Геометрическая теория
полулинейных параболических
уравнений

Lecture No tee
in Mathematics
Edited by A. Dold and
B. Eckmann
840
Dan Henry
Universidade de Sao Pauio
Institute de Matematica
e Estatistica
Brazil
GEOMETRIC THEORY
OF SEMILINEAR
PARABOLIC EQUATIONS
Springer-Verlag
Berlin-Heidelberg-New York
1981

Д.ХЕНРИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ
ПОЛУЛИНЕЙНЫХ
ПАРАБОЛИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
Перевод с английского
А. Ю. ДАЛЕЦКОГО
под редакцией
Ю. Л. ДАЛЕЦКОГО
МОСКВА МИР- 1985

ББК 22.161.6
Х38
УДК 517.9
Хенри Д.
X 38 Геометрическая теория полулинейных параболических
уравнений: Пер. с англ. — М.: Мир, 1985. — 376 с, ил.
Книга известного бразильского математика, посвященная качественной
(геометрической) теории нелинейных параболических уравнений. В ней изучается
поведение решений или соответствующих многообразий в окрестности точек
различного типа, приведены примеры из разных областей науки — гидродинамики,
химической кинетики, популяционной генетики.
Для математиков и специалистов, занимающихся качественным исследованием
распределённых систем различного характера, для студентов и аспирантов вузов.
1702050000—396 ое Qe t
25—оо, Ч. I
041(01)-85
Редакция литературы по математическим наукам
© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1981.
All Rights Reserved. Authorized translation
from English language edition published by
Springer-Verlag Berlin — Heidelberg—New York
© перевод на русский язык, «Мир», 1985
Дэн Хенри
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ
ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Ст. научн. редактор В. И. Авербух
Мл. научн. редактор Р. И. Пяткика
Художник Е. К. Самойлов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Н. И. Борисова
Корректор Т. П. Пашковская
ИБ 5077
Сдано в набор 22.11.81. Подписано к печати 16.07.85. Формат 60X90 1/16. Бумага кн.
журн. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 11,75 б. л. Усл. печ. л. 23.50.
Усл. кр.-отт. 23,76. Уч.-изд. л, 20,97. Изд. Кя 1/3 381. Тираж 3 350 экз. Зак. 450 Цена 3 р. 10 к#
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва. 1-й Рижский пер., 2,
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союз-
полиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемый перевод — первая книга на русском языке,
посвященная качественной теории нелинейных
дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа.
Эта теория представляет огромный интерес как сама по себе,
так и с точки зрения приложений. Достаточно отметить, что
К этой области относятся, с одной стороны, исследования по
гидродинамической устойчивости и неустойчивости, а с другой —
теория нелинейной диффузии, объясняющая возникновение на
фоне диффузии организованных структур — явление,
наблюдаемое в различных задачах физики, химии, биологии и техники
(эти эффекты в последнее время часто связывают с термином
«синергетика»). Здесь имеется довольно много конкретных
результатов, но общей теории пока нет.
Естественный общий подход к исследованию различных
нелинейных эволюционных уравнений с выделенной главной
линейной частью состоит в рассмотрении в абстрактном
пространстве Н уравнения
(*) -|jf- = A{t)u + B{t, и),
где Л (0—линейный, a B(t, •) — нелинейный операторы.
Конкретные результаты получаются при соответствующем выборе
пространства и операторов.
При всей заманчивости этой идеи её осуществление
сопряжено не только с преодолением ряда трудностей, но и (как при
всяком обобщении) с опасностью потерять вместе с
«несущественными подробностями» специфику реальной задачи.
В ряде случаев одной из действительно несущественных
подробностей является размерность пространства Н. В наше время
теоремы существования и единственности решений уравнений
с непрерывными коэффициентами, а также теоремы о гладкой
зависимости решений от параметров и начальных данных
даются иногда и в университетских учебниках сразу для уравнений в
произвольном банаховом пространстве.
Ещё в конце 40-х годов М. Г. Крейн, отправляясь от идей
и результатов А. М. Ляпунова, заметил, что многие факты
теории устойчивости решений можно получить, исходя из общих
соображений теории операторов в бесконечномерных банаховых
пространствах. Хотя при этом утрачивается такая, казалось бы,
важная черта, как дискретность спектра оператора Л, но это
во многих случаях оказывается несущественным. Более того,
отказ от использования специфических построений
конечномерной линейной алгебры в пользу общих соображений сделал
более прозрачными и простыми некоторые доказательства и
конструкции. Таким образом, обобщение оказало полезное
обратное влияние на классическую теорию.
Ряд результатов теории устойчивости для уравнений типа
(*) в банаховом пространстве с ограниченными операторами

6
От редактора перевода
А, В изложен в нашей совместной с М. Г. Крейном книге [115]
Заметим, что некоторые из этих результатов были получен*
при обобщении методов нелинейной механики, развиты:
Н. Н. Боголюбовым, Ю. А. Митропольским и их последовате
лями. Эта теория, в особенности ее часть, связанная с поиятие1>
интегрального многообразия уравнения (*), порождаемого кри
тической частью спектра оператора Л, впоследствии развивалaci
рядом авторов как в конечномерной, так и в бесконечномерное
ситуации (Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральны*
многообразия в нелинейной механике. — М.: Наука, 1973; Лы
кова О. Б. О принципе сведения для уравнений с неограничен
ными операторными коэффициентами. — Укр. мат. ж., 1975, 17
№ 2).
Рассмотрение аналогичных задач для уравнений с частными
производными требует систематического изучения уравнений (*)
с неограниченными операторными коэффициентами.
Существенные трудности здесь возникают уже в линейной
теории (и зачастую именно в ней). К настоящему времени
такая теория достаточно хорошо разработана как для
стационарного случая (теория полугрупп Хилле — Иосиды —Филлипса),
так и для нестационарного (Т. Като и другие). В форме,
хорошо приспособленной для данной книги, линейная теория
изложена, например, в книге С. Г. Крейна [63].
После того как изучены основные свойства и получены
необходимые оценки решений линейного уравнения du/dt — A(t)u,
нелинейное уравнение (#) классическим методом вариации
постоянных сводится к интегральному уравнению, формально не
зависящему от размерности. Основное отличие от
конечномерного случая — отсутствие различных свойств типа компактности.
Эту нехватку часто можно компенсировать за счёт
соответствующих предположений о компактности резольвенты (А — Я/)-1,
обычно выполняющихся в приложениях (при подходящем
подборе пространств).
Как раз с этого места и начинаются специфические
рассмотрения, типичные для качественной теории нелинейных уравнений,
разумеется осложнённые бесконечномерностью пространства.
Именно такой подход принят в предлагаемой монографии.
В ней выбрана достаточно гибкая схема, связанная с
понятием секториального оператора. Такие операторы являются про-
изво/СяЩТШи для аналитических 'полугрупп. Основные факты
линейной теории изложены в главе 1, и это делает книгу в
значительной степени независимой от других источников.
Необходимые результаты, касающиеся корректности рассматриваемых
далее задач (теоремы существования и единственности решений
задачи Коши для нелинейных уравнений со стационарной
главной линейной частью, теоремы о непрерывной или гладкой
зависимости решений от параметров и начальных данных) собраны

От редактора перевода
7
и главе 3. Поскольку для стационарного нелинейного уравнения
шпеаризованное уравнение, вообще говоря, нестационарно,
имеется отдельная глава 7, посвященная изучению линейных
нестационарных уравнений (экспоненциальная дихотомия,
поведение решений уравнения с коэффициентами, обладающими свой-
ггвом слабой вариации).
Основное содержание книги составляют главы 4—6 и 8—9.
И них после введения основных понятий изучается поведение
отдельных решений и интегральных многообразий уравнений
гипа (*) в окрестности стационарных точек и периодических
орбит (напомним, что в отличие от классической динамики это
ючки и орбиты в функциональных пространствах!).
Книга многопланова, и это отвечает интересам читателей,
имеющих различные цели и обладающих различным уровнем
подготовки. Конечно, для полного её понимания требуется неко-
трое владение теорией операторов в банаховом пространстве.
Читатель, интересующийся в первую очередь абстрактной
теорией, найдет достаточно богатый материал для размышления и
дальнейших обобщений. Те же, чьи интересы связаны в
основном с приложениями, могут читать специальные главы,
принимая в какой-то мере на веру теоретические предпосылки.
В книге много примеров и упражнений. Некоторые примеры
проходят через всё изложение, оживляя его и «оправдывая
уровень абстракции». Как правило, они связаны с конкретными
моделями, заимствованными из физики, химии и биологии, и часто
представляют серьёзный интерес; таким примерам специально
посвящены главы 2 и 10. Упражнения значительно дополняют
основной текст. У них неодинаковый уровень сложности, и
разбор многих из них требует обращения к дополнительной
литературе и вполне может перерасти в самостоятельное научное
изыскание.
Довольно большой список литературы в конце книги не
может, однако, претендовать на полноту, особенно в части,
касающейся работ советских математиков. Дополнительные
сведения в этом отношении можно найти в упомянутой выше книге
Ю. А. Митропольского и О. Б. Лыковой, а также в книге
В. И. Юдовича «Метод линеаризации в гидродинамической
теории устойчивости» (Ростов: 1984) и в обзоре С. Г. Крейна и
М. И. Хазана «Дифференциальные уравнения в банаховом
пространстве» (Итоги науки и техники. Математический анализ.
Г. 21. — М.: ВИНИТИ, 1983, с. 130 — 264).
В русское издание были внесены некоторые исправления и
дополнения, любезно присланные автором.
Мне представляется, что книга Д. Хенри будет весьма
полезна широкому кругу специалистов в области математической
физики.
Ю. Далецкий

ПРЕДИСЛОВИЕ
В 1971 году я прочёл красивую работу Като и Фудзиты
[32] об уравнениях Навье — Стокса и с удовольствием
обнаружил, что, собственно говоря, эти уравнения похожи на
обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и их анализ
производится методами, хорошо известными для ОДУ. Это,
наверное, и не удивительно для специалистов по уравнениям
с частными производными (УЧП), но я специализировался в
области обыкновенных и функциональных уравнений, и все
мои попытки читать работы по УЧП кончались тем, что я
застревал в технических подробностях.
Многие задачи для УЧП можно записать как задачи для
ОДУ в соответствующем банаховом пространстве, в которые
входят неограниченные операторы. Переписав эти уравнения
в виде интегральных уравнений Вольтерры, мы избавляемся
(в случае параболических задач) от неограниченных
операторов, и дальнейшие рассмотрения проводятся точно так же,
как для ОДУ. При этом мы имеем дело исключительное
сильными решениями, которые часто оказываются классическими.
Главное техническое отличие от случая ОДУ состоит в том,
что приходится работать с несколькими (двумя или более)
пространствами, и неравенство Гронуолла нужно
видоизменить так, чтобы охватить ситуацию
О < и 00 < аГа + * \ (t - s)~0 и (a) dst
о
где а, 6, а, р — неотрицательные постоянные, а<1, |5<1.
Цель геометрической, или качественной, теории
дифференциальных уравнений — описание геометрии потока, причем
основное внимание уделяется изучению вопросов устойчивости
(см. пример из § 1.1). Даже для ОДУ изучение таких
вопросов быстро становится трудным, но многие общие результаты,
полученные для ОДУ (например, устойчивость по линейному
приближению), ничуть не труднее доказать для
параболических УЧП, если уже разработана необходимая техника.
Обычно при ьгем используется информация о линейном при-

Предисловие
9
ближении, и поэтому оказываются важными теоремы о
гладкой зависимости решений от параметров.
Каковы требования к читателю? Главным нашим
инструментом является линейный функциональный анализ в
банаховых пространствах, и мы постоянно используем основные
понятия и факты дифференциального исчисления в банаховых
пространствах (непрерывность, дифференцируемость поФре-
ше, теоремы о сжимающем отображении и о неявной
функции). Некоторые из этих понятий и фактов напоминаются в
§ 1.2. Знать обобщаемые здесь результаты относительно ОДУ,
несомненно, полезно, но, может быть, и не очень существенно;
с точки зрения современного анализа Rn выглядит почти так
же, как и любое другое банахово пространство. Из трудных
результатов об эллиптических краевых задачах единственные
нужные нам — это напоминаемые в § 1.2 теоремы о
разрешимости в LP и Са задачи Дирихле и смешанной краевой
задачи для оператора Лапласа. В ряде примеров
используются рассуждения, основанные на принципе максимума, и
в упражнениях 5—11 § 3.3 мы напоминаем соответствующие
факты.
Результаты нумеруются последовательно (исключая
упражнения и примеры), так что за теоремой 3.4.2 (второй
результат четвертого параграфа главы 3) идут следствия 3.4.3, 3.4.4
и лемма 3.4.5. По страницам книги разбросано много
упражнений разной степени сложности. Некоторые из них,
отмеченные звёздочкой, многократно или существенно используются
в дальнейшем изложении. В ряде упражнений представлены
другие подходы — часто более совершенные — к задачам,
рассмотренным в предшествующих теоремах; легче включить
упражнение, чем переписать заново параграф (см., например,
упр. 3 § 4.2 и упр. 10—11 § 5.1). В любом случае упражнения
образуют важную часть книги. Пропускайте их на свой страх
и риск!
Изучение УЧП как эволюционных уравнений в
бесконечномерных пространствах стало уже довольно обычным делом,
и помимо работ, приведенных в библиографии, необходимо
отметить здесь монографии Р. Мартина «Нелинейные
операторы и дифференциальные уравнения в банаховых
пространствах» (Wiley, 1976) и Ф. Браудера «Нелинейные операторы
и нелинейные эволюционные уравнения в банаховых
пространствах» (Amer. Math. Soc, 1976); обе они интересны как сами
по себе, так и потому, что их пересечение с настоящей книгой
фактически пусто. Таков размер нашего предмета!
Исследования, результаты которых здесь представлены,
были начаты на семинаре в Университете Кентукки в 1971 году,
и первый вариант книги был готов к 1974 году. В 1974—75
годах во время пребывания в Университете Нордвестерн

10
Предисловие
(Чикаго) я прочитал курс по материалу книги и произвёл в
тексте довольно много исправлений и переделок, а также
включил некоторый новый материал, в частности по градиентным
потокам (§ 5.3 и теоремы 6.1.9—6.1.10). Параграфы 7.5, 7.6
и главы 9, 10 были написаны во время моего пребывания
в Университете Брауна (1979 г.) и обсуждались там. Я
признателен коллегам из всех названных университетов за
поддержку и советы, а больше всего за критические замечания,
заставлявшие меня вносить ясность в собственные мысли.
Особо благодарю Джека Хейла, постоянно поддерживавшего
во мне энтузиазм — иногда и стимулирующими пинками, и
Кэт Мак-Дугалл, которая успешно напечатала окончательный
вариант текста, несмотря на все чинимые мною препятствия.
Дэн Хенри

ГЛАВА 1
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
1.1. ЧТО ТАКОЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ!
Геометрическая, или качественная, теория обыкновенных
дифференциальных уравнений (ОДУ) восходит к Пуанкаре и
Ляпунову; она занимается вопросами существования различных
специальных решений (точек равновесия, периодических решений,
почти-периодических решений и т. д.) или совокупностей
решений (инвариантных многообразий), а также их устойчивости или
неустойчивости — включая поведение решений при «малых»
изменениях уравнения.
Ставятся (а иногда и решаются) и глобальные вопросы:
Отправляясь от «произвольного» начального значения, что можно
сказать о поведении решения на бесконечности? Является ли
система в целом структурно устойчивой? (См., например, [11, 18,
37,61,62,68,76,79,89].)
Некоторые из этих вопросов были поставлены и решены так»
же и для функциональных дифференциальных уравнений [39,
40, 41], и эта теория часто приводит к изучению полулинейных
параболических уравнений с частными производными (УЧП).
Как подчеркнули Дж. Хейл и К. Мейер [42], наиболее важные
факты, которые следует перенести из теории ОДУ, — это метод
вариации постоянных, разбиение пространства состояний на
подпространства, инвариантные относительно линеаризованного
уравнения, и экспоненциальные оценки решений
линеаризованного уравнения в этих подпространствах. Располагая этими
средствами, можно применять Основной Прием Анализа
(линеаризацию) так же, как в теории ОДУ. Если не считать того, что
время от времени мы используем функции Ляпунова и
соображения, основанные на принципе максимума, то в основе нашего
подхода почти всегда лежат линеаризация и принцип
сжимающих отображений.
Можно подумать, что в таком случае все результаты должны
быть тривиальными. В некотором смысле это, может быть, и
так: взятые по отдельности, они редко бывают удивительны —
в предположениях, заключениях либо методах доказательства.
Тем не менее этот подход, по-видимому, систематически не
разрабатывался и не применялся систематически к данному пред»
мету.

12
Гл. 1. Предварительные замечания
«Но, несомненно, — возразят мне, — вы не решили
нестационарные уравнения Навье — Стокса в трех измерениях. Иначе
это было бы написано огненными буквами на ночном небе —
или хотя бы в AMS Notices». Верно. Излагаемые здесь методы
и результаты применимы к уравнениям Навье — Стокса, но
никоим образом не устанавливают существование глобальных
решений (существующих для любого положительного времени)
при произвольных начальных данных, подчиненных лишь
требованиям гладкости и совместности. Я бы только заметил, что
имеется много других интересных объектов для исследования.
«Стоит ли похваляться существованием?» (Л. Янг).
Рассмотрим один пример, жемчужину моей коллекции. Чэфи
и Инфанте [14] изучили класс задач, включающий задачу
^=-JF + au~bu* (0<x<nt <<0),
а (0, 0 = 0, и (л, 0 = 0,
где а и Ь — положительные постоянные. В этом случае задача
Коши корректно поставлена в соболевском пространстве
//о(0, л), и решение существует для любого положительного
времени. Далее, при if->--|-oo решение u(-tt) стремится в
//о(0, л) к некоторому стационарному состоянию ф,
являющемуся решением задачи
-§-(х) + аФ(х)-Ч3(^) = 0 (0<*<л),
ф (0) = 0, ф (л) = 0.
Чэфи и Инфанте доказали, что существует лишь конечное число
таких стационарных состояний, а именно равно 2/г+ 1, где п —
неотрицательное целое число, для которого п2 <С а ^ (п-\- I)2.
Если 0 < а ^ 1, то нулевое решение является, таким образом,
глобально-асимптотически-устойчивым. Если а>1, то нулевое
решение неустойчиво, равно как и все прочие стационарные
состояния, за исключением двух, обозначаемых ф*, фГ и
характеризуемых тем, что Ф* {х) > 0 > фГ (х) при всех 0 < х < л. Эти
решения асимптотически-устойчивы, и мы докажем (§ 5.3), что
область притяжения для {ф*, фГ} представляет собой открытое
плотное множество в //о (0, л).
Мы покажем также (§ 6.3), что существует окрестность нуля
в //о(0, л), положительно-инвариантная при всех достаточно
малых \а—1| и разбиваемая на два открытых множества
(области притяжения q>t и фГ) устойчивым многообразием
нулевого решения при малых а — 1 > 0. Таким образом, для а,
близких к 1, мы имеем картинки потока, представленные на рис. 1.
Если В— достаточно большой шар с центром в нуле в
#о(0, л) и и(t, В) — множество всех точек, достигаемых в мо-

1.2. Основные факты и обозначения
13
мент времени t решениями и с начальными значениями из 5, то
/С= П u(t9 В)
t > о
— максимальное ограниченное инвариантное множество. Оно
компактно, связно и конечномерно и является объединением
неустойчивых многообразий
положений равновесия; мы имеем
для него картинки,
представленные на рис. 2.
При п2 < а ^ (п + 1)2
множество К n-мерно и является
замыканием неустойчивого
многообразия нуля.
Большинство примеров не
удается исследовать так детально,
отчасти из-за сложности изучения стационарных задач,
приводящих к нелинейным эллиптическим уравнениям. Но есть и ряд
ail
а>1
Рис I.
•О
(л*0)
<Р,+
(л*3)
Рис. 2.
других примеров (см., в частности, [107], гл. 10 и упр. 11 § 6.1),
допускающих довольно полное рассмотрение. Можно надеяться,
что наш запас примеров будет расти и скелет теории постепенно
обрастёт мясом.
i 1.2. ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
В этом параграфе собраны некоторые результаты и
обозначения, которые будут использованы в дальнейшем.
1.2.1. Неравенство Гронуолла
Т. Гронуолл доказал, что если а, Ь — неотрицательные
постоянные и
0 < и (t) < а + Ъ \ и (s) ds
для всех 0 < / < Г, то u(t) *=£ aebt для 0 ^ / < 7\

14
Гл. 1. Предварительные замечания
При рассмотрении интегральных уравнений Вольтерры со
слабой сингулярностью нам понадобится другой вариант этого
неравенства.
Пусть а, Ьу а, р — неотрицательные постоянные, а < 1, |J < 1
и 0 < Т < оо. Существует постоянная М = М(6, а, р, Т) < оо,
такая что для любой интегрируемой функции и :[0, Г]->/?,
удовлетворяющей оценке
t
0<и(/)<аГа + Ь ( (f — s)~*u{s)ds при почти всех <е[0, Г],
о
выполняется неравенство
О ^ u(t) < аМ*а при почти всех t е [О, Т].
Это частный случай леммы 7.1.1. Его доказательство
получается элементарным итерационным рассуждением с
последующим применением теоремы Лебега о мажорированной
сходимости, и мы отсылаем читателя к лемме 7.1.1.
1.2.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ПРОСТРАНСТВ
Все банаховы пространства предполагаются вещественными,
с той обычной оговоркой, что спектральная теория развивается
в их комплексификации. Двойственное (сопряженное)
пространство к банахову пространству X обозначается X*, а значение
функционала уеХ* на х^Х записывается в виде <*,#>.
Через 3?(XyY)y где X и Y — банаховы пространства, будем
обозначать пространство всех непрерывных линейных
операторов, действующих из X в У.
Для линейного оператора L примем следующие обозначения:
D(L) — область определения L;
R(L)—множество значений (образ) L;
N(L) — ядро (нуль-пространство) L;
p(L) — резольвентное множество L;
o(L) — спектр L,
o(L) = Po(L)[)Co(L)[)Ro(L),
где
Ро (L) — точечный спектр (собственные значения L),
Co(L)— непрерывный спектр,
Ro(L) — остаточный спектр;
oe(L) — существенный спектр L (см. литературу, указанную
в § 5.4);
r(L) — спектральный радиус (ограниченного) оператора L.
Выражение вида Rea(L)>k будет обозначать, что для
любого K^o{L) вещественная часть Re А, превосходит k.

1.2. Основные факты и обозначения
15
Иногда мы будем употреблять символ Дг> для обозначения
оператора Лапласа 1д=2 d2/dxj ] на гладких функциях,
обращающихся в нуль на границе рассматриваемой области в R".
Область определения обычно уточняется в контексте.
Проектор Е— это ограниченный линейный оператор в
пространстве X, такой что Е2 = Е. Любой проектор определяет
разбиение пространства на сумму двух подпространств X — Х\€В Х2>
где Х\ = /?(£), Х2 = N(E)\ будем говорить, что Е проектирует X
на Х\ вдоль Х2.
C(S,X) — пространство всех (Ограниченных непрерывных
функций, отображающих метрическое пространство S в банахово
пространство X] это пространство наделяется нормой
l|f||c(s^) = sup{||/(s)|U|seS};
Cunif (S, X) — пространство всех равномерно непрерывных
функций из S в X с sup-нормой;
Cy(S,X)—пространство всех [v] раз непрерывно
дифференцируемых функций из открытого множества S одного банахова
пространства в другое банахово пространство Х(\ ^ 0), у
которых производная порядка [v] (v ^ 0) удовлетворяет условию
Гёльдера с показателем a —v — [v], если v — не целое. Норма
определяется следующим образом:
у/|| v - У .up || D*/1| + sup W>wtM-D"f(*)\\
(последний член отсутствует, если v — целое);
Clip(S, X) — пространство всех функций из Ck(S, Х)у у
которых £-я производная удовлетворяет условию Липшица.
Со (S, X)— линейное пространство всех функций из Ck(StX)
с компактным носителем в 5;
Lp(Q,X)—пространство всех функций из пространства с
мерой Q в банахово пространство X, интегрируемых в р-й степени,
с нормой
*fhP{0tXr{\\\f(t)\\utyp
(1<р<оо);
L°°{Q,X)—пространство всех сильно измеримых существенно
ограниченных функций из Q в X с нормой
""'i-.b ^^"Pfll/WlklfeQ};
у?7*'р(&,Х)-*- пространство Соболева, состоящее из всех функ-
ixkB^j-&±p(Q} X), обладающих интегрируемыми в р-й степени

16
Гл. I. Предварительные замечания
обобщёнными производными до порядка k включительно (здесь
Q — открытое множество в R"), с нормой
1"11^„.«-{1,?0«'"'<'>И :
Hk{Qy X)— Wk> 2(Q, X); это пространство является
гильбертовым, если X —гильбертово пространство;
Wo'p(Qy X) — замыкание Co(Q, X) в норме U7*."(Q,X); мы
часто будем использовать эквивалентную норму
"U-'*.*-§}*"№]*:
tf*(Q, X) = Wko2(Qy X).
Везде, где область значений не определена, имеется в виду, что
ею служит вещественная прямая R; исключения ясны из
контекста.
1.2.3. ТЕОРЕМА ВЛОЖЕНИЯ СОБОЛЕВА [92, 97, 8, 23]
Пусть Q — открытое множество в R" с достаточно гладкой
границей dQ [97, с. 181], например, 0=КЛ или Q
—ограниченная область с границей класса С1. Тогда имеют место
следующие непрерывные вложения:
Wk'p(Q)cz LQ{Q), если 1/р> 1/?> 1/р - k/n > 0;
Wk> р (Q) с С (Q), если kp > п.
(Во втором случае включение означает, что для любой функции
f из W*'p(£2) существует непрерывная функция /, такая что
7"=[ почти везде на Q.) Если kp = п, то W*'p(Q)c= Lp(Q) для
Любых Г, р ^ Г < оо.
Далее, если 0 <; v < & — n/р, то имеет место непрерывное
вложение Wk>p(Q)a CV(Q) (т. е. непрерывная функция /,
соответствующая функции f из Wk'p(Q), на самом деле
принадлежит классу CV(Q)). Доказательство несколько более слабых
результатов такого же рода вместе с неравенством Ниренберга —
Гальярдо дается в § 1.6.
1.2.4. НЕКОТОРЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Опишем несколько регулярных краевых задач для оператора
Лапласа, которые ниже используются в примерах и
упражнениях. По поводу общих постановок задач см. [1, 2, 8, 28, 29,
30, 81] (/Лтеория), [2, 8, 91] (//-теория), [2, 8, 29] (О-тео-
рия), а также [2, 8] (все случаи). Фикера [28] рассматривал
р /Лпост^новке эллиптические системы, включая уравнения ли-

1.2. Основные факты и обозначения
17
пейной теории упругости. Ладыженская [65] изучала задачу
Стокса для вязкой жидкости.
Задача Дирихле. Пусть Q— ограниченная гладкая (класса
С2) область в Rn. Рассмотрим задачу: для заданной функции
п
Zd2u
— = Дм — f в Q9
/= i dxf
и !<ш == 0.
(i) Если |eLp(Q) (1 <p<oo), то существует
единственное решение и е= W2' р (Q) fl Wo' Р (Q).
(ii) Если f е С«(Й), 0<а<1,иЗОе С2+а, то существует
единственное решение и е C2+ot(Q).
Смешанная задача. Пусть область Q та же, что и выше, и
a<^Cl(dQ, R), а(х)^0 на dQ и а(х)>0 внутри Q; задача
состоит в том, чтобы найти функцию и, такую что
Ди = / в Q,
-g^-+ a (jc) и = 0 на dQ.
(i) Если f е Ip(Q) (1 < р < оо), то существует единственное
решение u е= W2' "(Q).
(ii) Если f£C«(Q) (0 < а < 1), то существует
единственное решение и е C2+a(Q) при <ЭЙ е С2+а, ае С1*».
1.2.5. ПОЛИНОМЫ, ПРОИЗВОДНЫЕ И АНАЛИТИЧНОСТЬ [22, 49]
Пусть X, У—банаховы пространства. Под /г-линейным
отображением из X в К понимается всякое отображение f из я-крат-
ного произведения Хп = X X ... X ^ в У, такое что отображение
***—>f(*i. •••» *п) линейно для любого фиксированного набора
(jci, • ■•> **-ь *а+ь • •■. *•*) ПРИ каждом k = 1, 2, ..., п.
Однородный полином (степени п) из X в У—это отображение вида
xt->f(x,x> ..., х), X-+Y, где f—некоторое «-линейное
отображение. (В частных случаях п = 0 и п = 1 имеем соответственно
константу и линейное отображение.) Однородный полином g
(степени п) непрерывен тогда и только тогда, когда он
ограничен, т. е. когда для некоторой постоянной М
\\8(х)\\у<Щ\х№, х^Х.
Для такого полинома мы иногда употребляем запись g{xn)\
вместо g{x)\ его норма равна
так что
IU(*")IIk<I|*HI|*II?. х<=х.

18
Гл. 1. Предварительные замечания
Отображение f: X-+Y называется дифференцируемым в
точке а&Х, если существует непрерывное линейное отображение
/'(а): Х-> У, такое что
\\f{x) — f(a)—f'{a) (х — a)\\Y = o(\\x — а\\х) при х^а.
В этом случае flaJE^fl, У) называется производной (Фреше)
в точке а. Производная иногда обозначается Df(a) или fx(a).
Отображение называется непрерывно дифференцируемым на
открытом множестве U с= X, если оно дифференцируемо в
каждой точке xg(/ и отображение я»—>/'(*), U -** £?(Х, У)
непрерывно. Говорят, что / дважды дифференцируемо в точке а, если
/ дифференцируемо в каждой точке некоторой окрестности этой
точки и отображение x*—>f'(x)^3?{X, Y) дифференцируемо в а;
и т.д.
Если f п раз непрерывно дифференцируемо в открытом
множестве U с: X, то для любой точки х^О мы можем
рассматривать его й-ю производную /(fe)(x) (1 ^.k^n) как
непрерывный однородный полином порядка й, определяемый с помощью
формулы Тэйлора
п
f (*+*)= £4-^)(^)+0^ II*) при А-*0.
Здесь р> (*) = /(*).
Отображение f: U с= X-+Y, где £7 открыто, называется
аналитическим в (7, если / бесконечно дифференцируемо в каждой
точке U и для любого х^ U существует б = Ь(х) > 0, такое что
если \\h\\x ^ б, то
/С*+ 4)=2^ <*><*'>•
k «0
причем ряд сходится в норме пространства У равномерно в шаре
ИЛИ* < б.
Эквивалентное требование состоит в том, чтобы для
некоторого б > 0 существовала постоянная М = М (х, б), такая что
-^-||/Л(д;)||6&<М<оо для всех fc>0.
(Это определение эквивалентно используемому у Хилле и
Филлипса [49], см. [49, теор. 3.17.1].)
ПРИМЕР 1. Всякий непрерывный однородный полином степени
п из X в У аиалитичен. Действительно, *•—>f{k)(x) —
непрерывный полином степени п — k из X в пространство полиномов
9тедени k {h = 0? 17 ...? п) из X э У и р> (*)=== 0, если А > /г,

1.2. Основные факты и обозначения
19
ПРИМЕР 2. Если X = Y = C[0,l], f(x)(t)= sin x(t) для 0^
' < 1, то
/<*>(*)(А*)(0 = Ы*(0)(Л(*))\ А = 0,1,2
где gk{z) = (d/dz)k sin г, так что 11/^(-^)11=¾ 1 для всех k ^ 0 и
llf(ft)W-f(ft,(l/)ll< sup |**(*(*))-g*(0(O)l<ll*-0l|c|o.i].
Таким образом, отображение f: X-+Y аналитично.
Упражнение 1. Если X=Y = L2(0, 1), /(*)(*)= sin*(/),
О ^¾ t ^ 1, то отображение / липшицево:
\\f(x)-f(y)h^x-yk>{o,iv
Однако LjjhtДе не дифференцируемо. (Рассматриваемое как
отображение!*1 (ОГ^в^Ч^Г^^ аналиткчно.)
Обратная теорема Тэйлора (доказательство см. в [106]). Пусть
А', У — банаховы пространства, U — открытое множество в X и
f: t/ -*■ У таково, что для любого х0 е £/
m
f(* + A)= £ о*(x)A* + о0Aj") при А-0
равномерно по ||х— *о11^11й11. где а*(^) — ограниченный
однородный полином степени ft из X в У. Тогда / m раз непрерывно
дифференцируемо и его ft-я производная равна
f(*> (*)(*.. — , Aik) = Z а* (*)*/, ... А/*
{<i '*>-<■ **
(сумма по перестановкам)
= k\ak(x)h{ ... Лл, если ak(x) симметричен.
Родственным к обратной теореме Тэйлора является
следующий результат со сходным доказательством. Пусть О<0^1,
у = X к существует постоянная В, такая что
m
<fl|Af+в
\f(x + h)- £ ak(x)hk
для всех ху h из X, где ak(x) — ограниченный однородный
полином степени k (для всех А, х). Тогда / принадлежит классу Ст
и m-я производная от f удовлетворяет неравенству
||^«)(x + h)-/<">(*) ||< NmBWhW*,
где Nm зависит лишь от т. (Для случая m = 1 имеется прямое
доказательство, дающее N\ = 6; см. упр. 1 § 9.1.) Если /
непрерывно, то неравенство достаточно считать выполненным только
на всюду плотном подмножестве.

20
Гл. 7. Предварительные замечаний
Упражнение 2, Пусть 1 ^ р < оо, Q s Н\ Докажите, что
отображение /ь-^j | f(x)pdx — равномерно класса О на каждом
Q
ограниченном подмножестве в LP(Q, R), когда р — не целое.
Если р — целое нечетное, то отображение принадлежит классу
Сир , а когда р четно, оно аналитично (а именно является
полиномом). Указание: сначала рассмотрите отображение tt-~>>\t\p,
1.2.6. СЖИМАЮЩИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА;
ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
Хорошо известна теорема Банаха о сжимающих
отображениях:
Теорема (Банах). Пусть (S, d) — юлное метрическое
пространство и Т: S-+S — сжимающее отображение, т. е. существует
0 < 1, такое что
d(T(x), Т{у))^ Qd(x,y) для всех х, у из S.
Тогда в S существует единственная неподвижная относительно
Т точка: a&S, Т(а) = а. Кроме того, для любого 6eS, если
Tn(b)— Т(Тп~1(Ь)) (/i-кратная композиция), то Тп(Ь)-+а при
п-> оо, точнее
й(Т*(Ь),а)^Ъ"й{Ь%а).
Нам необходима более детальная информация о зависимости
неподвижной точки от различных параметров. Пусть (S,d) —
полное метрическое пространство и (Л,/) — другое метрическое
пространство. Будем называть отображение Т: SXA-^S рае-
номерным сжатием, если существует 8< 1, такое что
d(T(x,K), T(y,k))^Qd(xty)
для любых х, у из S и X <= Л.
Для каждого X существует единственная неподвижная точка
g(X)^S; изучим вопрос о гладкости отображения Я,»—>g(k).
Упражнение 3. Если Т: SXA-*S — равномерное сжатие
в смысле приведённого выше определения и отображение Х»~»
7 (хД) непрерывно на Л для любого xgS, то отображение
X*->g(X)y A-+S также непрерывно.
Следующий результат по существу принадлежит Хейлу [37,
теор. 3.2]:
Теорема. Пусть U,_V— открытые множества в банаховых
пространствах X, У и U —- замыкание U (так что U -^полное
метрическое пространство). Предположим, что 7: (УХ ^-♦Р-

1.2. Основные факты и обозначения
21
равномерное сжатие на £7, и пусть g(у)— единственная
неподвижная точка Т(^,у) для каждого //eV,
Если T<=Ck(UXV,X) (0^6<оо), т. е. частные
производные Фреше до порядка k включительно существуют на 1/Х V
и продолжаются по непрерывности на (/XV, то отображение
fJt-^giy) принадлежит классу Ck(V, X).
Если отображение (xfy)*—>T(xty) аналитично как
отображение из U\ X V в X, где U\ — некоторая окрестность О, то
!1*—>ё(у)— аналитическое отображение из V в X.
Доказательство. В случае k = О это — простое упражнение;
рассмотрим случай k= 1.Так как \\Т(хиу)—Т(х2, у) ||^ 6|Ui — х2\\,
то производная Тх(хуу) по х удовлетворяет на [/XV оценке
\\Тх(хуу)\\^ В < 1. Формально дифференцируя равенство g(y) =
T(g(y),y), мы видим, что gr(y) должно быть решением М
уравнения
M-Tx(g(y),y)M = Ty(g(y)yy).
Но \\Tx(g(y),у)II ^ 8 < 1, так что это уравнение имеет
единственное непрерывное решение М(у)\ нам надо показать, что
Ив(у + л)—г(у)—М(1/)л11=о(11л11) при л^о.
Пусть y = g(y + Vi)— g(y). Тогда T{g{y) + y, у + ц)~
T(g(y)>y) = V> так что
(/-T,(g(jO, </))? = Ы£(У)>У)Л + А,
где
A ==^(^) + 7.^ +Л)-ПвГ (У).»)~ ^(ff(»), У)Т-
Ту(8(у),У)Ч-
Поскольку ГеС5, то ||Д(у, 4)II=°(W + NI) при ||7|| +
Ил11-^0, т. е. при т]->0 (так как 7(л)^О в СИЛУ
непрерывности g). Таким образом, для любого е > 0 при достаточно
малых ЦцИ мы имеем ||Д(л)11^ e(|lvOl)ii + Ni)> а потому
IvWK-rb-Fyteto). ^)41 + -^017(4)1 + 140.
откуда вытекает, что 7(л) = о(11л1!) при т]-»-оо. Следовательно,
(/-^(*(У)^))(т(4)-Л1л) = А(П,Т(Л)) = о(||л11),
так что Ь{ц)—М(у)ц\\=о(\\х\\\), т. е. M{y)=g'(y).
Для k > 1 применим индукцию. Если результат выполняется
для k — 1, то в случае Т еР имеем g е Ck~l и
(/-Ы*(у).*))*Ч*) = М*(у).у).
откуда g' е С*-1, так что g е С*.
В аналитическом случае заметим, что для любого j/e V
существует комплексная окрестность точки (g(y),y), в которой Г

22
Гл. 1. Предварительные замечаний
является аналитическим и равномерно сжимающим
отображением. Из проведенного выше рассуждения вытекает дифферен-
цируемость неподвижной точки в этой комплексной окрестности,
а следовательно, ее аналитичность [49, теор. 3.17.1]. Тот же
результат можно получить с помощью степенных рядов (методом
мажорирующих функций).
Упражнение 4. Пусть Т — равномерное сжатие и для
некоторого а, 0 < а ^ 1,
\\Т(х9У1)-Т(х,у2)\\^М(х)\\ух-у2\\*,
где М(х)—функция, ограниченная в окрестности любого х^О.
Тогда Wg(y\)—g(y2)\\=0{\\y{ — у2\\а) при у{-+у2. Если же
ГеСу(УХ V,X) для некоторого v > 0 и Т — равномерное
сжатие, то неподвижная точка jg Cv(I/, X).
Теорема о неявной функции. Пусть X, У, 2 — банаховы прс
странства, U и V— открытые множества в X и Y соответственно
Пусть F: £/Х V-+ Z непрерывно дифференцируемо, F(xo,y0) = О,
(x0jy0)GUXV и частная производная Fx(x0, у0)<= S(X, Z)
имеет непрерывное обратное отображение.
Тогда существуют окрестность U\ X Vi точки (*0, */о), V\ X
V\C=iUY,V, и функция /: V\->Uu !(Уо) = *о, такие что для
(ху */)е U\ X Vi равенство F(x, */) = О выполняется тогда и
только тогда, когда x = f(y). Таким образом, F{f(y),y) = 0 для
всех у ^ V\.
Если отображение F: UXV-+Z принадлежит классу
Ck{\ ^k < оо) или аналитично вблизи (ль, J/o), то и f
принадлежит классу С\ соответственно аналитична вблизи у0.
Доказательство. Пусть L = (/^(х0| J/o))"1 sS'fZJ). Положим
G(x, #) = * — LF(x, i/).
Ясно, что функция G принадлежит С1 как функция из некоторой
окрестности {х0уу0) в X (соответственно принадлежит Ск или
аналитична), причем G(хо, Уо) = *о, Gx(xo,y0) = 0 и \\Gx(x9y)\\^
G< 1 в окрестности (лг0, уо). Поэтому доказываемый результат
следует из теоремы о сжимающих отображениях.
1.2.7. УКАЗАНИЯ ДЛЯ «КУЗНЕЧИКОВ»
Есть два типа читателей: «муравьи», которые читают
страницу п перед тем, как прочесть страницу п+ 1, и «кузнечики»,
которые прыгают и скачут, пока не появится что-нибудь
интересное, и только тогда пытаются проследить соответствующую
логическую линию. Для таких «кузнечиков» мы приводим список
некоторых основных опорных пунктов глав 1—4.

1.3. Секториальные операторы и аналитические полугруппы 23
В гл. 1:
1.3.1: определение секториальных операторов;
1.3.2: определение аналитических полугрупп;
1.3.4: А— секториальный оператор =>{e~At, t ^
0}—аналитическая полугруппа;
1.4.1: определение дробных степеней;
1.4.2: А*А* = Л«+Р;
1.4.3: оценки для Aae~At't
1.4.7, 1.4.8: определения и свойства пространств X = D(Aa)\
1.5.2, 1.5.3: инвариантные подпространства и экспоненциальные
оценки;
1.6.1: теорема вложения Ха с= Wk>Q(Q).
В гл. 2:
примеры параболических задач.
В гл. 3:
3.2.2: существование и единственность решения для .уравнения
dx/dt + Ax = f(t);
3.3.3, 3.3.4: существование и единственность решения для
уравнения dx/dt + A* = f{t, х);
3.3.6: компактность ограниченных орбит;
§ 3.3, упражнения 5 — 11: соображения, основанные на принципе
максимума;
3.4.1, 3.4.4: непрерывная и дифференцируемая зависимость
решений;
3.5.2: сглаживающее действие дифференциального уравнения;
§ 3.6, 3.7, 3.8: примеры.
В гл. 4:
4.1.1, 4.1.3: определение динамических систем и функций
Ляпунова;
4.1.4, 4.2.1: асимптотическая устойчивость и функция Ляпунова;
4.3.3, 4.3.4: устойчивость и инвариантные множества.
1.3. СЕКТОРИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПОЛУГРУППЫ
Начнем с одного примера, потдм обобщим его. Рассмотрим
уравнение теплопроводности
ди и д2и /1 ^ п п ^ ^ 1\
"дГ^Ь-др- (*>0' °<*<0
с краевыми условиями ц(0, tf) = 0, и(/,/) = 0 для 1>0; здесь
k — положительная постоянная (удельная теплопроводность) и
u(xt f)—-температура в точке х в момент времени t. Определим
линейный оператор А следующим образом:
^(*)--ft-g£-(*). о<*<1,

24
Гл. 1. Предварительные замечания
если ф —гладкая функция на [0, /] с ср(0) = 0, ф(/) = 0. Для
таких функций ф и -ф
(Ар, ф) = -fe J ф" (х) ф (х) tfx = —* j (<р' (a:))2 dx > О
(Ар, я|>) = —А? ^ ф" (*) Ф (*) ^ = (ф. Лф)>
о
так что, используя теоремы Фридрихса [82, 103], мы можем
(и будем) считать А расширенным до самосопряженного плотно
определенного линейного оператора в L2(0,/). В этом случае
О(Л) = {ф^/,2(0, /)|ЛФ€=£2(0, /)) = //^(0, I) П Я2(0, /)
и спектр о (А) состоит из простых собственных значений %п =
(kn2/l2)n2 (п = 1, 2, 3, ...) с соответственными собственными
функциями ф„(х) = (2//)1/2 sin(плх/1):
Л ф„ = Ядфп, (фп, фт) = б„т для т = 1, 2, 3,
где Ьпт = 0 при пФ т, Ьпт = 1 при п = т.
Уравнение теплопроводности вместе с краевыми условиями
может теперь быть записано (формально) как
дифференциальное уравнение в банаховом пространстве
du ЬЛа = 0,
dt
и представляется заманчивым выразить его решение в форме
U(t)=e-Aiu(0)y t>0.
И действительно, если начальное значение и(х, 0) — гладкая
функция, обращающаяся в нуль при х = 0 и х=/, то решение
уравнения может быть найдено путем разделения переменных:
и(х, /)= I e-*»fEn(u(.t 0)) (х),
где Еп — проектор на n-ю собственную функцию:
£«(♦)(*) вфп(*)(фл.Ф).
Но это решение есть в точности e~Atu(-,0), где экспонента
определена в обычном для функций от самосопряженных операторов
смысле, с помощью спектрального разложения Л,

1.3. Секториальные операторы и аналитические полугруппы 25
Подобным же образом могут быть определены другие
полезные функции от Л, например:
АЦ= £ **£„№).
(XI-A)-^= Z (1-Хп)-*Е„($),
если КфХп для всех п.
Используя равенство
/ оо
1:^=5^(^=2^,^,
О tt-l
легко показать, что для любого а ^ 0
D (Ла) ={^L2(0, /): J£ е (фй, ^)2 < оо};
II Аае~АЧ [| < max {с&Г V} |j ф || < &« (*) | a|>||,
где
Ше/аГ* при 0<^<аД„
а()™ №*-"'' при t^a/Хг.
Итак, #(¢-^)^^(^) Для любого а ^ 0, если * > 0, и
11^8-^11==0(^) при /->0.
Упражнение 1. А~а ограничен на L2(0,1), если а ^ 0.
Упражнение 2. Л~а компактен на L2 (0, /), если а > 0.
Указание. Пусть Aivа<ф = 2 ^0¾)). докажите, что | Л~а — Л^а | -►
-*0 при N-+ оо.
Упражнение 3. D (Л,/2) = Яо(0, /). Указание:
о
Упражнение 4. Вообще говоря, A42u*£dufdx, но -^-Л~1/2
и Л~1/2-т~ ограничены bL2(0, /)"н°рме на Яо(0, /).
djc
1
Упражнение 5. I! (Я, — А) ' ||< max —г—г—т-< cosecФ • I М~*
для I ф 0, ф < | arg Я, К я (0 < ф < я/2).

26
Гл. 1. Предварительные замечания
Обобщение указанного примера приводит к классу секто-
риальных операторов.
Определение 1.3.1. Будем>азддал^^^ А
в банаховом пространстве ^секториальным оператором, если он
замкнут и плотно определяй—щ кроме того, для некоторого
фе(0,л/2), некоторого М^1 и некоторого вещественного а
сектор
Sa, ф={Чф ^|arg(X — я) К яД Ф а}
лежит в резольвентном множестве оператора А и
II (X — A)-l\\^M/\k — а\ для всех А, е= Se. ф. .
Замечание L Угол раствора сектора Sa, ф равен 2я — 2ф > я.
Замечание 2. Несколько эквивалентных формулировок
(принадлежащих Иосиде) имеются в приложении к статье Хоппен-
штадта [51].
ПРИМЕР 1. Всякий ограниченный линейный оператор в
банаховом пространстве секториален.
ПРИМЕР 2. Если А—самосопряженный плотно определенный
ограниченный снизу оператор в гильбертовом пространстве, то
он секториален.
ПРИМЕР 3. Если А — секториальный оператор в X, В— секто-
риальный оператор в У, то А X В— секториальный оператор
в XX У\ здесь {АХ В) (х9у) = {Ах, By) для хе= D{A), </е= D{B).
ПРИМЕР 4. Пусть А —замыкание в LP{Q) (1 =s£ р < оо, Qc= Rn)
оператора —Д, определенного на функциях «gCo(Q).
Оператор А является секториальным, если его резольвентное
множество содержит левую полуплоскость (см. § 1.6).
ПРИМЕР 5. Как показано у Фридмана [30], много других
эллиптических краевых задач также определяют секториальные
операторы.
ПРИМЕР 6. Если А —секториальный оператор в X и В —
линейный оператор, такой что D (В) :э D(A), причем для всех х е D (А)
\\Вх\\^в\\Ах\\+Ц*)\\х\\
(для достаточно малых е>0), то А + В — секториальный
оператор (см. теорему 1.3.2).
ПРИМЕР 7. Оператор в гильбертовом пространстве, т-секто-
риальный в смысле Като [56], является секториальным и в
смысле нашего определения (см. упр. 6),

1.3. Секториальные огераторы и аналитические полугруппы 27
Теорема 1.3.2. Предположим, что А — секториальный оператор
и \\A{k — A)-l\\^C для |argX|><p0, |Х|>Я0, где R0i С и
Фо < Jt/2 — некоторые положительные константы. Пусть В —
линейный оператор, такой что D(B)z>D(A) и для любого x^D(A)
иыиолняется неравенство ||Вх||^ е||Лдс|| +^1М1> где е, k —
положительные постоянные, гС < 1. Тогда A + fi — секториальный
оператор.
Доказательство. Имеем
|| В (Я, — А)'1 К e|j Л (Л — Лр || + k [J(А, - Л)"11| < еС
+ ft(i + Q/|M
для | arg X | ^ фо, | Я. | ^ /?„, так чт0
И{Х —(Л + Б)}-1|| = КЛ. —А)-{/ —В(Я. —АГ'}"Ч|
<-!+JUi рГ *(*+с) 1"'^ const
при |argX|^ фо и достаточно больших \Х\. Отсюда следует, что
А + В — секториальный оператор.
Замечание. Если Л — самосопряженный оператор, то достаточно,
чтобы было е < 1.
Упражнение 6. Пусть Т — линейный оператор в
гильбертовом пространстве, m-секториальный в смысле Като [56, с. 280],
т. е. Т (или Г+а/ для некоторого вещественного а)
удовлетворяет условиям:
(i) Числовая область значений {(Ти, и) \и ^ D(T)}
содержится в секторе | arg К\ ^ 0 для некоторого 0 < л/2.
(И) г-^г^я) (0еР(Г)).
Докажите, что Т — секториальный оператор в нашем смысле.
Указание. Пусть сначала u^D(T), arg А, = ф, |ф|>0 и / =
%и— Ти. Покажите, что
|X|||u||sin(|9|-e)^(cosG + sine)||f||.
Отсюда следует, что \К\ ||и||< М|| (К— Т)и\\ при |argk|>0'>9.
Затем покажите, что при |аер(7), | arg p. | ^= вг имеет место
включение ^ер(Г) (для |Я. —н-1 < [\/Щ ||я|). Наконец,
докажите, что | arg К | > 0' влечет X ^ р (Т).
Упражнение 7. Для иеС2[0,1] и v,w^R положим
Л (и, v, w) = (—d2u/dx2, 0, 0), при условии что ux{0) — v, их(\) +
u(l) = w. Докажите, что расширение Л до замкнутого оператора
в L2(0, 1)Х ^ X ^ — секториальный оператор.
Указание. Если (I — A) (а, и, ш) = (/\ g,/i)<= L2 X R XR,
^ ф 0, то и = gX-\ w == Wv^1 и uxx + hu = f с заданными
краевыми условиями. Но если z(x)= и{х)— xv -\- 2v— w, то z ле-

28
Гл. 1. Предварительные замечания
жит в области определения некоторого самосопряженного
положительно-определенного оператора В в L2(0, 1):
Bz = -d2z/dx2 zx | о = 0, (zx + z) |, = 0.
Определение 1.3.3. Аналитическая полугруппа в банаховом
пространстве X— это семейство непрерывных линейных операторов
{T(t)}t^o в X, удовлетворяющее условиям:
(i) 7(0)=/, T{t)T(s)=T(t + s) для *^0, s^O;
(и) Г(*)л;-^л: при £--^0+ для любого яеХ;
(iii) отображение /ь~>Г(/)х вещественно-аналитично на
0 < ^ < оо для любого х е X.
Инфинитезимальный генератор L этой полугруппы
определяется следующим образом:
Lx= lim -±-{T(t)x — х).
t -± о + f
Его область определения D(L) состоит из всех хеХ, для
которых этот предел (в X) существует. Мы будем обычно писать
T(t) = eu.
Теорема 1.3.4, Если А — секториальный оператор, то —А —
инфинитезимальный генератор аналитической полугруппы
{е~м}*^о» определяемой формулой
е'м =-±f\{'k + ATxe-KtdK
где Г — контур в р(—Л), такой что argX-^dbO при |Х|->оо для
некоторого 9 из (л/2, я).
Далее, e~At можно аналитически продолжить в сектор
{/=^=0: |arg/|<e}, содержащий положительную вещественную
полуось, и если Ree(A)> а, т. е. Rek>a при Х^о(А), то для
*>0
\\е-м\\^Се~а\ \\Ae-At\\^-^e~at
при некоторой постоянной С.
Наконец, -~-е~л* = —Ае"~м для t > 0.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что
а = 0 и ||(Х + Л)-ЧКЛ1/|А,|+в при |я — arg^|^ ф, где
б > 0, М > 0 и фв(0,л/2) — некоторые постоянные; иначе мы
заменили бы Л на Л — а/.
Выберем 8 е(я/2, л — ср). Заметим, что интеграл,
определяющий e~At, абсолютно сходится при t > 0. По теореме Коши
интеграл не меняется при сдвиге контура Г вправо на малую ве-

1.3. Секториалъные операторы и аналитические полугруппы 29
личину (сдвинутый контур обозначим Г')- Используя
резольвентное тождество, получим для t > 0, s > О,
Л-л/ -
dX
e~As = (2л/)-2 \ \ еи {XI + Л)~ V* (ц/ + A)"1 d\i
- (2я/Г2 j j вм + "*(ц - X)"1 {(X/ + Л)"1
Но ДЛЯ X G Г, |Х G Г
j еи fti - X)-1 dJL = О, J ед* Ох - %Г] d\x = 2ш'А
так что
e'Aie~As ==(2ni)-{ \ ek{t+s)(XI + A)-1 dX = e-A{t+<
Следовательно, {e~At}t^o— полугруппа. Далее, при 0<е<9^
я/2 интеграл сходится равномерно на любом компактном
подмножестве сектора {|argf|<e}, так что полугруппа является
аналитической в этом секторе.
Положив в интеграле \х = Xt при t > 0, получим
•s-SH-ijW-.
i«~"l-
2я
г
const
Докажем теперь, что для любого х^Х выполняется
соотношение e~Atx^x при /->0+. Достаточно доказать это для х из
плотного в X множества D(A), так как \\e~At\\^C для всех
t^z 0. Если xg О(Л) и /> 0, то
<ГЛГ* - х = -gL. J ея' [(X/ + Л)-1 - JT1] х с/Х,
У~\ Х~]ек*А{Х1 + А)"1 хdX9
2ш
так что Це-Л'л; — х|К const||Лл:[и.
Таким образом, {е_л'}*5>о—сильно непрерывная полугруппа,
которая расширяется до полугруппы аналитической, в секторе
|argf|< е. Если хеО(Д), ^>0,то
* e-Aix + Л^д' в » J ew (*, + Л) (X + 4)-^- 0.

30
Гл. 1. Предварительные замечания
Следовательно, если х& D(A), то при /-^0+,
t
I (е^х _*)«_![ e~AsAx ds-»- Ax,
так что —А содержится в генераторе G полугруппы.
Чтобы показать, что —А и есть этот генератор, положим для
оо
R(k)x= \e'Kie'Atxdt.
о
Для любого х имеем e~Atx& D(A) при / > 0, и для б > 0
оо оо
А \ e-kte~Atx dt = е'к ье~А ьх-х\ e'lte'Aix dt.
Из замкнутости А следует, что R(k)x& D(A)cz D(G) для любых
К ^ 0, хе! Но если xgD(G), то r^xGD(C) для всех
Qe-Aix=-±-e-Aix = e-Aiax.
Теперь легко видеть, что
R(X)(X—G)x = x для x€=D(G).
Таким образом, D(G) cz образ /?(X)cD(4), откуда —A = G,
что и требовалось доказать.
Замечание. Верно и обратное: если А — генератор аналитической
полугруппы, то —Л — секториальный оператор [30, 51].
Упражнение 7*. Если А — секториальный оператор и
Re К > а для X е о (А), то существуют М > 0, 0 < <р < я/2,
такие что || (X —Л)-1!!^ М/|Х — а\ при |arg(k — а) | > q>.
Упражнение 8*. Если Л — секториальный оператор и m —
целое положительное число, то для любого t > 0 мы имеем
/?(е~А')с=£>(Лт); таким образом, D(Am) плотно в X для любого
m ^ 1.
Упражнение 9. Если {е~д/, £ ^ 0}—сильно непрерывная
полугруппа, удовлетворяющая условиям (i) и (ii) из
определения 1.3.3, такая что И^НЧК С, ||Ле-А'1К Ct~l для 0< / < 1, то
{e~Att t ^ 0}—аналитическая полугруппа.
Указание : I ^г е~М 1=1 {-A)m e~At \\ < СтттГт
для 0 < t < 1 и m = 0, 1, 2, ... .

1.3. векториальные операторы и аналитические полугруппы 31
Упражнение 10*. Если Л—ограниченный линейный опера-
гор, то определенная выше полугруппа е~м расширяется до
группы линейных операторов
e-Ate-As _ £-4(^ — ОО < S, * < ОО,
И
e'At= I (-At)n/n\.
Упражнение 11. Если А—самосопряженный положительно-
определенный оператор в гильбертовом пространстве со спек*
оо
тральным представлением A = \ XdEkJ то для полугруппы е~А\
о
определенной выше, справедливо представление
оо
о
Упражнение 12. Докажите, что если А — секториальный
оператор, />0и^еА,то
{l + ±.Aynx^e-AtX
при п-»- + оо. Этот результат используется в упражнении 6
§ 3.3.
Указание. Покажите, что
('+^Г*-^г^+*-'*('-^Г*-
и примените теорему Лебега о мажорируемой сходимости.
Упражнение 13. Пусть X = С[—оо, оо]—множество
ограниченных непрерывных функций из R в R с sup-нормой. Пусть
Au(x) = ~d2u/dx2 для ue=D(4) = {«e:C2(R)|u,u', «"<=*}, и
пусть Ли —- замыкание D(A) в X. (Заметим, что Х\ ф X.)
Докажите, что если X = m2, Re т > 0, то
оо
(Ь + ДГ'М*)--^ \ е~т,*""5,Ш<*1
— оо
для f е Хь Докажите, что А — секториальный оператор б Хи
о(А) = [0,+оо] и для любого комплексного ХФО с |argX|^
8 < л и любого f е Х\
\\(% + АГЧ\\х<\ЬГ secQ/2\\f\\x>
Покажите, что для любого ф£Х| (т. е. любой равномерно
непрерывной функции феХ), если и(х, t) = (e~At(f>) {х) (/>0Ь

32
Гл. 1. Предварительные замечания
^ _ ч ди д2и да а2 и
— оо < х< оо), то и, -£-ч -gp- непрерывны и -gp = -5F" ^ >
> 0, —оо < х < оо). Кроме того, «(л, t)-xp(x) при f-»-0+
равномерно по х. Докажите, что это — единственное решение задачи
dt ~~ дх2 ^ > U'J
и(0+, х) — ц)(х), —-оо<х<оо.
Упражнение 14. Докажите существование решения задачи
-ЭГ-S- <0<*<1,*>0).
МО, 0 = о(0. их(1. *) + и(1, t) = w(t),
dv , „ dw
dv = av + pay, —j~ = y^ + day + J и (xt t) dx
о
для заданных ы(-, 0)e L2(0, 1) и вещественных u(0), ш(0) (ср.
с упр. 7).
1.4. ДРОБНЫЕ СТЕПЕНИ ОПЕРАТОРОВ
Определение 1.4.1. Пусть А — секториальный оператор и
Re а (Л) > 0. Для любого а > 0 положим
Л ~ Г (а) У е йи
ПРИМЕР 1. Если А — положительный скаляр (X = 1^), то А~а
является обычной степенью числа А.
ПРИМЕР 2. Если А — положительно-определенный
самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве со спектральным
представлением
оо
А=\хйЕ{Х),
о
то
оо
A-a=*\k-adE(k).
о
ПРИМЕР 3. Если А = / + В, где ||В||< 1, то данное выше
определение А~а согласуется с обычным определением с помощью
степенного ряда:
где -Л П)
(~*Л — 1 п» Г(а+Д) _. .у, а(а+1)...(а + п-1)
V п)~К~~ ' ШГ(о) —У1> п\

1.4. Дробные степени операторо$
33
1РИМЕР 4. А~1 (случай а = 1) — обратный к А оператор.
Георема 1.4.2. Если А —секториальный оператор в X, Rea(A)>
), то для любого а > 0 оператор А~а есть ограниченный линей-
или оператор в X, взаимно-однозначный (инъективный) и
удовлетворяющий соотношению А-аА-& = Д-<»+Р) при a > О, р > 0.
Кроме того, для 0 < a < 1
оо
А-а = sinrca Г д_„ „ + Л)_, ^
Доказательство. Для некоторого 6 > 0 мы имеем Re о (Л) > б.
11о теореме 1.3.4, ||е-Л'||^ Се-6' при t > 0. Таким образом,
v ' о
н оператор А~а ограничен при a > 0. Для a > 0, (3 > 0
lTW-]du\ta-l(u-t?-,e-Audt = A-*a + »i
Г(а)Г(Р) 0
здесь мы воспользовались тождеством
1
^-1,,-^-4.--^-.
Если A~ax==0 для некоторого а > 0, то для целых п> а имеем
Л-Яя == Л-^л-а)Л~ал: == 0. Но А-1— взаимно-однозначный
оператор, так что и оператор А"", равный n-й степени оператора А-1,
взаимно-однозначен, откуда х = 0.
Наконец,
(X + ЛГ1 — S e"^"w Л для b^O,
так что
f e-»f,—ir(1 _в)л, л_Д
J х ' sin ла
ибо Г(а)Г(1 —a) = n/sin да для 0< а< 1,
2 Д. Хеири

34
Гл. 1. Предварительные замечания
Определение 1.4.1 (продолжение). Для Л такого, как выше,
определим Л06 как оператор, обратный к Л-а(а>0), 0(Ла) =
R{A~a)\ Л° определим как тождественный оператор в X.
ПРИМЕР 5. Л1 есть обратный оператор к Л-1, т. е. Л1 =А.
Упражнение 1*. Если а > О, то Ла — замкнутый и плотно-
определенный оператор.
Упражнение 2*. Если а ^ р, то D (Ла) с: D (Л Р).
Упражнение 3*. А<*А$ = ЛЭД« = Аа+Р на £>(Л?), где
Y = max(a,p,a + P).
Упражнение 4*. А«е-Д' = гдМ« на D (Аа), / > 0.
Теорема 1.4.3. Пусть Л — секториальный оператор и Яеа(Л)>
6 > 0. Для а ^ 0 существует постоянная Са < оо, такая что
ЦЛае-л<||^ Cat~ae-6t для f > 0, и если 0 < а ^ 1, jt е £(Л«),то
|(e^-.l)x|<^Ci.e^!A^|.
Далее, Са ограничена по а на каждом компактном интервале,
лежащем в (0, оо). (Ниже мы увидим, что Са ограничена и
при а->0+.)
Доказательство. По теореме 1.3.4, Не™4'!! ^ Се-6*, ЦЛе-л'|| ^
Ct-le~bt для t > 0. Следовательно, для т= 1,2,3, .,♦
I Ame'At | =- \(Ae-Mlm)m || < (Cm)m Гте~* '.
Если 0 < a < 1, t > 0, то
\\Aae-At\\ = \\Ae-AtA-{l-a)\\
< r(1La) js-*\A0-A*+*\d8<Ct-*e-*fT(a).
Наконец,
откуда и следует первая из доказываемых оценок. Другая оценка
вытекает из равенства
t
(C-At _ /) х = - j А'" ae~AsAax ds.
0
Теорема 1.4.4. Если 0 ^ a <; 1, #€= D(A), то
BA^IKCIWxII-HjcII1--,

1.4. Дробные степени операторов
35
щ следовательно,
||Ла*1К е|Их||+ С'г-«п1-*>\\х\\
для каждого г > 0. (Здесь С, С — постоянные, не зависящие
от а.)
Доказательство. Пусть 0<р<1, е > 0, так что (если
ll^'IK С для t > 0)
||Г(р)Л-р*|] =
(H>s-
-le-Aixdt
<С\\х\\-^Цг*-1е-АеА->х + $-\)\^-2А-А'А-*х
<С\\х
^- + 2С|!Л-1^||ер-1.
Минимизируя правую часть по е > 0, заключаем, что
Г(1+В)
Коэффициент справа равномерно ограничен при 0< р< 1;
поэтому мы можем заменить х на Ах и, положив а = 1 — р,
получить нужный результат.
|а-Ч<-
■с«*
ГМа-'хР.
Замечание. Если | в*
то
-л*
|<С0<ГЛ M^MI^drV6' для *>0,
(С — постоянная из теоремы 1.4.4). Отсюда следует, что
постоянная Са из теоремы 1.4.3 ограничена при a->()+•
Упражнение 5*. Покажите, что если a = |J0+(l—9)у,
0^6^1, Р ^ 0, 7^0» то существует постоянная С, такая что
\\А*х\\^С\\АЫ*\\А?х\\1-*.
Из теорем 1.3.2 и 1.4.4 вытекает
Следствие 1.4.5. Если А — секториальный оператор, для
которого Rea(A)> 0, и В — линейный оператор, такой что оператор
ВА-* ограничен в X для некоторого а, 0 <; а < 1, то А + В —
секториальный оператор.
Упражнение 6. Если А положительно-определен и
самосопряжен, то таким же является и Аа для всех а > 0. (Ср. с упр. 4
§ 1.3.)
Упражнение 7*. Пусть А — секториальный оператор, для
которого Rea(/4)>0. Тогда следующие свойства эквивалентны;
(i) Л-1—.компактный оператор;
2*

36
Гл. I. Предварительные замечания
(И) Л-06— компактный оператор для всех а > 0;
(iii) e~At— компактный оператор для t > 0.
Упражнение 8*. Для любого х^Х отображение tь~>tAe^Aix
есть непрерывное отображение из0^^<оов^и
\\tAe-Atx\\-+Q при *-*0+.
(Этот результат используется в теореме 3.4.2.)
Упражнение 9. Пусть А — самосопряженный положительно-
определенный оператор в гильбертовом пространстве. Докажите,
что
\\А*х\\^\\Ах\\*\\х\\1~* для x<=D(A), 0<а^ 1.
Указание. Для 0< а < 1 пусть g (t)=ti/a (это выпуклая
функция), и пусть при х <= D (А)
оо
о
Примените неравенство Йенсена к функции
(оо ОО \
Упражнение 10. Если х&Х и А — секториальный оператор
в X с Re g(A) > 0, то для любого а, 0 < а ^ 1,
t<*\\A<*e-Atx\\-+0 при *-*0+.
Теорема 1.4.6. Пусть А и В— секториальные операторы в X,
такие что D(A) = D{B), Rea(A)>0, Rea(B)>0, и для
некоторого а из [0, 1) оператор (А — В)Аа ограничен в X. Тогда для
любого р из [0, 1] операторы А$В~$ и ВЭД-Р ограничены в X.
Доказательство. По теореме 1.4.4, ||ЛР(Я, +Л)-1!!^ Cj^p-1 для
О^Р^ 1, jat — argX|><p, где С и ф < л/2 — некоторые
положительные постоянные. Для 0 < р < 1
В~Ь - Л-^^Г sin яр \ ЯГ* {l + ВГ1 (А - В) (Я + А)~1 dU
о
отсюда с помощью простых оценок получаем ограниченность
оператора АМН». Далее, \\А^(% +В)-Ц\=0(\Ц^) при
Я,-»-+ оо, так как
{I + A*(k + A)~l{B — А)А-*}А*(Х + В)-*=А«{Ь + А)~1.
Поменяв местами Л и В в приведенном выше интегральном
тождестве, легко увидеть, что оператор А$В-$ также ограничен.
Случаи р =*= 0, р вя 1 очевидны.

1.4. Дробные степени операторов
37
Упражнение 11* [30, с. 177]. Пусть А — секториальный
оператор в банаховом пространстве X, Кеа(Л)>0, В — линейный
оператор из D(B)czX в банахово пространство У. Пусть, далее,
D(B)zdD(A) и для некоторых постоянных а, 0*^а< 1, и С
(соответственно К)
\\Bx\\y^C\\Ax\\«\\x\\i-«t
или, эквивалентно,
\\Вх\\у^г\\Ах\\+Кг-<*^-«)\\х\\
при всех хеО(Д) и е > 0. Докажите, что для любого р,
а<Р^1, оператор B\D(A) допускает единственное
расширение до непрерывного линейного оператора из Х$ в У (см.
определение 1.4.7), т. е. оператор ВА~$ непрерывен.
Указание. Заметьте, что оператор ВА~1 ограничен. Для
xsD(^)(a< р< 1) оцените
оо
Определение 1.4.7. Пусть А — секториальный оператор в
банаховом пространстве X. Положим для каждого a ^ 0
JT —D(A?)
и наделим пространство Ха нормой графика
где А\ = Л -\-aIt причем а выбирается так, чтобы Rea(/li)>0.
Нормы, полученные при различных выборах а, эквивалентны
по теореме 1.4.6, так что мы можем не отражать в записи нормы
зависимости от а.
Эти пространства Ха будут всюду далее в книге определять
топологию, так что мы приведем здесь некоторые их свойства,
полученные простой переформулировкой результатов,
доказанных выше для дробных степеней.
Теорема 1.4.8. Если А — секториальный оператор в банаховом
пространстве X, то Ха — банахово пространство с нормой ||-||а
для а ^ 0, причем Х° = X. Для а ^ р ^ 0 пространство Ха есть
плотное подпространство в Х$у причем соответствующее
вложение непрерывно. Если А имеет компактную резольвенту, то
вложение Ха с: Х$ компактно при а > Р ^ 0.
Если Ль А2 — секториальные операторы в X с общей
областью определения, такие что Rea(/l/)>0, /=1,2, и
(Л» — Ао)А7а-— ограниченный оператор для некоторого а <. 1,
то при 0 ^ р ^ 1 имеет место равенство Х^ = х$% где Xf =

38
Гл. 1. Предварительные замечания
£(Л/*), у =1,2, причем нормы в этих пространствах эквив,
лентны.
ПРИМЕР 6. Для ограниченной гладкой области Q в Rn поле
жим Ла=(—A)mw при « g Com (Q) и расширим Л до самосопр*
женного положительно-определенного оператора в X*=L2(Q
с областью определения Но (Q) П Him (Q). Тогда для 0 ^ а ^ 1
если та — целое число, то
Ха = 0((-А)та) = НГ(&) П H2ma(Q)
с эквивалентными нормами; это верно и для нецелых та, если
определить соболевские пространства дробного порядка с по
мощью интерполяции [71].
Другие примеры будут рассмотрены в § 1.6.
1.5. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА
И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
Определение 1.5.1. Если А—линейный оператор в банаховом
пространстве X и о(А) — его спектр, то множество ас=а(Л)и
{оо}г==(у(Л) называется спектральным множеством, если как оно
само, так и его дополнение в а (Л) замкнуты в расширенной
плоскости С (J {оо}.
ПРИМЕР. Всякая изолированная точка из о (А) (или любой
конечный набор таких точек) является спектральным множеством;
дополнение к спектральному множеству — также спектральное
множество.
Теорема 1.5.2. Пусть Л — замкнутый линейный оператор в X,
в\ — ограниченное спектральное множество и аг = а(Л)\аь так
что tf2U{°°}—также спектральное множество. Пусть Е\ и Е2—
проекторы, соответствующие этим спектральным множествам, и
Xj = Ei(X), /== 1, 2. Тогда X = Х\ Ф Х2у Xj инвариантны
относительно Л и если Л/ — сужение Л на X/, то
оператор Л^. Х\-+Х\ ограничен, o(Ax) — Oi\
D{A2) = D(A)nX2, а(Л2) = а2.
Доказательство см. в [23, т. 1, гл. 7] или [99, теор. 57, А. В].
Замечание. Если, как это часто бывает, Л имеет компактную
резольвенту, то о (Л) состоит из изолированных собственных
значений конечной кратности; в этом случае Х\ — конечномерное
пространство.
Теорема 1.5.3. Пусть Л — секториальный оператор и
сц—ограниченное спектральное множество. Построим операторы Ах и Л2

1.5. Инвариантные подпространства и экспоненциальные оценки 39
так же, как и выше. Тогда А\— ограниченный, а Л2 — секто-
риальный операторы. Далее,
если Re о, = Re а (Л,) < а, то r e~Alt \ < Ce~at для t < 0;
если Re а2 = Re о(А2) > Р, то для t > 0
|*-*1<С*-* и |Л2<ГЛ<1< СГУ~Р<.
Доказательство. Если xg4 lUII^ 1 и А,§Ёа(Д), то II (X —
-А2>—1jc||=|| (X — А)^х\\^С/\Х\ для |argX|> ф, \К\> R (при
некотором ф е (0, я/2)). Так как Re а (Л 2) > Р, то для некоторого
ф'£Е(0,я/2) имеем || (X — Л2)-М1< С7/1 ^ — Р| при |arg(k —
Р) I > ф' (см- УПР- 7 после теоремы 1.3.4). Теперь оценки для
e~Mi следуют из теоремы 1.3.4.
Оценки для e~~Alt очевидны вследствие ограниченности
оператора Ль
Упражнение 1* Дпя оператора А\ такого же, как и выше,
спектральный радиус оператора еА] удовлетворяет соотношениям
г (**)<«*. r(eAi)= lim Ц**"]1'".
п -*■ оо
Покажите, что существует постоянная С, такая что
ил,1<Сеа5 для 5>0.
Фактически 'еЛ1*||<Га5-^0 при <?-> + оо [98, 39].
ПРИМЕР. Пусть Аи = —d2u/dx2 для функций и на (0,я|
с и(0) = м(я) = 0; A = L2(0fn);
а(А) = {1,22,3*, ...}, a1=={l,22, ..., ЛГ2}, *2 ={(W + I)2 ...},
Тогда
Х\ == span {sin kx}k**u
Х2 — ортогональное дополнение к Х\
и
оо
A2f = Yj п^п (Ф»» ^' Ч>» (*) в "/5" Sitl Л*'
лг-н
~А** V ~-пЧ
V2
2 ^ ЯЧфп(фл- f)
для /еС2(0,я), таких что (ф/,^ = 0, К / < #, и /(0)==
Из сопоставления теорем 1.5.3 и 1.4.8 вытекает следующая
Теорема 1.5.4. Пусть Л — секториальный оператор,
в\—ограниченное спектральное множество для Л, о2 = от (Л) \аь Re 02 > v
и ^ = -^0¾— соответствующее разложение. Пусть, далее,

40
Рл. 1. Предварительные замечаний.
В — секториальный оператор, такой что D(B)*=D(A),
Rea(5)>0 и (В — А)В~а — ограниченный оператор для
некоторого a < 1. Введем норму \\х\\$ =||5Рд;||, 0 г^ р < 1. Тогда для
x<=X2()D(Bt) ut>0
[e'^xl^CAxke-^,
где C{— некоторая постоянная.
Упражнение 2. Если А — секториальный оператор в X и
a = infRea(A), то спектральный радиус оператора e~At равен
1.6. ОДИН ПРИМЕР ДРОБНЫХ СТЕПЕНЕЙ
И ОДНА ТЕОРЕМА ВЛОЖЕНИЯ
Пусть Q — открытое множество в К" (возможно, всё Rn) и
а — комплекснозначная функция класса С2 с компактным
носителем в Q. Если 1 < р <С оо й к — фиксированное комплексное
число, то
J й | и \р~2 (la — Да) dx = к \ \ u \р dx + \ J dx,
ft Q Q
где
J = \u\p 2 VuvU + uvtiV\u\p~2.
Но
\и\* Vu • v# = M2 V\u\ . V\u\ + {lm(uvu))\
(Im(йуи) — щуи2 — u2VUt при ^ = ^,+ ш2),
так что
|lm/|<lp-2||»r2|v|«||lrn(-i|^)|,
Re/-(p-l)|«|p-2(V|u|)2 + l«|p-2 |1т(-г|т-?и)|2,
откуда
|Im / 1/Re / < | p — 21/2 — 1.
Если 0 < т] < 2 д//5 — 1 /| p — 21, то по неравенству Гёльдера
(1+Ч)|Ял —АиЦ(в)>(НеЛ; + 11|1тХ|)1и^(0).
Следовательно, оператор Лапласа на C2C(Q) является замыкае*
мым в LP(Q); его замыкание мы будем обозначать До. Если
спектр а (До) не заполняет всю комплексную плоскость, то о (До)
лежит в секторе {к: Re Я + т) j Im X | ^ 0} и —До — секториаль-

1.6. Один пример дробных степеней и одна теорема вложения 41
ный оператор. Это верно, когда Q = Rn (как мы докажем ниже)
и когда Q ограничено,_а dQ есть гиперповерхность класса С2,
разделяющая Q и Rrt\fi (см., например, [30]).
Остановимся на случае Q = Rn. Пусть
^еС\(-оо, 0], ReV^>0, «e=C2(R") и (Я,-Д)и = /.
Тогда преобразование Фурье
й(у) = \e-ixyu(x)dx
удовлетворяет равенству
й (у) = (Л + y*)-lf(y),
так что
u=I\*f, где h{y) = {% + y*)-\
Функция Ga, для которой Ga(y) — (l + y2)~a/2, имеет вид
UaW- Г (a/2) -И * T~
' I
0
-n)/2 7
(te)-«/2fe(«-»)/2 , )/g S(,+ i/4a) <fc
Г (a/2) JS * *
где |= л[хТ~х .
Исследуя пределы при £--^0 или Reg-v + oo, получим
\Qa(x)\<Ca\irnl2(Relf-n'2e~^Rel при a < п,
\Gn(x)\<Ctlmax{\n-^r, l)e~
- т Re *
для Re| > 0 при некоторые постоянных Са, Сп (см. упр. 1).
Заметим, что функция Ga(x) ограничена на R" при a > п. Далее,
Га (у) = Ь~'02 (y/V^). так что
Г* (*) = (V^)"~2 02 (х л/Г) (Re V^ > 0),
и существует постоянная С, такая что
Таким образом, из равенства (К — A)u = f следует (см. упр. 2
с q — 1, г = р)у что
С 1
11" Ц, (Rn) ^ (cos (6/2))^+1 ИГ"f \ (R»)

42
Гл. 1. Предварительные замечания
при 1 sg: р sg: со и | arg А,| ^ 0 < л. Если / — ограниченная и
дифференцируемая функция с ограниченной производной, то, как
легко показать, функция и ^ 1\/ принадлежит классу С2,
(X — A)u=f при Re^A>0 и, если / имеет компактный
носитель, и(х)-+0 экспоненциально при 1^1--^ + 0^ Следовательно,
—Ad — секториальный оператор и в Lp(Rn), 1 ^ р < оо, и в
пространстве равномерно ' непрерывных ограниченных функций
CunitH"), и в пространстве непрерывных функций,
обращающихся в нуль на бесконечности, причем в каждом из этих случаев
<J(Ad) = (—оо.О].
Упражнение 1. Пусть
Jp (m) = J s-p- le~m {s+ llis)ds, m > 0.
0
Докажите, что
Jp (m) »
4T(p)m-' (p>0)
t при m->0+»
21n —
m
2рл/2п/те
(P-0)
так что
Jp(m)
Bpm-pe-ml2
при m-* +°°»
(P>0),
B0 max (in -1-, l)e'm/2 (p = 0)
при m > 0
для некоторых постоянных Вр.
Пусть 1<р<оо, X==Lp(Rn), /4 = 1— До. Тогда Л—сек-
ториальный оператор в X и функция ц = е-л/ср удовлетворяет
уравнению du/dt + Ли == 0, £ > 0, если феСс (R"), так что
откуда
(и-,оГ(у)=^(1+и,2)Ф(г/),
для а > 0, т. е.
Л~а/2Ф = Оа^ф.
Упражнение 2. Пусть 1 ^ р, #, г < оо и 1/р + 1 = Ifq + 1/г,
Покажите, что
i/^^iiif(R«)<ii/iii<r(R«)«5iiir(R^

1.6. Один пример дробных степеней и одна теорема бложения 48
Указание. Примените неравенство Гёльдера для трех
сомножителей к выражению
l\f(y)\l-a-\g(x-y)\l-4\t(y)\a\g(*-V)\*)*y*
a = q/p, р = г/р.
Рассмотрите частные случаи q = 1 или 1/<7 + 1/г*=* 1.
У пр ажнение 3. Покажите, что \\Oa\\L (Ri) < <*> приа>я(1—
1/<7), 1 <S q 5¾ оо и
гри v = а — п(\ — l/q), 0<v<l, а<п для некоторой
постоянной С.
Указание: | Ga(x + h)— Ga(x) | < C\h\ {х]*-"-1 при |х|5*
2|А|.
Теперь для а > О, 1 =¾ р <; оо введем пространство
^(R") = {Ga^flfeLp(Rn)},
которое, конечно, есть не что иное, как D(Aa/2)\ это
пространство снабжается обычной нормой
(Пространство 2?$(Rn) будем отождествлять с Lp(Rn).) Это —
так называемые пространства бесселевых потенциалов [97].
Установим некоторые их свойства. Наш подход использует
довольно грубые оценки, а наше изложение не является
замкнутым— за доказательством ряда результатов мы отсылаем
читателя к Кальдерону [109] или Стейну [97]. Мы, однако, докажем
все результаты для случая строгих неравенств в приведенных
ниже условиях.
В соответствии с упражнениями 2 и 3
IIО а * f к, < II Ga hr II f kp < Const - || Oa * f ||^
при a > n(l — 1/r) и l/q = l/p + \/r— 1, так что имеет место
непрерывное включение
<?£(К»)с^(Кл)
при \/р ^ l/q > l/p — a/п. Если р > 1 и q < оо, то это верно
и при l/q — l/p — a/п (см. [109]).
Из определения следует, что
Si (R") с 2% (Rn)

44
Гл, 1. Предварительные замечания
при р ^ q и а — п/р^$ — /г/^ (со строгим неравенством для
р = 1). Заметим, что а — Р ^ я(1/Р— 1/?)^ О- Далее, согласие
упражнению 3,
\Оа * f <* + А) -Оа * f (*) |< const . | АП|Оа * f J.
при v я* а — n/p, 0<v<l и 0 < а < я, так что
j?£(R*)cCv(R").
Пусть v ^ а — п/р, О < v <С 1, но а ^ п\ мы можем выбрать
0<р<пи?^р, такие что v = р — n/q ^ а — n/p, а значит,
^g(Rrt)c:^g(R^)c=Cv(R/1)
при 0<v<Cl, v^a — п/р (со строгим неравенством при
р = 1). Простое рассуждение (упр. 4) показывает, что i?a с: Cv
при v 5¾ a — п/р (со строгим неравенством при р=1 или
целом v).
Иначе, можно воспользоваться следующим фактом [97]: при
р > 1, а ^ 1 включение f е j?£ (Rn) имеет место тогда и только
тогда, когда /, df/dxi €=2*5,-1 (Rn) (/=1, ..., п), и
оо
Ш,р + ZWdf/dx^p
— эквивалентная норма. Доказательство довольно сложно; при
р — 1 результат неверен. Используя этот факт, легко
распространить включение SP£c=Cv со случая 0<v<l на случай
любого целого v > О (при р > 1).
Так как £?о (Кл) = £р(Кл). то приведенный выше результат
показывает, что Si (Rn) — Wk' р (Rn) для k => 0, 1, 2, ... и р > 1;
при р = 1 эти пространства различны. Однако для всех р ^ 1
пространство ^^(R") содержит (соотв. содержится в) И^>р(Рл)
при a<k (соотв. a > k); см. упр. 5.
Упражнение 4. Покажите, что
|(<?/^)'гоа(х)|<са.,е-1х1/2|*г-й-*
при 0 < а < n + k. (Заметьте, что (д/д\х\) Ga(х) = Ca|xiGa_2(#)'
для некоторой постоянной Са.) Выведите отсюда, что ^(R^c
Wk■ р (R-) при a > А и р ^ 1, а также что 2¾ (R") с Cv (R")
при v =¾ a— п/р (в случае р—\ или целого v неравенство
должно быть строгим).
Упражнение 5. Докажите, что Si {R") => Г*' "(R") при
р> 1 иа <А (* = 1,2, ...)•

1.6. Один пример дробных степеней и одна теорема вложения 45
Указание. Выберите целое m :$s k/2 и р^О, такие что а +
Я= 2т. Тогда
1/1^-1(1 "A)m°^fLp<cI°PIw^-*.»iifiir*. р.
Если положить Я?a (Rn) = Са (Rn) для положительных
нецелых а (левая часть при целых а не определена), то наши
результаты можно объединить следующим образом:
Sei (Rn) си 2% (Rn) при р<? и а —л/р>р —n/f
(со строгим неравенством в случае р = 1), при условии что обе
части определены. Связь между пространствами Са и 3?а при
р = оо не является, конечно, случайной; см. [97].
Теперь мы докажем вариант неравенств Ниренберга — Галь-
ярдо [30], который содержит предыдущее утверждение как
частный случай.
В силу неравенства для дробных степеней, приведенного в
упражнении 5 § 1.4, для любых неотрицательных a, pi,. у\ и
О ^ 0 ^ 1, таких что ос = 0Pi +(1 — 8)71, и любого 1 ^ р < сю
существует постоянная С, при которой для всех и из C™(Rn)
!MeP<C\\ufp\\ut-Q.
В случае р = оо— это интерполяционная теорема для
пространств CV('R"); см., например, [8]. Если p^q, р^г и
Р — n/q ^ Pi — гс/р, у — n/r ^ 7i — я/р (причем при # или г = 1
неравенство строгое), то
при а — п/р^8(Р — n/?) + (l — Q){y — n/r) (в случае (7 или
г = 1 неравенство строгое) я р^ q, р'^ г. Обратно, если р, #, г,
а, р, 7 и 0, 0<9< 1, удовлетворяют этим условиям, то можно
подобрать соответствующие Pi и у{ Для доказательства этого
результата — во всяком случае для достаточно больших р и у
(так что Pi ^ 0, yi^O)- Исходный случай получается с
помощью замены а, р, у на a + N, р + N, у + N, (где N — целое),
которая ничего не меняет.
В частности, мы получили вариант неравенств Ниренберга —
Гальярдо:
(«0 NUp<C!<m,,l"Ce
при р^?, р^г, 0^6<1и
й — п/р ^ 0 (т — n/q) — гс (1 — 6) /г,

46
Гл. 1. Предварительные замечании
причем в случае q или г = 1 неравенство строгое;
(ь> n«iiCv<ci«ii;m>(7!i«i!ir-e
при 0=^0^1 Hv^6(m — n/q) — п(1 — 6)/г, причем в случае,
когда q или г= 1 либо же v — целое, неравенство строгое.
Замечание. У Фридмана [30] приведены другие условия: (а)
выполняется при k — n/p — Q(m— n/q) — п(\—9)/г, 1 ^ р, q,
г<оо и k/m ^0^1, так что \/р ^ Q/q + (1 — 0)/г. Таким
образом, ограничения на р более слабые, чем в нашем варианте.
Мы не предполагаем, что рассматриваемая область в этих
неравенствах совпадает с R", так как они выполняются на любом
достаточно хорошем множестве Qcz-'R". А именно, предположим,
что для Q существует отображение продолжения Е : С™ (О) ->•
-> С? (Rrt) (функция f(tp), будучи сужена на Q, дает ф), такое что
для нормы любого из пространств Cv или Wk> q (0^v,Kmn
1 ^ q <С со) выполняются оценки
B-4Mla<l|£(<p)||R«<B||q>!Q>
где В > 0— некоторая постоянная. Тогда, как нетрудно
показать, неравенства (а) и (Ь) выполняются на Q.
Такое отображение продолжения легко строится, если Q
ограничено и dQ— гиперповерхность класса Cw, отделяющая Q
от Rn\Q (см. [30]). Более сложная конструкция показывает, что
нужна лишь липшицевость dQ [97] («минимальная гладкость»).
Если такое отображение продолжения существует, то мы
говорим, что Q обладает свойством (^-продолжаемости.
Упражнение 6. Рассмотрите R"-1 как подпространство
Rrt-*1X{0} пространства Rn, и пусть Ш — отображение сужения:
Яи (*') = «(*', 0), x'esR"-1, u&C?(Rn).
Докажите, что 31 расширяется до непрерывного отображения
2^2(R*) в a?l(Rn~l) при p^q и а — п/р>$ — {п— \)/q.
В действительности сужение на ^-мерное подпространство
R*dRn непрерывно как отображение из .2?а(Кл) в i?$(Rfe) при
р ^ q и а — п/р > р — k/q.
Указание. Если у(«, t) = e^^l"^g для t ^ 0, то (выполняется
преобразование Фурье по переменной хп)
v{x, 0, 0 = (4я0'1/2 \е-^>е-'(1-**')ё(х, y)dy,

1.6. Один пример дробных степеней и одна теорема вложения 47
где Д*, — оператор Лапласа по первым п—1 переменным.
Таким образом, если и = {\— &)-a/2g, то
1/4лГ(а/2)и(х', 0) =
-\dy]t^e-We-tll-**')g{x\y)dt9
-оо 0
и можно оценить норму S?y(Rn~l) при а — у> 1/р.
Замечание. Мы можем допустить равенство а — п/р — $ — k/q,
при условии что 1<р = <7^2и|3;>0 или же 1 < р < q < оо.
Если р = # = 2, р > 0, то указанное отображение сужения сюръ-
ективно (см. [97, 109]).
Упражнение 7. Пусть 1^р<оо, а > р ^ 0 и В, /? < оо.
Покажите, что множество
/С = {и|И^р(кя)<£. u = 0 п. в. в \x\>R}
компактно в 2?$(Rn).
Указание. Покажите сначала, что ||«( • + А) — u\\L (R«)^C
J ЛI06 при и^К, h^Rn и 0<а<1; затем покажите, что
||и ( • +Л) — u\L -*-0 при Л-*0 равномерно на /С при любом
а > 0, и примените критерий компактности Фреше —
Колмогорова [103]; это даст искомый результат при р—0; завершите
доказательство, применив неравенство Ниренберга — Гальярдо
I«b<CP«£,|nfc-e при р/а<0<1.
Замечание. Аналогичный результат при р = оо немедленно
следует из теоремы Ар цел а — Асколи.
Упражнение 8. Если 1 ^ р < оо, р ^. qt а — п/р > Р — n/q
и Sr — пространство функций на Rn с носителем в шаре
радиуса R, то вложение
компактно.
Теорема 1.6.1. Пусть QcrR"— открытое множество,
обладающее свойством Ст-продолжимости, 1^р<оо, и А—сектори-
альный оператор в X = LP{Q), причем £(Л) = X1 a Wm^(Q\
для некоторого m ^ 1. Тогда при 0 ^ a =¾ 1
х*<_. Wkt q ^ если k _ n/q < ma _ njpf q^p^
Xa a Cv (Q), если 0 < v < ma — nfp.
Доказательство. В силу неравенства Ниренберга — Гальярдо (а),
IIU lw*9 я щ < С Ц tt fwm, р (а) || « ||^(9Q)

48
Гл. L Предварительные замечания
при k — n/q < 0 (m — /г/р) — /г( 1 — 6)/р •-== т8 — n/р и q ^ р. Таким
образом, для «efl(/l)
так что, согласно упражнению 11 § 1.4, вложение D(A)cz
Wm>p(Q)->- Wk>Q(Q) продолжается до непрерывного вложения
Х«->- Wk>q(Q) при а > 6. Второй случай рассматривается
аналогично.
Упражнение 9. Пусть Q cz Rn обладает свойством Cm-
продолжимости, X — замкнутое подпространство пространства
Cuni(Q) и А — секториальный оператор в!с областью
определения в Cm(Q). Докажите, что для 0< а ^ 1
Xac№(Q) при|1<та.
Замечание, В частном случае оператора А = —Ad в L2(Q),
область определения оператора Л равна
£> (Л) = U?2'2 (Q) П 1?о,2(0),
так что
Ха с Cv (Q) при a > 3/4, v < (4a - 3)/2;
Xa с: Wu q (Q) при 1/? >(5 - 4a)/6 и a > 1/2;
FcL«(Q) при 1/qr >(3 —4a)/6.
Упражнение 10. Пусть оператор Л таков, как в приведенном
выше замечании, и
з
Ви(х) = £*,(*) ^ +*(*)«,
где ft/eL6(Q), с<= L2(Q); покажите, что отображение В: Ха->Х
непрерывно при а > 3/4.
Применив теорему 1.6.1 к оператору Л = —Ad в LP(Q)> Й с: R",
получим, что D(A)cz W2^(Q) [2, 7,91], так что
Ха с: Cv (Q) при 0 < v <2а — пр;
XaczWUq{Q) при а > 1/2 и
1/*>1/р-(2а-1)/л;
Ха с L* (Q) при l/q > 1/р — 2а/я, </ >р.
Упражнение 11. Пусть А и 5 — секториальные операторы в
банаховых пространствах X и У, и пусть оы, a2, pi, fb, 9е[0, 1].
Покажите, что если Т — непрерывное линейное отображение из
Ха* в Ур/, /==1,2, то Г будет также непрерывно как
отображение из Ха+г в У3 (при любом е > 0), где
а = еоц-f-(i — e)a2, р = epi + (i — е>р2-

ГЛАВА 2
ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В ФИЗИЧЕСКИХ, БИОЛОГИЧЕСКИХ И ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧАХ
В этой главе мы рассмотрим некоторые из великого
множества параболических задач, встречающихся в приложениях, и
постараемся мотивировать изучение абстрактных
параболических уравнений, которыми мы будем заниматься позднее. Эти
абстрактные уравнения охватывают обыкновенные
дифференциальные уравнения, полулинейные дифференциальные
уравнения с частными производными, а также спаренные системы
обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными
производными.
2.1. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
(По поводу конкретных приложений уравнения
теплопроводности см. [10].) Распространение тепла в стационарной среде
описывается уравнением
рс» ~"дГ =* div W Srad Г) + р(7'
где Т — температура, р — плотность, ср — удельная
теплоемкость, К — теплопроводность и q — скорость выделения тепла на
единицу массы. Если источником тепла служит, скажем,
радиоактивный распад, то q по существу не зависит от Г, но если
тепло выделяется вследствие химической реакции, то q сильно
(и обычно нелинейным образом) зависит от Т. Например, часто
встречается q = Qe-II/RT (коэффициент Аррениуса).
Если среда движется с, заданной скоростью v{xt t), то надо
добавить конвективный член:
^ (iF + ^ grad Г) = div (/С Srad Т> +
Расходные уравнения описывают диффузию жидкости (или
газа) в пористой среде, но в этих приложениях коэффициент
диффузии (аналог д в приведенных выше уравнениях) часто
сильно зависит от концентрации жидкости (аналог 7), что
приводит к квазилинейным, а не полулинейным уравнениям.

50 Гл. 2. Примеры нелинейных параболических уравнений
2.2. ПОТОК ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК В ПОЛУПРОВОДНИКЕ [83]
Если р и п — концентрации соответственно дырок и
электронов в проводнике и V — электрический потенциал, то
AV = -q(p-n + D)9
-^- = div q\xn (an grad n — nyV) — Rn {n, p)t
^ = diYqixp(apgradp + pvV) + Rp(nt p),
где D, q, \iPf \in, aPf an — положительные постоянные и Rn, RP —
коэффициенты рекомбинации. Первое уравнение (с краевыми
условиями) дает V как функцию от р и я:
V = qG(p — n + D),
где G — интегральный оператор, соответствующий функции
Грина. Подставляя это выражение для V в другие уравнения,
получим пару совместных полулинейных параболических
дифференциальных уравнений с частными производными, в которых члены
более низкого порядка включают интегральный оператор G.
Полулинейные уравнения возникают и в теории ионов в
растворе [17, с. 191].
2.3. УРАВНЕНИЯ ХОДЖКИНА — ХАКСЛИ
ДЛЯ АКСОНОВ НЕРВА [16г 17, 25]
Параболическое уравнение для электрического потенциала V
в совокупности с системой обыкновенных дифференциальных
уравнений для величин ту h и п, изменяющихся от нуля до
единицы, описывает изменение проводимости мембраны аксона для
калия (К) и натрия (Na):
с -Ж=77Т?Г -S- - ёкП*(У - Ek) - en*m3fl {V - Яма)*
-fr="«* (°) (»-")- ft» (v)«.
-¾1 = am (v) (m — tii) — pm (v) m,
-§--ая(о)(Л-й)-рл(о)Л.
Здесь an, P* и т. д. —функции лишь от V; например,
а„ = 0.01 (V + 10)/(ехр(-^Г-)- l),
.p„ = Q.125exp(F/80)

2.5. Популяционная генетика
51
(где V измеряется в милливольтах). (Более детальное описание
см. у Коула [17].) В порядке подготовки к изучению этой
системы рассматривалась аналогичная более простая система
уравнений — уравнения Нагумо.
2.4. ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ В ЦЕНТРАХ КАТАЛИЗА [33г 4]
Пусть N химических веществ Мь ..., MN входят в R
независимых реакций
£ v,/Af,«0 (/=1, ..., R).
Если d — концентрация Mt и Т — температура, то
гРЖ = div Ф*grad с') + Д V/ ('»1...-. *0.
p^-S-=div (* grad T^ - ,5 SiViiHifi'
где f/ = f/(^i, ..., Саг, Г) — скорость /-и реакции и Я,
—парциальная молярная энтальпия i-ro вещества (предполагаемая
постоянной).
Подобные системы изучались Спэлдингом [94] в теории
горения и Амундсоном и Вармой [100] в связи с трубчатыми
химическими реакторами.
2.5. ПО 1ЯЦИОННАЯ ГЕНЕТИКА [20, 73]
Пусть в данной популяции А\ и Л2 — два аллеля одного
генного локуса и для О^р, х^1, * > 0 пусть <р(*, t\p)dx—
вероятность того, что частота аллеля А\ в момент t лежит в
интервале (х, х -\-dx), при условии что она равна р в момент t = 0.
Тогда ф удовлетворяет уравнению
-iH-f-a?-^*' Оф)--зИм<*' '>*)•
где М и V — среднее и дисперсия изменения чистоты гена за
одно поколение (т. е. на единицу времени). Например, при
случайном спаривании в популяции размера N. дисперсия равна
У(х^) — х(1—x)/2N, а М описывает действие отбора, мутации
и т. п. на частоту гена. Эллиптический оператор в правой части
вырождается при х —0 и я=1, и это осложняет рассмотрение
данного уравнения [26]. Наличие этих особенностей, однако,
ничуть не удивительно, так как х = 0 и х= 1 — поглощающие
состояния в отсутствие мутаций.
В конечных популяциях, вообще говоря, важен эффект
«выборочной ошибки», но трудно учесть его вместе с эффектом

52 Гл. 2. Примеры нелинейных параболических уравнений
миграции, когда допускаются географические вариации в
частоте гена. Если плотность популяции настолько велика, что
можно считать действующим закон больших чисел в локальных
популяциях, то мы получаем уравнения вида
dN/dt = т2/2 AN + g{N, р) N,
дМ/dt = m2/2 AM + Ъ (ЛГ, р) М/{\ — s{\—p)) — d(N,p) М,
где: р = М/2М — локальная частота Ах\ N и М — соответственно
плотность популяции и плотность Лггенов; g — b — d — скорость
роста популяции (разность рождаемости и смертности); т —
скорость миграции; s — преимущество при отборе А\ в
предположении, что А\ доминантен. Поскольку s мало, эти два уравнения
почти одинаковы по форме, и мы можем заменить уравнение для
М уравнением для p = M/2N
dp/dt = (m2/2N2)d\v{N2gTadp)+b(Ntp)sp(\—p)/[l~
-s{l-p)].
Если плотность популяции N постоянна, то получается
уравнение типа исследованного Колмогоровым, Петровским и Писку-
новым в 1937 г. [60]; см. § 5.4.
Сходные уравнения могут быть использованы при изучении
вопросов рассредоточения растений и животных [90] и
географического распространения эпидемий [6].
2.6. ДИНАМИКА ЯДЕРНОГО РЕАКТОРА
(МУЛЬТИГРУППОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ НЕЙТРОНОВ)
Пусть t|)/ — поток нейтронов в /-й энергетической группе,
<ф = со1(а|>1, ..., $м), V = diag(ub ■-, ^м), где и/— скорость
/-й энергетической группы, Ct — первичная плотность для г-й
группы запаздывающих нейтронов (/=1, • ••, N), и матрицы
Л, F, х и & описывают соответственно поглощение минус
рассеяние, расщепление, эмиссионный спектр и диффузию для
различных классов частиц. Тогда
N
V-*-^== div (D grad o|)) + ((1 - P) IFT - A) o|> + £ ЦД,
-^^frF^-hCi (£-1,..., N).
(Подробнее об этом см. в [46, с. 449].) Управление реактором
производится с помощью изменений в матрице А. Сильно
упрощенное одногрупповое уравнение с управлением и отрицательной
обратной связью обсуждается в упражнении 4 § 4.3, а вопрос
о неотрицательности решений для общего случая — в
упражнении 5 § 3.3.

