Text
                    УДК 373.167.1:53(076.2)
ББК 22.33я721
Ф48
Серия «Решебники «Дрофы» основана в 1996 г.
Решение задач: М. И. Сшпнов, О. В. Трубачев
Физика. 11 кл.: Решение задач из учеб, пособ. Ф48 А. П. Рымкевича «Сборник задач по физике. 10— 11 кл.». Электродинамика. Квантовая физика. — 5-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. — 288 с.: ил. — (Решебники «Дрофы»).
ISBN 5—7107— 7884—2
В пособии даны решения задач из разделов «Электродинамика», «Квантовая физика» книги Л. II. Рымкевича «Сборник задач по физике. 10—11 классы».
Пособие будет полезно учителям и учащимся, работающим по задачнику Л. П. Рымкевича, а также всем желающим усовершенствовать навыки и умения при решении задач по физике.
УДК 373.167.1:53(076.2)
ББК 22.33я721
ISBN 5—7107—7884—2
© ООО «Дрофа», 2000
ГЛАВА VII
Электрическое поле
32. Закон Кулона.
Напряженность поля1 *
678.	На каком расстоянии друг от друга заряды 1 мкКл и 10 нКл взаимодействуют с силой 9 мН?
Решение. Искомое расстояние R между зарядами qr и q2, взаимодействующими с силой/*’, находим из закона Кулона
д= /|?1| • |<?2|
4ke0F
Вычисления:
о /п 1П9и 2 /тг 2	10 6Кл • 10 8 Кл п
R = /9 • 10 Н • м /Кл • --------------- = 0,1 м
V	0,009 Н
Ответ: R = 10 см.
679.	Во сколько раз надо изменить расстояние между зарядами при увеличении одного из них в 4 раза, чтобы сила взаимодействия осталась прежней?
Решение. На основании формулы
F = 1<?1| • |9г|
4л£0Я
1 В задачах этого параграфа, если нет специальных оговорок,
считать заряды точечными и находящимися в вакууме (воздухе).
3
определяющей модуль F силы электростатического взаимодействия зарядов qx и д2, находящихся на расстоянии R друг от друга, можно заключить, что при увеличении одного из зарядов в 4 раза сила/*’ останется прежней, если расстояние между зарядами увеличить вдвое.
Ответ: увеличить вдвое.
680.	Одинаковые шарики массой по 0,2 г подвешены на нити так, как показано на рисунке 1. Расстояние между шариками ВС = 3 см. Найти силу натяжения нити на участках АВ и ВС, если шарикам сообщили одинаковые по модулю заряды по 10 нКл. Рассмотреть случаи: а) заряды одноименные; б) заряды разноименные.
Решение. Направим ось X системы координат вертикально вверх и запишем уравнение баланса сил, действующих на каждый из шариков. Для шарика В:
/ДЖ
• С
Рис. 1
АВ ~ mg + Твс — ^q /^вс* ~	(1)
Для шарика С:
TBC—mg + kq /Rjyy	(2)
Здесь и Твс — силы натяжения нити на участках АВ и ВС; тп — масса шарика, g — ускорение свободного падения, q — заряд шарика, RBC — расстояние ВС между шариками. Верхние знаки в уравнениях (1) и (2) соответствуют случаю а), когда заряды одноименные и шарики отталкивают друг друга. Нижние знаки соответствуют случаю б), когда заряды разных знаков, и шарики притягивают друг друга.
Сила натяжения нити на участке ВС полностью определяется формулой (2). Общее выражение для силы натяжения нити на участке АВ находим, подставляя (2) в уравнение (1):
Тал = 2mg.	(3)
4
Вычисления:
^1'ав = 2 • 2 • 10’4 кг • 10 м/с2 = 4 мН,
Твс = 2 • 10’4 кг • 10 м/с2 + 9 • 109 Н • м2/Кл2 X X (Ю-8 Кл)2/(9 • 10’4) м2 = 3 мН;
6) Тдл = 2 • 2 • 10’4 кг • 10 м/с2 = 4 мН,
Твс = 2 • 10’4 кг • 10 м/с2 - 9 • 109 Н • м2/Кл2 X х (10-8 Кл)2/(9 • 10’4) м2 = 1 мН.
Ответ: а) 4 мН, 3 мН; б) 4 мН, 1 мН.
681  Два шарика, расположенные на расстоянии 10 см друг от друга, имеют одинаковые отрицательные заряды и взаимодействуют с силой 0,23 мН. Найти число избыточных электронов на каждом шарике.
Решение. Сила взаимодействия заряженных шаров определяется законом Кулона:
1	2
F = 1 Я-
4ле0 R2
откуда заряд каждого шара
q = ~ 74ke0F R,
а число избыточных электронов
N = q/(-e0) = 74^? £ .
ео
Вычисления:
N= • 8,85 • 10’12Ф/м • 0,23 • 10’3 Н------------=
1,6 • 10 Кл
= 1 • 1011.
Ответ: N = 1011 электронов.
5
Обо. Доказать, что если два одинаковых металлических шарика, заряженные одноименно неравными зарядами, привести в соприкосновение и затем раздвинуть на прежнее расстояние, то сила взаимодействия обязательно увеличится, причем это увеличение будет тем более значительным, чем больше различие в значении зарядов.
Решение. Пусть заряды шариков до соприкосновения равны и q2. После соприкосновения суммарный заряд qx 4- q2 разделится между шариками поровну, поэтому каждый шарик будет иметь заряд (дг 4- q2)/2. Из закона Кулона следует, что до соприкосновения сила взаимодействия шариков равна по величине
F =	1	^1^2
1	4лео Й2
2
, =	1 (91 + д2)
2	4лео 4Я2
(1)
(2)
(3)
Покажем, что неравенство
Л <*2 справедливо для любых qx и q2. Действительно, подставим в формулу (3) выражения (1) и (2):
1	12
---2 4^192 < -5 (<71 + ?2) •
16Л£0Я	16л£0Я
Неравенство (4) можно переписать в виде
^2	~ ------2^	+ ^2)	4<7i<72] —
16л£0Я
= ^-^(912 + 922)>0, 1б7Г£0Я
(4)
(5)
откуда видно, что эквивалентные неравенства (3), (4) и (5) справедливы для любых зарядов q1 и q2, неравных между собой. Из (5) также видно, 4ToF2 - Fr тем больше, чем больше различие величин qr и q2 по модулю.
6
004. Одинаковые металлические шарики, заряженные одноименно зарядами q и 4g, находятся на расстоянии г друг от друга. Шарики привели в соприкосновение. На какое расстояние х надо их развести, чтобы сила взаимодействия осталась прежней?
Решение. Согласно закону Кулона сила взаимодействия шариков до соприкосновения равна:
F .=	(1)
1 4ле0 2
После соприкосновения заряд каждого шарика равен:
<? + 47 = 5(7
2	2ч'
Поэтому сила взаимодействия зарядов
9
F 1(5^.	(2)
4л£0 х2
Поскольку согласно условию задачи Fx = F2, то из (1) и (2) получим:
1 (5д/2)2
4ТГ£О х2
откуда
Ответ: х = 1,25г.
685. Заряды 10 и 16 нКл расположены на расстоянии 7 мм друг от друга. Какая сила будет действовать на заряд 2 нКл, помещенный в точку, удаленную на 3 мм от меньшего заряда и на 4 мм от большего?
Решение. Сила F, действующая на третий заряд со стороны первого и второго, равна векторной сумме сил, действующих со стороны первого и второго зарядов:
f = f1 + f2.
2
= -i- их2 — 25г2/16 4тге0 г2
х = 1,25г.
7
¥г Чз Л
Рис. 2
Из условия задачи следует, что сумма расстояний от заряда 3 до зарядов 1 и 2 равна расстоянию между зарядами 1 и 2. Такое возможно только если заряд 3 находится на прямой, соединяющей заряды 1 и 2 (рис. 2). Спроецировав силы на осьХ, получим:
' =	1 ^1<?3 р =	1
1 4яео Г1 ’	2 4яео г22
откуда
4i
2 lrl
F = Fy - F2 = -1_ q
1 z 4ле0 d
42
Вычисления:
F = ------------i------------ • 2 • 10 9 Кл X
4 • 3,14 • 8,85 • 10 Ф/м
10 • 10‘9 Кл
-3	2
(3-10 м)
16 • 10 9 Кл
-3	2
(4-10 м)
= 2 • 10’3 Н.
Ответ: F = 2 мН.
ООО. Заряды +q и -q расположены так, как показано на рисунке 3. Заряд q/2 помещают сначала в точку С, затем в точку D. Сравнить силы (по модулю), действующие на этот заряд, если DA = СА = СВ.
D
А ---------
+4
Рис. 3
С Fa
в
-q
8
Решение. Запишем сначала формулу для модуля силы, действующей на заряд в точке С:
F = F + F =	1 Q(Q/2) _i_	1 Q(Q/2) _	1 д
С А В 4ле0 R2 4ле0 R2 4лео/?2’
(1)
где R = АС = СВ.
Если заряд поместить в точку Z), то модуль силы равен:
F — F — F = 1 Q(Q/2) _ 1 Q(g/2) — 1 4 7 .
D А В 4я£о R2 4яео (ЗЯ)2 4яео9Я2
(2)
Сопоставляя выражения (1) и (2), получаем: Fc/Fd = 2,25.
Ответ: Fc в 2,25 раза больше, чем FD.
Заряды 90 и 10 нКл расположены на расстоянии 4 см друг от друга. Где надо поместить третий заряд, чтобы силы, действующие на него со стороны других зарядов, были равны по модулю и противоположны по направлению?
Решение. Поместим заряд q на прямой, соединяющей заряды и q2 в точке, расположенной между этими зарядами. Тогда силы, действующие на заряду со стороны qr и д2, противоположно направлены и равны по модулю соответственно
F = _J—ZZl F = 1 1	2	4,tEo^’
Из условия F^ = F2 получим:
Кроме того, Rr 4- R2 = I (расстояние между qx и g2), поэтому
J?1 =---------
1 +
9
Вычисления:
Ry = ---- — - см = 3 см.
1 + 710/90
Ответ: в 3 см от большего заряда и в 1 см от меньшего заряда.
688.	В вершинах правильного шестиугольника со стороной а помещены друг за другом заряды +g, +g, +g, -qt -q, -q. Найти силу, действующую на заряд +д, который находится в центре шестиугольника.
Решение. Обозначим: А, В и С — вершины правильного шестиугольника, в которые помещены заряды +д, D, Е и F — вершины, в которые помещены заряды -q (рис. 4). Учтем также, что расстояния от центра правильного шестиугольника до его вершин равны длине а стороны этого шестиугольника. Полная сила, действующая на заряд, помещенный в точке О, равна:
F = Fa + Fb + Fc + Fd + Fe + Ff.	(1)
Отметим, что модули каждого вектора в правой части формулы (1) равны между собой и выражены формулой
10
Кроме того,
^ = 4=р1;
^ = ^ = р2;	(3)
Как видно из рисунка 4,
?2 = Л + 4	(4)
С учетом (3) и (4) формулу (1) можно переписать в виде
F = F, + А + Л = 2F9.	(5)
Модуль силы F определим из (2), (3) и (5):
Й = 2Й2| = 4/.
Окончательно,
689.	Заряды 40 и -10 нКл расположены на расстоянии 10 см друг от друга. Какой надо взять третий заряд и где следует его поместить, чтобы равнодействующая сил, действующих на него со стороны двух других зарядов, была равна нулю?
Решение. Пусть qY = 40 нКл, q2 = -10 нКл, тогда заряд q необходимо поместить в точке А на прямой, соединяющей qx и q2 (рис. 5). При этом
1	|й I = 1 |g2|lgl
47teo(z + х)2 ’	2 4лео х2
<?i	g2	К. 93
«----------------------9--------------9——
| I. | х
Рис. 5
11
Поскольку Fr + F2 = 0, то
lAl = I-M.
W/*2 = W/(z + *)2-
откуда
X =	.....
7|91|/|«г| - 1
Заметим, что согласно этой формуле точка А всегда находится ближе к меньшему заряду.
Вычисления:
х = ,---------- см = 10 см.
740/10 - 1
Ответ: заряд поместить на расстояние 20 см от заряда 40 нКл и 10 см от заряда -10 нКл.
690.	Два заряда по 25 нКл каждый, расположенные на расстоянии 24 см друг от друга, образуют электростатическое поле. С какой силой это поле действует на заряд 2 нКл, помещенный в точку, удаленную на 15 см от каждого из зарядов, если заряды, образующие поле, одноименные? разноименные?
Решение. Пусть Аи В — точки, в которые помещены заряды q (рис. 6). При этом заряд qx = 2 нКл находится в точке С. Тогда АВ = 24 см, АС = СВ = 15 см.
12
Модули сил, действующих на заряд равны между собой и определяются по закону Кулона:
f=\FA\ = \FB\=4^—2-
Направления сил FA и FB в случае одноименных зарядов изображены на рисунке 6, а, а в случае разноименных — на рисунке 6, б. Следовательно, в случае одноименных зарядов (см. рис. 6, а).
Й - FB| - 2f sin « -	"
2пе0(АС) АС
В случае разноименных зарядов (рис. 6, б)
^ = lFA+FBh2fcosa =
991 АВ
2пе0(АС)22 • АС
Вычисления:
а)	для одноименных зарядов
|^| = 25 • 10~9 Кл • 2 • 10~9 Кл 7(0,15 м)2 - (0,12 м)2 2  3,14 • 8,85 • 10~12 Ф/м (0,15 м)3
= 24 мкН;
б)	для разноименных зарядов
|F| = 25 ' 10 9 Кл ' 2 • Ю~9 Кл 0,12 м = 32 мкН 2 • 3,14 • 8,85 • 10’12 Ф/м(0,15 м)3
Ответ: 24 мкН; 32 мкН.
691  На двух одинаковых по длине нитях, закрепленных в одной точке, подвешены два шарика. Сравнить углы отклонений нитей от вертикали, если: а) шарики, имея одинаковые массы, заряжены одноименно и заряд первого шарика больше заряда второго; б) заряды шаров одинаковы, а масса первого больше массы второго.
13
Решение. Введем обозначения: тх и т2 — массы шариков, qx и q2 — их заряды, и а2 — углы отклонения от вертикали, 7\ и Т2 — силы натяжения нитей. Если углы ocj и а2 невелики, отклонением направлений действия электростатических сил от горизонтального можно пренебречь. Тогда уравнения баланса сил в вертикальном и горизонтальном направлениях для каждого из шариков имеют вид:
7\ = zn^a = l,2),	(1)
Т,8ша; = Л^ф,	(2)
R
где R — расстояние между шариками. Из уравнений (1), (2) следует, что
sina,	Т9 ш9
-—1 = ^ = — ,	(3)
sina2	Т1	пг1
т. е. отношение синусов углов отклонений обратно пропорционально отношению масс шариков, и не зависит от их зарядов. Поэтому в случае а) углы отклонений одинаковы, а в случае б) угол отклонения второго шарика больше.
Ответ: а) одинаковые; б) угол отклонения второго больше.
693. В некоторой точке поля на заряд 2 нКл действует сила 0,4 мкН. Найти напряженность поля в этой точке.
Решение. Напряженность Е электрического поля, действующего в данной точке пространства на заряд q, определяется формулой
Е = F/q,
где F — электростатическая сила, действующая на заряд q.
14
Вычисления:
Е = (4 • 10~7 Н)/(2 • 10’9 Кл) = 200 В/м.
Ответ: Е = 200 В/м.
695.	С каким ускорением движется электрон в поле напряженностью 10 кВ/м?
Решение. Запишем второй закон Ньютона для частицы с зарядом q и массой т, движущейся с ускорением а в поле напряженностью Е:
та = qE,
откуда а = qE/m.
Масса т и заряд q электрона находятся из табличных данных.
Вычисления:
а = (1,6 • 10 19Кл • 104В/м)/(9,1 • 10“31 кг) =
= 1,76 • 1015 м/с2.
Ответ: а = 1,76 • 1015 м/с2.
696.	Найти напряженность поля заряда 36 нКл в точках, удаленных от заряда на 9 и 18 см.
Решение. Напряженность поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии R от него, дается формулой
Е = kq/R2, следующей из закона Кулона и определения напряженности электрического поля.
15
Вычисления:
Е = 9 • 109Н • м2/Кл2 • 36 • 10'9Кл = 4 . 1q4 в/ 1	-2	2	’
(9 10 м)
£ = 9 • 109Н • М2/Кл2 • 36 • 10~9Кл = 104 В/м (18 • 10“2м)2
Ответ: Ех = 40 кВ/м; £2 - 10 кВ/м.
697.	В точке А (рис. 7) расположен заряд qv в точке В — заряд q2. Найти проекцию на ось X вектора напряженности результирующего поля в точках С и D, если АС = 6 см, СВ = BD = 3 см. Решить задачу для следующих значений зарядов: a) qx = 40 нКл, q2 = 10 нКл; б) qx = 40 нКл, q2 = -10 нКл; в) qr = -40 нКл, q2 = 10 нКл; г) qx = -40 нКл, q2 = -10 нКл.
А	С	В	D
----------------1---•-----1-----— X Рис. 7
Решение. Согласно закону Кулона вектор напряженности электрического поля, создаваемого зарядом q, определяется формулой
Ё = kqR/R3,
где R — радиус-вектор, проведенный из точки нахождения заряда в точку, где определяется напряженность поля. Согласно принципу суперпозиции напряженность поля, создаваемого в данной точке несколькими зарядами, равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым из зарядов. В частности, в случае двух зарядов qx и q2 проекции напряженности на ось X в точках С и D определяются формулами:
Е(С) = kqx{xc - хА) kq2(xc - хв)
|*с - ха|3 |*с - *в|3
„(D) kq1(xD - хА) kq2(xD - хв)
Ех = -----------5— + --------5— •
1*0 - *а|	1*0 - *в|
Здесь хА в с D — координаты точек А, В, С, D на оси X. Для определенности их можно отсчитывать от точкиА.
16
Вычисления:
9	2	2
а)	£(С) = 9- 10 Н- м /Кл
36 • 10’4
10~8Кл
• 4 •
2 М
9 • 109Н • м2/Кл2 • 10~8Кл = 0
-4	2
9 • 10 м
Г(О) _ 9 • 109Н • м2/Кл2 • 4 • 10 8Кл
X	-4	2
144 • 10 м
Q	9	2 _й
9-109Н-м2/Кл • 10 8Кл = х 25 . 105
-4	2
9 • 10 4 м
б)	£(С) = 9 • 109Н • м2/Кл2 • 4 • 10 8Кл + 36 • 10’4 м2
+ 9 • 109Н • м2/Кл2 • 10~8Кл = 2 . ю5 в/м. 9 • 10'4 м2
f(D} _ 9 • 109Н • м2/Кл2 • 4 • 10’8 Кл _
L'x	-42
144 • 10 м
9 - 109Н -м2/Кл2- Ю-8Кл =_0Д5 . 105 в/м 9 • 10’4 м2
V р(С) _ _9 • 109Н • м2/Кл2 • 4 • 10-8Кл _
В Х	-4	2
36 • 10 м
_ 9 • 109Н • м2/Кл2 • 10~8Кл = _2 . 1q5 В/м, 9 • 10’4 м2
Г(Л) _ 9 • 109Н • м2/Кл2 • 4 • 10’8Кл , ~~----------------------Т“2---------- +
144 • 10 м
9 • 109Н • м2/Кл2 • Ю-8Кл =0)75 . ю* В/м 9 • 10’4 м2
17
г) Е{ХС} = -Е(ХС)| = 0; ' х	х 1а)
E{XD} =-Е(хП)|а) =-1,25 • 1О5В/м.
Ответ: а) 0; 125 кВ/м; б) 200 кВ/м; -75 кВ/м;
в) -200 кВ/м; 75 кВ/м; г) 0; -125 кВ/м.
698. Заряды по 0,1 мкКл расположены на расстоянии 6 см друг от друга. Найти напряженность поля в точке, удаленной на 5 см от каждого из зарядов. Решить эту задачу для случаев: а) оба заряда положительные; б) один заряд положительный, а другой отрицательный.
Решение. Напряженность поля, создаваемого зарядами qx и q2, определяется формулой
_>	D	О
я2
Здесь и R2 — радиусы-векторы, проведенные из точек нахождения зарядов в точку, где определяется напряженность.
Из формулы следует, что при зарядах одного знака вектор напряженности перпендикулярен линии, соединяющей заряды, а его модуль равен:
Е = 2k\qv 2| cos (а/2)/Я2,	(2)
где а — угол между линиями, соединяющими точку, в которой определяется напряженность, с зарядами.
Если заряды разных знаков, то из формулы (1) следует, что вектор напряженности параллелен линии, соединяющей заряды, а его модуль определяется формулой
Е = 2fe|<7j 2| sin (а/2)/Я2.	(3)
з
Учтем также, что sin (а/2) = r/(2R) = -, где г— рас-5
стояние между зарядами. Этой информации достаточно для вычисления напряженности поля в случаях а) и б).
18
Вычисления:
а)	Ех = Ун-м^Кл2Ч0>4 = 0 <576.106 В/м;
25 • 10 4 м2	5
б)	£? = 2 ' 9 ' Ю9 Н ' м2/Кл • 10 7 КлЗ = 0 432.1Q6 В/м 25 • IO'4 м2	5
Ответ: Ег = 576 кВ/м; Е2 = 432 кВ/м.
699. Два заряда, один из которых по модулю в 4 раза боль-
ше другого, расположены на расстоянии а друг от друга. В какой точке пространства напряженность поля равна нулю, если заряды: а) одноименные; б) разноименные?
Решение. Прежде всего заключаем, что точка, где напряженность равна нулю, должна находиться на линии, соединяющей заряды. Направим вдоль этой линии ось X системы координат от меньшего заряда к большему. За начало отсчета примем точку нахождения меньшего заряда. Пусть х — координата точки нулевой напряженности. Напряженность в этой точке
kq2(x - а) =
I .3	I	|3
(1)
Здесь qx и q2 — меньший и больший (по модулю) заряды. В случае а) из (1) следует уравнение
_1_ + _____4______ = 0>
х|х| (х - а)|х - а|
решение которого х = а/3.
В случае б) (q2 = -4qx) уравнение, следующее из (1), имеет вид
-L - ______1------ = Q,
х|х| (х - а)|х - а|
и его решение х = -а.
Ответ: а) на прямой, соединяющей заряды, на расстоянии а/3 от меньшего и 2а/3 от большего заряда; б) на той же прямой на расстоянии а от меньшего и 2а от большего заряда.
19
/ии. В однородном поле напряженностью 40 кВ/м находится заряд 27 нКл. Найти напряженность результирующего поля на расстоянии 9 см от заряда в точках, лежащих: а) на силовой линии однородного поля, проходящей через заряд; б) на прямой, проходящей через заряд и перпендикулярной силовым линиям.
Решение. Суммарная напряженность однородного поля Ео и точечного заряда q определяется формулой
Ё = Ёо + kqR/R3,
где R — радиус-вектор из точки заряда в точку, где вычисляется напряженность поля. В частности, в случае а)
Е = Eq ± kq/R2,,
а в случае б)
£ = 7^о + (kq/R2)2,
так как векторы Ео и R перпендикулярны.
Вычисления:
Q	9	2	_Я
а) Е = 40 • 103 В/м ± 9-10б) * * 9Н-м2/Кл • 27 10. JOj .
81 • 10 4 м2
= 70 кВ/м, Е2 = Ю кВ/м;
б) Е = 7(40 • 103В/м)2 + (30 • 1О3В/м)2 = 50 кВ/м.
Ответ: 70 кВ/м, 10 кВ/м; 50 кВ/м, 50 кВ/м.
701 . При внесении заряженного металлического шарика, подвешенного на изолирующей нити, в однородное электри-
ческое поле нить образовала с вертикалью угол 45°. На сколько уменьшится угол отклонения нити при стекании с шарика 1/10 доли его заряда? Линии напряженности поля направлены горизонтально.
20
Решение. Введем систему координат, изображенную на рисунке 8, в которой ось ОХ параллельна нити, a OY — перпендикулярна. Тогда условие равновесия имеет вид
T + FE + mg = 0,	(1)
а в проекции на ось OY —
Fe cos а - mg sin а = 0. (2)
В уравнениях (1) и (2) FE = qE — сила, действующая на
заряженный шарик со стороны электрического поля.
Поэтому выражение (2) для двух значений заряда q
имеет вид
\qE cos а - mg sin а = 0,	znx
l(q - \q)E cos (а - Да) - mg sin (a - Да) = 0.	' "
Систему (3) перепишем в виде
tg а =	,
mg
tg (a - Да) =	~ ^E.
(4)
(5)
Поскольку a = 45°, то из (4) следует, что q = E/(mg).
Вычтем теперь уравнение (4) из уравнения (5):
tg a - tg (a - Да) =	.	(6)
Уравнение (6) можно записать в виде
sin Да _ Дд cos a cos a' q
(7)
Из условий задачи следует, что Дд/д = 0,1, a = 45°, и поскольку изменение угла Да много меньше а,
cos а' ® cos а = а/2 /2.	(8)
21
Итак, с учетом (8) получим окончательно из уравнения (7)
Да = arcsin	] = arcs^n П/20) « 3°.
Ответ: Да » 3°.
702. В вершинах равностороннего треугольника со стороной а находятся заряды +g, +д и -q. Найти напряженность поля Е в центре треугольника.
Решение. Напряженность электрического поля в точке О (рис. 9) определим с помощью формулы
Ё = ЁА + Ёв + Ёс.
Так как
ОА = ОВ = ОС = а/73 ,
ТО
|ЕД| - |ЁВ| - |£с| -	.
Из рисунка видно, что напряженность электрического поля направлена вдоль ОВ, при этом
1^1 = I-EJ + 2|£а| cos а.
В случае равностороннего треугольника а = 60°, по
этому
|Е| =
з д 2пеоа2 '
703. Шарик массой т, несущий заряд q, свободно падает в однородном электрическом поле напряженностью Е. Линии напряженности направлены параллельно поверхности земли. Каково движение шарика? Написать уравнение траектории у = у(х), направив ось X параллельно вектору напряженности, а ось Y вертикально вниз. Начальная скорость шарика равна нулю.
22
Решение. На шарик действует сила (рис. 10) F = qE + mg.
Сила F не изменяется во времени, движение шарика свободное, т. е. начальная его скорость равна нулю, поэтому движение шарика будет прямолинейным и равноускоренным.
Траектория шарика — прямая линия ОА, проходящая вдоль вектора F.
Уравнение траектории у =
33. Проводники в электрическом поле. Поле заряженного шара и пластины. Диэлектрики в электрическом поле
7051  К заряженному электрометру подносят с достаточно большого расстояния отрицательно заряженный предмет. По мере приближения предмета показания электрометра сначала уменьшаются, а с некоторого момента вновь увеличиваются. Заряд какого знака был на электрометре?
1 В задачах 705—712 необходимо детально объяснить рассматриваемые явления с точки зрения электронной теории, сделав необходимые чертежи. Многие из этих задач желательно проверить экспериментально в классе или дома.
23
Решение. Электрометр, изображенный на рисунке 11, заряжен положительно, поскольку именно в таком случае при приближении к электрометру отрицательного заряда часть электронов, находящихся на шаре, под влиянием отталкивания от заряда q переместится на стрелку электрометра, заря
женную первоначально положительно. Сначала перетекающий отрицательный заряд -Ад лишь уменьшит положительный заряд стрелки — отклонение стрелки уменьшится. При последующем приближении заряда q перетекающий отрицательный заряд -Ад становится достаточно большим, чтобы полный заряд стрелки
стал отрицательным и рос по модулю — отклонение стрелки начинает снова расти.
г UO. В каком случае листочек незаряженной металлической фольги с большого расстояния притянется к заряженной палочке: если он лежит на заземленном стальном листе или когда он находится на сухом стекле?
Решение. Листок, лежащий на заземленном стальном листе, является как бы частью одного очень большого проводящего тела, по которому могут свободно перемещаться электроны. Приближение палочки приводит к накапливанию заряда противоположного знака на фольге и изменению полного заряда фольги; фольга притягивается к палочке. Если фольга лежит на сухом стекле, то перераспределение зарядов возможно только по самой фольге — на ней образуются смещенные центры положительных и отрицательных зарядов при нулевом полном заряде фольги. Притяжение фольги к палочке будет более слабым.
Ответ: в первом случае.
24
fUf. Сравнить силу взаимодействия двух одинаковых шаров в случае одноименных и разноименных одинаковых по модулю зарядов. Расстояние между зарядами сравнимо с их радиусом.
Решение. Если шары сделаны из диэлектрика, то заряды не могут перемещаться по их объему и поверхности, поэтому сила их взаимодействия не зависит от знака зарядов. Например, при однородном распределении выражение для силы совпадает со случаем, когда заряды сосредоточены в центре шаров.
Если шары сделаны из проводника, то в случае разноименных зарядов шаров (рис. 12, а) за счет перераспределения электронов центры зарядов смещаются друг к другу; эффективное расстояние между ними становится меньше d, а в случае зарядов одного знака (рис. 12,6) их центры смещаются в противоположном направлении, и эффективное расстояние между зарядами становится больше d. Таким образом, отталкивание шаров, заряженных противоположно, оказывается слабее, чем притяжение шаров, заряженных одноименно.
709. В однородное поле внесли металлический шар. Останется ли поле однородным вблизи поверхности шара?
Решение. В однородном электрическом поле Е на электроны, свободно перемещающиеся по шару, действует сила -еЕ. Под действием этой силы электроны сместятся в направлении, противоположном вектору Е, это приводит к возникновению нескомпенсированных зарядов на поверхности шара. Эти же заряды приведут к возникновению неоднородности электрического поля.
25
710. К заряженному электрометру подносили: а) изолированный незаряженный проводник; б) заземленный проводник. Как изменялись показания электрометра в каждом из этих случаев?
Решение. Электроны на поверхности проводника, поднесенного к электрометру, будут перемещаться под воздействием электрического поля, создаваемого электрометром. На ближайшем к электрометру крае проводника создается заряд противоположного знака по отношению к заряду электрометра. Создаваемое этими зарядами дополнительное поле приведет к перераспределению зарядов в свою очередь на электрометре (рис. 13). Отклонение стрелки электрометра уменьшится. Если подносимый проводник заземлен, то заряд положительного знака, образующийся на дальнем крае проводника, стечет по заземленному проводу, проводник окажется заряженным, и его компенсирующее воздействие пропадет. Воздействие на электрометр окажется большим, и отклонение стрелки электрометра уменьшится сильнее.
712. Металлические шары, помещенные на изолирующих подставках, привели в соприкосновение и зарядили отрицательным зарядом (рис. 14). Поместив на некотором расстоянии отрицательно заряженную палочку, шар А отодвинули и палочку убрали. Доказать рассуждением, что шар А всегда заряжен отрицательно, а шар В в зависимости от расстояния ВС может быть заряжен отрицательно, остаться нейтральным или зарядиться положйтельно.
26
Решение. Металлическая конструкция, состоящая из двух шариков, обладает свойством экранировать внешнее электрическое поле, общее для всех проводников. Отличная от нуля напряженность поля внутри проводника привела бы к возникновению тока. А распространение тока в проводнике связано с диссипацией энергии и потому не может поддерживаться без внешних источников энергии. Поэтому все заряды в проводнике должны быть распределены по его поверхности, причем таким образом, чтобы свести к нулю внешнее электрическое поле.
В данном случае это означает, что в дополнение к заряду -|Q|, сообщенному шаром, под действием внешнего электрического поляЕ, созданного палочкой, на шарах А и В находятся дополнительные поляризационные заряды -|д| и |д|, величина |д| которых зависит от напряженности Е поля. Напряженность Е, в свою очередь, зависит от расстояния ВС (согласно закону Кулона). Отсюда следует, что при достаточно малом расстоянии ВС положительный заряд |д| на шарике В может скомпенсировать и даже превзойти по модулю отрицательный заряд —|Q| и изменить первоначальный знак заряда шарика.
27
f I О. Металлическому шару радиусом 3 см сообщили заряд 16 нКл. Найти поверхностную плотность заряда и напряженность поля в точках, удаленных от центра шара на 2 и 4 см.
Решение. Электрическое поле внутри проводящего шара равно нулю. Поэтому весь его заряд Q сосредоточен на поверхности. Поверхностная плотность заряда для шара
о = Q/(4nR2).	(1)
Напряженность поля вне шара равна напряженности, которую создал бы точечный заряд той же величины Q, находящийся в центре шара:
Е = kQ/(R + а)2 (а > 0).	(2)
Здесь а — расстояние от поверхности шара до точки наблюдения.
Вычисления:
о=16 • 10 9Кл/(4л • 9 • 104м2)=1,4 • 10 6 Кл/м2;
Е = 9 ' Ю9 Н • м/Кл2 • 16 • 10~9 Кл = 9 . 104 В/м
16 • 104 м2
Ответ: о = 1,4 мкКл/м2; Е — 90 кВ/м.
714. Заряженный шар имеет поверхностную плотность заряда о. Найти напряженность Е поля в точке, отстоящей от поверхности шара на расстоянии, равном его диаметру.
Решение. Напряженность поля, создаваемого на расстоянии а от поверхности равномерно заряженной сферы (поверхность шара), определяется формулой
Е = —-----.
4ле0(Я + а)2
28
Здесь Q — полный заряд сферы, R — ее радиус. Подставляя в эту формулу Q = 4tlR2<j и а = 2R, получаем искомое выражение для напряженности поля на расстоянии, равном диаметру шара:
/1Э. Заряженный металлический лист свернули в цилиндр. Как изменится поверхностная плотность заряда?
Решение. После свертывания металлического листа в цилиндр часть его начальной поверхности (площадь которой равна удвоенной площади листа) станет внутренней поверхностью цилиндра. Заряд с нее должен перетечь на внешнюю поверхность (иначе внутри проводника возникает поле, созданное этим внутренним цилиндром). Таким образом, прежний заряд распределится на меньшей площади, и поверхностная плотность заряда увеличится.
Ответ: увеличится.
716. Найти напряженность поля заряженной бесконечной пластины, если поверхностная плотность заряда на ней равна 354 нКл/м2.
Решение. Напряженность электрического поля вблизи поверхности бесконечной пластины с поверхностной плотностью заряда о определяется формулой
Е = 2л/?о.
Вычисления:
£ = 2 • 3,14 • 9 • 109 Н • м2/Кл2 • 354 • 10’9Кл/м2 = = 2 • 104 В/м.
Ответ: £ = 20 кВ/м.
29
I 11. Отклонится ли стрелка электрометра, если между его стержнем и заряженной палочкой поместить стеклянную пластину так, чтобы она не касалась ни стержня, ни палочки? Если, оставив пластину, убрать палочку? Если, оставив палочку, убрать пластину?
Решение. Поляризационные заряды, наведенные в стекле под действием электрического поля, создаваемого заряженной палочкой, ослабляют это поле, но не экранируют его полностью, как это имеет место в проводнике. Поэтому в первом случае стрелка электрометра отклонится.
Если источник заряда (палочку) убрать, то исчезнут и поляризационные заряды в стеклянной пластинке. При этом электрическое поле обратится в нуль, так как предполагается, что пластинка не была заряжена изначально. Следовательно, стрелка прибора не отклонится. Если убрать пластину, оставив палочку, электрическое поле палочки приведет к отклонению стрелки электрометра.
718. В однородном поле находятся вплотную прижатые друг к другу пластины винипласта, текстолита и слюды, расположенные так, что силовые линии перпендикулярны большим граням пластин. Напряженность поля в текстолите 60 В/м. Найти напряженность поля в винипласте, слюде, а также напряженность поля вне пластин.
Решение. Напряженность электрического поля в диэлектрике уменьшается по сравнению с напряженностью Ео поля, созданного теми же зарядами в вакууме, на величину диэлектрической проницаемости с. Поэтому напряженность Ес поля в среде диэлектрической проницаемостью ес выражается через напряженность Ет поля в текстолите с проницаемостью £т с помощью формулы
30
Вычисления:
винипласт:
Ес = 60 В/м • (7/3,5) = 120 В/м;
слюда:
Ес = 60 В/м • (7/6) = 70 В/м;
вакуум:
Ес = 60 В/м • 7 = 420 В/м.
Ответ: Ес = 120 В/м; Ес = 70 В/м; Ес = 420 В/м.
720. Найти значение каждого из двух одинаковых зарядов, если в масле на расстоянии 6 см друг от друга они взаимодействуют с силой 0,4 мН.
Решение. Сила взаимодействия двух точечных зарядов qY и q2, находящихся в среде с диэлектрической проницаемостью е на расстоянии R друг от друга, определяется формулой
р =
еД2 4^8 д2 ’
отсюда следует, что при одинаковых зарядах
Qi = Q2 = Я
их абсолютная величина равна: /	9
Вычисления:
I	-4 2	Z4
ы= ?А.:..?610 м • io 4 н _ 2 . 10-8Кл
9 • 109 Н • м2/Кл2
Ответ: |д| = 20 нКл.
31
721. Во сколько раз надо изменить значение каждого из двух одинаковых зарядов, чтобы при погружении их в воду сила взаимодействия при том же расстоянии между ними была такая же, как в воздухе?
Решение. Сила взаимодействия двух одинаковых зарядов q в воздухе
Сила взаимодействия двух зарядов qx в воде
2
Р =	1
2	4ле0£2/?2 ’
(2)
В формулах (1) и (2)	= 1 — диэлектрическая прони-
цаемость воздуха, е2 = 81 — диэлектрическая проницаемость воды. Если = F2, то из (1) и (2) получим:
Ответ: увеличить заряд в 9 раз.
723. На расстоянии 3 см от заряда 4 нКл, находящегося в жидком диэлектрике, напряженность поля равна 20 кВ/м. Какова диэлектрическая проницаемость диэлектрика?
Решение. Напряженность электрического поля, создаваемая точечным зарядом, по модулю равна:
Е = ——2-,
4леоеЯ2
откуда следует, что
4ле0ЕЯ
Вычисления:
4 • 10’9 Кл	_ 0
£ — ----------------------------------------— — 2.
4 • 3,14 • (8),85 • 10’12 Ф/м • 2 • 104 В/м • (0,03 м)
Ответ: £ = 2.
32
I z.1*. Очень маленький заряженный шарик погрузили в керосин. На каком расстоянии от шарика напряженность поля будет такая же, какая была до погружения на расстоянии 29 см?
Решение. Напряженность поля, создаваемого точечным зарядом в воздухе и керосине, по модулю равна:
здесь £1 = 1и£2 = 2,1 — диэлектрическая проницаемость воздуха и керосина соответственно. Так как из условия задачи следует, чтоЕх = Е2, то
г2 = 7е1/£2г1-
Вычисления:
г2 = 71/2,1 • 29 • 102 м = 20 см.
Ответ: г2 = 20 см.
725. Одинаковые шарики, подвешенные на закрепленных в одной точке нитях равной длины, зарядили одинаковыми одноименными зарядами. Шарики оттолкнулись, и угол между нитями стал равен а = 60°. После погружения шариков в жидкий диэлектрик угол между нитями уменьшился до Р = 50°. Найти диэлектрическую проницаемость среды е. Выталкивающей силой пренебречь.
Решение. Сила кулоновского отталкивания шариков в жидком диэлектрике
2 4леое(АВ)2 ’
(1)
2 Решение кшач: Фишка II hi
33
Рис. 15
при этом АВ = 21 sin (Р/2) (рис. 15). Условие равновесия для каждого шарика имеет вид
^1,2 + Л, 2 + zn^== °-	(2)
Спроецировав уравнение (2) для первого шарика на направление, перпендикулярное нити, получим:
-Fv cos Р/2 + mg sin р/2 = 0.	(3)
С учетом (1) получим из (3):
47I£oe4Z2sin2 р/2
cos Р/2 = mg sin Р/2,
или
•	3 Q /О	2
esin р/2 _ ________q_______
cos Р/2	4я80 • 4l2 mg
(4)
Для воздуха расчет можно провести аналогично, надо лишь положить £ = 1 и заменить Р на а:
• 3 /п	2
sin а/2 _ _______q_____
cos а/2 4яе0 • 4l2mg
(5)
Сопоставив формулы (1) и (5), получим, что диэлектрическая проницаемость среды
_ sin3(a/2)cos(P/2) £ - .
cos(a/2)sin (Р/2)
34
Вычисления:
е = sin3(60°/2)cos(50°/2) = j 73 cos(60°/2)sin3(50°/2)
Ответ: с = 1,73.
