ФЕДЕРАЛЬНАЯ ЦЕЛЕВАЯ проrРАММА
«rОСУДАРСТВЕННАЯ ПОДДЕРЖКА ИНТЕrРАЦИИ ВЫСШЕrо ОБРАЗОВАНИЯ
И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ НАУКИ НА 1997
2000 roAbI»


Л.А. 3апряrаева, и.с. Свешникова


РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ
ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ


Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебника для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению «Оптотехника» и специальности
«Оптико
электронные приборы»


Москва · «Лоrос» · 2000




УДК 681.7.002 (075.8)
ББК 22.34я73
з
зо


р е Ц е н з е н т ы:


Доктор технических наук Н.П
 3аказнов
Кафедра «Оптико..электронные приборы нау ных исследований»
( Московский 20сударственный технический университет им. Н. э. Баумана)
Доктор технических наук С.Н. Бездидько
(Дом оптики ВНЦ «ТОИ ИМ. с.и. Вавилова»)


Запряrаева Л.А., Свешникова И.С.
з
зо Расчет и проектирование оптических систем: Учебник для
вузов
 М.: Лоrос, 2000.
 584 с.: ил.
ISBN 5..88439..143..9


Рассмотрены уровни автоматизированноrо проектирования оп..
тических систем оптико..электронных и оптических приборов, после..
довательно изложены rабаритный и аберрационный расчеты основ..
ных типов оптических систем, их синтез, анализ и оптимизация. Опи..
саны методы синтеза и приведен синтез линзовых, зеркальных и зер..
кально"линзовых систем со сферическими и асферическими поверх..
ностями. Указаны собенности аберрационноrо анализа с последую..
щей оптимизацией и оценкой качества изображения по ero результа..
там. Приведен пример оформления оптическоrо выпуска.
Для студентов оптических специальностей вузов. Представляет
интерес ДJIя научных и инженерно..технических работников.
ББК 22.34я73


Издание осуществлено при финансовой поддержке
Федеральной целевой nррО2раммы «rосударсmвенная поддержка
инmе2рации высше20 образования И фундаментальной науки
на 1997
2000 22.»


ISBN 5
88439
 143
9



 Центр «Интеrрация», 2000




Предисловие
Светлой памяти Учителя
ДмитрияА.лен;сеевича Романова
посвящается
ПР E.gИСЛОВИЕ
Оптические и оптикоэлектронные приборы (ОЭП) и системы при
меняются во всех отраслях науки, техники и народноrо хозяйства. Без
них немыслим научнотехнический проrресс. Мноrие научные OTKpЫ
тия в физике, астрономии, космолоrии, биолоrии, медицине и др. cдe
ланы блаrодаря оптическим приборам. С их помощью решаются за
дачи автоматическоrо слежения и управления, повышения точности
I
! И быстородействия сложных современных комплексов.
Оптические приборы всю жизнь сопровождают нас в повседнев
ных буднях и праздниках, помоrая зрению и охраняя помещения, дa
вая нам возможность оставить потомкам память о делах и событиях
нашей жизни, приходя на помощь в профилактике здоровья и при
u
проведении сложных хирурrических операции и т.п.
Большую роль они иrрают и в развитии культуры. Их использу
ют в телевидении, кинематоrрафии, книжном деле и театре. В искус
ствоведении и археолоrии оптические приборы используют при pec
таврации и идентификации произведений искусства и памятников
культуры.
Эколоrия и криминалистика, исследование природных ресурсов
и rеНна.я инженерия, микроэлектроника и лазерная техника  везде
ОЭП и Оптические приборы 'заняли свое достойное место. Сфера их
аРИЛОЖения непрерывно расширяется с появлением новых техноло
u
rии и направлений в науке и технике.
Без преувеличения можно отметить исключительную роль опти
ческой СИстемы в ОЭП и оптических приборах. От правильноrо выбо
ра ПРИНЦипиальной оптической схемы и ее расчета во MHoroM зави
.сит не т
., б ОЛЬКо успешная работа прибора, но и ero rабариты и масса,
:0 ъем N p Tz H U Ф
, Ж.I. Имаемои ин ормации.
3

Расчет и проектирование оптических систем
Создание оптических систем остоянно совершенствуется в свя
u u
зи с использованием непрерывно развивающеися вычслительноии Tex
ники и автоматизированноrо проектирования, а также новой элемент
ной базы.
Специалисты, способные квалифицированно и творчески разра
ботать оптические системы (ОС) дЛЯ решения перечисленных задач,
должны обладать фундаментальными знаниями по общеобразователь
ным и техническим дисциплинам, в совершенстве знать основы опти
ки И оптические системы приборов .
В настоящее время при разработке оптических систем широко ис
пользуются профессионально..персональные ЭВМ (ППЭВМ), для KOTO
рых существуют комплексы специализированных и универсальных
проrрамм для синтеза, анализа и оптимизации систем, что позволяет
ускорить процесс их создания. Но это не привело к буму разработки
сверхориrинальных ос и развяло иллюзии неспециалистов о возмож
ности уменьшений объема знаний и квалификации пользователей оп..
тических проrрамм при автоматизированном проектировании ос.
В учебнике сформулированы основные требования к разработке
ОС и рассмотрены все уровни автоматизированноrо проектирования.
Последовательно изложены rабаритный и аберрационный расчеты oc
новных типов оптических систем, синтез, анализ и оптимизация ОС
в соответствии с алrоритмом автоматизированноrо проектирования.
Рассмотрены методы синтеза  метод проб, метод композиции М.М.
Русинова по набору из поверхностей с известными аберрационными
свойствами и по базовым компонентам и метод разделения перемен
ных, или алrебраический метод. Приведены методы оптимизации.
Описаны комплексы проrрамм на ППЭВМ, применяемые на предпри
ятиях и в учебной практике.
В книrе приведены теория и rабаритный расчет типовых ОС 
простых и сложных телескопических систем с линзовыми и призмен
ными оборачивающимися системами, панкратических телескопичес
ких систем, простых и сложных луп, микроскопов, систем для пре
образования лазерноrо излучения, rабаритный и светотехнический
расчеты проекционных систем для эпи и диапроекции.
Отдельная rлава посвящена аберрационному расчету типовых оп
тических систем в области аберраций первоrо и третьеrо порядков,
позволяющему определить значения основных параметров КОмпонен
тов для последующеrо их синтеза.
При изложении синтеза систем использован метод разделения пе
ременных. Мноrолетний опыт расчета ос этим методом [23] на пред
4

Предисловие

приятиях и в учебной практике IIоказал ero достаточную эффектив
НОСТЬ не только при расчете систем снебольшим уrловым полем, но и
при расчете сложных ОС типа IIанкратических систем, фотообъекти..
вов, окуляров с уrловым полем до 500.
Для выбора удачной конструкции сложной ОС надо хорошо знать
аберрационные возможности и предельные значения оптических xa
рактерист:ик отдельных компонентов, ВХОДЯIЦИХ в ее состав. IIоэтому
в учебнике большое внимание уделяется описанию конструкций и
синтезу ДBYX, Tpex и четырехлинзовых компонентов методом разде
ленИЯ переменных. Аберрационные уравнения этих компонентов co
ставляются с при:менением модульноrо принципа, описан:ноrо в учеб..
нике.
В книrе рассмотрен синтез OДHO, ДBYX и трехкомпонентных сис
тем, в том числе конденсоров, объективов и компонентов телескопи
. .
ческих систем, двухкомпонентных телеобъективов телескопических
систем и фототелеобъективов, окуляров, трехкомпонентноrо фотообъ
ектива  триплета, систем для преобразования лазерноrо излучения.
При изложении синтеза линзовых и зеркальнолинзовых систем
приводится алrоритм решения аберрационныIx уравнений при усло
вии получения заданных значений аберраций. Это облеrчает COCTaB
ление проrрамм синтеза на ПЭВМ, дает возможность исследовать ОС
и определять область существования решеlIИЙ для различных KOHCT
u
рукции.
В учебнике описаны общие свойства асферических поверхностей,
приведены основы теории аберраций и особенности синтеза систем с
асферикой с применением различных методов расчета.
После синтеза компонентов в области аберраций первоrо и TpeTьe
ro порядков проводится сборка системы с ПОМОIЦЬЮ ПЭВМ И аберра
ционный анализ, а затем оптимизация. В книrе рассмотрены извест
ные методы оптимизации ОС, применяемые при автоматизированном
проектировании. Также описаны требования к оформлению оптичес
Koro выпуска, по таблицам аберраций KOToporo можно оценить каче
ство изображения ОС, и приведен пример.
Для приобретения практических навыков по проектированию оп
тических систем помимо примеров, приведенных в книrе, можно pe
комендовать задачник [1].
Авторы блаrодарят рецензента. первоrо ориrиналмакета учебни
ка, который планировался к изданию в издательстве «Машинострое
ние» в 1995 r., доктора. технических наук Е.Ф. Ищенко за ценные за
мечания и пожелания, высказанные при рецензировании рукописи.
5

Расчет и проектирование оптических систем
Авторы также признательны сотрудникам издательства «Маши
ностроение»  редакторам Т.В. Абизовой и r.H. Сидоровой, художе
ственному редактору В.В. Лебедеву, техническому редактору
Н.М. Харитоновой, корректорам r.JL Сафоновой и Л.М. Сажиной, pa
ботавшим с 1992 r. над рукописью учебника.
Авторы считают своим долrом выразить rлубокую признатель
ность и блаrодарность ведущему проrраммисту Е.В.Мельниковой и
начальнику редакционноиздательскоrо отдела мииrАиК Б.В. Куз
нецову, выполнившим большую работу по созданию существенно дo
полненноrо и переработанноrо ориrиналмакета учебника.


