Author: Мотыко А.С. Островский И.Д.
Tags: конструирование машгиз выкройки деталей листовые изделия листовые материалы построение разверток
Year: 1961
Text
IlilXll'Vlllli НИ
Л И 3» И В» X X.
Ш
А. С. МОТЫКО, И. Д. ОСТРОВСКИЙ
РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ЛИСТОВЫХ ИЗДЕЛИЙ
МАШГИЗ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МАШИНОСТРОИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва —1961 — Ленинград
THORNado
В книге изложены теоретические основы и производственные методы развертки
фигур сложных очертаний, а также опыт изготовления выкроек деталей из листовых
материалов без припусков. Даны простые методы построения разверток.
Книга предназначена для повышения квалификации рабочих промышленных
предприятий, учащихся ремесленных училищ, курсов мастеров и средних техниче-
ских учебных заведений.
Она содержит также полезный материал по разверткам листовых изделий для
работников конструкторских бюро, технологов и мастеров производства.
Рецензент инж. А. А, Рихтер
Редактор канд. техн, наук, доц. К- М, Хомутов
Ленинградское отделение Машгиза
Редакция литературы по технологии машиностроения
Заведующий редакцией йнж. Е. П. НАУМОВ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Любая конструкция, изготовляемая из листов, начинается с рас-
кройки заготовок из плоских листов, которые, проходя затем целый
ряд последующих технологических операций обработки, приобре-
тают нужные объемные очертания. Раскроенные заготовки должны
быть очень точными как по форме, так и по размерам, от этого зависит
не только качество изготовленной конструкции, но и объем подгоноч-
ных работ при окончательной сборке деталей. Как же обеспечить
вырезку точных заготовок из листов? Некоторые делают это «прикид-
кой на глаз», сообразно личному опыту, ориентируясь на раз-
меры, проставленные в чертежах общего вида изделий. При этом
они допускают припуски на заготовках, которые удаляются при
окончательной сборке обработанных деталей. Другие, не доверяя
своему опыту, изготовляют каркасы изделий в натуральную величину
только для того, чтобы снимать с них выкройки для резки требуемых
заготовок. Этот метод непроизводителен, так как, чем сложнее изде-
лие, тем дороже обходится стоимость каркасов.
Задача настоящей книги состоит в том, чтобы помочь работающим
научиться делать выкройки не на глаз и не по каркасам, а графически
или аналитически, иначе говоря, научиться вычерчивать требуемые
заготовки способом развертки, основанным на знании законов начер-
тательной геометрии, причем развертывать любую сложную поверх-
ность без ненужных припусков. Правильно вычерченная развертка
и есть выкройка, по которой вырезается из листового материала
требуемая заготовка. На передовых предприятиях страны изготовле-
ние выкроек централизовано и сосредоточено на отдельно выделен-
ных участках, что в значительной степени способствует совершенство-
ванию квалификации работающих и вместе с тем создает условия
для широкой механизации технологических операций изготовления
выкроек.
В первую часть книги вошел справочный материал по основам
начертательной геометрии и математики в объеме знаний средней
школы, а также формулы, таблицы и расчеты, применяемые при
работе над развертками.
Вторая часть посвящена самим разверткам, даны подробные пояс-
нения к ним, введены некоторые буквенные обозначения, которые
помогают понимать и разбираться в способах построения разверток.
Для большей наглядности и лучшего усвоения материала второй
части книги, авторами допущены на некоторых фигурах незначитель-
ные отступления от общепринятых обозначений и правил, принятых
в начертательной геометрии.
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
В тексте и на фигурах книги применены обозначения и символы,
общепринятые в учебниках и технических справочниках. Исключение
составляют обозначения, введенные авторами на развертках во второй
части книги, где истинные образующие фигур и все отрезки прямых,
по которым строятся развертки, обозначены буквами русского алфа-
вита. Ниже приводится перечень обозначений, принятых в книге.
Н — горизонтальная плоскость проекций.
V — фронтальная (вертикальная) плоскость
проекций.
W — профильная плоскость проекций.
А, В, С, D, Е — точки в пространстве.
а, &, с, d, е — проекции пространственных точек на гори-
зонтальную плоскость.
a', b', с', d', е' — проекции пространственных точек на вер-
тикальную плоскость.
a", b", с", d", е" — проекции пространственных точек на про-
фильную плоскость.
X, Y, Z — оси проекций (координат).
L — длина развернутой окружности.
Я, h — высота фигуры.
а, ₽, у - углы между плоскостями или прямыми
линиями.
DcP — средний диаметр.
R — радиус развертки, радиус описанного
круга.
г — радиус окружности.
q — радиус вписанного круга.
р — полупериметр треугольника.
<р° — центральный угол.
s — хорда.
h — стрелка.
п° — длина дуги центрального угла в Г.
п — число частей окружности.
а — большая полуось эллипса.
b — малая полуось эллипса.
I — длина эллипса.
Л, В, В, Г, Д,
В, Ж, 3, Я, К
Л,М,Н, .. . , Я — истинные длины образующих геометри-
ческих тел.
ЧАСТЬ 1
ОСНОВЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ
и
СИСТЕМА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ
Ортогональные проекции являются теоретической основой техни-
ческого черчения, при помощи которых можно задавать и определять
в данной системе координат положение любой точки тела на пло-
скости и в пространстве.
плоскостями Н, V и W. Эпюр обеспечивает точность и удобоизмеряе-
мость изображения при значительной простоте построений. При по-
строении эпюр плоскости проекций Н, V, W обычно не указываются
(фиг. 1, в).
ПРОЕКЦИЯ ПРЯМОЙ ОБЩЕГО
W ПОЛОЖЕНИЯ
2
а' а" Прямой общего положения называют та-
т | кую ПрЯМуЮ в пространстве, которая не пер-
j I пендикулярна и не параллельна ни одной из
I | плоскостей проекции. Ее проекции также не
। । перпендикулярны и не параллельны осям про-
I | екции.
х J_______О__I у На фиг. 2, а и б, и фиг. 3 даны проекции
। 7“ 1 прямой общего положения. Каждая из проек-
aL--------ций прямой меньше самого отрезка АБ, т. е.
у ab<Z АВ;
а'Ь' < АВ;
Фиг. 1. Проекции точки А в системе трех взаимно-перпендикулярных плоскостей проекций.
а"Ь"<АВ.
Пространственная система координат (фиг. 1, а) состоит из трех
взаимно-перпендикулярных осей OX, OY, OZ, полученных пересече-
нием трех взаимно-перпендикулярных плоскостей проекций Н, V,
W, Положение точки А в пространстве определяется координатами
X, У, Z, имеющими числовое значение и выражающими расстоя-
ние точки А от трех взаимно-перпендикулярных плоскостей
проекции.
Пространственное положение точки А может быть установлено
по ее проекциям: а, а', а" на плоскостях Н, V и W. Восстановив в точ-
ках а, а', а" перпендикуляры к соответствующим плоскостям проек-
ций, можно установить единственное положение точки А в простран-
стве. Возможность определения координат точки по ее проекциям ока-
зывается особенно удобным при переходе к эпюрам, т. е. к совмещен-
ному чертежу (фиг. 1, б), когда плоскости Н и W совмещаются
с плоскостью V путем развертки трехгранного угла, образуемого
Зная углы между прямой АВ и плоскостями проекций, можно
найти числовые значения проекций.
Пусть между прямой АВ и плоскостями Н, V, W углы соответ-
ственно равны а, р, у.
Тогда значения проекции будут
ab = АВ cos а,
а'Ь' = АВ cos р,
a"b" = АВ cos у.
Если проекции ab = а'Ь' = а"Ь", то прямая в пространстве АВ
образует с плоскостями проекции равные между собой углы (около
7
35°15/). При таком положении прямой АВ, каждая из ее проекций
расположена под углом 45° к соответствующим осям проек-
ции.
На фиг. 3 проекции прямой АВ даны без координатных осей.
Фиг. 2. Проекции прямой АВ в системе трех взаимно-перпендикулярных
плоскостей проекций.
Если один из концов пространственной прямой АВ совместить
с началом координат в точке О, то истинная длина прямой может
быть определена, как гипотенуза прямоугольного треугольника,
Фиг. 3. Прямоугольные проекции
прямой АВ.
Фиг. 4. Определение длины про-
странственной прямой по ее проек-
циям.
у которого катеты являются проекциями данной прямой на две
взаимно-перпендикулярные плоскости. Определение истинных
длин пространственных прямых может быть произведено графи-
чески или аналитически (фиг. 4), что иллюстрируется во II ч.
книги.
8
кривая линия
Кривые линии могут быть плоскими и пространственными. Плос-
кими называются такие, которые всеми своими точками лежат в одной
плоскости. Пространственными, или линиями двоякой кривизны, назы-
вают такие, которые не могут быть совмещены всеми своими точками
с плоскостью. Примерами плоских кривых могут быть окружность,
эллипс. Примерами пространственных кривых являются винтовые
линии.
Для определения характера (закона) плоской кривой достаточно
иметь ее проекцию на одной плоскости. Характер пространственной
Фиг. 5. Определение длины пространственной кривой.
кривой определяется только при наличии ее проекции на двух пло-
скостях (фиг. 5).
Длину пространственной кривой и некоторых плоских кривых
можно определить графически, если представить их в виде ломаных,
вписанных в кривые. В этих случаях длины кривых определяются
приближенно, но с достаточной для практики точностью, если коли-
чество отрезков, или хорд, взято таким, что длины хорд мало отли-
чаются от длины дуг, стягиваемых этими хордами.
На фиг. 5 пространственная кривая АВ представлена двумя проек-
циями ab и а'Ь'. Определим истинную длину АВ с помощью вписан-
ной ломаной.
Одну из проекций, например горизонтальную ab, делим на про-
извольное число отрезков, превращая ее в ломаную. Отрезки (хорды)
а — /. 1—2, 2—3.......5 — Ь переносим на горизонтальную прямую
Хо — Yo циркулем или линейкой. Из концов перенесенных отрезков,
обозначенных а0,10, 20, ... , 60, восстановим перпендикуляры и про-
должим их до пересечения с проектирующими, проведенными из соот-
ветствующих точек фронтальной проекции кривой АВ, как показано
на фиг. 5. Точки пересечения Л, I, II,..., В дадут искомую истинную
длину ломаной АВ. Если теперь точки A, I, II,... . В соединить
плавной кривой вместо ломаной, то практически длина построенной
кривой мало чем будет отличаться от истинной длины заданной про-
странственной кривой.
плоскость
Из стереометрии известно, что плоскость определяется следующими
элементами:
тремя точками, не лежащими на одной прямой;
прямой и точкой, лежащей вне прямой;
двумя пересекающимися прямыми;
двумя параллельными прямыми.
Плоскость поэтому может быть задана любой из комбинаций
перечисленных элементов. Плоскость может быть задана также проек-
циями любой плоской фигуры, например треугольника, круга, эл-
липса и т. д.
Положение заданной плоскости относительно плоскостей
проекций Н, V, W
Если заданная в пространстве плоскость р не перпендикулярна
ни к одной из плоскостей проекции Н, V, W, то такую плоскость назы-
вают плоскостью общего по-
ложения (фиг. 6).
Эту плоскость можно вра-
щать вокруг точек А, В, С
так, что она может стать
перпендикулярной к одной
или двум плоскостям проек-
ции.
Фиг. 6. Плоскость общего положения.
Проектирующие плоскости
Проектирующими плоско-
стями называют плоскости,
перпендикулярные только,
у к одной из плоскостей проек-
ций. Причем горизонтально-
проектирующей называют
плоскость, перпендикуляр-
ную к плоскости Н; фронтально-проектирующей называют плос-
кость, перпендикулярную к плоскости проекций V; профильно-про-
ектирующей называют плоскость, перпендикулярную к плоскости
проекций W.
ПЛОСКИЕ ФИГУРЫ И ИХ ПРОЕКЦИИ
Плоской фигурой называют такую, которая всеми своими точками
лежит в одной плоскости и ограничена каким-либо контуром, напри-
мер, треугольником, многоугольником, эллипсом. Если плоская
фигура расположена параллельно какой-либо из плоскостей проек-
ций, то она на этой плоскости проектируется без искажения, а на
двух других проекциях — в виде прямой линии. Если же плоская
фигура не параллельна ни одной из плоскостей проекций, то она на
все три плоскости проекций проектируется в искаженном виде.
Проекции круга
Окружность, расположенная параллельно плоскости V, проек-
тируется на фронтальную плоскость в неискаженном виде, а на гори-
зонтальной и профильной проек-
циях — в виде прямых линий. Если ь'
плоскость круга наклонена к плос- Л
кости проекции, то круг проекта- /\
руется в виде эллипса (фиг. 7). / i
На фиг. 7 круг, расположенный / {
в фронтально-проектирующей плос- / I
кости проектируется на горизон- / ’
тальную плоскость в виде эллипса. / |
Обычно при построении эллипса ______________________________
достаточно знать длину отрезков ab х i i °
и cd, т. е. длину большой и малой ] лЗ? [
осей эллипса. Если обозначить по- । / I \ 1
луоси эллипса: ]/ | \[
cd ab , I/ 1 V
^~а и 2 ~ь’ д—L -К
то все точки эллипса будут подчи- \ ]
йены уравнению \ /
— 1 \ I /
а2 Т ^2 “ 1 > ХИ
с
откуда . - _
J Фиг. 7. Проекции круга.
у = -^-Уа2 — х2.
Пользуясь координатной системой с началом координат в точке О,
нетрудно найти все точки эллипса, задаваясь значением
для X.
Существует много способов графического построения эллипса,
один из них приводится на фиг. 8.
Иногда эллипс заменяется овалом, способ построения которого
показан на фиг. 9.
9
5
Фиг. 8. Построение эллипса.
10
Проекции без координатных осей
В машиностроительном черчении принято располагать проекции
без координатных осей. Подразумевается при этом, что ось X про-
ходит между плоскостями Н и IF, а координатная ось Z располагается
вертикально между плоскостями V и IF.
Проекции геометрических тел
Прежде всего напомним о понятиях видимых и невидимых точек
и линий.
Для того чтобы нагляднее представить
ного тела, их изображают сплошными
и штриховыми линиями.
Если мы смотрим на предмет с какой-
либо одной стороны, то все видимые ли-
нии, лежащие на видимых плоскостях,
изображаются на чертеже сплошными ли-
ниями. Условились при этом видимые
плоскости считать непрозрачными, по-
этому все линии и плоскости, лежащие
за видимой плоскостью, принято изобра-
жать штриховыми линиями. На фиг. 10
показана трехгранная призма, у которой
грань FDAB и ребро FD невидимы, по-
этому ребро FD изображено штриховой
линией.
себе все элементы объем-
Фиг. 10. Трехгранная призма.
Фиг. И. Проекции призмы на плоскостях проекции.
Фиг. 12. Проекция призмы без коор
динатных осей.
Для построения проекций тела на плоскости необходимо выпол-
нить проектирование всех видимых линий и точек тела на данную
плоскость. Нафиг. 11 изображена
призма, которая расположена
параллельно плоскости проек-
ций.
Передняя грань призмы ABCD,
располагающаяся под углом к пло-
скостям проекций V и W проекти-
руется на плоскости V и W в ис-
каженном виде, а на плоскости
Н — в виде прямого отрезка.
Остальные грани призмы проек-
тируются на соответствующие
плоскости проекций либо без ис-
кажений, либо в виде отрезков прямых. На фиг. 12 показан чертеж
призмы без координатных осей.
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
В начертательной геометрии поверхность вращения рассматри-
вается как совокупность последовательных положений некоторой
линии, перемещающейся в пространстве и образующей своим движе-
нием некоторую поверхность. Линию, которая образует поверхность,
называют образующей или производящей. Неподвижные линии,
по которым перемещается производящая, называются направляю-
щими.
Образующая может быть прямой и кривой линией. Поверхность,
образованную прямой линией, называют линейчатой поверхностью.
Поверхность, образованную кривой линией, называют нелиней-
ной поверхностью. Примерами линейчатых поверхностей являются
цилиндр, конус, а примерами нелинейчатых поверхностей могут
быть шар, тор.
Цилиндрическая поверхность
Одна и та же поверхность может быть образована различными
образующими. На фиг. 13 боковая поверхность цилиндра может
быть образована вращением прямой линии L или кривой 714, если
их точки остаются равноудаленными от оси вращения О — О.
Поверхность цилиндра может быть образована движением круга
вдоль оси вращения О — О.
Коническая поверхность
Коническая поверхность может быть образована вращением пря-
мой L, один конец которой пересекает ось вращения О — О в точке /С,
а другой пересекает данную линию (окружность основания).
На фиг. 14 показана коническая поверхность, состоящая из двух
симметричных частей, называемых полами.
Точка К является вершиной конуса. Если полы пересечь плос-
костью, перпендикулярной к оси конуса, то линия пересечения обра-
Фиг. 13. Образование боковой
поверхности цилиндра.
Фиг. 14. Коническая поверхность.
зует основание конуса. Перпендикуляр КО, опущенный из вершины
конуса на основание, называют высотой конуса.
Поверхности шара, тора, кольца
Шаровая или сферическая поверхность может быть образована
вращением круга около его диаметра (фиг. 15). Плоскости, перпенди-
кулярные к оси вращения, пересекают поверхность шара по окруж-
Фиг. 16. Тор.
ности. Эти окружности называют параллелями; наибольшую из них
называют экватором. Плоскости, проходящие через ось вращения,
называют меридиональными, а линии пересечения поверхности шара
с плоскостями называют меридианами.
И
Если часть круга, ограниченного хордой и дугой, вращать вокруг
данной хорды, то получится поверхность тела, называемого тором
(фиг. 16).
о
Фиг. 17. Круговое кольцо.
При вращении окружности вокруг неподвижной прямой, прохо-
дящей вне этой окружности, но лежащей с ней в одной плоскости,
получим поверхность кругового кольца (фиг. 17).
РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ
Разверткой поверхности тела (или предмета) называют плоскую
фигуру, полученную совмещением всей поверхности тела (предмета)
с плоскостью. Поверхность при этом считается теоретической,
т. е. <пе имеющей толщины.
Во второй части книги все развертки даны теоретически, т. е. без
учета толщины изображаемых предметов.