2.7. Уравнения Навье — Стокса и родственные уравнения 53
2.7. УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ — СТОКСА И РОДСТВЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
•■■ Важной системой уравнений, не попадающей, очевидно, в наш
класс полулинейных параболических уравнений, является
система уравнений Навье — Стокса, описывающая поток вязкой
несжимаемой жидкости:
-flf- + (v grad) v — v Av — -i- grad р,
div v == О,
где v — скорость, р— давление, р и v — данные положительные
постоянные (плотность и кинематическая вязкость). Одно из
этих уравнений (divv = 0) не содержит производных по
времени, и для одной из неизвестных величин (р) нигде в
уравнениях не фигурирует ее производная по времени. Эти проблемы
разрешаются, если работать с банаховым пространством
бездивергентных векторных полей v; второе уравнение
удовлетворяется тогда автоматически, а член gradp в первом уравнении
Исчезает. Детали см. в [32] или в § 3.8 ниже.
Родственные системы изучаются таким же образом.
Соединение уравнений Навье — Стокса с уравнением
теплопроводности, получающееся при включении конвективного члена в
уравнение теплопроводности и коэффициента плавучести в
уравнения Навье — Стокса, дает уравнения Буссинеска
~~ + (v grad) v = v Av — -|- grad р + Gr8g,
div v = О,
-§-+(v-grad)e = 4FA8 + vg
!g — направление силы тяжести). Для этой системы изучалась
59] бифуркация равновесных решений (конвекция Бенара), а
также некоторые вопросы устойчивости.
Ласснер [67] исследовал один из вариантов уравнений
магнитогидродинамики в том же стиле, используя небольшую
модификацию закона Ома.
Хайд [47] привел следующую систему для потока жидкости
в магнитном поле Земли:
-g- + (vgrad)v«=vAv ^vp-2QXv + ^r(VXB)XB>
-|£- = *. AB + VX(vXB),
dlvv = 0, divB = 0.
Эти уравнения, вероятно, допускают сходную трактовку.

ГЛАВА 3
СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И НЕПРЕРЫВНАЯ
ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПАРАМЕТРОВ
*.1. ПРИМЕРЫ И КОНТРПРИМЕРЫ
В этой главе мы изучим задачу Коши для одного класса
абстрактных дифференциальных уравнений, включающего
обыкновенные дифференциальные уравнения и многие
дифференциальные уравнения с частными производными. Мы дадим
несколько примеров, иллюстрирующих, какие здесь могут случаться
неприятности, прежде чем исследуем вопрос, как гарантировать,
чтобы этих неприятностей не происходило,
В случае обыкновенных дифференциальных уравнений
рассматриваемая задача формулируется следующим образом: для
некоторого т > 0 найти на [0, т) дифференцируемую функцию
а(-) в ]Rnt такую что
du/dt = f(t,u)> 0<t<% и ы(0)=»а0-
Пример несуществования. Если /(и) = —1 при u^0f f(a)=l
при и < О, то не существует абсолютно непрерывной функции
на [0, т], т > О, такой что и(0) = 0 и du/dt = /(«) для почти
всех *. из (0, т).
Второй пример несуществования. Если р ^ 1, то не существует
абсолютно непрерывного решения задачи
^ = Г'(0<*<т), a (0) = 1.
В обоих этих примерах неприятности проистекают из того
факта, что правая часть уравнения не является непрерывной
около начальной точки. Вот пример, когда такая непрерывность
имеет место:
Пример неглобального существования. Рассмотрим задачу
-gf—*1. *(0)~а>0.
В этом случае единственным решением является x(t)~
а/(\ — at), 0 ^ t < or1, но оно существует не для всех / > 0, а
лишь для t, достаточно близких к начальному значению.

3.1. Примеры и контрпримеры
55
Здесь корень неприятностей — быстрый рост на
бесконечности— не может быть исключен с помощью предположений о
гладкости; он будет досаждать нам всюду.
Пример неединственности. Для 0 < а < 1 задача Коши
-§г = 1*Г. * (0) = о
имеет решение x(t)^ 0 и, кроме того, бесконечно много других
решений; а именно, при всяком т > 0 решением будет
ГО, 0</<т,
где р = 1/(1 —а).
Здесь опять дело в недостаточной гладкости: правая часть
уравнения не липшицева относительно и.
Можно подумать, что «настоящие» параболические
уравнения не имеют подобных недостатков, но это не так.
Рассмотрим полулинейную параболическую задачу с
заданной функцией /: !R2-^R:
ж^-щг + !<<*> *> (0<*<1, *>0),
и(ху 0) = а (0< х< 1).
Она имеет решение u(xtt) = v(t), где v — решение задачи
-§- = /(*, а), о (0)-а.
Выбирая различным образом f и а, мы можем получить
примеры несуществования, неединственности и неглобального
существования. Несколько менее искусственные примеры были даны
Фудзитой [31J и Левином [70].
Упражнение. Задача
^=-дг*~ + f (*■ и ( • • *))» 0 < л: < я, и = 0 при х = 0, я,
где
f(*, ф) = 81ПХ ^(ф,, фа) + sin 2* Й(ф,, ф2),
Л
Ф/ = (2/я) 5 Ф (л:) sin \х dx (/=1, 2),
рмеет решения 8ида
ц[х% t) = a(t)sin х -^6(/) sin 2*,

56
Гл. 3. Существование, единственность...
если
-$- = -a + g (а, Ь), -§- = -46 + Л (а, А).
При подходящем выборе g и /г мы можем дублировать все
феномены, свойственные обыкновенным дифференциальным
уравнениям на плоскости, включая центры и предельные циклы. При
этом любое решение рассматриваемого дифференциального
уравнения с частными производными экспоненциально стремится
к соответствующему решению обыкновенного
дифференциального уравнения при /-*■ + оо.
Наконец, приведем один весьма естественный пример негло
бального существования:
ди д2и , з /л ^ ^ х -^ г\\
"ЗГ—'^г + "> (0 < х < я, t > 0),
и(0, 0 = 0, и (я, t) — 09
и(х, 0) = q>(*)f
где ф — заданная гладкая функция. Если интеграл
5(ч*+ <£)<**
достаточно мал, то решение «(•,/) существует для всех / ^ 0 и
стремится к нулю при t-+ + oo (теорема 5.1.1). Предположим,
однако, что ф не мала, а именно
л
Ф (х) > 0 для 0 < х < я и I ф (х) sin jt dx > 2.
Решение с этим начальным значением должно уходить на
бесконечность за конечное время. Действительно, в силу принципа
максимума (или в силу примера 8 § 3.3), если и (jc, 0) = ф (х) ^ 0
на (0,я), то u(xtt)^0 при / ^ 0, 0 ^ х ^ я, при условии что
решение существует. Положим
л
s (t) = \ sinjfa (t, х) dx.
oJ
Тогда
л
ds С
-J?- = — s + \ sin х a3 (t, х) dx.
о
Но ввиду неравенства Гёльдера
J/3
s(0<22/3'
Y? з у
11 J и sin х dx I ,

8.2. Линейная задача Коши
57
так что
~>-s+4~s3 при*>0,
л
s (0) = J ф {х) sin xdx>2>
о
Легко проверить, что $(/)->+оо за конечное время — не
позднее чем за f = -L In (s (0) + 2)/(5 (0) - 2).
3.2. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА КОШИ
Рассмотрим сначала однородную задачу
-4*- +Ас-0, f>0,
x(0) = #0, (*)
где А — секториальный оператор в банаховом пространстве X и
х0 — заданный элемент в X. Решение задачи (*) на интервале
0 < t <С Т —- это непрерывная функция х: [0, Г)-> X, непрерывно
дифференцируемая на открытом интервале (0, Т) и
удовлетворяющая (*) на (ОД), причем *(/)—* х0 в X при /->0+. Понят*
но (см. теорему 1.3.4), что x{t) = e~Atxo — решение задачи (*);
докажем, что это решение единственно.
Пусть 0 ^ 5 < t < Т и
y(t,s) = e^v-)x(s),
где х(>)—решение задачи (*) на (0, Т). Тогда функция
s*-*-y(t,$) непрерывна при O^s^lt и непрерывно
дифференцируема при 0 < s < t, причем
dy{t S) ^ -Л« -s)dx(S) +Ae-A(t^s) {,Q
д$ ds ' w
При 0 < s < t, так что #(*, 0)== y(ti t)t т. е.
e-AtxQ=*x(t).
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение
4*- + Ax-f(t)9 Q<t<T,
л: (0) = дг0 *
Лемма 3.2.1. Пусть функция f: (0, Т)-+Х локально-гёльдеро&а й
р
|| f (5) I d$ < 00 при некотором р > 0«
j

m
Рл. 3. Существование, единственность...
Положим для 0 ^ t < Т
t
F(t) = \e~A{t~s)f(s)ds.
Функция F(-) непрерывна на [0,7),
непрерывно-дифференцируема на (О, Г), F(t)t=D(A) при 0 < / < Т и
dF(t)/dt + AF(t)=f{t) приО<г<Г,
F(t)-+0 в X при *-^0+.
Доказательство. Для малых р > О положим
МО»
j e-A(^^(s)d5, р<*<Г,
О, 0 < f < p.
Ясно, что (если положить f (s) = 0 при s < 0)
1*40-МОК S 1^^^1111/(5)11^-0
при р->0+ равномерно в интервале O^t^to при любом
/о < Г. Далее, функция Fp непрерывна, так как
F9(t + h)~Fp(t) = (e-Ah~l) j e-A('-J)f (s)rfs
о
+ Г e~A« + h-Vf(s)ds (0<*<* + ft<*0),
*-p
а правая часть стремится к нулю при А->0. Таким образом,
F — непрерывная функция из [О, Г) в X п
t
\\F(t)l^\\\e-A{t-s)\\\\f(s)\\ds->0 при *-*0 + .
о
Кроме того, если 0 ^ s < t, то e-^<'-*)f (s) лежит в D(A), так
что и римановы суммы
*-$у>Р
'/(*/)**/
для интеграла, определяющего Fp(t)9 лежат в О(Л). Но
lim
*-р
Л У e~A{t~s)f(s)bs= \ Ae~A{t-s)f(s)ds.
0 *<riP i

3.2. Линейная задача Коши
59
Таким образом, ввиду замкнутости Л, Fp(t)& D(A) и
AF9{t)= J Ae-A{f-S)f{s)d8
- J' Лв~л «-> {f (s) - f (0} ds + {*-*> - <ГЛ<} / (0.
|к как для некоторого 0 > 0
1ле-А«-'>|=о (и-*)-').
B/(s)-f(0I-O(l'--«le) ПРИ5-*<-,
то при р -*- 0 +
Л/% (0 - J Ле"А <'"*> {f (*) - f (*)} ds + {/ - e~At) f (t).
0
Поэтому, опять-таки из-за замкнутости Л, F(f)etD^) при
О < t < Г.
Рассмотрим произвольный строго внутренний интервал
[fo,fi], 0 < /о < h < Г. Тогда AF9(t)->AF(t\ равномерно на
to^t ^ tu поскольку \\f(t)— f($)\\^K\t — s\b при t, sg[/0) ti]
и некотором Э > 0, так что
\\AF9{t)-AF(t)\\ = \\{^I+e'Af)}f(t)t
+ \ Ae-A{t~s){f(s)-f(t)}dsl
■ <l|{e-Ap-/}f(0l + C J {t-8)-l + Bds-+0
при p->0 + равномерно на [fo, *i].
Наконец, функция F9(t) дифференцируема при t > р, причем
££^=-AP0(t) + e-A'f(t-P)9 9<t<T.
Правая часть равномерно стремится к —AF(t)+f(t) на /0 <
f ^ *i (0 < ^о < h < Г) при р->0+> так что F непрерывно
дифференцируема на открытом интервале (О, Г), причем
%- + AF-f{t).
Теорема 3.2.2. Пусть А — секториальный оператор в I, х0еХ9
функция /: (О, Т)-*Х локально-гёльдерова и
р
\\\f{t)ldt<oo для некоторого р > 0.

60
Гл. 5. Существование, единственность...
Тогда существует единственное (сильное) решение х(-) задачи
dx
dt
а именно
-fgL + 4x = f(0, 0<*<Г; *(0)=п*о,
x(t)*= е~мх, + \ е~А (/~ s)f (s) ds.
о
Упражнение 1 ([20]). Задача «дрейфа генов» в популяцион-
ной генетике описывается вырожденным диффузионным уравне-
ниехМ
ди 1 д2
dt """ 4N дх2
(x(l-x)u), 0<jc<1, />0.
Исследуйте оператор в правой части, рассматривая его как
самосопряженный оператор в пространстве
Х=Л<р: (о,1)-*«, \x(l-x)\<p(x)?dx<oo\.
Покажите, что он порождает аналитическую полугруппу в X.
Покажите далее, что для любого и из области определения этого
генератора функция \^х (1 — х) и {х) непрерывна на [0,1] и
Ух(1 — х)и{х)-*0 при х->0 или 1. Если функция и лежит в
области определения квадрата генератора, то она непрерывна
на [0, 1]. Докажите, что ||и(-, t)\\-*Q при ^-> + оо. Какой смысл
имеет последний результат, если u(-}t) интерпретировать как
плотность вероятности? (См. § 2.5 и [20, 26],)
3.3. ЛОКАЛЬНОЕ СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ
Теперь рассмотрим нелинейное уравнение
*L + Ax = f(tt *). t>t0i
(*)
# (*о) в #0>
где А — сектериальныи оператор, так что определены дробные
степени оператора А{^А-{- al и для а ^ 0 определены
пространства X(x = D(Af)c нормой графика ||л;||а = ||Л?А:|. Будем
предполагать, что функция f отображает открытое множество
t/cRX^a в X при некотором а, 0 ^ а < 1, локально-гёльде-
рова по t и локально-липшицева по х на U. Более точно, если
(tuX\)&U, то существует окрестность V a U точки (t\txi),
такая что для любых (/, х) <s У, (5, у) е V
Wf(t,x)-f(s,y)\\^L(\t-s\*+\\x-y\\4

3.3. Локальное существование и единственность решения 61
при некоторых постоянных L > О, 6 > 0. В конце этого
параграфа и в § 3.6—3,8 мы приведем ряд примеров, в которых эти
условия выполняются.
Определение 3.3.1. Решение задачи Коши (*) на (to, t\) — это
непрерывная функция х: [to,t\)->Xt такая что x(Io) = Xq и для
fs(/o,<i) мы имеем: (t,x(t))& U, x(t)^ D(A), (dx/dt) (t)
существует, отображение t*—>f(ttx(t)) локально-гёльдерово,
t
\(t-sra\\f(st x(s))\\ds^0 при t-*t0 +
н
и на {h,t\) удовлетворяется дифференциальное уравнение (*).
Замечание. В английском издании в этом определении
требовалась лишь интегрируемость Ш■,*(•))II» но пример,
построенный Миланом Миклавчичем, показывает, что этого недостаточно
для единственности в приводимой ниже теореме 3.3.3. Из
прежнего определения не следует, что в контексте теоремы 3.3.3
будет выполняться условие x(t)-+xQ в Ха при f-*/o+, если
Хо е Ха. Мы не предполагаем выполнение этого условия
непосредственно, так как в некоторых случаях, особенно в линейных
задачах, начальное значение х0 не лежит в Ха.
Следующий пример основан на примере Миклавчича
(М. Miklavcic> Stability for semilinear parabolic equations wjt&
noninvertible operators, IMA Preprint 22 (May 1983), Inst, for
Math, and its Appl., Univ. Minnesota).
Пусть X = L2(0, я), A = —dydx\ D(A) ==#2 П #o (0, я),
0<a< 1 и m> 1/a. Покажем, что существует гладкая
функция u(t, х) на 0 < / ^ 1, 0 ^ х ^ л, такая что
щ = ихх + \\Ааи\\пги при 0<л;<я, 0<<<1,
и = 0 при х = 0, х = л
и \\u(tt -)11-+-0 при *->0+, но ифО.
Отображение /(ф) — ф||Ааф||т, f:Xa-*X локально-липшицево
при любых /п^1 и полиномиально при целых четных т. Для
решения и указанной задачи не только норма \\f{u{tf -))\\
интегрируема на 0 < t «£1 1, но и
t
\\A*u(t, .)1-0, Ut-s)-»\f(tt(s, -))1^-0 при /-0 + ,
1
$№("(*■ • ))II/(1"P)^< оо при 0<p<a-l/m.
о
I Заметим, что при a =1/2 мы имеем ||Л1/2и| = ( \ их dx J. J

62
Гл. 3. Существование, единственность...
ОО ОО
Если afesR, Yd a! < °° и v(t, х) = ]£ ake"ш s\nkx% то vt —
k=s= 1 1
vxx при *>0,
И'.-)|--(«/2)f <Й при f-*0 +
и
MM*. .)h(w4flUV"j".
Выберем И' цз интервала 1/2 < р, < 1/2 + 2 (а — р —- \/пг) и
положим ¢^==/^ (А = 1, 2, ...)• Тогда
\\Aav(tt -)\&±VWffir*' при *-*0 + ,
где а' = а — (1/2) (\х — 1/2) > р + 1//гс, так что
i
$||Лаа||т— +оо при *-*0 + .
о
Если
то Y(/)-^0 при t~*Of и u(£, я) = Y (f) a (*> л:) — требуемое
решение.
Иногда единственность может иметь место и при более
слабом определении «решения», если f(ttx) при IUI|a-^oo растет
достаточно медленно.
Упражнение 0. Пусть А — секториальный оператор в Ху
0< р < a < 1 и функция /: RXX*^X такова, что /(*,0) = 0и
If(f, Х)\\<С^Х^ + \\х\\а)
при to^t^tux^ Ха, \\х\\$ <ги некоторых постоянных m ^ 1,
г > 0, С > 0 и U > *0.
Приведенный выше пример показывает, что при m >
l/(a—р) у уравнения
х + Ах = /(/, л:), t0<t< tu
могут иметься нетривиальные решения, такие что Цх(/)||р->-0
при f -*fo+-
Докажите, что если l^m<l/(a — Р), то единственным
решением является л;(/)= 0.
Указание. Для некоторого М
le"Atxt^Mta\\xl \e-Atxl<Mt*-alxb

8.3. Локальное существование и единственность решения 63
при О < t ^ 1,хе Ха. Докажите, что существует /*, to < t* < t\t
такое что
если /о < /' < t < f*.
Лемма 3.3.2. Если л: — решение задачи (*) на {to,t\\9 то
t
х (t) = е~А {t - U)x0 + J e~A {t~s)f (s, x (s)) ds. (**)
Обратно, если x — непрерывная функция из (fo, fi) в Xa, такая
что
J(*-srif(s, x($))\\ds-*Q при *-*f0 +
и интегральное уравнение (**) удовлетворяется при (г, х(/))е U
для to<it<.ti, то л:(-) — решение дифференциального
уравнения (*) на {to9t\).
Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует
из определения 3.3.1 и теоремы 3.2.2. Пусть х — решение
интегрального уравнения (**) и xgC((/o,([); Ха). Докажем
сначала, что функция х локальио-гёльдерова из {to, t\) в Ха. Если
t0<t<t + h<t\,To
x(t + h)-x{t) = (e~At - I) e'A « -<o)*0
+ \{e-Ah-l)e-A«^f(stx{s))ds +
о
t+(e-A<t + h-s)f(s, x{s))ds.
t
Далее, если 0 < 6 < 1 — а, то для любого ге!
(теорема 1.4.3), откуда для tf=[t*0, t*] с: (/0, tx)
||х(/ + й) — x(0lla<const-A6.
Следовательно, функция t>—>f(ttx{t)) локальио-гёльдерова на
(/o»fi), так что (по теореме 3.2.2) х удовлетворяет линейному
уравнению
•$T + Ay = f(t,x(t))9 U<t<tu y{U) = x09
а потому является также решением задачи (*) на (/o>fi).

64
Гл. 3. Существование, единственность...
Теорема 3.3.3. Пусть А—секториальный оператор, 0 5¾ а < 1 и
/: U-+X, где U — открытое подмножество в RX^06-
Предположим, что функция f(ttx) локально-гёльдерова по / и локально-
липшицева по х. Тогда для любой точки (to,x0)e U существует
Г = T(to,Хо)> О, такое что уравнение (*) имеет единственное
решение х на (/о, *о + Т) с начальным условием л;(^0) = х0.
Фактически ||я(0 —*о11а->0 при t-*■ ^о+.
Замечание. Если x(f)->*0 в ^а> то норма ||/(/, x(t))\\ ограничена
при ^~>/о+; если
5 ||f(s, x(s))f ds<oo
при некоторых в > 0 и q > 1/(1 —а), то
J(/-sr°Jf(sf *(s))I<fs-*0 при /->/<> + ,
В силу неравенства Гёльдера. Последнее из этих условий
является наиболее общим, но в условиях нашей теоремы влечет
первое, так что все они эквивалентны.
Доказательство. Если х\ [f0, t0 + Т]->Х — решение задачи (*)
при некотором Т > 0, то по лемме х удовлетворяет (**) и
при f->fo+. Так как x0eltt, то \\x{t)~*0lla-*0. Таким
образом, достаточно показать, что (**) имеет единственное решение
х, непрерывное из [tQf to+T] в Ха для некоторого Т > 0.
Выберем б > 0, т > 0, такие что множество
V = {(t, x)\tQ ^t^to + x, IU-*olla < 6}
содержится в U и
\\{(t,Xl)~f(ttX2)\\^L\\xl~X2\\a
для (f,*i), (^,x2)el/. Пусть В« max ||/(f, лг0)||. Выберем Г
Mo, 'o + tJ
таким образом, чтобы 0<Г<ти
1 (e~Ah - /) *0!|а < 6/2 при 0 < h < 7\
г
M(B4-L6) 5^а5а"с?а<б/2,
о
Где ЦЛ^-Л' 1 < Mtaeat при * > 0*

3.3. Локальное существование и единственность решения 65
Обозначим через 5 множество всех непрерывных функций
/: [tojQ+T]-+X*> таких что \\y(t)— лг0||а^ б при *0 < t^t0+T.
Зудучи наделено обычной sup-нормой
||»f = SUP{l||/(OI!a, t^t^to + T),
S становится полным метрическим пространством.
Для j/gS определим G(y): [t0, to + Т]-+Х формулой
G(y)(t) = e'A^^x0 + \e'A^s)f(sy y(s))ds.
h
Покажем, что G отображает 5 в себя и является строгим
сжатием.
Прежде всего заметим, что
|Q(y)(0-«oIa<I(e"A('"'e>-/)*oIa +
t
\\Afe-A{t-s)l(B + L6)ds
to + T
<6/2 + M(B + L6) \ (t-sraea{f-s)ds^6
to
при to^ t ^to + T. Далее, как легко проверить, G(y)
непрерывна из [to, to+T] в Xa, так что G отображает 5 в себя.
Если у, z^S, то при £0<*<f0 + r
\Q(y){t)-Q{z){tHa<
SWA<'-'4lfk y(s))-f(s9z(s))\ds
и
t
<ML \(t-sraea{t-s)ds\\y-zf,
to
гак что
\\G(y)-G(z)f^^ly-zf для всех У) z<=S.
По теореме о сжимающем отображении G имеет
единственную неподвижную точку х в 5, которая является непрерывным
решением интегрального уравнения (**) и для которой значения
t(ttx(t)) ограничены при t->t0+. По лемме 3.3.2 это —
единственное решение уравнения (*) на (to, to + T) с начальным
условием x(t0) = xq.
Замечание. Согласно Ф. Браудеру, непрерывное решение
интегрального уравнения (**) называется слабым решением
дифференциального уравнения (*). Можно изучать слабые решения
Я П. Хрипи

66
Тл, 3. Существование, единственность...
и тогда, когда отображение t*-*f(t9x) не является непрерывным.
Такое обобщение нам не понадобится, хотя приводимые ниже
результаты о гладкости связаны со слабыми решениями.
Теорема 3.3.4. Пусть А и / — такие, как в теореме 3.3.3, и пусть
образ f(B) любого замкнутого ограниченного множества BaU
ограничен в X. Если х — решение уравнения (*) на (^o>*i) и U
максимально в том смысле, что не существует решения
уравнения (*) на (/о, fe) при t2 > tu то либо U = + оо, либо существует
последовательность tn-*-U — при п-> + оо, такая что
(tn,x(tn))-+dU. (Если U не ограничено, то бесконечно
удаленная точка принадлежит dU.)
Доказательство. Предположим, что ^ < + оо, но (t,x(t)) не
попадает в некоторую окрестность N границы дО при /2 ^ t < U\
можно взять N в виде U\B, где В — замкнутое ограниченное
подмножество в U и (t, x(t))^ В при t2^t < t\. Докажем, что
существует XjeB, такое что x(t)-+X\ в Ха при t^-t\—.
Отсюда будет следовать (по теореме 3.3.3), что решение можно
продолжить за t\ (с x(t\) = х\), вопреки максимальности t\.
Пусть С = sup{||/(t, х)\\, (^)gB}, Покажем сначала, что
норма И*(0Из остается ограниченной при t-*t\ — для любого
Р < 1. Действительно, при a =¾ р < 1, t% ^ t < t\
U(0b<MP-«-A('-w||*(*.)|.
< Const . I (f - t0)- (P " ^ 1 * Co) la + J (t - S)» dS
Так что интересующая нас норма ограничена при t-*t\—.
Предположим теперь, что t% ^ т < t < t\. Тогда
t
x{t)-x (т) =- {е~А {t"x) — /> л: (т) + J е'Л {t~s)f (s, x (s)) ds,
T
t
II* (*) - x (т) ||a <C, (t - x)P-aIx (т) ||p + C2 J (f - s)-°rfs
<C3^-T)P-a(a<p<l).
Таким образом, limjc(£) существует в Xa> и доказательство за-
t-*tx
кончено.
Следствие 3.3.5. Пусть А— секториальный оператор, U «
(т, сю)Х^а и функция / локально-гёльдерова по /, локально-лип-
•

3.3. Локальное существование и единственность решения 67
шицева по х при (t, л:)е U и удовлетворяет оценке
\\f(t,x)\\^K(t)(l+\\x\\a) для всех (^)еУ,
где функция /((•) непрерывна на (т, оо). Если to > т и х0еХ«,
то единственное решение уравнения (*), проходящее через точку
(to, хо), существует для всех / ^ t0.
Доказательство. Применим теорему 3.3.4. Согласно этой теореме,
наш результат может быть неверным, только если найдется
последовательность fn->*i<ool такая что IU(^)||a-*-f °°-
Однако
t
\\х (О\\а <\\е-А {t^x0l + \ \\А?е-А <'-'>||К (s) (l+\\x (s)\\а)ds9
to
откуда следует, что ||х(01!а остается ограниченной при t-*t\
(в силу неравенства Гронуолла).
Теорема 3.3.6. Пусть А и / — такие, как в теореме 3.3.3.
Предположим, кроме того, что А имеет компактную резольвенту, а /
отображает все множества R+X В a U <zz Rn X^a, где В
замкнуто и ограничено, в ограниченные множества в X. Если
x(t\ t0y хо)— решение уравнения (*) на (t0t оо) с ограниченной
нормой \\x(t\ t0i Xq)\\ при t-++oo, то {x(t\ t0t x0)}t>t
компактное множество в Ха.
Доказательство. Если а <. $ < 1, то вложение X$czXa
компактно (теорема 1.4.8), и достаточно убедиться в ограниченности
\\x{t; t0l х0)Нэ при t^to+l. Без ограничения общности можно
считать, что 1?еа(Л)>6>0 и \\f(t, x{t\ t0l х0)\\^ С для всех
/ > *о, откуда
\\x(t; t.9 х0)\\^МУ-ЪГ{*-а)е-6{*-и)\\х0\\а
t
+ MC\(t-s)-*e-6{t-s)ds;
и
но правая часть ограничена при t ^ to + 1.
Замечание, Проведенное рассуждение позволяет установить
некоторую степень «гладкости» даже без предположения о
компактности резольвенты, а именно: если решение ограничено в
Ха, то оно ограничено в Х$ при а <С (3 < 1.
ПРИМЕР. Рассмотрим задачу
-Й- + "^=^Р- + К'> *, и(х, 0) (0<*<я, *>0),
и (0, 0 = 0, и (я, 0 = 0.
Пусть функция /: Кч'Х[0, я]Х R ->■ R измерима по х, локально-
гёльдерова по t и локально-липшицева по и (равномерно по х),
3*

68
Гл. 3. Существование, единственность.,.
причем \f(t,x,u)\^h(x) g(t9\u\), где Ле12(0,я), а функция
g непрерывна и является возрастающей по второму аргументу.
Возьмем X = L2(0,я), Л =—d2/dx2 с областью определения
Я2 (0, я) П //5(0, я) и £(Л1/2) = Х1/2 = Я^(0, я). Докажем,
что функция F:R+X//o(0, я)-^Ь2(0, л), задаваемая
формулой
F(t, ф) (х) = —ф (х) Ф'(х) + f (*, х, ф(х)), 0 < х < я,
удовлетворяет предположениям теорем 3.3.3 и 3.3.4.
Прежде всего заметим, что если феЯо(0, я), то ф(х) =
X
— ] ф' (5) d\y так что ф абсолютно непрерывна, и
б
SUP^(X)|< V^fl<Pil/2'
х
откуда следует, что
PC ФЬ (о. я) |<"1^1Ф^2 + IAL- (о. „,ff (*• V^M.,2)
и F переводит ограниченные подмножества R+X^1/2 в
ограниченные подмножества X. Далее, если (t0, Фо)^ R+X Х]/2,
причем функция фо непрерывна, то существуют окрестность V
компактного множества {(to, х, ф0(х)): 0 ^ х ^ я} в R+X[0, я]Х^
и положительные постоянные L, 0, такие что для (t\,xtu\)^V,
(f2,X, U2)<= V
\f(tu х, u,)—f{t2i x, ия)КМ|*,—faie+ltt!—a,|).
Следовательно, существует окрестность U точки (f0l ф0) в
R+ X Xl/2t такая что
((,(())Е[/^((,х,ф(х))е1/ при почти всех О^х^я
И ДЛЯ ЛЮбЫХ (?ьф1)€ £/, (/2, фг)^ I/
|f('i.-. Ф1( '))-/fe,-, Ф2('))|,2(0,я)
< 1/я! (|*. - *2 |в + у5|ф1_ ф2ц1/2).
Далее, для любых фЬ ф2 из Х1/2
|Ф1Ф1 - Ф2Ф2|* (м)<II Ф1 (Ф! " Фа)1* + II(Ф1 - Ф2) ^2|*
< У* || Ф1 |l/2| Ф1 ~ Ф2 |/2 + || Ф2||1/2 УЦ Ф! - ф2||
< V* (| Ф. ||l /2 + I Ф2 ||l /2) I % - Ф2 ||l /2'
(Иначе говоря, ф»—^фф' — непрерывный полином из Х1/2 в X.)
Таким образом, для этой задачи выполняются все
предположения теорем 3.3.3 и 3.3.4,

3.3. Локальное существование и единственность решения 69
пражпение 1. Пусть А — секториальный оператор, функция
R+XXa~+X локально-липшицева и для решения x(t) урав-
^ния
dx +Ax = f{t9 х) при f>f0>0
dt
^личина
If 0, x(t))\\
1+II* (011«
граничена на области его существования. Тогда это решение
^ществует для всех t ^ to.
пражнение 2. Докажите локальное существование и един-
гвенность решения задачи
-fjf- + p(<, x)Ax = f{t9 х), t>tQ,
X (Г0) = Х0,
^е р(/, х) > 0 и р: [/ -> R, /: U-+X — локально-л ипшицевы функ-
ии на открытом множестве UcRX Ха.
Указание, Рассмотрите систему с другой временной
переменой 0
dt 1
rf0 р (f. х)
Упражнение 3. Пусть А—секториальный оператор в X,
/ — открытое множество в !НХ^аХ^ и f: U-+Xy g: U->Y —
окально-липшицевы функции. Докажите существование и един-
твенность решения для спаренных «параболического» и «обык-
овенного» уравнений:
*L + Ax = f(t9 х, у), ^ = g(t, х, у).
1римените этот результат к уравнениям Ходжкина — Хаксли
§2.3) cX = L2(RyR)t Y = L">()L*(R9R*)9 предполагая, что
существует стационарное состояние, отвечающее V = 0, n = m =
= 0.
Упражнение 4. (Уравнение с запаздыванием.) Пусть А —
окториальный оператор в X, U — открытое множество в RX
'аХ^а и /: U -+Х — локально-липшицева функция. Рассмотрим

70
Гл. 3. Существование, единственность...
задачу
4jL(t) + Ax(t) = f(tt x(t)f x{t-l)) при *>0,
x{t) = v(t) при —1 <*<0.
Докажите локальное существование и единственность решения
для любой гёльдеровой функции ср: [—190]->Ха.
Исследуйте также более общий случай, когда / локально-
липшицева функция из открытого подмножества в 'КХС([—1,0]
Х«) вХ (ср. [102]).
В ряде примеров для доказательства, например, того факта
что решение, неотрицательное в начальный момент времени,
остается неотрицательным и все последующие моменты времени
пока существует, используются соображения, основанные нг
принципе максимума. В приводимых ниже упражнениях выд^
лены характерные черты таких соображений, начиная с то£$
сравнительно хорошо известного факта, что для многих лине&
иых эллиптических операторов второго порядка функция Грин*
неотрицательна. Принцип максимума рассматривается почти вс
всех книгах по дифференциальным уравнениям с частными про
изводными, но особенно мы рекомендуем Проттера и Вайнбер
гера [81], а также Фридмана [29]. В связи с некоторыми не
линейными задачами см. также [87].
Упражнение 5. Пусть Q — ограниченная область в R" с глад
кой границей д£2, а ац(х), bi(x)f с(х), h{x) (/,/=1,2, ..., /г) —
непрерывные функции, причем
п
ац (х) = ап (х), £ ati (х) ££, > а | If
«. /=i
при некотором а > 0 и всех ^еКли
h(x)>0 на dQ.
Для и е C2(Q), удовлетворяющего уравнению
-^- + h (х) и = 0 на dQ
(v — внешняя нормаль), положим
п п
Аи (*) = -£ а„ (х) -J^- + £ bi (х) £- + с{х)и
i, /=i ' t = i
при х е Q. Покажите, что если для некоторой точки PeQ
и (Р) = mm и,

3.3, Локальное существование и единственность решения 71
Аи(Р)^с(Р)и(Р), а если то же равенство выполняется для
которой точки Р е dQ, то и(Р) ^ 0.
Пусть X— настолько большое число, что Х-\- с(х)> 0 на Q.
экажите, что для всякой функции u^D(A), такой что
i + Xu^O на Q, мы имеем и ^ 0 на й. Предположим далее,
о существует функция Грина Gk для оператора А, + Л, так что
щение уравнения Аи + Хи = f имеет вид
и (х) = (X + Л)"1 f (х) = J G, (*, I) f (I) d\
Q
1ля гладкой функции f). Покажите, что Gk(x, g) ^ 0 в ЙХЙ.
братно, если функция Грина неотрицательна, то /^0=^(^ +
\-lf>o.
пражнение 6, Пусть X — вещественное банахово про-
ранство с отношением порядка ^, таким что для любых
ytzs=X
a) х ^ х'у
b) x^yny^z=>x^z)
c) x^y=$-x-\-z^y-\-z и Хх^Ху
ш любого вещественного % ^ 0;
d) множество {х^Х\х^0} замкнуто.
Функция f: Х-+Х называется возрастающей, если х ^ у =>-
Если У — банахово подпространство в Л", то порядок, индуци-
)ванный на Y из X, также удовлетворяет условиям а)—d).
Пусть X = Lp(Q)y l^p^oo. Примем, что х 5* У, если
[t)^y{t) для почти всех /ЕЙ. Покажите, что при этом вы-
>лняются все условия а)—d).
Пусть А — секториальный оператор в пространстве X с от-
>шением порядка, удовлетворяющим условиям а)—d).
Предложим, что (^ +Л)-1— возрастающая функция (будем запи-
лвать это так: (^ + Л)-1 :^ 0) для любого % > 0; докажите,
ч> е'м ^ 0 для любого / ^ 0.
Указание:
е~мх = \\т (\+±аУпх.
амечание. Иногда полезно изучать такие операторы с аффин-
)й областью определения — сдвинутым подпространством. Рас-
гждения для этого случая по существу те же самые.
пражнение 7. Пусть X — банахово пространство с отноше-
леи порядка (таким, как в упр. 6), А — секториальный опера-
>р, {Х + А)~1 ^0 для любого Х>0 и /: [t0, t\)X Х*^Х — ло-
1льно-липшицева функция, причем
xezXaf х>0, *0<*<*1=>/(*, *)>0.

72
Гл. 3. Существование, единственность...
Докажите, что если х0еХа, Хо ^ 0 и x(t) = x(t\ to, х0) —
решение уравнения dx/dt -]- Ах = f(t,x) с начальным условием
x{to) = Xo, то x{t)^0 для всех f из пересечения [t0) ti) с
интервалом существования решения.
Указание. Проведите доказательство сначала для достаточно
малых /—to > О, строя решение с помощью последовательных
приближений.
Упражнение 8. Пусть X — банахово пространство с
отношением порядка, А — секториальный оператор, (^ + /4)-1^ 0 для
всех К > %0t f: [to, ti)X X®-* X— локально-липшицева функция
и для каждого ограниченного множества вида
В = {хеХ«|х^0, ||х||а<&}
существует вещественная постоянная р = р(В), такая что
/ (/, л:) + $х ^ 0 при всех хеВ и to^t<lt\.
Докажите результат упражнения 7 при этих более общих
условиях. Если, кроме того, jc■—>f(t, х) + $х — возрастающая
функция на В, то *o»->x(f; *о»*о) — возрастающая функция при
Xq ^ to И t ^ to.
Упражнение 9. Рассмотрим задачу
^^k-~£r + au-bu\ 0<*<1, *>0,
а (0, /)-0, и(1, /) = 0,
и(х% 0) = w0(*)>0, 0<*<1,
где и0&Н1о(0, 1), а, Ъ и k — положительные постоянные.
Докажите, что при 0 ^ х ^ 1, t > 0 решение «(я, 0^0 на
интервале своего существования; докажите затем, что это решение
существует для всех t ^ 0.
Если и{х,0)^0 при 0<х<1, то u(x,t)^Q при f > 0,
0 ^ х <; 1 на интервале существования, но решение может
уходить на бесконечность за конечное время (ср. с заключительным
примером § 3.1).
Упражнение 10. Пусть /: R+[0, lJXvR-^R —
локально-липшицева функция, f(U,0)^0 и а,Р^0, у ^ 0, б, е ^ 0 —
некоторые постоянные. Пусть, далее, и (#, 0)^0 при 0^я^1,
0(0)^0, о>(0)>0 и при t> 0
ut = uxx + f(t, х, и) (0<*<1),
МО, t) = -v{t)9 их{\, t) + u(\, t) = w(t),
vt = av + $w,
Wf-
= yv + bw + e J и (x9 t) dx.

ЗА. Непрерывная зависимость решения от параметров 73
Докажите, что и(х^)^Оу v(t)^0, w(t)^0 на области суще-
твования (см. упр. 14, § 1.3).
'пражнение 11. Рассмотрите уравнения динамики ядерного
еактора (§ 2.6) для случая, когда V, D — постоянные положи-
ельные диагональные матрицы, матрица F постоянна и неотри-
.ательна, А = A (^F, cyxt t) — гладкая матричная функция с не-
:оложительными внедиагональными членами, 0^(3^1, р/ и
,- — неотрицательные константы, %i — постоянные вектор-столб-
,ы с неотрицательными координатами. Если Ч/,|ай = 0 (где Q —
ограниченная область в R3), ^¥(ху /)^0 и все Ci(x,t)^Q (x^il)
, момент времени t = 0, то они остаются неотрицательными для
icex t > 0 из области существования. Далее, если внедиагональ-
1ые члены матрицы А—невозрастающие функции от Ч? и с и
[*¥>с}, {Ч*,ё}—два решения, таких что
a(xft)^6i(x,t)^0 (Ki^iV)
аля всех x^Q при t = 0, то эти же неравенства имеют место
л при t >0.
3.4. НЕПРЕРЫВНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
РЕШЕНИЯ ОТ ПАРАМЕТРОВ И НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Теорема 3.4.1. Пусть А — секториальный оператор и {fn(t,x)f
гг = 0, 1,2, ...}—последовательность функций, определенных на
открытом множестве [/cRX^a (ае[0,1]) и принимающих
значения в X, каждая из которых локально-липшицева по х и
локально-гёльдерова по ty причем
U (*, х) = lim fn (t, х)
равномерно по {t, х) в окрестности любой точки из U. Пусть,
далее, ц^еК, ^е!а, п = 0, 1, 2, ..., цл-> ц0 > 0, \\хп —
ЯоНа-^G пРи п->оо и ({0,хл)€ ^-
Наконец, пусть фл(?)—максимально определенное решение
задачи
-^- + \inA(gn = fn (*, фп), * > *0,
фЛМ™** (« = 0, 1, 2, ...),
существующее на (£0, *о + 7\) • Тогда Г0 < lim inf Тп и J<p„ (/) —
Л-*оо
— Фо (*)!!<* -*0 равномерно на компактных подынтервалах
интервала [to, to+T).

74
Гл. 3. Существование, единственность...
Доказательство. Не ограничивая общности, можно
предположить, что /0 = 0, х0 = 0, Мо=1» 1/2<|а„<2, /<,(/, 0) = 0 и
¢0(0 = 0 на [0, Го]. В противном случае мы рассмотрели бы
функции фЛ(0—фя(0—Фо(ЦлО> удовлетворяющие уравнению
-дР- + ЦлАф* = /Л (/, фд (0 + ф0 (|ХдО) — М*/о W» фо (М))-
Выберем какое-нибудь /i<=(0, Г0). Тогда [0, fi] Х{0}—
компактное множество в U, и, следовательно, существуют б > 0 и L > 0,
такие что
ll/o(/^l)-/o(^ ^2) IKLllJCi-JCalla
ПрИ lUilla, IU2||a<6 И 0<*<*i
И
||/п(/,х) —/о(/,*)Ц-*0 равномерно при 0 < / </i, IUIU ^ 6.
Для достаточно больших п функции фя определены на [0, t\].
Действительно, поскольку ||фл(в)||а ^ б на 0 ^ s ^ /, то
|Фп(011«<м/^||^||а
0
t
+ 1М|Хдв J (* - s)-a /п" ('~')|!ф„ (s) ||а ds,
О
так что
цФя(01!в<С(!!хя|а + Ай)^1
A« = sup{i|fft(s, x)-f0{s, a:)J|:0<s</1, ||xj|a<fi}f
где В и С не зависят от п.
Если п настолько велико, что
С/Ч!,*Л + Лп)<6,
то фя существует на [0, t{\ и ||фл(/)!1а-*0 равномерно на 0^
t ^ U при п-^оо.
Лемма 3.4.2. Пусть А — секториальный оператор в X, 0 < Т < оо
и0^Р^а<1+р. Тогда отображения
0*> £)-{*~М^ 0</<Г},
ГХ^-С([0, Г], Ха)
и
О*. ЯГ) К {] *~М {t~s) 8 (s) rfs, 0 < / < Г J,
R+XC([0t Г], X*)-*C([0, Г], Х«)
аналитичны.

ЗА. Непрерывная зависимость решения от параметров 75
оказательство. Для фиксированного t > 0 функция (|i, |)-^
'***% аналитична, и ее ряд Тэйлора
п = 0
юдится при малых |6|. Действительно, если |]е~*4Ч1^М,
\e-M\\^Mt-x при 0</^Г, то отображение ty->{At)ne-^Atl
^прерывно как отображение вХа (0 ^ t ^ Т) (см. упр. 8 § 1.4) и
Jr|(_A6)-e-^||e<_^(JtliL)'Uje,
ак что ряд сходится равномерно на 0 ^ / ^ Т, если |б| < [i/Me,
iu и доказана требуемая сходимость в С([0, Т],Ха). Второй
яучай рассматривается аналогично.
[емма 3.4.3. Пусть X и У— банаховы пространства, U — откры-
эе множество в X, J — компактный интервал в R. Если
': /X U -+ У— непрерывная функция, то составное отображение
*-»/?(.,*(.)); C{l,U)-+C(JtY)
епрерывно. Если отображение
& х^^{4г)кр^х)
епрерывно на /X U для й ===== 0, 1, ..., г, то указанное
составов отображение принадлежит классу Сг. Если это выполняется
1ля всех г и ряд Тэйлора для функции х*—>F(t, х) сходится рав-
омерно по t е / около каждого хе(/, то наше составное ото-
фажение аналитично.
Доказательство. Если хп, x^C(J,U) и xn(t)-+x(t)' равномерно
loie/ при п ->- оо, но
№(-,xn(.))-F(-9x(.))h,v.Y) >*> 0,
о существует последовательность ^ е /, такая что
\\F(tmXn(tn))— FitntXitn))!]^ в/2 для больших п.
Гогда найдется подпоследовательность tn-*t е/,а это проти-
юречит непрерывности функции F в точке (t*3x(t*)). Для
каждого 1 ^ k ^ г производная dkF/dxk удовлетворяет условиям
теммы с г = 0 и равномерно непрерывна на {(ttx(t))9 t^J}t
^сли х е С(/,/7). Поэтому из обратной теоремы Тэйлора (см.
1. 1.2.5) следует, что наше составное отображение принадлежит
слассу Сг. Аналитичность доказывается прямой оценкой остатка
>яда Тэйлора.
Георема 3.4.4. Пусть Л—секториальный оператор в банаховом
[ространстве X, О^а < 1, U — открытое множество в RrX^a»

76
Гл. 3. Существование, единственность...
Л — открытое множество в банаховом пространстве L, функция
/: 1/ХЛ->1 и ее производные Dxf> D^f непрерывны на (УХЛ,
а функция t>—>f{tyx,%) локально-гёльдерова. Далее, при \к > О,
IeA, (т, ^)et/ пусть x(t) = x(t\ т, g, X, \х)—максимально
определенное решение задачи
dx ±v,Ax = f{t, х, Я), t>%,
dt
*(*) = £.
Тогда (g, Я, ц)ь-> л: (f; т, |, Я, (л) — непрерывно-дифференцируемое
отображение из Ха X А X ;R+ в Ха на области существования
решения. Производные u(t)= D$x(t)t v(t)= Db,x(t), w(t) —
D^xit) являются слабыми решениями задач
^L + VlAu = Dxf (t, x (*). к) и, и (t) == /;
dt
dv
+ \iAv = Dxf(t9 x(t)9 X)v + Dxf{t, x(t), K), o(t)=0;
dt
-~~ + \iAw==Dxf(t, x(t), X)w-Ax(t), w(*z) = 0.
(Если, кроме того, отображения (t,x)^->DxUD^ локально-гёль-
деровы на [У, то это — обычные решения.) Заметим, что в ш-урав-
нении \\Ax(t)\\=0(t — %)*-1 при t-+x+.
Доказательство, Достаточно рассмотреть малый интервал
времени. Без ограничения общности можно считать, что 0 ^ t ^ Г,
т = 0. Решение x(t\%, £Д, \i) получается как неподвижная точка
следующего отображения G, действующего в пространстве
непрерывных функций из [О, Т] в Ха:
t
G(x; I, К »){*) = 6-^*1 +j e~»* <*-Of(s, x{s), l) ds
(0 <; t ^ T). Для (£, X, [i) из малой окрестности точки (|0, ^о, \io)>
такой что (0, ЕоДо, М-о)^ U X Л X R+> отображение G является
равномерным сжатием некоторого шара В а С([0, Г], Ха).
Отображение
(*Д)^/('^(ОД)еС([о,т]Д)
непрерывно дифференцируемо на ВХЛ, и G является
композицией этого отображения и аналитического отображения (см.
лемму), так что G е С\ а следовательно, и неподвижная точка
принадлежит классу С1, что и требовалось доказать.
Аналогичным образом проводится доказательство и для
случая С.

3.4. Непрерывная зависимость решения от параметров 77
Следствие 3.4.5. В дополнение к требованиям теоремы 3.4.4
предположим, что отображение
(*Д)»->Д'.*Д)
является отображением класса Сг(\ ^ г ^ оо) с производными,
непрерывными на U X Л, или аналитично равномерно по t в
окрестности любой точки из U X Л. Тогда отображение
соответственно принадлежит классу Сг или аналитично на
интервале существования.
Следствие 3.4.6. В дополнение к требованиям теоремы 3.4.4
предположим, что отображение
(t,x9K)*->f(t,x9k): UX&-+X
принадлежит классу Сг или аналитично. Тогда отображение
также соответственно принадлежит классу Сг или аналитично
при />t на области существования. (Гладкость по времени
может нарушиться при t->-% +•)
Доказательство. Для любого m > О определим у (s) = # (s; 0, |,
Я, \i/m)y Я = (^, т, х), как решение задачи
-§- + Mm)Ay=*g{s9 уу k) = ±f(x+JL9 у, X),
»(0) = Б-
Вследствие единственности решения, на области существования
x(t\ т, I, К \i) = y(m(t — т); 0, |, X, ц/т)
для каждого т > 0. В частности, если (>тит = 1/(/ — т), то
x{t\ т, |, Л, и) - j/(l; 0, |, (X, (f-т)-1, т), |1(*-т)).
Но для каждого s > 0 отображение
(6, (X, т, х), ц/т)»-> у (s; 0, |, (Я, т, т), ц/т)
принадлежит классу О (соответственно аналитично) по
следствию 3.4.5, и требуемый результат доказан.
Теперь мы изучим другое понятие непрерывной зависимости,
которое приводит к «методу усреднения». (Для обыкновенных
дифференциальных уравнений этот подход был предложен Гих-

7&
Гл. 3. Существование, единственность..,
маном.) Иной подход для линейных уравнений изложен в
§ 7.5.
Лемма 3.4.7. Пусть А — секториальный оператор в Ху f: [0,Г)Х
t/XA->Jf, U — открытое множество в Ха, а < 1, и Л —
метрическое пространство, причем
(i) ||/(5,хД)|К# при 0<s< Г, jcs(/, )ieA;
(") И/(5, X, М—f(S, У, Ь)Н^Ш —0На При 0^5<Г,
х,у^и,Х<= Л;
(iii) отображение Л- —»- j f (s, х, X) ds непрерывно для любого
о
xgL/ равномерно на компактных подмножествах интервала
О ^ t < Г; здесь мы предполагаем также, что интеграл
существует \\\f (5, х, X) j|ds < оо I при 0 ^ t < Г.
Тогда для любой непрерывной функции х: [О, Т)-+U функция
t
0
непрерывна равномерно на 0 ^ t ^ t\ для любого t\ < Г.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда функция х
постоянна: x(s) ss х. Пусть р > 0 и
/pft, 0 =
*-р
J e-A{t-8)f(s9 х9 X)ds при р</<Г,
при Qt^t^Lp.
Тогда при р ^ t < Г
/р(А,, *) = <Гл'$/(5> х, *.)<*«—е~Ар \ f{s, х, %)ds
о t-p
t ~р *
+ J Ae~A{t-s) \f(o, х, %)dods,
и функция ^»—^/Р(Х, /) ^ X06 непрерывна по теореме Лебега о
мажорируемой сходимости в силу оценки
Ae~A{i-8) \f(a9 х, k) da
< ЛШ (f - s)~a е
—a a (t —$)

3.4. Непрерывная зависимость решения от параметров 79
при 0 < s < t < Т. Далее, /Р(Х, t) сходится равномерно по A,, t
при р-^0. Действительно,
Jp(Kt)-\e-A{t-s)f(s, х, X)
ds
<
e~Al> J f(s, х, k)dsl + j Ue"^('-S) \f(a, x, %)da
t — p ||a f — p || s
ds
при p -> 0 +. Таким образом, функция
t
о
непрерывна по Я для каждого хе[/, и, следовательно, функция
Я, >—^ J e"A{t"s)f(st Jt(s), X)ds
о
непрерывна для любой ступенчатой функции х из [О, Т) в U.
Наконец, для любой непрерывной функции х: [О, Г)-*- U
существуют ступенчатые функции хп: [0,7)-^^7, такие что ||#(s)—
— xn(s)\\a-*0 равномерно на 0 ^ 5 ^ t\ (каково бы ни было
t\<T). При этом
' I
\ е~А {t-s) [f (s, х (s), к) - f (s, xn (s), Щ ds
о I
t
< J LM (t - s)~a ea ('" s) || x (s) - x„(s) ||« ds - 0
0
равномерно по^еАиО</^(ьИ лемма доказана.
Теорема 3.4.8. Пусть А и f удовлетворяют условиям леммы 3.4.7.
Пусть, далее, х(-, %) — решение уравнения
dxfdt + Ay = f(t, х, Х)9 t>0,
причем x{t, *о)^ U существует при 0^/^Ги
|| л: (0, Я,) —*(0, fc0)||a-*0 при l-+XQ.
Тогда
||*(*Д)—*(*До)На->0 при Х-+Хо
равномерно по 0 ^ t ^ Г.

80'
Гл. 3. Существование, единственность...
Доказательство. Пусть y(t) = x(t,%)— л;(/До). Тогда
t
У (0 = е~А,у (0) + \ е~А {t~s) {/„ (s, к) - f, (s, к0)} ds
t
+ \ e-A{t-s){f(s, x(s, h) + y(s), l)-f(s, x(s, U X))ds,
0
где f0(s, ^) = f(s, x(s, Я0)Д). Так как функция s*—>x{sy Я0)
непрерывна на 0<Is<7\ то по лемме
|| у (t) |U < 6 (А.) + LM \ (t - sra |1 у (s) ||„ ds
О
(поскольку x(s,ko) +y{s) = x(syX)^ U при O^s^fи 0^
t^T)y где 6(Я)-*-0 при Я->Я0. Но отсюда следует, что для X,
достаточно близких к Хо, мы имеем при 0 ^ s ^ Т
\\y(s)\\a<dist{x{^XQ)t dU}y
так что решение *(• Д) существует и
sup \\x(t, *,) — *(*, А,0) На = 0 (6 (X)) ^ 0 при Я^Я0.
Выразим теперь полученный результат в форме, более
близкой к методу усреднения, а именно сравним решение уравнения
dx
dt
+ Ах = g (//е, х), 0 < г < е0,
с решением усредненного уравнения
dy
JT + Ay^go (У)>
где
1
£0 (у) = lim 4" S ^ (s> ^) ds-
Теорема 3.4.9. Пусть А — секториальный оператор в X, g: R+X
U-+X— непрерывная функция (U — открытое множество в Xa)t
такая что
(i) функция t*~^g(t,x) локально-гёльдерова, \\g(t,x) ||^ N и
II в С *) — g(t, У)\\<Ь\\х — у\\а при *>0 и х, ye^U;
т
(И) lim
Т -»-оо
4" S в (*> *) ds — So (*)
= 0 при хе[/.
Предположим, что существует решение l(t) уравнения
dl/dt + Al = g0(lh (>0,

3.4. Непрерывная зависимость решения от параметров 81
удовлетворяющее условию l(t)^ U при 0 ^ t ^ Т< оо. Тогда
для любого заданного г\ > 0 найдутся б > 0 и ei > 0, такие что
если ||jc(0) — 6(0) На ^ б, 0<е<е! и
dx/dt + Ах = g(t/st х), * > 0,
то
\\x(t)—l(t)\\a^4\ При 0< t^T.
Доказательство. Применим теорему 3.4.8 с К = е и
f(t, х, b) = g(tfK, х), 0<Х<е0,
f(t, х, 0) = go (х)
при 0^;<ГихеС/. Если f > 0, К > 0, то для любого х е (/
jf(s, х, *,)ds= jg(s/A,, #)ds = *, J g(a, x)da-*tgo(x)
0 0 о
при Л->0+.
Упражнение 1, Пусть А%— секториальный оператор в X для
любого X из открытого множества AcRm и отображение
^ь->(So — Ах)-} ^3?{Х) аналитично для некоторого
фиксированного £0. Пусть, далее, D(A%) не зависит от X либо
\\{1-Ак)-1\\<С/\1-а\
для всех £ из сектора arg(£— а)= ±0, 0 < 9 < л/2 и всех Я из
некоторой комплексной окрестности множества Л. Докажите, что
отображения
{К t)-+e~Ak\ Л XR+-*#(*)
и
{Кх)-+{е~Лх'х9 0<*<i}f ЛХ^-С([0, 1], X)
аналитичны. (Ср. с Като [56, с. 498].)
Упражнение 2. Пусть А% такой же оператор, как и выше,
Ха — D (Л?) не зависит от X при некотором а < 1 и / —
отображение класса Ck (k ^ 1) из открытого подмножества в RX
Ха X Л в X. Докажите, что решение x(t)= x{t\ т, £Д) задачи.
-^- + Л,х = /(*; х, X), *>т,
х(х) = 1<=Ха
принадлежит классу Ck по всем своим аргументам при / > т на
своей области существования. Один пример такого типа при
# = 1/2 появится в упражнении 11 § 6.4.

82
Гл. 3. Существование, единственность...
3.5. СГЛАЖИВАЮЩЕЕ ДЕЙСТВИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
В § 3.3 мы показали, что имеет место определенное
«сглаживание»: решение с начальным значением из Xa = D (Л?), 0<
а<1, в последующие моменты времени лежит в D(A). Нам
понадобятся некоторые более точные утверждения, касающиеся
этого сглаживания.
Лемма 3.5.1. Пусть А — секториальный оператор и g: (О, Т)-*X —
функция, удовлетворяющая условию
\\8(t)—g{s)\\<K{s)(t — s)v при 0<5<г<Г<оо,
т
где /((•) — непрерывная на (О, Г) функция с j/((s)tfs < оо.
о
Тогда функция
t
о
непрерывно дифференцируема как функция из открытого
интервала (О, Т) в Х$ при 0 ^ р < у и
t
dG(t)
dt
<
Л«"Р || g (t) || + M J (t - s)?-P- *K (s) ds
при 0 < / < Г, где M — постоянная, не зависящая от у, р и g{*).
Далее функция t*—>(d/dt)G(t) локально-гёльдерова из (0,77
в Х$, если для некоторого б > О
н
\K{s)ds = 0(hb) при h->0+.
о
Доказательство, Из доказательства леммы 3.2.1 вытекает, что
-§- = в"л'$ (<) + И (t) = -Ж? (0 + g (t),
t
H{t) = \Ae-A{t-s){g(t)-g(s))ds,
О
откуда и следуют необходимые оценки. Заметим, что
h
H(t + h)-H(t)=^Ae-A«+h-s){g(t + h)-g{s))
t
+ \Ae-A(t-s)[g(t + h)-g{s + h)-g{t) + g(s)]ds.

3.5. Сглаживающее действие дифференциального уравнения 83
Замечание. Функция t^->AG(t)^X также локально-гёльдерова,
ю ее значения, вообще говоря, не лежат в Х$у если не предпо-
тагать, что g(t)&X$.
Георема 3.5.2. Пусть А— секториальный оператор и функция
': 0-^Х локально-липшицева на открытом множестве Ucz
3 XХа для некоторого 0 ^ а < 1. Пусть, далее, х(-) — решение
ia (to, ti] задачи
dx \-Ax = f(t, x), x(t0) = x0i (tQ, x0)gU.
dt
Гогда для у < 1 функция
~^ dt
локально-гёльдерова при to< t ^. t\t причем
t^^(t)e=Xv
dx
dt
где С — некоторая постоянная.
Замечание. Этот результат (вместе с теоремами вложения)
используется для доказательства того, что решения абстрактного
уравнения приводят к классическим решениям первоначальных
дифференциальных уравнений в частных производных; см.
примеры в § 3.6—3.8.
Доказательство. Пусть а < Р < 1, т0 < т < t\. Тогда
IU(t)IIp<Ci(t —М0^
и функция g(0=f(*i*(0) удовлетворяет оценке
\\g(t)-g(s)\\^L(\t-s\+\\x(t)-x(s)\\a)
при to ^ s ^ t ^ U (где L и Сх — некоторые постоянные).
Далее, если т < t < / + h < tu т°
x(t + h)-x{t) = (e-At-l)e-A{i-T)x(x)
t т+А
+ \e-*«-sUg{s + h)_g{s)}ds+ j e-A'i + h-s)g(s)ds,
X X
а потому
\\g{t + h)-g(t)\\^Lh + L\\x{t + h)-x(t)\\a
^Lh + C2h((t-x)-l + fi'a\\x(x)U + (t-xra)
t
+ \ M(t -s)-a\\g(s + h) -g(s)\\ds.

84 Гл. 3. Существование, единственность...
Таким образом,
Hff(' + h) -g(t)\\<Czh((t-Trl + *-a\\x(x)\\t + (t-T)-a)
и но лемме 3.5.1 функция t*->dx/dt ^Xv (у < 1) гёльдерова на
(т, t\], причем
||^||,<сЛ('-^-^-1 ||*(т)1Ь + ('-тГ]
Положив t — т = т — to = l/2(t — to), получим
dx
dt
^M(t-t0)a-4-\
Теорема 3.5.3. Пусть A — секториальный оператор, функция
f:U~+X локально-липшицева на открытом множестве [/cRX^a
для некоторого а<1 и х(-) — решение на [tQi t{] уравнения
dx \-Ax = f(t, х),
dt
такое что (f,jf(/))ef/ и норма \\dx(t)/dt\\a ограничена на
/о < * < и.
Если норма ||*о — x(t0)\\a достаточно мала, то решение *(•)
с начальным условием x(to) = xo существует при to^t^ti и
0^р<7<1. функция t^->dx{t) /dt локально-гбльдерова из
(/о, h] вХ*к
dx ,,v dx
(t)--§-(t) .<*('-«"■""'II*.-*('.)Hir*
dt v/ dt v/|l3
для некоторой постоянной К, не зависящей от t и дг0.
Доказательство. Кривая {(t,x(t)), to^t^ti} является
компактным подмножеством в U, так что существует окрестность V
этой кривой, такая что Ус V и
||f(^x)-f(S>(/)||<L(U-S|+iU-i/||a)
при (/, *)е V, (s, г/)е У. Положим
g(t,z) = f(t,x(t)+z)-f(t,x{t))
при <о =¾ t ^¾ *ь llzllo =^ fi, где б > 0 настолько мало, что
ftx(fl+2)e V при fo^*<*i. Ыа^б. Тогда g(*,0) = 0 и
\\g(t, *l)~g(t, 2,) IK M 2,-2,11«,
||g(*. z)-g(s, z)||<2Lmin(|>|!a, \t-s\(l + M)),
M = sup {\\dx/dt\\a, .*o<*<M-

3.6. Сглаживающее действие дифференциального уравнения &э
Используя тот факт, что min{a, 6}^ а?Ь{~ч при а, й^О и
0^7^ 1> легко проверить, что
HffC *i)-tf(*. *)11<М||*|-*«1|а +||z.t"T|*-5|T).
Если норма ||z(fo)lla достаточно мала, то решение z(t)
существует на [to, t{\9 причем ||z(0lla^6. Докажем гёльдеровость
z(-). При *0 < t < t + h < t\ имеем
z(t + h)-z(t) = (e~Ah - /) е~л ('-'e)2b
+ S e-A« + h-s)g{s, z(s))ds
и
t
+ \ e~A {f-s) {g (s + h, z(s+ A)) - g (s, z (5))} ds.
Если норма И го II« достаточно мала, то ||z(/)||a ^ ^lll^olla при
to ^ t ^ t\ и, следовательно,
|| * (* + А) - * (0 ||в < K2hy (t - te)-e1| z0 Hi" v,
где 6 = max(a,Y). Если теперь g(t) = g(t,z(t)), то на
интервале (*0) t\)
II g(t)-g (s) II <К* (s - *0Гв I * — в ГII Же Hi" v.
Применяя лемму, получаем
z(*)=e-A('-'o)z('o)+C(*),
так что
||-f- (*) ||р < const • (t - t0f-*~l || z0 \\lT\
Упражнение 1. Пусть A — секториальный оператор и
функция f: R X Xs+a -*- ^s — липшицева в окрестности точки (fo, *о)
для некоторого х^Ои некоторого а, 0 ^ а <С 1. Покажите, что
если xo^Xs+a, то существует единственное решение x(t) =
x(t\ t0iXo) задачи
dx/dt + Ах — f(t,x) (О/о), л:(*о) —*о
на некотором интервале to^t^ti и функция ^^—>x(tf)e
Xs+a непрерывна.
Упражнение 2. Пусть функция f: R X Xm+a ~> Xm локально-
липшицева при т = 0,1,2, ..., п. Покажите, что если хо^^06,
то решение х(/; to, х0), проходящее через точку (fo>*oh
Удовлетворяет условию х(^; to, Хо) е Х"+а при * > f0.
Применив этот результат к примеру 37 ниже, покажите, что
если и(-, 0)е Wl*p(Rn) при некотором р > п/2, то u(-,f)e

86
Гл. 3. Существование, единственность...
Ck(Rn) для любого fe^l и при всех / > 0. Что можно сказать
о дифференцируемости по О
Указание: Wk>p(Rn) является алгеброй относительно
поточечного умножения, если kp > п.
Упражнение 3. Рассмотрим ограниченную гладкую область
Q с= R3. Пусть А = —AD в L2(Q). Покажите, что задача
ди/dt = Ли + v? в й, и = 0 на 3Q, и (•, 0) = и0
имеет единственное решение для малых t > 0, если uq е Х&, где
Р > 1/4. (Заметьте, что из и0 е Х& не следует, что «о е L (Q).)
Упражнение 4 (основано на результатах Аликакоса (Alika-
kos) [107])). Пусть Qc Rn таково, что справедливы неравенства
Ниренберга — Гальярдо (§ 1.6) и теорема о дивергенции. Пусть
aj(x,t), b(x,t)—вещественные непрерывные функции, такие что
|a/(*,0|<4, b{xJ)^B на QXR+
и и — решение уравнения
п
-^- = Ди + £ а,(х, t)-§- + b(x, t)u
на QX'R+> удовлетворяющее условию
и~т~^° на aQxR+.
Предположим, что для некоторого р(\ ^ р < оо)
и'^ое1р(А)П1со(0)
и норма |!&(♦, 0IUn(«) равномерно ограничена для всех t ^ 0.
Докажите, что норма ||и(-, t) ||^(0) равномерно ограничена по
f> 0 и по ? = р2т (т = 0, 1, 2, ...); таким образом, например,
ограниченность решения в L\(Q) влечет его ограниченность в
Loo(Q).
Указание. При s ^ 2
dt
\\u\sdx^ -4^1) \\4\u\*i*\2dx
q s a
+ sB \\u\'dx + 2A(\\ V\u\*l*\*y2(\\u\*dx\
и при 0<e^l (неравенство Ниренберга — Гальярдо)'
\ | и |5 dx < е \ | V | и I*'212 dx + Кь~т (\\и |5'2 dxY ,

3.6. Пример: ut = Ди + f(tf х, и, grad и) 87
где т>п/2 и К = #(&, /л) < оо. Используя это, оцените
II«(-. OIUs<0) через sup* > о || и (•. ')IUf/2<a> и II "< •. 0> ||ijr <0>.
Упражнение 5. Пусть Q — ограниченная гладкая область
в Rn, f(xt и) — гладкая функция на Q X R, такая что |/(х, и) | ^
C(l+|"lm)> и и(х, /) — решение задачи du/dt — Аи + f(xtu),
и = 0 на <?Q. Предположим, что это решение существует только
при 0 2¾ / <С /i < оо. Докажите, что норма |и(-, Oll^w неогра-
ничена при t^ t\ — если д> 1 и либо (i) q > га, либо (ii) # >
(n/2) (т — 1). (Указание: в случае (ii) воспользуйтесь, как и
выше, неравенством Ниренберга — Гальярдо.)
3.6. ПРИМЕР: ut = Аи + f(t, х, «, grad и)
Пусть Q — ограниченная область в R3 с гладкой границей
<?Q. Рассмотрим задачу
*L- = bu+f(t, х, и, grad и), f >0, xe'Q,
ди +а(х)и = 0, t>0, x<==Q,
дп
и(х, 0) = щ(х), xgQ.
Предположим, что функция f(ttx,u,p) локально-липшицева по
всем аргументам и для некоторого вещественного k, 1 ^ k < 3,
и некоторой непрерывной функции B(tfr) выполняются оценки
lf(<, *, и, Р)|<В(*. |и|)(1 + |р|*).
\f(t, х, и, p)-f(t, х, и, <7)|<B(f, |и|)(1 + |р|*-!
+ м*-')1р-*|.
|/(*. *■ и, p) + f(*. х, v, p)\<B(t, \u\ + \v\)(l+\p\k)\u-v\.
Кроме того, пусть функция а(х) непрерывно-дифференцируема
на dQ и удовлетворяет условию а(х) > 0.
Положим X = L2(Q) и Аи = g для а е tf!(Q), если для всех
t;e№(Q)
j g (х) i; (х) с/л: = J V и (х) • V v (х) rfx + j а{х)и (х) о (х) rfx.
Q Q dQ
Тогда А — самосопряженный положительно-определенный
оператор, и D(A) содержит все wgC2(Q), для которых ди/дп +
-|- аи = 0 на dQ; в этом случае Аи = —Аи на Q. Фактически
О(Л) = {и€Е^2>2р|-^- + аи = 0 на <5q),
поскольку наша задача является регулярной краевой задачей
для сильно-эллиптического оператора [26, 30, 71]. Отсюда еле-

88
Гл. 3. Существование, единственность...
дует, что
X«cWl>*{Q) при а> 1/2 и \/q > (5 — 4а)/6,
X«czL°°(Q) при а>3/4
(теорема 1.6.1). Таким образом, при 1 > а > тах(3/4, (5k—
3)/4А)
Х«с:^1'2й(й)П/>О0(Й),
причем вложение непрерывно.
Например, если «б1аи
F{t, и) (x) = f(ttxy и(х), gradw(x)), JceQ,
то
\\F(t, и) 2 ||< В Л, || «|| ^ V(measQ)W2 + ||w||ft у
Остальные оценки получаются аналогично, и мы видим, что
выполняются предположения теорем 3.3,3 и 3.3.4, так что при
ио<^Ха существует единственное решение u(t\ и0) на некотором
максимальном интервале 0 ^ t < t\y причем либо t\ = + оо,
либо \\u(t; uq) Ha-*- оо при t-+ti—.
Итак, мы получили решение абстрактного уравнения,
отвечающего исходному уравнению. Но в действительности u{i\ a0)e
D(A) при f>0 и функция t^—^du/dt^Xa локально-гёльдерова
по теореме 3.5.3, так что отображение
(ty x)*~>u{ty х\ и0), -^-С *; "о)
непрерывно при U<t<t\ и хей. Так как «еО(Д), то
SJu^Wl>2(Q)czLQ(Q)t откуда ^« = f(U)-d«MGL6/ft№).
Следовательно, u gee W2>Vk(Q), так что Vu <= Wx'*/k(Q)c2 L*(Q),
если 1/<? > (& — 2)/6. В случае fe < 2 отсюда следует, что
функция Vu(t, ) гёльдерова; в случае k ^ 2 мы продолжим
рассуждения. Если w(f, •(gIP2'^^), то (как и выше) u(ty •) е
€=W2,P*+1(Q) при 1/р„+, >й(1/ря —1/3), идля ККЗмы
в конце концов получаем, что рп > 3 и функция Vw(/, •)
гёльдерова, так что F((,«)eC6(Q) для некоторого б>0 и ы({, •)<=
С2+б(й). Таким образом, при / > 0 функция (ttx)t—>u(t,x\uo)
непрерывно-дифференцируема по t и дважды
непрерывно-дифференцируема по jc, а значит, является классическим решением
нашей задачи.
Упражнение 1. Рассмотрим следующий частный случай:
щ = Да + Ял3 в Q (где к — постоянная),
— 1- аи = 0 на dQ.

3.7. Пример: щ = Ди — ku*
89
Докажите, что при X ^ О, пока решение существует, функция
t->]\u(tt лг) |6 dx
является невозрастающей. Докажите, далее, что при к ^ О
решение существует для всех t > 0, причем норма ||и(/)||а
ограничена (1>а>3/4) и фактически орбита {u{t)tt^0} лежит
в некотором компактном подмножестве в Ха. Покажите, что
единственной предельной точкой этой орбиты при 1-+-\-<х>
является нуль, т. е. ||и(0 На->0 при t->oo. (Заметьте, что
сходимость в X* влечет сходимость в L°° и в Wl> 2.)
Замечание. Полиномиальные оценки на функцию р*—>1(х,и,р)
были наложены для того, чтобы мы могли работать в L2(Q).
Если же работать в Lq(Q), q > 3, то подобные ограничения не
нужны.
3.7. ПРИМЕР: и, = Д« —>и3 (в R")
Рассмотрим задачу
-¾.=Ди - Ли3, * >0. х е= Rrt,
и (х, 0) = «о, х е R",
где % — неотрицательная постоянная и ио — заданная гладкая
функция из Lp{Rn) для некоторого р, удовлетворяющего
условиям 2 ^ р < оо, р > я/2.
Пусть X = Lp(Rw) и Л — замыкание в X
дифференциального оператора
-*—I
в Со0 (Rn). Пусть Л, = Л + / и Ха = D (А?), а > 0. Тогда Ха
= 27£p(R") есть пространство бесселевых потенциалов [97],
обладающее следующими свойствами:
при 2а = *, где k - целое > 0, Ха = ИГ*' р (Rn);
при 2ра<«, -i->-L--22-, оо>9>р rcZ/^R");
С/ р «
при2ра>«, 0<v<2a-— *ac=Cv(R");
при 0<£<2а, -1>-L__2«^*. *actt7*'«(R").

90 Гл. 3. Существование, единственность,..
Далее, при 1 > а > п/2р
||мз-о3^(К")<с(||ы^(К«)+||о,|:»(К»))||и-о^(К»)
<Cl(||«|||+||t.|l2«)l|u-t.||a
ll"8|,i"(R")<C'll"l|3a'
так что удовлетворяются предположения § 3.3, откуда следуют
локальное существование и единственность решения. Заметим,
однако, что резольвента оператора А не компактна (см. упр. 1).
Мы докажем глобальное существование решения при X ^ 0.
Пока решение существует, имеем
-4г\ 1"(*> 0|8рЛ = Зр j \u\3p-2u(Au-Xu")dx
Rrt Rn
= -j (3pJi|w|3p + 2+3p(3p-l)|w|3^2iVwl2)dA:<0.
Таким образом,
\ \u(xt 0 |8p Л < J |и(*, 0)|3pdjc<C||u(., 0)||*p
R* Rrt
для всех t > 0, пока решение существует; следовательно, оно
существует для всех *>0 (упр. 1, § 3.3). Фактически норма
l|w(-,0Hp ограничена при всех t ^ 1 для любого р < 1.
Действительно,
t + i
u{t+ l)-e~Au{t) = -X j e~A{t + l-s)u(s)dsy
t
так что норма \\u{t + 1)-e-Au{t)\\$ ограничена при t^zO. Но
II и {t) || = || и (f) || р , п также ограничена при всех / ^ 0, следова-
тельно, при t ^ 0
\\u{t+l)\\fi^\\e-*u(t)h + C<Cu
Нелинейный член —Хиъ представляет собой ограниченный
полином из Ха в Ху так что решение аналитически зависит от t > 0
и uo е Ха и его значения лежат в Ха. Мы можем также
установить гладкость по переменной х. Например, при и е Хх+а
I Аи* \\lP = || -За2 Да - Ы | vu |2 ||^
;ля некоторой постоянной С, так как если Аи <= Xacz L°°(Rrt)n
LP(R"), towe W1» ^(Rn) для любых p < ^ < oo. Следовательно,
г(/)е Ai+a при всех t > 0. Подобными же рассуждениями полу-

3.7. Пример: щ~ &и — \иь
91
чаем, что для любого Р^а функция /i—>u(t)^X$ непрерывна
лри / > 0 (см. упр. 1 и 2, § 3.5).
Таким образом, мы доказали, что если «(0)<=Ха, то решение
и существует при всех />0 и отображение (t, x)^->u(ty х) ана-
литично по t > 0 и бесконечно дифференцируемо по хей; в
частности, и — классическое решение задачи, ограниченное при
всех t > 0.
Упражнение 1. Резольвента оператора А не компактна, т.е.
существует ограниченная последовательность {$п}п = \ в £)(Л) =
W2>p(Rn), не имеющая подпоследовательностей, сходящихся
в Lp(Rn). Указание: сравните норму функции фе^^К")
с нормой сдвинутой функции фл, ф^ (х) = ф (х + h) для всех
xgR".
Поскольку орбита {u(t)> t^O} не является, вообще говоря,
компактной в LP(R"), мы не можем исследовать ее предельные
точки, как это делалось для аналогичной задачи в
ограниченной области (упр. 1, § 3.6). Положим, однако,
<pff (t) = } | и (tt х) \q dx.
Тогда при q ^ 2 функция ф?(") не возрастает, не отрицательна и
^(t)^-ql% + 2(t) при *>0,
следовательно,
оо
} ф„ + 2 (t)dt < ОО.
о
Так как ф?+2(-) тоже не возрастает, то
Ф<7+г(0-*0 при t-> + oot
т. е. для q ^ 4
J |a(f, x)i"djc-*0 при *->+оо.
Rrt
В случае 2 ^ р < 4
II«('. -)11^, <II«(О, OIIJpllM'. -Щгв
для любого рь р < pi <4 и некоторого Э = 0(p,Pt), 0<9< 1,
так что
11«.'. -)11^,-0 При t^+oo
для любого р\ > р.
Упражнение 2. Рассмотрите эту задачу в пространстве
X = Hm£R«)=* Wm> \{R«\t т > л/2.

92
Гл. 3. Существование, единственность...
3.8. ПРИМЕР: УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ — СТОКСА [32, 65]
Пусть Q— ограниченная область в R3 с гладкой границей
dQ. Рассмотрим при (>(0^ей задачу
-£--tsW---&-|>-£-+'/** '-••^
div и = У -Р- = О
fe дх*
с краевым условием и = 0 на dQX['o» °°) и начальным
условием w(x, *о) = wo(*), хбй,
На первый взгляд теория § 3.3 не применима: одна из
неизвестных величин р (давление) фигурирует в задаче без своей
производной по времени, и в одном из уравнений (div« = 0)
также не фигурирует производных по времени. Мы, однако,
подберем пространство X таким образом, чтобы divu = 0
автоматически, и тогда давление выпадет из уравнений.
Если векторное поле и: Q ->- R3 непрерывно дифференцируемо,
diva = 0 и нормальная компонента ип равна нулю на dQ, то
для всякой скалярной функции ф е Cl(Q)
\ и • grad ф dx = 0.
а
Обратно, гладкое векторное поле и, ортогональное ко всем
градиентным полям, должно удовлетворять соотношениям div« = 0
в Q и ип = 0 на 3Q.
Пусть Ял— замыкание в L2(Q,R3) множества
{grad<p|q>€=C4Q)},
Н0 — замыкание в L2(Q, R3) множества
{u<~Cl{Q, R3)|divw = 0 в й, ип = 0 на дО).
Ясно, что #л и HG — замкнутые ортогональные подпространства
в L2(Q, R3). Фактически
12(0,К3) = ЯлеЯа.
Чтобы доказать это, достаточно показать, что любое гладкое
векторное иоле и: Q-^R3, равное нулю вблизи dQ, имеет вид
и = v + \;ф, где v е На и Уф е Яд. Но, действительно, в
качестве ф можно взять решение задачи
Дф = divw в Q, i3L=ttft — о на <3Q,
Тогда функции <р и v ss и — Уф — гладкие, и div v = 0 в Q,
vn = 0 на dQ.

3.8. Пример: уравнения Навье — Стокса
93
Пусть Р — ортогональный проектор из L2(Q,R8) на Яа.
Проектируя уравнение Навье — Стокса в Яа, формально получим
-§jL + IXAV = N (V) + fa (О, V (t) €E Hat
где jut = 1/Re (Re —число Рейнольдса), A =—PA с нулевыми
краевыми условиями, N{v) = — P{v-grad)v и fa{t)— Pf(-J).
Если теперь и, v принадлежат пересечению Co(Q) П Яа,
являющемуся плотным подпространством в H0i то Аи^На
{Аи, v) = (u, Av),
(Ли, и) = {—Аи, и) = J | grad и|2 djc ^ 0.
Q
Таким образом, мы можем предполагать, что А —
самосопряженный плотно определенный оператор в На. Одквист [77]
исследовал краевую задачу Аи ===== /, т. е.
—Аи + grad р = f, div u == 0 в Q,
u = 0 на dQ,
с помощью методов теории потенциала и получил оценки для
функции Грина, доказывающие вложение
H0 = D(A)<=W2>2(Q) f] Яа
и его непрерывность (см. [65]). Из теоремы 1.6.1 следует, что
при 1/2 < а < 1 и \jq >(5 - 4а)/6 //¾ cPu (Q, R3),
при 3/4 < а < 1 H^czL00 (Q, R3).
Рассмотрим теперь нелинейный член. Имеем
II^WIKIhllLee||vo||ia<C||o||»
при а > 3/4, так что N — ограниченный полином из На в На
(при а > 3/4).
Далее, из теоремы 3.3.3 следует, что если v(t0) <== Н0 и
функция *♦—>М"» 0 гёльдерова в Я0 при / ^ to, то существует
единственное решение v(t) на некотором максимальном интервале
f0 ^ / < /i и это решение аналитически зависит от v(to) и числа
Рейнольдса Re = 1/|а > 0.
Предположим, что на самом деле в исходном уравнении
функция (x,t)i—>f{x,t) принадлежит классу С1+6 для
некоторого 6>0, xeQ, to^t<U. Тогда функция (xtt)*-+fa(x,t)
(fa = Pf) липшицева по {x,t). Покажем, что в этом случае мы
имеем классическое решение исходной системы. Рассуждая, как
в приведенных выше примерах, легко проверить, что при / > /0

94
Гл. 3. Существование, единственность...
отображение (х, t)t~-> v(xyi) принадлежит классу С2+б по х и
классу С1+6 по / для некоторого б > 0, так что
'НИ'' ')-цА*(.. *)-(t>-grad)i>+f(-f *)}-0.
Но функция в фигурных скобках гсльдерова на Q и, значит,
является градиентом некоторой функции р(«,/), принадлежащей
для любого t классу С1+би непрерывной по t.
Более общие и точные результаты имеются в [32].
Упражнение 1. Покажите, что если норма 1(/(-, 0||£2(й)
ограничена при 0 ^ t < оо, то норма ||w(-, 0IL2(Q) ограничена
на области существования решения. Предположив, кроме того,
что ||и(-, 011 о ограничена на области существования неко-
L (О)
торого решения для некоторого р > 3, докажите, что решение
существует при всех / > 0.
Указание: для доказательства ограниченности решения в
L2(Q) умножьте исходное уравнение на и и проинтегрируйте
по Q.

ГЛАВА 4
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ
4.1. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА
Определение 4.1.1. Динамическая система (нелинейная
полугруппа) в полном метрическом пространстве С — это семейство
отображений {S(t): С->• С, t ^ 0}, такое что
' (i) для любого t^zO отображение S(t) непрерывно;
(ii) для любого х^С отображение t*~>S{t)x непрерывно;
(iii) 5(0) — тождественное отображение;
(iv) S(t)(S(%)x) = S{t + T)x для всех хееС и t,x^z0.
ПРИМЕР 1. Пусть А—секториальный оператор в банаховом
пространстве X, V — открытое множество в Ха при некотором
«g[0, 1] и /: V -*■ X — локально-липшицево отображение. Пусть
С — замкнутое подмножество в V, такое что каждое решение
задачи
dx/dt + Ax = f (х), х(0)еС
существует и принадлежит С для всех / ^ 0 (т. е. С —
положительно-инвариантно). Если x(t\Xo) — решение в момент ty
отвечающее начальному значению х(Ь'ух0) = Хо1 то равенство
S(t)x0 = x(t, *о) fceC, *>0)
определяет динамическую систему в пространстве С (с
метрикой, индуцированной из Ха). Проверка условий (i) — (iv)
предоставляется читателю в качестве простого упражнения.
Более специфическими являются примеры § 3.7 сС = Ха=а
— 2&(R") и §3.3 (упр. 9) с
С = {<ре=Яо(0, я)|ф(х)>0, 0<*<я},
а также следующий пример.
ПРИМЕР 2. (Варма и Амундсон [100].) Уравнения,
описывающие трубчатый химический реактор с простой необратимой реак-

06 Гл. 4. Динамические системы и устойчивость по Ляпунову
цией первого порядка, имеют вид
т dz d2z * dz / ч
при 0 < л; < 1, / > 0 с граничными условиями
-|- = Pe(j/-l), -|jL = Pe(Z-l) при х = 0,
ду л дг л 1
-£- = 0. тт- = 0 при х=1.
Здесь р, -у» У а* Ре' ^е (числа Пекле и Льюиса)—положительные
постоянные и г(у)=аехр(—6/у) с положительными а и 5.
С физической точки зрения понятно, что (безразмерные)
температура у и концентрация z всегда должны быть
неотрицательными. Фактически рассматриваемая система уравнений
определяет динамическую систему в пространстве
С = {(*/, 2)e=tfA(0, 1; R2)|*/(*)>0, z(x)>0; 0<#<l}.
Чтобы увидеть это, заметим прежде всего, что г {у) можно
положить равным нулю при у ^ 0, и тогда мы получим
динамическую систему в #40, 1;К2), так как правая часть растет не
быстрее, чем линейно (см. следствие 3.3.5). Рассмотрим, далее,
при Я, > 0 оператор
и ь-> —ихх + Ре их + *ku
На функциях класса С2, удовлетворяющих граничным условиям
их я= Ре(и — 1) при х = 0; их = 0 при х = 1.
Если —ихх + Реих + Ки ^ 0 при 0<#<1, то, как легко
видеть (принцип максимума [81]), и ^ 0 при 0 ^ # ^ 1. (Иначе,
рассматривая точку, где достигается отрицательный минимум,
мы получили бы противоречие.) Для пары (у, г)е L2(0, 1; R2)
будем писать (у, z) ^ 0, если у(х) ^ 0 и z(x) ^ 0 при почти всех
хе[0,1]. Мы можем применить результаты упражнений 7 и 8
§ 3.3, так как
{y,z)^Q=*($zr(y)+v{ya — y), — zr(y))+K{y,z)^Qf
если К > 0 достаточно велико. Таким образом, С —
положительно-инвариантное множество, и мы получаем динамическую
систему в С.
ПРИМЕР 3. Следуя Селлу [89], можно определить
динамические системы, порожденные неавтономными дифференциальными

4.1. Динамические системы и функции Ляпунова 9?
уравнениями. Мы не будем развивать здесь этот подход, хотя
он и может привести к интересным результатам.
Определение 4.1.2. Пусть {S(t)\ t ^ 0} — динамическая система
в Си для любого шС
y(x) = {S(t)x, t^O}
— орбита (или положительная полуорбита) точки х. Будем
называть точку х стационарной ]), если у (х) = {х}; орбиту у(х)
назовем периодической, если существует такое р > 0, что
y(x) = {S{t)x, 0</<р}#{*}.
Орбита у(х) (а иногда и точка х) называется устойчивой,
если равномерно по t ^ 0 выполняется соотношение
S(t)y^ S(t)x при у^-х, у^С,
Т. е. если для любого е > 0 существует 5(е)> 0, такое что для
всех t > 0
dist(*,y)<6(e), у ев С =>d\st {S(t)x, S(t)y)<e.
Орбита у(х) неустойчива, если она не является устойчивой.
Орбита у (х) называется равномерно-асимптотически-устойчи-
вой, если она устойчива и, кроме того, существует окрестность
^={j/eC: dist(x, у) < г}, такая что
dist(S(*)0, S(t)x)-+Q при t-*oo
равномерно по j/e V.
Упражнение 1. Если орбита у{х) неустойчива, то
неустойчива и орбита у (у) для любого у^у{х). Верно ли аналогичное
утверждение с заменой слова «неустойчива» на «устойчиво»?
Упражнение 2. Если j/eyW и У(У) устойчива, то у(х)
также устойчива.
Упражнение 3. Если орбита у(х) устойчива, то она также
и орбитальномустойчива, т. е. при у-+х, у^С равномерно по
/ ^ 0 выполняется соотношение
dist{S(/)</, v(x)}->0.
Обратное утверждение неверно. Понятие орбитальной
устойчивости полезно при изучении периодических орбит (гл. 8).
Определение 4.1.3. Пусть {5(0, t ^ 0}— динамическая система
и С. Функцией Ляпунова называется всякая непрерывная ве-
,} В оригинале equilibrium point. — Прим. ред,

98 Гл. 4. Динамические системы и устойчивость по Ляпунову
щественнозначная функция V на С, такая что
V{x)^ Ш ^r{V(S(t)x)-V{x))<i0
t -v о+ г
для всех хеС. Мы не исключаем возможности V(#) — —оо.
В дальнейшем мы используем обозначение \\х — t/1| = dist {*,#}.
так как в большинстве случаев рассматривается метрика,
индуцированная из некоторого банахова пространства.
Теорема 4.1.4. Пусть {S(t), t ^ 0}—динамическая система в С
и 0 — ее стационарная точка в С. Пусть, далее, V — функция
Ляпунова на С, удовлетворяющая условиям 1/(0) = 0,
V(x)^c(\\x\\) прихе=С (IUH=dist{x,0}),
где с(-) — строго возрастающая функция, такая что с(0) = 0 и
с(г) > 0 при г > 0. Тогда точка 0 устойчива.
При дополнительном предположении V(x)^—Ci(||x||), где
С\(') — также непрерывная возрастающая положительная
функция с с\(0)= 0, точка 0 будет
равномерно-асимптотически-устойчивой.
Доказательство. Для всякого fe > 0 положим Uk—{x&C:
V(x)<. k). Каждое из множеств [/* является окрестностью нуля
Кроме того, каждое из них положительно-инвариантно:
x&Uk*>V(Stt)x)^ V{x)<k для всех * $* 0.
Если V{x)^ c(IUIi), то для любого е>0 существует такое
fe = c(e)>0, что KU)^. к=>\\х\\^г. Вследствие непрерывности
V существует б > 0, такое что при |UH<6 мы имеем x^Uk-
а значит, и S(t)x е Uki так что I|S(0*ll^ е для всех t ^ 0.
Далее, V(S(t)x)— невозрастающая неотрицательная
функция L Пусть l = limt+aoV{S(t)x).Ec<4vi I > 0, то inb>0||S(Ox||>0.
так что sup^>o V(S(t)x) ^—m для некоторого m > 0. Но этс
противоречит неотрицательности V(S(t)x). Таким образом
V(S(t)x) и ||S(0*ll стремятся к нулю при ?->+°°* В
действительности эта сходимость равномерна при |Ull<je0, хеС для
некоторого 80 > 0, так как V{S{t)x)^v(t)9 где
v(-)—максимальное решение [18, с. 28] уравнения
-^+Cl(6-« (о))-0, f>0, v(0)^vQi
с непрерывной возрастающей функцией 6, удовлетворяющей
условиям V(JcXft(IUH), 6(0) = 0 и t>0 = sup{V(*): ЫК е0}
Если е0 достаточно мало, то функция ci(£H(s)) непрерывна на
интервале [0, v0] и v(t)~►О при tf-*+oo.

4.1. Динамические системы и функции Ляпунова
99
ПРИМЕР 4. Краевая задача
-^- = -|^--а3(()<*<я, г>0); и(0, t) = Q, и (я, 0 = 0
определяет динамическую систему в Яо(0, я) (ср. с примером
§ 3.6). Положим
я
Vp (и) = \ | и (х) \р dx для любого р ^ 2.
Функция Vp непрерывна на #d (0, л) и
л л
Kp(u)=-pSi«r+2d*-p(p-i)J|«r-2i4rf*,
о О
так что
VP(u)< -Р \ \u\p + 2dx-pn-2">{Vp{u))P + VP
(в силу неравенства Гёльдера). Полагая р = 6, убеждаемся, что
мы получаем динамическую систему в //о(0, я) и что любое
решение u(-,t) удовлетворяет условию
я
j | и (xt t) \р dx -> 0 при f -*» оо
о
(при каждом р^2). Для доказательства сходимости в Но
(0, я) используем другую функцию Ляпунова
W
Она удовлетворяет оценке Н^ (u) ^ -=-1| и ||2 ь непрерывна на
Яо(0, л) и при и еЯо(0, л) П #2(0, л)
я
W{u) = - \{uxx-u*Ydx.
0
Отсюда следует, что W(u)^0 для всех «еЯо(0, я). Отметим,
что если «(•,/)— решение при / > 0, то функция /f—> W(u(-y t))
непрерывно дифференцируема при t > 0 и для некоторого
г €=(0,0
-j-w.(«(., о)-^(«(-. о)) = #(«(■. **))<а

100 Ул. 4. Динамические системы и устойчивость по Ляпунову
Фактически
я я
\ ulx dx^\ux dx для иеЯо (0, я),
так что
л я я я
-W (и) = \и2хх dx + 6 jj u2ul dx + \ u6 dx > \ ux dx.
Таким образом, W(u)<^ — ||«|Li, откуда вытекает равномер-
яо
ная асимптотическая устойчивость точки 0 в //о(0, л).
Упражнение 4. Пусть {5(0, t ^ 0} —динамическая система
в С, В открыто в С и 2(0— сужение S{t) на б. Тогда для
каждого хеВ существует максимальное число Т{х), 0 < Т(х)^ оо,
такое что
{Е(0*, 0^t<T(x)}<=B.
Это семейство отображений удовлетворяет следующим
условиям:
(i) если Хп-*-х0 в В и 0^/<7(хо), то, начиная с
некоторого номера /г, Г(#л)>/ и 2(<)xn->S(f)*o в В\
(и) если хеВ, то отображение t*—>21{t)x из [0,7(^)] в В
непрерывно;
(Ш) 2(0) — тождественное отображение множества В на
(iv) если хеВ, (,т^0и< + х<Г(х),то 2(0(2(т)х) =
2(* + t)x.
Такое семейство {2, Т} мы назовем(ло/сальяой динамической
системой в В. Исследуйте различные noH^rjm^jvn^4imetTfrTM
локальных динамических систем.
Упражнение 5. Если А — секториальный оператор в X и
отображение f: Ха-+Х локально-липшицево при некотором
а>1, то уравнение dx/dt + Ах = f(x) определяет локальную
динамическую систему {2, Т} на любом открытом множестве
ВсХ«
Пусть ||/(jc)||^M< оо для всех шВ. Положим
g(x) = f(x)q>(\\f(x)\\) при *(=*«,
где
П при 0<t/<M,
ф(у) ЧЛ% при t/>M.
(Заметим, что функция ср липшицева на R+.) Тогда уравнение
dx/dt + Ах = g(x) определяет динамическую систему в Ха, су*
жение которой на Б есть {2, Т}.

