или знакоотрица-
тельные). Если не все члены ряда имеют одинаковые знаки, то рад назы-
§1. Пределы и непрерывность
259
вается знакопеременным. Рад вида -Ь2 +Ь3-ЬА +...= Е(-1)" ХЬЯ , где
Л=1
все Ь„> 0, называется знакочередующимся.
Суммы некоторых важных числовых рядов:
к2 6 ; к2 " 12 ; & к4 " 90 ;
” 1 я2 * (— 1)*~г я * (-1)*"1
£(2Jt-l)2 ’ 8 ; £ 2Л-1 ~4’ ta2-
Пример 76. Ряды и их суммы.
1. Сумма геометрической прогрессии. Пусть xeR. - произвольное
СО
действительное число. Ряд £х*=1+х+х2+... называется геометри-
м
ческой прогрессией. Предположим, что |х| < 1. Показать, что при этом
предположении рассматриваемый ряд сходится, и найти его сумму.
Решение. Для данного ряда легко вычисляются частичные суммы -
это позволяет свести задачу к вычислению предела простой последова-
Я
тельности. Положим £х* = 1+х+...+х" = S„. По формуле конечной гео-
м
1-х"+1
метрической прогрессии (пример 71.1) имеем . А поскольку
l-lunx"*1 .
limх"*1 = limx"=0 (пример 72.4), то S=lim S„ = —!“=--= —.
л-** л->«> 1“ х 1—X
Так как S-S„=-----, то получаем и оценку для остаточной суммы ряда:
1-х
Прих=1 получим 5я=л+1, т.е. ряд расходится. При х=-1 имеем 5»ж1,
a $»-ia0, it* 0,1,2,... Таким образом, последовательность (&) имеет вид
0,1,0,1 т. е. ряд расходится. При |х| > 1 величина £„ растет с ростом л,
поэтому ряд расходится.
Итак, при |х|<1 сумма геометрической прогрессии > а ПРИ 1Х1^
£1 ряд расход ится.
17"
260
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Отметим, что формулу суммы геометрической прогрессии знали еще
математики Древней Эллады.
оо ।
2. Найти сумму рада 2?- -
Решение. Поскольку а =—--4т> то S = Еа* =(l-v)+
п Л+1 \ */
+(---)+...+[ ——-]+(-——] = 1——. Следовательно, limS =
V2 у \л-1 п/ \п п+1/ л+1 »-»•
/ 1 \ ® j
= liml 1+ —rl = 1. Итак, £ —;—:т = 1.
к И+1/ n=lW(w+l)
оо -/и2+1
3. Сходится ли рад г—?
„-1 1пл/л+л
Решение. Оценим общий член. Поскольку In л/л = ^1пл и д/л2+1 -л,
-+1 '
то общий член а,—т#-------, следовательно, lima. = 1. Поэтому рад рас-
2 п
ХОДИТСЯ.
оо
Рад с комплексными членами Ci=ai+t/>i,...,c,=a,+i/>„ называется
Л=1
комплексным, рядом. Рассмотрим последовательность частичных сумм
оо
Ci-c\,C2=Ci+c2....Ся=с1+...+ся,... комплексного рада ^с„ . По опреде-
ч л=1
лению (91), последовательность (Ся)яг1 сходится к комплексному числу
I I “
С, если lim|C„-C| = 0. С называется суммой рада '£1с„ .
*-»в П=1
Для сходимости С„ к C=A+iB необходимо и достаточно, чтобы А =
= 1цпЛ„ и B = limB„, где Ая-а} +...+а„ и Вя-Ь\+...+Ья. Таким образом,
Я->0О я-><®
суммирование комплексных радов может быть сведено к суммам обыч-
ных числовых радов. Это следует из аналогичной теоремы д ля последо-
вательности (см. 91) или из неравенства | Ап - А | V
л)2 + (вя-в)2 л| + |в„-в|, поскольку |СЯ-С| =
=^(ля-л)2 + (вя-в)2.
§1. Пределы и непрерывность
261
Пример 77. Используя таблицу сумм числовых рядов, найти сумму
°° / ] / \
ряда Екг+-т) •
П=1Ч/- " '
П V 1 1/2 ,
Решение. L = 1 как сумма геометрической прогрессии, а
я=1 2 1-1,2
V 1 я2 “7 1 М « 1 “ 1
Z -Г=7" Следовательно, 2Л^+-т| = L ~+»Е~=1+«—•
я=1 и О л=1'2 п ' я=1б2 я=1 2 О
98. Критерий Коши. Для сходимости рада необходимо и доста-
Л=1
точно, чтобы для любого £>0 существовало такое число N=N(e), что при
любых n>N и £>0
|s„.-s,l= £
п+к
; aj <s
/=п+1
(см. критерий Коши д ля последовательностей в 88).
со ।
Пример 78. Ряд S - называется гармоническим. Доказать, что
Я=1 и
гармонический ряд расходится, хотя его общий член стремится к нулю.
Решение. Во-первых, гармоническим этот ряд называется потому,
что каждый его член равен среднему гармоническому соседних:
+ 7~1 = |((п -1)+(л +1)) = у-.
2 ka„_i а^) 2 ' Л.
Для любого п
„ „11 1 11
Snl и — S„ =--+----+...+— > п — = —.
*** " л+1 л+2 2» 2л 2
Следовательно, по критерию Коши ряд расходится.
Это можно было доказать и непосредственно: если существует конеч-
ный limS„=S, то lim52„ = S и lim(S2B-SB) = limS2n-limS„ =0,
я->• Я->« Я—>00 Я—><О я—>00
что противоречит установленному выше неравенству S„+„-S„ > 1/2.
Доказанное означает, что общий член убывает Слишком медленно.
О значении критерия Коши для теоретических задач математики и фи-
зики см. 88.
262 Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
99. Абсолютно сходящиеся ряды. Некоторые свойства сходящихся
00
радов. Ряд Zan называется абсолютно сходящимся, если сходится
Л=1
ряд £|а„|. Поскольку
Л=1
я+Лг л+Аг . .
2 aj < 2 aj\ >то из абсолютной сходимости
/=я+1 /=л+1
ч 00 00
в силу критерия Коши следует сходимость ряда "£ап. Ряд называ-
Л=1 Л=1
00
ется сходящимся условно, если сам он сходится, но ряд £| о„| расхо-
Л=1
дится.
Все то же справедливо и д ля комплексных рядов.
Некоторые свойства сходящихся рядов
00
1. Сочетательное свойство. Если все члены сходящегося ряда
Л=1
объединить в произвольные группы, не изменив расположения слагае-
мых, то ряд (oj +...+а„ ) +(a„l+i +...+а„2) +... будет иметь ту же сумму,
что и исход ный ряд.
2. Переместительное (перестановочное) свойство абсолютно
00
сходящихся рядов. Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полу-
Л=1
ченный из него любой перестановкой членов, также сходится и имеет ту
же сумму, что и исходный ряд.
3. Теорема Римана. Члены условно сходящегося ряда можно переста-
вить так, чтобы преобразованный ряд имел сумму, равную любому напе-
ред заданному числу, или стал расходящимся.
Таким образом, нет ничего удивительного в том, что разная расстанов-
ка скобок в ряде, рассмотренном Гвидо Грацди (88), привела к разным
результатам - ряд расход ящийся. Более того, согласно теореме Римана,
даже со сходящимися, но условно, рядами надо обращаться с осгорож-
00
ностью. Так что Грацди в связи с рядом £(-1)" поминал (с.242) имя
п=1
Господа всуе - он тут ни при чем.
100. Некоторые признаки сходимости рядов. Очень редко удается
непосредственно посчитать частичные суммы ряда подобно сумме гео-
§1. Пределы и непрерывность
263
метрической прогрессии. Поэтому возникает проблема, как по виду чле-
нов ряда определить, сходится ли данный ряд.
Некоторые признаки сходимости
°°
1. Ряд ^Ь„ с неотрицательными членами называется мажорирую-
Я=1
со
щим для ряда Z ая, если | а„ | S Ь„ для всех л, начиная с некоторого N.
Я=1
00
Признак сравнения. Из сходимости мажорирующего ряда Y,b„ еле-
Л=1
00
дует абсолютная сходимость ряда £ая. В частности, если ан~Ья при
Л=1
п->оо, то оба ряда сход ятся или расходятся одновременно.
Следствие. Если |а„|£с0", О<0<1, начиная с некоторого п=к, то
00
РЯД £оя мажорируется геометрической прогрессией и поэтому схо-
Л=1
дится абсолютно, причем для остаточной суммы ряда справедлива
^н-1
оценка |гя|^с-т-т' при всех п'&к.
1—V
2. Признак Д'Аламбера. Если а_>0 (л=1,2,...)и lim = q, то при
ап
00
q< 1 ряд £ая сходится, а при q> 1 расходится (при q= 1 ряд может как
Л=1
сходиться, так и расходиться). Условие также достаточно
ап
для сходимости рада.
Доказательство основано на том, что ряд, удовлетворяющий условию
Д’Аламбера, мажорируется геометрической прогрессией.
Оценка остаточной суммы: из условия q< 1 следует, что начиная с не-
которого п=к выполнено 1,откуда гя-ак lg при всех п^к.
3. Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд £1-62+^3-64+...=
= S(-l)"” Ья, Ь„>0, сходится (вообще говоря, не абсолютно), если
Л=1
1) >Ь2 >...>Ь„ >... и 2) lim6n=0.
264
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
В этом случае для остаточной суммы ряда справедливы формулы:
г. = (-1Гадн1,0<4^1, откуда |гя|<Ья+1.
ч
4. Признак Коиш. Если = q (в частности, = 0 )ДДЯ
00
знакоположительного ряда £ая, то при q< 1 ряд сходится, а при q> 1.
Я=1
расходится (при q-1 ряд может как сходиться, так и расходиться). Этот
признак также называют радикальным признаком Коши.
Оценка остаточной суммы: из условия <?<1 следует, что ап^вп,в<\,
начиная с некоторого л=£, откуда гя£0"+,/(1-0 при всех п~гк.
Пример 79. Исследовать сходимость рядов:
Решение. 1. Общий член этого ряда
3) Е(-1)-’^,г>0.
»=1 Я
а"=Ь^(2^1)’ П°ЭТ0МУ
ая. । л+1 1 „ .
-JL-L= -—. Следовательно, по признаку Д Аламбера, рад сходится.
ап Zn+l 2
2 1
2. При нечетных л=2£-1 имеем а2*-1=^2Г=^5КТ >а при четных п=2к
4 1
получим а2*=^5*тг=^5ЕТ=а2*_1. Следовательно, а„/ап-} = 1 при п-2к и
= 1/4 при п = 2к-1, т.е. предела не существует; вдобавок
верхняя предельная точка равна 1. Таким образом, признак Д’Аламбера
здесь неприменим.
I— 1 |34/-.пя
Однако Ufa , а поскольку
Коши, исследуемый ряд сходится.
lim а,/я=а°=1 для любого
П-+®
следовательно, по признаку
3. Согласно признаку Лейбница, при г>0 ряд сходится. (В соответствии
§1. Пределы и непрерывность
265
с результатами 143 (с.376) при г > 1 сходимость абсолютная, а при
0<г£1 -условная.)
Иные признаки сходимости рядов излагаются в 143.
101. Ряды и элементарные функции. Одной из важных причин изучения родов является
их роль в вычислении значений элементарных функций.
Если взять, к примеру, функцию у * sinx, которая рассматривается в курсе сред ней школы
и называется, как известно, элементарной, то школьная таблица значений синуса, а также
формулы половинного, д войного или тройного углов позволяют посчитать ее значения в очень
ограниченном числе точек. Оказывается, что и формула Муавра немногим улучшает ситуа-
цию. Те же проблемы возникают и при вычислении значений других элементарных функций:
показательной, логарифма и тд. Только степенная функция с целым показателем вычисляет-
ся в самом деле элементарно. Так что при внимательном рассмотрении элементарные функ-
ции оказываются не такими уж элементарными.
Один из эффективных путей вычисления значений элементарных (и других важных
функций) - приближение их степенным родом (приближение рядами Ньютон считал
наиболее сильным методом вычисления и изучения функций). Так, например,
х2"’1 2 **
sinx«x-—+...+(-1)"------+..., еж= i+x+i-+...+ —+... итд. (см. 125). Поэтому задача
3! (2я-1)! 2! я!
я
вычисления Дх) сводится к задаче вычисления соответствующей конечной суммы Д,« ^ак
и последующей оценке остатка гя(х) « /(х) - А*, чтобы было ясно, сколько слагаемых сле-
дует взять для вычисления значения Дх) с нужной точностыб.
Возможно и приближение исход ной функции суммой других, более простых или уже ранее
вычисленных функций. Лучшим приближением является тот ряд, который сходится быстрее,
не всегда таковым будет степенной ряд. Вычисление элементарных функций - целая наука,
в серии «Справочная математическая библиотека» этой проблематике посвящен отдельный
том.
Таблицы значений элементарных функций существуют уже давно. Сейчас значения эле-
ментарных функций вычисляются при помощи специальных компьютерных программ, бази-
рующихся опять же на рядах.
Предел функции
Определение предела функции, примеры; бесконечно малые и бесконечно большие
функции, предел в бесконечности, примеры (102). Основные теоремы о пределах
(103). Значения основных пределов (104). Арифметические операции (105).
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций (#106).
Эквивалентность и о-символика (107). Основные методы вычисления пределов
(108). Односторонние пределы, примеры (109)
Элементы теории пределов функций действительного переменного яв-
ляются необходимой увертюрой для понимания непрерывности функции
в трактовке математического анализа, а следовательно, движения в фи-
зике, для определения и вычисления значения производной функции (т.е.
266
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
скорости в интерпретации физических процессов и касательной к кривой
в интерпретации геометрической).
Кроме очевидно необходимых правил вычисления значений производ-
ной функции следует также исключить и появление качественных оши-
бок вроде утверждения о том, что любая непрерывная функция имеет
производную во всех точках, которое в течение многих десятилетий XIX в.
содержалось в стандартных учебниках по математическому анализу.
102. Основные определения. Определение функции, примеры и на-
чальные сведения содержатся в 26. Функция Дх) называется возрас-
тающей, если ДХ1)<Дх2) для любых хь х2, таких что xj<x2, и называется
неубывающей, если ДХ1)^Дх2) при xt<x2. Очевидным образом определя-
ются убывающие и невозрастающие функции. Все такие функции назы-
ваются монотонными, возрастающие и убывающие функции называются
строго монотонными.
Функция Дх), хеХ, ограничена сверху (снизу) на множестве X, если
существует такое число М (соответственно т), что Дх) <М (соответ-
ственно /(х)^т)для любого хеХ. Функция ограничена, если она ограни-
чена и сверху, и снизу, очевидно, условие |Дх)|^С для всех хеХ являет-
ся необходимым и достаточным для ограниченности функции f (•)•
Пример 80.Монотонные функции.
1. Функция y=tgx, 0^х<л/2, монотонно возрастает, ограничена снизу
(нулем), но не ограничена сверху.
2. Функция у=^х+1 -л/х, х^О, убывает и ограничена.
____—г-. Поэтому, если 0<xi <х2, то Jxt +1 +-Jx^< Jx2 +1 + Jx7,
Jx+l+Vx
откуда । " 7—r— > -i—г—7— > 0. Также -7==—j— < 1 Для всех x>0.
7 V^+i+7^ ^/x2+i+7xj TxhT+Vx
Пусть функция Дх) определена на некотором интервале (а-r, а+г).
Число А называется пределом функции Дх) в точке а (обозначение
А = lim /(х)), если для любого числа £>0 существует такое <?=<?(£), что
|/(х)-Л|<₽
для всех таких хе(а-г,а+г), что 0<|х-а|< 8.
§1. Пределы и непрерывность
267
С использованием логических символов это определение компактно
записывается в виде
А = lim/(х) <=> Vx>O36=6(x)((o<|x-a|<6')=>(|/(x)-.l4|<e))
или тождественно
А = lim /(х) <=> Vs>036= б(х) (Vx(0<|х-а| «5))(|/(х) - Л|<х).
Смысл заключается в том, что f (х) будет сколь угодно близка к А при
всех х, достаточно близких к а.
Поскольку {х: |х-хь |<с/}={х: x^-rf<x<xb+rf}“(xb-<4xb+<()> а {х: (Kfx-xoH
<<О“(хь-<#,хь+с/)\хь, то геометрически смысл выполнения неравенства
|Дх)-Л|<4; если только 0<|х-а|<6, означает, что все значения Дх) при
а-8<х<а+8, х*а, попадают в интервал (4-г^4+г) (рис. 44а). Исключение
равенства х=а поясняет рис. 44 б: если Да)#Л (на графике Да)»О), то все
равно для функции, график которой представлен на рис. 446, естествен-
но считать, что функция стремится к А при стремлении переменного к а
(а значение_Да)-О-это нечто вроде «сбоя» в определении функции).
Очевидным образом это определение распространяется на случай бес-
конечного а («предел в бесконечности»):
lim /(х)=Л oV<>03A/=A/(tf)Vx(|x|>A/)d/(x)-y4|<ff) (рис.45а),
Jun f(x) = A oV«>03A/=A/(ff)Vx>A/(|/(x)-Л|<«) (рис.456),
Jun /(х) = А <=> Vs> О ЗЛ/= M(s) Vx <-М(|/(х) - Л|<«) (рис. 45в),
Рис. 45
268
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Все эти три случая имеют естественную интерпретацию. Так, функция,
имеющая конечный 1цп/(х)=Л , описывает процесс, который со време-
ем становится стационарным (постоянным, неподвижным) или почти
стационарным.
Можно также условиться говорить о бесконечных значениях предела
функции:
lim /(х) = -ню VC> 0 3 А/= >0 Vx <-М (f(x) > С);
lim/(х) = оо о VC>03<5=£(zr) (Vx(0<|x-o| «5)) (|/(х) | > С);
lim/(х) = -оо oVC>03A/=A/(₽) >0Vx>A/ (/(х)>-С)
(рис. 46 а, б, в соответственно) и тд. Такие функции называются беско-
нечно большими при х->а (в первом случае а = -<х>, а в третьем
а = ч-оо, т.е. комбинировались бесконечный предел с бесконечным пе-
ременным).
Лх) = -х2
lim /(х) = -со
АУ
Функция Дх) называется бесконечно малой при х-> а (а может быть
бесконечным), если lim f (х) = 0. Очевидно, lim /(х) = А <=> а (х) =
х-»а х->в
= /(х) - А является бесконечно малой. Функция f (х) будет бесконечно
малой при х->а тогда и только тогда, когда функция 1/Дх) - бесконеч-
но большой (при х->а). Доказательство почти совпадает с доказатель-
ством этого утверждения д ля последовательностей.
Пример 81.Вычисление элементарных пределов функций.
1. Показать, что lim *** —— = а.
§1. Пределы и непрерывность
269
Решение. Утверждение следует из цепи эквивалентных неравенств
2. Показать, что для функции
/(х) = |^+1, х#0(а>0),
-1, х = 0,
выполнено равенство lim /(х) = 1.
х-М)
Решение. Vs>0 и х#0 неравенства |/(х)-1| = |а2х2|<£ и
|х|< — эквивалентны. Поэтому, взяв 6 = — и|х|<£, получим
1 1 а а 1 1
/(х)-1 = |а2х21 < а2<?2= s, что, по определению, означает lim /(х) = 1.
1 х->0
103. Основные теоремы о пределах.
1. Функция может иметь в любой точке не более одного предела.
2. Функция Дх), имеющая конечный предел в точке а, ограничена
вблизи этой точки, т.е. в некотором интервале (а-6,а+6). Бели этот пре-
дел не равен 0, то функция l/Дх) также ограничена вблизи а.
3. Если lim f (х) = A, lim g(x) = В и /(х) £ g(x), то А £ В.
х-м х-»а
4. Если gj(x)£/(x)£g2(x) и limgj(x)= limg2(x) = Л, то и
х—х—
lim /(х) = А.
х->л
5. Если lim а(х) = 0, а функция Дх) ограничена вблизи а (т.е. в неко-
х->а
тором интервале (p-S, а+В)), то lim a(x)f (х) = 0.
6. Предел функции и предел последовательности связаны теоремой
Коши - Гейне. Следующие условия эквивалентны:
1) 1йп/(х) = Л;
х->а
2) для любой последовательности хь х2>... (все х„* а) из области опре-
деления функции Дх), сходящейся к а,
= А.
270
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
104. Значения основных пределов.
1. lim (1/хг)=0, г>0. 4. lim—=0, а>1 ах
2. lim (1/1пх)=0. 5. v sin* 1 lim = L х-И) X
3. lim — 1пх=0, г>0 х-»-н»ХГ 6. limfl+—) = lim(l+01/r = е.
Эти соотношения говорят не только значениями основных пределов, но
и о принципиальных свойствах фигурирующих в них функций: 1) степен-
ная функция с показателем степени, большим нуля, неограниченно воз-
растает с ростом аргумента; 2) логарифм неограниченно возрастает с
ростом аргумента; 3) логарифм возрастает медленнее любой степенной
функции; 4) любая степенная функция возрастает медленнее показа-
тельной; 5) вблизи нуля синус эквивалентен своему аргументу, т.е. ведет
себя примерно так же, как и линейная функция у-х, что позволяет при
малых значениях аргумента заменять в гармонических колебаниях sinx
на х; 6) дает функциональное выражение д ля е.
Замечание 1. Согласно общепринятой терминологии, предел 5 назы-
вается первым замечательным пределом, а предел 6 (так же, как предел
из 94) - вторым замечательным пределом.
Замечание 2. Доказательство первого замечательного предела ис-
sinx
пользует оценку -1 < |х|. Полагая ах=и, получаем
a sin» а _ а
b и b b
sin»
N
|х|, откуда
sinax а
~bx I
0 £ lim
sinax
bx
а
b
a I I
£-;-lim x =0, т.е.
о x->0 '
lim
х-Ю
sinax
bx
a
b'
Этим результатом мы и будем пользоваться в д альнейшем при вычисле-
нии пределов.
105. Арифметические операции. Пусть Д-) и #(•) - произвольные
функции и существуют lim /(х) и limg(x). Тогда справедливы следую-
Х->в X-XI
шие утверждения:
§1. Пределы и непрерывность
271
1) lim [/(х) ± g(x) ] = lim /(х) ± lim g(x) ;
х-*л х->а х->л
2) lim[/(x) g(x)] = lim/(х)• limg(x);
x->a x—>a x->a
3) lim [ /(x) /g(x)J = lim /(x) / lim g(x), lim g(x) # 0.
x—>a x—x—>a x-+a
# Для примера приведем доказательство третьего утверждения. Пусть
lim /(х) = А и lim g(x) = В * 0. Тогда функции a(x) = f (х) -А и Дх) =
x->a х-»а
1 \Ва(х)-Ар(х)\<.
=g(x)-B будут бесконечно малыми и =;----г
g(x) В |Bg(x)|
^|^(|Ва(х)|+ИД(х)|).Но0<|в|-^кх)|^|в|+^ на некото-
ром интервале (а-<5,а+3), так как limg(x)=B#0. Поэтому можем рас-
Х-*Л
1 2
сматривать функции только на (а-3, а+3) и считать, что дГ» а
кроме того, функции Ва(х) и А Д(х) будут бесконечно малыми (в силу
либо утверждения 2, либо утверждения 5 из 103). Следовательно,
0£lim 1пп|ва(х)| + Иш1лВ(х)| =0 согласно утвержде-
х->л g\x) В В2 х-нг J
нию 1 (105), что, по определению, означает lim [ f (x)lg(x) ] = At В.
x->a
Пример 82.Вычисление пределов.
1. Найти lim—-—-—.
ж-»2 *2+Зх-10
Решение. Очевидно, lim х = 2, и по теореме о пределе произведения
х->2 (
(2,105), limx2= limx limx = 4, поэтому lim(x2-4) = 0 и lim(x2+3x-
х->2 х->2 х->2 х->2 х->2
-10) = 0. Значит, теоремой о пределе частного (3, 105) воспользоваться
не удается, но это не беда. Заметим, что при х* 2
х2-4 (х-2)(х+2) х+2
х2+Зх-10 ~ (*~2)(х+5) “ х+5 ’
х2—4 х+2 u“(*+2) lim*+2 4
поэтому lim----------= lim----=-£±2----=£±2------
*-*2x2+3x-10 х-+2 х+5 lim(x+5) limx+5 7
272
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
апх +...+а,х+а0
2. Пусть R(x) =-----------------, ап ,Ьт 0. Показать, что
imrM+...+V+*0
оо, п > т,
limЯ(х) = \ап!Ьп, п = т, ,
Х->00
О, п<т.
lim[aM(xn/x")+...+a1(x/x") + а0/х"]
Решение. Имеем: limA(x) = ii=7-----------—-------------------т =
х-и» limp_(x /х )+...+k(x/x ) + Ь>/х 1
а„+ая_1 x)+...+aj lim(l/x"-1) + lim(a0/x")
=----------------------------------------------r- = TL> при т=л,
b„ +bn_i lim(l I x)+...+hj lim(l /х *) + lim(50/x ) Ья
X-»® x->® x->oo
поскольку lim(l/x*) = 0 для любого натурального к.
Х->®\ /
При п<т разделим числитель и знаменатель дроби на х"1. Получим
ая lim(l/х""")+...+а0 lim(1/х") 0
lim Я(х) = —-----------------------------— = — = 0.
х-»® b„ +A„-i lim(l/x)+...+b0 lim(1/х ) Ья
х-+а> х-»«о
При п >т согласно только что доказанному lim ——=0, следователь-
х->® л(х)
но, 1ппЯ(х)=оо как предел функции, обратной к бесконечно малой (102).
о т т jL 1* i cosax
3. Найти lim-------.
х-М) х2
2 ах 1—cosax
Решение. Поскольку 1-cos ах = 2 sin—, то lim---------— =
х-»0 х2
ах • ах • ах • ах л »
sm— Sin— Sin— Sin— Za\2 o2
= lim2—2------— = 2 lim—^-lim—— = 21— I =— (воспользовались
x-»o x x x-»o x x-»o x \2s 2
теоремами о пределе произведения и частного и первым замечательным
пределом в редакции замечания 2).
4. Найти limlJx+l-Jxl.
Х->00\ V /
Решение. Функция /(х) = |^/x + l --^х) ограничена и убывает (при-
мер 80), поэтому предел существует, однако теоремой о пределе разнос-
§1. Пределы и непрерывность
273
ти воспользоваться не можем, поскольку функции -^х + 1 и Jx яв-
ляются бесконечно большими. Но воспользовавшись преобразованием
из примера 80: f (х) = -т——-—т—, получаем lim(Jx + l - Jx\ =0.
^x+l+^x '
#106. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Свойства бесконечно малых функций.
1. Линейная комбинация конечного числа бесконечно малых функций
будет бесконечно малой.
Точнее, если п - произвольное натуральное число и lima1(x)=...
х->а
= lim а„(х) = 0, т.е. функции aif),.... а£) являются бесконечно малы-
х->а
ми при х->о, то для любых действительных чисел функция
oi ai(x) +... + awa»(x) будет бесконечно малой при х->а.
2. Произведение любой бесконечно малой функции на ограниченную
будет бесконечно малой функцией.
Точнее, если а(х) является бесконечно малой при х->а и fix) ограни-
чена вблизи а, то функция /(х)а(х) будет бесконечно малой при х->а.
3. Произведение (а также частное от деления) бесконечно малой на
функцию, имеющую конечный (соответственно отличный от нуля) пре-
дел, будет бесконечно малой.
Точнее, если функция а (х) является бесконечно малой при х -> а и
lim/(x) = H*oo(limg(x)*0), то функция fix)a(x) (a (x)/g(x)) является
х->а х—
бесконечно малой при х->а.
Это утверждение следует из утверждения 2, потому что функция,
имеющая конечный предел в произвольной точке а, ограничена вблизи
этой точки (2,103).
Свойства бесконечно больших функций.
1. Сумма бесконечно большой и ограниченной функции будет беско-
нечно большой функцией.
2. Частное от деления бесконечно большой функции на ограниченную
будет бесконечно большой функцией.
3. Частное от деления (а также произведение) бесконечно большой
функции на функцию, имеющую конечный предел (соответственно от-
личный от нуля предел), будет бесконечно большой функцией.
’8 - 5091
274
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Читателю предоставляется возможность дать точные формулировки
этих утверждений.
107. Эквивалентность и о-символика. Функция £(х) называется
асимптотической единицей при х-м (а может быть и бесконечным), если
lim£(x)=l. Функции и(х) и v(x) называются эквивалентными (обо-
X->fl
значение и(х)~ v(x)) при х-+а, если lim[«(x)/v(x)| = 1, т.е. их частное -
асимптотическая единица. Если v(x)~v(x) при х-»<ю, то функции и(х) и
v(x) называются также асимптотически равными.
Важность понятия эквивалентности в том, что при вычислении преде-
лов можно в произведениях и частных заменять функции на более прос-
тые эквивалентные и тем самым облегчить задачу вычисления пределов.
Точная формулировка; если u(x)~v(x) при х-*а и существует lim(/(x)x
х->а
ху(х))=Л ^lim(/(x)/v(x))=B^, то 1пп(/(х)и(х))=Л ^1ш1(/(х)/и(х))=в).
Доказательство элементарно.
Основные соотношения эквивалентности
1) sinx~x; 2) tgx~x; 3)[е*-1]~х; 4) [в*- 1]~х1па,о>0;
5)[!(/1+х -1]~х/я; 6)[(l+x)r-l]~rx,reR; 7)arcsinx~x; 8)arctgx~x
9)ln(l+x)~x; 10) loge(l+x)~x/lna, a>0,a*l,
везде x->0.
Пример 83.Вычисление пределов.
1. Найти lim—-———.
x—»0 1-(1+x)
Решение. Пусть n*-l=v и (l+x)w-l=w, тогда n*(l+x)"-l=(v+l)(w+l)-
-l=w+v+w. Ho v(x)~xliia, w(x)~mx, 1-(1+х)"ж-[(1+х)"-1]~(-лх), откуда
.. а*(1+*У"-1 .. xx.. *(*) М») .. *КХ) * tae+m
lim 1= hmv(x)lim-^+hm4±+lim-^=—+—=---------—.
x-*0 1-(1+х)л х-И) х-И) -** х-И) x-M) “n n
шланги
,a>L
Решение. Поскольку
. ~ • a—В a+B
sina - sinp = 2sm——cos—to
2 2
§1. Пределы и непрерывность
275
sin(a+x)-sin(a-x) _2sinxcosa 2xcosa sin(a+x)-sin(a-x) _
a*-l a*—1 xlna x-»0 ax-l
2 cose
Ina
+1пх
3. Найти lim
Решение. По свойствам логарифма, limln|
In оо=оо, а
limlnx=-oo, поэтому необходимо преобразовать числитель:
+1пх=1п х
=1п(1+х)~х согласно соотношению эквивалентно-
сти 9, а arctgr~x согласно 8. Следовательно, lim
+1пх
----= 1
Функция и(х) называется о-малой от v(x) (записывается w(x)=o(v(x))
при x->a, если lim -^ = 0. Иными словами, и(х)Мх)=а (х)-беско-
Х-М v(x)
нечно малая при х->а. Если при этом v(x) является бесконечно малой
при х->а, то «(•) называется бесконечно малой более высокого поряд-
ка, чем v(-) (при х+>а).
Так же, как при рассмотрении эквивалентных мы заменяли функцию
линейной, порядок малости удобно определять в сравнении со степенной
функцией. Функция и(х) называется бесконечно малой порядка г>0 от-
и Сх)
носитель») х при х->0, если lim = к * 0. Соответственно и(х) на-
х-ьО х
зывается бесконечно большой порядка г>0 относительно х при х->0,
если lim^2- = Jt#0.
х-ио х
Основные свойства
1) где л-знак минимума,
2) оС*') оС*') = о0<+*),
3) о(о(0) = о(0,
везде х->0.
18*
276
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Пример 84. Показать, что функция у-cos ах - cosAx (a*b) при х-»0
является бесконечно малой второго порядка относительно х.
гг , _ . а-Ь а+b , ^(а-b \(а+Ь
Решение. cosax-cosox=-2sin-----xsm-----х~(-2) ----х ----х .
2 2 \ 2 А 2 J
п .. cosax-coshx , a-b\( a+b\ b2-a2
Поэтому Inn-------------= (-2)1 — 11 — I = ——.
х->0 хг \ 2 / \ 2 / 2
108. Основные методы вычисления пределов. Также, как для после-
довательностей, основной теоремой, на которой базируется вычисление
пределов функций (в том числе основных (104)), является
Теорема о монотонной функции-, всякая монотонная и ограничен-
ная функция имеет предел.
Точнее, еслиД-) не убывает (не возрастает) при s<x<t (s,t могут быть
бесконечными) и ограничена сверху (соответственно снизу), то для лю-
бого ае [5,/] существует sup /(х) ( inf /(х)), который и будет искомым
з<х<а з<х<а
lim/(x). Однако можно искать sup или inf не на (у, а), а на (a, f),
х-»а
тогда получим lim/(x)- inf /(х) для неубывающей функции и
х-м a<x<t
lim f (х) — sup /(х) для невозрастающей.
ж->а a<x<t
Основные приемы при нахождении пределов таковы:
- установить монотонность функции и вычислить sup или inf;
- оценить данную функцию g(x) сверху и снизу: Дх) S g{x) S u(x) и, зная
lim/(x)= limu(x) = А, из теоремы 4 (103) получить limg(x) = ^;
Х->О Х->4» Х-»в
- показать, что данная функция является обратной к бесконечно большой;
- применить теоремы об арифметических операциях;
- использовать свойства элементарных (112) и других непрерывных функций;
- комбинировать эти приемы с использованием результатов 103—105,107.
109. Односторонние пределы. Если для любого в>0 существует такое
<У=<?(£)>0, что |/(х)-Я_|<в для всех хб (а-8, а), то число А_ назы-
вается пределом слева функции Дх) в точке а и обозначается А_ =
= lim /(х) = /(а-).
х->а-
Если для любого £>() существует такое <5=<5(£)>О, что /(х)-Л+ <₽
§1. Пределы и непрерывность
277
д ля всех хе (а, а+8), то число А+ называется пределом, справа функции
f (х) в точке а и обозначается А+ = lim f (х) = f (а+).
х-»а+
Для существования предела /(х) в точке а необходимо и достаточно,
чтобы f(a~) =f(a+), тогда /(а-) = lim /(х) = /(а+) .
х-»а
Правый предел в точке а невозрастающей функции обозначается
также lijnT f(x), левый предел - как lip 4 /(х), а для неубывающей -
соответственно lim 4- /(х) и limt /(х).
xle xta
Пример 85. Примеры односторонних пределов.
1. Функция >»=Lxl называемая целой частью х, определена как наи-
большее целое число, не превосхо-
дящее х. Ее график представлен на
рис. 47. Для любого целого п имеем
LwJ = bi+J = л, и |_л—J = л-1. Функция
периодическая с периодом, равным
единице.
Рис. 47
2. Функция у = signx (сигнум х) .называется знаком числа х и опреде-
ляется так:
fl 1 4*
ж#о, «<
signx-- х ► ,
о и II р
Рис. 48
Очевидно, что signx = 1 при х>0 и signx=-l при х<0. Ее график пред-
ставлен на рис. 48. Причем, sign(O+)=l, a sign(O-) = -l.
3. Функция y=JxL, называемая дробной частью х, определена как JxL=
= x-LxJ. Ее график представлен на рис. 49.
Для любого целого п имеем J л|_=
•J n+L-O, и J л-1=1. Функция пе-
риодическая с периодом, равным
единице.
Рис. 49
278
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Непрерывность
Определение непрерывной функции, теорема о сохранении знака (110). Основные
свойства непрерывных функций: непрерывность арифметических операций,
непрерывность сложной функции; функции, непрерывные на отрезке, теоремы
о максимальном и минимальном значении и промежуточном значении; обратная
функция (111). Элементарные функции (112). Использование непрерывности для
вычисления пределов (113). Односторонняя непрерывность; классификация
разрывов (#114). Непрерывность и разрывы монотонных функций (#115)
110. Определение непрерывной функции. Функция/(х) называется
непрерывной в точке х = Хо, если lim /(х)=/(х0).
x->xq
Функция /(х) называется непрерывной на множестве X (на интерва-
ле, отрезке, всей прямой и т.п.), если она непрерывна в любой точке это-
го множества.
Заметим, что само определение (стандартное) подчеркивает отождест-
вление числовых множеств и их изображений на прямой.
Эти определения-необходимая формализация интуитивного представ-
ления о непрерывной функции как функции, график которой можно на-
рисовать, не отрывая карандаша от листа бумаги.
Функция, не являющаяся непрерывной, называется разрывной.
^ = |х|
у=(х-1)3
у=1/х
Пример 86. Примеры непрерывных и разрывных функций.
=^[х| прих#0,
j=-l прих=0
Рис. 50
Функции, изображенные на рис. 50 а и б, непрерывны (доказатель-
ство несложно), а вот функции на рис. 50в и г, не являются непрерыв-
ными - они разрывны в нуле.
Непосредственно из определения предела (если взять «=|/(х0)/2|)
следует
Теорема о сохранении знака. Если lim /(х)>0 (соответственно
X->Xq
§1. Пределы и непрерывность
279
lim /(х)<0),то /(х)> 0 (соответственно /(х)>0) вблизи точки хь, т.е.
на некотором интервале (х0- 6, х0+ 8).
Это утверждение можно кратко сформулировать так: если непрерыв-
ная функция не равна 0 в точке х0, то она сохраняет знак вблизи хо.
111. Основные свойства непрерывных функций.
1. Непрерывность арифметических операций. Для непрерывных
функций справедливо следующее утверждение: если f (х) и -g(x) непре-
рывны в точке хо, то
a)/(x)±g(x), 6)/(x)g(x), в)/(х)/^(х),^(хо)*О,
также непрерывны в точке хо. Утверждения очевидным образом следуют
из соответствующей теоремы о пределах (105).
2. Непрерывность сложной функции. Пусть «(•)- функция из X на U
(эпиморфизм), а у(’) - функция'из U в Y. Функция у- f(x) из X в Y, ста-
вящая в соответствие каждому хеХ точку у-f(x) по формуле y=f(x) -
=у(и(х)), называется композицией функций «(•) и у(-) (или суперпози-
цией, или сложной функцией) и обозначается f^yu или/(-)=У(И(‘))-
Это определение наглядно иллюстрируют диаграммы на рис. 51 для
множеств и элементов:
Рис. 51
Пример 87. Примеры сложных функций:
1) у = ^х2 +1:
2) у = есо*х+1 :
3) ,у = 1п(х+^х2 +1):
и = х1 2 3+1, y = ^i7;
u = cosx+l, у = е“;
и-х+^х2 +1, у = 1пи.
В сложной функции зависимое переменное и функция обозначены од-
ним символом (иж и(х) и ужу(и)). Это удобные обозначения, как мы убе-
димся далее, в случае, когда не может быть недоразумений. ,
Теорема о непрерывности сложной функции. Если функция и -
= и(х) непрерывна в точке хь, функция у=у(и) непрерывна в точке «о=
= и(хо), то сложная функция y=f(x)-у(и(х)) непрерывна в точке xq.
280
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Важное замечание. Теорема «о сложном пределе», вообще говоря,
не верна, т.е. если f(x)-у(u(x)), limu(x) = «0 и lim у(и) = Аъ то равен-
х—>а m->uq
ство lim f (х)=А может не иметь места. Так, если у-и? при и*0 и у-1
х->а
при и = 0 (рис. 52а), а и(х) ® 0 (рис. 526), т.е. и(х) = 0 для любого х, то,
полагая хь-0, получаем и0 = 1ппм(х)=0, lim у(и) = 0, но limy(u(x))=l,
х->0 м->0 х->0
Рис. 52
так как >,(и(х)) = Х0)"1 • Если же »(x) = xcos— прих#0и и(х)=0 при
х
х = 0 (рис. 52 и), то Uo = lim«(x) “ 0, поскольку lim х=0, а функция
х->0 х->0
y=xcos — ограничена, однако предела у(и(х)) при х->0 не существует
вовсе, так как при х„= И(яп), »eN, имеем и(х„) = хпсо&яп* 1, поэтому
г 1 /Г
иту(и(*я))»Г, а при х„'= 1/(я72 + 2я-л) получим и(х„ ) = х„ cos—=
П-+<Х> 2
= х„' 4- 0, поэтому lim у (и (х„')) = lim(x/ )2 = 0.
П->00 И—>00
Для справедливости этого утверждения (о сложном пределе) нужно
требовать вдобавок, чтобы либо и(х)*и0 вблизи хь(х#хь), либо функция
X*) была непрерывной в точке i/О-
З. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Теорема (Коши) о промежуточном значении. Если функция f(x)
непрерывна на отрезке [a,ft) и/(a)#/(ft), то/(•) принимает все значения
между /(а) и /(ft) (т.е. для любого числа С между/(а) и /(ft) существует
такая точка хе [a, ft], что /(х) = С).
Отсюда следует, что всякая непрерывная на [a, ft] функция, прини-
мающая на концах этого отрезка значения разных знаков, обращается в
нуль в некоторой точке этого отрезка.
§1. Пределы и непрерывность
281
Теорема (Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке функция
ограничена и достигает на этом отрезке своего максимального и мини-
мального значений.
Доказательство этих утверждений можно при желании посмотреть в
любом учебнике математического анализа для математических или тех-
нических специальностей. Мы же проиллюстрируем их рис. 53 а, б - тео-
рему Коши, рис. 53 в, г - теорему Вейерштрасса. Для функции, непре-
рывной на интервале, теорема Вейерштрасса неверна (рис.53д).
Рис. 53
4. Непрерывность обратной функции. Если функция y=f(x) опреде-
лена и строго монотонна на интервале (а, Ь), то из определения строгой
монотонности следует, что /(xt) */(х2) при xt #х2, поэтому любая моно-
тонная функция мономорфна и, следовательно, обладает обратной.
Справедливо утверждение: если функция y=f(x) возрастает (убывает)
и непрерывна на интервале (а, Ь), то обратная функция возрастает (соот-
ветственно убывает) на интервале (f(a),f(b)) и непрерывна в любой его
точке.
То же справедливо и для отрезка [а, Л] или любого из полуинтервалов.
При этом надо иметь в виду, что в граничных точках и функция будет
только односторонне непрерывна: слева или справа, поскольку опреде-
лена только внутри [а, 6].
112. Элементарные функции. По традиции к элементарным относят
следующие функции: степенную функцию у=хг,гбК; показательную
функцию у=ах(а>0,а*1); логарифмическую функцию y=logax(a>0,
а#1); группу тригонометрических функций: у=япx,y=cosx,_y=tgх,
y«dgr, группу обратных тригонометрических функций: y=arcsmx,
у=arccos х, у - arctg х, у=arcctg х.
1. В зависимости от показателя г различают четыре вида степенной
функции у = хг.
282
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
1.1. Степенная функция с натуральным показателем у=х" (п=1,2,...).
Рис. 54
Функция возрастает при
функция четна при
четном л и нечетна при
нечетном л; функция не-
прерывна на всей прямой
(рис. 54).
1.2. Степенная функция с целым отрицательным показателем у=х "
(л=1,2,...). По определению, х“"=1/х".
т п четны (0<ж<я) т, п нечетны
Рис. 55
Функция убывает при х>0,
функция чётна при четном л
и нечетна при нечетном л;
функция непрерывна на
всей прямой, исключая точку
х = 0, lim х“"=+<ю (рис. 55).
х-»0+
1.3. Степенная функция у = V* = х^", xSO (л = 1,2,...) (радикал).
Функция y=tfx как обратная
к функции у = х" симметрична
ей относительно главной диа-
гонали, монотонно возрастает
и является бесконечно боль-
шой при х-хю (рис. 56).
1.4. Степенная функция у = хг, х > 0, г - произвольное действитель-
ное число.
По определению, х^" = !^х*", л eN, к eZ. Нетрудно показать, что
х*/" s=|<l/x)k. Таким образом, определена степенная функция хг для
всех рациональных г. Пусть а - произвольное положительное действи-
тельное число и a = ao.fl|...a„... - его разложение в десятичную дробь.
Положим а(л) = a0.aI...an, тогда а(1) £ а(2) £...£ а(л) £... - последова-
тельность рациональных приближений снизу числа а. По определению,
81. Пределы и непрерывность
283
х“ = sq>xa(B) = lim?х“(в), а также х~* = 1/х*.
п п->л
Графики функций у = хг при разных г изображены на рис. 57.
r<s<0 0<r<s l<r<s
(свойства аналогичны. 1.2) (свойства аналогичны 1.3) (свойства аналогичны 1.1)
Рис. 57
Основные алгебраические свойства степенной функции
\.хг+* =хгх\ 2.(xr)* = х"; З.(ах)г=о'хг.
2. Показательная функция =ах(а>0, а*1).
Свойства показательной функции
а> 1 0<а<1
1. Монотонно возрастает Монотонно убывает
lim ах=0, lim ах=+оо|. \Х—>— ОО Х-++ 00 J 2. а° = 1. 3. Симметрична показательной функ- ции >' = (“) относительно оси орди- нат Оу: =а‘х. 4. Xi « х2 о aXl « а . 5. Быстрый рост (быстрее любой сте- пенной функции) при X—>оо . lim ох = +оо, lim лх«0 . \Х->- 00 Х-> +00 ) □° = 1. Симметрична показательной функ- ции у = относительно оси ординат Оу: Q) = а~х. Х] «х2 о а*1 «а*2 . Быстрое убывание (быстрее любой функции у-х“г (г>о) при х->«.
6. Бесконечно малая более высокого порядка, чем любая степенная функция ^ж|х|"гпри х->-оо. 7. Непрерывна на всей прямой. Бесконечно большая более высо- кого порядка, чем любая степенная функция у«|х|г при X—►—оо . Непрерывна на всей прямой.
284
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Подтвердим свойства быстрого роста и порядка малости
(см.4,104),а lim
График показательной функции дан на рис. 58.
Основные алгебраические свойства показательной функции
1. ач+хг = а’1 -а*»; 2. (а*1 )'2 = а™; 3. (ab)x = ахЬх.
Функция у-ех (104) называется экспоненциальной функцией или
экспонентой.
3. Логарифмическая функция y=loga х (а >0,а*1),х >0.
Функция, обратная к показательной у=ах (существующая в силу
монотонности показательной функции), называется логарифмической:
по определению обратной функции (26), если и = ах, то logo« =
=х(/-*«=х), т.е. и-ах =alofc,u, а называется основанием логарифма.
Область определения функции loge и: и>0.
Заметим, что log10M называется десятичным логарифмом числа и и
обозначается 1g и, a logc и называется натуральным логарифмом и и
обозначается 1пи.
График логарифмической функции приведен на рис. 59.
\<а<Ь
0<А<а<1
Рис. 59
§ 1. Пределы и непрерывность
285
Основные алгебраические свойства логарифмов
1. loge «v=loge«+logev, K,V>0. 4. log.« = ^L. logj, a
2. loge u/v=loga M-logav. 5- log^ u° =^10ge u.
3. logea“ =alogew,«> O(aeR). g xlog°“ = ulotaX.
Свойства логарифмической функции
a> 1 0<a< 1
1. Монотонно возрастает. 2. logaa = 1. 3. Симметрична логарифмической функции k>gi/ax относительно оси абс- цисс Ox: log^ x = -loge х. 4. Медленный рост (медленнее любой степенной функции) при х -► оо 5. Стремится к -оо медленнее любой степенной функции у = -х~г (г > 0) при х->0+. 6. Симметрична показательной функ- ции у = ах относительно главной диа- гонали. 7. Непрерывна на всей области опреде- ления {хх>0}. Монотонно убывает. logea = l. Симметрична логарифмической функции log^x относительно оси абсцисс Ox: logye х = -loge х . г Медленное убывание (медленнее лю- бой степенной функции) при х-»оо Стремится к +оо медленнее любой степенной функции у = х”г (г > 0) при х->0+. Симметрична показательной функции у = ах относительно главной диаго- нали. Непрерывна на всей области опреде- ления {х: х>0}.
Подтвердим свойство медленного роста: lim =о(а>1,г>о) и
jog / — log^ X f
динамику вблизи нуля: lim—7—= lim----7—=olx=-l (см. 104).
Г-»0+ — t Х-Н*О —X XI/
4. Основные тригонометрические функции.
4.1. Функция _y = sinx.
Функция нечетная (sin(-x)=-sinx), поэтому ее график симметричен
относительно начала координат; функция периодическая (период Т=2я)-,
область значений [-1,1] (~l£sin х£1); функция непрерывна на всей
286
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
прямой; на отрезке I - —,— функция возрастает от -1 до +1.
L 2 2 J
Г рафик функции у=sin х (синусоида) изображен на рис. 60.
4.2. Функция y=cosx.
Поскольку cosx=sin(x+^/2), то график функции ,y = cosx (косинусо-
ида) получается из синусоиды сдвигом на я/2 влево (рис. 61)
1м*
Рис. 61
Функция четная (cos(-x) = cosx), поэтому ее график симметричен от-
носительно оси ординат Оу, функция периодическая (период Т = 2я)\
область значений [-1,1]: (~l£cosx£l); функция непрерывна на всей
прямой; на отрезке [0,<] косинусоида убывает от 1 до -1.
4.3. Функция _y=tgx, х#у+я,Л, fc=0,±l,±2,...
По определению, tgx=sinx/cosx. На рис. 62 дан ее график (тангенсо-
ида). Функция нечетная [tg(-x)=-tgx), поэтому ее график симметричен
относительно начала координат; функция периодическая (период Т=я)\
Рис.62
§1. Пределы и непрерывность
287
область значений-все множество действительных чисел R,* функция не-
прерывна на всей области определения; на интервале (-р у) функция
возрастает.
4.4. Функция y=ctgx, х*як, к=0, ±1, ±2,...
По определению, ctgx=cosx/sinx=l/tgx. Поскольку ctgx=-tg(x+7t/2),
график функции y=ctgx (рис. 63) получается сдвигом тангенсоиды на
л/2 влево и последующим отражением относительно оси абсцисс Ох
(перевертыванием):
Функция нечетная (ctg(-x)=-ctgx), поэтому.ее график симметричен
относительно начала координат; функция периодическая (период Т = я);
область значений - все множество действительных чисел R; функция
непрерывна на всей области определения; на интервале (0,я) функция
убывает.
5. Основные обратные тригонометрические функции.
5.1. Функция y=arcsinx, - 1£х£1.
Функция y=sin х монотонна на
поэтому обладает непрерывной
обратной функцией (26,t tl) x=arcsiny (arcsin(sinx)=x для любогох).
Функция нечетная; область значений
ran[arcsm(-)]»l-y, |
область определе-
ния dcoi[arcsm(-)]s[-и]; функция воз-
растает на [-1,1]; функция непрерывна
на всей области определения.
Рис.64
288
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
5.2. Функция y = arccosx, -1£х£1.
Функция _y=cosx убывает на [О,ж], поэтому обладает непрерывной
обратной функцией x=aiccos.y( arccos(cosx)=x для любого х). Посколь-
ку arccosx=y - arcsin х, то график функции j'^arccosx (рис. 65) полу-
Рис.65
чается из графика арксинуса сд вигом вверх на у по
оси Оу с последующим отражением относительно
оси Ох. Область значений гап[агссо$(-)]=[0,я]; об-
ласть определения dom[aiccos(*)]=[-l, 1]; функция
убывает на [-1,1]; функция непрерывна на всей об-
ласти определения.
5.3. Функция y=arctgx.
Функция у=tg х возрастает на £-у, yj, поэтому обладает непрерыв-
ной обратной функцией x=arctgy (arctg(tgx)=x для любого х).
М
~пп
Рис. 66
Функция нечетная; область значений
ranfarctg (•)]=[-у, у]; область определе-
ния dom [arctg(-)]=R; функция возраста-
ет на всей прямой; у=±^- - горизонталь-
ные асимптоты (lim arctg х=±у); функ-
ция непрерывна на всей прямой (рис. 66).
5.4. Функция y=arcctg х.
Функция y=ctg х убывает на [0, ж], поэтому обладает непрерывной об-
ратной функцией x=arcctgy( arcctg(ctg х)=х для любого х). Поскольку
arcctg x=y-arctgx , то график функции y=arcctgx получается из гра-
фика арктангенса сдвигом вверх по оси ординат Оу с последующим
отражением относительно оси абсцисс Ох (рис. 67).
§ 1. Пределы и непрерывность
289
Область значений ran[arcctg(-)]=[O, nj;
область определения dom[arcctg(-)]=R;
функция убывает на всей прямой;
у=я-,у=О- горизонтальные асимптоты;
функция непрерывна на всей прямой.
Алгебраические операции над рассмотренными элементарными функ-
циями, например x2sinjx+l+lnx,^l+|lnx|/arcctg х,-^ехл/х2+1 +|cosx|,
дают примеры новых функций, также относимых к элементарным. Среди
них выделяются целые функции (полиномы) у=апхп+...+а}х+а0 и
„ . т,, v а0+а,х+...+аях"
дробно-рациональные функции Л(х)=—-----!------2—.
b0 +blx+...+bmxm
Другой способ получения новых элементарных функций - образование
сложных функций: ln-Jl+cos(x2+l), ^l+x2"+e-*, ln(l+х2е"ж ), а00*2 *,
arcsin^/l+lnx+tgr и т.п.
Использование теорем об арифметических операциях над непрерыв-
ными функциями и теоремы о сложной функции позволяет определять
области непрерывности таких функций.
113. Использование непрерывности для вычисления пределов.
Пример 88. Вычисление пределов.
1. Найти limfl + —1 .
X->OOV JCZ
Решение. В силу свойства b*^1 показательной функции
Поскольку степенная функция иа с произволь-
ным показателем степени а непрерывна в любой точке и*0, можем при-
менить теорему о «сложном пределе»
19 - 5091
290
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
lim
=е“. В третьем равенстве для квад-
ратной скобки используется теорема о «сложном пределе» (см. замеча-
ние в 112), во втором - непрерывность степенной функции.
/ . 1Л01
ou. v (ап+Ь}
2. Найти lim -----
an J
Решение.
ап
СП
= lim
п
я
-[e*f = е^° • В° ВТ0Р0М равенстве воспользовались непрерывностью
степенной функции.
я^дП+е* cosy
3. Найти lim-i—---------т-.
ух2 +3я>2 +язш—
Решение. Задача очень простая несмотря на громоздкий внешний
(х |
l+excos~I =1+
27
+ limex* lim cosy=l+e*cosy=l. Поэтому в силу непрерывности квад-
х-фж х-фж 2 2
ратного корня limx2Jl+excosy=я2 J lim I l+excosyj = я2. Анало-
х-фж V 2 Vx-фж^ 2/
гично lim Jx2+3x2 = /Зя2 + lim х2 = л/4я2 = lit и
х-фж ¥ у х-фж
.. . Здг
lim/rsm— —
х-фж 2
= и lim sin— = я sin— = -п. Таким образом,
х-фж 2 2
j^Jl+e'cosy
lim-/—2-------
Х~¥Я ^х1 +ЗЯ2 +Я81Пу
lim/r2 Jl+cxcosy
х-фж *__________2_
а« Г / 2
1нп ух +3я +arsm-y-
х-фжЬ 1 2 .
2я-я
4. Найти lim-^——— ,a=y+xJt(jt=O, ±1, ±2,...).
x-w х-а 2 ' '
Решение. Пусть и = х-а. Функция м(х)=х-а при х#а неприни-
§1. Пределы и непрерывность
291
мает значение 0 вблизи точки х = а, поэтому можно применить тео-
ку lim
м->0
рему о «сложном пределе» для функции /(«) = —— . Посколь-
и
tg(u+a)-tga 1 sinu .1 1 sinu
m-------------= lim------7---ч-----=-----7-----7---г- lim--=
w->o u cost k-W cosa cosa limcost и+a) и
и
1 1
SS ------ — ----
cosa cosa cos* а
первом равенстве, теоремой о пределе частного
тельным пределом» во втором равенстве),
1 . , . , , _ sin(a-/f)
(воспользовались формулой tga-tgp = —3—в
cosacosp
и «первым замена*
TO lim/(«(x)) =
X-HI
= lim/(м) = l/cos2a.
м-И)
5. Найти lim
Решение аналогично п. 4 из этого примера:
а
а — х а -\и^а)
lim---------= lim-------------= a lim
x->a X — а it—>0 U и-Н)
1+-
> а
и
=а
a -1 \ aJ
lim-------lim-------
ы->0 U w->0 U
“ ।
-1
=а
и
a-—
Ina-lim——
=аа In-.
В третьем равенстве воспользовались теоремой о пределе разности, в
четвертом - эквивалентностями ax-l~xlna и (1+х)в-1~ох.
6. Найти 1пп(1+япя'х)с'вв.
X—й ' '
Решение. Имеем неопределенность вида Сделаем замену х-1=
= t и прологарифмируем: ln(l+sm<rx)a**x=ctg(xr+>r)ln|l+sm(x/+x)]=
Inll-sinxr) -smxf -xt , . _
=-3--------L------------=-1 при /—>0.
tgxt tgxr xt
n !• \ctgXX ln(l -sinirf)
В результате limlnll+sin я’х) = lim———-—-=-l Отсюда
x—>1 ' ' r-*0 W"
lim(l+sin«,x)de<1 =e-1.
Этот прием можно было использовать и в примере 88.2.
19-
292
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Решение. Поскольку sin а - sin>?=2sin^-^cos ,то sin^/x+1-
у— - . V*+l V*+l +V* и • V*+1~V*
-smvx = 2 sin-------cos--------. Ho lim sm----------------=
2 2 #->+• 2
= lim sin > —=r- = sin lim —=v = sinO = 0, а функция
*“♦+* 2lv*+l+V*l *“**• 2lvx+l+V*l
cos^ ограничена, следовательно, lim(sin^/x+l-sm-\/x)=
„.. . V*+i-V* Vx+i+Vx .
= 2 lim sin-——cos-------—=0.
*-♦+« 2 2
#114. Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов.
Функция f (•) называется непрерывной в точке х0 справа, если
f (*о+)=f (*о) (109). Функция /(•) называется непрерывной в точке х0
слева, если f (х0-)=f (х0) (109).
Очевидно, условие /(х0-)=/(х0)=/(х0+) (т.е. непрерывность и слева,
и справа) является необходимым и достаточным для непрерывности
функции в точке х0.
Функция /(•) имеет в точке х0 разрыв справа (слева), если /(х0+)#
*/(хо) (соответственно /(х0-)*/(х0)).
Пример 89.Односторонне непрерывные функции.
1. Функция y = [xj (целая часть, пример 85.1) непрерывна справа в
каждой точке и непрерывна во всех точках, исключая целые.
2. Функция у = JxL (дробная часть, пример 85.3) непрерывна справа в
каждой точке и непрерывна во всех точках, исключая целые.
3. Функция y=signx (пример 85.2) непрерывна всюду, кроме точки
х = 0, где она разрывна и слева, и справа, хотя существуют и
sign(0+)=l, и sign(0-)=-1.
4. Функция у=— (гипербола) непрерывна всюду, кроме точки х = 0,
где она разрывна и слева, и справа. Левый и правый пределы этой ги-
перболы в нуле бесконечны.
. § 1. Пределы и непрерывность
293
5. Если дополнить функцию /(x)=cos—, х*0 (рис. 68)
X
Рис. 68
положив /(0) равным любому числу, то, каково бы ни было это число,
функция /(•) будет разрывна в точке х = 0 и слева, и справа, поскольку
/(0+) и/(0-) не существуют (это нетрудно доказать). Во всех остальных
точках функция непрерывна.
Классификация точек разрыва.
1. Точка х0 называется точкой разрыва первого рода, если существуют
конечные /(х0+) и /(х0-).
Разность /(Xq+)-/(x<)-) называется скачком функции /(•) в точке
разрыва первого рода х0.
2. Во всех остальных случаях точка х0 - точка разрыва второго рода.
Если /(Xq+)=/(х0-), то точка разрыва называется устранимой.
Если хотя бы один из пределов f (х0-) или f (х0+) бесконечен, то х0 -
точка бесконечного разрыва.
Пример 90. Различные точки разрыва.
1. Для гиперболы у=— точка х = 0 является точкой бесконечного
разрыва.
2. Д ля функций у - [_х] (примеры 89.1 и 85.1) и у - JxL (примеры 89.2
и 85.3) каждая целая точка - это точка разрыва первого рода. Д ля функ-
ции y=sign х точка х = 0 - точка разрыва первого род а.
3. Для функции, график которой изображен на рис. 426, точка х = а -
устранимая точка разрыва. Д ля функции из примера 86, представленной
на рис. 48г, точка х = 0 - устранимая точка разрыва.
4. Для функции /(x)=cos—,х#0 (пример 89.5), точка х = 0 -точка
X
разрыва второго рода.
294
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
#5. Функция Дирихле
1, х рационально,
О, х иррационально.
в каждой точке имеет разрыв второго рода: поскольку сколь угодно близко от любой точки.
есть как рациональные, так и иррациональные точки, то пределы ни справа, ни слева н
существуют.
#6. Функция Римана
Я(х)«
—, х«—- несократимая дробь,
я я
О, х- иррационально.
Эта функция непрерывна в каждой иррациональной точке, а в каждой рациональной точке'
нее устранимый разрыв. В самом деле, для любого а> 0 существует лишь конечное числ
натуральных чисел д<— и, следовательно, лишь конечное число рациональных чисел —
s Я
для которых Значит, взяв за 8 расстояние от произвольной точки xq до бли
жайшей из таких рациональных точек —, получим, что в интервале (хь - xq + £) нет и
одной такой точки А чтобы исключая, быть может, саму Xq. По определен»
предела это означает, что lim Я(х)«0 «Я(х^+)«Л(Хф-) для любой точки Xq.
Несмотря на обилие точек непрерывности и простоту разрывов, нарисовать график функ
ции Римана, как график какой-нибудь элементарной функции, не удастся, однако что-т
вроде графика можно нарисовать поточечно в результате следующей последовательной про
цедуры. Для любой целой точки х функция Л(х)«Ц для всех точек (чисел) вида y,ieZ,n
определению, Я [—)»—, и тд. Точку графика для абсциссы — (дробь несократима) mi
\2/ 2 q
сможем отметить на плоскости на g-м шаге. А для любого иррационального числа х, по оп
ределению, Я(х)»0.
#115. Непрерывность и разрывы монотонных функций. Наиболее
простыми являются монотонные функции (неслучайно при исследовани!
функции один из основных этапов состоит в выделении участков моно
тонкости). Посмотрим, какова их структура.
Справедливы следующие утверждения.
1. Любая монотонная функция может иметь разрывы только первоп
рода.
2. Монотонная функция Д>) непрерывна на отрезке [a,ft] тогда и толь
ко тогда, когда она принимает все значения между /(а) и /(ft).
§1. Пределы и непрерывность
295
3. Множество точек разрыва любой монотонной функции не более чем
счетно (подробно см. 167), т.е. точки разрыва можно перенумеровать,
записав их в ваде хь хт ...
Может показаться, что все возрастающие на функции, имеющие
точки разрыва, выглядят примерно так, как на рис. 69:
Рис. 69
или, в крайнем случае, с той лишь разницей, что множество точек раз-
рыва будет бесконечно. Утверждения в п.4 прояснят ситуацию.
00
4. Пусть dn-величина скачка в точке разрыва х„, причем <®.
Л=1
Положим Fd(x)= . Функция Fd(-) называется функцией скачков.
Можно доказать, что Frf(-) - неубывающая непрерывная справа функ-
ция, имеющая предел слева Frf(x-) в каждой точке, причем Fd (•) не-
прерывна в каждой точке х, не совпадающей ни с одной х„, и Fd(x)~
-Frf(x-) = dn при х = х„ и = 1,2,...
Наиболее просто функция скачков выглядит в случае Xi < х2 < ... - это
так называемая ступенчатая функция, на каждом промежутке [х^, х„)
л-1
она постоянна и равна ^dk .
t=i
Но возможны и более сложные примеры функций скачков: поскольку
множество рациональных чисел Q. (или рациональных чисел на каком-
либо интервале) счетно (167), можем их перенумеровать в виде Qj=
= {х„}, п - 1,2,...; положим dn~2~", тогда функция Frf(-) непрерывна в
иррациональных точках, а в рациональных имеет разрывы первого рода.
5. Всякую непрерывную справа монотонную функцию можно предста-
вить как сумму непрерывной монотонной функции и непрерывной справа
функции скачков.
296
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
§2. ПРОИЗВОДНАЯ
Определение производной. Физический и геометрический
смысл производной
Определение производной. Производная как скорость, производная как тангенс
угла наклона касательной (116)
116. Производная, ее физическая и геометрическая интерпретации.
Если существует lim , то его значение называется произ-
h->0 П
водной функции y=f(J) в точке х и обозначается f'(x) или у'. В этом
случае функция /(•) называется дифференцируемой в точке х, а нахож-
дение производной - дифференцированием.
Разность Ьу=f(x+h)-f(x) называется приращением функции на
отрезке [х, х+й], a &x=h - приращением аргумента. Таким образом, в
Ду
терминах приращений f '(х)=Jim .
Геометрически дифференцируемость функции f в точке х эквивалент-
на существованию в точке А/=(х,/(х)) касательной МТ (рис. 70), опре-
J деляемой как предельное положение
' секущих ММ у ММ ........ММп....когда
* Мп-*М. Значение производной f'(x) в
точке х равно угловому коэффициенту
---(тангенсу угла наклона а) касательной.
Гипотенуза прямоугольного треугольника
Рис. 70 с вершинами в точках (х, Дх)), (х+Дх, Дх)),
(х+Дх,/(х)+Ду) задает произвольную касательную ММ„.
Дадим также физическую интерпретацию производной. Если л=Х0-
перемещение материальной точки от начального положения 0 вдоль
прямой (в положительном и отрицательном направлениях) с течением
Дз
времени, то v(/)= lim - скорость (перемещения точки) в момент t,
Ду тт
а(/)= lim -г- - ускорение. Действительно, дробь - это отношение
дл->0 А*
изменения положения тела за время ДГ к ДЛ т.е. быстрота, скорость
изменения положения тела относительно времени, а ускорение - это
быстрота (скорость) изменения скорости.
§2. Производная
297
Заметим, что в трудах по дифференциальному исчислению Ньютон для
обоснования вычислений флюксии (так он именовал производную) при-
бегал именно к физическим соображениям, рассматривая флюксию как
скорость и истолковывая независимую переменную как время.
Для обозначения производной функции u(t) по переменной t исполь-
du
зуются разные символы: и (Ньютон), —(Лейбниц), и', и, или u'(t)
at
(Эйлер и Лагранж).
Свойства производных. Основные методы вычисления
производных
Примеры непосредственного вычисления производных, основные формулы
дифференцирования; непрерывность и дифференцируемость, о ..
недифференцируемых функциях; правила дифференцирования, производная
сложной функции и обратной функции (117). Примеры математические,
физические и экономические (11 в
117. Основные формулы.
Основные формулы дифференцирования.
1. (хг) =7ХГ_|, в частности, при г = 0 имеем (const) =0.
2. (а*) =ах1па (а>0),
в частности (ех) =ех.
3. (sinx) =cosx.
4. (cosx) =-sinx.
5. (tgx) =—
V 9 COS X
6. (ctgx) =-Д-.
V 9 S11T X
Основные формулы получаются непосредственным вычислением пре-
делов.
Пример 91. Непосредственное вычисление производных.
Найти производные функций 1) уях, 2) у=а*\ 3) у=1пх.
7. (logex)
' ' хш.а
в частности (1пх) =^.
8. (arcsinx) = < 1 .
л/1-х2
9. (arccosx) =—Д—.
v ’ 71-х2
lO^arctgx)'»^-.
11. (arcctgx)'=--7_
298
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Решение. 1. Для функции у=х имеем Ду=Дх, поэтому Ду/Дх=1, от-
куда (х)'—1.
2. Для функции у-а? имеем: если Дх = А, то Ду=а(х+А)2-ах2=2ахА+
+аА2, откуда Ду/Дх = 2ах+аА, следовательно, j»/= lim(2ax+aA)=2ax+
А->0
+alim/z=2ar.
А—>0
3. Для =Inх имеем: если Дх-А, то Ду“1п(х+А)-1пх=1п[(х+А)/х] =
=1п(1+-1,откуда =lnfl+—) .следовательно, lim — =
\ х/ Дх h \ х/ V х/ дх-*0 Дх
/ Г 1 11,я 1
= limlnll+-J =In lim In I1+-л1 =lne1/z—Можно воспользоваться
h-Л 4 xJ h-Л v x 7 x
и соотношением эквивалентности 10 (107) •
Kt2
Итак, для перемещения свободного падения S(f)=2__ получаем
v(0=S'(t)=gt и v’(0 =g - галилеевы формулы.
Пример 92. Непрерывность и дифференцируемость.Если
.. tAx+h)-tdx) ч
существует lim----г-----=«'(*) в точке х, то, по определению преде-
А->0 л
ла, м(х+Л)-и(х)»и'(х)+а(А)Л, где а(А)~ бесконечно малая при А->0; по-
этому lim|i4x+A)-»(x)|=H'(x)limA + lima(A) limА=0,т.е. lim«(x+A)=
А-нЯ ' ' J Л-Н) Л->0 А->0 А-Н) ' '
=и(х), что означает непрерывность любой дифференцируемой функции
и(х) в точке х.
Долгое время в XIX в. бытовало заблуждение, будто верно и обратное,
т.е. непрерывная в точке х функция дифференцируема в ней. Опровер-
гающий пример очень прост: функция j/=|x | непрерывна всюду, в
частности в точке х = 0, но не дифференцируема в ней, поскольку
,. |х+Дх|-|х| х+Дх-х ,
правая производная Jim = Jim———=1, а левая произ-
,. |х+Дх|-|х| -(х+Дх)-(-х) ,
водная lim -— - = lim ——-—-=-1, поэтому производная
Дх-Нй- вх Ar-НН оХ
|х+Дг|-|ж| ~
lim -—А1 не существует. Геометрически это хорошо ввдно: каса-
х->0 вх
тельная справа в нуле имеет наклон 1, касательная слева - наклон -1, а
общей касательной в нуле у модуля нет.
§2. Производная
299
Это элементарный пример функции, непрерывной, но не имеющей
производной в некоторой точке. Очевидным образом строится пример
непрерывной функции, не имеющей производной в конечном числе то-
чек. Математиками были построены примеры функций, непрерывных в
любой точке отрезка (произвольного), но не имеющих производной ни в
одной точке. Авторами наиболее известных примеров были Вейерштрасс
и ван дер Варден, книгу которого по истории математики [8] мы неодно-
кратно цитировали в гл. I.
соглас-
#Пример93. Найти производные следующих функций.
1) y«aZ (ге^)» 2) у»ах (а>0,а*1), 3) j«sinax.
Решение. 1. Пусть Ах«Л, тогда Ду«а(х+Л)^-ax'"« ахГ
но соотношению эквивалентности 6 (см. 107). Следовательно, lim
2. Пусть Ах «А , тогда Ау«аж+*-аж«аж^в*-1|'*аж-й1п а согласно соотношению эквива-
• (a*lnaU
лентности 4(107), откуда Um —« йт'—-—-«a*Ina.
3. Пусть Дх«h , тогда Ay«sina(x+A) - sinах«2sin—совках + В силу непрерыв-
sm-^ _
ах + —J «совах. Поэтому, использовав, что lim «у (104),
•in—
и теорему о пределе произведения, получим ton ^« 2ton-„?- ton
асслах.
Правила дифференцирования. Если c=const, а м=м(х) и v=v(x)-
дифференцируемые функции, то
1) (см) = см'; 3) (mv) =m'v+v'm;
2)(w±v). =«'±v'; 4)(^) -"У* (v*o).
5. Производная сложной функции. Если и' - производная функции
м=и(х) в точке х, у' - производная функции у-у{и) в точке и=м(х),
то сложная функция у=у(и(х)) дифференцируема в точке х и
300
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
6. Производная обратной функции. Дифференцируемая на интерва-
ле (a,b) функция у=у(х) с производной у'х *0 обладает однозначной об-
ратной функцией х=х(у), причем обратная функция д ифференцируема и
Как уже говорилось, производная - удобный и эффективный инстру-
мент для решения многих практических задач. Вычисление производных -
это нечто вроде «фортепианной гаммы» математического анализа, по-
этому придется приобрести минимальные технические навыки и научить-
ся вычислять наиболее употребительные элементарные производные.