Различают развертываемые и неразвертываемые поверхности.
К развертываемым относятся линейчатые поверхности — цилиндри-
ческие, конические и поверхности с ребром возврата. К неразверты-
ваемым поверхностям относятся все кривые нелинейчатые поверх-
ности и некоторые линейчатые, например, цилиндроиды, коноиды,
косая плоскость, которые не могут быть развернуты на плоскость
без разрывов или складок.
Приближенные развертки
В практической работе на производстве очень часто приходится
развертывать поверхности предметов, относящихся к категории
неразвертываемых. В этих случаях применяют принцип приближен-
ной развертки, основанный на замене кривых линий вписанными
ломаными, являющимися хордами дуг.
12
Длина хорды подбирается так, чтобы она мало отличалась от длины
стягиваемой дуги. Соединив при построении развертки граничные
точки прямых кривыми линиями, мы получим незначительную раз-
ницу между теоретическими размерами и размерами, полученнымй
при приближенной развертке, что фактически не влияет на изготов-
ление изделия. Во второй части книги способ приближенной раз-
вертки имеет довольно частое применение при построении развер-
ток различных изделий.
ВИНТОВЫЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
Винтовая линия не плоская, а пространственная линия с двоякой
кривизной, поэтому она не может быть совмещена с плоскостью всеми
своими точками, подобно эллипсу
или кругу.
Винтовую линию можно пред-
ставить как линию, образованную
равномерным движением точки
вдоль образующей прямого ци-
линдра, в то время как сама об-
разующая вращается равномерно
вокруг оси, параллельной ей.
Параметры винтовой линии
Шагом винтовой линии являет-
ся высота полного оборота цилин-
дрической винтовой линии (т. е.
высота одного витка).
Радиусом винтовой линии на-
зывают расстояние от оси цилин-
дра до его поверхности, на кото-
рой находится винтовая линия.
На фиг. 18 построена проекция
цилиндрической винтовой линии
с двумя витками.
Горизонтальная проекция ци-
линдрической винтовой линии сов-
падает с окружностью цилиндра,
так как ось цилиндра перпенди-
кулярна к плоскости Н. Фронталь-
ной проекцией цилиндрической
винтовой линии будет синусоида.
Это вытекает из самого характера
образования винтовой линии как
точки, совершающей равномерное
движение по прямой (образующей)
и равномерное вращение вокруг
оси, параллельной этой прямой.
Фиг. 18. Проекция цилиндрической
пинтовой линии.
На фиг. 19 построена синусоида — виток винтовой линии.
Различают винтовые линии с правым и левым ходом. Первые имеют
подъем винтовой линии слева направо, а вторые — справа налево.
На рабочих чертежах направление винтовых линий обычно сопровож-
дается соответствующими указаниями.
Развертка цилиндрической винтовой линии
Винтовая линия в развернутом виде представляет прямую линию.
На фиг. 20 показана развертка одного витка (шага) цилиндрической
винтовой линии с ее параметрами.
Фиг. 20. Развертка цилиндрической винтовой линии.
Крутизна подъема винтовой линии харак-
теризуется формулой
^a==Hd'
где h, — шаг винтовой линии;
d — диаметр цилиндра;
а — угол подъема винтовой линии.
Длина одного витка винтовой линии L определяется, как гипоте-
нуза прямоугольного треугольника.
L = /Л2 + (nd)2.
Кроме цилиндрических, существуют и другие виды винтовых
линий, например линии с переменным шагом, конические, сфери-
ческие, винтовые линии на произвольной поверхности вращения.
ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Винтовая поверхность (фиг. 21) образуется таким движением пря-
мой линии, при котором один конец этой прямой скользит по оси,
а второй по кривой винтовой ли-
нии, причем прямая остается все
время параллельной плоскости Н.
При таком движении прямая обра-
зует поверхность винтового ко-
ноида.
Если образующая винтовой
поверхности направлена к оси под
прямым углом, то такую поверх-
ность называют прямой винтовой
поверхностью (прямым коноидом).
Если же наклон не равен 90°, то
такую поверхность называют ко-
сой.
Приближенная развертка
винтовой поверхности
Винтовая поверхность, имею-
щая два и более витков, не может
Фиг. 21. Прямая винтовая поверх- Фиг. 22. Развертка витка винтовой
ность. поверхности.
быть точно развернута на плоскость, ее можно развернуть только
приближенно, и при том один ее виток.
Развернутый виток напоминает развернутый конус» На фиг. 22
показан развернутый виток винтовой поверхности.
Для построения развертки витка требуется определить величины
/?, г и а (центральный угол кольца).
13
Мы уже знаем, что длина одного витка развернутой винтовой ли-
нии
L = ]//г2 + (л£>)2.
Соответственно длина внутренней линии кольца
/ = )//г2-j-(nd)2.
Так как концентрические дуги развертываются при одном и том же
центральном угле а, то
I г
~~~R'
откуда
Обозначим ширину винтовой поверхности (кольца)
о D — d
R — r = —b—,
подставляя D — d 2 ~а’
получим R = г + а
и al Г= L-Г’
угол 2nR 360 •
Таким образом, имея искомые величины R, г и а, можем построить
кольцо, т. е. развернутый виток.
ТОЛЩИНА МАТЕРИАЛА
Раньше мы говорили о теоретическом понятии поверхности тела
или предмета. Однако при изготовлении реальных изделий из листов
определенной толщины, приходятся учитывать толщину листов,
подсчитав ее среднюю величину по нейтральному слою так, чтобы
она не искажала изготовляемый предмет.
14
Так, например, для цилиндра с толщиной стенок боковой поверх-
ности равной 16 жж и наружным диаметром равным 600 жж, необхо
димо брать размер диаметра
D = 600—16 = 584,
т. е. средний диаметр цилин-
дра.
Размеры развернутой по-
верхности цилиндра в этом слу-
чае будут
Dcpnh-= 3,14-584,
где h — высота цилиндра.
Для развертки конуса с уче-
том толщины материала берется
средний слой толщины стенок
конуса.
Пусть, например, конус
(фиг. 23) имеет размеры:
Диаметр основания D = 800 мм
Высота конуса Н — 1000 мм
Толщина стенок д = 12 мм
Для подсчета радиуса развертки R берется
^р==]/ + = У (8°%12)2+(1000-6)2 = 1069.
Найденные в приводимых примерах средние радиусы цилиндра
и конуса не искажают изготовляемые изделия и поэтому могут быть
приравнены к математическим поверхностям, о которых говорилось
ранее. Чертежи всех разверток выполнены с учетом толщины нейт-
рального слоя.
Для развертки поверхности многих изделий приходится часто
решать задачи с применением тригонометрических функций углов
и формул из курса средней математики. Конкретные примеры решений
таких задач даны во второй части книги. Поэтому здесь ограничимся
напоминанием некоторых теоретических сведений, знание которых
необходимо для решения задач.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УГЛОВ
ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
1. Синусом угла а (фиг. 24) называется отношение катета, про-
тиволежащего углу а, к гипотенузе
а
— = sin а.
с
2. Косинусом угла а называется отношение катета, прилежащего
углу а, к гипотенузе
Ь
— ~ cos а.
с
3. Тангенсом угла4 а называется отношение катета, противолежа-
щего углу а, к прилежащему катету
l = tga.
4. Котангенсом угла а называется отношение катета, прилежа-
щего углу а, к противолежащему катету
Фиг. 24. Функции углов прямоуголь-
ного треугольника.
b .
— = ctga.
а ь
Величину угла а можно опре-
делить, зная отношение сторон
прямоугольного треугольника.
Для определения сторон прямо-
угольного треугольника доста-
точно знать величину угла и длину
одной из сторон.
Ниже приведены основные слу-
чаи определения элементов прямо-
угольного треугольника.
Наиболее часто встречающиеся значения тригонометрических
функций углов приведены в табл. 1, а зависимость между тригономет-
рическими функциями — в табл. 2.
Таблица 1
Значения тригонометрических функций некоторых углов
Функции углов Углы в градусах
0 или 360 30 45 60 90 180 270
sin 0 0,5 0,5 У 2 = = 0,707 0,5 УЗ = = 0,866 +1 0 — 1
cos 1,0 0,5 УЗ = = 0,886 0,5 У2~ = = 0,707 0,5 0 — 1 0
tg 0 Гз~__ 3 ~ = 0,577 1 У3= 1,732 + со 0 — СО
Зависимость между тригонометрическими функциями
Таблица 2
Функции sin а cos a tg a etg a
sin а — У1 — cos2 a tga V1 + tg2 a 1 У1 + etg2 a
cos а J/* 1 — sin2 a — 1 V1 + tg2 a etg a V1 + etg2 a
tga sin a У1 — sin3 a У1 — cos2 a cos a — 1 etg a
ctga У1 — sin2 a sin a cos a У1 — cos2 a 1 tg a —
Формулы для решения прямоугольных треугольников
Все элементы прямоугольного треугольника (фиг. 25), т. е. его
стороны а, Ь, с и углы а, Р, у, определяются следующей зависимостью.
а — с* since; Ь = С-COS а. Фиг. 25. Элементы прямоугольного
треугольника.
3. Даны стороны а и Ь. Находим
tg ос =
а
Т'
tgp =
6_.
а '
с = ]/а2 4- Ь2, = = -т—о-.
г 1 sin a sin р
Зная углы или их функции, находим соответствующие величины
в таблицах тригонометрических функций углов (табл. 3).
15
7 аблица И
11р одолже н и е г а б л 3
Значения синусов и косинусов углов
С И Н У с ы
СИНУСЫ
А 0' 6' 12' 18' 24' 30' 36' 42' 48' 54' 60'
0,0060 90°
0° 0,0000 0,0017 0,0035 0,0052 0,0070 0,0087 0,0105 0,0122 0,0140 0,0157 0175 89°
1° 0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 88°
2° 0349 0366 0384 0401 0419 0436 0454 0171 0488 0506 0523 87°
3° 0523 0541 0558 0576 0593 0610 0628 0645 0663 0680 0698 86°
4° 0698 0715 0732 0750 0767 0785 0802 0819 0837 0854 0,0872 85°
5° 0,0872 0,0889 0,0906 0,0924 0,0941 0,0G58 0,0976 0,0993 0,1011 0,1028 1045 84°
6° 1045 1063 1080 1047 1115 1132 1149 1167 1184 1201 1219 83°
7° 1219 1236 1253 1271 1288 1305 1323 1340 1357 1374 1392 82°
8° 1392 1409 1426 1444 1461 14/8 14^5 1513 1530 1517 1564 81°
9° 1564 1582 1599 1616 1633 1650 1668 1685 1/02 1719 0,17о6 80°
10° 0,1736 0,1754 0,1771 0,1788 0,1805 0,1822 0,1840 0,1857 0,1874 0,1891 1908 79°
11° 1908 1925 1942 1959 1977 1994 2011 2028 2045 2062 2079 78°
12° 2079 2096 2113 2130 2147 2164 2181 2198 2215 2233 2250 77°
13° 2250 2267 2284 2300 2347 2334 2351 2368 2385 2402 2419 76°
14° 2419 2436 2453 2470 2487 2504 2521 2538 2554 2571 0,2588 75°
15° 0,2588 0,2605 0,2622 0,2639 0,2656 0,2627 0,2689 0,2706 0,2723 0,2740 2756 74о
16° '2756 2773 2790 2807 2823 2840 2857 2874 2890 2907 2924 73°
17° 2924 2940 2957 2974 2990 3007 3024 3040 3057 3074 3090 72°
18° 30G0 3107 3123 3140 3156 3173 3190 3206 3223 3239 3256 71°
19° 3256 3272 3289 3305 3322 3338 3355 3371 3387 3404 0,3420 70°
20° 0,3420 0,3437 0,3453 0,3469 0,3486 0,3502 0,3518 0,3535 0,3551 0,3567 3584 69°
21° 3584 3600 3616 3633 3649 3665 3681 3697 3714 3730 3746 68°
22° 3746 3762 3778 37°5 3811 3827 3843 3859 38/5 38е 1 3907 67°
23° 3907 3923 3939 3955 3971 3987 4003 4019 4035 4051 4067 66°
24° 4067 4083 4099 4115 4131 4147 4163 4179 4195 4210 0,4226 65°
25° 0,4226 0,4242 0,4258 0,4274 0,4289 0,4305 0,4321 0,4337 0,4352 0,4368 4384 64°
26° 4384 4399 4415 4431 4446 4462 4478 4493 4509 4524 4540 63°
27° 4540 4555 4571 4586 4602 4617 4633 4648 4664 4679 4695 62°
28° 4695 4710 4726 4741 4756 4772 4787 4802 4818 4833 4848 61°
29° 4848 4863 4879 4894 4909 4924 4939 4955 4970 4985 0,5000 60°
30° 0,5000 0,5015 0,5030 0,5045 0,5060 0,5075 0,5090 0,5105 0,5120 0,5135 5150 59°
31° 5150 5165 5180 5195 5210 5225 5210 5255 5270 5284 5299 58°
32° 5299 5314 5329 5344 5358 5373 5388 5402 5417 5432 5446 57°
33° 5446 5461 5476 5490 5505 5519 5534 5548 5563 5577 5592 56°
34° 5592 5606 5621 5635 5650 5664 5678 5693 5707 5721 0,5736 55°
35° 0,5736 0.5750 0,5764 0,5779 0,5793 0,5807 0,5821 0,5835 0,5850 0,5864 0,5878 54°
36° 5878 5892 5906 5°20 5934 5948 5962 59/6 5°90 6004 6018 53°
37° 6018 6032 6046 6060 6074 6038 6101 6115 6129 6143 6157 52°
38° 6157 6170 6184 6198 6211 6225 6239 6252 6266 6280 6293 51°
39° 6293 6307 6320 6334 6347 6361 6374 6388 6401 6414 0,6428 50°
40° 0,6428 0,6441 0,6455 0,6468 0,6481 0,6494 0,6508 0.6521 0,6534 0,6547 6561 49°
41° 6561 6574 6587 6600 6613 6626 6639 6652 6665 6378 6691 48°
42° 6691 6704 6717 6730 6743 6/56 6769 6782 6794 6807 6820 47°
43° 6820 6833 6845 6858 6871 6884 6896 6909 6921 6934 6947 46°
44° 6947 6959 6972 6984 6997 7009 7022 7034 7046 7059 0,7071 45®
45° 0,7071 0,7083 0,7096 0,7108 0,7120 0,7133 0,7145 0,7157 0,7169 0,7181 7193 44°
46е 7193 7206 7218 7230 7242 7254 7266 7278 7290 7302 7314 43°
47° 7314 7325 7337 7349 7361 7373 7385 7396 7408 7420 7431 42О
48° 7431 7443 7455 7466 7478 7490 7501 7513 7524 7536 7547 41°
49° 7547 7559 7570 7581 7593 7604 7615 7627 7638 7649 0,7660 40°
60' 54' 48' 42' 36' 30' 24' 18' 12' 6' 0' А
КОСИНУСЫ
А 0' 6' 12' 18' 24' 30' 36' 42' 48' 54' 60'
50° 0,7660 0,7672 0,7683 0,7694 0,7705 0,7716 0,7727 0,7738 0,7749 0,7760 7771 39°
51° 7771 7782 7793 7804 7815 7826 7837 7848 7859 7869 7880 38°
52° 7880 7891 7902 7912 7923 7934 7944 7955 7965 7976 7986 37°
53° 7986 7997 8007 8018 8028 8039 8049 8059 8070 8080 8090 36°
54° 8090 8100 8111 8121 8131 8141 8151 8161 8171 8181 0,8192 35°
55° 0,8192 0,8202 0,8211 0,8221 0,8231 0,8241 0,8251 0,8261 0,8271 0,8281 8290 34°
56° 8290 8300 8310 8320 8329 8339 8348 8358 8368 8377 8387 33°
57° 8387 8396 8406 8415 8425 8434 8443 8453 8462 8471 8480 32°
58° 8480 8490 8499 8508 8517 8526 8536 8545 8554 8563 8572 31°
59° 8572 8581 8590 8599 8607 8616 8625 8634 8643 8652 0,8660 30°
60° 0,8660 0,8669 0,8678 0.8686 0,8695 0,8704 0,8712 0,8721 0,8729 0,8738 8746 29°
61° 8/46 8755 8763 87/1 8,80 8788 87* 6 8^05 8813 8821 8829 28°
62° 8829 8838 8846 8854 8862 88/0 8878 8886 8894 8* 02 8910 2/°
63° 840 8918 8926 8934 8942 8949 8957 8965 8973 8г,80 8988 26°
64° 8988 8996 9003 9011 9018 9026 9033 9041 9048 9056 0,9063 25°
65° 0.9063 0,9070 0,9078 0,9085 0,9092 0,9100 0,9107 0,9114 0,9121 0,9128 9135 24°
66° 9135 9143 9150 9157 9164 9171 9178 9184 9191 9198 9205 23°
67° 9205 9212 9219 9225 9232 9239 9245 9252 9259 9265 9272 22°
68° 9272 9278 9285 9291 9298 9304 9311 9317 9323 9330 9336 21°
69° 9336 9342 9348 9354 9361 9367 9373 9379 9385 9391 0,9397 20°
70° 0,9397 0,9403 0,9409 0,9415 0,9421 0,9426 0,9432 0,9438 0,9444 0,9449 0,9455 19°
71° 9455 9461 9466 9472 9478 9483 9489 9494 9500 9505 9511 18°
72° 9511 9516 9521 9627 9532 9537 9542 9548 9553 9558 9563 17°
/3° 9563 9568 9573 9578 9583 9588 9593 95с8 £603 9608 9613 16°
74° 9613 £617 9622 9627 9632 9636 9641 9646 9650 9655 0,9659 15®
75° 0,9659 0,9664 0,9668 0,9673 0,9677 0,9681 0,9686 0,964) 0,9694 0,9699 9703 14°
76° 9703 9/07 9711 9715 9720 9724 9728 9232 9736 9740 9744 13°
7/° 9/44 9/48 9751 9755 9759 9763 9767 9770 9774 9778 9781 13°
78° 9781 9785 9789 9792 9796 9799 9803 9806 9810 9813 9816 11°
79° 9816 9820 9823 9826 9829 9833 9836 9839 9842 9845 0,9848 10°
80° 0,9848 0,9851 0,9854 0,9857 0,9860 0,9863 0,9866 0,9869 0,9871 0,9874 9877 9°
81° 9877 9880 9882 9885 9888 9890 9893 9895 9898 9900 9903 8°
82° 9903 9905 9907 9910 9912 9914 9917 9919 9921 9923 9925 7°
83° 9925 9928 9930 9932 9934 9936 9938 9940 9942 9943 9945 6°
84° 9945 9947 9949 9951 9952 9954 9956 9957 9959 9960 0,9962 5°
85° 0,9962 0,9963 0,9965 0,9966 0,0968 0,9969 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 9976 4°
86° 9976 9977 9978 9979 9980 9981 9982 9983 9984 9985 9986 3°
87° 9986 9987 9988 9989 9990 9990 9991 9992 9993 9993 9994 2°
88° 9994 9995 9995 9996 9996 9997 9997 9998 9998 9998 0,9998 1°
89° 90° 0,9998 1,0000 9999 9999 9999 9999 0000 0000 0000 0000 0000 1,0000 0°
60' 54' 48' 42' 36' 30' 24' 18' 12' 6' 0'
КОСИНУСЫ
Формулы для решения косоугольных треугольников
Дан косоугольный треугольник (фиг. 26), где
а, Ь, с — стороны косоугольного треугольника;
а, р, у — углы треугольника, противолежащие сторонам а,
Ь, с.