4.2. Обратная теорема об асимптотической устойчивости 101
4.2. ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Теорема 4.2.1. Рассмотрим уравнение
-§- +Л* »/(*).
где А — секториальный оператор и / — липшицева функция из
некоторой окрестности нуля пространства Ха (для некоторого
О ^ а < 1) в X, удовлетворяющая условию /(0) = 0.
Пусть точка х = 0 равномерно-асимптотически-устойчива
(в Ха). Тогда существуют положительные постоянные (3, К, г,
непрерывная строго возрастающая функция a(s), 0 ^ s ^ г,
a (0) = 0, и вещественнозначная функция V{x), определенная
при 1Ы1а ^ г, такие что
(i) fl(IWIa)^ V(x)^K\\x\\a\
(И) \V(x)-V(y)\^K\\x-y\\a\
(iii) P(*)<— pV(x).
ПРИ IUIU < Г, |If/||a < Г.
Замечание. В приводимом ниже доказательстве мы следуем
Псидзаве (Т. Yoshizawa, Stability Theory by Liapunov's Second
Method, Univ. Tokyo Press, 1966).
Доказательство. Пусть r0 > 0 настолько мало, что из оценки
Ikolla ^ го следуют существование x(t,Xo) для всех /^0 и
оценка \\x(ttXo)\\a ^Q(t)-*-Q при f->4-°°- Мы предполагаем,
что 0(0 имеет непрерывную отрицательную производную; обрат-
пая к ней функция Т(е) (7(9(0) = / непрерывна при0<е^0(0)
У'(е)->+оо при е->0+.
Если го достаточно мало, то функция f равномерно
липшицева в шаре радиуса 0(0) и при lUolla ^/¾ отображение
XQ*->x(t\x0) липшицево с постоянной Липшица ^.LeMt (при
некоторых L, М). Положим
в(в) = ехр{-(Р + М)7(е)}|Яг(0)-0
для произвольного р > 0. Пусть также
G*(z) = max(0,z,— \/k), А > 1,
и при k = 1,2, 3, ... и ЦхоНа =¾ го
v„ (*.) = * (ттг) ?SP0 {вР<0*(|1 *('; Хо) ||а)}*

102 Гл. 4. Динамические системы и устойчивость по Ляпунову
Заметим, что здесь верхнюю грань можно брать всего лишь п
интервалу 0 ^ t < Tk == T{l/(k + 1), так что
0 < Vk (*„) < g (т~-) Л (0) < 9 (0),
\Vk(x0)-Vk(y0)\^g(Tl-r) sup {е® + М)Ч\\х0-У!)]\а}
k
< ^(ХГГ) Le^ + M) Ч II *o - Уо\\а = £ II *o - *o He
Наконец, для малых h > 0
V*(*(A; *o))«e-p*ff (ттг)™PA^°*fll*(/; xo)\\a)} = e^hVk(xQ]
а потому ^(xoX — piM*o).
Если положить
oo
^W= Z 2-*V*(*), ||x||«<r,
TO
\V{x)-V(y)\*£L\\x-y\\a, V(x)<-№x), V(0J=0
И При 0<IU||o <Г
oo
F {x) > *?, 2~*g (~*тг)0fe (" *lle) ^a ("* lla) > °*
где функция a(-) липшицева и строго возрастает.
Замечание. Выбирая гладкие функции, аналогичные G*, можн
иа(-) сделать гладкой.
Упражнение 1*. Пусть Т — липшицево отображение некотс
рой окрестности нуля банахова пространства X в X, удовлетвс
ряющее условию 7(0) = 0. Скажем, что точка 0 асимптотически
устойчива, если существует ее окрестность I/, такая что Тп(х
определено при всех д^Ои всех хеУи
diamr*(V)->0, л-*оо.
Докажите (по аналогии с теоремами 4.1.4 и 4.2.1), что необхс
димым и достаточным условием асимптотической устойчивост
точки 0 является существование положительных постоянны
/(, г и 6 < 1, непрерывной строго возрастающей функции a(s)
0 ^ $ ^ г, а(0) = 0, и вещественнозначной функции V(x) (\\х\\^
г), таких что
•а(1Ы1Х V(x)^K\\x\\,
\V(x)-V{y)\^K\\x — y\\(\\x\\^rt WyW^rl
У{Т{х))^йУ{х) вблизи О,

4.2. Обратная теорема об асимптотической устойчивости №3
Найдите функцию Ляпунова, позволяющую доказывать
устойчивость точки х = 0 для отображения х*—>х — л:3; R->R.
Рассмотрим теперь уравнение
(Ег) с1х/с1( + Ах = 1(х,в),
где /(0,0) = 0. Мы докажем слабый вариант устойчивости
относительно постоянно действующих возмущений [62, 41]; один
более сильный результат указан в упражнении 3.
Следствие 4.2.3. Пусть точка х = 0 асимптотически-устойчива
для уравнения (Е0) с е = 0. Предположим, далее, что
Щх,г)—1(у,в)\\а< Ц\х — у\\а При |Ы1«, №««</% | 6 | < 80,
II/(я, г) — f(xt 0)||а ->0 при е->0 равномерно по IU||a^r.
Тогда существует окрестность нуля V в Ха, U cz{\\x\\a< г},
положительно-инвариантная для (Ев) при всех достаточно
малых |в|.
Доказательство. Пусть V{x) — функция Ляпунова для (Е0),
существование которой гарантируется теоремой 4.2.1. Оценим
производную 9е этой функции вдоль решений уравнения {Ег):
1/8(*о) = Ш -j-(v{x(h; х0. e))-V(x0))
<F(x0) + Ш j-(v(x(h\ xQt е))-К(х(А; x0t 0)))
^V(x0) + K(r) lim -^-'|х(А; *o, e)-*(A; x0f 0)|a.
Если [ #0 Pa < г и t > 0 достаточно мало, то
*е(') —*<>(*) — *('; *о> е) — x{t; xQ, 0)
= \ е~А <' "s) [f (*e (5), в) - f (ДГ0 (S), в)] ds
о
+ \ е"" <' "*> [f (х0 (5), е) - f (х. (s), 0)] ds,
0
так что
I хе (<) — х0 (/) |a < Al J LI; *е (s) - *0 (s) Ja ds + Мt А (е),
о
А (е)= sup ]/(*. e)-f(*t 0)!„.
!l*lla< г
При достаточно малых ft > 0
\\x{h;xQt&)—x(fi; *o,0)||a< М2АД(е),

104 Гл. 4. Динамические системы и устойчивость по Ляпунову
так что
Ve(Xo)^V(Xo)+K(r)M2&{B).
Выберем I > 0 таким образом, чтобы
U={x: V{x)<l}cz{\\x\\a<r}.
Если V(x0)—lt то V(xo)^ —PV4*o)^ Р/ и, следовательно,
V* Ы < -/р + /С(г)М2Д (е) < О
при достаточно малых | е). Но отсюда следует, что если V(xo) < /,
то и V(x(t; x0t е)) < / для всех t > 0, т. е. окрестность £/
положительно-инвариантна.
Упражнение 2. Ниже будет показано (пример 1 § 4.3), что
при а = 1 и |3 > 0 нулевое решение задачи
а^ = и*ж + <ш — pw3 (0 < л: < я),
и(0, 0 = 0» "(я. 0 = 0
глобально-асимптотически-устойчиво (в //J(0, я)). Приняв это,
докажите, что внутри любой данной окрестности нуля в #0(0, я)
существует окрестность нуля U, положительно-инвариантная для
всех достаточно малых | ос — 11 (при фиксированном р>0).
Можно ли обобщить это утверждение на случай уравнения
Ш = Uxx + /е (X, U (X, t))t
где fe — гладкая функция и f0(x,u)=u—Pu3? А на случай
уравнения
Ш — Uxx + fe {Х, U (х, t) , Ux(x, t) )
С /о = и — Р«3?
Упражнение 3*. Возвращаясь к понятию асимптотической
устойчивости неподвижной точки отображения относительно его
итераций, докажите обобщение следствия 4.2.3 на случай, когда
предполагается лишь, что
\\f(x,B)-f(yfE)\\*£L\\x — y\\a ПРИ Ы\а,Мш<Г9
\\f(x,t)—f(x, 0)11-*-0 при е->0 равномерно по ||х||а ^ г.
Возьмите в качестве Тв отображение хо*—>х(\,хо, е) сдвига
вдоль траектории за единицу времени и используйте банахово
пространство Ха\ точка л: = 0 асимптотически-устойчива в этом
пространстве относительно итераций TG.
Упражнение 4. Пусть А — секториальный оператор в Х>
0^а< 1, U — окрестность нуля в Ха и функция /: RX£7->-X
локально-гёльдерова по t и равномерно-липшицева по х:
Wf{t,X\) — Д*»*а)1К L\\xi — х2\\а при Xi,X2&U.

4.3. Принцип инвариантности
105
Пусть f(t, 0)=0 и точка х = 0
равномерно-асимптотически-устойчива (определение см. в § 5.1). Покажите, что существует
функция V(ttx)y обладающая свойствами
\V(t9x)-V(t,y)\*£$\\x — y\\a,
B\\x\\a>V(t,X)^a(\\x\\a)
и такая, что если dx/dt + Ах = f(t,x) на {tft + h)f то
V(t, х (*)) = Ш \- {V (t + h, х (t -f h)) -V(ttx (t))} < -V (f, x)
(при всех t и IU||a<r). Здесь г, В — положительные
постоянные и а(-)—непрерывная строго возрастающая функция.
Указание: по аналогии с доказательством теоремы 4.2.1 возьмите
Vk(tQy x0)^g{n^)s^e94}h(!ix{tQ + t; *„, xQ)\\a).
4.3. ПРИНЦИП ИНВАРИАНТНОСТИ
Приведенная выше обратная теорема, конечно, приятна, но
следует иметь в виду, что в конкретных случаях найти функцию
Ляпунова обычно очень трудно, а тем более функцию
Ляпунова, удовлетворяющую всем требованиям теоремы 4.1,4, Ж. Ла-
Салль развил «принцип инвариантности» для обыкновенных
дифференциальных уравнений, обобщенный на другие динамические
системы Хейлом [38] и позволяющий использовать функции
Ляпунова, удовлетворяющие не всем требованиям теоремы 4.1.4.
Определение 4.3.1. Пусть {S(t)9 t ^ 0} — динамическая система
в полном метрическом пространстве С. Множество К а С
называется инвариантным, если для любого Хо е К существует
непрерывная кривая х: R-+K, такая что %(0) = Xo и
S(t)x{x) = x(t + x) при — оо <т< оо, />0.
Определение 4.3.2. Пусть х0еС и у (хо) = {S (t) xQ\ t^0} —
орбита точки х0. Омега-предельное (или, короче, (^-предельное)
множество для точки л:0 (или для орбиты у{х0))—это множество
о)(х0) = 0(7(^0)) = (^ ^ С| существует последовательность
<„->оо, такая что S(tn)x0-+x}.
Упражнение 1. Если jcisy^o), то ®(хо) = <й(х\) и
©(*>)= П {5«)*о:*>т}= П y{S{r)xQ).
т>0 т^0
(черта обозначает замыкание).

106 Гл. 4. Динамические системы и устойчивость по Ляпунову
Теорема 4.3.3. Пусть ^еСи {S(0*o> * ^ 0} содержится в
некотором компактном подмножестве в С. Тогда о)(лго) непусто,
компактно, инвариантно и связно и
dist(S(0*o, o)(jcc))->0 при *-> + оо.
Доказательство. Поскольку, как показано в приведенном выше
упражнении, множество (о(х0) есть пересечение убывающей
совокупности непустых компактных множеств, оно компактно и
непусто.
Для доказательства его инвариантности заметим, что если
уо^ (д(хо), то существует последовательность tn-+oo7 такая что
S(tn)xQ-* уо. Следовательно, для любого t ^ 0
S(t + tn)xo~+-S(t)yo: S{t) (о)(х0))с: ы(хо),
так что (о(хо) положительно-инвариантно. Вследствие
компактности найдется подпоследовательность tnx ->• + °°, для которой
существует предел
lim S(tn— \)хц = у{.
П -*■ оо
Выделяя дальнейшие подпоследовательности и используя
стандартный диагональный метод (ср. с [38]), найдем
последовательность tn* -* +оо, такую что для / == О, 1, 2, ...
S (tn* — j) х0 -> у} при п! -^ оо.
Положим y{t)= S(t 4- /)#/, если / > —/, / ^ О, —со < t < оо;
такое определение корректно, поскольку
S{t + k)yk = S{t + 1)у, при k^j^ —t
Эта кривая удовлетворяет требованиям определения 4.3.1.
Если бы «(хо) было несвязным, то существовали бы непустые
замкнутые непересекающиеся множества А и В, такие что
о)(хо) = /4 [)В. Но тогда А и В компактны, и dist(Л, 5) = 36 > 0.
Найдутся последовательности tnt tn—- + °о, tn <tn<tn+i,
такие что
dist (S (tn) *o, A) < 6, dist (S (t'n) x0 (B)) < 6,
а значит, найдется последовательность tn, tn^.tn<tn, для
которой
dist (S (O*o, A U B)>6.
Ho {S{t"n)xQ} содержится в некотором компактном множестве,
и любая точка накопления у этого множества принадлежит
(о (хо), что противоречит неравенству dist (у, А [} В) ^ б > 0.
Аналогично, в силу компактности, не может существовать
последовательности /„->оо, для которой множество S(tn)xo
отграничено от a>jx0), так что S(/)*o-*<o.(*o) при t-+ -(- оо,

4.3. Принцип инвариантности
107
Теорема 4.3.4. Пусть V — функция Ляпунова на С (так что
1/(л:)^0) и £ = {xeC: V(x) = 0}, М — максимальное
инвариантное подмножество в Е. Если {S(t)x0i t ^0} лежит в
некотором компактном подмножестве в С, то S{t)x0~+M при
/~> + оо.
Доказательство, По предположению функция V(S(0*o) при
/^0 не возрастает и ограничена снизу, так что существует
I = \\mt^+0cV(S{t)Хо). Если уесо(х0), то V(y)=l и,
следовательно, V(S(t)y)= /, t ^ 0, а потому V(y) = 0. Таким образом,
ш(л'о)^£, так что со(лг0)<=М, и теорема доказана.
Замечание. Для динамических систем, определяемых
уравнениями dx/dt + Ах = f(x) с секториальным оператором Л,
обладающим компактной резольвентой, ограниченные орбиты обычно
предкомпактны (см. теорему 3.3.6), а ограниченность орбит часто
следует из существования функции Ляпунова, для которой
множество {jteC: V(x)>k) ограничено при некотором k > 0.
Теорема 4.3.5. Пусть х0 — стационарная точка в С, N — ее
окрестность (в С) и U — открытое множество в С, такое что xq
принадлежит его замыканию. Предположим, что выполнены
следующие условия:
(i) V — функция Ляпунова на Gt G = N П U;
_(ii) {хо}—единственно возможное инвариантное множество
в G[\{x: V(x) = 0}\
(iii) У{хо) = 1\, V{x)<i\ при xg G\{x0};
(iv) V(x) = r\ naNftdG.
Тогда для всякой ограниченной окрестности N0 точки хо,
содержащейся в N вместе со своим замыканием, и всякой точки
XieGfliVoXM либо у(х\) (замыкание
орбиты)—некомпактное подмножество в G fl N0, либо S{t)x\^dNo при некотором
/>0.
Доказательство, Если y(xi)dN0i то y(xi)a G{]N0 и V(S(t)xi)^
У(х\)<ц для всех t ^ 0, так что V(S(t)x\) не может достичь
()G(]N в силу (iv). Если у(х\) лежит в некотором компактном
подмножестве в G П Мь то (o(jci)—непустое инвариантное
множество в G П N0 П{^ = 0}, так что co(xi) = {x0}. Но это ироти-
норечит неравенству V((o(a:i))^ V(xi)<C V(xo).
ПРИМЕР 1. Рассмотрим задачу
-^=-0- + и-<ш3 (0<*<л, *>0),
w(0, 0 = 0, u{nt 0 = 0,

Ю8 Гл. 4. Динамические системы и устойчивость по Ляпунову
где а — ненулевая постоянная. Докажем, что при а > 0 нуль
глобально-асимптотически-устойчив в #о(0, я)> а при а<0 —
неустойчив. (Заметим, что при а = 0 точка нуль устойчива, но
не асимптотически: u(t, х) = с sinх есть решение при любой
постоянной с.)
Взяв оператор Л = —d2/dx2 в £2(0,я), нетрудно проверить,
что наша задача Коши корректно поставлена в
0(Л1/2) = #о(0, я). Для (pestfi(0, л) положим
я
V (ф) - \ {(ф' <*))" - Ф2 (х) + -f Ф4 Ц dx.
Это непрерывный полиномиальный функционал на Н\ (О, я).
Используя (локальную) динамическую систему, определяемую
рассматриваемым дифференциальным уравнением на
ограниченных множествах в //i(0, я), получаем
л
V (ф) = -2 ( {Ф" (х) + Ф (х) - аФ3 (л:)}2 dx
о
при феВ(Л), так что V является функцией Ляпунова.
я
Если а > 0, то 7 (ф) ^ (а/2) ^ ф4 dx и для любого решения
u{xj)
я
-fS«4(*. t)dx<V(u(-t t))<V(u(-, 0)),
Я Л
так что j w4dx и J u2dx ограничены. Поэтому ограничена и нор-
о о
ма ija(-, /)|!я1, и мы получаем динамическую систему в //^(0, я),
все орбиты которой ограничены. Поскольку А (как оператор
в L2(0, я)) имеет компактную резольвенту, каждая орбита в силу
теоремы 3.3.6 предкомпактна. Итак,
иК0-*-ю(и('.0))с{ф: 1/(Ф) = 0}
в //о(0, я) при f-^оо. Но из равенства \7(ф) = 0 вытекает, что
ф" + Ф — «Ф3 — 0 на (0, я), ф (0) = 0, ф (я) = 0.
После умножения на ф и интегрирования получаем
ял я
a \q>*dx = $(Ф" + ?)?djc= j {-(ф7)2 + Ф2}^<0,
Q 0 '0

4.S. Принцип инвариантности 10§
откуда следует, что ф « 0. Таким образом, w(«, t)-*0 в //о(0, л)
при / ->■ -f оо, если а > 0.
Предположим теперь, что а < 0, и снова рассмотрим
функционал V, сосредоточив внимание на множестве
С = {ф€=//^(0, n):V (ф)<0}.
Заметим, что это — непустое открытое в //о(0, л) множест&о, так
как V непрерывен и функция ф, задаваемая формулой ф(х) —
csinx, принадлежит G при любом сфО.
Упражнение 2. Если а < 0, ф" + ф— аф3=0 на (0,я),
ф(0) = 0, ф(я) = 0 и ф # 0, то
с
я Г dy
0 ^_^с« + _«.ф4_ф2
при некотором с>0и некотором целом п ^ 1. Это следует из
того, что
(ф')2 + ф2 _ (а/2) ф4 = const (0 < х < л).
Произведя замену переменных, можно привести это равенство
к виду я/2п = /(с), где
Я/2
/(С)= J [l |-c2(l+sin29)]"1/2rf9.
Но J (0+) = я/2, я/2 > / (с) > я/4, если 0 < с < V3/|«I- Таким
образом, единственное решение ф, для которого тах[ф(л:)|
<Уз/|а|, есть фг=0.
ПРИМЕР 1 (продолжение). Выбирая в качестве N малую
окрестность нуля, мы видим, что У(ф) = 0, ф е N, только если
Ф = 0. Поэтому применима теорема 4.3.5 (с т] = 0), и если
(peJV, V(ф) < 0, то решение и (•, t, ф) с начальным значением ф
в конце концов достигает 3N. В частности, точка нуль
неустойчива. Заметим, что приводимые ниже теоремы 5.1.1 и 5.1.3 здесь
неприменимы, так как линеаризация нашей задачи имеет
нулевое собственное значение. Мы еще обсудим этот пример в § 6.3,
используя понятие критического многообразия.
Упражнение 3. При а < 0 рассмотрите функционал
я
У, (ф) = — \ ф (х) sin х dx
о
в конусе
C = {q>€=//o(0, л):ф(*)>0, 0<х<1}.

110 Гл. 4. Динамические системы и устойчивость по Ляпунову
Заметим, что
л
Vx (ф) = а \ ф3 (х) sin х dx < 0
о
для фбС, но теорема 4.3,6 не применима непосредственно, так
как С не имеет в Яо(0, л) внутренних точек.
Покажите, что конус С положительно-инвариантен. Затем
примените теорему 4.3.5 к динамической системе в С. (Будучи
наделено метрикой, индуцированной из //о(0, л), С становится
полным метрическим пространством.) Докажите, что если
u^l С\{0}, то u(t\ «о) в конце концов выходит из любого
ограниченного подмножества в С; фактически V\{u{i\ ыо))->~оо за
конечное время. (Другой способ: используйте соображения типа
приведенных в последнем примере § 3.1.)
Упражнение 4. (Кастенберг [55].) Простая модель
управления ядерным реактором с обратной связью приводит к задаче
-^=-& + Ч-Рф" (<><*<*), Ф(°> 0 = 0, ф(я, *) = 0,
где Я, р — положительные постоянные. Здесь ф — поток
нейтронов, который должен быть неотрицательным. Соображения,
основанные на принципе максимума, показывают, что
С«{фе//о(0, я):ср(х)>0, 0<*<л}
— положительно-инвариантное множество (см. упр. 9 §
3.3).Применим функцию Ляпунова
У (Ф) = S «фТ - W + (2р/3) ф8} dx
о
для феС. Заметим, что
/я \1/2
V (q>)^(l -X)\\yf + -^\U9\f, где iy\\ = (\tfdx) .
Таким образом, мы имеем динамическую систему в С.
Если феС, У(ф) = 0, то либо (i) 0 < X < 1 и ф = 0, либо
(п) X > 1 и tp равноО или является единственным решением ф+
задачи
ср' + Яф — рф2 = 0 на (0,я), ф(0) = 0, ф(л) = 0,
f условию ф(х)>0 при (
,^ 1
||ф(-, /)|l„i-0 при /-+с
удовлетворяющим условию ц>(х) > 0 при 0 < х <с я. Отсюда
следует, что для X ^ 1

4.3, Принцип инвариантности
111
а для К > 1
|1ф(., t) — ф+|| i->0 при г^-^+оо,
"о
если исключить случай ф(#, 0)===0. (В связи с последним ре-
я
зультатом рассмотрите также (d/dt) j ф(л;, t)s\nxdx.)
В заключение параграфа изложим, следуя Селлу [89],
некоторые простые результаты об асимптотически-автономных
уравнениях.
Теорема 4.3.6. Пусть А — секториальный оператор в X, имеющий
компактную резольвенту, U — открытое множество в Ха, а < 1,
и /: -R+XU-^Jf— локально-липшицево отображение, причем
f(R+XB) ограничено в X для любого замкнутого ограниченного
В с: U. Предположим, далее, что
\\f(t,x) — g(x)\\-+0 при *-*оо
равномерно в окрестности каждого x^U, где g{-) локально-
липшицево в £/.
Тогда если уравнение dx/dt + Ах = f{t,x) при t ^ /0 ^ О
имеет решение х(-), лежащее в замкнутом ограниченном
множестве В с: U при to ^ t < оо, то
dist a{x{t), М}->0 при /->оо,
где М — максимальное инвариантное подмножество в В для
уравнения dy/dt + Ay = g(y).
Доказательство, Заметим прежде всего, что {*(*)}*>/„ лежит
в некотором компактном множестве Кс В (теорема 3.3.6), так
что
sup \\f(t, x) — g{x)l-»0 при *-^оо.
XEZK
Пусть yQ — какая-нибудь предельная точка решения, так что
у0 = limn-»ooX(tn) для некоторой последовательности /rt->-foo.
Решение y(t) уравнения dy/dt + Ay = g(y), t > 0,
удовлетворяющее условию у (0) = у о, существует при всех t > 0. Иначе
нашлось бы О <С Т < оо, такое что решение существует на [О, Т]
и у{Т)фВ. Но в силу непрерывной зависимости (теорема 3.4.1)
SUp || # (0 — *('"+ */г)|а->0 При Л-**ооэ
и мы приходим к противоречию.
Далее (ср. с доказательством теоремы 4.3.3), для некоторой
подпоследовательности [t^j последовательности {/«} при всех

112 Гл. 4. Динамические системы и устойчивость по Ляпунову
k = О, 1,2, ... существует Hm^^^ х (tn, — k)=yk. Отсюда
следует, что решение {/(•)» удовлетворяющее условию у(—k) = yk,
k == 0, 1, ,.., может быть продолжено на — оо < t < оо. Это
доказывает, что любая предельная точка уо траектории
принадлежит М, и, следовательно, x(t)->M при t-*oo.
Теорема 4.3.7. Пусть Л, /, g— те же, что и выше. Предположим,
кроме того, что f(t, 0) = 0 и g(0) = 0. Если решение у = 0
предельного уравнения
dy/dt + Ay = g(y)
равномерно-асимптотически устойчиво, то х = 0 — равномерно-
асимптотически-устойчивое решение уравнения
dx/dt + Ax = f(t,x), t>t0^0.
Доказательство. Пусть Т(х0) = у(1,х0) — отображение «сдвига
на 1» для задачи dy/dt + Ay = g{y)y у(0) = х0. Аналогично
пусть Tt0{x0) = x{t0+ \\ t0, х0) — отображение сдвига на 1 для
dx/dt + Ax = f(t,x). Заметим, что [■ Т*0 (х) — Г (jc) ||а -* 0
равномерно в некоторой окрестности нуля в Ха при ^0-^ + °°-
Выберем е>0 настолько малым, чтобы равномерно на Ве={л:<=
Ха | \\х\\а < е} выполнялось соотношение || Г*0 (х) — Т (х) \\а -> 0.
На основании упражнений 1 и 3 § 4.3 найдется содержащаяся
в Вг окрестность нуля U, положительно-инвариантная
относительно любого Tt0 с /0 ^ с = с (е). Мы можем также считать,
в силу непрерывной зависимости решения от параметров, что
х0е U =HU(f; U, *о)||< е при 0 ^ t — f0< 1,
а также (в силу асимптотической устойчивости предельного
уравнения) что
|l#o|!a<e^i!r"(x0)l!ci-*0 при л-^оо.
Если теперь lUolla ^ б = 5(e) для некоторого б > 0, то
x{t\ t0i Хо)&. U при 0 ^ t0 < t < с(е), так что \\x(t\ fo, *o)lla < е
при всех t > t0. Поэтому, по предыдущей теореме, \\x(t\ to, x0||a-^0
при f-*+ оо, так как М ={0} — единственное инвариантное
подмножество в Ве.
Замечание, В упражнении 5 § 5.2 фигурирует асимптотически-
автономная система, для которой предельная система не имеет
асимптотически-устойчивых стационарных точек.

ГЛАВА 5
ОКРЕСТНОСТЬ СТАЦИОНАРНОЙ ТОЧКИ
5.1. УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
ПО ЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ [79, 59]
Пусть А— секториальный линейный оператор в банаховом
пространстве X и /: U-+X, где U — цилиндрическая окрестность
в R Х^а (для некоторого а < 1) множества (т, оо)Х{*о}. Будем
называть хо стационарной точкой ]\ если x(t)= х0 есть решение
уравнения
-g-+A*=f(f, х)9 t>tQ>
т. е. если х0 еО(Л) и Ахо = f(t9 х0) при всех / > t0.
Решение х(-) на [*о, оо) называется устойчивым (в Ха), если
для любого е > 0 найдется б > О, такое что любое решение х,
удовлетворяющее оценке
\\x(to) — x{to)\\*<8t
существует на [/0, оо) и
1И0-«(0Иа<е
для любого t ^ to, т. е. если отображение xo*->x{t\ t0jXo)
непрерывно (в Ха) в точке jt0 = x(/o) равномерно по t ^ /0.
Решение Зс(-) называется равномерно-устойчивым, если
отображение x\*—>x(t;tuX\) непрерывно, когда x\->x(t\),
равномерно по t ^ t\ и t\ ^ /о-
Решение х(-) называется равномерно-асимптотически-устой-
чивым> если оно равномерно-устойчиво и
x(t;tuXi)—x(t)->Q при / — /j-^+oo
равномерно по t\ ^ to и ||*i — *(fi)||a < б для некоторого б > 0.
Простые примеры, иллюстрирующие эти и другие связанные
с устойчивостью понятия, даны в [11, 37, 62, 68, 89].
Теорема 5.1.1. Пусть А и f — такие же, как и выше, и Xq—
стационарная точка. Предположим, что
f(t,Xo + z) = f(ttXo)+Bz + g{ttz)9
*> Э оригинале equilibrium point. — Прим. ре$,

114
Гл. 5. Окрестность стационарной точки
где В — ограниченное линейное отображение из Ха в X, а
llge,2)il=0(||z||a) При ||г||а-*0
равномерно по t > т, и что функция f(t, х) локально-гёльдерова
по / и локально-липшицева по х на U.
Если спектр оператора А— В лежит в множестве {Re^>P}
для некоторого Р > О, или, эквивалентно, если линеаризованное
уравнение
dz
dt
■Az=Bz
равномерно-асимптотически-устойчиво, то решение х0 исходного
уравнения равномерно-асимптотически-устойчиво в Ха. Более
точно, существуют р > О, М^ 1, такие что при /0 > т и \\х\—
Xoila < р/2М существует единственное решение задачи
dx/dt + Ах = f (f, х), * > *0» x(to) — JCi,
определенное для t0^t < оо и удовлетворяющее при * ^ £0
оценке
[*(*; *0, xl)~xJa<2Me-W-to)lXi-xQ'}a.
Доказательство. В силу предположений теоремы, оператор
L = А — В секториален и при 0 < р < (У < Re o(L) существует
М ^5 1, такое что для всех t > 0t z ^ Ха
||e-£4e<A*e*'*Naf
||а-"г||в<А1Гвв-^1г|.
Выберем б > 0 и р > 0 настолько малыми, чтобы
MoL-ae-(p,-p)sdS<4-,
о 2
11^(^,2)11^ ollzIL При IIZelKp, *>T.
Пусть г(0 = *(*; t0,xi)— х0; если ||xt — л:0||а =¾ Р/2М, то реше
ние существует и удовлетворяет оценке IMOIIa^P на некото
ром интервале времени. Пока ||z(/)lla остается меньше р,
И')5а =
е-^*-"г(и)+\е-1<*-Щ8, z(sj)ds\
t
<Me-*{t-U)\\z(t0)la + oM \ (t -s^e^' «*"*>|«(s)|
t
< р/2 + раМ J (* - $Га е~р' {t~s) d$ < p.

5,1. Устойчивость и неустойчивость по линейному приближению 115
Если ||г(011а<Р на to^t<t\ с максимальным /ь то либо
fj = -|-oo, либо IU(*i)||a= р. Но второй случай противоречит
полученному неравенству, так что решение существует и
подчиняется оценке ||z(/)lla <Р ПРИ всех ' ^ 'о- Если
tt(0=SUP{|z(s)|aeP<S"/o,> *о <*<*}>
ТО
I*(01a«* ('~'о) < № (f0)||a + Ma \ (t - s)~a е~ ф'-р) {t~s) ds-u{t)
<MU(t0)U + -ru{t)9
так что u{f)^2M\\2(to)\\a9 что и требовалось доказать.
Упражнение 1. Пусть р: Xa->'R+ и f: Ха-+Х — непрерывно
дифференцируемые в окрестности нуля функции, А — сектори-
яльный оператор, /(0)=-0, р(0)= 1, Re о (A —Df{0)) > 0.
Докажите, что нулевое решение уравнения dx/dt-\- р(х)Ах = f(x)
равномерно-асимптотически-устойчиво в Ха. Указание: сначала
замените переменную t, как в упражнении 2 § 3.3.
Упражнение 2*. Пусть {Тп}п= \ — семейство нелинейных
операторов в банаховом пространстве X,
Тп(х)= Lx + Nn(x),
где! —непрерывный линейный оператор и ||N„II (*) 11=0(11*11)
при х-^0 равномерно по п^=1. Пусть спектральный радиус
t (L)<i 1. Докажите, что существуют р > 0, М > 0, Э < 1, такие
что если ||хоИ < р/М их„ = Тп(хп-\) при п=\> 2, ..., то IU«||^
ЛЮя||яо||. (Указание: если r(L)<v<l, то существует
эквивалентная норма на X
оо
И* = £ v~n\Lnx\
относительно которой L имеет норму ^v: \\Lx\\* =^ v||x||*.) Если
положить Tn(xo)=^x(tQ + п\ U + n—1, Хо), то получим другое
доказательство теоремы 5.1.1.
Теорема 5.1.2. (об асимптотическом поведении). Пусть А и f —
такие, как в теореме 5.1.1, причем
\\g(tt г)||«0(1',гй+в) при Ив-*0,
равномерно по t ^ т для некоторого 0 < б. Предположим,
далее, что для L = А — В
o(L)cz{p}U{Rek>p'},

116 Рл, S. Окрестность стационарной точки
где р — простое положительное собственное значение L и р'>
Р > 0. Тогда для любого у из интервала p<Y<min(P',
Р (1 -f б)) найдутся р > 0 и М, такие что при \\х\ — хо\\а ^ p/2/Vf
x(t; t0, xl) = Xo + K{xu t0)e-*{t-to) + e(f, tQ)t
где
fletf, t0)\\a<C\\x{-x0iae-yit-to).
Здесь K(xo, ^0)==0 и K(-> to) — непрерывное отображение
некоторой окрестности точки х0 в X06 в одномерное пространство
N{L — р/),и если Е{ — соответствующий проектор на N{L — р/),
то
К{Х\, t0) = E{(xi — x0)+O(\\xl— х0\%+ б) при хх-*х0.
Доказательство. Пусть X = Х\ © Х2, Хх = N(L — р/), Х2 =■
R(L — р/). Тогда L2 = L\xt удовлетворяет при £>0 оценке
II е-12*Е2х\\а^Ме^'*\\х{а, МГае'*'*\х1
Далее, по теореме 5.1.1, если 0 < рб < р, то существует р > 0,
такое что
11«С; *о. z0)|ia<2M||z0|ae-pe(<-<°\ !!з0|1а<р/2М.
Можно считать, что рб (1 + б) > у. Положив
z(t\ t0i z0)= z{t)= zl(t)+ z2{t)<= Хх® Х2,
получим
z2{t) = e-Li{i-h)E2zQ + J e-L'if-s)E2g(s, z(sj)ds,
to
так что
I z2 (t) [а ev (< ~ M < M jj E2z, |!„ + С l| 20 ^ 6 < d I z0 ||a
для некоторых постоянных С и С\.
оо
Интеграл jj ер {s~~U)E{g (s{z {s)))ds сходится, так что функция
Кг(г99 t0)=lim zx{t)e*{t~u)
t -voo
t
= E,z0 + lim \ e*(s-to)Elg(st z(s))ds
t^oou
корректно определена. Наконец, E2K\{zot /0) = 0 и
|/CI(*..«-£,*.|.<CtFz.tli+eIe,,,-'t)e-,,e(,+e>«-w
= 0(|!Zo!!^6) при |z,|a-»0.

5./. Устойчивость и неустойчивость по линейному приближению 117
Замечание. Другой подход к изучению асимптотического
поведения указан ниже в упражнениях 10 и 11. Этот подход позволяет
использовать тонкие результаты, имеющиеся для конечномерных
обыкновенных дифференциальных уравнений.
ПРИМЕР 1 (из теории горения, см. [34]). Пусть Q —
ограниченная гладкая область в !R3 и п, Т — (безразмерные) концентрация
и температура вещества, участвующего в экзотермической
реакции первого порядка. Естественно допустить, что справедливы
уравнения
-|р=D An - znf (Т) в Q, -^- = 0 на dQ,
J%jL=&T + qnf(T) в Q, Т = \ на dQ,
где D, q, е — положительные постоянные, причем е мало, и
f(7) = exp(—Я/Г), где Я— положительная постоянная.
Нетрудно показать, что если 7^0 и п>0 в начальный момент
времени, то это останется верным и во все последующие моменты
времени (ср. пример 2 § 4.1). Далее, (п, Т)-+(0, 1) в Hl(Q,R2)
при *-> оо (ибо
4r\irn!dx<0>
О
а значит, как легко видеть, функция nf(T) ограничена в L2, так
что функция (ft, Т) остается ограниченной в H2(Q, R2)).
Но задача, линеаризованная вблизи (0,1), имеет Яо = е/(1)
простым собственным значением с собственной функцией
(no, То), где
ло(*)=1, То = -(До + Хо)-!г/(1),
а для всех других собственных значений Re^ ^ с > 0, где с —
некоторая постоянная, не зависящая от е>0 (при малых е).
Применяя теорему 5.1.2, видим, что при t-*- оо
(п, Г) = (0, 1) + й(1, Г» (*))*-* +О (*-*•*),
где Я^О — некоторая постоянная. Информацию о поведении
этой системы для случая, когда е? не обязательно велико, можно
найти в § 6.1.
Теорема 5.1.3. (о неустойчивости). Пусть А — секториальный
оператор, а функция f(t,x) локально-липшицева по х и ло-
кально-гёльдерова по t в некоторой цилиндрической окрестности
множества R Х{х0} в пространстве R X Ха*

118
Гл. 5. Окрестность стационарной точки
Пусть, далее, Ах0 = f(t, х0) при t ^ f0,
f(t, Xo + z)=*f{t, x0)rBz + g(t, г), g(t, 0) = 0,
\\g{t, Zy) — g{tt 22)J<fe(p)|2?,— z2'la при !|гп;а<р, IJz8||a<P,
£(p)->0 при p->0+.
Предположим, что для оператора L = А — В множестве
a(L)fl{ReX<0} непусто. Тогда стационарное решение х0 не
устойчиво. Более точно, существуют ео > 0 и {хп, п ^ 1}, такие
что \\хп — ЯоНа "^ 0 при п -> оо, но при всех п
sup |! * (*; t0, х0) — *0 ||а > е0 > 0.
t>t0
Здесь верхняя грань берется по максимальному интервалу
существования х(-\ /о, хп).
Замечание. В следствии 5.1.6 ниже устанавливается
неустойчивость стационарной точки при более слабых предположениях
относительно о {А — В).
Доказательство. Положим
ori = a(L)n{ReX<0}, а2 = a(L)\au
и пусть X = Xi Ф Х2 — соответствующее разбиение на L-инва-
риантные подпространства, так что а/= <?(/-/), где L/ — сужение
L на X/ (/= 1,2). Для некоторых р > 0, М ^ 1 справедливы
следующие оценки: при t > 0
11 «-"Я* ||« < Atep' |; х la, МГ V |! a: II,
при t ^ 0
||rw^||a<Afe3|,'|jxI!«f Me^\\x\\.
Далее, при малом aelj рассмотрим интегральное уравнение
t
t
+ 5 е-1* с - »)£rf (s, у (S)) ds, t < т.
—oo
Выберем p > 0 настолько малым, чтобы
Mk (p) (|| Ex || p-' + II £* II ] "-a*-p" <*« J < тяг < 4~ •
Мы утверждаем, что при asXf, ||a||a<p/2M это
интегральное уравнение имеет единственное решение y(t) при — оо < t ^ г,
удовлетворяющее оценке
\\y{t)U<pe2lUt-x\

5./. Устойчивость и неустойчивость по линейному приближению 119
Действительно, если обозначить это решение у (t) через */*(/; т, а),
'О
1алее, */*(•; t, а) есть решение уравнения
ctf
+ Lz = g (t, z) при / <т.
Зтсюда следует, что если zn = {/* (to ^о + nf а), то решение
'(*; *о, 2Я) = #*(*; *о + п, а) при f0 ^ 2 ^ f0 + п обладает
свойствами
sup|jz(*; *о, 20) ['а > | г {t0 + п; h, z0) \\а > 4" || а [а > О,
||2„!'а<рв"2РЛ->0 при Я->00.
Приведенное выше интегральное уравнение определяет
строгое сжатие в пространстве всех непрерывных функций
/: (—оо,т]->-Ха, таких что
Е1У(х) = а и \\y(t) (а <ре2М'-т) при *<т.
Покажем, что если у(0 удовлетворяет интегральному
уравнению, то у(-) удовлетворяет дифференциальному уравнению.
Положим y(s) — g(sty{s)). Выберем произвольное to^n. Тогда
при to ^ t ^ т
t
E2y{t)^ J e-L2{i-s)E2y(s)ds
— oo
так что по лемме 3.3.2 решение y(t) = E2y{t) + Eiy(t)
интегрального уравнения удовлетворяет также и дифференциальному
уравнению dx/dt + Ly = y(t) при f0 < f < т. Наконец,
\\y{tl т, a)||„<2Afiai|«e2|l('-,) при *<т,
и, следовательно,
II х I
И/(т, т, а)-о ||a- S e-il(t-s)£2g(S( /(e))rfs
< J M(T-s)-aeP(,t-s)I£2||fe(p)-2A1Ia|!ae2P(s-x)dS<-i-lcle,
— oo *
p силу выбора p.

120
f л. 5, Окрестность стационарной точки
ПРИМЕР 2. Рассмотрим задачу
щ = Uxx + ^ — Ьиг(0 < х < л, / > 0), и = 0 при л; = 0,л.
Нулевое решение асимптотически-устойчиво при а< 1 и
неустойчиво при а> 1. При а= 1 имеется нулевое собственное
значение, и нулевое решение может быть как устойчивым, так и
неустойчивым; см. пример 1 § 4.3.
Упражнение 3. В условиях теоремы 5.1.3 докажите
следующий более сильный результат: существует последовательность
{хп,п^ \}у такая что \\хп— JTolla-^O, но для любого п ^ 1
sup [; х (t\ t0t хп) — х01! > е0 > 0.
(Заметьте, что использована норма пространства X, а не Ха.)
Лемма 5.1.4. Пусть X — вещественное банахово пространство и
М — непрерывный линейный оператор в X со спектральным
радиусом г > 0. Для любых заданных 8 > 0 и iVo ^ 0 существуют
целое N ^ N0 и и е X, ||u|| = 1, такие что
IIM^IK(V2 + 6)rrt при 0<л<Л/, ||М%||^(1— 6)г".
Доказательство. В а(М) найдется точка X = геш. Выберем
/V ^ Л/о, такое что cos NQ —\sir\NQ\^2 1 — 6/2. Так как % —
граничная точка спектра, можно выбрать и, уеХ, Ци|| = 1 ^IMi,
такие что
I Re {Мп (и + to) + %п {и + iv)} || < -|- г*
при 0 ^ n ^ N. Следовательно,
\МпиК -|- гп||cos яви — sin nQv|| <(V2* + б) г*
при 0 s£I п ^ Л/ и
|| MNu || > г" (cos NQ -1 sin № |) - 4* гЛ/ X1 - 6>г"-
Теорема 5.1.5. Пусть X — вещественное банахово пространство,
Тп — непрерывное отображение некоторой окрестности нуля в X
в X, r„(0) = 0 (п= 1,2,3, ...) и М —непрерывный линейный
оператор в X со спектральным радиусом, большим единицы.
Если
Tn(x)=M(x)+0(\\x\\i>) при х-*0
равномерно по п ^ 1 для некоторой постоянной р > 1, то точка
нуль неустойчива. Точнее, существуют постоянная с > 0 и точка
#о? сколь угодно близкая к 0, такие что если *д = 7^(.^1),

S.l. Устойчивость и неустойчивость по линейному приближению 121
i ^ 1, то для некоторого N (зависящего от х0) последователь-
юсть Хо,хи ..., xN корректно определена и lU/vll^C
Прежде чем доказывать теорему, отметим вытекающее из нее
Следствие 5.1.6. Пусть Л, В, / и X — такие, как в теореме 5.1.3,
ю условия на g(t,z)t и (А —В) заменяются следующими: для
(екоторой постоянной р > 1
[f(t; Xo + z)-f(tt *0)-B2J| = O(j|2|Q
фи z->0 в Ха равномерно по t ^ t0, и множество а(А — В){\
(Re?i<:0} непусто. Тогда стационарная точка х0 неустойчива.
Для доказательства следствия нужно рассмотреть отображе-
шя
Тп: z*—>x{to + п\ хо + z, h + п— 1) — х0
аля я — 1,2, ... . Это следствие играет важную роль для задач
j неограниченной области, когда линеаризованная задача имеет
непрерывный спектр; см. пример 3.
Показателъство теоремы 5.1.5. Обозначим спектральный радиус
шератора М через г. По условию /*>1, и можно выбрать
г} > 0, для которого гр > г + Ц- Далее, существуют k < оо,
такое что ||Mft])^ k{r + ц)п при всех п ^ 0, а также а > О, Ь > О,
гакие что все Тп{х) определены при \\х\\^ а и
\\Тп{х)-Мх\\^Ь\\х№> при М<а.
Выберем б, 0 < б < 1/2, и б > О так, чтобы
где /?==2(V2 -f б). Покажем, что существует сколь угодно
малое хо, такое что все хп = Тп(хп~\) (п ^ 1) удовлетворяют уело-
зию ||jc„|| ^а при 1 ^ п ^ N, а ||х^|| ^(1/2 — 6)0, чем и будет
доказана неустойчивость начала координат.
Зафиксируем произвольное No ^ 0, выберем и с ||и||= 1 и
V>iV0 в соответствии с леммой и положим х0 = ем, е — a/r*.
Гак как г> 1, то норма ||х0||==е может быть сколь угодно
малой. Простой индукцией доказывается, что
xn = Mnx0 + nt Mn-k~*{Tk+,{xk)-Mxk)
зри п^О (пока эти точки определены). Очевидно, что ||x*ll ^
iRrk при k = 0, и если это верно при 0 ^ & < /г ^ N, то
||*„ !| < (У2 4- б) г"е + % К (г + у])п~k- lb (e.Rrkf.

!22
Гл. 5. Окрестность стационарной точки
Последняя сумма ограничена величиной
ЪК{гК)ргр{п-^{±^-)П~''~1
^ ЬК№)ргпр ^ 1 п< /?er"
Г — Г — Ч ^ Z
так что iUJ^ ei?rn ^ Ra ^ а при всех п ^ N. Далее,
и наш результат доказан.
ПРИМЕР 3. Пусть f: R^-^'R" принадлежит классу О в
окрестности нуля (1 < р ^ 2) и / (0) = 0. Пусть, далее, и = col (ии •..
..., art). Рассмотрим уравнение
ш = Ды + /(ц), xeRm, />0.
Оно имеет решение « = 0и определяет локальную динамическую
систему класса С? вблизи нуля в Wl>q(Rmt Rn) при q>m.
Линеаризованная в окрестности нуля задача имеет спектр,
состоящий из всех %, таких что
det{(b —s)/ + /'(0)} = 0
для некоторого s ^ 0; следовательно, этот спектр есть
множество
{—a + s\s ^ 0, a — собственное значение матрицы /'(0)}.
Таким образом, если все собственные значения матрицы ['(О)
имеют отрицательную вещественную часть, то начало координат
асимптотически-устойчиво. Если же хотя бы одно собственное
значение /'(0) имеет положительную вещественную часть, то
начало координат неустойчиво.
В случае п = 1 (или в случае, когда матрица f'(0) имеет
специальный вид) неустойчивость может быть доказана с помощью
принципа максимума (упр. 8); однако в общем случае
подходящей замены теореме 5.1.5 и ее следствию, по-видимому, нет.
Упражнение 4. Пусть Ln<=a?{X), \\Тп(х)— L„x||= 0(Ы*)
при х->0 равномерно по п^0 при некотором р>1 и для
Ln, m = Ln * Ln—\' » . . ' Lm+1 (jLm, m =^ ')
Ш IL„.0||1/n = r0, »Ln,п\\<КгГт (n>m> 0),
причем 1<г0<г, < г?. Докажите, что нулевое решение
системы Хп z==1 1 п (хп~\), n^\i неустойчиво, Указание: выберите
г < г0 так, чтобы г\ < гр*

5.1. Устойчивость и неустойчивость по линейному приближению 123
Упражнение 5*. Пусть X — вещественное банахово
пространство, Т — отображение класса С1 некоторой окрестности начала
координат пространства X в X, Г(0) = О, Т'(0) = L и существует
в > 1, такое что множество а(1,)П{|ц| > 6} непусто. Тогда
существует нетривиальная последовательность {хп: п = 0, —1, —2,
—3, ...}, такая что япИ = Т(хп) для всех п^Ои IUrt||-*-0 при
п _>. — оо. Таким образом, точка х = 0 неустойчива относительно
итераций Г. (Примечание. Если предположить, что / в теореме
5.1.3 не зависит от tt и положить T(i) = x(l\Qf% + xo)—xo для
6, близких к нулю в Ха, то мы получим обобщение этой теоремы,
в котором достаточно требовать, чтобы множество о (А—В){]
{Re К < у} было непусто для некоторого у ^ 0; но следствие
5.6.1 еще более общо.)
Указание. Пусть Т(х) = Lx + N(x), N (0) = 0, ЛГ(0) = 0,
X = Х\(В Х2 — L-инвариантное разбиение, L/== L |xr (/=1, 2) и
IM<6i <е> II ^1^071 <9~' (см. упр. 2). Измените N(x)
при ||а:||^ г так, чтобы постоянная Липшица была мала на всём
пространстве. Рассмотрите решение хп{а), п ^ 0, системы
xn = LU - Z Lnrl-kExN{xk) +¾ Lr{-kE2N(xk),
k = n —оо
удовлетворяющее условию
Цхя(а)1<рв№ при п = 0, —1, -2 аеХь ||а||<р/2.
Упражнение 6*. (Асимптотическая устойчивость
стационарного семейства.) Пусть А — секториальный оператор, /: Ха ->- X —
функция класса С1, /(0) = 0J'(0) = 0. Пусть, далее, х{к)<= Ха —
кривая класса С2 (определенная при А,, близких к нулю), такая
что
А* (Я.)-f (*(*)). * (0) = 0, -gj-(0)=^0.
Наконец, предположим, что а {А) содержит 0 как простое
собственное значение, а остальная часть спектра имеет
вещественную часть, большую чем р > 0. Заметим, что N(A) =
span{(dx/dX) (0)}, и положим X\ = N(A)f X2 = R(A)t.
Введем новые координаты:
(0,Me=*aX!R, * =**№)+У-
Пусть А *о = 0,<у, *'(0)> = 1. Тогда уравнение dx/dt + Ах —f(x)
примет вид
-§- = ф(Ь, У), -%-+A2y = g(X, у),
где
Ф(*. ») = <». f(W + J/)-f(*(A.))>/<°, *'(*-)>,
g (Я., у) - Я2 {f (Л (Pi) + y)-f(* (А.)) - Л' (X) Ф (Я., у)}.

124 Га. 5. Окрестность стационарной точки
так что фи§~ функции класса С1 и
ЫКу)\+\\В(Ку)\\^У(р)Ыа ПРИ |М+Ма^Р,
V(p) --> 0 при р -^0+.
Предположим, что |А,(0) 1+11^(0)11« мало; пока \X{t)\
остается меньше некоторого б > 0,
\\y(t)\\a^Ke-V\\y(Q)\U
так что
I dX
dt
(t) - О (е-* IIУ (0) ||а).
Таким образом, \X(t) | < б при всех t > 0, и существует tao,
такое что
|^(0-U| + |!//(0||a = O(e-^).
Этот результат легко обобщить на случай n-мерного
стационарного семейства {х(%)у X близко к 0 в R"}, когда
*(0) = 0, тапк{дх/дХ{0)}=п и o{A)c{Q}\){Rez > р > 0},
причем {0} имеет кратность п. В случае если кратность
собственного значения 0 превышает размерность X, задача
становится сложнее; мы обсудим ее кратко в § 6.2.
Упражнение 7. Пусть А—секториальный оператор, /: ХаХ
R-^X(a<l), производная !х: ХаХК->2?(ХаД) непрерывна
вблизи начала координат и /(0,0) = 0. Предположим, что
множество а (А —/х(0, 0))f|{Re к < 0} непусто. Докажите, что
существует р > 0, такое что если lUolla +1 е | < р и лг0 — стационарная
точка уравнения
dx/dt + Ах = / (х, е),
то xq неустойчива.
Этот результат, по-видимому, позволяет ответить на
поставленный в [59, с. 297] вопрос относительно неустойчивости
стационарных решений задач Тэйлора и Бенара, имеющих
ветвления, отвечающие высшим собственным значениям
линеаризованной задачи.
Упражнение 8. Пусть /: lR->R—функция класса С1,
ДО) = 0, f'(0) < 0. Тогда нулевое решение уравнения m = Au +
+ f (и) {х е Rn, t > 0) асимптотически-устойчиво в X =
CUni(Rn)- Более того, пусть f(u)>0 на (а, 0) и /(и)<0 на
(0, р), где — оо < a < 0< р ^ оо. Если dw/dt = f(w), a<
до(0)< р, то w(t)-+Q при t-> + оо. Докажите, что если и —
решение нашего уравнения с частными производными, такое что
inf u(-,0) = ш_(0)> a, supu(-,0)= ш+(0)< р, и w+(t) —
решения уравнения w = f (w), то при ^0и всех х

5.1. Устойчивость и неустойчивость по линейному приближению 125
* w±(t)-*Q при t-y+oo. Таким образом, область притяжения
зешения и = 0 включает в себя все феХ, такие что
inf ф > а и sup ф < |3.
Указание. Функция w{x,t)=w(t) удовлетворяет уравнению
^/ = Дш + /(^); используйте принцип максимума (упр. 8§ 3.3).
Предположите, что /'(0)>0, и докажите неустойчивость 0 в
^uni(iR).
Упражнение 9. Пусть f: Rm->!Rm принадлежит классу
С1, /(0) = 0. Положим по определению
a^b (atb<=Rm)<=>ak^bk> k=l9 ..., m.
Предположим, что существуют а ^ 0 ^ Ь из Rm, такие что
(i) (dfi/duj) (и) ^ 0 при 1Ф /, а^и ^ Ь\
(ii) если dw/dt = f(w), w(0) = а или b, то а ^ w(t)^ Ъ при
f > 0 и ш^)-*- 0 при /-> + оо.
Докажите, что если и* = Дм + /(«) на Rn X R+ и
а ^ и {х, 0) ^ 6 при всех #,
то и{х, t)-*0 при f-> +°° равномерно по х.
Упражнение 10. Пусть X — банахово пространство, L е & (Х\
и спектр L не пересекается с
окружностью радиуса а > 0. Разложим, как
обычно, пространство X и оператор L:
Л = ло © Л.1, L = Lq Ф Li,
так что Го (Li) < а, гД^о"1) < а-1. Мы
можем выбрать нормы таким образом,
чтобы ||L,|j<a, HLo"1!! < а"1. Пусть
г ^ 1 таково, что HLjIlLo"1 ||s < 1 при
1/г ^ 5 ^ г, и отображение Т определено вблизи 0 так, что
\\Т(х) — Lx\\=a(\\x\\r) прих->0.
(i) Покажите, что если
для некоторого Ь > 0 и некоторого s, 1/г < 5 ^ г (рис. 3), то
существует б > 0, такое что

126
Гл. 5. Окрестность стационарной точки
и
Нт|МГ
оо И
=
vl/r
1иЯ
Нт \\хп
п -* оо
и норма
<
|,i/-
и^-мг*
*<im.
||хт|| мала
(И) Докажите, что если хп = Тп(х)-+0 при л->оо, хп ф О
и существует 6 > 0, такое что хп г £*/Г А^я достаточно боль-
ших я, то
II4II = о (М110,
Нт Ы\\1,а>\Ш1\Г\
(iii) Покажите, что если
хп = Г" (х) — О при п -*- оо и
то
||4|| = о(1|^|Г) при п-
Указание для (ii). Если хп
конце концов я" е £!', так что xrt е Jj, откуда хп <= ££ (для
любого р > 0).
Упражнение 11. Пусть А — секториальный оператор в X,
функция /: Ха ->- X локально-липшицева вблизи начала
координат, |if(х)|| == о(1}л:||«) при *->0 для некоторого г^1 и а(Л) не
пересекается с множеством {к\ р ^ Re X ^ ?}, Р < Y> V — Р$ > О
при 1/г ^ s ^ г.
(i) Докажите, что отображение сдвига на 1 в Ха для
уравнения x + Ax = f(x) удовлетворяет условиям упражнения 10.
(ii) Выведите отсюда, что решение x(t)-~>0 при /->+оо
удовлетворяет одному из следующих двух условий:
(a) \\x(t)\\a — o(e-$f) при /-^ + °0 (или же для некоторой
последовательности /„ -> + оо); в этом случае
!1 х (t) \\а = О (e~yt)t |i Х0 (t) la = О (•] Xx (t) \Q при t-++oo;
(b) IU(/)lla > е-7' для некоторого произвольно большого t;
в этом случае
|! Xl (t) |a = О (|j Х0 (*) |£), lim |j X (t) $' > е~К
t -*■ оо
Замечание 1. В случае когда dimX0<oo (так будет, скажем,
если А имеет компактную резольвенту), решения типа (Ь) можно
исследовать более детально, так как у = xo(t) удовлетворяет
конечномерному обыкновенному дифференциальному уравнению
dy/dt + Аоу = E0f(xx {t) + у)
(где £0 —проектор X = Х0® Хх-+Х0) и \\xi{t)\\a = o(\\y(t)\\').
Например (Коппел [18]), при этом IU0(0ll1/f стремится при
t->-J-oo к конечному пределу е-»*, где 0 ^ ]я < j3, jj, = ReX для

5.2. Свойство седловидности
12?
некоторого X е о (А). Далее, если |i > О, г > 1 и/еС1 вблизи
1уля, причем f (х) = 0(!|x|!a""1)» 'го существует единственное
нетривиальное решение y0(t) уравнения у0 + A0yQ = О,
удовлетворяющее условию \\yo(t)\\l/t -+ e~i\ причем
\\x(t)—yo{t)\\* = 0(\\yo(t)\\a При /^ + 00
(см. [18]).
Замечание 2. Для многих параболических уравнений второго
порядка оценка вида Hm^oclU(/) Ц1^ >0 справедлива для всякого
нетривиального решения (см. [29]).
5.2. СВОЙСТВО СЕДЛОВИДНОСТИ [37, 43]
Теорема 5.2.1. Пусть Л, f и х0 — такие, как в теореме 5.1.2,
причем
f(t,x0 + z)=AxQ + Bz + g(ttz)f
BG&(X«,X)9g(tt0) = 0n
Ш,гх)- g{t,22)\\^k(p)\\Zi—Z2\\a
при HziL^P, Il22|la<p, где Л(р)->0 при р->0+; функцию
&(•) можно считать невозрастающей.
Пусть £ = Л—В и спектр o(L) не пересекается с мнимой
осью. Рассмотрим разложение X — Х\® Х2 пространства X,
отвечающее спектральным множествам
a1 = a(L)n{Re^<0}, a(L)f){Reb> 0}.
Пусть Ei и Е2 — проекторы на Хх и Х2. Тогда существуют р > 0
и М ^ 1, такие что справедливы следующие утверждения:
(i) Устойчивое многообразие 5 = S(tQ, р),
S = {z0: ll^olK Р/2М, \\z{t\ /o,20)||a < P при t ^ f0},
гомеоморфно (посредством отображения ^1 s) замкнутому шару
радиуса р/2Л4 в X*. Далее, S касается X? в начале координат
и для zo ^ 5
l|z(f;fo,zo)lla->0 при *~> + oo
(рис. 4).
Рис. 4. (а) Линеаризованное уравнение. (Ь) Нелинейное уравнение.

128
Гл. 5. Окрестность стационарной точки
(и) Неустойчивое многообразие U = U(t0yp)y U = {г0:
llfii^olla < P/2AJ, г(t; fa, z0)~ решение на (— oo,f0), \\z(t\fa,
^o)l!a^p при t^ fa}, гомеоморфно (посредством отображения
Е\\и) замкнутому шару радиуса р/2М в Х\. Далее, U касается
Xt в начале координат и для го е U
z{t\fa,Zo)->Q при t-> — оо.
(Hi) Если ||£i,22oila ^ P/2M и \\z(t\ t0, г0)|| ^ р при всех
t ^ fa или всех t ^ fa, то г0 е S U L/.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что
Rea(/4) > 0. Пусть М > 0, р > 0 таковы, что
\\Аае-"\\*£Ме*\ \\е~1«\\<Ме*' при *<0,
|^ae-Z2^~ail<^"P', |Hae-w||<M*ae-* при*>0.
Пусть -г0 <= S. Тогда г (/) = гх (t) + z2 (0 eXi© Х2, где
^(0 = ^1^^^ + \ e-Ll{i-s)Elg{s, z{s))ds,
to
так что
t
6^^-^^) = 6^^-^20+1 eLlSElg(s, z(s))ds-»0
U
при t-+ +°°-
Таким образом,
£,*,--( e£,(»-wg(s, z(s))ds,
так что при t ^ fa
t
z(t) = e-Ll{t-U)a+\ e-Ll{i-s)E2g{s, z(s))ds
и
оо
— J e~Li{i~s)Exg(sy z(s))dst где a=E9z(t0).
t
Обратно, пусть a^ X2t Italia ^ p/2M. Покажем, что (для
достаточно малых р > 0) существует единственное решение z(/) =
z(t\fa,a) нашего интегрального уравнения с E2Zo = £22(^0; fa, а) =*=
а и ||г(*; /о» о) На ^ р при t ^ fa. А именно, если р > 0 выбрано
настолько малым, что
/ оо оо \
Л!*(р) |||Я2|| j «""в"11" du + 1 £, I j e-pai«J < 4",

8.2. Свойство седловидности
129
то правая часть нашего интегрального уравнения определяет
сжимающее отображение пространства всех непрерывных
функций г: [/о, оо)->-Х с sup||z(/)||a ^ р и E2z(to)= а, при условии
что || a Ha ^ р/2М, и, следовательно, существует единственная
неподвижная точка z(t\to,a). Это решение интегрального
уравнения является липшицевой функцией по aeX?, || a |'а < р/2М,
в норме II-На- Можно показать, что функция <ь->z{t\ to, а) ло-
кально-гёльдерова, а значит, г(*;'о> о) есть решение уравнения
cfe/d* + Lz = g(f, г), f > f0, с начальным условием
оо
A (a)—z «0; 'о, а) = а- J *~£l ('°~s)£ig(s> z(5*> 'о. а))*.
Тогда £'2/г(а)=а и функция Л(-) непрерывна по Липшицу, так
что
S = {h (а) | а е Я?, Г. a Pa < р/2М}
— требуемое представление. Далее,
оо
Р Л 'а) - а Р„ < J Ме" ('0_s) ||Я, || || g (s, г (s; t0, а)) || ds
И
supfz(s; tQi a)|l = О (i|а!'а) при Ца|1а-*0, аеХ2;
поэтому ||А (а)— а\\а = о(Ца||а), откуда вытекает, что S касается
Л? в начале координат. Тот факт, что если z(to)^S, то
||2(^; fo, ^olla-^O экспоненциально при f->- + oo, непосредственно
следует из интегрального уравнения.
В соответствующих рассуждениях для неустойчивого
многообразия используется интегральное уравнение, аналогичное
уравнению из доказательства теоремы 5.1.3, но теперь мы
можем работать в равномерной норме, а не в норме с
экспоненциальным весом.
Упражнение 1. (Сингулярная задача Коши.) Пусть ¢(0) = 0,
c{t) > 0 при t > 0. Рассмотрим задачу
c(t)-jjL + Ax=f(x), х (0+)-*о,
где А — секториальный оператор, f: Ха ->■ X — функция класса С1
вблизи начала координат, /(0) = 0. Замените переменную t на
б Д. Хекри

130
Гл. 5. Окрестность стационарной точки
t
s= \ dtlc(f)y t0 > 0, и рассмотрите случаи
U
о +
(1) интеграл ) dt/c(t) конечен;
о+
(Н) интеграл J dt/c(t) бесконечен, но спектр
а(А—fx(0)) не пересекает мнимой оси.
Сравните положение дел со следующей задачей в X = R1:
c{t)~ + Xx = 0, t>0; x(0+)=*0.
Теорема 5.2.2. Пусть А—секториальный оператор в X, а <С 1,
U — открытое множество в Ха, f: £/-> X —
непрерывно-дифференцируемая функция и хо е U — неустойчивая стационарная
точка уравнения
dx/dt + Ax — f{x).
Предположим, что а {А — /'(О)) не пересекается с мнимой осью,
и пусть S — устойчивое многообразие (см. теорему 5.2.1). Тогда
S есть многообразие класса С1 в Ха, и если TS(xi)— касательное
пространство к S в точке х\ eS, для которой норма \\х\ — лг0||сс
мала, то TS{x}) является замкнутым собственным
подпространством в Ха и, таким образом, не плотно в X.
Замечание, Этот последний факт не требует особой
проницательности, но оказывается полезным при изучении глобального
поведения устойчивых многообразий для задачи Чэфи — Инфанте
(см. § 5.3 и 7.3).
Доказательство. В обозначениях из доказательства теоремы 5.2.1
устойчивое многообразие есть
S = {xQ + h(a)\a<=Xt |Иа<р/2М},
где Л (а) = 2(0; а),
t
z(t\ a) = e~l2ta + \ e-L*{t~s)E2g(z{s\ a)) ds
о
oo
-S<r£l('-s)£,g(z(S; a))ds
t
При t^O. Мы знаем, что функция a*—>z(t;a) равномерио-лип-
шицева вблизи начала координат в Х%, t^0; нетрудно
показать, что в действительности она дифференцируема, причем

5.2, Свойство седловидности
131
y(t) — (dz(t; а)/да)Ь удовлетворяет для всякого isX2
уравнению
t
у (t) = е-1>'Ь + \ е~и <* ~s)E2Dg (г (s; а)) у (s) ds
О
оо
- \ e~u ('-s)E{Dg(z(s; а))у (s) ds, t >0.
t
В силу оценок теоремы 5.2.1, ||y(/)lla =^ const||b||a при t^0t
6еХ?. Пусть
||M|| = SUp{*V'/2«0(OI!a}.
t >0
Тогда
||| у ||| < М || Ъ || + Мй (р) {|| £21| С2 + || Ех || С,} ||| у |||,
где
С,-sup \ta{t-s)-ae-*{t-s)l2s-ads, '
С2 = SUP L-3P(^f)/2/a5-a С/5.
Следовательно, для a&Xt с ||a||a ^ Р (где р достаточно мало)'
\\y(t)\\a^2Mrae-^/2lb\\
при t > 0 и 6еХ". Применяя это неравенство к нашему
интегральному уравнению, получим
!1 г)? II
1*Ю|Н|-ЖГ(* ^)^ || < const-1| 6«
для всех t ^5 0, b е X?. Отсюда следует, что /)Л(а)
продолжается до ограниченного линейного оператора из Х2 в X (при
достаточно малых а). Теорема доказана.
Упражнение 2*. (Центрально-устойчивое многообразие).
Пусть А — секториальный оператор, /: Ха~-*Х — непрерывно-
дифференцируемая функция, f (0) = 0, a (А — f (0)) П {Re Я >
> 0} — непустое спектральное множество и X = Х\Ф Х2 —
отвечающее ему разбиение. Положим L = A— /'(0), Lj = L\xi
(у sss 1, 2). Оператор Li ограничен, и для некоторого р > 0
||*-Zll<Me3p' при *<0,
а
|| <TZ2'x ||а < Мер' |1х]а, МГае**\х\\ при f > 0, х<=Х%.
Существуют г>0 и локальное инвариантное многообразие 5,
касательное к Х% в 0, такие что для любого решения х()х
б*

132
Гл. 5. Окрестность стационарной точки
удовлетворяющего оценке ||л:(*)11а ^ г при всех t ^ О, должно
выполняться включение x(0)eS (а следовательно, и x(t)^S
при t ^0). Если / принадлежит классу С1, X обладает
эквивалентной нормой класса С1, x(0)gS, норма ||х(0)||а мала и
x(t)-*0 при /->оо, то S является дифференцируемым в точке
х(0) и касательное пространство в точке л;(0) неплотно в X.
(Достаточно, чтобы существовала функция ср: X->[(), 1] класса
С1, удовлетворяющая условиям ф(х)= 1 вблизи х = 0, ф(л;)=: 0
вне некоторого ограниченного множества.)
Указание, Измените функцию g(x)=f(x)—/'(О)* вне шара
IU||a ^ г так, чтобы ее постоянная Липшица у (г) (или верхняя
грань нормы ее производной) была мала на всем пространстве
(у(г)-^О при г-+0), и рассмотрите интегральное уравнение
t
X(f) = e-Ltta + \ e~L2 {t~s)E2g{x(s)) ds
— e
-U (t-s)
Elg(x(s))ds, *>0,
при a e X*, || a ||a < p/2M в классе непрерывных функций
х: R+-»-X« у которых IU(0lla ^ ре2^ при t ^ 0.
Упражнение 3. В условиях упр. 2, если o(A)f\{Rek < 0} —
непустое спектральное множество, теорема 5.1.3 утверждает, что
начало координат неустойчиво в Ха. Фактически существуют
г>0и открытое плотное множество U в {IU||a < г}, такие что
если х(-) —решение с ||х(0)||а < г и *(0)e L/, то x(t) выходит
из шара радиуса г через некоторое конечное время t > 0.
Упражнение 4. Если 5 с= X гомеоморфно (посредством
проектора) некоторому подмножеству в У, где У — собственное
замкнутое подпространство в X, то 5 не имеет внутренности в X.
Упражнение 5. Модель Лея [69] наполнения канала вязко-
упругой жидкостью приводится в конечном счете к системе вида
(ОДУ) daldt = f(a9 b, t)9 dbldt = g{a, bt t),
(УЧП)
a?W-^-==-0- +A (a. Ь, и, v, y, t)9 0<y<lt
du
dy
dv
dt
= 0 при y=0t y=l9
= k{a, bt uy vt y, t), 0 < у < 1,
где a(f)€=R2, 6(0eRb, u^/JeR», i;(y,<)eR3 и /, g, ft, fc —
гладкие функции своих аргументов, при условии что а\ > 0.
(Здесь а\ пропорционально ширине потока, и некоторые из этих
функций обращаются в бесконечность при ai->0+.)

5.2. Свойство седловидности
133
Система обыкновенных дифференциальных уравнений для а
Ъ независима от остальных уравнений, и
f(a.M)-MM)+Mfl,M).
ie f\(a,b, /)= 0(е-№) при t-+ + oo и некотором р > 0; то же
амое верно для g. В предельной системе
-7Г = Ма, 6). -ж-=«Го(а, 6)
, (а, 6) = 0 и go(a,b) = 0 тогда и только тогда, когда 6 = 0.
1усть a eR", ai > 0 и все собственные значения 5Х5-мат-
ицы (dgo/db) (а*, 0) имеют отрицательную вещественную
асть. Докажите, что если a, b — решение системы (ОДУ),
прием величина | а (Г) — а*| + |6(Г) | достаточно мала для неко-
орого большого Т, то
а(/)=а«, + 0(е-*<), 6(0=0(^0 при /->+оо
ля некоторого flooGR2, | а<» — а*\ < А и некоторого б > 0, за-
исящего от а*.
Система (УЧП) также асимптотически-автономна, и пре-
(ельная система (в тех же обозначениях) имеет вид
(aOL"J-=-^- + A0(aoo, 0, и, о, у), 0<#<1,
- = 0 при у = 0, 1,
Ф
а^
= Мя», 0, К, U, у), 0< у < 1.
)то — линейная система по и и у. Нуль является ее собственным
пачением кратности два (с двумя независимыми собственными
акторами), и это двумерное семейство стационарных точек
кспоненциально-асимптотически-устойчиво (все остальные соб-
твенные значения имеют вещественную часть ^6 > 0).
Зависящая от времени часть системы (УЧП) имеет порядок 0(е~№)
1ля некоторого р > 0.
Докажите для полной системы (ОДУ) + (УЧП), что если ре-
пение (а,6, и, v)|*=г достаточно близко к такой стационарной
очке предельной системы при некотором достаточно большом
г > 0, то оно стремится (экспоненциально) к некоторой стацио-
трной точке предельной системы.
/пражнение 6. Пусть выполнены условия теоремы 5.2.1 и,
фоме того,
fit, х + щ-Y. -irD*f<'> x)hk
*=o*
<М1Щ/и!£

134 Гл. 5. Окрестность стационарной точки
при всех t, \\х — *olU ^ ро и ||А||а < р0, где k(р)->0 при р ~> 0+.
Докажите, что U(to,p) и S(tap) являются (^'"-многообразиями,
т. е. что, скажем для S(fo, р)> отображение /г (обратное к
^2 |s {и р)) принадлежит классу Ст. Указание. С помощью
обратной теоремы Тэйлора покажите, что равномерное сжатие,
определяющее z(t\ tQy а), есть функция класса Ст.
5.3. ЗАДАЧА ЧЭФИ — ИНФАНТЕ И ГРАДИЕНТНЫЕ ПОТОКИ
Чэфи и Инфанте [14] в 1971 г. исследовали вопросы
глобальной устойчивости для нелинейного уравнения теплопроводности
du/dt = д2и/дх2 + If (и), 0 < х < л, t > О,
и (0, *) = 0, и(я, 0 = 0»
«(*, 0) = м0 (*),
где Я, — неотрицательная постоянная, а / — функция класса С2,
удовлетворяющая условиям
(i)/(0) = 0, П0)«1;
(II) fim /(«)/«< 05
(III) Г (и) < 0 при и>0, /"(и)> О
при и < 0.
Например, годится f(u)= и — аиъ> а > 0, как в примере 1 § 4.3.
Пусть X = L2(0,:ri), А(р(х) = —ф"(я) для гладких ф,
обращающихся в нуль при я = 0, я, и пусть А расширяется до
положительно-определенного самосопряженного плотноопределенного
оператора в X. Тогда
D (A) = Hi (0, л) П Н2 (0, л), В (Л1 /2) =- Hi (0, л),
А имеет компактную резольвенту иа(Д) состоит из простых
собственных значений {1,22,32, ..., я2, ...}. Далее, если <р, -фе
е=Яо(0, л) = Х1/2 И ||<p|i/2<p, ||*!!i/2<p, то
1/(ф) —f(*) —Г(ф)(ф —*)К*(р)1ф —+|i/2,
^(ф)-/(Ф)111/2<Х.(р)||ф- + |1/2,
где k и L непрерывны, k{0) = 0.
Наше уравнение определяет локальную динамическую
систему в Х1/2 = //<з(0, л). Его линеаризация вблизи нулевого
решения, являющегося стационарной точкой для любого К, имеет
вид
dv/dt = d2v/dx2 + Xv, 0 < х < л,
v = 0 при х = 0, л.

5.3. Задача Чэфи — Инфанте и градиентные потоки 135
[о о (А— %1) = {п2 — А,; п= 1,2,3, ...}, так что, в силу тео-
ем 5.1.1 и 5.1.3,
решение и = 0 асимптотически-устойчиво в Но (О, л), если
<1;
решение гг = 0 неустойчиво в //о (0, я), если А, > 1.
Теперь рассмотрим функцию Ляпунова
я
V (ф) = J {-1- (Ф' (x)Y - kF (Ф (х))} dx, Ф е= Я J (О, я),
S
де F(s)= ] f(t)dt. Если и — решение нашей задачи при f > О,
с
о
я
ткуда видно, что Р(ф)^0 для всехф^#о(0, я). Далее, из
и) следует, что для любого е > О существует постоянная Се,
акая что F(s)^ es2 + Сг, —оо < s < оо. Выберем 0<е^
/А% и заметим, что
л я
(Ар, ф)=\(ф')а^>!ф*^.
о о
ак что
я
v (ф) > (4- - <*) S (ф' м)2 d* - л^сз > -г IIф ^ * ~пХС$
,ля всех (peWj(0, я). Если и(ху t) — решение, удовлетворяющее
словию и ( • , 0^^1(0» я) ПРИ 0 ^ f < *ь то
V(u(-,t))^V{u{.tQ))<oo,
. значит,
1«('. ^)1|1/2<4(я^Се + У(и(., 0)))
ри 0 ^ / <С t\. Следовательно, решение существует при всех
^ 0, и мы имеем динамическую систему в //о(0, я).
Далее, каждая орбита ограничена в //о(0, л) и, более того
георема 3.3,6), предкомпактна в Я0(0, л). Таким образом, для
!юбого решения и
"(*i0~^а)("(*)0)) при '-^°°1
де со (и (-,0))—непустое компактное связное инвариантное мно-
кество в £ = {ф: 1/(ф) = 0}. Следовательно, со-предельное мно-

136
Гл. 5. Окрестность стационарной точки
жество орбиты есть связное подмножество семейства
стационарных точек:
1/(ф) = 0, только если (p"(x) + %f{xq>(x)) = 0,
0<х<я, <р(0) = 0, ф(я) = 0.
Ниже мы изучим эти стационарные точки подробнее и докажем,
что для любого X ^ 0 множество Е конечно. Отсюда следует,
что ое>(ц(-,0)) — единственная стационарная точка.
Упражнение 1. Докажите для X ^ 1, что начало координат
глобально-асимптотически-устойчиво в //о(0, я), т. е. что если
ф" + ^/(ф) = 0 на (0 ,я), ф = 0 при х = 0, я и X ^ 1, то ф е 0.
Указание: ср. с частным случаем, разобранным в примере 1 § 4.3.
Упражнение 2. (Эйлеров упругий стержень.) Задачу
минимизации функционала
я
V <<Р> - S {т (ф' W)2 - ^ (1 - cos ф (*))} dx
по феЯо(0, я) можно сформулировать, как и выше. Прежде
всего заметим, что критическая точка функционала К(ф)
должна быть решением уравнения Эйлера
ф" + % sin ф = 0 на (0, я), ф = 0 при х = 0, я,
и такая функция удовлетворяет оценке |ф(х)|^я — е для всех
х и некоторого е > 0 (зависящего от А,).
Положим f(u)=sinu при |и|^я — е и гладко продолжим
f(u) на все и так, чтобы удовлетворялись условия (i) — (iii),
приведенные выше. Тогда критические точки функционала V
будут стационарными точками уравнения
ш = Uxx + tf(u), и = 0 при л: = 0, я.
Далее, критическая точка является точкой минимума или сед-
ловой точкой (что определяется квадратичными членами) тогда,
когда стационарная точка соответственно устойчива или
неустойчива в линейном приближении. Предвосхищая приводимые ниже
результаты, мы получаем, что при 0 ^ X ^ 1 абсолютный
минимум функционала V достигается в начале координат, а при
Я > 1—в точках ±ф, где ф" + Язтф = 0 на (0,я), ф(0) = 0,
ф(я) = 0, ф(х)>0 на (0, я). Таким образом, при Х>1 это
«изогнутое» состояние минимизирует потенциальную энергию
упругого стержня. (Решение ф(хД) выражается через
эллиптические функции Якоби.)
Упражнение 3. В общем случае пусть фо^//о(0, я)
минимизирует функцию Ляпунова V. Дркажите, что ф0 — устойчивая

5.3. Задача Чэфи ~- Инфанте и градиентные потоки 137
гационарная точка для исходного уравнения. (По поводу более
бщих результатов см. Auchmuty [5].)
Теперь займемся более подробным изучением стационарных
очек и докажем следующее. Если п2 < К ^ (п + I)2 (дг = 0, 1,
, ...), то существует ровно 2/г + 1 стационарных точек, а имен-
о ф0 = 0 и ф* (k = 1, ..., п), где (djdx) cpt > 0 при х = О,
i\dx)i$k < 0 при л: == 0 и на интервале 0<х<л функция ф*
бращается в нуль k—1 раз. Кроме того, если %> 1, то ф*
симптотически-устойчивы по линейному приближению, а ф0 и
>й (2 < k <; п) не обладают этим свойством.
Если ф удовлетворяет уравнению ф"4-Я/(ф) = 0 на (0,я),
)(0)= ф(я)= 0, то
4~ (ф' (*))2 + KF (ф W) = const> 0 < * < я-
Халее, 5F'(5) = ^/(5) > 0 для малых ненулевых 5; обозначим
[ерез (а_, а+) максимальный содержащий 0 интервал, на ко-
ором sF(5)>0 при 5=5^=0, — оо ^ а- < 0 < а+ ^ ±оо.
i случае когда а± конечны и F(a-)>F(a+)t мы имеем фазо-
1ый портрет, представленный на рис. 5. Модификации,
необходимые в других случаях, очевидны.
Рис. 5.
Если (1/2)(ф')2 + ^(ф)=^£ при 0<E<min{F(a-),
р(а+))> то решение ф с ф'(0) = ± У2Я,£ существует тогда и
только тогда, когда для некоторого целого л ^ 0
я = л(/+(£)+/_(£))+ {0, или /+(£), или /_(£)},
^де /+(£") (соотв. /-(£))— это jc-расстояние, требуемое для того,
1тобы решение ф описало одну «петлю» в области ф > 0 (соотв.
з области ф < 0). Более точно,
т+(Е)
1+(Е) = {2%)~1'2 | {E-F(l)y[,udl,

138
Гл. 5. Окрестность стационарной точки
где 0< т+(Е)<аъ F(m+(E)) = £; выражение для /-(£)
аналогично. Если F(a+) z^E < F(a^)i то имеется единственная
возможность /_(£)== я, и существует решение с одной «аркой» в
области ср<0, ф'(0) = —V^. Если Е ^ max(F(a+), F(a-)),
то решений нет.
Теперь заметим, что 1±(Е)-+л1<^Х при £->0+ и /±(£)->-
+ оо при Е-+ F{a±)\ можно показать, что 1+{Е) и /_(£)
—строго возрастающие функции от Е. Отсюда следуют определенные
выводы о числе и расположении стационарных решений;
подробнее об этом см. [14].
Упражнение 4. Докажите, что
где F (5) = Е sin2 Э, так что
^-^P-^"f-»-|-{-5^ir)*
Но
-аг (О7' й))2 - 2^7 (I) ^ (D)=~2f (i) f" (i) > о
при | > 0, так что
■аг (т^ётН^' (|))2 ~2F (s) F"(I)}/(F'(|))3 > °
при S>0; следовательно, l+(E) — строго возрастающая
функция.
Исследуем теперь устойчивость этих стационарных точек.
Заметим, что если ф — нетривиальное решение задачи <р";-|-
Ь/(ф) = 0, ф(0) = ф(я) = 0 и
*" (*) + Ч' (ф (*)) *W = 0, 0< Jt < я,
¢(0) = 0, г|/(0)=1,
то ф асимптотически-устойчиво, если я]) (я) > 0 при 0 < х < я, и
неустойчиво, если г|з(х)<0 при каком-либо 0 < х < я. Это
доказывается применением стандартной теоремы сравнения (см.
упр. 5) к ф и к первой собственной функции Э(л:) (которая
положительна):
W' + (yL+%f{<f{x)))B = Q при 0<х<я,
9(0) = 0, 9(я) = 0, 9'(0) = 1;
[х выбирается настолько малым, насколько возможно. Если
ji<0, то ф(*)<8(х) на (0,я], пока ф положительно, а если
ц>0, то y{x)>Q(x) на (0,я].

8.3. Задача Чэфи — Инфанте и градиентные потоки 139
Рассмотрим, например, ф(а:) = ф|(х. X) при Х>1. Тогда
?'(0)>0, ф(х)>0 и /(ф(х))>0 при 0 < х < л, так что если
х(х) = -(хф'(0))-1ф"М = (ф'(0))-1/(фМ),
•о %(х)>0 при 0<л:<я, х(0) = 0. %(")*= О, Х'(О)-3 1 и на
i' + Ц'(Ф(х))х = Г(Ф(х)) (Ф'(*))7ф'(0)< 0.
~1о теореме сравнения г|)(л:) > %(х) ^= 0 ПРИ 0 < х ^ я, что и
доказывает асимптотическую устойчивость. Аналогично
показывается, что ф1~ асимптотически-устойчиво.
Предположим теперь, что ф — нетривиальное стационарное
)ешение с ф/(0)>0, причем ф обращается в нуль где-нибудь
* (0, я). Тогда ф имеет отрицательный минимум в некоторой
точке х\ из (0,я), так что ф(х1)<0, <р'(х[) = 0. Но ty(x) и
р'(х) удовлетворяют уравнению я|/'+ ^'(ф)^ =0, так что их
зронскиан есть константа:
\j/ (х) ф' (х) — г|) (х) ф" (х) = const = ф' (0) > 0.
Гаким образом, при х = х\ имеем —^{х\)у" (х\) — ф'(0); зна-
шт, $(х\) < 0, и неустойчивость ф доказана.
Упражнение 5. Пусть ф, i|)— функции класса С2,
ф(0) = г|э(0) = 0, ф'(0)==г|/(0)== 1, ф'' + а(*)ф>ф'' + а(х)1|>
[фи 0 < л' < х\ и г|)(д:)>0 при Ъ < х < х\. Докажите, что
р(х) > ${х) при 0 < х ^ хь Указание. Рассмотрите (d/dx) (фф'—
рф'), а затем (d/dx) (ф/яр).
Ввиду этих результатов Чэфи и Инфанте представляется
правдоподобным, что при К > 1 большинство решений стремится
к ф? при ^-^4-°°'» мы докажем, что это действительно так для
некоторого открытого плотного множества начальных условий
в //о(0, я), установив, что область притяжения неустойчивого
стационарного решения нигде не плотна.
Обсудим сначала одно обобщение, которое мы назовем
градиентным потоком. Пусть Q — ограниченная область в Rn с
границей класса С2 и
(i) ац (х) = aji (х) — гёльдеровы функции на Q (1 ^ it j ^ п),
удовлетворяющие условию
п
£ в//(*)1£/>а|Ц2 при x<&Q,lmRn
для некоторой постоянной а > 0;
(п) функция f: й X Н -> R непрерывна и локатьно-липши-
цева по второму аргументу;

140
Гл. 5. Окрестность стационарной точки
(iii) для любого е > 0 существует постоянная Се, такая что
uf{x, w)<eu2 + Ce на QXR;
(iv) в случае n > 1 существуют положительные постоянные
bt с и q, такие что
|/(*,и)К& + ф|* на QXR.
Рассмотрим следующую задачу Коши:
п
tit= 2 fa// (#) и*,)*, + / (х, а) на QXR*> и = 0 на dQXR*-
Если р ^ 2, л < р < оо, то, как легко показать, эта задача
Коши локально корректно поставлена в пространстве Х =
Wo P(Q). Докажем сначала, что решение существует при всех
t > 0. Выберем k ^ 2, k^ pq. На области существования
решения при и =|u|ft/2 имеем
4г 1 ^dA: = ~~Ukk~l) \ Е fli/^^ dJC + k \ uf (х, и)\u\k~2dx
Выбирая e > О достаточно малым и используя неравенство
Гёльдера, получим,что функция
y(t)=\v2dx = \\u\kdx
удовлетворяет (при некоторых положительных постоянных аир)
неравенству
так что интеграл J \u\pq dx равномерно ограничен на области
Q
существования решения, откуда вытекает, что норма
II/( " > и( • > 0)| равномерно ограничена и решение должно
существовать при всех t > 0. (В случае п = 1 равномерная
ограниченность в Но доказывается с помощью функции Ляпунова V$
как в задаче Чэфи — Инфанте.)
Пусть F (ху u)=>\^f(x, s)ds. Положим
^ М = И 4" 2 aHuxiu*i — р (*> и) 1dx-

6.S. Задача Чэфи — Инфанте и градиентные потоки 141
||ля любого решения и нашей задачи Коши
V {и) = - \ ut dx < О,
а
так что V — функция Ляпунова на WV P(Q) — X. Для каждого
решения норма 1|/( ■ , "( ■ , t))\\L (Q) равномерно ограничена, так
что орбита {и(*,0> t&zty компактна в X и, следовательно,
должна стремиться к некоторому непустому связному
компактному инвариантному подмножеству множества
£ = {Фе=Х|К(ф) = 0}
= {ф€=и^" Л W2'p(Q)\Z(aii4>Xj)Xj + f(-, Ф)-0}.
Если £— дискретное множество (как в задаче Чэфи —
Инфанте), то каждое решение стремится к некоторой стационарной
точке при f-»-+oo.
Упражнение 6. Пусть условие и = 0 на границе заменяется
условием ди/dv -}- h(x)u = Q на dQ, где v — конормальное
направление (v£= £/== Gf/N/i Af—- единичная внешняя нормаль),
Л(х) — гёльдерова функция, /г(х)^0 на <3Q. В случае /i(jt)=0
потребуем, чтобы неравенство в условии (Hi) выполнялось для
некоторого е < 0. Докажите, что задача Коши корректно
поставлена в Wl>p{Q), каждое решение существует при всех О 0
и стремится к множеству стационарных точек при t-* +оо. У ка-
зание: в функции Ляпунова имеется дополнительный член.
Предположим, что Е целиком состоит из гиперболических
стационарных точек, т. е. линеаризованный оператор
Ч> — Z (M>*i)*/ +1£~ ( • > ф)Ф
при рассматриваемых граничных условиях не имеет
собственных значений на мнимой оси (0 не является собственным
значением) ни для какого ф из Е. Мы считаем здесь / и df/du
непрерывными. Множество Е компактно. В силу теоремы о
неявной функции оно дискретно и, следовательно, конечно. Поэтому
X есть дизъюнктное объединение ])
х= и «ИфК
где W${q>) = {uo е Х\ решение u(t\uo)-+q> при t-^+oo}. Ниже
мы докажем (теоремы 6.1.9 и 6.1.10), что каждое устойчивое
многообразие Ws(q>) есть С'-вложенное подмногообразие в X, и
]> Ниже индекс s — от stable (устойчивый), индекс « — от unstable
(неустойчивый) . — Прим, ред,

142
Гл. 5. Окрестность стационарной точки
если ф неустойчиво, то Ws(cp) имеет коразмерность ^1. Таким
образом, X представимо в виде конечного объединения
открытых связных множеств (Ws(q>) для устойчивых фб£) и
замкнутого нигде не плотного «остатка». В частности, для задачи
Чэфи — Инфанте если К > 1 и X ф п2 для целого п, то
И^Чф^) U W*(q>r)— открытое плотное множество в //о(0, л).
В действительности это верно даже при ?* = п2, как можно
показать, используя центрально-устойчивое многообразие в точке
нуль.
Наконец, выберем ограниченное связное открытое множество
ВаХ, содержащее Е (например, большой шар с центром в
начале координат), и положим
^— {Ф| существуют ф„еВи ^->+оо, такие что «(/„, ф*)->ф}.
Легко показать (ср. с теоремой 4.3.3), что К — компактное
связное инвариантное множество, содержащее Е. Докажем, что
К- U У»(ф).
фбЯ
так что К конечномерно и является максимальным
ограниченным инвариантным множеством. Для любого Uq& К решение
u(t\Uo) существует и остается в К на (—оо,оо) в силу
инвариантности, так что у =*\imt->-oou(t; Uo) существует, как и
раньше, причем фе£. Таким образом, К cz (J Wu (ф). Обрат-
Ф е Е
ное включение очевидно, следовательно, имеет место равенство.
Теперь изучим максимальное ограниченное инвариантное
множество К% для задачи Чэфи — Инфанте с параметром К.
В общем случае
/Сх= (J У(ф)«» замыкание Wa (О),
Ф«я£\
и при п2 < % < (п + I)2 множество К% n-мерно. Если О < X < 1,
то /(х={0}. Если 1 < % < 4, то Кк одномерно и содержит О,
Ф+ и фо~. Фактически неустойчивое многообразие точки 0
расположено в конусе неотрицательных функций (и в
симметричном к нему относительно 0 конусе), так как соответствующая
собственная функция линеаризованной задачи положительна.
Далее, q>t (или фГ) — единственная неотрицательная
стационарная точка в этом конусе, так что Wu(0) состоит из 0,
единственной орбиты, ведущей от 0 к ф/" в конусе неотрицательных
функций, и единственной орбиты, ведущей от 0 к фГ в конусе
неположительных функций.
Если 4 < К < 9, то Кк двумерно. Как и выше, существуют
орбита, соединяющая 0 и ф/\ и орбита, соединяющая 0 и фГ*
Фактически W (0) П W'fat) и Wu (0) П №5(фГ)- непустые
множества, открытые в ^"(О). Так как Wu(0) связно, эти множа-

5.3. Задача Чэфи — Инфанте и градиентные потоки 143
ства не исчерпывают всего №"(0), и существует непостоянная
орбита u(t)->0 при t~*—оо, не стремящаяся к ф* или фГ при
/->--|-оо. Предположим для определенности, что и(0-^ф2~ при
^->._|_оо. Тогда й(х, /)=ц(л— х, t)~ тоже решение, причем й
соединяет 0 и фГ. Множества Wu(yf) одномерны, и собственная
функция линеаризованной задачи положительна. Таким
образом, существует решение v(t)-^q>t при /-*■—оо, причем
v+(x, t)>0 и v(x, t)>q>T(x) для больших отрицательных tt
0 < х < я. По принципу максимума v(xt t) > ф2~ (х) при всех
t > 0, так что \|э = lim^+0ou(-, 0—стационарная точка, причем
■ф (л:) > ф2~ (л:) при 0 < х < я, откуда -ф = <р+. Отражение v(х, t) =
у (я — х, /) соединяет фГ и ф*, и аналогичным образом на
другой половине Wu (ф2~) получаются орбиты, соединяющие ф* с фГ.
• о
0<Л.<1 1<Х<4 4<\<9
*г
Рис. 6. Рис. 7. 9 < X < 16.
Таким образом, для максимального ограниченного
инвариантного множества К% можно представить себе картинки,
изображенные на рис. 6. В указанных областях изменения X
существуют орбиты, соединяющие стационарные точки ф и ф (ф-> г|>),
если dim №"(ф)> dim Wu(ty) или же У(ф)>1/(ф). В случае
когда 9 < К <С 16 и f(u) — нечётная функция, этот факт остается
верным, и мы можем нарисовать картинку потока в К% так же,
как и выше. Применив те же рассуждения, что и выше, из
решения и получим уже 4 решения: и, й, —и и —й (где й —
отражение и относительно точки я/2). Без этой дополнительной
симметрии мне не удалось показать, что существуют орбиты,
соединяющие 0 с ф? и фз±. Но получающаяся картинка стоит
дополнительного предположения.
Для 9 < X < 16 множество К% выглядит, как показано на
рис. 7, при условии что функция / нечётна.
Замечание. Недавно Дж. Хейл и А. Нашименто (а также,
независимо, автор) доказали для задачи Чэфи — Инфанте (с
произвольным Х^0)у что если ф и ф — две любые стационарные
точки, то орбита, проходящая через ф и г|э, существует тогда и

144
Гл. 5. Окрестность стационарной точки
только тогда, когда dim И?"(ф)> dim W"(i|)). Далее, для любой
пары стационарных точек ф и гр множество Wu{q>) трансверсально
к №5я|); см. статью автора «Some infinite-dimensional Morse —
Smale systems defined by parabolic partial differential equations»,
которая должна скоро появиться в J. Diff. Equations.
Упражнение 7. Пусть Q— ограниченное множество в Rn, dQ
принадлежит классу С2, f: R-+-R — функция класса С1, /(0)==0,
функция f{u)/u строго монотонна при а>0и limu^oof{u)/u < 0.
Тогда любое решение и ^ 0 уравнения ш = Ли + f(u) в Q X'R+
с граничным условием и = 0 на dQ (или du/dN + /ш = 0 на
д£2, где Л ^ 0 — заданная функция) стремится к некоторой
неотрицательной стационарной точке. Если линеаризованная около
и = 0 задача не имеет ни одного положительного собственного
значения, то u(-,t)-*Q при t-+-\-oo. Если же имеет, то либо и
стремится к единственному положительному стационарному
решению, либо и ss 0.
Главное здесь, конечно, — показать, что существует точно
одно положительное стационарное решение. При доказательстве
этого факта можно следовать Стэкголду и Пэйну [96]:
существуют максимальная и минимальная стационарные точки
и± (0<«_^а+вЙ и для любого положительного
стационарного решения и мы имеем и~ ^ и ^ ц+), и ц+ = м-, так как
0== ) (u + f (а_) — u-f(u + ))dx.
Q
5.4. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Бегущие волны — это решения, которые выглядят
постоянными в подходящим образом движущейся системе координат.
Например, уравнение для химических реакций в покоящемся
газе имеет вид
ut = DAw + f(u),
где u = col(ui, ..., ип)> a D — постоянная положительная
диагональная матрица. Предположим, что это уравнение имеет
решение вида плоской волны, зависящее лишь от скалярной
переменной s = k-x~ Vt9 где V — постоянная, a k — постоянный
вектор, ||£|| = 1. Тогда u(xt t) = ср($),где
D<p"{s)+W{s) + f{<p(s)) = 0.
Предположим, что реакция идет от одного состояния равновесия
ц = а далеко впереди волны (s-^+°°) к другому состоянию
равновесия и = Ъ далеко позади волны:
<р($)->а при s-^ + °°, q)(s)~+b при s-*- — oof
f(fl)-0f f(&)-0,

5.4. Бегущие волны для параболических уравнений 145
Такое решение может описывать, например, распространение
пламени, хотя, вообще говоря, трехмерные эффекты могут
усложнить ситуацию. В некоторых задачах, например в задаче о
распространении импульса по нерву [25], гипотеза об
одномерном поведении выглядит более естественной. Во всяком случае
эта гипотеза упрощает математическую сторону дела, а это для
нас сейчас главное, так что мы будем иметь дело только с одной
пространственной переменной.
Рис. 8.
Наш первый пример представляет собой упрощенную форму
уравнения Фитцхью — Нагумо (которое в свою очередь является
упрощенной формой уравнения Ходжкина — Хаксли; см. [17])
Щ = и>хх + f(u)> —оо<л:<оо, t>0>
f(u) = u{l— и) (и — а),
где а — постоянная, 0 < а <С 1/2. Бегущая волна u(xt t) =
ф(х + Vt) удовлетворяет уравнению
ф"(5)-Уф'(*)+Дф(5))==0, -00<5<00.
Покажем, что для некоторого V > 0 существует решение этого
уравнения, такое что cp(s)->0 при s-* — оо, (p(s)-M при
Сначала предположим, что V = 0. Тогда любое решение <р
удовлетворяет уравнению (l/2)q/(s)2 + F(cp(s)) = const, где
и
F(u)-ff (о)dof
6
так что орбитой будет одна из линий уровня, изображенных на
рис. 8. Кривая С, которая обходит вокруг точки (а, 0), выходя
из нуля и возвращаясь в нуль, описывается уравнением (1/2)р2 +
/7(ф)=:0; она не достигает точки ф = 1, так как F(y)^Q на С,

146
Гл. 5. Окрестность стационарной точки
но F(l) = (l/6) (1/2 —а)> 0. Для любого V ^ 0 начало
координат является седловой точкой с неустойчивым многообразием,
расположенным в первом (и третьем) квадранте и с крутым
наклоном при больших V.
Пусть ф — решение, начинающееся на неустойчивом
многообразии в первом квадранте, причем V > 0 выбрано так, что
cp(s)->l при s-*"+°°- Имеем
d
ds
(4- Ф' W + F (ф (*))) = Vtf (sf > О,
пока решение остается в первом квадранте, так что оно при
своем движении пересекает линии уровня (рис. 8) с
возрастающими значениями «уровня». Если
V > 0 мало, то решение близко
следует кривой С и достигает
оси ф при ф < 1 (случай (i) на
рис. 9). С другой стороны, если
V велико, то решение достигает
линии уровня, описываемой
уравнением (1/2)ф 2 + F(ф)= F(l),
в точке с ф' > 0. Так как
неустойчивое многообразие и
решение ф непрерывно зависят от
V, то существует значение V >0,
такое что ф(5)~>1 при s-*-+ оо.
Заметим, что для этого решения
ф/(з)>0 при всех s и ф'(5)-^0
■± оо, поскольку (0,0) и (1,0)— сед-
Рис. 9. (i) V > 0 мало.
(ii) V >» 0 велико.
экспоненциально при s-
ловые точки.
Хаксли было найдено явное решение
V = У2 (1/2 - а\ Ф (s) = 1/(1 + ехр (-s/У2)).
Упражнение 1. Покажите, что для любого V > 0 существует
решение рассмотренного выше уравнения, идущее от а к 0 при
изменении s от —оо до +°°- При 1/2<4а(1 —а) оно отходит
от а по спирали, а при У2>4а(1 — а) монотонно.
Маккин [74] дал детальную картину поведения решений при
0 < а < 1/2 и различных выборах V ^ 0
Рассмотрим теперь вопрос устойчивости этой волны.
Перейдем к движущейся системе координат £ = * + V{t). Тогда
ш = ы^ — Vu\ + f{u), — оо <\ < оо.
В этих переменных и = <р — стационарная точка.
Линеаризованное около ф уравнение имеет вид
щ = mw — Vu% + /' (ф (fc)) и — —Ащ

5.4. Бегущие волны для параболических уравнений 147
if нам нужна информация о спектре оператора А. Из одного ре-
1ультата, доказанного в добавлении к этой главе, следует, что
существенный спектр А (т. е. спектр с исключенными
изолированными собственными значениями конечной кратности) лежит
и множестве
{Х\ЯеХ^ min(a, 1 —a) = a.
Пространством, в котором действует наш оператор, здесь может
быть LP(R), 1 ^ р < оо, Cuni(R) или C0(R) (пространство
непрерывных функций, стремящихся к 0 на бесконечности).
Множество
ф(" + с)\ — оо < с < оо}
есть кривая, состоящая из стационарных точек, и Лср' = 0; если
мы покажем, что нуль — простое собственное значение Л, а весь
остальной спектр лежит в полуплоскости Rek > 0, то в
соответствии с упражнением 6 § 5.1 решение, начинающееся достаточно
близко от ф, экспоненциально аппроксимирует сдвиг ф (в норме
пространства Wl>p(R) или Cuni('R)).
Если оставить в стороне существенный спектр, то достаточно
определить, имеются ли собственные значения ХфО в
полуплоскости Re % ^ 0. Пусть
v"—Vv' + f'{y{l))v + bv-*Q
при ReK ^0 и v ограничено при |->±оо. Рассмотрение
характеристического уравнения для пределов £-»-±00 показывает, что
v(c) экспоненциально стремится к нулю при £->~±оо и w(Q =
v(l)e-v*/2 обладает тем же свойством. Далее, w(Q
удовлетворяет уравнению
w" + (k+V2/4 + f'(q>a)))w-0.
Независимо от исходного пространства мы можем рассматривать
что уравнение как самосопряженную задачу в L2(R), так что
любое собственное значение должно быть вещественным.
Предположим, что К ^ 0 и w вещественно. Наименьшее собственное
значение равно
К = min \] {wj - (р (Ф (У) + V'/*) w2 4| w е Н' (R),
Если функция w реализует этот минимум, то и \w\ тоже
реализует его, так что мы можем предположить, что собственная
функция w неотрицательна или даже строго положительна. (Если
«;н:0иш'=0в одной и той же точке, тоши 0.)