В основе вычисления производных лежат два момента. Первый - ис-
пользование таблицы, в которой выписаны производные основных функ-
ций, второй-использование основных правил действия с производными.
118. Примеры математические, физические и экономические.
Пример 94.Нахождение производных
1. Найти производную полинома Р„(х) = а0+а}х +...+ а„хп.
Решение.
Р„'(х) = а0'+[ахх) + (а2х2) +...+ (а„х") =а1 + 2а2х+...+ лапх"-1.
2. Найти производную функции у = (х-а^х-Ь).
Решение. По формуле дифференцирования произведения
|(х-а)(х-д)] =(х-а) (x-Z>)+(x-Z>) (x-a)=l{x-i)+l-(x-a)=2x-(a+/>).
3. Найти производную функции >=tgx (не используя формулу 4 таб-
лицы производных из 117).
Решение. tgx=-^^- - применим формулу производной частного:
COSX
sinx^ (sinx) cosx-(cosx) sinx cosx-cosx-(-sinx)sinx cos2x+sin2x 1
cosxJ ” cos2x ~ cos2x ~ cos2x ~cos2x‘
4. Доказать формулу =
a b
c d
(cx+d
.2 •
Решение. По формуле производной частного
_ (ах+Ь) (cr+</)-(cx+rf) (ах+Ь) _ a(cx+d)-c(ax+b) _ ad-bc
cx+d) (cx+d)2 (cx+d)2 (cx+d)2
§2. Производная
301
5. Найти производную функции у - -—— , х # 1.
(1+х)’
Решение. J(l-x)p| = р(1-х);>_1(1-х)=-р(1-х)г~1, а [(1+х)’] =
=g(l+x),-1(l+x)=g(l+x)’_1. Поэтому по формуле производной частного
У'~ (1+х)2« (1+х)2*
= -^^(1-х)^,[Х1+*)+9(1-х)]=-^^[(р+9)+(р-9)4
Второе решение. Продифференцируем у как произведение:
у'=[(1-х)р(1+х)-’] =[(1-х)р] (1+х)~’+[(1+х)“’] (1-х)/’ =
»-Х1-х)/-1(1+*)-* +(-<7)0+х)'‘Н(1-х)г = -(1-х)Г 1 х
X(i+x) ’ *[р(1+х)+?(1-х)]=-(1-х)^'(1+х) ’ ‘[(р+?)+д(1-х)].
Это эффективный прием - часто значительно проще дифференцировать
частное как произведение.
Пример 95. Движение тела, направленного под углом к
горизонту. Рассмотрим элементарную задачу баллистики: описание
полета точечного тела (снаряда), направленного под углом к горизонту.
Пусть тело выпущено под углом а к горизонту с начальной скоростью v0.
Найти:
1) время (момент) наивысшего подъема тела t,, максимальную высоту
у. и максимальную дальность полета х„„;
2) угол, при котором дальность полета максимальна;
3) траекторию полета.
Показать также, что путь y(t), пройденный телом по вертикали, в лю-
бой момент t может быть определен как путь движения с фиксирован-
ной средней скоростью vcp = [v0y+vy(0]/2.
Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Введем систему прямоугольных координат с началом коор-
динат в точке броска, ось абсцисс х направим горизонтально, ось орди-
нат у - вертикально.
Начальную скорость v0 разложим на горизонтальную составляющую
v0x=v0cosa и вертикальную составляющую vo>,=vosina. Движение
302
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
тела может быть разложено на движение по горизонтали и движение по
вертикали. На тело по условию действует только одна сила тяжести, ко-
торая, очевидно, не имеет горизонтальной составляющей, поэтому по
оси х движение будет равномерным с постоянной скоростью vq, (первый
закон механики Ньютона) и за время t тело пройдет по горизонтали путь
х(/)=уОх/. По вертикали под действием силы тяжести тело будет дви-
гаться равнозамедленно до момента Г. достижения телом наивысшей
точки и равноускоренно после этого с ускорением свободного падения
g = 9.81м/с2. Если v(O=v0y-g/, то v'(/)e-g и v(O) = voy, поэтому
gt2
вертикальная скорость тела v(0=vOy-g/. Если же y(0=v0y то
y(O=v0z -gt=v(0. Значит, перемещение тела по вертикали y(t) оп-
gt2
ределяется формулой y(O=vo>>^—j-. Таким образом, мы получили
галилеевы формулы, что и следовало ожидать. Однако может возникнуть
справедливый вопрос: а нет ли другой скорости и другого закона пере-
мещения, которые давали бы нужные производные? Ответ отрицатель-
ный. Это следует из теоремы Лагранжа (129).
1. В наивысшей точке под ъема скорость равна нулю, поэтому время t,
л v«v v.sina
определяется из условия vOy-gf. =0, т.е. /.=-£-=—-—. Поэтому
gt»2 g vo/ ve/ VO2 sin2 a
У(1»)-Чоу1* 2 SV°> g “ 2 g2 ~ 2g g
Максимальная дальность полета определяется из условия y(z)=O- в
gt2 at
этот момент тело упадет на землю: v0>,/=— или vOy=y, откуда
2ve„ 2v0xv0y 2v02sinacosa v02sin2a ,
'= g и xmax = vOxZ=——=--------------------=--------- (напомним
формулу синуса д войного угла sin2a = 2 sina cos а ).
_ V0x V0y
Заметим, что x(f»)=vte t, =—j—=—j—.
2. Дальность полета будет максимальной, если sin2a=l, т.е. а-—
4
(или в градусном измерении а= 45°).
§2. Производная
303
3. Определить вад траектории полета - значит найти зависимость
g/2
.У =Х*)> Для чего из уравнений x(0=vOxi и y(t)-v9yt-— надо
исключить t. Из первого уравнения t<=——, откуда у=у9
л x2+(tga)x- это уравнение параболы у = Ях2 +
* Vqx ZVq со» и ' '
g
+fe- П№л’-й^-в^а-
„ v4vey-go gt gt1
Наконец, vcp=------=vox~y> поэтому Ncpt^N^t——=X0-
Пример 96.Нахождение производных
1. Найти производ ную функции >'=sin10x.
Решение. Имеем сложную функцию u=sinx, _у=и10; u'=cosx,
у'и-10и9, откуда (sin10x) =10sin9x-cosx.
2. Найти производ ную функции у-еГ*1!2.
t
\ х1 I 1 /
Решение. Дифференцируем сложную функцию: I—— I = -у(х2) =
. -x’/lf -х2^
=-х,поэтому у*=е ' I—=-хе ' .
3. Найти производную функции у=ех sin ах.
Решение. По формуле производной произведения (exsinat)
=(ех) sin ах+(sinах) еж =exsinax+(acosax)ex = ex(sinax+a cosax}
4. Найти производную функции y=xarctgx-j 1Ц1 + Х2).
Решение. Если и = 1 + х2 и /(и)=^1пя, то и'х=2х и
поэтому по теореме производной сложной функции находим
|in(i+x2) =/;=Л'«;=^
2х=^у. Следовательно y'=(xarctgx) -
304
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
- |1п(1+х2)
=(х)' arctg х + X (arctg х) arctg х+х-^~^=
=arctg х.
5. Продифференцировать функцию y=^tg—-ctg —j, , fc=0,± 1,...
X 1
Решение. Если и=—, то и'х =- и по теореме о производной сложной
3 3
f f
функции Itg-l =--Аналогично (ctg—) =---------------—.
' S' cos2— s scos2- ' s' ssin-
S3 3
Отсюда
1
* 2 2x
sin —
6. Найти производную функции y=arcctg ।
л/1+х2
Решение. Дифференцируем сложную функцию, причем выражение
под арккотангенсом целесообразно (для упрощения вычислений) пред-
£
ставить как степень, а не как частное: y=arcctg(l+x2) 2,/=1+х2,
(4 1 л
u=t 2,y=arcctg«. По таблице производных Г'=2х, иг' = 1/ 21 = -—t 2,
1 , 1 -1 -х(1+х2)
X =г^- ’ откуда У*=—i--------17—^Г2х=7—;п7 •
1+« l+^j- 2^(1+х2) (l+x^fl+x2)
7. Найти производную функции
(cx+d)
Решение. Функцию также следует представить как про-
(cx+d)
Г
доведение у = (ax+ft)(cx+</)”", откуда у'=(ах+Ь) (cr+rf)-"+J(cr+rf)""| «
§2. Производная
305
/ ,\ / Л-л ( Л-л-1 ( Л a(cx+d)-nc(ax+b)
*{ax+b) = a [cx+d) -п (cx+d) c(ax+b) =-----------{cx+d}n+i---
acx+ad-nacx-nbc ad-nbc-(n-\)acx
(«W)^1 = (cxWr1 •
Решение. Продифференцируем логарифм как сложную функцию:
(д2+х2^ (д2+х2) (д2-х2)-(д2-х2) (д2+х2) 2х(д2-х2)-(-2х)(д2 +х2)
= (а2-?)2 = (д2-х2)2
2х-2д2 4д2х ___ ( д2+х2') д2-х2 4д2х
==откуда г -2-*2) “ в2**2 (д2-*2)2 =
= (д2+х^2-х2)- Следовательно’ У=^р+4аЪ)=^-
Другое решение. Можно поступить умнее: In——-=1п^а2 + х2)-
-2х _ _1_______2х-2а2 _ ах
д2-х2 4а ^д2+д^^а2-х2| а4-х4
9. Продифференцировать функцию _у = 1п(1п(1пх)), х>е.
Решение. Дважды применим теорему о дифференцировании сложной
функции. Пусть и(х)=1пх и w(a)=In и , тогда у=In w (и (х)). Следо-
вательно, у;=л w’
10. Продифференцировать функцию у= ln^x+-Jx2+lj.
Решение. Если и(х)=х+^/х2+1, то и'х = 1 + [(х2+1)^1 =1 + у»
20 - 5091
306
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Следовательно, ух = у'а и.х =
Пример 97. Эластичность функции, применение в экономике.
1. Дискретный случай. Пусть и - и(х) является функцией дискретного
параметра х, Хо- начальное, ах- конечное значение независимого пе-
ременного, и0=«(х0). Относительные приращения (Дхрх^ и
определяются как отношения приращений Дх=х-х0 и &и=и-и0 к
средним хср=^(х+х0), иср=|-(и+и0). Их частное называется эла-
стичностью функции и по переменному х (на каждом интервале (х^х)):
и
’ Дх/Хср
и характеризует относительное изменение функции и при относитель-
ном изменении независимого переменного на 1.
Следующий пример П.Самуэльсона [23, с.8] дает численную иллюстра-
цию эластичности в экономике. Независимая переменная Р - это цена
товара (в долларах США), функция Q - количество (в миллионах, пше-
ницы - бушелей, автомобилей - единиц).
Товар 1 р» 1 р 1 Qo | Q ElpQ Тип эластичности Изменение выручки
Пшеница 4 I 3 1 10 1 12 1 2/11 7 -1/3,5~ 11 Неэластичность -4 *
Автомобили 1 ' 1 1000 | 500 1 1 i 3 2/2 _ 3 -500/750* 2 Эластичность +500
Автомобили 500 । 250 1 3 । 4 1 1/3,5 3 -250/375“ 7 Неэластичность -500
Если эластичность функция и (по абсолютной величине) |£7х(и)|>1, то
функцию считают эластичной, если |£7х(и)|=1- нейтральной, если
|£7х(и)| <1 - неэластичной относительно аргумента х (в примере Саму-
эльсона анализируется эластичность спроса относительно цены).
§2. Производная
307
Нейтральность означает, что и = сх или и = с/х. В самом деле,
=1 <=>--=----<=>-— =-----2- <=> UX-W0X+ttX0 -1/лХл = «Х+1/0Х-«Х0 -
«ср *ср «+«Ь х+х0
Мл M-Kq Х-ХО
-мохо<=>мхо=мох<=>м=—х; соответственно £/5.(м)=-1<=>---=-——
и и ° ° Xq ’ xv ' m+Mq х+хо
<=> их-мох+цго -иохо = -их-иох+«хо +«охо <=> их = иохо <=> и = .
2. Непрерывный случай. Пусть функция и=и(х) дифференцируема. За-
метим,что х=х~—, »_=»- — и в силу непрерывности lim Ди=0,
р 2 н 2 д»-+о
Дн/н~. Ли X
откуда lim и.n =и. Следовательно, lim . , = lim—---------------и'—.
Лх-*о Р Дх->0 Дх/Хер Ах-*0 Дх lim«_ и
В непрерывном случае, по определению,
х и
Без доказательства (оно совершенно элементарно) отметим свойства
эластичности.
1)£7хи=х(1пи)’; 2)£7x«v=E/xa+£7xv; 3)£7x(w/v)= Elxu-Elxv .
Тип эластичности функции относительно аргумента для непрерывного
случая определяется так же, как и д ля дискретного. Можно также дока-
зать, что нейтральность спроса эквивалентна равенству u=cx\
3. Численный пример [ 1,7.7].
Опытным путем установлены функции спроса q=2^- и пред ложения
рЛг2,
s=р+0.5, где q и количество товара, соответственно покупаемого и
пред лагаемого на продажу в единицу времени,p-цена товара. Найти:
1) равновесную цену, т.е. цену, при которой спрос и предложение урав-
новешиваются;
2) эластичность спроса и пред ложения д ля этой цены;
3) изменение доход а при увеличении цены на 5% от равновесной.
Решение. 1. Равновесная цена (26) определяется из условия q=s:
~|=р+05, откуда р=2, т.е. равновесная цена равна 2.
2. По определению эластичности спроса и предложения,
20*
308
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Для равновесной цены р-2 имеем Е/г.2(?)--0.3;£7,.г(5) = 0.8.
Так как полученные значения эластичностей по абсолютной величине
меньше 1, то и спрос, и предложение данного товара при равновесной
(рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что из-
менение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения.
Так, при увеличении цены р на 1% спрос уменьшится приблизительно
на 0,3%, а предложение увеличится приблизительно на 0,8%.
3. При увеличении цены р на 5% от равновесной спрос уменьшится
линейно по эластичности на 5-0.3 «1.5%, следовательно, доход возрастет
на (1+5/100)(1-1.5/100)» 1+5/100-1.5/100-4.5-10’4, т.е. приблизительно
на 3.5%.
На самом деле для равновесной цены имеем: <7=s=2.5 и при />1=р(1 +
+0.05) = 2.1 получим q(p\)~ 10.1/4.1 = 2.4634. Откуда спрос уменьшится
на (2.5-2.4634)/2.5 = 1.46/100, т.е. на 1.46% и тд.
Пример 98. Дифференцирование функций.
1. Найти производную функции >»=j^x2+a2 +^-1и(х+-^х2+а2
#2. Найти производную функции 11 ”*те**п • IH<о- ~ и вычис’
лить ее значение в точке
кроме
того, 1-
Решение.
§2. Производная
309
a2-b2Yl-sin2x| (в2-Ь2]с<ж2х
---------=—------------—=—. Следовательно,
(a+bsmxj (a+bsinx)z
#3. Продифференцировать функцию уж-i—Li In
a+bmx
Решение. Пусть «(x)»b+asinx--Jb2 -а2 совх, a v(x)=o+bsinx; тогда
м'«осовх +
a2 sinx, a v' Ьсовх. Отсюда
w'v-у'и
b2-a2 sinx
Ь+а sinx - -Jh2-fl2 совх]«
= (а2совх + аф2- a2 sinx + ab sinx совх + b^b2-a2 sin2xj - Ь2совх -
-ab einx совх + b^b2-a2 сов2х (n2-fc2j совх + a^b2- a2 sinx +
+ Ьл/Ь2 - a2 ~Jb2-a2 [ b + a sinx -др2- а2 совх] » uJb2-'а2 .
Следовательно, М
\v/ vZ v2
Значит, по теореме о производной сложной функции
у .> M'=-rJ— И-T-L
4ьг-аг v' i/b’-a2 • W
-Jb2-a2 1 1
v2 v a+bsinX
Пример 99.Логарифмическая производная.
1. Пусть у-дифференцируемая функция от х. Найти (1пу) .
Решение. По теореме о производной сложной функции,
(М'=^' = у-
2. Пусть и, у - дифференцируемые функции от х. Найти производную
функции у-и4.
310
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Решение. Так как lny=vln«, то (in у) =v’liur+(ln«) v=v'ln« +
+—v. Отсюда y'=y(lny) =wvl —v+v'ln«).
u ' f \u /
Эта формула впервые была получена профессором математики Гро-
нингенского (Голландия) и Базельского (Швейцария) университетов
Иоганном Бернулли (Johann Bernoulli, 1667-1748).
3. Найти производную функции у = хх, х > 0.
Решение, (inу) =(xlnx) =lnx+x(lnx) = 1пх+1, следовательно,
у* =у(1пу) = хя(1+1пх).
Пример 100. Производная обратной функции.
1. Зная производную синуса, найти производную функции
y = arcsinx, -1<х<1.
Решение. Функция у=arcsin х является обратной для функции
x=siny и наоборот. Следовательно,
111 1
cosy ^i-sin2y л/1-х2
2; Найти область определения обратной функции х = х(у) и ее произ-
водную, если у=х+1пх, х>0. Вычислить значения х'у в точках у = 1 и
у=1+е(е=2.71828...).
Решение. у£=14~>0 при х>0, следовательно, обратная функция
х=х(у) существует для всеху из области значений функции у=х+1пх,
хотя мы и не можем выразить ее в элементарных функциях, т.е. решить
уравнение у=х+1пх относительно х. Функция х=х(у) монотонно воз-
растает и определена для всех у, -оо <у < оо. Возрастание х(у) следует
(см. 127) из положительности производной
^"у^х+Г
В точке у = 1 уравнение 1=х+1пх имеет решение х = 1; если у=е+1,
п , 1 , е
то х=е. Следовательно, и ^i+e = 7^-
§2. Производная
311
Производная неявной функции и функции,
заданной параметрически
#119. Основные формулы. Если дифференцируемая функция у=у(х)
удовлетворяет уравнению F(x,y) = O, то производная у'=у'(х) этой не-
явной функции может быть найдена из уравнения
pfaj')] х=0,
где /^х.д') рассматривается как сложная функция переменной х.
Если x-x(t) и y-y(t), a<t<p, где х(/) и Х0~дифференцируемые
функции, причем х'(С* 0, то определены обратная к х(0 функция t-t(x)
и функция y(x)=y(z(x))> причем функция ужу&) дифференцируема и
Пример 101.Дифференцирование неявной функции.
‘ X2 V2
1. Найти уравнение для производной у9 эллипса -х-ч—=1.
а b
Решение. Дифференцируя уравнение эллипса как сложную функцию,
2х 2у ~ х У .
получаем -T+-~v'=0 или ~+7ТУ =0; в чуть измененном ваде
а 1г а Ь
Ь2 х
Ь2х+а2уу9 =0. При y*Q имеем у9-—.
ст у
2. Найти уравнение для производной у9 логарифмической спирали
arctg—=In-Jx2+.y2 и саму производную.
x+w'
= 2Л2> откуда
X +у
х+уу'-(ху'-у) = 0
И
312
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Дифференциал
120. Основные определения и формулы. Пусть функция у=Хх)
дифференцируема в некоторой фиксированной точке х. Линейная функ-
ция dy = yxdx называется дифференциалом функции у (dx и ф-обозна-
чения переменных). График функции dy=y'xdx в плоскости с координа-
тами {dx, dy) - это линейная функция, проходящая через начало коорди-
нат {dx, dy) и имеющая наклон у'х (рис. 71).
‘ldy ydy-jfjix
/х
Рис. 71
Треугольник с гипотенузой, совпадающей с отрезком касательной, со-
держащим точку (х, f (х)), и катетами dx, dy был назван Лейбницем (в
статье 1684 г.) характеристическим (следует, однако, отметить, что им
пользовался еще Паскаль).
Из правил дифференцирования сразу же следуют (умножением на dx)
правила вычисления дифференциалов:
1) d{cu) = cdu; 3) d(uv)=vdu+udv;
2) d{u±v)=du±dv, 4) =-^y{ydu-udv), v(x)#0.
Здесь «() и v(-) - произвольные функции.
Существование производной функции Дх) в точке х-хь означает, что,
(/(хо+й)-/(хо))/й=/'(хо)+«(А)’ т.е. Axo+h)=Axo)+f'(xo^,+o{h\
(здесь a(h)-бесконечно малая при h->0). Обозначив х0+Л = х, полу-
чим, что /(х)«/(х0)+/'(х0)(х-х0) с точностью до о(х-х0) в малой
окрестности {х0-г, х0+г) точки хь-
В координатах (x,j) касательная к функции y=f(x) в точке
(хо»/(хо)) задается уравнением у = у0 +yi(x-x0), где уо=/(хо)>
>*о=/'(хо)- Нормаль (т.е. прямая, перпендикулярная касательной) в
точке (хо,уо) задается уравнением у-у0--^-(х-х0).
§ 3. Производ ные и д ифференциалы высших порядков 313
§ 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Определение производных и дифференциалов
высших порядков, их свойства
Определения, основные формулы для вычисления; формула Лейбница; примеры (121)
121. Основные определения и формулы. Производная у' называется
производной первого порядка. Производная от функции у' (если тако-
вая существует) называется производной второго порядка и обозначает-
ся у" или ^(2>. Производная третьего порядка (третья производная)
обозначается у'" или у^. Продолжая процесс дифференцирования (ес-
ли это допустимо), последовательно получаем четвертую производную
Г
(производную четвертого порядка) .... Производ-
ные выше третьего порядка обозначаются только у("\ п-4,5,...
Производные, начиная со второй, называются производными высшего
порядка.
• Основные формулы
3. ^ax^'">=axlnna, а>0; в частности
“ xftyf
#5. Для функции, заданной параметрически, у'^ = Можно,
(х0
конечно, при желании выписать и дальнейшие высшие производ ные для
функции, заданной параметрически, но мы этим заниматься не будем.
Выражение dny=y^(dx)n, л=1,2,... называется дифференциалом л-го
порядка функции у.
Формула Лейбница. Если функции и=«(х) и v=v(x) дифференцируемы
314
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
л-кратно, т.е. имеют все производные до л-го порядка включительно, то
*=0
где и(0)=и, v(0)=v, С*- число сочетаний из п по к, т.е. С* =
я(л-1).Дл-^+1)
~ л!
и
Равенство rf"(«v)= v, где d°u=u, d° v=v, называет-
t=o
ся формулой Лейбница для д ифференциалов.
Пример 102. Кратное дифференцирование.
1. Найти уравнение для второй производной у" эллипса ^+^- = 1.
а Ь
Решение. Дифференцируя неявную функцию' Ь2х+а2уу' =0 для пер-
вой производной (пример 101), получаем Л2+а2(уу +Ху')) =
=b2 +a2f(_y')2 +>у"]=0. Подставляя найденное значение у' (пример
1,2 _21
D X 2 м л
-=—=- +ауу=0, но
101), получим Ь2-^'’2 х
У
+а2 -r-T+jy" =0 или Ь2
Л2*2 , Ь2 Ъ4 2 „ п
из уравнения эллипса имеем 5-+1=-=-, поэтому -^+аууп=0, от-
a у у jr
„ * 1
куда /'=—j- —.
а у
2. Найти уравнение для второй производной у" логарифмической
спирали arctg^-=ln->/x2+y2 и саму производ ную.
Решение. Дифференцируя по х уравнение (пример 101) производной
х+>»+^у'-хр* = 0, имеем l+y'+J(y')2+jy"j-[У+ху"] = 0 или
1+(У)2 ~(х-у)у” =0- Выражая у" через х, у, у' и подставляя значе-
l+fyf .2^.2
ние у', получаем У'=—=2
§ 3. Производные и дифференциалы высших поряд ков
315
#П р и м е р 103. Найти у'ж и у^ для эллипса, заданного в параметрической форме:
x^acost, y^bsint.
Решение. Поскольку x;«-astor и у;=ЬсовГ, то y^yl/x}= -—ctgr. Далее,
л
хГ—eco.t,X'.-b,inr,an(yW^.2f^L .4»**t*~:*-----------------
{xf) -a3«m3r a1 tart
х Ъ х Ь4 1 Ь4
Заметим, что eta f »—, поэтому X -и у" « —=-—1—гж------в полном согла-
У а У л (bant)’ ву
сине результатами примеров 101 и 102.
#П р и м е р 104. Для функции у~х2 to х найти и d*y как непосредственно, так
и с помощью формулы Лейбница.
Решение. Сначала вычислим непосредственно: у'»2х tox+x2—»х(21пх+1). Значит,
dy*x(2)nx+\)dx. Далее, y"«(2tox + l)+x^*2tox + 3, откуда cf2y«(2tax+3X<&)2.
Поскольку у"'^2/х=2х~\ то d3y»^(dx)3. Теперь можем воспользоваться формулой
(Z)w»r(r-l)...(r-i+l)Z“*; при г«-1 получим у®**) «2(x4)W -2(-1)
х (-1-й+1)хч‘ж*«2(-1Х-2Х..(-й)-Хг»-?^^1 или, полагая Дг+3«я, имеем
хг 1 х**1
/ж)«2(ЧЛ3^гЛ*3. Соответственно /у«2(4Г3^(АЛ
Часто скобки у (dx)” опускают и пишут просто dx”.
Теперь проведем решение с помощью формулы Лейбница. Положим y«wv, где и
v«tox. Тода и'~2х, и"» 2, ww«0 при кЪ2. И в частности v'«—,
х* х
«kv*+2w'v'+k"v.
поскольку, по определению, С^ = 1. В результате y'«x2^-+22xl+2hix = 3 +21пх. На*
конец, у"'~ У kv"*+3k' v"+3«" v'+ u*" v-x2 -^-+3(2x)~ ♦ 3*2 — +0« —.
M Xs x2 x x
При л >3, поскольку С* «я, а С2 , получим «kv^+
2 fcw°
2 Xя"1 2 х-2
« ^.(Г“3) 1 [(»-2Х*-1)-2я (я-2)+я(я-1)]« р!2-Зя+2-2я2+4я+л2-я|«
,2(-1У,-,(я-3)1
316
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Формула Тейлора
Формула Тейлора для гладкой функции, приближение полиномом Тейлора; формула
Тейлора для наиболее важных функций (122)
122. Формула Тейлора для гладкой функции. Пусть функция /(х)
имеет в окрестности точки а (включая саму точку а) все производные до
л+1- го порядка включительно. Тогда для любого х из этой окрестности
справедлива формула Тейлора (Brook Taylor, 1685-1731, английский
математик, член Лондонского Королевского общества с 1712 г.):
/(х)==/(а)+^-^(х-а)+...+^—^(х-а)" +г„(х) =
1! п1
= 2—ri—+'•(*)»
t=o
где остаточный член г„(х)=о((х-а)"),х -> а, и может быть выписан в
/*(я+®)(п+^(х—л)1 ।
явном ваде. Например, г„(х)=-(й+1)!—“1 (х ~ °) »0< 0 < называ-
ется остаточным членом в форме Лагранжа; существуют и другие формы
остаточного члена. Точка £= а+ 0(х-а) лежит в интервале (а, х).
Для полинома P(x)=a0+aix+...+апх^ непосредственным дифферен-
цированием можно проверить, что справедлива точная формула
Р'(0) Pw(0) „ Р(А)(0)
Р(х)=Р(О)+—урХ+...+———х", т.е. ак- ’ а для разложения
Р(х)=Ло+Я1(х-в,)+...+Ля(^--У)" по степеням (х-s) получим P(x)=P(s)+
P’fs) PM(s)
+——-(х-5)+...+—;—(х-5)". Для произвольной функции/(х) ПОЛИ-
1! й!
ном X ,(х-д) называется полиномом Тейлора этой функции;
*=о *!
полином Тейлора дает приближение произвольной гладкой (т.е. имею-
щей две и более производных) функции с погрешностью г„(х). Как уже
говорилось, любая приближенная формула имеет смысл только в случае
достаточно хорошей оценки точности приближения.
Оценка погрешности дается следующим утверждением:
если sup |/<**‘)(х)|-А/я+1,то |г„(х)|^^^Л"+1.
При и=1 получаем уже известное линейное приближение (110).
§ 3. Производ ные и д ифференциалы высших порядков
317
Формула Тейлора
для наиболее важных функций (а - 0)
к
1. е* = 1+х+—+...+—+о(х") = Е~+о(х"), х->0.
2! п!
у2я я
3. cosx=!-—+-^-+... +(-1)" (^+0(*2"+‘)= Е(-1)* (2*)[+0<х2"+1) •
. . , х3 , 2х5 17х7 . 8.
4. tgx = x+y+—+—+о(х").
5.
6.
7.
8.
К»-1) 2 . г(г-1)..Хг-и+1) „ „
X +... +---------------х" +о(х").
ln(l+x) = x--^-+...+(-l)"_1 —+о(х”)= ^-+о(х") .
2 ” t=l *
1 (l+x') X3 X2"”1 2 Дх2*-1 2.
1|пта = рт+ -+2^т]+о(х- >=£,ЙЛ+<,<* >•
х3 Зх5 3-5-х7 , 8ч
агсяпх=х+—+т—т+——^г+о(х ).
2-3 24-5 24-6-7 v '
Везде о-малые при х-»0. В этих формулах остаточный член дан в так
называемой форме о-малых.
Правила Допиталя. Вычисление пределов и раскрытие
неопределенностей
Неопределенности и методы их раскрытия: два правила Лопиталя и использование
формулы Тейлора; примеры (#123)
#123. Методы раскрытия неопределенностей. Теоремами о пределах
алгебраических выражений удается воспользоваться не всегда; напри-
мер, для частного (отношения) а(х)/Дх) двух бесконечно малых функ-
ций при х->а (может быть, а = оо) воспользоваться теоремой о пределе
частного невозможно. Такое отношение называется неопределенностью
ввда £. Если Дх) и g(x) - бесконечно большие при х-»а, то частное
о
/(x)/g(x) называется неопределенностью вида —. При желании не-
ОО
318
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
оо О
определенность — можно свести к неопределенности - элементарным
оо О
приемом: функции а(х)=1//(х) и Д(х)=1/^(х) будут бесконечно ма-
лыми при х-*а и • Однако это не всегда целесообразно.
g(x) Д(х)
и г /ОО •• g(*)
Нахождение указанных выше или lun^^y называется раскры-
тием неопределенностей соответствующего вида (конечно, возможно,
что а=±оо).
Известны и другие вады неопределенностей, которые можно свести
к уже рассмотренным. Так, неопределенность вида 0»оо, т.е
lima(x)g(x), где Нта(х)=0и limg(x) = a>, сводится к неопределенно-
«(*)
Vg(<
ста - элементарным преобразованием a(x)g(x)=
О
Неопреде-
ленность вида оо-оо, т.е. lim|/(x)-g(x)|, где lim/(x)=limg(x)=+oo,
сводится к неопределенности вида 2 преобразованием /(x)-g(x) =
1____1
= . Неопределенности вада 1", 0°, оо° сводятся после логариф-
/(х)х(х)
мирования к неопределенностям вада О-оо, а затем используется непре-
рывность логарифма: если 1йп/(х)=1и limg(x)-oo, то
х->а х->в
=g(x)ln/(x) - неопределенность вида <ю-0 и в силу непрерывности лога-
рифма lim[/(x)]^x) =exp^limg(x)ln/(x)^, где ехр>'=ел’,и т.п. В кон-
кретных задачах упрощающие преобразования оказываются еще более
простыми.
Рассмотрим основные методы раскрытия неопределенностей.
Первое правило Лопиталя. Пусть отношение /(x)/g(x) представляет
собой неопределенность вида - при х-+а (может быть, а = <ю), но су-
0
щесгвует(и нам известен) lim^ Тогда lim ^7^= lim (предпо-
*-*• gX*) *-*• g(.x) *-*• gX*)
лагается, что Дх) и#(х) дифференцируемы в окрестности а и g'(a)*0).
§ 3. Производ ные и д ифференциалы высших поряд ков
319
Второе правило Лопиталя. Если отношение /(x)/g(x) представляет
собой неопределенность вида — при х-*а (может быть, а = <*>), но
оо
существует (и нам известен) lim^4^, то lim^rv=limArr-
g'(x) ж-» gw Х-Н» & \х)
Если отношение f'(x)lg'(x) также представляет собой неопределен-
ность, то нужно уже к нему применить правило Лопиталя и взять отно-
шение f"(x)/g"(x) итд.
Эти правила были сформулированы в учебнике по д ифференциальному
исчислению, изданном в 1696 г. французским математиком маркизом
Гийомом Франсуа де Лопиталем (Guillaume Francois Antoine de {’Hospi-
tal, 1661-1704).
Есть и другой путь раскрытия неопределенности f(x)lg(x)-. надо за-
менить числитель и знаменатель их многочленами Тейлора и исследовать
отношение многочленов. Это очень мощный метод, часто оказывающий-
ся эффективнее действия по правилу Лопиталя.
Пример 105. Раскрытие неопределенностей.
1. Найти liml - - -г— I.
я->0 \Х 81ПХ/
" Р а ,,, а и и a s’nx-x х-хЭ/(3!)+о(*4)-х -x7(3l)+o(x4) -хДЗ!)+в(х* )
xsmx х(х+о(х2)) х2+о(х3) 1+о(х)
,. (1 11,. -х/3!+о(х2) л
следовательно, lim-----:— = lim —-—, = 0.
х-И)\Х 81ПХ/ х-М> 1+о(*)
Для применения правила Лопиталя надо в частном *
xsmx
дважды продифференцировать числитель и знаменатель:
— lim linx _
coex-1 -emx О
lim-:---------=lim--------------:—=---------------------=
х->о smx+xcoex х_^ coex+coex-ximx 2 lim совх- lim xsinX 2 “ 0
х->0 х-М)
2. Найти lim xlnx.
х->0+
Решение. Так как х1пх=^-неопределенность то применяя пра-
вило Лопиталя, получаем lim xlnx= lim
.. Vх ..
= lim -у i"=- limx=0.
320
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Формула Тейлора для логарифма здесь неприменима, поскольку опре-
деляет разложение логарифма вблизи х = 1, а не нуля, но в столь силь-
ных средствах нет необходимости. В самом деле, если сделать замену
/ = -1пх, то z->+oo при х->0, и limxlnx= lime 't = lim —=0 -это
‘ x-»o+ e
предел 4 из 104.
3. Найти lim x-x2lnfl+—1
x-»oo|_ \ X/
4. Найти lim-—* Л*
ln(l+x2)
„ Ajl-Л? P«(«*)
Решение- ----------------------------
e*2 —71-x2+x3 jx2+o(x2) 3
следовательно, Inn——r—n—=lim—?—
»-»o Ц1+Х2) *-»o x2+o(x2) 2
Решение задачи 105.3 с использованием правил Лопиталя сложнее, а
задачи 105.4 значительно сложнее.
Пример 106.
1. Найти lim (tg х)'0**
Решение. Имеем неопределенность вода оо°. Прологарифмируем фун-
/ \со«х Intgx 00
кцию v=ltgxl . lnj>=cosxlntgx=7---------гтр-неопределенность вада —
(cos х) 00
при х-ья/!. Воспользоваться формулой Тейлора не можем, поскольку
tgx-x» при х->л/2, зато правило Лопиталя действует здесь эффектив-
и |(cosx)”1| =-(cosx)’2x
/ / sinx .. Intgx 1/sinxcosx cosx л
x(cosx) =—j-, откуда lim 7----------rzr= Ixm j , = lim ~гт~=0.
' ' COS X х-^я/2 (cos XI Sinx/COS X х-мг/2 SHI X
§ 3. Производ ные и дифференциалы высших поряд ков
321
Следовательно, в силу непрерывности экспоненты lim у-
х->г/2
=ехр
lim In у
х—>х/2
=е°=1
1пх-1па—sin(x-a)
2. Найти lim-------lz?-----.
Х->Л cos----1
л
Решение. Приведенные выше формулы Тейлора справедливы при
х->0, а здесь х->а, поэтому нужно сделать замену переменных (будьте
всегда внимательны при этом!). Положим —=1+/, тогда /->0 при х->а.
а
Но cos-^— -l=cosZ-1=1-^у+о(г2)-1=-у+о(/2),Г-»0, следова-
тельно, и числитель должен быть заменен на многочлен до Это
означает, что для данной задачи эквивалентности из 107 оказываются
слишком грубыми. Далее:
lnx-lna-^sin(x-a) = ln^-sin(x - а) = 1ц(1 + /) - sin at =
=у + °('2) - |(о?+о('2)) = -у+о('2)-
injr-lna--sin(x-a) -t2/2+o(t2)
Следовательно, lim-------------= lim -г-,--г^г = 1.
х-м cos^--l »->o-r/2+o(r)
Правило Лопиталя здесь тоже работает неплохо. Пусть In х-In а-
—sin(x-a)=w, a cos-----l=v. тогда и' =-----cosix-a), a v =
а ' ' а ха''
1 . х-а гъ и' 0
=—sin---. Значит,------тоже неопределенность вада - при х-»а, и
a a v' 0
правило Лопиталя надо применить повторно: «"=—V+—sin(x-a)->—у
х а ' ' а
„ , 1 x-a 1
при х->а и v' =—«-cos------►--г ПРИ х->а; следовательно,
а а а
и(х) и'(х) _ и"(х)
lim—— =hm——-=lim =1.
x->a v(x) x->a V*(x) x-*a
3. Найти limp 1
3 J
21 -5091
322
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
( ах+ЬХ+сх\1х
Решение. Пусть >г=1 ~—3 I ♦ тогда
поскольку ах =exlno = 1+(х1па)+о(х), итд. Следовательно,
1 xinabc , ч
lny=—In 1+—j—+о(х) =
In adc , .
~X+0(x)=ln(afec)^+a(x),
где lima(x)=0. Значит, lim Iny=\ntfabc, откуда lim y=e'ni^ =tfabc.
x-»0 ' ' x-»0 x-»0
. и . x’-l+aHl-x)
4. Найти lim----1
»-** l-V2x-x2
Решение. Пусть / = 1-х, тогда /->0 при x->L Найдем все необ
ходимые полиномы Тейлора с точностью до olt2 j, /->0.
Если и = хх,
то
lnu=xlnx=(l - r)ln(l - f)=(l - z)
-Г-^-+о(/2)
= -f+r2-y+o(r2)=-/+y+o(f2), откуда и=е ‘*2 =l+^-/+yj ч
+^-f+y}+o(f2)=l-f+y+y+o(f2)=l-f+f2+o^2), поскольку вс
слагаемые степени 3 и выше уходят в о^2 ).
Далее, sin(l-x)=sm/= *+о(*2), поэтому (1-/)1 *-l+sinr»/2+o(r2)
2х-х2 = l-(l-x)2 = 1-Г2, поэтому 1 -^2х- х2 = 1-(1-/2)*^= 1-
г> Л о
В итоге для исследуемой неопределенности вида -
x’-l+smll-x) r2+o(r2)
lim----j----г- = Ьт i , / = 2-
х-»1 1-V2X-X2 ,->0 |г2+о(г2)
§ 3. Производные и д ифференциалы высших порухов
323
Ряд Тейлора
Степенные ряды, область сходимости, радиус сходимости; действия со степенными
рядами; примеры (124). Ряд Тейлора; примеры (125)
124. Степенные ряды* Рад ввда aQ +a1(z-c)+...+all(z-c)"+...=
00
= Sa„(z-c)" называется степенным, числа а0, аи... - коэффициенты
л=0
степенного ряда. Если с или коэффициенты а„ - комплексные числа, то
ряд называется комплексным степенным рядом.
00
Заменой z - с = х можно свести ряд к виду Еаях"- Только такие сте-
л=0
пенные ряды мы и будем рассматривать в дальнейшем.
00
Множество тех значений х, при которых ряд Еаях" сходится, назы-
я=0
вается областью сходимости ряда.
00
Число R называется радиусом сходимости ряда Еа„х", если при
п=0
| х|<Я ряд сходится, а при |х|>7? - расходится. В зависимости от кон-
кретного вида ряда при х = ±R ряд может как сходиться, так и расхо-
диться. Интервал (~R,R) называется интервалом сходимости (для ряда
00
Ea„(z-c)" это будет интервал (с-Л,с+Л) действительного числа с
п=0
или круг |z- с| = R на комплексной плоскости).
Радиус сходимости R определяется по формуле -J- = lim gjiaj или по
формуле R = lim -^й-
’’-Ноя+1
если эти пределы существуют.
Действия со степенными рядами
Внутри общего интервала сходимости для любого х справедливы
формулы:
О + 2) Еаях".Е*ях"=Есях";
л=0 л=0 л=0 л=0 п=0 п=0
2Г
324
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
я
где с„ =aobn +albn_l+...+ a„b0 = Za^„-k (равенства понимаются в
*=о
обычном смысле: если существует левая часть, то существует и правая, и
они совпадают);
3) ^,апх'> - Ипапх’‘ '» т-е- степенной рад в интервале сходимости
_л=0 J л=1
можно почленно д ифференцировать.
Те же формулы с очевидными изменениями справедливы для рада
fa„(x-a)".
л=0
Пример 107. Найти радиусы и интервалы сходимости радов
ОО уЛ ОО 00
DZ^i 2) Ex"; 3)2—.
л=0Л* л=0 л=1 Л
_ < тт ® хп он+1 л! 1
Решение.!. Для ряда У— имеем ----------------=7——=—г->0,т.е.
к ^л! а„ (л+1)! л+1
R = lim = 00.
"-*0O»+i
® 1 I 1
2. Для геометрической прогрессии Z х"=1— при х < 1, поэтому Я=1,
я=0 ,_Х
а интервал сход имости (-1,1) не содержит, очевидно, крайних точек.
00 хп о л+1
3. Для Z— имеем —— = — -> 1, поэтому Я=1. При х=1 рад расхо-
„=1 п "
® (-1)"
дится как гармонический рад (пример 78), при х=-1 рад У-—— сходит-
л=1 И
ся по признаку Лейбница. Итак, областью сходимости будет полуинтер-
вал (-1,1).
Пример 108. Найти сумму рада £ .
2
00
Решение. Рассмотрим рад 1+х+х2+...= Xх". Это геометрическая
»=0
оо
' прогрессия. Его сумма S(x) = Z х" = (1 - х)-1, |х| < 1 (пример 76).
л=0
§ 3. Производные и д ифференциалы высших порядков 325
Почленно дифференцируя внутри интервала сходимости, получаем
= (1-х)"2 = 1+2х+...= ^пх”"1, откуда L^-=^S'(|)= j-Q) =2.
00 п со п п
Пример 109. Перемножить ряды У— и 2------------•
й=0и* п=0 и'
00
Решение. Обозначим произведение этих радов через S(x) = Хс„хя.
п=0
ая 1
Возьмем произвольное п. Пусть ~=ап и —=ЬИ, тогда
, , Л . Да* 1 *
л! П\ ' '
® (д+])я
по формуле бинома. Следовательно, S(x)=Z -—;—.
л-0
125. Рад Тейлора. Пусть функция/(x) бесконечно дифференцируема
в точке а (а следовательно в ее окрестности), т.е. имеет в а производные
любого порядка. Если все производные/функции /(х) равномерно огра-
ничены в некоторой окрестности (а-г, а+r)точки а (т.е. sup /(и)(х)^Л/
п
для любого х из этой окрестности), то /(х) раскладывается в рад
f(x)= Z,—г~.—(x-a) ,
*=0 * J
где /(0)(х)=/(а), называемый рядом Тейлора функции /(х). Каждая
частная сумма ряда Тейлора является полиномом Тейлора (122), форма
остаточного члена этого ряда r_(x) =/(х)- T.J .. 7 (х-о)* совпадает
*=0 *!
с остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа (122). Заме-
тим, что г„(х)/(х-а)" =-------(и+1)!---*(х-а)->0 при х->а, т.е.
г„ = о(х-а)я. Вад всех частичных сумм для наиболее употребительных
функций совпадает с полиномами, выписанными в (122), например,
_ X1 Xя
е =1+х+—+...+—+..., нужно только указать радиусы сходимости:
326
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Я = оо дляе*, sin х, cos х; R= 1 для (l+x)r,ln(l+x), In----, arcsinx.
1-дг
Ряд Тейлора
наиболее важных функций (а - 0)
2 „4 2л со 2п
3. совх^-^ч-—+... +(-1)"(2^)!+-(Эд.
(l + x) —1+ГХ+——X +... +-—-X +
6. ln(l+x)=x~+...+(-l)"-1 —+...= £(-1)"-1 — •
2 п „ж1 я
дЛ Зх^ 3-5х7
8. aicsmx=x+^+^+ff^
2-3 2-4-5 2-4-O-7
В заключение отметим, что если какая-либо функция раскладывается в
степенной ряд, то это может быть только ряд Тейлора этой функции.
Разложению функции в ряд придавали большое значение й Ньютон, и
все последующие выдающиеся математики, используя разложение как
для вычислительных целей (101), так и для нахождения производной
функции, а в особенности ее интеграла (см. гл.У) с помощью почленного
дифференцирования или соответственно интегрирования ее степенного
ряда (ряда Тейлора). Долгое время, вплоть до середины XIX в., было
распространено заблуждение, будто всякая гладкая функция расклады-
вается в ряд Тейлора. Однако, если рассмотреть функцию
/(*) =
е-1/х2, х#0,
0 , х=0,
то непосредственным вычислением пределов можно показать, что
§4. Экстремальные задачи
327
/а>(0)«0 для любого п, поэтому в окрестности нуля эта ненулевая функ-
ция имеет нулевой ряд.Тейлора 0+Ох+... + Ох"... = 0.
Пример ПО. Разложить в ряд Тейлора функцию у = cos2x.
Решение. Поскольку cos2x=j(l+cos2x), то выпишем разложение
• (2х)2"
для cos2x и подставим в эту формулу. Имеем cos2x= Е(-1)" - , ,
»=о ни-
откуда
Ряд сходится при всех х.
Пример 111. Используя разложение д ля 1п(1+х), найти разложение
(Тейлора) функции у=—In—.
2 1-х
Решение. Имеем
ln(l+x) = х—~+~+...+(—1)”'"1
2 3 П
, X X2 X3 х"
-1п(1-х) = х+—+—+...+—+...
2 3 П
Поскольку Inp^=ln(l+x)-ln(l-x), то, складывая эти ряды и деля на
2, получаем ilnp^=x4~+...+-^—+... Ряд сходится в интервале (-1,1).
§4. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Локальный экстремум (максимум или минимум) функции, стационарные и критические
точки, необходимые и достаточные условия экстремума; наибольшее и наименьшее
значения функции (глобальный экстремум); примеры (126)
126. Экстремальные задачи н методы их решения. Экстремальные
задачи, т.е. задачи на нахождение или достижение экстремальных (макси-
мальных или минимальных) значений, окружают нас повсюду. Естест-
венны и важны экономические задачи на минимизацию функций риска,
потерь или затрат или максимизацию дохода. Экстремальные задачи и
свойства определяют важнейшие законы физики: свет распространяется
328
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
по кратчайшему пути (принцип кратчайшего пути); свет распространяет-
ся от одной точки пространства к другой, затрачивая на это минимальное
время (принцип минимального времени); одна из знаменитых физиче-
ских задач XVII в. - Нахождение траектории спуска тела в вертикальной
плоскости под действием только силы тяжести, при которой затрачива-
ется минимальное время. Известно множество экстремальных геометри-
ческих задач. Поиски экстремума - это, в конечном счете, поиск наибо-
лее выгодного, оптимального пути решения проблемы. Занимаясь реше-
нием экстремальных задач, Эйлер писал: «В мире не происходит ничего,
в чем бы не был ввдеи смысл какого-нибудь максимума или минимума».
Так что сформулированные ниже достаточные условия экстремума пред-
ставляют не только теоретический интерес.
Открытия в физике, связанные с экстремальными принципами, едела-
ли Галилей, Ферма, Гюйгенс, Бернулли, Лагранж, Гамильтон, Якоби и
другие знаменитые ученые и, конечно же, Ньютон, Лейбниц и Эйлер.
Наиболее значительные результаты в решении экстремальных задач в
XVIII в. принадлежат Ньютону, Лейбницу, Эйлеру, в XIX в. - Лагранжу
(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813, французский математик и механик,
член Берлинской академии наук с 1759 г., в 1766-87 ее президент, с
1772 г. член Парижской академии наук).
Задачи нахождения локальных экстремумов функций одной или не-
скольких переменных, рассмотренные в настоящей книге, можно считать
примерами наиболее простых экстремальных задач. Более сложные экс-
тремальные задачи являются предметом таких математических дисцип-
лин, как вариационное исчисление или оптимальное управление; их ре-
шение требует привлечения существенно более сложных и абстрактных
конструкций. Подробное изложение этих проблем содержится, напри-
мер, в книге: Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное
управление. М., 1979.
Много интересных физических и геометрических экстремальных задач
при желании можно увидеть в книге: Тихомиров В.М. Рассказы о макси-
мумах и минимумах. М., 1986, предназначенной д ля школьников (правда,
собирающихся стать математиками).
Дадим необходимые определения.
Локальный экстремум функции. Говорят, что функция /(х) имеет в
точке х0 локальный максимум (минимум), если /(х)</(х0) (соответ-
ственно /(х)>/(х0)) для всех точек х из некоторой окрестности
0<| х-х01 <г точки х0. Локальные максимумы и локальные минимумы
называются локальными экстремумами (от лат. extremum - крайний).
§4. Экстремальные задачи
329
Эпитет «локальный» подчеркивает, что сформулированное выше свой-
ство выполнено лишь в окрестности (быть может, достаточно малой).
Конечно, функция может иметь много локальных экстремумов (рис. 72).
Необходимое условие локального экстремума. Если функция Дх) в
точке х0 д ифференцируема и имеет локальный экстремум, то /'(*Ь)=0-
Точки, в которых производная функции равна нулю, называются ста-
ционарными, а точки, в которых производная равна ± <х> или не* сущест-
вует, - критическими.
Таким образом, для д ифференцируемой функции локальный экстремум
может достигаться только в стационарной точке. Критические точки
также могут быть точками экстремума, таковой, например, является
точка х=0 для функции у- |х|.
Однако совсем не обязательно, что стационарная или критическая
точка всегда будет точкой экстремума. Если рассмотреть функцию _у=г3,
то стационарная точка х = 0 не будет точкой экстремума. Для функции
y=tfx точка х-0 будет критической, однако в окрестности нуля эта
функция монотонно возрастает.
Следовательно, возникает необходимость нахождения достаточно про-
стых условий, которые обеспечивали бы наличие у функции экстремума.
Достаточные условия экстремума
Первое правило. Если:
1) х0 - стационарная или критическая точка функции/(х);
2) /'(х)>0 при хо-г<х<хо и /'(*)<0 при х0<х<х0+г (соответ-
ственно /'(х)<0 При Хо~Г<Х<Хо И f’(x)>d При Xjj<X<Xo+r ), то х0-
точка локального, максимума (соответственно минимума); если же /'(х)
сохраняет знак на О<|х-хо|<г ,тона (xq-г, х^+г) экстремума нет.
Удобно записать это правило в виде таблицы:
330
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Знак производной Вывод
Х<Хо Х>Хо в точке xq :
+ + Максимум Минимум
Второе правило. Если х0- стационарная точка и существует
то в х0 максимум при /"(хо)сО и минимум, если /"(xq)>0.
Бывает, что вычислить вторую производную проще, чем исследовать
знак производной (пример 115 или, возможно, пример 112).
Однако есть случай, когда исследовать знак производной и вовсе не
нужно: стационарная точка выпуклой функции (128) всегда будет ее точ-
кой экстремума.
Пример 112. Кривая роста заказных убийств достаточно точно при-
ближается функцией y=t (144-Г2), где t-З соответствует первому году
резкого роста убийств, а t=6 — текущему. В текущем году прогнозирует-
ся та же зависимость количества убийств от времени. Можно ли рассчи-
тывать на то, что в текущем году произойдет перелом и количество за-
казных убийств в следующем году может начать снижаться?
Решение. Найдем значения функции:
/=3,>=3(144-9)=3« 135=405; /=4,>-=4(144 -16)=4-128=512;
/=5,>=5(144-25)=5 119= 595; /=6,_у=6(144-36)=6-108=648;
Г=7,у=7(144 -49)=7 95 =665.
Составим таблицу:
t 3 4 5 6 7
У 405 512 595 648 665
Замедление темпов роста видно невооруженным глазом. Теперь най-
дем точку, в которой достигается максимум. Имеем у' = 144-ЗГ2. Урав-
нение у' =0 дает стационарные точки /01 =±^ф-= 748=4-73 *6.928,
отрицательное значение t в соответствии с условием отбрасываем. Знак
производной меняется с + на — (или>-"(*о) = -бго <°) ~ признак мак-
симума. Итак, к концу текущего год а можно ожидать перелома.
§4. Экстремальные задачи
331
Пример 113 (задача Тартальи). Разделить число 8 на две такие час-
ти, чтобы произведение их произведения на разность было максималь-
ным (о Тарталье см. 35).
Решение. Пусть 8=х+(8-х) и из чисел х и 8-х число х меньше (т.е.
0£х£4). Тогда разность этих чисел равна 8-2х. По условию надо найти
точку максимума функции у=х(8-х)(8-2х). Раскрывая скобки, получаем
у=2х3-24х2+64х, откуда у'=2(3х2-24х+32). Из условия у0 находим
121J144-96 12 ±4ТЗ
стационарные точки х21 =----------= —-—; из условия х £ 4 по-
. 4
лучаем х = 4 - .
Производная у' является квадратичной параболой, которая при пере-
ходе через любой недвукратный корень меняет знак. Поскольку старший
коэффициент параболы положителен, ее ветви идут вверх, поэтому пере-
ход с «+» на «-» в меньшем корне, т.е. х-точка максимума по правилу 1.
Само же максимальное значение этого произведения
О решении самого Тартальи можно почитать, например, в [ 11 ].
Пример 114. Задача Кеплера (Johann Kepler, 1571-1630, немецкий
астроном, математик и астролог, открыл законы движения планет
(законы Кеплера), заложил основы теории затмений).
Вот как описывает сам И. Кеплер предысторию появления этой задачи
в книге «Стереометрия винных бочек» (1613), содержащей важные ма-
тематические результаты.
...В ноябре прошлого года... я ввел в свой дом новую супругу, в то время, когда Австрия,
закончив обильный сбор благородного винограда, распределяла свои богатства... Весь берег
в Линце был завален винными бочками, продающимися по сходной цене...
Продавец вина при измерении вместимости бочек, купленных Кепле-
ром, интересовался только тем, чтобы определить, на какую длину его
одномерная линейка погружается, чтобы достать до дна бочки. Кеплер
был очень удивлен, что продавцу достаточно одного измерения, чтобы
определить вместимость бочки.
Я как новобрачный, - пишет Кеплер, - счел дм себя подходящим взять новый предмет
математических занятий и исследовать геометрические заходы такого удобного в домашнем
хозяйстве измерения, и выяснить его основания, если таковые имеются.
В этом своем замечательном исследовании, касавшемся многих мате-
матических проблем, Кеплер свел задачу к следующей: доказать, что из
332
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
всех цилиндров, имеющих одну и ту же диагональ, самым большим и
вместительным будет тот, в котором отношение диаметра основания к
высоте равно .
Показать, что решение этой задачи (т.е. доказательство) сводится к
нахождению экстремума функции у = 2я[к2-х2}х, где х- половина
высоты цилиндра, вписанного в шар радиуса R.
Между прочим, в этой же книге («Стереометрия винных бочек») Кеп-
лер получил весьма полезную формулу площади заштрихованной фигуры
на рис. 73.
Рис. 73
S=p(a)+4/(^)+/(^^,
которая справедлива, если функция f(x) -
произвольный многочлен степени не выше 3.
Решение. Опишем около исследуемого
цилиндра шар и рассмотрим сечение шара (и цилиндра), проходящее
через его центр. Поскольку прямой вписанный угол опирается на диа-
метр, то диагональ цилиндра равна диаметру описанного шара, поэтому
задача Кеплера эквивалентна следующей: в данный шар вписать ци-
линдр максимального объема.
По теореме Пифагора, радиус основания цилиндра r=^R2-x2, поэто-
му для площади основания цилиндра имеем равенство яг2=я(Д2-х2). Сле-
довательно, объем цилиндра у= ят2(2х)=2ях(Л2-х2), откуда у'=ln(R2-
-Зх2). Значит, уМ), что эквивалентно равенству х2”/?2^ или x=R/^3,
/у 2г г
откуда r=KJ-. Следовательно, —=л/2.
Пример 115. Найти локальные экстремумы функции y=exsinx на
отрезке [- я72, xj.
Решение. Так как y=(ex)'sinx+(smx)'ex=ex(smx+cosx), то ста-
ционарные точки — это корни уравнения sin х+cosx=0 или равносильно-
го ему уравнения tgx=-l. Отсюда х=-—+як (fc = 0, ±1,...). На отрезке
4
таких точек две: x=-j(45‘) и х=я-^(135’). Теперь можно,
конечно, исследовать знак производной, но явно проще подставить значе-
§4. Экстремальные задачи
333
ния стационарных точек х=-я /4 и х=Зя /4 во вторую производную у "-
=(ex)'(smx+cosx)+(smx+cosx)'ex=ex(sinx+cosx)+(cosx-smx)ex=2excosx.
cos
Получим у"(-^) = 2е 4 cos О, у'
a cos—=-—<0. Следовательно, по второму
4 2
правилу (с. 330) в стационарной точке х = -л74 минимум, а в точке
х=3я74 максимум.
Зя
2е 4 со8-д-<0, поскольку
Наибольшее и наименьшее значения. Как видно из рис. 72, у функции
может быть много локальных экстремумов, однако возможно, что по ус-
ловию задачи необходимо найти наибольшее значение функции (большее
всех остальных) или ее наименьшее значение.
Справедливо следующее утверждение (принцип Вейерштрасса),
которым следует пользоваться для нахождения наибольшего и наимень-
шего значений функции на всем отрезке: любая непрерывная функция
достигает на отрезке своего наибольшего и наименьшего значений, ими
являются либо точки локальных экстремумов, либо концы отрезка (рис.
72бив).
Поэтому д ля поиска наибольших и наименьших значений дифференци-
руемой функции не обязательно искать локальные экстремумы: надо
найти все стационарные точки и проверить значения функции в стацио-
нарных точках и на концах отрезка.
Пример 116. Из точки О, находящейся на прямолинейной железно-
дорожной магистрали, в точку D, находящуюся на расстоянии </-Збкм от
магистрали, предполагается направить поток грузов. Себестоимость пе-
ревозки груза на ед иничное расстояние по железной дороге равна а, а по
автомобильной дороге — Д. Пусть Л — ближайшая к D точка магистрали
(ОА = s = 48, AD = d). На каком расстоянии от Л на отрезке ОА следует
транспортной компании проложить прямолинейную автомобильную до-
рогу до D, чтобы себестоимость перевозки была минимальной д ля значе-
ний: 1)2=- и 2)2=15, где 2=^.
2 0
Решение. Пусть начальная точка шоссе находится на расстоянии х от
А (рис. 74). Тогда стоимость перевозки грузов y = a(s-x)+0^x2+d2 .
Отсюда у’=а(з- x)'+^J(x2+rf2)*2] =-а+Д^(х2+d2) V2- 2х= —а~
334
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
( _ \ I х
=/Н * » - я I. Подставляем значения: у' = р I i _—л
о х Д
Рис. 74
1. тогда _у'=0 эквивалентно уравнению =у или
-Дг=7> 4х2 =х2 +d2, т.е. х=4-=-^-= 20.785.
x’+rf2 4 л/3 1732
2. Л-1.5, тогда у' <0 для всех х, так как । * <1, а Л> 1, т.е. функ-
-Jx2+d2
ция у монотонно убывает и достигает минимума в крайней точке x=s.
Таким образом, в этом случае шоссе надо начинать прямо из точки О.
§5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ
Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты, возрастание и убывание
функции (127). Локальный экстремум (максимум или минимум) функции,
стационарные и критические точки, необходимые и достаточные условия
экстремума; выпуклые функции, точки перегиба, критерий для определения
точек перегиба (128). Некоторые качественные геометрические свойства
графиков дифференцируемых функций: теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа
(129). Общая схема построения графика функции, примеры (130)
127. Глобальные свойства функции.
Асимптоты. Прямая х = х0 называется вертикальной асимптотой
функции/(х), если lim /(х) или lim /(х) равно +оо или-оо.
x-Mqj- х-»Ч>+
Прямая у=Ь называется горизонтальной асимптотой f(x), если
lim f(x) = b или lim f(x) = b.
Х-Ф-НЮ Х-ф-00
Прямая y=kx+b (Jt#O) называется наклонной асимптотой f(x)
при х-++оо (при х-+-<х>), если /(х)=Ах+Ь+а(х), где а(х)->0 при
х -> +оо (х -> -оо). Для того чтобы /(х) имела при х -» +оо (х -> -оо) на-
§5. Исследование функций
335
клонную асимптоту у = кх+й, необходимо и достаточно, чтобы сущест-
вовали пределы
lim и lim f/(x)-fccl=/>.
х->+оо X х->+® 1 J
(х->- со) (х->- °0)
Возрастание и убывание функции. Напомним, что функция f (х)
называется возрастающей (убывающей) на интервале (а, Ь), если
/(xj)</(x2) при а<хх<х2<Ь (соответственно f(xx)>f(x2) при
а <хх<х2<Ь).
Признак монотонности. Если /(х) имеет положительную (отрица-
тельную) производную в каждой точке хе(а,/>),то /(х) возрастает (убы-
вает) на (а, Ь).
Это утверждение незамедлительно следует из теоремы Лагранжа
(129). Кроме того, оно имеет ясный интуитивный смысл: если хь-произ-
/ . v ,,, v л л
вольная точка из (а, Ь) и f\x0)>Q, то --j----->0 в окрестности х0,
поэтому/(хь+й)-/(х)>0 при й>0 и/(хь+й)-/(х)<0 при й<0, т.е.
функция /(•) возрастает в окрестности х0; аналогично для отрицательной
производной. Смысл указанного признака в том, что часто определить
знак производной оказывается легче, чем проверить выполнение соот-
ветствующего неравенства.
128. Локальные свойства функции. Определение локальных экстре-
мумов и правила нахождения экстремальных точек рассмотрены в пре-
дыдущем параграфе.
Направление выпуклости и точки перегиба. Функция f (•) назы-
вается выпуклой вверх (вниз), если/[pxi+(l-p)x2]^p/(xi)+(l-p)/(x2)
(соответственно /U»ci+(l-p)x2]£p/(xi)+(l-p)/(x2)) для любого от-
резка [хь х2] из области определения и 0<р<1. Поскольку точки вида
ps+(l-p)t при различных значенияхр заполняют отрезок [*,/], то гео-
метрически это означает, что график этой функции целиком лежит выше
(рис.75) отрезка на плоскости с концами в точках (xi,/(x0) и (х2,/(х2)).
Выпуклость функции вверх (вниз) эквивалентна существованию в каж-
дой точке (хь,/(хь)), где xbe[xt,x2], так называемой опорной прямой, ле-
жащей ндд(под) графиком функции у=/(х), т.е.
f(x) ^f(xo)+l(x-xo),
336 Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
где Л=Л(х0) - тангенс угла наклона опорной прямой. Для дифференци-
руемой функции Л(хо)-производная в точке х0.
Для непрерывных функций выпуклость вниз эквивалентна условию
Л^Н(/(х,)+/(х2)).
Справедливо следующее достаточное условие выпуклости: если
/”(х)>0 (соответственно /"(х)<0) для всех х из области определения,
to график /(-) будет выпуклым вниз (соответственно вверх). Смысл его в
том, что часто определить знак второй производной бывает значительно
проще, чем проверять необходимые неравенства.
Точки, в которых меняется направление выпуклости графика функции,
называются точками перегиба. Справедливо утверждение: точка х0, в
которой либо f"(x0)=(), либо /"(х0) не существует, является точкой
перегиба, если /"(х) меняет знак при переходе через точку х0.
129. Некоторые геометрические свойства графиков дифференцируе-
мых функций.
Теорема Ферма. Пусть функция /(х) определена на интервале
(а, Ь) и в некоторой точке х0 этого интервала имеет наибольшее или
наименьшее значение. Тогда, если в точке х0 существует производная,
то она равна нулю, т.е. /'(хо)=О-
Поскольку /'(Хо)=О геометрически означает (рис. 76а), что касатель-
ная в точке х0 имеет нулевой угол наклона, то в хь касательная парал-
лельна горизонтальной оси Ох.
Рис. 76
§5. Исследование функций
337
Теорема Ролля (Michel Rolle, 1652-1719, французский математик,
член Парижской академии наук с 1685 г., высказал это утверждение для
полиномов без доказательства в 1690 г.). Пусть на отрезке {а, 6] опреде-
лена функция /(х), причем:
1) /(х) непрерывна на [а, Ь];
2) /(х) дифференцируема на (а,Ь);
3) /(<*)=/(*)
Тоща существует точка s g(a, Ь), в которой f'(s)=0.
Геометрически это означает (рис. 766), что при выполнении условий
теоремы между а и Ь существует точка, в которой касательная парал-
лельна горизонтальной оси Ох.
Теорема Лагранжа. Пусть на отрезке [а, 6] определена функция
f (х), причем:
1) /(х) непрерывна на [a,d];
2) /(х) дифференцируема на (а, Ь).
Тогда существует такая точка зе(а,Ь), что справедлива формула
/0)-/(а)=/’(*Х*-«).
Геометрически это означает (рис.76 в), что при выполнении условий
теоремы на (а, Ь) существует такая точка $, что в ней касательная к гра-
фику /(х) параллельна отрезку [Да),Д6)|, поскольку 22*2122f2 -тангенс
Ь-а
угла наклона (Да), Д6)] к оси Ох.
Из теоремы Лагранжа сразу следует важное утверждение: если Д(х)яО
на (а, 6], то /(х)=const на [a, й]. Доказательство предоставляется чита-
телю в качестве несложного упражнения.
130. Построение графиков функций. Изучение заданной функции и
построение ее графика целесообразно проводить в следующем порядке:
1. Найти область определения функции.
2. Выяснить симметрию графика (четность\нечетность) и периодичность.
3. Найти точки разрыва функции и промежутки непрерывности.
4. Найти асимптоты функции (если таковые имеются) и исследовать по-
ведение функции в граничных точках.
5. Найти нули функции (точки пересечения графика функции с осями ко-
ординат) и области постоянства знака.
6. Найти стационарные и критические точки и экстремумы и выяснить
промежутки возрастания и убывания функции.
7. Определить интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
8. Указать иные особенности функции и построить ее график.
22 - 5091
338
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
Пример 117. Исследовать функцию /(х)=
и построить ее
график.
Решение. 1. Областью определения функции является множество
всех действительных чисел, кроме х= 1 (в этом случае знаменатель об-
ращается в нуль).
2. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
3. х= 1 является точкой разрыва функции.
4. Выясним вопрос о существовании асимптот. Сначала исследуем по-
ведение функции вблизи точки разрыва х-1. Так как у-+ -оо при х->1-
и у->+оо при х—>1+, то прямая xs 1 является вертикальной асимптотой
графика функции. Если х-»+оо (х-»-<ю), то у->+оо (у->-»); следова-
тельно, горизонтальных асимптоту графика нет.
Далее, из существования пределов
. ,. /(*) ,. х2+1 ,. 1+1/х1 1
= lim ------= lim -5—= lim . =1,
х—% х >+«о X ~~Х х-»-Но * 1/ X
b= lim [/(х)-Ах]= lim —г-х = lim ~т= lim
х-»-но Х->+« _ Х—1 _ х-»+® X 1
(х->-«о) (х->-оо) (х—>—®) (х->-«)
1+1/х
1-1/х
вытекает, что при х->+оо и при х->-<ю график функции имеет наклон-
ную асимптоту у=х+1.
5. Так как уравнение х2+1=0 не имеет вещественных корней, то гра-
фик функции не имеет точек пересечения с осью Ох. Ось Оу график пе-
ресекает, в точке (0; -1).
6. Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую
, . 2х(х-1)-(х2+1) 2х2-2х-х2-1 х2-2х-1
Производную функции: /'(х)= . „Л------=----——j-------3-
(х-1) (Х-1) (х-1)
Решая уравнение х2-2х-1=0, получаем две стационарные точки:
Xj=l-V2 и x^I-h/2 . При этом х-1 - единственная критическая
точка.
Вычислим вторую производную:
fn( Ч_(2х-2Хх-1)2-2(х-1Хх2-2х- 1)_ 4
7 ( } (х-1)4 (х-1)2 '
Так как Х|-1<0, а х2-1>0, то f"(xx)<Q, /"(х2)>0, значит, в Х] у
функции максимум, а в х2 - минимум, причем /(1-л/2)=2-2л/2 , а
/(1+72)=2+2^2.
§5. Исследование функций
339
Поскольку старший член параболы у=х2-2х-1 положителен, ветви
ее направлены вверх. Поэтому х2-2х-1>0 прих<хь х2-2х-1<0 при
xi<x<x2 и х2-2х-1>0 при х>х2. Значит, функция на (-оо, 1-72) воз-
растает, на (1-72,1+72) убывает, а на (1+72, +оо) снова возрастает
(неограниченно). Конечно, для определения экстремумов можно было с
равным успехом исследовать знаки производной, но вторая производная
нам все равно пригод ится д ля определения выпуклости функции.
7. Так как /"(х)<0 при х< 1 и /"(х)<0 при х> 1, то на (-оо, 1)
функция выпукла вверх, а на (1, + оо) - вниз. Производная f”(x) в нуль
не обращается, так что точек перегиба нет.
График исследуемой функции изображен на рис. 77.
Рис. 77
Пример 118. Исследовать функцию /(х)=—, построить ее график.
Решение. 1. Функция определена при х>0, т.е. в интервале 0<х<+оо.
2. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
3. Точек разрыва нет, функция дифференцируема на всей области оп-
ределения.
4. Вертикальной асимптотой является прямая х-0, так как
,. tax
lim—=-оо.
*-»«+ X
Отыскиваем асимптоты: к= lim lim - это неопределенность
«-►и» X *-»+• X
вида —. Применяя правило Лопиталя, получаем
оо
Jt= lim ^Л= lim ~~= lim —U-=0,
jr-^+oo *-»+« 2x «->+• 2лг
b = lim[/(x)-Ax] = lim ^^-0-х
х—>+*о х—>+-о^ X
Таким образом, k-b-Q, т.е. наклонных асимптот нет; прямая у-0-гори-
зонтальная асимптота.
,. tax ,. 1/х .. 1 л
= lim —= lim —= lim —=0.
х—>+*о X х->+« 1 х->+« X
22*
340
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
5. График функции пересекает ось Ох в точке, в которой 1пх=0, т.е. в
точке с абсциссой х= 1, а с осью Оу пересечений не имеет, так как функ-
ция определена при х>0.
6. Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую
... . 1-1п*
производную: / (х) = —=—.
х
Решая уравнение 1 -1пх=0, получаем одну стационарную точку х=е.
Критических точек нет, поскольку х>0.
Далее, 1пх<1 при х<е и 1пх<1 при х>е, поэтому/*(х)>0 при х<е и
/у(х)<0 при х>е. Следовательно, функция возрастает на (0, е) и убывает
на (е, +со). По правилу перемены знаков в точке х= е функция имеет
максимум, причем /(е)=|.
7. Вычислим вторую производную: /”(х)=^*п^~3. Решая уравнение
ж
21пх-3=0 или 1пх=3/2, получаем корень х=е3/2. Очевидно, на (0, е372)
вторая производная отрицательна, т.е. функция выпукла вверх, а на
(е372, -ню)- положительна, т.е. функция выпукла вниз. Следовательно,
х=е3/2 - точка перегиба.
8. График исследуемой функции изображен на рис. 78.
Пример 119. Построить график функции /(х) = х2е"“ (а>0).
Решение. 1. Область определения функции - вся числовая прямая.
2. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
3. Точек разрыва нет, функция дифференцируема на всей области оп-
ределения.
4. В силу непрерывности функции на всей прямой вертикальных асим-
птот нет. Для наклонных асимптот необход имо рассмотреть отдельно слу-
У со
чаи х->-оо и х->+оо. Имеем fc=lim-------= lim хе-<“=«. Следователь-
X х->-во
но, наклонной асимптоты при х->-оо нет, а так как и limx2e“®'=+oo,
§5. Исследование функций
341
то горизонтальной асимптоты также нет. Далее имеем
к = lim--------------------= lim —== lim —~ = 0,
«-»+« х e «-ж© де
x2 2x 2
b= lim[f(x)-0-x]= lim x2e_<“= lim-== lim —== lim Т7Г=О
х->-ню jr-4-но e x-n-oo де X-4-H0 a e
(использовалось правило Лопиталя); таким образом, при х->-<ю на-
клонной асимптоты нет, при х->+оо прямая у=0-горизонтальная асим-
птота. '
5. График функции пересекает оси координат в точке О=(0,0).
6. Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую
производную: /'(х)=х(2-ах)е-аг. Решая уравнение х(2-ах)е_<“=0,
получаем две стационарные точки: X]=0, х^ - 2 / а. Критических точек нет.
Очевидно, /*(х)<0 при х<0 и при х>2/а и /*(х)>0 при 0<х<2/а;
следовательно, функция убывает на (-оо, 0) и (2/а, +<ю) и возрастает на
(0,2/а). По правилу перемены знаков в точке х=0 функция имеет мини-
Г 2 V
мум, а в х=2/а-максимум, причем f (2/а) =1 — I е-2.
7. Вычислим вторую производную: /”(х) = (а2х2-4ах+2)е “. Решая
уравнение а2х2-4ах+2=0, получаем два корня: xt=2~^, х2=2*— .
а а
Поскольку ветви параболы у=а2х2-4ах+2 направлены вверх, на
(-оо,xj и (х2,+<х>) вторая производная положительна, т.е. функция вы-
пукла вниз, а на (Х1,х2)-отрицательна, т.е. функция выпукла вверх. Сле-
довательно, х> и х2- точки перегиба, причем
~ с-(2-н/2)
8. График исследуемой функции при а* 1 для определенности масштаба
рисунка изображен на рис. 79.
4*
Рис. 79
342
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
§6. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И ГИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ
ЧИСЛА. НЕСТАНДАРТНЫЙ АНАЛИЗ
Различие во взглядах Ньютона и Лейбница на производную. О формализации идеи
Лейбница. Бесконечно большие и бесконечно малые числа, стандартные
гипердействительные числа; монада действительного числа. Инфинитезимальный
микроскоп. Продолжение функций и расширение множеств. Предел и производная
в нестандартном анализе; пример. Модель множества гипердействительных чисел.
Принцип Лейбница (131*)
131 *. О гипердействительных числах и инфинитезимальном анализе.
Основоположники математического анализа Ньютон и Лейбниц исполь-
зовали разные подходы к излагаемой ими теории. Так, Ньютон в
«Началах» говорил о производных (флюксиях) как о пределах, к кото-
рым отношение приращений «могут подойти ближе, нежели на любую
наперед заданную разность, но которых... достигнуть на самом деле не
могут ранее, чем... уменьшатся бесконечно», т.е. фактически закладывал
в основу конструкцию предела, впоследствии точно формализованную
Коши, Больцано и Вейерштрассом. Лейбниц же, обозначая производную
Дг dy
через — или —, имел в виду не просто формальное обозначение, а
dx dt
частное (отношение) двух бесконечно малых чисел. Свои взгляды на бес-
конечно малые и математический анализ Лейбниц изложил в статье
(1684) «Nova methodus pro maximus et minimums» («Новый метод...»),
опубликованной в журнале «Acta eruditorum». В этой и последующих
работах Лейбниц утверждал, что новые числа (бесконечно малые) под-
чиняются тем же правилам арифметики что и обычные. Лейбницу не
удалось дать точное определение бесконечно малых и тем более постро-
ить содержательную теорию бесконечно малых, и, отвечая на критику, он
писал:
Если кто не желает рассматривать бесконечно большие и бесконечно малые в строго ме-
тафизическом смысле, как реально существующие, он может воспользоваться ими как и
идеальными понятиями, которые сокращают рассуждения, подобно мнимым корням в обыч-
ном анализе... таким же образом представляют более трех измерений... - все это для уста-
новления идей, способных сокращать рассуждения и основывающихся на реальностях... По
правде говоря, я сам не слишком убежден, что надо рассматривать бесконечные и бесконеч-
но малые иначе, чем как идеальные вещи и хорошо обоснованные фикции.
Некоторые аналитические рассуждения Лейбница, в том числе при
вычислении производных, можно видеть в (5, с. 162-164].
В то время и с обоснованием ньютоновского подхода дело обстояло не
лучше, и оба подхода подвергались серьезнейшей критике. Особенно
детальный анализ недостатков и противоречий в обоснования обеих
концепций провел известный английский философ епископ Беркли
§6. Нестандартный анализ
343
(George Berkley, 1685 или 84-1753), называвший бесконечно малые
«тенями усопших величин». Критика была весьма основательной (кста-
ти, о втором дифференциале Лейбница Беркли остроумно заметил, что
непонятно, как можно говорить о разности величины cbc, «которая и сама
едва различима»). Кроме того, Беркли писал, что при таких несовершен-
ствах в обосновании математики негоже придираться к чему бы то ни
было в богословии. (Как все это актуально и снова напоминает о необхо-
димости точности и глубины от каждого и в каждой науке или системе
знаний!)
Между прочим, зададимся вопросом, почему математические труды
Ньютона и Лейбница знает едва ли не каждый школьник, а о математи-
ческих трудах Беркли известно очень немногим? Ответ прост: Ньютон и
Лейбниц преуспели в созидании, а Беркли - в критике (имеется в виду
математика). И так будет всегда. Нет благословения разрушителям!
Напомним, что в результате интенсивных поисков в основание матема-
тического анализа было положено понятие предела и уже Д’Аламбер
высказывал точку зрения, которая выгладит вполне современно:
Говорят, что овна величина является пределом другой, если вторая может приблизиться к
первой ближе, чем на любую задвинуто величину... Теория пределов является основанием
подлинной метафизики дифференциального исчисления... В д ифференциальном исчислении
речь идет не о бесконечно) малых величинах, как это обычно' утверждают, речь идет лишь о
пределах конечных величин... Термином «бесконечно малая» пользуются лишь как сокраще-
нием...
Подходе позиции пределов был полностью обоснован, как мы помним,
лишь к концу XIX в. Обосновать же концепцию Лейбница удалось со-
всем недавно: впервые это сделал американский математик и логик Аб-
рахам Робинсон (A. Robinson, 1918-74) в статье, опубликованной в
1961 г. в трудах Нидерландской академии наук (Non standart analisis.
Proc. Roy. Acad. Amsterdam. Ser A. 1961. Vol. 64. P. 432-440). В ней он
показал, что понятию «бесконечно малое» (число) можно придать точ-
ный (и непротиворечивый) смысл и расширить понятие действительного
числа не в алгебраическом (подобно кватернионам 48) смысле, а в рам-
ках математического анализа, т.е. дифференциальных и интегральных
исчислений. Новые числа получили название гипердействительных (или
гипервещественных).
Множество гипердействительных чисел *R состоит из множества О
конечных чисел и множества *R«= *R\O бесконечных чисел. Точнее, с
учетом порядка на *R оно разбивается на три класса: бесконечно боль-
ших отрицательных чисел, каждое из которых меньше любого конечного
числа, конечных чисел и бесконечно больших положительных чисел, ка-
ждое из которых больше любого конечного числа. Д ля гипердействитель-
344
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
ных чисел определены все алгебраические операции, обладающие всеми
теми же свойствами, что и для обычных действительных чисел. Также
определено отношение порадка с сохранением всех привычных свойств.
Сумма, разность, произведение и частное (знаменатель не нуль) конеч-
ных гипердействительных чисел конечны. Сумма и произведение беско-
нечно больших чисел будет бесконечно большим.
Гипердействительное число а^О называется бесконечно малым, если
ла=а+...+а<1 для любого натурального числа п. Гипердействительное
л раз
число а£0 называется бесконечно малым, если (-а)-бесконечно малое.
Если *х - бесконечно большое число, то 1/*х будет бесконечно малым.
Таким образом, согласно определению, для бесконечно малых чисел
принцип Архимеда (27) не выполняется или, как говорят математики, *R
является неархимедовым множеством. Это свойство бесконечно малых
чисел соответствует свойству бесконечно малых функций (или последо-
вательностей): сумма конечного числа бесконечно малых функций
(последовательностей) будет бесконечно малой. Любое бесконечно ма-
лое число будет меньше каждого конечного числа.
Бесконечно малые и бесконечно большие числа могут иметь разный
порядок. Бесконечно малое число а является бесконечно малым более
высокого порядка, чем fl (соответственно бесконечно большое *z бо-
лее высокого порядка, чем бесконечно большое *у), если а/fl бесконеч-
но Мало (соответственно *z/*y бесконечно велико). Таким образом, для
любого бесконечно малого числа а число а2 будет бесконечно малым
более высокого порядка, чем а, и тд. Соответственно *z2 будет беско-
нечно большим более высокого порядка, чем бесконечно большое число
*z, и тд. Бесконечные числа имеют одинаковый порядок, если их частное
конечно.
Множество гипердействительных чисел *R содержит множество дей-
ствительных чисел R (а точнее, его изоморфную копию). Действитель-
ные числа и их копии в *R мы будем отождествлять. Действительные
числа в *R называются стандартными, числа из *R\R-нестандартными.
Любое конечное гипердействительное число *х может быть представ-
лено в ваде суммы х + а, где х - стандартное число, а а - бесконечно
малое гипердействительное число. Причем х также обозначают st(*x).
Итак, *x=st(*x)+а. Для любого стандартного числа а все числа вида а+ а
(т.е. такие гипердействительные числа *а, что st(*a)=a) называются мо-
надой (термин Лейбница) действительного числа а; иными словами, мо-
нада каждого действительного числа состоит из чисел, бесконечно близ-
§6. Нестандартный анализ
345
ких друг к другу (и к нему самому), поскольку (а + аО - (а+аг) = а\ - аг-
Таким образом, гипердействительные числа оказываются разбитыми на
непересекающиеся классы, монады действительных чисел.
Бесконечная близость чисел *х и *у (т.е. *х - *у бесконечно мало) обо-
значается символом *хя*у.
При обычном взгляде на числовую прямую ничего, кроме стандартных
действительных чисел (точек), увидеть на ней нельзя. Но если числа
вблизи нуля умножить на 1/а, где а- бесконечно малое число (т.е. уве-
личить в 1/а раз), то это увеличение позволит увидеть (вцделить) все
бесконечно малые числа порядка а-они становятся конечными, числа
же меньшего порядка малости (т.е. большие по величине) становятся
бесконечно большими. То же самое можно сделать вблизи любой другой
точки числовой оси. Такая процедура называется инфинитезимальным
микроскопом - она позволяет «разглядеть» те самые малые величины, о
которых епископ Беркли говорил, что они едва различимы.
Рассмотрим еще две важнейшие конструкции. Всякая функция
f: R—>R (включая, конечно, и элементарные) может быть продолжена
до функции/:*R —>*R (термин «продолжение» означает, что ♦/(х) = f (х)
д ля любого действительного (стандартного) числа х, т.е. ♦/совпадает с f
на R). Для любого множества А действительных чисел его индикатор
1ХХ), т е- функция 1л(х) = 1 при хеЛ и Ъ(х) = 0 при хйЛ, может быть
продолжена до функции *1л(х). Множество нулей функции *1л(х) назы-
вается расширением А и обозначается *А. Исходя из определения про-
должения функции, можно доказать, что Aq*A, а также справедливы
равенства *0=0, *(ЛпВ)=*Лп*В, %4иВ)=*Ло*В, *(Л/)=(*Л)/. Можно
доказать также, что если множество А конечно, то *А=А; если же А
бесконечно, то всегда *А \Л # 0, причем все элементы множества *А \ А
будут нестандартными. В частности, все элементы множества *n\n (ги-
пернатуральные числа) будут бесконечно большими.
На языке гипердействительных чисел определение предела последова-
тельности формулируется следующим образом: стандартное число назы-
вается пределом последовательности стандартных чисел, если для любо-
го бесконечно большого гипернатурального числа разность бесконечно
мала. Это определение эквивалентно привычному определению предела
последовательности: всякая сходящаяся последовательность (стандарт-
ная) сходится в гипердействительном смысле и наоборот. Поэтому все
свойства, связанные с пределами последовательностей, сохраняются и в
гипердействительной трактовке.
Рассмотрим, как выглядит на языке гипердействительных чисел опреде-
ление предела функции и производной. Возьмем произвольную обычную
346
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
числовую функцию f Пусть а и А - произвольные действительные
числа; по определению, А - lim /(х), если *f(*x) ~ А для любого *х» а
(при этом *х#а). Функция /называется непрерывной в стандартной точ-
ке а, если *f(*x)&f(х) для любого *х м а. Пусть у =/(х), х, у - произволь-
ные действительные числа, dx - бесконечно малое число. Положим
rfp=*f(x+dx)-*f(x)=*f(x+dx)~ f(x); определим производную /*(х) в точ-
ке х равенством f'(x)=stf . Можно (и нужно) доказать, что все эти
\ах/
определения эквивалентны обычным.
Конечно, и другие утверждения и конструкции математического анали-
за переформулируются на языке гипердействительных чисел. Математи-
ческий анализ, сформулированный на языке гипердействительных чисел,
называется нестандартным анализом или инфинитезимальным анализом
(т.е. анализом бесконечно малых). Естественно, все истинные утвержде-
ния математического анализа (содержащие только стандартные пере-
менные) остаются справедливыми и в нестандартном анализе, они про-
сто оказываются переформулированными.
Например, в нестандартном анализе производная функции у=х2
вычисляется так: dy=(x+dx)2-x2=2xdx+(dx)2, откуда ^-=2x+dx«2x-
ах
=&(lx+dx'), т.е. у'=2х. Подобным образом вычисляются и производные
других элементарных функций.
Теперь кратко о наиболее интересном вопросе: почему множество ги-
пердействителышых чисел существует? Наиболее содержательным бу-
дет ответ в конструктивном ключе-построить модель *R подобно тому,
как строились действительные числа путем расширения множества ра-
циональных чисел. Конструкция гипердействительного числа очень на-
поминает конструкцию Кантора при построении действительного числа
как специфической последовательности рациональных чисел (#28). Две
последовательности действительных чисел (х.)^ и (уя)^1 называются
равными, если хя=уп начиная с некоторого n-N. Гипердействительными
числами назовем всевозможные последовательности с определенным
выше понятием равенства. Стационарную последовательность (х)=х,х,...
назовем стандартным действительным Числом во множестве гипердейст-
вительных чисел. Бесконечно малым в соответствии с этим определени-
ем будет, например, число и=(1, у..С подробным обсуждени-
ем того, почему получившееся множество в самом деле обладает всеми
требуемыми свойствами гипердействительных чисел, можно познако-
Задачи к главе I
347
миться, например, в §9 книги: Успенский ВЛ. Что такое нестандартный
анализ. М., 1987
С нестандартным анализом связано много логических проблем. После
прочтения главы настоящего учебника изложение логического подхода к
определению и исследованию гипердействительных чисел становится
вполне доступным, с ним можно при желании познакомиться, например,
по указанной книге В А. Успенского.
Отметим одни из фундаментальных результатов, полученных на базе
математической логики, - так называемый принцип Лейбница (или
принцип переноса): любая замкнутая формула (или формула без пара-
метров, см. 163) истинна (или ложна) в R тогда и только тогда, когда ее
расширение истинно (соответственно ложно) в *R. Рассмотрим в каче-
стве примера аксиому Архимеда, которая, как уже говорилось, неверна в
*R. Ее истинное расширение в *R будет следующим: для любого xe*R
существует такое гипернатуральное п, что х < Мп, или в логических сим-
волах
V re*R3 ne*R(x<l/n).
Подробно нестандартный анализ излагается в книге: Девис М. При-
кладной нестандартный анализ. М., 1980. На русский язык переведен
также труд самого А. Робинсона «Введение в теорию моделей и метама-
тематику алгебры» (М., 1967).
Среди математиков существуют различные взгляды на вопрос о естест-
венности и плодотворности изложения математического анализа с инфи-
нитезимальных (нестандартных) позиций.
Хотя действительные и гипердействительные числа не являются кон-
курирующими числовыми системами, подобно различным геометриям
(53,54), вопрос о степени соответствия каждой из этих числовых систем
физической реальности (или, иными словами, физическая целесообраз-
ность расширения R) является вполне правомерным. Обсуждение по-
добных вопросов мы отложим до гл. VI (183), чтобы вернуться к ним на
основе более серьезной подготовки. *
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV
Параметры, фигурирующие в задачах: а - число букв в имени читателя, Ь - число букв в
фамилии читателя, с - число букв в названии места (города, села...) рождения читателя.
#1. Найти предельные точки последовательности
-1((« +*)2 +(-1Г(«
2 m/1+я2
и выбрать из них максимальную и минимальную.
348
Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
о и . 1+а“1+...+а”я к
2. Найти предел последовательности хп =---------. *
1+Ь-1+...+д~ ”
#3. Последовательность задана рекуррентным соотношением x„+i = -Ja+xn,
X) = л/а. Найти ее предел.
#4. Найти следующие пределы:
•• Г~2 3/, 5 п\ .• ya2x2+bx+c-ya2x2-bx-c
1) lim д/а2 + 4bx* ; 2) hm----------------------; 3) liml —-1 .
Х~*Ь X->® X Х-ЮЛ bx '
5. Применяя замену на эквивалентные, найти пределы
Х->00 л/1+х“ х->0 х
1 х X
6. Найти производную функций: у= » ; у= 7 .; In-» и.
la+bJ уа2-х2 J\ + x*
7. Найти производную функции >' = alnx+hx(x+c) и вычислить ее значение в
точке ж=1/2.
8. Найти производные функций:
° = 1’1^ 2) >'“7^-?+ТагсзЧ’ Н < а.
#9. Найти производную функции у=х^, где е=2.7182818... - основание натураль-
ральных логарифмов.
10. Найти у9 и у" функции у-^^.
#11. Найти у'х и у^, если x=ee/ cos а/, у^е? smat.
12. Юный влюбленный хочет передать записку своей девушке в тайне от ее ро-
дителей. Для этого он привязывает записку к камню и собирается забросить егс
в окно квартиры девушки. Молодой человек находится на расстояние
S = (а +с) /2 от стены дома, окно квартиры - на высоте h = а +с от его поднятой
руки (единица измерения - метр). При какой наименьшей начальной скорость
камень долетит до окна? Под каким углом к горизонту должна быть в этом случае
направлена скорость?
13. Герой детективного фильма для того, чтобы выбраться из западни, должеь
быстро выскочить из ангара, в котором он спрятался, вскочить в автомобиль;
стоящий в S = 20м от закрытых ворот, и, разогнав его с места, выбить перед-
ним бампером ворота. Автомобиль будет разгоняться с постоянным ускоренней
а (м/с2 j. Какую скорость автомобиль будет иметь при столкновении с воротами?:
Для того чтобы автомобиль выбил дверь, его скорость должна превышать
16.4 м/с, а для того чтобы повреждения автомобиля при столкновении позволив
ли ему продолжить движение и уйти от возможной погони, его скорость при
Задачи
349
столкновении не должна превысить 20.5 м/с.
Сможет ли герой детектива вырваться из западни?
14. При расследовании обстоятельств террористического акта военной прокура-'
турой установлено, что взорвавшееся устройство было выпущено с расстояния
5 = 25 м по горизонтали от точки взрыва со скоростью v0 = 163285 м/с. Пока*
зать, что угол запуска (к горизонтали) мог иметь два значения. Выбрать из них
истинный, если известно, что при взрыве вертикальная составляющая скорости
не могла быть меньше 9.5 м/с.
#15. Продифференцировать астроиду х^+у2^3 «а2^3 как неявную функцию и
показать, что /--(£) , У"^^-
#16. Используя формулу Лейбница, найти dAb(x cosx).
17. Прямолинейное перемещение тела S(r) в каждой момент времени Г опреде-
ляется по формуле +6г2+с. Определить: 1) в какой момент времени
а
ускорение a(t) равно нулю, 2) какова в этот момент скорость тела v(r).
18. Раскрыть неопределенность lim .
созок2 —1+—~tgr4 п пЦг
19. Найти: 1) lim----j----; 2) limR®^!*2.
х~М) x4sinb4x4 x-ioL ox J
20. Кривая роста преступности по группе особо опасных преступлений в услов-
ных единицах достаточно точно соответствует зависимости по времени
у в (140+a)t - Г3, 3 £ t £ 6, где t = 3 соответствует первому году резкого роста,
а Г=6- текущему, и в ближайшие два года прогнозируется та же зависимость по
времени. Составить таблицу зависимости количества преступлений^ от времени
t. Когда произойдет перелом в тенденции роста? Можно ли рассчитывать, что это
будет уже в текущем году?
21. Сотрудник иностранного посольства, подозреваемый в контрабанде антик-
вариата, драгоценностей и драгоценных металлов, выезжает за границу. На та-
можне в его багаже просвечены три запаянных цилиндра радиуса R=4 см. Из
оперативных данных известно, что предметы, которые он должен нелегально
вывезти, имеют вад прямолинейных брусков, такой же высоты, что и цилиндры,
с площадью основания более 10.5 см2. Во избежание дипломатических ослож-
нений таможенники могут действовать только наверняка. Определить, могут ли
искомые предметы поместиться в запаянных цилиндрах, т.е. имеет ли смысл тре-
бовать досмотра багажа.
22. Цена большого бриллианта пропорциональна квадрату его веса. Показать,
что при разделении бриллианта на две части, его стоимость всегда уменьшается.
Когда понижение стоимости будет максимальным?
23. Производитель реализует свою продукцию по цене р за единицу, а издержки
350 Глава IV. Элементы дифференциального исчисления
S(x) при этом задаются зависимостью S(x) = ах+Ьх? (а<р). Найти оптимальный
для производителя объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль,
вычислить при р=2а.
24. Зависимость функции спроса D и предложения S от цены имеют вад D=1-p
к S=p+\. Найти: 1) равновесную цену; 2) эластичность спроса и предложения
для этой цены; 3) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 5% от
равновесной.
#25. Капитал в размере Л/« 1 млн руб. может быть размещен в банке под 50%
годовых или инвестирован в производство с ожидаемой эффективностью вложе-
ния 100% годовых с издержками, задающимися квадратичной зависимостью.
Прибыль облагается налогом в размере 100р%. При каких значениях р вложе-
ние в производство будет более эффективным, нежели размещение всего капи-
тала в банке.
ГТ-
26. Исследовать функцию у-л----- и построить ее график.
Y х—а
27. Найти сумму рада ±
00
28. Пусть pk = ^-e а, к«0,1,... Найти
00 л! 00 я л
#29. Исследовать на сходимость ряды: 1) 2) ----у-
л=1 и" л=1 (М
#30. Найти разложение в ряд функции (1 + х) 1п(1 + х).
31. Пусть Sa(x)« Елих", где ав = ^-е"в, и Sj(x)= где b„ = ^-e~b.
Найти рад S(x) » Se(x)Sb(x).
32. Вопрос инвариантности дифференциалов. 1. dy = -~dx как для независимого
переменного х, так и для зависимого (инвариантность первого дифференциала).
2. d2y = —zrdx2 для независимого переменного х и d2y = —-Л2 Д7151
Л2 А2 Л
зависимого х=х(0- Доказать оба утверждения.
33. Для вавилонской задачи (21) найти х (в годах и месяцах), используя в
течение третьего года схему сложных процентов с оборотом в полмесяца
(соответствующим точности линейной интерполяции) в двух вариантах: у(1)=уз х
х(1+Р/24)г, где Р=0.2, илиу(0=Уэ(1+Р)г> причем уд=уз(1+р)24- Это дает альтерна-
тивные вады интерполяции. Построить графики и сравнить динамику роста ка-
питала во всех трех случаях (включая линейную интерполяцию из 21).
Задачи на применение метода математической ицдукции содержатся в конце
гл. VI.
Глава V
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЭЛЕМЕНТЫ
ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
$1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Первообразная и неопределенный интеграл. Основные
свойства
Определение первообразной и неопределенного интеграла; таблица основных
интегралов; основные свойства неопределенного интеграла (132)
132. Основные свойства неопределенного интеграла. Функция F(x)
называется первообразной для функции Дх), если (Л(х)]'—Дх).
Если F(x)- первообразная функции Дх), то для любой константы функ-
ция F(x) + const будет, очевцдно, также первообразной функции /(х).
Класс всех (отличающихся на константу - это легко следует из теоремы
Лагранжа (129)) первообразных функции /(х) называется неопределен-
ным интегралом функции /(х) и обозначается
J/(x)A.
Если F(x) - какая-либо первообразная /(х), то J f (x)dx - F(x)+С.
Таким образом, по определению, операция интегрирования (или оты-
скания первообразной) является обратной к дифференцированию. С за-
дачей такого рода мы столкнулись при описании движения тела под дей-
ствием силы тяжести (пример 95), когда требовалось определить законы
изменения скорости и положения тела при равноускоренном движении
(формулы Галилея).
Общепринятое ныне обозначение интеграла предложено Лейбницем
(Acta Eruditorum, 1686) в статье «De geometria recondite...» («О скрытой
геометрии»). Термин «интеграл» предложен (1690) швейцарским мате-
матиком Якобом Бернулли (J.Bemoulli, 1654-1705).
Таблица основных интегралов
1. JOtfc = С (С-const). 3. Jxr<& = ^-j+C (r#-l).
2. f— = ln|x|+C. 4. \axdx = —+C.
x Ina
352
Глава V. Элементы интегрального исчисления
5- J^T = 1 — arc tg-+C. a
6. f-Ar = —In гНс
а -х 2a a-x
7 f '• J 2 > 2 ~ а ±х ±llt i|a2 ±x2| + C.
„ г xdx 8. Г , . л/о2 ±х2 22 ±X2 +C.
л , dx 9. J . л/а2 -х2 . x = arcsin—+C. a
ух2 ± а2
11. Jsinxe& = -cosx+C.
12. Jcosxtfr = sinx+C.
13. J-^- = -ctgx+C.
siirx
14. J—= tgx+C.
cos x
15. J Ja2-x2dx = -Ja2-x2 +—arcsin—+C.
iy 2’ 2 a
16. J Vx2 ±a2dx = ^Jx2±a2 ±---ln|x+Vx2 ±a2|+C.
Каждое равенство подтверждается дифференцированием правой части
(в результате чего получается интегрируемая функция), которое предла-
гается читателю как несложное упражнение по дифференцированию.
Однако ббльшую часть таблицы можно получить простой перестановкой
правой и левой частей в таблице производных.
Основные свойства неопределенного интеграла
1. [f/(х)Л]' = /(х). 3. J dF(x) = F(x) + С.
2. /(х)Л] = /(х)Л. 4. Jaf (x)dx = aj f(x)dx.
5. J [/(x) ± g(x)] dx = J f (x)dx ± f g(x)dx (линейность интеграла).
Свойство 1 немедленно следует из определения интеграла, свойства 2
и 3 следуют из определения дифференциала, свойства 4 и 5 являются
элементарными следствиями свойств производной.
Основные методы вычисления неопределенных интегралов
Метод введения нового аргумента, метод подстановки или замены переменных,
метод интегрирования по частям; примеры (133). Интегрирование рациональных
функций: примеры (#134). Интегрирование некоторых иррациональных функций;
примеры (#135). Интеграл от дифференциального бинома (#136). Примеры
интегрирования иных элементарных функций (#137)
133. Общи? методы. Нахождение интегралов является задачей суще-
ственно более трудной, чем дифференцирование, и требует определенно-
4
§1. Неопределенный интеграл
353
го профессионального мастерства. Рассмотрим только основные методы,
необходимые для понимания предмета.
Метод введения нового аргумента. Если f f(x)dx = F(x)+C и и-
=и(х), то J/(u)du = F(u) + C.
Метод подстановки (или замены переменных). Если функция /(х)
непрерывна и x=x(f), где функция х(0 непрерывна вместе со своей про-
изводной х'(0, то J f(x)dx- J f(x(t))x*(f)dt.
Заметим, что, по определению дифференциала, dx = x'(t)dt для любо-
го t, поэтому символ dx под знаком неопределенного интеграла можно
рассматривать как дифференциал и применять все правила работы с
дифференциалами.
Метод интегрирования по частям. Если и и v- некоторые диффе-
ренцируемые функции от х, то
f u(x)v'(x)dx=u(x) v(x) - J v(x)u'(x)dx.
Используя замечание предыдущего пункта о дифференциалах, можно
переписать это равенство в форме дифференциалов: judv=uv-fvdu.
Пример 120. Интегрирование.
1. Найти неопределенный интеграл от полинома Р„(х)=ао+а]Х+...+а„х''.
Решение. В силу свойства 4 неопределенных интегралов и формулы 2
таблицы интегралов получим jakxkdx=akj xkdx=-^xk+l +С. Соглас-
Я п а
но линейности интеграла J Pn(x)dx- Xfakxkdx= Хт~гхк+1+С.
t=o t=o*+*
2. Найти J —------ .
sin x cos x
~ 11 sin2x+cos2x 1
Решение. Поскольку ----------+-----= ----,— = ----5—, то
sin2x COS2X Sin ATCOS X sin XCOS X
•2
+J —T-=tg X - ctg x+C.
sinx J cosrx
3. Найти f — - .
J ax+5
Решение. Положим u=ax+b, тогда по методу замены переменных
f~du=f—Ц-(ах+5) dx=( > откуда J—^-=—Г—= —1п|и|+С =
Ju J ax+b' ' J ax+b J ax+b J } ax+b a] и a^ 1
= — ln|ox+ft| + C.
23 - 5091
354
Глава V. Элементы интегрального исчисления
Кратко это решение можно записать (используя замечание к методу
замены переменных) следующим образом: c/(ax+6)=adbc, поэтому
J ax+b J a ax+b a ' 1
Однако можно действовать чуть иначе: j ~ J ~ь= —
b
На самом деле результаты не различаются, поскольку 1пх+— =
=1п
ах+Ь
4. Найти f x(x2+l)ndx.
Решение. Можно, конечно, раскрыть (х2+1)" по формуле бинома
Ньютона и проинтегрировать получившийся многочлен, но такой путь
крайне неэффективен. Поступим по-другому:
поэтому
/ 2 \*+1
f х (х 2+1)-л = f(х2+i)"г +с.
5. Найти ]-^-dx.
Г4.1 f - i'l Г3'2 Г1/2 /-Лг \
Решение.f —r— dx =f x2 +x-2 dr=——+——+С=2л/х1 —+1) +C.
1 dx 4 J 3/2 1/2 \3 J
6. Найти f7—. .
J (х+аДх+Ь)
г, 11 b-a ( dx 1
pemeH„e. поэтому f;_—=_x
xf —------г Л = r—[f —— -f-^-1 = t—[ln|x+o|-ln|x+ft|| + C =
1 Lx+a x+JJ b-a L x+a 1 x+ij 5-al“ 1 “ 'J
1 , x+a „ ,
= 7—to—Г+С.
b-a | x+b
7. Найти J 7—..
(x-aY+p1
Решение. Используя табличный интеграл 5 для переменной (х-а),
r dx t d(x-a) 1 х-а _
получим f =Jmg"r+c
§1. Неопределенный интеграл
355
Пример 121. Нахождение интегралов.
1. Найти jl^ax+bjdx.
Решение. ftg(ax+*)<fr = fно rf(cos(ax+b))=-aSin(ax+
+b)dx, поэтому ftg(ax+i>)dr=-|f^^^=-^to|cos(ax+b)|+C.
2. Найти J, г-
(1+х)л/х
Решение. Заметим, что 4~=2</(л/х1 Следовательно, f, r
Vx ' / J (l+x)Vx
-JW’2arclg^+c
3. Найти
Решение. ln2xrf(lnx)=^ln3x+C.
4. Найти fxe *2dx.
Решение. Применим метод замены переменных и формулу 4 из' 132.
Получим fe“*2xdfc=fe_*2(-jrf(-x2))=-yfe“di<=-ye,'+C=-ye_* +С.
5. Найти f-^r.
Решение. ——=—поэтому -*** =Г~<?--- =
1+е ех(е-х+1) J 1+ех J ех+1 ’ e'x+l
=- 1п| е ’*+11+С=- 1п(е '*+1)+С.
Возможен иной вариант решения: = f — ~с- <fc = x-J-^—=
1+ех 1+ех 1+сх
=х-1п(1+ех)+С. Полученные ответы совпадают: хЧп(1+е*) = 1пе*-1п(1+
1+ех
+е*) = - In—— = -1п(1+е“х).
е
6. Найти
л е*+1
23*
356
Глава V. Элементы интегрального исчисления
_ fe*-l _ f(l-e~*)exdfc - u-1 г
Решение. ---= р----—=f"7-----, где и = е .
Jc*+1 J е +1 J и+1 jm(m+1)
~ * f М”1 . f du
Сделаем несложные преобразования: J J ~~ц(ц+]) -
-J ~=21п| и+1|-1л| и|+С=21п|ех+1| -х+С =21п[(ех+1)е‘» ]=21п^е»+е'^+С.
fex-l
Можем решать иначе - используя предыдущий результат: J -^~7dx=
е > 1
г(е*+П-2 f dx
= f е>+1—dx-x-2f-^—j- = x+21n(l+e-x)+C=21n[ex/2 (l+e-x)]+C.
He раз бывает, что различные решения приводят к казалось бы раз-
личным результатам - на самом деле они либо совпадают после преобра-
зований, либо отличаются на константу, хотя не всегда это видно с пер-
вого взгляда.
Пример 122.Нахождение интегралов.
1. Найти | cos2ftx dx.
Решение. По формуле косинуса половинного угла cos2dx= 1+c?s2*x t
откуда Jcos26x<fc=jQ+jcos26xjdr=jJ'<ic+yJcos2Ax y</(2Ax) =
X 1
= —+—sin2ftx+C (в последнем равенстве использована формула 12
2 45
таблицы интегралов).
2. Найти J яп* dx.
1 1+acosx
Решение. Поскольку (l+acosx) =-asinx,To -sinxdx=l(l+acosx)'<fc=
а
= — rf(l+acosx). Следовательно, Г ”п* о5с=— — f =——Lnll-ь
а 1+acosx а * 1+acosx а 1
+ acos х I + С по формуле 3 таблицы интегралов.
3. Применив тригонометрические подстановки x = asmZ, x=atgx,
х=а cos21 и т.п., найти интегралы
1) f2)
' Па-х ,,(^+a1)3'2
§1. Неопределенный интеграл
357
Решение. 1. Сделаем замену х
1+cosf . t
;-------ctg—
1-cosr 2
и dx--awa.tdt, откуда
asxatdt. Ho ctg—sin/ =
2
COS— | |
—~2 sin—cos—= 2 cos2 3 —= 1 + cos/. Следовательно,
sin^ 2 2 2
2
=aj (l+oos/)d/=-a[/ + sin]
+С
aarccos-+
х2 +С.
+a aicsin-+ С, поскольку
X Я ____. X
arccos—=— arcsin—.
a 2 . a
2. Сделаем замену x=atgt Тогда -=£-₽=—i-l—=—cos/ и A=
^х2+а2 а-71+tg2/ a
fl з о If 1.
=J ^j-cos = cos/A=p-sm/ +
adt г
---Z-, поэтому J
cos t
1 У .c—1
e2 /l+tg2f I a*
1 x
a2
Пример 123. Применяя метод интегрирования по частям, найти сле-
дующие интегралы:
1) f xe^dx-, 2) J ln(ar)dr, 3) f e" cosbxdx.
Решение.
2. fln(ar)<fr=xInax-fxdlnax=xhiax-jdx=xlnax-x+C.
3. Обозначим искомый интеграл через / и дважды проинтегрируем по
частям. Получим
358
Глава V. Элементы интегрального исчисления
-е") ^-e®cosix+ff-earJ(z>smAx)£&=-e‘ttcosix+
а J а '\а /' ’а
dx
acosb+bsiabx „
е
В преобразованиях мы обращались с I как с первообразной. Оконча-
тельно для интеграла получим
f е“ cosbxdx =
acosfcx+isinfex _ _
-----2Т2------е +С.
#134. Интегрирование рациональных функций. Если Р(х) и Q(x) -
многочлены, то их частное называется рациональной функ-
Цх)
цией. Можем считать, что произведено сокращение, так что Р(х) и Q(x)
не имеют общих множителей.
Пусть degP и degQ - степени полиномов Р и Q. Если degP^.degQ, то
р(х)
делением Р на Q представляем R(x) в виде R(x)=Р0(х)+-^у, где Ро-
, . . х Л(х)
многочлен (который мы умеем интегрировать), а дробь - правиль-
ная, т.е. <fegPi(x) < degQ(x). Таким образом, можем считать, что Я(х) -
правильная дробь и коэффициент старшей степени у Q равен 1. Интег-
рирование правильных дробей производится путем разложения Я(х) в
, Р „ Ах+В
сумму элементарных дробей вада —г*- либо у-----—.
(x-j) [(х-а)Ч^2]
Рассмотрим возможные случаи.
1. Все корни знаменателя Q(x) действительные и простые, т.е. Q(x)=
= (x-j1)...(x-x<f), si<52...<3rf. Тогда
= ^W=-5_+ ! Р»
Q(x) x-si x-sd
где Pt =P(^*)/Q'(j*), *=1,2..d. Следовательно,
Jj?(x)cfr = ln|x-3k|+C.
t=l x~5lc k=l
§1. Неопределенный интеграл
359
Пример 124. Найти f-т—--------г-:-----.
X -\SX
Решение. Здесь Р(х)=1, Q(x) =x(x-j1)(x-j2), 50=0 (индексы удобнее
нумеровать с 0). Q'(x)=(x-^)(x-s2)+ х|(х-5])(х-52)] =(x-s,)(x-j2)+
+х(х-s2), откуда 9'(л0)=<?'(0)=Л1Л2, 9'(л1)=л1(л1-л2), Q'(s2)=s2x
x(s2-Si). Следовательно,
/ )_^_Ро A ft _ 1 1 11 11
х Q(x) х +x-sl+x-s1 3fy х + ^(Л|-^) x-Ji ’
поскольку po=P(O)/Q'(Q)=l/siS2, Pi =p(a)/Q'Gi) = 1/,i(,i “ъ)» Рг =
= /Q^) = 1 /^(«2-а)- Значит,
f R(x)dx-2L/>* in| х-Jk| +C=-^~ln| x| +“(a ln| x-jj|+——j ln| x-s^+C.
2. Все корни знаменателя действительны, но среди них есть кратные,
т.е. 0(х)»(х-д1)г,...(х-«4) Тогда
Я*) Ai , . %
<Х«) [х-^+ (х-э1)'1
и интегрирование свод ится к табличным интегралам
t dx (x-j)"r+* _ . г Л . । 1 —
Jt—;—+С, г>1, и f —=ln x-5 +С.
(х-д)г -Г+1 1 X-S 1 1
Множители pjt находятся методом неопределенных коэффициентов,
который мы рассмотрим на примере.
Пример 125. Найти f^х^+х^'
Решение. Здесь Q(x)=x(x-1)2. Обозначим через s0 корень х=0, другой
корень $1=1 -двукратный. Поэтому нужно найти Рт.Ри.Рп, чтобы
о( \ **+1 Рп , Ai . Ри д>|(х-1)*+д1х(х-1)+а2х
R{X)= x(x-l)2 ’ х + х-1 + (х-1)1 " х(х-1)2
д>1(х2-2х-1)+а1(х2-х)+р>2х
х(х-1)2 ’
откуда х2+1= (ро1+рп)х2+(р12-2/’о1-рп)х+/’о1. Приравнивая коэффи-
360
Глава V. Элементы интегрального исчисления
циенты при соответствующих степенях х, получим систему линейных
уравнений
Poi +рп = 1,
Pi2“ 2poi-рп = 0,
Poi= 1.
х2 +1 1 2
откуда рп = 0 и Р12= 2poi +Рп = 2. Итого —--ту = - + ---у. Следо-
, х(х-1) х (х-1)
вательно,
3. Среди корней знаменателя есть однократные комплексные корни.
Прежде чем выписывать разложение Q(x) на множители, заметим, что
если z = a+i(5 - комплексный корень полинома <?(х), то z = a-i/3
также будет корнем (?(если O=Q(z)=9o+?i^+...+9»z", то 0 = 6 = Q(z) -
= q^+q^z+...+q^zn = Q(z), так как q^ = qk ). Поэтому в разложении Q
будут присутствовать множители х - z и х - z, но
(x-z)(x-z) = x2 -(z+z)x+zz = x2 -2аяг+а2 +Д2 =(х-а)2 +Д2,
следовательно, разложение Q имеет ввд
сначала идут действительные корни с учетом кратности, а потом попар-
но сгруппированные комплексные. Разложение дроби R(x) = P(x)fQ(x)
будет иметь вцд
% РЯ AJx+BJ
Lt / + Lt Г/ “I •
J y°’[(**/) +4j
Но поскольку Ax+B=A(x-a)+(B+Aa) и <Л(х-а)2+Д2 l=2(x-a)dr, то
Ax+B A. t ^x-a)dx
[<x-a)2+^] -2J[(x_a)’+^]
+(fi +Ha)j
dx
[(x-aP+jtf2]
§1. Неопределенный интеграл
361
А г *Я(х-а)2+Д2] г </(х-а) А Г/ \2 2]
" 2 [Ge-af+jJ1] +( + в)^+/рТ-а)+^Г
В+Аа х-а „
+—aictg-^-+C,
что дает сведение интеграл а от Я(х) к табличным.
Все множители pj^A^Bj находятся методом неопределенных коэффи-
циентов.
Пример 126. Найти f f .
х +а х
Ре ш е и и е. Поскольку х3+а2х = х(х2+а2), то “ , =—+
' ! х+ах х х+а
(р+А\х2+Вх+а2р 2 . . , Г, 2 п
=——т-r—тг—- и а2 =(р+А)х +Вх+сгр. Получаем систему ли-
xlx2+a2\
нейных уравнений
р+А “ О,
В = 0,
а2/»-а2,
1 * X
откуда р=1,Л=-1. Таким образом, р~Г'а~—откуда
4. Наконец, последний случай, когда знаменатель имеет кратные ком-
плексные корни:
Соответственно частное Я(х) имеет разложение
Каждой паре корней z=a+if) и z = a-if} кратности п соответствует
разложение в элементарные дроби вида
[(x-aif+tf2] [(x-aJ2+/£]"
362
Глава V. Элементы интегрального исчисления
Таким образом, интегрирование R(x) здесь приводится к нахождению
, (Ax+B)dx
интеграла ' который заменой х-а=ри сводится к
[(x-af+^f
J ^и и J . ***.„. Первый из них равен -ln(t?+l) + C при я=1и
(и2+1)" (« +1) 2
-ц—^ + С=-^—j“ + С при л>1. Если обозначить первообразную
функции--------через то, интегрируя по частям, получаем формулу
(«’♦ 1)
и г (~л)2и и /
—йг-J;—^dx-T~i—йг+2л1/_-
+1) (и1+1)я+1 (м2+1) '
1 и 2л-1
2л
откуда
f du
Д =J^j^y=arctg« + С, которая позволяет последовательно вычислить
все 1„.
Итак, окончательно: интеграл любой рациональной функции может
быть выражен через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы.
#135. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Пусть
Я(х,у) - рац иональная функция д вух переменных.
1.Если у = ^ах+Ь, то подстановка ax+b=tn сводит $ R(x,^ax+b)dx
к интегрированию рациональных функций.
2. В случае у^Г^у подстановка ах+^=р также сводит [R(x,y)dx к
V сх+а сх+а
интегралам от рациональных функций.
3. В случае у=ф-х2 подстановка x=sinr или подстановка x=cos/
сводит jR(x,y)dx к интегралам от рациональных функций.
Пример 127. Найти j
Решение. Делаем замену х+1 = Г2. Тогда dx = 2tdt и J =
V*+l
$1. Неопределенный интеграл
363
Другое решение: замена х+1 = t, дает [ = [^r-dt - f -Jtdt- f =
1 vx+1 1 -4t 1 1 Jt
x 11 \ x 2
= 177-T7+C = 2^+l[ T- 1J+C = 2<£+T-^- + C.
3! Л» 1/л* * \ Э S ’ $
Пример 128. Найти J—P .
xyl-x1
Решение. Делаем замену x=sin/. Тогда dx = costdt и
#136. Интеграл от дифференциального бинома. Следующий интеграл,
называемый интегралом от д ифференциального бинома,
jx'^a+bx^y dx,
где р, q, г - рациональные числа, может быть сведен к интегралам от
рациональных функций только в следующих трех случаях.
Случай 1. Если р-целое, то полагаем x-zN, где N-общий знамена-
тель дробей q и г.
Случай 2. Если — -целое, то полагаем a+bx4 =zN, где У-знамена-
тель дроби р.
Случай 3. Если ——+р - целое, то делаем замену ах~я+Ь = zN, где -
знаменатель дроби р.
364
Глава V. Элементы интегрального исчисления
Знаменатель дроби всегда считается положительным.
Пример 129. Найти J-у—-т-.
Vl+x4
О 1 л л 1*4*1 1 1 Л
Решение. Здесь р = --, д = 4, г = 0 и —+ р =--------------= 0, т.е.
4 q 4 4
имеем случай 3. Сделаем подстановку x-4+l = z4, откуда х4=-^~,
Z “1
5
5
x=(z4-l) 4. Получаем: dx = -^z4-lj
4z3cfc = -z3
i
_1 Л 4 \-д 1 _1
(1 + х4) 4 = = z-I(z4-l)4. Следовательно, Д1+х4) *dx “
1 5 2 2 1Г/1 i\*
=-fz-1(z4-l)4 z3(z4-l) 4cte =-J_7—dz = {——j-dz = — Ц—y-—j-lzfe
1 v ’ z4-l 1-z 2[_J\i-z2 1+z2/
1 1»
2 21П
z+1
z-1
, „ Z _a\V4
- arctgz + С, где z=(l+x J =
1+x4
#137. Примеры интегрирования иных элементарных функций.
Если R{x,y)- рациональная функция, то J Я (sinx, cosxjzfr всегда
может быть приведен к интегралу от рациональной функции заменой
X п ' 2dt 2t l-t1
r=tg-. В самом деле, dx-—3-, sinx=7—у, cosi = -—7.
2 14*f 1+f 1+f
Пример 130.Найти f
1 smx(l+cosx)
r. 1 , 1+? , (1+r) z, x-1 ( 2 V 1+r2
Решение. -— + 1=—— + 1=' „ ’ и (1+cos/) =1-—г I =-z—,
sinx 2t 2t 4+r2/ 2
поэтому
г 1+sinx
J sinxll+cosx)^
+ 2tgJ + |tg2^ +C.
2 2 2
Однако в конкретных примерах интегрирование часто производится
проще с помощью различных специфических приемов, которые исполь-
зуют особенности интегрируемых функций.
§1. Неопределенный интеграл
365
Понижение степени
1. Jsin2"xdr=jQj (1 - cos2x)dr, jcost"xdx = f Qj (l + cos2x)"dr.
Г1 Iя
2. f sin2" x cos2" xdx = J ^x-
Произведения интегрируются с применением формул тригонометрии:
sinasin/?=ip»s(a-/?)-cos(a'+/?)], cosa cos/?=^[cos(a-/?)+cos(a+/?)|,
sina cos/f=y [sin(a - 0)+sin(a + Д)].
3. J lgnxdx = f tg" 2xl
л-1
То же для J ctg”xdr.
4. fsin"xcos2m+1xdr = Jsin"xcos2mxd(sinx) = fsin"x(l-sm2x)",d(smx),
аналогично J cos" xsin2m+1 xdx - -Jcos" x^l-cos2 xj”d(cosx).
1 sins2x
F 5
-l)dr = J ysin2x yd(sin2x) =
Пример 131. Комбинирование приемов интегрирования.
1. Найти J sin4 xcos4 x^2cos2 x-1) dr.
Решение. Заметим, что 2cos3x-l=cos2x, a 2smxcosr=sin2x, поэтому
J sin4 xcos4 x(2cos2 x
2. Найти f
Л/COS X
n , sinxdr f d(cosx) _ ,----- „
Решение, j -y= = -j — —да- = 2Vcosx +C.
Vcosx Vcosx
Функции, содержащие Inx, aicsinx, arctgx, x"e", x" Inx, x" ялах,
e“ cosix и т.п., интегрируются по частям один или несколько раз. Вооб-
ще же, в конкретных задачах приходится применять специфические
приемы и успех зависит от мастерства «интегратора», которое, как из-
вестно, достигается усердной практикой.
366
Глава V. Элементы интегрального исчисления
Еще три полезные формулы. Если Р(х) - полином степени л, то
J/Чх)е“Л=е"Г—-^+...+(-1)"
а а а
i nl X J ’“““TnZ \ рЧх) pi*4x) ] СО>ДСГ г»,/ \ Р“Чх) /^(х) 1
I Ax)cosaxc£r=^— Р(х)-—+ 4—+... +—Т~ РЧ»)-Г-+ <—+— +С;
L floja а а *
Пример 132. Комбинирование приемов интегрирования.
1. Найти fxarctgxdr.
Решение.
J xarctgx<fr = f arctgxtZr^—
x+arctgx]+C=^-[(l+x2 )arctgr-xj+ C.
1
2. Найти Jxcosxubr.
Решение. |xcosxax& = Jx—d sinax =sinar-J sinaxd!rj =
xsinax+—cosax +C.
a
Или из приведенной выше формулы с Р(х) = х имеем
t , sinax cosax . —
Jxcos®*.— + -Т-+С.
а
3. Найти f^-r^-dx.
1 х4+1
Решение. Можно интегрировать как рациональную функцию, а мож
но использовать интересный прием: разделим числитель и знаменател!
2
на х , получим
ГХ2+1^ f 4*"^) I Х_? г, 1 J*"1 ~
f "1 = 1 (ТдЙ ° аа*^
§2. Определенный интеграл
367
§ 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ФОРМУЛА
НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА
Определение, геометрический смысл определенного интеграла, достаточные
условия интегрируемости (138). Формула Ньютона-Лейбница (139). Основные
методы вычисления определенных интегралов; пример (140)
138. Определенный интеграл. Пусть функция /(х) определена на от-
резке [о,б] и а=х0<х,<...<хя=д. Точки x0,xt,...,x„ задают разбиение
[о,й] на отрезки [х^.х,], £ = число rfB=max|xt-xt_j| назы-
вается диаметром разбиения. Сумма
/я = Е/(&)дхк,
где хк_х^к^хк и Ь.хк=хк-хк_х, называется интегральной суммой для
/(х), а множество Х = |хо,^1,х1.хя_ь х„} - разбиением с отме-
ченными точками.
Обратим внимание на то, что I„ -I„ (п, X ), т.е> зависит от разбиения с
отмеченными точками и от количества точек так же, как и d„ = d„ (л, X ).
Предел интегральных сумм
Ит =f/(x)<&
(если таковой существует) называется определенным интегралом или
просто интегралом на [о, й] или интегралом от а до Ь; /(х)-интегри-
руемой функцией, х - переменной интегрирования, а и Ь - нижним и
верхним пределами интегрирования соответственно. Определенный ин-
теграл также называется интегралом Римана.
Заметим, что определенный интеграл - это новый ввд предела, посколь-
ку он зависит не только от значения числа d„, но и от разбиения X, в том
числе от количества точек разбиения. Этот предел надо понимать так:
для любого г>0 существует такое <5>0, что |/я-/|<£ д ля любого
разбиения с д иаметром d„< 6 и произвольного числа тоЧек разбиения л,
где через / обозначен определенный интеграл.
По определению, существование определенного интеграла подразуме-
вает независимость предела как от выбора разбиений х0,х1,...,х„, так
368
Глава V. Элементы интегрального исчисления
от выбора точек Ответ на вопрос, какие функции интегрируе-
мы на отрезке (т.е. существует определенный интеграл), дает следующая
основная теорема.
Теорема. Любая непрерывная на [а, д] функция'интегрируема.
Существуют и другие важные классы интегрируемых функций:
а) любая ограниченная функция, имеющая конечное число точек раз-
рыва (т.е. кусочно-непрерывная функция);
б) любая ограниченная монотонная функция.
»
Геометрически интеграл | f(x)dx при /(х) £ 0 представляет собой пло-
а \
щддь под кривой /(х), т.е. площадь фигуры (так называемой криволи-
нейной трапеции), ограниченной графиком функции у=/(х) сверху и от-
резком [а, А] оси абсцисс х снизу, поскольку интегральная сумма, по оп-
ределению, является суммой площадей прямоугольников, сколь угодно
близко аппроксимирующих фигуру под непрерывной кривой (рис. 80):
А что, если аппроксимацию проводить вписанными многоугольниками
(подобно вычислению площади круга) или составленной из прямоуголь-
ников фигурой, содержащейся в криволинейной трапеции, или, наобо-
рот, содержащей ее? Все пределы оказываются равными (это непростая
теорема), что и должно быть, поскольку площадь-то у криволинейной
трапеции одна.
ь
Если/(х)£0 на [а, i], то J f(x)dx - это площадь криволинейной трапе-
а
ции, ограниченной отрезком [а, 6] сверху и кривой у=fix) снизу (и верти-
кальными прямыми х=а и х=Ь) со знаком минус. В более общем случае,
если/1(х)£/2(*) на [а, д], то J[/2(х)-/1(х)]дЬг - площадь фигуры, заклю-
а
ченной между графиками функцийy^fiix) и прямыми х=а и х=Ь.
Еще в начале XX в. были найдены все условия, необходимые *(а не
§2. Определенный интеграл
369
только достаточные) для интегрируемости функции (в курсах математи-
ческого анализа для математиков они, конечно, изучаются).
ь
# Возможно, читателю будет интересно, как определяется интеграл J /(x)efc на языке
в
л—1
нестандартного анализа. Пусть S/(n, h) - \f (a) +f (a+h) +...+/(o+(w-i)fc)J h - £/(a+tii)h и
м
•S-ee расширение с гипернатуральным и гипердействительным аргументами. Возьмем ги-
пернатуральное число N и гипердействительиое Я«^^-, тогда интегралам (стандартной)
функции f по отрезку [а, Ь] называется стандартная часть М(*ЗДЯ,Я)]. А дальше, конечно,
возникают те же проблемы, что и при стандартном подходе.
Отметим, что определенный и неопределенный интегралы задаются
разным образом, од нако обозначаются с помощью одного и того же сим-
вола - причиной этому является результат, рассматриваемый в следую-
щем разделе (формула Ньютона - Лейбница), и, с другой стороны, пер-
вообразная может быть задана в виде определенного интеграла как
функции от верхнего предела (141).
ь
139. Формула Ньютона-Лейбница. Если функция /(х) определена
и непрерывна на [а,й] и F\x)~ ее первообразная, то справедлива фор-
мула Ньютона-Лейбница
//(«)* = ^)-ф) = Г(х)‘.
а
Эта формула не только позволяет вычислять площади под кривыми с
известными первообразными и площадь области, ограниченной функ-
ь
циями /Дх) снизу и /2(*)2 /i(x) сверху, равную J[/2(x)-/1(x)]dr,Ho и
а
описывает бесконечную предельную процедуру определения площади
простой конечной формулой (что в принципиальном отношении даже
более важно).
а ъ
Отметим, что, по определению, J f(x)dx = -J f(x)dx.
b а
140. Основные методы вычисления определенных интегралов. Вы-
числение определенных интегралов связано с использованием формулы
Ньютона-Лейбница и следующих двух результатов.
Формула интегрирования по частям. Если /(х) и g(x) непрерывны
вместе со своими производными на [а, 6], то
24 - 5091 I
370
Глава V. Элементы интегрального исчисления
f /(х)Хх)А=/(х)Хх)1«- f /'(x)e(xH=[/(*)«(A)-/(a)«(a)]-f /'(х)в(х)Л.
а а
Формула замены переменных (подстановки). Пусть:
1) функция /(х) непрерывна на [а, ft];
2) функция х = х(/) непрерывна вместе со своей производной x'(z) на
[а, Д], где а - х(а), Ь = х(Д);
3) сложная функция /(х(/)) непрерывна на [a, ft].
Тогда
ъ Р
J /(х)<& = J /(х(/))х'(/)Л.
а а
Jlpppvi еще три полезные формулы.
Ь Ь+Ь
1- f/(xH= jf(x-h)dx.
a a+h
а+Т Т
2. Если Г-период функции /(х),то J f(x)dx = J f(x)dx.
а 0
Ъ Ъ
3. J f(x)dx=j f(b-x)dx - интеграл равен интегралу от «отраженной
о о
ь ь
функции». Или в более общей форме: J f(x)dx = f /(a+ft-x)dr.
а л
Пример 133. Найти площадь области, ограниченной эллипсом (рис.81)
§3. Несобственные интегралы
371
§3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Интеграл как функция от верхнего предела; несобственные интегралы первого
рода (с бесконечными пределами интегрирования); примеры; несобственные
интегралы второго рода (от неограниченных функций); примеры (141). Признаки
сходимости несобственных интегралов; пример (142)
141. Переменные пределы интегрирования. Несобственные интегра-
лы. Пусть функция определена и интегрируема на отрезке [а, 6]. Рас-
X
смотрим определенный интеграл J в котором нижний предел
а
постоянен, а верхний предел принимает произвольное значение х из об-
ласти определения интегрируемой функции. Тогда этот интеграл будет
функцией от переменного х. Справедливы следующие утверждения.
1. Если функция Дх) интегрируема на [а, 6], то функция от верхнего
X
предела Дх) = J непрерывна на [а, 6].
а
2. Если функция Дх) интегрируема на [а, Л] и непрерывна в точке хь,
то существует F'(x0) и F'(xo)=/(xb). Следовательно, если функция Дх)
X
непрерывна на [а, 6], то интеграл Дх) = J как функция от верхнего
а
предела является первообразной д ля функции f на [а, 6].
Если функция Дх) интегрируема на каждом конечном [а, Д то пола-
гаем (по определению)
f f(x)dx= lim J Дх)Л, f Дх)Л= lim J Дх)а6г,
Л J->+°° _ 8 >—oo
л a —oo s
oo 0 oo
J Дх)<&= f Дх)Л+) f(x)dx.
-co -oo 0
Каждый из этих интегралов с'бесконечными пределами интегрирова-
ния называется несобственным интегралом первого рода. Если ука-
занные пределы существуют, то интегралы называются сходящимися, в
. противном случае-расходящимися.
24*
372
Глава V. Элементы интегрального исчисления
Пример 134. Исследовать сходимость несобственного интеграла
Решение. 1.Если г=1,то limf—= limlnf=+oo. 2. Если г*1, то
X «->+«
t dx xlr * —— г 1
limf—= lim-— = ’
t—>+«О j X t—>co *"*Г 1 ©О /" < 1,
Итак, данный интеграл сходится при г>1 и расходится при г £ L
Пусть функция /(х) определена и непрерывна на [a, i], за исключе-
нием одной его точки £ при приближении к которой она неог-
раниченно возрастает. Точку £ будем называть особой или говорить, что
в точке £ у функции f особенность. Тогда интеграл
ь i-s ь
f/(x)dr=lim f/(x)dr+lim f f(x)dx
a S-^r a
называется несобственным интегралом второго рода. Если оба предела
существуют, то несобственный интеграл называется сходящимся, в про-
тивном случае - расходящимся. Если £-6, то остается только первый
предел, если £ = а -то второй.
Пример 135. Исследование сходимости интеграла.
1. Исследовать сходимость несобственного интеграла
Решение. Аналогично примеру 134 (но с противоположным результа-
том)
поэтому данный интеграл сход ится при г < 1 и расход ится при г L
2. Исследовать сходимость несобственного интеграла
Решение. Очевидно, что особой является точка х = 1 Имеем
§3. Несобственные интегралы
373
f ax i-s / \ п
- = lim arcsinx = lim arcsin(l-d = —
*->o+ Q ^2 £->о+ о $-»о+ ' ' 2
Следовательно, интеграл сходится.
Некоторые важные несобственные интегралы
7 _ 2 Л/Я
J е х dx = —т~ (интеграл Эйлера - Пуассона).
о 2
°° °° л/?Г
J sinx2a!r = j cosx2& = —(интегралы Френёля).
о о 2^2
Г = — (интеграл Дирихле).
о х 2
= ^е в (интеграл Лапласа).
-я2 ,
’x^'lnx 12 ’ Р К
I------«Г = 2
J 1 + Х 0<p<L
sin2 ря
142. Признаки сходимости несобственных интегралов. Ответ на во*
прос, сходится ли данный несобственный интеграл в случаях, когда его
не удается вычислить, дают следующие достаточные условия сход имости.
ь
Сначала заметим, что если интеграл J/(x)A имеет особенность в
а
точке а, то отражение, т.е. замена /(х) на /(a+ft-х), сводит его к инте-
гралу с особенностью в правом конце, поэтому будем формулировать
признаки сходимости только для интегралов вида
в
J/(х)dx (В конечно или В = +<ю)
а
с особенностью в точке В.
374
Глава V. Элементы интегрального исчисления
в в
Если Л/(х)|Л сходится, то несобственный интеграл J f(x)dx называет-
а
В
в
ся абсолютно сходящимся. Очевидно, | /(х)<& £ ||/(х)|<&.
Признаки сходимости
1 (абсолютный). Предположим, что |/(х)|^^(х) при всех x>N>a.
в в
Если j<p(x)dx сходится, то несобственный интеграл jf(x)dx сходится
а а
абсолютно.
2 (абсолютный). Если р(х)>0 при всех достаточно близких к В значени-
в в
J/(x)<fc и J^xJdr абсолютно
ях х и lim “гт= Л *0, то интегралы
сходятся или расходятся одновременно.
в
3 . Если несобственный интеграл jf(x)dx сходится, а функция g(x)
а
В
монотонна и ограничена на [а,В), то jf(x)g(x)dx сходится.
4 . Если \f(x)dx <М для любого f е (а, В) и функция g(x) моно -
о
тонко стремится к нулю при х->В, то несобственный интеграл
в
J/(x)g(x)<fc сходится.
5 (признак сравнения). 5.1. Если /(х)~Я/х2 при х-><ю, то интеграл
00
J /(х)Л сходится при г > 1 и расходится при г £ L
а
Ъ
5 .2. Если j\x)~A/(b -х)2 при х-+Ь«х>, то интеграл f/(x)<fc схо-
а
тккя при г < 1 и расходится при г £ 1
§4. Рвдыи интеграл
375
Пример 136. Г(я)=J хм-1е“х<&, ы>0, называется гамма-функцией
о
Эйлера. Исследуем, при каких значениях и интеграл сходится. Имеем:
f xu~xeTxdx = f xu~xeTxdx+J х*~хеГх(Ьг9
0 0 1
1
\xu~'exdx- интеграл второго рода сходится при всех и>0, поскольку
о
хиЧе~х~ х*"1 при х-»0 + (необходимо, чтобы 1-я> 1); интеграл первого
00 1
рода J х“-|е“ж<& сходится при всех и, поскольку х“-1е"х <— при боль-
1 х
ШИХ X ( —---->0 При х->оо).
$4. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ
Почленное интегрирование степенного ряда; некоторые признаки сходимости рядов;
примеры (143)
143. Интегрирование степенного ряда. Признаки сходимости. Спра-
ведливо следующее утверждение: степенной ряд в интервале сходимости
можно почленно интегрировать, т.е.
х**1
f Еа„х" (& = С+Е-ггг
_n=0 J л=0 л“1"1
Формулы для Хап(х-с)п и для определенных интегралов аналогичны.
я=0
Значимость этого утверждения, высоко ценившегося и Ньютоном, и
Лейбницем, в том, что оно указывает эффективный путь вычисления
интеграла для большинства реально используемых функций, а не только
для тех, у которых первообразная выражается через элементарные
функции: разложить функцию в степенной ряд, а затем, проинтегрировав
его почленно, получить разложение в ряддля интеграла.
Некоторые признаки сходимости рядов. Отягощенные новыми зна-
ниями, пополним признаки сходимости рядов, приведенные в 100.
376
Глава V. Элементы интегрального исчисления
1. Интегральный признак (Коши). Если /(х), х>0, - неотрицательная
\ °°
невозрастающая функция, то ряд £/(л) сходится или расходится одно-
П=1
во
временно с интегралом J/(x)efc.
1
1
Пример 137. Исследовать ряд £—.
п=1ПГ
Решение. При г<0 ряд, очевидно, расходится, поскольку общий член
в этом случае стремится к оо, а не к 0. Далее
г) =(1+—) , поэтому limfl + -
Таким образом, признак Д’Аламбера здесь неприменим.
Но 1пл1/п=-1пл, откуда limw,/"=exp lim lnn1/',=l, поскольку lim—=
п n-^V> л->оо л->оо W
1.
л,
ж 0 согласно 3 из таблицы пределов в 94. А поскольку
то lim я/о~ = lim(-) =Г=1,
п-ю>’
следовательно, ради-
кальный признак Коши также применить не удается.
Воспользуемся интегральным признаком. Для этого возьмем f (х) =
тогда согласно примеру 134
1
—, приг>1,
оо, при0<г£1,
следовательно, ряд сходится при г>1 и расходится при г£1.
«о ]
Пример 138. Исследовать ряД Z------, s > 0.
л=2 л In п
Решение. Для применения интегрального признака возьмем
/(*) = . L • Тогда f—y^-=f(lnx) 0+,)rflnx=-j(lnx) '|“2 =
xln X 2x*n x 2 S
1
=—следовательно, рад сходится.
Jm 2
§4. Ряды и интеграл
377
2. Признак Абеля. Знакопеременный рад ^,апЬп сходится, если:
Л=1
О ряд сходится;
Л=1
2) числа Ьп образуют монотонную и ограниченную последовательность
(|дя|^Л/,л = 1,2,...).
оо
3. Признак Дирихле. Знакопеременный ряд сход ится, если:
Л=1
00
1) частичные суммы Л„=£а„ ограничены;
Л=1
2) последовательность (йя)яа монотонно стремится к нулю при л -► оо.
Пример 139. Исследовать сходимость ряда 0<t£n, г>1.
»=1 лг
Решение. |-sm«/|sl для всех л и t, а ряд сходится при г>1;
и»1 П
следовательно, по признаку Абеля, ряд 2 сход ится абсолютно.
и=1 пг
Пример 140. Исследовать сходимость ряда 2л“х".
нее). По формуле Коши ± = 1пп(л^")в=
Решение. Перевыполним поставленную задачу и исследуем ряд на
комплексной плоскости (благо, решение от этого не станет ничуть слож-
Итл1/"
.Л-»®
= 1 (пример 137).
При а 20 ряд не сходится ни в одной точке окружности |z|=l, по-
скольку общий член не стремится к нулю.
• 00 I I 00
При в<-1 в силу результата примера 137 ряд £ = 2ла|г|"=
Л=1 Л=1
00
= ^л“ сходится'для любого z, принадлежащего окружности |z| = l.
Следовательно, исследуемый ряд сходится абсолютно.
Если -1 £ а < 0, то ряд расходится при z-1 (пример 137), сходится при
z = -1 согласно признаку Лейбница. Чтобы исследовать сходимость д ля
378
Глава V. Элементы интегрального исчисления
всех остальных z, принадлежащих окружности |z|=l, рассмотрим ряд
оо п g-gn+I
Xz". Любая его частная сумма = —:---- (см. пример 71), но
»=i *=i 1-т
Любое z, принадлежащее единичной
окружности |х| = 1, представляется в виде z=cos/+isin/, поэтому
|l-z|=| (1-cost)- isin/1 = -^(1-cos/)2+sin2/ =^/2-2 cos/ = 21 sinj|. Сле-
довательно, 2 г*
*=!
„ / 2 1 x
£ = | • \l| ’ таким образом, все частные суммы
00
ряда £zn ограничены, а числа Ь„ = па монотонно стремятся к нулю при
Л=1
п -> оо (а < 0). Значит, по признаку Дирихле (справедливому и для ком-
плексных рядов) ряд '£nazn сходится (условно) при всех z * 1, принад-
Л=1
лежащих окружности |z| = L
Отметим, что из полученного в процессе решения неравенства
" 1
S (cos At + i sin to) £i . i следуют два очень полезных неравенства:
k=i sinj
£ cos to £l/|sin||
Esinto
t=i
£l/|sinto|.
и
§ 5. ФИЗИЧЕСКИЕ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ЭКОНОМИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Определенный интеграл как площадь фигуры, ограниченной кривыми в декартовых
и полярных координатах и кривыми, заданными параметрически, /клины плоских
кривых (144). Объем тела вращения, плошали поверхностей вращения (145). Инте-
грал как работа переменной силы, закон Био -Савара, примеры из экономики (146)
144. Интеграл в планиметрических задачах.
Площади плоских фигур. Площадь S фигуры, заключенной между
графиками функций /](х) и /2(х), прямыми х=а и х-Ь
(/](х)^/2(х),а <Ь ), определяется по формуле
§5. Приложения определенного интеграла
379
или
S = f[/2(x)-/1(x)]dJr
а
(1)
р
S=\y(t)x'(t)dt,
а
(2)
(3)
Рис. 82
где S — площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой за-
дана параметрическими уравнениями x=x(t),y=y(t),a^t^fi, и
$=-jr2(<p)d<p,
где S—площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, задан-
ной в полярных координатах уравнением
г=г(р),л£р£Д и двумя полярными ра-
диусами, составляющими с полярной осью
углы ан fl (рис.82).
Для замкнутой кривой x=x(t), y=y(f), x(a)=x(J3), y(a)=y(fl),
ограничивающей слева от себя фигуру площади
S (рис. 83), справедлива формула
р р
S = -J y(f)x'(f)dt = f x(t)y'(t)dt.
Пример 141. Найти площадь фигуры,
У\=Л(х)=1-х2, _у2=/2(х) = х2+2, х=0, х=1.
Рис. 83
ограниченной линиями
Решение. Данная фигура заключена между графиками функций f^x)
и(х), прямыми х=0 и х=1 (рис. 84а). Согласно формуле (1)
Пример 142. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой
циклоцды x = a(/-sinr),y = a(l-cos/), (кривой, описываемой
точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой), и осью Ох
(рис. 846).
380
Глава V. Элементы интегрального исчисления
2 я- 2ж
Решение. По формуле (2) имеем S= f a(l-cos/)a(l-cos/)<#= a2 f(l-
Пример 143. Найти площадь фигуры, ограниченной полярной осью
и первым витком спирали Архимеда г = а<р, где а - положительное число
(рис. 85а).
Решение. При изменении <р от Одо 1п полярный радиус опишет спи-
ральную кривую ОАВС, которая вместе с горизонтальной осью ограни-
чит криволинейный сектор ОАВС. По формуле (3) имеем
Рис. 85
Пример 144. Найти площадь криволинейной трапеции, ограничен-
ной сверху кривой >'=у—у (°на называется «локон Аньези»).
Решение. График функции уизображен на рис. 856 (читателю
предоставляется возможность построить этот график самостоятельно,
используя знания, полученные в §5 гл. IV). Эта функция четна, поэтому
я
2 —
= 2 у-arctg0 =2у=/г.
§5. Приложения определенного интеграла
381
Длины плоских кривых. Предположим, на отрезке [а, 6] задана не-
прерывная функция y=f(x'y, ее график называется также плоской кри-
вой. Рассмотрим разбиение a = xo<xi <...<хп-Ь отрезка [а, й]. Предел
длин ломаных ((а,/(а)),..., (x*,/(xt),...,(&,/(h)) при измельчении разбиения
(если таковой существует и, конечно, не зависит от выбора разбиений
как определение интеграла) называется длиной этой кривой (длину
кривой также можно определить как точную верхнюю грань длин этих
ломаных); т. е. ситуация такая же, как и при определении длины окруж-
ности. Кривые, имеющие длину, называются спрямляемыми. Мы не бу-
дем подробно обсуждать точные определения и возникающие проблемы,
приведем только достаточное условие спрямляемости - непрерывная
дифференцируемость функции на [а, h] - и пример неспрямляемой кри-
вой, которая задается функцией (рис. 52в, с.280)
XCOS—, 0<х<1/я’,
У-' х
О, х = 0.
Для непрерывно дифференцируемых кривых справедливы следующие
формулы:
»
L = l
(х) dx - •
длина кривой, заданной уравнением у-f(x), a£x£b;
Р .----------------------------------
длина кривой, заданной параметрическими уравнениями х=х(г),
y=y(f),a£t£0;
L = f^r(p)+[r'(q>)]2 dtp-
а
длина кривой, заданной в полярных координатах уравнением
г=г(р),а£р£Д
Пример 145. Найти длину дуги полукубической параболы у=х*2,
от х=0 до x-t (рис. 86а).
