/
Author: Полянин А.Д. Зайцев В.Ф.
Tags: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ здравоохранение медицинские науки математическая физика дифференциальные уравнения прикладная математика нелинейные уравнения
ISBN: 5-9221-0192-7
Year: 2002
Text
СПРАВОЧНАЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА
А. Д. ПОЛЯНИН, В.Ф. ЗАЙЦЕВ
СПРАВОЧНИК
ПО НЕЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИЯМ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
МОСКВА
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ФИРМА
«ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА»
2002
УДК 517.9
ББК 517.2
П-54
Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям
математической физики: Точные решения. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 432 с. — ISBN
5-9221-0192-7.
Книга содержит точные решения около 1200 нелинейных уравнений математической физи-
физики и механики. Рассматриваются уравнения параболического, гиперболического, эллиптическо-
эллиптического и других типов. Описано много новых решений нелинейных уравнений. Особое внимание
уделено уравнениям общего вида, которые зависят от произвольных функций. Помимо уравне-
уравнений второго порядка рассматриваются также уравнения третьего, четвертого и более высоких
порядков. В целом справочник содержит больше нелинейных уравнений математической физи-
физики и точных решений, чем любые другие книги.
Приведены решения уравнений, встречающихся в различных областях теоретической физи-
физики, механики и химической технологии (в теории тепло- и массопереноса, теории волн, гидро-
гидродинамике, нелинейной акустике, теории горения, нелинейной оптике, ядерной физике и др.).
В приложении описаны методы обобщенного и функционального разделения переменных.
Рассмотрены конкретные примеры применения этих методов для построения точных решений
нелинейных уравнений с частными производными.
Справочник предназначен для широкого круга научных работников, преподавателей вузов,
инженеров и студентов, специализирующихся в различных областях математики, физики,
механики, теории управления и инженерных наук.
Табл. 15. Библиогр. 216 назв.
© А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, 2002
ISBN 5-9221-0192-7 © ФИЗМАТЛИТ, 2002
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9
Некоторые обозначения и замечания 10
1. Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной 11
1.1. Уравнения со степенными нелинейностями 11
1.1.1. Уравнения вида -§f = а-§^ + f(w) 11
1.1.2. Уравнения вида -§f = a-§^f- + f(x,t,w) 15
1.1.3. Уравнения вида -§f = a-§^f- + f(x,t,w)-%%- + g(x,t,w) 15
1.1.4. Уравнения вида §f = af^f + b(f^J + /(ж, t,w) 18
1.1.5. Уравнения вида -§f = a-0- + /(ж, t, w, -ff) 19
1.1.6. Уравнения вида -§f = awk-^%- + f(x,t,w, -f^) 20
1.1.7. Уравнения вида -§f = a-^(wmj^) 22
1.1.8. Уравнения вида ff = -?-[f (w) *jl] + g(w) 27
1.1.9. Уравнения вида ff = -*-[f (w) *jl] + g(Xit,w,%*-) 32
1.1.10. Другие уравнения 35
1.2. Уравнения с экспоненциальными нелинейностями 39
1.2.1. Уравнения вида ^ = a-§^ + f(w) 39
1.2.2. Уравнения вида -^f- = a-§^(eXw-^) + f(x,t,w) 40
1.2.3. Другие уравнения 43
1.3. Уравнения с гиперболическими нелинейностями 44
1.3.1. Уравнения, содержащие гиперболический косинус 44
1.3.2. Уравнения, содержащие гиперболический синус 44
1.3.3. Уравнения, содержащие гиперболический тангенс 45
1.3.4. Уравнения, содержащие гиперболический котангенс 45
1.4. Уравнения с логарифмическими нелинейностями 46
1.4.1. Уравнения вида ^ = a-§^- + f(x,t,w) 46
1.4.2. Другие уравнения 47
1.5. Уравнения с тригонометрическими нелинейностями 48
1.5.1. Уравнения, содержащие косинус 48
1.5.2. Уравнения, содержащие синус 48
1.5.3. Уравнения, содержащие тангенс 49
1.5.4. Уравнения, содержащие котангенс 49
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции 50
1.6.1. Уравнения вида ^ = a-§^ + f(x,t,w) 50
1.6.2. Уравнения вида ff = a-0- + f(x,t,w)j%- + g(x,t,w) 53
1.6.3. Уравнения вида §f = af^f + b(f^J + /(ж, t,w) 56
1.6.4. Уравнения вида |f = af^f + b(f^J + /(ж, t,w)%± + g(x, t, w) 58
1.6.5. Уравнения вида §f = o^ + /(ж, t, w)(^J + g(x, t, w)^ + h(x, t,w) . . 59
4 Оглавление
1.6.6. Уравнения вида -^у- = a dQ^ + /(ж, t, w, -§^г) 63
1.6.7. Уравнения вида -^у- = f(x,t) дда% + g(x,t, w, -§^г) 63
1.6.8. Уравнения вида ^ = awj^- + f(x,t,w)-%%- + g(x,t,w) 65
1.6.9. Уравнения вида ^ = (aw + b)j^- + /(ж, ?, гу) (ff J +рО, ?, гу)ff +h(x, t, w) 68
1.6.10. Уравнения вида -§f- = awmjg^f- + /(ж, t, w, -f^) 71
1.6.11. Уравнения вида -^f- = a-^(wm-^) + f(x,t,w, -§^) 72
1.6.12. Уравнения вида -^f- =a-^(eXw-^) + f(x,t,w, -|f-) 74
1.6.13. Уравнения вида A^f- = a-^- [f(w)^r] + 9{xit, w, "f^") ^^
1.6.14. Уравнения вида ^f = f(x,t,w)j^$- 79
1.6.15. Уравнения вида ^f = /(ж, t, гу)-^- + g(x, t, w, ^ml) 80
1.6.16. Уравнения вида A^f- = /(ж,г^, -§^r) "f^ + g(y°^ "S^") ^^
1.6.17. Нелинейные уравнения теплового (диффузионного) пограничного слоя ... 87
1.7. Нелинейное уравнение Шредингера и родственные уравнения 88
1.7.1. Уравнения вида i-^f- + -|^ + f(\w\)w = 0, содержащие произвольные
параметры 88
1.7.2. Уравнения вида i-^f- + -^г-§^г (хп'-§^г) + /(|гу|)гу = 0, содержащие
произвольные параметры 90
1.7.3. Уравнения с кубической нелинейностью, содержащие произвольные функции 91
1.7.4. Уравнения общего вида, содержащие произвольные функции 93
2. Уравнения параболического типа с двумя и более пространственными
переменными 98
2.1. Уравнения с двумя пространственными переменными 98
2.1.1. Уравнения, содержащие произвольные параметры 98
2.1.2. Уравнения, содержащие произвольные функции 107
2.2. Уравнения с тремя и более пространственными переменными 113
2.2.1. Уравнения, зависящие от трех пространственных переменных 113
2.2.2. Уравнения, зависящие от п пространственных переменных 119
3. Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной 121
3.1. Уравнения со степенными нелинейностями 121
3.1.1. Уравнения вида -^f- = а~§^ + f(x^iw) 121
3.1.2. Уравнения вида дд^ = a dQJ% + f(x,t,w, -f^r) 124
3.1.3. Уравнения вида дд^ = /(ж) дд^ + g(x,t, w, -f^r) 126
3.1.4. Уравнения вида -^f- = f(w)-^r + g{x,t,w, -ff") 129
3.1.5. Другие уравнения 133
3.2. Уравнения с экспоненциальными нелинейностями 135
3.2.1. Уравнения вида дд^ = a dQ^ + f(x,t,w) 135
3.2.2. Уравнения вида дд^ = /(ж) дд^ + д(ж, ?, w, -f^r) 138
3.2.3. Другие уравнения 140
3.3. Другие уравнения, содержащие произвольные параметры 142
3.3.1. Уравнения с гиперболическими нелинейностями 142
3.3.2. Уравнения с логарифмическими нелинейностями 143
3.3.3. Уравнения с тригонометрическими нелинейностями 144
3.3.4. Уравнения вида Щ^- + а-^Ц- = -^ [/M-ff-] 146
3.3.5. Уравнения вида Щ$- + f{w)^- = -?- [g{w)^\ 147
Оглавление 5
3.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 149
3.4.1. Уравнения вида -f^- = aj^- + f(x,t,w) 149
3.4.2. Уравнения вида -f^- = aj^- + f(x,t,w, -ff) 154
3.4.3. Уравнения вида ^ = f{x)^$- + g(x, t, w, ff) 158
3.4.4. Уравнения вида ^ = f(w)?*. + gfa^w, ^-) 162
3.4.5. Уравнения вида -f^f = f(x,w)j^g- + g(x,t,w, -f^-) 168
3.4.6. Уравнения вида -f^f = f(t,w)j^- + g(x,t,w, -f^-) 170
3.4.7. Другие уравнения 171
3.5. Уравнения вида -?%¦ + f(x,y,w, j^,j%-) = 0 174
3.5.1. Уравнения, содержащие произвольные параметры 174
3.5.2. Уравнения, содержащие произвольные функции 176
4. Уравнения гиперболического типа с двумя пространственными переменными . 179
4.1. Уравнения, содержащие произвольные параметры 179
4.1.1. Уравнения с квадратичной и степенной нелинейностью 179
4.1.2. Уравнения с экспоненциальной нелинейностью 184
4.2. Уравнения, содержащие произвольные функции 186
4.2.1. Уравнения вида $$- = ?[/(«,)-fa.] + ^-[g(w)j%-] 186
4.2.2. Другие уравнения 187
5. Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными 190
5.1. Уравнения со степенными нелинейностями 190
5.1.1. Уравнения вида -|^ + |^ = f(x,y,w) 190
5.1.2. Уравнения вида |^ + а^§- = f(x,y,w, ff, |f) 191
5.1.3. Уравнения вида ~t(fi^) + ^(/2^) = g{w) 192
5.1.4. Другие уравнения, содержащие произвольные параметры 198
5.2. Уравнения с экспоненциальными нелинейностями 201
5.2.1. Уравнения вида -|^ + |^ = /(ж, y,w) 201
5.2.2. Уравнения вида -?(fi^) + ^(/2^) = g(w) 202
5.2.3. Другие уравнения, содержащие произвольные параметры 204
5.3. Уравнения, содержащие другие нелинейности 206
5.3.1. Уравнения с гиперболическими нелинейностями 206
5.3.2. Уравнения с логарифмическими нелинейностями 207
5.3.3. Уравнения с тригонометрическими нелинейностями 210
5.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 211
5.4.1. Уравнения вида Aw = f(x,y,w) 211
5.4.2. Уравнения вида а-0 + Ъ^- = f(x,y,w, &,%*-) 216
5.4.3. Уравнения вида & [/(*)¦§*¦] + ^ Ыу)^] = h(w) 219
5.4.4. Уравнения вида -? [/(ж, у, w)*jB-]+-jj-[g{x, у, W)*?L] =h{x,y,w) 221
5.4.5. Другие уравнения 226
6. Уравнения эллиптического типа с тремя и более независимыми переменными . 231
6.1. Уравнения с тремя независимыми переменными 231
6.1.1. Уравнения, содержащие произвольные параметры 231
6.1.2. Трехмерные уравнения, содержащие произвольные функции 232
6 Оглавление
6.2. Уравнения с произвольным числом независимых переменных 234
6.2.1. Уравнения линейные относительно старших производных 234
6.2.2. Уравнения нелинейные относительно старших производных 236
7. Уравнения смешанного типа 238
7.1. Уравнения линейные относительно смешанной производной 238
7.1.1. Уравнение Хохлова — Заболоцкой 238
7.1.2. Уравнение нестационарного трансзвукового газового потока 242
7.1.3. Другие уравнения 244
7.2. Уравнения квадратичные относительно старших производных 246
7.2.1. Уравнения вида ^т^т = f(x,y) 246
7.2.2. Уравнение Монжа —Ампера {-^f - ^т^т = F(x,y) 247
7.2.3. Уравнения вида {^f = f(z, y)^^ + д(х,у) 255
7.2.4. Другие уравнения 259
7.3. Уравнение Беллмана и родственные уравнения 259
7.3.1. Уравнения с квадратичной нелинейностью 259
7.3.2. Уравнения со степенной нелинейностью 261
8. Уравнения второго порядка общего вида 264
8.1. Эволюционные уравнения 264
8.1.1. Уравнения вида -§f = F(w, -f^-, j^g-) 264
8.1.2. Уравнения вида -§f = F(x,w, -f^-, -f^) 268
8.1.3. Уравнения вида -§f = F(x, t, w, -f^, -f^r) 271
8.1.4. Уравнения вида F(x,t,w, ^f-, -ff, -§^) =0 276
8.2. Уравнения, содержащие вторые производные обеих переменных 278
8.2.1. Уравнения вида %$- = f(x,t,w, -fa., ff, |^) 278
8.2.2. Уравнения нелинейные относительно старших производных 279
9. Уравнения третьего порядка 282
9.1. Уравнение Кортевега — де Фриза и родственные уравнения 282
9.1.1. Уравнение Кортевега —де Фриза ^f + j^§- - бги-f^- =0 282
9.1.2. Цилиндрическое, сферическое и модифицированное уравнения Кортевега —
де Фриза 285
9.1.3. Обобщенное уравнение Кортевега —де Фриза ^f- + а-^- + /О) ^ = 0 287
9.1.4. Уравнения, приводимые к уравнению Кортевега — де Фриза 288
9.1.5. Уравнения вида ^f- + aj^§- + f(t,w, ^) =0 289
9.2. Уравнения гидродинамического пограничного слоя 291
9.2.1. Уравнения стационарного пограничного слоя ньютоновской жидкости 291
9.2.2. Уравнения стационарного пограничного слоя неньютоновских жидкостей . . 297
9.2.3. Уравнения нестационарного пограничного слоя ньютоновской жидкости ... 301
9.2.4. Уравнения нестационарного пограничного слоя неньютоновских жидкостей . 311
9.3. Уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера) 314
9.3.1. Стационарные уравнения 314
9.3.2. Нестационарные уравнения 318
9.4. Другие нелинейные уравнения третьего порядка 323
9.4.1. Уравнения, содержащие вторые и третьи производные по t 323
9.4.2. Уравнения, содержащие смешанные производные 323
Оглавление
10. Уравнения четвертого порядка 327
10.1. Уравнения, содержащие вторую производную по t 327
10.1.1. Уравнение Буссинеска и его модификации 327
10.1.2. Другие уравнения с квадратичной нелинейностью 332
10.2. Уравнения гидродинамики (уравнения Навье — Стокса) 333
10.2.1. Стационарные уравнения 333
10.2.2. Нестационарные уравнения 340
10.3. Другие уравнения 348
11. Уравнения старших порядков 350
11.1. Эволюционные уравнения, линейные относительно старшей производной 350
11.1.1. Уравнения вида ^f- = a^f- + f(x,t,w) 350
11.1.2. Уравнения вида ^f- = a^f- +f(x,t,w,&%-) 351
11.1.3. Уравнения вида &$- = a^f- + /(ж, t, w, ^-,..., ?^г) 355
11.1.4. Уравнения вида -§f- = aw^- + f(x,t,w)-%%- + g(x,t,w) 356
11.1.5. Другие уравнения 357
11.2. Эволюционные уравнения общего вида 359
11.2.1. Уравнения вида ^f- = F(w, -ff, • • •, ^%-) 359
11.2.2. Уравнения вида ^f- = F(x,w, %%-,..., -f^) 362
11.2.3. Уравнения вида -§f- = F(x,t,w, -f^-,..., -f^r) 364
11.3. Уравнения, содержащие вторую производную дд^ 369
11.3.1. Уравнения вида ^- = a-?f- + f(x,t,w) 369
11.3.2. Уравнения вида ^$- = а^Ц- + f(x,t,w, ¦%%-) 369
11.3.3. Уравнения вида ?$- = aj^ + f(x,t,w, ^-,..., f^f) 372
11.3.4. Уравнения вида ^$- = aw^- + f(x,t,w)-%%- + g(x,t,w) 373
11.4. Другие уравнения 375
11.4.1. Уравнения гидродинамического типа 375
11.4.2. Уравнения общего вида, содержащие ддх™ и дд ™ 376
Приложения 379
А. Методы обобщенного и функционального разделения переменных 379
АЛ. Введение 379
АЛЛ. Предварительные замечания 379
АЛ .2. Простейшие случаи разделения переменных в нелинейных уравнениях .... 380
А.1.3. Примеры нетривиального разделения переменных в нелинейных уравнениях 381
А.2. Методы обобщенного разделения переменных 383
А.2.1. Структура решений с обобщенным разделением переменных 383
А.2.2. Решение функционально-дифференциальных уравнений методом
дифференцирования 383
А.2.3. Решение функционально-дифференциальных уравнений методом расщепления 387
А.2.4. Упрощенная схема построения точных решений уравнений с квадратичной
нелинейностью 390
А.З. Методы функционального разделения переменных 392
А.3.1. Структура решений с функциональным разделением переменных 392
А.3.2. Решения с функциональным разделением переменных частного вида 393
А.3.3. Метод дифференцирования 397
А.З.4. Метод расщепления. Редукция к функциональному уравнению с двумя
переменными 401
А.3.5. Некоторые функциональные уравнения и их решения. Точные решения
нелинейных уравнений теплопроводности и теории волн 402
8 Оглавление
B. Преобразования уравнений математической физики 408
8.1. Точечные преобразования 408
8.2. Преобразование годографа 409
8.3. Преобразование Лежандра 411
8.4. Контактные преобразования 411
8.5. Преобразования Беклунда. Дифференциальные подстановки 413
C. Тест Фукса — Ковалевской — Пенлеве для нелинейных уравнений
математической физики 416
С.1. Подвижные особенности решений обыкновенных дифференциальных уравнений . . 416
С.2. Решения уравнений с частными производными, имеющие подвижный полюс.
Описание метода 417
С.З. Примеры применения теста Фукса — Ковалевской — Пенлеве 419
Список литературы 423
ПРЕДИСЛОВИЕ
Точные решения (в замкнутом виде) дифференциальных уравнений математической физики
всегда играли и продолжают играть огромную роль в формировании правильного понимания
качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания.
Точные решения нелинейных уравнений наглядно демонстрируют и позволяют разобраться в
механизме таких сложных нелинейных эффектов, как пространственная локализация процессов
переноса, множественность или отсутствие стационарных состояний при определенных услови-
условиях, существование режимов с обострением и др. Даже те частные точные решения дифференци-
дифференциальных уравнений, которые не имеют ясного физического смысла, могут быть использованы в
качестве «тестовых» задач при проверке корректности и оценке точности различных численных,
асимптотических и приближенных аналитических методов. Кроме того, допускающие точные
решения модельные уравнения и задачи служат основой для разработки новых численных, асим-
асимптотических и приближенных методов, которые, в свою очередь, позволяют исследовать уже
более сложные задачи тепло- и массопереноса, не имеющие точного аналитического решения.
Большинство уравнений прикладной и теоретической физики, химии и биологии содержат
параметры или функции, которые находятся экспериментально и потому не строго фиксиро-
фиксированы. В то же время уравнения, моделирующие реальные явления и процессы, должны быть
достаточно просты для того, чтобы их можно было успешно проанализировать и решить. В ка-
качестве одного из возможных критериев простоты можно принять требование, чтобы модельное
уравнение допускало решение в замкнутом виде. При этом особый интерес для приложений
представляют собой уравнения, зависящие от произвольных функций или содержащие много
свободных параметров, которые можно задавать по усмотрению исследователя.
В книге приведены точные решения около 1200 нелинейных уравнений математической фи-
физики второго, третьего, четвертого и более высоких порядков. Описано много новых решений.
При отборе материала авторы отдавали наибольшее предпочтение следующим трем важным
типам уравнений:
• Уравнениям, которые встречаются в различных приложениях (в теории тепло- и массо-
массопереноса, теории волн, гидродинамике, теории горения, нелинейной оптике, ядерной физике,
химической технологии, биологии и др.).
• Уравнениям общего вида, которые зависят от произвольных функций.
• Уравнениям, которые допускают точные решения, зависящие от произвольных функций.
В целом справочник содержит больше нелинейных уравнений математической физики и
точных решений, чем любые другие книги.
В книге имеется приложение, где описаны новые методы построения точных решений нели-
нелинейных уравнений математической физики и механики с обобщенным и функциональным раз-
разделением переменных. Эти методы основаны на исследовании соответствующих функциональ-
функциональных и функционально-дифференциальных уравнений, которые содержат неизвестные функции
разных переменных. Приведены примеры использования методов обобщенного и функциональ-
функционального разделения переменных для построения точных решений нелинейных уравнений тепло-
и массопереноса, теории волн, гидродинамики и уравнений общего вида, которые зависят от
произвольных функций.
Расположение уравнений во всех главах книги отвечает принципу «от простого к сложно-
сложному». Многие разделы можно читать независимо друг от друга, что облегчает работу с матери-
материалом. Обширное оглавление поможет читателю находить искомые уравнения.
Для максимального расширения круга потенциальных читателей с разной математической
подготовкой авторы по возможности старались избегать использования специальной термино-
терминологии. Поэтому некоторые результаты описаны схематически и упрощенно (опущены детали),
чего вполне достаточно для их применения в большинстве приложений.
Авторы благодарят А. И. Журова и Ф. Л. Черноусько за полезные обсуждения и замечания.
Авторы надеются, что справочник окажется полезным для широкого круга научных работ-
работников, преподавателей вузов, инженеров и студентов, специализирующихся в области приклад-
прикладной математики, механики, физики, теории управления и химической технологии.
Авторы
НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ЗАМЕЧАНИЯ
Латинский алфавит
С\, С2, • • • — произвольные постоянные;
г, <?>, z — цилиндрические координаты, г = \/х2 + у2;
г, #, 9? — сферические координаты, г = \/х2 -\- у2 -\- z2\
t — время (t ^ 0);
w — искомая функция (зависимая переменная);
х,у, z — пространственные переменные (декартовы координаты);
Ж1,..., хп — декартовы координаты в n-мерном пространстве.
Греческий алфавит
А — оператор Лапласа:
л Я2 Я2
Д = -^-2- + -J^-2 в двумерном случае,
А = -J^2~ + -^Ц- + -J^2 в трехмерном случае,
П 2
^ = S ~а~2 в n-мерном случае;
k = l Хк
А А — бигармонический оператор, А А = -J^- + 2 QJ>d 2 + -^-4 в двумерном случае.
Краткие обозначения производных
Частные производные:
, dxxw=—, dxxxw =
9^ = , dxw = , d»w = , dxxw=, dxxxw = .
Обыкновенные производные функции / = f(x):
г/ _ tf_ rii _ d2f ,,, _ dsf ,,„ _ d4f (n) _ dnf
Ix ~ ~fa' Ixx ~ ~^2~' Ixxx ~ ~d^' Ixxxx ~ ~d^' Ix ~ ~d^ ПРИ П *
Замечания
1. В формулах, содержащих выражения типа —^-, часто не оговаривается, что а ф 2.
2. При ссылках в тексте на конкретные уравнения запись вида «3.1.2.5» означает «уравнение 5
из раздела 3.1.2».
® Этим знаком помечены ссылки на литературные источники, когда:
а) хотя бы одно из приведенных выше решений получено в цитируемой работе (даже если
решение там было приведено с «устранимыми» ошибками в знаках и коэффициентах);
б) в цитируемой работе содержится полезная дополнительная информация, относительно
рассматриваемого уравнения и его решений.
1. Уравнения параболического типа с одной
пространственной переменной
1.1. Уравнения со степенными нелинейностями
1.1.1. Уравнения вида — = а^- + /(to)
ot ox2"
л dw d2w f .
Уравнение Фишера. Это уравнение встречается в задачах тепло- и массопереноса, теории горе-
горения, биологии и экологии. Оно описывает, например, массоперенос в двухкомпонентной непо-
неподвижной смеси при наличии объемной химической реакции квазипервого порядка. Кинетиче-
Кинетическая функция f(w) = aw(l — w) моделирует также автокаталитическое цепное превращение в
теории горения.
Частный случай уравнения 1.1.1.5 при т = 2.
1°. Точные решения (С — произвольная постоянная):
w(x,t) = [l + Cexp(-|-a?± -|-л/баж)],
w(x,t) = [-1
= l
О точных решениях см. также п. 2° уравнения 1.1.1.5.
2°. Замена U = 1 — w приводит к уравнению аналогичного вида с параметром а\ = —а:
ди д2и ТТ(Л ттл
= aU(l — U).
dt дх2 к J
® Литература: М. J. Ablowitz, A. Zeppetella A978), В. П. Маслов, В. Г. Данилов, К. А. Волосов A987).
. dw d2w
2 {1){)
Частный случай уравнения 1.1.1.6 при т = 2.
1°. Существуют три стационарных однородных решения: w = Wk, где w\ = 0, W2 = 1, г^з = а.
Стационарное неоднородное решение задается неявно (А, В — произвольные постоянные):
dw , _,
I
I-j-w4 — -7г(& + 1)гу^ -\—h-aw2 + A
2°. Решения типа бегущей волны (А, В, С — произвольные постоянные):
w(x.t) = -л
1 + Аехр[±^-\/2ж+ -f{2a - l)t]
w(x,t) = —
=
2аж+ \a{2-a)t] '
- а)х + |A - a2)t] + a
12 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
w(x,t) = \{1 + а) + \A - a) th[±\V2 A - а)х + ^A - a2)t + A],
( +\ 2а
w (х t) ==
V ' J A + )A
w(x,t) = ± + ± cth[±±y/2x + ±A - 2a)t + А],
w(x,t) = \а + \acth[±\\/2ax+ \а(а- 2)t + A],
(x,t) = |A + а) + \{l - a) cth[±-^>/2 A - а)х + ^A - a2)t + А],
w(,) |( ) \{ )
3°. «Двухфазное» решение:
/ ч Aexp(z-\)-\-aBexp(zo)
w(x,t) = — — ,
Aexp(zi) + ??ехр(?2) + С
где А, В, С — произвольные постоянные.
4°. Укажем два преобразования, сохраняющих вид исходного уравнения. Замена и = 1 — w
приводит к уравнению аналогичного вида с параметром а\ = 1 — а:
ди д2и . Л/ Л
—- = —— - и(\ - и)A -а-и),
dt дх2
Преобразование
v(z,t) = 1 w(x,t), т = a2t, z = ах
а
приводит к уравнению аналогичного вида с параметром а2 = 1 — а~1:
dv _ d2v , ./ 1
дт dz2 V a
Поэтому, если функция w = w(x,t; а) является решением рассматриваемого уравнения, то
функции
w\ = 1 — w(x,t; I — а),
W2 = а — aw(ax,a2t; 1 — а)
также будет решением этого уравнения. Сказанное позволяет «размножать» точные решения.
5°. Точное решение при а = — 1:
z = С\ схр(^ х + —t) + C2 схр( ^ х + —t) + Сз,
где Ci, C2, Сз —произвольные постоянные, U = U(z) — функция Вейерштрасса, удовлетво-
удовлетворяющая уравнению U'z'z =2US.
® Литература: Т. Kawahara, M. Tanaka A983), N. Н. Ibragimov A994), В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
dw _ d2w
dt ~
Частный случай уравнения 1.1.1.6 при т = 2, а = —а/З'у, Ь = а(/3 -\-гу), с= —а.
1°. Решения типа бегущей волны (С — произвольная постоянная):
w(x,t) = х ^ j ,
w(x,t) = ft-
Второе решение можно записать в следующем виде;
(C + 7) + (C-7)th^
V ' ; Р (С + р) + (С /5) th z Р
(С + р) + (С - /5) th z Р (С - р) + (С + /5) cth ^ '
где ^ = ±\лД^ (C ф
1.1. Уравнения со степенными нелинейностями 13
2°. «Двухфазное решение» (А, В, С — произвольные постоянные):
где
+ \af3(f3 - 2-y)t, z2 = ±\V2^jx + ±a-y(-y - 2f3)t.
Одну из констант А, В, С можно положить равной ±1.
3°. При а > 0 преобразование w = /3U, t = а/32т, х = ±л/а /3{; приводит к уравнению 1.1.1.2
относительно U(?, г), где а = ^//3.
. dw d2w . , fe
4. = а — + bw .
dt дх2
1°. Решение типа бегущей волны (Л — произвольная постоянная):
w = w(z), z = х + \t,
где функция w(z) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
awzz — ^wz + bw =0.
2°. Автомодельное решение:
где функция и(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
ащ? -\ ^щ -\ и + Ъи =0.
_ dw d2w г»,
5 + + b
Уравнение Колмогорова — Петровского — Пискунова. Это уравнение встречается в задачах
тепло- и массопереноса, теории горения, биологии и экологии.
1°. Точные решения {С — произвольная постоянная):
w(x,t) = [/3 + Сехр(Л^±//ж)]тт^, A)
2
w(x, t) = [-/3 + С exp(At ± /ix)] ~i^, B)
где параметры Л, //, C определяются по формулам
a(l-m)(m + 3) _ / a(l - mJ
2(m + l) ' ^~ у 2(m + l) ' ^
2°. Решения A) и B) являются частными случаями более широкого класса решения типа
бегущей волны
w = w(z), z = х + at,
которые описываются автономным уравнением
гу^ - aw'z +aw + bw171 = 0. C)
Точное решение уравнения C) при
можно записать в параметрическом виде
т + 3 . Г7 ^,1-гп га - 1 f dr , ^ 1 . _m + l
z =
m - 1 L m + 3 / \/l ±rm+1 -I 2/c2
w = CiT\kC1 / —, ^ + 02 ,
L 1 m + 3 J Vl±rm+1 i
где Ci и G2 — произвольные постоянные, г — параметр.
14 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
Уравнение C) заменой U(w) = w'z приводится к уравнению Абеля
UU'W -aU + aw + bwm = 0. D)
В книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а) приведены точные решения уравнений
C), D) для некоторых пар параметров т, а (а = 1, Ъ — любое).
® Литература: P. Kaliappan A984), В. П. Маслов, В. Г. Данилов, К. А. Волосов A987), В. Ф. Зайцев,
А. Д. Полянин A996).
dw 82W , т 2т — 1
6. = — + aw -\-bw + cw
ot ox2
Это уравнение встречается в задачах тепло- и массопереноса, теории горения, биологии и
экологии.
1°. Точные решения (С — произвольная постоянная):
1
w(x, t)=[/3 + C exp(At + fix)] 1~m , A)
где параметры C, А, ц определяются из системы алгебраических уравнений
аC2 + ЪC + с = 0, B)
/I2 - A - га)Л + аA - тJ = 0, C)
fi2 - А + A - га) [2а + (Ъ/0)] = 0. D)
Квадратное уравнение B) для C решается независимо. В общем случае система B)-D)
дает четыре набора искомых параметров, которым отвечают четыре точных решения исходного
уравнения.
2°. Решение A) является частным случаем более широкого класса решений типа бегущей волны
w = w(z), z = х + at,
которые описываются автономным уравнением
w"z - awz + aw + bwm + cw2™'1 = 0. E)
Замена U(w) = w'z приводит E) к уравнению Абеля
UU'W -cjU + aw + bwm + cw2171'1 = 0,
общие решения которого для некоторых т (на параметры а,Ь, с накладываются ограничения)
приведены в книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а).
at эх* '
Решение типа бегущей волны (А — произвольная постоянная):
w = w(z), z = х + At,
где функция w(z) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
// л / , тп—1 , т тп j 2 1тп—1 г\ /1\
wzz — \wz + aw + bmw — mb w =0. (I)
Можно показать, что при А = 1 однопараметрическое семейство решений уравнения A)
удовлетворяет уравнению первого порядка
wfz=w-bwm + —. B)
mb
Интегрируя B), получим решение в неявном виде (А — любое):
1. C)
а + mbw — mb2wrn mb
В частном случае а = 0 из формулы C) имеем
i_
w(z) = {Сехр[A - m)z] + b} 1~r]
где С — произвольная постоянная.
1.1. Уравнения со степенными нелинейностями 15
1.1.2. Уравнения вида ^- = а^- + f(x,t,w)
dw d2w , , 4fe
1. —— = a—-— + si(cx + bi) +
ot ox*
Частный случай уравнения 1.6.1.2 при f(z, w) = S\zk +
Частный случай уравнения 1.6.1.2 при /(г, ги) = s(u> +
Частный случай уравнения 1.6.1.2 при f(z,w) = szkwn.
. dw d2w n m k
4. = a — + bt x w .
dt дх2
Автомодельное решение:
где функция гб = гг(^) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
-^+ 2(/с_1) Ц + ЬЦ =0.
5. ^=
dt
Частный случай уравнения 1.6.1.2 при f(z,w) = sezwn.
1.1.3. Уравнения вида -^ = а^- + f(x,t,w)^- +g(x,t,w)
ot ox* ox
dw d2w . , dw . . . m . , n2
+ b + + k +k2W ¦
Частный случай уравнения 1.6.2.3 при f(t) = Ь. Переходя от ?, х к новым переменным
t, z = х + Ы, получим более простое уравнение
частные случаи которого рассматриваются в разд. 1.1.1.
2. -*?- = о^ + МЛ^ + cw + +
dt дх2 дх
Частный случай уравнения 1.6.2.3 при f{t) = Ып. Переходя от t, x к новым переменным
t, z = х -\ tn+1, получим более простое уравнение
п + 1
4^ = а^- +cw m m
частные случаи которого рассматриваются в разд. 1.1.1.
dw _ d2w dw
' ~дТ ~ дх2 ~дх~'
Уравнение Бюргерса.
1°. Точные решения {А, В, Л — произвольные постоянные):
( ,. А - х
2
w(x,t) = Л +
х + Xt + A '
16 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
, , 4ж + 2А
х2 + Ах + 2t + В '
ги(ж,?) =
ж3 + 6ж? + ЗАж + В '
w(x,t) =
1 + Аехр(-А2?- Лж) '
w(x,t) = -А
exp[A(x-Xt)] +B
w(x,t) = -\ + 2Aih[A(x-\t) + B],
2Acos(Ax + A)
v ' J Bexp(A2f) +sin(Ax + A) '
о r Г'r -I- /4 ^ ^ "i r / т Л- A \ "i — 1
x,t) = —, exp — -^- ^— LB + Aerf —. ,
л/тг^-Ь A^ L 4ft + A) J L V 2VtTxJi
-A)
где erf ^ = —^— I exp(—^2) dt;—интеграл вероятностей (функция ошибок).
2°. Другие решения можно получить по формуле (преобразование Хопфа — Коула)
, ч 2 ди ,
w(x,t) = , A)
где и = u(x,t) —решение линейного уравнения теплопроводности с постоянными коэффици-
коэффициентами
ди _ д2и
dt дх2
Об этом уравнении см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского A972), В. С. Владимирова
A985), А. Д. Полянина B001 Ъ).
3°. Задача Коши. В области — оо < х < оо задано начальное условие
w = /(ж) при t = 0.
Решение задачи Коши:
где
(х -О2 1
m L
4°. Уравнение Бюргерса связано с линейным уравнением теплопроводности B) преобразова-
преобразованием Беклунда
ди 1
uw = 0,
дх 2
дц _ 1 d(uw) _
dt 2 дх
Это преобразование используется при решении конкретных краевых задач.
® Литература: О. В. Руденко, С. И. Солуян A975), N. Н. Ibragimov A994).
. dw d2w , , dw
4. = a —\- bw .
dt дх2 дх
Ненормированное уравнение Бюргерса. Растяжение независимых переменных по формулам
х = —z,t= —т приводит к уравнению 1.1.3.3:
Ь Ь2
dw d2w dw
= h W .
dr dz2 dz
1.1. Уравнения со степенными нелинейностями 17
dw а , , dw d2w
5. —— + —w + bw —— =
dx ~ H dx2 '
Модифицированное уравнение Бюргерса.
1°. Точное решение (вырожденное) линейное по переменной х:
w(x, t) = (p(t)x + Cit~a exp [-b f (p(t) dt],
l-a
при а Ф 1,
при а = 1,
где С\, С2 —произвольные постоянные (в обоих случаях интеграл можно вычислить).
2°. Автомодельное решение:
w(x,t) = u(z)t~1/2, z = xt~1/2,
где функция и = u(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
[iu'zz + (у 2 — bu)u'z + (у — а)гб = 0.
^ Огу Огу Г 1 д ( dw \ w 1
6. h w = а х — .
dt дх I х дх V дх ) х2 J
Цилиндрическое уравнение Бюргерса. Переменная х играет роль радиальной координаты.
Точное решение:
где функция в = 6(x,t) удовлетворяет линейному уравнению теплопроводности с осевой
симметрией
дв _ а д / дв \
~dt ~ ~х~дх\~дх)'
® Литература: S. Nerney, E. J. Schmahl, Z. E. Musielak A996).
_ dw d2w , , dw , , , ^4fe
Частный случай уравнения 1.6.2.2 при f(x,t) = с(х + st)fc.
о dw d2w dw k n
8. —— = a—-— + bw— \-cx +st .
dt dx2 dx
Частный случай уравнения 1.6.2.2 при f(x,t) = схк + stn.
dw . ь2 , IW ч
-ST + ^w{w ~ k){w + k)'
Точное решение:
_ ki-l + C^4^) _ bk
W ~ 1 + С1е4Лж + С2е2Лж+^ ' 12^
где Ci, C2 — произвольные постоянные.
® Решение получил К. А. Волосов B000).
1П dw d2W rn dw
10. = a — + bw .
dt dx2 dx
1°. Точное решение (С, Л — произвольные постоянные):
Ь /
ti,(x,t)=[Cexp(- — ^-
Более широкое семейство решений типа бегущей волны см. в 1.6.2.9 при f(w) = bw
2°. Существует автомодельное решение вида
2 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
18 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
лл dw d2w t m ч dw
Частный случай уравнения 1.6.2.12 при f(w) = bwm, g(t) = ct + s.
Переходя от t, x к новым переменным t, z = x + ^ct2'+st, получим уравнение вида 1.1.3.10:
Частный случай уравнения 1.6.2.12 при f(w) = bwm, g(t) = ctk.
Переходя от t, x к новым переменным t,z = x-\ 1 +1, получим уравнение вида 1.1.3.10:
к/ ~\~ 1
dw д w m $u?
13. ^L = а-^- + Sl(bx + ctfw71— + 52(Ьж + ct)pwq = 0.
Ot дх2 дх
Частный случай уравнения 1.6.2.15 при f(z, w) = sizkwn, g(z,w) = S2Zpwq.
a^ + b(J
1.1.4. Уравнения вида — = a^- + b(—J + f(x,t,w)
ot ox2 V ax J
л dw d2w , ,fdw\2
1 + ь)
1°. Точные решения (А, В, С, X — произвольные постоянные):
w(x) = -
о
w(x,t) = A2bt±Ax + В,
w(xt) = - (ж + АJ - А- Ш + В,
w(x, t) = — In b2 + 2at + Ax + Bl + C,
b
w(x, t) = — In b3 + 6axt + Ax + Б1 + C,
гу(ж, t) = — In |ж4 + 12ax2t + 12a4t2 + A\ + Б,
о
«;(ж, t) = -^-t + - In |cos(Ax + A)\ + Б.
о о
2°. Замена
w(x,t) = —1п|гб(ж,?)|
приводит к линейному уравнению теплопроводности с постоянными коэффициентами
ди _ д2и
Об этом уравнении см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского A972), В. С. Владимирова
A985), А. Д. Полянина B001 Ь).
. dw d2w , , / dw \2 ,
2. = a — + b[ + cw -\- s.
dt dx2 V dx J
Частный случай уравнения 1.6.3.4 при f{t) = s.
dw d2W . ( dw\2 . 2
1°. Точные решения при a < 0:
w(x,t) = C\ exp(—at d= x\/—a),
где Ci, C2 — произвольные постоянные.
1.1. Уравнения со степенными нелинейностями 19
2°. Точное решение при а < 0:
w(x,t) = (p(t) + ip(t) [Аехр(жл/^а) + Бехр(—жд/^а)],
где А, В — произвольные постоянные, а функции <?>(?) и ip(t) описываются автономной
системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
^=а(^>2 + 4АВф2), A)
ф'ь = а{2^ - 1)ф. B)
Деля правые и левые части уравнений A), B) можно получить уравнение первого порядка
3°. Точное решение при а > 0:
ги(ж,
где С — произвольная постоянная, а функции ip(t) и ?/?(?) описываются автономной системой
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
<р'ь=а(<р2 + ф2), C)
ф'ь = а{2^ - 1)ф. D)
Деля правые и левые части уравнений C), D) можно получить уравнение первого порядка.
® Литература: В. А. Галактионов, С. А. Посашков A989), В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
. dw d2W ( dw \2
1°. Точное решение при b < 0:
где функции ip(t) и ip(t) описываются автономной системой обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка
(pft = bap + s(p + к, B)
ф'ь = Bbap + s — ас)ф. C)
Решение системы уравнений B), C) описывается следующими формулами (Ci, C2 —
произвольные постоянные):
26сА + s
-6с '
<p(t) = А + -
т= С1С2ехр[-BЬсА-
{C1exp[-B6cA + s)t] -be}
где А = Ai и А = Аг — корни квадратного уравнения
ЬсХ + s\ + к = 0.
2°. О более сложных решениях, содержащих гиперболические и тригонометрические функции
по переменной ж, см. уравнение 1.6.5.2 при /, д, h = const.
® Литература: В. А. Галактионов, С. А. Посашков A989), В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
_ dw d2w ( dw\2 2 , .п , ,.m
5. = а —\- о[ + cw -\- st w -\- kt .
dt dx2 V dx )
Частный случай уравнения 1.6.5.2 при / = const, g = stn, h = ktm.
1.1.5. Уравнения вида -^- = а^-^- + /fж, t, ги, -^-
Ot dx V Ож
Огу d2w ( dw \2 , Оги
1. = а —\- а + о \- с.
dt dx2 V dx ) dx
Замена и = ew приводит к линейному уравнению с постоянными коэффициентами
ди д2и , ди
20 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
dw d2w ( dw \2 , , .п dw , тГП
2. = а — +а + Ы Ь ct .
dt dx2 V dx J dx
Частный случай уравнения 1.6.4.4 при f(x,t) = btn, g(x,t) = ct171.
Замена и = ew приводит к линейному уравнению
ди д2и , п ди т
dw d2w п ( dw \2 гп . .к
3. —— =а——-+Ы [—— ) +ct w + st.
dt dx2 \ dx J
Частный случай уравнения 1.6.5.1 при /(t) = btn, g(t) = ctm, h(t) = stk.
л dw _ ^ d2w , uxt,
Частный случай уравнения 1.6.5.1 при f(t) = bext, g(t) = ceM
dw _ d2w a rdw\2
' ~dT ~ dx2 ~w~ \~dx~) '
Частный случай уравнения 1.6.5.8 при f(w) = a/w.
Замена
— wa+1 при а ф -1,
. In \w\ при а = — 1
приводит к линейному уравнению с постоянными коэффициентами dtu = <9жжгб.
, dw d2w и ( dw \2
Частный случай уравнения 1.6.5.8 при f(w) = awk. При к = 0 см. уравнение 1.1.4.1, при к = —1
см. уравнение 1.1.5.5.
Замена
и = / ехр( ги +
приводит к линейному уравнению с постоянными коэффициентами dtu = дххи.
„ dw d2w ,
7 +
Частный случай уравнения 1.6.5.10 при f(w) = aw171, g(t) = 6, h(t) = ct + s.
1.1.6. Уравнения вида ^- = агик^-Щ- + f(x,t,w, ^-
dt dxz V ож
dt
л dw d2w . 2 , ,
1. = ait; — + cw + kw + s.
at oa3J
Частный случай уравнения 1.1.6.5 при b = 0.
® Литература: В. А. Галактионов, С. А. Посашков A989).
2. — = aw-^- + Ь™2 + (ct + d)w
dt dx21
Частный случай уравнений 1.6.8.3 и 1.6.9.7 при f(t) = ct + d, g(t) = st + к.
Частный случай уравнения 1.6.9.6 при f(t) = 0, g(t) = 6, h(t) = ct -\- d, s(t) = pt + k.
A dw d2w , , / dw \2 , dw ,
4. —— = aw—-^- + b[ —— 1 + c— \-pw + q.
dt dx2 V Ож / dx
Частный случай уравнения 1.6.9.6 при f{t) = b, g(t) = с, /i(t) = p, s(t) = g.
1.1. Уравнения со степенными нелинейностями 21
_ dw d2W ( dw\2 2 . ,
5. —— = aw——- + b (—— +cw +kw + s.
dt dx2 \ dx J
1°. Точные решения, содержащие экспоненциальную функцию х:
1/2
/ _г \ 1/2
, Л=(——) , A)
V а + о /
где функции ip(t) и ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка
(pt = с(р + кср + s, B)
Интегрируя B), получим
/¦
Вычислив интеграл, можно найти явную зависимость tp = ip(t). Решение уравнения C)
выражается через функцию cp(t) по формуле
= С2 ехр I" / (а\2(р + 2ар + к) dt\,
где С\, С2 — произвольные постоянные.
2°. Имеются также решения, содержащее гиперболические и тригонометрические функции
(А — произвольная постоянная):
/ -с \ 1/2
\а + Ь )
х=(—с/2
V а +
w(x, t) = 9?(t) + ip(t) cos(Ax + A), A =
. a -
Функции (p = ip{t) и ф = ip(t) описываются автономной системой обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений первого порядка (эти системы могут быть сведены к одному уравнению
первого порядка).
Об этих решениях см. пп. 2°-4° уравнения 1.6.9.7 при f(t) = к, g(t) = s.
® Литература: В. А. Галактионов, С. А. Посашков A989).
dw 2
6. = aw
dt
Замена w = 1/v приводит к уравнению вида 1.1.7.3:
dv д ( 1 «
Поэтому решения исходного уравнения выражаются через решения линейного уравнения
теплопроводности
ди д2и
dt ~ ду2
по формулам
ди
w = , х = и.
ду
Чтобы получить в явном виде зависимость w = w(x,t), следует исключить у.
® Литература: Н. X. Ибрагимов A983, стр. 213).
_ dw 4 92W rn 5
7. = aw — + Ъх w .
at а2
at
Частный случай уравнения 1.6.10.1 при f(x) =
22 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
о dw k d2w
8. = aw
dt dx2 '
1°. Пусть w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
wi = C~z/rnCL2/rnw(Cix + Сз, C2t + C4),
где Ci, C2, Сз, С4 — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Замена и = w приводит к уравнению
ди _ д / Y^fc" <9« \
которое рассматривается в разд. 1.1.7.
_ dw т d2w n dw k
9. = aw — + bxt \- ct w.
dt dx2 dx
Частный случай уравнения 1.6.10.3 при f(t) = Ып, g(t) = ctk.
1.1.7. Уравнения вида — = a— (wm—)
dt dx V dx J
Уравнения этого вида допускают точные решения типа бегущей волны w = w(kx + Xt).
л dw d ( dw\
1. = a w .
dt dx\ dx J
Частный случай уравнения 1.1.7.6 при т = 1.
1°. Точные решения:
w(x, t) = С\х + аС\ t + С2,
Oil ( rr- +\ 1 1 ' _|_ 3
\ |? _|_ (J 11/3 '
+ Сз\х + Ci|1/2|C2 - 6а*Г5/8,
где С\, С2, Сз —произвольные постоянные.
® Литература: D. Zwillinger A989, стр. 311).
2°. Решение типа бегущей волны в неявном виде:
w - С2 In \w + C2| = Cix + aC\t + Сз-
3°. Точное решение в параметрической форме:
х =
-2C2f.
4°. Точное решение в параметрической форме:
где функции / = /(?) и р(^) описываются системой обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений
2//« = «/««. о)
f9ii =a>9<&v B)
Порядок уравнения A) может быть понижен на две единицы. Пусть известно некоторое решение
уравнения A). Уравнение B) является линейным уравнением относительно функции д, которое
имеет два линейно независимых частных решения
1.1. Уравнения со степенными нелинейностями 23
Второе частное решение следует из сопоставления уравнений A) и B). Общее решение
уравнения A) можно представить в виде (см. В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин, 2001 а):
(ф<%- f Hdi),
C)
Нетрудно проверить, что уравнение A) имеет частные решения:
/(?) = Се - аХ,
где С, Л — произвольные постоянные. Первое решение D) с учетом формул A), C) приводит к
решению из п. 3°. Подставив вторую зависимость D) в формулы A), C) можно получить другое
решение.
Замечание. Указанное выше решение получено с помощью преобразования Мизеса из
решения уравнения гидродинамического пограничного слоя (см. 9.2.1.1, пп. 5°, 6°).
5°. О других решениях см. пп. 3°-7° уравнения 1.1.7.6 при т = 1.
2 dw _ д / 1 dw \
dt ~ a dx V w dx )'
Частный случай уравнения 1.1.7.6 при т = — 1.
Точные решения:
w(x,y) = (Cix - aClt + С2)~\
w(x,y) = Bat + Ci)(x + С2)~2,
w(x,y) = -—-
w(x,y) =
С2 + C3 exp(aC2t — C1x)
Ci Iri ( Cix \ 1 , Cix
= — C3 exp ) — 1 H
( 4 C{ \n ( Cxx \ Cxx Л-
w(x,y) = -—^— C3expf ггтН -1+ ,^r ,
w(x,y) =
, ч С9 - 2aCH
, ч 2aCH
W{X'V)= cos*(C
где Ci, C2, С2, —произвольные постоянные.
® Литература: В. В. Пухначев A987), С. Н. Аристов A999).
_ dw д ( _2 dw \
3. = а w .
dt дх \ дх )
Частный случай уравнения 1.1.7.6 при т = — 2.
dz
1°. Введем новую искомую функцию z = z(x,t) по формуле w = , а затем проинтегрируем
дх
полученное уравнение по переменной х. В результате имеем
dz (dz\-2d2z
dt V дх J дх2
Это уравнение преобразованием годографа
х = и, z = у, B)
приводится к линейному уравнению теплопроводности для функции и = u(y,t):
ди д2и ,_ч
dt dy2
24 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
Преобразование B) означает, что зависимая переменная z принимается за независимую пере-
переменную, а независимая переменная х— за зависимую переменную.
Решения исходного уравнения w = w(x, t) выражаются через решения и = и(у, t) линейного
уравнения C) по формулам
w=(ir) > x = u(y,t). D)
V ду )
Чтобы получить в явном виде зависимость w = w(x,t), из D) следует исключить у.
2°. Автомодельное решение:
/Ш С
® Литература: G. W. Bluman, S. Kumei A980), Н. X. Ибрагимов A983).
dw д ( _4/з dw \
4. = а w ' .
dt дх\ дх )
Частный случай уравнения 1.1.7.6 при т = —4/3 (допускает больше инвариантных решений,
чем при т ф —4/3).
1°. Отдельные частные решения см. в 1.1.7.6 при т = —4/3.
2°. Существуют решения следующего вида:
w(x,t) = /iO),
w(x,t) =t3/4f2(x),
w(x,t) =ж/зй,
w(x,t) = U(x-\t),
w(x,t) = f5(x2t-1),
w(x,t) = efQ(xe2t/2>),
w(x,t) =x3Cf7(tx-4C-2),
где С, Л — произвольные постоянные. Подставляя эти выражения в исходное уравнение, можно
получить обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций fn(z).
3°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, t) = (at + A)s/4[(x + B)(Cx + BC + 1)]/2,
где А, В С — произвольные постоянные.
4°. Преобразование (А, В — любые)
приводит к уравнению такого же вида
ди д ( _4/з
^ = a7lM
Поэтому, если функция w\ = w(x,t) является решением, то функция
W2=
также будет решением исходного уравнения. Сказанное позволяет «размножать» точные реше-
решения.
® Литература: Л. В. Овсянников A959, 1978), N. Н. Ibragimov A994).
1.1. Уравнения со степенными нелинейностями 25
5. ^L = ^(W
dt дх\ дх
Частный случай уравнения 1.1.7.6 при т = —2/3.
Точное решение:
w = (C- ШK/2 [(С - ШK/2 - х2] -3/2.
® Литература: И. Ш. Ахатов, Р. К. Газизов, Н. X. Ибрагимов A989), N. Н. Ibragimov A994).
dw д ( г», dw\
6. = а w .
dt дх V дх J
Это уравнение часто встречается в нелинейных задачах тепло- и массопереноса, теории горения
и теории фильтрации. Например, оно описывает нестационарный теплоперенос в неподвижной
среде, когда коэффициент температуропроводности является степенной функцией температуры.
При т = 1, — 1, —2, —4/3, —2/3 см. также уравнения 1.1.7.1-1.1.7.5.
1°. Пусть w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
Wl = С-2/тС21/т™(С1Ж + С3, C2t + С4),
где Ci, C2, Сз, С4 — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Точные решения*:
1
w(x, t) = (±kx + kXt + A) 'm, k = Xm/a,
m(x — Ay
2a(m + 2) t + В
mBm+3) n J_
где А, В, С, X — произвольные постоянные. Третье решение при В > 0 и четвертое решение при
В < 0 соответствуют режимам с обострением (решение неограниченно возрастает на конечном
интервале времени).
® Литература: Я. Б. Зельдович, А. С. Компанеец A950), Г. И. Баренблатт A952), А. А. Самарский,
В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов A987), Г. А. Рудых, Э. И. Семенов A998).
3°. Решение типа бегущей волны
w = w(z), z = ±ж + Xt
задается неявно
[ wmdw „ ,
а / = С2 + z,
J Xw + С1
где A, Ci, C2 — произвольные постоянные. Значению А = 0 соответствует стационарное
решение, а значению С\ = 0 — второе решение в п. 2°.
4°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
где функция / = f(x) определяется неявно
/Сх - bfm+2 ' ат(т + 2) '
А, С\, С2 — произвольные постоянные.
* Здесь и далее, для краткости, точные решения нелинейных уравнений обычно приводятся только в
области их пространственной локализации, где w ^Ё 0.
26 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
5°. Автомодельное решение:
х
w = w(z), z = —— @ ^ х < оо),
Vt
где функция w(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
2a{wrnw'z)'z+zw'z =0. B)
Решениями такого вида обычно описываются ситуации, когда искомая функция принимает
постоянные значения в начальных и граничных условиях.
Частному решению уравнения B) при w(z) = k2Z2^m отвечает третье решение в п. 2°.
X. Фуджита (Н. Fujita, 1952) получил общее решение уравнения B) при т= — 1 и m = —2.
Об этих решениях подробно написано в книге А. В. Лыкова A967).
В случае граничных условий
w = 1 при z = 0, w = 0 при z = оо
решение уравнения B) является локализованным и имеет следующую структуру:
- z)i/mP(l-Z,m)
J P(i, m)
при 1 ^ Z < оо,
где
z0 mP(l, га)
b0 = 1, bi = — \[m{m + I)], ...; см. А. А. Самарский, И. М. Соболь A963).
6°. Автомодельное решение:
Здесь функция F = F(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением первого
порядка
a(m + 2)Fmi^+^ = С, C)
где С — произвольная постоянная.
Значению С = 0 в уравнении C) соответствует последнее решение в п. 2°, которое
описывает тепловую волну от плоского источника. Подробности см. в книге Я. Б. Зельдовича,
Ю. П. Райзера A966).
Сделаем замену ср = Fm в уравнении C). В результате получим
^ = а<р~1/т - ft, D)
где а = а(^_2) ' Р = a(m+2) • В книге В- ф- Зайцева, А. Д. Полянина B001 а) приведены общие
решения уравнения D) для значений т = — 1 и т = 1.
7°. Автомодельное решение более общего вида:
w = tCg(C), C,=xt~JIL^~, C — любое.
Здесь функция д = д(С) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
G'lc=A1C)G rn+i q'c+A2G™+i , G = ^m+1, E)
где А\ = —{mj3 + l)/Ba), A2 = /5(m + l)/a. Это уравнение является однородным и
поэтому допускает понижение порядка (после чего может быть преобразовано к уравнению
Абеля второго рода). Точные аналитические решения уравнения E) при различных значениях
параметра т приведены в книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а).
8°. Точное решение:
w = e-2Xt(p(u), u = xeXm\ Л —любое,
где функция (р = (р(и) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
а>(.Ч>т4>u)'u = \тшр'и - 2\ср. F)
Это уравнение является однородным и поэтому допускает понижение порядка (после чего
может быть преобразовано к уравнению Абеля второго рода). Замена Ф = <^m+1 приводит F)
к уравнению, которое с точностью до переобозначений совпадает с E).
1.1. Уравнения со степенными нелинейностями 27
9°. Точное решение:
w = (t + А)~1/гпф(и), и = х + b\n(t + А), А, Ъ — любые,
где функция ф = ф(и) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением
а(фтф'и)'и=Ъф'и-ф/т. G)
Введение новой зависимой переменной по формуле р(ф) = —фшф'и с учетом равенства
Ъ
= —ф~тр приводит G) к уравнению Абеля второго рода:
du a dip
рр'ф = р — sil)m+1, s = a/(mb2).
Общие решения этого уравнения при т = —3, —2, — у, — 1 приведены в книге В. Ф. Зайцева,
А. Д. Полянина B001 а).
10°. Преобразование
t = t — to, x= w(y,t)dy+ / \wm(x,T) (ж, т) dr, w(x,i) =
Jx0 Jtol dx J*=*0 ™(%,t)
переводит ненулевое решение w(x,t) исходного уравнения в решение w(x,i) уравнения
аналогичного вида
dw д ( „-т-2 dw \
—— = aw .
dt дх \ дх У
® Литература к уравнению 1.1.7.6: Л. В. Овсянников A959, 1962, 1978), А. А. Самарский, В. А. Галак-
Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов A987), N. Н. Ibragimov A994).
1.1.8. Уравнения вида —— = —\f(w)——I + g(w)
dt дх L дх -I
Уравнения этого вида допускают точные решения типа бегущей волны w = w(kx + Xt).
л dw д ( _2 dw \ . ,
1. = w + Ъ.
dt dx V dx У
Преобразование
2 ди ( +\ brd/lchxXl
Z о ' WyX 1Т j — — I — I ^1^;
ои оу 2 I оу V и оу У J
приводит к уравнению
д ( $Ф \ Г д ( 1 ди М—1 1 / ди д^и
I Ф ] = 0, где Ф = I I , W = — I
ду V ду У L ду V и ду У J и V dt ду2
Отсюда следует, что любому решению и = и(х, t) линейного уравнения теплопроводности
с постоянными коэффициентами
—— — = 0, B)
dt dy2 w
соответствует решение A) исходного нелинейного уравнения.
® Литература: В. А. Дородницын, С. Р. Свирщевский A983).
2. ^L =a
dt дх\ дх
1°. При аЪ > 0 преобразование
w(x,t)=exp(±3\x)z(Z,t), ?=^ек
приводит к более простому уравнению вида 1.1.7.4:
dz д ( _4/з
® Литература: А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов A987),
N. Н. Ibragimov A994).
28 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
2°. При аЪ < 0 преобразование
также приводит к уравнению 1.1.7.4.
3°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
где С — произвольная постоянная, а функция и = и(х) описывается автономным обыкновенным
дифференциальным уравнением
4°. См. также уравнение 1.1.8.4 при Ъ = с = 0.
д
дх
Преобразование
Он? д ( _4/з #ги \ _1/з .
3. = а w ' + bw ' + cw.
dt дх\ дх )
w = ectu(x,r), т = e~~ct + const
4с
4с
приводит к более простому уравнению вида 1.1.8.2:
ди д ( _4/з
4 д^ = _д_ /4/3 Ow\ _ -1/3 + ^7/3 +
dt дх \ дх J
Замена г*, = ги~4'3 приводит к уравнению с квадратичной нелинейностью
ди _ д2и _ 3 / ди \2 4 , 2 _ _ ,ч
1°. При а = 1 существует точное решение вида
гб = y?i(t) + (p2(t)cos(kx) + (^3(^)sin(A;x) + cp4(t) cosBkx) + <?s(?) sinBA;x), к = 2 • 3~1/2,
где функции 9?п = (fn(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка (здесь не приводится).
2°. При а = — 1 существует точное решение вида
и = <?>i(t) + <^2(t) ch(/cx) + 9?з(?) sh(A;x) + <^M(t) chBA;x) + <^s(t) shB/cx), A; = 2 • 3 .
(•) Литература: V. A. Galaktionov A995).
an? a / 7TT, агу \ ^
5. = a к; + bw .
at дх v аж /
Частный случай уравнения 1.6.13.2 при f(w) = aw171, g(w) = tofc. При b = 0 см. разд. 1.1.7,
при m = —4/3 и А; = —1/3 см. уравнение 1.1.8.2.
1. Случай произвольных к и га.
1.1. Пространственно-однородное и стационарное решения (последнее записано в неявной
форме):
C]^ при кф\,
Сеы при jfe = 1,
где А, В, С — произвольные постоянные.
1.2. Решения типа бегущей волны:
w = w(z), z = ±ж +
1.1. Уравнения со степенными нелинейностями 29
где функция w(z) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
a(wmwzyz - \w'z + bwk = 0. A)
Замена
/ \ & т I
иуш) = —w wz
А
преобразует A) к уравнению Абеля
I i*\~2 m-\-k /о\
uuw — и = —аил w . B)
В книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а) приведены точные решения уравнения B)
при т + к = —2, —1, —у, 0, 1.
1.3. Автомодельное решение при к ф 1:
1 к-гп-1
где функция гг(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
а(м г^? + 2^ _ ^ €Щ + и - х_ки -
2. Случай к = т + 1.
2.1. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов (а = Ъ = 1):
2(га + 1) cos2(ttx/L) "I ^-Z771 , , L
ti;(x,t)=^ L^(^ + 2) (*о-*) ^ ПРИ1Ч2' C)
0 при |ж| > —,
где L = 2тг(т + 1) / /т. Решение C) описывает режим с обострением, который существует на
ограниченном промежутке времени t E [0, to). Решение локализовано области |ж| < L/2.
® Литература: Н. В. Змитренко, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов, А. А. Самарский A976); А. А. Са-
Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов A987).
2.2. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = ( —
m\t + C
A2(m + 1J _ A(m + 1)
где А, С, Л — произвольные постоянные, ab(m + 1) < 0.
2.3. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов (С, Л — произволь-
произвольные постоянные):
w(x, t) = (m\t + Cy1/mip(x),
где функция if = ip(x) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
a(vmv'x)'x+bvm+1 + ^ = 0- D)
Решение уравнения D) в неявной форме:
a(m + l)
где А, 5 — произвольные постоянные.
2.4. Точное решение [считается, что ab(m + 1) < 0]:
w(x, t) = [f{t) + g(t)eXx]1/m, Л = ±"У
где функции f = f(t) и д = g(t) описываются автономной системой обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений
?1 и ?2 i bm(m + 2)
f. = bmf , qt = fa.
jt j , m jy
30 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
Интегрируя, получим
f(t) = (Ci - bmty\ g(t) = C2(Ci
где С\, С2 — произвольные постоянные.
2.5. Точное решение {А, В — произвольные постоянные):
w(x,t) =[f(t)+ g(t)(AeXx+Be-Xx)]1/m, X = mJ ~° F)
где функции / = f\t) и д = g{t) описываются автономной системой обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений
, 2 , ±ЪтАВ 2 / Ът(т + 2) ,
f. = bmf -\ а , д+ = f д. G)
^ J ш + 1 ^ ' ^ ш + 1
Исключив из этой системы ?, получим однородное уравнение первого порядка
f = 11+1L + ЛЁ-!. (8)
9 т + 2 д т + 2 f
Замена ? = f/g приводит к уравнению с разделяющимися переменными. Интегрируя, находим
решение уравнения (8):
2 J_
/ = ±дDАВ + Cig ™+2 ) 2 , Ci —любое.
Подставляя это выражение во второе уравнение системы G), получим уравнение с разделяю-
разделяющимися переменными для функции д = g(t).
2.6. Точные решения:
w(x,t)= [f(t)+ g(t)ch(Xx)]1/m,
w(x,t)=[f(t)+g(t)sHXx)]1/m
являются частными случаями формулы F) при А = у, В = у и А = у, 5 = — у.
2.7. Точное решение [считается, что аЪ(т + 1) > 0]:
ff(t)cos(Aa; + С)]1/т, X = mJ b A0)
где функции f = f(t) и д = g(t) описываются автономной системой обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений
,/ , ?2 , Ьтп 2 / 6m(m + 2)
/? = Ьш/ + ——д , р? = к fg,
m + 1 m + 1
которая совпадает с системой G) при АВ = \.
® Литература: М. Bertsch, R. Kersner, L. A. Peletier A985), В. А. Галактионов, С. А. Посашков A989),
В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
3. Случай к = 1 — га.
Точное решение:
4а(ш
где А, 5 — произвольные постоянные.
® Литература: R. Kersner A978).
1.1. Уравнения со степенными нелинейностями 31
4. Случай к = 1.
4.1. Точные решения:
1
w(x,t) = eht(Ax + B)~
ж+ е&т? + ^~
.\ _ bt Г 6т
а аб
6т2(ж-АJ ~
2а(т + 2) е&т* +
где А, 5, С, Л — произвольные постоянные.
4.2. Исходное уравнение с помощью преобразования (Л. К. Мартинсон, К. Б. Павлов, 1972)
w(x, t) = ebtv(x, г), г = —ebmt + const,
от
приводится к уравнению вида 1.1.7.6:
(•) Литература куравнению 1.1.8.5: В. А. Дородницын A979, 1982), В. А. Дородницын, С. Р. Свирщевский
A983), В. А. Галактионов, В. А. Дородницын, Г. Г. Еленин, С. П. Курдюмов, А. А. Самарский A986),
A. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов A987), N. Н. Ibragimov A994),
B. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
6. = а w + bw ^ + cw.
dt дх\ дх )
Преобразование
w = ectu(x, r), r = —ecmt + const
cm
приводит к более простому уравнению
ди д ( ш ди
О его решениях см. 1.1.8.5 при к = т + 1.
Частный случай. Точное решение при т = — 1:
2а
где А, В — произвольные постоянные.
= Аехрlet х2 + Вх ),
dt дх\ дх J
Частный случай уравнения 1.6.11.4 при f(t) = b, g(t) = с.
® Литература: В. А. Галактионов, С. А. Посашков A989).
8. ^L = a A. (W™^
dt дх\ дх
Частный случай уравнения 1.6.11.5 при f(t) = с, g(t) = s.
Замена и = wm приводит к уравнению вида 1.1.6.5:
ди д2и a f ди \2 2 .
= аи—— Н + оти + emu + sm.
dt дх2 т V дх /
(•) Литература: В. А. Галактионов, С. А. Посашков A989).
32 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
dw _ д / a dw
' ~дГ ~ ~d^\w2 + ь2 ~ёх
1°. Точные решения (А, В — произвольные постоянные):
w(x) = btg(Ax + В),
w(x,t) = ±bx(A - 2ab~2t - x2)~lf\
w(x, t) = Abexp(ab~2t - x){l - A2 exp[2(ab~2t - x)] }
2°. Решение типа бегущей волны в неявном виде:
\{кх + Xt) + B= в*' [in \W + A\-1- ln(w2 + b2) + 4
Az + bz L 2 о
где А, В, к, A — произвольные постоянные.
3°. Замена
Ьи
приводит уравнению
ди а Г 2ч д2и
д2и ( ди\2Л
которое является частным случаем 8.1.3.21 при F(t,^,rf) = ab 2(? — rf). Уравнение B) имеет
точные решения в виде произведения функций разных аргументов
АеХх + Ве~Хх _ 2аХ2 ш
, ,~ч к — — ;
е~ы b2 (
' ~Ь2~'
где А, В, С, X — произвольные постоянные. Формулы A), C) дают два решения исходного
уравнения.
® Литература: P. W. Doyle, P. J. Vassiliou A998); см. также пример 10 из разд. А.3.3-2.
4°. Точное решение (С — произвольная постоянная):
z = x2 cos
где функция ф = ip(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
В указанном решении зависимость z = z(x,t) задается неявно.
5°. Точное решение (С — произвольная постоянная):
С
( / \ С at \
= btgl (p(z) + arctg('0(^)j H In —j- J,
. ч С . at\
где функции <?>(;г) и ip(z) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
2z 2 v T/V2 2
В указанном решении зависимость z = z(x,t) задается неявно.
® Литература: И. Ш. Ахатов, Р. К. Газизов, Н. X. Ибрагимов A989), N. Н. Ibragimov A994).
1.1.9. Уравнения вида ^- = JL\f(w)^] +
При ?тг = 0 см. уравнение 1.1.7.4. При т ф 0 исходное уравнение можно привести к более
простому уравнению, соответствующему случаю Ь = 0 [см. уравнение 1.6.11.1 при f(x) = bxm].
1.1. Уравнения со степенными нелинейностями 33
dw д ( _2 dw \ , , dw
. dw д / -2 dw \ , , dw ,
2. = а w + о \- cw.
dt дх\ дх ) дх
Частный случай уравнения 1.6.11.7 при т = —2, f(t) = a, g(t) = b, h(t) = с.
Преобразование {А, В — произвольные постоянные)
w(x, t) = ectu(z, r), z = x + bt + A, r = В - —e~2ct
2с
приводит к уравнению вида 1.1.7.3:
ди д ( _о ди \
— =а—[и —).
дт dz V dz J
® Литература: В. А. Дородницын, С. Р. Свирщевский A983); рассматривался случай 6 = 0.
dw _ д Г а dw "I dw
dt ~ ~дх I (w + bJ дх \ дх'
Преобразование
u(z, t) = w(x, t) + b, z = x + ct
приводит к уравнению вида 1.1.7.3:
ди д
dw , dw , d ( dw \
4. \- aw = b w .
dt dx dx V dx J
Точное решение (Ci, С2 — произвольные постоянные):
w(x,t) =
+ С2
^ dw , Огу , д ( 2 ^гу \
5. h «^ = Ь w .
dt дх дх V дх )
1°. Решение типа бегущей волны в неявном виде:
J
2Ъ[
J aw2 + 2Xw + Сх
где Ci, C2, А — произвольные постоянные.
2°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = (x + C)f(t).
Здесь С — произвольная постоянная, а функция / = f(t) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением
/t'+a/2 = 2b/3,
решение которого можно представить в неявной форме:
26
26/ -а
af a2
^ dw , dw d r/f 2 . ч dw 1
6. h «к; = (bw + сад) .
dt dx dx Lv y dx J
Точное решение:
w(x,t) = /(?
где функции / = f(t) и g = g(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
ft + af = 2b f,
9t H~ aJ~9 = 26/ g -\- cf .
Решение первого уравнения приведено в 1.1.9.5, п. 2°. Второе уравнение легко интегрируется,
поскольку линейно относительно д.
3 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
34 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
_ dw д ( т dw \ . ,.п
7. = а [w + bt w.
dt дх\ дх )
Частный случай уравнения 1.6.11.2 при f(t) = Ып.
о dw д ( т dw \ , , At
8. = а w + be w.
dt дх V dx J
Частный случай уравнения 1.6.11.2 при f(t) = bext.
9.а W
dt дх V дх
Частный случай уравнения 1.6.11.3 при f{t) = Ып.
Ю. ^=аи^
dt дх \ дх
Частный случай уравнения 1.6.11.3 при f(t) = bext.
П. ^ =aJ(w
dt дх\ дх
Частный случай уравнения 1.6.11.4 при f(t) = btn, g(t) = ctk.
dt д\ д J ^ ^
a(w
dt дх\ дх
Частный случай уравнения 1.6.11.4 при f(t) = bext, g(t) =
13. ^L = a—(w™—\ + bw1^ + ctnw + st-w1-
dt dx\ dx J ^ ^ ^
Частный случай уравнения 1.6.11.5 при f(t) = ctn, g{t) = stk.
14.
a(w
dt dx \ dx
Частный случай уравнения 1.6.11.5 при f(x) = bxn.
л- dw dw d ( n dw\
15. \-w =a [w .
dt dx dx V dx J
1°. Решение типа бегущей волны в неявном виде:
wndw
2а
f
/
J
w2 + 2\w + Cx
где С\, С2, A — произвольные постоянные.
2°. Автомодельное решение при п ф 2:
w(x,t) = u{z)tl/{n-2\ z = xt-{n-l)/{n-2\
где функция и = u(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
aunuzz + 2anun-\uzf -(и- ^-^-z]uz —и = 0.
V п — 2 / п — 2
1/: dw d ( \dw\ x d2w X-ifdw\2
16. = w + aw — + bw
dt dx\ dx J dx2 V dx J
1°. Точное решение при b = |A(a — 2) — a — 1:
3
Здесь
+BT+-dux*® [/ ^«) dt+B\
где функция ip = ip(t) задается неявно
А, В, С\, Сг —произвольные постоянные, /3 = а -\-1; А ф О, X ф 0, а > —1.
1.1. Уравнения со степенными нелинейностями 35
2°. Точное решение при Ъ = \\{а — 3) — а — 1:
,1/Л
4
4
fc=O
Г
tc^x, tj = /
Здесь функции ipk = <?fc (?) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
+ у
+
где /3 = \(а + 1), штрих обозначает производную по t.
® Литература: Г. А. Рудых, Э. И. Семенов A998); в этой работе указаны также другие точные решения.
1.1.10. Другие уравнения
dw 4-fe k d2w
1. = ax w
dt
Частный случай уравнения 1.6.14.1.
Преобразование
w(x,t) = xu(z,t), z =
приводит к более простому уравнению вида 1.1.6.8:
ди к д2и
. dw n k d2w
2. = ах w
dt
1°. Замена и = w приводит к уравнению вида 1.1.10.4:
<*L =ахп—(и~^—)
dt дх V дх )'
2°. Преобразование
w(x, t) = xu(z, t), z = l/x
приводит к уравнению аналогичного вида
ди _ az4-n-kuk02uL
_ dw Зтуг+4 d ( rn dw\
3. = ax Tri+1 w .
dt dx V 9ж/
Частный случай уравнения 1.1.10.4.
Преобразование
w(x,t) = х rn+1 u(z, t), z= —
X
приводит к более простому уравнению вида 1.1.7.6:
ди д ( ш ди
~dt
dw n d
dt ~ dx
Это уравнение встречается в нелинейных задачах тепло- и массопереноса и является частным
случаем уравнения 1.6.15.13 при f(w) = awm. При п = 0 см. уравнение 1.1.7.6.
36 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
1°. Точные решения (А, В, А— произвольные постоянные):
1
w(x) = (Ах + В) rn+i 5
w(x,t) = k(\t + A)~~^x^~, к= \
V ' J V J ' La(n-2)B
(n-2)B
aB - n) V У J ' ^ ш + n - m - 2 '
w(x,t) = exp(-At)[— (m + lJx^+i"exp(Amt) + A] m , n=
2°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = (\t + A)-1/mf(x),
где функция / = /(ж) выражается через решения уравнения Эмдена — Фаулера:
F-x + A(m + 1V"F^r =o, F = /m+1. A)
Частному решению этого уравнения степенного вида отвечает второе решение исходного
уравнения в п. 1°.
Уравнение A) допускает понижение порядка и подробно исследуется в книге В. Ф. Зайцева,
А. Д. Полянина B001 а), где приведены его точные решения для 26 различных пар значений
параметров п, т.
3°. Автомодельное решение при п ф — 2:
1
w = w(z), z = xtn~2 @ < х < оо)
где функция w(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
аB - n)(wmwfz)'z + ?1~ГХ = 0. B)
В книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A993) приведено общее решение уравнения B) при
т = — 1 и любом п.
4°. Автомодельное решение:
п — 2
где функция д(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
= tag(Q, С = xv , C = , a — любое,
п — 2
¦ ад. C)
Это уравнение является однородным и поэтому допускает понижение порядка (после чего
может быть преобразовано к уравнению Абеля второго рода).
В частном случае
- 1~п в - 1
пт + п — т — 2 пт + п — т — 2
первый интеграл уравнения C) имеет вид
Значению С = 0 в D) соответствует третье решение в п. 1°.
В общем случае замена G = дт+1 приводит C) к уравнению
т 1
где А\ = /3/а, А2 = а(т + 1)/а. Точные аналитические решения уравнения E) при различных
значениях параметров п, т приведены в книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а).
1.1. Уравнения со степенными нелинейностями 37
5°. Точное решение:
= хеХш\ Л —любое,
где функция (р(и) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
аи1 ((рш (pfu)u = \тшр'и + Л(п — 2) (р. F)
Это уравнение является однородным и поэтому допускает понижение порядка (после чего
может быть преобразовано к уравнению Абеля второго рода).
л m + 2
В частном случае п = уравнение F) имеет первый интеграл вида
т + 1
скрш(ри = \ти ™+i (р + С.
Значению G = 0 соответствует последнее решение в п. 1°.
В общем случае замена Ф = <^m+1 приводит F) к уравнению, которое с точностью до
переобозначений совпадает с E).
6°. При п = 2 существуют решения вида
w = ги(?), ? = In |
которые определяются неявно
а{т
где Л, Ci, G2 — произвольные постоянные. Частному случаю Ci = 0 соответствует решение
где С — произвольная постоянная.
7°. Преобразование
W(x,t) = X m + ! u(z, t), Z= —
X
приводит к уравнению аналогичного вида
р) 4+Зт-п-пт Л / rh/ \
ои — az ^Г+1 (иш ).
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
Оги О Г / аж -|- Ь \ 2 Огу 1
at ~ дх L\ cw + к ) дх -Г
Преобразование
^ = аж + Ъ. и = (а, с / 0)
аж + 6
приводит к уравнению вида 1.1.7.3:
ди 2 д ( -2 ди \
® Литература: A. Munier, J. R. Burgan, J. Gutierres, E. Fijalkow, M. R. Feix A981).
dw д ( n rn dw\
6. = a x w .
dt дх \ дх J
Частный случай уравнения 1.6.15.4 при f(x) = ахп.
1°. Пусть т ф — 1, 2т — 2п — пт + 3/0. Преобразование
w(x,t) = X m + ! U(
приводит к уравнению аналогичного вида
ди л д
. / 2т - 2п - пт + 3 \ 2
где А = а[ .
V т + 1 /
38 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
2 . В частном случае п = преобразованное уравнение сильно упрощается и совпадает
2т + 3
(с точностью до переобозначений) с уравнением 1.1.7.6:
ди д ( т ди\
3°. В частном случае п = 2, т = —2 преобразованное уравнение имеет вид
ди л д ( _2 ди
и совпадает с уравнением 1.1.7.3 (которое приводится к линейному уравнению теплопроводно-
теплопроводности).
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
dw а д ( п т dw
dw а д ( п т dw\
7. = х w .
dt хп дх V дх )
Это уравнение встречается в нелинейных задачах тепло- и массопереноса. При п = 0 см.
уравнение 1.1.7.6. Значению п = 1 соответствуют плоские задачи с осевой симметрией, а
значению п = 2 — сферически-симметричные задачи. В теории статистической турбулентности
встречаются уравнения при п = 5.
Точные решения:
гу(ж) = (Ах1' ^
[ ^^ |
А(Ы + Б) ггт+т + 2 _ ШХ \ т ^ jfe = 2а(пШ + Ш + 2),
т + 2
(xA) = L4exp( 1 + Лж , п =
L V т / J
где А, В, Л — произвольные постоянные.
® Литература: Я. Б. Зельдович, А. С. Компанеец A950), Г. И. Баренблатт A952, 1978), Я. Б. Зельдович,
Ю. П. Райзер A966), А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов A987),
Л. И. Седов A972).
8. *L = к(ах2 + Ъх + с)™™4
ot
Частный случай уравнения 1.6.14.5 при f(u) = ки~2ш.
1°. Преобразование
с, z= Г
J
dx
w(x,t) = u{z,t)\/ax2 +bx + c, z= —-— A)
J axz + ox + с
приводит к уравнению
ди 7 4-2m 92U 7 , 1 i 2\ 5-2m /ол
= ku h kyac —jb )u , B)
dt dz2
которое имеет точное решение в типа бегущей волны и = u(z + Xt) и решение в виде
произведения функций различных аргументов и = f(t)g(z).
Используя замену (р = и2т~3, из B) получим уравнение
®Р — z ^ ( п 0(р
4-2т кB o\(nr J./24
которое допускает широкий класс точных решений (см. 1.1.8.5, второй случай).
1.2. Уравнения с экспоненциальными нелинейностями 39
2°. Исходное уравнение преобразованием
приводится к дивергентному виду (см. уравнение 1.1.10.7)
где функция F(?) задается параметрически следующими формулами:
f«>=,._,.H + c)m. * = J {axi + bx + cr- E)
Отметим некоторые частные случаи уравнения D), когда функцию F = F(?) можно записать
в явном виде:
dv д ( cos2 ? dv
dv д ( cos2 ? dv \
-^-=k^r( Г^-^гЬ гп = 1, а = 1, 6 = 0, с=1;
dv д /ch2^ dv\ 1 1 , п 1
^-=^^71—2~^7)' ^ = 1, а = -1, 6 = 0, с=1;
=к— , т=—, а =-1, 6 = 0, с=1.
at ^ V cos f ^ У 2 '
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
1.2. Уравнения с экспоненциальными нелинейностями
1.2.1. Уравнения вида -^- = а^-^- + f(w)
dt дх2
dw d2W x-w
1. = a —\- be
dt dx2
1°. Решение типа бегущей волны (к, j3 — произвольные постоянные):
w = w(z), z = кх + /3t,
где функция w(z) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
ak2w"zz - /3w'z + beXw = 0.
2°. Точное решение:
«, = «(?)-|lnt, ^ = ^,
где функция гб(^) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
' + ? +
?щ + + 6еЛи = 0.
2 Л
(•) Литература: А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов A987),
N. Н. Ibragimov A994).
dw d2W x-w
2 + + Ь
Это уравнение встречается в теории тепло- и массопереноса и теории горения.
1°. Точные решения (С — произвольная постоянная):
w(x,t) = -—\n[f3-
А
2
w(x,t) = ln[—/
Л
2°. Более широкий класс точных решений типа бегущей волны
w = w(z), z = х + at
40 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
w"z -crw'z+a + beXw = 0. A)
Замена u(w) = w'z приводит A) к уравнению Абеля
uuw -cru + a + beXw = 0. B)
При a = l,b= —a, А = 2/а общее решение уравнения B) можно записать в параметрическом
виде
w = a In
u= — [т + (т2 - l)(arctgr
т
т + 1
(arctg r + С)
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
_ 011? О2!!? , , - Лгу , 2Xvu
3. = -\- CL -\- US -\- CS
Уравнения этого вида встречаются в теории тепло- и массопереноса и теории горения.
1°. Точные решения (С — произвольная постоянная):
w(x,t) = 1п[/3 + Сехр(//ж — aAt)], A)
А
где параметры C, ц определяются путем решения двух алгебраических уравнений
аC2 + ЪC + с = 0, B)
(З2/!2 + Ас = 0. C)
Квадратное уравнение B) для /3 решается независимо. В общем случае система B)-C) дает
четыре набора искомых параметров, которым отвечают четыре точных решения исходного
уравнения.
Решения A) являются частными случаями более широкого класса решений типа бегущей
волны w = w(x + at).
2°. Замена и = e~Xw приводит к уравнению с квадратичной нелинейностью
ди д2и ( ди'
Частному решению этого уравнения вида и = C + Сехр(А? + /ix) соответствует решение A).
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
1.2.2. Уравнения вида — = a— (eXw—) + f(x,t,w)
at ox V ox /
1. о(е
dt dx V dx
Это уравнение описывает нестационарный теплоперенос в неподвижной среде, когда коэффи-
коэффициент температуропроводности экспоненциально зависит от температуры.
1°. Пусть w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
Wl = w(Cix + С2, Cst + Са) + \ In ¦§§-,
А Ьх
где С\, С2, Сз, С4 — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Точные решения (А, В, С, ц — произвольные постоянные):
w{x) = — \п(Ах + В),
А
w(x,t) = -— \п(С - a\(j,t) + — \п(\
А А
3°. Решение типа бегущей волны в неявном виде:
/3w +
1.2. Уравнения с экспоненциальными нелинейностями 41
4°. Существуют точные решения следующего вида (Л = 1):
w(x,t) = fi(y), У = x/Vi,
w(x,t) = 2t + f2(9), в = хе~\
w(x,t) = х ¦
w(x,t) =
где С, j3 — произвольные постоянные. Подставляя эти выражения в исходное уравнение, можно
получить обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций fi(y), /2@),
МО, МО-
® Литература: Л. В. Овсянников A959, 1978), А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов,
А. П. Михайлов A987), N. Н. Ibragimov A994).
дх
1°. Точные решения:
w(x,t) = at + B + \n\Ax
w(x,t) = at + В - In v J
где А, В, С — произвольные постоянные.
2°. Преобразование
АJ
w = at + и(х,т), г = —eat-\-const
а
приводит к уравнению вида 1.2.2.1:
ди _ д / и ди\
дт дх V дх )
dw д ( ixj dw \ 2 го
3. = (е ) — а е .
Точные решения:
±а ехр[2(±аж + В)] + 2 ехр(±аж + В) + А
=F аж —
w(x,t) = In
где А, В, С — произвольные постоянные.
. dw д ( w dw \ , w
4. = е ) + ае .
dt дх \ дх )
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов (С\, С2 — произвольные
постоянные):
w(x,t) = и(х) — ln(Cit + С2),
где функция и = и(х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
Интегрируя, получим его решение в неявном виде
у —2tt о/^ —и \ —1/2 j _i_ | /~ч
/зе — zOie — а) аи = ±х + О4-
2°. Замена и = ew приводит к уравнению вида 1.1.6.5:
ди д2и 2
dw д ( w dw \ ги , . , п
at аж V аж /
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов при а = к2 > 0:
w(x,t) = ln[Ci cos(&x) + С2 sin(&#)] + bt + Сз,
где С\, Сг, Сз — произвольные постоянные.
42 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
2°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов при а = — к2 < 0:
w(x,t) = \n[Cich(kx) + C2sh(kx)] +bt + C3.
3°. Преобразование
w = Ы + и(х, г), т = —е ? + const
приводит к уравнению вида 1.2.2.4:
<9« _ д ( иди
_ _д_/ и ди\
дх V дх /
дт дх V #ж /
Он? д f w dw \ \w / /
Точное решение:
LLJ \JL. LI — UL\/6 I 111 L. /6 — Zi 111 JU П^ l-ll I'i
л л
где функция и = гб(^) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
2a\e~z [2(euuz)'z - euuz] + Ь\еХи = A - X)u'z - 1.
7. ^L — а_?_('еЛи;_^>) _|_ 5еЛи; + с + se~Au;.
at Ож V dx )
Частный случай уравнения 1.6.12.4 при f{t) = с, g(?) = s.
(•) Литература: В. А. Галактионов, С. А. Посашков A989).
„ dw d ( х-ш dw\ n
8. = а ( е J + Ы .
Частный случай уравнения 1.6.12.1 при f(t) = 6?n.
_ Огу d ( Лги #w \ „t
dt dx V 0ж /
Частный случай уравнения 1.6.12.1 при f{t) = 6ем?.
С/И? С/ / Лги OW \ - Лги ¦ ixt
10. = а е 1 + be + се^ .
at дж V dx )
Частный случай уравнения 1.6.12.4 при /(t) = сем?, p(t) = 0.
11.
at а
Частный случай уравнения 1.6.12.2 при /(t) = 0, p(t) = Ып.
12. ^L =a_^
at а
Частный случай уравнения 1.6.12.2 при f{t) = 0,
dw д f \w dw \ ^t . -Аги
13. = a e + be^ + ce
at 0ж V дх J ^ ^
Частный случай уравнения 1.6.12.2 при /(t) = 6ем?, g(t) = се^?.
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов (С — произвольная постоянная):
А
где функция (р(х) описывается линейным обыкновенным дифференциальным уравнением
второго порядка
афхх + АFж + с)^ + А = 0, ф = ех<р.
1.2. Уравнения с экспоненциальными нелинейностями 43
isw ^ Лги иш \ ,
15. —-— = a—- e —— + be
o Лги-|-/хаз
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов (С — произвольная постоянная):
_ _±_
w - - —
где функция (р(х) описывается линейным обыкновенным дифференциальным уравнением
второго порядка
агРхх + Аоер гр + А = 0, гр = е ^.
1.2.3. Другие уравнения
1 = а + ce
" dt дх2
Частный случай уравнения 1.6.1.2 при f(z,w) = cez+Xw.
dw d2w dw x-w , 2\vu
2 = +f3-a^ + a + be +ce '
d2w
Переходя от t, ж к новым переменным t, z = х + /3t, получим более простое уравнение вида
1.2.1.3:
d d2 2\w
e
. 2
+ce
3 =a be
dt дх2 дх
Частный случай уравнения 1.6.2.9 при f(w) = beXw.
Помимо решения типа бегущей волны w = w(x+\t) существует также точное решение вида
dt дх2 V дх
Частный случай уравнения 1.6.3.9 при f(x,t) = 0, g(x,t) = be/3l+'it.
Частный случай уравнения 1.6.5.8 при f(w) = aeXw.
Замена
и = ехр ( — е 1 аг^
приводит к линейному уравнению с постоянными коэффициентами dtu = дххи.
, dw dw d ( w dw \
6. -|- w = cl I e I.
dt dx dx V dx J
1°. Решение типа бегущей волны в неявном виде:
ew dw л . ^
w* + l\w + Ux
где С\, С2, А — произвольные постоянные.
2°. Точное решение:
w(x, t) = гб(^) + In t, 2; = In t,
где функция 16 = u(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
7. *» =о_Ё
at а
Частный случай уравнения 1.6.15.11 при /(ж) = ажп.
44 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
dt dx V dx
Частный случай уравнения 1.6.15.11 при f(x) = ае^х.
п dw d ( \w dw\
9. = a we .
dt dx V dx J
Решение типа бегущей волны (А, В— произвольные постоянные):
1 / CL 2 \
w(x,t) = — lnf Ах -\ A t + В).
А V А /
® Литература: А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов A987).
1.3. Уравнения с гиперболическими нелинейностями
1.3.1. Уравнения, содержащие гиперболический косинус
„ dw d2w
Частный случай уравнения 1.6.1.1 при f(z,w) = bchk(Xw).
AW + Ъх + ct).
Частный случай уравнения 1.6.1.2 при f(z, w) = f3chk(z + Лгу).
_ dw d2w . , dw . , fe/x ч
3. = a — + bx h cch (Лги).
dt dx2 dx v '
Частный случай уравнения 1.6.2.11 при f(w) = 0, h{w) = cchk(Xw).
. dw d2w hf ./ dw\2
4 + bh{XK)
Частный случай уравнения 1.6.5.8 при f(w)= bchk(Xw).
dw d2W
dw d2W hf ,fdw\2 ^h(r2u\OW
5. = — + b ch (\w) + с ch Ct) .
dt dx2 v J\ dx J yH ' dx
Частный случай уравнения 1.6.5.10 при f(w) = bchk(Xw), g(t) = 0, h(t) = cchk(f3t).
Частный случай уравнения 1.6.12.4 при f(t) = cchk(f3t), g(t) = b.
n dw d \ h/ ч dw
7 [h^>
Частный случай уравнения 1.6.13.1 при f(w) = achk{f3w).
1.3.2. Уравнения, содержащие гиперболический синус
л dw d2w . , , fe/. Л
Частный случай уравнения 1.6.1.1 при f(z,w) = bshk(Xw).
Частный случай уравнения 1.6.1.2 при f(z, w) = f3shk(z + Лгу).
_ dw d2w dw
3 + b
Частный случай уравнения 1.6.2.11 при f(w) = 0, h{w) = cshk(Xw).
1.3. Уравнения с гиперболическими нелинейностями 45
. dw d2w hf ,fdw\2
4. = — + b sh (\w)
dt dx2 V '\ dx )
Частный случай уравнения 1.6.5.8 при f(w)= bshk(Xw).
_ dw d2w
5
Частный случай уравнения 1.6.5.10 при f(w) = bshk(Xw), g(t) = 0, h(t) = cshk(f3t).
Частный случай уравнения 1.6.12.4 при f(t) = cshk(f3t), g(t) = —b.
n dw д Г fc/ ч Он? 1
7. = a sh (/3k;) .
at dx I KH } дх \
Частный случай уравнения 1.6.13.1 при f(w) = ashk(f3w).
1.3.3. Уравнения, содержащие гиперболический тангенс
Частный случай уравнения 1.6.1.1 при f(z,w) = bthk(Xw).
2. — = a-^- + /3thk(\w + bx + ct).
ot ox2"
Частный случай уравнения 1.6.1.2 при f(z, w) = f3thk(z + Лгу).
_ dw d2w dw
3 + 6
Частный случай уравнения 1.6.2.11 при f(w) = 0, h(w) = ctllfc(ЛгL').
. dw d2w ,.*h,x ,fdw\2
4. = — + b th (Лги) .
dt dx2 v '\dxJ
Частный случай уравнения 1.6.5.8 при f(w)= bthk(Xw).
dt dx2 V '\ dx ) V ' dx
Частный случай уравнения 1.6.5.10 при f(w) = bthk(Xw), g(t) = 0, h(t) = cthk(f3t).
- dw d Г h dw
Частный случай уравнения 1.6.13.1 при f(w) = athk{f3w).
1.3.4. Уравнения, содержащие гиперболический котангенс
dw d2w , , ,, fe/x ч
Частный случай уравнения 1.6.1.1 при f(z,w) = 6cthfc^w).
2. — = а-^- + /3 ^^(Лго + Ьж + ct).
at dx2
Частный случай уравнения 1.6.1.2 при f(z, w) = 0cthk(z + Xw).
_ Огу 02гу . , dw . ,, fe/x ч
3. = a — + bx h ccth (Лги).
dt dx2 dx v '
Частный случай уравнения 1.6.2.11 при f(w) = 0, h{w) = ccthk(Xw).
46 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
. dw d2w fc, . / dw\2
4. = — + b cth (\w)
dt dx2 v '\ dx )
Частный случай уравнения 1.6.5.8 при f(w)= bcthk(Xw).
Частный случай уравнения 1.6.5.10 при f(w) = bcthk(Xw), g(t) = 0, h(t) = ccthk(f3t).
- dw d
6
Частный случай уравнения 1.6.13.1 при f(w) =
1.4. Уравнения с логарифмическими нелинейностями
1.4.1. Уравнения вида — = а^- + f(x,t,w)
ot ox2"
л dw d2w
1. = a — + blxiw.
dt dx2
Частный случай уравнения 1.6.1.1 при f(w) = b\nw.
^ dw d2w ,
2. = — + aw In w.
dt dx2
Частный случай уравнения 1.6.1.1.
1°. Точные решения (А, В, С — произвольные постоянные):
w(x, t) = exp (Aeatx + — e2at + Beat),
\ a /
w(x, t) = exp [\ - \a(x + AJ + Beat],
W{X, t) = exp [- 4
® Литература: В. А. Дородницын A979, 1982), А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов,
А. П. Михайлов A987).
2°. Точное решение:
w(x,t) = exp[Aeat + f(x)], A)
где функция /(ж) задается неявно с помощью равенства
f(Be~2f - af + \a)~1/2df = ±x + C. B)
В формулы A), B) входят три произвольные постоянные: А, В, С.
3°. Существуют более сложные решения вида
w(x, t) = exp [Aeat + f(x + bt)],
где функция /(?) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
& + (&J-b&+af = 0.
4°. Замена
w(x,t) = ехр(Аеа?)гб(ж, ?)
где А — произвольная постоянная, приводит к уравнению такого же вида
ди д2и
—- = ——
dt dx2
^ dw d2w ,
3. = — + aw In w + bw.
dt dx2
Замена w = e~ 'au приводит к уравнению вида 1.4.1.2:
ди д2и
1.4. Уравнения с логарифмическими нелинейностями 47
. dw d2w f ч
4. = — + aw In w + (foe + c)w.
dt dx2
Частный случай уравнений 1.6.1.5 и 1.6.1.7.
5. = — + aw In w + (bx + ct + fc)iu.
at dx2
Частный случай уравнения 1.6.1.7.
, dw d2w t 2
6. = — + aw In w + (ож
at ож^
Частный случай уравнения 1.6.1.9.
_ dw d2w , f ,,4,2
Замена w = eu — b приводит к уравнению вида 1.1.4.3:
ди д2и ( ди
Точные решения уравнения A) при а < 0:
u(x,t) = Ci exp(—at d= ж л/—я),
ц(а!'*)= сгЬг+ (gl-V
где Ci, С2 — произвольные постоянные.
Уравнение A) имеет также точные решения вида
u(x,t) = cp(t) + ф(t)[Aexp(x^/^a) + Аехр(х\^а)] при а < 0,
u(x,t) = cp(t) + tp(t)[Asm(xy/a) + Acos(xy/a)] при a > 0.
Подробности см. в 1.1.4.3.
® Литература: В. А. Галактионов, С. А. Посашков A989); рассматривался случай а > 0.
8. — = -^- + A + Ьи)Га1п2A + Ь/;) + 61n(l + fciu) + с].
ot ох2
Частный случай уравнения 1.6.1.10.
® Литература: В. А. Галактионов, С. А. Посашков A989).
1.4.2. Другие уравнения
dw d2w , dw , , _
1. = — + a \- bw In w.
dt dx2 dx
Переходя от t, x к новым переменным t, 2 = x + at, получим более простое уравнение вида
1.4.1.2:
d-ш d2w
—- = а—-т-
at dz2
dw d2w , , , dw , .
2. = a — + bt \- cw In w.
dt dx2 dx
Частный случай уравнения 1.6.2.6 при /(t) = 0, g(t) = b, h(t) = c, p(t) = s(t) = 0.
On? d2w , , On? , .
3. = a — + bx \- cw In w.
dt dx2 dx
Частный случай уравнения 1.6.2.6 при /(t) = Ъ, g(t) = 0, h(t) = с, p(t) = s(t) = 0.
. dw a a / h dw\
4. = —; x + bw In w.
dt xk dx V 0ж /
Значения k = 1 и k = 2 отвечают задачам с радиальной и центральной симметрией.
48 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
1°. Точное решение (А, В — произвольные постоянные):
® Литература: А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов A987).
2°. Точное решение (А — произвольная постоянная):
w(x,t) = ехр(Ае ?)#(ж),
где функция 9{х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка
—г [х —) +Ь9\п9 = 0.
хк dx V dx /
3°. Замена
w(x,t) = ехр(Ае ь)и(х,г) (А — произвольная постоянная)
приводит к уравнению такого же вида
ди а д ( к ди \ , .
= —г ( ж ) + bu In гб.
_ dw d2w h / аи7\2
5. = — + a In (бгу)
dt dx2 ^ v }\ dx J
Частный случай уравнения 1.6.5.8 при f(w) = a\nk(bw).
1.5. Уравнения с тригонометрическими нелинейностями
1.5.1. Уравнения, содержащие косинус
„ Он? 02гу
Частный случай уравнения 1.6.1.1 при f(z,w) = bcosk(Xw).
dt dx2
Частный случай уравнения 1.6.1.2 при f(z, w) = /3cosk(z + Лгу).
_ dw d2w . , dw . fe/л ч
3- -ъг = a^p + bx~^ + ccos (Xw)-
Частный случай уравнения 1.6.2.11 при f(w) = 0, h(w) = ccosk(Xw).
. dw d2w h( .(dw\2
4. = — + b cos (\w)
dt dx2 V '\dxJ
Частный случай уравнения 1.6.5.8 при f(w)= bcosk(Xw).
dw d2w hf ,fdw\2 k( ,dw
5- ~dT = ^2~ + bcos (XwA^x-) +ccos m~dx~-
Частный случай уравнения 1.6.5.10 при f(w) = bcosk(\w), g(t) = 0, h(t) = ccosk(f3t).
dw d \ h( . dw 1
6. = a cos (f3w) .
dt dx I yH } dx \
Частный случай уравнения 1.6.13.1 при f(w) = acosk(f3w).
1.5.2. Уравнения, содержащие синус
л dw d2w
Частный случай уравнения 1.6.1.1 при f(z,w) = bsink(Xw).
7.5. Уравнения с тригонометрическими нелинейностями 49
2. E2L = а^- + /3sinfe(A™ + Ьх + ct).
dt dx2
Частный случай уравнения 1.6.1.2 при f(z, w) = 0smk(z + Лгу).
_ dw d2w dw . fe/x \
3 + b + (X)
Частный случай уравнения 1.6.2.11 при f(w) = 0, h(w) = csmk(\w).
. dw d2w . h, 4/ dw\2
4. = — + b sin (Лги) .
dt dx2 v '\dxJ
Частный случай уравнения 1.6.5.8 при f(w)= bsmk(\w).
_ dw d2w , , . fe/x \fdw\2 t • hdw
Частный случай уравнения 1.6.5.10 при f(w) = bsink(\w), g(t) = 0, h(t)
6. = a sin Cw) .
dt dx I KH } dx \
Частный случай уравнения 1.6.13.1 при f(w) = asink(f3w).
1.5.3. Уравнения, содержащие тангенс
dw d2w . , , fe/x ч
Частный случай уравнения 1.6.1.1 при f(z,w) =
Частный случай уравнения 1.6.1.2 при f(z, w) = 0tgk(z + Лгу).
_ dw d2w . , Огу . ^ fe/x \
3--ur = a-^ + bx-^ + cte (Xw)-
Частный случай уравнения 1.6.2.11 при f(w) = 0, h(w) = ctgk(Xw).
. dw d2w h, ,fdw\2
4. = — + btg (Лги) .
dt dx2 & V '\dxJ
Частный случай уравнения 1.6.5.8 при f(w)= btgk(Xw).
_ dw d2w , , ^ fe/x ,fdw\2t ^htr,j.\ow
5- -аГ = -д^ + ЬЬё (XwKi^) +ctg mi^-
Частный случай уравнения 1.6.5.10 при f(w) = btgk(\w), g(t) = 0, h(t) = ctgk(f3t).
, dw 0
6
Частный случай уравнения 1.6.13.1 при f(w) = atgk(f3w).
1.5.4. Уравнения, содержащие котангенс
л dw d2w
Частный случай уравнения 1.6.1.1 при f(z,w) = bctgk(Xw).
Aw + бж + ct).
Частный случай уравнения 1.6.1.2 при f(z, w) = f3ctgk(z + Лгу).
4 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
50 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
_ dw d2w . , dw . , fe/x ч
Частный случай уравнения 1.6.2.11 при f(w) = 0, h{w) = cctgk(Xw).
. dw d2w
4
Частный случай уравнения 1.6.5.8 при f(w)= bctgk(Xw).
_ dw d2w hf ,fdw\2 kd
Частный случай уравнения 1.6.5.10 при f(w) = bctgk(Xw), g(t) = 0, h(t) = cctgk(f3t).
, dw д
6
Частный случай уравнения 1.6.13.1 при f(w) =
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции
1.6.1. Уравнения вида ^ = а^- + f(x,t,w)
л dw d2w f .
L Г = °1^ + /(w)
Уравнение Колмогорова—Петровского—Пискунова. Уравнения этого вида часто встречаются
в различных задачах тепло- и массопереноса (/ — скорость объемной химической реакции),
теории горения, биологии и экологии. Для функций / = f(w) степенного, экспоненциального
и логарифмического видаем, соответственно уравнения 1.1.1.1-1.1.1.7, 1.2.1.1-1.2.1.3 и 1.4.1.2,
1.4.1.3, 1.4.1.7, 1.4.1.8.
1°. Решение, однородное по пространственной координате w = w(t):
dw
I
2°. Стационарное решение w = w(x):
= t + С, С — произвольная постоянная.
3°. Решения типа бегущей волны:
w = w(z), ±z = x + At,
где A — произвольная постоянная. Функция ги = w(z) описывается автономным обыкновенным
дифференциальным уравнением
awzz ~ ^Wz + f(w) = 0- A)
Преобразование
z = (a/A)^, u(w) = w't
приводит A) к уравнению Абеля
uuw -u + a\~2f(w) = 0. B)
В книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а) приведено много точных решений уравне-
уравнения B) для различных зависимостей / = f(w).
4°. В разд. А.3.2-1 (см. пример 1) приведено точное решение данного уравнения с функцией
f(w), заданной в параметрической форме.
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции 51
dw d2w
Точное решение:
w = w(?), ? = bx + ct,
где функция ги(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
ah2w'^ — cw'^ + /(?, гу) = 0.
Преобразование
приводит к уравнению
которое допускает точные решения вида w =
4. -^- = а—-^- + 6t^ In t^ + f(t)w.
at ox-*
1°. Точное решение:
w(x, t) = exp [Аеь'х + Bebt + ^А2еш + ebt f e~btf(t) dt],
где А, В — произвольные постоянные.
2°. Точное решение:
w(x,t) =e
Здесь функции cp(t) и ip(t) определяются по формулам
где А, В — произвольные постоянные.
3°. Существуют также точные решения более общего вида
w(x,t) = exp[(p2(t)x2 + (fi(t)x + y>o(t)],
где функции if 2 (t), if i (t), po (t) описываются системой обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений (см. уравнение 1.6.1.9), которая может быть проинтегрирована.
4°. Точное решение:
w(x, t) = exp \Aeht + ebt Г e~btf(t) dt + Ф(х + At)],
где А, Л — произвольные постоянные, а функция Ф = Ф(г) описывается автономным обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением
аФ"я + а(Ф'гJ - ХФ'Я + ЬФ = 0,
порядок которого можно понизить на единицу.
5°. Замена
w(x,t) =exp[e&? f e-btf(t)dt\u(x,t)
приводит исходное уравнение к более простому уравнению
ди д2и
52 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
5. -^- =a-^-+bw\nw+ [f(x) +g(t)]w.
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, t) = ехр \Сеы + еы Г е~ыg(t) dt} ф),
где С — произвольная постоянная, а функция <p(t) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением
а(Рхх Н~ bip In if + f(x)(p = 0.
2°. Замена
w(x,t) = ехр|~е&? / e~btg(t)dt\u(x,t)
приводит исходное уравнение к более простому уравнению
= а—— + Ьи In и + f(x)u.
dt дх2
6. = а 1- f(t)w In w + g(t)w.
1°. Точное решение:
гу(ж, t) = ехр [Ф(?)ж + Ф(*)],
где функции Ф(^) и Ф(?) определяются по формулам
ФГ/^ — 4^ ФГ/^ — Tip А- р \ р~ (п А2р2 А- п\ c\f Т1 — / f rlt
J J
А, В — произвольные постоянные.
2°. Точное решение:
w(x, t) = ехр [ip(t)x2 + ip(t)],
где функции 9?(t) и ^(t) определяются по формулам
ip(t) = eFU-4a Г eFdtY\ F= Г f dt,
j J
if>(t) = BeF + eF Г e~FBacp + g) dt,
А, В — произвольные постоянные.
Существуют также точные решения более общего вида
w(x, t) = ехр y~p2(t)x + ipi (t)x + <?>o(?)] 5
где функции if 2 (t), if i (t), (fo (t) описываются системой обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений (см. уравнение 1.6.1.9), которая может быть проинтегрирована.
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
7> ж = °^ + f{t)w lnw + [з(*)ж + fo(*)] w-
1°. Точное решение:
w(x, t) = ехр [tp(t)x
где функции cp(t) и ф{Ь) определяются по формулам
(p(t) = AeF + eF Г e~Fg dt, F= Г f dt,
ip(t) = BeF + eF Гe~F(acp2 + h)dt,
А, В — произвольные постоянные.
2°. Существуют также точные решения более общего вида
w(x,t) = exp[ip2(t)x2 + ipi{t)x + ipo(t)],
где функции Lp2 (t), (pi (t), (po (t) описываются системой обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений (см. уравнение 1.6.1.9), которая может быть проинтегрирована.
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции 53
8. —^- = а-7Г^г + f(x)w\nw + [bf(x)t + g(x)]w.
Точное решение:
w(x, t) = exp [—bt + <p(x)~\,
где функция у (ж) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
а^х + a{ip'xf + /(ж)<р + д{х) + 6 = 0.
При /, р = const это уравнение подстановкой гб(^) = (у4J приводится к линейному
уравнению первого порядка.
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
9. -^ = о-^ + /(«)W In w + [g(t)x2 + h(t)x + s(t)]w.
Точное решение:
w(x,t) = exp[(p2(t)x2 + (fi(t)x + y>o(t)],
где функции ipn(t) (n = 1, 2, 3) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка с переменными коэффициентами (аргументы у функций /, д, h, s
не указываются, штрих обозначает производную по t)
' + /<^ + д, A)
+ h, B)
+ s. C)
Уравнение A) для функции 922 = tp2 (t) является уравнением Риккати и может быть сведено к
линейному уравнению второго порядка. В книгах Э. Камке A976), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина
B001 а) приведено много решений этого уравнения для различных функций fug.
Если решение уравнения A) известно, то решения уравнений B), C) строятся последова-
последовательно (каждое из них линейно относительно искомой функции).
10. -^ = о-^- + (bw + c)[kln2(bw + с) + f{t) ln(bw + с) + g(t)].
Замена
bw + с = exp и, и = и(х, t)
приводит к уравнению вида 1.6.5.2:
которое имеет экспоненциальные и синусоидальные решения по переменной х.
1.6.2. Уравнения вида -^ = а%Ц- + f(x,t,w)^ + g(x,t,w)
ot ox* ox
1. = x + f(t)w \nw.
dt xn dx V dx ) J w
Это уравнение можно записать в виде
dw d2w an dw
Точное решение:
w(x,t) = e*p[ip(t)x2
где функции <?>(?), ^(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка с переменными коэффициентами (аргументы у функций /, д не указываются)
(ft = Асир2 + f(p,
54 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
Последовательно интегрируя, получим
<p(b) = eF(A-4a Г eF<ft)~\ F= f f dt,
tp(t) = BeF + 2a(n + l)eF f tpe~Fdt,
где А, В — произвольные постоянные.
_ dw d2w dw . .
Сделаем замену
ди
w = ^~'
ох
а затем проинтегрируем полученное уравнение по переменной х. В результате приходим к
уравнению вида 1.6.3.3:
ди д2и Ь
где F(x,t) = I f(x,t) dx + g(t), g(t) — произвольная функция.
dw d2w . „,^ dw
Переходя от t, x к новым переменным t, z = x + / f(t) dt, получим более простое уравнение
dw d2w
которое имеет точное решение в типа бегущей волны w = w(kz + Xt).
. dw d2w . х,.л dw . (. л
Переходя от t, x к новым переменным t, z = x + / /(t) dt, получим более простое уравнение
dw d2w
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, t) = ехр \Сеы + еы Г e~bth(t) dt] ф),
где С — произвольная постоянная, а функция cp(t) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением
aiPxx Н~ /(ж)^ж Н~ btp In ip + g(x)ip = 0.
1°. Точное решение:
w(x,t) = ехр[#<?>(?) ¦
где функции 9? = <^(t), ^ = ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка с переменными коэффициентами
¦h(t)]<p+p(t), A)
s(t). B)
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции 55
Интегрируя сначала A), а затем B), имеем (С\, С 2 —произвольные постоянные)
<p(t) = CiE(t) + E(t) I A dt, E(t) = exp 17 f(t) dt + J h(t) dt\,
№ = C2H(t) + H{t) I ay2(t)+y)+S(t) dt, H(t) = exp [| h{t) dt
2°. См. уравнение 1.6.2.7 при r(i) = 0.
lit
Точное решение:
w(x, t) = exp [x2(p(t) +
где функции (р = (p(t), Ф = ф{Ь), х = x(t) описываются системой обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами
r, A)
h)if> + 2gip + p, B)
= hx + 2«^ + a^2 + дФ + s. C)
При r = 0 уравнение A) является уравнением Бернулли и легко интегрируется. В общем
случае уравнение A) для функции ср = cp(t) является уравнением Риккати и может быть
сведено к линейному уравнению второго порядка. В книгах Э. Камке A976), В. Ф. Зайцева,
А. Д. Полянина B001 а) приведено много решений этого уравнения для различных функций /,
/г, г. После решения уравнения A) последовательно определяются решения уравнений B) и C),
которые линейны относительно функций ф = ip(t) и х =
Точное решение:
w(x, t) = exp [(p(t)x2
где функции (р = (p(t), ф = ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка с переменными коэффициентами
[xf{t) + Mf-\^t + h{t)w lnw+
<p't =4a^2 + B/ + /i)^+p, A)
ф'ь = hip + 2(а + g)ip + s. B)
При р = 0 уравнение A) является уравнением Бернулли и легко интегрируется. В общем
случае уравнение A) для функции ср = cp(t) является уравнением Риккати и может быть
сведено к линейному уравнению второго порядка. В книгах Э. Камке A976), В. Ф. Зайцева,
А. Д. Полянина B001 а) приведено много решений этого уравнения для различных функций /,
/г, р. После решения уравнения A) из линейного уравнения B) определяется ф =
о dw d2w ( , dw
Решение типа бегущей волны:
w = w(z), z = х + At,
определяются неявной зависимостью
а IЧ 17 ^л =* + В, F(w)= f f(w)dw,
J Xw - F(w) + A J
где А, В — произвольные постоянные.
ЛЛ dw d2w . ч dw , ч
Решение типа бегущей волны:
w = w(z), z = х + At,
56 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
где функция w = w(z) описывается автономным обыкновенным дифференциальным второго
порядка
aw'zz + [f(w) — \]w'z + g(w) = О,
которое заменой w'z = u(w) сводится к уравнению первого порядка. О точных решениях
указанных обыкновенных дифференциальных уравнений для различных функций f(w) и g(w)
см. книгу В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а).
лл dw d2w г f . -, dw f .
Точное решение (С — произвольная постоянная)
w = w(z), z = bx + Ce~bt,
где функция w(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
ab2w"z +b[f(w) + z]wfz+ h(w) = 0.
dw d2w , г *./ \
12 + ^^
Переходя от t, x к новым переменным t, z = x + / p(t) c/t, получим уравнение вида 1.6.2.9:
д-ш d2w r/ \ dw
dt dz2 dz
"¦тг = °т5- + ^+°<'Я%- + "<»"¦
Переходя от t, x к новым переменным t, z = х + I g(t) dt, получим более простое уравнение
вида 1.6.2.10:
dw d2w ?( ч dw , ч
^T=e^^ + /(w)^7+/l(w)-
, -i Oil? , , / ч
Ьх] — + h(w).
Точное решение (С — произвольная постоянная):
Ce~ht + Ъе~ы
Г ebtg(t) dt,
где функция w(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
ab2wzz +b[f(w) + z]wfz+ h(w) = 0.
л- dw d2w . »/, . . ч dw
15. —— = a + f(b + t)
t
a + f(bx + ct,w)\g(bx + ct,w).
ot oxz ox
Точное решение:
w = w(?), ? = bx + ct,
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
S, w) -c]w't+ д(?, w) = 0.
1.6.3. Уравнения вида ^ = a^- + b(^f + f(x,t,w)
dw d2w
L +
L 5Г
Частный случай уравнения 1.6.3.3.
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
, t) = At + B+ / g(t) dt
h
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции 57
Здесь А, В — произвольные постоянные, а функция ip(x) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением
aV'x'x+b(V'xJ + f(x)-A = 0,
, а ф'
которое с помощью замены (рх = — приводится к линейному уравнению второго порядка:
b ф
Частный случай уравнения 1.6.3.3.