rлава 1. Общие сведения о расчете и проектировании оптических систем
rлава 1 . ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О РАСЧЕТЕ И
ПРОЕКТИРОВАНИИ ОПТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
1 . 1 . Исходные принципы автоматизированноrо
проектирования оптических систем
Расчет и проектирование оптических систем  область инженер
ных расчетов, которая хорошо поддается автоматизации. И если в KOH
це 50x и начале 60x rодов ЭВМ использовались только для расчета
хода лучей, то в настоящее время ЭВМ практически применяются на
всех этапах разработки оптической системы. Сейчас проектирование
оптических систем немыслимо без использования ЭВМ.
Однако, несмотря на высокую степень автоматизации, процесс
u
проектирования оптическои системы попрежнему занимает сущес
твенную часть общеrо объема проектирования оптическоrо прибора.
Это сложный творческий процесс с множеством трудоемких вычисле
u u
нии, которыи, К сожалению, пока выполняется при использовании
оrраниченноrо числа унифицированных схем (алrоритмов).
Рассмотрим исходные принципы проектирования оптической си
стемы, в частности, автоматизированноrо проектирования.
Объектом nроектuровапuя является оптическая система, предна
значенная для формирования в заданном спектральном диапазоне
изображений объекта с помощью физических законов распростране
ния электромаrнитноrо излучения (преломления, отражения, диф
ракции, поrлощения, рассеяния) в неоднородных средах.
Физически оптическая система состоит из ПQверхностей, располо
женных определенным образом в пространстве и разделяющих раз
личные среды, а также содержит диафрarмы. Она должна обеспечи
7

Расчет и проектирование оптических систем
вать требуемое качество изображения объекта или требуемую CTPYK
туру выходящеrо пучка.
Под конструктивными параметрами оптической системы понима
ют величины, необходимые и достаточные для однозначноrо опреде
ления ее конструкции. Это параметр оптических сред (nл.о ' Vл.о ); па
раметры формы (r v ' d v ) и взаимноrо положения (d возд ); параметры
диафраrм и покрытий. '
Цель nроектироваnия заключается в определении номинальных
u u
значении и допустимых отклонении всех конструктивных параметров
с учетом требований к качеству изображения, а также технолоrи
ческих и экономических требований.
По степени автоматизации проектирование разделяют на neaвт,O
матизированnое, коrда все операции выполняет разработчик, aвтo
матическое проектирование, коrда все операции выполняет ЭВМ без
...
участия человека, и автоматизированное проектирование  самыи:
rибкий способ проектирования, при котором часть операций выполня
ет ЭВМ, а часть.......... разработчик. В последнем случае существенными
u ...
являются своиства проектных операции: детерминированность или
эвристичность, объектнонезависимость или объектноориентирован
ность, а также сравнительная их трудоемкость.
Детерминированные операции осуществляются по определенным
алrоритмам, и результат их выполнения не зависит от исполнителя.
Для эвристических операций невозможно составить определенный
алrоритм, и результат их выполнения в большой степени зависит от
опыта, таланта и квалификации разработчика (выбор конструкции
исходной системы, синтез оптической системы, выбор параметров оп
тимизации и т.п.).
1.2. Задачи, решаемые при проектировании
.-.,
оптическои системы
При разработке любой оптической системы необходимо решить
три ос:Аовные задачи: 1) создание принципиальной схемы, обеспечи..
вающей действие Bcero прибора; 2) соответствие требованиям физичес
кой осуществимости прибора; 3) обеспечение технической реал:иза
ции.
Решение первой задачи зависит от назначения оптической систе
мы. С учетом назначения системы определяют ряд требований к ее ra..
баритным размерам, основным оптическим характеристикам (CBeTO
силе, диаметрам входноrо и выходноrо зрачков и их положению, ли
нейному и уrловому полям, увеличению системы, ее фокусному pac
8

............. 
rлава 1. Общие сведения о расчете и проектировании оптических систем
С'I,ояв:ию), качеству изображения, а также требований, отв:осящихся
J( уСЛОВИЯМ эксплуатации оптическоro прибора (теплостойкости, MO
розостойкости, допустимым вибрациям и ударнЫМ нarрузкам, ради
, u
ацИОННОМУ воздеиствию, возможности выполнения тех или иных OT
счетОВ и т.п.).
u
Вторая задача заключается в 'создании оптическои системы, YДOB
летворяющей законам образования изображения, т. е. при выборе на-
чальных данных для расчета системы необходимо исходить из физи
чесКОЙ осуществимости прибора.
Так, при проектировании фото и кинопроекционных систем с по
стоян ным фокусным расстоянием следует обращать внимание на co
отношение между фокусным расстоянием объектива ", относителъ
ныМ отверстием Dlf' и уrловым полем 2т.
В результате анализа большоrо числа фотообъективов д. с. Воло
сов получил инвариант [3]
С = (D/f;)tgOOl -J f;/l00 = (D/f;)tgoo z -J f;/100 =...
и ввел критерий добротности объектива С т = 0,22...0,26. Если
С < С т < 0,24, то расчет таких систем затруднений не вызывает, а если
С> С т > 0,24, то качество изображения, даваемое таким объективом,
будет плохим. Таким инвариантом обеспечивается физическая осуще-
ствимость системы.
В связи с появлением новых марок стекол и совершенствованием
методов расчета, технолоrии, сборки и юстировки значение критерия
добротности в настоящее время можно принять равным С т = 0,28.
Анализ лучших современных панкратических объективов,. BЫ
полненный M.r. Шпякиным, показал, что между их оптическими xa
раJ\.'rеристи:ками и rабаритными размерами существует приближенная
зависимость [10]:
f:nax . Е  С
4  1,2f:пах  ,
 M
rде " шах  максимальное фокусное расстояние системы; Е == D I(  OT
носительное отверстие, М ......... кратность изменения фокусных paCCTO
.яний; Lc  общая длина системы; С  критерий добротности. у наи
лучших современных объективов С = 0,4.
При разработке систем микроскопов следует исходить из понятия
полезноrо увеличения r м.п. , получаемоrо из условия предельноrо раз
решения: 500А < r м.п. < 1000А, rде А = n 1 \ sino А \ ........ числовая аперту
ра объектива микроскопа. Тоrда, зная предельное разрешение Б == лl
А и:ли 0== л./(2А) находят числовую апер'l"УРУ А, а затем и полезное YBe
9

Расчет и проектирование оптических систем
личение r м.п.. Дальнейшее повышение r м.п. не при водит к разреше
нию более мелких объектов без увеличения числовой апертуры А. По
этому физически реализовать предельное полезное увеличение мож
но только В микроскопах с объективами высокой апертуры.
Для систем зрительных труб разрешающая способность телеско
пической системы, работающей совместно с rлазом, определяется, с
одной стороны, дифракцией света ('1' = 120" j D), а с Аруrой  разре
шающей способностью и свойствами rлаза ('1' rл = 60" jr т). rлаз может
полностью использовать разрешающую способность трубы лишь при
условии, что 'I'='I'rл' или 120"jD=='I'rл' т.е. полезное увеличение
зрительной трубы должно быть r т.п. = Dj 2 , rде D  диаметр входноrо
зрачка зрительной трубы.
Третья задача заключается в создании оптических систем в paM
u
ках существующих технолоrических и технических возможностеи.
1 .3. Этапы разработки оптических систем
и степень их автоматизации
Процесс расчета и проектирования оптических систем по задан
ным оптическим характеристикам можно разделить на семь основных
этапов. Последовательность и взаимосвязь этапов проектирования ил
люстрирует рис. 1.1. Охарактеризуем каждый этап проектирования
и степень ero автоматизации [4], [12].
Н а первом этапе разрабатывается принципиальная схема
оптической системы определенных размеров, конфиrурации, отвеча
ющая требованиям техническоrо задания, и выполняется ее rабарит
ный расчет, а если необходимо, то и светотехнический.
В задачу rабаритноrо расчета входит определение числа компо
нентов, из которых должна состоять оптическая система, фокусных
u u
расстоянии, увеличении отдельных компонентов, апертурных уrлов
u
И уrлов поля, расстоянии между компонентами, световых и полных
u
диаметров компонентов, расположения и размеров зрачков для всеи
u
системы и каждоrо компонента, размера и положении призм, плоско
параллелЫlЫХ пластин, зеркал, если таковые в системе имеются.
При rабаритном расчете систему полаrают состоящей из бесконеч
но тонких KOMIIoHeHToB, если это возможно, и используют соотноше
ния параксиальной оптики. Появившиеся в последнее время устрой
ства для ввода и вывода rрафической информации с ПЭВМ позволя
u u u
ют автоматизировать первыи этап расчета, имеющии значительныи
удельный вес в общем расчете оптических систем. Однако выбор прин
ципиальной конструкции оптической системы  работа больше эври
стическая, и ее может выполнить только разработчик.
10


rлава 1. Общие сведения о расчете и проектировании оптических систем
Данные с высшеrо уровня проектирования
'.