Решение. Значение квадратного корня предполагается и положитель-
ным, и отрицательным, поэтому кривая симметрична относительно оси
Ох. Найдем длину верхней ветви кривой. Поскольку у' =(3/2)х|/2, то
L =
382
Глава V. Элементы интегрального исчисления
Пример 146. Найти длину дуги одной арки циклоиды: x=a(t -sin t),
y=a(l-cost),Q^t^2a (рис.866).
Решение. Из уравнения циклоиды находим x'(0=a(l-cos0, У(0=
=asin t. Когда х пробегает отрезок [0,2яа], параметр t пробегает отре-
зок [0,2я]. По формуле длины параметризованной кривой имеем
Рис. 86
Пример 147. Найти длину первого витка архимедовой спирали
г=а<р (см. рис. 85a).
Решение. Первый виток архимедовой спирали образуется при изме-
нении полярного угла <р от 0 до 2я. Тогда по формуле длины кривой в
полярных координатах получаем
L = J -у]а2р2 + a2 dtp = a J ^]<р2 +1 dp.
о о
Согласно формуле 16 таблицы основных интегралов (132)
J -^>2 + 1 dp = у^>2+1 +11п(р++1) + С,
откуда по формуле Ньютона-Лейбница
145. Объемы и поверхности тел вращения.
Основные формулы для вычисления объемов. Объем тела V, полу-
ченного вращением криволинейной трапеции 0 £ у £ /(х), а^х^Ь, во-
круг оси Ох, вычисляется по формуле
§5. Приложения определенного интеграла
383
P = *f/2(x)dx.
а
Объем тела Vy, полученного вращением криволинейной трапеции
О £ х £ <р(у), c^y^d, вокруг оси Оу, вычисляется по формуле
vy =я$р2(у)4у-
d
Пример 148. Найти объем тела, образованного вращением эллипса
х^ у2
—+тг=1 вокруг оси Ох.
а b
Решение. Так как эллипс симметричен относительно осей коорди-
нат, то достаточно найти половину искомого объема как объем тела
вращения полуэллипса от 0 до а вокруг оси Ох. Имеем
у V=я J f 2 (x)dx=я f b 2 f 1 - -у1 dx=яЬ 2 J dx - J x2 dx=
2 о о \ a J о а о
* 2 2 l2
=яоа—т~2~=—яао.
о За 3
Следовательно, И=j яаЬ2.
При a=b=R эллипс становится окружностью. Тело вращения окружно-
4 *
сти вокруг оси Ох есть шар, объем которого V -—яЯ.
Основные формулы для вычисления площадей поверхностей вра-
щения. Площадь S поверхности, образованной вращением вокруг оси
Ох кривой, заданной непрерывно дифференцируемой функцией y-f(x),
a£x£b, вычисляется по формуле
S=2я] /(х)^1+/,2(х) dx.
а
Площадь £ поверхности, образованной вращением кривой, запанной
непрерывно дифференцируемыми параметрическими уравнениями
х = х(0, у=y(t), a<.t<.p, вычисляется по формуле
s-iJxWw’+oo2*-
а
Площадь £ поверхности, образованной вращением кривой, заданной
непрерывно дифференцируемым уравнением в полярных координатах
384
Глава V. Элементы интегрального исчисления
г = г , вычисляется по формуле
Площадь Sy поверхности, образованной вращением вокруг оси Оу
кривой, заданной непрерывно дифференцируемым уравнением
х = у(у), c^y^d вычисляется по формуле
Sy=2zrJ ф(у)^1+ф'2(у) dy.
Пример 149 [24,с. 113]. Часть сферы, вырезаемая двумя параллель-
ными плоскостями, находящимися на расстоянии Н друг от друга, назы-
вается шаровым поясом высотой Н. Найти площадь поверхности шаро-
вого пояса, если радиус шара равен R, а высота пояса равна Н.
Решение. Поверхность шарового пояса можно рассматривать как по-
верхность тела, полученного вращением дуги окружности у = -V/?2 -х2,
где a£x£b, Ь-а = Н, вокруг оси Ох (рис. 866). Так как / = i ,
JR1-*1
ТО 1+[/'(х)]2 = Л2/(Л2-Х2), поэтому
Ь ----- п ъ
S=2xf JR2-X2 I 2 2 dx-2aR\dx=2nR{b-a)=2*RH.
a "“X а
Итак, площадь поверхности S шарового пояса находится по формуле
S-lnRH. Если Я->2Я, то в пределе получим площадь поверхности
всей сферы: S = 4я7?2.
Пример 150. Найти площадь S поверхности, полученной вращени-
ем циклоиды x = a(z-smz),j' = a(l-cosz),0^z^2^, вокруг оси Ох
(см. рис. 846).
Решение. Кривая задана непрерывно д ифференцируемым парамет-
рическим уравнением, следовательно,
S=2x J a(l-cosz) J(a sinz)2+[a(l-cosy)]2Л=2л/2 ла2 f (l-cosz)3/'2Jz=-r-«’a2.
о о
Пример 151. Найти площадь поверхности, образованной вращением
кардиоиды r=a(l+cosp) вокруг полярной оси (см. рис. 86в).
Решение. Имеем r'($>)=-asm$>, r2+r'2=4a2cos2£. Следовательно,
§5. Приложения определенного интеграла
385
S=4na2 f (1 + cos 91) sin cos у 4/9? = 16 лп 2 jcos4y siny d<p = -32 mt2 x
о 2 о 4 2
x J cos4уd(cosy) = -32яа2 °°^-
0 2 \ 2/ 5
32 2
—яа
0
146. Интеграл в задачах физики и экономики.
Формула работы переменной силы. Работа А переменной силы F(x)
на отрезке [а, 6] вычисляется по формуле
ь
A = $F(x)dx.
Пример 152[24,с. 115]. Определить работу А, необходимую для
запуска тела массой т с поверхности Земли вертикально вверх на
высоту Л.
Решение. Обозначим через F силу притяжения тела Землей. Пусть
т. - масса Земли. Согласно закону Ньютона, F=G—где х - рас-
X
стояние от тела до центра Земли. Полагая Gmm-= к, получаем
F(x)=Jt/x2, Я^х^Л+Я, где Я-радиус Земли. При х=Я сила F(R)
равнавесутела P=mg,T.e. Л/Я2 = Р, откуда k-PR2 и F(x) = PR2/x2.
R+Ji R+h * ।
Таким образом, Л = J F(x)dx-PR2 J —=-PR2 —
r r x x
1 «+* PRh
r ~ R+h '
Закон Био - Савара. В качестве второго (и последнего) примера из
физики рассмотрим важную задачу динамики электромагнитного поля.
П р и м е р 153. Электрический ток силой I течет по бесконечно д лин-
ному проводу, совпадающему с осью Ох в направлении снизу вверх. С
помощью закона Био - Савара найти вектор напряженности И магнит-
ного поля, создаваемого этим током в произвольной точке Р-{х,у,х).
Решение. Пусть в выбранных коорд инатах ОР - г=(х, у, х) и s=(0,0, з).
Положим мжг-з=(х,у,з-з).
Согласно закону Био - Савара, вектор напряженности магнитного поля
в точке, создаваемый током силы I на всем протяжении провода, задает-
ся в векторной форме интегралом
25 - 5091
386
Глава V. Элементы интегрального исчисления
я= J
Смысл правой части этого векторного равенства станет ясным после
того, как мы запишем его в координатах.
Запишем формально dsxu в координатах (71), считая ds= (0,0, ds):
dsxu = (ds)x-0-(z-s), O*y-Q-x) = (-yds, xds, 0).
||m|| = u(s) -является функцией от s, и в координатах
Я= /I
-yds xds _ +? ds
(~У, X, 0)
лежит в плоскости Оху.
Положим х2+уг = рг(р-расстояние от проекции Р на Оху до начала
координат О, т.е. от точки Р до оси Oz или же до провода) и сделаем в
интеграле подстановку s-z-ptgt. Тогда z=±jt/2 при «=±<ю, по-
скольку tg(^l =+oo и tg(-£1 =-о° и ds-~^—dt. Поэтому
\2/ \ 2/ со,2,
-но f +оо , ж/2 , . ж/2
j as _ j as______j ______pat________1 j at_____
-=o |«(»)f — p-Hz-of -</2 cos^^p+pV'f P
= cosrЛ»у [smd’"/2 = ^-[siny-sin(-y) у [i- (-l)]-y.
Итак,
, , II n 2/ к I 21 21
где w - (—y, x, 0), откуда ||Я|=—|w|=—/?= —-
В этой задаче комбинировались и методы интегрального исчисления, и
методы векторной алгебры.
Интеграл в задачах экономики. Кривой Лоренца называется гра-
фик зависимости нормы доходов населения отдели населения, имеюще-
го данный (переменный) нормированный доход. Эта кривая позволяет
оценить степень неравенства в распределении доходов населения д анной
страны. Если доход каждого гражданина равен т, то совокупный доход п
человек 1п=тп, а общий доход группы из N человек I^mN. Вводя нор-
мированные переменные x-n!N ну-ЫЬ, получаем: y=mxN!mN=x: т.е.,
при равномерном распределении доходов кривая Лоренца - это главная
§5. Приложения определенного интеграла
387
диагональ (биссектриса) координатной плоскости, если считать х и у
непрерывными. Если при построении кривой Лоренца принять соглаше-
ние, что совокупный доход подсчитывается, начиная с малоимущих, и
далее по возрастанию душевого дохода, то кривая Лоренца £(х) будет
расположена ниже главной диагонали. Конечно, в реальности перемен-
ные х и у = L(x) принимают лишь конечное число значений - в теории,
однако, принято считать £(х) непрерывной кривой (интерполяция, т.е.
дополнение точек(х„, £(хл)) до непрерывной кривой,-отдельная задача).
Чем более отклоняется кривая Лоренца от диагонали, тем более нерав-
номерно распределены доходы населения.
Пусть х (0£х£1) - доля населения, у=Цх) (£(0) = 0, £(1) = 1)-кривая
Лоренца, О - начало координат, А - (1,0), D - (1,1). Отношение площади
SL фигуры, заключенной между диагональю и кривой Лоренца, к пощади
5 треугольника равномерности OAD (численная характеристика нерав-
номерности распределения доходов) называется коэффициентом Джин-
ни. Очевидно, 5= 1/2 как половина площади единичного квадрата. Если
/ - площадь криволинейной трапеции под кривой Лоренца, то коэффи-
циент Джинни k=(S-l)IS=\-HS=\-2l.
Пример 154. Предположим, что статистические данные распределе-
ния доходов в исследуемой стране выявили кривую Лоренца
£(х) = 1 - -Jl-x2 ,0 £ х £ 1. Вычислить коэффициент Джинни к.
Решение. Кривая £(х) расположена под главной диагональю, что сле-
дует из элементарного неравенства £(х)<х при 0<х< 1, и монотонно
возрастает от Одо 1 (исследование поведения этой функции и построение
ее графика предоставляется читателю в качестве упражнения).
/=|fl-^l-x2ld5c=J A-J-Jl-x2 <fc=l-[y-^l-x2 +^-aicsinxl =
о4 oo L2 2 Jo
, 1 . , , 1 я , я
— 1—arcsml=l-~—=1 —
2 2 2 4
(использована формула 15 таблицы основных интегралов из 132). Отсю-
да SL=5-/=^/4-l/2 и Л=1-2/=1-2+^/2 = ^/2-1«0.5708.
Таким образом, отклонение от треугольника равномерного распреде-
ления доходов составляет почти 60% его площади. Конечно, определе-
ние, значений коэффициента Джинни, которые можно считать соответ-
ствующим допустимому неравенству в распределении доходов населе-
ния, является предметом соглашений, но полученное значение к велико
в любом варианте. Правящему классу исследуемой страны, столь плохо
заботящемуся об интересах основной массы сограждан, не следует удив-
ляться грядущим возмущениям.
25’
388
Глава V. Элементы интегрального исчисления
Пример 155. В 1929 г. американскими экономистами Ч. Коббом и
П. Дугласом были опубликованы результаты анализа статистических
данных зависимости объема выпуска продукции Y от затрат труда L-Uf)
и затрат капитала В одном из современных вариантов функция
Кобба - Дугласа от времени имеет вид Y - (а + (см. задачу 15). В
этой модели объем Q выпускаемой продукции за промежуток времени Т
т т
(например, лет) выражается формулой Q=JY(f)dt - f (а+у?/)ег'Л.
о о
Найти объем продукции в модели Кобба-Дугласа и вычислить его, ес-
ли Т= 4 и Г(0 = (1+/)е3‘.
Решение. Имеем
Подставив значения параметров, получим
Jfi+lV+l =253172.8887 +0.(2) = 2531731-Ю5.
\r г1 ) г1 V3 9/ 9
$6. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
#147. Приближенное вычисление определенного интеграла. Вос-
пользоваться формулой Ньютона-Лейбница для подсчета определенно-
го интеграла удается только в том случае, когда первообразная вычисля-
ется в ваде алгебраического выражения от элементарных или близких к
ним функций. В противном случае получить аналитически интеграл не
удается и приходится пользоваться приближенными методами вычисле-
ний и возможностями вычислительной техники.
Пусть функция у = у(х) имеет непрерывную производную на [а, И
h=^-~,xk=a+kh,yk=y{xi),k=Q,\,
1. Формула прямоугольников.
ь
f y(x)dx = h(yQ+yi +.. .+^„_i)+r„,
§7. Компьютерные системы
389
(Ь—а)Л (Ь—а)Л
где г„ = —=—/(£)£—г—!»!,а£££*,«,= max у'(х).
* л а<х<Ъ
2. Формула трапеций. Если у"(х) непрерывна на [а, 5], то
ь / х
}у(х)<&=й! ^=-+yJ+...+y„_1) +г„,
а
тг.^у'Ю.а^Ь. |r|||s^^-m2,m2= max у”(х).
12 12 а£х£Ъ
3. Параболическая формула (формула Симпсона). Пусть у(4)(х) не-
прерывна на [а, &], п = 2k, тогда
ь
fy(x)dx = у [(уо +У2к) + 4(У! +y3+...+y2t-l)+2(y2 +y4+..+y2k-2)]+^.
(a-b^i* z4x к II (Ь-а)Л4 х
ГДе Г» = Igo (6 )> ° * £ Ы * • 180 ”»4. т4 = в““«ьУ( W-
Параболическая формула была приведена английским математиком
Томасом Симпсоном (T.Simpson, 1710-61) в «Mathematical Dissertation
on Physical and Analytical Subjects» (Математические рассуждения на
физические и аналитические темы) в 1743г. Ранее (1668) в несколько
ином ваде эту формулу получил современник Ньютона, шотлавдский
математик Д жеймс Грегори (J .Gregory, 1638-75).
Используя данные формулы, можно с помощью компьютера вычислить
значение любого определенного интеграла с произвольной точностью.
Для этого нужно лишь взять достаточно большое число п точек разбие-
ния (тогда h будет сколь угод но мало).
§7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ СИСТЕМЫ, ОРИЕНТИРОВАННЫЕ НА
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ
ДЕТЕРМИНИСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Компьютер как справочник и помощник в решении учебных задач по математике,
некоторые математические программные пакеты: MAPLE, МАТНЕМАТКА,
АХЮМА, MAXIMA, AUTOCAD, MATCAD, MATLAB, PROLOG (148). Понятие о
детерминистических процессах, примеры; о математических моделях
детерминистических процессов, адекватность математических моделей реальных
явлений, практическая польза математического моделирования (149)
148. Компьютер в решении задач математического анализа. Идея ис-
пользовать компьютер как удобный носитель информации, содержащей-
ся в математических справочниках, и как помощник в решении рутинных
390
Глава V. Элементы интегрального исчисления
математических задач достаточно очевидна и естественна, учитывая вы-
числительные возможности компьютера, его большую информационную
емкость.
Основные задачи самых разнообразных математических дисциплин,
методы их решения и даже сам ход решения конкретной задачи предста-
нет на дисплее перед взором умелого пользователя соответствующего
программного математического пакета. Таким образом, изучение воз-
можностей программного пакета и правил пользования им полезно и
продуктивно. Однако не следует уподоблять эту возможность дереву, на
котором сами собой вырастут золотые монеты, как в известной сказке.
Для того чтобы разобраться как в ходе решения, так и в полученном ре-
зультате, нужно знать по крайней мере определения и основные правила
действий с исследуемыми объектами; в противном случае никакая слу-
чайная ошибка (своя собственная или компьютера) не может быть ни за-
мечена, ни исправлена. По этой же причине знание работы программы (и
ее описание) должно включать определения объектов, основные дейст-
вия и условия их выполнимости, а не только запоминание последова-
тельности действий (типа нажатия кнопок на клавиатуре).
Укажем наиболее популярные программные математические пакеты.
Пакеты на императивных языках программирования
MAPLE. Этот пакет (в различных версиях) описывает решения задач:
• элементарной математики, • алгебры, • геометрии, • линейной алгебры,
• решения уравнений, • математического анализа, • экономики и финансовой
математики, • вычислительной математики, • дискретной математики (комбина-
торики и теории графов), • дифференциальных уравнений (связывающих неза-
висимого переменного, неизвестную функцию и ее производные) и пр.,
а также дает возможность создавать активные программы символьных
вычислений, в которых используются его средства.
MATHEMATICA позволяет решать примерно тот же круг задач, но яв-
ляется 6<yiee мощным и дорогим пакетом с более сложным интерфейсом.
Основные программные пакеты общего характера
АХЮМА-, MAXIMA-, MATCAD.
Программные пакеты специального характера - AUTOCAD и
REDUCE на языке LISP (языке обработки списков) предназначены для
решения задач проектирования общего и математического содержания.
Пакет MATLAB предназначен для решения задач линейной алгебры и
вычислительной математики.
§7, Компьютерные системы
391
Кроме пакетов общего и слабоспециализированного назначения соз-
дано множество специализированных программных пакетов, позволяю-
щих решать сложные узкоспециальные задачи.
Сред и декларативных языков программирования выделим PROLOG -
язык программируемой логики, т.е. язык, на котором пользователь полу-
чает возможность дать логическое описание исследуемого объекта или
процесса, а программа сама находит решение задачи в рамках опреде-
ленных пользователем объектов и правил действий с ними.
Каждый пакет пользователь может дополнить своими собственными
программами.
Подробное описание этой проблематики является задачей курса ин-
форматики.
149. О математическом моделировании детерминистических про*
цессов. Среди процессов реального мира можно выделить класс процес-
сов, развитие которых во времени полностью и однозначно определено
начальными условиями и теми внешними обстоятельствами, в которых
они развиваются. Наиболее яркие примеры таких процессов дает, есте-
ственно, физика. Это многие задачи механики, в том числе небесной,
динамики электромагнитного поля, оптики и пр. Некоторые из них были
рассмотрены ранее (пример 95-движение тела, направленного под уг-
лом к горизонту без сопротивления воздуха, полностью определяется
вектором начальной скорости, пример 153-напряженность магнитного
поля, создаваемого прямолинейным током, полностью определяется си-
лой этого тока). Другие важные примеры таких процессов дает класси-
ческая экономика. Может быть, несколько менее значимую роль играют
числовые характеристики в других науках, однако качественные иссле-
дования почти всегда требуют также исследования количественного.
В наиболее простых задачах исследуемая числовая характеристика
процесса может быть задана в ваде явной функции времени где
функция /-алгебраическое выражение от элементарных функций и\или
их производных и\или интегралов. Во многих задачах эта зависимость
может быть выражена в матричной или векторной форме (см. гл. II). В
этих случаях с математической точки зрения задача моделирования ре-
ального процесса-это вычисление значений функции /(О в каждый мо-
мент времени t либо аналитически, либо с помощью вычислительной
техники.
Значительно чаще динамика исследуемой числовой характеристики
реального процесса во времени задается алгебраическим уравнением,
связывающим время и эту характеристику, т.е. числовую функцию, либо
392
Глава V. Элементы интегрального исчисления
уравнением, включающим в себя также производные этой функции
(дифференциальные уравнения) или интегралы (интегральные уравне-
ния). Часть этих уравнений решается аналитически, и в этом случае все
сводится к рассмотренной выше задаче вычисления значений найденного
решения Но значительно чаще аналитического решения получить
не удается, и приходится решать уравнение приближенным методом,
обычно с помощью вычислительной техники, либо сразу заменять эту
модель с непрерывным временем на модель с дискретным временем.
При решении всех указанных выше задач может использоваться арсе-
нал различных математических дисциплин, но чаще всего реальная зада-
ча имеет какие-то особенности, хоть чуть выводящие ее за рамки извест-
ных моделей и методов решения. В результате приходится разрабатывать
новые приемы решения, а иногда и принципиально новые математиче-
ские конструкции.
Также подчеркнем, что математическое моделирование многих важ-
ных физических или технологических процессов намного дешевле их
реальной реализации (например, стоимость разведочного бурения неф-
тяной скважины и стоимость математического моделирования бурения с
целью оценки эффективности выбранного места и характера скважины
несоизмеримы), а в некоторых случаях (адерная физика, военная техни-
ка) физическая реализация исследуемого процесса бывает в принципе
невозможна.
Особо следует остановиться На важном внематематическом или, как
принято говорить, метаматематическом аспекте проблемы моделирова-
ния. Математическое моделирование (еще используют термин «имита-
ция») реального процесса заключается в замене его некоторой матема-
тической моделью и нахождении ее искомых числовых характеристик во
времени (а точнее, для каждого значения числового параметра, символи-
зирующего текущее время). Полученный (математический) результат,
т.е. значения функции будет адекватен описанию поведения ре-
ального процесса только в том случае, когда выбранная математическая
модель действительно хорошо описывает исследуемый реальный объект
(процесс). В противном случае результаты математического моделиро-
вания будут расходиться с поведением исследуемого реального процесса
(явления). Выбор адекватной математической модели - отдельная и со-
всем не простая задача.
Также самостоятельной задачей является предметная (физическая)
интерпретация полученных математических результатов.
Решение задач математического моделирования -это пред мет работы и
специальных знаний профессионалов, требующее серьезной подготовки.
Заключение к главам IV и V
393
Подробно взаимосвязь математических моделей и реального мира рас-
сматривается в гл.У1.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ К ГЛАВАМ IV и V
Исторически появление и развитие математического анализа связано с необходимо-
стью нахождения числовых характеристик сложных геометрических фигур (длин кри-
вых, площадей поверхностей и плоских фигур, объемов), статических характеристик
физических тел, описания динамики физических объектов и процессов, анализа нели-
нейных экономических моделей с большим числом участников, решения задач вычисли-
тельной математики (в том числе вычисления значений различных функций с заданной
точностью).
Все упомянутые проблемы объединяет одна общая особенность: они не могут быть
точно решены конечными методами, для их решения используются бесконечные про-
цессы (модели). Решение едва ли не каждой задачи методами математического анали-
за - это определение числовых характеристик некоторого завершенного бесконечного
процесса, т.е. актуальной бесконечности (в терминах философии), почти запрещенной в
классической философии. Об этом уже немного говорилось в гл. I, подробно же различ-
ные математические и метаматематические проблемы, касающиеся актуальной беско-
нечности и ее связи с реальностью, будут обсуждаться в гл. VI.
В конечных (дискретных) терминах невозможны описание и, следовательно, анализ
даже такого интуитивно важного и естественного понятия, как непрерывность
(процесса, объекта). Но коль скоро актуально бесконечные объекты и конструкции не-
обходимы, то во избежание ошибок, противоречий и парадоксов необходима точность в
определении объектов математического анализа, правил действий с ними и аналитиче-
скими конструкциями в целом и в обосновании получаемых результатов, т.е. в истинно-
сти правил логического вывода (доказательств) утверждений математического анализа.
И, конечно, созданная теория должна быть ясной и сколь возможно более компактной.
Для достижения этих целей потребовалось также устранить все «белые пятна» в теории
действительного числа.
В основе классического анализа лежит понятие предела. Кроме непосредственной
формализации понятия предела в неменьшей степени интересны моменты, связанные с
происхождением, развитием и окончательной трактовкой понятия предела и предельно-
го перехода в историческом ключе. На базе теории пределов стало возможным точно
определить такие физические понятия, как скорость и ускорение, решить многие задачи
динамики физических тел и полей. Был решен также ряд задач геометрии кривых и
поверхностей; изучающая их свойства математическая дисциплина называется диффе-
ренциальной геометрией. С помощью рядов решена задача вычисления значений раз-
личных функций с необходимой точностью. Методы дифференциального исчисления
дают возможность исследовать функции и строить их графики.
Решение всех этих и других задач достигается путем нахождения простой конечной
формулы, с помощью которой вычисляются числовые характеристики завершенного
(актуально) бесконечного процесса, описывающего исследуемый процесс или объект.
Остановимся на двух наиболее ярких примерах. Любое из двух рассмотренных пра-
вил нахождения экстремума на отрезке позволяет конечным числом простых действий
определить точку (локального) максимума или минимума функции, в то время'как непо-
средственная проверка неравенств /(xi) <f(x2) или /(xi) >/(х2) связана с бесконечным
числом актов проверки для пар (хьхз), т.е. принципиально неосуществима, /крутой при-
мер - формула Ньютона - Лейбница, позволяющая определить площадь между двумя
кривыми с известными первообразными путем выполнения трех элементарных дейст-
вий (или семи действий, если считать нахождение значений первообразных в нужных
точках), в то время как непосредственное определение этой площади связано с беско-
нечным процессом нахождения предела интегральных сумм (существование и единст-
венность этого предела - отдельные вопросы).
394
Глава V. Элементы интегрального исчисления
В соответствии со сложившимися традициями излагается и техническая сторона дела-
наиболее принципиальные аналитические конструкции и методы решения задач матема-
тического анализа. Однако до каких высот дойти в этом направлении - дело конкретно-
го учебного заведения или конкретного читателя. Принципиально же отбор и изложение
материала обусловлены необходимостью создания цельной картины объектов и методов
математического анализа.
Кратко излажен также язык нестандартного анализа, реализующего идею Лейбница о
t бесконечно малых числах. Особенно интересен этот раздел, конечно, физикам, которые
всегда в своих неформальных рассуждениях тяготели к оперированию бесконечно ма-
лыми и бесконечно большими числами. Некоторые физические модели микромира,
связанные с очень малыми расстояниями, или, напротив, космологические модели, опе-
рирующие очень большими расстояниями или временными интервалами, формулируют-
ся именно на языке нестандартного анализа.
Насколько хорошо математика бесконечного описывает реальный мир и каково соот-
ветствие* между бесконечными и конечными (дискретными) моделями мира, подробно
обсуждается в гл. VI.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ V
Параметры, фигурирующие в задачах: в-число букв в имени читателя, Ъ - число букв в
фамилии читателя, с - число букв в названии места (города, села...) рождения читателя.
1. Найти интегралы: 1) 2) (сделав замену ах+Ь = 0;
* х—а * jax+b
3) J . Ф ; 4) f—А, л = 0,1,...
J x2+px+q ’ х
2. Найти интегралы: l)f—^±1® А; 2) f 3И
(х—+2х+101 хча2 — х2 8т х
Ina
3. Интегрируя по частям, вычислить Jxe-Xdbc.
о
4. Интегрированием по частям доказать факториальное тождество Г(и+1)=
=яГ(и) (Г(я) - гамма-функция Эйлера). Показать, что для натурального аргу-
мента п из факториального тождества следует равенство Г(л+1)=л!.
Ь2 ------
# 5. Сделав замену вычислить J ayex-\dx.
о
# 6. Показать/что парабола у=2х делит площадь круга х2+<у2 = 8 в отношении
(Зяг + 2):(9яг-2).
со оо
# 7. Вычислить несобственные интегралы J co3(-ax)cosbxdx и J e~axsinbxdx.
о о
# 8. Вычислить интегралы: I —-—dr, I——dx, ] ——dx.
.jx4+l Jx4+1 Дх4+1
9. Исследуется слиток параболической формы массой 1034с г (с-число букв в
названии вашего места рождения). Эксперту необходимо очень быстро, до де-
тального лабораторного исследования оценить, из какого материала изготовлен
Задачи
395
слиток - из железа, серебра или платины, если известно, что слиток однороден
по массе и составу (т.е. состоит только из одного из указанных металлов) и явля-
ется телом вращения параболы у2=2сг,0£х£Л=5.6 см вокруг оси х. Масса слит-
ка т=рИх, где Vx-объем слитка, р-плотность. Плотность железа 7.874 г/см3,
серебра - 10.5 г/см3, платины - 21.46 - 21.5 г/см3, Ошибка взвешивания не
более 0.6с г. Провести оценку.
10. Недекларированная плоская пластина в форме полуэллипса
TFi-^l, Р33-
а о
резанного по оси Ох, изъята при таможенном досмотре. Оперативные данные
дают основания подозревать, что пластина биметаллическая (спаянная не вдоль
плоскости эллипса), в этом случае центр тяжести этой пластины не совпадет с
центром тяжести однородной пластины. Элементарным образом (например, с
помощью обычной иглы) устанавливается, что центр тяжести исследуемой пла-
стины находится в точке (0.47а,0). Единицы измерения - сантиметры, ошибка
измерения не более 0.2 см. Найдя центр тяжести однородной пластины такой же
формы, проверить, будет ли исследуемая пластина однородной.
11. Найти площадь, ограниченную кривой r=asm3$> (трилистника). Нарисовать
кривую.
12. Найти длину кардиовды r=a(l+cos^).
13. Найти длину дуги кривой x=o(cosH-rsinr),y=a(sinf-rcosr), 0£/£2х (развертка
окружности).
14. Найти коэффициент Джинни для кривой Лоренца L(x)=xa, где а-1 +а-1 а 1.
15. В общем случае функция Кобба-Дугласа (146) имеет вад Y=AKUL\ Найти
эластичность производственной функции Y по затратам труда L=Ut) и затратам
капитала K=K(t). В каком случае Y имеет вад, рассмотренный в примере 155?
#16. Пусть в модели Кобба-Дугласа У(Г)=(<гЬД)е“г/. Найти объем выпущенной
2 £
продукции за период Т=3/х, если а=а,а fl- lim Д, где Дн-1=А +&—,
«-►оо 1 + Д
Д>= 0. (Указания: 1) показать, что 62 £ Д £62+1,л £ 1; 2) заметив, что Д+1 -
-Д =^2=52-Гд.1, доказать по индукции, что Рп £Д+ь или
1+Д \ 1+Д/
£ 2
равносильно, £ 6 , 3) убедившись в существовании предела fl = lim Д,
1+Д л-хх>
показать, что удовлетворяет уравнению р2 -b2fl-b2 = 0.)
Глава VI
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.
ОБ ОСНОВАНИЯХ МАТЕМАТИКИ.
АЛГОРИТМЫ И АВТОМАТЫ
§1. ЛОГИКА: ЕЕ ПРОИСХОЖДЕНИЕ И РАЗВИТИЕ
Логика классического эллинизма как наука о формах
мышления и способах познания
Влияние политического устройства Афин на развитие логики. Логические основы
искусства политической полемики и судопроизводства (150). О логическом
искусстве Сократа и Платона (151)
150. Роль логического искусства в жизни Древних Афин. Родиной
логики считается Эллада, Древняя Греция. Конечно, логико-философ-
скими проблемами занимались и в Древнем Китае, где высокой степени
совершенства достигли буддийская и даосская логики, и в Индии, и в
странах Средней Азии. Однако логика как самоценная наука (а не часть
философии) наиболее полное и законченное развитие получила именно в
Элладе. Основные достижения связываются с именами Гераклита Эфес-
ского (koh.VI- нач.У в.до н.э.), Демокрита (V в.до н.э.), уроженца Фра-
кийского города Абдера, элеатов (уроженцев г. Элеи) Парменцда (кон.
VI -Vв.до н.э.) и Зенона (ок. 490-430 до н.э.), но прежде всего с име-
нами великих афинян - Сократа (ок. 470 - 399 до н.э.), Платона (427 -
347 до н.э.) и, наконец, отца логики - Аристотеля (384-322 до н.э.).
Стремительное (по меркам развития наук) и далеко идущее совершен-
ствование логики как науки именно в Афинах, а не в Спарте, к примеру,
имеет вполне реальные корни - политическое устройство Афинского
государства. После изгнания в 510 г. до н.э. Писистратцдов из Афин
Клисфен Алкмеоннд, сын Мегакла, провел конституционные реформы,
определившие политическое устройство Афинского государства - афин-
скую демократию. Отметим только те ее черты, которые оказали непо-
средственное влияние на развитие диалектики и логики.
Древнее деление Аттики на четыре родовые филы (объединения) Клис-
фен заменил административным делением на 10 территориальных фил
§1. Логика: ее происхождение и развитие
397
(областей) с целью ослабления традиционной родовой вражды, оставив
за родовыми филами только религиозные функции. По 50 человек от
каждой филы, т.е. общим числом 500, образовывали Совет (буле), иг-
равший роль администрации и, в частности, подготавливавший народные
собрания (экклесии) не реже, чем каждые 6 недель. Любой свободный
гражданин, не запятнавший себя бесчестным поступком (список таковых
был определен), мог принять участие в работе народного собрания и вы-
ступить с речью. Полномочия экклесии в принципе были безграничны,
фактически их ограничивала только повестка дня, которую подготавли-
вал Совет. Различные споры решал суд присяжных (гелиэя), который
состоял из 10 дикастерий по 500 человек, каждый с определенным кру-
гом судебных дел (судебное присутствие колебалось от 201 или 401 до
2001 заседателя в зависимости от важности дела, хотя непостижимо, о
каком нормальном судебном процессе может цдти речь при составе суда
в 200 или 400 и более человек). Экклесии было также дано право осуж-
дения на десятилетнее изгнание любого гражданина по обвинению в
«приверженности к тирании», кворум составляли 6 тысяч человек, го-
лосование проводилось с помощью глиняных черепков (остраков), по-
этому сама процедура называлась остракизмом. Исполнительная власть
менялась практически каждый месяц, даже глава государства, архонт,
исполнял свои обязанности только год и не мог занять этот пост повтор-
но. Единственным сколько-нибудь стабильным органом власти была
коллегия из 10 стратегов - по одному от каждой филы, которая являлась
военным командованием, ведала внешней политикой и экономикой
(неотделимыми от военных дел); главное же - должность стратега можно
было занимать неограниченное число раз, притом ежегодно.
Демократические институты Афинского государства в общем-то вы-
полняли свою основную задачу - согласование интересов различных
групп, но также обладали рядом принципиальных недостатков. Подойдем
к этой проблеме в парадоксальном ключе - рассмотрим только те недос-
татки, которые стимулировали развитие логики. Почти непрекращаю-
щиеся политические собрания влекли постоянную политическую борьбу,
причудливые политические союзы и перегруппировки, бесконечные об-
винения и оправдания, короче, постоянную политическую нестабиль-
ность. В условиях, когда любой мог выступить в экклесии с обвинением,
в котором за пламенными речами о тирании или законности могла стоять
скрытая лишь для толпы жажда расправы с политическим противником
или просто недругом, искусство аргументации становилось решаю-
щим фактором. Без долгих рассуждений приведем примеры:
398
Глава VI. Элементы математической логики...
- стратег Мильтидд, победитель при Марафоне (490) в 489 г. (здесь и далее даты даны до
н.э.) за неудачный военный поход осужден экклесией и умер в тюрьме;
- Мегакл Алкмеонвд племянник Клисфена, в 486 г. подвергнут остракизму;
- Ксантипп Алкмеонвд, муж племянницы Клисфена (и отец Перикла), подвергнут остра-
кизму в 486 г.;
- победитель персов при Саламине (480) стратег Фемистокл Филавд в 471 г. подвергнут
остракизму, обвиненный в сговоре с персами (!);
- Кимон Филавд сын Мильтидда и прославленный стратег подвергнут остракизму в 461 г.;
- в 413 г. казнены после неудачного военного похода былые победители стратеги Никий и
Демосфен;
- Перикл, сын всем известного Перикла, один из стратегов-победителей в морском сраже-
нии с флотом Спарты, приговорен к смертной казни вместе с другими командирами, обвинен-
ный в непогребении трупов и неоказании помощи при шторме в 406 г.;
- Сократ приговорен в 399 г. к смерти за «неуважение к богам и развращение умов моло-
дежи»...
Стимулируемое таким мощным катализатором, как инстинкт самосо-
хранения, искусство аргументации и спора в Элладе достигает больших
высот. Достижения логики естественного языка получают свое заверше-
ние в серии трудов Аристотеля, объединенных общим названием «Орга-
нон» (т.е. метод), превративших логику естественного языка в науку.
ч
151. О лотке Сократа н Платона. Труды Сократа до нас не дошли,
поэтому будем говорить о том его образе, который нарисовали Платон
(его настоящее имя-Аристокл, а Платон-прозвище от греч. яАати£—
широкий) и Ксенофонт. Наиболее известные труды Платона касательно
образа Сократа - это «Апология (Сократа)* (Платон. Соч. М., 1968.
Т.1.), «Протагор» (там же) и «Парменид» (Платон. Соч. М., 1970.
T.2.). «Апология» излагает выступление Сократа на суде, а «Протагор»
рассказывает о тонком и язвительном отношении Сократа к приезжему
софисту Протагору. Считая неуважением к замечательному философу и
человеку беглый пересказ этих сочинений и не имея возможности под-
робно цитировать и обсуждать их, отошлем читателя к первоисточнику, и
в качестве необходимого примера логического искусства приведем цита-
ту из менее известного, но столь же яркого сочинения, посвященного
искусству Сократа-логика, - сочинения Ксенофонта «Воспоминания о
Сократе» (т.1) где речь вдет об афинской гетере по имени Феодота, о
которой заговаривает с Сократом его приятель:
Ее красота неописуема. Эту девушку изображают художники, и она не скрывает от них
своих прелестей.
- Ну что же, надо к ней пойти, - решил Сократ, - и уввдеть все собственными глазами.
Труд но с чужих слов суд ить о той, чья красота неописуема.
Сократ и его друзья застали Феодоту в тот момент, когда она позировала какому-то худож-
нику. * Ъ
§1. Логика: ее происхождение и развитие
ЧОО
- Друзья! - воскликнул философ. - Кто кото должен благодарить? Мы ли Феодоту, позво-
лившую нам взирать на ее красоту, или она нас за то, что мы ею восхищаемся? Если Феодота
больше приобретет, показывая нам себя, то тогда она должна быть нам благодарна, если же,
смотря на нее, получаем большее удовольствие, то все выгоды на нашей стореже!
И далее он так развивал свою мысль:
- Феодота уже сейчас заработала нашу похвалу, но ее прибыль будет еще больше, когда
мы всем расскажем о ее красоте. Мы же хотели бы прикоснуться к тому, что увидели. Уйдем
отсюда возбужденные, а потом будем тосковать. Отсюд а вывод: мы ей служим, а она - наша
госпожа! .
На это Феодота ответила:
- Клянусь Зевсом! Если все действительно обстоит так, как ты говоришь, то скорее я долж-
на быть вам благодарна.
Тем временем Сократ заметил, что на хозяйке весьма дорогой наряд и одежды ее матери
ненамного дешевле. От его быстрого взора не укрылись и большое количество красивых,
хорошо ухоженных служанок, а также богатая обстановка дома, и он сразу же спросил:
- Скажи откровенно, Феодота, как велики твои земельные владения?
- У меня их вообще нет.
- Может быть, ты сдаешь в наем дом?
- И собственного дома у меня тоже нет.
- Ну тогда наверняка на тебя работают мастерицы?
- С чего ты взял?
- Каковы же в таком случае твои средства существования?
- Попросту если кто-то доброжелательно ко мне относится, то оказывает мне помощь, -
вот и все средства моего существования.
- Клянусь Герой, Феодота, лучше и придумать нельзя. Стадо друзей - большее богатство,
нежели стадо коров, коз или овец. Но скажи мне, полагаешься ли ты на счастье и ждешь,
чтобы какой-нибудь приятель попался тебе, подобно мухе, или сама прилагаешь к этому
старания?
- А разве в подобном деле можно что-либо предпринять?
- Клянусь Зевсом, можно. Здесь надо уподобиться пауку. Знаешь, как он добывает себе
средства к существованию? Плетет тончайшую сеть и питается тем, что в нее попадет.
- Так, значит, ты и мне советуешь плести сеть?
- А почему бы и нет? Неужели ты воображаешь, что столь ценную добычу, как друзья,
можно поймать без всякого искусства? Посмотри, сколько разных уловок придумали люд и,
охотясь на такого нестоящего зверя, как заяц. Зайцы, как известно, выходят на прокорм
ночью. Поэтому охотники специально обучают псов для ночной охоты. А днем, когда зайцы
спят, выпускают уже других псов, приученных выискивать их укрытия. Мало того, еще со-
держат псов, которые прекрасно бегают, а на заячьих дорожках ставят силки.
- Каким же из этих способов ты советуешь мне ловить друзей?
- Вместо пса ты должна иметь помощника. Он будет отыскивать для тебя людей богатых и
влюбленных в красоту, а потом так их направлять, чтобы они попали в твои сети.
- Не знаю, есть ли у меня такие сети, Сократ?
- Од ни есть наверняка, и притом прекрасно сплетенные, - твое тело. А в теле скрывается
душа, которая всегда подскажет, каким взглядом очаровать и каким словом привести в вос-
торг. Душа советует нам любезно принять преданного человека и захлопнуть дверь перед
носом недоброжелателя; если друг заболеет - нежно за ним ухаживать, а если ему повезет -
Радоваться его успеху. И вообще тому, кто добр к тебе, надо от чистого сердца отвечать вза-
имностью. А о том, что целовать ты умеешь не только страстно, но и сердечно, я знаю очень
хорошо. Не только словом, ио и делом показываешь, сколь дороги тебе твои друзья.
400
Глава VI. Элементы математической логики...
- Клянусь Зевсом, я не применяю ни одного из названных тобою способов!
- И напрасно, ведь к каждому человеку надо подход ить соответственно его характеру. По-
тому что силой не добудешь друга и не удержишь его при себе. Этого зверя можно поймать и
приручить, только заботясь о нем и давая ему наслаждения.
-Ты совершенно прав.
- Прекрасно. В таком случае ты должна поступать следующим образом: сначала обращай-
ся к своим обожателям только с теми просьбами, выполнение которых не вызовет у них за-
труднений. Тогда они будут тебе верны, надолго сохранят любовный жар и в дальнейшем
окажут много ценных услуг.. И запомни, желанной ты станешь только в том случае, если
подаришь свою благосклонность тому, кто страстно о ней мечтает. Даже самое изысканное
яство может показаться пресным, если получишь его до того, как пожелаешь. Более того, у
сытого оно может вызвать отвращение. Зато голодный с жадностью набрасывается даже на
самую простую пищу.
- Но каким образом я могу вызывать подобный голоду моих друзей?
- Пресыщенным не показывай, не напоминай о своих прелестях. Когда же пресыщение
пройдет, в приятной беседе напомни им о наслаждениях любви, намекай на свои чувства, но
уходи от прямого ответа; и так поступай до тех пор, пока желание в твоем друге ие дойдет до
предела. Вовсе не одно и то же, будут ли дары преподнесены именно в такой момент или еще
до того, как ты вызовешь в мужчине желание.
- А может быть, ты, Сократ, и станешь моим помощником в охоте на друзей?
- Непременно, если, конечно, ты сумеешь меня уговорить.
- Как же мне это сделать?
- Сама догад аешься, коль скоро я действительно тебе необход им.
- В таком случае загляд ывай ко мне почаще.
- К сожалению, Феодота, мне не так уж легко найти свобод ное время. Множество частных
и государственных дел постоянно занимают мою голову. А кроме того, у меня есть еще и
подружки, которые не отпускают меня ни днем, ни ночью, обучаясь различным способам
приготовления приворотного зелья и любовным заклятьям.
- Так ты и это умеешь?
- Друзья, в окружении которых я перед тобой стою, не покидают меня ни на секунд. Ду-
маешь, так бы было, если бы я не использовал приворотного зелья или любовных кружоч-
ков?
- Дай мне такого зелья! Испробую его на тебе.
- Но я вовсе не хочу, чтобы ты меня к себе приманивала. Предпочитаю сам притягивать
других. Лучше ты приходи ко мне.
- Я согласна. Только бы ты захотел меня принять.
- Безусловно захочу. Если, конечно, в этот момент у меня не будет в гостях кто-нибудь
покрасивее тебя.
Кстати, кроме ума и логического мастерства Сократа сильное впечат-
ление производит доброта, с которой философ шутливо обольщает это
«погибшее, но милое созданье» (Пушкин, «Пир во время чумы»), и,
словами добивается того, за что многим пришлось бы заплатить немалые
деньги (к вопросу о пользе теории).
Но особый интерес представляет платоновский диалог «Парменвд»,
содержащий дискуссию Сократа с элеатами Парменидом и Зеноном.
Здесь уже речь идет не о мастерстве аргументации и логического вывода
в рассуждениях естественного языка, а о формальных логических зако-
§1. Логика: ее происхождение и развитие
401
нах и правилах вывод а как инструментах знания, привод ящего к истине.
Полно и систематически логика изложена в трудах Аристотеля, где она
фактически уже предстает целостной наукой.
Логика Аристотеля
О жизни и деятельности Аристотеля (152). Логические труды Аристотеля и их'
структура; понятие, субъект и'предикат, атрибутивное суждение как одноместный
предикат; кванторы, формулы двойственности, примеры; формализация речи
предикатами с кванторами; четыре основных вида суждений в логике Аристотеля,
примеры; превращение (конверсия) (153). Одноместный предикат как свойство
предмета, интерпретация на языке множеств, примеры; основные суждения
Аристотеля в терминах множеств; трансформация: превращение, обращение,
противопоставление предикату, примеры; взаимосвязь суждений Аристотеля
(154). Категорические силлогизмы Аристотеля; четыре фигуры силлогизма; список
всех модусов силлогизма; полисиллогизмы, энтимемы, сориты (155)
152. О жизни и деятельности Аристотеля. Аристотель родился (как
принято считать) в 384 г. до н.э. в Стагире во Фракии. Его отец был при-
дворным врачом в Пелле при царе Македонии Аминте. В 367 г. в возрас-
те 18 лет он переехал в Афины, где стал сначала учеником Платона, а
затем - од ним из самых выдающихся философов платоновской Академии.
Круг интересов Аристотеля необыкновенно широк - он оставил потом-
кам труды по философии, математике, логике, политологии, естество-
знанию, медицине, экономике, истории и эстетике. В 347 г., когда после
смерти Платона Академию возглавил его племянник Спевсипп, Аристо-
тель покинул Афины и уехал в г. Асе на северо-западе Малой Азии, где
прожил три года. В 343 г. он принял предложение македонского царя
Филиппа стать учителем его наследника Александра, будущего знамени-
того полководца (в 343 г. Александру было 13 лет) и переселился в Пел-
лу. Три года обучал Аристотель царевича на вилле в Миезе. Любовь и
уважение к своему великому учителю Александр сохранил на всю жизнь.
Существуют разные точки зрения относительно степени влияния Ари-
стотеля на Александра Македонского; так, знаменитый английский ма-
тематик и логик Бертран Рассел (Bertrand Russel, 1872-1970), лауреат
Нобелевской премии по литературе в 1950 г. в своей книге «История
западной философии» [25, гл. XIX] высказывает мнение об отсутствии
взаимного влияния. Более аргументированно и убедительно рассказыва-
ет о влиянии Аристотеля и греческой культуры в целом на Александра и
высших офицеров его армии австрийский историк Фриц Шахермайр,
известный специалист по истории и культуре эпохи эллинизма, в своей
блестящей монографии «Александр Македонский* (М., 1984).
26 - 5091
402
Глава VI. Элементы математической логики...
С 340 г., когда Филипп стал привлекать сына к управлению государст-
вом, встречи Аристотеля с Александром стали менее частыми. С началом
персидского похода Александра в 334 г. Аристотель переехал в Афины,
где основал философскую школу (Ликей), просуществовавшую несколь-
ко столетий, и написал за 12 лет (334-323) свои основные работы. По-
сле смерти Александра в июне 323 г. в Афинах, как водится, началась
смута. В числе других друзей Александра Аристотель был осужден под
предлогом «неуважения к богам», но, к счастью, бежал. Через год, в
322 г., он умер.
В упомянутой выше книге Б.Рассела Сократу, Платону и Аристотелю
посвящено 120 страниц первого тома (ч. 2 Древней философии), при же-
лании читатель может подробно познакомиться с точкой зрения профес-
сионального математика и логика.
Влияние Аристотеля на средневековую Европу, где его традиционно
называли «князем мудрости», исключительно. Мы поговорим только о
его результатах в области логики.
153. О логических трудах Аристотеля. Логическая теория Аристотеля
изложена в шести трактатах: «Категории», «Об истолковании», «Анали-
тика первая», «Аналитика вторая», «Топика», «О софистических дока-
зательствах», впоследствии объединенных под общим названием «Орга-
нон». В них он сформулировал такие важнейшие логические законы, как
закон противоречия, закон исключения третьего, закон тождества, закон
достаточного основания, но поскольку главной целью логики Аристотель
полагал достижение достоверного знания, то главной задачей логики как
науки и своим основным достижением он считал теорию силлогизма, и в
этом с ним согласны все последующие поколения.
Складывающиеся из понятий суждения, которыми оперирует естест-
венная человеческая речь, вне зависимости от своего конкретного со-
держания связаны определенными законами так же, как числа вне зави-
симости от предметов счета. Исследование этой взаимосвязи начинается
с формализации и анализа структуры и построения высказываний (суж-
дений). Дальнейший анализ правильных способов (приемов) выведения
истинных умозаключений из истинных посылок (условий) и является
предметом аристотелевой теории силлогизмов, т.е. логического вывода,
доказательства. Научная цель уже была сформулирована: правильный
процесс познания д ля достижения истинного знания.
С такой постановкой проблемы читатель сталкивается уже в диалоге
Платона «Парменид». Мы не имеем возможности подробно анализиро-
вать логические труды Аристотеля и отсылаем заинтересованного чита-
§1. Логика: ее происхождение и развитие
403
теля к первоисточникам и Бертрану Расселу [25], а теорию силлогизмов
Аристотеля изложим современным языком и на современном уровне
понимания (не всегда совпадающем с трактовкой первоисточника) как
интродукцию к теории исчисления предикатов.
Объекты логики Аристотеля описываются с помощью понятий
(объектов, предметов), которые делятся на единичные и общие. Единич-
ное понятие - это имя определенного объекта (предмета, человека);
примеры единичных понятий: «число 3», «Москва, столица России»,
«Джон Кеннеди, президент США». Общее понятие выделяет не единич-
ный объект (предмет), а целый класс предметов, которые обладают
определенными свойствами (свойством), например: «Джон», «Джон
Кеннеди», «натуральное число», «человек», «гражданин России». Гово-
рят, что класс пред метов, определяемых общим понятием, образует объ-
ем понятия. Так, объем понятия «Джон» - все люди, носящие это имя,
объем понятия «Джон Кеннеди» - все люди по имени Джон и фамилии
Кеннеди.
Рассмотрим традиционное почти д ля всех учебников логики высказы-
вание «Сократ есть человек». Это высказывание можно разделить на
две составляющие: «Сократ» - субъект (subject, подлежащее), а выска-
зывание «__(некто, х) есть человек» - предикат (predicate, сказуемое),
«есть»-связка языка исследователя, которая может быть опущена. За-
метим, что по справедливости следовало бы эти термины выводить не из
английских, а из латинских эквивалентов subjectum и praedicatum. Этот
предикат зависит от переменной, параметра, поэтому на самом деле яв-
ляется не высказыванием, а высказыватедьной функцией. Подставляя
субъект, индивидуальное понятие в высказывательную функцию, полу-
чаем высказывание, которое можно рассматривать как описание свойст-
ва предмета (субъекта). Полученное высказывание в лотке естествен-
ного языка принято называть единичным суждением. Очевидно, что вы-
сказывание «Сократ есть человек» истинно; если же вместо переменной
подставить имя другого объекта, например Хирон, то высказывание «Хи-
рон есть человек» ложно, поскольку, согласно древнегреческой мифоло-
гии, Хирон - кентавр, а не человек. Произвольный предикат Р(х), зави-
сящий от одной переменной, называется одноместным предикатом (в
логике естественного языка он называется атрибутивным суждением).
Если, например, рассмотреть одноместный предикат Р(х): «х есть про-
стое число», то высказывания Р(3), Р(5), Р(17) являются истинными, а
Р(4), Л9), Р(15) - ложными.
Свойства предметов можно рассматривать как одноместные предика-
ты, а высказывательную функцию «х обладает свойством А»- записы-
26*
404
Глава VI. Элементы математической логики...
вать какЛ(х). Для каждого одноместного предиката должна быть опреде-
лена (непустая) область изменения переменной, называемая предметной
областью. Предметная область может быть задана как общее понятие с
помощью определенного свойства, сформулированного заранее. Если же
предметная область предиката А(х) задается с помощью самого свойства
А, то следует быть готовым к неприятностям в виде парадоксов или про-
тиворечий (действительно, подобная конструкция напоминает пороч-
ный круг). Случаи появления парадоксов будут рассмотрены в 169.
Конечно, могут быть высказывательные функции, зависящие от двух и
более переменных, но сейчас они рассматриваться не будут.
Определение 1. Пусть Р(х) - произвольный предикат с предметной
областью X. Логическая формула Vx Р(х) (читается «для любого л
(истинно, выполнено) Р(х)») по определению является истинной, если
Р(х) истинно для любого значения переменной х из Х\ в противном
случае формула ложна. Символ V называется квантором общности (все-
общности).
Определение 2. Пусть Р(х)-произвольный предикат с предметной об-
ластью X. Логическая формула Эх Р(х) (читается «существует такое х,
что Р(х)» или «для некоторого х выполнено (истинно) Р(х)») по опреде-
лению является истинной, если формула Р(х) истинна хотя бы д ля одно-
го значения переменного, в противном случае формула ложна. Символ Э
называется квантором существования.
Кванторы Э и V называются двойственными друг другу. При наличии
нескольких логических операций их следует выполнять в первую оче-
редь. В формулах Vx Р(х) или Эх Р(х) переменная х связана соответст-
вующим квантором, и каждая из этих формул не зависит от х (точно так
1 ®
же, как формулы J xndx или х2=1 не зависят от х, а £х" не зависит
о «=’
от л в том смысле, что, заменив переменную символами у или z с той же
предметной областью, получим ту же самую формулу).
Высказывание «формула Vx Р(х) ложна» означает, что не для всех х
верно Р(х), и поэтому равносильно высказыванию «существует у, для
которого Р(у) ложно» или, другими словами, высказыванию «существу-
ет/, для которого 1Р(у) истинно», т.е. Зу (1Р(у)). Таким образом,
1 (VxP(x)) <=> Эу (1Р(у)).
Аналогично показывается, что
l(3xP(x))«»Vy(lP(y)),
это означает, что кванторы V и 1 двойственны, а приведенные выше-
§ 1. Логика: ее происхождение и развитие
405
формулы являются формулами, двойственными для кванторов. Они ана-
логичны формулам двойственности логики высказываний.
Д ля применения результатов логики предикатов к естественному языку
необходимо правильно формализовывать фразы обычной речи. Как из-
вестно, одну и ту же мысль можно выразить фразами, несколько отлич-
ными друг от друга по форме. В примере 156 даются переводы основных
фраз обычной речи, фактически содержащих переменную (параметр),
выражающуюся словами «некто», «некоторый», «всякий», «сущест-
вует» и т.п.
Пример 156. Формализация речи предикатами с кванторами
Для любого объекта (х) справедливо (верно, истинно, име* 1 ет место) Л(х); для всех х справедливо Л(х); все объекты [ удовлетворяют свойствуЛ (обладают свойством Л) । УхЛ(х)
Для некоторых объектов (х) справедливо (верно, истинно, । имеет место) Л(х); существует (найдется, можно выбрать ] хотя бы один) такой х, что справедливо (выполнено, верно, । истинно) Л(х); по крайней мере (хотя бы) один объект обла- 1 дает свойством А ] ЗхЛ(х)
Не для каждого (всякого) х (справедливо) Л(х); не вгсе объ- । екты (х) суть Л (обладают свойством Л) | 1УхЯ(х)
Для некоторого х не (верно) Л(х); нечто не обладает свой- । ством Л, нечто обладает свойством не-Л j Эх(1Я(х))
Л(х) неверно (ложно) для всякого (любого) х; ничто не об- 1 ладает свойством Л; все суть не Л | Vx(U(x))
Нет (никакого) х, что Л(х); Л(х) не выполняется (не верно) । ни для какого х; ничто (никто) не обладает свойством (не ] есть) Л; не существует х, что Л(х); неверно, что для каких-то х । (выполняеТся)Л(х) | 1(ЗхЛ(х))
В логике Аристотеля основное внимание уделено четырем видам суж-
дений, называемым категорическими (от греч. коптгуор1ко£- решитель-
ный, безоговорочный, безусловный):
1W.P): «все S суть Р» Ух(5(х)=>Р(х))
2) E(S,P): «ни одно S не естьР» (т.е. все S суть не Р) Vx(5(x)^lP(x))
3) «некоторые S суть Р» Зх (5(х) л Р(х))
4) 0(5,Р): «некоторые S не сутьР* Зх(5(х)л)Р(х))
406
Глава VI. Элементы математической логики...
Первая графа - традиционная символическая запись этих суждений,
вторая - их традиционное прочтение, третья - точная запись суждения в
вице формулы логики предикатов. Точная формулировка этих логических
формул может быть дана в форме либо одноместных предикатов, либо
свойств. Например, в форме свойств A(S,P): «для всех объектов х, если
х присуще свойство S, то х присуще свойство Р»; E(S,P): «ни одному
(объекту) х, которому присуще свойство S, не присуще свойство Р»;
I(S, Ру «существуют (объекты) х, которым присущи свойство S и свойст-
во Р»; O(S,Py «существуют (объекты) х, которым присуще свойство 5 и
не присуще свойство Р».
С точки зрения математической логики исследованные Аристотелем
суждения являются логическими формулами.
Суждение A(S,P) называется общеутвердительным; E(S,P) - общеот-
рицательным; /(5,Р)-частноутвердительным; ОфР^частноотрицатель-
ным. Буквы S и Р квалифицируют части сложного предложения (явля-
ющегося кванторной логической формулой) - соответственно subject
(сложное подлежащее) формулы и predicate (сложное сказуемое). Обо-
значение А, I происходят от выделенных гласных в Afflrmo (лат. «утвер-
ждаю»), а Е, О - от nEgO (лат. «отрицаю»).
Пример 157. Суждения логики Аристотеля.
1. Общеутвердительные суждения (символическиA(S,P)).
1.1. Всякое правонарушение регулируется нормами права. Здесь
5(х): «некоторое действие есть правонарушение», Р(ху. «некоторые дей-
ствия, регулируемые нормами права». Предметной областью X можем
считать произвольные действия физического или юридического лица,
порождающие правоотношения.
1.2. Любая сделка, направленная на ограничение правоспособ-
ности, является недействительной. Здесь 5(х): «некоторая сделка
направлена (влечет) нарушение правоспособности», Р(х): «некоторые
сделки являртся недействительными». Предметной областью можно
было бы также считать всевозможные действия, но намного целесооб-
разнее сузить эту область и считать предметной областью только всевоз-
можные сделки, т.е. действия, подпадающие под ст. 153 ГК РФ-
1.3. Каждое натуральное число, оканчивающееся цифрой 0, де-
лится на 5. Здесь 5(х): «некоторые натуральные числа, оканчиваются
цифрой 0», Р(х): «некоторые числа делятся на 5». Предметной областью
X является множество натуральных чисел N.
2. Общеотрицательные суждения (Е(5,Р)).
2.1. Ни один правильный треугольник не является тупоугольным.
Здесь 5(х): «некоторые треугольники являются правильными», Р(х):
§1. Лотоса: ее происхождение и развитие
407
«некоторые треугольники являются тупоугольными». Предметной обла-
стью является множество треугольников.
Очевидно, можно чуть перефразировать д анное суждение, заметив, что
конструкция «ни один х не есть Р» означает, что «все х есть не Р», т.е.
сказать, что все правильные треугольники являются нетупоугольными
(Vx (£(х)о1Р(х))). Такая утвердительная форма и проще для понимания,
и удобнее д ля анализа, чем фраза, содержащая столь большое количест-
во отрицательных частиц (хотя для запутывания оппонента это самый
подходящий прием). Удивительное богатство нашего языка, столь пре-
красное в литературных целях, в задачах логического анализа способно
сослужить плохую службу - здесь все должно быть максимально просто
и шаблонно, чтобы было легче анализировать и правильно формулиро-
вать следствия.
2.2. Никакая сделка, направленная на ограничение правоспособ-
ности, не является действительной. Такими же рассуждениями, как
в 2.1, это суждение сразу приводится к суждению 1.2.
Это первый пример трансформации одной из четырех логических форм
Аристотеля в другую.
3. Частноутвердительные суждения (7(5,Р)).
3.1. Некоторые политики - мошенники [*19, с. 170]. Определение
субъекта, предиката и предметной области предоставляется читателю.
3.2. Некоторые атрибутивные суждения являются общеутвер-
дительными. Здесь S(x): «некоторые суждения (х) являются атрибутив-
ными, т.е. одноместными предикатами», Р(х): «некоторые суждения яв-
ляются общеутвердительными». Предметная область X- всевозможные
суждения.
Это суждение качественно отличается от предыдущих: во-первых, его
предметом являются сами суждения; во-вторых, если предметная об-
ласть предыдущих суждений была более или менее определенной (числа,
фигуры, субъекты и объекты права), то в данном случае ситуация не
столь ясна, поскольку нигде ранее понятие суждения, высказывания или
предиката строго не обсуждалось; в-третьих, истинность предыдущих
примеров не вызывала сомнений, а истинно ли это утверждение - неяс-
но. Для ответа необход имо привести хотя бы один пример общеутверд и-
тельного атрибутивного суждения. Таковым может быть суждение
«любое натуральное число является положительным», поскольку оно
безусловно формулирует определенное свойство переменной. Читателю
предоставляется возможность поразмыслить, все ли примеры общеут-
вердительных суждений 1.1-1.3 можно считать атрибутивными сужде-
ниями в смысле, указанном в [26] на с.67-68.
408
Глава VI. Элементы математической логики...
4. Частноотрицательные суждения (O(S,P)).
4.1. Некоторые длины отрезков в геомётрии не являются рацио-
нальными. Определение субъекта, предиката и предметной области пре-
доставлено читателю. Интереснее определить истинность этого сужде-
ния: согласно 18, длина диагонали единичного квадрата не является ра-
циональным числом, поэтому данное суждение истинно.
4.2. Некоторые преступления не являются умышленными. Здесь
Е(х): «(некоторое) правонарушение х является преступлением», Р(х):
«некоторое правонарушение является умышленным». Предметная об-
ласть X - всевозможные правонарушения.
Можно было бы в качестве предметной области взять всевозможные
действия, соответственно переформулировав субъект и предикат.
Пример 158. Превращение (конверсия). Во что превращают-
ся суждения Аристотеля, если заменить предикат на противоположный
(т.е. на его отрицание)? В этом примере дается ответ на поставленный
вопрос.
Следующие преобразования суждений (верхняя строка в нижнюю) в
традиционной логике называются превращением (двойная черта между
логическими формулами означает их равносильность):
1. (Е) Ни одно S не есть Р 3. (/) Некоторые S суть Р
(А) Все S суть не-Р (О) Некоторые S не суть не-Р
2. (Л) Все S суть Р 4. (О) Некоторые S не <угь Р
(Е) Ни одно S не есть не-Р (/ ) Некоторые S суть не-Р
Превращение 1 позволяет избавиться от лишних отрицательных час-
тиц и тем самым упростить суждение, сведя его к утвердительной по
квантору форме, называется редукцией (от лат. reductio - приведение к
известному, простому). В символах традиционной логики оно может быть
записано в виде Е(Е,Р)е>Л(Е,1Р).
Суждение «ни одно S не есть Р» на языке математической логики запи-
сывается в ваде формулы Vx'i(S(x)aP(x)), т.е. «ни для какого объекта х
не выполнено 5(х) и Р(х)». По формуле де Моргана (III.5, формула 10)
при каждом х для высказываний 5<х) и Р(х) имеем *|(Я(х)лР(х)) olS(x)v
vlP(x) <=> S(x) =>1Р(х), поэтому Vx 1(5(х)лР(х)) с=> Vx (5(х) =>1Р(х)), что и
требовалось доказать.
Превращение 2 немед ленно следует из превращения 1: Vx1(S(x)a1P(x))
<=> Vx(S(x)z>l(TP(x)))<^V’x(S(x)z>P(x)).
§1. Логика: ее проиашвдение и развитие
409
Доказательство превращений 3 и 4 немедленно следует из закона отри-
цания отрицания 11Ре>Р и предоставляется читателю.
Итак, запишем эти превращения в символической форме традицион-
ной логики естественного языка и математической логики.
1. E(S,P) A(Sj]P) VxWWXx))
Vx(5(x)d1P(x))
2. A(S,P) EfS,lP) Ух(3(х)эР(х))
Vx1(5(x)a1P(x))
3. KS,P) CKS.1P) 3x(S(x) aP(x))
3x(5(x)a11P(x))
4. O(S,P) 3x(S(x)a1P(x))
3x(S(x)a1P(x))
Читателю предоставляется возможность проиллюстрировать трансфор-
мации соответствующими фразами естественного языка из примера 157.
Чрезвычайно продуктивной является интерпретация аристотелевых
суждений и последующих конструкций силлогизмов на языке множеств,
чему н будет посвящен следующая секция (154). *
154. Интерпретация на языке теории множеств, трансформация. Су-
ждения, основной объект анализа Аристотеля, с точки зрения математи-
ческой логики являются высказывательными формами, содержащими
переменную. При подстановке значения (имени) переменной высказыва-
тельная форма превращается в высказывание. Всевозможные значения
переменной образуют множество, называемое предметной областью.
Таким образом, использование множеств в логике Аристотеля является
категорической необходимостью.
Одноместным предикатам (т.е. содержащим только одно переменное) в
традиционной логике соответствуют атрибутивные суждения. Можно
считать, что одноместный предикат является описанием какого-то свой-
ства (признака) или нескольких свойств (сложное свойство) предметов.
Примеры одноместных предикатов (атрибутивных суждений) неодно-
кратно приводились в 153. Дадим еще несколько примеров одноместных
предикатов, трактуемых как свойство:
Р(х): «некто (х) есть человек» - выделяет человека из множества
всех млекопитающих совокупностью известных свойств,
которые мы не будем перечислять;
410
Глава VI. Элементы математической логики...
Р(х): «АВС (х) есть (некоторый произвольный) правильный треуголь-
ник» - выделяет свойство рассматриваемого треугольника быть
правильным среди множества всех треугольников;
Р(х): «данное (некоторое) преступление (х) относится к разряду
уголовных»
Если Р(х) - некоторый предикат, трактуемый как «предмет (объект) х
обладает свойством Р», то множество всех объектов из предметной об-
ласти X, обладающих свойством Р, записывается {х: Р(х)}. Это множе-
ство, каждый элемент которого характеризуется свойством Р, будем
обозначать также буквой Р, набранной полужирным шрифтом. По оп-
ределению, в Р входят все элементы, обладающие свойством Р, так что
Р полностью характеризует (или выделяет, атрибутирует - в терминах
традиционной логики) свойство Р. (Между прочим, в искусствоведении
атрибутировать картину эго значит определить время и место ее созда-
ния, автора, подлинность и т.п.) В символах математической логики мо-
жем записать
Vx (Р(х) <=> хеР),
т.е. «для всякого х справедливо Р(х) тогда и только тогда, когда хеР».
Как уже говорилось в 153, имени каждого элемента предметной облас-
ти соответствует в традиционной логике термин «единичное понятие».
Подмножеству РсХ, характеризуемому свойством (предикатом, призна-
ком) Р(х), соответствует термин «частное понятие»; предметная область,
используемая в данной совокупности логических формул (суждений),
описывается термином «общее понятие». В традиционной логике гово-
рят, что множество Р характеризует «объем соответствующего поня-
тия».
Если предикату Р(х) соответствует сложное свойство, т.е. Р(х)«Р1(х)л...
...лРя(х), то множества Pi,..., Р„сХ, которые определяются соответст-
венно свойствами Pi(x),...,P.(x), задают цепь вложенных множеств
P1aP1rP22-2PiO--<^P»=P, которые соответствуют процессу уточнения
всех свойств элементов из Р. Если же Р1эР2э...эРя=Р, то на каждом
шаге множество Р^разбивается на д ва: Р*=Р*+1+(Р*\Рьн), где знак «+»
означает объединение непересекающихся множеств. Такой процесс по-
следовательного разбиения на д ве части называется д ихотомическим.
Пример 159. Пусть X=R, Pi(x)s{x-рациональное число), Р^с)ж
={х-целое число), Р3(х)={х-положительное число). Тогда Pi = Р2“
= Za<^, P3=R+\0, Р1пР2пРз=Р2пРз-К. Таким образом, Р(х) = {х-
натуральное число), где Р(х)=Р1(х)лР2(х)лР3(х).
§1. Логика: ее происхождение и развитие
411
Многочисленные примеры уточнения понятий, используемых в тради-
ционной логике, содержатся в [26, гл. III].
Определение множеств в ввде Р={хеХ: Р(х)} называется в математике
схемой выделения. О ней подробно говорилось в разделах, связанных с
множествами (гл.1,24; гл.Ш, §2).
Основные суждения Аристотеля в терминах множеств. Пусть
Vx(P(x)<=>xeP)H Vx(S(x)<=>xeS). Тогда Vx(lP(x))<=>P'), Vx(lS(x))<»
<=>S'(напомним P'=X\P, S /=A,\S); Vx(S(x)/J’(x)<=>xeSAxeP<=>xeSrP);
Vx (S(x)vP(x}ox6SkjP); Vx (P(x>V)»P“X, и тд.
Истинность каждой из логических формул, соответствующих четырем
основным суждениям Аристотеля, приводит к следующим результатам.
1. A(S,P). Поскольку |=Я(х)эР(х) означает, что S(x)=P(x)elS(x)vP(x>»
*V, то в интерпретации множеств Vx(lS(x)vP(x)<^x6SoP) и Vx(lS(x)v
vP(x) »V) « S'kjP-X. Пересечение обеих частей равенства S\jP'mX с
S дает S'r>S\jPr»S=Pr>S=Xr>S = S, равенство Pr*S=S означает, что
SCP. Заметим также, что SqP о S'^P'o Sr\P'-0.
2. Е(Р, 5). Как только что доказано, Vx (Я(х)эР(х)) SqP' Заметим,
что ScP'oPcS'o S\P'=0. А также Vx 1 (Дх)лР(х)) о l(xeSrP))«>
<=>SoP“0.
3.I(S,P). |= Эх (S(x)aP(x) о xeSriP) <=> Sr>P*0.
4. E(S, P). |= Эх (S(x)aTP(x) <=>xeSoP') о SnP'#0.
Сведем все полученные формулы в таблицу.
№ Традиционная логика Математическая логика Множества
1 Л(5,Р) Vx (S(x)=P(x))«>Vxl (5(х)л1 Р(х)) ScP«»SnP'-0
2 E(S,p; Vx 1 (5(х)лР(х)>> Vx (5(х)э1 Р(х)) SnP«0«>ScP'
3 7(S,P) Эх (S(x)aP(x)>»1 Vx (3(л£э|Р(х)) SnP#0«»l(ScP')
4 O(S, Р) Эх (5(х)л1Р(х)е»1 Vx (5(х)=Р(х)) SnP'#0«»l(ScP)
Пример 160. Интерпретация в диаграммах Эйлера-Венна.
а.Л(5’,Р)<=>в^Р(рис.87а). в. I(S, Р) <*8г>Р*0 (рис. 87в).
б.£(5,Р)<=>5ср'<=>5гР=0(рис.87б). г.O(S,P)<z>Sr\P'*0(рис.87г).
а
б
412
Глава VI. Элементы математической логики...
Пример 1'61. Трансформация. Следующие стандартные опера-
ции над компонентами суждений Аристотеля называются в традиционной
логике трансформациями (преобразованиями) или непосредственными
умозаключениями.
[.Превращения. Все варианты были рассмотрены в примере 158.
2. Обращение - трансформация суждения, при котором субъект и пре-
дикат меняются местами.
Имеются три вада (схемы) правильных (т.е. трансформированное суж-
дение истинно) обращений.