Точное решение:
w(x,t) = ip(t)x2+tl;(t)x
где функции (p(t), ip(t), x{P) описываются системой обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений первого порядка с переменными коэффициентами
(pt = 4hif + /, A)
ф\ = 4Ьсрф + g, B)
Xt = %а(Р + Ьф + h. C)
Уравнение A) для функции ср является уравнением Риккати. В частном случае / = const оно
легко интегрируется с помощью разделения переменных. После определения ср последовательно
находятся решения уравнений B) и C), которые линейны относительно функций ф и х-
dw d2w , / dw \2 „, v
Замена и = ехр ( —w ) приводит к линейному уравнению для функции и = и(х, t):
ди_ _ а0^ b_f(x f)u
dw d2w f dw \2 м/ \
1°. Это уравнение является частным случаем уравнения 1.6.5.1. Поэтому оно имеет точное
решение квадратичное по переменной х:
2°. Точное решение:
w(x, t) = Aect + ect Г e~ctf(t) dt + 6@, f = x + Xt,
где А, Л — произвольные постоянные, а функция в(?) описывается автономным обыкновенным
дифференциальным уравнением
ав^ + b(Q^J - Лв^ + ев = 0.
„ Он? 02гу ,
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = Aect + <р(х).
Здесь А — произвольная постоянная, а функция <р(х) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
2 f(x) = О,
/ а ф'
которое с помощью замены (рх = — приводится к линейному уравнению второго порядка
b ф
а2ф"х + асф'х + bf(x)tp = 0.
58 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
. dw d2w
6 +
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, t) = <р(х) + Aect + ect Г e~ctg(t) dt.
Здесь A — произвольная постоянная, а функция (р(х) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
аср"х + Ь((р'хJ +ар + f(x) = О,
, а ф'х
р = —
b ф
а2фхх + асф'х + Ь/(х)ф = 0.
, а фх
которое с помощью замены (рх = — приводится к линейному уравнению второго порядка
b ф
Частный случай уравнения 1.6.5.1 при f(t) = Ь.
- + .С).
Частный случай уравнения 1.6.5.2.
Замена и = ехр(Лг^) приводит к линейному уравнению для функции и = и(х, t):
dw d2w
1°. Преобразование
приводит к уравнению
dw d2w
которое допускает точное решение вида гу = гу(^).
2°. В частном случае / = /(?) имеется также точное решение вида w = Cr + <р(?), где
С — произвольная постоянная, а функция <?>(?) описывается обыкновенным дифференциальным
уравнением
1.6.4. Уравнения вида °? = а^- + b(^Y + f(x,t,w)^- +g(x,t,w)
at ox-* \ ox / ож
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, t) = <р(х) + Сеы + еы Г e~kth(t) dt,
где С — произвольная постоянная, а функция ip(x) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами
а<Рхх + Ь((рхJ + f(x)(px +k(p + g(x) = 0.
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции 59
dw d2w . ,fdw\2 . „,,. dw . 2
Частный случай уравнения 1.6.5.5.
, dw , , 2
Уравнение имеет точное решение вида
w(x, t) = (p(t) + ip(t) ехр(Лж),
где Л — корни квадратного уравнения ЬХ2 + сЛ + к = 0.
Замена гб = ехр ( —г^;) приводит к линейному уравнению для функции и = и(х, t):
^г* д2и . ?, .\ди b , .,
Замена гб = ехр(Аги) приводит к линейному уравнению для функции и = и(х, t):
ди д2и ?( Л ди Л . л . Л7 / ,\
1.6.5. Уравнения вида
dw d2w , /»/ , \ f dw \2
a + f(a*"HJ
Точное решение:
где функции (p(t), ip(t), x(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений первого порядка с переменными коэффициентами
4>t =
B)
if>2 + h. C)
Уравнение A) для функции ср является уравнением Бернулли и легко интегрируется.
После этого последовательно определяются решения уравнений B) и C), которые линейны
относительно функций ^ и %. В итоге получим
-4: [eGfdi\ \ G=fgdt,
fDf<p + g)dt\, D)
X = A3eG + eG I e-GBaip + fif>2 + h) dt,
где А\, А2, As — произвольные постоянные.
Предельному переходу А\ -^ оо в D) соответствует вырожденное решение с (р = 0.
(•) Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
60 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
1°. Точное решение:
w(x,t) = (p(t) + ip(t)exp(±xV^)), 6<0, A)
где функции (f{t) и ф(г) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка с переменными коэффициентами (аргументы у функций /, д, h не указываются)
4>t = bfv2 +g<p + h, B)
ф'ь = BЪ/<р + д-аЪ)ф. C)
Уравнение B) для функции (р = <p(t) является уравнением Риккати и может быть сведено к
линейному уравнению второго порядка. В книгах Э. Камке A976), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина
A997) приведено много решений этого уравнения для различных функций /, д, h.
Если решение уравнения B) известно, то решение уравнения C) для функции ф = ф{Ь)
определяется по формуле
Сехр\-abt + [Bbfip + д) dt\,
D)
где С — произвольная постоянная.
Отметим два частных случая интегрирования уравнения B).
Решение уравнения B) при h = 0:
<p(t) = eG[Ci -Ъ ГfeGdty\ G= Гgdt,
где Сi — произвольная постоянная.
Если функции f,g,h пропорциональны:
д = a/, h = f3f (а, C = const),
то решение уравнения B) имеет вид
Г,Tffdt + C2, E)
C J
где Сг — произвольная постоянная. После интегрирования левой части выражения E) можно
получить явный вид зависимости (р = (p(t).
2°. Точное решение более общего вида
w(x,t) = <p(t) + ф(г)[Аехр(хл/Ц)) +Бехр(-жл/^б)], Ь < 0, F)
где функции (p(t) и ф{Ь) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка с переменными коэффициентами
^=Ь/(^2+4АВ^2)+^ + Л, G)
ф'ь = 2Ъ/<рф + дф- аЪф. (8)
Из уравнения (8) можно выразить if через ф, а затем подставить в G). В итоге получается
нелинейное уравнение второго порядка для функции ф (при f,g,h = const это уравнение
является автономным и допускает понижение порядка).
Отметим два частных случая решения вида F), которые выражаются через гиперболические
функции:
w(x,t) = <p(t) + ^(t)ch(aV^b), A= \, В = \,
w(x,t) = <?(?) +V^)sn(ж^/-fr), А= т> В = ~\-
3°. Точное решение (с — произвольная постоянная):
w(x,t) = ф) + ф((Ь)соъ(хл/Ъ + с), Ъ> 0, (9)
где функции ip(t) и ф(г) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка с переменными коэффициентами
A0)
A1)
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции 61
Из уравнения A1) можно выразить if через ф, а затем подставить в A0). В итоге получается
нелинейное уравнение второго порядка для функции ф (при f,g,h = const это уравнение
является автономным и допускает понижение порядка).
® Литература: В. А. Галактионов, С. А. Посашков A989, рассматривался случай f,g,h = const),
В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
3- Ж =
Уравнение имеет точное решение вида
w(x, t) = (p(t) + ф(г) ехр(Аж),
где Л — корни квадратного уравнения Л2 + ЬХ + с = 0.
. dw d2w , ?t ч / dw \2 , . ч dw , , , -/
4 + /()() +()+b + h(
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, t) = <р(х) + Сеы + еы Г е~ы
где С — произвольная постоянная, а функция (р(х) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением
а<Рхх + f(x)((p'xJ + g(x)(p'x + Ъу + h(x) = 0.
Переходя от t, х к новым переменным ?, z = ж + / g(t) dt, приходим к уравнению вида 1.6.5.2:
?, z = ж + /
S + /(*)(?J + [(t) + (t)]^ + h(t)+(tJ +q(t)x + s{t).
Точное решение квадратичное по переменной х:
w{x, t) = tp{t)x2 + фA)х
где функции (p(t), ф{Ь), х{Р) описываются системой обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений первого порядка с переменными коэффициентами
p, (I)
ф'ь = D/v? + gi + Ъ)ф + 2#0^ + q, B)
2 + доф + s. C)
Уравнение A) для функции ср = cp(t) является уравнением Риккати и может быть сведено к
линейному уравнению второго порядка. О решениях этих уравнений см. книги Э. Камке A976),
В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а). В частном случае при р = 0 уравнение A) является
уравнением Бернулли и легко интегрируется.
Если решение уравнения A) известно, то решения уравнений B) и C) получаются после-
последовательно (они линейны относительно функций ф и х).
_ dw d2w 1 fdw\2 ( .,dw. , . ( . h
7к) +f^t)+(t) + h(t)
Замена и = w1~k приводит к линейному уравнению для функции и = и(х, t):
62 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
dw d2w „, ч / dw \2
Замена
и= F(w)dw, где F(w) = exp / f(w) dw ,
приводит к линейному уравнению с постоянными коэффициентами для функции и = и(х, t):
ди _ д2и
~dt ~ ~дх~2~'
dw d2w „, ч / dw \2 , dw
Замена
и= F(w)dw, где F(u>) = exp / f(w) dw ,
приводит к линейному уравнению для функции и = гг(ж, t):
ди д2и , , ди
Некоторые точные аналитические решения полученного уравнения (при произвольной функ-
функции д) приведены в книге А. Д. Полянина B001 Ь).
dw d2w . -, ч / dw \2 . г .... ,ы1 dw
Замена
u= F(w)dw, где F(^) = exp / /(гу) dw ,
приводит к линейному уравнению для функции и = и(х, t):
ди д2и
Это уравнение может быть сведено к линейному уравнению теплопроводности с постоянными
коэффициентами [см. А. Д. Полянин B001 Ь)].
dw d2w „, ч / dw \2 , ч dw
Замена
и= F(w)dw, где F(w) = exp / /(гу) dw ,
приводит к линейному уравнению для функции и = и(х, t):
ди д2и , ч ^г*
^t ^ж2 ' дх
dw d2w , р/ ч / Огу \2 . ч Огу , . ч
Решение типа бегущей волны:
w = w(z), z = х + At,
где функция ги = г«;(;г:) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением
aw"z + f(w)(w'zJ + [р(гу) - А]^ + h(w) = 0. A)
Замена w'z = u(w) приводит к уравнению первого порядка
auuw + f(w)u + [g(w) — \]и + /&(ги) = 0. B)
О точных решениях обыкновенных дифференциальных уравнений A) и B) для различных
функций f(w), g{w) и h(w) см. книгу В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а).
Отметим, что в частном случае h = 0 из B) получим линейное уравнение, которое легко
интегрируется.
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции 63
1.6.6. Уравнения вида -Ц. = а^- + f(x,t,w, -^-
Л dw d2w , „.
1 + /(
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов (С — произвольная постоянная):
w(x, t) = ф) + Сеы + еы [ e-htp{t) dt,
где функция ip(x) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка
а<Рхх + f(z)((p'x)k + g(x)(p'x +bcp + h(x) = 0.
. dw d2w
2 +
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов {С — произвольная постоянная):
w(x, t) = <р(х) + Сеы + еы Г е~ыg(t) dt,
где функция (р(х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка
dw d2w , р(, 1 dw
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, t) = A ехр [Лж + a\2t + Г f(t, Л) dt],
где А, Л — произвольные постоянные.
1.6.7. Уравнения вида -^ = f(x,t)^jL+ g(x,t,w,%L)
1. = \CLX -h О) — -i- llj; -i- i \'w\.
dt V ' дж2 Ож V У
Замена z = — приводит к уравнению вида 1.6.1.1:
J Vax2 + b
dw f(t) d f n dw \ /.\i
dt xn dx \ dx ) v '
Это уравнение можно записать в виде
Точное решение:
w(x t) ^= exo I
где функции ip(t), ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка с переменными коэффициентами (аргументы у функций /, д не указываются)
ч>\ = ^fv2 + ду.
Последовательно интегрируя, получим
= eG(A-AJ feGdt)~\ G = Jgdt,
= BeG + 2(n + l)eG Г
где А, В — произвольные постоянные.
64 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
3
lX9{t) + ^]^
Точное решение:
w(x, t) = exp [(p(t)x2
где функции (p(t), ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка с переменными коэффициентами
<p't = 4f<p2 + B9 + s)<p + p, A)
^ Я. B)
При p = 0 уравнение A) является уравнением Бернулли и легко интегрируется. В общем
случае уравнение A) для функции (р = <p(t) является уравнением Риккати и может быть
сведено к линейному уравнению второго порядка. В книгах Э. Камке A976), В. Ф. Зайцева,
А. Д. Полянина B001 а) приведено много решений этого уравнения для различных функций /,
д, s, р. После решения уравнения A) из линейного уравнения B) определяется ф = ip(t).
Точное решение:
где функции (p(t) и ip(t) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
Интегрируя, получим
= G(t)[A-\2Jf(t)G(t)dt]~\ G(t) = exp[Jg(t)dt],
= BG(t) + G(t) f ¦?$- dt,
где А, В — произвольные постоянные.
Ow О Г , . Ow
5 [f{)
Это уравнение можно записать в виде
dw _ /»/ ч d2w , г/ / \ dw
Точное решение:
w(x, t) = exp [Aeat + (p(x)],
где А — произвольная постоянная, а функция <p(t) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением
6> lit = ~t [f{x)l!t} + awlnw + [9(ж)
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, t) = exp \Ceat + eat Г e~ath(t) dt] <p(x),
где С — произвольная постоянная, а функция <р(х) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением
tf<Px)'x + а>4>1п Ч> + 9(х)(р = 0.
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции 65
С/ 1x7 п / \ (-7 1x7 у ч С/1x7 _ I l~i / \ i /*\1
7. = j[х) -\- glx) -|- clw In w -\- \ri\X) -\- s[t)\w.
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, t) = exp \Ceat + eat Г e~ats(t) dt] ф),
где С — произвольная постоянная, а функция ip(x) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением
f(x)(fxx + д(х)(рх + скр In if + h(x)tp = 0.
_ dw
dt ~ tlCPA ^mcr.w i -i- mcr\
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, t) = ф) + Ceat + eat I e~atq(t) dt,
где С — произвольная постоянная, а функция <р(х) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением
f(x)(pxx + g(x)((pxJ + h(x)(px +ay + p(x) = 0.
дГ = f{x)~^ + 9{x)\ +h()
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, t) = ф) + Ceat + eat I e~atq(t) dt,
где С — произвольная постоянная, а функция <р(х) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением
f(x)(pxx + g(x)((px)k + h(x)(px +ay + p(x) = 0.
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, t) = ф) + Ceat + eat I e~ath(t) dt,
где С — произвольная постоянная, а функция <р(х) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением
f(x)(pxx + g(x, (px) +аср = О.
1.6.8. Уравнения вида ^- = aw^- + f(x,t,w)^+g(x,t,w)
ot oxz ox
dw d2w t ч
—— = aw—-— + /(ж)^ + 6ж + с.
Точное решение:
w(x, t) = (bx + c)t + Ax + В —— I (x —
где A, B, xq — произвольные постоянные.
Частный случай уравнения 1.6.9.6.
1°. Точное решение:
w(x, t) = F(t)(Ax + B) + F(t) J jj?Ldt, F(t) = exp [j f(t) dt],
где А, В — произвольные постоянные.
5 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
66 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
2°. Точное решение:
w(x,t) = <p(t)(x + Ax + В) + (p(t) /
= F{t)\(J -2a Г F(t)dty\ F(t) = exp[ Г f(t) dtj,
где А, В, С — произвольные постоянные.
Частный случай уравнения 1.6.9.7 при Ъ = 0.
4. = aw ak2w2 + f(x)w + Ъ\ sh(kx) + 62 ch(kx).
dt дх2
Точное решение:
w(x, t) = t \b\ sh.(kx) + 62 ch(A;x)] + <p(x).
Здесь функция (р(х) описывается линейным неоднородным обыкновенным дифференциальным
уравнением с постоянными коэффициентами
сыр'хх - ak2if + f(x) = 0,
общее решение которого имеет вид
ф) = d sh(A;x) + С2 сЦкх) - — Г /(?) sh [k(x - О] d?,
ак Jx0
где А, В, хо — произвольные постоянные.
5. = aw —\- ak2w2 + f(x)w + 61 sin(fca^) + 62 cos(fca?).
Точное решение:
w(x, t) = t [bi sin(kx) + 62 cos(A;x)] + у(ж).
Здесь функция <р(х) описывается линейным неоднородным обыкновенным дифференциальным
уравнением с постоянными коэффициентами
снрхх + ак2(р + f(x) = 0,
общее решение которого имеет вид
1 Гх
(р(х) = d sin(A;x) + C2 cos(kx) / /(?) sin[k(x - f)] df,
ak Jx0
где A, 5, хо — произвольные постоянные.
, dw d2w
6
Частный случай уравнения 1.6.9.6. Преобразование
w(x,t) = G(t)u(z,T), z = x+ Г f(t)dt, т= JG(t)dt, G(t) = exp[ f g(t)dt\
приводит к более простому уравнению
ди д2и
Последнее допускает точное решение типа бегущей волны и = u{kz + \т) и решение в виде
произведения функций разных аргументов и = (p
Частный случай уравнения 1.6.9.6.
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции 67
dw d2w . „,,. dw
Преобразование
w(x,t) = G(t)u(z,r), z = xF(t), т= I' F2(t)G(t)dt,
где функции F и G определяются формулами
F(t) = exp [j f(t) dt], G(t) = exp [j g(t) dt],
приводит к более простому уравнению
ди д2и
дт dz2
Последнее допускает точное решение типа бегущей волны и = u(kz + Лг) и решение в виде
произведения функций разных аргументов и = (p(z)ifi(t).
Преобразование
w(x,t) = H(t)u(z,r), z = xF(t) + Г g(t)F(t)dt, т = Г F2 (t)H(t) dt,
где функции F(t) и H(t) определяются формулами
F(t) = exp [ I f{t) dt}, H{t) = exp [ Г h(t) dt},
приводит к более простому уравнению
ди д2и
Последнее допускает точное решение типа бегущей волны и = u(kz + Лг) и решение в виде
произведения функций разных аргументов и = (p
Точное решение:
w(x,t) =
где функции (p(t), ip(t), в (ж) описываются системой обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений
(ft = dp2 +g(t)tp,
а®хх + f(x)Sfx = С,
где С — произвольная постоянная. Последовательно интегрируя, получим
A! - cjG(t)dt]~\ G(t) = exp[Jg(t)dt],
в(х) = В1 [J^+B2 + ^ f\fF(x)dx\-^T, F(x)=e^p\- ff(x)dx],
J F(x) a J IJ J F(x) la J J
где Ai, A2, Bi, B2 —произвольные постоянные.
68 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
11. — =aw-^-r + f(x)w —
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, t) = ip(x)H(t) \А-В Г H(t) dt\ *, H(t) = exp \ Г h(t) dt\.
Здесь А и В — произвольные постоянные, а функция <р(х) описывается линейным обыкновен-
обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка
а<Рхх + f(x)(p'x + д(х)ср = В.
О точных решениях этого уравнения при различных функциях /(ж) и д(х) см. книги Э. Камке
A976), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а).
1.6.9. Уравнения вида
dw , . , ч d2w . м, , ч / dw \2 . , , л dw . и, , ч
-^- = (aw + b)-^- + f(x,t,w){—) +g(x,t,w)— + h(x,t,w)
1
Частный случай уравнения 1.6.9.6.
Частный случай уравнения 1.6.9.7.
_ dw d
3
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w = (\t + C)-1ip(x),
где Л, С — произвольные постоянные, а функция <р(х) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
аф'м + 2/(х)ф + 2Хф1/2 =0,
. Он? d ( dw\ . .... dw
g(t) dt
Частный случай уравнения 1.6.9.6.
Преобразование
w(x, t) = G(t)u(z, r), z = x+ f(t) dt, т= G(t) dt, G(t) = exp [ /
приводит к более простому уравнению вида 1.1.7.1:
ди д
dw д ( dw \ , . dw
Преобразование
w{t,x) = u{z,r)G{t), z = xF(t), т= [ F2(t)G(t)dt,
где функции F и G определяются формулами
F(t) = exp [J f{t) dt], G(t) = exp [J g(t) dt],
приводит к более простому уравнению вида 1.1.7.1:
ди д ( ди
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции 69
, dw d2w . о/.\[дги\2 . /lX 9w , »/.\ , /.\
Точное решение квадратичное по переменной х:
w(x, t) = ф)х2 + ф(г)х
где функции (p(t), ф{Ь), x(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений первого порядка с переменными коэффициентами (аргументы у функций /, g, h, s не
указываются)
^ = 2B/ + а)^2 + /^, A)
ф[ = D ftp + 2скр + К)ф + 2д<р, B)
К)х + 1Ф2 +дф + в. C)
Уравнение A) для функции ср = cp(t) является уравнением Бернулли и легко интегрируется.
После этого решения уравнений B), C) строятся последовательно (каждое из них линейно
относительно искомой функции).
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
1°. Точное решение, содержащее экспоненциальную функцию х:
-С \ 1/2
)
А
/ -С \ 1/2
=(——) , A)
V а + о /
где функции ip(t) и ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка с переменными коэффициентами (аргументы у функций / и д не указываются)
(ft = ар2 + ftp + g, B)
^ = {а\2<р + 2с99 + /)^. C)
Уравнение B) для функции (р = <p(t) является уравнением Риккати и может быть сведено к
линейному уравнению второго порядка. В книгах Э. Камке A976), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина
B001 а) приведено много решений этого уравнения для различных функций /, д.
В частности, при д = 0 уравнение B) является уравнением Бернулли, которое легко
интегрируется. В другом случае при f,g = const частное решение уравнения B) — константа
ср = (ро, которая является корнем квадратного уравнения apl + fcpo + д = 0. Замена и = ср — сро
приводит к уравнению Бернулли.
Если решение уравнения B) известно, то решение уравнения C) для функции ф = ф{Ь)
определяется по формуле
Сехр[ f(a\2ip + 2ар + /) dt\,
D)
где С — произвольная постоянная.
2°. Точное решение, содержащее гиперболический косинус (А — произвольная постоянная):
1/2
/ _г \ 1/2
=( ^-) , E)
V а + о /
где функции ip(t) и ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка с переменными коэффициентами (аргументы у функций / и д не указываются)
<p't = ар2 - Ъ\2ф2 + fip + g, F)
' 2 G)
Из уравнения G) можно выразить (р через ф, а затем подставить в F). В итоге получается
нелинейное уравнение второго порядка для функции ф (при /, д = const это уравнение является
автономным и допускает понижение порядка).
70 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
3°. Точное решение, содержащее гиперболический синус (А — произвольная постоянная):
а + о
где функции ip{t) и ф{Ь) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка
(ft = ар2 + ЬХ2ф2 + ftp + g,
4°. Точное решение, содержащее тригонометрическую функцию (А — произвольная постоян-
постоянная):
w(x,t) = <p(t) + ip(t)cos(\x + A), Х = (—— V/2, (8)
V а + о /
где функции ip(t) и ф{Ь) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка
<Рь = с<р2+ЪХ2ф2 + /<р + д, (9)
ф'ь = (-аХ2ср + 2ар + /)ф. A0)
Из уравнения A0) можно выразить (р через гр, а затем подставить в (9). В итоге получается
нелинейное уравнение второго порядка для функции ф (при /, д = const это уравнение является
автономным и допускает понижение порядка).
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
Преобразование
u(z,t) = w(x,t) + —, z = x+ I f(t)dt
a J
приводит к уравнению вида 1.6.9.7 для функции и = u(z,t).
_ dw d2w . „,
9 + /(
\
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = (р(х)ф(^Ь),
где (р(х), ф(г) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений (С —
произвольная постоянная):
+ д(х)(рср'х + h(x)(p2 = Сер, A)
B)
Общее решение уравнения B) дается формулами
= P(t)[A-cJ,
где А — произвольная постоянная. В частном случае при / = 0 уравнение A) после сокращения
на ср приводится к линейному уравнению второго порядка; о его точных решениях при
различных функциях д{х) и h(x) см. книги Э. Камке A996), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина
B001а).
diju d iv ( diju Л г п diju
dt дх2 V дх / дх
+ h(t)w + p2(t)x2 + pi (t)x + po(t).
Уравнение имеет точное решение квадратичное по переменной х:
/) * 1 ( /у» Т I ^^^ / л/ + 1 /у» | л/i / т | /у» | "\ / ( ~м~ \
где функции (p(t), ф{Ь), x(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений первого порядка с переменными коэффициентами, которая здесь не приводится.
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции 71
1.6.10. Уравнения вида — = awm-^- + f(x,t,w, —)
at ox2 V ox J
dw 4 d2w „, л 5
-ж = aw -&* + f(x)w ¦
1°. Пусть и = и(х)—любое нетривиальное (частное) решение линейного обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка
аихх + f(x)u = 0- A)
Преобразование
Г dx w
S = / 5~: Z =
J Uz U
упрощает исходное уравнение и приводит его к следующему виду:
dz_ _ 4 d2z
dt ~ az dp '
Используя замену v = z~s, получим уравнение вида 1.1.7.4:
a
dt д? ^
Точные решения этого уравнения см. в 1.1.7.6 при т = —4/3.
2°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов (С, Л — произвольные
постоянные):
1/4
где функция g = g{x) определяется из уравнения Ермакова
ag':x + f(x)g + \g-z = 0. B)
Если известно частное решение и = и(х) линейного уравнения A), то общее решение
нелинейного уравнения B) имеет вид (см., например, В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин, 2001 а)
а
где А, В — произвольные постоянные (А ф 0).
. dw т d2w
2
Преобразование
w(x,t) = F(t)u(x,r), r= /Fm(t)^, F(t) = exp\[f(t)dt\
приводит к более простому уравнению вида 1.1.6.8:
dr dx2
du m d2u
dw m d2w ?( v dw
3--dT=aw + m
Преобразование
), z = xF(t), r= /
где функции F и G определяются формулами
F(t) = exp [J f(t) dt], G(t) = exp [j g(t) dt],
приводит к более простому уравнению вида 1.1.6.8:
du га d2u
dr dz2
72 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов (С, Л — произвольные
постоянные):
w(x, t) = (m\t + Cy1/mip(x),
где функция ср = (р(х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
1.6.11. Уравнения вида ^ = *.?(«,"?) + /(*,*,»,?
. Он? О / —4/3 #ги А , л/ \
1. = а [w ' ) + f(x)
dt дх \ дх ) J V '
) + f)w
дх ) J V '
1°. Замена w = v~ приводит к уравнению вида 1.6.10.1:
2°. Пусть и = гб(ж)—любое нетривиальное (частное) решение линейного обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка
Преобразование
упрощает исходное уравнение и приводит его к уравнению 1.1.7.4:
д ( _4/з dz \
(•) Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
. dw д
2
Преобразование
w(x,t)=u(x,r)F(t), t= /Fm(t)^, F(t) = exp
приводит к более простому уравнению вида 1.1.7.6:
ди д ( m ди\
от ох V ох у
При m = — 2 об этом уравнении см. 1.1.7.3.
- dw д ( m dw
Замена и = wm приводит к уравнению вида 1.6.9.6:
ди д2и а ( ди
dt дх2 m V дх
которое допускает решения вида гб = (p(t)x2 + ip(t)x + x(t).
Замена и = г(;т приводит к уравнению вида 1.6.9.6:
ди д2и , а ( ди\2 ,
которое допускает решения вида и = (p(t)x2 + ip(t)x
(•) Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции 73
dw д
При Ъ = 0 см. уравнение 1.6.11.4:
Замена и = и)ш приводит к уравнению вида 1.6.9.7:
ди д2и а ( ди\2 2 . ?U\
= аи—— Н ( 1 +Ъти +mj\t)u
которое допускает решения следующих типов:
и(х, t) = (p(t) + ф^) exp(d=Ax),
и(х, t) = <p(t) + ф(Ь) ch(Xx + С),
и(х, t) = (p(t) + ф{Ь) cos(Ax + G),
где функции (f{t) и ^(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка, параметр Л является корнем квадратного уравнения, С — произвольная
постоянная.
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
dw д
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w = (\mt + Cy1/rnip(x),
где Л, С — произвольные постоянные, а функция <р(х) описывается уравнением
аф'пХ + (т + 1)/(х)ф + Л(ш + 1)ф~^+Т =0, ф = (рш+1.
В книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а) приведены точные решения этого уравнения
для некоторых функций /(ж).
_ dw д ( rn dw \ , .... dw
Преобразование
гу(ж, t) = u(z, т) exp f" /p(t) dt\, z = x + //(?) dt, т = exp I'm g(t)dt\ dt
ию вида 1.1.7.6:
?=•?(•-?)•
приводит к более простому уравнению вида 1.1.7.6:
Преобразование
, z = xF(t), т= [ F2(t)Grn(t)dt,
где функции F и G определяются формулами
F(t) = exp [j f{t) dt], G(t) = exp [J ff(t) dt],
приводит к более простому уравнению вида 1.1.7.6:
ди д
В частном случае ?тг = — 2 это уравнение может быть преобразовано к линейному уравнению
теплопроводности с постоянными коэффициентами (см. 1.1.7.3).
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
74 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
dw д ( т dw \ г .с/ л / \~\ ow
Преобразование
w(x,t) = u(z,r)H(t), z = xF(t)+ Г g(t)F(t)dt, r= Г F2(t)Hm(t) dt,
где функции F и Н определяются формулами
Fit) = ехр Г / fit) dt\, Hit) = ехр Г / /i(t) cZtl,
приводит к более простому уравнению вида 1.1.7.6:
ди д ( ш ди\
= ( и ).
дт dz V dz /
При m = — 2 см. уравнение 1.1.7.3.
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
1.6.12. Уравнения вида —— = а—(eXw —— j + /(ж,t^w^ —— j
Ot Ож V Ож /
Преобразование
гу(ж,*) = гА(ж,г) + ^(*), т= Г exp[\F(t)]dt, F(t) = If(t)dt,
приводит к более простому уравнению вида 1.2.2.1:
ди _ д / хи д
~дг~ ~ а~дх\ ~дх .
Замена гб = е ™ приводит к уравнению вида 1.6.8.2:
ди д2и
= аи
которое допускает решения вида гб = (p(t)x2 + ip(t)x
Замена и = eXw приводит к уравнению вида 1.6.8.1:
ди д2и . л х/ ч , л /т
~т = аи~дхТ xf(x>u + Л^Ж
которое допускает решения вида и = X(bx + c)t + ip(x).
Лгу #W \ , Лгу | о(.\ | /.ч —Лгу
е )+Ье +m + g{t)e
При Ъ = 0 см. уравнение 1.6.12.2.
Замена гб = ел™ приводит к уравнению вида 1.6.9.7:
^7 аи!1Г + Ь
ot oxz
которое допускает решения следующих типов:
и(х, t) = ip(t) +
и(х, t) = tp(t) +
где функции <?>(?) и ^(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка, параметр /и, является корнем квадратного уравнения, С — произвольная
постоянная.
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции 75
1 ?-•?(•*-?)+'<¦>•*-¦
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
А
где Л, С — произвольные постоянные, а функция ip(x) описывается линейным обыкновенным
дифференциальным уравнением второго порядка
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
1.6.13. Уравнения вида ^ = «?[/(»)?] +g{*,t,w, %
dw д
Это уравнение часто встречается в нелинейных задачах тепло- и массопереноса (/ — коэффи-
коэффициент температуропроводности или диффузии) и теории фильтрации. При f(w) = awm см.
разд. 1.1.7, а при f(w) = eXw —уравнение 1.2.2.1.
1°. Пусть w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
где Ci, C2, Сз — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Решения типа бегущей волны:
w = w(z), z = ±ж + Xt,
определяются неявно по формуле
= C2-z, A)
Xw + Сг
где Л, Ci, C2 — произвольные постоянные. Значению Л = 0 соответствует стационарное
решение.
3°. Автомодельное решение:
w = w(z), z = —— @ ^ х < оо),
где функция w(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
[f(w)w'z]'i + \zw'z=0. B)
Решения указанного вида обычно соответствуют постоянным значениям w в начальных и
граничных условиях для исходного уравнения в частных производных (wo, w\ = const):
w = wo при t = 0 (начальное условие),
u> = w\ при ж = 0 (граничное условие),
w —Ь wo при ж —>- оо (граничное условие).
При этом граничные условия для уравнения B) имеют вид
w = w\ при z = 0, гу —»¦ гуо при ^ —>- оо. C)
При /(гу) = aw~1, /(гу) = aw~2, f{w) = (au>2 + /5гу + 7) общие решения уравнения
B) получил X. Фуджита (Н. Fujita, 1952). Об этих решениях см. в книге А. В. Лыкова A967).
76
Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
Точные
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
ТАБЛИЦА
решения уравнения 1.6.13.1 для различных
Функция / = f(w)
п п 2п
2 2(п + 1)
^.^И-ГЧ!-.I-]
2A-п)Ш 2^
i-sin2(|™)
-§-sin(™)[™ + sin(™)]
~Yq sin2(yrw;) [5 + cos(ttw;)]
w arccos w + 1 1
2\/l - w2 2
7Г — 2A — w) arcsin(l — w) 1
4\/2гу - w2 2
гу arcsin w 1 2
4\/l — "W2 4
¦i-(l — 1пгу)
1
зависимостей / = f(w), где
Решение г = г(гу)
1 - wn
а-«о»
w~n - 1
cos(|™)
COS2(i7r«,)
COS3 Dj-7Tw)
1 _ sinfi^)
arccos w
arcsin(l — w)
y/l — w2
— \nw
z = xt~1/2.
Условия
n > 0
n > 0
0 < n < 1
4°. Опишем простой способ поиска функций f(w), для которых уравнение B) допускает
точное решение. Для этого проинтегрируем уравнение B) по z, а затем сделаем преобразование
годографа (переменную w будем считать независимой, a z — зависимой). В результате получим
= zw ( / z dw + A j, A — произвольная постоянная.
D)
Подставляя в правую часть формулы D) конкретную зависимость z = z(w), будем получать
однопараметрическое семейство функций f(w), для которых уравнение B) имеет решение
z = z(w). Явный вид решения w = w(z) находится обращением зависимости z = z(w).
Описанный метод разработал Ж. Филип (J. R. Philip, 1960), который получил большое число
точных решений исходного уравнения для различных зависимостей / = f(w). Некоторые его
результаты, соответствующие задаче с начальным и граничными условиями C) при wo = 0,
w\ = 1, приведены ниже в табл. 1. Все решения записаны в неявном виде z = z(w) в области
их пространственной локализации 0 ^ w ^ 1.
5°. Опишем другой простой способ поиска функций f(w), для которых уравнение B) допускает
точное решение. Прямой проверкой можно убедиться, что уравнение B) удовлетворяется, если
положить
,/ х/ ч s + ф - гфг ,
W = 0Z, J\W) = , (j)
где ф = ф(г) —произвольная функция, s — произвольная постоянная. Выражения E) предста-
представляют собой параметрическую форму задания зависимости / = f(w), которая получается после
исключения z.
Полагая, например, в формулах E)
+ — (wo - wx)e~Xz
А
(Л > 0, ил > w0),
после исключения z находим
w — w0
f[w) =
В + C\n(w - wo), w = wo + (wi - wo)e
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции 77
где А = — ysA, В = yA~2[l + \n.(w\ — wq)\, С = ~у^~2- Отметим, что это решение
удовлетворяет граничным условиям C). Аналогичным образом могут быть построены и другие
функции f(w).
6°. Еще один способ построения функций f(w), для которых уравнение B) допускает точное
решение, заключается в следующем. Пусть w = w(z) — некоторое решение уравнения B)
с функцией f(w). Тогда w = w(z) будет также решением и более сложного уравнения
[F(w)w'z]'z + \zw'z = 0 при
F(w) = f(w) + Ag(w) (A —произвольная постоянная), F)
где функция g = g(w) задается параметрически формулами
g(w) = —, w = w(z). G)
Например, для степенной зависимости f(w) = awm частным решением уравнения B) будет
функция w = hz2'™, где Ъ — некоторая константа. Из формул F), G) получим, что w будет
т-2
также являться решением уравнения B) и при f(w) = awm + Aw 2 .
Для первого решения, приведенного в табл. 1, этот метод дает однопараметрическое
семейство функций
/(w) = w w +Aw '
для которых уравнение B) имеет решение z = 1 — wn
7°. Преобразование
=
JXo
Xo
w(x,t) =
= t-t0, x= w(y,t)dy+ f(w(xo,T))\^-(x,r)\ dr,
J Л 1дх J
w{x,t)
переводит ненулевое решение w(x,t) исходного уравнения в решение w(x,t) уравнения
аналогичного вида
dw д \-j,,,dw~\ -if \ 1 мA\ /п\
"яГ = ^^ /W"^ ' /W = —г"/! — )• (9)
В частном случае степенной зависимости /(ги) = аг^т преобразование (8) приводит к
уравнению (9), где f(w)=aw~m~2.
8°. Закон сохранения:
где
/
9°. При f(w) = a(w;2 + Ъ)~х см. уравнение 1.1.8.9 и разд. А.3.3-2 (пример 10).
® Литература к уравнению 1.6.13.1: Л. В. Овсянников A959, 1962, 1978), А. А. Самарский, В. А. Галак-
Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов A987), W. Strampp A982), J. R. Burgan, A. Munier, M. R. Feix,
Е. Fijalkow A984), N. Н. Ibragimov A994), В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996), P. W. Doyle, P. J. Vassiliou
A998).
. dw д
2
Это уравнение описывает нестационарную теплопроводность в неподвижной среде, когда ко-
коэффициент температуропроводности и скорость реакции являются произвольными функциями
температуры.
1°. Точные решения и преобразования (групповая классификация) уравнений данного вида
для различных функций / = f(w), g = g(w) описаны в работах В. А. Дородницына A979,
1982), В. А. Дородницына, С. Р. Свирщевского A983), В. А. Галактионова, В. А. Дородницына,
Г. Г. Еленина, С. П. Курдюмова, А. А. Самарского A986), Н. X. Ибрагимова (N. H. Ibragimov,
1994).
Конкретные уравнения этого вида см. в разд. 1.1.1, 1.1.8, 1.2.1, 1.2.2, 1.4.1.
78 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
2°. Решения типа бегущей волны:
w = w(z), z = ±х + А?,
где функция w(z) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
[f(w)w'z]'z - Xw'z + g(w) = 0. A)
Замена
2/О) = —f(w)w'z
приводит A) к уравнению Абеля второго рода
yy'w - у = <?(У), где 4>{w) = -^~2f(w)g(w)- B)
В книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а) приведено много точных решений уравнения B)
для различных зависимостей if = ip(w).
3°. О точных решениях рассматриваемого уравнения для произвольной зависимости д = g(w)
(функция / выражается через д) см. разд. А.3.2-1 (пример 3).
„ dw д
Это уравнение описывает нестационарную теплопроводность в движущейся среде, когда коэф-
коэффициент температуропроводности является произвольной функцией температуры.
Переходя от t, x к новым переменным t,z = x+ / g(t) dt, получим более простое уравнение
вида 1.6.13.1:
dw д
. dw д
Переходя от ?, ж к новым переменным (А, В — произвольные постоянные)
т= Г G2(t)dt + A, z = xG(t), где G(t) = Бехр[ Г
для функции гу(г, г) получим более простое уравнение вида 1.6.13.1:
dw д
Преобразование
Г Г 9 г Г 1
z = xG(t)+ / h(t)G(t)dt, т= / G2(t)dt, G(t) = exp g(t)dt\,
J J 4 J
приводит к более простому уравнению вида 1.6.13.1:
d-ш д Г p. v ^w; I
(•) Литература'. В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
Это уравнение при g = const описывает нестационарную теплопроводность в движущейся с
постоянной скоростью среде, когда коэффициент температуропроводности и скорость реакции
являются произвольными функциями температуры.
Решение типа бегущей волны:
w = w(z), z = х + At,
где функция w(z) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
[f{w)w% + [g(w) -X]w'z+ h(w) = 0. A)
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции 79
В частном случае при h(w) = 0 общее решение уравнения A) можно представить в неявном
виде
f(w) dw
Г
J
= z + B, G(w) = g(w)dw,
- Xw - G{w)
где А, В — произвольные постоянные.
В общем случае замена
y(w) = f(w)w'z
приводит A) к уравнению Абеля
yy'w + [g(w) - A]j/ + f(w)g(w) = 0. B)
В книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а) приведено много точных решений уравнения B)
для различных функций /, g, h.
1.6.14. Уравнения вида -^- =
dw jj/ \ Ti
L -ж =fix)w
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = (m\t + С)~1/т<^(ж),
где С, Л — произвольные постоянные, а функция ср = (р(х) определяется из обобщенного
уравнения Эмдена — Фаулера
При т = 1 решение уравнения A) имеет вид
Гх (х _ с)
<р(х) = -X к / [ J d? + Ax + В,
где А, В, хо — произвольные постоянные.
В книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а) приведено много точных решений уравне-
уравнения A) для различных функций /(ж).
2°. Преобразование и = w/x, ^ = 1/х приводит к уравнению аналогичного вида
п д2г
2 dw _ f(x)
aw + b
Точное решение линейное по переменной t:
w(x, t) = — [(p(x)t + ф(х) — b],
а
где функции (р(х) и ф(х) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
f{xWL - v2 = о,
Первое уравнение рассматривается независимо от второго. Второе уравнение имеет частное
решение ф(х) = р(х), поэтому его общее решение дается формулой
dx
ф(х) = Сцр(х) + С2Ц>(х) / ¦
где С\, С2 — произвольные постоянные.
80 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
_ dw , ч d2w
3 f{)
1°. Уравнение допускает точные решения вида
w = U(z), z = ±ж + Xt (решения типа бегущей волны),
w = V(y), у = — (автомодельное решение),
t + Ъ
где Л, а, Ъ — произвольные постоянные.
dw
ди д
2°. Замена и= ^л приводит к уравнению вида 1.6.13.1:
где функция F задается параметрически
ev \ *( \ f dw
F(u) = f{w), u =
Для получения явной зависимости F = F(u) из этих формул следует исключить w.
л д™ 4
4--аТ = х
Преобразование и = w/x, ? = 1/х приводит к более простому уравнению вида 1.6.14.1:
ди _ f ( \ д2и
dw 4 о ( w \ d2w
5. = w /
Преобразование
dx
w(x, t) = u(z, t) \/ах2 + Ъх + с, z =
тс2 + Ьх + <
приводит к более простому уравнению
ди _ 4 г/ ^ <92Ц , ^ ]_т2ч 5 г/ \
dt V J dz2 V 4 У ^ V У'
которое имеет точное решение в типа бегущей волны и = u(z + Xt).
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
1.6.15. Уравнения вида ^ =/(ж,*,™)|^ +
L "?г = /(t)"^(wi0t)+ 9{t)w + h2(t)x2 + hl(t)x + ho(t)-
Точное решение квадратичное по переменной х:
w(x, t) = ф)х2 + >ф(Ь)х + x(t),
где функции (р = (p(t), ip = ip(t), х = x(t) описываются системой обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений
2
. dw
2. — + f(t)w
Точное решение линейное по переменной х:
x't = 2f(t)vx + /(<)V>2 + g(t)x + Ao(t).
a
где С\, С2 — произвольные постоянные.
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции 81
_ dw , ч dw ,.,dBdw\
3. — + f(t)V,— =g(t)—{w—y
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = (x + Ci)ip(t),
где функция ср = (p(t) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
dw _ _6
dt ~ dt
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = (mXt + С)~ 'т(р(х),
где С, X — произвольные постоянные, а функция if = ip(x) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
Преобразование
приводит A) к обобщенному уравнению Эмдена — Фаулера
где функция F = F(z) задается (параметрически) с помощью формул
dx
В книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а, разд. 2.3, 2.7) приведено много точных
решений уравнения B) для различных функций F = F(z).
2°. Преобразование
1 Г + 2 Г j
Г гп + 2 Г
= - [Ф(х)] т + 1 dx, ф(х) = /
J J
J\x)
приводит к уравнению аналогичного вида
dt 0_
где функция F = F(?) задается (параметрически) с помощью формул
F = Пх)[ф{х)]^-, а=-[Щх)\%$ах, ф(х) =[-?-.
J J J\x)
dw m d2W . v m+i
dt dx2 ^ '
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов (С, А — произвольные
постоянные):
w(x,t) = (mXt + С)~1'т(р(х),
где функция if = if{x) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
В частном случае f(x) = ахп, д(х) = Ъхк уравнение A) имеет вид
V/a^V ~m = 0- B)
В книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а) приведено много точных решений уравнения
B) для различных значений параметров п, т, к.
6 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
82 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
Точное решение:
w(x,t)
где функции ср = (р(х), ф = ф(х) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка
т
Интегрируя, получим
—,
m / Г т \
+ 2 I A + m / gFrn + 2 dtV
Г
J
где А, В — произвольные постоянные.
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов (С, Л — произвольные
постоянные):
w(x, t) = (тМ + Су1/тф),
где функция ср = (р(х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
[f(x)(p (рх]х+д{х)(р +\ср = О. (I)
Преобразование
Г й^
Ф =
приводит (I) к уравнению
1
где функции F = F(z) и G = G(z) задаются параметрически с помощью формул
¦ F = Л(т + l)f(x), {G = (m+ l)f(x)g(x),
dx
/ш- '=/¦
В частном случае f(x) = ахп, д(х) = Ъхк уравнение B) имеет вид
Ф"х + Az i-« Ф "i+i + Б^ i-n Ф = 0, пф 1, C)
п п-\-к
где А = Ха(т + 1) [аA - п)] 1~п , Б = а6(т + 1) [аA - п)] 1~п .
В книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а) приведено много точных решений уравнения
C) для различных значений параметров n, m, к.
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
Преобразование
w(x, t) = u(z, t) exp / h(t) dtL z = x + / g(t) dt, т = / /(t) exp m / h{t)dt dt
приводит к более простому уравнению вида 1.1.7.6:
du d f m du
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции 83
Преобразование
гу(ж,*) = Ц^гM(*), г = ж<3(*) + fh(t)G(t)dt, т= Г f(t)G2(t)Sm(t)dt,
где функции S и G определяются формулами
S(t) = exp Г / s(t) dt\, G(t) = exp Г /
приводит к более простому уравнению вида 1.1.7.6:
ди д / m ди \
(•) Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
Преобразование
гу(*, ж) = u(z, r)H(t), z = xG(t), t= Г f(t)G2-k(t)Hm(t) dt,
где функции G и Н определяются формулами
G(t) = exp [J g(t) dt], H(t)= exp [J h{t) dt],
приводит к более простому уравнению вида 1.1.10.4:
ди k д ( ш ди
-д7 = z вГ
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
at dxlJK) дх \
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
W(x,t) U
где А, В, С — произвольные постоянные.
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, t) = -j\n(pt + С) + ф),
где /3, С — произвольные постоянные, а функция <?>(ж) описывается линейным обыкновенным
дифференциальным уравнением второго порядка
[Пх)г1>'х]'х + 0g(x)il> + Р = 0, Ф = е$<р.
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
dw i_w О
13
К этому уравнению приводятся нелинейные задачи диффузионного пограничного слоя (/ —
аналог коэффициента диффузии, п = 1, 2, 3), которые описываются уравнением 1.6.17.2. При
п = 1 см. уравнение 1.6.13.1, при f(w) = awm см. уравнение 1.1.10.4.
84 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
1°. Автомодельное решение при п ф — 1:
1
w = w(z), z = xt п+1 @ ^ х < об)
где функция w(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
(n + l)[f(w)w'z]'t+znw'z=0, A)
которое часто рассматривается с граничными условиями C) из 1.6.13.1.
Общее решение уравнения A) при f(w) = a(w + Ь)~г, п — произвольная постоянная,
приведено в книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A993).
2°. Опишем простой способ поиска функций f(w), для которых уравнение A) допускает
точное решение. Для этого проинтегрируем уравнение A) по z, а затем сделаем преобразование
годографа (переменную w будем считать независимой, a z — зависимой). В результате получим
= zw( / zn dw + а\ А — любое.
п + 1 \J J
f[w) = zw( zndw + A), А — любое. B)
Подставляя в правую часть формулы B) конкретную зависимость z = z(w), будем получать
однопараметрическое семейство функций f(w), для которых уравнение A) имеет решение
z = z(w). Явный вид решения w = w(z) находится обращением зависимости z = z(w).
Выбирая, например, z = A — w)k, из формулы B) получим соответствующую функцию
f(w) = АA - wf-1 A - w)Kn+1\ А — любое.
Jy J y J (n + l)(n/c + l) v ;
3°. Другой способ построения функций f(w), для которых уравнение A) допускает точное
аналитическое решение, заключается в следующем. Пусть w = w(z) — некоторое решение
уравнения A) с функцией f(w). Тогда w = w(z) будет также решением и более сложного
уравнения (п + l)[F(w)w'z]'z + znw'z =0 при
F(w) = f(w) + Ag(w) (А — любое), (З)
где функция д = g(w) задается параметрически формулами
g(w) = 4r> w = w(z). D)
w'z
Например, для степенной зависимости f(w) = awm частным решением уравнения A) будет
функция w = bz rn , где Ъ — некоторая константа. Из формул C), D) получим, что w будет
т — п—1
также являться решением уравнения A) и при f(w) = aw171 + Aw n+1
4°. При п = — 1 существуют точные решения вида
w = w(?), ? = \n\x\ + Xt,
которые определяются неявно по формулам
где Л, С\, Сг — произвольные постоянные. Значению Л = 0 соответствует стационарное
решение.
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
14. — = f{t)V(w)-^- + [xg(t) + h(t)] —.
Преобразование
z = xG(t)+ fh(t)G(t)dt, r= If(t)G2(t)dt, G(t) = exp[f
приводит к более простому уравнению вида 1.6.14.3:
dw f N d2w
w
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции 85
Преобразование
z = xG(t)+ fh(t)G(t)dt, т= Г f(t)G2(t)dt, G(t) = ехр[/
приводит к более простому уравнению вида 1.6.13.1:
dw д Г , ч dw
дт dz L <9z
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
k d2w
1.6.16. Уравнения вида !%- = /(»,«,, ^)^ +,(-, ^
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, t) = at + b + <p(x),
где a, b — произвольные постоянные, а функция <р(х) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением второго порядка
2°. Точное решение:
w(x, t) = (Akt + Ву1/кв(х) + С,
где А, В, С — произвольные постоянные, а функция в (ж) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением второго порядка
л dw „/ dw \ d2w
dx2 '
Это уравнение нелинейной теории фильтрации; оно описывает также движение нелинейной
вязко-пластической среды.
1°. Точное решение:
w(x, t) = At + B + <p(z), z = kx + \t, A)
где А, В, к, X — произвольные постоянные, а функция (p(z) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
k2f(kip'z)ip"z =X<p'z+A. B)
Общее решение уравнения B) можно представить в параметрическом виде
J Xu + Ak J Xu + Ak
где С\, С2 — произвольные постоянные,
При А = 0 формулы A), C) описывают решение типа бегущей волны, а при Л = 0 —
решение в виде суммы функций разных аргументов.
2°. Автомодельное решение:
где функция в(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
86 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
3°. Замена u(x,t) = приводит к уравнению вида 1.6.13.1:
дх
ди д
~т =-^
4°. Преобразование годографа
х = w(x, t), w(x, t) = x
приводит к уравнению аналогичного вида
dw _- ( dw\ d2w 1( \ — г
5°. Преобразование
t = at + ji, x = /3ix + P2W + 72, w = (Ззх + Caw + 73,
где a, /3i, ji — произвольные постоянные (а / О, /З1/З4 — /З2/З3 / 0) переводит исходное уравнение
в уравнение такого же вида. При этом
wx =
<* Pa- P2wx
где индексы х и х соответствуют частным производным.
Частный случай 1. Уравнение
dw / dw \k d2w
Точное решение (С1, С2 —произвольные постоянные):
где функция и = и(х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением ак(и'х)кихх + и = О,
общее решение которого можно записать в неявном виде
/с + 2 o\-i^2-
/Со и du
J V 3 2ак )
Частный случай 2. Уравнение
dw а д w dw
dt w2 + b2 dx2 ' dx '
1. Точное решение:
w(x,t) = ±\/C1 — b2(x + C2J — 2at + C3,
где C1? C2, C3 —произвольные постоянные.
2. Точное решение (С — произвольная постоянная):
/1 а \
w = 6жtg( ± — г — arctg(V;(^)) ± —_-t + С),
V 2 6
где функция ф = ip(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
В указанном решении зависимость z = z(x,t) задается неявно.
3. Точное решение (С — произвольная постоянная):
at
( / \ С л at \
= Ьхtg\yp(z) + — In — J ,
где функции у?(-г) и^(г) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
•. = ¦?. *Е = ^+л(^-4-
В указанном решении зависимость z = z(x,t) задается неявно.
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции 87
Частный случай 3. Уравнение
dw / dw \ d w
= к exp I ) —
dt V dx / аж^
Точное решение:
2 A arr.tgY^— ^ - (x + B) In
(x
kt 4- С
гу(ж, t) = 2Aarctg( ' ~ ) - (ж + В) In -— ^9 < л9 - B + In2)ж + D,
A
где А, B, C, D — произвольные постоянные.
® Литература: Э. В. Ленский A966), И. Ш. Ахатов, Р. К. Газизов, Н. X. Ибрагимов A989), N. Н. Ibragimov
A994).
dw л/ \ / \» / \ d2w dw
Преобразование годографа (х принимается за зависимую переменную, a w — за независимую
переменную)
х = и, w = у
приводит к уравнению аналогичного вида для функции и = и(у, t):
Чщ)^-, где h(z) = z~2h(l/z).
1.6.17. Нелинейные уравнения теплового (диффузионного)
пограничного слоя
Это уравнение встречается в нелинейных задачах диффузионного пограничного слоя (массооб-
мен капель и пузырей с потоком).
Преобразование (А, В — произвольные постоянные)
^-dx + A, z = yh(x), где h(x)
приводит к более простому уравнению вида 1.6.13.1:
® Литература: А. Д. Полянин A980 а, Ь), В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
ч ж \ п-1 ^гу / ч гг dw д
Это уравнение встречается в нелинейных задачах диффузионного пограничного слоя (массо-
обмен твердых частиц и капель), х — координата, направленная вдоль поверхности тела, у —
координата, направленная по нормали к поверхности тела.
Преобразование (А, В — произвольные постоянные)
?= / ———dx + A. z = yh(x). где /г(ж) = 5ехр — / ———<
J /0*0 L J f(x)
приводит к более простому уравнению вида 1.6.15.13:
dw _ i-n d
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
У \ dw i * „{ У
Это уравнение является обобщением линейного уравнения теплового пограничного слоя на
плоской пластине.
88 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
1°. Автомодельное решение:
w = w(?), ? = -^, A)
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
Ь(«0иЭД + [it№ - 9@]щ = о. B)
2°. Решение исходного уравнения в частных производных с простейшими граничными усло-
условиями первого рода
х = 0, w = а; у = 0, w = b; у —»¦ оо, гу —»¦ а,
где а, 6 — некоторые постоянные, сводится к решению уравнения B) с граничными условиями
? = 0, гу = 6; ? —»¦ оо, ги —»- а.
Замечание. Классическое уравнение теплового пограничного слоя задается соотношения-
соотношениягде F(?) —решение Блазиуса в гидродинамической задаче о продольном обтекании плоской
пластины однородным поступательным потоком вязкой несжимаемой жидкости, Рг — число
Прандтля (х — координата, направленная вдоль пластины, а у — координата, направленная по
нормали к поверхности пластины).
1.7. Нелинейное уравнение Шредингера и родственные
уравнения
1.7.1. Уравнения вида г—— + —^- + f(\w\)w = 0, содержащие
произвольные параметры
В этом разделе w — комплексная функция действительных переменных х nt, i2 = —1.
л . dw d2w . |2 п
Уравнение Шредингера с кубической нелинейностью, к — действительное число.
1°. Точные решения:
w(x, t) = d ехр{г [С2х + (Wf - C\)t + С3]},
C3)l,
J
w(x,t) = % е
yt
где A, 5, Ci, C2, C3 —произвольные действительные постоянные. Второе и третье решения
справедливы при к > 0.
2°. Точное решение:
гу(ж, t) = (аж + 6) ехр [г(аж2 + /Зх + 7)] 5
где функции а = a(t), b = b(t), а = a(t), C = f3(t), j = j(t) описываются автономной системой
обыкновенных дифференциальных уравнений
a't = — баа,
bi = -2аC - 2Ьа,
a't = ka2 -4а2,
fit = 2каЪ -
3°. О других точных решениях см. уравнение 1.7.4.1 при f(u) = ки2.
1.7. Нелинейное уравнение Шредингера и родственные уравнения 89
4°. О преобразовании Беклунда, сохраняющим вид уравнения, см. разд. В.5 (пример 2).
5°. Уравнение Шредингера с кубической нелинейностью интегрируется методом обратной
задачи рассеяния, см. цитируемую ниже литературу.
® Литература: В. Е. Захаров, А. Б. Шабат A971), В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков,
Л. П. Питаевский A980, стр. 85-97), Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев A986), М. Абловиц, X. Сигур A987),
Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, X. Моррис A988).
Уравнение Шредингера с кубической нелинейностью, Аи В — действительные числа.
1°. Точные решения:
w(x,t) = Ci ехр{г [С2х + (АС2 + В- C22)t + С3]},
w(x,t) = —f- ехр г- — Ь i(AC2 \nt + Bt + Сз)\,
Vi
где Ci, C2, С2, —произвольные действительные постоянные.
2°. Точное решение:
w(x, t) = (ах + b) ехр [i(ax + /Зх + 7)] •>
где функции а = a(t), Ъ = Ъ(t), a = a(t), /3 = /3(t), 7 = 7(t) описываются автономной системой
обыкновенных дифференциальных уравнений
a't = — б
h't = -2af3 - 2k*,
a't = Aa2 — 4а2,
0i = 2Aab - 4aP,
7; = Ah2 - /32 + B.
3°. О других точных решениях см. уравнение 1.7.4.1 при f(u) = Аи2 + В.
з- *ж+4^г + (^i^i2+в1»1+с)«=°-
Уравнение Шредингера с кубической нелинейностью, А, В, С — действительные числа.
1°. Уравнение имеет точное решение вида
w(x, t) = (ax + Ъ) ехр [i(ax2 + (Зх + 7)] ?
где функции а = а(?), 6 = b(t), a = a(t), j3 = /3(?), 7 = i(t) —действительные функции
действительного переменного.
2°. О других точных решениях см. уравнение 1.7.4.1 при f(u) = Аи2 + Ви + С.
Уравнение Шредингера со степенной нелинейностью, А, п — действительные числа.
1°. Точные решения:
w(x, t) = d ехр{г [С2х + (A\d\2n - C\)t + С3]},
Y^-t +C3)\,
где С\, С2, С2, —произвольные действительные постоянные.
2°. О других точных решениях см. уравнение 1.7.4.1 при f(u) = Аи2п.
90 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
1.7.2. Уравнения вида г^- + — — (хп-^-) + f(\w\)w = 0, содержащие
dt хп дх V дх /
произвольные параметры
В этом разделе w — комплексная функция действительных переменных х и t, г = — 1.
Значениям п = 1 и п = 2 соответствует двумерное и трехмерное уравнение Шредингера с осевой
и центральной симметрией.
. . dw , 1 О / п dw \ , . , |2
1. г (х + A\w\ w = 0.
at хп дх \ дх) ' '
Уравнение Шредингера с кубической нелинейностью.
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = u(x)ei{Clt+C2\
где Ci, C2 —произвольные действительные постоянные, а функция и = гг(ж) описывается
обыкновенным дифференциальным уравнением
х~п(хпих)'х - du + Аи3 = 0.
2°. Точное решение:
+ С
/
X U уХ)
где Ci, C2, Сз —произвольные действительные постоянные, а функция гб = и(х) описывается
обыкновенным дифференциальным уравнением
х-п(хпи'х)х - Cm - Cix-2nu-s + Аи3 = 0.
3°. Точное решение:
п + 1
w(x,t) = Ci(t + C2)-—e
где С\, С2, С2, —произвольные действительные постоянные.
Уравнение Шредингера с кубической нелинейностью.
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = u(x)ei{Clt+C2\
где Ci, C2 —произвольные действительные постоянные, а функция и = и(х) описывается
обыкновенным дифференциальным уравнением
х~п(хпих)'х - Cm + (Аи2 + В)и = 0.
2°. Точное решение:
+ С
/
X U уХ)
где Ci, C2, Сз —произвольные действительные постоянные, а функция и = и(х) описывается
обыкновенным дифференциальным уравнением
х~п(хпих)'х - Cm - Cix-2nu~3 + (Аи2 + В)и = 0.
3°. Точное решение:
Т2 4Г*2
" Н + т + Сз
где С\, Сг, Сз —произвольные действительные постоянные.
Частный случай уравнения 1.7.4.4 при /(гг) = Аи2 + 5гб + С.
1.7. Нелинейное уравнение Шредингера и родственные уравнения 91
. . dw . 1 д ( rt dw \ . А. |fe л
Уравнение Шредингера со степенной нелинейностью.
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = u(x)ei{Clt+c<2\
где Ci, C2 —произвольные действительные постоянные, а функция и = гг(ж) описывается
обыкновенным дифференциальным уравнением
х~п(хпих)'х - du + А\и\ки = 0.
2°. Точное решение:
*)], ^(ж,*) = С it + С2 / —т^т + С3,
J у хпи2(х)
где Ci, C2, Сз —произвольные действительные постоянные, а функция гб = гг(ж) описывается
обыкновенным дифференциальным уравнением
х~п(хпих)'х - Cm - Cix-2nu-3 + A\u\ku = 0.
3°. Точное решение:
71 + 1
2
где Ci, C2, С2, —произвольные действительные постоянные.
1.7.3. Уравнения с кубической нелинейностью, содержащие
произвольные функции
В этом разделе w — комплексная функция действительных переменных х nt, i2 = —1.
^ +-^ + [ШЫ2 + 9(t)]w = О.
Уравнение Шредингера с кубической нелинейностью, f(t) и g(t)—действительные функции
действительного переменного.
1°. Точное решение:
w(x,t) = С1вхр[г^(ж,*)], (f(x,t) = C2x-dt+ [[f(t)+g(t)]dt + C3,
где Ci, C2, Сз —произвольные действительные постоянные.
2°. Точное решение:
w(x, t) = -^ ехр [Мх, 0], ф, t) = i^±pl + J [Clf{t) + tg(t)] -^ + Cs,
где С\, С2, Сз —произвольные действительные постоянные.
3°. Точное решение:
w(x, t) = (ax + Ъ) ехр [i(ax2 + /Зх + 7)] ?
где функции а = a(t),b = b(t), a = a(t), /3 = /3(t), *у = lit) описываются системой обыкновенных
дифференциальных уравнений
at =
b't = -2af3 -
fit = 2f(t)ab -
92 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
2- iEet+ l^k + [fl{t) + ^WWN2 + toi(«) + ig*(t)]w = о.
Уравнения этого вида встречаются в нелинейной оптике.
1°. Точные решения:
w(x, t) = ±u(t) ехр[г<^(ж, t)], (р(х, t) = Cix - C\t + / [/i (t)u(t) + g1 (t)] dt + C2.
Здесь функция и = u(t) описывается уравнением Бернулли u't + f2(t)us + g2(t)u = 0, общее
решение которого имеет вид
u(t) = [c3eG(t) + 2eG(t) fe-e(t)f2(t)dty/, G(t) = 2 jg2(t)dt.
2°. Точное решение:
w(x,t) = ±u(t)e*p[iip(x,t)], ip(x,t)= {X+^lJ + J[fi(t)u2(t)+gi(t)]dt
где функция и = u(t) описывается уравнением Бернулли
u
Интегрируя, получим
u(t)= [CseG{t) + 2eG{t) fe~G{t) f2(t) ^]/2, G(t) =\nt + 2 Г g2(t)dt.
3. г^ + ^. + [h{x) + г/2(Ж)]^|^|2 + [^(Ж) + ig2(x)]w = 0.
Точное решение:
w(x, t) = ±u(x)
где функции и = гг(ж) и ^ = 6{х) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
2ихв'х + ив'хх + f2(x)u3 + ^2(ж)^ = О,
u'U - Cm - и{в'хJ + h{x)u3 + Р1(ж)гА = 0.
4. г^ + [fx{t) + if2(t)]^- + [gx(t) + ^2(t)]W|W|2 + [hi(t) + ih2(t)]w = 0.
Точные решения:
w(x,t) = ±u(t)exp[i(p(x,t)], tp(x,t) = Cix+ j [-Clfi{t) + gi{t)u2{t) + hi{t)]dt + C
Здесь функция и = u(t) описывается уравнением Бернулли
ut+g2(t)u3 + [h2(t) - Cff2(t)]u = О,
общее решение которого имеет вид
u(t) = [c3eF(t) + 2eF(t) fe-F(t)g2(t)dty1/2, F(t) = 2 f [h2(t) - С?/а(*)] dt.
5. i^- + [fi(x) + if2(x)]^- + [9l(x) + ig2(x)]w\w\2 + [fcx(x) + ih2(x)]w = 0.
Точное решение:
w(x, t) = u(x)
где функции и = u(x) и ^ = 6(x) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
' + fiuO'xx + J2u'Xx - f2u@'xJ + p2^3 + h2u = 0,
— fiu{6'xJ — 2f2ux6'x — J2u6'xx + gius + h\u = 0.
1.7. Нелинейное уравнение Шредингера и родственные уравнения 93
lit + [/l(f) + i/2(t)]S + [9lit) + *№»(*)]«к|а + [hi(t) + tha(t)]« = о.
Данное уравнение при fn,gn,hn = const используется для описания двухкомпонентных
реакционно-диффузионных систем в окрестности точки бифуркации (Y. Kuramoto, T. Tsuzuki,
1975).
Точные решения:
w(x,t) = ±u(t)exp[i(p(x,t)], (f(x,t) = Cix+ I [df2(t) - g2(t)u2(t) - h2(t)]dt + C2.
Здесь функция и = u{t) описывается уравнением Бернулли
ut+gi(t)u3 + [ftx(О - C?/i@]« = О,
общее решение которого имеет вид
u{t) = [CseF(t} + 2eF(t} I e-F(t)gi(t)dt\~1/2, F(t) = 2 J [кг (t) - C?/i (*)] d*-
7. -^ + [/i(«) + »/a(«)]-^- + [»i(«) + ig2(x)]w\w\2 + [hi(x) + ih2(x)]w = 0.
Точное решение:
w(x, t) = u(x)
где функции гб = u(x) и ^ = в(х) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
SWL ~ hu{9'xJ - hu$L - 2f2u'J'x + giu3 + hm = 0,
f2Uxx + ClU - f2uF'xf + fiu6xx + 2flUxex + p2^3 + feiA = 0.
1.7.4. Уравнения общего вида, содержащие произвольные функции
В этом разделе w — комплексная функция действительных переменных х nt, i2 = —1.
Уравнение Шредингера общего вида, f(u) —действительная функция действительного пере-
переменного.
1°. Пусть w(x,t) —решение уравнения Шредингера. Тогда функция
wi = e-i{Xx+x2t+Ci)w(x + 2At + С2, t + Сг),
где С\, С2, Сг, А — произвольные действительные постоянные, также будет решением этого
уравнения.
2°. Решение типа бегущей волны:
w(x, t) = Ci exp[i<p(x, t)], <p(x, t) = C2x - C\t + f(\Ci \)t + C3.
3°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = u(x)ei{Clt+c<2\
где функция и = и(х) определяется неявно по формулам
Г du =C4±x, F(u) = [ uf(\u\) du.
Здесь Ci, C2, Сг, С а — произвольные действительные постоянные.
4°. Точное решение:
w(x,t) = U{0ei{Ax+Bt+c\ ? = x-2At, A)
где функция U = U(?) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением ЩГ? + f(\U\)U — (А2 + B)U = 0. Интегрируя, получим решение в неявном виде
\ , dU ^ = C2±^ F(U)= fuf(\U\)dU. B)
В формулы A) и B) входят произвольные действительные постоянные А, В, С, С\, Сч,-
94 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
5°. Точное решение (А, В, С — произвольные постоянные):
w(x,t) = i/j(z)exp[i(Axt- -jA2tS + Bt + C)], z = x -At2,
где функция ф = ip(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
Ф", + Ш)Ф - № + В)ф = 0.
6°. Точные решения:
w(x,t) = ±
±=eXp[i<p(x,t)], <p(x,t) = (g+.
I ^
где Ci, C2, С2, —произвольные действительные постоянные.
7°. Точное решение:
где С\, Сг, Сз —произвольные действительные постоянные, а функция и = и(х) описывается
автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
ихх - Сщ - С\и~ъ + f(\u\)u = 0.
8°. Точное решение:
w(x, t) = u(z) exp [iAt + iy>(z)], z = kx + At,
где А, к, X — произвольные действительные постоянные, а функции и = u(z) и (р = у (г)
описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
к2иф"г + 2k2uz(p'z + А^ = 0,
k2u'zZ — k2u((pfzJ — \mp'z — Аи + f(\u\)u = 0.
Уравнение Шредингера общего вида, f(x,u) —действительная функция двух действительных
переменных.
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
где С\, Сг —произвольные действительные постоянные, а функция и = и(х) описывается
обыкновенным дифференциальным уравнением
и'хх — С\и + /(ж, \и\)и = 0.
2°. Точное решение:
,*I, <p(x,t) = Cit + С2 / -^т- + С3,
2 / -
где Ci, C2, Сз —произвольные действительные постоянные, а функция и = гг(ж) описывается
обыкновенным дифференциальным уравнением
ихх - Cm - Ciu~s + /(ж, \и\)и = 0.
Уравнение Шредингера общего вида, f(t,u) —действительная функция двух действительных
переменных.
1°. Пусть w(x,t) —решение уравнения Шредингера. Тогда функция
где Ci, C2, А — произвольные действительные постоянные, также будет решением этого
уравнения.
w(
w(
1.7. Нелинейное уравнение Шредингера и родственные уравнения 95
2°. Точные решения:
(x,t) = Ciexp[i(p(x,t)], (f(x,t) = C2x-Clt+ I f(t,\Ci\)dt + C3;
(x,t) = dt~1/2 exp[t^(M)], Ф(*,*)= (ж+4^2J +ff(t,\Ci\t-1/2)dt + Cs,
где C\, C2, Сз —произвольные действительные постоянные.
4. i*L + ±J-(X"*!L) + f{\w\)w = 0.
Уравнение Шредингера общего вида, f(u) —действительная функция действительного пере-
переменного. Значениям п = 1 и п = 2 соответствует двумерное и трехмерное уравнение Шредингера
с осевой и центральной симметрией.
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
где С\, Съ —произвольные действительные постоянные, а функция и = и(х) описывается
обыкновенным дифференциальным уравнением
x-n{xnu'x)'x-Ciu + f(\u\)u = 0.
2°. Точное решение:
w(x,t) = u(x)exp[i<p(x,t)], <p(x,t) = Cit + C2 / ^ГТГТ + Сз'
J х и ух)
где С\, Сг, С2, —произвольные действительные постоянные, а функция и = и(х) описывается
обыкновенным дифференциальным уравнением
х~п(хпих)'х - Cm - Cix-2nu-s + f(\u\)u = 0.
3°. Точное решение:
гу(ж,*) = С1*~2±ехр[г^(ж,*)], <p(x,t) = ^+ /
где Ci, С2 — произвольные действительные постоянные.
Уравнение Шредингера общего вида, f(x,u) —действительная функция двух действительных
переменных. Значениям п = 1 и п = 2 соответствует двумерное и трехмерное уравнение
Шредингера с осевой и центральной симметрией.
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
где С\, Сг —произвольные действительные постоянные, а функция и = и(х) описывается
обыкновенным дифференциальным уравнением
х~п(хпих)х - Сщ + /(ж, \и\)и = 0.
2°. Точное решение:
,*I, (p(x,t) = Cit + С2 / —^— + С3,
J J хпи2(х)
2(х)
где Ci, С2, Сз —произвольные действительные постоянные, а функция и = и(х) описывается
обыкновенным дифференциальным уравнением
х~п(хпих)'х - Cm - Cix-2nu~3 + /(ж, \и\)и = 0.
96 Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
Уравнение Шредингера общего вида, f(t,u) —действительная функция двух действительных
переменных.
Точное решение:
w(x,t) = Сх1~^ ехр[г<р(ж,*)], (p(x,t) = ^- + //(*, Idl*""^) dt
где Ci, С2 — произвольные действительные постоянные.
7 * + f{)^ + {)^ + Ф(H) °
Уравнение Шредингера общего вида, Ф(х,и) —действительная функция двух действительных
переменных. Случай g{x) = fx(x) соответствует анизотропной среде.
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = u(x)ei{Clt+C2\
где С\, С2 —произвольные действительные постоянные, а функция и = и(х) описывается
обыкновенным дифференциальным уравнением
f(x)u"x + д(х)их - С\и + Ф(ж, \и\)и = 0.
2°. Точное решение:
w(x,t) = U(x)exp\i<p(x,t)~\,
ф, t) = Cit + C2J -^- dx + Сз, R(x) = ехр [~ J j^ dx],
где Ci, C2, C3 —произвольные действительные постоянные, а функция U = U(x) описывается
обыкновенным дифференциальным уравнением
f(x)U"x + g(x)U'x - CiU - Cif(x)R2(x)U-3 + Ф(ж, |С/|)С/ = 0.
8. ^ = (a + ib^
Обобщенное уравнение Ландау — Гинзбурга, f(u) и р(гг) —действительные функции действи-
действительного переменного, а и Ъ — действительные постоянные. Уравнения этого вида используют-
используются для изучения фазовых переходов второго рода в теории сверхпроводимости (Л. Д. Ландау,
В. Л. Гинзбург, 1950) и для описания двухкомпонентных реакционно-диффузионных систем в
окрестности точки бифуркации (Y. Kuramoto, T. Tsuzuki, 1975).
1°. Пусть w(x,t) —решение уравнения обобщенного уравнения Ландау — Гинзбурга. Тогда
функция
wi =eiClw(x + C2,t + C3),
где С\, С2, С'з — произвольные действительные постоянные, также будет решением этого
уравнения.
2°. Решение типа бегущей волны:
где С\, С2 — произвольные действительные постоянные.
3°. Точное решение:
w(x,t) = u(t)exp[iip(x,t)], ip(x,t) = Cix+ / g(\u\) dt + C2,
где u = u(t) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением щ = f(\u\)u — aC\и,
общее решение которого можно представить в неявном виде
du , t „
I
f(\u\)u-aCfu
1.7. Нелинейное уравнение Шредингера и родственные уравнения 97
4°. Точное решение:
w(x, t) = U(z) exp [iCit + i9(z)], z = x + \t,
где C\, A— произвольные действительные постоянные, а функции [/ = U(z) и в = 6(z)
описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
aUzz - aUF'zf - UJQ"ZZ - 2bUfz6fz - XUZ + f(\U\)U = 0,
aU0"z - bUF'zf + bUzz + 2aUz0'z - \U0'z - CiU + g(\U\)U = 0.
® Литература: В. С. Берман, Ю. А. Данилов A981).
9- "^ = [Л(*. l«l) + </a(*, kl)] "^ + [ffi(*, M)
Точное решение:
w(x,t) = Ц*)ехр[г^(ж,*)], ^(ж,*) = Схж + Лр2(*, |w|) - Cif2(t, \u\)] dt + С2,
где Ci, C2 —произвольные действительные постоянные, а функция и = гг(?) описывается
обыкновенным дифференциальным уравнением
Щ = ugi(t, \и\) - C%ufi(t, \u\).
Ю. -^- = [fi(x,\w\) +ih(x,\w\)]-^- + [01 (ж, И) +ig2(x,\w\)]w.
Точное решение:
w(x,t) = u(x) exp\i(p(x,t)\, (p(x,t) = Ci? + ^(ж),
где функции и = гг(ж) и 0 = 0(ж) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
hu'L - fiu{e'xJ - /2иС - 2f2u'x6'x + 31(|и|)и = 0,
fiue'L - f2u(e'xJ + fWL + 2fiu'xe'x - cm + 02(M)« = 0.
Здесь fn = fn(x, \u\), gn = gn(x, \u\), n = 1, 2.
7 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
2. Уравнения параболического типа с двумя и
более пространственными переменными
2.1. Уравнения с двумя пространственными переменными
2.1.1. Уравнения, содержащие произвольные параметры
л dw ( d2w d2w \
1. = а — — — kw In w.
dt V дх2 ду2 )
Нестационарное уравнение теории тепло- и массопереноса и теории горения с источником
логарифмического вида. Частный случай уравнения 2.1.2.1 при f(w) = —kwlnw.
1°. Точное решение (А — произвольная постоянная):
w(x, у, t) = exp [Ae~kt
где функция в (ж, г/) удовлетворяет стационарному уравнению
w(x, у, t) = exp [Ae~kt + 6(ж, у)],
Это уравнение имеет частное решение вида в = А\х2 + А2ху + Аз^/2 + ^4Ж + А*,у + Аб, где
постоянные А к определяются из соответствующей алгебраической системы уравнений.
2°. Точное решение:
w(x, у, t) = exp [tp(x, t) + ф(у, t)],
где функции ip(x,t), ip(y,t) находятся из двух независимых одномерных нелинейных диффе-
дифференциальных уравнений параболического типа
dip d2ip fdip\2
-J—= а—tJ- + a (-1-) —kip,
dt dx2 V dx ) ^'
dip д2ф (дф\2
——= a—7- + a —- —кф.
dt dy2 V dy ) *
О решениях этих уравнений см. 1.6.3.4 при f{t) = 0.
3°. Имеются точные решения вида
w(x, у, t) = ^)ф(г]), ? = а\х + bit, ц = а2у + b2t,
где ai, bi, 0,2, b2 —произвольные постоянные. Данное решение является частным случаем
решения из п. 2°.
® Литература: В. А. Дородницын, И. В. Князева, С. Р. Свирщевский A983), В. К. Андреев, О. В. Капцов,
В. В. Пухначев, А. А. Родионов A994, стр. 114-117).
„ dw ( d2w d2w
2 +
1°. Точное решение:
w(x, y,t) = V(t)(ClX2 + C2xy + Сзу2 + dx + C5y + C6), <p(t) =
7 — 2a{C1
где С к — произвольные постоянные.
2.1. Уравнения с двумя пространственными переменными 99
2°. Уравнение допускает более общее решение вида
где А, В — произвольные постоянные, а функция в = О(х,у) удовлетворяет двумерному
уравнению Пуассона
дх2 ду2
О решениях этого линейного уравнения см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского A972),
В. С. Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ь).
3°. Решение типа бегущей волны в неявном виде:
а(к\ + kl) f Л1 dw ^ = fax + к2у + Xt + C2,
J A In w + Cx
где С\, С2, ki, &2, A — произвольные постоянные.
4°. Уравнение имеет «двумерные» решения следующего вида:
w(x,y,t) = F(z,t), z = kix + к2у;
w(x, y, t) = G(r, t), r = \Jx2 +y2;
w(x,y,t) =
w(x,y,t) = e2tV(dX2), Ci=xe~\ B = ye~\
где ki, fe, Ai, A2, f3 — произвольные постоянные.
? dw ( x a
Уравнение допускает решения вида
Здесь в (ж, у) —любое решение двумерного уравнения Гельмгольца
дх2 ду2
где к = j//3 (J3 ф 0). О решениях линейного уравнения A) см. книги А. Н. Тихонова,
А. А. Самарского A972), В. С. Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ъ).
Функции f{t) и g{t) описываются автономной системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
Первое уравнение этой системы не зависит от функции g{t) и представляет собой уравнение с
разделяющимися переменными. После определения f(t) решается второе уравнение B), которое
линейно относительно функции g(t).
Функции f{t) и g{t) имеют различный вид в зависимости от значений параметров уравне-
уравнения. Выделим пять возможных случаев, ниже С\, Сг — произвольные постоянные.
1°. При 7 = ^ = 0 имеем
f(t) = Ci+et, t
2°. При 7 = 0, S ф 0 имеем
= Cie --L g(t) = C2e(s-a>c)t
3°. При 7 ф 0, S2 - 47s = [I2 > 0 (// > 0) имеем
/(*) = Cie" --L g(t) = C2e(
О
Sl+s2Cie^ С, GS2+a^)t -б ±
JKJ 1 + С1б^ ' УУ J 1 + С1б^ ' ' 27
100 Уравнения параболического типа с двумя и более пространственными переменными
4°. При 7 ф О, S2 - 47s = 0 имеем
5°. При 7 ф 0, ?2 - 47S = -//2 < 0 (ji > 0) имеем
® Литература: В. А. Галактионов, С. А. Посашков A989), N. Н. Ibragimov A994).
л dw ( d2w d2w \ Г / dw \2 / dw \2
4 ( + J[lJ +(J
1°. Точное решение:
w(x,y,t) = Ci-0t + C2 exp[a(//2
где //, i/, Ci, С2 — произвольные постоянные.
2°. Точные решения при C = 0:
w(x, у, t) = —Ц- + В(А + aiSt)er ±
(ж? ^ t) = A cth fl(t) + Б sh <9(t) е^ж =b A
[x, y,t) = A ctg (9(t) + В sin (9(t) е^ж zfc A
гу(ж, у, t) = —- ± A -^- ch(//x + to) + sA -^- smlay
l-chfl(t) , , , , ч , . l+ch6»(t)
m(/X?/ + 40)'
где A, 5, //, ^o, т/о, то — произвольные постоянные, 6(t) = afi2At + ro, s — параметр,
принимающий значения 1 или — 1.
Делая в указанных формулах замену х ^ у, можно получить другую группу решений
(которые здесь не выписываются).
3°. Уравнение допускает решения в форме
w(x, у, t) = f(t) + g(t)<p(x) + Н{ЬШу). A)
В частности при (р'1х = г/if, фуУ = — г/ф, где v — произвольная постоянная, имеем
ц>(х) = А\ сЪ. iix + A2 sh//x, ф(у) = Bicos/iy-\-В2 81п/1у (у = //2 > 0),
у (ж) = Ai cos fix + А2 sin//ж, ф (у) = Bi ch fiy-\-В 2sh/jJy (у = — //2 < 0).
Здесь Ai, A2, 5i, .62 —произвольные постоянные. Функции f(t), g(t), h(t) в A) описываются
системой обыкновенных дифференциальных уравнений
ft = olv{A\ - sA22)g2 - av(B\ + sB22)h2 - /3,
9t = OLvfg,
h't = -ai/fh,
где s = sign v. Можно понизить порядок этой системы на два и представить ее в виде (Ci, C2 —
произвольные постоянные)
где
+ (А\ - sAD^t + ^ ln l^l + (Bi + ^|)/i2.
При /3 = 0 в некоторых случаях можно получить решение в явном виде (см. п. 2°).
2.1. Уравнения с двумя пространственными переменными 101
4°. Уравнение допускает решения в форме
w(x, у, t) = f(t) + g(tMx) + h(tI>(y) + u{tN{x)X{y). B)
При Lp'lx = 4z/<?>, фу у = — Аг/ф, в'хх = ив, Хуу = ~vX-> гДе v — произвольная постоянная, в
формуле B) следует положить
при v = /i > О
<р(х) = А\ ch 2/хж + А2 s
= Bi cos 2/хг/ + В2 sin 2/хг/
0(ж) = С\ ch/ix + С2 sh/хж
Х(у) = Di cos fiy + D2 sin fiy
при i/ = —/i < 0
9?(ж) = Ai cos 2/хж + A2 sin 2/ix
ф(у) = В! ch 2/iy + Б2 sh 2/iy
в(х) = Ci cos /ix + C2 si
= Di ch //2/ + D2 sh //2/
Функции /(t), g(t), h(t), u(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений (s = sign v)
f't = -4av(Al - sA22)g2 + Aav(Bl + sB22)h2 - /3,
g't = —4avfg + az/ai(Di + sDl)u2,
h't = 4avfh — ava2{C\ — sCl)u2,
Произвольные постоянные А\, А2, В\, B2, C\, C2, D\, D2 связаны двумя соотношениями
2AiCiC2 = A2{C\ + sCl), 2B1D1D2 = B2(D\ - sD22).
Коэффициенты ai, a2, аз, а^ определяются формулами
C2+sC% Dl-sDl , Cl-sCl „ D\+sDl
ai = —^ п2 = a3 = A2^^ Д4 = Б2
при Ai / 0, Bi / 0, CiC2 ф 0, DiD2 Ф 0.
Если Ai = 0 (А2 ф 0), то следует положить а\ = С\С2/А2. Если 5i = 0 (.62 / 0)? то
а2 = D1D2/B2. Если Ci = 0 (С2 / 0), то а3 = -Аь Если С2 = 0 (Ci / 0), то а3 = Ах. Если
Dx = 0 ф2 / 0), то а4 = -Вь Если D2 = 0 (Di / 0), то а4 = Вх.
5°. Уравнение имеет точное решение типа бегущей волны w = w(k\x + /c22/ + ^)> гДе ^i? fe,
Л — произвольные постоянные.
6°. Уравнение имеет точные решения вида
w(x, у, t) = f(t)x2 + g(t)xy + h(t)y2 + <p(t)x
В частном случае cp(t) = ^(t) = 0 функции f(t), g(t), h(t), x(t) описываются автономной
системой обыкновенных дифференциальных уравнений
/,' = aBfh - 2/2 - g2), h't = aBfh - 2h2 - д2),
g't = -2ag(f + h), Xt = Mf + h)X~P,
которая полностью интегрируется.
® Литература: В. А. Галактионов, С. А. Посашков A989), А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин, А. И. Журов,
Д. А. Казенин A998).
_ dw d2w д
5 +
1°. Точное решение линейное по переменной у:
w = f(x,t)y + g(x,t),
где функции / и д определяются путем решения одномерных уравнений
Уравнение A) является линейным однородным уравнением теплопроводности. Уравнение
B) при известной / = f(x,t) можно рассматривать как линейное неоднородное уравнение
теплопроводности. Об этих уравнениях см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского A972),
В. С. Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ь).
102 Уравнения параболического типа с двумя и более пространственными переменными
2°. Уравнение имеет точное решение квадратичное по переменной у:
w = /(ж, t)y2 + g(x, t)y + h(x, t).
6. = w -\ w .
dt dx \ dx J dy \ dy )
Уравнение Буссинеска. Встречается в нелинейных задачах теории теплопроводности и нестаци-
нестационарных задачах теории фильтрации со свободной поверхностью [см. П. Я. Полубаринова —
Кочина A977, стр. 433)]. Частный случай уравнения 2.1.1.12 при п = 1.
1°. Точное решение линейное по всем независимым переменным:
w(x, у, t) = Ax + By + (A2 + B2)t + С,
где А, В, С — произвольные постоянные.
2°. Решение типа бегущей волны (hi, &2, A — произвольные постоянные):
w = w(?), ? = k\x + k2y + At,
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
А^ = (&i + k2)(ww^)^.
Решение этого уравнения можно записать в неявном виде
f = в + Я±М_(\w -A\n\A + Xw\),
А
где А, В — произвольные постоянные.
3°. Точное решение квадратичное по пространственным переменным:
w(x, у, t) = f(t)x2 + g(t)xy + h(t)y2,
где функции f(t), g(t), h(t) описываются автономной системой обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений
9t = 6(/ + h)g, B)
h't =6/г2 + 2//г + /. C)
Из уравнений A), C) следует, что f't — h't = 6(/ + h)(f — h). Далее с помощью уравнения B)
при д ф 0 находим / = h + Ад, где А — произвольная постоянная. Используя это равенство,
исключим из B) и C) функцию h. В итоге имеем нелинейное обыкновенное дифференциальное
уравнение для g(t)
Sgg't't ~ bg't2 ~ 36A + А2)д4 = 0.
Решая это уравнение с помощью замены и(д) = (д[J, получим (В — произвольная постоянная)
g't = дФ(д), Ф(д) = ±^Вд*/* + 36A + Л2)(/2, D)
h = -^Ф(д) - \Ад, f = -^Ф(д) + \Ад,
где первое уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, и его решение
можно выписать в неявном виде.
В частном случае В = 0 имеем решение в явном виде {С — произвольная постоянная):
4°. Уравнение допускает решения вида
w(x, у, t) = f(t)x2 + g(t)xy + h(t)y2 + <p(t)x
где функции f(t),g(t),h(t), (f(t), ip(t), x(t) описываются системой обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений
ft = б/2 + 2/ft + g\ v't = 2C/ + Н)ч> + 2дф,
g2, X't = V2 + Ф2 + 2(f + h)X-
Первые три уравнения решаются независимо (см. п. 3°).
2.1. Уравнения с двумя пространственными переменными 103
Частный случай. Точное решение:
у2 3
in(' гг УЛ I (~^ гг+— 1/3 _|_ ^2^.1/3
о? 2
где С — произвольная постоянная.
5°. Уравнение допускает решения вида
w(x,y,t) = (At + B)~1B(x,y),
где А и В — произвольные постоянные, а стационарное уравнение для функции в выписано в
2.1.1.12 при п = а = 1.
® Литература: С. С. Титов, В. А. Устинов A985), В. В. Пухначев A995), А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин,
А. И. Журов, Д. А. Казенин A998).
п dw d \, , dw I d Г, , dw]
Это двумерное нестационарное уравнение тепло- и массопереноса, когда коэффициент темпе-
температуропроводности зависит от температуры по линейному закону.
Замена U = aw + C приводит к уравнению вида 2.1.1.6:
dt дх V дх ) ду V ду
dw _ Г д / 1 dw \ д / 1 dw
ду
Частный случай уравнения 2.1.1.12 при п = — 1.
1°. Решения типа бегущей волны:
где А, В, ki, fe, A — произвольные постоянные.
2°. Точные решения:
В
w(x,y,t) = —
(sin?/ + AexJ '
w(x,y,t) =
w(x,y,t) =
e2xsh2(Ae-xsiny + B) '
С - 2A2at
е2х ch2 (Ae~x sin у + В) '
^'^ = е2-со82(Ае-8тгу + Б) '
где А, 5, С — произвольные постоянные.
3°. Указанные в п. 2° точные решения являются частными случаями более общего решения в
виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y,t) = (Aat + B)e~^x'y ,
где А, В — произвольные постоянные, а функция Q(x,y) является решением стационарного
уравнения
которое встречается в теории горения. О решении этого уравнения см. 5.2.1.1.
® Литература: В. А. Дородницын, И. В. Князева, С. Р. Свирщевский A983), А. Д. Полянин, А. В. Вязь-
Вязьмин, А. И. Журов, Д. А. Казенин A998).
104 Уравнения параболического типа с двумя и более пространственными переменными
4°. Другие точные решения:
t ±
in ( т ii /
- - - -
(х + AJ Sh2(at + C) + (y + BY c\v2(at + С) '
w(x, г/, t) = \A ctg 6(t) + 5 sin 0(t) e^x ± A V
sinfl(t)
cos^(t)
±
sA
где 0(?) = a/i2At + ro; A, 5, //, ^o, т/о, ^"o — произвольные постоянные; s — параметр,
принимающий значения 1 или —1 (первое решение указал В. В. Пухначев, 1995).
Делая в указанных формулах замену х ^ у, можно получить другую группу решений
(которые здесь не выписываются).
5°. Решения с осевой симметрией:
Л2гА-2
w(r,t) =
где г = д/ж2 + у2; С, С\, Съ, А — произвольные постоянные.
® Литература: С. Н. Аристов A999).
6°. Преобразование w = 1/U приводит к уравнению вида 2.1.1.4 при /3 = 0:
v a?/
9 dw = д Г * dw\ д / 1 a^\
at аж V olw + /з дх J ду \ olw + /з ay /
Это двумерное нестационарное уравнение тепло- и массопереноса, когда коэффициент темпе-
температуропроводности задается гиперболической зависимостью от температуры.
Замена U = aw + j3 приводит к уравнению вида 2.1.1.8:
dU _ д / 1 dU \ д / 1 dU \
~дГ ~ ~dx\~U~dx~) + ~dy\~U~dy~)'
dy\Udy
лл dw Г д ( 1 dw \ О / 1 агу\]
10. = а Н + /3™.
at I дх \ w дх J ду \w ду ) \
1°. Преобразование
гу(ж, 2/, ?) = e0tu(x, у,т), т = С - ^
где С — произвольная постоянная, приводит к более простому уравнению вида 2.1.1.8:
ди _ Г д / 1 ди \ д / 1 ди \1
^т L ^ж V и дх J ду \ и ду ) \
2°. В работе В. М. Журавлева B000) описан нелинейный принцип суперпозиции, позволяющий
строить сложные многомодовые решения исходного уравнения (там же указаны некоторые
точные решения).
2.1. Уравнения с двумя пространственными переменными 105
dw Г д ( 1 dw \ д
Замена w = 1/U приводит к уравнению 2.1.1.4 для функции U.
® Литература: В. А. Галактионов, С. А. Посашков A989), N. Н. Ibragimov A994).
л. dw Г d ( ndw\ d ( rtdw\l
12. = ос w И w
dt L dx V dx J dy \ dy /J
Двумерное нестационарное уравнение тепло- и массопереноса при степенной зависимости
коэффициента температуропроводности от температуры (показатель п может быть целым,
дробным и отрицательным). Частный случай уравнения 2.1.2.10 при f(w) = awn.
1°. Пусть w(x, у, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
Wl = C-2lnC\lnw{Cxx + С3, Ciy + С4, C2t + С5),
г^2 = w(xcosf3 — у sin /3, х sin /3 + у cos/3,t),
где Ci, С2, Сз, Са, Сб, C— произвольные постоянные, также будут решениями этого уравнения.
2°. Решение типа бегущей волны в неявном виде:
а(к\ + kl) I —-—^— = kix + к2у + At + С2,
У Aw; + Сх
где Ci, C2, A?i, A;2, A — произвольные постоянные.
3°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, у, t) = f(t)Q(x, у), f{t) = (Aant + В^1'71.
Здесь А, В — произвольные постоянные, а функция в (ж, г/)—любое решение двумерного
стационарного уравнения
дх \ дх J ду V д?/ /
Последнее уравнение при п ф — 1 можно преобразовать к следующей форме:
А^ + А(п + 1)^^+з" = 0, А = —--\ -, u = Sn+1.
дх ду
4°. Уравнение имеет «двумерные» решения следующего вида:
w(x,y,t) = F(z,t), z
w(x,y,t) =
w(x,y,t) = ^?/G71,772), 771 = xt
где k\, k2, Ai, A2, C — произвольные постоянные.
5°. См. также уравнение 2.2.2.5 для случая двух пространственных переменных при т = п+1.
® Литература: В. А. Дородницын, И. В. Князева, С. Р. Свирщевский A983), С. С. Титов, В. А. Устинов
A985), J. R. King A993), В. В. Пухначев A995).
dw d ( П1 dw \ d ( П2 dw \ к
13. = а\ w г + а? w 2 + bw .
dt dx \ dx J dy \ dy J
Частный случай уравнения 2.1.2.11 при f(w) = a\wni, g(w) = a2wn2.
1°. Решение типа бегущей волны:
где функция и = u(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
uz = [(ai\iiini -\- a2\2un<2)uz\z -\-Ъи .
Общее решение этого уравнения при Ь = 0 в неявном виде:
/
где Ci, С2 — произвольные постоянные.
® Литература: А. А. Самарский, И. М. Соболь A963).
106 Уравнения параболического типа с двумя и более пространственными переменными
2°. «Двумерное» решение:
1 пг-к + 1 п2-к + 1
w(x,y,t) = (at + P)r?:ibF(?,ri), f = x(at +/3) W-V , ц = y(at +/3) W-V ,
где функция F = F(?,rj) описывается уравнением
® Литература: M. И. Бакирова, С. Н. Димова, В. А. Дородницын, С. П. Курдюмов, А. А. Самарский,
С. Р. Свирщевский A988).
14 9w -а\ 9 />»*M + 9 (e^9wX\
14- dt ~ al дх Г дх ) + ду Г ду )У
Двумерное нестационарное уравнение тепло- и массопереноса при экспоненциальной зависимо-
зависимости коэффициента температуропроводности от температуры. Частный случай уравнения 2.1.2.10
при/О) =aeflw.
1°. Пусть w(x, у, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
W! = w(Cix + Сз, Ciy + C4, C2t + Съ) + — In -^-,
г^2 = гу (xcos/3 — |/sin/3, xsin/3 + у cos/3,t),
где Ci, C2, Сз, Са, Сь, C — произвольные постоянные, также будут решениями этого уравнения.
2°. Решение типа бегущей волны в неявном виде:
а(к\ + kl) f f" d™ = к1Х + к2у + Xt + C2,
где Ci, C2, A?i, fe, A — произвольные постоянные.
3°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, у, t) = f(t) + - In 0(ж, у), f(t) = -- \n(Aat + В).
Здесь А, В, /и, — произвольные постоянные, а функция в(ж,г/) —любое решение уравнения
Пуассона
О решениях этого линейного уравнения см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского A972),
В. С. Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ь).
4°. Уравнение имеет «двумерные» решения следующего вида:
w(x,y,t) = F(z,t), z = к\х + к2у;
w(x,y,t) = G(r,t), r = л/х2 + у2;
w(x,y,t) = <3(?i,?2), ?1 = kix + Ait, ?2 = k2x + \2t;
w(x,y,t) = #G71,772), 771 = ж2/*, 772 = y2/t;
w(x,y,t) = —^ + C/(Ci, C2), Ci = xe~\ C2 = ye~\
где A?i, fe, Ai, A2 —произвольные постоянные.
(•) Литература: В. А. Дородницын, И. В. Князева, С. Р. Свирщевский A983).
15. *L =а(в) +(в^
at L аж V дх ) ду \ ду
Замена w = — In U, где U = U(x, у, t) —новая зависимая переменная, приводит к уравнению
вида 2.1.1.3:
0 0
® Литература: В. А. Галактионов, С. А. Посашков A989), N. Н. Ibragimov A994).
2.1. Уравнения с двумя пространственными переменными 107
лг dw \ д /,_ .dw\ , д /,_ ,dw\-\ , - 2
16. = а Viu Н Viu +/3ги .
dt idxV ] дх J ду У ] ду J1
dw \ д /,_ .dw\ , д
ду У ] ду
V дх / \ ду )
1°. Точное решение:
Здесь Vw
где Ci, С2 —произвольные постоянные, а в (ж, у) —любое решение стационарного уравнения
2°. Точное решение:
Здесь функции /(?), p(t) определяются формулами
где А, 5, С — произвольные постоянные, а функция в(ж,г/)—любое решение стационарного
уравнения
дх У дх / ду У ду / а а
(•) Литература: В. А. Галактионов, С. А. Посашков A989), N. Н. Ibragimov A994).
2.1.2. Уравнения, содержащие произвольные функции
Двумерное нестационарное уравнение теории тепло- и массопереноса и теории горения.
1°. Пусть w(x, у, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
W! = W(±X + Cl,±y + C2,t + Сз),
W2 = w(xcos /3 — ysm/3, xsin/3 + у cos/3,t),
где С\, С2, C3, /3 — произвольные постоянные, solsalso (знаки в wi выбираются независимо
друг от друга).
2°. Решение типа бегущей волны (А, В, Л — произвольные постоянные):
w = w(f), f = Ах + By + At,
где функция w(?) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
а(А2 + B2)w'lt - \w't + f(w) = 0.
О его решениях см. книгу В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а).
3°. Уравнение имеет «двумерные» решения следующего вида:
w(x,y,t) = F(z,t), z =
w(x,y,t) = G(r,t), r =
гу(ж, 2/, ?) = Я(^1, ^2), ^i = Ал ж
где hi, fe, Ai, A2 —произвольные постоянные.
„ Он? d2w , d2w , р, ч Г/дги \2
2 + +f{)[{)
Замена
U
= F(w)dw, где F(w) = ехр / /(гу) с?гу ,
приводит к линейному уравнению теплопроводности для функции U = [/(ж, 2/, ?):
at/ д2и д2и
dt дх2 ду2 '
О решениях этого уравнения см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского A972), В. С. Влади-
Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ь).
108 Уравнения параболического типа с двумя и более пространственными переменными
_ dw д ( п dw \ д ( т dw \ , .
3. = ах И by + f(w).
dt дх\ дх ) ду\ у ду ) JK }
Точное решение при п ф 2, т ф 2:
где функция w(?,t) описывается одномерным нестационарным уравнением
dw d2w A dw г/ \ л 4 — пт
+ +/Ы А =
dt д?2 $ д? J У п B-n)B-m) '
О решениях этого уравнения при А = 0 для различных функций f(w) см. 1.1.1.1-1.1.1.7, 1.2.1.1
1.2.1.3, 1.4.1.2, 1.4.1.3, 1.4.1.7, 1.4.1.8, 1.6.1.1.
. dw д ( ръ dw \ д ( „у dw\ . ч
4. = ае^ И be у + f(w).
dt дх\ дх ) ду V ду ) J v }
Точное решение при /и, ф 0, v ф 0:
w =
где функция w(?,t) описывается одномерным нестационарным уравнением
dw d2w I dw „, ч
at аж V дх J ду \ ду) Jy '
Точное решение при п ф 2, v ф 0:
где функция w(t;,t) описывается одномерным нестационарным уравнением
dw d2w n 1 dw e, N
6. ^ = [«« + /(«)] (^ + 0) + 6«,2 + Я(«)„ + h(t), а ф 0.
Уравнение допускает точные решения вида
где функции (p(t), ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
<p't=lxp2+g(t)<p + h(t), A)
ф'ь = [Ър - Р№ + »@] Ф, /3 = Ь/а, B)
а функция в (ж, |/) —любое решение двумерного уравнения Гельмгольца
Д6 + /Ю = 0, Д = ^ + ^. C)
<9ж2 dy2
Первое уравнение системы A) не зависит от ф и представляет собой уравнение Риккати для
функции ср. В книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а) приведено много точных решений
уравнения A) для различных функций g(t) и h(t). После решения уравнения A), подставляя
зависимость (р = <p(t) в B), получим линейное уравнение относительно ф = ip(t), которое легко
интегрируется.
В частном случае Ъ = 0 решение системы A), B) дается формулами
<p(t) = exp[G(t)] {A + I hit) exp[-G(t)] dt}, G(t) = J g(t) dt,
ifj(t) = B exp [G(t) - f3F(t)], F{t) = [ f{t) dt,
где А, В — произвольные постоянные.
О решениях линейного стационарного уравнения C) см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Са-
Самарского A972), В. С. Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ь).
2.1. Уравнения с двумя пространственными переменными 109
_ dw
7- sr
\fdw\2.fdw\2l
1°. Уравнение имеет точные решения вида
Подставляя это выражение в исходное уравнение, имеем 6(?) = е% а функции ip(t), ip(t)
описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
(ft = /(?), ij)t = a(ft ~l~ 7 )<^V;-
В результате интегрирования находим решение
w(x, у, t) = v(t) + А ехр [fix + 72/ + a(f + J2)j<p(t) dt], v(t) = J'/(*) dt + B,
где A, B, /3, 7 — произвольные постоянные.
2°. Уравнение допускает также точные решения следующего вида:
w(x, y,t) = ip(t) + ij)(t)(A\ ch fix + A2 sh fix) + x(t)Ei cos fiy + 52 sin//|/),
гу(ж, y,t) = y?(t) + ^(t)(Ai cos fix + A2 sin fix) + x(?)(l?i ch//|/ + B2 shfiy),
где Ai, A2, B\, B2, fi — произвольные постоянные, а функции <p(t), ip(t), x{P) описываются
системой обыкновенных дифференциальных уравнений (здесь не приводятся).
3°. Уравнение допускает точные решения вида
w(x, у, t) = (p(t) + %l)(t)F(x) + x(t)G(y) + r](t)H(x)P(y),
где
F(x) = A\ cos 2fix + A2 sin 2fix, G(y) = ??i ch 2fiy + Б2 sh 2//|/,
H(x) = Ci cos //ж + C2 sin //ж, P(^/) = D\ ch //|/ + D2 sh //|/,
где произвольные постоянные A\, A2, B\, B2, Ci, C2, D\, D2, fi связаны двумя соотношениями,
а функции (p(t), ip(t), x(t), rj(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений (здесь не приводятся).
dw Г д ( ndw\ д ( ndw\l ( ч
8. = а w И w + f(t)w.
dt 1дх\ дх ) ^ ду\ ду )\ ^ J w
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, у, t) = ехр [J f(t) dt] [в(х, у)] ~, A)
где функция О(х,у) удовлетворяет уравнению Лапласа
О решении этого линейного стационарного уравнения см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самар-
Самарского A972), В. С. Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ъ).
2°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y,t) = <p(t)[e(x,y)]~, B)
где функция ip(t) определяется из уравнения Бернулли (А — произвольная постоянная)
ip't - №<р + AaVn+1 = 0, C)
а функция в (ж, г/) удовлетворяет стационарному уравнению
1 д2 д2
Ав + А(п + 1N -+i=0, А = -?— + -^Т.
дх2 ду2
Общее решение уравнения B) дается формулой
(p(t) = exp[F(t)] [Aan I exp[nF(t)] dt + в\ П, F(t) = / f(t) dt,
где В — произвольная постоянная.
110 Уравнения параболического типа с двумя и более пространственными переменными
3°. Преобразование
w(x,y,t) = F(t)U(x,y,r), r = jFn(t)dt, F(t) = exp[Jf(t)dt]
приводит к более простому уравнению вида 2.1.1.12:
= а\AГ) + Aг
дт 1дх\ дх) ду V ду
9 О(>^ +
V- at а1вх\е дх)+ ду
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,у, t) = (p(t) -\ In6(ж,у),
где функция if = ip(t) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
4>'t + А{а1ц) exp(W) - f(t) = 0, A)
а функция в (ж, у) является решением двумерного уравнения Пуассона
Д6 + А = 0, Д = ^ + ^. B)
дх2 ду2
Общее решение уравнения A) дается формулой
tp(t) = F(t) - —\п{в + Аа [exp[tiF(t)]dt}, F(t) = Г f(t)dt. C)
О решениях линейного стационарного уравнения B) см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского
A972), В. С. Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ъ).
Отметим, что в уравнение B) и в выражение C) входят произвольные постоянные А и В.
2°. Преобразование
w(x, у, t) = U{x, у, т) + F(t), т = J exp[//F(t)] dt, F(t) = J f(t) dt
приводит к более простому уравнению вида 2.1.1.14:
dU Г д ( „и dU\ д ( „и dU
dw 0 Г., 40uM . д
Двумерное нелинейное уравнение тепло- и массопереноса в случае изотропной среды.
1°. Пусть w(x, у, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
W! = w(Cix + С2, Ciy + С3, C\t + С4),
W2 = w(xcos C — |/sin/3, xsinf3 + у cos/3,t),
где Ci, C2, Сз, С a, ft — произвольные постоянные, также будут решениями этого уравнения.
2°. Решение типа бегущей волны в неявном виде:
h\) f
J
k2y + \t + C2,
AW + C-^
где Ci, C2, ki, fe, A — произвольные постоянные.
3°. Уравнение имеет «двумерные» решения следующего вида:
w(x,y,t) = F(z,t), z
w(x,y,t) = G(r,t),
w(x, y, t) = Я(^1, ^2), ^i = kix + Ait, ^2 = k2x + \2t;
w(x,y,t) = U(rH,Tl2), Tf!=X2/t, rj2=y2/t,
где hi, fe, Ai, A2 —произвольные постоянные.
(•) Литература: В. А. Дородницын, И. В. Князева, С. Р. Свирщевский A983).
2.1. Уравнения с двумя пространственными переменными 111
dw д Г л/ ч dw 1 , д
Двумерное нелинейное уравнение тепло- и массопереноса в случае анизотропной среды.
1°. Пусть w(x, у, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
wi = w(Cix + С2, Ciy + С3, С?* + С4),
где Ci, С2, Сз, ft — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Решение типа бегущей волны в неявном виде:
k2f(w) + k%g(w) , , w „
f
Aw; + Cx
где Ci, C2, ki, fe, A — произвольные постоянные.
3°. Уравнение имеет «двумерные» решения следующего вида:
w(x,y,t) = F(z,t), z = kix-\-k2y;
w(x,y,t) =
где ki, fe, Ai, A2 —произвольные постоянные.
4°. О групповой классификации и точных решениях данного уравнения для некоторых функций
f(w) и g(w) см. В. А. Дородницын, И. В. Князева, С. Р. Свирщевский A983).
12. -^ = /(«,) L[te] + g(t)w
Здесь L — произвольный линейный дифференциальный оператор по пространственным пере-
переменным ж, у (который не зависит от t).
Уравнение имеет точные решения вида
w(x,y,t) = <p(t) + ip(t)e(x,y),
где функции ip(t) и ip(t) определяются формулами (А — произвольная постоянная)
[h(t)e~G{t) dt\, il>(t) = BeG{t\ G(t) = Г
G(t) = Г g(t)dt,
а функция Q(x,y) удовлетворяет линейному стационарному уравнению
L[6] = 0.
Замечание 1. В рассматриваемом уравнении порядок линейного оператора L и число
пространственных переменных может быть любым. Коэффициенты оператора L могут зависеть
от пространственных переменных.
Замечание 2. В уравнении вместо f(w) может стоять произвольная функция вида
/(ж, y,t,w). При этом в частном случае /(ж, y,t,w) = fi(t) +aw, L = A+ 6, где А — оператор
Лапласа, а, Ъ — некоторые постоянные, получим уравнение вида 2.1.2.6.
л~ dw д г \dwi д
Нелинейное нестационарное уравнение теории тепло- и массопереноса и теории горения в ани-
анизотропном случае при произвольной зависимости главных коэффициентов температуропровод-
температуропроводности от координат.
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов (А — произвольная
постоянная):
w(x,y,t) = ехр(Аеы)в(х,у),
где функция в (ж, г/) удовлетворяет стационарному уравнению
112 Уравнения параболического типа с двумя и более пространственными переменными
2°. В частном случае f(x,y) = /(ж), д(х,у) = д(у) имеются точные решения с неполным
разделением переменных вида
w(x,y,t) = <p(x,t)ip(y,t).
Здесь функции ip(x,t), ip(y,t) находятся из двух независимых одномерных нелинейных диф-
дифференциальных уравнений параболического типа
~дГ ~ ~дх
где C(t) —произвольная функция.
3°. Замена w(x,y,t) = exp(Aekt)u(x,y,t), где А — произвольная постоянная, приводит к
уравнению такого же вида
ди д Г,. , ди~\ д Г . , ди ~\ . .
.. dw 9 Г., . dw ] 8
Точное решение с неполным разделением переменных (решение разделяется по пространствен-
пространственным переменным х и у, но не разделяется по времени t):
w(x,y,t) = (p(x,t)ip(y,t).
Здесь функции ip(x,t), tp(y,t) находятся из двух одномерных нелинейных дифференциальных
уравнений параболического типа
at ду i*™v' ду
где C(t) —произвольная функция.
„^ dw р , ч d2w , Р , ч d2w
+ ^1(ж,2/)^— +92(х,у)—^- + [^(ж,2/) + s(t)]iu + kwlnw.
ox oy
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, у, t) = ехр [Аеы + еы I e~kts(t) dt] в(ж, у),
где А — произвольная постоянная, а функция в (ж, г/) удовлетворяет стационарному уравнению
а?/
Существуют точные решения линейные и квадратичные по у:
w(x,y,t) = (p(x,t)y + i/;(x,t),
w(x,y,t) = (f(x,t)y2 +ip(x,t)y + x
2.2. Уравнения с тремя и более пространственными переменными 113
2.2. Уравнения с тремя и более пространственными
переменными
2.2.1. Уравнения, зависящие от трех пространственных переменных
В этом разделе div, V и А — операторы дивергенции, градиента и Лапласа, записанные в
декартовых координатах х,у, z (вместо декартовых могут быть использованы цилиндрические,
сферические и другие ортогональные системы координат в пространстве).
Л dw d2w , d2w , d2w , ., ч
h + + + f{)
Уравнение допускает сдвиг по любой из переменных x,y,z,t.
1°. Для осесимметричных решений в цилиндрической и сферической системах координат
оператор Лапласа соответственно имеет вид
А=— — [г —) + 2 . - sin^- ,
г2 дг \ дг / r2sm^ ^ V <9# /
2°. «Двумерное» решение:
где С — произвольная постоянная (С / 0), а функция гб = гг(^, т/, ?) описывается уравнением
3°. «Двумерное» решение:
где А, 5 — произвольные постоянные (В ф 0), а функция гб = и(?, г], t) описывается уравнением
2. = a Aw + f(t)w In w + g(t)w.
at
Уравнение имеет точные решения вида
[з з
^ (pnm(t)xnXm + / v 1pn(t)xn ¦
п,т = 1 п = 1
Замечание. При /(t) = b, где 6 = const, уравнение A) имеет также точные решения в виде
суммы функций различных аргументов:
Здесь 9?(t) определяется формулой
ip(t) = Ае ь + еь \ е~ lg(t)dt, (A — произвольная постоянная),
а в(ж1, Ж2, жз) —любое решение стационарного уравнения
з. -^-
at
Уравнение имеет точное решение вида
к,1 = 1 к = 1
Замечание. Решения такого же вида имеет более общее уравнение
dw \-^\ , ч d2w \-^ т / ч / ^w; \2 \-^\ , v dw
dw \-^\
А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
114 Уравнения параболического типа с двумя и более пространственными переменными
4. E2L = Aw + f(w)\Vw\2.
dt
Замена
U= F(w)dw, где F(w) = exp / f(w) dw ,
приводит к линейному уравнению теплопроводности для функции U = [/(ж, ?/, 2, t):
О решениях этого уравнения см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского A972), В. С. Влади-
Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ь).
_ dw d2W д f. m 8W\ . 8 ( п dw
1°. Точное решение при т / 2, п / 2:
о Ж2 Ау2-т Az2~n
+¦
^,*„ s - a -r b{2 _ ^ -г- ^ _ ^ ,
где функция w(^t) определяется одномерным нестационарным уравнением
dw _ d2w A dw j., v . _ 2D — m — n)
~dT ~ d?2 Y~d^ ~ B-m)B - n) '
О решениях этого уравнения при А = 0 для различных функций /(ги) см. 1.1.1.1-1.1.1.7, 1.2.1.1-
1.2.1.3, 1.4.1.2, 1.4.1.3, 1.4.1.7, 1.4.1.8, 1.6.1.1.
2°. Точное решение при т ф 2, п ф 2:
w = w(x,?,t), ? = — — + —-——,
6B — mJ cB — пJ
где функция гу(ж,^) определяется двумерным нестационарным уравнением
dw d2w d2w A dw ,, ч . 4 — mn
at "^^2 ¦ 9?2 ' { 9f '^"^ Ji" B-m)B-n)-
Of n dw \ д ( т 9w\ О ( i Ow
Точное решение при п / 2, m / 2, / / 2:
2-пJ 6B - тJ ' сB - I
где функция w(?,t) определяется одномерным нестационарным уравнением
dw d2w A dw ?( ч л _/ 1 1 1
О решениях этого уравнения при А = 0 для различных функций /(ги) см. 1.1.1.1-1.1.1.7, 1.2.1.1-
1.2.1.3, 1.4.1.2, 1.4.1.3, 1.4.1.7, 1.4.1.8, 1.6.1.1.