148 Гл. 5. Окрестность стационарной точки
Пусть г|) = <р'(|)е-П/*.Тогда ф" + (У»/4 + /'(ф))Ф =0,ф > О,
и интегрирование по частям показывает, что
*-1*Ш-г))'*
— оо
Следовательно, Л, не может быть отрицательным, и если Я = 0,
то w/ty = у/ф' = const.
Таким образом, нуль является простым собственным
значением А (в LP(R) или Cuni(R)), и для любого решения и, для
которого норма \\и(*у0) — ф|| (в Wl>p или CUni) достаточно мала,
существует вещественное с, такое что
1И-. О- Ф(- + 0+ ^11= О(*-р0, * > О,
где (3 > 0 — некоторая постоянная.
Эту задачу исследовали Сэттингер [131], который
использовал специальную взвешенную Loo-норму, и Аронсон и Вайн-
бергер [108]—в равномерной норме. Файф и Мак-Леод [117]
рассмотрели более сложные начальные условия в равномерной
норме.
Теперь займемся бегущей волной, соответствующей решению
<p(s)->a при s->—оо, ф(5)->0 при s->+oo, найденному в
упражнении 1. В этом случае если V2<4a(l — а), то $(s)
движется по спирали к а при s->—оо, так что q>'(s) не имеет
постоянного знака; в свете изложенных выше вариационных
соображений это означает неустойчивость. Если К2>4а(1 — а),
то ф'($)<; 0 при всех 5. Однако существенный спектр
линеаризованной задачи достигает —а(1—а), так что ф неустойчиво
(следствие 5.1.6) в любом из пространств, указанных выше. Это
верно независимо от значения V > 0, так что монотонность
решения не гарантирует устойчивости.
Наконец, заметим, что стационарное решение и = $(х)>0
((1/2)ф'2 + F(<p) = 0, ф(х)->-0 при х->±оо) неустойчиво в
Wl*p(R) или Cunt (К), так как линеаризованный около ф
оператор (L: г|>ь—>— г|з"— Г(ФМ)'Ф) имеет отрицательное
собственное значение. Действительно, нуль является собственным
значением с собственной функцией ф', меняющей знак, и наименьшее
собственное значение
f оо оо Л
1,,--ОО —оо )
будет простым собственным значением с положительной
собственной функцией, так что \х Ф 0.
Мы можем привести несколько интересных результатов для
общего скалярного уравнения щ === их* + {{и, их\> где f_(ut р) при-

5.4. Бегущие волны для параболических уравнений 149
надлежит классу С1. Предположим, что существует решение
<р(я) уравнения
ф"(*) + f (ф(х), ф' (*)) = 0, - оо < X < оо,
такое что ф(я)->а при *->—оо, ф(х)-^р при л:-^+00, причем
ДО, а)=0, /(0, ($)==0. Нелинеаризованный около ф оператор
имеет вид
—Lv = v" + a{x)v' + b{x)v9
где
а W = ■§" (ф <*>■ ф' (*))■ * <*> = "лГ (ч> W. Ч>' (*>)•
Пусть а±, Ь± обозначают пределы этих функций при х->±оо.
Из результатов, приведенных в дополнении к главе, следует,
что Ge(L) лежит в правой полуплоскости тогда и только тогда,
когда Ь+< 0, а Ъ- < 0, т. е. тогда и только тогда, когда
решение ф(х) идет из одной седловой точки в другую. Рассматривая
наше уравнение в пространстве с соответствующим
экспоненциальным весом w9 т. е. в норме
( J \v{x)/w{x)\pdx
\—оо
можно добиться того, чтобы Reae(L)>0 при условии, что
Ь± < а2±/4 (для каждого знака), т. е. при условии, что
линеаризованный около стационарных точек (ос, 0), (Р,0) оператор
имеет вещественные различные собственные значения. Мы
должны выбрать w(x) так, чтобы w(x) ~ е^±х при я->±оо, где
как |х+, так и р,_ удовлетворяют неравенству
ц2 + а\х + Ь < 0.
Но ф'(л:) асимптотически ведет себя как еи, где %2 + аЯ + 6 = О,
так что [я лежит строго между двумя корнями этого уравнения.
Предположим, что мы имеем дело с пределом при х-*--\-оо и
оба корня отрицательны (устойчивый узел). Тогда обычно ф'(л;)
ведет себя как более слабая («менее отрицательная»)
экспонента, так что ф'(x)/w(x) возрастает при х-* + оо. Таким
образом, мы смогли стабилизировать существенный спектр лишь
ценой исключения ф' из рассматриваемого пространства; в этом
случае задача по существу теряет смысл. В такой взвешенной
норме сдвиг (/и—>ф(- + К) не является непрерывным.
Подведем итоги:
(i) Если ф соединяет две седловые точки, то существенный
спектр линеаризованной задачи устойчив в Lp (а также в Lp
с некоторыми весами).
(ii) Если ф соединяет два узла или седловую точку с узлом,
то решение неустойчиво в LP('R), но с помощью соответствую-

160
Гл. 5. Окрестность стационарной точки
щих весовых функций можно стабилизировать существенный
спектр; правда, при этом (обычно) q/ «изгоняется» из
рассматриваемого пространства.
(iii) Если ф приближается к фокусу при s-^+oo или —оо,
то решение неустойчиво.
В случае (i), рассуждая так же, как в разобранном выше
примере, можно показать, что (ф(* + с) 1~ °° < с < °°}
асимптотически-устойчиво с асимптотической фазой при монотонном ф
и неустойчиво при немонотонном ф. Обычно в орбите «седло —
седло» скорость V бегущей волны определяется однозначно, но
в случаях (п) и (iii) это не так. Сэттингер [131] рассмотрел и
этот общий случай, но он считает более важным случай волн,
соединяющих узлы.
Быть может, я чересчур сгустил краски, давая оценку
случая волн, соединяющих узлы. Рассуждения, основанные на
использовании принципа максимума ([108] и особенно [116]),
позволяют получить ряд красивых результатов — включая
результаты, касающиеся устойчивости, — для таких случаев, но
зависимость от начальных условий оказывается весьма
деликатной. Рассмотрим, например, заслуживающий особого внимания
случай, исследованный Колмогоровым, Петровским и Пискуно-
вым в 1937 г. (в работе [60], фактически положившей начало
всему этому предмету):
Ш = Uxx+ и(1 — и), — оо<х<оо, *>0.
Для любого V ^ 2 существует волна, движущаяся со скоростью
V от седла в точке «=1 к устойчивому узлу в 0. Если uq(x, t) —
решение, удовлетворяющее начальному условию Uo{xt 0)== 1 при
х < 0, ио{х, 0) = 0 при х > 0, то uQ приближается к волне,
движущейся со скоростью 2, в том слабом смысле, что
uo{x + %(t)tt)->q>(x) при t-++oo,
где функция l(t) такова, что £'(*)->2 при £-v+oo. Однако Лар-
сон [125] доказал, что и0(х + 2t, t)-*0 при /->+оо. Далее,
если и(х, t) — решение, удовлетворяющее условию 0 < и «С 1,
приближающееся к бегущей волне при /-^+оо и такое, что
еахи{х,0) имеет конечный ненулевой предел при *->*-|-оо для
некоторого 0 < а < 1, то бегущая волна должна иметь скорость
ос+ 1/а (Ларсон, [125, теор. 5]). Такая тонкая зависимость
может породить сомнения в пользе всего дела. Не являются ли
рассматриваемые топологии слишком сильными? Не следует ли
думать лишь об устойчивости целого семейства бегущих волн
(позволив меняться как фазе, так и скорости)? Понятно, что
предмет далек от завершения, даже если оставить в стороне
близкие задачи, в которых бегущая волна периодична или
асимптотически-периодична по пространственной переменной.

5А. Бегущие волны для параболических уравнений 151
Упражнение 2. Уравнение Бюргерса
Ш + UUX = VUxx, — ОО < X < ОО, * > О,
(v — постоянная >0) имеет стационарное решение ф(х) =
—a th(ax/2v) при любом а 35* 0. Если x = x + ct,ii = u + c (где
с — постоянная), то ut = ййх=\йхх (так что
и = —с — aih(a(x + ct) /2v)
есть решение вида бегущей волны, причем u{x,t)-*—c±a при
лс->-±оо, и достаточно изучить стационарное решение ф).
Упражнение 3, Пусть ф — то же, что и выше, g = a*/2v,
т = a2t/4v и 6 = 2/a. Тогда у (£, т) = и — ф удовлетворяет
уравнению
vx = vn + 2 th |о6 + 2 sech2 |o — 6o.
Линеаризованное около v = 0 уравнение имеет вид yt = —Lv,
где
—Lu = vxx + 2 th £u6 + 2 sech2 |t>,
и нуль является точкой существенного спектра (L
рассматривается как оператор в LP{R)). Рассмотрим взвешенную норму
l*!l = i*tt)chU£i(R).
Пусть
Тогда
Lc$ = —ф" + (1 — 2sech2 £)ф,
так что ae(Lc) = [l, со). Если v = oysechg, то
и;т = х&ъь — (1 — 2sech2 l)w — b sech g (aittig — до2 th g)
и
с» во
j a>{-a>n + (l-2sech2i)a>}d!= J (a>6 + th Iwf d\ > 0;
—oo —°°
следовательно, нуль является простым изолированным
собственным значением, а весь остальной спектр лежит в [р, оо) для
некоторого р > 0. Нелинейный член в до-уравнении является
непрерывным полиномом из Hl(R) в /^СЮ > и применимо
упражнение 6 § 5.1. Заметим, что ф'(£)сЬ£ =—a sech \ лежит в
L2{R) и
/!н-Цф(! + й)-ф(!))сЬ|

152
Гл. 5. Окрестность стационарной точки
— непрерывно-дифференцируемое отображение из R в L2(R).
Из рассматриваемого уравнения следует, что
со
-^- J od| = 0 при т>0,
—оо
так что при достаточно малых ||»(£, 0)сЬ|||я, {R) существует
вещественное с, такое что
|(и(6, т) — Ф(^ + с))ch 11^, (R)^0 при т— оо
и
J {«(1. 0)-<p(|-fc)}d£ = 0.
—оо
Упражнение 4. Пусть 6 > 0. Докажите, что нулевое
решение уравнения
Ш = Uxx — U — bu2, — оо < х < оо, / > 0,
асимптотически-устойчиво в Я!(К), а стационарное решение
ф(*) = — (3/26)sech2(x/2) неустойчиво. [Указание: (p(jt)<0, так
что ф(—ф" + Ф + 26ф2) = 6ф3 < 0.] Заметьте, что для любой
ограниченной равномерно-непрерывной начальной функции
и(х90) с infхи{xt0)>—\/b
u(x,t)-+0 при t-^+oo
равномерно по x (см. упр. 8 § 5.1).
Упражнение 5. Уравнение
ш = ихх + u — bu?{b > 0), — оо < л:< со, £>0,
имеет стационарное решение «==ф(х) с (р(х)-+Ь~{/2 (соотв.
—ft-i/2) при лг-^+оо (соотв. —оо) и ф'(л:) > 0 при всех х.
Докажите, что если норма ||и(- , 0) — ф||я, мала, то существует
вещественное с, такое что
!«(•• *)-ф(- + с)\\Н1<шКе-^\\и(^ 0)-Ф||Я1
при всех <>0 и некоторых положительных постоянных /Сир.
Исследуйте также устойчивость решения и = 0.
Упражнение 6. Докажите, что для любого V ф 0 уравнение
из упражнения 5 допускает точно два нетривиальных
ограниченных решения вида волн, перемещающихся со скоростью У,
противоположных по знаку и идущих от неустойчивого узла 0
при х = —оо к rhb~l/2 при #=+оо, при условии что V > 0
и и(х, t)— ф(л; + vt). Если |1/|<2, то ф осциллирует и
неустойчиво; если |V|>2, то ф монотонно, но неустойчиво в

Добавление. Существенный спектр некоторых О ДО 163
Wl>p(R) или Cuni(R). При |К|>2 линеаризованная около ф
задача устойчива в соответствующей весовой норме
(«изгоняющей» ф' из рассматриваемого пространства), но нелинейные
члены плохо ведут себя в этой норме.
ДОБАВЛЕНИЕ. СУЩЕСТВЕННЫЙ СПЕКТР НЕКОТОРЫХ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Определение. Пусть L — линейный оператор в банаховом
пространстве. Нормальной точкой для L назовем любое
комплексное число, лежащее в резольвентном множестве или являющееся
изолированным собственным значением L конечной кратности.
Все остальные комплексные числа образуют существенный
спектр L.
Замечание. Используется несколько различных определений
существенного спектра. Наше определение (в котором мы следуем
Гохбергу и Крейну [119]) является более ограничительным и
более чувствительным к возмущениям, чем другие, но
соответственно позволяет получить больше информации.
Теорема АЛ. Пусть X — банахово пространство, Т: D(T)cz
X->■ X — замкнутый линейный оператор, S: D(S)czX-^X —
линейный оператор, такой что D(S)=> D{T) и оператор S(X0 —Г)"4
компактен для некоторого Я,0. Пусть, далее, [У —открытое
связное множество в С, состоящее целиком из нормальных точек
для Т. Тогда U состоит либо целиком из нормальных точек для
Т + S, либо целиком из собственных значений Т + S.
Доказательство теоремы получается незначительной
модификацией доказательства, данного в [119, с. 22].
Упражнение 1. Пусть
X = {(x£—„\xneCt 1И = (|;Ы2) <<*>},
(Тх)п =*л-1 для всех n, (Sx)n = 0 для п ф 1, (Sx)x = —х0.
Докажите, что а(Т) — единичная окружность, а(Г + 5) —
замкнутый единичный круг. Фактически a(T-\-tS) — единичная
окружность при всех 0^ t< 1, но при t= 1 все внутренние точки
единичного круга оказываются собственными значениями.
Упражнение 2. Пусть оператор
Ти {х) = и" + а (х) uf + Ъ (х) и, — оо < х < оо
рассматривается в LP{R)y 1 ^ р < оо, Cq(R) или Cuni(R)
(функции а и Ь предполагаются непрерывными и ограниченными).
Пусть, далее,
Su {х)= m {х) и! + п(х) и,

154
Гл. 5. Окрестность стационарной точки
где шип непрерывны, т(х), п{х)-*0 при х-^±оо. Докажите,
что S(Xq — Т) — компактный оператор для всех достаточно
больших вещественных Х0. Указание: рассмотрите сначала случай,
когда тип имеют компактные носители.
Нас интересует система первого порядка с асимптотически-
постоянными коэффициентами
-~~- + A(x)u = f (х), —оо < х < оо,
А{х)-+А± при jc-*±oo.
Фактически мы будем рассматривать случай, когда
А (х) = Л+ при х > О, А (х) = Л_ при х < О,
и применять теорему АЛ, поскольку соответствующие
операторы отличаются друг от друга относительно компактным
оператором.
Лемма 1. Пусть А(х) = А+ при х > 0, А(х) = А„ при х < 0 и
комплексная п X n-матрица А± не имеет собственных значений
на мнимой оси. Пусть, далее, £+, £_ — проекторы, отвечающие
собственным значениям операторов А+ и А_, лежащим в правой
полуплоскости.
Тогда уравнение
u'(x) + A(x)u(x) = f{x), — оо <х< оо,
имеет единственное ограниченное решение для любой
ограниченной измеримой функции / (или, эквивалентно, для любой
непрерывной функции f с компактным носителем) тогда и только
тогда, когда
С» = *(£+)© R{I-E-)9
т. е. тогда и только тогда, когда R(E+) и R(I — Е~) порождают
С" и пересекаются лишь в нуле. В этом случае
где Са — постоянная, зависящая только от Л.
Доказательство, Рассмотрим сначала случай х > 0. Существуют
положительные Миа, такие что
\е-А+хЕ+\^Ме-ах при *>0,
|е~л+*(1-Я + )|<Ме-аи! при х<^^
Если и к f ограничены на [0, оо), то
со
(1 - Е+)«(0) + f (1 - Е+) eA+»f (у) dy = 0.

Добавление. Существенный спектр некоторых ОДО 155
Обратно, если выполнено это равенство, то при х ^ О
х
и (х) - -А+хЕ+и (0) + j е~А+ (*-*>Д+/ (у) dy
О
оо
-$e-A+«-»(l-E+)f(y)dy
X
И ДЛЯ 1 ^ /7 ^ (X)
l«L„ (R+, <^-,/р | £+" (0) | + 2Afa-»|f Ц (R+):
в частности (берем р = оо), и является ограниченным. Здесь мы
используем хорошо известное следствие неравенства Гёльдера
\\f*SkpiK)<\\f\\Lp(R)\\g\\Ll{*y Кр<«>.
Подобным же образом и ограничено (—оо,0] тогда и только
тогда, когда
Е-.и(0)- J eA-yE-f(y)dy = Qt
и если это равенство выполнено, то
i;"iVR)<c.(l('-£>(0)|+iniVR)).
Для того чтобы ограниченное решение и существовало при
любом непрерывном / с носителем в (—1,1), необходимо (и
достаточно для любого ограниченного /), чтобы
R{E-) + R(l-E+)czR(E+) + R(l-E-)t
или, эквивалентно, С" = /?(£+) + /?(1—£-). Легко видеть, что
единственность имеет место тогда и только тогда, когда
R(E+)(]R(l—£-) = {0}, а если выполняются оба эти условия,
ТО \\tihp{R)<CA\\fkp{Rr
Лемма 2. Пусть матрицы А+(А,), А-(Х) оуть аналитические
функции от Я е С. Положим
5± = {Я|Л±(?1) имеет мнимое собственное значение}.
Предположим, что
(А+(%) при *>0,
А{х, Ь) = \А_{К) при x<Qf
и рассмотрим дифференциальный оператор
du
dx
Цл)^^ + Л(., Я) и

156
Гл. 5. Окрестность стационарной точки
в любом из пространств LP(R), 1 ^ р < оо, C0(R) или Cuni(R);
можно считать Ь(%) замкнутым и плотно-определенным.
Тогда для любого открытого связного множества G в
iC-\(S+US-) выполнено одно из следующих двух условий:
(i) 0Ea(L(l)) при всех X е G;
(ii) Oep(L(A)) при всех К е G, за исключением некоторого
числа изолированных точек; эти исключительные точки являются
полюсами L(X)-1 конечной кратности.
Кроме того, 0Ea(L(^)) при всех ^gS+|JS-.
Доказательство. Проекторы Е+(К)У Е~(Х), определенные, как
в лемме 1, аналитичны по % в G, и условие
С» = /?(£+(*))© Д(1—£_(*)),
необходимое и достаточное для того, чтобы 0^p(L(X)),
эквивалентно требованию, чтобы
det(M^), ..., pm(X), qm+i{%), ..., дп(Х)]Ф0
при некотором выборе столбцов pj(k) из Е+(Х) и ^*(^) из
/ —£-(Я), когда /?(£+(*,)) m-мерно, а R(l —Е-Ск))(п —пг)-
мерно. Условие на размерность выполняется либо везде в G,
либо нигде. Если оно имеет место, то 0Gp(L()i)) везде в G,
кроме тех изолированных точек, в которых все определители
(аналитические по к) обращаются в нуль, в противном же
случае они все равны нулю везде в G и 0Ea(L(^)) при всех %.
В случае (ii) нули рассматриваемых определителей имеют
конечную кратность и являются полюсами конечного порядка для
L(k)-K
Если leS+ (или, аналогично, S_), то существует решение
и(х) соответствующего однородного уравнения, ограниченное и
отделенное от нуля при Ar->4"°°- Пусть <р(х)— гладкая функция,
Ф (х) = 1 при | х | < 1, ф (х) = 0 при | х | > 2, и пусть
um(x)^u(x)v(^=^).
Тогда если 1 ^ р ^ оо, то
!M*>tt«lkp<R> , х .
—и т. = 0( — )-**0 при т-^оо,
так что Ое o{L(K)).
Замечание. Этот результат справедлив также и в случае
асимптотически-периодических коэффициентов (и даже в еще более
общей ситуации). В этом случае leS±, если предельное
периодическое уравнение имеет нетривиальное решение, ограничен-

Добавление. Существенный спектр некоторых О ДО 167
ое на (—оо,оо). Доказательство остается по существу тем же,
о вычисление S± намного более сложно.
еорема А.2. Пусть М(х), N(x)— ограниченные вещественные
штричные функции, M(x)f N(x)^-M±i N± при х->±оо, D — по-
гоянная симметричная положительная матрица. В любом из
ространств Ljp(K), 1^р<оо, C0(R) или Сип*(К) положим
для вектор-столбцов и(х))
Аи(х) = —Duxx + М(х)их + N(x)uy — оо < х < оо.
»удем считать А замкнутым плотно-определенным линейным
ператором. Пусть
5± = {К | det (x2D + kM± + N± — M)=0
ри некотором вещественном т, — оо < т < оо}.
огда S± состоит из конечного числа алгебраических кривых,
имметричных относительно вещественной оси и асимптотически
нляющихся параболами: >, = т26 + 0(т) при т->±оо, где б —
обственное значение D. Пусть Р — объединение областей,
лежащих внутри кривых S+, S_, и точек самих этих кривых, т. е.
;\Р — это компонента C\(S+US-), содержащая левую полу-
лоскость. Тогда существенный спектр L содержится в Р (и со-
ержит S+US-).
[оказательство. Написав соответствующую систему первого по-
ядка, получим наш результат для М и JV, равных соответствен-
о М± и N± в каждой полуплоскости; заметим, что полюс по-
ядка m функции (К — Л)-1 является собственным значением А
ратности ^2mn. Общий случай получается применением тео-
емы АЛ. Так как большие отрицательные числа не являются
обственными значениями, множество С\Р не может состоять
включительно из собственных значений, поэтому оно не содер-
кит существенного спектра.
1РИМЕР 1. Рассмотрим оператор
—Lm = u** + а(х)их + b{x)u, — оо < л: < оо
скалярный случай), где а(х), b(x)^a±i b± при jc-vzhoo. Для
ущественного спектра оператора L выполнено включение
a#(L)c=|x|ReX-il!^->--6±|;
фи а± = О используется соответственно луч [—Ь±) оо). В ча-
тности,
min Re ое (L) = min (—6+, —Ь-),
i этот минимум положителен тогда и только тогда, когда и 6+
i 6- отрицательны,

158
Гл. 5. Окрестность стационарной точки
Пусть w(x)> О — гладкая весовая функция. Предположим,
что
w' (X)
w (х)
ц±,
W" (X)
w(x)
2
Х-* ± оо.
Этого можно добиться, выбирая подходящее w (х) = еКх + evx
или l/(e** + ev*) при произвольном выборе вещественных \х+ и
(j_. Применяя преобразование подобия
(что эквивалентно введению некоторой весовой нормы в LP{R),
][ ^ р =^Гоо), получим
min Re ое {Lw) = min (—Ь± — н4 — Й±1^±Х
Если 6± < а±/4 для каждого знака, то можно выбрать
весовую функцию w так, чтобы Reoe(Lw)> 0; это
некоторый шаг
вперед по сравнению с
условием Ъ± < 0.
Упражнение 3,
Рассмотрим систему из п уравнений
—Lu = Du"+ Vu'+M(x)u,
где D — симметричная
положительная матрица, V —
постоянный скаляр и М(х)-+М±
Рис. 10. S+ =S_. при х->±оо. Покажите, что
для того чтобы Reae(L)>0,
необходимо, чтобы все собственные значения М± имели
отрицательную вещественную часть. Если D — тоже скаляр, то это
условие является необходимым и достаточным.
ПРИМЕР 2. Это искусственный пример, предназначенный лишь
для того, чтобы продемонстрировать форму кривых S+, S_:
чм:х;1м:х;Я1Г)(:)
(—оо < х < оо). Кривая 5+ = S- задается решениями X урав:
нения
0 = Я2 + X {3 - 5т2 + 3*т} + 4т4 - 14т2 - 1 + i (-9т3 + Зт)
( —оо<т<оо). Если т = 0, то *,=(—3± Yl3)/2 » — 3.3
или 0.3. Эти точки являются крайними левыми точками
соответствующих кривых; вычисление корней % для нескольких
значений т, 0<т<;2> дает картинку, представленную на рис. 10.

Добавление. Существенный спектр некоторых О ДО 159
Для случая постоянных коэффициентов существенный спектр
нератора L является просто объединением этих кривых. Для
1стем с коэффициентами, аппроксимирующими
соответствующе коэффициенты L при л:->±оо, существенный спектр дол-
;ен быть расположен внутри (и на) наиболее удаленной кривой.
пражнение 4. Рассмотрим уравнение —Lu = и" + 2thхи!
LP{R) или Cuni(lK). Покажите, что
S+ = S_ = {X14 Re X = (Im ^)2},
о (L) = ае (L) = {I | 4 Re X > (Im ^)2}.
Указание: возьмите v = ch х.] Это показывает, что область
путри кривых S± может быть заполнена существенным спек-
ром.

ГЛАВА 6
ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ВБЛИЗИ
СТАЦИОНАРНОЙ ТОЧКИ
6.1. СУЩЕСТВОВАНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ
ИНВАРИАНТНОГО МНОГООБРАЗИЯ
Результаты этого параграфа формулируются в виде, доста-
точно общем для последующих приложений в § 6.2—6.4. После
рассмотрения этих приложений сделанные ниже предположения
должны показаться не такими произвольными.
Определение 6.1.1. Множество S с= R X Ха называется
локальным инвариантным многообразием для дифференциального
уравнения dx/dt + Ах = f(ttx), если для любой пары (*0) лг0)е S
существует решение х(-) этого уравнения, определенное на
некотором окрытом интервале (/ь£г), содержащем /0» и такое, что
x(tQ)—xo и (U(())gS при t\ < t < ^'/^^азывается
риантным многообразием^ если всегда моМю взять (^7¾)
\—оо,оо). В случае когда дифференциальное уравнение
автономно и S = R XSi, мы будем также и Si называть
инвариантным многообразием.
При некоторых предположениях мы докажем для системы
dx +Ax = f{t9 х, у),
dt
dy_
dt
= g(t, *, у)
существование инвариантного многообразия вида S =
{{1>Х>У) \х = o(t,y)}. Грубо говоря, предположения заключаются
в том, что уравнение dx/dt + Ах = О асимптотически устойчиво,
f мало и решения у-уравнения расходятся не слишком быстро
,(ср. [37, гл. 7], [58L [4Ц и [721^Некоторые другие случаи
рассмотрены в упражнениях 4—8 иТгл! 8 и 9.
Теорема 6.1.2. Пусть X и У — банаховы пространства, А—сек-
ториальный оператор в X, U — окрестность нуля в Ха для
некоторого а < l,f:RXUXY^Xng:RXUX Y-* Y — локально-
липшицевы функции,
If С х9 y)-f(t, *', /)K*(i*-*';!« + №-Л).
\\f(t> х% y)\\<N.

6.1. Существование и устойчивость инвариантного многообразия 16!
1редположим, что
\e~At 1 < Ме~*\ || Aae'At \ < МГае~*' при t > О
i решение y(t)= y(t\x9t\,x(-)) уравнения dy/dt = g(tfx(t)ty)\
||)и t^x, у(т) = г\ существует на (—оо,т] для любой непре-
плвной кривой х: (—оо,т]-^£/ и любого ц е Y. Предположим,
[алее, что для произвольных г], к\', х, х'
y(t; т, т], x(-))~y(t; т, V, *'(•))!
т
<M1eMT-')|T,-T|l + Af2fe|A(e-f)b(s)-/Wlads
фи / <; т, где Л,, Л/, М, р, Мь М2 и \х — неотрицательные
постояннее. Наконец, пусть при некоторых положительных постоянных
\ и D выполнены соотношения
оо
a) {*|]*3a<D}c:I/ и MN f «Гае"Эи du < D;
6
оо
b) если Ьшвил\и-аё-*,'е* + ШЛиdu, то
6
Af18<A/(l + A)f emax{l, J1+^l} < к
Гогда существует инвариантное многообразие
S={(f,*,*/)|x = a(*f у), —оо <Коо,1/еУ}>
причем ||<r(*,j/)Ha^D, ||a(<,i/i) —a(ffy2)lla<Alli/i—У2||. Если/
и g периодичны по f с периодом р > О, то a(* + р, у) = o{tyy)\
если / и g не зависят от t, то и а не зависит от £.
Если, кроме того, предположить, что
\\f(t,x,y)-f(t\xfy)\\^B\t-f\
И решение yh{t) = yh{t\ т, т), #(•)) задачи
dyh/dt = g(t + h, x{t), у*), ун(г) = ц
удовлетворяет оценке
\\yh(t)-^(t)\\<Bxe^^\h\9 t<x,
TO существует постоянная К, такая что
l|o(f + ft^)-o(^j/)||a<K|h|.-
6 Д. Хенри

162 Гл. 6. Инвариантные многообразия вблизи стационарной точки
Замечание. Если \х <; р и X достаточно мало, то легко обеспе
чить выполнение условия Ь). Если
№('. х* У) — g(U х, у) II^ М2\\х — х\\а + \i\\y — У\\,
то выполнены условия на (/-уравнение.
Доказательство. Пусть а: КХУ-^^а — непрерывная функция,
причем
(•) \\o(tty)\\a<Dt \\0(t,y)-0(t,y')\\a^M\y-y'\\
на R X ^. Пусть y(t) = ty{t\i,i\9v) — решение задачи
dy/dt = g(t9o(t,y),y) при /<т, #(т) = л-
Тогда ф(*;т, л» а) корректно определено при всех t s^t.
Зададим отображение G(o); R Y^Y ->Ха формулой
X
Q(o)(i, Л)= J e-Mx-s)f(s, a(s, y(s))y(s))ds,
— оо
где y(s)= i|)(s; т, л, а). Докажем, что G(o) тоже удовлетвори
условию (*) и, более того, что G — сжатие на рассматриваем^
классе функций в равномерной норме. Прежде всего замети|
что по предположению а) •
т
|0(а)в< J M(x-s)~ae^(x-s)Nds^D.
— оо
Пусть теперь от и а' — две функции, удовлетворяющие
условию (*), и л, ^бУ. Положим y(t) = $(t\ т,т], а), #'(*) =
i|) (*; т, л', а'). Тогда для / s£I т
+ Af,j'e'lt-,){A||i,(e)-|f'(S)|| + |||o-a'||}(fcI
где
III о - о'III = sup {1| о (f, jj)-o'(f, у)Ш, y)<=RXY).
Следовательно (& равенство Гронуолла),
llfW-y(Ol<^+AM^Af,h-.n'l+ -^^-1110-0'III}

6.1. Существование и устойчивость инвариантного многообразия 163
ГЙК что
|0(o)(T, fD-G(o')(T, тЩа
х
< J Af(T-sree-p(T-^{|||o-a'||| + (H-A)ly(s)-y'(e)|}^
— оо
+ (1+А)е[м,1|л —-пЧ1+ ,,/^д HI «-о7 III]
<А||л-Ч/|Ц-в'|||о-о/|||,
в'-гаах(1, (1+йУ-><1.
Поэтому существует единственная неподвижная точка <j= G(o)
и классе (*). Остается показать, что a — липшицева функция по
/, а S — инвариантно. Для o = G(o)t как и выше, определим
оА, |Л|</го, формулой Gh(tyy)= o(t + /*, У). Тогда ah
удовлетворяет (*), и определено решение #*(/) задачи
Следовательно, как и выше,
\\G(0)(X+/1, ru-G(o)(<Z, T|)|a
J e-^(T-S)[/(s + A( 0(в + Л> /(^)), yh(S))-f(8, a(s, у[8))
— 00
y(s))]rfs
< J М(т-5Гае-р(т-5)[В|ЛЦ-Х|||ал-а||| + >.(1 + А)!1/(8)
-y(s)\]ds,
+nrfcr|||а*"a i"]- тяг 111°* - ° т.
так что
||о(т + А, г]) — а(т, т])||а
с»
< В | Л | J МгГае-р" d« -}- (1 + А) Bfi | А | + е' ||| а" - а |||,
U
Чвм требуемый результат и доказан.

164 Гл. 6. Инвариантные многообразия вблизи стационарной точки
Остается установить инвариантность S. Пусть {t0y х0,уо)^ S,
так что Хо = a (to, уо). Определим y(t)f —оо < / < оо как
решение задачи
-2^ = £('> 0('> »)• У(*о) = Уо
и положим x(t) — o(t, y(t)) при всех t. Это определяет кривую
(ttX{t)ty(t))^S, —оо < t < оо, проходящую через точку
(/о, *о,*/о). Достаточно доказать, что х(-) удовлетворяет
уравнению
J£ + Ax=ssf(f9 0(t, y{t)\ y(t)\ -oo<*< оо.
Но это уравнение имеет единственное решение Хь(0>
ограниченное при /->-—оо, а именно
t
xb(t)= j e-A(t-s)f{s, o(s. у {s)\ y(s))ds,
— CO
значит, x{t)=a(t,y(t)) — действительно решение.
Если f и g периодичны no t с периодом р > 0, то можно
ограничиться р-периодическими функциями а,
удовлетворяющими (*). В этом случае y(t -f- р; т + р)= j/(f; т) и G(<j)(t +
р, г])= G(a) (т, л)- Дальнейшие рассуждения проходят без
изменений.
Упражнение 1. Пусть f и g зависят еще "от некоторого
параметра s, |е|<1ео, и приведенные выше оценки равномерны
по е. Пусть также (в очевидных обозначениях)
\y{t; т, ть *(•), е) —i/(/; т, л, *(•). е')1<*, |е--е'|*Мт-*
при t ^ т, |е|<е0, |е'|<во. Докажите, что инвариантное
многообразие Se ={(*, х, г/) |* = o(i, у,г)}—липшицева функция
от S.
Определение 6.1.3. Пусть S — локальное инвариантное
многообразие для некоторого дифференциального уравнения.
Подмножество 2 многообразия S называется устойчивым, если для
любого U и любого в > 0 существует б > 0, такое что когда
(*о, Хо) лежит в б-окрестности временного среза £ П {tQ}t то
(t,x(t\to,x0)) лежит в е-окрестности £ П (0 при всех t^t0,
где х(-\ /о, х0) — решение дифференциального уравнения,
проходящее через (to, хо). Далее, 2 называется устойчивым
относительно потока в S, если требование устойчивости выполняется
для точек (/oJo)eS в некоторой б-окрестности £ Л (М-
Аналогично определяются понятия неустойчивости и равномерной
асимптотической устойчивости для подмножеств 2 в S.

6.1. Существование и устойчивость инвариантного многообразия 165
Теорема 6.1.4. Пусть выполнены предположения теоремы 6.1.2, и
пусть отображение
(x>y)^>g(t>x,y), UXY-^Y
удовлетворяет равномерному условию Липшица и
г = 0(1 + М1М2(1 + Д)/(р-^/))<(Р/(Р -t*'))1-*,
где ^ = ^ + М2Д, так что
v = p—(р — nV/(!-a)>o.
Тогда инвариантное многообразие S является экспоненциально-
притягивающим. Точнее, если (x(t),y(t))—решение на
интервале tQ ^ t ^ t\, такое что x{t)^ Uy то на [f0, U]
lx(t)-o(tf y(t)yia<KMe-yit^to)lx(t0)^a(t0t у (t0))U
где К — постоянная, зависящая лишь от а. Далее, если EcrS
равномерно-асимптотически-устойчиво относительно потока в S,
то 2 равномерно-асимптотически-устойчиво. Если 2cS
неустойчиво относительно потока в 5, то S неустойчиво.
Замечание. В приложениях обычно берется либо
Z = W, *о> Уо)\ — °° < t < оо},
где (х0, уо) — стационарная точка, либо
£ = {('. *№. ^))1-«><'<«>>.
где (x(t),y(t))—периодическое решение или семейство
периодических решений. Легко показать, что (в случае f и g, не
зависящих от t) асимптотическая устойчивость 2 эквивалентна
асимптотической устойчивости стационарной точки или же
орбитальной асимптотической устойчивости периодического решения.
Доказательство. Пусть x(t), y(t) — решение на интервале to ^
t ^ tu удовлетворяющее условию x(t)^U. Положим £(*) =
x(t)—a(t,y(t)). Пусть, далее, y{s\t), s^t, — решение задачи
-|f- = g(s> a(s, у), у), s<£,
y = y(t) при s=t.
В силу неравенства Гронуолла имеем (^=^+^2^)
t
\\y{s; 0-f/(s)|<M2f^'(0-5)i|(e)f;ade, *o<s<*.
t
ly(s; t)-y(s; WKAM^fe11'18-» |i(9)«„d9, «</„<*.
и

166 Гл. 6. Инвариантные многообразия вблизи стационарной точки
При г0<*<*1
6(/)-e-Atf-^(*e)=Je"^->[/(sf X(S), у (8))
и
— f(s, a(s, y(s; /)), y(s, /))]
+ J e-Ait-s)[f(s, a(s, y(s; /„)),«/(s; /0))
— oo
— f(s, a{s, y(s; /)), y(s; t))]ds,
так что
||4 (/) I„ < Me~*<*" '■» || I (/„),!„ + Ш J || I (s)||a / (/, s) ds,
и
где
/ (/, s) = (/ - s)-ae-p('-s) + M,M2 (1 + A) e*' (s-'>
oo
t-s
< (/ - s)-ae-p (< "s) {1 + M2M, (1 + A)/(p - ц')}.
Если 6 = Я,Л1{1 + М1М2(1 + Д)/(р-ц/)}, то
eP('-'e) 114(/)||a < M||^(t0)I'a + 6 J (f — s)-«e»<s"'»>Иg(S)||a rf5.
Такие интегральные неравенства обсуждаются в § 7.1, и лемма
7.1.1 показывает, что
II Ш1« *р (< ~'о) < W| 4 (/0)||a е'(< -'°\
где
а постоянная К зависит лишь от а. Требуемая оценка получена.
Далее, поток в S является просто сужением на S потока в
(УХУ, так что неустойчивость 2 относительно потока в S
тривиально влечет неустойчивость 2. Предположим, что 2
равномерно-асимптотически-устойчиво относительно потока в 5.
Рассуждения, аналогичные проведенным при доказательстве
теоремы 4.2.1 (см. также упр. 4 § 4.2 и книгу Ёсидзавы [135]),
показывают, что существует V: S-+R, такое что для z(t) =
[(o(t,y)yy)t=S и dy/dt = g(t,o(t,y),y)
a(dist((f, 2), Е*))<К(*, 2)<dist((f, z), I,).
\V(ty z,)-V(t, z2)\^z{ -z2\\^(l + Щу{-y2%
?(*, 2)= m ±{v(t + h, Z(t + h))~v(t, z(t))}<-v(t. 2).

6.1. Существование и устойчивость инвариантного многообразия 167
Здесь а(-) — непрерывная строго возрастающая функция с
a (0) = 0 и 2* = 2(1(0—временной срез в момент t. Если
{to,xo,yo) лежит вблизи \, x0 — o(tQt y0) = lQ и zQ =(а(*0,Уо),
Уо), то положим
W(t0, х0ууо) =V{t0, г0) + Р|1Ео11а,
где Р —положительная постоянная, которая будет выбрана
ниже. Подберем Т > 0 такое большое, что
е-Г < 1/2 и КМе-Ут < 1/4.
Если точка (/о, *о, Уо) достаточно близка к S, т. е. норма ||£(fo)llce
достаточно мала, то решение, проходящее через эту точку,
существует, причем x{t)^U на интервале to ^ t ^ /0 -f ^» так что
W(t0 + Tt x(t9 + T), y(h + T))
= V(t0 + T7 z{t0 + T)) + PH(t0 + T)\a
< e-TV (tQ, z (*0)) -f (1 + A) e"r И у (f0; *0 + Г) - у (t0)\\
+ PMKe-yT\\l(tQ)\\a
<±V{t0t г&)) + ±Р\ши
+ (1 + A) M2KMe-T (J_^_L J || i (Ща
при условии что Р выбрано достаточно большим (Р зависит
лишь от заданных констант и Г). Выберем при этом Р настолько
большим, чтобы при |||(/о)11а ^ 1/Р существовало решение
с x(t)^U на /о^?^^о+7\ равномерно по to. Тогда если
W(to,x(to),y(to))^ 1, то решение существует при всех t ^ /0 и
W(t, x(t)t у (0) < const - 2~('~wr,
что и доказывает равномерную асимптотическую устойчивость Е.
Следствие 6.1.5. Пусть предположения теоремы 6.1.4 усилены
следующим образом: г<1 и dim У < со. Тогда 5 равномерно-
асимптотически-устойчиво с асимптотической фазой. Точнее,
существуют 6>0 и с > 0, такие что любое решение {x(t),y(t))f
удовлетворяющее условию \\x(t0)—а(^о, i/(^o) 11« <: б, существует
при всех t^to, и существует решение y(t) уравнения dy/dt =*
g{U or(^ 9)у У) у такое что при t ^ to
\\y(t)-9{t)\\ + \\x(t)-0{tt y(t)Ya
<Се-п'-**у\\х(^)-о(и, y{t0))\\a.

168 Гл. 6. Инвариантные многообразия вблизи стационарной точки
Доказательство. Заметим, что
оо
\\o(t, у)\\а < MN J иГае~Ьи du < D,
о
так что
|| х (01!« < || о (t, у (t))]a + КМе~у « ~ <о) 6 < D
на области существования решения (t ^ /0), и если б достаточно
мало, то решение существует при всех t ^ t0. Далее (в
обозначениях теоремы 6.1.4),
t
ly(s)-y(s; 0!<M2j>'(e-s>
S
X MKe~y (e's) || l (s)U dQ < M2MK/(y - ц') JI (s)U
при to ^ s ^ t. (Отметим, что у > ц', так как г < 1.) Выберем
последовательность f„->+oof так что y{h\tn) сходится в У, и
пусть */(s)—решение в S, такое что y(to)—Umy(tQ;tn). Тогда
для любого s ^ /о имеем i/(s) = lim#(s; *Л) и
откуда и следует искомый результат.
Замечание. Если У бесконечномерно, но отображение ц>~->
g(t, e{Uy{t)-\- Л), */(0+Л) принадлежит классу С1 равномерно
в некоторой окрестности ц = 0 при t ^ ^о, то мы опять имеем
дело с асимптотической фазой. На этот факт обратил
внимание профессор Джек Карр.
Лемма 6Л.6. Пусть X, У— банаховы пространства и U —
открытое множество в X. Всякий замкнутый шар в Cr{U, Y) (где
г — нецелое) или в CLip (У, Y) (fe = 0, 1, 2, ... замкнут также
в равномерной норме пространства CQ(UyY). (Подчеркнем, что
это утверждение ложно для СЙ(К,К), &= 1,2, ... .)
Доказательство. Для 0 <С г < 1 или Сир результат тривиален;
докажем его для первой производной, откуда легко будет
следовать общий случай.
Пусть un:U-+Yt !«»(*)!<*. 1м*)'|<в
и
\\и'п(х)-ип(У)\<В\\х-у(
при х, у е U и п = 1, 2, 3, ... ; здесь В > 0 и s, 0 < s < 1,
фиксированы. Покажем, что если Un(x)-* и{х) при /г->оо
равномерно по #е U, то и дифференцируема и удовлетворяет неко-

6.1. Существование и устойчивость инвариантного многообразия 169
торым оценкам. Пусть
d(x) = min{l, dist(x, dU)}.
Тогда для x^U, h^X с \\h\\<.d{x) и любой функции /е
Cl+*{U,Y) имеем
\rWki<M{x + b)-f{x)Mf(x + b)-f(x)-r(x)k\
<2\f\\co + \\f\y + s\\h^s9
так что для f = ип — ит
I! и'п (х) - Um (х)\\ < -щ- [ ип - um|]c- + 2В || Л|f
при || h || < d (#), и если |! ип — ит |со < 1, то
d (х) 1 и'п (х) - um (*) 1 < 4 (1 + B)l|art - am|^{1 +s).
Таким образом, и дифференцируема и ип(х)->и (х) при каждом
x^U (равномерно по х, если множество точек х отделено от
dU). Следовательно, ||и'(*)Н^ В и
W(x)-u'{y)\\<BU-y\\:
Упражнение 2. Покажите, что С°-замыкание единичного
шага в С^К) есть единичный шар в Clip(R).
Упражнение 3. Докажите, что если функции ип: U~*Y
таковы, что !| ип (х) | < В и
\ип(х)-ик{х)\<(о{и-ЯЬ
при х, ice U и всех п ^ 1, где <а(-)— непрерывная
неубывающая функция с 0)(0)=0, и если ип(х)-+и(х) равномерно по
xg(/ при п-^оо, то и дифференцируема, \\и'(х)\\^.В и
\\и'(х)-и'{х)\\<<*(\\х-х\\).
Теорема 6.1.7. В дополнение к предположениям теоремы 6.1.2
пусть /п>1 и функции (f(tt -, •), g(tt •, •)) равномерно
ограничены в О(£7 X У, *Х У) (соотв. в С™-1 (С/ X У. ХХП.если т —
целое). Пусть, далее,
\х! = \i + М2 А, тр/ < р,
оо
6
d,Atf (1 + Af! (1 + Д) sup 18х 1/(р-1) |*0 < 1

170 Гл. в. Инвариантные многообразия вблизи стационарной точки
при любом целом р из интервала 1 < р < m и при р = т. Тогда
функция o(t, •): Y-+U czXa равномерно ограничена в Ст (соотв.
в Сир ).
Замечание. Утверждения о гладкости в Ст при целых т
являются гораздо более трудными.
Доказательство. В силу леммы 6.1.6 достаточно показать, что
отображение G из доказательства теоремы 6.1.2 переводит
некоторый замкнутый шар в S[}Cm{Y,Xa) в себя; мы используем
обозначения из этого доказательства, т. е. под S понимаем класс
отображений a: К X Y -> Xat удовлетворяющих условию (*),
приведенному в самом начале доказательства теоремы 6.1.2. Мы
докажем наш результат для Ст, 1 < m < 2, и Сир (т = 2) и
наметим необходимые оценки для общего случая.
Пусть m = l+S, 0< б < 1, qgS, производная а'(/,у) по
у ограничена (а именно \\a'(t, #)li<j А) и
!*'(*. »)-*'(*, *)1<#б(а'('))№-01е
с ограниченной постоянной Гёльдера Hb(o'(t)). Пусть, далее,
у (t) — у (f; t,tj, or) — решение задачи
-^-= *(*, о(*,*)), «т, #(т) = Л
и #(0 —#(*; T>*b °0- Из неравенства Гронуолла вытекает
следующая оценка для y'(t) = {d/di\)y(t\i,y\,o):
WWl^M*»'*-* при t<x.
Поэтому
t
+ (1 + Ang||cm}|||/(s) - у (s)fW(s)ldst
так что
Л6(у (t))<M?+1[lgx\\HbW) + (1 + Д)"ilffH-
и. Ate"*'<*-'>.

6.1. Существование и устойчивость инвариантного многообразия 171
Кроме того, как было доказано, || (d/dy\)G{o) (т,т|)1К Д и>
следовательно,
t
//«[-£-О (а) (т, ■)]< J M(T-S)-ee-p(T-^(H-A)
— оо
X Mmem*'«-« -1-(Шд(а') + (1 + A)m!|f |Н(Л*1в*'(т-Т
<0т[(1 + А)УИт+МГЯб(а')]
оо
+ ЛШГ (1 + Afllf [с™ f «-ee-p"em,i',i tfw
6
< 9тМГ [l + Л1) (1 + b)tgx\l(m - 1) |i'] Яб(а )
+ {члены, зависящие от //б (<*')}•
Так как коэффициент при Яб(а') меньше единицы, то существует
В > О, такое что
Я6(аО<В^Я6(^гО(а))<В,
Откуда и следует нужный результат.
Для производных высшего порядка используются следующие
оценки:
1/Чо!=
<э*
drf
y(t; г, г], а)
<Mke
fcH'tt-f)
, *<Т,
^6(y(ft)(i))<Mft + 5e(ft + e)tl'(t-0 (0<6<П,
и (m = & + 6)
Мт = «^||МГ+1Яб(а(Л))/('п- Dl*'
+ {члены с tg\ck и |а|сй_,}
+ {члены с flg|cm и ||а||сй].
Кроме того,
1(-^г)*G (о) <т' *•> II < °* К1 + Д) ^ + М* I ^ 11
+ {члены с ИЛсй и l|a||cft_j}
идлят = & + б (0<6<1)
Я4 ((-£-)* G (а) (т, л)) < 9т [(1 -Ь Д) Мт + М?Н6 (a(ft))]
+ {члены с ||/;|ст и М^}.

172 Гл. в. Инвариантные многообразия вблизи стационарной точки
Коэффициент при старшей производной от а или при Я6(а(/г)))
меньше единицы, откуда наш результат получается, как и ранее.
Замечание. Можно доказать (см. [115]), что если отображение
(х, у)*—>{f(t, х, у), g(t,x,y)) равномерно непрерывно
дифференцируемо, то и отображение y*->o(t,y) равномерно непрерывно
дифференцируемо, но рассуждения здесь значительно сложнее.
Мне неизвестно, верен ли тот же результат без условия
равномерности. Хирш, Пью и Шуб [121] развили метод «липшице-
вых струй», который может быть полезен в этих вопросах, но
мы обычно как раз избегаем случая Ст при целом т.
Определение 6.1.8. Пусть X — банахово пространство, U —
открытое множество в X и Т: U ->- X — непрерывное отображение.
Множество 2 cz U называется положительно-инвариантным
относительно Т, если Т (2) П ^ с: 2, отрицательно-инвариантным
относительно 7\ если 2 fl Т (U) cz Т (2), и инвариантным, если
выполнены оба эти условия. Далее, будем называть 2
локально-инвариантным (соотв. локально-положительно-инвариантным,
локально-отрицательно-инвариантным) относительно 7\ если
каждая точка из U имеет открытую окрестность V, такую что 2 П У
инвариантно (соотв. положительно-инвариантно, отрицательно-
инвариантно) относительно сужения T\V.
Замечание. Мы не предполагаем, что Т инъективно или что
T(U)cz U. Аналогичные определения можно дать и для
локальной инвариантности относительно динамической системы (ср.
определение 4.3.1), и тогда можно рассматривать в качестве Т
отображение сдвига на 1 или отображение Пуанкаре на
секущей поверхности (см. § 8.4).
Мы уже рассматривали локально-инвариантные
многообразия— локально-устойчивые и неустойчивые многообразия
(теорема 5.2.1) и локальные сильно-неустойчивые и центрально-
устойчивые многообразия (упр. 4 § 5.1 и упр. 2 § 5.2); другие
примеры будут изучены в § 6.2 и гл. 8. Сейчас укажем условия,
гарантирующие возможность расширять локально-инвариантные
многообразия до инвариантных многообразий, сохраняя
гладкость.
Теорема 6.1.9. Пусть X — банахово пространство, U — открытое
множество в X, Т: U-+-X — отображение класса Сг (1 ^г^ оо
или г = со; последнее означает, что Т аналитично) и 2 —
подмногообразие в U класса Сг.
(i) Если 2 конечномерно и локально-отрицательно-инва-
риантио, Т наъективно и его производная Т(х\ инъективна в
каждой точке х множества
2+== U Г" (2),
л=0

6.1. Существование и устойчивость инвариантного многообразия 173
то 2+ есть инъективно погруженное в U Сг-многообразие той же
размерности, что и 2, положительно-инвариантное и локально-
отрицательно-инвариантное. Если 2 отрицательно-инвариантно,
то 2+ инвариантно.
(ii) Если 2 имеет конечную коразмерность и
локально-положительно-инвариантно, Т инъективно, а производная Т'{х) имеет
плотный образ в каждой точке х множества
2~= U Г" (2),
то Е- есть инъективно погруженное в U Сг-многообразие той же
коразмерности, что и 2, отрицательно-инвариантное и локально-
положительно-инвариантное относительно Г. Если 2
положительно-инвариантно, то 2" инвариантно.
Замечания. Для проверки инъективности Т и Т'(х) необходима
теорема об обратной единственности; доказательство плотности
образа Т'{х) будет получено путем доказательства
инъективности сопряженного отображения, основанного на обратной
единственности для сопряженного уравнения. Эти вопросы
обсуждаются в § 7.3.
Расширенные многообразия 2± лишь погружены, а не
вложены в U — топология, которую они наследуют от 2, может не
согласовываться с топологией, индуцированной из U.
Стандартным примером служит образ 6 в R2, изображенный на
рис. 11, (а), где оба «конца» R подходят к нулю, но не
достигают его. Возможно и осциллирующее поведение типа sin(l/x)
Рис. 11.
при х->0 (рис. 11, (Ь)), являющееся, пожалуй, более
типичным. Для класса градиентных потоков, изученного в § 5.3,
глобальные устойчивые и неустойчивые многообразия оказываются
вложенными (см. теорему 6.1.10).
Доказательство. Свойства инвариантности множеств 2±
очевидны.
(i) Множество 2 представляется локально как (А(£) || е R*f
|£|< 1}, где h — отображение класса Сг из Rft в I,
производная которого A'(g) имеет ранг k в каждой точке |, так что
7^(2) представляется локально как образ отображения Р-А
класса Сг. Так как {Tn),{h(%)) инъективно, то производная
отображения l^>Tn(h(l)) имеет ранг /?, откуда и следует нужный
результат.

174 Гл. б. Инвариантные многообразия вблизи стационарной точки
(и) Множество Е представляется локально как {xg
V\g(x)= 0}у где V — открытое множество в [/, g: V-**Rk
принадлежит классу Сг и g'(*) имеет ранг /г в каждой точке, в
которой g = 0. Таким образом, Г-П(Е) представляется локально
как (g-Tn)-l{0), отображение хь-> g(Tn{x)) принадлежит
классу Сг и его производные имеют ранг k в каждой точке, где
g(T»x) = 0.
Теорема 6.1.10. Пусть U — открытое множество в банаховом
пространстве X и отображение Т: U -*■ X класса Сг (г ^ 1) инъек-
тивно. Пусть, далее, x0 = T(x0)<=Uy g(T'(x0)) не пересекается
с единичной окружностью и вне единичного круга имеется лишь
конечное множество собственных значений (считаемых с учетом
их кратности). Возьмем положительно- (соотв. отрицательно-)
инвариантное Сг-многообразие WfOc(x0) (соотв. W"Oc(x0)) и
предположим, что его можно расширить до инвариантного инъек-
тивно погруженного Сг-многообразия Ws(x0) (соотв. Wu(x0))
(как в теореме 6.1.9). Предположим, наконец, что существует
непрерывное отображение V\ U-*R, такое что
Т{х)фх^У{Т(х))<У(х).
Тогда Ws(xq) и Wu(xq) вложены в U как подмногообразия,
пересекающиеся друг с другом лишь в лсо, и существует открытая
окрестность Q многообразия Ws(xo)t обладающая следующим
свойством: для всякого х е Q\Ws(xo) найдется целое М, такое
что Тп(х) определено при всех п ^ N и Tn(x)^Q при всех тех
п ^ N, для которых Тп(х) определено.
Мы докажем, что рассматриваемые многообразия вложены
в U, показав, что для х е Ws(x0) (cootr. Wu(xq)) существуют
окрестность U\ точки х и целое N ^ 0, такие что
U, П ^S (Хо) <= T~N{WS[0C (х0)) (соотв. Ux П Wa (х0)
С=ГЛЧ^Гос(х0))).
Сначала нам понадобится один результат Чэфи [111]:
Лемма 6.1.11. В предположениях теоремы существует
окрестность U0 точки хо, такая что для любого хе UQ\W\0C (х0) и
некоторого целого N ^ 0 (зависящего от х) Тп(х) определено при
п ^ N и Тп(х)е£ U0 при тех п ^ N, при которых Тп(х)
существует. Таким образом, Тп(х) в конце концов выходит из Uq и
больше не попадает туда.
Доказательство. Выберем 6i > 0 так, чтобы
Тп {х) <= Вб, (*о) при всех я>0 (соотв. <0)
=>- X 65 ^foc(Xo) (СООТВ. Кс(*0)).

6.1. Существование и устойчивость инвариантного многообразия 175
Предположим также, что
dist (Г" (jc), Wfoc (х0)) < Кап при п>0,
пока Тп(х) остается внутри B6j (х0), где К и а — постоянные,
О < а < 1. Выберем г| >> 0, такое что sup V(W)< V(x0), где
1^ = ^1^1.^1^6,, dist (я. W?oc (хо)) < т}},
и 0 < б0 < бь такое что
Далее, выберем сперва по > 0 так, чтобы Кап* < т|, а затем
окрестность (/о точки хо так, чтобы Г" (£/0) cz Вб0(*о) при п ^ л0 и
supK(4?)<inf V(£/0). Если я е= С/0\ИГ?ОС (*<>), то Г*(х) в
конечном счете покидает J3e, (дг0), и существует N, такое что
Тп (х) €= B6j (х0) при л < Л/ и TN +1 (х) ¢= ВЙ1 (*„)■ Так как ЛГ ^ п0,
то 2™(х)е= И7и
V(7«(x)X V(T"{x))<mlV(U0)
при п^ N, так что Тп(х)^ UQ при п^ N.
Доказательство теоремы 6J.10. Пусть x^Ws(x0). Найдется
N 5? О, такое что Г^ (х) е W?0c (х0) П U0, где Подокрестность из
предыдущей леммы. Далее, существует окрестность U\ точки х,
такая что TM(Ui)c: U0t и по лемме
TN(Ut {]Ws(xb))czWL(x^
откуда следует, что Ws(xQ) является вложенным. Для
доказательства последнего утверждения теоремы полагаем
Q= U T~n(U0).
Предположим теперь, что x^Wa (x0)\Wfoc (xQ). Тогда (в
обозначениях леммы 6.1.11) Г~Л(х)-*0_при л-*оо, но |]7*—"(лг) || >- 6i
при некотором п ^ О nJT~Mo(x)e=W = W (] W?oc (х0) при
некотором Л/о > 0. Так как W компактно, то существуют N\ > 0,
такое что
supV(TNl(W))<V(x),
и окрестность U\ точки х, такая что
snpV(TNi(W))<miV(U^
Для всякого j/g(/i(1^"W найдется N^0, для которого
T~N(y)<= W, так что N <Nlu

176 Гл. в. Инвариантные многообразия вблизи стационарной точки
Пример из теории горения. В § 5.1 мы обсуждали систему
*L = DAn-enf(T), -gJ-=0 на dil,
JgL = bT + qnf{T)t Т = \ на dQ,
где f(T)= е-И/т, q, D, /У, е —положительные постоянные
(е мало), a Q — ограниченная гладкая область. Мы показали,
что неотрицательное начальное значение (я, Т) |*=0 дает
неотрицательное решение, стремящееся к п = О, Т = 1 при t->-\-oo.
Для малых е>0 сходимость имеет порядок 0(e~8f{l)'), т. е.
довольно медленна. Известно также, что п и Т могут выдавать
довольно значительные «всплески» (обычно называемые
взрывами), прежде чем их поведение «установится», так что
интересно проследить за их поведением при всех t > 0 или хотя бы
при 15¾ 0(1/е). Эта задача была исследована Сэттингером
[132] с помощью «двухвременного» метода; используя теорию
инвариантных многообразий и некоторые простые оценки, мы
можем провести более непосредственное рассмотрение вопроса
без ограничений, налагавшихся Сэттингером на начальные
данные.
Заметим прежде всего, что при малых е > 0 уравнение для
концентрации (п) почти независимо от уравнения для
температуры (Г). Представим п в виде п = nQ + щ, где
п0= <д> =-щ- ) ndx
— пространственное среднее, а п\ имеет среднее значение нуль.
Пусть дана ограниченная локально-гёльдерова кривая {T(t)y
— oo<zt<Coo}y точки которой суть неотрицательные функции
из L2(Q), T(t)=T(0) при t^O. Инвариантное многообразие
для уравнения концентрации можно представить в форме
ni(t)=o(Tt,z)n(){t)i
линейной по По и зависящей лишь от отрезка Tt ={T(s)t s ^ t}
нашей кривой. Теорема 6.1.2 неприменима прямо к линейным
уравнениям, но, следуя ее доказательству, можно получить
равенство
о(Ти е) = -е J eA'E[f{T{t + s))
X схр ^ J </ (Т (6)) (l + а (Ге, е))> d(A\ ds,

6.1. Существование и устойчивость инвариантного многообразия 177
где Л=—DA на функциях с нулевым средним и равной нулю
на dQ нормальной производной,
<ф> = ТоГ J ф dXf E{f = ф ~~ ^*
При малых е это уравнение можно решить методом итераций
(заметим, что /(71) равномерно ограничено) и получить оценку
при малых е > 0, где Х{ — второе собственное значение (первое
положительное собственное значение) задачи Неймана в Q.
Докажем теперь, что норма J ti\ (t) Рl2 (Q) после окончания
переходного процесса становится и остается малой, так что m{t)
экспоненциально приближается к инвариантному многообразию
щ = o(Tt)no при t-+ ОО.
Заметим сначала, что
d
dt
J п < -2D j | vn |2 dx < —2DXi f ai2 dx,
^ft0 = -e<nf(r)>,
а значит (поскольку n, T ^ 0),
l*WL<n°>Iz,. »o(')<*o(0),
-J» J ft2 Jjc < — 2Dk{ §n*dx + 2en0 (nf (Г)>
< -2DXi J n] dx + 2e l| n (0))|2,
Й
так что
\n\dx< (J n? djA <T2DM + -JL_1|n (0)fis.
Как только Jtjfi^n) становится малой, п\ попадает в область
притяжения инвариантного многообразия, а потому
| я, (*) - а (Г,, е) щ (t)\\L2 = О (e_m,'/2) при * — оо.
Для изучения уравнений на временном интервале 0(1/е)
^удобно ввести переменную % = ef. Тогда
| и, (т) - а (7\, е) *> (т)||£, = О (в-*'1*'*),
;^=^</(Г(т))(1-г-а(Гт, е))>«„(т) + 0(е-Ат/е) (* = М>/2),
в -g- = ЛГ + </п0 (т) f {Т (т)) (1 + а (7\, е)) + О (е-*т/8),

178 Гл. 6. Инвариантные многообразия вблизи стационарной точки
Кроме того,
а{ТХ9 е) = -8Л-1£(/(Г(т)))+0(е2),
если функция т»—>Г(т) липшицева в рассматриваемой точке
(или t^-^T(t) имеет постоянную Липшица 0(e) для исходной
временной переменной).
Приступая к более детальному изучению уравнения для тем
пературы, оценим сначала l | v/ii |2:
-^ j | V я, |2 dx = - М- Г (An,)2 + 2 f (An,) nf (T)
Q Q
<-^-||vn1|2 + ^li«(0)|i!!;
здесь %o — первое собственное значение задачи Дирихле в Q, таг
что
I V», (т)Ц <| V», (0)te-^le + -jJjj,- |Л (0)(L.
Положим теперь
т
F(T) = lf(s)dSi Qn(T) = $(±\VT\2--qnF{T))dx.
Тогда
-jL Qn (Г (т)) + ± 1 LT + qnf (T)\l =-q^F(T)^L dx
= q$nf(T)F(T)dx+-^lf (Г»п, vr dx.
После начального переходного периода (т. е. при т^
в In (е—1HV/ii (0) Ц)) правая часть уравнения ограничена по
сравнению с \№ + qnf (T)\\L, или даже с Qn{T) при е-*0+. Далее,
\F(T)\^\T—1|, так что Qn(T) ограничено снизу. Таким
образом, после окончания переходного процесса температура Т будет
в общем близка к квазиустойчивому состоянию (определяемому
п или, точнее, по), с возможными осложнениями, возникающими,
когда Т «перескакивает» из одного почти-стационарного
состояния в другое (прекрасная задача для специалиста по теории
катастроф!).
Если гс(0) (или, точнее, мо(0) =■ <л(0)>) не слишком велико,
то возможна только одна стационарная точка и после оконча-

6.1. Существование и устойчивость инвариантного многообразия 179
ния переходного процесса мы получим
AT + qn0f (Г) « 0 в Q, Г = 1 на (Эй,
4^~-*0</(Г)>
и
Аппроксимации более высокого порядка легко вычисляются с
помощью инвариантного многообразия. Этот случай был
исследован Сэттингером [132] другим методом, подробности см. в его
работе.
Мы еще вернемся к этой задаче в гл. 10.
Упражнение 4. Пусть X, Y и Z — банаховы пространства,
А — секториальный оператор в X, 0^а<1, B^3?(Z).
Рассмотрим систему
x-\-Ax = f{tt х, у, г),
y = g{t> х, у, г),
z+Bz = h(t, х, уу г),
где отображение {f,g,h): R X Ха X Y X Z -> X X Y X Z локаль-
но-гёльдерово по £ и локально-липшицево по (х, г/, г), причем
при
||(x,z)||=max(IU||a,||2||)^Do
выполнены следующие условия:
(0 И/(',0,!л0)1К#, ||А(/, 0,1/,0) IKtf, отображения г/ь->
\{t,x,y,z) и yi—>h(t1xJy,z) имеют постоянную Липшица у. а по
(я, г) отображения f и ft имеют постоянную Липшица б;
(ii)ie~AVk<Ate~p'[x|:a, МГав"р/|!х;| при f > 0,
I! e~Biy I < Мр' I! у 1 при г < 0 (р > 0);
(Ш) если p(t) = (x(t)f z(t))~~ произвольная непрерывная
кривая в области ||р||<| Do, то решение y(t) = y(t\ т, ц, р)
задачи
y = g(t9x{t)9ytz(t))9y(x) = y\eY
существует на — оо <; f < оо и удовлетворяет оценке
\\y(t; т, rjIf pi) — y{t; т, %, р2)||
<Af1liTi,—Ti.He^^-^ + Af,
l^('"J)||Pi(s)-p2(s)l!ds
(iv) для некоторых положительных постоянных А и D,
D ^ Do, выполняются оценки:
а) М (N + 6D) max (l/p, Г (1 - а)/р1 ~а) < D,

180 Гл. 6. Инвариантные многообразия вблизи стационарной точки
b) AfAfi (Y + 6A)max(l/P, Г(1-а)/р1"а)< Д, где Э = р — Д
>0, \х = \1 + М2А,
c) М {(6 +ч/№1-' + у№1 ^а)) г(1 — а) < 1, где Y = Af2(Y
+ 6Д) и М{6/р+Ш}< 1.
Докажите, что существует инвариантное многообразие
S = {{t, х, у, z)\{x, z) = o(tt у), (*, y)^RXYh
причем \\o{t,y)\\^ D, \\a{tty\)—o{t9y2)\\^k\\y\—y2\\, и любое
инвариантное множество в {(ttx,y,z)\\\х\\а ^ £>, ||г||^ D}
содержится в 5.
Указание. Если y(t) = y{t\ т, v\, a-#)-— решение задачи
y = g(t,ox(t,y),yya2(tiy))i y{%)=i\
для некоторого а = (а^, аг) с ||a||^D и постоянной Липшица Д
и y(t)= y(t\ т, fj, а -у) определено аналогично, то
Определим а следующим образом:
в*(т. т0= J e-A(T-^(s, ox(s, r/(s)), y(s), a2(s, y(s))),
•—cx>
oo
сгг(т, r\) = — §e-Bix-s)h(s, ax(s, y(s)\ y(s), az(s, y(s))\
X
где y(s) = y{s\ %,ц, o-y). Покажите, что о>~>д—сжатие в
равномерной норме.
Упражнение 5. Будем использовать обозначения и
предположения предыдущего упражнения. Пусть (х, у, г)— решение при
t ^ т, такое что IU(0IU^£ ПРИ t ^ т, \\z(t)\\^ D при t>%
и для некоторого е > 0
к = М(б+ М2(у + 6А)1$)Т(\ -а), (р~е)1~а<1.
Тогда W)=x(t)—ox(t>y(t)) *t(t) = *(t)—a*(t,y(t))
удовлетворяют неравенству
max (Ц (*)[«, I1S(0IIX -r^-IU^IIae-8^-^ t > х.
Если, кроме того, dim У < оо и можно взять е>Д, то
существует решение у уравнения
■^ = g(t, ox{t, $), у, <ь(*. 9)),

6.1. Существование и устойчивость инвариантного многообразия 18!
ЛШ2||£(т)ца __е(*-т)
такое что
\\y(t)-Ht)\< (1-fe)(l-^) *
, Указание: должно выполняться равенство
z(t) = - Jefl(-r)A(s, х, у, z)ds.
Упражнение 6. Если выполнены предположения
упражнения 4 и k < 1 (см. упр. 5), то существуют 0 < Dx ^ D и
многообразие
W9{Z) = {(t, X, у, Z)\z = s{t, X, y)t 0*|'a</>i},
такие что для любого решения (х, у, г), удовлетворяющего
оценкам
||x(T)||a<DI) ||Z(T)||<D,
выполняется одно из следующих двух свойств:
a) \\z(t) || > D при некотором tf > т;
b) решение существует при всех t > т и удовлетворяет
оценкам ||x(f)II, \\z(t)\\^: Dy причем это имеет место тогда и только
тогда, когда
(т,*(т),^т),г(т))е=117*(2).
В случае Ь) решение лежит в Ws(2) при всех достаточно
больших t и экспоненциально приближается к 2 при t-+-{-oo9
Упражнение 7. Пусть А — секториальный оператор вХ, 0^
a<\,A(t,y) = A + B(tty),
\B(t9yi)-B(t, Уд\ж(х*шх)<В2\У1-у2\
и (f, g): 'R X f/ X У -*■ Я X У (где I/ — открытое множество в Ха)
удовлетворяет условиям теоремы 6.1.2, а также оценке
\\g(t* х, у) II ^ L. Пусть, далее, для любой кривой у: R -> У, такой
что ||y(*i)—y(fe)ll^ L|fi — f2|, эволюционный оператор Ty{t,s)
(см. гл.7) для уравнения х + A (t, y(t))x = 0 удовлетворяет
оценкам
\\Ty(t, s)x\\a^Me-W-s)\\x\\ay
\\Ty(tt s)xla<M(t-s)-ae-*{t-*lxl
при t>s, х^Ха. Предположим, наконец, что вместо
условия Ь) из теоремы 6.1.2 выполнено условие
b') Mi {NB2M2V(l - a)2p1_2a + 8(1 + А)} < Д,
JVB2Af2AI2r(l—a)2p!"2a/A
+ ШГ (1 - а) {(1 - А^/йУр1 "а + М2/Др1 -а} < 1,

182 Гл. 6. Инвариантные многообразия вблизи стационарной точки
где £ = \i + М2 А и Э = р — Д > 0. (Если \х < (3, а X и #В2
Достаточно малы, то это условие удовлетворяется.)
Тогда существует инвариантное многообразие
S={(t,x,y)\x = o{t,y)}
для системы х-\- A {tyy)x = /(f, *, */), у = g(t, х, у), причем
|!(j(f, //)|ja<0, jo(*( y,)-o{ty у2)}а<Ь]У1—уЛ-
Указание. Если г/(*) — решение задачи у = g(t, о(t, у), у),
у{х) = % а y(t) — решение задачи j/ = g(t, a(t, y)t у), y(%) = r\,
то при х> s> t
^Й(Г,(т.*)-Г,(т,в))7> 0}
= Г,(т, s)(A(s, у(5))-Л(5, y(s)j)Ty(s, t)
где
«jr = Af,|iTi —-п1Ц--^2.|Ца —а|
Упражнение 8. Пусть А— секториальный оператор в X,
A(t,y) — A<=(X*,X) при всех (*, у)е= R X У,
\A(t, lf,)-A(*. ^(Лх)<В2|У1-у2|
и эволюционный оператор Ty(t,s) для уравнения х-Н
Л (/, у(*))х = 0 удовлетворяет оценке
если i/ (0 — решение уравнения у — уо {t, 0, у, 0) в У. Пусть
B(t,y)^(Z) таково, что
[B{t, yx)-B{tt Уг)\<Вг\Ух-У2\
и эволюционный оператор Uy(t,s) для уравнения z-f-
B(t,y(t))z = 0 удовлетворяет оценке
IIt/«r(*. s)!!(z»<A!e"P(*"'> при s><f
если у(0—такое же, как и выше. Предположим, что
отображение
{х,у9г)*-*Ц(Ьх,у9г), go(ttxtytz)^ g\(t9x,y,z), h{t,x,ytz)\

6.1. Существование и устойчивость инвариантного многообразия Ш
удовлетворяет равномерному условию Липшица и ограничено
на множестве
{(t,x,y,z) IIUIU < Do, \\z\\< Do}^RXX«XYXZ
(как отображение в XX УХ УХ Z). Кроме того, пусть
1Ы*. О, Уи 0) - go(t9 0, y2t 0) ||< ji||^ - у2\\, \х < р.
Докажите, что при достаточно малых е система
i + A(t, y)x = ef(t, х, у, z),
y = go(t, х, у, z) + zgt(t, х, yt z)t
j z + В (t, y)z = eh{t, x, y, z)
имеет инвариантное многообразие
Se = {{t9 x, у, z)\(x, z) = oe(tt у)},
причем ae(*,#)-*0 и LipyOs(tt -)->0 при е-*0.
Указание. Для достаточно малых б, 0 < б ^ бо и
произвольной кривой {i/(0} в У, такой что IIг/(0 — £о(*, 0, г/(0>0)||<; б при
всех *, имеет место оценка
для некоторых постоянных Ме0 и р =р (6), зависящих только
от заданных постоянных, причем P'(6)-*|J при б-> 0;
аналогичная оценка имеет место и для Uy(t,s) (см. § 7.4, в особенности
упр. 1).
Упражнение 9. Пусть функция /: [0,я)ХК-^К дважды
непрерывно-дифференцируема и k > 0. Рассмотрим задачу
Щ = kuxx + f(xt и (х, t)), 0 < х < я, t > 0,
й(0, 0 = 0, «К 0 = °-
Имеем
!/(•. ф)-М •. *)«„.(0,я) <^1ф-*1Я1(о.й,. If(' • <P)l«j<*.
если ||ф'1н1 <£ и ||i|}i| i^B, где L и К зависят только от В
"0 о
и от
sup _{|М, IU |/,,«|, |/и.„|}.
0<дг< я, 1 и |< В^/л/2
Если
РЛ-Ф (х) == £ ф„ sin я*, где фя = -1 J ф (|) sin /¾ rf|,

184 Гл. 6. Инвариантные многообразия вблизи стационарной точки
и QN = I — PNi то
1 QrfPк (о, *)<-JnTW!|ф Ч(о. я)
и, следовательно,
1^(/<''ф)Ц,<1дгттр-'
|jQJ("■. ф)-<У <•, *)L<iyTTFll4>"*4
ПРИ 1!ф||я1<в» ll^i^i<B- Предположим, что f(xy и) изменено
вне множества \и\^ В <\/л/2 таким образом, что эти оценки
выполняются везде.
Рассмотрим и = uN + vN, где им = Pnu и vm = Qnu, так что
(^ — k-^)vN = QNf(. , uN + vN), t>09
а и# удовлетворяет некоторому обыкновенному
дифференциальному уравнению:
n
ип= Z C/i(<)sinnxf
где
dcn
-}- kn2cn=~- j sin nx f ( *, J] cm (t) sin m* + vN (x, f) J dx
dt
(n = 1, ..., W). Тогда применима теорема 6.1.2 с а = 1/2,
р = K(iV + I)2 — К, М = АГ+ l,b = L/(tf + I)2, ц = KN2 + L
для достаточно больших iV, и существует N-мерное
притягивающее локальное инвариантное многообразие
SN=\u(x) = j^cnslx\nx + vN(x\ си ..., CN)>.
Если а — решение, удовлетворяющее оценке |j«( • » f)| t^B
при всех t^z 0, то его о-предельное множество лежит в S#, и
предельное поведение всех таких решений определяется
обыкновенным дифференциальным уравнением, описывающим поток
в Sn.
Ср. с примером Хопфа [50] (упр. 2 § 6.4).
Упражнение 10. Пусть D, V, L, р0, Pi — вещественные «Х«-
матрицы, причем D диагональна и положительна. Положим
(при вещественных е)
Лви = —ZV' + eW + eLw, 0<х< 1,

6.1. Существование и устойчивость инвариантного многообразия 185
для и е Я2(0, l;Rrt), таких что
Du'(0) = eM(0), Duf{\) = — ePiu(l).
Покажите, что Ае—секториальный оператор при любом е,
оператор Аг-\-1 при малых е удовлетворяет условиям
упражнения 1 § 3.4 и D {Ае + /) */2 = Н] (О, 1; Rn) не зависит от е.
Упражнение 11. (Ср. [130].) Пусть Д V, Ро, pi— такие же,
как и выше. Рассмотрим уравнения трубчатого химического
реактора с большим коэффициентом диффузии:
ди 1 п д2и т/ ди . п, ч л ^ „ ^ 1
-аГ= —D ^5--^^- +F^ ">• 0<*<1,
4"D -^- = М при х = 0,
— D-gj-^—M при х=1
(0 < е <! 1). Компонентами « являются здесь концентрации
участвующих в реакции химических веществ и температура, D/г —
коэффициент диффузии, V — скорость конвекции, a F(xyu)—
фактор, определяющий скорость реакции. Будем предполагать,
что F(xt и) при больших \и\ — гладкая ограниченная функция
от и.
Пусть оператор Аг таков же, как в упражнении 10, а Р —
проектор в L2(0, l;Rft) на n-мерное подпространство У, состоящее
из констант:
i
Ри = J и (х) dx.
о
Докажите, что существует n-мерное притягивающее
инвариантное многообразие, представимое в виде графика над У (для
достаточно малых е > 0)
и = у + ав(у), у = Ри,
где ав (#)-> 0 при е-^0+. Поток в этом многообразии задается
следующим образом:
равномерно по у на ограниченных подмножествах в У; здесь
F [у) = j F (х, у) dx. Далее, если и — решение, для которого
о
Iй ( ' » 0 if/i ^ В при to ^ t ^ t\ и е достаточно мало, то z =

186 Гл. 6. Инвариантные- многообразия вблизи стационарной точки
и—(Ри + ае(Ри)) удовлетворяет оценке
IIz (t)}Мг <Ke~btl*\\z (t0)>, *о <' < <ь
где К и (3 > 0 не зависят от е > 0.
Указание: произведите замену переменных т = t/e.
6.2. КРИТИЧЕСКИЕ СЛУЧАИ УСТОЙЧИВОСТИ [40, 41, 45]
Теорема 6.2.1. Пусть А—секториальный оператор в Ху 0 ^
а <. 1, U — окрестность нуля вХаи ft: U -* X—
непрерывно-дифференцируемое отображение, ft(0) = 0. Предположим, что для
оператора L = A — h'(0) выполняется соотношение Rea(L)^0
и множество o(L) f) {Re Я, ==0} непусто. (Если А имеет
компактную резольвенту, то это конечный набор собственных значений.)
Нас интересует устойчивость нуля для уравнения dx/dt +
Ах = Цх).
Пусть X = Х\ Ф Х2 — соответствующее разложение на L-ин-
вариантные подпространства, Rea(Li) = 0, Rea(L2)>0, L/=
L|x.(/ = 1,2). Существует липшицево локальное инвариатное
многообразие
S = {х = хх + а (*,) | хх е Хи \ хх || < г},
касательное к Х\ в нуле. Поток в 5 может быть представлен
обыкновенным дифференциальным уравнением в Х\
-^ + Llxl=Eig{xl+a{xl)\
где g(x)= h{x) — А'(0)л: и Е\ — проекция X на Xi (вдоль Х%).
Если нуль асимптотически-устойчив в Х\ относительно потока
в S, то он асимптотически-устойчив в Ха; если нуль не устойчив
относительно потока в 5, то он неустойчив в Ха.
Замечание. Если Л гладко около нуля и можно вычислить
несколько первых членов тэйлорова разложения для ф (см.
теорему 6.2.3), а Х{ конечномерно (как правило, одномерно или
двумерно), то вопрос об устойчивости или неустойчивости в S
обычно может быть решен при помощи прямых вычислений.
Доказательство. Мы сведем дело к случаю, рассмотренному
в § 6.1: X — Xi Ф X2t так что х = х\ + х% и
dx\
dt
dx2
-\-Lxxx = E,g{xx-\-x2),
-f- L2X2 = £>2£ \X\ ~T #2)»
dt
где Ej — проекция X на Xj (/ = 1, 2), причем
le-wi<Afeeem при всех *<G

6.2. Критические случаи устойчивости
187
(для любого е > 0),
||e-w|<Ale-^, .L?e-w|l<Airae-p' при t>0
(для некоторого р > 0). Можно выбрать е > 0 произвольно
малым, но, вообше говоря, Mg->+°° при е -*0+. Изменим
уравнения вне некоторой окрестности нуля в Х\ так, чтобы
выполнялись предположения теоремы 6.1.2 с Y = Хх и малой
окрестностью нуля в!? в качестве U\ полученное инвариантное
многообразие, суженное на окрестность нуля в Х\ X Х%, является
локальным инвариантным многообразием для исходной системы,
откуда и будет следовать утверждение теоремы.
Выберем липшицеву функцию \f: Xi-^[0,1], такую что
i|)(xi)=l при lUill^ 1, t|)(xi) = 0 при IUill^2, и для р>0
положим
f9(xlt x2) = E2g{x^{xJp) + x2)t
g9(xu x2) = Elg{xly{xlfp) + x2).
Существует непрерывная неубывающая функция /е(-) с А(0) = 0,
такая что
1*(*)-*(^)1!<*(Р)1*-*'1'а При ]Х*а<Р, 1!Х'Р«<Р;
следовательно, постоянные Липшица функций f9 и g9 на
-X"i X U9 = K*i. х2) | хх е= Хи х2^ Х%у | х2 j|a < 2р}
имеют порядок fe(2p) и, кроме того,
\\fQ(xu х2)\\ + \№Ахи x2)|j<Cpfe(2p) на XtXU.
Далее, для всякой непрерывной кривой {£(/), t ^ 0} в U9
определим
«К0 = фС; л, !(•))= Ф(/ + т;т,л.6(-))
как решение задачи
dy!dt + Lly = g9{y, l{t)\ *><>,
if(0) = 4s^,
Для любой другой кривой |': (—оо, 0]-> (/ и любого T|'eJfi
||у(0-»(')1 = 1ф('; л. Б#(-))-ф('; л, &(•))!
<|e-W|h-4'|
о
+jlk-i,('-s)| • !*,(?'(*), s'(«))-*, Ы*). i(s))|is
о
<Mee-e,|ri-^'ll + ^eJe8(i-')Cfe(2p) • [\y'(s)-y(s)\

188 Гл. 6. Инвариантные многообразия вблизи стационарной точки
где Ck(2р)— постоянная Липшица для gp на Xi X £А
Следовательно, при t ^ О
о
IU'W-?(0l<Afe|A^«eM'4nI^(,"')lli'(s)-i(s)|a^,
i
где [х = СМе& (2р) + е. Если е и р выбраны достаточно малыми,
то [л < р и оценки (а) —(с) теорем 6.1.2 и 6.1.4 выполняются для
малых р, так что эти теоремы применимы.
Наконец,
о
o(l)= J eLlSfP(c(Xl(s; 1)), *,(«; 1)) ds
— oo
для £ из Хь причем
|!*i(s; 6)1<А!е1Б||е"м1 + А)' при s<0.
Следовательно, для любого В > О
о
а(|)УЦ«<Л1 j |S|-Vs||£2|fe((l + A)M8||i||e-M1+A)|s|)ds
-В
-в
+ Mee-M1+A>^s + MCife(2p)A[e(l+A) j И^Лг^1^^.
Взяв теперь В достаточно большим, а ||||| достаточно малым,
убеждаемся, что
|oft)[a = Q(IU) ПРИ 6^0 В Х1я
Следствие 6.2.2. Пусть А и h удовлетворяют предположениям
теоремы 6.2.1 и, кроме того, производная h' липшицева в
окрестности нуля в Ха. Пусть, далее, на подпространстве Хх
существует непрерывно-дифференцируемая функция -ф: Xj-^0, 1],
у которой производная липшицева, равна единице в некоторой
окрестности нуля и нулю вне некоторого ограниченного
множества в Х\. (Заметим, что это требование заведомо выполнено,
если Х\ — конечномерное или гильбертово пространство, либо же
обладает С2-нормой.)
Тогда построенное выше локальное инвариантное
многообразие («критическое» или «центральное» многообразие) — точнее,
задающее его отображение а — непрерывно-дифференцируемо,
причем его производная липшицева,
110(^)^=0(1^,1,4) при Хг-+0
И
о' (хх) [/,,*, — Etg (х, + a (*,))] = /-2° (*0 — E2g (х{ + a (*,))
в некоторой окрестности нуля в Х\.

6.2. Критические случаи устойчивости
189
Теперь мы покажем (следуя Хаусрату [45]), что критическое
многообразие можно вычислить в том смысле, что для о можно
построить асимптотические степенные ряды, исходя
непосредственно из дифференциального уравнения, фигурирующего в
следствии 6.2.2. В приводимых ниже примерах используется
другой подход; его оправданием служит согласованность с
рассмотренным здесь методом.
Теорема 6.2.3. Пусть выполнены предположения теоремы 6.2.1 и
следствия 6.2.2, и пусть ф — непрерывно-дифференцируемая
функция с липшицевой производной, действующая из
окрестности нуля в Хх в ХУ, образ которой лежит в D(L?>) и которая
удовлетворяет уравнению
ф' (х,) [L.x, — Etg (х, + Ф (*i))] — £2Ф (*0 + E2g (х, + <рх,) = А (х,),
причем ||A(xi)||^ /C||xi||p вблизи нуля в Х\ для некоторого
р>1. Тогда если а(-) — отображение, задающее критическое
многообразие, то
И о (jc«) — ф (JcOlk = О (|| дсх И при х,-* 0 в Хх.
Если функция g: Ха^Х вблизи нуля р раз
непрерывно-дифференцируема, то существует единственная полиномиальная
функция ф порядка р, удовлетворяющая приведенным условиям.
В действительности для этого достаточно, чтобы существовал
полином gy такой что
Ы*)-£(*)|=0(||Х||£) При ||х[!а-0.
Доказательство. Пусть функция ф — такая же, как и выше, и
пусть она продолжена на всё Х\ так, что удовлетворяются все
указанные условия, только с E\y2g{x\ + <p(#i)h замененными на
jp> £р(*ьф(*0) соответственно. Пусть, далее, x\(t), х2(/) =
a(x\(t)) — решение нашего уравнения. Положим z(0 =
aUi('))"" q>{x\(t)). Тогда dz/dt + L2z = kp(xuz), где
ftp (x^) = Д (xO + g? (xu q>{xl) + z) — g?{xu ф(*.))
— ф' (Xi) [fp (x,, ф(Х,) + 2) —fp(xlf ф(Х2))],
\\k9(xlt 0)!| = ||Л(х1)![</(1|д:1!Г.
Имеем
о
2(0; 1)= J £>*%(*, (s; Й«(0; x, (s; |)))ds,
— 00
причем dxjds + LiX\ = gp{xu 4>{x\) + г(0; x0)), s < 0, xi (0; |)= |.
Рассуждая, как и выше, заключаем, что |i—^е(0; £) —
неподвижная точка некоторого сжимающего отображения, и достаточно
доказать, что оно отображает некоторое множество функций,

190 Гл. 6. Инвариантные многообразия вблизи стационарной точки
удовлетворяющих оценке |]г(0; g)]|a =¾ /С2|||||р, в себя. Но если
г(0; I) удовлетворяет такой оценке, то
fi*i (*; 6)1<Л«ев-м1 + А)'||б1 при s<0;
поэтому
О I
j eLiSk?(Xl(s\ I), z(0; x,(s; l)))ds\
-oo I
0
< J M|sreee*(^jx,(s; al" + l|ApbpT.I*.(s; Dffc
— CO
0
< J M|srVp-wll+*»'M5(K + JftpUKMur
— CO
при условии что рц(1+Д)<р, /С2 достаточно велико, а р
достаточно мало (так что и норма ||£р||ир мала). Для достаточно
малых р условие pfi(l-j-A)<p выполняется, как и раньше»
Этим доказано первое утверждение теоремы, а второе следует
из предлагаемой ниже леммы.
Лемма 6.2.4. Пусть 7*. Х\ ->Х2— непрерывный однородный
полином порядка N. Тогда существует непрерывный однородный
полином ф: Х\ ->-Х2 порядка N, такой что
q>'(*i)£i*i — L2q> {х\)+у {хг) = 0.
Фактически
о
— со
и если ||y(*i)IK CHjciP, то
Доказательство. Положим \|> (£) = q> (е~ " хх) при t ^0, где ф —
функция, определенная (с помощью интеграла) в формулировке
леммы. Тогда dty/dt + L2^ = y(e^lltXi) при t < 0, откуда и
следует нужный результат.
ПРИМЕР 1. Рассмотрим задачу
щ = ихх + и — аи3 при t > 0, 0 < хл< я,
и(0, *) = 0, а (я, *) = 0
(а —ненулевая постоянная). Положим X = L2(0, я), А =
—d2/dx29" как в § 4.3. Линеаризация около стационарной точки

6,2. Критические случаи устойчивости
191
и =з О дает
vt = Vxx + v, v = О при X = О, я.
В обозначениях теоремы 6.1.2 o(L) = {n2—11/2 = 1,2, ...} есть
набор простых собственных значений, и
Xi = span {sin x}t X2 = < <p } <p (jc) sin jc dar = 0 >.
Критическое многообразие может быть представлено в виде
S = < и (х) = ssin х + 2 crt (s) sin nxy \ s | < s0 f,
где ся(5) = 0(52) при s->0. Фактически cn(s) можно выбрать
нечётными функциями от s, так как и(х, t) является решением,
только если —и{х, t)— тоже решение, так что cn{s)= 0(s3).
Поток в 5 удовлетворяет уравнению
-~f sin л: + Yj с'п (s) sin пх )+ S (ft2 "" *)с* (s) sin n*
= — a 2] ^m^psin/sinmxsinpx
(где ciU)" ;). После умножения на sinx и интегрирования
получим
я
-|L = -as3 • -^ J sin4jc dx + О (s5),
о
т.е.
-*+-!-es' + OW-O.
Таким образом, из теоремы 6.2.1 следует, что и = 0
асимптотически-устойчиво при а > 0 и неустойчиво при a < 0.
Дальнейшие выкладки (интегрирование с множителем
sin kxy k ^ 2) показывают, что
S=-{«(A:) = ssinjc+ -|~sin3jt+0(s6)}.
Проверим эту выкладку, используя теорему 6.2.3. Если u\(x)=^
s sin л:, |s| < sq, то положим
^{ul)(x)^^-s\n3x.