№ Фразы естественного языка Символы традиционной логики
1 Все5сутьР W.P)
Некоторые Р суть S KP.S)
2 Ни одно S не есть Р E(S,P)
Ни одно Р не есть S E(P,S)
3 Некоторые S суть Р I(S,P)
Некоторые Р суть S 1(P,S)
№ Символы математической логики Множества
1 |=Vx(S(x)=P(x))= =>Зх(5(х)лР(х)) 0*SqP=* =*Sc\P*0
2 Ух(5(х)э|Р(х)) ScP'
Ух(Р(х)э15(х)) PqS'
3 Зх(5(х)лР(х)) Sr\P*0
Зх(Р(х)л5(х)) PrS*0
Здесь двойная черта означает равносильность верхней и нижней фор-
мул, а одинарная - что из верхней формулы следует нижняя (причем для
E(S,P) проведена редукция).
Истинность указанных схем обращения особенно очевид но выглядит на
языке множеств.
§ 1. Логика: ее происхождение и развитие
413
Существуют еще две схемы обращения для выделяющих суждений,
которые мы запишем в интерпретации естественного языка, символов
традиционной логики и множеств соответственно:
1* Все S и только S сутьР A*(S,P) SqPaS 'r\P *= 0 => ==>P *=S
BcePqnbS A(P,S)
2Ф Некоторые S и только £сутьР SnP # 0A S 'nP = 0 =>
BcePcyrbS A(P,S)
Фраза «только S суть Р» означает, что нет объектов, для которых
15(х)лР(х) истинно, т.е. S'nP=0. Доказательство справедливости этих
схем в терминах множеств также очевидно.
3. Противопоставление предикату. При этой трансформации S’ '
заменяется на IP, а Р - на S.
Справед ливы следующие три схемы трансформации в терминах естест-
венного языка, традиционной логики, математической логики и мно-
жеств соответственно:
1 Bee S суть P A(S,P) Ух(Я(х)э?(х)) SgJ>
Ни алко не P не есть S E(\P,S) Vx(lf(x)=lS<x)) P'sS'
2 Ни одно 5 ие есть Р E(S,P) Vx~I(S(x)aP(x)) Sr\P-0=> ^SnP'*0
Некоторые ие Р суть S’ 3x(W)aS(x))
3 Некоторые S не суть Р O(S,P) Зх(Цх)а1Дх)) Sr>P'*0
Некоторые не Р суть S iOp.S) 3x(W)aS(x)) P'r>S*0
Доказательства элементарны и предоставляются читателю.
Необходимо заметить, что формулы двойственности для кванторов
(153) позволяют получить более сильное утверждение, чем схема 2, пре-
образованием общеотрицательного суждения в равносильное частное
высказывание (однако выходящее за рамки четырех стандартных сужде-
ний Аристотеля).
Пример 162. Доказать справедливость формул
1. E(S, Р) <=> V(S,P)- 2.A(S,P) <» 1O(S,P).
Решение. 1. Обозначим S(x)aP(x) через F\x). Тогда в силу формулы
двойственности Vx^^x))»!^/^)), т.е. Vx(1(S(x)aP(x)))<^1(3x(S(x)a
аР(х)) ) или в символах традиционной логики £(S,P)<=>1 I(S,P).
2. A(SJP^E{S^P), поэтому из п.1 получим A(Spy^V(S^P)<z>}O(S,P).
Конечно, можно доказать и непосредственно: l(SbP)<^l(lSVP>»SAlP,
откуда Vx (S(x)zoP(x))« Vx (1(S(x)aW))~1(3x(S(x)a1P(x)) >
В терминах множеств эти формулы уже давно получены и содержатся в
основной таблице интерпретаций суждений Аристотеля.
414
Глава VI. Элементы математической логики...
Пример 163. Взаимосвязь суждений Аристотеля.
Истинностная взаимосвязь четырех аристотелевых суждений описыва-
ется логическими законами:
АлЕяО <=> 1(Ла£)=У -
(Л2э/)=У, (EbO>V-
/vO«V-
Л ФО «У,/ФЕ «У-
противоположность (контрарность) А и Е;
подчиненность (I к А, О к Е);
частичная совместимость (субконтрарность) I и О;
противоречивость (контрадикторность) А яО,1нЕ.
Традиционно эту взаимосвязь с целью запоминания изображают в ввде
так называемого логического квадрата (Аристотеля) (рис. 88).
Доказательство лучше всего вести на языке множеств; при этом следу-
ет иметь в виду, что пред метная область непуста, поэтому из истинности
формулы УхЛ(х) следует истинность формулы 3xF(x). Все доказательст-
ва очень просты (например,Ъ4«>О, поэтому АлОоО и АуОоАФОоУ).
Повторим таблицы истинности для логических операций, определяю-
щих взаимосвязь суждений Аристотеля (76):
А в V ZD ф 1(A)
1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1
По условию, ложный результат каждой операции должен быть
исключен, откуда получаются все допустимые истинностные со-
четания суждений. Так, (A^/)*V означает, что если общеутвердитель-
ное суждение истинно, то и частноутвердительное всегда будет истинным
(пример из области права: из истинности юридического принципа «лю-
бая сделка, направленная на ограничение правоспособности, является
недействительной», следует для произвольной конкретной сделки: «дан-
ная (некоторая) сделка как ограничивающая правоспособность является
недействительной»), а из ложности частноутвердительного суждения в
§ 1. Логика: ее происхождение и развитие
415
силу закона контрапозиции следует ложность общеутвердительного суж-
дения (впрочем, это следует и из таблицы истинности).
155. Категорические силлогизмы Аристотеля. В духе западной фило-
софии принципиальная цель науки может быть кратко сформулирована
как создание системы знаний о точных (количественных и качественных)
свойствах объектов (конкретных и абстрактных) окружающего мира, в
конечном счете приводящей к истине. Логика составляет в ней ту часть,
которая описывает не частные знания, а сами способы мышления и рас-
суждений, которые приводят к истине. По всей видимости, наиболее яр-
ко и доступно эти качества логики выражены именно в трудах Аристоте-
ля. Вероятно, поэтому труды Аристотеля оказали такое сильное влияние
на научную и философскую мысль средневековой Европы.
Как уже говорилось, искусство полемики и аргументации в Афинах и
возглавляемом ими союзе полисов было делом исключительной важно-
сти. Спрос породил целый клан софистов (греч. аодпоп^) - платных
учителей философии и ораторского искусства. Политическая целесооб-
разность плохо совмещается с безупречностью методов достижения це-
ли - неудивительно, что софисты в скором времени стали обучать в пер-
вую очередь искусству достижения нужного результата в полемике, не
заботясь о средствах Пороча имена своих учителей, основателей фило-
софской школы софистов (Протагор, Горгий, Критий, Продик), софисты
постепенно превратились в мастеров по части обучения искусству запу-
тывания оппонента и построения ложных логических конструкций, внеш-
не кажущихся правильными. Немудрено, что дурная слава прошла с ни-
ми через века (Платон называл софистов мелкими торговцами истиной).
В этом смысле логическая теория Аристотеля, описывавшая правила
построения верных умозаключений, имела не только большую научную,
но и жизненную ценность.
Наиболее часто применяемое правило вывода истинного умозаключе-
ния в цепи суждений проиллюстрируем на классическом примере: «Все
люди смертны. Сократ - человек. Следовательно, Сократ смертен». В
рассказе Л.Н. Толстого «Смерть Ивана Ильича» эта же логическая схе-
ма применена к некоему Каю, но кажется Ивану Ильичу совсем не спра-
ведливой по отношению к нему самому (n.VI рассказа). Рассмотренная
схема логического вывода (так называемый модус силлогизма ЬАгЬАгА)
формулируется следующим образом: если все М обладают свойством Р,
а все S - свойством М, то все S обладают свойством Р. В символизме
математической логики и традиционной логики этот модус силлогизма
записывается соответственно
416
Глава VI. Элементы математической логики...
Vx (Л/(х) э Р(х)) А(М, Р)
Vx (S(x) з>Л/(х)) A(S,M)
Vx (S(x) zj P(x)) Л(5, P)
В примере Л/- свойство быть человеком, Р - свойство быть смертным,
S - свойство быть Сократом (человеком по имени Сократ или единст-
венным Сократом, афинским философом, о котором шла речь выше, в
зависимости от трактовки автора примера или читателя), предметная
область X-множество всех людей.
Для описанной схемы умозаключения содержание любого из суждений,
т.е. конкретный вид S(x), Л/(х) и Р(х), не имеет значения: A(S,P) истинна
для любых переменных S, Л/, Р (если истинны Л(Л/, Р) и Л(5, Л/)).
Замечательно (и удивительно) то, что сам Аристотель в своих «Анали-
тиках» сумел сформулировать общие правила вывода истинных умозак-
лючений вне зависимости от конкретного содержания суждений и соз-
дать строгую научную теорию.
Если даже в «Пармениде» Платона, наиболее совершенном в логико-
теоретическом отношении доаристотелевском труде, абстрактные поня-
тия и рассуждения связаны с конкретными примерами высказываний, то
Аристотель решительно отделил общие принципы и правила логики от
содержания рассуждений и создал первую в истории строгую научную
теорию, построенную на тех же системных принципах, на которых стро-
ятся математические дисциплины в настоящее время. Несомненно, ари-
стотелева теория силлогизмов оказала влияние на Евклида при создании
его знаменитого геометрического труда. Причем, следует отметить, что
теория Аристотеля имеет дело с нечисловыми объектами и, таким обра-
зом, стоит на более высоком уровне абстракции, чем арифметика или
геометрия.
Влияние наследия Аристотеля (не только в области логики) на мысль
средневековой Европы было исключительно велико. При таком поло-
жении вещей естественно, что его эпигоны и «хранители чистоты насле-
дия» превратили результаты Стагирита (так часто называют Аристотеля
по имени Стагиры, где он родился) в окостеневшую догму. Пагубное
влияние этого на астрономию и физику общеизвестно. Об отрицатель-
ном влиянии на логику говорит Б.Рассел [25, гл.Х1Х-ХХШ].
С точки зрения современной логики (как естественнонаучного знания
а не гуманитарного) система Аристотеля является ее начальным этапом
но никак не завершением. Мы уже говорили о важности того, насколькс
удачной и компактной окажется символика теории при ее построении J
развитии. Аристотель сформулировал свои результаты, не создавая спе«
§ 1. Логика: ее происхождение и развитие
417
циальной символики, а оперируя только буквами греческого алфавита (и
четкими понятиями объектов теории). Если считать теорию Аристотеля
вершиной логики, то отпадает необходимость и в создании специальной
логической символики, и в получении новых результатов. В течение мно-
гих столетий логику причисляли к гуманитарным знаниям, и в отличие от
математики логика стала развиваться и обретать свою «письменность»
только во второй половине XIX в. Кроме того, не так-то просто было по-
нять необходимость отделения предметного языка логики от метаязыка
(языка исследователя) и тем более создать предметный язык.
Предоставим также слово Мефистофелю (И.В.Гёте «Фауст». 4.1. Пер.
Б.Л. Пастернака):
... Что вы привыкли делать дома
Единым махом наугад,
Как люди пьют или едят.
Вам расчленят на три приема
И на субъект и предикат.
В мозгах как на мануфактуре,
Есть ниточки и узелки,
Посылка не по той фигуре
Грозит запутать челноки.
Следующая диаграмма [27, с.23] иллюстрирует ход развития математи-
ки и логики и их взаимосвязь:
Рис. 89
Но вернемся непосредственно к аристотелевой теории. Так же, как в
силлогизме ЬАгЬАгА, в любом силлогизме Аристотеля присутствуют три
понятия (термина):
5 - «меньший термин»,
Л/ — «средний термин» (Л/от первой буквы лат. medium - середина, центр),
Р - «больший термин».
Силлогизм Аристотеля состоит из трех суждений - двух посылок и за-
ключения. Посылка, в которой присутствует меньший термин, называет -
27-5091 '
418
Глава VI. Элементы математической логики...
ся меньшей, в которой присутствует больший термин - большей. В каж-
дом силлогизме могут участвовать только основные суждения Аристоте-
ля А, Е, I, О.
Возможны четыре схемы логического вывода, в терминологии тради-
ционной логики - четыре фигуры силлогизма:
1 -я фигура 2-я фигура 3-я фи1ура 4-я фшура
*(ЧР) *(НР) •(Р.Ч
♦ (Л/,5)
•(3,Р) • (3,Р) .(S.P) .(S,P)
(заметим, что сам Аристотель не выделял 4-ю фигуру в качестве само-
стоятельной фигуры силлогизма).
Формально в каждую фигуру можно подставить любое из суждений А,
Е, I, О вместо точек 43=64 способами. Всего получается 4*64=256 спо-
собов, из которых только 19 будут правильными (когда из истинных по-
сылок получаются истинные заключения). Эти правильные схемы логи-
ческого вывода в традиционной логике называются модусами (от лат.
modus - способ, правило) силлогизма. В средние века в Европе им были
даны следующие названия:
1 -я фигура ЬАгЬАгА 2-я фигура сЕзАгЕ 3-я фи1ура dAthl 4-я фигура cAlEmEs
cElArEnt cAmEstrEs fErlsO frEslsOn
dArll JEstlnO dlsAmls dlmAth
/ЕгЮ ЬАЮсО bOcAdO •dArAptl *jElAptOn •bAmAUp ★JEsApO
Гласные буквы в фигурах силлогизма указывают на последовательный
выбор суждений Аристотеля вместо точек. Например,
cElArEnt. Е(М,Р) ЬАгОсО: А(Р,М) JElAptOn: Е(М,Р)
A(S,M) O(S,M) A(M,S)
E(S,P) (\S,P) O(S,P)
На языке множеств доказательство любого из модусов силлогизма эле-
ментарно. Так, для модуса ЬАгЬАгА имеем A(M,P)oMqP,A(S,M)<$
oSqM, откуда (MqP)v(SqM)^S^P<^A(S,F).
Для модуса ЬАгОсО имеем A(P,M)<z>PcJW<z>M'<zP',0(S,M)oSr'iM'*
#0, откуда (М'^Р^л^ r\M'*0)^Sr\P'*0&O(S,P).
Для модуса JElAptOn, по определению, Е(Л/, Р)<^>М<^Р' и Л(Л/,5)«
Если Л(#0, то SnP'aAfnP'—Af#0<*O(S,P). Традиционна
логика вслед за Аристотелем не признает понятий с пустым объемом, 1
это вполне объяснимо: если S пусто (Эх5,(х)^О), то несовместные вы
§ 1. Логика: ее происхождение и развитие
419
сказывания: A(S,P) и E(S,P) истинны и в то же время оба высказывания
I(S, Р) и O(S, Р) ложны. Например, в случае, если ангелов не существу-
ет, мы можем утверждать, что истинны оба суждения: «У всех ангелов
есть крылья» и «Все ангелы бескрылы» [ 19, с.169]. Этот пример Клини
приводил не случайно - средневековые схоласты длительное время вели
дискуссию на тему, «сколько ангелов может поместиться на острие ме-
ча». С точки зрения современной логики как содержательность, так и
плодотворность данной дискуссии весьма сомнительны. (В связи с этой
темой хочется привести высказывание одного мудрого художника и фи-
лософа Древнего Востока, который говорил, что труднее всего писать
лошадей и собак, поскольку всякий вадит их ежед невно, а легче всего -
бесов и демонов, поскольку их не видел никто.)
Однако с точки зрения математиков непризнание понятий с пустым
объемом имеет больше неудобств, нежели позволяет избегнуть: по-
скольку существует немало гипотез (в том числе математических), ис-
тинность (или ложность) которых пока не установлена, то с понятиями,
связаными с этими гипотезами, работать невозможно, если оставаться
на позициях Аристотеля. При допущении понятий с пустым объемом
силлогизмы, отмеченные звездочкой в приведенных 19 силлогизмах,
приходится исключить из числа правильных. Подтверждение этого пре-
доставляется читателю.
Элементарный анализ таблицы силлогизмов позволяет сформулиро-
вать семь правил категорического силлогизма. Три - для терминов (т.е.
субъектов и предикатов): в силлогизме должно быть ровно три термина;
средний термин должен быть распределен (т.е. должен составлять всю
предметную область) хотя бы в одной из посылок; термин, не распреде-
ленный в посылке, не может быть распределен и заключении (отметим,
что субъект распределен в А, Е и не распределен в /, О, предикат рас-
пределен в Е, О и не распределен в А, I). Четыре - для посылок: од на из
посылок обязана быть утвердительным суждением; если одна из посылок
является отрицательным суждением, то и заключение должно быть от-
рицательным; хотя бы одна из посылок должна быть общим суждением;
если одна из посылок- частное суждение, то и заключение должно быть
частным. В практическом отношении наиболее удобным представляется
проверять правильность нужного силлогизма просто по таблице фигур
силлогизма вместо проверки всех приведенных правил.
Силлогизм, в котором присутствует более трех суждений, т.е. цепь
силлогизмов, называется сложным силлогизмом или полисиллогизмом.
Напротив, если в силлогизме одно из суждений (посылка или заключе-
ние) пропущено, то такой силлогизм называется сокращенным силлогиз-
мом или энтимемой (отгреч. ЕУвицсоцал - имею в душе). А полисилло-
27'
420
Глава VI. Элементы математической логики
гизм, в котором опущены некоторые посылки, называется сложносокра-
щенным или соритом (от греч. ozwpo^-куча). Подробнее см. [26, гл.УП].
Христианская логика. Логика Декарта и Лейбница
Диалектическая форма трудов христианских философов; проблемы совместимости
фундаментальных тезисов христианской философии; о совместимости
существования Бога и зла в мире; о справедливости, милосердии и спасении (156).
Луллий и формализация логического вывода; интуиционизм Декарта; Лейбниц и его
концепция универсальной логики (157)
156.0 христианской логике. Философские труды Платона и Аристоте-
ля оказывали сильное влияние на последующих философов средневеко-
вой Европы и арабского мира как в той части, которая признавалась
ими, так и в части ими отвергаемой. Полемика в Средние века была об-
щепризнанной формой философских трудов; нередко философские рабо-
ты или учебники полностью или частично имели форму вопросов и отве-
тов. Так, запись урока известного педагога и богослова, автора первого в
Европе учебника по математике, Алкуина (Alcuin, ок. 735 - 804), назы-
вавшего себя также Флакк Альбин, сыну императора Карла Великого,
ПипиНу (История средних веков. Хрестоматия. Ч.П. М., 1981. С. 46-48)
интересна не только своей формой (вопрос-ответ), но и отрицательным
содержанием: под видом мудрой диалектики средневековая схоластика
доведена здесь до высокого уровня бессмыслицы- В знаменитой книге
«Sic et Non» («Да и Нет») французского религиозного философа Пьера
Абеляра (P.Abelard, 1079-1142) приводится множество содержательных
философских тезисов, в определенной степени противоречивых. В диа-
лектической форме Абеляр рассматривает аргументы за и против приво-
димых тезисов, подчеркивая при этом роль логики. Наиболее выдаю-
щиеся христианские философы - Квинт Септимий Тертуллиан (Q.S.Ter-
tullianus, ок. 160-222), Блаженный Августин (Augustinus Sanctus, 354-
430), св. Фома Аквинский (St.Thomas Aquinas, 1225-74), Роджер Бэкон
(Р.Васоп,ок.1214-94), Уильям Оккам (W.Ockham, ок. 1285-1350) рас-
сматривали глобальные вопросы бытия Бога и человека, жизни и смер-
ти, разума и веры, добра и зла, свободы воли и пр. Вопросов было мно-
жество, ответов - много меньше. Одной из принципиальных была про-
блема совместимости (непротиворечивости) некоторых важных тезисов
христианской доктрины, противоречивших на первый взгляд друг другу.
Естественно, метод логического анализа, сформулированный Аристоте-
лем, приобретал в этой ситуации исключительное значение (подробнее с
развитием религиозной философии можно познакомиться по обзору:
Б. Рассела [25, кн.2, гл. IV, X, XI, XIII, XIV]).
§ 1. Логика: ее происхождение и развитие
421
Поскольку упреки в противоречивости критики христианской филосо-
фии первому по хронологии адресуют Тертуллиану, приведем краткий от-
рывок из его трудов («Творения Тертуллиана». 4.1. СПб., 1847. С.41-42):
Бог невидим, хотя и является повсеместно; неосязаем, хотя благодатию своею и начертал в
нас образ свой; непостижим, хотя человеческий разум и познает Его... Ничто не вселяет
такой величественной идеи о Боге, как невозможность постигать Его: бесконечное Его со-
вершенство вместе и открывает Его людям и скрывает Его от них...
Здесь Тертуллиан ярко и взволнованно высказывает одну из наиболее
известных своих концепций: многие божественные (религиозные) исти-
ны противоречат общепринятым человеческим выводам, интуитивно
принимаемым людьми как истинные. Кратко это было выражено в его
знаменитом тезисе «credo, quia absurdum» - «верю, ибо абсурдно» (ло-
гически абсурдно). Кроме того, со скромностью, достойной христианина,
Тертуллиан понимал, что его индивидуальный разум просто не в состоя-
нии справиться со столь сложными проблемами и обосновать логиче-
скую непротиворечивость некоторых важных религиозных тезисов в силу
собственного несовершенства, а не потому что эти тезисы противоречи-
вы на самом деле («Душа моя горит желанием проникнуть в эту необъ-
яснимую для нас тайну», - пишет об этих проблемах Августин). Некото-
рые позднейшие и более самоуверенные философы считали, что непо-
нятное для них или противоречивое в их представлении является истин-
но противоречивым и, более того, нелепым - именно так они и стали пе-
реводить слово absurdum. При столь категоричных выводах им даже не
приходило в голову задуматься (не то, что понять), что термин absurdum
(противоречивость) ими осознан в недостаточной степени, а если гово-
рить прямо, то просто неведом: строгий, содержательный аппарат анали-
за общезначимой истинности или ложности логических формул и тем
более целых теорий (концепций) был создан только в XX в. (Об этих
проблемах в чисто математических сферах пойдет речь в § 4 этой главы.)
В согласии со сказанным выше становится ясно, какую ценность при-
обретали целостные концепции, свободные (по крайней мере в значи-
тельной степени) от противоречий (например, «Исповедь» Августина,
перевод которой можно найти в книге «Творения Блаженного Августи-
на...». 4.1. Киев, 1880 или 1901; «Summa contra Gentiles» («Сумма про-
тив язычников») или «Summa Theologiae» Фомы Аквинского).
В связи с проблемой непротиворечивости коснемся одного интересного
вопроса. 4асто приходится слышать от окружающих расхожую жалобу о
несовместимости существования Бога и зла в окружающем нас мире.
Справедлива ли она? Для логического анализа рассмотрим три принци-
пиальных христианских постулата.
422
Глава VI. Элементы математической логики
1. Господь всеведущ, всемогущ и является собранием всех совершенств.
2. Господь отделил добро от зла.
3. Господь наделил человека даром свободы воли, принципиальными
качествами которого являются: возможность постижения добра и зла и
свобода выбора (пути добра или пути зла).
Совместимость этих принципов, по всей видимости, никем не оспари-
вается. Но тогда, согласно принципу свободы воли, человек в своих по-
ступках руководствуется не природными инстинктами, как животное (за
поведение которого несет ответственность природа), а собственным по-
ниманием добра и зла и возможностью выбора между ними. В высших
сферах аналогичный выбор имеют ангелы. Человек может быть постав-
лен перед этим выбором не собственной волей, но волей другого челове-
ка, однако, выбрав пути зла, он неизбежно (согласно постулату 1) дол-
жен будет нести ответственность за это вне зависимости от того, осозна-
ет он это или нет, готов он к этому или нет. В силу неотвратимости воз-
мездия наша земная жизнь является испытанием (души и разума) (но не
искушением! Господь никогда не искушает, искушает дьявол). Зло про-
тивно сущности Бога («человек стоит волею Господа, падает же по своей
воле»), поэтому, как отмечал Августин в сочинении «О граде Божьем»,
враги Божьи противятся ему не по природе, но по воле. Создатель не
может склонить к добру насильно (но только своими Заветами) как из-за
невозможности нарушить принцип свободы воли, так и в силу неблаго-
дарности человеческой, поскольку человек не всегда способен сразу по-
нять, что для него является истинным благом: «так как под линная при-
рода его утрачена, все становится его природой; с той поры, когда истин-
ное благо утрачено, все становится для него истинным благом» (Паскаль
Б. Мысли, 460, 425). Кстати, чем закончились попытки коммунистов,
фашистов или сектантов навязать человечеству свой идеал счастья на-
сильно, помнят, вцднмо, все.
Таким образом, наличие зла в мире и в высших сферах (сатана) не
только не противоречит указанным постулатам, но логически следует из
них, что является значительно более сильным логическим результатом.
Отдельный вопрос, как наличие зла способствует очищению и совер-
шенствованию мира («да послужишь ты Господу и дурными своими по-
мыслами»).
Еще один штрих к вопросу о непротиворечивости: любая рождающаяся
жизнь уже содержит в себе механизм старения и в конечном счете собст-
венной смерти, и никому не кажется это абсурдным - удивительная вещь
§1. Логика: ее происхождение и развитие
423
человеческий ум (и в еще большей степени так называемый здравый
смысл).
При анализе поставленной проблемы оказалось возможным огра-
ничиться лишь тремя указанными постулатами (в полном согласии с из-
вестным принципом «бритвы Оккама»: «Не нужно делать с ббльшим то,
что можно делать с меньшим» [25, с.491]).
Дополним список постулатов еще двумя.
4. Господь являет собой абсолютную справедливость.
5. Господь являет собой бесконечное милосердие.
Абсолютная справедливость влечет неизбежность воздаяния (или воз-
мездия) и его соразмерность деянию, предопределяя в этом смысле (а не
в каком другом) человеческую судьбу. Читателю предоставляется воз-
можность развить этот тезис (или оспорить его). Такая трактовка пред-
ставляется в большей степени милосердной, чем точка зрения, согласно
которой будто бы заранее одним людям непостижимым образом предо-
пределено спасение, а другим проклятие, одним радость, а другим горе, и
т.п. Кроме того, бесконечное милосердие Бога предоставляет грешнику
возможность искупления и спасения всегда, даже in articulo mortis (при
смерти), более того:
Жила-была одна баба злющая-презлющая и померла. И ие осталось после нее ни одной
добродетели. Схватили ее черти и кинули в огненное озеро. А ангел-хранитель ее стоит, да и
думает: какую бы мне такую добродетель ее припомнить, чтобы Богу сказать. Вспомнил и
говорит Боту: она, говорит, в огороде луковку выдернула и нищенке подала. И отвечает ему
Бог возьми ж ты, говорит, эту самую луковку, протяни ей в озеро, пусть ухватится и тянется,
и коли вытянешь ее вон из озера, то пусть в рай идет, а оборвется луковка, то там и оставать-
ся бабе, где теперь. Побежал ангел к бабе, протянул ей луковку: на, говорит, баба, схватись
и тянись. И стал он ее осторожно тянуть, и уж всю было вытянул, да грешники прочие в озе-
ре, как увидали, что ее тянут вон, стали все за нее хвататься, чтоб и их вместе с нею вытяну-
ли. А баба-то была злющая-презлющая, и почала она их ногами брыкать: «Меня тянут, а ие
вас, моя луковка, а не ваша». Только что она это выговорила, луковка-то и порвалась. И
упала баба в озеро и горит по сей день. А ангел заплакал и отошел.
(Достоевский ФМ. Братья Карамазовы. Ч. III. Кн.7. III. «Луковка*).
В логическом анализе ограничимся еще лишь двумя литературными
примерами, показывающими трактовку темы милосердия другими круп-
ными писателями.
В рассказе «Паутинка* японский писатель Акутагава Рюноскэ (1892-
1927) пишет о том, как однажды взгляд Будды упал на мучившегося в
бездне ада злодея Каццату, у которого в жизни нашлось только одно
доброе дело: он как-то пожалел и не раздавил паучка, перебегавшего
424
Глава VI. Элементы математической логики
дорогу. И тогда Будда опустил в преисподнюю в руки Кавдаты тончай-
шую нить райского паучка, чтобы даже за это единственное доброе дело
спасти, если это возможно, грешника (обратим внимание: если возмож-
но! -снова все определится самим человеком); а далее повторяется сю-
жет Луковки. Комментатор к двухтомнику Акутагавы (Акутагава Рю-
носкэ. Избранное. М.,1971) и к тому Библиотеки всемирной литературы
(БВЛ) (Акутагава Рюноскэ. Новеллы. БВЛ. Т.129. М., 1974) пишет,
что, по мнению японских литераторов, сюжет этого рассказа навеян эпи-
зодом из «Братьев Карамазовых*. Несмотря на известное увлечение
Акутагавы русской литературой, первоисточником для него был все же
не Достоевский: у Л.Н.Толстого в философском рассказе «Карма»
(1884) со ссылкой на буддийскую легенду содержится почти в точности
сюжет новеллы Акутагавы (рассказ монаха Пантака). Заинтересованный
читатель может доставить себе удовольствие и прочесть эти новеллы.
Кстати, это не единственное совпадение в концептуальных вопросах
двух мировых религий.
В подтверждение того, что рассматриваемые проблемы далеко не три-
виальны, рассмотрим статью Б.Рассела в книге «Ап Unpopular Essays*
(N.Y., 1950, р.71-111; русский перевод - «Новая газета». №2. 1998.
Февр. С.7). Рассел пишет: «Грех состоит в непослушании Господу, одна-
ко, нам говорят и то, что Господь всемогущ. Но если он таков, то ничто
не может произойти вопреки его воле». Эта импликация истинна, но
трактовка греха сомнительна: скорее, грех состоит в выборе зла в акте
свободной воли, а не в непослушании воле Создателя, простому смерт-
ному неведомой. Далее: «Таким образом, когда грешник осмеливается
ослушаться Его, то Он не иначе как должен был сам захотеть такого ос-
лушания...». А вот здесь истинность импликации очень сомнительна. Во-
первых, божественная воля в происходящем заключается именно в пре-
доставлении свободы выбора. Во-вторых, никакого «ослушания» нет -
Господь не может нашептывать каждому человеку свои указания в лю-
бом, даже самом ничтожном действии, поскольку нет никаких свиде-
тельств о каких-либо знамениях даже при значительных поступках.
В-третьих, Он тем более не может хотеть этого (ослушания). Каждый из
этих пунктов находится в противоречии с одним или несколькими посту-
латами, приведенными выше. Конечно, Расселу известны пути разреше-
ния этого мнимого парадокса - достаточно прочесть главы его книга
[25], посвященные Фоме Аквинскому или Лейбницу. Вероятно, он ре-
шил явить миру очередной парадокс под своим именем (о найденных
им математических парадоксах принципиального характера мы будем
говорить в 169).
§ 1. Логика: ее происхождение и развитие
425
Заинтересованному читателю можно также предложить познакомиться
со взглядом на эти проблемы русского философа Н.А. Бердяева, изло-
женном в его «Философии свободного духа* и «Самопознании» (гл. XI).
Серьезные логические вопросы рассмотрены на примере интересных
многим гуманитарных проблем не случайно: создание непротиворечивой
и содержательной концепции (большой или маленькой) - проблема, с
которой приходится сталкиваться практически в любом виде деятельно-
сти. Для успешного решения таких проблем нужно хорошо владеть фор-
мальными методами логики и иметь практику в решении задач математи-
ческой логики, а кроме того, использовать такое мощное оружие, как
аналогия.
Но перейдем от обсуждения роли логики в решении общечеловеческих
проблем к проблемам собственно логики.
157. Луллий. Логика Декарта и Лейбница. Сформулированная Ари-
стотелем теория логического вывода имеет все черты научной теории,
сочетая строгость формы с глубиной и значимостью содержания и полу-
ченных результатов. Теоретическая конструкция Аристотеля начинается
с понятий (единичных и общих), суждений (высказываний) - истинных
или ложных, и образованных ими сложных суждений (логических фор-
мул), представляющих собой дескрипции, т.е. описательные выражения.
Совокупность правил и схем (процедур) силлогизмов Аристотеля позво-
ляет получить истинные заключения из истинных посылок с помощью
доказательств, основанных на правилах логического вывода аристотеле-
вой теории.
Правила вывода безразличны к конкретному содержанию суждений
или к их тематике, в этом смысле их вполне допустимо назвать автомати-
ческими. Естественно поставить задачу нахождения для формализован-
ных процедур вывода столь же автоматизированного средства. Эта зада-
ча в явном виде была сформулирована испанским религиозным филосо-
фом и писателем Раймундом Луллием (R. Lullius, ок. 1235-1315). Моло-
дость и часть зрелых лет он провел при дворе арагонских королей, сде-
лав блестящую карьеру при короле Якове Арагонском. Его поэтические
произведения оказали значительное влияние на каталонскую поэзию и
литературу в целом. Р. Луллий обладал глубокими познаниями, искрен-
ней верой, характер имел пылкий. В результате жизненных обстоя-
тельств романтического характера оставил двор, стал монахом Франци-
сканского ордена и посвятил свою дальнейшую жизнь, полную опасно-
стей и лишений, проповеди христианства среди мавров Северной Афри-
426
Глава VI. Элементы математической логики
ки. Он прекрасно знал арабский язык и арабскую культуру и оставил
много литературно-философских произведений на арабском языке.
Идею логической 'машины и описание найденного им метода Луллий
изложил в своем труде «Ars Magna et Ultima». Он также сделал попытку
материализации своей идеи, создав прибор, называемый «машиной Лул-
лия». Основная конструкция прибора заключается в следующем. Не-
сколько тонких концентрических дисков, разделенных на секторы (их
было 7 или 9 в разных вариантах) и закрепленных на единой оси, могут
вращаться друг относительно друга. В секторах располагаются понятия
или свойства предметов (предикаты), вращение дисков дает различные
совмещения секторов по радиусам и соответственно различные комби-
нации суждений. Всевозможные истинные результаты таких комбинаций
и должны были, по мнению Луллия, открыть новые истины и в результате
дать всю возможную «мудрость». Последователями Луллия эти приборы
изготавливались из металла и снабжались тонкими рисунками.
Интересно, что эта логическая конструкция, по словам самого Луллия,
явилась результатом не рационального логического анализа, а озарения,
испытанного им на горе острова Мальорка (где он родился), когда одна-
жды он якобы увидел на листьях проступающие буквы. (Более подробно
с жизнью Луллия и его трудами можно познакомиться по книге: Влади-
славлев М.И. Логика. СПб., 1881 (или 1872). Автор этой книги - извест-
ный во второй половине XIX в. логик, философ и переводчик, профес-
сор, а затем ректор Петербургского университета.)
Через некоторое время после смерти Луллия его «машина» стала
весьма популярной, приобретя как многих сторонников, так и многих
противников. Наиболее известна едкая сатира Дж.Свифта («Путе-
шествие Гулливера», ч.З, гл-V.), где в отделении спекулятивных наук
Академии в Лагадо в числе прочих бредовых изобретений Гулливеру де-
монстрируют прибор, реализующий идею Луллия; по мнению тамошнего
профессора, получающиеся комбинации отрывочных фраз должны «дать
миру полный компедий всех искусств и наук... Каждому известно, -
пояснял профессор, - как труд но изучить науки и искусства по общепри-
нятой методе; между тем, благодаря его изобретению, самый невежест-
венный человек с помощью умеренных затрат и небольших физических
усилий сможет писать книги по философии, поэзии, политике, праву,
математике и богословию при полном отсутствии эрудиции и таланта».
Напротив, в числе сторонников Луллия (луллистов) был, например,
Джордано Бруно. О связи идеи Луллия с трудами Лейбница мы погово-
рим чуть позже.
§ 1. Логика: ее происхождение и развитие
427
Следует отметить еще один важный момент. Если в суждениях, содер-
жащих кванторы, предметная область бесконечна или конечна, но очень
велика, проверка истинности может стать весьма трудной задачей. По-
этому идея Луллия о формализованном выводе истинных заключений из
ограниченного списка начальных фундаментальных истин представляет-
ся весьма здравой, тем более сейчас, в век компьютеров и автоматов.
Именно так, кстати, построены все математические теории; в этом мож-
но' было убедиться на примерах из геометрии, алгебры, математического
анализа.
Почему же на протяжении веков многие считали идею Луллия синони-
мом бессмыслицы? Проще всего отговориться дежурной фразой «идеи
Луллия опередили время», хотя частично это будет правдой, но только
частично. Была и другая, принципиальная причина неприятия идеи Лул-
лия. В переводе Ais Magna et Ultima означает «великое и окончательное
искусство». И если эпитет «великое» можно отнести на счет пылкости
характера Луллия, то с претензией на «окончательность» его искусства
согласиться никак невозможно. Когда первый шаг на пути объявляется
последним, следует ждать сатир похлеще свифтовской.
Следующий важный этап в развитии логики (как самостоятельной нау-
ки, а не метода исследования философских проблем) связан с именами
Декарта (в латинской транскрипции - Картезий) и Лейбница.
Рене Декарт (R.Descartes, 1596-1650), французский философ, мате-
матик и физик, известен в широких кругах прежде всего как создатель
«метода координат» и основ аналитической геометрии (математика) и
как автор концепции рационализма (философия). Ему принадлежит
знаменитая фраза «Я мыслю, следовательно, существую», вполне, кста-
ти, естественная для рационалиста (удивительно другое: эту мысль мож-
но видеть в труде Августина «Монологи» ((25, с. 370-371]). Говоря
вкратце об основных математических результатах Декарта, следует отме-
тить, что именно он впервые ввел понятия переменной и функции, ввел
дробную алгебраическую символику, близкую к современной, дал интер-
претацию отрицательного числа (в координатах) («Геометрия», 1637);
им получены результаты в области теории кривых, теории алгебраиче-
ских уравнений, некоторые результаты, касающиеся решения диффе-
ренциальных уравнений. Не будем обсуждать философские взгляды Де-
карта, изложенные им в трудах «Рассуждение о методе» (1637),
«Метафизические размышления о первой философии» (1641), «Начала
философии» (1641), остановимся лишь на тех моментах, которые непо-
средственно связаны с концепциями Декарта-логика.
428
Глава VI. Элементы математической логики
Поиск истины, по мнению Декарта, начинается с сомнения, которому
подлежат все общепринятые положения, и его преодоления. Скептиче-
ский анализ и выбор оставляют только то, что представляется бесспорно
истинным в силу своей интуитивной ясности и отчетливости, в чем не-
возможно сомневаться. Такие бесспорные первичные представления,
присущие нашему разуму от рождения, должны быть положены в основу
истинного знания (в частности, философских концепций). Этот подход
получил впоследствии название «картезианского сомнения». Тезис «Я
мыслю, следовательно, существую» был отнесен Декартом к числу изна-
чальных истин:
В то время, как я готов мыслить, что все ложно, необходимо, чтобы я, который это мыслит,
был чем-нибудь; заметив, что истина я мыслю, следовательно, существую столь прочна и
столь достоверна, что самые причудливые предположения скептиков неспособны ее поколе-
бать, я рассудил, что могу без опасения принять ее за первый искомый мною принцип фило-
софии.
Рационалистическое мышление рассматривалось Декартом как основа
получения достоверных первичных истин и вывода дальнейших истинных
знаний. Опыт Декарт считал важной составляющей рационалистической
функции (и, в частности, подчеркивал роль метода полной математиче-
ской индукции), но бесспорно подчиненной по отношению к ней. О мате-
матическом методе Декарт писал: «Это более мощный инструмент по-
знания, чем все остальные, что дала нам человеческая деятельность, он
служит источником всего остального». Для него одной из ясных и бес-
спорных истин была убежденность в универсальности и правильности
законов логики. В связи с этим Декарт поставил задачу создания симво-
лического аппарата исчисления логики, подобного алгебраическому,
однако продвинуться в этом направлении ему не удалось.
За четыре года до смерти Декарта и за два до окончания Трцдцатилет-
ней войны, в Лейпциге, в семье профессора нравственной философии,
родился Готфрцд Вильгельм Лейбниц (G.W. Leibniz, 1646-1716), автор
концепции построения универсальной логики. Широта научных интере-
сов Лейбница и полученных результатов огромна, мы поговорим только
о тех, которые касаются исчисления логики.
В общих чертах замысел Лейбница, заключавшийся в построении уни-
версальной лотки, состоял в следующем. Согласно его концепции, кон-
струкция универсальной логики включала в себя три основные части.
Первая - универсальный язык науки (characteristica universalis), частич-
но или полностью символический, должен был заменить выражения ес-
тественного языка компактными и ясными знаками (едиными вне зависи-
§ 1. Логика: ее происхождение и развитие
429
мости от национальных языков), «характерами» (от гр. charalder -
черта, сущность). Вторая - исчисление умозаключений (calculus ratioci-
nator), набор исчерпывающих правил, позволяющих провести любой
дедуктивный вывод из начальных принципов. Третья часть (ars
combinatoria) - набор основных начальных понятий, через которые опре-
деляются все дальнейшие понятия. Выполнив эту очень современно зву-
чащую программу, «мы бы имели возможность рассуждать в области
метафизики и нравственности так же, как мы делаем это в области гео-
метрии или математического анализа, - писал Лейбниц. - Если бы воз-
никли противоречия, нужды в спорах между двумя философами было бы
не больше, чем между двумя бухгалтерами, так как им было бы доста-
точно взять в руки карандаш, сесть за грифельные доски и сказать друг
другу (если они хотят, при наличии доброжелательного свидетеля): да-
вайте подсчитаем» (цит. по [25, Т.П, с. 108]).
Впервые эти идеи Лейбниц высказал в своей «Диссертации о комбина-
торном искусстве», изданной в 1666г.
Вот мнение Норберта Винера:
Философия Лейбница концентрировалась вокруг двух основных идей, тесно связанных
между собой: идеи универсальной символики и идеи логики исчислений. Из этих двух идей
возникли современный математический анализ и современная символьная логика. И как в
арифметическом исчислении была заложена возможность развития его механизации от абака
и арифмометра до современных сверхбыстрых вычислительных машин, так и calculus
ratiodnator Лейбница содержал в зародыше machina rationatrix - думающую машину. Сам
Лейбниц подобно своему предшественнику Паскалю интересовался созданием вычислитель-
ных машин в металле. Поэтому совсем не удивительно, что тот же самый умственный толчок,
который привел к развитию математической логики, одновременно привел к гипотетической
или действительной механизации процессов мышления («Кибернетика». М., 1968. С. 57).
Отмечая интерес Лейбница к счетным машинам и автоматам, Винер
пишет:
Счетные машины Лейбница были только одним из проявлений его интереса к языку вычис-
лений, к логическому исчислению, в свою очередь представлявшему собой, на его взгляд,
лишь конкретизацию его идеи о совершенном искусственном языке («Кибернетика и обще-
ство». М., 1958. С.32).
Связь концепции Лейбница с идеями Луллия очевидна, сам Лейбниц
также указывал на это. О влиянии идей Лейбница на современную мате-
матику и кибернетику пишет «отец кибернетики» Винер в приведенных
выше отрывках. В разделе, посвященном исчислению предикатов, мы
также будем говорить об этом.
Подробнее о жизни и деятельности Декарта и Лейбница можно прочи-
тать у Рассела [25], Владиславлева в указанной выше книге, Бирюкова
430
Глава VI. Элементы математической логики
[27], а также в книгах: Стяжкин Н.И. Формирование математической
логики. М., 1967; Погребысский И.Б. Готфрид Вильгельм Лейбниц. М.,
1971.
И тем не менее разработать символический язык математической ло-
гики Лейбницу не удалось. Своим созданием современный математиче-
ский аппарат логики обязан английскому математику Джорджу Булю
(G.Boole, 1815-64). Символика и основополагающие результаты алгеб-
ры логики изложены им в книгах «Математический анализ логики» (The
mathematical Analysis of Logic. Cambridge, London, 1847) и «Иссле-
дование законов мышления» (An Investigation of the Laws of Thought.
London, 1854), оказавших заметное влияние на развитие как математи-
ческой логики, так и математики в целом.
О других авторах значительных трудов по математической логике в
XIXв. - А. де Моргане, 1806 - 71; Ч. Пирсе, 1839- 1914; Э. Шредере,
1841-1902; Г. Фреге, 1848-1925), а также авторах логических приборов
и машин Ч. Бэббедже (1791-1871), У. Джевонсе (1835 -82), ПД. Хру-
щеве (1849-1909) и А.Н. Щукареве (1864-1936) можно прочитать в
[27] и [5]. О наиболее выдающихся результатах в области логики XX в.
пойдет речь в следующих параграфах этой главы.
§ 2. ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ.
ТЕОРИЯ ЛОГИЧЕСКОГО ВЫВОДА
Исчисление высказываний
Символика исчисления высказываний и построение формул (158). Аксиомы
исчисления высказываний и правила вывода (159). Выводимые формулы
(теоремы), примеры (160). Интерпретация исчисления высказываний как алгебры
логики (161). Фундаментальные свойства исчисления высказываний:
непротиворечивость, полнота, независимость аксиом (162)
158. Символика и построение формул в исчислении высказываний.
Ниже логика высказываний (§1 гл. III) формализуется в виде строгой
аксиоматической теории, называемой исчислением высказываний, наи-
более простой из теорий логики. На примере этой теории мы сможем
обсудить в принципиальном ключе, как математика решает проблемы,
которых мы касались в § 1 настоящей главы.
Для понимания принципиальных моментов в процессе построения ис-
числения высказываний полезно помнить евклидову-конструкцию гео-
метрии: символика - основные объекты и их свойства —операции над ни-
§2. Формализованные логические теории
431
ними-построение более сложных объекгов-их элементарные свойства-
выведение более тонких свойств объектов, которые мы строим.
Вариант исчисления высказываний, который мы будем описывать,
принято называть «теория L>.
1. Формализация теории начинается с описания символики или языка
теории. Символы исчисления высказываний (теории L) представляют
собой знаки трех категорий.
1.1. Символы переменных (высказываний) - латинские буквы Р, Q,
R,... (или они же с индексами Р\, Рг,..., Q\, Qi и т.п.). Они называются
пропозициональными буквами или пропозициональными переменными.
1.2. Логические связки л, v, z>, 1, называемые соответственно знаком
конъюнкции или логического умножения, знаком дизъюнкции или логи-
ческого сложения, знаком импликации или логического следования,
знаком отрицания.
1.3. Скобки ().
2. С помощью пропозициональных переменных и логических связок
строятся более сложные объекты, называемые логическими формулами
или формулами исчисления высказываний. Формулы определяются сле-
дующей процедурой.
2.1. Любая пропозициональная переменная является формулой.
2.2. Если А и В - формулы, то также будут формулами
(АлВ), (Л vB), (4=>В), 14.
В этом определении п.2.1 указывает исходные, начальные формулы, ко-
торые часто называют элементарными. Конечные последовательности
пропозициональных переменных, логических связок и скобок образуют
всевозможные логические слова (подобно естественному языку). Но не
каждое слово является «правильным)», т.е. образует формулу, а только те
слова, которые получены последовательным применением правила 2.2
(много логических формул в качестве примеров можно взять из § 1 гл. Ш).
Напротив, не являются формулами, например, слова: (А л В - содержит
незакрытую скобку, vA, А1В - не могут быть построены по правилу 2.2,
А -=зВ - не содержит внешних скобок, и т.п.
В целях упрощения записи формул приняты следующие соглашения.
Во-первых, формула может содержать внешние скобки, заключающие
в себе все остальные символы формулы, например (4 л В). Слово А л В
без скобок в силу определения формулой не является, однако для
сокращения записи мы будем внешние скобки опускать. Это не означает,
что мы изменили определение логической формулы, просто мы не пишем
внешних скобок, хотя подразумеваем их наличие.
432 Глава VI. Элементы математической логики
Во-вторых, в формулах вада 1Л внешние скобки в А (если таковые
имеются) будем также опускать.
В-третьих, примем то же соглашение о порядке выполнения логических
операций, что и в 76 (операция = будет введена чуть позднее).
159. Аксиомы теории L. Следующие десять формул называются
аксиомами теории L.
I. 1. Рэ(<?эР).
2. (Р=>((?=Я))э((Ро(?)о(РэА)).
II. 3. P/\Qz>P.
4. PaQz>Q.
5. (PoQ)o((Pz>P)=>(P=>QaP)).
III. 6. PzjPvQ.
7. Qz>PvQ.
8. (Pz>P)=((Qz>P)S(PvQr>P)).
IV. 9. (P=>Q)o((Pz>lQ)r>lP).
10. ПРоР.
Данные аксиомы играют в исчислении высказываний ту же роль, что и
начальные логические законы (А1-А5) в алгебре логики, и представляют
собой минимальный набор так называемых исходных выводимых формул.
Далее определены два правила вывода, применяя которые можно из уже
установленных формул выводить новые (выводимые формулы), получая
таким образом из компактного свода аксиом широкий и содержательный
набор выводимых формул.
Первое правило вывода (правило заключения) символически записы-
вается в виде
и означает, что из уже установленных формул А и А^зВ выводится фор-
мула В. Это правило принято называть по-латыни modus ponens.
Второе правило вывода символически записывается в виде
(S) ___________d___________
A(Qi....<?Ж|В1,...,ВИ) ’
где A, Bi,..., В„-формулы, a Qi,.... Qm - попарно различные пропозицио-
нальные символы, и означает, что в результате замены в установленной
формуле A(Qi,...,Q„,) всех переменных на формулы Bi,...,В„ получается
формула А(В\,...,ВЯ). Через 4(Qi,...,Qm||Ви...>ВЯ) в правиле обозначен
результат замены с указанием первоначальной формулы.
§2. Формализованные логические теории
433
Разбиение аксиом на группы I — IV произведено по следующему прин-
ципу: группа I аксиом содержит только импликацию, входящую также во
все остальные группы (и являющуюся в этом смысле основной); в группе
II к импликации присоединяется конъюнкция; в группе III - дизъюнк-
ция; в группе IV - отрицание.
Поскольку основной целью исчисления высказываний является обра-
ботка оптимального механизма выведения новых формул из уже извест-
ных (аналогов логических законов), то и по смыслу основной должна
быть операция следования, а не алгебраические операции логики v и
л. О принципиальной возможности такого подхода уже говорилось в 79,
когда шла речь о возможной замене базиса (1, v) на (1, э).
160. Выводимые формулы (теоремы) теории L. Выводом называет-
ся любая конечная последовательность формул А\, ...,Лт в которой каж-
дая формула либо есть аксиома, либо совпадает с какой-нибудь из уже
выведенных формул, либо получается из предыдущих с помощью одного
из правил вывода. Последнюю формулу А„ называют выводимой или,
что то же самое, теоремой теории. Говорят также, что последователь-
ность Aj,...,А„ является выводом формулы А„. Тот факт, что Ai, ...,А„,А
является выводом формулы А, символически записывается в ваде
Л...Л1-Л
а выводимость формулы Л (в теории L) без указания вывода:
f-Л (илиЬ|-Л).
Часто используется сокращение списка формул (полного) вывода
(подобный энтимеме в логике Аристотеля, см. 155), когда опущенные
фрагменты полного списка формул вывода очевидны и их восстановле-
ние не вызывает технических трудностей.
Сама процедура вывода является чисто техническим и весьма «скуч-
ным» делом, подобно получению первых теорем в геометрии, кажущихся
на первый взгляд очевидными (или процессу сборки автомобиля, не
слишком интересному, но требующему точности и внимательности).
Для понимания механизма вывода приведем д ва несложных примера.
Пример 164. Показать, что А лВ=>ВлА является выводимой фор-
мулой (в исчислении высказываний).
Доказательство. Пусть формула Ai (Р, Q, R) - это аксиома 5. При-
менив к ней правило подстановки (S) с переменными А лВ, В, А в каче-
стве Bi, В2, Вз, получим выводимую формулу Ai(P, Q, R || А лВ, В, А),
которую обозначим А2:
28 - 5091
434
Глава VI. Элементы математической логики
А2) идД2Д1=>((ЛлВоЛ)э(ЛлВоВлЛ)).
Здесь посылка импликации, отмеченная чертой снизу, является подста-
новкой аксиомы 4; применив к ней modus ponens (модус поненс), получим
выводимую формулу
А3) (АлВ^А)^(АлВ^ВлА).
Посылка в формуле Лэ, отмеченная чертой снизу, является подстановкой
аксиомы 3; применив к ней (МР), получим выводимую формулу
А4) ЛлВэВаЛ,
что и требовалось.
Пример 165. Доказать (-(ЛэЛ).
Доказательство. Подстановка (Р, Q || A, (Az>A)) в аксиому 1 дает
выводимую формулу
Ai) Az>((Az>A)z>A).
Подстановка (Р, Q, R || А, (А =>А), А) в аксиому 2 дает выводимую
формулу
А2) (А=>((А^А)=>А))^((А^(А=>А))^(А=зА)).
Поскольку посылка импликации в А2, отмеченная чертой снизу, -это Аъ
то, применяя к ней modus ponens, получаем выводимую формулу
(заключение в А2)
Аз) Лэ(ЛэЛ))э(Лз>Л).
Однако подстановка (Р, Q || А, А) в аксиому 1 дает
Л«) Az>(Az>A),
поэтому, применяя (МР) к А3 с посылкой А*, получаем
ЛъЛ2,Лз,Л4|-(Л=>Л).
Список выводимых формул в исчислении высказываний достаточно
велик (см. [19,21], гае также можно познакомиться с доказательствами
этих теорем, т.е. выводом формул). Но поскольку овладение технически-
ми навыками исчисления высказываний не входит в нашу задачу, приве-
дем без доказательства только выводимые формулы, наиболее полезные
для решения логических задач' в гуманитарных проблемах (юридических
или других специальностей):
§2. Формализованные логические теории
435
Л=эС В=>(ЛоС) АлВ^С АлВ^С Az>(Bz>C) - г правило силлогизма; - правило перестановки посылок; - правило соединения посылок; - правило разъединения посылок.
Формула (А В) л (В А) записывается также в ваде А »В. Знак (как
в алгебре логики) называется знаком эквивалентности или эквивален-
цней, а формула А »В - эквивалентностью.
В исчислении высказываний справедлива теорема, аналогичная теоре-
ме алгебры логики: если в формуле А(Х, У) вместо переменного Y подста-
вить эквивалентные формулы Вх и В2, то получающиеся формулы Л(¥, А)
и А(Х, В2) будут эквивалентны, или в символической записи
|- (В^В2) = (Л(У, ВО яА(Х, ВО).
161. Интерпретация исчисления высказываний как алгебры логики.
Будем считать высказывания алгебры логики переменными в исчислении
высказываний. Операции определим так же, как в алгебре высказыва-
ний. Тогда из правил образования логических формул в исчислении
высказываний следует, что всякая формула исчисления высказываний
становится сложным высказыванием (формулой) алгебры логики. В ре-
зультате такой подстановки символы (переменные и формулы) теории
исчисления высказываний получают, как говорят математики, содержа-
тельную интерпретацию на языке логики высказываний, описывающей
реальные предметы, события и т.п.
Поскольку каждое высказывание может быть либо истинно, либо лож-
но, то всякая формула исчисления высказываний после подстановки ис-
тинностных значений переменных сама становится либо истинной, либо
ложной. х
Все аксиомы исчисления высказываний и все выводимые формулы бу-
дут общезначимыми формулами (или, иными словами, логическими за-
конами) алгебры высказываний, а отрицания логических формул-тож-
дественно ложными. Доказательство этого факта несложно и носит чис-
то технический характер, при желании с ним можно познакомиться в [21,
гл. II, §8).
28"
436
Глава VI. Элементы математической логики
Таким образом, можем считать исчисление высказываний и алгебру
логики просто двумя разными формами описания и анализа высказыва-
ний. Алгебра логики привычнее и, может быть, более удобна с практиче-
ской точки зрения, а исчисление высказываний указывает тот минималь-
ный запас неопределенных понятий, правил действий с ними и аксиом, с
помощью которых можно получать истинные высказывания.
162. Фундаментальные свойства исчисления высказываний.
Непротиворечивость исчисления высказываний. Проблема непро-
тиворечивости - одна из кардинальных проблем любой логической кон-
струкции, не только строгой теории математической логики.
Строгое математическое определение непротиворечивости следующее:
логическое исчисление называется непротиворечивым, если в нем не
выводимы никакие две формулы, из которых одна является отрицанием
другой (т.е. А и 1.4 одновременно).
Если в исчислении одновременно оказываются выводимыми некоторые
формулы А и 1Л, то такое исчисление называется противоречивым.
Нетрудно показать [21, с.108], что из выводимости А и 14 следует вы-
водимость формулы А л!Л, а из выводимости Ал1А - выводимость лю-
бого (переменного) высказывания, грубо говоря, любой чепухи. Таким
образом, противоречивое исчисление в корне порочно.
Справедлива теорема: исчисление высказываний непротиворечиво.
Схема доказательства следующая. Формулы исчисления высказываний
рассматриваются как формулы алгебры логики (161). Проверяется ис-
тинность всех аксиомы теории L, как теорем алгебры логики, что сделать
несложно, благо число их невелико. Затем доказывается, что всякая вы-
водимая формула истинна, поэтому ее отрицание ложно и, следователь-
но, невыводимо.
Здесь важную роль играет компактность аксиоматики (в полном соот-
ветствии с основополагающими тезисами Лейбница и его предшествен-
ников).
Полнота исчисления высказываний определяется решением пробле-
мы, всякая ли тождественная истинная формула алгебры высказываний
(логики) выводима в исчислении высказываний, иными словами, доста-
точен ли свод аксиом и правил вывода исчисления высказываний для
того, чтобы вывести любую «истину».
Можно доказать [21, с.110], что ответ на этот вопрос положителен.
Кроме того, исчисление высказываний полно и в узком смысле, т.е.
присоединение к его аксиомам любой не выводимой в нем формулы при-
водит к противоречию.
§2. Формализованные логические теории
437
Независимость аксиом исчисления высказываний. Аксиома, не вы-
водимая из остальных аксиом, называется независимой от этих аксиом.
Система аксиом, в которой ни одна аксиома не выводима из остальных,
называется независимой системой аксиом. В противном случае система
аксиом называется зависимой; такая система содержит аксиомы, выво-
димые из других, подобного рода лишние аксиомы желательно исклю-
чить.
Система аксиом исчисления высказываний независима. Доказательст-
во этого важного факта - чисто техническая процедура, несложная, но
долгая и кропотливая [21, гл. II, п.11 ].
С необходимостью анализа независимости и непротиворечивости сис-
темы аксиом математики впервые столкнулись при анализе независимо-
сти постулата Евклвда о параллельных в геометрии. Далее мы коснемся
еще пары фундаментальных проблем такого рода.
Логико-математические языки
Сигнатура языка, функциональные символы, пропозициональные символы. Термы
и логические формулы, свободные и связанные переменные. Переименования,
коллизия переменных. Истинность в модели (163)
163. Язык математической теории. При описании и исследовании лю-
бой математической теории необход имо в первую очередь задать и фик-
сировать логико-математический язык, в терминах которого будут опре-
делены основные объекты теории, отношения между ними, необходимые
операции и формулы, которые будут описывать свойства объектов, суж-
дения теории и отношения между ними.
Любая теория начинается с введения основных начальных понятий -
минимального списка неопределяемых понятий, которые потому и назы-
ваются неопределяемыми, что попытка определить их через другие тер-
мины (понятия) приводит к появлению иных понятий, также нуждаю-
щихся в определении, что делает подобные попытки бесперспективными.
Такого рода проблемы были в полной степени осознаны еще Аристоте-
лем, считавшим необходимым принять неопределяемые понятия в каче-
стве исходных, с которых следует начинать изложение теории. Однако
соблазн «все определить» (вполне естественное человеческое желание)
всегда был велик - даже Евклид в тексте излагаемой теории геометрии
(а не в дополнениях или предисловии) пытается дать определения: «точ-
ка есть то, что не имеет частей», «линия - длина без ширины», «прямая
438
Глава VI. Элементы математической логики
линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на
ней*, которые оставим без комментариев. В учебниках по традиционной
логике также приходится видеть попытки дать развернутые определения
основных понятий. Как уже говорилось, с точки зрения математики этол
подход не имеет перспективы.
Кратко изложим общую структуру языка математической теории.
1. Сигнатура. Во-первых, считаются заданными константы (или ицди-
ввдные символы в другой терминологии) данного языка. Объекты данно-
го языка описываются с помощью символов, называемых переменными
или предметными переменными. Возможно, что переменные в теории
имеют разный характер или даже разную природу - тогда их разбивают
по сортам и говорят о константах или переменных данного сорта. На-
пример, в арифметике имеется одна константа 0 и переменные одного
сорта - числа; в элементарной геометрии два сорта переменных: точки и
прямые (или отрезки - в зависимости от трактовки), при измерении длин
и построении теории подобия появляется третий сорт переменных - дей-
ствительные числа и тд.; в векторной алгебре два сорта переменных
векторы и числа н по одной константе каждого сорта: нуль (0) и нуль-
вектор.
Во-вторых, в данном языке считаются заданными также функциональ-
ные символы, которые определяют действия с переменными соответст-
вующего сорта. С каждым функциональным символом связано число его
аргументов - переменных, на которые он действует. Так, для арифметики
определены три функциональных символа: сложение и умножение
(двухместные символы, т.е. два аргумента) и символ перехода отданного
к следующему числу (одноместный символ).
В-третьих, заданы пропозициональные переменные и предикатные
символы.
Таким образом определяется сигнатура языка.
2. Термы и логические формулы. Теперь необходимо определил
(подобно языку естественной речи) осмысленные тексты, составленные
из символов языка данной теории. Правильно построенные тексты раз-
деляются на термы и формулы.
Термы содержат информацию о текстах, касающихся функциональны!
символов (функциональных свойств теории), и для каждого сорта пере-
менных строятся в виде индукционной процедуры: константы и перемен-
ные по определению являются термами, если Гь..., 4-термы, и /- функ-
циональный символ (it-местный), то /(4,..., 4) также является термом.
Для арифметики, к примеру, 0, 1, 2,... - это имена предметов, получа-
ющиеся из 0 последовательным применением функциональной операции
§2. Формализованные логические теории
430
5-«взятия следующего*: 1 =30,2=330,...; термы (например, х+.у(30+х)
иди О-х+у-ЗЗО) задают так называемую именную форму, которая пре-
вращается в имя предмета после подстановки конкретных значений
(имен) переменных.
Формулы (логические формулы) также строятся с помощью индукци-
онного вывода; пропозициональные символы и подстановки P(t\.4)
термов в предикатные символы называются атомарными формулами.
Далее, каждая атомарная формула есть формула; если А, В - формулы,
то с помощью логических связок разрешается образовывать новые фор-
мулы А лВ,АлВ, 1А, Л эВ; с помощью кванторов из формулы Л(х), за-
висящей от переменной языка, разрешается строить формулы УхЛ(х) и
ЭхЛ(х).
Все (правильно образованные) термы и формулы называются выраже-
ниями данного языка.
3. Свободные и связанные переменные. Вхождение переменных в
формулу может быть свободным или связанным. В формуле вида ОхЛ(х),
где Q -любой из кванторов V или 3, переменная х является связанной,
т.е. кванторы связывают переменную. В противном случае вхождение
переменных в формулу является свободным, это означает, что логиче-
ские связки не связывают переменные. Одна и та же переменная может
иметь как свободное, так и связанное вхождение в формулу. К примеру,
в следующей формуле отмечены связанные вхождения (остальные пере-
менные свободны): ।----1 ।-----1
Уг(Р(/(х)/\Зх(?(х,у)эЗуй Ц,уУ) v Q(x,z).
Функциональные символы также могут связывать переменные. В сум-
10 п ,
мах Y.°ij и 2Да5 +Лл1 переменная i связана оператором суммирова-
i=l i=l' '
у( 9 Л
ния, а переменные j,k,n свободны. В интегралах J| Inx + 2}ху" I dx и
A *=i '
1
fx2y2<& переменные хи £ связаны, а у и п свободны,
о
Переменная, входящая хотя бы один раз свободно в формулу Л, назы-
вается параметром этой формулы.
Формула, не содержащая параметров, называется замкнутой формулой
или предложением (употребляют также название «суждение», следуя
Аристотелю).
Аналогично определяются параметры термов и замкнутые термы.
Формулы языка-это строгие формализованные конструкции, предназ-
440
Глава VI. Элементы математической логики
каченные для описания высказываний, высказывательныхформ, превра-
щающихся в высказывание при подстановке имен предметов вместо па-
раметров, и предикатов. Предметы, конечно, могут зависеть не только от
одной (как в логике Аристотеля) переменной. Например, предикат, зави-
сящий от двух переменных, задает отношения между парами предметов
(объектов) теории, так называемые бинарные отношения, и тд.
Предметной областью (как уже говорилось ранее) называется область
изменения как связанных, так и несвязанных переменных в формулах.
Если в логике языка появляются формулы, в которых переменные изме-
няются еще и на подмножествах или функциях предметной области, то
такие логики называются логиками второго порядка. В логиках второго
порядка кванторы могут действовать также на подмножествах или функ-
циях предметной области. В логиках третьего порядка используются
множества функций и т.п. Обычно термины «множество», «подмножест-
во», «функция» относятся к числу неопределенных понятий языка, а не
формализованных переменных строгой теории множеств (177). В логи-
ках более высокого порядка, чем первый, могут также появляться какие-
либо дополнительные нелогические понятия. Типичным примером логи-
ки второго порядка является аксиоматическая теория действительных
чисел: в аксиоме о точной верхней грани переменная пробегает подмно-
жества (ограниченные) предметной области-действительных чисел.
Если для атомарных формул определены их истинностные значения, то
появляется возможность заниматься истинностным анализом логических
формул языка теории.
4. Переименование переменных и подстановка термов в формулы.
Замена связанной переменной в предикате не изменит предиката; так,
формулы ЗуР(х,у, z) и ЗиР(х, и, z) фактически являются одной и той
же формулой. Однако переименование переменной у на х приведет к
предикату ЗхР(х,х, z), отличному от Зу Р(х, у, z). Если придать преди-
кату Р(х, у, z) конкретный смысл х+у~z с предметной областью 0,1,2,...
то с точки зрения элементарной арифметики истинность 3yP(x,y,z) оз-
начает, что x£z, а истинность предиката 3xP(x,x,z), т.е. предиката х+х=;
означает четность z.
Между прочим, сам предикат P(x,y,z) при подстановках Р(1,2,3) иле
Р(3,5,8) будет истинным высказыванием, а при подстановках Р(8,5,3]
или Р(0,4,2)~ ложным; для предиката P{x,y,z) высказывания ЗуР(2,у,3'.
или Р(0,у,0) истинны, а ЗуР(3,у,2) или Р(1,>’,0) ложны.
При переименовании связанной переменной в 3yP(x,y,z) на х незави-
симая переменная х станет связанной. Такая операция, приводящая -I
так называемой коллизии переменных (от лат. collisio - столкновение),
82. Формализованные логические теории
441
недопустима: никакая свободная переменная не должна после переиме-
нования оказаться связанной.
у
Аналогично для функциональных символов: в интеграле fx2y dx заме-
о
на х на у приведет к коллизии переменных (в известных литературных
фразах «Сидя под платаном, в голову Платона пришла мысль» или
«Подъезжая к станции, с головы помещика Иванова слетела шляпа»
также происход ит коллизия переменных, поскольку деепричастия связы-
вают ненадлежащие члены предложения).
Формулы, отличающиеся друг от друга лишь правильным переимено-
ванием связанных переменных, называются конгруэнтными. В действи-
тельности такие формулы тождественны по содержанию.
Еще одной важной задачей при построении новых выражений языка
является правильная (не приводящая к коллизиям) подстановка термов
вместо свободных переменных При желании с этой процедурой можно
познакомиться в [20, §11.2], мы же ее описывать не будем по причине
отсутствия задач или теорем, требующих этих знаний.
5. Истинность в модели. В п. 1 -4 «на идейном уровне» были обсуж-
дены механизмы построения логических формул и термов и работы с ни-
ми. Основными принципами, на которых основывалось (в меру возмож-
ностей) изложение предмета, были последовательность, полнота и кор-
ректность. Но сами по себе выражения формального языка - это просто
комбинации символов. Придать «реальный смысл» (правильно опреде-
ленным) формулам языка - это значит задать предметную область в виде
конкретного множества (чисел, векторов, геометрических объектов...),
чтобы каждой переменной соответствовал конкретный объект «реальной
предметной области», функциональным символам - функции и операции
с этими объектами, термам - именные формы, предикатным символам -
предикаты, с помощью которых формулируются высказывания об этих
предметах как это было в рассмотренных примерах В понимании мате-
матиков выполнить это означает «определить модель» или, как еще го-
ворят, определить семантику языка.
Подстановка соответствующих объектов вместо переменных в терм
определяет некоторый конкретный объект из предметной области, назы-
ваемый значением терма, оцененного в модели.
Все формулы в модели подразделяются на истинные и ложные. Напри-
мер, истинность формулы Эх Л(х) означает, что в предметной области
существует хотя бы один объект, при подстановке (имени) которого
вместо переменного формула А будет истинной, а истинность формулы
УхЛ(х) означает ее истинность для любого объекта из предметной об-
442
Глава VI. Элементы математической логики
ласти. Как уже отмечалось, для бесконечной предметной области про-
верка истинности формулы УхЛ(х) перебором невозможна именно в
силу бесконечности числа необходимых актов проверки, а для конечного,
но очень большого по количеству элементов - сильно затруднена, поэто-
му столь важны компактность системы исходных формул (аксиом) и ана-
лиз техники вывода в исчислении предикатов, т.е. техники доказательств.
Исчисление предикатов
Аксиомы исчисления предикатов и правила вывода. Исчисления предикатов как
реализация концепции Лейбница (164)
164. Элементы исчисления предикатов. Исчисление предикатов опи-
сывает правила логического вывода, т.е. способы (верных) доказа-
тельств утверждений математических теорий в рамках исчисления, зна-
чительно более богатого по своим возможностям, чем исчисление вы-
сказываний.
Аксиомами исчисления предикатов называются формулы
1) Лэ(ВэЛ); 8)
2) (Л:э(ВэС):э((Л=>В):э(Л:эС)); 9) (ЛэВ)г>((Л=>1В)=>1Л;
3) Лэ(В=>ЛлВ); 10) ПЛ=>Л;
4) ЛлвэЛ; 11) УхЛ=>Л(х||0;
5) ЛаВэВ; 12) Ух(СЬЛ(х))=(С=>УхЛ(х));
6) (A=e)o((B=>C)=(AvB=C)); 13) Л(х||0=>ЗхЛ;
7) AoAvB; 14) Ух(Л(х)эС)э(ЗхЛ(х)эС).
Здесь Л, в, С-произвольные формулы, так что каждая строка приве-
денного списка задает схему аксиом исчисления предикатов; фиксируя
Л, В, С, в каждой из 14 схем аксиом можно получить бесконечное се-
мейство конкретных аксиом. В аксиомах 11 и 13 формула Л(х||0 означа-
ет правильную подстановку терма , вместо переменной с необход имыми
переименованиями связанных переменных. В аксиомах 12 и 14 формула
С не содержит х в качестве свободной переменной.
Таким образом, язык логики предикатов не содержит ни функциональ-
ных символов, ни констант, а лишь предикатные символы. Возможны
чуть отличные от данных, но, конечно, эквивалентные и приводящие к
той же теории схемы аксиом исчисления предикатов.
В исчислении пред икатов установлены д ва правила вывод а:
(МР)
А,А=>В
В
- modus ponens (модус поненс);
§2. Формализованные логические-теории
443
(G) - - правило обобщения.
В этих правилах А и В- произвольные формулы, х- произвольная пе-
ременная.
Оба правила сохраняют истинность формул: если над чертой стоят об-
щезначимые формулы, то формулы под чертой будут также общезначимы.
Далее рассматриваемая_теория развивается следующим образом. Ис-
пользуя правила вывода, из аксиом последовательно выводят новые ло-
гические законы (общезначимые формулы). Последовательность таких
формул называется деревом формул. Всякий такой вывод построен по
схеме: посылка - правило вывода - выведенная формула. Верхние фор-
мулы дерева формул, не являющиеся аксиомами исчисления предикатов,
называются гипотезами или открытыми посылками дерева, формул. Если
Г-конечный список формул, то говорят, что формула А выводима в ис-
числении предикатов из списка формул Г, и пишут ГрЛ, когда сущест-
вует вывод с нижней формулой А, в котором всякая гипотеза при выводе
А входит в список Г (саму фигуру ГрЛ называют секвенцией). В списке
Г могут присутствовать формулы, не являющиеся гипотезами при выво-
де формулы А, тогда говорят, что вывод А не зависит от них. Список Г
может быть и пуст, тогда Г|-Л означает, что существует вывод формулы
без гипотез, в этом случае пишут М-
Как в любой математической дисциплине, в исчислении предикатов
разработана целая сцстема правил (приемов), позволяющих облегчить
процесс выведения логических формул, называемая техникой естест-
венного вывода. Овладение этими приемами и есть овладение техникой
математических доказательств в наиболее строгой их форме. При хоро-
шей технике логический вывод уже примерно соответствует доказатель-
ствам теорем элементарной или высшей математики. Ключевым фактом
в технике естественного вывода является теорема о дедукции’, если
(Г,Я)|-В, то Г|-Л=>Л. Этот факт записывается в ваде вспомогательного
правила вывода:
(ГМ)Н?