_ dw д ( Хх dw \ , д (. „у dw \ , д ( „z dw \
7. = ае Н 6е^у -\ [се
dt дх V дх ) ду \ ду ) dz\ dz J
Точное решение при А/0, /л ф 0, v ф 0:
р-Хх p-^V e-vz
^ 4 ^
^ 4^ ^
а\2 Ь\12 cv2
где функция w(?,t) определяется одномерным нестационарным уравнением
dw d2w I dw „, ч
2.2. Уравнения с тремя и более пространственными переменными 115
e &W д ( п dw \ д ( т dw\ д ( „z dw \ ,
8. = ах И by И се + f(
dt дх\ дх ) ду\ у ду ) dz\ dz J J v
&W д ( п dw \ д ( т dw
И by
ду\ у ду
Точное решение при п ф 2, m ф 2, v ф 0:
где функция w(?,t) определяется одномерным нестационарным уравнением
dw d2w A dw п/ \ л 4 — птп
B-n)B-m)
О решениях этого уравнения при А = 0 для различных функций f(w) см. 1.1.1.1-1.1.1.7, 1.2.1.1-
1.2.1.3, 1.4.1.2, 1.4.1.3, 1.4.1.7, 1.4.1.8, 1.6.1.1.
_ dw д ( п dw \ , д (, и,у dw \ , д f ^z dw \ t „, .
dt дх V дх J ду \ ду J dz V dz ) Jy '
Точное решение при п / 2, // / 0, v / 0:
-i
J
. аB — пJ b\i2 cv2
где функция w(?,t) определяется одномерным нестационарным уравнением
dw _ d2w n 1 dw ,, ,
10. = ctwAw — ctl^Vwl2 — /3.
dt I i м
Точные решения:
w(x, у, z, t) = Ax + By + Cz- [a(A2 + B2 + C2) + /3]t + D,
где A, 5, G, D, к, /i, v — произвольные постоянные.
В 2.2.1.11 указаны также решения другого вида.
П. EHL = awAw + /(t)|Vt^|2 + g(t)w + h(t).
Уравнение имеет точные решения вида
k,l = l k = l
Замечание. Решения такого же вида имеет более общее уравнение
dw ^-^ г . . . .и ^2w;
3
12. ^- = [aw + /(«)]Дто + bw2 + g{t)w + h(t).
ot
Здесь f(t), g(t), h{t) — произвольные функции; a, b — произвольные параметры (a ф 0).
Частный случай уравнения 2.2.1.14 при L [w] = Дги.
Отметим, что при f(t) = const, g(t) = const, h(t) = const это уравнение рассмотрено в
работах В. А. Галактионова, С. А. Посашкова A989), Н. X. Ибрагимова (N. H. Ibragimov, 1994).
И. ^ = Д(.-).
Частный случай уравнения 2.2.2.5 Это уравнение при т > 1 описывает фильтрацию газа через
однородную пористую среду (w — плотность политропного газа).
116 Уравнения параболического типа с двумя и более пространственными переменными
14. — = [aw + /(?)] L [w] + bw2 + g(t)w + h{t).
dt
Здесь f(t), g(t), h(t) — произвольные функции; a, b — произвольные параметры (a ф 0); L [w] —
произвольный линейный дифференциальный оператор второго (любого) порядка, зависящий
только от пространственных переменных х\ = х, ж 2 = у, хз = z и удовлетворяющий условию
L [const] = 0:
з л2 з
LN= 2^ Рпт^ дх дх ^Qn^lh~' Х = {Х1,Х2,Хз}.
п,т = 1 п ш ri = l n
Уравнение имеет точные решения вида
где функции (p(t), ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
<p't=b<p2+g(t)<p + h(t), A)
ф'ь = [by - j3f{t) + g(t)] ф, р = Ъ/а, B)
а функция в(ж1, Ж2, жз) —любое решение линейного стационарного уравнения
L [в] + (Зв = 0. C)
Первое уравнение системы A) не зависит от ф и представляет собой уравнение Риккати для
функции (р. В книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а) приведено много точных решений
уравнения A) для различных функций g{t) и h(t). После решения уравнения A), подставляя
зависимость ср = cp(t) в B), получим линейное уравнение относительно ф = ф{Ь), которое легко
интегрируется.
В частном случае Ъ = 0 решение системы A), B) дается следующими формулами:
<p(b) = exp[G(t)]{A+ [h(t)exp[-G(t)]dt}, G(t) = Г g(t)dt,
ф{1) = Bexp[G(t)-f3F(t)], Fit) = Jf(t)dt,
где А, В — произвольные постоянные.
В частном случае L = А о решениях линейного стационарного уравнения C) см. книги
A. Н. Тихонова, А. А. Самарского A972), В. С. Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ь).
15. — = adiv^Viu) + f(t)w.
CfL
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, у, z, t) = exp [J f(t) dt] [в(х, y,zj\-^T, A)
где функция Q(x,y,z) удовлетворяет уравнению Лапласа
Ав = 0.
О решениях этого линейного уравнения см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского A972),
B. С. Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ъ).
2°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
y,z)]Z+?, B)
где функция ip(t) определяется из уравнения Бернулли
Ж-№<р + Аач>п+1=й. C)
Здесь А — произвольная постоянная, а функция в(ж, у, z) удовлетворяет стационарному урав-
урав+г =0.
Общее решение уравнения C) дается формулой
(p(t) = exp[F(t)]^Aan / exp[nF(t)] dt + в\ П, F{t) = / f(t)dt,
где В — произвольная постоянная.
2.2. Уравнения с тремя и более пространственными переменными 117
3°. Преобразование
w(x,y,z,t) = F(t)U(x,y,z,r), T = jFn{t)dt, F(t) = ехр[/ f(t) dt]
приводит к более простому уравнению = adiv([/nV[/).
16. — = ос diw{wnVw) + f(t)w + gitfw1-".
dt
Замена U = wn приводит к частному случаю уравнения 2.2.1.12:
4^ = aUAU + — | W|2 + nf(t)U + ng(t).
dt n
17. = a. div(e^ vw + fit).
dt v j * j\ j
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, y,z,t) = — / f{t) dt+—\n 6(ж, 2/, г),
где функция в = в(ж, ?/, г) —любое решение уравнения Лапласа Ав = 0.
2°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, у, z, t) = (p(t) Н In 6(ж, у, z),
где функция ср = y?(t) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
(ft + A(a//i) exp(/iy?) — /(t) = 0. A)
Здесь А — произвольная постоянная, а функция в = Q(x,y,z) является решением уравнения
Пуассона
Дв + А = 0. B)
Общее решение уравнения A) дается формулой
<р(?) = F(t) ln<^ В + Аа / exp[//F(t)] dt k F(t) = / f(t) dt. C)
О решении линейного стационарного уравнения B) см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского
A972), В. С. Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ь).
Отметим, что в уравнение B) и в выражение C) входят произвольные постоянные А и В.
3°. Преобразование
w(x, у, z, t) = U{x, у, z, т) + F(t), т = J exp[//F(t)] dt, F(t) = Jf(t) dt
Pitt
приводит к более простому уравнению —— = ad\v(e^uVU).
от
18. ^- = adiv(e^Vw) + be»™ + g(t)
Замена U = e^w приводит к уравнению вида 2.2.1.12 для функции U = [/(ж, у, z, t):
4^ = aUAU + b/iU2 + iig(t)U + »h(t).
dt
Поэтому исходное уравнение имеет решения вида
w(x, у, z,t) = — \n[<p(t) + ip(t)Q(x, у, z)].
li
Отметим, что при g(t) = const, h(t) = const исходное уравнение рассмотрено в работах
В. А. Галактионова, С. А. Посашкова A989), Н. X. Ибрагимова (N. H. Ibragimov, 1994).
118 Уравнения параболического типа с двумя и более пространственными переменными
19- ^- = f(t)Jip[w]+g(t)w.
Здесь N/з [w] — произвольный однородный нелинейный дифференциальный оператор степени C
относительно w (т. е. N/3[aw] = a13 Np[w], a = const), действующий только по пространствен-
пространственным переменным х, у, z (который не зависит от t).
Преобразование
G(t) = exp[fg(t)dt\,
приводит к более простому уравнению
% О)
которое имеет точное решение в произведения функций разных аргументов U = (p(r)Q(x,y,z).
Замечание 1. В рассматриваемом уравнении порядок (относительно производных) нели-
нелинейного оператора N/з и число пространственных переменных может быть любым. Коэффици-
Коэффициенты оператора N/з могут зависеть от пространственных переменных.
Замечание 2. Если оператор N/з не зависит явно от пространственных координат,
то уравнение A) имеет также точное решение типа бегущей волны U = U(?), где
? = к\х + к2у + ksz + At. Ниже приведены два примера таких операторов N/з:
Щ[ш] =adiv(wC-1\7w) + b\Vwf + cw0,
где a, b, c, /i — некоторые постоянные.
20. — + (v
dt
Частный случай уравнения 2.2.2.7 при п = 3.
21. *Ш- + (tf . V)w = aAw + a\Vw\2 + /(ж, t).
Частный случай уравнения 2.2.2.8 при п = 3.
22- ^г =
О групповой классификации и точных решениях данного уравнения см. работу В. А. Дородни-
Дородницына, И. В. Князевой, С. Р. Свирщевского A983).
23. \- (w • V)iu = aAw.
dt
Векторное уравнение Бюргерса, w = {^1,^2,^3}, где w;n = wn(xi,X2,xs)- Операторы
Гамильтона V и Лапласа А могут быть записаны в произвольной ортогональной системе
координат.
Точное решение:
где в удовлетворяет линейному уравнению теплопроводности
О решениях этого уравнения см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского A972), В. С. Влади-
Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ь).
® Литература: S. Nerney, E. J. Schmahl, Z. E. Musielak A996).
2.2. Уравнения с тремя и более пространственными переменными 119
2.2.2. Уравнения, зависящие от п пространственных переменных
2
Обозначения: Aw = Y) —=-, |Vu>|2 = У\ ( ) , (v • V)u> = У\
k=i дх2к к=1\дхк; к=1
дхк
Замена U = / F(w)dw, где F(w) = exp / f(w) dw , приводит к линейному уравнению
теплопроводности для функции U = U(xi,... ,xn,t):
О решениях этого уравнения см. А. Д. Полянин B001 Ъ).
2. —— = f(t)Aw + g(t)w In w + h(i)w.
dt
Уравнение имеет точные решения вида
w(xi,... ,xn,t) = exp
3. -^- =
Уравнение имеет точные решения вида
4. -^- =
Уравнение имеет точные решения вида
5. ^L = A(w™).
dt v }
Это уравнение при т > 1 описывает фильтрацию газа через однородную пористую среду (w
плотность политропного газа).
1°. Точное решение при т > 1:
k = l k = l
где А — произвольная постоянная (А > 0), а функции срк = фк (t) описываются системой
обыкновенных дифференциальных уравнений
*1-^ = = *-¦ = ^
Система A) допускает (п — 1) первых интегралов:
^j = Vn + ^j, j = 1, 2, . . . , n - 1, B)
где Cj — произвольные постоянные.
Функция Lpn = (pn(t) задается в неявном виде (считается, что Cj > 0)
/>ipn n—l m—1
Iв Z ЦА(Ж +Cj^ dZ= m - 1 '
120 Уравнения параболического типа с двумя и более пространственными переменными
где В — произвольная постоянная, а остальные ipj (t) определяются положительными корнями
квадратных уравнений B).
® Литература: С. С. Титов, В. А. Устинов A985), J. R. King A993), В. В. Пухначев A995).
2°. Точное решение при 0 < т < 1:
где А — произвольная постоянная, а функции cpk = tpk(t) описываются системой обыкновенных
дифференциальных уравнений A).
® Литература: J. R. King A993), В. В. Пухначев A995).
3°. Уравнение имеет точное решение вида
® Литература: Г. А. Рудых, Э. И. Семенов B000); в этой работе указаны также другие точные решения.
6. — = Гаги + f(t)]Aw + bw2 + g(t)w + h(t).
at
Здесь f(t), g(t), h(t) —произвольные функции; а, b — произвольные параметры (а / 0).
Уравнение имеет точные решения вида
w(xi,. ..,xn,t) = (p(t) + tp(t)@(xi,... ,xn),
где функции (p(t), ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
ip't=b<p2+g(t)ip + h(t), A)
ф'ь = [by - j3f{t) + g(t)] ф, р = Ъ/а, B)
а функция в(ж1,..., хп) —любое решение уравнения Гельмгольца
Дв + (Зв = 0. C)
Первое уравнение системы A) не зависит от ф и представляет собой уравнение Риккати для
функции (р. В книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а) приведено много точных решений
уравнения A) для различных функций g(t) и h(t). После решения уравнения A), подставляя
зависимость if = ip(t) в B), получим линейное уравнение относительно ф = ф{Ь), которое легко
интегрируется.
О решениях линейного стационарного уравнения C) см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Са-
Самарского A972), В. С. Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ь).
7. — + (v • V)w = Aw + f(w)\Vw\2.
ot
Здесь v — заданная вектор-функция, зависящая от пространственных координат и времени
(которая не зависит от w).
Замена
6= I F(w)dw, где F(w) = ехр / f(w) dw ,
приводит к линейному уравнению конвективного тепло- и массопереноса для функции
6 = 6(ж1,...,жп,*):
— + (v- VN = Ав.
8. -^- + (v • V)iu = aAw + a\Vw\2 + /(ж, i).
dt
Здесь v — заданная вектор-функция, зависящая от пространственных координат и времени
(которая не зависит от w).
Замена в = ew приводит к линейному уравнению
¦^ + (iJ • VN = аАв + /(?, *)в.
3. Уравнения гиперболического типа с одной
пространственной переменной
3.1. Уравнения со степенными нелинейностями
3.1.1. Уравнения вида -^ = а^- + f(x,t,w)
1 d2w d2w . , fe
Частный случай уравнения 3.4.1.1 при f(w) = bwk.
1°. Точные решения:
( + /с)(Л2 -а)
с= [
Н
w(x, t) = [as(t + АJ - s(x + ВJ] "!=*", s =
L J
1 xh~
\
4a
где Л, А, 5 — произвольные постоянные.
2°. Автомодельное решение (жо, ^о —произвольные постоянные):
4^
где функция гб(^) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
Частный случай уравнения ЗАЛ.2 при /(ги) =
_ d2w d2w , лп к
3 + ( + м)
Частный случай уравнения 3.4.1.4 при f(z, w) =cznwk. При6 = 1Ы см. также уравнения 3.4.1.13
и 3.4.1.14 при fc
Частный случай уравнения 3.4.1.5 при f(z,w) = aznwk.
5. *? = jgL + o[b>fcw _ b(fc + !)„,»• + „,«.-!].
Решения типа бегущей волны (А, С — произвольные постоянные):
w(x,t) = {— + Аехр \Сх ± t^/C2 + ab2k(k - IJ1 j 1-fc
122
Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
d2w d2w
at к
е w ¦
Частный случай уравнения 3.4.1.7 при f(w) = awk.
Точные решения (С — произвольная постоянная):
2
1-fc
7.
d2w
Qt2 QX2 ¦ —'
Точные решения (С — произвольная постоянная):
М) = |сехр[—-—-
2
1-fc
Щк + 1)
+ [р2 + (к- 1)(к + 3)a]t) \- (к - 1)
® Литература: А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин, А. И. Журов, Д. А. Казенин A998).
дх2
Точные решения (С — произвольная постоянная):
® Литература: А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин, А. И. Журов, Д. А. Казенин A998).
Точные решения {С — произвольная постоянная):
® Литература: А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин, А. И. Журов, Д. А. Казенин A998).
3.1. Уравнения со степенными нелинейностями
123
10.
d2w d2w
dt* Эх* fe^ - 4 ' v
Точные решения (С — произвольная постоянная):
\к\ > 2.
w(X,t) =
® Литература: А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин, А. И. Журов, Д. А. Казенин A998).
dt2 дх2
Частный случай уравнения 3.4.1.6 при f(w) = —awk. Точные решения (С — произвольная
постоянная):
л. d2w d2w рх к
12. — = aw — beR w .
dt2 дх2
Точные решения (С — произвольная постоянная):
«(М) = \сехр\ к \ (±л/[?2 - (fc - lJap2 _ (fc + 3Jа]^ +
+ (fc - l)(fc + 3)о] a;) | + (fc - 1) J p2 _ {l_ e^/2
2
г,
ад(ж,*) =
~ (к-iyaW ~ (fe + 3Ja]
.[/32 + (fc-l)(fc + 3)a],)|-(fc-l),/^2_(;_iJae^i1-
Точные решения (С — произвольная постоянная):
/9л/Ь
Частный случай уравнения 3.4.1.8 при f(w) = cwk.
124 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
3.1.2. Уравнения вида ^ = «|? + /(*,*,«,, ?
0.
at2 хп дх
Это уравнение можно записать в эквивалентном виде
d2w ( d2w n dw
дъ2 V дх2 х дх
При п = 1 и п = 2 это уравнение описывает нелинейные волны с осевой и центральной
симметрией.
1°. Существуют решения, зависящие только от одной переменной: w = w(x) и w = ги(?).
2°. Точное решение:
2aB + n — nm)
где С — произвольная постоянная.
3°. Решение A) является частным случаем более широкого семейства точных решений вида
w = w(?), ? = [aB - nf(t + СJ - 4,x2~n] ""^,
где функция w = w(?) определяется из уравнения Эмдена — Фаулера
и 2(тг + 1)
В частном случае п = — 1 решение уравнения B) имеет вид
2а(т + 1)
где Ci, С2 — произвольные постоянные.
В книгах В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A993, 2001 а) приведено более 20 точных решений
уравнения A) для некоторых значений параметров пит.
4°. Точное решение при п = 2:
w = w(y), у = At + ВЫ \х\ + С,
где А, В, С — произвольные постоянные, а функция w = w(y) описывается автономным
обыкновенным дифференциальным уравнением
(аВ2 - A2)wfyy + aBw'y + bwm = 0. C)
Решения уравнения C) при А = ±Вл/а:
При А ф ±Вл/а замена u(w) = wy приводит C) к уравнению Абеля
Ъ(А2-аВ2) ш
uuw -u= -± —-—Lw ,
точные решения которого для т = —2, — 1, —у, 0, 1 приведены в книгах В. Ф. Зайцева,
А. Д. Полянина A993, 2001 а).
2 2
5°. Существует также автомодельное решение вида w = t 1~rn /(?)> гДе ? = х^ п~2 ¦
3.1. Уравнения со степенными нелинейностями 125
d2w d2w , , т dw
+ b
Частный случай уравнения ЗА.2.3 при f(w) = Ъуо
1°. Решение типа бегущей волны:
( . Г bm(x + \
где А, С — произвольные постоянные.
Решение A) является частным случаем более широкого семейства точных решений типа
бегущей волны:
dw х + Xt + С
I
+1 (m + l)(A2 -a) '
где Л, А, С — произвольные постоянные.
2°. Существует также автомодельное решение вида w = t~1^rn f(x/t).
_ d2w d2w ( dw\2 n
Частный случай уравнения 3.4.2.4 при f(t) = stn.
. d2w d2w
4 +
Частный случай уравнения 3.4.2.5 при f(x) = sxn.
5. ——- = a——- + с( —— ) +6сги + fc'M; + s.
Ot2 дх2 \ дх J
Частный случай уравнения 3.4.2.10 при f(t) = с, g(t) = A;, /i(t) = s.
Пусть А — корень квадратного уравнения ЬсА2 + к А + s = 0.
1°. Если выполнено неравенство 2А6с + к — аЪ = сг2 > 0, то точные решения имеют вид
w(x,t) = А+ [Ciexp(crt) + С2 exp(-crt)] ехр(±жл/^б),
где Ci, С2 — произвольные постоянные.
2°. Если выполнено неравенство 2Abe + к — аЪ = —сг2 < 0, то точные решения имеют вид
w(x,t) = А + [Ci cos(crt) + C2 sin(crt)] exp( ± xy/—b).
О более сложных решениях см. 3.4.2.10.
® Литература: V. A. Galaktionov A995, рассматривался случай а = с), В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
, d2w d2w . , rb(dw\2 . т . фк
6-^2-=а^2~ + ЬХ У^х-J +СЖ +St
Частный случай уравнения 3.4.2.8 при /(ж) = 6жп, д{х) = сжт, /i(t) = stk.
Частный случай уравнения 3.4.2.10 при /(?) = ctn, g(t) = stm, /i(t) = ptk.
Это уравнение имеет точное решение квадратичное по переменной х:
w =
126 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
3.1.3. Уравнения вида ^ = f(x)^-+g(x,t,w, Ц-)
Уравнение распространения нелинейных волн в неоднородной среде.
1°. Существуют решения, зависящие только от одной переменной: w = w(x) и w = w(t).
2°. Точное решение при п ф 2:
где С — произвольная постоянная.
3°. Решение A) является частным случаем более широкого класса точных решений вида
w = w(z), z= [aB - nf (t + СJ -4(ж + /3J"п] 2B~™) ,
где функция w = w(z) определяется из уравнения Эмдена — Фаулера
и 4A-та)
wzz = z n w . B)
an2
При п = 1 решение уравнения B) имеет вид
/ [
J L
a(m + l)
где Ci, С2 — произвольные постоянные.
В книгах В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A993, 2001 а) приведено более 20 точных решений
уравнения A) для некоторых значений параметров пит.
4°. Точное решение при п = 2:
w = w(y), y = At + B\n\x + 0\ + C,
где А, В, С — произвольные постоянные, а функция w = w(y) описывается автономным
обыкновенным дифференциальным уравнением
(аВ2 - A2)wfyy - aBw'y + bwm = 0. C)
Решения уравнения C) при А = ±Вл/а:
При А ф ±Вл/а замена u(w) = w'y приводит C) к уравнению Абеля
аВ
Ъ(А2-аВ2) т
uuw -u= -^ w ,
точные решения которого для т = —2, — 1, —у, 0, 1 указаны в книгах В. Ф. Зайцева,
А. Д. Полянина A993, 2001 а).
2 2
5°. Существуют также точные решения вида w = t 1~m /(?)> ? = (
2. ^- = -Z- [ах™^) + bwm, a > 0.
1°. Существуют решения, зависящие только от одной переменной: w = w(x) и w =
2°. Точное решение при п ф 2:
«;(ж, t) = к[аB - nJ(t + СJ - 4х2~п] ^,
д. = г ьA-шJ 1 т^т
. 2аB — п)D — п — пт) .
где С — произвольная постоянная.
3.1. Уравнения со степенными нелинейностями 127
3°. Решение A) является частным случаем более широкого класса точных решений вида
w = w(f), f = [аB - nf{t + СJ - 4(жJ"п] 2(гГ-2) ?
где функция гу = гу(^) определяется из уравнения Эмдена — Фаулера
В книгах В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A993, 2001а) приведено более 20 точных решений
уравнения B) для некоторых значений параметров пит.
4°. Точное решение при п = 2:
w = w(z), z = At + B\n\x\ + C,
где А, В, С — произвольные постоянные, а функция w = w(z) описывается автономным
обыкновенным дифференциальным уравнением
(аВ2 - A2)w"z + aBw'z + bwm = 0. C)
Решения уравнения C) при А = ±Вл/а:
„,(у\ \bjm-l) ^
А2 — а#2
При А ф ±Вл/а замена u(w) = w'z приводит C) к уравнению Абеля
clB
Ъ(А2-аВ2)
UUW ~U= -2^2 W
точные решения которого для т = —2, — 1, —у, 0, 1 указаны в книгах В. Ф. Зайцева,
А. Д. Полянина A993, 2001 а).
5°. Существуют также автомодельное решение вида w = t 1~rn /(?), ? = xt n~2 .
82W 82W . . n-l mdw . .
+ 6ж w "ИГ' а>0
Частный случай уравнения 3.4.3.5 при f(w) = bwm.
1°. Точные решения, зависящие только от одной переменной:
w(t) = At + В,
1 -In |Ж| ' f dW
a(m + l) J a(m + l)w - bwrn+1 + Б '
где А, В — произвольные постоянные (второе решение задано неявно).
2°. Точное решение при п ф 2:
w = w(z), z = [ка{2 - nf{t + СJ - Акх2-п]1/2, к = ±1,
где С — произвольная постоянная, а функция w = w(z) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
wzz + \аA - п) + bwm] -w'z = 0. A)
aB-n) L V J 1 z z W
Замена u(w) = ^г^^ приводит A) к уравнению первого порядка с разделяющимися
переменными. После интегрирования получим решение в неявном виде:
dw I iii^
где С\, С2 — произвольные постоянные.
аB-п)
128 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
3°. Точное решение при п = 2:
w = w(f), z = At + B\n\x\ + С,
где А, В, С — произвольные постоянные, а функция w = w(?) описывается автономным
обыкновенным дифференциальным уравнением
(аВ2 - A2)w'k + B(bwm - a)wf? = 0.
Интегрируя, получим
dw В?
/
+1 - а(т + l)w + Сг (га + 1)(аВ2 - А2) '
д2и> п д2и> , , n-i т dw , k . ~
Частный случай уравнения 3.4.3.6 при f(w) = bwm, g(w) = cwk.
_ d2w \x d2w . m ^ r,
Уравнение распространения нелинейных волн в неоднородной среде. Частный случай уравне-
уравнения 3.1.3.7 при Ь = 0.
d2w д
d2w д f Xx dw\ гп
6. — = ае + cw , а > 0.
dt2 дх\ дх ) ^ '
Частный случай уравнения 3.1.3.7 при Ь = а А.
7. ^-f = аелх^- + Ьелаг^- + cwm, а > 0.
Ot2 Ож2 Ож
1°. Существуют решения, зависящие только от одной переменной: w = w(x) и w = w(t).
2°. Точное решение:
w = w(z), z = [Аке~Хх - akX2(t + СJ]1/2, к = =Ы,
где С — произвольная постоянная, а функция w = w(z) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
w''z + 2(аЛ ~ Ь) Lw'z + C wrn = 0 A)
аХ z акХ2
Это уравнение имеет точное решение
, ч Г 2/сА[аА(га - 3) + 26A - гаI ^ ~^Т
/Jill У 1 J L 1 J k
При b = аХ общее решение уравнения A) задается неявно:
s~i ^ ТП-
акХ2(т + 1)
где С\, С2 — произвольные постоянные.
2Ъ-а\
При Ь ф \аХ замена ? = z «а приводит A) к обобщенному уравнению Эмдена —
Фаулера
В книгах В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A993, 2001 а) приведено более 20 общих решений
уравнения B) для некоторых значений параметра т.
Частный случай уравнения 3.4.3.10 при f(w) = bwn.
3.1. Уравнения со степенными нелинейностями 129
3.1.4. Уравнения вида
л d2w d2w
1. — = aw-
Частный случай уравнения 3.1.4.7 при т = 1.
1°. Точные решения:
w = C\xt + С2Ж + Сз? + Са,
Зх2 + Ci ж -
где Ci, C2, Сз, С4, С5 — произвольные постоянные.
2°. Точное решение:
w = U(z) -\ —ж, ^ = ——t + Сг? — ж,
V У а 2
где Ci, С2—произвольные постоянные, а функция U = ?/B) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
(aU - 2Ciz - C22)U"Z = CiU'z.
3°. Точное решение:
dt
Cix + C2)f(t) + (C3x + C4)f(t)
P(t) '
где Ci, C2, Сз, С4 — произвольные постоянные, а функция / = f{t) описывается автономным
обыкновенным дифференциальным уравнением f't't = 2a/2.
. d2w д ( dw
2
Частный случай уравнения 3.1.4.8 при т = 1.
1°. Точные решения:
w(x, t) = ± [A(x + a\t) + В]1/2 + аЛ2,
гу(ж, t) = \aA2t2 + Bt + Ах + С,
w(x, t) = -^aA~2(At + B)A + Ct + D + x(At + B),
где A, B, C, D, Л — произвольные постоянные.
® Литература: S. Tomotika, К. Tamada A950).
2°. Точное решение квадратичное по переменной х:
w(x, t) = f(t)x2 + g(t)x + h(t),
где функции / = f{t), g = p(t), /i = h(t) описываются системой обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений
ftt = 6а/ ,
9а = 6afg,
h'tt = 2аfh + ag .
Частное решение этой системы (Ci, C2, Сз, С4 — произвольные постоянные):
at2 t2 ' 4?2 t 2 54
8 это решение можно добавить еще одну произвольную постоянную путем сдвига по t.
9 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
130 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
d2w _ д / 1 dw \
dt2 ~ а дх V w дх )'
Частный случай уравнения 3.1.4.8 при т = — 1.
1°. Точные решения в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = (at2 + At + В)(х + С)~2:,
w(x,t) = (aA2t2 + Bt +С) sh~2(Ax+ D)
w(x, t) = (aA2t2 + Bt + C) cos~2(Ax + D
где A, B, G, D — произвольные постоянные.
2°. Решение типа бегущей волны в неявном виде:
X2w = ак2 \n\w\-\- Ci (кх + Xt) + С2,
где С\, Сг, к, Л — произвольные постоянные.
d2w
d2w _ д / 1 dw\
dt2 ~ a дх V л/гу дх )'
Частный случай уравнения 3.1.4.8 при т = —1/2. Замена w = и приводит к уравнению вида
3.1.4.2:
д2и _ 1 д / ди \
дх2 ~ ~a~dt\~dt)'
_ d2w
5
Частный случай уравнения 3.4.4.2 при /(ж) =
, d2w 4 ^2гу . . \х 5
6 = aw + Ье w
Частный случай уравнения 3.4.4.2 при f(x) = 6еЛж.
_ а2^ т d2w
1-^t2~ = aw ^> a>0
1°. Пусть w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
Wl = (C2/CiJ/mw(Cix + С3, С2* + С4),
где Ci, С2, Сз, ft — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Точное решение (А, С\, Сг —произвольные постоянные):
3°. Выражение A) является частным случаем более широкого семейства точных решений в
виде произведения функций разных аргументов:
w = f(x)g(t),
где функции / = f(x) и д = g(t) определяются путем решения уравнений
g't't - a\gm+1 = 0, B)
f'L ~ Л/1" = 0. C)
Общие решения уравнений B)-C) можно записать в неявной форме
dg = C2± t,
где С\, Сг, Сз, ft — произвольные постоянные.
3.1. Уравнения со степенными нелинейностями 131
Отсюда, в частности, при С\ = 0 для функции g{t) имеем
аХт?
2(m + 2) '
4°. Существуют также решения следующего вида:
w{x,t) = e-2XtU{y), y = (x + A)eXmt;
где А, В, С, к, А — произвольные постоянные.
0*2 01
Это уравнение встречается в задачах волновой и газовой динамики. Частный случай уравнения
3.4.4.4 при /О) = a2wm.
1°. Пусть w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
w\ = (С2/С1) w(C\x + Сз, Сг? + С4),
где Gi, С2, Сз, С4 — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Вырожденное решение:
w = (At + B)(Cx + D)~^,
где А, 5, С, D — произвольные постоянные.
3°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
где зависимости функций / = /(ж) и д = g(t) задаются неявно
7i Н /m j /т с// = Сг =Ь ж, A)
I I /^ I ТП-\-Z \ 1 s~i _\ 1 /ОЛ
I (_уч + О I (XQ ^ Kjа ^л1 l. (Z)
У V т + 2^ У
Ci, C2, Сз, G4, А — произвольные постоянные.
Функции / = /(ж) и g = g(t), заданные формулами A) и B), можно записать в явном виде
соответственно при С\ = 0 и Сз = 0. Частному случаю С\ = Сз = 0 соответствует решение
«НМ)=(^^J/т, О)
V abt + s /
где Ь, с, s — произвольные постоянные.
4°. Решение типа бегущей волны:
w = w(z), z = ж ± At,
где зависимость u> = u>(z) задается неявно с помощью формулы (А, 5 — произвольные
постоянные)
^" а2 wrn+1=Az + B. D)
А™
т + 1
При т = — у, 1, 2, 3 из формулы D) можно получить явный вид зависимости w = w(z).
5°. Автомодельное решение:
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка
(С — произвольная постоянная):
(?2-aV>?=C. E)
132 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
Частному случаю G = 0 отвечает решение w = (^/aJ^m, см. формулу C). При G/0
принимая в E) w за независимую переменную, для функции ? = ?(w) получим уравнение
Риккати
C&=Z2-a2wm. F)
Общее решение уравнения F) выражается через функции Бесселя, см. книги Э. Камке A976) и
В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а).
® Литература: W. F. Ames, R. J. Lohner, E. Adams A981), В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
6°. Существует также более сложное автомодельное решение
где а, /3, к — произвольные постоянные, а функция F = F(z) определяется путем решения
обобщенно-однородного обыкновенного дифференциального уравнения
2кBк - l)F + (тк + 1)(тк - 4к + 2)zF'z + (тк + lJz2Fzfz = a2(FmFz)z,
которое допускает понижение порядка.
® Литература: W. F. Ames, R. J. Lohner, E. Adams A981).
7°. Точное решение (// — произвольная постоянная):
где функция ip = (p(y) определяются путем решения обобщенно-однородного обыкновенного
дифференциального уравнения
4//2<р + {12т(т - 4)yip'y + (^тJу2(руУ = а2((ртЛр'у)'у,
которое допускает понижение порядка.
8°. Точное решение (А, Ь, с — произвольные постоянные):
w = (±t + А)~2/т'ф(и), и = х + b\n(±t + А) + с,
где функция ^ = /0(гА) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением
2(ш + 2) 6(т + 4) , 2 /// 2//т//ч/ /ач
2 г т Фи+Ъ фии=а (Ф фи)и. G)
Отметим два частных случая, когда полученное уравнение интегрируется в квадратурах.
При т = — 2 уравнение G) допускает первый интеграл, который представляет собой уравнение
с разделяющимися переменными. При т = — 4 уравнение G) заменой G(ip) = (V4J сводится
к линейному уравнению первого порядка.
В общем случае уравнение G) заменой Н(ф) = ф'и сводится к уравнению первого порядка.
9°. При т ф — 1 преобразование
приводит исходное уравнение к уравнению аналогичного вида
При т = — 1 преобразование
г = ж, ? = ?, V = lnu>
приводит исходное уравнение к уравнению вида 3.2.3.2:
d2V _2 д ( у
3.1. Уравнения со степенными нелинейностями 133
3.1.5. Другие уравнения
л d2w n rn d2w ^ л
L ~ыг = ах w ^' ° > °
1°. Точное решение {А, С — произвольные постоянные):
Выражение A) является частным случаем более широкого семейства точных решений в
виде произведения функций разных аргументов:
где функции / = /(ж) и д = g{t) определяются путем решения уравнений
g"t - а<Г+1 = о, B)
f'Jx - {\/a)x-nf-m = 0. C)
Общее решение уравнения B) записывается в неявной форме
/(<
где С\, С2 — произвольные постоянные.
Отсюда, в частности, при С\ = 0 для функции g{t) имеем
2(m + 2) '
В книгах В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A993, 2001 а) приведено более 20 точных решений
уравнения Эмдена — Фаулера C) для некоторых значений параметра т.
2°. Существует также автомодельное решение вида
w = t rn F(y), y = xtk,
где к — произвольная постоянная.
3°. Преобразование
u(z,t) = — w(x,t), z= —
X Z
приводит к уравнению аналогичного вида
В частном случае п = 4 — т уравнение D) сильно упрощается:
d2U m d2U
—— = аи ——
и допускает, например, решение типа бегущей волны и = u(kz + /it).
d2w \x rn d2w
2--э^ = ае w ~э^> а>0
Частный случай уравнения 3.4.5.1 при /(ж) = аеХх.
. d2w д ( п rndw\ ^n
3. — = а х w , а > 0.
dt2 дх\ дх )'
Частный случай уравнения 3.4.5.2 при /(ж) = ахп.
134 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
1°. Точное решение (А, С — произвольные постоянные):
, ,ч j 2^2L —2_ г 2А2(т + 2) ]^Г пл
w(x.t) = кх rn (At + C) rn к=\ . A)
V ' J V J LaB-n)(m-n + 2) J V J
Выражение A) является частным случаем более широкого семейства точных решений в
виде произведения функций разных аргументов:
где функции / = f(x) и д = g{t) определяются путем решения уравнений
9и - Affm+1 = 0, B)
a[^/m+1/^-A/ = 0. C)
Общее решение уравнения B) записывается в неявной форме
где С\, С2 — произвольные постоянные.
Отсюда, в частности, при С\ = 0 для функции f(t) имеем
f(t) = (At + C)-'z/m, A = ±/ W
2(m + 2)
При п ф 1, m ф — 1 преобразование
приводит C) к уравнению Эмдена — Фаулера
„ _ А(т + :
Viz = Z l-n у m + 1 . D)
a(l — n)z
В книгах В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A993, 2001а) указано более 20 точных решений
уравнения D) для некоторых значений параметра т.
2°. Существует также автомодельное решение вида
(n-2)fc-2
( ) ()
где Ь, к — произвольные постоянные.
3°. Пусть т ф — 1, 2т — 2п — пт + 3/0. Преобразование
1 — те 2m-2n-nm+3
w(x, t) = х rn+1 u(?, t), ? = x m+1
приводит к уравнению аналогичного вида
4 / 2т — 2п — пт + 3 \ 2
где А = а[ .
V m + 1 /
В частном случае п =
до переобозначений) с уравнением 3.1.4.8:
В частном случае п = уравнение E) сильно упрощается и совпадает (с точностью
3.1.4.8:
ди
Частный случай уравнения 3.4.5.4 при /(гг) = /сгб~
3.2. Уравнения с экспоненциальными нелинейностями 135
1°. Преобразование
dx
и (ж, t) = u(z, t) у ах2 + Ъх + с, z =
ах2 + Ъх + с
приводит к уравнению вида 3.4.4.5:
°2и _ /л^-2т ^2Ц +^^с_ J_^2^5-2m^
которое имеет точное решение в типа бегущей волны и = u(z -\- Xt) и решение в виде
произведения функций разных аргументов и = f(t)g(z).
2°. Исходное уравнение преобразованием
приводится к дивергентному виду
где функция F(?) задается параметрически следующими формулами:
F(?) = ^* (:=[** C)
(аж^ + 6ж + c)m J (аж^ + 6ж + с)т
Отметим некоторые частные случаи уравнения B), когда функцию F = F(?) в C) можно
записать в явном виде:
d2v т д ( cos2 ^ ^v '
3.2. Уравнения с экспоненциальными нелинейностями
3.2.1. Уравнения вида ^ = а^- + f(x,t,w)
1 = а
Частный случай уравнения 3.4.1.1 при f(w) = beXw.
1°. Точные решения:
. If 2(Б2-а2А2) 1
w(x, t) = — In ^- ,
v J X I bX cos2 (Ax+ Bt + C) J
2(a2A2-B2)
w(x,t) = - lnf^^) - - In (я + AJ - a2(t + B
Л \ ЬХ / X
где A, 5, С — произвольные постоянные.
136 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
2°. Преобразование независимых переменных
z = х — at, у = х + at
приводит к уравнению Лиувилля 3.5.1.2:
dzdy
Поэтому общее решение исходного уравнения описывается формулами
w(x, t) = — [f(z) + д(у)] - — In к / exp[f(z)] dz - —— / exp [g(y)] dy
л л j sa к j
z = x — at, у = x + at,
где / = f(z), g = g(y)—произвольные функции, к — произвольная постоянная.
d2w _ d2w x-w _ b -x-w
' dt2 ~ dx2 e e
Замена
w(x, у) = и(х, у) + к, к = —- In —
A A CL
приводит к уравнению вида 3.3.1.1:
= —у + 2л/аЬ sh(Xu).
dt2 дх2
d2W d2W 2\-w -Лги
3. = + ае — ае
Ot2 О2
1°. Точное решение с функциональным разделением переменных указано в разд. А.З (при-
(пример 12).
2°. Преобразование
d2U и -2U
= е — е
/ал
приводит к уравнению вида 3.5.1.3:
3°. Данное уравнение интегрируется методом обратной задачи рассеяния.
® Литература: А. В. Михайлов A979), А. Р. Fordy, J. A. Gibbons A980), Ф. Калоджеро, А. Дегасперис
A985).
Частный случай уравнения 3.4.1.7 при f(w) = aeXw. Поэтому исходное уравнение может быть
преобразовано к уравнению 3.2.1.1.
Точные решения (С\, Сг, сг — произвольные постоянные):
w(x,t) = -j-t-j-\n(Ci + С2х ±
Частный случай уравнения 3.4.1.6 при f(w) = aeXw. Поэтому исходное уравнение может быть
преобразовано к уравнению 3.2.1.1.
Точные решения (Ci, C2, сг — произвольные постоянные):
w(x,t) = -j-x- j In (Ci + C2t ± у/С2 - \\a x^j,
3.2. Уравнения с экспоненциальными нелинейностями 137
a2w _ a2w а*+ы \w
dt2 ~ дх2 +
Частный случай уравнения 3.4.1.8 при f(w) = ceXw.
7.
Точные решения (С — произвольная постоянная):
® Литература: А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин, А. И. Журов, Д. А. Казенин A998).
d2W d2W Xiv . ( . ч 2A™
Точные решения (С — произвольная постоянная):
w(x,t) = -—]
1°. Точные решения при k2j — f32X ф О (С — произвольная постоянная):
2°. Точные решения при А;27 — /^2А = О (С — произвольная постоянная):
/ ,ч 1 1 \п ы . сак , . ч kt ^РЛ
w{x,t) = -—\n]Ce +—{t±x)e - —J.
(•) Литература: А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин, А. И. Журов, Д. А. Казенин A998).
Ю. ^ = ^ + fe/Зе^ + (аем + А/32)е2^.
Точные решения {С — произвольная постоянная):
w(x, t) = -1 ln[Cew + -^(t ± x)ekt - *?-].
1°. Точные решения при к2^ + j32\ ф О (С — произвольная постоянная):
2°. Точные решения при &27 + /32\ = 0 (С — произвольная постоянная):
w(x,t) = -\\ъ[Сек* + ^(x±t)ek* + >?.].
® Литература: А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин, А. И. Журов, Д. А. Казенин A998).
Xw _ hx + A/32)e2A™
п =
ot2 ox2
Точные решения {С — произвольная постоянная):
w(x,t) = -1 In[Cekx + ^{x± t)ekx - ^-].
d2W d2W ht \w , 2kt . ч 2\ш
13 = +/3е е +(ае +7)е
Точные решения (С — произвольная постоянная):
C2\
w(x,
,t) = In Gехр ± —ж — ——t -\ г—-—г—е е
' У Л L PV 4/са 4/са / 4/с2а-/52Л C J
138 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
Точные решения (С — произвольная постоянная):
w(x.t) = In Gехр ± —1+——X) ^—^—г—е е .
(•) Литература: А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин, А. И. Журов, Д. А. Казенин A998).
3.2.2. Уравнения вида ^ = №%!L+g(x,t,w, Ц-)
Частный случай уравнения ЗА.2.3 при f(w) = beXw.
Решение типа бегущей волны:
1 , Г ехр(Аж + Aiit + В) — Ъ 1
W = "I [ А(а- 2) Г
где //, А, В — произвольные постоянные.
dt2 дх\ дх
Частный случай уравнения 3.2.2.5 при Ъ = an.
о > 0.
При к = 1 ик = 2 уравнение описывает нелинейные волны с осевой и центральной симметрией.
Частный случай уравнения 3.2.2.5 при п = О, Ъ = ак.
Уравнение распространения нелинейных волн в неоднородной среде. Замена z = x-\-f3 приводит
к частному случаю уравнения 3.2.2.5 при Ъ = 0:
т*
1°. Существуют решения, зависящие только от одной переменной: w = w(x) и w = w(t).
2°. Точное решение при п ф 2:
Здесь С — произвольная постоянная, а функция w = w(?) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением
где
. _ аD - Зп) + 26 _ с
~ 2аB - п) ' ~ аB-пJ '
При А ф 1 точное решение уравнения A) дается формулой
При A = 1, что соответствует 6 = -|-an, точные решения уравнения A) имеют вид
-пJ
^(с) = — J
A L cA^ cos2 (p 1
1 .
— ^) 1
n |^| + q) \ '
3.2. Уравнения с экспоненциальными нелинейностями 139
где р, q — произвольные постоянные.
1
При А ф 1 замена t;=kz Х~А (& = ±1) приводит A) к обобщенному уравнению Эмдена —
Фаулера
wzz = -2; !-Л е . B)
В частном случае А = у, что соответствует 6 = а(п — 1), решения уравнения B) имеют вид
W^Z' ~ T I2kc\{z + qJ У
( \ _ 1 Г а^2B ~пJ
-пJ
где р, q — произвольные постоянные.
3°. Точное решение при п = 2:
w = гу(г/), у = At + В\п\х\ + С,
где А, В, С — произвольные постоянные, а функция u> = w(y) описывается автономным
обыкновенным дифференциальным уравнением
(аВ2 - A2)wyy + (Ъ - a)Bwy + ceXw = 0. C)
Решения уравнения C) при А = ±Вл/а:
Решения уравнения C) при Ъ = а:
v^/ A
где р, q — произвольные постоянные.
"' а>0
Частный случай уравнения 3.4.3.6 при f(w) = 6eAu;.
7. — = ае + се^ , а > 0.
dt2 дх\ дх ) ^ '
Частный случай уравнения 3.2.2.9 при Ъ = а А.
Уравнение распространения нелинейных волн в неоднородной среде. Частный случай уравне-
уравнения 3.2.2.9 при 6 = 0.
1°. Существуют решения, зависящие только от одной переменной: w = w(x) и w = w(t).
2°. Точное решение (С — произвольная постоянная):
w
= w(z), z = [4ke~Xx - ak\2(t + СJ] ' , k = ±1,
140 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
где функция w = w(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
// 2(аА — Ь) 1 , с nW
ал z
Точное решение уравнения A) имеет вид
, ч 1 . Г 2к\(а\ - 26)
ц L cfizz J
Укажем некоторые другие точные решения уравнения A):
-2ак\2
, 1 Г 2аА2/сЛ2 1
Ы =—In 5- при Ъ = ал,
. ч 1 . Г -2аА2/сЛ2 1 , .
(z) = —In ^- при о = ал,
/ \ 1 1 Г ~2аА2кХ2 1 , .
w(z) = — In ——^— при 6 = аЛ,
, v 1 . Г 8АБа/сЛ2 1 х
гуB;) = — In — при о = ^-ал,
/х L cfi(Az2 + БJ J z
где А, 5 — произвольные постоянные.
10. = ае -|- be , о, ^> 0.
Частный случай уравнения 3.4.3.10 при f(w) = be^w.
Ot2 Ож2 Ож
Частный случай уравнения 3.4.3.11 при f(w)= be^w, g(w) = cef3w.
3.2.3. Другие уравнения
а>0
1°. Точные решения:
w(x, t) = Axt + Bx + Ct + D,
2
1 . Г С2 sh2(Ax + B)l 1 Г С2
1 , Г С2 cos2(Ax + B)l 1 г С2
"(Ж't} Т ( )
где А, В, С, D, /3 — произвольные постоянные.
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996, стр. 458).
2°. Автомодельное решение:
где функция г^(^) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
/ Лги 2\ // / п
(ае — ^ )^гг — zwz = 0,
которое допускает понижение порядка с помощью замены U(z) = w'z.
3.2. Уравнения с экспоненциальными нелинейностями 141
3°. Точное решение:
где С\, С-2, к — произвольные постоянные, а функция / = /(?) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
к2С2fee + Нк + 1)С/? - ^LJl = aexff'c'c.
2 d2w
dt2 di
Частный случай уравнения 3.4.4.4 при f(w) = aeXw.
1°. Точные решения в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = — \п\Ах + В\ - — \п\± Ay/at+ С\, A)
А А
w(x, t) = — \п(аА2х2 + Вх + С) - — \n(aAt + D), B)
А А
1 2 1 г р2 -,
W\X, t) = — 11Ц/1Ж + Х5Ж + Су ) + — Ш - о/ , , Г 5 (-^/
A A L aAcos2(pt + g) J
гу(ж, t) = — 1п(Аж2 + Вх -\- С) -\ In к , D)
A A L aAshz(pt + q) J
1 2 If —P2 1
w(x, t) = — \n(Ax + Bx + G) H In s 5 E)
A A L aA ch (pt + q) J
где A, 5, G, D, p, g — произвольные постоянные. Формулы A) — E) исчерпывают все решения,
которые являются суммой функций разных переменных.
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996, стр. 458).
2°. Решение типа бегущей волны:
w = w(z), z = х ± fit,
где зависимость w = u>(z) задается неявно с помощью формулы (А, В — произвольные
постоянные)
Xfi2w - aeXw =
3°. Автомодельное решение:
Здесь А, В — произвольные постоянные, а функция и = и(?) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
которое допускает первый интеграл
Частному случаю G = 0 отвечает решение вида A). При G/0 принимая в F) и за
независимую переменную, для функции ? = ?(и) получим уравнение Риккати
которое рассмотрено в книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а).
® Литература: W. F. Ames, R. J. Lohner, E. Adams A981).
4°. Точное решение:
2(^ ~ 1) Л„(+ i П.\ i *(/-\ ? — Х + С2
где Gi, C2, А; — произвольные постоянные, а функция / = /(?) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
® Литература: W. F. Ames, R. J. Lohner, E. Adams A981).
142 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
„>„.
Замена j3u = \х + fit + /Зги приводит к уравнению вида 3.2.3.1:
<92« _ /зи д2и
~W~ae ~д^'
3.3. Другие уравнения, содержащие произвольные
параметры
3.3.1. Уравнения с гиперболическими нелинейностями
л d2w d2w
1
Уравнение sh-Гордон. Встречается в некоторых областях физики. Частный случай уравнения
3.4.1.1 при f(w) = bsh(Xw).
1°. Решения типа бегущей волны:
( +\ -l 2 I L b\(kx + /it + в0) 1
w(x.t) = =Ь— In tg —\ —— ,
. ч 4 A ., Г Ь\(кх + fit + 00) *\
A L V/6A(//2 - a/c2) -I
где A;, //, ^o —произвольные постоянные. В обеих формулах считается, что b\(fi2 — ак2) > 0.
2°. Точное решение:
w(x,t) = ^- i^ti
A
где функции / = f{t) и д = д(ж) описываются автономными обыкновенными дифференциаль-
дифференциальными уравнениями первого порядка
где А, В, С — произвольные постоянные.
3°. О других точных решениях этого уравнения см. уравнение 3.4.1.1 при f(w) = bsh(Xw),
п. 2°.
® Литература: В. К. Андреев, О. В. Капцов, В. В. Пухначев, А. А. Родионов A994).
Частный случай уравнения 3.4.1.7 при f(w) = bshk(\w). Поэтому при к = 1 это уравнение
сводится к более простому уравнению 3.3.1.1.
_ d2w d2w вх , fe/x ч
3--а^ = -д^ + Ье sh(Aw)-
Частный случай уравнения 3.4.1.6 при f(w) = bshk(\w). Поэтому при к = 1 это уравнение
сводится к более простому уравнению 3.3.1.1.
. d2w а д ( п dw\ , л
4. — = х + ksh(\w).
dt2 хп Эх V дх ) У }
Частный случай уравнения 3.4.2.1 при f(w) = A;sh(A^), n = b/a.
_ d2w д Г 1,хлди^ ^ п
Частный случай уравнения 3.4.4.16 при f(w) = ach(Xw).
Частный случай уравнения 3.4.4.16 при f(w) = ash(A^).
3.3. Другие уравнения, содержащие произвольные параметры 143
3.3.2. Уравнения с логарифмическими нелинейностями
1 d2w d2w
1. ——- = а——- + bw In w + fou.
ot* ox*
Частный случай уравнения 3.4.1.1 при f(w) = bwlnw + to.
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = (p(t)ip(x),
где функции (p(t), ф(х) описываются автономными обыкновенными дифференциальными
уравнениями
(ftt — b(p In cp — кср = О,
афхХ + Ъф In ф = О,
общие решения которых можно представить в неявном виде.
2- 4Sr = а4г1Г + bwlnw + (схк + s«")w.
at^ ox*
Частный случай уравнения 3.4.1.10 при /(ж) = схк,
d2w
+ 6
3. ——- = а
dt2 дх2
Частный случай уравнения 3.4.1.1 при f(w) = bwk \nw. Для к = 1 см. также уравнение 3.4.1.9
при /(*) = 0.
Частный случай уравнения 3.4.1.2 при f(w) = alnfc(Aif).
5. -—5- = -—5- + 6ер t^ In w.
Ot2 Ож2
Преобразование
|(x,0 = \pe*.v{\pt)sh{\Cx), T(x,t) = i
приводит к более простому уравнению вида 3.3.2.1:
d2w d2w
дт2
+ bw\n.w.
, d2w d2w рх
6. ——- = ——- + beR w In w.
dt2 dx2
Преобразование
?(x,t) = ±exp(±px)ch(±pt), r(x,t) = ±exp
приводит к более простому уравнению вида 3.3.2.1:
d2w d2w . .
~^Г = ~^РГ + bw ln w-
дт2 д?2
_ d2w а д ( п dw\ . k.
7. — = х + cw In w.
dt2 хп дх V дх )
Частный случай уравнения 3.4.2.1 при f(w) = cwk \nw, b = an.
o d2w n d2w fe. ч
8. ~^r = ax -ё-г+Ып (Ate).
Частный случай уравнения 3.4.3.2 при /3 = 0, f(w) = bhik(\w).
_ d2w n d2w . , гг-i , fe/x v dw
9. — = ax — + bx In (Лги) .
dt2 dx2 v ' dx
Частный случай уравнения 3.4.3.5 при f(w) = b\nk(Xw).
d2w д r h( ч Огу 1
10. — = а In (\w) .
dt2 дх I v ' дх J
Частный случай уравнения ЗАЛА при /(ги) = a\nk(Xw).
144 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
3.3.3. Уравнения с тригонометрическими нелинейностями
, d2w d2w
l
Уравнение синус-Гордона. Встречается в дифференциальной геометрии и различных областях
физики (сверхпроводимость, дислокация в кристаллах, волны в ферромагнитных материалах,
лазерные импульсы в двухфазной среде и др.).
1°. Пусть w = <р(х, t) —решение уравнения синус-Гордона. Тогда функции
^EU ± ж, С2 ± t), п = О, ±1, ±2,...
т
А
W2 = ±(p(xcha + ty/a sh a, x —— + t ch a),
где С\, С2, сг — произвольные постоянные, также являются точными решениями этого уравне-
уравнения. В первой формуле знаки функции и аргументов выбираются независимо в любой комби-
комбинации.
2°. Решения типа бегущей волны:
/ .ч 4 Г [ b\(kx + fit + 00) ~\\ ,х/ 2 ,2n v n
гшж, ?) = — arctg< exp ±—, > при oAm — ak ) > 0,
K ' X ь \ K L у/6А(//2 -а/с2) J J V^ У
, .ч 7Г 4 J f 6A(b + /li + 60)ll , w 2 72ч^п
wix.t) = arctg< exp ±—) > при oAm — ak ) < 0,
V'; A A 6\ PL у/6А(а/с2-//2) J/ P VP ;
где к, //, ^o — произвольные постоянные. Первое решение отвечает односолитонному решению.
3°. Решения, указанные выше в п. 2°, являются частными случаями более общего решения вида
w{x,t) = 4axctg[f{x)g{t)], A)
где функции / = f(x) и д = g{t) описываются автономными обыкновенными дифференциаль-
дифференциальными уравнениями первого порядка с разделяющимися переменными
(g'tJ = -аСд4 + (аВ + ЪХ)д2 - а А,
где А, В, С — произвольные постоянные. Отметим некоторые точные решения, являющиеся
следствием A) — B).
3.1. При А = 0, В = к2 > 0, С > 0 имеем
/ .ч 4 Г fish(kx + А-,) 1 2 7 2 , 7 л п /оч
гц(ж,t) = — arctg г , ^" ' ^ = а^ +^>°5 C)
где А;, А\, В\ —произвольные постоянные. Формула C) отвечает двухсолитонному решению
Перринга — Скирма.
3.2. При А = 0, В = -к2 < 0, С > 0 имеем
/ ,\ 4 1 Г usin(/cx + А-.) 1 2 7 л Т2 гл ,л\
w(x,t) = —arctg — ^— , // = оХ — ак > 0, D)
где к, А\, В\ —произвольные постоянные.
3.3. При А = к2 > 0, В = k2j2 > 0, С = 0 имеем
w(x,t) = — arctg[— е^и ( ' \ак в, ^( ,„\ 1, /х2 = а&272 + 6А > 0, E)
где к, А\, В\, 7 — произвольные постоянные.
4°. TV-солитонное решение описывается формулами (а = 1, Ъ = — 1, А = 1):
[l - 2 Г^у - ^-Л (In F)l,
Zi — 1С
где /ii, Ci —произвольные постоянные.
3.3. Другие уравнения, содержащие произвольные параметры
145
5°. О других точных решениях этого уравнения см. уравнение 3.4.1.1 при f(w) = bsin(Xw),
п. 3°.
6°. Уравнение синус-Гордона интегрируется методом обратной задачи рассеяния, см. книгу
В. Е. Захарова, С. В. Манакова, С. П. Новикова, Л. П. Питаевского A980, стр. 98-111).
Е. Д. Белоколос A995) получил общую формулу для решения уравнения синус-Гордона с
произвольными начальными и граничными условиями.
7°. Преобразование
z = х — at, у = х + at
приводит к уравнению вида 3.5.1.5: dzyw = — \а~2 smw.
® Литература: М. J. Ablowitz, D. J. Каир, А. С. Newell, H. Segur A973), В. Е. Захаров, Л. А. Тахтаджян,
Л. Д. Фаддеев A974), Дж. Уизем A977), И. М. Кричевер A980), В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков,
Л. П. Питаевский A980), М. J. Ablowitz, H. Segur A981), Р. Буллаф, Ф. Кодри A983), J. Weiss A984),
М. J. Ablowitz, P. A. Clarkson A991).
d2w d2w ,,./л ч, ./1л \
2. -^- = <*>-?-?- + bsin(Aiu) + csin(^-Aw).
Двойное уравнение синус-Гордона. Оно встречается в нелинейной оптике (распространение
ультракоротких импульсов в резонансной пятикратно вырожденной среде) и физике низких
температур (распространение спиновых волн в анизотропных спиновых жидкостях).
1°. Решения типа бегущей волны:
AV4&2 - с2(кх
2) J
/ -ч 4 Г V462 - с
w(xА) = — arctg
2 лг2
при с < 46 ,
2 Л12
при с > 46 ,
Здесь к, fi, во — произвольные постоянные. В обеих формулах считается, что ЬХ(ак2 — fi2) > 0.
2°. Точное решение:
w(x,t) = А+ —
Л
+ d) + —
Л
C2), 9 = /it ± kx + (90,
где параметры А, В\, В2, С\, Сг, /^, А; алгебраическими соотношениями связаны с параметрами
исходного уравнения а, 6, с, Л; во — произвольная постоянная.
Выделим интересные частные случаи, встречающиеся в приложениях.
2.1. При а = 1, 6 = -1, с = -\, Л = 1:
(x,t) = 4arctg(e^
4arctg(
^+A)
2.2. При а = 1, 6 = -1, с = --i-, Л = 1:
w(x,t) = 27r + 4arctg(e^"A) - 4arctg(e^+A
2.3. При а = 1, 6 = 1, с = \, Л = 1:
w(x,t) = ? — 2тг + 4 arctg f е^ Н—;
2.4. При а = 1, 6 = 1, с = \, Л = 1:
w(x,t) = 2тг — ^ + 4 arctg
А = 1п(л/5 + 2
А = 1п(л/з
к = ц + -jA
f
f
—любое, А; =//+ ^-/
—любое, А; = /i + ^-/
(•) Литература: Р. Буллаф, Ф. Кодри A983), Ф. Калоджеро, А. Дегасперис A985).
„ d2w d2w
Замена г^ = и -\ приводит к уравнению вида 3.3.3.1:
2Л
д2и
д2и
10 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
146 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
. d2w d2w
4
at . fe/л ч
Частный случай уравнения 3.4.1.7 при f(w) = bsink(Xw). Поэтому при к = 1 это уравнение
сводится к более простому уравнению 3.3.3.1.
/3aj . fe/ж ч
fc(
Частный случай уравнения 3.4.1.6 при f(w) = &sinfc(Au>). Поэтому при к = 1 это уравнение
сводится к более простому уравнению 3.3.3.1.
, d2w d2w at fe/л ч
6 + Ье cos iXw)-
Частный случай уравнения 3.4.1.7 при f(w) = hcosk(\w). Поэтому при к = 1 это уравнение
сводится к более простому уравнению 3.3.3.3.
Частный случай уравнения 3.4.1.6 при /(ги) = bcosk(\w). Поэтому при к = 1 это уравнение
сводится к более простому уравнению 3.3.3.3.
8. — = х + ksm(\w).
dt2 хп дх \ дх ) v '
Частный случай уравнения 3.4.3.4 при f(w) = A;sin(A^), b = an.
ft d2w д Г w/ ч Огу 1
Частный случай уравнения 3.4.4.4 при /(ги) = acosn(Aif).
Частный случай уравнения ЗАЛА при f(w) = asinn(A^).
3.3.4. Уравнения вида ^ +а<? = i[/(.)^
t dw д
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, t) = — \n(Cix + С2) + C3e~at + С4,
А
где Ci, C2, Сз, С\ — произвольные постоянные.
2°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, t) = — \n(XCix2 + С2х + Сз) + u(t),
X
где С\, С2, Сз — произвольные постоянные, а функция и = u(t) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
3°. Решение типа бегущей волны в неявном виде:
^еАги _ д2
dw = х + Xt + C2,
a\w + С1
где С\, С2, А — произвольные постоянные.
3.3. Другие уравнения, содержащие произвольные параметры 147
. d2w dw д г , . .,„ dwi
2. —\- к = \a(w + b) .
dt2 dt дх L v ' дх J
1°. Точное решение при п ф — 1:
ю(ж, *) = (ж + C2I/A+n)(Cie-fc? + С2) - Ь,
где С\, С2 — произвольные постоянные.
2°. Точное решение:
w(x,t) = {x + CJ/nu{t)-h,
где С — произвольная постоянная, а функция и = гг(?) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
п2
Это уравнение легко интегрируется при п=—2ип=—1; при п = — 3/2, —3 его точные решения
приведены в справочнике В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а).
3°. Решение типа бегущей волны в неявном виде:
Г+Ъ Ьип-\2 J
Jo /слад + С1
где Ci, C2, А — произвольные постоянные.
4°. Точное решение при п = — 1:
где Ci, C2, Сз —произвольные постоянные.
5°. Точное решение при п = 1:
^(ж, ?) = f(t)x2
где функции /(?), g(t), h(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений
/« + ^Л = 6а/ ,
0« + kgt = 6а fg,
h'tt + kh't = 2а fh + ap2.
. d2w t dw д
Преобразование
t = t -\-\n \w\, dz = aw~2wxdt + (w + wt)dx, и = 1/w (dz = ztdt + zx dx),
где индексы снизу обозначают соответствующие частные производные, приводит к линейному
телеграфному уравнению
д2и ди _ д2и
® Литература: С. Rogers, Т. Ruggeri A985), С. Rogers, W. F. Ames A989).
3.3.5. Уравнения вида ^ + /(»)^ =
Уравнения этого вида допускают решения типа бегущей волны w = w(kx + Xt) (значению к = 0
соответствует однородное решение, зависящее только от t, а значению Л = 0 — стационарное
решение, зависящее только от х). При g(w) = const такие уравнения встречаются в теории
электрического поля при нелинейных законах Ома, где w — напряженность электрического
поля.
10*
148 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
d2w п dw _ d2w
' dt2 ~дГ ~ дх2 '
1°. Решения типа бегущей волны в неявном виде:
(п + l)dw а(х — at)
1
I
wn + l +Ci 1_a2
dw а(х — at)
+ С2 при п ф —1,
+ G2 при п = —1,
1-а2
где Ci, С2, а — произвольные постоянные (а ф О, =Ы).
Частный случай 1. Решение типа бегущей волны при п ф 0, — 1:
v -1/п а(х — at)
где С, а — произвольные постоянные (а ф О, =Ы).
Частный случай 2. Решения типа бегущей волны при п = 1:
w = 2С
+ С2), ^ ~ 1-а2
где С1? С2, а — произвольные постоянные, а т^ 0, ±1.
2°. Автомодельное решение:
где функция ср = у(^) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
® Литература: Ю. П. Емец, В. Б. Таранов A972), N. Н. Ibragimov A995).
3°. Точное решение при п = 1:
Здесь функция tp = ip(x) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением (р'хх = (р2, которое имеет частное решение (р = 6(ж + С)~2.
. d2w , ^ Он?
2 +
df> ' dt
1°. Автомодельное решение:
где функция 16 = 16 (z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
п2(>2 - b)u"z + n^Bn + 2 - naun)u'z + иA + п - паи1) = 0.
2°. Переходя к новым независимым переменным г = at, z = a/3~1^2x, приходим к уравнению
вида 3.3.5.1:
d2w n dw d2w
дт2 дт dz2
d2w n dw д ( k dw\
3. —\- aw = b w .
dt2 ^ dt dx V dx )
Автомодельное решение:
W(x,t) = U(z)t-1/n, Z = xt(k-2n)/Bn)^
где функция и = u(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
V - Bп - kfz2]u'L +4bkn2uk-1(u'zJ+
+ Bп - к) (к - 4 - \п + 2naun)zu'z = 4иA +п- апип).
3.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 149
Л d2w , w dw d2w
4 l
_ g
dt2 dt dx2 '
1°. Решения типа бегущей волны:
w(x,t) = -ln{-i- [exp(-^-(oa; - t) + C2) - l] },
w{x,t) = -ln\—-Ц-{ax - t) + d\,
где Ci, С2, a — произвольные постоянные (а ф =Ы).
2°. Точные решения:
(ж,*) = -ln(=F—
1
4 ^X ~
х + t
x-t
) n
\
X
\
it
-t
где С, a — произвольные постоянные.
® Литература: Ю. П. Емец, В. Б. Таранов A972), N. Н. Ibragimov A995).
x-w dw d2w
at* ' at ~ ax* ¦
1°. Точное решение:
w(x,t) = u(z) - —]
где функция и = u(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
X(z2 - h)uzz + A^B - aeXu)uz + 1 - аеХи = 0.
2°. Переходя к новым независимым переменным т = at, z = aC~1'2x, приходим к уравнению
вида 3.3.5.4:
d2w w dw d2w
h e = .
дт2 дт dz2
Лги dw , d / uw dw
Точное решение:
w(x,t) = u(z) lnt, Z = :
A
где функция и = u(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
[(// - 2А) V - 4Ъ\2е»и]и"г - 46//А2е^Ю2 +
+ О - 2А)О - 4А + 2a\eXu)zuz + 4АA - аеХи) = 0.
3.4. Уравнения, содержащие произвольные функции
3.4.1. Уравнения вида -^- = а^- + f(x,t,w)
л d2w d2w . „( ч
Нелинейное уравнение Клейна — Гордона общего вида.
1°. Пусть w = w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
wi = w(±x + Ci,±t + С2),
W2 = w (х ch 3 — t\fa sh в, t ch 3 — x —— ),
где Ci, C2, ft — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения (знаки
выбираются независимо друг от друга).
150 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
2°. Решение типа бегущей волны:
w = w(z), z = [ix + At,
где функция w(z) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
(А2 — aii2)w"z = f(w). Его решения можно представить в неявном виде:
dw = В ± г, A)
где А, В — произвольные постоянные.
СВ. Нестеров A978) указал несколько случаев, когда решение A) можно записать в явном
виде (а = /1 = 1):
f(w) = -b —2—, w(z = Arsh shfesinf — ) ,
chz гу L V ch к VA2 - 1 / J
/(гу) = —о —^-—, г^(z) = arcsm sm A; sin -;^=^= ,
cos2 w L V cos/c VA2 — 1 / J
где к, с — произвольные постоянные. В этих случаях периодическим решениям по z с периодом
2тг отвечают следующие зависимости скорости волны А от амплитуды Ь:
A2 = l+62chA;,
А2 = 1+б2 cos/с.
3°. Точное решение:
где С\, Сг — произвольные постоянные, а функция w = w(?) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
4°. О точных решениях нелинейного уравнения Клейна — Гордона при f(w) = bwm,
f{w) = beXw, f(w) = 6sh(Ai^), /(гу) = bwlnw, f(w) = 6sin(A^) см. соответственно уравне-
уравнения 3.1.1.1, 3.2.1.1, 3.3.1.1, 3.3.2.1, 3.3.3.1. О решениях этого уравнения для некоторых других
зависимостей / = f(w) см. разд. А.3.3-2, пример 12.
1°. Точное решение:
w = w@, Z=i(x2-t2),
где функция w = w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
2°. Автомодельное решение:
w = w(?), С = xt.
Здесь функция w = w{Ct) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением
Ч'с = /О),
общее решение которого можно представить в неявной форме
[[Ci+2F(w)]~1/2dw = C2±(, F(w)= Г f(w)dw,
где С\, С2 — произвольные постоянные.
3.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 151
3°. Точное решение:
/ \ 1 / 2 . ,2\
w = w(z), z = —ух +t).
Здесь функция w = w(z) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением
w'L + /О) = О,
общее решение которого можно представить в неявной форме
f[Ci-2F(w)]~1/2dw = C2±z, F(w)= Г f(w)dw,
где С\, С2 — произвольные постоянные.
4°. Преобразование
приводит к более простому уравнению вида 3.4.1.1:
d2w d2w „, v
Это уравнение для произвольной зависимости /' = f(w) допускает точное решение типа бегущей
волны w = w(kz + Лг), где А, В — произвольные постоянные.
5°. Преобразование (f3 — произвольная постоянная)
f = х ch /3 + t sh /3, т = x sh /3 + t ch /3,
приводит к уравнению такого же вида
дт2 д?2 vs "v ''
Поэтому, если удалось построить точное решение w(x,t), то функция
также будет решением исходного уравнения при любом значении C.
Частный случай уравнения 3.4.1.16 при /(г/) = уп, g(z) = zn.
. d2w d2w
4 + f{ + bt)
Точное решение:
w = ги(?), ^ = ж + bt,
где функция гу(^) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
1°. Точное решение
117 = If (г), Т = ж?.
Здесь функция w = гу(г) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
2°. Преобразование
приводит к более простому уравнению
d2w d2w n/ N
152 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
, d2w d2w . вхо/ \
1°. Существует решение, зависящее от одной переменной w = w(x).
2°. Преобразование
?(М) = ехр(±Рх) ch(±pt), т(М) = ехр(±Рх) sh (¦§¦/
приводит к более простому уравнению вида 3.4.1.1:
Это уравнение для произвольной зависимости /' = f(w) допускает точное решение типа бегущей
волны w = w(k? + Хт) и решение вида w = w(^2 — т2).
_ d2w d2w , eto, ,
1°. Существует решение, зависящее от одной переменной w = w(t).
2°. Преобразование
?(М) = ехр(|^) sh(±Px), r(x,t) = exp(±pt) ch(±/3x)
приводит к более простому уравнению вида 3.4.1.1:
d2w d2w лп_2п, \
^ = ^Г+4^ /И-
Это уравнение для произвольной зависимости /' = f(w) допускает точное решение типа бегущей
волны w = w(k? + Хт) и решение вида w = w(^2 — т2).
1°. Существует решение вида w = w(ax + bt).
2°. При b ф d=a преобразование
? = ах + Ы, т = bx + at
приводит к уравнению вида 3.4.1.6:
d2w d2w I ? г/ \
^т2 ^2 а2 — б2
3°. При 6 = а см. уравнение 3.4.1.13 для /B) = eaz; при b = —а см. уравнение 3.4.1.14 для
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = (p(t)ip(x),
где функции <^(t), ^(ж) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
С — произвольная постоянная.
10.
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = <p(t)ip(x),
где функции ip(t), ф(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
<p"t- [b\nip + g(t) + C]ip = O,
аф"х + [Ыпф + f(x) -С]ф = 0,
С — произвольная постоянная.
3.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 153
11. ^ = а^- + f(t)w lnw+ [bf(t)x + g(t)]w.
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = е~Ьхф),
где функция ip(t) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
ip'U = f(t)<phi<p + [git) + ab2]ip.
12. -^- = a-^~ + f(x)wlnw+ [bf(x)t + g(x)]w.
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = e~btcp(x),
где функция (р(х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
[д(х) -Ъ2]<р = 0.
Преобразование (а — произвольная постоянная)
/(A) d\ - |(t - х), т=\ ? /(Л) d\ + |(t - х)
приводит к уравнению вида 3.4.1.1:
d2w d2w
дт2
g(w).
Преобразование (а — произвольная постоянная)
Х f(a)da, T=i(t + x) + i f X /(<т)
приводит к уравнению вида 3.4.1.1:
d2w d2
Преобразование (а, 6 — произвольные постоянные)
Гь+Х л Гь~х л Гь+Х
1 Гь+Х л Гь~х л Гь+Х л Гь~х
=- f(X)d\-- g(a)da, т=- /(Л) d\ + - / g(a)da
1 Ja * Jb * Ja * Jb
приводит к уравнению вида 3.2.1.1:
d2w d2w
p
- x)h(w).
Преобразование (a, b — произвольные постоянные)
1 fl+x i Г1~х 1 f
e=4/ f(X)dX-± g(*)da, r=4/
2 Ja Z Jb Z Ja
приводит к уравнению вида 3.4.1.1:
d2w d2w , .f ,
154 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
17
Точные решения (Ci, С2, А — произвольные постоянные):
w(x, t) = f(t) - —t - — In (Ci + C2x ±
^(x,t) = /(t)-^_lin
3.4.2. Уравнения вида -^- = a-^- + f(x,t,w, ^-
d2w d2w . b dw
1°. Частный случай уравнения 3.4.3.4 при п = О, Ъ = am. Это уравнение может быть записано
в виде
d2w а д ( т dw \ , . Ь
7Г = \х + f(w), m=—.
dt2 хт дх V дх ) J У h a
Значениям т = 1ит = 2 соответствуют нелинейные волны с осевой и центральной симметрией.
2°. Точное решение:
w = w(?), f = y/ak(t + CJ -kx2,
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
wit -\ — w^ = —f(w).
at; ak
_ d2w d2w . ч dw , г / \ 1 l/^\1
2. -^- = a-^j- + f(x) —- + bw\nw+ [g(x) + Ai(t)]w.
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = <p(t)ip(x),
где функции (p(t), ф(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
афхх + №)ф'х + [ЪЫф + р(ж) - C]V = О,
С — произвольная постоянная.
_ d2w d2w . „( .dw
Решения типа бегущей волны:
w = w(z), z = ±ж + At,
где функция w = г^(^) задается неявно с помощью формул (А, В, X — произвольные
постоянные)
(А2 -а) Г — = z + В, F(w) = [ f(w) dw.
У J J F{w) + A ' У J J Jy J
Стационарному решению соответствует значение А = 0.
. d2w d2w .
4 +
Точные решения:
w(x, t) = (p(t) + 6@, f = ±ж + At,
где A — произвольная постоянная, а функции <?>(?) и в(^) описываются обыкновенными
дифференциальными уравнениями
Vu -cv- f(t) = 0, A)
2+св = 0. B)
3.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 155
Решение уравнения A) имеет вид
1 С1
(p(t) = Сх ch(kt) + С2 sh(kt) + — / f(r) sh[k(t - г)] dr при с = к2 > О,
ip(t) = С\ cos(kt) + С2 sin(kt) -\ / /(т) sin[k(t - т)] dr при с = -к2 < О,
где Ci, С2 — произвольные постоянные.
Решение уравнения B) можно найти с помощью замены z(Q) = (в^) , которая приводит
к линейному уравнению первого порядка.
_ d2w d2w ( dw\2 f ч
5 + 4) ++ /()
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
Здесь
при с = к2 > О,
= Ci cos(fet) + С2 sin(A;t) при с = -к2 < О,
где Ci, C2—произвольные постоянные, а функция (р(х) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением
а<Рхх + Ь((р'хJ + ар + /(ж) = 0.
2 dw 2 /ч /ч
+cu,—+ fcti, () ^)
Точное решение:
w(x,t) =
где Л — корни квадратного уравнения 6Л2 + сЛ + А; = 0, а функции <p(t) и ^(t) описываются
системой обыкновенных дифференциальных уравнений
A)
/(t) + аЛ2] V. B)
В частном случае при f(t) = const, g(t) = const уравнение A) имеет частные решения вида
ср = const и ввиду его автономности может быть проинтегрировано в квадратурах. Уравнение
B) линейно относительно функции гр, поэтому при (р = const его общее решение выражается
через экспоненты или синус и косинус.
Точное решение квадратичное по переменной х:
w{x,t) = V{t)x2 + ij{t)x + x{t), A)
где функции (p(t), ip(t) и x(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений второго порядка с переменными коэффициентами (аргументы у функций /, g, h не
указываются)
C)
Хи =дх + 1ф2 +h + 2aip. D)
Уравнение B) имеет тривиальное частное решение cp(t) = 0, которому соответствует
решение A) линейное по координате х.
Если удается найти решение (р = <p(t) нелинейного уравнения B), то функции ф = ip(t) и
X = x(t) можно найти последовательно путем решения уравнений C) и D), которые линейны
относительно ф и %.
156 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
Отметим, что уравнение C) имеет частное решение ф = ip(t), где ip(t) —любое нетриви-
нетривиальное частное решение уравнения B). Поэтому общее решение уравнения C) имеет вид
dt
где С\, С2 — произвольные постоянные. Если функции /ид пропорциональны, то частное
решение уравнения B) определяется формулой ср = — \дЦ (</? = const).
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
rt
w(x, t) = \At2 + Bt + C + I (t- r)h(r) dr + ip(x).
Jo
Здесь А, В, С — произвольные постоянные, а функция (р(х) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
a<p'L + f{x) (<f'xf + д(х) - А = 0.
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = <p(t) + ф(х).
Здесь функции ip(t) и ф(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
<p'lt -btp- h(t) = 0,
ai>'lx + 1(х)(ф'хJ +Ъф + д(х) = 0.
Решение первого уравнения для cp(t) имеет вид
<p(t) = Сх ch(kt) + С2 sh(kt) + — [ h(r) sh[k(t - г)] dr при b = к2 > 0,
^ Jo
1 С1
(p(t) = Ci cos(kt) + C2 sin(kt) -\ / h(r) sm[k(t - r)] dr при b = -k2 < 0,
^ Jo
где С\, С2 — произвольные постоянные.
1°. Точное решение:
w(x,t) = <p(t) + ip(t)exp(±x\/::b), 6<0, A)
где функции ip(t) и ф(г) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка с переменными коэффициентами (аргументы у функций /, д, h не указываются)
g-ab)^. C)
Если удается найти решение (р = <p(t) уравнения B), то функцию ф = ф(^) можно получить
путем решения уравнения C), линейного относительно ф.
Если функции f,g,h пропорциональны:
д = af, h = /3f (a, /3 = const),
то частные решения уравнения B) имеют вид
ip = hi, p = k2, D)
где hi, &2 — корни квадратного уравнения Ък2 + ак + C = 0. В этом случае уравнение C)
записывается так
ф'1ь = [BЪкп + a)f - аЪ]ф, п = 1, 2. E)
В книгах Э. Камке A976), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а) приведено много точных
решений линейного уравнения E) для различных зависимостей / = f(t). В частном случае
/ = const общее решение уравнения E) является суммой экспонент (или синуса и косинуса).
3.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 157
2°. Точные решения более общего вида
w(x,t) = <p(t) + ф(г)[Аехр(хл/Ц)) +Бехр(-жл/^б)], Ь < 0, F)
где функции ip{t) и ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка с переменными коэффициентами
Vtt = bf(V2 + 4АВф2) + gV + h, G)
ф'ь'ь = BЪ/<р + д-аЪ)ф. (8)
Из уравнения (8) можно выразить (р через гр, а затем подставить в G). В итоге получается
нелинейное уравнение четвертого порядка для функции ф (при /, g, h = const это уравнение
является автономным и допускает понижение порядка).
Отметим два частных случая решения вида F), которые выражаются через гиперболические
функции:
w(x,t) = (p{t) + ф(Ь) sh.(x\f—b), A = |, В = ~y-
3°. Точное решение (с — произвольная постоянная):
w(x,t) = ip(t) + ip(t) cos(x\/b +с), b > 0, (9)
где функции <?>(?) и ^(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка с переменными коэффициентами
(Ю)
(Ц)
(•) Литература: V. A. Galaktionov A995, рассматривался случай f = a, g = const, h = const), В. Ф. Зайцев,
А. Д. Полянин A996).
11» —- tt ~\~ f (t) ( ) Н~ fl'i v^)*^' H~ Qo\t)\ ~\~
dt dx V dx J dx
+ h(t)w + p2(t)x2 -\- pi(t)x -\- po(t).
Это уравнение имеет точное решение квадратичное по переменной х:
w(x,t) = (p(t)x'
/ \ dw
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
Здесь
С\ ch(kt) + C2 sh(kt) + — sh[k(t - г)]hi(r) dr при b = к2 > 0,
Ci cos(A;t) + С2 sin(A;t) H / sin[A;(t — r)]hi(r) dr при 6 = — к2 < 0,
Ci + C2t + / (t - r)hi(r) dr при 6 = 0,
где Ci, C2—произвольные постоянные, а функция <?>(ж) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
rt
w(x, t) = \At2 + Bt + C + I it- r)g(r) dr + ip(x).
Jo
Здесь А, В, С — произвольные постоянные, а функция ip(x) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
ашТТ + fix, шт) — А = 0.
158 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
ЛА d2w d2w
14 "в^г =
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
Здесь функции <p(t) и ф(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
ери -Ь(р- g(t) = О,
Решение первого уравнения для ip(t) имеет вид
1 Г*
ip(t) = С\ ch(kt) + С2 sh(kt) Н / д(т) sh[k(t - т)] dr при Ъ = к2 > О,
^ Jo
<^(t) = C\ cos(kt) + C2 sin(Art) H / p(r) sin[A;(t - г)] dr при Ъ = -к2 < О,
где Ci, С2 — произвольные постоянные.
ле. d2w d2w , р(, 1 dw
15 + f^
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
где Л — произвольная постоянная, а функция <p(t) описывается линейным обыкновенным
дифференциальным уравнением второго порядка
3.4.3. Уравнения вида -^ = f(x)^- +g(x,t, w, -^-
02w . 2 , . ч 92w dw . ч
-5^ = (а* +Ь)-^г+аЖ—+ /(«,).
Замена z = — приводит к уравнению вида 3.4.1.1:
J Vax2 + Ь
d2w d2w ,, ,
2. ^ = a(x + /3)-^-+ /(»), a>0.
Уравнение распространения нелинейных волн в неоднородной среде. При п = 0 см. уравнение
3.4.1.1.
1°. Замена у = х + /3 приводит к частному случаю уравнения 3.4.3.4 при Ъ = 0.
2°. Точное решение при п ф 2:
где С — произвольная постоянная, а функция u>(z) определяется из обобщенного уравнения
Эмдена — Фаулера
В частном случае п = 1 решение уравнения A) имеет вид
dw = d=? + C2, F(w) = / f(w) dw,
где Ci, С2 — произвольные постоянные.
В книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а) приведен ряд точных решений уравнения A)
для некоторых зависимостей / = f(w).
3.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 159
= ¦?[-*•+»•?]+/<«>. а>0
Сделаем замену z = х + /3, а затем продифференцируем по z выражение в квадратных скобках в
правой части уравнения. В результате приходим к частному случаю уравнения 3.4.3.4 при Ъ = an:
О W п О W
~W =az ~д^~
я d2w п d2w , , -_! dw , п/
1°. Существуют решения, зависящие только от одной переменной: w = w(x) и w = w(t).
2°. Точное решение при п ф 2:
Здесь С — произвольная постоянная, а функция w = w(?) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением
?w'k + Aw't - Bf[w) = 0, A)
где
, _ аD - Зп) + 26 _ 1
2аB -п) ' аB-пJ '
1
При А ф 1 замена ^ = А;^1-Л (А; = ±1) приводит A) к обобщенному уравнению Эмдена —
Фаулера
В частном случае А = у, что соответствует Ь = а(п — 1), решение уравнения B) имеет вид
Л -1-1/2 /•
Ci + SkBF(w)\ dw = ±z + С2, F(w) = / f(w)dw,
J У
где Ci, C2 — произвольные постоянные.
В книгах В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина приведен ряд точных решений уравнения B) для
некоторых зависимостей / = f(w).
3°. Точное решение при п = 2:
w = w(y), у = At + В \n\x\ + С,
где А, В, С — произвольные постоянные, а функция w(y) описывается автономным обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением
(аВ2 - A2)w';y + (Ъ - a)Bw'y + f(w) = 0. C)
Решения уравнения C) при А = ±Вл/а:
Решения уравнения C) при Ъ = а:
Л 2 I-1/2 f
С\ -\ —F(w) dw = ±г/ + Сг, F(^) = / /(ги) с?гу.
При А / ±Вл/а и b ф а замена u(w) = — z-Щ приводит C) к уравнению Абеля
В(а — Ь)
А2-аВ2 „, ч
точные решения которого для различных функций / = f(w) приведены в книгах В. Ф. Зайцева,
А. Д. Полянина A993, 2001 а).
160 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
_ d2w n d2w . гг-\о( ч dw
1°. Решения, зависящие только от одной переменной:
w(t) = At + B;
где А, В — произвольные постоянные (второе решение задано неявно).
2°. Точное решение при п ф 2:
w = w(z), z = [каB - nJ(t + СJ - 4кх2~п]1/2, к = ±1,
где С — произвольная постоянная, а функция w(z) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением
w'L + 2 [оA - п) + /Н] 1^=0. A)
dyZi Tij z
Замена u(w) = zw'z приводит A) к уравнению первого порядка с разделяющимися
переменными. После интегрирования получим решение в неявном виде:
ь И + с F^ I ^ dw'
где С\, С2 — произвольные постоянные.
3°. Автомодельное решение при п ф 2:
2
w = w(?), ?,=xt n~2 ,
где функция w = w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
Г tn-i 4 An. \tn-2r, ч , 2(п-4I ,
4°. Точное решение при п = 2:
гу = гу(у), 2/ = At + Б In |ж| + С,
где А, 5, С — произвольные постоянные, а функция w(y) описывается автономным обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением
(аВ2 - A2)wyy + В[f(w) -a]w'y= 0,
решение которого при А ф ±Вл/а дается формулой
аВ2-А2 Г dw
в
d2w rt d2w , rt-i о, ч dw
А2 Г dw Г
/ = —V, F(w) = /
J F{w)-aw + C1 У' У J J
F(w) = / f(w)dw.
1°. Существуют решения, зависящие только от одной переменной: w = w(x) и w = w(t).
2°. Точное решение при п ф 2:
w = w(z), z = [каB - nf(t + СJ - 4кх2~п]1/2, к = ±1,
где С — произвольная постоянная, а функция w(z) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением
// . 2
[аA - п) + /(«;)] -t«i - —J-—S(«,) = 0.
Z CLK \А — ТЬ )
zz ' aB-n)LV -jtjK-ji^z ak{2_ny
3°. Точное решение при п = 2:
3.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 161
где А, В, С — произвольные постоянные, а функция w(?) описывается автономным обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением
(аВ2 - A2)w'^ + В [f(w) - а]Ц + яЫ = 0. A)
Решение уравнения A) при А = ±Вл/а:
В общем случае замена u(w) = w'^ приводит A) к уравнению Абеля, точные решения
которого для различных функций / = f(w) и g = g(w) можно найти в книгах В. Ф. Зайцева,
А. Д. Полянина A993, 2001 а).
Частный случай уравнения 3.4.3.9 при Ъ = 0.
о d2w д
о.
Частный случай уравнения 3.4.3.9 при Ъ = аХ.
d2w _ Xx d2w \xdw_ i f/ \ > о
Уравнение распространения нелинейных волн в неоднородной среде.
1°. Существуют решения, зависящие только от одной переменной: w = w(x) и w = w(t).
2°. Точное решение {С — произвольная постоянная):
w = w(z), z = [4ке~Хх - akX2(t + СJ]1/2, к = =Ы,
где функция w = w(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
„ 2(аЛ - Ь) 1 , 1 ( , _
Qj\ Z СЬгьЛ
При Ъ = а Л решение уравнения A) имеет вид
где С\, С2 — произвольные постоянные.
2Ъ-а\
При Ъ ф —аХ замена ? = 2 «а приводит A) к обобщенному уравнению Эмдена —
Фаулера
В книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а) приведен ряд точных решений уравнения
B) для некоторых зависимостей / = f(w).
1°. При Л = 0 см. уравнение 3.4.3.3.
2°. Точное решение при Л / 0:
w = w(z), z = [4ke~Xx - akX2(t + СJ]1/2, k = ±1,
где С — произвольная постоянная, а функция w(z) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением
«4 + f [i-^/H]^ = o. A)
Замена u(w) = zw'z приводит A) к уравнению первого порядка с разделяющимися переменными.
После интегрирования получим решение в неявном виде:
Г dw = J_ in Ы + С2, F(w) = f f(w) dw,
J 2F(w)-aXw + C1 aX ' ' ' V У У
где С\, С2 — произвольные постоянные.
11 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
162 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
3°. Точное решение:
где функция w = w(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
(aX2f - 4?)w?? + [\?f(w) + аХ2? - 2]Ц = 0.
1°. Существуют решения, зависящие только от одной переменной: w = w(x) и w = ги(?).
2°. Точное решение при А ф 0:
гу = ги(г), ^ = [4А;е"Лж - ak\2(t + СJ]1/2, jfe = ±1,
где С — произвольная постоянная, а функция w(z) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением
3°. При Л = 0 существует точное решение типа бегущей волны w = w(ax + /3t).
i2< "S^=f{x) i?k+9{x) ¦?"+aw in w+[/г(ж)
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = (р(х)ф(г),
где функции <р(х), ip(t) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями (С —
произвольная постоянная)
f{xL>'L + д(х)(р'х + aip In if + [С + Л(ж)] (f = 0,
3.4.4. Уравнения вида ^ = f(w)^- + g(x,t9w91^
+ ^2(t)^ + hl{t)x
Точное решение квадратичное по переменной х:
w(x,t) = ip(t)x2 + ф(г)х + X(t),
где функции ip = ip(t), Ф = ф{Ь), х = х{Р) описываются системой обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений
2
iftt = 2[2/(t) + а]<рф
Хи = 1ач>Х + /(<)V>2 + g(t)x + ho(t).
(•) Литература: V. A. Galaktionov A995); рассматривался случай / = const, h1 = h2 = 0.
1°. Пусть гб = гб(ж)—любое нетривиальное (частное) решение линейного обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка
aulx + f(x)u = 0. A)
Преобразование
Г dx w
f = / -о", ^= —
J Uz U
упрощает исходное уравнение и приводит его к следующему виду:
d2Z 4 02Z
3.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 163
Это уравнение имеет, например, такие решения (А, В, С, D, А— произвольные постоянные):
z& t) =
Второе решение является частным случаем решения в виде произведения функций разных
аргументов z(?, t) = f(?)g(t). Существует также решение типа бегущей волны z = z(a^ + /3t)
и автомодельное решение вида
где А; — произвольная постоянная.
2°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = (±2\t + C)-1/2g(x),
где С — произвольная постоянная, а функция g = g{x) определяется из уравнения Ермакова
ag'L + f(x)g - 3AV3 = 0. B)
Если известно частное решение и = и(х) линейного уравнения A), то общее решение
нелинейного уравнения B) имеет вид (см., например, В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин, 2001 а):
а
где А, В — произвольные постоянные
d2w д ( _4/з dw \ . х, Л _1/з ^ Л
^)+/(ж)№ ' о>0-
1°. Пусть и = и(х)—любое нетривиальное (частное) решение линейного обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка
аи'хх - \f{x)u = 0. A)
Преобразование
f
J
dx з /~ч
—, z = wu B)
приводит исходное уравнение к более простому уравнению вида 3.1.4.8 при т = —4/3:
dt2 ? ?
2°. При / = Ъ = const решение вспомогательного уравнения A), которое входит в преобразо-
преобразование B), описывается формулами:
/ ч _ Г С\ ехр(Лж) + Сг ехр(—\х) при аЪ > 0,
и[х) -<yCl Cos(Ax) + C2 sin(Ax) при аб < 0,
где Л = |-|-Ь/а| ; С\, С2 — произвольные постоянные.
При /(ж) = Ъхш или /(ж) = Ъе^х решения уравнения A) выражаются через функции
Бесселя.
. d2w д
4
Это уравнение встречается в задачах волновой и газовой динамики.
1°. Пусть w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
Wl = w(Cix + С2, Cit + С3),
где Ci, С2, С2, — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
и*
164 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
2°. Преобразование
ж = т, t = z, и = f(w) dw
приводит к уравнению аналогичного вида
д2и д г , ,dw 1
где функция g = g(u) задается параметрически
и = I f(w) dw, g(u) = ——.
3°. Решение типа бегущей волны:
w = w(z), z = ж ± Xt,
где зависимость гу = u>(z) задается неявно с помощью формулы (А, В — произвольные
постоянные)
A2w- Г f(w)dw = Az + B.
® Литература: W. F. Ames, R. J. Lohner, E. Adams A981).
4°. Автомодельное решение:
+
где а, 6 — произвольные постоянные, а функция w(?) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
которое допускает первый интеграл
ie - ttw^w's=с. A)
Частному случаю G = 0 отвечает решение
е = /и.
При G/0 принимая в A) ги за независимую переменную, для функции ^ = ?(w) получим
уравнение Риккати
с&=е- /и. B)
В книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а) приведено много точных решений уравнения
B) для различных зависимостей / = f(w).
Уравнение B) подстановкой ? = —Cy'w/y сводится к линейному уравнению второго порядка
y'lw = C~2f(w)y.
® Литература: W. F. Ames, R. J. Lohner, E. Adams A981), В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
5°. Точное решение в параметрической форме:
х = Civ2 + C2v + I f(w)BCiw + C3) dw + C4,
t = BCiw + C3)v + C2w + C5.
Здесь и далее Gi, C2, Gз, С4, Gs —произвольные постоянные.
6°. Точное решение в параметрической форме:
х = [CiF(w) + C2]v + C3F(w) + С4, F(w) = / f(w) dw,
t = ^Civ2 + C3v + f[CiF(w) + C2] с/гу + C5.
7°. Точное решение в параметрической форме:
х = [CiF(w) + C2]v2 + C3F(w) + CA + 2 Г{f(w) f[CiF(w) + C2] dw} dw,
t = jCiv3 + Csv + 2v f[CiF(w) + C2] с/гу + C5.
3.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 165
8°. Точное решение в параметрической форме:
х = (deXv + C2e~Xv)H(w) + С3,
t = Ude^ - C,e-Xv)-^-H'w{w) + C4,
Л /О)
где С\, С2, Сз, С4, А — произвольные постоянные, функция Н = H(w) описывается обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением L/[if] — Х2Н = 0, а дифференциальный оператор L/
определяется выражением
9°. Точное решение в параметрической форме:
х = [Ci sin(Av) + С2 cos(Xv)]Z(w) + С3,
t = Uc2 sin(A^) - Ci cos(A^)]—l—Z'w(w) + C4,
Л f(w)
где Ci, C2, Сз, С a, A — произвольные постоянные, функция Z = Z(w) описывается обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением L/[Z] + A2Z = 0, а дифференциальный оператор L/
определяется выражением C).
10°. Точное решение в параметрической форме:
х = [2CiF(w) + Cs]v + C2F(» + С5, F(w) = / /О)
t = Civ2 + C2v + f[2CiF(w) + C3] с/гу + C4.
11°. Точное решение в параметрической форме:
х = }-dv2 + C2.V+ f
t = (Ciw + C2)v + Csw + C4.
12°. Точное решение в параметрической форме:
ж = 1 Civ3 + Сз^ + 2v [ f(w)(Ciw + С2) dw + С5,
t = (Ciw + С2)^2 + C3w + Ca + 2 I U f(w)(Ciw + C2) dw} dw.
13°. Точное решение в параметрической форме:
х = -UCieA" - C2e-Xv)H'w(w) + С3,
А
t = (CieXv + C2e~Xv)H(w) + C4,
где С\, С2, Сз, С a, A — произвольные постоянные, а функция Н = H(w) описывается
обыкновенным дифференциальным уравнением H^w — A2 f{w)H = 0.
14°. Точное решение в параметрической форме:
х = —[С2 sin(Av) - Сх zob(\v)\Z'w(w) + Сз,
Л
t = [Ci sin(Av) + С2 cos(\v)]Z(w) + С4,
где С\, С2, Сз, С4, А — произвольные постоянные, а функция Z = Z(w) описывается
обыкновенным дифференциальным уравнением Z^w + A2 f(w)Z = 0.
15°. Исходное уравнение можно представить в виде системы уравнений
Р, >. ^w; dv dw dv ,..
/(w)^ = ^' ln=^- D)
Преобразование годографа
ж = x(w, v), t = t(w, v) E)
166 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
(w, v принимаются за независимые переменные, а х и t — за зависимые переменные) приводит
D) к линейной системе
,, N dt дх дх dt ,r.
f(w)— = —, —- = —. F)
dv dw dv dw
Исключая отсюда t, для функции х = x(w,v) получим линейное уравнение
G)
=0.
dw L f(w) dw 1 dv2
Аналогичным образом из системы F) для функции t = t(w,v) имеем другое линейное
уравнение
*' ?= 0. (8)
dw2 dv2
Процедура построения точных решений исходного нелинейного уравнения состоит из двух
этапов. Сначала строится точное решение линейного уравнения G) для х = x(w,v). Затем это
решение подставляется в линейную систему F), откуда определяется функция t = t(w,v) в виде
, «о) dri, (9)
fv 1 дх ( .ч ,. fw дх .
Jv0 fM dw Jw0 dv
где wo и vo —любые. Полученные указанным способом выражения вида E) будут давать точное
исходного уравнения в параметрической форме.
Аналогичным образом сначала можно строить точное решение линейного уравнения (8) для
t = t(w,v), а затем из F) определять функцию х = x(w,v).
16°. Точные решения уравнения G), содержащие четные степени v:
п
х = ^(fk{w)v , A0)
к=0
где функции ipк = tpk{w) описываются рекуррентными формулами
<pn(w) = AnF(w) + Вп, F(w) = I f(w) dw,
(fk-i(w) = AkF(w) + Bk + 2kBk -I) [ f(w){ [ ipk(w) dw} dw,
где Ak, Bk —произвольные постоянные(А; = п,..., 1).
Зависимость t = t(w,v) определяется по формуле (9) и вместе с выражением A0) дает
решение исходного нелинейного уравнения в параметрической форме.
17°. Точные решения уравнения G), содержащие нечетные степени v:
п
/ j тк\ ) 1 V /
к=0
где функции фк = фк(и)) описываются рекуррентными формулами
фп(ги) = AnF(w) + Bn, F(w) = / f(w) dw,
фк-^w) = AkF(w) + Bk + 2kBk + 1) / /(w){ / фк(ь)) dw} dw,
где Ak, Bk —произвольные постоянные(А; = п,..., 1).
Зависимость t = t(w,v) определяется по формуле (9) и вместе с выражением A1) дает
решение исходного нелинейного уравнения в параметрической форме.
(•) Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин B001 Ь).
3.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 167
d2w -, ч d2w . , ч dw ... ч
Решение типа бегущей волны:
w = w(z), z = х + At,
где А — произвольная постоянная, а функция w(z) описывается автономным обыкновенным
дифференциальным уравнением
[f(w) - X2]wzz + g(w)wz + h(w) = 0.
Последнее с помощью замены u(w) = w'z приводится к уравнению Абеля
[f(w) - X2]uuw + g(w)u + h(w) = 0. A)
Подстановка ? = — / —-— — приводит A) к каноническому виду
J fM - Л
uu?-u = F(?), B)
где функция F = i^(?) задается параметрически с помощью формул
g{w) dw
-!¦
g(w) " J f(w) - Л2
Большое число точных решений уравнений Абеля B) для различных зависимостей F =
приведено в книгах В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A993, 2001 а).
^ d2w д Г /»/ ч dw 1 , , ч dw , , , ч
Решение типа бегущей волны:
w = w(z), z = х + At,
где Л — произвольная постоянная, а функция w(z) описывается автономным обыкновенным
дифференциальным уравнением
{[/О) - X2]wfz}fz + g(w)wz + h(w) = 0.
Последнее с помощью замены
приводится к уравнению Абеля
uuw + g(w)u + h(w)[f(w) - Л2] = 0. A)
Подстановка ? = — / g{w) dw приводит A) к каноническому виду
B)
где функция F = i^(?) задается параметрически с помощью формул
Большое число точных решений уравнений Абеля B) для различных зависимостей
приведено в книгах В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A993, 2001 а).
_ d2w , ч d2w ,f
Уравнения этого вида встречаются в теории жидких кристаллов и других приложениях.
1°. В общем случае это уравнение имеет точные решения вида
w(x, t) = w(z), z = kx + At,
где k, A, b, с — произвольные постоянные.
168 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
2°. Структура других точных решений для конкретных функций f(w):
f(w) = Aw + B, w(x, t) = (p(t)x2 + ip(t)x +
f(w) = Awk, w(x,t) =
f(w) = AeCw, w(x,t) = ip(x)+il)(t).
3°. Качественный анализ структуры решений исходного уравнения рассматривался в работах
R. Т. Glassey, J. К. Hunter, Y. Zheng A997), A. A. Melikyan A998).
3.4.5. Уравнения вида
л d2w , ч т d2w
1.-^-= /(«)»
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w{x,t) = g(t)h(x),
где функции д = g{t) и h = h(x) описываются обыкновенными дифференциальными уравне-
уравнениями
g't't - \gm+1 = 0, A)
Kx-\[f(x)]-1h1-m=0, B)
где Л — произвольная постоянная.
Общее решение уравнения A) записывается в неявной форме:
где С\, С2 — произвольные постоянные.
Отсюда, в частности, при С\ = 0 для функции g{t) имеем
/,ч / , . „,-2/т , / Am2
g(t) = (at-\-С) , а = ±л
2(т + 2)
При ??г = 1 общее решение уравнения B) имеет вид
М*) = А Г ^#^ + Ах + В,
JxQ
где А, В, хо — произвольные постоянные.
В книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а, разд. 2.3, 2.7) приведено много точных
решений обобщенного уравнения Эмдена — Фаулера B) для различных функций / = f(x).
2°. Преобразование
u(z,t) = —w(x,t), z = —
приводит к уравнению аналогичного вида
d2w
2-iw
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t)=g(t)h(x),
где функции g = g(t) и h = h(x) описываются обыкновенными дифференциальными уравне-
уравнениями
9и -Ар ^ =0, A)
[f(x)hmtix]fx - Xh = 0, B)
А — произвольная постоянная.
3.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 169
Общее решение уравнения A) записывается в неявной форме:
где С\, С2 — произвольные постоянные.
Отсюда, в частности, при С\ = 0 для функции g(t) имеем
2(т-
Т
Преобразование
приводит B) к обобщенному уравнению Эмдена — Фаулера
Ф", -F(»<S>^T =o, C)
где функция F = F(z) задается параметрически с помощью формул
dx
= \(m+l)f(x), z = Г
/0*0
В книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а, разд. 2.3, 2.7) приведено много точных
решений уравнения C) для различных функций F = F(z).
2°. Преобразование
1 Г т + 2 Г j
W(X, t) = [ф(х)] m+1 U(?, t), ? = J [Ф(Х)] m+1 dx, ф(х) = j —
приводит к уравнению аналогичного вида
д2и д
dx
где функция Т = Т(?) задается параметрически с помощью формул
Зт+4 Г т + 2 Г
J- = /(ж) [^(ж)! m+i 5 ^ = / [^(ж)! rn+i с/ж, ^(ж) = / ¦
J J
02w
1°. Вырожденное решение:
гу(ж, *) = Аж? + Бж + С* + D,
где А, 5, С, D — произвольные постоянные.
2°. Преобразование
u(z,t) = —w(x,t), z = —
приводит к более простому уравнению
которое имеет точное решение в типа бегущей волны и = u(z + Xt) и автомодельное решения
вида и = u(z/t).
Л d2w 4./ ^ А а2^
1°. Вырожденное решение:
w(x, t) = Аж^ + Вх + Ct -
где А, В, С, D — произвольные постоянные.
170 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
2°. Преобразование
dx
w(x, t) = u(z, t) у ах2 + Ъх + с, z =
ax2 -\-bx -\- с
приводит к уравнению вида 3.4.4.5:
которое имеет точное решение в типа бегущей волны и = u(z + Xt).
3.4.6. Уравнения вида —^- = /(?, w) —^- + ^(ж, ?, к;, ——
1°. Точные решения:
w(x,t) = (Cit + С2)(С3х + С4I/2,
w(x,t) = (Cit + C2)x+ / (t-r)(Cir + C2Jf(r)dT + C3t + C4,
J a
где Ci, C2, Сз, С4, a — произвольные постоянные.
2°. Точное решение квадратичное по переменной х:
где функции (р = (p(t), ф = ip(t), х = x(t) описываются системой обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений
<Ptt = \
3°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = Ф(*)Ф(ж),
где функции Ф = Ф(?), Ф = Ф(ж) описываются обыкновенными дифференциальными уравне-
уравнениями (С — произвольная постоянная)
ф;; = сд<)ф2,
Последнее уравнение является автономным и имеет частное решение Ф = -jrCx2; в общем
случае оно интегрируется в квадратурах.
2- ^г = fv*ih(wiit)+ 9{t)w + м*)а;2 + hl{t)x + ho{t)-
Точное решение квадратичное по переменной х:
где функции (р = (p(t), ip = ip(t), х = x(t) описываются системой обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений
ip'u = 6f(t)ip2 + g(t)ip + h2(t),
Xtt = W*)<PX + f(t)^2 + 9Ш + ho(t).
2 + 9{t)'
Существует точное решение квадратичное по переменной х:
w{x,t) = (p{t)x2 + ф{1)х + X{
® Литература: V. A. Galaktionov A995); рассматривался случай a = l,b = e = f = O,c = const.
3.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 171
3.4.7. Другие уравнения
1. +a{t)
dt2 v J dt
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = yln(Cix + C2) + C3 ГA(t)dt
где Ci, C2, Сз, С а — произвольные постоянные.
2°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, t) = — \n(XCix2 + С2х + Сз) + u(t),
Л
где С\, Сг, Сз — произвольные постоянные, а функция и = u{t) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
u"t + a(t)ut = 2Cib(t)eXu.
^ d2w , „. ч dw д
2. -^- + /(«)_ = _
Решение типа бегущей волны:
w = w(;z), z = х + \t,
где функция u> = w(z) задается неявно (А, В — произвольные постоянные):
Другие точные решения описаны в работе В. А. Байкова, Р. К. Газизова, Н. X. Ибрагимова
A989).
d2w d2w ( dw
3 + f{
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
Здесь функции cp(t) и ф(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
ери -Ь(р- g(t) = О,
Решение первого уравнения для cp(t) имеет вид
1 Сь
(p(t) = Сх ch(kt) + С2 sh(kt) + — / g(r) sh[k(t - г)] dr при b = k2 > О,
^ Jo
1 С1
ip(t) = Ci cos(kt) + C2 sin(Art) H / g(r) sin [k(t - r)] dr при b = -k2 < 0,
^ Jo
/
Jo
где Ci, С2 — произвольные постоянные.
d2w d2w
4
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = <p(x)
где функции (р(х) и ip(t) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями (С —
произвольная постоянная)
а<Рхх + f(x,<p'x) = С,
172 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
d2w d2w , j,f dw \ , /, a«?\ . .
+ /( ) + (* ) + bw
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = <p(x) + ip(t),
где функции (р(х) и ?/?(?) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями (С —
произвольная постоянная)
1 dw
Ot2 О2 V w дх ) \ w
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = (p
где функции (р(х) и ф{Ь) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями (С —
произвольная постоянная)
а<^жж + (pf(x, (рх/(р) -\- Ъ(р In (p -\- С(р = О,
d2w _ / dw \ d2w
dt2 ~ V dx ) dx2
При f(z) = — z это уравнение встречается в аэродинамике (в теории околозвуковых течений
газа).
1°. Пусть w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
W\ = Ь1 W{UlX ~\- Су2, bit ~\- Us) + Су4^ + Су5,
где С\, С-2, Сз, С а, С5 — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Вырожденное решение:
w(x, t) = Ах + Вх + Сх + Д
где А, В, С, D — произвольные постоянные.
3°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, t) = At2 + Bt + ip(x).
Здесь А, В — произвольные постоянные, а функция ср = <р(х) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
общее решение которого можно представить в параметрическом виде (С\, Сг — произвольные
постоянные):
4°. Автомодельное решение:
w = хф(г), z = x/t,
где функция ф = ф(г) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
Приравнивая выражение в квадратных скобках нулю, имеем
f(ztl>'z +ф)-г2=0.
Общее решение этого уравнения в параметрическом виде:
3.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 173
5°. Замена v(x,t) = приводит к уравнению вида ЗАЛА:
дх
d2v д \ f , dv
dt2 дх L дх
6°. Преобразование Лежандра
uiz.T) = tz + xr — wix.t). z= , r= ,
dt дх
где и — новая зависимая переменная, a z и т — новые независимые переменные, приводит к
линейному уравнению
д2и ,, ч д2и
® Литература: N. Н. Ibragimov A994).
Частный случай f(U) = aU.
1°. Точное решение квадратичное по переменной х:
w = {Cxt + С2)х2 + WaC'2^^ + С2L + C3t + С4] ж+
+ ^-а2С-4(С^ + С2O + \аСхС^ + ^a^Q + C2C3)t3 + aC2C4t2 + C6t + C6,
где C1? C2, C3, C4, C5, C6 —произвольные постоянные.
2°. Точное решение в виде полинома третьей степени по х:
w = f{t)xs + g{t)x2 + h{t)x + p(t),
где функции f = f (t), g = g(t), h = h(t), р = p(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
Л"=18а/2,
g'b = ISafg,
Частное решение первых трех уравнений имеет вид
1 С9
/ =
(t
где С1? С2, С3, С4, С5 —произвольные постоянные. Функция р = р(?) определяется из последнего
уравнения простым интегрированием правой части.
3°. Имеется точное решение в виде произведения функций разных аргументов w = (p(x)ip(t).
Частный случай f(U) = aUn. Имеется точное решение в виде произведения функций разных
аргументов w = (p(x)ip(t).
Частный случай f(U) = aexp(AC7). Имеется точное решение вида w = x(p(t) + ф(х).
dw \ d2w
- / UW UW \
~~ V dt ' дх )
о
dt2 ~ J V dt ' дх ) дх2 '
Преобразование Лежандра
ulz.T) = tz + хт — wlx.t), z= , r= ,
dt дх
где и — новая зависимая переменная, а z и т — новые независимые переменные, приводит к
линейному уравнению
д2и ,, ч д2и
О решениях этого уравнения для некоторых f(z, т) см. книгу А. Д. Полянина B001 Ь).
174 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
3.5. Уравнения вида -?^ + /(*, у, w, |^, f^) = О
3.5.1. Уравнения, содержащие произвольные параметры
1. _^?_ = *«,».
Частный случай уравнения 3.5.2.1 при f(w) = kwn.
1°. Решение типа бегущей волны (а, Ъ — любые):
w = w(z), z = a
где функция w(z) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
ahw"zz = kwn.
2°. Автомодельное решение:
где /3 — произвольная постоянная, а функция U(?) описывается модифицированным уравнени-
уравнением Эмдена — Фаулера
f3г u't = wn.
+
О точных решения этого уравнения см. книгу В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а).
2.
дхду
Уравнение Лиувилля. Частный случай уравнения 3.5.2.1 при f(w) = aeXw.
1°. Общее решение:
w = у
9(У)] ~ у 1п к / ехр[/(ж)] dx + -^ /
где / = f(x) и g = g(y) — произвольные функции, к — произвольная постоянная.
2°. Уравнение Лиувилля связано с линейным уравнением дхуи = 0 преобразованием Беклунда
ди dw 2к
ди dw а Г 1 л , А
= ехр —\(w — и)\.
ду ду к I 2 V J\
ду ду
3°. Линеаризация исходного уравнения может быть произведена также любой из двух диффе-
дифференциальных подстановок:
1 . / 2 dv dv \ , ч
X \ v2 дх ду /
1 / 2 dz dz \ . .
г^ = —In , z = zix.y).
X \cos2z дх dyJ' K 'У)
® Литература: Р. Буллаф, Ф. Кодри A983), N. Н. Ibragimov A994).
4°. Точные решения (при а = Л = 1):
= In [f(x)g(y) ch (Ci + C2 | S(y) dp - ^- | /(x) dx)],
= ln [f(x)g(y) sh (Ci + C72 | S(j,) dy+^J f(x) dx)],
- f f(x) dx)],
u; = In [/(*)(/(!/) cos (Ci Ч-Са^ Я(») dy +
где f(x), g(y)—произвольные функции, С\, С2 —произвольные постоянные.
® Литература: С. В. Хабиров A990).
3.5. Уравнения вида -?^- + f(x,y,w, -f^,^) = 0 175
3 е е
дхду
Частный случай уравнения 3.5.2.1 при f(w) = ew — e~2w.
1°. Точные решения:
[^1] О)
дхду
где
(д = 1 + А ехр I кх + —у),
Сг = 1 + Ai expf A;ix H ?/) + А2 expf k2X -\ 2/J +
+ A\A2—^—, 24O/, 9—гт^—rlr exp (k\ + fe)^ + ( \- ——
Vl'Z/Vl'lZ'Z/ 1 Z
Сз = 1 + А(А;2ж — 3y) expf А;ж Н ^/) ехрB&ж -\ у\
, . /, 3 \ /^Л .34
V к / V /с /
A, Ai, A2, A;, A?i, А;2 —произвольные постоянные.
2°. Замена и = ew приводит к уравнению Цицейки:
д2(\пи) _ 1
дхду и2
® Литература: О. В. Капцов, Ю. В. Шанько A999); в этой работе описаны также другие точные решения.
. dw
4. = ash к;.
дхду
Уравнение sh-Гордона. Об этом уравнении см. В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков,
Л. П. Питаевский A980), A. Grauel A985).
в d2w
5. = a sin к;.
дхду
Уравнение синус-Гордона. Частный случай уравнения 3.5.2.1 при f(w) = asinw.
1°. Решение типа бегущей волны:
[ 4 arctg [ехр (J— (Ах + By + С)) 1 при аАВ > 0,
х,у) = < \
4Arth[exp(w °—(Ах + By + С)\\ при аАВ < 0,
где А, В, С — произвольные постоянные.
2°. Автомодельное решение:
w = U(?), ? = xy,
где функция U = U(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго
порядка ?ЩГ? + Щ = a sin U.
3°. Преобразование Беклунда
ди dw ^ 7 . / w + и \
~^~ = -?—+ 2fcsinf—-—),
дх дх \ 2 / /1ч
переводит исходное уравнение в такое же уравнение:
д2и
= a sin и.
дхду
Формулы A) позволяют по одному точному решению последовательно генерировать другие
решения этого уравнения.