Q — радиус вписанного круга;
R — радиус описанного круга;
16
р — полупериметр треугольника, т. е. + b + с).
Фиг. 26. Элементы косоугольного
треугольника.
= -А- = = 27?;
sin a sin р sin у
а — b-cos у + с *cos f3;
а2 = Ь2 + с2 — 2bc cos а;
_ а sin у
tg а == ~т------1>
ь Ь — a cos у ’
•in “ — 1/ (Р — Ь)(р — с) .
,1П-Т- V ----------ьс------’
сг.'-— - 1/ р ip~a} ;
ССЬ 2 — у Ьс
Д. _ 1/ (Р — Ь)(р — с) .
2 V р(р — а)
_ abc _ j /(р — а)(р — Ь) (р — с)
V 4Rp V р
Четыре основных случая решения косоугольных треугольников
1. Дано: две стороны а, b и угол между ними у.
Находим
с = |/а2 + Ь2 — 2ab cos у;
Д+А = 90° _ Д- = 180° — у;
а — 6 а~ b .у
—2 ~ ?+& ctS“2-’
отсюда находим углы а и |3.
2. Дано: сторона треугольника а и два угла а и р.
Находим
с _ a sin Р . _ a sin р .
sin а ’ ~~ sin а ’
у^ 180°— (а + Р).
3. Даны: три стороны а, b и с.
Находим
и b с = 2р;
Q = (Р — Д) (Р ~ fc) (Р — С) .
ё 2 р — a ь 2 р — b ’ 1ё2 р — с •
4. Даны: две стороны а и b и угол а, противолежащий одной из
сторон.
Находим
asiny • R _ 6 sin а
sin a r а
У = 180° — (a + р).
Решение задачи возможно лишь при условии, если ftsina < а'
Если 6 sin a = а, то Р — 90°.
Если 6 sin а < а и, кроме того, а < Ь, то получим два значения
для Р и соответственно два треугольника.
Если же 6 sin a < а и а > Ь, то имеем лишь одно решение.
ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ОКРУЖНОСТИ
Для расчета элементов окружности (фиг. 27), вводим следующие
обозначения
L — длина окружности;
d — диаметр окружности; --
г — радиус окружности; -----
I — длина дуги, стягиваемой / \ ' / /
хордой; / \ / / \
q> — центральный угол; / \ I / \
h — стрелка; / v
s — хорда. I_________. _____________1-
L=2nr=nd - r-6,28 = d-3,14; I
L — L \ /
л ~~ 3,14 ’ \ /
$ = 2rsin
Фиг. 27. Элементы окружности.
h= (1 — cos-|-) =-|-tg-j-= 2r sin2-j-; Z = nr-^-.
Если длина дуги равна радиусу, то центральный угол равен
<р = 57° 17'45".
Длина дуги для центрального угла в 1° равна 0,00872. Длина дуги
для центрального угла в п° равна 0,00872 dn.
17
Деление окружности на требуемое количество равных частей
При работе над развертками часто приходится делить окружности
на одинаковое количество частей. Количество частей зависит от тре-
буемой точности развертки. Обычно на производстве деление окруж-
ности рекомендуется производить графически. Например, требуется
разделить окружность на 8 равных частей. Сначала делят окружность
циркулем на 4 равные части, а потом каждую из них делят пополам.
Этим достигается большая точность построения развертки (выкройки),
чем последовательное откладывание из одной начальной точки окруж-
ности хорды, длина которой определяется из таблиц. Однако для кон-
структоров и технологов, имеющих дело с масштабными развертками
(в отличие от производственников, которые предпочитают строить
развертки в натуральную величину), удобнее пользоваться подсчитан-
ными хордами, которые равны диаметру окружности, умноженному
. 180
на sin , где п — число частей окружности.
В табл. 4 даны значения функций sin в зависимости от вели-
чины п.
Таблица 4
Значения функций sin ——
п . 180° sin п п . 180° sin —— п п . 180° sm п п . 180° sm п
1 0,000 14 0,222 27 0,116 40 0,Q78
2 1,000 15 0,208 28 0,112 41 0,076
3 0,866 16 0,195 29 0,108 42 0,075
4 0,707 17 0,184 30 0,104 43 0,073
5 0,588 18 0,176 31 0,101 44 0,071
6 0,500 19 0,165 32 0,098 45 0,070
7 0,434 20 0,156 33 0,093 46 0,068
8 0,383 21 .0,149 34 0,092 47 0,067
9 0,342 22 0,142 35 0,090 48 0,065
10 0,309 23 0,136 36 0,087 49 0,064
11 0,282 24 0,130 37 0,085 50 0,063
12 0,259 25 0,125 38 0,082
13 0,239 26 0,120 39 0,080
Пользуясь табл. 4, можно подсчитать длину хорды.
Например, требуется разделить окружность диаметром d — 400 мм
на 18 равных частей. Из таблицы находим п = 18 и соот-
180
ветствующей функции sin -yg- — 0,176.
Длина хорды
s==dsin-^- = 400-0,176 ss 70 мм.
1о
18
эллипс
На стр. 10 даны примеры графического построения эллипса.
Для вычисления точного периметра эллипса пользуются формулой
2р = 3,1416 '|/2(а2 + &2) — .
Иногда пользуются приближенной формулой
2р = 3,1416 У 2 (а?+ &),
где а — большая полуось эллипса,
b — малая полуось эллипса;
р — полупериметр эллипса.
Полная длина эллипса может быть вычислена и по другой формуле
L = al,
где а — большая полуось эллипса;
I — длина эллипса при а = 1.
Величина I определяется в зависимости от
где b — малая полуось эллипса;
а — большая полуось эллипса;
Значение i в зависимости от -у дается в табл. 5. Для вычисления
значений элементов окружности в зависимости от величины централь-
ных углов приводим табл. 6. Пример расчета приведен на стр. 20.
Значения i в зависимости от —
а
Таблица 5
i 1 i 1 i I i I i I
0,00 4,0000 0,20 4,2002 0,40 4,6026 0,60 5,1054 0,80 5,6723
01 ООН 21 2186 41 6258 61 1324 81 7020
02 0038 22 2356 42 6492 62 1596 82 7317
03 0078 23 2531 43 6728 63 1870 83 7615
04 0131 24 2710 44 6966 64 2145 84 7915
05 0194 25 2892 45 7207 65 2421 85 8215
06 0267 26 3078 46 7450 66 2699 86 8516
07 0348 27 3268 47 7695 67 2978 87 8819
68 0438 28 3462 48 7942 68 3259 88 9122
09 0535 29 3659 49 8191 69 3541 89 9426
0,10 0640 0,30 3859 0,50 8442 0,70 3842 0,90 9732
11 0752 31 4062 51 8695 71 4168 91 0038
12 0870 32 4269 52 8950 72 4394 92 0345
13 0994 33 4478 53 9207 73 4681 93 0653
14 1125 34 4692 54 9266 74 4969 94 0962
15 1261 35 4908 55 9726 75 5258 95 1271
16 1403 36 5126 56 9988 76 5549 96 1582
17 1550 37 5347 57 5,0252 77 5841 97 1893
18 1702 38 5571 58 0518 78 6134 98 2205
19 1859 39 5797 59 0785 79 6428 99 2518
Таблица 6
Продолжение табл. 6
Значения элементов окружности в зависимости от величины центральных углов
Централь- ный угол в градусах Длина дуги 1 Стрелка h Длина хорды S Централь- ный угол в градусах Длина дуги 1 Стрелка h Длина хорды s
1 0,0175 0,0000 0,0175 51 0,9076 0,1012 0,8767
2 0,0349 0,0002 0,0349 52 0,9250 0,1051 0,8924
3 0,0524 0,0003 0,0524 53 0,9425 0,1090 0,9080
4 0,0698 0,0006 0,0698 54 0,9599 0,1130 0,9235
5 0,0873 0,0010 0,0872 55 0,9774 0,1171 0,9389
6 0,1047 0,0014 0,1047 56 0,9948 0,1212 0,9543
7 0,1222 0,0019 0,1221 57 1,0123 0,1254 0,9696
8 0,1396 0,0024 0,1395 58 1,0297 0,1296 0,9841
9 0,1571 0,0031 0,1569 59 1,0472 0,1340 1,0000
10 0,1745 0,0038 0,1743 60 1,0472 0,138 1,0151
11 0,1920 0,0046 0,1917 61 1,0821 0,1428 1,0301
12 0,2094 0,0055 0,2091 62 1,0996 0,1474 1,0450
13 0,2269 0,0064 0,2264 63 1,1170 0,1520 1,0598
14 0,2443 0,0075 0,2437 64 1,1345 0,1566 1,0746
15 0,2618 0,0086 0,2611 65 1,1519 0,1613 1,0893
16 0,2793 0,0097 0,2783 66 1,1694 0,1661 1,1039
17 0,2967 0,0110 0,2956 67 1,1868 0,1710 1,1184
18 0,3142 0,0123 0,3129 68 1,2043 0,1759 1,1328
19 0,3316 0,0137 0,3301 69 1,2217 0,1808 1,1472
20 0,3491 0,0152 0,3473 70 1,2392 0,1859 1,1614
21 0,3665 0,0167 0,3645 71 1,2566 0,1910 1,1756
22 0,3840 0,0184 0,3816 72 1,2741 0,1961 1,1896
23 0,4014 0,024 0,3987 73 1,2915 0,2014 1,2036
24 0,4189 0,0219 0,4158 74 1,3090 0,2066 1,2175
25 0,4363 0,0237 0,4329 75 1,3265 0,2120 1,2313
26 0,4538 0,0256 0,4999 76 1,3439 0,2174 1,2450
27 0,4712 0,0276 0,4669 77 1,3614 0,2229 1,2586
28 0,4887 0,0297 0,4838 78 1,3788 0,2284 1,2722
29 0,5061 0,0319 0,5008 79 1,3963 0,2340 1,2856
30 0,5236 0,0341 0,5176 80 1,4137 0,2396 1,2989
31 0,5411 0,364 0,5345 81 1,4312 0,2453 1,3121
32 0,5585 0,0387 0,5513 82 1,4486 0,2510 1,3252
33 0,5760 0,0412 0,5680 83 1,4661 0,2569 1,3383
34 0,5934 0,0437 0,5847 84 1,4835 0,2627 1,3512
35 0,6109 0,0463 0,6014 85 1,5010 0,2686 1,3640
36 0,6283 0,00489 0,6180 86 1,5184 0,2746 1,3767
37 0,6458 0,00517 0,6346 87 1,5359 0,2807 1,3893
38 0,6632 0,00545 0,6511 88 1,5533 0,2867 1,4018
39 0,6807 0,00574 0,6676 89 1,5708 0,2929 1,4142
40 0,7156 0,0633 0,7004 90 1,5882 0,2991 1,4265
41 0,7330 0,0664 0,7167 91 1,6057 0,3053 1,4387
42 0,7505 0,0696 0,7330 92 1,6232 0,3116 1,4507
43 0,7679 0,0728 0,7492 93 1,6406 0,3180 1,4647
44 0,7854 0,0761 0,7654 94 1,6581 0,3244 1,4746
45 0,8029 0,0795 0,7815 95 1,6755 0,3309 1,4863
46 0,8203 0,0829 0,7975 96 1,6930 0,3374 1,4979
47 0,8378 0,07865 0,8135 97 1,7104 0,3439 1,5094
48 0,8552 0,0900 0,8294 98 1,7279 0,3506 1,5208
49 0,8727 0,0937 0,8452 99 1,7453 0,3572 1,5321
50 0,8901 0,0974 0,8610 100 1,7628 0,3639 1,5432
Централь- ный угол в градусах Длина дуги 1 Стрелка h Длина хорды S Централь- ный угол в градусах Длина дуги 1 Стрелка h Длина хорды S
101 1,7802 0,3707 1,5543 141 2,4784 0,6744 1,8910
102 1,7977 0,3775 1,5652 142 2,4958 0,6827 1,8966
103 1,8151 0,3843 1,5760 143 2,5133 0,6910 1,9024
104 1,8326 0,3912 1,5866 144 2,5307 0,6993 1,9074
105 1,8500 0,3982 1,5973 145 2,5482 0,7076 1,9126
106 1,8675 0,4052 1,6077 146 2,5656 0,7160 1,9176
107 1,8850 0,4122 1,6180 147 2,5831 0,7244 1,9225
108 1,9024 0,4193 1,6282 148 2,6005 0,7328 1,9273
109 1,9199 0,4264 1,6383 149 2,6180 0,7412 1,9319
ПО 1,9373 0,4336 1,6483 150 2,6354 0,7496 1,9363
111 1,9548 0,4408 1,6581 151 2,6529 0,7581 1,9406
112 1,9722 0,4481 1,6678 152 2,6704 0,7666 1,9447
113 1,9897 0,4554 1,6773 153 2,6878 0,7750 1,9487
114 2,0071 0,4627 1,6868 154 2,7053 0,7836 1,9526
115 2,0246 0,4701 1,6961 155 2,7227 0,7921 1,9563
116 2,0420 0,4775 1,7053 156 2,7402 0,8006 1,9598
117 2,0595 0,4850 1,7143 157 2,7576 0,8092 1,9633
118 2,7690 0,4925 1,7233 158 2,7751 0,8178 1,9665
119 2,0944 0,5000 1,732 159 2,7925 0,8264 1,9696
120 2,1118 0,5076 1,7407 160 2,8100 0,8350 1,9726
121 2,1293 0,5152 1,7492 161 2,8274 0,8436 1,9754
122 2,1468 0,5228 1,7576 162 2,8449 0,8522 1,9780
123 2,1642 0,5305 1,7659 163 2,8623 0,8608 1,9805
124 2,1817 0,5383 1,7740 164 2,8798 0,8695 1,9829
125 2,1991 0,5460 1,7820 165 2,8972 0,8781 1,9851
126 2,2166 0,5538 0,7899 166 2,9147 0,8868 1,9871
127 2,2340 0,5616 1,7976 167 2,9322 0,8955 1,9890
128 2,2515 0,5695 1,8052 168 2,9496 0,9042 1,9908
129 2,2689 0,5774 1,18126 169 2,9671 0,9128 1,9924
130 2,2864 0,5853 1,8199 170 2,9845 0,9215 1,9938
131 2,3038 0,5933 1,8271 171 3,0020 0,9302 1,9951
132 2,3213 0,6013 1,8341 172 3,0194 0,9390 1,9963
133 2,3387 0,6093 1,8410 173 3,0369 0,9477 1,9973
134 2,3562 0,6173 1,8478 174 3,0544 0,9564 1,9981
135 2,3736 0,6254 > 1,8544 175 3,0718 0,9651 1,9988
136 2,3911 0,6335 1,8608 176 3,0892 0,9738 1,9993
137 2,4086 0,6416 1,8672 177 3,1067 0,9825 1,9997
138 2,4260 0,6498 1,8733 178 3,1241 0,9913 1,9999
139 2,4435 0,6580 1,8794 179 3,1416 1,0000 2,0000
140 2,4609 0,6662 1,8853
19
Пример. Радиус г для данной дуги I и стрелки h определяется
из выражения
где /0 — длина дуги, которая при радиусе, равном единице, соответ-
I
ствует заданному у.
Если г — радиус круга, а <р — центральный угол в градусах,
то получим:
1) длина хорды
s = 2г sin -у-;
2) стрелка
h = r (1- cos =_Ltg-J-;
3) длина дуги
I = лг -у— = 0,017453rq>;
4) Z = г соответствует <р = 57°17' = 57,296°;
5) аге 1° = л : 180 = 0,0174;
tg 1° = 0,242.
ЧАСТЬ II
РАЗВЕРТКИ ФИГУР И ПОЯСНЕНИЯ К НИМ
НАКЛОННАЯ ПИРАМИДА налей и истинных длин граней пирамиды следующим построением.
На горизонтальной проекции фигуры проводят штриховыми ли-
Развертку поверхности наклонной пирамиды (фиг. 28) находят пиями проекции диагоналей(пирамиды з — л, е — л, б — д, г — ж,
графически. С этой целью строят диаграмму истинных длин диаго- Соединяют также прямыми линиями точки л и н, к и и.
а)
з-л
22
Диаграмма истинных длин диагоналей и граней пирамиды
На взаимно перпендикулярны прямых откладывают вверх по
вертикали высоту патрубка /г, а от основания перпендикуляра О
откладывают влево проекции отрезков, взятых на горизонтальной
проекции фигуры. Концы отрезков соединяют наклонными с верхней
точкой высоты пирамиды h. Наклонные линии А, Б, Р, М и В, Г, Д,
Е являются истинными длинами диагоналей и ребер пирамиды,
согласно которым строится развертка.