192 Гл. в. Инвариантные многообразия вблизи стационарной точки
Тогда g(u) = —au3> g(u\ + у(и\)) (х) = —as3sin3x + 0(sb)tтак
что
я
Eig («i + Ф («О) (*) = -as3 sin д: • 4 ( s{r|4 s rf6 + О (*5)>
и мы получаем соотношение
Ф (их) \Lxux — Exg {цх + Ф (и,))] — £2ф (u,) + £2g (и, + Ф («О)
3as2
32
sin 3* • ^ S sin^(0 +-^Ls3sin£ + О (sB))dfe
- 8-gi- sin 3x - as3 (—^ sin3x) + О (55) = О (s5),
доказывающее, что с точностью до указанного порядка наши
вычисления правильны.
Упражнение 1. Пусть S допускает представление
и2 (х) = -^- sin Зх + 55фб (х) + О (s7),
где
я
s =— \ul(x)sinxdx (т. е. и{ (х) = 5 sin х).
Докажите, что
я Зд2 За2
Ф5 (х) + Фо (х) + -jgg- sin Зл: + -щ- sin 5х = °»
п
J фб (х) sin х dx = О,
т. е.
Ф5 (х) = -щг ^3 sin 3* + sin 5л:)'
Таким образом, поток в 5 задается уравнением
-ЭГ+тas3 - тягeV + wflV + ° (s9)=°.
а само 5 представимо в виде
{/*сЗ Д2£^
a (я) = 5 sin х + -7g- sin Зх + 1Q24 (3 sin 3x -f sin 5x)
+ О (s7) при малых s\.
Использование критического многообразия упрощает
исследование таких задач, как задача из упражнения 6 § 5.1. Здесь мы

6.2. Критические случаи устойчивости
№
имеем С2-кривую стационарных точек х(К)у х (0)==0, л)'(0)=И=0;
предполагается, что линеаризованная около нуля задача имеет
простое собственное значение 0 (с собственным вектором х'(0)),
а остальные собственные значения устойчивы. В таком случае
критическое многообразие есть в точности кривая Jt(k) и «поток»
на этом многообразии дается уравнением dX/dt = 0. Введем
в окрестности этой кривой координаты (Я, у)у х = i(^) + у> где у
лежит в подпространстве, дополнительном к span {я'(0)}; при
IMIa + 14^= г п°ток удовлетворяет оценке \dX/dt\ ^ C\\y(t)||a,
И еСЛИ ||у\\а + | М ^ г ПРИ t0^t ^t\,TO
]yma<Ke^{t-t°)\y{t(i)\\a при *0<*</|
для некоторых положительных постоянных С, К, р, г. Если
\ЧЬ)\+ К{1 + 1/$)\\уШа**Г,
то \K(t) \+\\y(t)\\a ^ г при всех t ^ tQ и для некоторой
постоянной Коо
\\y(t) lla + |М0— Хоо|-^0 экспоненциально при /->■ оо.
Точно такими же рассуждениями доказывается аналогичный
результат для n-параметрического семейства стационарных точек,
если нуль является n-кратным собственным значением
линеаризованной задачи. С другой стороны, следствие 6.1.5 показывает,
что {х{К)} имеет асимптотическую фазу.
Пусть снова х(К)—кривая стационарных точек, но 0 —
двукратное собственное значение с единственным собственным
вектором х'(0) (другие собственные значения устойчивы). Этот
случай тоньше, но конечный результат геометрически понятен.
Достаточно, как и раньше, исследовать устойчивость кривой на
двумерном критическом многообразии. Пусть поток на
критическом многообразии задается уравнением dz/dt = F(z), где
z ==(х, у)^ R2 вблизи 0, и кривая представима в виде г —
(р(^), ф(0) = 0, q/(0)=7^=0. В этом случае кривая стационарных
точек асимптотически-устойчива с асимптотической фазой, не
зависящей от членов порядка 0(\z\N), тогда и только тогда, когда
{divF)z^{K) = akq + o(kq) при Я,-*0
для некоторого а < 0 и некоторого чётного целого qt 2 ^ q < N.
Так как F равняется нулю вдоль кривой, матрица /?/(ф(Х)) имеет
нулевое собственное значение, так что (divF)^ (Jl) есть ее
ненулевое собственное значение, и для устойчивости требуется его
неотрицательность.
Чтобы доказать это, заметим прежде всего, что можно
выбрать переменные так, что кривая будет представляться в виде
# = Ф(х), ¢(0)-0, q>'(0)-0 и F'(0)-
(о oj-
7 Д. Хенри

194 Гл. 6, Инвариантные многообразия вблизи стационарной тонки
Это влечет за собой перепараметризацню кривой и линейную
замену координат в х-#-плоскости, без изменения
предположений относительно div/\ Если положить г/ = ф(#) + тЬ то
система примет вид х = ц + q\(x,r\)t f] = ¢2(^,11), где q\ и q2
квадратичны,
qx (х, 0) = q2 {x, 0) = 0, дд2/дц (x, 0) = (div F){x> ф {x)y
Если qi(x, r|) = r\qx{x, ц), q2(xy r\) — ц(]2(х> ц), то на любой
кривой-решении с т] Ф 0 выполняется соотношение
dr\ldx=q2 (х, т])/(1 + (7! (х, т])),
так что (поскольку ¢2 (я, 0) ~ axq вблизи нуля)
4=c + axfi+4{q+l)+0(\cx\)+0(\x\*+*),
где с — некоторая малая постоянная, зависящая от решения.
Подстановка в х-уравнение показывает, что x(t) сходится к
устойчивой стационарной точке и т]-^0 при t-*-\-°° в случае
четного q и а < 0; в остальных случаях решение rj =5 0
неустойчиво.
6.3. БИФУРКАЦИЯ И ПЕРЕМЕНА ХАРАКТЕРА УСТОЙЧИВОСТИ
ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК [85, 86, 41]
Пусть А — секториальный оператор в X и f(xy г) — гладкая
функция из некоторой окрестности нуля в XaXR в X.
Предположим, что нуль всегда является стационарной точкой, f(0, е) — 0,
но стационарная точка превращается из устойчивой в
неустойчивую, когда е, возрастая, проходит нуль. Точнее, пусть спектр
оператора Ьг =Л — fx(0y г) удовлетворяет при некотором р>0
соотношению
c(l«)c:{Me)}U{ReX>P},
где Це)— простое вещественное собственное значение, такое что
%(0) = 0, {dk/dz) (0) < 0. Как Х(е), так и соответствующий
проектор £8 являются гладкими функциями от е [56]. Можно
предполагать, что E& = vs<8we, т. е. Esx = ve(we,xy для любого
xgZ, где Lei>e = А,еае, Уеб1, a w* — непрерывный линейный
функционал на Ху удовлетворяющий сопряженному уравнению
ь1тг = Хгхй)е> причем <ше,уе> = 1. Кроме того, можно считать,
что и8 и ше — гладкие функции от е.
Рассуждения, подобные проведенным в § 6.2, показывают, что
существует одномерное локальное инвариантное многообразие
S8 ={x = sve + <p(s, е), 5 = (wB,x}7 \s\ <po},
где ф — непрерывно-дифференцируемая функция своих
аргументов, причем ф (0, е) = 0, (дф/ds) (0, 0) = 0. Дифференциальное

6.3. Бифуркация и перемена характера устойчивости 195
уравнение в SB принимает вид
ds X(e)s-(we, £(зре + Ф($, е)е)> _
dt * 1 + <аде, dq>(s, z)lds)
(*(*, «) = /(*. e)-f,(0, e)*)
при |s|<p для некоторого положительного p ^ p0, т. е.
~f-+A(s, s) = 0, где A(0, e) = 0, -^-(0, e) = X(s).
Свойства устойчивости любых решений вблизи нуля
определяются свойствами устойчивости этого одномерного уравнения,
которые легко находятся.
Лемма 6.3.1. Пусть A(s,e)— вещественная функция от (5, в),
непрерывно-дифференцируемая эблизи (0,0), причем для
некоторых а > 0, р ф 0 и целого m ^ 2
A(s,e) = — ase + psm + o(|s|w + |se|),
-g-(s, е) + а8-тр5-"1 = о(1е| + [5Г"1) при (е, s)-*(0, 0).
Тогда в некоторой малой окрестности нуля имеет место один из
следующих случаев:
(a) если m четно (так что A(s, 0) не меняет знака при
0<|s[^p), то вблизи нуля (при малых е^О) существует
единственное ненулевое se, такое что A(se, е) = 0, а производная
dh(sZy z)/ds отрицательна при г < 0 и положительна при г > 0;
(b) если m нечётно и (3 > 0 (так что sh(s, 0)>0 при
0<|s|^p), то у функции А(-,е) не существует малых нулей
при малых е^0 (кроме s = 0), но при малых е > 0 существует
napas*, такая что ft(s*. &) = 0, <ЭА (sir, e)/ds > 0 и $£-+0 при
е-0 + ;
(c) если m нечётно и р < 0 (так что sh(s, 0)<0 при
0 < \s\ ^ р), то при малых е < 0 существует пара s*, такая что
A(s£, £)=0, dh{s£, e)/ds<0 и s£ -> 0 при е->0—, а при
малом е>0 у функции А(-,е) не существует малых нулей,
кроме 5=0.
Заметим, что если A(se>e) = 0, то se — стационарная точка
уравнения ds/dt + A(s, е) = 0, которая
асимптотически-устойчива (соотв. неустойчива), если dh(sBi z)/ds > 0 (соотв. <0), так
что описанные выше случаи могут быть переформулированы в
терминах устойчивости и неустойчивости стационарных точек.
Доказательство. Доказательство леммы основано на
модификации метода ломаных Ньютона (см., в частности, [21]). Пусть

196 Гл. 6. Инвариантные многообразия вблизи стационарной точки
s = ael/{m-l\ так что при ft(s, е)=; — ass + f$sm + Л(5> е)
h{ozxl{m~x\ 6)-6^^-^(-00+ pam) + A(asI/(m-"l), 8).
Отображение a н-?-e""m/(m'"1) A(ae1/(m"!), e)
непрерывно-дифференцируемо при любом малом е^Ои
-m/(m-l)
АО
08
l/(m-l) eU_P-l_^
ae
I/(m-l)
.в)-
при е->0. Таким образом,, по теореме о неявной функции, если
(а)
(Ь)
(с)
\к
и
4J
У
Г\
т
Г\
е<о
®(о,е)>о)
*0
V5s'~
Рис. 12.
^(0,0) = 0)
©>0
(f(o.e)<o)
m-1
Gb' =a/p, то существует единственное a(e), стремящееся к а0
при е-*0, такое что к{о(г)е1/(т~{\в) = 0. Случаи (а) — (с)
возникают, когда делаются ограничения на знак е, обеспечивающие
вещественность функций. Утверждения относительно знака
dh/de следуют из равенства
M-{a(t)*l"m-l\ e) = e{(m-l)a + o;(l)}.
Остается показать, что любое малое решение получается таким
путем. Пусть s(e)=^=0 при малых гфО, ft(s(e),e) = 0 и s(e)->0
при е->0. Покажем, что a(e)=== s(e)e-I/(w-l> стремится к
некоторому 0о> удовлетворяющему соотношению aao = ^ooL при е-**0;
тогда из теоремы о неявной функции будет следовать искомая
единственность. Но
h (s, е) = —ase + ffcm + Д (5, е)
|Д(5(е),е)|<бе(|5(8)|- + |е5(б)|),

6.3. Бифуркация и перемена характера устойчивости 197
причем б8->0 при е-^0; следовательно,
~ i a~m i —m/(m —I) А /
= — аа + (to + е м Д (^ае
l/(m-l)
> е),
(а)
(Ь)
(с)
устоич.
• устойч.
неуст.
неуст-
устоич.
неуст.
устойч
неуст.
>
€
устоич.
неуст.
так что
|аа(8)-ра(е)"|<бв(|а(е)|« + |а(е)|)
при малом е. Отсюда вытекает, что а(е) остается ограниченным
при е->-0, а значит, аа(е)—ра(е)т-*0 при е->0.
Замечание. Результаты леммы подытожены на рис. 12.
Интерпретацию в терминах
устойчивости можно дать с
помощью «бифуркационных
диаграмм», представленных на рис. 13.
Согласно резюме Сэттингера [86,
88], нетривиальные решения с под-
критической бифуркацией (е < 0)
неустойчивы, а с надкритической —
устойчивы. (Заметим, что это,
вообще говоря, верно только для
рассмотренного здесь случая простого
собственного значения Я(е), такого
что %(0) = 0 и Л,'(0)<0.)
Представим полученные результаты в виде теоремы:
Теорема 6.3.2. Пусть А — секториальный оператор в X, [/ —
окрестность нуля в Ха при некотором а< 1, /: L/X(—е0, ъ0)-^Х
(для некоторого е0>0) — дважды
непрерывно-дифференцируемое отображение и /(0, е) = 0 при |е|<ео. Рассмотрим
уравнение
(Ег) j!jL + Ax = f(xtE)
при малом е и сравним его с предельным уравнением
dx
устойч.
неуст.
Рис. 13.
(Яо)
dt
+ Ax = f{x, 0).
Пусть оператор Ьг = А— fx(Q, е) имеет простое вещественное
собственное значение Х(е) при |е|<ео, причем Ц0) = 0 и
(dk/de) (0) < 0, и пусть вся остальная часть спектра Le при
достаточно малых е лежит в множестве {ReX > р} при некотором
р>0.
Если поток на критическом многообразии для (Е0)
представляется с помощью уравнения ds/dt + /*о($)==0, то ft0(s)= 0(s2)
при s-*0. Предположим, что ho(s) не имеет нуля бесконечного
порядка при 5 = 0, а точнее, что h0(s)= f$sm + o(jsm) при s-*0
для некоторого р Ф 0 и некоторого m ^ 2. Предположим, далее,
что / принадлежит классу Ст вблизи нуля.

198 Гл. 6. Инвариантные многообразия вблизи стационарной тонки
Тогда имеет место один из следующих случаев:
(a) для малых е ф 0 существует нетривиальная
стационарная точка х(е), неустойчивая при е < 0 и
асимптотически-устойчивая при е > 0;
(b) для малых в > 0 существует пара нетривиальных
асимптотически-устойчивых стационарных точек х+(е)у х~(е), но для
малых е < 0 малых нетривиальных стационарных точек нет;
(c) для малых е < 0 существует пара нетривиальных
неустойчивых стационарных точек Л'~(е), но для малых е > 0
малых нетривиальных стационарных точек нет.
ПРИМЕР 1. Рассмотрим задачу
Щ = ихх + р-f (и), 0 < х < я, t > 0,
и (09 0 = 0, и (л, /) —0,"
где f — дважды непрерывно-дифференцируемая функция,
/(0)==0, /'(0)= 1, \i — неотрицательная постоянная. Если |i < 1,
то нулевое решение асимптотически-устойчиво в //о(0, я)
(теорема 5.1.1), но если \х> I, то нулевое решение неустойчиво
(теорема 5.1.2). Пусть [х = 1 + £- Тогда для гладких и,
обращающихся в нуль при х = 0, я,
1ги (х) = —и" (х) — (1 f е)« (х), 0 < х < я,
так что (в X = L2 (0, я))
a(L3) = {n2-l-~e|n = 1,2,3, ...}
и Х(в) =—е — критическое собственное значение.
Для f(u)=u — auz (афО) критическое многообразие было
вычислено в примере 1 § 6.2, и подобное вычисление (с
привлечением членов третьего порядка) возможно для любой функции f
класса С3, такой что f (0)=1, Г(0) = 0, /'"(0)=И=0; если
f//7(0)<0, то применим случай (Ь) теоремы 6.3.2, а если
f"(°)> 0» то случай (с).
Упражнение 1. Пусть f(u)= и + аи2 + 0(иг) при и^0,
афО. Вычислите поток на критическом многообразии и
покажите, что к задаче
ш = иХх + (1 +e)f{u)(0<x<nt *>0), u = 0 при * = 0,я
применим случай (а) теоремы 6.3.2.
ПРИМЕР 1 (продолжение). Рассмотрим теперь ситуацию, когда
нуль асимптотически-устойчив в критическом случае е = 0. Для
простоты предположим, что f(u)=u — аиг, а > 0; в соответ^
ствии со следствием 4.2.3, для задачи ш = ихх + и — аиъ, и = 0
при * = 0, я существует функция Ляпунова V(u)t удовлетворяй^

6.3. Бифуркация и перемена характера устойчивости 199
щая оценкам
где функция Ь непрерывна и возрастает, причем 6(0)= 0.
Функция V такова, что множество
£/,ss{q> e//J(0, я)|К(Ф)</}
для достаточно малых / > 0 положительно-инвариантно
относительно уравнения
Ut = ихх + (1 + е) (и — аиг), и = 0 при х = 0, я
для достаточно малых е, |е| < е0(/).
Если ц(-,0)е [// и и — решение (для некоторого достаточно
малого е), то множество {u(-, t), t ^ 0} лежит в некотором
компактном подмножестве в Ui. Но по теореме 6.1.4 любое
инвариантное подмножество
множества Ui (при малом /)
содержится в локальном
инвариантном многообразии Ss, и,
таким образом, (о-предельным
множеством для решения и
будет {0} при 8^0 или одна из
трех стационарных точек {0},
{и+(е)}, {и-(в)> при е>0.
Для е>0 область притяжения
множества {«+(е)} (или {а~(е)}) является открытым связным
подмножеством в //о(0, л), равно как и его пересечение с Uif
а область притяжения множества {0}, пересеченная с £//, есть
устойчивое многообразие для нуля, представляющее собой
С^-многообразие коразмерности 1.
Таким образом, мы получаем картинки, представленные на
рис. 14. Мы видим, что для малых е > 0 малая окрестность нуля
расщепляется на 3 множества: области притяжения двух
устойчивых точек равновесия и их общую границу, являющуюся
устойчивым многообразием для нуля.
Упражнение 2. Пусть А— секториальный оператор, f:
Ха-*Х — функция класса С1 вблизи нуля, 0 — простое
собственное значение для Л, /(0)=0, f (0) = 0 и нуль асимптотически-
устойчив для уравнения dx/dt + Ax — f(x). Если х = 0 —
изолированная стационарная точка для оператора Ax = f(x) +
+ 0(||х|!а) независимо от членов N-ro порядка, то точка х = 0
является асимптотически-устойчивой для уравнения dx/dt -f- Ах
е«о
е>0
Рис. 14.

200 Гл. 6. Инвариантные многообразия вблизи стационарной точки
— f (х) + О (|| х 1!«) независимо от членов Af-ro порядка, и то же
самое верно для потока на центральном (или критическом)
многообразии.
6.4. БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
ИЗ СТАЦИОНАРНОЙ ТОЧКИ [12, 41, 52f 15, 88j
Пусть А и f(xt г) — такие же, как в предыдущем параграфе,
но нулевое решение теряет устойчивость, когда пара
сопряженных собственных значений проходит через мнимую ось. Более
точно, пусть /(0, е) = 0 и для Le = А — /х(0, е)
o(Le) с {г (е) ± ш(е)} П {ReX > 0 > 0}
при малых в, где г(&)±ко(е) — простые собственные значения
оператора Le, у которых мнимая часть удовлетворяет условию
(о(0)>0, а вещественная часть — условиям r(0) = 0, (dr/de)X
(0)<0.
Заметим, что в силу теоремы о неявной функции бифуркация
стационарных точек из нуля при малых е невозможна.
Пусть S8 — отвечающее этим собственным значениям
двумерное локальное инвариантное многообразие, проходящее через 0,
построенное, как в теоремах 6.1.2 и 6.1.4. Поток в 58
описывается уравнением
(Sfi) dt {yj + V-co(8) r(e)JU: ЛФ2(*Л, у,; в))9
где ф1,8(уь УХ г) = 0(у* + у2) при (уиУ2)-+{0,0). Согласно
[11, § 9.1, iv], при е = 0 нуль является либо центром, либо
фокусом потока в So- Предположим, что нуль не является центром
для So, и притом даже независимо от членов порядка |#i|* +
|#2[^ Для некоторого N ^ 2.
Переписав уравнение (2е) в полярных координатах
г/! = /? cos 9, #2 = # sin 0,
видим, что 0 можно рассматривать как новую «временною» пс^
ременную, и из (2е) следует, что
1 dR — r(s) \ „ /D а а\
Tnre""-5TSr+4,*(i?> 6' 8)'
Фз(#, 6, е) = O(R) при R-*0. Для периодического решения
уравнения (2е вблизи нуля должно выполняться равенство #(2л) =
R(0). Если /?(б;р, е) — решение g начальным значением
Я(0;р, е)«=р,
то
2я
/(р). $ф8(Я(0; р, 0), 9, 0)^0^0

б А. Бифуркация периодической орбиты из стационарной точки 201
при малых р > 0, так как нуль не является центром для (So).
Фактически, так как это верно независимо от членов N-то
порядка, то
/(р)=Ррт(1+о(1))
при некотором |3 Ф 0 и некотором целом m, 1 ^ m ^ N — 2.
Рассуждая так же, как в лемме 6.3.1, для #(2я;р, е)—р = 0
и ограничивая внимание случаем р ^ 0, мы видим, что имеются
только две возможности:
(a) нуль асимптотически-устойчив для уравнения dx/dt +
Ах = f(x, 0), в {0 <Ыа ^ г) при —е0 ^ е ^ 0 нет
периодических орбит, но при 0 < е ^ 80 из нуля выходит единственная
асимптотически-орбитально-устойчивая периодическая орбита;
(b) нуль неустойчив для dx/dt + Ах = f (х, 0), при — е0 ^
8^0 существует единственная орбитально-неустойчивая
периодическая орбита, стягивающаяся к нулю при е->-0—, но в
{0 <||л:||а ^ г} при 0 ^ е ^ е0 периодических орбит нет.
В каждом из этих случаев нетривиальные периодические
орбиты имеют период, стремящийся к 2я/ш(0) при е->0.
Замечание. Чэфи [12] и, в более общей постановке, Хейл [41]
изучали эту задачу для обыкновенных и функциональных
дифференциальных уравнений без предположения dr/de(0)<0; в
этой ситуации определенные периодические орбиты могут
ответвляться от нуля при малых е > 0. Названные авторы
рассматривали лишь случай, когда нуль асимптотически-устойчив при
е=0, и применяли теорему Пуанкаре — Бендиксона к
центральному многообразию.
ПРИМЕР 1. (Бифуркация периодической орбиты из
стационарной точки.) Рассмотрим упрощенный вариант уравнений,
описывающих химический реактор [4, 15, 100]
да д2и . . - . .. ч
-ЭГ="л?" + au + bv + f (u> *>)>
0<jc<3t, *>0,
xr dv d2v , i j i / \
N^dT^-dZr + cu + dv + giu, v),
u = v = Q при x = 0y x = n.
Здесь a, 6, c, N — постоянные, N > 0; ft g — гладкие функции,
имеющие порядок 0(|w|3 + |f|3) при (и, v)->{0,0). Нас
интересует окрестность нулевого решения, когда варьируется N.
Пусть a < 1 < d и пА — п2т + А > 0 для целых п ^ 1 (т =
а + d, Д = ad — be}.

202 Гл. 6. Инвариантные многообразия вблизи стационарной точки
Упражнение 1. Собственными значениями % задачи
uxx+(l + a)u + bv = 0,
0 < х < я,
vxx + си + {XN + d) v = О,
м = у = 0 при л; = 0, я
являются числа Я,, удовлетворяющие одному из следующих
уравнений:
NX2 + k (d - п2 + N (а - п2)) + (а - п2) d - я2) — to? = О
(п=1, 2, 3, ...).
Указание: положите ( |=2л ]sinnx.
При сделанных выше предположениях, для N = (d— 1)/(1 —
а) > 0 существует пара чисто мнимых собственных значений
Я* = ± &*> (со > 0), а все остальные собственные значения имеют
Re % > 0. Далее, в этих точках
ре/ dk? 1 (1-q)2 n
Таким образом, нулевое решение асимптотически-устойчиво для
N, чуть большего, чем iV* = (d—1)/(1 — а), но становится
неустойчивым, когда N делается меньше N*.
Изучим критическое (центральное) многообразие для N = N*>
которое должно иметь вид
Qj-tsinjp + JanOsin/ix, £ = Q)e=R2,
a„(C) = 0(UI2) при t-*0.
Взяв ai(£) = £ и подставив выражение для ( ) в исходное
уравнение, получим
/1 0 \ °° °°
(о n ) 2 °» (¾ •§■sinпх+£ (ft21 - M)a"<оsin«*
-'g*o-/»)=(^»)-
где М = ( Jh N=N*.

6.4. Бифуркация периодической орбиты из стационарной точки 203
Если F(£;)= F3(£)+0(|£|4), где F3 —однородный
кубический полином, то
f(Z °р (0 sinр*) = F3 © sin3* + О (U14)
и поэтому
(о $^ + 0-^-4^ + 0(1511).
что описывает поток на критическом многообразии. Положим
/1 0 \ / 1— а —Ь\
L==lo N->)(1-M) = {-cN-> (l-d)N-0>
где N = N*. Матрица L имеет собственные значения ±мо, и
если р,//е R2, L (р + iq) = но (р + iq), (р + ty) ^= 0, то для мат-
рицы Р = (р, q) выполняется соотношение
(\\ /г cos0 4
Пусть c-^j-P^ s.nQJ. Тогда
С W° W cose sin9V«
Vrey W/ ч—sine cosoy
-1-^(1^-04^))+^)-
Положим
/G,(e)4 ( cose sine \ /i o\ / /cose\\
О(9)==и(е)]=и1песо8е)р-Чо AMj4PUe)>
-яг-4: ^{01(8) +oe».
Тогда
2я
и мы видим, что если y = J Gt (9) dQ Ф 0, то
о
при у > 0 нуль асимптотически устойчив, независимо от
членов четвертого порядка;
при у > О нуль неустойчив, независимо от членов четвертого
порядка.

204 Гл. 6. Инвариантные многообразия вблизи стационарной точки
Таким образом, если у Ф 0, то малое периодическое решение
существует при малых y(N— N*) > 0 и не существует при
малых y(N — N*)<0.
Наметим соответствующий результат для случая, когда
F«)=F2(E)=+F8(t)+0(|t|4) при £ + 0.
В этом случае
сю
" = Е °п (С) sin пх, о, (С) = L on (Q = 0 (К Is) (" > I),
-IT Е ^^^MQ. £) + 0(UI4),
/? — нечетное > 3 r г
где
*' © —& J ехР (-V) (J „-.) ^ (^1¾ * + о (| сI3),
^™(о Лм){р21~М} (Р —2f 3. ...).
/cos9\
Подставляя сюда £ = rPl innl» рассуждаем, как и раньше,
только с
/ cos9 sin0\ /10 4/ /cos9\\
8_
я — нсч. > 3
(Заметим, что
/cosGsinex /1 0 4 Л/созОЧЛ
VsinOcose; vo iV-V V VsinejJ
— однородный полином степени 3 от cos 6, sin 0 и его среднее
значение равно нулю.)
Упражнение 2. (Э. Хопф [50].) Рассмотрим систему
щ ш —у * и — ад * ад -— а * 1 + ^ш**»
ад, = ад * и — и*6 + ад*а + [Ш**,

64. Бифуркация периодической орбиты из стационарной точки 205
:\це ut v, w — чётные 2я-периодические функции от л: и
2л
f*g(x) = -%r ^f(x-y)g(y)dy.
2 2
Здесь а(х), b(x) — заданные гладкие чётные 2я-периодические
функции, \i — положительная постоянная. Докажите, что таким
эбразом определяется (локальная) динамическая система в
Х1/2 = {фе=Я1ос(К)|ф(—х) = ц)(х) = (р{х + 2л) при всех *}.
Эту систему легко исследовать, введя
оо
(U> vy w) = Ц (М')> vn{t)t wn{t)) cos пх\
тогда компоненты, соответствующие различным п = 0, 1, 2, ..,,
разделяются:
("ЗГ + цп2) I Urt J= 1 U/l"rt + VnCLn "*" ^^
^лия — o„ft„ + ayrta„ -
где а (х) = J] art cos ял; и т. д. Подставляя сюда cA+fa>fi
о
= е f получим систему
Rn + \inkn + eRn + tin2(iin - an) = 0,
Un = Rn + \in2 — ant
Qn = ~-bn.
Стандартная функция Ляпунова —Rn+—e n + \xn {\iti —
— #«)#« позволяет заключить, что если \хп2 < ал, то
(u* + "0«)e ft -+eCn<\/\Ln2{an — V>n2)
для некоторого вещественного с«, а если [in2 ^ ап, то
(i>n + ш„) -> 0 при f -*■ + °°.
Таким образом, при любом |i > 0 эта система имеет
притягивающее конечномерное инвариантное многообразие размерности
#{я|0 < \in2 <.ап}> а именно
X (М^2 — ап) cos /ix,
о < irn* < ап
^-
v-\- lw
ic„
: 2 Умл2 (an — \м2) & n cos nx
0 < ixn2 < a„
где cn — произвольные вещественные числа. Заметим, что,
вообще говоря, dim 2ц->+оо при ^-^0+- (По поводу
бифуркации двумерного инвариантного тора из периодической орбиты
см. § 8.5.)

ГЛАВА 7
ЛИНЕЙНЫЕ НЕАВТОНОМНЫЕ УРАВНЕНИЯ
7.1. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ И НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ
Всюду в этой главе мы будем использовать следующие оценки.
Лемма 7.1.1. Пусть 6^0, р > 0, a(t) и u{t)—неотрицательные
функции, локально-интегрируемые на 0 ^ t < Т (при некотором
Т ^ +оо), причем на этом интервале
t
u{t) < а (0 + Ь \ (t - s)p ~' и (s) ds.
о
Тогда
t
u(t)^a{t) + Q\E$(Q{t-s))a{s)ds, 0<* < 7\
о
где
оо
6=фГ(р))1/р, Et (г)- J 2яр/Г(пр+1), ^ (*)--£ **(*),
Яр(2)»2Р"7Г(Р) при 2->0 + , £р(г)«-£-е* при z-*+oo
Г и Я0 (з) » -к- ег при z -* + оо V
Если a(^)s a — постоянная, то u(t)^ aE$(Qt).
Доказательство. Положим
Вф(*) —6 j(f — s)p"4(s)^, />0,
о
для локально-интегрируемых функций ф. Тогда если и ^ a-f Ви,
то
и
В"и (/) = J (ЬТ (р) )* (* - s)"p "' и (s) ds/T (яр) -> 0

7.1. Эволюционные операторы и некоторые оценки 207
при п -> оо для любого /, 0 ^ t < Г. Таким образом,
к (*) < a (t) + \ { £ (6Г (р))* (* - s)nP " !/Г (л, р)} а (s) ds.
Оценки для Е^(г) и £^ (г) при z-*+oo следуют из того,
что преобразование Лапласа
ОО
\ е~иЁ$ (z) dz = X~l/(\ - ЛГР)
о
имеет простой полюс в точке X = 1. Подробности см. в [24].
Например, мы можем выбрать 0 < -у < 1 так, чтобы
1 —Х-*5 ф 0 при ReX ^ v> ^ =И= 1. и тогда для 2 > 0
*+-'" *,,-i
где сдвиг пути интегрирования оправдывается тем, что
eXzk-l/(l—Лг*)->0 при 1шЛ,->-±оо и ограниченном ReX.
Интегрируя по частям, получаем
\Е*№—feZ\=0^veyz)=o^при 2^+°°-
Следующая лемма понадобится нам лишь в теореме 7.4.2.
Лемма 7.1.2. Пусть р > 0, у > О, Р + 7>1, а ^ О, & ^ О,
а — неотрицательная функция, ty~lu(t) —
локально-интегрируемая функция на 0 ^ t < Т и
*
«(*)<* + * j (/--s)0"V"1w(s)ds п. в. в (О, Г),
Тогда
где v = р + y — 1 > О,
оо
£p,Y(s)= Z ^mSmV.
^0=1, cm + 1/cw = r(mv + Y)/r(mv + Y + P) при /n>0.
При s -*■ -f oo
%Y(S) = 0(S"2^-^exP(4S^)).

208
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
Доказательство. Если
t
Вф (t) = Ъ \ {t - sf ~V" ф (s) dsf
о
то, как легко проверить по индукции,
u{t)Ka S сж(ЬГ(р))т tmv + Bn + lu(t).
Далее,
Вп
nu(t)^\Kn(tt s)sy~lu{s)dst
где при у ^ 1
/Cn (UXQ/-,,,V-" (t-a)*-\
Qi = 6. Q» + ,/Q» = ЬГ (p) Г (пр)/Г («v + P),
а при 0 < у < 1
K„(f, «)<0»(<-*Г~т,
Q. = 6, Qn+ ,/Q» = bY (p) Г («v)/T (nv + P).
В любом случае Qn+i/Q« = О (л-*) при /г-»- °о,так что В"ы (*)-*• 0
при п -»■ оо и
«(0<аЯр,,((бГ(р))1/^).
Но Г(2 + р)/Г(2 + q)=zP-"{\+(p-q) (р + q-\)j2z+ 0(z~2)}
при z-»-+oo, так что если 6 = (Py + v)/2v, то
г«п+1)р + а)ся + 1 =/jLy „ + о (п-2)]
а значит, спТ(п$ + б) (p/v)"1* сходится при л->-+оо и имеет
некоторую верхнюю границу /С при всех п ^ 0. Тогда
оо
Си, y\S )S 5¾ Л /_, Г(пв + 6) S
при s > 0. Преобразованием Лапласа правой части служит
/Oi~6/(l — (P/v7,)P), так что сумма ряда имеет порядок
0(exp(Ps/v)) при s->oo. Лемма доказана.
Упражнение 1. Покажите, что
^я1/2(0 = я1/2(0 + НГ1/2,
а, следовательно, е* < Ei/2(0^ 2е' при t ^ 0.

7.1. Эволюционные операторы и некоторые оценки 209
Упражнение 2. Покажите, что для £i/2l 2(Р = 1/2, у = 2)
3*+1(Л + l)!c„+2/3*A!c„ < 1
при л = 2k + 1 или 2k + 2, й ^ 0, так что
Si/2.2(0^ 1-886 max(M3)exp(*Y3).
Упражнение 3. Покажите, что если а, р, у положительны,
P + Y — 1 = v > 0, 8 = а + 7— 1>0и
t
и^Х^'Ч^^-^'^^айй при *>0,
о
то
и(*)<а*—' Jc;(6ro»))»^,
где Со= 1, C« + i/C^ = r(mv4-6)/T(mv + 6 + p).
Упражнение 4*. Покажите, что при 0 ^ а, р < 1, 0<Г<оо,
существует постоянная С(Р,6, Г)< оо, такая, что если
M(0<^"a+bJ(^-5)~PM(s)ds на (0, Г),
то
Теорема 7.1.3. Пусть А —секториальный оператор в!0^а<1
и отображение
t*->B{t), [tbU\ + 2(X*,X)
непрерывно по Гёльдеру. Тогда для любых х0 е X и ^0 ^ т < t\
существует единственное решение x(t) = x(t\ т, х0) задачи
J*-+Ax = B{t)x при x<t^tu х(т) = х:0
и Хоь->х(^; т, Хо) есть линейное ограниченное отображение в X,
так что можно писать
x(t\x9Xo)=T(t9x)xo9 t*^x.
Это семейство эволюционных операторов {T(t, т), /0 ^ т < / =^ £i}
обладает следующими свойствами:
(a) Г(т,т)=/, 7(^5)7(5, т) = Г(^т) при f ^ s > т;
(b) {Г(^т), f ^ т} сильно-непрерывно по (/, т) как
отображение со значениями в 2?{Х$) при любом 0 ^ Р < 1;

210
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
(c) существует постоянная С, зависящая только от А, а,
ti — t0H sup||S (/)||, такая что для х из D(A2) и 0 < р, 7, 6 ^ 1
(i) \\T(t, x)xl^14T(t-xf-^lxlN,
здесь (у — р)- = min {у — р, 0}
при р < 1 и / > т из [/0) /,];
(ii) \\T(t, *)x-xk< {lfp)Q (*-т)е||*1|р+е
при e>o, p + e<i;
(Hi) IT(t + h, т)*-7(/, х)хЦр
при / + л > t > x, e > o, p + e < 1;
(iv) IT (/, x)x-T(t, T-A)*fe
при t>x>t — h> 8 >0, p < 1 и 1 + y > a + 9;
(d) если ||B (0 - В (s)l^ (xa> х) < Q | / - s Г на [*0, *,], 0 < (/
<^ 1, то при 0<р<<7<1— a, £ > т и С, таком же, как в
условии (с),
\\-§fT{t, x)x\\^\(A~B{t))T(t, x)xh
Доказательство. Существует постоянная М9 зависящая только от
А п tx — t0> такая что
\е-мхЪ<Мр-«-1хЬ
при 0<6^1 и 0 ^ р, 7 < 2. Постоянные, зависящие лишь от
a, М, t\ — toH sup||B (<) ||, будут обозначаться Сь С2
Пусть t > т, [т, /] с [/о, ^i], *о е Ха. Тогда решение x{t\ т, хо)'
будет, несомненно, корректно определено в Ха и по
соображениям единственности является линейной функцией от хо. Ввиду
равенства x{t\ т, *о) = T(t, т)хо, свойства (а) также следуют из
единственности, по крайней мере в Xе, Если а ^ Р < 1, то
задача Коши корректно поставлена также и в Х$, а потому
сужение T(t, т)| р лежит в 3?{Х$) и сильно-непрерывно по (/,т).
В случае 0 ^ Р ^ а соответствующие .результаты следуют из (с).

7.1. Эволюционные операторы и некоторые оценки 211
Если x + Ax = B(t)x на (т, t\], x(t)<=D(A), то при t>%
и 0<|}< I.Os^y^S 1
|| X (*) !|р < М (t - xf ~ Р)-1X (т) ||v + Л* С, J (t - s)~e I x (s) Ь ds.
X
Рассматривая сначала случай p = a, а затем общий случай,
получим
*(*)К-
1-р
(t-гУ
XV-Р)-,
*(*)Ь.
Если y = Pi то 7(^,т)|ХР равномерно ограничено в 3?{Х$) и
сильно-непрерывно при а ^ Р <С 1, а следовательно, и при
О ^ р < а.
Заметим теперь, что при 9 > 0, р + 9 ^ 1
t
II* (0 -*(т)lb <-?-(<-т)в|*(т)Ь + в + А*С, J (<-«)-*||*(s)||a&
<c»(i-+T=r)(/~T)e||:c(T)llp+9
(мы воспользовались свойством (i)). Если 6 > 0, р + б < 1,
t + Л > t > т, то
|*(* + A)-*(0b-=ll(7(f + A, 0-/)*(011р
<С'(-Т + Т^г)Ав -r^-(^-^-p-9)-|UW«v,
чем доказано (iii).
Пусть p<U + T>a + 0l9>O,f>T>T-AH
z{t)=T(t,%)x—T(tt% — h)x,
так что
t
z(t)=(l-e-Ah)e-A{i-x)x+]e-A{t-s)B(s)z(s)ds
a-A{t-s)
B{s)T{s, —k)xds.
t -h
Поскольку f — 5^ min {t — т, т — s} при т — h ^ s ^ т, то,
рассматривая различные случаи и используя неравенство
min{a,6}^ axu1_x при 0^^^ 1, а ^ 0, & ^ 0, легко показать,
что
е
-A{t-s)
В (s) Т (s, т — А) х ds
т-ft
<-T^min{(*-T)-f5A1+(v-a)-, Ai-e+(v-«)_j||jc|,Y

212
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнений,
Оценив с помощью этого неравенства сначала ||г(<)||а, а затем
II*(t)lip, получим (iv).
Если x(t)= T(t, х)х, t > т, то (см. лемму 3.5.1)
dx
- dt- = Ае~А{t~x)x + е~А {t~x)B (t)х(t)
t
+ \ Ae~A(t~s){B(t)x(t) — B(s)x(s))ds.
X
Таким образом,
dx(t)
dt
^C6(t-x?-^l\\x\\y
t
+ M\(t-s)*-1[Q{t-s)<UWU + Ci\x(t)-x(s)\a\ds
X
I MC|Ca / 1 . 1 N
1- ?(1_a_?) \q-fi I" i_(Y_a_?)J
откуда следует оценка (d).
Теорема 7.1.4. Пусть А и B(t) удовлетворяют предположениям
теоремы 7.1.3 при to ^ / ^ tu и пусть /0 ^ т < tu Xq ^ X,
f: (т, ti)-+X — локально-гёльдерово отображение, такое что
т + р
J ||f (s)Ids < оо для некоторого р > 0.
т
Тогда существует единственное решение задачи
dx ' X(*)x = f(*)(T< *<*,), х(х) = хп
dt
(где A (t) =3 А — В (t)), а именно
t
x{t) = T(ty х)х0+ §T(t, s)f(s)ds.
X
Замечание. Если 0 ^ р < 1, хо е Х$ и мы хотим, чтобы решение
удовлетворяло соотношению f{t)-+XQ в Х$ при *->-т+, то нужно
потребовать, чтобы
t
\(t — s)-»lf{s)\ds-+0 при t-»x + .

7.1. Эволюционные операторы и некоторые оценки 213
Доказательство. Достаточно доказать наше утверждение при
Хо = 0. Положим для р ^ 0
мо=
*-р
J Г(*, s)f{s)ds при *>т + *
О
при / < т + Р-
Выберем любое фиксированное /* из (xft\). Для малйх р>0
и для *, таких что % <. t — р < t* < tf имеем
t-Q
Fp(t) = T(tt П J Г(**, s)f(s)dst
т
так что Fp(t)^ D(A)t отображение t*—>Fp(t) дифференцируемой
-±-FQ{t) + A{t)F9{t) = T(t9 t-p)f(t-9). -
Кроме того,
*-р
||Fp(0l!a<M J (t-sT«\\f(s)\\ds->Q
т
при *->т + Р« Из теоремы 3.2.2 следует, что при f^x + P
r.m- S «-•"'-'-mj-(s+p, pirn*
+ S
,-A(«-*)
В (s) Fp (s) ds.
T+ P
Далее, Fp(t)-*~ F0(t) в X при p->-0+, и если t > т + P. то
f p (0 - J e~A {t ~s) (B (s) F0 (s) + f (s)) ds
<
S
-A(t-s)
f{s)ds
t-p
t-9
т
-7(s + p, s))f(s)\\ds
{ t
+ Msup\\B\\-^\\\f(s)\\ds,
что стремится к 0 при р->0+. Легко видеть, что отображение
t*-~>Fo{t)& Xa локально-гёльдерово на (т, t\) и Fo{t)-^0 в X

214
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
при t-*x+9 так что F0(0~~CJia6oe (а следовательно, и сил]
ное) решение задачи
ljL + Ax = B(t)F0(t) + f(t) (<>т), *(т)»0.
Теорема доказана.
Упражнение 5. Часто встречавшееся выше требование лс
кальной гёльдеровости по времени призвано обеспечивать диф
ференцируемость решений, но оно не является необходимым дл.
существования слабых решений (непрерывных решений соответ
ствующего интегрального уравнения). Пусть А —секториальньи
оператор в X, 0^ а< 1, Rea(/t)>0, \\Ave-Ai\\*^ Mt~v при t > С
0 ^ у ^ 1, В\ [tQt ^]-> j?(Xa, X) — измеримое отображение и
^\B(s)t{xa,x)ds)l'P<co
при некотором р> 1/1—а. Докажите, что для любого 1^ХС
и любого т е [to, t\] существует единственное слабое решение
задачи х + Ах = B(t)x, х(т)=£, т. е. единственное непрерывное
решение х: [т, t\]->Xa уравнения
t
х (t) = e~A {t~x\ + j е'А {t ~S)B (s) x (s) ds, т < t < tx.
x
Записав, как и раньше, x(t)= Г(*, т)|, докажите, что существует
постоянная Cp,Y, такая, что
try, *т<с*. At-if ~*uiih
при *о ^ г < f *S *ь ё е X?, если 1 — 1/р > а, 1 — \/р < р и
0^р< 1,0^ v^ 1-
Указание: используйте неравенство Гёльдера на малых
интервалах времени.
Упражнение 6. Если А — секториальпый оператор в Ху
\\е-мх1^Ме^\\х\\а, ||^л/х|!а<М^тах(Га, 1)|*|
при t > 0, х & Ха к отображение В: [t0i <х>)->&(Ха, X) ограня
чено и локально-гёльдерово, причем
00

7.1. Эволюционные операторы и некоторые оценки 215
то существует М\ > 0, такое что эволюционный оператор T(t,s)
для уравнения dx/dt + (А — B(t))x = О удовлетворяет оценкам
\\T(tt s)xla<MleW-s)lx^,
\\T(t, 5);с|!а<Л11еР(^-')тах(1, (t -s)~a)||x\\
при всех t>s^zto,%<^Xa>.
Упражнение 7. Пусть А и S(-) удовлетворяют
предположениям упражнения 6 с р=0. Предположим, что о (Л) f| {Re Я,
= 0} — спектральное множество, и пусть X = Х\ © Х2 —
соответствующее разложение, причем операторная функция е~~Ах
ограничена при — оо < t ^ 0, а при t ^ 0
\e~Att \^Ме~^ для некоторого р > 0.
Докажите, что при всех s ^ to существует непрерывное
линейное отображение L(s): Х-^Хи такое что для t ^ s ^ to
T(t, 5) = е-л,(^5)Ц5) + Г2(^ s),
\\T2(t, s)\\-*0 при t — S~*+oo.
Кроме того, ||Z,(s)—£i||->0 при s->+oo, где Е\ — проекция X
на А\ вдоль Хъ*
Упражнение 8. Пусть А — секториальный оператор и
1 е~м 1 < Меь\ | е~мх ||а < М Г V (х ||а
при *>0, хеХа. Пусть, далее, В: [/0, оо)->(Ха, А")— локально-
гёльдерово отображение, причем
1BW*U« jr)^Y ПрИ ВСеХ '>f°'
Докажите, что
||Г(*. s)|<Mie6(^s), *>s>*0,
где 6 = p + (YAir(a-a))1/(1"a).
Упражнение 9. Пусть Л, 5(-) удовлетворяют условиям
теоремы 7.1.3, эволюционный оператор T{t,s) для уравнения
dx/dt +(Л — B(t))x = 0 удовлетворяет оценке ||Г(/,$)||^
доe-P(f-s) ПрИ f ^ 5 ^ ^о и некоторых р > 0, М > 0 и пусть
g(f, *) — локально-гсльдерова по / и локально-липшицева по х
функция из некоторой окрестности множества (£0, оо)Х{0}с
КХ^а в Ху причем ||g(/, x)||=o(|U||)a при х-^0 в Ха
равномерно по t ^ /0. Докажите равномерную асимптотическую
устойчивость нуля для уравнения
*L+(A-B(t))x = g(t, х).

216
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
Упражнение 10. Пусть А и В(•) удовлетворяют условия*
теоремы 7.1.3, причем А имеет компактную резольвенту. Дока
жите, что оператор T(tts)^ &{ХЬ,Х$) компактен для любы;
*>5И Р< 1.
Замечание. Танабэ [134], Соболевский [93] и Като [57] изу
чали эволюционные операторы для линейных неавтономные
уравнений гораздо более общего вида, где члены высшего по
рядка меняются со временем и даже их области определение
не постоянны. Эту задачу исследовал также С. Г. Крейн [63
гл. 2, §5].
7.2. ЛИНЕЙНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (ср. [98, 391)
Пусть Л — секториальный оператор и ty—>B(t)^S?(XayX) —
гёльдерово отображение, р-периодическое для некоторого р > 0:
B{t + p)=B(t) при всех *.
Рассмотрим сначала однородное уравнение
J^ + (A-B(t))x = 09
решения которого удовлетворяют равенству
x(t)=T{t,s)x(s), t^s.
Упражнение I. T(t + р, s + p)=T(t,s) при всех t ^ s.
Так как норма \\B(t)\\ , а . ограничена, то существуют
М ^ 0 и т, такие что при t > s и х<= Х$
\T(t. s)xb<-1^(t-s)y-*em{t-t)lxk (0<y<P<1>.
\T(t, 8)x-xh<-^{t-s)*-*em«-*lxk.
Для изучения проблем устойчивости необходимы более
точные оценки на рост эволюционного оператора T(t,s) при
t — s ->* оо. Заметим, что если / > 5, п = 1, 2, 3, ..., то
T(t + np9 8) = {T{t + p, t))nT[t9 s) = T(t, s){T(s + p, s)r,
так что дело сводится к оценке степеней оператора T(t-\-p, t).
Определение 7.2.1. Оператор
U(t)=T(t + pJ)
называется отображением Пуанкаре1). Ненулевые собственные
значения 0{t) называются мультипликаторами2^
'> В оригинале period map (Poincare map). — Прим. ред.
ъ В оригинале characteristic multipliers..— Прим. ред.

7.2. Линейные периодические системы
217
Лемма 7.2.2. U(t + p)=U(t) для всех t. Мультипликаторы не
зависят от времени, т. е. ненулевые собственные значения U(t)
и U(s) совпадают. Более того, а(£/(/))\{0} не зависит от t.
Если А имеет компактную резольвенту, то оператор U(t)
компактен и, следовательно, о(0{t))\{0} целиком состоит из
мультипликаторов.
Доказательство. Предположим, что \х ф О, U(s) х = \хх ф О и
s ^ t ^ s + р. Пусть у = T(t, s)xyтак что T(s + р, t)y = \ххфО,
уфО и U(t)y = усу. Ввиду р-периодичности О(-) это
доказывает, что мультипликаторы не зависят от времени.
Если [хфО, \i^ p(£/(s)), s ^ 15¾ s + р и (\х—U(t))x = y,
то |лх = у + до, где
w = T(t,s)(ii-U(s))-*T(s+p9t)y.
Обратно, если определить х с помощью этих соотношений, то
(p,— U(t))x = у, так что p(t/(0)z>p(I/(s))\{0}, откуда, в
силу периодичности, следует нужный результат.
Если А имеет компактную резольвенту, то оператор e-At
компактен при t > 0, а следовательно, T{t,s) компактен при t > s.
Теорема 7.2.3. Пусть Gi является спектральным множеством для
a(U(t)) при всех f (обычно 0\ — это конечный набор
изолированных собственных значений или же дополнение к нему).Тогда
при любом t пространство X можно представить как прямую
сумму X = X\(t)(BX2(t) замкнутых подпространств,
инвариантных относительно U(t), причем
а (и <*> к (о) - «р ° (и w U. «>) -«(f7 w)\»,.
При t ^ s оператор T(tts) отображает X\(s) в X\(t) и является
взаимно-однозначным отображением на Xi(t), если О^а^
Пусть ерр = sup{||i|, [i s ai}. Тогда для любого е > 0
существует Мг > 0, такое что
При f^SHJfG^id?).
Пусть, далее, 0фох и ew = inf{||х|у fxsSi}>0. Тогда
T(t> $)xt xeli(5), можно определить также для t ^ s, причем
по-прежнему выполняется условие (а) теоремы 7.1.3, и при
xsXi (s) и при малых е > О
ЦГ(*, s)x\\<Mse{v-e){t-s)U\\> t<s.
Наконец, если в комплексной плоскости существует путь у,
не пересекающийся с 0\ и соединяющий 0 и оо, то справедливо
представление типа представления Флоке. Существуют
семейство ограниченных обратимых операторов P(t); X\(so)-^X\(t)9

218
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
— оо < t < оо, таких что P(t + р) = P(t), P(sq)= 1, и ограни
ченный оператор С в X\(so) со спектром о(С) = (1/р)1паь таки<
что для х е -Xi (5) и всех /, s
Доказательство. Если / ^ 5, то Г(/, 5) U(s)= U(t)T(t, s), такчтс
T(tts)(k-U(s))-*=(K-U(t))-*T{t,s)
при ^е^, где ^ — контур, не пересекающийся с o(U(t)), окру
жающий 0! и отделяющий его от ог- Интегрируя вдоль у» по
лучим
r(<>s)£i(s)=£i(Or(fis),
где E\(t) — проектор на Xi(/) вдоль X2(t) [23, т. 1, гл. 7]. Эт(
показывает, что T(tys) отображает X\(s) в Xi(t). Есл1
T(t, x)s = 0 и хе Xi(s), хФО, то для целого п, такого чтс
^ ^ t ^ 5 + ^р, мы имеем (U(s)) пх = 0, а следовательно, Oeai
Пусть еРр — спектральный радиус оператора U (s) [Xi (s). Тогдг
для любого е > О
•-^^"-^TC.^lr.wl-O при *-+оо.
Действительно, если бы это было не так, то существовали бь
С0 > 0 и U -> +оо, fv — s = nvp + 6V (где 0 ^ 0v < р, nv — це
лое), такие что
•"*н",,'")1'СПк»1>с.>».
Извлекая корень порядка п^ и устремляя nvK 00, мы получил*
бы противоречие:
e^ = e-«+^JlmJ(U(s)\XxJ*\\,n*>L
Если O^aj, то t/(s)|^j(J) обратим вместе с T(t, s)Xi{s)9 и оцен<
ка снизу получается аналогично.
Предположим, что существует путь у из 0 в оо, не
пересекающий о\. Для произвольного 5о имеем
U (*о) U, w - ерС, где С = -^ j (* - I/ (s0) U (,0))""' In Я,
dk\
здесь L — контур, окружающий си но не пересекающийся с у
и выбрана ветвь логарифма, отвечающая разрезу комплексное
плоскости вдоль у. Тогда о(С) = (1/р)1п ai (используется та же
ветвь логарифма), так что о(ерС)= 0[. Далее если t ^ s, то one-

7.2. Линейные периодические системы
219
ратор T(t, s)\Xi{s) отображает X\(s) на Xi(t) и имеет
непрерывный обратный, а именно
(V{s)\xi{^-nT(s + np9 t)\Xi{th
где п таково, что s + пр ^ t. Положим для t ^ so
P(t) = T (t, so) \Xl iSo)e-c «-^iXi {s0) -+ Xi (t).
Тогда
P(t + p) = T(t + p, з0)\х,юе-С{* + ,"г*
= T(t + p, So+p) \Xi mU (so) U. Me-Cpe-C lt~*•» = P (*).
ЕСЛИ Г ^ S, TO
С помощью этого равенства можно определить Т (t, s) L ($) для
всех /, и тогда при t ^ s
T(s, ^,,,,^, S)U(.)
— тождественное отображение пространства X\{s) на себя.
Замечание. Из оценки типа
!П', ^Ix.^i^Ale6^-^ при f>5
следует, что при 0 ^ ^ < Р < * > t > s, л; е Xi (5)П X*
\\T(t, s)x^<-^max[{t-s?-*9 l]e6{t~s)\\x\\y,
\\T(t, s)x-xh<jz^rmn[[t-s)*-\ \]e*{t-9)\xh.
Следствие 7.2.4. Если А имеет компактную резольвенту, а
В(-) —такое же, как и выше, то нулевое решение уравнения
~+{A-B(t))x = 0
асимптотически-устойчиво тогда и только тогда, когда все
мультипликаторы по модулю меньше единицы.
Упражнение 2. Пусть для приведенного выше разложения
справедливо представление Флоке
T(t9 s)\Xl{s) = P(t)eC(t-s)P(sr\
Если dx/dt + A(t)x = g(t) и x(t)*=xl(t) + x2(t)€=Xl(t)®X2(t)t
где xx{t) = P(t)y(t)9 y{t)*=Xi(so)seY, то
-%- = Cy + P{t)-lEx(t)g{t).
dt
dx2
dt
+ A2(t)x2 = E2(t)g(t)t

220 Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
тяе A2(t)x2—(E2{t)A(t) — E2(t))x2 при х2 е^(0- Уравнение в ]
имеет постоянные коэффициенты, и при / > 5
t
х2 (t) = Т (t, s) \Хг {s)x2 (s)+\t (t, о) \Xt (а)Ея (a) g (a) da.
S
Упражнение 3. Пусть Л, В(•) удовлетворяют предположе
ниям теоремы 7.1.3 и, кроме того, B(t -f р)= B(t) при всех
и некотором р > 0. Пусть, далее, е~рК — изолированное простое
собственное значение оператора е~рА. (Это верно, например
если % — простое собственное значение Л, но X + 2nin/p не яв
ляется собственным значением А пи для какого целого пф(
и А имеет компактную резольвенту.)
Докажите, что при малых |е| существует единственный близ
кий к е~рк мультипликатор \х(г) уравнения dx/dt + Ax = zB{t)x
причем ц(е) является изолированным собственным зиачение!У
отображения Пуанкаре, аналитически зависит от е и \л(г)-*е-&
при е->0. Фактически если
(е-р* _ в-*) Хо = о, (е'рА' - е~рК) у0 = 0, <*„, уо) = 1,
то
р, (е) = е-р% + е<L,x0) #о> + О (е2),
о
Упражнение 4. Модель взаимодействия популяции хищнике
(с плотностью и) и популяции жертвы (с плотностью v) имеет
вид
-^- = D^u-j-f(u, v), -^ = D2Av + g(u, v) в QXR+,
Здесь f, g— функции класса С2, D\f D2— положительные
постоянные и Q — ограниченная гладкая область в Rn (n = 1, 5
или 3).
Пусть система ОДУ р = f(p,q), q = g{p> q) имеет
непостоянное периодическое решение p(t)t q(t) с периодом Г; мультипли
каторами линеаризованной задачи служат 1 и е*\ где
г
^= }(ЫЛ q) + gv{P, q))dt.
о
Рассматриваемая система УЧП имеет периодическое решение
u(X)t) = p(t\t v(xtt)*=*q(t), и мультипликаторами ее линеари

7.3. Сопряженная система и обратная единственность 221
зации являются мультипликаторы системы
/> = —Щр + Мр, q)p + fv{p, q)q,
q = —XDtf + gn (p, q) p + gv (P, q) g,
где Я — любое собственное значение задачи Неймана
Дф + алр = 0 в Q, -gJ- = 0 на <3Q, <р Ф 0.
Если решение (р, q) неустойчиво по линейному приближению
(ja > 0) для ОДУ, то то же самое верно для УЧП (см.
теорему 8.2.4).
Если решение (р, q) орбитально-асимптотически-устойчивопо
линейному приближению (ji < 0) и D\ = D2, то оно устойчиво
и для УЧП (см. теорему 8.2.3). То же верно, если разность
D\ —D2 мала.
т
Если \ gv (р, q)dt>0, но |х < 0 и Di = е-1, D2 = е для ма-
о
лого е > 0, то (р, q) устойчиво для ОДУ, но неустойчиво для
УЧП.
7.3. СОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА И ОБРАТНАЯ ЕДИНСТВЕННОСТЬ
Для всякого банахова пространства X будем через X*
обозначать двойственное (сопряженное, дуальное) пространство
(вещественных) непрерывных линейных функционалов на X;
значение функционала j/eI* на элементе х^Х будем
записывать как <х, (/>. Если L: X->Y— непрерывный линейный
оператор, то L*: Y*-*X*— это непрерывный линейный оператор,
определяемый равенством (х, L*y}^=(Lxtyy для всех хб1, i/gI*,
В случае когда L — линейный оператор с областью определения
D (L), плотной в X:
L: D(L)czX^Y,
оператор Z* не будет, вообще говоря, непрерывным; D{L*)
состоит из всех j/еУ*, таких что отображение x\—>(Lx,у>,
D(L)->'R ограничено в Х-норме, и L*y определяется как такой
элемент из X*, для которого
<х, Ь*уУ = <Lx, у} при всех х^ D(L).
Если Y — рефлексивное пространство и оператор L замыкаем,
то L* плотно-определен в У* (см., например, Като [56]).
ПРИМЕР 1. Пусть V и Н — вещественные гильбертовы
пространства, причем V — плотное подпространство в Я и
вложение V в Н непрерывно (так что \\х\\н ^ CIWIv Для некоторой по-

222
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
стоянной С). Пусть, далее, a: VX V->'& — непрерывное
билинейное отображение и
Xolx\fk + a(x, *)>a|*|;vs *eV,
для некоторых постоянных a > 0 и Х0 ^ 0.
Определим D(A) как множество всех ХбУ, таких что
отображение у\—>а(х, у), V-+R непрерывно в //-норме, и для
таких а: определим Ах^Н равенством
{Ах, уун = а(х, у) при всех j/gV.
Тогда A: D(A)aH^~H — замкнутый секториальный оператор
в Я, а сопряженным к нему оператором А* будет (если
отождествить Я* с Я) оператор, определенный аналогично с помощью
формы a*, а*(х, у) = a(xt у). Первое утверждение доказано,
например, у Като [56], а утверждение о сопряженном операторе
очевидно.
ПРИМЕР 2. Пусть Q — ограниченное открытое множество в 'Rn
с Страницей, # = 12(0), V = Ho{Q) (соотв. Я1 (Q) и для и,
ие V
а (И, V) = \ \ £ аП (х) uXivXj +Yabi (х) U*j + с (х) uv \ dx
я Ь, /=i )
+ Г \ $(x)uvds, в случае когда Vr = WI(Q)1,
Ы J
где а//(х)= aji(x), функции b}(x) липшицевы, функция с(х)
(и Р(х)) непрерывна и для некоторого a > О
Z aij(x)lilj>2a[Zfk) при *geQ, £c=Rrt;
в каждом из этих двух случаев а удовлетворяет
предположениям примера 1. Тогда
/)(Л) = {ие=//2(Й)|и = 0 на (Эй[соотв. -J- + (3u = 0 на <%2]1,
п
где -4^-= У* aijNiUxr N — единичная внешняя нормаль и
п п
Аи = — X (^/^) Xj + 2 М*у + CU В Q,

7.3. Сопряженная система и обратная единственность 223
Далее,
D (А*) =
Jt>€=//2(Q)|i> = 0 на 3Q
1 ди .
j^COOTB. -^- +
Ро=(Ё6/^/)0 на ай }'
Л*а = — 2 (^(/»х/) */ — Е (ЬР)х} + cv.
ПРИМЕР 3. Пусть X = Lp(Q)f 1 <р<оо, так что X* = LP*{Q)9
где 1/р+1/р'=1. Если Л —оператор, заданный формально
в примере 2, на области
D{A) = {u<=W2tp(Q)\u = 0 на 3Q
[соотв. -2jL + pu = 0-на дЛ
то
Z>^ = {u€=№2'p'(Q)|a = 0 на dQ
Г соотв. .*L + P« = &-M* на <?q]}
и Л* имеет тот же вид, что и в примере 2. Это следует из
стандартных результатов об эллиптических краевых задачах в L , (Q)
(см. [2, 8, 30] и упражнение 3 ниже).
Упражнение 1. Если Л — секториальный оператор в X и
D(A*) плотно в X*, то Л* — секториальный оператор в X*.
Упражнение 2. Если Л — секториальный оператор в Ху
а>0, Иеа(Л)>0 и L <= &(X)[}2>(Х«), то 1(Ха) плотно в Ха
тогда и только тогда, когда
у е X*, (AaLx, у} = 0 при всех jc е X* =4- у = 0.
Упражнение 3. Пусть Т: D{T)czX-+Yt S: D{S)cz
Трилинейные операторы, £>(Г) плотно в X, для некоторого Хо образ
R{T — X0) плотен в У, /?(5 — Х0) = Х* и
<Гх, у> - (х, Sy) при xeD(r),jeD(S).
Докажите, что S = Г*.
Теорема 7.3.1. Пусть Л0 — секториальный оператор вХ, 0 ^ а < 1,
*н-*Д(*)-Л>. [/0, *,]-*#(Ха, X)
— гёльдерово отображение с показателем В>0 и T(t,s) —
эволюционный оператор для уравнения x + A(t)x = 0.

224 Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
Если y^X*,y(s)=T(tus)*y при to < s ^ t\t то s*—>y{s),
[to, t\)-+X* —локально-гёльдерово отображение, #($)->■ j/* слабо
при s-*-/i— (т. е. <х, y(5)>->(x, у> при 5->/i— для любого
j^gI) и для всех хе£>(Л0) отображение s^->{xty(s)}
дифференцируемо на [*o>*i), причем
-^- <х, y(s)} = <A(s)xt y(s)>.
Кроме того, y(s) — T(t, s) *у (t) при t0 ^ s ^ t ^ t\.
Если 0 > а, то отображение у: [/0, fi)->-X*— непрерывно-
дифференцируемо, у (s)e D (A (s)*) и
-%-{s)*=A{s)*y{s) при t0<$<tu
причем
l|A(s)#»W|x»<C(ii-s)-!||»||x»
для некоторой постоянной С.
Доказательство. Первая группа утверждений непосредственно
следует из теоремы 7.1.3. Например, при t0^s — h^s<Ch
\<х, y{s)-y{s-h)>\ = \<TXtl9 s)x-T(tu s-h)xu y)\
<IIy'hcC'tb* (<i -sf\\x\\ (0 < 6 < 1 - a)
для любого x e -У, так что
[»(s)^y(s-A)b.<Ce*e('i-*)"ellylPi-
Пусть теперь 0 > ос. Без потери общности можно считать,
что а<0< 1. Докажем, что существует постоянная С, такая
что
\\T(t,s)A(s)x\\^C(t-s)-l\\x\\
при fo^KK^HXG £>(Л0). Отсюда вытекает, что
|<Д(5)*, ^(5)>| = |<Г(^, s)A(s), х, у)\<С{и-8Ух\\х\\\\у\\х%
при л: е D(A0), *о < s < *i, так что y(s)e D(A*(s))> причем
\\A\s)y(s)y<C{tl-s)-l\\y[x^
Аналогично, для любого в из интервала 0 < е < 0 —а
\\T{t, s)A(s)x-T(t9 s-h)A(s-fi)x\\^Czhe(t-syl-E\\x\\
при t0^ s — h^s <t ^tu * s £(^o) и некоторой постоянной
Се (см. упр. 4), а потому
||л*(8)г/(5)-л,>(5-Л)^(5-л)1л#<се^-в)"1"8ле^:^

7.3. Сопряженная система и обратная единственность 225
Заметим теперь, что х(t) = е Ao{t х)х(х)— решение уравнения
х + A (t)x = (A (/) — А0)х при t > т, так что
t
T(t, %) = e-A°«-x)-\T(t, s)(A(s)-A0)e-A°v-T)ds
T
при to^r ^t ^t\. Отсюда следует, что для х е D(A0)
T(t, T)A(T)x = Aoe-Ao{f-T)x + T(t, т)(Л (т) - Ао)е~А°{*~т)х
t
- \ (Г (t, s) B{s)-T (t, т) В (т)) • Aoe~Ao{s-T)x ds,
X
где £(s)— A(s) — AQ. Если a < 1/2 (и, значит, можно
предположить, что 1 —а > Э > а), то нужная оценка следует из
теоремы 7Л.З,(с). В общем случае равенство
Т (ff Т) _ г (*, т - А) = (/ - <ГЛв*)<ГЛ°(' "т)
- j [Г (f, 5) В (s) — Т (t, s - h) В (s - Л)] *-*•<»-<> tfs
г
влечет оценку
[ Т (f, т) - Т (t, х - К) у {Х) < ChQ (t - т)" e,
из которой и вытекает нужная нам оценка. Теорема полностью
доказана.
Упражнение 4. Докажите, что отображение ть->7(/,т)Х
А(т)хёХ, to ^ т: < t ^ t\, гёльдерово равномерно по хе
*>Ио), IWI«£1.
Простым примером применения сопряженного уравнения
служит следующая
Теорема 7.3.2. Пусть А0 — секториальный оператор в X, 0^
а< 1,
tt->A(t) — A0f R->3?(X*X)
— гёльдерово отображение с показателем, большим а, и
A(t + p) — A(t) при всех t
для некоторого р > 0. Пусть, далее, для некоторого t0 опера-
Тор / — T(to-\-pt to) имеет замкнутый образ (как оператор из
9?(Х))\ это заведомо так, когда А0 имеет компактную
резольвенту.
% Д. Хенрн

22Л Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
Если /: R -v X — гёльдерова функция, периодическая с
периодом р, то уравнение
*L + A{t)x~f(t)
имеет р-периодическое решение тогда и только тогда, когда
р
\<y(s), f(s)>d$ = Q
о
для любого р-периодического решения сопряженного уравнения
y(s) = A(s)*y(s).
Доказательство. Решение x(t) уравнения х + A(t)x—f{t)
является р-периодическим тогда и только тогда, когда x{fa-\-p)—
x(to) — Q7 т. е. тогда и только тогда, когда
h+p
z= [ T{u + pf s)f{s)ds
«(Г(*о + Р, t0)-I)x{t0)eR(T(t0 + p, t0)-I).
Так как L = T((q + P, h) —-1 имеет замкнутый образ, то #(L) =
/V(L*)X и z^R(L) тогда и только тогда, когда <г/, <г> — О при
L*y = 0. Пусть y(s)=r(f0 + P,s)V Тогда </(s) = Л (s)**/(s),
г/(5 + Р)= У(5), и указанное условие принимает вид
h+P
<У, *>= \ <y{s)9 f(s)}ds = 0.
to
Наше главное использование сопряженного уравнения состоит
в применении теоремы 6.1.9, дающей условия, гарантирующие
плотность образа оператора T(t\,to). Но T(tuto)X плотно в X
тогда и только тогда, когда
Правда, обычно нам надо доказывать, что T(t\Jo)Xa плотно в
Ха, но соответствующие условия оказываются в основном теми
же самыми.
Теорема 7.3.3. Пусть А0 — секториальный оператор в X, О =$
t^A(t)-A0y [to,tx]-»&(X*9X)
— гёльдерово отображение с показателем, большим а. Предпо*
ложим, что любое непрерывно-дифференцируемое отображение
z: (t0,ti)-+X*t такое что z(s)e D(A(s)*), dz/ds=A(s)*z на
(tQy t\) и z(s)^0 в X* при s-*fi}\ равно нулю на (f0, t\). Тогда
для любого 0 ^ р ^ 1 образ T(t\y U)X$ плотен в Х$<

7.3. Сопряженная система и обратная единственность 227
Доказательство. Пусть T(tuto)X$ не плотно в Х$у так что (если
предположить, что Rea(A))>0) A^T(t\,to)Xb не плотно в X.
Тогда в X* существует г\ ф О, такое что (r\, AqT (t\t t0)x) = 0 при
всех х^ХР. Положим j/ (s) = (А&Г (*ь s))*r[^X* при ^о ^ ^ < / .
Ясно, что y(s) = T(t, s)*y(t) при to ^ s ^ t <С t\, так что i/ есть
непрерывно-дифференцируемое решение уравнения у (s) ==
A(s)*y(s) на (to,t\) и y\s)->y{to) в X* при s-+t0-\-. Поскольку
(у (to), х) = (ц, A§T(ti, tQ)x) = Q при всех хе^,
то у(/о) = 0, а значит, J/(s)s 0 и
0=<г/(5), *>=<л, -4ffr(*i, s)*> при s<tu
откуда (г], Л!)Л:)=0 при всех хеХР. Следовательно, rj=0, и
мы пришли к противоречию.
Таким образом, мы устанавливаем плотность образа,
доказывая обратную единственность для сопряженного уравнения.
Один из простых случаев — это случай, когда отображение
t*—>A (t)— Л0 аналитично как отображение из (to, t\) в S?(XayX).
Тогда отображение si—>T(tts) аналитично на интервале to <
s <. t <. t\ как отображение в S (X) и функция z(s)= T(tts)*z(t)
аналитична на (/0, 0- По теореме 7.3.3 оператор T(t,s) ииъек-
тивен и T(t, s)X$ плотно в Х$ при to <С s z^ t < t\ и O^p^l.
Эти соображения можно применить, например, к уравнениям
Навье — Стокса в ограниченной области в R3 (см. § 3.8). Если
вынуждающая функция f не зависит от времени, то решения
x(t\ to,x0) аналитически зависят от t, t0 и ^еЯ? при t>to
на области своего существования. Если ио — стационарная точка
типа седла (неустойчивая, причем линеаризованная задача не
имеет собственных значений на мнимой оси), то локальные
устойчивые и неустойчивые многообразия для ц0 могут быть
расширены до глобальных инъективно погруженных многообразий
Ws(u0) и Wu(u0). В частности, Ws(uo) тоще (является
множеством первой категории Бэра) в //£, так что открытое плотное
в Но множество начальных условий дает решения, не
стремящиеся к ио при /->+оо. Чтобы убедиться в этом, заметим
сначала, что любые решения x(t\to,Xj) (/ = 1,2), такие что
x(t\\ to, *i) = *(fi; to, X2) Для некоторого t\>to, должны
удовлетворять тому же условию для всех больших значений (так
как наша задача Коши корректна), а потому, в силу
аналитичности, они должны совпадать при всех to < t ^ t\, откуда
jci = Х2- Линеаризованное около такого решения уравнение имеет
коэффициенты, аналитические по t (при t>to), и
сформулированный результат следует из сделанных выше замечаний.
Аналогично если uo(t)—периодическая орбита (автономных)
уравнений Навье — Стокса и отображение Пуанкаре для линеа-
*•

228
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
ризованной задачи не имеет мультипликаторов на единичной
окружности, кроме простого мультипликатора 1, то можно
построить (аналитическое) отображение Пуанкаре на секущей
поверхности, проходящей через нашу орбиту (см. § 8.4), и далее
построить глобальные устойчивое и неустойчивое многообразия
для этой орбиты. Если орбита uo{t) неустойчива, то ее
устойчивое многообразие опять-таки тоще. В действительности область
притяжения любого счетного набора таких неустойчивых точек
равновесия или периодических орбит есть тощее множество; это
не препятствует тому, что решения могут притягиваться к
какому-нибудь содержащему их инвариантному множеству, не
приближаясь ни к какой отдельной орбите. Может быть, в этом
суть явления турбулентности.
Неаналитический случай также важен, но нужные
результаты об обратной единственности имеются, лишь когда Ло —
эллиптический оператор второго порядка, a A(t) — Л0 —
оператор первого порядка или когда Л0 самосопряжен в некотором
гильбертовом пространстве с а =1/2. Для приложений эти
условия являются не слишком жесткими. Приведем один
результат Лионса и Мальгранжа [127]; ниже мы воспользуемся
им при рассмотрении одного весьма общего примера
(реакционно-диффузионной системы). Другие результаты об обратной
единственности можно найти в [29, 64], а особенно у Агмона
[105] и Лиза и Проттера [126]. ,
Теорема 7.3.4 [127]. Пусть V и Н — вещественные гильбертовы
пространства, причем V плотно и непрерывно вложено в //, и
для каждого t, 0 ^ t ^ Г, пусть a(t, •, •): VXV-+R—
непрерывная билинейная форма. Определим A{t) следующим
образом: «е D{A(t)), если существует элемент A(t)u^H, такой
что
a (t\ иу v) = <Л (t) и, v}m при всех уеУ,
где <•, -Ун — скалярное произведение в Я. Предположим, что
(i) а = ао-\-аи где #/(<;-,-,)— непрерывная билинейная
форма для каждого t и / = 0,1, причем отображение <ь->
aj(t\u,v) непрерывно-дифференцируемо на [0,71] при любых
и, v из V и / = 0, 1;
(ii) a0{t\ и, у)= a0{t; v,u)\
(iii) существуют положительные постоянные X, \it С, такие
что
a0(t\ иу и) >р.|!и|JK — %\\и\\н,
\ax(t; и, v)\<C\u\v\\v\\H
при всех О^КГии^еК.
Если иЕ12(0,Г;У) имеет производную по времени «gL2(0,
Г, Я), причем w(/)eD(/l(0), «(0 + А(0я(0 = 0 при почти

7.3, Сопряженная система и обратная единственность 229
всех t из (0,7), и \}u(t)\\H-*0 при t-+T—t то и(t)^0 при 0 ^
(Заметим, что D(A{t)) = D(Л0(0), где A0{t) —оператор,
определенный с помощью формы a0{t; •, •)•)
ПРИМЕР 4. Пусть £2 — ограниченное открытое множество в Rn
с С2-границей, £>(*) = diag(Di(x), ..., £)т(л;))>0 в.Й, и пусть
mXm-матричныефункции D(x), dD(x)/dxjt Bk(xt t)%dBn{x,t)/dXjf
dBk(x,i)/dt, C(x, t)y dC(x,t)/dt непрерывны и ограничены на
QX[fo, *i]i a симметричная г X r-матричная функция (3(х) и ее
производные dp(x)/d#/ непрерывны. Для a = col(wi, ..., am)
рассмотрим задачу Коши
п
-|р = />(*)Ди + У в*{*, t)duldxk + C{x, t)u на QX(^, *,)
Ul k=i
с граничными условиями
dut утл
В1~М~+ h fyk{x)Uk = 0 на dQ при 1<у</\
и/ == 0 на dfi при г + 1 ^ / ^ т.
Здесь N — единичная внешняя нормаль к dQ; в случае когда
г = 0 или r = m, одно из граничных условий опускается.
Возьмем Я = L2(Q, Rm), V = Hl(Q, КГ)ХЯ£(Д Rm~r).
Выберем симметричные гХг-матричные (^-функции V(x)(\^
п.
1^п)у такие что £я,'Л^ = Р на <5Q. Положим ^)fe(x) = 0 при
/ > г или А > г (1 ^ /, k ^ m), и пусть
f m п \
«о(и, ») = i | ]С At (*) v«a vt>* + Yj -^Ir (м ' х*°) \dx>
a,(f; и, i>) = - U|J]ba 1&^ + Си \dx
для ц, v ¢= У, где fift(x, t)=Bk(x, t)— dD(x)/dxk.
Как нетрудно проверить, в этом примере предположения
теоремы 7.3.4 выполняются, и если A(t) — оператор, определяемый
билинейной формой а = а0 + аь то
D (А (*)) = {«
; V П Н2 (Q, Rm) |
D/w-+Z Ы*)и*=о на яг, !</</• J

230
I л. 7. Линейные неавтономные уравнения
и для и& D(A(t))
п
-Л(/)« = £Ди +£/?*(-. <)-Ц- + С.(., ')«•
Поэтому в абстрактной форме наше уравнение имеет вид
du
dt
+ A (t) и = 0, 0 < t < Т.
Предположения теоремы 7.1.3 удовлетворяются также, если
Х = Я, А0 — оператор, определяемый билинейной формой а0,
а =1/2 и V= Я"2 = D{(A0 + xyt2). Если Т(t, s) —
эволюционный оператор, и0^^2(^т!Кт) и r(/,s)ao = 0 при некотором
t > s (0 < s < f ^ 7), то uo = 0.
Аналогично можно исследовать сопряженное уравнение при
условии, что D(x) дважды непрерывно-дифференцируема, а
п
пг X т-матрица £ #/ (*» 0 ^/ (х) = Л* симметрична по первым г
/«=1
индексам (Af w = М ^ при 1 ^ k> I ^ г для х е <Эй. Область
определения сопряженного оператора A{t)* состоит из всех ие
H2(Qy :Rm)D V, таких что при 1 =¾ / ^ г и х^ 0Q
г г
-^r(D/u/)+ Е Р*/W°*= J] Л1А/(х, t)Vk.
Заметим, что D(A(t)*) зависит от t. При этих предположениях
T(t,s)W плотно в ЯР(0<р<1), если 0 < 5 < * < Г. Было
бы, конечно, полезным, если бы удалось освободиться от
предположения о симметричности.
Рассмотрим теперь то же уравнение в X = Lp(Q,lRm) при
некотором 1 < р < оо. Если положить
D{A0) = Le=W2-p(Q, ^)1^-^- + ^^, = 0
на dQ, 1^/<г; щ = 0 на dQ, r+l^/^m}, £(4(/)) m>
£(Л0) и для и<= D(A0)
п
то предположения теоремы 7,1.3 выполняются в X для любого
а>1/2. Пусть T(f, s) — эволюционный оператор в 2?{Х).
Заметим, что для а е I мы имеем Г(£, фе ^2(Й, Rm) при / > 5;
используя рассуждения, соответствующие случаю р = 2, можно
вывести отсюда, что оператор T(t,s) инъективен. Аналогично

7.3. Сопряженная система и обратная единственность 231
ели 0Gf = V(2, Rm), то T{t9s)*ve=L2(Q,&m) при s < t,
i можно заключить, что T(t,$)X& плотно в Х$ при любом 0^
^Р*£ 1.
В проведенном выше обсуждении проблемы обратной един-
твенности предположения о симметричности можно ослабить,
именно, можно спять предположение о симметричности
матрицы р из примера 4, а тем самым и последующие аналогичные
[редположения. Кроме того, мы позволим (3 зависеть от t.
Итак, пусть D(x, t) — положительно-определенная
симметричная матрица, диагональная при хеЖ:
D = diag(Db ..., Dm) при xe3Q,
[ Р(лг, /)—матрица размера г X г, не обязательно симметричная.
Существует ортогональная гХг-матрица (f)(x,t)t такая что за-
1ена переменных
и = {о i)v
[риводит к аналогичной системе для v, но новое «р» оказывает-
:я симметричным.
Пусть Ра — антисимметричная часть р, т. е. Р?/= (р*/— Р/«)/2.
Определим симметричную матрицу ps формулой
s a Oi-Df
Р'/ = Р'/' Di + D, -
огда матричная функция б-1 (ра + Ps), где£) = diag(Db ..., Dr),
.нтисимметрична на dQ и может быть продолжена до антисим-
1етричной функции на Q. Далее, существует гладкая функция
к Q-^R, такая что <р = 0 и нормальная производная dq/dN — 1
a dQ.
Возьмем
ф (х, t) = ехр (—ф (х) 5-1 (ра + ps)).
[гк экспонента от антисимметричной матрицы матрица Ф(ху t)
ртогональна, причем на dQ мы имеем ф = / и Одф/dN —
~(Ра + Ps), т^к что граничные условия на v имеют вид
г
о/ = 0, г+1</</п,
a 3Q, где р,* = (ру* + pft/)/2 - tfk = pft/.
В области Q
-—-—£) (х, t)hv + (члены меньшего порядка),
ричем матрица В(х, t) положительна и симметрична,

232
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнении
Пусть (t\ х, и, v)*—>f(t\ х, ut v) — функция класса С2 ж
R X Й X Кт X ^тп в Rm. Рассмотрим задачу
ut = D(x)bu + f(t, х, и, Vu) в QXK
д/-Ж"+ЁР/*(*)«а = 0 на 32, 1<У<г,
k = 1
«/ = 0 на 32, г + 1 < / < т.
В случае р>п, X — Lp(Q,Rm) и а>1/2 эта задача Komi
локально корректно поставлена в Хау и если u(x,t) — ее решение
на (to,t\)t то коэффициенты линеаризованного уравнения при
надлежат классу С] но х и t на ЙХ[^У» при [t2,h]c(to9t\)
Если, как раньше, p/ft(jt)= рА/(я), то уравнение и его линеари
зация определяют ииъективные отображения. Для того чтоб*
эволюционный оператор для линеаризованного уравнения такж
имел плотный образ, наложим следующее условие симметрич
ности: матрица
п
Z-erQ, х, и(х, t), vu(x, f))N„(x)
симметрична по первым г индексам при xedQ. Здесь записы
ваем / в виде f(t,xtu,yu ..., уп), где каждое y/eR" и V« =
(ди/дх\, ..., ди/дхп), так что df/dy; в каждой точке ест
mXm-матрица. Единственный практический способ наложит
такое ограничение — это предположить, что оно выполнено дл
всех хей, когда пара (иу Vu) заменена произвольным элеме1
том (и, уь 72» .. -, 7«) из Kw X Rmtt, причем u/ = 0 при г + 1 ^
/ ^ т.
7.4. МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИЕСЯ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Теорема 7.4.1. Пусть А0 — секториальный оператор в X, О ^
а < 1, Л — некоторое множество,
Л(Ц-Д,ег(Г, X) при Ле=Л,
IIЛ (X) - Л01^ {ха> Х)<М при всех X,
{Л (¾.) Л5"11 ^ ^ А} — компактное множество в 3? {Х)>
Rea(A(X))>p + е> р при всех ^еЛ,
й если {hvK^i— последовательность в Л, такая что ACkv)->-
в 3?(Х19Х), то существенный спектр оператора А лежит в пол
плоскости Re 2 ^ р + е. (Последнее условие тривиально выпо,
няется, если Д0 имеет компактную резольвенту, так как в этс
случае существенного спектра нет.) Тогда существует Мх >

7.4. Медленно меняющиеся коэффициенты 233
такое что при всех IgAhx & D(A0)
при />0 и 0<y < *•
Замечание. Приведенное выше условие компактности
выполняется, если Л с= R, отображение %\—^ А(К)— Л0 непрерывно и либо
множество Л компактно, либо отображение К*—^А(Х)
периодично, асимптотически-периодично или почти-периодично.
Доказательство. Без потери общности можно считать, что р=^=0.
Как видно из доказательства теоремы 1.3.4, достаточно
установить равномерную оценку
\\{г — А{к))-Ц\^С/\г\ при 1еЛи |arga| ^ Ф
для некоторого 0 < ср < я/2.
Можно предположить, что II (г — Л0) -11| ^ С0/\ X | при
| arg z\ ^ фо (0 < фо < я/2) и что в этом секторе
\Ag(z-Ao)-l\<Co\zF-\
Если R0 столь велико, что /?о~а> 2МСо, то при largzj:^ ф0,
\z\>RQ
\{z-A (X)Г || < ||(г - АГ11!{/ - (А (I) - Ло) (г - ^)-^^1 Н
^ \z\ •
Существует ф, фо ^ Ф < я/2, такое что множество
К={г: |argz|^9, |г|^/?0}
не пересекается с полуплоскостью {Re г ^ е}, следовательно, и
с множеством а(Л(^)) при всех X. Пусть Л = Нтл;^ооЛ(Ху), %v е
еЛ, и а (Л J пересекается с /С. Тогда любое го^а(А)П^С будет
изолированным собственным значением конечной кратности, так
что А (К) при больших v содержит точки спектра вблизи 20,
вопреки предположению. Таким образом, (z — Л)-1 определено
при всех z^K и A^F— замыкание в 3?{ХХХ) множества
[Д()ь)ДеЛ}. Но тогда непрерывная функция (г, Д)>—>|| (г —
Л)-1!! ограничена на компактном множестве KXF, и,
следовательно, найдется постоянная Сь такая что
11(2 —A(X))-MKCi при 2G К, )ieA,
Доказательство завершено.
Замечание. Понятие существенного спектра было определено в
добавлении к № 5. Более узкое определение [пожалуй, само^

234
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
узкое из имеющихся) — эго определение Като [56]:
существенный спектр оператора А есть множество всех комплексных
чисел 2, таких что оператор z — Л не полуфредгольмов. При таком
определении теорема также верна.
Теорема 7.4.2. Пусть А —- секториальный оператор в X, 0 < а < 1
и В: [/0, оо)-+3?(Ха, X) удовлетворяет оценке
\\B(t)x-B(s)x\\^ll\t-s\4x\\a
при всех t9 s ^ to, х е Ха и некоторых положительных
постоянных fx, 6. Пусть, далее, для некоторых постоянных М, £
оператор A (t) = А — В (t) удовлетворяет оценкам
\e-A{t)sx\a<Ms-ae-*s\\xla
при s > О, f ^ *о и л: е Ха. Для простоты будем предполагать,
что М > 1.
Если Т(/, s) — эволюционный оператор для уравнения
dx/dt + A(t)x — 0, то при t>s^taKX^Xa
|Г(*, s)A:;!0<M2max((/-sra, 1)б-в((-5)|дг[|,
где
6 = p_m(Q + max(o, (7 '"/-"'))
или (более грубо)
6 = p-mQ (l + ^JlzJL е-'),
m = GiMr(l-a))I/v, v=l+0-a, r = v/0, Q = (rInMC)x,r
и ¢, С > 1 —постоянные, такие что
/ sv/(l-a) \
£|-а.и-в(*)<Стах(1, s")exp{ v/(l_a) J
(см. лемму 7.1.2). Такая оценка выполняется при <7 = a0/2v.
Отметим, что р — 8= 0(n1/v) при ц->0.
Замечание. Если а = 0, то можно положить С=1, <7 = 0; если
а = 1/2, 0 = 1, то
Ei/а. 2 (s) < 1.886 max (l, s3) exp (s3/3)
(см. упр. 2 § 7.1). Таким образом, можно взять
Ь = fi-(]xM)l-p(-^-\п М)", р =-^- при а = 0,
ф—р — (4.254 jiAl In 1.886 М)2/3 при а =1/2, 9 = 1,

7A, Медленно меняющиеся коэффициенты
235
Доказательство, Пусть t ^ т ^ /0, *(0 = ^('» ^)#(т).
* W = ^^ w <*-*)* (х) + j е~А (т) ('~5) (в (S) - ВЦх)) х (s) ds,
i
так что
еР('-т)|х(01а<Л1|;х(т)|!а
+ цМ J (* - s)_e (s - т)е Р х (s) |аер (*~т) ds
х
и в соответствии с леммой 7.1.2
ее *' -х) | х (/) ;'а < М > (т)Ра Я, _а,, +е (яг (f - т)),
где т = (цМГ(1 — a)),/v, v=l -f 0 —а. Если
£, -ее, 1 + е (s) < С max (l, s") exp (sK/X), X = v/(l - a),
то для любых a > 0 и т ^ f0
-flnir(Tfa,T)^Ua)
<_i_inMC-p + -^-o,l-, + max(0> <7~^).
Выберем а таким образом, чтобы
(ma)k = -jj^-p In AfС = Qr
(заметим, что МС > 1), так что
(б определено в формулировке теоремы). Если положить
M2 = ee<1 sup 1Г(/,т)|!
0< *-т< о # UttJ
(эта величина конечна в силу приведенных выше оценок), то
при t = т + па + а' (0 ^ а' < а, я — целое ^0)
17 С *) I, {ха) < ^6 ° 1 Т (t + «О, Т) ^ (,а)
<М2е-б°-'"1в<Л12е-в1г-т).
Теорема доказана.
ПРИМЕР. Рассмотрим при малом е > 0 уравнение
e-jj^ + A(t)x = 0, A(t) = A-B(t),

бдв Гл. ?. Линейные неавтономные уравнении
— ■ — . . —^
где Rea(/l(/))> р >0 и отображение t^> B(t)e=: &(Х«УХ)
гёльдерово при t0 ^ / ^ t\. Введем новую переменную т = *Д:
Тогда
~^ + Л(ет)х = 0
и
||В (ет) х — В (ео) х||< \нР |т - о\ЦЦа>
Таким образом, при достаточно малых е > О
||*(f; г)^М2е-^~'°)1£\\хУ; е)Ь,
если to^t^ tu
Быстрое затухание такого рода—обычное явление в
задачах с сингулярным возмущением. (См., в частности, статью Хоп-
пенштадта [51]).
Упражнение 1. Пусть A(t) — секториальный оператор в X,
причем A(t)—A (to)& i?(Xa, X). Пусть, далее, для любого В из
некоторого множества U а 2?(Ха,Х) эволюционный оператор
TB(t,s) для уравнения х + (А (0+ &)х — 0 удовлетворяет
оценкам
II ад*) II, ix«)<Me~"{t~s)>
при t>s. Если отображение t*~>B(t), R ь-> U сг & (Ха, X)
таково, что
\\B(t)~B(s)^{xa x)^L\t-s\\
где 0 < 9 ^ 1, и если pi < Р, то для достаточно малых е > О
любое решение х уравнения
x + (A{t)+B(et))x = 0
удовлетворяет оценке
\x(t)la<Mle^{t-s)\lx(s)*a при *>я,
где Mi — некоторая постоянная.
Упражнение 2. Пусть А — секториальный оператор в X
с компактной резольвентой, 0 ^ а< 1, С/ —открытое множество
в!аи отображение
(U): RXUXY-^XXY
равномерно принадлежит классу СыР. Пусть, далее, существует
отображение £: RXY ~* U, равномерно принадлежащее классу

7.5. Быстро меняющиеся коэффициенты
23?
C[ip, такое что #==!(*, у) служит решением уравнения Лх=*
f(t>xyy). Наконец, пусть спектр оператора
A{t9y)**A-fx(t9l(t,y),y)
удовлетворяет соотношению
Reo(A(tty))^2$>0 при всех (t,y)
и множество {A(tty)(ko-\-A)-{} лежит в некотором
компактном подмножестве в 2{Х). Докажите, что для малых е>0
система
z^jT + Ax = f{t, х, y)t -^L = g(tt х, у)
имеет вблизи x=%(t,y) притягивающее инвариантное
многообразие
Se = {(*, *, у) \x = l(tt у)+ов {t, у), (tt у) е= R X Y},
которое притягивает близкие решения по закону 0(£-p('-f°)/e).
Указание: положите £ == е, т, x = l)-\~ z и примените теоремы
7.4.1, 7.4.2 и упр. 7 §6.1.
Упражнение 3. Рассмотрите частный случай, когда все A(t)
самосопряжены, и получите оценки теоремы 7.4.1 без
предположения о компактности.
Упражнение 4. Пусть {A (/), to^t <. t\}— набор п X п-мат-
риц, таких что \\А (t)\\^M и Rea(A(t))^ р + е, где 1 ^ 8 >0;
докажите, что при 5 ^ 0, t0 ^ / ^ t\
\e-A^\<Cn{(M+f-X)e-*\
где Сп зависит лишь от п. Указание: используйте
соответствующий контурный интеграл и формулу
д, j матрица алгебраических дополценцй
detM '
7.5. БЫСТРО МЕНЯЮЩИЕСЯ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Рассмотрим более подробно интегрально малые возмущения,
возникающие обычно при быстро убывающих коэффициентах с
малым средним значением.
Лемма 7.5.1. Пусть Xf Y, Z — банаховы пространства и A(/, s),
B(s), С (s) — отображения из {t0< s < t < tQ+1} или {t0<

238
Гл. t. Линейные неавтономные уравнений
s <. to + 1} в & (У,Х), 3? (Z,Y) и Z соответственно, такие что
|| A (t, s)\<a(t- s)~a, | A(t, s)-A(t, s- h)||< ah6 (t -5)_a~e,
|B(s)K*.
f-2
\ В (s) ds
<q,
С (s) (| < С (s - *0)~ v> \\C{s + h)~C (s) 1!< ch6{s - *0)~v"б
на (to, t0 + l), если O^h^q/b ^1 и 0 s£ a, y<\ — 6<1.
Тогда при 0 < t — to ^ I
\A(t9 s)B(s)C{s)ds\
t
< 3ac6!- V J {(* - s)"a"6 (s - *0)~v + (t- sya(s - *o)~v-6} ds.
и
Если a + v + S^l, то интеграл в правой части равномерно
ограничен на [to, to-\-l\.
Доказательство. Пусть h = q/b. Если t — /0 ^ h, то
* II *
J А (*, s) В (s) С ($) <fe < abc \ (t - 5)~a (5 - /0)~v ds
t
< a6cft6 J (* - s)"a^e (5 - *0)~vrfs.
Заметим, что b№ = gft6-1 = q6bx~6. Если t — to > ht то запишем
f/ = to + jh (/ == 0, 1, ..., л) , где 0 < / — f„ ^ h. Вводя
обозначения Aj == A (/, ^), С/ = С (f/), получаем
^ЛВС=5ЛВС+Е S (АВС-А/^ВС,-)
+ 5^,., S я- J в с,.
Последнюю сумму можно перегруппировать следующим образом:
Л J ВС, + £ A, J ВС/^-А,-, J ВС;

7.5. Быстро меняющиеся коэффициенты
239
Следовательно,
J ABC < abch6 j (/ - s)~a- б (s - *оГт d*
и II и
/=l 7-1
< /C j (f - 5)~a"6 (s - /0)~v ds + К \ (t - $Г*{s - t0)-y~b ds
+ K J {(/-5Га-б(5-/о)-7 + (/-5Га(^^оГ^}^
+ K\(t- s)~a-fl (s - /o)"v ds + К \ (/- sra(s - /o)-v~e^
< 3K J {(/ - s)-a"6 (s - /0)v + (/- s)~a (s - /o)"v-fl} ds,
где K= acq6b1-6 = abch6 = acqh6~l. Лемма доказана.
Теорема 7.5.2. Пусть А0 — секториальный оператор в X, О ^
а< 1, 0<б<(1 —а)/2, />0, / — интервал в R и
— ограниченное локально-гёльдерово отображение. Существуют
положительные постоянные si и К\, такие что если £:/-»-
&(Х*, X)— локально-гёльдерово отображение, удовлетворяющее
оценкам
11 V f "if (*a, A") ^
►2
j В (/) d/
(/, /i, fee/) при </V~6<ei,
<;<7 при |/, — /2|^/,
TO
S^U, s)~To{t, s)l^{xa)^Kiq6b1-*

240
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
при 0<f-s^/(/,se/), где TB(t,s) — эволюционный
оператор для уравнения х + A (t)x = B(t)x, обозначенный через Го
в случае В = 0. Далее, если
lTo(t. з)\\х(х«)<Ме*{'~$) при *>s
(/, 5е/), то для s из интервала q6bl~6 ^ е ^ ei
(t, se/), где ре-*-р и Мг-+М при 8->0.
Замечание, ei и К] зависят лишь от Л0, sup/ :1^(0 — А>||^ ^а ху
а, 6 и /.
Доказательство. Существует постоянная Мв (обозначаемая
через М0, если В = 0), такая что
lrBC*)f,(jra,<^
||Тв (t + К s) - Г* (t, s) |^ {ха) < М*йб (* - s)-6
при всех / > s и ft > 0, таких что t, s и t + h лежат в [70, to + /].
Эти оценки равномерны по *0, удовлетворяющим условию
[*о, *о + /J с: /. Требуемые оценки для To{t,s) (из теоремы
7.1.3,(с)) будем записывать с постоянной /(. При /о^^^^о + /
Г
'в (t, П) - Т0 (t, to) = J Т0 (t, s) В (s) TB (s, *,) ds,
так что по лемме 7.5.1 (с У = Ха, Z = 3£ (X*), у = 0)
\TB(t, tQ)-T0(t, щ^{ха)
t
< 3KMBq6b1-6 \ {(t - S)~a-6 + (/ - s)-a (s - /o)-8} c?s < i- MB
при 0 ^ t — to ^ / и малом q6bl~6. Далее, если /i0 > 0 и
/I (*, s) == Го(/ + /to, 5)- Г0(* — s),
TO
\A{t, s)-A(t,s-h)\\^xxa)
^ 2/( min {A'6 (f - s)-"-26, f&6 {t - sya-26} < 2tfft§Ae (* -s)
-a -26
9

7.5. Быстро меняющиеся коэффициенты
241
так что (если в лемме a = 2Kho)
iTB(t+n0, t0)~TB(t, щх{ха)
t
= IITQ (t + h0, t0) -T0{t9t0)+\A{t, s)B (s) TB (s, t0) ds
to
t + h0
+ \ T0(t + hot s)B{s)TB(s9 t0)ds^{x^)
<Af0Ao(f -*o)6
+ 3 (2*a8) MBq6bl~6 J {(t _ s)-a""26 + (* - sra~6(s - to)~6}
t + hQ
+ 3KMBq%l~6 J {(t+fi0-s)-a-6 + (t + fio-s)-a(s-tr6}m
t
Если q6bl~6^B\t где ei достаточно мало, то можно положить
Мв = 2М0, и, следовательно, при 0 ^ t — t0 ^ /
|гв(/, t0)-T(t, t0)i(xa)
<6№</V-6 • j {(/- sra"e +(i^sra5-p} ds=Kxq*b{-\
Пусть теперь 1Г (f, s)IUx a) < Ate3 ^-^ при * ^ s(/, s c= /). Если
q$bx~b ^ в ^ ei, то, согласно приводимому ниже упражнению 3,
где Ме = М(1 + К1гс), pe = p + -fln(l + МКггс)9 с = тах(<Гр',
l). Теорема доказана.
Следствие 7.5.3. Пусть выполнены предположения теоремы 7.5.2,
/ = 1 и / —[f0, °°). Если нулевое решение уравнения х-\-
/1(/)jc = 0 равномерно-асимптотически-устойчиво, то это верно
и для уравнения х + A(t)x = B(t)x, при условии что q6bl~6
достаточно мало.
ПРИМЕР 1. Пусть b(x,t), c{x,t) — равномерно ограниченные
локально-гёльдеровы функции от t при 0 ^ х ^ 1, периодичные
с периодом р > 0. Пусть, далее, Ьо(х)у с0{х) — соответствующие
усредненные функции; например,
р
Ь*{х) = -т\ь{х, t)dt,
" 0

242
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
Тогда при со~>- +°° эволюционный оператор в Но (0, 1) для урав-
нения
Щ ~ихх + Ь (х, Ы) их-\- с(х, at) и, 0 < х < 1,
а = 0 при л; = 0, 1
сходится к эволюционному оператору для уравнения
Щ = ихх + &о(х)их + с0{х)и, 0 < х < 1,
и = 0 при л: = 0, 1
равномерно на компактных временных интервалах.
Чтобы убедиться в этом, предположим, что \b(x, t) | ^ N,
\c(x9t)\^N и
В (t) и (х) — {b (х, (x)t) — bo (х)) и (х) + (с {х, Ы) — Со (х)) и (л:).
Тогда
*2
$ В (0 и d*
Г. (О, 1)
*2
5 В (t) и dt
t, +пр/а>
<
4Мр
llM4«o.,)»
где целое п выбирается так, что \t2 — t\ — np/(o| ^ р/|ш|.
Поэтому можно положить /=1, 6=4N, ^ = 4JVp/1 со |, а = 1/2 и
применить теорему 7.5.2.
Упражнение 1. В условиях предыдущего примера предпо*
ложим, вместо периодичности по t, что предел
t + T
lim — J 6 (#, s) ds = 60 (x)
существует равномерно по £ ^ т, 0 ^ х ^ 1 и не зависит от /
и аналогичное условие выполнено для с(х, t). Докажите, что
справедлив тот же результат.
Упражнение 2. Пусть А—секториальный оператор в X,
0^сс< 1, U — окрестность нуля в Ха и отображение /: ^ X
U-+X гёльдерово по t, равномерно О-гладко no^Gf/и
удовлетворяет условию f(t + р, х)= f{t>x) для некоторой
постоянной р > 0. Положим
р
fo(x) = ±\f(t, X)dt
Р 0
и предположим, что /о (0) = 0 и Reofd — fo (0)) >0. Таким
образом, для усредненного уравнения x + Ax — jo{x) решение

7.5. Быстро меняющиеся коэффициенты 243
х = О— устойчивая стационаоная точка, хотя, вообще говоря,
f(t, 0)Ф0.
Докажите, что существуют положительные постоянные г, о)о,
М, р, такие что
(i) если а) ^ со0, то существует единственное решение x^(t)
уравнения
х + Лх== f(of, х)
при —оо < / < оо, такое что supiU(0 11« ^ г; это решение д:ш
периодично с периодом р/о) и
sup|U(o(0lia-^0 при о)->оо;
(ii) если й^йои х(0— любое решение указанного
уравнения при t > to, такое что \\x(t0) На ^ г/AM, то
|! х (0 - ха (t) ||а < 2Ме^{t ~to) \\х (to) - х<* (to) U
при всех t ^ to.
Докажите далее, что
(iii) если а (Л — /о (0)) не пересекается мнимой осью, но
пересекается с левой полуплоскостью, то при больших о) существует
р/ю-периодическое решение вблизи х = 0, но решение хш
неустойчиво.
Указание: примените теорему 7.5.2 к уравнению х-\-Ах =
fx(aty0)x.
Упражнение 3*. Пусть ^(^s), TB(t,s)y t^s^x —
эволюционные операторы, />0 и
\TD{t, s)-T(t, s)|S<8
при 0 :¾ t — s ^ l. Докажите, что
jTB(t, s)|<A!teM'-s) при *>s>t,
где
ME = M(l+eb), pe = p + -j-In(l+eAf&), b = max(e'm, i),
так что Me-*-M, pE ->- (3 при e-*■ 0 +.
Указание: используйте тождество
т(h, U)-TB{tn, и)
n- 1
=--Z T(th9 tk+l)(T(tk + lf th)-TB(tk + u tk))TB{tk, tQ).
где 0 <; /ft+i — tk^L

244
Гл. f. Линейные неавтономные уравнения
,-Р('-*>
Упражнение 4. Пусть
1|Г^ sK(x*)<Me~P"~" при />S'
I Т«. *% (х. *»)<*<'-*>""
j г (/, s) - г «, s - л) |^ (х ха) < *л° р - s)
—а —б
при 0< ht t — s < 1 (6 >0, 0<6 < 1 — а < 1), и функция
/:-R-*Л" такова, что ||/(0Н< Ь и
1*2 II
ds\ <<7 пРй |*i — f2|< 1.
j.,w
Докажите, что
j T(t9 s)f(s)ds
< 3MKq6bl ~7(1 - а - 6) (l ~ *~р).
Указание: представьте интеграл в виде
t со t —П
S-Z J •
— оо n=0f — П — 1
Упражнение 5. Пусть для каждого х
* 2
<<7 при tu t2 из [0, 1],
\\f(t, x)-f(t, уЦ<Цх-у\Г при 0<*<1.
Пусть, далее,
ЫЬ)—х(Ь)\\^М\Ь — Ь\» (0<а, р<1) на [0,1]
и ^< LMa. Покажите, что
\f(t,x(t))dtj<Sg"(LM^-\ v = T^;
Указание:
t+st
^ f(s, x(s))ds
00
< <7 + LMa (Af)l+e* если 0 < t <
# -h A/ =^ 1.
Упражнение 6. Пусть 0 < б sg: 1 и при 0 < s < t <. Т
|| A(s)-A (0) || < а0 (s), | Ait)-A (s) | < a, (*)# - sf,
|| С (s) | < Со {$), || С (t) - С (s) || < с, (s) (* - 5)»,

7.6. Экспоненциальные дихотомии 245
где а0, а\-- возрастающие, а с0, ci — убывающие функции на
(О, Г). Пусть, далее,
т
B=~-\B(a)da
5 (fl(o)-В) da
<<7 при 0<*<*<Г.
Докажите, что
т I и т |
\a{s)B(s)С (s) ds j < j Л (s) ВС(s)ds
<7Гб~! j a (s) ds + 2 f q \ a (s) ds J (|a (s)|| В (s) - В j|ds )
где
a (s) = (a0 (s) + || A (0) |) Cl (s) + ai (s) c0 (s).
Указание: рассмотрите сначала случай 5 = 0 и Л (0) = 0, затем,
случай, когда В = О, Л (s) ss Л (0) и, значит,
J Л (0) В (s) С (s) ds-= J Л (0) В (s) (C(s) - C(T))ds9
о о
а затем общий случай.
Замечание. Множитель 2 в полученном результате можно
заменить на множитель (6/(1 — б) )~6 + (6/(1 — б))1-6,
принимающий значения между 1 и 2, когда б меняется между 0 и 1.
Порядок членов (ABC) несуществен, и вместо произведения
можно взять любое трилинейное отображение с нормой ^1.
7.6. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ДИХОТОМИИ
Пусть эволюционные операторы T(t,s)^ & (X) (t ^ s) для?
уравнения х-\- A (t)х == 0 определены на интервале / d R.
Обычно /== R, либо [т, оо), или (—оо, т].
Определение 7.6.1. Говорят, что уравнение dx/dt + Л (t)x = 0s
обладает экспоненциальной дихотомией на J с показателем р > О
и коэффициентом М (относительно А), если существуют
проекторы P{t), t е /, такие что
(i) T(tts)P(s)=P(t)T(tts) при t^s из /;
(ii) при t ^5 s сужение 7(/, s) \r(P(S)) является изоморфизмом'
R(P(s)) на R(P(t))\ определим T(s,t) как обратное
отображение из/?(Р(/)) bR(P(s))\

246
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
(iii) ||r(/,s)(l-P(s))IKMe-P('-5) при t^s из /;
(iv) ||Г(^, s)P(s) IK Afe-*c»-*> при s^/из /(оператор T(t,s)
при s ^ t определен в (ii)).
Все нормы здесь берутся в 2?(Х).
ПРИМЕР 1. Если A (/) = /1 — постоянный секториальный
оператор в К и для некоторого р>0 спектр о (А) не пересекается
с полосой {к: —p^ReX^p}, то уравнение х + Ах — 0
обладает экспоненциальной дихотомией на R (а также на R + и на
R-) с показателем р относительно X = Уа, а ^ 0. Проекторы
здесь постоянны.
ПРИМЕР 2. Если A(t) имеет период р>0 и удовлетворяет
условиям теоремы 7.2.3 и если для некоторого р > 0 спектр
отображения Пуанкаре не пересекается с кольцом {К: е~$р ^
|ЯК^3р}, то уравнение х + A (t)x = 0 обладает
экспоненциальной дихотомией на R (а также на R+ и на R-) с показателем
р. Проекторы периодичны с периодом р.
ПРИМЕР 3. Если 117(^, s)IKAJe-P<^> при / ^ 5 > т, р > 0,
то имеет место тривиальная «дихотомия» на (т, оо) с
показателем р и проекторами Р (/) = 0.
Мы будем изучатьвосновном дихотрмии ня Р, так как в
этом случае проекторыТ5днозначно определены (см. упр. 4 ниже),
но многие результаты применимы и к дихотомиям на R+ и R-.
Некоторые из наших результатов, по-видимому, являются
новыми (даже для случая конечной размерности), и метод
доказательства, использующий своего рода разностные уравнения,
проще, чем обычно применяемый [113, 115].
Упражнение 1*. Докажите, что если оператор T(t,s)P(s)
определен при / <С s, как в пункте (ii) определения 7.6.1, то
Г(/,5)Г(5,т)Р(т)=Г(/,т)Я(т),
T(tts)P(s)=P(t)T(tiS) mR(P(s))
при всех /, s, т из Л
Упражнение 2. Если в примере 1 (соотв. 2) уравнение
обладает экспоненциальной дихотомией на R (или на R+, или на
R-) с показателем р, то спектр оператора А (соотв.
отображение Пуанкаре) не должен пересекаться с полосой {|Re^|<cp}
(соотв. с кольцом {е~р$ < \Ц < ер$}).
Упражнение 3. Пусть t^->A{t)^ 2S(X) — непрерывное
отображение и ОДУ x + A(t)x = (y обладает экспоненциальной
дихотомией на /. Покажите, что если M(t) есть .^(Л^-значное
решение уравнения М + Л(/)М = 0 и оператор M(tQ) имеет

7.6. Экспоненциальные дихотомии
247
ограниченный обратный при некотором /oS/, то M(t)~l
существует в 3?(Х) при всех t и эволюционный оператор имеет вид
T(t, s) — M(t)M(s)-K Докажите, что существуют постоянный
оператор Е и постоянная С, такие что
\\M(t)EM(s)~l <Се~Р('"п при s>f из /,
|М(0(1 ~£)M(srl<CeH5('-^ при *>s из /.
Обратно, в предположении, что такой проектор Е существует,
определите проекторы P{t) так, чтобы можно было проверить
выполнение условий определения 7.6.1 для рассматриваемого
уравнения.
Упражнение^. Докажите, что если уравнение х -f- A (t) х = О
обладает экспоненциальной дихотомией на R с показателем
Р > 0, то единственным решением x(t), ограниченным на
— оо < / <с оо, является нулевое решение. Более того, если
\\x(t)\\=o(eWi) при |/|-*-+°°» т0 x(t) = Q. Покажите, кроме
того, что проекторы P(t) однозначно определены.
Упражнение 41/2. Докажите, что если {T(tts)yt ^
s}—семейство эволюционных операторов, обладающее
экспоненциальной дихотомией на интервале / cz R, и если оператор T(UJ\)
компактен при некоторых /2 ^ U из /, то размерность R(P(t))
конечна и не зависит от t.
Лемма 7.6.2. Пусть Л0 — секториальный оператор в банаховом
пространстве X, О ^ а < 1,
t^A(t)~A0y R-+3?{X«,X)
— равномерно ограниченное и локально-гёльдерово отображение,
уравнение х-\- A(t)x = 0 обладает экспоненциальной дихотомией
на R с показателем |3 (относительно X или Ха) и P(t) —
соответствующие проекторы. Тогда существуют постоянные М\у..., М5
(зависящие от а, б, у), такие что
(i)\T{t9 s)P(s)x]y^Mle^{s-t)\\xh при s>*, 0<у< 1 и6>
(n)\\T(ty s)(l-P(s))xl^M2e-*{t-s)max{l, (t — s)6"v}|fxfc
при t>s и 0<;б<у<1"»
(iii)j|P(Л)д: — P(^2)x||Y<Ai31|a:||yI^i — ^215 при 0 <6< 1-Y <
< l;
(iv) если
at \-iT{t> S)(1~P(S» при '>s>
ll S)~\-T(t, s)P{s) при t<st
(о"* при 0<a< 1,
TY (,1 в остальных случаях.