176 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
4°. Рассматриваемое уравнение связано с уравнением
/2 ( dz\2
= z\ a2 - —
d2z
дхду
преобразованием
dw dz
z = , = asmw.
dx dy
® Литература: И. М. Кричевер A980), Р. Буллаф, Ф. Кодри A983), В. Е. Захаров, С. В. Манаков,
С. П. Новиков, Л. П. Питаевский A980), N. Н. Ibragimov A994).
d2w
dxdy
Об этом уравнении см. Ф. Калоджеро, А. Дегасперис A985).
„ d2w , dw dw , , dw , dw n
7. h a h b h с = 0
dxdy dx dy dx dy
Это уравнение встречается в некоторых задачах химической технологии и хромотографии.
Замена и = eaw приводит к линейному уравнению
d2u 7 du du _
о Ь с = 0.
6. = a sin к; + bs\n.(\w).
дхду дх ду
® Литература: Н. С. Thomas A944), G. В. Whitham A972).
8. d2w
dxdy w V V dx
Об этом и некоторых других интегрируемых нелинейных гиперболических уравнениях см.
статью А. В. Жибера, В. В. Соколова B001).
3.5.2. Уравнения, содержащие произвольные функции
1. д W = f(w).
1°. Решение типа бегущей волны:
w = w(z), z = ах + by,
где а, Ъ — любые, а функция w(z) описывается автономным обыкновенным дифференциальным
уравнением ahw"zz = f(w).
2°. Автомодельное решение:
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка
3°. Переходя к новым независимым переменным z = х — у, t = х + у, получим уравнение
вида 3.4.1.1:
d2w d2w ,, ч
Преобразование
^ = / /О)dx, v = g(y) dy
приводит к уравнению вида 3.5.1.2:
d2w
= ef3w.
3.5. Уравнения вида -§^- + J(x,y,w, ^-, ^-) = 0 177
Преобразование
f = / f(x)dx, ri= I g(y)dy
приводит к уравнению вида 3.5.2.1:
d2w
1°. Решение в неявном виде:
/ G(w) = ^^ + / f(x^dx' Где С?(гу) = /
Здесь ip(y) —произвольная функция.
2°. Интегрируя исходное уравнение по у, приходим к уравнению с частными производными
первого порядка
-^ = /О) / 9Ы dw + ф(х),
где ф(х) — произвольная функция.
_ d2w -, ч dw . , ч
Интегрируя исходное уравнение по у, приходим к уравнению с частными производными
первого порядка
Вт fw
Замена и = eaw приводит к линейному уравнению
д2и _ г/ \ ди . v ди
дхду дх ду
d2w ГГ, ч dw dw
2/()
где ф(х) — произвольная функция, а и Ъ — произвольные постоянные. Полученное уравнение
можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение для функции w = w(x)
с параметром у.
, d2w dw dw ( ,dw.( ,dw.u( ,
+ah(x,y)u.
Уравнение Гурса. Введем функции и = и(х, у) и v = v(x, у) по формулам (дифференциальные
подстановки):
/ dw I dw
V дх \ ду
Дифференцируя эти соотношения соответственно по у и х и исключая w с помощью рассма-
рассматриваемого уравнения, получим систему
ди /77 7 dv
^ vVf(xi г/)» ^ uVf(xi у)-
ду дх
Исключая v, приходим к линейному уравнению для функции и = и(х, у):
д2и ди 1 д
() + f() где д(х,у) = -_
(•) Литература: Е. И. Ганжа B000).
12 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
178 Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
о dw d2w n/ \ / \ 9w
1°. Решение в неявном виде:
/ г^г^ = <Р(У) =Ь / л/2/0) cb, где G(w) = / g(w)dw.
J ^G{w) J J
Здесь (p(y) —произвольная функция.
2°. Интегрируя исходное уравнение по у, приходим к уравнению с частными производными
первого порядка
где ф(х) — произвольная функция.
_ dw d2w х, ч dw t ч
9 =f(x,w)—+g(x,y).
Интегрируя исходное уравнение по у, приходим к уравнению с частными производными
первого порядка
Jb
где ф(х) — произвольная функция, а и Ь — произвольные постоянные. Полученное уравнение
можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение для функции w = w(x)
с параметром у.
dw \ d2w , ч dw , . , ч
Интегрируя исходное уравнение по у, приходим к уравнению с частными производными
первого порядка
/wx nw ny
f(x,X)d\= / g(x,r)dr-\- / h(x,s) ds + <ф(х),
Jb J с
где wx —частная производная от w по х; ф(х) —произвольная функция; а, Ь, с — произвольные
постоянные. Полученное уравнение можно рассматривать как обыкновенное дифференциаль-
дифференциальное уравнение для функции w = w(x) с параметром у.
4. Уравнения гиперболического типа с двумя
пространственными переменными
4.1. Уравнения, содержащие произвольные параметры
4.1.1. Уравнения с квадратичной и степенной нелинейностью
> Все уравнения, рассматриваемые в разд. 4.1.1-4.1.2, допускают точные решения типа
бегущей волны w = w(z), где z = k\x + k2y + Xt.
Л d2W , ,fd2W d2W\ 2 , e ,
Точное решение:
w(x,y,t) = f(t)+g(t)e(x,y). A)
Здесь функция @(x,y) удовлетворяет двумерному уравнению Гельмгольца
дх2 ду2
где >с = ^IC (/3 ф 0). О решениях этого линейного уравнения см. книги А. Н. Тихонова,
А. А. Самарского A972), В. С. Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ь). Функции f(t)
и g(t) в A) находятся из автономной системы нелинейных обыкновенных дифференциальных
уравнений
/й=7/2+*/ + г, B)
9tt = (if + S - ах)д. C)
Уравнение B) не зависит от функции g(t). Частные решения этого уравнения имеют вид
/ = const, где jf2+5f + e = 0. При 7 = 0 уравнение B) является линейным уравнением с
постоянными коэффициентами. При j ф 0 общее решение уравнения B) можно представить в
неявном виде (С\, С2 — произвольные постоянные)
df
1
= C2±t.
Уравнение C) линейно относительно функции g(t). Для частных решений вида / = const оно
является линейным уравнением с постоянными коэффициентами.
„ d2w ( d2w , d2w\ \fdw\2 , f dw \2
1°. Уравнение допускает решения в форме
w(x, у, t) = f(t) + g(t)<p(x)
В частности при ср"х = vip, фуУ = — г/ф, где v — произвольная константа, имеем (А\, Аъ, В\,
В2 — произвольные постоянные)
(f(x) = Aichfjx + A2shfjx, ф(у) = Bi cos/iy-\-В 2 sin/iy (z/ = //2>0),
<p(x) = Aicosfix-^A2sm/jJx, ф(y) = Blch|JJy-\-B2sh|JJy (y=— //2<0).
Функции f(t),g(t),h(t) описываются автономной системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
\
- sAl)g2 - olv(B\
g"t = avfg,
h'u = -аг/fh,
где s = sign v.
12*
180 Уравнения гиперболического типа с двумя пространственными переменными
2°. Уравнение допускает решения в форме
w(x, y,t) = f(t) + g(t)<p(x) + h(t)tl>(y) + u(t)e(x)X(y). A)
При (p'xx = 4:V(p, фуy = — 4иф, в'хХ = ив, х'уу = ~vXi гДе v — произвольная константа, в
формуле A) следует положить
при v
ф) =
ф(у) =
в(х) =
х(у) =
= V
Аг
В!
d
2>0
ch 2/ix -
cos 2/iy
chfix +
cos fiy -
f A2 sh 2/ix
+ B2 sin 2/iy
С2$Ъцх
- D2 sin fiy
при
<p(x)
Ф(у)
0(x)
x(y)
v = -fi2 < 0
= A\ cos 2/ix
= Bx ch 2fiy -
= С1 cos fix -
= Di ch /iy +
+ A2 sin 2//ж
\- B2 sh 2//^/
-C2sin//x
D2 sh //|/
Функции /(t), g(t), h(t), u(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений (s = sign v)
fit = -4av(Al - sA22)g2 + \aV{B\ + sBl)h2 - /3,
2 — sCl)u2,
g'tt — ~
Произвольные постоянные A\, A2, B\, B2, C\, C2, D\, D2 связаны двумя соотношениями
2A1C1C2 = A2(Cl + sCl), 2BiDiD2 = B2(Dl -sDl).
Коэффициенты а\, 0,2, аз, «4 определяются формулами
C?+sC22 Dl-sDl A Cl-sCl „ D
при Ai / 0, Bi / 0, C1C2 / 0, D1D2 Ф 0.
Если Ai = 0 (A2 ф 0), то следует положить а\ = C1C2/A2. Если 5i = 0 (.62 / 0), то
a2 = D1D2/B2. Если Ci = 0 (C2 / 0), то a3 = -Аь Если С2 = 0 (Ci / 0), то a3 = Ai. Если
Dx = 0 ф2 / 0), то a4 = -Bi. Если D2 = 0 (Di / 0), то a4 = Bl
3°. Уравнение имеет точные решения вида
w(x, у, t) = f(t)x2 + g(t)xy + h(t)y2
В частном случае <p(t) = ^(t) = 0 функции f(t), g(t), h(t), x(t) описываются автономной
системой обыкновенных дифференциальных уравнений
fit = aB/ft - if - д2), h'lt = aBfh - 2ft2 - g2),
g't't = -2ag(f + ft), Xu = Ml + h)X ~ /3.
. d2w 82w , О
3 +
1°. Точное решение линейное по переменной у:
w = f(x,t)y + g(x,t),
где функции / и д определяются путем решения одномерных уравнений
Первое уравнение является линейным однородным волновым уравнением. Уравнение B) при
известной функции f = f(x,t) представляет собой линейное неоднородное волновое уравнение.
Об этих уравнениях см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского A972), В. С. Владимирова
A985), А. Д. Полянина B001 Ь).
2°. Уравнение имеет точное решение квадратичное по переменной у:
w = /(ж, t)y2 + g(x, t)y + h(x, t).
4.1. Уравнения, содержащие произвольные параметры 181
Л д2и> д ( dw \ , д ( dw \
4. = w -\ w
dt2 дх\ дх ) ду\ ду )
Частный случай уравнения 4.1.1.10 при п = 1.
1°. Решения типа бегущей волны:
_ Л2 ± У/А(к1х + к2у + Xt) + В
где А, В, к\, fe, A — произвольные постоянные.
2°. Точное решение линейное по пространственным переменным:
w(x, у, t) = (Axt + Bx)x + (A2t + B2)y +
+ -^(А\ + Aj)t4 + ^(АгВг + A2B2)ts + \(В\ + B22)t2 + Ct + D.
где Ai, A2, B\, B2, С, D — произвольные постоянные.
3°. Уравнение допускает решения вида
w(x, у, t) = f(t)x2 + g(t)xy + h(t)y2,
где функции f(t), g(t), h{t) описываются автономной системой обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений
Л"=6/2+2/А + (/2, A)
9» = 6(/ + h)g, B)
h'tt = 6h2 + 2fh + g2. C)
Частное решение системы A)-C) имеет вид
МО = /(*). g(t) = ±2f(t), где & = 12f
(решение уравнения для f можно записать в неявной форме).
4°. Уравнение допускает решения вида
w(x, у, t) = f(t)x2 + g(t)xy + h(t)y2 + <p(t)x
где функции f{t), git), hit), (f(t), ifrit), x(t) описываются системой обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений
ft't = б/2 + 2/ft + g2, <p'U = 2C/ + h)if + 2дф,
h'lt = 6Л2 + 2/ft + g\ x'u = Р2 + Ф2 + 2(/ + h)X-
Первые три уравнения решаются независимо (см. п. 3°).
5°. Уравнение имеет решение в виде произведения функций разных аргументов w(x,y,t) =
5.
d2w
= (aw + b) Н (а'ш + Ь) .
dt2 j/ 2/
Замена U = аг^ + 6 приводит к уравнению вида 4.1.1.4:
dt2 дх\ дх ) ду V ду )
02гу 0 Г. Ч 0гу ] 0
1°. Решения типа бегущей волны:
Л 2* \\ l/*2t i-ъ I,*2i | / Л (Is* пг* I Is* nt I Л-/-А
— илгьл — С/о^О \/ s\yl\j-\Jb ~\~ "Joy \ У\Ь J '
1 1 ~т~ ^*о *^о
где А, 5, A?i, fe, A — произвольные постоянные.
182 Уравнения гиперболического типа с двумя пространственными переменными
2°. Точное решение линейное по пространственным переменным:
w(x,y,t) = (Axt + Bx)x + (A2t + В2)у +
+ -^(aiAl + a2A22)tA + \{а1А1В1 + a2A2B2)t2> + у (ахЯ? + a2B22)t2 +
где Ai, A2, B\, B2, C, D — произвольные постоянные.
3°. Уравнение допускает решения вида
w(x, у, t) = f(t)x2 + g(t)xy + h(t)y2 + <p(t)x
d2w _ Г д / 1 Pit;
" at2 ~ L
1°. Решение типа бегущей волны в неявном виде при п ф — 1:
а/ Й/Ъ | Й/Ъ | I f~\ I /) * 1 I \ /> I 1 ^-^ АЛ I \/* ч ''Y* I Й/Ъ fm I |
\*v\ \~ гъ2 / ¦'¦¦*¦¦'¦ \UU\ ^ ^ — -<г11гъ1*1/ ~г" iv2 У "т"
где А, 5, A?i, А;2, А — произвольные постоянные.
2°. Точные решения:
, v at2 + At + Б
w(x,y,t) = -—
C2(at2+At +
y-
где А, 5, С, Ci, C2 — произвольные постоянные.
® Литература: В. А. Байков A990), N. Ibragimov A994, р. 225).
3°. Указанные в п. 2° точные решения являются частными случаями более общего решения в
виде произведения функций разных аргументов:
w(x, у, t) = (\Aat2 + Bt + С)ев(ж'у),
где А, В, С — произвольные постоянные, а функция в(ж, у) является решением стационарного
уравнения
Ав - Аев = 0, А = —- Н -,
которое встречается в теории горения. О решении этого уравнения см. 5.2.1.1.
d2w д ( 1 dw\ , д f I dw
d2w _ д / 1 dw\
dt2 ~ дх\ aw + Ъ дх )
ду\ aw + Ъ ду
Замена U = aw + Ь приводит к уравнению вида 4.1.1.7:
д2и _ д / 1 dU\ д / 1 dU
dt2 ~ ~dx~\~U~dx~)
п d2w d2w д
9 + ь
Частный случай уравнения 4.2.1.1 при g(w) = bwn.
1°. Точное решение:
w(x,у,t) = V{z)y2/n, z = x2 -at2,
где функция V = V(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
2an2(zV" + V'z) + Ь(п + 2)Vn+1 = 0.
2°. «Двумерное» решение:
w(x,y,t) = u{x,t)y2/n,
где функция и = u(x,t) описывается уравнением
д2и д2и 26(n + 2) n+i
^г = ^ + —^и •
При п = — 1 и п = — 2 полученное уравнение является линейным.
4.1. Уравнения, содержащие произвольные параметры 183
3°. «Двумерное» решение:
w(x,y,t) = U(x,t)y1/in+1\
где функция U = U(x,t) описывается линейным уравнением теплопроводности
д2и _ д2и
~W ~а
~дх~2~'
Замечание. Решения из пп. 2°, 3° являются частными случаями решения в виде произ-
произведения функций разных аргументов w = u(x,t)(p(y), где (р = <р(у) описывается автономным
обыкновенным дифференциальным уравнением (впв'у)'у = Св.
® Литература: N. Ibragimov A994).
1П d2w
10.
= а w + Ъ w .
dt2 дх\ дх ) ду\ ду )
Частный случай уравнения 4.2.1.2 при f(w) = wn.
1°. Решение типа бегущей волны в неявном виде:
Qfel + Ьк2 wn + l _ X2w
w Xw
n + 1
где Ci, C2, ki, к2, А — произвольные постоянные.
2°. Точное решение:
w(x,y,t) = V(O, ? = (Ьх2 + ау2)Г2,
где функция V = V(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
Преобразование
приводит к уравнению первого порядка
2(д - abqn+1)(nZ - q)Z'q + [(n + 2)q - 2abqn(n2Z + q)]Z = 0.
3°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y,t) = f(t)Q(x,y),
где функция f(t) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
ftt = fn+1, A)
а функция в = @(х,у) —любое решение двумерного стационарного уравнения
дх V дх J ду
Частное решение уравнения A) имеет вид {С — произвольная постоянная):
/ = (с±ыу2/п, к =
/2(п + 2)
4°. «Двумерное» решение:
гу(ж, у, t) = y2/nu(z, t), z = xy'1,
где функция и = u(z,t) описывается уравнением
д2и , 2чГп^2« n
_ = (а + Ьг)^ _ + пи
(•) Литература: N. Ibragimov A994).
184 Уравнения гиперболического типа с двумя пространственными переменными
лл d2w d(ridw\.ud(kdw\
11. — = а [w + b [w .
dt2 дх V дх J ду V ду )
Частный случай уравнения 4.2.1.3 при f(w) = awn, g(w) = bwk.
1°. Решение типа бегущей волны в неявном виде:
= Ci{/3iX + р + xt) + с
п + 1 к + 1
где С\, С2, Дь /З2, А — произвольные постоянные.
2°. Точное решение:
ги(ж НЬ x2/nt2/nU(?) ? - x~k/nvtk/n~1
где функция [/ = U(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
+ [Bп -к + 4)(к - п) + а/с(/с - Зп - 4)[/n]^[/^ + 2(n + 2)U(aUn - 1) = 0.
3°. «Двумерное» решение:
w(x,y,t) = x2/nu(z,t), z = х~к/пу,
где функция и = u(z,t) описывается уравнением
п —— = (ак z ип + Ъп и ) —— + nktakz ип~ + Ъпи ~ ) ( ) +
dt2 v ' dz2 v ' \ dz J
+akzun(k - 3n - 4)— + 2a(n + 2)wn+1 = 0.
dz
® Литература: N. Ibragimov A994).
4.1.2. Уравнения с экспоненциальной нелинейностью
Частный случай уравнения 4.2.l.l при f(w) = а, р(гу) = bew.
1°. Точное решение:
2
= х2 - at2,
где функция V = V(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
+ 2aV^ +bev = 0. После однократного интегрирования имеем
Преобразование ^ = е^, г (С) = V + ? приводит к автономному уравнению первого порядка,
которое легко интегрируется.
2°. «Двумерное» решение:
w(x,y,t) = U(x,t) + 2\ny,
где функция U = U(x,t) описывается уравнением вида 3.2.1.1:
d2U d2U ^ohU
= а + 2Ъ
dt2 дх2 '
3°. «Двумерное» решение:
w(x, у, t) = u(y, z), z = х2 -at2,
где функция и = u(y,z) описывается уравнением
/ д2и ди\ д ( и ди\
\ dz2 dz J ду \ ду J
® Литература: N. Ibragimov A994).
4.1. Уравнения, содержащие произвольные параметры 185
d2W д / Лги d'i
dt2 ~ а дх V дх ) ' ду
1°. Точное решение:
w(x,y,t) = —и((), С = ^ ,
где функция и = гг(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
2С2и" +ЗСи — 2аЪеи\Си" 4- С(и J 4- и 1
Преобразование ?/(д) = ?г^, g = гб — 1п^ приводит к уравнению первого порядка
2U'q(U - 1) + U = 2abeq [U'q(U - 1) + U2].
2°. «Двумерное» решение:
w(x,y,t) = f(t)-\ In U(?,rj), {; = —=, r]=—=,
где функция / = f(t) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
ftt = еЛ^, а функция U = t/(^, rf) —любое решение уравнения Пуассона
л Л л ^2 д2
Об этом линейном уравнении см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского A972), В. С. Влади-
Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ь).
3°. «Двумерное» решение:
w(x,y,t) = —u(z,t) + —In j/, z = —,
A A x
где функция и = u(z,t) описывается уравнением
-и 02и
dt2
4°. О других точных решениях см. уравнение 2.2.1.3 при f(w) = aeXw,
® Литература: N. Ibragimov A994).
3.
а / w dw \ . , д f \w dw \
= а е )+ Ъ е .
дх V дх ) ду V Ow /
at2 дж V Ож / Оу V ду
1°. Точное решение:
?/)fT ?/ Л — ТТ(?Л -А- 'ЛпГт/Л Р — r~XniX~1
где функция U = t/(^) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
[a\2feu + Ъехи - (Л - 1J^2] С/^ + Л(аЛ^2е^ + Ьехи)(f/^J +
+ ^[аЛ(Л-3)е^ - (А-1)(А-2)]С^ + 2(ае?7 - 1) = 0.
2°. «Двумерное» решение:
w(x,y,t) =u(z,t)+ 2Ых, z = х~ху,
где функция и = u(z,t) описывается уравнением
и) ( — J + аА(А - 3)zeu — + 2аеи.
3°. О других точных решениях см. уравнение 4.2.1.3 при f(w) = ae^, р(гу) = beXw.
(•) Литература: N. Ibragimov A994).
186 Уравнения гиперболического типа с двумя пространственными переменными
4.2. Уравнения, содержащие произвольные функции
4.2.1. Уравнения вида J%- = ?[/(«)?] + ?fo(«)?]
д
1°. Точное решение:
где функция U = U(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
2°. «Двумерное» решение:
w(x, у, t) = u(y, z), z = х2 - at2,
где функция и = u(y,z) описывается уравнением
д Г / ч ди ¦
3°. О других точных решениях см. уравнение 4.2.1.3 при f(w) = a.
® Литература: N. Ibragimov A994).
2-
1°. Пусть w(x, у, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
W! = w(Cix + С2, Ciy + С3, С?* + С4),
г^2 = гу (xcos/З — ysm/3, xsin/3 + у cos/3,t),
где Ci, C2, Сз, ft, C — произвольные постоянные, также будут решениями этого уравнения.
2°. Решение типа бегущей волны в неявном виде:
(к\ + kl) [ f(w) dw - X2w = Ci{kix + k2y + Xt) + C2,
где Ci, C2, ki, fe, A — произвольные постоянные.
3°. Точное решение:
222
где функция [/ = U(Q описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
4°. «Двумерное» решение с осевой симметрией:
w(x, у, t) = u(r, t), г = д/ж2 + у2,
где функция и = гг(г, t) описывается уравнением
д2и 1
5°. «Двумерное» решение:
w(x,y,t) =u(?,ri), ^ = xt-1,
где функция и = u(?,rj) описывается уравнением
t2 д2и д2и 2 д2и ди ди д
6°. О других точных решениях см. уравнение 4.2.1.3 при f(w) = g(w).
® Литература: N. Ibragimov A994).
4.2. Уравнения, содержащие произвольные функции 187
_ d2w д
3.
1°. Решение типа бегущей волны в неявном виде:
г
I [kif(w) + klg(w)~\ dw — X2w = Ci(kix + k2y + Xt) + C2,
где Ci, C2, hi, k2, X — произвольные постоянные.
2°. «Двумерное» решение (а, Ъ — произвольные постоянные):
w(x,y,t) = u(z,t), z = ax + by,
где функция и = u(z,t) описывается уравнением вида 3.4.4.4:
д2и д [ , , ди Л , v 2г/ \ т 2 / \
3°. «Двумерное» решение (а, Ъ — произвольные постоянные):
w(x, у, t) = v(x, О, ? = ау + Ы,
где функция v = v(x,?) описывается уравнением вида 5.4.4.8:
4°. Существуют более общие «двумерные» решения вида
w(x,y,t) = U(zi,z2), z\ = а\х + biy + at, z2 = a2x + b2y + c2t.
5°. «Двумерное» решение:
где функция V = V(?,rj) описывается уравнением
t2d2V , .. d2V , 2 d2V , .. dV , . dV д \,Пг,
6°. О результатах группового анализа данного уравнения см. N. Ibragimov A994).
4.2.2. Другие уравнения
= [«» + /W] (^ + 0") + Ь-2 + PW» + МО, « Ф О-
Точное решение:
где функции (p(t), ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
ф'ы = [Ър - /3f(t) + g(tj\ ф, C = Ъ/а,
а функция в = в (ж, г/) удовлетворяет двумерному уравнению Гельмгольца
О решениях этого линейного уравнения см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского A972),
В. С. Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ь).
188 Уравнения гиперболического типа с двумя пространственными переменными
„ d2w ( d2w , d2w \ \fdw\2 , ( dw \2
1°. Точное решение:
w(x,y,t)
где функции (p(t), ф{Ь) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
Решение первого уравнения дается формулой (С\, С2 — произвольные постоянные)
<p(t) = f (t - r)f(r) dr + Cit + C2.
Jo
Решение второго уравнения, которое линейно относительно ф, для многих функций f(t) можно
найти в книгах Э. Камке A976), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а).
2°. Уравнение допускает точные решения следующего вида:
w(x,y,t) = (p(t) + ip(t)(Aichij,x + А2 sh/хж) + x(t)(Bi cos/iy
w(x,y,t) = (p(t) + ip(t)(Aicos/ix + A2sm/ix) + x(t)(Bi ch/iy
где Ai, A2, Bi, B2, /i — произвольные постоянные, а функции (p(t), ip(t), x(t) определяются
путем решения соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений вто-
второго порядка (здесь не приводятся).
3°. Уравнение допускает также точные решения вида
w(x, у, t) = <p(t) + ^(t)F(x) + X(t)G(y) + Tf(t)H(x)P(y),
где
F(x) = A\ cos 2fix + A2 sin 2fix, G(y) = B\ ch 2fiy + B2 sh 2fiy,
H(x) = C\ cos fix + C2 sin fix, P(y) = Di ch fiy + L>2 sh /хг/.
Произвольные постоянные A\, A2, B\, B2, Ci, C2, D\, D2, fi связаны двумя соотношениями,
а функции (p(t), ip(t), x(^), Tf(t) удовлетворяют системе нелинейных обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений второго порядка (здесь не приводятся).
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y,t) = <p(x)i/;(y)x(t),
где функции (р = <р(х), ф = ф(у), X = х{Р) описываются обыкновенными дифференциальными
уравнениями (С\, С2 — произвольные постоянные)
[/i (х)ч>% + а<Р Ь у + [^i (ж) + Ci]y> = 0,
^]'у + аф In ^ + [/12 (у) + С2]^ = 0,
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y,t) = <p(t)Q(x,y),
где функция (p(t) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением (А — произволь-
произвольная постоянная)
(ftt — kip In (p — A(p = 0, A)
а функция Q(x,y) удовлетворяет стационарному уравнению
4.2. Уравнения, содержащие произвольные функции 189
Частное решение уравнения A) дается формулой (В— произвольная постоянная)
а общее решение можно записать в неявном виде (В, С — произвольные постоянные)
1/2dip = C±t.
Г \k
+ 5fi(«,7/)—— + g2(x,y)^- + [^(ж,?/) + s(t)]iu
ож ay
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y,t) = <p(t)Q(x,y),
где функция ср = ip(t) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
<p"t -k<p\n<p- [s(t) + С] <р = О,
а функция в = S(x,y) удовлетворяет стационарному уравнению
+ [h(x,y) + С] в + Ш1пв = 0.
5. Уравнения эллиптического типа с двумя
независимыми переменными
5.1. Уравнения со степенными нелинейностями
5.1.1. Уравнения вида -^- + -^- = f{x,y,w)
ох* оу*
1 d2w , d2w . п
h + -а^ = kw •
Уравнение теории массопереноса с объемной реакцией n-го порядка в плоском случае. Это
уравнение встречается также в теории горения и является частным случаем уравнения 5.4.l.l
при f(w) = kwn.
1°. Точные решения:
где А, С, С\, С2 — произвольные постоянные.
2°. Решение типа бегущей волны:
где зависимость w(?) задается неявно с помощью формулы
2kwn+1
j[D+
А, В, С, D — произвольные постоянные (п ф —1).
3°. Точное решение:
w = «,(?), ^ = у/(х + CiJ + (у + С2J,
где С\, С2 —произвольные постоянные, а функция w(?) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением
// , 1 / 1 п
W?? ~\ W? = KW .
4°. Автомодельное решение:
2 у
w(x,y) = xi-nu(?), ^=7'
где функция и(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
( 2ч // 2A +П) t
5°. Точное решение:
2A + П) 1 п п
(lv ^ и -ки =0.
/(о) (ууоУ, g,
X — Xq
где ж о и у о — произвольные постоянные, а функция U = U@) описывается автономным
обыкновенным дифференциальным уравнением
ттП . 4 Г7- 1 ттП
решение которого можно представить в неявном виде.
5.7. Уравнения со степенными нелинейностями 191
Частный случай уравнения 5.4.1.1 при f(w) = aw-\-bwn -\-cw2n~1. Замена и = w1~n приводит
к уравнению вида 5.1.4.7:
2 ( ди\2Л
Т^ К ftJ + K-W) \ = а{1 ~ П)и
d2w . d2w / 2 , 2ч п
+ -^=а{х +v)w
Частный случай уравнения 5.4.1.2 при f(w) = awn. Преобразование
— J-f 2 — 2\ /¦ —
z — 2\х У )•> ц— ХУ
приводит к более простому уравнению вида 5.1.1.1:
d2W d2W _ п
л d2w , d2w , , , 4fe n
Частный случай уравнения 5.4.1.10 при f(z,w) = czkwn
Частный случай уравнения 5.4.1.12 при f(z, w) = azkwn.
, d2w d2w рх п
дх2 ду2
Частный случай уравнения 5.4.1.4 при f(w) = awn.
7. *Ц *Ц ь
ду2
Частный случай уравнения 5.4.1.5 при f(w) = kwn.
8. ^ ^ + ^ ^ = k{w + Ацх2 + Ai2xy -
Частный случай уравнения 5.4.1.14 при f(u) = кип.
5.1.2. Уравнения вида —— + a—— = fix,у,w, ,
Q2w Q2w a dw b dw n
1. -|- -|- -|- = cw .
дх2 ду2 х дх у ду
Частный случай уравнения 5.4.2.2 при /(?, w) = cwn.
2.
d2w , а2^ и/ dw\2
Oy2 ^ ду /
Частный случай уравнения 5.4.2.4 при f(x) = b, g(x) = с, h(x) = sxn.
„ d2w d2w ( dw \2 n 2 . m . к
Частный случай уравнения 5.4.2.6 при а = Ь = 1, /(ж) = а, д(ж) = h\(x) = ho(x) = р(ж) = 0,
д2(ж) = /Зжп, gi(x) = jxm, qo(x) = fixk.
192 Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными
. d2W . d2W ( dw\2 . , 2 . ,
4. ——- +а——- = с —— +bcw +kw + s.
дх2 ду2 \ ду /
Пусть А — корень квадратного уравнения ЪсА2 + к А + s = 0.
1°. Если выполнено неравенство 2А6с + к + ab = а2 > 0, то точные решения имеют вид
w(x,y) = А + [Ci ехр(сгж) + G2 ехр(—ах)] ехр( ± yy^-b),
где Ci, G2 — произвольные постоянные.
2°. Если выполнено неравенство 2А6с + к + аЪ = —а2 < 0, то точные решения имеют вид
w(x,y) = А + [Ci cos(crx) + C2 sin(crx)] exp( ± ул/^-b).
3°. О более сложных решениях см. уравнение 5.4.2.5 при f(x) = с, д(ж) = к, h(x) = s.
5. *2L + aJ^ = СЖ"(^2 + bcx"w> + kx™w + sxl.
дх2 ду2 \ ду J
Частный случай уравнения 5.4.2.5 при f(x) = схп, g(x) = кхш, /г(ж) = sxz.
6.
ду2 V ду
Частный случай уравнения 5.4.2.5 при f(x) = се^х, д(х) = А;емж, /г(ж) = seux.
-ъ) +(^) J
Частный случай уравнения 5.4.2.7 при f(w) = awn. Замена
J V n+1 /
приводит к двумерному уравнению Лапласа для функции U = U(x, у):
д2и д2и _
дх2 ду2 ~ '
О решениях этого линейного уравнения см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского A972),
В. С. Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ъ).
л d2w , d2w
Частный случай уравнения 5.4.2.8 при a = Ъ = 1, f(x) = а, д(з/) = j3.
(dw\k f ,(dw\
Частный случай уравнения 5.4.2.10 при f(w, и, v) = 0.
5.1.3. Уравнения вида ?(/!-?) + ^(/^) = »(»)
Уравнения этого вида встречаются в стационарных задачах тепло- и массопереноса и теории
горения. Здесь /i и /2 — главные коэффициенты температуропроводности (они могут зависеть
от пространственных координат ж, у или от искомой величины w), g = g(w) — функция
источника, которая задает закон тепловыделения или теплопоглощения. В данном разделе не
рассматриваются простые решения, зависящие только от одной пространственной координаты:
w = w(x) и w = w(y).
5.7. Уравнения со степенными нелинейностями 193
d2w , 6
Стационарное уравнение Хохлова-Заболоцкой (при а = 1, C = 0). Встречается в акустике,
нелинейной механике и теории тепло- и массопереноса. Частный случай уравнения 5.4.4.8 при
f(w) = 1, g(w) = au> + C.
1°. Пусть w(x,y) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
w\ = —2~w(Cix + Сз, С22/ + C4) Н ( —2—
где Ci, C2, Сз, С4 — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Точные решения:
w(x, у) = Ay - \А2ах2 + С\х + С2,
гу(ж,г/) = (Аж + 5)г/ — (Ах + В) + Cix + С2,
,?/) = - — [/3 + Л2 ± Л/
( \ ( Л i D\ /7^ i /~i P
WyX) у) = (/1Ж ~г Е> )\/ ку\У ~г U2 — 5
где А, В, С\, С2, Л — произвольные постоянные. Первые два решения линейны по переменной
у, третье решение квадратично по у, четвертое решение является решением типа бегущей
волны.
3°. Точное решение квадратичное по переменной у (обобщает третье решение из п. 2°):
w(x, у) = (р(х)у2 + ф(х)у + хО),
где функции ср = (р(х), ф = ф(х), х = х(х) описываются системой обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений
4>хх + §Ы(р2 = 0, A)
Фхх Н~ §&(рф = 0, B)
Нелинейное автономное уравнение A) рассматривается независимо от других уравнений;
его решение можно выразить с помощью эллиптических интегралов. Уравнения B) и C)
решаются последовательно (они являются линейными уравнениями относительно искомых
функций).
Пятипараметрическое семейство решений системы A)-C) имеет вид
/ ч 1
X{X) = ^ + C2{X + A)>-±- ^0^ - \aBlB2ix + Af - ±aB!(X + A)',
где A, B\, B2, C\, C2 —произвольные постоянные.
4°. Точное решение в параметрической форме:
х = Ciwt + C2w + Cst + С4,
у = ±Cit2 + C2t - ±aCiw3 - \(aC3 + f3Ci)w2 - f3C3w + C5.
5°. Точное решение в параметрической форме:
х = Cit2 + C2wt + C3t + C4w - Ci {^aw3 + f3w2) + C5,
у = \C2t2 + C4t - dt(aw2 + 20w) - \aC2w2> - \(aCs + f3C2)w2 - f3C3w + C6.
13 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
194 Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными
6°. Автомодельное решение (А, В— произвольные постоянные):
Ю, х -\- А.
где функция w(Q описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
После однократного интегрирования, приняв w за независимую переменную, для функции
? = ?(w) получим уравнение Риккати (С — произвольная постоянная):
общее решение которого можно выразить через функции Бесселя [см. В. Ф. Зайцев, А. Д. По-
Полянин B001а, стр. 52)].
7°. Точное решение (обобщает последнее решение из п. 2°):
w(x,y) = —f{x)g[y) .
а а
Функции /(ж) и д(у) описываются автономными обыкновенными дифференциальными уравне-
уравнениями (А — произвольная постоянная)
f:x = Af, (gg'X = -Ад, D)
которые независимы друг от друга. В результате интегрирования получим решения уравнений
D) в неявном виде
С2±у = J g(-i Ад3 + B2y1/2
где В\, #2, С\, Сг —произвольные постоянные.
8°. Точное решение (А, В, к — произвольные постоянные):
а а (х + А)к+1
где функция F = F(z) определяется путем решения обобщенно-однородного обыкновенного
дифференциального уравнения
2кBк - l)F - (к + l)Cfc - 2)zF'z + (к + lJz2F"z + (FF'Z)'Z = 0,
которое допускает понижение порядка.
9°. Точное решение (А, X — произвольные постоянные):
w = —е-2ХхФ(и) - -?-, и=(у + А)еХх,
а а
где функция Ф = Ф(и) определяется путем решения обобщенно-однородного обыкновенного
дифференциального уравнения
4А2Ф - ЗА2мФ'ш + \2и41п + (ФФ'„)'и = 0,
которое допускает понижение порядка.
10°. Точное решение (А, В, С — произвольные постоянные):
w = — (±ж + А)Ф@- ^-, ?)=у
а а
где функция Ф = Ф(^) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением
6Ф - ЪВ^ + В2^ + (ФФ^ = 0,
которое допускает понижение порядка.
5.7. Уравнения со степенными нелинейностями
195
11°. Исходное уравнение можно представить в виде системы уравнений
dw dv ,
-^— = -z-, -(
ox oy
Преобразование годографа x = x(w,v), у = y(w,v) (w, v принимаются за независимые
переменные, а х и у — за зависимые переменные) приводит ее к линейной системе
~ч dw dv
f3)—- = —.
oy ox
dv dw ' v ' ^ dv dw •
Исключая отсюда у, для функции х = x(w,v) получим линейное уравнение
_^_ + (aw; + /3) — =0
12°. Пусть w(x,y) —любое решение уравнения Хохлова — Заболоцкой (при а = 1, C = 0).
Тогда обыкновенное дифференциальное уравнение
v!lt = F(t,u), F(t,u) = -^(J^
где
(р = (p(t), ф = ip(t) —произвольные функции, имеет кубический по производной щ первый
интеграл.
® Литература к уравнению 5.1.3.1: Y. Kodama, J. Gibbons A989), В. В. Козлов A995, стр. 379-381),
В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин B001 Ъ).
d2w . 9 f I ^M_n
дх2 ду V olw + /3 ду ) ~
1°. Точные решения:
2.
w(x,y) =
w(x,y) =
-А2х2
a(Ay + DJ
р2 Ах2 + Вх + С
а
Аа ch2 (py + q)
w(x,y) = -
w(x,y) = -
р2 Ах2 + Вх + С
Аа sh2 (py + q)
р2 Ах2 + Вх + С
а
?_
а
aw + 0\ + C5,
Аа cos2 (py + q)
где А, В, С, D, р, q — произвольные постоянные.
2°. Точное решение в параметрической форме:
х = C\wt + C2w + C^t + C4,
2 а а2
где С\, С-2, Сз, С а, С 5 — произвольные постоянные.
3°. О других точных решениях см. уравнение 5.4.4.8 при f(w) = 1, g(w) = (aw + f3)~x.
4°. Замена aw + f3 = e приводит к уравнению вида 5.2.2.1 (в котором сделаны переобозна-
переобозначения координат х ^ у):
= 0.
Замена U = — yjw + C приводит к уравнению
d2
dx \ дх J
dy2
С точностью до переобозначений координат (х
совпадает с частным случаем 5.1.3.1.
у) и искомой функции это уравнение
13*
196 Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными
4. —— Uaix + Ъгу + ci)-^—\ + —— \(а2х + b2y + с2) ——1 = kwn.
ox L аж J oy L ау -I
Частный случай уравнения 5.4.4.2 при /(ги) = kwn.
J
1°. Решение типа бегущей волны линейное по пространственным переменным:
w(x, y) = Ax± Л7 A*ai у + В,
где А, В — произвольные постоянные.
2°. Решение типа бегущей волны в неявном виде:
{A2ai + B2a2)w2 + 2(А2^ + В2 fe)w = j(Ax + Б?/J + Ci(Ax + Б?/) + C2,
где А, 5, Ci, C2 —произвольные постоянные.
3°. О других решениях уравнения при 7 = 0 см. 5.4.4.8 при f(w) =aiw + /3i, g(w) = 0:2^
6. —— Uaix + 61?/ + aw + fei)-^-l + ^— \(a2X + 622/ + c2t^ + fe)-^-l = 0.
ож L ож J ay L oy J
Частный случай уравнения 5.4.4.9 при f(w) = ciw + hi, g(w) = C2W + A;2-
7. ^
ду \ * ду
Частный случай уравнения 5.4.3.1 при f(w) = cwk.
1°. Точное решение при п / 2, т ф 2:
гу = гу(О, ^ = [ЬB - тJх2~п + аB - nJ2/2"m]1/2.
Здесь функция гу(^) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
11 i A i j-, к /1\
W?? + —^ = ??w; , A)
где
л 4 — пт 4:С
B - n)B - m) ' abB - nJB - mJ '
2°. Укажем некоторые точные решения уравнения A).
2.1. Уравнение A) при к ф 1 допускает точное решение вида
Г 2A + к + А - Ак) 1 xh~ d-r^T
L B(l-kJ J
2.2. При m = 4/n из A) получаем точное решение в неявной форме
\Ci -\ ^-^ ^1 dw = С2 ± ?,
L a6(/c + l)B-nL J S'
где С\, Сг — произвольные постоянные.
2.3. Замена ? = ^1-Л приводит A) к уравнению Эмдена — Фаулера
w>>c = 1_A2CT^Twk. B)
Более 20 точных решений уравнения B) для различных значений параметра к приведено в книге
В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а).
Q д ( п dW \ д ( у,у dW \ гп
8. ах И Ъе^у = cw .
дх \ дх J ду \ ду J
Частный случай уравнения 5.4.3.8 при f(w) = cwm.
5.7. Уравнения со степенными нелинейностями 197
ft д ( рх dw \ д ( у,у dw \ т
9. aeR -\ Ъе^у = cw .
д V д ) д \ д )
ft д ( рх dw \ д ( у,у dw \
дх V дх ) ду \ ду )
ду V ду
Частный случай уравнения 5.4.3.6 при f(w) = cwm.
1°. Точное решение при /З/i ф 0:
где функция ги(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
w'li--w'i = Awrn, A=-^-T. A)
2°. Укажем некоторые точные решения уравнения A).
2.1. Уравнение A) допускает точное решение вида
L(l-mJJ *
2.2. Замена ? = ? приводит A) к уравнению Эмдена — Фаулера
решения которого при т = — 1 и т = —2 приведены в книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина
B001а).
д ( rndw\ д ( rndw\
10. w И w = aw .
дх V дх ) ду\ ду )
1°. При m / — 1 замена [/ = u>m+1 приводит к уравнению вида 5.1.1.1:
+ =a(m
дх2 ду2
2°. При m = — 1 замена u> = ev приводит к уравнению вида 5.2.1.1:
d2V
nV
дх2 ду2
лл д ( п dw \ . д fu rndw\
11. aw -\ bw = 0.
дх V дх ) ду\ ду )
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y) = f(x)g(y). A)
Функции f(x) и g(y) описываются автономными обыкновенными дифференциальными уравне-
уравнениями (А — произвольная постоянная)
(Г/*)'* = АЪГ+\ (gmg'y)'v = -Aagn+1, B)
которые независимы друг от друга. В результате интегрирования получим решения уравнений
B) в неявном виде
-1/2
df = С\ =Ь ж,
n + m + 2
fm f 2Аа дП+т+2 + в\ ~1/2с
где 5i, ^2, C\, C2 —произвольные постоянные; п + m + 2 ф 0.
2°. О других точных решениях исходного уравнения см. 5.4.4.8 при f(w) = аг^п, g{w) =
12. ^[(a^ + ^ + c^^J+^^ + ^ + c^)^] =0.
Частный случай уравнения 5.4.4.9 при f(w) = ciwn, g(w) = C2Wk.
198 Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными
5.1.4. Другие уравнения, содержащие произвольные параметры
1 d2W . 4 d2W , n 5
1. -r-j- + aw —— =by w .
дх2 ду2
Частный случай уравнения 5.4.5.1 при f(y) = Ьуп.
. d2w . 4 d2w , av 5
2. —— + aw —— = bePvwb.
дх2 ду2
Частный случай уравнения 5.4.5.1 при f(y) = Ье^у.
_ п d2w rn d2w k
3. ах —— + by —— = cw .
дх2 ду2
Частный случай уравнения 5.4.5.3 при к = s = 0, f(w) = ci^fc.
1°. Точное решение при п ф 2, т ф 2:
w = ^@, е = [ЬB - тJж2-п + аB - п)У~т]1/2.
Здесь функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
w^ + — w^ = Bw , A)
где
л _ Зптп — 4п — 4т + 4 _ 4с
B-ra)B-m) ' abB-nJB-mJ '
2°. Укажем некоторые точные решения уравнения A).
2.1. Уравнение A) при к ф 1 допускает точное решение вида
Г 2A + к + А - Ак) 1 xh~ d-r^T
L B(l-kJ J
4п — 4
2.2. При т = из A) получаем точное решение в неявной форме
Лг)п(с\т /1Л2л,,/е-|-1 и —1/2
С\ Л 7 77 ГТ dw = C2 ± С,
где С\, С2 — произвольные постоянные.
2.3. Замена С, = ^1-Л приводит A) к уравнению Эмдена — Фаулера
о 2А
Более 20 точных решений уравнения B) для различных значений параметра к приведено в книге
В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а).
. п 82W . , (Зу 82W rr,
4. ах -—— + Ъену——- = cw .
дх2 ду2
Частный случай уравнения 5.4.5.7 при к = s = 0, f(w) = cwm.
Частный случай уравнения 5.4.5.5 при к = s = 0, /(гу) = сг^т.
1°. Точное решение при (З/j, ф 0:
w = «,(?), ^ = (Ь^е"^ + a/32e"^I/2,
где функция гу(^) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
+ Л А
A)
5.7. Уравнения со степенными нелинейностями 199
2°. Укажем некоторые точные решения уравнения A).
2.1. Уравнение A) допускает точное решение вида
У
= ГаЬB-т)/?У ^Г?Т^
^ L c(l-mJ J ?
2.2. Замена ? = ?~2 приводит A) к уравнению Эмдена — Фаулера
решение которого при т = 3 приведено в книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а).
— — = awp.
J V дх ) \ ду )
( d2w , d2w \ fdw\2 fdw\2
6. w — И
V дх2 ^ ду2
Замена w = eu приводит к уравнению вида 5.2.1.1:
дх2 ду2
2 / Л7#, \ 2
1°. Решения типа бегущей волны при аA + а) > 0:
w(x,y)=A1+B1chz, z = J-2— "i^w +c,
А
а 1 + 2сг ' V а2A + 2<тJ
w(x,y)=A2 + B2shz, z=J-2- ki* + k*V +C,
л2 = _А^±^, b, = ±J«1 + * ^1 + ff)a
а 1 + 2<т' '" у a<r a2A + 2(TJ '
где A?i, fe, С — произвольные постоянные.
2°. Решения типа бегущей волны при аA + а) < 0:
w(x,y) = А + Bcosz, z = W-
а 1 + 2сг '
где A?i, fe, С — произвольные постоянные.
3°. Точное решение (Ci, C2 — произвольные постоянные):
где функция w(r) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
" _L г ' _L ( М2 2_L/P _L
wwrr -\ гиги» + cr(u>r ) = aw + pit7 + 7.
r v /
4°. При 7 = 0 помимо решений, приведенных в пп. 1°-3°, можно указать другие точные
решения. Для этого в исходном уравнении следует сделать замену w = и2. В результате имеем
д2и . д2и\ . /н . Л 4r/^w\2 . / 5и \ 21 ! 2 , j_n
d2U d2U\ f \\(ди\2 , (ди\2Л 1
^2- + ^2-J + A +2-) it; + U^J J = -
Это уравнение является частным случаем рассматриваемого уравнения. Поэтому его решения
можно получить с помощью приведенных в пп. 1°, 2° формул, в которых следует переобозна-
переобозначить w —»¦ и, а —»¦ 1 + 2сг, a —>- |ct, /3 —>- 0, 7 —>- у/^-
200 Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными
5°. Точные решения при а = 0:
где A?i, fe, С, Ci, C2 — произвольные постоянные.
d2w a dw . dw d2w _
ду2 у ду дх дх2
Это уравнение при Ъ < 0 описывает трансзвуковое течение газа.
Точное решение:
w(x,y) = (pi(y) + (р2(у)х3/2 + (рз(у)х3,
где функции (fk = tpk (у) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
ч>1 + —ч>\ + v^2 = о,
У 8
// , а / , 45 7
<^2 Н <^2 Н —О(р2^РЗ = 0,
2/ 4
У
где штрихи обозначают производные по у.
2°. Точное решение в виде полинома третьей степени по х:
где функции фк = фк (у) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
У
У
Фз + -Ф'з + 18Ц>з^4 = О,
У
11 CL I о
У
3°. Точное решение:
Здесь функции (& = Ск(у) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
Vvv ~l Vv + bCiT] = U,
У
С + —€у + ьс2т]2 = о,
У
где С\, С2 — произвольные постоянные, а функция в = в(х) удовлетворяет автономному
обыкновенному дифференциальному уравнению
Его решение можно представить в неявной форме
где Сз, С4 — произвольные постоянные.
® Литература: С. С. Титов A988), S. R. Svirshchevskii A995).
5.2. Уравнения с экспоненциальными нелинейностями 201
5.2. Уравнения с экспоненциальными нелинейностями
5.2.1. Уравнения вида ^ + ^ = f(x,y,w)
d2W d2W CW
1 +
Это уравнение встречается в теории горения и является частным случаем уравнения 5.4.1.1 при
/О) =aeCw.
1°. Точные решения:
w(x у) = ! in Г 2(А2+Б2)— I
/ ч 1 1 Г 2(^2 + В2) 1 /э Л
(x.y) = —In ^ при а/3 > О,
W(x, у) = 11п(-^-) - j ln[(x + АJ + (у + ВJ + С],
где А, В, С — произвольные постоянные.
Пример. При а = C = 1 краевая задача в круге г = \/х2 + у2 <С 1 с граничным условием гу | 1 = О
имеет два решения
и(г) = 1п(8/с) - 1пA - кг2J, к = 5 =р 2\/б.
Первое их них ограничено внутри круга г ^ 1, а второе — имеет сингулярную особенность на окружности
г = 1/у/к.
® Литература: Д. А. Франк-Каменецкий A987), В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
2°. Точное решение при а = — 1, /3 = 1:
/ ч 1 2/с2A-т2)
w(x,v) = In
V yj [ch(/cx + C1)
где Ci, C2, к, т — произвольные постоянные.
® Литература: С. Н. Аристов A999).
3°. Общее решение:
w(r ) Ь
(>2/) /3 4|Ф'г(,)|
где Ф = Ф(г) —произвольная аналитическая (голоморфная) функция комплексного перемен-
переменного z = х + iy с отличной от нуля производной, чертой обозначена комплексно-сопряженная
величина.
® Литература: И. Н. Векуа A960), И. X. Сабитов B001).
4°. Исходное уравнение связано с линейным уравнением
+ 0 A)
дх2 ^ ду2 К Ч
преобразованием Беклунда
% 1/2 B)
% \^Г !(i C)
Пусть имеется (частное) решение U = U(x,y) уравнения Лапласа A). Тогда B) можно
рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно
202 Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными
w = w(y) с параметром х. Оно приводится к линейному уравнению с помощью замены
z = ехр(— у/Зги). В результате получим
w = --F- — 1п[ф(ж)-А; Г e~FsmUdy\, F =
при интегрировании х считается параметром, к = (у а/3I/2. Функция Ф(ж) определяется после
подстановки этого выражения в уравнение C).
® Литература: Р. Буллаф, Ф. Кодри A983).
2 + = ае Ье
дх2 ду2
Преобразование
w(x, у) = и(х, у) + к, к = — In —
приводит к уравнению вида 5.3.1.1:
д2и д2и
1
Замена [/ = аж + /Зу + //г^ приводит к уравнению вида 5.2.1.1:
d2W d2W _ . ая>у+Рт+-,у их»
Замена U = аху + /Зж + jy + /m> приводит к уравнению вида 5.2.1.1:
дх2 ду2
А(ж + гу )е
Преобразование
дх ду
z = \{х2 -у2), С = ху
приводит к более простому уравнению вида 5.2.1.1:
d2W d2W _ CW
dz2
5.2.2. Уравнения вида —(fi——) -\ (/г—^-) = 9(w)
Уравнения этого вида встречаются в стационарных задачах тепло- и массопереноса и теории
горения. В данном разделе не рассматриваются простые решения, зависящие только от одной
пространственной координаты: w = w(x) и w = w(y).
1°. Точные решения в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, y) = j Н-аА2у2 +Ву + С)-^ \п(-аАх + D),
w(x у) = — \п(Ау2 + By + С) + — In Г ^ 1,
w(x, у) = \ \п(Ау2 + By + С) + \ In
\ \п(Ау + By + С) + \ In [ 1,
E E L—aA cos2 (рх + q) J
w(x, y) = ± ln( V + By + С) + -1
C C
± ln( V + By + С) + -1 Ь [ ^ , 1,
C C I — aAshz(px + q) J
где А, 5, С, D, р, g — произвольные постоянные.
5.2. Уравнения с экспоненциальными нелинейностями 203
2°. Решение типа бегущей волны:
где зависимость w(?) задается неявно с помощью формулы (А, В, ц — произвольные постоян-
постоянные)
3°. Автомодельное решение (Ь, с — произвольные постоянные):
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
(СЧ)'С + (ае<*4)< = 0.
Последнее допускает первый интеграл
(C2+ae/3wK=C.
Принимая w за независимую переменную, для функции ? = C(w) получим уравнение Риккати
решение которого выражается через функции Бесселя.
2. -Ё
д
) + (by
дх J ду \ * ду
Частный случай уравнения 5.4.3.1 при f(w) = ce^w.
1°. Точное решение п ф 2, т ф 2:
w = w(?), ? = [Ъ{2 - тJх2-п + аB - fify2'™]1/2.
Здесь функция w = w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
w'U + jw't=Be^, A)
где
д 4 — пт 4:С
B - п)B - m) ' abB - nJB - mJ '
2°. Укажем некоторые точные решения уравнения A).
2.1. Уравнение A) при А ф 1 допускает точное решение вида
«>@ = -4
C 12A-А)
4 сп2
2.2. При А = 0, что соответствует m = —, В = —, из A) получаем еще несколько
п аЬ{2 — пу
семейств точных решений исходного уравнения:
w(?) = — ]
wit) = — J
(f) = — In [ БсЬ2^д2 Сч] ПРИ ^Б < 0>
»@ = >[-
w{?) =
Р
где Л, С, Ci, С2 — произвольные постоянные.
2.3. При А = 1, что соответствует m = , из A) получаем другое семейство точных
решений исходного уравнения:
где С — произвольная постоянная.
204 Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными
_ d ( рх dw\ d ( у,у dw\ x-w
3. аен И Ъе^у ) = се
dx V dx J dy V dy J
Частный случай уравнения 5.4.3.6 при f(w) = ceXw.
Точное решение /З/i ф 0:
Здесь функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
// 1 / л Xw л 4с
w^-—w^ = Ae , А = ,
? abpznz
которое допускает точное решение
4. (oas ) + (ье
а V д) ду\ ду
Частный случай уравнения 5.4.3.8 при f(w) = ceXw.
аж V дх ) ду\ ду )
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,y) = <р(х)+ф(у). A)
Здесь функция (р(х) и ф(у) описываются автономными обыкновенными дифференциальными
уравнениями (А — произвольная постоянная)
которые независимы друг от друга. В результате интегрирования получим решения уравнений
B) в неявном виде
dip = С\ =Ь ж,
где В\, В2, С\, С2 — произвольные постоянные; f3 + j ф 0.
2°. О других точных решениях исходного уравнения см. 5.4.4.8 при f(w) = ae^w, р(
5.2.3. Другие уравнения, содержащие произвольные параметры
л d2w , d2w , a On? , Ь Он? e-w
\ ||| ^ ce .
д
\t |||
dx2 dy2 x дх у ду
Частный случай уравнения 5.4.2.2 при /(?, w) =
Частный случай уравнения 5.4.2.7 при f(w) = ae^^.
Замена U = / exp f е 1 с?гу приводит к двумерному уравнению Лапласа для функции
U = U(x,y):
d2U d2U _
дх2 ду2
О решениях этого линейного уравнения см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского A972),
В. С. Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ь).
5.2. Уравнения с экспоненциальными нелинейностями 205
_ d2w . в-w dw _ ^ _
3. ——- + аер —— = 0, а > 0.
дх2 ду2
1°. Точные решения:
w(x, у) = Аху + By + Cx + D,
В2 {у + А)
1 Г 1
Д
С2
1 г С2 sh2(A2/ + B)] . ч 1 . Г С2
где А, В, С, D — произвольные постоянные.
2°. Автомодельное решение:
w = w(z), z = y/x,
где функция w(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
(z2 +aePw)w"z+2zw'z =0.
Частный случай уравнения 5.4.5.3 при f(w)= ce^w.
1°. Точное решение при п ф 2, т ф 2:
w = ™(f), ^ = [6B - шJж2"п + аB - п)У~т]1/2.
Здесь функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
w^ + — w^ = Вер , A)
где
. _ Зпт — 4:П — 4:гп + 4 _ 4с
B-n)B-m) ' a6B-nJB-mJ '
2°. Укажем некоторые точные решения уравнения A).
2.1. Уравнение A) при А ф 1 допускает точное решение вида
2A - А)
2.2. При А = 0, что соответствует m = , 5 = — —, из A) получаем еще
F ' у Зп - 4 ' abB - nL ' W y
й й
несколько семейств точных решений исходного уравнения:
1 2
где А, С — произвольные постоянные.
2.3. При А = 1, что соответствует т = , из A) получаем другое семейство точных
решений исходного уравнения:
где С — произвольная постоянная.
206 Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными
Частный случай уравнения 5.4.5.5 при к = s = 0, /(ги) = се^™.
Точное решение при /З/i ф 0:
Здесь функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
// , _3_ / _ д \w А — ^с
С ' abf32/j,2
которое допускает точное решение
w = 1п(
6. ах —— + Ьеру——- = се .
Ож2 ду2
Частный случай уравнения 5.4.5.7 при к = s = 0, /(ги) = сеЛи;.
5.3. Уравнения, содержащие другие нелинейности
5.3.1. Уравнения с гиперболическими нелинейностями
Частный случай уравнения 5.4.l.l при f(w) = ash(f3w).
1°. Решение типа бегущей волны:
w = w(z), z = Ах + By + С,
где зависимость w(z) задается неявно с помощью формулы
А, В, С, D — произвольные постоянные.
2°. Точное решение:
w = ™(О> ^ = л/(ж + С02 + (у + С2J,
где Ci, C2 —произвольные постоянные, а функция ги(?) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением
3°. Точное решение:
и>?? Н гу^ = ash.(pw).
,?/) = — Aith[f(x)g(y)], Arth^ = —In г
где функции / = /(ж) ир = р(г/) описываются автономными обыкновенными дифференциаль-
дифференциальными уравнениями первого порядка
(fxJ=Af4 + Bf2 + C,
{g'yJ = -Cg4 + (af3-B)g2-A,
где А, В, С — произвольные постоянные.
4°. Исходное уравнение связано с уравнением (см. 5.3.3.1)
д2и д2и
дх2 ду2
преобразованием Беклунда
= asin(f3U)
dU dw
— — =
® Литература: Р. Буллаф, Ф. Кодри A983), А. С. Wing, H. H. Cheb, Y. С. Lee A987).
5.3. Уравнения, содержащие другие нелинейности 207
d2w , d2w / 2 , 2\ , ,л \
2-^^ + ~w= a(x + v) sh{f3w)-
Частный случай уравнения 5.4.1.2 при f(w) = ash(f3w).
Частный случай уравнения 5.4.1.2 при f(w) = ach(f3w).
. d2w . d2w вх , /Л ч
4. ——- + ——- = аер sh(Aw).
дх2 ду2
Частный случай уравнения 5.4.1.4 при f(w) = ash(Xw).
_ d2w d2w лгг,а ,\(dw\2 fdw\2l
Частный случай уравнения 5.4.2.7 при f(w) = achn(f3w).
д ( ndw\ д ( rndw\ , ,
6. ax -\ by = к shCw).
dx\ dx J dy\ y dy ) KH }
Частный случай уравнения 5.4.3.1 при f(w) = ksh(/3w).
7. аер Н Ье^у = к sh(\w).
дх V дх ) ду V ду ) v '
Частный случай уравнения 5.4.3.6 при f(w) = A;sh(A^).
о d2w д Г , ч dw 1
8. — Н a ch(Pw) = 0.
дх2 ду I v' ду J
Частный случай уравнения 5.4.4.8 при f(w) = 1, g(w) = a
5.3.2. Уравнения с логарифмическими нелинейностями
Л d2w . d2w
1 +
Частный случай уравнения 5.4.1.1 при /(гу) = aw\n(f3w).
Сделав замену U = In (/Зги), получим уравнение с квадратичной нелинейностью
1°. Уравнение A) имеет точные решения полиномиального вида:
Щх, у) = \а{х + АJ + \а{у + ВJ + 1,
U(x,y) = A
где А, В, С — произвольные постоянные.
2°. Уравнение A) имеет решение типа бегущей волны:
U(x,y)=F(O, ?, = Ах + Ву +
Здесь функция F = F(?) задается неявно с помощью формулы
где А, В, С, D — произвольные постоянные.
208 Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными
3°. Уравнение A) имеет решение в виде суммы функций различных аргументов:
Здесь функции / = f(x) и д = д(у) задаются неявно с помощью формул
А\ =Ь х = / \В\е + otf —2~°Ч dfi
А2 =Ь у = / (l^e ^ + да —т°ч dg,
J
где Ai, B\, Ачч В2 —произвольные постоянные.
4°. Уравнение A) имеет более сложные решения в виде суммы функций различных аргументов:
U(x,y) = /(?) + g(rf), {;= х cos C — у sin f3, rj = х sin f3 + у cos f3,
где функции /(?) и р(т/) определены в п. 3°, /3 — произвольная постоянная.
5°. Исходное уравнение имеет точные решения вида
где С\, Сг —произвольные постоянные, а функция ги(?) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением
w'l<- -\ w'(- = aw\n(f3w).
С
® Литература: J. A. Shercliff A977), А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин, А. И. Журов, Д. А. Казенин A998).
2. —| — = aw In w + (бж71 + сг/ )w.
dx2 dy2
Частный случай уравнения 5.4.1.8 при f(x) = Ъхп, д(гу) = сгу^.
. ®2™ / 2 , 2ч, //О ч
] 2~ = «(ж + у ) h\(pw).
Частный случай уравнения 5.4.1.2 при f(w) = a\n(/3w).
л d2w , d2w *
Частный случай уравнения 5.4.1.4 при f(w) = a In (Лгу).
_ d2w . d2w
5 +
Это уравнение используется для описания некоторых течений идеальной стратифицированной
жидкости. Оно является частным случаем уравнения 5.3.2.6 при & = а2=ао = 0.
1°. Точное решение:
w(x, у) = ехр[-|х + А(„ + СJ + ? + 1],
где С — произвольная постоянная.
2°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y) = (р(х)ф(у),
где функции (р = <р(х), ф = ф(у) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений (С — произвольная постоянная)
4>"хх = bcpln \(р\ + (ах + С)(р,
ф'^у=Ъф\п\ф\-Сф.
(•) Литература: В. К. Андреев, О. В. Капцов, В. В. Пухначев, А. А. Родионов A994, стр. 183-185).
5.3. Уравнения, содержащие другие нелинейности 209
, d2w . d2w . к dw , 2 , , \ . l i i i
6. ——- + ——- -\ — = (a2x + сцх + ao)w + bw In \w\.
dx2 dy2 x dx
Уравнение Трэда — Шафранова при к = — 1, а\ = ао = 0. Это уравнение используется
для описания некоторых установившихся осесимметричных движений (с закруткой) идеальной
жидкости. Оно встречается также в физике плазмы.
1°. Точные решения при а\ = 0:
w(x, у) = ехр [Ах2 + ±(у + ВJ + jA(k + 1) - -^ + I], A=j(b±
где В — произвольная постоянная.
2°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y) = (р(х)ф(у),
где функции if = ip(x), ф = ф(у) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений (С — произвольная постоянная)
<Рхх Н <р'х = ^1п1^1 + («2Ж2 +сцх + а0 + С)<р,
ф'1;у=Ъф\п\ф\-Сф.
® Литература: G. Rosen A969), В. К. Андреев, О. В. Капцов, В. В. Пухначев, А. А. Родионов A994,
стр. 174-182).
_ d2w . d2w . a dw . b dw n, //3 ч
7. —-=- + —=- + ——— + — = cwnln@w).
dx2 dy2 x дх у dy
Частный случай уравнения 5.4.2.2 при /(?, w) = cwn \n(/3w).
o d2w d2w nf ,\fdw\2
8 + l ^)[()
Частный случай уравнения 5.4.2.7 при f(w) = a\nn(f3w).
_e_re]n .w*ti=Oi
ay L v 7 ay J
Частный случай уравнения 5.4.4.8 при f(w) = 1, g(w) = a\nn(f3w).
10. (aix + bi) -\ (а2У + b2) = kw \n(/3w).
1°. Точное решение:
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
(€щ)€ = kw\n(/3w).
2°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y) = (р(х)ф(у),
где функции ц>(х), ф(у) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями (С —
произвольная постоянная)
[(a ix + bi)(pfx]x — kip Yn.(j3ip) + dp = 0,
[(овд + b2)ipy]y — кф In ф — Сф = 0.
Частный случай уравнения 5.4.4.2 при f(w) = к
12.
dx \ dx J dy
Частный случай уравнения 5.4.3.1 при f(w) = k\n(/3w).
14 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
210 Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными
._ д ( п dw \ д (. rndw\
13. ах И by = kw In w.
дх \ дх J ду \ * ду )
Частный случай уравнения 5.4.3.1 при f(w) = kw \nw и частный случай уравнения 5.4.3.9 при
f(x)=axn,g(y) = bym.
14. aeR И Ъе^у =
дх V дх ) ^ ду V ду )
Частный случай уравнения 5.4.3.6 при f(w) = А;1
д ( рх dw \ д ( у,у dw
1С д ( рх dw \ д ( у,у dw \
15. aeR И Ъе^у = kw In w.
дх V 0ж / ду V ду /
Частный случай уравнения 5.4.3.6 при f(w) = kw \nw и частный случай уравнения 5.4.3.9 при
5.3.3. Уравнения с тригонометрическими нелинейностями
Частный случай уравнения 5.4.1.1 при f(w) = asin(/3w).
1°. Решение типа бегущей волны:
w = w(z), z = Ах + By + С,
где зависимость w(z) задается неявно с помощью формулы
2acos(Cu
IV
А, 5, С, D — произвольные постоянные.
2°. Точное решение:
B/
где С\, С2 — произвольные постоянные, а функция w = гу(^) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
wf?? -\ w'^ = asm(/3w).
3°. Точное решение при а = C = 1:
w(x,y) = 4arctg[ctgA
cos A , , „ sinA
(В) с
где А, В — произвольные постоянные.
® Литература: Р. Буллаф, Ф. Кодри A983).
4°. Решения более общего вида
w(x,y) = — arctg [f(x)g(y)],
где функции / = f(x) и g = p(|/) описываются автономными обыкновенными дифференциаль-
дифференциальными уравнениями первого порядка
+ (а/3 - В)д2 + А,
где А, 5, С — произвольные постоянные.
5.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 211
d2w , d2w fa ч
Замена f3w = f3u + утг приводит к уравнению вида 5.3.3.1:
д2и , д2и . (f, ,
Частный случай уравнения 5.4.1.2 при f(w) =
4- -^г + -^г = "(ж2 + у2) cos(/3w).
Частный случай уравнения 5.4.1.2 при f(w) = acos(/3w).
Частный случай уравнения 5.4.1.4 при f(w) = asin(A^).
/агу\2 /ОгуЛ2]
Частный случай уравнения 5.4.2.7 при f(w) = acos(/3w).
д \ д )
02/ V ^2/
Частный случай уравнения 5.4.3.1 при /(гу) = &sin(/3u>).
в 0 / /зж 0гу \ . д (и у,у dw
8. ае -\ be
дх V дх J ду V ду
Частный случай уравнения 5.4.3.6 при f(w) =
п а2гу а г Л/ ч 0^ I n
9. — Н a cos (Pw) =0.
дх2 ду I v f ду J
Частный случай уравнения 5.4.4.8 при f(w) = 1, р(г<;) =
5.4. Уравнения, содержащие произвольные функции
5.4.1. Уравнения вида Aw = f(x^y^w)
Уравнение теплопроводности с нелинейным источником.
1°. Пусть w = w(x,y) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
w2 = w(xcosf3 — ysinfl, xsinf3 + ycosfl),
где Ci, C2, ft — произвольные постоянные, также будут решениями этого уравнения (знаки в
w\ выбираются независимо друг от друга).
2°. Решение типа бегущей волны в неявном виде:
Л 2 1-1/2 Г
С + А2 + В2 FH] dw = Ax + By + D, F(w) = J f(w) dw,
где A, B, C, D — произвольные постоянные.
14*
212 Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными
3°. Точное решение:
w = ги(?), С = у/(х + С\J + (у + С2J,
где Ci, С2 —произвольные постоянные, а функция и> = ги(?) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
w'lc + — w'c = f(w).
4°. О точных решениях этого уравнения для некоторых зависимостей f(w) см. 5.1.1.1, 5.2.1.1,
5.3.1.1, 5.3.2.1, 5.3.3.1 и разд. А.3.3-2 (пример 13).
„ d2w , d2w , 2 , 2ч ,, ч
1°. Точное решение:
г^ = гу(г), г =
где функция w = w(r) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
// . 1 / 2
wrr -\ wr = г
г
2°. Автомодельное решение:
Здесь функция w = w(Q описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением
общее решение которого можно представить в неявной форме
/•
)] / dw = С2 =Ь С, F(^) = / /(гу) с/г^,
где Ci, С2 — произвольные постоянные.
3°. Точное решение:
w = w(z), z = у (ж2 -у2).
Здесь функция w = w(z) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением
общее решение которого можно представить в неявной форме
f[Ci+2F(w)] 1/2dw = C2±z, F(w)= Г
= I f(w) dw,
где С\, С2 — произвольные постоянные.
4°. Преобразование
приводит к более простому уравнению вида 5.4.1.1:
d2w d2w р, ч
-^ + ^72" = /W-
Это уравнение для произвольной зависимости /' = f(w) допускает точное решение типа бегущей
волны w = w(Az + В?), где А, В — произвольные постоянные.
y2)kf(w).
1°. Точное решение:
w = w(r), r = л/х2 + у2,
5.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 213
где функция w = w(r) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
// . 1 / 2к г/ \
Wrr -\ Wr = Г J\W).
2°. Пусть к = ±1, ±2, ... Преобразование
z = у (ж2 - у2), С = ху при к = 1,
z= ±(х3-3ху2), (= ±-(Зх2у-у3) при /с = 2,
z = y 1пО2 + У2), С = arctg — при к = -1,
^С = ,У 9 при jfe = -2
^ тг,
Ж2 + ^2
приводит к более простому уравнению вида 5.4.1.1:
d2w , d2w ff , ПЛ
^ + ^2"= /И- О)
Это уравнение для произвольной зависимости /' = f(w) допускает точное решение типа бегущей
волны w = w(Az + В?), где А, В — произвольные постоянные, и решение вида w = w(z2 + С2)-
В общем случае для любого целого к ф — 1, преобразование
Z~ 2(Л + 1) ' ^~ 2(/с + 1)г ' ' " W
приводит к уравнению A). Из формул B) следует связь:
3°. Пусть к — произвольная постоянная (к ф —1). Преобразование
] C)
где х = г cos ср, у = г sin ср, приводит к более простому уравнению A). При к = ±1, =Ь2, ...
преобразование C) совпадает с преобразованием B).
. d2w . d2w въо, ч
1°. Существует решение, зависящее от одной переменной w = w(x).
2°. Преобразование
и(х,у) = exp(y/3x)cos(y/32/), г;(ж,?/) = екр(\(Зх) sm(\(Зу)
приводит к более простому уравнению вида 5.4.1.1:
Это уравнение для произвольной зависимости f = f(w) допускает точное решение типа бегущей
волны w = w(Au + Bv), где А, В — произвольные постоянные, и решение вида w = w(u2 -\-v2).
«--«->¦
Представим показатель экспоненты в следующем виде:
ах — by = /3 (х cos сг — у sin сг); /3= уа2 +62, cos a = a/f3, sma = b/f3.
Преобразование
? = ж cos cr — у sin сг, г] = х sin a + у cos сг,
приводит к уравнению вида 5.4.1.4:
214 Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными
, d2w . d2w -, ч в-w
6 + f()*
Пусть /(ж, у) = s|F(^)|2, где е = =Ы, F = F(^) — заданная аналитическая функция комплекс-
комплексного переменного z = х + iy.
1°. Общее решение:
(>2/)" /3 4|Ф'г(,)|
где Ф = Ф(^) —произвольная аналитическая (голоморфная) функция комплексного перемен-
переменного z = х + iy с отличной от нуля производной, чертой обозначена комплексно-сопряженная
величина.
2°. Другое представление общего решения при C = — 2:
Здесь голоморфные функции 9? = ip(z) и ф = ip(z) определяются по формулам
^2 = СФехр(-| f ^dz), V2 = -|exp(-|- f ^dz),
JZq JZq
где \a\ = 1, С Ф 0 — любое, ^о —произвольная точка, Ф = Ф(г) —произвольная голоморфная
функция, удовлетворяющая условию, что в любой точке z = 2*, в которой Ф(г*) = 0, должно
быть Ф'(^*) = =Ьуа^(^*). Последнее условие, в частности, означает, что функция Ф может
иметь только простые нули.
® Литература: И. X. Сабитов B001).
_ d2W . d2W
7 +
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y) = (р(х)ф(у),
где функции ц>(х), ф(у) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
С — произвольная постоянная.
=awlnw+
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y) = <р(х)ф(у),
где функции (р(х), ф(у) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
С — произвольная постоянная.
9. -^- + -0-^- = f(x)wlnw+ [af(x)y + g(x)]w.
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y) = е~ау(р(х),
где функция ip(x) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
4>1х = f(x)(p\n(p+ [g(x)-a2](p.
5.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 215
Точное решение:
w = ги(?), ? = аж + fo/,
где функция ги(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
(а2+Ь2)«& =/(?,«;).
1°. Пусть ги = w(x,y) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
гУ1 = w(±x + Ci, ±г/ + Сг),
г^2 = гу (ж cos j3 — у sin /3, ж sin /3 + у cos /3),
где Ci, C2, /5 — произвольные постоянные, также будут решениями этого уравнения (знаки в
w\ выбираются независимо друг от друга).
2°. Точное решение:
w = w(O, ? = (х2 + у2I'2,
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
.. d2w d2w , 2 ,
12 + ~W = {x + v
1°. Автомодельное решение:
где функция w(Q описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
2°. Преобразование
~2~
приводит к более простому уравнению
z = \(х2 -у2), С =
1°. Точное решение:
гу = w(z), z = \{x2 -у2),
где функция w(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
w"z = fBz, w).
2°. Преобразование
Z= ±(X2 -y2)^ ( = Xy
приводит к более простому уравнению
d2w , d2w ,._ .
14. -^ + -^ = f(w + А11Ж2 + А12ху + А222/2 + В1Ж + В2у).
Замена U = w + Ацх2 + А\2ху + А222/2 + 5ix + #22/ приводит к уравнению вида 5.4.1.1:
216 Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными
5.4.2. Уравнения Вивйа^-+Ь^ = ,(«,„,„,.?,.?)
Это уравнение описывает стационарные процессы тепло- и массопереноса и горения в неодно-
неоднородных (анизотропных) средах. Здесь а и Ъ — главные коэффициенты температуропроводности,
f = f(w) —кинетическая функция, которая задает закон тепловыделения.
Преобразование ? = х/у/а, г] = y/\/b приводит к уравнению вида 5.4.1.1:
d2w d2w ,, ,
ду2 х дх у ду
Точное решение:
где функция ги(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
// а + Ь + 1 / х/ 2 \
_ d2w d2w j. t ч dw
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y) = (р(х)ф(у).
Здесь функции ip(x) и ф(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
1 I II I
огруу = /
где С — произвольная постоянная.
. d2w , d2w
Точное решение квадратичное по переменной у:
w(x, у) = (f(x)y2 + ф(х)у + х(ж). A)
Здесь функции (р(х), ф(х) и х(х) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка с переменными коэффициентами (аргументы у функций /, g, h не
указываются)
C)
Ххх =gx + fi>2+h- 2сир. D)
Если удается найти решение <р = <р(х) нелинейного уравнения B), то функции ф = ф(х) и
^ = х(х) определяются последовательно из уравнений C) и D), которые линейны относительно
Ф ИХ-
Из сопоставления уравнений B) и C) видно, что уравнение C) имеет частное решение
ф = ср(х). Поэтому его общее решение дается формулой [В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин B001 а)]
/
Отметим, что уравнение B) имеет тривиальное частное решение (р(х) = 0, которому
соответствует решение A), линейное по переменной у. Если функции / и д пропорциональны,
то частное решение уравнения B) определяется формулой tp = —\g/f (<? = const).
5.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 217
d2W d2W t ,( dw \2 , . 2 . / ч . , / ч
+ /(Ч) + &/() +g(x)w + h(x).
1°. Точное решение:
гу(ж,2/) = ^(ж)+^(ж)ехр(±г/>/^Ь), 6 < 0, A)
где функции (р(х) и ф(х) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка с переменными коэффициентами (аргументы у функций f,g,hue указываются)
C)
Если удается найти решение ср = у (ж) уравнения B), то функцию ф = ^>(ж) можно получить
путем решения уравнения C), которое линейно относительно ф.
Если функции f,g,h пропорциональны:
g = af, h = /3f (a, /3 = const),
то частные решения уравнения B) имеют вид
<p = ki, (f = k2, D)
где hi, &2 — корни квадратного уравнения bk2 + ak + /3 = 0. В этом случае уравнение C)
записывается так:
фxX=[BЬkп+a)f + aЬ\ф, п = 1, 2. E)
В книгах Э. Камке A976), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а) приведено много точных
решений линейного уравнения E) для различных зависимостей / = f(x). В частном случае
/ = const общее решение уравнения E) является суммой экспонент (или синуса и косинуса).
2°. Точное решение более общего вида:
w(x,y) = (р(х) + ф(х)[Аехр(ул/Ц)) + Вехр(-уу/Ш)], Ъ < 0, F)
где функции (р(х) и ф(х) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка с переменными коэффициентами
фхХ = 2Ь/<рф + дф + аЪф.
Отметим два частных случая решения вида F), которые выражаются через гиперболические
функции:
w(x,y) = (р(х) + ф(х)8к(уу/Ц)), А=\, В = -\.
3°. Точное решение (с — произвольная постоянная):
w(x,y) = (р(х) +ф(х)со8(ул/Ь + с), Ъ > 0, G)
где функции (р(х) и ф(х) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка с переменными коэффициентами
4>хх =
ф'хХ = 2Ъ}(рф + дф + аЪф.
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996, стр. -
, , d2w р/ xfdw\2 , , ч dw
[Нг(х)у + ho(x)]— \- p(x)w + q2(x)y2 + qi(x)y + qo(x).
Уравнение имеет точное решение квадратичное по переменной у:
w(x, у) = (f(x)y2 + ф(х)у + х(ж).
218 Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными
d2w d2w
dw\2 fdw\2l
Замена
=exp[/
приводит к двумерному уравнению Лапласа для функции U = U(x, у):
д2и д2и _
дх2 ду2
О решениях этого линейного уравнения см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского A972),
В. С. Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ъ).
_ d2w .d2w
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,y) = <р(х) + ф(у).
Здесь функции ip(x) и ф(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
где С — произвольная постоянная.
ft d2w
+ ^1(ж) 1- дъуу) h Aii(ж) + П2(у) + fciy.
Ож ду
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,y) = (р(х) +ф(у).
Здесь функции (р(х) и ф(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
cLtpxx — fi(x)((px) — gi(x)(px — kip — hi(x) = С,
Ьфуу - 12{у)(ф'у)ш - 92{у)ф'у -кф- h2(y) = -С,
где С — произвольная постоянная.
d2w d2w _, . \(®w\k \
dw \к , р( dw dw
Точные решения ищем в виде
w = гу(О, ^ = Ах + By + С,
где постоянные А, В, С определяются путем решения алгебраической системы уравнений (/3 —
произвольная постоянная)
aiAk+a2Bk = (ЗА, A)
hiAk + Ъ2Вк =0В, B)
aAk+c2Bk =0C. C)
Сначала решаются первые два уравнения A), B), затем из последнего уравнения C) определя-
определяется С.
Искомая функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
5.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 219
d2w , , d2w „ ( dw
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,y) = <р(х) + ф(у).
Здесь функции ip(x) и ф(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
а<Рхх ~ Л (ж, (fx) -ktp = C,
Ъфуу-/2(у,Ф'у)-кф = -С,
где С — произвольная постоянная.
d2w , , d2w „ f 1 dw \ . - / 1Огу\
9sJ ayJ V it? ож / V w ay /
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y) = (р(х)ф(у).
Здесь функции ip(x) и ф(у) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
где С — произвольная постоянная.
5.4.3. Уравнения вида ?[/(*)?] + ?[*(»)?] = М-)
Уравнения этого вида описывает стационарные процессы тепло- и массопереноса и горения
в неоднородных (анизотропных) средах. Здесь / = f(x) и g = р(г/)—зависимости главных
коэффициентов температуропроводности от пространственных координат, h = h(w) — кине-
кинетическая функция (функция источника), которая задает закон тепловыделения или теплопогло-
щения. В данном разделе не рассматриваются простые решения, зависящие только от одной
пространственной координаты: w = w(x) и w = w(y).
л д ( п dw \ д
1°. Точное решение при п ф 2, т ф 2:
w = гу(^)? f = [6B - шJж2"п + аB - nJ|/2"m]1/2.
Здесь функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
'Bf(), A)
где
л=
B - п)B - т) ' а6B - пJB - тJ '
При ??г = 4/п из A) получаем семейство точных решений исходного уравнения для
произвольной функции / = f(w):
Cl + abB-nrF{w)\ dw = C*± Ь F(w) = J
v) dw,
J
где С\, С2 — произвольные постоянные.
2°. Замена ? = t;1~A приводит A) к обобщенному уравнению Эмдена — Фаулера
я 2А
w'lc = * С, !-А f(w). B)
Большое число точных решений уравнения B) для различных функций / = f(w) приведено в
книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а).
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996, стр. 485).
220 Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными
Преобразование ? = ж + с, г] = у -\- s приводит к уравнению вида 5.4.3.1:
1
Преобразование ? = |ж| + с, ц = \у\ + s приводит к уравнению вида 5.4.3.1:
+?(*¦?)-'<•>¦
а2гу , д (. и,у dw \ „, ч
4. а — -\ 6е^у = f(w).
дх2 ду V ду /
Точное решение при ц ф 0:
w = «;(?), f = (fy^V + 4ае"^I/2,
где функция ги(?) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
Общее решение этого уравнения для произвольной кинетической функции / = f(w) определя-
определяется неявно с помощью формул
где С\, С2 — произвольные постоянные.
, д
Замена ? = \y\ приводит к уравнению вида 5.4.3.4.
д (. и,у dw
ду \ ду
Точное решение при (Зц / 0:
6. аер Н 6е^у = f(w).
дх V дх ) ду \ ду ) Jy '
где функция гу(^) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
«&-!«*= А/И, ^=^- О)
Замена С = ^2 приводит A) к обобщенному уравнению Эмдена — Фаулера
«& = iAc-VH,
решения которого при f(w) = (/ггу + s)~1 и /(гу) = (kw + s)~2 (A;, s = const) приведены в
книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а).
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996, стр. 487).
7. (ae) + (te
дх \ дх ) ду \ ду
Преобразование ? = |ж|, т/ = \у\ приводит к уравнению вида 5.4.3.6.
о д ( п dw \ д ( ^у dw \ , ч
8. ах Н Ье^у = f(w).
дх \ дх ) ду \ ду ) J v '
Точное решение при п ф 2, /и, ф 0:
w = w(f), ^ = [bfj,2x2-n + аB - пJе-»у]1/2,
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
5.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 221
Точное решение:
гу(ж, ?/) = ехр [(р(х) + ^Ы].
Здесь функции <р(х), ф(у) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
e-p[fev<p'x]'x-k<p = C,
е-^[де^ф'у]'у-кф = -С,
где С — произвольная постоянная.
Частный случай уравнения 5.4.4.6 при к = a, h\(x) = b, h2(y) = 0.
5.4.4. Уравнения вида — [/(ж,у,w) —^-1 -\ \д(х,у,w) —^-\ =
ox L dx -I ^w L dti -I
(bx + s)-0- = f(w).
Это уравнение можно записать в дивергентном виде:
—- Uay + c)—-\ +—- (Ьж + s)-— =/О).
ai L ох л оу I оу л
При ab ф 0 существует точное решение вида
гу = гу(О, ? = (a2by1/3x + (аЪ2у1/3у + (а26)/3с + (a62)/3s,
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
2. -§- [(в1х + Ь12/ + «*)-?.] + ^ [(а2Ж + Ъ,у + *)%] = /(»).
Точные решения ищем в виде
w = ги(?), ^ = Аж + Б^/ + С,
где постоянные А, 5, С определяются путем решения алгебраической системы уравнений (C —
произвольная постоянная)
а1А2 + а2В2 = (ЗА, A)
hiA2 + Ъ2В2 = 0В, B)
аА2 + с2В2 =0С. C)
Сначала решаются первые два уравнения A), B), затем из последнего уравнения C) определя-
определяется С.
Искомая функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
1°. Точное решение линейное по переменной у:
w(x, у) = (Ах + В)у - Г(х - t)(At + ВJ f{t) dt + Cix + С2,
где А, 5, Ci, C2, хо — произвольные постоянные.
222 Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными
2°. Точное решение квадратичное по переменной у:
w(x, у) = (р(х)у2 + <ф(х)у + х(х),
где функции ср = (р(х), ф = ф(х), х = х(х) описываются системой обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений
v'L + б/у2 = о, A)
':= о, B)
fip2 = 0. C)
Нелинейное уравнение A) рассматривается независимо от других уравнений. При / = const
его решение можно выразить с помощью эллиптических интегралов. При / = аеХх частное
решение уравнения A) имеет вид (р = —-|^-е~Лж. Уравнения B) и C) можно решать после-
последовательно (они являются линейными уравнениями относительно искомых функций). Так как
частное решение уравнения B) имеет вид ф = <р(х), то соответствующее общее решение дается
формулой (В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин, 2001 а)
где С\, С2 — произвольные постоянные.
4 d2w I d Г *М dw I = Q
дх2 ду I y/w~+~a ду \
Замена U = y/w + а приводит к уравнению
которое имеет точные решения вида
U(x,y) = <р(у)х
U(x, у) = (р(у)х2 + ф(у)х + х(у)-
_ d2w . „( , d2w
1°. Пусть w(x,y) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
Wl = w(Cix + С2, Ciy + С3),
где С\, С2, С'з — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Вырожденное решение: w = С\ху + С2Х + Сзу + С а.
3°. Автомодельное решение:
w = w(z), z = y/x,
где функция w(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
[z2 + f(w)]w"z + 2zwz = 0.
Точное решение:
w(x, у) = exp [(p(x) + ф(у)].
Здесь функции ip(x), ф(у) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
e'^lfe^cp'^ -kip- hi(x) = С,
е-ф[де^ф'УЪ-кф
где С — произвольная постоянная.
5.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 223
Уравнение имеет точные решения линейные и квадратичные по у:
w(x, у) = ц>(х)у + ф(х),
w(x, у) = (р(х)у2 + ф(х)у + х(ж).
д Г , ,dw] д Г , , dw]
дх Г v 7 Ож J ду ГV 7 ду -I
1°. Пусть w(x,y) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
W! = w(Cix + С2, Сц/ + С3),
где С\, С2, Сз —произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Решение типа бегущей волны:
w = w(z), z = Ах + By,
где функция w(z) задается неявно
[A2f(w) + B2g(w)] dw = Ciz + C2,
A, 5, Ci, C2 —произвольные постоянные.
3°. Автомодельное решение (а, /3 — произвольные постоянные):
где функция w(Q описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
[/(«>К]с + [C2ff(«L]^ = 0. (l)
Интегрируя уравнение A) и принимая w за независимую переменную, для функции ? = С(^)
получим уравнение Риккати (С — произвольная постоянная):
C?w=g(wK2 + f(w). B)
Большое число точных решений уравнения B) для различных функций / = f(w) и g = g(w)
приведено в книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а).
4°. Точное решение в параметрической форме:
х = Civ2 + C2v- [ f(w)[2CiG(w) + Сз] dw + С4,
y = -[2C1G(w) + C3]v-C2G(w) + C5, G(w) = Г g(w)dw,
где Ci, C2, Сз, С4, С5 — произвольные постоянные.
5°. Точное решение в параметрической форме:
х = [CiF(w) + C2]v + C3F(w) + С4, F(w) = Г f(w) dw,
у = ±-dv2 + C3v - Г g(w)[CiF(w) + C2] ^ + C5.
6°. Точное решение в параметрической форме:
х = [CiF(w) + C2]v2 + C3F(^) + C4 - 2 /"{/(гу) f g(w)[CiF(w) + C2] ^
y= jCiv3 + Csv-2v Гg(w)[CiF(w) + C2]dw + C5.
224 Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными
7°. Точное решение в параметрической форме:
х = (deXv + C2e-Xv)H(w) + С3,
у = j-(CieXv - C2e-Xv)j^H'w(w) + С4>
где Ci, С2, Сз, С а, А — произвольные постоянные, функция Н = H(w) описывается обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением L/ [if] + \2g(w)H = 0, а дифференциальный оператор
L/ определяется выражением
8°. Точное решение в параметрической форме:
х = [Ci sin(Av) + С2 cos(Xv)]Z(w) + С3,
у = 1[С2 sin(A^) - Ci cos(\v)]-J—Z'w(w) + С4,
A J\w)
где Ci, C2, Сз, Са, А — произвольные постоянные, а функция Z = Z(w) описывается
обыкновенным дифференциальным уравнением L/[Z] — X2g(w)Z = 0.
9°. Точное решение в параметрической форме:
х = [2CiF(w) + C3]v + C2F(w) + С5, F(w) = Г f(w) dw,
у = Civ2 + C2v- I g(w)[2CiF(w) + C3] с/гу + C4.
10°. Точное решение в параметрической форме:
ж = lclV2 + C3v- Гf(w)[CiG(w) + C2]dw + С5,
у =-[QGiw) + C2]v - C3G(w) + С4, G(w)= Гg(w)dw.
11°. Точное решение в параметрической форме:
х = jCiv3 + C3v -2v f f(w)[CiG(w) + C2] dw + C5,
у = -[CiGH + C2]v2 - C3G(w) + Ca + 2 Г[g(w) Гf(w)[CiG(w) + C2] dw} dw.
12°. Точное решение в параметрической форме:
х = -U
A
UC^ C2e)^Hw(w) + Сз,
A g(w)
у = (deXv + C2e~Xv)H(w) + С4,
где Ci, C2, Сз, А — произвольные постоянные, функция Н = H(w) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением L^[if] + X2f(w)H = 0, а дифференциальный оператор ~Lg
определяется выражением C) при f(w) = g(w).
13°. Точное решение в параметрической форме:
х = -j[C2 sin(A^) - Ci cos(\v)]-±-jZ'w(w) + C3,
г/ = [Ci sin(Av) + C2 cos(\v)]Z(w) + C4,
где С\, С2, С3, A — произвольные постоянные, функция Z = Z(w) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением ~Lg[Z] — X2f(w)Z = 0, а дифференциальный оператор ~Lg
определяется выражением C) при f(w) = g(w).
14°. Исходное уравнение можно представить в виде системы уравнений
/(«;)-— = -—, -g{w) — = —. D)
аж a?/ oy ox
5.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 225
Преобразование годографа
x = x(w,v), y = y(w,v) E)
(w, v принимаются за независимые переменные, ах иу— за зависимые переменные) приводит
D) к линейной системе
,, ч ду дх , . дх ду
f(w)— = -—, -g(w)— = —-. F)
dv dw dv dw
Исключая отсюда у, для функции х = x(w,v) получим линейное уравнение
Аналогичным образом из системы F) для функции у = y(w,v) имеем другое линейное
уравнение
Процедура построения точных решений исходного нелинейного уравнения состоит из двух
этапов. Сначала строится точное решение линейного уравнения G) для х = x(w,v). Затем это
решение подставляется в линейную систему F), откуда находится функция у = y(w, v) в виде
дт
Г г дх ( t\ At f
J f(w) dw Jw
где wo и vo —любые. Полученные указанным способом выражения вида E) будут давать точное
исходного уравнения в параметрической форме.
Аналогичным образом сначала можно строить точное решение линейного уравнения (8) для
у = y(w, v), а затем из F) определить функцию х = x(w, v) в виде
Vq g(w)
JWq dv
Vq g(w) dw JWq
где wo и vo — любые.
Замечание 1. Пусть х = Ф(и>, v; /, g)—решение уравнения G). Тогда у = Ф(и>, v; g, f)
будет решением уравнения (8).
Замечание 2. Пусть х = Ф(и>, v; /, g), у = fy(w,v; f,g)—решение системы уравнений
F). Тогда функции х = Ф(и>, v\ — g, — /), у = Ф(и>, v\ — g, — f) также будут давать решение этой
системы.
15°. Точные решения уравнения G), содержащие четные степени v:
п
x = ^<pk(w)v2k, A0)
k=0
где функции ipk = tpk{w) описываются рекуррентными формулами
(pn(w) = AnF(w) + Bn, F(w) = / f(w) dw,
Vk-iM = AkF(w) + Bk- 2kBk -1) I f(w){f g(w)ipk(w) dw} dw,
где Ak, Bk —произвольные постоянные(А; = n,..., 1).
Зависимость у = y(w,v) определяется по формуле (9) и вместе с выражением A0) дает
решение исходного нелинейного уравнения в параметрической форме.
16°. Точные решения уравнения G), содержащие нечетные степени v:
п
x = J2^k(w)v2k+1, A1)
к=0
15 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
226 Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными
где функции фк = Фк(и^) описываются рекуррентными формулами
фп(гп) = AnF(w) + Вп, F(w) = I f[w) dw,
фк-iiw) = AkF(w) + Bk- 2kBk + 1) Г f(w){ [д{уо)фк{уо) dw} dw,
где Ak, Bk —произвольные постоянные(А; = n,..., 1).
Зависимость у = y(w,v) определяется по формуле (9) и вместе с выражением A1) дает
решение исходного нелинейного уравнения в параметрической форме.
17°. В частном случае g(w) = к2 f(w) преобразование
х = кх, и = / f(w) dw
приводит к уравнению Лапласа
д2и д2и _
дх2 ду2
О решениях этого линейного уравнения см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского A972),
В. С. Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ь).
® Литература к уравнению 5.4.4.8: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин B001 Ь).
Точные решения ищем в виде
w = ги(?), ? = Ах + By,
где постоянные А и В определяются путем решения алгебраической системы уравнений
ai А2 + а2В2 = A, biA2 + Ъ2В2 = В.
Искомая функция ги(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением первого
порядка (С — произвольная постоянная):
[t- + A2f{w)+B2g{w)]w's = C.
Принимая w за независимую переменную, для функции ? = ?(ги) получим линейное уравнение
первого порядка
5.4.5. Другие уравнения
л d2w 4
Пусть и = u(y) —любое нетривиальное (частное) решение линейного обыкновенного диффе-
дифференциального уравнения второго порядка
Преобразование
С- Г *L е~ —
С " J и2' *- и
сильно упрощает исходное уравнение и приводит его к виду
Это уравнение не зависит от функции / (явно) и имеет точное решение
f (ж, С) = А
5.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 227
где А, В, С, D — произвольные постоянные. Кроме того, уравнение B) имеет точные решения,
например, следующей структуры:
Z(x,Q = 9(x)h(Q,
где к, А, /3 — произвольные постоянные.
+ 9i(x)-^- + [h!(x)y + ho(x)]—^- + s3(x)w + s2(a?O/2 + si(x)y
ож ay
Уравнение имеет точное решение квадратичное по переменной у:
w(x, у) = (р(х)у2 + ф(х)у + х(ж).
^ d2w n_i dw m-! dw „, Л
1°. Существуют решения, зависящие только от одной переменной: w = w(x) и w = w(y).
2°. Точное решение при п / 2, m / 2:
w = ^@, е = [ЬB - тJж2-п + аB - n)y-m]1/2.
Здесь функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
Aw'U + у4 = /М, A)
где
А= \abB-nfB-mf,
В=\{2-п){2-т) [аЪ(Зпт - 4п - 4ш + 4) + 2bkB - т) + 2asB - п)].
Решение уравнения A) в неявном виде при В = 0 и произвольной / = f(w):
= С2 ± f, ^(^) = I f(w) dw,
где С\, С2 — произвольные постоянные.
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996, стр. 486).
п-1
При п ф 2, m ф 2 существует точное решение вида
w = ю@, ? = [6B - m) V"n + оB - nJ2/2"m]1/2.
Ож2 Оу2 Ож Оу
1°. Существуют решения, зависящие только от одной переменной: w = w(x) и w = w(y).
2°. Точное решение при (Зц ф 0:
w = w@, ? = (Ъ»2е-0Х + а/32 е-™I'2.
Здесь функция ги = w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
Aw'iz + уЦ = /М,
где
А = ^аб/32//2, В = ±0tiCab0ti - 2bkfi - 2asC).
Решение уравнения A) в неявном виде при В = 0 и произвольной / = f(w):
где Ci, С2 — произвольные постоянные.
15*
228 Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными
с вх d2w , и,ч d2w . вх о( \ dw uv л( \ &w ( \
6 ав + Ьв+ кв f(W^ + ** fM = 9^
При j3fji ф 0 существует точное решение вида
w = w(?), ? = (Ъ^е-Р* + а/32 е-™I/2.
_ п d2w , ву d2w . n_i dw ву dw „, ч
7. ах —-— + ЬеРу——- + кх —— + se^y —— = f(w).
дх2 ду2 дх ду
1°. Существуют решения, зависящие только от одной переменной: w = w(x) и w = w(y).
2°. Точное решение /3 / 0, п / 2:
гу = гу(О, ^ = [^2ж2"п + аB - пJе"/3у]1/2.
Здесь функция гу(^) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
где
А = \аЪC2{2 -п)\ В = \C{2 - п) [abf3D - Зп) + 2bkf3 - 2asB - п)].
Решение уравнения A) в неявном виде при В = 0 и произвольной / = f(w):
[ [Ci + ^Ы] "V2^ = С2 ± е, F(w) = I f(w) dw,
где Ci, С2 — произвольные постоянные.
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996, стр. 488).
d^+ fM^ + se^fiw)— = g(w).
При C ф 0, n ф 2 существует точное решение вида
w = W(O, e = [^2х2-^ + aB - nfe'^] X'\
n / i \ d2w i /». i \ d2w *( dw d
Точное решение при ab ф 0:
w = u,^), ^ = (a2b)-1/3z + (ab2)-1/3y + (а26)/3С + (a62)-2/3s.
Здесь функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
# = f(w, Cwf?, fiw't),
1П , . . . ч d2w f ,d2w ( dw dw
10. ( + b + ) + ( + b + ) f(
,d2w ( dw dw\
b2y + ca)-^- = f(w, —, —J.
Точные решения ищем в виде
гу = гу(О, ^ = Аж + Б^/ + С,
где постоянные А, В, С определяются путем решения алгебраической системы уравнений
А2а1+В2а2 = А, A)
A26i + B2b2 = В, B)
A2ci + В2с2 = С. C)
Сначала решаются первые два уравнения A), B), затем из последнего уравнения C) определя-
определяется С.
Искомая функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
5.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 229
y)-^j- + kw In w + [h1(x) + h2(y)]w.
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y) = (р(х)ф(у).
Здесь функции if(x), ф(у) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
/i (x)(fxx = 9i (x)(p'x + kip In if + [hi (x) + C] if,
/2Шуу = 92Ш'у + кфЫф + [Л2(у) - С]ф,
где С — произвольная постоянная.
. СЦЖ -р О\У -\- Т [ IV) -\- \CL'2X -\- О2У \ Q\^)
Точное решение:
где постоянные А ж В определяются путем решения алгебраической системы уравнений
ai А2 + а2В2 = A, biA2 + Ъ2В2 = В,
а функция w (?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
^ + A f(w} -\- В g{w^) Wcc = h(w. Awe, Bwc).
д (г / \i dw Л д (г / \i dw Л ( dw dw
дх ^ дх J ду ^ ду J V дх ду /
Точное решение:
где постоянные Аи В определяются путем решения алгебраической системы уравнений
А2 ах + В2а2 = A, A2bi + В2Ъ2 = Б,
а функция w (?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
^,w)wf^\ = /i(u>, Awf?, Bw'^),
)=t + A2f(w) + B2g(w).
1°. Точное решение:
W(x,y) = if!(x) ~\-if2(x)y3/2 +ifS(x)y3,
где функции ifk = <fk(x) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
f Л(ж)^2 = О,
ifs + /(ж)^з + lSg(x)if23 + /г(ж)^з = О,
где штрихи обозначают производные по х.
2°. Точное решение в виде полинома третьей степени по у:
w(x,y) = ifji(x) + <ф2(х)у + фз(х)у2 +<ф4(х)у3,
где функции фк = Фк(х) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
Ф" + /(х)ф[ + 2д(х)ф2ф3 + Н(х)^ = О,
<ф2 + /(ж)^2 + Ых)Bф1 + 3^2^4) + h(x)if2 = О,
)^3 = О,
4 = 0.
230 Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными
3°. Точное решение:
w(x,y) =?(x) -\-г](х)в(у).
Здесь функции (& = Ск(х) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
Vxx + f(x)rj[x + ag{x)rj2 + h(x)r] = О,
Cx + f(x)& + bg{x)rf + h{x)? = 0,
где a, b — произвольные постоянные, а функция 0 = 0{у) описывается автономным обыкновен-
обыкновенным дифференциальным уравнением
в'ув'1У =ав + Ь,
решение которого можно представить в неявной форме.
d2w / dw dw\ d2w _
Преобразование Лежандра
dw dw
дх ' ду
где и — новая зависимая переменная, а ? и ц — новые независимые переменные, приводит к
линейному уравнению
д2и ,^ ч д2и
Точные решения этого уравнения для некоторых функций /(?,//) можно найти в книге
А. Д. Полянина B001 Ь).
6. Уравнения эллиптического типа с тремя и
более независимыми переменными
6.1. Уравнения стремя независимыми переменными
6.1.1. Уравнения, содержащие произвольные параметры
1 д ( п dw\ д ( т dw\ д ( i dw\ k
1. ах -\ by -\ cz ) = sw .
dx \ dx ) dy \ У ду ) dz \ dz )
Частный случай уравнения 6.1.2.4 при f(w) = swk.
d ( п dw\ д f m dw\ д ( i dw\ pw
2. ах И by И cz = seH .
дх V дх ) ду V у ду ) dz\ dz )
Частный случай уравнения 6.1.2.4 при f(w) = se^w.
_ д ( \х dw\ . д ( ^у dw\ д ( „zdw\ к
3. ае Н Ье^у -\ се = sw .
дх \ дх ) ду \ ду ) dz \ dz )
Частный случай уравнения 6.1.2.5 при f(w) = swk.
д ( \х dw \ , д (, и,у dw \ , а / vZ dw \ ew
4. (ае Н (Ье^у -\ (се = sep .
Ож V дх ) ду \ ду ) dz\ dz )
Частный случай уравнения 6.1.2.5 при f(w) = sef3w.
_ д ( п dw \ d ( rn dw\ d ( „z dw\ к
5. (ax H (by H (се = sw .
dx V dx J dy \ У ду J dz \ dz J
Частный случай уравнения 6.1.2.6 при /(ги) = swk.
в / п dw\ d ( г» dw\ d ( „zd<W\ CW
6. аж И от/ И се = seH .
dx \ dx J dy \ У dy J dz \ dz J
Частный случай уравнения 6.1.2.6 при f(w) = se^^.
a / гг dw \ . d (. u,y dw \ , a / ^г On? \ fe
7. ax H be^y -\ ce = sw .
аж V dx J dy \ dy J dz V az/
Частный случай уравнения 6.1.2.7 при f(w) = su>fc.
o d ( n dw\ a / vy dw\ d ( „zdw\ f3w
8. ax H be^y -\ ce = seR .
аж V dx J dy \ dy J dz \ dz J
Частный случай уравнения 6.1.2.7 при f(w) = seCw.
_ d2w d2w a2 . 42
9 + ()
Это уравнение смешанного типа, оно описывает пространственные околозвуковые течения
идеального политропного газа.
Точное решение квадратичное по переменной z:
w(x, у, z) = -?2(p(x, y)z2 + ф(х, y)z + х(ж, у) + а.
Здесь функции (р(х,у), ф(х,у), x(xiV) описываются уравнениями
Аф = (рф,
где А — оператор Лапласа по переменным х, у.
® Литература: С. И. Похожаев A989).
232 Уравнения эллиптического типа с тремя и более независимыми переменными
6.1.2. Трехмерные уравнения, содержащие произвольные функции
d2w , , d2w , d2w _, ч
1+b+ H)
Это уравнение описывает стационарные процессы тепло- и массопереноса и горения в неодно-
неоднородных анизотропных средах. Здесь a, b, с — главные коэффициенты температуропроводности,
f = f(w) —кинетическая функция, которая задает закон тепловыделения.
1°. Решение типа бегущей волны:
w = w(f), f = Ах + By + Cz.
Зависимость w(?) задается неявно с помощью формул
1/2d™ = С*±Ь Пу>) = I /И dw,
где А, В, С, С\, С2 — произвольные постоянные.
2°. Точное решение (Ci, C2, С г —произвольные постоянные)
a b с
Функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
3°. Преобразование х = д/аж, у = y/by, z = ^/cz приводит исходное уравнение к виду
Дги = f(w).
. d2w d2w d2w „, .\fdw\2 fdw\2 fdw\2]
2 + + /()[() +() +()J
Замена
^Un)' где FM = e
приводит к трехмерному уравнению Лапласа для функции U = [/(ж, 2/, г):
<92?/ d2U d2U _
d2
дх2 ду2 dz2
О решениях этого линейного уравнения см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского A972),
В. С. Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ь).
Замечание. О более сложном уравнении вида (гТ- V)w = Дги — f{w)\Vw\2 с дополнитель-
дополнительным конвективным членом см. 6.2.1.1.
_ d2w д ( п dw \ д
3 + УЪ +
1°. При п = т = 0 см. уравнение 6.1.2.1.
2°. Точное решение при п / 2, т / 2:
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
// А , Р, ч л 2D- п - т)
Wtt -\ Wt = f(w), A = — —.
С B — п)B — га)
3°. «Двумерное» решение при п ф 2, т ф 2:
. 6B - п)
где функция гу(ж,^) описывается уравнением
^г^г = /И, А
дх2 д? Z д? JK " B-n)B-m)
(•) Литература: А. Д. Полянин, А. И. Журов A998).
6.1. Уравнения с тремя независимыми переменными 233
. д ( п dw \ д ( т dw\ д ( i dw\ -, ч
4. ах -\ by -\ cz = f(w).
дх \ дх ) ду\ " ду ) dz \ dz ) J v '
Точное решение при п ф 2, т ф 2, / ф 2:
Х2~п у2-т z2-l
f
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
® Литература: А. Д. Полянин, А. И. Журов A998).
5. ае Н [Ье^у -\ [се = f(w).
дх\ дх ) ду V ду ) dz V а* У JK J
Точное решение при X ф 0, fi ф 0, г/ ф 0:
^Г ^ ^
аЛ2 bfi2 си2
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
д ( п dw \ д ( т dw\ д ( „zdw\ , ,
6. ах И by И се = f(w).
дх\ дх ) ду\ У ду ) dz V dz J JK J
Точное решение при п ф 2, т ф 2, i/ ф 0:
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
О V дх J ду \ ду
Точное решение при п / 2, // / 0, v / 0:
. a{z — n)z
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
II i ТЬ \ i ?( \ /1\
wtt + т ~гЩ = /М- (!)
z — п ?
Частный случай 1. При п = 0 для любой функции / = f(w) уравнение A) имеет решение в
квадратурах:
Л Г 1-1/2
С:+2 j f(w)dw\ dw = C2±?,
где Clf С2 — произвольные постоянные.
Частный случай 2. При п = 1, f(w) = Ae^w (A, [3 — произвольные постоянные) уравнение A)
имеет однопараметрическое решение
-ш(?) =
где С — произвольная постоянная.
® Литература: А. Д. Полянин, А. И. Журов A998).
234 Уравнения эллиптического типа с тремя и более независимыми переменными
в д Г ( ч dw 1 О Г , ч Он? 1 О Г , ч дги 1
= aw In w + [gfi (ж) + #2 (#) + 9з (z)] w.
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y,z) = <p
где функции if = ц>(х), ф = ф(у), X = x(z) описываются обыкновенными дифференциальными
уравнениями (С\, Сг — произвольные постоянные)
[Мх)<р'х]'х -а<р\п<р- [gi(x) + Ci](p = 0,
[hШу]'у -афЫф- [92(у) + С2]ф = О,
[h(z)Xzt - axlnx - [рзМ - Ci - С2]Х = 0.
6.2. Уравнения с произвольным числом независимых
переменных
6.2.1. Уравнения линейные относительно старших производных
п о п п
Замена
U= TJW)' Ще F^^ = exp[/ f(w)dw\>
приводит к линейному уравнению для функции U(xi,..., хп):
^ ^ ест
)
дх2 ^»*У.^---,"п,
/С k — 1 /С
Точное решение:
w = w(r),
где функция w(r) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
d?w В dw _ 4 ( . d_V^ 2
® Литература: А. Д. Полянин, А. И. Журов A998).
Точное решение:
w = w(r), г2 = АУ2~—-2—,
k=i чАк
где функция w(r) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
d?w I dw 4 „, v
® Литература: А. Д. Полянин, А. И. Журов A998).
6.2. Уравнения с произвольным числом независимых переменных 235
fc=s+l
1°. Точное решение:
где функция w(r) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
d?w В dw 4 , ч v-^ 2
dr2 r dr A L—' 2 — rat
fc=i
2°. В уравнении выделим две группы переменных (отвечающих как за степенные, так и за
экспоненциальные члены) и будем искать точные решения вида
w = w(y,z),
где
Ч 2-mfc P _\.„.
=^ Е
e
E
к=р+1
Для функции w получим уравнение
d2w B1 dw \ д / d2w B1 dw \ x/ \
ду2 у ду ) V dz2 z dz )
4 2 S 2
Л? х 1 Л? х 1
-Dl = > — 1, ?>2 ^ / — !•
^-^ 2-mt ^-^ 2-mt
fc=l ft fc=g+l ft
При 5i = ^2 = 0, Ai = A.2 = 1 это уравнение встречается в плоских задачах теории тепло- и
массопереноса (см. уравнения 5.1.1.1, 5.2.1.1, 5.3.1.1, 5.3.2.1, 5.3.3.1, 5.4.1.1).
® Литература: А. Д. Полянин, А. И. Журов A998).
га га
5. 2^, \fk(xk) = clw \nw -\- w У^ gk(xk)-
fc=l fe=l
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
где функции (pi = (^i(xi), 922 = ^2(^2), ..., (рп = ^(ж™) описываются обыкновенными
дифференциальными уравнениями
1—[ЫяаО-гЧ -«^fcln^fc - [gk(xk) -\-Ck](fk =0; А; = 1, 2, ..., п.
dxk L dxfc J L J
Произвольные постоянные Ci, • • •, Cn связаны одним соотношением С\ + • • • + Cn = 0.
га 2 n n
6- У^ fk(xk)——^- + У^ Sfc(a;fc)-^— = awlnw + t»V
ti 8xl ti dXh ti
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
где функции (pi = (fi(xi), ^2 = ^2(^2), ..., (рп = ^гг(жп) описываются обыкновенными
дифференциальными уравнениями
fk(xk)^- + ЯкЫ)^- ~ *ч>н ln^ - [ЛЛ(жЛ) + С*]р* = 0; А; = 1, 2, ..., п.
Произвольные постоянные Ci,..., Сте связаны одним соотношением Ci + • • • + Сп = 0.
236 Уравнения эллиптического типа с тремя и более независимыми переменными
6.2.2. Уравнения нелинейные относительно старших производных
dw d2w \
)
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
где функции ipk = <fk(xk) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
второго порядка
2_^fk(xk,——, 2^] — сир к = Ск, к = 1, 2, ..., п.
Произвольные постоянные Ci, • • •, Сп связаны одним соотношением С\ + • • • + Сп = 0.
Замечание. Функции /& могут зависеть также от любого количества смешанных производ-
производных dxiXjw. На их местах в соответствующих обыкновенных дифференциальных уравнениях
будут стоять нули.
2 \^ f ( 1 dw I d2w \
117 CfX j '
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
W(xi, . . . ,Хп) = Y
где функции (fk = Рк(хк) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
второго порядка
Произвольные постоянные С\, ..., Сп связаны одним соотношением С\ + • • • + Сп = 0.
dw dw d2w d2w
,... p^
dw dw d2w d2w \
Ож дх1 дх2 )
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(xi,... ,Xk,Xk+i,. • • ,хп) = <p(xi, ...,Хк) +ф(хк+1,. • • ,хп).
Здесь функции ср = (p(xi,..., Хк) и ф = ф(хк+1,..., хп) определяются путем решения двух
более простых уравнений уравнений с частными производными
dip dip d2ip
t. .. >X4;_,..., _;_
где С — произвольная постоянная.
. _,/ 1 dw I dw 1 d2w 1 d2w \
4. Flxi,... ,Xfc; ———,..., ———; н~~2~'-"' H~5~ )
V it? Ож1 w dxk w dxf w dx? /
it? Ож1 w dxk w dxf w ?
„/ 1 dw 1 dw 1 d2w 1 d2w \
G-l ajfe+i,... ,xn; ,..., —; —-o , • • •, e^~J
V it? аж&_|_1 it;
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
W(xi, . . . ,?fc,?fc + l, • • • ,Хп) = <f(xi, . . . ,Хк)ф(Хк + 1, • • • ,Хп).
6.2. Уравнения с произвольным числом независимых переменных 237
Здесь функции if = ip(xi,..., Хк) и ф = ф(хк+1,..., жте) определяются путем решения двух
более простых уравнений уравнений с частными производными
1 dip 1 dip 1 d2ip 1 d2ip \ _
~ / 1 дф 1 дф 1 д2ф 1 д2ф \
(j\Xk-\-i-> • • • -,хп\ — - ,..., — - 5 ~ т. о i • • • i ~, т. o~ ) =
\ ф oxk_t_i ф охп ф oxt\-i ф дхп '
где С — произвольная постоянная.