726. Положительно заряженный шарик массой 0,18 г и плотностью вещества 1800 кг/м3 находится в равновесии в жидком диэлектрике плотностью 900 кг/м3. В диэлектрике создано однородное электрическое поле, напряженность которого, равная по модулю 45 кВ/м, направлена вертикально вверх. Найти заряд шарика.
Решение. Введем обозначения: т — масса шарика, р — его плотность, р0 — плотность жидкости, Е — напряженность электрического поля. Условие равновесия имеет вид:
qE + FA - mg = 0,
где FA — сила Архимеда:
^а=^Ро9-
Тогда
_ mg(l - р0/р) д	Е
Вычисления:
0,18 • 10'3 кг • 9,8 м/с2 • (1 - 900 кг/м3/1800 кг/М3)
д	з
45 • Ю^В/м
= 20 нКл.
Ответ: q = 20 нКл.
35
34. Энергия заряженного тела в электрическом поле. Разность потенциалов. Связь между напряженностью и напряжением
728.	В однородном электрическом поле напряженностью 1 кВ/м переместили заряд -25 нКл в направлении силовой линии на 2 см. Найти работу поля, изменение потенциальной энергии заряда и напряжение между начальной и конечной точками перемещения.
Решение. Работа поля по перемещению зарядов вдоль силовой линии равна:
ДА = qE Дх,
при этом потенциальная энергия заряда изменяется на
ДЕП = -ДА = -qE кх,
а напряжение между начальной и конечной точками перемещения равно:
ДЕ7 = (-Д£п)/д = -Е \х.
Вычисления:
ДА = -25 • 10’9 Кл • 103 В/м • 0,02 м = -0,5 мкДж;
ДЕП = 0,5 мкДж;
Д{7 = ~0’5 ’ 10 6дж = 20 В.
-25 • 10 9Кл
Ответ: ДА = -0,5 мкДж; ДЕП = 0,5 мкДж; Д(7 = 20 В.
729.	При перемещении заряда между точками с разностью потенциалов 1 кВ поле совершило работу 40 мкДж. Чему равен заряд?
36
Решение. Работа электрического поля по перемещению заряда q между точками с разностью потенциалов ДС/ равна:
ДА = g ДС7, поэтому
Вычисления:
q = 40 • 10-6Дж = 40 нКл 10 В
Ответ: q = 40 нКл.
730.	В однородном поле напряженностью 60 кВ/м переместили заряд 5 нКл. Перемещение, равное по модулю 20 см, образует угол 60° с направлением силовой линии. Найти работу поля, изменение потенциальной энергии взаимодействия заряда и поля и напряжение между начальной и конечной точками перемещения. Дать ответы на те же вопросы для случая перемещения отрицательного заряда.
Решение. Работа поля по перемещению заряда
ДА = qE Al cos q>;
изменение потенциальной энергии заряда
ДЕП = -ДА = -qE Al cos ср;
напряжение между начальной и конечной точками перемещения заряда
AU =	= Е Al cos q>.
Ч
Вычисления:
1) при q = 5 нКл
AAj = 5 • 10-9 Кл • 6 • 104 В/м • 0,2 м • cos 60° = 30 мкДж; Д£п1 = -30 мкДж; ДС/. = 30 ' 10 6ДЖ = 6 кВ;
5 • 10 Кл
37
2) при q = -5 нКл
ДД2 = ~30 мкДж;
АЕп2 = 30 мкДж;
Д[/2 = 6 кВ.
Ответ: ДАХ = 30 мкДж; АЕп1 = -30 мкДж; = 6 кВ; АА2 = -30 мкДж; АЕп2 = 30 мкДж; ДС/2 = 6 кВ.
731 . Электрон переместился в ускоряющем поле из точки с потенциалом 200 В в точку с потенциалом 300 В. Найти кинетическую энергию электрона, изменение его потенциальной энергии и приобретенную скорость. Начальную скорость электрона считать равной нулю.
Решение. Запишем закон сохранения энергии для электрона в виде:
2
-е<Ро = ^ - «Рг	(1)
Здесь е — заряд электрона, <р0 и — потенциал в начальной и конечной точках, т — масса электрона, и — его конечная скорость. Левая часть уравнения описывает начальное состояние электрона, а правая— конечное. Из формулы (1) получаем выражение для его конечной кинетической энергии:
2 =е(Ф1-Фо); 4i
изменение его потенциальной энергии
ДС/ = е(<р0 - <pj) = -Ек
и конечной скорости
о= 72е(Ф1 ” Фо)/"1-
38
Вычисления:
Ек=1,6 • 10"19Кл • 100 В = 1,6 • 10 17 Дж;
ДС7 = -1,6 • 10’17Дж;
v = 2-1,6-10 19 Кл- 100 В да5>9 . 1О6М/С 9,1 • 10 31 кг
Ответ: Ек = 1,6 -10’17Дж; Д1/ = -1,6 • 10’17Дж; и 5,9 Мм/с.
732.	Какую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы его скорость увеличилась от 10 до 30 Мм/с?
Решение. Из закона сохранения энергии для начального и конечного моментов процесса ускорения электрона с начальной скоростью vQ и конечной
2	2
mvn mvy —2 = —1 + е Д<р 2	2
следует формула для искомой разности потенциалов:
Дф =	- Pq )/(2е).
Вычисления:
-31	7	2	7	2
-9,1 • 10	кг((3 • 10 м/с) - (10 м/с) )
д<р= -------------------- --------------- =
2 • 1,6 • 10 Кл
= -2,27 • 103В.
Ответ: Дф = -2,27 кВ.
733.	а-Частица (т = 6,7 • 10 27 кг, q = 3,2 • 10 19 Кл) вылетает из ядра радия со скоростью и - 20 Мм/с и попадает в тормозящее однородное электрическое поле, линии напряженности которого направлены противоположно направлению движения частицы. Какую разность потенциалов должна пройти частица до остановки?
39
Решение. Закон сохранения энергии для а-частицы имеет вид
2
+ <7<р0 = g<pr
Здесь, как обычно, левая часть уравнения описывает начальное состояние, а правая — конечное. Разность потенциалов Дф = фх - ф0 определяется формулой
Дф = mv2/(2q).
Вычисления:
Дф = 6’7 • 10~27 кг • <20 • 10<5 м/с>2 = 4,2 • 106 В.
2 • 3,2 • 10’19 Кл
Ответ: Дф = 4,2 МВ.
734.	Сравнить кинетические энергии и приобретенные скорости протона и а-частицы, которые прошли одинаковые ускоряющие разности потенциалов. Масса а-частицы в 4 раза больше массы протона, а заряд — в 2 раза больше.
Решение. Пренебрегая начальной кинетической энергией частиц, запишем закон сохранения энергии в виде ти2/2 = q Дф.	(1)
Здесь /и, q и и — соответственно масса, заряд и конечная скорость частицы; Дф — разность потенциалов. Как видно из формулы (1), величина набранной кинетической энергии при одинаковой разности потенциалов зависит (пропорционально) от величины заряда частицы. Поэтому для а-частицы она в 2 раза больше. Приобретенная скорость, согласно (1), определяется формулой
и = л/2^ Дф / т
и при вдвое большем заряде и вчетверо большей массе а-частицы будет меньше, чем у протона, в J2 раз.
Ответ: кинетическая энергия а-частицы в 2 раза больше, а скорость в J2 раз меньше.
40
zoo. Точка А лежит на линии напряженности однородного поля, напряженность которого 60 кВ/м. Найти разность потенциалов между этой точкой и некоей точкой В, расположенной в 10 см от точки А. Рассмотреть случаи, когда точки А и В лежат: а) на одной линии напряженности; б) на прямой, перпендикулярной линии напряженности; в) на прямой, направленной под углом 45° к линиям напряженности.
Решение. В общем случае разность потенциалов между точками А и В определяется как работа электрического поля при переходе заряда из точки А в точку В, нормированная на величину этого заряда.
В случае а) сила параллельна перемещению, так что разность потенциалов равна:
ФА - фв = ^Ed^ = ±60 кВ/м • 0,1 м = ±6 кВ.
Здесь Е — модуль напряженности поля; — расстояние между точками А и В; знак « + » соответствует случаю, когда вектор В направлен в сторону точки В.
В случае б) угол между силой и перемещением (или скоростью) равен нулю. Поэтому
Фа - Фв = °-
В случае в) угол между скоростью и перемещением равен 45°, поэтому
Фа - Фв =	~ ±4,2 кВ.
Ответ: а) ±6 кВ; б) 0; в) ±4,2 кВ.
737.	Найти напряжение между точками А и В (рис. 16), если АВ = 8 см, а = 30° и напряженность поля 50 кВ/м.
Решение. Работа А электрического поля Е над зарядом q на участке АВ равна произведению проекции перемещения гАВ на направление силы qE. Поэтому напряжение на участкеАВ
= Фа - Фв = Егав cos а-
Здесь — длина отрезкаАВ.
41
Е
Рис. 16
Вычисления:
[7 = 50 • 103В/м • 0,08 м • 7372 « 3,5 кВ.
Ответ: U » 3,5 кВ.
738.	Между двумя пластинами, расположенными горизонтально в вакууме на расстоянии 4,8 мм друг от друга, находится в равновесии отрицательно заряженная капелька масла массой 10 нг. Сколько избыточных электронов имеет капелька, если на пластины подано напряжение 1 кВ?
Решение. Условие равновесия капельки
mg = qE.
Здесь т — масса капельки, q — ее заряд, g — ускорение свободного падения, Е — напряженность поля. Напряженность поля может быть выражена через разность потенциалов С/, поданную на пластины:
Е = U/d,
где d — расстояние между пластинами.
Так как заряд q = Ne, где е — модуль заряда электрона, то число избыточных электронов

Ue ’
42
Вычисления:
\т = Ю П кг ' 9,8 м/с2 • 4,8 • 10 3 м _ о . Jq3 103 В • 1,6 • 10"19 Кл
Ответ: N = 3 • 103 электронов.
739.	К заряженному шару поднесли руку. Будет ли одинаковой в различных местах поверхностная плотность заряда на шаре? напряженность поля вблизи разных участков поверхности шара? Будут ли одинаковы потенциалы в различных точках поверхности шара?
Решение. Если шар проводящий, то потенциал на его поверхности везде одинаков. Этого нельзя сказать о напряженности поля и плотности поверхностных зарядов, так как воздух не является проводником, а рука искажает симметричную картину силовых линий электрического поля, выходящих из шара.
Ответ: не будет; не будет; будут.
741  На рисунке 17 показаны силовые линии электростатического поля и две эквипотенциальные поверхности (А и В). В какой точке, С или В, больше напряженность поля? потенциал?
43
Решение. В точке С силовые линии расположены гуще, чем в точке Z), поэтому напряженность электрического поля больше по модулю в точке С.
Потенциал увеличивается при переходе с одной эквипотенциальной поверхности на другую против направления силовых линий. Поэтому в точке С потенциал выше.
742. На рисунке 18, а показано расположение трех заряженных пластин и их потенциалы. Начертить линии напряженности электрического поля. Построить графики напряженности и распределения потенциала в зависимости от расстояния между пластинами.
44
Решение. Электрическое поле в промежутке между плоскими пластинами можно считать однородным, а зависимость потенциала от координаты определяется с помощью формулы (для каждого промежутка между пластинами)
<р(х) = ф(х0) - Ех(х - х0),
причем потенциал не может иметь конечные скачки. Так как потенциалы на пластинах заданы, то зависимость должна иметь вид, представленный на рисунке 18, в.
Значения напряженности Ех поля определим как коэффициенты наклона прямых на рисунке 18, в — результат изображен на рисунке 18, б.
В картине силовых линий на рисунке 18, а отражен тот факт, что в правом промежутке Ех в 2 раза меньше, чем в левом, а также учтено направлениеЕ.
743. На пластинах А и В, расположенных параллельно на расстоянии 8 см друг от друга, поддерживаются потенциалы +60 и -60 В соответственно. Между ними поместили заземленную пластину С на расстоянии 2 см от пластины А. На сколько изменилась напряженность поля на участках АС и СВ? Построить графики зависимостей <р(х) и Ех(х), расположив ось X так же, как в предыдущей задаче.
Решение. Аналогично решению задачи 742 зависимость потенциала <р от координаты х в каждом промежутке между пластинами имеет вид:
ф(х) = ф(х0) - Ех(х - х0),
где х0 — координата левой пластины, Ех — напряженность электрического поля между пластинами (рис. 19).
Если хх — координата правой пластины, то
г _ <Р(*О) " Ф(*1)
Е х	*
Х1 - хо
45
+ 60В
OB
-60 В
О 0,02	0,04	0,06	0,08 х, м
Рис. 19
Из этой формулы для исходного случая получим:
= Ф(хл) - ф(хс)
После внесения заземленной пластины в точку В дл промежутка АВ получим:
„	_ ф(хл) - ф(хв) _ ф(Хд)
&х1	----------- ---------’
ХВ ~ ХА	ХВ ~ ХА
поскольку ф(хв) = 0. А для промежутка ВС
ф(хв) ~	= -ф(*с)
хс - хв хс - хв
46
Окончательно, изменение напряженности в промежутке АВ
а в промежутке ВС
-ф(*с)
ХС ~ ХВ
^х2
ф(Хд) ~ Ф(*с)	Ф(*Л)
ХС ~ ХА ХВ ~ ХА
Вычисления:
Ех1 - Е 0 В/м -	В/м = 1,5 кВ/м;
Х1 х0 0,02	0,08	'
£х2 " £х0 = --—----- В/м ~	В/М = "°’5 кВ/м-
х2 х0 0,08 - 0,02	0,08	'
Ответ: увеличилась на 1,5 кВ/м; уменьшилась на
0,5 кВ/м.
35. Электроемкость конденсатора. Энергия заряженного конденсатора. Энергия электрического поля
744.	Площадь каждой пластины плоского конденсатора 401 см2. Заряд пластины 1,42 мкКл. Найти напряженность поля между пластинами.
Решение. Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, равна (в воздухе):
где о — заряд, приходящийся на единицу площади. В плоском конденсаторе каждая плоскость создает поле напряженностью поэтому в промежутке между плоскостями
Е = 2Е. = — .
ео
47
Так как о = Q/S, то
£ = Л-£0*$
Вычисления:
Е =---------Ь42 ' 10 6 *9*-----_ = 4000 кВ/м.
8,85 • 10'12 Ф/м • 401 • 10 4 м
Ответ: Е = 4000 кВ/м.
745.	Найти поверхностную плоскость заряда на пластинах плоского конденсатора, разделенных слоем стекла толщиной 4 мм, если на конденсатор подано напряжение 3,8 кВ.
Решение. Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, равна (в стекле):
где о — поверхностная плотность заряда. В плоском конденсаторе в промежутке между двумя противоположно заряженными пластинами
Е = 2Е, = -2-.
6£0
Вследствие однородности поля разность потенциалов плоскостей равна:
ДС7 = EZ, где I — расстояние между пластинами. Тогда
Л£7 о = £Е0— ,
где £ = 7 — диэлектрическая проницаемость стекла.
Вычисления:
ст = 7 • 8,85 • 10~12 Ф/м • 3,8 ' 10„3 В = 59 мкКл/м2.
4-10 м
Ответ: о = 59 мкКл/м2.
48
746.	Емкость первого конденсатора 0,5 мкФ, а второго — 5000 пФ. Сравнить напряжения, которые надо подавать на эти конденсаторы, чтобы накопить одинаковые заряды.
Решение. Из формулы для емкости плоского конденсатора следует, что
Q = СС/.
Для двух конденсаторов с одинаковыми зарядами, но разными емкостями
^1 = с2 = 5000 • 10~12 = _1_
U2 С1 0,5 • 10”6	100
Ответ: напряжение на втором конденсаторе должно быть в 100 раз больше.
747.	Емкость одного конденсатора 200 пФ, а другого — 1 мкФ. Сравнить заряды, накопленные на этих конденсаторах при их подключении к полюсам одного и того же источника постоянного напряжения.
Решение. Заряд на конденсаторе равен:
Q = СС/.
Для двух конденсаторов, подключенных к полюсам одного источника постоянного напряжения, но имеющих разные емкости, получим:
£1 = £1. ^2
Вычисления:
Qi = 200 • 10~12 =	1
Q2 i . 10"6	5000•
Ответ: заряд на втором конденсаторе в 5000 раз больше.
49
Наибольшая емкость школьного конденсатора
58 мкФ. Какой заряд он накопит при его подключении к полюсам источника постоянного напряжения 50 В?
Решение. Заряд конденсатора
Q = CU.
Вычисления:
Q = 58 • 10’6Ф • 50В = 2,9мКл.
Ответ: Q = 2,9 мКл.
750. На конденсаторе написано: 100 пФ; 300 В. Можно ли использовать этот конденсатор для накопления заряда 50 нКл?
Решение. Максимальный заряд конденсатора
®шах —
Вычисления:
Qmax = 100 ' 10”12 Ф • 300 В = 30 НКЛ.
Итак, поскольку Qmax < 50 нКл, то заряд 50 нКл на данном конденсаторе накопить нельзя.
Ответ: нельзя.
S3 I. Во сколько раз изменится емкость конденсатора при уменьшении рабочей площади пластин в 2 раза и уменьшении расстояния между ними в 3 раза?
Решение. Формула для емкости плоского конденсатора, площадь каждой из пластин которогоS, а расстояние между ними d, имеет вид:
г _ eoeS d ’
где е — диэлектрическая проницаемость среды в промежутке между обкладками.
Как следует из этой формулы, при уменьшении рабочей площади пластин в 2 раза и уменьшении расстояния между ними в 3 раза емкость увеличится на | .
Ответ: увеличится в 1,5 раза.
50
134. Во сколько раз изменится емкость конденсатора, если в качестве прокладки между пластинами вместо бумаги, пропитанной парафином, использовать листовую слюду такой же толщины?
Решение. Согласно общей формуле для емкости плоского конденсатора, эта величина пропорциональна диэлектрической проницаемости £ материала, находящегося между обкладками. Диэлектрическая проницаемость парафинированной бумаги £б = 2,2, а листовой слюды ес = 6. Поэтому при замене бумаги на слюду емкость конденсатора изменится В8с/еб « 2,73 раза.
Ответ: увеличится в 2,73 раза.
753. При введении в пространство между пластинами воздушного конденсатора твердого диэлектрика напряжение на конденсаторе уменьшилось с 400 до 50 В. Какова диэлектрическая проницаемость диэлектрика?
Решение. Емкость конденсатора равна:
С = q/U;
напряжение U на его обкладках обратно пропорционально емкости. Емкость же, в свою очередь, прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости среды между обкладками конденсатора (см. формулу в задаче 751). Поэтому уменьшение напряжения на конденсаторе с 400 до 50 В означает, что диэлектрическая проницаемость увеличилась в 8 раз по сравнению с исходным значением (проницаемость воздуха) св » 1 и равна с « 8.
Ответ: £ « 8.
51
/эч. Одна из пластин школьного плоского конденсатора соединена со стержнем электрометра, а другая с заземленным корпусом. Какими способами можно показания электрометра уменьшить? увеличить?
Решение. Электрометр измеряет напряжение U на обкладках конденсатора, которое при постоянном заряде |д| обратно пропорционально его емкости: U = q/C. Емкость плоского конденсатора равна:
С = £ocS/d,
откуда
U = gd/(c0£S).
Поэтому для уменьшения показания электрометра можно уменьшить расстояние d между пластинами или ввести в промежуток диэлектрик (с большим а). При этом емкость конденсатора увеличится.
Для увеличения показаний электрометра можно увеличить d или уменьшить рабочую площадь S пластин конденсатора.
Ответ: сблизить пластины, ввести диэлектрик; раздвинуть пластины, уменьшить рабочую площадь пластин.
756. Плоский конденсатор состоит из двух пластин площадью 50 см2 каждая. Между пластинами находится слой стекла. Какой наибольший заряд можно накопить на этом конденсаторе, если при напряженности поля 10 МВ/м в стекле происходит пробой конденсатора?
Решение. Из решения задачи 754 следует, что
9=—•
Если учесть, что величина U/d = Е (напряженность электрического поля между обкладками конденсатора), то наибольший заряд
q = ££o£S.
Здесь Е — напряженность поля пробоя в стекле.
52
Вычисления:
q = 107 В/м • 8,854 • 10’12 Ф/м • 7 • 5 • 10’3 м2 « «3,1 • 10 6Кл.
Ответ: q « 3,1 мкКл.
757. Расстояние между пластинами плоского конденсатора увеличили в 3 раза. Во сколько раз изменился заряд, напряжение между пластинами и напряженность поля, если конденсатор: а) отключили от источника напряжения; б) остался подключенным к источнику постоянного напряжения?
Решение. Когда конденсатор отключен от источника напряжения, заряд на его обкладках не изменяется, а напряжение связано с емкостью формулой
17= Ж	(1)
EqEiS
Следовательно, при увеличении расстояния между пластинами в 3 раза во столько же раз возрастет и напряжение между пластинами. В то же время напряженность поля
Е = £ ,	(2)
а
согласно формуле (1), останется неизменной.
Если конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения U, то именно эта величина и остается неизменной. При этом напряженность поля, согласно (2), уменьшится в 3 раза, а заряд на конденсаторе можно определить, пользуясь формулой (1) и выражением для емкости плоского конденсатора:
_ L/eqeS
Следовательно, заряд уменьшится в 3 раза.
Ответ: a) \q\ не изменился, |С7| увеличилось в 3 раза, Е не изменилось; б) |д| уменьшился в 3 раза, |17| не изменилось, Е уменьшилось в 3 раза.
53
В импульсной фотовспышке лампа питается от конденсатора емкостью 800 мкФ, заряженного до напряжения 300 В. Найти энергию вспышки и среднюю мощность, если продолжительность разрядки 2,4 мс.
Решение. Энергия электрического поля, запасенная в конденсаторе вспышки,	1
2
где С — емкость конденсатора, U — его напряжение. Мощность Р вспышки определяется отношением энергии W вспышки ко времени т разрядки:
р=^. т
Вычисления:
W = 8 • 10’4 Ф • (300 В)2/2 = 36 Дж; Р = 36 Дж/(2,4 • 10‘3 с) = 15 • 103 Вт.
Ответ: W = 36 Дж; Р = 15 кВт.
761.	Емкость одного конденсатора в 9 раз больше емкости другого. На какой из этих конденсаторов надо подать большее напряжение, чтобы их энергия была одинаковой? Во сколько раз большее?
Решение. Энергия конденсатора W = CU212, где С — емкость конденсатора, U — напряжение. Если два конденсатора имеют одинаковую энергию, но разную емкость, то
0^ = 0,^.
поэтому
U_2 = g ^с2	•
Ответ: на конденсатор меньшей емкости надо подать в 3 раза большее напряжение.
54
762.	Конденсатору емкостью 10 мкФ сообщили заряд 4 мкКл. Какова энергия заряженного конденсатора?
Решение. Формулу для энергии конденсатора W = CU2/2, где CU = Q, можно переписать в виде
2С
Вычисления:
W = (4 • 10’6 Кл)2/(2 • 10 • 10’6 Ф) = 800 нДж.
Ответ: W = 800 нДж.
763.	Площадь каждой из пластин плоского конденсатора 200 см2, а расстояние между ними 1 см. Какова энергия поля, если напряженность поля 500 кВ/м?
Решение. Плотность энергии электростатического поля в пустоте (в воздухе)
Поле в плоском конденсаторе однородное, поэтому его полная энергия
где S — площадь каждой из пластин, d — расстояние между пластинами конденсатора.
Вычисления:
IV = 8,85 • 10’12 Ф/м • (500 • Ю3в/м)2х -4	2	_2
X 200	10 м • 10 м = 220 мкдж
Ответ: W = 220 мкДж.
55
764.	Расстояние между пластинами плоского конденсатора с диэлектриком из бумаги, пропитанной парафином, равно 2 мм, а напряжение между пластинами 200 В. Найти плотность энергии поля.
Решение. Поле в плоском конденсаторе однородное, поэтому напряженность электрического поля
р _ Д17 Е~^-'
где AL7 — разность потенциалов пластин конденсатора, d — расстояние между ними.
Плотность энергии электрического поля
Г2	АГГ2
£0£Дс/
IV =	- ИЛИ IV = —---— .
2	2d2
Вычисления:
-12	2
IV = 8,85 • 10 Ф/м • 2.22- (200 В) = 07 мДж/мЗ. 2(2 • 10 3 м)
Здесь мы учли, что для парафинированной бумаги £ = 2,2.
Ответ: w = 97 мДж/м .
/ОО. Во сколько раз изменится энергия поля заряженного конденсатора, если пространство между пластинами конденсатора заполнить маслом? Рассмотреть случаи: а) конденсатор отключен от источника напряжения; б) конденсатор остается присоединенным к источнику постоянного напряжения. Ответ объяснить, пользуясь законом сохранения энергии.
Решение. В первом случае заряд Q конденсатора не изменяется.
Емкость конденсатора задается формулой
С=^,	(1)
где d — расстояние между пластинами, S — площадь каждой из пластин.
56
Причем £ (диэлектрическая проницаемость среды) изменяется при заполнении маслом от 1 до 2,5. Поэтому емкость С увеличивается в 2,5 раза.
Энергия поля конденсатора
Ж==Й-	(2)
Величина W таким образом уменьшится в 2,5 раза. Первоначальная энергия поля идет на поляризацию диэлектрика.
В случае, когда конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения, можно воспользоваться формулой
(3)
причем напряжение U остается постоянным, а емкость С изменяется при изменении диэлектрической проницаемости в соответствии с формулой (1). Из формул (1) и (2) видно, что энергия поля увеличится в 2,5 раза. Необходимая для такого увеличения дополнительная энергия поступит за счет источника постоянного напряжения.
Ответ: увеличится в 2,5 раза; увеличится в 2,5 раза.
766. Расстояние между пластинами заряженного плоского конденсатора уменьшили в 2 раза. Во сколько раз изменилась энергия и плотность энергии поля? Рассмотреть два случая: а) конденсатор отключили от источника напряжения; б) конденсатор остался присоединенным к источнику постоянного напряжения.
Решение. Электрическая емкость плоского конденсатора
с= £°£,S
57
где d — расстояние между пластинами, S — площадь пластины.
В первом случае заряд конденсатора остается неизменным, поэтому энергия поля равна:
W =	d.
2С 2e0eS
При изменении расстояния d между пластинами остальные величины в формуле остаются неизменными, поэтому энергия поля уменьшится в 2 раза. Объем, занимаемый полем, равен Sd. Он также увеличится в 2 раза, поэтому плотность энергии поля iv = W/(Sd) останется неизменной.
Во втором случае напряжение на конденсаторе останется неизменным, поэтому энергия поля
w _ си2 _ £ое5С/21
2 2d
увеличится в 2 раза, а плотность энергии поля увеличится в 4 раза.
Ответ: а) уменьшится в 2 раза; останется неизменной;
б) увеличится в 2 раза; увеличится в 4 раза.
767. При увеличении напряжения, поданного на конденсатор емкостью 20 мкФ, в 2 раза энергия поля возросла на 0,3 Дж. Найти начальные значения напряжения и энергии поля.
Решение. Начальная энергия поля
w=^, 2
где U — начальное напряжение на конденсаторе. Уве-
личивая напряжение в 2 раза, получаем:
W + \W = С(2У)2 = 4W,
2
58
откуда следует, что
w = Iaw,
II = /2Ж = /2МУ V с V зс ’
Вычисления:
W= 1 • 0,3 Дж = 0,1 Дж;
О
с/ = /-. 2..:.9i.?feZ = юо в.
N3 • 20 • 10"6Ф
Ответ: U = 100 В; W = 0,1 Дж.
ГЛАВА VIII
Законы постоянного тока
36. Закон Ома для участка цепи с последовательным и параллельным соединением проводников
769. Во сколько раз изменится сопротивление проводника (без изоляции), если его свернуть пополам и скрутить?
Решение. Фактически условие задачи сводится к увеличению вдвое площади поперечного сечения проводника при одновременном сокращении его длины в 2 раза. Следовательно, сопротивление проводника до скручивания
R = pL о
а после скручивания
Сопоставляя эти формулы, получаем: Щ/R = 1/4.
Ответ: уменьшится в 4 раза.
770. Моток проволоки, изготовленный из материалов, указанных в таблице, имеет сопротивление R и массу т. Найти длину I проволоки и площадь поперечного сечения S.
60
Материал	Параметр	
	zn, кг	R, Ом
Медь	0,21	0,83
Алюминий	3,24	16,1
Серебро	0,014	0,39
Сталь	14,1	23,2
Нихром	0,11	39,6
Решение. Введем обозначения: D— плотность вещества, р — удельное сопротивление.
Масса проволоки равна:
т = DSI,
а ее сопротивление
Из этих формул получим:
7 = lRtn Q = /р”*
Vz)p’ yRD'
Материал	Параметр	
	Z, м	S, мм2
Медь	33	0,70
Алюминий	830	1,4
Серебро	5,7	0,23
Сталь	590	3,1
Нихром	22	0,60
61
f 11. Можно ли включить в сеть напряжением 220 В реостат, на котором написано: а) 30 Ом, 5 А; б) 2000 Ом, 0,2 А?
Решение. При заданном напряжении U и сопротивлении R сила тока в реостате равна:
В первом случае сила тока в реостате
220 в = 0 11 А
2000 Ом U’ предельно допустимого значения
можно.
превысит предельно допустимое значение 5 А, указанное на нем.
Во втором случае
1 =
что не превышает 0,2 А.
Ответ: а) нельзя; б)
772. Какова напряженность поля в алюминиевом провод-
2
нике сечением 1,4 мм при силе тока 1 А?
Решение. Сопротивление проводника
R= %, О
где р — удельное электрическое сопротивление,I — длина проводника, S — площадь его поперечного сечения. Напряжение (разность потенциалов) на длине I определяется законом Ома:
U = IR,
где I — сила тока. Следовательно, напряженность электрического поля в проводнике Е = U/l = Ip/S.
62
Вычисления:
E=1A • 2,8 • 10'8 Ом • м/(1,4 • 10’6 м2) = = 2 • 10’2 В/м.
Ответ: Е = 20 мВ/м.
773. Участок цепи состоит из стальной проволоки длиной 2 м и площадью поперечного сечения 0,48 мм2, соединенной последовательно с никелиновой проволокой длиной 1 м и площадью поперечного сечения 0,21 мм2. Какое напряжение надо подвести к участку, чтобы получить силу тока 0,6 А?
Решение. Искомое напряжение, согласно закону Ома, равно:
U = IR,
где I — сила тока, R — полное сопротивление последовательно соединенных стального (Лс) и никелинового (Ян) участков:
Я — Rc + RH.
На каждом из участков
о = рЛ 1 ’
где рр lL и SL — соответственно удельное сопротивление, длина и площадь поперечного сечения стальной или никелиновой проволоки.
Таким образом, окончательная формула для напряжения имеет вид:
J7 = Z(Pc/c/Sc + PhVSh).
Вычисления:
17 = 0,6 А [12 • 10-8 Ом • м • 2 м/(0,48 • 10"6 м2)+
+ 42 • IO-8 Ом • м • 1 м/(0,21 • 10’6м2)] = 1,5 В.
Ответ: U = 1,5 В.
63
f f4. На рисунке 20 приведен график падения напряжения на трех последовательно соединенных проводниках одинаковой длины. Каково соотношение сопротивлений этих проводников?
Решение. Так как проводники соединены последовательно, то сила тока I в каждом из них одна и та же. Поэтому согласно закону Ома для участка цепи UL = IR- (i = 1, 2, 3) отношение сопротивлений^ проводников то же, что и отношение падений напряжения Ul на них.
Согласно графику,
: С72 : С73 = 1 : 2 : 3.
Ответ: R. : R9 : R^ = 1 : 2 : 3. 14	0
775. Цепь состоит из трех последовательно соединенных проводников, подключенных к источнику напряжением 24 В. Сопротивление первого проводника 4 0м, второго 6 0м, и напряжение на концах третьего проводника 4 В. Найти силу тока в цепи, сопротивление третьего проводника и напряжения на концах первого и второго проводников.
Решение. Поскольку соединение проводников последовательное, сила тока I одинакова для каждого из них, а падение напряжения во всей цепи определяется формулой
U =	+ U2 + С73,
64
где
U^RJ (i = 1, 2, 3)
— падение напряжения на участке с сопротивлением /?. Из этих формул, в частности, следует, что сила тока в цепи
U - Ui 1=-------
7?1 + /?2
сопротивление третьего проводника
„ из
дз=т-
Напряжение на первых двух проводниках
Ui = IRi (i=l,2).
Вычисления:
/ = 20 В/10 Ом = 2 А,
R3 = 4 В/2 А = 2 Ом,
= 2 А • 4 Ом = 8 В,
С72 = 2 А • 6 Ом = 12 В.
Ответ: I = 2 А; = 2 Ом; U, = 8 В; U9 = 12 В.
776. Электрическую лампу сопротивлением 240 Ом, рассчитанную на напряжение 120 В, надо питать от сети напряжением 220 В. Какой длины нихромовый проводник площадью поперечного сечения 0,55 мм2 надо включить последовательно с лампой?
Решение. Полное падение напряжения U, равное напряжению в сети, должно складываться из падения напряжения Ux на лампе и U2 на добавочном нихромовом проводнике.
Следовательно,
U2 = U - 171 = 100 В.
65
При этом сила тока I в проводнике равна силе тока в лампе:
и.
Отсюда находим сопротивление проводника
я = Е? = 200 Ом
и его длину
/ = *5. р
Вычисления:
I = 200 Ом • 0.55 • 10~6 м2 = юо М 110 • 10'8 Ом • м
Ответ: I = 100 м.
778. Кабель состоит из двух стальных жил площадью поперечного сечения 0,6 мм2 каждая и четырех медных жил площадью поперечного сечения 0,85 мм2 каждая. Каково падение напряжения на каждом километре кабеля при силе тока 0,1 А?
Решение. Сопротивление каждой из стальных жил R - Pcl R^-s-c'
а медной жилы
где рс и рм — удельное сопротивление стали и меди, Sc и SM — площадь поперечного сечения соответствующих жил. Полное сопротивление кабеля равно сопротивлению набора параллельно соединенных проводников:
1=1+1 Я
66
Таким образом, падение напряжения кабеля при силе тока I равно:
и =----------------.
2 5* с/Рс +	Рм
Вычисления:
и =-----------0,1 А ' 1<)3 м-------- « 0,48 В.
-6	2	_л 2
2 • 0,6 • 10 °м + 4 • 0,85 • 10 м
12 • 10‘8 Ом • м 1,7 • 10'8 Ом • м
Ответ: U ~ 0,48 В.
779. Определяя сопротивление лампочки карманного фонаря, учащийся ошибочно составил цепь, схема которой приведена на рисунке 21. Описать режим работы этой цепи и указать, какими приблизительно будут показания приборов, если напряжение на полюсах источника тока 2 В.
Решение. Амперметр имеет обычно малое сопротивление для того, чтобы не искажать параметры цепи при последовательном соединении. Сопротивление вольтметра, наоборот, должно быть высоким, чтобы на него не ответвлялся сколько-нибудь значительный ток при параллельном соединении. В цепи, приведенной на рисунке 21, амперметр подключен параллельно, а вольтметр последовательно. В результате цепь практически разомкнута вольтметром, который измеряет
напряжение источника тока.
Ответ: лампочка не горит, вольтметр показывает примерно 2 В, амперметр показывает нуль.
67
/ои. На школьном демонстрационном гальванометре (от амперметра) указаны сопротивление прибора 385 Ом и сила тока, вызывающая отклонение стрелки на одно деление, 3,8 • 10 5 А/дел. Вся шкала имеет 10 делений. Каковы сопротивления приложенных двух шунтов, делающих прибор амперметром с пределами измерения 3 и 10 А?
Решение. Сила тока, вызывающего максимальное (на 10 делений) отклонение стрелки гальванометра, равна:
1Г= 3,8 • 10"4 А.
При изменении силы тока I ток распределяется между шунтом и гальванометром согласно формуле (параллельное соединение проводников):
= Ли^ш’
Здесь Rr — сопротивление гальванометра, 1Ш и — сила тока и сопротивление шунта. Отсюда следует, что отношение полной силы тока I к силе тока гальванометра имеет вид:
/ —	+ 7г _ 1 Дг
'г	'г
Таким образом, исходная формула для сопротивления шунта:
Яш = ———• ш I/Ir ~ 1
Вычисления:
ЯШ1 =-------------------- * 0,049 Ом,
3 А/(3,8 • 10 А) ~ 1
яш2 =--------385 °м------я 0 015 Ом
10А/(3,8 • 10 А) - 1
Ответ: 7?ш1« 0,049 Ом; Яш2 ® 0,015 Ом.
68
781 . На школьном гальванометре (от вольтметра) указаны сопротивление прибора 2,3 Ом и напряжение, которое надо подать, чтобы стрелка отклонилась на одно деление, 1,4 • 10 3 В/дел. Вся шкала имеет 10 делений. Найти, каким должно быть сопротивление добавочного резистора, чтобы прибор можно было использовать в качестве вольтметра с пределом измерений 5 В; 15 В.
Решение. Для измерения вольтметром напряжения U между точками А и В в цепь последовательно с вольтметром необходимо подключить сопротивление R (рис. 22). Падение напряжения на вольтметре (между точками А и В) при этом должно соответствовать максимальному отклонению стрелки
где о — цена одного деления, п — максимальное число делений вольтметра. Поскольку сопротивление вольтметра равно г, то в данном случае по цепи АСВ течет ток
1 = ^тах/Г-
Тогда
С/ = on + Я/ = on + anR/r, откуда
R = —(U-an).
U
Рис, 22
Вычисления:
Rr = ---21125!----(5 в - 1,4 • 10 3 В • 10) =
1,4 • 10 В • 10
= 820 Ом.
r2 =----^ЗОм------(15 в - 1,4 • 10 3 В • 10) =
1,4 • 10 В • 10
= 2500 Ом.
Ответ: = 820 Ом; R2 = 2500 Ом.
69
782. Гальванометр имеет сопротивление 200 Ом, и при силе тока 100 мкА стрелка отклоняется на всю шкалу. Резистор какого сопротивления надо подключить, чтобы прибор можно былб использовать как вольтметр для измерения напряжения до 2 В? Шунт какого сопротивления надо подключить к этому гальванометру, чтобы его можно было использовать как миллиамперметр для измерения силы тока до 10 мА?
Решение. При максимальном токе Zmax через гальванометр падение напряжения на гальванометре согласно закону Ома равно:
^тах — Г^тах’	(1)
Для измерения напряжения к гальванометру необходимо последовательно подсоединить резистор. Падение напряжения на этом сопротивлении
1?1 = -RjZmax,
а полное падение напряжения
U = Um.x + U1 = Im^r + R1),
поэтому
р = и _ _
Д1 j г-max
Для измерения силы тока к гальванометру необходимо параллельно подсоединить дополнительный резистор (шунт). Падение напряжения на этом сопротивлении равно <7тах, силу тока через R2 рассчитаем с помощью закона Ома:
U т_ шах
Полная сила тока в схеме (сила тока через параллельно соединенные шунт и гальванометр) равна:
I ~ ^тах + ^2 ~ ^тах Алах’
откуда
70
Вычисления:
Rx =-----?.В	- 200 Ом = 19,8 кОм;
100 • 10 А
R2 = 200 Ом • -------10° ' 10 6 А----- = 2,2 Ом.
-100 • 10 А + 10 • 10 А
Ответ: R{ = 19,8 кОм; R2 = 2,2 Ом.