ГМ => в
(доказательство см.[20, с. 100-101]).Смысл его в том, что часто бывает
проще доказать секвенцию (Г,Л)|-В, чем Г|-Л z>B. В математической
практике этому соответствует следующий пример рассуждения: если
нужно установить, что A z>B, то допустим (введем гипотезу), что А вер-
но, и докажем В исход я из этой гипотезы.
444
Глава VI. Элементы математической логики
Следующие логические формулы называются структурными прави-
лами техники естественного вывода:
1) А |-Л - закон тождества;
2) ГЫ
(Г, В)|-Л - правило добавления;
3) (Г,Д,С,Д)|-Л
(Г, С, В, А) |-Л -правило перестановки;
4) (Г>В>В,А)‘|-Л
(Г, В, Д)|-Л -правило сокращения;
5) Г|-Л;(Д,Л)|-В
(Г,Д)|-В -правило сечения.
Правила 2-5 следует понимать как допустимые правила вывода. Это
означает, что если дан вывод для секвенций, расположенных выше чер-
ты, то можно построить вывод и для секвенции, расположенной ниже
черты. Доказательство этих правил очень просто, при желании его мож-
но увидеть в (20, с.100-102].
Следующую группу образуют логические правила техники естествен-
ного вывода. Эти правила разбиваются на группы - для каждой логиче-
ской связки и квантора, а внутри группы правила делятся на правила
введения, указывающие, как доказывать формулу с данным логическим
символом, и правила удаления, указывающие, как использовать формулу
с данным логическим символом для доказательства других формул. (С
доказательствами можно познакомиться, например, в [20, с.103-104]).
1. Импликация (э):
(Г,Л)|-В Г|-Л;Г|-Л=>Д
Г|-ЛэВ Z)-введение; Г|-В =>-удаление.
2. Конъюнкция (л):
гн; гьв (г,л,д)|-с
л-введение; (Г,ЛлВ)(-С л-удаление.
3. Дизъюнкция (v):
ГЫ ; Г|-В (Г,Л)|-С;(Г,В)|-С
r(-/ivB ГН^В v-введение; (r,^vB)|-C v-удаление.
§2. Формализованные логические теории
445
4. Отрицание (1):
(Г,Л)|-В; (Г,Л)|-1 в Г1-114
Г|-1Л 1-введение; Г |-Л 1-удаление.
5. Общность (V):
ГНК» Г|-УхЛ
Г|-У^Л(х) V-введение; Г|-УхЛ(х||0 V-удаление.
(здесь у не входит свобод но
в Г, и если х отлично от у, то
х не входит свободно в А(у)).
6. Существование (3):
Г|-Л(х||0 (Г,Л(у))|-С
Г|-ЗхЛ 3-введение; (Г,ЗхЛ(х))|-С 3-удаление.
(здесь у не вход ит свобод но в Г и С,
и если х отлично от у, то хне входит
свободное А(у),А(х) есть Л(у||х))
7. Эквивалентность ():
(Г;Л)|-В; (Г, В) |-Л Г|-Л,Г|-ЛздВ
Г|-ЛяВ -введение; Г(-В я-удаление.
Г(-В,ГН4»В
Г|-Л
На практике логические правила применяются следующим образом:
нужно установить секвенцию ниже черты, и мы замечаем, что для этого
достаточно установить секвенции выше черты. В данном виде правила
уже соответствуют обычным приемам математического рассуждения.
Например, v- удаление соответствует разбору случаев. Если в неко-
торой ситуации из Л vB нужно вывести С, то мы рассуждаем так: если
верно A vB, то верно либо А, либо В, и поэтому достаточно разобрать
случаи - вывести С из Л и вывести С из В по отдельности.
3-удаление соответствует правилу единичного выбора. Допустим, что
ЗхЛ(х), и выведем С. Раз существует х, такое, что Л(х), то можно рас-
смотреть (выбрать) одно из таких х. Обозначим его через у. Для этого у
верно Л(у). Таким образом, достаточно вывести формулу С из А(у).
Правило 1-введения соответствует рассуждению от противного,
приведению к абсурду (от лат. reductio ad absurdum): чтобы установить
1 Л, достаточно, допустив Л, получить противоречие, т.е. вывести В й 1В
од новременно д ля под ход ящего В.
Эти приемы доказательств, рассуждений и аргументации уже обсужда-
лись в §1 гл.III.
446
Глава VI. Элементы математической логики
Руководствуясь этими идеями, можно доказывать выводимость логиче-
ских законов исходя из их содержательного смысла. Докажем, например,
f-Xvl/l. Согласно 1-удалению, достаточно вывести |-ll(.4vl4). С этой
целью из допущения 1 (Av] А) по 1-введению получим противоречие
1 (i4v'L4)|-'L4 и 1 (j4v!^)|-1^. В самом деле, для вывода первой секвен-
ции (1-введение) допустим А и получим противоречие: (1 (Л^Д),Л)|-
l(4vU) и (1 (i4vl4)rl4)|-J4v'U, поскольку первая из этих секвенций оче-
видна, а вторая получается v- введением. Аналогично, для получения
секвенции l(4vL4) |-ТМ достаточно вывести секвенции (1(^1Л),Ъ4)|-
1(Jv1a4) и (1(^Ъ4),Ъ4)|- Av]A, которые доказываются аналогично.
Исчисление предикатов - достаточно мощный аппарат, с помощью ко-
торого можно вывести все логические законы, рассмотренные в настоя-
щей книге. Более того, в 1930 г. Куртом Геделем (172), была доказана
теорема о полноте исчисления предикатов, т.е. теорема о том, что всякий
логический закон выводится в исчислении предикатов.
Подробнее с техникой логического вывода и формализованными логи-
ческими теориями в целом можно познакомиться в [20,28,21 ] или в дру-
гих классических учебниках по математической логике.
. Таким образом, в этом параграфе мы в общих чертах познакомились с
тем, как в современной математике реализована концепция Лейбница.
Формализация теорий была проведена нами только на «идейном уров-
не». Настоящее изложение этих проблем и овладение разработанными
математической логикой методами - это серьезное занятие, требующее
более глубокого и детального подхода.
Может возникнуть вопрос, зачем нужна такая строгость-обходятся же
без этого при решении задач элементарной математики или даже мате-
матического анализа. Все зависит от глубины и сложности стоящих за-
дач, в первую очередь именно глубины. В §4 мы познакомимся с инте-
ресными математическими задачами, решение которых стало возмож-
ным только после того, как были переосмыслены основания математики
и вследствие этого уточнена сама постановка этих задач и выработаны
новые принципиальные подходы к их решению. На самом деле с по-
добной ситуацией приходится сталкиваться и в жизни, и в различных
областях деятельности, далеких от математики. Знакомство с методами,
изложенными в этой главе будет полезным рационалистическим упраж-
нением для ума, а также послужит основанием для применения такого
«мощного оружия», как аналогия, с целью решения возникающих про-
блем «в своем цехе».
Приведем также мнение «силы той, что без числа//Творит добро, все-
му желая зла»:
§3. Мощность множеств
447
Мефистофель
Употребляйте с пользой время.
Учиться надо по системе.
Сперва хочу вам в долг вменить
На курсы логики ходпь.
Ваш ум, не тронутый доныне
На них приучат к д исциплине.
Чтоб взял он направленья ось.
Не разбредаясь вкривь и вкось...
И£Т£те * Фауст». Пер. БЛ. Пастернака
Примеры интересных моделей и теории внелогической природы будут
рассмотрены далее в §4, а следующий параграф будет необходимой пре-
людией для этого.
§ 3. МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВ
Комбинаторика
Четыре комбинаторные модели: модель размещений, модель сочетаний, модель
произведения, модель неупорядоченных наборов (165). Бином Ньютона,
необходимые комбинаторные формулы (166)
165. Четыре комбинаторные модели. Рассмотрим модели конечных
множеств, называемые комбинаторными. Эти модели часто встречаются
не только в задачах математики, но и в задачах физики, биологии и в
иных областях человеческой деятельности.
1. Модель размещений. Пусть 5= {1,2,..., N}. Определим новое мно-
жество Л={<»=(51....s*): si,...,steS,иs.^sjпри/#/},т.е.элементамиQ
являются всевозможные упорядоченные наборы различных между собой
чисел от 1 до N длины k<,N. Определенное таким образом множество Л
называется пространством размещений из N элементов по к.
Число элементов конечного множества X обозначается 1x1 или CardX
и называется мощностью множества X. Мы будем использовать оба обо-
значения.
Число элементов пространства размещений |л| называется числом
размещений из N по к и обозначается либо (Л/)*, либо A# в зависимо-
сти от вкуса автора. Мы будем использовать первое обозначение
Теорема. (N)t~ N(N-l)... (ЛГ-Л+1) для любых N и k£N.
448
Глава VI. Элементы математической логики
Доказательство будет несложным упражнением по методу матема-
тической индукции. Зафиксируем произвольное V и проведем индукцию
по Аг.
Г. При к= 1 очевидно, что |д|=У, и (A/)t=W по определению.
2’. Пусть (N)ic=N... (М-Л+1) при всех к=п , тогда при Аг=п+1 набор
(sb ..., 5я+1) может быть получен из произвольного набора (jb .... з„) при-
писыванием справа любого числа из оставшихся S\ {$1, ..., 5Я}. Только
таким образом описываются все упорядоченные наборы несовпадающих
элементов S длины п+1. Поскольку Caid(S\{sb...,^,})=y-n, то (N)„+\ -
=(N-n)(N)„, но по предположению ицдукции (N)„=N.:.(N-n+l), поэтому
(Лг)п+1=Лг...^-п+1)^-п)=М..(У-(п+1)+1), т.е. формула справедлива и
при Аг=и+1.
Следовательно, согласно принципу математической ицдукции (см. 90),
проверяемая формула справедлива при всех N н к (k£N).
Любой упорядоченный набор из N элементов называется перестанов-
кой набора (1..N) или кратко перестановкой N элементов. Очевцдно,
что, по определению, число перестановок (1,...,N) равно (N)n=N\
Ясно, что всевозможные размещения различных предметов по различ-
ным ящикам (местам), классификации по признакам и другие подобные
процедуры приводят к моделям размещений.
2. Модель сочетаний. Неупорядоченным набором fa,..., з*} называет-
ся любая перестановка набора (si,..., s^), т.е. все перестановки отожде-
ствляются.
Пространством сочетаний из N элементов по к называется множество
jQ={a>=(si..s$: l£si,...,st£AT, и st*Sj при i*j}. Размещение неразли-
чимых предметов по различным ящикам и подобного рода процедуры
приводят к модели сочетаний.
Число элементов пространства сочетаний называется числом сочета-
ний из N по к. Число сочетаний из N по к обозначается символом
или C# . Мы будем использовать оба символа.
Из отождествления перестановок ясно, что
0_ W* _ #-(#-*+1) _ У!
*! kt M(N-k)l ’
3. Модель произведения. Пусть S={1,.Если Л=5х...х5=5^, то по
определению прямого произведения множеств элементами £3 будут упо-
рядоченные наборы о>=($1,..., sj), где 1 м. На каждом месте
набора может стоять любое из чисел 1,..., т, поэтому всего возможных
комбинаций, т.е. элементов Д будет т х... х т = т11.
§3. Мощность множеств
449
4. Модель неупорядоченных наборов. Моделью неупорядоченных
наборов называется пространство £2={а>- {si, 1 £ т}. В
отличие от пространства сочетаний здесь числа, стоящие на различных
местах, могут совпадать.
Можно показать, что в модели неупорядоченных наборов
I (m + d-
, V «
Как уже говорилось, эти модели находят широкое применение в задачах
случайного выбора.
166. Бином Ньютона. Число сочетаний также используется в извест-
ной формуле конечного бинома Ньютона
(а+*)"агО"+С^а"-1Ь+Ся2а"-2Ь2+...+С;-*аА"-1+й"» ЕСя*а*Ь"-‘,
к=0
где, по определению, С® = L
В главах, посвященных математическому анализу, также встречалось
обобщение числа сочетаний
Q_ r...(r-fc+l)
it!
д ля любого действительного г (в этом случае обозначение С* не упот-
ребляется). Напомним формулу бесконечного бинома Ньютона - разло-
жение в ряд:
(l+x)r = l+rx+Q) х2+...=
при |х|<1.
Приведем некоторые важные формулы, связанные с числом сочетаний:
(r+Й f /Л ( г . (r+i-Й
3)Сяк=Ся-\ 4)С£11 = ЕС*;
/=*
5)£ся*=2"; 6) Z(-1)*C^ = O;
*=0 i=0
ъ С); 8) 0=jeR
>0 \JS j)
29 - 5091
450
Глава VI. Элементы математической логики
Здесь л, к (п £ к) - произвольные натуральные числа, г - произвольное
действительное число.
Счетные множества
Равномошность бесконечных множеств. Теоремы о счетных множествах, счетность
множества рациональных чисел (167)
167. Счетные множества и их свойства. В 165 мощность конечного
множества была определена естественным образом как число его эле-
ментов. Между любыми двумя множествами, состоящими из одинаково-
го числа элементов, можно установить изоморфизм (26), а можно пред-
варительно перенумеровать каждое множество, т.е. задать изоморфизм
множества и соответствующего отрезка натурального ряда, и затем оп-
ределить изоморфизм между исходными множествами как соответствие
между элементами с одинаковыми номерами. При таком подходе отрезки
натурального ряда будут как бы эталоном измерения мощности конечных
множеств. И сразу становится ясно, что если в первом множестве мень-
ше элементов, чем во втором, то оно равномощно части второго множе-
ства. Кроме того, ясно, что никакое конечное множество не может быть
равномощно своему собственному (т.е. не совпадающему с ним) под-
множеству - так называемое свойство конечности по Дедекинду. На-
пример, парный танец, в котором принимают участие все присутствую-
щие на бале, позволит установить факт либо равного количества мужчин
и женщин, либо численный перевес той стороны, чьи представители
окажутся без пары.
Установление изоморфизма не предполагает конечности участвующих
множеств. Так, соответствия ин» 2л и пн» л 2 задают изоморфизмы
между множеством натуральных чисел и соответственно множествами
четных чисел или полных квадратов. Таким образом, бесконечное мно-
жество может быть равномощно своему собственному подмножеству,
т.е. постулат Евклида, согласно которому «целое всегда больше любой
своей части», к бесконечным множествам неприменим. Этот факт, рас-
цениваемый как парадокс, был отмечен не од ним сред невековым ученым
(см. [19, с. 207]), среди которых наиболее известен Галилей. На самом
деле это не парадокс, а свойство бесконечного множества, существенно
отличающее его от конечного, и вполне к месту здесь вспомнить слова
Гамлета: «Прежде это считалось парадоксом, а теперь доказано» (актЗ,
сц.1). На рис. 90 дан в геометрической форме пример изоморфизма ин-.
§3. Мощность множеств
451
тервала длины я и всей прямой, который в функциональной форме
может быть задан как y=tgx, -я/2<х<я/2.
Рис. 90
Множества (конечные или бесконечные), между которыми может быть
установлен изоморфизм, называются равномощными.
Множество, равномощное множеству натуральных чисел, называется
счетным. Согласно определению, изоморфизм is :N позволяет
пронумеровать все элементы счетного множества X, представив его в
ваде A>{xi,x2,...,x„...}.
Счетные множества в форме последовательностей уже рассматрива-
лись в 89 (гл. IV) и играли затем значительную роль, правда, в связи с
совсем иными проблемами.
Опишем теперь основные свойства счетных множеств (с точки зрения
мощности).
Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:
1) всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество;
2) всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.
Доказательство. 1. Бесконечное множество X непусто, поэтому со-
держит хотя бы один элемент, который обозначим хь В силу бесконечно-
сти X множество X\xi также содержит хотя бы один элемент, который
обозначим х2. В силу бесконечности X этот процесс не оборвется ни на
каком конечном шаге, поэтому, уже определив точки хь ...,х„ можем
выбрать в Х\{хь ...,х«} следующую точку х,+ь и тд. В результате полу-
чим счетное множество Хо= {xi,x2, ...}сХ
2. Пусть множество X счетно, тогда X- {xi,x2, ...,х„...}. Если А сХ, то
выберем первый элемент хч по порядку индексов элементов А, который
обозначим в]. Второй элемент хч обозначим а2, и тд. Тогда мы либо на
каком-то конечном шаге п исчерпаем все элементы А, т.е. Л «{ai,...,^},
либо А бесконечно и А={ai, ...,а„...}.
Таким образом, согласно теореме 1, счетные множества являются ми-
нимальными по мощности сред и бесконечных.
Теорема 2. Объединение счетного числа счетных множеств счетно.
Доказательство. Пусть множества счетны. Обозначим
29’
452
Глава VI. Элементы математической логики
элементы -4] через аи,аи......; множество О2=^42\Л1 сАг, поэтому в
силу теоремы 1 оно счетно, обозначим его элементы через O2i,O22,—,a2n,—',
элементы множества Р*=-4*\(41’-’...’и4ы) - через ащ, аа,.... а*»,; и тд.
Запишем элементы множеств Аь D2, D3,... в следующем виде
А1 = {ОЦ' 012,013, ...,
{й2Ъ а&, 4?3, ••;О2п,---}
D3-{вэ1^оз2, азз, ...,азя,...}
Dt= {041,042,043,..., а4я,...}
Дь= {оа, в*г, вцз,..., aicn,...}
Тогда элементы множества U^, где/?1=Л» можно пересчитать в по-
М
рядке, соответствующем росту суммарного индекса (указанном стрелка-
ми), т.е.
00
IJD* = flu, fl21, fll2, Азь <>22, <>13, <>41, <>32, <>23, О14,—
к=\
оо оо
Но U Dk = U Ajc, поэтому указанная выше последовательность зада-
к=1 *=1
оо
ет |J4t в виде счетного множества.
*=i
Следствие 1. Точно так же доказывается утверждение: сумма конеч-
ного или счетного числа конечных или счетных множеств конечна или
счетна.
Следствие 2. Множество рациональных чисел счетно.
_ п .(0-11-22) . (° -i 1 1
Доказательство. Пусть 4 = |р у,ру,р-.|,..., Л = |“,—
00 '
тогда U А„=Qj следовательно, <^_ счетно в силу теоремы 2.
• п=1
Теорема 3. Если множества X и Y счетны, то их прямое произведе-
ние XxY также счетно.
Доказ ательство. В силу счетности X и Y могут быть представлены в
виде Х={хьх2,хз,...}, Y={yt,y2,y3, .}• Пусть
Ai = {(xi,yi), (хьу2),..., (Х1,/я),...},
^2= {(х2,yi), (х2,^г).(x2,yj,
Ак= {(^кУх), (хьу2),..., (х*,^),...},
§3. Мощность множеств
453
Тогда ХхУ= U Ак и, следовательно, счетно в силу теоремы 2.
*=i
По индукции может быть доказана
Теорема 4. Если множества ..........Х„ счетны(л произвольно),то и
множество Х=Х1*...хХ„ счетно.
Из этой теоремы сразу следует, что множества рациональных точек
плоскости R2 и пространства R3 счетны (рациональные точки-это точ-
ки, все координаты которых рациональны).
Еще одно интересное следствие-счетность множества всех многочле-
нов с рациональными коэффициентами. В самом деле, для любого нату-
рального п полиному P(x) = ao+aix+... + opc* можно поставить в соот-
ветствие набор его коэффициентов (во, ...,а„) и определить таким обра-
зом изоморфизм между множеством А„ всех полиномов степени п с ра-
циональными коэффициентами и счетным множеством Q/*- Следова-
оо
тельно, по теореме 2, множество (J А„ счетно.
л=0
Несчетные множества
Несчетность множества действительных чисел, алгебраическое и геометрическое
доказательства. О мощности множества всех подмножеств счетного множества,
мощность континуума (168)
168. Несчетные н континуальные множества. Систематический ана-
лиз мощностей бесконечных множеств был начат в 1873 г. работами Ге-
орга Кантора (о нем см. 27). Как уже отмечалось, еще со времен Аристо-
теля «актуальная бесконечность» считалась порочным понятием как в
философском, так и в математической смысле и исключалась из рас-
смотрения, поэтому полученные Кантором результаты встретили неодно-
значную реакцию у крупных математиков того времени вплоть до полно-
го неприятия. В следующем параграфе мы поговорим об этом.
К месту будет здесь напомнить и сетования Фауста:
Фауст
Итак, напрасно я копил д ары
Людской премудрости с таким упорством?
Я ничего своим усерд ием черствым
Добиться ие сумел до сей поры.
Ни на волос ие стал я боле крупен.
Мир бесконечности мне недоступен.
454
Глава VI. Элементы математической логики
Мефистофель
Ты в близорукости не одинок...
ЯЛ. Гёте «Фауст*. Пер. БЛ. Пастернака
Как было выяснено в предыдущем параграфе, счетные множества явля-
ются минимальными по мощности среди бесконечных. А существуют ли
несчетные множества, т.е. бесконечные множества, не являющиеся счет-
ными? Такие множества имели бы мощность большую, чем счетные.
Теорема 5 (Г. Кантор). Множество X действительных чисел, за-
ключенных между 0 и 1, несчетно.
Доказательство. Для каждого числа хеХ воспользуемся его пред-
ставлением в виде двоичной дроби: х»=О.х1х2...х'’... (все х"= 0 или 1, ин-
декс сверху - это именно индекс, а не показатель степени).
Предположим, что X счетно, тогда его элементы можем расположить в
виде таблицы (справа - пример такой таблицы)
x3=0.x£xf ... х%...
0.0 0 1 ... 1
0. 0 1 1 ... 1
0. 1 о о ... о
0. 0 1 о ... о
Рассмотрим число х« = 0.х*х*...х«..., где х?=1-х" (в приведенном
примере х.=0.101..,1...). Закономерность построения двоичного разло-
жения числа х. ясна: если на л-м месте на диагонали таблицы стоял
xJJ = 0, то х" = 1, и наоборот.
Од нако построенное таким образом число х. не может присутствовать
в таблице: если х.=х„ для какого-то л, то все цифры их двоичного раз-
ложения совпадают, в частности х!=х”, что противоречит построению
х.и = 1-хи".
Что привело к противоречию? Предположение счетности X и, следо-
вательно, существование таблицы. Итак, X несчетно. Доказательство
окончено.
Рассмотренная конструкция называется диагональным процессом (или
§3. Мощность множеств
455
методом) Кантора, которому принадлежит эта замечательная идея.
Столь же красиво доказательство геометрической версии этого утвер-
ждения.
Теорема 5’ (Г.Кантор). Множество всех точек отрезка [0,1) несчетно.
Доказатёл ь ство проведем также от противного. Пусть множество
точек отрезка [0,1] счетно, тогда [0,1]={хьх2,...,*»,...}.
Разделим [0,1] на три равных отрезка [0,1/3], [1/3,2/3] и [2/3,1]. То-
гда одному из этих отрезков Xi не принадлежит; обозначим его через 1\.
Далее так же разделим 1\ на три равных отрезка и обозначим через /2 тот
из отрезков, которому х2 не принадлежит. И продолжим эту процедуру
до бесконечности. В результате получим бесконечно измельчающуюся
последовательность вложенных отрезков Д=/2=>... ..., причем х„ е 1„
для любого п.
оо
По аксиоме полноты, А/„*0 и состоит ровно из одной точки (27),
Л=1
которую обозначим х«. Но х.#х„ ни д ля какого п, поскольку в против-
00
ном случае х,=хл£/л, что противоречит равенству х=П/л.
Я=1
Таким образом, предположение [0, l]={xi,x2, ...)* привело к противо-
речию, т.е. отрезок [0,1] несчетен.
Из теоремы 5 сразу следует, что множество всех действительных чисел
тем более несчетно.
На самом деле множество {х: 0 < х< 1} и R изоморфны. Их изо-
морфизм можно построить как композицию двух изоморфизмов:
у = 1$1(х) = -у+лх - изоморфизма интервала (0, 1) и интервала
(-л/2, л/2) и изоморфизма и = is^O) = tgj/ интервала (-л/2, л/2) и К-
Тогда изоморфизм is(x) = is2(il(x)) = tg^x-—) будет искомым изо-
морфизмом X и R, что, кстати, является аналитическим эквивалентом
геометрического изоморфизма на рис. 90. Другая возможность-компо-
зиция изоморфизма у = &,(х) = -1+2х интервалов (0,1) и (-1,1) и изо-
морфизма u = is2(y) =
У
1+у2
интервала (-1,1) и R, что приводит к изо-
морфизму й(х) = is2 (1зг (х)) = t-jz—. Здесь интервалы (а, Ь) как гео-
метрическая фигура и как множество чисел отождествлялись.
456
Глава VI. Элементы математической логики
Читателю предоставляется возможность самостоятельно выписать
формулу линейного изоморфизма двух произвольных интервалов или
отрезков.
Интуитивно ясный факт изоморфизма интервала и отрезка, содержа-
щего также крайние точки, реализуется следующей конструкцией. На
интервале (а, Ь) выделим счетное множество {хьх2,...} и положим
isM-x,, is0) = X2, ts(x,) = x3, is(x„) = хл+2,..., а на (a,/>)\{xi, Xj,...}
изоморфизм зададим тождественной функцией is(x) = х.
Надеюсь, читатель еще помнит, какую бурю в научном мире Эллады
вызвало открытие несоизмеримых отрезков, т.е. иррациональных чисел
в современном понимании. Неудивительно, что открытие Кантором не-
счетных множеств также вызвало неприятие и возмущение части мате-
матического мира. Кроме того, Кантору удалось доказать равномощность
множеств точек отрезка и квадрата, прямой и плоскости и даже прямой
и «-мерного пространства. Это было настолько неожиданно, что сам
Кантор писал Рихарду Дедекинду: «Я вижу это, но не могу в это пове-
рить» (неосознанно сформулировав таким образом своеобразную анти-
тезу Тертулиану: Тертулиан верил, но не мог логически обосновать
(доказать), Кантор доказал, но не мог поверить, поскольку результат
противоречил так называемому здравому смыслу).
Кантор также поставил задачу классифицировать по мощности (т.е.
упорядочить) бесконечные множества, и этот параграф мы закончим от-
ветом на вопрос, существует ли максимальная мощность. О других фун-
даментальных проблемах, которые Георгу Кантору удалось решить, а
также ие удалось, речь пойдет в следующем параграфе.
Теорема 6. Множество всех подмножеств любого множества имеет
мощность, большую, чем само множество.
Доказательство. Нетрудно доказать, что для конечного множества
мощности п множество всех его подмножеств будет иметь мощность 2”,
но мы не станем здесь этим заниматься и рассмотрим бесконечное мно-
жество X. Предположим, что утверждение теоремы неверно и существу-
ет изоморфизм i множества X и множества всех его подмножеств /’(А)
(неравенство | А| £ I /’(А) | очевидно). Изоморфизм is: Х1-*ЛХ позво-
ляет «пронумеровать» все подмножества элементами X.
Возможны два варианта: хеАх и хеАх; пусть А» = { х еХ: хеАх}.
Поскольку Л.еТ’(А), то A»=Ax„-is(x*) для некоторого х. еХ .
По определению, УхеА(хеЛ.<=>хгм(х)); тогда д ля х. имеем х,
« х» е is(x) = А,, что невозможно.
§3. Мощ ность множеств
457
Таким образом, предположение о равномощности X и Р(Х) (и, следо-
вательно, возможности нумерации всех подмножеств элементами Л),
приведшее к противоречию, ложно.
В доказательстве теоремы опять же использован диагональный метод
Кантора (в абстрактной интерпретации).
Результат этой теоремы означает отсутствие «максимальной мощно-
сти»: сколь велико бы ни было множество X, множество всех его под-
множеств имеет ббльшую мощность. Это можно интерпретировать как
аналог отсутствия самого мощного из конечных множеств, поскольку
всегд а есть натуральное число, большее данного,
Определение. Мощность множества всех подмножеств счетного мно-
жества называется мощностью континуума.
Пусть X—произвольное множество. Каждому множеству АеР(Х) мож-
но поставить в соответствие его индикатор 1л(х)-функцию на X, опре-
деляемую как
_J 1, если*еЛ,
[О, еслихиА.
Если А*В, то А\В*0 или В\А*0. Пусть А\В*0. Взяв хеА\В, по-
лучим, 1л(х)=1, а 1в(х)=0, поэтому соответствие Лн-»1л является изо-
морфизмом, т.е. мощность Р(Х) равна мощности множества всех инди-
каторов на X.
Для любого ЛсН индикаторы (1),...,1Л (л),... определяют последо-
вательность нулей и единиц, причем д ля любых двух различных подмно-
жеств N эти последовательности различны. Следовательно, |/’(N)|
(мощность континуума) равна мощности всех бесконечных последова-
тельностей из нулей и единиц.
Используя разложение числа в двоичную дробь, можно показать, что
множество действительных чисел имеет мощность континуума. Читателю
предоставляется возможность д ать полное доказательство этого факта.
На этом техническая сторона заканчивается. Изложенных результатов
достаточно д ля того, чтобы было понятно, о чем далее идет речь, и мате-
риал не «повиснет в воздухе» без предметной опоры, однако все необхо-
димые ссылки, позволяющие углубить знание, будут, как обычно, даны.
В заключение заметим, что фундаментальные результаты этой главы
уже негласно использовались, например в анализе, где отдельно рас-
сматривались пределы последовательностей и функций действительного
переменного. Отметим, что в теории вероятностей распределения (и
случайные величины), обладающие плотностью, могут быть реализованы
только на моделях несчетных вероятностных пространств.
458
Глава VI. Элементы математической логики
§ 4. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Анализ основ математики в конке XIX-начале XX в.
Парадоксы «наивной» теории множеств
Антиномии Кантора и Рассела; о трудах Г. Фреге; апории Зенона (169)
169.0 фундаментальных проблемах математики к началу XX в. С по-
явлением работ Джорджа Буля по математической логике, Карла Вей-
ерштрасса по теории функций и построению действительных чисел, Ри-
харда Дедекивда по алгебре и теории действительных чисел, Георга Кан-
тора по теории действительных чисел и теории множеств и работ других
авторов, о которых мы не говорили в этом учебнике, предмет обсужде-
ния и споров сместился с обоснования предельных операций в математи-
ческом анализе к обоснованию теории чисел и множеств, т.е. к основа-
ниям математики.
Труд но удержаться, чтобы не процитировать здесь Гете:
Мефистофель
Все в мире изменил прогресс.
Как быть? Меняется и бес.
Арктический фантом не в моде.
Когтей ты не найдешь в заводе,
Рога исчезли, хвост исчез.
И£. Гёте * Фауст». Пер. БД. Пастернака
Казалось бы, на первый взгляд, о каких спорах может ид ти речь? Дока-
зано или решено — отлично, не доказано или не найден ответ — ищи. На
самом деле все не так просто. И дело даже не в тех результатах, проти-
воречащих первоначальным представлениям, так называемому здравому
смыслу, о которых Кантор писал «вижу, но не могу поверить». В 1895 г.
Кантору пришла в голову идея рассмотреть множество всех множеств.
Непосредственно по определению такое множество должно быть самым
«большим» и самым большим по мощности. С другой стороны, множест-
во всех его подмножеств содержит его в качестве элемента и имеет
большую мощность согласно теории самого Кантора. Это явное проти-
воречие.
В 1902 г. Расселом (о трудах которого говорилось неоднократно, начи-
ная с 152) был найден еще од ин парадокс, называемый теперь антиноми-
ей (от греч. avnvojaa - противоречие законов) Рассела. Рассел пред-
ложил рассмотреть множество всех множеств, не содержащих себя в
§4. Основания математики
450
качестве элемента. Обозначим это множество через R и зададимся
вопросом, содержит R себя в качестве элемента или нет? Если ReR,
то, по определению, оно должно быть в числе всех множеств, ие содер-
жащих себя в качестве элемента, т.е. RgR. Получаем противоречие.
Также к противоречию привод ит предположение ReR.
Кроме антиномий Кантора и Рассела были обнаружены и другие анти-
номии (более подробно см. [ 19, §35] и [5, с. 234-242]). Причем все это не
просто антиномии в философии типа кантианских антиномий: конечность
и бесконечность мира, непрерывность и прерывность (атомистичность)
материи и т.п., которые допускаются, освященные магическим словом
«диалектика», не просто антиномии в физике, свидетельствующие о
наличии у.объекга свойств принципиально разной природы, т.е. дуализм
типа корпускулярно-волнового дуализма света.
В математике наличие (истинность) двух противоречащих высказыва-
ний позволяет вывести любое ложное высказывание и поэтому недопус-
тимо. Появление в какой-либо математической теории выводимого про-
тиворечия (антиномии) означает, что теория либо ложна, либо требует
пересмотра.
Попытка анализа правил логического вывод а (логической безупречно-
сти доказательств) математики и оснований математики была предпри-
нята также профессором математики университета в Иене Готлобом
Фреге (G. Frege, 1848-1925) в работах 1879,1893 и 1902 г. Он первым
сформулировал целостный вариант аксиоматики логики высказываний и
предикатов, внес значительный вклад в формализацию правил логиче-
ского вывода и математических теорий вообще и попытался заменить
старую основу арифметики и математического анализа. Буквально нака-
нуне выхода из типографии второго тома своей книги «Основные законы
арифметики» в 1902 г. Фреге получил письмо Рассела, в котором по-
следний обращал внимание автора на то, что принятые в книге правила
построения и операций с предикатами приводят к антиномиям типа ан-
тиномий Кантора и Рассела. О последующих драматических событиях в
научной жизни Фреге можно прочитать в [27, гл.4].
Возможны были два принципиальных пути выхода из возникшего кри-
зиса. Как уже говорилось (23), еще с эллинистических времен и фило-
софы, и математики предостерегали против использования «актуальной
бесконечности» («Остается альтернатива, согласно которой бесконеч-
ное имеет потенциальное существование... Актуально бесконечное не
существует», - писал Аристотель в «Физике»). Кроме уже сказанного,
можно привести слова Гаусса (1831): «Я возражаю- против употребив-
460
Глава VI. Элементы математической логики
ния бесконечной величины как чего-либо завершенного, что никогда не
позволительно в математике...» Французский математик и философ
Анри Пуанкаре (53), высказал в 1908 г. следующую точку зрения:
«Грядущие поколения будут рассматривать теорию множеств как бо-
лезнь, от которой они излечились*. Забегая вперед, скажем, что Пуан-
каре оказался неправ. Но самым пылким критиком теории множеств был
немецкий математик Леопольд Кронекер (L. Kronecker, 1823 - 91), про-
фессор Берлинского университета и член Берлинской академии наук.
Может быть, математика бесконечного действительно подобна гробни-
цам фараонов, обрекающим на бедствия всякого, осмелившегося про-
никнуть в них? Ведь еще древнегреческий философ Зенон Элейский
(V в. до н.э.), ученик Парменида, привел несколько примеров апорий
(логических затруднений, парадоксов), касающихся бесконечности (см.,
например, [ 10, с.89-93]). Приведем д ве апории Зенона.
1. Дихотомия. Движущееся тело никогда не достигнет конца пути,
потому что сначала оно должно дойти до середины пути, потом до сере-
дины остатка пути, и тд.
2. Ахиллес и черепаха. Быстроногий Ахиллес никогда не догонит чере-
паху, если та в начале движения находилась на некотором расстоянии
впереди него. Действительно, если начальное расстояние между ними
равно а и Ахиллес движется в х раз быстрее, то, когда он пройдет рас-
стояние а, черепаха отползет на а!х, когд а Ахиллес пройдет это расстоя-
ние, черепаха отползет на а/х2, и тд., и всякий раз между состязающи-
мися будет оставаться отличная от нуля дистанция.
Отмечалось и еще одно затруднение. Если он даже и догонит черепаху,
то, ставя в соответствие пройденному Ахиллесом отрезку а/х" отрезок
abt*', пройденный черепахой, получим, что к моменту встречи он должен
пройти столько же отрезков, сколько черепаха. Обозначим это количе-
ство через а. С другой стороны, каждому отрезку а/х", пройденному че-
репахой, соответствует такой же отрезок пути Ахиллеса, но, кроме того,
он должен пройти еще начальный отрезок д линой а, т.е. получается про-
тиворечивое равенство а»а+1.
Конечно, апории Зенона были наименьшими из бед. Если в первой
апории время до достижения телом середины отрезка некоторой д лины а
обозначить через /, то расстояние а/4 (до середины остатка) тело прой-
дет за время 1/2, расстояние а/8 - за время 174 (в апории предполагается,
что движение равномерно), и тд. Суммарный путь в результате этого
а а а а/2
бесконечного процесса будет равен J+ -+2S’+ =Y4^ = ° как сум-
§4. Основания математики
461
ма бесконечной геометрической прогрессии, а суммарное время равно
t t 1
/+т-+.= t in = 2t, т.е. в противоположность утверждению
XX 1" 1/X
Зенона тело достигнет конца отрезка за конечное время It. Ошибка вы-
вода заключалась в утверждении, что бесконечное число действий, рас-
сматриваемых в апории (достижение последовательных середин), потре-
бует бесконечного времени.
Рассматривая вторую апорию, поставим вопрос несколько иначе: какое
расстояние пройдет черепаха к моменту, когда Ахиллес ее догонит? Ре-
шение очевидно для школьника шестого класса: если обозначить это
расстояние через d, то Ахиллес за это время пройдет расстояние dx, и
получаем уравнение d+a-dx относительно d, откуда d=a/(x-\'). Таким
образом, дело в неоптимальном «методе атаки» поставленной задачи.
Любой школьник или студент неоднократно сталкивался с тем, как не-
удачный метод решения приводит к дополнительным проблемам и техни-
ческим мучениям. На пути, предложенном Зеноном, задача решаема тем
же методом, что и первая апория (читателю предоставляется возмож-
ность сделать это самостоятельно).
Интереснее задача устранения противоречивого равенства а = а+ 1.
Это также несложно. Дело в том, что число шагов а бесконечно, точнее,
счетно. Поэтому, если трактовать а как мощность счетного множества
(шагов), то никакого противоречия не будет, поскольку, добавляя к
счетному множеству еще один элемент, мы снова получаем счетное
множество. Следует отметить, что это осознавал еще Б. Паскаль
(«Мысли», 233): «Бесконечность не увеличится, если к ней прибавить
единицу».
Так что, эти апории - не беда; настоящие беды заключались в найден-
ных самим Кантором, Расселом и другими математиками антиномиях и
неожиданных, не согласовавшихся с традиционными представлениями
результатах.
Итак, первый подход намечен. Он состоит в безоговорочном отказе от
рассмотрения бесконечных множеств.
Другой принципиальный подход основывается на совсем иных требова-
ниях: найти причину появления антиномий, определить область ихдейст-
вия, устранить причины («Мы знаем, что бесконечность существует, но
не ведаем, какова ее природа* - Паскаль. Мысли, 233). В поддержку
этого подхода можно напомнить, что бесконечные Периодические дроби
уже рассматривались нами в теории действительного числа, а бесконеч-
ные множества и процедуры - в математическом анализе, поэтому наме-
462
Глава VI. Элементы математической логики
рение подвергнуть исследованию бесконечные множества нельзя считать
какой-то экзотической идеей.
Априори непонятно, к чему приведет выполнение этой программы; мо-
жет быть, в самом деле придется отказаться от бесконечных множеств.
Но проблема прежде всего касается области действия антиномий. На-
помним, что в письме Рассела речь шла о конструкциях, приводящих к
антиномиям в обосновании арифметики, а совсем не теории множеств.
Дальнейший анализ используемых средств показал, что такие же формы
определения объектов и конструкций (в частности, способы рассужде-
ний) использовались и в традиционных областях математики, состав-
лявших ее неотъемлемую часть. Это уже не дискуссия о бесконечности,
это уже очень серьезно.
Первоначальный неаксиоматизированный вариант теории множеств, в
котором без ограничений позволялось образовывать любые множества
при помощи предикатов (что приводило к антиномиям), принято назы-
вать наивной теорией множеств (без какого-либо отрицательного оттен-
ка в эпитете «наивный»).
Способы устранения антиномий. Различные взгляды
на основы математики
Логицизм: переписка Б. Рассела и Г. Фреге; основные тезисы концепции логицизма в
трудах Б. Рассела и А Уайтхеда (170). Интуиционизм: предшественники, о лидерах
школы интуиционизма и основных тезисах; о последствиях интуиционистской
перестройки математики (171). Формализм: о 23 проблемах А Гильберта, о
программе школы формализма и ее лидерах; формальные аксиоматические теории,
теория доказательств. Об основных результатах и гипотезах (172). Теоретико-
множественное направление, об аксиоматике теории множеств, теория множеств
как основание математики (173)
170. Логицизм. Анализируя причины появления антиномий, Рассел
пришел к выводу, что они лежат не в ошибках при доказательствах (т.е.
ошибках формального логического вывод а), а прежде всего в самих до-
пущениях, в правилах, которые допускают рассмотрение объекта, задан-
ного с помощью любой правильной в грамматическом отношении фразы.
Среди них были такие, в которых объект определялся через самого себя,
точнее, через класс (объектов), содержащих определяемый объект. В
конструкцию таких определений заложен «порочный круг» - описывае-
мый в них объект не может считаться действительно новым. Примером,
такого определения может служить знакомая фраза «множество всех
множеств», аналогичная фраза фигурирует в антиномии Рассела
(аналогичным образом построена фраза в знаменитом логическом пара-.
§4. Основания математики
463
доксе Эвбулвда (см. 174)). Такие определения были названы непредика-
тивными (термин А. Пуанкаре).
Итак, было осознано, что не всякая корректная в грамматическом,
смысле фраза оказывается корректной в смысле математическом.
Однако полностью отказаться от непредикативных определений и подоб-
ным образом решить разом все проблемы оказалось невозможно, по-
скольку непредикативные определения по существу использовались и в
традиционных областях математики, причем совсем не всегда приводили
к противоречиям.
Несмотря на обнаруженные в «Основных законах арифметики» Фреге
конструкции, приводящие к антиномиям, Рассел был полностью согла-
сен с принципиальной позицией Фреге сделать логику основой матема-
тики, изложив ее как свод незыблемых истин, из которых бы .рассужде-
ниями, не вызывающими сомнений ни у кого из коллег по «математи-
ческому цеху», выводилась вся остальная математика. В своем роковом
письме к Фреге, исполненном уважения к содержательным результатам
коллеги, о котором шла речь в 169, Рассел писал: «Сейчас я заканчиваю
книгу о принципах математики... Строгое использование логики в фунда-
ментальных вопросах — там, где бессильны формулы, — только начина-
ется; в Ваших работах я нахожу лучшее из того, что на сегод ня известно,
поэтому разрешу себе выразить Вам глубокое уважение...». Книга, о
которой писал Фреге Рассел, появилась в 1903 г. и называлась
«Принципы математики» (Russel В. The Principles of Mathematics. Cam-
bridge, Engl., 1903). В ней был прямо сформулирован тезис: «Тот факт,
что вся математика есть не что иное, как символическая логика — вели-
чайшее открытие нашего века».
Тезис о выводимости всей математики из аксиоматически построенной
математической логики определил так называемую школу логицизма.
В 1910-1913 гг. Рассел совместно с Альфредом Нортом Уайтхедом
(A.N. Whitehead, 1861-1947, английский писатель и философ, профес-
сор университетов Кембрид жа, Лондона и американского Гарварда) вы-
пускает фундаментальный (почти две тысячи страниц) трехгомный труд
«Principia Mathematica» («Основания математики»), где подробно изла-
гается конструкция математики с позиций школы логицизма. Эта книга
оказала огромное влияние на развитие математики в XX в. как на сто-
ронников школы логицизма, так и на ее противников, как достигнутыми
результатами, так и нерешенными проблемами: непреодоленные трудно-
сти или методы, вызвавшие критику, стимулировали новые подходы и
получение новых результатов.
464
Глава VI. Элементы математической логики
Содержательное обсуждение этого труда требует и времени, и под-
готовки. Мы лишь скажем, что рассмотренных выше антиномий типа
Кантора или Рассела удалось избежать с помощью предложенной Рассе-
лом и Уайтхедом теории типов. Согласно этой теории, само утверждение
принадлежит более высокому типу, чем те, о которых в нем что-то ут-
верждается. Так, в применении к теории множеств все множества обра-
зуют класс, который не является множеством, т.е. можно говорить о
классе всех множеств, но множества всех множеств не существует, это
понятие некорректно. Как показали в своих трудах Рассел и Уайтхед,
предложенная ими теория типов позволила избежать всех известных в то
время парадоксов.
171. Интуиционизм. Постулаты, заложенные в основание здания, по-
строенного школой логицизма, далеко не всем математикам показались
неоспоримыми, априорными истинами. Еще в 1907 г. сам Уайтхед пред-
полагал, что «невозможно формально доказать непротиворечивость
самих логических посылок» [5, с.254], поэтому последующее развитие
событий не было случайным.
В противоположность логицизму начала формироваться другая кон-
цепция. Согласно ей в основание математики могут быть положены толь-
ко те понятия и конструкции, смысл которых интуитивно ясен и не нуж-
дается в обосновании, это же должно относиться и к допустимым прави-
лам логического вывода. Математическая школа, следовавшая этим
установкам, получила название интуиционистской, а соответствующее
направление стало называться интуиционизмом.
Дуалистическая установка об источниках знания - интуиции, с помо-
щью которой человек постигает начальные истины, ясные и очевидные, и
логике (дедукции), посредством которой он получает дальнейшие знания,
была ясно и четко высказана Декартом в «Правилах для руководства
ума» в 1628 г., т.е. задолго до XX в. Причем Декарт явно отдает предпоч-
тение интуиции:
Под интуицией я разумею не шаткое свидетельство чувств и не обманчивое суждение бес-
порядочного воображения, но понятие ясного и внимательного ума, настолько простое и от-
четливое, что оно не оставляет никакого сомнения... и благодаря своей простоте, более дос-
товерное, чем сама дедукция, хотя последняя и не может быть плохо построена человеком.
Опора на интуицию как общая философская установка восходит не
только к Декарту, но и к Паскалю (о чем мы уже говорили ранее), а
также к Канту (о чем мы не говорили), более того, еще св. Ансельму [25,
т.1, с.435] принадлежат слова «Я верую, дабы понимать». А тезис Пас-
каля «Смири гордыню, бессильный разум» вполне можно поставить
эпиграфом к ревизии сложных логических построений, предпринятых
§4. Основания математики
465
интуиционистами. Но мы не будем касаться философии, а будем гово-
рить только об интуиционизме в математике.
Основным интуитивно ясным понятием может быть признано понятие
натурального числа. Еще Леопольд Кронекер сформулировал эту мысль
в своем знаменитом тезисе «Господь Бог создал целые числа; все
остальное - дело рук человеческих». Непосредственное принятие
натуральных чисел как первичного объекта, заложенного в глубинах че-
ловеческой интуиции, Кронекер считал значительно более приемлемым
и убедительным, нежели обоснование их с помощью теоретико-
множественных конструкций, к которым он относился крайне неодобри-
тельно.
Крупнейшие математики предприняли в начале XX в. атаку на стояв-
шие фундаментальные проблемы и высказали немало критических и од-
новременно конструктивных замечаний в адрес рецептов логицистов. Но
собственно концепция и философия интуиционизма были сформулиро-
ваны нцдерлавдским математиком и философом Лёйтценом Эгбертом
Яном Брауэром (L.E.J. Brower, 1881-1966) в 1907 г. в докторской дис-
сертации «Об основаниях математики». Кроме Брауэра можно назвать
еще двух крупнейших математиков, принадлежащих к школе интуицио-
низма, - Германа Вейля (см.: Вейль Г. Математическое мышление. М.,
1989) и Аренда Гейтинга (см.: ГейтингА. Интуиционизм. М., 1965).
Интуитивно ясные понятия и представления, которые должны быть
положены в основание математики, по мнению интуиционистов, не яв-
ляются ни эмпирическими, ни чувственными, а непосредственно данны-
ми (отметим, что, поскольку они станут основанием единой для всех ма-
тематики, то должны быть интуитивно ясными для всех).
Логика, по мнению интуиционистов, не первична, и не математика
должна строиться на логике, а логика на математике. Более того, (фор-
мальная) логика не является надежным инструментом для открытия ис-
тин, точнее, не вся логика — не существует априори обязательных логи-
ческих принципов; среди принципов, применявшихся логицистами, го-
дятся только те, которые являются интуитивно приемлемыми.
Среди логических законов, подвергшихся ревизии, закон исключения
третьего (Av\A¥) был первым (по значимости). Бесспорно, по мнению
интуиционистов, закон исключения третьего может быть применим толь-
ко по отношению к конечным множествам. Анализ теорем существова-
ния показывает, что д ля такого вывода были серьезные основания. Если
какую-нибудь теорему о существовании искомого объекта (например,
максимума непрерывной функции на отрезке) доказывать приведением к
противоречию, то из этого доказательства нельзя извлечь способ, позво-
ляющий этот объект конструктивно построить. Также для объекта, кото-
30 - 5091
466
Г л a b a VI. Элементы математической логики
рый является результатом бесконечного процесса (например, иррацио-
нальное число), несправедливость какой-либо гипотезы на каждом шаге
построения не означает, что она не верна вообще. Примеров такого рода,
ставших к настоящему времени классическими, набралось достаточно.
Вообще следует иметь в веду, что интуиционизм является не только
математической концепцией, но и философской, и при серьезном про-
фессиональном обсуждении их разделить очень трудно. Анализ аргумен-
тов pro и contra представителей различных школ—также занятие исклю-
чительно для профессионалов. В серьезных вопросах дилетантизм всегда
ходит под руку с бедой. В нашем схематическом изложении мы будем
рассматривать только те аргументы, включая критические, которые
носят конструктивный характер, т.е. ложатся в основу позитивных кон?
струкций другой теории. Это относится как к уже рассмотренным кон-
цепциям, так и к излагаемым далее.
Анализ всех разделов математики с интуиционистских позиций был
делом очень трудным и продвигался медленно. Часть результатов мате-
матики была признана негодной, часть математики удалось перестроить.
Но новые, конструктивные доказательства оказались чрезвычайно
громоздкими, и в результате перекройки интуиционистам пришлось
пожертвовать слишком многим даже в традиционной математике. Но
безусловно столь глубокий анализ оснований математики имел громадное
значение для ее последующего развития.
172. Формализм. В 1900 г. в Париже состоялся II Международный
математический конгресс, на котором с большим докладом выступил
профессор математики Гёттингенского университета Давид Гильберт
(D. Hilbert, 1862-1943). В этом докладе, сразу ставшем знаменитым, он
сформулировал 23, по его мнению, важнейшие нерешенные проблемы
математики (впоследствии они стали называться «проблемами Гильбер-
та»), которые девятнадцатое столетие завещало двадцатому. Сама
постановка доклада говорит о том, что его автором мог быть только ма-
тематик, пользовавшийся исключительным уважением коллег за вклад,
внесенный в науку. Действительно, даже перечисление областей мате-
матики, в которых Гйльберт получил важные результаты, и его титулов
заняло бы много места.
О первой по счету проблеме Гильберта (континуум-гипотезе) речь пой-
дет в 177. Второй проблемой, указанной Гильбертом, была проблема
непротиворечивости арифметики, из которой следовала непротиворечи-
вость геометрии Евклида, поскольку таким образом гарантировалась
непротиворечивость арифметической модели евклидовой геометрии
§4. Основания математики
467
(см. 49,51). Однако сам вопрос о непротиворечивости арифметики (а
следовательно, и действительных чисел, с которыми математики спокой-
но, без каких-либо антиномий работали по крайней мере пару веков)
вызвал удивление у многих. Хотя эта проблема и развивалась Гильбер-
том в нескольких работах в конце XIX в., многим его коллегам она каза-
лась надуманной. Несмотря на то что к тому времени несколько антино-
мий Кантора уже были известны, они касались бесконечных множеств
(т.е. вроде бы специальной области математики), а к замечанию об ис-
пользовании недопустимых логических конструкций в традиционной ма-
тематике Рассел пришел только в 1902 г., так что тогда эта проблема
действительно могла показаться не очень важной. Только через несколь-
ко лет все смогли убедиться в том, насколько глубоко было понимание
Гильбертом математики.
В 1904 г. в докладе на III Международном конгрессе математиков в
Гейдельберге Гильберт сформулировал общие контуры программы ново-
го направления в математике, получившего название формализма. В
уточнении и реализации программы этого направления математики при-
няли также участие такие выдающиеся ученые, как Вильгельм Аккерман
(W. Ackermann, 1896 -1962), Поль Бернайс (Paul Bemays, 1888-1978),
Джон фон Нейман (J. von Neumann, 1903 - 57).-Уточнение и развитие
как методов, так и программных положений в серии работ, прежде всего
в 1920-1930 гг., сформулировало к 1930-м гг. принципиальную концеп-
цию школы формализма.
Ошибки и парадоксы, имевшие место сначала в математическом ана-
лизе, а затем в теории множеств, должны, по мнению Гильберта, быть
исключены в будущем. Математика должна иметь надежные основания и
не вызывающие сомнений способы доказательств (рассуждений), позво-
ляющие получать новые результаты, и уж само собой среди полученных
результатов не должны появляться противоречивые.
Интуиция и интуитивная очевидность носят субъективный характер, по
мнению лидеров школы формализма, и не могут служить надежным фун-
даментом математики, тем более в силу того, что начальные интуитивно
очевидные представления вовсе не обязаны быть у всех одинаковыми.
Поэтому ставилась задача исключить необходимость в начальной интуи-
ции и заменить ее некоторыми объективно существующими истинами. О
выполнимости этой задачи разговор пойдет чуть позднее.
Кроме того, интуитивная очевидность многих объектов классической
математики весьма спорна. Например, хотя иррациональные отрезки
(18) получаются в результате простой интуитивно ясной процедуры, они
сами по себе не создают никакого интуитивного представления об ирра-
30‘
468
Глава VI. Элементы математической логики
циональном числе, интуитивность комплексного числа тоже спорна, не
говоря уже о многих понятиях математического анализа.
Что касается позиции логицистов, то Гильберт указывал как на то, что
основания математики содержат кроме логических также и внелогиче-
ские конструкции и понятия, так и на то, что сама логика использует
внелогические понятия (например, целые числа) в качестве начальных и
в процессе логического вывода. Таким образом, по мнению формали-
стов, логика является частью математики, а никак не наоборот.
Согласно концепции школы формалистов, математика состоит из фор-
мальных систем, взаимосвязанных в той или иной степени; каждая такая
система-это строгая формализация конкретной математической дисци-
плины (арифметики, геометрии, математического анализа, линейной ал-
гебры, математической логики и т.п.) со своими собственными понятия-
ми, сводом аксиом, правилами логического вывода результатов (теорем).
Каждая формальная система имеет свою символику и свой язык (см. 163,
2.2). Не все символы теории обязаны иметь предметную (реальную, ин-
туитивную) интерпретацию; не имеющие интуитивного образа
(например, обозначавшие бесконечное множество) символы были на-
званы идеальными элементами (объектами). Важнейшим требованием,
предъявляемым к формальной теории, является требование ее непроти-
воречивости. Если теория строится на основании аксиоматики, сразу
содержащей идеальные элементы, то непротиворечивой должна быть
сама аксиоматика; если идеальные элементы добавляются к теории, не
содержащей таковых, то это добавление не должно приводить к проти-
воречиям.
Для недопущения появления противоречий формалисты выработали
правила формального последовательного преобразования формул и ло-
гического вывода из аксиом, в результате которых должны появляться
только истинные формулы. Иными словами, были выработаны требова-
ния к способам доказательств утверждений. Все спорные приемы в дока-
зательствах исключались, доказательства существования должны были
быть конструктивными, а используемые в доказательствах приемы
(методы) - принципиально выполнимыми. (Следует отметить, что в тре-
бованиях к доказательствам у школ интуиционизма и формализма было
много общего.) Такого рода требования к доказательствам Гильберт на-
звал финитными, не давая строгого определения этому термину, но по-
ясняя требование финитносги примерами. В окончательном варианте
теория доказательств школы формализма была изложена Гильбертом в
труде «Теория доказательств», изданном в 1934 г.
Первоначальную версию концепции формализма упрекали в том, что
§4. Основания математики
469
она является попросту «игрой в символы», ограниченной требованиями
формальной непротиворечивости (эту точку зрения ярко сформулировал
в 1912 г. Брауэр: «На вопрос, где Следует искать математическую стро-
гость, д ве группировки д ают два различных ответа. Интуиционисты отве-
чают, что в человеческом разуме, формалисты -что на бумаге»). Отвечая
на критику Гильберт предложил разделить утверждения (результаты)
математики на реальные (или действительные) и идеальные. Реальные
результаты касаются только простых конструктивных объектов, не со-
держащих идеальных компонентов, и поэтому могут считаться имеющи-
ми содержательный, предметный смысл в том случае, когда они являют-
ся истинными в некоторой реальной модели (интерпретации), описы-
вающей реальные в смысле формализма объекты. «...В математике
предметом нашего рассмотрения являются конкретные знаки... облик
которых... непосредственно ясен и может быть впоследствии узнава-
ем...», - писал Гильберт.
Итак, все так или иначе сводилось в конечном счете к натуральным
числам (арифметике) и исчислению предикатов с реальной предметной
областью, а в формальном смысле - к доказательству непротиворечивос-
ти арифметики (т.е. теории натуральных чисел).
Основной замысел Гильберт сформулировал так: «Эта теория ставит
своей целью установить определенную надежность математического ме-
тода» и, излагая понимание математики школой формализма^ писал:
Математика есть наука, в которой отсутствует гипотеза. Для ее обоснования я не нуждаюсь
ни, как Кронекер, в Господе Боге, ни, как Пуанкаре, в предположении об особой, построен-
ной на принципе полной индукции способности нашего разума, ни, как Брауэр, в первона-
чальной индукции, наконец, ни как Рассел и Уайтхед в аксиомах..., которые являются под-
линными гипотезами содержательного характера и, сверх того, вовсе не правд оподобными.
К концу 1920-х гг. Гильберт не сомневался в скором доказательстве
непротиворечивости арифметики, а вследствие этого - в решении всех
фундаментальных проблем математики. В 1925 г. он отмечал:
В качестве примера возможного подхода к решению фундаментальных проблем я хотел бы
избрать тезис о разрешимости любой математической задачи. Мы все убеждены в том, что
любая математическая задача поддается решению. Это убеждение в разрешимости каждой
математической проблемы является для нас большим подспорьем в работе, когда мы присту-
паем к решению математической проблемы, ибо мы слышим внутри себя постоянный при-
зыв: вот проблема, иши решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в
математике не существует Ignorabimus <мы не будем знать».
В 1928 г., выступая на Международном математическом конгрессе в
Болонье, Гильберт выразил уверенность в том, что предлагаемый шко-
лой формализма подход вскоре позволит покончить со всеми проблема-
470
Глава VI. Элементы математической логики
ми обоснования математики. И в 1930 г. австрийский математик Курт
Гедель (К. Gddel, 1906-78), о котором будет рассказано далее, получил
фундаментальный результат, подтверждавший эту уверенность: он дока-
зал полноту исчисления предикатов первого порядка (164), т.е доказал,
что всякая выводимая формула либо истинна, либо ложна. Этот резуль-
тат казалось бы подтверждал уверенность Гильберта, высказанную им на
конгрессе в 1928 г., в том, что любое математическое утверждение,
имеющее смысл (т.е. выводимое в рамках соответствующей формальной
теории), будет либо доказано, либо опровергнуто и вскоре в математике
не останется нерешенных проблем.
Увы, как известно, поиски истины часто являются источником многих
печалей и бед (и неприятности научные можно отнести к числу наи-
меньших); притом обнаруживается она в самых неожиданных местах:
- Я, игемои, говорил, что рухнет храм старой веры и создастся новый храм истины. Сказал
так, чтобы было понятнее.
- Зачем же ты, бродяга, на базаре смущал народ, рассказывая про истину, о которой ты не
имеешь представления? Что такое истина?
И вновь он услышал голос:
- Истина прежде всего р том, что у тебя болит голова, и болит так сильно, что ты малодуш-
но помышляешь о смерти- Но мучения твои сейчас кончатся, голова пройдет.
М.А. Булгаков «Мастер и Маргарита». 4.1, гл.2. Понтий Пилат.
Действительно, уже в 1931 г. формалистов и всю математику в целом
ждал поразительный сюрприз, о котором пойдет речь в 174-175.
173. Теоретико-множественное направление. Теория множеств, с
одной стороны, во многом спровоцировавшая кризис, но с другой -
приведшая к существенно более глубокому пониманию принципов, на
которых основывается все здание математики, нуждалась в формализа-
ции. Попытку аксиоматизации теории множеств (оказавшуюся весьма
удачной), т.е. превращению ее в формальную теорию в терминах форма-
листов, предпринял в 1908 г. немецкий математик Эрнст Цермело
(E.Zermelo, 1871-1953), профессор Гёттингенского и других универси-
тетов. Для недопущения теоретико-множественных антиномий Цермело
ограничил возможности образования множеств путем описания их пре-
дикатами-в аксиоматике Цермело уже не было средств д ля получения
множеств, фигурирующих в антиномиях Кантора или Рассела и других,
известных к тому времени.
В 1922 г. аксиоматика Цермело была модифицирована Абрахамом
Френкелем (A.Fraenkel, 1891-1965), в то время работавшим в Германии,
впоследствии профессором Иерусалимского университета. Система ак-
к
§4. Основания математики
471
сиом Цермело-Френкеля или эквивалентная ей система аксиом Геделя -
Бернайса являются в настоящее время наиболее часто используемыми
для формализации теории множеств, хотя имеются и другие варианты
аксиоматики.
Концепция построения всей современной математики на основе ак-
сиоматической теории множеств характеризует теоретико-множествен-
ную школу. Об этом подходе, аксиоматике Цермело - Френкеля, пробле-
мах ее непротиворечивости, существовании неразрешимых проблем и
взаимосвязи математики и реальности пойдет речь в 177.
Говоря о наиболее известных попытках изложения математики на ос-
нове формальной теории множеств, следует отметить многотомный труд
(более 30 томов) «Элементы математики» («EUments de mathdmatique»,
кстати, «Начала» Евклида на французском называются «Les Elements»)
группы французских математиков, объединенных под псевдонимом Ни-
кола Бурбаки (Nicolas Bourbaki); первые тома этого трактата начали вы-
ходить еще в 1940-х гг.
Еще об одной математической школе - школе конструктивистов речь
пойдет в 181 в связи с алгоритмами и вычислительной техникой.
Более подробно с проблематикой, затронутой в §4, можно познако-
миться, например, по книгам [5, гл. IX—XI], [19,.§ 36 - 37], [27] либо по
книгам: Карри Х.Б. Основания математической логики. М., 1969; Мен-
дельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1984; Тарский А.
Введение в логику и методологию естественных наук. М., 1948; Рейтинг
А. Интуиционизм. М., 1965; Драгалин А.Н. Математический интуицио-
низм. М., 1965, атакже по книге Германа Вейля,указанной в 171.
Две теоремы Гёделя. Неразрешимые проблемы
Примитивная рекурсия, гёлелевская нумерация, арифметизация метаарифметики.
Формула Гёделя, ее невыводимость в Аг, теорема Гёделя о неполноте (первая
теорема Гёделя) и ее интерпретация (174). Невыводимость в Аг, утверждения
ее непротиворечивости (теорема о непротиворечивости); теорема о
непротиворечивости для любой формальной аксиоматической системы,
содержащей Аг. О трех возможностях преодоления создавшейся ситуации:
интуиционистская позиция, трансфинитные методы доказательств, доказательство
непротиворечивости в рамках ZF (175)
174. Теорема Геделя о неполноте. Уже на следующий год после по-
явления статьи «Die Vollstfindigkeit der Axiome des logishen
Funktionenkalkuls», в которой доказывалась полнота исчисления преди-
катов первого порядка, Курт Гедель публикует работу: Ober formul-
472
Глава VI. Элементы математической логики
unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter System. I,
Mon. Math. Phys., 1931. Bd.38. S. 37-198 («О формально неразрешимых
утверждениях PM <оснований математики> и родственных систем»), в
которой устанавливает невозможность доказательства непротиворечи-
вости арифметики финитными средствами в рамках формальной теории
арифметики. Это означало, что программа формалистов в том воде, в
котором ее сформулировал Гильберт, не могла быть реализована.
Для доказательства этого и других фундаментальных результатов рас-
сматриваемой работы (1931) Гёдель разработал процедуру, позволившую
арифметизировать все арифметические и логические формулы и сами
доказательства теорем в арифметике. Эта процедура, называемая геде-
левской нумерацией, столь же важна д ля теории автоматов и алгоритмов
(компьютеров и алгоритмических языков программирования), поэтому
рассмотрим ее по возможности подробно. •
Сначала нумеруются: константа 0 (включаемая в состав натуральных
чисел), основные логические символы, скобки (правая и левая), основ-
ные арифметические символы (в том числе знак равенства), арифмети-
ческие переменные и пропозициональные (логические) переменные. За-
тем определяется правило нумерации термов (арифметических формул)
и логических формул.
Гёдель показывает, что все алгебраические-(арифметические) опера-
ции (сложение, умножение, возведение в степень) могут быть определе-
ны так называемой процедурой примитивной рекурсии или, иными Сло-
вами, с помощью примитивно-рекурсивной функции. Эта функция
строится по индукции [28, с.73-74] и включает такие действия, как пере-
становка аргументов, подстановка функций вместо переменной, добав-
ление константы или переменной, элементарные арифметические дейст-
вия. Поскольку мы не приводим ни доказательств теорем, ни задач, то
строгие формальные определения не понадобятся. В принципиальном
ключе примитивно-рекурсивная функция является строго определенным
финитным средством (алгоритмом) построения арифметических процедур
и объектов из уже имеющихся.
С помощью примитивно-рекурсивной функции определяются арифме-
тические примитивно-рекурсивные предикаты: предикат Pfx\,...,x„) на-
зывается примитивно-рекурсивным, если существует такая примитивно-
рекурсивная ФУНКЦИЯ р(Х1,...,Хя) , что
Р(хь <=>р(Х1.......х«) = 1-
Каждой последовательности формул, составляющей доказательство
теоремы, также можно поставить в соответствие вполне конкретное
§4. Основания математики
473
число, однозначно определяющее все входящие в это доказательство
формулы. В результате все метаарифметические высказывания (утвер-
ждения), т.е. высказывания об арифметических объектах и их свойствах,
получают геделевские номера - номера формул в формальной арифме-
тике, означающих то же, что и соответствующие метаарифметические
утверждения. В частности, такими высказываниями являются: «свойство
быть простым числом», «свойство быть доказуемой формулой», выска-
зывания типа «данная формула является свойством операции сложения»
или «данная формула - результат подстановки в данную формулу такой-
то функции вместо такой-то переменной» и т.п. Таким образом, каждому
утверждению А арифметики или метаарифметики ставится в соответст-
вие натуральное число Gd(4), причем это соответствие является прими-
тивной рекурсивной функцией.
Конкретное значение этого числа не столь важно, вдобавок кроме соб-
ственно геделевской нумерации Gd(.) существуют и другие варианты
нумерации, предложенные Гильбертом и Бернайсом или Клини и пр.
Важно то, что все высказывания, получившие геделевские номера, по-
строенЬ примитивной рекурсией, т.е. финитным методом, удовлетво-
ряющим всем требованиям, предъявляемым к логическому выводу. При-
чем эта примитивно-рекурсивная функция является мономорфизмом,
т.е. разным высказываниям, символам или именам предметов соответст-
вуют разные номера.
Далее доказывается, что одним из нумерованных утверждений являет-
ся арифметическая формула Геделя G (замкнутая, т.е. без параметров,
формула языка арифметики), которая утверждает, что она сама невыво-
дима (недоказуема). Иными словами, метаарифметическое высказыва-
ние G: «данное утверждение невыводимо (недоказуемо)» может быть
построено примитивной рекурсией в рамках формальной теории арифме-
тики Аг (подробнее [28, с. 90—91]).
Таким образом, подготовлены все средства для доказательства утвер-
ждения: если арифметика непротиворечива, то формула G невыводима
(в Аг). Докажем от противного. Если Ar |- G (т.е. G выводима в Аг), то
результатом (заключением) этого вывода является высказывание, со-
держащееся в G, которое есть 1G. Итак, получаем, что Ar |-1G, и в то
же время по допущению Ar |- G, а это означает противоречивость тео-
рии Аг. Аналогичным образом устанавливаем невыводимость в Аг и
формулы 1G.
Напомним, что теория называется полной (162, 172), если для любой
замкнутой формулы данной теории выводима либо эта формула, либо ее
отрицание. Следовательно, получена
474
Глава VI. Элементы математической логики
Теорема Гёделя о н е п о л н о т е. Если арифметика (как фор-
мальная теория) непротиворечива, то она неполна.
В 176 будет рассмотрена модель арифметики. Поскольку в этой модели
(как в любой другой), согласно доказанному выше, формула G невыво-
дима, то ее содержание 1G ложно, т.е. G истинно. Таким образом, G бу-
дет примером истинной формулы, не выводимой в арифметике. Иными
словами, найдено неразрешимое утверждение (вопреки тезису Гильбер-
та о разрешимости любой математической проблемы (172)), которое не
может быть ни доказано, ни опровергнуто.
Конструкция построенного Гёделем утверждения G в точности такова,
как и конструкция парадокса Эвбулцда «Лжец»: «Фраза, которую я
произношу, ложна». Это высказывание не может быть ни истинным, ни
ложным. Идея Гёделя замечательна еще и тем, что вроде бы чисто нега-
тивную схему он использовал для получения важного содержательного
результата. Как тут не вспомнить известный афоризм «Да послужишь ты
Господу и дурными своими помыслами».
Найденное Гёделем утверждение, конечно, не единственное неразре-
шимое утверждение формальной арифметики. Первый вопрос, который
может возникнуть: почему бы не расширить список аксиом так, чтобы
расширенная формальная система стала полной, т.е. чтобы в ней уже не
было неразрешимых проблем и, образно говоря, любая истина могла
быть доказуема общепризнанными формальными методами. Ответ на
этот вопрос отрицателен: любая формальная аксиоматическая система,
содержащая арифметику, неполна (напомним еще раз, что исчисление
предикатов первого порядка является содержательным примером пол-
ной аксиоматической системы). Таким образом, дело не в недостатке
аксиом, а в ограниченности принятых средств логического вывода
(т.е. способов доказательства).
Естественно, столь важная теорема, как теорема Гёделя о . неполноте
(ее также часто называют первой теоремой Гёделя), получила много ин-
терпретаций, в том числе нематематических. Она интерпретировалась
(прежде всего математиками интуиционистской школы) как аргумент в
пользу отрицания закона исключения третьего: недоказуемые утвержде-
ния с интуитивной точки зрения трудно считать истинными или ложны-
ми. Результат Гёделя может быть истолкован так, что интуитивно при-
нимаемые истины могут выходить за рамки математически доказуемых
фактов. Однако с общезначимой, внематематической точки зрения тео-
рема о неполноте может быть истолкована в абсолютно позитивном
ключе: человеческое знание, как и процесс познания, расширения зна-
ний, невозможно ограничить раз и навсегда заданными дедуктивными
§4. Основания математики 475
процедурами в рамках законченной формальной системы («Теория, мой
друг, сраЛ Но зеленеет жизни древо» (Мефистофель)).
175. Теорема Геделя о непротиворечивости. Установленный Геделем
факт неполноты формальной арифметики, а главное, найденный им ме-
тод доказательства позволили проанализировать и основную проблему,
поставленную Гильбертом, - проблему непротиворечивости арифметики.
Метаарифметическому утверждению «формальная арифметика Ат не-
противоречива» Гедель, применив процедуру примитивной рекурсии, по-
ставил в соответствие замкнутую логическую формулу Соп, которая оз-
начала то же самое утверждение на языке формальной арифметики. Да-
лее Гедель доказал, что Ar |- Con z> G, т.е. в формальной арифметике
выводима импликация Соп => G (и даже более того, Аг |- Соп G, см.,
например, [28, гл. III, §1). Следовательно, если предположить, что фор-
мула Сол вывод ится в Аг, то в силу modus ponens (МР) будет выводима
и формула G, а это, как мы видели, неверно. Таким образом Геделем
была доказана
Теорема (Гёделя)о непротиворечивости. Если Аг непротиво-
речива, то формула Сол не выводима в теории Аг.