/ 1 dw 1 dw 1 d2w 1 d2
1 dw I dw I d2w 1 d2w
w dxu+i w dx-n w 9ж^,1 w
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
Здесь функции ip = ip(xi,..., Хк) и ф = ^(^fc+i? • • • •> хп) определяются путем решения двух
более простых уравнений уравнений с частными производными
,1,...,Л,/е, 5 • • • 5 о 5 о О 5 • • • 5 о9/ '
(^ ох1 ip охк ip ох\ ip охк /
дф 1 дф 1 а2у; 1 д2ф\
,..., — ——; — -—2—, • • •, — —-1Г ) = —О,
ф дхп ф дх2 ф дх2п )
ф дхк+1 ф дхп ф дх\+1 ф
где С — произвольная постоянная.
7. Уравнения смешанного типа
7.1. Уравнения линейные относительно смешанной
производной
7.1.1. Уравнение Хохлова — Заболоцкой
л d2w d2w fdw\2 d2w
1. w I I = 0
dxdt dx2 V dx ) dy2
Двумерное уравнение Хохлова — Заболоцкой. Описывает процесс распространения ограничен-
ограниченного звукового пучка в нелинейной среде (?, у играют роль пространственных переменных, а х
является линейной комбинацией времени и пространственной координаты).
К уравнению Хохлова — Заболоцкой сводится уравнение нестационарного трансзвукового газового потока
2ихт +ихихх -иуу = О,
см. С. С. Lin, E. Reissner, H. S. Tsien A948). Для этого надо перейти к новой переменной т = 2t,
продифференцировать уравнение по ж, а затем сделать подстановку w = —ди/дх.
1°. Пусть w(x, у, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
Wl = Cr2C%w(Cix + С3, С2у + С4, C^Clt + С5),
W2 = w(x + \y + <p(t),y + 2Xt, t) + <p't(t) - A2,
где С\, С2, Сз, Са, Сь, A — произвольные постоянные, a if = ip(t) —произвольная функция,
также будут решениями этого уравнения.
2°. Точные решения:
w(x,y,t) = - Х + (ру + ф,
t -\- о-^
w(x, у, t) = 2срх + (cp't - 2(р2)у2 + фу + х,
w(x,y,t) = (<ру + ф)х- -^-^(<РУ + ФL + — <p'ty3 + — Ф'ьУ2 + ХУ + 6,
w(x,y,t) = Ciy/xTT Z
j + if) - (У + C2J + (ft,
где (р = <p(t), ф = ф{Ь), x = x(t), 0 = 0{t) —произвольные функции, штрихом обозначены
производные, С\, С2 — произвольные постоянные.
3°. Решение в неявном виде:
tz + х + Ху + X2t + <p(t) = F(z), z = w- <p't(t),
где <p(t), F(z) — произвольные функции. Значение А = 0 определяет общий вид решения,
которое не зависит от переменной у.
4°. «Двумерное» решение квадратичное по переменной х:
w = f(y>t)x2 + g(y,t)x + h(y,t),
где функция / = f(y,t), g = g(y,t), h = h(y,t) описываются уравнениями
fyy = "б/2,
9yy = ~6f9 + 2ft,
hyy = -2fh + gt - g •
7.1. Уравнения линейные относительно смешанной производной 239
Индексы у и t обозначают соответствующие частные производные. Частное решение этих
уравнений имеет вид
gt - g2) dy - —— I R2(gt - g2) dy, R = у
R
где ip(t), Ci(t), Сг(?), Сз(г), Са(г) — произвольные функции,
5°. «Двумерное» решение:
где функция и = u(?,t) описывается уравнением
^ д2и . /Jm2 . J4 д2и . ^fdu\2 „^ ди Л ди
6°. «Двумерное» решение:
w = v(?,t)-\ ж, С = у2 + ах,
а
где а = а(?) —произвольная функция, а функция v = г;(^, t) описывается уравнением
-К + ю)—+А-/3 =о, ^=-^—
Последнее уравнение имеет частное решение вида v = ?(p(t), где функция ср = ip(t) описывается
уравнением Риккати a(pft — a2if2 — (a't + 10)у + /3ft — f32 = 0.
7°. «Двумерное» решение:
w = U(r,z), z = х +/Зу + Xt, r = у +/it,
где /3, Л, fi — произвольные постоянные, а функция U = t/(r, z) описывается уравнением
Отсюда при X = /З2, /1 = 2/3 получим уравнение вида 5.1.3.1.
8°. «Двумерное» решение:
w = x~ V(p,q), p = tx~ , q = yx~ ,
где функция V = V(p, q) описывается уравнением
9°. Точное решение:
= u(r)x2y 2,
где А, В — произвольные постоянные, а функция и = и(г) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
г (и — At + 4)и"г + г (иг) — гFи — Ат + 6)иг + 6(и + 1)и = О
® Литература к уравнению 7.1.1.1: Y. Kodama A988), Y. Kodama, J. Gibbons A989), N. H. Ibragimov
A994, pp. 299-300; 1995, pp. 447^50), A. M. Виноградов, И. С. Красильщик A997, стр. 144-148).
„ d2w , д ( dw \ , , d2w
2. h« (w + b — = 0.
dxdt dx V dx J dy2
Преобразование
w(x, y, t) = —u(x, y,r), t = -bt
a
приводит к уравнению вида 7.1.1.1:
д2и д { ди\ д2и
и-
дхдт дх V~ дх ) ду
240 Уравнения смешанного типа
3 т
Обобщенное уравнение Хохлова — Заболоцкой.
1°. Пусть w(x, у, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
w\ = Ci w{C\x -\- С2, Ciy H~ Gз, t),
Г 2 Г
J ' J
где С\, Сг, Gз, А — произвольные постоянные, з. (р = ip(t) — произвольная функция, также
будут решениями этого уравнения.
2°. Точные решения:
у Г
fdt +
9
w(x,y,t) = ((ру-\-ф)х- ——-(сру + фL + ^у3 + -^у2 +ХУ-
где (f = ip(t), ф = ip(t), x = x(t)> 9 = 0(t) — произвольные функции, С — произвольная
постоянная, / = f(t), g = g(t), штрихом обозначены производные по t.
3°. Точное решение:
w(x, у, t) = U(z, t) + (p(t), z = x + Лг/,
где функция (p(t) — произвольная функция, Л — произвольная постоянная, а функция
U = U(z, t) описывается уравнением с частными производными первого порядка [ip(t) —про-
—произвольная функция]
Полный интеграл этого уравнения ищется в виде U = A(t)z + B(t), что позволяет построить
его общее решение (см. A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, A. Moussiaux, 2002).
4°. «Двумерное» решение квадратичное по переменной х:
w = ^(У, 1)%2 + Ф(У, t)x + Х(У, t),
где функция ср = ip(y,t), ф = ф(у,Ь), х = х(У^) описываются системой уравнений
9Хуу = -f@<PX + Ф2) + Фь-
Индексы у и t обозначают соответствующие частные производные, / = f(t), g = g(t).
d2w _ (dw_\2 _ d2w _ d2w _ d2w _
dxdt V dx ) w dx2 dy2 dz2 ~
Трехмерное уравнение Хохлова — Заболоцкой.
1°. Пусть w(x, у, z, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
Wl = Ci2Ciw(ClX + Сз, С2у + С4, C2z + С5, C^Clt + С6),
W2 = w(x + Xy + vz + <p(t),y + 2Xt, z + 2fj,t, t) + ip't{t) - Л2 - //2,
г^з = w(x,y cos C + zsinfl, —ysinfl + z cos/3,t),
где Ci, C2, C3, ft, Съ, Cq, Л, //, C — произвольные постоянные, а ср = cp(t) — произвольная
функция, также будут решениями этого уравнения.
7.1. Уравнения линейные относительно смешанной производной 241
2°. Точные решения:
w(x, у, z, t) = 2а\х + (а[ — 2а\ — ot2)y2 + азу + OL2Z2 + /3z + j,
, . C^/Atx -у2 -z2
w(x,y,z,t) = -pj-2 ,
где ai, Q2, сиз, /3, 7 — произвольные функции ?, С — произвольная постоянная.
3°. «Трехмерное» решение:
w = u(x,?,t), ? = ysin/3 + zcos/3,
где /3 — произвольная постоянная, а функция гб = и(х, ^, t) описывается уравнением Хохлова —
Заболоцкой вида 7.1.1.1:
д2и Гди\2 д2и д2и _
dxdt \дх) U дх2 д?2 ~
4°. «Трехмерное» решение линейное по переменной х:
где функции / = f(y,z,t),g = g(y,z,t) описываются уравнениями
fyy + fzz = О,
gyy+gzz = ft - f.
Индексы у, z, t обозначают соответствующие частные производные. Первое уравнение —
уравнение Лапласа, а второе — уравнение Пуассона (относительно функции д). О решениях
этих линейных уравнений см., например, А. Н. Тихонов, А. А. Самарский A972), А. Д. Полянин
B0016).
5°. «Трехмерное» решение квадратичное по переменной х:
w = f(y, z, t)x2 + g(y, z, t)x + h(y, z, t),
где функции / = f(y,z,t), g = g(y,z,t), h = h(y,z,t) описываются уравнениями
fyy+fZZ= "б/2,
hyy + hzz = -2fh + gt- g2•
6°. Точное решение:
w(x, у, z, t) = и(?)Гх, ? = tx~2Dxt - y2 - z2),
где A — произвольная постоянная, а функция и = u(?) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
2
При А ф 1 переход к обратной функции ? = ?(и), замена ?(и) = р(и) —т~\и и понижение
порядка р'и = г*х г](р) приводят к уравнению первого порядка рщ'р — г\ + 1 = 0. Интегрируя,
получим (г) — ^е77 = С\р.
При А = 1 имеем и(?) = ±VCi? + C2.
7°. Точное решение:
и2 4-
w(x,y,z,t) =
где функция U = U(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
B(Bи - С + 4)С/^С + D(U'CJ + CBBU - ЗС + 12)U'C + 4JJ = 0.
8°. Точное решение:
z2 Atx — у2
w(x,y,z,t) = -p-V(q), q = — ,
где функция V = V(q) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
2DV + q2- q)V?q + 8(^'J + A - q)Vq + V = 0.
® Литература: N. Н. Ibragimov A994, 1995).
16 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
242 Уравнения смешанного типа
7.1.2. Уравнение нестационарного трансзвукового газового потока
d2w dw d2w d2w _
' dxdt + a дх дх2 ду2 ~ '
Уравнение нестационарного трансзвукового газового потока, см. С. С. Lin, E. Reissner, H. S. Tsien
A948). Частный случай уравнения 7.1.2.2 при f{t) = a, g(t) = —Ъ.
1°. Пусть w(x, у, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
Wl =Cr3Ciw(Cix + С3, С2у + С4, C^Clt + Съ) + C6yt + С7у + C8t + С9,
? = x + Xy + 6A2t - 2ab(p(t), rj = y + 2bXt,
где Cn, A — произвольные постоянные, 9? = ip(t), ф = ^(t), x = x(t) — произвольные функции,
также будут решениями этого уравнения.
® Литература: Е. В. Мамонтов A969).
2°. Точное решение:
( + 6 + 423L + — (at + 2aa7)?/3 +
2 ^ 2 + (ax + % + 7ж2 + /fc + //,
где a = a(t), /3 = /3(t), 7 = 7(t), /1 = /i(t), ^ = 6(t) — произвольные функции.
(•) Литература: Е. В. Мамонтов A969), Е. М. Воробьев, Н. В. Игнатович, Е. О. Семенова A989).
3°. «Двумерное» решение:
w(x, у, t) = U(z, t) + (p(t)y + ip(t), z = x + Xy,
где cp = (p(t), ф = ip(t) — произвольные функции, А — произвольная постоянная, а функция
U = U(z,t) описывается уравнением с частными производными первого порядка
^ + |(^J-ЬЛ^=0. A)
dt 2 V dz J dz
Полный интеграл этого уравнения имеет вид
U = Ciz+ (bX2Ci - \aC\)t + С2,
где С\, С2 — произвольные постоянные. Общее решение уравнения A) можно записать в
параметрическом виде (A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, A. Moussiaux, 2002):
U = sz+ (bX2s - \as2)t + /(s),
z+ (bX2 -as)t + f's(s) = 0,
где / = f(s) —произвольная функция, s — параметр.
4°. «Двумерное» решение более общего вида:
w(x, у, t) = U(z, t) + ф)у2 + ф(г)у + x(t)x + 9(t), z = x + Xy,
где cp = (p(t), ф = ф{Ь), x = x(^)? ^ = ^(^) — произвольные функции, А — произвольная
постоянная, а функция U = U(z,t) описывается уравнением с частными производными первого
порядка [cr(t) — произвольная функция]:
Это уравнение можно проинтегрировать [полный интеграл ищется в виде U = f(t)z + g(t)].
5°. «Двумерное» решение в виде полинома третьей степени по х:
w(x, у, t) = f(y, t)x3 + д(у, t)x2 + h(y, t)x + r(y, t),
7.1. Уравнения линейные относительно смешанной производной 243
где функции / = f(y,t), g = g(y,t), h = h(y,t), r = r(y,t) описываются уравнениями
bfyy = 18a/2,
bhyy = 6a fh + Aag2 + 2gt,
hvyy = 2agh + ht.
Индексы у и t обозначают соответствующие частные производные. Полагая / = 0,
g = <p(t)y + ijj(t), где (р = <?>(?), ф = ^(t) — произвольные функции, интегрированием по у
можно получить решение, зависящее от шести произвольных функций.
6°. «Двумерное» решение:
w(x,y,t) = v(x,r)t~1, r =
где функция v = г;(ж, г) описывается уравнением
7°. «Двумерное» решение:
где 7 = т(^)? А* = А*(^)» ^ = ^(^)? ^ = ^(^) — произвольные функции, а функция г> = v(p,t)
описывается уравнением
d2v ^2v , dv
d2w , . dw d2w ... d2w
1°. Пусть w{x, y, i) — решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
Wl = Ci4w(Ctx + C2,Ciy + Сз, t) + C4yt + Съу + Cat + Су,
+ X(t),
J [\2g{t) + f(t)<p(t)] dt, 71 = y-2\J g(t) dt,
где С\, С2, Сз, С4, Съ, Сб, Cj, Л — произвольные постоянные, if = ip(t), ф = ф(г), \ — х(^) —
произвольные функции, также будут решениями этого уравнения.
2°. Точное решение в виде полинома четвертой степени по у.
w(x, у, t) = a(t)y4 + b(t)y3 + [c(t)x + d(t)]y2 + [a(t)x + 0(t)]y + j(t)x2 + fi(t)x + S(t),
где a = a(t), C = /3(t), 7 = j(t), /1 = fJ>(t), 6 = 6(t) —произвольные функции, а функции
а = a(t),b = b(t), с = c(t), d = d{t) определяются по формулам
c't + 2/7C 7 ot!t + 2/cry 7^ + 2/72
a = — , b= ъ— , c= г-
Izg bg g zg
3°. «Двумерное» решение:
w(x,y,t) = U(z,t) + (p(t)y + ф{Ь)у + x(t)x + 9(t), z = x + \y,
где (f = if(t), ф = ip(t), x = x(t)> 9 = 0(t) — произвольные функции, Л — произвольная
постоянная, а функция U = U(z,t) описывается уравнением с частными производными первого
порядка [cr(t) — произвольная функция]:
0U
Это уравнение можно проинтегрировать [полный интеграл ищется в виде U = f(t)z + g(t)].
16*
244 Уравнения смешанного типа
4°. «Двумерное» решение в виде полинома третьей степени по х:
w(x, у, t) = tp(y, t)xs + ф(у, t)x2 + х(у, t)x + в(у, t),
где функции (р = (p(y,t), ф = ip(y,t), х = x(y^t), 0 = 9(y,t) описываются уравнениями
дЧ>уу + 18/^2 = О,
дфуу + 18/(рф + 3(ft = 0,
9Хуу + 6/^Х + 4/V>2 + 2^ = О,
двуу + 2/^Х + Xt = 0.
Индексы 2/ и t обозначают соответствующие частные производные, / = f(t), g = g(t). Эти урав-
уравнения можно рассматривать как обыкновенные дифференциальные уравнения относительно у с
параметром t; постоянные интегрирования будут произвольными функциями t. Первое уравне-
уравнение имеет частные решения ш = 0 и ш = —, где h = hit) —произвольная функция.
3f(y + hJ
5°. «Двумерное» решение:
w(x, у, t) = u(p, t) + a(t)y4 + [b(t)p + c(t)]y2 + fi(t)y + X(t), p = y2
Здесь с = c(t), 7 = j(t), /i = fj,(t), Л = A(t) —произвольные функции, а функция и = u(p,t)
описывается уравнением
д2и ( , х * 2, ди\ д2и , / / , о ч <9w ., Л
7 1" [itP + /7 ) —^~ + G* + 2р) h 2g(bp + с) = О,
где функции а = a(t) и b = b(t) определяются по формулам
12^ ' /73 '
7.1.3. Другие уравнения
Pit; 02it; Pit; d2w _
ду дхду дх ду2 ~
Общее решение:
w(x,y) = F(y + G(x)),
где F(z) и G(x) — произвольные функции.
® Литература: D. Zwillinger A989, р. 397).
dw d2w dw d2w _ , .
ду дхду ~дх ду2 ~ *^Х''
1°. Пусть w(x,y) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
wi = ±w(x, ±y + (f(x)) + С,
где (р(х) — произвольная функция, С — произвольная постоянная, также будут решениями
этого уравнения.
2°. Точные решения:
г Г л1!2
(x, у) = ±у [2 I f(x) dx + CiJ + ф),
{х)-2 J f{x)
где (f(x) —произвольная функция, С\, С2 —произвольные постоянные.
3°. Преобразование Мизеса
) = -^-, где w = w(x,y), A)
ду
7.1. Уравнения линейные относительно смешанной производной 245
приводит исходное уравнение к нелинейному уравнению первого порядка
Щ B)
которое не зависит от г]. Интегрируя B) и учитывая равенства A), получим уравнение первого
порядка
(|^J J' C)
где ф(уо) —произвольная функция.
Интегрируя C), находим общее решение в неявном виде:
dw , ,
/¦
где (f(x) и ф(гп)— произвольные функции, F{x) = / f(x)dx.
_ dw d2w ( , dw d2w , . , , / x , / ч
3' ^^ + f{y)-^-d^r = 9{y)w + h{y)x + s{y)-
Точное решение линейное по переменной х:
w = ф(у)х + ф(у),
где функции (р(у) и ф(у) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
/<рФуу + ФуФу = дф + s.
d2w /dw\dw udw _q
" dxdt +/1ажЬж2 + dy2 ~ '
1°. Пусть w(x, y, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
Wl = C^w(Cix + С2, Ciy + С3, Cit + Са) + C5yt + CQy + C7t + C8,
^2 = гу(ж + Л?/ - 6A2t, 2/ - 26At, t) + ^(t)j/ + ^(t),
где Ci, C2, C3, ft, Съ, Cq, C7, Cs, A — произвольные постоянные, (р = <p(t), ф = ^(t) —
произвольные функции, также будут решениями этого уравнения.
2°. «Двумерное» решение:
w(x, у, t) = U(z, t) + ф)у2 + ф($)у + x(t), z = x + \y,
где 9? = ip(t), ф = ^(t), x = x(t)—произвольные функции, А — произвольная постоянная,
а функция U = U(z,t) описывается уравнением с частными производными первого порядка
[cr(t) — произвольная функция]:
Полный интеграл этого уравнения имеет вид
U = [A(t) + Ci]z
где Ci, C2 —произвольные постоянные, а функции A(t), B(t) определяются по формулам
A(t) = -2b Г <p(t) dt, B(t)= [ [a(t) - F(A(t)) - b\2A(t)] dt.
= 0.
dy2
1°. Пусть w(x, y, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
W!
= w(?, ц, t) + <p(t)y + ф(Ь), ?, = х + Ху - A2 J g(t) dt + Ci, ri = y-2xj g(t) dt
где Ci, C2, X — произвольные постоянные, ср = (p(t), ф = ф{Ь) — произвольные функции, также
будет решением этого уравнения.
246 Уравнения смешанного типа
2°. «Двумерное» решение:
w(x, у, t) = U(z, t) + ф)у2 + <фA)у + X(t), z = x + \y,
где (p = <p(t), ф = ip(t), x = x(t)—произвольные функции, Л — произвольная постоянная,
а функция U = U(z,t) описывается уравнением с частными производными первого порядка
[cr(t) — произвольная функция]:
)^ + 2g(t)<p(t)z = a{t), Щи) = j Ци) du.
Это уравнение можно проинтегрировать [полный интеграл ищется в виде U = A(t)z + B(t)].
7.2. Уравнения квадратичные относительно старших
производных
7.2.1. Уравнения вида -^--^- = /(ж, у)
Пусть w(x,y) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
Wl = w(x,y) + Cixy + C2x + Сзу + С4,
где С\, С2, Сз, С4 — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
, d2w d2w ,f ч h
1°. Точное решение:
w(x, у) = (Cix + C2)yk+1 + —ft— Г {(Х~111{^\ dt + C3xy + C4x + Съу + Св,
где Ci, C2, Сз, С4, Съ, Cq —произвольные постоянные.
2°. Точное решение:
w(x,у) = (Cix + С2)ук+2 + ,, , .w, , „ Г 1г~Л*г\ dt + Сзху + СаХ + °5У + Сб>
где Ci, C2, Сз, С4, Съ, Cq —произвольные постоянные.
3°. Точное решение:
w(x, у) = (р(х)у^~ + Cixy + С2х + Сзу + Са,
где С\, Сг, Сз, Са — произвольные постоянные, а функция tp = ip(x) описывается обыкновен-
обыкновенным дифференциальным уравнением
02w d2w
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,y) = Ci f (x-t)f(t)dt + C2x+-^- Г\у-Т)
Jo °i Jo
где Ci, C2, Сз, С а — произвольные постоянные.
2°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y) = (р(х)ф(у),
где функции if = ip(x), ф = ф(у) описываются обыкновенными дифференциальными уравне-
уравнениями (С\ — произвольная постоянная)
№х = Cif(x),
ФФуу = С^
7.2. Уравнения квадратичные относительно старших производных 247
d2w d2w ., , , ч
Точные решения:
I rz
w(x,y) = ±— / (z-t)
ab Jo
где Ci, C2, Сз, С а — произвольные постоянные.
d2w d2w „, Л 2fe . / ч k , , / x fe-i
4 fyjT = f(x)y +9(х)У +h(x)y
Точное решение:
w(x, у) = (p(x)yk+1 + ф(х)у + х(ж),
где функции if = у (ж), ^ = Ф(х), \ — х(х) описываются системой обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений
к(к + 1)(рфхХ =д(х),
к(к + 1)<рх'хх = ^(ж)-
_ d2W d2W f ч Лу
1°. Точное решение:
w(x, у) = (Cix + С2)еХу + -L Г ^"У Л + Сзжу + С4Ж + О5у + Св,
Л Jo Cyj^t + 02
где Ci, C2, Сз, G4, Съ, Cq —произвольные постоянные.
2°. Точное решение:
w(x, у) = ф)еХу/2 + Cixy + С2ж + Сзу + С4,
где С\, Сг, Сз, ft — произвольные постоянные, а функция 9? = <р(х) описывается обыкновен-
обыкновенным дифференциальным уравнением \2(р(р'^х = 4/(ж).
Точное решение:
где функции 9? = ц>(х), ф = ^(ж) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
7.2.2. Уравнение Монжа-Ампера f^LJ _ ^w^w = F(a. ч
\ dxdy J dx2 ду2
Предварительные замечания.
Уравнение Монжа — Ампера встречается в задачах дифференциальной геометрии, газовой
динамики и метеорологии.
1°. Пусть функция w(x,y) является решением уравнения Монжа — Ампера. Тогда функция
w\ = w(x, у) + С\х + С2У + Сз,
где С\, С2, Сз — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Преобразование
х = а\х + Ь\у + ci, ^ = «2Ж + 622/+ С2, гу = a\b2kw + азж + 6з2/ + сз, F = к2 F,
где ате, Ьп, сте, к — произвольные постоянные, переводит уравнение Монжа — Ампера в
уравнение того же вида.
248 Уравнения смешанного типа
3°. Преобразование (С. В. Хабиров, 1990)
х = хA + ах + 0у)~1, у = уA + ах + 0у)~1, w = w(l + ax + 0y)~1, F =
где a, C — произвольные постоянные, переводит уравнение Монжа — Ампера в уравнение того
же вида.
Методы интегрирования уравнения Монжа — Ампера изложены в книге Э. Гурса A933,
стр. 45-65). Групповая классификация, некоторые инвариантные решения и законы сохранения
приведены в работах С. В. Хабирова A990), N. Н. Ibragimov A994, pp. 94-101).
4°. В лагранжевых координатах система уравнений одномерной газовой динамики с плоскими
волнами имеет вид
ди dp dV ди
где t — время, и — скорость, р — давление, ? — лагранжева координата, V — удельный объем.
Считается, что уравнение состояния описывается зависимостью V = V(p, S'(?)), где S = S(^) —
заданное распределение энтропии.
Преобразование Мартина
u(€,t) = -^-(x,y), t=-^-(x,y), x = ?, y=p(?,t)
дх ду
сводит уравнения одномерной газовой динамики к неоднородному уравнению Монжа —
Ампера
/ d2w \2 d2w d2w _
где F(z,у) = --f?-(p,
® Литература: М. N. Martin A953), Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко A978, стр. 318).
/ d2w у d2w d2w _
' V дхду ) дх2 ду2 ~ '
Однородное уравнение Монжа —Ампера.
1°. Пусть w(x,y) —решение однородного уравнения Монжа — Ампера. Тогда функции
Wl = Ciw(C2x + С3у + С4, Съх + С6у + С7) + С8х + С9у + Сю,
где С к (к = 1, ..., 10) — произвольные постоянные, также будут решениями этого уравнения.
2°. Первые интегралы:
V дх ду
, / dw dw dw \
Ф2( —— ,w -x— У^-) = 0,
V дх дх ду )
где Ф^гг, г;) и Ф2(гб, z) — произвольные функции двух аргументов.
3°. Общее решение в параметрическом виде:
w = ах + ?(а)У + Ф(а),
x + ip'(a)y + if>'(a)=0,
где а — параметр, tp = ip(a) и ф = ф(а) —произвольные функции.
4°. Точные решения, содержащие одну произвольную функцию:
w(x, у) = (p(Cix + С2у) + С3х + С4у + С5,
w(x, у) = [Cix + С2у)ч>{^) + С3х + С4у + С5,
w(x, у) = (dx + С2у + С3)у(^4а;^бУ^6) + С7ж + Сву + С9,
где Сп (п = 1, • • •, 9) — произвольные постоянные; 9? = ip(z) —произвольная функция.
7.2. Уравнения квадратичные относительно старших производных 249
5°. Точные решения, содержащие произвольные постоянные:
С2
w(x, у) = Ciy2 + С2ху + —^-х2 + С3у + С4х + С5,
4G
w(x,y) = ^ ( C2y2 + Csy + —^- j + C4y + Съх + Сб,
¦ C22/ + Сз) + С4ж + Сб^/ + Сб,
~С1У + С^.ь + ^Ж + Csy + С9,
ж + аJ + С2(ж + а) (у + 6) + С3(?/ + ЪJ + С5ж + С62/ + С7,
где а, 6, Сп — произвольные постоянные.
® Литература к уравнению 7.2.2.1: Э. Гурса A933, стр. 62), С. В. Хабиров A990), N. Н. Ibragimov A994,
pp. 94-101).
ч-
_
ОжОу / дх2 ду2
1°. Первые интегралы при А = а2 > 0:
х ' д?/
^ / dw dw \
Ф2 ау, h ax) =0,
V dx dy /
где Фп(и, v) —произвольные функции двух аргументов (п = 1, 2).
2°. Общее решение в параметрическом виде при А = а2 > 0:
У
2а ' У 2а 4а
где C и А — параметры, ср = <?>(/3) и ^ = ^(А) — произвольные функции.
3°. Точные решения:
w(x, у) = ±—^-x(Cix + С2у)
w(x,у) = С1У2 + С2ху + -^(С22 - А)ж2 + Сгу + С4ж + С5,
с2у2 + Сзу + -?*-) - -т^(х3 + ЗС1Ж2) + Сау + С5ж + С6,
^Cix - Cly2 + С73K/2 + САх + Съу + Св)
где С\, С2, Сз, С а, Съ, Cq —произвольные постоянные, if = ip(z) —произвольная функция.
Четыре других решения можно получить:
1) из решения уравнения 7.2.2.18 при а = 0, f(u) = А, где C — произвольная постоянная;
2) из решения уравнения 7.2.2.20 при f(u) = А, где а, 6, с — произвольные постоянные;
3) из решения уравнения 7.2.2.21 при f(u) = А, где а, 6, с, A;, s — произвольные постоянные;
4) из решения уравнения 7.2.2.24 при а = 0, f(u) = А, где /3 — произвольная постоянная.
4°. Преобразование Лежандра
& , / ч ^ dw dw
u = x? + yri-w(x,y), e=^, ^=^"'
где 16 = и(?,г]) — новая зависимая переменная, а ? и т/ — новые независимые переменные,
приводит к уравнению аналогичного вида
f d2u у d^d2 J
V
у
V d?dri ) d^2 dr]2
(•) Литература: Э. Гурса A933, стр. 63-64).
250 Уравнения смешанного типа
d2w \2 d2w d2w (
) ^
/ d2w \2
' V дхду ) ~
(
дхду ) дх2 ду2 ~ *^х*'
1°. Точные решения квадратичные по переменной у:
w{x, у) = С1У2 + С2ху + -^f-ж2 -Л- Г(х- t)f(t) dt + С3у + С4х + С5,
w(x, у) = —i— (с2у2+ С3у + -?&Л - -1- Пх - t)(t + Ci)f(t) dt + С4у + Сьх + С6>
где С\, Сг, Сз, С4, Съ, Cq —произвольные постоянные.
2°. Точные решения при f(x) > 0:
(ж, у) = ±у I -
//О) dx + ip(x)
где <^(ж) —произвольная функция.
® Литература: М. N. Martin A953), Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко A978, стр. 318).
3°. Рассмотрим некоторые конкретные зависимости / = /(ж). Решения, которые могут быть
получены по формулам из пп. 1°, 2°, опускаются.
3.1. Точные решения при /(ж) = Ахк можно получить:
1) из решения уравнения 7.2.2.18 при f(u) = А, а = к/2, где [3 — произвольная постоянная;
2) из решения уравнения 7.2.2.24 при f(u) = А, а = /с/2, где E — произвольная постоянная.
3.2. Точные решения при /(ж) = Ае^х:
, у) = ±^-еХх/2 sm{ClX + С2у + С3) + САх + Съу + С6,
+ С22/ + С3) + С4х + С5?/ + С6,
«;(ж, 2/) = ± X . вЛж/2 ch(ClX + С22/ + С3) + С4х + С5?/ + С6.
Еще одно решение можно получить из решения уравнения 7.2.2.22 при а = A, f(u) = А, где /5 —
произвольная постоянная.
4.
2 d2w d2w
дхду )
\2
) "
1°. Точное решение квадратичное по переменной у:
, у) = Ciy2 - у [ F(x) dx+^— Г (х- t)F2(t) dt + С2х + С3у + С4,
J 2C1 Ja
j
где Ci, C2, Сз, С а, С 5 — произвольные постоянные.
2°. Точное решение квадратичное по переменной у:
w(x, у) = (f(x)y2 + ф(х)у + хО),
где
i /^i i ^(ж) f f(x) dx if f(x) dx
+ Ca + ^^ / ;y - —^ / ;y
2CX J [(p(x)]s 2CX J
[(p(x)]
3°. Точные решения в виде полиномов третьей степени по у:
w(x, у) = С1У3 - _L_ /" (ж - t)f(t) dt + С2ж + Csy + С4,
6C1 Ja
w(x,y)= У"л2 -1
[bx + o2; о
где Ci, C2, Сз, С4, Сб — произвольные постоянные.
4°. См. решение уравнения 7.2.2.7 в п. 2° при & = 1.
7.2. Уравнения квадратичные относительно старших производных 251
d2w \2 _ d2w d2w
дхду) дх2 ду2
( d2w \2 _
Кдхду)
1°. Точное решение квадратичное по переменной у:
f<p2(x)dx + C2]y+^C21 fX(x
J J a
где функция ср = (p(x) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
ipipln = 2(ip'xJ - \f(x).
2°. Точные решения в виде полиномов четвертой степени по у:
w(x, у) = С1У4 - —1— [ (х- t)f(t) dt + С2х + Сзу + С4,
w(x,y)= yA
где Ci, C2, Сз, С а, С 5 — произвольные постоянные.
3°. См. решение уравнения 7.2.2.7 в п. 2° при к = 2.
2
Точное решение квадратичное по переменной у:
w(x, у) = (р(х)у2 + ф(х)у + хО),
где функции ср = (р(х), ф = ф(х), х = х(ж) описываются системой обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений
2
7.
1°. Точные решения:
где Ci, C2, Сз, С4, Сб — произвольные постоянные.
2°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
fc + 2
2
где функция 9? = (р(х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
к(к + 2)VV'L -(к + 2J(^J + 4/(х) = 0.
3°. Рассмотрим подробнее случай степенной зависимости f(x) = Ахп.
Точные решения:
' yk + 2 дхк+п+2,
2)x*+i " Cl(fc + n + 2)(fc + n + 3) +^ + ^»
^ Ax - t)tn(dt + C2f+l dt + C3y + C4x,
«;(x, y) = (Ciy + C2rn-1xn+2 - -^
где С\, С2, Сз, С4 — произвольные постоянные.
Ay - t)tk(Cit + C2)n+1 dt + C3y + C4x,
252 Уравнения смешанного типа
Имеется также решение в виде произведения функций разных аргументов, указанное в п. 2°
при /(ж) = Ахп, и решение такого же типа
п + 2
w(x,y) = ф(у)х 2 5
где функция ф = ф(у) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
п(п + 2)ффуу - (п + 2J(ФУJ + 4Аук = 0.
Подстановка ф = JJ~nl2 приводит его к уравнению Эмдена-Фаулера
1С = п2*пЛ+2)Укип+\
точные решения которого для различных значений параметров к, п указаны в книге В. Ф. Зай-
Зайцева, А. Д. Полянина B001 а).
Другое точное решения при /(ж) = Ахп можно получить из решения уравнения 7.2.2.18
при f(u) = Аик, п = 2а + кC, где а, C — произвольные постоянные.
дхду
Точное решение:
w(x, у) = ф)ук+2 - {к + J{k + 2)Jjx-t)^dt + Сгх + С2у + С3
где функция ср = (р(х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
(к + 1)(к + 2)(p(fxX — (к + 2J((р'хJ + /(ж) = 0.
/ d2w \2 d2w d2w п/ ч \п,
9. ( ) = f(x)ey.
V дхду / Ож2 Оу2
1°. Точные решения:
w(x, у) = d Г (ж - t)f(t) dt + С2х - ~^еХу + Сз|/ + С4,
w(x,y) = Oie — / (ж — tje /(tj dt + О2Ж + Оз|/+ О4,
где Ci, C2, Сз, С4, /5 — произвольные постоянные.
2°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y) = 9?(ж) ехр(уА|/),
где функция (р = 9?(ж) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
d2W
?/ \ 2Ху I / \ Ху
Точное решение:
w(x, у) = (р(х)е у — / (ж — t)——- dt + С\х + С2у + Сз,
где функция 9? = 9?(ж) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
d2w d2w
Точное решение:
w(x,y) = Ci f (x-t)f(t)dt--±- f\y-
Ja °1 Jb
где С\, С2, Сз, С4 — произвольные постоянные.
7.2. Уравнения квадратичные относительно старших производных 253
2 d2w d2w ., , , ч
1°. Точные решения:
w(x, у) = ±— / у f{z) dz + <p(;z) + Саж + С2У, z = ах + by,
где Ci, C2 —произвольные постоянные, <p(z) —произвольная функция.
2°. Преобразование
w = [/(ж, г), z = ах -\- by
приводит к уравнению вида 7.2.2.3:
Здесь переменные ж и г играют соответственно роль у и ж в 7.2.2.3.
2 d2w d2w h „( . , ч
Преобразование
w = [/(ж, г), z = ах -\- by
приводит к уравнению вида 7'.2.2.7:
2
Здесь переменные ж и г играют соответственно роль у и х в 1.2.2.1.
"¦ {-Щ -1^0 - -""л- + "*> + ¦*•<- + *»>¦
Преобразование
w = [/(ж, ^), z = ах -\- by
приводит к уравнению вида 7.2.2.8:
Здесь переменные ж и г играют соответственно роль у и ж в 7.2.2.8.
Преобразование
w = [/(ж, ^), z = ах -\- by
приводит к уравнению вида 7.2.2.9:
&и&и_ 2 Ах
^2 ^
Здесь переменные х и z играют соответственно роль у и ж в 7.2.2.9.
Преобразование
г^ = [/(ж, ^), z = ах -\- by
приводит к уравнению вида 7.2.2.10:
Здесь переменные ж и г играют соответственно роль у и х в 7.2.2.10.
254 Уравнения смешанного типа
/ d2w \2 d2w d2w _ 1 / у
V дхду ) дх2 ду2 ~ ~х**\~х
Частный случай уравнения 7.2.2.18 при а = — 2, /3 = — 1.
1°. Интеграл:
dw dw f /77T , „ у
w - х— у—- ± I y/f(z) dz = С, z = —,
дх ду J x
где С — произвольная постоянная.
® Литература: М. N. Martin A953), Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко A978, стр. 318).
2°. Точные решения:
w = x<p(±)± [y/f(z)dz + C, z=±,
\ X / J X
где (p(z) —произвольная функция.
Точное решение:
w(x, у) = ха~ xu{z) z = x у,
где функция и = u(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
[/3A3 + l)zu'z + (а- 13)(/3 -а- \)u\vl'zz + (а + lf{u'zJ - f(z) = 0.
® Литература: С. В. Хабиров A990).
Точные решения:
w(x, у) = ± [ \/F(z) + d dz + С2х + Csy + С4, F(z) = -\- f f(z) dz, z = ax - by2,
J azo J
где Ci, C2, Сз, С а — произвольные постоянные.
Точное решение при b2 / 4ac:
w(x, y) = u(z) z = ax2 + bxy + cy2,
где функция и = u(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
2Dас - b2)zuzuL + Dас - b2)(uzJ + f(z) = 0.
Интегрируя, получим
где С\, С2 — произвольные постоянные.
2
Точное решение:
w(x,y) = u(z) z = ах +bxy + cy -\-kx-\-sy,
где функция и = u(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
2[Dac - b2)z + as2 + cA;2 - bks]uzuL + Dac - b2)(uzJ + /(^) = 0.
Замена V(z) = (гб^J приводит к линейному уравнению первого порядка.
7.2. Уравнения квадратичные относительно старших производных 255
22 ( d2w Y
\ дхду)
Точное решение:
w(x,y) = e»xU(z), z = el3xy, ц = ±а - 0,
где функция U = U(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
/32zU'zU'z'z-^UU'z'z + (/3 + nJ(U'zJ - f{z) = 0.
23 ( 9*w У 9*
\ дхду ) у
Точное решение:
w(x,y) = exp(^^-J^(x),
где функция ср = (р(х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
x2W'L - x2(V'xJ + 2хщ>'х -V2 + 4k~2x4f(x) = 0.
24 ( Y
24< l дхду )
Точное решение:
w{x,y)=xa+2u{z), z = x0ey/x,
где функция и = u(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
z2[f3zuz + (a + 2)(a + l)u]u"z + zf[/3 - (a + lJ]zuz + (a + 2)(a + l)u\u'z + f(z) = 0.
® Литература: С. В. Хабиров A990).
2 d2W d2W _4
Точное решение:
w = yexp(ay~1)(p(z) + Ciy + С2х
где С\, Сг, Сз — произвольные постоянные, а функция 9? = <p(z) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
¦/(*) = о.
® Литература: С. В. Хабиров A990).
> О точных решениях неоднородного уравнения Монжа — Ампера для некоторых частных
зависимостей F = F(x,y) (не содержащих функционального произвола) см. С. В. Хабиров
A990) и N. Н. Ibragimov A994). О задаче Коши для уравнения Монжа—Ампера см. Р. Курант
A962, стр. 491-495).
7.2.3. Уравнения вида
, d2w \2 те ч d2w d2w
дхду ) J v ' дх2 ду2
1°. Пусть w(x,y) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
wi = Ciw(x, С2у + Съ) + Сах + Съу + Се,
где Ci, С2, Сз, Са, Сь, С б — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Точные решения, содержащие произвольные функции:
w(x,y) = (р(х) + Ciy + C2,
w(x,y) = <р(у) + Cix + C2,
где С\, С2 —произвольные постоянные, if = ip(z) —произвольная функция.
256 Уравнения смешанного типа
3°. Точное решение квадратичное по переменной у:
2 с2 fx iv' (t)]2
w(x,y) = (р(х)у + [Ci(p(x) + С2]у -\ — / (х — t) * dt + Сзх + С±,
2 Jo f{t)<p{t)
где функция 9? = (р(х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
f(x)(p(pxx ~ 2(<^L) = О-
4°. Точное решение, содержащее произвольную степень у:
w(x, у) = <р(х)ук + С\х + С2у + Сз
где функция ср = у (ж) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
5°. Точное решение, содержащее экспоненциальную функцию у:
w(x, у) = 9(х)еХу + Сгх + С2у + Сз,
где С\,Съ,Сз, А — произвольные постоянные, а функция ср = (р(х) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
- (<А.J = 0.
1°. Точное решение линейное по переменной у:
w(x,y) = ±y y/g(x)dx + (р(х) + Ciy,
где (р(х) —произвольная функция.
2°. Точное решение квадратичное по переменной у:
w(x,y) = ф)у2 + [СМ*) + С2]у + \ j\x - «)C?[y)((^g(t) dt + С^ + Ci,
где С\, С2, Сз, Са — произвольные постоянные, а функция tp = ip(x) описывается обыкновен-
обыкновенным дифференциальным уравнением
Последнее имеет частное решение (р = С б •
2 .. . d2w d2w . ( ,
1°. О точном решении квадратичном по у см. уравнение 7.2.3.5 при д2 = до = 0.
2°. Точное решение третьей степени по у:
w(x,у) = С1У3 + С2у--±- Г(х -t)^-dt + Сзх + С4,
6C1 Ja 1\Ч
где Ci, C2, Сз, С4 — произвольные постоянные.
Более общее решение имеет вид
w(x, у) = ф)у3 + С1У - j j\x -
C2X
где функция ср = (р(х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
2f(x)<p<p'x'x-3(<pxJ=0.
3°. См. решение уравнения 7.2.3.6 в п. 2° при к = 1.
7.2. Уравнения квадратичные относительно старших производных 257
., . d2W d2W . , ч 2
1°. О точном решении квадратичном по у см. уравнение 7.2.3.5 при д\ = до = 0.
2°. Точное решение четвертой степени по у:
1 fx
с, у) = Ciy4 + С2у - ——- I (x -
J-^l Ja
w(x, у) = С1У4 + C2y - -i— / (x-t)^-dt + C3x + C74,
где Ci, C2, Сз, С4 — произвольные постоянные.
Более общее решение имеет вид
w(x,y) = <р(х)у
где функция if = if{x) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
3°. См. решение уравнения 7.2.3.6 в п. 2° при к = 2.
Q2w \2 „, ч Q2w Q2w , ч о , ч ^ ч
Точное решение квадратичное по переменной у:
w(x, у) = (f(x)y2 + <ф(х)у + х(х),
где функции if = у (ж), ^ = Ф(х), \ — х(х) описываются системой обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений
f{x)ifif'xx = 2(if'xf - уР2О),
xx = 2(р'хф'х - \gi{x),
d2w d2w
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
где Ci, C2, Сз, С а — произвольные постоянные.
2°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
fc + 2
W(x,y) = <p(x)y 2 ,
где функция if = (p(x) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
к(к + 2)f{xL*p'L -{к + 2J(^J + 4Я(а;) = 0.
3°. Точное решение:
где функция ^ = ^(ж) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
Точное решение:
w(x,y) = ip(x)y - fu , 1Ч/?д , оЧ / (ж-*)-^-^-^ + С1Ж + С22/ + Сз,
где функция 9? = у (ж) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
(к + 1)(к + 2)f(x)ififxx -(k + 2J(if'xf + р(ж) = 0.
17 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
258 Уравнения смешанного типа
, . d2W d2W , . Ху
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, у) = CieXv + С2у - -^ f\x - t)j^ dt + С3х + С4,
где Ci, C2, Сз, С а — произвольные постоянные.
2°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y) = cp(x)exp(±\y),
где функция (р = (р(х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
3°. Точное решение:
w(x, у) = ф{х)еХу - ±- j\x - *)~щщ ^ + Схх + С2у + С3,
где функция ф = ф(х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
L - Ш2 = о.
Точное решение:
w(x, у) = ф)еХу --L f\x-t) -^- dt + С1Х + С22/ + Сз,
где функция 9? = у (ж) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
02w d2w
1°. Пусть w(x,y) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
w\ = Ciw(x, у) + С2Х + Сзг/ + ft,
где Ci, C2, Сз, С4 — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов при figi ф 0:
w(x,y) =
где С\, С2, Сз, С а — произвольные постоянные.
3°. Точные решения при /2^2 = 0:
w(x,y) = (р(х) + С1У + С2,
w(x,y) = (р(у) + Cix + C2,
где Ci, C2 —произвольные постоянные, (р = <p(z) —произвольная функция.
4°. Точное решение при /2^2 = 0:
w(x, у) = (р(х)ф(у) + С ix + С2у + Сз,
где функции if = ip(x) и ф = ф(у) описываются обыкновенными дифференциальными уравне-
уравнениями
'xJ = 0,
7.3. Уравнение Беллмана и родственные уравнения 259
d2w \2 ., . , ч d2w d2w . , . , ч
) Н + Ь) +{ + Ъ)
Точное решение:
w(x, у) = <p(z) + С\х2 + С2ХУ + Сзу2 + Сах + С$у, z = ах + by,
где С\, Сг, Сз, С4, Сб —произвольные постоянные, а функция <p(z) описывается обыкновен-
обыкновенным дифференциальным уравнением
(abp'L + С2J = /B)(oV« + 2Ci)(bV« + 2Сз) + я(г),
которое легко интегрируется (предварительно надо разрешить его относительно ц>"г)-
7.2.4. Другие уравнения
Точное решение квадратичное по переменной у:
w(x, у) = (f(x)y2 + ф(х)у + х(ж),
где функции (р = у (ж), ф = ф(х), х = х(х) описываются системой обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений
'L ~ 4v'xJ + 9{x)v + h2{x) = О,
"х - 4<р'хф'х + д{х)ф + h\{x) = О,
"x ~ Ш2 + 9(х)х + Мя) = 0.
лея (
Уравнение имеет точное решение квадратичное по переменной у:
w(x, у) = (р(х)у2 + ф(х)у + х(х).
7.3. Уравнение Беллмана и родственные уравнения
7.3.1. Уравнения с квадратичной нелинейностью
=°
Это уравнение встречается в задачах оптимальной коррекции случайных возмущений и является
следствием уравнения Беллмана [см. Ф. Л. Черноусько A971), Ф. Л. Черноусько, В. Б. Колма-
новский A978)]. Переменная t = Т — т играет роль «обратного» времени.
1°. Пусть w(x, у, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
wi = Ciw(x + C2,y + C3,t) + C4,
где Ci, C2, Сз, С\ — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Точные решения:
w = U(z,t), z = y±
Г g(t)dt + Cix^/2 + C2, т= Г
где Ci, C2, Сз — произвольные постоянные, а функция U = U(z,r) описывается линейным
уравнением теплопроводности
dU_ _ d2U _
(•) Литература: А. С. Братусь, К. А. Волосов B001).
17*
260 Уравнения смешанного типа
3°. Точное решение:
w = <Ь г), ?>=у + С1х + -^- J g(t) dt + C2, т = J f(t) dt + Сз,
где С\, Сг, Сз — произвольные постоянные, а функция и = u(^,rj) описывается линейным
уравнением теплопроводности
ди_ _ д?и_ _
дт д?2 ~
4°. Решения из пп. 2°, 3° являются частными случаями более общего решения вида
w = U(z,t), z = y + <p(x,t), r=ff(t)dt,
где функция ср = (p(x,t) удовлетворяет нелинейному уравнению с частными производными
первого порядка
??-•<•>• <¦>
а функция U = U(z,t) описывается линейным уравнением теплопроводности
dU д2и
дт dz2
Полный интеграл уравнения A) имеет вид
= 0.
ip = Cix + / g(t) dt + C2, B)
где Ci, C2 —произвольные постоянные. Общий интеграл уравнения A) можно представить
в параметрической форме с помощью полного интеграла B) и двух выражений [см. Э. Камке
A966), A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, A. Moussiaux B002)]
где ф = ф{С\) —произвольная функция, штрих обозначает производную {С\ и С2 играют роль
параметров).
Замечание. Решению из п. 2° соответствует ф(С\) = const.
5°. Точные решения:
w = ±exp[Aj/ + C(M)],
где Л — произвольная постоянная, а функция ^ = С(х^) описывается уравнением первого
порядка
§^2^* O. C)
dt дх дх
Полный интеграл этого уравнения имеет вид
J [/(*) + -^
С = Сгх + A2 J [/(*) + -^g(t)] dt + C2, D)
где Ci, C2 —произвольные постоянные. Общий интеграл уравнения C) можно представить в
параметрическом виде с помощью полного интеграла D) и двух выражений
С2 =
Л2
х —
где (f = y>(Ci) —произвольная функция (С\ и Сг играют роль параметров).
6°. Точное решение:
w = eXxe(y,t),
где Л — произвольная постоянная, а функция в = 9(y,t) описывается двумерным уравнением
7°. О задаче Коши и автомодельных решениях уравнения для степенных функций f(t) и g(t)
см. работы Ф. Л. Черноусько A971), Ф. Л. Черноусько, В. Б. Колмановский A978).
7.3. Уравнение Беллмана и родственные уравнения 261
dw n,^dw dw ..... ,fdw\
Замена z = / h(x) dx приводит к уравнению вида 7.3.1.1 для w = w(z, у, t).
_ dw dw o,^dw d2w , ^ ( dw \2
1°. Точное решение:
= U(z,t), z = y + ip(x,t), r = Jf(t)dt.
Здесь функция if = ip(x,t) удовлетворяет нелинейному уравнению с частными производными
первого порядка
dt дх
а функция U = U(z,t) описывается линейным уравнением теплопроводности
^-^ = 0 B)
Полные интегралы и общие решения (интегралы) уравнения A) для различных функций
g(x,t) можно найти в книге A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, A. Moussiaux B002). О решениях
уравнения B) см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского A972), В. С. Владимирова A985),
А. Д. Полянина B001 Ь).
2°. Точные решения:
w = ±exp[Aj/ + C(M)],
где Л — произвольная постоянная, а функция ? = С(х^) описывается нелинейным уравнением
с частными производными первого порядка
Точные решения:
w = ± ехр [Ху + С(ж, t)],
где Л — произвольная постоянная, а функция ? = С(х^) описывается нелинейным уравнением
с частными производными первого порядка
7.3.2. Уравнения со степенной нелинейностью
л dw
Это уравнение встречается в задачах оптимальной коррекции случайных возмущений и является
следствием уравнения Беллмана [см. Ф. Л. Черноусько A971), Ф. Л. Черноусько, В. Б. Колма-
новский A978)]. Переменная t = Т — т играет роль «обратного» времени.
1°. Пусть w(x, у, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
wi = Ciw(x + C2,y + Cs,t) + C4,
где С\, С2, Сз, С4 — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
262 Уравнения смешанного типа
2°. Точное решение:
w = U(z,r), t= Г f(t)dt + Ci,
У+1 Ig(t) dt + C3] TTT + C4,
где Сг,С2,Сз, C4 — произвольные постоянные, а функция U = U(z, т) описывается линейным
уравнением теплопроводности
dU d2U _
~д~т ~dz2~ -
(•) Литература'. А. С. Братусь, К. А. Волосов B001).
3°. Точное решение:
-^ [ g(t) dt + C2, т= Г f(t) dt + Сз,
где Ci, C2, Сз — произвольные постоянные, а функция и = u(?,rj) описывается линейным
уравнением теплопроводности
ди д2и
U
4°. Решения из пп. 2°, 3° являются частными случаями более общего решения вида
w = U(z,t), z = y + <p(x,t), T = Jf(t)dt,
где функция if = ip(x,t) удовлетворяет нелинейному уравнению с частными производными
первого порядка
а функция U = U(z,t) описывается линейным уравнением теплопроводности
dU д2и
дт dz2
Полный интеграл уравнения A) имеет вид
= 0.
(р = Cix + —^ / g(t) dt + С2, B)
где Ci, C2 —произвольные постоянные. Общий интеграл уравнения A) можно представить
в параметрической форме с помощью полного интеграла B) и двух выражений [см. Э. Камке
A966), A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, A. Moussiaux B002)]
к
где ф = ijj(Ci) —произвольная функция, штрих обозначает производную (С\ и С2 играют роль
параметров).
5°. Точное решение:
w = exp[Aj/ + C(M)],
где А — произвольная постоянная, а функция ? = C(x,t) описывается уравнением первого
порядка
Полный интеграл этого уравнения имеет вид [см. A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, A. Moussiaux
B002)]
x2f(t) + ^-g(t)] dt + a, D)
7.3. Уравнение Беллмана и родственные уравнения 263
где С\, Сг —произвольные постоянные. Общий интеграл уравнения C) можно представить в
параметрическом виде с помощью полного интеграла D) и двух выражений
\fc+i г
где ср = (f(Ci) —произвольная функция (С\ и Сг играют роль параметров).
6°. Точное решение:
w = eXx6(y,t),
где Л — произвольная постоянная, а функция в = O(y,t) описывается двумерным уравнением
dt J К } ду2 (\в)к \ду
7°. О задаче Коши и автомодельных решениях уравнения для степенных функций f(t) и g(t)
см. работы Ф. Л. Черноусько A971), Ф. Л. Черноусько, В. Б. Колмановский A978).
. dwfdw\k ,.f dw \k d2w
Замена z = / [/i(^)] с/ж приводит к уравнению вида 7.3.2.1 для w = w(z,y,t).
_ dwfdw\k ,.f dw\k d2w
1°. Точное решение:
= U(z,t), z = y + <p(x,t), r
=[f(t)dt.
Здесь функция ср = cp(x,t) удовлетворяет нелинейному уравнению с частными производными
первого порядка
ъШ =5(м)' A)
а функция U = U(z,t) описывается линейным уравнением теплопроводности
Y = °- B)
Полные интегралы и общие решения (интегралы) уравнения A) для различных функций
g(x,t) можно найти в книге A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, A. Moussiaux B002). О решениях
уравнения B) см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского A972), В. С. Владимирова A985),
А. Д. Полянина B001 Ь).
2°. Точное решение:
где А — произвольная постоянная, а функция ? = C(x,t) описывается нелинейным уравнением
с частными производными первого порядка
Точное решение:
w = exp[Aj/ + C(M)],
где А — произвольная постоянная, а функция ^ = (,(x,t) описывается нелинейным уравнением
с частными производными первого порядка
дх J V дх
8. Уравнения второго порядка общего вида
8.1. Эволюционные уравнения
м.1. у*——««. ? =
Предварительные замечания. Рассмотрим уравнение
dw ( dw d2w \ ,
—- =F[w, —, —г-). A)
dt V дх дх2 /
1°. Пусть w(x, t) —решение уравнения A). Тогда функция w(x + Ci, t + С2), где Ci и Сч —
произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. В общем случае уравнение A) допускает точные решения типа бегущей волны
w = w(?), ? = kx + \t, B)
где к, Л — произвольные постоянные, а функция w(?) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
F(w, kw^ к wf^) — \wf? = 0.
В данном разделе рассмотрены частные случаи уравнения A), которые помимо решения
типа бегущей волны B) допускают также другие точные решения.
1 ^0L = у( д2™\
' dt V дх2 )'
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов (А, В, С — произвольные
постоянные):
w(x, t) = F(A)t + \ Ах2 + Вх + С.
2°. Точное решение (А, В, С — произвольные постоянные):
w(x, t) = (Ах + B)t + С + <р(х),
где функция (р(х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
3°. Точное решение (А, В, к, Л — произвольные постоянные):
w(x,t) = At + B + i/j(?), ? = kx + \t,
где функция ф(?) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
4°. Автомодельное решение:
где функция в (С) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
) + тСв'с - в = о.
5°. Замена u(x,t) = приводит исходное уравнение к уравнению вида 1.6.16.2:
дх
ди „ ( ди\ д2и
?='(?)!?•
8.1. Эволюционные уравнения 265
6°. Преобразование
i = at + ii, х = /3ix + f32w + 72,
w = /3i (f34w + у/33ж2 + j3x) + 741 + 75 + ^2 [/33(ж^ж - w) + 7з^ж + \P^w2x],
гуж =/33ж + /34^ж +7з,
где а, /%, 7г —произвольные постоянные (а ф О, /З1/З4 — /З2/З3 / 0)? a индексы ж, ж обозначают
соответствующие частные производные, переводит рассматриваемое уравнение в уравнение
такого же вида. При этом правая часть уравнения преобразуется следующим образом:
(^) {xx)
а а
® Литература: И. Ш. Ахатов, Р. К. Газизов, Н. X. Ибрагимов A989), N. Н. Ibragimov A994).
Частный случай. Уравнение
dw /d2w\k
() fe>0 кф1
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = \С1х1 + C2x + aCX
где С1? С2, С3 —произвольные постоянные.
2°. Точное решение:
1
w(x,t) = [аA -fyt + Ci] 1~k и(х) + С2,
где функция и(х) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением (ufj.x)k—u = 0,
общее решение которого можно представить в неявном виде
dw Г dw d2w
dw _ Г dw
Помимо точного решения типа бегущей волны это уравнение имеет также более сложное точное
решение в вида
w(x, t) = At + В + (р(?), ? = кх + Xt,
где А, В, к, Л — произвольные постоянные, а функция <?>(?) описывается автономным обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением
Частный случай. Уравнение
dw dw d2w
= а-
dt дх дх2
1 °. Точное решение:
w(x,t) = (p1(t) + (p2(t)x3/2 + (p3(t)x3,
где функции срк = срк (t) описываются автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений
Штрихи обозначают производные по t.
2°. Точное решение в виде полинома третьей степени по х:
w(x,t) = ip1(t) + ip2(t)x + ip3(t)x2 +ip4(t)x3,
где функции фк = фк (t) описываются автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений
ф[ = 2аф2ф3,
ф'2 = 2аBф2+3ф2ф4),
ф'3 = 18аф3ф4,
266 Уравнения второго порядка общего вида
3°. Точное решение:
где С1? С2, С3, С4 — произвольные постоянные, а функция в = в (ж) описывается автономным обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением
решение которого можно представить в неявной форме.
3' "аГ= а^
1°. Преобразование
- [х Г1 1
t = t — to, x = — w(y,t)dy— F(w(xo,t),wx(xo,t)) dr, w(x,t) = — -
Jx0 Jt0 W(x,t)
переводит (ненулевое) решение w(x,t) исходного уравнения в решение w(x,t) уравнения
аналогичного вида
dw д Г^/_ _
Ж = ¦»№**
где
F(w,wx) = wF{w~1, w~3wx). A)
2°. В частном случае
F(w,wx) = g(w)(wx)k
из формулы A) получим
F(w,wx) = g(w)(wx)k, g(w) = w1~3kg(w~1).
® Литература: W. Strampp A982), J. R. Burgan, A. Munier, M. R. Feix, E. Fijalkow A984), N. H. Ibragimov
A994).
dw _ Г 1 dw 1 d2w
dt ~ \^w~dx~' ~w
dt V w dx ' w dx2 )
Точное решение:
w(x,t) = ;
где к, A— произвольные постоянные, а функция <?>(?) описывается автономным обыкновенным
дифференциальным уравнением
V ip ip
dw _ Г 1 dw 1 d2w\
dt ~ W V w dx ' w dx2 )'
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = Се *(р(х),
где С, Л — произвольные постоянные, а функция (р(х) описывается автономным обыкновенным
дифференциальным уравнением
Это уравнение имеет частные решения вида (р(х) = еаж, где а — корень алгебраического (или
трансцендентного) уравнения F(a, а2) — Л = 0.
2°. Точное решение:
A
где С, А;, Л, C — произвольные постоянные, а функция ф(?) описывается автономным обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением
Это уравнение имеет частные решения вида ф(?) =
8.1. Эволюционные уравнения 267
dw _ р / 1 dw 1 d2w \
dt ~ W V w дх ' w дх2 )'
При C = 0 и C = 1 см. соответственно уравнения 8.1.1.2 и 8.1.1.5.
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w{x,t)= [A~Р)М + В]г^ф),
где А, В — произвольные постоянные, а функция <р(х) описывается автономным обыкновенным
дифференциальным уравнением
= А.
V (р (р J
2°. Точное решение:
w(z,t) = (t + C)~e(z), z = kx +
где С, к, А— произвольные постоянные, а функция в(^) описывается автономным обыкновен-
обыкновенным дифференциальным уравнением
7 ^L - ^jrf^HL d^w_\
dt \дх' дх2 )'
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = -j \n(A/3t + B) + ф),
где А, В — произвольные постоянные, а функция <р(х) описывается автономным обыкновенным
дифференциальным уравнением
2°. Точное решение:
, t) = -jH* + С)
где С, ?;, Л — произвольные постоянные, а функция в(?) описывается автономным обыкновен-
обыкновенным дифференциальным уравнением
ер F(A;6C, А; 6^) = Лвс - —.
8 JtaL = f( d2w / dw\
dt V дх2 I дх )'
Частный случай уравнения 8.1.1.2.
1°. Точное решение:
w(x, t) = At + B + (р(?), ? = кх + Xt.
где А, В, к, Л — произвольные постоянные, а функция <?>(?) описывается автономным обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением
2°. Точное решение:
w(x, t) =tQ(z) + C, z = кх + Л In t
где С, к, C, Л — произвольные постоянные, а функция S(z) описывается автономным обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением
F(kQ"z/Q'z) =ле; + б.
268 Уравнения второго порядка общего вида
dw _ dw / d2w I dw \
dt ~ ~dx~ V dx2 I dx )'
Частный случай уравнения 8.1.1.2.
1°. Точное решение:
w(x, t) = At + B + ф), z = kx + \t,
где А, В, к, А— произвольные постоянные, а функция <p(z) описывается автономным обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением
k(p'zF(k(p"z/(pfz) = X(pfz + A.
2°. Точное решение:
w(x, t) = Ae0te(?) + В, ? = кх + Xt,
где А, В, к, /3, Л — произвольные постоянные, а функция в(?) описывается автономным
обыкновенным дифференциальным уравнением
dw _ / dw уF( dzw I dw\
' ~dt ~ \~dx~) V dx2 I ~dx~)'
Частный случай уравнения 8.1.1.2. При C = 0 и f3 = 1 см. соответственно уравнения 8.1.1.8 и
8.1.1.9.
1°. Точное решение:
w(x, t) = [A(l - p)t + В] "ь=Ж ф) + С,
где А, В, С — произвольные постоянные, а функция ip(x) описывается автономным обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением
2°. Точное решение:
w(x,t) = (t + A)^^S(z) + В, z = kx + Aln(t + А),
где А, 5, к, Л — произвольные постоянные, а функция в (г) описывается автономным обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением
8.1.2. Уравнения вида ^ = f(x,w,^,
dt V dx
Предварительные замечания. Рассмотрим уравнение
dw
F(,, .,,). A)
Пусть вспомогательное обыкновенное дифференциальное уравнение
w = F(x, w, w'x, w'lx)
после линейного преобразования
х = <p(z), w = ip(z)u
и последующего сокращения обеих частей на функцию ip(z) приводится к автономному виду
и = Т(и, uz, uzz),
где Т = F/ф. Тогда рассматриваемое уравнение в частных производных A) таким же преобра-
преобразованием
х = ф), w(x, t) = if;(z)u(z, t)
8.1. Эволюционные уравнения 269
проводится к уравнению
ди ( ди д2и
которое имеет точное решение в типа бегущей волны и = u{kz + Xt).
Сказанное позволяет использовать различные известные преобразования обыкновенных
дифференциальных уравнений (см. Э. Камке, 1976; В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин, 2001а) для
построения точных решений уравнений в частных производных. Если исходное уравнение было
линейным, то такие преобразования будут приводить к линейным уравнениям с постоянными
коэффициентами.
1 LF(X ^L)
ь at -*Г> 9х2 )¦
Точное решение:
w(x, t) = Axt + Bt + C + ip(x),
где А, В, С — произвольные постоянные, а функция <р(х) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением
F(x, ip"x) = Ах + В.
dw jpf dw
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = At + B + (p(x),
где А и В — произвольные постоянные, а функция ip(x) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением
F(x, <p'x, ф'ях) = А.
dw _ / dw d2w \
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, t) = At + В + <р(х),
где А, В — произвольные постоянные, а функция (р(х) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
F((p'x, xiplx) = A.
2°. Точное решение:
w(x,t)=xe(?) + C, e=f,
где С — произвольная постоянная, а функция в(?) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением
F(e + te'z, 2?в'е + f 0^) + ?2в'е = о.
dw —( dw
F (
. dw —( dw 2 d2w \
4. = F (iu, x , x — .
dt \ dx dx2 J
Замена х = ±ez приводит к уравнению
dw _,/ dw d2w dw
которое имеет точное решение в типа бегущей волны w = w(kz + Xt).
_ dw fe_/ dw 2 d2w \
5. = x F[w, x , x — .
dt V ' dx ' dx2 J
Автомодельное решение:
w(x,t) = w(z), z = xt1/k,
где функция w(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
7 к—1 Т-l/ / 2 // \ / ГЛ
kz r (w, zwz, z wzz) — wz = 0.
270 Уравнения второго порядка общего вида
, dw и-п( dw 2 d2w \ , dw
6. = x F[w. x , x — + ax .
dt \ dx dx2 J dx
Переходя к новым независимым переменным
at -L /-| —akt\
получим уравнение вида 8.1.2.5:
2
дт ~ ' \—>~ о."» Z
Точное решение:
w(x,t) = w(z), z = \x-\-\nt,
где функция w(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
ezF(w, \w'z, \2w"z) -wfz=0.
„ dw -( 1 dw 1 d2w
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = Ае^(р(х),
где A, fi — произвольные постоянные, а функция <р(х) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
F(X, &,**-)= р.
\ if if J
dw (з ( 1 dw 1 d2w
dw _ (з ( 1 dw 1
dT - W Г' ~w~~dx~> ~w~
При /3 = 1 см. уравнение 8.1.2.8.
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
1
w(x, t) = [A — C)At + В~\ 1~C <р(х),
где А, В — произвольные постоянные, а функция <р(х) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
dt ~e ^Г' dx ' dx2 У
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = -^-\n(ACt + В) + (р(х),
где А, В — произвольные постоянные, а функция ip(x) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
ef*vF(x,<p'x,<p'L)+A = 0.
dw _ dw ( d2w I dw \
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = At + B + (p(x),
где А, В — произвольные постоянные, а функция <р(х) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
ipxF(x, (рхх/(рх) = А.
8.1. Эволюционные уравнения 271
2°. Точное решение:
w(x,t) = Ае^в(х) + В
где А, В, ц— произвольные постоянные, а функция в (ж) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением
e'xF(x,e'L/&x)=i*e.
Л„ dw
12
При C = 1 см. уравнение 8.1.2.11.
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = At + B + (p(x),
где А, В — произвольные постоянные, а функция <р(х) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
(V'xfF(x, V'M) = A.
2°. Точное решение:
w(x, t) = [A(l - f3)t + d] "bV [в(ж) + В] + С2,
где А, В, С\, С2 —произвольные постоянные, а функция в (ж) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
8.1.3. Уравнения вида ? = f (*,,,„, Ц,
Точное решение:
г^ = ги(?), ^ = аж + 6t,
где функция гу(^) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
F(?, w, aw'%, a w'^) — bw'^ = 0.
. dw ,ч fc / On? 2 d2w \ ,.\d™
2. — = /(t)x Ф(™, x —, x ^-5-j +x|,(t) —.
Переходя к новым независимым переменным
z = xG(t), T = Jf{t)G-k{t)dt, G(t) = eXp[fg(t)dt],
приходим к более простому уравнению вида 8.1.2.5:
3 9w f(t)vf
3- at n '
Преобразование
'Ф(
1
w
dw
dw
дт
1
w
d2w
dx2
¦)¦
dw 2 о w
oz ozz
\-g(t)w.
= f
приводит к более простому уравнению вида 8.1.1.8:
которое имеет точное решение в типа бегущей волны и = и(Ах + Вт) и решение в виде
произведения функций разных аргументов и = (р(х)ф(т).
272 Уравнения второго порядка общего вида
л dw ЛЛ 1 d2w\
4. = гиФ t. — .
dt \ w dx2 )
Точные решения в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = Аехр|~Аж + /ф(?,А2)сй1,
w(x,t) = [АсЦХх) + В sh(\x)] ехр\ [ <5>(t, \2) dt\,
w(x, t) = [A cos(Ax) + В sin(Ax)] exp [/$(*, -A2) dt],
где А, В, Л — произвольные постоянные.
f{x)
dt V ' w
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов
w(x
, t) = ip(x) exp I" / F(t, A) dt\,
где функция ср = (p(x) удовлетворяет линейному обыкновенному дифференциальному уравне-
уравнению f(x)(p'xx = X(f.
1 dw 1 d2w
Точное решение:
где А, А — произвольные постоянные.
Точное решение:
w(x, t) = A exp \\x + / Ф(*, А, Л2) cftl,
+ Г Ш-dt] +Be~XxE(t), E(t) = exp[ / Ф(*, A2) dt],
где A, 5, A — произвольные постоянные.
Точное решение:
= exp[ ^(t,
где А, 5, А — произвольные постоянные.
9. ^
w
Уравнение имеет точное решение вида
10. ^ = юф(*, ^"^-) + /(*) сЬ(ЛЖ) + g[t) sh(Ax).
Точное решение:
^(ж, t) = ch(Ax)?7(t) [A + J-^-dt]+ sh(Xx)E(t) [в + |"Ж- dt],
E(t) = ех[/2]
где А, В, X — произвольные постоянные.
8.1. Эволюционные уравнения 273
„. — =«,*(i, --^) +/(*)cos(Ax).
Точное решение:
w(x, t) = cos(Xx)E(t) \a+ [ -^- dt] + В sm(Xx) E(t),
где А, В, А— произвольные постоянные.
12. -^ = ™Ф (t, -L -^) + /(«) cosCAa;) + g(t) 8in(Ax).
Точное решение:
™(я, t) = cos(Ax)?7(t) [A + I Ж dt] + sin(Ax)?7(t) [в + J
E(t) = е
где А, 5, A — произвольные постоянные.
13. —— = wFr (t, —
Уравнение имеет точное решение вида
dw / 1 dw I d2w \
dt V ' w dx ' w dx2 J
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, t) = eXxE(t) [A + J Л dt], E(t) = exp [J #(t, Л, Л2) dt],
где А, В, А — произвольные постоянные.
dt V w dx w dx2 )
Преобразование
/Q—\( ч /ч \ ( I\ Л
f(t)G (t)dt, G(t) = exp / g(t) dt\
lJ J
приводит к более простому уравнению вида 8.1.2.9:
ди вж{ 1 ди 1 д2и \
= и Ф ( X, , 1 ,
которое имеет точное решение в произведения функций разных аргументов и = (р(х)ф(т).
Точное решение:
w(x,t) =
где функции (p(t), ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка (С — произвольная постоянная):
<p't = Af(t)<pk + g(t)<p, A)
4>'t=g(tL> + Bf(t)<pk+h(t), B)
а функция в (ж) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка
(в'х)кФ(х, e'L/Q'x) =Ав + В. C)
18 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
274 Уравнения второго порядка общего вида
Общее решение системы B) дается формулами
/1 «
/(^G*5^)^] 1-к , G(t) = ехр[ /
= DG(t) + G(t)
где А, В, С, D — произвольные постоянные.
При к = 1 и Ф(х,у) = Ф(у) решение уравнения C) имеет вид
6(ж) = аеХх - В/А,
где а — произвольная постоянная, а Л находится из алгебраического (или трансцендентного)
уравнения: ЛФ(Л) = А.
Точное решение:
где функции (p(t), ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка (С — произвольная постоянная):
<Pt = Cfi(t)<pk+1+gi(t)<p, A)
V4 = [Cfi(t)<pk +gi(t)]i> + Cfo(t)vk +go(t), B)
а функция Q(x) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка
Общее решение системы B) дается формулами
= G(t)[A-kcffi(t)Gk(t)dty1/k, G(t)=exp[[gi(t)dt],
= BV{t) + <p(t) J[Cfo(t)vk(t) + 9o(t)]
где А, В, С — произвольные постоянные.
Далее считаем, что функция Ф не зависит явно от ж, т. е. Ф(ж, у) = Ф(г/). При Ф@) / 0 и
Ф@) ф оо частное решение уравнения C) имеет вид 6(ж) = ах + /3, где а/гФ@) = С, а C —
произвольная постоянная.
При к = 0 общее решение уравнения C) имеет вид
где а, C — произвольные постоянные, а Л находится из алгебраического (или трансцендентного)
уравнения: Ф(Л) = С.
Преобразование
w(x,t) = u(x,T) + G(t), т= Г f(t)exp[0G(t)]dt, G(t) = fg(t)dt
приводит к более простому уравнению вида 8.1.1.7:
дт V дх дх2 )'
которое имеет точное решение в типа бегущей волны и = и(Ах + Вт) и решение в виде суммы
функций разных аргументов и = <^0) + Ф(т)-
8.1. Эволюционные уравнения 275
Pwf dw
& ф(ж' -^
Преобразование
= Г f(t)exp[0G(t)]dt, G(t) = j g{t)dt
приводит к более простому уравнению вида 8.1.2.10:
ди_ д2и\
дт ~ Г' дх' дх*)'
которое имеет точное решение в произведения функций разных аргументов и = (р(х) + ф(т).
^Л dw „^х/ dw d2w\ , ,Л. dw
Преобразование
r = J f(t)dt, z = x + f g(t)dt,
приводит к более простому уравнению
d2w \
^2 /
которое имеет точное решение в типа бегущей волны w = w(kz + At).
„ dw „/ 1 d2w d2w ( dw \2\
21 ^(* () )
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = Сехр[Аж+ F(t,\2,O)dt\,
где С, Л — произвольные постоянные.
2°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = (АеХх + Ве~Хх)ф),
где А, В, Л — произвольные постоянные, а функция ср = у (ж) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением cpft = (pF(t, Л2,4А5Л2^2).
3°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = [Asin(Xx) + Bcos(\x)](p(t),
где А, В, Л — произвольные постоянные, а функция ср = (р(х) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением ipft = ipF(t, —Л2, —Л2(А2 + В2)(р2^.
® Литература: Ph. W. Doyle A996), рассматривался случай dtF = 0.
dw t 2 d2w
\
22. = iuF(t, —, х —, 2w - 2х \- х — .
dt \ dx2 dx dx2 dx dx2 J
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, t) = (С2х2 + Cix + C0)(p(t),
где Со, Ci, C2 —произвольные постоянные, а функция (р = <p(t) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением (p't = <pF(t, 2C2(f,Ci(p,2Co(p).
® Литература: Ph. W. Doyle A996), рассматривался случай dtF = 0.
._ dw ( а«?\Л/ dw d2w
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = <р(х) + / g(t)dt,
где функция (р(х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
Ф(ж,^,^ж) =0.
18*
276 Уравнения второго порядка общего вида
., dw р( , dw \ , / 1 dw I d2w \ , /f4
24. —- = /ж, ?, w, —— Ф ж, —, ——) +g(t)w.
dt V dx J \ w dx w dx2 /
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = С exp^ g(t)dt]ip(x),
где функция (р(х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
»¦
Уравнение имеет точное решение квадратичное по переменной х:
w(x, t) = x2<p(t)
8.1.4. Уравнения вида F(x,t,w,^,^,^) =0
=0.
,W, —, —,
Точное решение:
w = гу(^), ? = at + 6ж,
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
w^ b2w'l^) = 0.
7 vd J-EOL г
1°. Точные решения в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t)= [A
где А, В, Л — произвольные постоянные, а функция cp(t) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением первого порядка
2°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = [Acos(Xx) + В sm(\x)] (p(t),
где А, В, Л — произвольные постоянные, а функция cp(t) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением первого порядка
Г 1 dw I dw I d2w \ _
' V ' ~w~~dT' ~w~~dx~' ~w~ дх2 ) ~ '
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = AeXx(p(t),
где А, Л — произвольные постоянные, а функция <p(t) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением первого порядка
8.1. Эволюционные уравнения 277
/ 1 dw I dw 1 d2w \ _
V ' w dt ' w dx ' w dx2 )
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = Aext(p(x),
где А, А— произвольные постоянные, а функция <р(х) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением второго порядка
F(x, Л, (р'х/(р, <р'хх/<р) = 0.
^ _ / dw \ , _ / Он? 0гу \
5-Fl (*' -ёг) + F2 Ь -sr' -^5-) =kw-
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
Здесь функции ip(x) и ф(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
первого и второго порядков
Ft (t, <p't) -к<р = С,
F2 (ж, ф'х, фхх) — кф = —С,
где С — произвольная постоянная.
, р/, 1 а«\ . fc„ / 1 а«? 1 d2w \
V w dt ) \ w dx w дх2 )
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = <p(t)ip(x).
Здесь функции cp(t) и ф(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
первого и второго порядков
где С — произвольная постоянная.
dw \ . Xw „ ( dw d2w
)+ Fb
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = <p(t) + ф(х).
Здесь функции (р(х) и ф(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
первого и второго порядков
e-x*F1(t,<p't)-ktp = C,
е ^Fi(x,ф'х,ф'хх) — кф = —С,
где С — произвольная постоянная.
о / 1 dw \ / 1 9«? 1 а2гу \
8. Fi U, —) +F2(x, -—, ——) = klnw.
V w ot / V w ox w ox /
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, t) = exp [(p(t) + ф(х)].
Здесь функции <р(х) и ф(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
первого и второго порядков
F^ip't) -k<p = C,
р2{х,ф'х,ф1х + {ф'хJ) -кф = -с,
где С — произвольная постоянная.
278 Уравнения второго порядка общего вида
8.2. Уравнения, содержащие вторые производные обеих
переменных
8.2.1. Уравнения вида ^ = f(x,t,w,^-,^,
1. ^- :
2 * V
1°. Пусть w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
/~1—2 ( /~1 | /~Ч /~1 л. | /~1 \ | /~1 л. | /~1 | /~1 л. | /~1
W\ = Ui WyUlX -\- Су2, Olt + Us) \ U4XI -\- U§X -\- UqZ -\- Су7,
где Сп — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Точное решение квадратичное по переменной х (и по переменной t):
w(x, t) = \Ах2 + Bxt + \F(A)t2 + Cix + C2t + C3,
где A, B, C\, C2, C3 —произвольные постоянные.
3°. Автомодельное решение:
w = x2U{z), z = x/t,
где функция U = U(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
z3(zUzz + WZ) = F(z2Uzz + 4zUz + 2U).
4°. Замена u(x,t) = приводит к уравнению вида 3.4.7.7:
ох
® Литература: N. Н. Ibragimov A994).
Частный случай 1. При F(?) = a^n уравнение имеет решение в виде произведения функций разных
аргументов w = (p(x)ip(i).
Частный случай 2. При F(^) = аехр(А?) уравнение имеет решение вида w = x2(p(t) + ф(х).
Частный случай 3. При F(?) = a In ^ + Ь уравнение имеет решение вида w = t2(p(x) + i/)(i).
Пусть вспомогательное обыкновенное дифференциальное уравнение
w = F(x, w, w'x, w'xx)
после линейного преобразования
х = ip(z), w = ip(z)u
и последующего сокращения обеих частей на функцию ip(z) приводится к автономному виду
и = Т(и, uz, uzz),
где Т = F/ф. Тогда рассматриваемое уравнение в частных производных таким же преобразо-
преобразованием
х = <p(z), w(x, t) = ip(z)u(z, t)
приводится к уравнению
д2и _ ( ди_ д2и\
dt2 ~ \Щ dz ' dz2 )'
которое имеет точное решение в типа бегущей волны и = u(z + Xt).
Сказанное позволяет различные известные преобразования обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений (см. Э. Камке, 1976, В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин, 2001а) использовать для
построения точных решений уравнений в частных производных. Если исходное уравнение было
линейным, то такие преобразования будут приводить к линейным уравнениям с постоянными
коэффициентами.
8.2. Уравнения, содержащие вторые производные обеих переменных 279
. d2w ^( dw d2w \ , „Л dw \ , ,
3. — = F ж, , — ) + G ?, + bw.
dt2 \ дх дх2 ) \ dt )
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = (p(x)
где функции (р(х) и ф{Ь) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями (С —
произвольная постоянная)
d2w f I dw I d2w d2w ( dw \2
~ )
_ f I dw I d2w d2w ( dw \2\
~ Г' ~w~~df' ~w~~dx~2~' W~dx~2~ " \~дх~) )'
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = (АеХх + Ве~Хх)ф),
где А, В — произвольные постоянные, а функция ср = <р(х) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением (p"t = (pF(t, (pt/tp. Л2,4А5Л2^2).
2°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = [Asin(Xx) + Bcos(\x)](p(t),
где А, В — произвольные постоянные, а (р = (р(х) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением ip"t = ipF(t, ip't/p, -A2, -X2(A2 + В2)(р2).
„ d2w „/ d2w dw d2w n n dw 2 d2w \
5. — = wF[t, —, x —, 2w — 2x h x — .
dt2 V ' дх2 ' дх дх2 ' дх дх2 )
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, t) = (С2х2 + Cix + C0)(f(t),
где Со, Ci, C2 —произвольные постоянные, а функция (р = <p(t) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением (p"t = (pF(t,
qnW (f 1 d2w\ Xx ( 1 d2w\ -\Xjr (. 1 d2w\
V it? Ож2 / V w дх2 J \ w дх2 J
Уравнение имеет точное решение вида
^) + i<A^ (*
w дх2 / \ w
Уравнение имеет точное решение вида
w(x, t) = cos(\x)(p(t) + sm(\x)ifj(t).
8.2.2. Уравнения нелинейные относительно старших производных
d2w \ ( d2w
Точное решение:
w(x, у) = (р(х) + ф(у) + С\ху + С2х + Сзу + Са,
где Ci, C2, Сз, С4 —произвольные постоянные, а функции 9? = <?>(ж) и ф = ф(у) описываются
обыкновенными дифференциальными уравнениями (а — любое)
fi(<Pxx) =
аМФуу) =
280 Уравнения второго порядка общего вида
dw d2w d2w
Замена и = -|^ приводит к уравнению с частными производными первого порядка
ди ди\
H
О методах интегрирования и точных решениях таких уравнений (для различных F) см. книги
Э. Камке A966), A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, A. Moussiaux B002).
/ d2w d2w d2w\ _
' V дх2 ' дхду ' ду2 ) ~ '
Точное решение квадратичное по обеим переменным:
w(x, у) = Ацх2 + А12ху + А22У2 + Bix + В2у + С,
где Ац, А12, A22, В\, В2, С — произвольные постоянные, связанные одним соотношением
FBAn,A12,2A22)=0.
dw d2w d2w \ , -., / dw d2w d2w \
) + F) k
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,y) = <р(х)+ф(у).
Здесь функции <р(х) и ф(у) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
где С — произвольная постоянная.
_ _, / 1 dw I d2w \ ( 1 dw I d2w \
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y) = (р(х)ф(у).
Здесь функции <р(х) и ф(у) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
где С — произвольная постоянная.
, „ / 1 dw I d2w \ k ( 1 dw I d2w \
6. Fi ж, -—, —— ) +w F2[y, —, —=-) = 0.
V w дх w дх2 ) \ w ду w ду2 )
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y) = (р(х)ф(у).
Здесь функции <р(х) и ф(у) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
, &,!&.)= с,
где С — произвольная постоянная.
8.2. Уравнения, содержащие вторые производные обеих переменных 281
„ „/ . , dw dw d2w d2w d2w \
7. Flax + by, w, ——, ——, ^-^-, -^-2-9 д д ) = 0.
V dx dy дх2 ду2 дхду /
Точное решение:
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
(dw dw d2w d2w d2w \
ax + by, w + kx + S7/, , , —, —, = 0.
dx dy dx dy dxdy /
> i > 2 // т 2 // 1 II \ г\
^, bw?, a w^, о w^, abw^) = 0.
dx dy dx2 dy2 dxdy
Замена u(x, y) = w(x,y) + kx + sy приводит к уравнению вида 8.2.2.7:
_,/ , ди . ди д2и д2и д2и \ _
Flax + by, и, — к, — s, ——, ——, 1 = 0.
V дх ду дх2 ду2 дхду /
Л „/ dw dw d2w d2w d2w \
9. Fho, , , —, —, =
V dx dy dx dy dxdy /
/ . , . ч / 0117 \ fe . ч / 0117 \ fe
= (aia; + oiy + ci)( 1 + @2Ж + b-zy + C2) ( J •
Точные решения ищем в виде
где постоянные А, В, С определяются путем решения алгебраической системы уравнений (/3 —
произвольная постоянная)
biAk + Ь2Вк =0В, B)
аАк+с2Вк =0С. C)
Сначала решаются первые два уравнения A), B), затем из C) определяется С.
Искомая функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
F(w, Aw't,
9. Уравнения третьего порядка
9.1. Уравнение Кортевега — де Фриза и родственные
уравнения
9.1.1. Уравнение Кортевега — де Фриза -^- + -^-^- — 6w-^- = О
(У* (УХ (УХ
Здесь рассматривается уравнение Кортевега — де Фриза в канонической форме. Это уравнение
используется во многих разделах нелинейной механики и теоретической физики для описания
одномерных нелинейных волн с дисперсией без диссипации (в которых закон дисперсии для
линейных волн имеет вид и = а\ к + аз А;3, где к — волновое число). В частности, на уравнении
Кортевега — де Фриза основано математическое моделирование волн умеренной амплитуды на
поверхности неглубокой жидкости.
Кортевега — де Фриза интегрируется методом обратной задачи рассеяния, см. литературу
в конце разд. 9.1.1.
1. Некоторые формулы.
Пусть w(x,t) —решение уравнения Кортевега — де Фриза. Тогда функции
wi = Clw{Cix + С2, C\t + С3),
W2 = w(x + 6А?, t) + Л,
где С\, С2, Сз, А — произвольные постоянные, также будут решениями этого уравнения.
® Литература: П. Олвер A989).
2. Решения типа бегущей волны. Солитон. Периодические решения.
2.1. Решение типа бегущей волны:
w = w(z), z = х — vt,
где функция w(z) задается в неявном виде
, ч " =±z + C3. A)
/2w6 + vw2 -\- C-^w -\- C2
Здесь v, Ci, C2, С2, —произвольные постоянные, значению v = 0 соответствует стационарное
решение.
Ниже описано два важных частных случая, когда решение A) удается записать в явной
форме.
2.2. Солитон. Единственное решение, регулярное при всех действительных значениях z и
обращающееся в нуль при z —»¦ ±00, имеет вид
где zq — произвольная действительная постоянная.
2.3. Кноидалъные волны. Существуют периодические решения действительные и регуляр-
регулярные при всех действительных значениях z\
w(z) = Acn2[p(z-z0),k], A = -2p2k\ v = 4p2Bk2 - 1), C)
которые зависят от произвольной положительной постоянной к2 < 1. Здесь сп(|/, к) —эллипти-
—эллиптический косинус Якоби. Решение B) можно получить из формулы C) с помощью предельного
перехода при к2 —»¦ 1. Периоды решения C) равны uj\ = 4К, U2 = 2К + 2iK*, где К, К* —
полные эллиптические интегралы первого рода:
к +к 1
К
f1 dt ts Г1
= / — , К* = /
Jo ^{l-t2){l-k42) Jo
9.1. Уравнение Кортевега — де Фриза и родственные уравнения 283
3. Двух- и ЛГ-солитонные решения.
3.1. Двухсолитонное решение:
w(x,t) = -2-j^
e2=a2x + alt, A = ( U1 ~ а* У,
V а1 + а2 У
где В\, В2, а\, а2 —произвольные постоянные.
® Литература: R. Hirota A971, 1972).
3.2. TV-солитонные решения:
Здесь I — единичная матрица порядка N, а С(ж,?) — симметричная матрица порядка N с
элементами
Cmn(x,t) = у/РгпЮРпУ) ехр[-(рта+р„)а!],
Рт ' Рп
где нормировочные множители определяются формулами
Pn(t) = Pn@) exp(8p^), n = l,2,...,N.
Справедлива асимптотическая формула
N 2
w(x, t) и — 2 V~^ = 21 =- при t -^ oo,
2|(? )J
где vn = ^Рп — скорость n-й компоненты, а действительные постоянные ?^ связаны между
собой соотношениями
71-1 N
_ Рп 1П '" _"" ¦
m = l n Г7г гтг^гг + 1 п т
4. Рациональные решения.
4.1. Простейшее рациональное решение имеет вид
где ? — произвольная постоянная, которая может быть комплексной (если она действительна,
то решение сингулярно при действительных значениях х).
4.2. Общий вид рационального решения:
N
Функции ?j (t) должны удовлетворять следующим условиям:
Решение существует, если TV = -|-m(m +1), m = 1, 2, 3, ..., причем при m > 1 действительных
решений нет. В частности, при т = 2 имеется три полюса ?j (t) = —e2nt^3A2tI^3 0 = 1, 2, 3)
и решение D) можно записать в виде
(приЛГ=з)-
284 Уравнения третьего порядка
Решение D) можно также записать в виде
fy 11 ( ^Y* T 1 ^"^ ^^~ / ^^^^-^^^^ I I "П ш^ д т ( ^Y* й 1 I Т 7~Г f^ t^ д т ( ^Y* T l ^^
® Литература: Ф. Калоджеро, А. Дегасперис A985, стр. 162-165).
5. Автомодельные решения.
5.1. Автомодельное решение простейшего вида:
w(xt) .
К J 6 t-t0
где хо, to — произвольные постоянные.
5.2. Автомодельное решение:
w(x, t) = [3(t - to)]~2/3/Ы, У = [3(t - to)]-1/S(x - хо),
где функция f(y) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением третьего по-
порядка
f'vvv ~ yfv " 2/ " 6//; = 0. F)
Уравнение F) имеет первый интеграл
(у + 2/)[/;; - (у + 2/)/] - A + /;)/; = с,
где С — постоянная интегрирования. Положив h(y) = у + 2/(г/), можно получить более
компактную форму этого уравнения 2Н[Щу + {у — h)h] + 1 — (h'yJ = 4G.
Решение уравнения F) можно представить в виде
где функция д(у) —любое решение второго уравнения Пенлеве
д'у'у — 2д3 — уд = А, А — произвольная постоянная. G)
При А = 2~2/3 уравнение G) имеет решение
где функция F = F(z) удовлетворяет уравнению Эйри F'JZ = zF.
® Литература: Ф. Калоджеро, А. Дегасперис A985, стр. 166-168).
6. Другие решения.
Точное решение:
w(x,t) = 2tp(z) + 2\t, z = x + 6\t2.
Здесь Л — произвольная постоянная, а функция ip(z) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением второго порядка
4>L = 6^2 - Xz + С,
где С — произвольная постоянная. Случаю Л = — 1, С = 0 соответствует первое уравнение
Пенлеве.
7. Интегральное уравнение Гельфанда — Левитана — Марченко.
Всякая быстро убывающая при х —»¦ +оо функция F = F(x,y\t), удовлетворяющая
одновременно двум линейным уравнениям
d2F d2F _
dx2 dy2 ~ '
dt V dx dy )
9.1. Уравнение Кортевега — де Фриза и родственные уравнения 285
порождает решение уравнения Кортевега — де Фриза в виде
w = -2 — K(x,x;t),
dx
где K(x,y;t) —решение линейного интегрального уравнения Гельфанда — Левитана — Мар-
Марченко
К(х,у; t) = F(x,y;t)+ / К(х,z; t)F(z,y;t) dz.
J x
Время t входит в это уравнение как параметр.
® Литература к разд. 9.1.1: С. S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal, R. M. Miura A967, 1974),
R. M. Miura A968), P. D. Lax A968), R. Hirota A971, 1972), В. Е. Захаров, Л. Д. Фаддеев A971), С. П. Новиков
A974), В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский A980), Р. Буллаф, Ф. Кодри A983),
Дж. Лэмб A984), Ф. Калоджеро, А. Дегасперис A985), М. Абловиц, X. Сигур A987), Р. Додд, Дж. Эйлбек,
Дж. Гиббон, X. Моррис A988), G. W. Bluman, S. Kumei A989), М. J. Ablowitz, P. A. Clarkson A991),
R. S. Palais A997).
9.1.2. Цилиндрическое, сферическое и модифицированное уравнения
Кортевега — де Фриза
л dw , d3w . dw _
1. \- a bw = 0.
dt dx3 dx
Ненормированное уравнение Кортевега — де Фриза.
Преобразование w(x, t) = —и(х, г), г = at приводит к уравнению Кортевега — де Фриза
Ь
в канонической форме
ди д3и . ди
1 6и = 0.
дт дх3 дх
Об этом уравнении см. разд. 9.1.1.
„ dw , d3w „ dw , 1
2. 6w w = 0.
dt dx3 dx 2t
Цилиндрическое уравнение Кортевега — де Фриза. Частный случай уравнения 9.1.2.3 при а = у,
Ь= -6, C = 1.
Преобразование
X 1 Z \
w(x,t) = u(z,t), х = —, t = —
v ' J Ylt It V J t 2r2
приводит к уравнению Кортевега — де Фриза в канонической форме
ди д3и . ди
1 6и = 0.
дт dz3 dz
Об этом уравнении см. разд. 9.1.1.
® Литература: Ф. Калоджеро, А. Дегасперис A985, стр. 237-238).
dw a dw d3w
3. w + bw \- 3 — = 0.
dt t dx H dx3
Частному случаю а = 1, b = — 6,/3 = 1 соответствует сферическое уравнение Кортевега — де
Фриза.
1°. Пусть w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
где С\, Сг — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Вырожденное решение (линейное по переменной х):
w(x, t) = tp(t)x + Cit~a exp \-b / tp(t) dt\,
1 -a
—^—— при a / 1,
1
при a = 1,
t(C2+blnt)
где С\, С2 —произвольные постоянные (в обоих случаях интеграл можно вычислить).
286 Уравнения третьего порядка
3°. Автомодельное решение:
w(x, t) = u(z)t~2/s, z = xt~1/s,
где функция и = u(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
Pu'zzz + buu'z — \zuz + (а — y)u = 0.
. dw d3w 2 dw
4. 6k; = 0.
dt dx3 dx
Модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза.
1°. Пусть w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
wi = Ciw(Cix + С2, C\t + С3),
где С\, С2, С'з — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Автомодельное решение (хо, to —произвольные постоянные):
w(x, t) = [3(t - to)]/3/Ы, У = [3(t - to)]~1/3(* - Ю),
где функция f(y) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением третьего по-
порядка
/;;, -yfy-f- w2fy = о.
Интегрируя, получим второе уравнение Пенлеве (а — произвольная постоянная):
fl'y-2f-yf = a.
3°. Пусть w(x, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция и(х, t), полученная
преобразованием Миуры
u(x,t) = — +w , A)
удовлетворяет уравнению Кортевега — де Фриза из разд. 9.1.1 (в котором надо переобозначить
w на и).
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: если u(x,t) —решение уравнения Кортевега — де
Фриза из разд. 9.1.1, то функция w(x,t), связанная с ним преобразованием Миуры A), удовлетворяет
нелинейному интегро-дифференциальному уравнению
dw dsw о dw , ч г Г / ч 1
-ж + -8^- ~6и) V =c(t) ехр ИIw{x't] dx\ ¦
4°. Решения модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза
dw d3w 2 dw
+ 6 = 0 a = ±1 B)
могут быть получены из решений линейного интегрального уравнения Гельфанда — Левита-
Левитана— Марченко. Всякая быстро убывающая при х —»¦ +оо функция F = F(x,y;t), удовлетво-
удовлетворяющая одновременно двум линейным уравнениям
dF dF
дх ду -
dF ( д JLYr-n
ot V ох ду /
порождает решение уравнения B) в виде
и) ^= К(х X' t)
где K(x,y\t) —решение линейного интегрального уравнения Гельфанда — Левитана — Мар-
Марченко
К(х, у; t) = F(x, y;t) + ^- / К(х, z; t)F(z, щ t)F(u, у; t) dz du. D)
4 Jx Jx
Время t входит в D) как параметр. Из первого уравнения C) следует, что F(x,y;t) = F(x + y;t).
® Литература: Ф. Калоджеро, А. Дегасперис A985).
9.1. Уравнение Кортевега — де Фриза и родственные уравнения 287
9.1.3. Обобщенное уравнение Кортевега — де Фриза
dw . d3w . j., ч dw л
При f(w) = aw см. разд. 9.1.1 и уравнение 9.1.2.1; при f(w) = aw2 см. уравнение 9.1.2.4.
Уравнения данного вида допускают точные решения типа бегущей волны w = w(kx + Xt).
dw d3w k dw
1. — + aw = 0.
dt dx3 dx
1°. Пусть w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
W\ = l^i WyUlX -\- Cy2,Oit + O3J,
где Ci, C2, С2, — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Решение типа бегущей волны (солитон):
w(x t) ^=
V ' J ch2/k[Bk(x-4B2t-C)] '
где В, С — произвольные постоянные, А = [2(к + 1)(А; + 2)В2/а] .
3°. Автомодельное решение:
2 _ J_
где функция U = U(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
——U - —zU'z + Uzzz + aUkU'z = 0.
Огь О
1°. Пусть w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
wi = w(Cix + С2, С?* + С3) + 2 In |Ci I,
где Ci, С2, С2, — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Решение типа бегущей волны:
w = w(z), z = х + At,
где функция w>(z) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
второго порядка
w77 + Aw -
Л, С — произвольные постоянные.
3°. Точное решение:
w(x,t) =
где функция U = t/(^) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
Э^= 3^w {alnw ^
dt дх3 ^v ^ } дх
Точное решение:
где С\, С2 — произвольные постоянные.
® Литература: W. I. Fushchich, N. I. Serov, Т. К. Ahmerov A991), V. A. Galaktionov A999).
288 Уравнения третьего порядка
. dw d3w . / А , . , ч dw
4. = — + (a Arsh w + b) .
dt dx3 v ' dx
Точное решение:
С2 ~ х , 1
где Ci, С2 — произвольные постоянные.
® Литература: W. I. Fushchich, N. I. Serov, Т. К. Ahmerov A991).
_ dw d3w . a^
5. = —h (aarcsinit; + o) •
dt дх3 ^ v ^ 7 0ж
Точное решение:
где С\, С2 — произвольные постоянные.
® Литература: W. I. Fushchich, N. I. Serov, Т. К. Ahmerov A991).
dw d3w , , , , ч dw
+ {а arccos w + b)-^
Используя формулу arccos w = -у — arcsin w;, приходим к уравнению вида 9.1.3.5:
-a
9.1.4. Уравнения, приводимые к уравнению Кортевега — де Фриза
л dw , а3гу fdw\2
Преобразование Беклунда
dw 3 dw 3 <92« 9 2
связывает рассматриваемое уравнение с уравнением Кортевега — де Фриза (см. разд. 9.1.1):
^ + 1^6^ ° С)
dt дх3 дх
Пусть и = и(х, t) —некоторое решение уравнения B). Тогда линейная система уравнений пер-
первого порядка A) позволяет найти соответствующее решение w = w(x,t) исходного уравнения.
® Литература: Н. X. Ибрагимов A983, стр. 216).
. dw d3w fdw\3
2. —— + ——z a —— = 0.
Преобразования Беклунда
dw dw d^u з /—:—
= bu, = —b—— + 2bu , где о = d=y 2/a , A)
связывают рассматриваемое уравнение с модифицированным уравнением Кортевега—де Фриза
вида 9.1.2.4:
^ + ^_6и2^=0. B)
dt dx3 dx
Пусть и = и(х, t) —некоторое решение уравнения B). Тогда линейная система уравнений пер-
первого порядка A) позволяет найти соответствующее решение w = w(x,t) исходного уравнения.
® Литература: Н. X. Ибрагимов A983, стр. 216).
9.1. Уравнение Кортевега — де Фриза и родственные уравнения 289
dw d3w 1 f dw\3 f w -w, dw
dw 4 t r- w/2
Решения находятся из уравнения первого порядка
B)
где функция и = и(х, t) удовлетворяет уравнению
ди д3и / 2\
Уравнение A) можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение относи-
относительно х с параметром t. В частных случаях а = 0 и Ъ = 0 уравнение B) совпадает с модифи-
модифицированным уравнением Кортевега — де Фриза 9.1.2.4.
® Литература: Н. X. Ибрагимов A983, стр. 216-217).
dw з 93w
4--aT=w -вхГ-
Уравнение Гарри Дима.
1°. Пусть w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
wi = Ciw(C2x + С3, C\C\t + С4),
где Ci, С2, Сз, ft — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Имеются решения следующего вида:
w = U(x + Xt) решение типа бегущей волны,
w = t~a~1/3u(xta) автомодельное решение,
w = f(x)g(t) решение в виде произведения функций разных аргументов,
3°. Покажем, что рассматриваемое уравнение связано с уравнением Кортевега — де Фриза
ди д3и ди
dt ду3 ду
Подстановка
dv \ -1 d3v 3 ( dv \ -2 / d2v
ду) ду^ 2\^у) V ду2
приводит A)к виду
dv _ d3v 3 / dv Л / d2v \2
~dt ~ ~дуг~ ~ ~2 \~ду) \~ду~2~) ' ^ '
Дифференцирование B) по у дает
d2v
d4v Г dv^-1 d2v dzv 3 / dv \ ~2 f d2v \3
ду4 ~ \~ду) ду2 ду3 ~2 \~dy ) \ dy2 )
dydt ду4 \ду) ду2 ду3 2 \dy ) \ dy2
Преобразование x = v, w = -|^ приводит к исходному уравнению.
® Литература: Н. X. Ибрагимов A983, стр. 217-218).
9.1.5. Уравнения вида -^ + а^- + /(*,«,, -g-) = О
При f(t,w,u)= Ъи2 и f(t,w,u) = бгб3 см. соответственно уравнения 9.1.4.1 и 9.1.4.2. Уравнения
данного вида при / = f(w,u) допускают точные решения типа бегущей волны w = w(kx + Xt).
dw d3w , ( dw \2 . , 2
+ UJ +bw-
1°. Точные решения при аЪ < 0:
где Ci, C2 — произвольные постоянные.
19 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
290 Уравнения третьего порядка
2°. Точное решение при аЪ < 0:
w(x t) = — ( ) ch(Xx + X3t + С3) - - ( + ), А = J--,
V ' J 2\bt + C1 bt + C2J V J 2\bt + C1 bt + CJ' V a '
где Ci, C2, C3 —произвольные постоянные.
3°. Точное решение при аЪ > 0:
где С\, С-2, С г —произвольные постоянные.
® Литература: В. А. Галактионов, С. А. Посашков A989), указана структура решения при а = b = 1.
d3w , л ^и. , , i=K\/dw\
Вырожденное решение квадратичное по х:
® Литература: W. I. Fushchich, N. I. Serov, Т. К. Ahmerov A991).
dw d3w ( . . , г-kf dw\k
Точные решения (С — произвольная постоянная):
[ ехр[-а ^1)~ЗА tV*-V/b _ Ь, + СГ1/к + (kblty1/kx\ при jfe / 2,
w = < L fc-2 6X J
I L ьх J
® Литература: W. I. Fushchich, N. I. Serov, Т. К. Ahmerov A991).
dw d3w , „ . . , w. 24^^^^^\fe = ()
Точные решения (С — произвольная постоянная):
sin г — — т ut ~r ^п/Oirj ж при л; ^= z,
при к = 2.
J
® Литература: W. I. Fushchich, N. I. Serov, Т. К. Ahmerov A991).
" - "¦
Точные решения (С — произвольная постоянная):
i/* ^] при )fc / 2,
при yfc = 2.
® Литература: W. I. Fushchich, N. I. Serov, Т. К. Ahmerov A991).
^ dw , d3w , , f dw\k
6. h a — + bw = 0.
dt dx3 V dx J
1°. Вырожденное решение линейное по х:
w = Ct~1/k +х(кЫу1/к.
2°. Автомодельное решение:
fc-3 _ J_
w = t sk U(z), z = xt з ,
где функция U = U(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
fc-3
3fc 3
U - -zU'z + hU{U'z)k + aU'"zz = 0.
9.2. Уравнения гидродинамического пограничного слоя 291
dw d3w
Точное решение:
w(x,t) =
Здесь
Ф) = ~[j fit) dt + Ci]~\ i>{t) = ф) f[g{t) + <p\t)] dt + C2<p(t),
где С\, C2 — произвольные постоянные.
9.2. Уравнения гидродинамического пограничного слоя
9.2.1. Уравнения стационарного пограничного слоя ньютоновской
жидкости
dw d2w dw d2w _ d3w
ду дхду дх ду2 ду3
Уравнение стационарного ламинарного гидродинамического пограничного слоя на плоской
пластине, где w — функция тока, хну — соответственно продольная и поперечная координаты,
v — кинематическая вязкость жидкости. Аналогичное уравнение описывает стационарное
истечение плоской ламинарной струи из тонкой щели.
Предварительные замечания. К данному уравнению сводится система уравнений гидродинамического
пограничного слоя (и1 ии2 —продольная и поперечная компоненты скорости жидкости)
дил дил д2ил
ui^ bw2—— = v
ох ду oyz
диЛ дио
Н = О
дх ду
путем введения функции тока w по формулам иг = -|^, и2 = — -|^.
(•) Литература: Л. Г. Лойцянский A973), Г. Шлихтинг A974).
1°. Пусть w(x,y) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
wi = w(x,y + (f(x)),
W2 = dw(C2x + C3, CiC2y + C4) + C5,
где (p(x) —произвольная функция, Ci, C2, Сз, Са, Съ —произвольные постоянные, также будут
решениями этого уравнения.
® Литература: Ю. Н. Павловский A961), Л. В. Овсянников A978).
2°. Вырожденные решения (линейные и квадратичные по у):
w(x,y) = Ciy + (f(x),
w(x, у) = Ciy2 + ф)у + -^V2(x) + C2,
где С\, С2 —произвольные постоянные, <р(х) —произвольная функция. Эти решения не зависят
от v и отвечают невязкому течению жидкости.
® Литература: D. Zwillinger A989, pp. 396-397).
3°. Точные решения, содержащие произвольные функции:
w(x, у) = —¦—-f- + 2 + Сз,
у + (р(х) [у + (р(х)}2
w(x, у) = (р(х) ехр(—Ciy) + vC\x + C2,
w(x,y) = Ci exp
w(x,y) = -6vClX1/3 tg? + C2, e = C!-^ + ^(x),
где Ci, C2, C3, Ca — произвольные постоянные, ip(x) — произвольная функция.
19*
292
Уравнения третьего порядка
ТАБЛИЦА 2
Инвариантные решения уравнения стационарного гидродинамического
пограничного слоя (аддитивная постоянная в решениях опускается)
1
2
3
4
5
Структура решения
w = F(y) + v\x
w = F(x)y~1
w = xx+1F{z), z = xxy
w = eXxF(z), z = eXxy
w = F(z) + aln \x\, z = y/x
Функция F или уравнение для F
F(ll\ - f Ci exp(-A?/) + C2y при A^O,
* {y) ~ \ Cxy2 + C2y при А = О
F(x) = 6ux + Cx
BA + l)(F'zJ - (A + 1)FF^ = vF'z"zz
2X(FZJ -\FF'Z'Z =vF'z"zz
-{F>zJ-aF>z>z=vF>z"zz
Замечания
A — любое
—
A — любое
A — любое
a — любое
Пример 1. При С1 = y^k/v, (f(x) = — \fkvx второе решение принимает вид
w = \fkvx\\. — ехр(— у/к/ь>у)\ + const.
Оно описывает течение жидкости, вызванное движением точек поверхности у = 0 со скоростью
и1\у=0 = кх. Компоненты скоростей жидкости в данном случае удовлетворяют граничным условиям
и1 = 0 при х = 0, и1 = кх при у = 0, и2 = 0 при ?/ = 0, «-l —>¦ 0 при у —>¦ оо.
® Литература: Н. В. Игнатович A993), А. Д. Полянин B001 с).
4°. В табл. 2 указаны точные решения уравнения гидродинамического пограничного слоя,
которые можно получить методами группового анализа (при ср = 0). Решение 1 в табл. 2 дается
суммой функций разных аргументов. Решение 2 представляет собой произведение функций
разных аргументов. Решения 3 и 4 являются автомодельными. Решение 5 вырождается в
автомодельное при а = 0 (см. решение 3 при А = — 1). Уравнения 3-5 для функции F являются
автономными и обобщенно-однородными, поэтому их порядок можно понизить на две единицы.
® Литература: Ю. Н. Павловский A961), Л. Г. Лойцянский A973), Г. Шлихтинг A974), А. Д. Полянин
B001с).
Пример 2. Задача Блазиуса об обтекании плоской пластины поступательным потоком со скоростью U{
характеризуется граничными условиями:
dxw = dyw = 0 при у = 0, dyw —>¦ U{ при у —>¦ оо, dyw = U{ при х = 0.
Вид решения этой задачи (в области х ^> 0, у ^> 0) указан в третьей строке табл. 2 при А = —1/2. Граничные
условия для функции F(z) имеют вид
F = Fz = 0 при г = 0, Ffz —> и{ при г —>¦ оо.
Подробности см. в книгах Л. Г. Лойцянского A973) и Г. Шлихтинга A974).
Пример 3. Задача Шлихтинга о симметричном истечении плоской ламинарной струи из тонкой щели
характеризуется граничными условиями
dxw = dyyW = 0 при у = 0, dyw —>¦ 0 при ?/ —>¦ оо,
которые дополняются интегральным условием сохранения количества движения
/ (dwJdy =
Jo У
(А = const).
Вид решения этой задачи (в области х ^ 0, у ^ 0) указан в третьей строке табл. 2 при А = —2/3. Проин-
Проинтегрировав обыкновенное дифференциальное уравнение для функции F с соответствующими граничными
условиями
F = F^ =0 при г = 0, F^0 при 2^оо
и интегральным условием
Jo
в итоге получим
w(x,y) = /c(Ai
Подробности см. в книгах Л. Г. Лойцянского A973) и Г. Шлихтинга A974).
9.2. Уравнения гидродинамического пограничного слоя 293
Пример 4. Отметим два случая интегрируемости уравнения, приведенного в третьей строке табл. 2.
При Л = — 1 решение можно представить в параметрической форме:
= —^Г / /1 , з + 2' ! / ~~7г
2С1 J y/l + T6 J VI-
Имеется также решение F = 6vz 1.
При Л = — -|- после двукратного интегрирования получим уравнение Риккати:
При С1 = 0 оно легко интегрируется (поскольку переменные разделяются); при С1 ф 0 решение можно
выразить через функции Бесселя порядка 1/3.
5°. Точное решение линейное по переменной х:
w(x,y) =xf(y)+g(y), A)
где функции / = f(y) и g = g(y) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
Uyf ~ ff'y'y =vfyyy, B)
Порядок уравнения B) может быть понижен на две единицы. Пусть известно некоторое решение
уравнения B). Уравнение C) является линейным уравнением относительно функции д, которое
имеет два линейно независимых частных решения
д1 = 1, 32 = f(y)
Второе частное решение следует из сопоставления уравнений B) и C). Общее решение
уравнения B) можно представить в виде (см. В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин, 2001 а):
( f f \
д(у) = С\ + С2/ + Сз (у ipdy- /ф dyj,
D)
Нетрудно проверить, что уравнение B) имеет частные решения:
f(y) = 6v(y + C)-\
f(y) = CeXv -Xu,
где С, Л — произвольные постоянные. Первое решение E) с учетом формул A), D) приводит
ко первому решению из п. 3° при <р(х) = const. Подставив вторую зависимость E) в формулы
A), D) можно получить другое решение.
® Литература: А. Д. Полянин B001 с).
6°. Ниже указаны два преобразования, понижающих порядок уравнения пограничного слоя.
Преобразование Мизеса
) = -j^-, где w = w
приводит к нелинейному уравнению теплопроводности вида 1.7.1.1:
<9? дг) V дг)
Преобразование Крокко
d2w
ду ду2
приводит к нелинейному уравнению второго порядка
- =0.
= w(x,y),
(•) Литература: Л. Г. Лойцянский A973, стр. 522-523).
294
Уравнения третьего порядка
ТАБЛИЦА 3
Инвариантные решения уравнения стационарного гидродинамического
пограничного слоя с градиентом давления (а, к, т, f3 — произвольные постоянные)
1
2
3
4
5
Функция f(x)
f(x) = 0
f(x) = ахш
f{x) = ае^х
f{x) = а
f(x) = ax~s
Вид решения w = w(x,y)
См. уравнение 9.2.1.1
m+3 m— 1
W = X 4 u(z), Z = X 4 у
w = e^Cxu{z), z = e^Cxy
w = kx + u(y)
w = k\n x + u(z), z = y/x
Функция и или уравнение для и
См. уравнение 9.2.1.1
™±L(u'j2 _ -Е±з „««, _ ^»г + а
M^_/Ciexp(-^)-^y2 + C2j/nPHfe^0,
l-^r^ + ^^ + CxS/ при/с = О
2.
d2w
dw d2w
d3w
f(x).
ду дхду дх ду2 ду3
Уравнение гидродинамического пограничного слоя с градиентом давления. Справедлива фор-
формула /(ж) = UU'X, где U = U(x) — скорость жидкости в ядре потока* на границе с пограничным
слоем.
1°. Пусть w(x,y) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
Wl = w(x, у + ip(x)) + С,
wi = -w(x, -у + <р(х)) + С,
где (р(х) — произвольная функция, С — произвольная постоянная, также будут решениями
этого уравнения.
® Литература: Ю. Н. Павловский A961), Л. В. Овсянников A978).
2°. Вырожденные решения (линейные и квадратичные по у) для произвольной /(ж):
г Г I1/2
w(x, у) = ±у [2 j f(x) dx + CiJ + ф),
w(x,y) = С1У2 + ф)у + -^i- [p2(x) - 2 J f(x)dx\ + C2,
где у (ж) —произвольная функция, Ci, C2 —произвольные постоянные. Эти решения не зависят
от v и отвечают невязкому движению жидкости.
® Литература'. А. Д. Полянин B001 с).
3°. В табл. 3 указаны точные решения уравнения гидродинамического пограничного слоя,
которые можно получить методами группового анализа (при (р = 0).
Отметим, что задача Фолкнера — Скен о симметричном обтекании клина описывается
уравнением, приведенным во второй строке табл. 3. Случай т = 1 соответствует натеканию
жидкости на плоскость (течение в окрестности точки разветвления потока), а т = 0 —
симметричному обтеканию клина с углом раствора а = -|-7г.
® Литература: Ю. Н. Павловский A961), Л. Г. Лойцянский A973), Г. Шлихтинг A974), А. Д. Полянин
B001с).