:248
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
то
(v)[G(* + A, s)x~G(tt s)x}?<MA\h\% + 6{t-s)e'-*li-t*№,
если 0 < 6 < 1 ~ a < 1, | A |< 1, | f — s |< | f + A — s\ и s не ле*
жит между t и t + h\
(vi)|jG(f, s-h)x — Q(t9 s)jc4v<Af5|A|4»+e(<-s)^<'"P') X
X\\xl если 0<6<1—<х<1, 0<v<b |Л|<1, l*—s|<
\t + h — s\ и / не лежит между 5 и s — А.
Далее, существует постоянная С, зависящая только от Л0> а,
от параметров дихотомии М, р и от suplH(f)—Л0|| (ха ху
такая что
А!, = С/(1 - y). Afa = С/(1 - у) (1 - 6)>
M3 = V(M2+C(l-y-b)-2),
Af4 = C/6(l -6)(1 —y —«.
Af,-C/{fi(l -6)(1 _Y)»(l -a-6)»}.
Доказательство. Это непосредственно следует из теоремы 7.1.3
и определения 7.6.1. Используя введенные там обозначения,
докажем (i) — (Hi), остальные утверждения проверяются
аналогично. Будем предполагать, что имеет место дихотомия
относительно X (см. упр. 5). Если t ^ s, то
ЦП*, s)P(s)x\\y = \\T(t, #— 1)Г(*— 1, s)P(s)x\\y
Если 5</<s+l, 0<6<у<1, то
|T(t, sja-PtsJJxb^-y^^-s^lO-PW)^
Если t — s > 1, то
|Г(*. S)(l-P(s))x||v<-rg7(l + AlC)Afe-fll'-,-*)lX|.
Так как IWI^IUII6, то эти неравенства доказывают (и).
Пусть теперь 0 ^: ft :¾ 1, 0 < б < 1 — 7 ^ 1. Тогда
\P(t + h)x-P(t)xU
<\T(t + k, t)-\)P(t)xly + \\P(t + h)(T(t + h; t)x-x)l
рткуда следует (Hi),

7.6. Экспоненциальные дихотомии
249
Упражнение 5*. В предположениях предыдущей леммы
дихотомия на R относительно X имеет место тогда и только
тогда, когда имеет место дихотомия относительно Ху при любом
Теорема 7*6.3. )Пусть А0 — секториальный оператор в X,
tb->A{t) — Ab R^S?{X«, X)
— ограниченное локально-гёльдерово отображение и уравнение
x + A(t)x = 0 обладает экспоненциальной дихотомией на R с
показателем (3 > 0. Для любой ограниченной локально-гёльде-
ровой функции /: R->X существует единственное ограниченное
решение х уравнения
x + A{t)x = f{t), —oo<t<oof
а именно
ОО
x(t)=* \ Q[t, s)f(s)ds.
— оо
Более общо, если ~|5 < у < р и ]f(t)l\ = 0(evlil)npvL |/|-^оо,то
существует единственное решение х, такое чтоЦх (t) ||а = о (е {t 1),
и оно удовлетворяет оценке
sup {| х (t) ||а е~' " '} < т^т sup {«f (О I е-" " •},
где С — постоянная, не зависящая от х, f и ?•
Доказательство. Единственность очевидна (см. упр. 4), а оценки'
оо >
на x(t) — ] G(t, s)f(s)ds следуют из леммы 7.6.2; в частности,
интеграл сходится. Выберем произвольное вещественное t0.
Используя определение G, с помощью простых выкладок получаем,
что при t > to
оо t
*(/)= J 0(t, s)f(s)ds = T(t, ta)x{tt) + $T(t, s)f(s)ds,
-00 f0
так что x +/4(0x =/(0 при t > f0 (теорема 7.1.4).
Замечание, Ниже будет доказано обратное утверждение для со*
ответствующей дискретной задачи (теорема 7.6.5).
Упражнение 6. Пусть —р < у+, у- < Р и
fev+' при *>0,
М0~Ьт>-|'1 при /<0.

250
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
Докажите, что для x(t) = J G(t, s)f(s)ds выполняется оценка
— оо
3UD 1|Х(0"а <С( 1 1 1 V.UP 11М0"
SUP ey(t) ^CU-lY+l + Р - | у- I >> SUP *v<0 •
Упражнение 7*. Докажите, что если Л(0 удовлетворяет
условиям теоремы 7.6.3 на [to, оо), то для любой ограниченной
функции f: [to, оо)->Х, функция х является ограниченным
решением уравнения x + A(t)x = f(t) при t>ta тогда и только
тогда, когда
оо
x{t) = T(tt t0)(l-P(t0))x(t0)+\O(t, s)f(s)dst t^U.
to
Указание. Если x — ограниченное решение и t\ > t > t0, то
величина
)lp(t)x(t)+\
Т (tu t) P (t)<P (t) x (t) + ) T (t, s) P (s) f (s) ds>
ограничена при fi-^+oo, так что {...}->- 0 при ^~>+°°-
Упражнение 8*. Если A(t) удовлетворяет условиям
теоремы 7.6.3 на (—оо, to] и функция f: (—оо, tQ]^-X ограничена,
то х является ограниченным решением уравнения x-{-A(t)x —
= /(/), / < toy тогда и только тогда, когда
x{t) = T(ty fe)P(W*W+ \ G{t9 s)f(s)ds, f<f0.
— oo
Упражнение 9. Пусть {Tn}n=-<x> — последовательность в
2?(Х). Покажите, что если xn+i = Тпхп + уп при m ^ п < р, то
я-1
&— m
Хп — * п, щХт + Е Tn,k + Xyki т</г<р,
где Тп, m — Тп-\ ... Tm+iTm при п> т, Tm,m = /. Предположив,
что {Тп} обладает дискретной дихотомией (определение 7.6.4),
получите для этого разностного уравнения результаты,
аналогичные результатам упражнений 7 и 8. Заметим, что Tn,mTm,k~
— Tntk при n*^m^k, и если ТпРп—Рп+\Тп> то Тп,тРт =
— РпТп.т при п^ т.
Определение 7.6.4. Пусть X — банахово пространство и
{7\,}л°~-«> — последовательность в 3?(Х). Будем говорить, что
{Тп} обладает дискретной дихотомией (с постоянными М, 0),

7.6. Экспоненциальные дихотомии
i5l
если существуют положительные числа Му 0 < 1 и
последовательность проекторов {Рп}-оо в S£ (X), такие что
(i) TnPn = Pn+Jn\
(ii) T\R (P , — изоморфизм R(Pn) на /?(P*+i);
(iii) если Tn>m=Tn-i ... Tm+iTm при /г > m, Tm,m = lt то
||Гя,т(1 -Pw)*|!<MP-mJA;;; при м>т;
(iv) В Гя. «PmJC Ii < Мвт"Л || jc I, при n<m.
Здесь ТП}тРтх = у ^ R(Pn) тогда и только тогда, когда Ртх —
— Тт,пу) такое определение корректно в силу (ii).
Замечание. Если {7^, s), / ^ s} —семейство эволюционных
операторов, обладающее экспоненциальной дихотомией (с
показателем р и коэффициентом М) и / > 0, то для любого
вещественного to последовательность {Т (to + (п-\- \) I, to + #0}-°°
обладает дискретной дихотомией с постоянными М, Э = е~Р'.
Упражнение 10*. Пусть {T(t, s), £ ^ s} — семейство
эволюционных операторов, удовлетворяющее условию
sup fT{t, S)\\< оо,
0< *-s<i
и /, М, 8 — положительные постоянные, причем 9 = е~$1 < 1
(так что р>0)/Пусть, далее, для каждого вещественного to
последовательность {T{to + (п + 1)/, /о + я/}!!*, обладает
дискретной дихотомией с постоянными М, 0. Докажите, что
семейство {T(tt s), t ^ s} обладает экспоненциальной дихотомией
на R с показателем р и коэффициентом КМ, где
K = sup{||r(*, s)||eP('_s), 0<*~s</}.
Указание. Пусть {Prt(/o)}~oo — последовательность проекторов,
фигурирующая в определении дискретной дихотомии. Положим
JMfo)=tf(P0(fo)), *-(<о) = *(Ро(*о)),
так что X = X+(to)(B X~(to) при каждом f0. Покажите, что
T{tt to)X+{t0)czX+(t) иГ(*. *о)|*_ (io) —изоморфизм X-(t0) на
jL^fl при-каждом t ^ /0.
Теорема 7.6,5»«йусть {Тп}-^ -— последовательность в 2?(Х).
Следующие утверждения эквивалентны:
([){Тп}-оо обладает дискретной дихотомией;
(ii) для любой ограниченной последовательности {fn}-co сг X
существует единственное ограниченное решение {лгп}!!^ системы
Хп+l = ТпХп + !п> — О© < П < ОО.

252
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
Доказательство. Если выполнено (i), то, как легко проверить,
единственным ограниченным решением системы xn+i = Tnxn + fn
служит (в обозначениях определения 7,6.4)
Т^.нЛ, где Gnm = \ n'm
(1 — Pm) при n^m,
mPm при n<m.
Будем называть последовательность {Gn, m) или
соответствующий оператор функцией Грина для {Гп}.
Пусть имеет место (и), и пусть B = U(Zt X)—банахово
пространство ограниченных последовательностей л; = {*„}!!,» в X
с нормой suprt||*n||. Рассмотрим линейный оператор
^ I \ХП)~оо ' > \Хп 4-1 — * пХп)—оо
с областью определения, состоящей из всех x е В, таких что
Lx^B. Ясно, что L — замкнутый линейный оператор,
взаимнооднозначно отображающий свою область определения на В в
силу (И). По теореме о замкнутом графике L имеет
ограниченный обратный в &(В), который может быть представлен в виде
оо
(Gf)n = Z Qn,k+ if ft» —°° < rt < 00,
— oo
m
по крайней мере для последовательностей {/>}, таких что fk = О
при больших \k\. Здесь все 6^6^(1), причем ||G„,m||^
IIG||*(B) и G„+i, ft+i — TnGn, ft+i = 0 при я=й=& и 1 при п = £.
Полагая Pm = / — Gm,m, получаем по индукции
G„, m = Тп, т(1 — Рт) ПрИ П^Ш, Tm, rtG„, т = —Рщ При П < 171.
Мы утверждаем, что Рт суть проекторы, удовлетворяющие всем
условиям определения 7.6.4 с М = (1 + 1ЮИ)2 и 9 = ||G||/(1 +
||G||). Отсюда следует, что приведенное выше представление
оператора G справедливо для всех |еВ;в ходе доказательства
мы используем его только для конечных последовательностей.
Пусть система хп+\ = Тпхп, п^ т, определяет ограниченную
последовательность. В таком случае Pmxm = 0. Действительно,
можно положить хп = 0 при п < т, и тогда
Хп+\ — ГпХл = 0 При ПфШ—\9 Хт — Тт-\Хт-\ = Хт,
ТЭК ЧТО Хп— Gn,mXm При ВСеХ П\ В чаСТНОСТИ, Хт=(1— Рт)Хт,
РтХт z=z V).
Для всякого xgX пусть xrt = Grt,тя. Тогда ^/i+i = ТпХп при
n ^ m и последовательность хп ограничена, так что PmXm = 0 =
Рт(1 — Рт)*, откуда Pm = Pm- Заметим также, что если Pm*=0,
То хт = х и Pm+i^m+i = 0; следовательно,
Рт+\Ттх = ТтРтх, если Рт* я- О,

7.0. Экспоненциальные дихотомии
253
Предположим теперь, что множество {хп, п^т} ограничено
и Xn+i = Тпхп при п< т. Положим хп = 0 при п > т. Тогда
Хп = — Gn,m+\TmXm при всех п, так что Tmxm<=#(Pm+i).
Если x^R(Pm), то пусть yn = Gn,mX. Тогда
последовательность r/t] ограничена и уп+\ =Тпуп при л < /и— 1, а значит, и
ПРИ П<Ш — 2, Так ЧТО Тт-2Ут-2 = Ут-\ S P(Pm~l) И l/m—
(1— Pm)x=0, откуда — х = Тт~\Ут-\ ^ Tm-iR(Pm~i). Таким
образом, Tm-iR(Pm-i)zDR(Prn). Пусть ул = «/„ при п<т, Уп+\=
ТпУп при п + 1 ^ т. Тогда #т = Tm-i f/m_i = —х и
последовательность ^ остается ограниченной при я->—оо, так что Ттх «ее
/?(Рт+1). Далее, если 7^ = 0, то //tt = 0 при п>т, так что
РтУт~0, т. е. х = Ртх = 0. Таким образом, Тт\я(рт) есть
изоморфизм R(Pm) на R(Pm+\) и можно написать
_( — Тп,тРт При /1</П,
Я,т-1гЙ1т(1-Рт) При Л>/И.
Заметим, что rnP„x = Рп+\Тпх, если Р„х = х, и это верно также,
если Рпх = 0. Следовательно, по линейности, ТпРп = Рп+\Тп.
Выберем х е X. Если 7„, mx = 0 при некотором п^ т, то
TPimX = 0 при всех р^п, так что если 7\m(l — Pm)x=f==0, то
q>kl = lTktm(l-Pm)xl>Ot т<£</г,
и
S ГЯ1П1-РА)7,Л,т(1-Рт)хфА = Гя,т(1-Рт)* £ Ф*.
так что
ф!1 S ф*<|0|.
п
Если фЛ = Е Фь то я|?„-,<(1 —\\Gf~l)ynt а поэтому
m
ф„>|0|Г1(1-||0|ГГ""фт,
17,„im(l-Pm)x||<||G|f(l-!lO|rr-m|!^f> п>т.
Это неравенство доказано при предположении, что его левая
часть положительна, но оно тривиально верно, и когда левая
часть обращается в нуль. Аналогично если рп 1 = 1ТП, тРпх\> 0,
п < т, то
т
Рп] £ P*<||Gtf,
и-Н

254
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
так что
Рп>1!О|Г!0 +:-|Ог|),я"я"|р«.
\Тп, mPm*5<<1 +|!G|;)2(||G./1 +,|0Г"Л11^|. п<пг9
чем доказательство теоремы и завершено.
Следствие 7.6.6. Для Ь > 0 пусть Вь — пространство всех
последовательностей {х/г}-оо в X, таких что sup{||A:^||6"} < оо. Пусть
О < 01 < 1 и при 0i ^ 6 <: l/0j для любой последовательности
{fn}~co ^ 5& существует единственное решение {хп} е В?, си*
стемы
Хя+1 = ТпХп + fn, —ОО < П < ОО.
Если {G^, т}—соответствующая функция Грина, то
для некоторой постоянной М.
Доказательство. Если х, fefi&, Яп+i = 7\,*л + /я и уп = хпЬп9
gn = fnbn, то у, ^ е S2 = В, t/„+1 = йГл^п + bgn и {ЬГ^}!!^
обладает дискретной дихотомией, функцией Грина которой служит
{fr*-mGn,m}, так что ||С, mil < Cbm~n, где 6 = 01 или 0Г].
Теорема 7.6.7. Пусть {Гп}!!^ cz 9? (х) обладает дискретной
дихотомией с постоянными Af, 0 < 1. Если М{ > М и 0 < Oi < 1, то
существует е >> 0 (зависящее лишь от М, Мь 0, 0i), такое что
любая последовательность {S^oo с 9? (X) с supn\\Tn— 5Я|| ^е
обладает дискретной дихотомией с постоянными Mi, 0.
Замечание. Годится г, удовлетворяющее условиям
(см. упр. 11).
Доказательство. Система хп+\ = Snxn + fn имеет единственное
ограниченное решение х для любого ограниченного / тогда и
только тогда, когда система
оо
— oo
разрешима для каждого ограниченного ft а это верно, если
оо
sup £rG„,,+1(SA-rft)KeM-!±f< 1.

?,6. Экспоненциальные дихотомии
255
этом случае теорема 7.6.5 показывает, что {Sn} обладает ди-
<ретной дихотомией. Пусть {Gn, ™)—соответствующая функция
рина. Тогда при всех п, m
оо
Gn, m = Оп от + 2j @п, k + l (5& — Tk) Gk m,
— oo
ак что
||o„, J^Me'^' + eMZo1"-*-11!^, m||
— oo
i|G„>m|| ограничена. Согласно приводимому ниже упражнению
1, если G<9i<l и eM<(9i —9)/(1+ 98i) (что <(1 —
)/(1+9)), то
|| On. « || < М)Г-т,/{1 -еМ(1 +880/(0! -в)} < ММ"""1'
ри малых е > 0.
'пражпение 11*. Если а ^ 0, Ь ^ 0, 0 < г < гь r2 <; 1,
ft<Jr/-r)/(l+rry) при /=1, 2,
?/г}-оо— неотрицательная последовательность в R, такая что
•п = О (г^-'я') при | п | -* оо и
grt<arirt, + b£ г1'1"*"11^ при всех /г,
— оо
о
g7x< ar[nl/[l — b{l+ rri)/{r{ — г)] при всех п.
Оказание: покажите, что отображение последовательностей.
{fn}^{blr^-k'l%]
[вляется сжатием в норме sup{|fn|^"i}f если rIj2 ^ q ^ 1/гь 2-
Ымечание. Результат упражнения 11 можно несколько уточ-
1ить, решив соответствующую систему в случае равенств (с ис-
юльзованием производящей функции ]С gjn при \t\, близких
—оо
с 1). А именно,
rM = 0(rlnt), если 6<6# = (r1-r)(l-rr,)/(l-r2)> г < п < 1.
Но при 6* < Ь < (1 —r)/(l + г) эта оценка неверна,
Упражнение 12. Если а ^ 0, 6^0, р > 2Ь, |а|<р —26,
оо
0<а(*)<аеа|" + & J «-*"-*'«(«)ds

Й56 Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
при всех t и «(0=O(eY|(|) при |/|-*- с», где 0 ^ у < р — 2Ь, тс
и(/)<аеа' "/{1 -26/((3 - |а|)}.
Аналогично если 0 ^ 6 < 1,
2fe(-pT5-+ p_1|g|)< J ПРИ а==а или Y.
M(0 = O(evi") и
«(0<аеаИ| + & ^ max{|/-sre, l}e_p"-sl u(s)ds
— оо
при всех t, то
Теорема 7.6.8. Пусть {Рп}> {Рп}—ограниченные последователь
ности проекторов в 9?{Х) и {Т^Ч^—ограниченная последова
тельность в 9?(Х), причем
ТПРп = Рп + \ТПу R (ТПРп) = R [Pfl + 1 )>
|Гпж!Ке|х||, если Рпх = 0,
II Гя* II > б"1 II* II. если РпХ = Х,
Где 0 — постоянная, удовлетворяющая условию 0 < 0 < 1,
IIP/ilKAf, ||P„||<M, ||1—РЯ||<А1 при всех п. Пусть, дале
0 < 01 < 1 и М\ > М. Существует е > О, зависящее лишь <
0, 0Ь М, Мх и supftlirj, такое что если \\Рп — Рп\\ ^¾ е, то люб;
последовательность {S^}!^ в &{Х), для которой ||7\, — Sn\\ ^¾
при всех п, обладает дискретной дихотомией с постоянными
ATi и 0Ь
Доказательство, Пусть Wn — РРп + (1 — Рп) (1 — Ря). Тогда
PnWn^PPn = WnPn,
\I-Wnl=\\K(K-Pn) + (Pn-K)Pn\\<2*M.
Если 2еМ < 1, то оператор W„ имеет ограниченный обратные
причем f W~l || < (Ь-. 2гМ)~\ Положим Тп = 7\,UM. Тогд
TnPn = TnPnWnX*=Pn + iTn и /?(rftP«) = *(?„+i). ЕслиРях==(
то PnWnlx = 0 и

7.6. Экспоненциальные дихотомии
257
если Рпх = х, то (1 — Рп) Wn хх = 0 и
11^11^(6(1-28^))-41^11.
Для 02 = 6/(1 — 2еМ) < 1 имеем при п^ m
\Тп,т(\ -Pm)*||<ftrm||(l-Pm)4<Af«-WIx||i
а при п < т
|| Гя.Л* || <82m-n || Р„* || <Me2m-rt|]*||.
Таким образом, {f«} обладает дискретной дихотомией с
постоянными Му 02 и
||rn-Sj|<E + i|rr1-l||r„||<e{l+-1-||1-sup|rft||}.
Если е достаточно мало, то 02 = 0 + 0(e) < 0! < 1 и по
теореме 7.6.7 последовательность {Sn} также обладает дихотомией
с постоянными М\ и Oi.
Теорема 7.6.9. Пусть {Тп}-оо — последовательность в 3?(Х),
обладающая дискретной дихотомией, {С«}-оо — последовательность
компактных операторов в 3?(Х), такая что ||Сп||->0 при п-+оо,
и Sn = Тп + С«. Тогда верно одно из двух: либо
(О {Src}!!» обладает дискретной дихотомией; либо
(ii) система xn+\=Snxnt —оо < п < оо, имеет
нетривиальное ограниченное решение.
Если {Тп} обладает дихотомией с постоянными М, 0 и 0 <
Oi < 1, то в случае (i) постоянные дихотомии суть М\9 Q\ при
некотором Aft <: оо. В случае (ii) любое решение системы
хп+\ = SnXn, такое что || хп | = О (6Г ' п '), фактически
удовлетворяет оценке flx„|=O(0[rt ), и пространство таких ограниченных
решений конечномерно.
Доказательство. Возьмем, как и раньше, В = /«,(Z, X) и
заметим, что Ge J?(B). Определим оператор С ^9? (В) равенством
(Сх)п = Спхп при всех п и положим (С**)„ = С„хл при |/i|^JV,
(С^х)л = 0 при \п\> N. Очевидно, что при каждом N оператор
CN есть компактный оператор из 3? (В) и
1|CN —C[U(B)< sup ЦСЛ —0 при JV-*0,
1 ml >ЛГ
так что С, а с ним и GC тоже компактны. Если х = GCx, хеВ,
то xrt+i=SrtX/7 при всех п. Таким образом, если (ii) не
выполняется, то оператор / — GC инъективен на В и, значит, имеет
ограниченный обратный. Следовательно, для любого [ей
существует единственное хеВ, такое что (1 — GC)x = G/, т. е.
9 Д. Хенрн

258
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
система хп+\ = Snxn + fn имеет единственное ограниченное
решение для каждой ограниченной последовательности {fn}, и
{Sn} обладает дискретной дихотомией.
Пусть 0 < 01 < 1, хп+\ = SnXn при всех пи [ хп \\ = О (Of 'п ')•
Тогда хп +1 — Тпхп =0(дГ1п')» так что
сю
*л = 2j Grti fe+ \CkXk*
— оо
Выберем N настолько большим, чтобы
supS'lo^+Je-"1-*1 sup |с»|<4--
Для всякой последовательности {уп} = у, такой что ул==л:Л при
|n|<JV и
III if III?- SUp {Ыб,П,}<оо
|«|>/V
(при некотором b из интервала 0i ^ Ь ^ l/0i), положим
!xrt при |п|<ЛГ,
ZOM + IC№ при |п|>ЛГ.
— оо
Тогда если г/, # — любые две такие последовательности, то
\\\FN(y) - FN($)W <±\\\у - $\fb ,
так что Fjv имеет в классе таких последовательностей
неподвижную точку. В случае Ь — 0i неподвижной точкой будет х =
F^(x). Но неподвижная точка существует и в случае Ь = 0Г ,
так что, вследствие единственности неподвижной точки, ||| я |||е, -1<
< оо, т. е.
1*я|=*о(е1Л|) при |м|->оо.
Если 01 5¾ Ь ^ 1/01, то рассуждения, проведенные для
пространства В, справедливы и для пространства Вь всех
последовательностей {хп}> таких что
8ир{||хЛ||&я}<оо.
п
Если х== ОСл; принадлежит Вь, то xft+i = SnXn> xAl=0(6~") =
= О(0Ги1), так что || ^1 = 0(61^)=0(1). и еСли (Н) не
выполняется, то х = 0. Как и раньше, имеет место дихотомия, но
сейчас функция Грина {бп,т}=б для последовательности {5п}
удовлетворяет оценке
]|ол.т||<м101"-т|,

7.6. Экспоненциальные дихотомии
259
где в силу следствия 7,6.6
Л*,тах{||с4(В91), ||0||,(в1/в1)}-
Упражнение 13. Докажите, что если в случае (и) система
Х/н-1 = Snxn имеет нетривиальное ограниченное решение {xn}t то
\\(1-Рп)хп\\ , (°° ПРИ п~* + °°>
ЦРл*л11 "~10 при л-* — ОО.
Таким образом, пространство ограниченных решений становится
при п-++оо касательным к «убывающему подпространству»
N(Pn)y а при п-*—оо — касательным к R(Pn).
Упражнение 14. Пусть {Т№}% ^ обладает дискретной
дихотомией при k=l, 2 н соответствующие функции Грина
удовлетворяют оценке
\Ol£m\<MQ]a-mi (в<1).
Докажите, что еслиЦТ^ -7f > 1 <епри |п|<ЛГи||Т(п1) -г£2)|< В
при всех п, то
при 8 -> 0 и N -*■ оо. Если & < б-2 и 17f > - 7f > | < еб1"' при всех
п, то
Указание: х„ = G«, oz удовлетворяют системе
хп +, - 7f >*„ = (Г<!) - Tf) *„ при п ^ -1;
оцените | Q^oZ - G$z \\ = \р^г - Р^г ||.
Упражнение 15. Пусть {Тп}п>о, {Рп}п>о удовлетворяют
условиям дискретной дихотомии при п ^ О, так что, в частности,
|;G„,m||<M6u~m| при и, т>0,
где Gn, m — соответствующая функция Грина. Положим Рп = Р0
и
Г„ = в(1— Р0)+в-,Ро при л<0.
Покажите, что продолженная последовательность обладает
дискретной дихотомией, и докажите для этого случая результат,
аналогичный теореме 7.6.7.
9*

260
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
Имеется соответствующий результат для случая, когда
условия дискретной дихотомии выполняются при п <: 0, Tq\R(Pq) —
изоморфизм на некоторое пространство VczX и 7о|/?(1 — Pq)cz
W, где veW = X.
Теорема 7.6.10. Пусть уравнение х + A(t)x=0 обладает
экспоненциальной дихотомией на R с показателем р и
коэффициентом М и для соответствующего эволюционного оператора T(tt s)
sup{\\T(t, 5)||: O^t — s^l}<oo.
Если 0 < Pi < Р, Мi > М, то существует е > 0 (зависящее
только от р, Pi, М, Mi и sup \\T(tt s)||), такое что любое
0<| t-s\ <1
уравнение с эволюционным оператором S{ty s),
удовлетворяющим оценке
||Г(/,5)—S(*,s)IKe при 0< f — s< 1,
обладает экспоненциальной дихотомией на R с показателем Pi
и коэффициентом My
Доказательство. Выберем / > 0 так, чтобы Ме~®1 < е~р'*. Для
любого вещественного U положим tn= t^-{- til (п — целое) и,
применив теорему 7.6.7, убедимся, что {S (/„ + ,, frt)}-oo обладает
дискретной дихотомией с постоянными Ми е~^1 при малых
е >> 0 равномерно по to. Тогда, согласно упражнению 10, {S(t, s),
t ^ 5} обладает экспоненциальной дихотомией на R с
показателем Pi и соответствующая функция Грина G(t, s)
удовлетворяет оценке
если (t — s)/l — целое. Предположим теперь, что G(tt s)—пер
воначальная функция Грина, и заметим (ср. с доказательство*^
теоремы 7.6.7), что (при некоторой постоянной К)
\G(tf s) —0{t, s)|^/(e, если (t — s)/l — целое,
и при \t — s| ^ I
\d{t9 s)^Q(tt 8)\<К^Мг + гК sup \\T(tts)l,
где
sup fT(t, s)-S{tt s)KKfi.
Для достаточно малых 8

7.6. Экспоненциальные дихотомии
261
если U-s|</, и e3l/|iO(s±/, 5)|<1, откуда
\G(t, sJ^Al^11'"*1 при всех U s.
Теорема 7.6.11. Пусть Л0—секториальный оператор в X, 0^а<1,
— ограниченное локально-гёльдерово отображение и уравнение
x + A(t)x = О обладает на R экспоненциальной дитохомией
относительно Ха с показателем Р > 0 и коэффициентом М. Если
О < Pi < р, All > М и 0 < б < (1 — а) /2, то существует е > О,
такое что для любого локально-гёльдерова отображения
В: R-*~2?(Xa9 X), удовлетворяющего оценкам
|В(*) *!<*[*««,
* 2
J B{t)xdt
^
q\\x\\a при |f, — f2|<lf
где qbbx~b ^ е, уравнение
обладает на R экспоненциальной дихотомией относительно Ха
с показателем Pi и коэффициентом М\.
Доказательство. Пусть T(t, s), TB(ty s) — эволюционные
операторы для уравнений x + A(t)x = 0, х + A (t)x = B(t)x
соответственно. По теореме 7.5.2
0<™?jTB(t, s)-T(t, *)|,(хв)-0(^«-)
при qbbl~6-+0. Поэтому теорема 7.6.10 дает дихотомию
относительно Ха, а тем самым и дихотомию относительно Х? при
0 ^ у < 1 (см* УПР- 5).
Упражнение 16. Пусть £ + Л(0*=0 обладает
экспоненциальной дихотомией на R, отображение
ограничено и локально-гёльдерово, отображение tt—>f(t, х)^Х
локально-гёльдерово и ограничено при малых \\х\\а)
отображение x\—>f(ty х) непрерывно-дифференцируемо.
ИМ'. *) — fx(t, 0)11-^0 при lUlla^O
равномерно по / и
*о + Г
4- J" (?■ ме- °)л^° при г-*°°

262
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
равномерно по /0- Докажите, что для всякого достаточно
большого (о существует единственное решение *»(/) уравнения
х + A(t)x = f(<utt х), —оо < / < ОО,
такое что sup|U(/)l)a ^ г\ (при некотором малом п > 0, не
зависящем от со) и IU«(0lla-*0 при ш->оо равномерно по L
Докажите, что если нулевое решение уравнения x-\-A(l)x = Q
устойчиво, то Хм равномерно-асимптотически-устойчиво. (Для
случая когда x-\-A(t)x = 0 неустойчиво, имеет место
соответствующий результат о неустойчивости; см. упр. 21.)
Упражнение 17*. Пусть Aj(t)— Ао^2'(Ха1 X) ограничено
и локально-гёльдерово при /==1, 2 и каждое из уравнений
x-\~Aj(t)x = 0 обладает экспоненциальной дихотомией на R.
Покажите, что если G/(f, s), Pj (0— соответствующие функции
Грина и проекторы, то
оо
О, (t, т) - 02 (t, т) = J Оа (t, s) (A, (s) - Л, (s)) О, (а, т) <fe.
—оо
[Указание: x(t)= G\(t, т)£ удовлетворяет уравнению х-\-
A2{t)x = (A2(t)4-A}(t))x на каждом из интервалов (—оо, т) и
(т, оо), так что можно воспользоваться результатами
упражнений 7 и 8.] Если дихотомии имеют показатель р и р < 2р, то
существует постоянная С < оо, такая что
Упражнение 18. Критерий Безиковича — Бохнера [3, 89]
почти-периодичности непрерывной функции f: R->X, где X —
банахово пространство, состоит в том, что любая
последовательность в R содержит подпоследовательность {tn}, такую что
\\f(t+tn)—f(t+tm)\\-+Q При Л, ГП-+00
равномерно по L Пусть функция /: R->A почти-периодична,
а функция g: К->У непрерывна и удовлетворяет следующему
условию: для любой последовательности {tn}, такой что
последовательность {f{t+tn)} фундаментальна равномерно по t9
\\g{t + ta) — g(t + tm)\\-+Q равномерно по t.
Тогда g тоже почти-периодична и ее частотный модуль
содержится в частотном модуле функции f [3].
Далее, пусть Л (0 удовлетворяет предположениям теоремы
7.6.3 и отображение
t^A(t) — AQ, R-*&(X<*,X)

7.6. Экспоненциальные дихотомии
263
почти-периодично. Докажите, что если G(t,%)t Р(т) —
соответствующие функция Грина и проектор, {tn}cz R,
И С + '») ~ Л С + '«), (**. х) < Дт при «> m
и Дм ->■ 0 при m -> оо, то
|0('+'-. * + ',.)-0('+<«. t + U|Uw<CAme-p"-T|
для некоторых положительных постоянных С, р. Выведите
отсюда, что проектор P(t) почти-периодичен и его частотный
модуль содержится в частотном модуле А. Докажите, что если
функция f:R-+X почти-периодична, то и ограниченное решение
х уравнения x + A{t)x = f(t), — оо < / < оо, почти-периодично,
причем его частотный модуль содержится в совместном
частотном модуле / и Л.
Теорема 7.6.12. Пусть Л0 — секториальный оператор в X, 0<
а<1, Л — некоторое множество, оператор А(/Д) — /10е
2?(Ха, X) равномерно ограничен при (/Д)еКХЛ и
отображение
tt-*A{t4K)—A0, и-+&(Х*,Х)
локально-гёльдерово при каждом 1еЛ. Для каждого ^еЛ
уравнение х + A(t,%)x = Q обладает на R экспоненциальной
дихотомией относительно Ха с показателем р и коэффициентом
М, не зависящими от X; в очевидных обозначениях
|7\(f, s)(l-Px(s))xl<Me-*it-s)\\x*a при t^s,
\\Tx(t, s)PK(s)x\\a^Me-*is~t)\\x\\a при s>*.
Пусть 0 < pi < р, М\ > М. Выберем / > 0 так, чтобы Ме^1 <
^e~pl/. Предположим, что отображение
t*->A{t) — А0 R->&(X*,X)
ограничено и локально-гёльдерово и существует функция Ц*У:
R-*A, такая что
\\(A(t)-A(tt k(t9)))dt\ <е
lUo У(х*.х)
при to < t\ < h + I и
\\Pi (*в + 0 (fo) "" Рк (t0) ('o)L (xa) ^8
при всех to. Если e достаточно мало (оно выбирается в
зависимости от Л0, A(t,K), а, р, М, рь Ми I и sup||i4(*) —Л0||), то
уравнение
x + A(t)x = 0

264
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
обладает на R относительно Ха экспоненциальной дихотомией
с показателем Pi и коэффициентом М\. Если P(t)—
соответствующие проекторы, то при е -> О
|| Р (^) — Рм0||=: О (е) равномерно по t.
Доказательство. Пусть tn = tQ-\-nl (гс = 0, ±1, .. .)> K = b(tn),
Pn=Pxn{tn), Pn=Pin_l(tn)i Tn=>TKn(tn + lttn) иО = Ме-р/.
Тогда ТпРп = Рп+ Jn, Тп \R (яп) — изоморфизм R {Рп) на R (р{п + 1)) ,
Тпх[а<Щ\х\\а, если Рпх = 0, и
если Рпх = х. Пусть T(t,s) — эволюционный оператор для
уравнения x + A(t)x = 0. Тогда (при 0 <б <(1 — а)/2)
!r(^+i> О "" ?«L (Л«) в ° (ев) РавномеРно по л и *0
и \\Рп — РяН^е. Применяя теорему 7.6.8 и упражнение 10,
заключаем, что имеет место дихотомия па R с показателем Рь
Рассуждения, аналогичные доказательству теоремы 7.6.10,
показывают, что коэффициент дихотомии равен М\.
В качестве простого приложения этого результата изучим
случай медленно меняющихся коэффициентов (см. Коппел [113],
где рассмотрение ведется для ОДУ).
Теорема 7.6.13. Пусть Л0— секториальный оператор в X, 0 ^
а< 1, (Л, d) — метрическое пространство,
Х^А{%) — л о, А^З?{Х*;Х)
— локально-гёльдерово ограниченное равномерно-непрерывное
отображение, образ которого компактен в &(Х1,Х\. Пусть,
далее, существует р > 0, такое что, во-первых,
o(A(k))cz{z: |Rez|^p}
и, во-вторых, если Л = lim A(kv) в 2?(Х1УХ) для некоторой по-
следовательности {^v}c:A, то существенный спектр оператора Л
лежит в {|Rea|^p}. (Второе условие тривиальным образом
выполняется, если Л0 имеет компактную резольвенту.) Тогда
при 0 < Pi < р существуют е > 0 и Mi > 0, такие что для
всякой локально-гёльдеровой функции К: R-^A, удовлетворяющей
оценке
d(K(t)y K(s))^e при \t — s|< 1,
уравнение
-g- f A{X{t))x*=0
обладает экспоненциальной дихотомией на R с показателем Pi
и коэффициентом М\.

1
7.6. Экспоненциальные дихотомии
265
Замечание. Как уже отмечалось, имеется целый ряд
определений существенного спектра — от определения Като [56],
согласно которому он состоит из всех комплексных чисел г, таких
что оператор г — А не полуфредгольмов (по-видимому, это
самое узкое определение), до определения Гохберга и Крейна
[118], использовавшегося в гл. 5, согласно которому
существенный спектр определяется как множество всех точек спектра, за
исключением изолированных собственных значений конечной
кратности. Теорема справедлива при любом определении, так
как полоса {|Re2|<P} попадает в резольвентное множество
при достаточно больших |Imz|.
Доказательство. Применим теорему 7.6.12 с Л(/Д) = Л(Я).
Существуют постоянные С, С\ и ф (0<ф<я/2), такие что
\\(z-Ao)-4\^C/\<^C/\z\ при |arge|^ Ф и
\\(A(k)-Ao)(z-A0)^\\^Cl\z\^
при jarg ^| ^ ф, ^gA, так как оператор А(Х)—А0 ограничен
в &{Х*У X). Если Rl~*>2Cu то \\(г — А(Х))-Ц^2С/\г\ при
|arg z|^г ф, \z\^z R и всех X. Пусть р2 = (P+Pi)/2, у_ — контур
в левой полуплоскости, состоящий из отрезка прямой Re 2 =
—р2, замкнутого дугой окружности \z\ = R, и v+ — контур в
правой полуплоскости, образованный отрезком прямой Rez = |32
и лучами arg2 = +9, \z\^ R (где ф < 0 < я/2, /?cos0 = p2;
при необходимости R можно увеличить). Тогда
е~А W tpb = ^kf\(z-A <*»"' e'Zt dz> l < °.
e-A t»t{l_px) = ^_ j {z _ Д (M)-1 ,-« dz> t > 0>
и требуемые оценки будут установлены, если показать, что
норма || (z — А (X) )~11| ограничена равномерно по А и по 6 е /С=
{|Re2|^p2, |z|^/?}. Для этого в свою очередь достаточно
убедиться, что оператор z — А обратим при любых 2Gi( и
Л ^ /7 * (где F — замыкание в 3?(Х\Х) множества {А(к)9
^еЛ})} так как непрерывная функция (z,A)>—>\\(z — A)-l\\
ограничена на компактном множестве KXF. Оператор z — А
заведомо обратим, если А = А(Х) при некотором %.
Предположим, что он необратим для некоторого z^K и некоторого
А = HnVvooA (^v). Тогда z является изолированным
собственным значением Я, откуда следует, чтоЛ(Ху) также имеет спектр,
сколь угодно близкий к z при больших v, вопреки нашему
предположению. Таким образом, норма || (г — А)-]\\ ограничена на
/CXF. Поскольку отображение Ху-~> Р\ равномерно-непрерывно
как отображение из Л в 5^(^), то применима теорема 7.6.12,
что и завершает доказательство.

266
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
Упражнение 19. Пусть уравнение x + A(t)x = 0 обладает
экспоненциальной дихотомией на R с показателем р и
отображение /»—>A(t) — y40ej?(Xa, X) ограничено и
равномерно-непрерывно. Докажите, что если 0 <; pi < р, то существует е > О,
такое что для любой дифференцируемой функции 0: R-»-R с
sup\dQ/dt—1|^е уравнение х -\- A(Q(t))x = 0 обладает
экспоненциальной дихотомией на R с показателем рь Если
отображение b—>A(t) — А0 равномерно-липшицево, 0i и 9г
удовлетворяют приведенным выше предположениям и PQi (t), Рва (t) —
соответствующие проекторы, то
для постоянных Сь < оо и Ь < 2Рь
Упражнение 20. Пусть А0 — секториальный оператор в X
с компактной резольвентой, 0 ^ a < 1, отображение
ti->4(0 — А0> R^^(X« X)
почти-периодично и локально-гёльдерово (а следовательно, оно
равномерно-непрерывно, и его образ лежит в некотором
компактном подмножестве в J?(Xa, X)). Пусть, далее, существует
р> 0, такое что |ReX|^p при — оо < / < оо и k^o(A(t)).
Наконец, пусть функция
f: RX{IUIIa<Po}X{0<e<e0}^A
равномерно-почти-периодична по t9 f {t, 0,0)==0 и
\\f(t,хиs)—f(t,x2tг)|К \x(Etp)\\xx — x2\\a
для ||jcilla, Italia s£ p ^ po, 0 < e < e0f причем
tx(e,p)->0 при (e,p)^(0,0).
Докажите, что существуют pi > 0 и ei > 0, такие что при
0 < е ^ г\ существует единственное решение хе(0 уравнения
e-%L + A(t)x = f{t9 xt е), ~-оо<*<оо,
удовлетворяющее оценке sup||jt(/)||a =¾ Рь Кроме того, хг почти-
периодично, его частотный модуль содержится в совместном
модуле А и / и sup||jre(0lla-*0 при е-*0 + (ср. с результатами
о почти-периодичности из упр. 18). Если Re о (A (t)) >0 при
всех t, то хв асимптотически-устойчиво; в противном случае xz
неустойчиво (согласно упр. 21).
Указание: замените переменную t на т = t/г.
Упражнение 21. Пусть уравнение х + A(t)x = 0 обладает
экспоненциальной дихотомией на R, отображение
t^A(t)-AQ: R-*&(X*,X)
ограничено и локально-гёльдерово, /(/, 0) = 0 и
ll/(/p*l-/.ay)IKn(p)IU-ylla

7,6. Экспоненциальные дихотомии
267
при lUlla, Hylia^p, причем г)(р)->0 при р-*■ 0. Существуют
р > 0 и М ^ 1, такие что уравнение
(•) t + A(t)x = f(t9x)
имеет локальные устойчивое и неустойчивое многообразия
S(t) = {xo|II(1 -P(T))jco|la<p/2Af, 3 решение x(t)
уравнения (») на (т, оо) с^(т) = х0, IU(0Ha^p}»
U(x) = {x0\\\P(t)xo\\(1 < р/2М, существует решение x{t)
уравнения (*) на (—oofx) с х(х)=х0, \\x(t)\\a^p}t
гомеоморфные (посредством проекторов (/ —Р(т) и Р(%)
соответственно) замкнутым шарам радиуса р в х% = P(l — Р(т))
и в Х- = R (Р (т)) соответственно (Р(т) — проектор
дихотомии). Кроме того, 5(т) и U(t)—липшицевы многообразия,
касательные в нуле к!" и X!L
Если л:ь->/(/, х) — дифференцируемое отображение, а
отображение (t,x)^->fx(tix)^2?(X^iX) непрерывно равномерно по
'eR и |UI|a^ го, то для р ^ г0 многообразия S(t), U(t)
являются С1-графиками над р-шарами в Х\ и в X°L
соответственно. Фактически достаточно, чтобы функция fx была непрерывна
и fx{t, *)-*0 при 11*11 а-*0 равномерно по t.
Теорема 7.6.14. Пусть Л0 — секториальный оператор в X,
0<а< 1,
t*-*A(t) — A09 R->&(X«,X)
— ограниченное локально-гёльдерово отображение и уравнение
x + A(t)x — Q обладает экспоненциальной дихотомией на R
с показателем р. Пусть, далее, 0 < Pi < Р, отображение В: R ->-
I5P(Xa, Jf) локально-гёльдерово и ограничено,
Ito + h |
( В(0Л| — 0при|*0|-*оо (0<А<1)
ft |* Ua, *)
и для некоторого ?ю оператор В(t) (ho-\-А)-1 при каждом £
является компактным оператором в &(Х). Тогда справедливо одно
из следующих утверждений: либо
(i) уравнение х + A(t)x = B(t)x имеет нетривиальное
ограниченное решение на — оо < t < оо; либо
(и) уравнение х-\- A (t)x = B(t)x обладает
экспоненциальной дихотомией на R с показателем Pi.
В случае (i) пространство таких ограниченных решений
конечномерно. Любое решение уравнения х + А (t)x = B(t)x на
— оо < t < оо, такое что '! х {t) \\а = О (ePl' *'), фактически
удовлетворяет оценке || х (t) ||a = О (е^1' м)«

268
Гл. 7. Линейные неавтономные уравнения
Доказательство. Пусть T(t,s), rB(^s) — эволюционные опера]
торы для уравнений х + A(t)x = 0, х + A(t)x = B(t)x соответ]
ственно. Заметим, что для всякого / > О
Тв (h + U U) -T(t0 + U U) = J Тв (t0 + /, s) В (s) Т (s, t0) ds.
to
Легко показать (см. теорему 7.5.2), что
1Гв(*о + /, *о)-П*0 + /, Wkw-O при |М-*«>.
Положим для г ^ О
7в= S TB(t0 + lt s)B(s)T(s, tQ)ds.
Для любого 0 < е < / это — компактный оператор в 3?(Х)У и
|]/в —/oiW w = 0(el-a) при s->0+,
так что оператор
h = TB(t0 + l, tQ)-T(U + l, t0)
также компактен. Применение теоремы 7.6.9 и упражнения 10
завершает доказательство.
Упражнение 22. Пусть А+у А-—секториальные операторы
в X, спектр которых не пересекается с мнимой осью, и пусть
V
где контур 7 окружает часть спектра, лежащую в полуплоскости
Re к <0. Если A(t) = A+ при t > 0, A (t) = Л_ при t < 0, то
уравнение х + A (t)x = 0 обладает экспоненциальной дихотомией
на R тогда и только тогда, когда Х = /?(Р_)© N(P+). В случае
когда R(P±) конечномерны, это требование принимает вид
dim R(P+)= dim /?(Р-), так что уравнение х + Л(0* = 0 не
имеет нетривиальных ограниченных решений на (—оо,оо).
Рассмотрите также случай, когда уравнения х + A+(t) х=0,
х + A-(t)x = 0 оба обладают экспоненциальной дихотомией на
R и Л (0 = Л+(0 при ^ > 0, Л (0 = Л_(0 при f < 0.
Замечание. Ввиду имеющегося разрыва функции A(t) в точке
f = 0 решения будут решениями в сильном смысле при t=£i)
и лишь непрерывными при / = 0; их можно рассматривать как
слабые решения нашего уравнения, если А+ — Л0е 9?(Ха, Х)у
где Л0 — фиксированный секториальный оператор.
Эволюционный оператор определен однозначно, и указанный
разрыв можно устранить интегрально-малым возмущением
уравнения.

ГЛАВА 8
ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ
8.1. УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
ДЛЯ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Пусть А — секториальный оператор в банаховом
пространстве X и f(t, х)— непрерывно-дифференцируемая функция из
!RX^a в X. Предположим, что f(t + р, х) = f(t, х) для всех
(t, х) и некоторого р > О, и пусть х0(0 — некоторое р-периоди-
ческое решение уравнения
-~2—\.Ax0 = f(t, х0) при всех t,
x0(t + p) = x0(t).
Запишем jc = jco(0+2i где z — отклонение от периодического
решения. Если x(t)—решение уравнения dx/dt + Ах = f{t,x),
то z(t)= x{t) — Xo{t) удовлетворяет уравнению
J*- + Az = f(t9 xQ(t)+ z)-f(*, x0(t)).
Мы будем изучать окрестность периодического решения,
исследуя линейное варьированное уравнение
-чг+ау=4г «>**«)) у.
Заметим, что это уравнение имеет р-периодические
коэффициенты.
Теорема 8.1.1. Пусть А —секториальный оператор вХ,0<а<1
и /(/, х) отображает некоторую окрестность £7czRX^a
множества {(*, *о(0)> ^ R} в х> причем f(t,x) и {df/dx){t,x)
непрерывны в этой окрестности, f(t,x) локально-гёльдерова по /, а
(df/дх) (t, x0(t)) — гёльдерова. Предположим, что f{t + р, х) =
f(tyx) при (/,*)<= U и некотором р > 0, и пусть х(-) есть р-пе-^
риодическое решение уравнения
(NL) **-+Ax = f{t, х).
Если спектр отображения Пуанкаре для линейного
варьированного уравнения
(L) ЧГ + АУ = ^Г^^ **®)v

270
Гл. 8. Окрестность периодического решения
лежит строго внутри единичного круга, т. е. нулевое решение
уравнения (L) экспоненциально-асимптотически-устойчиво, то и
решение x = xQ(t) нелинейного уравнения (NL)
экспоненциально-асимптотически-устойчиво. Точнее, существуют
положительные постоянные р, р и М, такие что если x\(t) — любое решение
уравнения (NL), удовлетворяющее условию
\\Xi(to)~X0(tQ)\\a^p/2Mt
то x\{t) существует на t0 ^ t < оо и
l*i (t) -х0 (t) la <2M\\xl (h) - x0(toV.ae-* {t ~'°\
Доказательство. Пусть z = x — *o(0 и
g{t, *) = f(t, X0(t)+ 2)-f{t, *0(*))--|[-(*. X0(t))z.
Так как множество {(ttXo(t))tO ^ t ^ p} компактно, то
существуют po > 0 и неубывающая функция А(р), 0 ^ р ^ р0,
&(р)->0 при р->0+, такие что
\\g{t, *)Ц<*(р)Иа при !|zj!a<p.
Пусть T(t,s) — эволюционный оператор для линейного
варьированного уравнения. По предположению спектральный радиус
r(T(to + pt to)) < 1, поэтому существуют М > 0 и р' > 0, такие
что при i > s, х^Ха
IIГ(f, s)x\\a<:Me-*'{i~s)\\xla,
\\Т (f, s)x[a <M(t- s)-a е~*' {t~s) |jx||.
Выберем 0 < p < P' и малое p > 0 так, чтобы {(t, x0(t) + z)>
\\z\\a^:P}czUll
k(p) М\ u~ae~ ф'-*]"du < 4".
Пусть Zi(t) = xi(t)—xa{t), t^t0. Если ||zi(f0)IIa < P/2M, то
пока справедлива оценка ||zi(f)lla ^ Р, мы имеем
t
2,(/) = 7^, f0)*i(*o)+fr(*, s)g(s, z,(s))rfsf
to
так что
M0UM'~'e)<AiiM'e)ll«
t
+ Mk (p) J {t - s)"a e~ <»' ~ p> {t -s) e*{s ~ U) И z, (s) |„ ds
< Af I*. (*.)1!« + 4- max {ep <-«12, (s) !„},

8.1. Устойчивость и неустойчивость для неавтономных систем 271
откуда
[zl(t)[a<2Mlzl(tQ)[ae^ii^ <р.
Следовательно, решение существует при всех t ^ to, и наш
результат доказан.
Теорема 8.1.2. Пусть Л, f, лсо удовлетворяют предположениям
теоремы 8.1.1, но для отображения Пуанкаре U(t)=T(t + р, t)9
отвечающего линейному варьированному уравнению,
а(£/(*)) ГИМИ>1}
— непустое спектральное множество. (Если А имеет
компактную резольвенту, то это означает, что существует
мультипликатор, по модулю больший единицы.) Тогда периодическое
решение Xo{t) неустойчиво.
Замечание. В упражнении 2 ниже предполагается лишь, что
r(U(t))> 1, но при несколько больших требованиях гладкости.
Доказательство. Покажем, что существует функция х*(Мо> #),
удовлетворяющая уравнению при всех t < to, такая что
**(Мо,а)=И=*о(*о), \\x*{t,t0,a) — x0(t)\\a-+0
при <->—оо. Если для я=1, 2, 3, ... выбрать лг,, = х*(^0 —
пр, to, я), то решение
x(t\hyxn) = x*(t — np, t0, а)
при fo ^ t ^ ^о + пр, x(to\ to, хп) == хп обладает свойством
\\хп — *o(*o)lla-*0, но при всех п
SUp | X {t\ t0, Хп) — Х0 (/) [|а > || X (/0 + «Р; *о, Хп) — *о (* о) 1а
= l!**('o; *о, а)-*о('о)|а>0.
Доказательство существования х* в основном такое же, как и
соответствующее доказательство в теореме 5.1.3, а именно
основано на решении некоего интегрального уравнения с помощью
принципа сжимающих отображений. Мы лишь покажем, как
строится это интегральное уравнение, предоставив всё
остальное читателю в качестве упражнения.
Пусть а, = а(£/(*)) П {Ы> О и X = Я, (/)© Х2 (0 —
соответствующее разложение на U(t)-инвариантные
подпространства (см. теорему 7.2.3). Пусть, далее, £/ (t)— проектор X на
Xj(t) (/ = 1, 2). Существуют М > 0, р > 0, такие что при t > s,
x2eEX$(s)
\\T(t, s)x2|!a<MeP(^^I^l!a, M(t-sr*e*{t-9)lxh

272 Гл, 8. Окрестность периодического решения
и для xi^Xi(s) можно корректно определить Т(t> s)x{ при
/ < 5 так, чтобы
\T(tt s)jcIfla<Afe83('-e)|!xIPei Me^{t-S)lx{'\
при t < s. Предположим, что функция g\ (—оо, f0)-^ такова,
что
Ы')1-о Г*83 <*-").
Единственное решение линейного уравнения
.-^ + (Л ЗГ*'» *• (')))* = * С) ПРИ *<*„,
удовлетворяющее условиям £1(/0)2(/0)==0( и
Iz(0r:a = O(e2P('"w) при /-*-оо,
имеет вид
t t
z{t) = T(t,t0)a+]T(t, s)E,(s)«r(*)<fa+ j Г(*. s) Я2 (s) g (s) da.
Подстановка g(s, 2(s)) = g(s) и дает интегральное уравнение,
определяющее функцию х* = г* + *о.
Упражнение 1. Применяя результаты упражнений 2 и 5
§ 5.1 с
T(t) = x(t0 + p; to, *o(fo) + E)-*o(*o), Selt
дайте другое доказательство теорем 8.1.1 и 8.1.2.
Упражнение 2. Пусть Л, /, х0(0— такие же, как в
теореме 8.1 Л, и, кроме того, для некоторого g > О
|| f (*, *о (0 + ^)-/ (f, *0 (0) -^L{tt х0 (t)) z || = О (|| ^ ||)L+ ")
при г->• 0 равномерно по t. Докажите, что если спектральный
радиус отображения Пуанкаре для линеаризованной задачи
больше единицы, то решение *о(0 неустойчиво (см. следствие
5.1.6).
8.2. ОРБИТАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
ДЛЯ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Важный класс задач, не охватываемый теоремой 8.1.1, — это
автономные задачи, когда уравнение не зависит явным образом
от времени. В этом случае всегда существует мультипликатор
на единичной окружности (лемма 8.2.2), и хотя теорема 8.1.2
о неустойчивости и применима к автономным уравнениям, ее

8.2. Орбитальная устойчивость для автономных систем 273
утверждение оказывается слишком слабым. Для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений dx\/dt = x%> dx2/dt =
= —sinxi (уравнения маятника) каждое нетривиальное
периодическое решение неустойчиво, так как период зависит от
амплитуды, и первоначально близкие решения в конце концов
разойдутся по фазе. Надлежащие понятия для автономных
уравнений — это орбитальные устойчивость и неустойчивость.
Определение 8.2.1. Периодическое решение л:0(/) = х0(t + р)
называется орбитально-устойчивым, если множество Г={л-0(0»
О ^ t ^ р) устойчиво, т. е. если для любой окрестности U
множества Г существует такая окрестность V этого множества, что
если х\ е V, то решение x(t\ х\)^ U при всех t ^ 0. Аналогично
определяются орбитальная асимптотическая устойчивость,
орбитальная неустойчивость и т. д. (всё — через соответствующие
свойства устойчивости множества Г).
Лемма 8.2.2. Пусть А—секториальный оператор и f(x) —
непрерывно-дифференцируемая функция из Ха в Ху определенная в
окрестности непостоянного периодического решения xQ(t)
уравнения
-f-+Ax = f(x).
Пусть, далее, отображение tt-> fx{x0(t))<= 3?(Ха, X) гёльдерово.
Тогда для линейного варьированного уравнения
-% + Ay = fx(x9(t))y
единица является мультипликатором.
Доказательство. Покажем, что производная xo(t) является
нетривиальным периодическим решением линейного уравнения,
так что ^0(^=^(^^0(^0)=7^0 и, следовательно, единица —
мультипликатор. Функции x0(t) и x0(t + К) обе являются
решениями, и функция x0(t)^Xa гёльдерова. Поэтому,
дифференцируя
Хо (t + h) = e~Atx0 (h) + j e~A {t~s)f (x0 (s + h)) ds
0
no ft, получим, что y(t) = xo{t) есть решение уравнения dy/dt +
+ Лу = f'(xo(t))y. Кроме того, в силу единственности, х0(/)^=0.
Теорема 8.2.3. Пусть х = xo(t)—непостоянное периодическое
решение автономного уравнения с периодом р, А — секториальный
оператор, f(x)—непрерывно-дифференцируемая функция из
некоторой окрестности орбиты Г={ло(0. 0 ^ t ^ р) сг Ха в X
и t\->fx(x0(t)) — гёльдерово отображение в 3?(Ха, X). Предпо-

274
Гл. 8. Окрестность периодического решения
ложим, что мультипликатор 1 является изолированным простым
собственным значением отображения Пуанкаре, а весь
остальной спектр лежит в круге \|р-|<е~Рр} ПРИ некотором (J > 0.
Тогда Г орбитально-асимптотически-устойчива с
асимптотической фазой, т. е. существуют р > 0 и М > О, такие что если
dist e{*(0). Г} = т1п1х(0)-Хо(0(а<т5г.
X t im
то решение x(t) уравнения dx/dt + Ax=f(x)t проходящее
через х(0), существует при 0 ^ t < оо и найдется вещественное
0 = 9 (х(0)), такое что
\\x(t) — x0{t — 9)||a^2pH» при t ^ 0.
Доказательство. Пусть x = xo(t) + zt где
-%- + [A-fx(xQ{t))]* = git, *), g(tt 0) = 0,
\\g{t> Zx) — g{t, Z2) 1 <ft(p) ||Zi —Zsla при H^la, |z2[!a<P,
причем &(p)->0 при p->0+.
Разложение пространства, соответствующее спектральному
множеству {1}, имеет вид X(t) = X\(t)®X2(t)% где X{(t) ==
span{x0(0} при всех t (напомним, что х^ЩФО), \\T{tfs)x\\\a^
М\\х\\\ при всех /, х\ е Хх (s). Для х2 е Х% (s)t t > s выполняется
оценка
|Г(*. 5)jc2|]a<Me-3'(t~s)ilx2|!a, M(t-sr*e-*'{t-9)lx,\
при некотором ($' > р > 0. Выберем настолько малое р > 0,
что
Af*<p)M.(-f+| e-(P'-p)0«-ad«)<-l-'
где Af0 = sup{||£i(s)||, ||£2(s)ll}, С/(s) — проекторы на */(s).
Относительно нормы
| г |а. „ = sup (А г (01^-^}
отображение z\—>F(z)} где
t
F(z)(t) = T{t,t0)a+\T(t9 s)Ex (s) g(s, z (s)) ds
и
oo
-jr(/, s)E9{s)g(s9 z(s))ds, t>tQf
t
является сжимающим на множестве непрерывных функций
z: [/о, °°\-+Ха9 таких что |z|a,p^p, при условии что flS

8.2. Орбитальная устойчивость для автономных систем 275
&X2{t0), ||а|1а<р/2Л1.Пусть z = z*(«, а) —единственная
неподвижная точка отображения F. Для а, ЬеЙ(/0) с ||а[|а» ||6|а<
<р/2М имеем
|z*(., <,)-*•(•■ Ь)|а.р<2М|а-Ь||а.
Положим tf(a) = z*(ft, а)—а. Тогда
|] Н(а)-Н (Ь) ||в < 2А!аЛ1 op"1* (2Af max fl а |а, || 6 |ja)) | a - 6 |a.
Можно показать, что отображение t\—>z*(t, а) локально-гёль-
дерово (при t > ft) как отображение в Ха, и, следовательно,
x*{t9 a) = ^0(0 + 2*(^ #)—решение нашего дифференциального
уравнения при f> ft, если а<= Х?(*0), !|a|!a<p/2M.
Рассмотрим #(*,£)—решение уравнения х + Л(х) = /(х),
*>ft —р, такое что x(t0 — py 1) = 1- Если норма ||g — x0(ft)l!a
достаточно мала, то *(f, g) существует при ft— р ^ /^ ft + P,
и мы докажем, что найдутся вещественное 8иаЕ Х?(*о), такие
что величина |8|+||a||a мала и
*(ft + 9, £) = **(*■ a).
Отсюда в силу единственности будет следовать, что x(ty g) =
x*(t — Э, а) при t ^ to + 0, а значит,
Ввиду периодичности достаточно показать, что норма
\\x(to-\-np)— лго(^о) Псе мала при некотором целом и, а ввиду
непрерывной зависимости решения от начальных данных — что
норма \\x(t\)— *o('i)lla мала при некотором t\. Таким образом,
результат будет доказан, если мы установим разрешимость
уравнения —x(ft + 9, 6) + **(ft, а)=0 или, что равносильно,
уравнения
a-9x(ft)=G(9, a; g),
где
0(9, a; %) = x(t0 + Qt i)-x0(t0 + Q)
- Н (a) + Хо (t0 + 9) - *0 (to) - 9*о {h).
Имеем 0(0, 0; jt0(ft))=~0 и
Ei(t0)(a-Qx0(t0))^-Qx0(to\
E2(t0)(a — QxQ (ft)) = a,
так что «линейная часть» обратима. Нужно показать, что
отображение (9, a)b-^G(9, a; £) обладает сколь угодно малой
постоянной Липшица вблизи (0, 0) при условии, что £ лежит вблизи
#o(ft); отсюда будет следовать, что мы имеем дело со сжатием
и наше уравнение разрешимо, если норма 116 —*o(ft)IIa
достаточно мала.

276
Гл. 8. Окрестность периодического решения
Для любого заданного е > О найдется 0 < б < р, такое чт<
[ Н{а)~Н (а) |!« < е | а - а \а, || х0 ('о + 0) - х0 (Ц ;<х < г/2
при |в|^б и [|а||а<б. Далее, при U —р < t ^ tQ+ р7 а<
у< 1
l*(t, У — -*о(Oi!a<С(< — ^о + р) l\\t-xAh)\h~y
(по теореме 3.5.3). Поэтому при |8|, |8|, ||а||а, НбНа^б
[GIG, a; l)-G{Q9 а; Ша<С, |8 - В\Ц - х0 (M!li~V
+ ei;а _ ^|!а + ^ 19 — в | ^е (| а — аН« Ч- Iв — в |>,
если норма \\l — *o(<o)lla достаточно мала.
Упражнение 1. Используя результат упражнения 1 §5.1,
дайте другое доказательство теоремы 8.2.3. Возьмите
Т (1) = X (t0 + р ft); /0, XQ (t) + 1) - XQ (t0)
при ^Gl2aW и выберите p(Q (=p + 0||£||a) так, чтобы
Т (I) ^ Х% (^о)- Прежде всего с помощью теоремы о неявной
функции убедитесь, что это отображение корректно определено
и принадлежит классу С1 вблизи I = 0. (Ср. с доказательством
теоремы 8.3.2.)
Теорема 8.2.4. Пусть выполнены те же условия регулярности,
что и в теореме 8.2.3, но отображение Пуанкаре U(t) линейного
варьированного уравнения имеет непустое спектральное
множество o(U(t))() {\\х\ > 1}. Тогда решение х = xo{t) орбиталь-
но-неустойчиво— существуют окрестность W множества Г =
(х0(0» 0 ^' ^ Р) и последовательность {х«}, такие что
dist а(Хп, Г)-*-0 при п->оо, но для каждого п точка x(t\t0yxn)
х
в конце концов покидает W.
Доказательство. Применение теоремы 8.1.2 позволяет сделать
лишь более слабое заключение, что решение xo(t) неустойчиво.
Используем функцию x*(t\ t0, а) = Xo(t)-{- z*(t\ to, а) из
доказательства теоремы 8.1.2, где ае!|((0) («неустойчивое»
подпространство), ||a||a =¾ p/27W,
11г*(*0; to, a) — all» = o(l|a||a) при ||a||a-*0,
Xo(t) + z*{t\to,a) — решение дифференциального уравнения при
t<t0 и
\\z*(t;t09 a)||„<2Af4aPe*2|M'-w.
Можно выбрать а^ X? (tQ) и е > 0, такие что 0 < ||a||a <1 р/2М
и
\x0(t0) + z*{t0] t0t a) — #o(*)la.>e > 0 при всех t.

S.3. Возмущение периодических решений
277
Если р > 0 —наименьший период х0, то
Н*о(0 — *о(/о)11а>0 при *о</</о + Р
и для t, близких к to (или к to + p), и ||а||а малых, но не
равных нулю,
IIх0 (t0) + z* (V, t0, а) - х0 (t)\\а >\\а-х0 (t0) (t - t0)\\а
— I! z* (*0; t0, a) —a [a — || xQ (t) — x0 {t0) — xQ (t0) (t —10) [«;
эта величина отграничена от нуля, так как аеХ^о), х0(^о)^
X2(to) и функция x0{t) гёльдерова как отображение в Ха.
Пусть для таких а и е > О
W = |jc:dist а{х, Г)< е|
и хп — x0(t) = z*(to — пр\ t0f а). Тогда ||лгя —*о(*о)1!а-*0 при
п->+оо и
x(t\ t0i xn) = Xo(t)-{-z*(t — np\ to, a)
при to <: t ^ to + ftp, так что
x(u) + ftp; *o, *n) = *o(*o) + z*Uo; <o, a)<^№
в силу выбора а и е.
Упражнение 2. Используя упражнение 5 § 5.1, дайте
другое доказательство теоремы 8.2.3 (ср. с упр. 1).
Упражнение 3. Пусть
II f <*• (t) + z)-f (х, (t)) - fx (Xo (t)) z || = О (l| z l+q) при z- 0
равномерно no £ при некотором q > 0. Докажите, что если
отображение Пуанкаре для линеаризованной задачи имеет
спектральный радиус, больший единицы, то x0(t) орбитально-не-
устойчиво (ср. с упр. 2 § 8.1).
8.3. ВОЗМУЩЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
Пусть xo(t)—периодическое решение с периодом р (>0)
уравнения
JjL + Ax = f{t,x, 0),
где А — секториальный оператор, а функция f: RX^aX R-^Я"
непрерывно-дифференцируема вблизи множества {(t, х, е): х =
xo(t), е = 0} и р-периодична по t. Пусть, далее, х = Xo(t)-{- z —
решение уравнения
(е) *L + Ax = f(ty х, е).

278
Гл. 8. Окрестность периодического решения
Тогда
-^ + A(t)z = g(ttz, е),
где
A{t) = A-fx(t, x0{t)t 0),
g(t, z, e) = /(/, xQ(t) + z, г)-f{tt x0{t), 0)-fx[tf x0{t), 0)z
\g{t, *> e)I<B(|e| + tj(||Z:;a)|!zIa)
при малых ||z||a, |e|, причем r|(p)~*0 при p->0+. Пусть,
наконец, t*-*>fx(t, xo(t)f 0)&3?(Xa, X) — гёльдерово отображение.
Теорема 8.3.1. Пусть Л, f, xq — такие, как указано выше, и 1 не
принадлежит спектру отображения Пуанкаре, отвечающего
линейному варьированному уравнению для *о(-), е = 0. Тогда
для любого достаточно малого е существует единственное р-пе-
риодическое решение хе(-) уравнения (е), лежащее в малой
окрестности решения *о(')» причем
||хе(0 —*о(011а^-0 при е-*0.
Доказательство. Пусть T(t, s)—эволюционный оператор для
уравнения dz/dt + A(t)z — 0. При достаточно малых Hzolla, |е|
решение z(t\ to, z0, е) дифференциального уравнения для z
существует на интервале /0 ^ t ^ ^о + р, и
z(t0 + p\ t0, z0, е) —20 = (Г(*0 + Р, t0)—l)zQ
+ \ T{tQ+p, s)g(st z(s; tQ, z0, г), &)ds.
и
По предположению существует оператор (1—Т(/0 + р> U))-x
и L, и условием того, что он дает р-периодическое решение,
является выполнение соотношения
z0 = L 5 T(t0 +р, s)g{s, z{$\ /0, z0, г), e)ds.
и
Теорема о неявной функции показывает, что при малых |е|
существует единственное в окрестности нуля {||z||a < г} решение
z0(e) этого уравнения.
Упражнение 1. Покажите, что если *о(-) асимптотически-
устойчиво (соотв. неустойчиво) по линейному приближению в
смысле теоремы 8.1.1 (соотв. 8.1.2), то то же самое верно для

8.3. Возмущение периодических решений
279
Мы уже знаем, что предположение 1 фо{Т{1-\- р, t))
никогда не выполняется для автономных уравнений, так что
изучим этот случай отдельно.
Теорема 8.3.2. Пусть Л, f, х0 — такие же, как и выше, но f не
зависит от времени t. Тогда единица является собственным
значением отображения Пуанкаре. Предположим, что она является
изолированным простым собственным значением. Тогда
найдутся такая окрестность U множества {x0(t), О ^ t ^ р} в Ха
и такие е0 > 0, бо > 0, что для каждого е из интервала |е| <С 8о
существует единственное периодическое решение хе(/), которое
остается в U и имеет период р(е), удовлетворяющий условию
\р(г — р1<60, и
р(е)->-р, Xs{t)-+Xo{t) при е->0.
Доказательство. Чтобы устранить мешающее собственное
значение, воспользуемся «методом сечений» Пуанкаре. Пусть U(0)
= Г(р, 0) — отображение Пуанкаре (при е = 0) и
*/(0)*о(0) = *о(0), и*(0)Уо = Уо^Х*у <0О, Хо(0))=1.
По предположению такое уо существует. Положим
W={xezX«: <уо, х — х0{0)> = 0}.
Если х\ е W и величина \х\—xolla + lel достаточно мала, то
x(t\ х\ъ) определено при 0 ^ t ^ 2р.
Определим G(x\t е)е W формулой
G{xu е) = х{х(хи е)+р; хи е),
где x = t(jci, е)—единственный близкий к 0 момент времени,
такой что
g(x; хи е) = <г/о, х{р + х\ хи е) — д:0(0)> = 0.
По теореме о неявной функции т(^ье) есть корректно
определенная функция класса С1, ибо
g (0; х0 (0), 0) = 0, М- (0; х0 (0), 0) = (y0t xQ (0)> = I.
Теперь докажем для достаточно малого е существование
неподвижной точки хх = G(x\e) <= W и тем самым
существование периодического решения с периодом p + t(xi(e), е).
Вспомним, что G(x0(0), 0) = хо(0) и
Ох (*о (0), 0) г = хо (0) т* (хо (0), 0) z + Т (р, 0) г.
Если <у<ь z> = 0, то
<</о, G*(*o(0), 0)г> = 0 = <т*(*о(0), 0)2 + <уо, Г(р, 0)г>,

280
Гл. 8. Окрестность периодического решения
так что т*(х0(0), 0)г = 0, Таким образом, в пространстве
Zx={z: <*/о, г>«0}=й(Г(Л0))
мы имеем Gx{x0(0)y 0) ===== Г (р, 0)\Zl. Но
о(Г(р, 0)и,) = о(Г(р, 0))\{1},
так что оператор Gx(x0(0)y 0)-1 имеет на Zi ограниченный
обратный. По теореме о неявной функции существует
единственное #i(e) с Х\(е) — x0(0)eZb ||*i(e) — л'0(0)Ца < г, такое что
G(*!(e), e) = *i(e).
Следствие 8.3.3. В предположениях теоремы 8.3.2, если р—
наименьший период решения хо и множество ог((/(/))\{1} не со"
держит корней п-и степени из единицы при 1 ^ п ^ N, то при
достаточно малых |е| построенное выше периодическое решение
x\(t, г) является единственным периодическим решением,
близким к Xo{t), 0 <; t ^ р, с периодом, меньшим {N + 1/2)р.
Упражнение 2. Покажите, что *(-, е) разделяет с х0
свойство орбитальной устойчивости (соотв. неустойчивости), если
Хо удовлетворяет предположениям теоремы 8.2.3 (соотв. 8.2.4).
Упражнение 3. Используя упражнение 3 § 4.2, дайте
условие существования малой окрестности U множества {x0(t),
0 ^ t =^ р}, положительно-инвариантной относительно
отображения Пуанкаре для уравнения dx/dt-{-Ах = f(t, х,г) при
достаточно малых е; здесь хо — это р-периодическое
асимптотически-устойчивое решение уравнения с е =0.
Исследуйте также автономный случай, предположив, что *с
орбитально-асимптотически-устойчиво.
8.4. ОТОБРАЖЕНИЕ ПУАНКАРЕ
Отображение Пуанкаре — мощное средство для изучения
окрестности периодического решения. Мы уже воспользовались
им в теоремах 8.3.1 и 8.3.2, и его можно применять также, (см.
упражнения § 8.1 и 8.2) для получения результатов об
устойчивости или неустойчивости. Это отображение будет широко
использоваться в следующем параграфе и потому заслуживает
тщательного изучения. По поводу случая ОДУ см. Лефшец
[68, с. 160].
Сначала рассмотрим периодическое уравнение (с периодом
Р>0)
J£. + Ax = f{t9 х)9 f(t + p9 *)-f(*. х),
где А — секгориальный оператор, f—функция класса С1 из
RX^06 в X Пусть хо(') есть р-периодическое решение. Поло-

8.4. Отображение Пуанкаре
281
жим для |е^а, близких к xo(to),
Ф(6)-*(*0 + р; f0, Е).
Ясно, что Ф принадлежит С1^06, Ха) вблизи | = xo(*o).
Ф(*о(*о)) = *о(*о) и
Ф'(*о(/о))==7\>(*о + р, *о)>
где To(t> s) — эволюционный оператор для уравнения
^r + Ay = fx(t;x0(t))y.
Отображение Ф и есть отображение Пуанкаре для этого
(неавтономного) случая; в автономном случае используется другая
форма этого отображения (см. ниже). Заметим, что любая
неподвижная точка Ф дает р-периодическое решение, а
неподвижная точка отображения Ф^ (Af-кратной композиции) дает Np-ne-
риодическое решение (N = 2, 3, ...). Решение с наименьшим
периодом Np (N > 1) называется субгармоническим порядка N.
Ввиду результата следующего упражнения естественно ожидать,
что в общем случае периодическое решение неавтономного
периодического уравнения либо имеет тот же самый период, либо
является субгармоническим.
Упражнение 1 [79]. Пусть А и f — такие же, как и выше,
f(t-\-p, x) = f(t, х) и *i(*)—периодическое решение уравнения
dx/dt + Ax = f(tf х) с наименьшим периодом q > 0. Докажите,
что если q/p иррационально, то f(t9 X\(s)) =f(s, X\(s)) при
всех t, s. В случае когда q/p рационально, пусть qfp — m/п,
где m, п — взаимно простые натуральные числа. Покажите, что
f(t, xi(s))=f(s, *i(s)), если t — s = kp/n при некотором
целом k.
Упражнение 2. Пусть Ау f, Ф, хо — такие же, как и выше.
Докажите, что хо устойчиво (соотв. неустойчиво,
асимптотически-устойчиво) как решение уравнения dx/dt + Ах = /(/, х)
тогда и только тогда, когда x0(to) устойчиво (соотв. неустойчиво,
асимптотически-устойчиво) как неподвижная точка
отображения Ф. (Мы говорим, что A'o(fo). например, устойчиво, если для
любого е > 0 существует б > 0, такое что если ||£— хо(*о)На< б,
то Фп(1) определено при всех п>1 и ЦФЯ(!) —*o(*o)lla< е.)
Упражнение 3 = упражнению 1 § 8.1.
Предположим теперь, что наше уравнение автономно: /(/, л:)
= f(x), нет зависимости от /. Пусть Хо{-) — непостоянное
р-периодическое решение уравнения
~-£--\-Ах = 1(х), где f:Xa-+X принадлежит классу С1,

282
Гл. S. Окрестность периодического решения
и пусть S — многообразие (в Ха) класса С1 коразмерности 1,
такое что Xo(to)^S и Xo(t0) не является касательным к S в
точке *о(/о). Для 1^5, близких к х0(/о), определим CD(g)eS
формулой
Ф(Е) = *('о + р(Б); 'о, Б),
где p(l) = p + 0(||£ — х0(^о) 11« выбирается так, чтобы Ф(|)^5.
Покажем прежде всего, что Ф — корректно определенная
функция класса С1 вблизи Xo(to)—отображение Пуанкаре на
«секущей поверхности» 5.
Без потери общности можно считать, что *о(*о) = 0 и 5
представлено вблизи нуля в виде х=о((/),1/бУ, где У—
касательное пространство к 5 в 0, так что ||<х(#)— у\\а = о(\\у\\а) при
t/->0 в У. Положим для малых 1/,2еУи вещественных 9,
близких к р,
F(z, 0, y) = x(t0 + B\ tQi o(y))-c(z).
Докажем с помощью теоремы о неявной функции существование
точки (z{y), Q(y)) вблизи (0, р) в УХК, такой что F(z(y)t
9 (у) > У) = 0 Для У у близких к 0 в У. Заметим, что функция F
непрерывно-дифференцируема, так что достаточно показать, что
линеаризованное отображение имеет непрерывное обратное в
точке (0, р, 0). Но уравнение
Fzbz + FeSe = _6z + 60io (h) = Ьх
может быть однозначно разрешено для (бг, 60)е УХ R в классе
непрерывных функций от 6i g Ха, так как Ха = span{x0(/o), У},
что и дает нужный результат.
Упражнение 4. Если (b(x\) = x{^S (вблизи #o(*o)), то
решение x\(t) уравнения dx/dt -j- Ах = f(x)t проходящее через хи
периодично. Оно орбитально-устойчиво (соотв. орбитально-не-
устойчиво, орбитально-асимптотически-устойчиво), если Х\
устойчиво (соотв. неустойчиво, асимптотически-устойчиво) как
неподвижная точка Ф.
Упражнение 5. Если Л имеет компактную резольвенту, то
Ф — компактное отображение многообразия S (т. е. для любой
ограниченной последовательности {хп}п=\ в S с= Ха, лежащей в
окрестности точки х0(*о), последовательность {Ф {хп)}^\ имеет
Ха-сходящуюся подпоследовательность).
Теперь изучим спектр производной Ф'(хо(*о))> сравнив его со
спектром оператора T0{to + p, to). Пусть сначала, как и выше,
*о(*о) — 0 и
S={e(y): у^ У, \\у\\а<г},
где а{у) = у + о(\\у\\а). Тогда
Ф'(0)у = *о('о)е'(0)y+T0(t0 + p, t0)y,

8.4. Отображение Пуанкаре
283
так что
ф'(0) = PyT0(to + p, to)\r9
где Ру —проектор на У вдоль х0(*о). Если Y = {у\(у, /> = 0}
для некоторого ненулевого /е(Ха)*, то <х0(/о), />=й=0. Можно
считать, что <#о(*о)> /> = 1. Тогда
руХ = х — xo{t0)(xt />, х^Ха.
Упражнение 6. Пусть X — банахово пространство, У— его
замкнутое подпространство коразмерности 1, L — непрерывное
линейное отображение X в себя. Пусть, далее, flGX,a^=0,
a^Y и La = 0. Наконец, пусть М = PyL\Y: Y^-Y, где Ру —
проектор на У вдоль а (т. е. Руа = 0, Руу = у при у £У).
Если Х\ является L-инвариантным подпространством, L(Xi)
а Х\ и Y\ = РУХ\, то Y\ Af-инвариантно.
Если Х\ конечномерно, то dim Y\ = dim Х\ (в случае когда
афХх) или dim yt = dim^! —1 (в случае когда а^Хх).
Если Х\ есть L-инвариантное подпространство и Y{ = РуХи
то
a(tk)\{0}co(Mh)co(Lk).
(Указание: если A.^a(L|jr,) и уг^Уь то уравнение (Я—M)#i=
= (/2 однозначно разрешимо относительно у\ е У1, а именно
у{ = Py(X — L\)~lx2t Li = L\xx
где Х2 е Xi таково, что Рух2 = j/2.)
Если Lx ^hx, хфО и у = Рух, то Му = %у\ при >, # О имеем
у ф 0; при >, = 0 имеем у ¥=0, если только л: не кратно л. Более
общо, при X ф 0 и k = 1, 2, 3, ...
ЛГ(Ь — М)* = РУЛГ(Ь — L)*.
Применяя результаты упражнения 6 с L = T0(^o + P, fo)—1,
a = x0(*o) и М==Ф'(0), получаем, что если 1—изолированное
собственное значение оператора U(to) = T0(to + р, /0) и Xa =
= Х?фХ2 — соответствующее разложение:
а(^о(^о)1Ла) = {1},
o(Uo(to)\xa) = o(UQ(to))\{\),
то У = У! ф У2, где У/ = РД/" суть Ф' (0) -инвариантные
подпространства, и
a{d/{0)\yt)cz{l}9
о(Ф'(0)|^ = о(£/0(г0))\{1}.
В частности, если 1 — изолированное простое собственное
значение оператора Т0{(0 + р, ^0)=^0(^0), то Y\ = {0} и 1^

284
Гл. 8. Окрестность периодического решения
а(Ф'(0)). Если 1 —собственное значение кратности /л, то dim Y\
= m— 1.
Упражнение 7 = упражнениям 1 и 2 § 8.2.
Упражнение 8. Дайте другое доказательство теоремы 8.3.2,
применив теорему о неявной функции прямо к отображению
Пуанкаре на любой секущей поверхности.
8.5. БИФУРКАЦИЯ И ПЕРЕМЕНА ХАРАКТЕРА УСТОЙЧИВОСТИ
ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
Если x = xo(t) является р-пернодическим решением
уравнения dx/dt + Ax — f{tt х), где f(i + /?, х)= f(t, х) (или / вообще
не зависит от t), то можно изучать периодические решения,
отыскивая неподвижные точки соответствующего отображения
Пуанкаре. Таким образом, дело сводится к изучению вопросов
существования, бифуркации и устойчивости неподвижных точек
(нелинейного) гладкого отображения банахова пространства
или многообразия в себя. Этот подход развивался целым рядом
авторов, от Пуанкаре и Г. Биркгофа до Смейла и его школы,
в основном для конечномерного случая. За доказательствами
приводимых ниже результатов мы отсылаем читателя к
превосходному обзору Лэнфорда [66] (посвященному результатам
Рюэля и Такенса [85]). Наш подход, по-видимому, не дает
здесь ничего нового. Отметим, что некоторые из результатов
этого параграфа аналогичны результатам § 5.2 и 6.1.
Теорема 8.5.1 (о центрально-устойчивом многообразии [66]).
Пусть Z — вещественное банахово пространство и Ф g Clip (Z)
в некоторой окрестности нуля (т. е. Ф — отображение класса
Ck некоторой окрестности нуля пространства Z в Z с липшице-
вой &-й производной) для некоторого 1 ^ k < оо, Ф(0) = 0 и
для производной Ф'(0) множество а(Ф'(0))Л{|^| ^ 1} является
спектральным. Пусть Z = X©K— соответствующее
разложение, так что спектральный радиус г(Ф'(0) |*)<1, а а(Ф'(0) |у
лежит в множестве {|^|^ 1}. Пусть, далее, существуют г, О <С
г<1, и (ре Сыр (К, R), такие что 0 <! ф(у) ^ 1, ф(у)=1 при
||#|| <; г и ф(у) = 0 при \\у\\ ^ 1 (это условие тривиальным
образом выполняется, если У конечномерно или имеет гладкую
норму).
Тогда существуют е > 0 и отображение и класса Сцр из
{уеУ\\\у\\<г} в X, \\и(у)\\ = 0(\\у\\2) при у^О, такие что
многообразие
Z = {y + u(y)\\\y\\<t}czX®Y
удовлетворяет следующим условиям:

8.5. Бифуркация и перемена характера устойчивости 285
(a) (локальная инвариантность) если 2 = w(y)+y^2 и
l>(z) — Zi=xi + y\<^X(BY, причем \\у\\\ < е, то z\ е 2 (т. е.
*\ = и(у\))\
(b) (локальное притяжение) если 2л+1 = Ф(гп) при я =
1,2, ..., m, zn = хп + Уп е X ф г|>, причем \\хп\\ < е, ||#„|| < е при
1=1, 2, . . ., го, то
|*п — «Ы!КСаЛ||*1 — «Ы1 при п= 1, . . ., т.
Здесь С, а — постоянные, 0 < а < 1.
Замечание. Требование принадлежности классу Сцр можно
заменить требованием Сй+е-гладкости, 0 < Э < 1 (ср. с
теоремой 6.1.7).
Упражнение 1. Пусть Ф непрерывно и многообразие
Ъ = {и(у) + у: \\у\\<г0}аХ®У
является локально-инвариантным и локально-притягивающим
этносительно Ф. Пусть, далее, 2 = Ф(г)е2 асимптотически-
устойчиво относительно Ф|2, т. е. если \\z — z\\ <6о и 2eS, то
11Фя(г)-г||<0яф(||2-2||)
при всех п ^ 0, где 0Л-*О при п->оо, функция ф(-)
непрерывна и ф (0) = 0.
Тогда z асимптотически-устойчиво относительно Ф. Если z
неустойчиво относительно Ф|2, то z неустойчиво. Указание:
постройте функцию Ляпунова, отправляясь от функции Ляпунова
на S, описанной в упражнении 1 § 4.2.
Чтобы применить теорему 8.5.1 к задачам возмущения и
бифуркации, рассмотрим однопараметрическое семейство
отображений Ф^: Z^~Z, —цо ^ \х ^ Ио; предположим, что каждое
отображение (г, !ы)->Фц(2) принадлежит классу Сир вблизи (0,0)
eZXR и Ф0(0) = 0. Пусть, далее, множество o(dO0(0)/dz)(]
{|?i|^l} является спектральным; применим теорему к
отображению (2, h)*—>(Фц(г), |i) в банаховом пространстве ZXR.
Центральное многообразие, а точнее, его ц-сечение имеет вид
2ц={и(у, v) + y, \\у\\ <е}
и является локально-инвариантным и локально-притягивающим
тносительно Фц для любого и>е(—е, е). Свойства устойчивости
неподвижных точек отображения Фп (или, вообще, свойства
устойчивости Фц-инвариантных множеств) в 2 ц можно
определить, изучая Фц |зц — гладкое отображение многообразия той
же размерности, что и У. Наиболее важными являются случаи
dim У = dim 2^ = 1 или 2, и мы обсудим их ниже.

286
Гл. 8. Окрестность периодического решения
Упражнение 2. Пусть Фц —такое же, как и выше, Ф0(0) — 0
и спектр оператора Фо(0) лежит строго внутри единичного
круга (т. е. (НтУ = 0). Тогда при малых \\х\ отображение Фд
имеет единственную неподвижную точку z(iti) вблизи нуля. Она
асимптотически-устойчива относительно Фц> и г(|я)-^0 при
Случай dimy=l. Пусть при р, = 0 единица является простым
собственным значением оператора Фо(0), а остальная часть
спектра лежит строго внутри единичного круга. (Если —1 —
тоже простое собственное значение Фо(0), то рассмотрим вместо
Фд отображение Фд = Фц°Фд.) В этом случае Фц|^ предста-
вимо вещественнозначной функцией y*—>f(y, \л) вещественных
переменных у, \i9 причем 0f/dy)(Oy p,) = X(ji), где Ц|л) —
(простое вещественное) собственное значение Фц(0), такое что
А,(р.)-^1 при |я->0. Этот случай разбирался в § 6.3 (и в более
общей постановке исследован Крэндаллом и Рабиновичем [19]).
Если {dk/d\x) (0) > 0 и
f(V, V) = f(0> Р) + ШУ+ bym + o(\iiy\ + \уп
df/dyiy, \L) = bM + mbir-l+o(\\i\ + \y\m-1)
при (у, |i)->-(0, 0) для некоторого 6^0 и некоторого целого
m ^ 2, то имеются следующие возможности:
(i) /(0>|i) = a|i + o(|^|)la^0f
(a)m нечётно,
(jj)m четно, ab < 0,
(у) га четно, ab > 0;
(ii) f(0, ti) = aix2 + o(ix*)y a¥=0t m = 2,
(а)Л ={V(О))2 - Aab >0,
(р)Д<0,
(Т)А = 0;
(iii) f(0, (л) = о((л2) или m > 2,
(a)m четно,
(P)m нечётно, b > 0,
(y)m нечётно, b < 0.
Случай (ii, у) с A ==0 требует знания дополнительных сведений
об / и не будет обсуждаться.
В случае (i) имеется кривая неподвижных точек
yltf^cpi/m + o(|i1/m), a + bcm = 0t
вид которой для каждого из подслучаев (а) — (у) показан на
рис. 15. Мы предполагаем здесь, что а > 0; если а < 0, то
«устойч.» и «неуст.» меняются местами. В случае нечетного пг
обе ветви состоят из устойчивых точек, если ab < 0, и обе
неустойчивы, если ab > 0.