Развертка. На горизонтальной прямой из произвольно взятой
точки и восстанавливается перпендикуляр, на котором откладывается
гипотенуза Е, взятая из диаграммы гипотенуз. Из точек к и и в обе
стороны по горизонталям откладываются по половине сторон пира-
миды а — в и*ж— д, как показано на чертеже развертки. Затем
соединяют между собой прямыми линиями точку а с точкой д и точку b
с точкой ж. Образованная трапеция авжд является истинной левой
гранью пирамиды. Далее из точки 5, как из центра, радиусом, равным
гипотенузе Р, взятой из диаграммы прочерчивают дугу вниз в на-
правлении к точке а. Из последней, как из центра, производят засечку
проведенной дуги раствором циркуля, равным длине нижней стороны
Наклонная пирамида (а) и ее развертка (б).
пирамиды а — b, в точке, б. Тем же способом находят точки г, з, е,
пользуясь соответствующими радиусами Г, В к сторонами пирамиды
д — е и ж — з. В результате на развертке получаются три полных
грани пирамиды. Четвертая грань пристраивается с обеих сторон
полученной неполной развертки двумя равными половинами. Де-
лается это так: из точек биг, как из центров, прочерчиваются дуги
радиусами, равными половине нижней стороны пирамиды г — б,
а из точек е и з радиусами, равными соответствующим гипотенузам Б
и А производят засечку дуг в точках л и ль Далее из точек л, е, з, лх,
как из центров, находят конечные точки н и пересечением дуг, у кото-
рых радиусами являются гипотенуза Д, снятая с диаграммы, и поло-
вина верхней стороны пирамиды з — г. Отметим, что все радиусы,
равные сторонам пирамиды, снимаются с горизонтальной проекции
пирамиды, так как там они вычерчиваются в истинную длину.
Искомая развертка поверхности пирамиды получается в резуль-
тате соединения всех полученных точек прямыми линиями. Штрихо-
выми линиями отмечены диагонали граней пирамиды. Крайние сто-
роны развертки Д являются линиями разъема пирамиды. Промежу-
точные сплошные тонкие линии являются ребрами пирамиды.
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И КОНИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
Прямой круговой цилиндр
Развертка боковой поверхности прямого кругового цилиндра
(фиг. 29) имеет вид прямоугольника со сторонами nd и h где h —
высота цилиндра, a nd — развернутая длина окружности, радиус
„ d
которой равен -у.
Порядок подсчета. На рабочих чертежах задаются
исходные данные конуса.
Высота................................... Н
Диаметр нижнего основания............... D
Диаметр верхнего основания.............. d
Решение. Длина образующей конуса
п)
Из подобия прямоугольных треугольников abf и ате составляем
пропорцию
n D D — d
Фиг. 29. Прямой круговой цилиндр (а) и его развертка (б).
Развертки такого вида будут в дальнейшем часто повторяться
в сочетании с другими фигурами.
Прямой усеченный конус
Одним из способов развертки прямого усеченного конуса (фиг. 30)
является метод подсчета всех элементов развертки.
24
откуда
D
R 2 'C
D — d
2
Образующая отсеченной части конуса
г — R — с.
Определяем центральный угол развертки из формулы
а = -^- 180.
Вычисляем длины большой и малой дуг развертки. Они соответ-
ственно равны
А — nD, В = nd.
Развертка. Из точки О радиусами R и г прочерчивают две кон-
центрические дуги окружности. Из этого же центра трансфертйроМ
откладывают вычисленный центральный угол. Дальнейшие по стро&'
ния понятны из чертежа.
25
Прямой эллиптический цилиндр
Развернутая поверхность эллиптического цилиндра (фиг. 31)
имеет вид прямоугольника, у которого одна сторона соответствует
заданной высоте цилиндра /г, а другая сторона определяется либо
приближенно по формуле L = 2лак, либо вычисляется, как длина
о)
меньшая полуось
Фиг. 31. Прямой эллиптический цилиндр (а) и его развертка (б).
овала, близко совпадающая с длиной эллипса. Применение того или
иного способа зависит от требуемой точности развертки.
Покажем оба способа на конкретном примере с заданными исход-
ными величинами.
26
Большая полуось
ab гл
а = 50;
~ = b = 30.
1. Приближенное вычисление пе-
риметра цилиндра производится по
формуле
L = 2mk = 2-3,14-50-0,814—255,6,
где k — коэффициент, зависящий
о b
от отношения полуосей —, взят по
табл. 5.
2. Вычисление длины овала. Со-
единяем точки а и d прямой, на кото-
рой из точки d откладываем раз-
ность полуосей
а — Ь = 50—30 - 20.
К середине оставшегося отрезка
восстанавливаем перпендикуляр, про-
должая его вверх до точки О и вниз до встречи с дугой ad. Таким обра-
зом строим три прямоугольных треугольника: Л dkO> Л fka и Л dma.
Решение. Гипотенуза
ad = У а2 + 62 - V 502 + 30’2 - 58,3;
отрезок
58,3 — 20 1П
у = —2 — = 19’15,
Отрезок
х = у + 20 = 19,15 + 20 = 39,15.
Из подобия прямоугольных треугольников d и dmakO
ad-x 58,3-39,15 __ «
30 ‘
39,15 = 0,52,
dm
Определяем углы а и Р
sin р = -д- =
Р = 31°, а = 90°—31° = 59°.
Отрезок 7?i определяется из подобия прямоугольных треуголь-
ников fka и dma.
р — а(^*У — 58,3-19,15 __ 22 3
'Г'1 ат ’
50
Длина дуги при
/?л.р 74.3,14.31
П “ 180 ~
Длина дуги при / а
Т^ла __ 22,3-3,14.59 _по
П1 “ 180 “ 180 ”
Вся длина овала
Li - 4 (40 + 23) - 252.
Таким образом разница между L и Li незначительна.
Цилиндр, усеченный наклонной плоскостью
Развертку поверхности цилиндра (фиг. 32) можно
производить двумя способами: графическим и аналитиче-
г исходные
180 40’
D
А
И
ским. Обычно в рабочих чертежах задаются
данные.
Диаметр цилиндра ......................
Наименьшая образующая .................
Наибольшая образующая .................
Графический способ. На фронтальной проекции ци-
линдра вычерчивают вспомогательную полуокружность,
которая делится на 8 равных частей. Точки 0, /, 2, . . . , 8
проектируются на усеченное основание цилиндра. Через
точки деления проводятся образующие цилиндра, отме-
ченные стрелками и обозначенные буквами Л,
Б, В, . . . , И.
На профильной проекции цилиндра верхнее
усеченное основание проектируется в виде
эллипса.
На горизонтальной прямой откладывается
отрезок, равный длине периметра окружности
нижнего основания. Отрезок делится на 16
равных частей и из точек деления восстанав-
ливаются перпендикуляры. На перпендикуля-
рах откладываются образующие А, Б, В, Г,
Д, Е, Ж,3,И с фронтальной проекции цилин-
дра. Порядок перенесения и расстановки об-
разующих виден из чертежа развертки. При
соединении верхних концов образующих плав-
ной кривой получается фигура развертки по-
верхности цилиндра.
Аналитический способ. Для примера (фиг. 32)
Дадим значения главным размерам цилиндра
R = у = 40
И = 103
А = 72
Фиг. 32. Цилиндр, усеченный наклонной плоскостью (а) и его развертка (б).
Радиус цилиндра .......
Наибольшая образующая .
Наименьшая образующая .
27
Решение. Четверть вспомогательной окружности делим
па 4 равные части, откуда получаем углы
04 = 22°30',
а2 = 45°,
а3 = 67°30'.
По данному радиусу R и известным углам находим отрезки
Н — R-sin 22°30'= 40-0,3827 = 15,3,
Л4 = 7? • sin 45° — Я = 40-0,707— 15,3 = 13,
Л = R- sin 67°30'— (Я + Л4) = 40-0,9239—(15,3 + 13) = 8,7,
Я =/? —(Я + Л1 + Л) = 40 —(15,3 + 13 4 8,7) = 3.
Для построения фигуры развернутого цилиндра необходимо
определить значения ординат Ц, X, Ф, У, Т, С, Р, П.
Значение Ц определяется как разность образующих цилиндра
Ц = И — А = 103—72 = 31.
Остальные значения ординат подсчитываются на основании при-
знаков подобия прямоугольных треугольников
Y_ R(D — K) _ 31.(80-3) _9QR
Л — D — 80 — 29,8.
Х-(2М+2Н+Л + К) _ 29,8(2-13+2.15,3 + 8,7 + 3) _ 0,
2Л + 2Л1+2Я + К — 2.8,7 + 2.13 + 2.15,3 + 3 ~ Л
ф.(2Н +Af +Л + К) _ 26,4(2-15,3 + 13 + 8,7 + 3) _
2/И+2Я +Л + К ~ 2-13 + 2.15,3 + 8,7 + 3 — 21,4
у.(Н + М+Л + К) _ 21,4 (15,3 + 13+ 8,7 + 3) .ее
7 ~ 2Н+М-\-Л + К ~ 2-15,3 + 13 + 8,7 + 3 °’0’
Т(М+Л + К) _ 15,5(13 4-8,7 + 3) q
//+7И+Л + К — 15,3+ 13 + 8,7 + 3 У’°’
Р = С<л + К) = 9.6(87 + 3) 4 fi
г М+Л + К' 13 + 8,7 + 3 ’ ’
п _ P-к _ 4,6.3 _ . 9
~ Л + К ~ 8,7 + 3 ~
28
Полученные значения складываются со значением заданной обра-
зующей А = 72.
Окончательно выписываются все необходимые данные для построе-
ния развертки цилиндра.
А = 72 (задано);
3 = А + П = 72 + 1,2 = 73,2,
Ж = А + Р = 72 + 4,6 = 76,6,
Е = А + С = 72 + 9,6 = 81,6,
Д = А + Т = 72 + 15,5 = 87,5,
Г = А+ У = 72 + 21,4 = 93,4,
В = А + Ф = 72 + 26,4 = 98,4,
В = А+ Х = 72 + 29,8 = 101,8,
И = 103 (задано);
Пользуясь окончательными данными, строят развертку, как пока-
зано на чертеже (фиг. 32, б).
Цилиндр с усеченными основаниями
Для построения развертки цилиндра с усеченными основаниями
(фиг. 33) вычерчивают на фронтальной проекции цилиндра полуок-
ружность радиуса Р, которую делят на 6 равных частей. Через точки
деления 1, 2, ... ,6 проводят образующие цилиндра, рассекаемые
плоскостью Р (Pv), перпендикулярной к образующим.
Образующие цилиндра, проектирующиеся в истинную величину,
обозначаются заглавными буквами А, Б, В, . . . , Н, О.
На профильной проекции верхнее и нижнее основания цилиндра
проектируются в виде эллиптических кривых.
На горизонтальной прямой, совпадающей со следом Pv пло-
скости Р, откладывается развернутая длина цилиндра, равная 2л7?,
которая делится на 12 равных отрезков. Через точки деления прово-
дятся перпендикуляры, на которых откладываются образующие А, Б,
В, . . . ,Н, О.
Соединив верхние и нижние концы образующих цилиндра плав-
ной кривой, построим искомую развертку боковой поверхности усе-
ченного цилиндра.
29
30
6)
Прочая стенка
°бшивки (б) и стенок кожуха (в).
Кожух с двумя стенками
Развертка кожуха. На профильной проекции чертежа (фиг. 34, а)
четверть круга радиуса R делят на 8 равных частей точками О”,
1", 2", . . . , 8". Полученные точки проектируют на фронтальную
проекцию, где через эти точки проводят образующие поверхности,
которые проектируются в истинную величину. Образующие рассе-
каются осевой линией на части А, Б, В, . . . и К, Л, М, . . ., Т,
На профильной проекции через точки деления проводятся обра-
зующие У, Ф, X, Ц, Щ, 10, Я, Ч для развертки стенок кожуха.
Расстояние между образующими на фронтальной проекции обозна-
чены для левой стенки буквами Ио, Ко, Ло, . . ., Ро, а для правой
стенки Ао, Бо, Во, . . . , 30.
Развертка обшивки кожуха. Для развертки обшивки кожуха гори-
зонтальную линию, равную nR (фиг. 34, б), делят на равные части. На
прямой строят 17 перпендикуляров, отстоящих друг от друга на рав-
ных расстояниях. На перпендикулярах откладывают вверх от прямой
отрезок К, Л, М, Н, О,П, Р, С,'Ти вниз отрезки А,Б,В,Г,Д,Е,Ж,3.
Концы отрезков соединяют плавными кривыми линиями, которые
обрисовывают контур развертки обшивки кожуха.
Развертка стенок кожуха. Для развертки стенок кожуха поль-
зуются отрезками прямых У, Ф, X, Ц, Щ, 10, Я, Ч.
Расстояния между отрезками для левой стенки определяются
значениями И9, Ко, Ло, . . ., Ро, а для правой — значениями Ло, Бо,
Bq, . . ., 3q.
Цилиндр с вырезами
На фиг. 35 изображен цилиндр с тремя вырезами на боковой
поверхности.
Главное в развертке заключается в том, чтобы правильно
построить очертания вырезов, заданные чертежом.
Развертка и построение вырезов. Полуокружность цилиндра
на фронтальной проекции делится на 16 равных частей. Точки деле-
ния обозначим 0, 1, 2, . . . , 8 и спроектируем их на профильную
проекцию цилиндра. Проектирующие линии рассекут боковую про-
екцию цилиндра по соответствующим образующим, которые обозна-
чим буквами Л, Б, В,. . . ,1Д, Я- Откладывается горизонтальный отре-
зок прямой, равный nd (эту прямую иногда называют строевой ли-
нией). Отрезок делится на 32 равные части. Через точки деления
на отрезке строятся перпендикуляры, на которые переносят отрезки
А, Б, В, Г......Я на профильной проекции чертежа.
Количество делений может быть большим или меньшим в зависи-
мости от величины цилиндра и крутизны вырезов. Обрисовка фигуры
развертки и контуры вырезов получаются в результате соединения
всех полученных точек плавными кривыми.
32
Кожух
Кожух, изображенный на фиг. 36, а имеет полуцилиндрическую
форму с вырезами и скруглениями кромок. Верхняя кромка прямо-
линейная.
Развертка кожуха. Развертку поверхности кожуха начинают
с разбивки четверти круга радиуса Р на 8 равных частей. Точки деле-
ния Г, 2', 3', 4', 5’, 6', Т, 8', 9', 10' проектируют на профильную
проекцию фигуры так, чтобы проектирующие линии пересекли все
кривые, в том числе дугу нижнего отверстия кожуха. Промежуточная
точка 5', делящая участок дуги 4—6 на две равные части, введена для
Уменьшения участка малой дуги 4—6 на нижнем вырезе. Точки пере-
сечения проектирующих линий с кривыми, изображенными на про-
фильной проекции кожуха, дают истинные величины ординат А, Б,
В, ... ,И, а также две остальные группы ординат К, Л, М, . . ., О
и 77, Р, С,. . ., Ч, необходимые для построения фигуры развернутого
кожуха.
На прямой 01 — 01 (фиг. 36, б) откладывают отрезок, равный
л/? + 277( (Щ — длина прямого участка кожуха). Участок, равный
длине пР, делят на 16 равных частей. Через точки деления прово-
дят отрезки, перпендикулярные линии 01 — Oi. Далее на перпенди-
кулярах откладывают ординаты А, Б, В,. . . , И; К, Л, М, Н, О;
и отрезки П, Р, С,. . ., Ч — точек деления 1, 2, 3, 4, .. ., 10. Соединив
концы ординат плавными кривыми, получим чертеж развертки
кожуха. Промежутки между ординатами Г и Е делятся дополни-
тельно на равные отрезки.
33
Круглое колено
Поверхность круглого колена (фиг. 37 и 38), согнутого под
углом 90°, может быть развернута приближенно, по с достаточной для
практики точностью, двумя способами: графическим и аналитиче-
ским. Приведем оба способа.
Графический способ. Колено (фиг. 37) делят на несколько равных
звеньев, в зависимости от требуемой точности построения развертки.
На данном примере колено разделено на 4 равных звена. Выполним
построение развертки, например, для звена КЛМН. На фронтальной
проекции звена проводят осевую линию 9—1 звена и полуокружность
9—5—/. Делят полуокружность на 8 равных частей» Из точек
3,4, . . . ,8 проводят линии Б, В, Г, Д, Е, Ж, 3 параллельно основа-
ниям звена ЛМ и КН, заменяя дуги хордами. Отрезки линий, отме-
ченные стрелками, являются ординатами для построения развертки
звена.
Откладывают отрезок прямой, равный и делят его на 16 рав-
ных частей, как показано на развертке. Через точки деления прово-
дят перпендикулярные линии, на которых откладывают соответст-
вующие ординаты. Порядок перенесения ординат виден из чертежа
развертки. Соединяя концы ординат плавными кривыми, получают
искомую развертку. По полученной развертке раскраиваются осталь-
ные 3 звена.
35
Аналитический способ. Покажем способ развертки одного
звена колеса, согнутого под углом 90°, па числовом примере
(фиг. 38).
Колено имеет: /? — 128 мм, г = 50 мм, D = 78 мм.
В аналитическом способе подсчета R берется равным не 130 мм,
как указано на фиг. 38, а, а 128 мм в связи со спрямлением
плавной кривой.
Делят колено на 4 равных звена. На фронтальной проекции звенья
имеют вид равнобедренных трапеций с параллельными сторонами
50 и 20 мм. Эти числа легко подсчитать, так как каждое из них пред-
ставляет восьмую часть развернутых полуокружностей данных ра-
диусов.
3,14.128
~8- = —8------
лг____3,14*50
Т ~= 8
Р е ш е н и е. На нижнем звене проводят среднюю линию тра-
пеции 9—1 и полуокружность с центром О в середине отрезка 9—1.
Полуокружность делят на 8 равных частей. Точки 1, 2, 3, . . . , 9
проектируют на среднюю линию трапеции, а полученные отрезки
на средней линии обозначают буквами А, Б, В, Г. Далее соединяют
центр О полуокружности прямыми с точками 2, 3 ,..., 8.
Таким образом получают 6 прямоугольных треугольников с гипо-
тенузами, равными ~, и углами, равными 22°30'; 45°; 67с30'. Поль-
зуясь этими данными, определяют значения отрезков А, Б,
В, Г.