4°. Точное решение (линейное по х) при f(x) = ax + b:
w(x,y) = x
* В ядре потока решается гидродинамическая задача об обтекании тела идеальной (невязкой)
жидкостью.
9.2. Уравнения гидродинамического пограничного слоя 295
где функции F = F(y) и G = G(y) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
{F'yf-FF;y = vF'^y + a, A)
F'yG'y-FG';v=vG';'vv+b. B)
Порядок автономного уравнения A) может быть понижен на единицу. Если известно частное
решение уравнения A), то соответствующее ему уравнение B) подстановкой Н(у) = G'y
сводится к линейному уравнению второго порядка. При F(y) = ±л/ау + С уравнение B)
интегрируется в квадратурах (поскольку при Ъ = 0 известны два его частных решения: Gi = 1,
® Литература: А. Д. Полянин B001 с).
5°. Точное решение при /(ж) = аеCх\
/ \ / \ Xv а вх-Xv л , 2ь>\ 2z/A
w(x,y) = <p(x)e ~ 2/3AV() ~5~^ ^~
где у (ж)—произвольная функция, А — произвольная постоянная.
® Литература: А. Д. Полянин B001 с).
6°. Ниже указаны два преобразования, понижающих порядок уравнения пограничного слоя.
Преобразование Мизеса
= w, U(?,ri) = ^-, где w = w(x,y),
ду
приводит к нелинейному уравнению теплопроводности
.dU ТТ д
и-
щ
Преобразование Крокко
dw -г /j. j.\ - —
? = х, С = ^—, Ф(^С) = -^-о-' где w = >
ду dyz
приводит к нелинейному уравнению второго порядка
® Литература: Л. Г. Лойцянский A973, стр. 522-523).
dw d2w dw d2w _ д ( d2w \
3 ~ "~d^\Z~d^J ^
Предварительные замечания. К данному уравнению сводится система уравнений осесимметричного
стационарного ламинарного гидродинамического пограничного слоя
ди ди / д2и 1 ди \ , ч
u^+v^ = 1/(-^ + T^)+f{x)> A)
|^ + ^ + ^ = 0 B)
ox or г
(и и v — осевая и радиальная компоненты скорости жидкости, жиг — цилиндрические координаты) путем
введения функции тока w и новой переменной z по формулам
2 dw 2 dw I 2
г or г ох 4
Система A), B) используется для описания осесимметричной струи и пограничного слоя на протяжен-
протяженном теле вращения. Функция f(x) выражается через продольную скорость жидкости U = U(x) в невязком
ядре потока по формуле / = UU'X.
® Литература: F. L. Crabtree, D. Kuchemann, L. Sowerby A963), Л. Г. Лойцянский A973, стр. 555),
Г. Шлихтинг A974, стр. 223).
296 Уравнения третьего порядка
1°. Автомодельное решение при /(ж) = Ахк:
fc-i
= zx 2 ,
где функция U = U(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
-\{к + \){и[J + ии'^ + А + ^(С^'с)'с = о-
Пример. Осесимметричная струя характеризуется значениями А = 0,к = — 3. В этом случае последнее
уравнение при соответствующих граничных условиях имеет решение
где постоянную интегрирования С можно выразить через импульс струи.
® Литература: Л. Г. Лойцянский A973, стр. 555-558), Г. Шлихтинг A974, стр. 223-225).
2°. Точные решения (линейные и квадратичные по z) для произвольной /(ж):
г С п1/2
w(x, z) = ±z\2 / /(ж) dx + CiJ + <р(х),
w(x, z) = ClZ2 + ip{x)z + ^^(^) " -^- f fix) dx-vx + C2,
где у (ж) — произвольная функция, С\, С2 — произвольные постоянные. Первое решение
является «невязким» (оно не зависит от г/).
3°. Точное решение для произвольной /(ж):
w(x,z) = 2vx + иф)B± + С2
,-1/2
f
f(x)dx
где <p(x)—произвольная функция, C\, C2, Сз—произвольные постоянные.
® Литература: G. I. Burde A994).
4°. Точное решение при f(x) = ax + Ъ:
w(x, z) = is\(p(x) + —(ax + Ъ)(Се~ч + A^ - 3), ? = z- (pfx(x), A = ±^-,
где С, А — произвольные постоянные, <р(х) — произвольная функция.
® Литература: G. I. Burde A994).
5°. Точное решение (линейное по х) при /(ж) = ах + Ь:
w(x,z) = x<p(z) + il)(z),
где функции ср = (p(z) и ф = ip(z) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
((pfzJ - (f(p"z = v(z(pzz)fz + а,
^^ — №z = y\z^zz)z + 0.
Первое уравнение имеет частные решения ср = ±л/а z + С.
6°. Точные решения в виде суммы функций разных аргументов при /(ж) = а:
w(x, z) = 1/A - к)х + Ci^fc ^ 2
гу(ж, ^) 1/ж z\nz
где С\, Сг, Сз, А; — произвольные постоянные.
_ z + С2
+ C2z + С3,
9.2. Уравнения гидродинамического пограничного слоя 297
9.2.2. Уравнения стационарного пограничного слоя неньютоновских
жидкостей
dw d2w dw d2w , / d2w Л™ d3w
= к(^-У~1-
dy dxdy dx dy2 "Л dy2 J dy3 '
Это уравнение описывает пограничный слой на плоской пластине, обтекаемой степенной
неньютоновской жидкостью, где w — функция тока, х и у — соответственно продольная и
поперечная координаты, п и к — реологические параметры (п > 0, к > 0).
1°. Пусть w(x,y) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
W\ = L>\W\L>i O2 X -\- Оз, Ь2у + O4J + 05,
где Сг,С2,Сз,С4, Съ —произвольные постоянные, <р(х) —произвольная функция, также будут
решениями этого уравнения.
2°. Точные решения в виде суммы функций разных аргументов:
-1 271—1
w(x,y)= C2n{2n_l) [Ci{n - 1)у + С2] п~х +С2,у + С4-кС1Х при пф 1/2,
w(x,y) = 2" ln(Cii/ + С2) + Сзу + Са + 2кС\х при п = 1/2.
3°. Точные решения в виде произведения функций разных аргументов:
1
w(x, у) = [ЛB — п)х + Ci] 2~n F(y) при п / 2,
гу(ж, ?/) = CieXxF(y) при п = 2,
где F = F(i/) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
\( TPf \"^ ХТ^Т?11 к( Т?11 \n~l fpfff
порядок которого может быть понижен на две единицы. Уравнение для F имеет частное
решение в виде степенной функции F = Ап(у + С)^п, где /Зп = 2™22 •
4°. Автомодельное решение (п ф 2, Л — любое):
2Лп-Л + 1
ни т ?/1 — т 2 — п ibl?) 7 — т II (\Л
Ш\Х5 У) — х 4J\/C/)i ^ — х У-) v1/
где функция tp = tp(z) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
Лга + Л+1, ,/,2 2Лп - Л + 1 ,/ _ 7 / /// чп-1 ////
порядок которого может быть понижен на две единицы.
® Литература: 3. П. Шульман, Б. М. Берковский A966).
Пример 1. Обобщенная задача Блазиуса об обтекании плоской пластины поступательным потоком
степенной жидкости со скоростью U^ характеризуется граничными условиями:
dxw = dyw = 0 при у = 0, dyw —>¦ Щ при у —>¦ оо, ^yw; = Щ при ж = 0.
Решение этой задачи (в области х ^ 0, у ^ 0) ищется в виде A) при Л = — п^_1 . Граничные условия для
функции ip(z) имеют вид
ф = ф'х = 0 при z = 0, ф'х ^- Ui при г —>¦ оо. C)
В работах В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A989, 1993) указаны точные аналитические решения задачи
B)-C) при Л = —^з- для п=\,\, \, f, -f, 2.
Пример 2. Обобщенная задача Шлихтинга о симметричном истечении плоской ламинарной струи
степенной жидкости из тонкой щели характеризуется граничными условиями
dxw = dyyiv = 0 при у = 0, dyw —>¦ 0 при ?/ —* °°?
которые дополняются интегральным условием сохранения количества движения
Г
Jo
(dywJ dy = А (А = const).
298 Уравнения третьего порядка
Решение этой задачи (в области х ^> 0, у ^> 0) ищется в виде A) при Л = — -^-. Решение уравнения B) для
функции ф(г) с соответствующими граничными и интегральным условиями (см. условия в примере 1 из
разд. 9.2.1, где F следует заменить на ф) приведено в в книгах 3. П. Шульмана, Б. М. Берковского A966),
А. М. Кутепова, А. Д. Полянина и др. A996).
5°. Автомодельное решение при п = 2 (Л — любое):
w(x,y) = xxU(z), z = yx~1/3,
где функция U = U(z) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением
(л - \)(u'zf + xuu'L = WJzu'z'L-
порядок которого может быть понижен на две единицы.
6°. Точное решение (Л — любое):
w(x, у) = еЛBп-1)жФ(т), т = еЧ2-п)ху,
где функция Ф = Ф(т) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением
А(п + 1)(Ф;J - АBп - 1)ФФ;'Г = к№т)п-1*Утт,
порядок которого может быть понижен на две единицы.
® Литература: 3. П. Шульман, Б. М. Берковский A966).
7°. Точное решение при п ф 1/2:
1
w(x, у) = d In |Ж| + С2 + 0@, f = X ln у,
где функция д = д(^) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
порядок которого можно понизить на две единицы.
8°. Точное решение при п = 1/2:
w(x, у) = Cix + С2 + h(?), С = еХхУ,
где функция h = h(?) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
\(hf}2 Г h" — h(h" Л'1/2}!1"
порядок которого можно понизить на две единицы.
dw d2w dw d2w _ / d2w \ n~1 d3w , .
" " dx dy2 ~ \ dy2 ) dy3
Уравнение стационарного пограничного слоя степенной жидкости с градиентом давления.
1°. Пусть w(x,y) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
Wl = w(x, у + <р(х)) + С,
где (р(х) —произвольная функция, С — произвольная постоянная, также будет решением этого
уравнения.
® Литература: А. Д. Полянин B001 с).
2°. Вырожденные решения (линейные и квадратичные по у) для любой /(ж):
Г С л1!2
w(x, у) = ±у[2 f(x) dx + CiJ + tp(x),
w(x, у) = С1У2 + ф)у + -ji- [ip2(x) - 2 J f(x) dx\ + C2,
где <p(x) —произвольная функция, С\, С2 —произвольные постоянные. Эти решения не зависят
от А; и отвечают невязкому движению жидкости.
9.2. Уравнения гидродинамического пограничного слоя 299
3°. Автомодельное решение при /(ж) = ахт:
2пт-\-2п — т-\-1 2т — п — пт
w(x,y)=x 2^+1) ф(г), z = x 2(^+!) у,
где функция tp = tp(z) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
пга + п + га + 1, //Ч2 2nm + 2п - т + 1 ,,// , / ,// чп-1 ,/// ,
2(г> + 1) (^}
Отметим, что к последнему уравнению сводится решение обобщенной задачи Фолкнера —
Скен о симметричном обтекании клина степенной жидкостью.
® Литература: 3. П. Шульман, Б. М. Берковский A966).
4°. Точное решение при /(ж) = ае^х:
wix.y) = ехр р х )Ф(т), г = ехр р ж )г/,
где функция Ф = Ф(т) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением
® Литература: 3. П. Шульман, Б. М. Берковский A966).
5°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов при /(ж) = а:
w(x,y) = C\x + h(y),
где функция h = h(y) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
Его общее решение можно представить в параметрическом виде:
7 [Ь ип~ии , /2 Г* wn"VHdw , ч Г vndv
у = -к , h = к / ^-^ , где <р(и) = /
Jc2ClU + a' JC3 ClU + a ^KJ J^C^ + a
6°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов при /(ж) = ах 2~п , п ф 2:
1
где функция F = F(i/) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением
1 (Т?'\2 1 Т?Т?" — hCF" У1'1 Т?'" -L п
~2^^ у) ~ ~2^ уу ~к^ УУ> *УУУ+а-
7°. Автомодельное решение при /(ж) = axm, n = 2:
гу(ж,?/) = ж + т+*[/(^), ^ = ух~1/3,
где функция [/ = U(z) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением
\{т + l){U'zf + ^-(Зш + b)UU"z = kU"zU"L + a.
8°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов при /(ж) = аеХх, п = 2:
где функция G = B(г/) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением
— \(G)
300 Уравнения третьего порядка
2п + 1
9°. Точное решение f(x) = ах 1~2п , п ф 1/2:
1
w(x, у) = d In |ж| + С2
где функция д = р(?) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
1 / /\2 . п
10°. Точное решение /(ж) = аеЛж, п = 1/2:
где функция h = h(?) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
jfe(^c)-1/2^c + dh'k - \\(ticf + а = 0.
"
dw d2w dw d2w _ d Г / d2w
~^~~^^ ~ !te dy2 ~ ~dyr\ ду2
Уравнение стационарного пограничного слоя на плоской пластине, обтекаемой неньютоновской
жидкостью общего вида (w — функция тока, х и у — продольная и поперечная координаты).
Предварительные замечания. К данному уравнению сводится система уравнений пограничного слоя
неньютоновской жидкости
ди1 ди1 _ д
дил дио
Н - = О
дх ду
путем введения функции тока w по формулам их = 4^-, и2 = — -§^г {их и и2 —продольная и поперечная
компоненты скорости жидкости).
1°. Пусть w(x,y) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
Wl = C^2w{C\x + С2, Ciy + С3) + С4,
где С\, Сг, Сз, С4 — произвольные постоянные, <^(ж) — произвольная функция, также будут
решениями этого уравнения.
® Литература: А. Д. Полянин B001 с).
2°. Точные решения, содержащие произвольные функции:
w(x,y) = Ciy2 + (p(x)y+ ——tp2(x) + C2,
где С\, С2—произвольные постоянные, ip(x) — произвольная функция. Во второй формуле
функция g = g(z) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
— С/4 -— / —¦— at.
общее решение которого можно представить в параметрическом виде
П
3°. Автомодельное решение:
где функция ф = ф(?) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
4°. Преобразование Мизеса
) = -j^-, где w =
приводит к нелинейному уравнению второго порядка
д? дг] lJ V дг]
Последнее допускает, например, точное решение типа бегущей волны U = U(a? + brf).
9.2. Уравнения гидродинамического пограничного слоя 301
dw d2w dw d2w _ d Г / d2w \] , .
dy dxdy дж~ ду2 ~ ~д^ Г \~ду2~) \ ^~9^Х>'
Уравнение стационарного пограничного неньютоновской жидкости общего вида с градиентом
давления.
1°. Пусть w(x,y) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
Wl = w(x, у + (р(х)) + С,
где (р(х) —произвольная функция, С — произвольная постоянная, также будет решением этого
уравнения.
2°. Уравнение имеет вырожденные решения [см. п. 2° уравнения 9.2.2.2, где /(ж) следует
заменить на д(х)].
3°. Точное решение при д(х) = а:
w(x, у) = СО) + С ix + C2, z = у + <р(х),
где (р(х) —произвольная функция, С\ и С2 —произвольные постоянные. Функция С = С(^)
описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
4°. Автомодельное решение при д(х) = а(х + Ь)~1^3:
w(x, у) = (х + bJ/3V(?), I = у(х
где функция ф = ф(?) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
® Литература: А. Д. Полянин B001 с).
9.2.3. Уравнения нестационарного пограничного слоя ньютоновской
жидкости
л d2w , dw d2w dw d2w d3w
1. — = v-
*-\**-\ '*-\ r^r^ r^ *-\O
dtdy dy dxdy dx dy2 dy3
Это уравнение описывает нестационарный гидродинамический пограничный слой на плоской
пластине, где w — функция тока, хну — соответственно продольная и поперечная координаты,
v — кинематическая вязкость жидкости. Аналогичное уравнение описывает нестационарное
истечение плоской ламинарной струи из тонкой щели.
Предварительные замечания. К данному уравнению сводится система уравнений нестационарного
гидродинамического пограничного слоя (г^ и и2 — продольная и поперечная компоненты скорости
жидкости)
дил дил дил д2ил
dt дх ду ду2
дил ди9
Н = 0
дх ду
путем введения функции тока w по формулам и1 = ~^~, и2 = —^-.
1°. Пусть w(x, у, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
wi = w(x, у + ip(x, t), t) + — / ip(x, t) dx + x(f),
w2 = Ciw(C2x + C2C3t + C4, CiC2y + CiC2Cbt + C6, C\C\t + C7) + C5x - C3y + C8,
где cp(x,t) и x(?) —произвольные функции, Cn —произвольные постоянные, также будут
решениями этого уравнения.
® Литература: Л. И. Верещагина A973), Л. В. Овсянников A978).
302 Уравнения третьего порядка
2°. Вырожденные решения (линейные и квадратичные по у):
w =
w = Ciy2
-^-ip2(x,t) + — I ip(x,t)dx,
где (p(x,t) —произвольная функция двух переменных [здесь и далее аддитивная произвольная
функция времени х = x(t) в точных решениях для функции тока опускается]; С\ —произволь-
—произвольная постоянная. Эти решения не зависят от v и отвечают невязкому течению жидкости.
® Литература: А. Д. Полянин B001 а).
3°. Точные решения, содержащие произвольные функции:
I +
a f
y + (p(x,t) [у + (p(x,t)]2
д f
w = C\ exp [—С2У — C2(f(x, t)~\ -\-C3y + Сз(р(х, t) + VC2X -\ / (p(x, t) dx,
at J
¦ — / (p(x,t) dx,
dt J
где ip(x,t) — произвольная функция двух переменных, Ci, C2, Сз, ft —произвольные
постоянные. Для построения этих решений в качестве основы использованы более простые
стационарные решения, указанные в 9.2.1.1.
Отметим также решение
w = f(x)exp[-Xy- Xg(t)] + [v\ +gft(t)]x,
где /(ж), g{t) — произвольные функции, Л — произвольная постоянная. Его можно получить
из указанного выше второго решения при <р(х, t) = — -^ In /(ж) + g(t), C2 = А, Сз = 0.
® Литература: А. Д. Полянин B001 а), А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев B001).
4°. Точное решение линейное по переменной х:
w(x,y,t) = xF(y,t) + G(y,t), A)
где функции F = F(y,t) и G = G(y,t) определяются из более простых уравнений с двумя
переменными
d2F
dtdy ду ду ду2 dys
Уравнение B) решается независимо от уравнения C). Если F = F(y,t) — решение
уравнения B), то функции
F2 = CiF(Ciy + CiC2t + Сз, C\t + C4) + C2,
где ip(t) —произвольная функция, Ci, C2, Сз, С а —произвольные постоянные, также будут
решениями этого уравнения.
Если известно частное решение F = F(y,t) уравнения B), то соответствующее уравнение
C) заменой U = -^- приводится к линейному уравнению второго порядка
F = pu. D)
at ду ay? ду у >
Точные решения уравнения B) приведены в табл. 4. Обыкновенные дифференциальные
уравнения в последних двух строках табл. 4, определяющие решение типа бегущей волны и
автомодельное решение, являются автономными и поэтому допускают понижение порядка.
9.2. Уравнения гидродинамического пограничного слоя
303
ТАБЛИЦА 4
Точные решения уравнения B)
1
2
3
4
5
6
Функция F = F(y,t)
(или общий вид решения)
F = i>(t)
F = C1 exp[-Ay + Хф(г)] - ip't(t) + v\
F = F(O, С = У + At
F = t-^[H(O-^}^ = yt-^
Замечания
(или определяющее уравнение)
ip(i) —произвольная функция
ip(i) —произвольная функция, Сг —любое
ip(t) —произвольная функция
ф(г) —произвольная функция, С1? А — любые
\F? + (^J - FF? = vF'^
|-2Я^ + (Я^J-ЯЯ^=^Я^
ТАБЛИЦА 5
Преобразования уравнения D) для соответствующих точных решений уравнения B)
[номер в первом столбце соответствует номеру точного решения F = F(y,t) в табл. 4]
Преобразования уравнения D)
Полученное уравнение
y д2и
U -
z = (t + С±)у + f ip(t)(t + С±) dt + С3
ди _ д2и
дт dz2
ди „ д2и
dt ~у дс2
U = e^Z(r], t), v = -\y + \ip(t)
U = t^^u^.r), f = yt'1/2, т = Int
В табл. 5 приведены преобразования, упрощающие уравнение D) для соответствующих
решений уравнения B) из табл. 4. Видно, что в первых трех случаях решения уравнения D)
выражаются через решения линейного уравнения теплопроводности с постоянными коэффици-
коэффициентами. В остальных трех случаях уравнение D) приводится к уравнению с разделяющимися
переменными.
Четвертое уравнение в табл. 5 имеет частные решения (А, В — любые):
О других точных решениях этого уравнения см. книгу А. Д. Полянина B001 Ь), где рассматри-
рассматривалось более общее уравнение вида dtw = f(x)dxxw + g(x)dxw.
Уравнение 5 в табл. 5 имеет частное стационарное решение г^о = F^ (?) (сравни с уравне-
уравнением 5 в табл. 4). Поэтому другими частными решениями этого уравнения будут функции
304 Уравнения третьего порядка
[см. А. Д. Полянин B001 Ь)\.
® Литература: А. Д. Полянин B001 а), А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев B001).
5°. Точное решение:
w(x, у, t) = [A(t)eklX + B(t)ek*x] еХу + ip(t)x + m/,
A(t) = Ci exp |"(i/A2 -aki)t + \ / <
B(t) = C2 exp [(i/A2 - ak2)t + A A <
где 9?(t) —произвольная функция, С\, С2, a, hi, fe, A — произвольные постоянные.
6°. Точное решение:
w(x, у, t) = A(t) ехр(А;ж + \y) + B(t) ехр(/3кх + f3\y) + <^(*)ж + ay,
A(t) = Ci exp [(VA2 - aife)t + А Г ф) dtj,
B(t) = C2 exp [(i//32A2 - ak/3)t + 0\ Г <p(t) dt],
где ip(t) —произвольная функция, С\, С2, а, к, /3, A — произвольные постоянные.
® Литература: А. Д. Полянин B001 а), А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев B001).
7°. Точное решение:
w(x,y,t) = u(z,t)dz + ip(t)y+ ip(t)x, z = kx + \y,
где (p(t), ip(t)—произвольные функции, к, А — произвольные постоянные, а функция u(z,t)
описывается линейным уравнением второго порядка
Преобразование
]dt
приводит его к линейному уравнению теплопроводности
dU . о d2U
= v\ .
dt <9?2
® Литература: А. Д. Полянин B001 а), А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев B001).
8°. Точные решения:
w = eux2\CieXz +C2e~Xz) + — / ф,t)dx, z = у + ф,г);
w = е~и l \C\ sin(A^) + С2 cos(A^)] -\ / <р(х, t) dx, z = у + <p(x, t);
ot J
w = C\e~vX z sin(A^ — 2v\2t + C2) -\ / ip(x, t) dx, z = у + ip(x, t),
dt J
где cp(x,t)—произвольная функция двух аргументов; С\, С2, А — произвольные постоянные.
Для периодической функции ip(x,t) = ip(x,t + Т) последнее решение при А = w также
у vT
будет периодическим: w(x,y,t) = w(x,y,t + Т).
9.2. Уравнения гидродинамического пограничного слоя 305
9°. «Двумерное» решение:
w = W(^r]) + а\х + п2у, ? = kix + \it, ц = k2y + Mt,
где функция W описывается уравнением
dW d2W\ j2d3W
В частном случае
сц = А2/&2, ci2 = —Xi/ki
имеем уравнение стационарного пограничного слоя 9.2.1.1:
dW d2W dW d2W _ d3W k2
2 дг]3 к
дг\ д?дг] д? дг]2 дг]3 к1
10°. «Двумерное» решение:
w = V(t,i), С=^, Ч=^,
где функция V описывается уравнением
1 дУ 1 д2У 1 ^2У ^У д2У дУ д2У д3У
^ ~2Ц д2
д^ дг]2 ~V дг]3 '
Последнее имеет, например, решения вида V = F(rj)? + G(rj).
® Литература: Л. В. Овсянников A978).
d2w dw d2w dw d2w _ d3w (
dtdy ду дхду ~дх ду2 ~ V ду3 *^' ''
Это уравнение описывает нестационарный гидродинамический пограничный слой с градиентом
давления.
1°. Пусть w(x, у, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
ил = w(x, у + <р(х, t), t) + — / <р(х, t) dx,
W2 = —w(x, —у, t) + 1p(t),
где (p(x, t) и ф{Ь) — произвольные функции, также будут решениями этого уравнения.
® Литература: Л. И. Верещагина A973), Л. В. Овсянников A978).
2°. При f(x,t) = g(t) преобразование
= u(€,y,t)-tit(t)y, ? = x + h(t), где h(t) = - (t-T)g(r)dr,
A)
приводит к более простому уравнению вида 9.2.2.1:
д2и ди д2и ди д2и _ д3и
dtdy ' % <9?<% d? ду2 " ду3 '
Отметим, что функции / = g(t) и h = h(t) связаны простым соотношением h"t = — g.
В общем случае преобразование A) приводит рассматриваемое уравнение к аналогичному
уравнению с измененной функцией f(x,t) согласно правилу:
преобразование A)
f(x,t) > f(x,t)-g(t).
® Литература: Л. В. Овсянников A978).
3°. Вырожденное решение (квадратичное по у) для любой f(x,t):
w(x, у, t) = ay2 + ф, t)y + -^<р\х, t) + -i- J [-g- - /(ж,
20 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
306 Уравнения третьего порядка
где ip(x,t) —произвольная функция двух аргументов [здесь и далее аддитивная произвольная
функция времени ф = ф{Ь) в точных решениях для функции тока опускается]; а — произвольная
постоянная. Это решение не зависит от v и отвечает невязкому течению жидкости.
Вырожденное решение (линейное по у) для любой /(ж, t):
w(x,y,t) = ip(x,t)y + (p(x,t),
где cp(x,t) — произвольная функция, а ф = ф(х^) определяется путем решения уравнения с
частными производными первого порядка
дф дф ,, .
^r + V'— = f(x,t).
dt дх
О методах интегрирования и точных решениях таких уравнений (для различных F) см. книги
Э. Камке A966), A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, A. Moussiaux B002).
Вырожденные решения при f(x,t) = f(x):
(x, у, t) = ±у [2 I f(x) dx + Ci]X 2 + ip(x, t),
где <p(x, t) —произвольная функция.
® Литература: А. Д. Полянин B001 а), А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев B001).
4°. Точное решение (линейное по х) при /(ж, t) = fi(t)x + /2(^I
w(x,y,t) = xF(y,t) + G(y,t), B)
где функции F = F(y,t) и G = G(y,t) определяются из более простых уравнений с двумя
переменными
d2F ( dF\2 T?d2F dsF
dtdy V ду / ду2 ду3
d2G OF dG _ d2G dsG
Уравнение (З) решается независимо от уравнения D).
Если F = F(y, t) —решение уравнения C), то функция
где ф{Ь) —произвольная функция, также будет решением этого уравнения.
Точные решения уравнения C) для различных зависимостей /i = fi(t) представлены в
табл. 6. Отметим, что решения вида B) при G = 0, указанные в первой и двух последних строках
табл. 6, рассматривались в книге Л. В. Овсянникова A978).
Замена U = -|р- приводит уравнение D) к линейному уравнению второго порядка
¦f2(t). E)
F vu + Mt).
dt ду ду2 ду
Остановимся подробнее на первом решении уравнения C), указанном в табл. 6:
F(y,t)=a(t)y + il;(t), где at+a2 = f1(t). F)
Уравнение Риккати для функции а = a(t) подстановкой а = h't/h сводится к линейному
уравнению второго порядка h"t — fi(t)h = 0. Точные решения этого уравнения для различных
fi(t) описаны в книгах Э. Камке A976), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина B001 а). В частности,
при /i (t) = const имеем
alt) = к— — —- при h = —к < 0,
v J Cx sin(kt) + С2 cos(kt) F J
u, Cx ch{kt) + C2 sh(kt) r . 2 n
a(t) = к—-—-— —-—- при f 1 = к > 0.
w Cx sh(kt) + C2 ch(kt) P J
Подставив решение F) [для произвольной fi(t)] в уравнение E), получим
9.2. Уравнения гидродинамического пограничного слоя
307
ТАБЛИЦА 6
Точные решения уравнения C) для различных f1(t) [ip(t) —произвольная функция]
Функция
л = /i (*)
Любая
f1(t)=Ae-Pt,
А > 0, /3 > 0
f1(t)=Ae?t,
А > 0, /3 > 0
f1(t)=Ae?t,
А < 0, /3 > 0
f1(t)=Ae?t,
А — любое, Р > 0
f1(t)=At~2
fi(t)=A
Функция F = F(y,t)
(или общий вид решения)
F = a(t)y + ф(г)
F = Ве'^13* 8in[\y + \ip(t)] +^{(t),
F = Be-i-P* cos[\y + \ip(t)] +^{(t)
F = Bei^ sh[Xy + Х<ф(г)] + rl)'t{t)
F = Bei^ ch[Xy + \ф(г)] + rl)[{t)
F - <ib(t)exy - Aef3t~Xy + ^^ - „X
F = F@, f = 2/ + At
Определяющее уравнение
(или определяющие коэффициенты)
<+ а2 = Л (*)
V 2v
\ -А-2Я^ + (Я^J-ЯЯ^ = г/Я^
-А + А*? + (^J - FF& = vFgz
Преобразование (А. Д. Полянин, 2001 Ь)
приводит к линейному уравнению теплопроводности
ди д2и
=ехр
[
® Литература: А. Д. Полянин B001 а), А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев B001).
Замечание 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения в последних двух строках
табл. 6 (см. последний столбец), определяющие автомодельное решение и решение типа
бегущей волны, являются автономными и поэтому допускают понижение порядка.
Замечание 2. Пусть ги(ж, у, t) —решение уравнения нестационарного гидродинамическо-
гидродинамического пограничного слоя при /(ж, t) = fi{t)x + /г(^). Тогда функция
Wl = w(x + h(t),y,t) -h't(t)y, где h"t + fi(t)h = 0,
также будет решением этого уравнения.
® Литература: Л. В. Овсянников A978).
5°. Точное решение при f(x,t) = g(x)e/3t, C > 0:
w(x,y,t) = ф,г)еХу +if;(x,t)e~Xy + — — / In \ф, t)\ dx - vXx,
A eft J
tp(x,t) = - e / g{x)dx, A = ±J —,
2X2(p(x,t) J \ 2u
где ip(x,t) —произвольная функция двух аргументов.
® Литература: А. Д. Полянин B001 а), А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев B001).
20*
308 Уравнения третьего порядка
6°. Точные решения при /(ж, t) = д(х)е^ь, C > 0:
1
—
1 л Г
w(x,y,t) = ±— ехр(у^)л/^(ж) sh[Aj/ + <p(M)] + ^ / <p(x,t)dx,
w(x,y,t) = ±—ещ>(\C?)</ф{х) ch[\y + <p(x,t)] +— / <^(а;, *) da;,
ф(х) = 2 J g(x)dx + Cu Л
где cp(x,t) —произвольная функция двух аргументов.
® Литература: А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев B001).
7°. Точное решение при f(x,t) = g(x)e~/3t, /3 > 0:
w(x,y,t) = ±— ехр(-у^)Л/^(ж) sinfAyH- у>(ж, *)] + — / ip(x,t)dx,
w{x,y,i) = ±— exp(-±/3t)у/ф(х) cos[Xy + (p(x,t)] + — / <p(x,t)dx,
ф(х) = 2 J g(x)dx + Cu X=\j-i^-
где ip(x,t) —произвольная функция двух аргументов.
® Литература: А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев B001).
8°. Точное решение при f(x,t) = ае/3ж~7?:
2C\2(p(x,t)
+ j-±Jh1\<p(x,t)\dx-VXx+ 2uX20+1 (y+UnMx,t)\),
где ip(x,t) —произвольная функция двух аргументов, Л — произвольная постоянная.
® Литература: А. Д. Полянин B001 а), А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев B001).
9°. Точное решение при f(x,t) = f(t):
w(x,y,t) = u(z,
t)dz + ip(t)y
где (p(t), ip(t)—произвольные функции, к, Л — произвольные постоянные, а функция u(z,t)
описывается линейным уравнением второго порядка
л
Преобразование
\ f f{t)dt, z = z -J[k<p(t) -
dt
приводит его линейному уравнению теплопроводности
8U о d2U
= ^А —.
dt <9?2
® Литература: А. Д. Полянин B001 а), А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев B001).
10°. Точное решение при f(x,t) = f(t):
w(x, у, t) = Ce-Xy+Xip{x^ - аAЬ)ф, t) - -^ J ф, t) dx + a(t)y + v\x, a(t) = Jf(t) dt,
где cp(x,t) —произвольная функция двух аргументов; С, А — произвольные постоянные.
11°. Точное решение при f(x,t) = f(t):
w(x, у, t) = ф, t)eXy + ф(х, t)e~Xy + х(х, t) + a(t)y,
9.2. Уравнения гидродинамического пограничного слоя
309
ТАБЛИЦА 7
Решения уравнения нестационарного гидродинамического пограничного слоя, зависящие от двух
обобщенных переменных. Обозначения: lZ[z] = vz^^ + z^z^ — z^z^, g = g(u) — произвольная функция.
Функция f = f(x,t)
f = f(x + Xt)
f = g(x)t~2
f = extg{xe~xt)
f = t-n-2g(xtn)
f = axn
f = aeXx
Общий вид решения
w = z(Z,y)-\y9? = x + \t
w = z{x,n)t-V*9n = yt-V*
w = extz(^,y), ? = xe~xt
w = z(Z,r])t-Bn+iy2,
? = xtn, r] = yt~xl2
w = z(?,ri)t-(n+3yBn-2\
? = xt2/(n-1\r) = yt-1/2
w = z(^r])t-1/2,
? = ж+ xlnt' П = yt~1/2
Уравнение для функции z = z(?,r))
yzyyy + 4zyy-zy4y+f^ = ®
VZyyy+Z^Zyy-ZyZ^ ^ ^ Z ^ ~ ^ y ^ Q ^ ^ ^
U[z] + \Щг]Г] - nizir] + A + n)zv + g(O = 0
U[z] + \щ^ - ^z^ + ^Lzv + аГ = О
П.А + i^r/r/ - \нч + zv + аеЛС = °
где Л — любое, <p(x,t) —произвольная функция двух аргументов, а остальные функции
определяются по формулам
^1——\x-a(t)dt\, a(t)=
(p{x,t) L J J J
12°. Точные решения при f(x,t) =
uX2t Xz -Xz d f
Ot J
w
,t)dx + z f f(t) dt, z = y + ф, t);,
= е~ихЧ [Ci sin(Xz) + C2 cos(A^)] + — [ф, t)dx + z Гf(t) dt, z = y + ф, t);
w = C\e~ z sin(A^ — 2vX2t + C2) -\ / <p(x, t) dx + z I f(t) dt, z = у + <р(х, t),
где (p(x,t)—произвольная функция двух аргументов; С\, С2, А — произвольные постоянные.
Для периодической функции f(t) = f(t + T), удовлетворяющей условию / f(t)dt = О,
при <p(x,t) = <р(х) и А = J последнее решение также будет периодическим:
w(x,
13°.
y,t) =
w(x,y,t-
Точные решения
w =
w =
kx + at
fT)
при
-С*
»р(
/(^
/с
г/
.0 =
,)-
--А:
ж'1
— / ф,t)dx,
где cp(x,t)—произвольная функция двух аргументов; С\, С2, k — произвольные постоянные.
14°. В табл. 7 описаны решения уравнения нестационарного гидродинамического пограничного
слоя с градиентом давления, зависящие от двух обобщенных переменных [использованы
результаты Л. В. Овсянникова A978)].
При f(x,t) = f(kix + \it) имеется также широкий класс «двумерных» решений вида
w = z(t;,ri) + сцх + а2у, ? = kix + \it, r\ = к2у + X2t,
310 Уравнения третьего порядка
где функция z описывается уравнением
d2w dw d2w dw d2w
_ д ( d2w \
ax
Предварительные замечания. К данному уравнению сводится система уравнений осесимметричного
нестационарного ламинарного пограничного слоя
ди ди ди / д2и 1 ди
ot ox or v orz г or
^ + -^ + ^=0 B)
ox or г
(unv — осевая и радиальная компоненты скорости жидкости, жиг — цилиндрические координаты) путем
введения функции тока w и новой переменной z по формулам
2 dw 2 dw I 2
и = , v = , z= —г .
г дг г дх 4
Система A), B) описывает осесимметричную струю (/ = 0) и пограничный слой на протяженном теле
вращения (/ ^ 0).
1°. Уравнение сохраняется при замене w на w + (p(t), где cp(t) — произвольная функция.
2°. Точное решение (квадратичное по z) для произвольной /(ж, t):
w(x,z,t) = Cz2
-1 <л Г -1 Г
1 О I 1 /
~2C~dtJ ^'^ X~12C J ^'
где (p(x,t) и ф{Ь) — произвольные функции, С — произвольная постоянная.
Уравнение имеет также «невязкое» решение вида w = 9?(ж, t)z + ф(х, t), где ip(x,t) —про-
—произвольная функция, а функция ср = (p(x,t) описывается уравнением с частными производными
первого порядка dt^p + (рдх^р = f(x,t).
3°. Точное решение (линейное по ж) при /(ж, ?) = а(?)ж + b(t):
w(x, z, t) = x(p(z, t) + ^(^, t),
где функции 9? = (p(z,t) и ф = ip(z,t) описываются системой уравнений с частными производ-
производными
(dip\2 d2ip д ( d2ip
д2ф , dtp дф д2ф д ( д2
dtp дф д2ф д ( д2ф\
^2; dz dz2 dz \ dz2 J
Первое уравнение имеет точное решение (р = C(t)z, где функция С = C(t) описывается
уравнением Риккати С[ + С2 = а(?). Второе уравнение заменой У = -^ сводится к линейному
уравнению второго порядка.
4°. «Двумерное» решение при f(x,t) = f(x + \t):
w(x, z, t) = U(?, z) — \z, ? = ж + At,
где функция [/ = t/(?, г) описывается уравнением
at/ ^2t/ dU d2U д
которое с точностью до переобозначений совпадает со стационарным уравнением (см. уравне-
уравнение 9.2.1.3 и его решения).
9.2. Уравнения гидродинамического пограничного слоя 311
5°. Точное решение (линейное по х) при f(x,t) = f(t):
w(x, z, t) = A(t)x + B(t) + z f(t) dt + u(z, t),
где A(t) и B(t) — произвольные функции, а функция и = u(z,t) описывается линейным
параболическим уравнением второго порядка
ди А , ч ди д2и
dt dz dz2
6°. Пусть w(x,z,t)—решение уравнения нестационарного осесимметричного пограничного
слоя при /(ж, t) = a(t)x + b(t). Тогда функция
ил = w(?, z, t) - <p't(t)z + i/;(t), ? = x + <p(t),
где ^(t) — произвольная функция, жр = <p(t) —решение линейного обыкновенного дифферен-
дифференциального уравнения ip"t — a(t)ip = 0, также будет решением этого уравнения.
9.2.4. Уравнения нестационарного пограничного слоя неньютоновских
жидкостей
1 d2w dw d2w dw d2w - (d2wY~1 д3™
' dtdy + ду дхду дх ду2 ~ V ду2 ) ду3 '
Уравнение нестационарного пограничного слоя на плоской пластине, обтекаемой степенной
жидкостью (w — функция тока, х и у — продольная и поперечная координаты).
1°. Пусть w(x, у, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
W! = CiwiC^Cl^x + C^C^Cst, С2у + C2C5t, C^C^t) + С5х - С3у,
W2 = w(x + с6,у + C7,t + С8) + С9,
ws
= w(x, у + <р(х, t), t) + — / <р(х, t) dx + <ip(t),
где Сп—произвольные постоянные, <p(x,t) и ip(t) — произвольные функции, также будут
решениями этого уравнения.
2°. Точное решение линейное по х:
w(x, у, t) = ip(t)x + / U(z, t)dz, z = y+
где ф{Ь) —произвольная функция, а функция U(z, t) описывается уравнением второго порядка
dU
dz2
Об этом уравнении см. 1.6.16.1 при f(x) = const и 1.6.16.2 при f(U) = kUn~1.
3°. Точное решение линейное по х:
w(x, у, t) = j^- + ф{1)х + J U(y,
t)dy,
где ip(t) — произвольная функция, С\ —произвольная постоянная, а функция U(y, t) описыва-
описывается уравнением второго порядка
dU_ _ , ( dU\n~1 дЧ
Преобразование
U = —-—w(C,r),
приводит к более простому уравнению
ди _ / ди \п~1 д2и
Об этом уравнении см. 1.6.16.1 при /(ж) = const и 1.6.16.2 при f(U) = kUn~1.
312 Уравнения третьего порядка
4°. Точное решение:
w(x, y,t) = / v(rj, t) d-ц + <p(t)y + ip(t)x, г] = kx + Xy,
где <?>(?), ^(t)—произвольные функции, к, Л — произвольные постоянные, а функция v(rj,t)
описывается уравнением второго порядка
_+[М0_Л^)]—=fcA (—)
Преобразование
= fl- /[МО -
dt
приводит к более простому уравнению
OR
d2w dw d2w dw d2w д Г / d2w \"|
dtdy ду дхду Ъх ду2 ~ ~Ъу\. V ду2 )\'
Уравнение нестационарного пограничного слоя на плоской пластине, обтекаемой неньютонов-
неньютоновской жидкостью (w — функция тока, х и у — продольная и поперечная координаты).
1°. Пусть w(x, у, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
wi = w(x, у + ip(x, t), t) + — / ip(x, t) dx + tp(t),
W2 = cr2w(Cfx + CfC2t + C3, Ciy + CiC4t + C5, Clt + C6) + С4ж - ^2|/ + C7,
где (p(x,t) и ^(t)—произвольные функции, Cn—произвольные постоянные, также будут
решениями этого уравнения.
2°. Точное решение линейное по х:
Г Г
w(x, у, ъ) = ip(t)x + / U(z, t) dz, z = у + / ^(t) dt,
где ^(t) —произвольная функция, а функция С/(г, ?) описывается уравнением второго порядка
dU д [,fdU\]
dt dz lJ \ dz Л'
Последнее допускает точные решения вида [для любой функции / = f(v)]:
U(z, t) = Я(С), С = kz + Xt =^ уравнение ЛЯ = kf(kH'c) + С;
U(z, t)=az + Я(С), C,=kz + \t => уравнение ЛЯ = kf(kH'c + а) + С;
U(z,t) = VtH(Q, ( = z/Vi => уравнение \Н - |С^ = [f(H'c)]'o
где а, А;, С, Л — произвольные постоянные. Решение первых двух уравнений для Я = if (С)
можно получить в параметрическом виде [см. Э. Камке A976), В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
B001а)].
3°. Точное решение линейное по х:
w(x, у, t) = -^— + ффх + / Щу, t) dy,
где ip(t)—произвольная функция, С — произвольная постоянная, а функция U(y,t) описыва-
описывается уравнением второго порядка
аи
dt dy\.J\dy)\lt + C*K)\dy t + C
Преобразование
U = -i—M^.r), T=±(t + C1f +
t-\-C1
приводит к более простому уравнению
ди _ д Г / ди
Об этом уравнении см. п. 2°.
9.2. Уравнения гидродинамического пограничного слоя 313
4°. Точное решение:
w(x,y,t) = / v(rj,t)dr] + <p(t)y + if>(t)x, rj = kx + \y,
где <?>(?), ^(t)—произвольные функции, k, A— произвольные постоянные, а функция v(rj,t)
описывается уравнением второго порядка
Преобразование
« = д(с,0 - у^@. С = v - У [МО -
приводит к более простому уравнению
?=?['(»¦?)]•
(•) Литература к уравнению 9.2.4.2: А. Д. Полянин B001 а), А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев B001).
d2w dw d2w dw d2w _ д Г / d2w \1 . .
OtOy ~ду~~дхду &ic~~dy2~ ~ ~д^ Г \~dy2~) \ +flf^' '•
Уравнение нестационарного пограничного слоя неньютоновской жидкости с градиентом дав-
давления.
1°. Пусть w(x, у, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
= w(x, у + <p(x, t), t) + — / <p(x, t) dx + <ip(t),
где (p(x,t) и ijj(t) — произвольные функции, Сп —произвольные постоянные, также будет
решением этого уравнения.
2°. Уравнение имеет вырожденные решения [см. п. 3° уравнения 9.2.3.2, где f(x,t) следует
заменить на д(х, t)].
3°. При g(x,t) = g(t) преобразование
w = u(?,y,t)-(p't(t)y, ? = x + (p(t), где tp(t) = - (t-r)g(r)dr,
К
приводит к более простому уравнению вида 9.2.4.2:
д2и ди д2и ди д2и
dtdy ду д^ду д? ду2 ду I/ V ду2
Отметим, что функции g = g(t) и ср = cp(t) связаны простым соотношением: (p"t = —g.
4°. «Двумерное» решение (линейное по х) при g(x,t) = g(t):
w(
x, у, t) = a(t)x + / U(y, t) dy,
где функция U = U(y,t) описывается уравнением второго порядка
dU _ ( , dU _ д
dt ду ду
Преобразование
U = и(?, t) + J g(t) dt, e = 2/ + J a(t) dt
приводит к более простому уравнению
ди _ д Г / ди
~dt ~ ~Ъ\
Об этом уравнении см. 9.2.4.2, п. 2°.
314 Уравнения третьего порядка
5°. «Двумерное» решение (линейное по х) при g(x,t) = s(t)x + h(t):
w(x,y,t) = [a(t)y + il)(t)]x + Q(y,t)dy,
где ip(t) —произвольная функция, а = a(t) описывается уравнением Риккати
a't +a2 = s(t),
а функция Q = Q(y,t) удовлетворяет уравнению второго порядка
Преобразование
где Ф(?) = ехр / a(t) dt , приводит к более простому уравнению
дт
Об этом уравнении см. 9.2.4.2, п. 2°.
6°. Точное решение при g(x,t) = g(t):
w(x, y,t) = / v(rj, t) d-q + (f(t)y + ip(t)x, 7] = kx + Лг/,
где <p(t), ip(t)—произвольные функции, к, Л — произвольные постоянные, а функция v(rj,t)
описывается уравнением второго порядка
Преобразование
v = R((,t) - j-ф) + j.Jg(t)dt,
j.J
приводит к более простому уравнению
8R _
"вГ-e
® Литература к уравнению 9.2.4.3: А. Д. Полянин B001 а), А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев B001).
9.3. Уравнения движения идеальной жидкости (уравнения
Эйлера)
9.3.1. Стационарные уравнения
л dw д , А ч dw д , А ч Л А а2гу , d2w
1. (Лги) (Лги) = 0, Aw = — -\
ду дх v ' дх ду v у Ож2
(Лги)(Лги) = 0, Aw = \.
ду дх v ' дх ду v у Ож2 ду2
Предварительные замечания. К данному уравнению сводятся двумерные стационарные уравнения
идеальной жидкости (уравнения Эйлера)
дил дил 1 др
Щ +и2 = —,
дх ду р дх
ди9 ди9 1 др
Щ +и2 = —,
дх ду р ду
ди1 , ди2 = 0
дх ду
путем введения функции тока w по формулам и1 = -^-, и2 = ~"§^" с последующим исключением
давления (с помощью перекрестного дифференцирования) из первых двух уравнений.
9.3. Уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера) 315
1°. Пусть w(x,y) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
Wl = Ciw(C2x + С3, С2у + С4) + С5,
г^2 = гу(ж cos а + г/ sin а, —ж sin а + гу cos а),
где Ci, С2, С г, ft, С в, а — произвольные постоянные, также будут решениями этого уравнения.
2°. Точные решения общего вида:
w(x,y) =
w(x,y) = (f2(r), r = л/(ж-а2J + (y-b2J;
где (fi(?), 4>i(r)— произвольные функции; a\, bi, a2, b2—произвольные постоянные.
3°. Любые решения линейных уравнений
Aw = 0 (уравнение Лапласа),
Aw = С (уравнение Пуассона),
Aw = Au> (уравнение Гельмгольца),
Aw = Au> + С (неоднородное уравнение Гельмгольца),
где С, X — произвольные постоянные, являются также решениями исходного уравнения. Об
уравнениях Лапласа, Пуассона, Гельмгольца см. книги А. Н. Тихонова, А. А. Самарского A972),
В. С. Владимирова A985), А. Д. Полянина B001 Ь).
Решения уравнения Лапласа Дги = 0 соответствуют безвихревым (потенциальным) реше-
решениям уравнений Эйлера. Такие решения подробно рассматриваются в книгах по гидродинамике
[см. Л. И. Седов A966), Л. Г. Лойцянский A973)], где широко используются методы теории
функций комплексного переменного.
4°. В левой части рассматриваемого уравнения стоит якобиан функций w nv = Aw. Равенство
якобиана нулю означает, что эти величины функционально зависимы, т. е. v должна выражаться
через w:
Aw = f(w), A)
где f(w) —произвольная функция. Любое решение уравнения второго порядка A) для любой
функции f(w) будет решением исходного уравнения.
Результаты п. 3° соответствуют частным случаям линейной функции f(w) = Лгу + С.
О решениях уравнения A) для некоторых нелинейных зависимостей / = f(w) см. 5.1.1.1,5.2.1.1,
5.3.1.1, 5.3.2.1, 5.3.3.1, 5.4.1.1 и разд. А.3.3-2 (пример 13).
5°. Точные решения в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, у) = Aix2 + А2х + Biy2 + В2у + С,
w(x, у) = Ах ехр(Аж) + А2 ехр(-Аж) + Bi ехр(Агу) + В2 ехр(-Агу) + С,
w(x, у) = А\ sin(Ax) + A2 cos(Ax) + B\ sin(Aiy) + B2 cos(Aiy) + С,
где А\, А2, В\, В2, С, Л — произвольные постоянные.
6°. Точные решения:
w(x,y) = (Ах + В)е~Ху + С,
w(x, у) = [Ai sm(/3x) + A2 cos(/3x)] \B\ sin(Aty) + B2 cos(Xy)] + С,
w(x, у) = [Аг sin(f3x) + А2 cos(f3x)] [Вг sh(Xy) + В2 сЦХу)] + С,
w(x, у) = [Ах sh(Px) + А2 ch(f3x)] [Bx sin (Лгу) + В2 cos(At/)] + С,
w(x, у) = [Ах sh(/3x) + A2 ch(f3x)] [В! sh(Xy) + В2 сЬ(Лгу)] + С,
w(x, у) = Aeax+fiy + Ве1Х+Ху + С, а2 + /З2 = 72 + Л2,
где А, В, С, D, к, /3, X — произвольные постоянные.
316 Уравнения третьего порядка
7°. Точное решение линейное по переменной х:
w(x, у) = F(z)x + G(z), z = у + кх,
где функции F = F(z) и G = G(z) описываются автономной системой обыкновенных
дифференциальных уравнений третьего порядка
F'ZF'Z'Z - FF'JL = 0, B)
G' F" - FG'" - 2к FF" C)
bztzz tbzzz- (/fc2 + 1)**«- V)
В результате однократного интегрирования получим систему уравнений второго порядка
(F'zJ - FF'Z'Z = Аи D)
G'zF'Z-FG"ZZ = -^_ f FF'z'zdz + A2, E)
где Ai, A2 —произвольные постоянные.
Автономное уравнение D) заменой Z(F) = {F'zJ приводится к линейному уравнению
первого порядка.
Общее решение уравнения B) [или D)] описывается формулами:
F{z) = BlZ + B2, Ax = В\;
F(z) = Вх ехр(Л^) + В2 ехр(-Л^), Ах = -4Х2В1В2;
F(z) = Вх sin(A^) + В2 cos(A^), Ах = Х2(В2 + Б22),
где В\, В2, Л — произвольные постоянные.
Общее решение уравнения C) [или E)] имеет вид
F = F(z), ф = 1Д-[ I FF'Z'Z dz + A2,
где С\, С2 — произвольные постоянные.
8°. Уравнение имеет точное решение вида
w(x,y) = а\п\х\ +V(?), С = у/х.
Значению а = 0 соответствует автомодельное решение.
> О других точных решениях см. уравнение 9.3.1.2.
® Литература к уравнению 9.3.1.1: А. А. Бучнев A971), В. К. Андреев, О. В. Капцов, В. В. Пухначев,
А. А. Родионов A994).
2. (Aw) (Aw) = 0, Aw = [г H —.
дв дг V ' дг дв V ' г дг \ дг J г2 дв2
Предварительные замечания. К данному уравнению сводится уравнение 9.3.1.1 путем перехода к
полярной системе координат [с центром в точке (ж0, у о), где х0 и у0 —любые] по формулам:
х = г cos в + х0, у = г sin 9 + у0 (прямое преобразование),
г = J(x — х0J + (у — 2/0J, tg 9 = — (обратное преобразование).
х — х0
Радиальная и тангенциальная компоненты скорости жидкости выражаются через функцию тока w следу-
следующим образом: иг = у ¦*$§-, ив = ~^г-
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
где функция U = U@) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением второго порядка
и'в'в + X2U = CU2^ (Л, С —любые).
Его решение можно представить в неявном виде. В частности, при G = 0 имеем
U = Ai sin(A0) + A2 cos(A(9) при Л / 0,
и = А!в + А2 при А = 0.
Значению А = 0 соответствует решение, зависящее только от угловой координаты в.
9.3. Уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера) 317
2°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
где функции /' = f'(г) и g = g@) описываются линейными обыкновенными дифференциальными
уравнениями
= (/3-Ar)/,
где /3, А— произвольные постоянные; L(/) = r~1{rf'r)'r.
3°. Точное решение:
w = bO + U(?), ^ = 6> + alnr, A)
где функция U = U(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
После однократного интегрирования, имеем
аЪи'к = (U'tJ + 2bU't + Ci, B)
где С\ — произвольная постоянная. Интегрируя далее, получим
4°. Точное решение линейное по переменной в:
Здесь функции / = /(г) и g = g(r) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
- f'Mf) + f[Uf)]'r = о,
- g'Mf) + /[L(»)]'r =0,
где Uf)=r-1(rfr)'r.
Система C) допускает первые интегралы. В результате для определения функций / и g
получим линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка
= Af,
где А, В — произвольные постоянные. При А = 0 решения уравнений D) имеют вид
/(г) = С11пг + С2,
g(r) = |Бг2 + С31пг + С4.
При А ф 0 решения уравнений D) выражаются через функции Бесселя.
> О других точных решениях см. уравнение 9.3.1.1.
® Литература к уравнению 9.3.1.2: А. А. Бучнев A971), В. К. Андреев, О. В. Капцов, В. В. Пухначев,
А. А. Родионов A994).
dw dBw dw dBw 2 dw
Bw = 0, Bw = r +
r dz dr \r dr )
dz dr dr dz r dz ^™ "' "^ dr V r dr J ' dz2
Предварительные замечания. К данному уравнению сводятся стационарные уравнения Эйлера, записан-
записанные для осесимметричного случая в цилиндрической системе координат, в результате введения функции
тока w по формулам ur = -^--§j-, uz = —-^r^r, где г = \Jх1 + у2, иг и uz —радиальная и осевая
компоненты скорости жидкости.
1°. Любая функция w = w(r, z), являющаяся решением линейного уравнения второго порядка
Еги = 0, будет также решением рассматриваемого уравнения.
318 Уравнения третьего порядка
2°. Точные решения:
w = (р(г),
w = (Ciz2 + C2z + C3)r2 + C4z + С5,
где (р(г) —произвольная функция, а С\, С2, Сз, С а, Съ —произвольные постоянные.
3°. Точное решение линейное по переменной z:
w(r, z) = (p(r)z + ф(г).
Здесь функции ср = <р(г) и ф = ф{г) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
<?>[L(<??)]r — iprJj{ip) — 2r ipJj{ip) = О,
— 2г~1(рЪ(ф) = О,
где L((p) = (p'rr -r'1^.
Система A) допускает первые интегралы. В результате для определения функций (риф
получим линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка
2r,
где С\, С2 —произвольные постоянные. Замена ^ = г2 приводит B) к линейным уравнениям с
постоянными коэффициентами
VZZ =Скр,
Интегрируя, получим
Г Ах ch(JfeO + Bi sh(A;O при Ci = к2 > 0,
(f = < Ах cos(^) + Bi sin(fcf) при Ci = -к2 < 0,
Ia^ + B! при Ci =0,
( A2 ch(k?) + B2 sh(k?) - C2/C1 при Сi = к2 > 0,
ф = 1 A2 cos(^) + B2 sin(^) - C2/C1 при Ci = -A;2 < 0,
[ }C2f + ^2^ + B2 при Ci = 0,
где A\, B\, A2, B2 —произвольные постоянные.
® Литература к уравнению 9.3.1.3: А. А. Бучнев A971), В. К. Андреев, О. В. Капцов, В. В. Пухначев,
А. А. Родионов A994).
9.3.2. Нестационарные уравнения
1 0 /А ч , 0117 0 ,А v d<W д , л , Л Л d2W . d2W
dt v ' ду дх v У дх ду v У ' дж2 Оу2
Предварительные замечания. К данному уравнению сводятся двумерные нестационарные уравнения
идеальной несжимаемой жидкости (уравнения Эйлера)
ди1 ди1 ди1 1 др
dt дх ду р дх
ди2 ди2 ди2 1 др
\- v>i Ь и2 = ,
dt дх ду р ду
дил ди0
Н = О
дх ду
путем введения функции тока w по формулам и1 = -^р-, и2 = ~~7^t c последующим исключением
давления (с помощью перекрестного дифференцирования) из первых двух уравнений.
О стационарных решениях см. разд. 9.3.1.
1°. Пусть w(x, у, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
W! = w[Cix + С2, Ciy + Сз, C\t + С а) + С5,
+ ysin/3, —xsinf3 + ycosfl, t),
w3 = w(x + ^(t), 2/ + ф(г), t) + ^(*)ж - 4>'t{t)y
где Ci, C2, C3, ft, /3 — произвольные постоянные, а <?>(?), ф^), x(t) — произвольные функции,
также будут решениями этого уравнения.
9.3. Уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера) 319
2°. Любое решение уравнения Пуассона Aw = С является также решением исходного урав-
уравнения. Решения уравнения Лапласа Aw = 0 описывают безвихревые (потенциальные) течения
идеальной несжимаемой жидкости.
3°. Точные решения общего вида:
w(x, у, t) = Q(z) + 4>'t(t)x - <p't(t)y, z = Ci[x + <p(t)] + C2[y
w(x, y,t) = Q(z) + t/,'t(t)x - <p't(t)y, z = [x + ф)]2 + [у
где Q(z), <p(t), (p(t) — произвольные функции; Ci, C2—произвольные постоянные.
Аналогичным образом по формулам из п. 1° можно построить нестационарные решения,
исходя из других стационарных решений (см. разд. 9.3.1).
4°. Точное решение линейное по переменной х:
w(x,y,t) = F(y,t)x + G(y,t), A)
где функции F(y,t) и G = G(y,t) определяются из системы одномерных уравнений третьего
порядка
dF 92F
+
dy ay* aj/3
otoyz oy oyz oy5
Уравнение B) решается независимо от уравнения C). Если F = F(y,t) — решение
уравнения B), то функции
F2 = CiF(Ciy + CiC2t + C3, Cft + C4) + C2,
где ip(t) —произвольная функция, Ci, C2, Сз, С а —произвольные постоянные, также будут
решениями этого уравнения.
Интегрируя уравнения B) и C) по у, получим систему уравнений второго порядка
f Jli_±^_ -F—^- = f2(t), E)
dtdy ду ду ду2
где fiit) и f2(t) — произвольная функция. Уравнение E) линейно относительно функции G.
Замена
G = / Udy-hF + tity, где U = U(y,t), F = F(y,t), F)
где функция h = h(t) описывается линейным обыкновенным дифференциальным уравнением
второго порядка
приводит E) к линейному однородному уравнению с частными производными первого порядка
dU J-, dU dF
dt dy dy
Таким образом, если известно частное решение уравнения B) или D), то определение
функции G сводится к решению линейных уравнений G), (8) с последующим интегрированием
по формуле F).
Точные решения уравнения B) приведены в табл. 8. Обыкновенные дифференциальные
уравнения в двух последних строках табл. 8, подстановкой H'z = V(H) сводятся к уравнениям
первого порядка с разделяющимися переменными. В табл. 9 указаны общие решения уравне-
уравнения E), соответствующие точным решениям уравнения B) из табл. 8.
Общее решение линейного неоднородного уравнения G) можно найти по формуле
^ [h2(t) I h1(t)f2(t) dt - tn(t) I
hit) = Cihxit) + C2h2(t) + \h2(t) / hxi^hi^dt-hxit) / h2(t)f2(t)dt\, (9)
320
Уравнения третьего порядка
ТАБЛИЦА 8
Точные решения уравнений B) и D)
1
2
3
4
5
6
7
8
Функция F = F(y,i)
(или общий вид решения)
f = ф)у + ф(г)
F = Аекр[-\у - \ip(t)] + ipft(t)
F = Ash[\y + \iP(t)]+iP't(t)
F = Ach[\y + \ip(t)]+ip't(t)
F = Asin[\y + \<if;(t)]+<ip/t(t)
F = A cos[Xy + \ip(t)] + i\)'t (t)
F = t-1H(z)+iP't(t), z = y + il>(t)
F = t-V*[H(z)-\z],z = yt-V*
Функция Д (t)
в уравнении D)
/iW = A2A2
/1(t) = -A2A2
/i(t) = AV
AW = A2A2
/iW = At-2
/iW = At-2
Определяющие функции
(или определяющее уравнение)
</?(?) и ^(t) —произвольны
^(t) —произвольна; А, А — любые
ip(t) —произвольна; А, А — любые
ip(i) —произвольна; А, А — любые
ф(г) —произвольна; А, А — любые
ip(t) —произвольна; А, А — любые
-А - H'z + (H'zJ - HH'Z'Z = 0
\-A-2H'z + {H'zf - HH'Z'Z = 0
ТАБЛИЦА 9
Точные решения уравнения E) [номер в первом столбце соответствует номеру точного решения в табл. 8]
34Q
1
2
3
4
5
6
7
8
Общее решение уравнения E) [везде 0(?) —произвольная функция]
о = i%e@ + ^у / f2№(t) dt, ? = И>М + /V>W$W л
Формула F), где U = е~Лгв@, С = * + ~X\eXz
Формула F), где U = sh(Xz)G^), g = t + -^- ln|th -^f-
Формула F), где С/ = ch(\z)Q(?), ? = t + -jfa- arctg(eA^)
Формула F), где U = 8m(\z)G(?), $ = t + ^ In|tg ^
Формула F), где t/ = cos(A^)e@, С = * + ^ 1п|^(^T + T) 1
Формула F), где t/ - е(ЙЯ(г), С - texp[/ -^y]
Формула F), где U e@^)exp[-^- / ^y], $ texp[/ -^-]
Обозначения
2; = у + VW
2; = у + VM
2; = у + VM
2; = у + VW
2; = у + VM
2; y + il){t)
z — -У—
где h\ = /ii(t) и /i2 = /&г(?) — фундаментальные решения соответствующего однородного
уравнения при /2 = 0, Wo = hi(h2)'t — /^2(^i)t —детерминант Вронского (Wo = const).
Для точных решений 2-8 из табл. 8 в формуле (9) следует положить:
hi = 1, /12 = t, Wo = 1 для решения 2;
/г1=е
"ЛЛ?
= 2АХ
hi = cos(AXt), h2 = sin(AXt), Wo = AX
5°. Точное решение:
w(x,y,t) = F((,t)x + G((,t), С =
для решений 3, 5, 6;
для решения 4;
для решений 7, 8.
9.3. Уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера) 321
где функции F(?,t) и G = G(?,t) определяются из системы одномерных уравнений третьего
порядка
d3F 4^^ о, (Ю)
дС ОС
d3G dG d2F
dG d2F d3G _ 2k / d2F d2F \
IK дС дС3 ~ k2 + 1 V дС dtdC )'
Интегрируя уравнения A0) и A1) по ?, получим
d2F / dF \2
HHf)
где /i(t) —произвольная функция, а функция Q(C,^) определяется по формуле
^«*С + /Я(*) №(*) -любая].
Уравнение A3) линейно относительно функции G. Замена U = -OS- приводит его к
линейному уравнению первого порядка
Уравнение A0) с точностью до переобозначения совпадает уравнением B), точные решения
которого описаны в табл. 8. В этих случаях решения соответствующего уравнения A4) можно
найти в квадратурах.
6°. Точное решение [частный случай решения вида A)]:
w(x, у, t) = ехр [-Ху -X (p(t) dt] \(Jix + C2-Ci I ф(г) dt] + (p(t)x + ф(г)у,
где (p(t), ф{Ь) — произвольная функция, С\, С2, X — произвольные постоянные.
7°. Точное решение:
w(x, у, t) = е~ у [A(t)e + B(t)e~ ] + <p(t)x ¦
г Г Г л
A(t) = Ci ехр \-/3 / ф(t)dt- X / (p{t) dt ,
j J
B(t) = C2 exp [/3 I >ф(р) dt-X f (p(t) dt],
где (p(t), ip(t) — произвольная функция, Ci, C2, A, C — произвольные постоянные.
8°. Точное решение:
= е~Ху
(x, у, t) = е~Ху [A(t) sin(/fo) + B(t) cos(f3x)] + ip(t)
Ait) = exp ( —A / ш dt) \Ci sin (/3 / ф dt) + C2 cos (/3 / г
v J / L \ J J ^ J '
Bit) = exp(-A Г (pdt\\Ci cosffi f ф dt) -C2sin(f3 j ^dt\\
где (p = <p(t), ф = ф{Ь) — произвольные функции, C\, C2, A, j3 — произвольные постоянные.
9°. Точные решения:
w(x, у, t) = A(t) exp(A;ix + Xiy) + B(t) exp(k2x + X2y) + ip(t)x -
v f /• и
Ait) = G\ exp Ai / (pit) dt — ki / фи) dt ,
L J J J
Bit) = C2 exp |"a2 / (p(t) dt-k2 / tj)(t) dt\,
21 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
322 Уравнения третьего порядка
где ip(t), ф(г) —произвольная функция; С\, С2 —произвольные постоянные; к\, Ai, к2, A2 —
произвольные параметры, связанные одним из двух соотношений:
к\ + Л? = &2 + А2 (первое семейство решений),
к\\2 = feAi (второе семейство решений).
10°. Точное решение:
w(x, у, t) = [Ci sin(Ax) + С2 cos(Ax)] [A(t) sin@y) + B(t) cos@y)] + (f(t)x,
A(t) = Cs cos(/3 fipdt + C4), B(t) = Cs sin(/3 fipdt + C4),
где (f = ip(t) — произвольная функция, С\, C2, Cs, C4, A, /3 — произвольные постоянные.
11°. Точное решение:
w(x, у, t) = [Ci sh(Ax) + C2 сЬ(Лж)] [A(t) sm@y) + B(t) cos@y)] + ip(t)x,
A(t) = Cs cos(/3 fipdt + C4), B(t) = Cs sin(/3 [tpdt + C^,
где 9? = 9?(t) — произвольная функция, C\, C2, Cs, C4, A, 0 — произвольные постоянные.
12°. Точное решение:
w(x, у, t) = f(z) + g(t)z + <p(t)x + ф(})у, z = kx + \y + J [\<p(t) - кфA)] dt,
где f(z), g(t), (f(t), ip(t)—произвольные функции, к, А — произвольные постоянные.
13°. Существуют «двумерные» решения вида
w = W(^r]) + с\х + с2у, ? = а\х + а2у + ast, г] = Ъ\х -\-Ъ2у -\-hst.
® Литература: А. А. Бучнев A971), П. Олвер A989), В. К. Андреев, О. В. Капцов, В. В. Пухначев,
А. А. Родионов A994).
dQ I dw dQ I dw dQ _ _ld/dw\l d2w
' ~дГ г~дв~~дг~ ~ ~г~дг~~дв~ ~ ' W ~ Vdr\r~dr~) r2"
дГ гдвдг гдгдв ~ ' W ~ Vdr\rdr) r2 дв2 '
Предварительные замечания. К данному уравнению сводится уравнение 9.3.4.1 путем перехода к
полярной системе координат [с центром в точке (ж0, у о), где х0 и у0 —любые] по формулам:
х = г cos в + х0, у = г sin в + ?/о (прямое преобразование),
г = л/(ж — жпJ + (у — 2/пJ, tg в = — (обратное преобразование).
V х-х0
Радиальная и тангенциальная компоненты скорости жидкости выражаются через функцию тока w следу-
следующим образом: и„ = —-%^-, и а = — -%^-.
1°. Точное решение линейное по переменной 0:
w(r,0,t) = /(r,tH + 5(r,i), A)
где функции f = f(r,t) и g = g(r, t) удовлетворяют системе уравнений
L(/t) - r-'fMf) + r-'nUDV = о, B)
49t) - r-'gMf) + r-'/Mr = 0. C)
Здесь индексы г и t обозначают соответствующие частные производные, L(/) = r~1(rfr)r-
2°. Для частного решения уравнения B) вида
f = 4>(t)\nr + %l)(t) D)
где (р = <p(t), ф = ip(t) — произвольные функции, уравнение C) заменой U = L(p) сводится к
линейному уравнению первого порядка Ut+r~1 fUr =0. Два частных решения этого уравнения
описываются формулами
U = 6(?), {; = г2 — 2 ip(t)dt (первое семейство решений, <р = 0),
[/ = в(^), ? = / / ip(t) dt (второе семейство решений,^ = 0),
У In r у
9.4. Другие нелинейные уравнения третьего порядка 323
где в(?) —произвольная функция. Второе слагаемое в решении A) [при условии, что первое
слагаемое имеет вид D)] выражается через U = U(r, t) следующим образом:
f$(r,t)dr, Ф(г,*) = ^- frU(r,t)dr,
где Ci(t), C^it) — произвольные функции.
Замечание. Уравнение B) имеет также частное решение / = 2(t+c) '
> О других точных решениях см. уравнение 9.3.2.1.
® Литература: А. А. Бучнев A971), П. Олвер A989), В. К. Андреев, О. В. Капцов, В. В. Пухначев,
А. А. Родионов A994).
9.4. Другие нелинейные уравнения третьего порядка
9.4.1. Уравнения, содержащие вторые и третьи производные по t
*„, * _ „„„I*+,<„?.+м„ *.+*,„+„„.
Точное решение в виде полинома третьей степени по х:
w(x, t) = ips(t)x3 + ip2(t)x2 + yi(t)x + <po(t),
где функции Lpn = (pn(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
Oil? Oil? . Oll7 л
2. h «к; \- bw r- = 0.
dt Ож at3
1°. Пусть w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
wi = Ci2w(Cfx + С2, Cit + С3),
где Ci, С2, Сз — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Решение типа бегущей волны:
где функция U = U(?) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением
In \w\ + a\w + bwf?? = C\.
3°. Автомодельное решение:
w = t u(z), z = ж/t ,
где функция и = гб(^) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
bB7z3u"zz + 54z2u"z + 6WZ) + 3 — uz - auz -2 = 0.
9.4.2. Уравнения, содержащие смешанные производные
d2w , f dw \2 d2w d3w
1. k — W = V
ddt V dx ) д2
dxdt V dx ) дх2
Это уравнение встречается в гидродинамике [см. 9.2.3.1, уравнение D)].
1°. Пусть w = w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
W2 = Ciw{Cix + CiC2t + C3, Clt + C4) + C2,
где ^(t) —произвольная функция, Ci, C2, Сз, С4 —произвольные постоянные, также будут
решениями этого уравнения.
21*
324
Уравнения третьего порядка
2°. Точные решения:
w(x,t) =
w(x,t) =
где ?/?(?)—произвольная функция, С\, С2, A — произвольные постоянные. Первое решение
является «невязким» (оно не зависит от г/).
3°. Решение типа бегущей волны (А — произвольная постоянная):
w = F(z), z = x + \t,
где функция F(z) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
\F'L + (F'zf-FF';z=vFZz.
4°. Автомодельное решение:
где функция G = G(z) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением
Решения в пп. 3°, 4° можно обобщить с помощью формул из п. 1°.
® Литература: А. Д. Полянин B001 а).
d2w , fdw\2 d2w d3w
2. -\- I I —
dxdt V dx )
f(t).
dx2 dx3
Это уравнение встречается в гидродинамике [см. уравнение C) в 9.2.3.2].
1°. Пусть w = w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
где ip(t) —произвольная функция, также будет решением этого уравнения.
2°. Вырожденное решение (линейное по х) для любой f(t):
w(x, t) = ip(t)x + ip(t),
где ip(t) — произвольная функция, а функция (р = <p(t) описывается уравнением Риккати
Vt + ^2 = f(t)- О точных решениях этого уравнения см. В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин B001 а).
3°. Точные решения при f(t) = Ае~Р\ А > 0, C > 0:
w(x,t) = Be~~ sin[Ax-
w(x, t) = Ве~~ cos[Ax -
где ip(t) —произвольная функция.
4°. Точные решения при f(t) = Ае^ь, А > 0, C > 0:
где ^(t) —произвольная функция.
5°. Точные решения при f(t) = Ае^, А < 0, C > 0:
В =
Р '
I 2\A\v
\ / И
где ip(t) —произвольная функция.
9.4. Другие нелинейные уравнения третьего порядка 325
6°. Точное решение при f(t) = Ае^ь, А — любое, C > 0:
где ф{Ь) —произвольная функция.
7°. Автомодельное решение при f{t) = At~2:
w(x, t) = t~1/2 [u(z) -\z], z = xt~1/2,
где функция и = u(z) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
\-А-2и'г+ (щJ - uu'L = vu'?zz,
порядок которого можно понизить на единицу
8°. Решение типа бегущей волны при f(t) = A:
w = ги(?), ^ = х + At,
где функция w(?) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
-А + Xw'^ + О4J - гиги^ = ^гу^,
порядок которого можно понизить на единицу
® Литература: А. Д. Полянин B001 йГ).
dw\2 d2w
1°. Пусть г^; = w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
где ip(t) —произвольная функция, также будет решением этого уравнения.
2°. Точные решения:
w(x,t)= °^
где ip(t)—произвольная функция, С\, Сг, А — произвольные постоянные. Первое решение
является вырожденным.
А dw d2w dw d2w o/ ч d3w
Точное решение линейное по переменной х:
w =
где функции (р(у) и ф(у) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
f<Pyyv + 4>4>уу ~ (^уJ + 9 = °5
/Фу'уу + Ч>Ф>уу - <РуФу
dw d2w dw d2w д
Точное решение линейное по переменной х:
w = ф(у)х
где функции ip(y) и ф(у) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
tf<Pyy)y + 4>4>"уу ~ D>yf + 9 = 0,
иФ'у'уУу + Ч>Фуу - Ч>уФ'у + h = 0.
326 Уравнения третьего порядка
, dw dw , „ d3w
6- ~zr =w^rr+fi-
=w^rr+fiдх dtdx2 '
ВВМ уравнение. Описывает длинные волны в дисперсных системах.
1°. Пусть w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
Wl = Ciw(x + С2, Cit + С3),
где С\, С2, Сз — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
и(х)
W = ,
t
где функция и = и(х) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
рихх — иих — и = 0.
Его решение можно представить в параметрическом виде
3°. Точное решение:
w=
где функция и = и(^) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
4°. Решение типа бегущей волны:
3
где sn(^; s) —эллиптическая функция Якоби с модулем s, a — амплитуда волны.
® Литература: D. N. Peregrine A966), Т. В. Benjamin, J. L. Bona, J. J. Mahony A972), N. Н. Ibragimov
A994, стр. 194-196).
10. Уравнения четвертого порядка
10.1. Уравнения, содержащие вторую производную по t
10.1.1. Уравнение Буссинеска и его модификации
л d2w , д ( dw
Уравнение Буссинеска в канонической форме.
1°. Пусть w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
ил = C!w(ClX + С2, ±C\t + С3),
где С\, С2, С2, — произвольные постоянные, также будут решениями этого уравнения.
2°. Точные решения:
w(x, t) = 2Cix - 2Cft2 + C2t + C3,
w(x, t) = (Cit + C2)x - -^riPit + C2f + C3t + C4,
М) = _|_ + Clt3x - ^-f + C2t2 + ^-,
^(ж, t) = -ЗА2 cos [у А(ж ± At) + Ci],
где Ci, C2, Сз, С4, A — произвольные постоянные.
3°. Решение типа бегущей волны (обобщает последнее решение из п. 2°):
где функция w(Q описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка
{С\, С2 — произвольные постоянные)
w'k + w2 + 2X2w + CiC + С2 = 0.
При Ci = 0 это уравнение интегрируется в квадратурах.
4°. Автомодельное решение:
w = \u(z), z=^,
где функция U = U(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
VZ, + (ии'Х + т^2^- + i*V* + 2t/ = о.
5°. Вырожденное решение (обобщает четыре первых решения из п. 2°):
где функции (р = y(t), ^ = ip(t), X = х{Р) описываются автономной системой обыкновенных
дифференциальных уравнений
// п 2
iftt = -6<f ,
Хи = -З^Х-Ф2-
328 Уравнения четвертого порядка
6°. Точное решение:
w = f(?)-4k2t2, ? = x-
Здесь функция / = /(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением третьего
порядка
2
где С, к — произвольные постоянные.
7°. Точное решение (обобщает предпоследнее решение из п. 2°):
w _ / , с \2ии\ _ 12
где функция u = u(t) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
второго порядка
// п 2
utt = — Ьи .
Функция u{t) представима через эллиптическую функцию Вейерштрасса.
8°. Точное решение:
t A\t / ' y/t 3
где С — произвольная постоянная, а функция F = F(z) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением четвертого порядка
F'Jzzz + (FF'Z)'Z + \zF'z + \F- \z2 = 0.
9°. Точное решение:
J , z = x(ait + ao) + bit + bo.
a^t + ад /
Здесь ai, ao, bi, &o —произвольные постоянные, а функция U = ?/(z) описывается обыкновен-
обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка
где ci, C2 —произвольные постоянные. При с\ = 0 решение уравнения A) можно представить
в неявном виде, при с\ ф 0 уравнение сводится к первому уравнению Пенлеве.
® Литература: P. A. Clarkson, M. D. Kruskal A989).
10°. Точное решение:
w(x,t) = a2U(z) — a~2(a2kt + &iJ, 2 = аж + ^a2kt2 +b\t + bo.
Здесь а, bi, bo, & — произвольные постоянные, a функция [/ = ?/(z) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением третьего порядка
U'z"zz + UU'Z + kU = 2k2z + с, B)
где с — произвольная постоянная. Уравнение B) сводится ко второму уравнению Пенлеве.
® Литература: P. A. Clarkson, M. D. Kruskal A989).
11°. Точное решение:
\2ТТ/ \ Г о-2х + X(a1t + а0M + ai^i I 2
¦ ao J су (zj — ,
L а^ [a-^t + uq) J
+ ao) H «-(ait + aoN + bit + bo-
Здесь ai, ao, bi, &o —произвольные постоянные, а функция U = ?/(г) описывается обыкновен-
обыкновенным дифференциальным уравнением третьего порядка
U"'zz + UUZ + 5ЛС/ = 50\2z + с, C)
где с — произвольная постоянная. Уравнение C) сводится ко второму уравнению Пенлеве.
® Литература: P. A. Clarkson, M. D. Kruskal A989).
10.1. Уравнения, содержащие вторую производную по t 329
12°. Точное решение:
w(x,t) =t~1U(z) - \Г2(х-Ш2J, z = xt~1/2 +at3/2,
где а — произвольная постоянная, а функция U = U(z) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением четвертого порядка
ТТП" I TTTT" I (ТТ'\2 I 3 „ТТ1 I 3 ТТ 9 2
Uzzzz + UUzz + \Uz) + ~^<Л + У^ = -gZ •
Решения этого уравнения выражаются через решения четвертого уравнения Пенлеве.
® Литература: P. A. Clarkson, M. D. Kruskal A989).
13°. Точное решение:
w(x,t) = (p2(t)U(z) jpr[X(Pt(t) + if>t(t)]2, z = (p(t)x + if;(t).
Здесь функции (р = <p(t) и ф = ф{Ь) описываются автономной системой обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка
4>tt — A-P •> D)
Фи = A.tp ф, E)
где А — произвольная постоянная, а функция U = U(z) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением четвертого порядка
Uzzzz + UUZZ + (U'zJ + AzU'z + 2AU = 2A2z2.
Первый интеграл уравнения D) имеет вид (В — произвольная постоянная)
Решение этого уравнения можно выразить через эллиптические функции Якоби. Общее решение
уравнения E) можно выразить через функцию ср = cp(t) по формуле
/ ГУ U\ i ГУ U\ f dt
ф = Ci<p(t) + C2^p\t) j —27T'
где Сi и С2 — произвольные постоянные.
® Литература: P. A. Clarkson, M. D. Kruskal A989).
14°. Уравнение Буссинеска интегрируется методом обратной задачи рассеяния, см. цитируемую
ниже литературу.
® Литература: В. Е. Захаров A973), J. Weiss A984), М. А. Абловиц, X. Сигур A987).
л d2w д ( dw
Ненормированное уравнение Буссинеска.
1°. Пусть w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
wi = C2w(Cix + С2, ±C2t + С3),
где Ci, C2, С2, — произвольные постоянные, также будут решениями этого уравнения.
2°. Точные решения:
w(x, t) = 2Cix + 2aC2t2 + C2t + C3,
w(x, t) = (dt + C2)x + -^{Cit + C2L + C3t + C4,
a[t + C)
( х\ х . гу ^3 , CLCf 8 , гу j.2 , °4
W[X.t) = \- bit X -\ 1 -\- U2t -\ ,
v J at2 54 t
г ,ч {х + СлJ 126
w(x t) = — eh [-^(ж ± Xt) ¦
где С\, С2, Сз, С4, X — произвольные постоянные.
330 Уравнения четвертого порядка
3°. Решение типа бегущей волны (обобщает последнее решение из п. 2°):
где функция и = u(Q описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго
порядка (С\, С2 — произвольные постоянные)
Ъи'1с + аи2 - 2Х2и + CiC + С2 = 0.
При С\ = 0 это уравнение интегрируется в квадратурах.
4°. Автомодельное решение:
где функция U = ?/(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
W + \zU'z + \z2U'L = a(UU'z)'z + bUZz-
5°. Вырожденное решение (обобщает четыре первых решения из п. 2°):
w(x, t) = ф)х2 + >ф(Ь)х + x(t),
где функции if = <?>(?), ^ = Ф^)? X = х(^) описываются автономной системой обыкновенных
дифференциальных уравнений
2
6°. Точное решение:
Здесь функция / = /(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением третьего
порядка
ZiCLKT ~\~ OCLK С ~т~ О —— СЬТТс ~\~ ОТ ??? j
где С, А; — произвольные постоянные.
7°. Точное решение (обобщает предпоследнее решение из п. 2°):
/ . ^ ч2 /.ч 126
где функция u = u{t) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
второго порядка
// п 2
г^? = баи .
Функция u(t) представима через эллиптическую функцию Вейерштрасса.
8°. Точное решение:
tKJ4:a\t J Vi 3
где С — произвольная постоянная, а функция F = i^(^) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением
a(FF'z)'z + bFZz = ~zFz + -F + — z2.
4 2 8a
" at2 ~ а2 +
Решения этого уравнения можно представить в виде
iu(s,t) = 2-J^-(lnu), A)
где функция и = u(x,t) описывается билинейным уравнением
д2и [ди\2 д4и . ди д3и п[д2и\2 д2и [ди\2 _
Ы) +А) + -^) =0- B)
10.1. Уравнения, содержащие вторую производную по t
331
1°. Одно- и двухсолитонные решения исходного уравнения, порождаются следующими реше-
решениями уравнения B):
и = 1 + А ехр (кх ± kt v 1 + к2 ),
16 = 1 + А\ exp(&ix + mi?) + А2 ехр(&2Ж + m2t) +
+ А1А2Р12 ехр [(&i + к2)х + (mi + тг)^],
где А, А\, Ачч к, к\, к2 — произвольные постоянные, и использованы обозначения
1 ~к2J + К ~п2J „. _ mi
пи = ±kiJl + k2, P12 =
® Литература: R. Hirota A973).
+/с2J
2°. Рациональные решения порождаются следующими решениями уравнения B):
и = х — t — 3,
и = (x±t)s + хтЫ-
® Литература: М. Абловиц, Ч. Сигур A987).
3°. Точное решение уравнения B):
и = ехрB&ж — 2mt) + (Сх — At) ехр(&ж — mt) — В,
А =
СBк2
12/с2A + /с
где к, С — произвольные постоянные.
® Литература: О. В. Капцов A998).
4°. Точные решения уравнения B):
и = sin(kx — mt) + Ax + ???,
и = sin(A;x) + Csin(mt) + Ecos(mt),
где А;, С — произвольные постоянные,
В =
АBк2 -
Е =
3-4/с2
® Литература: О. В. Капцов A998).
5°. Точное решение (С — произвольная постоянная):
U SlliyKXJ ¦, _ ^--^ ^„ v .„ j , /)/^»/г,2
® Литература: О. В. Капцов A998).
6°. Замена ги = -|-(t/ — 1) приводит к уравнению вида 10.1.1.2:
д2и
-С2 + к2С2 -4/с2
1-/с2
d2w
d2w
д
dt2
dw
Замена w = U — (a/b) приводит к уравнению вида 10.1.1.2:
о2 тт <~
dt2 ~ ~д
332 Уравнения четвертого порядка
10.1.2. Другие уравнения с квадратичной нелинейностью
2
d2w d2w . u(dw\2 . 2 .,.. d2w
1°. Точное решение при с/(а + Ь) = &2 > 0:
w(x,t) = <?i(?) + <^2(?)cos(?;x) + (^3(^)sin(A;x),
где функции Lpn = <^n(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
Ч>'{ = af\ +bk2(cpl + (pl) -h(t)(pi -p(t),
ip'i = Bc - ак2)<ркр2 + [k2f(t) - k4g(t) - h(t)]<p2,
<& = Bc - ak^ipups + [k2f(t) - k4g(t) - h(t)]<p3.
Штрихи обозначают производные по t. Из двух последних уравнений имеем ^2/^2 = ^з/^з-
Отсюда следует, что
<?3 = Cl(f2 + C2P2 / —«-, A)
J vi
где Ci, С2 — произвольные постоянные.
2°. Точное решение при с/(а + Ь) = —А;2 < 0:
гу(ж, t) = <pi(t) + <p2(t) ch(kx) + ^3(t) sh(te),
где функции 9?n = ipn(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
V?" = cvj? +6АJ(<^з - V>1) ~ h(t)<pi -p(t),
f'i = Bc + ak2)vif2 ~ [k2f(t) + k4g(t) + h(t)]<p2,
tp'l = Bc + afc2Viv?3 - [k2f(t) + k4g(t) + h(t)]<p3.
Функцию if 2, можно выразить через функцию if 2 по формуле A).
3°. Частный случай: а/Ъ = — -|-, be < 0.
Точное решение:
w(x,t) = if>i(t) -\-ifj2(t)cos(kx) + ^3^)cos(yA;x), A; = л/-Зс/Ъ.
Здесь функции фп = t/jn(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений
ф'( = Сф\ + Ь/с>22 + (А + \Ък2)ф1 - h(tLl>! - pit),
ф'2' = Bс - ак2)^^ + Аф1 + [k2f(t) - k4g(t) -
ф% = Bс - \ак2)фгфг + Ък2ф2фг + [\k2f(t) - -±r
где
А= \[Ас-{а + Ъ)к2}.
Существует более общее точное решение вида
w(x,t) = ipi(t) + ip2(t) cos(kx) + ip3(t)sm(kx) + Фа^) cos(yA;x)
где А; = д/—Зс/Ь.
4°. Частный случай: а/Ъ = — -|-, 6с > 0.
Точное решение:
A;x), А; =
Здесь функции фп = t/jn(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений
ФЧ = сф\ - Ьк2ф1 + {А- \Ък2)ф1 - /i
V2 = Bс + ак2)фгф2 + Аф\ - [k2f{t) + k4g{t)
V-з = Bс + ^ак2)ф!фз - к2ф2ф3 - H
где
10.2. Уравнения гидродинамики (уравнения Навъе—Стокса) 333
Существует более общее точное решение вида
w(x, t) = ^i{t) + ф2{Ь) oh{kx) + i/j3(t) sh(kx) + ip4(t) oh{\kx) + фъ{Ь) sh(±kx),
где к = д/Зс/Ь.
® Литература к уравнению 10.1.2.1: V. A. Galaktionov A995).
3 / dw \2 ,.
Уравнение имеет точное решение в виде полинома четвертой степени по х:
w(x, t) = (p4(t
® Литература: V. A. Galaktionov A995).
Точное решение в виде полинома четвертой степени по х:
w(x, t) = ip4(t>4 + ^{t)x2> + ip2(t)x2 + (p!(t)x + <po(t),
где функции Lpn = <^n(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
if 2 = B4/(^4
10.2. Уравнения гидродинамики (уравнения Навье — Стокса)
10.2.1. Стационарные уравнения
ди1
дх
ди2
дил
ди1
дис,
ду дх дх ду
Предварительные замечания. К данному уравнению сводятся двумерные стационарные уравнения вязкой
несжимаемой жидкости
]_др_
р дх
1 др
р ду
путем введения функции тока w по формулам и1 = -^-, и2 = — -^- с последующим исключением
давления (с помощью перекрестного дифференцирования) из первых двух уравнений.
® Литература: Л. Г. Лойцянский A973).
1°. Пусть w(x,y) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
wi = w(Cix + C2, Ciy + С3) + Са,
W2 = w(x cos a + у sin а, —ж sin a + у cos а),
где С\, Сг, Сз, G4, а — произвольные постоянные, также будут решениями этого уравнения.
(•) Литература: В. В. Пухначев A960).
2°. Любое решение уравнения Пуассона Дги = С является также решением исходного уравне-
уравнения (это — «невязкие» решения). Об использовании этих решений в гидродинамике идеальной
жидкости см. Л. И. Седов A966), М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат A973).
334 Уравнения четвертого порядка
3°. Точные решения в виде функции одного аргумента или суммы функций разных аргументов:
w(y) = Ciy3 + С2у2 + С3у + С*,
w(x, у) = Cix2 + С2х + С3у2 + СаУ + С5,
w(x, у) = С\ ехр(-Ху) + С2у2 + С3у + С4 + vXx,
w(x, у) = С\ ехр(Лж) — vXx + С2 ехр(Лг/) + vXy + Сз,
гу(ж, 2/) = Ci ехр(Лж) + i/Лж + С2 ехр(—Ху) + vXy + Сз,
где Ci, С2, Сз, С а, Съ, X — произвольные постоянные.
® Литература: В. В. Пухначев A960), Л. Г. Лойцянский A973), А. Д. Полянин B001 d).
4°. Точные решения:
w(x, у) = А(кх + ХуK + В(кх + ХуJ + С{кх + Ху) + D,
w(x, у) = Ае~Чу+кх) + В (у + кхJ + C(j/ + А;ж) + vX(k2 + 1)ж + D,
где А, 5, С, D, к, /3, Л — произвольные постоянные.
® Литература: В. В. Пухначев A960).
5°. Точные решения:
w(x, у) = б!Ух(у + Л) + А(у + ЛK + В(у + Л) + С (у + А)~2 + D {уф 0),
^(ж, I/) = (Ах + Б)е"Лу + i/Лж + С,
е~Ху
ю(ж, ?/) = [A sh(Px) + Б сЬ(^ж)] е + (/З + Л)ж
А
гу(ж, ?/) = [A sm(/3x) + Б cos(/3x)]е~Ху + — (Л2 - /32)
Л
ю(ж, ?/) = АеХу+Cх + Бе7Ж + ^72/ + ~l(P --у)х + С,
А
где А, В, С, D, к, C, X — произвольные постоянные.
Частный случай. Полагая во втором решении А = —г/Л, В = С = 0, Л = y/k/i/, получим
w = у/кь>x\l — ехр(— y/k/vy)]. Это решение описывает стационарное движение жидкости, вызванное
движением точек поверхности у = 0 со скоростью и-^\ 0 = /еж.
® Литература: А. Д. Полянин B001 d).
6°. Точное решение линейное по переменной х:
w(x,y) = F(y)x + G(y), A)
где функции F = F(y) и G = GB/) описываются автономной системой обыкновенных
дифференциальных уравнений четвертого порядка
F'F" - FF'" - vF"" B)
*- у1- уу *- *- ууу — и-1- yyyyi \^J
Г1 Т?" — ТРС1'" — иГ"" С\\
Kjyryy Г ^ууу — "^уууу \D)
В результате однократного интегрирования получим систему уравнений третьего порядка
{F'yf-FF';V=VFZV+A, D)
G'yF'v-FG';y=vG';'yy+B, E)
где А ж В — произвольные постоянные. Порядок автономного уравнения D) может быть
понижен на единицу.
Нетрудно проверить, что уравнение B) имеет частные решения:
F(y) =ау + Ъ, F)
F(y) = 6u(y + a)-\ G)
F(y) = ae~Xv + Ai/, (8)
где а, 6, Л — произвольные постоянные.
В общем случае уравнение E) подстановкой U = G'y приводится к линейному неоднород-
неоднородному уравнению второго порядка
vUyy+FU'y-F'yU + B = ^ где U = G'y. (9)
10.2. Уравнения гидродинамики (уравнения Навъе—Стокса) 335
Соответствующее однородное уравнение (при В = 0) имеет два линейно независимых частных
решения:
""" "" "" г *"' ' (Ю)
(Первое частное решение однородного уравнения следует из сопоставления уравнений B) и (9)
при В = 0.) Поэтому общие решения уравнений (9) и C) даются формулами (см. В. Ф. Зайцев,
А. Д. Полянин, 2001а):
В
v
Общее решение уравнения C), соответствующее частному решению G), имеет вид
G(y) = Ci(y + aK + С2 + Сз(у + а)-1 + С4(у + а),
где С\, С2, Сз, С4 — произвольные постоянные (они выражаются через С\, Сч, Сз, С 4)-
Общие решения уравнения C), соответствующее частным решениям F) и (8), определяются
по формулам A0), A1).
® Литература: А. Д. Полянин B001 d).
Частный случай. Решение вида A) при G(y) = kF(y) описывает ламинарное движение жидкости в
плоском канале с пористыми стенками. В этом случае уравнение C) выполняется в силу уравнения B).
® Литература: A. S. Berman A953).
7°. Точное решение:
w(x, у) = F(z)x + G(z), z = у + kx,
где функции F = F(z) и G = G(z) описываются автономной системой обыкновенных
дифференциальных уравнений четвертого порядка
A2)
G'ZF';Z - FGZz = Ф2 + l)G'z"Lz + ViuFZ, + -^—FF'Z'Z. A3)
В результате однократного интегрирования получим систему уравнений третьего порядка
(F'zf - FF';Z = v(k2 + V)FZZ + A, A4)
G'ZF'Z - FG"ZZ = v{k2 + 1)G'Z"ZZ + Ф(г) + В, A5)
где А и В — произвольные постоянные, а функция ip(z) определяется формулой
= 4kiyF'z'z + —^— / FF'Z'Z dz.
k2 + 1 J
Порядок автономного уравнения A4) может быть понижен на единицу.
Нетрудно проверить, что уравнение A2) имеет частные решения:
F(z) = az + b, z = у + kx,
F(z) = ae~Xz + \is(k2 + 1),
где a, b, Л — произвольные постоянные.
В общем случае уравнение A5) подстановкой U = G'z приводится к линейному неоднород-
неоднородному уравнению второго порядка, которое при ф = В = 0 (т. е. в однородном случае) имеет
частное решение U = < *z П^И *,f _ ' Поэтому его общее решение можно выразить в
квадратурах (см. В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин, 2001 а).
® Литература: А. Д. Полянин B001 d).
336 Уравнения четвертого порядка
8°. Автомодельное решение:
w = J F(z)dz + d, z
где функция F описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением пер-
первого порядка
3v(F'zJ - 2F3 + 12vF2 + C2F + С3 = 0, A6)
С\, Сг, С2, — произвольные постоянные. Общее решение уравнения A6) можно записать в
неявном виде (его можно выразить в эллиптических функциях Вейерштрасса).
® Литература: Л. Г. Лойцянский A973, стр. 491^93).
9°. Уравнение имеет точное решение вида
w = а\п\х\ + / V(z)dz + Ci, z = arctgf—Y
Значению а = 0 соответствует автомодельное решение A6).
> О других точных решениях см. уравнение 10.2.1.3.
dw д ,А . dw д ,А . А А , л/ ч А d2w . d2w
Предварительные замечания. К данному уравнению путем введения функции тока w по формулам
и1 = -^гЧ и2 = ~"§^ сводится система уравнений
дил дил 1 др
дх
ди^_
ду
ди2
ду
Р
1
Р
дх
др
ду
+ = 0
^ж ду
описывающая плоское течение вязкой несжимаемой жидкости под действием поперечной силы. Здесь
y
Случай F(y) = a sin(Xy) соответствует модели А. Н. Колмогорова, которая используется для описания
докритических и переходных режимов (от ламинарного течения к турбулентному).
® Литература: О. М. Белоцерковский, А. М. Опарин B000, стр. 106-110).
1°. Точное решение в виде функции одного аргумента:
w(y) = -j- f\y- zff(z) dz + С1У3 + C2y2 + C3y + C74,
где Ci, C2, Сз, С4 — произвольные постоянные.
2°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов для произвольной /(г/):
w(x, у) = -^- Г (у - zL(z) dz + Cie-Xy + С2у2 + Csy + C4 + v\x,
^v Jo
eXzf(z)dz,
J
где С\, С2, Сз, С4, X — произвольные постоянные.
Частный случай. В случае f(y) = aCcos(Cy), что соответствует F(y) = asin(fly), из предыдущей
формулы при Сг = С2 = С4 = 0, В = — р\ можно получить решение
где В, С — произвольные постоянные. Это решение указано в книге О. М. Белоцерковского, А. М. Опарина
B000, стр. ПО); оно описывает течение с периодической структурой.
3°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов при f(y) = АеХу + Ве~Ху:
w(x, у) = Cie~Xx + С2х - ——еХу + —— rve~Xy ~ V^V^
А3(С2+г/А) А3(С2 — v\)
где С\, С2 — произвольные постоянные.
10.2. Уравнения гидродинамики (уравнения Навъе—Стокса) 337
4°. Точное решение линейное по переменной х:
w(x,y) = <р(у)х + ф(у),
где функции (р = (р(у) и ф = ф(у) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений четвертого порядка
Ч>уЧ>уу - 4>4>ууу = vWyyyyi (!)
ФуФуУ - Ч>Фууу = Vtfyyyy + /Ы- B)
После однократного интегрирования получим систему уравнений третьего порядка
(<ру) -ч>Ч>уу = "<Рууу + А, C)
Фуфу - ^Ф'у'у = "Фу"уу + / /Ы dV + Bi D)
где А и В — произвольные постоянные. Порядок автономного уравнения C) может быть
понижен на единицу
Нетрудно проверить, что уравнение (I) имеет частные решения:
if (у) =ау + Ь,
if (у) = 6г/(у + а)~1,
if (у) = ае~Ху + Ai/,
где а, Ь, X — произвольные постоянные.
В общем случае уравнение D) подстановкой U = ф'у приводится к линейному неоднород-
неоднородному уравнению второго порядка
uU^y + ipVy - <p'yU + F = 0, где и = ф'у, F = j f(y)dy + B. E)
Соответствующее однородное уравнение (при F = 0) имеет два линейно независимых частных
решения:
*d*_ где ф = ехр(_1 f d\
Щ \ v J )
d2w
Ul = iy v
[if при if = ay + b,
(Первое частное решение однородного уравнения следует из сопоставления уравнений A) и E)
при F = 0.) Поэтому общие решения уравнений E) и B) даются формулами (см. В. Ф. Зайцев,
А. Д. Полянин, 2001а):
-Ui IU2^-dy--U2 [Ui^-dy, ф= [
У J Ф У J Ф J
„ ldwd/A4 1 9w а , д х АА А 1 д ( dw \ I
3. (Aw) (Aw) = vAAw. Aw = [r M—^^-
г дв дгУ ' г дг дв V ' ' r dr V dr J г2 дв2
Предварительные замечания. К данному уравнению сводится уравнение 10.2.1.1 путем перехода к
полярной системе координат [с центром в точке (хо,уо), где х0 и у0 —любые] по формулам:
х = г cos в + х0, у = г sin в + у0 (прямое преобразование),
г = J(x — xQJ + (у — у0J, tg в = — (обратное преобразование).
х — х0
Радиальная и тангенциальная компоненты скорости жидкости выражаются через функцию тока w следу-
следующим образом: иг = у ¦*$§-, ив = ~^г-
1°. Любое решение уравнения Пуассона Аг^ = С является также решением исходного уравне-
уравнения (это — «невязкие» решения).
2°. Точные решения в виде функции одного аргумента и суммы функций разных аргументов:
w{r) = Cir2\nr + C2r2 + C3lnr + C4,
w(r, в) = AvQ + CirA+2 + C2r2 + C3 In r + C4,
где A, Ci, C2, Сз, С4 — произвольные постоянные.
® Литература: В. В. Пухначев A960).
22 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
338 Уравнения четвертого порядка
3°. Точное решение:
ги = 60+ ?/(?), ^ = 6> + alnr, A)
где функция U(?) описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением
v(a2 + 1)U\A) - а(Ъ + 4i/)C/^ + 2F + 2v)U'{t + 2С^С/^ = 0.
После однократного интегрирования имеем
v(a2 + 1)С/^ - аF + 4i/)С/^ + 2F + 2v)U[ + (f/^J = Си C)
где Gi —произвольная постоянная. Уравнение C) является автономным и не зависит явно от U.
Преобразование
z = U'o uB) = E&
приводит его к уравнению Абеля второго рода
v{a2 + 1)гш'ж - a(b + 4i/)u + 2F + 2v)z + z2 = Ci, C)
которое интегрируется в квадратурах, например, в случаях а = 0и6=— Av\
vu2 + \z3 + 2{h + 2v)z2 = 2Ciz + C2 при а = 0,
i/(a2 + l)w2 + |-/-4^2 = 2Ciz + C2 при 6 = -4i/.
Четыре других случая разрешимости уравнения C) описаны в книге В. Ф. Зайцева, А. Д. Поля-
Полянина B001 а) [сначала надо привести C) к каноническому виду заменой и = кп, где к = const].
Отметим, что значениям а = 6 = 0 в A)-C) соответствует решение, зависящее только от
угловой координаты 9 (это решение можно записать в неявном виде, см. уравнение 10.2.1.1,
п. 8°).
4°. Точное решение линейное по переменной в:
Здесь функции / = /(г) и д = д(г) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
-frL(f) + f\L(f%=urL2(f), D)
-g'Mf) + f[b{g)l = Vrb2{g), E)
где L(/)=r(r/;);.
Частное решения уравнения D) имеет вид /(г) = Cilnr + C2. Соответствующее ему
уравнение E) подстановкой Q = Ъ(д) сводится к линейному уравнению второго порядка,
которое легко интегрируется (поскольку имеет частное решение Q = 1). В результате получим
точное решение системы D)-E):
/(г) = d In г + С2, д(г) = Сзг2 + С41пг + C5f[JrQ(r)dr\ ^- + С6,
Q(r)=
где Gi, Gг, Gз, ft, Съ, Cq —произвольные постоянные.
® Литература: А. Д. Полянин B001 d).
. 1 f dw dEw dw dEw \ 2 dw _ ^2
4. — Bw = i/Eto,
r V Oz Or dr dz J r2 dz
Предварительные замечания. К данному уравнению сводятся стационарные уравнения Навье — Стокса,
записанные для осесимметричного случая в цилиндрической системе координат, в результате введения
функции тока w по формулам иг = -у ^г, uz = — -у -^г, где г = \/х2 + у2, иг и uz —радиальная и
осевая компоненты скорости жидкости.
® Литература: Дж. Хаппель, Г. Бреннер A976, стр. 124).
10.2. Уравнения гидродинамики (уравнения Навъе—Стокса) 339
1°. Любая функция w = w(r, z), являющаяся решением линейного уравнения второго порядка
Ew = 0, будет также решением рассматриваемого уравнения.
2°. Точные решения в виде функции одного аргумента и суммы функций разных аргументов:
w(r) = Cir4 + C2r2 In r + C3r2 + С4,
w(r, z) = Avz + CirA+2 + C2r4 + C3r2 + C4,
где A, Ci, C2, Сз, С4 — произвольные постоянные.
3°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(r,z) = r2f(z),
где функция / = f(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением (С —
произвольная постоянная):
vf'"zz+Vfzz-{fzJ=C. A)
Данное решение описывает осесимметричное натекание жидкости на стенку (течение в окрест-
окрестности критической точки).
® Литература: Г. Шлихтинг A974, стр. 99-100).
4°. Точное решение квадратичное по переменной г (обобщает решение из п. 3°):
w(r, z) = r2f(z) + Az + В,
где А, В — произвольные постоянные, а функция / = f(z) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением A).
5°. Точное решение линейное по переменной z:
w(r, z) = (p(r)z + ф(г).
Здесь функции ср = <p(r) и ф = ф(г) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
l ' V 2^), B)
ф), C)
где L(ip) = (p'rr - r~ 1(p'r.
Частное решение уравнения B):
(p(r) = Cir2 + C2,
где С\ и ft — произвольные постоянные. В этом случае замена U = L(^) приводит C) к
линейному уравнению второго порядка.
1 / dw dBw dw dBw \ , 1 / ^ л dw 2
ё-вГ - -*г + Bt0
d2w sin6> д
Предварительные замечания. К данному уравнению сводятся стационарные уравнения Навье — Стокса,
записанные для осесимметричного случая в сферической системе координат, в результате введения
функции тока w по формулам иг = г2^пв -^§-, ив = ~ Гз1пв ~ЪГ> где r = V^2 + У2 + z<2> игиив —
радиальная и угловая компоненты скорости жидкости.
® Литература: М. Ван-Дайк A967, стр. 205).
1°. Любая функция w = w(r,9), являющаяся решением линейного уравнения второго порядка
Ew = 0, будет также решением рассматриваемого уравнения.
Частный случай. Точное решение:
т(г,в) = (Схт2 + C2r-1)sin20,
где С1, С2 — произвольные постоянные.
2°. Автомодельное решение:
w(r,6) =
22*
340 Уравнения четвертого порядка
где функция / = /(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением первого
порядка
2A - f)/{ - f + 4f + Cif + C2ti + Сз = 0, A)
Ci, C2, С2,—произвольные постоянные.
Уравнение Риккати A) заменой / = —2A — ^2)д'^/д сводится к гипергеометрическому
уравнению
A - е?9'к + (Cie + С2? + С3)д = О,
которое при С it;2 + С 2^ + Сз = АA — ?2) имеет степенные решения
Частный случай. В задаче Ландау об истечении осесимметричной затопленной струи-источника
решение уравнения A) дается формулой
i = С2 = С3 = 0),
где постоянную интегрирования В можно выразить через импульс струи.
® Литература: Н. А. Слезкин A934), Л. Г. Лойцянский A973, стр. 494-495), Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц
A986).
10.2.2. Нестационарные уравнения
1. —(Aw) -\ (Aw) (Aw) = vAAw. Aw = — -\ —.
dt V ' dy dx V ' dx dy V ' ' дх2 ду2
Предварительные замечания. К данному уравнению сводятся двумерные нестационарные уравнения
вязкой несжимаемой жидкости
дил дил дил 1 др
dt дх ду р дх
ди9 ди9 ди9 1 др
dt дх ду р ду
d^i + ди2 =()
дх ду
путем введения функции тока w по формулам и1 = -^-, и2 = ~~§^г с последующим исключением
давления (с помощью перекрестного дифференцирования) из первых двух уравнений.
® Литература: Л. Г. Лойцянский A973).
О стационарных решениях см. разд. 10.2.1.
1°. Пусть w(x, у, t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функции
W! = w(Cix + С2, Ciy + Сз, Clt + С4) + С5,
гиг = w(xcos C + |/sin/3, — х sin f3 + у cos f3, t),
w3 = w(x + ^(t), у + ^(t), t) + >ф'ь(Ь)х - ipft(t)y + x(*),
где C\, C2, C3, Ca, /3 — произвольные постоянные, a ip(t), ip(t), x(t) — произвольные функции,
также будут решениями этого уравнения.
® Литература: В. В. Пухначев A960), Л. В. Овсянников A978), S. P. Lloyd A981).
2°. Любое решение уравнения Пуассона Дги = С является также решением исходного уравне-
уравнения (это — «невязкие» решения). Об уравнении Пуассона см., например, книги А. Н. Тихонова,
А. А. Самарского A972), А. Д. Полянина B001 Ь).
Пример невязкого решения, содержащего пять произвольных функций:
w = ф)х2 + %l)(t)xy + [С - ф)]у2 + a(t)x + b(t)y + c(t).
3°. Решение, зависящее от одной пространственной переменной:
w = W(x,t),
где функция W удовлетворяет линейному неоднородному уравнению теплопроводности
dW d2W , . , .
fi(t), fo(t) —произвольные функции. Аналогичному уравнению удовлетворяет решение вида
w = V(y,t).
10.2. Уравнения гидродинамики (уравнения Навъе—Стокса) 341
4°. Точное решение линейное по переменной х:
w(x,y,t) = F(y,t)x + G(y,t), A)
где функции F(y,t) иС = G(y,t) определяются из системы одномерных уравнений четвертого
порядка
dsF . dF d2F dsF d4F
dtdy2 dy dy2 dy* dy^
d3G 8G d2F ^d3G 84G
dtdy2 ду ду2
Уравнение B) решается независимо от уравнения C). Если F = F(y,t) — решение
уравнения B), то функции
F2 = CiF(Ciy + CiC2t + C3, Cft + C4) + C2,
где ^(t) —произвольная функция, Ci, C2, Сз, С4 —произвольные постоянные, также будут
решениями этого уравнения.
Интегрируя уравнения B) и C) по у, получим
d2F
dtdy ' dy dy ~ ду* -' dy* гШ> E)
где /i (t) и /2 (t) — произвольные функции. Уравнение E) линейно относительно функции G.
Замена
G = j Udy-hF + tity, где U = U(y,t), F = F(y,t), F)
где функция h = h(t) удовлетворяет линейному обыкновенному дифференциальному уравнению
приводит E) к линейному однородному уравнению второго порядка параболического типа
dU _ d2U dU dF
dt dy2 dy dy
Таким образом, если известно частное решение уравнения B) или D), то определение
функции G сводится к решению линейных уравнений G)-(8) с последующим интегрированием
по формуле F).
Точные решения уравнения B) приведены в табл. 10. Обыкновенные дифференциальные
уравнения в двух последних строках табл. 10, определяющие решение типа бегущей волны
и автомодельное решение, являются автономными и поэтому допускают понижение порядка.
Отметим, что решения вида A) при F(y,t) = Cy/t рассматривались в работе В. В. Пухначева
A960) [эти решения соответствуют функции cp(t) = С/t в первой строке табл. 10].
Общее решение линейного неоднородного уравнения G) можно найти по формуле
h(t) = C\h\(t) + C2h2(t) -\ \h2(t) I h\(t)f2(t) dt — h\(t) I /12(^/2(^) dt\, (9)
Wo L J J J
где hi = hi(t) и /i2 = h2(t) — фундаментальные решения соответствующего однородного
уравнения при /2 = 0, Wo = hi(h2)ft — h2(hi)ft —детерминант Вронского (в данном случае
Wo = const). В табл. 11 приведены фундаментальные решения однородного уравнения G),
соответствующие указанным в табл. 10 точным решениям уравнения B).
Уравнение (8) для любой функции F = F(y,t) имеет тривиальное решение. Выражения в
табл. 10-11 и формулы F) и (9) при U = 0 описывают некоторые точные решения вида A). Более
широкий класс точных решений можно получить, если рассмотреть нетривиальные решения
уравнения (8).
342
Уравнения четвертого порядка
ТАБЛИЦА 10
Точные решения уравнений B) и D) [(f(t) и ip(t) —
произвольные функции, А, Л — произвольные постоянные]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Функция F = F(y,t)
(или общий вид решения)
f = ф)у + ф(г)
F = Aexp[-\y - \ip(t)] +^{(t) + z/A
F = Ae~^ sin[A2/ + Хф(г)] + ^J(t)
F = Ae-Pt cos[Xy + A^(t)] + ^J(t)
F = Ae^ sh[A2/ + A^(t)] + ^{(t)
F = Ae^ ch[A2/ + A^(t)] + VJM
Г -WKz)e 4A2^(t) + AV(t) Л
^ = ^@, e = 2/ + л*
Функция Д (t)
в уравнении D)
f1(t) = Be-W
f1(t) = Be-W
f1(t) = Be^t
f1(t) = Be^t
fi(t) = A
flit) = At~2
Определяющие коэффициенты
(или определяющее уравнение)
—
—
C = vX2, В = А2Х2 > 0
р = vX2, В = А2Х2 > 0
13 = 1уХ2, В = А2Х2 > 0
C = иХ2, В = -А2Х2 < 0
C = 2уХ2
-A + AF^ + (F^J-FF^=i/F^
В табл. 12 приведены преобразования, упрощающие уравнение (8) для некоторых из
указанных в табл. 10 решений уравнения B) [или D)]. Видно, что в первых двух случаях
решения уравнения (8) выражаются через решения линейного уравнения теплопроводности с
постоянными коэффициентами. Еще в трех случаях уравнение (8) приводится к уравнению с
разделяющимися переменными.
Третье уравнение в табл. 12 имеет частные решения (В\, В2 —любые):
Z{r,) = B1+B2j Ф^) dri,
Z(V, t) = Biv\4 + B1J Ф(г,) [J
= ехр (Ае" -
dV.
О других точных решениях этого уравнения см. книгу А. Д. Полянина B001 Ь), где рассматри-
рассматривалось более общее уравнение вида dtw = f(x)dxxw + g(x)dxw.
® Литература: А. Д. Полянин B001 d).