783. Какие сопротивления можно получить, имея три резистора по 6 кОм?
Решение. Сопротивление каждого резистора на рисунке 23 г = 6 Ом. Общее сопротивление/? участков цепей, изображенных на рисунке, выразим через г:
а)Я=	1	 1/г + 1/г + б)Я= 	1	 1/г + 1/; в)Я = 	-	 1/Г 4- 1/(г + о——1	—О а) в)		 = £ = 2 Ом; 1/г	3  = ^ = 3 Ом; _ = ^ = 4 Ом; г) 3 б) г)
д)
е)
ж)
Рис. 23
71
г)	R = г = 6 Ом;
д)	R = г + -i----- = Зг = 9 Ом;
1/г + 1/г	2
е)	R = г + г = 12 Ом;
ж)	7?=r + r + r= 18 Ом.
784.	Сопротивление одного из последовательно включенных проводников в п раз больше сопротивления другого. Во сколько раз изменится сила тока в цепи (напряжение постоянно), если эти проводники включить параллельно?
Решение. При последовательном соединении проводников общее сопротивление равно:
= Г1 4- г2.
С помощью закона Ома получим силу тока в этом случае:
.
Г1 + Г2
В то же время из условия задачи следует, что
Г1 = пг2.
Тогда
л = -—• r2n + 1
При параллельном соединении проводников общее сопротивление равно:
я2=------i.
2	1/q + 1/г2
Следовательно,
72
785.	Четыре лампы, рассчитанные на напряжение 3 В и силу тока 0,3 А, надо включить параллельно и питать от источника напряжением 5,4 В. Резистор какого сопротивления надо включить последовательно лампам?
Решение. Условие задачи соответствует схеме, изображенной на рисунке 24. Сила тока через дополнительное сопротивлениеRравна:
Л = 4/.
Падение напряжения на каждой лампе, а значит, и между точками С и В — Uv Таким образом, падение напряжения на резисторе В
uAC = u-uv
Сопротивление R определим с помощью закона Ома и с учетом записанных выше формул:
Вычисления:
R = (5,4 - 3) В = 2 Ом 4 • 0,3 А
Ответ: R = 2 Ом.
73
786.	Во сколько раз изменятся показания амперметру, если от схемы, приведенной на рисунке 25, а, перейти к схеме, показанной на рисунке 25, б? Напряжение, поданное на концы цепи, остается прежним.
Решение. Общее сопротивление участка цепи, изображенного на рисунке 25, а,
7?! = ЗЯ,
поэтому сила тока через амперметр равна:
Сопротивление участка цепи, изображенного на рисунке 25, б, равно:
R2 = R +--------- =	.
1	1/R + 1/R	2
Таким образом,
г U =2U
2	3R/2 3R ’
Окончательно,
£? = 2
Л
Ответ: сила тока увеличится в 2 раза.
74
787. Три одинаковые лампы соединены по схеме, приведенной на рисунке 26. Как будут гореть лампы при включении их в сеть с напряжением, на которое рассчитана каждая лампа? Как будет изменяться накал каждой из ламп, если эти лампы по одной поочередно: а) выключать; б) закорачивать? При возможности проверьте ответ на опыте.
Решение. Сила тока Zx через лампу Н1 в 2 раза больше силы тока через лампы Н2 и НЗ:
I2 = I3 = Il/2.	(1)
Полное сопротивление участка цепи
'--г*-
где R — сопротивление каждой лампы. С помощью закона Ома запишем:
I	-1	' I =Z = 1 /
3R 3 ном’ 22	23 32ном’
где ZIIOM = U/R — номинальная сила тока через лампу. Из (1) видно, что все лампы горят слабее нормы, причем лампа Н1 горит ярче ламп Н2 и НЗ.
После отсоединения лампы Н1 лампы Н2 и НЗ светиться не будут.
После отсоединения лампы Н2 (или НЗ)
I =1 = 1^ = 1/ 3 2R 2 ном’
т. е. две другие лампы будут светиться одинаково, но обе слабее нормы.
Если вместо лампы Н1 поставить перемычку, то сила тока через Н2 и НЗ
I = I = — = I
12 43 р 1 ном’
и обе лампы будут иметь стандартный накал. Если перемычку поставить вместо лампы Н2 (НЗ), то лампа НЗ (Н2) светиться не будет, а накал лампы Н1 будет стандартным.
75
788. К цепи, показанной на рисунке 26, подведено напряжение 90 В. Сопротивление лампы Н2 равно сопротивлению лампы Н1, а сопротивление лампы ИЗ в 4 раза больше сопротивления лампы Н1. Сила тока, потребляемая от источника, равна 0,5 А. Найти сопротивление каждой лампы, напряжение на лампах Н1 и НЗ и силу тока в них.
Решение. Обозначим сопротивление лампН1 и Н2 через R. Тогда сопротивление лампы НЗ равно 4Я. Общее сопротивление участка цепи на рисунке равно:
я0 =----------------
0	1/R + 1/(47?)
+ R= 1,8Я.
Из закона Ома получим:
Таким образом, сопротивление первой и второй ламп
R^ = R^R=Tji-
Сопротивление лампы НЗ равно:
Дз = 4В = 4тЬ-
Обозначим 12, 13 — силу тока, текущего через лампы Н2иНЗ,тогда
J 12 + 13 = Z,
[ ^2^3 = ^з/^2 = 4’
откуда
/2 = 4//5, 4 /3 = 1/^
Сила тока, текущего через лампуН1, равна/.
Падение напряжения на лампахН2 и НЗ:
Падение напряжения на лампе Н1
<71 = П?=^.
76
Вычисления:
7? = я = 5 J*LJL = 100 Ом;
1	2	9 0,5 А
R3 = 4 • 100 Ом = 400 Ом;
= 0,5 А;
/3 = 0,5 А/5 = 0,1 А;
/2 = 0,5 А-0,1 А = 0,4 А;
СЛ = 5 • 90 В = 50 В;
1	9
U9 = U. = ± • 90 В = 40 В. 2	3 g
Ответ: Rl = R2 = 100 Ом; R3 = 400 Ом;
= 0,5 А; 12 = 0,4 А; 13 = 0,1 А;
U, = 50 В; U9 = U3 = 40 В. 1	4	О
790. Найти силу токов и напряжения в цепи (рис. 27), если амперметр показывает 2 А, а сопротивление резисторов Rx = 2 Ом, R2 = 10 Ом, Я3 = 15 Ом, Я4 = 4 Ом.
Решение. Обозначим: I — сила тока, текущего через резисторы Я1 и Я4, 12 и 13 — сила токов, текущих через резисторы R2 и R3 соответственно. Тогда падение напряжения на резисторах R2 и R3 равно соответственно:
^2 = ^2^2’ ^3 = «3^3’
R2
Рис. 27
77
Из рисунка видно, что U2 = t/3, поэтому
12 /3Я2-
Кроме того, в соответствии с законом сохраненйя заряда
I = 19 4- Л.
Итак,
Падения напряжений на резисторах 7?1 и 7?4 можно рассчитать, пользуясь выражением для силы тока и законом Ома:
+ R‘>
*2
Сила тока /3 определяется показаниями амперметра.
Полное падение напряжения между точкамиА и В
uM-ut + ut + и3.
Вычисления:
L, = 2 А;
О
/ = 2А + ЗА = 5А; 15 0м • 2 А = 30 В;
г г	_ о	л	2 Ом	•	(10 Ом 4-15 Ом)	_	ч п .
 2	А  -------100^-----------10	в’
гг	_ о	д	40м	•	(100м +	150м)	_	9П т>.
^4 ~ 2	А	-------100^-------2и Ь’
иАВ = 10 В + 20 В + 30 В = 60 В. Ответ: = /4 = I = 5 А, 13 = 2 А, 12 = 3 A, Uv = 10 В, и2 = из = 30 В, и4 = 20 В, [7^ = 60 6.
78
791 . В цепь (рис. 28) подано напряжение U. Сопротивления всех резисторов одинаковы и равны R. Найти общее сопротивление цепи а также распределение токов и напряжений.
№	R, Ом	и, в
1	2	55
2	14,2	87,4
3	21	100
4	0,16	0,28
5	282	39,7
Решение. Резисторы 7?4, R6 и R5 соединены последовательно, поэтому сопротивление этого участка цепи равно:
Я4_6 = R± + R§ + Rq = ЗЯ.
Резистор R3 и участок цепи 7?4, 7?6, R5 соединены параллельно. Поэтому полное сопротивление
_ Я3Я4 _б __ з
3-6 Я3 + Я4_6	4
Комплекс резисторов R3—RG и резисторы R1 и R2 соединены последовательно, поэтому общее сопротивление цепи
*общ ~	+ Я2 + д3_6 ~ 2|й.
79
Полный ток, текущий в цепи, совпадает с токамии /2» текущими через резисторы Я1 и R2. Согласно закону Ома
Л = ^2 = ^/^общ*
Падение напряжения на резисторах Я1 и R2 также определяется из закона Ома для участка цепи:
U^U2 = I.R.
Зная эти величины, можно найти падение напряжения на резисторе R3 и на участке R4—R6:
U~ = U4 R = U-U,-U9 = U-2U,. О	*4 — U	X	X
Согласно закону Ома для участка цепиЯЗ г =Ез = Ез 3	/?з R •
Так как сила тока в комплексе R3—R6, равная силе тока цепи, складывается из силы тока/3 и силы тока, текущего через участок R4—R6 и равного токам, текущим через каждый из резисторов 7?4, R5 и Я6, то
^4 = ^5 = ^6 = Л ~ 'з*
При этом падение напряжения на участкеЯ4, 7?6, Я5, равное С73, складывается из равных падений напряжений на каждом из этих сопротивлений:
u4 = u5 = uQ = u3/3.
№	^общ» Ом	Л ^2» А	= СЛ2, В	1/3,В	73,А	II II О * сл > II	и 5 и * q и
1	5,5	10	20	15	7,5	2,5	5
2	39,1	2,24	31,8	23,8	1,68	0,56	7,94
3	57,7	1,73	36,4	27,3	1,30	0,433	9,09
4	0,44	0,636	0,102	0,0764	0,477	0,159	0,0255
5	775	0,0512	14,4	10,8	0,0384	0,0128	3,61
80
792. Имеются источник тока напряжением 6 В, реостат сопротивлением 30 Ом и две лампочки, на которых написано: 3,5 В, 0,35 А и 2,5 В, 0,5 А. Как собрать цепь, чтобы лампочки работали в нормальном режиме?
Решение. Поскольку сумма падений напряжений на лампочках равна 6 В, лампочки нужно подключить последовательно. При этом полное сопротивление цепи
3,5 В/0,35 А 4- 2,5 В/0,5 А = 15 Ом,
а сила тока в цепи
6В/15Ом = 0,4 А,
что больше номинала для первой лампочки и меньше номинала для второй. Необходимо перераспределить силу тока в цепи так, чтобы ток, протекающий через первую лампочку, уменьшился, а через вторую увеличился. Этого можно добиться, подключив параллельно первой лампочке с сопротивлением^ = 10 Ом реостат R. Тогда полная сила тока в цепи, равная силе тока 12 через вторую лампочку, равна:
1 + 11 =---------------.
1 R2 +	+ R)
где R2 = 5 Ом — сопротивление второй лампочки, U = 6 В — напряжение источника тока. Решая это уравнение относительно Я, находим
U/I - r2 rx
Вычисления:
R =-----1---- Ом = 23 Ом.
1/7 - 1/10
Ответ: R = 23 Ом.
81
37. Работа и мощность тока
794. В бытовой электроплитке, рассчитанной на напряжение 220 В, имеются две спирали, сопротивление каждой из которых в рабочем режиме равно 80,7 Ом. С помощью переключателя в сеть можно включить одну спираль, две спирали последовательно или две спирали параллельно. Найти мощность в каждом случае.
Решение. Если R — сопротивление одной спирали, то сопротивление двух спиралей равно 2R (в случае последовательного соединения) и R/2 (в случае параллельного соединения).
С другой стороны, мощность тока, согласно закону Джоуля—Ленца, равна:
при подключении одной спирали. Поэтому при последовательном соединении потребляемая мощность равна:
P2 = U2/(2R) = Pl/2,
а при параллельном соединении
Р3 = 2U2/R = 2Рр
Вычисления:
Рх = (220 В)2/80,7 Ом » 600 Вт,
Р2 = 300 Вт, Р3 = 1200 Вт.
Ответ: = 600 Вт; Р2 = 300 Вт; Р3 = 1200 Вт.
795. Электрическая цепь состоит из приемника сопротивлением потребляющего мощность Pv и реостата, включенного последовательно приемнику. В цепь подано напряжение U. Найти: 1) силу тока I в цепи; 2) напряжение Ux на приемнике; 3) напряжение U2 на реостате; 4) сопротивление R2 реостата; 5) мощность Р2» потребляемую реостатом.
82
№	Приемник	Вт	Ом	и, в
1	Лампочка карманного фонаря	0,98	12,5	6
2	Электрическая плитка	550	88	220
3	Сетевая лампа	40	403	220
4	Электромагнит	7,9	2,18	16,4
5	Нагревательная спираль	18,3	1.8	9,2
Решение. Поскольку приемник включен последовательно с реостатом, сила тока в цепи равна силе тока для каждой из нагрузок. Используя закон Джоуля— Ленца, можно определить силу тока:
1 у R
Теперь напряжение иг на приемнике можно получить из закона Ома:
U^IR,.
Полное напряжение, поданное в сеть, в случае последовательного соединения складывается из напряжений на каждой из нагрузок. Поэтому напряжение на реостате равно:
и2 = и-и1.
Сопротивление реостата
R2 = U2/I.
Мощность, потребляемую реостатом, получаем на основе закона Джоуля—Ленца:
Р2 = I2R2-
83
№	ДА	uv в	С?2, В	Я2, Ом	Р2, Вт
1	0,28	3,5	2,5	8,93	0,7
2	2,5	220	0	0	0
3	0,315	127	93	295	29,3
4	1,9	4,15	12,3	6,43	23,3
5	3,19	5,74	3,46	1,08	11
/W. Десять параллельно соединенных ламп сопротивлением по 0,5 кОм, рассчитанных каждая на напряжение 120 В, питаются через реостат от сети напряжением 220 В. Какова мощность электрического тока в реостате?
Решение. Силу тока в каждой из десяти ламп находим из закона Ома:
U ‘•-к-	т
Здесь Uл — напряжение, на которое рассчитана лампа, Ял — ее сопротивление. Полная сила тока в цепи равна сумме сил токов, текущих через каждую лампу:
I = Ю/л.	(2)
Полное напряжение U в цепи складывается из падения напряжения на участке параллельно соединенных ламп и падения напряжения на реостате.
Следовательно, ир-и-ил.
Окончательно, мощность электрического тока в реостате
Р = Шр=1О(17л/Ял)(С/-[7л).
Вычисления:
Р = 10(120 В/500 Ом)Ю0 В = 240 Вт.
Ответ: Р = 240 Вт.
84
797. Объясните, почему при последовательном включении двух ламп мощностью 40 и 100 Вт первая горит значительно ярче второй. При возможности проверьте это на опыте.
Решение. Согласно закону Джоуля—Ленца зависимость сопротивления R от мощности Р и напряжения имеет вид:
Следовательно, при равном номинальном напряжении ламп сопротивление лампы мощностью 40 Вт будет в 2,5 раза больше сопротивления лампы мощностью 100 Вт. При последовательном соединении ламп сила тока в каждой из них одинакова. Следовательно, согласно другой формулировке закона Джоуля—Ленца, p = i2r
— мощность, рассеиваемая лампой, номинальная мощность которой 40 Вт, будет в 2,5 раза больше мощности, рассеиваемой стоваттной лампой.
Ответ: сопротивление лампы мощностью 40 Вт больше, а при последовательном соединении выделяемая мощность прямо пропорциональна сопротивлению участка.
798. При ремонте электрической плитки спираль была укорочена на 0,1 первоначальной длины. Во сколько раз изменилась мощность плитки?
Решение. Сопротивление проводника пропорционально его длине. Поэтому при уменьшении длины спирали на 0,1 первоначальной длины оно также уменьшится на 0,1 первоначального значения. А поскольку, согласно закону Джоуля—Ленца, мощность при заданном напряжении обратно пропорциональна сопротивлению, мощность плитки при уменьшении дллны спирали должна увеличиться на 1/0,9» 1,1.
Ответ: увеличилась в 1,1 раза.
85
Электродвигатель подъемного крана работает под напряжением 380 В, при этом сила тока в его обмотке равна 20 А. Каков КПД установки, если груз массой 1 т кран поднимает на высоту 19 м за 50 с?
Решение. Мощность электрического тока при работе крана
Рэ = UI.
Механическая мощность р = mgh м \t ’ где т — масса груза, g — ускорение свободного падения, h — высота подъема, \t — время подъема.
КПД установки равен:
т] =	. юо%.
Вычисления:
Р3 = 380 В • 20 А = 7600 Вт,
Рм = 103 кг • 10 м/с2 •	= 3800 Вт,
м	1	50 с
г| = ЭВМ Вт . 100% = 50% 1	7600 Вт
Ответ: г| = 50% .
801 • Почему спирали электронагревательных приборов делают из материала с большим удельным сопротивлением?
Решение. Полное сопротивление отрезка проволоки: fl-pi.
где р — удельное сопротивление, I — длина, S — площадь поперечного сечения проволоки. Мощность прибора
W= R
не должна быть слишком большой, т. е. сопротивление проволоки не должно быть слишком малым. Увели
86
чить сопротивление проволоки можно либо уменьшая ее площадь поперечного сечения, либо увеличивая ее удельное сопротивление. Отметим, что уменьшение площади поперечного сечения проволоки ограничено требованием ее достаточной прочности. Увеличение длины проволоки приведет к увеличению габаритов электроприбора.
803. Какой длины надо взять никелиновую проволоку площадью поперечного сечения 0,84 мм2, чтобы изготовить нагреватель на 220 В, при помощи которого можно было бы нагреть 2 л воды от 20 °C до кипения за 10 мин при КПД 80% ?
Решение. Обозначим о — удельное сопротивление никелина, I — длину проволоки, S — площадь ее поперечного сечения. Тогда сопротивление проволоки (су = 42 • 10 8 Ом • м)
а электрическая мощность
За время т при КПД г| нагреватель, сделанный с использованием данной проволоки, передает воде количество теплоты
Q = Ртг|.
С другой стороны,
Q = cpV(100 °C- tx),
так как именно такое количество теплоты требуется для нагревания объема V воды, теплоемкость которой с = 4,19 кДж/(кг • К) и плотность р = 103 кг/м3, от температуры tr до температуры кипения. Тогда
2	2
= cpVflOO °C - t.), или I =----------------
Zc	к	pcaV(100°C - tj)
87
Вычисления:
; = 0,84 • 10~6 м2  (220 В)2 • 600 с • 0,8 х 103 кг/м3 • 4,19 • 103 Дж/(кг • К) • 42 • 10’8 Ом • м
X ------, , 1------------ = 69 м.
2  10 м • (100К • 20К)
Ответ: I = 69 м.
804. Электрокипятильник со спиралью сопротивлением R поместили в сосуд, содержащий воду массой пг при температуре и включили в сеть напряжением U. Через время г кипятильник выключили. Найти температуру t2 воды, если вода за это время не нагреется до кипения; вычислить, сколько воды (по массе т1) выкипит, если вода закипит. Теплоемкостью сосуда пренебречь, считать КПД 100%.
№	[/, в	т, с	R, Ом	т, кг	tp °с
1	220	1200	160	0,5	20
2	220	1200	160	1,2	20
3	220	2100	95	1,13	6
4	220	2100	295	1,13	6
5	36	240	14	0,21	17
6	0	240	14	0,21	17
Решение. За время т кипятильник передает воде количество теплоты
Q = x^.	(1)
Количество теплоты, которое надо сообщить воде, чтобы нагреть ее от температуры tr до температуры кипения 100 °C,
Q, = mc(100 °C - tj,	(2)
88
где с = 4,19 кДж/(кг • К) — удельная теплоемкость воды. Если Q < Qp то вода не закипает, а нагревается до температуры t2 < 100 °C, причем
Q = mc(t2 - t^).	(3)
Из (1) и (3) получим:
тт2 t =	(4)
2	1 Rmc
Если Q > Qp то вода нагревается до температуры кипения. Количество теплоты Q - Qx идет на испарение воды. Это количество теплоты обеспечивает испарение воды массой
где L = 2,3 • 106 Дж/кг — удельная теплота парообразования воды при нормальном давлении. Подставив (1) и (2) в (5), получим:
2
m. = 1	- тпс(100 °C - <!)) .	(6)
Используя формулы (4) и (6), после обработки данных получим следующий результат:
№	t2, °C	ТПр кг
1	—	8,5 • 10’2
2	92,2	—
3	—	2,72 • 10"1
4	78,8	—
5	42,2	—
6	17	—
89
38. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи
805. При питании лампочки от элемента с ЭДС 1,5 В сила тока в цепи равна 0,2 А. Найти работу сторонних сил в элементе за 1 мин.
Решение. Работа сторонних сил в цепи с ЭДС £ и силой тока I за время Ы определяется формулой
А = 61 АГ
Вычисления:
А = 1,5 В • 0,2 А • 60 с = 18 Дж.
Ответ: А = 18 Дж.
806. К источнику с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 1 Ом подключен реостат, сопротивление которого 5 Ом. Найти силу тока в цепи и напряжение на зажимах источника.
Решение. Сила тока в цепи, в которую включен реостат с сопротивлением, равна:
1 = —, R + г
где 6 — ЭДС источника, г — его внутреннее сопротивление.
Падение напряжения на зажимах источника
и = £ - 1г = R + г
Вычисления:
12В	=2 д
(14-5) Ом
(7 = 12 в ' 50м = Ю В.
5 Ом + 1 Ом
Ответ: I = 2 A; U = 10 В.
90
808. При подключении лампочки к батарее элементов с ЭДС 4,5 В вольтметр показал напряжение на лампочке 4 В, а амперметр — силу тока 0,25 А. Каково внутреннее сопротивление батареи?
Решение. Воспользуемся формулой
/= —
R + г
где £ — ЭДС цепи, г — внутреннее сопротивление источника, R — внешнее сопротивление.
Падение напряжения на лампочке определим с помощью закона Ома:
U = IR.
Тогда
Вычисления:
Ответ: г = 2 Ом.
809. При подключении электромагнита к источнику с ЭДС 30 В и внутренним сопротивлением 2 Ом напряжение на зажимах источника стало 28 В. Найти силу тока в цепи. Какую работу совершают сторонние силы источника за 5 мин? Какова работа тока во внешней и внутренней частях цепи за то же время?
Решение. Условие данной задачи аналогично условию задачи 808, поэтому из формулы для внутреннего сопротивления источника найдем силу тока в цепи:
г
Работа сторонних сил в цепи за время t равна:
А = Wt =	.
г
91
Работа тока во внешней части цепи за это же время равна:
л, - ив -	.
1	г
Работа тока внутри источника
2
А2 = (£ - U)It = (6' ~ги) 1.
Вычисления:
j  30 В - 28 В  1 а ,
2	Ом
А _ ((30 да 30 3 60) Дж _ 9 кДж;
Л, _ ((30 - 28)	. 5 . 60J дж _ S i кДж.
А2 = ((30 - 28X-5-60j Дж = 0 б кДж>
Ответ: I = 1 А; А = 9 кДж; Aj = 8,4 кДж; А2 = 0,6 кДж.
810.
Как изменятся показания амперметра и вольтметра
(рис. 29), если замкнуть ключ?
92
Решение. Сила тока в цепи определяется формулой:
1 =
При замыкании ключа сопротивление R уменьшается, & и г остаются неизменными, поэтому сила тока/ увеличится. Падение напряжения на полюсах источника
R + г
Тогда
U =	—г— ),
' R + г'
откуда видно, что при замыкании ключа (уменьшении R) U уменьшается.
Ответ: показание амперметра увеличится, показание вольтметра уменьшится.
811 . В проводнике сопротивлением 2 Ом, подключенном к элементу с ЭДС 1,1В, сила тока равна 0,5 А. Какова сила тока при коротком замыкании элемента?
Решение. Запишем закон Ома для замкнутой цепи:
6
R + г'
Здесь I — сила тока в цепи, & — ЭДС, R — внешнее сопротивление, г — внутреннее сопротивление источника тока. Тогда внутреннее сопротивление
г = J - R-
Следовательно, сила тока при коротком замыкании (R = 0) равна:
/ = - = & Г 67Z - R ’
93
Вычисления:
I — 1,1В _ 5 5 а 1,1В/0,5А - 20м
Ответ: I = 5,5 А.
813. При подключении к батарее гальванических элементов резистора сопротивлением 16 Ом сила тока в цепи была 1 А, а при подключении резистора сопротивлением 8 Ом сила тока стала 1,8 А. Найти ЭДС и внутреннее сопротивление батареи. При возможности выполните работу экспериментально, используя два резистора, сопротивления которых известны, и амперметр.
Решение. Запишем закон Ома для полной цепи для каждого из сопротивлений:
£ = 7^ + 7^,
£ ~ ^2^2 + ^2Г'
Вычитая из одного уравнения другое, находим внутреннее сопротивление
г =	~ ^2Д2
^2 “ Л
Р _ 7 1^г(^2 ~ ^1) р — -----------.
^2 ~ Л
Вычисления:
— 1 А • 16 Ом - 1,8 А • 80м _ 2 qm
Г	0,8 А
£ = 1 А • 1,8А - (16 - 8)0м = 18 в (1,8 - 1)А
Ответ: £ = 18 В; г = 2 Ом.
94
014. Найти внутреннее сопротивление и ЭДС источника тока, если при силе тока 30 А мощность во внешней цепи равна 180 Вт, а при силе тока 10 А эта мощность равна 100 Вт.
Решение. Решение этой задачи сводится к решению предыдущей, если учесть, что согласно закону Джоуля—Ленца
Rt = Pjfa = 1, 2),
где PL — мощность во внешней цепи. Таким образом,
г= Р1Д1 - P2/I2 ^2 ~ Л
ё = Р1Д1 + /1г.
Вычисления:
г=_ 180Вт/30А - 100 Вт/10 А = л о Ом
20 А	’	’
€ = 180 Вт/30 А + 30 А • 0,2 Ом = 12 В.
Ответ: г = 0,2 Ом; £ = 12 В.
815. Вольтметр, подключенный к зажимам источника тока, показал 6 В. Когда к тем же зажимам подключили резистор, вольтметр стал показывать 3 В. Что покажет вольтметр, если вместо одного подключить два таких же резистора, соединенных последовательно? параллельно?
Решение. При подключении вольтметра непосредственно к источнику тока можно пренебречь током в цепи «источник—вольтметр» (из-за большого сопротивления вольтметра). Следовательно, показания вольтметра в этом случае совпадают с ЭДС £ = 6 В. При подключении резистора закон Ома для полной цепи имеет вид:
а вольтметр показывает напряжение внешней цепи
и, = I.R.
95
Следовательно, отношение внутреннего сопротивления к внешнему равно:
l =	=1
R
а сила тока
1	2R'
При последовательном соединении (R —> 2R)
I 1 = JL
ЗЯ’
а при параллельном (R -> R/2)
3R-
Показания вольтметра при одном внешнем сопротивлении R
при последовательном соединении
[72 = 72 • 27?= у,
а при параллельном и =	= $
2	3’
Вычисления:
и2 = 2 • у = 4 В,
Uо =	= 2 В.
3	3
Ответ: U2 = 4 В; U3 = 2 В.
816. От генератора с ЭДС 40 В и внутренним сопротивлением 0,04 Ом ток поступает по медному кабелю площадью поперечного сечения 170 мм2 к месту электросварки, удаленному от генератора на 50 м. Найти напряжение на зажимах генератора и на сварочном аппарате, если сила тока в цепи равна 200 А. Какова мощность сварочной дуги?
96
Решение. Закон Ома для замкнутой цепи в данном случае имеет вид:
£ = I(r + RK + RJ,	(1)
где & — ЭДС генератора, г — его внутреннее сопротивление,
Як = Рм^	(2)
— сопротивление двух линий медного кабеля, рм — удельное сопротивление меди, I — расстояние от генератора до сварочного аппарата, S — площадь сечения кабеля, 2?д — сопротивление сварочной дуги. Из формул (1) и (2) находим напряжение на зажимах генератора
С7г = /(Як + Яд) = £-/г,	(3)
на сварочном аппарате
С7с =/Яд = [7Г -/рм^	(4)
и мощность сварочной дуги
Рс = IUC.	(5)
Вычисления:
Ur = 40 В - 200 А • 0,04 Ом = 32 В,
_ 22 Н__ 200 А *2’1,7* 10 Ом • м * 50 м _jg
С	17 • 10’5м2
Рс = 200 А • 30 В = 6 • 103 Вт.
Ответ: Ur = 32 В; Uc = 30 В; Рс = 6 кВт.
818. Лампочки, сопротивления которых 3 и 12 Ом, поочередно подключенные к некоторому источнику тока, потребляют одинаковую мощность. Найти внутреннее сопротивление источника и КПД цепи в каждом случае.
4 Решение млач: Физика II кл.
97
Решение. Закон Ома для замкнутой цепи запишем в виде:
^ = /^4-^), £ = /2(г + Я2),
где Rx 2 — сопротивление лампочек. Согласно закону Джоуля—Ленца мощность, потребляемая лампочками, равна:
Р = liR, = I2R2, откуда следует, что
Л = fa
z2
С другой стороны, исключая & из первых двух формул, находим:
Л/^2-1
Таким образом, внутреннее сопротивление равно:
г = R2 ~ *JR1R2
JrJRz -1 ’
КПД цепи определяется формулами:
^ = 7^ = 7ТХ’
Вычисления:
12 0м - 7зОм • 12 0м 74 - 1
Т] = 30^ =330/ 11	9 Ом
П2 = йтг = 67% .
*	18 Ом
Ответ: г = 6 Ом; г)х = 33%; г|2 = 67% .
98
О1». Источник тока с ЭДС 9 В и внутренним сопротивлением 1 Ом питает через реостат три параллельно соединенные лампочки, рассчитанные на напряжение 6,3 В и силу тока 0,3 А. Реостат поставлен в такое положение, что лампочки работают в номинальном режиме. Одна из лампочек перегорела. Во сколько раз изменилась мощность каждой из двух оставшихся лампочек по сравнению с номинальной, если считать, что сопротивление каждой лампочки осталось прежним?
Решение. Согласно закону Ома для замкнутой цепи
где г — внутреннее сопротивление источника тока, 7?л — сопротивление одной лампочки, Яр — сопротивление реостата.
Полная сила тока в цепи в номинальном режиме складывается из трех равных номинальных значений по 0,3 А, т. е. I = 0,9 А. Следовательно, сопротивление реостата равно:
др-/ г зГ,-
где Uл и /л — соответственно номинальное напряжение и сила тока, протекающего через лампочку.
Во втором случае (при одной перегоревшей лампочке)
Г =------£-----.
г + Ял/2 + Яр
Таким образом, новая мощность каждой из лампочек равна:
в то время как номинальная мощность равна:
Рп = ил1л.
99
Вычисления:
я»‘о р, = 6,3 в л 4 • 0,3 А РЛ = 6,ЗВ • Ответ: увеличил;	У1. - 1 ом - £4-? = 2 Ом» ,9 А	0,9 А (	У 		 = 2,33 Ом, Юм +	+ 2 0м k	2 • 0,3 А	7 0,3 А =1,89 Вт,	^-=1,23. “л ась в 1,23 раза.
OZU. Источник тока с внутренним сопротивлением г и ЭДС £ замкнут на три резистора с сопротивлением Зг каждый, соединенные последовательно. Во сколько раз изменится сила тока в цепи, напряжение на зажимах источника и полезная мощность, если резисторы соединить параллельно?
Решение. Закон Ома для последовательного соединения резисторов имеет вид:
£ = Z(r+9r)= lOZr,
а для параллельного соединения £ = Г(г + г) = 2Гг.
Следовательно, отношение силы тока Г к прежнему значению
Г/1= 5.
Напряжение на зажимах источника при последовательном соединении
U = 91 г, а при параллельном
U' = Г г = 51г = 5 U/9.
Полезная мощность при последовательном соединении Р = 129г,
а при параллельном
Р'= (Г)2г = 25I2r = 25Р/9.
Ответ: увеличится в 5 раз; уменьшится в 1,8 раза; увеличится в 2,8 раза.
100
ГЛАВА IX
Магнитное поле
39. Магнитное поле тока. Магнитная индукция. Магнитный поток. Закон Ампера. Сила Лоренца. Магнитные свойства веществ
821  В каком направлении повернется магнитная стрелка в контуре, обтекаемом током, как показано на рисунке 30?
Решение. Силовые линии магнитного поля охватывают ток, причем направление вектора индукции магнитного поля определяется правилом буравчика (правого винта). Во внутренней части контура с током, изображенного на рисунке, силовые линии направлены от наблюдателя за плоскость чертежа. Магнитная стрелка поворачивается так, чтобы ее направление от S к N совпало с направлением силовой линии магнит-
Рис. 30
101
ного поля (направлением вектора индукции магнитного поля). Поэтому полюс N стрелки повернется за плоскость чертежа.
823. Максимальный вращающий момент, действующий на рамку площадью 1 см , находящуюся в магнитном поле, равен 2 мкН • м. Сила тока, текущего в рамке, 0,5 А. Найти индукцию магнитного поля.
Решение. Максимальный вращающий момент действует на рамку с током, когда силовые линии магнитного поля находятся в плоскости рамки. В соответствии с рисунком 31 и законом Ампера получим
^CD = ^АВ =
?вс = Fad =
где I — сила тока, I — длина АВ и CD, В — индукция магнитного поля. Согласно правилу левой руки сила направлена перпендикулярно плоскости чертежа на нас, a FCD — за плоскость чертежа. Силы и FCD образуют пару сил, вращающий момент которой
Lmax = FABd =	или Lmax = ISB’
где S = Id — площадь контура. Тогда
102
Вычисления:
В = 2 • 10 6 Н • м = 0,04 Тл 0,5А • 10’4 м
Ответ: В = 0,04 Тл.
825. Плоская прямоугольная катушка из 200 витков со сторонами 10 и 5 см находится в однородном магнитном поле индукцией 0,05 Тл. Какой максимальный вращающий момент может действовать на катушку в этом поле, если сила тока в катушке 2 А?
Решение. Максимальный вращающий момент, действующий на каждый виток катушки,
где S = ab. Полный максимальный вращающий момент, действующий на катушку, пропорционален числу витков:
Lx = nLmax = nIBab.
Вычисления:
Lv = 200 • 2 А • 0,05 Тл • 0,1 м • 0,05 м = 0,1 Н • м.
Ответ: Lx = 0,1 Н • м.
826. Из проволоки длиной 8 см сделаны контуры: а) квадратный; б) круговой. Найти максимальный вращающий момент, действующий на каждый контур, помещенный в магнитное поле индукцией 0,2 Тл при силе тока в контуре 4 А.
Решение. Максимальный вращающий момент равен:
Z/1 2 =	2^>
где В — индукция магнитного поля, I — сила тока.
103
У квадратного контура периметром I сторона квадра-2	2
та а = Z/4, поэтому площадь контура = а = I /16. Максимальный вращающий момент равен:
В случае кругового контура с током, имеющего периметр Z, его радиус г = -±- , поэтому площадь контура 2 л
2	/2
S2 = яг = —. Максимальный вращающий момент в данном случае
Ь2 = IS2B =	.
z	4л
Вычисления:
9
L, = 4А‘(°'08м) -0.2Тл = 0 32 мН . м;
16
9
Ь2 = 4А • (0’08м) • °’2Тл = 0,41 мН • м.
4 • 3,14
Ответ: Lx = 0,32 мН • м; L2 = 0,41 мН • м.
828. Какой магнитный поток пронизывает плоскую поверхность площадью 50 см2 при индукции поля 0,4 Тл, если эта поверхность: а) перпендикулярна вектору индукции поля; б) расположена под углом 45° к вектору индукции; в) расположена под углом 30° к вектору индукции?
Решение. Используя выражение для потока Ф, находим:
а)	а = 0, Oi = BS = 0,4 Тл • 0,005 м2 = 2 мВб;
б)	а = 45°, Ф2 = BS cos 45° = 2 мВб/ J2 = 1,4 мВб;
в)	а = 90° - 30° = 60°, Фч = BS cos 60° = 1 мВб. '	'о
104
а)
ее.
829. На рисунке 32 представлены различные случаи взаимодействия магнитного поля с током. Сформулировать задачу для каждого из приведенных случаев и решить
Рис. 32
Решение. На проводник с током, помещенный в магнитное поле, действует сила Ампера. Взаимная ориентация векторов магнитной индукции В, силы Ампера F и направления тока I определяется по правилу левой руки. Следующие задачи могут быть поставлены и решены с помощью рисунка.
1.	В каком направлении действует сила Ампера, если направления линий магнитной индукции и тока соответствуют рисунку 32, а—г?
Ответ: а) вверх; б) вправо; в) по нормали к плоскости листа, внутрь; г) влево.
2.	Определить направление тока (рис. 32, д).
Ответ: по нормали к плоскости листа, внутрь.
3.	Определить направление вектораВ (рис. 32, еу ж).
Ответ: е) по нормали к плоскости листа, в сторону наблюдателя; ж) вниз.
4.	Определить силу АмпераВА (рис. 32, з).
Ответ: ВА = 0, так как вектор В направлен в сторону, противоположную направлению тока.
105
OJU. Какова индукция магнитного поля, в котором на проводник с длиной активной части 5 см действует сила 50 мН? Сила тока в проводнике 25 А. Проводник расположен перпендикулярно индукции магнитного поля.
Решение. На прямолинейный проводник длиной L с током I в магнитном поле В по закону Ампера действует сила
FA = ПВ sin Р, где р — угол между направлениями вектора В и тока в проводнике. Тогда
ZZsin 0 ’
Вычисления:
В = 90°; В = —2125Н— = 40 мТл 25А • 0,05м
Ответ: В = 40 мТл.
832.	Сила тока в горизонтально расположенном проводнике длиной 20 см и массой 4 г равна 10 А. Найти индукцию (модуль и направление) магнитного поля, в которое нужно поместить проводник, чтобы сила тяжести уравновесилась силой Ампера.
Решение. Запишем условие равновесия:
Fa + Ft = 0.
Таким образом, сила Ампера ВА и сила тяжести А должны быть равны по модулю и противоположны по направлению. Согласно 24 правилу левой руки, в случае го- X___________
ризонтально расположенного про- С* - * ? водника, сила FA направлена вер-	I
тикально вверх, если вектор В лежит в горизонтальной плоскости Fuc. 33
106
и перпендикулярен направлению тока (рис. 33). Из условия равенства сил по величине следует:
ИВ sin р = mg,
т. е.
В = т?- . ZZsin р
Вычисления:
9
В = 0.004 кг 10 м/с = 20 мТл
10 А • 0,2 м
Ответ: В = 20 мТл, направление вектораВ указано на рисунке.
833.	Проводник ab, длина которого I и масса т, подвешен на тонких проволочках. При прохождении по нему тока I он отклонился в однородном магнитном поле (рис. 34, а) так, что нити образовали угол а с вертикалью. Какова индукция магнитного поля?
Решение. Запишем условие равновесия для сил Ампера ВА, тяжести Вт и реакции F (рис. 34, б):
Fa = F sin a, FT = F cos а.
Рис. 34
107
Исключив силу F из системы уравнений, получим: Fa = FT tg а,
или
ИВ sin р = mg tg а.
Так как р = 90°, то
В = mg tg
834.	В проводнике с длиной активной части-8 см сила тока равна 50 А. Он находится в однородном магнитном поле индукцией 20 мТл. Какую работу совершил источник тока, если проводник переместился на 10 см перпендикулярно линиям индукции?
Решение. Работа источника тока равна работеА силы Ампера по перемещению проводника на расстояниеs:
А = Fas = IlBs sin р.