..... 1 Выбор принципиальной конструкции оптической системы и ее 
rабаритный расчет
,"
11 Выбор принципиальных конструкций отдельных компонентов 
и узлов и их расчет (синтез) 
,It
111 Аберрационный анализ и коррекция аберраций (анализ и
оптимизация)
, .
IV Оценка качества изображения
,
V Расчет влияния изменения параметров на аберрации и
параксиальные характеристики
"
VI Определение допусков на оптические детали и узлы
'.
VII Оформление технической документации на оптическую систему

"
Рис. 1.1. Этапы проектирования оптических систем
Н а второ'м' этапе проектироваllИЯ по полученным из rабаритно
ro расчета значениям (, D/f, 2ю, 2у, РО' А выбирают конструкции OT
u
дельных компонентов оптическои системы и узлов и выполняют их
расчет (определяют конструктивные параметры).
Выбор конструкции узлов или компонентов является обязаннос
тью опти:каразработчика и выполняется либо с помощью ЭВМ с
использованием личноrо архива оптических систем (ЛАОС), либо Ka
талоrов и патентов. Если окажется, что какойлибо компонент или
узел по своим оптическим характеристика.м резко отличается от
существующих, то в таком случае приходится заново рассчитывать
этот компонент или узел, чтобы обеспечить техническую реализацию
схемы.
11

Расчет и проектирование оптических систем
Для расчета компонентов, узлов системы или самой системы мож"
но использовать следующие методы: проб; Синтеза оптической систе
мы по поверхностям с известными аберрационными свойствами; син..
теза по базовым компонентам; алrебраический метод (метод разделе
пия переменных). Последний метод дает хорошие результаты при pac
чете систем, компоненты КО'l'Орых M0'!tHO принять за бесконечно TOH
кие, т.е. системы с небольшим относительным отверстием и малым
уrловым полем.
С появлением ЭВМ возник вопрос о целесообразности применения
алrебраическоrо метода. Надо ли первоначально исправлять аберра
ции третьеrо порядка, если эвм может автоматически исправить
аберрации любоrо порядка? Сейчас можно с уверенностью сказать, что
успех расчета оптической системы на ЭВМ во MHoroM завиоит от Toro,
насколько исходная система была близка к оптимальной. Ясно, что
система, исправленная Относительно аберраций третьеrо порядка, бу
дет значительно ближе к искомой, чем ПРоизвольно выбранная.
Известны специалзированные nporpaMMbl расчета (nporpaMMbl
синтеза) на эвм оптических СИстем с невысокими оптическими xapaK
теристиками [18].
Аберрационный анализ и коррекция аберраций (оптимизация) 
третий эm.аn проектирования, в наибольшей степени автоматизиро
ванный. Для этой цели созданы и эффективно используются универ
сальные проrраммы анализа и оптимизации, позволяющие автомати
чески изменять определенные параметры в исходной системе.
На втором и третьем этапах проектирования может быть YCTaHOB
лено, что IIeKoTopble rабаритные СООТношения неприемлемы для ис..
правления аберраций. Поэтому после Выполнения части работ, COOT
ветствуюu,и:х этим этапам, ВОЗникает необходимость вновь возвра..
титься к первому этапу и пересмотреть оптическую схему прибора.
На четdертQМ этапе проектирования проводится оценка каче
ства изобрая<ения. Этот этап полностью автоматизирован и
осуществляется с помощью эвм. Если качество изображения не со..
ответствует требуемому, то следует Повторить коррекцию аберраций
в ОIIтической систе'ме.
На nЯ"l,о.м. этапе проектирования оценивается влияние поrреш
ностей изrоrовления на аберрации и параксиалъные характеристики..
Внося малые изменения в КОНСТРУКтивные параметры и рассчитывая
ход Лу""Чей, составляют таблицы влияния изменения параметров на
аберрации. Этот этап полностью автоматизирован. Проводится веро,.
u
ятностная оценка cYMMapHoro воздеиствия изменения всех парамет
ров на изменение аберраций.
12


rлава 1. Общие сведения о расчете и проектировании оптических систем
н а шестом этапе определяют допуски на изrотовление оптичес
ях деталей и узлов. 11 станавливают допуски на основные харак-
ТеРЯСТИКИ стекла, из KOToporo выполняются оптические детали:
однородность, бессвильность,' двойное лучепреломление, светопоrло-
щеняе и Т.п. Если допуски оказываются жесткими, то систему пере-
счятывают на радиусы пробных стекол, на плавки стекол, на комп-
летациЮ линз по толщине, на изменение воздушных промежутков в
процессе сборки для компенсации влияния поrрешностей IJзrотовле-
няя. Если допуски слишком жесткие, то приходится возвращаться ко
второму этапу, т.е. замене нетехнолоrичных компонентов или узлов
более сложными, но менее чувствительными к поrрешностям изrотов
ления. Расчет допусков полностью не автоматизирован. Сравнитель-
но леrко поддается автоматизации расчет допусков на конструктив
ные параметры. Существенные трудности представляет автоматиза
цяя выдачи требований к стеклу, а расчет допусков на призмы требу-
ет определенной теоретической работы.
Седьмой этап  оформление технической документации на
разработанную оптическую систему. Этап полностью автоматизиро
ван, причем часть технической документации выдается ЭВМ в виде,
не требующем дэльнейшеrо оформления (таблицы аберраций, табли-
цы влияния изменений параметров, rрафики аберраций, чертежи
u V
оптических деталеи и оптическои системы, оптические выпуски и
оптические схемы рассчитанных систем).
Из сказанноrо выше следует, что процесс проектирования являет
ся итерационным, т. е. содержит возвраты на начальные этапы с yc
ложнением и изменением задания на их выполнение.
1 .4. Автоматизированное проектирование оптических
систем
Теоретическую базу автоматизированноrо проектирования опти
u V
ческои системы составляют система математических моделеи, описы
вающих оптическую систему, и математические методы обработки
ЭТИХ моделей [15].
Процесс автоматизированноrо проектирования представляет co
бой последовательность операций, выполняемых над описаниями или
математическими моделями проектируемоrо объекта до получения
окончательных проектных решений.
Математические модели оптической системы, как и любоrо друrо
ro объекта проектирования, должны быть адекватными (описывать
СВойства объекта с необходимой точностью), универсальными (при
13

Расчет и проектирование оптических систем
rодными для широкоrо класса объектов), экономичными, простыми I
И нarлядными для использовани,я.
Никакая единая модель не может удовлетворить всем указанным
требованиям, поэтому используется система моделей, основанная на
блочноиерархическом подходе к описанию и проектированию объек,
та [15], и процесс автоматизированноrо проектирова,JIИЯ разбивается
u
на несколько иерархических уровнен, причем на каждом уровне pac
сматривается своя математическая модель объекта проектирования.
При проектировании оптических систем выделяют три иерархи
ческих уровня.
На высше-м уровне оптическая система рассматривается как эле .
мент в цепи различных устройств, входящих в прибор и работающих
совместно. Здесь используетс,я внешняя функциональная модель KO
торая описывает оптическую систему как преобразователь сиrналов
общеrо вида. Поэтому полученные закономерности и характеристики
(внешние характеристики оптической системы) объектнонезависимы
и применимы к любым преобразователям, работающим вместе с оп
тической системой. Поскольку при этом оптическая система pac
сматриваетс,я как линейный фильтр сиrнала, то математический ап
парат внешней модели основан на rr.еории линейной фильтрации и ли
нейных систем применительно к оптическим сиrналам. В процессе
проектирования на высшем уровне определяют внешние характерис
тики всех элементов схемы (в том числе и оптической системы), обес
печивающие функционирование оптическоrо прибора в целом.
На среднем уровне рассматривают оптическую систему как COBO
купность элементов. В качестве элементов можно прин,ять узлы, фун
кционально обособленные (объективы, окуляры, оборачивающие си
стемы и т.п.), компоненты с известными аберрационными свойства
ми, оптические поверхности и среды. На этом уровне проектирования
определяют номинальные значения конструктивных параметров эле
MeHTOB допустимые их отклонения от номинала, исходя из требо
ваний к качеству изображения, технолоrичности и экономичности.
Здесь использую;rся две матеrdатичеСКIlе модели:
внутренняя функциональная модель, которая отражает физичес
кие принципы формирования оптическоrо изображения. Основным
понятием этой модели является зрачковая функция, описывающая
u
влияние оптическои системы на проход.яIIее через нее электромаr
.
нитное поле. Полученные закономерности и характеристики (BHYT
ренние характеристики оптической системы) являются объектноори
ентированными и приrодными для описания только оптических сис
тем;
14