8.5. Бифуркация и перемена характера устойчивости 287
В случае (и, а) имеются две кривые неподвижных точек
(рис. 16, (а)), а в случае (ii, р) неподвижных точек нет
(рис. 16, (Р)). В случае (и, а), если b < О, то «устоич.» и
«неуст.» меняются местами.
(а)
"J
h 1
и
Рис. 15.
устоич. устоич.
к л
неуст неуст.
Случай (i).
В случае (ш) имеется кривая неподвижных точек
W(|i)«f(0, |х)/Л(|*)=0(||л|)
(играющая роль тривиального решения в лемме 6.3.1, так что
мы имеем картину, представленную на рис. 17). Здесь ветви
неуст.
устоич.
Рис. 16. Случай (П).
намечены как «устойчивые» и «неустойчивые» в соответствии с
тем, меньше или больше единицы производная df/dy в
рассматриваемой точке, т. е. в соответствии с устойчивостью или не-
(*> ф) (у)
неуст.«
неуст.
устоич.
устоич.
устоич.
устоич.
неуст.
Рис. 17. Случай (iii).
устоич.
устойчивостью относительно итераций f(-, |л) (т. е. относительно
итераций Фц^).
Замечание 1. В случае dX (0)Д/ц = 0 вопросы бифуркации и
устойчивости всё ещё удается в достаточной общности
исследовать с помощью метода ломаных Ньютона, но ветвления здесь
могут быть более сложными, чем на приведенных диаграммах.

288
Гл. 8. Окрестность периодического решения
Замечание 2. В работе Бруновского [9] описаны некоторые
типичные случаи бифуркации диффеоморфизмов. Представляется
обнадеживающим тот факт, что все указанные там типичные
возможности будут у нас охвачены.
Упражнение 3. Пусть f(t + 2л, x) = f (t, х), а > О и |е| <С 1.
Рассмотрим задачу
Щ = ихх + и — auz + &f(ttx)u (О < х < я, t > 0),
и(0, t) = 0, и (л, 0 = 0.
Предположим, что
2л л
$=\ dt^dxf (tt х) sin2 х Ф 0.
о о
Вычислите отображение Пуанкаре на критическом
многообразии и докажите, что для (3 > 0 нулевое решение теряет
устойчивость при малых положительных е и от него ответвляется пара
асимптотически-устойчивых 2д-периодических решений
(фактически одно из этих решений равно другому, взятому со знаком
минус). В случае |3 <С 0 просто меняется знак е.
Указание: ввиду упражнения 3 § 7.2 критическое многообразие
имеет вид
и — s sin х + О (| s |3 + | es |),
и сужением отображения Пуанкаре будет отображение s\—>
h{s, е), где
А(0, е)=0, -^-(0, 8)= l+JEL+O (g2)>
ft(s, 0)=s--^Las3+0(ss).
Упражнение 4. (Снос частоты.) Пусть xQ(-) — непостоянное
р-периодическое решение уравнения dx/dt + Ax — f(x)y у
которого имеется простой мультипликатор 1, а остальные
собственные значения лежат строго внутри единичного круга.
Рассмотрим уравнение
*L + Ax=f{x) + Bg{t, х, е),
где /, g — гладкие функции из RX^aX(—е0, е0) в X, причем
g(t + p(z),x, B)=*g(t,x, е),
где р(е) —гладкая функция, р(г) = р + 0(г). Определим {/*(/)
с помощью соотношений
(To(t,s))Y(t) = y4s)>y4s + P) = y4s)><y4s),*o(s)> = l

8.5. Бифуркация и перемена характера устойчивости 289
при всех s и предположим, что
р
$<y*(s)> g{s, x0{s). 0))^=7==0,
о
р
\(y*{s), f"'(x0(s))(x0(s))3)ds^0.
о
Тогда для малых е существует единственное р(е)-периодическое
решение вблизи Хо(-), непрерывно зависящее от е и
асимптотически-устойчивое при малых гфО. Заметим, что
р
\(У*(°), f"(xo(s))(x0(s)Y)ds = 0.
0
Случай п=2. Пусть теперь при jjl = 0 оператор Фо(0) имеет
два простых собственных значения e±lbo на единичной
окружности, а остальная часть спектра лежит строго внутри нее. Если
е1боШ— 1 ПрИ некотором целом пг ^ 3, то для оператора Ф™
при ^ = 0 единица является собственным значением кратности
два; этот случай мы отдельно обсудим ниже, так как он важен
при изучении субгармонического резонанса. А пока будем пред-
полагать, что е ° не является (малым) корнем из 1, и приведем
один результат Рюэля и Такенса [85], дающий полезную
каноническую форму для двумерных отображений типаФд|2д. Лэн-
форд [66] дал элементарное доказательство чуть менее общего
результата, которое легко распространяется на наш случай.
Теорема 8.5.2. Пусть функция F^: R2-*- R2 удовлетворяет
условию/^(0)= 0 и спектр матрицы /v(0) имеет вид {М^), М^)}»
где %{0)=elQo, 0о — вещественное число и ёт*Ф\ при m =
1, ..., N+l (yV^4). Предположим, что отображение
(\i,xty)t^>F[ii{xiy) является N раз
непрерывно-дифференцируемым вблизи нуля. Тогда в R2 существует зависящая от \х замена
переменных класса CN, в результате которой F^ принимает
следующий вид (в полярных координатах):
F»:(r, 4>)^(\b(ix)\r±£fm(v)r2m + l+o(r"),
V + Q(\l)+£gm(\l)r2m+0(r"-l)y
где %bi) = \k(ii)\eidwv = [(N-1)/2] и /„(•),
^(•)-вещественные функции от [л класса CN при \ху близких к нулю.
Используя эту каноническую форму, нетрудно доказать
существование инвариантной окружности: опять сошлемся на Лэн-
Ю Д. Хенрн

290
Гл. 8. Окрестность периодического решения
фордгГ [66], который доказал этот результат для случая N = 4;
доказательство снова легко обобщается.
Теорема 8.5.3. Пусть F^ — такое же, как в теореме 8,5.2, N ^ 4
и, кроме того,
-ф-1 *- (Н-) I > 0 ПРИ М- = о
(так что нуль теряет устойчивость) и в описанной выше
канонической форме некоторое />(0)=£0, 1 ^ k < (N + 1)/4, но все
f,„ (0) = 0 при 1 < т< А.
Если Ы0)<0, то для малых ц>0 существует
единственная замкнутая инвариантная кривая Гц, окружающая нуль,
^м,(Гц) —Гц, Гц->0 при ц-^О-К а при малых \х ^ 0 вблизи
нуля не существует инвариантного множества, отличного от
нуля. Кроме того, Гц— притягивающее множество: в некоторой
не зависящей от |i окрестности нуля для всякой точки гфО мы
имеем F^(z)~^Ylx при гс->оо, при условии что р, > 0, но
F& (z) -*- 0» когда р. ^ 0.
Если /а(0) > 0, то при малых (л <С 0 существует малая
инвариантная отталкивающая кривая (фактически это соответствует
первому случаю применительно к F^1).
Замечание. Условие />(0)=И=0 для некоторого k <{N -\- 1)/4
допускает следующую эквивалентную формулировку: свойства
устойчивости нуля относительно F0 не зависят от членов
порядка (| * | + IУI) * при некотором q < (N + 3)/2.
«Поток» на Ги представляет собой вращение ерь-><р -f- 0(0) +
о(1) (при ц->0), и его можно рассматривать как гладкий
диффеоморфизм окружности S[ на себя без неподвижных точек
(если |Л мало). Типичные диффеоморфизмы окружности
изучались в теории структурной устойчивости, и основной результат
(Пейксото, 1962 г.; см. [76, с. 5]) состоит в том, что имеется
плотное открытое подмножество множества Diff(S!), состоящее
из диффеоморфизмов, для которых все неблуждающие точки
(их конечное число) периодичны и все периодические точки
гиперболичны. Таким образом, можно предположить, что для
большинства отображений F^ (при Фц), встречающихся в
практических ситуациях, инвариантная кривая Гц фактически
заменяется конечным набором периодических точек {р\(\х)у..., Pk(y)}
на Гц; эта гипотеза была высказана Рюэлем и Такенсом [851.
Однако, поскольку Гц, так сказать, приспособлено к
конкретному Рц, неясно, даст ли типичный выбор F,t типичное сужение
F^ |г|Р и вопрос пока остается открытым. То что этот вопрос
весьма интересен, показывают формальные вычисления,
проведенные Джозефом [54], который предполагает, что квазиперио-

8.5. Бифуркация и перемена характера устойчивости 291
дические решения с двумя основными частотами могут
возникать из периодического решения уравнений Навье — Стокса
(с периодическим вынуждающим фактором), если решение
теряет устойчивость в связи с тем, что пара мультипликаторов
проходит через единичную окружность в точках, не являющихся
корнями из единицы.
Число вращения р(^) непрерывно зависит от р, при ц,
близких к нулю (что следует из равномерной сходимости,
доказанной, например, в [37, с, 67]). Поэтому если р(0)== 0(0)/2л;—
иррациональное число, то р(|л) должно быть иррациональным
при ненулевых |я, сколь угодно близких к нулю, и, значит,
должно существовать почти-периодическое решение. Остается
выяснить, имеет ли ряд, полученный Джозефом, какой-либо
смысл; здесь возникает классическая трудность «малых
делителей», и, возможно, ее удастся разрешить тем же путем.
В любом случае, если (в обозначениях теоремы 8.5.2)
etmi)* ф 1 ПрИ m = 1, 2, ..., М, то ^ITlr не может иметь не-
подвижных точек при m=\, ..., М, если \i достаточно мало.
Следовательно, если р([х)—ненулевая периодическая точка на
Гц, то ее период должен быть больше М и {F™ (р (ц)), 0 < т < М
есть множество всех различных периодических точек,
распределенных достаточно равномерно по Гц. Таким образом, если М
велико, то инвариантная кривая будет таковой в любом
практическом смысле, и периодические движения с большим
периодом будут практически неотличимы от почти-периодических
движений. Однако, когда [л становится большим, эти рассуждения
теряют силу, и можно ожидать, что кривая Ги выродится;
Стоукс и др. [7] изучали такую задачу для системы из двух
уравнений ван дер Поля.
Упражнение 5 ([84]). Используя результаты этого
параграфа, рассмотрите вопрос о бифуркации периодической орбиты
из точки равновесия (см. § 6.4).
Теперь разберем случай, когда F0(0) = 0, a F^(0) имеет
простые комплексные собственные значения Ц|л), X (ji), такие
что Х{0) = е* \ 90— вещественное число, е1т ° = 1 для
некоторого целого т^Зи (d/d\x) \X{\i)\> 0 при \х = 0.
Прежде всего заметим, что, по теореме о неявной функции,
при малых \х существует единственная неподвижная точка z(\i)1
= MzM), и z(|x) = 0(||i|) при \х-*0.
Упражнение 6. Докажите, что собственные значения %\(\i),
kx(\i) оператора Fn(z(\ij) удовлетворяют соотношению ^(^) =
Х(\х)-\- 0(\х2) при ц->0. Таким образом, можно без потери
общности считать, что Flx(0)-= 0 при всех малых (л.
т*

292
Гл. 8. Окрестность периодического решения
Далее, 1(\х) = еш + /^ + О (\х2) и Re (*~''е°0 > 0;
следовательно, собственные значения А/П(ц), km(\i) оператора (рц(0))т
удовлетворяют соотношению
> Кт (|л) = 1 + me'i04\x -у О (|Д
Поэтому Gli(z)^F^ (z) представляется в виде
Glx(z) = z+iiMz+Cn(z) + o(\ii\\z\ + \z\-)i
где М — матрица размера 2X2, собственные значения которой
имеют положительную вещественную часть, а Сп{-) —
однородный полином порядка п} первый нетривиальный член в ряде
Тейлора для G0(z) — z.
Пусть z = ju,p£, р = 1/(п—1). Рассмотрим уравнение
0^[O»(z)-z]ii-nlin-l) = Ml;+Cn(Q + o(l) (при ,i-*0).
Предположим, что существует ненулевое вещественное £о,
такое что М£о + С„(£о) = 0, и пусть это простой корень:
det{M + Cn(U -)}ф0.
Тогда по теореме о неявной функции существует единственная
неподвижная точка
такая что 5(^)-^£о при [х->0.
Упражнение 7. Пусть ogR2h Cn(v) = 0 только при v = 0.
Докажите, что для любой неподвижной точки z(\i) = G[Xr(z{\x))
в R2, такой что г(|и)->0 при \i->-0,
z Ы уГ1""-" - fc е R21 Aft + Сп (0 = О}.
Далее, покажите, что если z([i)\i~~ /{п~ ->■ 0 при ц-^О, то
г(|ы) = 0 при малых \х Ф 0. Что будет в случае, когда \ е R2 и
Ml + Сп(1) = 0 лишь при ; = 0?
Упражнение 8. Пусть М£0 + С„(£0) = 0, £о=£0, но Li =
= M-\-Cn(lQ, •) имеет ранг 1 (detLi = 0, Li =^0). Полагая г =
^"""^(Ео + л)» получим
о = м+ ^(4,^-)).
где //"i(t|. 0)= О(jц]2) и Я!-—гладкая функция своих
аргументов вблизи нуля. Выполнив, если надо, элементарные операции
над строками, можно считать, что одна из строк матрицы L\
нулевая; разрешая уравнение, отвечающее другой строке,
относительно одной из компонент вектора rj, скажем х\и можно вы-

8.6. Бифуркация и перемена характера устойчивости 293
разить ее как гладкую функцию от г)2 и |и1/(л_1). Подставляя эту
функцию в оставшееся уравнение, получим одно уравнение с
двумя неизвестными т]2 и \х{/{п-[). Теперь можно применить
обычный метод ломаных Ньютона [21, 48].
Заметим, что после замены переменных в духе метода
Ньютона такие задачи бифуркации сводятся, вообще говоря, к
определению всех вещественных решений полиномиальных систем
вида М£о + Сл(£о) = 0 (два полинома n-й степени от двух
компонент вектора to). Это чисто алгебраическая задача, общее
решение которой (кронекеров метод исключения) описано,
например, у ван дер Вардена [101]. Для обычно встречающихся
простых случаев часто легче определить соответствующий
наибольший общий делитель, рассматривая левые части уравнений
как полиномы от (скажем) первой компоненты £о, коэффициенты
которых являются полиномами от £о, Требование, чтобы этот
наибольший общий делитель зависел от £о (т. е. чтобы решение
существовало), дает полиномиальное уравнение от одной
переменной £о.
По поводу задач бифуркации см. статью Стэкголда [95], где
дано вводное изложение вопроса, и указанную там литературу;
иллюстрации некоторых трудностей, встречающихся в задачах
бифуркации при кратных собственных значениях, даны в [75]
и [84].
Суммируем наши результаты в виде двух теорем,
сформулировав задачу в терминах дифференциального уравнения.
Теорема 8.5.4 (неавтономный случай). Пусть А — секториальный
оператор в X, а<1, f: RX^aX(—80, е0)->Х—отображение
класса С2, N раз дифференцируемое по х, f(^ + p, х, е) =
f (t, xt е) при всех /, х, г и некотором фиксированном р > 0.
Пусть, далее, *о(-)—изолированное р-периодическое решение
уравнения
-4^+л*=н;, х, 0)
и все мультипликаторы линейного варьированного уравнения
-Jr + Ay = fx(t, *oW, 0)у
лежат строго внутри единичного круга, за исключением простого
мультипликатора 1 или —1 либо же пары простых
мультипликаторов {e±id*}. Предположим, что х0 является изолированным
р-периодическим решением (при г = 0) независимо от членов
порядка О (]] х — х0 {t) И для некоторого q ^ N.

294
Гл. 8. Окрестность периодического решения
(А) Пусть 1 — простой мультипликатор, и пусть ф(0> Ф(0
суть р-периодические решения уравнений
ф + Д(*)Ф = 0, -Ф + Л(')*Ф = 0, {A(t) = A-fx(t, x0(t)t 0)),
причем <ф(0» ф(0) = 1-
(i) Если
р
^=^(^ fe(5, X0(S), 0)) ds =^= 0,
о
где fe = d//de, то либо мы имеем одностороннюю бифуркацию
устойчиво-неустойчивой пары р-периодических решений при
малых е > 0 (соотв. < 0) и отсутствие р-периодических решений
вблизи хо при малых е < 0 (соотв. > 0), либо существует
единственное р-периодическое решение хе(0 вблизи Хо(0 при малых
|е|, имеющее те же свойства устойчивости, что и х0. (Если Хо
асимптотически-устойчиво, то имеет место последний случай.)
(ii) Если а\ = 0, а
р
4" \ <Ч> (S), fu (S) + 2f„ (S) X, (S) + fxx (S) *, (Sf) ds,
g°(s) — g(*. *o(s), 0),
*, + Л (f)x, =$(*), *i (0) = 0,
6 = i <^ (*), f°e (s) q> {S) + fS, (S) Ф (*) X, (s)> rfs,
U
c=±-^(s),fxx(s)<f(s)2)ds,
то при Ь2 < 4a2c вблизи x0 при малых 8=^=0 не существует
р-периодических решений, но при Ь2>4а2сФ0 для каждого
малого гФО существует пара р-периодических решений. (Если
Хо асимптотически-устойчиво, то с = 0, и последний случай не
возникает.)
(iii) Если Ъ фО, а\ =0 и а2с = 0, то существует
р-периодическое решение хе(£), являющееся вблизи 0 дифференцируемой
функцией от е и меняющее характер устойчивости, когда е
проходит через нуль, и существует также бифуркирующая ветвь
р-периодических решений. Имеющиеся здесь возможности
представлены на диаграммах рис. 18 (с горизонтальной осью г).
Если х0 асимптотически-устойчиво, то имеет место последний
случай. Если Це)—мультипликатор для хе, близкий к 1, то
условие Ь Ф 0 равносильно условию {dXfdti) (0)ф 0.
(В) Пусть — 1—простой мультипликатор. Тогда существует
гладкая кривая хе, состоящая из р-периодических решений,
а2
где

8.5. Бифуркация и перемена характера устойчивости 295
хе-+хо при е->0. Предположим, что характер устойчивости
меняется, когда е проходит через 0. Точнее, пусть критический
мультипликатор Х(е), X(0)=-1, таков, что с1к(г)/с1гФ0 при
е = 0. Тогда помимо хв имеет место односторонняя бифуркация
2р-периодического решения, в соответствии с одной из диаграмм,
неуст.
устойч.
неуст;*.
устойч.
неуст.
Рис. 18.
устойч.1
устойч
неуст.
устойч.
представленных на рис. 19. (Если x(t) является 2р-периодиче-
ским решением, то таким же будет и x(t + p), но мы не
различаем эти решения.) Второй случай возникает, когда
х0.асимптотически-устойчиво.
неуст.
устойч.
2р-периодич.
неуст.
2р-лериодич.
устойч.
устойч.]
неуст.
Рис. 19.
(С) Если e±l ° — простые мультипликаторы, е1тд* Ф 1 при
1 <: m s^r N + 1, N^4 и q <(N + 3)/2, то существует
единственное р-периодическое решение хъ{1), гладко зависящее от е.
Предположим, что это решение теряет устойчивость при
переходе е через 0 и критические мультипликаторы X (е), X (е) (X (0) =
= е/0о)удовлетворяют условию (d/de) \Х(г) | > 0 при е = 0. Если
Хо асимптотически-устойчиво, то при малых е > 0 существует
притягивающий инвариантный цилиндр Тв cz R X Ха
(р-периодическое многообразие), поперечным сечением которого служит
некоторая замкнутая кривая, причем Te-+{(ty jco(/))} ПРИ
е->0+. Если Оо/2я иррационально, то для сколь угодно малых
е > 0 существуют почти-периодические решения. Во всех
случаях при малых е > 0 могут существовать субгармоники
порядка, большего yv+l. Для малых е<0 единственным
решением, остающимся вблизи xo(t) при всех t, является xe(t).
Если хо неустойчиво, то Tz существует при малых е < 0 и
является отталкивающим, но в остальном этот случай аналоги-
чем рассмотренному выше.
Теорема 8.5.5 (автономный случай). Пусть А—секториальный
оператор, а<1, f: ХаХ(—во, е0)->Х есть N раз непрерывно-

296
Гл. 8. Окрестность периодического решения
дифференцируемая функция (N ^ 2) и Xq— непостоянное р-пе-
риодическое решение уравнения
J*- + Ax=f(xt 0),
устойчивость или неустойчивость которого не зависит от членов,
у которых порядок стремления к нулю на орбите {хо(0> 0^/
^ р} равен q для некоторого q ^ N. Предположим, что кроме
очевидного мультипликатора 1, отвечающего x0(t)y существуют
еще один вещественный и два комплексных мультипликатора на
единичной окружности, а остальная часть спектра лежит строго
внутри нее. Нас интересует окрестность орбиты {x0(t), 0^/^р}
для уравнения
-~ + Ax = f(xt е)
при малых |е|.
(А) Если 1 —собственное значение кратности два
отображения Пуанкаре с двумя независимыми собственными векторами,
то существует р-периодическое решение ф(0¥=0 уравнения
-Ч>+Л(ОЧ=0, A(t) = A-fx(xo(t),0)%
удовлетворяющее условию
<*('), *о(0> = 0.
Если
р
(*) j(*(s), -f£-(*oW. 0)}с1зФ0,
то при изменении е мы получаем либо одностороннюю
бифуркацию устойчиво-неустойчивой пары периодических решений с
периодом, близким к р, либо единственное периодическое решение
хе, близкое к Хо, с периодом, близким к р при малых |е|,
непрерывно зависящее от е и с теми же свойствами устойчивости, что
и хо. В случае когда лг0 орбитально-устойчиво, имеет место
второй случай.
Если интеграл (*) равен нулю, то имеется много различных
возможностей, и мы рассмотрим лишь случай, когда существует
кривая периодических решений *8(0. дифференцируемая по е
и имеющая период, близкий к р при малых |е|. Предположим,
что мультипликаторы 1 и К(г) близки к единичной окружности,
>,(0)= 1 и с1К/с1гф0 при е = 0. Тогда имеет место бифуркация
периодических решений, соответствующая одной из диаграмм,
представленных на рис. 20, где ось в горизонтальна и все
решения имеют период, близкий к р. Когда хо
асимптотически-устойчиво, имеет место последний случай.

8.5. Бифуркация и перемена характера устойчивости . 297
(В) Если —1 и 1 — простые собственные значения, то
существует дифференцируемая кривая еь->д:8 периодических
решений (с периодом, близким к р) с мультипликатором Х(е)9
А»(0) = —1. Предположим, что dk/de^O при е = 0. Тогда имеет
место бифуркация периодических решений с периодом., близким
устойч. неуст.
*"^ • устойч.
устойч
устойч.
неуст.
неуст
Рис. 20.
■— неуст.
устойч.
к 2р, соответствующая одной из диаграмм рис. 21. Когда Хо
асимптотически-устойчиво, имеет место первый случай.
(С) Пусть 1, е °, е °—простые мультипликаторы, е *ф
Ф\ при т= 1, 2, ..., N+ 1, ЛГ^4, q<(N+ 3)/2.
Существует единственное периодическое решение хе с периодом,
близким к р, гладко зависящее от е, мультипликаторы которого
устойч.
неуст.
устойч./
lXe устойч.
неуст. • неуст.
Рис. 21.
вблизи единичной окружности суть 1Д(е) и ^(е), причем А,(0) =
е®ш. Предположим, что (d/ds) Ще) | > 0 при е = 0.
(i) Если Хо орбитально-асимптотически-устойчиво, то при
малых е>0 из орбиты {хо(0> 0 ^ ^ ^ Р) возникает
притягивающий инвариантный двумерный тор; в некоторой окрестности
этой орбиты максимальным инвариантным множеством является
орбита точки хе при е ^ 0 или та же орбита вместе с
указанным тором и соединяющими их орбитами при е > 0.
(и) Если хо неустойчиво, то при малых е<0 из орбиты
этой точки возникает отталкивающий инвариантный тор.

ГЛАВА 9
ОКРЕСТНОСТЬ ИНВАРИАНТНОГО МНОГООБРАЗИЯ
9.1. СУЩЕСТВОВАНИЕ, УСТОЙЧИВОСТЬ И ГЛАДКОСТЬ
ИНВАРИАНТНЫХ МНОГООБРАЗИИ
Мы докажем в этой главе довольно общую (и довольно
длинную) теорему об инвариантном многообразии. Инвариантное
многообразие можно трактовать как результат возмущения
многообразия х = О для системы
x + A(tty{t))x = 0, y = go(t,y) (—00</<00).
Мы будем предполагать, что для каждого решения у наше
х-уравнение обладает экспоненциальной дихотомией на R с
показателем р > 0 и коэффициентом, не зависящим от gy причем
Р больше, чем показатель экспоненциального роста, с которым
решения [/-уравнения расходятся при t-+±oo. При
определенных требованиях гладкости и ограниченности мы покажем, что
система
x + A(t, y)x = f(tf xt у), y = g(t, ху у) (—оо <^<oo)
имеет инвариантное многообразие x = a(t9 у) вблизи х = 0, если
/, df/dx и g — go интегрально-малы при х = 0 равномерно по у.
Это инвариантное многообразие обладает теми же свойствами
устойчивости при х = 0, что и невозмущенное уравнение.
Принимая во внимание многочисленные приложения более простых
результатов гл. 6, а также приводимые ниже примеры, читатель,
надеюсь, простит мне длинную формулировку теоремы и еще
более длинное доказательство.
Некоторые части последующих рассуждений мы проводим,
следуя Коппелу и Палмеру [114]; связь с их рассмотрениями
была бы еще более тесной, если бы А не зависело от у, но
в некоторых из наших примеров это не так. Наши
рассуждения, касающиеся гладкости, отличаются от используемых в
[114] и являются более простыми даже для конечномерного
случая.
В § 9.2 мы вводим координатную систему вблизи данного
инвариантного многообразия, а в § 9.3 применяем результаты
§ 9.1 к полученной системе и ее возмущениям.

9Л. Существование, устойчивость и гладкость инв. мн-зий 299
Теорема 9.1.1. Пусть Xt У— банаховы пространства, 0^а< 1,
Ло — секториальный оператор в X,
(t, y)^A(t9 у)-А0: RXY^S?(X«, X)
— ограниченное локально-гёльдерово по t и дифференцируемое
по у отображение, U — окрестность нуля в Ха и
(/, g, go): RXUXY^XXYXY
— ограниченное локально-гёльдерово по t дифференцируемое по
(ху y)^UXY отображение, причем go(f, у) не зависит от х.
Предполр^ош^ледующее:
~(i) существуют V^^» N^= U такие что если y\{t), УъЦ) —
решения уравнения у = go(tt у) на —оо < t < оо, то
II Ух (0 ~ У, (О II < Ne?1' < ~т > Iух (т) - у2 (т) ;| при всех t9 т;
(п) существует р > ц, такое что если у = go(t, у), —оо <
t <С оо, то уравнение
i + A{t,y(t))x = 0
обладает на R экспоненциальной дихотомией с показателем р
и коэффициентом N;
(Hi) функции /, g, gx, gy, gov, fx, fy (где fx = df/дх и т. д.)
и операторы А — А0 и Ау (^(У, i?(Xa, X))) равномерно
ограничены по норме числом N на RX^X^, и при некотором 8,
удовлетворяющем условиям 0<9^1 и м<(1 + 6)<р,
отображения
(Х> y)*~*>fx, fy, gxt gy, goy, Ay
равномерно-гёльдеровы с показателем 0 и коэффициентом N\
(iv) если h — одна из функций /, fK или g — go, то
U II
\h (*, О, y)dA<q
ti II
ПрИ I/! —f2|< 1 И J/e У.
Тогда найдутся положительные постоянные q0l г0, зависящие
лишьГот Л о, а, в, р, е гз р — ц(1 + 6) и N, такие что при q ^ q0
существует инвариантное многообразие
S= {(t,x,y)\x = a{t,y)t (tyy)^RXY)
системы уравнений
x + A{t, y)x = f(t% х, у), y = g(t, ху у),
являющееся максимальным инвариантным подмножеством
множества
{(*,*■ 0)1 IWI«<r0> {t,y)eRXY}.

300 Гл. 9. Окрестность инвариантного многообразия
Равномерно по t, у и 0 ^ q ^ qQ отображение yt—>a(f, у)
дифференцируемо как отображение из У в Ха, его производная
равномерно-гёльдерова с показателем G и при #->0
сг(/, *)-><), -g-(/, у)-0
равномерно на R X У.
Если отображения
*ь->Л(г, j/) — Л0, f{t,x,y),g{t,xty)
периодичны с периодом р > 0 (соотв. постоянны, равномерно-
почти-периодичны), то отображение £ь->а(/, #) также р-перио-
дично (соотв. постоянно, равномерно-почти-периодично с
частотным модулем, содержащимся в совместном модуле Д, / и f).
Если Л, f и g не меняются при замене у на # + со (для
некоторого фиксированного оеУ),то o(t, у + ш) = а(/, */).
Если нулевое решение уравнения х-\-A(t, y(t))x = Q
устойчиво для некоторого (а следовательно, для любого) решения у
уравнения у = go{t, у), то инвариантное многообразие
асимптотически-устойчиво с асимптотической фазой. Точнее, при Ро =
р—е/4 любое решение x{t)ty{t) {t > т) с ||*(т)||а ^ ro/SN
существует при всех t ^ т, причем \\x(t)\\a^: г0 и существует
единственное решение (x(t)t y(t)) в S {x{t) = a(t, y(t)))9
такое что
|! x(t)-x (t) \\а + \\y(t)-y (0 li < Ке^ {t ~х) I х (т) - а (т, у (т)) |!„
при всех t ^ т. Постоянная /С зависит лишь от Л0, ос, {$, 0,
Если уравнение х + Л (^, y(t) )х = 0 неустойчиво для
некоторого решения у(0 уравнения у = go(t, у), то и S неустойчиво.
Наконец, любое решение x(t), y(t) (t ^т), у которого х(т)
лежит в некотором зависящем от (т, у (г)) открытом плотном
подмножестве шара {lk|]a ^ г0/16Л72}, в конечном счете
удовлетворяет неравенству |U'(01la > Го.
Замечания. Без потери общности можно считать, что дихотомия
в (И) имеет место относительно Ха (см. упр. 5 § 7.6) и оценка
из условия (iv) выполняется также для h=fy или {д/ду) (g—g0).
Действительно, из (iii) и (iv) следует такая оценка с
(N f 2) qm] + е) вместо q\ например, если | tx — t2 К 1, Ц ^ У, q =
= ||ri,l1/+e, то
\и и
<^Цт1||1+0 + 2^=(ЛГ + 2)^/1 + 9|т1||
fy(t, 0, y)x\dt
Если Уо<=У выпукло и инвариантно относительно у =»
go{t,y) и y = g(t, х, у) при любом ,xg[/ и условия (i) — (iv)

9.1. Существование, устойчивость и гладкость инв. мн-зий 301
выполнены лишь для у е У, то аналогичными рассуждениями
можно получить инвариантное многообразие x=o(t, у) как
некоторый график над R X Ус В случае когда Уо невыпукло, но
является С1+э-подмногообразием в У, таким что любые точки
уи г/2 ^ Уо можно соединить кривой в У длины ^ N \\yi— у2\\9
требуются лишь незначительные изменения в рассуждениях
(и оценках). В обоих этих случаях приходится в принципе
несколько ослабить утверждения о гладкости вблизи границы
(если только 0 не равно 1); см. замечание после доказательства
леммы 9.1.8.
Простой пример неприятных последствий неравенства Р ^ \х
имеется у Хейла [37]. При р < \х может быть еще хуже; см.
статью Ярника и Курцвайля [123].
Теорема 9Л.2. В условиях и обозначениях теоремы 9.1.1, если
Я ^ <7о, то для любой пары (t, т])е R X У существует
единственное решение x{t\ т, т]), y{t\ т, г\) системы уравнений
x + A(t,y)x = f{t,x,y), У = ё{(,х,у) (—oo<f<oo),
такое что у{т) = ц, IU(OHa^ro при всех /. Отображения
v\v->x(t\ т, r\), y(t\ т, л) дифференцируемы, и
\x(t\ т, r\)\\a<Kqm
^(/;т,т|)
У (У)
■^-С:«.л.)--^-«;т.п.)
■(v,xa)
где Y = M-+e/4, 6=(1—а)/2. Постоянная К зависит лишь от
До, а, Р, 6, е и N.
Из этого результата следуют существование и гладкость
инвариантного многообразия теоремы 9.1.1; доказательство
остальных свойств перенесено в упражнения (упр. 2—4 ниже).
Положим для (т,у)еКХУ
а(т,г)) = х(т;т,г]).
Выполнение требований гладкости очевидно. Если х + A (tt у)х =
f(t,x,y), y = g(t,xty) и IU(0lla<r0 при всех t, то из
утверждения теоремы 9.1.2 о единственности следует, что
x(t) = x{t\i9y(t))t y{t)=y(t\Tty(i)) при всех t, х

302 Гл. 9. Окрестность инвариантного многообразия
и, в частности, х{т)— о(т, у(%)) при всех т. Обратно, если
*(т) = а(т, у(х)) при некотором т. то решение с таким
начальным значением существует в любой момент времени и х(() =
o(t, y{t)) при всех t. Таким образом, 5 = {(/, х,у) \х = а(/, у)} —
инвариантное и притом максимальное инвариантное
подмножество в R Х{Нх||а< г0}Х Y.
Доказательство теоремы 9.1.2 разбито па несколько лемм
(леммы 9.1.3—9.1.8), обозначенных для краткости (a) —(f).
Сначала мы сформулируем леммы и докажем с их помощью
теорему 9.1.2, а затем уже докажем сами леммы. В
дальнейшем С\, С2, ... — положительные постоянные, не зависящие от
q и г, а зависящие только от Л0, а, р, 8, е и N, и выражение
«достаточно мало» означает «меньше некоторой постоянной».
(a) Лемма 9.1.3. Пусть jut > \х, у: R->Y — дифференцируемая
функция \\y{t)\\^Ny
U(t)—g(t,09y{t))\\^b при всех t
и г: R ->9?( Y) — дифференцируемая функция, такая что
||* (О--^-С. 0, y(t))z(t)\\^M\z(t)t при всех t.
Если q и А достаточно малы (в зависимости от \i — jx), то
12(0!<2ЛГед,'~т||!2(т)| при всех t9 т.
(b) Лемма 9.1.4. Пусть (1=|ы + е/8, Х\. х2: К ->Ха —
непрерывные функции, (|х/(011сс ^ г при всех *(/ = 1,2). Если г и q
достаточно малы и y(t, т, г|/, X/) — решение задачи
y = g(t,Xj(t),y), У(т) = л/ (/=1,2),
где т ^ R и t]i, т]2 е У, то при всех t
\V(t\ т, Ль *x) — y{t\ т, %, х2)[|
I х
(c) Это техническая лемма 9.1.5, приводимая ниже, так какпока
в этом нет необходимости.
(d) Лемма 9.1.6. Пусть f$ = p —е/4 и q достаточно мало.
Существует постоянная С2 > 0, такая что если для функции у: R-+Y
\\y(t)\\<N, \\y(t)-g{t,Q,y{t))\\<C2
при всех t и отображение В: R->-j? (X06, X) локалыю-гёльдерово
и удовлетворяет условиям
*2
| Я (*)[;< Л,
\ В (t) dt
<С2 при |*i —-*я|< U

9.1. Существование, устойчивость и гладкость инв. мн-зий 303
то уравнение
x + A(t,y(t))x = B(t)x
обладает на R экспоненциальной дихотомией с показателем J
и коэффициентом 2N.
(e) Лемма 9.1.7. Если г и q достаточно малы, 2С3#б/2^г и
6 =(1 — а)/2, то для любой функции у: R -*■ У, такой что
WyU)\\<Nt \\y{t)-g(t,0,y(t))\\^C2,
существует единственное решение x{t)= x(t\ у) уравнения
i + A(t9y(t))x = f(t, х, у {t)) (- оо < / < оо)
с suplU(0lla ^ г- Для этого решения справедлива оценка
:*(*; y)U<^2C,qm.
Если t/i и (/2 удовлетворяют приведенным выше условиям,
наложенным на у, т е R, 0 ^ 7 ^ Р — е/2 и при всех t
то
№ 0i)-*C; »»)i!a<CBflfw/2evlt-Tt
Этих лемм достаточно, чтобы доказать существование
функций x(t\xtr\), y{t\x,r\) из теоремы 9.1.2, а гладкость их вытекает
из следующего результата:
(f) Лемма 9.1.8. Пусть у = [л + е/4, так что 7 — М-= е/8 >0 и
р — 7(1 ~~ 9) ^ е/4 > 0. Существуют постоянные С6, С7, такие
что при малых q и всех (,теК отображение
л*->*(*;т,л). У->*а
дифференцируемо и
|^</;т, Л)|<2СА^вт1'-Ч
|-|-(*; т, 4,)--^-№T,tb)|<CT!4l-ib|BeT«, + e>'|-rt
при всех т\, -til. rj2 из У.
Доказательство теоремы 9.1,2. Пусть q и г настолько малы, что
справедливы утверждения (Ь) и (е). Nr^C2 и {х: IUI|a ^
г) a U. Выберем (т, т|)е R X У. Для всякой непрерывной
функции х: К->Ха, такой что IU(0lla^r при всех t, определим
y{t) = y{t\t,i\>x), как в (Ь). Заметим, что \\y(t)IMIglK Л7 и
\\y{t)- $(Ub,y(t))\\<iNr ^Сц.

304 Гл. 9. Окрестность инвариантного многообразия
Опираясь на (е), положим
Ф(х\ т, л) (/) = x(t\ 9(-,т,у\,х)).
Ясно, что \\Ф(х\ т, у]) (t) На ^ г при всех t. Пусть Y = M- + e/4.
Для фиксированного теК, любых щ, ц2 s У и ограниченных по
норме числом г функций х\, х2: R -+Ха положим
z{t) = y(t\ т, ль *i) — 9{t\ т, г)2, *2),
*2|
= SUP (1^(0-^2(01^
Согласно (Ь),
||2sWMi(0KC.evU"t|(|T|1--TbJ + |||*,-xa|||t).
Поэтому из (е) следует, что
11Ф(*ь т, т|,)(0 —Ф(хя; т, %)(*)||а
< С5С6</б2е/V u -т' (;| П| - т,, Р.+1Ц х, - *2 |||t).
Если С5Св(762е/2<1/2, то для фиксированных т, т] отображение
хн-^ф(х;т,л)
является сжимающим в норме !||-!||t на шаре радиуса г. Пусть
x(f; т, г])— его неподвижная точка и
y(t\x,i\) = 9(t\r,4>x{-,Tti\)).
Тогда x(t\%, г]), у(/;т, л) — единственное решение системы
* + Д(*. #)* = /(*,*, У), y = g{t,x9y) (—oo<t<oo)i
такое что j/(f) = т| и IU(0lla^ г при всех f. Теорема доказана*
При доказательстве лемм нам понадобится следующая
Предварительная выкладка. Пусть
»2
s^<7 при Ui — fg|^ 1,
lif(*.)-»fo)l<tf|*.-'.|.
Тогда если <7 ^ N1+p и | /i — t2\ < 1, то
! и
\\h{t, y(t))ds
<3iV//(,+p).
При |Д*|< 1 получаем
/ + д<
J h{s, y(s))ds
<9+JV1+p|A*|1+p.

9.1. Существование, устойчивость и гладкость инв. мн-зий 305
Если разбить интервал [t\t t2] на m равных подынтервалов,
т— 1 < Mr1/(1+P) ^ т> то
*2
\h{t, у{t))
<q + (m-l)q + Nl +ртГр < Wqp (I +р).
Доказательство леммы 9.1.3. Выберем целое л ^ 1, такое что
2Л^" ^ £^. Докажем, что
|jz(01<2AteM'-T|||zMli при |f-T|</it
если q и Л достаточно малы, откуда будет следовать оценка
||2(0К2М?Д|'-Т|||2(т)1 при всех U т.
Для этого сначала оценим \\y{t)— y(t)\\ при \t — т|^д, где у
удовлетворяет уравнению g=g0(tty) у(х) = у(%). Определим
2,(У)-значную функцию Z(t,s) как решение задачи
Л-JAt *\=М.
dt
('■ *>—^с- yv))zv> *)- z^ s)=/-
В силу условия (i) из теоремы 9.1.1,
так что
2Ли1*-*1
-£-*(*■ s)||=||-Z('. s)goy(^ £(s))K*V
Пусть g\=g — go- Проведенная выше предварительная
выкладка показывает, что
\gi(s, 0, y(s))ds
<ЗЛГчг''« при |f, — <,|<1,
если (7 ^ N2; значит, этот интеграл оценивается по норме
величиной 3nNql/2 при 11\ — t2\ < п. При | * — т| ^ п
dt
так что
(y-9) = y-g(t> 0. У) + Si С. °> У) + go (*, у) - go (*, Ю,
mt)-B(t)\\<n(b + MqW)e»*
(согласно неравенству Гронуолла), Далее,
i(t)-goy(t, 9(t))z(t) = t-g9(t9 0, у) г
+ £*('. 0, y)z + (g0y{t, y)-g*ty{t, y))z9

306 Гл. 9. Окрестность инвариантного многообразия
откуда при помощи метода вариации постоянной получаем
t
+ N
Как и выше,
\ Z {t, s) gly (s, 0, у (s)) z (s) ds
T
J e» " ~s' (A |] z (s) \ + N f у (s) - у (s) f \ Z (s) jj) ds
<3«V(1 + e>
\ gw (s, 0, у (s)) ds
при \ti — h|^ n, и интегрирование по частям дает
<3«ЛГ2<79/(1 + е,е,1"-х|||2(т)||
\ZV, s)-^f( ~\ giy )z(s)ds
X \ s /
ЗпЛГ2(2^ + Д)(7е/(1 + 0)
при |f — т|^п. Используя эту оценку, оценку для \\у — у\\ и
неравенство Гронуолла (при соответствующих q, Д), получим
\\г(Щ^2Ые^'"^\\г(х)\\ при |*-т|<л,
что и требовалось доказать.
Доказательство леммы 9.1 А. Пусть \х= \i-\- е/8, a q и Д
настолько малы, что выполняется (а). Выберем г>0 столь
малым, чтобы Nr ^ Д, Af/*9 < Д и {х: ||х||а ^ г}с= [/. Положим для
0s£gs£ 1
X0=(l — o)Xi + GX2, Ла=(1 — 0)t\{ + ОГ\2, Уа(0 = £ ('*, Т, Лб. *о) ,
Применяя (а) и метод вариации постоянных, получаем
-ЯГУ*®
до
< 2^^-^1 Tb-%l
+ 2W
S ^' ' " * ' 1 gx (S9 Xa (S), ya (S)) I ;| X2 (5) - X, (S) (a rfs
Так как HgxII^N, интегрирование по интервалу 0^ a^ 1
завершает доказательство.
Лемма 9.1.5. Пусть X, Aq и a — такие же, как в теореме 9.1Л,
функция
t*~>A(t)-A0} R-+9?{X*,X\

9.1. Существование, устойчивость и гладкость инв. мн-зий 307
локалыю-гёльдерова и ограничена по норме числом К при всех /
и уравнение x + A(t)x = Q обладает на R экспоненциальной
дихотомией (относительно Ха) с показателем Pi > 0 и
коэффициентом К. Если 0 < р2 < рь то существует постоянная Q,
зависящая лишь от Д0, a, pi, р2 и /С, такая что справедливы
следующие утверждения.
Если G(t,s) — функция Грина для дихотомии, то
|0('' s)!,(Jf.xe)<Q*^'"s>e"Pll'"fl'
где i|>a(s)= s-a на (0, 1), ifia(s)= 1 при s ¢(0, 1). Если Z
—банахово пространство и отображения
В: R->3?(Z,X) и г: R-+Z
удовлетворяют оценкам
\B(f)\<N,
«■г
\B{t)
dt
<Т1<ЛГ при |f, — <2|< 1,
lz(05<^'
.V I * — х I
l*(0KS*
,v I *—X|
при некотором фиксированном вещественном т и М^гР2-<Рь
то при всех /
J G(t, s)B(s)z{s)ds
<Qti-V-V""T',
где б =(1-a)/2.
Замечание. Если отождествить £P(R,X) с X, то можно взять
Z = R и В: R-+X.
Доказательство. По лемме 7.5.1 если U = <о + 1» то
Jr(f„ s)B{s)z{s)ds\
<3C^V-V"#_xl j {(i -sra-e+(i -srare}^
где v|<* — т| = max(7|<i —т|, y\to— т|), так что существует
постоянная С, зависящая от Л о, а, К и fb, такая что
J Г (f„ s)B(s)z(s)ds
<c^V-V,t,"T1.

308 Гл. 9. Окрестность инвариантного многообразий
Тогда
t
\ G(t, s)B{s)z{$)ds
<
n=0
s
f-rt-1
G(t, t-n) j T(t - n, s)B (s) z (s)
< 2 Ke-^nC\6Nl~\ey\t-x-nl
<Kc7(i-^(P!-pi))}^'-V"-Tl.
Аналогичная оценка для
oo
\G(t, s)B(s)z(s)
завершает доказательство.
Доказательство леммы 9.1.6. Выберем целое п ^ 1 так, чтобы
Ne~in <е~Ьп. Пусть
ШОП^лг, \\y(t)-g(t,o,y(t))\\^A
при всех t и
J В (0 dt
<А при 1*, —М<1-
Пусть, далее, y(t;x,r\) ((т, ti) е R X У)—решение уравнения
y = go{t,y)> £("0 —Л- Для доказательства нашего результата
применим теорему 7.6.12 с Л = Ы X У, А.(т) = (т,у(х)) и
A(t;X(x)) = A(t,y(t;x,y(x)).
При доказательстве леммы 9.1.3 было показано, что
||у(*; т, у (т)) - у(t)|<ие"" (А + ЗЛ^1'') U -т|< п.
так что
t
\(A(st y{s))-B(s)-A(s; k{x)))ds
*(x\x)
^nb + n2NeNnfa + Mq42)
при 0 5¾ t — т ^ п. Если Ю = go{ttyj) при всех t (/=1,2) и
Gjt Pj — соответствующие функции Грина и проекторы, то (см.

9.1. Существование, устойчивость и гладкость инв. мн-зий 309
упр. 17 § 7.6)
00
Р, (т) - Л (т) = J 02 (т, s) (A (s, у2 (s)) - A (s, у, (s)) О, (s, т) ds,
— оо
I! У. (s) - У* (s) I! < Ne» u ~х' 11/, (т) - t/2 (т) |,
так что
jp,(x)-p,(T)ii , ^Q^3;iy,(T) —г/2(т)]|
* и )
оо
— ОО
Пусть yx(t) = y{t\ т, */(т)), y2(t) = g(t] т + п, у (т + /1)). Тогда
<CJy (т; т + п, у (т + й)) - у (т) 1|< C,n/n (А + Mqh).
Если Д и q достаточно малы, то имеет место экспоненциальная
дихотомия на R с показателем р= р— е/4 и коэффициентом 2N
(теорема 7.6.12). Запишем условие на Д в виде Д ^ С2.
Доказательство леммы 9.1.7. Пусть q настолько мало, что
справедливо утверждение (d). Если
ly(t)\\<N, №(*)-g{t, 0, y(t))\\<C2
при всех t, то
II'1
\\\fx(t, 0, y(t))dt
II'i
при |fi — ^| =¾ 1 и достаточно малом q (таком, что 3NqQf{l*Q) ^
<^С2), и уравнение
x + A(t,y(t))x = fx(t,Q9y(t))x
обладает на R экспоненциальной дихотомией с показателем JJ
и коэффициентом 2N. Пусть G(/, s) — соответствующая функция
Грина и Q — постоянная из (с) с pi = р, р2 = Р — е/2 == .р — е/4.
Если х(£)— ограниченное решение уравнения
(•) i + A(t.y(t))x = f(ttx,y(t)) (-«><*< оо),
то л: = х, где
оо
(••) x(t)=\ О (t, s) {f (s, 8, у (5)) + F (s, x (s), у (s))} ds,
— oo
F(t, x, y) = f(t, x, y)-f(t, 0, y)-fx(t, 0, y)x.
<3W<7e/(1 + e)

310 Гл. 9. Окрестность инвариантного многообразия
Покажем, что при малых q и г, удовлетворяющих условию
2C3q6/2^rt отображсмше х<—>х, определенное формулой (**),
является сжимающим в равномерной норме на множестве
непрерывных функций х: R->Xa с suplU(f) ||a ^ г. Неподвижная
точка этого отображения будет единственным решением
уравнения (*) с sup||x(/)||a ^ г. Предположим сначала, что ||x||a ^ г
влечет х е U и
iVr° J \G(t, s)
<QWr0 J тах(|*Г°\ l) «H*1*1 ds<~~-
Так как
\f {s, 0, jf(s))rfs
<3^7, при |<, —fa|<l,
то в силу (с) (с Z = R, у = 0, г (s) = 1)
J G(t. s)K*. 0, */(s))ds
<Q^]-6(3^1/2)6 = C3(76/2.
Если C$q6/2 ^ r/2, то при sup||x(0IU ^ r
I! x (t) ?„ < C3?6/2 + 4" SUP ■* W ■ * < r
Если функции xi, хг: R->Xa ограничены по норме числом г, то
II *i (0 ~ *2 (*) |!а < -«г SUp || Хх (5) — Х2 (5) Ла
и х*—>х— сжатие. Его неподвижная точка x(t\y) удовлетворяет
оценке
[*(*; y)}a<^rC3q6/2 при всех /.
Пусть i/i, 1/2*- R-^У удовлетворяют приведенным выше условиям,
наложенным на уь Xj(t)= x(t\ у}) (/= 1, 2) и и = х2 — х\. Тогда
и является ограниченным решением уравнения
й + A(t,y2(t))u = B2(t)u + M2(t) (у2- у{)
+ {A{t9yi{t))-A{t9y2{t)))xiit)%
где
В2 (0 = \ U (t, *, (t) + а (ж, (t) - xt (<)), у3 (t)) da,
i
M2 (t) = [ fy (t, x, (t), y(t) + a (y2 (t) - yt (tjj) da.

9.1. Существование, устойчивость и гладкость инв. мн-зий 311
Так как [ХгЦ) + ou(t)}a<2C3q6/2, то
II и
В2 (f) dt
< N (2C3q6f*f + 3Nqw + е> < С,/9'2
при |fi — *г|^ 1, и, следовательно, при малом q уравнение
u + A(tyy2(t))u = B2(t)u
обладает на R экспоненциальной дихотомией с показателем р
и коэффициентом 2N. Аналогично
\ М2 (t) dt
C4q6Q/2 при |f, — U|< 1.
Если z = у2 — У\ удовлетворяет оценкам
!«(0I. 1*(0КЕ*
,YI *-т|
при всех t
для некоторого фиксированного т и О^-у^Р— е/4, то в
силу (с)
||«W!l«<Qiv2-6(C4?e9/2)4ev"-x|
оо
+ Q(2C3^/2)AT J e-^t-^mSx(\t-s\-a, 1)5в7,-,|Л,
—оо
так что
Лемма доказана.
Доказательство леммы 9.1.8. Пусть x^R фиксировано и
у s= |х -|- е/4 (так что jl < 7, V (1 + 9) < Р) • Положим
||| * |||ti v-sup ft* (01.^^-^Ь
\y\\\x,y = sup{\y{t)\\e
■VM-т
, H(0M"
-Y|*-t|
}
и будем использовать аналогичные обозначения для случая,
когда у заменено на ?(1 + О). Предположим, что ух и у2
удовлетворяют условиям леммы (е), и пусть xj(t) = x(t\ *//).
Определим l{t\ У2 — У\) как решение уравнения
i + (A{tt yi{t))-fx(tt *,('). Vl{t)))l
= (fy(t, Su Vi) — Ay(t% yx)Zi){yi(t) — yi{t))
с |!S (0lia = О(^v l ^ ~T') при J/J—»- 00; это определение корректно
в силу теоремы 7.6.3. Пусть
u(t) = x(t;y2)-x(t\yx)—l{t-}y2 — yi).

312 Гл. 9. Окрестность инвариантного многообразия
Тогда
\\u + (A(t, y,)-fx(t, *i Уг)) «II
~=\\(A(t, У.)-Л(*. У.))(*.-*.)-(Л(<, y*)-A(t, у,)
— Ay{t, yl)(y1 — yl))xl-\-f{t, х2, y?) — f{t, хи #.)
~fx(t, хи yi){x2 — xi) — fy(t, хи у1)(у2 — у1)\\
<C(§x(t; y2)-x(t; yi)i+e + \\y2(t)-yAt)t+e)
<С'(\\\у2-У1\\ЬлУ+(>е^ + в»<-*\
так что
\\*(t; #2) —*(*; yx) — l(t\ У2 — У1Ж
<сУ(1+9^-|(№^Ыц;^е
Напомним, что, как было установлено при доказательстве
леммы 9.1.7,
1-§-«;у.)(»ь-*.)||в<С^в/(,+в,111№-|г,1||;.хвт"-".
причем это неравенство остается верным и при замене у на
<у(1 +6). Теперь для tji, r\2 е К и непрерывных jtb х2: R^-Xa
С SUp||X/(0 На ^ Г ПОЛОЖИМ
0/(0== £(';*, Л/*/) (/==1, 2),
и пусть 2 — решение задачи
z — gy(t, *i(0. 0i (<)) * = g* (f, *ь Pi) (*s С) — *i (<)).
2(т)==ть —Tji-
Тогда
|| ("Щ— «Г* <*» *i» 0*)) (^2 - 01 - г) ||
<jv(iix,—х1йь+в+1*1—х2пве»я—ifif+By» — er.i1+e)
<C0||x,-*,|||ii+ve + Itb-4.lI+e)^<l + e>^-'1,
так что
|0.(')-0»(O-z(*)!
<c'0ll*.—*.И|4.+-? + Ьч.—ч.11+в)втс1+в>,*-х|
при всех < и
*(<)=--gj-# С; т. Ци *0 (*« — *«) + -§r-y{t; т, n,, *i) (^ - щ)«

9.L Существование, устойчивость и гладкость инв. мн-зий 313
Заменяя, если надо, С на NC + С, получаем аналогичные
оценки для \\{d/dt) (У2 — у\ — 2)||; поэтому если х;(/) = дг(/; т, г]/)
(так что \}\х2~ xi%x ^ const-||т|2 —rii||), т0
У2 — У1— -gj- {Х2 — X,)
^^-^)||,v(1 + 0),x
<сп1л2-П1!Г+е.
Кроме того,
дх , ч
а:2 — л:! ^- (г/2 — //!)
IV (1 + 6), х
<c'(iii^-^iii;t)I+6<civii%-^i1+e.
•я,—
дх ду
дх ду , ч
-ЭГ"лГ(т,2~л,)
IvO + B), т
<Cv!!ti2-t1i
и1+в
Так как
1жт*"(др8"Х|)
,<С<?
,v2e/(i + e) |
1*2 — Xi IHy (1 + 8).1
llvo + e), x
то (при малых q) существует постоянная С7, для которой
№(t\ ?, fh) — X{t\ Т, tli)—L(f, Т, Tli) 0l2 — Tli) l!a
<4-CTh.-4il!+e^(, + e,r'-t|
при некотором линейном операторе L. Из результата
приводимого ниже упражнения 1 следует, что
д%
L(U т; 11,) = -^(^ т, ц,)
-JL(t; т, ъ)--|[-(*. т, чО^С^Пв-ч^^^^^-Ч
Упражнение 1*. Докажите, что если при всех у2, ух
IIФЫ - ф(Уд - Ф' (г/,) (у. - у,) II < КII уа - г/1 II1 +",
ТО
||ф'Ы-ф'Ы1<6^|г/2-У1!!е.
Указание: выберите произвольное и с ||и||= 1, положите d =
11(/2 — yi\\ и получите оценки для пар точек
(У2, */.). (Уи + ud, yt), {y* + ud, y3).

314 Гл. 9. Окрестность инвариантного многообразия
Замечание. Когда мы имеем дело с выпуклым подмножество!*
или подмногообразием У0 с: 1'» то при G < 1 в принципе могут
появиться неприятности на границе У0, и мы получим гладкость
лишь на несколько меньшем множестве. Например, если условие
упражнения 1 выполнено для уи у2 из У0 (где У0 выпукло), то
при || у, — */2|!<max{dist(*//, дХ0); /=1, 2}.
Упражнение 2*. Докажите, что если отображения
t*-+A(t, У) — А0, f{t,xty), g(t,x,y)
равномерно-почти-периодичны, то отображение t*—>o(t,y)
равномерно-почти-периодично и его частотный модуль содержится
в совместном модуле Л, f и g. Указание. Пусть {tn} —
последовательность в R,
НА» —АД I:f« —fmII, llgri — gm'l<A,»-*0 при m-^oo, n>m,
равномерно на R X ^X У (здесь Д„(*, y) = Л (f + tn>y) и т. д.).
Достаточно доказать, что
\\0(t + tn, y) — G(t + Uy)\\a->0
равномерно на R X У. Пусть В — некоторая постоянная и
х\ RX^^ — произвольная непрерывная функция, такая что
||х(tt s) 11« ^ го и при п^ m
\xn{t%s)-Xm{t, 5)Га<ВДт^М-Х|,
Xn(t> r) = x(t + tn; r + tn).
Покажите, что если при фиксированном ц е У
x(t,t) = a>{x(.9%)\%9r\№,
то
IIхп (*, т) - хт(*, т) |в < С*(1 + В/е/2) Д„е7 "~х\
и положите В = 2С8.
Упражнение 3*. Пусть уравнение х + Л (/, #) х = 0 устойчиво
для # = go(*»#)■ Докажите, что (при малом д и ро = Р—
е/2 < Р) существует г0 > 0, такое что любое решение системы
x + A(t, y)x = f{t. х,у), у = g{t, ху у)
при t > т, ||*(г)||а^го/8М удовлетворяет оценкам IU(OHa^ro и
IIX (0 - a (*, у (<)) lia < 4Ate"(i° « "х) |1 х (т) - a (т, t/ (т)) j|a

9.L Существование, устойчивость и гладкость инв. мн-зий 315
1ри всех t ^ т. Кроме того, существует единственное решение у
/равнения y = g(t, o(t9 у), у), такое что
\\y(t)-y(t)\\<:C&e^it-x)\\x(x)^a(x> y{t))[a при *>т.
Можно положить С8 = 16ЛГ3/(Р0 — Ц-). Указание. Пусть Z(tys) —
эволюционный оператор для уравнения z — gy(t9x9y)z.
Получите у как решение уравнения
оо
V(t) = y(t)+\z{t9 s)[g(s, xt y) — g(s9 o{s9 y)9 у)
t
— gy(s> *> y)(* — y)]ds,
удовлетворяющее оценке
ly(t)-y(m<^°{t~T\ Л = -^^-!*(т)-о(т, y(t))k.
Упражнение 4*. Пусть уравнение х + A (t, y(i))x = 0
неустойчиво для некоторого решения у уравнения у = g0(f,*/). Для
(т,ri)e R обозначим через у решение задачи y = g(ty О, */),
#(т) = т|, и через Ят> л (0 — проектор, соответствующий
дихотомии уравнения
i + A(t9g{t))x = fx(t9Q,g(t))x.
Докажите, что (при малых r0, q) существует функция w(t, ■, -,):
[/ХУ->^а, липшицева вблизи я = О, такая что «устойчивое
многообразие»
Ws(S) = {(t,x9y)\x = w(t9(l-Pt9y(t))x9y)9
ll(l-^.y(0)^lla^r0/8iV}
содержит начальное значение (х9х(х)9у{%)) любого решения
системы
x + A(t,y)x = f{t,x,y), y = g(tix9y) (t>%)
с у(х) = ц и
\\(l-PTt<n(T))x(T)\\a^r0/SN, \\x(t)\\a<r0 ПРИ t ^ Т.
Для любого такого решения x(t)—a(t,y(t))->Q
экспоненциально при t-+oo. При ^GiV(PTir](T)), ||g||a s£I r0/8N
отображение
&|_^(1 — Pft. T,(T))ttl(T,6f л)—6
удовлетворяет условию Липшица с коэффициентом ^1/2. Если
IU(t)L ^ Го/16^2 И (т,х(т), У{х))ф WS(S)9
то в конце концов IU(0lla становится >г0 (мы предполагаем q
настолько малым, что \\a(t, у)\\а < r0/16iV2).

316 Гл. 9. Окрестность инвариантного многообразия
Упражнение 5. Докажите, что существует постоянная Сю.
такая что при 0 ^ h < 1, б =(1 — а)/2
\\o(t + ht y)-a(t9 y)la<Cloh\
Указание: покажите, что в (е)
\\х (t + h, т, у) — х {t; т, у) |e < const • h6,
а в (f)
-^-« + *. г)-^,^ const-aV""4
Упражнение 6. Пусть в дополнение к предположениям
теоремы 9.1.1 отображения
t*->A(tty) — A0i f{t,x,y), g(t,xty)
равномерно-гёльдеровы. Докажите, что отображение t*—>o(tyy),
R-*-X дифференцируемо и нормы \\(da/dt)(t,y)\\f \\A0o(t,y)\\
равномерно-ограничены. Указание: сначала, используя
упражнение 5, оцените производную отображения tv—>x{t\ т, ц).
Выведите отсюда, что при всех t и у
-£(', y)+A(tt y)o(tt у)
= /(', <*(t, У), 0)--gJ-C. У) git <*(*> У). У),
и получите дальнейшие утверждения о гладкости по t и у\ в
частности, покажите, что do/dt и Л0а равномерно-гёльдеровы как
отображения из R X У в X.
Замечание. Функции do/dt и Аоо определены и уравнение для
о выполняется и без предположения о равномерной гёльдеро-
вости по времени; это следует из инвариантности и дифферен-
цируемости отображения y*->o(t, у).
Следствие 9.1.9. Пусть Л — выпуклое множество в некотором
банаховом пространстве и Ау f, g, gQ из теоремы 9.1.1 зависят от
параметра ^еЛ. Допустим, что предположения теоремы 9.1.1
выполняются равномерно по X е Л, отображения А,*-->Л — Л0,
f, gt go дифференцируемы, их производные ограничены по норме
числом N и Ak, fb £ъ gox (равно как и АУ) fx, fy, gx> gy, g0y)
гёльдеровы по (х,уД)е(/ХУХАс показателем 6 и
коэффициентом N. Тогда если q достаточно мало, то для каждого
^gA существует инвариантное многообразие
5л = {(*, *, у) |х = a(t, у, К), (*, {/) © К X У},

9.1. Существование, устойчивость и гладкость инв. мн-зий 317
отображение (^, f/)1—> ог(^, г/, ^) дифференцируемо, его
производные ограничены и равномерно-гёльдеровы с показателем 9 и
o(t, у, A.), -g-tf, у, *,), -^(/, у, Х)^0 при q^O
равномерно на R X У X Л.
Доказательство. Если заменить У на УХ Л и добавить
уравнение i —0, то наше утверждение немедленно следует из
теоремы 9.1.1 и приведенных после нее замечаний.
ПРИМЕР 1. Пусть Л, / и g удовлетворяют условиям гладкости
и ограниченности (iii) из георемы 9.1.1. Рассмотрим при малом
е > 0 систему
x + BA{t, y)x = ef(t, х, у), y = u + sg{t, х, у),
где ©е У — постоянная (возможно, нулевая). Произведя замену
переменных
т = е?, z = у — со* == у — (от/е,
получим (штрих обозначает дифференцирование по т)
х' + А (т/с, z + (ut/e) x = f (т/е, х, z + о)т/е),
z' = g(x/e, х, 2+от/е).
Предположим, что предел
h+T
f(x, х) = Hm -~- \ f(s, л:, z + sco)ds
Т-*оо * /
существует (по крайней мере при х = 0) равномерно по *0, 2 и
не зависит от to и что то же самое справедливо, если заменить
/ на fXt А или g.
Пусть f(0, 2) = 0, МО, 2) = 0, g(0, z) = 0, |Rea(iC(*))|^
Р > 0 и {Л(г): z^Y) —компактное подмножество в 2? {Xх, X).
В случае когда операторная функция A(z) не постоянна, будем
предполагать, что существенный спектр любого оператора
Л = limv -* оо A (zv) не пересекается с полосой _—р < Re % < р.
Тогда семейство эволюционных операторов {е~А {z) ( ~~s\ t^s},
z^Y, обладает равномерной экспоненциальной дихотомией
(как в теореме 7.6.13), так что по теореме 7.6.11 уравнение
*' + А (т/е, z + (от/е) х = 0 обладает на R экспоненциальной
дихотомией с показателем р/2 и коэффициентом М (при 0 <С
г ^ е0 и любом геУ). Легко проверяются предположения (i)
и (iv) теоремы 9.1.1 (при go — O), так что при малых е>0
наша (х, г)-система имеет инвариантное многообразие вида
х = ае(т/е, г), или, в исходных переменных,
{(*, х, </)!* = *((', У-ut), (*, г/)еНХП.

318 Гл. 9. Окрестность инвариантного многообразия
Оно асимптотически-устойчиво с асимптотической фазой, если
Иеа(Л(г))>0, и неустойчиво в противном случае. Если
отображение th->(A, f, g(t, xt z + <dt) равномерно-почти-периодично, то
тем же свойством обладает и отображение ty~>aB(ty г). Если
Л, / и g имеют периоды, кратные периоду некоторых компонент
вектора у, то они не меняются при замене у на у + со^ (k =
1, ..., tri), и то же самое верно для а.
В частности, если У = 0, то x = aB(t) является единственным
решением уравнения х + еЛ (t)x = zf(tt х), —оо < t < оо с
sup||x(/)||a^ /V. оно почти-периодично, когда Ли/" равномерно-
почти-периодичны, и имеет те же свойства устойчивости, что и
решение х = О усредненного уравнения x' + Ax — f(x). Для
обыкновенных дифференциальных уравнений этот результат
принадлежит Боголюбову.
ПРИМЕР 2. Пусть Л — секториальный оператор в X, Reо(А)
>0 и от (Л) пересекается с мнимой осью по некоторому
конечному множеству собственных значений конечной кратности.
Тогда Х = Х0ФХи А=А0ФАи Rea(40) = 0, ReafAOX) и
dimX0< оо. Предположим, что операторная функция eAot
равномерно ограничена на —оо < t < оо (и, следовательно, почти-
периодична).
Пусть 0^а<1, функция f: КХ^а-*Я лежал ьно-гёльде-
рова по t, в окрестности каждого х^Ха отображение /=—>f(/, х)
равномерно-почти-периодично, а x*—>f(t> х) равномерно
принадлежит классу С1+е (или Сир, если Э = 1). В соответствии с
разложением X = Xq® Х{ запишем f = fo + f\ и положим
t + т
f.ft)- lim -L°5 eA%(s, e~A%)ds
при I из X0. Предел существует вследствие почти-периодичности
и является равномерным по to.
Покажем, что если f0(|0)= 0 и производная fo(Eo) не имеет
собственных значений на мнимой оси, то существует
почти-периодическое решение xe(t) уравнения
х + Ах = sf(tt х) (—оо < t < оо),
для которого норма \\xt{t) — е~~ °%0 \\а равномерно мала при
малых в > 0. Если Rea(fo(|0)) < 0, то хг асимптотически-
устойчиво, в противном случае неустойчиво.
Чтобы доказать это, положим х = е~А*% + ц (l <= Х01 ц г X?),
так что наше уравнение примет вид системы
П + ^П = «/>('. е-А°'1 + ц).

9.L Существование, устойчивость и гладкость инв. мн-зий 319
Выберем R так, чтобы \е °'йо||а^*Д при всех t, и изменим /
вне множества
{6 + Т||6еХо, Ц^Хи 1Ыа</?+1, «Л1!а<г}
(для некоторого г > 0) так, чтобы отображение хь->/(/, х)
равномерно принадлежало классу С1+е на Х0+{||т|||а ^ г, г] е XJ;
это, конечно, возможно, ввиду конечномерности Xq. При малых
е можно применить теорему 9.1.1. Таким образом, существует
асимптотически-устойчивое инвариантное многообразие ц =
cre(/, g), где сте, dae/dg-^0 при 8->0 равномерно по (t, £) и
отображение /ь-»ае(/, £) равномерно-почти-периодично.
Поток на инвариантном многообразии имеет вид
i = Ee^fQ(tt e~A*l + Ot{t, 1))
(это стандартная форма для метода усреднения [37]). Для
некоторой окрестности точки |0 сюда входит сама исходная
(неизмененная) функция /. В силу теоремы Боголюбова (или
примера 1 с X, замененным на Х0) существует почти-периодическое
решение |8(0> равномерно близкое к £о (при малых е) и
имеющее те же свойства устойчивости, что и решение £0 уравнения
i/==Fo(i). Так как наше инвариантное многообразие
асимптотически-устойчиво с асимптотической фазой, то решение
Xt(t) = e~A*{t)lB{t)+ot(t> h(t))
тоже имеет те же свойства устойчивости, что и стационарная
точка go-
Упражнение 7. Пусть отображение t\—>а(/, х) равномерно-
почти-периодично при 0 ^ х ^ л, а0{х)—его среднее значение и
а0 = — J а0 (х) sin хйхфО.
Докажите, что нулевое решение задачи
Щ:=ихх + и + га (t9 х)и (0 < х < я),
u(0, t) = 0, и(я, 0 = 0
асимптотически-устойчиво при малых е > 0, если йо > 0.
Упражнение 8. Пусть D\t D2, со — положительные
постоянные, отображение t\—>(a, by с, d) (х, t)
равномерно-почти-периодично при 0 ^ х ^ 1 со средним значением (a0, &о, Со» ^о) (-*) и
(a±2, ..., d±2) (*) —среднее значение для (a, ft, с, d) (xt ()е±2Ш.

320 Гл. 9. Окрестность инвариантного многообразий,
Пусть, далее,
\(а±2, Ь±2, с±2, d±2){x)dx = 0,
о
\(a0t 60, с0, d0){x){dx) = (aQt 60, с0, Я*),
о
причем Яо + До¥=0. При малых е>0 нулевое решение задачи
ut^D&xx — av + Eiau + bv),
п . . / I л ч (0 < л: < 1)
vt = DjOjcjc + сои + е (си + dv)t
Ux, ^jc = 0 при х = 0, 1
асимптотически-устойчиво, если а0 + йо < 0, и неустойчиво, если
ao + do > 0. Что будет, если J (а±2> . . в| d±2)dx =^ 0? (В очевид-
о
ных обозначениях, если а0 + До ¥= 0, то устойчивость имеет место
при малых е > 0, когда
а0 = d0 < 0, (а0 + dQ)2 + (б0 — с0)2 > \ h + с2 + ia2 — td2 \\
а неустойчивость — когда одно из этих неравенств (или оба)
заменяется на противоположное.)
ПРИМЕР 3. Пусть /4, / и g удовлетворяют условию (Ш)
теоремы 9.1.1 равномерно по е, 0 ^ е ^ е0, и
равномерно-непрерывны при е->0+. Рассмотрим систему
:Эг=я('» *> #> £)>
где
fit, 0, */, 0) = 0, fx(*, 0, у, 0)=-0,
|Recr(A(f, #))|>Р>0 при всех t, у,
отображение t\—>A{t, у) — А0 равномерно-непрерывно и {A(t, у)
-Л0|(/,{/)еКХ^}—компактное подмножество в 3?(ХауХ).
Кроме того, предположим, что А0 имеет компактную
резольвенту.
Вводя новую временною переменную х = t/e, получим
систему
fix
\-А(гх, y)x — f(^> *> у, е),
(h
dy_
d%
■%-~tg(ex, x, у, e),

9.1. Существование, устойчивость и гладкость инв. мн-зий 321
При достаточно малом е > 0 и любом фиксированном 1/еУ
уравнение
~ + А(гх, у)х=0
обладает на R экспоненциальной дихотомией с показателем |3/2
и коэффициентом М, не зависящими от у и е (теорема 7.6.13).
Легко проверяются и остальные предположения теоремы 9.1.1,
так что существует инвариантное многообразие вида
х = ае(ет, у) = оъу, у)у
где
fa.
°е('. »)-0f -^(*, ^)^0
равномерно при е->0+.
В случае Re а (Л (t, у))>0 любое решение (х, у), для
которого норма lk(/o)lla достаточно мала, удовлетворяет оценке
I х (/) - ае (*, у (0) Ра < Се~* {t"<о)/2е || х (f0) - ае (fe, у (t0)) \\а
при £ ^ /о-
Упражнение 9. Пусть А — секториальный оператор в X с
компактной резольвентой, 0^а<1, U — открытое множество
в Х«
f: RXUXYXW, г0]^Х
— гладкая функция и уравнение Ax = f(t, х, у, 0) имеет
гладкое решение x = q>{tt у) со значениями в 0, такое что
а (А — fx{t, cp(f, у), у, 0) равномерно отграничено от мнимой оси.
Покажите, что при малых е > 0 система
kx + Ax = f(t, х, у,г), y = g(t, х, у,г)
имеет инвариантное многообразие (график над R X У) вблизи
jt = <p(f, у). (Используйте пример 3. Этот случай аналогичен
исследованному Задиракой [136] для ОДУ.)
С помощью теоремы 9.1.1 и относящихся к ней лемм можно
исследовать и более сложные системы. В качестве примера
рассмотрим (бегло) систему
x + A(t, у, z)x = f(t, ху у, г),
!f = g(t, *> у, 2),
ei+B(f, х, y)z = h(t, х, у, z)t
где е > 0 мало.
Теорема 9.1.10. Пусть Z — банахово пространство, В0 —
секториальный оператор в Z, W — окрестность нуля в Za = D(Bo).
Пусть, далее, Х% Л0, a, / и g удовлетворяют условиям (i), (ii) и

322 Гл. 9. Окрестность инвариантного многообразия
(iv) теоремы 9.1.1 при z = 0, а требования гладкости и
ограниченности из условия (iii) выполняются равномерно по 2е1У,
причем имеет место гёльдеровость по zt и то же самое верно для
Предположим, что отображение
(t, xt y)*-*B(t, х, у)-В0, RXUXY-+g{Z\ Z)
ограничено, локально-гельдерово по t и дифференцируемо по
(ху у) и для любого (К, т))е R X У уравнение
z + B(%, О, ц)г = 0
обладает на R экспоненциальной дихотомией с показателем (3'
и коэффициентом N. (Некоторые достаточные для этого условия
указаны в теореме 7.6.13.) Наконец, пусть отображение ft: R X U
X y>(W^Z локально-гельдерово по t и дифференцируемо по
(х, у, г),
В — В0, ВХу Вуу К, hXy hy, hz
ограничены по норме числом Nt отображения
{х, у у z)v->BXy By, hx, hy, hz
гёльдеровы с показателем 0 и коэффициентом N и при всех /, у
№ hz)(t, О, у, 0)К<7.
\\hx(t, О, у, 0)\\<MU \\fz(ty О, у у 0)||<Af2.
Тогда существуют положительные постоянные г0, е0, ?о, Wo»
такие что при е ^ е0, q ^ #о и М{М2 ^ т0 существует
инвариантное многообразие
Se = {(<, *» У* *)1* = М'. у)у z = pe(ty у), (ty y)€=RXY)
для системы (*), являющееся максимальным инвариантным
подмножеством в
R X {lUHa < М X У X {Nla ^ Го}.
Функции
y^>(o*{t,y),P*(t,y)): Y-+X«XZ«
дифференцируемы, их производные гёльдеровы с показателем В
равномерно по t, yt г, q и при q-+0
<*е, Ре, ду » ду V
равномерно по /> у, е.
Если функции tv-^Ay fy gy В, h равномерно-почти-периодичны,
то функция t*-*>{oe(tt у)у ре(/, у)) также
равномерно-почти-периодична и ее частотный модуль лежит в совместном модуле
A, f,g, В я А.

9.1. Существование, устойчивость и гладкость инв. мн-зий 323
Если х = О устойчиво для уравнения x + A(t, y(t)f 0)jc = 0
при y = go{t,y) и Re а (В (t, 0, у)) > 0, то 5Е асимптотически-
устойчиво с асимптотической фазой, В противном случае 58
неустойчиво.
Набросок доказательства. Если функция г\ R-^Za непрерывна
и \\z{t)\\a^r2 (где г2 мало), то, например,
t
\fx(t, 0, у, z{t))dt
< q + ЛГГ2 при | *, — *, | < 1
и по теореме 9.1.2 с qf замененным на q + Л/>2, существует
единственное решение системы
x + A{t, у, z(t))x = f(t, ху уу z(t))y у = g{t, х, у, z(0)
с #00 = 11 и sup|U(f) ||a ^ ri = С(#б/2— М2г2) при малых 9» /"2
и некоторой постоянной С. Обозначим это решение через
x(t\ т, т|, z). Тогда отображение (л, z)*—>£(•; т, г], г)
принадлежит классу С1+е в нормах \\i\l |||z |||Y (1+0),т и ||| x|||Ya + e). г (см.
лемму 9.1.8), и, следуя доказательству этой леммы, нетрудно
получить оценку
\\x(t\ Т, Т], Zx) — X{t\ Т, Г), Z2)\\a
< С \М2 + О ((г, + r2)69 + q^)\ е"*"^ ||| 2, - z2 ||k„
где постоянная С' зависит лишь от Л0, а, р, 0, ц, и N.
Далее, если ||#(0li ^W и е>0 достаточно мало, то
уравнение
-|-+B(es, 0, y(es))z = 0
обладает на R экспоненциальной дихотомией с показателем
Р'/2 и коэффициентом 2N (теорема 7.6.12), и можно считать, что
то же самое верно для уравнения
dz
ds
+ B(es, #(es), y(es))z = 0,
если sup|U(/)||a ^ ru где r\ достаточно мало. Применение
теоремы 9.1.2 показывает, что система
dz
ds
dy
+ В (es, х (es), у (es)) z = h(es, x (es), y, z),
= eg(es, #(es), r/, z)
с заданным j/ = л при s а= ет имеет единственное решение с
sup||z|la ^ /*2> если е, у, п и г2 достаточно малы и т2 ^
C"(<7 + Miri). Возвращаясь к исходной временной переменной,

324 Гл. 9. Окрестность инвариантного многообразия
обозначим это решение через z{t\ т, ц> х, г). Пусть функция
х: R^Xa непрерывна и ведет себя как 0(е*]<-я) Положим
C(0e-3j-('; *> Л» *> *)*•
Тогда
tdtJdt + (B - Аг)С = (hx - Bxz)X + {hy - В^-^- i.
Заметим, что
(ср. с соответствующим утверждением теоремы 9.1.1). Кроме
того,
< С" 111*1
69 Л
IV, х ^ У'Г'
дх
где С" — некоторая постоянная, так что
(*- St |_ т < С" [М, + О (г, + т$ + «/"" + *>] ||| * |||Y. t.
Если произведение М\М2 достаточно мало, то можно выбрать
ru ?2 = О(q6/2), такие что выполняются все приведенные выше
оценки (при малых q, е) и отображение
#*->*(-, т, т|, 2(-, т, л, *, е))
является сжимающим в норме 9г\'у,х на шаре sup|U(0IU =^ П
равномерно по (т, т))е R X У. Неподвижная точка х этого
отображения вместе с соответствующими у и z будет единственным
решением системы (*) на интервале — оо < t < оо,
удовлетворяющим УСЛОВИЯМ SUp||jc(0lla ^ Ги SUp||z(f) ||a ^ Г2 И ^(т) = Т|.
9.2. СИСТЕМА КООРДИНАТ ВБЛИЗИ
ИНВАРИАНТНОГО МНОГООБРАЗИЯ
Введем систему координат, служащую обобщением системы
координат, введенной Урабэ и Хейлом для изучения окрестности
периодической орбиты автономного ОДУ. Если и: K-+Rn —
функция класса Cr+l (г ^0), такая что a'(s)=7^0 и w(s-f р) =
u(s) при всех s и некотором (наименьшем) р > 0, то Г =
{a(s) |0 ^ s =£; р} есть простая замкнутая кривая класса Cr+l
в Rn. Можно показать, что существует С'-функция Q: R->-
&(Rn-\ R"), такая что Q(s + p)=Q(s), оператор Q(s) инъек-
тивен и
span{a'(s), Q(s)Rn~1} = Rn
при любом s. Функцию Q можно аппроксимировать Сг+1-функ-
циями, обладающими теми же свойствами, поэтому будем сразу

9.2. Система координат вблизи инвариантного многообразия 325
предполагать, что Q^Cr+l. При малом 6 > 0 рассмотрим шар
Вб(^п~1) в Rn радиуса б с центром 0. Отображение
(ехр(2я/5/р), и)н->(s, v)*-*>u(s)+Q(s)v
есть диффеоморфизм класса Сг+Х из SlXBb(Rn^1) на некоторую
окрестность орбиты кривой Г (рис. 22).
Пусть теперь М — компактное m-мерное подмногообразие в
Rn (т < п) класса Сг+!. По поводу определений и основных
теорем, относящихся к многообразиям и векторным
расслоениям, см. Абрахам и Роббин [104], Спи-
вак [133] или Голубицкий и Гийемин
[129]. Грубо говоря, векторное
расслоение над М — это дизъюнктное
объединение
Е= U {Р)ХЕР
р ^ м
векторных пространств Ер,
поставленных в соответствие точкам р е М
и «соединенных» определенными условиями
непрерывности в многообразие. Отображение одного такого расслоения
Е в другое F состоит из (непрерывного) отображения h общего
«базового пространства» М и набора линейных отображений
векторных пространств h#(p): Ер -> К<р), по одному на каждое
р^М (эти отображения должны непрерывно зависеть от р).
Если Е и F — векторные расслоения над М, то их прямая сумма
Е® F — это такое векторное расслоение над М9 в котором точке
р^М ставится в соответствие векторное пространство Ер Ф Fp.
Важными примерами векторных расслоений служат касательное
расслоение ТМ и нормальное расслоение N многообразия М;
ТРМ — это касательное пространство к М в точке р^М, Np —
ортогональное дополнение к ТРМ в Rn. Ясно, что TM®N =
MXRn. Векторное расслоение Е над М называется
тривиальным, если оно представляет собой произведение MX V, где V —
некоторое векторное пространство, или эквивалентно такому
произведению, т. е. для каждого р е М можно указать линейный
изоморфизм Q{p): V-+EPy непрерывно зависящий от р, так что
отображение
(р, v)'*->(p9 Q(p)v), MXV-+E
и обратное к нему оба будут отображениями векторных
расслоений.
Пусть существует Сг+1-отображение Q: M->i?(IR"-m, Rn)t
такое что оператор Q(p) инъективен и ТРМ Ф R(Q(p))= R* для
каждого р^М. По теореме о неявной функции (р, у)ь-$>р +
Q(p)v есть диффеоморфизм множества MXBb(Rn~m) на окрест-
ность множества М (при некотором б>0), служащий
обобщением системы координат, описанной выше для случая m = 1.

326
Гл. 9. Окрестность инвариантного многообразия
Если R(Q(p)) — Np при каждом р, то Q задает эквивалентность
расслоения М X R^m и нормального расслоения N; в любом
случае можно определить Q(p) при помощи ортогонального
проектирования на Np. Следовательно, существование такого
отображения Q равносильно тривиальности нормального
расслоения; это свойство мы более подробно рассмотрим ниже.
Пусть М инвариантно относительно потока z = ft(z), где h
определено и принадлежит классу Ст в некоторой окрестности
множества McR". В новых координатах (ху у), где у^М,
х^ R«-m(|#| < 5) H2 = i/ + Q(j/)x, поток принимает вид
t = g(x, y) = (I + P(y)Q'(y)xrlP(y)fi(y + Q(y)x),
i = A(y)x + f{x, у),
где Р(у)—проектор Rn на ТУМ вдоль R(Q(y)), так что g(x, у)
<=Ty(M),g(Qiy) = h(y) и
A(y)x = Q (уГ1 (1-Р (у)) (А' (у) (Q (у) х) - (Q' (у) h (у)) х)9
f(x, у) = о(\х\) при х-+0.
Так как Р(у) и Q'(y) принадлежат классу Сг, то отображения
{х> y)*—>g(x> У)у A(y)x + f(x9 у) также принадлежат классу
Сг, хотя уь-> А (у) принадлежит классу С"1,
Чтобы применить нашу теорему об инвариантном
многообразии к (х, у)-системе, необходима информация об уравнении
(*) l = A{y(t))& где y = h(y),y{t€=M).
Такую информацию часто можно извлечь из информации о
решениях £ уравнения
(**) £=ft'(i/(0K.
Действительно, если £ — решение уравнения (**) и l(t)
определено равенством
(l-P(y(t)))W) = Q(y(t)W),
то £ удовлетворяет уравнению (*), и обратно, для любого
решения I уравнения (*) существует решение £ уравнения (**),
такое что £(/) — Q(y(t)) I (О ^ Ty{i)M при всех /. Покажем это
Пусть zB(t)—решение уравнения z = h(z) с г8(0) = у(0) +
еЦО), где £—решение уравнения (**). Тогда
Ze(t) = y(t)+Bl(t) + o(E) = ye(t) + Q(yeV))xe(t)
(равномерно на компактных интервалах времени), так что yB(t)
-y(t)=0(B),xt(t)=0(E) и
{i-P{y{t)))(y*{t)-Ht)) = o[*)9

9.2. Система координат вблизи инвариантного многообразия 327
поскольку (1 — Р(у))ТуМ = 0. Определим l(t)^ R"_m и ц(1)^
Ty(t)M с помощью равенства £(0 = n(0+ Q(j/(0)£(0- Тогда
Уе(0 = У(0 + ел(0+о(8), хе(0 = е|(0+о(е)
ie(/) = Л(уе(0)^(0+о(е) =еЛ(1/(0)£(0+о(е),
так что 4(0 —^(#(0Ш0- Обратно, если £(/) удовлетворяет
уравнению (*) и л (0 е ТущМ определяется как решение задачи
Ч = Ы0, y(t))l + gy(Ot y(t))4, л(0) = 0,
то £ = г] + Q(y)| удовлетворяет уравнению (**).
Так, например, если каждое решение £ уравнения (**)
удовлетворяет соотношению
где r\(t)^Ty(t)M — некоторое решение уравнения f]=ft'(#(0)л»
а р > 0 —некоторая постоянная, то каждое решение £
уравнения (*) есть 0(е~${). Более подробные результаты см. в упр. 2
ниже.
Существенным свойством, необходимым для построения
координатной системы, является тривиальность нормального
расслоения, и мы рассмотрим это свойство более подробно. Если
нормальное расслоение нетривиально, то можно покрыть
некоторую окрестность многообразия М открытыми множествами, в
каждом из которых имеется описанная выше координатная
система. Но, к^частью, в наиболее важных приложениях мы
имеем дело с тривиальными нормальными расслоениями и
достаточно одной-едииственной координатной системы.
Заметим прежде всего, что всякое тривиальное векторное
расслоение ориентируемо. Если нормальное расслоение N над М
тривиально, то расслоения ТМ © N = М X R" и N оба
ориентируемы, и, следовательно, ТМ и М ориентируемы.
Положительную ориентацию базиса в ТРМ можно задать, потребовав, чтобы
вместе с каким-либо положительно-ориентированным базисом
в Np он образовывал положительно-ориентированный базис в 3?я.
Таким образом, ориентируемость М — необходимое условие
тривиальности N. Другое необходимое условие состоит в том,
чтобы ТМ было стабильно-тривиально, т. е. чтобы существовало
тривиальное расслоение (в нашем случае N), прямая сумма
которого с ТМ тривиальна. Заметим, что стабильная
тривиальность ТМ представляет собой внутреннее свойство
многообразия М, сохраняющееся при диффеоморфизмах. Обратно,
предположим, что ТМ стабильно-тривиально. Тогда существует
тривиальное расслоение £, такое что ТМ ® Е тривиально, а
потому N@{TM ФЕ) = (МХ^п)®Е тривиально как сумма
тривиальных расслоений, т. е. N стабильно-тривиально.
Следовательно, при некотором целом р расслоение N®M\Rp три*

32S Гл. 9. Окрестность инвариантного многообразия
виально, и если рассмотреть М как подмногообразие в
Rn+?>(M cz К"Х Ос кп+р), то наше нормальное расслоение
расширяется до N ® My^Rp. Таким образом, если
содержащее многообразие М пространство можно расширить до Rn+py то
стабильная тривиальность ТМ является необходимым и
достаточным условием тривиальности N. При п>2пг (где m —
размерность М, MczRn) расширять пространство не нужно: в
соответствии с приводимым ниже упражнением 1 если N
стабильно-тривиально и п > 2га, то N тривиально.
ПРИМЕР 1. Всякое открытое множество U в Rn имеет
тривиальное нормальное расслоение (а именно £/Х{0}).
ПРИМЕР 2. Если U — открытое множество в Rn, М = 6U и
V лежит по одну сторону от М, то М имеет тривиальное
нормальное расслоение. Единичный вектор внешней нормали
образует базис нормального пространства в каждой точке М.
ПРИМЕР 3. Нормальное расслоение сферы S2 cz R3 тривиально.
Касательное расслоение T(S2) стабильно-тривиально, но не
тривиально. Действительно, у тривиальных расслоений имеются
ненулевые непрерывные сечения, так что если бы T(S2) было
тривиально, то на S2 существовало бы непрерывное нигде не
обращающееся в нуль векторное поле, что противоречит известной
«теореме о еже», утверждающей, что двумерную сферу нельзя
«причесать» (замечательно простое доказательство этой теоремы
дано Милнором (J. Milnor, Amer. Math. Mo., Aug. —Sept. 1978,
p. 521—524)).
ПРИМЕР 4. Нормальное расслоение окружности S1 cz: R2
тривиально, равно как и касательное. Следовательно, и
нормальное расслоение любой простой замкнутой кривой класса С2
в Rn(n ^ 2) тривиально.
ПРИМЕР 5. Если нормальные расслоения многообразий
M{czRni и M2aRni тривиальны, то тривиально и нормальное
расслоение многообразия Мх X М2 cz Rni X 'R*2 •
ПРИМЕР 6. Лист Мёбиуса в R3 неориентируем, так что его
нормальное и касательное расслоения нетривиальны.
Упражнение 1. Пусть М — компактное m-мерное
подмногообразие в Rn (п > 2т) класса С2. Предположим, что его
нормальное расслоение стабильно-тривиально, а точнее, что N ®
М X Rp тривиально. Докажите, что N тривиально. (Достаточно
установить это для р = 1.)
Для доказательства рассмотрим М как многообразие в
R"X0c=k^-bi(p= 1). Пусть ^=(0, ..., 0,l)eR"+l, так что
w_LNX) ТХМ при любом xgM. Положим k = n-~ т. Предполо-

9.2. Система координат вблизи инвариантного многообразия 329
женная стабильная тривиальность означает, что существует
С^отображение
Q: M-+S(R*+i, R«+i)f
такое что при каждом х оператор Q(x) является изоморфизмом
Ь>ь+\ на JV*© span {до}; можно считать все Q(x) ортогональными
операторами. Определим v {х) с помощью равенства Q{x) v(x) = wt
так что j/^e^cR^1, и выберем ортонормированпый базис
{еь...> e*+i} в Rk+\ такой что eA+i =^= ±и(*)> т.е. Q{x)ek+\¥^±w
при всех *еЛ1 Существует вращение S{x) пространства Rn+1,
при котором Q(x)ek+\ переходит в до, а ортогональное
дополнение множества span{Q(x)eft+b до} остается неподвижным.
Следовательно, множество {S(x)Q(x)e\, ..., S(x)Q(x)^} образует
базис в Nx и является функцией класса С1 от х е Л4, так что N
тривиально.
Замечание. Я весьма обязан проф. Полу Бауму из Университета
Брауна, посоветовавшему мне использовать понятие стабильной
тривиальности.
Результат упражнения 1 допускает следующее обобщение:
любое стабильно-тривиальное векторное расслоение, размерность
слоя которого больше размерности базы, тривиально. Это можно
доказать, несколько видоизменив проведенные выше
рассуждения и воспользовавшись ориентируемостью
стабильно-тривиальных расслоений. Пол Баум, указавший мне на это обобщение,
привёл другое доказательство.
Следующий результат, представляющий собой вариант
теоремы вложения Уитни, доказывается с помощью теоремы о
трансверсальности [104].
Лемма 9.2.1. Пусть X— банахово пространство размерности
^Щ1+\ и М — компактное m-мерное подмногообразие в X
класса Сг (г ^2). Существует проектор Ре&(Х) с (2m + 1)-
мерным образом, такой что сужение Р\м есть диффеоморфизм
класса Сг многообразия М на его образ в R(P) и TXM(]N(P) —
{0} при каждом xeAf, Далее, любой проектор Р в {9?{X)), для
которого норма ||Р — Р\\ достаточно мала, обладает теми же
свойствами.
Доказательство. Положим Л4<2> ={(*, у)&М X Л1 jл: Ф у), и
пусть (Х*)п — прямое произведение п экземпляров (п = 2m + 1)
сопряженного пространства X* и
(TM)0={(x,v)<=TM\xe~M1 иф0}.
Введем отображения
F:MVX(X*)n-+R\ (*, уЛи ■ ■ .. W «->(&<*-0). - • .,&.(*-*)).
Q: (ТМ)0 X {Х*Г - R», (*, о, ь «*-* (Ь {v)9..., Ь, (v)).