Вычисления:
А = 50 А • 0,008 м • 20 • 10’3 Тл • 0,1 м = 8 мДж.
Ответ: А = 8 мДж.
836. Если к точкам С n D (рис. 35) тонкого металлического листа, по которому проходит электрический ток, подключить чувствительный гальванометр, то в случае наличия магнитного поля (направление линий магнитной индукции показано на рисунке) он покажет возникновение разности потенциалов. Объяснить причину проявления разности потенциалов между точками С и D. Сравнить потенциалы этих точек.
108
Решение. Ток в металлах обусловлен движением электронов. На заряженные частицы, движущиеся в магнитном поле, действует сила Лоренца, направление которой для отрицательно заряженных частиц определяется по правилу левой руки. Следовательно, электроны будут отклоняться от точки D к точке С, создавая разность потенциалов и уменьшая потенциал точки С.
838. В направлении, перпендикулярном линиям индукции, влетает в магнитное поле электрон со скоростью 10 Мм/с. Найти индукцию поля, если электрон описал в поле окружность радиусом 1 см.
Решение. Электрон движется под действием силы Лоренца Fjj, направление которой для отрицательно заряженных частиц определяется по правилу правой руки (рис. 36). Следовательно, сила перпендикулярна скорости, что приводит к движению электрона по окружности с ускорением v /R. Таким образом,
Fjj = evB = mv2/R,
Вычисления:
В _ 9,1  10-31 кг  101 м/с _ 5>7 мТл.
1,6 • 10 Кл • 10 м
Ответ: В = 5,7 мТл.
839. Протон в магнитном поле индукцией 0,01 Тл описал окружность радиусом 10 см. Найти скорость протона.
Решение. Как следует из решения предыдущей задачи,
т
109
Вычисления:
„ _ 1,6 • 10 19 Кл • 10 2 Тл • 0,1 м _
V = —---------------—------------ = 9о км/с,
1,67 • 10 кг
Ответ: v = 96 км/с.
очи. В однородное магнитное поле индукцией В == 10 мТл перпендикулярно линиям индукции влетает электрон с кинетической энергией WK = 30 кэВ. Каков радиус кривизны траектории движения электрона в поле?
Решение. Кинетическая энергия
2
w = — к 2
следовательно,
Подставляя это выражение в формулу для скорости из задачи 839, получаем:
(2WKm)1/2
еВ
Вычисления:
R = 7г • 30 • 1,6 • 10~16 Дж • 9,1 • 10~31 кг = 5 8 см
1,6 • ю"19 Кл  0,01 Тл
Ответ: R = 5,8 см.
841  Протон и а-частица1 влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Сравнить радиусы окружностей, которые описывают частицы, если у них одинаковы: а) скорости; б) энергии.
1 Заряд а-частицы в 2 раза больше заряда протона, а масса а-частицы в 4 раза больше его массы.
110
Решение. Используем выражение для R из задачи 840 и запишем отношение радиусов кривизны траекторий:
Rp К
трУреа = lwpmpea maVaep 4Wamaep ’
а) иа = ир’
Rp = треа = 1
Да таер 4
б) Wp = wa,
?£= ЕЁ
Да
5 • 2-!'
• 2 =
1 .
2 ’
Ответ: a) Ra = 2Rp; б) Ra = Rp.
Электрон движется в однородном магнитном поле индукцией В = 4 мТл. Найти период Т обращения электрона.
Решение. Период обращения электрона, движущегося по окружности под действием силы Лоренца, связан с угловой скоростью со выражением
Т = 2л/со.
Учитывая, что линейная скорость
v = соЯ
или
и=е-™, m
получаем выражение
гр _ 2 пт еВ ’
Вычисления:
Т _ 2  3,14  9.1  10-” к, _ g g нс
1,6 • 10 Кл • 4 • 10 Тл
Ответ: Т = 8,9 нс.
111
843. Линии напряженности однородного электрического поля и линии индукции однородного магнитного поля взаимно перпендикулярны. Напряженность электрического поля 1 кВ/м, а индукция магнитного поля 1 мТл. Какими должны быть направление и модуль скорости электрона, чтобы его движение было прямолинейным?
Решение. На рисунке 37 изображены силы, действующие на электрон. В электрическом поле Е действует сила
Fe = еЕ,
в магнитном —
Fjj = evB sin р,
направление которой определяется по рис 37 правилу правой руки.
Электрон движется прямолинейно и равномерно, если сумма всех действующих сил равна нулю. Поэтому вектор и должен лежать в плоскости, перпендикулярной вектору Е. Тогда
еЕ = evB sin р,
откуда
Bsin р ’
Вычисления:
р = 90°, v = ^--?/м = 1000 км/с. 10 Тл
Ответ: и = 1000 км/с.
844. в
масс-спектрографе (рис. 38) заряженные частицы
ускоряются на участке KL электрическим полем и, попав в магнитное поле индукцией В, описывают окружность радиусом R. Вывести формулу для расчета удельного заряда частицы q/m, если ускоряющее напряжение равно U. Начальную скорость частицы считать равной нулю.
112
в
Рис. 38
Решение. Найдем скорость, до которой частица разгоняется на участке KL. Двигаясь между точками К и L с разностью потенциалов U, частица приобретает кинетическую энергию
2
следовательно,
V- 1^. N т
При движении по окружности в магнитном поле скорость
и=2^. т
Приравнивая правые части двух последних выражений, получаем:
q_ = 2и
т r2b2 '
846. По графику (рис. 39) определить магнитную проницаемость стали при индукции Во намагничивающего поля 0,4 мТл и 1,2 мТл.
Решение. Магнитная проницаемость ц = B/Bq.
113
Вычисления:
из графиков находим:
цс = 0,8 Тл/0,4 мТл = 2000;
цч = 1,2 Тл/1,2 мТл = 1000.
Ответ: цс - 2000; цч = 1000.
Во сколько раз изменится магнитный поток, если чугунный сердечник в соленоиде заменить стальным таких же размеров? Индукция намагничивающего поля Во = 2,2 мТл. Использовать рисунок 39.
Решение. Магнитный поток Ф индукции поля В
Ф = BS cos a.	(1)
Если заменить чугунный сердечник стальным таких же размеров, то отношение потоков будет равно отношению индукций поля в соленоидах со стальным и чугунным сердечниками:
фс/фч = вс/вч.
Из графика найдем отношение индукций поля при Во = 2,2 мТл:
Вс/Вч = 1,4 Тл/0,8 Тл = 1,75.
Ответ: Фс/Фч = 1,75.
114
848. Внутри соленоида без сердечника индукция поля Во = 2 мТл. Каким станет магнитный поток, если в соленоид ввести чугунный сердечник площадью поперечного сечения 100 см2? Использовать рисунок 39.
Решение. Магнитный поток равен: Ф = BS,
где В = цВ0 находится из графика: В = 0,8 Тл.
Вычисления:
Ф = 0,8 Тл • 0,01 м2 = 8 мВб.
Ответ: Ф = 8 мВб.
ГЛАВА X
Электрический ток в различных средах
40. Электрический ток в металлах, полупроводниках, вакууме
849. Сила тока в лампочке карманного фонаря 0,32 А. Сколько электронов проходит через поперечное сечение нити накала за 0,1 с?
Решение. Полный заряд, проходящий сквозь поперечное сечение проводника с током I за время t, равен It. Зная заряд е электрона, нетрудно найти число электронов, проходящих за время t:
N= е
Вычисления:
N__ 0,32 А • 0,1 с _. 10^7
1,6 • 10’19Кл
Ответ: N = 2 • 1017.
850. Найти скорость упорядоченного движения электронов в г 2
проводе площадью поперечного сечения 5 мм при силе тока
-28	-3
10 А, если концентрация электронов проводимости 5-10 м .
Решение. Количество электронов, проходящих сквозь поперечное сечение S проводника, сила тока в котором I за время t при концентрации п электронов, определяется следующим образом:
N = nvtS,
116
где и — скорость электронов. С другой стороны, если заряд электронов е, то
1= I = t t
Из этих двух выражений следует, что
I = nvSe, откуда
V nSe ’
Вычисления:
и= = 5 • 1028 м 3 • 5 • 10 6 м2 • 1,6 • 10 19 Кл
= 0,25 мм/с.
Ответ: и = 0,25 мм/с.
851 • Через два медных проводника, соединенных последовательно, проходит ток. Сравнить скорость упорядоченного движения электронов, если диаметр второго проводника в 2 раза меньше, чем первого.
Решение. Силы токов и Z2, протекающих в обоих проводниках, равны друг другу, так как проводники соединены последовательно. Воспользовавшись выражением для силы тока I = nvSe из предыдущей задачи, получим:
nUjSje = nv2S2e,
где S = jiZ)2/4 — площадь поперечного сечения проводника, поэтому
^ = £? = 4.
V2 D\
Ответ: vx/v2 = 4.
117
852.	Найти скорость упорядоченного движения электронов и в стальном проводнике, концентрация электронов проводимости в котором п = 1028 м 3 при напряженности поля Е = 96 мВ/м.
Решение. Запишем закон Ома в форме, связывающей плотность тока j с напряженностью поля Е:
j = Е/р, где р — удельное сопротивление. Используя выражение
j = пие, получаем:
пер
Вычисления:
v = 0,096 В/м = оя ~3	— 1 Q	_й
10 м • 1,6 • 10 Кл • 12 • 10 Ом • м
= 0,5 мм/с.
Ответ: v = 0,5 мм/с.
853.	Найти скорость упорядоченного движения электронов в медном проводе площадью поперечного сечения 25 мм2 при силе тока 50 А, считая, что на каждый атом приходится один электрон проводимости.
Решение. Воспользуемся выражением для скорости v электронов, полученным в задаче 850:
Концентрация п электронов равна концентрации атомов меди, так как на каждый атом приходится один электрон, поэтому п = р/т, где р = 8,9 • 103 кг/м3 — плотность меди, т = 10,6 • 10-26кг— масса атома меди.
118
Вычисления:
п = 8,4 • 1028 м 3,
и=50А = 8,4 • 1(Г8 м • 25 • 1О’Ь м • 1,6 • 10 1У Кл
= 0,15 мм/с.
Ответ: и = 0,15 мм/с.
854.	При какой температуре сопротивление серебряного проводника станет в 2 раза больше, чем при 0 °C?
Решение. Сопротивление проводника R = Ло(1 4- аО, где Rq — сопротивление при t = 0 °C, а = 0,004 °C”1 — температурный коэффициент сопротивления серебра. По условию задачи
R = 2Я0, следовательно, 2Я0 = 7?0(1 + а0, откуда
t = а-1 =-1---- = 250 °C.
0,004 °C
Ответ: t = 250 °C.
855.	Для определения температурного коэффициента сопротивления меди на катушку медной проволоки подавали одно и то же напряжение. При погружении этой катушки в тающий лед сила тока была 14 мА, а при опускании в кипяток сила тока стала 10 мА. Найти по этим данным температурный коэффициент сопротивления меди.
119
Решение. Так как напряжение U = IR в обоих случаях одинаково, то
= ^2^2-
Подставив в это равенство выражения для сопротивлений RL = Яо(1 + aQ при двух температурах, получим:
+ а^) = /2Я0(1 + а^)’ откуда
/2^2
где tx = О °C, t2 = 100 °C.
Вычисления:
а = 14 мА - 10 мА = 0(004 оС-1 10 мА • 100 °C
Ответ: а = 0,004 К-1.
856.	Почему электрические лампы накаливания чаще всего перегорают в момент включения?
Решение. В момент включения сила тока во много раз больше номинальной, так как сопротивление холодной нити мало.
857.	Почему в момент включения в сеть мощного приемника (например, электрокамина) лампочки в квартире могут на мгновение едва пригаснуть?
Решение. Лампочки освещения и электроприборы обычно подключены параллельно, поэтому при включении электрокамина резко увеличивается сила тока, а следовательно, и падение напряжения в подводящих проводах. В результате падение напряжения в сети освещения уменьшается.
120
858.	На сколько процентов изменится мощность, потребляемая электромагнитом, обмотка которого выполнена из медной проволоки, при изменении температуры от 0 до 30 °C?
Решение. Потребляемая мощность и2
Учитывая зависимость сопротивления от температуры, определим, на сколько процентов изменится потребляемая мощность при изменении температуры oTtx до t2:
~ р2 = (1 _ 11 ,(11 = Д2 ~ Ri
Р. ^1 VW *2	’
^ = Я0(1 + aQ.
Из этих двух выражений следует, что
Pi - Р2 _ а(^2 “ Ч) Pi 1 + а£2
Вычисления:
Р1 ~ р2 = 0,004°С1(30°C - 0 °C) = 11О/о
Р1 1 + 0,004 °C’1 • 30 °C
Ответ: 1	2 = 11%.
Р1
859.	На баллоне электрической лампы написано 220 В, 100 Вт. Для измерения сопротивления нити накала в холодном состоянии на лампу подали напряжение 2 В, при этом сила тока была 54 мА. Найти приблизительно температуру накала вольфрамовой нити.
Решение. На баллоне электрической лампы указывается рассеиваемая мощность Р переменного тока. Следовательно, сопротивление горящей лампы
121
где U = 220 В — эффективное значение напряжения. При малом напряжении 1/х = 2 В лампа не нагревается, поэтому сопротивление
можно считать равным сопротивлению спирали при комнатной температуре = 20 °C):
= *od + a^i) = ~ •
Сопротивление горящей лампы запишем в виде
Л0(1 + аМ=^,
где t — температура нагретой спирали. Тогда
t = (1 + аЧ){72/г _ 1 ихРа а’
для вольфрама а = 0,0048 °C-1.
Вычисления:
t = (1 + 0,0048 °C1 • 20°С)(220В)2 • 0,054 А _ 2В • 100 Вт • 0,0048 °C’1
- ----1------ = 2800 °C.
0,00483 °C
Ответ: t = 2800 °C.
860.	Найти удельное сопротивление стали при 50 °C.
Решение. Воспользуемся выражением зависимости удельного сопротивления р от температуры t
р = р0(1 + at).
122
Если известно рх при некоторой температуре tr
Pl =Ро(1 + aZl)’
то из этих двух уравнений получим
= рх(1 + at)
Р 1 + atj
где рх = 12 • 10~8 Ом • м, a = 0,006 °C”1.
Вычисления:
„	19	« 1 + 0,006 °C'1 • 50 °C _
р = 12 • 10 Ом • м -------------—------ —
1 + 0,006 °C • 20 °C
= 1,4 • 10~7 Ом • м.
Ответ: р = 1,4 • 10 Ом • м.
861.	Концентрация электронов проводимости в германии при комнатной температуре и = 3 • 1019 м 3. Какую часть составляет число электронов проводимости от общего числа атомов?
Решение. Концентрация атомов в германии
а пга М ’
где р — плотность германия, Nк — постоянная Аво-гадро, М — молярная масса вещества.
Вычисления:
с . 1Гкз з	23	-1
5,4 ♦ 10 кг/м *6-10 моль
0,0726 кг/моль
1 л 28	~3
10 м
п = 3 • ю19 м 3 = 6 7 . 10-Ю па 4,5 • 1028 м~3
Ответ: — =6,7 • 10’10.
Па
123
OOd. Для получения примесной проводимости нужного типа в полупроводниковой технике часто применяют фосфор, галлий, мышьяк, индий, сурьму. Какие из этих элементов можно ввести в качестве примеси в германий, чтобы получить электронную проводимость?
Решение. Валентность германия равна 4, следовательно, для получения примесной электронной проводимости в германий необходимо добавить в качестве примеси элементы с валентностью 5. Среди перечисленных в условии задачи это фосфор, мышьяк, сурьма.
864. К концам цепи, состоящей из последовательно включенных термистора и резистора сопротивлением 1 кОм, подано напряжение 20 В. При комнатной температуре сила тока в цепи была 5 мА. Когда термистор опустили в горячую воду, сила тока в цепи стала 10 мА. Во сколько раз изменилось в результате нагрева сопротивление термистора?
Решение. Сопротивление цепи, состоящей из последовательно включенного термистора сопротивлением/^ и резистора Яо, есть
Я = Ят + Rq.
Сила тока в цепи при начальной температуре равна:
1 ЯТ1 + «о
а после нагревания
= и .
Д2 RT2 + Др
Из последних двух уравнений получим:
дт2 =	- ^До)
ДТ1 I2(U - 1^0)'
124
Вычисления:
Rt2 = 5 • 10~3 А(20В - 0,001 А • 1Q3 Ом) = 1
Дт1 10’2А(20В - 0,005 А • 103 Ом) 3
Ответ: сопротивление термистора уменьшилось в 3 раза.
865. На рисунке 40 приведены графики зависимости силы тока, идущего через фоторезистор, от приложенного напряжения. Какой график относится к освещенному фоторезистору и какой к находящемуся в темноте? Применим ли закон Ома к данному фоторезистору и при каких условиях? Во сколько раз сопротивление освещенного фоторезистора меньше затемненного?
Решение. Концентрация п носителей заряда в зоне проводимости в фоторезисторе увеличивается с увеличением его освещенности. Чем больше освещенность, тем больше сила тока
I = nevS
Рис. 40
при одном и том же приложенном напряжении. Следовательно, график 2 на рисунке соответствует освещенному фоторезистору.
Закон Ома справедлив, если концентрация носителей постоянна, поэтому он применим к фоторезистору, находящемуся в условиях постоянного освещения.
Из графика определяем отношение сопротивлений освещенного R2 и затемненного Rx резисторов:
r2 _ U/I2 _ Л _ 1
Rx U/Ix 12	3 ’
Ответ: график 2 относится к освещенному фоторезистору; закон Ома применим только при постоянном освещении; сопротивление освещенного фоторезистора меньше в 3 раза.
125
ООО. Фоторезистор, который в темноте имеет сопротивление 25 кОм, включили последовательно с резистором сопротивлением 5 кОм. Когда фоторезистор осветили, сила тока в цепи (при том же направлении) увеличилась в 4 раза. Каким стало сопротивление фоторезистора?
Решение. Из закона Ома следует выражение для токов в случае освещенного и затемненного 12 фоторезисторов:
Л = —u—,i2=_
Rx + Яо R2 + Яо
где 7?0 — сопротивление резистора. Поэтому
£1 _ ^2 + Д0 ^2	-^1 + ^0
= (R2 +	~ *о-
Вычисления:
R, = (25 • 103 Ом + 5 • 103 Ом)| - 5 • 103 Ом = 2,5 кОм.
1	4
Ответ: Rr = 2,5 кОм.
868. В усилителе, собранном на транзисторе по схеме с общей базой, сила тока в цепи эмиттера равна 12 мА, в цепи базы 600 мкА. Найти силу тока в цепи коллектора.
Решение. В усилителе, собранном на транзисторе по схеме с общей базой, справедливо следующее соотношение между токами базы /б, коллектора 1К и эмиттера 1Э:
Следовательно,
ZK = /э ‘ Л> = 12 мА " °’6 мА = п’4 мА-
Ответ: 1К = 11,4 мА.
126
870. Скорость электрона при выходе с поверхности катода, покрытого оксидом бария, уменьшилась в 2 раза. Найти скорость электрона до и после выхода из катода.
Решение. Из закона сохранения энергии следует
^2 = ^1 ~
где Ег и Е2 — кинетическая энергия электрона соответственно до и после выхода из катода, Е — работа выхода электрона. Выразим кинетическую энергию через скорость:
2
2
— ~Е
Так как = 2р2, то
2
2
2 л mv9 „ = 4^-Е, &
тогда
где £= 1,6 • 10’19Дж.
Вычисления:
= /2 • 1,6 • IO'19 Дж = 340 км/с О • 9,1 • 10’31 кг
I?! = 680 км/с.
Ответ: v2 = 340 км/с, = 680 км/с.
871 \ В диоде электрон подходит к аноду со скоростью
8 Мм/с. Найти анодное напряжение.
1 В этой и последующих задачах данного параграфа, если нет специальных оговорок, считать, что начальная скорость электрона равна 0.
127
Решение. Кинетическая энергия электрона ти2/2 равна энергии, которую он приобретает, двигаясь в электрическом поле между катодом и анодом. Пусть анодное напряжение U, тогда
2 = -eU, 2 2 тт _ _ mu ~2е~ ’
Вычисления:
и = 9-1 • 10~31 кг • (8 • ю6 м/с)2 = 180 в
2 • 1,6 • 10~19 Кл
Ответ: U = 180 В.
872.	В телевизионном кинескопе ускоряющее анодное напряжение равно 16 кВ, а расстояние от анода до экрана составляет 30 см. За какое время электроны проходят это расстояние?
Решение. Будем считать электрическое поле между анодом и катодом однородным, тогда
Е = -17/L,
где U — анодное напряжение, L — расстояние между анодом и катодом.
На электрон в поле Е действует сила
F = eE = -e-^,
JU
под действием которой он приобретает ускорение
„ _ _eU & г ’ Lm
где е = -е0; е < 0 — заряд электрона.
128
За время t электрон проходит расстояние
т = а^2
2
Тогда
Вычисления:
f - п Q	2 • 9,1 • 10 31 кг _ О „„
t — и,о м /---------—----------------— = о нс.
'VI,6 • 10 Кл • 16 • 103 В
Ответ: t = 8 нс.
873.	Расстояние между катодом и анодом диода равно 1 см. Сколько времени движется электрон от катода к аноду при анодном напряжении 440 В? Движение считать равноускоренным.
Решение. Воспользуемся решением предыдущей задачи:
Вычисления:
t = 0,01 м L	*£_ =1,6 нс.
11,6 • 10 Кл • 440 В
Ответ: t = 1,6 нс.
874.	В электронно-лучевой трубке поток электронов с кинетической энергией WK = 8 кэВ движется между пластинами плоского конденсатора длиной х = 4 см. Расстояние между пластинами d = 2 см. Какое напряжение надо подать на пластины конденсатора, чтобы смещение электронного пучка на выходе из конденсатора оказалось равным у = 0,8 см?
129
Решение. Скорость электронов вдоль пластин конденсатора постоянна и равна:
х N т
следовательно, электрон находится в конденсаторе время
t = — = х . их у 2W
С другой стороны, электрон одновременно движется в электрическом поле Е перпендикулярно пластинам конденсатора под действием силы
F = еЕ = -
eU d ’
где U — напряжение между пластинами конденсатора. Ускорение электрона равно:
„ eU а = —. dm
поэтому за время t в направлении, перпендикулярном пластинам конденсатора, он проходит расстояние
Тогда
и== 4dyW 2 *
ex
Вычисления:
у = 4 • 0,02 м • 0,008 м • 8 • 103 • 1,6 • 10~19 Дж
_1О	-4	2
1,6 • 10 Кл • 16 • 10 м
= 3,2 кВ.
Ответ: U = 3,2 кВ.
130
875.	В электронно-лучевой трубке поток электронов ускоряется полем с разностью потенциалов U = 5 кВ и попадает в пространство между вертикально отклоняющими пластинами длиной х = 5 см, напряженность поля между которыми Е = 40 кВ/м. Найти вертикальное смещение у луча на выходе из пространства между пластинами.
Решение. Кинетическая энергия, приобретаемая электроном в поле с разностью потенциалов U, равна: 2
= ~eU.
Следовательно, вдоль пластин он движется с постоянной скоростью
и= рёи Ч т
и проходит расстояние х за время
t = £ =х &
V heU'
Одновременно он движется в поле Е под действием силы еЕ с ускорением
„ еЕ
а = —, т
поэтому в вертикальном направлении смещение за время t есть
Тогда
Знак «-» указывает, что смещение происходит в сторону, противоположную направлению вектора Е поля.
Вычисления:
у = _(0.05м)2-40-103 В/м = _0>5 см
4  5 • 103 В
Ответ: у = -0,5 см.
131
41. Электрический ток в растворах и расплавах электролитов. Электрический ток в газах
877. Электрический ток пропускают через электролитическую ванну, наполненную раствором медного купороса. Угольные электроды погружены в раствор приблизительно на половину своей длины. Как изменится масса меди, выделяющейся на катоде за один и тот же небольшой промежуток времени, если: а) заменить угольный анод медным такой же формы и объема; б) заменить угольный катод медным; в) увеличить напряжение на электродах; г) долить электролит той же концентрации; д) увеличить концентрацию раствора; е) сблизить электроды; ж) уменьшить погруженную часть анода; з) уменьшить погруженную часть катода; и) нагреть раствор электролита? При возможности проверьте сделанные выводы на опыте (о массе выделяющейся меди можно судить по показаниям амперметра).
Решение. Плотность тока в электролитической ванне определяется следующим выражением:
j = n+v+q + n_v_q,	(1)
где n+, v+ — концентрация и скорость упорядоченного движения положительных ионов, q — заряд ионов, где п_, и_ — концентрация и скорость упорядоченного движения отрицательных ионов.
Согласно первому закону Фарадея, масса вещества, выделившегося на электроде при электролизе, пропорциональна заряду Q, прошедшему через электролит:
т = /?Q,	(2)
где k — электрохимический эквивалент вещества.
а), б) Масса т не зависит от материала электродов, поэтому замена угольных электродов медными не изменит т.
132
в), е) При увеличении напряжения на электродах или их сближении плотность тока j возрастает из-за увеличения напряженности электрического поля, следовательно, т увеличивается.
г) Если долить электролит той же концентрации, то повысится уровень электролита, увеличатся площади погруженных частей электродов, возрастет сила тока и, как следствие, увеличатся заряд Q и масса т.
д), и) При увеличении концентрации раствора или его нагревании возрастает концентрация ионов п+ и п_, что согласно (1) и (2) ведет к увеличениюу, Q и т.
ж), з) Если уменьшить погруженную часть электродов, уменьшится площадь поверхности, через которую протекает ток, поэтому уменьшится сила тока и, следовательно, уменьшатся Q и т.
878. Две одинаковые электролитические ванны (А и В) наполнены раствором медного купороса. Концентрация раствора в ванне А больше, чем в ванне В. В какой из ванн выделится больше меди, если их соединить последовательно? параллельно?
Решение. Если ванны А и В соединены последовательно, то сила тока I в обеих ваннах одинакова и, следовательно, через электролиты за время t проходит одинаковый заряд Q = It. Согласно закону Фарадея, количество меди в обеих ваннах выделится одинаковое. Если ванны А и В соединены параллельно, то сила тока и, следовательно, количество выделяемой меди будет больше в ванне А. Действительно, геометрические параметры обеих ванн одинаковы, тогда сила тока определяется исключительно плотностью тока. Последняя больше в ванне А, так как там больше концентрация ионов, а приложенное к электродам обеих ванн напряжение одинаково.
133
880. При проведении опыта по определению электрохимического эквивалента меди были получены следующие данные: время прохождения тока 20 мин, сила тока 0,5 А, масса катода до опыта 70,4 г, масса после опыта 70,58 г. Какое значение электрохимического эквивалента меди было получено по этим данным?
Решение. По закону Фарадея (см. задачу 877)
k= Q
Количество электричества
Q = It, следовательно,
I, _ т
k-Q-
Вычисления:
т = 70,58 г - 70,4 г = 0,18 г;
Q = 0,5A • 1200с = 600Кл;
k =	= 0.3 мг/Кл.
600 Кл	'
Ответ: k = 0,3 мг/Кл.
ОО I. Последовательно с электролитической ванной, заполненной солью никеля, включена ванна, в которой находится соль хрома. После размыкания цепи в первой ванне выделилось 10 г никеля. Сколько хрома выделилось во второй ванне?
Решение. Сила тока, протекающего по обеим ваннам, одинакова, тогда по закону Фарадея
= mCr
^Ni ^Cr
„	- kCr
^Cr Т------*
134
Вычисления:
_ 0,18 мг/Кл
Сг 0,3 мг/Кл
10 г = 6 г.
Ответ: тСг = 6 г.
882.
Найти электрохимические эквиваленты двух- и трех
валентного кобальта.
Решение. Согласно второму закону Фарадея, электрохимический эквивалент
где F = 9,65 • 104 Кл/моль — постоянная Фарадея, М = 58,9 г/моль — молярная масса металла, Z — его валентность.
Вычисления:
kr = ----58.9 г/моль---- = 30б мг/Кл;
9,65 • 10 Кл/моль • 2
k2 = ----58,9 г/моль---- = 204 мг/Кл
9,65 • 10 Кл/моль • 3
Ответ: = 306 мг/Кл; k2 = 204 мг/Кл.
883.
Зная электрохимический эквивалент серебра, вычис
лить электрохимический эквивалент золота.
Решение. Из формулы k = следует, что FZ
^Au ^Ag
^Ag^Ay ^Au^Ag
Вычисления:
*Аи = 1,12 мг/Кл = 2,04 мг/Кл.
Ответ: йАи = 2,04 мг/Кл.
135
885.	Какое количество вещества осядет на катоде из соли любого двухвалентного металла за 40 мин при силе тока 4 А? Проверьте решение на примере меди, электрохимический эквивалент которой найдите в таблице.
Решение. По закону Фарадея масса вещества, выделившегося при электролизе, равна:
____ 1_ Тл. _ М11 тп = кН = ——.
FZ
Количество вещества с молярной массойМ равно:
v = —.
М
Подставляя второе равенство в первое, получаем количество вещества, осевшего на катоде:
v= "
г Z
Вычисления:
____---------4 А • 2400 с	л глг _<ЛЛТТТ v = 	-- = 0,05 моль.
9,65 • 10 Кл/моль • 2
Ответ: v = 0,05 моль.
886.	При электролитическом способе получения алюминия используются ванны, работающие под напряжением 5 В при силе тока 40 кА. Сколько требуется времени для получения 1 т алюминия и каков при этом расход энергии?
Решение. По закону Фарадея
. _ m kl ‘
Расход энергии при мощности Р = IU равен:
Е = Pt = IUt.
Вычисления:
103 кг
= 3,1 сут,
* =	6---------------3
0,093 • 10 кг/Кл • 40 • 10 А
Е = 40 • 103 А • 5 В • 74,4 ч = 15 МВт • ч.
Ответ: t = 3,1 сут; Е = 15 МВт • ч.
136
887.	Сравнить затраты электроэнергии на получение электролитическим путем одинаковых масс алюминия и меди, если по нормам напряжение на ванне при получении алюминия в 14 раз больше, чем при рафинировании меди.
Решение. Как показано в решении задачи 886, затраченная энергия
с —	__ IUт _ Um
E-pt~—i----г
следовательно, отношение затрат энергии по производству одинаковых масс алюминия и меди можно записать в виде:
£А1 = £а1 feCu
£Си ^Си ЛА1
Вычисления:
ДА1 £Си
= 14 • 2133. = 50 0,093
Ответ: ЕА1 = 50ЕСи.
889. Сколько электроэнергии надо затратить для получения 2,5 л водорода при температуре 25 °C и давлении 100 кПа, если электролиз ведется при напряжении 5 В и КПД установки 75% ?
Решение. Как следует из закона Менделеева—Клапейрона, масса водорода
т = р™ RT
где р — давление, V — объем, М — молярная масса, R— молярная газовая постоянная, Т— абсолютная температура. Затраченная энергия (см. задачу 887) с учетом КПД равна:
Е = Uш = pVMU Лт] RTkv\
137
Вычисления:
Е= 100 • 103 Па • 2,5 • 10'3 м3 • 2 • 10~3 кг/моль • 5 В = 8,3 ДжДмоль • К) • 298 К • 0,01 • 10"6 кг/Кл • 0,75
= 0,13 МДж.
Ответ: Е = 0,13 МДж.
890. Деталь надо покрыть слоем хрома толщиной 50 мкм. Сколько времени потребуется для покрытия, если норма плотности тока1 при хромировании 2 кА/м2?
Решение. По закону Фарадея
t= kjS
Здесь т = pSh, где р — плотность хрома, S — площадь поверхности детали, h — толщина слоя хрома. Следовательно,
t = kj ‘
Вычисления:
3	3	-6
t = .L.2. :J0.Kr/M . :,50;.10 м = 16>7 мин
0,18 • 10 кг/Кл • 2000 А/м
Ответ: t = 16,7 мин.
891  В технических справочниках по применению гальваностегии приводится величина h/jt, характеризующая скорость роста толщины h покрытия при единичной плотности тока Доказать, что эта величина равна отношению электрохимического эквивалента k данного металла к его плотности р.
Решение. Как следует из предыдущей задачи, h = k jt р *
1 Плотность тока j выражается отношением силы тока I
к площади S поперечного сечения проводника: j = I/S.
138
Используя решение предыдущей задачи, рассчитать толщину слоя, осевшего на изделие за 1 ч, при лужении (покрытие оловом) и серебрении, если при лужении применяется 2	2
плотность тока 1 А/дм , а при серебрении — 0,5 А/дм .
Решение. Толщина слоя, осевшего на изделие, h = i^.
р
Вычисления:
при лужении
.	100 А/м2 • 3600 с • 0,62 • 10’6 кг/Кл
= ------------------------------— = 32 мкм;
1	з з	’
7,3 • 10 кг/м
при серебрении
л2 = 50А^!..- 3600 с • 1,12 W.1 кг/Кл = 1Q MRM 10,5 • 103 кг/м
Ответ: = 32 мкм; й2 = 19 мкм.
893. Какова сила тока насыщения при несамостоятельном газовом разряде, если ионизатор образует ежесекундно 109 пар ионов в одном кубическом сантиметре, площадь каждого из двух плоских параллельных электродов 100 см2 и расстояние между ними 5 см?
Решение. Электрический ток I при несамостоятельном газовом разряде является насыщенным, если он обусловлен полными зарядами, образовавшимися в газе за время t:
1+ = 0- , Г =	, I = 1+ + г,
t	t
где Q и Q — величина положительного и отрицательного заряда ионов, образовавшихся за время t, I и I — сила тока, обусловленного движением положительных и отрицательных зарядов соответственно.
139
По условию задачи
-Q = Q+ = 2neSd, где п — плотность пар ионов, е — заряд иона, S — площадь пластины электрода, d — расстояние между пластинами. Тогда
= I~ = neSd t ’
= 2neSd t
Вычисления:
J = 2 * IQ9 CM * 1,6 * 10 19 Кл • 100 см2 • 5 cm _ 1 c
= 160 нА.
Ответ: Z = 160 нА.
894. При какой напряженности поля начнется самостоятельный разряд в водороде, если энергия ионизации молекул равна 2,5 • 10~18 Дж, а средняя длина свободного пробега 5 мкм? Какую скорость имеют электроны при ударе о молекулу?
Решение. Самостоятельный разряд в водороде начнется, если энергия Е, приобретенная электроном в поле на длине свободного пробега L, равна энергии ионизации W:
eEL = W, тогда
Скорость и электрона при ионизации атомов определяется из условия равенства W и кинетической энергии:
и= 1^.
Ч т
140
Вычисления:
Е =---------2’5,' 10 18 Дж—т— =3,1 МВ/м;
1,6 • 10 Кл • 5 • 10 м
„ - I2  2-5  ™'а'‘ Д» . 2300 км/с.
Ч 9,1 • 10 кг
Ответ: Е = 3,1 МВ/м; и == 2300 км/с.
896.	Плоский конденсатор подключен к источнику напряжением 6 кВ. При каком расстоянии между пластинами произойдет пробой, если ударная ионизация воздуха начинается при напряженности поля 3 МВ/м2?
Решение. Пробой воздуха произойдет, если напряженность Е = U/d поля в конденсаторе будет равна напряженности ЕИ поля, при которой возникает ударная ионизация воздуха:
Е = ", и d ’
поэтому
Вычисления:
3 • 10 В/м
Ответ: d = 2 мм.
897.	Если, не изменяя расстояния между разрядниками электрофорной машины и поддерживая примерно постоянную частоту вращения, отключить при помощи соединительного стержня конденсаторы (лейденские банки), то характер разряда существенно изменится: вместо мощной искры, проскаки вающей через заметные промежутки времени, будет очень час то проскакивать слабая искра. Объясните причину явления При возможности проверьте на опыте.
141
Решение. Как следует из решения предыдущей задачи, пробой воздуха происходит, если напряженность поля между разрядниками достигает порогового значения Еи, т. е. при определенной разности потенциалов £7И. Если отключить конденсаторы, то емкость С электрофорной машины существенно уменьшится, и критическое напряжение С7И достигается при гораздо меньшем значении накопленного на разрядниках заряда Q = CUK. Поэтому пробой происходит чаще, а протекающий ток будет меньше (часто проскакивает слабая искра).
898.	Молния представляет собой прерывистый разряд, состоящий из отдельных импульсов длительностью примерно 1 мс. Заряд, проходящий по каналу молнии за один импульс, равен 20 Кл, а среднее напряжение на концах канала равно 2 ГВ. Какова сила тока и мощность одного импульса? Какая энергия выделяется при вспышке молнии, если она состоит из 5 разрядов?
Решение. Сила тока в импульсе равна:
/= 2.
t
Мощность
P = IU.
Энергия, выделяемая при вспышке молнии,
W = 5Pt.
Вычисления:
I =	= 20 кА;
10 с
Р = 20 кА • 2 • 109 В = 40 ТВт;
W = 5 • 40 • 1012 Вт • 10’3 с = 200 ГДж.
Ответ: I = 20 кА; Р = 40 ТВт; W = 200 ГДж.
142
899.	При перенапряжении между рогами разрядника (рис. 41) возникает плазменная дуга. Почему дуга сначала возникает внизу, а затем перемещается вверх и гаснет?
Решение. Внизу меньше расстояние между рогами разрядника, поэтому напряженность поля больше, и раньше появляются частицы с кинетической энергией, равной энергии ионизации. Следовательно, дуга возникает внизу, а затем нагретая плазма поднимается вверх за счет конвекции.
900.	Концентрация ионизованных молекул воздуха при нормальных условиях была равна 2,7 • 1022 м~3. Сколько процентов молекул ионизовано? Какова степень ионизации плазмы?
Решение. Концентрация молекул газа при нормаль
ных условиях равна:
п~ —
м
где NА — постоянная Авогадро, VM — молярный
объем.
Вычисления:
6 ♦ 1023 моль 1 22,4 • 10'3 м3
= 2,7 • 1025 м 3.
143
Следовательно, ионизовано молекул
22
п. = 2’7-1022 м. =0ДО/о
л° 2,7 • 1025 м 3
Такая плазма называется слабо ионизованной.
Ответ: ионизовано 0,1% молекул, степень ионизации слабая.
901  При какой температуре Т в воздухе будет полностью ионизованная плазма? Энергия ионизации молекул азота W = 2,5 • 10 18 Дж. Энергия ионизации кислорода меньше.
Решение. Плазма называется полностью ионизованной, если ионизованы все молекулы. Для этого кинетическая энергия молекулы при температуре Т на быть равна максимальной энергии ионизации W:
lkT = W,
2
т_ 2W 3k ‘
Вычисления:
гр _ 2 • 2,5 * 10 Дж =12* 105 К 3 • 1,4 • 10’23 Дж/К
Ответ: Т= 1,2 • 105 К.
ГЛАВА XI
Электромагнитная индукция
42. Электромагнитная индукция. ЭДС индукции. Самоиндукция. Индуктивность.
Энергия магнитного поля тока
902. На рисунке 42 приведены различные случаи электромагнитной индукции. Сформулировать и решить задачу для каждого случая.
Рис. 42, а
Проводник, движущийся со скоростью 5, является частью замкнутого контура. Определить направление тока, индуцируемого в проводнике.
Ответ: для определения направления индуцированного тока можно использовать правило правой
Рис. 42
145
руки: если правую руку расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, а отогнутый большой палец показывал направление движения проводника, то четыре вытянутых пальца покажут направление индукционного тока. Это правило является следствием более общего правила Ленца.
Рис. 42, б
Определить направление движения замкнутого контура, частью которого является проводник, изображенный на рисунке.
Ответ: применим правило правой руки, описанное в предыдущей задаче. Направление движения вверх от плоскости рисунка.
Рис. 42, в
Определить направление вектора магнитной индукции поля и полярность магнита при заданных направлениях движения проводника замкнутого контура и направления тока.
Ответ: влево.
Рис. 42, г
Определить направление тока, индуцируемого в проводнике.