rлава 1. Общие сведения о расчете и проектировании оптических систем
nрин,циnиальн,ая конструкционная -м,одель включающая
конструктивные параметры, которые определяют функционирование
u u
оптическои системы  параметры оптических сред, поверхностеи и
иХ взаимноrо расположения.
На н,изше-м, уровне проектирования оптическая система представ
u
ляется как совокупность оптических деталеи, закрепленных в опра
ваХ. Задача проектирования на этом уровне заключается в определе
нии конструктивных элементов, обеспечивающих надежное закрепле
ние деталей и расположение их друr относительно друrа с необходи
МОЙ точностью. Математическая модель  детальн,ая "OHcтpYKциoн,
паЯ ,М,одель оптической системы, содержащая математическое описа
ние крепежных элементов, взаимноrо расположения и подвижек дe
u
талеи и т.п.
Кроме рассмотренных моделей, специфических для CBoero YPOB
ня проектирования, существуют две модели, обладающие общими
чертами и поэтому используемые на любом уровне,  это оптимиза
ционная и статистическая модели.
Оnти'м'изационн,ая -м,одель описывает оптическую систему как
объект оптимизации. Модель включает характеристики оптической
системы, которые требуется улучшить на данном уровне; параметры
rv dv <Xv nл.о  Vл.о  изменяя которые, выполняют оптимизацию; оrрани
чения на область возможных изменений и математические соотноше
нин, связывающие параметры и характеристики.
Статистическая 'м'одель характеризует оптическую систему как
объект, полученный в процессе изrотовления и сборки деталей. Mo
дель необходима при определении допусков на технолоrические по
rрешности.
Процесс автоматизированноrо проектирования можно предста
u
вить как последовательность операции над математическими моделя
ми оптических систем: синтез........ анализ........ оптимизация.
Синтез. Под синтезом понимают формирование конструкционной
модели, т.е. определение значений параметров r d n обеспечивающих
требуемые значения характеристик {', O' 81' 811' 8111'...' аберраций и
т.п. 'У'словная схема синтеза представлена на рис. 1.2, а.
Синтез оптической системы  операция J3 большинстве случаев
эвристическая и суrубо объектноориентированная. Алrоритмизации
поддаются только некоторые виды синтеза: выбор конструкции опти
ческой системы из существующих вариантов с помощью информаци
Оннопоисковой системы (ИПС); синтез по набору из поверхностей с
известными аберрационными свойствами; сборка оптической системы
15

Расчет и проектирование оптических систем
""-
Характеристики I I Конструктивные
Синтез )1
параметры
а)
Конструктивные I I Характеристики
Анализ )1
параметры
б)
...
Параметры I I Оптимизированные
Оптимизация )1
параметры
в)
Рис. 1.2. Условные схемы анализа, СИН'l'еза и оптимизации оптических систем
из нескольких узлов и компонентов, взятых из личноrо архива опти
ческих систем (ЛАОС); операции по перестройке оптической системы
(удаление и добавление элементов, оборачивание изображения, изме
нение масштаба); синтез простейших оптических систем с невысоки
ми оптическими характеристиками.
Различают структурный синтез, почти всеrда представляющий
собой эвристическую операцию, в процессе которой определяют коли
чество, типы и последовательность элементов, образующих проекти
V u
руемую оптическую систему, и nара.метрическuu сuнтез, явл,яющии
u u
ся операциеи, задача которои состоит В получении конкретных KOH
..,
структивнх параметров элементов оптическои системы.
Поскольку при синтезе степень эвристичности сама,я высокая, то
не всеrда в процессе синтеза удается получить систему, удовлетворя
ющую заданным требовани,ям, поэтому синтез оптической системы
u ..,
выполняетс,я с последующеи оптимизациеи.
Анализ. Под анализом понимают вычисление значений xapaKTe
ристик оптической системы (аберраций, ,81'...' 8у и др.) по найден
ным при синтезе конструктивным параметрам. Условная схема aHa
лиза приведена на рис. 1.2, б.
По известным параметрам на этапе анализа определяют BHyтpeH
ние характеристики оптической системы. Здесь выделяют подуровни:
анализ системы в rауссовой области (расчет хода параксиальных лу
чей и определение характеристик в этой области); анализ в зейделе-
вой области (нахождениё коэффициентов аберраций и аберраций Tpe
тьеrо порядка); определение rабаритов пучков; аппроксимаци,я абер
раций и формирование внутренней функциональной модели.
Оптимизация. Под оптимизацией понимают направленное
изменение конструктивных параметров, начиная от некоторых исход
ных, в целях получения требуемых значений характеристик. Услов
на,я схема оптимизации представлена на рис. 1.2, 8.
16


rлава 1. Общие сведения о расчете и проектировании оптических систем
Математический аппарат оптимизации относится не к самому
объекту проектирования (оптической системе), а к ее оптимизацион
ной модели, поэтому, коrда оптимизационная модель построена, опе
рация оптимизации будет объектноинвариантной и детерминиро
ванНОЙ. Выбор модели, т.е. решение вопроса о том, что оптимизиро-
u u
ваТЬ и чем оптимизировать в даннои системе, является задачеи эври
стической. Способность принять правильное решение приходит с опы
110М И пониманием принципов оптимизации.
Алroритм процесса автоматизированноrо проектирования, COCTaв
u u
ленныи из последовательности операции синтеза, анализа и оптими
зации, представлен на рис. 1.3, из KOToporo следуеТ t что процесс про
ектирования является итерационным и заканчивается после Toro, как
результаты анализа на всех ero подуровнях будут положительно oцe
нены разработчиком [15].
САПР ....... высший уровень проектирования оптических систем
Сеrодняшнее состояние автоматизации проектирования оптичес
ких систем характеризуется переходом от отдельных проrрамм и па
кетов прикладных проrрамм (ППП) к системам автоматизированноrо
проектирования (САПР), которые дают возможность осуществлять
проектирование на новом, более высоком качественном уровне.
В САПР оптических систем оптимальным образом распределены
функции между разработчиком и ЭВМ  все детерминированные опе-
рации выполняет ЭВМ t все эвристические  разработчик. Для этоrо
разработчик должен получать материал с ЭВМ в нarлядной форме с
тем, чтобы оперативно вмешиваться в процесс проектирования в He
обходимых точках. Эффективность САПР определяется теоретичес
кой, проrраммной и техническими базами [15].
Проrpаммное обеспечение САПР состоит из двух частей: систем
ной и проблемной (рис. 1.4).
Систе'мная часть включает проrраммудиспетчер, обеспечиваю
щую взаимодействие САПР с разработчиком и выполнение ero зака
зов в диалоrовом режиме. Проrраммадиспетчер вызывает COOTBeT
ствующую проблемную проrрамму, банк данных, через который про
исходит обмен информацией между разработчиком и системой.
Пробле,Мн,ая часть состоит из библиотеки унифицированных про
rpaMM, выполняющих отдельные операции проектирования.,  так
называемых функциональных блоков: трансляции с входноrо языка,
синтеза, анализа, оптимизации, отображения.
Функциональные блоки состоят из отдельных подпроrрамм, ре-
шающих элементарные задачи .общематематическоrо характера (за
17

Расчет и проектирование оптических систем

С предыдущеrо уровня
проектирования
с[
О
co
о.т Выбор вида синтеза
Ф....
t:X
со I
('1) Xct
Ф
.... Ф s
:х: Jш
S )s Синтез
u >'0
ct ФL..
S х>-
ш (W)a
)S 
е хt'O
 SX
(.)
ct
со
Х
g Переход к анализу
 о::
О. )S со
Ф S ХО::
t:  со Xs
I О Х Ф:::r
S  Выбор уровня анализа  шсо
  b(W)
 E:[S
со Ф(W) (w) Ф
(w) Ф s О o.s
S m о....
 «s аа ОЕ::
S (w) "'х Анализ t: 0
.... S Ф
Е:: а co Х
О S
о:: Х g
 со Решение удовлетворяет
.о х
Ф Х '" ТЗ на всех уровнях анализа
 Ф О
со Ф
О ::с
о.
t: >-
Q) )S
Х 
о::
S 
:::r Возможен переход к оптимизации

>- со
о- Х
.... g
u
Х  Ф
О S
 о- XS
о:: Ф ФС;
со t: ХФ Построение Выпуск
Х I g
Х оптимизационной
со «s  документации
со Х )S модели
О J
О.  sO
S с;Х
(w) s
Ф о::
.... S фS
Х :::r s:::r Оптимизация На следующий
S «s хсо
U (w) ф('I) уровень
S xS
 Ф проектирования
S S
.... С')....
t: sE::
О со О
::с
Рис. 1.3. Схема алrоритма процесса автоматизированноrо проектирования
18


rлава 1. Общие сведения о расчете и проектировании оптических систем
ЭВМ
I
О S D:::
Ж
 ct s s
ф о ::r ж ДЦПУ
1i х c'cs 
Х Ш c'cs со с")
х о с") (v) s
Л З о.  s  о.
C[(V) о а s . .. \о
 ....C'CS Ж .... О
ш s ж t: Ь
.D Ш D::: О со О
X(V) S 1:;.... S S S S
0..0
с[  жС")    
 о C'CSo:: о о о о
1:; 0.0 1:; 1:; 1:; 1:;
s 1.0 .....L... 1.0 1.0 Lй 1.0
Диспетчер
Банк данных
Рис. 1.4. Примерная структура САПР оптических систем
дачи линейной алrебры, интеrрирования и т..п.), оптическоrо xapaK
тера (расчет хода лучей, вычисление коэффициентов аберраций и
Т.П.). ЭТИ подпроrраммы пишутся на универсальных алrоритмических
языках высшеrо уровня, которые постоянно совершенствуются.
Отличительными чертами САПР являются: общая система MaTe
матических моделей проектируемоrо объекта; автоматизация обмена
информацией между отдельными проrраммами САПР с помощью си
стемной проrраммыдиспетчера; наличие личных архивов KOH
структоров, обеспечивающих хранение в ЭВМ и удобное использова
иие исходных данных, промежуточных и окончательных результатов;
наличие банка общесистемных данных; общение разработчика с ЭВМ
посредством универсальноrо машиннонезависимоrо языка; rрафичес
Кое отображение информаци:и; работа в диалоrОВОI\! режиме, позволя
ЮIцая разработчику оперативно оценива.ть результаты и принимать
ЭВристические решения о дальнейшем ходе процесса.
Иными словами, компонентами САПР являются математическое,
,
ЛИ:НI1вистическое, техническое, информационное, проrраммное, MeTO
дическое и орrанизационное обеспечение.
19