330 Гл. 9. Окрестность инвариантного многообразия
Предположим, что для некоторого 2=(£i ..., tn) точка OeR"
является регулярным значением функций F(-,z) и G(-,z).Тогда
F(u*z)~l(0) и G(-,z)-l{0) либо пусты, либо являются
подмногообразиями в М<2> или (ТМ)о коразмерности п. Так как п > 2т,
они пусты. Следовательно, F(xtytz)^=0 на М(2> и отображение
х\—>г(х), М—R" инъективно, так что г(у)=И=0, если у=^=0,
(^у)еШ. Выберем Шь ..., а/п в X таким образом, чтобы
£*(^у) = в/*. г=(£ь .••, £я). Тогда оператор
п п
Р = S m ® С*, Pjf =» Z ю*Ь (*).
1 1
удовлетворяет предъявляемым требованиям.
Остается доказать, что такое z существует. Если X* сепара-
бельно, то непосредственно применима теорема о
трансверсальности, и в качестве z будет годиться любая точка из некоторого
открытого плотного подмножества в (Х*)п, если мы установим,
что нуль является регулярным значением для F и G [104]. Но
действительно, пусть F(xty9z) = 0 и ме^л; если (я, у)е М(2\
то х — уФО и существует % е X*, такое что £(* — #)= 1 и для
u£ = (tti£, Ия£)^(Х*)я мы имеем DzF(xty,z)(ut>)= и.
Следовательно, производная DZF {xyyyz) сюръективна и нуль есть
регулярное значение F\ те же самые рассуждения проходят и
для G.
В случае когда X* не сепарабельно, воспользуемся методом
Куинна (F. Quinn, Transversal approximation on Banach
manifolds, in Am. Math. Soc. Symp. Pure Math., v. 15, Global
Analysis, 1970). Выберем компактные множества id с /C2 a ... cz Af(2),
объединение которых покрывает M<2>. Для каждого / проектор
(*,&£)»-*£ из
{{x,y,t)\{x,y)eKh F(x9y,t)=>0)
в (Х*)п является собственным отображением (т. е. прообраз
всякого компактного множества компактен), поэтому существует
открытое плотное множество точек £ е(Х*)", для которых нуль —
регулярное значение отображения F( - , £)Ц • Таким образом,
для некотороого нетощего множества точек £e(X*)rt нуль есть
регулярное значение отображения F(-,£): M{2)-*Rn. Для G всё
аналогично.
Замечание. Проведенное выше рассуждение по существу взято
из книги V. Guillemin, D. Pollack. Differential Topology
(Prentice-Hall, 1974, p. 51); оно лишь приспособлено к
бесконечномерному случаю.
Теорема 9.2.2. Пусть X — банахово пространство, А — сектори-
альный оператор в X, D(A*) плотно в X* (это верно, если X
рефлексивно; кроме того, см. упр. 3), 0^а< 1, U — открытое

9.2. Система координат вблизи инвариантного многообразия 331
множество в Ха, /: U-+X — отображение класса Сг> г^\ и
М — компактное Сг+]-многообразие в X размерности т,
инвариантное относительно потока dx/dt + Ах = f(x). Пусть, далее,
касательное расслоение ТМ стабильно-тривиально и dimX>2m
или же М имеет тривиальное нормальное расслоение.
Существуют замкнутое подпространство Z czX
коразмерности m и Сг+1-отображение Q: М-+2?{Х), такие что Q(y)\z
есть изоморфизм Z на его образ, Q(y)Z® ТУМ = Х при всех
у^М, оператор AQ(y)—Q(y)A единственным образом
расширяется до ограниченного линейного оператора в X и некоторая
окрестность многообразия М представима в виде
{y + Q(y)z: у<=М, z<=Zt ||z||<6},
причем {y,z)>—>у ~\- Q(y)z есть Сг+1-диффеоморфизм на эту
окрестность.
Поток х + Ax==f(x) в окрестности многообразия М
принимает вид
y = g(y*z), z + Bz = h(y,z)t
где В — секториальный оператор в Z, D(B) = D(A)[}Z. Za =
ZftX*,
h (У, 0) = 0, g(yt0) = -Ay + f(y)<=TvM.
Функции g и h являются Сг-функциями от i/eM, ze Z06,
||г||а<8. Если y + Ay = f(y) в М и x-h Ax = f'(y{t))xt то
существует решение z уравнения
±+Bz=*-^(y{t), 0)2,
такое что
x(t)-Q(y(t))z(t)eTy{i)M
при каждом t, и обратно.
Доказательство. Случай dimX<oo уже был рассмотрен выше,
поэтому будем предполагать, что X бесконечномерно. Выберем
проектор Р, как в лемме 9.2.1. Можно считать, что
R(P)czD(A), R(P*)s=D(A*)
(поскольку D(A) и D{A*) плотны) и Р(М) имеет тривиальное
нормальное расслоение в R(P). Заметим, что операторы АР и
А*Р* ограничены, так что РА расширяется единственным
образом до ограниченного линейного оператора в X, Существуют
подпространство WczR(P) и Сг+1-отображение Q0: Р(М)->
2?{W,R{P))y такие что оператор Qo(y) инъективен и
R(Qo{y))®Ty(PM) = R(P)
при каждом у е РМ. Так как N{P)f)TyM = 0 для у<~М, то Р
изоморфно отображает ТУМ на ТРу (РМ), и можно взять

332 Гл. 9. Окрестность инвариантного многообразия
Z = N{P)®W ъ положить
Q{y){v + w) = v + Qo(Py)w при ve=N(P)9 w^W.y^M.
Далее, X = Z Ф2,_ dimZ = m, ZczR(P) и Q(#)Z = 0. Если
t/GM,2eZ,2EZ,T0
(^С(У)-С(у)Л)(г + г) = ЛРд0(Ру)Рг +
Pi4(l-P)2-(Q(y)Pil + (l-P)i4P;(2 + z),
так что оператор AQ(y)—Q(y)A можно расширить до
ограниченного линейного оператора в X. Легко видеть, что Q(y)\z —
изоморфизм Z на R(Q(y)).
Пусть В=(1 — P)A\z. Легко видеть, что В — секториальный
оператор в Z с. областью определения D(A)[)Z, плотной в Z.
Если обозначить через Р(у) проектор X на ТУМ вдоль R(Q(y)),
то поток х-\- Ax — f(x) запишется в виде
(l+P(y)Qf(y)z)y+Ay-f(y) =
Р(У) U(У + Q(0)*)- f(y) + (Q(y)A -AQ(y))z],
или
iJ = g{y> *)>
Q (у) (г + Вг) - -Q (у) [РА + (1-Р) АР] г
+ (l-P(y))lf(y + Q(y)z)~f(y) + (Q(y)A-AQ(y))z
-Q'(y)g(y, г) г],
причем х = у + Q(y)z. Так как правая часть г-уравнения при-
нимает значения в R (Q{у)) = N(Р(у)), то можно применить
оператор {Q{y) \z)~] и получить уравнение г + £z=/i(y, г).
Остальные утверждения теоремы легко проверяются.
Замечания. Если произвести такую же замену переменных в
уравнении х + Ах — Р((,х), то соответствующие (у,
г)-уравнения получатся заменой члена f(y + Q{y)z) на F(tty + Q(y)z).
Отметим еще, что если А имеет компактную резольвенту, то
В также имеет компактную резольвенту.
В случае если г — целое ^2, вместо условия Сг-гладкости
можно взять условие принадлежности классу Cup .
Упражнение 2. Пусть выполнены предположения теоремы
9.2.2 и, кроме того, для всякого решения y(t)^M уравнения
y + Ay — f(y) каждое решение х уравнения я + Ах = /'{y{t))x
является суммой
x(t)=x+{t)+x0{t)+x-{t)
решений, удовлетворяющих условиям хоЦ)&Туу)М,
^+(/)//<Л1^-ИГ-Х).^+(т)|| при *>Т,
lx-(t)K Ме~*{х~'}1х-{т)1 при t<x

9.3. Примеры
333
(для некоторых положительных постоянных р и М), и
существуют проекторы Р+, ~ 0(0> такие что
*,(')«=М')*('), (РаЮКЛ* При (Т=+, -f 0.
Пусть, наконец, (1 — Ро(0) |к«г(*(0»_ изоморфизм R(Q(y(t)))
на N(Po(t))t для которого
l!zII//(<||(l-Po(0)Q(y(0)zlK/(||z|lt г£2.
Докажите, что уравнение z-+-Bz = Л*((/(/), 0)z обладает на R
экспоненциальной дихотомией с показателем р и
коэффициентом К2М. Проекторы дихотомии могут быть представлены в виде
$(0-1Р±(')б(0,где Q{t) = {l-Po{t))Q{y(t)).
Быть может, будет полезным рассмотреть сначала случай,
когда М — периодическая орбита, 1—простой мультипликатор,
а остальная часть спектра отображения Пуанкаре расположена
вне единичного круга. См. также пример 1 из следующего
параграфа.
Упражнение 3. В теореме 9.2.2 предположение о плотности
0(Л*) нужно только для того, чтобы обеспечить включение
Р(Р*)с= D(A*). Фактически D(A*) всегда плотно в *-слабой
топологии. Используя компактность М, докажите, что можно
выбрать проектор Р с R(P)czD(A) и R{P*)cz D(A*)y даже если
D(A*) не плотно.
9.3. ПРИМЕРЫ
ПРИМЕР 1, Пусть А — секториальный оператор в X с
компактной резольвентой, 0^а<1, U — открытое множество в Ха и
/: U-+X — функция класса Сг (соотв. С[^> ), г^1.
Предположим, что существует непостоянное периодическое решение
u(t)^U уравнения
x + Ax = f(x)9
u{t -}- р)= u(t), и отображение Пуанкаре для линеаризованного
уравнения
x + Ax = f'{u{t))x
имеет простой мультипликатор 1, а остальная часть его спектра
лежит вне единичной окружности. Пусть t-*u(t)^X —
отображение класса Сг+1 (соотв. Сир); разумеется, оно принадлежит
классу Cr+JA при любом ц < 1.
Введем координаты (s, z) в окрестности периодической
орбиты Г:
х = u(t)+ Q{s)z (s вещественно, eeZ, l|z||<6),

334 Гл. 9. Окрестность инвариантного многообразия
где ZczX имеет коразмерность 1 и 5«—^Q(s) —периодическое
с периодом р отображение класса Сг+\ Поток вблизи
периодической орбиты имеет вид
5 = 1 -f S (5, z), z + Az = h (s, z),
где функции S и h периодичны с периодом р и гладки класса О
по s и обращаются в нуль при г = 0, а А — секториальный
оператор в Z с компактной резольвентой.
Произведя линеаризацию около z = 0, получим
i-1, i + Az = -g-(sf 0)z.
Так как s(/)=f + s(0), то г-уравнение имеет р-периодические
коэффициенты и его мультипликаторами служат числа еКр,
такие что существует нетривиальное решение z{t), для которого
функция e~%tz{t) является р-периодической. Предположим, что
существует такое решение z(t), ограниченное при — оо < t < оо,
т. е. |^|=1, и что s(0) = 0 (для простоты). Тогда существует
решение x(t) уравнения х-\-Ах = f (u(t))x, такое что
x(t)—Q(t)z(t)eTU(t)Tt
т. е. для некоторой скалярной функции \\(t)
x(t)=Q{t)z(t)+t\(t)u'(t).
Далее, существует постоянная с, такая что функция x(t)— cu'(t)
либо тождественно равна нулю, либо неограничена при ^->+оо
или t-*-—оо. Следовательно, r\(t) = c и z(t)=0 при всех t.
Таким образом, линеаризованное ^-уравнение не имеет
мультипликаторов на единичной окружности и, следовательно, обладает
экспоненциальной дихотомией на R. (Фактически те же
рассуждения показывают, что мультипликаторы уравнения z~\-Az —
hz(tjO)z совпадают с отличными от 1 мультипликаторами
уравнения х + Ах = f'(u(t))x.) Даже если А не имеет компактной
резольвенты, экспоненциальная дихотомия все еще имеет место
(см. упр. 2 §9.2).
Если все отличные от 1 мультипликаторы линеаризованного
х-уравнения лежат внутри единичного круга, то, как следует
из теоремы 9.1.1, решение x = u{t) орбитально-асимптотически-
устойчиво с асимптотической фазой, если же имеется хоть один
мультипликатор, по модулю больший единицы, то оно орби-
тально-неустойчиво. Конечно, это было доказано раньше при
более слабых предположениях, но введение координатной
системы дает нам возможность исследовать возмущения системы
единым образом.
Пусть теперь / принадлежит классу СиР> и — классу СиР, а
F: R X U -*■ X ограничено, локально-гёльдерово по t и принад-

9.3, Примеры
335
лежит классу Сир по х. Уравнение
x + Ax = f{x)+F(t,x)
принимает вид
s = l +g(s,z,t)t z + A(s)z = hi(s, z, t),
где A(s) = A—(dh/dz)(s,Q) и отображения s*—>A(s)t g, h\
периодичны с периодом р, причем g = О, если 2 = 0 и F = 0, и
Ai(s, z, 0 = O(IUHa)» если ^ = 0- Если отображение /«—>/7(^, л:)
равномерно-почти-периодично, то и отображения t*—>g, h\ рав-
номерно-почти-периодичны с тем же самым частотным модулем.
Если отображения t>—>F(t,u(s)), Fx(t,u(s)) интегрально-малы
равномерно по s, то существует инвариантное многообразие
z = a(s, t), или, в исходных переменных,
х = u(s)+ Q(s)a(s, t).
Оно р-периодично по s, а если отображение t\—>F(t,x) раьно-
мерно-почти-периодично, то и равномерно-почти-периодично по
t с частотным модулем, содержащимся в модуле F, и а,
da/ds~>0 при ¢-^0 равномерно по 5 и /; заметим, что
(F{t, u(s))t Fx(t, u(s)))dt
<<7 при |*! —t2 К 1.
Если F не зависит от t (частотный модуль ={0}), то g тоже не
зависит от t и х = u(s) + Q(s)cr(s)— единственная
периодическая орбита возмущенного уравнения вблизи Г; она имеет те же
свойства устойчивости, что и Г. Ее период равен решению TF
системы
s{TP)=p, s = l + j(s,o(s)), s(0) = 0.
Если F периодично по t с периодом 7(>0), то частотный модуль
имеет вид {пТ: п = 0, 4=1, ±2, ...} и а также Г-периодично по
t. Можно отождествить временные срезы инвариантного
многообразия при £ = 0 и t = T, получив тем самым двумерный тор.
Поток на этом торе задается уравнением
* = 1 + г(М(МЬ0.
и функция в правой части р-периодична по s, Г-периодична по t
и как функция от s принадлежит классу С[{ Такая степень
гладкости достаточна для применимости теоремы Данжуа и
других результатов о потоках на торе (см. [37, 89]).
ПРИМЕР 2. Пусть X, А и f удовлетворяют условиям примера 1,
но существует (k-\- 1)-параметрическое семейство периодических
решений
*(0/= w (©(&)/ + ф, Ь\

336 Гл. 9. Окрестность инвариантного многообразия
(— оо <ф < оо, 6 & RA, |6|< 1) уравнения
где *ф+1, 6)= u(s, 6), ©(б) > 0, (s, 6)^u(s, 6), g>(6) —
функции класса Сг+* и
ди ди ди
ds ' дб, ' * • • »1ST
линейно-независимы для каждой пары (s,6)eRXB здесь
5= {6e=R*: |6|<1}. Тогда
есть компактное (й+1)-мерное инвариантное многообразие
класса Сг+! с краем, по существу равное S1 X В. Так как мно-
о о
гообразие S1 X В (где В — внутренность В) имеет тривиальное
нормальное расслоение, можно построить координатную систему
x = u(s> 6) + Q(s, 6)z, где z^Z, подпространству коразмерности
о
k + 1 в X, и поток вблизи М («»Af без края) принимает в этих
координатах вид
i-=©(6)+S(s, 6, г),
b***B(sf 6, 2),
г = Az « A (s, 6, я),
где S, В, h имеют период 1 по 5 и обращаются в 0 при z = О
о
(поскольку поток в М имеет вид s = ©(6), 6 = 0, 2 = 0). Чтобы
избежать осложнений вблизи края многообразия М, можно
выбрать гладкую функцию ¢(6), такую что ¢(6)=1 при |6|^
1—б < 1, ¢(6) = 0 при |6|^ 1 — 6/2, и заменить В в
уравнениях выше на ¢(6)5(5, 6, г). Это не скажется на решениях,
которые остаются в круге |6|*^ 1—5.
Для линеаризованного уравнения
x + Ax = f'{u(tu(b)t + y, 6))а:,
где ф и 6 — постоянные, 1 является мультипликатором кратности
по меньшей мере &+ 1, так как
ди ту ди , , да да п ^ t ^ и\
ТГ "-дьГ + *~дГ-дьГ 0</<*>
удовлетворяют этому уравнению. Будем предполагать, что
кратность мультипликатора 1 в точности равна k-j- 1 и на единичной
окружности не существует других мультипликаторов. Тогда, как
и ранее, уравнение
z + 4z = -g-(s, 6, 0)г (6 = 0, i —©(&))

9,3. Примеры
337
обладает экспоненциальной дихотомией на R. Ввиду теоремы
7.6.11 можно считать, что показатель и коэффициент дихотомии
не зависят от s(0) и 6, во всяком случае при \Ь\ ^ 1 —8/2.
Если все отличные от 1 мультипликаторы лежат внутри еди-
о
ничного круга, то М асимптотически-устойчиво с
асимптотической фазой. Точнее, если x{t)—решение, для которого норма
IU(0) — «(ф, Ь)\\а достаточно мала при некотором ф ^ R и
некотором Ь из интервала \Ь\^ 1—26, то существуют ф*,
близкое к ф, и Ь*9 близкое к b (| Ь* j < 1 — 6), такие что
\\x{t)—u((o(b*)t + q>*9 Ь*)\\а^0
экспоненциально при ?->+оо. Решение x(t) остается в круге
\Ь\ < 1 —Ь при всех / > 0, так что ^(6)= 1, и наше измененное
уравнение оказывается эквивалентным исходному уравнению.
Этот результат (являющийся обобщением результата Хейла —
Стоукса [44]) был первоначально доказан Аликакосом [107]
более прямым путем; он был применен к системе уравнений
Вольтерры — Лотки с диффузией для динамики популяции
хищник— жертва (см. упр. 1).
ПРИМЕР 3. Пусть Хи Х2 — банаховы пространства, А\ — секто-
риальный оператор в X/ с компактной резольвентой (/= 1, 2),
0<а<1 и fj\X?-+ Х; — функции класса С\ Предположим,
что уравнения
х/ + Л/х/= //(*/) (/=1, 2)
имеют периодическую орбиту xj = Uj(t) класса Cr+1 с периодом
р/, для которой 1 является простым мультипликатором, а
других мультипликаторов на единичной окружности нет.
Пусть отображение F: R X X? X X* -*■ Х{ X Х2 локально-гёль-
дерово по t и гладко класса Сг по {хи *2) в некоторой
окрестности подмножества
М= {{U\(S\), u2(s2))\— оо <sb s2<oo}
в ЯТХЯ?- Будем предполагать, что для F = col(F\y /72)
и»
(F, FXlt FXl)(t, «,(*)■ u3{st))dt\
при \t\ — ^1^ 1 и произвольных Si, s2. Для малого q
рассмотрим возмущенную систему
*i + i4i*i —MxO + FiP, хи х2),
x2 + A2x2 = f2{x2) + F2(tt хи х2)
вблизи М. Так как М — двумерный тор, можно ввести новые
переменные
*/ = «/(«/)+Q/($/)*/ (/=1, 2),
<Я

338 Гл. 9. Окрестность инвариантного многообразия
в которых возмущенная система примет вид
5y=l + S/(sb s2% zu z2i t),
Zj — AiZj = hj(su s2, ги z2i t)
Здесь Q/, Sj и hj имеют период p\ no sx и период p<i по s2, причем
Sj = 0, hj = 0 при Z\ = 0, г2 = 0 и F = 0. При F = 0 уравнения
разделяются и не зависят от / (функции S/ и /гу- для каждого /
зависят только от sj и 2/), и линеаризованная система
Z/ + i4/2/==-g^(S,f s2, 0, 0, t0)Zj
с коэффициентами, зависящими лишь от sy- = / + const,
обладает экспоненциальной дихотомией на R.
Пусть, например, /\ не зависит от £ и принадлежит классу
Clip вблизи Af. При достаточно малых q по теореме ЭЛЛ
существует единственное инвариантное многообразие MF
возмущенной системы вблизи М. Если каждое из решений иь w2 op-
битально-устойчиво, то MF асимптотически-устойчиво с
асимптотической фазой; в противном случае MF неустойчиво. В любом
случае MF есть С£, -многообразие, и поток в MF задается
векторным полем класса ClLip без стационарных точек на нашем
двумерном торе.
ПРИМЕР 4. Пусть А — секториальный оператор в X с
компактной резольвентой, 0^а<1, U — открытое множество в Ха,
f: Ry^U-^X — локально-гёльдерова функция,
равномерно-почти-периодическая по t и равномерно принадлежащая классу
С (или Сир 0 по х, г > 2. Рассмотрим уравнение
х + гАх = ef(t, х)
с малым е > 0. Положим
т т
f (х) = lim 4- S f ('• *) dt> ?' W = Hm 4- S fx V, x) dt.
Пусть u(x) — непостоянное р-периодическое решение класса
Cr+1 усредненного уравнения
Jg- + Ax = J{x).
Предположим, что для линеаризованного уравнения 1 является
простым мультипликатором, а других мультипликаторов на
единичной окружности нет. Введем новые переменные
*™"M+Q.(*)*.

9.3. Примеры
339
где отображение si—>Q{s) периодично с периодом р. Тогда
поток примет вид
i-e(l+S(f, s, 2)),
z — eAz = Eh(tt s, 2),
где S и h имеют нулевое среднее по / при 2 = 0, р-периодичны
по 5 и равномерно-почти-периодичны по t. Далее, если
т
tio (s) = lim 4- J h* V> s> °) dt>
T -> oo ' 0
то уравнение dz/dx~\-Az = Ло (s) 2 (s = т + const) обладает
экспоненциальной дихотомией на R.
Пусть т = е/, Л (s) = Л — Ло (5). Тогда уравнения примут вид
■£--'+*(*•■■)•
При 2 = 0 функции S, ft и кг{%/г> s, 0) — fto (s) интегрально-малы
при малых е равномерно по s. Следовательно, по теореме 9.1.1,
при малых е > 0 существует инвариантное многообразие вида
2 = а8(т/е, s), или, в исходных переменных
Х = u{s)+Q(s)oB{t, s)=Ve{tt S),
где отображение si—>v&(tt s) периодично с периодом р* При
8^0 +
oB(t, s)->0 и {doe/ds){t, s)->0
равномерно по t, s. Поток на инвариантном многообразии имеет
вид
s = e(l+S(*, s, oz(tf s)))f
так что получаемые решения x(t) являются малыми
возмущениями медленно меняющейся функции «($(/)), s = e + o(e).
Инвариантное многообразие обладает теми же свойствами
устойчивости, что и решение u(t) усредненного уравнения. Если
отображение t*-^»f{t, х) периодично, то то же самое верно и
для S, А и а; таким образом, перед нами снова поток на торе;
нужная гладкость имеется, если (/, х)\—>/(/, х) — отображение
класса CuP, a u(i)\ R-+X—класса Сцр.
Упражнение 1. Пусть Q — ограниченное гладкое связное
открытое множество в Нп и а, b, vj, V2 — положительные постоян-

340 Гл. 9. Окрестность инвариантного многообразия
ные. Рассмотрим систему Вольтерры — Лотки с диффузией
й, = vi A«t + щ(а — н2), «8 = v2 Aw2 + и2 {щ -6) в Q,
Пространство неотрицательных функций из Wl>p{Q, R2)
положительно-инвариантно. Наша система имеет инвариантное
многообразие— двумерное пространство постоянных функций (не
зависящих от xgQ); поток в нем задается уравнениями
(*) u\ = tii{a — w2), й2 = и2(и\ — b).
Аликакос [107] доказал, что любое решение системы
Вольтерры— Лотки с гладким положительным начальным условием
должно иметь своим ш-предельным множеством некоторое
положительное решение ОДУ (*). Он показал, далее, что решение
описывается асимптотической фазой, если предельное решение
не есть стационарная точка щ = b, u2 = а. Введите координаты
вблизи указанного двумерного инвариантного многообразия в
окрестности рассматриваемой стационарной точки (пример 2
здесь неприменим!) и докажите, что в этой окрестности имеет
место равномерная асимптотическая устойчивость с
асимптотической фазой.

ГЛАВА 10
ДВА ПРИМЕРА
10.1. СЕЛЕКЦИОННО-МИГРАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ
В ПОПУЛЯЦИОННОЙ ГЕНЕТИКЕ
Модельная система, описывающая изменение частоты гена и
в популяции при совместном воздействии отбора и миграции,
имеет вид
-^- = &и + Xs(x)f{u) (JC6Q,(> 0)э
(*)х ди л -^
-_ = 0 на oQ
dv
с заданным начальным условием 0 ^ и(х, 0)<; 1 (#^Q). Здесь
Q — ограниченное открытое связное множество в Rn с
^-границей (для простоты будем считать, что n<;3); ^ —
положительная постоянная, по существу равная отношению интенсивности
отбора к скорости миграции; s(x) — локальное относительное
селективное преимущество (или недостаток, если s(x)<0) гена
в состоянии хей, s^L°°(Q); f: [0, 1]->■ R — функция класса
С* с /(0) = 0 = /(1), f(u) > 0 при 0 < и < 1, /'(О) > 0, П1)< 0.
В генетических задачах
f(u) = u(l-u)[hu + {l-h)(l-u)]t
где h — постоянная, 0<ft<l. Ниже мы предполагаем, что
Г (и) < 0 при 0 < и < 1, т. е. 1/3 < А< 2/3. Эта модель была
введена Фишером и изучалась затем Флемингом [118], статья
которого и вызвала к жизни настоящее исследование.
Используя принцип максимума, легко показать, что 0 ^
и(х, t) <; 1 при ^O.xeQ, если это верно в начальный момент
времени, так что наши уравнения определяют динамическую
систему в множестве
X ={и <= Н*{Q) \0 *£ и(х)*£ I п. в. в Q};
фактически мы имеем дело с градиентным потоком (см. § 5.3).
Таким образом, свойства устойчивости решений будут
определяться стационарными решениями в X. В случае f"{u)<Qt
0 < и < 1, мы получаем, по существу, полное описание свойств
устойчивости для любого % > 0.

342
Гл. 10. Два примера
Существенную роль в рассуждениях играет величина
s s=s j s {х) dx
— усредненная селективная ценность. Если 5 < 0, то при малых
% (быстрая миграция) любое решение и в X (кроме и е= 1)
стремится к 0 при f-^+oo; если s(x) > 0 на множестве
положительной меры, то при больших X (медленная миграция) любое
решение и в X (кроме и = 0 или и^ 1) стремится при /->+оо
к единственной стационарной точке фх, 0<фх(х)< 1. При
некоторых слабых предположениях фх стремится при Я-^+оо к
характеристической функции множества {хей: s(x)>0}
(упр. 3). При 5>0 справедлив аналогичный результат с
заменой и на 1 — и. Случай s = О рассмотрен в упражнении 2.
Будем называть решения и = О, и = 1 тривиальными
стационарными решениями. Введем множество
£ь = {ф€=Х П Я2(Й)|Лф + ^/(ф) = 0 в О, -|j- = 0 надй}.
Лемма 10.1.1. Если s=#=0, то £х = {0, 1} при достаточно малых
К > 0, т. е. нетривиальных стационарных решений не
существует.
Доказательство. Пусть ф — нетривиальное стационарное
решение и ф—его пространственнее среднее. Тогда 0 <ф < 1 и
Ф = ф + ф, где
$фЖс = 0, Дф = -^(ф + Ф),-^=° на dQ-
Если
Ы(ф + ф)^ = 0,
то рассматриваемая задача Неймана однозначно разрешима для
ф, таких что ]\\>dx=0 и при некоторой постоянной C=C(Q)
< оо выполняется оценка
11Фкг<сВД(Ф + Ф)1и2.
Следовательно, для малых % мы имеем ||ф1к2 ^ CiXf (ф) с
некоторой постоянной С\у так что выполняется неравенство
\s{x)dx\f№~\\s{x)(f®)-fto + *))dx
Q Q
<С2Х/(ф)э
дающее положительную нижнюю грань для К

10. L Селекционно-миграционная модель
343
Следующий результат принадлежит Флемингу [118].
Лемма 10.1.2. Пусть 5 < 0, но s(x)>0 на множестве
положительной меры. Положим
infHlVtpNxif (0) $s(x)cp2=lL
Тогда 0 < Хо < оо и
(i) при 0 <С X <С Хо нулевое решение
асимптотически-устойчиво;
(И) при X > Х0 нулевое решение неустойчиво по линейному
приближению и существует г(Х)> 0, для которого любое
решение «бХ уравнения (*)х, такое что н|*=о#0, имеет
supu(x, t)^t(X) при всех больших t\
Q
(iii) при любом X > 0 решение и s= 1 неустойчиво по
линейному приближению, а любое решение и^Х уравнения (*)х,
такое что u\t=o¥* 1, имеет
iniu{x, ft< 1—г(Х)
при всех больших t.
Доказательство. Существует функция (реЯ1 (Q), такая что
ПО) js(*)<P2=lf S|V9i2dJC = X0
Q Q
(это — упражнение на слабую сходимость; используя тот факт,
что 5=И=0, нужно проследить за средними значениями
приближений), а значит,
Дф + X0sf' (0) ф = 0 в Q, <*p/dv = 0 на 3Q.
Следовательно, при X > Хо
\ (АФ + Xsf (0) Ф) Ф dx = (X - Я,0) f (0) > 0.
Но
max (f (- | V912 + %f' (0) s92) 19 e= tf1 (Q), J 92 = 1 j
есть наибольшее собственное значение оператора AN + Xf (0) sf
так что при X > Хо это собственное значение положительно и
нулевое решение неустойчиво по линейному приближению.
Пусть £ = £(Х)—наибольшее собственное значение. Тогда
(упр. 1) существует функция -ф > 0 из Hl{Q)y такая что
Дф+Х,вП0)ф = &ф в Q, d#?v = 0 на <Эй, Jx|)2=l.

344
Гл. 10. Два примера
Если J sa|32 ^ 0, то
Q Q
Если I si|)2 > 0, то по определению Х0
&
Q Q
так что
Q
Таким образом, если 0 < X < Х0у то % < О и нулевое решение
асимптотически-устойчиво, если же X > Я0, то оно неустойчиво.
Решение и = 1 неустойчиво при всех X > О, поскольку
Пусть теперь Л, > XQt так что £ > 0, и ф — указанное выше
положительное собственное значение. Положим
где м удовлетворяет уравнению (*)*, O^u^l, а Ф 0. Ясно,
что у(0)>0. Если е = е(Х)>0 достаточно мало и при
некотором t ^ 0
sup и (х, t) < 2е,
то du/d* ^ (1/2)5^ > 0, так что для любой ненулевой
стационарной точки ф мы имеем sup ф ^ 2е. Поскольку ш-предельное
множество решения и представляет собой связное множество
ненулевых стационарных точек, то
sup и (я, t)^t для всех достаточно больших t.
х
Вблизи и = 1 рассуждения аналогичны.
Замечание. Из приведенного выше доказательства следует, что
если s ^ 0 почти везде в Q, то и = 0 асимптотически-устойчиво
при всех X > 0 (в этом случае Хо = +оо).
Лемма 10.1.3. Если § < 0, s(x)>0 на множестве
положительной меры и /" (0)=^0, то единственная нетривиальная стацио-

10.1. Селекционно-миграционная модель 345
нарная точка (г|\ к) вблизи (0, ко) лежит на С^кривой вида
^ = еф + 0(е2), к = ко + гк{ + о{г)
при малых е > 0, где
Ф > о, дФ + hsf (0) Ф = о, -^=она аа, %г (О) < о.
Если f"{0) < 0, то к\ > 0 и имеет место ветвление вправо. Если
/"(и) = 6um + о(ит) при и-* 0 +
(Ь < 0, /л ^ 0), то опять-таки имеет место ветвление вправо, но
кривая имеет вид
l = X0 + ет+ % + о(ет+ 1), х, > 0.
Доказательство. Это устанавливается стандартными
бифуркационными рассуждениями, если заметить, что нуль есть простое
собственное значение оператора Д# + kosf (0) с собственной
функцией ф (см. упр. 1), ибо, в силу леммы 10.1.2, нуль —
наибольшее собственное значение.
Лемма 10.1.4. Пусть q^L°°{Q),
riti
Аи + qu = 0 в Q, -g— = 0 на дЯ, и ^ 0 п. в. в Q.
Если « Ф 0, то и(х) ^ е > 0 на Q при некотором е > 0.
Доказательство. Выберем Л>0 так, чтобы k + q(x)^\ почти
везде. Тогда
{к — А)и = (k + q)u^$ и 5* 0 в Й.
Если N%—функция Неймана для оператора к — Д в й, то по
принципу максимума N^x, у) > 0 при хфу, х, j/аЙ, и если
и(х)Ф 0, то
и(*)=*$ЛГх(х, y)(k + q(y))u(y)dy>0.
п
Лемма 10.1.5. Пусть s е L°°(Q), s # 0, X > 0 и /: [0, 1] -^R —
функция класса С2 с /(0) = /(1) = 0, у которой производная
«к->f'(u) строго убывает при 0 < и < 1. Тогда любое
нетривиальное стационарное решение уравнения (*)*, является простым,
т. е. линеаризованное вблизи него уравнение не имеет нулевого
собственного значения.
Доказательство. Пусть ф — нетривиальное стационарное
решение уравнения (#)х. Применяя лемму 10.1.4 с <? = Яя/(ф)/ф,
заключаем, что ф(*) > 0 на Й, а при q = —ksf(q))/(\ — ф)
получаем, что 1 — ф(х)> 0 на Й. Таким образом, /(ф) > 0 на Я.
13 Д. Хенри

346 Гл. 10. Два примера
Пусть Дф + Л,5/'(ф)1|> = О в Q, д^/дчфО на 6Q. Нужно
доказать, что if = 0. Положим 0 = ф//(ф). Тогда
А9 + 2 V6 • VФ/' (Ф)// (Ф) + G/" (Ф) | VФ |7/ (Ф) = 0,
ae/^v = o на ад.
Коэффициент при Э не превосходит нуля; следовательно, по
принципу максимума, функция 9 принимает наибольшее
значение на границе. Если бы 6 Ф const, то это максимальное
значение достигалось бы в точке, где dO/dv > 0. Следовательно, 0
постоянна. Если бы 0 Ф 0 (т. е. г|)#0), то мы имели бы
/"(ф)Уф = 0 в Q, так что Г(ф) = const в Q, откуда ф = const и
%,sf(cp)=~0, в противоречие с нашими предположениями.
Теорема 10.1.6. Пусть Q, s и f удовлетворяют условиям,
сформулированным при постановке задачи (*)х, и пусть J s (х) dx < 0,
функция u-mf"{u) для некоторого ал ^ 0 имеет конечный
ненулевой предел при w->0+, а функция wh->f(«) строго убывает
(например, f"{u)<. 0 при 0 ^ и < 1). Определим Ко так же, как
в лемме 10.1.2 (если s(x)^.0 почти везде, то положим Х0 =
+ оо).
и=1
0<и<1
Рис. 23.
Для любого К > Ко существует единственное нетривиальное
стационарное решение фх уравнения (*)*., удовлетворяющее
условию 0<фь(х)<1 на Q. Оно асимптотически-устойчиво.
При 0 < К ^ Ко нетривиальных стационарных решений не
существует.
Если и — произвольное решение уравнения (*)ъ такое что
О ^ и ^ 1, и Ф 0, и ф 1, то при /->4-о°
(О, если 0 < К < Х0,
1фх(*), если K>K,t
равномерно по х (рис. 23).
Доказательство. Пусть N^ — число нетривиальных стационарных
точек уравнения (*)х. Покажем, что Nx — О при 0 < К ^ Х0,
Л^х == 1 при А, > ^о. Поскольку мы имеем дело с градиентным
потоком, утверждаемые результаты об асимптотическом поведе-
* I

10.1. Селекционно-миграционная модель
347
ши следуют из леммы 10.1.2. В силу леммы 10.1.5 и теоремы
) неявной функции, Л/а конечно и локально-постоянно при
\,фХ0, X > 0, так что оно постоянно на интервалах 0 < X < Х0
\ Xq < X < °°. Согласно лемме 10.1.1, N\ = 0 при малых Я > 0,
з значит, и при всех Я из (0, ?*0). Ввиду леммы 10.1.5 и ком-
тактности (в Я1 (Q)) множества всех возможных стационарных
точек, Nk, тоже = 0, а из леммы 10.1.3 вытекает, что Л/'х = 1,
*сли X— Х0 > 0 мало, а значит, и при всех X > А,0-
Замечание. Если
/(и) = а(1 —ы)[Аи + (1—А)(1—и)],
где Л чуть больше 2/3, то /"(0) > 0, и кривая стационарных
точек дает ветвь, идущую сначала влево и лишь потом
поворачивающую направо.
Упражнение 1. Пусть q е L°°(Q). Тогда число
IX = inf/J (| Уф|2 + qtf2)dx\jVdx = lj
является первым собственным значением оператора —Длг + д:
Аф + (ц — ? (*)) Ф = 0 в Q,-|j- = 0 на dQy
и притом просты^ собственным значением с собственной
функцией ф(х)>0 в Q. Указание. Если ф минимизирует указанную
квадратичную форму, то то же самое верно^и для |ф|, т. е.
можно предполагать ф ^ 0, так что ф > 0 в Q по лемме 10.1.4.
Учитывая это, покажите, что если А^г|? + (|я — q)ty — 0, то
0-\|V*|» + ^-|i)^-j<p*|V(*/9)lJ.
Упр а жнение 2. Пусть 5=7^=0, s=^s{x)dx = 0 и f"(u)<0
при 0<w< 1. Если X > 0, то тривиальные решения
неустойчивы по линейному приближению 1118], так что число
тривиальных стационарных точек постоянно при всех X > 0.
Докажите, что при всех X > 0 существует точно одна
нетривиальная стационарная точка. Для этого покажите, что при малых
Х>0 существует точно одна стационарная точка фх, 0<<фх<1,
и что фх(х)-^с при Х-э-0+, где 0< с < 1, /'(с) = 0. Указание.
Представьте стационарное состояние в виде суммы его среднего
значения и отклонения от среднего и выразите это отклонение
через X и среднее значение.
Упражнение 3. Пусть s е L°° (Q), s (х)ф 0 п. в. и множество
р = [х: s(x) > 0} имеет конечную мощность, так что существует

348
Гл. 10. Два примера
функция ф е Я1 (R"), такая что г|) = 1 на Р и 0^ф<1 п. в.
на Rn\P. Пусть, далее, f (0) = /(1) = 0, f{u) > 0 при 0 < и < 1
и (рь минимизирует функционал
Qk (ф) = J (-у I ^ф I2 - ^ (*) ^ (*)) rf*.
где
f(<P) = Sf(*)<fc (0<Ф<1)
Наконец, пусть %Р = 1 на Р, Хр =0 на Q\P. Докажите, что
Фя_>Хр по мере при ^,-^+°° и, следовательно, Фх~^Хр в Lq(Q)
при любом q <Z оо.
Указание. Покажите, что для ш = л/к
-YQi№m)~* -F {l)\ s{x) dx при ^->оо
1
Qk №т) >-^Qb Ы > -F 0) S *(*) <*х,
так что
J | s (jc) (F (Хя) — ^ЫЛ^х-^О при Я,-*оо.
Заметим, что V\|) = 0 п. в. в Р.
10.2. ЗАДАЧА ИЗ ТЕОРИИ ГОРЕНИЯ
В § 5.1 и 6.1 мы изучали систему
~p=DAn-enf(T)BQ, ■— = 0 на dQ,
-~^AT + qnf(T) в Q, Г=1 на dQ,
где fi — ограниченная гладкая область в R3, /(Г) = ехр(—Я/Г),
D, #, Я, е — положительные постоянные, е мало. Если ft ^ 0,
Т ^ 0 в начальный момент времени, то это остается верным и во
все последующие моменты и наша система определяет
динамическую систему в пространстве пар неотрицательных функций
п, ГеЯ^Й), таких что Т = 1 на dQ. Для любого такого
решения мы имеем (ft, Т)-+(0У 1) при ?-*оо, но сходимость
медленная, порядка 0(ехр(—ef{\)t)). В § 6.1 для исследования
решений на интервале 0 ^ t ^ 0(1/г) использовались инвариантные
многообразия, а здесь мы применим другой подход и при
довольно слабых предположениях докажем справедливость
«гипотезы псевдоустойчивых состояний».

10,2. Задача из теории горения
849
Пусть
<Ф>=ЧОГ$Ф(*)<**
Q
обозначает пространственное среднее. Запишем /г = Яо + Яь где
«o(0 = <rt(*> ОХ так что
пх (х, t) dx = 0.
Если %о (соотв. К\) — первое положительное собственное
значение задачи Дирихле (соотв. задачи Неймана) в Q, то (см. § 6.1)
По прошествии интервала времени порядка In (е-1 |j Vп (0) Ц^,)
всё последующее время будет справедливо равенство ||fli (*) 11/л =
= 0(e). Для простоты предположим, что || пх (t) \\i2 = О (е)
равномерно при t ^ 0. Тогда
Ao(*) = --e<ftf(T)><Of
Ав (0 = -^0^)(/(^)) +О (с1).
Пусть Х(х, t) = qn(x, t). Тогда для некоторой постоянной k
IIM-, <)-<*(•■ т)>Ь1(о)<Ле(1+|<-т|)
при всех tt х ^ 0. Фактически мы будем изучать 7-уравнение с
коэффициентом qn, замененным на любую такую медленно
меняющуюся, почти постоянную функцию к, иногда предполагая
к тому же, что функция i*—><>-(•, /)> строго убывает. Решение
Т задачи
-%j- = tiT + k(x,t)f(T)9 7 = 1 на №
мы будем сравнивать с решениями S задачи
(»)й _g_ = AS + ,if(S), 5=1на5й
для подходящих постоянных \i. Заметим, что (*)ц—
градиентный поток, и его стационарные точки будут играть решающую
роль.
Теорема 10.2.1. Пусть ц-о = (К(-, 0)>. Предположим, что
существует содержащий \iq компактный интервал Ус: R, такой что для
любого [л ^/ уравнение (*)ц имеет стационарную точку фц с
Дя + иГ(фЦ) < 0 и отображение ць-^cp^e/f^Q) непрерывно.
Пусть решение S° уравнения (*)^> равное Т при * = 0,
удовлетворяет условию
5°(*)-*Фк при *-** +оо.

350
Гл. 10. Два примера
Тогда при достаточно малых е > 0
115° (') - Т (t) ||*. — О (еР) при 0 < < < *„
1П0-ф<л(.. n>ll*' = o(eln-^ ПРИ *>'«
равномерно по /, пока <М'»0) остается в /. Здесь р —
положительная постоянная и tB = 0(1п(1/е)), так что можно ожидать,
что <Х(*, /)> остается в У в течение интервала времени 0(1/е)э
достаточно большого по сравнению с te.
Замечание 1. Это — так называемая гипотеза псевдоустойчивых
состояний, согласно которой после начального переходного
периода Т остается близким к устойчивой медленно меняющейся
стационарной точке q>&(.. о>- По поводу более общего варианта
этой гипотезы см. упражнение 1.
Замечание 2. Если все стационарные точки уравнения (*)ц0
гиперболичны (см. § 5.3), то имеется открытое плотное множество
начальных значений 5(0), которые дают решения S(t),
сходящиеся к устойчивой стационарной точке при f-*+oo. Можно
показать, что при заданном |ы > 0 для большинства областей Q
(в смысле категорий Бэра) все стационарные точки уравнения
(*)д гиперболичны. Поэтому хотя предположения теоремы и
трудно проверить в конкретном случае, но, вообще говоря, они
должны очень часто выполняться.
Так как отображение сдвига на 1 компактно, для любого
замкнутого ограниченного множества начальных значений S(0)
из области притяжения фц0 «достаточная малость» тех е > 0,
при которых справедливы заключения теоремы, равномерна на
этом множестве.
Доказательство. Так как Ад + jiof (flW < 0, найдутся
положительные постоянные С и Р, такие что
Пусть 6 = Г —5°, так что 9 = 0 на dQ и
-g-^ADe + (*,(., о — ц0)/(Г) + jx0(/(s° + в) — /(S-)>t
6 = 0 при * = 0.
Существуют постоянные С\ и М (зависящие лишь от Q, Н и poj,
для которых
te(*)ll/*'<<V' sup №(., s) —|Хой»<еЛС1еЛГ(1 + 0
10, <i

10.2. Задача из теории горения
351
Определим h равенством е ехр ((р + Щ Q = 1. Тогда при 0 <
lT{t)-S*{t)y**=o(fln-L)9
||ГЙ)-Фдв||«—0(ePln4-).
где р = р/(М + р)>0.
В силу теоремы о неявной функции и компактности /
отображение цн->Ф|* дифференцируемо на /, и для некоторой
постоянной у > О
—Л^еэДя + цПФиХ—Y
на /. Существует постоянная С2, такая что
II е ^ v\\H^C2e ||vj//i^C2f е ||v||i,
при * > О, |ы е У, v^Hl (Q). Далее,
li!|f(S + e)-f(S)-/f(S)0||£l<Ca||e&.
при всех 5, 6 из Я1 (Q-) и |i из /; здесь используется соболевское
вложение Я1(й)сЬ4(й).
Если ji = <?i(-, т)> лежит в / и 9 = Г— фм таково, что
IIв(т)||я» ^ г0 (значение г о будет уточнено ниже), то
-^- + ^8 = (^(-, *) — |Хо) f (Г) + |х (f (Г) — f (Ф|£) — Г (ф14)в)
при t > т, так что
1|е(0||я.<с2в^(^т)це(т)«я1
.+ Са J е~у {t~s) (t - s)-"2 {fee (1 + s - т) + C21|9 (s) ft.} rfs.
t
Пусть
8r0C32maxK e"vs(p-s)"1/2 d5[ = 1.
Положим
oo
C3 = 4C2k j s-l/2e-y$ dst I = k/2C2Cl
о
Тогда при t^x и e(l + /— т)^/ справедлива оценка
1!0(0||лг-<2С2в^('""х)||в(т)||^. + еСз(1 + * —т).
Это неравенство, несомненно, выполнено при малых t — т > О,
и если [т, t] — наибольший интервал, на котором оно выпол-

352
Гл. 10. Два примера
няется, то, выбирая постоянные так, чтобы оно было строгим
в момент времени tt можно показать, что t — т+ 1 = //е.
(Соответствующие оценки являются/довольно грубыми и используют
неравенство (а + б)2 ^ 2(а2 + Ь2).)
Выберем /е так, чтобы у (te — /E) = ln(l/e). Тогда снова /е =
0(1п(1/8)) и (при малых е)
1^(У>-ф<Ч'Э>1ив0(е1п-г)'
1|в(д||я. = 0(е1п4-).
Пусть
1П^-ф<Мт)>||я»<Ве1п1/е.
Выберем L так, чтобы 2С2ехр(—yL)=\/2. Тогда при малых
е>0
\\Т (т + 1)-Ф<Мх + л)>\\н>< 4" Вг1п± + гСл{1 + L)<Beln -L.
Таким образом,
IIГ (0 — Ф<л <о> |л ■ = О (е In -I-)
равномерно при t^ t&i пока Ск{-> 0) остается в /.
Замечание. Рассуждая более аккуратно, можно улучшить оценку
до 0(e).
Упражнение 1. Пусть А — секториальный оператор в Ху
0^а<1, U cz RX^a — открытое множество, (Л,
d)—метрическое пространство и (/ХЛэ(/,хД)ь->[(^Д)еХ
— ограниченная функция, локально-гёльдерова по U
равномерно-непрерывно-дифференцируемая по х и равномерно-гёльдеро-
ва (с показателем 9, 0< 0 ^ 1) по К. Предположим, что при
каждом IgA существует решение £>%(t) уравнения
ix + i4bt = f(t. U. X) (*>0),
удовлетворяющее условию (t, ^(/))е[/, причем отоображение
ki—>l\{t) локально-гёльдерово (ниже предполагается некоторая
равномерность этой гёльдеровости), и эволюционные оператбры
T\(t> s) Аля уравнения
l + Ai = fx(t,h(t)t №
удовлетворяют оценке
|Гх(*. s)ll / a,<Me~*{t-s) (*>s>0).

10.2. Задача из теории горения
353
Определим / > 0 равенством 2Мехр(—р//2)= 1. Докажите, что
для любого С > О существуют положительные постоянные Го>
Коео, такие что если к: К+->Л удовлетворяет оценке
II Бх (о С) - & (г) (0 !1а < Cd (X (0; Я. (т))° (0 < f - т < О
и
d(fc(0, М^)Кв(И|'-*|) при всех f, т^О
и некотором е, 0 < е ^ е0 и х есть решение уравнения
x + Ax = f{tt ху X(t)) (t>0)t
такое что
1 * (0) - 6х (о)(0) |« < г0|
то
II х (/) - h «) (t) \\а < 2Ме-*"21| * (0) - & (о) (0) ||а + К0г*
при всех t^zO, пока (/, #(/)) остается в U. Аналогичное
заключение справедливо и тогда, когда х удовлетворяет неравенству
||* + Л*-/(^хД(0)||<*1ев,
пока (t, x(t)) остается в U.
Далее мы изучим поведение решений в случае, когда
стационарная точка фд теряет устойчивость.
Теорема 10.2.2. Пусть функция t\—><М'> 0> строго убывает и
9ix — стационарное решение уравнения (*)ц, непрерывно
зависящее от [л при [i^\i\ (близких к щ), причем
I &D + ц/' (фц) < 0 ПрИ \l > |li.
Пусть, далее, ф^, — изолированное стационарное решение
уравнения (*)ц, и при малых \х — (ii < 0 у этого уравнения нет
стационарных решений, близких к ф^,. Тогда существует
непостоянное решение S{(t) уравнения (*)й1 при —оо < t < оо, такое что
S1 (*)-"*-Фт при £-*■—оо.
Оно единственно с точностью до фазового сдвига.
Предположим, что
ЗЧГ)-*** при /-> + оо,
где фц, — стационарное решение уравнения (*)ц,, такое что
До + ^ПФтХО,
Для ц, близких к ць по теореме о неявной функции, вблизи %,
существуют устойчивые стационарные решения г|)ц уравнения
(*)ц. Пусть б > 0 мало и [У —малая /^-окрестность замыкания
множества {Sl{t): — оо < t < оо} (рис. 24). Тогда при
достаточно малых е > 0, если точка «Ц-, 0). Г(0) попадает в
([ii —б, и-i + 6)Х ^/, находясь на расстоянии 0(е1п(1/е)) от

354 Гл. 10. Два примера
(\х{ + Ь9 ф^ + б), то она остается в (\х\ — б, м-1 + ^)Х£Д пока не
подойдет к (pi! —6, if^-б) на расстояние 0(е 1п(1/е)), а затем
покидает его, и дальше
1Г(0-Фл(..«>1я-=»о(е1п4-).
пока ф<ад> остается асимптотически-устойчивой стационарной
точкой (применима предыдущая теорема).
Замечание. Предполагаемое поведение срр, обычно возникает
благодаря слиянию седловых точек для фд при |a->M,i +, а это,
s
и{
Ft Но
Рис. 24.
^ ^ ^
♦я, *м
И» Mi И* Hi }t<Ki
Рис. 25. График функционала Qp,.
очевидно, происходит, когда Q — шар (см. ниже).
Стационарные точки уравнения (*)р, являются критическими точками
функционала
QAS)=\{±\vS\^lxF(S)}dxt
где
F(s)=-Jf(a)da,
1
определенного на неотрицательных функциях S^Hl(Q)t
удовлетворяющих условию S = 1 на dQ. Предполагаемое поведение
вблизи фц» условно показано на рис. 25 (могут существовать
и другие критические точки, не изображенные на рисунке).
Конечно, эти картинки предшествовали теореме и породили ее.

10.2. Задача из теории горения
355
Доказательство. Положим
—Лц = AD + nf (фц) (ц ^ щ).
При \х > ju,i имеем Лд > 0, и по теореме о неявной функции
нуль является собственным значением оператора Л^,.
Следовательно, нуль — первое собственное значение оператора ЛЙ1,
простое и имеющее собственную функцию v:
A^v^Q, ьфЪ в Q(y = 0 на dQ), jt?2=l.
Применив теорему 6.2.1 к системе
-**-=AS + nf(S), S|aa=l, -|г = °
в стационарной точке 5 = ф|111 jx = ,ub получим локальное
центральное многообразие вида
S = A(o, |а) = ф^ + ае + 0(а2 + |ц —|it|)
при |о| <:Ги ||i—М-Н^во, где
o=\v{h{et \i) — ущ) dx.
Поток на центральном многообразии имеет вид а = g(cr, ц),
где g(o, \i\)= 0(а2), g(o, (Ai)^O при малых a =^ О (так как
стационарная точка фЦ1 изолированна) и g(o, |i)=£0 при |о|
<г0 и — 60< fx — |ii < 0. Можно считать, что g(o, р,) >0 при
[я < \i\ (в противном случае заменим v, о на —у, —а и
изменим знак g). Тогда я (о, h<i) > 0 при малых оФО.
Если видоизменить уравнение вне малой окрестности точки
Фи, так же, как при доказательстве теоремы 6.2.1, то к
инвариантному многообразию видоизмененного уравнения можно
будет применить следствие 6.1.5. Ограничив внимание
окрестностью точки Фщ, будем иметь дело с исходным уравнением
(*)Д1. Поэтому можно заключить следующее:
Если S — решение уравнения (*V,, причем ||S (0) — ф^, |[Я1 < г0,
то существует решение o(t) уравнения e=g(o, [i{)t такое что,
пока || S (0 — фй1 ||я» остается < г0,
\\S(t)-h(o(t), ^)!i//.<C5^v/||5(0)-A(a#(0), Ц1)||я.,
где
a*(0) = Ji4S(0)-<|Wrf*f

356
Гл. 10. Два примера
а Сб^ 1, у и г0 — положительные постоянные. Можно выбрать
г0 столь малым, чтобы
-J-^IHa-o'KIAta, (ii)-A(a', ^|/л <2|М*. |a-о'|
при —Го ^ а, а' sg г0.
Пусть ai(f)— решение уравнения o—g(o, щ) на (—оо, 0]
с ^(0) = ^/41^^1 и S'(£)— решение уравнения (*)ц, на
(—оо, оо), удовлетворяющее условию
S\{t) = h{oi{t)fVLX) при t^O.
Заметим, что
IS1 if) - Фц11|*. < 21 о||я., а, (0 < ^ го ПРИ ' < °
и S1 (*)-*■ фц, при <->—оо. По предположению S1 (*)-*-ih*i при
f-^-f-00» где %ц асимптотически-устойчиво по линейному
приближению. Техническое ядро доказательства содержится в
следующей лемме, которую мы докажем позднее.
Лемма 10.2.3. Обозначим через Г — замыкание в Hl(Q)
множества {Sl(t) | — оо < t < оо}. Множество Г компактно и
асимптотически-устойчиво относительно уравнения (*)ц,.
Теперь воспользуемся тем фактом, что обратная теорема
устойчивости по Ляпунову (теорема 4.2.1) применима к
асимптотически-устойчивым компактным множествам, а не только к
точкам (доказательство по существу такое же). Следовательно,
существует вещественнозначная функция V, определенная в
некоторой Я^окрестности Г, такая что
|K(S)-K(5)|<C7||S-S||№{Q)i
V = 0 на Г,
K(S)>a(dIst(S, Г))
для всех S, 5, лежащих в этой окрестности и принимающих
значение 1 на dQt и некоторой непрерывной строго возрастающей
функции а(-) с а(0)= 0. Кроме того,
P(S)<-V(S),
где производная вычисляется вдоль решения уравнения {*)цг.
Пусть I > 0 столь мало, что приведенные выше свойства
функции V выполняются на множестве
{S<=Hl(Q)\S=l на аО, V(S)<21}
и Фм-i» %ai являются единственными стационарными точками
уравнения (*)т в этой окрестности. Если S удовлетворяет (*)ц,

10.2. Задача из теории горения
357
при t ^ т, S = Т при / = ти
14'. О —Hi 1кз<5 при 0<*-т<1п2,
то на этом интервале
||S (О-Г (*)]*■< Саб.
Пусть б < б/ = //2С7С8 и У(Г(т) X /. Тогда
V {Т (*)) <;V(S (*)) + C7\\S (t) - T (t) «я.
< e~ {t - X)V (T (x)) + C7C86 < ^ /
при 0<f —Ts^l-n2 и К(Г(т + 1п2))^ /. Таким образом,
V{T(t))^3//2 при <^ти К(Г(/))</в некоторой точке
каждого интервала длины In2, пока ||М'> ^) — м-i !Ua остается
меньшим б/. Если
KM-,^)-1111^6//2101^,
то это будет верно для временных интервалов длины 0(б//е).
Пусть ^2==^1 — 6//2|Q|1/2. Если 5 — решение уравнения
(*)Ц2 с начальным значением K(S)^ /, то в силу рассуждений,
проведенных выше для Т (с X, замененным на \x2)t V(S(t))^Sl/2
при всех t ^ 0. Существует 6 > О, играющее роль г0 из
доказательства теоремы 10.2.1; грубо говоря, это радиус области
притяжения стационарной точки г|)ц,. Будем считать, что I выбрано
меньшим 6/4, так что 3//2 < 6/2 и S(t) в конце концов
попадает в шар радиуса 6/2 с центром %i2 и остается в нем. (При
малых 1> 0 точка ^ — единственная стационарная точка
для (*)|щ2 в множестве {V ^3//2}.) Далее, ввиду компактности
отображения сдвига на 1 для уравнения (*)ц, S(t) попадает в
указанный шар радиуса 6/2 не позднее некоторого момента
времени т = т(6, /), не зависящего от 5.
Если <Ц-,/2)> = Цг, V{T((2))^1 и 5 — решение уравнения
(*)иг при t ^ fo, равное Т при t = t2i то
\\T(t2 + x{b, 0)-*i,||if.<3b/4
(если е мало) и, кроме того,
IIТ (*3) — Ф<м.. *.» hl <:b при tz = t2 + x(bt I).
Это — ситуация, рассмотренная в теореме 10.2.1. и так как в
течение последующего интервала времени длины 0(//е) мы
остаемся в множестве <M-,f))>H-i—б» решение покидает
указанный шар, находясь на расстоянии 0(е1п(1/е)) от (ри — 6,
'Фи.-в).
Итак, для завершения доказательства теоремы остается
только доказать устойчивость множества Г.
Доказательство леммы 10.2.3. Нам надо показать, что любое
решение S уравнения (*)ц, с начальным значением в некоторой

35S
Гл. 10. Два примера
окрестности множества Г стремится к Г при f-^+оо и на этой
окрестности сходимость равномерна. Если [ S (0) — ср,^ ||яi <! г0, то
существует соответствующее решение o(t) уравнения о =
g{o,ix\). Рассмотрим сначала случай, когда a(0)s^0, затем
обратимся к случаю, когда | 5(0) — фц, Цл^Го. а под конец
разберем случай а(0)>0 (в котором дело сводится ко второму
случаю).
Пусть
р = г0/9С5 (1 + 21| v И, || S (0) - Ф^ ||//. < р
и для соответствующего o{t) мы имеем a(0)^:0. Так как
о= g(o, (ii)> 0 при а ф 0, то a{t) возрастает до нуля при
*->-f-°°, и
|о*(0)| =
Jo(S(0) —Ф|11)
|S(0)-A(a*(0), ц.В#/.<Р + 2Цо;р.
4-1»11к(0)|<|А(а(0)>^)-ф|Х1||^.<р + р(1+21оВСв,
так что
|| А (а(0, И1)-ф|х.1я«<2Во||а(0|<8рСв(1 + 2[о||)
при всех t ^ 0, откуда
|5(0-Ф^|//.<9рС5(1 + 2||У|!) = г0
при всех t ^ 0. Пусть а—решение уравнения d=g{oy щ)
с а(0) = —г0/2, так что a (i) ^ a(/) ^ 0. Тогда
dist(S(f), Г) ^^(О-Фд,!^
<CB(l + 2|!o[)pe-v' + 2|o|||a(f)|^0
при ^->+оо равномерно для указанных начальных условий
fl|S(0)-Vlll!|№<p, a(0)<0).
Если Г2 > 0 достаточно мало (и Гг ^ го/2) и 5 — любое
решение уравнения (*)|а,, такое что
Я S (0) — S1 (?)||//.< г2 при некотором Г>0,
то
|| S (0 - S1 <f + ?) У,,, < C»e-yt || S (0) - S{ (f) ||я,
при всех t ^ 0. Действительно, такая оценка легко
доказывается, когда t настолько велико, что Sx(t) близко к ifo*,, так
что и S, и S1 экспоненциально стремятся к фД1, а ввиду липши-
цевой зависимости от начальных условий можно выбрать г2 > О
так, чтобы это было верно при всех t ^ 0. Таким образом.
dist (S (0), Г) = 6 < г2> || S (0) - Фй1 |!„. > г0
=*dist(S(/), Г)<6С9е~т* при всех *>0.

10.2. Задача из теории горения
359
Мы берем тот же показатель у, что и в оценке для
центрального многообразия, или, точнее, заменяем оба меньшим
показателем.
Пусть, наконец, при некотором Z < О
||S (0) - S1 (?) ||//. = 6 < r3, r3 = г2/С5 (1 + 2 J] v М,
причем соответствующее о(0)> 0. Тогда
la*(0)-o,(?)i
jo(S(0)-S'(f))
<fl.
||S (0)-А (о* (0), ^,,^6(1+2 И),
пока [jS (^) — фМ1 |'//1 остается меньше г0. Рассмотрим первое
U > 0, ДЛЯ КОТОрОГО ||S (f j) — фд, |)/> = г0 и
||S(M-A(a(M, цО i| < 6C5^-Vf J (1 + 2 !j и |!) < r2.
Тогда при t ^ t\ (с учетом предыдущего случая) имеем
dist (S (*), Г) < CBe~v (f - tl)bC5e~vtl (1 + 2|; v ||)
< 6C5C9 (1 +21| у ||) e~yt
и 6 = iS(0)-Sl(F)||Wi<r5.
В совокупности полученные утверждения доказывают
асимптотическую устойчивость множества Г.
Вопросы стационарности для уравнения (*)^ широко
изучались для случая, когда Q — шар. Если \х ^ 0, то любое
стационарное решение S принимает значения ^1 вй (принцип
максимума), и недавний результат Гидаса, Ни и Ниренберга
показывает, что если Й — шар, то всякое такое решение радиально.
Партер, М. Стейн и П. Стейн (S. Parter, SIAM J. Appl. Math. 26
(1974), 687—716; S. Parter, M. L. Stein, P. R. Stein, Stud. Appl.
Math., 54 (1975),293—314) исследовали вопросы стационарности
для радиальных решений и установили, что в определенных
диапазонах параметров существует по меньшей мере три
стационарных решения, а в некоторых других — ровно одно. Проведенные
обширные вычисления наводят на мысль, что не может быть
более трех стационарных решений, и если это действительно так,
то картинки для Qp,, приведенные на рис. 25, описывают
поведение решения для шара.
Упражнение 2. Для любого \i ^ 0 существует стационарное
решение уравнения (*)щ, минимизирующее Qu. Покажите, что
при достаточно малых \х (а именно при р < (1/4)Х0Не2, где Хо —
первое собственное значение оператора —Ad в Q) существует
точно одно стационарное решение.
Упражнение 3. Пусть F(x, «)>>0 при «^0 и отображение
u*—>F{xt и) аналитично при u ^ 0. Рассмотрим вопрос о ста-

360
Гл. 10. Два примера
ционарности решений для задачи
Au + \xF{x, и)=0 в Q, и = 0 на dQ.
Пусть существует последовательность \хт ->- Цо > 0 (\im ф ц0),
такая что соответствующая последовательность решений ит
удовлетворяет условиям:
wm>0 в Q,
A*+ |i«-£-(•, «„(.))< 0,
ит-~*и0 равномерно в Q.
Покажите, что все стационарные решения (|i, и), близкие к
(ро, ао), лежат на аналитической кривой
ц = |х0 + ц,ер + О (е* + !), u = u0 + et? + О (е2)
(е мало по модулю), где р ^ 1, |*i =й 0, причем если р > 1, то
v > 0 в Q. Что следует отсюда для уравнения (*) п? Исследуйте
устойчивость решений в случае чётного и нечётного р.

ПРИМЕЧАНИЯ
К § 1.3. Термин «секториальный оператор» понимается здесь
в более общем смысле,чем у Като [56]. Стюарт (Н. В. Stewart,
Trans. Amer. Math. Soc. 199 (1974), 141—162) рассматривал
аналитические полугруппы, используя равномерную норму.
К § 1.4. Теория дробных степеней операторов обстоятельно
изложена в [63] и [103]; при этом операторы не предполагаются
секториальными. Связь с теорией интерполяции в гильбертовых
пространствах обсуждается в [71] (п.м., в частности,
изложенные в этой книге результаты Гривара)
К § 3.2. Более общие результаты имеются в [57], [63], [93].
К § 3.3. Более общие результаты имеются в [93].
К § 3.4. Аналитическая зависимость решений от параметров
и начальных данных доказана для несколько более общих
линейных уравнений (см., например, [57]).
К § 4.1, 4.3. Многие из этих понятий применимы к более
общим динамическим системам; см., например, [38]. Введением
в современные исследования для случая неавтономных ОДУ
может служить работа ТЗелла [89].
К § 4.2. Здесь изложение следует работе Есидзавы [135].
К § 5.1. Устойчивость стационарных решений уравнений
Навье — Стокса была доказана Проди [80]. Позднее Сэттингер
получил ряд результатов об устойчивости и неустойчивости для
слабых (по Хопфу) решений уравнений Навье —Стокса, а
некоторые результаты для сильных решений были получены Кирх-
гэснером и Кильхёфером [59]. Теоремы о неустойчивости 5.1.5
и 5.1.6 навеяны теоремой 2.3 из гл. 7 книги Далецкого и Крейна
[115]; я благодарен Э. Поульсену, обратившему мое внимание
на этот результат.
К § 5.2. Устойчивые многообразия изучались также Крэндал-
лом и Рабиновичем и в более общем контексте Хиршем, Пью
И Шубом.

362
Примечания
К § 5.3. Работа Чэфи и Инфанте [И] была выполнена
в 1971 г., наше изложение отличается от их изложения
некоторыми деталями. Ряд результатов о градиентных потоках
опубликован в сборнике „Nonlinear Diflusion'1 (Pitman, 1976).
К § 6.1. Доказательство существования следует
образцу,данному в [37, Ch. 7]. Другой подход к устойчивым многообразиям
предложен О. Б. Лыковой [72], но в её дифференциальные
уравнения входят лишь ограниченные операторы. Гладкость
инвариантных многообразий может быть доказана в духе работ [58],
[66], [104] при естественных предположениях. Отметим пример
из работы [66], показывающий, что инвариантное многообразие,
вообще говоря, не будет аналитическим, если не потребовать
выполнения некоторых глобальных оценок.
К §6.2. Следующий пример ван Стрейна (van Strein, Math.Z.
166 (1979), 143—145) показывает, что критическое или
центральное многообразие может не принадлежать классу С°°.
Рассмотрим уравнения
х = —х + у2, у = —yz — у*, 2 = 0.
Центральное многообразие класса C2N имеет вид
N т
х = о(у, z)= £ 2m-\m-\)\yimln (l~2jz) + o{\yf)
(при у->0) для г < 1/2Л/. При г < 0 отображение у*—>о{у,г)
аналитично вблизи у =0. При г = 0 эта функция принадлежит
классу С°°, но не аналитична, а при г > 1/2N она не является
2А/ раз дифференцируемой. Я благодарен Джеку Карру,
указавшему мне на этот пример.
К § 6.3. Результаты такого рода для ОДУ восходят к
Пуанкаре. Основная причина связи между устойчивостью и
геометрией бифуркаций заключается, по-видимому, в гомотопической
инвариантности топологической степени; эта связь была
обнаружена Гаваласом [33] и Сэттиигером [86]; правда, в работе Сэт-
тингера имеется (исправимая) ошибка—спутаны два понятия
простоты собственного значения. На этом пути могут быть
получены многие результаты § 8.5 (в предположении компактности
отображения Пуанкаре, т. е. компактности резольвенты
оператора Л). В своем изложении мы частично следуем [41].
К § 6.4. Э. Хопф доказал этот результат для аналитических
ОДУ. Его исследования развивали многие авторы, в том числе
Чэфи [12], изучавший этот вопрос для функциональных
дифференциальных уравнений с запаздыванием. Хейл [41]
распространил теорию на функционально-дифференциальные уравнения
нейтрального типа, и мы в основном .следуем этой его работе.

Примечания
363
Марсден и Мак-Кракен описали различные подходы к проблеме
в своей статье в сборнике „The Hopf Bifurcation and its
Applications" (Springer, Appl. Math. Sci. 19, 1976).
К § 7.2. Изложение следует работе Стоукса [98],
посвященной рассмотрению запаздывающих
функционально-дифференциальных уравнений. Кроме того, это должно быть как-то
связано с результатами С. Г. Крейна [63] по эволюции
подпространств.
К § 7.3. Имеются более общие результаты об обратной
единственности; см. [29], [30], [64].
К § 7.5. Результаты об «усреднении» можно получать и с
помощью теоремы 3.4.8, но прямое доказательство теоремы 7.5.2
дает более точные результаты.
К § 7.6. Хорошим руководством по дихотомиям в теории ОДУ
является книга Коппела [113]. Многие результаты о дихотомии
были распространены Далецким и М. Г. Крейном [115] на
случай ограниченных операторов в бесконечномерных пространствах
(в основном гильбертовых). Коффмэн и Шеффер (С. V. Coffman,
J. J. Schaffer, Math. Ann. 172 (1967), 139—166) рассмотрели
дихотомии для разностных уравнений (в банаховых пространствах)
на полупрямой, делая упор на связях между дихотомией и
допустимостью, изученных Массерой и Шеффером [128] для ОДУ.
Доказательство варианта теоремы 7.6.5 для непрерывного
времени, возможно, позволило бы упростить этот параграф.
Теоремы 7.6.12 и 7.6.14, по-видимому, являются новыми даже для
ОДУ.
К § 8.2. Орбитальная устойчивость была доказана Иооссом
[52]. Результаты орбитальной неустойчивости редки даже для
случая ОДУ.
К § 8Л, 8.5. Применение отображения Пуанкаре для ОДУ
описано в [68]. Красносельский [61] изучал некоторые задачи
для УЧП, применяя теорию топологической степени к
отображению Пуанкаре.
К § 8.5. В последнее время активно занимаются изучением
так называемых «типичных» свойств отображений;
соответствующие результаты должны иметь приложения к изучаемым в
данной книге вопросам; см. [9], [66], [76], [85]. О применимости
этих результатов к параболическим уравнениям, в частности к
уравнениям Навье — Стокса, подозревали многие (см. [66],
[85]), но, по-видимому, ранее она не была доказана.
К § 9.1. Теорема 9.1.1 навеяна одним результатом Коппела и
Палмера [114], но является более общей даже для случая
ОДУ; эта общность связана с использованием теоремы 7.6.12,

364
Примечания
К § 9.2. Описанная система координат обобщает
конструкцию Урабэ и Хейла (см. [37]). Замена переменных в
уравнении с неограниченными операторами весьма сложна, но эти
сложности, наверное, излишни. Тут должен существовать более
лёгкий путь. Предположения о стабильной тривиальности можно
было бы избежать, развив теорию параболических уравнений на
бесконечномерных многообразиях, а не в банаховых
пространствах. Цена может представиться слишком высокой для одного
такого применения, но это дало бы возможность естественным
образом изучать нелинейные краевые условия.
К § 10.1, Мы формулируем задачу, следуя Флемингу [118].
К § 10.2. Наш «малый параметр» е не совсем тот же, что
у Сэттингера [132], и сравнение его результатов с нашими
требует больших усилий, чем мы могли потратить здесь. Партер,
Стейн и Стейн (S. Parter, М. L. Stein, P. R, Stein, Studies in
Appl, Math. 54 (1975), 293—314) предприняли более подробное
изучение вопросов стационарности. Хотя их результаты и не
доказывают, что существует не более трёх стационарных точек, но
полученные оценки таковы, что это представляется очень
правдоподобным.

ЛИТЕРАТУРА
[1] S. Agmon, Lectures on Elliptic Boundary Value Problems, D. Van Nos-
trand, Princeton, New Jersey, 1965.
[2] Агмон С, Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических
уравнений вблизи границы. — М.: ИЛ, 1962.
[3] L. Amerio, G. Prouse, Almost-periodic Functions and Functional
Equations, Van Nostrand Reinhold, New York, 1971.
[4] R. Aris On stability criteria of chemical reaction engineering. Chem. Eng.
Science 24 (1969), 149—169.
[5] J. F. G. Auchmuty, Lyapunov methods and equations of parabolic type,
in: Nonlinear Problems in the Physical Sciences and Biology, Springer,
Lect. Notes 322, 1973.
[6] N. T. J. Bailey, Mathematical Theory of Epidemics, Hafner Publ., New
York, 1957.
[7] R. Baxter, H. Eiserihe, A. Stokes, A pictorial study of an invariant torus
in phase space of four dimensions, in: Ordinary Differential Equations,
L. Weiss ed., Academic Press, New York, 1972.
[8] Вере Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными.—
М.: Мир, 1966.
[9] P. Brunovskjjy One parameter families of diffeomorphisms, in: Symp. on
Differential Equations, Warwick 1968/69, Springer Lect. Notes 206,
1971,
[10] H. S. Carslaw, J. C. Jaeger, Conduction of Heat in Solids, 2nd Ed.,
Oxford U. Press, London, 1959.
[11] L Cesari, Asymptotic Behavior and Stability Problems in Ordinary
Differential Equations, 3rd ed., Springer, New York, 1971.
[12] N. Chafee, The bifurcation of one or more closed orbits from an
equilibrium point, J. Diff. Eq. 4 (1968), 661—679.
[13] N. Chafee, A stability analysis for a semilinear parabolic partial
differential equation, J. Diff. Eq. 15 (1974), 522—540.
[14] N. Chafee, E. Infante, A bifurcation problem for a nonlinear parabolic
equations, J. Appl. Anal. 4 (1974), 17—37.
[15] D. S. Cohen, Multiple solutions of nonlinear partial differential equations,
in: Nonlinear Problems in the Physical Sciences and Biology, Springer
Lect. Notes 322, 1973. '
[16] H. Cohen, Nonlinear diffusion problems, in: Studies in Applied Math.,
A. H. Taub, ed., Math. Assoc. Amer., Prentice-Hall, 1971.
[17] K. S. Cole, Ions, Membranes and Impulses, University California Press
Berkeley, 1968.
[18] W. A. Coppel, Stability and Asymptotic Behavior of Differential
Equations, D. С Heath, Boston, 1965.
[19] Af. G. Crandall, P. Rabinowitz, Bifurcation from simple eigenvalues
J. Functional Anal. 8 (1971), 321—340.
Г20] J. Crow, M. Kimura, An Introduction to Population Genetics Theory,
Harper and Row, 1970.

366
Литература
[211 У. Dieudonne, Sur le polygone de Newton, Arch. Math. 2 (1949—50),
29-55.
22] Дьёдонне Ж. Основы современного анализа. — М.: Мир, 1964.
23] Данфорд Я., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. 1, —М.: ИЛ,
1962; Т. 2. —М.: Мир, 1966.
[24] Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. — М.: Физ-
матгиз, 1962.
[25] У. W. Evans, Nerve axon equations, I —III, Indiana U. Math. J. 21
(1972), 877-885; 22 (1972), 75-90, 577-593.
[26] W. Feller, The parabolic differential equation and the associated
semigroups of transformations, Ann Math. 55 (1952), 468—519.
[27] Фещенко С. Ф., Шкиль II. И., Николенко Л. Д. Асимптотические
методы в теории линейных дифференциальных уравнений. — Киев, 1966.
[28] G. Fichera, Linear Elliptic Difierential Systems, Springer Lect. Notes 8,
1965.
[29] Фридман Д. Уравнения с частными производными параболического
типа.—М.: Мир, 1968.
[30] A. Friedman, Partial Differential Equations, Holt, Rinehart and
Winston, New York, 1969.
[31] H. Fujita, On some nonexistence and nonuniqueness theorems for
nonlinear parabolic equation, in: Proc. Symp. Pure Math. V, 28, PL 1.
Nonlinear Functional Analysis, Amer. Math. Soc, Providence, R. I, 1970.
[32] H. Fujita, T. Kato, On the Navier-Stokes initial-value problem, Arch.
Rat. Mcch. Anal. 16 (1964), 269—315.
[33] G. R. Gavalas, Nonlinear Differential Equations of Chemically Reacting
Systems, Springer, New York, 1968,
[34] Рельфанд И. M. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений. —
УМН, 1959, 14, № 2, с. 87—158.
[35] Faijuiko В. /7., Крейн С. Г. Дробные степени дифференциальных
операторов и теоремы вложения: ДАН СССР, 1958, 122, № 6, с. 963—966.
36] S. Goldberg, Unbounded linear operators, McGraw-Hill, New York. 1966.
37] L K. Hale, Ordinary Differential Equations, Wiley Interscience, New
York, 1969.
[38] /. K. Hale, Dynamical systems and stability, J. Math. Anal. Appl. 26
(1969), 39—59.
[39J Кейл Дж. Теория фукционально-дифференциальных уравнений. — М.:
Мир, 1984.
[40] У. К. Hale, Critical cases for neutral functional differential equations
J. Diff. Eq. 10 (1971), 59-82.
[41] /. K. Hale, Behavior near constant solution of functional differential
equations, J. Diff. Eq. 15 (1974), 278—294.
[42] J. K- Hale, /<. R. Meyer, A class of functional equations of neutral type
Am. Math. Soc. Memoir, 76, 1967.
[43] /. K. Hale, C. Perello, The neighborhood of a singular point of functional
differential equations, Contrib. Diff. Eq. 3 (1964), 351—375.
[44] Л К. Hale, A. P. Stokes, Conditions for the stability of nonauautono-
mous differential equations, J. AAath. Anal. Appl. 3 (1961), 50—69.
[45] A. R. Hausrath, Stability in the critical case of purely imaginary: roots
for neutral functional differential equations, J. Diff. Eq. 13 (1973), 329—
357.
[46] D. L. Hetrick, Dynamics of Nuclear Reactors, Univ. Chicago Press,
Chicago, 1971.
[47] R. Hide, On planetary atmospheres and interiors, in: Mathematical
Problems in the Geophysical Sciences, 1, W. H. Reid, ed. Am. Math. Soc,
Providence R. I., 1971.
[48] £. yille, Analitic Function Theory, V. 2, Ginn and Co, Boston, 1962.
[49] Хилле Э., Филлипс P. Функциональный анализ и полугруппы. — М.:
ИЛ, 1962.

Литература
367
[50] Е. Hopff A mathematical example displaying features of turbulence,
Comm. Pure AppL Math. 1 (1948), 303—322.
[51] E. Hoppenstadt, Asymptotic series solutions of some nonlinear parabolic
equations with a small parameter, Arch. Rat. Mech. Anal. 35 (1969),
284-298.
[52] G. looss, Existence et stabilite de la solution periodique secondaire in-
tervenant dans les problemes devolution du type Navier—Stokes, Arch.
Rat. Mech. Anal., 1973.
[53] A. Jeffrey, T. Kakutani, Weak nonlinear dispersive waves, SIAM Review
14 (1972), 582-643.
[54] D. Joseph, Remarks about bifurcation and stability of quasiperiodic
solutions which bifurcate from periodic solutions of the Navier — Stokes
equation, in: Nonlinear Problems in the Physical Sciences and Biology,
Springer, Lect. Notes 322, 1973.
[55] W. E, Kastenberg, Stability analysis of nonlinear space dependent
reactor kinetics, Adv. in Nucl. Science and Tech. 5 (1969), Academic Press,
New York.
56] Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.
57] Т. Kato, Abstract evolution equations of parabolic type in Banach and
Hilbert spaces, Nagoya Math. J. 19 (1961), 93—125.
[58] A. Kelley, The stable, center-stable, center, center-unstable, unstable
manifolds, J. Diff. Eq. 3 (1967), 54G—570.
[59] K. Kirchgassner, H. Kielhbfer, Stability and bifurcation in fluid
mechanics, Rocky Mtn. Math. J. 3 (1973), 275—318.
[60] Колмогоров A. H., Петровский И. Г, Пискунов Н. С. Исследование
уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества,
и его применение к одной биологической проблеме. — Бюлл. МГУ (А),
1937, 1, № 6, с. 1—26.
[61] Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям
дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1966.
[62] Красовский И. И. Некоторые задачи теории устойчивости движения. —
М.: Физматгиз, 1959.
[63] Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом
пространстве.— М.: Физматгиз, 1967.
[64] G. Е. Ladas, V. Lakshmikantham Differential Equations in Abstract
Spaces, Academic Press, New York, 1972.
[65] Ладыженская О. Л. Математические вопросы динамики вязкой
несжимаемой жидкости. — 2-е изд. — М.: Наука, 1970.
[66] О. Е. Lanford, Bifurcation of periodic solutions into invariant tori: the
work of Ruelle and Takens, Nonlinear Problems in the Physical Sciences
and Biology, Springer, Lecture Notes, 322, 1973.
[67] G. Lassner, Ober ein Rand-Anfangswertprobtem der Magnetohydrodyna-
mik, Arch. Rat. Mech. Anal. 25 (1967), 388—405.
[68] Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. — М.г
ИЛ, 1961.
[69] D. С. Leigh, Pure swelling of channel flow of a viscoelastic
fluid-preliminary report, Jan. 1973, Dept. Eng. Mech., Univ. Kentucky, Lexington,
Ky.
[70] H. Levine, Some nonexistence and instability theorems for solutions of
formally parabolic equations, Arch. Rat. Mech. Anal. 5 (1973), 371—386.
[71] Лионе Ж.-Л., Маджснес Э. Неоднородные граничные задачи и их
приложения.—М.: Мир, 1971.
[72] Лыкова О. Б. Приниип сведения в банаховом пространстве. — Укр.
мат. ж., 1971, 23, с. 391—397.
[73] G. Malecot, The Mathematics of Heredity, W. H. Freeman, San Francisco,
1969.

368
Литература
[74] Н. P. McKean, Nagumo's equation, Adv. Math. 4 (1970), 209—223.
[75] J. В. McLeod, D. Sattinger, Loss of stability and bifurcation at a double
eigenvalue, J. Func. Anal. 14 (1973), 62-84.
76] Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. — М.: Мир, 1975.
77] F. К. Odqvist, Ober die Randwertaufgaben der Hydrodynamik zSher
Flussigkeiten, Math. Z. 32 (1930), 329—375.
[78] L. A. Peletier, Asymptotic stability of traveling waves, IUTAM Symp. on
Instability of Continuous Systems, Springer, Berlin, 1971.
[79] Плисе В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. — М.: Наука,
1964.
[80] G. Prodi, Teoremi di tipo locale per ii sistema di Navier-Stokes e stabi-
lita della soluzioni stazionarie, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 32 (J962).
[81] M. H. Protter, H. Weinberger, Maximum Principles in Differential
Equations, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1967.
[82] Рисе Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.—
2-е изд. — М.: Мир, 1979.
[83] W. van Roosbroeck, Theory of the flow of electrons and holes in
germanium and other semiconductors, Bell Syst. Tech. J. 29 (1950), 560—607.
[84] D. Ruelle, Bifurcations in the presence of a symmetry group, Arch. Rat.
Mech. Anal. 51 (1973), 136-152.
[85] D. Ruelle, F. Takens, On the nature of turbulence, Commun. Math. Phys.
20 (1971), 167—192.
[86] D. H. Sattinger, Stability of bifurcating solutions by Leray — Schauder
degree, Arch. Rat. Mech. Anal. 43 (1971), 154—166.
[87] D. H. Sattinger, Monotone methods in nonlinear elliptic and parabolic
boundary value problems, Indiana U. Math. J. 21 (1972), 979—1000.
[88] D. H. Sattinger, Topics in Stability and Bifurcation Theory, Springer,
Lect. Notes 309, 1973.
[89] G. R. Sell, Topological Dynamics and Ordinary Differential Equations,
Van Nostrand Reinhold, London, 1971.
[90] /. G. Skellam, Random dispersal in theoretical populations, Biometricka
38 (1951), 196-218.
[91] С Simader, On Dirichlet's Boundary Value Problem: An IP Theory,
Springer, Lect. Notes 268, 1972.
[92] Соболев С. JI. Некоторые применения функционального анализа в
математической физике, — Новосибирск, 1962.
[93] Соболевский П. Е. Об уравнениях "параболического типа в банаховом
пространстве.—Труды ММО, 1961, 10, с 297—350.
[94] Z). В. Spalding, The theory of flame phenomena with a chain reaction.
Phil. Trans. Roy. Soc. London A 249, (1956), 1—25.
[95] I. Stakgold, Branching of solutions of nonlinear equations, SIAM Review
13 (1971), 289—332.
[96] I. Stakgold, D. Joseph, D. Sattinger, eds., Nonlinear Problems in the
Physical Sciences and Biology, Springer, Lect. Notes 322, 1973.
[97] Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства
функций.— М.: Мир, 1973.
[98] A. Stokes, A. Floquet theory for functional differential equations, Proc.
Nat Acad. Sci. USA 48 (1962), 1330-1334.
[99] A, E. Taylor, Functional Analysis, Wiley, New York, 1961.
[100] A. Varma, N. R. Amundson, Some problems concerning the nonadiabatic
tubular reactor, Canad. J. Chem. Eng. 50 (1970), 470—485.
101] ван дер Варден Б, JI. Алгебра. —М.: Наука, 1979.
101а] ван дер Варден Б. JI, Современная алгебра, Т. 2. — М,: Гостехиздат,
1948.
[102] G. F. Webb, Existence and stability for partial functional equations, to
appear.
[103] Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.

Литература
369
Дополнительная литература
[104] R. Abraham, J. Robbin, Transversal Mappings and Flows, W. A.
Benjamin, New York, 1967.
[105] S. Agmon, Unicite et Convexite dans les Problemes Dlfferentieles, Univ.
de Montreal, 1966.
[106] F. Albrecht, If, G. Diamond, The converse Taylor theorem, Indiana Math.
J. 21 (1971), 347-350.
[107] N. Alikakos, An application of the invariance principle to
reaction-diffusion systems, J. Diff. Eq. 33 (1979), 201 225.
[108] D. G. Aronson, //. Weinberger, Nonlinear diffusion in population
genetics, in: Partial Differential Equations, ed. J. Goldstein, Springer, Lect
Notes 446, 1975.
[109] A. P. Calderon, Lebesgue spaces of differentiable functions, Proc. Symp.
Pure Math., v. 4, Am. Math. Soc, Providence, R. I., 1961.
[110] D. S. Cohen, A. Poore, Tubular chemical reactors, SI AM J. Appl. Math.
27 (1974), 416—429.
[Ill] N. Chafee, Behavior of solutions leaving the neighborhood of a saddle
point, J. Math. Anal. Appl. 58 (1977), 312-325.
[112] /0 Chang, Two problems in singular perturbations, J. Austral. Math. Soc.
10 (1969), 33—50.
[113] W. A. Coppel, Dichotomies in Stability Theory, Springer, Lect. Notes 629,
1978.
[114] W. A. Coppel, K. J. Palmer, Averaging and integral manifolds, Bull.
Austral. Math. Soc. 2 (1970), 197—222.
[115] Далецкий Ю. Л., Крейн M. Г. Устойчивость решений
дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука, 19/0.
[116] N. Fenichel, Persistence and smoothness of invariant manifolds for
flows, Indiana Math. J. 21 (1971), 193—226.
[117] P. С Fife, J. B. McLeod, The approach of solutions of nonlinear
diffusion equations to traveling front solutions, Arch. Rat. Mech. Anal. 65
(1977), 335—361.
[118] W. Fleming, A selection-migration model in population genetics, J. Math.
Biol. 2 (1975).
[119] Гохберг #. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных
несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1965.
[120] /. К. Hale, A. Stokes, Behavior of solutions near integral manifolds,
Arch. Rat. Mech. Anal. 6 (I960), 133—170.
[121] Af. Hirsch, C. Pugh, Af. Snub, Invariant Manifolds, Springer, Lect. Notes
583, 1977.
[122] Af. C. Irwin, On the smoothness of the composition map, Q. J. Math.
Oxford (2), 23 (1972), 113—133.
[123] I. Jarnik, L Kurzweil, On invariant sets of differential systems, J. Dili.
Eq. 6 (1969), 247—263.
[124] Кадец Af. И., Митягин В. С. Дополняемые подпространства в
банаховых пространствах. — УМН, 1973, US, № 6, с. 77—94.
[126] D. A. Larson, Transient bounds and time asymptotic behavior of
solutions to nonlinear equations of Fisher type, SIAM J. Appl. Math. 34
(1978), 93—103.
[126] Af. Lees, Af. H. Protter, Unique continuation for parabolic differential
equations and inequalities, Duke Math. J. 28 (1961), Ш—Ш.
[127] /. L. Lions, B. Malgrange, Sur Tunicite retrograde, Math. Scandlnavica
8 (1960), 277—286.
[128] Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и
функциональные пространства. —-М.: Мир, 1970.
[129] Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их
особенности.—М.: Мир, 1977,

370
Литература
[130] S. V. Parter, Solutions of differential equation arising in chemical
reactor processes, SI AM J. Appl. Math. 26 (1974), 686—715.
[131] D. Sattinger, On the stability of traveling waves, Adv. Math. 22 (1976),
312—355.
[132] D. Sattinger, A nonlinear parabolic system in the theory of combustion,
Q. Appl. Math. 33 (1975), 47—61.
[133] M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, V. 1,
Publish or Perish, Boston, 1970.
[134] H. Tanabe, Evolution equations of parabolic type, Proc. Japan Acad. 37
(1961), 610—613.
[135] 7\ Yoshizawa, Stability Theory by Liapunov's Second Method, Univ.
Tokyo Press, 1966.
[136] Задирака К. В. О нелокальном интегральном многообразии нерегулярно
возмущенной дифференциальной системы. — Укр. мат. ж., 1965, 17, №1,
с. 47—63.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абрахам (R Abraham) 325
Агмон (S. Agmon) 228
Аликакос (N. Aiikakos) 86, 337, 340
Амундсон (N. R Amundson) 51,95
Аронсон (D. G. Aronson) 148
Баум (Р. Ваши) 329
Биркгоф (G. D. Birkhoff) 284
Боголюбов Н. Н. 6, 318
Браудер (F. Browder) 9, 65
Бруновский (P. Brunovsky) 288
Вайнбергер (Н. Weinberger) 70, 148
ван дер Варден (В. L. van der
Waerden) 293
ваи Стрейн (van Strein) 362
Варма (A. Varma) 51, 95
Гавалас (G. R. Gavalas) 362
Гидас (Gidas) 359
Гийемин (V. Guillemin) 325
Гихман И. И. 77—78
Голубицкий (М. Golubitsky) 325
Гохберг И. Ц. 153, 265
Гривар (P. Grisvard) 361
Гронуолл (Т. Н. Gronwail) 13
Далецкий Ю. Л. 7, 361, 363
Джозеф (D. Joseph) 290, 291
Есидзава (Т. Yoshizawa) 101, 166,
361
Крэндалл (М. G. Crandall) 286, 361
Куинн (F. Quinn) 330
Курцвайль (J. Kurzweil) 301
Ладыженская О. А. 17
Ларсон (D. A. Larson) 150
Ла-Салль (J. P. LaSalle) 105
Ласснер (G. Lassner) 53
Левин (Н. Levine) 55
Лей (D. С. Leigh) 132
Лефшец (S. Lefschetz) 280
Лиз (М. Lees) 228
Лионе (J.-L. Lions) 228
Лыкова О. Б. 6, 7, 362
Лэнфорд (О. Е. Lanford) 284, 289
Ляпунов А. М, 5, 11
Мак-Дугалл (Kate MacDougall) 10
Маккин (Н. Р. МсКеап) 146
Мак-Кракен (McCracken) 363
Мак-Леод (J. В. McLeod) 148
Мальграиж (В. Malgrange) 228
Марсден (Marsden) 363
Мартин (R. Н. Martin) 9
Массера (J. L. Massera) 363
Мейер (К. R. Meyer) И
Миклавчич (М. Miklavci6) 61
Митропольский Ю. А. 6, 7
Нашименто (A. S. Nascimento) 143
Ни (Ni) 359
Ниренберг (L. Nirenberg) 359
Задирака К. В. 321
Одквист (F. К. G. Odqvist) 93
Инфанте (Е. Infante) 12, 134, 139,
362
Иосида (К. Yosida) 26
Йоосс (G. Iooss) 363
Кальдерон (А. P. Calderon) 43
Карр (J. Сагг) 362
Кастенберг (W. Е. Kastenberg) 110
Като (Т. Kato) 6, 8, 81, 216, 221,
222 265 361
Кильхёфер (Н. Kielhofer) 361
Кирхгэснер (К Kirchgassner) 361
Колмогоров А. Н. 52, 150
Коппел (W. A. Coppel) 126, 264,
298, 363
Коффмзн (С. V. Coffman) 363
Красносельский М. А, 363
Крейн М. Г. 5, 6, 153, 265, 361,363
Крейн С. Г. 6, 7, 216, 363
Палмер (К. J. Palmer) 298, 363
Партер (S. V. Parter) 359, 364
Пейксото (М. М. Peixoto) 290
Петровский И. Г. 52, 150
Пискунов Н. С. 52, 150
Поульсен (Е. Т. Poulsen) 361
Проди (G. Prodi) 361
Проттер (М. Н. Protter) 70, 228
Пуанкаре (Н. Poincare) 11, 284,
362
Пью (С. Pugh) 172, 361
Пэйн (Payne) 144
Рабинович (P. Rabinowitz) 286, 361
Роббин (J. Robbin) 325
Рюэль (D. Ruelle) 284, 289v 290
Селл (G. R. Sell) .96^111, 361
Смейл (S. Smale) 284

372
Именной указатель
Соболевский П Е. 216
Спивак (М. Sprivak) 325
Спэлдинг (D. В. Spalding) 51
Стейн И. (Е. М. Stein) 43
Стейн М. (М. L. Stein) 359, 364
Стейн П. (P. R. Stein) 359, 364
Стоукс (A. Stokes) 291, 337, 363
Стэкголд (I. Stakgold) 144, 293
Стюарт (Н. В. Stewart) 361
Сэттингер (D. Sattinger) 148, 150,
176, 196, 361, 362, 364
Такенс (F. Takens) 284, 289, 290
Танабэ (Н. Tanabe) 216
Урабэ (Urabe) 324, 364
Файф (Р. С. Fife) 148
Фикера (G. Fichera) 16
Филлипс (R. S. Phillips) 18
Фишер (Fisher) 341
Флеминг (W. Fleming) 341, 343,
364
Фридман (A. Friedman) 26, 46, 70
Фудзита (Н. Fujita) 8, 55
Хазан М. И. 7
Хайд (R. Hide) 53
Хаксли (М. N. Huxley) 146
Хаусрат (A. R. Hausrath) 189
Хейл (J. К Hale) 10, 11, 20, 105,
143, 201, 301, 324, 337, 362, 364
Хенри (D. Henry) 7, 10
Хилле (Е. НШе) 18
Хирш (М. Hirsch) 172, 361
Хоппенштадт (F. Hoppenstadt) 26,
236
Хопф (Е. Hopf) 184, 204, 361, 362
Чэфи (N. Chafee) 12, 134, 139, 201,
362
Шеффер (J. J. Schaffer) 363
Шуб (М. Shub) 172, 361
Юдович В. И. 7
Янг (L. С. Young) 12
Ярник (J. Jarnik) 301

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ *>
аналитические отображение 18
Аррениуса коэффициент 49
асимптотически-устойчивое решение
281
— точка 102
Банаха теорема о сжимающих
отображениях 20
Безиковича — Бохнера критерий 262
Бенара конвекция 53
бифуркационная диаграмма 196
Буссинеска уравнения 53
Бюргерса уравнение 151
Ъольтерры—Лотки уравнения 337, 340
Ляпунова функция 97
мультипликатор характеристический
216
Навье—Стокса уравнения 53
Нагумо уравнения 51
нетощее множество см. тощее
множество
неустойчивое многообразие 172
— множество 164
— решение 281
Ниренберга—Гальярдо неравенства
45
нормальная точка 153
генератор инфинитезимальный 28
глобально-асимптотически-устойчивое
решение 104
— точка 136
горения теория 117, 176, 348
градиентный поток 139
графика норма 37
Грина функция 252
Гронуолла неравенство 13
двойственное пространство 221
динамическая система 95
— — локальная 100
Дирихле задача 17
дифференцируемое отображение 18
диффузия 49
дихотомия дискретная 250
— экспоненциальная 245
инвариантное многообразие 160
локальное 160
— множество 105, 172
Коши задача сингулярная 129
решение 61
критическое многообразие 188
локально-инвариантное множество
172
локально-устойчивое многообразие
172
обратная теорема устойчивости по
Ляпунову 101
ОДУ 8
омега-предельное множество 105
орбита 97
— неустойчивая 97
— орбитально-устойчивая 97
— периодическая 97
—
равномерно-асимптотически-устойчивая 97
— устойчивая 97
орбитально-асимптотически-устойчи-
вое решение 273
орбитально-неустойчивое решение 273
орбитально-устойчивое решение 273
отрицательно-инвариантное
множество 172
полином однородный 17
положительно-инвариантное
множество 172
полугруппа аналитическая 28
принцип инвариантности 105
притяжение локальное 285
проектор 15
производная 18
пространство бесселевых
потенциалов 43
псевдоустойчивых состояний
гипотеза 350
Пуанкаре метод сечений 279
— отображение 216
н Слова с изменяемыми окончаниями при повторении заменяются тире,
даже если они повторяются с изменённым окончанием. На возможность
варьирования указывает курсивный шрифт окончания (например,
устойчивое).— Прим. ред.

374
Предметный указатель
равпомерно-эсимптотически-устойчи-
вое множество 164
— решение 113
равномерно-устойчивое решение 113
расслоение векторное 325
— касательное 325
— нормальное 325
— стабильно-тривиальное 327
— тривиальное 325
секториальный оператор 26
в смысле Като 27
сечений метод 279
сжатие 20
— равномерное 20
сжимающее отображение 20
сильно-неустойчивое многообразие
172
слабое решение 65
смешанная задача 17
Соболева пространство 15
-— теорема вложения 16
собственное отображение 330
сопряжённое пространство 221
спектр существенный 153
по Като 234
спектральное множество 38
стационарное решение тривиальное
342
— точка 97, 113
—■ — гиперболическая 141
субгармоническое решение 281
теорема об асимптотическом
поведении 115
неустойчивости 117
неявной функции 22
центрально-устойчивом многоб-
разии 284
тощее множество 227
Тэйлора теорема обратная 19
Уитни теорема вложения 329
усреднения метод 77
устойчивое множество 164
— относительно потока множество
164
— решение 113, 281
УЧИ 8
Фитцхью—Нагумо уравнение 145
Флоке представление 217, 219
Фреше производная 18
центральное многообразие 188
центрально-устойчивое многообразие
131
эволюционный оператор 209
экспоненциально-асимптотически-
устойчивое решение 270
со-предельное множество 105
о)ш-продолжаемость 46

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода ' 5
Предисловие 8
Глава 1. Предварительные замечания 11
1.1. Что такое геометрическая теория? 11
1.2. Основные факты и обозначения 13
1.2.1. Неравенство Гронуолла 13
1.2.2. Обозначения для линейных операторов и пространств . . 14
1.2.3. Теорема вложения Соболева 16
1.2.4. Некоторые эллиптические краевые задачи 16
1.2.5. Полиномы, производные и аналитичность . ..... 17
1.2.6. Сжимающие отображения, зависящие от параметра;
теорема о неявной функции 20
1.2.7. Указания для «кузнечиков» 22
1.3. Секториальные операторы и аналитические полугруппы ... 23
1.4. Дробные степени операторов 32
1.5. Инвариантные подпространства и экспоненциальные оценки . . 38
1.6. Один пример дробных степеней и одна теорема вложения . 40
Глава 2. Примеры нелинейных параболических уравнений в физических,^*-*^
биологических и инженерных задачах ... / 49 У
2.1. Нелинейное уравнение теплопроводности 49
2.2. Поток электронов и дырок в полупроводнике 50
2.3. Уравнения Ходжкина — Хаксли для аксонов нерва 50
2.4. Химические реакции в центрах катализа . . . 51
2.5. Популяционная генетика 51
2.6. Динамика ядерного реактора (мультигрупповые уравнения
диффузии нейтронов) 52
2.7. Уравнения Навье — Стокса и родственные уравнения .... 53
Глава 3. Существование, единственность и непрерывная зависимость от
параметров /54
3.1. Примеры и контрпримеры <>4
3.2. Линейная задача Коши 57
3.3. Локальное существование и единственность решения .... 60
3.4. Непрерывная и дифференцируемая зависимость решения от
параметров и начальных данных .73
3.5. Сглаживающее действие дифференциального уравнения .... 82
3.6. Пример: Ut = Au + f(t, х, и, grad и) 87
3.7. Пример: М/ = Ам-)^ (в R") 89
3.8. Пример: уравнения Навье — Стокса 92

376
Оглавление
Глава 4. Динамические системы и устойчивость по Ляпунову .... (95/
4.1. Динамические системы и. функции Ляпунова 95
4.2. Обратная теорема об асимптотической устойчивости . . . . 101
4.3. Принцип инвариантности 105
Глава 5. Окрестность стационарной точки Г 113
5.1. Устойчивость и неустойчивость по линейному приближению 113
5.2. Свойство седловидности 127
5.3. Задача Чэфи — Инфанте и градиентные потоки 134
5.4. Бегущие волны для параболических уравнений 144
Добавление. Существенный спектр некоторых обыкновенных
дифференциальных операторов 153
Глава 6. Инвариантные многообразия вблизи стационарной точки . . /160/
6.1. Существование и устойчивость инвариантного многообразия . . ши
6.2. Критические случаи устойчивости 186
6.3. Бифуркация и перемена характера устойчивости для
стационарных точек 194
6.4. Бифуркация периодической орбиты из стационарной точки . . 200
Глава 7. Линейные неавтономные уравнения 0*06 J
7.1. Эволюционные операторы и некоторые оценки 206
7.2. Линейные периодические системы . . 216
7.3 Сопряженная система и обратная единственность 221
7.4. Медленно меняющиеся коэффициенты 232
7.5. Быстро меняющиеся коэффициенты 237
7.6. Экспоненциальные дихотомии . Л .......... . 245
Глава 8. Окрестность периодического решения (2Ш)
8.1. Устойчивость и неустойчивость для неавтономных систем . . 26Э
8.2. Орбитальная устойчивость и неустойчивость для автономных
систем . / 272
8.3. Возмущение периодических решений 277
8.4. Отображение Пуанкаре 280
8.5. Бифуркация и перемена характера устойчивости для
периодических решений ' 284
Глава 9. Окрестность инвариантного многообразия 0*98 ,
9.1. Существование, устойчивость и гладкость инвариантных
многообразий 298
9.2. Система координат вблизи инвариантного многообразия . . . 324
9.3. Примеры .333
Глава 10. Два примера . . ♦ i 341
10.1. Селекционно-миграционная модель в популяционноЙ генетике 341
10.2. Задача из теории горения 348
Примечания 361
Литература 365
Именной указатель 371!
Предметный указатель 3731