А = -Jsin22c30' = 39x0,38268 = 15,
Б = -^sin45° —Д — 39x0,70711 — 15 = 12,6,
В = _£.sin67°30' — (Д + Б) = 39x0,91706- (154 12,6) = 8,2,
Г —(А + Б А-В) = 39 — (15412,64 8,2) = 3,2.
Теперь вводят дополнительные построения. Точки пересечения
стороны трапеции 9'—Г с проектирующими точек полуокружностей,
т. е. точки 8', 7', 6', 5f, 4', 3', 2', Г выносят вправо, параллельно
средней линии трапеции с таким расчетом, чтобы проектирую-
щие отсекли на стороне трапеции Г—1 отрезки д, е, ж, з, и, к,
л, м.
36
Определим значение отрезков д, е, ж, з, и, к, л, м, пользуясь
уже известными величинами, как исходными:
Р^78 = 2(Л + 5-ЬВ4-Г) и м --= =-15,
2А + 25 + 2S + Г = "ТУ = ~78~- откУда Л = 14,4,
2Д' + 25 + В~+~Г = ТУ’ откУда « = 12,7,
2Д + в + г = ТУ- откуда и = 10,3,
Л + 5 + В + г = ТУ’ 0Ткуда 3 = 7-5>
ж м .
~Б~-В + Г = ~D ’ 0ТКУДа Ж = 4’6’
= -р , откуда е = 2,2,
'Т~ откУда 0,6.
Полученные значения отрезков д, е, ж, з, и, к, л необходимо отпять
от наибольшей ординаты развертки.
Наибольшая ордината развертываемого звена выражена стороной
трапеции, равной 50 мм, она постепенно уменьшается, доходя до раз-
мера меньшей стороны трапеции, равной 20 мм. Промежуточные
ординаты теперь легко высчитать, они равны:
50 2 — д — 24,4, 50 2 14,7,
50 __ оо q 50 -к - 12,3,
2 сз - - ,О, 2
50 ; njp — 90 4 50 -.7== 10,6.
2 2
50 — ч -- 17 5 М ~~ 50 — 20 -2— = 10-
2 О - * 1 / , ,
На прямой линии откладывают отрезок, равный длине nD =
= 3,14-78. Отрезок делят па 16 равных частей. В точках деления
строят перпендикуляры, на которых откладывают вверх и вниз
от средней линии вычисленные ординаты в таком порядке, как это
показано на развертке.
Соединяя концы отрезков плавными кривыми, получают истин-
ную фигуру развертки звена.
Остальные звенья колена выкраиваются по этой развертке.
37
РАЗВЕРТКИ
ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ФИГУР
Пересечение двух прямых
круговых цилиндров
Развертка боковых по-
верхностей двух пересе-
кающихся цилиндров
имеет целью построение
кривой пересечения на раз-
вертке вертикального ци-
линдра и выреза на раз-
вертке горизонтального
цилиндра. Развертка обоих
цилиндров может быть
произведена двумя спосо-
бами — графическим и
аналитическим.
Рассмотрим оба спо-
соба.
Графический способ.
Для развертки боковой
поверхности вертикально-
го цилиндра (фиг. 39, б)
производятся следующие
построения. На фронталь-
ной проекции цилиндра
вычерчивается полуокруж-
ность радиуса R, которая
делится на 8 равных час-
тей. Через точки б, /, 2,
3, 4 проводятся образую-
щие вертикального цилин-
дра до пересечения с по-
верхностью горизонталь-
ного цилиндра. Образую-
щие проектируются без
искажения и обозначены
буквами А, Б, В, Г, Д.
Развертка вертикаль-
ного цилиндра. Прямая
длиной 2лR делится на 16
равных отрезков, которые
нумеруются в таком же
порядке, как точки деле-
ния окружности на фрон-
38
Фиг, 39. Графический способ пересечения двух прямых круговых цилиндров (а) и развертки
вертикального (б) и горизонтального (в) цилиндров.
тальной проекции цилиндра. Из точек 0, 1, 2, 3
к горизонтальной линии восстанавливаются перпен-
дикуляры, на которых откладываются образующие
А, Б, В, Г, Д. Нижние точки образующих соединя-
ются плавной кривой, которая является искомой
линией пересечения цилиндров. Фигура, ограничен-
ная прямой, образующими Д и кривой, является
искомой разверткой вертикального цилиндра.
Развертка горизонтального цилиндра. При по-
строении развертки горизонтального цилиндра
(фиг. 39, в) прежде всего развертывается его боковая
поверхность, у которой одна сторона равна nD,
а другая — К. На развертке строится сетка из
взаимно перпендикулярных линий, которые опреде-
ляют истинное положение точек на вырезе в цилин-
дре. Сетка строится следующим образом. В резуль-
тате вспомогательных построений, произведенных
на профильной проекции цилиндра графически опре-
деляются значения отрезков прямых Е, Ж, 3, И.
Далее параллельно осям развертки цилиндра откла-
дываются отрезки Е, Ж, 3, И, перенесенные с про-
фильной проекции и дуги 4'—3', 3'—2', 2'—Г,
Г—О', перенесенные с фронтальной проекции чер-
тежа. Проектируя отрезки до взаимного пересечения
определяют искомые точки, соединив которые полу-
чают истинный вид выреза на развертке горизон-
тального цилиндра. Нанесение сетки и построение
выреза понятны из чертежа.
Аналитический способ. Для построения разверт-
ки по аналитическому способу (фиг. 40) применя-
ются следующие построения. Четверть круга делится
на 4 равных части. Точки 0, 1, 2, 3, 4 соединяются
прямыми с точкой О'. Далее из точек /, 2, 3 опускают
перпендикуляры на вертикальную ось цилиндра.
Полученные построением три» прямоугольных тре-
угольника имеют подобные стороны и углы наклона
гипотенуз: 22°30', 45° и 67°30'. Производя подсчет
данных для построения развертки, вводят следу-
ющие буквенные обозначения: для катетов треуголь-
ников А, В, С я для отрезков, показанных на чер-
теже, Л, М, Н, Т, к, И, 3, Ж, Е.
Вычисление образующих вертикального цилиндра.
Порядок вычисления образующих лучше всего про-
следить на числовом примере. Дадим числовое зна-
чение радиусам обоих цилиндров и расстоянию от
39
Фиг. 40. Аналитический способ пересечения двух цилиндров (а)
40
развертка вертикального цилиндра (б) и горизонтального цилиндра (в).
41
оси горизонтального цилиндра до верхней плоскости вертикального
цилиндра:
7? = 625 — радиус горизонтального цилиндра;
= 400 — радиус вертикального цилиндра;
820 — расстояние от оси горизонтального цилиндра до
верхней плоскости вертикального цилиндра.
Определяем величину катетов А, В, С.
А ---= sin 22°30' = 400 X 0,3827 = 153;
В = 7?! sin 45° = 400 X 0,707 = 283;
С = 7?! sin 67°30' = 400 х 0,9239 = 367.
Вычисляем значения отрезков Л, М, Н, Т.
Л = = у 6253 — 1532 = 606;
М = ]/7?2 —В2 = У6252 —2832 = 557;
Н V R2 —С2 - J/6252 —3672 = 506;
Т = V R* — = ]/6252 — 4002 480.
Вычисляем величину образующих цилиндра К, И, 3, Ж, Е.
К = 820 — 7? = 820—625 - 195;
И = 820 — Л = 820—606 = 214;
3 = 820 — М = 820—557 = 263;
Ж = 820 — Н = 820—506 = 314;
Е = 820 — Т = 820—480 = 340.
По полученным значениям образующих строится развертка боко-
вой поверхности вертикального цилиндра способом, описанным при
графической развертке.
Развертка горизонтального цилиндра и построение выреза. Раз-
вертка цилиндра имеет вид прямоугольника со сторонами, равными
nD и К.
Для построения выреза строится сетка на основании вычислен-
ных элементов. Сетка состоит из отрезков прямых А, В, С, вычислен-
ных выше для развертки вертикального цилиндра, и величины дуг
О'—Г—2', . . . горизонтального цилиндра, вычисляемых следую-
щим образом.
Сперва находим углы Р2. ₽з, Р4 через их синусы.
sin ~ — -Щ- — 0,244, откуда = 14° 10',
sinp2 - -- = -gj- 0,452, откуда р2 = 26°55',
42
sin ₽з = 4 = ~ = 0,587, откуда p3 = 36°,
sin₽4 = = 0,64, откуда P4 = 39°50'.
По найденным углам вычисляем значения растянутых дуг соответ-
ствующих углов.
Длина дуги 4'—3' = -jJ-o • 14°10' = 154 мм.
Длина дуги 4’—2' = Р2 = —’ff5 26°55' = 293 льи.
Длина дуги 4'—Г = р3 = -3,1ff5 36°0' = 392 мм.
Длина дуги 4'—О' = ^- Р4 = -Ц|^-25 39°50' = 434 мм.
По полученным значениям отрезков А, В, Си значениям дуг
наносится сетка, согласно которой строится вырез. Эти построения
ясны из чертежа развертки горизонтального цилиндра.
Пересечение круговых цилиндров со смещенными
осями под некоторым углом
Развертка верхнего наклонного цилиндра производится следую-
щим образом.
На профильной проекции чертежа прочерчивается окружность
радиуса R (фиг. 41), которая делится па 12 равных частей. Через
точки 0, /, 2, . . . , 11 проводятся образующие, параллельные оси
наклонного цилиндра. На фронтальной проекции также проводится
окружность с последующим делением ее на 12 равных частей. Через
точки 0, /, 2,. . . , 11 проводятся образующие до пересечения с поверх-
ностью горизонтального цилиндра.
Для получения истинных величин образующих наклонного ци-
линдра необходимо точки 0f, Г, 2' , . . . , 1Г с фронтальной
проекции цилиндра спроектировать на профильную. Пересечение
проектирующих с наклонными линиями (образующими) на профиль-
ной проекции определит точки 0", 2", . . . , 11" кривой пересе-
чения цилиндров.
Отрезки наклонных линий, обозначенные заглавными буквами
Л, Б, 5, Г, Д, Е, Ж, 3, И, К, Л, Л4 представляют собой истин-
ные величины образующих наклонного цилиндра.
Прямая длиной 2л7? (фиг. 41, б); делится на 12 равных отрезков.
В точках 0, /, 2, . . . ,б восстанавливаются перпендикуляры, на кото-
рые откладываются истинные образующие Л, Б, В, . . . , 3. На чер-
теже развертки указан порядок откладывания образующих.
Соединив концы отрезков плавной кривой линией получим тре-
буемую развертку наклонного цилиндра.
43
Фиг. 42. Переходный патрубок с треугольника
44
ПЕРЕХОДНЫЕ ПАТРУБКИ
Патрубок с круговым верхним и треугольным нижним
основаниями
Для развертки поверхности патрубка (фиг. 42) находят его истин-
ные образующие с помощью диаграммы, которую строят следующим
образом. Круг верхнего основания разбивают на равное число частей,
как показано на горизонтальной проекции патрубка. Точки 1, 2,
3, 4, 5 на окружности соединяют с вершинами треугольника а — а —
а. Для построения диаграммы на перпендикуляре откладывают
от основания высоту патрубка /г, а по горизонтали отрезки а — /,
а — 2, а — 3, . . ., а — 5, взятые с горизонтальной проекции пат-
рубка.
Гипотенузы Б, В, Г, Д, Е, Ж являются истинными образующими
патрубка.
Из середины отрезка а — о — а, равного стороне нижнего основа-
ния патрубка, восстанавливают перпендикуляр, на котором откла-
дывают луч В, снятый с диаграммы. Конечную точку 1 перпендику-
ляра соединяют с точками а — а. Полученный треугольник а — 1 —а
представляет развертку плоского участка поверхности патрубка.
Далее из точки а радиусом, равным лучу Г, прочерчивают дуги около
точки /, из которой радиусом, равным хорде /—2, взятой с горизон-
тальной проекции патрубка, засекают дуги в точках 2.
Так же и в той же последовательности строят остальные точки 5,
4, 5, 4, 3, 2, 1 при соединении которых плавной кривой получим раз-
вертку одной трети криволинейного участка патрубка.
Построение остальных участков патрубка производится анало-
гично. Найденные точки соединяют плавной линией, являющейся
разверткой верхнего основания, а нижние прямые отрезки — раз-
верткой периметра нижнего основания патрубка. Луч Ж является
линией стыка развернутого патрубка.
на круг (а) и его развертка (б).
45
Фиг. 43. Переходный патрубок
46
Переходный патрубок с нижним прямоугольным
и круглым верхним смещенным основаниями
Диаграммы истинных образующих, необходимых для развертки
поверхности патрубка (фиг. 43), строят следующим образом. Окруж-
ности верхнего основания делят на 16 равных частей. Точки деления
0,1,2... 8 соединяют с вершинами a, b, t, с прямоугольника ниж-
него основания патрубка, как показано на горизонтальной проекции.
Рядом с фронтальной проекцией патрубка или в другом удобном месте
строят две взаимно перпендикулярных- линии. На вертикальной ли-
нии откладывают высоту патрубка Н, а на горизонтальной линии
откладывают отрезки прямых 0— х, b — 1, b — 2, . . . , взятые
на горизонтальной проекции чертежа. Лучи на диаграмме, представ-
ляющие собой истинную величину образующих Г, Д, Е,. . . , Ф,
получаются соединением концов отрезков 0 — х, b — 1, b — 2 . . . .
с точкой s.
Откладываем ребро нижнего основания патрубка а — X — b
(фиг. 43, б). Через середину этого ребра восстанавливается перпеидику-
с квадрата на круг (а) и его развертка (б).
ляр, на котором откладывается луч Г. Точка 0 соединяется прямыми с
точками а и Ь. Треугольник аОЬ является плоским участком поверх-
ности патрубка. Далее следует построение развертки криволинейных
участковая и Ь04 патрубка. Строятся они по точкам /, 2, 5, 4, полу-
чаемым пересечением радиусов лучей Д, Ж, 3, И и снятых с горизон-
тальной проекции* патрубка радиусов хорд 0 — /, 1—2, 2—3, 3—4.
Далее выполняется построение еще двух треугольников а4с и b4t —
плоских участков патрубка. Строятся они нахождением точек с и t
путем пересечения радиусов луча К со стороной нижнего ребра ас,
взятого с горизонтальной проекции патрубка. Построение криволи-
нейных участков поверхности с48 и t48 производится аналогично
участкам а04 и Ь04. Что касается треугольников cYS, то вместо пол-
ct
ного ребра ct берется его половина, т. е. так как луч Ф разъеди-
няет симметрично на две половины плоский участок поверхности
патрубка c8t. Если развертываемая поверхность больше габарита
размечаемого стального листа, то стыки делаются на плоских участ-
ках поверхности.
47
48
Конический патрубок
Развертка патрубка (фиг. 44, б), у которого плоская часть поверх-
ности плавно переходит в коническую, производится следующим
геометрическим приемом. Половика окружности верхнего основания
патрубка делится на восемь равных частей точками 1,2,3, . . ., 9.
Четверть окружности нижнего основания делится на четыре равные
части точками Л, 2Ь 3i, 4L, 5i. Точки соединяются между собой так,
как показано на горизонтальной проекции патрубка (фиг. 44, а).
Далее проекции образующих и диагоналей откладываются на гори-
зонтальном катете прямоугольного треугольника, гипотенузы кото-
рого дают истинные величины образующих В, Д, Г, Е, Ж, 3, У, И,
Л, Р, Ч, Т и диагоналей К, М, С, Т.
На вертикальной линии откладывается образующая И, взятая
с диаграммы. Из точки 1 радиусом 1\ прочерчиваются дуги слева
и справа от точки Ц, Из точки Ц радиусом хорды Ц—2V засекают
дуги в точках 2Ь Для нахождения точек 2 верхней дуги следует
из точек 21 раствором циркуля, равным лучу Л, прочертить дуги
около точки /, а из последней раствором циркуля, равным хорде/—2,
засечь эти дуги.
Таким же способом находят точки 51 и 3, 4Г и 4, 51 и 5. Для по-
строения плоских участков поверхности патрубка из точки 5 ради-
усом луча 3 прочерчивают дугу, которую засекают из точки 51 рас-
твором циркуля, равным хорде 5Х — tz, взятой с горизонтальной
проекции патрубка. Построение криволинейных участков 5—9 и
51—а поверхности патрубка и замыкающей плоской части в виде
треугольника производится так же, как и предыдущих участков.
Луч В является разъемной (стыковой) линией развернутой поверх-
ности патрубка.
49
Фиг. 45. Конусный патрубок (п)
50
Конусный патрубок со смещенным верхним основанием
Для построения развертки патрубка (фиг. 45), представляющего
собой эллиптический конус с круговыми основаниями, делят поло-
вину верхнего и половину нижнего оснований конуса на оди-
наковое число равных частей. Точки деления /, 2, 5, . . ., 8 и
Л, 2Ь 51, . . ., 8L соединяют между собой прямыми, которые проек-
тируются искаженно. Для построения развертки необходимо опре-
делить истинную величину как образующих конуса (А, В, Л), так
и диагоналей (Б, Г, Е ... ), проведенных между четырьмя точками
О—]—1—0, которые определяются, как гипотенузы прямоугольных
треугольников, катетами которых служат высота конуса Н и гори-
зонтальная проекция соответствующей образующей. Построение раз-
вертки в этом случае сводится к построению ряда треугольников
по трем сторонам.
На перпендикуляре 001 откладывается луч Л, снятый с диаграммы.
Из точки Oi радиусом луча Б и из точки 0 радиусом хорды 0—1
находится точка пересечения 1. Из точек 1 радиусом луча В и из
точки Oi радиусом хорды Oi—li находится точка Ц. Далее в той же
последовательности, пользуясь лучами диаграммы и хордами дуг,
взятых на проекциях оснований конуса, находят все остальные
точки развернутых кругов верхнего и нижнего оснований патрубка.
Соединяя верхние и нижние точки плавными линиями, получают
фигуру развернутой поверхности патрубка. Лучи У — являются
линиями разъема (стыка) патрубка.
и его развертка (ф.
51
<9
Фиг. 46. Эллиптический патрубок (а)
52
Эллиптический патрубок
Поверхность эллиптического патрубка (фиг. 46) развертывается
аналогично патрубку с круглыми основаниями. Полуэллипсы верх-
него и нижнего оснований патрубка делим на шесть равных частей.