5°. Точное решение (обобщает решение из п. 4°):
где функции F(?, ?) и G = G(^t) определяются из системы одномерных уравнений четвертого
порядка
dsF OF d2F F^SF _ 2 i\#4f
d3G dG d2F
Интегрируя уравнения A0) и A1) по ?, получим
а2 С ^F ^С
A2)
A3)
10.2. Уравнения гидродинамики (уравнения Навъе—Стокса)
343
ТАБЛИЦА 11
Фундаментальная система решений, определяющая общее решение (9) неоднородного
уравнения G) [номер в первом столбце соответствует номеру точного решения из табл. 10]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Фундаментальная система решений
Ai = Ф@, Л2 = *(*) / ф%
/i-L = 1, /i2 = t
h^ = 1, h2 = t
Ai=/o(^e-/»).A2 = *o(^e-/")
A1=Jo(^e-0')>A2 = tfo(^-e-'")
Ai=J0(^-^),A2 = y0(^-e^)
A: = ch(fct), /i2 = sh(fct)
йх = cos(fet), h2 = sin(kt)
h1=\t\Y^ h2=\t\j^
h1 = \t\^i h2 = \t\i\n\t\
h1 = \t\i cos(/xln|?|), h2 = \t\i sin(/xln|t|)
Вронскиан Wo
И/о = /5
И/о = -/5
И/0 = /с
W0 = l
W0=v
Обозначения и замечания
Ф(г) = exp[f <p(t) dt]
—
—
Iq(z), Kq(z)—модифицирован-
Kq(z)—модифицированные функции Бесселя, f3 = vX2
I0(z), K0(z)—модифицирован-
K0(z)—модифицированные функции Бесселя, [3 = vX2
Iq(z), K0(z)—модифицирован-
K0(z)—модифицированные функции Бесселя, [3 = i/X2
Jq(z), Yq(z) — функции Бесселя,
p = vX2
Iq(z), Kq(z)—модифицирован-
Kq(z)—модифицированные функции Бесселя, f3 = 2vX2
при А = k2 > 0
при A = -k2 < 0
приА> -\- il=\ l + 4A|i
при A = — -jj-
приА< -\\ fi= ^-|l + 4A|i
ТАБЛИЦА 12
Преобразования уравнения (8) для соответствующих точных решений уравнения D)
[номер в первом столбце соответствует номеру точного решения F = F(y,t) в табл. 10]
Преобразования уравнения (8)
Полученное уравнение
= уФA)
+ С2, Ф(?) = exp [f<p(t) dt]
ди Jy д2и
дт dz2
U = e^Z(r], t), г] = -Xy - Xip(t)
- А] -Ц- -
U = t^
= yt'1/2, t = Int
где fi(t) —произвольная функция, а функция Q(?,t) определяется по формуле
344 Уравнения четвертого порядка
Уравнение A3) линейно относительно функции G. Замена U = -Щ- приводит его к
линейному уравнению второго порядка
Таким образом, если известно частное решение уравнения A0) или A2), то определение
функции G сводится к линейному уравнению второго порядка A4). Уравнение A0) с помощью
сжатия независимых переменных ? = (к2 + 1)?, t = (к2 + 1)т приводится к уравнению B), в
котором у и t следует заменить на(иг [точные решения уравнения B) описаны в табл. 10].
® Литература: А. Д. Полянин B001 d).
6°. Точные решения:
w(x, у, t) = Azs + Bz2 + Cz + tpt(t)x, z = у + kx + ф{Ь)\
w(x, y, t) = Ae~Xz + Bz2 + Cz + v\(k2 + l)x + ф'ь^)х,
где А, В, С, к, Л — произвольные постоянные, ip(t) — произвольная функция.
7°. Точное решение [частный случай решения вида A)]:
w(x, у, t) = е~Ху [f(t)x + g(t)] + <p(t)x + фA)у + x(t),
fit) = CiE(t), E(t) = exp \v\2t - Л I (p(t) dt\,
g(t) = c2E(t) - CiE(t) J i/>(t) dt,
где <p(t), ip(t), x(t) — произвольные функции, С\, С2, A — произвольные постоянные.
8°. Точное решение:
w(x, у, t) = е~Ху [A(t)e^x + B(t)e~0x] + ip(t)x + фA)у + x(f),
A(t) = Ci exp [i/(A2 + f32)t -0 Г if>(t) dt-X Г <p(t) dt],
B(t) = C2 exp \v(\2 + f32)t + /3 Г if>(t) dt-X Г cp(t) dt\,
где ip(t), ip(t), x(t) — произвольные функции, С\, С2, A, /3 — произвольные постоянные.
9°. Точное решение:
w(x, у, t) = е~Ху [A(t) sin(/3x) + B(t) cos(/3x)] + ip(t)x + ф{Ь)у + x(fi),
где <p(t), ip(t), x(t)—произвольные функции, A, j3 — произвольные постоянные, а функции
A(t) и В{t) удовлетворяют линейной неавтономной системе обыкновенных дифференциальных
уравнений
А[ = ИА2 - Я2) - \ip(t)]A + №(t)B,
B't = [v{\2 - /З2) - \v(t)]B - /ЗфЦ)А.
Общее решение системы A5) имеет вид
A(t) = exp[i/(A2 - f32)t-X I' <pdt\ [Cisin^ j if)dt\ +C2cos(/3 /ф dt\\,
B{t) = exp [i/(A2 -f32)t-X Г <pdt] [Ci cos (j3 Г ф dt) - C2 sin (j3 f' ф dt)],
где (p = <p(t), ip = ip(t);Ci и C2 —произвольные постоянные. В частности, при (р = — (А2 — (З2),
А
ф = а получим периодическое решение
A(t) = Ci sin(a/3t) + С2 cos(a/3t),
B(t) = Ci cos(af3t) - C2 sin(af3t).
(•) Литература: А. Д. Полянин B001 d).
10.2. Уравнения гидродинамики (уравнения Навъе—Стокса) 345
10°. Точное решение:
w(x, у, t) = A(t) exp(/cix + Хху) + B(t) ехр(/с2ж + \2у) + <p(t)x + ip(t)y + x(t),
где (p(t), ф{Ь), x(t) — произвольные функции, hi, Ai, fe, A2—произвольные постоянные,
связанные одним из двух соотношений:
ki + \i = k2 + A2 (первое семейство решений),
к\\2 = feAi (второе семейство решений),
а функции A(t) и #(?) удовлетворяют линейным обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнениям
A't = [v(kl + A?)
B't = [v{kl + A|) + \2<p(t) - k2il>(t)]B.
Эти уравнения легко интегрируются:
A(t) = Ci exp \v{k{ + A?)t + Ai / tp(t) dt-ki I ф(Ь) dt\,
B(t) = C2 exp \v(k22 + A|)t + A2 I tp(t) dt-k2 Г ф(Ь) dtj.
® Литература: А. Д. Полянин B001 йГ).
11°. Точное решение:
w(x, у, t) = [Ci sin(Ax) + C2 cos(Ax)] [A(t) sin(/fy) + Б(*) cos(^)] + (p(t)x
где y(t), x(t) — произвольные функции, C\, C2, A, j3 — произвольные постоянные, а функции
A(t) и B(t) удовлетворяют линейной неавтономной системе обыкновенных дифференциальных
уравнений
B't = -v(\2 + /32)В + f3<p{t)A.
Общее решение системы A6) имеет вид
A(t) = exp[-i/(A2+/32)t][c3sin^ f (pdij +C4cos(/3 f
B(t) = exp[-i/(A2+/32)t] [-C3cos^ / (pdtj +C4sin^
где С2, и С4 — произвольные постоянные.
® Литература: А. Д. Полянин B001 d).
12°. Точное решение:
w(x, у, t) = [d sh(Ax) + С2 сЬ(Аж)] [A(t) sin(f3y) + B(t) cos@y)] + ip(t)x
где (p(t), x(t) — произвольные функции, Ci, C2, A, C — произвольные постоянные, а функции
A{t) и В{t) удовлетворяют линейной неавтономной системе обыкновенных дифференциальных
уравнений
A't=v{\2-E2)A-pv(t)B,
B't = v{\2 - Р2)В
Общее решение системы A7) имеет вид
2 Р2)В + Mt)A
Г <pdt) +C4cos(/3 f
B(t) = exp[i/(A2 -f32)t] [-C3cos(/3 fipdij +C4sin(j3
где Сз и G4 — произвольные постоянные.
® Литература: А. Д. Полянин B001 d).
346 Уравнения четвертого порядка
13°. Точное решение:
w(x, у, t) = u(z, t) + (p(t)x + ip(t)y, z = kx + Xy,
где <?>(?), ^(t)—произвольные функции, ?;, A— произвольные постоянные, а функция u(z,t)
описывается линейным уравнением четвертого порядка:
Преобразование
f/(?,i) = |^, Z = z-j[W(t)-\<p(tj\dt
приводит его к линейному уравнению теплопроводности
dt <9?2
® Литература: А. Д. Полянин B001 d).
14°. Существуют «двумерные» решения вида
15°. «Двумерные» решения (а, 6, с — произвольные постоянные):
w = Z(X,Y), X = ^±JL, Y= " '
yt + с
где функция Z = Z(X,Y) описывается уравнением
® Литература'. В. В. Пухначев A960).
^ dQ t I dw dQ I dw dQ A _ _ A 1 О / On? \ , 1
2. —— H — — = i/ДО, Q = Aw = [r I H .
at г дв дг г дг дв ^' ^ г дг\ дг ) г2 дв2
Предварительные замечания. К данному уравнению сводится уравнение 10.2.2.1 путем перехода к
полярной системе координат [с центром в точке (ж0, у о), где х0 и у0 —любые] по формулам:
х = г cos в + х0, ?/ = г sin # + 2/0 (прямое преобразование),
г = J(x — xQJ + (у — у0J, tg в = — (обратное преобразование).
ж — ж0
Радиальная и тангенциальная компоненты скорости жидкости выражаются через функцию тока w следу-
следующим образом: иг = у ¦*$§-, ив = ~~^~-
1°. Решение с осевой симметрией
w = W(r,t)
описывается линейным неоднородным уравнением теплопроводности
dW у д
где (p(t), ip(t) —произвольные функции. О частных решениях уравнения A), встречающихся в
гидродинамике, см. В. В. Пухначев A960), Л. Г. Лойцянский A973).
2°. Точное решение линейное по 9:
w(r,0,t) = f(r,tH + g(r,t), B)
где функции / = f(r,t) и g = g(r, t) описывается уравнением
L(/t) - r-'fMf) + г-'ПЧПг = ^L2(/), C)
49t) ~ r^gMf) + r-7[L(ff)], = vb\g). D)
Здесь индексы rut обозначают частные производные по соответствующим переменным,
L(f)=r-1(rfr)r, L2(/) = LL(/).
® Литература: А. Д. Полянин B001 d).
10.2. Уравнения гидродинамики (уравнения Навъе—Стокса) 347
3°. Для частного решения уравнения C) вида / = (p(t)\nr + ip(t) (if, ф— произвольные
функции) уравнение D) заменой U = L(g) сводится к линейному уравнению второго порядка.
Замечание. Уравнение C) имеет также частное решение / = 2(t+c) •
4°. Рассмотрим подробнее случай / = tp(t) из п. 3°, который соответствует w = ip(t)O + g(r, t)
[существование такого точного решения установил В. В. Пухначев (I960)]. Для определения
функции g имеем
dU ф(г) dU _ v д / dU\ _ 1 д
Приведем некоторые точные решения уравнения E):
4vt 2v J t J
U = г2 + Ш - 2 / фЦ) dt + a,
4 2 f f
J ' J
где а и b — любые. Второе и третье решения являются частными случаями решения вида
U = г2п + A2n-2(t)r2n~2 -\ Ь A2(t)r2 + A0(t),
которое содержит п произвольных постоянных.
Функцию g(r,t) можно выразить через U(r,t) по формуле
[ г f
J г J
где Ci(t), C2(t) — произвольные функции.
„ dBw , 1 { dw dBw dw dBw \ 2 dw ^ ^2
dt r\dz dr dr dz ) r2 dz '
_, d ( 1 dw \ d2w
где E (J+
дг
Предварительные замечания. К данному уравнению сводятся нестационарные уравнения Навье —
Стокса, записанные для осесимметричного случая в цилиндрической системе координат, в результате
введения функции тока w по формулам ur = -y-^r, uz = — у-^-, где г = \/х2 + у2, ur и uz —
радиальная и осевая компоненты скорости жидкости.
® Литература: Дж. Хаппель, Г. Бреннер A976, стр. 124).
1°. Любая функция w = w(r, z, t), являющаяся решением линейного стационарного уравнения
второго порядка Еги = 0, будет также решением рассматриваемого уравнения.
2°. Решение с осевой симметрией:
где (p(t), фИ) — произвольные функции, а функция U = U(r,t) описывается линейным
уравнением параболического типа
dU д ( 1 dU '
~dt
3°. Точное решение линейное по z:
д ( 1 dU \
-vr— — —— ) =0.
dr \ r дг )
Здесь функции / = f(r,t) и g = g(r,t) удовлетворяют системе уравнений
V V - 2r/L(/) = fL2(/), A)
- 2r~2fL(g) = vb2(g), B)
где L(/) = frr — r~x fr\ индексы снизу обозначают соответствуют частные производные.
Частное решения уравнения A):
/(r,i) = d(i)r2 + C2(i),
где С\{t) и C^it) —произвольные функции. В этом случае замена U = L(p) приводит B) к
линейному уравнению второго порядка.
348 Уравнения четвертого порядка
10.3. Другие уравнения
d3w , dw d2w d3w „/Jl4 d4w
1°. Пусть w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
Wl = w(x + (f(t),t) + (ft(t),
где (p(t) —произвольная функция, также будет решением этого уравнения.
2°. Точные решения в виде произведения функций разных аргументов:
w = (АеХх + Ве~Хх) ехр [л2 Г f(t) eft],
= Asin(Ax + В) ехр |~-Л2 / f(t) dt\,
где А, В, С — произвольные постоянные.
3°. После однократного интегрирования по х получим уравнение третьего порядка
d2w , / dw\2 d2w „ил d3w
где ip(t) —произвольная функция.
д Г dw
д ( dw d*w Л Он? \ „2
2. 6w = За
дх V at дх3 дх )
Уравнение Кадомцева—Петвиашвили. Возникает в теории длинных слабонелинейных волн на
поверхности жидкости, распространяющихся вдоль оси ж, причем изменение по у является до-
достаточно медленным. Уравнение Кадомцева — Петвиашвили интегрируется методом обратной
задачи рассеяния, см. литературу в конце разд. 10.3.1.
1 °. Не зависящие от времени решения удовлетворяют уравнению Буссинеска 10.1.1.2 (см. также
10.1.1.1). Не зависящие от у решения удовлетворяют уравнению Кортевега — де Фриза 9.1.1.1,
продифференцированному по х (в котором х и w заменены на —х и —w).
2°. Уравнение имеет вырожденные решения квадратичные по х:
w = x2cp(y, t) + хф(у, t) + х(у, *)•
3°. Точное решение:
w = —U(z, t) — |а Л , z = Ху — х,
где Л — произвольная постоянная, а функция U = U(z,t) описывается уравнением третьего
порядка
dU , d3U aTT dU
(p(t) —произвольная функция. При ср = 0 имеем уравнение Кортевега — де Фриза 9.1.2.1.
4°. TV-солитонное решение при а = 1:
д2
w(x, у, t) = 2—— In det A,
где матрица А имеет элементы
4 -Л i f A, Л exP[(^n + gm)^] Л _Г1 при n = m,
Anm-Onm + JnU/,tJ pn + qm ' Опш-\0 при n/m,
fn(y,t) = Cnexp[(q2n-p2n)y-4.(psn+q^)t], n, m = 1, 2, ..., TV,
Pn, ^m, Cn —произвольные постоянные (Cri > 0).
10.3. Другие уравнения 349
5°. Положим а = 1. Всякая быстро убывающая при х —»¦ +оо функция F(x, z\ у, t), удовлетво-
удовлетворяющая одновременно двум линейным уравнениям
dF_ d2F _ d2F _
ду дх2 dz2
dF . ( dsF
порождает решение уравнения Кадомцева — Петвиашвили в виде
w = -2 — K(x,x\y,t),
ах
где К = K(x,z',y,t) —решение линейного интегрального уравнения Гельфанда — Левитана —
Марченко
К(х, z\ у, t) + F(x, z\ y,t)+ / K(x, s; у, t)F(s, z\ у, t) ds = 0.
</-oo
Переменные у и t входят как параметры.
® Литература: В. С. Дрюма A974), В. Е. Захаров, А. Б. Шабат A974), И. М. Кричевер, С. П. Новиков
A978), В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский A980, стр. 285-298), В. Э. Адлер,
А. Б. Шабат, Р. И. Ямилов B000).
11. Уравнения старших порядков
11.1. Эволюционные уравнения, линейные относительно
старшей производной
11.1.1. Уравнения вида — = а-^- + f(x,t,w)
л dw dnw , ... ч
Точное решение:
w = ги(?), ? = х + Ы,
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
awf] -bw'z + f&w) = 0.
2. -?- = а-^- + bw In w
1°. Точное решение:
w(x, t) = exp Uebtx + Бе&? + _^L_
L 6(n - 1)
где А, В — произвольные постоянные.
2°. Точное решение:
w(x,t) =Q*v\Aeht+eht Г e~ht f(t) dt]ip(z), z = x + \t,
где А, Л — произвольные постоянные, а функция if = ip(z) описывается автономным обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением
a(pin) - \ip'z + b(p In ip = 0,
порядок которого можно понизить на единицу
3°. Замена
w(x,t) =exp[e&? fe-btf(t)dt\u(x,t)
приводит к более простому уравнению
ди дпи , .
= а h огб In гб.
dt дхп
3. -^- = a-^r +bw\nw+ [/(ж) + 5f(t)]w.
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, t) = exp \Ceht + ebt Г e~btg(t) dt] ф),
где С — произвольная постоянная, а функция cp(t) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением
п(р(хП) + Ъ(р In (f + /О)<? = 0.
2°. Замена
w(x, t) = exp\ebt f e~btg(t) dt\u(x, t)
приводит к более простому уравнению
ди дпи , . , г/ \
—- =a——+bu\nu + f(x)u.
dt дхп
11.1. Эволюционные уравнения, линейные относительно старшей производной 351
4. = а 1- f(t)w \nw + q(t)w.
Точное решение:
гу(ж, ?) = exp [ip(t)x + ^(t)].
Здесь функции cp(t) и ^(t) определяются по формулам
(p(t) = AeF, i/;(t) = BeF+eF I e~F\aAnenF + g) dt, F= If dt,
J J
где А, В — произвольные постоянные.
5. —— = a ^- + f(t)w In w + [g(t)x + /i(t)] w.
Точное решение:
w(x, t) = exp \ip(t)x + ^(t)].
Здесь функции cp(t) и ф{Ь) определяются по формулам
<p(t) = AeF + eF Г e~Fg dt, F= Г f dt,
ф{Ь) = BeF + eF I e~F(a(pn + h) dt,
где А, В — произвольные постоянные.
6. = a —\- f(x)w \nw + [6/(a?)t + ^(ж)]к;.
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = е~ (р(х),
где функция (р(х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
avin) + f(x)(p\n tp + [g(x) + b] tp = 0.
11.1.2. Уравнения вида -^- = ад w + ffx^t^w^ -^~
dt dxn V Ож
/
Замена 2 = ж + / f(t)dt приводит к более простому уравнению
dw dnw , ч
dt dzn v J
которое имеет точное решение в типа бегущей волны w = w(kz + Xt).
2. — = a-^- + f(x)— + bwlnw + [g(x) + h(t)]w.
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
и (ж, t) = exp \Ceht + е&? Г e~bth(t) dt} ф),
где С — произвольная постоянная, а функция cp(t) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением
a^in) + f(x)ip'x + bcp In ^ + рО)<? = 0.
Точное решение:
w(x,t) =
Здесь
где Ci, С2 — произвольные постоянные.
352 Уравнения старших порядков
. dw dnw
4 +
1°. Точное решение квадратичное по переменной х:
где функции (fk = (fk (t) удовлетворяют соответствующей системе обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений.
2°. Точное решение:
w(x, t) = Aect + ect Г e~ctf(t) dt + 6@, f = ж + At,
где А, Л — произвольные постоянные, а функция в(?) описывается автономным обыкновенным
дифференциальным уравнением
^J - Лв^ + ев = 0.
dw 2
Точное решение:
гу(ж, t) = <?>(?) + ^?(t) ехр(Лж),
где Л — корни квадратного уравнения Ь\2 + сЛ + А; = 0, а функции cp(t) и ip(t) описываются
системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
A)
/(t) + а\п] ф. B)
Уравнение Риккати A) интегрируется в квадратурах, например, в следующих частных
случаях (Э. Камке, 1976; В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин, 2001 а):
1) к = 0, 2) g(t) = 0, 3) f(t) = const, g(t) = const.
После решения уравнения A) легко можно получить решение уравнения B), которое линейно
относительно функции ф.
, dw dnw f
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = At + B + / h(t)dt + (p(x).
Здесь А, В — произвольные постоянные, а функция <р(х) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением
a<p<?)+f(x)(<p'xJ+g{x)-A = O.
_ dw dnw , ,,
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, t) = ч>{х) + Aebt + ebt Г e~bth(t) dt.
Здесь А — произвольная постоянная, а функция ip(x) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
11.1. Эволюционные уравнения, линейные относительно старшей производной 353
4?
1°. Точные решения, содержащие экспоненциальные функции х:
w(x,t) = ^)+$(t)enp(±xy/-b), 6<0, A)
где функции ip(t) и ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка с переменными коэффициентами (аргументы у функций f,g,hue указываются)
4>t = bfif2 +gy + h, B)
ф'ь= [2Ъ!(р + д + а{±л/^Ъ)п]ф. C)
Уравнение B) для функции ср = cp(t) является уравнением Риккати и может быть сведено к
линейному уравнению второго порядка. В книгах Э. Камке A976), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина
B001 а) приведено много решений этого уравнения для различных функций /, д, h.
Если решение уравнения B) известно, то решение уравнения C) для функции ф = ip(t)
определяется по формуле
a(±^/^Ъ )nt + f
= Сехр a(±V-b)nt+ Bbftp + g)dt\, D)
где С — произвольная постоянная.
Отметим два частных случая интегрирования уравнения B).
Решение уравнения B) при h = 0:
^i ~~ ^ / fe dtj , G = / д dt,
где С\ — произвольная постоянная.
Если функции f,g,h пропорциональны:
д = af, h = f3f (a, C = const),
то решение уравнения B) имеет вид
dt + C2, E)
где Сг — произвольная постоянная. После интегрирования левой части выражения E) можно
ПОЛуЧИТЬ ЯВНЫЙ ВИД ЗаВИСИМОСТИ if = if(t).
2°. Точные решения более общего вида
w(x,t) = Lp(t) + ^(?)ехр(жл/^б) + х(?)ехр(—хл/^-b), b < 0, F)
где функции (p(t), ip(t), x(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений первого порядка с переменными коэффициентами
ifi = bf'if -\- gip -\- h -\- Abfi/jX) G)
ф>1 = \2bfip ~\~ д ~\~ ft(v—Ъ) Iф^ (8)
Для уравнений четного порядка при п = 2т (т = 1, 2, ...) из уравнений (8) и (9) следует,
что функции if;(t) nx(t) пропорциональны. Полагая tp(t) = A6(t) и x(t) = B0(t), в этом случае
решение F) можно записать в виде
w(x,t) = ip(t) + 9(t)[Aexp(xy/^b) + Вexp(-xy/^b)], b < 0, A0)
где функции (p(t) и 9(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
4>t = bf(v2 + 4АВв2) +gv + h, A1)
+ д + {-1)шаЬш]б. A2)
Из уравнения A2) можно выразить (р через 9, а затем подставить в A1). В итоге получается
нелинейное уравнение второго порядка для функции 9 (при f,g,h = const это уравнение
является автономным и допускает понижение порядка).
23 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
354 Уравнения старших порядков
Отметим два частных случая решения вида A0), которые выражаются через гиперболиче-
гиперболические функции:
w(x,t) = ip(t) + 9(t)ch.(xy/^b) при А = у, В = \\
w(x,t) = <p(t) + O(t)sb(x>/-b) при А=\, В = -\.
3°. Точные решения, содержащие тригонометрические функции х:
w(x,t) = (p{t) + tp(t) cos(xVb) + x(f) sin(xVb), b > 0, A3)
где функции ip(t), ip(t), x(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений (которая здесь не приводится).
Для уравнений четного порядка при п = 2т (т = 1, 2, ...) имеются точные решения
следующего вида (с — любое):
w(x,t) = ip(t) + e(t)cos(xVb + c), b> 0, A4)
где функции ip(t) и 0(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка с переменными коэффициентами
, A5)
0't = [2bf<p + д + (-l)mabm] (9. A6)
Из уравнения A6) можно выразить ср через в, а затем подставить в A5). В итоге получается
нелинейное уравнение второго порядка для функции в (при f,g,h = const это уравнение
является автономным и допускает понижение порядка).
Замечание. Подобные и другие уравнения старших порядков с квадратичной нелинейно-
нелинейностью рассматривались в работе V. A. Galaktionov A995).
ft dw dnw f
Переходя к новым независимым переменным
т = jV (f) dt, z = <p(t)x + J h(t)ip(t) dt, <p(t) = exp {J g(t) dt\,
приходим к более простому уравнению
dw dnw ,.
которое имеет точное решение в типа бегущей волны w = w(kz + At).
1П dw dnw ( dw
10 + f{
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = At + B+ Г g(t)dt + ip(x).
Здесь А, В — произвольные постоянные, а функция <р(х) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением
dw dnw
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, t) = <р(х) + Аеы + еы Г е~
Здесь А — произвольная постоянная, а функция (р(х) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
a<p<?)+f(x,<p'x)+b<p = 0.
11.1. Эволюционные уравнения, линейные относительно старшей производной 355
.. dw dnw ( 1 dw \
12. = а \- wf it, .
dt дхп J V ' w dx J
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, t) = Аехр Глж + aXnt + / f(t, Л) dt\,
где А, А — произвольные постоянные.
11.1.3. Уравнения вида ^ = «^ + ,(,.,.., ^,.... -§Г^
Здесь принято обозначение: дд^ = г^.
1°. В общем случае уравнение имеет точные решения вида
w(x, t) = (p(t) + ip(t) ехр(Лж),
где Л — корни алгебраического уравнения: V~^ bijX1^ = 0.
г,.7=0
2°. Пусть п — четное число и в первой сумме все коэффициенты Ьц = 0, когда сумма их
индексов г + j — нечетное число. В этом случае исходное уравнение имеет также решения вида
w(x, t) = ipi (t) + ф\ (t) [A ch(Ax) + В sh(Ax)l,
w(x,t) = ip2(t) + i/j2(t)[Acos(\x) -\- Bsm(Xx)],
где А, В — произвольные постоянные, параметр Л определяется путем решения алгебраических
уравнений, а функции y>i(t), ^i(t) и y>2(t), ^г(^) находятся из соответствующих систем
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
. dw dnw ( dw dn-1
2 + /1
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = At + B+ Г g(t)dt + (p(x).
Здесь А, В — произвольные постоянные, а функция ip(x) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением
anw
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, t) = tp(x) + Aebt + ebt Г е~ы
Здесь А — произвольная постоянная, а функция ip(x) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
dw _ dnw
1 to 1 en~1w \
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, t) = A ехр [Лж + aXnt + Г f(t, Л,..., Л71) dt],
где А, X — произвольные постоянные.
23*
356 Уравнения старших порядков
dw d2nw , / 1 d2w 1 d2n~2
~ a dx2™ JW;'V' wdx^' "••' w дх2гг-2
Точные решения в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, t) = [А сп(Аж) + В sh(Ax)] exp \a\2nt + / f(t, А2,..., Л2гг)
гу(ж, t) = [Acos(Ax) + В sin(Ax)] exp[(-l)naA2nt + F(t)],
где А, В, А — произвольные постоянные.
11.1.4. Уравнения вида —— = aw—— + f(x,t,w)—^- + g(x,t,w)
at oxn ox
1°. Точное решение:
w(x, t) = Fit) (An-ix71'1 + ... + Aix + Ao) + Fit) Г y^rdt, F(t) = exp [ Г fit) dt},
где Ao, A\, ..., An-\ —произвольные постоянные.
2°. Точное решение:
w(x, t) = (p(t)(xn + An-xx*1'1 + ... + Aix + Ao) + (p(t) / -^j\dt,
(p(t) = Fit) \C - an\ [ Fit) dt\ X, Fit) = exp Г Г fit) dt\,
где Ao, Ai, ..., An-i, С — произвольные постоянные.
2 J?OL = aw °nw -l f(x)w -l y^1 bkxh
k=O
Точное решение:
n-l n-1
k=0 k=0 V
где Co, C\, ..., Cn-i, xo — произвольные постоянные.
3. — = aw-^- + bw2 + f(t)w + g(t).
Точное решение:
где функции (f(t), ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка (С — любое)
а функция в (ж) удовлетворяет линейному обыкновенному дифференциальному уравнению п-го
порядка
ав1п) + Ъв = С.
4. = aw — ak2nw2 + f(x)w + b\ sh.(kx) + 62 сЬ(^ж).
C/t OX
Точное решение линейное по переменной t:
w(x,t) = t[bish(kx) +b2ch(kx)] + <p(x).
Здесь функция ip(x) определяется из линейного неоднородного обыкновенного дифференци-
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
а^п) - ак2пср + f(x) = 0.
11.1. Эволюционные уравнения, линейные относительно старшей производной 357
Преобразование
w(x,t) = H(t)u(z,r), z = xF{t) + Г g(t)F(t)dt, т = Г Fn it) H(t) dt,
где функции F{t) и H(t) определяются формулами
Fit) = exp [ I fit) dt}, Hit) = exp [ Г h(t) dt},
приводит к более простому уравнению
ди дпи
= аи
которое допускает, например, точные решение типа бегущей волны и = u(kz + Хт) и
автомодельное решения вида и = гг(?), ? = zr~1^n.
6. -^- = а^-^г + ЛЖ)™-^Г
Точное решение:
гу(ж,*)
где функции (p(t), ip(t), в (ж) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
(ft = dp2 +g(t)<p,
1п) + f(x)S'x = С,
где С — произвольная постоянная. Последовательно интегрируя, для функций <p(t) и ip(t)
получим
где А, В — произвольные постоянные.
_ dw dnw „,
7 + f
G(t)[A-cfG(t)dt]~\ G(t)=eXp[Jg(t)dt],
of ^T f№W~^ +9(x)w +h(t)w.
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, t) = (f(x)H(t) [а + В Г H(t) dty\ H(t) = exp [ Г h(t) dt},
где А и В — произвольные постоянные, а функция <р(х) определяется из линейного обыкно-
обыкновенного дифференциального уравнения
11.1.5. Другие уравнения
Преобразование
w(x,t)=u(z,r)H(t), z = xF(t)+ Г g(t)F(t)dt, т= Г Fn+k(t)Hm(t) dt,
где функции F и Н определяются формулами
F(t) = exp [ I fit) dt\, Hit) = exp [ Г h(t) dt\,
358 Уравнения старших порядков
приводит к более простому уравнению
ди _ дп / ш дки \
дт dzn V dzk J
Последнее допускает, например, точные решения следующего вида:
и = U(kz + At) (решение типа бегущей волны),
и = V(KZT~1'^n+ ^) (автомодельное решение),
и = (р^)ф(т) (решение в виде произведения функций разных аргументов).
Преобразование
w(x,t) = u(x,T) + F(t), т= fexp[\F(t)]dt, F(t) = Г f(t)dt,
приводит к более простому уравнению
= а е .
дт дхп \ дхк )
Последнее допускает, например, точные решения следующего вида:
и = U(kx + Ат) (решение типа бегущей волны),
и = V(хт~1'^п+ ^) (автомодельное решение),
и = ip(x) + ф(т) (решение в виде суммы функций разных аргументов).
dt дхп V дхк ) J V '
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w = -—
Л
где Л, С — произвольные постоянные, а функция (р(х) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
При к = 1 это уравнение сводится к линейному с помощью подстановки ф = ex<f>.
Точное решение:
w(x,t) =
где функции ср = ip(t) и ф = ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка
dw дп Г , ч dkw
Это уравнение имеет точное решение типа бегущей волны
w(x, t) = и(?), ? = кх + ХЬ
и автомодельное решение вида
t
11.2. Эволюционные уравнения общего вида 359
Преобразование
z = xG(t)+ fh(t)G(t)dt, т= [ Gn+k(t)dt, G(t) = ехр[/>
приводит к более простому уравнению вида 11.1.5.5:
dw дп X е, ч dkw
дт
11.2. Эволюционные уравнения общего вида
11.2.1. Уравнения вида % = F(w, %,...,»
Предварительные замечания. Рассмотрим уравнение
dw _,/ dw
1°. Пусть w(x,t) —решение уравнения A). Тогда функция w(x + Ci,t + С2), где С\, С2 —
произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения.
2°. В общем случае уравнение A) допускает точное решение типа бегущей волны
w = w(?), ? = kx + \t, B)
где к, Л — произвольные постоянные, а функция w(?) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
F(w, kwo ..., knwln)) - Xw'z = 0.
В данном разделе рассмотрены частные случаи уравнения A), которые помимо решения
типа бегущей волны B) допускают также другие точные решения.
dw ^f dnw
l р
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, t) = F(A)t + -^-хп + Cn-ix71'1 + ... + Cix + Co,
где A, Co, Ci, ..., Cn-i —произвольные постоянные.
2°. Точное решение линейное по переменной t:
w(x, t) = (Ах + B)t + С + (р(х),
где А, В, С — произвольные постоянные, а функция (р(х) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением
F(ipln)) =Ax + B.
3°. Точное решение:
w(x,t) = At + B + i/j(?), ? = кх + М,
где А, В, к, Л — произвольные постоянные, а функция ф(?) описывается автономным обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением
4°. Автомодельное решение:
w(x,t) = ;
где функция в(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
nF(ein)) + Свл - пв = 0.
360 Уравнения старших порядков
dw _ / dw d2w dnw \
dt ~ \~dx~' dx2 ' '"' dxn )'
Точное решение:
w(x, t) = At + B + <p(?), ? = kx + \t,
где А, В, к, A— произвольные постоянные, а функция <?>(?) описывается автономным обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением
dw _ / 1 dw 1 d2w 1 dnw\
dt ~ \ w dx ' w dx2 ' ' " ' w dxn )'
Точное решение:
w(x, t) = t(f(t;), t; = kx + Alnt,
где A;, A — произвольные постоянные, а функция <^(?) описывается автономным обыкновенным
дифференциальным уравнением
к i к2 и кп (
л ди> — jpf X dw X d2w X Q7bw \
dt V w dx ' it? Ож2 ' ' w dxn )
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = Cext(p(x),
где С, Л — произвольные постоянные, а функция (р(х) описывается автономным обыкновенным
дифференциальным уравнением
<**k <?!) = а.
Это уравнение имеет частные решения вида (р(х) = еаж, где а — корни алгебраического (или
трансцендентного) уравнения F(a, а2,..., ап) — Л = 0.
2°. Точное решение:
гу(ж, t) = Cextif>(?), ^ = kx + f3t
где С, А;, Л, /3 — произвольные постоянные, а функция ^>(?) описывается автономным обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением
Это уравнение имеет частные решения вида
г dw 0rif I dw 1 d2w 1 a71^ \
dt V w dx ' it? дж2 ' ' " ' гу Ож71 / '
При C = 0 см. уравнение 11.2.1.3, а при /3 = 1—уравнение 11.2.1.4.
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = [(I - f3)At + В}'^ф),
где А, В — произвольные постоянные, а функция ip(x) описывается автономным обыкновенным
дифференциальным уравнением
2°. Точное решение:
w(z,t) = (t + C)T=e®(z), z = kx
где С, к, Л — произвольные постоянные, а функция Q(z) описывается автономным обыкновен-
обыкновенным дифференциальным уравнением
11.2. Эволюционные уравнения общего вида 361
dw_ _ p-w^f dw_ d2w dnw \
dt ~S \dx ' дх2 ' '"' дх" )'
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = -—\n(A/3t + B) + ip(x),
где А, В — произвольные постоянные, а функция ip(x) описывается автономным обыкновенным
дифференциальным уравнением
2°. Точное решение:
, t) = -jH* + С)
где С, ?;, Л — произвольные постоянные, а функция в(?) описывается автономным обыкновен-
обыкновенным дифференциальным уравнением
fce&)...,e) Ae?
Он? _ / 02гу /Огу О^гу /Огу \
dt ~ \ дх2 I дх ' ¦"' дж™ / дх )'
Частный случай уравнения 11.2.1.2.
1°. Точное решение:
гу(ж, t) = At + B + ip(?), ? = kx + Xt,
где А, В, к, Л — произвольные постоянные, а функция <?>(?) описывается автономным обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением
2°. Точное решение:
w(x,t) = (t + Ci)e(^) + С2, ^ = А;ж
где Ci, C2, А;, Л — произвольные постоянные, а функция в (г) описывается автономным
обыкновенным дифференциальным уравнением
F(ke"z/s'z,..., fc^ei^Ve's) = ле; + в.
Он? _ Огу / d2w I dw dnw I dw \
dt ~ ~dx~ \ дх2 I дх ' '"' дхп I дх)'
Частный случай уравнения 11.2.1.2.
1°. Точное решение:
w(x, t) = At + B + (p(z), z = кх + \t,
где А, В, к, Л — произвольные постоянные, а функция (p(z) описывается автономным обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением
2°. Точное решение:
w(x, t) = Ae0tS(O + B, ? = кх + \t,
где А, В, к, C, X — произвольные постоянные, а функция в(?) описывается автономным
обыкновенным дифференциальным уравнением
362 Уравнения старших порядков
dw _ / dw \P / d2w /dw dnw Idw \
dt ~ \~dx~) V dx2 I dx ' '"' dxn I dx )'
Частный случай уравнения 11.2.1.2. При j3 = 0 и j3 = 1 см. соответственно уравнения 11.2.1.7
и 11.2.1.8.
1°. Точное решение:
w(x, t) = [A(l - p)t + В] ~^ё ф) + С,
где А, 5, С — произвольные постоянные, а функция <р(х) описывается автономным обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением
2°. Точное решение:
1
w(x,t) = (t + A) i-P S(z) + B, z = kx
где А, В, к, Л — произвольные постоянные, а функция S(z) описывается автономным обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением
11.2.2. Уравнения вида ^ = ,(.,.. Ц,...,
Точное решение линейное по переменной t:
w(x, t) = Axt + Bt + C + ф),
где А, В, С — произвольные постоянные, а функция ip(x) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением
dw f dw d2w dnw
dw _ f dw
~~at - Г' "э^'
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = At + B + ф),
где А, В — произвольные постоянные, а функция ip(x) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
F(x,<p'x,<p'L,...,<p?))=A.
at ~ \ ox ' ox* '•••'* дхгг )¦
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = At + B + ф),
где А, В — произвольные постоянные, а функция ip(x) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
F(<p'x,x<p'L,...,xn-1<p?))=A.
2°. Точное решение:
w(x,t)=xe(?) + C, e=f,
где С — произвольная постоянная, а функция в(?) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением
11.2. Эволюционные уравнения общего вида 363
Л dw „/ dw 2 d2w n dnw \
4. = F [w. ж , ж —, .... ж ).
dt \ dx dx2 dxn J
Замена х = d=ez приводит к уравнению, которое рассматривается в разд. 11.2.1 и допускает
точные решения типа бегущей волны w = w(kz + Xt).
dw к ( dw n dnw \
5. = x F(w, x , .... ж .
dt V ' дх ' ' дхп )
Автомодельное решение:
w(x,t) = w(z), z = xt1/k,
где функция w(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
7 к—1 7-1 / / П (п)\ I Г\
kz F(w, zwz, ..., z w\ J) — wz = 0.
dw h / dw
F(
, dw h / dw
6.—=xF(wtx — ,...,
z — xe , т — 11 e ;,
Переходя к новым независимым переменным
ак
получим уравнение вида 11.2.2.5:
dw к тр f dw n dnw \
= z г I w. z , ... , z ).
dr \ dz dzn J
7. Ow_=e^Ff в» e
dt \ dx dx
Точное решение:
w(x,t) = w(z), z = \x-\-\nt,
где функция w(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
ezF(w, Xwfz, ..., \nwzn)) -wfz=0.
dw _ / J_J^_ 1 d2w 1 dnw \
dt ~ W V ' ~w~~dx'> ~w~ dx2 ' ¦" ' ~w dxn )'
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = Ае^(р(х),
где А, /1 — произвольные постоянные, а функция <р(х) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
dt \ ' w dx ' w dx2 ' ' ' ' ' w dxn J
При f3 = 1 см. уравнение 11.2.2.8.
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
1
w(x, t) = [A — C)At + В~\ 1~C <р(х),
где А, В — произвольные постоянные, а функция (р(х) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
/3 — 1 / У У ^ж \
V у? у? у? /
^^У /Зги / ^^У d2w dnw
10. = ем F( ж, , —, ..., ;
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = -—\n(Apt + B) + <p(x),
где А, В — произвольные постоянные, а функция (р(х) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
364 Уравнения старших порядков
dw _ dw / d2w /dw dnw I dw
~дГ ~ ~dx~ \x' / /
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, t) = At + В + (р(х),
где А, В — произвольные постоянные, а функция (р(х) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
<p'xF(x, <Рхх/<Рх, • • •, 4>in) 1ч>'х) = А-
2°. Точное решение:
w(x,t) = Ae»te(x) + B
где А, В, /и, — произвольные постоянные, а функция в (ж) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением
pi'F(T р)" /р)' В(гг)/вМ — /уВ
9ад _(dw\P f d2w /dw dnw ldw\
При /3 = 1 см. уравнение 11.2.2.11.
1°. Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x, t) = At + В + (р(х),
где А, В — произвольные постоянные, а функция <р(х) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
(<p'x)l)F(x,<p'U<p'x,...,<p<?)/<p'x)=A.
2°. Точное решение:
w(x, t) = [A(l - f3)t + d] "bV [в(ж) + В] + С2,
где А, 5, Ci, C2 —произвольные постоянные, а функция в (ж) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
(e'xfF(x, е'Це'х..., ехп)/е'х) = аэ + ав.
11.2.3. Уравнения вида ^ = f(x, t, w, %,..., ^)
1. = F[ax -\- bt. w. , ..., .
dt \ dx dxn J
Точное решение:
w = w(?), t; = ax + bt,
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
F(f, гу, аЦ, ..., anw^n)) - bw'u = 0.
2. = F(ах + Ы. , ..., .
dt \ дх дхп )
Точное решение:
w = <?>(?) + Ct, ? = ах + Ы,
где С — произвольная постоянная, а функция <?>(?) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением
11.2. Эволюционные уравнения общего вида 365
_ dw ,ч h f dw
3. /(t) Ф(
/(t)* Ф(ю, * ,...,* ^j+x|r(t)
Переходя к новым независимым переменным
= xG(t), т= Г f(t)G~k(t)dt, G(t) = exp[f g(t)dt],
приходим к более простому уравнению вида 11.2.2.5:
dw k f dw ndnw\
= z Ф [w, z , .... z .
дт V ' dz ' ' dzn J
4. = гиФ t, .... .
dt V w dx w dxn )
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = Аехр[Лж+ I ${t,\...,\n)d
где А, Л — произвольные постоянные.
dw ( 1 d2w 1 d2nw
5 <p{^
w
Точные решения в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, t) = Aехр [Лж + / Ф(*, Л2,..., Л2п) dt],
w(x, t) = [A ch(Xx) + В sh(Ax)] ехр [ Г Ф(t, Л2,..., Л2гг) ^],
гу(ж, t) = [Acos(Ax) + Б sin(Ax)] ехр [ / Ф(*, -Л2,..., (-1)пХ2п) dt],
где А, В, Л — произвольные постоянные.
6._
Точное решение:
, t) = eXxE(t) [А + |ЖЛ]+ Be~XxE(t),
E(t) = ехр [ /" Ф(г, Л2,..., Л2п) dt],
где А, В, Л — произвольные постоянные.
_ dw _/ 1 а2гу 1 а2тггу \
7-Г=гоФ(*' 5"-'-"' ^^Г
Ot V гу Ож2 гу дх2п /
Точное решение:
E(t) = ехр [ / Ф(*, Л2,..., Л2п) dt],
где А, В, Л — произвольные постоянные.
Точное решение:
[A + | Ж dt] + 8h(Xx)E(t) [В + | Ж- dt],
= ехр [ / Ф(*, Л2,..., Л2п) dt],
где А, В, Л — произвольные постоянные.
366 Уравнения старших порядков
9. = гиФ t, —, .... — + fit) cos(A#).
at V ' w дх2 w дх2п J J v ' v '
Точное решение:
w(x, t) = cos(Xx)E(t) \A+ Г -Щ- dt] + В sin(Xx) E(t),
L J E{t) -1
E(t) = exp [у Ф(*, -Л2,..., (-l)nA2n) dt],
где А, В, Л — произвольные постоянные.
Ю. _=„,*(*,___,..., -^^) + /(t) cosCAz) + fl(t) sm(Ax).
Точное решение:
w(x, t) = coS(\x)E(t) [A + J Л dt] + sin(Aa:)S(t) [в + /-щ4
?(t) = exp^ Ф(*, -Л2,..., (-1)"Л2п) dt],
где А, 5, Л — произвольные постоянные.
Преобразование
«;(ж,*) = С(ф(ж,г), r= f f(t)G^-\t)dt, G(t) = exp[f g(t)dt\,
приводит к более простому уравнению вида 11.2.1.5:
ди _ /Зф^1 ди г д2и г дПи\
дт V и дх ' и дх2 ' « дхп )'
которое имеет точное решение в типа бегущей волны и = и(Ах + Вт) и решение в виде
произведения функций разных аргументов и = (р(х)ф(т).
dt J w V ' ^ш Ож ' w дх2 ' w дхп J
Преобразование
w(x,t) = G(t)u(x,T), т= f f(t)G^-\t)dt,
приводит к более простому уравнению вида 11.2.2.9:
ди вж{ 1 ди 1 д2и 1 дпи\
дт \ ' и дх ' w ^ж2 ' и дхп )'
которое имеет точное решение в произведения функций разных аргументов и = (р(х)ф(т).
Точное решение:
гу(ж,*)
где функции (p(t), ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка (С — произвольная постоянная)
' H A)
+ Bf(t)vk + h(t), B)
а функция в (ж) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению n-го порядка
(в'х)кФ(х, е'Цв'х,..., е^/в'х) = лв + в.
Общее решение системы A), B) дается формулами
<p(t) = G(t)[c - кА [ f(t)Gk-\t)dtY^, G(t) = exp[f g(t)dt\,
ф(!) = DG(t) + G(t)
где A, B, C, D — произвольные постоянные.
11.2. Эволюционные уравнения общего вида 367
14 ^r = [/l(f)u'+/o(
Точное решение:
где функции ip(t), ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка (С — произвольная постоянная):
<p't = Cfi(t)<pk+1+gi(t)<p, A)
а функция в (ж) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению n-го порядка
(@'х)кф(х, вжЖ/вж, • • •, ®inV®z) = С-
Общее решение системы A), B) дается формулами
= G{t)]A-kC [fi{t)Gk{t)dty1/k, G(t) = exp[[gi(t)dt\,
= вф) + <p(t) J [Cfo(t)vk(t) + goit)]^,
где А, В, С — произвольные постоянные.
15. = f(t)ep<&[ , —, .... + g(t).
dt К дх дх2 дхп )
Преобразование
w(x,t) = u(x,T) + G{$), т= f f(t)exp[0G(t)]dt, G(t) = I g(t)dt,
приводит к более простому уравнению вида 11.2.1.6:
ди ри / ди д2и дпи
которое имеет точное решение в типа бегущей волны и = и(Ах + Вт) и решение в виде суммы
функций разных аргументов и = (р(х) + ф(т).
U.— = f(t)e *{x,—,—,...,—
Преобразование
w(x,t)=u(x,T) + G(t), т= f(t)exp[CG(t)]dt, G(t) = g(t)dt,
приводит к более простому уравнению вида 11.2.2.10:
дт К ' дх дх2 ' ' дхп )'
которое имеет точное решение в виде суммы функций разных аргументов и = р(х) + ф(т).
лт dw j.,^^( dw d2w dnw\ , /Jl4 dw
17. — = /D)Ф(„, —, -g^, ..., —) +9(t) — .
Преобразование
т = J f(t)dt, z = x + f g(t)dt,
приводит к более простому уравнению
dw / dw d2w dnw
~d7=
которое имеет точное решение в типа бегущей волны w = w(kz + At).
368 Уравнения старших порядков
dw _ ( 1 dw 1 дпw \ j_\^ 9kw f 1 dw 1 dnw
dT °v ' ^To^' ' ^TaW +
Уравнение имеет точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = AeXxS(t),
где А, А — произвольные постоянные.
19
^> d2kw
Уравнение имеет точные решения в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = Ae xSi(t),
w(x,t) = [Асп(Аж) + В sh(\x)~\Si(t),
w(x,t) = [Acos(Xx) + В sm(\x)]Q2(t),
где А, В, А — произвольные постоянные.
~Л dw ^ (. 1 d2w 1 d2rt\
dt V w
m ^
-Ла
Уравнение имеет точное решение вида:
где А — произвольная постоянная.
^л аи? _ / 1 0гу 1 d2
21. #((
„,#„((, j ....
Уравнение имеет точное решение вида:
где А — произвольная постоянная.
22.
dt
) cos(Aa?) + g(t) sin(Aa?).
Е
fc=l
Уравнение имеет точное решение вида:
w(x, t) = cos(
где Л — произвольная постоянная.
23. -? = «*(*, <Ь, С!,-», С»), Сь = |7Ь^х'-Ь|5-, * = 0, !,...,
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x, t) = (Co + Cix + • • • + Cn^M*),
где Со, Ci, ..., Сп —произвольные постоянные, а функция ср = <?>(?) описывается обыкновен-
обыкновенным дифференциальным уравнением
(ft = <pF(t, Coif, Ci(p,..., Cn(p).
® Литература: Ph. W. Doyle A996), рассматривался случай dtF = 0.
11.3. Уравнения, содержащие вторую производную д™ 369
11.3. Уравнения, содержащие вторую производную Arff
11.3.1. Уравнения вида -^ = а^- + f(x,t,w)
ot2 дхп
1 + f( + bt)
Уравнение имеет точные решения вида
w = ги(?), ? = х + Ы,
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
2.
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = <p(t)ip(x),
где функции ip(t), ф(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
аф(хп)
где С — произвольная постоянная.
3. -^- = a-^r + bw\nw+ [/(ж) +g(t)]w.
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = <p(t)ip(x),
где функции ip(t), ф(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
аф(хп) + [Ыпф + f(x) -С]ф = 0,
где С — произвольная постоянная.
4. -^- = a-^r + f(x)wlnw+ [bf(x)t + g(x)]w.
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = е~ Ь(р(х),
где функция ip(x) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
а^ + f{x)V In <p + [g(x) - b2] <p = 0.
11.3.2. Уравнения вида -^- = a^^- + f(x,t,w, —)
at* oxn V ax J
л d2w dnw -, ч dw . г / \
1. -^- = a-^r + f(x) — + 6w In w + |>(ж)
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = (р(г)ф(х),
где функции (p(t), ф(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
афхп) + !{х)ф'х + [Ып ^ + д(х) - С] ф = 0,
где С — произвольная постоянная.
24 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
370 Уравнения старших порядков
„ d2w dnw ,
1°. Точное решение квадратичное по переменной х:
w(x,t) = (f2(t)x2 + (fl(t)x + (fO(t),
где функции ipк = <?fc (?) удовлетворяют соответствующей системе обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений.
2°. Точное решение:
w(x, t) = ф(Ь) + 6@, f = х + Л*.
Здесь функции ip(t) и в(?) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
ФЪ -сф- /@ = а,
ав<п) - А2в?{ + 6(в'5J + ев = А,
где Л, А — произвольные постоянные.
3-^^ = a^^ + 4^J +c^—+ fc^ +f(t)w + g(t).
Точное решение:
w(x, t) = (p(t) + ip(t) ехр(Лж),
где Л — корни квадратного уравнения ЬХ2 + сЛ + к = 0, а функции <?>(?) и ^>(?) описываются
системой обыкновенных дифференциальных уравнений
1 2 9(t), A)
/(t) + aAn] V. B)
В частном случае при f(t) = const, g(t) = const уравнение A) имеет частные решения вида
(f = const и ввиду его автономности может быть проинтегрировано в квадратурах. Уравнение
B) линейно относительно функции ф, поэтому при ср = const его общее решение выражается
через экспоненты или синус и косинус.
. d2w dnw ,
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
wix.t) = -к-At + Bt + С + / (t — r)h(r) dr + Ых).
Jo
Здесь A, 5, С — произвольные постоянные, а функция у (ж) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
a<pin)+f(x)(<p'xJ+g(x)-A = O.
т 02w enw , „,
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,t) = (p(t)+ip(x).
Здесь функции ip(t) и ф(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
;; = о,
Решение первого уравнения для cp(t) имеет вид
1 С1
(p(t) = Ci ch(kx) + С2 sh(kx) + — / h(r) sh[k(t - т)] dr при b = к2 > О,
^ Jo
1 ff
(p(t) = Ci cos(kx) + C2 sin(A;x) H / h(r) sm[k(t - r)] dr при 6 = -A;2 < 0,
^ io
где Ci, C2 — произвольные постоянные.
11.3. Уравнения, содержащие вторую производную д™ 371
? + /С)(?
1°. Точные решения, содержащие экспоненциальные функции х:
Ь < 0, A)
где функции ip{t) и ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка с переменными коэффициентами (аргументы у функций /, g, h не указываются)
4>tt = bf?2 + 9? + h, B)
$i= [2b f^ + д+(-1уаЪп]ф. (З)
В частном случае, когда /, д, h — некоторые постоянные, уравнение B) имеет частные
решения вида ср = const. В этом случае общее решение уравнения C) выражается через
экспоненты или синус и косинус.
2°. Точные решения более общего вида
w(x,t) = <p(t) + ф(г)[Аехр(хл/Ц)) +Бехр(-жл/^б)], Ь < 0, F)
где функции ip(t) и ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка с переменными коэффициентами
Vtt = bf(v2 + ААВф2) +g<p + h, G)
ф'Ь=[2Ъ^ + д + (-1)паЪп]ф. (8)
Из уравнения (8) можно выразить (р через гр, а затем подставить в G). В итоге получается
нелинейное уравнение четвертого порядка для функции ф (при f,g,h = const это уравнение
является автономным и допускает понижение порядка).
Отметим два частных случая решения вида F), которые выражаются через гиперболические
функции:
w(x,t) = ф)+ф(г)сЦхл/Ц)) при А= \, В = \;
w(x,t) = ф) + 'ф(Ь)ъЪ(х>/-Ъ) при А= у, В = -\.
3°. Точные решения, содержащие тригонометрические функции х:
w(x,t) = (p(t) + ip(t)cos(xVb + c), b > О,
где функции ip(t) и ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка с переменными коэффициентами
4>tt =
Замечание. Подобные и другие уравнения старших порядков с квадратичной нелинейно-
нелинейностью рассматривались в работе V. A. Galaktionov A995).
_ d2w dnw
7 +
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
rt
w(x, t) = \At2 + Bt + C + I (t- r)g(r) dr + tp(x).
Jo
Здесь А, В, С — произвольные постоянные, а функция (р(х) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
a<p<?) + f(x,<p'x)-A = 0,
порядок которого можно понизить с помощью подстановки и = ipfx.
24*
372 Уравнения старших порядков
о d2w dnw ( dw \ , ч
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
Здесь функции cp(t) и ф(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
<Ptt -Ьц>- g(t) = О,
Решение первого уравнения для cp(t) имеет вид
1 С1
(p(t) = Ci ch(kx) + С2 sh(kx) + — / д(т) sh[k(t - т)] dr при b = к2 > О,
к Jo
(p(t) = С\ cos(kx) + С2 sin(kx) -\ / g(r)sm[k(t — r)] dr при b = —k2 < 0,
^ Jo
где Ci, С2 — произвольные постоянные.
Л 02гу О^гу , Р(. 1 dw
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
где Л — произвольная постоянная, а функция cp(t) описывается линейным обыкновенным
дифференциальным уравнением второго порядка
11.3.3. Уравнения вида ^ = а^ + f(x,t,w, ^-,...,
к at2 Эж" J V ' ' ' 9ж '
+ /о Е *«-й?"в=г + Е
Здесь принято обозначение: — = w.
dx°
1°. В общем случае уравнение имеет точные решения вида
w(x, t) = (p(t) + ip(t) ехр(Лж),
где Л — корни алгебраического уравнения: \J hij\l+3 = 0.
ij=o
2°. Пусть n — четное число и в первой сумме все коэффициенты b%j = 0, когда сумма их
индексов г + j — нечетное число. В этом случае исходное уравнение имеет также решения вида
w(x, t) = ух (t) + ф! (t) [A ch(Ax) + В sh(Ax)l,
w(x,t) = <p2(t) + ^2(t)[Acos(Ax) + -Bsin(Aaj)l,
где А, В — произвольные постоянные, параметр А определяется путем решения алгебраических
уравнений, а функции <pi(t), ipi{t) и <f2(t), i>2{t) находятся из соответствующих систем
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
. d2w dnw . ./ dw dn~1
2 + f
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
rt
w(x, t) = \At2 + Bt + C + I (t- r)g(r) dr + tp(x).
Jo
Здесь А, В, С — произвольные постоянные, а функция <р(х) описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением
а^п)+/(а;)^)...,^п-1))-Л = 0,
порядок которого можно понизить с помощью подстановки и = ipfx.
11.3. Уравнения, содержащие вторую производную д™ 373
d2W dnW
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
Здесь функции cp(t) и ф(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
4>ы -Ь<р- g(t) = О,
а^п) + /(ж,^,...,^п))+^ = 0.
Решение первого для cp(t) уравнения имеет вид
<р(Ь) = Ci сЦкх) + С2 sh(kx) + — / g(r) sh[k(t - т)] dr при Ь = к2 > О,
^ Jo
1 fb
ip(t) = С\ cos(kx) + С2 sin(kx) -\ / д(т) sin [k(t - г)] dr при b = -к2 < О,
где Ci, С2 — произвольные постоянные.
d2w dnw
1 dw 1 dn~1w \
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
где Л — произвольная постоянная, а функция <?>(?) описывается линейным обыкновенным
дифференциальным уравнением второго порядка
0гу _ dw ( 1
1°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t)= [Ach(\x) + Bsh(\x)]ip(t),
где А, В, Л — произвольные постоянные, а функция <?>(?) описывается линейным обыкновенным
дифференциальным уравнением второго порядка
& = F(t)<p, F(t) = a\2n + f(t,\2,..., А2").
2°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = [Acos(Xx) + Bsin(\x)](p(t),
где А, В, Л — произвольные постоянные, а функция cp(t) описывается линейным обыкновенным
дифференциальным уравнением второго порядка
iptt = F(t)ip, F(t) = (-1) аЛ +/(*,—Л ,...,(—1) А ).
11.3.4. Уравнения вида -^-^- = awd w + f(x,t,w)-^- + g(x,t,w)
dt2 dxn dx
1. -^p- = a^-^-^ + f(x)w +^
k=0
Точное решение:
Bkxk- \ Hx-tr^
k=o k=o k=o
где Aq, Ai, ..., An-\\ Bo, Bi, ..., Bn-\ —произвольные постоянные.
374 Уравнения старших порядков
Точное решение:
w(x, t) = <p(t)(Апхп + ... + AlX)
где Ai, ..., An —произвольные постоянные, а функции cp(t) и ^(t) описываются системой
обыкновенных дифференциальных уравнений
(p'tt = Апап\ ip2 + f(t)(p,
фи = Апап\ <р<ф + f(t)if> + g(t).
Точное решение:
w(x,t) =
где функции (p(t), ip(t) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка (С — произвольная постоянная)
(ри = dp2 + Ь(рф + f(t)tp,
ф'и = С<рф + Ъф2 + f(t)il> + g(t),
а функция в (ж) удовлетворяет линейному обыкновенному дифференциальному уравнению п-го
порядка
ав{хп) + Ъв = С.
4. — = aw ak2nw2 + f(x)w + Ъ\ sh(kx) + 62 сЬ(^ж).
Точное решение квадратичное по переменной t:
w(x,t) = Y(t + CJ[b1sh(kx)+b2ch(kx)] + <р(х).
Здесь С — произвольная постоянная, а функция <р(х) определяется из линейного неоднородного
обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
= 0.
_ d2w dnw f ч dw ...
5. -^p- = aw-^r + f^™-^- + ^(*)w +
Точное решение:
где функции <^(t), ^(t), в (ж) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
(ри = dp2 +g(t)(p,
ав(хп) + f(x)S'x = С,
С — произвольная постоянная.
, d2W dnW f . dw / Ч 2
6. -^- = at^-^-^+ /(ж)^-^—+^(ж)^
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,t) = (p(x)ip(t),
где функции <^(t), ^(t) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
a<p<?)+f(x)ip'x+g(x)ip-C = 0,
Фи - ар2 - ft(*)v = о,
С — произвольная постоянная.
11.4. Другие уравнения 375
11.4. Другие уравнения
11.4.1. Уравнения гидродинамического типа
л d2w , fdw\2 d2w p,.xdnw
lu dxdt
1°. Пусть w(x,t) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
где ip(t) —произвольная функция, также будет решением этого уравнения.
2°. Точное решение:
Л ip(t)
где ip(t)—произвольная функция, Л — произвольная постоянная.
. dw d2w dw d2w ., ч dnw
ду дхду дх ду2 V ' дуп
1°. Пусть w(x,y) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
Wl (ж, у) = СГ2Нх, Ciy + ф)) + С2,
где Ci, C2 —произвольные постоянные, (р(х) — произвольная функция, также будет решением
этого уравнения.
2°. Вырожденное решение:
к=0
где <^(ж) —произвольная функция, Ск —произвольные постоянные.
3°. Точное решение:
w[x, у) = ф)еХу - \п~2 f f(x) dx + С,
где (р(х)—произвольная функция, С, Л — произвольные постоянные.
4°. Точное решение:
w(x, у) = (р(у) / f(x) dx + ф(у),
где функции (р = (р(у) и ф = ^(г/) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
/ / / / // / (гг)
^^у -<РФуу =Фу •
5°. Точное решение:
гу(ж, у) = ф)и(г), z = ф(х)у
где функции (р = <р(х), ф = ф(х), U = t/(^) описываются системой обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений
\
"
Ci(U'zf - C2UU"Z = U{zn).
dw d2w dw d2w , . d2nw , .
ду дхду дх ду2 ~ :'(x
Частный случай уравнения 11.4.1.4.
Точное решение:
где ip(x)—произвольная функция, С\, С2, A — произвольные постоянные.
376 Уравнения старших порядков
dw d2w dw d2w
„/ dw dnw \
V ' ' ду ' ' " ' дуп )'
ду дхду дх ду2 V ' ' ду ' ' " ' дуг
1°. Пусть w(x,y) —решение рассматриваемого уравнения. Тогда функция
wi(x, у) = w(x,y + (f(x)),
где (f(x) —произвольная функция, также будет решением этого уравнения.
2°. Пусть правая часть уравнения не зависит явно от х. Точное решение:
где (р(х)—произвольная функция, а функция w(z) описывается автономным обыкновенным
дифференциальным уравнением F(w, w'z,..., wz ) = 0.
3°. Пусть правая часть уравнения не зависит явно от ж и го. Точное решение:
ю = Сх + g(z), z = у + (р(х),
где (р(х) — произвольная функция, С — произвольная постоянная, а функция g(z) описывается
автономным обыкновенным дифференциальным уравнением F(gfz,..., gz ) + Cgzz = 0.
4°. Преобразование Мизеса
^ = х, ту = ю, ^(ц5 ^7J ^ 1 где ю = ю(ж, ?/),
на единицу понижает порядок рассматриваемого уравнения. Формулы для вычисления произ-
производных:
dw d2w ди dw d2w dw d2w ди dsw д ( ди \ д д
ду ду2 дг\ ду дхду дх ду2 д? ду3 дг\ \ дг\ ) ду
11.4.2. Уравнения общего вида, содержащие д w и д w
дхп ду™
л „/ 1 dw 1 дп w I dw I d^w \
1. Fix, ,..., ; ,..., = 0.
V w ox w oxn w oy w oyrrt /
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y) = АеХуср(х),
где А, Л — произвольные постоянные, а функция <р(х) описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением n-го порядка
%ЙМ-,^п)МА,.,Ат)=0.
/ J_^w_ 1 dnw 1 d2w 1 d2rnw \ _
\ ' w дх ' " " " ' w dxn ' w ду2 ' ' " ' гу Оу2771 / ~
1°. Точные решения в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y) = Ае у(р(х),
w(x,y)= [Ach(\y) + Bsh(\y)](p(x),
где А, В, Л — произвольные постоянные, а функция ip(x) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением n-го порядка
F(x, <р'х/<р,..., Vin)/V; Л2,..., \2т) = 0.
2°. Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y) = [Acos(Xy) + В sm(\y)]ip(x),
где А, В, Л — произвольные постоянные, а функция <р(х) описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением n-го порядка
F(x, ^М • • •, №/<?, -А2,..., (-1Г\2т) = 0.
11.4. Другие уравнения 377
^ / dw dnw \ , _ / dw
V дж dxn ) \ dy
dy
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,y) = (р(х) +ф(у).
Здесь функции (р(х) и ф(у) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
F1(x,<p'x,...,<pxn))-k<p = C,
Р2{у,ф'у,...,ф^п))-кф = -С,
где С — произвольная постоянная.
. ( 1 dw 1 dnw \ h ( 1 dw 1 d™w \
V ' w dx w dxn ) \ w dy w dy™ )
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y) = (р(х)ф(у).
Здесь функции <р(х) и ф(у) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
V-kF1(x,<p'x/<p,...,<p™/<p)=C,
фкГ2(у,ф'у/ф,...,ф11т)/ф) = -С,
где С — произвольная постоянная.
_ _, / dw dnw \ , Лгу г, / dw d^w \
5. .Fi ж, ,.... + е F2(y* ,..., = 0.
V ' dx ' ' dxn ) У ду dy™ )
Точное решение в виде суммы функций разных аргументов:
w(x,y) = <р(х) + ф(у).
Здесь функции ip(x) и ф(у) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
где С — произвольная постоянная.
/ 1 dw I dnw \ / 1 dw I d™w \ _
1 V ' гу dx ' ' " ' w dxn ) 2 V^' w dy ' " ' ' it? dy™ / ~~
Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:
w(x,y) = (р(х)ф(у).
Здесь функции (р(х) и ф(у) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
F1(x,<p'x/<p,...,<pxny<p)-khi<p = C,
F2 (У, Фу/Ф, • • • , Фу /Ф) — J
где С — произвольная постоянная.
dw dnw dw
~ду~
Точное решение:
„ _,/ , , On? O71^ On? drnw\
V *" ' da; ' дж™ dy dy™ J
где функция w(?) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
t)?,...,a wl \ bw?,...,b wl }) = 0.
/ , dw dnw dw drnw \
8. F ( ax + by, ,..., —, ,..., — 1=0.
Точное решение:
где С — произвольная постоянная, а функция <?>(?) описывается обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением
1.^2п п (тг) т / jrn (гтг)\ ^
378 Уравнения старших порядков
9. [агх + Ьгу + f(w)] -^- + [а2х + Ъ2у + g(w)] -^- =
_ / dw d^w dw dkw \
Точные решения ищем в виде
где постоянные А и В определяются путем решения алгебраической системы уравнений
Anai + Впа2 = A, Anbi + ВпЬ2 = В.
Искомая функция w (^) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
[? + An/(^) + Bng(w)]wf) = Ф(^, АЦ, • • •, Am*4m\ ^4' • • •, 5fc^f}).
Замечание. Отметим, что тик могут быть больше п.
Точные решения ищем в виде
w = w (?), ? = Ах + By,
где постоянные А и В определяются путем решения алгебраической системы уравнений
лп-\-т , туп-\-т л лп-\-гп1 , тэп~\~гпи ту
A CL\ + JD CL2 = А, А О\ + JD 02 = ?>•
Искомая функция w(^) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением т-го
порядка
где Со, Ci, ..., Cn-i —произвольные постоянные.
Приложения
А. Методы обобщенного и функционального
разделения переменных
А.1. Введение
А.1.1. Предварительные замечания
Метод разделения переменных является самым распространенным методом решения линейных
уравнений математической физики. Для уравнений с двумя независимыми переменными х и t
и искомой функцией w этот метод базируется на поиске точных решений в виде произведения
функций разных аргументов
w(x,t) = ip(x)il)(t). A)
Интегрирование отдельных классов нелинейных уравнений с частными производными первого
порядка основано на поиске точных решений в виде суммы функций разных аргументов
[см., например, Э. Камке A966), D. Zwillinger A989), А. П. Маркеев A990), A. D. Polyanin,
V. F. Zaitsev, A. Moussiaux B002)]:
B)
Некоторые нелинейные уравнения математической физики второго и более высоких поряд-
порядков также имеют точные решения вида A) или B). Подобные решения будем называть решени-
решениями с обычным разделением переменных.
В последнее десятилетие большое внимание уделялось поиску точных решений, имеющих
более сложную структуру. В частности, в работах В. А. Галактионова, С. А. Посашкова A989) и
В. А. Галактионова, С. А. Посашкова, С. Р. Свирщевского A995) были описаны некоторые типы
параболических и гиперболических уравнений с квадратичной нелинейностью, допускающие
точные решения с обобщенным разделением переменных вида
C)
и решения, соответствующие перестановке независимых переменных х ^ t в правой части C).
В частном случае x(t) = 0 решение C) переходит в решение A), а в случае ip(t) = 1 —
в решение B). В работах С. С. Титова A988), В. А. Галактионова, С. А. Посашкова A994),
V. A. Galaktionov A995), S. R. Svirshchevskii A995) приведены точные решения с обобщенным
разделением переменных, содержащие большее число слагаемых, чем в C). Результаты В. А. Га-
Галактионова, С. А. Посашкова A994), V. A. Galaktionov A995) основаны на отыскании конеч-
конечномерных подпространств, инвариантных относительно соответствующих нелинейных диффе-
дифференциальных операторов.
В работах А. М. Grundland, E. Infeld A992), J. Miller (Jr.), L. A. Rubel A993), R. Z. Zhdanov
A994), В. К. Андреев, О. В. Капцов, В. В. Пухначев, А. А. Родионов A994) описаны все
нелинейные уравнения теории волн и теории теплопроводности вида dttw =F dxxw = f(w),
которые допускают точные решения с функциональным разделением переменных вида
w(x,t) = F(z), где z = (p(x) + ip(t). D)
В работе P. W. Doyle, P. J. Vassiliou A998) рассматривались одномерные нестационарные
уравнения теплопроводности dtw = dx[f(w)dxw], которые допускают решения вида D).
Разд. А.1-А.З написаны совместно с А. И. Журовым.
380 Методы обобщенного и функционального разделения переменных
В работах В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A996), А. Д. Полянина, А. И. Журова A998),
А. Д. Полянина, А. В. Вязьмина, А. И. Журова, Д. А. Казенина A998) A. D. Polyanin, A. I. Zhurov,
А. V. Vyazmin B000), А. Д. Полянина B001 а, с, d), описано много нелинейных уравнений ма-
математической физики разных типов и разных порядков, которые допускают решения с обоб-
обобщенным и функциональным разделением переменных (особое внимание уделялось уравнениям
общего вида, зависящим от произвольных функций).
В данном приложении описаны новые прямые методы построения точных решений не-
нелинейных уравнений математической физики и механики с обобщенным и функциональным
разделением переменных, основанные на исследовании соответствующих функциональных и
функционально-дифференциальных уравнений (которые содержат неизвестные функции раз-
разных переменных). Даны примеры применения этих методов к уравнениям теории тепло- и
массопереноса, теории волн и гидродинамики, а также к уравнениям математической физики
общего вида.
Замечание. Точные решения с обобщенным и функциональным разделением переменных
обычно не могут быть получены методами (классического) группового анализа.
А.1.2. Простейшие случаи разделения переменных в нелинейных
уравнениях
В отдельных случаях разделение переменных в нелинейных уравнениях проводится по той
же схеме, что и в линейных уравнениях. Точное решение ищется в виде произведения или
суммы функций разных аргументов. Подставив A) или B) в рассматриваемое уравнение и делая
элементарные алгебраические операции, приходят к равенству двух выражений (для уравнений
с двумя переменными), зависящих от разных аргументов. Такая ситуация возможна только в
том случае, когда каждое из указанных выражений равно одной и той же постоянной величине.
В результате получают обыкновенные дифференциальные уравнения для искомых величин.
Проиллюстрируем сказанное на конкретных примерах.
Пример 1. Уравнение теплопроводности со степенной нелинейностью
dw d
dt dx
имеет точное решение в виде произведения функций разных аргументов. Подставив A) в уравнение E),
приходим к выражению
Разделяя переменные путем деления обеих частей на (р^^1, получим
Левая часть этого равенства зависит только от переменной t, а правая — только от х. Это возможно только
при выполнении условий
^ с, ^^>к = с, F)
где С — произвольная постоянная. Решив обыкновенные дифференциальные уравнения F), получим
решение уравнения E) вида A).
Процедура построения решения с разделяющимися переменными вида A) нелинейного уравнения
E) полностью аналогична процедуре, используемой для решения линейных уравнений [в частности,
для уравнения E) при к = 0]. Случаи решений с подобным разделением переменных будем называть
простейшими.
Пример 2. Волновое уравнение с экспоненциальной нелинейностью
dt2 дх V дх
имеет точное решение в виде суммы функций разных аргументов. Подставим выражение B) в уравне-
уравнение G). После деления обеих частей на еЛ^ приходим к равенству
-\Ф /tt _ п(рх<р
t у
xJx'
A.I. Введение 381
левая часть которого зависит только от переменной t, а правая — только от х. Это возможно только при
выполнении условий
е-Л*< = С, a(e^v'Jx=C, (8)
где С — произвольная постоянная. Решив обыкновенные дифференциальные уравнения (8), получим
решение уравнения G) вида B).
Пример 3. Уравнение теплопроводности в анизотропной среде с источником логарифмического типа
д г п. . dw 1 д
имеет точное решение в виде произведения функций разных аргументов
(Ю)
Подставим выражение A0) в уравнение (9). После деления на (рф и перенесения отдельных слагаемых в
разные части полученного равенства, получим
^ШФ'хУх -а\п<р= -±-[д(у)>фу]у +а\пф.
Левая часть этого выражения зависит только от переменной х, а правая — только от у. Приравнивая их
постоянной величине, можно получить обыкновенные дифференциальные уравнения для функций (р(х) и
Ш-
® Литература к разд. А. 1.2: Л. В. Овсянников A959), В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
А.1.3. Примеры нетривиального разделения переменных в нелинейных
уравнениях
Во многих случаях разделение переменных в нелинейных уравнениях происходит иначе, чем в
линейных уравнениях. Проиллюстрируем сказанное на конкретных примерах.
Пример 4. Рассмотрим уравнение с кубической нелинейностью
dw „. . д2w / dw \2 о ,лл^
Л*)+Ы 3 ^
где f(t) —произвольная функция. Ищем точные решения в виде произведения функций разных аргумен-
аргументов. Подставим A) в A1) и поделим обе части полученного равенства на f(t)(p(x)i/)(t). В результате имеем
f = ^ + f[(^-^]. A2)
В общем случае данное выражение нельзя представить в виде суммы функций разных аргументов. Это
однако не означает, что уравнение A1) не имеет решений вида A).
1°. Прямой проверкой можно убедится, что функционально-дифференциальное уравнение A2) при а > 0
имеет решение
(р(х) = Сехр(±жх/а), ip(t) = ехр [а Г f(t)dt\, A3)
где С — произвольная постоянная. Решение A3) для tp обращает в нуль выражение в квадратных скобках
в A2), что позволяет разделить переменные.
2°. Имеется более общее решение функционально-дифференциального уравнения A2) при а > 0:
ip(x) = Сх ехр (ху/а) + С2 ехр (—ху/а),
ф{1) =eF(^C3+8aC1C2 I e2F dt)'1'2, F = а Г f(t)dt,
где С1? С2, С3 — произвольные постоянные. Функция tp = (f(x) такова, что обе комбинации величин в
уравнении A2), которые зависят от х, одновременно будут равны некоторым постоянным:
Это обстоятельство и позволяет разделить переменные.
Отметим, что функция ф = ф(г) удовлетворяет уравнению Бернулли ip't = af{t)ip — 4aC1C2V;3-
382 Методы обобщенного и функционального разделения переменных
3°. Имеется другое решение функционально-дифференциального уравнения A2) при а < 0:
ip(x) = Сх sin(ж\/—а) + С2 cos (ж\/—а),
+ 2а(С2 + С2) Г e2F dt] ~lf\ F = aJ /(*) dt>
где C1? C2, C3 — произвольные постоянные. Функция (р = у?(ж) такова, что обе комбинации величин в
уравнении A2), зависящие от х, будут равны константам. Отметим, что функция ф = i/)(t) описывается
уравнением Бернулли ipft = af(t)ip — а(С2 + C2)ip3.
Пример 5. Рассмотрим уравнение третьего порядка с квадратичной нелинейностью
dw d2w dw d2w d3w d3w
~dy~ dx2 + п~дх~ dy2 = Ь dx3 + ° dy3 ' ^ '
Будем искать точные решения уравнения A4) с разделяющимися переменными в виде суммы функций
разных аргументов
w = f(x) + g(y). A5)
Подставив A5) в A4), имеем
Данное выражение нельзя представить в виде суммы двух функций разных аргументов.
Нетрудно догадаться, что функционально-дифференциальному уравнению A6) можно удовлетворить:
если д'у = Сх =^> д(у) = Сху + С2, f(x) = С3 ехр(С1ж/6) + С4х (первый случай),
если f'x=C1 => f(x) = Схх + С2, д{у) = С3 ехр(аС1у/с) + С4у (второй случай),
где С1, С2, С3, С4 —произвольные постоянные. В указанных случаях два члена из четырех в A6)
обращаются в нуль, что позволяет разделить переменные.
Уравнение A4) имеет также более сложное точное решение вида A5):
w = Схе-аХх + —ж + С2еХу - аЬХу + С3,
а
где С1, С2, С3, А — произвольные постоянные. Механизм разделения здесь иной: оба нелинейных члена
в левой части A6) содержат одинаковые по величине, но разные по знаку слагаемые, которые нельзя
представить в виде суммы функций разных аргументов. При сложении нелинейных членов указанные
слагаемые сокращаются, что в итоге и приводит к разделению переменных:
gfyfjx = С1С2а2Х3ехУ~аХх - С16(аАKе-аАж
+ af'x9yy = -С1С2а2Х3ехУ~аХх + С2с\3ехУ
9yf"x + а/Х„ = -C^aXfe-^ + С2сХ3ехУ = Ъ^'хх + cg'J'yy
Пример 6. Рассмотрим уравнение второго порядка с кубической нелинейностью
/ dw \2 , 9ч
H) d2)
Ищем точное решение уравнения A7) с разделяющимися переменными в виде произведения функций
разных аргументов
w = f(x)g(y). A8)
Подставив A8) в A7), получим соотношение
A + f92)(gf"x + f9yV) - VgtfU'*? + fia'yJ] = «/s(i - /V), A9)
которое нельзя представить в виде суммы двух функций разных аргументов. Тем не менее уравнение
A7) имеет решения вида A8). Прямой проверкой можно убедиться, что функции / = f(x) и д = д(у),
удовлетворяющие нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям
(9уJ = Сд4 + (а-В)д1 + А, К '
где А, В, С — произвольные постоянные, обращают функционально-дифференциальное уравнение A9) в
тождество [надо использовать следствия уравнений B0): f'x'x = 2Af3 + Bf, дуу = 2Сд3 + (а — В)д\.
Замечание. Уравнение A7) заменой и = 4 arctg w сводится к нелинейному уравнению теплопровод-
теплопроводности с источником синусоидального вида Аи = a sin w.
Рассмотренные примеры иллюстрируют некоторые особенности решений с разделяющими-
разделяющимися переменными. В разд. А.2 и А.З будут описаны достаточно общие методы построения таких
и более сложных решений нелинейных уравнений с частными производными.
А.2. Методы обобщенного разделения переменных 383
А.2. Методы обобщенного разделения переменных
А.2.1. Структура решений с обобщенным разделением переменных
А.2.1-1. Общий вид решений. Рассматриваемые классы нелинейных уравнений.
Для простоты изложения ограничимся здесь описанием случая уравнений математической фи-
физики с двумя независимыми переменными х, у и зависимой переменной w (одна из независимых
переменных может играть роль времени).
Линейные уравнения математической физики с разделяющимися переменными допускают
точные решения в виде сумм
w(x,y) = (fi(x)ipi(y) -\-(р2(х)ф2(у) Н \-(рп(х)фп(у), A)
где Wi = (fi (х)ф{ (у) — соответствующие частные решения. При этом функции cpi (х) [и функции
Фг(у)] при разных значениях г не связаны друг с другом.
Многие нелинейные уравнения с частными производными с квадратичными и степенными
нелинейностями вида
/1(жЫг/)П1[«;] + f2(x)g2(y)U2[w] + • • • + fm(x)gm(y)Um[w] = 0, B)
где Пг [w] — дифференциальные формы, представляющие собой произведения целых неотрица-
неотрицательных степеней функции w и ее частных производных dxw, dyw, dxxw, dxyw, dyyw, dxxxw,
..., также имеют точные решения вида A). Такие решения будем называть решениями с обоб-
обобщенным разделением переменных. Для нелинейных уравнений, в отличие от линейных, функ-
функции (fi(x) при различных значениях г обычно связаны друг с другом [и с функциями ф3\у)\
Примеры точных решений нелинейных уравнений вида A) для наиболее простых случаев п = 1
и п = 2 (при ф1 = (р2 = 1) рассмотрены в разд. А. 1.2 и А. 1.3.
Замечание. Если в уравнении B) все fs(x)= const, gs(y)= const, то можно искать решения
более общего вида
п
W(x,y)=^2(pm(^m(rf), ? = п\Х + п2у', Ц = Ь\Х + Ъ2у,
771 = 1
где а\, а2, Ь\, Ъ2 —постоянные.
А.2.1-2. Общий вид функционально-дифференциальных уравнений.
В общем случае после подстановки выражения A) в дифференциальное уравнение B) для
определения функций (pi(x) и ф%(у) получим функционально-дифференциальное уравнение
<S>i(X)*i(Y) + Ф2(Х)Ф2(У) + • • • + Фк(Х)Фк(У) = 0, C)
где функционалы Фj(X) и 4fj(Y) зависят соответственно от переменных х и у:
Здесь, для наглядности, формулы выписаны для случая уравнения второго порядка B); для
уравнений старших порядков в правые части формул D) войдут соответствующие старшие
производные функций cpi и ф^.
Далее в разд. А.2.2, А.2.3 будет описано два различных метода решения функционально-
дифференциальных уравнений вида C), D).
Замечание. В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений в уравнение
C)-D) входят несколько функций (и их производных), зависящих от разных аргументов.
А.2.2. Решение функционально-дифференциальных уравнений методом
дифференцирования
А.2.2-1. Описание метода дифференцирования.
Процедура решения функционально-дифференциальных уравнений состоит из трех последова-
последовательных этапов.
384 Методы обобщенного и функционального разделения переменных
1°. Предположим, что Ф/е ф 0. Поделим уравнение C) на Ф/е и продифференцируем по у.
В результате получим уравнение такого же вида, но с меньшим числом членов:
5i(x)$i(y) + ф2(х)Ф2(у) + • • • + 5fc_i(x)$fc_!(y) = о,
Ф3{Х) = Ф,(Х), Ф,(У) = [Ф,-(У)/Ф*(У)];.
Продолжим аналогичную процедуру. .. В итоге приходим к двучленному уравнению с
разделяющимися переменными
$i(X)$i(Y) + Ф2(Х)Ф2(У) = 0. E)
Теперь надо рассмотреть две ситуации. ^ ^
Невырожденный случай'. |Ф1(Х)| + |Ф2(Х)| ф 0, | \I/i(y)| + |Ф2(У)| ф 0. Тогда решения
уравнения E) определяются из обыкновенных дифференциальных уравнений:
Фх{Х) + СФ2(Х) = 0, С$1(У) - Ф2(У) = 0,
где С — произвольная постоянная. Предельному случаю С = оо соответствуют уравнения
ф2 = 0, $i = 0.
Два вырожденных случая'.
$i(X) = 0, Ф2(Х)=0 =* $i,2 (У)—любые;
$1(У) = 0, $2(У) = 0 =^ $i,2 (X)—любые.
2°. Полученные решения двучленного уравнения E) надо подставить в исходное функци-
функционально-дифференциальное уравнение C), чтобы убрать «лишние» постоянные интегрирования
[они появляются из-за того, что уравнение E) получено из C) путем дифференцирования].
3°. Случай Ф/. = 0 надо рассмотреть отдельно (поскольку уравнение на первом этапе делилось
на Ф/е). Аналогично следует исследовать все другие случаи тождественного обращения в
нуль функционалов, на которые делились промежуточные функционально-дифференциальные
уравнения.
Замечание 1. Функционально-дифференциальное уравнение C) может не иметь решений.
Замечание 2. На каждом этапе число членов рассматриваемого функционально-диффе-
функционально-дифференциального уравнения можно понижать путем дифференцирования как по переменной у, так
и по переменной х. На первом этапе, например, можно предположить, что Фк ф 0. Поделив
уравнение C) на Фк и продифференцировав по ж, получим уравнение такого же вида, но с
меньшим числом членов.
А.2.2-2. Примеры построения решений с обобщенным разделением переменных.
Ниже даны конкретные примеры использования описанного метода для построения точных
решений нелинейных уравнений с обобщенным разделением переменных.
Пример 1. Рассмотрим нелинейное уравнение n-го порядка
dw d2w dw d2w dnw ,
oy oxoy ox oyz oyn
где f(x) —произвольная функция. В частном случае п = 3, f(x) = const оно совпадает с уравнением
стационарного пограничного слоя на плоской пластине для функции тока.
Ищем точное решение уравнения F) с обобщенным разделением переменных вида
w(x, у) = (р(х)ф(у) + х(ж), G)
Подставив G) в F) и сократив на ср, получим функционально-дифференциальное уравнение
Ч>'х[(Ф'уJ - ФФ'уу] - Х'хф'у'у = 1ШуП)- (8)
Поделим обе части (8) на / = /(ж), затем продифференцируем по ж. В результате имеем
(v'JfYxHf ~ Wyy] - (x'JfY^'y'y = о. (9)
Невырожденный случай. Разделяя в (9) переменные, получим
А.2. Методы обобщенного разделения переменных 385
Интегрируя, приходим к следующим выражениям:
ф(у) = С4еХу - С1? (р(х)—любая, х(х) = сх(р(х) + С2 / f(x) dx + C3, A0)
где С1? С2, С3, С4, Л — постоянные интегрирования. Поставив A0) в (8), находим связь между
константами С2 = — Хп~2. Учитывая сказанное и формулы G) и A0), в итоге имеем решение уравнения
F) вида G):
w(x, у) = ф)еХу -\п~2 Г f(x) dx + С,
где (р(х) —произвольная функция, С, Л — произвольные постоянные (С = С3, С4 = 1).
Вырожденный случай. Из уравнения (9) имеем
Ш/Ух = °> bc'xlf)'x = °> ^Ы -любая. A1)
Интегрируя дважды первые два уравнения A1), получим
Ф) = С1 f Дж) dx + C2, х(х) = csf №) dx + C4, A2)
где С1? С2, С3, С4 —произвольные постоянные.
Подставив выражение G) с учетом A2) в уравнение (8), приходим к обыкновенному дифференциаль-
дифференциальному уравнению для определения функции ф = i[j(y):
^ ;^^. (i3)
Формулы G), A2) и уравнение A3) описывают точное решение уравнения F).
Пример 2. Двумерные стационарные уравнения вязкой несжимаемой жидкости сводятся к одному
нелинейному уравнению четвертого порядка для функции тока (Л. Г. Лойцянский, 1973):
dw д , Л ч dw д . А А А А d2w d2w ,л л.
— —- (Aw) - —— — (Aw) = uAAw, Aw = —— + ——. A4)
oy ox ox oy oxz oyz
Будем искать точные решения уравнения A4) с разделяющимися переменными вида
у) = ч>{х) + >ф{у). A5)
Подставив A5) в A4), имеем
Продифференцируем обе части A6) по х и у. В результате получим
Невырожденный случай. При (р'^х ^ 0 и фуу ^ 0 разделяя в A7) переменные, приходим к линейным
обыкновенным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами
СФ'У'У, A9)
которые имеют решения различного вида в зависимости от величины константы интегрирования С.
1°. Решение уравнений A8), A9) при С = 0:
ф) = А1-\- А2х + А3х2 3
ip(y) = В1-\- В2у + В3у2 + В4у3,
где Ак, Вк —произвольные постоянные (к = 1,2,3,4). Подставив B0) в A6), находим значения
постоянных
А4 = Б4 = 0, Ап,Вп— любые (п = 1,2,3);
Ак = 0, Бд,—любые (/с = 1,2,3,4);
Bfc = 0, Ак— любые (/с = 1,2,3,4).
Первые два набора постоянных определяют два известных полиномиальных решения уравнения A4)
второй и третьей степени относительно независимых переменных (Л. Г. Лойцянский, 1973):
w = Схх2 + С2х + С3у2 + С4у + С5,
™ = С1?/3 + С2?/2 + Сз?/ + С4,
где С1? С2, С3, С4, С5 —произвольные постоянные.
25 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
386 Методы обобщенного и функционального разделения переменных
2°. Решение уравнений A8), A9) при С = А2 > 0:
ф) = А, + А2х + А3еХх + А4е~Хх,
Подставим B1) в A6). После сокращения на А3 и приведения подобных членов, получим
А3(г/А - В2)еХх + А4(г/А + В2)е~Хх + В3(г/А + А2)еХу + В4(г/А - А2)е"Лг/ = 0.
Приравнивая коэффициенты при экспонентах нулю, находим значения постоянных:
А3 = А4 = В3 = 0, А2 = г/А случай 1,
А3 = В3 = 0, А2 = г/А, Б2 = —г/А случай 2,
А3 = ??4 = 0, А2 = —г/А, В2 = —г/А случай 3.
(Остальные постоянные могут принимать произвольные значения.) Указанные наборы постоянных опре-
определяют три решения уравнения A4) вида A5):
w = С1е~ у + С2у + С3 + г/Аж,
гу = С1е"Лж + г/Аж + С2е"Лг/ - vXy + С3,
гу = С1е"Лж - г/Аж + С2еЛг/ - vXy + С3,
где С1? С2, С3, А — произвольные постоянные.
3°. Решение уравнений A8), A9) при С = -А2 < 0:
ф) = Аг + А2ж + А3 cos(Ax) + A4 sin(Ax),
-0B/) = В1 -\- В2у + ,В3 cos(A?/) + B4 sin(A?/).
Подстановка выражений B2) в A6) не дает новых действительных решений.
Вырожденные случаи. В случаях ip"x = 0 и фуу = 0 уравнение A7) обращается в тождество со-
соответственно для любой функции ф = ф(у) и любой функции ср = (р(х). Эти случаи надо рассматри-
рассматривать отдельно. Например, при (р"х = 0 имеем (f(x) = Ах + В, где А, В — любые. Подставив эту
функцию в A6), приходим к уравнению —Аф1'.'. = уф'"'пг Его общее решение описывается формулой
У У У У У У У
ф(у) = Сг ехр(—Ау/и) + С2у2 + С3у + С4. В итоге имеем еще одно решение уравнения A4) вида A5):
w = Схе~Ху + С2у2 + С3у + С4 + г/Аж (А = г/А, Б = 0),
которое с помощью группового анализа было получено В. В. Пухначевым A960).
Пример 3. Рассмотрим нелинейное уравнение второго порядка параболического типа
dw d2w
= aw-
dt дх* •
Ищем точные решения уравнения B3) с разделяющимися переменными вида
w = 4>{t)+il>{tH{x). B4)
Подставив B4) в B3), после элементарных преобразований имеем
V't-c + i,'te = а^в';х + Ф2[авв'1х + ЬF'хJ}. B5)
Поделим обе части этого выражения на ф2, а затем продифференцируем по t и х. В результате получим
Разделяя переменные, приходим к обыкновенным дифференциальным уравнениям (К — произвольная
постоянная)
О'ххх=Квх1 B6)
(фУф2У,=аК(^/фУ,. B7)
Общее решение уравнения B6) дается формулами
( А±х2-\-А2х-\-А3 при К = 0,
0= < АхеХх + А2е~Хх + А3 при К = А2 > 0, B8)
[ Аг sm(Xx) + A2 cos(Ax) + А3 при К = —А2 < 0,
где А1? А2, А3 —произвольные постоянные. Интегрируя уравнение B7), находим (В — произвольная
постоянная):
ip(t)—любая, ф = при К = 0,
1 + Cl B9)
1 ф'
ф(Л) —любая, <р = Вф Н -^- при К^ 0.
аК ф
Подставив решения B8) и B9) в B5), можно «убрать» лишние константы и определить функции ср и ф.
В итоге получим:
А.2. Методы обобщенного разделения переменных 387
1°. Решение при а ф —Ь, а ф —26:
*+2Ь ~ 9, "*hV?'r ч (соответствует К = 0),
2(а + 2о)(? + CJ
2(а + Ъ) v ' х/ ' /v ' х/ 2(а
где С1? С2, С3 —произвольные постоянные.
2°. Решение при Ь = —а:
1 i//
w = —- + ф(А, еХх + А2е~Хх) (соответствует К = X2 > 0),
аХ2 ф
где функция ф = ф(г) определяется из автономного обыкновенного дифференциального уравнения
Zftft = асХ2 + 4a2X4A1A2e2Z, ф = ez,
решение которого можно представить в неявной форме. В частных случаях А1 = 0 или А2 = 0 имеем
ф = С1 ехр(^-о-сЛ2/;2 + C2t).
3°. Решение при 6 = —а:
-ш = + ^[Ах sin(Ax) + A2 cos(Ax)] (соответствует К = —А2 < 0).
аХ2 ф
где функция ф = ф(г) определяется из автономного обыкновенного дифференциального уравнения
Z't't = -асХ2 + а2А4(А2 + A2)e2Z, ф = ez,
решение которого можно представить в неявной форме.
Замечание. Структуру решений уравнения B3) другим методом описал V. A. Galaktionov A995).
® Литература к разд. А.2.2: A. D. Polyanin B001), А. Д. Полянин, А. И. Журов B002).
А.2.3. Решение функционально-дифференциальных уравнений методом
расщепления
А.2.3-1. Предварительные замечания. Описание метода расщепления.
При уменьшении числа членов функционально-дифференциального уравнения C) с помощью
дифференцирования возникают «лишние» постоянные интегрирования, которые надо убирать
на заключительном этапе. Кроме того, порядок полученного уравнения может быть выше поряд-
порядка исходного. Чтобы избежать этих трудностей решение функционально-дифференциального
уравнения удобно свести к последовательному решению линейного функционального уравне-
уравнения стандартного вида и решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (т. е.
исходная задача расщепляется на две более простых задачи). Ниже дано краткое описание
основных этапов этого метода.
Случай четного числа слагаемых в уравнении C), к = 2s.
1°. На первом этапе рассмотрим уравнение C) как билинейное функциональное уравнение,
зависящее от двух переменных X и У, где Ф{(Х), ФДУ) —искомые величины.
Можно показать (используя индукцию и метод дифференцирования или путем непосред-
непосредственной проверки), что билинейное функциональное уравнение C) имеет решение:
Фг(Х) = СцФа+1(Х) + <ЪФ8+2(Х) + ¦ ¦ ¦ + СьФ^Х) (г = 1, 2,... ,s),
Фя-н(У) = -СцФ1(У)-СиФ2(У) ChMY) (i = l,2,...,s), ( '
которое содержит s2 произвольных постоянных CV/. Функции Ф8-\-1(Х), ..., Ф2в(-Х"), Ф].(У),
..., Ф8(У), стоящие в правых частях равенств C0) задаются произвольно. Существуют также
вырожденные решения, зависящие от меньшего числа постоянных (см. разд. А.2.3-2, п. 2°).
2°. На втором этапе подставим в решение C0) зависимости Ф^ (X) и Ф^- (У) из D). В результате
получим систему (обычно переопределенную) обыкновенных дифференциальных уравнений
для определения искомых функций (рР(х) и ipq(y).
Случай нечетного числа слагаемых в уравнении C), к = 2s — 1.
25*
388 Методы обобщенного и функционального разделения переменных
1°. Функциональное уравнение C) в случае нечетного числа слагаемых к = 2s — 1 имеет два
различных решения, зависящих от s(s — 1) произвольных постоянных. Первое из них можно
получить из формул C0), положив Ф28 = 0 и отбросив последнее выражение для \I/2s. Второе
решение можно получить из первого с помощью переобозначений Ф{(Х) ^ Ф^(У).
2°. Дальнейший анализ проводится для каждого из решений по той же схеме, что и для случая
четного числа слагаемых в уравнении C).
Замечание. Важно подчеркнуть, что используемое в методе расщепления билинейное
функциональное уравнение C) при фиксированном к является одним и тем же для разных
классов исходных нелинейных уравнений математической физики.
А.2.3-2. Решения простейших функциональных уравнений и их применение.
Приведем решения двух простейших функциональных уравнений вида C), которые понадобятся
далее для решения конкретных нелинейных уравнений с частными производными.
1°. Функциональное уравнение
Ф1Ф1 + Ф2Ф2 + Фз^з = 0 C1)
где все Ф^ — функции одного и того же аргумента, а все Ф^ — функции другого аргумента,
имеет два решения:
Ф1=А1Ф3, Ф2=А2Ф3; Фз = -А1Ф1
^i=Ai^3, Ф2=А2Ф3, Фз = -АгФг - А2Ф2,
где А\, А2 —произвольные постоянные. Функции в правых частях равенств C2) считаются
произвольными.
2°. Функциональное уравнение
Ф1Ф1 + Ф2Ф2 + Ф3Фз + Ф4Ф4 = 0, C3)
где все Ф^ — функции одного и того же аргумента, а все Ф^ — функции другого аргумента,
имеет решение
Ф1 = А1Ф3 + А2Ф4, Ф2 = А3Фз + А4Ф4,
Фз = -Ai^i - А3Ф2, Ф4 = -A2^i - А4Ф2,
зависящее от четырех произвольных постоянных Ат [см. решение C0) при s = 2, Сц = А\,
С12 = ^42, С2i = As, С22 = Аа\. Функции в правых частях равенств C4) считаются
произвольными.
Уравнение C3) имеет также два других решения, зависящих от трех произвольных посто-
постоянных:
, Ф4 = -АФ АФ АФ
Пример 4. Рассмотрим нелинейное уравнение гиперболического типа
^ «(*!)+/Wl0+ e(t)> C6)
дг2 дх V #ж /
где /(t) и ^r(t) — произвольные функции. Ищем решение этого уравнения с обобщенным разделением
переменных вида
w(x,t) = (p(x)i;(t)+x(t). C7)
Подставив C7) в C6), после элементарных операций получим
^2{w'x)'x + aiPxv'L + W - WtL> + fX + 9~ Xtt = 0-
Это уравнение можно представить в виде функционального уравнения C3), где
2 Аафх
А.2. Методы обобщенного разделения переменных 389
Подставив в решение C4) выражения C8), получим переопределенную систему обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений для определения функций ip = <р(х), ф = ф(г), х = хМ:
((Р(Рх)х = A]_ip + А2, (рхх = As(p + A4,
1Ф ~ Фи = -Ахаф2 - А3афх, fx + 9~ Xtt = ~А2аф2 - А4
Первые два уравнения C9) совместны только при
Аг = 6В2, А2 = В2 - 4В0В2, А3 = 0, А4 = 2В2, D0)
где Во, By, B2 —произвольные постоянные, и имеют в этом случае решение
<р(х) = В2х2 + Вхх + Во. D1)
Подставив выражения для коэффициентов D0) в два последних уравнения C9), получим систему для
определения функций ф(г) и x(t):
¦f- g(t),
Формулы C7), D1) и система D2) определяют точное решение уравнения C6) с обобщенным
разделением переменных. Первое уравнение D2) решается независимо; оно линейно в случае В2 = 0
и интегрируется в квадратурах при f(t) = const. Второе уравнение D2) линейно относительно х (при
известном ф).
При (р^0,^^0,х^0и произвольных / и g уравнение C6) не имеет других решений вида C7).
Замечание. Можно показать (V. A. Galaktionov, 1995), что уравнение C6) имеет более общее решение
вида
w(x,y) = (р1(х)ф1(г) + (р2(х)ф2(г) + Ф3{г), (р1(х) = х , (р2(х) = х, D3)
где функции ф^ = ф^ (t) определяются из обыкновенных дифференциальных уравнений (штрихи обозна-
обозначают производные по t)
D4)
Второе уравнение D4) имеет частное решение ф2 = ф-у. Поэтому его общее решение можно записать в
виде (В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин, 2001)
Ф2 = c1ip1 + c2ip1f-!2-.
Частному случаю С2 = 0 отвечает решение, полученное в примере 4.
Пример 5. Рассмотрим нелинейное уравнение третьего порядка
d2w / dw \2 d2w dsw
¦ +
dxdt V dx / dx2 dxs
которое встречается в гидродинамике (см. уравнение 9.2.3.1, п. 4°).
Ищем точные решения уравнения D5) вида
/ ow \z о w о w ,
V dx / dx2 dxs
D6)
Подставив D6) в D5), имеем
•р'Ж - Vi>e'lx + v2 [(О2 - Кх] - "ч&ххх = °-
Это функционально-дифференциальное уравнение можно свести к функциональному уравнению C3),
положив
Подставив эти выражения в C4), получим систему уравнений
4>'t = Ai^2 + A2^> 4>$ = А^2 + A4i/(p,
Ю2-Кх = -АЛ+Азе^ 6'»XX=A26'X-A46ZX.
Можно показать, что два последних уравнения D8) имеют совместные решения только при линейной
связи между функцией 9 и ее производной:
е/х = в1е + в2. D9)
390 Методы обобщенного и функционального разделения переменных
Шесть постоянных В1, В2, А1, А2, А3, А4 должны удовлетворять трем условиям
В1(А1 + В2 - A3BX) = О,
В2(А1+В2 -A3Bi) = 0, E0)
Интегрируя уравнение D9), получим
\
В\ + А4В± -А2 = 0.
в2
- —*- при В1 ф О,
В2х + В3 при Вх = О,
где В3 — произвольная постоянная.
Из первых двух уравнений D8) находим функции ср и чр:
A2v
при А2 ф 0,
A, ф = Л^ + А4и, E2)
— при А2 = 0,
О
где С — произвольная постоянная.
Формулы E1), E2) и соотношения E0) позволяют найти следующие решения уравнения D5) вида D6):
х + Сл
w = — + С3 при А2 = Вх = 0, В2 = —Ах\
t + С2
Сл е~^х + 1
w = \- ь>\ при А2 =0, В1 = —А4, ,В2 = —А1 — А3А4;
At -|- с>2
и) = С1е"л(ж+/3''*) + i/(A + /3) при Ах = Л3 = ^2 = °> А2 = в\ + Аьв\\
где С1? С2, С3, /5, Л — произвольные постоянные (их можно выразить через Ак, Вк).
Исследование второго вырожденного решения C5) функционального уравнения C3) с учетом D7)
приводит к двум решениям дифференциального уравнения D5):
где y?(t) и ip(t) —произвольные функции, С1? Л — произвольные постоянные.
® Литература к разд. А.2.3: A. D. Polyanin B001), А. Д. Полянин, А. И. Журов B002).
А.2.4. Упрощенная схема построения точных решений уравнений с
квадратичной нелинейностью
А.2.4-1. Описание упрощенной схемы построения точных решений.
Для построения точных решений уравнений вида B) с квадратичной или степенной нелиней-
нелинейностью, которые не зависят явно от х (т. е. все fi = const), можно использовать следующий
упрощенный подход. Как и ранее решения ищутся в виде конечных сумм A). Предположим, что
система координатных функций (pi(x) описывается линейными дифференциальными уравнени-
уравнениями с постоянными коэффициентами. Наиболее распространенные решения таких уравнений
имеют вид
<Pi(x) = x\ (fi(x) = eX{X, <fi(x) = sm(aix), <pi(x) = cos(ftx). E3)
Конечные последовательности этих функций (в различных комбинациях) можно использовать
для поиска точных решений с обобщенным разделением переменных вида A), где Л^, щ, /3{
рассматриваются как свободные параметры. Вторая система функций g%(y) определяется путем
решения соответствующих нелинейных уравнений, получаемых подстановкой выражения A) в
рассматриваемое уравнение.
А.2. Методы обобщенного разделения переменных 391
Указанный подход не имеет той общности, которой обладают методы, описанные в
разд. А.2.2 и А.2.3. Однако явное задание одной системы координатных функций (pi(x) резко
упрощает процедуру построения точных решений [при этом отдельные решения вида A) мо-
могут быть потеряны]. Важно отметить, что подавляющее большинство известных к настоящему
времени точных решений (с обобщенным разделением переменных) уравнений с частными
производными с квадратичной нелинейностью, задаются координатными функциями вида E3)
(обычно при п = 2).
Замечание. В работах В. А. Галактионова, С. А. Посашкова A994), V. A. Galaktionov A995)
использовался метод построения точных решений, основанный на отыскании конечномерных
подпространств, инвариантных относительно соответствующих нелинейных дифференциаль-
дифференциальных операторов. При этом система координатных функций по одной из переменных задавалась
априорно, а затем применялся метод неопределенных коэффициентов.
А.2.4-2. Примеры построения решений нелинейных уравнений старших порядков.
Рассмотрим конкретные примеры использования упрощенной схемы построения точных реше-
решений с обобщенным разделением переменных нелинейных уравнений старших порядков.
Пример 6. Уравнения ламинарного пограничного слоя на плоской пластине сводятся к одному
нелинейному уравнению третьего порядка для функции тока (Л. Г. Лойцянский 1973, Г. Шлихтинг 1974):
dw d2w dw d2w _ dsw
~д^ дхду ~ ~дх~ ду2 ~V ду3 ' ^ }
Ищем точное решение этого уравнения с обобщенным разделением переменных вида
E5)
которое отвечает простейшей последовательности ср1(х) = х, (р2(х) = 1 ПРИ п — 2 в формуле A). Подставив
E5) в E4), после перегруппировки членов имеем
хЩ? - фф'^ - »ф'у"уу] + [ф'ув'у - ф<%у - ив'у"уу] = 0.
Чтобы удовлетворить этому равенству при любых значениях х надо приравнять нулю оба выражения
в квадратных скобках. В результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для
определения функций ф = if) (у) и в = в (у):
(ФуJ - ФФуу - "Фу'уу = 0,
Фуву-Феуу-<уу=0-
Эта система имеет, например, точное решение
где С1, С2, С3, С4 —произвольные постоянные.
О других точных решениях уравнения ламинарного пограничного слоя E4) см. уравнение 9.2.1.1.
Пример 7. Рассмотрим нелинейное уравнение n-го порядка
dw d2w dw d2w _ dnw
~д^ дхду ~ ~дх~ ду2 ~ /W дуп
где f(x) —произвольная функция. В частном случае п = 3, f(x) = v = const оно совпадает с уравнением
пограничного слоя E4).
Ищем точное решение уравнения E6) с обобщенным разделением переменных вида
w(x,y) = ф)ехУ +0{х), E7)
которое отвечает последовательности ipi(y) = еХу, ^2B/) = 1 в формуле A). Подставив E7) в E6), после
элементарных алгебраических действий получим
Этому равенству можно удовлетворить при
6(х) = — Хп~2 / f(x)dxJrC, ц>(х)—произвольная функция, E8)
392 Методы обобщенного и функционального разделения переменных
где С — произвольная постоянная. (Другой случай tp = 0, ф— любое, малоинтересен.) Формулы E7)-E8)
описывают точное решение уравнения E6):
w(x, у) = ф)еХу -\п~2 Г f{x) dx + С, E9)
содержащее произвольную функцию (р(х) и две произвольные постоянные С и Л.
Пример 8. Рассмотрим нелинейное уравнение n-го порядка
d2w /<9w\2 d2w г,+\дПуо
+Ы) m
где f(t) —произвольная функция. В частном случае п = 3 и f(t)= const оно совпадает с уравнением D5).
Ищем точные решения уравнения F0) вида
F1)
Подставив F1) в F0), имеем
' 1
Выразим отсюда ф и подставим в F1). В результате получим решение уравнения F0):
A ip{t)
где (p(t) —произвольная функция, Л — произвольная постоянная.
® Литература к разд. А.2.4: A. D. Polyanin B001), А. Д. Полянин, А. И. Журов B002).
А.З. Методы функционального разделения переменных
А.3.1. Структура решений с функциональным разделением переменных
А.З. 1-1. Решения с функциональным разделением переменных.
Нелинейные уравнения, полученные заменой w = F(z) из линейных уравнений математической
физики с разделяющимися переменными для функции z = z(x, у), будут иметь точные решения
вида
п
w(x,y) = F(z), где z = ^ (рт(х)фт(у). A)
т = 1
Многие нелинейные уравнения с частными производными, которые не сводятся к линей-
линейным, также имеют точные решения вида A). Такие решения будем называть решениями с
функциональным разделением переменных. В общем случае функции (рт(х), фт(у), F(z) в A)
заранее неизвестны и подлежат определению.
Основная идея: дифференциально-функциональное уравнение, полученное в результате
подстановки выражения A) в рассматриваемое уравнение с частными производными, надо
привести к стандартному билинейному функциональному уравнению C) из разд. А.2.1-2 [или
к дифференциально-функциональному уравнению вида C)-D) из разд. А.2.1-2].
Замечание 1. При функциональном разделении переменных поиск решений простейше-
простейшего вида w = F((p(x) + ф(у)) и w = F((p(x)rf(y)) приводит к одинаковым результатам, по-
поскольку справедливо представление F(ip(x)ip(y)) = F\{ip\(x) + ф\(у)), где F\(z) = F(ez),
(pi(x) = \nip(x), ф\(у) = \пф(у).
Замечание 2. При построении решений с функциональном разделением переменных вида
w = F((p(x) + ф(у)) считается, что ср ф const и ф ф const.
А.З. 1-2. Возможные модификации.
Ниже указаны три более общие модификации решения A), которые можно использовать для
построения точных решений нелинейных уравнений математической физики:
г] = Ъ\х + Ь2у; B)
A3. Методы функционального разделения переменных 393
п
w(x,y) = ei(x)F(z)+e2(x), z = Y, <Рт(х)фт(у); C)
т = 1
п
w(x,y) = 61(y)F(z) + e2(y), z=Y,Vm{x)ipm{y). D)
m = l
Решения вида A)-D) содержат в себе как частные случаи все наиболее распространенные
решения: решения типа бегущей волны, автомодельные решения и решения в виде суммы
или произведения двух функций разных аргументов (а также многие инвариантные решения).
В общем случае функции ipm(Q, фш^), (рш(х), фт(у), F(z), вш(х), вш(у) заранее неизвестны
и должны определяться в процессе решения.
Замечание. В работе J. Miller, L. A. Rubel A993) рассматривались точные решения с функ-
функциональным разделением переменных иного вида (для стационарного уравнения теплопровод-
теплопроводности с нелинейным источником). См. также работу P. A. Clarkson, M. D. Kruskal A989), где
описан метод построения обобщенных автомодельных решений.
А.3.2. Решения с функциональным разделением переменных частного
вида
А.З.2-1. Решения со сложным аргументом линейным по одной переменной.
Для упрощения анализа некоторые функции в A) можно задавать априорно, а другие определять
в процессе решения. Такие решения будем называть решениями с функциональным разделением
переменных частного вида.
Ниже указаны наиболее простые решения с функциональным разделением переменных
частного вида (х и у можно поменять местами):
w = F(z), z = грг(у)х + гр2(у) (аргумент z линеен по ж);
w = F(z), z = ф\(у)х2 + ip2(y) (аргумент z квадратичен по ж);
w = F(z), z = ф\{у)е х-\- ip2(y) (аргумент z содержит экспоненциальную функцию х).
В последней формуле вместо еХх могут стоять также функции ch(ax + b), sh(ax + b), sm(ax + b).
После подстановки любого из указанных выражений в рассматриваемое уравнение на-
надо исключить х с помощью выражения для z. В результате получим функционально-
дифференциальное уравнение с двумя аргументами у и z. Его решение в ряде случаев можно
получить с помощью методов, описанных в разд. А.2.
Замечание. Решение с обобщенным разделением переменных (см. разд. А.2.1) является
решением с функциональным разделением переменных частного вида, соответствующим слу-
случаю F(z) = z.
Рассмотрим примеры нелинейных уравнений, допускающих точные решения с функцио-
функциональным разделением переменных частного вида, когда сложный аргумент z линеен или ква-
квадратичен по одной из независимых переменных.
Пример 1. Рассмотрим нестационарное уравнение теплопроводности с нелинейным источником
dw d2w . . ,_ч
dt дх2
Ищем точные решения уравнения E) с функциональным разделением переменных частного вида
w = w(z), z = <p(t)x + ip(t). F)
Требуется найти функции w(z), (f(t), ip(t) и правую часть уравнения T(w).
Подставив выражение F) в E) и поделив на w'z, имеем
Выразим в F) х через z и подставим его в G). В результате приходим к функционально-дифференциаль-
функционально-дифференциальному уравнению с двумя переменными t и z:
,/ Ф г Ч>\ 2Wzz F(U>)
-iP't + -^-ipft -^z + <p2^ + -\^- = 0,
394 Методы обобщенного и функционального разделения переменных
которое можно рассматривать как функциональное уравнение C3) из разд. А.2, где
Ф = ^;+ <*>; ф = ^ ф = ^2 ф = 1
Подставляя эти выражения в формулы C4) из разд. А.2, получим систему обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений
-ij)'t + —if't = Al(p2 + А2, - ?*- = A3(f2 + A4,
< - A Az ^ - A A z
— --Ax-A3z, ——_-A2-A4z,
где Alf A2, A3, A4 —произвольные постоянные.
Решение системы (8) имеет вид
-1/2
i J ^
w(z) = С3 / ехр(-уА32;2 - Axz) dz + С4,
где C1? C2, C3, C4 — произвольные постоянные. Зависимость Т = ^"(гу) задается двумя последними
выражениями в параметрическом виде (z играет роль параметра).
В частном случае А3 = С4 = О, А1 = — 1, С3 = 1 правую часть уравнения можно записать в явном виде
T(w) = -w(A4\nw + A2). A0)
Решение соответствующего уравнения E), A0) с помощью группового анализа получил В. А. Дородницын
A982).
При А3 ф 0 в (9) правая часть уравнения E) выражается через элементарные функции и функцию
обратную интегралу вероятностей.
Пример 2. Рассмотрим более общее уравнение
содержащее произвольные функции a(t), b(t), c(t). Решения ищем в виде F). В этом случае в системе (8)
изменятся только первые два уравнения, а функции w(z) и ^(w) будут описываться двумя последними
формулами (9).
Пример 3. Нелинейное уравнение теплопроводности
dw д
также имеет решения вида F). Искомые величины описываются системой (8), в которой w"z надо заменить
на [Q{w)w'z]'z. Функции (pit) и ip(t) в F) определяются двумя первыми формулами (9). Одна из двух
функций G(w) или T{w) может быть задана произвольно, а другая находится в процессе решения.
В частном случае F(w) = const можно получить Q(w) = C1e2kw + (C2w + C3)ekw.
Пример 4. Аналогичным образом рассматривается нелинейное уравнение n-го порядка
dw , . dnw , .