Поскольку логическая формула Сол и означает непротиворечивость
арифметики, то на неформальном языке эта теорема утверждает, что
непротиворечивость Аг не может быть доказана средствами самой тео-
рии на основании общепринятых (принятых всеми математическими шко-
лами) принципов математической логики. Или, говоря языком гильбер-
товой школы формализма, непротиворечивость формальной теории
арифметики не может быть доказана финитными метод ами.
Теорему Гёделя о непротиворечивости принято также называть второй
теоремой Гёделя. Как и в теореме о неполноте, утверждение второй тео-
ремы Гёделя может быть усилено: непротиворечивость любой формаль-
ной математической теории, содержащей арифметику, не может быть
доказана средствами самой этой теории. Сложившуюся ситуацию Гер-
ман Вейль охарактеризовал следующим образным выражением: «Бог
существует, поскольку математика, несомненно, непротиворечива, но
существует и дьявол, поскольку доказать ее непротиворечивость мы не
можем».
Рассмотрим три принципиальных возможности разрешения проблемы.
Первый - безоговорочно встать на позиции интуиционизма и постулиро-
вать, что непротиворечивость арифметики и математики в целом являет-
ся принципиальным фактом, базирующимся на ясных представлениях
найтей интуиции, как научной, так и общечеловеческой. И при этом, ко-
476
Глава VI. Элементы математической логики
нечно, надо отдать должное философам-дуалистам, считавшим, что ра-
зум и вера неразделимы, причем одно является базисом другого. Можно
также отнестись к проблемам непротиворечивости оснований математи-
ки по-философски спокойно и прагматично, отметив, что на протяжении
всего развития математики возникали трудности и противоречия, но их
удавалось преодолеть, и парадоксальным образом привести в подтвер-
ждение слова противника школы интуиционистов Николй Бурбаки: «Вот
уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять
свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение науки; это дает
им право смотреть в будущее спокойно» (Бурбаки Н. Теория множеств.
М.,1965. С.30).
Возможен другой принципиальный под ход: пополнить арсенал допус-
тимых приемов доказательства, отказавшись от гильбертовского требо-
вания финитности (172). В 1936 г. появилась работа немецкого матема-
тика гильбертовской школы Герхарда Генцена (G.Genzen, 1909-45) Die
Widerspuchsfreihiet der reinen Zahlentheorie. Math-Ann., 112 («Непроти-
воречивость чистой теории чисел»), в которой была доказана непроти-
воречивость теории арифметики с помощью метода трансфинитной ин-
дукции, допускающего распространение методов упорядочения и рекур-
сивных вычислений за пределы натурального ряда, т.е. с помощью
«бесконечных» логических рассуждений, не формализуемых в терминах
натуральных чисел. Другое доказательство непротиворечивости было
дано в 1940 г. Вильгельмом Аккерманом. Хотя впоследствии эти доказа-
тельства были упрощены и стали достаточно прозрачными, многие мате-
матики посчитали лишенной смысла попытку обоснования интуитивно
ясной непротиворечивости арифметики с помощью спорных абстрактных
логических принципов. По их мнению, если даже непротиворечивость
арифметики вызывает сомнения, то на основе сомнительного логическо-
го метода их тем более не удастся преодолеть.
Существует и третья возможность для доказательства непротиворечи-
вости Аг. привлечь понятия, выходящие за ее райки, и доказать непро-
тиворечивость арифметики в более содержательной теории, включаю-
щей Аг. Формализация обоснования непротиворечивости Аг (конечно,
только на «идейном уровне») в рамках аксиоматической теории мно-
жеств ZF будет приведена в 177. Там же будет рассказано о важнейших
результатах Гёделя в теории множеств. Что же касается самого Гёделя,
то в 1940 г. он окончательно поселился в США и стал профессором Ин-
ститута перспективных исследований в Принстоне; Гёдель занимался не
только математикой - за свои работы в области теоретической физики он
был удостоен Эйнштейновской премии в 1951 г.
§4. Основания математики
477
Подробнее о двух теоремах Геделя можно прочесть в [28, гл.1, §4, гл.II,
§11; [ 19, § 43-44]; [5, гл.ХП], а также в трудах: Успенский В.А. Теорема
Геделя о неполноте. М., 1982; Линдон Р. Заметки по лотке. М., 1968;
Манин ЮЛ. Доказуемость и недоказуемость. М., 1979.
О важнейших аксиоматических теориях и моделях
Элементарная арифметика: язык и аксиоматика. Арифметика второго порядка (176).
Аксиоматическая теория множеств ZF. Стандартная модель арифметики в ZF. Об
аксиоматике Гёделя - Бернайса. Аксиома выбора и ее следствия. Независимость
аксиомы выбора. Континуум-гипотеза. Об альтернативных вариантах
аксиоматических систем (177)
176. Аксиоматическая теория арифметики.
Элементарная арифметика Аг. Язык Аг как формальной аксиома-
тической системы содержит единственный сорт объектов, называемых
числами, которые описываются с помощью символов х,у, z,..., называе-
мых переменными, и единственную константу 0.
Теория Аг имеет три функциональных символа: два двухместных сим-
вола «+» и «•» и один одноместный S. Интерпретация этих символов:
х+у - сложение двух чисел, ху - умножение, Хх-определяет следующее
после х число или прибавление 1, где 1 »S0 (данная интерпретация - это
комментарии на языке исследователя, в предметном языке Аг она не
имеет смысла). Кроме того, язык Аг содержит символы «(» и «)>, на-
зываемые скобками.
Термы, содержащие информацию о функциональных свойствах теории
Аг, строятся в виде последовательного применения к переменным функ-
циональных символов и скобок, внешние скобки, как обычно (см. 163),
опускаются. Примеры термов: x+(SS0+x) или SSS0-(x+(xy)) и т.п. Во
втором терме скобки у произведения х-у могут быть опущены в силу
известного соглашения о том, что сначала выполняется умножение, а
потом сложение, и он приобретет вид SSS0*(x+x*y). Знак умножения «•»
часто опускается в случаях, когда это не может вызвать недоразумений
или двусмысленности, но это уже внутреннее соглашение, которое об-
разно можно назвать вульгаризацией теории.
Язык Аг содержит единственный двухместный предикатный (163) сим-
вол «=». Атомарные формулы (логические) имеют вид Г= г, где t и г -
произвольные термы Аг, и называются формальными равенствами. Для
построения логических формул (163) используются стандартные логиче-
ские символы: связки, кванторы и стандартные соглашения о порядке
логическихдействий.
478
Глава VI. Элементы математической логики
Нелогические аксиомы Аг релятся на три группы: аксиомы равенства,
аксиомы Пеано (Джузеппе Пеано (G. Peano, 1858- 1932)- итальянский
математик, профессор Туринского университета, изложивший аксиома-
тику натуральных чисел в 1889 г. в книге «Элементы арифметики»)
и определяющие аксиомы для сложения и умножения. В иной форме
впервые аксиоматику натуральных чисел предложил в 1880 г. Рихард
Дедекинд.
Аксиомы равенства
1) х=х;
2) (x=y)A(x=z)=(y=z).
Аксиомы Пеано
3)
4) (Жх=5у)в(х=^);
5)Л(0)лУх(4(х)эЛ(&г)) э УхЛ(х) - принцип (аксиома) математической
индукции;
6) х+0=х;
7) x+Sy=S(x+y);
8)хО=О;
9) x-Sy^x-y+x.
Эти аксиомы предполагаются справедливыми для любых входящих в
них переменных, поэтому кванторы общности V опущены; формула /*г
означает 1(Г=г).
Отметим, что гфинцип математической индукции будет не аксиомой, а
схемой аксиом, поскольку символ А в нем является произвольной фор-
мулой Аг.
Аксиома 1 выводится из аксиом 2 и 6, а в остальном аксиоматика по-
добрана в ввде компактного набора аксиом (законов), из которых могут
быть выведены (это проблемы профессионалов) все обычные известные
факты арифметики.
Пример 166. Вывести из аксиом Пеано ассоциативность сложения.
Доказательство формулы (x+>)+z«x+(y+z) проведем индукцией
по г. Возьмем произвольные х и у.
Г. Для z=0 имеем (х+у)+0«х+у«х+(у+0)-доказываемая формула верна.
7
2*. Пусть доказываемая формула справедлива, тогда (х+_и)+&=
7 7 7
= 5((x+y)+z)= S(x-Hy+z))=x+SO'+z)=x+O»+&) (символ над знаком
равенства - это номер используемой аксиомы, третье равенство верно по
§4. Основания математики
479
предположению индукции). Следовательно, формула справедлива для
любых х,у, г согласно принципу математической индукции.
Пример 167. Вывести из аксиом Пеано равенства:
1) Vx(x+0=0+x=x), 2) Vx(x+l = l+x=Sr).
Двойное равенство следует понимать, как (х+0=х)л(0+х=х), и тд.
Доказательство. 1. Проведем ицдукцию по х.
Г. Для х=0 имеем 0+0=0+0=0 - доказываемая формула верна.
2*. Пусть доказываемая формула справедлива, тогда Sr+O=Sr (аксио-
7 6
ма 6) и 0+Sr=S(0+x)=S(x+0) = Sr (символ над знаком равенства - это
номер используемой аксиомы, второе равенство верно по предположе-
нию ицдукции). Следовательно, формула справедлива для любого х со-
гласно принципу математической ицдукции.
2. Доказательство запишем кратко с помощью логических символов.
Пусть Я(х): (х+1 = 1 +x=Sr). Напомним, что, по определению, 1 =50.
7 6 б
1°. (0+l = 0+S0=S(0+O) = S0 = 1)л(1+0=1 = SO) =>|“Л(0).
7 7
2°. А(х) => (1+Sx=S(l+x)=S(x+l)=SSx, S(x+l)=x+Sl) л(Жг+1=(х+1)+
+l=x+(l+l)=x+Sl=SSr) <=> Ух(Л(х)эЛ(Лг)) (в шестом равенстве ис-
пользовано свойство ассоциативности). Следовательно, формула спра-
ведлива для любого х согласно принципу математической ицдукции.
Пример 168. Вывести из аксиом Пеано коммутативность сложения:
Vx(x+y=>'+x).
Доказательство. Проведем ицдукцию по х.
Г. 0+у=у+О=у согласно результату примера 167.
7 7
2’. Пусть требуемая формула верна, тогда y+Sr=S(y+x)=S(x+.y)=
7
= x+Sy =x+\+y=Sx+y. Дальнейшее очевидно.
Средств языка Аг конечно же достаточно для выражения любого по-
нятия арифметики. Так, отношение порядка xSy может быть задано
формулой 3x(x+z=y), четность числа х-формулой Эу(х=у+у), свойство
х быть простым числом задается формулой 1(x=0)a1(x=SD)aVz(3^(x=
=yz)Z2Z=S0)VZ=x), ИТ.П.
Стандартная модель арифметики будет рассмотрена в 177. Все законы
арифметики, о которых шла речь в начале гл.1, оказываются в ней тож-
дественно истинными, как и должно быть.
480
Глава VI. Элементы математической логики
О другой модели арифметики с предметной областью действительных
чисел см. [20, с.79-80].
Конечно же, все законы элементарной арифметики истинны в любой
модели. Как следует из теоремы Геделя, аксиоматическая теория Аг не-
полна (о полноте см. 162).
Арифметика второго порядка Аг 2. Арифметика второго порядка
по своим выразительным возможностям богаче Аг. Язык Аг 2 содержит
два сорта переменных. Переменные х, у, г,... пробегают натуральные
числа (включая 0), переменные X, К, Z,... - произвольные подмножества
множества всех натуральных чисел. Константы и функциональные сим-
волы Аг 2 те же, что и в языке Аг. К символу «=* добавляется двухме-
стный предикатный символ принадлежности « € ». Таким образом, язык
Аг2 содержит термы двух сортов: термы д ля натуральных чисел и термы
д ля множеств натуральных чисел. Атомарные формулы Аг 2 имеют од ин
из следующих видов: формальные равенства где t и г -термы для
натуральных чисел, либо (teX), где t - терм д ля натуральных чисел и X -
переменная для множеств натуральных чисел. Сложные формулы стро-
ятся обычным образом с помощью логических связок и кванторов по
обоим сортам переменных.
Нелогические аксиомы Аг 2 имеют тот же вид, что и аксиомы Аг, но в
схеме индукции 5 в качестве формулы А(х) можно использовать произ-
вольную формулу языка Аг 2. Кроме того, добавляется новая схема ак-
сиом - аксиома свертывания
10) ЭХУх(хеХвЛ(х)),
где А(х) - произвольная формула Аг 2, не содержащая свободно (163)
переменную X.
Арифметику второго порядка можно рассматривать как теоретико-
множественную надстройку над Аг, которая сильно расширяет вырази-
тельные возможности теории; так, например, в ней может быть доказана
(см. 90) теорема об эквивалентности принципа математической индук-
ции и свойства полной упорядоченности (существования минимального
элемента), о котором шла речь в еще в 2 (свойства IV.3 - 4).
Подробнее о теории Аг, а также об аксиоматике действительных чисел
см. [20, гл.П, §4, гл.Ш, §3].
177. Аксиоматическая теория множеств.
Аксиоматика ZF и стандартная модель Аг. В д анной книге мно-
жества появились в 24 для решения неотложных проблем, связанных
действительными числами. Алгебраические операции над множествами
их свойства рассматривались в 84-85.0 мощности множеств было рас*
§4. Основания математики
481
сказано в 165-168. По мере развития теории множеств стали обнару-
живаться не только проблемы, для решения которых требовался более
глубокий под ход, но и антиномии, недопустимые д ля любой теории (169).
Главной причиной антиномий была признана излишняя вольность в об-
разовании множеств: в неаксиоматизированной, так называемой наив-
ной теории множеств позволялось задавать множество с помощью любо-
го осмысленного высказывания. Точнее, если <р(х) - некоторая логиче-
ская формула (или одноместный предикат), которую можно трактовать
как свойство объекта, то допускается образование множества {х: р(х)},
т.е. множества объектов, обладающих свойством <р. Такая схема образо-
вания множеств называется схемой свертывания или неограниченного
свертывания.
Схема свертывания не запрещает формуле <р(х) содержать перемен-
ные, областью изменения которых были бы все возможные множества. В
их числе будет и вновь образованное множество {г. р(х)}. Однако в дан-
ном случае речь об этом множестве уже вдет в формулировке самого
свойства <р, поэтому, строго говоря, его нельзя считать вновь образован-
ным. Вдобавок, ссылки на самое себя, напоминающие по конструкции
порочный круг или парадокс Эвбулвда, подозрительны и действительно,
как мы ввдели, приводят к противоречиям (169).Такого рода определе-
ния были названы Анри Пуанкаре непредикативными (170) и подверг-
лись тщательному анализу.
Полный отказ от непредикативных определений был признан невоз-
можным; в результате анализа использование непредикативной схемы
свертывания (и непредикативных определений), ограничивалось в той
степени, которая позволила бы избежать антиномий. С другой стороны,
нужно было выделить класс аксиом (условий), определяющих множества
и правила действий с ними, чтобы получившаяся теория была содержа-
тельной как сама по себе, так и в качестве базы всей математики, и по-
зволяла сохранить результаты традиционной математики.
В 173 уже говорилось, что в роли такой аксиоматики выступила ак-
сиоматика Цермело - Френкеля. Стандартный набор нелогических акси-
ом аксиоматической теории Цермело - Френкеля ZF (с небольшими
отклонениями друг от друга) можно посмотреть в [28, гл.1, §6 и §1, §2],
[ 19, с. 225-226]. Исключительно ясное по стилю изложение аксиоматики
и начальной теории множеств содержится также в «Справочной книге по
математической логике». Т.2. М.,1982 (гл. I). Опишем кратко основные
идеи ZF.
Язык ZF содержит единственный сорт переменных х, у, г,... для мно-
жеств и единственный функциональный символ е для принадлежности.
31 - 5091
482
Глава VI. Элементы математической логики
Остальные символы являются логическими (стандартный набор для вы-
ражения всех логических формул исчисления предикатов).
Отсутствие привычного понятия «элементы множества» и соответст-
вующих переменных для них обусловлено тем, что в аксиоматической
теории множеств элемент отождествляется с одноэлементным мно- же-
ством, что после некоторых размышлений представляется вполне разум-
ным.
В ZF постулировано наличие пустого множества 0, определено ра-
венство (совпадение) двух множеств, постулировано существование
объединения множеств, а также наличие множества всех подмножеств
данного множества. Схема свертывания заменена аксиомой выделения,
которая обеспечивает существование множества, состоящего из элемен-
тов данного множества, обладающих данным свойством, т.е. множества
{хеу: р(х)}. Аксиома бесконечности гарантирует существование беско-
нечного множества. В аксиоматику включается также аксиома регуляр-
ности (ее также называют аксиомой фундирования), согласно которой
каждое непустое множество имеет элемент, минимальный относительно
принадлежности в. Еще одна аксиома - аксиома подстановки предостав-
ляет средства д ля определения прямых произведений и функции из одно-
го множества в другое.
Выразительные средства ZF конечно же достаточны для определения
включения с, равенства = и стандартных операций (объединения хиу,
пересеченияхпу, разности множеств х\у итд.).
В наивной теории множеств присутствует понятие элемента (точки)
данного множества, каждый элемент является атомом - минимальным
элементом по отношению принадлежности е. В ZF понятие атома не
вводится (хотя в принципе язык ZF можно расширить еще од ним типом
переменных и видоизменить аксиому регулярности), в этом нет необхо-
димости: согласно аксиоме регулярности, все множества строятся из
пустого, а точки можно отождествлять, как уже говорилось, с одноточеч-
ными (одноэлементными) множествами {x} = {z: z = x}.
Из аксиомы регулярности вытекает невозможность формулы хех и
подобных отношений. Следствием этой аксиомы является также прин-
цип индукции по принадлежности
Vx (Vyex (jp(y) э р(х)) z> Vx <р(х).
Выразительные средства ZF позволяют построить в ней модель ариф-
метики. Поскольку построение ведется на языке теории множеств, то
натуральные числа должны быть отождествлены с какими-то множест-
вами. Представленный далее способ определения натуральных чисел
$4. Основания математики
483
принадлежит фон Нейману (он же сформулировал и аксиому регуляр-
ности в ее современном ваде). Положим, по определению, 0=0,1={0},
2={0,{0}}...-переход к следующему натуральному числу осуществляет-
ся операцией Sx=xu {х}, т.е. в начальном, множестве нет элементов, в
следующем - один элемент и тд.: каждое множество-число содержит
предыдущее и еще один элемент. Аксиома бесконечности устанавливает
существование множества, содержащего все натуральные числа (как
актуальной бесконечности), а аксиома регулярности и схема выделения
обеспечивают существование (минимального) множества, состоящего
только из построенных выше натуральных чисел. Это множество обозна-
чается а и называется стандартной моделью натуральных чисел. Конеч-
но, в модели а> выполнены все аксиомы Пеано (см. [28, гл.1., §4]).
Тот факт, что натуральные числа (и множества вообще) могут быть
построены из пустого множества 0, удивительным образом переклика-
ется с известным тезисом восточных философий о том, что мир (абсо-
лют) возник (построен) из пустоты - «шунья» (более точно см., напри-
мер: Игнатович А Л. Буддизм в Японии. М.,1988. С. 194-201 и др.).
В модели а> можно средствами ZF определить функции операции сло-
жения и умножения и установить справедливость всех обычных арифме-
тических законов сложения и умножения, т.е. установить непротиворе-
чивость Аг в стандартной модели <о.
Более того, можно доказать, что аксиомы Пеано определяют в ZF на-
туральные числа однозначно с точностью до изоморфизма. Это свойство
называется категоричностью натурального ряда или аксиом Пеано.
Таким образом реализуется идея построения модели и доказательства
непротиворечивости арифметики в рамках более содержательной тео-
рии. Непротиворечивость самой ZF (молчаливо предполагавшаяся все
время) недоказуема средствами самой ZF, как следует из второй теоре-
мы Геделя, речь о непротиворечивости ZF пойдет несколько позднее.
Никаких известных антиномий в теории множеств Цермело - Френке-
ля нет, и средства д ля их образования в языке ZF отсутствуют. Однако
можно расширить язык ZF, введя новый сорт объектов (переменных) -
классы, которые образуются применением схемы неограниченного
свертывания, например, класс всех множеств Р= {х: х - х), называемый
универсумом (теории множеств). Классы, не являющиеся множествами,
называются собственными (примером может служить универсум И-
Формальная аксиоматическая система, отличная от ZF, в которой уча-
ствуюти множества, и классы, предложенная Геделем и Бернайсом, по-
лучила наименование GB (аксиоматическая теория Геделя - Бернайса).
Теории ZF и GB равнонепротиворечивы в том смысле, что каждая тео-
31 •
484
Глава VI. Элементы математической логики
рема ZF является теоремой GB и, наоборот, любая теорема о множест-
вах в GB будет теоремой ZF.
Аксиома выбора (АС). Континуум-гипотеза (СН). Расширенная ZF.
Неразрешимые проблемы. В оригинальном (авторском) варианте ак-
сиоматика Цермело-Френкеля содержала еще одну аксиому - аксиому
выбора (АС), которая в современной формулировке выглядит следую-
щим образом:
для любого семейства - {Лв} непустых множеств существует
такая функция /, называемая функцией выбора на <А, что /(Лд) =
=хвеЛв для каждого Лв€<з/.
Таким образом, согласно своему определению, функция f позволяет
выбрать по точке из каждого Аа и составить из этих точек новое множе-
ство -f(<A). В случае, когда каждое множество Аа и все семейство (т.е.
их число) конечны, функцию f можно рассматривать, например, как вы-
бор по одному кандидату из списков претендентов на каждое место
(например, в парламент) или как выбор по одному представителю от ка-
ждого субъекта Российской Федерации или штата США в общефеде-
ральный комитет.
Если семейство сА конечно, то существование функции выбора без тру-
да доказывается индукцией по числу элементов <А, как и в других специ-
альных случаях, когда f может быть конструктивно определена. Однако
в общем случае конкретного способа задать функцию выбора может и не
обнаружиться, а сама аксиома ничего не говорит о том, каким именно
способом функцию выбора можно построить.
В явном внде аксиома выбора была сформулирована и использована
Эрнстом Цермело в 1904 г. в статье «Beweis, dass jede Menge
wohlgeordnet werden kann» (Math.Ann.,59), в которой решалась одна
проблема теории множеств, поставленная Кантором и названная Гиль-
бертом на Математическом конгрессе 1900 г. в числе главных проблем
математики (вторая часть первой проблемы).
На самом деле варианты аксиомы выбора использовались и ранее,
причем не только в теории множеств, но и в доказательстве теорем клас-
сической математики. Поэтому шквал критики аксиомы выбора за ее
неконструктивный характер, которая обрушилась на аксиому, начиная со
следующего же номера журнала Mathematische Annalen, в котором была
опубликована статья Цермело, и сомнение в правомочности ее исполь-
зования в доказательствах требовали тщательного анализа. (Подробнее
о противниках и сторонниках (в числе последних был Гильберт) аксиомы
выбора см. [5, с.244-246].)
Неконструктивность АС можно проиллюстрировать классическим при-
§4. Основания математики
485
мерой Рассела: для бесконечного множества пар ботинок функция вы-
бора (например, правого ботинка) ясна и конструктивна, а для беско-
нечного множества пар шнурков или носков непонятно, как указать
функцию выбора одновременно д ля всех пар.
Кроме чисто метафизических возражений против АС обнаружены и
более серьезные аргументы: с помощью АС были получены результаты,
плохо согласующиеся с интуитивными представлениями и здравым
смыслом. Используя теорему (1914) известного немецкого математика
Феликса Хауедорфа (F. Hausdorff, 1868-1942) о нестандартном разбие-
нии сферы на четыре множества, Стефан Банах (S. Banach, 1892-1945)
и Алфред Тарский (A. Tarski, 1902-83) установили в 1924г. возможность
разбиения шара на два непересекающихся множества, каждое из кото-
рых конгруэнтно (т.е изоморфно относительно преобразования движе-
ния) шару. Им же принадлежит пример другого парадоксального раз-
биения шара (также с помощью АС), называемый парадоксом Банаха -
Тарского: любой шар может быть разбит на конечное число частей так,
что, переставляя их, можно в другом порядке сложить шар вдвое боль-
ший, чем данный. Повторяя эту процедуру, можно, образно говоря, фут-
больный мяч превратить в земной шар. Кроме того, используя АС, мож-
но построить на плоскости множество, не имеющее площади
(неизмеримое по Лебегу в точной математической формулировке), а
также множества на прямой и плоскости, обладающие массой
«патологических» свойств.
С другой стороны, полностью отказаться от аксиомы выбора тоже не-
возможно: дело даже не в том, что варианты АС используются во многих
областях математики, а в последствиях этого шага. Без использования
вариантов АС невозможно доказать, что любое бесконечное множество
содержит счетное подмножество, что объединение счетного числа мно-
жеств (в частности, множество рациональных чисел QJ счетно, что вся-
кая предельная точка последовательности является пределом некоторой
подпоследовательности и пр. Кроме того, можно построить такую модель
(ZF+XAC), в которой множество действительных чисел будет объедине-
нием счетного числа счетных множеств.
Получается, АС такова, что «нельзя ни с нею, ни без нее» (Байрон).
Анализ этой гибельной дилеммы привел к обнаружению многих содер-
жательных математических свойств, эквивалентных аксиоме выбора. К
тому же естественным образом возник вопрос о совместимости или не-
зависимости АС с аксиоматикой ZF. В 1940 г. опять же Гёдель в работе
«The Consistency of the Axiom of Choice and the Generalised Continuum-
hypothesis* (Proc. Nat. Acad. Sci, 24) доказал совместимость AC с аксио-
486
Глава VI. Элементы математической логики
матикой теории множеств (доказательство проводилось в теории GB, но,
как говорилось ранее, это эквивалентно доказательству в ZF). Иными
словами, он доказал, что если ZF непротиворечива, то добавление к ней
АС приводит к непротиворечивой теории, которую теперь принято обо-
значать ZFC. Таким образом, отрицание АС недоказуемо в ZF (и GB).
В 1947 г. Гедель высказал гипотезу о независимости АС от аксиомати-
ки ZF. И вот в работах 1962- 1963г. современного (р. в 1934г.) амери-
канского математика Поля Коэна (Р. G. Cohen) был введен новый метод
доказательства и построения моделей - метод вынуждения или форсинга
и доказана совместимость с ZF отрицания аксиомы выбора. Это означа-
ет, что гипотеза Геделя справедлива.
Как было доказано в 168, мощность континуума больше мощности
счетного множества. Еще в 1884 г. Кантор сформулировал гипотезу, со-
гласно которой континуум является первой несчетной мощностью, ины-
ми словами, между мощностью счетного множества и мощностью конти-
нуума промежуточных мощностей нет. Эта гипотеза получила название
гипотезы континуума (СН) или континуум-гипотезы и может быть также
переформулирована в следующем виде:
Любое бесконечное подмножество R либо счетно, либо имеет
мощность континуума.
Континуум-гипотеза была первой из 23 проблем, сформулированных в
1900г. Гильбертом на II Международном конгрессе в Париже.
Только в 1940 г. Геделю в указанной выше статье удалось доказать со-
вместимость с ZF как АС, так и СН и совместимость CH с ZFC и по-
строить модель ZFC+CH (отдельные результаты этой работы были по-
лучены Геделем в 1938 и 1939 г). Допустимость использования АС и СН
согласовывалась с интуитивной позицией (ощущением) Геделя.
В 1963 г. Коэном была доказана совместимость отрицания континуум-
гипотезы с ZFC и построены модели (интерпретации) различных аксио-
матических систем. Таким образом, АС и СН оказались Независимыми
друг от друга и от аксиоматики ZF. Отметим, что П. Коэн считает /5олее
естественным отрицание СН, нежели ее принятие. Подробно эти резуль-
таты П. Коэн изложил в книге «Set Theory and the Continuum
Hypothesis» (1966), переведенной на русский язык: Коэн П. Дж. Теория
множеств и континуум-гипотеза. М., 1969. За полученные результаты
Коэн был награжден наиболее престижной математической наградой -
премией и медалью Филдса на Международном конгрессе математиков
1966г. в Москве.
Как мы видели, стандартная аксиоматическая теория множеств в ZF
влечет неприятные последствия как в случае принятия АС, так и в случае
§4. Основания математики
487
принятия Ъ4С (в частности, отсюда следует, что средств ZF недостаточ-
но д ля нужд математики).
Но положение не так плачевно, как это может показаться на первый
взгляд. Дело в том, что принятие или отрицание АС не исчерпывает всех
возможностей. Одним из вариантов расширения ZF является присоеди-
нение к ней аксиомы счетного выбора АСщ, которая постулирует сущест-
вование функции выбора только для счетного семейства множеств с4 =
= (АпУпго, или аксиомы зависимого выбора DC, когда очередной шаг
счетного'выбора делается с учетом уже совершенных актов выбора. Дос-
таточно просто показывается, что АС влечет DC и DC влечет АС^.
Счетных форм аксиомы выбора (ЛСШ или DC) достаточно для доказа-
тельства основных теорем математического анализа и теории действи-
тельных чисел (а следовательно, для линейной алгебры и элементарной
геометрии). Чем более абстрактные математические объекты рассмат-
риваются (функциональный анализ, топология, теория множеств и т.п.),
тем в большей степени необходима аксиома выбора. Это же относится
и к другим аксиомам, которые не зависимы с аксиоматической системой
ZF
Изложенного ранее предметного материала и результатов логики и
теории множеств достаточно для содержательного приложения и пони-
мания таких конструкций, как AC, АС^ DC и СИ. Однако есть множест-
во других аксиом (или гипотез, или конструкций - как будет угодно), ко-
торыми может быть расширена система ZF; одна из перспективных ак-
сиом такого рода - аксиома детерминированности (AD), см., например,
соответствующую главу упомянутого выше «Справочника по математи-
ческой логике»). Особенно бурное развитие новые альтернативные тео-
рии и модели получили после открытия П. Коэном метода вынуждения.
Вопрос о выборе наилучшего варианта аксиоматики будет, скорее все-
го, решаться по мере накопления новых фактов исходя из двух сообра-
жений: насколько содержательной (в том числе в прикладном плане)
окажется математика, построенная на данной теории множеств, и на-
сколько мало из нее будет вытекать фактов, противоречащих интуиции и
интерпретациям эмпирических знаний.
Все аксиомы, расширяющие ZF, - это примеры неразрешимых проблем
в рамках ZF, и этому не надо удивляться, поскольку неразрешимые про-
блемы есть даже в элементарной геометрии (неевклидовы геометрии).
Таким образом, можно считать, что существует не одна, а много матема-
тик. Правомерен вопрос: какая из этих математик является «правильной
на самом деле»? Этот вопрос будет обсуждаться в 183.
Отметим, что в задачах, связанных с натуральными числами, алгорит-
488
Глава VI. Элементы математической логики
мами и автоматами (компьютерами, алгоритмическими языками и ком-
пьютерными программами), эти проблемы не возникают вовсе.
Алгоритмы и автоматы. Конструктивизм. Компьютерные
системы и проблемы, связанные с искусственным интеллектом
Понятие алгоритма. Примеры алгоритмов. Происхождение термина «алгоритм»,
Мухаммад ал-Хорезми (178). Формализация понятия «алгоритм» как абстрактной
машины Тьюринга: алфавиты, слова, преобразования слов. Вычислимость по
Тьюрингу и тезис Чёрча (179). Об арифметизации языков формальных алфавитов.
Операция минимизации и рекурсивные функции. Соответствие вычислимых и
частично рекурсивных функций. Рекурсивные и разрешимые предикаты;
рекурсивные множества; примеры (180).. Об альтернативных возможностях
формализации алгоритмических процедур; нормальные алгорифмы Маркова;
об эквивалентности машин Тьюринга и нормальных алгорифмов; принцип
нормализации. Конструктивизм (181). Современные компьютерные системы и
компьютерное моделирование; кибернетика. Тезис компьютерной вычислимости;
потенциальная и реальная осуществимость. Компьютерные программы шахматной
игры. Проблема создания искусственного интеллекта: анализ негативных и
позитивных аргументов (182)
178. Алгоритмы. Под алгоритмом (или алгорифмом) математики под-
разумевают точное предписание, в соответствии с которым конечным
числом элементарных, четко различимых действий можно по заданным
начальным (исходным) данным получить искомый результат. Примерами
алгоритмов моГут служить алгоритмы (правила) сложения, умножения
или деления десятичных чисел «столбиком», алгоритм Евклида нахож-
дения НОД для двух натуральных чисел или полиномов и т.п.
Мы ограничимся рассмотрением только тех алгоритмов, в которых ис-
ходными данными являются конструктивные объекты, т.е. объекты, за-
даваемые финитным (конечным), конструктивным образом: натуральные
или рациональные числа (или отрезки) или упорядоченные массивы чи-
сел (например, матрицы) и т.п.; иными словами, объекты, которые могут
служить входными данными для автоматов (компьютеров). Поэтому не
будем рассматривать, к примеру, алгоритм Евклида нахождения общей
меры д вух действительных чисел или отрезков произвольной д лины.
Уже не один раз говорилось о том, насколько важно в дополнение к
установленному факту существования интересующего нас объекта знать
конструктивную способность его нахождения. Значимость поиска эф-
фективных вычислительных процедур особенно возрастает в условиях
интенсивного развития вычислительной техники и компьютерных сетей
(систем) различного ввда.
§4. Основания математики
489
Происхождение термина «алгоритм» не совсем обычно. В первой трети
Хв. арабским математиком багдадской школы Мухаммадом ал-Хорезми
(около 787 -850, его полное имя Абу Абдалла Мухаммад ибн Муса ал-
Маджуси ал-Хорезми, уроженец г. Хорезм) был написан трактат «Об
индийском счете», сыгравший впоследствии важную роль в развитии
средневековой арифметики. Это была первая распространившаяся в
Европе книга, в которой были изложены индийская десятичная нумера-
ция и правила вычислений (теперь бы мы сказали - алгоритмы) д ля всех
четырех арифметических операций с десятичными числами «для облег-
чения изучающему», как писал ал-Хорезми. Его имя в латинизированной
форме Algorithmus, к тому же похожее на греческое apidpo^- аритмос,
число, со временем стало означать всю систему правил десятичного сче-
та. Понимание же термина «алгоритм» как предписания для конечной
вычислительной процедуры, позволяющей найти решение определенно-
го класса задач, восходит к работам Г. В. Лейбница по дифференциаль-
ному исчислению. Возвращаясь к ал-Хорезми, отметим, что его перу
принадлежат также труды по алгебре, геометрии, астрономии и геогра-
фии, при халифе ал-Мамуне он возглавлял библиотеку багдадского на-
учного центра «Байт ал-хикма» (см. 11).
179. Машина Тьюринга и тезис Чёрча. Понятия алгоритма и конст-
руктивности требуют точного определения в рамках содержательной и
формализованной теории. Одна из возможностей реализации этой зада-
чи - машина Тьюринга.
Символы языка рассматриваемой теории называются буквами, непус-
тое множество (обязательно конечное) букв - алфавитом. При опреде-
лении теоретической конструкции, называемой машиной Тьюринга, ко-
торая имитирует на языке символов работу реального автомата
(компьютера), предполагаются заданными два алфавита - внешний и
внутренний.
Любая конечная последовательность (может быть и пустая) букв алфа-
вита называется словом. Словами внешнего алфавита кодируется ин-
формация, которая подается на вход машины или должна быть получена
в результате ее работы. Символы внутреннего алфавита обозначают со-
стояние машины. Также задается конечный список элементарных опера-
ций, последовательность которых определяет программу действий этой
символической машины такт за тактом, т.е. по шагам, каждый из кото-
рых есть команда совершить элементарную операцию. Говоря кратко,
машина Тьюринга - это правило преобразования исходной информации,
представленной в виде слова внешнего алфавита. Ее точная конструкция
490
Глава VI. Элементы математической логики
излагается в [28, с. 58-61] (или в [19, §41]), нам же достаточно знать,
что строгое определение машины Тьюринга существует (и оно, кстати,
совсем не сложно).
Определение процедуры, называемой теперь машиной Тьюринга,
появилось в 1936 г. в статье английского математика Алана Тьюринга
(А.М. Turing, 1912-54) «On Countable Numbers, with an Application to
the Entscheidungs-problem». Приведем изложение идеи Тьюринга, со-
держащееся в этой статье (цит. по книге: Минский М. Вычисления и ав-
томаты. С. 138):
Вычисление обычно производится путем записи некоторых чисел на бумаге. Предположим,
что эта статья разделена на клетки, как школьная тетрадка. В элементарной арифметике
иногда используется свойство двумерности бумаги. Но это вовсе не обязательно, и, я думаю,
можно согласиться с тем, что д вумерность бумаги не существенна при вычислениях. Я пред-
полагаю, что вычисление производится на одномерной бумаге, то есть на ленте, разделенной
на ячейки. Я также буду предполагать, что число символе», которые могут быть использова-
ны, конечно... Поведение вычислителя в любой момент определяется символами, которые он
наблюдает, и «состоянием его ума» в этот момент. Можно предположить, что существует
предельное число В символов или ячеек, которые вычислитель может наблюдать одновре-
менно. Если он хочет просмотреть большее число символов, то должен сделать это последо-
вательно. Пред положим также, что число состояний ума, которые принимаются во внимание,
конечно... Вообразим, что операции, выполняемые вычислителем, расщеплены на «простые
операции», которые настолько элементарны, что нелегко представить себе, как дробить их
дальше. Мы знаем состояние системы, если мы знаем последовательность символов на лен-
те, которые наблюдает вычислитель (возможно, в некотором специальном порядке), и со-
стояние ума вычислителя. Мы можем предположить, что в ходе простой операции изменяется
не более одного символа. Все другие изменения могут быть расщеплены на простые измене-
ния такого рода... Простые операции, таким образом, должны включать:
а) изменение символа в од ной из наблюд аемых ячеек,
б) изменение содержимого одной из ячеек, отстоящей не более чем на L ячеек, наблюдае-
мых в предыдущий момент.
Может случиться, что некоторые из этих изменений с необход имостью включают изменения
состояния памяти <вычислителя>... Теперь можно сконструировать машину, выполняющую
работу этого вычислителя.
Машина Тьюринга как правило преобразования начального внешнего
слова в финальное задает функцию на словах внешнего алфавита. Такая
функция называется вычислимой по Тьюрингу. Особенность ее заключа-
ется в том, что вычислимая функция может быть определена не на всех
словах - это соответствует случаю, когда в процессе преобразования
начального слова выполнение очередной комавды программы окажется
невозможным либо финальное слово недостижимо за конечное число
шагов.
Принципиальным для конструкции Тьюринга является вопрос, сколь
широк класс вычислимых (по Тьюрингу) функций. Оказалось, что любая
известная к настоящему времени процедура (предписание), которую
можно было бы назвать алгоритмом в указанном выше понимании, реа-
$4. Основания математики
491
лизуема в форме машины Тьюринга. Этот факт был сформулирован в
виде утверждения, называемого тезисом Чёрча-, всякий алгоритм (в
его интуитивном понимании) является вычислимой (по Тьюрингу) функ-
цией (см. также 180). В тезисе Чёрча подразумевается, что алгоритм не
является математически формализованным и поэтому не может быть
исследован средствами математики, т.е. рассматриваемое утверждение
является собственно не математической теоремой, а естественно-научной
гипотезой, которая не может быть доказана средствами математики. Эта
гипотеза была выдвинута в 1936 г. американским математиком, профес-
сором Принстонского университета Алонсо Чёрчем, который привел в
подтверждение ее справедливости множество аргументов естественно-
научного характера, т.е. эмпирических аргументов (результатов анализа
известных алгоритмических процедур как данных опыта, эксперимента),
подобно тому как эксперименты служат основанием и подтверждением
физических законов. Кратко аргументы сводятся к указанному выше
принципиальному факту: все известные алгоритмы являются вычисли-
мыми (по Тьюрингу) функциями. С помощью вычислимых функций могут
быть описаны как все алгебраические операции и процедуры, так и иные
операции, применяющиеся в вычислительной технике: подстановка,
композиция, итерация, условный переход (ветвление) и т.п., причем не-
однократное повторение этих операций не выводит из класса вычисли-
мых функций.
Таким образом, прикладная ценность тезиса Чёрча заключается в воз-
можности точными методами исследовать объекты и процессы в естест-
вознании и средствами математики установить их вычислимость или не-
вычислимость.
Отметим, что описание алгоритмического процесса в форме машины
Тьюринга не является единственным и не всегда наиболее удобно. Есть
еще несколько эквивалентных под ходов (181).
180. Рекурсивные функции, множества и предикаты. Объекты и ут-
верждения арифметики также могут быть переведены на язык алфавитов
и слов для машины Тьюринга. Стандартный вариант перевода таков: ну-
лю соответствует символ 0, единице - «палочка» |, двойке - две «палоч-
ки» Ц и тд. Для каждого натурального числа п соответствующий символ
из п «палочек» называется его нумералом. Любая числовая функция
одного или нескольких переменных переводится в соответствующую
функцию от нумералов, т.е. в функцию на машинном языке, для которой
уже определено понятие вычислимости. Можно показать, что все обыч-
ные функции теории чисел являются вычислимыми. В [28, с.63] дан при-
492
Глава VI. Элементы математической логики
мер построения машины Тьюринга для простой арифметической функ-
ции f(m,ri) = -jm/fn-m), f(k,m,ri) = —л)) и Т.п.
На первый взгляд, кажется существенным то, что языки математиче-
ских теорий или естественнонаучных объектов могут быть переведены на
машинный язык, поскольку многие процессы, воспроизводимые компью-
терами (звук, изображение и т.п.), по своей природе не являются вычис-
лительными. Однако это впечатление обманчиво, поскольку выполним
также и обратный процесс: любое слово абстрактного алфавита может
быть взаимнооднозначно пронумеровано некоторым числом - его гёде-
левым номером. Эта процедура подобна нумерации Геделя объектов и
утверждений арифметики (174). Таким образом, наш язык может быть
переведен на язык арифметики, и любая вычислимая функция может
рассматриваться как числовая.
В 174 говорилось о примитивно-рекурсивных функциях. К операциям,
задающим примитивную рекурсию, добавим одну-операцию минимиза-
ции. Она определяется следующим образом. Если g (у, хь ..., х„) - число-
вая функция п+1 числового переменного, принимающая значения 0 или
1, то pyg(y,xit...tx^)- минимальное натуральное у, для которого
g(y,xi, ...,х„)=0; если же такого у не существует, то считаем, что функция
АУ£(У>х1»--->хл) на наборе X]..х„ не определена. Функции, которые
могут быть определены процедурой примитивной рекурсии и минимиза-
ции, называются частично рекурсивными. Всюду определенная частично
рекурсивная функция называется рекурсивной. '
Существуют рекурсивные функции, не являющиеся примитивно-ре-
курсивными [28, с. 83], поэтому процедура рекурсии - более общая, чем
примитивная рекурсия.
Сразу отметим следующий факт: любая частично рекурсивная функция
может быть представлена как некоторая машина Тьюринга. Однако вер-
на и обратная теорема: любая вычислимая функция переводится (ариф-
метизируется) геделевой нумерацией в частично рекурсивную функцию.
Таким образом, классы вычислимых функций и частично рекурсивных
функций совпадают (с точностью до отождествления, производимого
геделевой нумерацией). Следовательно, тезис Чёрча может быть форма-
лизован в виде: всякий алгоритм является частично рекурсивной функ-
цией.
Подмножество натуральных чисел А называется рекурсивным, если
рекурсивен его индикатор 1л (168). Если Р(х^.х*) - ^-местный ариф-
метический предикат (т.е. предикат, определенный на натуральных чис-
лах), то ему соответствует множество Р с N*, такое, что
§4. Основания математики
493
Р(ХЬ...,Х*) ИСТИННО О (Х1,...,Х*)бР.
Арифметический предикат Р (хь..., х*) называется рекурсивным, если
индикатор 1, является рекурсивной функцией. Отметим, что применение
к рекурсивным предикатам любых логических связок, а также ограни-
ченных кванторов (типа Vx^z.Bx^z) приводит к рекурсивным же пре-
дикатам.
Копии рекурсивных арифметических предикатов называются на языке
абстрактных алфавитов разрешимыми предикатами.
Многие естественные арифметические предикаты являются рекурсив-
ными, например предикаты х^у, x + y=z, «х-четное число*, «х-про-
стое число», «х-делитель у». Также рекурсивны многие подмножества
натуральных чисел, например, множество четных чисел, множество не-
четных чисел, множество простых чисел, множество чисел, делящихся на
данное число. Однако существуют как нерекурсивные арифметические
множества, так и нерекурсивные функции и предикаты. Также сущест-
вуют доказуемые утверждения, которые алгоритмически неразрешимы,
т.е. неразрешимы (недоказуемы) в форме рекурсии.
181. Нормальные алгорифмы Маркова. Конструктивизм. Как уже
говорилось в заключении 179, существует еще несколько эквивалентных
способов формализации интуитивного понятия алгоритмической проце-
дуры, внешне значительно отличающихся друг от друга (Л-определи-
мость Чёрча, исчисление равенств Эрбрана - Гёделя, канонические сис-
темы Поста, нормальные алгорифмы Колмогорова - Успенского). Мы
остановимся вкратце только на формализации, предложенной в 1951 г.
известным российским математиком Андреем Андреевичем Марковым
(1903-79), названной им нормальным алгорифмом. Нормальные алго-
рифмы Маркова - это формализованные правила преобразования алфа-
витных слов, заключающиеся в последовательных заменах одной или
нескольких букв в словах, каждая такая замена называется формулой
подстановки. Формула подстановки может также содержать команду ос-
тановки (преобразований). Нормальный алгорифм - это конечный список
команд, каждая из которых является формулой подстановки. Последова-
тельно ищется команда, которую можно применить к текущему слову
(для этого нужно, чтобы фрагмент слова входил в область определения
формулы подстановки); после выполнения подстановки поиск с первой
команды начинается для полученного слова. Работа нормального алго-
рифма останавливается в случае, когда формула подстановки содержит
команду остановки либо когда ни одна из команд не применима.
494
Глава VI. Элементы математической логики
Соотношение между нормальными алгорифмами и машиной Тьюринга
было установлено в два этапа. Сначала было доказано, что машина Тью-
ринга представима в форме нормального алгорифма, а через несколько
лет установлен обратный факт - представимость нормального алгориф-
ма как машины Тьюринга. Это позволило переформулировать тезис
Чёрча в форме, названной Марковым принципом нормализации-, вся-
кое точное общепонятное предписание, определяющее произвольный
потенциально осуществимый процесс переработки слов алфавита от ис-
ходных данных к некоторому результату, может быть представлено в ви-
де некоторого нормального алгорифма.
Аргументы, приводимые в подкрепление принципа нормализации,
аналогичны аргументам в пользу тезиса Чёрча. Приведем аргумент
АА. Маркова по его труду «Теория алгорифмов» (Труды МИАН СССР.
1954. Т.42):
На чем же может быть основана уверенность в справедливости принципа нормализации
алгорифмов, то есть в справедливости тех предсказаний, которые делаются на его основа-
нии? В основном на том же самом, на чем основана наша уверенность в правильности из-
вестных нам физических законов - на опыте.
А опыт, подтверждающий принцип нормализации, огромен. Ведь математикой люди зани-
маются довольно долго - не менее 4000 лет. За это время было придумано немало различных
алгорифмов. И среди них не известно ни одного ненормализуемого. Как-никак, а это веский
довод в пользу принципа нормализации. Не менее веский, чем, скажем, опытное подтвер-
ждение закона сохранения энергии.
Формализованное понятие алгоритма легло в основание математиче-
ской концепции, получившей название конструктивизма. Разделяя ос-
новные критические замечания инТуиционистов (171) в адрес оснований
математики, конструктивисты предлагают иные пути решения рассмат-
риваемых фундаментальных проблем. Также исключая из фундамента
математики актуально бесконечные объекты, конструктивисты обосно-
вывают присутствие (и выбор) исходных объектов не интуицией, а нали-
чием в окружающей действительности реальных объектов, образами
которых и являются реальные математические объекты. Принимаются к
рассмотрению только такие более сложные объекты и системы, которые
носят конструктивный характер, т.е. являются результатом формализо-
ванной алгоритмической процедуры. Взгляд на доказательства и средст-
ва математической логики аналогичен: логическая формула истинна
(конструктивно общезначима), если она получена в результате конструк-
тивного (с помощью нормального алгорифма) логического вывода
исчисления предикатов (разрешимых предикатов); теорема считается,
доказанной, если это доказательство конструктивно (поэтому принцип
исключения третьего так же, как и в интуиционизме, отвергается); су-
§4. Основания математики
495
шествование объекта равнозначно указанию конструктивного способа
(алгоритма) его построения.
Принципиальные идеи конструктивизма восходят к концепциям
Андрея Николаевича Колмогорова, сформулировавшего их в работах
1925 и 1932 г.
Подробнее о конструктивизме можно прочитать в комментариях
А.А. Маркова к книге Аренда Рейтинга «Интуиционизм» (171) или в
книге: Марков А А. О логике конструктивной математики. М., 1972.
182. Компьютерные системы и искусственный интеллект. Машина
Тьюринга - чисто умственное построение, логическая конструкция, а не
машина в собственном смысле этого слова. Материальной реализацией
теоретических автоматов являются компьютеры или, точнее, компью-
терные системы. Современные компьютерные системы качественно
расширили возможности человечества: возможности управления и свя-
зи, вычислительные возможности, возможности воспроизведения зри-
тельных образов и звуков. Современные компьютерные системы стали
уникальным информационным инструментом, выполняя функции записи,
хранения, обработки и передачи информации.
С появлением быстродействующих компьютеров с большим объемом
памяти появилась возможность моделирования (имитации) на компью-
терах широкого класса физических (и других естественнонаучных), тех-
нологических и социальных процессов наряду с использованием анали-
тических методов исследований. С этой целью строится компьютерная
модель процесса, которая по начальным д анным позволяет моделировать
динамику процесса, т.е. его развитие во времени, и дать прогноз на бу-
дущее. Введя в компьютерную модель управляющую компоненту, можно
«проиграть» варианты развития событий и сделать оптимальный выбор.
Компьютерные системы играют исключительную роль в работе финан-
совых рынков и экономической системы в целом, в адерной энергетике,
в работе метеослужб, в военной и космической технике, в системах
управления родами войск или соединений. С каждым годом возрастает
роль компьютерной техники в совершении преступлений и в борьбе с
ними - вот такой парадокс.
Однако увеличение вычислительных, информационных и управляющих
возможностей компьютерной техники вовсе не избавляет человека от
необходимости собственных усилий мысли (подобно известному замеча-
нию «он чином от ума избавлен»): формализация реальных объектов и
процессов, выбор компьютерной модели и эффективного метода анали-
496
Глава VI. Элементы математической логики
за, обработка, анализ и интерпретация полученных результатов - это
дело рук и ума человека.
Наука, занимающаяся решением задач управления, информатики и
моделирования алгоритмическими методами с помощью компьютерной
техники, называется кибернетикой.
Сколь широки в принципиальном плане теоретические и практические
возможности компьютеров? Все операции, определяющие рекурсивные
функции, реализуемы в компьютере, поэтому любая рекурсивная проце-
дура выполнима компьютерными средствами. Аналогично вычислимости
по Тьюрингу реализацию алгоритма с помощью компьютера без ограни-
чений на память можно назвать компьютерной вычислимостью. Также
можно аналогично тезису Чёрча или принципу нормализации Маркова
сформулировать тезис компьютерной вычислимости: любой алго-
ритм реализуем на компьютере с достаточно большой памятью за конеч-
ное время и привести в его пользу те же доводы.
Однако теоретические схемы и реальные конструкции - разные вещи:
реальные технологические возможности компьютеров по быстродейст-
вию, объему памяти ограничивают возможности решения задачи, к тому
же за реально требуемое время. Все это определяет различие между по-
тенциальной и реальной осуществимостью.
Кроме того, при решении реальных задач средствами компьютерной
техники возникают (как в любой технической задаче) специфические
проблемы, трудности и методы их разрешения. Аналогично математиче-
ским теориям для описания задачи и алгоритма ее решения компьютером
необходим свой язык, общий д ля решения широкого класса задач или
специальный для более эффективного решения меньшего круга задач с
учетом их особенностей. Кроме алгоритмических языков создана масса
сервисных программ, решающих стандартные задачи математического,
вычислительного, внутрикомпьютерного характера или обеспечивающих
нужные формы экспорта \ импорта данных (интерфейс). Другой блок
проблем - технические проблемы, связанные с расширением фукцио-
нальных возможностей компьютеров, уменьшением его габаритов, со-
вершенствованием архитектуры компьютеров и компьютерных систем.
При желании познакомиться с этими проблемами основательно см.:
Бауэр ФЛ., Гооз Г. Информатика. М., 1990; там же приводится краткий
очерк истории информатики.
Различие между потенциальной и реальной осуществимостью прекрас-
но иллюстрируется на примере шахматных программ. Если попытаться
смоделировать шахматную игру путем проверки всех правильных вари-
антов (т.е. допустимых правилами ходов фигур) последовательных ходов
4
§4. Основания математики
497
за белых и черных вне зависимости от их позиционной (стратегической
или тактической) осмысленности, то, по экспертной оценке, таких вари-
антов наберется не менее 1О120. Даже при современном быстродействии
компьютеров такой путь реально не осуществим. Но более важно то, что
принцип организации в виде безыдейного тупого перебора попросту не-
леп, и в действительности подавляющее большинство правильных вари-
антов сразу отметаются шахматистами по позиционным, профессиональ-
ным соображениям. Созданием принципиально более эффективных ал-
горитмов, нежели перебор, занимались разные коллективы, в том числе
шестой чемпион мира по шахматам М.М. Ботвинник («От шахматиста к
машине». М.,1979). О значительных успехах на этом пути свидетельст-
вует матч в 1997г. американской компьютерной программы «Deep Blue*
с тринадцатым чемпионом мира Гарри Каспаровым, в котором компью-
тер одержал сенсационную победу с перевесом в одно очко. Таким обра-
зом, задача создания классного шахматиста-компьютера оказалась реа-
лизуемой.
Значительно более трудна задача создания мыслящего кибернетичес-
кого устройства или в другой терминологии-искусственного интеллекта.
Возможно ли решение этой задачи? На этот счет существуют разные
точки зрения. Основные аргументы «против»: в отличие от биологиче-
ской природы человека кибернетическое (компьютерное) устройство
имеет механическую природу (или, кратко, неживая материя не может
воспроизводить живую); человек - продукт социума, а любая компью-
терная система асоциальна; любая компьютерная программа (система)
не может выйти за рамки исходных предписаний, а посему не способна к
творчеству, по сходным причинам кибернетические устройства лишены
эмоций; компьютерные системы дискретны по своей природе, и поэтому
не могут воспроизводить непрерывные процессы жизнедеятельности, по
этой же причине им недоступна абстракция («идеальные элементы»,
выражаясь терминологией Гильберта (172), в них попросту непредста-
вимы). Аргументы «за» следующие. Любая живая материя также состо-
ит из атомов, клеток и т.п., соединенных в сложную систему, причем
структуру этих соединений вполне можно назвать рекурсивной,
например структура такого сложного соединения, как ДНК
(дезоксирибонуклеиновая кислота), носитель генетической информации,
хорошо подтверждает эту точку зрения. Один из крупнейших специали-
стов в области кибернетики Норберт Винер (N. Wiener, 1894-1964)
приводит (Кибернетика. М., 1958. С. 37-38) интересный факт: когда
на схему аппарата, который должен был считывать и воспроизводить (в
том числе в форме звуков речи) буквенные тексты, предложенную его
32 - 5091
498
Глава VI. Элементы математической логики
коллегой Уорреном Маккаллоком (W. McCalloch, 1898-1968), взглянул
специалист-физиолог, не знавший, что это за схема, то он сразу сказал,
что она очень похожа на схематическое изображение четвертого слоя
зрительной области коры головного мозга и очень напоминает связи ме-
жду нейронами в коре больших полушарий. Таким образом, структура
систем, совершенно разных по своему материальному происхождению,
но предназначенных для выполнения примерно одинаковых функций,
оказалась однотипной. Согласно принципиальному тезису Маккаллока-
Питтса, любая функция нервной системы человека реализуема конеч-
ным автоматом (а следовательно, и компьютерной системой). И подоб-
ных аналогий много (см. также [27, гл.8]).
Еще один принципиальный аспект - это глубокий анализ (как всегда
плодотворный!) самой постановки проблемы. Если воспроизведение ин-
теллекта, мышления рассматривать как воспроизведение функций мыш-
ления, а не биологической материи, то акценты кардинально меняются.
Такой функциональный подход описывает А.Н. Колмогоров в сборнике
«Математика - наука и профессия» (Статья «Автоматы и жизнь»). М.,
1988. С. 43:
Если свойство той или иной материальной системы «быть живой» или обладать способно-
стью «мыслить» будет определено чисто функциональным способом (например, любая мате-
риальная система, с которой можно разумно обсуждать проблемы современной науки или
литературы, будет признаваться мыслящей), то придется признать в принципе вполне осу-
ществимым искусственное создание живых и мыслящих существ.
Между прочим, современная организация программных средств: объ-
ектно ориентированные модули - управляющие элементы - стандарти-
зация - трансляторы очень напоминает организацию человеческих зна-
ний: общезначимый культурный базис-общепринятые концепции-раз-
личие\ взаимопроникновение национальных культур - специальные об-
щие знания.
Что касается неспособности роботов к творчеству, то еще в 1960-е гг.
американским математиком Ван Хао была создана программа, по кото-
рой компьютер не только осуществлял доказательство всех теорем
«Principia Mathematica» Рассела и Уайтхеда (170), но и вывел дюжину
новых теорем. О шахматных достижениях компьютеров мы уже говори-
ли. Как писал Пушкин в «Метели»: «Если это нелюбовь, так что же?»
В ответ на аргумент об ограниченности компьютерных систем началь-
ными предписаниями обычно замечают, что человеческий интеллект
§4. Основания математики
499
также ограничен принятой системой культурных ценностей, законами,
традициями, воспитанием.
Дискретность компьютерных систем - действительно принципиальный
вопрос, требующий рассмотрения. Во-первых, непрерывность и непре-
рывная модель - это именно модель, т.е. абстрактная конструкция чело-
веческой мысли, образ предмета или процесса, а не они сами. Эта мо-
дель не единственна (вопросы неединственности моделей в математике
мы подробно обсуждали). Как видите, эти проблемы имеют общезначи-
мый характер. В указанной выше статье А. Н. Колмогоров пишет:
«Скорее всего ситуация непрерывных линий в мозге осуществляется на
базе дискретного механизма... дискретные механизмы являются ведущи-
ми в процессах переработки информации и управления в живых орга-
низмах. Не существует состоятельных аргументов в пользу принципа
ограниченности возможностей дискретных механизмов по сравнению с
непрерывными» (с.51 -52). В другой статье этого же сборника (с. 234) он
высказывает принципиальную мысль (к которой мы еще вернемся) отно-
сительно абстракции: «Вся практическая ценность математически бес-
конечного сводится к возможности при ее помощи получить финитные
выводы проще и быстрее».
В общем, проблема сложна. По поводу искусственного интеллекта на-
писаны горы книг научно-популярного, научно-фантастического и псев-
донаучного характера, по-настоящему изложить и обсудить эту пробле-
му на нескольких страницах - немыслимое дело, тем более что проблема
является предметом скорее информатики, нежели собственно математи-
ки. С различными точками зрения можно познакомиться по переводным
книгам, например А. Тьюринга, Дж. фон Неймана, Н. Винера и извест-
ных специалистов - наших соотечественников. Кроме того, возможно,
будет интересно познакомиться со взглядами на эту проблему, изложен-
ными в книге «Философия естествознания» (М.,1966) с марксистских
позиций, не слишком ныне модных.
Завершим обсуждение двумя цитатами противоположного характера:
напоминанием о существовании, согласно Нильсу Бору, «гармоний, не-
доступных для систематического анализа» и высказыванием Андрея Ни-
колаевича Колмогорова: «Я принадлежу к тем отчаянным кибернетикам,
которые не видят никаких принципиальных ограничений в кибернетиче-
ском подходе к проблеме жизни и полагают, что можно анализировать
жизнь во всей ее полноте, в том числе и человеческое сознание со всей
сложностью, методами кибернетики».
32'
500
Глава VI. Элементы математической логики
Математика и реальность. Современный взгляд
на фундаментальные проблемы математики, ее пели и средства
О связи математики и естествознания: взгляды выдающихся философов, физиков,
математиков. Основные вопросы: роль математики в описании реального мира,
связь и соотношение результатов математических теорий и явлений реального
мира, достоверность значений собственно математических результатов. Об
истинности теорий и моделей. О конечности или бесконечности окружающего нас
мира; реальные и идеальные объекты и модели. О предметных и абстрактных
математических теориях (183)
183. Математика и реальность. Исторический обзор развития мате*
матики, данный в гл.1 и IV, свидетельствует о том, что до XIX в. матема-
тики находили предмет своих трудов и, если угодно, вдохновений в явле-
ниях природы (объектах и процессах). Наиболее поэтично об этом сказал
Гаусс: «Природа-ты моя богиня, твоим законам я преданно служу».
Математика всегда рассматривалась как наиболее надежный инстру-
мент достоверного описания и познания природы; об этом говорилось не
один раз. Приведем высказывание Френсиса Бэкона из книги «О досто-
инстве и приумножении наук» (1620):
В природе существует много такого, что не может быть ни достаточно глубоко понято, ни
достатсяно убедительно доказано, ни достаточно умело и надежно использовано на практике
без помощи и вмешательства математики. Это можно сказать о перспективе, музыке, астро-
номии, космографии, архитектуре, сооружении машин и некоторых других областях знания...
По мере того как физика день ото дня будет приумножать свои достижения и вывод ить новые
аксиомы, она будет во многих вопросах нуждаться все в большей помощи математики, и это
приведет к созд анию еще большего числа областей смешанной математики.
Особенно сильной связь математики и натурфилософии (естествозна-
ния) была в XVII—XVIII вв. и вплоть до конца XIX в. Связь эта была
взаимообогащающей и исключительно плодотворной-достаточно пере-
числить лишь несколько принципиальных концепций строения мира,
таких, как птолемеева геоцентрическая модель мира, гелиоцентрическая
модель мира, геометрия Евклида, динамика Галилея, теория тяготения,
небесная механика Ньютона, теория электромагнитного поля. С одной
стороны, математика черпала задачи прежде всего (а до XIX в. почти
исключительно) из естественных наук, а с другой - д авала естественным
наукам точные и достоверные методы исследования и решения проблем.
Многие великие физики XX в. также подчеркивали роль математики в
формулировании и решении проблем физики. Приведем слова американ-
ского физика Юджина Пола Вигнера (Е.Р. Wigner), профессора Прин-
$4. Основания математики
501
стонского университета, лауреата Нобелевской премии по физике
1963 г. (Вигнер Е. Этюды о симметрии. М.,1971. С. 197. Статья «Не-
постижимая эффективность математики в естественных науках» ):
Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических
законов. Это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам оста-
ется лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что и в будущих сама исследованиях мы
смажем по-прежнему пользоваться им. Мы думаем, что сфера его применимости (хорошо то
или плохо) будет непрерывно возрастать, принося нам не только радосгь,'но и новые голово-
ломные проблемы.
При этом не следует впадать в восторженный тон и заниматься аполо-
гетикой: далеко не все проблемы теоретической и, тем более, приклад-
ной физики могут быть решены (более того, описаны) методами теорети-
ческой математики даже при помощи новых и мощных методов компью-
терного анализа. Но то, что невозможно сегодня, оказывается возмож-
ным завтра. Классическим примером являются задачи электромеханики,
рассмотренные английским физиком, членом Лондонского Королевского
общества Оливером Хевисайдом (О. Heaviside, 1850-1925). Применяв-
шиеся им математические метод ы решения этих задач были некорректны
(впрочем, это не раз случалось ранее при описании задач математиче-
ской физики (натурфилософии), см. 87-88) и вызывали резкую критику.
Однако полученные результаты хорошо согласовывались с физическими
представлениями и удовлетворяли потребностям собственно физики.
«Подумаешь, ряд расходится,-заявил однажды Хевисайд, -ведь можем
же мы что-нибудь с этим еделать?» (Хевисайда можно понять: если зада-
ча требует решения сегодня, значит, ее нужно решать сегодня так, как
это возможно, пусть и с изъянами, однако тогда невозможно гарантиро-
вать безошибочность всех полученных результатов.) И действительно,
оказалось, что «с этим можно что-нибудь сделать»: впоследствии была
изменена математическая постановка и в новых моделях действия Хеви-
сайда стали обоснованными и корректными и д аже привели к развитию
новых математических направлений. Также при решении задач диффу-
зии, броуновского движения, фильтрации помех и искажений радиосиг-
налов («белый шум»), при создании моделей квантовой механики снача-
ла применялись нестрогие методы, однако затем был развит соответст-
вующий математический аппарат и получены не только физические, но и
замечательные математические результаты.
Очевидные достоинства математики привели к тому, что выдающиеся
мыслители (не только математики) стали считать математику эталоном
точных знаний, образцом достоверности и , в конечном счете, носителем
абсолютной истины. Приведем наиболее яркие примеры.
502
Глава VI. Элементы математической логики
Реие Декарт в «Метафизических размышлениях»: «Только математикам дано достичь
несомненности и ясности, ибо они исходят из того, что наиболее легко и просто».
Декарт в «Принципах философии» писал, что «не приемлет и не надеется найти в физи-
ке каких либо принципов, отличных от тех, которые существуют в геометрии или абст-
рактной математике, потому что они позволяют объяснить все явления природы и при-
вести доказательства ие оставляющие сомнений».
Иммануил Кант в «Пролегоменах...»: «Мы можем с достоверностью сказать, что некото-
рые чистые априорные синтетические познания имеются и нам даны, а именно: чистая
математика и чистое естествознание, потому что оба содержат положения, частью
апод иктически достоверные на основе од ного только разума, частью же на основе общего
согласия из опыта и тем не менее повсеместно признанные независимыми от опыта».
Генрих Герц (физик): «Трудно отделаться от ощущения, что эти математические форму-
лы существуют независимо от нас и обладают своим собственным разумом, что они ум-
нее нас. кто открыл их, и что мы извлекаем из них больше, чем было в них первоначально
залажено».
Астрофизик Джеймс Джинс в «Загадочной Вселенной»: «Самый важный факт состоит в
том, что все картины природы, рисуемые наукой, которые только могут находиться в со-
гласии с данными наблюдений, - картины математические... За пределы математиче-
ских формул мы выход им на свой страх и риск».
Герман Вейль (см. 171): «В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармо-
ния, отражающаяся в наших умах в виде простых математических законов. Именно этим
объясняется, почему природные явления удается предсказывать с помощью комбинации
наблюдений и математического анализа. Сверх всяких ожиданий убеждение (я бы лучше
сказал, мечта!) в существовании гармонии в природе находит все новые и новые под-,
тверждения в историй физики».
Убеждение (или веру} в существование отдельного реального мира
математических истин, о котором говорили Кант и Герц, разделяли мно-
гие выдающиеся математики. Эта точка зрения, радикально отличаю-
щаяся от высказанной в начале 183, может быть кратко выражена сло-
вами известного французского математика Шарля Эрмита (С. Hermite,
1822-1901), профессора Парижского университета и члена Парижской
академии наук:
Я убежден в том, что числа и функции анализа не являются произвольным продуктом наше-
го духа. Я верю, что они лежат вне нас с той же необходимостью, как предметы объективной
реальности, а мы обнаруживаем или открываем и исследуем их так же, как это делают физи-
ки, химики и зоологи.
и английского математика Гародда Харди (G.H. Hardy, 1877-1947),
профессора Кембриджского и Оксфордского университетов, члена Лон-
донского Королевского общества:
Математические теоремы истинны или ложны, и их истинность или ложность абсолютно ие
зависит от того, известны ли нам эти теоремы. В некотором смысле математическая истина
является частью объективной реальности.
Эту концепцию, согласно которой существует особый (трансценден-
тальный) мир априорных и абсолютных математических истин, подобно
миру неизменных идей Платона, вполне можно назвать математическим
§4. Основания математики
503
платонизмом. Но здесь сразу же возникают вопросы. В различных алгеб-
рах- матриц, векторов, кватернионов, множеств и тд. - действуют раз-
личные законы, в частности, отличные от арифметических законов обыч-
ных чисел (рациональных, действительных, комплексных). Поэтому даже
законы арифметики не могут рассматриваться как априорные и единст-
венно истинные. Какую из геометрий (Евклида, Лобачевского или Рима-
на) считать априори истинной? Что следует считать априорной истиной:
аксиому выбора или ее отрицание, континуум-гипотезу или ее отрицание
и т.п.? По поводу априорных и окончательных истин приведем достаточно
резкие высказывания д вух известнейших математиков - Германа Вейля:
Гёделю с его истовой верой в трансцендентальную логику хочется думать, что наша логиче-
ская оптика лишь немного ие в фокусе, и надеяться, что после небольших коррекций мы
будем видеть четко, и тогда всякий согласится, что мы видим верно. Но того, кто не разде-
ляет этой веры, смущает высокая степень произвола в системе Z [Цермело] или даже в сис-
теме Гильберта... Никакой Гильберт ие смажет убед ить нас в непротиворечивости иа вечные
времена. Мы должны быть довольны, если какая-нибудь простая аксиоматическая система
математики пока выдерживает проверку наших сложных математических экспериментов.
Если иа более позд ней стад ии появятся расхождения, то мы еще успеем изменить основания.
и Феликса Клейна, выдающегося геометра (53), в начале XX в. возглав-
лявшего математический институт Гёттингенского университета, в то
время мирового центра математики:
В основных исследованиях в области математики не может быть окончательного заверше-
ния, а вместе с тем и окончательно установленного первого начала...
Итак, проблемы обозначены. Следует определиться по основным во-
просам: 1) роль математики в описании реального (окружающего нас)
мира, 2) связь и соотношение результатов математических теорий и яв-
лений реального мира, 3) достоверность значений собственно математи-
ческих результатов.
Эффективность математики как метода описания, систематизации и
анализа предметов и процессов реального мира бесспорна и подтвер-
ждена многовековым опытом. Является эта эффективность «непостижи-
мой», как выражался Вигнер, или «постижимой» - не столь важно, и в
любом случае обсуждение вопроса может вестись только профессиона-
лами высокого класса. Одно из возможных объяснений эффективности
математики было высказано Кантом, а затем развито Брауэром и Уайт-
хедом. Основная идея заключалась в том, что математика является важ-
ным элементом физического мира, который не дан нам объективно, а
есть лишь интерпретация наших ощущений (опыта) и врожденной ин-
туиции, и математика - это основной инструмент, позволяющий упоря-
дочить и гармонизировать их. Согласно этой концепции, математика мо-
жет описывать мир только в той степени, в которой он известен челове-
504
Глава VI. Элементы математической логики
ку. Общность же математических моделей, принятых у разных людей и
даже цивилизаций, объясняется сходством строения и функционирова-
ния разума у всех людей, общностью языка и культуры.
Естественно-научные истоки процесса развития математики бесспорны.
Это не случайно: опыт и врожденная интуиция были основой создания
как математических моделей мира, так и собственно математических
теорий. «Формализированная математика никогда не была бы создана, -
пишет А.Н. Колмогоров в статье «Современные взгляды на прйроду
математики*, - если бы ее замысел не был доступен нашей интуиции».
А. Эйнштейн в книге «Вокруг теории относительности» высказывает
такую мысль:
В этой связи возникает вопрос, который волновал исследователей всех времен. Почему
возможно такое превосходное соответствие математики с реальными предметами, если сама
она является произведением только человеческой мысли, не связанной ни с каким опытом?
Может ли человеческий разум без всякого опыта, путем только од ного размышления понять
свойства реальных вещей?