Соединив точки 0, /, 2, . . ., и 01? Л, 2j прямыми, получим горизон-
тальные проекции образующих поверхности патрубка.- Поверхность
между двумя смежными образующими принимают за плоский четы-
рехугольник, у которого две другие стороны являются хордами 0—1
и Л; 1—2 и /1—Л. Следовательно, развертку конусного эллипти-
ческого патрубка можно заменить построением развертки усеченной
пирамиды. Для построения на развертке четырехугольника, кроме
его сторон, необходимо провести одну из диагоналей, так как пост-
роение развертки сводится к построению ряда треугольников
—0—/, 01—1—1\ ит. д., для построения которых необходима диаго-
паль четырехугольника. Истинные величины образующих и диаго-
налей четырехугольников определяются способом прямоугольного
треугольника, и их построение представлено на диаграмме.
На вертикальной прямой откладывают образующую (фиг. 46, б),
взятую с диаграммы. Из точки Д, как из центра, радиусом 3 прочер-
чивают дуги около верхней точки б, а из последней, как из центра,
производят засечку дуг радиусом хорды 0—/, замеренной циркулем
на горизонтальной проекции патрубка. Далее из точки 1 радиусом Б
проводят дуги, которые засекают радиусом хорды OY—1 из точки бь
Пересечение дуг определит положение точек Л—Л. В таком же по-
рядке, соблюдая последовательность, находят все остальные точки
разверток эллипсов. Соединяя верхние и нижние точки плавными
кривыми, получают контур развернутой поверхности патрубка.
53
Фиг. 47. Патрубок, переходный с овала
54
Переходный патрубок с овала на круг
Патрубок, представленный на фиг. 47, а, имеет плавные обводы,
переходящие с нижнего овального основания на круглое верхнее.
Для развертки его поверхности выполняют вспомогательные построе-
ния на горизонтальной проекции, как это показано на чертеже.
Вспомогательные построения выполняют только для одной четвер-
той части поверхности, так как она симметрична остальным. Раз-
вертка строится по образующим и диагоналям, найденным с помощью
диаграммы образующих, которые обозначены на данном примере
на круг, (а) и его развертка (б).
буквами Л, Б, В, . . ., Д'. Проекции образующих и диагоналей полу-
чены делением четверти овала и четверти круга на соответственно
равные части и последующим соединением точек деления кривых
прямыми отрезками 0—Oi, Oi—/, 1—Л, . . ., 4Х—5. Построение диа-
граммы образующих ясно из чертежа диаграммы.
На вертикальной прямой откладывается отрезок прямой 0—0г
(фиг. 47, б), равный длине образующей патрубка Л, замеренной
на диаграмме образующих. Из точки радиусами равными обра-
зующей К прочерчиваются дуги вокруг точки О. Из последней,
как из центра, засекаются дуги в точках /, раствором циркуля,
равным длине хорды 0—/, взя-
той на горизонтальной проекции
чертежа патрубка. Таким же спо-
собом, но в обратном направлении
из точек 1 определяются точки Л
и все остальные точки на верхней
и нижней кривой развертки чет-
вертой части поверхности патруб-
ка. Фигура развертки получается
соединением полученных точек
вверху и внизу плавными кри-
выми.
Овальный патрубок,
расширяющийся кверху
Для вычерчивания развертки
овального патрубка (фиг. 48) тре-
буется предварительно найти его
истинные образующие. Их нахож-
дение производится следующим об-
разом: дуги верхнего и нижнего ос-
нований патрубка делятся на рав-
ные отрезки точками О, /, 2,. .., 9
и 61, Л, 2х, . . ., 919 как пока-
зано на горизонтальной проекции
чертежа. Прямые, соединяющие
точки, являются катетами прямо-
угольных треугольников с гипо-
тенузами, которые соответствуют
искомым истинным длинам обра-
зующих патрубка. Вторым кате-
том треугольников является вы-
сота патрубка Н. На диаграммах
треугольников гипотенузы (истин-
ные образующие патрубка) обо-
значены буквами.
55
3,-4 6,-7
к±
2-2,
1-h
Фиг. 48. Патрубок конический
56
Пользуясь найденными образующими, строят развертку
(фиг. 48, б).
На вертикали 0—0lt из произвольно взятой точки 01 отклады-
вается образующая А. Из точки 01 радиусом образующей Б справа
и слева от точки 0 прочерчивают дуги. Далее из точки 0 радиусом
О—1, равным части большой дуги, производят засечку дуг радиуса Б
в точках 1. Из точек 1—1 радиусом образующей В прочерчивают
дуги около точек Л—Д, а из последних, радиусом, равным части
малой дуги 01—11, производят засечку дуг в точках Д—Д. В такой же
последовательности находят точки 2, 3, 4 и 2i, 3i, 4Х. Точки 5 находят
радиусами, равными длине прямой нижнего основания 4—5. Таким же
способом находят остальные точки обеих кривых — наружной и внут-
ренней. Соединив точки плавными кривыми получим фигуру раз-
вертки.
Кожух судовой дымовой трубы
На фиг. 49 представлена конструкция кожуха дымовой трубы,
принятая на плавающих судах. Кожух овальной формы, заканчи-
вающийся сверху наклонным овальным козырьком. Поверхности
кожуха и козырька развертываются отдельно.
Развертка основного кожуха.
Ввиду симметричности кожуха
относительно оси 0—8 данные для
построения развертки получают
делением кривых на горизонталь-
ной проекции кожуха (верхние
половины) на произвольное число
равных частей (фиг. 49, а). Со-
единив точки деления, получим
образующие поверхности. Далее
в каждом четырехугольнике штри-
ховой линией проводится диаго-
наль. Способом прямоугольного
треугольника на диаграммах опре-
деляются истинные величины обра-
зующих А, Б, В, Г, ... и диаго-
налей К, Л, М, ... По истинным
величинам образующих, диагона-
лей и по хордам между точками
делений кривых по треугольникам
строится развертка, аналогично
ранее рассмотренным случаям.
Развертка козырька. Диаграмма
образующих козырька построена
на фронтальной проекции кожуха
дымовой трубы.
Катеты Д—/2 . . . 71—7\ и от-
резки 01—02, 02—h для построе-
ния диаграммы взяты с горизон-
тальной проекции козырька. Дру-
гим катетом служит высота ко-
зырька. Гипотенузы, т. е. истин-
ные величины образующих ко-
зырька обозначены буквами Ао,
Бо, Вй, . . ., Ро- Диаграмма для
образующих Оо, По, Ро построена
слева. Построение развертки ко-
зырька аналогично построению
развертки кожуха трубы.
57
58
8
и его развертка (б).
59
СЛОЖНЫЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ФИГУРЫ
Ангар с патрубком
На чертеже фиг. 50 изображен ангар в двух проекциях. На про-
фильной проекции дан главный вид ангара с усеченным цилиндри-
ческим патрубком, располагающимся сверху. На фронтальной про-
екции изображен вид ангара справа с одной половиной патрубка,
на котором даны вспомогательные построения для развертки ангара.
Форма ангара — конусная арка.
Поверхность ангара развертывается по составляющим его эле-
ментам, т. е. отдельно поверхность патрубка и отдельно поверх-
ность ангара.
Развертка патрубка. Для того чтобы развернуть патрубок, необ-
ходимо предварительно выполнить следующие построения. На про-
фильной проекции патрубка вычерчивается полуокружность, кото-
рая делится на 6 равных частей. Точки 09 /, 2, 3, 4, 5, 6 — проекти-
руются на образующую 7"—7". Через точки 02, 12, 22, . . . проводят
образующие вертикального патрубка.
Точки пересечения 02, /2, 22, 32, 42, 52, 62 координируют отно-
сительно главной оси ангара, обозначая координаты буквами Л,
В, В, Г, Д, В, Ж.
Для установления величины образующих цилиндра определяем
точки пересечения образующих с конической поверхностью
ангара, которые определят также линию пересечения патрубка
с ангаром.
Для этого из центра 0$ радиусами, равными величинам Л, В,
В, . . ., Ж на фронтальной проекции проводятся дуги до пересечения
с соответствующими образующими цилиндра. Соединив получен-
60
л-d,
и кожух ангара (в).
Диаграмма образующих кожу* а
ангара
61
ные точки О', /', 2', . . . пересечения образующих с дугами, получим
кривую пересечения цилиндра с ангаром на фронтальной плоскости.
Спроектировав полученные точки на соответствующие образующие
на профильной проекции и соединив полученные точки О", Г, 2\ . . .
. . ., 6” кривой, получим кривую пересечения тел на профильной
проекции.
Для построения развертки патрубка проводим горизонтальную
линию 6—6, на которой откладываем двенадцать хорд 0—1. Из точек
деления, перпендикулярно к линии 6—6, откладываются отрезки
образующих цилиндра М, Н, . . ., И и У, Ф, . . ., Д. Соединив
концы отрезков кривыми, получим фигуру развертки усеченного
цилиндра.
Развертка кожуха ангара. На фронтальной проекции ангара
делим левую часть дуг концентрических полуокружностей на рав-
ные части. Соединяем точки 7\ и 7'; Si и S'; 9\ и 9' и т. д., затем точки
7\—8'\ 8\—9'; 9'1—10', т. е. проводим диагонали. После этого строим
диаграмму для определения истинных величин образующих кожуха
ангара Р, Т, С. Построение диаграммы ясно из чертежа. Пользуясь
данными диаграммы, строим развертку кожуха следующим образом.
На произвольно взятой вертикальной прямой откладываем длину
кожуха 71—7, равную отрезку Р. Из точки 7Ь как из центра, прочер-
чиваем дуги слева и справа от точки 71 раствором циркуля, равным
длине С, снятой с диаграммы образующих. Засечку дуг производим
из точки 7 раствором циркуля, равным одной четвертой части дуги
7'—S', взятой с фронтальной проекции ангара. Полученные таким
образом точки 8 являются в свою очередь исходными центрами для
прочерчивания дуг около точки 7Ь Засечка этих дуг производится
раствором циркуля, равным длине участка малой дуги 71—S| сня-
той с фронтальной проекции кожуха. Длина участка берется не по
дуге, а по хорде, что дает для практических целей вполне удовлетво-
рительную точность развертки. Дальше в той же последовательности
и таким же способом находят все остальные точки кривых 9, 10,
Ии 9,, 101, /Л.
В заключение остается найти точки 12 и 12г. Находят
точку 12 на пересечении дуг с радиусами И—12 и Т. Затем находят
точку /2г на пересечении дуг с радиусами 11Y—12i и Р.
Соединяя точки 12 с точками /21 прямыми линиями, получают
конечные кромки развертки.
Промежуточные нижние точки /Л, 10i, 9}, Sj, 7Ь Si, 9i, 10i,
Hi и верхние точки //, 10, 9, 8, 7, 9, 10, И соединяют плавными
кривыми, которые окончательно обрисовывают контур развертки
кожуха.
Отверстие в развернутом кожухе. Для того чтобы разметить
отверстие на развернутом кожухе на вертикали 71—7 переносят
точки 02, /2, 22, 32, 42, 52, 62 с профильной проекции ангара. Через
отложенные точки проводят дуги паралелыю верхней кривой раз-
62
вертки кожуха 9—8—7—8—9. Параллельность обеспечивается засеч-
кой смежных наклонных Р одним и тем же отрезком прямой, счи-
тая начальными точками для засечки точки 8 и 9. Например, тре-
буется через точку 32 провести дугу 3—32. Для этого отрезок 7—
32 сначала откладывается на наклонной линии 8—Si, а потом
на наклонной линии 9—91, считая точки 8 и 9 началом отрезков.
Такое построение достаточно для проведения дуги параллельно
данной.
Так строятся остальные 4 дуги через точки /2, 22, 42, 52. Для
того чтобы построить кривую отверстия, надо определить положе-
ние точек /, 2, 3, 4, 5 на дугах. Определяются они следующем спо-
собом. На фронтальной проекции ангара замеряют сначала дугу
радиусом Б от оси до точки /' и откладывают ее па кривой /—12—
1 от точки 12 вправо и влево, что определяет положение точек /.
Потом замеряют дугу радиусом В от оси до точки 2' и этот размер
откладывают на дуге 2 — 22 —2, определяя этим положение точек 2.
Так определяется положение остальных точек кривой, соединив
которые, получаем контур отверстия под патрубок.
Развертка усеченного конуса, пересекающегося с цилиндром
Для построения развертки поверхности усеченного конуса, пере-
секающегося с цилиндром (фиг. 51), выполняют следующие геомет-
рические построения. На хорде / радиусом 1/2 вычерчивается полу-
окружность 5'—1—5', которую делят на восемь равных частей.
Точки деления /, 2, 3, 4, 5 полуокружности проектируют на хорду /.
Полученные точки /ь 2[, Зь 4[, 5' соединяют с достроенной верши-
ной конуса О'. Образующие конуса О'—/1, 0'—2Ь . . ., О'—5' пере-
секают дугу цилиндра в точках /', 2', 3', 4', 5'. Точки пересечения
/', 2', . . . проектируются на крайнюю (левую или правую) образую-
щую цилиндра, на которой отсекаются отрезки А, Б, В, Г, Д, рав-
ные истинным величинам образующих конуса.
По формуле
л/
Й7Т _ I
а 180 180
определяется угол развертки поверхности конуса, где I — длина
хорды, равная диаметру основания конуса. Пользуясь найденным
углом развертки и образующими вычерчивают окружность радиуса
/?1 и на дуге окружности откладывают угол развертки а. Дугу угла а
делят на 16 равных частей, проводят образующие, на которых откла-
дывают отрезки А, Б, В, Г, Д в порядке, указанном на чертеже раз-
вертки (фиг. 51, б).
Контур развертки обрисовывается соединением концов образую-
щих плавными кривыми линиями.
Развертка перевернутого конуса, пересекающегося с цилиндром
Для построения развертки конуса, пересекающегося с цилиндром
(фиг. 52) проводим полуокружности диаметром D на обеих проек-
циях фигуры. Делим полуокружности на одинаковое число частей
и точки деления проектируем на диаметр D. Точки Oi, 1\, 2J, 3[
и Oi, l’i, 2], 31 соединяем с достроенной вершиной конуса О, которую
получаем продлением крайних образующих. Образующие пересе-
кают поверхность цилиндра в точках О', Г, 2', 3' й О", Г, 2', 3".
На фронтальной проекции фигуры точки О', Г, 2', 3' проектируем
параллельно диаметруD на образующую конуса. Получаем отрезки Л,
Б, В, Г, представляющие истинные образующие конуса, по которым
строится развертка. Проектируя точки О’, Г, 2', 3' на профильную
проекцию до пересечения с соответственными образующими полу-
64
чим точки 0", 1", 2", 3", соединив которые получим линию пересече-
ния тел.
Развертка конуса. Для развертки поверхности конуса опре-
деляется центральный угол а по формуле
а = (я.П).-^-.
Длина L определяется построением, а величина D задается.
Построение развертки конуса аналогично строению рассмотрен-
ных выше разверток.
Развертка цилиндра. На фиг. 52, в показана часть развернутой
поверхности абвг цилиндра, на которую нанесена кривая сопряжения
конуса с цилиндром. По этой кривой производится разметка отвер-
стия на плоской заготовке цилиндра. Отверстие строится по проек-
циям точек О", Г, 2', 3" и хордам О'—Г, Г—2', 2'—3', как показано
на чертеже.
G5
Пересечение цилиндра со смещенным усеченным конусом
На чертеже фиг. 53 изображен цилиндр, пересекающийся с усе-
ченным конусом, смещенным на величину Y от вертикальной оси
цилиндра, и основание которого располагается на величину X
выше его горизонтальной оси. Требуется построить развертку конуса.
Продолжая крайние образующие, определяют вершину s конуса
на обоих проекциях, строят основание конуса, полуокружность
которого делят на шесть равных частей. Проектируя точки 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6 на обоих проекциях фигуры на основание конуса и соеди-
няя их прямыми с точкой s получим образующие конуса.
Образующие пересекают усеченную часть конуса в точ-
ках 6i—Oi и окружность цилиндра в точках 6'—3'—Г—О’. Получен-
ные точки проектируют на профильную проекцию фигуры, и, соеди-
нив их, получают изо-
бражение с усеченной
частью конуса и линию
пересечения конуса цилин-
дром.
Данные для развертки
конуса определялись на
фронтальной проекции и
обозначены буквами А, Б,
В, Г, Д, Е, Ж, 3, И, К,
Л, М, Н, О, Ro- Величины
Н, D, X, Y — задаются.
Из произвольно взятой
точки s, как из центра,
прочерчивают дугу радиу-
сом Ro, снятым с фрон-
тальной проекции конуса.
На дугу и вдоль по ее кри-
визне из точки 0 (фиг. 53, б)
в обе стороны откладывают
по 6 равных частей, со-
ставляющих вместе раз-
вернутую длину окружно-
сти. Точки 61, /1, 21,. . ., 61
соединяют с вершиной раз-
вертки s лучами, на кото-
рых откладывают значения
отрезков Л, Б, В, ..., Ж
и 3, И, К, . . ., О, снятых
также с фронтальной про-
екции конуса. При откла-
дывании отрезков необхо-
димо соблюдать порядок,
указанный на приводимой
фигуре развертки, в про-
тивном случае развертка
может исказиться. Обри-
совка фигуры развертки
получается соединением
концов отложенных отрез-
ков плавными кривыми.
67
$
68
Развертка наклонного усеченного конуса
пересекающегося с цилиндром
Для построения развертки находят вершину конуса s (фиг. 54, а).
Далее определяют проекции истинных образующих конуса. Для
этого проводят вспомогательные полуокружности радиусом г на обеих
проекциях конуса. Полуокружности делят на 6 равных частей.
Точки деления проектируют на отрезки 13'—4' и 7\—1\. Получен-
ные точки Л, 2\ .. . и 1\, соединяют с вершиной конуса s. Далее
для определения истинных образующих конуса точки Г и 7', 2'
и 6', 3' и 5' и 4' с фронтальной проекции конуса проектируют на
профильную проекцию, где проектирующие пересекают лучи (про-
екции образующих конуса) в точках /", 2", 3", 4", 5", 6", 7". Эти точки
определяют истинные величины длин, образующих Л, Б, В, Г,
Д, Е, Ж, а также линию пересечения тел.