Расчет и проектирование оптических систем

Технические средства ДЛЯ автоматизации
проектироваиия оптических систем
При определении требований к техническим средствам для aBTO i
матизации проектирования оптических систем (АЛОС) принимается
во внимание прежде Bcero необходимость для большинства оптичес
u v
ких расчетов выполнять операции с числами с плавающеи запятои с
точностью порядка 10...12 десятичных разрядов. 
Критериями для выбора таких средств являются: достаточная
производителъность, удобство взаимодействия с пользователем, нали
чие проrраммых продуктов для автоматизации задач проектирова
ния, надежность, возможность расширения и обслуживания" прием...
лемая стоимость.
Принято считать, что показателем производительности ЭВМ при
АЛОС служит число лучей, рассчитываемых через одну поверхность
u
оптическои системы за время, равное секунде, разумеется, при
обеспечении таких основных ресурсов, как разрядность, оперативная
память, внешняя память и др.
Результаты анализа некоторых отечественных и зарубежных ЭВМ
*
для оптических расчетов приведены в табл. 1.1 ).
Следует отметить, что большие ЭВМ 7080..x rr. работали в oc.
новном В режиме разделения времени, в пакетном режиме и с исполь
зованием удаленных алфавитноцифровых или rрафических термина
лов в режиме диалоrа, причем оптимальным считалось время работы
пользователя не более часа. В середине 80x rr. с появлением профес
СИОIIальных персональных ЭВМ (ППЭВМ) и рабочих станций с BЫCO
u
кои производительностью стало ВОЗМОЖНJ.>IМ применение диалоrовых
методов расчета на ППЭВМ непосредственно на рабочих местах при
использовании их практически в течение Bcero рабочеrо дня, а также
переход к созданию интеrри:рованных проrраммных систем для про...
ектирования и моделирования оптичеСКI'IХ еистем. Поэтому рассмат...
ривая с точки зрения .закОlIомерности применения ЭВМ COOTBeTCTBY
ющих поколений, можно предложить следующую классификацию
u
поколении оптических проrрамм:
70e  начало 80x rr.  пакеты проrрамм АЛОС, доступные в
пакетном или диалоrовом режиме, двухмерная rрафика;
Середина 80x  90...х Ji'r.  интеrрированные nporpaMMHble сис
темы, работа в режиме диалоrа, трехмерная rрафика;
") raB М.А. Автоматизация проектировавия оптических систем / / Отический жур..
вал. 1994. N2 8. с. 4. 12. .
20


r лава 1. Общие сведения о расчете и проектироsании оптических систем
Таблица 1.1
........
БэсМ6
эвМ сер. Ее (:ОС 1045, 1060)
(с Эльбрус 1 »
INТEL 286/287 (10 МНz)
INТEL 386/387 (20 МНz)
INТEL 386/387 САСН (33 МНz)
INТEL 486 (33 МНz)
INТEL 486 (66 МНz)
INТEL PENТIUМ (66 МНz)
DEC Мicro V АХ
SUN 4/75 SPARC 2
SUN SP.ARC 1041
1971
1980
1988
1986
1990
1991
1992
1993
1993
1985
1985
1991
1992
Производительность
лучей/с
2000*
1000* и более
5000*
530
3000
7000
21000
43000
73000
2500*
9500*
105000**
250000**
Тип ЭВМ
или процессора
rод внедрения ЭВМ
Прuмечан.ие.
* При работе в режиме одноro пользователя.
** По данным фирмы ОRA. USA.
Конец 90x rr.  интеrрированные nporpaMMHble системы с ис
пользованием баз знаний и элементов искусственноrо интеллекта.
Следует особо отметить, что с повышением производительности
ЭВМ, созданием цветных rрафических дисплеев и технических
средств орrанизации диалоrа существенно расширились возможнос
ти использования машинной rрафики отображения как самих опти
u
ческих систем в виде ДBYX и трехмерных проекции, так и результа
тов расчетов, включая ход лучей, ДBYX и трехмерных rрафиков абер
раций, диаrрамм распределения лучей в изображении точки и тест...
объектов, оптических передаточных функций и Т.П.
В настоящее время наиболее перспективным представляется OCHa
щение вычислительных бюро рабочими станцими INTEL 486 или
PENTIUM, а в перспективе  рабочими станциями типа SUN 1041.
Проrраммное обеспечение ДЛЯ АПОС
В настоящее время в мире известно около полутора десятка KOM
мерчески доступных nporpaMM дЛЯ АПОС. Они существенно различа
Ются по своим возможностям.
На предприятиях и оптических конструкторских бюро стран CHr
Успешно используются такие комплексы проrрамм как САРО, ИТМ
( «Спектр.), DEMOS, разработанные СО'l'рудниками rосударственноrо
ОПтическоro института им. С.И. Вавилова (rои), пакет прикладиых
21

Расчет и проектирование оптических систем

проrрамм ОПАЛ (оптическиЙ алrоритм), разработанный совместно
сотрудниками СанктПетербурrскоrо roсударственноrо института ТОЧiP
ной механики и оптики (Технический университет) и ЛенинrрадСКОt
ro оптикомеханическоrо объединения (ЛОМО). В настоящее врем.
разработаны новые версии этих проrрамм для компьютеров, COBMe
TllMblX с IBM РС/АТ.
Наиболее перспективным, на наш взrляд, является комплекс про.
rpaMM DEMOS, позволяющий осуществлять проектирование как осе..
симметричных, так и неосесимметричных оптических систем. В
1986 1988 rr. была разработана новая версия проrраммы для компь,
ютеров, совместимых с IBM РС/АТ. В настоящее время введена в эк
сплуатацию третья версия этой проrраммы. Не вдаваясь в подробности
u u
ВОзможностеи это и проrраммы, отметим лишь некоторые:
u
дружественныи диалоr с пользователем с помощью полиэкранно..
ro меню, ДBYX и трехмерная rрафика;
u
описание оптическои систеl\1:Ы и исходных данных для расчета о
помощью простоrо языка и таблиц;
U u
встроенныи мультиэкранныи редактор;
встроенная база данных для хранения оптических систем и pe
зультатов расчета;
каталоrи оптических материалов, включая стекла и материалы,
производимые в CHr, а также каталоrи зарубежных фирм;
возможность задания оптических систем с плоскими, сферически
ми, асферическими поверхностями BToporo и более высоких порядков;
u u u
возможность операции перестроики оптическои системы, поворо
та, сдвиrа поверхностей или rруппы линз, оборачивания, масштаби .
рования;
архив оптических систем на основе патентной информации с воз..
можностью поиска систем по 56 дискретным признакам;
синтез оптических систем в области аберраций 2...4 порядков,
синтез оптических систем с асферическими и киноформными компен
I
саторами;
анализ оптических систем: расчет rеометрических и волновых
аберраций, аппроксимация аберраций полиномами, анализ аберраций
2...4 порядков в окрестности реальных лучей, в том числе классичес
кие аберрации 3ейделя для осесиммеТРIIЧНЫХ систем, расчет полноrо
набора критериев качества избражения и т.д.
Не останавливаясь подробно на возможностях проrрамм, отме..
тим, что интеrрированная система обеспечивает работу оптика от вы..
бора исходной оптической системы (или ее синтеза), анализа, оптими..
u
зации до технолоrическои подrотовки, изrотовления и испытания.
22


rлава 1. Общие сведения о расчете и проектировании оптических систем
при проектир()вании оптических систем также широко применя..
J<)ТСЯ и такие комплексы проrрамм как .ОПТИКА., .ПРИЗМА.,
«(выПУСК., «ФОТО3ЕНИТ,. и т.д.
основные направления развития АПОС
основным направлением развития автоматизации проектирова
u
пия оптических систем является дальнеишее совершенствование ин
теrриРОВанных систем, работающих в режиме диалоrа, причем в бли
жайmем будущем можно ожидать (см. статью М. А. raнa):
упрощения интерфейса человек  ЭВМ за счет ведения диалоrа
на естественном языке и введения элементов искусственноrо интел
лекта;
u
применения для визуализации оптических систем трехмернои
rрафики и стереоскопических изображений;
u
совершенствования математических моделеи оптических систем,
включая и оптимизационную;
создания стандартизированноrо интерфейса между оптическими
расчетами и конструированием оптической системы, более широкоrо
u
моделирования оптических систем с учетом элементов конструкции
как с точки зрения светозащиты, так и термомеханических возмуще
...
нии;
расширения элементной базы при проектировании оптических
систем, включая элементы дифракционной, компьютерной и интеr
u
ральнои оптики;
внедрения методов синтеза оптических систем с использованием
элемнтов искусственноrо интеллекта и нелокальных методов опти
мизации (нелокальный случайный поиск и метод oBparoB был опробо
ван'на БЭСМ6 Н.В. Цено);
создания интеллектуальных баз данных и знаний в области проек
тирования и применения оптических систем и материалов;
применения параллельных вычислительных систем в оптических
расчетах и создания на их основе HOBoro класса оптических алrорит
мов и ПРОI'рамм.
Рассмотрим некоторые принципы построения параллельных
Оптических алrоритмов и проrрамм. Независимо MorYT выполняться
расчеты отдельных лучей через оптическую систему, независимо мож
но также вычислять траектории пучков лучей для различных длин
волн и точек в поле зрения оптической системы и выполнять расчеты
При различных ее конфиrурациях. Расчет интерферометрических си
стем и оптических систем с rолоrраммными элементами также может
быть распараллелен естественным образом. Методы распарал
23