Но даже если бы математика развивалась только как математика есте-
ствознания, то на определенном уровне ее развития в любом случае не-
избежно появление внутриматематических задач и технического, и прин-
ципиального характера, требующих решения собственно математиче-
скими методами. Развитие чисто теоретической математики, решающей
математические задачи вне зависимости от их связи с реальностью -
объективный и естественный процесс. Это направление и, если угодно,
движение математической мысли определяет так называемую чистую
математику в отличие от математики прикладной, в явном ваде связан-
ной с решением конкретных естественно-научных задач. Деление мате-
матики на чистую и прикладную в значительной мере условно, но, конеч-
но, есть математики (и притом мирового уровня), придерживающиеся
крайних взглядов, т.е. апологеты либо чистой, либо прикладной матема-
тики. Полемика между ними, притом весьма эмоциональная, приведена в
[5, гл.XIII]. Прочитав ее, можно убедиться, что математикам свойственна
не только холодная рассудительность (в полном согласии с тем, что ут-
верждалось во введении к настоящему учебнику). Математика же разви-
вается в обоих направлениях вне зависимости от вкусов и пристрастий.
Для тех читателей, которые действительно захотят познакомиться с
содержанием этой главы (а возможно, и других), снова отметим, что
ценность содержащихся в ней критических замечаний в адрес оппонен-
тов определяется не эмоциональностью и резкостью и не голой крити-
кой, позитивными и созидательными элементами этой критики, так же,
как и значимость ее авторов определяется полученными ими результата-
§4. Основания математики
505
ми; именно они придают критике весомость, именно выдающиеся пози-
тивные результаты авторов делают эту критику интересной д ля коллег.
Обратимся ко второму вбпросу о связи и соотношении результатов
математических теорий и явлений реального мира. Напомним, что, рас-
сматривая важнейшие математические результаты, мы столкнулись с
принципиально различными моделями геометрий и множеств (о других,
не рассмотренных нами конкретно, взаимоисключающих истинных тео-
риях и моделях мы говорить не будем из-за отсутствия предметной осно-
вы). Может возникнуть вопрос: а на «самом деле», какая именно гео-
метрия или же какая именно теоретико-множественная модель истинна:
ZFC+CH, или ZFC+1CH, или ZF+1AC? Близким по постановке будет и
вопрос о допустимости описания непрерывных в соответствии с нашим
интуитивным представлением процессов конечными компьютерными
моделями (182), т.е. какая из моделей истинна «на самом деле» - ком-
пьютерная или аналитическая (в терминах математического анализа)?
На самом деле ответ нужно искать прежде всего в постановке вопроса
(как это уже было не раз). Указанные модели геометрии, теории мно-
жеств или аналитическая модель - это продукты нашего мышления, т.е.
абстрактные объекты, рожденные рассуждениями, правильность кото-
рых (правила доказательств) нами же и определены. Такие объекты и
правила логического вывода будут идеальными в терминах Гильберта
(172). Так что нет никакого «на самом деле» - вопрос поставлен неточно
или даже некорректно. Различие между естественно-научными явления-
ми и их математическими моделями-принципиальный вопрос, который
нельзя замалчивать. Эйнштейн это образно сформулировал так («Вокруг
теории относительности»): «...Если теоремы математики прилагаются к
отражению реального мира, они не точны; они точны до тех пор, пока
они не ссылаются на действительность».
Существует точка зрения, согласно которой окружающий нас предмет-
ный мир конечен, даже если количество предметов очень велико. «По
существу, все связи между математикой и ее реальными применениями
полностью умещаются в области конечного», - считает А.Н. Колмогоров
(«Современные взгляды на природу математики»). Рассматривая в каче-
стве примеров процессы д вижения реальных жидкостей и газов, которые
представлены непрерывными математическими моделями, он замечает,
что при решении дифференциальных уравнений, описывающих это
движение, все равно приходится пользоваться конечно-разностными
методами решения уравнений (аналитические решения существуют в
практических задачах очень редко), и не вадит в этом никакой беды. «По
существу, - пишет он, - употребляемая нами конечно-разностная схема
506
Глава VI. Элементы математической логики
вполне достаточна для получения всех реально интерпретируемых выво-
дов, хотя микроскопическая структура реальной жидкости или газа так
же не похожа на эту разностную схему, как и на непрерывную модель».
Серьезным аргументом в пользу точки зрения о достаточности дискрет-
ных моделей является принцип неопределенности в квантовой механике,
согласно которому значения координаты и импульса или значение энер-
гии и времени наблюдения одновременно не могут быть определены точ-
но (а только в некотором диапазоне), причем по своей природе, а ие в
силу дефекта измерения. Все конечные или, иными словами, финитные
модели, описывающие конечные системы реальных объектов, относятся
к финитной математике. Утверждения, логические формулы и методы
доказательств финитной математики также финитны, т.е. ограничены
рамками исчисления высказываний или исчисления предикатов первого
порядка (§2). Поэтому финитная математика полна согласно теореме
Геделя о полноте (172), т.е. любое финитное утверждение можно либо
доказать, либо опровергнуть финитными методами. Будем вслед за Гиль-
бертом считать, что финитная математика состоит только из объектов и
утверждений, которым можно придать предметную интерпретацию
(интерпретировать объектами реального мира), как это делает и Колмо-
горов. Тогда финитная математика будет состоять только из реальных в
терминологии Гильберта (172) объектов и суждений или будет, как
говорят математики, содержательно истинной.
Другая часть математики оперирует с абстрактными, идеальными в
терминологии Гильберта, математическими объектами и моделями, ко-
торые реализованы в виде формальных символических исчислений. Не-
обходимым требованием к формальным математическим теориям
(исчислениям) является их непротиворечивость. Конечно, вся финитная
математика непротиворечива - никакое утверждение в ней не может
быть одновременно истинно и ложно. Совсем не каждому объекту или
утверждению формальной теоретической математики можно дать пред-
метную интерпретацию, да в этом и нет необходимости. Какова же прак-
тическая ценность формализованных теорий? Ответом может служить
уже упоминавшееся высказывание Колмогорова: «Практическая цен-
ность математики бесконечного свод ится к возможности при ее помощи
получить финитные выводы проще и быстрее» (ср. с высказыванием
Лейбница о понятии бесконечно малых в 131). В качестве примера, под-
тверждающего этот тезис, можно привести формулу Стирлинга для фак-
I
ториала: <п\<^2япппе "+п", которая позволяет на поря-
док проще, чем непосредственным перемножением, получить значения
$4. Основания математики
507
биномиальных коэффициентов С* =fc|
с достаточной точно-
стью. Конечно, таких примеров можно привести множество.
Предметной интерпретацией результатов формальных теорий, т.е. свя-
зью теоретической математики и предметов или процессов реального
мира, занимается метаматематика.
Математику, допускающую предметную интерпретацию, мы будем
называть предметной и говорить о содержательной истинности ее утвер-
ждений, употребляющийся также синоним «содержательная математи-
ка» здесь никогда не будет использоваться, чтобы не возникла (абсолют-
но ложная!) мысль, будто остальная математика бессодержательна.
Содержательность абстрактной математической теории определяется
значимостью ее результатов для самой теории и других областей матема-
тики, т.е. математики в целом. Содержательная истинность или, иными
словами, естественно-научная значимость абстрактной математической
теории является столь же важным свидетельством ее содержательности,
но следует отметить, не единожды случалось, что предметная интер-
претация обнаруживалась только через много лет после получения соб-
ственно математического результата.
При отсутствии предметной интерпретации особую значимость приоб-
ретают вопросы существования «идеальных объектов» и непротиворе-
чивости формализованных теорий - и здесь мы обратимся к третьему во-
просу наших исследований: о достоверности значений собственно мате-
матических результатов. Теоремы существования важны тем, что обес-
печивают законность работы с объектами (работа с несуществующими
объектами лишена смысла), но конструктивно построенные объекты
имеют значительно большую познавательную ценность. Концепция кон-
структивной математики, требующая конструктивности (алгоритмичес-
кой определимости) объектов и приемов логического вывода теории и
связывающая только с такими теориями возможность предметной ин-
терпретации средствами математики, выглядит вполне убедительно (за-
метим, что Л. Лацдау называл теоремы существования «математичес-
кой лирикой»). Проблемы непротиворечивости уже рассматривались, и
мы знаем, что непротиворечивость теории, содержащей хотя бы арифме-
тику, не доказуема средствами самой этой теории. Однако основные во-
просы непротиворечивости, связанные с приложениями математики, мо-
гут быть сведены к непротиворечивости арифметики (и первого, и второ-
го порядка), практически не вызывающей сомнения у большинства ма-
тематиков, и небольшой части теории множеств, в поддержку непроти-
воречивости которой можно призвать не раз упоминавшуюся интуицию.
508
Глава VI. Элементы математической логики
Возможен еще один вполне логичный подход-эмпирический. Почему
мы не можем считать математику, по крайней мере в значительной сте-
пени, эмпирической наукой, более абстрактной и строгой, чем физика
или химия и т.п. (и поэтому стремление математиков обрести в ней на-
дежность вполне оправдана), но тем не менее... Тогда аналогично физи-
ческим теориям правильность основ математики следует определять по
тому, насколько хорошо построенная на данных основах математика опи-
сывает в своей предметной части реальный мир, насколько хорошо ма-
тематические результаты согласуются с известными опытными фактами
и предсказывают новые феномены.
На практике взаимосвязь математики и явлений реального мира осу-
ществляется примерно так: сбор достоверной и состоятельной информа-
ции (количественной и качественной) о реальном объекте и ее анализ -
выбор математической модели и получение результатов в рамках этой
модели - анализ и предметная интерпретация результатов. Только в слу-
чае выбора адекватной и эффективной модели и правильного анализа
и интерпретации результатов они будут соответствовать реальности -
в противном случае следует ждать бед, и не только научных (например, в
задачах вдерной энергетики и экономики). При таком подходе получен-
ные результаты (и их достоверность \ истинность) ограничены рамками
выбранной модели. Случается, что адекватные и эффективные модели
обнаружить не удается, поэтому физики и технократы часто высказыва-
ют претензии к математикам за невнимание к физическим и технологи-
ческим проблемам.
Подводя итог этому краткому обзору, следует обратить внимание, на-
сколько же все это далеко от первоначальных представлений о матема-
тике' как о науке всеобъемлющих истин и окончательных ответов.
Подробнее о вопросах, рассмотренных в 183, см. [5,гл.Х1П-ХУ].
В заключение отдадим дань объективности и приведем высказывание
Шарля Эрмита, отражающее иной взгляд на рассматриваемые пробле-
мы и принципиально иную расстановку акцентов:
Если я не ошибаюсь, существует мир, представляющий собой собрание математически!
истин и доступный нам только через наш разум, - точно так же существует мир физической
реальности. Как опин, так и другой не зависят от нас, они оба - творение Господа Бога и
различимы лишь по слабости нашего разума, тогда как на более высокой ступени мышления
они суть одно и то же. Синтез этих двух миров отчасти проявляется в чудесном соответствии
между абстрактной математикой, с од ной стороны, и всеми отраслями физики - с другой.
Хотя не исключено, что, зная полученные к концу XX в. результаты, Эр-
мит изменил бы свою позицию.
Задачи
509
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI
1. Методом математической индукции доказать справедливость равенств:
1) 14!+2-2!+...+л-»!=(л+1)!-1; 2) ±+-L+w+—1—--i-;
1*4 4«7 (ЭИ—2дЗл+1) ЗЛ+1
3) 1 • 2+3 • 4 +~ В» = ("-Ц”*”*1) t и > 1.
2. Доказать, что число 4”+15л -1 делится на 9 при любом натуральном п.
3*. Доказать (как с помощью метода математической индукции, так и без него),
что число л3+ 5п делится на 6.
4. При каких натуральных п справедливы неравенства: 1) 2”> п\ 2) 2">2л+1.
5.
6.
Доказать какую-либо из пифагорейских формул для фигурных чисел (10).
Методом математической индукции вывести формулы
7*. Доказать, что (l+r)"> 1 +nt при всех натуральных и>1, если Г>-1 и Г#0.
#8. Доказать, что хп + = 2 cos ла, если х+х-1 = 2 cos а.
9. В следующих высказываниях (суждениях) найти субъект и предикат. Выска-
зывания перевести в логическую символику (в энтимемах восстановить отсутст-
вующие части высказываний). Во всех ли примерах средств математической ло-
гики достаточно для передачи полного смысла высказывания?
9.1. Законность - неотъемлемая часть демократии.
9.2. Невзгоды - это четки, нанизанные на нить нашей судьбы. Мудрец спокойно
перебирает их (А. Дюма-отец).
9.3. Демократия - не потаскушка, которую может подобрать на улице человек с
автоматом (У. Черчилль).
9.4. Только сильное государство обеспечивает свободу своим гражданам
(Ж. Ж. Руссо).
9.5. Ceterum censeo Carthaginem esse delendam - Притом думаю, что Карфаген
должен быть разрушен (Марк Порций Катон Старший).
9.6. А вы не называйтесь учителями, ибо один у нас Учитель - Христос, все же
вы - братья;// И отцем себе не называйте никого на земле, ибо один у вас Отец,
который на небесах (Матф.: 23,8-9).
9.7. ...По делам же их не поступайте, ибо они говорят, и не делают:// Связывают
бремена тяжелые и неудобоносимые и возлагают на плеча людям, а сами не хо-
тят и перстом двинуть их (Матф.: 23,3-4).
9.8. Если я имею дар пророчества, и знаю все тайны, и имею всякое познание и
всю веру так - что могу и горы переставлять, а любви не имею,- то я ничто
(1 Кор.: 13,2).
9.9. Не нарисуй змее ног даже для красоты (Китайская пословица).
9.10. Мы" никогда не будем умны чужим умом и славны чужою славою
(Н. М. Карамзин).
510
Глава VI. Элементы математической логики
9.11. Бич жандармов, бог студентов,//Желчь мужей, услада жен -//Пушкин в
роли монумента?//Tomi каменного? - он... (М. Цветаева). Анализируемое
высказывание выделено курсивом.
10. Перевести следующие высказывания в логическую символику. Выделить
суждения, относящиеся к классификации Аристотеля, в энтимемах восстановить
отсутствующие части высказываний.
10.1. Все люди рождаются свободными и равными в своих достоинствах и правах
(Всеобщая декларация прав человека. Ст. 1).
10.2. Никто не может быть подвергнут произвольному аресту, задержанию или
изгнанию (Там же.Ст.9).
10.3. Всегда от зла другое зло исходит -// Вот почему так гибельно оно (В. А.
Жуковский).
10.4. Нет адъютанта без аксельбанта (К. Прутков).
10.5. Когда все мыслят одинаково, никто не мыслит (Г. Гегель).
10.6. Говорю вам тайну: не все мы умрем, но все изменимся (1 Кор.: 15,51).
10.7. Причинение вреда посягающему лицу в состоянии необходимой обороны
не является преступлением.
10.8. Каждый доволен своим умом, но не доволен своим положением (Француз*
ская пословица).
11. Произвести трансформацию следующих высказываний (суждений).
11.1. Все дороги ведут в Рим.
11.2. Человеку свойственно ошибаться.
11.3. Счастливые часов не наблюдают (А.С. Грибоедов).
11.4. Не всякий генерал от природы полный (К Прутков).
12. Построить логический квадрат и с его помощью вывести из данных ниже
высказываний (суждений) либо противоположные, либо противоречащие, либо
совместимые, либо подчиненные. Определить их истинность (или ложность).
12.1. Все люди смертны.
12.2. Все люди равны перед законом и имеют право без всякого различия на
равную защиту закона (Всеобщая декларация прав человека. Ст.7).
12.3. Ни один договор не может быть расторгнут в одностороннем порядке.
12.4. Не все золото, что блестит.
12.5. В следующих поэтических фрагментах рассматриваемое высказывание
выделено курсивом:
а) А здесь в глухом чаду пожара
Остаток юности губя.
Мы не единого удара
Не отклонили от себя.
А. Ахматова. Не с теми я, кто бросил землю
б) И знаем, что в оценке поздней
Оправдан будет каждый час.
(Там же)
в) И странным виденьем грядущей поры
Вставало вдали все пришедшее после.
Все мысли веков, все мечты, все миры...
Б. Пастернак. Рождественская звезда.
г) - А кто вы такие? - спросила Мария,
- Мы племя пастушье й неба послы.
Пришли вознести вам обоим хвалы
-Всем вместе нельзя. Подождите у входа.
(Там же)
13. Перевести следующие высказывания в логическую символику, в энтимемах
восстановить отсутствующие части высказываний, при необходимости сделать
3 адачи
511
возможный вывод из посылок и проверить его правильность. Выделить сужде-
ния, относящиеся к классификации Аристотеля, в случае использования силло-
гизмов Аристотеля указать модус.
13.1 . Все политики - лицедеи. Некоторые лицедеи - лицемеры. Значит, некото-
рые политики - лицемеры.
13.2 . Глупец был бы способен на это. Я на это не способен. Значит, я не глупец.
13.3 . Только храбрецы достойны любви. Ему везет в любви. Он не храбрец.
13.4 . Человек - это животное. Значит, голова человека является головой жи-
вотного (пример де Моргана (1847)).
13.5 . Каждый любит сйм себя. Значит, кто-то кого-нибудь любит.
13.6 . Доказательство, полученное с нарушением закона, не имеет юридической
силы. Данное доказательство не имеет юрвдической силы, поскольку оно полу-
чено ^нарушением закона.
13.7 . Все шутки для того и придуманы, чтобы смешить людей. Ни один парла-
ментский акт - не шутка (Кэролл Л, Логическая игра. М., 1991).
13.8 . Картошка - не ананас. Все ананасы приятны на вкус (Там же).
13.9 . Все секретари заняты полезным делом. Некоторые птицы-секретари (Там
же).
13.10 . Ни один император не дантист. Всехдантистов боятся дети (Там же).
13.11 . Никто не должен содержаться в рабстве или в подневольном состоянии;
рабство и работорговля запрещаются во всех их видах (Всеобщая декларация
прав человека. Ст.4). Полковник Власов - человек.
13.12 . Человек осваивает космическое пространство. Гражданин Сорокин -
человек.
14. Парадоксы.
14.1. Парадокс «Лжец» Эпименвда (Эпименвд (Exipsvi8n^),VI в. до н.э., крит-
ский жрец и философ того же направления, что и Орфей, Эмпедокл, Пифагор).
Эпименцду приписывается высказывание «все критяне - лжецы». Считая лже-
цом человека, который никогда не говорит правды, проанализируйте, истинно
это высказывание в устах критянина или ложно. Установите, при каких дополни-
тельных предположениях это высказывание противоречиво и попробуйте объяс-
нить причину этого парадокса. Корректна ли истинностная оценка конъюнкции
рассматриваемого высказывания и высказывания: «произнесший эту фразу кри-
тянин-лжец»?
14.2. «Дилемма крокодила». Крокодил, укравший ребенка, может либо убить
ребенка, либо вернуть его отцу. Он обещает убить ребенка только в случае, если
отец не отгадает, вернет ли крокодил ему ребенка. Каким образом отец может
вернуть ребенка? Считается, что крокодил выполнит данное обещание.
14.3. Парадокс Рассела «Брадобрей». Парикмахер, живущий в некоторой де-
ревне, бреет всех тех и только тех жителей этой деревни, которые не бреются
сами. Должен ли брадобрей брить самого себя?
Парадокс эвбулвдовского типа содержит также «Дон Кихот» (ч. II, гл. LI). Там
же можно ввдеть вариант его разрешения, предложенный Санчо Панса.
15. Какие скобки опущены в аксиомах теории L и в силу каких соглашений?
#16. Доказать какое-либо по выбору из свойств 1-6 для сочетаний (С. 449).
512
Глава VI. Элементы математической логики
#17. Пусть IХ|=л. Для множества Р(х) всех подмножеств множества X дока-
зать, что |^(Х)|= 2 я.
18. Доказать счетность следующих множеств:
1) множества нечетных натуральных чисел;
2) множества целых чисел;
3) множества нечетных целых чисел;
#4 ) множества всех интервалов на прямой с рациональными концами;
#5 ) бесконечного множества непересекающихся кругов или квадратовгна плос-
кости;
19. Пусть X - произвольное бесконечное множество. Доказать, что множества
AU{1,..., п} и AUN равномощны множеству X. Для простоты можно (но совсем
не обязательно) считать, что XnN=0.
20. Доказать, что любые два отрезка равномощны.
21. Доказать, что отрезок [0,1] и окружность единичного радиуса равномощны.
22*. 1) Как-то в гости к одному общительному математику пришло счетное мно-
жество гостей в одинаковых шляпах. В передней они повесили шляпы на вешал-
ку. Уходя, они надевали шляпы и, к удивлению хозяина, оказалось, что один
гость оказался без шляпы, хотя за время визита в переднюю никто не заходил.
2) Через неделю все гости опять собрались у гостеприимного хозяина и каждый
повесил шляпу на крючок вешалки. Уходя, каждый одел шляпу, и одна шляпа
оказалась лишней, хотя до прихода гостей вешалка была пуста и никто больше
шляп на нее не вешал.
3) В следующий раз при тех же обстоятельствах все гости ушли в шляпах, а про-
водивший их хозяин, вернувшись, обнаружил, что шляп на вешалке осталось
столько же, сколько было после прихода гостей.
4) В четвертый раз гости пришли без шляп. Уходя, каждый одел шляпу, висев-
шую на вешалке (после предыдущего посещения), но, к удивлению хозяина, на
вешалке осталось столько же шляп, сколько и было.
Как объяснить все эти события?
5) Через неделю каждый из них принес шар, пронумерованный натуральным
числом. После того как их сложили в бесконечную коробку, там оказалось мно-
жество шаров, номера которых в точности составили натуральный ряд. При ухо-
де гости по очереди брали по десять шаров в порядке возрастания номеров (пер-
вый - 1,2,..., 10, второй - 11,..., 20 и тд.) и клали по очереди весь десяток во
вторую бесконечную коробку. При этом каждый забирал один шар из второй
коробки по своему выбору. Сколько шаров осталось во второй коробке, когда
все гости ушли? (Указание: показать, что в зависимости от алгоритма выбора
шара в коробке может остаться либо бесконечное множество шаров, либо любое
конечное множество шаров, либо не остаться шаров вовсе.)
#23. Вывести из аксиом Пеано любое из оставшихся недоказанными арифметиче-
ских свойств натуральных чисел (коммутативность и ассоциативность умножения
а также дистрибутивность), продолжив тем самым труд, начатый в примерах
166-168.
К гл. I, §2. Действительные числа
Здесь в качестве образной иллюстрации сложности построения
действительных чисел изображена сфера Алексавдсра, получающаяся (как и
действительное число) в результате сложной предельной процедуры (описание которой
содержится, например, в книге А.Т.Фомснко. Наглядная геометрия и топология. М., 1992,
там же подробности и многочисленные иллюстрации автора к различным математическим
идеям и конструкциям). Она обладает рядом неожиданных свойств
К гл. I, §5. Геометрии
Я прямо заявляю, что мне неизвестна иная материя телесных вещей, как только всячески
делимая, могущая иметь фигуру и движимая.
Р. Декарт. Принципы философии
Здесь изображена ь Декартовых координатах звездная диаграмма Херцшпрунга.
показывающая распределение звезд по некоторым их характеристикам
К гл. 1, §5. Другие геометрии
Здесь в качестве образной иллюстрации идеи искривленных пространств
изображена бесконечная конструкция дифференциальной геометрии соленоида
К гл. IV, §1. Пределы н непрерывность
Каждая величина, несомненно, может уменьшиться настолько,
что исчезнет полностью и растает.
Л. Эйлер. Основы дифференциального исчисления
К гл. Ill, §1. Алгебра логики
Разве тот, кто был мертвым, и Мы оживили его и дали ему свет, с которым он идет
среди людей, похож на того, кто во мраке и не выходит из него?..
Сколько знамений на небесах и на земле, мимо которых они проходят
и от них отворачиваются.
Коран. 6.122,12.105
К гл. VI, §4. Основания математики
Но книга жизни подошла к странице,
Которая дороже всех святынь.
Сейчас должно написанное сбыться,
Пускай же сбудется оно. Аминь.
Б.Пастернак. Гефсиманский сад
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Математику ошибочно считают наукой трудной,
а иногда даже подозрительной - только потому,
что она имела несчастье быть неизвестной отцам
церкви. Между тем как она важна, как полезна!
Роджер Бэкон
Итак, проделан путь от элементарных свойств чисел до оснований матема-
тики, принципов формализации концепций, проблем алгоритмизации, со-
держательного обсуждения взаимосвязи математики и реальности.
С древности было осознано, что на языке чисел и фигур естественно опи-
сывать и анализировать свойства окружающего мира, прежде всего задачи
физики, инженерии, навигации, архитектуры и экономики. Ученые древнего
мира очень неплохо владели этим языком, а древние инженеры умели с уди-
вительной точностью прокладывать в сложном рельефе почти прямолиней-
ные тоннели и водопроводы, идя с противоположных концов (об этом свиде-
тельствуют результаты археологических раскопок (8, с.141-1431). Наверно,
здесь же будет уместно задаться вопросом, нужно ли начинать курс матема-
тики с обсуждения задач и законов арифметики. Да, нужно. Во-первых, ес-
тественно идти от простого к сложному, естественность этого пути под-
тверждается его совпадением с историческим путем развития математики
(при этом мы можем расставлять акценты нужным нам образом). В качестве
аргумента приведем также постановление профессоров юридического фа-
культета Сорбонны (Парижского университета) 1340 г.: «Мы полагаем, что
там, где отсутствует фундамент, нельзя производить надстройку и что не
через нарушение последовательности степеней, а постепенно и своевремен-
но должно восходить к более высоким должностям и наукам». Примечатель-
но, что далее они высказывают убеждение в необходимости изучения сту-
дентами-юристами точных наук: «И так как грамматика, логика, физика и
прочие начальные науки есть путь и основание к другим, более высоким
знаниям, устанавливаем и предписываем, что никто не должен допускаться к
степени бакалавра канонического права на юридическом факультете в Па-
риже, сколько бы он не слушал декретов и декреталий, если он сначала не
будет достаточно тверд в начальных знаниях».
Во-вторых, арифметика действительно лежит в основании всей математи-
ки (169-172), а не только теории действительного числа. Еше пифагорейцы
утверждали (10), что арифметика лежит в основе мироздания. Конечно, это
делает честь их интуиции, но не более того. Мы видели, сколь долог был
исторический путь, как велик труд, прежде чем их наивные взгляды превра-
тились в глубокую и достоверную концепцию! Трудно даже оценить значи-
мость этого опыта для других наук и знаний! Так и мы, начав с натуральных
чисел, вернулись к ним, но уже на совсем другом уровне только в 176. Такое
восхождение «по спирали» является общим для самых разных знаний.
В связи с расширением и усложнением рассматриваемых естественнона-
учных задач изучению в первую очередь в гл. I подверглись арифметические
операции. Их свойства явились основой исследований нечисловых алгеб-
раических объектов. В XX в. было ясно осознано, что именно алгебраические
34 - 5091
514
Глава VI. Элементы математической логики...
операции, подобные арифметическому сложению и умножению, следует
считать истинным предметом алгебраического исследования. Причем эти
операции могут производиться над объектами значительно более широкого
класса, нежели числа (матрицы, полиномы, функции, фигуры, высказывания,
множества...). Отметим, что понято это было совсем не сразу. Долгое время
основные усилия алгебраистов были направлены на решение алгебраических
уравнений. Формулы для линейных и квадратных уравнений известны с
древности. В XVI в. усилиями С. дель Ферро, Н. Тарталья, Аж. Кардано,
Л. Феррари (35) были найдены формулы в радикалах для корней 3-й и 4-й
степеней. В начале XIX в. в результате трудов итальянского математика
П. Руффини (Paolo Ruffini, 1765-1822) и Н. Г. Абеля была установлена
неразрешимость в радикалах алгебраических уравнений пятой степени и
выше, а Э. Галуа дал исчерпывающее решение вопроса об условиях, при ко-
торых уравнение допускает решение в радикалах.
Арифметические исследования велись в двух направлениях. Недостаточ-
ность запаса рациональных чисел для решения уравнений или просто извле-
чения корней привело к расширению понятия числа и в конечном счете к
построению теории действительных чисел. По этой же причине появились и
комплексные числа. В начале XIX в. К.Ф. Гаусс установил, что любое алгеб-
раическое уравнение n-й степени имеет ровно п корней (действительных или
комплексных), считая их кратность. Помимо алгебраических целей пополне-
ние рациональных чисел оказалось необходимым и для нужд математическо-
го анализа (существование предела). Поэтому был подробно рассмотрен
процесс построения действительных и комплексных чисел и проанализиро-
ваны их свойства. Хотя многие детали были опушены, все принципиальные
результаты, свидетельствующие о завершении процесса расширения нату-
ральных чисел, сформулированы: согласно теореме единственности (34),
основные свойства действительных чисел (29) полностью описывают их, а
арифметические свойства полностью описывают поле комплексных чисел С
(42), причем нельзя ввести кроме комплексной еше какую-либо единицу с
сохранением всех арифметических свойств (теорема Фробениуса, см. 42).
Таким образом, процесс расширения натуральных чисел полностью завер-
шен. В качестве практического применения рассмотрены арифметические
(алгебраические) методы решения геометрических задач - координатный
метол (49-52).
Другое направление исследований связано с поиском неарифметических
объектов алгебры и их законов, причем не только в математике, но и в фи-
зике. В результате этого появились алгебры векторов и матриц, кватернио-
ны, алгебры логики и множеств (43-48 и гл. III). Аналогичный путь в геомет-
рии приводит к альтернативным геометриям (53-54), но с тем принципиаль-
ным отличием, что все они описывают вроде бы один объект - пространст-
венную (или пространственно-временную) структуру мира. Естественный
вопрос, как такое может быть, пока остается без ответа. Здесь важны не
столько результаты, сколько сам процесс развития представления о предме-
те исследования, сам опыт достижения все больших высот и глубин знания.
В этом смысле результаты гл. I - пример видения и развития представления
не только о числах и фигурах, но и о предметах окружающего мира вообще.
Заключение
515
Уже в гл. I мы столкнулись с достаточно естественными конструкциями,
либо не имеющими прямой физической интерпретации (кватернионы), либо
требующими тонкого понимания и теоретического анализа (четырехмерная
структура пространства-времени).
В гл. Ill рассмотрены также важные вопросы применения методов матема-
тической логики для решения общезначимых задач гуманитарной культуры.
Естественнонаучные задачи, в первую очередь задачи экономики, физики
и химии, а также задачи геометрии прямых и плоскостей, приводят к необ-
ходимости решения систем линейных уравнений. Элементарные конструк-
ции теории матриц и определителей, которые позволяют решать эти и по-
добные задачи, рассмотрены в гл. II.
В гл. IV и V излагаются методы дифференциального (гл. IV) и интегрально-
го (гл. V) исчислений. Математический анализ в первую очередь предназна-
чен для описания эволюции, динамики процессов, анализа нелинейных эко-
номических моделей с большим числом участников. Все естественно-научные
задачи, которые и привели к созданию математического анализа (физичес-
кие, экономические, вычислительные) объединяет одна общая особенность:
они не могут быть описаны и точно решены конечными методами, для их
решения используются бесконечные процессы (модели).
В основании математического анализа лежит концепция предела. По-
скольку к тому же без понятия предела (предельной частоты и статистиче-
ской устойчивости) невозможно объяснить предпосылки и основания веро-
ятностного анализа предметных моделей, то следует признать обоснован-
ным обстоятельное рассмотрение конструкции предела. Для гуманитариев
понимание основ концепции математического анализа и логики его разви-
тия важнее конкретных формул дифференциального и интегрального исчис-
ления. Но для гуманитарных целей и пределы - не главное. Главное - опыт,
демонстрирующий возможность завершения процедуры описания бесконеч-
ного процесса простой финитной формулой. Наиболее яркие примеры -
методы решения экстремальных задач и формула Ньютона-Лейбница - уже
отмечались. Еше один замечательный пример - реализация идеи Лейбница о
бесконечно малых числах, нестандартный анализ (возможно, для гуманитар-
ного ума - едва ли не самое интересное в математике бесконечного в гра-
ницах математического анализа).
Изложение технических приемов математического анализа в настоящем
учебнике - это в первую очередь дань сложившимся традициям преподава-
ния математики. Кроме того, данный материал выполняет еше одну важную
функцию-демонстрирует неизбежные технические трудности в любом про-
фессионально выполняемом исследовании.
Проблемам, имеющим особое значение для гуманитарного образования
посвящена гл. VI. Постановка проблемы, прочность и стройность фундамен-
та будущей концепции (теории), корректность рассуждений (обоснова-
ний), достоверность и однозначность заключений - вопросы, представляю-
щие особый интерес для специалистов гуманитарных профессий. Понима-
ние законов построения концепций - барьер от непрофессионализма. Логи-
ка, целостность концепций и непротиворечивость теорий, алгоритмы и
компьютерные системы, математика и реальность - предметы этой главы,
34*
516
Глава VI. Элементы математической логики...
которая не просто завершает курс математики неслучайных объектов, но и
представляет ее стройным знанием, объединенным единым замыслом, и яв-
но подтверждает тезис о ее обшекультурной значимости.
Кроме общезначимых проблем рассмотрены и технические приемы мате-
матической логики, позволяющие эти проблемы правильно формулировать и
решать. Рассмотрена техника теории силлогизмов Аристотеля. Здесь сложи-
лась парадоксальная ситуация: логическая теория, явившаяся основой фило-
софии и культурных знаний Европы и Ближнего Востока, не получает отра-
жения в учебниках по математической логике в силу своей простоты для
них, а в стандартных учебниках логики для гуманитариев доказательства
модусов силлогизмов отсутствуют, поскольку считаются слишком сложными.
Такое положение вещей нельзя признать нормальным. Удивительно также то,
что замечательные достижения математики XX в. не нашли отражения в
учебниках (исключая специальные учебники для математиков), словно эти
открытия нужны только для пары тысяч людей из каждого поколения. На
самом же деле все наоборот - многие результаты именно XX в. имеют ис-
ключительно важный общезначимый характер и их присутствие в образова-
тельных программах обязательно. О нестандартном анализе уже говорилось;
замечательные результаты К. Гёделя о неполноте и непротиворечивости со-
держательных теорий и их интерпретации обсуждаются в 174-175.
Также в гл.VI при желании можно познакомиться со строгими математиче-
скими правилами создания математических языков и построения теорий «от
простого к сложному» и аппаратом анализа истинности и непротиворечиво-
сти концепций. Насколько значима для гуманитарной культуры техника по-
строения языков математических теорий? Является ли математика универ-
сальным языком любого знания? Конечно, нет! Язык математики достаточно
специфичен. Как тонко шутил И. В. Гете: «Математики - это некоторый род
французов: если говоришь им что-нибудь, они переводят это на свой язык, и
тогда это становится тотчас же чем-то совсем другим». Но математика явля-
ется универсальным образном анализа и построения концепций в любом
знании. «Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир», -
писал Гете. Язык любого знания также создается единообразным способом -
от первичных понятий ко все более содержательным объектам, подобно язы-
ку теории L (159-160). И не случайно Спиноза строил свою философскую
концепцию по математическим канонам, называя основные ее тезисы тео-
ремами и обосновывая их, подобно доказательству теорем.
О непонятной ситуации, когда в точнейшей науке - математике существу-
ют альтернативные теории геометрии пространства, говорилось еще в гл. I.
Но тогда мы находились в положении естествоиспытателей начала XVII в.
(Галилей, Кеплер), когда явление обнаружено и описано, но причины его
неизвестны. Только к концу гл.VI наши знания оказываются достаточными,
чтобы обсудить, как и почему даже в столь достоверном знании, как мате-
матика, истина может быть неединственной. Эго в логике высказываний (гл.
Ill) все высказывания (утверждения) либо истинны, либо ложны - в жизни
все сложнее, и в математике тоже. И мы не случайно совершали восхожде-
ние от гл.111 до гл.VI: логика высказываний (гл. Ill) - это модель очень про-
стых конструкций.
Заключение
517
В связи с этим становится ясно, что «априорная истина» иди «единственно
верная истина» - весьма тонкое и спорное понятие.
Теперь уместно коснуться общего заблуждения: 99 из 100 опрошенных
скажут, что математика - это сложные формулы. Однако вспомним слова
Б. Рассела (169): «Сейчас я заканчиваю книгу о принципах математики...
Строгое использование логики в фундаментальных вопросах - там, где бес-
сильны формулы, - только начинается». И мы воочию могли убедиться, что
в математике есть принципиальнейшие вопросы, в которых формулы бес-
сильны. Другое дело, что без этих формул Рассел не смог бы обосновать
свои результаты и выводы. Более того, эти самые результаты и выводы без
предварительного анализа конкретных формул не пришли бы ему в голову,
но это уже вопросы профессиональных математиков. Так что, дело не в
«преобразовании синуса в косинус». Для гуманитария ценность математики -
прежде всего в полученных точных знаниях: из чего исходить, как рассуж-
дать, как выявлять противоречия и устранять их с окончательной целью -
как строить концепции. И замечательно, что есть наука, которая позволяет
твердо сказать, что истинно, а что ложно даже в случае неразрешимых про-
блем, и быть уверенным в своем заключении, сколь значителен этот опыт!
Хотя по своей природе математика является не описательной, а созида-
тельной наукой и требует от студента владения неким набором математиче-
ских приемов, существует возможность предложить курс с минимальным
объемом математической техники. Создание конкретного курса требует
ответа на три вопроса: кому, с какой целью - и это определит ответ на тре-
тий вопрос: что и как. Универсальных ответов на эти вопросы, как уже го-
ворилось (с. 18), быть не может. Без долгих обсуждений приведем возмож-
ные варианты курсов, к примеру, для юристов.
Минимальный вариант: 1) развитие понятия числа (1 -9,11,16,18, 21 -23,
35-37); векторы (43-44); геометрии (53-54); 2) алгебра логики (74-76, 81,
описательная часть - 83); 3) множества и операции над ними (24 - 26, 84);
4) методы дифференциального исчисления в решении естественнонаучных
задач (86 - 91, 102, 110, 116, 126); 5) элементы интегрального исчисления
(132, 138-139, 148); 6) элементы математической логики (150-157); 7)
мощность множеств (167-168); 8) основания математики и математические
школы (169-173); 9) о неразрешимых проблемах (174-175,177, описатель-
ная часть); 10) конструктивизм и компьютеры (178, 179, 181, 182); 11) ма-
тематика и реальность (183).
Однако «недостаточно быть хорошим игроком, нужно еще хорошо играть»,
замечает 11-й чемпион мира по шахматам Роберт Фишер в комментариях к
проигранной им (в выигрышном положении) знаменитой партии с Е. Гелле-
ром в 1967 г. в Скопле: после того как найдена принципиальная идея реше-
ния, на пути достижения цели при решении профессиональных задач
придется преодолеть необходимый, но неприятный технический этап рабо-
ты. Более содержательный курс, в большей степени соответствующий коли-
честву часов, выделяемых на математику государственным образовательным
стандартом, позволяет обосновать те тезисы, которые лишь декларируются в
минимальном курсе. Расширенный курс даст значительно более серьезный
518
Глава VI. Элементы математической логики
опыт обоснования профессиональных концепций. В нем к 1 добавляются 10,
27, 29, 33-34, 38-40, 42; 49, 51; к 2 - 77-80; к 4 - 109, 117, пример 95,
120,141; к 6-158-159,160-162, описательная часть, и 163; к 8) -176,177.
Для специальностей «Филология», «Журналистика» или «История» материал
по логике и проблемам создания концепций может быть сокращен.
Углубление знаний при переходе от минимального курса к расширенному
отчасти демонстрирует, как в любой науке или деятельности, решая внеш-
нюю задачу, приходится сталкиваться с внутренними техническими пробле-
мами, что приводит к внутреннему развитию и совершенствованию этого
знания. В результате появляются профессионалы все более высокого уров-
ня. Здесь же приведем девиз KJaycca: «Nil actum reputans si quid superesset
agendum - Что не сделано до конца, вообще не сделано». И сформулируем
вопрос для размышления: сколь правилен термин «точные науки»? Может
быть, на самом деле все науки и знания должны быть точными, а привилегия
неточности остается только за искусствами?
Добавим, что математические знания, как любые общие, универсальные
знания, со временем только расширяются, в то время как специальные тех-
нологические знания быстро устаревают. Так, газета устаревает через день,
но «Гамлет» интересен каждому поколению, и читатель вновь и вновь нахо-
дит в нем что-то особенное. При этом отметим, что, подчеркивая значение
математического опыта в достижении высокого профессионализма, мы ни-
когда не отводили математике роль философского камня, эдакой универ-
сальной отмычки. И никогда не прельщали, подобно Мефистофелю: «Eritis
sicut Deus, scientes bonum et malum - Будете, как Бог, знать добро и зло».
Создание курса математики для конкретной специальности равносильно
направленной селекции в соответствии с особенностями данной специаль-
ности и нахождению баланса между объемом декларируемых утверждений и
глубиной их обоснования - техникой, в данном случае математической.
Столь же тонким делом является достижение точки равновесия между тео-
рией и практикой. «Примеры научают лучше, нежели толкования и книги», -
писал Н. И. Лобачевский. С другой стороны безусловно прав Гельвеций:
«Знание некоторых истин избавляет от необходимости знания многих фак-
тов». По-видимому, на самом деле хорошая теория и хорошая практика не-
отделимы.
А закончим эту книгу возвращением к основополагающему тезису о не-
разрывной связи математики и гуманитарной культуры в целом, призвав
через века в помощь Р. Бэкона и А. Эйнштейна: «Все науки связаны одна с
другой и взаимно друг друга поддерживают: успех одной помогает всем дру-
гим, как глаз, например, руководит движениями всего тела...» - Р. Бэкон,
«Ощущение тайны - наиболее прекрасное, из доступных нам переживаний.
Именно это чувство стоит у колыбели истинного искусства и настоящей
науки.» - А. Эйнштейн.
ЛИТЕРАТУРА
1. Высшая математика для экономистов /Под. ред. Н.Ш. Кремера. М., 1997.
2. Высшая математика /Под. ред. Г.Н. Яковлева. М., 1988.
3. Кудрявцев В.Н., Демидович БЛ. Краткий курс высшей математики. М.» 1989.
4. Натансон ИЛ. Краткий курс высшей математики . СПб., 1997.
5. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984.
6. Блехман ИЛ., Мьиикис АД., Пановко ЯЛ. Механика и прикладная матема-
тика. Логика и особенности приложений математики. М., 1983.
7. Щипачев В.С. Высшая математика. М., 1998. ‘
Цитируемая литература
Глава I
8. Ван дер Варден БЛ. Пробуждающаяся наука. М., 1959.
9. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика. М.; Л., 1947 (или любое другое
издание).
10. История математики /Под ред. А.П. Юшкевича. М., 1970. Т.1.
11. Цейтен ГЛ. История математики в XVI и XVII веках. М.; Л., 1933.
12. Фомин СЛ. Системы счисления. М., 1987.
13. Шилов ГЛ. Математический анализ (функции одного переменного).
М., 1969.
Глава II
14. Кострикин АЛ. Введение в алгебру. М.,1994.
15. Ильин В А., Позняк ЭЛ. Линейная алгебра. М., 1978.
16. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М.,1968.
17. КурошАЛ. Курс высшей алгебры. М.,1971.
18. Ланкастер П. Теория матриц. М., 1982.
Глава III
19. Клини С. Математическая логика. М., 1973.
20. Колмогоров АЛ., Драгалин АЛ. Введение в математическую логику. М.,
1982.
21. Новиков П.С. Элементы математической логики. М., 1973.
22. БайифЖК Логические задачи. М., 1983.
Глава IV
23. Самуэльсон П. Экономика.Т.2. М.,1992.
Глава V
24. Щипачев В.С. Сборник задач по высшей математике. М., 1994.
Глава VI
25. Рассел Б. История западной философии. М., 1993.
26. Кириллов ВЛ., Старченко АА. Логика. М., 2000.
27. Бирюков БЛ. Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики. М., 1985.
28. Колмогоров АЛ., Драгалин АЛ. Математическая логика (дополнительные
главы). М., 1984.
29. Кириллов ВЛ., Орлов ГА., Фомина НЛ. Упражнения по логике. М., 1997.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
(страницы, на которых дана биографическая справка, выделены)
Абель Генрик 242 - 243,514
Абеляр Пьер 420
Августин 420 - 422,427
Адамс Джон 240
Аккерман Вильгельм 467,476
Акутагава Рюноскэ 423 - 424
Александр Македонский 401 - 402
Александров Александр 77,139
Александров Павел 83
Алексеев Владимир 328
Али, халиф 38
Алкуин 420
Альберти Рафаэль 13
Аминта 401
Ансельм 464
Аполлоний 149
Аристотель 33 - 34,47,62,226,239,
396,401 - 408,415 - 416,420,425,
433,437,439,453,459
Арно Антуан 25 - 26
Архимед 50, 78 - 79, 236 - 237,239,
247
Банах Стефан 485
Бах Иоганн 33
Бельтрами Эудженио 142 - 143
Бердяев Николай 425
Беркли Джордж 343,345;
Бернайс Поль 467,471,473,483
Бернулли Иоганн 310,328
Бернулли Якоб 351
Бессель Вильгельм 140
Блок Александр 15-16
Бойаи Фаркаш 141
Бойаи Янош 141 - 142
Больцано Бернард 243
Бомбелли Рафаэль 26,93
Бор Нильс 17,240,499
Ботвинник Михаил 497
Брауэр Ян 465,469,503
Будда 423 - 424
Буль Джордж 430,458
Бурбаки Никола 471,476;
Бэкон Роджер 17,420,513,518
Бэкон Френсис 500
Варден ван дер / 7,22,33 - 34,299
Вейерштрасс Карл 58,61,83,94,
243,280,299
Вейль Герман 15,119,465,475,
502-503
Вергилий Публий 21
Вигнер Юджин 500 - 501,503
Виет Франсуа 25,57
Винер Норберт 429,497,499
Владиславлев Михаил 427,429
Галилей Галилео 58,238 - 240,328,
450,516
Галле Готфрид 241
Галуа Эварист 20,514
Гамильтон Уильям 106,120,122,328
Гамлет 450
Гаусс Карл 94,106,140 -142,145,
459,500,514,518
Гаутама 37
Гейтинг Аренд 465,495
Гельвеций 518
Гельмгольц Герман 150
Генрих II Валуа 92
Генцен Герхард 476
Гераклит Эфесский 396
Геродот 34
Герц Генрих 502
Гедель Курт 446, 470-477, 483,
485-486,516
Гёте Иоганн 20,407,447,453,458,
475,516
Гиббс Джозайя 106,122
Гильберт Давид 145,466 - 470,473,
484-485,503,505-506
Гиппазий 54
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
521
Гораций Квинт 58 Гравди Гвидо 242,262 Грассман Герман 106 Грегори Д жеймс 389 Грюнебаум Густав фон 38 Гюйгенс Христиан 328 Клайн Моррис 32,93,243 Клейн Феликс 143,503 Клини Стефан 222,419,473 Кдисфен 396 Клюгель Георг 140 Колмогоров Авдрей 493,495,498 - 499,504,506
Д’Аламбер Жан 25,140,242,263, 343 Дедекивд Рихард 79,456,458,478 - Декарт Рене 15,25 - 26,57,78,117, 239,427- 428,464,501 Демокрит 396 Коши Луи 94,243,251,261,264, 280,376 Коэн Поль 486 - 487 Кронекер Леопольд 460,465,469 Ксантипп 397 Ксенофонт 398
Демосфен 398 JbwAWzJfyLtftnc 502 Диофант 26,57,151 Дирихле Пьер 73 Достоевский Федор 423 Лабе Луиза 224 Лагранж Луи 240,297,302,325, 328,337 Ламберт Генрих 140 Лавдау Лев 507 Лаплас Симон 94,243
Евдокс 235 Евклид 36,46,49,57,130 -131; 138 -140,145,416,430,437,439, 450,466,503 Леверье Жозеф 240 Лейбниц Вильгельм 15,25,57,93 - 94,263,296 - 297,328,342 - 343, 351,424,428 - 430,489 Леонардо да Винчи 15,50,241, 243 Леонтьев Василий 177
Жирар Альбер 26 Лобачевский Николай 130,141 -46, 148,518 Лопиталь Франсуа 319
Зенон 396,400,460 Луллий Раймунд 425 - 427,429
Каган Вениамин 148 Кант Иммануил 188,464,502 - 503 Кантор Георг 77,83 - 85,346,453 - 461,467,470,484 Кардано Джироламо 25,92 - 93,514 Каспаров Гарри 497 Катулл Гай Валерий 224 Кеплер Иоганн 15,57,239,331 - 332,516 Кестнер Абрахам 140 Кимон 393 Мазер Френсис 25 498 Мамун ал - 38,498 Мансур ал - 38 Марков Андрей 493 - 495 Мегакл 397 Мильтиад 397 Минковский Герман 146,148 Мор Томас 39 Морган Август де 209,430,511 Муавр Абрахам де 102
35-5091
522
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Нейман Джон фон 467,482
Никни 398
Никомах 36
Новиков Сергей 148
Новиков Петр 519
Ньютон Исаак 14,57, 93 - 94,240,
265,297,328,342 - 343
Светоний Гай 211
Свифт Джонатан 426
Симпсон Томас 389
Сократ 31,396,398 -402
Спиноза Барух 516
Стагирит 416
Стевин Симон 26,57
Омар 37-38
Осман 38
Оккам Уильям 209,420,423
Парменвд 396,400,460
Паскаль Блез 14 -15,312,422,461,
464
Пеано Джузеппе 478,512
Перикл 398
Пирс Чарлз 430
Пифагор 11,31 - 36,332,511
Платон 15,47,56,239,396,398,
401-402,415,420,502
Плейфер Джон 139
Плутарх 150,237
Прокл 139
Пуанкаре Анри 143,148,460,469,
481
Пушкин Александр 12,400,498
Рассел Бертран 221,401 - 403,418,
420,424,429,458 - 464,469,470,
511,513,517
Риман Георг Бернхард 94,142,145 -
146, 262,367
Робинсон Абрахам 343,347,484,
498,511
Ролль Мишель 336
Руффини Паоло 514
Саккери Джироламо / 39
Самуэльсон Поль 75,306,519
Тареки Алфред 471,485
Тарталья Никколо 50,92 - 93,331,
514
Тейлор Брук 316,323,325
Тейлор Ричард 245
Тертуллиан Квинт 420 - 421,456
Тихомиров Владимир 328
Толстой Лев 415,424
Тьюринг Алан 489,490 - 492,499
Уайлз Эвдрю 245
Уайтхед Алфред 463 - 464,469,498,
503
Успенский Владимир 347,477,493
Фейнман Ричард 13
Фемистокл 398
Ферма Пьер де 57,245,328,336
Феррари Лувджи 93,514
Ферро Сципион дель 92,514
Филипп Македонский 401
Филолай 32
Фиоре 92
Фихтенгольц Григорий 83
Фишер Роберт 517
Фома Аквинский 420 - 421,424
Фоменко Анатолий 20,148
Фомин Сергей 328
Фреге Готлоб 430,459,463
Френкель Абрахам 470 - 471,481,
484
Фробениус Георг 104,514
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
523
Хайам Омар 140 Харди Гародд 502 Харун ар -Рашид 38 Хауодорф Феликс 485 Хевисайд Оливер 501 Хорезми Мухаммад ал - 489 Цезарь Гай Юлий 221 Цейтен Георг 50 Цермело Эрнст 470 - 471,481,484, 503 Чёрч Алонзо 490,493 Шахермайр Фриц 401 Шиллер Фридрих 32 Шрёдер Эрнст 222,430 Эвбулвд 225,463,474,481 Эйлер Леонард 33,70,93 - 94,297, 328 Эйнштейн Альберт 148,240,504 -505,518 Эмпедокл 511 Эпименвд 511 Эрмит Шарль 502,508 Якоби Карл 328
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсурд логический 445
Автоморфизм 104-105
Аксиома бесконечности 482
- выбора 484 - 486
- выделения 482
- о параллельных 138 - 139
- подстановки 482
- регулярности 482
- свертывания 480
- точной верхней грани 87
Аксиомы Пеано 478,512
- равенства 478
Алгебра булева 230-231
- геометрическая 55 - 57
- множеств 226-232
Алгебраическое дополнение 164
Алгоритм 488
- Евклвда 47 - 48,488
Алгорифм нормальный 493 - 494
Ал-джебр 38
Альтернатива 215
Антиномии 458-463
«Апология Сократа» 398
Арбитраж валютный 52 - 54
Аристотеля квадрат 414
- «Аналитики» 402,416
Арифметика высшая 24
«Арифметика» Диофанта 57
Арифметики аксиоматическая
теория 477 - 480
Асимптоты 334
Асимптотическая единица 274
Ассоциативность 23,27,29,63
Базисы теоретико-множественных
операций 234
Бесконечно малых классификация 275
Бином Ньютона 449
«Братья Карамазовы» Достоевского
423
Брейк-форвард 182
Буле 397
Булева решетка 230
«Введение в логику и методологию
естественных наук» Тарского 474
Вектор 106 -108
- коллинеарный i06 -107
- координатный 191
- нормальный к прямой 125
- сонаправленный 107
Вектор-столбец 155
Вектор-строка 155
Вектора норма (модуль) 107
- проекция 111
- умножение на число 109,191
Векторов компланарность 108,118
- независимость 118
-ориентация 118
- ортогональность 110
- произведение векторное 114,192
- - скалярное 110,191
--смешанное 116-117,193
-сложение 108,191
«Вокруг теории относительности»
Эйнштейна 504 - 505
«Всеобщая арифметика» Ньютона 94
Выводимая формула 433
Высказывание 200
Высказываний исчисление 430 - 432
Высказывательная функция 403
Гамма-функция 375
Геодезические 142,144
«Геометрия» Декарта 78,427
Геометрия Лобачевского 141-146,503
- Минковского 146 - 148
-Римана 142,145-146,503
Геометрическая прогрессия 259
Геделя нумерация 473
- формула 473
Гильберта 23 проблемы 466 - 469
-доклады на Международных матема-
тических конгрессах 466 - 470
Гипербола 149,293
«Государство» Платона 15,56
График функции 75
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
525
«Д а и Нет» Абеляра 420
Денье 39
Депорт (дисконт) / 82
Дефект треугольника 145
Диаграммы Эйлера-Венна 70
Дизъюнкция 201 -202
- элементарная 212
- разделительная 215
«Диссертация о комбинаторном
искусстве» Лейбница 429
Дистрибутивность 24,27,29,63
Дифференциал 312 - 313,350
ДНФ 213
«ДонКихот» 511
Дроби 28
-двоичные 45
-десятичные 45
- периодические 58 - 62
Дюйм 39
Задача Кеплера 331
- Тартальи 50,331
-транспортная 197
Закон Бйо-Савара 385 - 386
-де Моргана 209
- достаточного основания 219
- исключения третьего 209
- контрапозиции 209
- отрицания посылки 209
- силлогизма 209,435
«Законы» Платона 47
Зенона апории 460 - 461
Изоморфизм 74,83,96,99,104-
105,455-457
Импликация 201 - 203
Индикатор (множества) 457
Индукции метод 244 - 246
Интеграл 351
- несобственный 371
- определенный 367 - 368
Интегрирование дифференциального
бинома 363
Интегрирование по частям 353,369
- рациональных функций 358 - 361
Интуиционизм 464 - 466
«Интуиционизм» Рейтинга 465,471,
495;
Инфимум (inf) 90
Ионийцы 32
Исчисления высказываний аксиом
независимость 436
----непротиворечивость 436
----полнота 434
Иррациональности кризис 54 - 55
«Исследование законов мышления»
Буля 430
Истинности таблицы 202 - 203
Истинность в модели 441,505
- - содержательная 506
Кантора диагональный процесс
454-455
Квадривиум 15,33
Кванторы 404,439
Кватернион 120 -122
- векторный 120 -121
Кватерниона свойства 121 - 122
Кибернетика 496
«Кибернетика» Винера 429,497
Класс множеств 67
КНФ 212
Код двоичный 43
Комма пифагорова 33
Коммутативность 23,27,29,63
Компьютерные пакеты 390 - 391
Компьютерные системы 495
Конгрессы математиков 466 - 467,
469,484,486
«Коника» Аполлония 149
Конституанты 216,231
Конструктивизм 494
Континуум-гипотеза 486
Конъюнкция 201 - 202
- элементарная 212
Кривая спрямляемая 381
Кривые второго порядка 149
526
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Критерий Коши 251,260
«Критика чистого разума» Канта
138
Куайна таблица 204 - 205
Курс отсечения 182
- своп 182
-спот 182
Линейный оператор 157
Линейных уравнений система 158
Линейных уравнений системы решение
методом Гаусса 170 -171
------Крамера 172
------с помощью обратной матрицы
173
Логицизм 462 - 463
Логические законы 208 -210
- операции 202 - 203
- связки 201
«Локон Аньези» 380
Лопиталя правило 318-319,339,341
Лоренца кривая 387
Лоренца преобразование 147 - 148
Луллия машина 426
Максимум 89
- функции 328,333
«Математика и правдоподобные
рассуждения» Пойя 244 - 245
« Математический анализ логики»
Буля 430
«Математические начала натуральной
философии» Ньютона 240
«Математическое мышление» Вейля
465
Матрица 155,158 - 159
- диагональная 159
- комплексная 159
- невырожденная 167
- обратная 167
- присоединенная 167
Матриц сложение 159-160
Матриц умножение 160
— на число 160
Матрицы собственный вектор 173
- собственное значение 173
- транспонирование 161 -162
«Метафизика» Аристотеля 33,47,62
Минимум 89
-функции 328,333
Минор 164
Множества 65 - 68
- бесконечные 451
- конечные 450
Множества континуальные 457
- несчетные 453 - 455
- подмножеств 456- 457;
- равномощные 450 -451,512
- рекурсивные 492
-способызадания 65-67
-счетные 451,461,512
Моделирование 392
Модель линейная 154,158
- международной торговли 179-180
- межотраслевого баланса 175 -177
- неупорядоченных наборов 448
- произведения 448
- страхования валютных рисков
181-190
Модуль 89
- комплексного числа 97
Модус поненс 432,442
Модусы силлогизма 418
«Монологи» Августина 427
«Мысли» Паскаля 14 -15,422,461
«Начала» Евклида 36,46,49,235
Неопределенности 317-318
«Непостижимая эффективность
математики в естественных науках»
Вигнера 501
Несоизмеримость 46
Нестандартный анализ 342 - 347
НОД 47
Нормаль 125
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
527
Объединение множеств 69
«О граде божьем» Августина 422
«О достоинстве и приумножении наук»
Бэкона 500
Оккама бритва 423
«О логике конструктивной математи-
ки» Маркова 495
о-малые 275
Операции над множествами 68-71
Определитель матрицы / 63
«Оптика» Ньютона 14
«Органон» Аристотеля 402
«Основания геометрии» Александрова
77,139
«Основания геометрии» Гильберта
145
«Основания математики» Рассела
и Уайтхеда 463 - 464
«Основные законы арифметики»
Фреге 459,463
« О спиралях» Архимеда 237
«О шаре и цилиндре» Архимеда 50,
237
Остракизм 397
Отрицание 201 - 202
Папирус Ривдта 22 - 24
Парадокс 460,511
- Эвбулцда 474
Парабола 149
«Парменид» Платона 398,400,416
«Паутинка» Акутагавы 424
Пенс 39
Первообразная 351
Переменные 439
- свободные 439
- связанные 439
Переменных коллизия 440 -441
- переименование 440
- подстановка 448
Перемещение (движение) 156
Перестановка 460,511
Пересечение множеств 68
Период 59
Пифагорейцы 31-36
Пифагорова гамма (строй) 32
- комма 33
- секунда 32
- числовая мистика 34 - 35
Пифагоровы треугольники (числа) 36
Подмножество 67
Поле векторное 119
Полисиллогизм 419
Полуплоскость 126 -127
Полупространство 133
Понятие 403,410
-сложное 410
Последовательности эквивалентные
253
Последовательность 72,244
- бесконечно большая 249 - 250
- - малая 248 - 250
- возрастающая 248
- множеств 67
- монотонная 248
-убывающая 248
«Правила для руководства ума»
Декарта 464
Правило обобщения 443
- перестановки посылок 435
- разъединения посылок 435
- соединения посылок 435
- сечения 444
- силлогизма 435
Превращение 408,412
Предел последовательности 248
- функции 266;
Пределы замечательные 270
- односторонние 276 - 277
Предельная точка 256
- - верхняя 257
Предельная точка нижняя 257
Предикат 403 - 405,409 - 410
- примитивно-рекурсивный 472
Предикатов исчисление 442 - 446
Предметная область 404,410
Предикатов исчисления полнота 446
Приведение к абсурду 445
528
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Признак Абеля 377
- Д’Аламбера 263
-Дирихле 377
- Коши 264
- Лейбница 263,324
- монотонности 335
- сравнения 263
- сходимости рядов интегральный
375
Признаки сходимости несобственных
интегралов 371 - 372
Преобразования (трансформации)
412-413
Принцип Архимеда 78 - 79,91,347
- Вейерштрасса 333
-Лейбница 347
- нормализации 492
- полноты (Кантора) 77-73,91,251
«Принципы математики» Рассела 463
Произведение прямое множеств 70
Производная 296,311,313
- функции сложной 299
— обратной 299
--неявной 311
— заданной параметрически 311
Прообраз полный 74
«Пространство, время, материя»
Вейля 119
«Протагор» Платона 398
Проценты простые 51
- сложные 50-52
Равновесия точка 76
Равносильные логические формулы
207
— преобразования 210
Размещений модель 447
Разность множеств 70
Рациональные числа 28 - 30
- приближения 61-62, 77
Рекурсия 472
Релятивистская сумма 148-150,153
Рад 258
Рад комплексный 260
- степенной 323
- сходящийся 258
— абсолютно 262
--условно 262
- Тейлора 325 - 326
- Фибоначчи 49
Рада комплексного радиус сходимости
323
Сверхпараллельные (прямые) 144
СДНФ 216
Septem artes libe rales 15
Сечение (Дедекивда) 79 - 83
-золотое 49-50
Силлогизмы 402
- категорические 405 - 406
Символы функциональные 438 - 439
Симметрическая разность 229
Синусовда 286
Скорость 296
Соизмеримость 31,33
Сориты 420
Софисты 415
Сочетаний модель 448
Спираль Архимеда 380,382
Спрэд 183
«Стереометрия винных бочек»
Кеплера 331 - 332
Стихии 35
Стратегов коллегия 397
Строй музыкальный пифагоров
32-33
- - темперированный 33
Су 39
Суждения 403
- категорические 405 - 416
«Сумма против язычников» Фомы
Аквинского 421
«Сумма теологии» Фомы Аквинского
421
Суперпозиция (функций) 279
Супремум (sup) 90
«Счёт и измерение» Гельмгольца 150
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
529
Счисления системы 36 - 46
Тавтология 209
Тезис компьютерной вычислимости
496
- Маккаллока-Питтса 498
- Чёрча 490 - 492,494
Темперация 33
Теорема 433
- арифметики основная 48
- Вейерштрасса 250
- Геделя о неполноте 473 - 474
- - о непротиворечивости 475
- Коши-Гейне 269
- Коши о промежуточном значении
280
- Лагранжа 337
- одедукции 443
- о монотонной последовательности
252;
- - функции 276
Теорема о непрерывности сложной
функции 279
- о сохранении знака 278
- Пифагора 11,100,332
- Римана 262
- Ролля 336
«Теория алгорифмов» Маркова 494
«Теория доказательств» Гильберта
468
Теория множеств аксиоматическая
480-486
- типов 464
Термов параметры 439
Термы 438
- замкнутые 439
Тетрактис 35
Техники естественного вывода правила
443-445
------структурные 444
------логические 444 - 445
Точка критическая 329
- перегиба 336
Точка стационарная 329 .
Точки рациональные 30 - 31
- целые 30
Тривиум 15
Тьюринга машина 489 - 490,495
«Утопия» Мора 39
Уравнение каноническое гиперболы
149
- - эллипса 149
- квадратное 48-49
- плоскости в отрезках 133 -134
- - нормальное 133
Уравнение плоскости общее 133
- - параметрическое 134
--черезтри точки 134,135
- прямой в отрезках 125
- - каноническое 124,132
- - нормальное 126
- - общее 124
- - параметрическое 123,132
- - с угловым коэффициентом / 24
- - через две точки 125,132,194
«Фауст» Гете 20,417,447,453,458,
475,518
Ферма проблема 245
«Физика» Аристотеля 459
Филы 396
«Финансовая инженерия» 189
Финитная математика 506
Финитные методы 57,468
Формализм (концепция) 466 - 469
Формальная теория 468
Формула Бернулли 310
- замены переменных 370
-Лейбница 313 - 314
- логическая 203,404,435,439
- - двойственная 215,405
- - замкнутая 439
- Муавра 102
- Ньютона - Лейбница 369,515
- объемов вычисления 382 - 383
530
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Формула параболическая (Симпсона)
389
- площадей вычисления 378 - 379
- - поверхностей 383 - 384
- прямоугольников 388
- работы 385
- трапеций 389
Формула Тейлора 316 -317
Франк 39
Функции график 75
- множество значений 72
- область определения 72
- способы задания 72 - 73
- расширение 345
- эквивалентные 274
- элементарные 281 - 289
Функция бесконечно большая 268
- - малая 268
- возрастающая 266
- выпуклая 335
- вычислимая 490 - 491
-Дирихле 73,294
- «дробная часть» 277
- монотонная 266
- непрерывная 278
- - слева 292
- - справа 292
- обратная 75
- ограниченная 266
- примитивно-рекурсивная 472,492
- Римана 294
- «сигнум» 277
- скачков 296
- сложная 279
- убывающая 266
- «целая часть» 277
-частично-рекурсивная 492
Фут 39
Характеристический треугольник 312
Циклоида 382,384
Чисел действительных аксиоматика
85-87
Чисел свойства натуральных 23 - 24
- - целых 27
- - рациональных 29
Числа гипердействительные 342-344
- действительные 63,96 - 97,105
- - по Дедекинду 79 - 83
- - по Кантору 83 - 85
- комплексные 94 - 97
- натуральные 23
- иррациональные 60 - 63
- пифагоровы 36
- рациональные 27-31
- фигурные 35 - 36
- целые 25 - 27
Числй комплексного аргумент 100
- - свойства 95 - 96
Число бесконечно большое 344
- - малое 344
- е 44,253
- нестандартное 344
- я 236
- стандартное 344
Шиллинг 39
Шунья 483
Эйлера - Венна диаграммы 70
Эквивалентность 201 - 203
- логических формул 207
Экклесия 397
«Экономика» Самуэльсона 75 - 76,
181
Экстремум локальный 328
Экю 39
ПРИМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
531
Эластичность 306
«Элементы математики» Бурбаки
471
Эллипс 149,370,383
Энтимема 419,433
Эпиморфизм 74
Язык арифметики 477
- логико * математический 437 -442
- аксиоматической теории множеств
481-482
Учебное издание
Сергей Юрьевич Жолков
МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ
Учебник
Оригинал-макет подготовлен автором
Редактор Н.Г. Давыдова
Художественный редактор А.В. Антипов
Оформление переплета А.Л. Бондаренко
Налоговая льгота — общероссийский классификатор продукции
ОК-005-93, том 2; 953000 — книги, брошюры
ЛР № 066160 от 02.11.98.
Подписано в печать 31.10.2001. Формат 60x90*/ jg.
Гарнитура Литературная. Печать офсетная. Усл.-печ. л. 33,5.
Тираж 5000 экз. Заказ 5091.
УИЦ «Гардарики»
101000, Москва, Лубянский пр., д. 7, стр. 1
Тел.: (095) 921-0289, 925-6840
Факс: (095) 921-1169
Отпечатано в полном соответствии
с качеством предоставленных диапозитивов
на ОАО «Можайский полиграфкомбинат»
143200, г. Можайск, ул. Мира, 93
Книги УИЦ «Гардарики»
можно приобрести или заказать:
107082, Москва, ул. Ф. Энгельса, д. 75, стр. 10
(ст. метро «Бауманская»)
Тел.: (095) 797-9081,797-9082, 797-9083, 797-9084.
Факс:(095)363-0634
Опт, розница, книга—почтой, доставка
101000, Москва, Лубянский пр., д. 7, стр. 1
(ст. метро «Лубянка», «Китай-город»)
Тел.:(095)928-4840
Розница
Москва, ул. Знаменка, д. 10
(ст. метро «Арбатская»)
Розница
По каталогу «Книги. Учебные пособия. Товары»
Агентства «Роспечать»
Тел.: (095) 195-1451
По сводному аннотированному тематическому плану
издания учебной литературы:
117342, Москва, ул. Бутлерова, д. 17 «Б»
ЦКНБ (отдел учебной литературы)
©рхролрики
ВЛБрюшинкин
Логика
Учебник
3-е изд., доп. и испр.
М.: Гардарики, 2001. Переплет. 334 с.: ил.
ISBN 5-8297-0074-3
Оригинально построенный учебник позволяет овладеть знаниями
по логике, необходимыми студенту-гуманитарию, а также навыками
логического мышления. В книге дается нетрадиционное изложение курса
традиционной формальной логики, обогащенной элементами
символической логики. Широко используются диалоги между автором
и студентами, изучающими логику, в ходе которых можно познакомиться
не только с законами и принципами логики, но и с путями получения знаний
о понятиях, суждениях, умозаключениях. Практикум, содержащий десятки
задач, способствует развитию логического мышления. Учебник снабжен
списком литературы и именным указателем
Адресуется студентам гуманитарных специальностей.
Оптовая и розничная торговля:
Объединение «Юристъ—Гардарика»: 107082, Москва, ул. Ф. Энгельса, д. 75, стр. 10.
ТелАФакс: (095) 261-3123,363-0634,363-0635,363-0636,
797-9081,797-9082,797-9083,797-9084
Розничная торговля:
101000, Москва, Лубянский пр., д. 7, стр 1. (ст. м. «Лубянка», «Китай-город»)
Тел.: (095) 921-0289,925-6840
119841, Москва, ул. Знаменка, 10 (ст. м. «Арбатская»)
Наш филиал: Санкт-Петербург, Невский проспект, д. 85/11
(вход с ул. Гончарной, д. 11). Тел.: (812) 168-4928
©ПфОлриКи
ААЛвин
Логика
Учебник
М.: Гардарика, 2002. Переплет. 352 с.
ISBN 5-7762-0060-1
В книге доступно, ясно и вместе с тем строго и систематично излагаются
основные понятия и операции современной логики. Главное внимание
уделяется законам правильного мышления, применению логического
анализа в действии, при решении содержательно интересных проблем.
Принципиальная новизна книги в том, что в ней объединяются учебник
логики и задачник. В конце каждой главы приводятся многочисленные
задачи и упражнения, связанные с материалом соответствующей главы.
Указываются также литература, контрольные вопросы и темы рефератов
и докладов. '
Студентам высших учебных заведений, для которых логика не является
профилирующей дисциплиной. Книга может использоваться также
учащимися старших классов школ, лицеев и колледжей.
Оптовая и розничная торговля:
Объединение «Юристъ—Гардарика»: 107082, Москва, ул. Ф. Энгельса, д. 75, стр. 10.
ТелАФакс: (095) 261-3123,363-0634,363-0635,363-0636,
797-9081, 797-9082, 797-9083,797-9084
Розничная торговля:
101000, Москва, Лубянский пр., д. 7, стр 1. (ст. м. «Лубянка», «Китай-город»)
Тел,: (095) 921-0289,925-6840
119841, Москва, ул. Знаменка, 10 (ст. м. «Арбатская»)
Наш филиал: Санкт-Петербург, Невский проспект, д. 85/11
(вход с ул. Гончарной, д. 11). Тел.: (812) 168-4928
I'ApOApukCI
С. Ю. Жолков
Математика и информатика
доя гуманитариев
Еще в 1267 г. Р. Бэкон сказал: "Кто не знает математики, нс может
узнать никакой другой науки и даже не може т обнаружить сво-
его невежества".
Математика - это не н^бор формул и технических приемов, как
часто полагают, это прежде всего культура исследований, уни-
версальный образец рационалистического анализа и построе-
ния концепций в любой области знаний. Данный учебник явля-
ется попыткой дать эти самые образцы анализа средствами ма-
тематики для конкретного гуманитарного знания. При этом в
результате обучения студент должен четко осознать, что глав-
ное - понимание оснований и целей, что необходимо для реше-
ния любых задач в рамках своей специальности.