Построение развертки конуса ясно из чертежа. Дугу радиуса R
делят на 12 равных частей и на лучах (образующих), проведенных
через точки деления, откладывают отрезки Л, 5, В,. . ., Ж в порядке,
указанном на развертке.
Пересечение цилиндра с прямым конусом
Для построения развертки цилиндра
(фиг. 55) необходимо определить истинные ве-
личины его образующих.
На горизонтальной проекции цилиндра
полуокружность делят на 8 равных частей.
Точки деления /, 2, 5, . . ., 9 поворачивают
вокруг центра 0 до смещения с диаметром
цилиндра в точках Л, 2lf 3iy . . ., 81. Радиусы
для поворота точек деления вокруг центра О,
обозначенные 1—0, 2—0, 3—0, . . ., 9—О, пока-
заны на горизонтальной проекции чертежа.
Далее точки Л, 2Ъ Зь . . ., 9i проектируют на
образующую фронтальной проекции конуса и
получают новые точки 1\, 2Ь <?ь . . 9[.
Для определения истинной величины обра-
зующих цилиндра полуокружность основания
цилиндра на фронтальной проекции делят на
8 равных частей. Через точки деления 1, 2, 3,
. . ., 8 проводят образующие цилиндра. Пере-
сечение образующих и горизонтальных пря-
мых, проведенных из точек 2\, 3{, 4\, . . ., 8\,
как показано на фронтальной проекции, опре-
деляет точки кривой 11, 22, 3'2, 42, . . . , 9[.
Отрезки Л, Б, В, Г,Д, Е, Ж, 3, //являются
искомыми образующими цилиндра, с помощью
которых строят развертку.
Прямую, равную nd, делят на 16 равных час-
тей, как показано на чертеже развертки. На
перпендикулярах откладывают истинные обра-
зующие, придерживаясь порядка, показанного
на приводимом примере. Соединением концов
образующих плавной кривой обрисовывают
фигуру развертки.
69
70
71
Пересечение смещенного прямоугольного патрубка с полусферой
Для развертки патрубка (фиг. 56) задаются следующие размеры:
7?— радиус шара; И — высота патрубка; Ж— большая из сто-
рон патрубка; Е — меньшая из сторон патрубка; А — смещение
патрубка относительно вертикальной оси, проходящей через центр
шара.
По этим данным определяются значения R2> Rs, а также Б,
В, Г, необходимые для построения развертки патрубка. Эти вели-
чины определяются следующим путем. На фронтальной проекции
фигуры замеряются высоты 7?i и Т?2 и> приняв их за радиусы на про-
фильной проекции, прочерчивают дуги на левой и правой боковых
гранях Ж патрубка. Дуги являются линиями пересечения патрубка
с шаром (полусферой). Центром для этих дуг является проекция
центра шара. Высота 7?3, замеренная на профильной проекции, при-
нимается за радиус дуги, по которой грани Е пересекаются с полу-
сферой. Дуги определят истинные значения Б, В, Г, Д элементов
граней патрубка. По найденным значениям и данным, приводимым
на рабочих чертежах, строят развертку патрубка. Построение раз-
вертки понятно из чертежа.
Развертка смещенного цилиндрического патрубка,
пересекающегося с полусферой
Для построения развертки цилиндра (фиг. 57) на фронтальной
и профильной проекциях радиусом проводят окружности, каждую
из которых делят на 12 частей. Через точки деления проводят обра-
зующие цилиндра. Для возможности построения развертки цилиндра
строим линию пересечения цилиндра с поверхностью полусферы.
Точки пересечения образующих с контуром полусферы О', 2',
3', . . ., 6' определяют величины радиусов П, Н, М, . . ., 3, по которым
рассечется полусфера, если через образующие провести секущие
плоскости. На профильной проекции с помощью радиусов /7, Н,
М, . . ., 3 строим точки 0", 7", 2", . . . , 6", которые являются точками
кривой сечения, определяющими истинные величины образующих Д,
Б, В, Г, Д, Е> Ж.
Прямая длиной 2л7? делится на 12 равных частей (фиг. 57, б).
Через точки деления проводят перпендикуляры, на которых откла-
дывают в порядке, указанном на фигуре развертки, образующие Д,
Б, В, . . ., Ж- Соединив концы образующих плавной кривой, полу-
чают развертку поверхности цилиндра.
72
73
74
Развертка овального цилиндрического патрубка,
пересекающегося с наклонным конусом
На чертеже фиг. 58 изображен овальный цилиндрический патру-
бок, насаженный на наклонный конус, с круговым основанием.
Для. построения развертки на фронтальной и на профильной
.проекциях чертежа строят тонкими линиями сечение патрубка.
Сечение делят на части: полуокружность радиуса У? на шесть частей,
а прямолинейный участок — на две части. Таким образом, весь патру-
бок делится на 16 частей. Через точки деления 0, 1, 2, 3, ..., 8 прово-
дят образующую цилиндра до пересечения с осевой О—О конуса.
Отрезки прямых между образующей конуса и линией центров обо-
значают: 7?0, 7?1( 7? 2, Л3, Rs, Re, Т?7, Т?8. Далее центры радиусов
7?0, Ri, • • ., Rs проектируют на вертикальную ось фронтальной про-
екции конуса. Из центров этими радиусами прочерчивают дуги,
как показано на чертеже, до пересечения с соответствующими обра-
зующими, проведенными через точки 0, 1, 2, . . ., 8 на фронтальной
проекции. Точки О', Г, 2', 3', . . ., 8', найденные пересечением дуг
с проекциями образующих цилиндра, являются точками кривой
пересечения патрубка с конусом на фронтальной проекции патрубка.
Линия пересечения определяет истинные длины образующих патрубка
А, Б, В ... И, требуемых для построения его развертки. Построе-
ние фигуры развертки с обрисовкой линии сопряжения патрубка
с конусом ясно из чертежа.
и развертка патрубка (б).
75
дымоходы
Дымоход водотрубного котла
конструкции А
Конструкция дымохода
фиг. 59 состоит из четырех
боковых наклонных плоско-
гранных стенок, /, II, III,
IV и нижней арочной стен-
ки К Для построения раз-
вертки дымохода необходимо
развернуть в отдельности
каждый элемент его кон-
струкции. Развертка первых
четырех стенок не представ-
ляет особой сложности, чита-
тель поймет это из чертежа.
Для развертки стенки V не-
обходимо предварительно
сделать следующее.
На профильной проекции
дымохода дугу полуокруж-
ности радиуса 7? делят на 4
равные части. Точки О", Г,
2\ 3", 4" проектируют на
фронтальную проекцию ды-
мохода. Через полученные
точки О', Г, 2', . . ” прово-
дят образующие полуцилин-
дрического участка поверх-
ности арочной стенки. Далее
основание дымохода на фрон-
тальной проекции делится
пополам и проводится вер-
тикальная осевая линия, ко-
торая делит образующие на
части В, Г, Д, Е, Ж, И. На
кривой радиусом R (про-
фильная проекция), задают-
ся значения Во и Го, опре-
деляющие координаты точек
1 и 5.
На горизонтальной пря-
мой откладывается отрезок
равный Б + пД + Б. Учас-
ток прямой пД делится на 4
равные части. Через точки
деления 0, 1, 2, 3, 4 и конеч-
ные точки проводятся линии.
76
Фиг. 59. Дымоход водотрубного котла конструК'
ции А (а) и развертки стенок дымохода (б).
Стенка I
Стенка и
77
перпендикулярные к горизонтальной прямой. Далее
на перпендикулярных линиях откладываются отрез-
ки прямых Л, В, Д, Ж, Г, Е, Я, взятые с фрон-
тальной проекции. Соединив верхние и нижние кон-
цы отрезков плавными кривыми, получают контур
развернутой стенки V.
Дымоход водотрубного котла конструкции Б
Конструкция дымохода, представленного на
фиг. 60. отличается от рассмотренного дымохода
(фиг. 59) наклоном арочной стенки V и конфигура-
цией остальных плоскогранных стенок I, //, III,
IV, однако принцип развертки боковых стенок ни-
чем не отличается от рассмотренного выше при-
мера.
Для развертки стенки V на профильной проекции
дымохода полуокружности радиусом 7? делятся на
равные части. На чертеже оба радиуса даны одина-
ковыми, что не обязательно. Точки 0", Г, 2",
и 0\, Г[, 2"г лежащие на полуокружностях, проекти-
руются на фронтальную проекцию дымохода. Соеди-
нив точки О', Г, 2' и 0\, 1\, 2\ прямыми, получим
образующие поверхности, которые рассекаем пер-
пендикулярной осевой линией. Образующие пересе-
каются осью на части Щ, fl, X, Ц, Ф. Из точки б'
проводится линия, параллельная образующим. Осе-
вая рассекает эту линию на части Ло и Во, которые
требуются для построения развертки. По профиль-
ной проекции вычисляется длина полуокружности
радиуса /?.
Пользуясь полученными данными, строят раз-
вертку стенки V следующим образом. На произ-
вольной прямой откладывают отрезокДравный длине
Б + л/? + Б. Участок прямой nR делят на 4 рав-
ные части. Через точки деления и конечные точки
отрезка проводят перпендикулярные линии, на ко-
торых откладывают найденные выше отрезки Ф, X,
Щ, fl, Ц, Ло, Во.
Верхние и нижние точки 0,1,2 — соединяют
плавными кривыми, а конечные точки отрезков Ло
и Bq соединяют с точками 0 прямыми линиями. Для
построения точек г и е поступают так: из конечных
точек отрезков Bq и Ло, как из центров, прочерчи-
вают дуги раствором циркуля, равным длине отрез-
ков Л и Eq. Пересечение этих дуг определит положе-
ние точек г и е. Соединив полученные точки пря-
мыми с точками д и ж и точкой 0, получим раз-
вертку стенки V.
78
Фиг. 60. Дымоход водотрубного котла конструкции Б (а)
79
Дымоход двухтопочного жаротрубного котла
Конструкция дымохода (фиг. 61) состоит из передней стенки,
двух боковых стенок, нижней опорной плоскости, задней стенки
и патрубка в верхней части с переходом от квадратного сечения
в нижней части к окружности в верхнем сечении.
Соответственно этому вся поверхность дымохода развертывается
по отдельным элементам конструкции. Ввиду симметричности дымо-
хода относительно П. П. (продольной плоскости), можно ограни-
читься разверткой одной половины поверхностей его элементов.
Развертка половины передней стенки (правой). На передней
стенке дымохода половина дуги угла а делится на 4 равные части
точками Г, 2', 5' 4', 5', которые проектируются на радиус О'—Г,
Отрезки 2'—2', З'—З', . . . обозначим Alf Л2, Л3, Л4. Дуги углов а0
и Gj с радиусами Т?2 — делятся на 8 равных частей точками 6'9
7', 8', 9', 10', 1Г, 12', 13', 14', проектируемыми на линию П. П.
80
Переходный патрубок
6)
15'
16* 17' 16*15*
14-.17
*4-15
и развертки элементов дымохода (б) и (в) (см. стр. 82).
81
Развертка половины задней стенки
передней стенки. Отрезки 14'—14',
13'—13', 12'—12', . . . обозначим
через Б}, Б2, Б3, Б4, Б5, Бе, Б7,
Б8, 59.
После разбивки и построения
образующих передней стенки при-
ступают к построению развертки.
На вертикальной линии 5—14
(фиг. 61, б) откладывается отрезок
прямой, равный длине наклон-
ной линии 5"—14" (изображенной
на профильной проекции боковой
стенки дымохода). На горизонтали
от точки 5 откладывается отре-
зок а, данный на передней стенке
дымохода. Вслед за этим строят
развернутую дугу угла а по от-
резкам Ai, А 2, Л3, Л4. Расстояния
между этими отрезками по верти-
кали снимаются с наклонной ли-
нии боковой стенки. Так, напри-
мер, расстояние между отрезками
А4 и Л3 по вертикали соответст-
вует длине отрезка наклонной
5"—4". Далее от правого конца Л4
откладывается отрезок б, взятый
на передней стенке дымохода. Из
конца отрезка б восстанавливается
перпендикуляр, на котором откла-
дываются отрезки в и г. Отрезки
а, б, в, г обычно задаются на чер-
теже дымохода. Для построения
развертки передней стенки между
образующими Si,..., 59 на ли-
нию 5—14 с профильной проек-
ции переносятся отрезки 14"—13",
13"—12", . . ., которые откладыва-
ются от точки 14 вниз. От точек
14, 13, 12, . . . откладываются по-
следовательно по горизонтальной
образующие Si, . . . , Соединив
концы образующих плавной кри-
вой, получим развертку правой
половины передней стенки дымо-
хода (левая половина симмет-
рична).
82
Развертка боковой стенки дымохода. На горизонтальной прямой
из произвольной точки вправо откладывается отрезок а, за которым
следует развертка дуги угла а; длина дуги / а определяется по
формуле
180°’ ’
Обычно па чертеже дымохода задаются радиусы 7?], Т?2, 7?3,
а углы а, а0, щ приходится вычислять. Способ их определения будет
дан в конце, после развертки всех элементов конструкции. Пока же
будем считать углы неизвестными.
Длина развертки дуги делится на 8 равных частей, обозначен-
ных точками 5, 4, 3, 2, 1, 2, 5, 4, 5, из которых восстановлены перпен-
дикуляры. На перпендикулярах откладываются отрезки Л, Б, В,
Г, Е. Эти отрезки берутся с профильной проекции дымохода и полу-
чаются проектированием точек 7, 2, 5, 4, 5 с фронтальной проекции
на боковую стейку дымохода. Верхние точки отрезков соединяют
плавной кривой. Далее на-горизонтальной прямой откладываются
отрезки б, в и г и развернутые дуги углов щ и а0, определяемые
по приведенной выше формуле. Из точек деления развернутых дуг
восстанавливаются перпендикуляры, на которых откладываются
отрезки Ж, 3, И, 7\, Л, М, П, Р, С, взятые с профильной проек-
ции дымохода. Эти отрезки получены проектированием точек 6',
7', . . ., 14' с фронтальной проекции на боковую стенку дымохода.
Участок развертки дуги, заключенной между точками 19", 18",
14" строится перенесением отрезков В3 и В4 с боковой стенки дымо-
хода. Соединив найденные точки, получим фигуру развертки.
Развертка половины задней стенки дымохода. Дуга угла, равного
90° делится па две части точками 14", 18", 19". Эти точки проектируются
на фронтальную проекцию задней стенки дымохода, где они обозна-
чаются 14', 18', 19'. Через эти точки проводятся образующие 751,
Bi, В2 поверхности задней стенки. Для построения развертки зад-
ней стенки между образующими Бх—В2 на вертикальной прямой
откладывают хорды 19"—18", 18"—14", далее от точек 19", 18", 14
откладывают образующие В2, Вх, Б ь Соединив концы отрезков
получим развертку половины задней стенки дымохода.
Развертка верхнего переходного патрубка. Описание способа раз-
вертки такого патрубка уже давалось ранее на отдельном чертеже.
Напомним только, что нахождение вспомогательных катетов для
построения необходимых прямоугольных треугольников произво-
дится путем деления четверти окружности верхнего основания пат-
рубка на 4 равные части, как показано на горизонтальной проекции
чертежа патрубка.
Вычисление углов a, aL и а0. На чертеже дымохода обычно задаются
величины a, б, в, г, е, Т?2, /?3. Требуется определить углы а,
ai а0.
Горизонталь 3 известна из построения на чертеже передней стенки
дымохода; отрезок Л4 также известен из построения
Л4 = 3 —
81П
a___Л4
откуда находят угол а.
sin а! = Ri 4- R2 2^7 ’
так как в нашем случае
Ri — R 2-
По синусу находят = а0.
На данном чертеже дымохода = а0.
Дымоход водотрубного котла
Конструкция дымохода (фиг. 62) состоит из 4 наклонных плоско-
гранных боковых и изогнутой нижней стенок. Наклонные стенки /,
//, III, IV развертываются весьма просто. Что касается нижней
изогнутой стенки V, то здесь необходимо предварительно проделать
следующее. На фронтальной проекции дымохода дугу заданного
радиуса R делят на 4 равные части. Точки деления О', Г, 2', 3',
4' проектируются на профильную проекцию дымохода, где опре-
деляются искомые значения образующих 30, Ио, ГЦ, Ро, Со, Во, Го,
До, Ео, Жо Для построения развертки стенки V. Значения HQ, MOf
Ло, Ко используются на развертке стенки III, а значения До, Що,
Цо, XQ используются для развертки стенки IV.
Развертка стенки V. Строится прямоугольник со сторонами Щ +
+ В и сторонами Ло+ + Бо, причем отрезок развернутой
дуги делится на 4 равные части 0—1, 1—2, 2—3, 3—4. Через
точки 0, 1, 2, 3, 4 проводятся прямые параллельно сторонам Щ + В.
На отрезках вправо и влево от вертикальной оси откладывают
отрезки Жо, Го, Bq, До, Ео, Ро, По, Зо, ГЦ, Со. Соединяя концы отрез-
ков с обеих сторон плавными кривыми, а участки 0 — е, 0—б,
4—ж, 4—в прямыми линиями, получают искомую развертку ниж-
ней стенки.
83
Фиг. 62. Дымоход водотрубного когда (а)
84
и развертка стенок дымохода (б).
85
СЛОЖНЫЕ ПАТРУБКИ
Патрубок сдвоенный переходный
Переходный патрубок (фиг. 63) состоит из двух рукавов («штанов»),
имеющих внизу квадратное сечение, которое после стыковки пере-
ходит на круглое (цилиндрическое) сечение. Переход с квадрата
на окружность получается сочетанием плоских треугольных участ-
ков, ограниченных коническими поверхностями.
Для развертки данной поверхности требуется выполнить построе-
ние диаграмм для двух групп образующих: первая диаграмма для опре-
деления образующих участков поверхности на стыке (сечение Д—Д),
вторая группа для определения образующих наружных участков
конической поверхности.
Так как патрубок симметричен, то ограничимся разверткой одной
правой половины поверхности патрубка.