Расчет и проектирование оптических систем
-4т
леливания при вычислении быстроrо преобразования Фурье уже до(
таточно разработаны и описаны и т.д.
Поэтому для реализации параллельных оптических расчетов в
- .
u
вычислительную структуру должен . входить управляющии модуль и
64разрядные процессоры с возможностью выполнения операций с
плавающей запятой и большим объемом хранимой проrраммы, He
ходимой для расчета хода лучей и пучков. Этим условиям в знаqlt
тельной степени отвечают модели Т800, Т900 транспьютеров фирм.
INMOS, но производительность доступных в настоящее время трав,
пьютеров Т800 недостаточна, однако быстрый проrресс в области эл.
ментной базы позволяет предполаrать, что разработка HOBoro класer
оптических алrоритмов и проrрамм на основе параллельных вычи{
лительных структур даст практические результаты уже в ближайши.
rоды.
Прежде чем перейти к автоматизированному проектированию on
тических систем, рассмотрим методы синтеза оптических систем, ме-
тоды коррекции и машинной оптимизации. Изложенные в последу.
U '
ющих rлавах формулы синтеза позволяют составлять простеишие a..m.
rоритмы дЛЯ АПОС и проrраммы на ППЭВМ.
"

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем

rлава 2. rАБАРИТНЫЙ РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
.... '''''''

2.1. rабаритный расчет телескопических систем
Болыпая rруппа оптических приборов (астрономические наблю
дательные телескопы, reодезические, стереоскопические, контрольно
измерительные приборы, бинокли, прицелы, дальномеры и т.п.) по..
зволяет рассматривать удаленные предметы. Оптические системы Ta
ких приборов называют телескопическими (от rреч. tele  вдаль, дa
леко -+ rреч. всорео  смотрю).
Пучки лучей, входящие в телескопическую систему, можно при
пять за параллельные, так как входные зрачки значительно меньше
раестояний до предметов, наблюдаемых в эти приборы. Чтобы rлаз Mor
без напряжения рассматривать изображения, образованные телеско
пическими системами, выходящие пучки лучей также должны быть
параллельными. Для этоrо в оптической схеме необходимо COBMec
rrить точки фокусов первоrо и BToporo компонентов, так чтобы опти
ческий интервал l:1  расстояние между точкой F 1 заднеrо фокуса пер
Boro компонента и точкой F 2 переднеrо фокуса BToporo компонента 
равнялся бы нулю. Системы с таким ходом лучей называются афо..
кальными (фокусное расстояние равно бесконечности) и их можно ис
ПОJIьзовать не только для IIаблюдения удаленных предметов, но и в Ka
честве коллимирующих систем для формирования излучения лазеров,
а также устройств для изменения увеличений (вращаюn.иеся телеско
ПИческие системы).
Любая телескопическая система характеризуется видимым YBe
.7IИчением r т' уrловым полем 200, диаметром D' выходноro зрачка, ero
Удалением а'р' или (в'р'), либо размером D входноrо зрачка, ero поло
25

Расчет и проектирование оптических систем
жением ар (или Эр) относительно первоrо компонента, а также уrло
вой разрешающей способностью ",.
Для телескопической системы видимое r T , линейное a' уrловое
Уа увеличения являются постоянными величинами, не зависящими от
положения предмета и связанными друr с друroм следующей зависи
мостью
r T = Уа = l/a = tgoo' /tgoo = D/ D'.
Простая телескопическая система состоит, как минимум, из двух
компонентов, каждый из которых может быть оптической поверхно
стью (рис.2.1, а, б, д, е) или представлять собой оптическую систему
из двух (рис. 2.1, в, z) и более (рис. 2.17,2.18,2.26) компонентов. Если
телескопическая система визуальная, то первый компонент, обращен
ный к предмету (объекту), называется объективом, а второй, обращен
ный к rлазу наблюдателя,  окуляром, а сама система в целом  зри
тельной трубой, монокуляром и Т.П. Простейшие виды телескопичес
ких систем, выполненные по схемам Кеплера и rалилея, представле
нынарис.2.1.
Изображение, построенное системой, наблюдается из центра BЫ
ходноrо зрачка под yrлом 200', значительно большим, чем при paCCMaT
ривании предмета невооруженным rлазом из центра входноrо зрачка.
а)
в)
F','
1 
F 2 
д)
Рис. 2.1. Схемы простейших телескопических систем:
а), б)  телескопические линзы по схемам Кеплера и rалилеs;
в), 2)  линзовые телескопические системы;
д), е)  двухзеркальные телескопические системы по схемам rалилеs и Кеплера.
26

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
Это приводит к искажению перспективы: все предметы кажутся.при
ближенными к наблюдателю, а само пространство  сжатым в осевом
направлении.
При выполнении rабаритноrо расчета используют основные фор
мулы теории телескопических систем [11, 12]. Видимое увеличение
r т определяется по формуле
r т=- tgoo' /tgoo =-  t;/t; =-  t;б/f;к, (2.1)
Это увеличение можно вычислить и как отношение диаметров BXOД
Horo D и выходноrо D' зрачков, Т.е.
r T =- D/D'. (2.2)
Знак видимоrо увеличения rоворит о том, прямое (r т > О) или пере
вернутое изображение (r т < О) дает данная система.
Принципиальная схема телескопической системы Кеплера с OKY
ляром Кёльнера приведена на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Принципиальнаа схема телескопической системы Кеплера
Наибольшее значение уrловоrо поля в пространстве предметов за
висит от уrловоrо поля 201 окуляра и равно
tgoom,,-x =- tgoo'/r T . (2.3)
Обычно yrловое поле окуляра у телескопических систем меняет
ся в пределах 40....700 (известны широкоуrольные окуляры с 200' до
1000). Так как для большинства телескопических систем видимое YBe
личение не превышает 10...30\ то уrловое поле 200 объектива не пре
вышает 10...120. Как видно из рис. 2.2, уrловое поле окуляра опреде
ляет размер полевой диафрarмы
Dnд =- 2t; tgoo' . (2.4)
27

Расчет и проектирование ОПТических систем
Диаметр выходноrо зрачка в визуальных телескопических систе
мах составляет 1,5...7,0 мм в зависимости от условий наблюдения, а
ero удаление, если это не oroBopeHo особо, от последней поверхности
окуляра в' Р'  5 мм. Диаметр D' выходноrо зрачка является rлавным
параметром оценки светосилы Н телескопической системы, работаю
щей с rлазом. Причем если D'  D rл , то Н = gD,2 = g(D/r т)2; а если
D rл < D', то Н = gD;'" rде g = 1t't(п'/п)2/( 4f: л 2 ); f'rл  22,8 мм.
Световые качества визуальной телескопической системы (зри
тельной трубы) характеризуются относительной субъективной ярко
стью, которая определяется как отношение субъективных яркостей
вооруженноrо и невооруженноrо rлаза.
Если наблюдать через зрительную трубу точечный об'Оект, то OT
носительная субъективная яркость при условии, что D' < D rл опреде
ляется как отношение световых потоков
Фте+rл/Фrл=(D/Drл)2, (2.5)
rде Фrл = 1tD;л I и/( 4а:)  световой поток при наблюдении предмета He
вооруженным rлазом; Фте+rл = 1tD 2 I u /( 4а;)  световой поток при Ha
блюдении предмета в трубу; а 1 "" а 2 = 00  расстояния до предмета; I u
 сила света точечноrо объекта.
Если D' > D rл , то относительная субъективная яркость вычисля.
ется по формуле
Ф ' 1tD2 . r 2 . 1 /( 4а 2 )
. ите+rл = rл т и . = r 2
2 /( 2 ) т .
Фrл 1tD rл I и 4а 2
Из формулы (2.6) видно, что при наблюдении взрительную трубу тo
чечноzо об'Оекта (например, звезды) относительная суб'Оективная
яркость будет равна r; , но при условии, что D' > D rл .
Если через зрительную трубу наблюдать предмет конечных раз
меров, то относительная субъективная яркость определяется отноше
Нllем освещенностей изображений
gте+rл = 1t'tте'trлLиD,2/(4f:л2 1='t ( D' ) 2
Е' D /(4 '2 ) те D '
rл 1tt rл 4 rл /rл rл
rде Е'и теНл  субъективная яркость вооруженноrо rлаза; Е'rл
субъективная яркость невооруженноrо rлаза; "С те  коэффициент про
пускания телескопической системы.
При наблюдении в зрительную трубу обычно зрачок rлаза наблю
дателя совмещают с выходным зрачком телескопической системы и
(2.6)
(2.7)
28