= a(t) h F(w),
dt W dxn V J
где a(t) — произвольная функция. Как и ранее решения ищутся в виде F). В этом случае в системе (8)
величины ip2 и w'z'z надо соответственно заменить на a(t)(pn и Wz . В частности, при А3 = 0 помимо
уравнения с логарифмической нелинейностью вида A0) получим и другие уравнения.
Пример 5. Для нелинейного уравнения n-го порядка
dw , . dnw . . ^w;
A3. Методы функционального разделения переменных 395
поиск точного решения вида F) приводит к следующей системе уравнений для определения функций (f(t),
ip(i), w(z), T{w), G(w) (одна из двух последних функций может быть задана произвольно):
-iPft + ^-ipft = А1(рп + А2<р, - ^- = А3<рп + А4<р,
(те)
T(w) — = -Ax - A3z, Q{w) = -A2 - A4z,
где A1? A2, A3, A4 —произвольные постоянные.
При п = 3 и T{w) = 1, положив As = 0иА1 > 0, в частности можно получить
Q{w) = — А2 — А4 &rcsin(kw). Отметим, что другие точные решения рассматриваемого уравнения при
п = 3 и T{w) были указаны в работе V. A. Galaktionov A999).
Пример 6. Можно искать решения уравнения E) с квадратичной зависимостью сложного аргумента
по х:
w = w(z), z = (p(t)x2 +ip(t). A1)
Подставим это выражение в E). В результате приходим к уравнению, которое содержит члены с х2 (и не
содержит членов, линейных по х). Исключив из полученного уравнения х2 с помощью A1), имеем
if (f Wrz
Для решения этого функционально-дифференциального уравнения с двумя аргументами применим метод
расщепления, описанный в разд. А.2.3. Можно показать, что уравнение E) с логарифмической нелинейно-
нелинейностью A0) имеет решение вида A1).
Пример 7. Рассмотрим нелинейное уравнение m-го порядка
dw d2w dw d2w _ / d2w \n-i dmw
~ду~~дхду ~ ~дх~~ду2~ ~ \~ду2~) дут '
которое в частном случае f(x) = const, m = 3 описывает пограничный слой степенной жидкости на
плоской пластине (w — функция тока, х и у — продольная и поперечная координаты, п — реологический
параметр; значение п = 1 соответствует ньютоновской жидкости). Поиск точного решения вида
w = w(z), z = (р(х)у + яр(х),
приводит к равенству (p'x(w'zJ = f(x)(p2n+m~s(wzz)n~1Wz , которое не зависит от функции ф.
Разделяя переменные и интегрируя, получим
ip(x) = / f(x) dx + С\ ~ п~гп 5 ф(х)—произвольна,
а функция w = w(z) определяется путем решения обыкновенного дифференциального уравнения
«J = D - 2п - m)(w/z/z)n-1wim\
® Литература к разд. А.3.2-1: A. D. Polyanin B001), А. Д. Полянин, А. И. Журов B002).
А.3.2-2. Некоторые обобщения. Решения уравнения осесимметричного пограничного слоя.
Уравнения с квадратичной и степенной нелинейностью могут иметь точные решения с функци-
функциональным разделением переменных вида C) и D). В простейшем случае сложный аргумент z
можно выбирать линейным по одной из независимых переменных.
Пример 8. Рассмотрим уравнение осесимметричного стационарного ламинарного гидродинамическо-
гидродинамического пограничного слоя (см. уравнение 9.2.1.3)
dw d2w dw d2w d / d2w \ , ч /л^
= ГГ(*-5ТН +/(*)• A2)
dz dxdz dx dz2 dz V dz2 '
Решение ищем в виде
w(x, z) = г/[а(ж) + C(x)ip(?)\, ? =——— + q(x). A3)
Подставив это выражение в уравнение A2), приходим к функционально-дифференциальному уравнению
вида B)-C) (при к = 6) из разд. А.2.1-2:
= 0. A4)
396 Методы обобщенного и функционального разделения переменных
Используем упрощенную схему построения точных решений. Положим
где Ак, Вк —произвольные постоянные. Подставим выражения A5) в A4) и соберем члены при 7 и
(считаем, что q ф const). Приравнивая множители при 7 и q^ нулю, получим
Случай 1. Положим
A1=A3 = A4 = 0, A2 = -n. A8)
В этом случае решение уравнения A6) имеет вид
С?'+1+С2€ + Сз, A9)
где С1? С2, С3 —постоянные интегрирования. Решение A9) уравнения A6) является одновременно и
решением уравнения A7) только при выполнении условий
„, о р r> /~i /I / R /^2 R / R /^ R/R /'OfA
/i — —Z, Л) -i — *-*'\i ^ 1 — — / 1 ' 2 — — А Л ' Я — — 2/1 * V /
Подставим коэффициенты A8), B0) в систему A5). Интегрируя, получим
где /5 = /?(ж) —произвольная функция.
Формулы A3), A9), B1) дают точное решение уравнения осесимметричного пограничного слоя A2).
Случай 2. При
г> г> п R \ А П Л А А \ 2 / /\ /'О 04
1 — ^3 — ^4 — U5 ^2 — ~Л5 А2 — U5 А3 — ~A\i АА — ~А /А1 У11)
совместное решение системы A6), A7) имеет вид
А\
Решение системы A5) с коэффициентами B2) описывается формулами
где К1, К2 —произвольные постоянные, а = а(х) —произвольная функция.
Формулы A3), B3), B4) дают точное решение уравнения слоя A2).
® Литература: G. I. Burde A994).
А.3.2-3. Решение путем сведения к уравнениям с квадратичной нелинейностью.
В ряде случаев поиск решения в виде A) удается провести в два этапа. Сначала ищется преобра-
преобразование, сводящее исходное уравнение к уравнению с квадратичной (иногда степенной) нели-
нелинейностью. Затем решение полученного уравнения ищется методами, описанными в разд. А.2.
Уравнения с квадратичной нелинейностью иногда удается получить с помощью подста-
подстановок
w(z) = zx (для уравнений со степенной нелинейностью),
w(z) = Alnz (для уравнений с экспоненциальной нелинейностью),
w(z) = е z (для уравнений с логарифмической нелинейностью),
где Л — постоянная, подлежащая определению. Указанный подход эквивалентен априорному
заданию вида функции F(z) в выражении A).
В работах В. А. Галактионова, С. А. Посашкова A989, 1994), V. A. Galaktionov A995)
описано много нелинейных уравнений различного типа, сводящихся с помощью подходящих
преобразований к уравнениям с квадратичной нелинейностью.
A3. Методы функционального разделения переменных 397
Пример 9. Нелинейное уравнение теплопроводности с источником логарифмического типа
dw d2w . . , .
—- =a—~Y + f{t)w\nw + g{t)w
dt дх2
заменой w = ez сводится к уравнению с квадратичной нелинейностью
которое допускает точное решение с обобщенным разделением переменных
z = (р1{х)ф1(г) + (p2(x)ip2(t) +ips{t),
где 4>i(x) = х2, (р2(х) = ж, а функции ipk(i) описываются соответствующей системой обыкновенных
дифференциальных уравнений.
А.3.3. Метод дифференцирования
А.З.3-1. Основные идеи метода. Редукция к уравнению стандартного вида.
В общем случае подстановка выражения A) в рассматриваемое нелинейное уравнение с част-
частными производными приводит к функционально-дифференциальному уравнению с тремя ар-
аргументами (первые два аргумента х и у — обычные, а третий z — сложный). Во многих
случаях полученное уравнение методом дифференцирования удается свести к функционально-
дифференциальному уравнению стандартного вида с двумя аргументами (исключается перемен-
переменная х или у). Для решения уравнения с двумя аргументами используются методы, описанные в
разд. А.2.2 и А.2.3.
А.3.3-2. Примеры построения решений с функциональным разделением переменных.
Рассмотрим конкретные примеры использования метода дифференцирования для построения
точных решений нелинейных уравнений с функциональным разделением переменных.
Пример 10. Рассмотрим нелинейное уравнение теплопроводности
dt dx L dx
Ищем точные решения вида
w = w(z), z = (f(x) + ip(t). B6)
Подставим B6) в B5). После деления на w'z получим функционально-дифференциальное уравнение
ij)'t = <PxXf(w) + {(р'х) Q{z), B7)
где
w"
Q(z) = f(w)—— + f'z(w), w = w(z). B8)
w'z
Дифференцируя B7) по х, имеем
Это функционально-дифференциальное уравнение с двумя переменными можно рассматривать как функ-
функциональное уравнение C1) из разд. А.2, которое имеет два различных решения. Поэтому надо рассмотреть
два случая.
Случай 1. Решения функционально-дифференциального уравнения B9) определяются из системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
f'z +2Q = 2Axf, Q'z =A2f,
где Аг и А2 —произвольные постоянные.
Первые два уравнения C0) линейны и не зависят от третьего уравнения. Их общее решение имеет вид
{eA^z{B1ekz + B2e~kz) при А\ > 2А2,
eAiz(B1 + B2z) при А\ = 2А2, Q = AJ - \fz, к = ^\А2 - 2А2\. C1)
eA^z[B1 sin(kz) + B2 cos(kz)] при А\ < 2А2,
398 Методы обобщенного и функционального разделения переменных
Подставим выражение для Q C1) в B8). Получим дифференциальное уравнение для определения
функции w = w(z). В результате интегрирования имеем
^2dz + C2, C2)
где С1 и С2 — произвольные постоянные. Выражение C1) для / вместе с выражением C2) задают
зависимость / = f(w) в параметрической форме.
Рассмотрим подробнее случай А2 = О, А-у ф 0. Из формул C1) и C2) получим
f{z) = B1e2A^z+B2, Q = AXB2, w(z) = C3(B1+B2e-2Aiz)-1/2 + C2 {Cx = A^Cg). C3)
Исключая z, имеем
Й C4)
Первый интеграл последнего уравнения C0) при А2 = 0 имеет вид (рхх + Аг((ргхJ = const, а его общее
решение описывается формулами
при Dl>0' D2>0;
ПРИ Dl>°' D»<0; C5)
In тг, т= т\ при Di < 0, D, > 0;
где ?)]_, D2' ^з —постоянные интегрирования. Во всех трех случаях выполняются соотношения
(V'xJ = Die~2A^ + D2, vf^ = -A1D1e-2A^. C6)
Подставим выражения C3) и C6) в исходное функционально-дифференциальное уравнение B7). Учитывая
вид переменной z B6), получим уравнение для функции ф = ф(г):
ф'ь = -AxBxDxe2A^ +A1B2D2.
Интегрируя, находим решение
1^
» C7)
AX ?Lexp(-2AfB2?Jt) + B1?I
где D4 — произвольная постоянная.
Формулы B6), C3) (для w), C5), C7) определяют три решения нелинейного уравнения B5) с функцией
f(w) вида C4) [напомним, что эти решения соответствуют частному случаю А2 = 0 в C1) и C2)].
Случай 2. Решения функционально-дифференциального уравнения B9) определяются из системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
C8)
Первые два уравнения C8) совместны в двух случаях:
А1=А2 = 0 =>> (р(х) = Вхх + В2,
А1=2А2 =^ ^
А2
Первое решение в C9) в конечном итоге приводит к решению уравнения B5) типа бегущей волны
w = w(B1x + B2t), а второе решение C9) — к автомодельному решению вида w = w(x2/t). В этих
случаях функция f(w) в уравнении B5) произвольна.
® Литература: P. W. Doyle, P. J. Vassiliou A998), A. D. Polyanin B001).
Пример 11. Можно искать более сложные решения уравнения B5) с функциональным разделением
вида
w = w(z), z = (р(?) + ф(г), ? = х + at (a = const).
Подставим эти выражения в B5). Поделим полученное функционально-дифференциальное уравнение на
w'z, а затем продифференцируем по ж. В результате имеем
) + 2Q(z)] + (^)SQ'Z = 0,
где функция Q = Q(z) определяется по формуле B8). Полученное функционально-дифференциальное
уравнение с двумя переменными ? и z можно рассматривать как функциональное уравнение C3) из
A3. Методы функционального разделения переменных 399
разд. А.2. Его решение строится по формулам C4) из разд. А.2 и позволяет записать систему обыкновенных
дифференциальных уравнений для определения функций / = f(w), w = w(z), ip =
Пример 12. Рассмотрим нелинейное уравнение Клейна — Гордона
d2w d2w . .
Ищем точные решения уравнения D0) в виде
w = w(z), z = (p(x)+il>(t). D1)
Подставив выражение D1) в D0), получим
Фи ~ V'L + Wt? ~ Ш2] 9(z) = h(z), D2)
где
g(z) = w'z'z/wz, h(z) = T(w(z))/w'z. D3)
Продифференцировав уравнение D2) сначала по t, а затем по х, и разделив на ф[(р'х, имеем
2(v& - v'L)a'z + Ы? - Ш2] a'L = Kz.
Исключая ipftft — (pfj.x из этого уравнения с помощью D3), получим
Wt? - Ш2] (g'L - 2gg'z) = tiz'z - 2g'zh. D4)
Это равенство может выполняться только в двух случаях:
g'z'z - 2gg'z = 0, h'zz - 2g'zh = 0 (случай 1),
Щ) (x)
h"zz - 2g'zh = (Az + C){g^z - 2gg'z),
где А, В, С — произвольные постоянные. Рассмотрим эти случаи по порядку.
Случай 1. Первые два уравнения D5) позволяет найти g(z) и h(z). Интегрируя, из первого уравнения
имеем g'z = g2 + const. Интегрируя далее, получим
9 = к, C3а)
g = -l/(z + C1), C36)
g = -kthikz + Ci), C3c)
g = -kcthikz + Ci), C3d)
+ C1), C3e)
где Сi и к — произвольные постоянные.
Второе уравнение D5) имеет частное решение h = g(z). Поэтому его общее решение определяется по
формуле (В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин, 2001)
h = C2g(z) + Csg(z) j -^-, D7)
где С2 и С3 — произвольные постоянные.
Из соотношений D3) определяются функции w(z) и T{w) в виде
w(z) = B1 Г G(z)dz + B2, F(w) = B1h(z)G(z), где G(z) = exp [ Г g(z) d
B1 и В2 — произвольные постоянные (функция Т задана в параметрической форме).
Исследуем подробнее случай (ЗЗЬ). Согласно D7) находим
D8)
D9)
где А-у = — С3/3, А2 = — С2 —любые. Подставляя выражения (ЗЗЬ) и D9) в D8), получим
Исключая из этих соотношений z, находим явный вид правой части уравнения D0):
J-(w) = Ал Вл еи -\- А2Вл е и, где и = . (^0)
Для наглядности далее полагаем С1 = 0, 51 = 1, В2 =0и введем обозначения А1=а,А2 = Ь. Таким
образом, имеем
w(z)=ln|z|, F(w) = A1B1ew + A2B1e~2w, g(z) = -l/z, h(z) = az2 + b/z. E1)
400
Методы обобщенного и функционального разделения переменных
ТАБЛИЦА А1
Нелинейные уравнения dttw — dxxw = T(w), допускающие точные решения с
функциональным разделением переменных вида w = w(z), где z = (f(x) + ф(г).
Обозначения: A, C1? C2 —произвольные постоянные; а = 1 при z > 0, a = — 1 при z < 0
1
2
3
4
5
Правая часть уравнения T(w)
aw \nw-\-bw
aew + be~2w
if- i w • w \
a sin w + о 1 sin -ш In tg h 2 sin — 1
V 4 4 /
/ -y; W \
ashw-\-b(shw\nth \- 2 sh — I
V 4 2 /
a sh w + 26 (sh w arctg e™/2 + ch — )
Решение w(z)
ez
In ^
4 arctg ez
2 In
2 In
cth|
Уравнения для ^(t) и (f(x)
(ф/ьJ = С1е-2^ + а'ф-±а + Ъ + А,
Ш2 = С2е-2^-а1р+±а + А
(ф'ьJ = 2аф3 + Аф2 + С^ + С2,
((р/жJ = -2а(р3 + А(р2-С1(р + С2 + 6
(^J = С1е2^ + С2е-2^ + 6^ + « + А,
(^жJ = -С2е2с^ - Cie-2^ - b(p + A
(<ф/ьJ = С1е2^ + С2е-2*1;-(тЬ<ф + а + А,
ЫхJ = С2е2^ + С1е-2^ + аЪ(р + А
(ф'ьJ = Сх sin 2ф + С2 cos 2^ + о-б^ + а + Л
((//J2 = -Сх sin 2у? + С2 cos 2у? - crfoy? + A
Осталось определить функции ф(г) и (f(x). Подставим выражения E1) в функционально-дифференциаль-
функционально-дифференциальное уравнение D2). Учитывая зависимость D1), после элементарных преобразований получим*
Дифференцируя E2) по t и х, приходим к уравнению с разделяющимися переменными
решение которого описывается автономными обыкновенными дифференциальными уравнениями
где А — константа разделения. Каждое из этих уравнений можно два раза проинтегрировать:
(ф'Л2 = 2аф3 + Аф2 + Слф + С9, ,
/2 з 2 E3)
где С1,С2,С3, С4 —произвольные постоянные. Исключая с помощью E3) производные из уравнения E2),
находим связи между константами: С3 = — С1? С4 = С2 + Ь. Таким образом, функции ф(г) и (f(x)
описываются автономными уравнениями первого порядка с кубической нелинейностью
(ф'ьJ = 2аф3 + Аф2
((f'xJ = -2a(f3 + A(p
С2,
Ь.
Решения этих уравнений выражаются через эллиптические функции.
Для остальных случаев D6) исследование проводится аналогичным образом. Результаты анализа для
случаев (ЗЗа)-(ЗЗе) сведены в итоговой табл. А1.
Случай 2. Интегрируя первые два уравнения D5) (для второго случая) имеем два решения:
ф =
Do
В
при А = 0;
В - С E4)
при А ф 0;
А
где D1 и D2 — произвольные постоянные. В обоих случаях функция T{w) в уравнении D0) является
произвольной. Первое решение E4) соответствует решению типа бегущей волны w = w(kx + At), а второе
приводит к решению вида w = w(x2 — t2).
Замечание. В случае 2 уравнение D4) можно представить в виде функционального уравнения,
рассматриваемого в разд. А.3.5-1.
* Для решения уравнения E2) проще всего использовать результаты решения функционального
уравнения C3) из разд. А.2 [см. формулу C4)].
A3. Методы функционального разделения переменных
401
ТАБЛИЦА А2
Нелинейные уравнения dxxw + д w = T(w), допускающие точные решения с
функциональным разделением переменных вида w = w(z), где z = (р(х) -\- ф(у).
Обозначения: А, С1, С2 —произвольные постоянные; а = 1 при z > 0, а = — 1 при z < О
1
2
3
4
5
Правая часть уравнения Ф(-ш)
aw \nw-\-bw
aew + be~2w
if- i w . w\
a sin гу + о ( sin w In tg Ь 2 sin — )
a sh -ш + 61 sh -ш In th \- 2 sh — j
a sh гу + 26 (sh ги arctg e™/2 + ch — )
Решение w(z)
ez
In ?
4 arctg ez
2 In
2 In
cthf
Уравнения для у?(ж) и if)(у)
((рхJ = С1е-2^ + а(р-±а + Ь + А,
(ф'уJ = С2е-2^ + аф-±а-А
(ipfxJ = 2aips + Aip2 + C1ip + C2,
(ф'уJ = 2аф3 - Аф2 + Схф-С2-Ь
{ip'xJ = Cie2^ + C2e~2v + b(p + a + A,
(ф'уJ = С2е2^ + С1е-2^ + Ъф-А
(ip'J2 = Cie2v + C2e~2v -abip + a + A,
(ф'уJ = -C2e2^ - Cxe~2^ -аЬф-А
(ip'xJ = Cx sin 2ip + C2 cos 2ip + abip + a + A,
(?//J = d sin 2^ - C2 cos 2^ + 0-6^-^4
® Литература: A. M. Grundland, E. Infeld A992), J. Miller (Jr.), L. A. Rubel A993), R. Z. Zhdanov A994),
В. К. Андреев, О. В. Капцов, В. В. Пухначев, А. А. Родионов A994).
Пример 13. Нелинейное уравнение теплопроводности (диффузии)
d2w d2w , ч
исследуется точно также, как и нелинейное уравнение Клейна — Гордона (см. пример 12). Основные
результаты приведены в итоговой табл. А2 [опущено решение типа бегущей волны w = w(kx + At) и
решение вида w = w(x2 + у2), которые имеются для любой T{w)'\.
® Литература: А. М. Grundland, E. Infeld A992), J. Miller (Jr.), L. A. Rubel A993), R. Z. Zhdanov A994),
В. К. Андреев, О. В. Капцов, В. В. Пухначев, А. А. Родионов A994).
А.3.4. Метод расщепления. Редукция к функциональному уравнению с
двумя переменными
А.З.4-1. Метод расщепления. Редукция к функциональному уравнению стандартного вида.
Общая процедура построения точных решений с функциональным разделением переменных,
основанная на методе расщепления, состоит из нескольких этапов, кратко описанных ниже.
1°. Выражение A) подставляется в рассматриваемое нелинейное уравнение с частными произ-
производными. В результате получается функционально-дифференциальное уравнение с тремя аргу-
аргументами (первые два аргумента х и у — обычные, а третий z — сложный).
2°. Функционально-дифференциальное уравнение с помощью элементарных дифференциаль-
дифференциальных подстановок (основанных на выделении величин, содержащих искомые функции и их про-
производные одного аргумента) сводится к чисто функциональному уравнению с тремя аргумен-
аргументами х, у, z.
3°. Функциональное уравнение с тремя аргументами методом дифференцирования сводится к
функциональному уравнению стандартного вида с двумя аргументами (исключается переменная
х или у), которое рассматривалось в разд. А.2.
4°. Строится решение функционального уравнения с двумя аргументами из п. 3° (используются
формулы, приведенные в разд. А.2.3).
5°. Полученное в п. 4° решение вместе с использованными в п. 2° дифференциальными под-
подстановками образует систему (обычно переопределенную) обыкновенных дифференциальных
уравнений. Строится решение этой системы.
26 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
402 Методы обобщенного и функционального разделения переменных
6°. Решение системы из п. 5° подставляется в исходное функционально-дифференциальное
уравнение из п. 1°. В результате определяются связи между постоянными интегрирования и
находятся все искомые величины.
7°. Отдельно рассматриваются возможные вырожденные случаи (возникающие при нарушении
использованных при решении предположений).
Метод расщепления сводит решение функционально-дифференциального уравнения с тре-
тремя аргументами к решению чисто функционального уравнения с тремя аргументами (путем
его сведения к стандартному функциональному уравнению с двумя аргументами) и решению
системы обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. исходная задача распадается на
несколько более простых задач. Примеры построения решений с функциональным разделением
переменных методом расщепления рассмотрены в разд. А.3.5.
А.3.4-2. Функциональные уравнения с тремя аргументами специального вида.
Подстановка выражения A) при п = 2 в нелинейные уравнения с частными производными во
многих случаях приводит к функционально-дифференциальным уравнениям вида
E5)
+Ф&+1(г/, z) + Ф&+2B/, z) + • • • + Фп(|/, г) = О,
где функционалы ФДж) и Ф^г/, г) зависят соответственно от переменных ж и у, ^:
J V / J \ 5 тЛ Г^Ж 5 ГЖЖ /5 3 \У 1 ) 3 \У 1 т 1 ТУ 1 тУУ 1 1 Z1 ZZ ) • V /
(Данные выражения соответствуют уравнению второго порядка).
Решение уравнения E5) целесообразно искать методом расщепления. На первом этапе
будем рассматривать E5) как чисто функциональное уравнение, без учета зависимостей E6).
Предположим, что Ф1 ^ 0. Поделим уравнение E5) на Фх и продифференцируем по у.
В результате получим уравнение такого же вида, но с меньшим числом членов, содержащих
функции Фт:
Фг (ж)Фз (г/, г) + • • • + Ф& (ж)Фд, (г/, z) + Ф^х (у, ^) + • • • + Ф^ (у, z) = 0, E7)
B) д ( Ч? \ i д ( Ч? \
где Ф^; = ( —— ) + фу ( —— ). Продолжая аналогичную процедуру в итоге можно
ду \ Ф1 / dz \ Ф1 /
получить уравнение, не зависящее явно от х:
) = 0, E8)
где
где
) dz Ку
Уравнение E8) можно рассматривать как уравнение с двумя независимыми переменными
у и z. Если Фт \у, z) = Qm(y)Rm(z) для всех т = к + 1,..., п, то для решения уравнения
E8) можно использовать результаты разд. А.2.
® Литература к разд. А. 3.4: A. D. Polyanin B001).
А.3.5. Некоторые функциональные уравнения и их решения. Точные
решения нелинейных уравнений теплопроводности и теории волн
В этом разделе исследуются несколько функциональных уравнений с тремя аргументами, кото-
которые наиболее часто встречаются при функциональном разделении переменных в нелинейных
уравнениях математической физики. Эти результаты использованы для построения точных ре-
решений некоторых классов нелинейных уравнений теплопроводности и теории волн.
А.3.5-1. Функциональное уравнение f(x) + g(y) = Q(z), где z = (f(x) + ф(у).
Здесь одна из двух функций /(ж) и <р(х) задается, а другая ищется; одна из двух функций д(у)
и ф(у) задается, а другая ищется; функция Q(z) ищется.*
В подобных уравнениях со сложным аргументом считается, что (р(х) ф const и if)(у) ф const.
A3. Методы функционального разделения переменных 403
Дифференцируя уравнение по ж и по у, получим Q"zz = 0. Поэтому его решение имеет вид
f(x) = A<p(x) + B, g(y) = Аф{у) - В + С, Q{z) = Az + C, E9)
где А, В, С — произвольные постоянные.
А.3.5-2. Функциональное уравнение f(t)+g(x) + h(x)Q(z) + R(z) = 0, где z = <p(x)+ip(t).
Дифференцируя уравнение по ж, приходим к уравнению с двумя независимыми аргументами
g'x + h'xQ + h^'xQ'z + V'XE!Z = 0. F0)
Такие уравнения рассматривались в разд. А.2. Поэтому имеют место соотношения [их можно
получить после переобозначений из формул C3) и C4), приведенных в разд. А.2]:
д'х = Aihtp'x + А2(р'х,
h'x = A3h<p'x
Rfz = -A2 - A
где А\, А2, As, A4—произвольные постоянные. Интегрирование системы F1) и подстановка
полученных решений в исходное функциональное уравнение дает приведенные ниже резуль-
результаты.
Случай 1. Решение функционального уравнения, соответствующее значению As = 0 в F1):
/ = -\А1ААф2 + (АгВ! + А2 + А4В3)ф - В2 - BxBs - В4,
д = \АХА^2 + (АхВх + А2)(р + В2,
Bu F2)
R = \A\A^z2 — (A2 + A^Bs)z + Б4,
где cp = (p(x) и ф = ф(г) —произвольные функции, Ak, Bu —произвольные постоянные.
Случай 2. Решение функционального уравнения, соответствующее значению As ф 0 в F1):
АЛ \ Л Л
А ' F3)
^3 ч ^3
где (f = if{x) и ф = ф(г) —произвольные функции, Ak, Bk —произвольные постоянные.
Случай 3. Функциональное уравнение имеет также вырожденное решение
f = А\ф-\-В\, д = A\if + В2, h = A2, R = — A\z — A2Q — В\ — В2, E1а)
где if = if(x), ф = ф{Ь), Q = Q(z) —произвольные функции, А\, А2, В\, В2 —произвольные
постоянные; и вырожденное решение
где if = ip(x), ф = ф{Ь), h = h(x) — произвольные функции, А\, А2, В\, В2 —произвольные
постоянные. Вырожденные решения E1а) и E1Ь) можно получить из исходного уравнения и
его следствия F0) с помощью формул C5) из разд. А.2.
Пример 14. Рассмотрим нестационарное уравнение теплопроводности с нелинейным источником
^L = ^ + nw). F5)
26*
404 Методы обобщенного и функционального разделения переменных
Ищем точные решения вида
w = w(z), z = (p(x)+i/>(t). F6)
Подставим F6) в F5). После деления на w'z получим функционально-дифференциальное уравнение
w'z w'z
Представим его в виде функционального уравнения А.3.5-2, где
/(?) = -ф'и д(х) = (рхх, h(x) = ((pfxJ, Q(z)=wzz/wz, R(z) = f(w(z))/w'z. F7)
Используем решения уравнения А.3.5-2. Подставив выражения F7) для д и h в F2)-F4), получим
переопределенные системы уравнений для определения функции ср = <р(х).
Случай 1. Система
полученная из F2) и соответствующая значению А3 = 0 в F1), имеет совместное решение в следующих
случаях:
ер = СуХ + С2 при А2 = —АуС2, А4 = В2 = О, В^ = С2,
<у9 == —д~/\-4Х ~\~ L^-yX ~\~ ^2 При -^1 ~~ -^-2 ~~ ' 1 ~~ 1 4 2' 2 ~~ ~9~ 4'
где С1 и С2 — произвольные постоянные.
Первое решение F8) при А± ф 0 соответствует правой части уравнения F5), которая содержит
функцию обратную к интегралу вероятностей [вид правой части определяется из двух последних соот-
соотношений F2) и F7) для Q и R]. Второе решение F8) соответствует правой части уравнения F5) вида
T(w) = kywlnw + k2w. В обоих случаях первое соотношение F2) с учетом равенства / = — ipft пред-
представляет собой линейное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, решением которого
является сумма экспоненциальной функции и константы.
Случай 2. Система
полученная из F3) и соответствующая А3 ф 0 в F1), имеет совместное решение в следующих случаях:
(p = ±y—A4/Asx-\-C1 при А2 = А1А4/А3, В1=В2 = 0,
при
2
\А\, А2 = ±-А3А4, В2=0, А3А4 > О,
\А%, А2 = \А2>А4, В2=0, AsA4 < О,
\А\, А2 = ±А3А4, В2=0, А3А4 < О,
где С1 и С2 — произвольные постоянные. Эти решения соответствуют правой части уравнения F5),
задаваемой в параметрической форме.
Случай 3. Вырожденным решениям функционального уравнения E1а) и E1Ь) соответствуют решения
нелинейного уравнения теплопроводности F5) типа бегущей волны [функция T(w) — произвольна] и
решения уравнения F5) с источником вида T{w) = k-^wlnw + k2w.
Пример 15. Аналогичным образом рассматривается более общее уравнение
dw . . d2w . . dw , . ,^^ч
~дГ = п(х)~дх^ + (х)~дх~ + ^W)' ( }
которое встречается в задачах конвективного тепло- и массообмена (а = const, Ь = const), в задачах
теплопереноса в анизотропных средах (Ь = а'х), в пространственных задачах теплопроводности с осевой и
центральной симметрией (а = const, b = const /x).
Поиск точных решений уравнения F9) вида F6) приводит к функциональному уравнению А.3.5-2, где
№ = -ipft, g(x) = a(x)(P'x>x+b(x)(Px(x), h(x) = а(ж)(^J, Q(z) = wf^z/wfz, R(z) = f (w(z))/w'z .
A3. Методы функционального разделения переменных 405
Подставляя эти выражения в F2)-F4), получим системы обыкновенных дифференциальных уравнений
для определения искомых величин.
Пример 16. Можно искать более сложные решения уравнения F5) с функциональным разделением
вида
w = w(z), z = (р(?) + ip(t), ? = х + at.
Подстановка этих выражений в уравнение F5) также приводит к функциональному уравнению А.3.5-2, в
котором х надо переобозначить на ? и положить
f(i) = —ф'ъ, д(?) = ц>?? — а^р'^-, Л-@ — {{р'^) •> Q{z) — w'z'zlwz-> R(z) = f(w(z))/wz-
Дальнейшая процедура построения решения проводится также как примере 14.
Замечание. В примерах 14-16 построение точных решений различных уравнений матема-
математической физики сводилось к одному и тому же функциональному уравнению. Это наглядно
демонстрирует полезность выделения и независимого рассмотрения отдельных функциональ-
функциональных уравнений (и целесообразность разработки методов решения функциональных уравнений
со сложным аргументом).
А.3.5-3. Функциональное уравнение f(t) + g(x)Q(z) + h(x)R(z) = 0, где z = (f(x) + ^{t).
Дифференцируем уравнение по х. Получим функционально-дифференциальное уравнению с
двумя переменными х и z:
9xQ H~ 9^PxQz H~ hxR + hipxRz = 0, G0)
которое с точностью до очевидных переобозначений совпадает с уравнением C3) из разд. А.2.
Невырожденный случай. Решение уравнения G0) можно получить с помощью формул C4)
из разд. А.2. В результате приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
9х = (Aig + A2h)<p'x,
o>Z_lgo_\ ~" G1)
R'z = -A2Q -
где A\, A2, As, Aa —произвольные постоянные.
Решение системы G1) имеет вид
д(х) = А2В\е 1(р + А2В2е 2<f>,
h(x) = (ki - АЛВье1*1* + (k2 - АЛВ2ек2(р,
Q(z) = A3Bse-kiz+AsBAe-k2Z,
Ryz) = (к\ — Ai)Bse~ 1 + (к2 — Ai)Bac~ 2 ,
где В\, В2, Вз, В а —произвольные постоянные, а к\ и к2 —корни квадратного уравнения
(к - Аг)(к - А4) - А2А3 = 0. G3)
В вырожденном случае при к\ = к2 члены ек2(р и e~k<2Z в G2) надо заменить соответственно
на (pekl<f> и ze~klZ. В случае чисто мнимых или комплексных корней уравнения G3) в решении
G2) надо выделить действительную (или мнимую) часть.
Подставив G2) в исходное функциональное уравнение А.3.5-3, получим условия, которым
должны удовлетворять свободные коэффициенты и найдем функцию f(t):
[A2A3 + (k2-A1J]B2BAe-k^, G4)
Ai = 0 =^ f(t) = (А2А3 + k^BiBse'^ + (А2А3 + к22)В2ВАе~к^.
В решения G2), G4) входят произвольные функции ср = (р(х) и ф = ip(t).
Вырожденный случай. Функциональное уравнение А.3.5-3 имеет также вырожденное ре-
решение
h = Вхе~А^, R =-B2eAlZ -
406 Методы обобщенного и функционального разделения переменных
где (f = (f(x), ф = ip(t), Q = Q(z) — произвольные функции, А\, А2, B\, В2 —произвольные
постоянные; и вырожденное решение
f = B1B2eAl^, h = -B1e~Alip -А2д, Q = A2B2eAlZ, R = B2eAlZ,
где ср = (р(х), ф = ip(t), д = д(х)— произвольные функции, А\, А2, В\, В2 —произвольные
постоянные. Вырожденные решения можно получить из исходного уравнения и его следствия
G0) с помощью формул C5) из разд. А.2.
Пример 17. Для нелинейного уравнения первого порядка
поиск точных решений вида F6) приводит к функциональному уравнению А.3.5-3, где
), Q(z)=T(w)w'z, R(z) = l/w'z, w = w(z).
A.3.5-4. Уравнение h(x) + f2(y) + gi(x)P(z) + g2(y)Q(z) + R(z) = 0, z = ф) + ф(у).
Дифференцируем уравнение по у. Полученное выражение делим на ijj'yP'z и дифференцируем
по у. В результате приходим к уравнению с двумя аргументами у и z, которое рассматривалось
в разд. А.2 [см. уравнение C) и его решение C0)].
Пример 18. Рассмотрим стационарное уравнение теплопроводности в неоднородной анизотропной
среде с нелинейным источником
Поиск точных решений уравнения G5) вида w = w(z), где z = ip(x) + ip(y) приводит к функциональному
уравнению А.3.5-4, где
д^х) = а{х){(р'х)\ д2(у) = Ъ{у){ф'у)\
P(z) = Q(z)=w';jw'z, R{z) = -T{w)/w'z, w = w{z).
Не проводя полного анализа уравнения G5) ограничимся здесь изучением решений с обобщенным
разделением переменных, которые существуют при произвольной правой части T{w).
Сделав замену z = ?2, ищем решения уравнения G5) вида
w = w(C), С2 = Ф) + Ф(У)- G6)
Учитывая соотношения -^- = -^-, -^- = -^т-, из G5) получим
w', Cw'l, - w',
[{aip'X + (Ъф'у)'у] -? + [a(<*4J + Ь(<ф'уJ] Су С = F(w), ?{w) = F{w(C))• G7)
Для разрешимости этого функционального уравнения потребуем, чтобы выражения в квадратных скобках
были функциями ?:
{aV'x)'x + (Ьф'у)'у = М(О, a(V'xf + Ь(фуJ = ЛГ(С).
Продифференцировав первое из этих равенств по ж и по у, приходим к уравнению (М>/?)> = 0, общее
решение которого имеет вид М(?) = С1^2 + С2. Аналогично находим N(?) = С3?2 + С4. Здесь С1,С2,
С3, С4 —произвольные постоянные. В итоге получим
(а<р'х)'х + (Ьф'уУу = C^tp + ф) + С2, а(^J + Ь(^J = С3(<р + ^) + С4.
риводит к системе обыкн
), Ъ(у)\
(а<р'хУх - С1Ч> -С2 =
Разделение переменных приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для нахождения
функций ip(x), а(х), ф(у), Ъ(у)\
C4 = k2, Ъ(ф'уJ - С3ф = -к2.
Эта система всегда интегрируется в квадратурах и может быть преобразована к виду
(С3<р + С4 + /с2Уж'ж + (С1(р + С2 + кх - С3)(^J = 0, а = (С3<р + С4 + А;2)(<
,'Т' ' G8)
\^3W — K2)Wyy ~\- \^\W — K\ — ^s)\,Wy) = u? u — {^3W ~ K2)vPy) •>
где уравнения для функций (р и ф не зависят от а и Ь и могут решаться независимо. Не проводя полного
исследования системы G8), отметим простой частный случай, когда она интегрируется в явном виде.
A3. Методы функционального разделения переменных
407
ТАБЛИЦА A3
Решения с обобщенным разделением переменных вида w = w(?), где ?2 = (f(x) -\-ip(y), для уравнений
теплопроводности в неоднородной анизотропной среде с нелинейным источником произвольного вида.
Обозначения: С, а, 0, ц, и, п, к — свободные параметры (С ф О, /х ф О, v ф О, п ф 2, к ф 2)
Уравнение теплопроводности
Функции (f(x) и ф(у)
Уравнение для w; = гу(С)
Сх2~п
/Зи2
= fiIn ж, т/; =
Уравнение G7), оба выражения в
квадратных скобках — константы
Уравнение G7), оба выражения в
квадратных скобках — константы
При Сх = С2 = С4 = кг = к2 = О, С3 = С ф О имеем
где a, E, /х, v — произвольные постоянные. Подставив эти выражения в G7) и учитывая вид переменной
? G6), получим уравнение для функции гу(?):
Система G8) имеет также другие решения, приводящие к различным выражениям для функций а(х)
и Ь(у). В табл. A3 указаны случаи, когда эти функции могут быть выражены в явном виде [использованы
результаты В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A996), А. Д. Полянина, А. И. Журова A998)]; опущено решение
типа бегущей волны, соответствующее а = const, Ь = const. В общем случае решение системы G7)
приводит к функциям а(х) и Ь(у), которые записываются в параметрической форме.
® Литература к разд. А. 3.5: A. D. Polyanin B001).
В. Преобразования уравнений математической
физики
В.1. Точечные преобразования
Пусть ж, у — независимые переменные, a w = w(x,y) — функция этих переменных. В общем
случае точечное преобразование задается формулами
x = X(€,ri,u), y = Y(?,ri,u), w = W(?,ri,u), A)
где ?, г] — новые независимые переменные, и = и(?, rf) —новая зависимая переменная, X, У,
W — некоторые (заданные или искомые) функции.
Точечные преобразования не только сохраняют порядок уравнения, к которому применяют-
применяются, но и не изменяют радикально структуру уравнения, так как производные новых переменных
линейно зависят от производных исходных переменных.
Преобразование A) обратимо, если
дх
дх
BY
дх
dw
дх
дх
ду
0Y
ду
dW
dv
дх
dw
BY
dw
dW
dw
В общем случае уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными
/ dw dw d2w d2w d2w \
V дх ' ду дх2 ' дхду ' ду2 )
с помощью обратимого точечного преобразования A) приводится к виду
ди ди д2и д2и д2и\
д? дг\ <9?2 д^дг] дг\2 /
Если и = и(?, rf) —некоторое решение уравнения C), то формулы A) определяют соответству-
соответствующее решение уравнения B) в параметрическом виде.
Точечные преобразования используются для упрощения уравнений и приведения их к
известным. Иногда они позволяют свести нелинейные уравнения к линейным.
Пример 1. Уравнение
dw д / „ dw \ г . . , .-. dw . .
~аГ = a^ (w to") + [хт + 9{t)] to"+ h{t)w
с помощью преобразования
w(x,t)=u{z,T)H[t), z = xF{t)+ fg(t)F(t)dt, т= Г F2(t)Hm(t) dt,
где функции F и Н определяются формулами
F(t) = exp [J f(t) dt], H(t) = exp [J h(t) dt],
приводится к более простому уравнению
Ё1. = JL
дт dz
Пример 2. Нелинейное уравнение
dw d2w
заменой и = ехр(агу) приводится к линейному уравнению для функции и = и(х, t):
ди д2и
В.2. Преобразование годографа 409
В.2. Преобразование годографа
Для упрощения нелинейных уравнений и систем уравнений с частными производными иногда
используется преобразование годографа.
1°. Для уравнения с двумя независимыми переменными ж, у и искомой функцией w = w(x,y)
преобразование годографа заключается в том, что решение ищется в неявном виде (ж и t можно
поменять местами)
х = x(w,t), A)
т. е. w, t принимаются за независимые переменные, а ж — за зависимую переменную. Пре-
Преобразование годографа A) не меняет порядок уравнения и является частным случаем точечного
преобразования (его можно записать в эквивалентном виде: t = t, х = w, w = х).
2°. Для системы двух уравнений с двумя независимыми переменными ж, у и зависимыми
переменными w = w(x,y), v = v(x,y) преобразование годографа заключается в том, что w, v
принимаются за независимые переменные, а х и у — за зависимые переменные, т. е. ищутся
функции
x = x(w,v), y = y(w,v). B)
Преобразование годографа применяется в газовой динамике и теории струй для линеариза-
линеаризации соответствующих уравнений и решения некоторых краевых задач.
Рассмотрим конкретные примеры использования преобразования годографа для решения
уравнений математической физики.
Пример 1. Рассмотрим нелинейное уравнение второго порядка
dw / dw \2 d2w
—-—.
dx2
C)
Ищем решение в неявном виде. Дифференцируя выражение A) по обеим переменным как неявную
функцию с учетом зависимости w = w(x,t), получим
1 = xwwx (дифференцирование по ж),
О = xwwt + xt (дифференцирование по ?),
О = xwwwl + xwwxx (дифференцирование по х дважды),
где индексы снизу обозначают соответствующие частные производные. Из этих соотношений выразим
«старые» производные через «новые»:
^ WX ^
Подставив эти выражения в C), приходим к линейному уравнению второго порядка
dx _ d2x
dt ~ dw2 '
Пример 2. Уравнение
d2w d г., , дгил „ D)
dx2 dy L dy
представим в виде системы уравнений
dw dv dw dv
dx dy ' dy dx
Используем преобразование годографа B): примем w, v за независимые переменные, а ж и у — за
зависимые переменные. Дифференцируя каждое выражение B) по ж и по у (как сложные функции), и
исключая из полученных соотношений частные производные xw, xv,yw, yv, имеем
dx 1 dv dx 1 dw dy 1 dv dy 1 dw dw dv dw dv
dw J dy ' dv J dy dw J dx ' dv J dx dx dy dy dx
Исключая из E) с помощью F) производные wx, w , vx, v , приходим к системе
dy dx dx dy ,
dv dw dv dw
410 Преобразования уравнений математической физики
Почленно продифференцируем первое уравнение по w, а второе — по v, и исключим смешанную
производную ywv. В результате для функции х = x(w,v) получим линейное уравнение
д2х д2х
+ /(-L4=0. (8)
dw2 dv2
Аналогичным образом из системы G) для функции у = y(w, v) имеем другое линейное уравнение
д2у , а
У = \
dv2 dw L f(w) dw
Взяв некоторое частное решение уравнения (8) х = x(w,v) и подставив его в систему G), простым
интегрированием можно найти у = y(w,v). Исключив из равенств E) переменную v, получим точное
решение w = w(x,y) нелинейного уравнения D).
3°. Уравнение (8) при произвольном f(w) имеет простое частное решение
х = Cxwv + C2w + C3v + С4, A0)
где С1? С2, С3, С4 —произвольные постоянные. Подставив его в систему G), получим
-JL =Cxv + C2, — = -(C1w + C3)f(w). A1)
Интегрируя первое уравнение A1), находим у = \Cxv2 + С2г> + (f(w). Подставив это решение во второе
уравнение A1), определяем функцию <p(w). В результате получим
+ C2v - J(ClW + С3)/И dw + С5. A2)
Формулы A1)-A2) определяют точное решение уравнения D) в параметрической форме (v— параметр).
2°. Аналогичным путем можно получить более сложное решение уравнения D), заданное в параметриче-
параметрической форме:
rw
х = Cxv2 + C2wv + C3v + C4w - 2CX I (x - t)f(t) dt + C5,
J a
у = \C2v2 + C4v - 2ClV J f(w) dw - J(C2w + C3)f(w) dw + C6.
3°. Используя частное решение уравнения (9) можно получить другое точное уравнения D):
х = -\Cxv2 - C2v + Сг F(w) dw + C3w + C4,
у = (Сгу + C2)F(w) + C3v + C5, F(w) = / /(гу) dw.
См. также уравнение 5.4.4.8, где рассмотрено более общее уравнение и приведены другие решения.
Пример 3. Рассмотрим систему нелинейных уравнений газодинамического типа
/i(w,v)— V f2{w,v)— \- J3{w,v)— h J4{w,v)—- = 0,
dx dy dx dy
. dw dw dv dv
9i(™>v)— h g2(w,v)— h gs(w,v)— \- g4(w,v)—- = 0.
dx dy dx dy
Примем w, v за независимые переменные, а х и у за зависимые переменные. В результате приходим к
линейной системе уравнений (все выкладки проводятся как в первом примере):
dy dx dy dx
/i {w, vj — f2{w, vj — fo (uj, v) -|- f4{w, v) = 0,
dv dv dw dw
ч dy . dx , s dy , s dx
® Литература к разд. В.2: Р. Курант A962, стр. 426), Н. Е. Кочин, И. А. Кибель, Н. В. Розе A963),
Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко A978, стр. 33-34), Г. Г. Черный A988, стр. 253-269), P. A. Clarkson,
A. S. Fokas, M. J. Ablowitz A989), В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин B001 Ъ).
B.4. Контактные преобразования 411
В.З. Преобразование Лежандра
Для решения нелинейных уравнений с частными производными первого и второго порядков
иногда используется преобразование Лежандра.
Пусть w = w(x,y) — искомая функция. Преобразование Лежандра задается формулами
где и — новая зависимая переменная, а ? и ц — новые независимые переменные.
Из формул A) (используются два следствия первого выражения, полученные путем его
дифференцирования по ? и г\) можно получить:
ди ди ,
ж=—, У=^~- B)
д? дг]
С помощью формул A)-B) находим вторые производные:
d2w _ д2и d2w _ d2w _ д2и d2w _ д2и
~ д2 ' дд ~ дд ~ д?д ' д2 ~ д?2 '
dx2 dr]2 ' dxdy dydx d^dr] ' dy2
где
_ d2w d2w ( d2w \2 1 _ d2u d2u ( d2u \2
~ dx2 dy2 ~ \ dxdy J ' У ~ ~d^2~~d^j2~ ~ V d?dr] )
В общем случае уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными
dw dw d2w d2w d2w
dx dy dx2 dxdy dy
с помощью преобразования Лежандра A) (при J ф 0) приводится к виду
/ du du ? du du ^ d2u d2u d2u \ ,
Иногда уравнение D) бывает проще, чем уравнение C).
Пусть и = гб(?, rf) —некоторое решение уравнения D). Тогда формулы
? du du ,? v du du
d? dr] ' d? dr]
определяют соответствующее решение уравнения C) в параметрическом вида.
Замечание. Использование преобразования Лежандра может привести к потере решений,
удовлетворяющих условию J = 0.
Пример. Нелинейное уравнение
/ dw dw \ d2w / dw dw \ d2w / dw dw \ d2w _
\~dx~'~dy~) dx2 + 9\~dx~'~dy~) dxdy + \~dx~'~dy~) dy2 ~
преобразованием Лежандра A) сводится к линейному уравнению с переменными коэффициентами
B.4. Контактные преобразования
Обобщением преобразования Лежандра являются контактные преобразования. Общим их свой-
свойством является зависимость исходных переменных от новых переменных и их первых произ-
производных. Однако эта зависимость выбирается так, что первые производные исходных перемен-
переменных также зависят только от преобразованных переменных и их производных не выше перво-
первого порядка. Поэтому контактное преобразование не повышает порядка уравнения, к которому
применяется.
Пусть w = w(x,y) — искомая функция. Рассмотрим преобразование
x = X(?,ri,u,p,q),
У = y^'H.u.p.q), A)
w = W(^r],u,p, q),
412 Преобразования уравнений математической физики
где ?, г] — новые независимые переменные, и = и(?, rf) — новая зависимая переменная, а
функции р = р(?, г]), q = q(^,T)) будут определены далее.
Функции X, У, W не являются произвольными, на них накладывается условие сохранения
касания первого порядка
dw - —— dx - —— dy = p(du -pd? -qdrf), B)
иЛ. ОI
dw dw du du
dw = —— dx + —— dy, du= — d? + — drf,
ox oy a? от)
где р = p(?, 77, u, p, q) —некоторый коэффициент пропорциональности.
Преобразование A), удовлетворяющее условию B), будет называться контактным, если
функции р и q задаются как частные производные
ди ди ,_
р=^' «=лГ C)
Из выражений B) и C) получим
, dW dW
dti;__<fc.__dy = 0,
du — pd^ — qdr) = 0.
Отсюда следует, что первые производные новых переменных зависят только от первых произ-
производных исходных переменных, и не зависят от старших производных.
Покажем, как найти соотношения между функциями X, У, W. Дифференцируя первое и
второе выражения A) по х и у по правилу дифференцирования неявных функций [считается,
что ? = ?(х,у),т] = т](х,у)], получим четыре соотношения:
дХ дХ дХ дХ \ д? ( дХ дХ дХ дХ
/ дУ дУ дУ дУ \ д? ( дУ дУ дУ дУ \ дг)
^— + ~^-р + -7—РЦ + ^—Рту) -г^- + ( -г- + ¦—g + -—^ + —-qv )^- = 0,
V <9? ^w ^p dq J дх V ^77 ^w ^p dq J дх
( дХ дХ дХ дХ \ <9? / ^Х ^Х дХ дХ \ дг)
V ^ ^w dp dq J dy V ^77 ^w ^p dq J dy
( дУ дУ дУ дУ \ д? ( дУ дУ дУ дУ \ дг)
[-^т- + -г—р + -г—Рс + -^—Р^у)-г- + ( -^—Ь —— g + —— gc + -^—g^ )— = 1.
\ д? ди dp dq J ду V дг\ ди dp dq J dy
Первая пара равенств представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относи-
относительно -т^г, -q^- , вторая — относительно -^-, -^-. Решив эти системы, можно найти производные
-|?- = А, -|^- = В, -|^- = С, ^ = .D, а затем продифференцировав третье соотношение A) по
хну, можно выразить величины U = -|^, У = -|^ через новые переменные:
A(dW dW dW ^ \ r^fdW dW dW dW
U = A\^r + -^-P+^-Pt + -?—Pry ) +5(—— + —— g+ —— gc + ——
V ^ <9« dp dq J V ^77 ^w dp dq
лг ^fdW dW dW dW \ ^f dW dW dW dW \
V d? du dp dq / V ^77 ^w dp dq J
При этом следующие из B) условия — отсутствие зависимости от вторых производных
dU dV dU dV dU dV _ , ч
"я— = "я— = "я— = "я— = "я— = "я— = °' ^ = ^)
dp^ dp^ dpv dpv dqv dqv
задают дополнительные соотношения между функциями X, У, W.
В итоге контактное преобразование можно записать так:
= ^(?,77,14,1^,^), D)
= U(?,ri,U,U?,Ur,),
В. 5. Преобразования Беклунда. Дифференциальные подстановки 413
Вторые производные w по «старым» переменным выражаются через вторые (и первые) произ-
производные и по «новым» переменным.
В общем случае уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными
/ dw dw d2w d2w d2w \
V dx ' dy дх2 ' дхду ' ду2 )
с помощью контактного преобразования D) приводится к виду
du du д2и д2и д2и
Иногда уравнение F) бывает проще, чем уравнение E). Если и = и(?, rf) —некоторое решение
уравнения F), то первые три формулы D) определяют соответствующее решение уравнения E)
в параметрическом виде.
Пример. Преобразование Эйлера определяется соотношениями
ди ди
Вычисление вторых производных дает
dw
~**
wyy~
dw
dy
иг)Г)
du
dr\
Например, уравнение
dw д w / dw
dy dx2
преобразованием Эйлера линеаризуется:
dw d2u
dr\ d?2
® Литература к разд. В. 4: М. Г. Куренский A934), Н. X. Ибрагимов A983).
В.5. Преобразования Беклунда. Дифференциальные
подстановки
1°. Пусть w = w(x,y) —решение уравнения
„ / dw dw d2w d2w d2w \ ,
Fi[x,y,w,—-,—-,—-—,—-—-,—-—) =0, A)
V dx dy dx2 dxdy dy2 /
а и = u(?, г]) —решение уравнения
/ du_ du_ d2u d2u d2u\ _
V ' dx ' dy dx2 ' dxdy ' dy2 J
Говорят, что уравнения A) и B) связаны преобразованием Беклунда
т / dw dw du du \
cpi [ x У W U I = (J
V dx ' dy ' ' dx ' dy J
dy dx dy ,
dw du du \ _
,-—,u,—, — ) =0,
oy ox oy /
если из совместности пары A) и C) следует уравнение B), а из совместности пары B) и
C) следует A). Если для некоторого конкретного решения и = u(^,rj) уравнения B) удается
разрешить уравнения C) относительно w = w(x, у), то функция w = w(x,y) будет решением
уравнения A). Соотношения C) называют также дифференциальной связью.
Преобразования Беклунда могут сохранять инвариантным вид уравнения (это дает возмож-
возможность «размножать» решения) или связывать решения разных уравнений (это позволяет из ре-
решений одного уравнения получать решения другого).
414 Преобразования уравнений математической физики
2°. Помимо преобразований Беклунда в математической физике используются также диффе-
дифференциальные подстановки. Для уравнений второго порядка дифференциальные подстановки
имеют вид
ди ди \
)
Дифференциальная подстановка повышает порядок уравнения (если она подставляется в
уравнение для w) и позволяет с помощью решений одного уравнения получать решения другого.
Связь между решениями этих уравнений, вообще говоря, необратима и носит односторонний
характер. Дифференциальные подстановки могут быть следствием преобразования Беклунда
(хотя это и необязательно).
3°. Для двух эволюционных уравнений вида
dw
du _ / du dn
dt V dx dx
преобразование Беклунда часто записывается в форме дифференциальной связи
, / dw dmw du dku \
Ф(ж,ги, -—,...,-——,u, —,...,—-r- 1 =0,
V dx dx171 dx dxk /
содержащей производные только по одной переменной х (вторая переменная t входит неявно
через функции w, и). Эта связь может рассматриваться как обыкновенное дифференциальное
уравнение относительно одной из зависимых переменных.
Пример 1. Уравнение Бюргерса
dw dw d2w //1Ч
dt dx dx2
связано с линейным уравнением теплопроводности
ди _ d2u
~dt ~ ~dx~2~
преобразованием Беклунда
E)
ди 1
uw = 0,
дх 2 F)
ди 1 d{uw) _
~dt ~ ~2 дх ~
Исключая из F) w, приходим к уравнению E).
Обратно: пусть u(x,t) —ненулевое решение уравнения теплопроводности E). Разделив E) на и
и вычислив частную производную по х от обеих частей полученного выражения, с учетом равенства
(ut/u)x = (Ux/U)t имеем
U /U \2 W U W 1 о
хх | х \ — х у хх — х I yj^
и V и ) 2 и 24'
t
Подставим сюда следствия первого соотношения F) (см. первую и последнюю формулу в цепочке
равенств):
U W
и 2 и V и ) 2 и 24
В результате приходим к уравнению Бюргерса E).
Замечание. Первое соотношение F) можно записать как дифференциальную подстановку (преобра-
(преобразование Хопфа — Коула)
w=^. G)
U
Подставляя G) в D), получим уравнение
которое можно преобразовать к следующему виду
д г 1 / д
~дх 1^ \~dt дх2
д г 1 / ди д2и \1
~дх 1^ \~dt~ ~ дх2 )\
В. 5. Преобразования Беклунда. Дифференциальные подстановки
415
Таким образом, всякие решение уравнения линейного уравнения теплопроводности E) формулой G)
переводится в решение уравнения Бюргерса D). Обратное неверно — решение уравнения D) порождает,
вообще говоря, решение более общего уравнения
du
д2и
dx2
где f(t) —некоторая функция t.
Пример 2. Нелинейное уравнение Шредингера с кубической нелинейностью
. dw d2w
+
где функция w — комплексная функция действительных переменных х и t (г2 = —1), инвариантно
относительно преобразования Беклунда
dw dw г
дх дх 2
dw dw
dt dt 2 x V dx dx )
Здесь приняты обозначения
f1=w-w, f2=w + w, g1=is(b-2\f1\
где a, b — произвольные действительные постоянные, е = ±1.
Пример 3. Уравнение Кортевега — де Фриза
dw dw dsw
dt dx dx3
и модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза
2I/2
=0
g2 = i(af1 - \
= 0
связаны преобразованием Беклунда
du 9 du dsu
—--6u2— + ——
dt ox dx^
—- =s(w + u2), e = ±l,
du d2w d
dt dx2 dx
/o\
Первое выражение (8) представляет собой преобразование Миуры, которое можно записать в виде
дифференциальной подстановки, разрешив (8) относительно w.
® Литература к разд. В.5: G. L. Lamb A974), A. S. Fokas, R. L. Anderson A979), Н. X. Ибрагимов A983,
стр. 151-154), М. Абловиц, X. Сигур A987, стр. 179-181), N. Н. Ibragimov A994).
С. Тест Фукса — Ковалевской — Пенлеве для
нелинейных уравнений математической физики
С.1. Подвижные особенности решений обыкновенных
дифференциальных уравнений
1°. Взаимосвязь вида обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями их ре-
решений была установлена более ста лет назад. Особенности решений линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений точно соответствуют особенностям коэффициентов уравнений.
Поскольку их положение не меняется с изменением постоянных интегрирования, то такие осо-
особенности именуют неподвижными. В случае нелинейных уравнений появляются также подвиж-
подвижные особенности решений, положение которых зависит от начальных условий (от постоянных
интегрирования).
Ниже приведены простейшие примеры обыкновенных дифференциальных уравнений пер-
первого порядка и их решений с подвижными особенностями.
Уравнение Решение Тип особенности решения
uz = —и2 и = l/(z — zo) подвижный полюс
uz = 1/и и = 2л/г — zo алгебраическая точка ветвления
u'z = е~и и = \n(z — zo) логарифмическая точка ветвления
u'z = —16In2 и и = exp[l/(z — zo)] существенно особая точка
Алгебраические точки ветвления, логарифмические точки ветвления и существенно особые
точки решений называются «критическими особыми точками».
2°. В 1884 году Л. Фукс (L. Fuchs) показал, что нелинейные обыкновенные дифференциальные
уравнения первого порядка
uz = R(z, и)
с рациональной по второму и аналитической по первому аргументу функцией R обладают
решениями без подвижных критических точек (т. е. только с подвижными полюсами) лишь в
случае общего уравнения Риккати u'z = Ao(z) + A\(z)u + A2(z)u2.
3°. Классификация (на комплексной плоскости) обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка вида
uzz = R(z,u, uz),
где R = R(z,u,w) — функция рациональная по и и w и аналитическая по z, была проведена
П. Пенлеве (P. Painleve, 1900) и Б. Гамбье (В. Gambier, 1910). Они показали, что все уравнения
данного вида, решения которых не имеют подвижных критических точек (допустимыми счита-
считаются неподвижные особые точки и подвижные полюса) сводятся к 50 классам уравнений. Из
них 44 класса интегрируются в квадратурах или допускают понижение порядка. Остальные 6
классов являются неприводимыми, их называют уравнениями Пенлеве (а их решения — транс-
трансцендентными функциями Пенлеве или трансцендентами Пенлеве).
4°. Первое уравнение Пенлеве (в канонической форме) имеет вид
II г 2 ,
и77 = 6и + z.
Разд. С.1-С.З написали В. Г. Байдулов, В. А. Городцов.
С. 2. Решения уравнений с частными производными, имеющие подвижный полюс 417
В окрестности подвижного полюса zq его решения представимы в виде ряда
1 °°
и = rj- + У2 an(z - zo)n,
«2 = — ~[qZO, a2> = —\, CL4 = C, пъ = 0, Об = -д^о"^о5
где zo и С — произвольные постоянные; коэффициенты ап (п ^ 7) однозначно определяются
через zo и С.
Второе уравнение Пенлеве (в канонической форме) имеет вид
u'zZ = 2и + zu + а.
В окрестности подвижного полюса zq его решения допускают следующие разложения:
Ь\ = — \rnzQ, Ь2 = — \{т + а), Ьз = С, Ъа = -^zo(m + За),
Ь5 = -^ [B7 + 81а2 - 2zl)m + 108а - 216С^О],
где т = ±1; zq и С — произвольные постоянные; коэффициенты Ъп (п ^ 6) однозначно
определяются через zo и С.
Более подробную информацию об уравнениях Пенлеве можно найти в литературе, цити-
цитируемой в конце разд. С.1. Отметим только, что решение четвертого уравнения Пенлеве имеет
подвижный полюс, а решения третьего, пятого и шестого уравнений Пенлеве имеют неподвиж-
неподвижные логарифмические точки ветвления.
Замечание. В 1888 году С. В. Ковалевской удалось проинтегрировать уравнения движения недефор-
мируемого твердого тела с закрепленной точкой под действием силы тяжести в неизвестном до нее случае.
Был выполнен анализ решений системы шести нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка. При этом решение искалось в виде разложений всех неизвестных величин в ряды с
полюсными подвижными особенностями
и = О- zo)-n[ao +a1(z-z0)+ ...].
Общность решения обеспечивалась нужным (соответствующим порядку системы) числом произвольных
коэффициентов разложений и свободным параметром z0.
Важно отметить, что исследования С. В. Ковалевской предшествовали работам П. Пенлеве по
классификации обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, который использовал
разложения аналогичного вида.
® Литература к разд. С.1: В. В. Голубев A950), G. M. Murphy A960), A. R. Its, V. Yu. Novokshenov
A986), В. И. Громак, Н. А. Лукашевич A990), В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин B001 а).
С.2. Решения уравнений с частными производными,
имеющие подвижный полюс. Описание метода
По аналогии с обыкновенными дифференциальными уравнениями решения уравнений с част-
частными производными можно искать в виде разложений, содержащих особенность типа подвиж-
подвижного полюса. Положение полюса задается с помощью произвольной функции.
Для простоты изложения далее будем рассматривать уравнения математической физики с
двумя независимыми переменными ж, t и зависимой переменной w, которые не зависят явно от
х и t.
1°. Простейшая схема. Решение ищется в окрестности сингулярного многообразия х—хо (t) = 0
в виде разложения (М. Jimbo, M. D. Kruskal, T. Miwa, 1982):
1 °°
w(x,t) = — J2wn(t)sn, e = x-xo(t). A)
п=0
Здесь показатель а — целое положительное число, что обеспечивает полюсной характер
подвижной особенности решения. Функция xo(t) считается произвольной.
27 А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев
418 Тест Фукса — Ковалевской — Пенлеве для нелинейных уравнений математической физики
Выражение A) подставляется в рассматриваемое уравнение. Сначала из баланса ведущих
сингулярных членов определяются показатель а и главный член разложения uo(t). Затем со-
собираются члены при одинаковых степенях е. Приравнивая полученные выражения (при одина-
одинаковых степенях е) нулю, приходят к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для
функций wn(t).
Полученное решение будет общим, если в разложение A) войдут произвольные функции,
причем число этих функций равно порядку рассматриваемого уравнения.
2°. Общая схема. Тест Фукса — Ковалевской — Пенлеве. Решение уравнения в частных произ-
производных ищут в окрестности сингулярного многообразия e(x,t) = 0 в виде обобщенного разло-
разложения симметричного по независимым переменным (J. Weiss, M. Tabor, G. Carnevalle, 1983):
1 оо
w(x,t) = — J2wn(x,t)sn, e = e(x,t), B)
п=0
где StSx ф 0. Здесь и далее нижние индексы х и t обозначают соответствующие частные
производные.
Разложение A) является частным случаем разложения B), когда уравнение сингулярного
многообразия разрешено относительно переменной х.
Требование отсутствия подвижных критических точек подразумевает, что а — положитель-
положительное целое число. Решение будет общим, если степень функционального произвола в коэффици-
коэффициентных функциях wn(x, t) и функции разложения e(x,t) будет совпадать с порядком уравнения
(в полном соответствии с теоремой Коши — Ковалевской).
Подставляя выражение B) в уравнение и выделяя (а затем приравниваю нулю) члены при
одинаковых степенях е, получим рекуррентные соотношения для коэффициентов разложения
Здесь Pn (n) — полиномы степени N с целочисленным аргументом п вида
PN(fl) = (П+ 1)(П- jl)(fl- j2)...(n- JN-l),
где N — порядок рассматриваемого уравнения.
Если корни полинома ji, J2, • • •, jiv-i, именуемые резонансами, оказываются целыми нео-
неотрицательными числами, и выполнены условия совместности
U=Jk=0 (k = l,2,...,N-l),
то говорят о выполнении теста Фукса—Ковалевской — Пенлеве* для рассматриваемого уравне-
уравнения. Уравнения, обладающие указанным свойством, часто относят к классу интегрируемых (что
подтверждается приводимостью таких уравнений к линейным уравнениям во многих известных
случаях).
3°. Для первоначальной проверки выполнения теста Фукса — Ковалевской — Пенлеве для кон-
конкретного уравнения удобно пользоваться упрощенной схемой, основанной на разложении A).
Важные технические упрощения по сравнению с разложением B) обусловлены выполнением
равенств (wn)x = 0, ех = 1.
Разложение общего вида B), подразумевающее более громоздкие, но вместе с этим более
информативные выкладки, полезно использовать на втором этапе исследования после уста-
установления свойства Фукса — Ковалевской — Пенлеве. Это позволяет выяснять многие важные
свойства уравнений и их решений и найти вид преобразования Беклунда, линеаризующего ис-
исходное уравнение.
® Литература к разд. С.2: М. Jimbo, M. D. Kruskal, Т. Miwa A982), J. Weiss, M. Tabor, G. Carnevalle
A983), J. Weiss A983, 1984, 1985), R. Conte A989), R. Conte, M. Musette A989, 1993), M. Musette A998).
В зарубежной литературе обычно используется термин «Painleve test».
С.З. Примеры применения теста Фукса — Ковалевской — Пенлеве 419
С.З. Примеры применения теста Фукса — Ковалевской —
Пенлеве
В этом разделе рассматриваются примеры конкретных уравнений математической физики. Для
их анализа сначала будет использоваться простейшая, а затем общая схема применения теста
Фукса — Ковалевской — Пенлеве, которые основаны на разложениях A) и B) из разд. С.2.
Пример 1. Рассмотрим уравнение Бюргерса
dw dw d^w
1°. Подставив в уравнение главный член разложения A), имеем
w'q awoxfo
q ua(a + l)w0
=
где х0 = xo(t), w0 = wo(t), штрих обозначает производную по t. Из баланса ведущих сингулярных членов
(соответствуют «отбрасыванию» слева двух первых слагаемых), находим
а = 1, Wq = — 2v (п = 0).
Уравнение Бюргерса после подстановки разложения A) и выделения членов при одинаковых степенях
е = х — xo(t) принимает вид
оо
wt + wwx - vwxx = Y^ Еп(г)?П~3 = °> гДе Еп(г) = -(n + !)(n - 2)vwn + • • •
n=0
Здесь в выражении для En(t) опущены слагаемые, содержащие последующие члены разложения
w0,... ,wn_1 и функцию xo(t).
Видно, что имеется один резонанс п = 2, для которого удовлетворяется соотношение совместности
(обращается в нуль сумма членов с низшими коэффициентами в рекуррентном соотношении), и функция
w2(t) остается произвольной. Это ясно из вида младших рекуррентных соотношений (соотношение при
п = 2 является следствием предыдущих и не содержит w2)'-
-E0/w0 =wo + 2is = 0 (n = 0),
-E1/w0 = w1 + st = 0 (n = 1),
E2 = h)t = ° (n = 2)-
Таким образом, уравнение Бюргерса удовлетворяет тесту Фукса — Ковалевской — Пенлеве, а его
решение имеет требуемый произвол в две функции. Собирая члены, решение можно записать в виде
w(x,t) = ^—¦ + x'0(t) + w2(t)[x - xo(t)}2 + ...,
х — xo[t)
где xo(t), w2(t) —произвольные функции.
2°. Для дальнейшего анализа уравнения Бюргерса используем разложение общего вида B), где
wn = wn(x, t), e = e(x,t). Из баланса ведущих членов получим
а = 1, w0 = — 2vex (n = 0).
Рекуррентные соотношения для последующих трех членов разложения имеют вид
w1sx - vexx + et = 0 (n = 1),
(w1?x-is?xx+?t)x=0 (n = 2),
Wt - V(u>l)xx + Wl(Wl)x + [K^), + (?t ~ "?xx)W2-
—2v?x(w2)x + sx(w1w2 + w0w3) — 2ve\wz = 0 (n — 3).
Полагая в этих формулах w2 = w% = 0, получим согласованный обрыв разложения B) с нулевыми
высшими коэффициентами (wk = 0 при к ^> 2). Оставшиеся равенства позволяют представить решение в
виде
w = —— -\- w1, w0 = — 2vsx,
?t + Wl?x = y?xxi (Wl)t + WlK)S = V(u>l)xx-
Эти соотношения представляют собой преобразование Беклунда и позволяют строить по одним
решениям уравнения Бюргерса w1 = w1(x,t) другие решения w = w(x,t). Если выбрать за исходное
решение w1 = 0, то получим известное преобразование Коула — Хопфа
w = — 2г/ —,
?
27*
420 Тест Фукса — Ковалевской — Пенлеве для нелинейных уравнений математической физики
сводящее решение нелинейного уравнения Бюргерса к решению линейного уравнения теплопроводности
Пример 2. Рассмотрим уравнение Кортевега — де Фриза
dw dw dsw _
~dt +W~dx + ~dxZ -
1°. Подставив в уравнение главный член разложения A), получим
w'q QWq^q awl а{а + l)(a + 2)w0 _
(x-xo)<* (x-Xq)"*1 (x-xo)^+i (x-xo)<*+* ~ '
где х0 = xo(t), w0 = wo(t). Из баланса старших сингулярных членов (учитываются два последних
слагаемых), находим
а = 2, w0 = -12 (п = 0).
Уравнение Кортевега — де Фриза после подстановки разложения A) можно представить в виде
wt + wwx + wxxx = ]Г En(t)sn-5 = 0, где En{t) = (n + l)(n - 4)(n - 6)wn + ...
n=0
Из выражения для En(i) следует, что имеются два резонанса п = 4, п = 6. Выписав в явном виде
первые семь уравнений для коэффициентов разложения A) нетрудно убедиться в выполнении условий
совместности для резонансов:
wo + 12 = 0 (п = 0),
Wl=0 (n = 1),
et +w2 = 0 (п = 2),
w3 = 0 (п = 3),
(w1)t = 0 (n = 4),
??? + 6w5 = 0 (п = 5),
(г^з)* "I" wi + 2wiw5 = 0 (n = 6).
Соотношения при п = 4 и п = 6 являются следствиями предыдущих и не содержат w4,w6. Следовательно,
уравнение Кортевега—де Фриза удовлетворяет тесту Фукса—Ковалевской — Пенлеве. Три произвольных
функции w4(t), wQ(t), xo(t) обеспечивают требуемый произвол решения уравнения третьего порядка.
2°. Теперь получим следствие общего разложения, используя сразу возможность обрыва ряда B). После
подстановки в уравнение Кортевега — де Фриза оборванного ряда с w% = w4 = ... = 0 приходим к
преобразованию Беклунда
Wn УОл
и>= -j + — +w2 = \2{\ne)xx +w2,
etex + w2e2x + ^?х?ххх — Зе2хх = 0,
?xt + W2?xx + ?ххх =°5
{w2)t + w2{w2)x + {w2)xxx = 0.
Исключив w2 из второго и третьего уравнений, можно вывести уравнение для функции е, которое с
помощью нескольких преобразований сводится к системе линейных уравнений.
® Литература: J. Weiss, M. Tabor, G. Carnevalle A983), J. Weiss A993).
Пример 3. Рассмотрим уравнение Кадомцева — Петвиашвили
д / dw dw dsw \ d2w
l + + ) + 0
которое представляет собой пример интегрируемого обобщения уравнения Кортевега — де Фриза большей
размерности и более высокого порядка.
1°. В многомерных случаях используется аналог разложения A):
^ оо
w(x,y,t) = — J2wn(y,t)sn, e = x-xo(y,t). C)
? п=0
Баланс ведущих сингулярных членов для уравнения Кадомцева — Петвиашвили дает такой же
результат, как и в случае уравнения Кортевега — де Фриза
а = 2, w0 = -12 (п = 0).
С.З. Примеры применения теста Фукса — Ковалевской — Пенлеве 421
В результате подстановки разложения C) в исходное уравнение получим
оо
wtx + wwxx + w2x + wxxxx + awyy = ^ en~6En(y, t) = 0,
n=0
En(y, t) = (n + l)(n - 4)(n - 5)(n - 6)wn + ...
Видно, что имеется три резонанса: п = 4, 5, 6. Для проверки теста Фукса — Ковалевской — Пенлеве
запишем рекуррентные соотношения для первых семи членов разложения
Ео = 10wo(wo + 12) = 0 (п = 0),
Ех = 12w1(w0 + 2) = 0 (п = 1),
Е2 = 3[2(st + ае2у + w2)w0 + w2 ] = 0 (n = 2),
?3 = aOi)^ - 2(wo)t - 4a(wo)ysy - 2[awosyy - (st + as2y + w2)w1 - wsw0] =0 (n = 3),
?;4 = a(wo)yy - {w1)t - 2a{w1)ysy - awxeyy = 0 [n = 4),
E5 = a{w1)yy =0 (n = 5),
^6 = a(w2)yy + {Wt + 2flW|/S + aw3?yy) +
+ 2[(et + asy + w2w4 + |«;з + w5w± + (w;0 + 12)«;6]} =0 (n = 6).
Три последних соотношения (которые соответствуют резонансам) в силу предыдущих соотношений
выполняются тождественно и не содержат w4, w5, wQ. Полученный произвол в четыре функции (е, w4, w5,
Wq) решения рассматриваемого уравнения четвертого порядка указывает на выполнение свойства Фукса—
Ковалевской — Пенлеве.
2°. Использование разложения общего вида с условием обрыва ряда wn = 0 при п > 2 приводит к
преобразованию Беклунда (для упрощения полагаем а = 1)
w = 12(\ns)xx + w2,
(^2)tx + ^2(^2)ЖЖ + (^2)х + (W2)xxxx + (^2)уу = °'
Исключив w2 из второго и третьего уравнений, можно получить уравнение для функции е, которое в свою
очередь позволяет перейти к решению системы линейных уравнений, которое в свою очередь позволяет
перейти к решению системы линейных уравнений.
Пример 4. Рассмотрим модельную систему уравнений (В. А. Городцов, 1998, 2000)
dw dw _ 1 дс2 d2w
~dt+W~d^ ~~2~d^+U~d^'
дс d(wc) д2с
~di+ дх =Х^2'
которая описывает конвективный перенос активной примеси в вязкой жидкости, когда она оказывает
обратное влияние на течение через давление, квадратично зависящее от концентрации примеси. Такими
уравнениями описывается также одномерное течение электропроводной жидкости в магнитном поле с
большим магнитным давлением.
1°. По аналогии с разложением A) представим искомые величины в виде
-. ОО -. ОО
*>(x,t) = — 5>п(фп, c(x,t) = — $>„(*)?", s = x-xo(t).
? n=0 ? п=0
Из баланса ведущих сингулярных членов уравнений находим
а = /^ = 1, w0 = -х, cl=xBv-x)-
Рекуррентные соотношения для членов разложения запишем в матричном виде
)( гу(п-1)) (п-2)с0 ]\n] = \
(п-2)с0 -(п-2)пХ\ [сп \ [gn_1
Величины fn_1,gn_1 зависят от функций w0,..., wn_1, с0,..., сп_1, х0. Условие однозначной разре-
разрешимости матричного уравнения относительно указанных старших коэффициентов нарушается при обраще-
обращении в нуль характеристического определителя (случай вырожденной матрицы), и тогда эти коэффициенты
могут оказаться произвольными. Тем самым резонансы определяются из условия
1УХ(п + 1)(п - 2J(п - 2 + x/v) = 0
422 Тест Фукса — Ковалевской — Пенлеве для нелинейных уравнений математической физики
и все оказываются целыми положительными (за исключением особого резонанса п = — 1) только при
единичном числе Прандтля Pr = v/\ = 1- Причем один резонанс п = 1 — простой, а другой п = 2 —
кратный, так что в итоге всех резонансов четыре.
Выписав первые три рекуррентных соотношения
1=0, w0
СцСх + wo(st + wx) = 0, wot
(wo)t = 0, (co)t = 0 (n = 2),
убеждаемся, что для резонанса п = 1 выполняется условие совместности, поскольку два соотношения при
п = 1 совпадают в силу выражений при п = 0. Кратный резонанс п = 2 также удовлетворяет условию
совместности благодаря постоянству обоих коэффициентов w0, с0. Отсюда следует, что свойство Фукса —
Ковалевской — Пенлеве для уравнений активной примеси оказывается выполненным (при v/\ — !)•
2°. Используя общее разложение с обрывом рядов при w2 = ^з = • • • = 0, с2 = с3 = ... = 0, получим
преобразование Беклунда для уравнений активной примеси
? ?
w0 = — vex, c0 = ±vex, et + (w1 =F C]^)^^, = vexx,
(W1)t + ^K), = -C1(C1)X + i^KL' (Cl)t + (WlCl)x = ^(С1)ЖЯ;-
Из сравнения с преобразованием Беклунда для уравнения Бюргерса легко видеть, что после перехода в
выписанном преобразовании к разностным и суммарным переменным они совпадут. Действительно при
использовании таких замен переменных в исходных уравнениях при единичном числе Прандтля получается
пара раздельных уравнений Бюргерса:
rt + rrx = vrxx, т = w — с,
каждое из которых, сводится к линейному уравнению теплопроводности (см. пример 1).
Многочисленными исследованиями установлено, что многие известные интегрируемые не-
нелинейные уравнения математической физики обладают свойством Фукса—Ковалевской — Пен-
Пенлеве. Были найдены также новые уравнения с таким свойством. При проверке более сложных
уравнений и систем уравнений на тест Фукса — Ковалевской — Пенлеве могут появляться ре-
зонансы с высокими номерами. При этом трудности аналитического решения быстро нараста-
нарастают. Однако в виду высокой алгоритмичности тест допускает успешное использование методов
символьных вычислений. Например, с помощью системы Maple V удалось провести полную
классификацию интегрируемых случаев уравнений мелкой воды с диссипацией и дисперсией
низших порядков [см. Д. М. Климов, В. Г. Байдулов, В. А. Городцов B001)].
® Литература к разд. С.З: М. Jimbo, M. D. Kruskal, Т. Miwa A982), J. Weiss, M. Tabor, G. Carnevalle
A983), J. Weiss A983), R. Conte A989), M. Musette A998).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987.—479 с.
Адлер В. Э., Шабат А. Б., Ямилов Р. И. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости. //
Теор. и матем. физика, 2000, т. 125, № 3, с. 355^24.
Андреев В. К., Капцов О. В., Пухначев В. В., Родионов А. А. Применение теоретико-групповых
методов в гидродинамике.—Новосибирск: Наука, 1994. — 319 с.
Аристов С Н. Периодические и локализованные точные решения уравнения ht = A In /г. //
Прикл. мех. и тех. физика, 1999, т. 40, № 1, с. 22 - 26.
Ахатов И. Ш., Газизов Р. К, Ибрагимов Н. X. Нелокальные симметрии. Эвристический подход.
В кн.: Современные проблемы математики, т. 34 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН
СССР) —М.: 1989, с. 3-83.
Бажов В. А. Приближенный групповой анализ нелинейных моделей сплошной среды.// Авт.
канд. дис. — М.: Инст. прикл. математики АН СССР, 1990.
Байков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. X. Методы возмущений в групповом анализе. В кн.:
Современные проблемы математики, т. 34 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). —
М.: 1989, с. 85-147.
Бакирова М. И, Димова С И., Дородницын В. А., Курдюмов С П., Самарский А. А., Свирщевский
С Р. Инвариантные решения уравнения теплопроводности, описывающие направленное
распространение горения и спиральные волны в нелинейной среде. // Доклады АН СССР,
1988, т. 299, №2, с. 346-350.
Баренблатт Г. И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой
среде. // Прикл. матем. и механика, 1952, т. 16, № 1, с. 67 - 78.
Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. — М.: Гидрометео-
издат, 1978. —208 с.
Белоколос Е. Д. Общая формула для решений уравнения Sin-Gordon с начальными и граничными
условиями. // Теор. и матем. физика, 1995, т. 103, № 3, с. 358-367.
Белоцерковский О. М., Опарин, А. М. Численный эксперимент в турбулентности. — М.: Наука,
2000.
Берман В. С, Данилов Ю. А. О групповых свойствах обобщенного уравнения Ландау —
Гинзбурга. // Доклады АН СССР, 1981, т. 258, № 1, с. 67-70.
Братусъ А. С, Волосов К. А. Теория Маслова и точные решения одной задачи оптимальной
коррекции при случайных возмущениях. // В сб.: Новые информационные технологии.
Материалы 5-го семинара. — М.: МГИЭМ, 2001 (www/miem.edu.ru/seminar5).
БуллафР, Кодри Ф. (ред.) Солитоны. —М.: Мир, 1983.—408 с.
Бучнев А. А. Группа Ли, допускаемая уравнениями идеальной несжимаемой жидкости.// Ди-
Динамика сплошной среды, вып. 7. — Новосибирск: Инст. гидродинамики АН СССР, 1971,
с. 212-214.
Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. —М.: Мир, 1967. — 312 с.
Векуа И. Н. Замечания о свойствах решений уравнения Аи = — Ке2и. II Сиб. матем. журн.,
1960, т. 1, вып. 3, с. 331-342.
Верещагина Л. И. Групповое расслоение уравнений пространственного нестационарного погра-
пограничного слоя. // Вестник ЛГУ, 1973, т. 13, вып. 3, с. 82-86.
Виноградов А. М., Красильщик И. С (ред.). Симметрии и законы сохранения в математической
физике. — М.: Факториал, 1997.—464 с.
Владимиров В. С Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1985.
Воробьев Е. М., Игнатович Н. В., Семенова Е. О. Инвариантные и частично-инвариантные
решения краевых задач. // Доклады АН СССР, 1989, т. 306, № 4, с. 836-840.
424 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Галактионов В. А., Дородницын В. А., Еленин Г. Г., Курдюмов С П., Самарский А. А. Квазилиней-
Квазилинейное уравнение теплопроводности: обострение, локализация, симметрия, точные решения,
асимптотики, структуры. В кн.: Современные проблемы математики, т. 28 (Итоги науки и
техн. ВИНИТИ АН СССР). —М.: 1986, с. 95-206.
Галактионов В. А., Посашков С. А. О новых точных решениях параболических уравнений с
квадратичными нелинейностями. //Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1989, т. 29, №4,
с. 497-506.
Галактионов В. А., Посашков С А. Точные решения и инвариантные пространства для нели-
нелинейных уравнений градиентной диффузии. // Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1994,
т. 34, № 3, с. 374-383.
Галактионов В.А., Посашков С.А., Свирщевский С Р. Обобщенное разделение переменных для
дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями. // Диф. уравнения,
1995, т. 31, № 2, с. 253-261.
Ганжа Е. И. Об одном аналоге преобразования Мутара для уравнения Гурса вху = 2^/\вхву. II
Теор. и матем. физика, 2000, т. 122, № 1, с. 50-57.
Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М.-Л.: ГИТТЛ,
1950.—436 с.
Городцов В. А. Теплоперенос и турбулентная диффузия в одномерной гидродинамике без
давления. // Прикл. матем. и механика, 1998, т. 62, № 6, с. 1021-1028.
Городцов В. А. Эффект локального роста концентрации примеси в одномерной гидродинамике. //
Прикл. матем. и механика, 2000, т. 64, № 4, с. 615-623.
Громак В. П., Лукашевич П. А. Аналитические свойства решений уравнений Пенлеве. — Минск:
Университетское, 1990. — 160 с.
Гурса Э. Курс математического анализа, т. 3, ч. 1. — М.-Л.: Гос. техн.-теор. издат., 1933. — 276 с.
Додд Р., ЭйлбекДж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. —
М.:Мир, 1988. —694 с.
Дородницын В. А. Групповые свойства и инвариантные решения уравнений нелинейной тепло-
теплопроводности с источником или стоком. — М.: Препринт № 57 Инст. прикл. математики АН
СССР, 1979. —32 с.
Дородницын В. А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с
источником. // Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1982, т. 22, № 6, с. 1393-1400.
Дородницын В. А., Князева И. В., Свирщевский С Р. Групповые свойства уравнения теплопро-
теплопроводности с источником в двумерном и трехмерном случаях. // Дифф. уравнения, 1983, т. 19,
№7, с. 1215-1223.
Дородницын В. А., Свирщевский С Р. О группах Ли — Беклунда, допускаемых уравнением
теплопроводности с источником. — М.: Препринт № 101 Инст. прикл. математики АН
СССР, 1983. —28 с.
Дрюма В. С Об аналитическом решении двумерного уравнения Кортевега—де Вриза. // Письма
в ЖЭТФ, 1974, т. 19, № 7, с. 753-757.
Емец Ю. П., Таранов В. Б. Групповые свойства и инвариантные решения уравнений электриче-
электрического поля при нелинейных законах Ома.// Прикл. мех. и техн. физика, 1973, № 3, с. 28-36.
Жибер А. В., Соколов В. В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского
типа. // Успехи мат. наук, 2001, т. 56, вып. 1, с. 64-104.
Журавлев В. М. Точные решения уравнения нелинейной диффузии щ = A In u-\-\u в двумерном
координатном пространстве. // Теор. и матем. физика, 2000, т. 124, № 2, с. 265-278.
Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными
производными: Точные решения.—М.: Международная программа образования, 1996.—
496 с.
Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. —
М.: Физматлит, 2001 а. — 576 с.
Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Точные решения и преобразования нелинейных уравнений тепло-
теплопроводности и теории волн. // Доклады РАН, 2001 Ь, т. 381, № 1, с. 31-36.
Захаров В. Е. О стохастизации одномерных цепочек нелинейных осцилляторов. // Журн. экспер.
и теор. физики, 1973, т. 65, с. 219-225.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 425
Захаров В. Е., Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега — де Фриса — вполне интегрируемая
гамильтонова система. // Функц. анализ и его прилож., 1971, т. 5, № 4, с. 18-27.
Захаров В. Е., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной авто-
автомодуляции волн в нелинейных средах. // Журн. экспер. и теор. физики, 1971, т. 61, № 1,
с. 118-134.
Захаров В. Е., Шабат А. Б. Схема интегрирования нелинейных эволюционных уравнений
математической физики методом обратной задачи рассеяния. // Функц. анализ и его прилож.,
1974, т. 8, № 3, с. 43-53.
Захаров В. Е., Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Полное описание решений «sin-Gordon»
уравнения. // Доклады АН СССР, 1973, т. 219, № 6, с. 1334-1337.
Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: Метод
обратной задачи. — М.: Наука, 1980. — 320 с.
Зельдович Я. Б., Компанеец А. С. К теории распространения тепла при теплопроводности,
зависящей от температуры. В кн.: Сборник, поев. 70-летию А. Ф. Иоффе. — М.: Изд. АН
СССР, 1950, с. 61-71.
Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамиче-
гидродинамических явлений. — М.: Наука, 1966. — 688 с.
Змитренко Н. В., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Теория режимов с обострением в сжимаемых
средах. В кн.: Современные проблемы математики, т. 28 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН
СССР). —М.: 1987, с. 3-94.
Змитренко Н. В., Курдюмов С. П., Михайлов А. П., Самарский А. А. Возникновение структур
в нелинейных средах и нестационарная термодинамика режимов с обострением. — М.:
Препринт № 74 Инст. прикл. математики АН СССР, 1976. — 67 с.
Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 1983. — 280 с.
Игнатович Н. В. Нередуцируемые к инвариантам, частично инвариантные решения уравнений
стационарного погранслоя. // Мат. заметки, 1993, т. 53, вып. 1, с. 140-143.
Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и
исследования нелинейных эволюционных уравнений. —М.: Мир, 1985. —472 с.
Камке Е. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого
порядка. — М.: Наука, 1966. — 260 с.
Камке Е. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976. —
576 с.
Капцов О. В. Построение точных решений уравнения Буссинеска.// Прикл. мех. и техн. физика,
1998, т. 39, №3, с. 74-78.
Капцов О. В., Шанъко Ю. В. Многопараметрические решения уравнения Цицейки.// Дифф.
уравнения, 1999, т. 35, № 12, с. 1660-1668.
Климов Д. М., Байдулов В. Г., Городцов В. А. Испытание Ковалевской — Пенлеве уравнений
мелкой воды с использованием пакета Maple. // Доклады РАН, 2001, т. 376, № 5, с. 600-604.
Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. — Ижевск: Изд-во
Удмуртского гос. университета, 1995.—432 с.
Колмогоров А. И., Петровский И. Г., Пискунов И. С. Исследование уравнения диффузии,
соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической
проблеме. // Бюллетень МГУ, секция А, 1937, т. 1, вып. 6, с. 1-25.
Кочин Н. Е., Кибелъ И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. —М.: Физматгиз, 1963.
Кричевер И. М. Аналог формулы Даламбера для уравнений главного поля и уравнения sine-
Gordon. // Доклады АН СССР, 1980, т. 253, № 2, с. 288-292.
Кричевер И. М., Новиков С. П. Голоморфные расслоения над римановыми поверхностями и
уравнение Кадомцева — Петвиашвили (КП). // Функц. анализ и его прилож., 1978, т. 12,
№4, с. 41-52.
Курант Р. Уравнения с частными производными. —М.: Мир, 1964. — 830 с.
Куренский М. Г. Дифференциальные уравнения. Книга вторая: дифференциальные уравнения с
частными производными.—Л.: Изд. Артиллерийской акад. РККА, 1934. — 334 с.
Кутепов А. М., Полянин А. Д., Запрянов 3. Д., Вязъмин А. В., Казенин Д. А. Химическая
гидродинамика.—М.: Квантум, 1996. — 336 с.
426 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. —М.:
Наука, 1973. — 736 с.
Ландау Л. Д., Лифьищ Е. М. Гидродинамика. —М.: Наука, 1986. —736 с.
Ленский Э. В. О групповых свойствах уравнения движения нелинейной вязко-пластической
среды.// Вестник МГУ, сер. 1 (мат. и мех.), 1966, с. 116-125.
Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. —М.: Наука, 1973. — 848 с.
Лэмб Дж. Элементы теории солитонов.—М.: Мир, 1984.
Мамонтов Е. В. К теории нестационарных околозвуковых течений. // Доклады АН СССР, 1969,
т. 185, №3, с. 538-540.
Маркеев А. П. Теоретическая механика.—М.: Наука, 1990.—414 с.
Мартинсон Л. К. Плоская задача конвективного теплопереноса в нелинейной среде. // Прикл.
матем. и механика, 1980, т. 44, № 1, с. 181-185.
Мартинсон Л. К, Павлов К. Б. К вопросу о пространственной локализации тепловых возму-
возмущений в теории нелинейной теплопроводности. // Журн. вычисл. матем. и матем. физики,
1972, т. 12, №4, с. 1048-1054.
Маслов В. П., Данилов В. Г., Волосов К. А. Математическое моделирование процессов тепломас-
сопереноса. — М.: Наука, 1987. — 352 с.
Мелешко С. В., Пухначев В. В. Об одном классе частично инвариантных решений уравнений
Навье — Стокса.// Прикл. мех. и техн. физика, 1999, № 2, с. 24-33.
Михайлов А. В. Об интегрируемости двумерного обобщения цепочки Тода. // Письма в ЖЭТФ,
1979, т. 30, № 7, с. 443^48.
Нестеров С. В. Примеры нелинейных уравнений Клейна — Гордона, разрешимых в элемен-
элементарных функциях. В кн.: Прикладные вопросы математики (Труды Моск. Энергетического
института). —М.: 1978, с. 68-70.
Новиков С. П. Периодическая задача для уравнения Кортевега — де Фриза // Функц. анализ и
его прилож., 1974, т. 8, № 3, с. 54-66.
Нъюэлл А. Солитоны в математике и физике. —М.: Мир, 1989. — 326 с.
Овсянников Л. В. Групповые свойства уравнений нелинейной теплопроводности. // Доклады АН
СССР, 1959, т. 125, № 3, с. 492^95.
Овсянников Л. В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Изд. СО
АН СССР, 1962.
Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 400 с.
Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. —М.: Мир, 1989. — 639 с.
Павловский Ю. Н. Исследование некоторых инвариантных решений уравнений пограничного
слоя. // Журн. вычисл. мат. и мат. физики, 1961, т. 1, № 2, с. 280-294.
Полубаринова—Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. — М.: Наука, 1977. — 664 с.
Полянин А. Д. Об интегрировании нелинейных нестационарных уравнений конвективного
тепло- и массообмена. // Доклады АН СССР, 1980 а, т. 251, № 4, с. 817-820.
Полянин А. Д. О решении некоторых нелинейных погранслойных задач нестационарной диф-
диффузии (теплопроводности). // Доклады АН СССР, 19806, т. 254, № 1, с. 53-56.
Полянин А. Д. Неполное разделение переменных в нестационарных задачах механики и мате-
математической физики.// Доклады РАН, 2000, т. 375, № 4, с. 476^80.
Полянин А. Д. Преобразования и точные решения уравнений пограничного слоя, содержащие
произвольные функции.// Доклады РАН, 2001 а, т. 379, № 3, с. 334-339.
Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит,
20016. —576 с.
Полянин А. Д. Точные решения и преобразования уравнений стационарного ламинарного
пограничного слоя.// Теор. основы хим. технол., 2001 с, т. 35, № 4, с. 339-348.
Полянин А. Д. Точные решения уравнений Навье — Стокса с обобщенным разделением пере-
переменных.// Доклады РАН, 2001 а1, т. 380, № 4, с. 491^96.
Полянин А. Д., Вязъмин А. В., Журов А. П., Казенин Д. А. Справочник по точным решениям
уравнений тепло- и массопереноса. —М.: Факториал, 1998. — 368 с.
Полянин А. Д., Журов А. И. Точные решения нелинейных уравнений механики и математической
физики. // Доклады РАН, 1998, т. 360, № 5, с. 640-644.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 427
Полянин А. Д., Журов А. И. Обобщенное и функциональное разделение переменных в матема-
математической физике и механике. // Доклады РАН, 2002, т. 382, № 5.
Полянин А. Д., Журов А. П., Вязъмин А. В. О точных решениях нелинейных уравнений тепло- и
массопереноса.// Теор. основы хим. технол., 2000, т. 34, № 5, с. 451^-64.
Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Уравнения нестационарного пограничного слоя: Общие преобразо-
преобразования и точные решения.// Теор. основы хим. технол., 2001, т. 34, № 6, с. 563-573.
Похожаев С И. Об одной задаче Л. В. Овсянникова.// Прикл. мех. и техн. физика, 1989, № 2,
с. 5-10.
Пухначев В. В. Групповые свойства уравнений Навье — Стокса в плоском случае.// Прикл. мех.
и техн. физика, 1960, № 1, с. 83-90.
Пухначев В. В. Многомерные точные решения уравнения нелинейной диффузии.// Прикл. мех.
и техн. физика, 1995, т. 36, № 2, с. 23-31.
Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к
газовой динамике. — М.: Наука, 1978. — 688 с.
Руденко О. В., Солуян С И. Теоретические основы нелинейной акустики.—М.: Наука, 1975.—
288 с.
Рудых Г. А., Семенов Э. И. О новых точных решениях одномерного уравнения нелинейной
диффузии с источником (стоком). // Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1998, т. 38, № 6,
с. 971-977.
Рудых Г. А., Семенов Э. И. Неавтомодельные решения многомерного уравнения нелинейной
диффузии. // Мат. заметки, 2000, т. 67, вып. 2, с. 250-256.
Сабитов И. X. О решениях уравнения Аи = f(x,y)ecu в некоторых специальных случаях. //
Мат. сборник, 2001, т. 192, № 6, с. 89-104.
Самарский А. А., Соболь И. М. Примеры численного расчета температурных волн. // Журн.
вычисл. матем. и матем. физики, 1963, т. 3, № 4, с. 702-719.
Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в
задачах для квазилинейных параболических уравнений. — М.: Наука, 1987. —480 с.
Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. —М.: Наука, 1966. —448 с.
Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. —М.: Наука, 1972. —440 с.
Слезкин Н. А. Об одном случае интегрируемости полных дифференциальных уравнений движе-
движения вязкой жидкости. // Уч. записки МГУ, 1934, вып. 11, с. 89-90.
Титов С С Метод конечномерных колец для решения нелинейных уравнений математической
физики. // В сб.: Аэродинамика / Саратов: Саратовский ун-т, 1988, с. 104-110.
Титов С С, Устинов В. А. Исследование многочленных решений уравнений фильтрации газа
с целым показателем адиабаты. // Приближенные методы решения краевых задач механики
сплошной среды: Сб. науч. трудов / АН СССР. Урал, отд-ние. Инст. математики и механики,
1985, с. 64-70.
Тихонов А. П., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972. — 736 с.
Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.—М.: Мир, 1977. — 624 с.
Фаддеев Л. Д. (ред.). Математическая физика: Энциклопедия. — М.: Большая российская
энциклопедия, 1998.—691 с.
Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической технологии. —М.: Наука,
1987. —502 с.
Хабиров С В. Псевдогруппы Ли преобразований на плоскости и их дифференциальные инва-
инварианты. // Моделирование в механике. —Новосибирск: СО АН СССР, 1990, т. 4 B1), № 6,
с. 151-160.
Хабиров С В. Неизэнтропические одномерные движения газа, построенные с помощью кон-
контактной группы неоднородного уравнения Монжа — Ампера. // Мат. сборник, 1990, т. 181,
№ 12, с. 1607-1622.
Хаппелъ Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. —М.: Мир, 1976. —
632 с.
Черноусъко Ф. Л. Автономные решения уравнения Беллмана для задач оптимальной коррекции
случайных возмущений. // Прикл. матем. и механика, 1971, т. 35, № 2, с. 333-342.
428 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Черноусъко Ф. Л., Колмановский В. Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. —
М.: Наука, 1978. —352 с.
Черный Г. Г. Газовая динамика. —М.: Наука, 1988. —424 с.
Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.—М.: Наука, 1974. — 712 с.
Шулъман 3. П., Берковский Б. М. Пограничный слой неньютоновских жидкостей. — Минск:
Наука и техника, 1966. — 240 с.
Ablowitz М. J., Clarkson P. A. Solitons, Non-linear Evolution Equations and Inverse Scattering. —
Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1991.
Ablowitz M. J., Zeppetella A. Explicit solutions of Fisher's equation for a special wave speed. // Bull.
Math. Biology, 1979, Vol. 41, pp. 835-840.
Ames W. F. Nonlinear Partial Differential Equations in Engineering, Vol. 2. —New York: Academic
Press, 1972.
Ames W. F, Lohner J. R., Adams E. Group properties of utt = [f(u)ux]x. II Int. J. Nonlinear Mech.,
1981, Vol. 16, № 5-6, p. 439.
Benjamin Т. В., Bona J. L., Mahony J. J. Model equation for long waves in nonlinear dispersive
systems. // Philos. Trans. R. Soc. London, 1972, Vol. 272A, p. 47.
Berman A. S. Laminar flow in channels with porous walls. // J. Appl. Physics, 1953, Vol. 24, № 9,
pp. 1232-1235.
Bertsch M., Kersner R., PeletierL. A. Positivity versus localization in degenerate diffusion equations. //
Nonlinear Analys., Theory, Meth. and Appl., 1985, Vol. 9, № 9, pp. 987-1008.
Bluman G. W., Cole J. D. Similarity Methods for Differential Equations. — New York: Springer-
Verlag, 1974. —332 p.
Bluman G. W., Kumei S. On the remarkable nonlinear diffusion equation [a(u + b)~2ux]x — щ = 0. //
J. Math. Phys., 1980, Vol. 21, № 5, pp. 1019-1023.
Bluman G. W., Kumei S. Symmetries and Differential Equations.—New York: Springer-Verlag, 1989.
Burde G. I. The constraction of special explicit solutions of the boundary-layer equations. Steady
flows. // Quart. J. Mech. Appl. Math., 1994, Vol. 47, № 2, pp. 247-260.
Burgan J. R., Munier A., FeixM. R., FijalkowE. Homology and the nonlinear heat diffusion equation. //
SIAM J. Appl. Math., 1984, Vol. 44, № 1, p. 11.
Calogero F. Universality and integrability of the nonlinear evolution PDE's describing N-wave
interactions. // J. Math. Phys., 1989, Vol. 30, № 1, pp. 28^0.
Clarkson P. A., Kruskal M. D. New similarity reductions of the Boussinesq equation. // J. Math. Phys.,
1989, Vol. 30, № 10, pp. 2201-2213.
Clarkson P. A., Fokas A. S., Ablowitz M. J. Hodograph transformations on linearizable partial
differential equations. // SIAM J. Appl. Math., 1989, Vol. 49, pp. 1188-1209.
Cole J. D. On a quasi-linear parabolic equation occurring in aerodynamics. // Quart. Appl. Math.,
1951, Vol. 9, № 3, pp. 225-236.
Conte R. Invariant Painleve analysis for partial differential equations. // Phys. Lett. Ser. A, 1989,
Vol. 140, № 7,8, pp. 383-390.
Conte R., Musette M. Painleve analysis and Backlund transformation in the Kuramoto — Sivashinsky
equation. // J. Phys. A, 1989, Vol. 22, pp. 169-177.
Conte R., Musette M. Linearity inside nonlinearity: Exact solutions to the complex Ginzburg — Landau
equation. // Physica D, 1993, Vol. 69, № 1, pp. 1-17.
Crabtree F. L., Kuchemann D., Sowerby L. In: Laminar Boundary Layers (ed. Rosenhead). — Oxford:
University Press, 1963.
Crank J. The Mathematics of Diffusion. — Oxford: Clarendon Press, 1975.
Doyle Ph. W. Separation of variables for scalar evolution equations in one space dimension. //
J. Phys. A: Math. Gen., 1996, Vol. 29, pp. 7581-7595.
Doyle Ph. W., Vassiliou P. J. Separation of variables for the 1-dimensional non-linear diffusion
equation. // Int. J. Non-Linear Mech., 1998, Vol. 33, № 2, pp. 315-326.
Fisher R. A. The wave of advanse of advantageneous genes. // Annals of Eugenics, 1937, Vol. 7,
pp. 355-369.
Fokas A. S, Anderson R. L. Group theoretical nature of Backlund transformations. // Lett. Math. Phys.,
1979, Vol. 3, p. 117.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 429
Fujita Н. The exact pattern of a concentration-dependent diffusion in a semi-infinite medium, Part
II. // Textile Res., 1952, Vol. 22, p. 823.
Fushchich W. I, Serov N. I, Ahmerov Т. K. On the conditional symmetry of the generalized KdV
equation. // Rep. Ukr. Acad. Sci., 1991, A 12.
Galaktionov V. A. On new exact blow-up solutions for nonlinear heat conduction equations with source
and applications. // Differential and Integral Equations, 1990, Vol. 3, № 5, pp. 863-874.
Galaktionov V. A. Invariant subspace and new explicit solutions to evolution equations with quadratic
nonlinearities. // Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 1995, Vol. 125A, № 2, pp. 225^48.
Galaktionov V. A. Ordered invariant sets for nonlinear evolution equations of KdV-type. // Журн.
вычисл. матем. и матем. физики, 1999, т. 39, № 9, с. 1564-1570.
Gardner С. S., Greene J. М., Kruskal М. D., Miura R. М. Method for solving the Korteveg — de Vries
equation. // Phys. Rev. Lett, 1967, Vol. 19, № 19, pp. 1095-1097.
Gardner C. S., Greene J. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Korteveg — de Vries equation and
generalizations. VI: Methods for exact solution. // Comm. Pure Appl. Math., 1974, Vol. 27,
p. 97-133.
Gesztesy F, Weikard R. Elliptic algebro-geometric solutions of the KdV and AKNS hierarchies — an
analytic approach. // Bull. AMS, 1998, Vol. 35, № 4, pp. 271-317.
Glassey R. Т., Hunter J. K., Zheng Y. Singularities and oscillations in a nonlinear variational wave
equation. — In book: Singularities and Oscillations (eds. J. Ranch, M. Taylor), Springer-Verlag,
1997.
Grauel A. Sinh-Gordon equation, Painleve property and Backlund transformation. // Physica A, 1985,
Vol. 132, pp. 557-568.
Grundland A. M., Infeld E. A family of non-linear Klein-Gordon equations and their solutions. //
J. Math. Phys., 1992, Vol. 33, pp. 2498-2503.
Hirota R. Exact solution of the Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solutions. // Phys.
Rev. Lett, 1971, Vol. 27, p. 1192.
Hirota R. Exact solution of the Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solutions. //
J. Phys. Soc. Jpn., 1972, Vol. 33, № 3, p. 1455.
Hirota R. Exact N-solion solution of the wave equation of long waves in shallow water and in nonlinear
lattice. // J. Phys. Phys., 1973, Vol. 14, pp. 810-814.
HopfE. The partial differential equation ut + uux = /шхх. II Comm. Pure and Appl. Math., 1950,
Vol. 3, pp. 201-230.
Ibragimov N. H. (editor), CRC Handbook of Lie Group to Differential Equations, Vol. 1. Symmetries,
Exact Solutions and Conservation Laws. — Boca Raton: CRC Press, 1994. —429 p.
Ibragimov N. H. (editor) CRC Handbook of Lie Group to Differential Equations, Vol. 2. Applications
in Engineering and Physical Sciences. — Boca Raton: CRC Press, 1995. — 546 p.
Its A. R., Novokshenov V. Yu. The Isomonodromic Deformation Method in the Theory of Painleve
Equations. — Berlin: Springer-Verlag, 1986.
Jimbo M., Kruskal M. D., Miwa T. Painleve test for the self-dual Yang — Mills equation. // Phys. Lett.
Ser. A, 1982, Vol. 92, № 2, pp. 59-60.
Kaliappan P. An exact solutions for travelling waves of щ = Duxx + и — uk. II Physica D, 1984,
Vol. 11, pp. 368-374.
Kawahara Т., Тапака М. Interactions of traveling fronts: an exact solution of a nonlinear diffusion
equations. // Phys. Lett, 1983, Vol. 97, p. 311.
Kersner R. On some properties of weak solutions of quasilinear degenerate parabolic equations. // Acta
Math. Academy of Sciences, Hung., 1978, Vol. 32, № Ъ-А, pp. 301-330.
King Y. R. Exact multidimensional solutions to some nonlinear diffusion equations. // Quart. J. Mech.
Appl. Math., 1993, Vol. 46, № 3, pp. 419^36.
Kodama Y. A method for solving the dispersionless KP hierarchy and its exact solutions. // Phys.
Lett. A, 1988, Vol. 129, № 4, pp. 223-226.
Kodama Y., Gibbons J. A method for solving the dispersionless KP hierarchy and its exact solutions.
II.// Phys. Lett. A, 1989, Vol. 135, № 3, pp. 167-170.
Kuramoto Y., Tsuzuki T. On the formation of dissipative structures in reaction-diffusion systems. //
Progr. Theor. Phys., 1975, Vol. 54, No. 3, pp. 687-699.
430 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Lamb G. L. Backhand transformations for certain nonlinear evolution equations. // J. Math. Phys., 1974,
Vol. 15, pp. 2157-2165.
Lax P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves. // Comm. Pure Appl.
Math., 1968, Vol. 21, № 5, pp. 467^90. (Русский перевод: Лэкс П. Интегралы нелинейных
эволюционных уравнений и уединенные волны. // Сб. Математика, 1969, т. 13, № 5,
с. 128-150.)
Lin С. С, Reissner Е., Tsien Н. S. On two-dimensional non-steady motion of a slender body in a
compressible fluid. // J. Math. Phys., 1948, Vol. 27, № 3, p. 220.
Lloyd S. P. The infinitesimal group of the Navier — Stokes equations. // Acta Mech., 1981, Vol. 38,
pp. 85-98.
Martin M. N. The propagation of a plane shock into a quiet atmosphere. // Canad. J. Math., 1953,
Vol. 3, pp. 165-187.
Matsuno Y. Exact solutions for the nonlinear Klein — Gordon and Liouville equations in for
dimensional Euclidean space. // J. Math. Physics, 1987, Vol. 28, № 10, pp. 2317-2322.
Melikyan A. A. Generalized Characteristics of First Order PDE's: Applications in Optimal Control and
Differential Games. — Boston: Birkhauser, 1998. —310 p.
Miller J. (Jr.), RubelL. A. Functional separation of variables for Laplace equations in two dimensions. //
J. Phys. A, 1993, Vol. 26, pp. 1901-1913.
Miura R. M. Korteweg — de Vries equation and generalizations. I. A remarcable explisit nonlinear
transformation. // J. Math. Phys., 1968, Vol. 9, № 8, pp. 1202-1203.
Munier A., Burgan J. R., Gutierres J., Fijalkow E., FeixM. R. Group transformations and the nonlinear
heat diffusion equation. // SIAM J. Appl. Math., 1981, Vol. 40, № 2, p. 191.
Murphy G.M. Ordinary Differential Equations and Their Solutions. — New York: D. Van Nostrand,
1960.
Musette M. Painleve analysis for nonlinear partial differential equationslnvariant Painleve analysis for
partial differential equations. / In: The Painleve Property, One Centure Later (editor R. Conte). //
CRM Series in Math. Phys. — Berlin: Springer-Verlag, 1998, pp. 1^8.
Nerney S., Schmahl E. J., Musielak Z. E. Analytic solutions of the vector Burgers' equation. // Quart.
Appl. Math., 1996, Vol. LIV, № 1, pp. 63-71.
Palais R. S. The symmetries of solitons. // Bulletin of the American Mathematical Society, 1997,
Vol. 34, №4, pp. 339^03.
Peregrine D. N. Calculations of the development of an undular bore. // J. Fluid Mech., 1966, Vol. 25,
p. 321.
Philip J. R. General method of exact solution of the concentration-dependent diffusion equation. //
Australian J. Physics, 1960, Vol. 13, № 1, pp. 13-20.
Polyanin A. D. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists
(Supplement B: Methods of generalized and functional separation of variables in nonlinear
equations of mathematical physics). — Boca Raton: Chapman & Hall — CRC Press, 2001. —
800 p.
Polyanin A. D., Zaitsev V. K, Moussiaux A. Handbook of First Order Partial Differential Equations. —
London: Taylor & Francis, 2002. — 520 p.
Polyanin A. D., Zhurov A. I., Vyazmin A. V. Generalized separation of variables in nonlinear heat
and mass transfer equations. // J. Non-Equilibrium Thermodynamics, 2000, Vol. 25, № 3/4,
pp. 251-267.
Rogers C, Shadwick W. F. Backlund Transformations and Their Applications. —New York: Academic
Press, 1982.
Rogers C, Ruggeri T. A reciprocal Backlund transformation: application to a nonlinear hyperbolic
model in heat conduction. // Lett. Nuovo Cimento, 1985, Vol. 44, p. 289.
Rogers C, Ames W. F. Nonlinear Boundary Value Problems in Science and Engineering. —New York:
Academic Press, 1989.
Rosen G. Dilatation covariance and exact solutions in local relativistic field theories. // Phys. Rev.,
1969, Vol. 183, pp. 1186-1191.
ShercliffJ. A. Simple rotational flows. // J. Fluid Mech., 1977, Vol. 82, № 4, pp. 687-703.
Strampp W. Backlund transformations for diffusion equations. // Physica D, 1982, № 6, p. 113.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 431
Svirshchevskii S. R. Lie-Backlund symmetries of linear ODEs and generalized separation of variables
in nonlinear equations. // Phys. Lett. A, 1995, Vol. 199, pp. 344-348.
Ting A. S., Cheb H. K, Lee Y. C. Exact solutions of a nonlinear boundary value problem: the vortices
of the two-dimensional sinh-Poisson equation. // Physica D, 1987, pp. 37-66.
Tomotika S., Tamada K. Studies on two-dimensional transonic flows of compressible fluid, Part 1. //
Quart. Appl. Math., 1950, Vol. 7, p. 381.
Weiss J. The Painleve property for partial differential equations. II: Backlund transformation, Lax
pairs, and the Schwarzian derivative. // J. Math. Phys., 1983, Vol. 24, № 6, pp. 1405-1413.
Weiss J. The sine-Gordon equations: Complete and partial integrability. // J. Math. Phys., 1984, Vol. 25,
pp. 2226-2235.
Weiss J. The Painleve property and Backlund transformations for the sequence of Boussinesq
equations. // J. Math. Phys., 1985, Vol. 26, pp. 258-269.
Weiss J., Tabor M., Carnevalle G. The Painleve property for partial differential equations. // J. Math.
Phys., 1983, Vol. 24, № 3, pp. 522-526.
Zaitsev V. K, Polyanin A. D. Discrete-Group Methods for Integrating Equations of Nonlinear
Mechanics. — Boca Raton: Begell House — CRC Press, 1994. — 312 p.
Zhdanov R. Z. Separation of variables in the non-linear wave equation. // J. Phys. A, 1994, Vol. 27,
pp. L291-L297.
Zwillinger D. Handbook of Differential Equations. — San Diego: Academic Press, 1989.
Справочное издание
ПОЛЯНИН Андрей Дмитриевич
ЗАЙЦЕВ Валентин Федорович
СПРАВОЧНИК ПО НЕЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИЯМ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
Оригинал-макет А. И. Журова, А. Д. Полянина
ЛР № 071930 от 06.07.1999.
Подписано в печать 27.12.2001. Формат 70 х 100/16. Гарнитура тайме. Бумага офсетная № 1.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 34,5. Усл. изд. л. 39. Тираж 5000 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117864, Москва, ул. Профсоюзная, 90
Отпечатано с готовых диапозитивов в РГУП «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15