Построение 1-й диаграммы (сечение Д—Д). На профильной проек-
ции патрубка дуга 4"—8"—4" делится на 8 равных частей, точки деле-
ния проектируем па хорду 4'—4". От середины хорды величину
каждой проекции обозначаем стрелками 8—7, 8—6, 8—5, 8—4.
Переносим замеренные отрезки на горизонтальную проекцию пат-
рубка, откладывая их от центра круга по обе стороны вдоль оси Y—Y.
Полученные точки 8, 7, 6, 5, 4 соединяем с точками а и ai. Отрезки
а—4, а—5, а—6У а—7, а—8, с—8 откладывают на 1-й диаграмме
по горизонтальной прямой от основания вертикали. Далее точки <$",
7", 6", 5", 4" проектируют на вертикаль. Полученные в результате
параллельного проектирования точки 4, 5, 6, 7, 8 соединяют наклон-
ными прямыми с концами катетов а—4, а—5,. . . и т. д. Прямые И,
К, Лу Му П, Р представляют истинную величину образующих поверх-
ности.
Построение 2-й диаграммы. Для построения истинной величины
образующих наружных участков конической поверхности правую
половину окружности на горизонтальной проекции патрубка делят
на 8 равных частей. Точки 0у /, 2, 3, 4 соединяют прямыми с вер-
шинами b и bi квадрата. Точку 0 соединяют с точкой t. Полученные
отрезки t — О, b — О, b—1, Ь—2, b—5, b—4 и а—4 являются гори-
зонтальными катетами второй диаграммы, а вертикальный катет
равен высоте патрубка Н. На второй диаграмме показано построение
прямоугольных треугольников с гипотенузами Я, В, Г, Д, Е, Ж,
3, которые представляют искомые образующие.
Развертка. Развертку строят по образующим, снимаемым с диа-
грамм.
На перпендикуляре к отрезку b—bi откладывают образующую В,
взятую со 2-й диаграммы. Конец образующей, точку 0 соединяют
прямыми с точками b и bi. Из точек b и bi радиусом образующей Г
прочерчивают дуги слева и справа отточки (?, а из последней радиусом
хорды 0—19 взятым с горизонтальной проекции патрубка, засекают
эти дуги. Пересечение дуг определит положение точек /.
86
Тем же способом, т. е.
последовательным пересе-
чением дуг, у которых
радиусами являются обра-
зующие 2-й диаграммы,
а хордами одна восьмая
часть окружности, находят
остальные точки 2, 3, 4.
Далее строят треуголь-
ники а4Ь и ai4bi, точки а
и ai которых находятся
на пересечении дуг радиу-
сами И и ab.
Построение участков
поверхности 4—а—8 вы-
полняется способом, опи-
санным при построении
участков 0—b—4, с по-
мощью образующих И, К,
Л, М, П, Р, взятых с 1-й
диаграммы.
Для концевых тре-
угольников с8а берется
половина- стороны квадра-
та. Сторона М. является
линией разъема — стыком
развернутой поверхности
патрубка.
Треугольники с пря-
мыми сторонами это плос-
кие участки поверхности
патрубка, а участки с лу-
чами — его изгибаемые
части. Контур развертки
получается соединением
верхних точек плавными
кривыми.
На развертке дана
половина поверхности пат-
рубка, так как вторая по-
ловина аналогична первой.
Если развертка не распо-
лагается полностью на
стандартных металличе-
ских листах, то рекомен-
дуется делать стыки на
плоских участках.
87
Вентиляционный кожух
Конструкция кожу-
ха (фиг. 64) состоит из
двух одинаковых боко-
вых наклонных стенок,
передней наклонной
стенки, задней верти-
кальной стенки и сред-
ней полуцилиндриче-
ской стенки, соединяю-
щей рукава кожуха,
имеющие внизу круглое
сечение с переходом на
квадратное. Поверх-
ность кожуха развер-
тывается по отдельным
элементам. Для этого
на чертеже кожуха де-
лают некоторые предва-
рительные графические
построения.
Предварительные по-
строения. На горизон-
тальной проекции ко-
жуха четверть круга
нижнего основания ру-
кава разбивают на 4
равные части 0, /, 2,
/, О, которые соединяют
с точкой а, и точку О
с точкой д. Строят диа-
грамму образующих
для поверхности рукава
кожуха, имеющего пе-
реход с круга на квад-
рат. Высота рукава Д
задается чертежом. Об-
разующие Л, В, В, Г
на диаграмме получены
с помощью отрезков
д—0, а—2, а—1, а—О,
перенесенных с горизон-
тальной проекции ко-
жуха.
На фронтальной про-
екции кожуха полу-
окружность заданного
радиуса R, делят на
Фиг. 61. Кожух вентиляционный (а)
88
Развертка стенки I
в)
Развертка стенки И
Развертка стенок Ш иП
Развертка стенки V
2
2
и. развертки стенок кожуха (б).
89
шесть равных частей. Точки деления 3\, 4't . . . проектируются
вниз на горизонтальную проекцию кожуха и вправо на профиль-
ную проекцию, где проводятся образующие цилиндрической по-
верхности Л о, Бо, Во, Го. Полученные значения X, Ц, Щ на фрон-
тальной проекции кожуха и 77, Р, С, Т, Ао, Бо, Во, Го на про-
фильной проекции являются данными для построения развертки.
Основные размеры кожуха: d, Ф, Н, Д, Е, Ж, М, Л, К., необходимые
для построения развертки, задаются на чертеже кожуха.
Развертка стенки I. Строится верхняя часть развертки трапе-
циевидной формы с высотой Е, верхней стороной М и нижней сто-
роной, равной 2Н + 2Р, т. е. по размерам, заданным на чертеже
кожуха. Далее выполняется построение развертки рукавов с помощью
образующих А, Б, В, Г, взятых с диаграммы, и хорд 0—I, 1—2
окружности нижнего сечения, взятых на горизонтальной проек-
ции кожуха.
Развертка стенки II. Способ развертки стенки II отличается
от развертки стенки I только тем, что дугу 6—5—4—3—4—5—6
строят по точкам, найденным с помощью абсцисс X, Ц, Щ и ординат
С, Р, П, которые определены на профильной проекции кожуха.
Высота Т определяется по диаграмме катетами К и Е.
Развертка стенок III и IV. Строится трапеция по заданным раз-
мерам Л, Н и высоте Y, определяемой по диаграмме катетами Ж и Е.
К нижней стороне трапеции пристраивается развертка одной четвер-
той части рукава кожуха.
Развертка стенки V. На прямой, равной длине лД + 2А, отре-
зок лД делится на 6 равных частей. Через точки деления проводятся
перпендикуляры к горизонтальной линии. На перпендикулярах
вверх от осевой линии откладываются отрезки Ао, Бо, Во, Го, вниз —
отрезки Ао.
Отрезки для построения взяты с профильной проекции кожуха.
Верхние концы отрезков Ао, Бо, Во, Го соединяют плавной кривой,
нижние концы отрезков Ао соединяются общей прямой. Развертка
рукавов выполняется по образующим А, Б, В, Г и хордам 0—1,
1—2, как в предыдущих примерах.
РАЗВЕРТКА СФЕРИЧЕСКИХ ДНИЩ
Днище баллона
Чтобы развернуть поверхность днища (фиг. 65) необходимо знать
наибольший радиус, обозначенный на чертеже 7?3. Вычисляется он
по исходным данным днища, обычно задаваемым в рабочих чертежах.
Исходные данные:
радиус сферы 7? = 1250; радиус закругления между прямым
пояском и сферой г — 200; диаметр днища 0 = 1400; высота днища
h = 476.
Выполняем вспомогательные построения, показанные на чертеже,
и определяем углы а и ₽.
sin р = р = 28°30'; а = 90° — 28°30' = 61°30'.
1 lUoU 1
90
Далее определяем радиусы развертки.
п 1250 x 3,14 x 28,5 СО1
=------------------- = 621;
Т?2 = 200 Х З’зо х 61,5 + 621 = 833;
Яз = 833 + 50 = 883.
Днище. Определяем расстояние от центра днища до начальной
точки закругления
« = ^-= = 66.
Расстояние от центра днища до конечной точки загругления
Ri = R + = 66 + Ц^- = 78,5.
Переднее днище жаротрубного котла с амбразурой
Развертку переднего днища с амбразурой (фиг. 66) покажем
на конкретном примере с заданными исходными величинами.
Радиус полной развертки днища
Z?2 = + В = 78,5 + 10 = 88,5.
Диаметр днища D = 148
Диаметр амбразуры d — 50
Расстояние между цен-
трами днища и амбра-
зуры А = 27
Высота днища Б = 18
Высота фланца днища В — 10
Высота амбразуры Г = 13
Высота фланца амбра-
зуры D = 5
Радиус закругления дни-
ща гг — 8
Радиус закругления ам-
бразуры г — 8
Амбразура. Определяем расстояние от центра амбразуры до начала
ее закругления
гу _d 2г__ 50 -р 15 _qq
Кз - ~2“ — 2 “
91
Определяем расстояние от центра амбразуры до конца закругле-
ния г
Д4 = Д3-^ = 33-Ц^ - 20,5.
Радиус выреза амбразуры
Д5 = Д4 — Д = 20,5 — 5 = 15,5.
Развертка днища вычерчивается из двух центров концентриче-
скими кругами, как показано на фиг. 66, б.
Дз - Д2 + В - 79,5 + 10 = 89,5;
г3 - г-г2 = 20-8 - 12;
О = G + -ф- -= 12 + - 24,5;
г5 = г4 + В = 24,5 + 10 = 34,5.
Определяем радиусы развертки амбразуры
о ___________________ 4 4~ 2 Г]_50 2-8 _оо.
Переднее днище огневой камеры жаротрубного котла
На конкретном примере с заданными исходными величинами
покажем способ вычисления всех необходимых данных для развертки
переднего днища огневой камеры (фиг. 67).
Фиг. 67. Переднее днище огневой камеры жаротрубного котла (а) и развертка днища (б).
Исходные величины, задаваемые обычно рабочим чертежом:
А = 30 Д = 13 d = 50
Ж = 35 Г = 5 п - 8
В = 10 Д = 75 го = 8
Б = 18 г = 20
Определяем радиусы развертки стенки
Д! = Д — г2 = 75 — 8 = 67;
Ri 4- -ф- = 67 + = 79,5;
Д5 = Дз-2^- 33 - - 20,5;
Д4 = Д5 — Г = 20,5 — 5 = 15,5.
Определяем ординаты 3, И, К-
3 = Ж — г2 = 35 — 8 = 27;
И = 3 + = 27-1- = 39,5;
И + В 39,5 -I 10 = 49,5.
92
Пользуясь найденными величинами, можно вычертить развертку
циклон
Конструкция циклона состоит из корпуса циклона, спирали
и трубы внутри спирали (фиг. 68). Развернем поочередно все три эле-
мента циклона. Для примера дадим числовые значения их размерам.
переднего днища с амбразурой. Концентрические окружности амбра-
зуры Т?4, /?5, А?в так же, как дуги Ru /?2> #з являются границами
изгибаемых частей днища и амбразуры.
93
Развертка корпуса. Развернутая поверхность корпуса циклона
имеет вид трапеции со сторонами:
а = nD - 3,14-1610 - 5055,
b - Н = 2450,
с = 1745.
Длина внешней кромки спирали
L = V 7051 2 + 50552 = 5104.
Развертка спирали. Развернутая поверхность спирали представ-
ляет часть плоского кольца, для построения которого требуется
определить радиусы концентрических дуг и центральный угол.
Найдем величины этих элементов.
Длина внешней кромки спирали была вычислена выше, L = 5104.
Находим длину внутренней кромки спирали, прилегающей к трубе
циклона
1вн = / Л2 + (яО)2 - ]/7052 + (3,14 х 940)2 = 3035.
Ширина кольца определится как половина разности диаметров
корпуса и трубы циклона
D~d 1610 — 940 OQC
~2~ = —2----------= 335-
Радиус внешней дуги кольца определяется из пропорции
R = L
г Цн
Здесь г можно заменить величиной г = R — 335 и, подставляя
значения L и 1вн, получаем
R _ 5104
7? — 335 ~ 3035 '
откуда R = 827.
Радиус внутренней дуги равен
г = 827 — 335 - 492.
Центральный угол кольца определяется из формулы
L
nR
180
а =
5104
3,14-827
180
- 14° 36'.
По найденным элементам /?, г и углу а вычерчивают плоское
кольцо.
Развертка трубы. Развертка трубы производится так же, как
развертка прямого цилиндра с диаметром и высотой, зависящей
от количества витков спирали, которое задается рабочим чертежом.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гордон В. и Семенов-Огиевский М., Курс начертательной
геометрии, Госиздат, 1957.
2. 3 е л е н и н Е. А., Начертательная геометрия и черчение, Госиздат,
1953.
3. Справочник по строительной механике корабля, т. I, Судпромгиз, 1958.
4. В ы с о ц к а я Н. Н., Иерусалимский А. М., Невель-
сон Р. А., Федоренко В. А., Технические развертки изделий из листового
материала, Машгиз, 1955.
94
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................................................ 3
Условные обозначения........................................ 4
Часть I. Основы ортогональных проекций и система прямоугольных
координат ....................................................... 5
Проекция прямой общего положения............................ 7
Кривая линия ............................................... 8
Плоскость ................................................ 9
Положение заданной плоскости относительно плоскостей проек-
ции Н, V, W7 .........................................
Проектирующие плоскости . ........................
Плоские фигуры и их проекции ...............................
Проекции круга .............................................. —
Проекции без координатных осей.............................. 10
Проекции геометрических тел................................... —
Поверхности вращения ........................................... 11
Цилиндрическая поверхность..................................... —
Коническая поверхность ........................................ —
Поверхности шара, тора, кольца ................................ —
Развертки поверхности тел ....................................... 12
Приближенные развертки......................................... —
Параметры винтовой линии...................................... —
Развертка цилиндрической винтовой линии ..................... 13
Винтовая поверхность ............................................ —
Приближенная развертка винтовой поверхности .................. —
Толщина материала............................................... 14
Тригонометрические функции углов прямоугольного треугольника —•
Формулы для решения прямоугольных треугольников ............. 15
Формулы для решения косоугольных треугольников............... 16
Четыре основных случая решения косоугольных треугольников 17
Формулы для расчета окружности................................... —
Деление окружности на требуемое количество равных частей ... 18
Эллипс........................................................... —
Часть II. Развертки?фигур и пояснения к ним..................... 21
Наклонная пирамида ............................................. 22
Диаграмма истинных длин диагоналей и граней пирамиды .... 23
Цилиндрические и конические фигуры.............................. 24
Прямой усеченный конус ... -.......................... •—
Прямой эллиптический цилиндр................................... 26
Цилиндр, усеченный наклонной плоскостью........................ 27
Цилиндр с усеченными основаниями............................... 28
Кожух с двумя стенками......................................... 31
Цилиндр с вырезами..........................................
Кожух...................................................... 33
Круглое колено .............................................. 34
Развертки пересекающихся цилиндрических фигур .................. 38
Пересечение двух прямых круговых цилиндров ................... —
Пересечение круговых цилиндров со смещенными осями под неко-
торым углом.................................................. 42
Переходные патрубки............................................. 45
Патрубок с круговым верхним и треугольным нижним основа-
ниями ........................................................ —
Переходный патрубок с нижним прямоугольным и круглым верх-
ним смещенным основаниями.................................... 47
Конический патрубок ......................................... 49
Конусный патрубок со смещенным верхним основанием............ 51
Эллиптический патрубок ...................................... 53
Переходный патрубок с овала на круг ......................... 55
Овальный патрубок, расширяющийся кверху ...................... —
Кожух судовой дымовой трубы.................................. 57
Сложные пересекающиеся фигуры .................................. 60
Ангар с патрубком............................................. —
Развертка усеченного конуса, пересекающегося с цилиндром ... 62
Развертка перевернутого конуса, пересекающегося с цилиндром 64
Пересечение цилиндра со смещенным усеченным конусом.......... 67
Развертка наклонного усеченного конуса пересекающегося
с цилиндром.................................................. 69
Пересечение цилиндра с прямым конусом..........................—
Пересечение смещенного прямоугольного патрубка с полусферой 72
Развертка смещенного цилиндрического патрубка, пересекаю-
щегося с полусферой........................................... —
Развертка овального цилиндрического патрубка, пересекающегося
с наклонным конусом ......................................... 75
Дымоходы ....................................................... 76
Дымоход водотрубного котла конструкции А...................... ~
Дымоход водотрубного котла конструкции Б..................... 78
Дымоход двухтопочного жаротрубного котла..................... 80
Дымоход водотрубного котла................................... 83
Сложные патрубки ............................................... 86
Патрубок сдвоенный переходный ................................ —
Вентиляционный кожух......................................... 88
Развертка сферических днищ...................................... 90
Днище баллона ................................................ —
Переднее днище жаротрубного котла с амбразурой............... 91
Переднее днище огневой камеры жаротрубного котла............. 92
Циклон.......................................................... 93
Литература.........................................................
Александр Степанович Мот ы к о
Исаак Давидович Островский
РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ЛИСТОВЫХ ИЗДЕЛИЙ
Редактор издательства AL А. Чфас
Переплет художника Н. И. Васильева
Технический редактор Т. Ф. Соколова
Корректор И. Е. Полякова
Подписано к печати 21/VIII 1961 г.
Ш-37847 Тираж 9000 экз.
Печ. л. 12,0. Уч.-изд. л. 13,5
Формат 00х601/8 Зак. 563
Типография № 6 УПП Ленсовнархоза,
Ленинград, ул. Моисеенко, 10
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стр Строка Напеч 1тано Должно быть По чьей вине
17 Левая колонка 2-я снизу tf-Sinb С = JL ; sin а O‘Sinv С — — 1 ; sma Авт.
26 Правая колонка 8—9-я сверху L = 2xak = 2-3,14v X 50-U,814 = 255,6 где k — коэффициент, /, = о-/= 50-5,1054 = = 255,3. где 1 — коэффициент »
51 Левая колонка собой эллиптический собой конус
3-я сверху конус
64 Правая колонка 5-я сверху а —(л-О)-)80 . ГП «в(я^:й0 Ред.