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
желательно, чтобы они совпадали не только по положению, но и по
диаметру (рис. 2.3).
Видимое увели-
чение телескопичес-
кой системы, при
котором D'  D rл ,
называют нормаль-
ным увеличением
r Т.Н' Такое увеличе-
ние имеют зритель-
ные трубы, работаю-
щие с плохо освещен-
ными предметами.
Способность те-
лескопической сис-
темы раздельно изображать две точки или линии  разрешающая спо-
собность  оценивается по уrловому пределу разрешения ",. Разре-
шающая способность, соrласно дифракционной теории, зависит толь-
ко от диаметра D входноro зрачка и определяется выражением
\j1 == 1,22л.; D. (2.8)
Если принять л.  0,000556 мм, то
\j1 = 140"/D.
В этом случае контраст между дифракционными изображениями
точек составляет 26% и, если rлаз способен различить контраст по-
рядка 5% , то
\j1 = 120"/D. .
Для нормальноrо rлаза уrловой предел разрешения в среднем со-
ставляет \j1rл 60".
Увеличение телескопической системы, при котором разрешающая
спос06ность объектива полностью используется zлазом, называется
полезным увеличением r Т . П и определяется следующим образом:
60" 60" D
rт.п='Р= 120" D=2' (2.9)
у разных наблюдателей уrловой предел разрешения rлаза колеб-
лется в пределах 30"...120" и снижается от 60"до 90" из-за дифрак-
ции при малых значениях диаметров выходных зрачков прибора
(1 мм). Поэтому полезное увеличение телескопической системы мо-
жет иметь значения [13]:
Вых. зр.
F;K
{;к
z;"
а',
Рис. 2.3. Оrраничение пучков лучей зрачком rлаза
O,2D 5, r Т.П. 5, O,75D.
1::1
(2.10)
29

Расчет и Проектирование оптических систем
При rабаритных расчетах телескопических систем необходимо
определять rлубину резко изображаемоrо пространства, так как при
визировании на предмет в пространстве изображений будут также рез
ко видны предметы, находящиеся и в друrих плоскостях, расположен
ных за и перед плоскостью наведения (рис. 2.4).
11
1
Вх. зр.
11'
l' Вых. зр.
..;
2
tJ..  Рl
p
p
Рис. 2.4. К определению rлубины резко изображаемоrо пространства
На рис. 2.4. телескопическая система представлена диаметрами
входноrо и выходноrо зрачков. Пусть величина допустимоrо кружка
рассеяния в плоскости изображения б', а "'rл  уrловой размер допус
тимоrо пятна рассеяния на сетчатке rлаза при наблюдении т. В2' pac
положенной не в плоскости наведения (в заднем плане).
Для сопряженных отрезков, определяющих положеНИЯРl ИР2 пе
реднеrо и заднеrо планов, а также положение р плоскости наведения
можно записать
р = p'r; Рl = p;r; Р2 = p;r ' (2.11)
тоrда rлубина изображаемоrо пространства определится по формуле
tJ.. = Р2  Рl , (2.12)
rде р; = р'Drл/(D rл  р'",); р; = р'Drл/(D rл + р'",); р'  положение плос
кости изображения относительно выходноrо зрачка телескопической
системы.
Если rлаз аккомодирован на бесконечность, то р  00 и
р'; = p;rT = Dr"r/",  это расстояние называют началом бесконеч
ности для телескопической системы.
Однако, как показывают практические наблюдения, изза изме
нения аккомодации расстояние до переднеrо плана будет меньше, чем
р'; /2. Для зрительной трубы, если задний план расположен в беско
30

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
нечности (Р2  00), расстояние до переднеrо плана (в метрах) можно оп
ределить по эмпирической формуле Pl = r: / А к ' rде А,.  объем aкKO
модации в диоптриях (для нормальноrо rлаза А,.  4 дптр).
Расчет простых теJlескопических систем КеПJlера и rаJlИJlея
Простая телескопическая система состоит из двух компонентов,
расположенных так, что задний фокус первоrо компонента совпадает
с передним фокусом BToporo компонента. Видимое увеличение r т MO
жет быть как положительным (r T > О), так и отрицательным (r T < О),
поэтому изображение в телескопической системе может быть прямым
(r T > О) или обратным (перевернутым) (r T < О).
У телескопической системы rалилея (rолландская телескопичес
кал система) фокусное расстояние первоrо компонента положитель
ное (, 1 > О), а фокусное расстояние BToporo компонента отрицатель
ное (, 2 < О), видимое увеличение r T > О и система дает прямое изобра
жение (рис. 2.5).
ВД, Вх. ок.

 ы зр.    j Вх . зр.
F' ro
F 2 - --------= :...... -

р
а)
ар

F 2
б)
{ '
 1
d
Рис. 2.5. Телескопическа,я система rалиле,я
а) прямая система; б) обратная система
Апертурной диафрarмой в системе .труба + rлаз. является зра
чок rлаза наблюдателя.Он же является и выходным зрачком системы.
Поскольку в трубе нет действительноrо промежуточноrо изобра:I;Ке
ния, то отсутствует полевая диафраrма, а, следовательно, нет визир
Horo устройства  сетки, поэтому такую телескопическую систему
можно использовать в театральных биноклях, в визирах некоторых
неавтоматических фотоаппаратов, в качестве коллимирующих систем
лазерноrо излучения (обратные системы), а также в системах перемен
Horo увеличения. Большой диаметр выходноrо зрачка (зрачок rлаза
31

Расчет и проектирование оптических систем
в сумерках 6...8 мм) позволяет проводить наблюдения при слабом ос-
вещении. В зависимости от увеличения (r T > 1 или r T < 1) использу-
ют прямые (рис. 2.5, а) или обратные (перевернутые) (рис. 2.5, б) сис-
темы rалилея.
Выполним zабаритnый расчет системы Fалилея, которую зада-
дим тонкими компонентами (рис. 2.6).
ВД, Вх. ок.
  = tоб 1 (об) 2 (ок) ар Вх. зр.
АД, Bы зр.        
 F,
.....
........................... ,.......... р
L=d
ау
Z = ZK
Zp = Zоб
Рис. 2.6. Оптическая схема телескопической системы rалилея
Исходными данными для rабаритноrо расчета являются: r T , 2оо,
а'р'  а'Р'rл' L  t'об + (ОК'
ПО заданным значениям видимоrо увеличения r T и длины L тру-
бы определим фокусные расстояния первоrо и BToporo компонентов.
Для этоrо запишем и совместно решим два уравнения
{ r =  t:б =  t; .
т р -1' ,
'ОК 12
L = t: б + t: K = t; + t; ,
тоrда фокусные расстояния компонентов будут вычисляться по фор-
мулам:
t: K = 1 Lr ; t:б = rTt:K'
т
(2.13)
Размер и положение зрачка rлаза наблюдателя (D'  D rл , а' Р'
 а' Р-rл) определяют размер и положение апертурной диафрarмы. По
заданной величине а' Р' найдем сопряженный с ним отрезок ар, опре-
деляющий поло>к.ение входноrо зрачка всей системы
32

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
ар = (rTap, +L)r/> (2.14)
и вычислим диаметр входноrо зрачка
D=D'.rт=Drл.r т , (2.15)
Из формулы (2.14) следует, что входной зрачок мнимый и всеrда
располarается за телескопической системой.
Поле в трубе rалилея оrраничивается виньетирующей диафраr
мой, роль которой выполняет оправа объектива. Уrловое поле 20) в
пространстве предметов зависит от размера входноrо окна, которое co
впадает с виньетирующей диафраrмой
D BX . OK = Dв д = D св . об .
В зависимости от степени виньетирования (срезания наклонноrо
пучка лучей плоскостью входноrо окна) уrловое поле в пространстве
предметов можно рассчитать по следующим формулам:
а) при отсутствии виньетирования (коэффициент виньетирования
kro  1)
D D
tg о) = св.об ;
[2r T (ap,r T + L)]
б) при 50%HOM виньетировании (k ro  0,5)
D
tgO) = св.об ;
[2r T (ap,r T + L)]
в) при 100% HOM виньетировании (k ro  О)
D +D
tg о) = св.об ,
[2r т (ap,rT + L)]
rде D св.об  световой диаметр объектива; L  d  расстояние между
компонентами телескопической системы.
Уrловое поле окуляра определим из формулы (2.1)
tgO)'=rTtgO). (2.17)
Обычно входной зрачок трубы расположен на большом расстоя
нии ар от трубы, поэтому, если не учитывать виньетирования (k ro  1),
то световой диаметр D св.об объектива получается большим. Поэтому
всеrда rабаритный расчет ВЫПОЛЩIЮТ по заданному коэффициенту ви
ньетирования. При больших значениях r T и 20) практически всеrда
световые диаметры компонентов определяют из расчета хода только
rлавноrо луча (рис. 2.7).
(2.16)
*) Положение входноrо зрачка можно определнть и по формуле Ньютона. Из рис. 2.6
видно, что Z'P' Z'OK a'p' - 'ОК' ПО формуле Ньютона найдем: ZOK = f;; /ZK = Z, тorдa
zQ()=f:i/z, ap=zQ()f/,r,. (2.14)
зз