Ответ: с помощью правила буравчика определяем направление вектора магнитной индукции поля в электромагните. Он направлен влево. Далее используем правило правой руки, по которому ток направлен вверх от плоскости рисунка.
Рис. 42, д
Определить направление движения проводника.
Ответ: по правилу буравчика вектор магнитной индукции поля в электромагните направлен вверх (в плоскости рисунка). Следовательно, по правилу правой руки проводник движется вверх от плоскости рисунка.
146
Рис. 42, е
Определить направление тока в контуре.
Ответ: согласно правилу правой руки, слева ток направлен в плоскость рисунка, а справа — вверх от этой плоскости.
Рис. 42, ж
Определить полярность напряжения ЭДС индукции.
Ответ: индукция магнитного поля постоянного магнита направлена вверх. Магнитный поток сквозь катушку увеличивается. Таким образом, каждый элемент проводника катушки относительно силовых линий движется от оси катушки. Следовательно, под действием силы Лоренца электроны должны двигаться против часовой стрелки, если смотреть на катушку сверху. В результате на нижней клемме катушки будет скапливаться отрицательный заряд, а на верхней — положительный.
904.	Три одинаковых полосовых магнита падают в вертикальном положении одновременно с одной высоты. Первый падает свободно, второй во время падения проходит сквозь незамкнутый соленоид, третий — сквозь замкнутый соленоид. Сравнить время падения магнитов. Ответы обосновать на основании правила Ленца и закона сохранения энергии.
Ответ: только в третьем случае падение магнита индуцирует ток в соленоиде. Согласно правилу Ленца, возникающий ток своим магнитным полем противодействует тому изменению магнитного потока, которым он вызван, а значит, падению полосового магнита. При этом часть кинетической энергии полосового магнита тратится на нагрев соленоида индуцированным током. Таким образом, время падения магнита через замкнутый соленоид должно быть больше.
147
905.	Найти направление индукционного тока, возникающего в витке В (рис. 43), если в цепи витка А ключ замыкают и если этот ключ размыкают. Указать также направление индукционного тока, если при замкнутом ключе скользящий контакт реостата передвигают вправо или его передвигают влево.
Ответ: при замыкании ключа в витке А увеличивается ток, текущий по часовой стрелке. Согласно правилу Ленца, ток, индуцированный при этом в контуре В, должен ослаблять действие исходного тока (его магнитное поле должно противодействовать первоначальному изменению магнитного потока). Поэтому он должен быть направлен против часовой стрелки. При размыкании цепи А ток в контуре В, наоборот, должен быть направлен так, чтобы поддержать исходный ток. Следовательно, в этом случае он должен быть направлен по часовой стрелке.
При сдвиге контакта реостата вправо полное сопротивление в цепи А увеличивается, а ток уменьшается. Поэтому, как и в предыдущем случае, ток в контуре В должен быть направлен по часовой стрелке. При сдвиге контакта реостата влево ситуация подобна первому случаю, и направление тока в цепи В — против часовой стрелки.
148
906.	Если вращать магнит (рис. 44), то замкнутый виток проволоки, укрепленный на оси, начинает вращаться. Объяснить явление и определить направление вращения витка.
Ответ: при вращении магнита в витке проволоки будет индуцироваться переменный электрический ток, направление которого будет такое, чтобы препятствовать исходному изменению магнитного потока сквозь виток из-за вращения магнита (см. рис. 44). При этом сила Лоренца, действующая на носители заряда, совпадает с направлением вращения магнита (против часовой стрелки). Следовательно, виток будет вращаться в ту же сторону, что и магнит.
908.	Почему колебания стрелки компаса быстрее затухают, если корпус прибора латунный, и медленнее, если корпус прибора пластмассовый?
Ответ: в случае латунного корпуса колебания намагниченной стрелки индуцируют токи в корпусе (токи Фуко), затухающие из-за конечного сопротивления латуни. Таким образом, энергия колебаний стрелки магнита необратимо и относительно быстро переходит в теплоту.
149
909.	Объяснить принцип торможения трамвая, когда водитель, отключив двигатель от контактной сети (рис. 45), переводит его в режим генератора (ключ переводится из положения 1 в положение 2), Как зависит ускорение (быстрота торможения) трамвая: а) от нагрузки (сопротивления резистора) при данной скорости движения трамвая; б) от скорости трамвая при данной нагрузке?
Ответ: при переводе двигателя трамвая в режим генератора механическая энергия (главным образом кинетическая энергия движения трамвая) преобразуется двигателем в электромагнитную, часть которой переходит в теплоту согласно закону Джоуля—Ленца Р = U2/R (Р — мощность, U — напряжение, R — сопротивление). Поэтому при меньшей нагрузке R скорость перехода энергии в теплоту будет возрастать (согласно закону электромагнитной индукции, ЭДС генератора & определяется скоростью вращения двигателя; таким образом, при малом внутреннем сопротивлении двигателя U » & и не зависит от R). При большей скорости трамвая частота вращения двигателя будет гоже больше. Следовательно, выше будет и амплитуда напряжения С7, а значит, скорость диссипации и эффективность торможения.
150
910.	По какому закону должен изменяться магнитный поток в зависимости от времени, чтобы ЭДС индукции, возникающая в контуре, оставалась постоянной?
Ответ: согласно закону электромагнитной индукции, ЭДС индукции равна по модулю скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную контуром. Отсюда следует, что для постоянства ЭДС магнитный поток должен линейно зависеть от времени.
912.	Найти скорость изменения магнитного потока1 в соленоиде из 2000 витков при возбуждении в нем ЭДС индукции 120 В.
Решение. Обобщение закона электромагнитной индукции на случай соленоида с N витками имеет вид:
(1)
Здесь 6' — ЭДС индукции, |ДФ/Д£| — модуль скорости изменения магнитного потока сквозь каждый виток. Из формулы (1) следует искомое выражение для скорости изменения магнитного потока:
I АФ| = &
I А*| ” N ‘
Вычисления:
И - S - °’ов Вб/с-
Ответ: — = 60 мВб/с.
1 В этой и последующих задачах считать, что магнитный поток изменяется в зависимости от времени по линейному закону.
151
913.	Сколько витков должна содержать катушка с площадью поперечного сечения 50 см2, чтобы при изменении магнитной индукции от 0,2 до 0,3 Тл в течение 4 мс в ней возбуждалась ЭДС 10 В?
Решение. Подставим в закон электромагнитной индукции (см. предыдущую задачу) явное выражение для изменения магнитного потока ДФ:
(с= у ДВ • S At
Здесь ДБ — изменение потока магнитной индукции, S — площадь поперечного сечения (витка) катушки. Из этой формулы следует искомое выражение для количества витков:
n = ё Аг .
ДВ • S
Вычисления:
N = 10 В • ----4 10 3 с----- = 80.
-3	2
0,1 Тл • 5 • 10 м
Ответ: N = 80.
914.	Внутри витка радиусом 5 см магнитный поток изменился на 18,6 мВб за 5,9 мс. Найти напряженность вихревого электрического поля в витке.
Решение. Напряженность вихревого электрического поля определяется из закона электромагнитной индукции:
ё = 1^1
I д* I
и равенства ЭДС индукции работе вихревого электрического поля при перемещении единичного положительного заряда вдоль замкнутого неподвижного проводника:
£ = Е • 2пг.
152
Здесь г — радиус витка. Из этих формул следует, что напряженность вихревого электрического поля равна:
Е=|-|Л-| АГ |2пг
Вычисления:
Е = 18,6-10~3Вб---1---- = w в/м
5,9 • 10 3 с 6,28 • 0,05
Ответ: Е = 10 В/м.
915.	Какой заряд пройдет через поперечное сечение витка, сопротивление которого R = 0,03 Ом, при уменьшении магнитного потока внутри витка на АФ =12 мВб?
Решение. Объединяя закон электромагнитной индукции в виде:
с__ АФ
закон Ома для замкнутой цепи:
6 = IR
и формулу для определения силы тока:
АГ
находим:
q=—.
4 R
Вычисления:
= 12 • 10 3 Вб = 0 4 Кл
4	0,03 м
Ответ: q = 0,4 Кл.
153
916.	в магнитное поле индукцией В = 0,1 Тл помещен контур, выполненный в форме кругового витка радиусом R = 3,4 см. Виток сделан из медной проволоки, площадь поперечного сечения которой 8 = 1 мм2. Нормаль к плоскости витка совпадает с линиями индукции поля. Какой заряд пройдет через поперечное сечение витка при исчезновении поля?
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой, полученной в задаче 915:
„ _ ЛФ
9 R ’
где изменение магнитного потока
ДФ = Виг2
и сопротивление кругового витка о _ п . 2лг д-р
Тогда
„ BrS
Вычисления:
„	0,1 Тл • 0,034 м • 10“6 М2
g = ------------§--------
2 • 1,7 • 10 Ом • м
Ответ: q = 0,1 Кл.
917.	в витке, выполненном из алюминиевого провода дли-2
ной 10 см и площадью поперечного сечения 1,4 мм , скорость изменения магнитного потока 10 мВб/c. Найти силу индукционного тока.
Решение. Силу тока находим на основе закона электромагнитной индукции:
и закона Ома для замкнутой цепи
£ = п? =	,
о
154
где I — длина витка, S — площадь его поперечного сечения. Согласно этим формулам,
г = I АФ| S |Az|pZ *
Вычисления:
J = 10~2 Вб/С  1,4  10~6 М2 = 5 Д 2,8 • 10’8 Ом • м • 0,1 м
Ответ: I = 5 А.
919. С какой скоростью надо перемещать проводник, длина активной части которого 1 м, под углом 60° к линиям индукции магнитного поля, чтобы в проводнике возбуждалась ЭДС индукции 1 В? Индукция магнитного поля равна 0,2 Тл.
Решение. Используя формулу из решения предыдущей задачи, находим искомое выражение для скорости: ё v = —-— .
BZsina
Вычисления:
и = -------—--------- ~ 5,8 м/с.
0,2 Тл • 1 м • 0,866
Ответ: и ~ 5,8 м/с.
920. Проводник MN (рис. 46) с длиной активной части 1 м и сопротивлением 2 Ом находится в однородном магнитном поле индукцией 0,1 Тл. Проводник подключен к источнику с ЭДС 1 В (внутренним сопротивлением источника и сопротивлением подводящих проводов пренебречь). Какова сила тока в проводнике, если: а) проводник покоится; б) проводник движется вправо со скоростью 4 м/с; в) проводник движется влево с такой же по модулю скоростью? В каком направлении и с какой скоростью надо перемещать проводник, чтобы через него не шел ток?
155
X X
X	X
в
X	X
X X
Решение. Согласно закону электромагнитной индукции,
£ = Blv sin а.
Закон Ома для полной цепи в этом случае имеет вид:
где £ — ЭДС индукции, £0 — ЭДС источника.
Таким образом, общая формула для силы тока в проводнике имеет вид:
£0 ± BZusina = R ‘
Когда проводник покоится (и = 0), то
11 R 
Если проводник движется вправо, то, согласно правилу правой руки (см. решение задачи 902), ток, индуцированный в проводнике, направлен в ту же сторону, что и исходный. Поэтому в случае б)
50 ± В1»
2 2 R * В *
В случае в) направление индуцированного тока про-
тивоположно исходному.
156
Поэтому
г _ £о - Blv R •
Если проводник движется влево при условии £ = Blv, то ток в цепи отсутствует. Таким образом,
Вычисления:
_ 1 В + 0,1 Тл • 1 м • 4 м/с
2	2 Ом
г _ 1 В - 0,1 Тл • 1 м • 4 м/с _ q £ д.
3	2 Ом
V. = ---—------ = 10 м/с.
0,1 Тл • 1 м
Ответ: а) = 0,5 А; б) 12 = 0,7 А; в) /3 = 0,3 А; влево со скоростью 10 м/с.
921  Какова индуктивность контура, если при силе тока 5 А в нем возникает магнитный поток 0,5 мВб?
Решение. Индуктивность контура L (или иначе коэффициент самоиндукции) определяется формулой
где Ф — магнитный поток сквозь поверхность, ограниченную контуром, I — сила тока в контуре.
Вычисления:
L = 5 ' 10/ Вб = 104 Гн.
5 А
Ответ: L = 0,1 мГн.
157
Найти индуктивность проводника, в котором равномерное изменение силы тока на 2 А в течение 0,25 с возбуждает ЭДС самоиндукции 20 мВ.
Решение. Из закона электромагнитной индукции и определения индуктивности (см. предыдущие задачи) следует равенство
£ = ДФ =L—. At At
Из него получаем искомую формулу для индуктивности:
L = ——. AJ/At
Вычисления:
_9
L = 2 10—В • 0,25 с = 2 5 . 10-з Гн
2 А
Ответ: L = 2,5 мГн.
924. Какая ЭДС самоиндукции возбуждается в обмотке электромагнита индуктивностью 0,4 Гн при равномерном изменении силы тока в ней на 5 А за 0,02 с?
Решение. Для решения воспользуемся первой формулой предыдущей задачи:
S = L — .
At
Вычисления:
£=0,4 Гн • -ДД- = Ю0В. 0,02 с
Ответ: £ = 100 В.
925. Почему отключение от питающей сети мощных электродвигателей производят плавно и медленно при помощи реостата?
Ответ: индуктивность обмоток электродвигателя велика, и надо увеличить время размыкания цепи, чтобы уменьшить ЭДС самоиндукции.
158
Последовательно с катушкой школьного трансформатора, надетой на разомкнутый сердечник, включена лампочка карманного фонаря. В цепь подано такое напряжение, что лампочка горит в полный накал. Как изменяется яркость лампочки, если: а) сердечник замкнуть ярмом; б) некоторое время держать ярмо неподвижным; в) вынуть ярмо? При возможности проверьте на опыте, положив на сердечник спичку (иначе ярмо трудно оторвать от сердечника).
Ответ: при замыкании сердечника трансформатора начнется увеличение магнитного потока во вторичной обмотке и формирование в ней ЭДС индукции. Согласно правилу Ленца, эти процессы должны ослаблять вызвавший их ток в первичной обмотке. Поэтому накал лампочки несколько уменьшится (Р = I2R). Однако после установления магнитного потока во вторичной обмотке эти индуктивные явления исчезнут, и ток, а с ним и накал лампочки восстановятся, так как сила постоянного тока не зависит от индуктивности. Если вынуть ярмо, то те же индукционные процессы, согласно правилу Ленца, будут стремиться поддержать магнитный поток в трансформаторе за счет увеличения силы тока в первичной обмотке.
927. В катушке индуктивностью 0,6 Гн сила тока равна 20 А. Какова энергия магнитного поля этой катушки? Как изменится энергия поля, если сила тока уменьшится вдвое?
Решение. Энергия магнитного поля тока w= к!.
2
Вычисления:
9
Ж = 0,6 Гн 2(20 А) =120 Дж.
Согласно записанной формуле, энергия поля уменьшится в 4 раза.
Ответ: W = 120 Дж; уменьшится в 4 раза.
159
Найти энергию магнитного поля соленоида, в котором при силе тока 10 А возникает магнитный поток 0,5 Вб.
Решение. Зная силу тока I и магнитный поток Ф, можно найти индуктивность соленоида:
Подставляя это выражение в формулу для энергии магнитного поля тока (см. решение задачи 927), находим энергию магнитного поля соленоида:
w = 2
Вычисления:
W = 0г5 Вб 10 А = 2>5 Дж
Ответ: W = 2,5 Дж.
У О I. При изменении силы тока в катушке, индуктивность которой L, в п раз энергия магнитного поля изменилась на ДЖ. Найти начальные значения энергии Жх и силы тока Iv
№	п	\W, Дж	L, Гн
1	2	3	0,5
2	1,72	4,13	0,62
3	5,13	16,2	0,11
4	21,6	8,71	0,036
5	0,81	-2,2	0,68
Решение. Из общей формулы для энергии магнитного поля тока W = Ы2/2 следует, что при увеличении силы тока в п раз энергия увеличится в и2 раз. Следовательно, изменение энергии можно записать в виде
Д1Р = n2W1 -ТУр
160
откуда следует формула для начальной энергии:
«'.= ^7-
Зная эту величину, начальную силу тока находим из общей формулы для энергии поля:
№	/р А
1	2
2	2,61
3	3,41
4	1,02
5	4,34
6 Решение задач: Физика I! кл.
ГЛАВА XII
Электромагнитные колебания
43. Превращение энергии в колебательном контуре. Гармонические колебания. Собственная частота и период колебаний1
932.	Начальный заряд, сообщенный конденсатору колебательного контура, уменьшили в 2 раза. Во сколько раз изменилась: а) амплитуда напряжения; б) амплитуда силы тока; в) суммарная энергия электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки?
Решение. Поскольку емкость С конденсатора неизменна, напряжение изменяется пропорционально заряду q:
u-i-
Следовательно, амплитуда напряжения также уменьшится в 2 раза.
Из закона сохранения энергии колебательного контура
г г2 2 w= Ц- + £-2	2С
1 В задачах данного параграфа считать, что: а) колебания в
контуре незатухающие; б) зависимость заряда на конденсаторе от времени задана уравнением q = qm cos co0t; в) все величины даны в СИ.
162
следует, что максимальное значение энергии электрического поля равно:
2 г г2 w = — = LIm 2	2 ‘
Следовательно, амплитуда колебаний силы тока пропорциональна изменению начального заряда конденсатора, т. е. уменьшится в 2 раза, а суммарная энергия электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки уменьшится в 4 раза.
Ответ: а) уменьшилась в 2 раза; б) уменьшилась в 2 раза; в) уменьшилась в 4 раза.
933.	При увеличении напряжения на конденсаторе колебательного контура на 20 В амплитуда силы тока увеличилась в 2 раза. Найти начальное напряжение.
Решение. Согласно формуле для полной энергии колебательного контура,
г г2 си2 w = Llm = —— 2	2 ’
где /т, Um — амплитудное значение силы тока и напряжения. Тогда
С7 + 2ОВ = 2С7.
Следовательно, начальное напряжение
U = 20 В.
Ответ: U = 20 В.
934.	В колебательном контуре индуктивность катушки равна 0,2 Гн, а амплитуда колебаний силы тока 40 мА. Найти энергию электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки в тот момент, когда мгновенное значение силы тока в 2 раза меньше амплитудного значения.
163
Решение. Зная индуктивность L катушки и амплитудное значение силы тока/т, можно найти полную энергию колебательного контура:
LI2 W= ® 2
Энергия магнитного поля катушки, когда ток вдвое меньше его амплитудного значения, равна:
W - L(/m/2)2 м 2
Теперь энергию W9 электрического поля конденсатора можно найти из закона сохранения энергии:
W9 = W- WM.
Вычисления:
WM = 0,2 Гн • (4 • 10~2 А/2)2/2 = 4 • 10~5 Дж;
W3 = 16 • 10’5 Дж - 4 • 1(Г5 Дж = 12 • 10’5 Дж.
Ответ: W3 =120 мкДж; = 40 мкДж.
935.	Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 400 пФ и катушки индуктивностью L = 10 мГн. Найти амплитуду колебаний силы тока Zm, если амплитуда колебаний напряжения Um = 500 В.
Решение. Закон сохранения энергии позволяет установить связь между амплитудными значениями заряда конденсатора qm и силы тока в катушке Zm:
2 т т2
2С 2 ‘
Используя формулу, связывающую заряд и напряжение между обкладками конденсатора,
164
находим формулу для амплитуды колебаний силы
тока:
Вычисления:
1т = 500 В I4 ' 1(f10 ф = 0,1 А. Ч 10 Гн
Ответ: 1т = 0,1 А.
936.	Амплитуда силы тока в контуре 1,4 мА, а амплитуда напряжения 280 В. Найти силу тока и напряжение в тот момент времени, когда энергия магнитного поля катушки равна энергии электрического поля конденсатора.
Решение. Полная энергия колебательного контура равна:
LI2 CU2 Ш	™
2	2 ’
где /т, Um — амплитудное значение силы тока и напряжения. В момент, когда энергия магнитного поля катушки равна энергии электрического поля конденсатора, закон сохранения энергии имеет вид
2	2
причем
CU2 _ LI2 _W
2	2	2 ‘
Тогда
и= —,1= Л Л
в 72 раз меньше соответствующих амплитуд Um и 1т.
165
Вычисления:
I =	= 1 мА;
Л
U = 280 U = ^2® « 200 В.
J2
Ответ: I = 1 мА; U » 200 В.
937.	Катушка индуктивностью 31 мГн присоединена к плоскому конденсатору с площадью каждой пластины 20 см2 и расстоянием между ними 1 см. Чему равна диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами, если амплитуда силы тока в контуре 0,2 мА и амплитуда напряжения 10 В?
Решение. Используем для решения этой задачи формулу, связывающую амплитудные значения напряжения и силы тока в колебательном контуре, полученную при решении задачи 935:
- >
и общую формулу для емкости плоского конденсатора с площадью пластинS и расстоянием между нимий:
г = e0eS d '
Тогда
e = ^JL U2m Seo ’
Вычисления:
-4	2
= (2 • 10 А) -31 • 10 Гн_______0,01 м_________ =
(ЮВ)2	(2 • 10'3 м2 -8,85- 10"12) Ф/м
= 7.
Ответ: г — 7.
166
«о». Заряд q на пластинах конденсатора колебательного контура изменяется с течением времени t в соответствии с уравнением q = 10~6 cos 1047tL Записать уравнение i = i(t), выражающее зависимость силы тока от времени. Найти период и частоту колебаний в контуре, амплитуду колебаний заряда и амплитуду колебаний силы тока.
Решение. Мгновенное значение силы тока
i(t) = lim — = -10 2л sin 104л£.
At -► 0&t
Период колебаний Т определяется из условия
104лТ= 2тг,
откуда
Т = 2 • 10’4 с.
Частота колебаний v связана с периодом Т соотношением
vT = 1,
откуда
V = 1 = 5 • 103 Гц. т
Амплитуда колебаний зарядаqm, согласно общему ВИДУ уравнения гармонических колебаний заряда
q = qm cos 2n:v£,
равна 10-6 Кл, а амплитуду силы тока/т можно рассчитать по формуле мгновенного значения силы тока ЦО и она равна 3,14 • 10-2А.
Ответ: I = -0,01л sin 104л0 Т = 0,2 мс; v = 5 кГц; qm = 1 мкКл; Im = 31,4 мА.
167
940.	Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 1 мкФ и катушки индуктивностью 4 Гн. Амплитуда колебаний заряда на конденсаторе 100 мкКл. Написать уравнения q = Q(0, * = Ц0> и = и(0- Найти амплитуду колебаний силы тока и напряжения.
Решение. Циклическая частота колебаний контура
со = —— . Лс
Вычисления:
а> =	1	- = 500 с-1.
J4 Гн • 10'6Ф
Уравнение колебаний заряда имеет вид:
g(0 = qm cos Mt или q(t) = 10~4 cos 500t.
Сила тока равна производной по времени от заряда:
j(t) = ^ = -0,05 sin 500t, at
напряжение определяется по формуле:
и = 2 или u(t) = 100 cos 500t.
Следовательно, амплитудные значения силы тока и напряжения равны:
1т = 0,05 A, l/m = 100 В.
Ответ: q = 10 4 cos 500f; I = -0,05 sin 500£;
и = 100 cos 500f; Zm = 50 mA; Um = 100 B.
941.	Емкость конденсатора колебательного контура 0,4 мкФ, частота собственных колебаний 50 кГц, амплитуда заряда 8 мкКл. Написать уравнения q = q(t), и = u(t), * = i(t). Найти амплитуду напряжения, амплитуду силы тока и индуктивность катушки.
168
Решение. Общий вид уравнений колебания заряда, напряжения и силы тока определяется формулами:
q = qm cos 2ttv£,
u= i =	,
C Ceos 2 я
i = ^2 = -2луп sin 2rcvt, dt	m
где qm — амплитуда колебаний заряда, v — частота колебаний. Тогда амплитуда колебаний напряжения и силы тока
и = —, т с
Лп = 2™?т-
Из формулы
2hv = —Lr Jlc
находим индуктивность катушки:
Вычисления:
Ап = 2 • 3,14 •
8 ' 10 6 Кл = 20 В;
0,4 • 10’6 Ф
5 • 104 Гц • 8 • 106^2,5A;
1
2	4	2	_7
4л • (5 • 10 Гц) • 4 • 10 Ф
Ответ: q = 8 • 10 6 cos 105ni; и = 20 cos 105тг/;
i = -2,5 sin 105nt; Um = 20 B; Im = 2,5 A; L = 25 мкГн.
169
942.	Через какое время (в долях периода t/T) на конденсаторе колебательного контура будет заряд, равный половине амплитудного значения?
Решение. С учетом закона изменения заряда на конденсаторе колебательного контура
9(0 = 9m cos
условие задачи можно записать в виде уравнения
откуда следует, что
= 5 или t = Т/6.
Т 3	'
Ответ: t = Т/6.
«ЧО. Амплитуда напряжения в контуре 100 В, частота колебаний 5 Мгц. Через какое время напряжение будет 71 В?
Решение. С учетом закона изменения напряжения на конденсаторе
и = Um cos 2n:vt,
где C7m — амплитуда напряжения, условие задачи имеет вид:
C7m cos 2n:v£ = u0, где uQ = 71 В — заданное напряжение. Решение этого уравнения имеет вид:
г = 2^ arCC°S (u0/U™>-
Вычисления:
t = ------------— arccos = 0,25 • 10 7 с.
6,28 • 5 • 106 Гц	^100^
Ответ: t = 25 нс.
170
УЧО. Каков диапазон частот собственных колебаний в контуре, если его индуктивность можно изменять в пределах от 0,1 до 10 мкГн, а емкость — в пределах от 50 до 5000 пФ?
Решение. Частота связана с емкостью С и индуктивностью L следующей формулой:
2лТГс’
т. е. она будет минимальной vmin при максимальных значениях С и L. Верхний предел диапазона частот vmax, наоборот, соответствует минимальным значениям С и L.
Вычисления:
----/	5	1	•0J1 ' 106 Гц;
6,287Ю Гн • 5 • 10 У Ф
v max
..... .....1	.	.. -0,71 • 108Гц.
6,28 J10"7 Гн • 5 • 10"“ Ф
Ответ: от 710 кГц до 71 МГц.
948. Во сколько раз изменится частота собственных колебаний в колебательном контуре, если емкость конденсатора увеличить в 25 раз, а индуктивность катушки уменьшить в 16 раз?
Решение. Из общей формулы для частоты колебаний
2njLC
следует, что при увеличении емкости С в 25 раз и уменьшении индуктивности катушки в 16 раз частота изменится на множитель V16/25 = 4/5, т. е. уменьшится в 1,25 раза.
Ответ: уменьшится в 1,25 раза.
171
УЧУ. При увеличении емкости конденсатора колебательного контура на 0,08 мкФ частота колебаний уменьшилась в 3 раза. Найти первоначальную емкость конденсатора. Индуктивность катушки осталась прежней.
Решение. Используя общую формулу для частоты колебаний, запишем условие задачи в виде:
2njLC
_____1_____ = у 2лЛ(С + АС) 3 ’
Здесь С, L и v — начальные значения емкости, индуктивности и частоты.
Разделив первое уравнение на второе уравнение, получим уравнение для емкости
=3,
решение которого имеет вид:
С = ДС/8 = 0,01 мкФ.
Ответ: С = 0,01 мкФ.
44. Переменный ток
951  Частоту вращения проволочной рамки в однородном магнитном поле увеличили в 3 раза. Во сколько раз изменится частота переменного тока в рамке и ЭДС индукции?
Решение. При равномерном вращении рамки в однородном магнитном поле частота переменного тока в рамке равна частоте вращения рамки. Поэтому частота переменного тока увеличится также в 3 раза. ЭДС индукции, возникающая при вращении рамки,
£ = BSco sin cot,	(1)
172
где В — индукция магнитного поля, S — площадь рамки. Согласно формуле (1), амплитуда и частота ЭДС индукции пропорциональны частоте вращения со рамки. Следовательно, они также увеличатся в 3 раза.
Ответ: увеличится в 3 раза; увеличится в 3 раза.
952. Рамка площадью 200 см2 вращается с частотой 8 с 1 в магнитном поле индукцией 0,4 Тл. Написать уравнения Ф = Ф(0 и е = е(0» если при t = 0 нормаль к плоскости рамки перпендикулярна линиям индукции поля. Найти амплитуду ЭДС индукции.
Решение. Запишем общее выражение для потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную рамкой:
Ф(0 = BS cos (2лу£ + ср).
Здесь В — индукция магнитного поля, S — площадь рамки, v — частота ее вращения, ф — фаза. Из условия задачи, что при t = 0 угол между нормалью к плоскости рамки и индукцией магнитного поля равен 90°, находим ф = ±90°. Таким образом, уравнение Ф = Ф(0 имеет вид:
Ф(0 = 0,4 Тл • 0,02 м2 sin 2л • 8 с-1£ = = 0,008 sin 16л7 (ф = -90°).
Согласно закону электромагнитной индукции, ЭДС индукции определяется формулой
е =	= -BS • 2tiv sin (2nvt + ф) = BS • 2лу cos 2iivt,
сП
а уравнение e = e(t) имеет вид:
е = 0,4Тл • 0,02м2 • 2л • 8с 1 cos 2л • 8с-1£ = 0,4cos 16t.
Из этого уравнения следует, что амплитуда ЭДС индукции равна 0,4 В.
Ответ: Ф = 0,008 sin 16л£; е = 0,4 cos 16л£; £т = 0,4 В.
173
УЭО. При вращении проволочной рамки в однородном магнитном поле пронизывающий рамку магнитный поток изменяется в зависимости от времени по закону Ф = 0,01 sin 10nt. Вычислив производную Ф', написать формулу зависимости ЭДС от времени е = e(t). В каком положении была рамка в начале отсчета времени? Какова частота вращения рамки? Чему равны максимальные значения магнитного потока и ЭДС?
Решение. Согласно закону электромагнитной индукции ЭДС индукции определяется скоростью изменения магнитного потока:
e(t) = Ф' = 0,1л cos 10л£.
Поскольку при t = 0 Ф(0 = 0, нормаль к плоскости рамки в начальный момент времени перпендикулярна линиям индукции. Из вида уравнений Ф = Ф(£) и е = e(t) следует, что частота вращения рамки v = 5с \ максимальное значение потока Ф = Фт = 0,01 Вб, а ЭДС е = £т = 0,314 В.
Ответ: е = 0,1л cos 10л£; нормаль к плоскости рамки перпендикулярна линиям индукции; 5 с1; 0,01 Вб; 0,314 В.
954.	Сколько витков имеет рамка площадью 500 см2, если при вращении ее с частотой 20 с-1 в однородном магнитном поле индукцией 0,1 Тл амплитудное значение ЭДС равно 63 В?
Решение. Согласно закону электромагнитной индукции, амплитуда ЭДС индукции для рамки с N витками определяется формулой
ё = NBC 2лу,
где В — индукция магнитного поля, S — площадь рамки, v — частота ее вращения. Из этой формулы находим искомое выражение для числа витков рамки:
N = £*" .
BS2nv
174
Вычисления:
N =------------------------------ = 100.
0,1 Тл • 0,05 м2 • 6,28 • 20 с
Ответ: N = 100.
955.	Какую траекторию опишет электрон, пролетая между пластинами плоского конденсатора, на которые подано: а) постоянное напряжение; б) переменное напряжение достаточно высокой частоты?
Решение. Направим ось X системы координат параллельно обкладкам конденсатора вдоль вектора начальной скорости электрона, а ось Y — перпендикулярно обкладкам. Тогда уравнения его движения можно записать в виде:
тах = 0, тау = -eU(t)/d.
Здесь т и е — масса и заряд электрона, U(t) — напряжение на обкладках конденсатора, d — расстояние между ними.
Решение системы уравнений в случае постоянного напряжения U = UQ имеет вид:
X = vQt '+ х0, [C70/(md)]t2 у =	----- у°-
Здесь vQ — начальная скорость электрона.
Траекторией такого движения, полностью аналогичного движению под действием силы тяжести, будет парабола:
у = - eU° 2(х - х0)2 + у0.
2dmu0
175
В случае переменного напряжения с циклической частотой со U = I7m cos cot решение системы уравнений имеет вид
X = vQt + х0,
еи
У = -----2 coscot+ i/0,
zndco
а траектория движения — синусоида:
eUm
У = Уо+-----о cos
zndco
(X - х0) со-------—
VQ
Ответ: а) параболу; б) синусоиду.
956.	Будет ли проходить ток через электролитическую ванну с раствором медного купороса, если ее подключить к источнику переменного напряжения? Будет ли выделяться на электродах медь?
Ответ: медный купорос является электролитом, т. е. веществом, раствор которого проводит электрический ток. При прохождении электрического тока через раствор электролита на одном из электродов может выделяться металл, входящий в состав электролита. Однако согласно закону Фарадея, масса т вещества, выделившегося на электроде, пропорциональна заряду, прошедшему через электролит, при прохождении переменного тока медь на электродах накапливаться не будет. Таким образом, при подключении электролитической ванны к источнику переменного напряжения медь на электродах выделяться не будет.
957.	По графику (рис. 47) найти амплитудное значение переменной ЭДС, ее период и частоту. Записать формулу изменения ЭДС со временем.
176
Решение. Амплитуда колебаний ЭДС равна £т = 50 В, период колебаний Т = 0,4 с. Частота колебаний определяется через период соотношением
v= 1/Т
и равна
у=2,5Гц.
Уравнение колебаний ЭДС е = £m cos (27ivt + ср)
имеет вид:
е = 50 cos 5nL
Ответ: = 50 В; Т = 0,4 с; v = 2,5 Гц; е = 50 cos 5nt.
9581 . Какое значение принимает напряжение через 10, 15 и 30 мс, если амплитуда напряжения 200 В и период 60 мс?
Решение. Запишем общую формулу для напряжения как функции времени:
« = Мт)’
где С7т и Г — амплитуда и период напряжения.
Вычисления:
t = 10 мс, и = 200 В cos f2^--0-—) = 100 В;
V 60 мс >
t = 15 мс, и = 200 Bcosf^^l =0;
V 60 мс /
t = 30 мс, и = 200 В cos	= -200 В.
V 60 мс >
Ответ: 100 В; 0; -200 В.
1 В этой и следующих задачах, если нет специальных оговорок, считать, что рассматриваемые величины изменяются в за-
висимости от времени и по закону косинуса и начальная фаза равна нулю.
177
you. На какое напряжение надо рассчитывать изоляторы линии передачи, если действующее напряжение 430 кВ?
Решение. Действующее значение напряжения меньше амплитудного значения в J2 раз. Изоляторы линии электропередач должны быть рассчитаны именно на амплитудное (максимально возможное) значение напряжения, т. е. на 430 кВ • J2 « 610 кВ.
Ответ: 610 кВ.
I. Написать уравнения, выражающие зависимость напряжения и силы тока от времени для электроплитки сопротивлением 50 Ом, включенной в сеть переменного тока с частотой 50 Гц и напряжением 220 В.
Решение. В проводнике с активным сопротивлением при переменном напряжении
и = C7m cos (2nvt)
сила тока изменяется по закону
i = (Um/R) cos (2nvt).
Здесь R — активное сопротивление.
При этом амплитудное значение напряжения Um связано с действующим значением напряжения Ud, заданным в условии задачи соотношением
Um = UdJ2-
Вычисления:
Um = 200 В 72 « 310 В;
=6,2 А.
R 50 Ом
Ответ: и = 310 cos (ЮОлО; i = 6,2 cos (lOOnf)-
178
При каких фазах в пределах одного периода мгновенное значение напряжения равно по модулю половине амплитудного?
Решение. Условие задачи имеет вид:
1«| = Um |cos ф| =	•
Отсюда находим
f arccos (1/2) = л/3, Ф = < л ± л/3,
[ 2л - л/3.
Ответ: л/3; 2л/3; 4л/3; 5л/3.
Неоновая лампа начинает светить, когда напряжение на ее электродах достигает строго определенного значения. Какую часть периода будет светить лампа, если ее включить в сеть, действующее значение напряжения в которой равно этому напряжению? Считать, что напряжение, при котором лампа гаснет, равно напряжению зажигания.
Решение. Поскольку действующее значение напряжения в а/2 раз меньше амплитудного, задача сводится к вычислению области фаз ф, удовлетворяющих неравенству
Um |cos <р| > C7m/V2 , решение которого представляют собой три интервала значений ф:
О С ф С л/4,
Зл/4 С фС 5л/4,
7л/4 СфС 2л.
Общая длина этих интервалов фазы составляет половину периода 2л.
Ответ: половину.
179
УОЧ. Конденсатор переменной емкости включен в цепь последовательно с лампочкой от карманного фонаря. Схема питается от генератора звуковой частоты ЗГ1 *. Как изменяется накал лампочки, если: а) не меняя емкости конденсатора, увеличивать частоту переменного тока; б) не меняя частоту, увеличивать емкость конденсатора?
Решение. Поскольку сила тока перезарядки конденсатора при заданном напряжении и = Um cos cot
i = q' = -C7mCco cos cot
пропорциональна емкости и частоте, и в случае а), и в случае б) увеличится амплитудное значение силы тока, а с ним и накал лампочки. Мощность по-прежне-му определяется величиной Р = i R.
Ответ: а) увеличивается; б) увеличивается.
966.	Конденсатор включен в цепь переменного тока стандартной частоты. Напряжение в сети 220 В. Сила тока в цепи этого конденсатора 2,5 А. Какова емкость конденсатора?
Решение. Действующие значения напряжения и силы тока в цепи с емкостью С связаны соотношением
I = 2tivCU,
где v — частота.
Из этой формулы находим выражение для емкости:
С =
2nvU
Вычисления:
С = ------» 36 • 10 6 Ф.
6,28 • 50 Гц • 220 В
Ответ: С » 36 мкФ.
1 ЗГ — звуковой генератор — источник переменного тока,
частоту которого можно плавно изменять от 20 до 20 000 Гц.
180
967.	Последовательно с лампочкой карманного фонаря к ЗГ подключена катушка. Как изменится накал лампочки, если: а) не меняя частоту, поместить в катушку железный сердечник; б) уменьшить частоту.
Решение. Индуктивное сопротивление
Xl = coL пропорционально (циклической) частоте со и индуктивности L катушки, а накал лампочки определяется силой тока (действующим значением) и активным сопротивлением:
Р = i2r.
Отсюда мы заключаем, что в случае а) при помещении в катушку сердечника ее индуктивность L возрастет, а с ней возрастет и индуктивное сопротивление. Следовательно, действующее значение силы тока, а с ним и накал лампочки уменьшается.
При уменьшении частоты согласно формуле XL = coL индуктивное сопротивление уменьшится, сила тока в цепи возрастет и накал лампочки увеличится.
969.	Катушка с ничтожно малым активным сопротивлением включена в цепь переменного тока с частотой 50 Гц. При напряжении 125 В сила тока равна 2,5 А. Какова индуктивность катушки?
Решение. Действующие значения напряжения и силы тока в цепи индуктивностью L связаны соотношением
U = 2kvL/,
где v — частота. Из этой формулы находим выражение для индуктивности катушки:
2TtW
Вычисления:
L = -----125В------ «0,16 Гн.
6,28 • 50Гц • 2,5А
Ответ: L » 0,16 Гн.
181
970.	Лампы (рис. 48) питаются от ЗГ. При некоторой частоте накал ламп одинаков. Как изменится накал, если частоту: а) увеличить; б) уменьшить?
Решение. Поскольку индуктивное сопротивление XL = 2tivL пропорционально частоте v, при увеличении частоты сила тока в цепи с емкостью увеличится, а в цепи с индуктивностью — уменьшится. Пропорционально квадрату действующего значения силы тока изменится и мощность
Р = I2R, рассеиваемая лампочками. Таким образом, накал лампочки Н1 увеличится, аН2 — уменьшится. Аналогичные рассуждения показывают, что при уменьшении частоты накал лампочки Н1 уменьшится, а лампочки Н2 — увеличится.
Рис. 48
Ответ: а) первой увеличится, второй уменьшится; б) первой уменьшится, второй увеличится.
971  Цепи, изображенные на рисунке 49, а, б, в, питаются сначала от источника переменного тока, причем действующее значение переменного напряжения равно напряжению на полюсах источника постоянного тока. Как при этом изменялись показания амперметра?
Рис. 49
182
Ответ: при подключении цепей к источнику постоянного тока сопротивление цепи: а) конечно; б) очень велико; в) близко к нулю. Поэтому в случае: а) амперметр показывает конечную силу тока U/R, в случае б) его показания близки к нулю, а в случаев) сила тока очень велика (формально бесконечно велика). При подключении цепей к источнику постоянного тока сопротивление (т. е. отношение действующего значения напряжения U к действующему значению силы тока I) во всех трех случаях конечно. При этом отношение U/I в случае а) по-прежнему равно активному сопротивлению R. Поэтому показание амперметра в случае а) не изменится. В случае б) сила тока, регистрируемая амперметром, увеличится (от нуля до конечной величины), а в случае в) — уменьшится (от очень больших значений до конечной величины).
972. В цепь переменного тока с частотой 400 Гц включена катушка индуктивностью 0,1 Гн. Конденсатор какой емкости надо включить в эту цепь, чтобы осуществился резонанс?
Решение. Резонанс в электрическом колебательном контуре возникает при совпадении частоты со внешнего переменного напряжения с собственной частотой соо колебательного контура:
Из этой формулы следует выражение для резонансного значения емкости конденсатора:
с= — = 1 .
2 г	/о \2 г
со L	(27tv) L
Вычисления:
С =----------1—---------- ~ 1,6 • 10’6 Ф.
(6,28 • 40G Гц) • 0,1 Гн
Ответ: С ~ 1,6 мкФ.
183
974. Почему турбогенераторы, вырабатывающие ток стандартной частоты (50 Гц), имеют, как правило, одну пару полюсов, а гидрогенераторы — во много раз больше?
Решение. Частота вращения вала гидротурбины значительно меньше, чем у паровой турбины.
Допустимо ли, сняв катушку школьного трансформатора с сердечника, подавать на нее переменное напряжение, указанное на катушке?
Решение. Действующее значение силы тока, протекающего в катушке, связано с действующим значением напряжения формулой
При удалении сердечника индуктивность катушки уменьшится и сила тока, следовательно, возрастет. При этом возрастет и нагрев катушки, мощность которой
Р = i2r,
где R — сопротивление катушки, никак не связанное с наличием или отсутствием сердечника.
Ответ: недопустимо, так как катушка может перегореть.
976. Трансформатор, содержащий в первичной обмотке 840 витков, повышает напряжение с 220 до 660 В. Каков коэффициент трансформации? Сколько витков содержится во вторичной обмотке? В какой обмотке провод имеет большую площадь поперечного сечения?
Решение. Коэффициент трансформации
k = — = — = —
^>2 U2 п2
184
Здесь Ui и ni — ЭДС индукции, напряжение на зажимах катушки и число ее витков. Индексы / = 1, 2 соответствуют первичной и вторичной обмоткам трансформатора. Согласно первой из формул, коэффициент трансформации равен:
l _ 220 В _ 1
660 В 3 ‘
Согласно второму равенству в первой формуле, число витков во вторичной обмотке
____	_ 840 _ п2 - Т - Т7з “ 252°-
Поскольку преобразование напряжения в трансформаторе осуществляется без заметной потери мощности
= и212,
сила тока в первичной обмотке примерно втрое больше, чем во вторичной. Поэтому в первичной обмотке провод должен иметь большую площадь поперечного сечения, чтобы уменьшить сопротивление, а с ним и омический нагрев
Р = i2r.
Ответ: 1/3; 2520; в первичной.
Vff. Чтобы узнать, сколько витков содержится в первичной и вторичной обмотках трансформатора, на вторичную катушку намотали 11 витков провода. При включении первичной обмотки в сеть напряжением 220 В вольтметр показал, что на обмотке с 11 витками напряжение равно 4,4 В, а на вторичной обмотке — 12 В. Сколько витков в первичной и вторичной обмотках?
Решение. Запишем основное соотношение трансформатора для основных и дополнительной обмоток трансформатора:
21 =
п2 U2 *	*
185
Здесь пр п2 и Ап — число витков в первичной, вторичной и дополнительной обмотках трансформатора, С7р U2 и АС/ — соответствующие напряжения. С помощью второй формулы находим число витков в первичной обмотке:
л Ui п, = Ап—А .
1	\и
Теперь из первой формулы можно найти число витков во вторичной обмотке:
„ =п и2
2	П1 •
Вычисления:
____ 11	220 В   ккл. П1-11	МВ “ 550;
п2= 550 •
Ответ: пг = 550; п2 = 30.
978. Понижающий трансформатор с коэффициентом трансформации, равным 10, включен в сеть напряжением 220 В. Каково напряжение на выходе трансформатора, если сопротивление вторичной обмотки 0,2 Ом, а сопротивление полезной нагрузки 2 Ом?
Решение. Используя коэффициент трансформации k, найдем ЭДС, индуцируемую во вторичной обмотке:
= 30
220 В
Запишем теперь закон Ома для полной цепи вторичной обмотки:
£ = I(r + R).
Здесь г — сопротивление вторичной обмотки,/? — сопротивление полезной нагрузки. Тогда сила тока в цепи вторичной обмотки
I=—У—. k(r + R)
186
Напряжение UB на выходе трансформатора равно падению напряжения на сопротивлении полезной нагрузки:
и = UR . в Л(г + R)
Вычисления:
у _	220 В • 2 Ом _ 2Q g
в 10(0,2 Ом + 2 Ом)
Ответ: UB = 20 В.
979. Трансформатор включен в сеть (рис. 50). Как изменятся показания приборов при увеличении полезной нагрузки (уменьшении сопротивления R резистора)?
Решение. Используем для ответа на вопросы формулы, полученные в предыдущей задаче. В частности, при уменьшении сопротивления R полезной нагрузки сила тока 12 во вторичной обмотке увеличивается. Падение напряжения U2 на резисторе R при этом уменьшается. Мощность во вторичной цепи
Р2 = и212 = —u2r „
Z Z Z 9	2
k\r + R)
увеличится, поскольку г « R, так что
р2
~ (U/k)2
R
187
Следовательно, увеличится и сила тока в первичной обмотке, так как
а напряжение U2 ~ const, так как оно задается сетью.
Ответ: 12 — увеличится; U2 — уменьшится; 1Г — увеличится; 17 х — практически не изменится.
980. Вторичная обмотка трансформатора, имеющая 99 витков, пронизывается магнитным потоком, изменяющимся со временем по закону Ф = 0,01 sin 100л£. Написать формулу, выражающую зависимость ЭДС во вторичной обмотке от времени, и найти действующее значение этой ЭДС.
Решение. Согласно закону электромагнитной индукции, ЭДС во вторичной обмотке
£ = АГ757’ CU
где N — число витков обмотки.
Вычисления:
ё = 99л cos 100л£ «311 cos 100л£.
Действующее значение ЭДС
$Л = 311 В/ J2 «220 В.
Ответ: ^-311 cos lOOirt; £д « 220 В.
ГЛАВА XIII
Электромагнитные волны
45. Электромагнитные волны и скорость их распространения. Энергия электромагнитной волны. Плотность потока излучения.
Радиолокация
Система отсчета (см. условие задачи 981) движется со скоростью, большей скорости движения электронов в пучке. Что можно сказать о направлении линий индукции поля?
Ответ: направление линий индукции сменится на противоположное, так как в новой системе отсчета скорость пучка, а следовательно, и его ток, изменяет направление на противоположное.
983. Можно ли выбрать такую систему отсчета, в которой магнитная индукция поля прямого проводника с током была бы равна нулю? Что можно сказать о направлении линий индукции, если система отсчета движется со скоростью, большей скорости упорядоченного движения электронов в проводнике?
Ответ: нельзя. Ток в данном случае возникает из-за конечной скорости электронов относительно положительных ионов решетки. Обратить в нуль относительную скорость движения двух объектов с помощью перехода в другую систему отсчета нельзя. В частности, если система отсчета будет двигаться со скоростью
189
упорядоченного движения электронов, то положительные ионы решетки будут двигаться со скоростью системы отсчета в противоположном направлении. Направление линий индукции останется прежним, так как результирующая (относительная) скорость электронов и ионов решетки останется неизменной.
УОЧ. Почему при приеме радиопередач на средних и длинных волнах с приближением грозы появляются помехи?
Ответ: при грозовом разряде возбуждаются в основном средние и длинные волны. Характерная длина волны связана с размерами резонатора (в данном случае — искрового промежутка молнии) и таким образом вряд ли может быть меньше 100 м (нижняя граница диапазона средних волн).
986. Радиостанция ведет передачу на частоте 75 МГц (УКВ). Найти длину волны.
Решение. Длина радиоволны X связана с ее частотой соотношением
Х= н. V
Вычисления:
Q ^3-10 м/с =4м 75 • 10 Гц
Ответ: X = 4 м.
987. В радиоприемнике один из коротковолновых диапазонов может принимать передачи, длина волны которых 24— 26 м. Найти частотный диапазон.
Решение. Из формулы предыдущей задачи находим
190
Вычисления:
vl =
v2 =
g
3 ’ 10 м/с =11,5 • 106 Гц;
26 м
g
3 ‘ 10 м/с ~ 12,5 • 106 Гц.
24 м
Ответ: 11,5—12,5 МГц.
988. Ручной настройкой радиоприемника мы изменяем рабочую площадь пластин воздушного конденсатора переменной емкости в приемном колебательном контуре. Как изменяется рабочая площадь пластин при переходе на прием станции, ведущей передачу на более длинных волнах?
Ответ: согласно формуле X = c/v, связывающей длину радиоволны X с ее частотой v, при увеличении длины волны частота ее уменьшается. С другой стороны, собственная частота колебательного контура (приемника), которую нужно совместить с частотой волны, определяется формулой
V° 2kJLC'
где L и С — индуктивность и емкость контура соответственно. Следовательно, для уменьшения частоты емкость конденсатора в контуре нужно увеличивать. В свою очередь, емкость конденсатора пропорциональна его площади S (С = z^S/d — для плоского конденсатора). Следовательно, при настройке приемника на более длинные волны рабочая площадь пластин конденсатора увеличивается.
989. Катушка приемного контура радиоприемника имеет индуктивность 1 мкГн. Какова емкость конденсатора, если идет прием станции, работающей на длине волны 1000 м?
191
Решение. Частота приема
Она должна быть равна собственной частоте v0 колебательного контура приемника:
1 V = vn = --- .
2njLC
Из этих формул следует выражение для емкости конденсатора:
c=f—Г1-
<2лс> L
Вычисления:
С= (------1000 м-----у---1--- ~о,28 • 10 6 Ф.
V6.28 • 3 • 108 м/с ) 10 6 Гн
Ответ: С * 0,28 мкФ.
991 . Сила тока в открытом колебательном контуре изменяется в зависимости от времени по закону: i = 0,1 cos 6 • 105 nt. Найти длину излучаемой волны.
Решение. Как следует из вида зависимости силы тока от времени, частота излучателя
V = п • Ю5 Гц.
Следовательно, длина волны
Q х = £ = 3 • 10 м/с « ю3 м.
v 3,14 • 10 Гц
Ответ: X ~ 1 км.
992. Сколько колебаний происходит в электромагнитной волне с длиной волны 300 м за время, равное периоду звуковых колебаний с частотой 2000 Гц?
192
Решение. Период электромагнитной волны
э 7’
где Хэ — длина электромагнитной волны. Период звуковой волны
тз = Vv3, где v3 — частота звуковых колебаний. Из этих формул находим число электромагнитных колебаний за период звукового колебания
Вычисления:
N = „  3.•JO8™/0. = 500.
300 м • 2000 Гц
Ответ: N = 500.
993. Наименьшее расстояние от Земли до Сатурна 1,2 Тм. Через какой минимальный промежуток времени может быть получена ответная информация с космического корабля, находящегося в районе Сатурна, на радиосигнал, посланный с Земли?
Решение. Время задержки ответного сигнала г=^,
С
где L — расстояние от Земли до Сатурна.
Вычисления:
т =	м =0,8 • 104 с = 2 ч 13 мин 20 с.
3 • 10 м/с
Ответ: т = 2 ч 13 мин 20 с.
193
7 Решение М'Ы'Г Фи II к.1
На каком расстоянии от антенны радиолокатора находится объект, если отраженный от него радиосигнал возвратился обратно через 200 мкс?
Решение. Из формулы т = 2L/c находим расстояние до объекта:
Вычисления:
l =	= 3 • ю4 м
Ответ: L = 30 км.
996. На расстоянии 300 м от Останкинской телевизионной башни плотность потока излучения максимальна и равна 40 мВт/м2. Какова плотность потока излучения на расстоянии уверенного приема, равном 120 км?
Решение. Если считать излучатель телевизионной башни точечным, то плотность потока излучения обратно пропорциональна квадрату расстояния от излучателя. Следовательно, искомая плотность потока излучения на расстоянии R от источника
1=10
2
где Rq — расстояние, на котором I = IQ.
Вычисления:
1 = 4 • 1(Г2 Вт/м2
300 м
12 • 104 м-
= 0,25 • 10 6 Вт/м2.
Ответ: I = 0,25 мкВт/м2.
194
Плотность энергии электромагнитной волны равна 4 • 10-11 Дж/м3. Найти плотность потока излучения.
Решение. Плотность потока излучения I связана с плотностью энергии w электромагнитной волны соотношением
I = IVC.
Вычисления:
1 = 4 • 10 11 Дж/м3 • 3 • 108 м/с = 1210-3 Вт/м2.
Ответ: I = 12 мВт/м2.
998. Плотность потока излучения равна 6 мВт/м2. Найти плотность энергии электромагнитной волны.
Решение. Из формулы I = шс находим
w = -. с
Вычисления:
_о	9
» - 8 10	. 2  10-“ Дж/м3.
3 • 1(Г м/с
Ответ: w = 2 • 10 11 Дж/м3.
9991  Максимальная напряженность электрического поля электромагнитной волны по санитарным нормам не должна превышать 5 В/м. Найти допустимую плотность потока электромагнитного излучения.
Решение. Плотность потока излучения равна:
I = и> • с = £оаЕ2с.
Вычисления:
7 = 8,854 • 10’12Ф/м • (5 В/м)2 • 3 • 108м/с = = 66 • 1(Г3 Вт/м2.
Ответ: I = 66 мВт/м2.
1 Плотность энергии электромагнитной волны равна удвоенной плотности энергии электростатического поля: w = еоеЕ2.
195
1000.
Мощность
импульса радиолокационной станции
100 кВт. Найти максимальную напряженность электрического
поля волны в точке, где площадь поперечного сечения конуса излучения равна 2,3 км2.
Решение. Плотность потока излучения I связана с мощностью Р источника соотношением
где S — площадь поперечного сечения конуса излучения. Тогда напряженность электрического поля
Е =
I Р Sc0£c
Вычисления:
105 Вт
Е= -----------------1и рт--------------- =4В/м
N2.3 • 106 * м2 • 8,854 • 10’12 Ф/м • 3 • 108 * * * м/с
Ответ: Е = 4 В/м.
1001  Каким
может быть максимальное число импульсов,
посылаемых радиолокатором за 1 с, при разведывании цели, находящейся на расстоянии 30 км от него?
Решение. Время локации цели одним импульсом
. = 2L л с
Следовательно, число импульсов, которое можно послать за время t,
Вычисления:
N = 1с ' 3 ' 1()8 м/с = 5000.
2  3  104 м
Ответ: N = 5000.
196
1002  Радиолокатор работает на волне 15 см и дает 4000 импульсов в 1с. Длительность каждого импульса 2 мкс. Сколько колебаний содержится в каждом импульсе и какова глубина разведки локатора?
Решение. Период волн, излучаемых локатором, гр _____________________ X
в“ с ’
где X — длина волны. Следовательно, число колебаний в импульсе длительностью Ти
Т Тс N = — = — . и Тв X
Глубину разведки находим из формулы
ЛГ=1£;	L=—.
2L ’ 2N
Здесь t = 1 с, N — число импульсов за время t.
Вычисления:
n = 2-10~6с;з- Ю8м/с = 4000 и	0,15 м	’
L = 1 с • 3 • 108 м/с = 37,5 . ю3 м. 2 • 4000
Ответ: NH = 4000; L = 37,5 км.
IUUO. Время горизонтальной развертки электронно-лучевой трубки радиолокатора 2 мс. Найти наибольшую глубину разведки.
Решение. Время задержки т отраженного импульса относительно момента начала излучения не должно превышать время развертки tp. Отсюда находим, что глубина разведки
L = £3 < CtP = L 2	2 гаах'
Вычисления:
т _ 3 • 108 м/с • 2 • 10 3 с _ Q -j п5
Лтах-------------2-----------6 * 10
Ответ: Lmax = 300 км.
197
ГЛАВА XIV
Световые волны
46. Скорость света.
Законы отражения и преломления. Полное отражение
1007  В историческом опыте Физо по определению скорости света расстояние между колесом, имеющим N = 720 зубцов, и зеркалом было I = 8633 м. Свет исчез в первый раз при частоте вращения зубчатого колеса v = 12,67 с х. Какое значение скорости света получил Физо?
Решение. Время прохождения света от колеса до зеркала и обратно
с
Если за время t колесо повернется таким образом, что отраженный от зеркала луч попадет на зубец, то свет исчезнет. Таким образом, условие исчезновения света в первый раз
t = —— » 2vN ’
откуда
с = 4ZvAT.
Вычисления:
с = 4 • 8633 м • 12,67 с"1 • 720 = 315 000 км/с.
Ответ: с = 315 000 км/с.
198
IUUO. В 1875 г. метод Физо был использован французским физиком Карно, который, значительно увеличив частоту вращения колеса, зарегистрировал 28 последовательных исчезновений и появлений света. Какое значение скорости света получил Карно, если расстояние от колеса до зеркала было 23 000 м, число зубцов 200, а 28-е появление света наблюдалось при частоте вращения колеса 914,3 с-1?
Решение. Продолжим рассуждения, описанные в предыдущей задаче. Увеличение скорости вращения колеса нарушает условие синхронизации и свет снова проходит между зубцами. Дальнейшее увеличение скорости вращения приводит к поглощению отраженного света вторым ближайшим зубцом — свет исчезает. Процесс появления и исчезновения света будет периодическим при увеличении скорости вращения, и л-е появление света наблюдается при
t = п = 2/ vN с
Таким образом,
с= 2lvN. п
Вычисления:
с = 2 • 23 000 м • 914,3 с-1 • 200/28 = 300 400 км/с.
Ответ: с = 300 400 км/с.
1010.
Изобразить два взаимно перпендикулярных зеркала
АО и ОВ, луч CD, падающий на зеркало ОВ, и направления DE
и EF дальнейшего хода этого луча. Доказать, что луч EF параллелен лучу CD при любом угле падения луча CD.
Ответ: при зеркальном отражении, как видно из рисунка 51, Z DEO = а = Z FEA, т. е. Z CDE 4- ADEF = ZDEF + 2а = = 180°. Следовательно, луч EF параллелен лучу CD при любом угле падения а луча CD.
Рис. 51
199
1011  Как при помощи двух плоских зеркал можно проводить наблюдения из-за укрытия? При возможности изготовьте такой прибор (зеркальный перископ).
Ответ: как видно из рисунка 51 к предыдущей задаче, при увеличении угла ВОА между зеркалами падающий луч CD и отраженный EF становятся параллельными, что позволяет проводить наблюдения из-за укрытия.
1012  Угловая
высота Солнца над горизонтом а = 20°. Как
надо расположить плоское зеркало, чтобы отраженные лучи направить: а) вертикально вверх; б) вертикально вниз?
Решение. Ход лучей при отражении от зеркала АВ вертикально вверх изображен на рисунке 52,а. Искомый угол
Рис. 52
При отражении вертикально вниз зеркало CD следует расположить под углом (рис. 52,6):
Ф = 5 =	= 45° + 2 = 55°.
Ответ: у = 35°; ф = 55°.
200
1013  Человек, стоящий на берегу озера, видит в гладкой поверхности воды изображение Солнца. Как будет перемещаться это изображение при удалении человека от озера? Солнечные лучи считать параллельными.
Ответ: при удалении человека от озера он будет наблюдать изображение Солнца, формируемое лучами, отраженными от поверхности озера под меньшим углом. Поэтому изображение будет приближаться к берегу.
1014  Используя условие предыдущей задачи, найти, на сколько должен человек наклониться (понизить уровень глаз), чтобы изображение Солнца в воде приблизилось к берегу на 80 см, если высота Солнца над горизонтом 25°.
Решение. Как видно из рисунка 53, понижение уровня глаз на Дх приводит к смещению изображения на Д/. Эти величины связаны соотношением
где а — высота Солнца над го-	------—
ризонтом.	Д/
D	Рис, 53
Вычисления:
Дх = Д/ tg a = 80 см • tg 25° = 37 см.
Ответ: Дх = 37 см.
1U1D. Человек смотрится в зеркало, подвешенное вертикально. Будут ли изменяться размеры видимой в зеркале части тела человека по мере удаления его от зеркала? Ответ пояснить построением и проверить на опыте.
Ответ: так как зеркало подвешено вертикально, то человек видит свое отражение, сформированное при нормальном падении лучей на поверхность зеркала. Размер такого изображения не зависит от удаленности предмета, поэтому изменяться не будет.
201
1017  Зная скорость света в вакууме, найти скорость света в алмазе.
Решение. Скорость света в вакууме сив веществе v связаны через коэффициент преломленияп:
8
и = £ = 3... .10 м/с = J 24 . 108 м/с п 2,42
Ответ: о = 1,24 • 108м/с.
1019 . Почему, сидя у горящего костра, мы видим предметы, расположенные по другую сторону костра, колеблющимися?
Ответ: температура и химический состав газа, поднимающегося от горящего костра, пространственно неоднородны и, кроме того, изменяются во времени. Поэтому коэффициент преломления этого газа также постоянно изменяется, и предметы, расположенные по другую сторону костра, выглядят колеблющимися.
1020  Почему, измеряя высоту небесного тела над горизонтом, мы находим ее большей, чем она есть в действительности?
Ответ: свет от небесного тела преломляется в атмосфере Земли, поэтому, измеряя высоту этого тела над горизонтом, мы находим ее большей, чем она есть в действительности.
10211  Угол падения луча на поверхность подсолнечного масла 60°, а угол преломления 36°. Найти показатель преломления масла.
В этой и последующих задачах данного параграфа, если нет специальных оговорок, второй средой является воздух, показатель преломления которого считать равным 1.
202
Решение. Если угол падения луча а, а угол преломления р, то отношение показателей преломления второй п2 и первой сред
п2 _ sin а пх sin р ’
откуда
п2 = ^1
sin а
sin р *
Вычисления:
«2= 1
sin 60° = j 47 sin 36°
Ответ: п2 = 1,47.
Ilb'Z. Ha какой угол отклонится луч от первоначального направления, упав под углом 45° на поверхность стекла? на поверхность алмаза?
Решение. Как следует из формулы
п2 _ sin а sin р ’
г» Л1 • sm 3 = — sin а, Л2
ГЛ1	“1
3 = arcsin — sin а . biz	J
Вычисления: для стекла
Р = arcsin [(1/1,16)] sin 45°] = 26°,
для алмаза
Р = arcsin [(1/2,42)] sin 45°] = 17°.
Ответ: для стекла р = 26°; для алмаза р = 17°.
203
IUZJ. Водолазу, находящемуся под водой, солнечные лучи кажутся падающими под углом 60° к поверхности воды. Какова угловая высота Солнца над горизонтом?
Решение. Вследствие преломления света на поверхности воды (см. задачу 1021)
а = arcsin [(п2/пr) sin Р]
и угловая высота над горизонтом у = 90° - а.
Вычисления:
а = arcsin [1,33 sin (90° - 60°)] = 41,7°; у = 90°-41,7° = 48,3°.
Ответ: у = 48,3°.
1024  Луч падает на поверхность воды под углом 40°. Под каким углом должен упасть луч на поверхность стекла, чтобы угол преломления оказался таким же?
Решение. Запишем условие равенства угла преломления: sin ас sin ав пс	пВ
откуда
sin ас = (nc/nB) sin ав.
Вычисления:
ас = arcsin [(1,6/1,33) sin 40°] = 50,6°.
Ответ: ас = 50,6°.
1026 . Луч переходит из воды в стекло. Угол падения равен 35°. Найти угол преломления.
Решение.
sin р = (nx/n2) sin а.
Вычисления:
Р = arcsin [(1,33/1,6) sin 35°] = 28,5°.
Ответ: Р = 28,5°.
204
1027  Вода налита в аквариум прямоугольной формы. Угол падения луча света на стеклянную стенку 78,1°. Найти угол преломления луча в воде при выходе из стекла. Зависит ли ответ задачи от: а) толщины стенок; б) показателя преломления данного сорта стекла?
Решение. Как видно из рисунка 54, на котором представлен ход лучей,
sin Р' = — sin а, Р' = а', Л2
П п	п 1 П п
sin р = — sin а' = — — sin а = Лз	п2 пз
Л1
= — sin а. лз
Вычисления:
Р = arcsin Г-?-- sin 78,1°1 L1 * Зо	J
= 47,4°.
Ответ: угол Р = 47,4°, не зависит от толщины стенок и сорта стекла.
1028  Под каким углом должен падать луч на поверхность стекла, чтобы угол преломления был в 2 раза меньше угла падения?
Решение. Воспользуемся условием р = а/2, тогда
П = _sin_2_ = 2 sin g/2cos а/2 = 2 cos sin а/2	sin а/2
откуда
а = 2 arccos (п/2).
Вычисления:
а = 2 arccos (1,6/2) = 74°.
Ответ: а = 74°.
205
1029. Под
каким углом должен упасть луч на стекло, что
бы преломленный луч оказался перпендикулярным к отраженному?
Решение. По условию задачи а + [3 = 90°, тогда
„ sin a sin а „
п = ---------- = ----- = tg о
sin(90° - а) cos а
а = arctg п.
Вычисления:
а = arctg 1,6 = 58°.
Ответ: а = 58°.
1031  Возьмите неглубокую чайную чашку, поставьте на стол и положите на ее дно монету. После этого отойдите от стола так, чтобы край чашки закрывал монету. Теперь, не меняя положения головы, попросите товарища налить в чашку воды. Монета станет снова видна. Сделайте чертеж, объясните явление.
Ответ: на рисунке 55 изображен ход лучей в случаях пустой (1) и полной (2) чашек. Вследствие преломления свет, отраженный от монеты, достигает глаза наблюдателя.
206
1032.
На дне пустого сосуда (рис. 56) лежит зеркало. Как
будет изменяться ход отраженного луча по мере заполнения сосуда водой?
Решение. Чем выше уровень воды в сосуде, тем раньше луч испытает преломление, и точка, в которой луч отражается от зеркала, сместится вправо. В результате луч будет смещаться вправо параллельно первоначальному направлению.
1033 . Мальчик старается попасть палкой в предмет, находящийся на дне ручья глубиной 40 см. На каком расстоянии от предмета палка попадет в дно ручья, если мальчик, точно прицелившись, двигает палку под углом 45° к поверхности воды?
Решение. Как показано на рисунке 57, наблюдатель видит предмет D в точке А вследствие преломления света на границе вода — воздух:
sin р = sin а/п.
Рис. 57
207
Смещение предмета от нормали
DC = ВС tg р = ВС  sin P  , 71 - sin2p
тогда смещение точки попадания палки в дно от пред-мета
AD = АС - DC = ВС tg а - ВС sin а - . - sin а
Вычисления:
ВС = 40 см, tg а = 1, sin а = 0,7, п = 1,3;
AD = 40 см (1 - 0,7/71.32 - 1.72 ) = 14 см.
Ответ: AD = 14 см.
1034. в
дно водоема глубиной 2 м вбита свая, на 0,5 м вы-
ступающая из воды. Найти длину тени от сваи на дне водоема при угле падения лучей 70°.
Решение. Как видно из рисунка 58, длина тени
L = h tg а + Н tg р,
где h — высота выступающей над водой части сваи, Н — глубина водоема. Так как
sin р = sin а/n и
tg в= Л_П,Р.
71 - sin2p
ТО
sin а
:	’ 2~
- sin а
L = h tg а + Н
sin а
:	. 2
- sin а
Вычисления:
L = 0’5 м
[ • tg 70° + 2м sin 70° _ о Л —..................    —	0,4 М.
71,зз2
9
- sin 70°
Ответ: L = 3,4 м.
208
IUJO. Луч падает под углом 60° на стеклянную пластину толщиной 2 см с параллельными гранями. Определить смещение луча, вышедшего из пластины.
Решение. Луч сместится на величину (см. задачу 1033)
L = h tg а - h tg Р,
где h — толщина пластинки, р — угол преломления. Так как
sin Р = sin - , п
то
L = h tg а - h   sin .
I 22
*]п - sin а
Вычисления:
т _ 2 см tg 60° - 2см sin 60° _ о Q л Lt — ---- 1 —   —---- — CM.
J1.62 - sin260°
Ответ: L = 2,2 cm.
1037  Найти смещение а луча, проходящего через прозрачную пластину с параллельными гранями, если угол падения луча равен а, угол преломления 0, а толщина пластины d. Может ли луч, пройдя через пластину с параллельными гранями, сместиться так, чтобы расстояние между ним и его первоначальным направлением было больше толщины пластины?
Решение. Выражение для смещения луча получено в предыдущей задаче:
а = d tg а - d tg у.
Используя выражение sin у = sin - и проводя триго-п
нометрические преобразования, получаем:
/	X
л л sin a	sin а
а = а —.......  -	...— .
/[ 2	/2	. 2
\л/1 - sin а л/п - sin а)
209
Чтобы выполнялось условие а > d, необходимо
sin а	sin а . m Л
— -	--->1, т. е.
/	. 2	/ 2.2
л/1 - sin а а/п - sin а
sin а >1-|- sin а 2~	I 2	2~
1 - sin а	л/л - sin а
Последнее условие легко выполнимо, например, в об-
ласти углов а С 90°, где sin аС1, поэтому
(1 - sm а) « (и - sin а).
Ответ: а = d(tg а - tg у); в области углов а С 90° возможно неравенство а> d.
1038  Вечером луч света от уличного фонаря падал под некоторым углом на поверхность воды в пруду. В морозную ночь пруд стал покрываться слоем прозрачного льда, который постепенно нарастал. Как изменялся ход луча в воде? Показатель преломления льда несколько меньше, чем воды.
Ответ: появление льда не скажется на величине угла преломления луча в воде (см. задачу 1027). Однако луч сместится от фонаря, так как коэффициент преломления льда меньше, чем воды, а точка преломления луча в воде опускается глубже. Следовательно, луч перемещается параллельно своему первоначальному направлению, удаляясь от фонаря.
1039  Где за ширмой (рис. 59, а, б) находится плоское зеркало, а где — треугольная стеклянная призма? Сделать пояснительные чертежи, указав ход лучей за ширмой.
210
Рис. 60
Ответ: на рисунке 60, а, б показан ход лучей в призме и при отражении от зеркала: за ширмой на рисунке 60, а находится зеркало, за ширмой на рисунке 60, б — призма.
1040.
Начертить дальнейший ход лучей, падающих в точ-
ки А и В от источника S, находящегося на дне сосуда, в кото-
рый налита вода (рис. 61).
Решение. Угол полного отражения определяется из условия
sin Ро = \ •
Для воды п = 1,33, поэтому ро = 49°. Из рисунка видно, что угол падения луча в точке А
Ра < Ро» следовательно, луч преломится на границе и выйдет из воды. В случае луча SB
Рв = 60° > р0, поэтому в точке В произойдет полное отражение, и луч зеркально отразится обратно в воду.
211
1042  Найти
показатель преломления рубина, если пре-
дельный угол полного отражения для рубина равен 34°.
Решение.
-1-8-
Ответ: п = 1,8.
1043- При
каком наименьшем значении преломляющего
угла А стеклянной призмы ВАС (рис. 62) луч SM будет претерпевать полное отражение?
Решение. Угол падения луча на грань АС равен углу А, следовательно, луч SM будет претерпевать полное отражение, если
А = arcsin n-1 = arcsin 1,6 1 = 39°.
Ответ: А = 39°.
1044 . Луч падает под углом 50° на прямую треугольную стеклянную призму с преломляющим углом 60°. Найти угол преломления луча при выходе из призмы.
Решение. Угол преломления луча на первой грани призмы
Р = arcsin sin 50 ° = arcsin si" У* ° =28,6°. n	1,6
212
Угол падения луча на вторую грань а'= 90° - 30° - р = 31,4°, тогда угол преломления
Р' = arcsin п sin а' = arcsin 1,6 sin 31,4° = 57°.
Ответ: Р' = 57°.
1045 . Луч падает перпендикулярно на боковую грань прямой стеклянной призмы, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине 20°. На сколько градусов отклонится луч при выходе из призмы по сравнению с первоначальным направлением, если луч внутри призмы падает: а) на вторую боковую грань; б) на основание?
Решение. В случае, если луч попадает на вторую боковую грань (луч 1 на рисунке 63): угол падения а = 20°,
угол преломления
Р = arcsin (и sin а) = arcsin (1,6 sin 20°) = 33°,
угол отклонения луча
у = Р - а = 33° - 20° = 13°.
Во втором случае (луч 2) угол падения на грань
а'= (180° - ос)/2 = 80°.
Рис, 63
213
Вычислим угол полного отражения в стекле (см. задачу 1040):
Ро = arcsin л-1 = arcsin Ьб”1 = 39°.
Таким образом, а' > Ро»
и луч зеркально отражается под углом а'.
Отклонение от первоначального направления
у = 180° - 2а' = 180° - 160° = 20°.
Ответ: а) у = 13° вверх; б) у = 20° вниз.
47. Дисперсия света. Интерференция, дифракция, поляризация света
1047  Сколько длин волн монохроматического излучения с частотой 600 ТГц укладывается на отрезке 1 м?
Решение. Найдем длину волны:
Х= V
тогда на отрезке L укладывается
N — L — Ъч X с
ДЛИН волн.
Вычисления:
N = * м ‘ бое ' ю12 Гц =2 • 106
3 • 108 м/с
Ответ: N = 2 • 106.
214
IU4G. Вода освещена красным светом, для которого длина волны в воздухе 0,7 мкм. Какой будет длина волны в воде? Какой цвет видит человек, открывший глаза под водой?
Решение. Длина волны X в среде уменьшается в п раз, где п — показатель преломления среды:
X =	= 0,53 мкм.
п 1,33
Под водой человек увидит красный цвет, так как воспринимаемый глазом цвет зависит от частоты, которая при переходе света в среду не изменяется.
Ответ: 7. = 0,53 мкм; красный.
1050  Показатель преломления для красного света в стекле (тяжелый флинт) равен 1,6444, а для фиолетового— 1,6852. Найти разницу углов преломления в стекле данного сорта, если угол падения равен 80°.
Решение. Угол преломления для красного света
Рк = arcsin (sin a/n) = arcsin (sin 80°/l,6444) = 36,79°,
для фиолетового
Рф = arcsin (sin 80°/l,6852) = 35,76°.
Таким образом,
Рк - Рф « 36,8° - 35,8° = 1°.
Ответ: 0К - рф= 1°.
1052  Через призму смотрят на большую белую стену. Будет ли эта стена окрашена в цвета спектра?
Ответ: большая белая стена может быть представлена как набор узких белых полос. Свет от каждой такой белой полосы будет разлагаться призмой в спектр, однако в точке наблюдения накладывается большое количество (от разных полос) различных участков спектра, поэтому свет получается снова белым.
215
1053 . На черную классную доску наклеили горизонтальную полоску белой бумаги. Как окрасятся верхний и нижний края этой полоски, если на нее смотреть сквозь призму, обращенную преломляющим ребром вверх?
Ответ: как следует из решения задачи 1050, красный свет преломляется больше, чем фиолетовый, поэтому верхний край полоски будет фиолетовым, а нижний — красным.
1054  Для получения на экране MN (рис. 64) интерференционной картины поместили источник света S над поверхностью плоского зеркала А на малом расстоянии от него. Объяснить причину возникновения системы когерентных световых волн.
Ответ: мнимое изображение источника S в зеркале будет являться вторым когерентным источником света, поэтому на экране возникает интерференционная картинка.
1055  Две когерентные световые волны приходят в некоторую точку пространства с разностью хода 2,25 мкм. Каков результат интерференции в этой точке, если свет: а) красный (X = 750 нм); б) зеленый (X = 500 нм)?
216
Решение. Вклад интерференционного члена в интенсивность определяется сдвигом фаз 5 интерферирующих волн:
cos 8 = cos Аг) ,
где X — длина волны, Аг — разность хода волн.
Для красного света
cos 8К = cos (2л • 2,25 мкм/0,750 мкм) = 1,
для зеленого
cos 83 = cos (2л • 2,25 мкм/0,5 мкм) = -1.
Сравнивая эти результаты (cos8K > cos 83), делаем вывод, что вследствие интерференции зеленый свет будет более ослаблен, чем красный.
1056  Два когерентных источника белого света и S2 освещают экран АВ, плоскость которого параллельна направлению 5^2 (рис. 65). Доказать, что на экране в точке О, лежащий на перпендикуляре, опущенном на экран из середины отрезка SlS2f соединяющего источники, будет максимум освещенности.
Решение. Разность хода волн Ar = OSX - OS2 = 0, сле-

довательно, cos 8 = cos
= 1, что соответствует
максимуму освещенности.
217
iuor. Экран AB освещен когерентными монохроматическими источниками света и S2 (рис. 65). Усиление или ослабление будет на экране в точке С, если: а) от источника S2 свет приходит позже на 2,5 периода; б) от источника S2 приходит с запозданием по фазе на Зл; в) расстояние S2C больше расстояния на 1,5 длины волны?
Решение, а) Если от одного из источников свет приходит позже на 2,5 периода, то разность хода
Аг = 2,5Т • с = 2,5Л,
cos 5 = cos I Ar") = cos 5 л = -1.
V Л /
В точке С будет ослабление.
б) cos 5 = cos Зл = -1.
В точке С ослабление.
в) Ar = 1,5Х, cos 5 = cos Зл = -1.
В точке С ослабление.
Ответ: а), б), в) ослабление освещенности в точке С.
1058  Расстояние S2C (см. рис. 65) больше расстояния 8гС на 900 нм. Что будет в точке С, если источники имеют одинаковую интенсивность и излучают свет с частотой 5 • 1014 Гц?
Решение. Длина волны излучения X = - , поэтому
ст = 2Д ДГ = 2nv ДГ. X	с
Вычисления:
в точке С ослабление,
g = 2л • 5 • 1014 Гц • 9 • 10~7 м = Зя
3 • 108 м/с
cos 5 = cos Зл = -1.
218
Так как интенсивности источников одинаковы, то в точке С будет полное погашение.
Ответ: полное погашение.
. Два когерентных источника Sj и S2 (см. рис. 65) ис-
пускают монохроматический свет с длиной волны 600 нм. Определить, на каком расстоянии от точки О на экране будет первый максимум освещенности, если
ОС = 4 м и S1S2 = 1 мм.
Решение. По условию задачи 5\£2 « ОС, следовательно, угол S^OSg мал, и разность хода лучей Аг при смещении от точки О на величину х равна:
Условие максимума

откуда Л ОС X = X • -7^- .
Вычисления:
х = 6 • 10 7м • 4 м/10 3 м = 2,4 мм.
Ответ: х = 2,4 мм.
1061  Между двумя шлифованными стеклянными пластинами попал волос, вследствие чего образовался воздушный клин. Почему в отраженном свете можно наблюдать интерференционную картину?
Ответ: интерференционная картина возникает в результате наложения световых волн, отраженных от поверхностей стекла, образующих клин.
219
IUOI. Почему при наблюдении на экране интерференционной картины от тонкой мыльной пленки, полученной на вертикально расположенном каркасе, в отраженном монохроматическом свете расстояние между интерференционными полосами в верхней части меньше, чем в нижней?
Ответ: в простейшем случае, когда угол падения монохроматического света на пленку мал, расстояние между двумя интерференционными максимумами равно:
Дх = | пер,
где п — показатель преломления, ф — угол клина, образованного поверхностями пленки. Мыльная пленка на вертикальном каркасе неоднородна по толщине, так как утолщается книзу за счет собственного веса. Следовательно, угол ф также изменяется, что приводит к изменению расстояния между интерференционными полосами в верхней и нижней части интерференционной картины.
1063  Почему в центральной части спектра, полученного на экране при освещении дифракционной решетки белым светом, всегда наблюдается белая полоса?
Ответ: условие максимума освещенности
d sin 0 = тпХ,
где d — период дифракционной решетки, 0 — угол дифракции, т — порядок дифракции, X — длина волны света, в центральной части спектра справедливо для всех длин волн, так как 0 = 0, т = 0, поэтому наблюдается белая полоса.
1064  В школе есть дифракционные решетки, имеющие 50 и 100 штрихов на 1 мм. Какая из них даст на экране более широкий спектр при прочих равных условиях?
220
Ответ: запишем условие дифракционного максимума
d sin 0 = znX,
где d — период дифракционной решетки, 0 — угол дифракции, т — порядок дифракции, Л — длина волны света.
По условию задачи период второй решетки меньше, следовательно, угол 0 больше, поэтому спектр шире.
1065  Как изменяется картина дифракционного спектра при удалении экрана от решетки?
Ответ: как следует из формулы d sin 0 = mX, при удалении экрана от решетки угол© не изменяется, следовательно, расстояние между максимумами на экране увеличивается.
1067  Определить
угол отклонения лучей зеленого света
(X = 0,55 мкм) в спектре первого порядка, полученном с помощью дифракционной решетки, период которой равен 0,02 мм.
Решение. Из формулы d sin 0 = тк находим
sin 0 =
тпХ
~сГ
Вычисления:
0 = arcsin (1 • 0,55 • IO-3 мм/0,02 мм) = 1,6°.
Ответ: 0 = 1,6°.
10691 . Для определения периода решетки на нее направили световой пучок через красный светофильтр, пропускающий лучи с длиной волны 0,76 мкм. Каков период решетки, если на экране, отстоящем от решетки на 1 м, расстояние между спектрами первого порядка равно 15,2 см?
1 В задачах 1069—1070 можно синусы углов заменить их тангенсами, так как эти углы малы.
221
Решение. Найдем угол дифракции 0 для дифракционного максимума первого порядка, воспользовавшись условием малости угла© « 1:
sin 0 « tg 0 = 0Д^2 м/2 = 0,076. 1 м
Тогда период
1 /пХ -j 0,76 мкм 1 п .........
а = ——- = 1 • —— = 10 мкм.
sin 0	0,076
Ответ: d = 10 мкм.
IUfU. Какова ширина всего спектра первого порядка (длины волн заключены в пределах от 0,38 до 0,76 мкм), полученного на экране, отстоящем на 3 м от дифракционной решетки с периодом 0,01 мм?
Решение. Воспользуемся условием sin0 » 0 « 1, тогда угловая ширина спектра
А0 = 0(Х2) - 0(Хх) =	
Ширина спектра на экране с учетом tg0 ® 0 равна:
(Х? - X,)L \х = \QL = 2	17 ,
а
где L — расстояние до экрана.
Вычисления:
Дх = (0,76 мкм - 0,38 мкм) • 3000 мм/0,01 мм = 11 см.
Ответ: Дх = 11 см.
1071  Свет, отраженный от поверхности воды, частично поляризован. Как убедиться в этом, имея поляроид?
Ответ: если на поляроид падает поляризованный свет, то интенсивность прошедшего пучка зависит от угла вращения поляроида вокруг оси пучка.
222
1072  Если смотреть на спокойную поверхность неглубокого водоема через поляроид и постепенно поворачивать его, то при некотором положении поляроида дно водоема будет лучше видно. Объяснить явление.
Ответ: как сказано в предыдущей задаче, свет, отраженный от поверхности воды, частично поляризован. Поэтому, поворачивая поляроид, можно добиться погашения части отраженного от поверхности света. Тогда неполяризованный свет, отраженный от дна, будет иметь относительно большую интенсивность, и дно водоема будет видно лучше.
1073 . На рисунке 66 дан график изменения проекции напряженности электрического поля электромагнитной волны в зависимости от времени для данной точки пространства (луча). Найти частоту и длину волны.

Рис. 66
Решение. По графику рисунка находим период волны Т = 2 • 10-15с, тогда частота и длина волны
Х = сТ.
Вычисления:
V = 500 ТГц; X = 3 • 108 м/с • 2 • 10"15 с = 600 нм.
Ответ: v = 500 ТГц; X = 600 нм.
223
ГЛАВА XV
Элементы теории относительности
48. Релятивистский закон сложения скоростей. Зависимость массы от скорости. Закон взаимосвязи массы и энергии
1075  Сравнить время приема светового сигнала, посланного с ракеты, если: а) ракета удаляется от наблюдателя; б) ракета приближается к наблюдателю.
Ответ: скорость света не зависит от скорости источника, следовательно, время приема светового сигнала, посланного с удаляющейся или приближающейся ракеты, одинаково.
1077  Две частицы, расстояние между которыми I = 10 м, летят навстречу друг другу со скоростями и = 0,6с1. Через сколько времени произойдет соударение?
Решение. Соударение произойдет через время
Z = ± = -1- =-------12м------ = 27,8 нс.
2и 1,2с	1,2 • 3 • 10 м/с
Ответ: t = 27,8 нс.
1 Скорость указана в долях скорости света в вакууме.
224
1 078- Две
частицы удаляются друг от друга со скоростью
0,8с относительно земного наблюдателя. Какова относитель-
ная скорость частиц?
Решение. Перейдем в систему координат, связанную с одной из частиц и движущуюся со скоростью и, тогда скорость второй частицы в этой системе координат
/- " + “г.
1 + vu/c
где v — скорость частицы относительно земного наблюдателя.
Вычисления:
v' = --0,8с + 0,8с- = 0976с
1 + 0,8с • 0,8с/с2
Ответ: v' = 0,976с.
1080  С космического корабля, движущегося к Земле со скоростью 0,4с, посылают два сигнала: световой сигнал и пучок быстрых частиц, имеющих скорость относительно корабля 0,8с. В момент пуска сигналов корабль находился на расстоянии 12 Гм от Земли. Какой из сигналов и на сколько раньше будет принят на Земле?
Решение. Скорость частицы относительно лабораторной системы отсчета
у=	,
1 + ии/с
где v' — скорость частицы относительно корабля, и — скорость корабля. Таким образом,
V = 0.8с + 0,4с	= 0>9с
1 + 0,8с • 0,4с/с2
Время прохождения сигналом расстояния L до Земли
225
Время прохождения этого расстояния световым сигналом
tc = с с
Искомая разность
\t = t- tc.
Вычисления:
о t =	12 -Юм =44с.
0,9 • 3 • 10 м/с
9
tc = 12 ' 10 м = 40 с;
3 • 10 м/с
М = 44 с - 40 с = 4 с.
Ответ: световой сигнал будет принят раньше на 4 с.
1082  Во сколько раз увеличивается масса частицы при движении со скоростью 0,99с?
Решение. Из формулы
то т = .... —
Л 7^
VI - v с
находим:
т =
---------------- = 7,09то, 71 - 0,992с2/с2
Ответ: т = 7,O9zno.
1 083. На
сколько увеличится масса а-частицы при движе-
нии со скоростью 0,9с? Полагать массу покоя а-частицы рав-
ной 4 а. е. м.
Решение. Из формулы
т =
Л 2 / 2 л/1 “ V /с
226
находим:
4 а. е. м.
71 - О,92с2/с2
Тогда
т - mQ = 9,18 а. е. м. - 4 а. е. м. = 5,18 а. е. м.
Ответ: масса увеличится на 5,18 а. е. м.
. С какой скоростью должен лететь протон (т0 =
= 1 а. е. м.), чтобы его масса стала равна массе покоя а-части-цы (ти0 = 4 а. е. м.)?
Решение. Из формулы
находим:
и = с 11 - pf = с |1 - Р а- е- М-У = 0,968с. у	J aJ V4 а. е. м./
Ответ: v = 0,968с.
1085  При какой скорости движения космического корабля масса продуктов питания увеличится в 2 раза? Увеличится ли вдвое время использования запаса питания?
Решение. Так как
то время использования запаса не изменится, т. е. продукты покоятся в системе отсчета, связанной с кораблем, и их масса в этой системе отсчета не изменится.
Ответ: v = 0,866с; время использования запаса не изменится.
227
1 086. Найти
отношение заряда электрона к его массе при
скорости движения электрона 0,8с. Отношение заряда элект
рона к его массе покоя известно.
Решение. Воспользуемся формулой
тогда
Вычисления:
- = 1,76•1011 Кл/кг 71 " 0,64с2/с2 = т
= 1,055 10й Кл/кг.
Ответ: е/пг = 1,055 • 1011 Кл/кг.
1087  Мощность общего излучения Солнца 3,83 • 1026 Вт.
На сколько в связи с этим уменьшается ежесекундно масса Солнца?
Решение. Согласно формуле Эйнштейна, энергия Е связана с массой т соотношением
Е = тс2, тогда
_ _ Е т -, с
где Е = Pt. Р — мощность излучения. Тогда
_ _ Pt т~
с
Вычисления:
-3,83'10,Тв;;1с= 4,3- ю9кг.
9	1 л16 I . I
• 10 м/с
Ответ: т = 4,3 Мт.
228
1088  Груз массой 18 т подъемный кран поднял на высоту
5 м. На сколько изменилась масса груза?
Решение. Энергия груза увеличилась на Е = m^gH,
где zn0 — масса груза, Н — высота подъема. По формуле Эйнштейна изменение массы
Azn = с
mQgH
2	*
С
Вычисления:
а _ 18 ♦ 103 кг • 9,8 м/с2 • 5 м 9 • 1016 м2/с2
= 10 11 кг
Ответ: Azn = 10 11 кг.
1090 • Масса
покоя космического корабля 9 т. На сколько
увеличивается масса корабля при его движении со скоростью 8 км/с?
Решение. Масса движущегося тела
поэтому
т0
т - znn =	— - znn.
° А 2^2	0
VI ~ V /с
Вычисления:
т- т0 =
з
=  ....-	9-10 кг	- 9 • 103 кг = 3,2 мг.
/	ч 2	о2
л/1 - (8 • 10 м/с) /(3 • 10 м/с)
Ответ: т - т0 = 3,2 мг.
229
I и» I  Два тела массами по 1 кг, находящиеся достаточно далеко друг от друга, сблизили, приведя их в соприкосновение. Будет ли суммарная масса покоя тел равна 2 кг?
Ответ: потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел, разнесенных на некоторое расстояние, больше, чем потенциальная энергия тел, приведенных в соприкосновение. Поэтому суммарная масса покоя уменьшится.
1092  Чайник с 2 кг воды нагрели от 10 °C до кипения. На сколько изменилась масса воды?
Решение. Энергия воды увеличилась на
Е = тосв \Т,
где mQ — масса воды, св — удельная теплоемкость воды, АТ — изменение температуры. Изменение массы
2 С
Вычисления:
д 2 кг • 4,2 • 103 Дж/(кг • К) • (100°C - 10°C) = Л лм16 2 , 2 9-10 м/с
= 8,4 • 10 12 кг.
Ответ: Azn = 8,4 • 10-12 кг.
Azn = — с
1093  На сколько изменяется масса 1 кг льда при плавлении?
Решение. Зная удельную теплоту плавления q льда, находим величину, на которую увеличится энергия льда массой zn0 в результате плавления:
Е = qm0,
тогда изменение массы
Ат= —2
= mQg 2
230
Вычисления:
^rn = 330 • 1Q3 Дж/кг • 1 кг л -л16	2 . 2
9-10 м/с
= 3,7 • 10-12 кг.
Ответ: Ат = 3,7 • 10 12 кг.
IU94. На сколько отличается масса покоя продуктов сгорания 1 кг каменного угля от массы покоя веществ, вступающих в реакцию?
Решение. Энергия, выделяемая в результате сгорания топлива массой mQ с удельной теплотой сгорания д, есть £ = qmQ, тогда изменение массы
^т~ ~2 -С с
Вычисления:
Ьт = 29- 106 Дж/кг -1кг = 3>2 . 1О-ЮКГ л « л 1 Ь i . i 9-10 м/с
Ответ: Azn = 3,2 • 10 10 кг.
1095  Найти кинетическую энергию электрона (в МэВ)1 2, движущегося со скоростью 0,6с.
Решение. Кинетическую энергию Ек движущегося со скоростью и электрона найдем как разность энергий движущегося и покоящегося электрона:
2 „	2	^ППС	„	2
Е = тс =	0	- , £n = znnc .
л/1 - V /с
1 В этой и ряде последующих задач целесообразно использо-
2
вать значение энергии покоя частиц тпос , выраженной в мегаэлектронвольтах.
231
Таким образом,

т0
Л 2 , 2 VI ~ V /с
Вычисления:
Ек = 0,511 МэВ
то
71 - о,зб
= 0,128 МэВ.
Ответ: Ек = 0,128 МэВ.
1096  Ускоритель Ереванского физического института позволяет получать электроны с энергией 6 ГэВ. Во сколько раз масса таких электронов больше их массы покоя? Какова масса этих электронов (в а. е. м.)?
Решение. Запишем отношение массы т электрона с энергией Е к массе покоя mQ
т ___ Е ____	6 ГэВ ____ -«I 700
" 0,511 МэВ "
поэтому
т = 11 7OOzno = 11 700 • 5,5 • 10~4 а. е. м. = = 6,44 а. е. м.
Ответ: m/mQ = 11 700; т = 6,44 а. е. м.
1098  Найти кинетическую энергию электрона, который движется с такой скоростью, что его масса увеличивается в 2 раза.
Решение. Воспользуемся формулой
т _ Е т» ™ z.2 о ТПцС
и условием m/mQ = 2, тогда
-Д- =	=2, Е = 2тос2.
тос2 то	°
232
Таким образом, кинетическая энергия
2	2	2	2
Ек = Е - mQc = 2mQc - mQc = mQc .
Ответ: Ек = 0,511 МэВ.
1 099. Найти стью 0,8с.
импульс протона, движущегося со скоро-
Решение. Импульс протона р = то, где
Отсюда
71 - V2/C2
Вычисления:
= 1,67 • 10~27 кг • 0,8 • 3 • 108 м/с 71 - 0,82
= 6,68 • 10 19 кг • м/с.
Ответ: р = 6,68 • 10~19 кг • м/с.
ГЛАВА XVI
Световые кванты.
Действия света
49. Фотоэлектрический эффект. Фотон. Эффект Комптона. Давление света
1100  В опыте по обнаружению фотоэффекта цинковая пластина крепится на стержне электрометра, предварительно заряжается отрицательно и освещается светом электрической дуги так, чтобы лучи падали перпендикулярно плоскости пластины. Как изменится время разрядки электрометра, если: а) пластину повернуть так, чтобы лучи падали под некоторым углом; б) электрометр приблизить к источнику света; в) закрыть непрозрачным экраном часть пластины; г) увеличить освещенность; д) поставить светофильтр, задерживающий инфракрасную часть спектра; е) поставить светофильтр, задерживающий ультрафиолетовую часть спектра?
Ответ: количество электронов, выходящих с поверхности цинковой пластины, зависит от числа N фотонов достаточно большой энергии, падающих на поверхность в единицу времени. Величина N уменьшается, если: а) пластину повернуть так, чтобы лучи падали под некоторым углом, в) закрыть непрозрачным экраном часть пластины или е) поставить светофильтр, задерживающг. й высокочастотную ультрафиолетовую часть спектра. Поэтому время разрядки электрометра в перечисленных выше случаях увеличится. Величина N увеличивается, если: б) электрометр приблизить к источнику света или г) увеличить освещенность. В этих случаях время разрядки электрометра умень
234
шается. Если же поставить светофильтр, задерживающий малоэнергетичную инфракрасную часть спектра (д), то время разрядки не изменится, так как энергия этих фотонов недостаточна для фотоэффекта.
1101 . Как зарядить цинковую пластину, закрепленную на стержне электрометра, положительным зарядом, имея электрическую дугу, стеклянную палочку и лист бумаги? Палочкой прикасаться к пластине нельзя.
Ответ: необходимо зарядить стеклянную палочку положительным зарядом, потерев ее листом бумаги и поднести ее к цинковой пластине, освещенной светом электрической дуги. В результате фотоэффекта электроны покидают поверхность пластины и притягиваются положительным зарядом стеклянной палочки. При этом пластина заряжается положительным зарядом.
1102  При какой минимальной энергии квантов произойдет фотоэффект на цинковой пластине?
Ответ: минимальная энергия Е кванта должна быть равна работе выходаА электрона с поверхности цинка:
Е=А = 4,2эВ.
1104  Длинноволновая (красная)
граница фотоэффекта для
меди 282 нм. Найти работу выхода электронов из меди (в эВ).
Решение. Аналогично решению задачи 1102
А = Е, Е = hv, v = £,
A
тогда
Вычисления:
А = 4,136 • IO'15 эВ • с • 3 • 108 м/с = 4 4 дБ 2,82 • 107 м
Ответ: А = 4,4 эВ.
235
1105  Найти
красную границу фотоэффекта для калия.
Решение. Воспользовавшись формулой?! = hc/\, получаем л _ he
А А '
Вычисления:
,	4,136 • 10 15 эВ • с • 3 • 108 м/с	„„
Х = ---------2Т^В------------ = 564 НМ-
Ответ: X = 564 нм.
I IUO. Возникнет ли фотоэффект в цинке под действием облучения, имеющего длину волны 450 нм?
Решение. Энергия кванта с длиной волны X = 450 нм
гт __ he Б--.
Вычисления:
Е = 4,136 • 10~15 эВ • с • 3 • 108 м/с = 2 8 эВ
4,5 • 107 м
Работа выхода с поверхности цинка
А = 4,2эВ>Е.
Ответ: так как работа выхода больше энергии кванта, то фотоэффект наблюдаться не будет.
1107  Какую максимальную кинетическую энергию имеют электроны, вырванные из оксида бария, при облучении светом частотой 1 ПГц?
Решение. Максимальная кинетическая энергия Ек электронов, вырванных из оксида бария,
£K = Av-A,
где А — работа выхода.
236
Вычисления:
Ек = 4,136 • 10’15эВ • с • 1015 Гц - 1 эВ = 3,14 эВ.
Ответ: Ек = 3,14 эВ.
I IUO. Какую максимальную кинетическую энергию имеют фотоэлектроны при облучении железа светом с длиной волны 200 нм? Красная граница фотоэффекта для железа 288 нм.
Решение. Аналогично предыдущей задаче
EK = Av-A,
где v = с/Х, А = hc/'kfr Хо — красная граница фотоэффекта.
Таким образом, Ек = hcQ~l - х;1).
Вычисления:
Ек = 4,136 • 10 15 эВ • с • 3 • 108 м/с • [(2 • 10-7m)-1--(2,88 • 10~7 м)-1] = 1,9 эВ.
Ответ: Ек = 1,9 эВ.
1109  Какой длины волны надо направить свет на поверхность цезия, чтобы максимальная скорость фотоэлектронов была 2 Мм/с?
Решение. Уравнение, описывающее фотоэффект,
2
Для электромагнитной волны длина волны задана формулой
х=~.
237
Тогда
9
А + nw /2
Учтем, что работа выхода электронов для цезия
А = 2,88 • 10 19 Дж.
Вычисления:
х =
6,63 • 10 34 • 3 • 108
<2,88 • 10 19 + 1/2 • 9,1 • 10 31 • (2 • 106)2, = 94,4 нм.
Ответ: X = 94,4 нм.
м =
 Найти максимальную кинетическую энергию фото
электронов, вырванных с катода К (рис. 67), если запирающее напряжение равно 1,5 В.
-О О
а b
Рис. 67
Решение. При торможении в электрическом поле энергия электронов уменьшается на величину
AVK = еи,
где U — разность потенциалов между электродами. С другой стороны, изменение энергии электрона равно его исходной кинетической энергии, поскольку он останавливается в запирающем поле:
= AW.
238
Поэтому исходная кинетическая энергия равна: АТУ = eU.
Вычисления:
\W= 1,6 • 10 19Кл • 1,5 В =
= 2,56 • 10 19 Дж = 1,5 эВ.
Ответ: ДЖ =1,5 эВ.
I I !О. К вакуумному фотоэлементу, у которого катод выполнен из цезия, приложено запирающее напряжение 2 В. При какой длине волны падающего на катод света появится фототок?
Решение. Кинетическая энергия электронов, вылетающих с катода, равна задерживающему потенциалу, умноженному на заряд электрона:
2
2
Используем также уравнение фотоэффекта 2
2
Кроме того, для электромагнитной волны v = с/Х. В итоге получим:
X = А + eU
Вычисления:
у _ (	6,63 • ю'34 • 3 • 108	1	_
-19	-19 I М
<2,88 • 10	+ 1,6 • 10	• 2 >
= 3,3 • 10-7м = 330нм, где А = 2,88 • 10~19 Дж — работа выхода электронов для цезия.
Ответ: X = 330 нм.
239
1114. Какое запирающее напряжение надо подать, чтобы электроны, вырванные ультрафиолетовым светом с длиной волны 100 нм из вольфрамового катода, не могли создать ток в цепи?
Решение. Из формул задачи 1113 получим
eV X /
Вычисления:
и=(-----i---
11,6 • 10 19
6,63 • 10-34 - З Ю8 _0>72 . 10-18^ в
100 • 10 9	))
= 7,9 В.
Ответ: U = 7,9 В.
1115 . Для определения постоянной Планка была составлена цепь, показанная на рисунке 68. Когда скользящий контакт потенциометра находится в крайнем левом положении, гальванометр при освещении фотоэлемента регистрирует слабый фототок. Передвигая скользящий контакт вправо, постепенно увеличивают запирающее напряжение до тех пор, пока не прекратится фототок. При освещении фотоэлемента фиолетовым светом с частотой v2 = 750 ТГц запирающее напряжение U32 = 2 В, а при освещении красным светом с частотой Vj = 390 ТГц запирающее напряжение U3l = 0,5 В. Какое значение постоянной Планка было получено?
Рис. 68
240
Решение. Запирающий потенциал определяется кинетической энергией электронов, вылетающих из катода:
2
=eU3.
Используем также уравнение фотоэффекта:
2
hv = A+™ 2
Тогда
тт _ hv _А
3 е е '
На основании этого уравнения
^31= hl
^з2= h2
А е А е
Вычитая из второго уравнения системы первое, получаем
й_С^з2 ~ ^з1) v2 - V1
Вычисления:
Д^-С-
V (750 - 390) • 10	)
= 6,7 • 10’34 Дж • с.
Ответ: Л = 6,7 • 10 34 Дж • с.
1116  В установке, изображенной на рисунке 68, катод фотоэлемента может быть выполнен из различных материалов. На рисунке 69 приведены графики зависимости запирающего напряжения U3 от частоты v облучающего света для двух разных материалов катода. Обосновать линейность этой зависимости. Какой из материалов имеет большую работу выхода? Какой физический смысл точек А и В на графике?
241
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой (см. задачу 1115)
[73 = - • v - - • 3 е е
Это уравнение показывает, что имеется линейная связь запирающего потенциала U3 и частоты v падающего света. При этом угловой коэффициент прямой, изображающей данную зависимость, равен h/e и не изменяется с заменой материала катода, поэтому прямые I и II на рисунке 69 параллельны.
Точки пересечения этих прямых с осью ординатА и В определяются работой выхода электронов для данных материалов катода, отнесенной к величине элементарного заряда.
Ордината точки А равна -А^/е, а ордината точки В равна -Аи/е. Из рисунка видно, что -Ап > Av
1117  Определить энергию фотонов, соответствующих наиболее длинным (X = 760 нм) и наиболее коротким (X = 380 нм) волнам видимой части спектра.
Решение. Энергия фотона определяется формулой
E = hv = h$.
Л.
242
Вычисления: при = 760 нм
Ех = [б,63 • 10 34 3 ' 1()8 | Дж = 2,62 • 1019Дж; к	760 • 10 )
при Х2 = 380 нм
Е2 = | 6,63 • 1(Г34 3 ' 1()8 Q | Дж = 5,23 • 10'19Дж. к	380 • 10 )
Ответ: Ег = 2,62 • 1019 Дж; £2 = 5,23 • 10-19 Дж.
1118  К какому виду следует отнести лучи, энергия фотонов которых равна: а) 4140 эВ; б) 2,07 эВ?
Решение. Длина волны фотона определяется формулой
X = he Л Е •
Вычисления:
\ = f0!03-:. !0-34. Дж ~с; з • ю8 м/с') = 0 3 нм;
к 4140 эВ • 1,6 • 10 19 Дж/эВ )
Х2 = (6’63 • 10~34 Дж • с • 3 • 108 м/с] = б01 нм> I 2,07 эВ • 1,6 • 10 19 Дж/эВ )
Ответ: длина волны относится к рентгеновскому диапазону спектра, а Х2 — к видимому диапазону спектра.
1120  Найти частоту и длину волны излучения, масса фотонов которого равна массе покоя электрона.
Решение. Масса покоя электрона, выраженная в энергетических единицах,
Е = тпес2 = 9,1 • 10’31 кг • (3 • 108 м/с)2 = = 8,19 • 10-14 Дж = 512 кэВ.
243
Частота и длина волны фотона, обладающего такой энергией, определяются соотношениями:
Вычисления:
v =	8,19 • 10 14 Дж = 124 . 1020 Гц.
6,63 • 10 34 Дж • с
= 3 • 108 м/с • 6,63 • 10~34 Дж • с = 8,19 • 10~14 Дж
= 2,43 • 1012 м = 2,43 пм.
Ответ: v = 1,24 • 1О20 Гц; л = 2,43 пм.
1122  Каков импульс фотона, энергия которого равна 3 эВ?
Решение. Модуль импульса фотона, имеющего энергию £,
р = ?
Вычисления:
р_3»В-1,6 Ю^Дж/эВ _ j g . 10-27кг . м/с 3 • 10 м/с
Ответ: р = 1,6 • 10 27 кг • м/с.
1123  При какой скорости электроны будут иметь энергию, равную энергии фотонов ультрафиолетового света с длиной волны 200 нм?
Решение. Энергия фотона г» __________________ he
Е1“-’
244
при этом энергия электрона
2
Е2-^~ = £г
Тогда
v = \ тиХ
Вычисления:
v = 1г • 6,63 • 10~34 Дж • с • 3 • Ю8 м/с = 9,1 • 10“31 кг • 200 • ю'9 м
= 1,48 • 106 м/с = 1480 км/с.
Ответ: v = 1480 км/с.
1125  Источник света мощностью 100 Вт испускает 5 • 1О20 фотонов за 1 с. Найти среднюю длину волны излучения.
Решение. Энергия одного фотона
£=',
п
где Р — мощность источника света, п — число фотонов, испускаемых за 1 с. Длина волны фотона с энергией Е
_ he _ hen Е Р
Вычисления:
К = 6,63 • 10~34 Дж с- З Ю8 м/с-5 1020 = 0 99 мкм
100
Ответ: X = 0,99 мкм.
1126  Тренированный глаз, длительно находящийся в темноте, воспринимает свет с длиной волны 0,5 мкм при мощности 2,1 • 1017 Вт. Верхний предел мощности, воспринимаемый безболезненно глазом, 2 • 10~5 Вт. Сколько фотонов попадает в каждом случае на сетчатку глаза за 1 с?
245
Решение. Число фотонов, попадающих в глаз за 1 с,
п = — . he
Вычисления:
нижний порог чувствительности глаза:
0,5 • 10*6 м • 2,1 • 10-17 Вт „-1,
«min = -------=зЗ------------8--- = 53 С 5
6,63 • 10 Дж • с • 3 • 10 м/с
верхний предел:
0,5 • 10~6 м2- 10~5 Вт = 5 . 1Q13 -1
ШаХ 6,63 • 10*34 Дж • с • 3 • 108 м/с
Ответ: nrain = 53 с’* 1; пгаах = 5 • 1013 с'1.
I Idf. Чем более высокое напряжение прикладывается к рентгеновской трубке, тем более «жесткие» (т. е. с более короткими волнами) лучи испускает она. Почему? Изменится ли «жесткость» излучения, если, не меняя анодного напряжения, изменить накал нити катода?
Ответ: жесткость рентгеновского излучения определяется энергией фотонов, последняя же пропорциональна энергии электронов в окрестности анода. Энергия электронов у анода определяется разностью потенциалов катода и анода трубки и не зависит от температуры нити катода. Накал нити катода влияет лишь на число электронов, достающих до анода.
1128  Под каким напряжением работает рентгеновская трубка, если самые «жесткие» лучи в рентгеновском спектре этой трубки имеют частоту 1019 Гц?
Решение. Энергия самых жестких рентгеновских фотонов равна энергии падающих на анод электронов:
йу = Е.
246
Энергия электрона, проходящего разность потенциалов U между катодом и анодом,
E = eU,
где е — заряд электрона. Тогда
е
Вычисления:
и = 6’63 • 10~34 Дж • 3 • 1q19 гЦ = 41 кВ.
1,6 • 10~19 Кл
Ответ: U = 41 кВ.
I	Для определения минимальной длины волны в рентге-
новском спектре пользуются формулой X = 1,24/17 (где X — минимальная длина волны, нм, U — напряжение на трубке, кВ). Вывести эту формулу. Какова минимальная длина волны рентгеновского излучения, если анодное напряжение трубки 20 кВ?
Решение. Связь напряжения U на рентгеновской трубке с минимальной длиной волны X рентгеновского излучения можно получить, воспользовавшись формулой
и=^, е
а так как v = с/Х, то
Вычисления:
he = 6,63 • 10~34 Дж • с • 3 • 108 м/с = 1 24 нм • В-
е	1,6 • 1019 Кл
при 17 = 20 кВ
л_1,24нм-В_до Л = —-------— = о 2 пм.
20 • 10 В
Ответ: X = 62 пм.
247
I I OU. Рентгеновская трубка, работающая под напряжением 50 кВ при силе тока 2 мА, излучает 5 • 1013 фотонов в секунду. Считая среднюю длину волны излучения равной 0,1 нм, найти КПД трубки, т. е. определить, сколько процентов составляет мощность рентгеновского излучения от мощности потребляемого тока.
Решение. Полезная мощность рентгеновского излучения
где п — число фотонов, излучаемых за 1 с, X — средняя длина волны излучения. Полная электрическая мощность рентгеновской трубки
Р = UI,
где U — напряжение на трубке, I — сила тока, проходящая через трубку. Тогда КПД
Г| =	• 100% = n/tCXI/1j0% •
Вычисления:
п = Гб • 1013 • 6,63 • 10~34 • 3 • 108>) . 10()0/о = Одо/о V0.1 • 10 • 50 • 10 • 2 • 10 )
Ответ: д = 0,1% .
1131  На сколько изменяется длина волны рентгеновских лучей при комптоновском рассеянии под углом 60°? (Хк = = 2,4263 • 10~12 м.)
Решение. При рассеянии рентгеновского фотона на электронах (эффект Комптона) происходит увеличение длин волн излучения на величину
- 2Л 2 0 ДА — — sin — , тс 2
где т — масса электрона, 0 — угол между направлениями первичного и рассеянного фотонов.
248
Вычисления:
Ы =	2-6,63- 10~34 Дж • с sin2 Г60Ч = 1>21 пм
9,1 • 10'31 кг • 3 • 108 м/с 2 J
Ответ: длина волны увеличится на 1,21 пм.
1132  Найти длину волны рентгеновских лучей (X = 20 пм) после комптоновского рассеяния под углом 90°.
Решение. Из решения задачи 1131 имеем р___________________л । 2Л -2 0
К = К 4- — Sin - .
тс 2
Вычисления:
А.' = 20 пм + 2 • 2,43 пм • sin2 (90°/2) = 22,43 пм, где Хк = h/(mc) = 2,43 пм — комптоновская длина волны электрона.
Ответ: К = 22,43 пм.
1133 . При облучении графита рентгеновскими лучами длина волны излучения, рассеянного под углом 45°, оказалась равной 10,7 пм. Какова длина волны падающих лучей?
Решение. Из решения задачи 1131 имеем
А,'- А.= ДХ = 2А sin2 тс 2 поэтому длина волны падающего излучения
X = А.' - ДА. = А.' - 2Х„ sin2 9 . к 2
Вычисления:
к = 10,7 пм - 2 • 2,43 пм • sin2 (45°/2) = 10 пм.
Ответ: X = 10 пм.
249
I 1ОЭ. Длина волны рентгеновских лучей после комптоновского рассеяния увеличилась с 2 до 2,4 пм. Найти энергию электронов отдачи.
Решение. Кинетическая энергия электрона отдачи равна разности энергий падающего и рассеянного фотонов, т. е.
Вычисления:
Е = 6,63 • 10 34 Дж • с • 3 • 108 м/с (-1- - —-—'J = к	' <2 пм 2,4 пм/
= 1,7 • 1014 Дж = 0,1 МэВ.
Ответ: Ек = 0,1 МэВ.
I IOO. Угол рассеяния рентгеновских лучей с длиной волны 5 пм равен 30°, а электроны отдачи движутся под углом 60° к направлению падающих лучей. Найти: а) импульс электронов отдачи; б) импульс фотонов рассеянных лучей.
Решение. Введем обозначения:pQ — импульс электрона, рг = й/Х — импульс первичного фотона,р2 = h/K — импульс рассеянного фотона. При этом
Pi = Ро + Р2-
Из треугольникаАВС (рис. 70) получаем:
Р2 _ Pi _ Pq sin 60° sin 90° sin 30° ’
250
поэтому
а)	Ро = Pi sin 30° = sin 30°;
Л
б)	р2 = Pi sin 60° = £ sin 60°.
Л
Вычисления:
а)р0 = 6>' 10 3* Дж ' с sin 30° = 6,63 • КГ23 кг • м/с; 5 • 10 м
б)р2 = 6,63 ' 10 3* Дж ‘ с sin 60° = 1,15 • IO’22 кг • м/с. 5 • 10 м
Ответ:р0 = 6,63 • 10-23 кг • м/с;р2 = 1Д5• 10 22 кг* м/с.
1137
 Рентгеновские
лучи с длиной волны 20 пм рассеива-
ются под углом 90°. Найти импульс электронов отдачи.
Решение. Из условия задачи следует, что угол между импульсом первичногорг и импульсом рассеянного фотона р2 равен 90°, поэтому импульс электрона отдачи
/2	2
Ро = чР1 "* Рг
= Л 1 + --------1 .
I 9	2
Ца (X + ДХ)
Из формулы для изменения длины волны излучения при эффекте Комптона получим:
АХ = 2ХК sin2 (90°/2) = Хк.
Наконец,
Po=hj¥* у Л
1
(X + ДХ)2
Вычисления:
р0 = 6,63 • 10 34 Дж • с ---J—+ -----------i----------
N(20 пм) (20 пм + 2,43 пм)
= 4,44 • 10 23 кг • м/с.
Ответ: р0 = 4,44 • 10”23 кг • м/с.
251
1139  В научной фантастике описываются космические яхты с солнечным парусом, движущиеся под действием давления солнечных лучей. Через какое время яхта массой 1 т приобре-ла бы скорость 50 м/с, если площадь паруса 1000 м , а среднее давление солнечных лучей 10 мкПа? Какой путь прошла бы яхта за это время? Начальную скорость яхты относительно Солнца считать равной нулю.
Решение. Сила, действующая на космическую яхту, равна произведению площади S паруса на давление р света:
F = pS.
Изменение импульса яхты равно импульсу силы/'’ за время t:
mv = Ft = pSt, откуда
. _ mv pS' Ускорение яхты
a=' =£3,
m m
поэтому пройденный путь
2 J = at 2 '
Тогда
2
7 = mv 2pS *
Вычисления:
з .	10 кг • 50 м/с г m6n kq
t = ---------------- = 5 • 10 c = oo сут;
10 • 10’6 Па • 103 м
» _	103 кг • (50 м/с)2	_
L	-6	3	2
2 • 10 • 10 Па • 10 м
= 1,25 • 108 м = 125 000 km.
Ответ: t = 58 сут; I = 125 000 km.
252
ГЛАВА XVII
Атом и атомное ядро
50. Ядерная модель атома. Испускание и поглощение света атомом. Лазер
1140  При облучении атом водорода перешел из первого энергетического состояния в третье. При возвращении в исходное состояние он сначала перешел из третьего во второе, а затем из второго в первое. Сравнить энергии фотонов, поглощенных и излученных атомом.
Ответ: энергия излучаемого или поглощаемого атомом фотона определяется разностью энергии стационарных состояний, поэтому энергия поглощенного фотона равна Е3 - энергия первого излученного фотона Е3 - Е2, а энергия второго излученного фотона Е2 - Ev
Поэтому энергия поглощенного фотона равна сумме энергий двух излученных фотонов.
1142  При облучении паров ртути электронами энергия атома ртути увеличивается на 4,9 эВ. Какова длина волны излучения, которое испускают атомы ртути при переходе в невозбужденное состояние?
Решение. Обозначим через АЕ дополнительную энергию, получаемую атомом ртути, тогда частота излучения атома
_ ЬЕ
253
а длина волны
Х= с- = с* v ЛЕ
Вычисления:
X = З Ю8 м, с • 6,63 • 10~34 Дж с = 253 нм
4,9 эВ • 1,6 • 10’19 Дж/эВ
Ответ: X = 253 нм.
I 1ЧО. Для ионизации атома азота необходима энергия 14,53 эВ. Найти длину волны излучения, которое вызовет ионизацию.
Решение. Энергия ионизирующего атом фотона должна быть не меньше энергии ионизацииEQ, поэтому
Av > Ео.
Тогда
ЛЕ
Вычисления:
Л < 6’63 • 10-34 Дж • с • 3 • Ю8 м/с = 85)3 нм 14,53 эВ • 1,6 • 10 19 Дж/эВ
Ответ: X < 85,3 нм.
1144  Для однократной ионизации атомов неона требуется энергия 21,6 эВ, для двукратной — 41 эВ, для трехкратной — 64 эВ. Какую степень ионизации можно получить, облучая неон рентгеновскими лучами, наименьшая длина волны которых 25 нм?
Решение. Наименьшей длине волны X соответствует максимальная энергия рентгеновских фотонов:
р —he
2:4 max	~ ’
254
Вычисления:
Г _ 6,63 • 10~34 Дж • с • 3 • 108 м/с _
^тах	_9
25 • 10 м
= 7,95 • 10’18 Дж = 49,6 эВ.
Поскольку
64 эВ > 49,6 эВ > 41 эВ,
возможна однократная и двукратная ионизация.
1145. во сколько раз изменится энергия атома водорода при перехода атома из первого энергетического состояния в третье? при переходе из четвертого энергетического состояния во второе?
Решение. Атом водорода характеризуется уровнем энергии:
т е4
где п = 1, 2, 3, ..., оо; Ян = —--постоянная Рид-
8е0Л с
берга. В основном состоянии п = 1 и энергия атома минимальна.
При переходе из первого энергетического состояния в третье энергия атома увеличивается от величины
Ех = -йс/?н до Е3 = йс/?н = Ех/9. 3
При переходе из четвертого энергетического состояния во второе энергия атома уменьшается от
Е4 = -±йсЯн = Е1/16
4
ДО
~ ~j hcRyi — E-J4.
255
1146. Во
сколько раз длина волны излучения атома водоро
да при переходе из третьего энергетического состояния во второе больше длины волны излучения, обусловленного переходом из второго состояния в первое?
Решение. Согласно второму постулату Бора, частота излучения атома при переходе с энергетического уровня Еп на энергетический уровень Ет равна:
тогда соответствующая длина волны
л _ he
"   ф nrn E - E n m
Учитывая, что энергетические уровни в атоме водорода определяются первой формулой в решении задачи 1145, имеем:
пт	2	2 *
Ян(1/т - 1/п)
Для перехода из третьего энергетического состояния во второе
1	_	1	_36
Л32	9 Г	‘
Ян(1/2г - 1/Зг)
При переходе из второго энергетического состояния в первое
X -	1	- 4
Л21	-------2-----2---‘
Ян(1/1 - 1/2 )
Тогда
= 5,4-^21
Ответ: ^32/^21 = 5,4.
256
1147  В 1814г. И. Фраунгофер обнаружил четыре линии поглощения водорода в видимой части спектра Солнца. Наибольшая длина волны в спектре поглощения была 656 нм. Найти длины волн в спектре поглощения, соответствующие остальным линиям.
Решение. Для определения длины волны линий поглощения водорода необходимо воспользоваться формулой
^пт	2	Т” ’
Яц(1/м - 1/л)
Вычисления:
*н =
= ________9,11 • IO'31 кг  (1,602 • 10~19 Кл)4_
8(8,854 • 10'12 Ф/м)2(6,626 • 10~34 Дж • с)3(2,998 м/с)
= 1,097 • 107м-1.
Длине волны X = 656 нм соответствует линия поглощения стп = 2ип = 3 (переход со второго на третий энергетический уровень). Более коротковолновые линии в видимой части спектра соответствуют переходам с энергетических уровней с п = 4, 5, 6 на второй энергетический уровень. Итак,
Ян(1/22 - 1/42)
_______1_______
Ян(1/22 - 1/52)
_______1_______
Ян(1/22 - 1/62)
5,33	j©/»
—= 486 нм;
Ян
4^ = 434 нм; дн
4^ =410 нм. дн
Ответ: Х42 = 486 нм; Х52 = 434 нм; Х62 = 410 нм.
257
1149  Найти наибольшую длину волны в ультрафиолетовом спектре водорода.
1
Решение. Ультрафиолетовый спектр водорода описывается формулой
41 =	г
Ян(1 - 1/п )
при т = 1 и п = 2, 3, 4, ... .
Наибольшая длина волны соответствует случаю л = 2:
х =________1_____.
Ян(1 - 1/22)
Вычисления:
^тах
--------- = 121,5 нм.
1,097 • Ю м (1 - 1/2г)
Ответ: Хтах = 121,5 нм.
1150  Какой длины волны надо направить свет на водород, чтобы ионизировать атомы?
Решение. Атом водорода характеризуется энергетическими уровнями
„ hcR„ <0-п
Невозбужденное (основное) состояние атома водорода соответствует п = 1, при этом
Е1 = -hcRw
При ионизации энергия атома становится положительной, поэтому для ионизации необходима энергия ^ион = 1^11 = hcRn.
Такую энергию имеет фотон с длиной волны
= А =91,2 нм.
Ь ион
Также ионизацию может осуществить фотон с более короткой длиной волны X < 91,2 нм.
258
I 1Э I  Какую минимальную скорость должны иметь электроны, чтобы перевести ударом атом водорода из первого энергетического состояния в пятое?
Решение. В соответствии с первой формулой в решении задачи 1145 изменение энергии при переходе атома водорода из первого энергетического уровня в пятое равно:
Д£ = £5 - = -ЛсЯнй ~ Л) = Ц ЛсДн-5	1
Налетающие электроны должны иметь кинетическую энергию Д£, поэтому
2 =Д£, 2
откуда наконец
/48ЛсЯн v= -------2.
'V 25m
Вычисления:
v= 148 - 6,63 • 10~34 Дж • с • 3 • 108 м/с - 1,097 • 107 м'1 =
Ч	25 • 9,1 • 10’31 кг
= 2,14 • 106м/с.
Ответ: и = 2,14 • 106м/с.
1152  Стеклянный баллон лампы дневного света покрывают с внутренней стороны люминофором — веществом, которое при облучении фиолетовым или ультрафиолетовым светом дает спектр, близкий к солнечному. Объяснить причину явления.
Ответ: атомы люминофора поглощают энергию падающих фотонов фиолетовой и ультрафиолетовой части спектра. Часть этой энергии идет на нагрев люминофора, другая — на переход атомов в возбужденное состояние. Последняя доля энергии через некоторое время вновь излучается в виде фотонов с большой
259
длиной волны (фотонов видимой части спектра). Это излучение происходит с возвратом атомов люминофора в основное состояние через промежуточные энергетические уровни, что и предопределяет существенное увеличение длины волны вторичного излучения.
1154  Лазер, работающий в импульсном режиме, потребляет мощность 1 кВт. Длительность одного импульса 5 мкс, а число импульсов в 1 с равно 200. Найти излучаемую энергию и мощность одного импульса, если на излучение идет 0,1% потребляемой мощности.
Решение. Если Ро — средняя электрическая мощность лазера, имеющего КПД т|, то средняя мощность излучения лазера равна:
= ПЛ)-
Средняя мощность излучения, в свою очередь, равна произведению энергии Е импульса на число п импульсов в одну секунду:
Рх = пЕ,
Тогда
Е=^. п
Мощность одного импульса равна:
р = Е _ ПЛ), т пт
где т — длительность импульса.
Вычисления:
£=Ю -'10 Вт = 5 • 103Дж; 200 с
_ о	о
Р = --10	• 10 Вт = 103 Вт = J кВт
200 с • 5 • 10 с
Ответ: Е = 5 мДж; Р = 1 кВт.
260
1155 . Гелий-неоновый газовый лазер, работающий в непрерывном режиме, дает излучение монохроматического света с длиной волны 630 нм, развивая мощность 40 мВт. Сколько фотонов излучает лазер за 1 с?
Решение. Энергия одного фотона, излучаемого гелий-неоновым лазером, равна:
г — he
Число фотонов, излучаемых лазером за 1 с, равно отношению мощности Р лазера к энергии одного фотона, т. е.
„ _ Р _ РХ
Е he ’
Вычисления:
„ _	40 • 10'3 Вт • 630 • 10'9 м . q 1П17 -1
л =--------—------------------ =1,3-10 с
6,63 • 10 Дж • с • 3 • 10 м/с
Ответ: л = 1,3 • 1017с-1.
1156  Жидкий лазер, работающий в импульсном режиме, за один импульс, длящийся 1 мкс, излучает 0,1 Дж лучистой энергии. Расходимость излучения1 2 мрад. Найти плотность потока излучения на расстоянии 6 м от лазера и сравнить с плотностью потока излучения Солнца, падающего на Землю, равного (без учета поглощения атмосферой) 1,36 кВт/м2.
Решение. Плотность потока энергии, излучаемой жидкостным лазером, равна отношению энергии лазера ДЕ к длительности импульса т и к площади поперечного сечения пучка света AS:
I = —
tAS ’
В свою очередь, площадь поперечного сечения пучка на расстоянии R от лазера равна:
AS = п/4 • (Яст)2,
где о — расходимость пучка света.
1 Расходимость излучения — это плоский угол осевого сече-
ния конуса излучения.
261
В итоге получим
ЕЕ
9 *
т • л/4 • (Яо)
Вычисления:
I =-----------0,1 Дж----------- = 842 МВт/м2;
IO’16 с • л/4 • (6 м • 2 • 10’3)
I = 842 МВт/м2
1,36 кВт/м2
105.
Ответ: I = 842 МВт/м2; 1/1с = 6,5 • 105.
51. Методы регистрации заряженных частиц. Радиоактивность. Состав атомных ядер. Энергия связи атомных ядер
1157  На рисунке 71 изображен трек электрона в камере Вильсона, помещенной в магнитное поле. В каком направлении двигался электрон, если линии индукции нас?
Ответ: искривление траектории электронов, изображенное на рисунке, соответствует силе Лоренца, действующей слева направо в плоскости чертежа. Это соответствует (с учетом правила левой руки) движению электронов снизу вверх.
поля идут
от
Рис. 71
262
1158 . Какова
скорость электрона, влетающего в камеру
Вильсона (см. рис. 71), если радиус трека равен 4 см, а индукция магнитного поля 8,5 мТл?
Решение. В магнитном поле уравнение, соответствующее второму закону Ньютона, в проекции на радиальное направление имеет вид:
2 = еиВ9
где т9 е — масса и заряд электрона, В — индукция магнитного поля. Из этой формулы получим выражение для скорости и электрона:
т
Вычисления:
„ _ 1,6 • 10*19 Кл • 8,5 • 10 3 Тл • 0,04 м л лп7
V — ---------------!--—---------!--- = О • 10 М/С.
9,1 • 10 кг
Ответ: и = 6 • 107 м/с.
11 60. Как
должна быть направлена индукция магнитного
поля, чтобы наблюдалось указанное на рисунке 72 отклонение частиц?
Ответ: необходимо учесть, что а-частицы имеют положительный заряд, Р-лучи (поток электронов) имеют отрицательный заряд, а у-лучи электронейт-ральны.
Направление силы Лоренца определяется правилом левой руки. Отклонение частиц, соответствующее рисунку, реализуется при направлении магнитного поля от нас за плоскость чертежа.
263
1162 . Каковы преимущества кобальтовой пушки перед рентгеновской установкой при обнаружении внутренних дефектов изделий?
Ответ: кобальтовая пушка излучает у-лучи за счет радиоактивного распада изотопов кобальта. Для данного процесса не требуется внешних источников энергии, что обеспечивает меньшую громоздкость установки. у-Излучение обладает большей проникающей способностью по сравнению с рентгеновским, что также увеличивает эффективность кобальтовой пушки.
1163 . Где больше длина пробега а-частицы: у поверхности Земли или в верхних слоях атмосферы?
Ответ: длина пробега а-частиц обратно пропорциональна плотности вещества, в котором они распространяются. Поэтому в верхних слоях атмосферы, где плотность воздуха ниже, длина пробега а-частиц возрастает.
1164  а-Частица, вылетевшая из ядра радия со скоростью 15 Мм/с, пролетев в воздухе 3,3 см, остановилась. Найти кинетическую энергию частицы, время торможения и ускорение.
Решение. Кинетическая энергия а-частицы
2 р _ ти Е~—'
где т — масса а-частицы, v — ее начальная скорость. В предположении, что а-частица тормозится так, что ее ускорение постоянно, запишем выражения для пройденного пути s и скорости v:
s = at2/2. v = J2as .
Тогда
„ V2 . 2s а = — , t = — 2s v
264
Вычисления:
£ = (4 • 1,67 • 10 27 кг) • (15 • 106 м/с/ _ 2
= 7,5 • 10-13 Дж = 4,7 МэВ;
а = (15 ' 1()6 м/с) = 3,4 • 1015 м/с2;
2 • 3,3 • 10 2 м
_9
, _ 2 -.3.3 ,Ю » . 4,4 нс
15 • 10 м/с
(здесь мы учли, что т = 4 а. е. м.).
Ответ: Е = 4,7 МэВ; а = 3,4 • 1015 м/с2; t = 4,4 нс.
I ЮЛ. Написать реакции а-распада урана д2и и Р-распада 209^, свинца 82РЬ .
Ответ:
1) а-распад:
238ут v 234пр-I ,	.
92и —> go 1 н + 2Не ,
2) Р-распад:
209-J-.,	209~. .0	. ~
82РЬ -> 83В1 + -Iе + Ve>
о	~
где _хе — электрон, ve — антинейтрино.
Заметим, что ответ к данной задаче, а также к ряду последующих задач в задачнике, в которых упомянут Р-распад, неточен. В таких процессах всегда наряду с электроном (Р-частицей) излучается электронное антинейтрино.
265
1168 • Написать реакцию а-распада радия 2^Ra . Сравнить импульсы и кинетические энергии образовавшихся ядер, считая, что до распада ядро радия покоилось.
Решение. Реакция а-распада имеет вид:
226~ 4ТТ . 222О
88Ra —> 2Не + 86Rn .
Закон сохранения импульса для а-частицы и ядра изотопа радона 2|8Rn имеет вид:
mava + rnv = О’
откуда следует, что
V _ va т ’ поэтому
Z 2Ч
mv2
Отношение массы ядра изотопа радона к массе а-час-тицы примерно равно отношению их массовых чисел, поэтому
1= ф = 55,5. 4
Ответ: I = 55,5.
1169  Какая доля радиоактивных ядер некоторого элемента распадается за время, равное половине периода полураспада?
Решение. Закон радиоактивного распада имеет вид: n(t) = п(0)(1/2)‘/Г,
где n(t) — число частиц радиоактивного вещества в момент времени t, п(0) — число частиц при t = О, Т — период полураспада. Таким образом, доля частиц, распавшихся за время, равное половине Г, определяется выражением
§ = п(в) ~ П(Т/2) _ 1 - 1 /2 _ Q 29
п(0)	1
Ответ: 8 = 0,29.
266
I I /и. Активность радиоактивного элемента уменьшилась в 4 раза за 8 сут. Найти период полураспада.
Решение. Активность радиоактивного элемента пропорциональна числу атомов радиоактивного распада (см.
первую формулу в решении задачи 1169):	= 2 f/T,
п(0)
откуда log	log 2. Наконец,
rp__ tlog 2
log(n(f)/^(0)) ’
Вычисления:
Т = .1Og  8 сут = 4 сут. log 4
Ответ: Т = 4 сут.
1172 . Каков
23
состав ядер натрия nNa , фтора
, серебра
107 а	247 —	257__ , о
47Ag , кюрия 96Сш , менделевия 101Md ?
Решение. Порядковый номер элемента в таблице Менделеева равен числу протонов, входящих в состав ядра. Массовое число элемента равно суммарному числу протонов и нейтронов, входящих в состав ядра данного изотопа. На этой основе рассчитаем состав ядер элементов, результат запишем в таблицу.
Изотоп	Число протонов	Число нейтронов
п№	11	12
‘F	9	7
107 А 47Ag	47	50
24 7 ~ 9бСш	96	151
257,, , ioiMd	101	156
267
Ilf Каков состав изотопов неона 10Ne , 10Ne и 10Ne ?
Решение. Рассчитаем состав ядер и результат запишем в таблицу.
Изотоп	Число протонов	Число нейтронов
2°Ne 10iNe	10	10
21Ne	10	11
22кт 10Ne	10	12
Заметим, что изотопы одного элемента характеризуются одинаковым числом протонов, но разным числом нейтронов в составе ядра.
1174  Изменяются ли массовое число, масса и порядковый номер элемента при испускании ядром у-кванта?
Ответ: при испускании ядром у-кванта не изменяются ни массовое число, ни порядковый номер элемента. При самопроизвольном испускании у-кванта масса ядра уменьшается на величину
Д/и = ^ ,
С
где Е энергия у-кванта. Заметим, что говорить о массе у-кванта (безмассовой частицы) в рамках современной физической терминологии не принято.
11761 . Найти энергию связи ядра Есв и удельную энергию связи Есе/А для: 1) f И ; 2) ®Li ; 3) 3Ы; 4)	; 5)	; 6) ^Al.
1 При вычислениях вместо массы протона (тр) следует брать массу атома водорода Jh = 1,00783 а. е. м.
268
Решение. Обозначим А — массовое число ядра, Z — его порядковый номер, тогда ядро атома содержит Z протонов и А - Z нейтронов. Нейтральный атом содержит также Z электронов. Энергия связи ядра
Есв = (Zmp + Zme + (А - Z)mn - М)с2, где М — масса нейтрального атома, тр — масса протона, тп — масса нейтрона, т€ — масса электрона. Удельная энергия связи
ДЕ = ^.
А
Результаты вычислений представим в виде таблицы.
№	Изотоп	М, а. е. м.	ZCB, МэВ	ДЕ, МэВ
1	!н	2,01410	2,229	1,115
2		6,01513	32,0	6,0	।
3	7Т • 3Li	7,01601	39,2	5,60
4	\2C	12,0000	92,2	7,68
5	Io	15,99491	127,6	7,97
6	13AI	26,98146	225,1	8,33
1177  Какая минимальная энергия необходима для рас
14хт	-	о
щепления ядра азота 7N на протоны и нейтроны?
Решение. Ядру атома необходимо сообщить энергию, равную энергии связи, чтобы расщепить его на нейт роны и протоны. Для расчета энергии связи ядра азо 14nt	л
та 7N воспользуемся формулой
Есв = (Zmp + Zme + (А - Z)mn - М)с2.
26"
Вычисления:
£св = (7 • 1,6726 • 10’27кг+7 • 9,1 • 10’31 кг +
+ 7 • 1,6749 • 10~27 кг - 14,00307 а. е. м. • 1,661 X
х Ю’27 кг/а. е. м.) • (3 • 108 м/с)2 =
= 1,677 • 10~п Дж = 105 МэВ, где мы учли, что масса нейтрального атома изотопа “N = 14,00307 а. е. м.
Ответ: Есв =105 МэВ.
52. Ядерные реакции. Энергетический выход ядерных реакций. Биологическое действие радиоактивных излучений. Элементарные частицы. Взаимные превращения частиц и квантов электромагнитного излучения
1178  Написать ядерную реакцию, происходящую при бом-27
бардировке алюминия 13А1 а-частицами и сопровождающуюся выбиванием протона.
Ответ: .^Al + гНе -> }₽ + „Si.
Ядерные реакции протекают всегда с сохранением суммарного массового числа ядер на входе и выходе реакции, а также с сохранением суммарного заряда (порядкового номера) ядер.
270
1180 . При бомбардировке изотопа бора нейтронами из
образовавшегося ядра выбрасывается а-частица. Написать реакцию.
Ответ:	+ Jn ->	+ 3Ы.
1182  Элемент курчатовий получили, облучая плутоний
242-,	22хт
94?и ядрами неона 10Ne . Написать реакцию, если известно, что в результате образуется еще четыре нейтрона.
~	242-р.	. 22хт 260Tjr , л 1
Ответ: 94Pu + 10Ne -> 104Ku + 40n .
1183  Написать
недостающие обозначения в следующих
ядерных реакциях:
27.. , 1	о , 4ТТ 55, _	, о	56„	,	1
13AI + дП	—> . + 2Ве, 25^п + •	26^е	+	0П	»
? + ?Н ->	? + ??Na + оНе ,	?*А1	+ у ->	+	?.
1	11 4	10	1	14	°
Решение.
27 А 1  1	24XT , 4ТТ
13А1 + оп —> nNa + 2Не,
55-»» । 2ТТ 56—, . 1
25Mn + jH -> 26Fe + оп,
i|Mg + }Н -> „Na + 2Не,
13А1 + у -4. 12Mg + jH .
Ответ: jjNa; jH ; j2Mg; }н .
271
I lew. При облучении изотопа меди 29Cu протонами реакция может идти несколькими путями: с выделением одного нейтрона; с выделением двух нейтронов; с выделением протона и нейтрона. Ядра каких элементов образуются в каждом случае?
Решение.
63~	. 1	63г,	, 1
29Cu + jp -> 30Zn + on,
63л	. 1	62f,	. л 1
29С11 + iP —> 30Zn + 20n ,
63~	. 1	62^	1	,1
29С11 + 1P —> 29CU "Ь + оЛ •
63p-,	62^-,	62^
Ответ: 30Zn; 30Zn ; 29Cu.
1186 • При бомбардировке азота нейтронами из образовавшегося ядра выбрасывается протон. Написать реакцию. Полученное ядро изотопа углерода оказывается Р-радиоактив-ным. Написать происходящую при этом реакцию.
Ответ:
14кт . 1 V	I 1тт
7N + оп —> бС + ХН ,
14~	0	, - , 14хт
6С —>	+ V + 7N .
Заметим, что, так же как и в задаче 1167, реакция Р-распада во втором случае в ответе к задачнику указана неточно, поскольку в подобном процессе наряду с электроном всегда выделяется еще одна частица — антинейтрино.
1187 . При бомбардировке железа 2gFe нейтронами образуется Р-радиоактивный изотоп марганца с атомной массой 56. Написать реакцию получения искусственно радиоактивного марганца и реакцию происходящего с ним Р-распада.
272
Ответ:
56i-,	1	56x< 1тт
26Fe + on -> 25Mn + iH>
56х<	56т-,	0	. ~
25МП -> 26Fe + -Iе + V
(см. также решения задач 1167, 1186).
1188  Выделяется или поглощается энергия при следующих ядерных реакциях:
14хт ।	. 1тт
?N 4" 2^е —* 8^ + 1^>
|ы + }н -> 2Не + 2Не,
зЫ + 2Не -> ’°В + Jn?
Решение. Энерговыделение при ядерной реакции
А + В->С + В
равно:
ДЕ = (тА + тв - тс- mD)c2,
Энергия ДЕ равна избыточной кинетической энергии ядер С и D по сравнению с кинетической энергией ядер А и В. Если ДЕ < 0, то ядерная реакция идет с поглощением энергии и суммарная кинетическая энергия ядер С и В меньше суммарной кинетической энергии ядер А и В на |ДЕ|.
Вычисления:
1)	“N + 2Не ->	+ }н
соответствует
AEi = (14,00307 + 4,00260 - 16,99913 -
- 1,00783) а. е. м. • 1,661 • 10~27 кг/а. е. м. х
X (3 • 108 м/с)2 = -1,925 • 10’13Дж =
= -1,2 МэВ < 0;
273
2)	®Li + }н -> 2He + 2Не
соответствует
ДЕ2 = (6,01513 + 1,00783 - 4,00260 - 3,01602) а. е. м.х
х 1,661 • IO’27 кг/а. е. м. • (3 • 108 м/с)2 =
= 6,477 • 10’13 Дж а 4 МэВ > 0;
3)	7Ы + 2Не -> > + on
соответствует
ДЕ3 = (7,01601 + 4,00260 - 10,01294 -
- 1,00866) а. е. м. • 1,661 • 10’27 кг/а. е. м. х
X (3 • 108 м/с)2 =-4,46 • 10-13 Дж = -2,8 МэВ <0.
Ответ: энергия поглощается в первой и третьей реакциях и выделяется во второй.
1190  Ядро з7Ь1 , захватывая протон, распадается на две а-частицы. Определить сумму кинетических энергий этих частиц. Кинетической энергией протона пренебречь.
Решение. Запишем ядерную реакцию
3Li + }н -> 2Не + 2Не.
Кинетическую энергию образующихся а-частиц можно рассчитать с помощью формулы из решения задачи 1188:
ДЕ = (7,01601 + 1,00783 - 2 • 4,00260) а. е. м. х
х 1,661 • IO’27 кг/а. е. м. • (3 • 108 м/с)2 =
= 2,78 • 10~12Дж = 17 МэВ.
Ответ: ДЕ =17 МэВ.
274
I 1ЭI  Какую минимальную энергию должна иметь а-час-тица для осуществления ядерной реакции
зЫ + *He -» *°В + Jn ?
Решение. Энергетический выигрыш данной ядерной реакции, взятый с обратным знаком, равен:
Д£ = (7,01601 + 4,00260 - 10,01294 - 1,00866) а. е. м. х
х 1,661 • 10’27кг/а. е. м. • (3 • 108м/с)2 =
= -4,46 • 10’13 Дж =-2,8 МэВ.
Ответ: ДЕ = 2,8 МэВ.
I	При облучении изотопа азота 7N протонами образу-
ется углерод и а-частица. Найти полезный энергетический выход ядерной реакции, если для ее осуществления энергия протона должна быть 1,2 МэВ.
Решение. Ядерная реакция имеет вид:
15-	. у । ^тт v 12^	. 4уу
7N^ 4“	gC >
поэтому, согласно формуле из решения задачи 1188, энергетический выигрыш реакции имеет значение
Д£ = (15,00011 + 1,00783 - 12,00000 -
- 4,00260) а. е. м. • 1,661 • 10~27 кг/а. е. м. х х (3 • 108м/с)2 = 8 • 10~13 Дж = 5 МэВ.
Отметим, что энергетический выигрыш равен добавочной кинетической энергии продуктов реакции.
По сути дела, это и есть полезный энергетический выход реакции. Исходная ненулевая кинетическая энергия протона увеличивает кинетическую энергию продуктов реакции, но не изменяет ее полезного энергетического выхода.
Ответ: Д£ = 5 МэВ.
275
1193 . Ввиду большой энергии связи, приходящейся на нуклон ядра гелия, возможны экзоэнергетические реакции деления легких ядер. Найти, какая энергия выделяется при бомбардировке бора протонами с образованием трех а-частиц.
Решение. При реакции
"в + JH 2Не + 2Не + 2Не
имеет место энерговыделение
АЕ = (11,00931 + 1,00783 - 3 • 4,00260 -- 4,00260) а. е. м. • 1,661 • 10 27 кг/а. е. м. х х (3 • 108 м/с)2 =1,4 • 10 12 Дж = 8,7 МэВ.
Ответ: АЕ = 8,7 МэВ.
1194  При делении изотопа урана освобождается энергия 200 МэВ, причем 84% этой энергии приобретают осколки деления. Считая, что этими осколками являются ядра -	84т_
бария 5бВа и криптона 36Кг и что импульсы их по модулю одинаковые, найти энергию осколков.
Решение. Обозначим суммарную кинетическую энергию осколков деления ядра 2Ци через АЕ, тогда
2	2
„	т9и9	_	_
АЕ = -2-1 +	= Е, + Е9.
2	2	12
Поскольку импульсы осколков одинаковы по моду-
лю, то
т. е.
= m2v2,
/ \2
El т1 ( I m2
E2 m2
276
наконец,
_ ДЕт? „ АЕт, ^1 = т + т ’	= т + т ’
т । г т 2	Z7i । т ттт 2
Вычисления:
энергия ядра бария
Е. = 200 МэВ ’ 84% ’ 84 = 64 МэВ;
1	137 + 84
энергия ядра криптона
Е = 200 МэВ - 84% • 137 = W4 МэВ 2	137 + 84
Ответ: Ег = 64 МэВ; Е2 = 104 МэВ.
1195  Для замедления быстрых нейтронов можно использовать, например, тяжелую воду или углерод. В каком из этих замедлителей нейтрон испытает большее число столкновений, пока его скорость не снизится до тепловой?
Ответ: легкая частица, налетая на тяжелую, очень мало изменяет свою энергию (при упругом столкновении). При столкновении же двух частиц, массы которых близки, изменение энергии каждой частицы может быть порядка первоначального значения энергии. Из сказанного следует, что при столкновении быстрого нейтрона с дейтронами (масса 2 а. е. м.) изменение энергии за одно соударение больше, чем при столкновении нейтрона с ядром.
При рассеянии быстрых нейтронов на тяжелой воде изменение энергии за одно соударение существенно больше, чем при рассеянии нейтронов на углероде, поскольку отношение массы нейтрона к массе дейтрона равно ~ 1/2, а массы нейтрона к массе ядра атома углерода равно 1/12. Таким образом, при рассеянии на углероде необходимо больше столкновений нейтрона с ядрами углерода для замедления нейтрона до тепловой скорости.
277
1196 . При делении одного ядра 292U на два осколка выделяется энергия 200 МэВ. Какая энергия освобождается при «сжигании» в ядерном реакторе 1 г этого изотопа? Сколько каменного угля нужно сжечь для получения такой энергии?
Решение. Масса ядра 29|и равна:
-25 I кг.
= 2,6 • 1021 ядер.
Мя = 235 а. е. м. = 3,9 • 10
Таким образом, в 1 г содержится
ДГ = *г =	10 3 кг
мя 3,9 • 10’25 кг
Если считать, что в процессе «сжигания» 1 г ядерного топлива делятся все ядра урана, то количество теплоты, выделяющееся при полном сгорании ядерного топлива,
Q = 200 МэВ • 2,6 • 1021 = = 5,2 • 1023 МэВ = 83 • 109 Дж.
Для выделения такой же энергии при сгорании угля необходимо сжечь
Q
т = 5 =	Дж = 2,8 • 103 кг,
9	29 • 10 Дж/кг
где q — удельная теплота сгорания угля.
Ответ: Q = 83 • 109 Дж; т = 2,8 • 103 кг.
1197  Какова электрическая мощность атомной электро-235
станции, расходующей в сутки 220 г изотопа урана 92U и имеющей КПД 25% ?
Решение. За одни сутки электростанция вырабатывает энергию
Е = v\Qm,
278
где г| — КПД электростанции, т — масса «сжигаемого» урана в граммах, Q — количество теплоты, выделяющееся при сгорании 1 г урана, рассчитанное в решении задачи 1196.
При этом электрическая мощность
р = Е = x\Qm t t ’
где t = 1 сут.
Вычисления:
g
Р = °'25 • 83 ' 1° Дж/Г • 220 г = 5,3 . ю7 Вт = 53 МВт.
24 • 3600 с
Ответ: Р = 53 МВт.
1199 . Толщина h слоя перекрытия, ослабляющего данное ионизирующее излучение в 2 раза, носит название толщины слоя половинного ослабления. Доказать, что слой толщиной Н = nh ослабляет излучение в 2п раз.
Ответ: частицы ионизирующего излучения одинаково взаимодействуют с веществом перекрытия, независимо от того, прошли ли они до данного момента большее или меньшее расстояние в веществе. Поэтому каждый слой толщиной h ослабляет поток излучения в 2 раза, а слой толщиной Н = nh ослабляет излучение в
(1/2) • (1/2) • ... • (1/2) = (1/2)п раз.
1200 • Лучше всего нейтронное излучение ослабляет вода (в 4 раза лучше бетона и в 3 раза лучше свинца). Толщина слоя половинного ослабления нейтронного излучения для воды равна 3 см. Во сколько раз ослабит нейтронное излучение слой воды толщиной 30 см?
Ответ: в соответствии с решением предыдущей задачи для воды h = 3 см. Поскольку при этом Н = 30 см = 10й, то п = 10 и нейтронное излучение ослабляется в 210 = = 1024 раза.
279
1202  Средняя поглощенная доза излучения сотрудником, работающим с рентгеновской установкой, равна 7 мкГр за 1 ч. Опасна ли работа сотрудника в течение 200 дней в году по 6 ч в день, если предельно допустимая доза облучения равна 50 мГр в год?
Вычисления:
за время t = 200 • 6ч = 1200 ч работник получает дозу облучения
D = td = 1200 ч • 7 мкГр/ч = 8,4 мГр,
где
d = l мкГр/ч — средняя доза облучения за 1 ч.
Ответ: поскольку D < 50 мГр, то работа с данной интенсивностью не опасна.
1203 . При облучении углерода
протонами образуется
13
изотоп углерода бС . Какая при этом выбрасывается частица?
Ответ: в данном случае происходит реакция
12« .	13л .	4- .
6С + р -> 6С + е + ve,
т. е. выбрасываются позитрон и нейтрино.
1204  В результате термоядерной реакции соединения двух протонов образуется дейтрон и нейтрино. Какая еще появляется частица?
Ответ: происходит реакция
/?+/?—> d + е+ + ve,
т. е. при слиянии двух протонов образуется дейтрон, при этом образуются также позитрон и нейтрино. При этом сохраняется полный заряд.
280
1206* . В установках для у-облучения в сельском хозяйстве используется Р-радиоактивный изотоп цезия ^Cs . Написать реакцию Р-распада. Найти максимальную частоту у-излуче-ния, если наибольшая энергия у-квантов равна 0,66 МэВ. Вычислить релятивистскую скорость Р-частиц, если их энергия 1,18 МэВ.
Решение. Реакция Р-распада имеет вид:
137~	137^	.	+ .	.
55Cs -> 56Ва +е + ve + У>
где ve — нейтрино. Максимальная частота у-излуче-ния определяется по формуле
v = Е th. max max'
Релятивистская энергия Р-частиц связана с их скоростью и соотношением
откуда
Вычисления:
0,66 • 106 эВ • 1,6 • 10 19 Дж/эВ = i 6 , 1О20
6,62 • 10’34 Дж • с
/	_oi	о	2	\ 2
[ 9,1 - 10 кг - (3 • 10 м/с) I 11,18 • 106 эВ • 1,6 • 10*19 Дж/эВ/
= 0,9с = 2,7 • 108м/с.
Заметим, что обычно энергией релятивистской частицы называют в физике только выражение (1), которое включает и энергию покоя частицы, и ее кинетиче-
281
скую энергию. Если же считать, что в условии задачи дана кинетическая энергия Ек = 1,18 МэВ, то
Ег = Ек + тес2 = 1,18 МэВ + 0,511 МэВ = 1,69 МэВ, тогда скорость равна:
I /	_о1	я 2 \2
L I 9,1-10 кг • (3 • 10 м/с) 1
Ч <1,69 • 106 эВ • 1,6 • 10’19 Дж/эВ/ = 0,95с = 2,85 • 108 м/с.
Ответ: vmax= 1,6 • Ю20 Гц; и = 2,85 • 108м/с.
1207  Найти частоту у-излучения, образующегося при термоядерной реакции:
}н + 3Н -» 4Не + у,
если а-частица приобретает энергию 19,7 МэВ.
Решение. Энергия у-кванта определяется из условия
Еу =	- Еа,
где Еа = 19,7 МэВ — энергия а-частицы, ДЕ — энергетический выигрыш за счет дефекта массы.
ДЕ = (1,00783 + 3,01605 - 4,00260) а. е. м. X х 1,661 • 10-27 кг/а. е. м. • (3 • 108 м/с)2 = = 3,2 • 10’12 Дж = 20 МэВ.
Поэтому энергия у-кванта равна:
Еу = 20 МэВ - 19,7 МэВ = 0,3 МэВ,
а его частота
v =	= (0,3 • ю6 эВ • 1,6 • 10~19 Дж/эВ) = 7 3 . 1019 Гц
h	6,63 • 10’34 Дж • с
Ответ: v = 7,3 • 1019 Гц.
282
1208 . Найти наименьшую энергию у-кванта, необходимую
для осуществления следующей реакции: 2Н + у -> }н + Jn .
Решение. Реакция
2ТТ .	1тт I 1
ХН + у -> ХН + оп имеет порог по энергии, определяемый энергией, необходимой для компенсации дефекта массы ДЕ = Д/пс. Наименьшая энергия фотона
Е = АЕ.
Вычисления:
Етш = (1,00783 + 1,00866 - 2,01410) а. е. м. х
х 1,661 • 10-27 кг/а. е. м. • (3 • 108 м/с)2 =
= 3,6 • 10-13 Дж = 2,2 МэВ.
Ответ: Е • = 2,2 МэВ.
1209 . Поглощая фотон у-излучения (X = 4,7 • 10 13 м), дейтрон распадается на протон и нейтрон. Вычислить суммарную кинетическую энергию образовавшихся частиц.
Решение. Энергия фотона, имеющего длину волны X, г_______________________ he
Е~т-
Процесс, о котором говорится в условии задачи, совпадает с процессом из предыдущей задачи. Кинетическая энергия конечных продуктов равна разности энергии фотона и минимальной энергии Emin, найденной в предыдущей задаче:
Е =Е- Е = — -Е . к	mm	min
Вычисления:
д __ 6,63 ’ 10 Дж • с • 3 • 10 м/с _ g g . ^q-13 Дж =
к	—13
4,7 • 10 м
= 0,6 • 10’13 Дж = 0,4 МэВ.
Ответ: Ек = 0,4 МэВ.
283
1210.
При аннигиляции электрона и позитрона образова
лось два одинаковых у-кванта. Найти длину волны, пренебрегая кинетической энергией частиц до реакции.
Решение. Электрон и позитрон имеют одинаковую массу те, поэтому в предположении их нулевой кинетической энергии до аннигиляции из закона сохранения энергии следует
2тес2 = 2	,
Л
откуда
х= -А_.
7ПеС
Вычисления:
X = ---6’63 • 10 34 Дж • с- = 2,4 . ю-12 М = 2,4 пм.
9,1 • 10 кг • 3 • 10 м/с
Ответ: X = 2,4 пм.
1211  Элементарная частица пи-нуль-мезон (л°) распадается на два у-кванта. Найти частоту у-излучения, если масса покоя этой частицы равна 264,3 массы электрона.
Решение. Запишем закон сохранения энергии приме-о
нительно к процессу распада л -мезона: тс2 = 2hv.
Учтем также, что т = 264,3/nf, тогда
= 264,3 -9,11 • 10~31 кг  (3 • 108 м/с)2 =
2 • 6,63 • 10’34 Дж • с
= 1,63 • 1022 Гц.
Ответ: v = 1,63 • 1022 Гц.
284
Оглавление
Глава VII. Электрическое поле
32.	Закон Кулона. Напряженность поля....... 3
33.	Проводники в электрическом поле. Поле заряженного шара и пластины. Диэлектрики в электрическом поле...................... 23
34.	Энергия заряженного тела в электрическом поле. Разность потенциалов. Связь между напряженностью и напряжением.............. 36
35.	Электроемкость конденсатора. Энергия заряженного конденсатора. Энергия электрического поля....................... 47
Глава VIII. Закон постоянного тока
36.	Закон Ома для участка цепи с последовательным и параллельным соединением проводников................... 60
37.	Работа и мощность тока................ 82
38.	Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи........................... 90
Глава IX. Магнитное поле
39.	Магнитное поле тока. Магнитная индукция. Магнитный поток. Закон Ампера. Сила Лоренца. Магнитные свойства веществ.......101
Глава X. Электрический ток в различных средах 40. Электрический ток в металлах, полупроводниках, вакууме.....................116
41.	Электрический ток в растворах и расплавах электролитов. Электрический ток в газах....132
285
Глава XL Электромагнитная индукция
42.	Электромагнитная индукция. ЭДС индукции. Самоиндукция. Индуктивность. Энергия магнитного поля тока......................145
Глава XII. Электромагнитные колебания
43.	Превращение энергии в колебательном контуре. Гармонические колебания. Собственная частота и период колебаний........................162
44.	Переменный ток.........................172
Глава XIII. Электромагнитные волны
45.	Электромагнитные волны и скорость их распространения. Энергия электромагнитной волны.
Плотность потока излучения. Радиолокация . . . 189
Глава XIV. Световые волны
46.	Скорость света. Законы отражения и преломления. Полное отражение...........198
47.	Дисперсия света. Интерференция, дифракция, поляризация света.........................214
Глава XV. Элементы теории относительности
48.	Релятивистский закон сложения скоростей. Зависимость массы от скорости.
Закон взаимосвязи массы и энергии......224
Глава XVI. Световые кванты. Действия света
49.	Фотоэлектрический эффект. Фотон. Эффект Комптона. Давление света..................234
Глава XVII. Атом и атомное ядро
50.	Ядерная модель атома. Испускание и поглощение света атомом. Лазер..........253
51.	Методы регистрации заряженных частиц. Радиоактивность. Состав атомных ядер.
Энергия связи атомных ядер.............262
52.	Ядерные реакции. Энергетический выход ядерных реакций. Биологическое действие радиоактивных излучений. Элементарные частицы. Взаимные превращения частиц и квантов электромагнитного излучения......270
286
Учебное издание
ФИЗИКА
11 класс
Решение задач из учебного пособия А. П. Рымкевича «Сборник задач по физике. 10—11 классы»
Электродинамика. Квантовая физика
Учебное пособие
Ответственный редактор Е. Н. Тихонова Редактор Г. А. Сахарова Оформление Л. П. Копанева
Технический редактор Н. И. Герасимова Компьютерная графика А. Е. Косых, Н. И. Салюк Компьютерная верстка Н. И. Салюк Корректор Г. И. Мосякина
Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.02.953.Д.006315.08.03 от 28.08.2003. Подписано в печать 06.11.03. Формат 84х1081/32. Бумага типографская. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Усл. печ. л. 15,12. Тираж 10 000 экз. Заказ № 4310163. ООО «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49.
По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа» обращаться по адресу:
127018, Москва, Сущевский вал, 49.
Тел.: (095) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (095) 795-05-52. Торговый дом «Школьник».
109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А. Тел.: (095) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76.
Магазины «Переплетные птицы»:
127018, Москва, ул. Октябрьская, д. 89, стр. 1.
Тел.: (095) 912-45-76;
Московская обл., г. Коломна, Голутвин, ул. Октябрьской революции, 366/2.
Тел.: (095) 741-59-76.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУИПП «Нижполиграф»
603006, г. Нижний Новгород, ул. Варварская, 32.