Расчет и проектирование оптических систем
06
ар :i B
х. зр.
'В.2I.!:...З!?:...  =- D
D' 
.... F:б Р
...................
...р.-   
   Еок
. ъ...
 1
a,  
O)
Рис. 2.7. К определению световых диаметров компонентов
2 4 6 8
Рис. 2.8. Зависимость уrловоrо поля
от ВИДимоrо увеличения
При небольших значениях 20)
световой диаметр окуляра можно
определить по формуле
D CB _ OK = 2m'k ro + 2ap,tgO)', (2.18)
rде т'  координата наклонноrо
луча в плоскости выходноrо зрач
ка.
Обычно в трубах rалилея види-
мое увеличение r т не превышает
6...8\ чаще 2,5...4 Х . Зависимость yr
ловоrо поля от видимоrо увеличения
представлена на рис. 2.8.
Fабаритн.ый расч.ет трубы Кеплера. У телескопической системы
Кеплера фокусные расстояния первоrо и BToporo компонентов поло-
жительные и' 1 > О, f' 2 > О), поэтому видимое увеличение r T 
 rl/r2 < О и изображение обратное. Но телескопические системы,
построенные по схеме Кеплера, имеют промежуточное действитель-
ное изображение в задней фокальной плоскости объектива, которая
совпадает с передней фокальной плоскостью окуляра и плоскостью ви
зирноrо устройства (сеткой), оправа которой служит полевой диафраr
мой. Такие схемы широко используются в астрономических, rеодези
ческих приборах, биноклях, в схему которых вводят линзовые или
призменные оборачивающие системы для получения прямоrо изобра
жения.
Достоинством телескопических систем Кеплера является исполь-
зование сетки и отсутствие виньетирования.
Оптическая схема трубы Кеплера из тонких компонентов преk
ставлена на рис. 2.9.
Апертурная диафраrма обычно совпадает с оправой объектива,
там же расположен входной зрачок, положение выходноrо зрачка оп-
34
6
r T
8
4
I
I
I
 r
I I
I I
Tr
0)0
2

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
1
2
L
Рис. 2.9. Оптическая схема трубы Кеплера
ределяется ходом rлавноrо луча (1), а ero размер  ходом апертурно
ro луча (2).В визуальных телескопических системах rлаз наблюдате
ля совмещен с выходным зрачком трубы.
Выполним rабаритный расчет трубы, если известны r T , L  'об +
+ 'ОК' 2оо, D'. В трубе допускается 50% виньетирование наклонноrо
пучка лучей (рис. 2.10).
L==d
а'
Рис. 2.10. ХОД anертуриоrо и иаклонноrо пучка лучей при 50% винъетировании
Так как апертурная диафрarма совпадает с оправой объектива, то
световой диаметр объектива равен диаметру входноro зрачка, т.е.
D  D св . об , т.к. ар  о.
35

Расчет и проектирование оптических систем
Для системы из двух бесконечно тонких компонентов, располо
женных в воздухе, по формулам (2.13) определим фокусные расстоя
ния объектива и окуляра
р  Lr T . р  L ( 2 19 )
lоб  r  1 ' 'ОК  1  r . .
, т т
Зная размер D выходноrо зрачка, учитывая, что r т == D/ D' , опре
делим размер входноrо зрачка
D= D' Ir T 1.
(2.20)
Вычислим уrловое поле трубы в пространстве изображений (уrло
вое поле окуляра):
tgro' = r T tgro, 2ro ок == 2arctgro'.
(2.21)
Определим удаление выходноrо зрачка при ар  О, коrда zp  ' об'
Тоrда в соответствии с формулой Ньютона
1.'2 1.,2 1.'
z===== и
zp f:б r T
а' == 1.' + Z' = (r т  l)f: K   
1" ОК 1" r r'
Найдем диаметр полевой диафраrмы: т
D пд == 21 у' I == 21 f:б tgrol.
Для уменьшения поперечных размеров окуляра, а в сложных Te
лескопических системах для уменьшения поперечных размеров KOM
понентов оборачивающих систем обычно допускают 50% виньетиро
вани е наклонных пучков.
Из рис. 2.10 видно, что при т 2  Уl впл  D/4, что соответствует
klJ) == 0,5, виньетирующая диафрarма устанавливается на расстоянии
а вд , на котором верхний полевой луч 2, идущий на высоте YlD/4 пе
ресекается с верхним апертурным лучом 1, идущим на край BXOДHO
ro зрачка на высоте т 1  h 1  D/2. По формулам расчета хода первоrо
вспомоrательноrо луча при a 1  tg о' 1  О запишем:
(2.22)
а 2  h1Фоб  h1/f об;
h 2  h 1  а вд а 2 и полarая, что
h 1 == D/2, h 2  D вд /2, получим
D вд /2 == (D/2)  а вд .D/(2f об ) и тоrда
Dв д = D(f:б  авд)/f:б.
(2.23)
36

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
Запишем формулы для расчета хода BToporo вспомоrательноrо
луча, полаrая, что 1 == tg 0), rде О) < О, Yl ВIlJI == т 2 == D/4:
2 == 1 + Уl ВIlJIФоб'
У2ВIlJI == Y 1 ВIlJI  aBД2 .
II ринимая, что У 2 ВIlJI == D вд /2, а у 1 ВIlJI == D / 4, получим
D вд /2 == D/4  авд [tg О) + D/(4f об )]' Если обозначить BЫ
ражение tg О) + D/(4f об ) ==А, то D вд == (D  4а вд .А)/2. (2.24)
При равняв (2.23) и (2.24), после преобразований найдем
Df,'
lZвд = 2(D ;f:Б А ) ; (2.25)
ТL  D D4f:БА
ВД  2(D 2f:Б А )' (2.26)
Проконтролировать вычисления отрезка авд и диаметра виньети
рующей диафраrмы можно расчетом хода BToporo вспомоrательноrо
луча на высоте Yl == D/4 при 1 == tg О) при О) < О. ДЛЯ этоrо необходи
мо найти
2 = l + Уl/f:б,
Увд = Yl  I1вД2'
Dв д = 2увд,
При установке виньетирующей диафраrмы на расстоянии а вд
(рис. 2.10) нижняя часть наклонноrо пучка полностью проходит че
рез нее, Т.е. происходит несимметричное виньетирование. Для сим
метричноrо виньетирования необходимо установить вторую виньети
рующую диафраrму. Однако второй виньетирующей диафрarмой MO
жет быть оправа окуляра, так как в большинстве случаев окуляр 
это сложная оптическая система и виньетирующей диафраrмой может
быть оправа первой линзы окуляра.
Виньетирующая диафрarма необходима еще и для устранения зас
веток изза бликов рассеянноrо света от корпуса при бора, а также для
уменьшения аберj:>аЦИЙ широких наклонных пучков. .
Если окуляр принять за бесконечно тонкий компонент, то для
вычисленноrо по (2.21) уrловоrо поля с учетом коэффициента винье
тирования найдем:
D CB . OK = 2ap,tgO)' +D'/2 при kro == 0,5;
D CB . OK = 2ар, tgO)' + D' при kro == 1.
37

Расчет и проектирование оптических систем
Если в результате расчета окажется, что световой диаметр окуляра
при kro  1 увеличится незначительно, то в простой системе можно не
вводить виньетирование наклонных пучков лучей.
Разрешающая способность объектива телескопической системы
"'об  120" / D. Разрешающая способность системы Кеплера составляет
"'т  60" /r T при "'rл  60", Если телескопическая система неполнос
тью использует разрешающую способность объектива ("'т> "'об)' то сле
дует найти полезное увеличение трубы
r т . п  60"D/ 120"  0.5D и пересчитать диаметр
выходноrо зрачка трубы по формуле:
D'  D/r т . п .
Наблюдательные приборы работают совместно с rлазом, который
имеет недостатки (аметропию), поэтому на выходе телескопической
системы необходимо получать пучки лучей различной структуры: для
нормальноrо (эмметропическоrо) rлаза  параллельный; для близо
pYKoro (миопическоrо) rлаза  расходящийся; для дальнозоркоrо (rи
перметропическоrо) rлаза  сходящийся. Исправление указанных
недостатков rлаза может быть достиrнуто перемещением окуляра: к
объективу  тоrда выходящие пучки лучей будут расходящимися; от
объектива  сходящимися. Обычно перемещения окуляра, xapaKTe
ризующие пределы изменения сходимости выходящих пучков, при
нимаются равными А  :t5...:tl0 дптр. Тоrда перемещение окуляра,
выраженное в мм, можно вычислить по формуле:
d = t:; Aj1000. (2.27)
Таким образом из rабаритноrо расчета зрительной трубы нашли
основные оптические характеристики для объектива «(об' D/(об' 2оо)
и для окуляра «( ок' D', 200 0к , а' Р' или в' р')' По этим характеристикам
подбирают конструкцию объектива и окуляра (см. rлаву 4). Из KaTa
лоrа для окуляра выписывают ero конструктивные параметры (r, d,
п), методом проб пересчитывают их на требуемое фокусное расстоя
ние (rлава 3), выполняют аберрационный расчет зрительной трубы по
известным в обратном ходе аберрациям окуляра, определяют OCHOB
ные параметры объектива С, J:,, wo. По этим параметрам синтези
руют первый компонент  объектив (i'лава 4).
Расчет зрительной трубы Кеплера с коллективом
в фокальной плоскости
На первом этапе rабаритноro расчета компоненты зрительной TPy
бы принимают за бесконечно тонкие и по заданным r T , L, 2оо, D', в' Р' BЫ
38

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
числяют по формулам (2.19) фокусные расстояния объектива и окуля-
ра, диаметр D входноrо зрачка по (2.20) и yrловое поле окуляра по (2.21).
Как известно, окуляры телескопических систем представляют дo
статочно сложные оптические системы. Существуют каталоrи окуля-
ров, поэтому на практике целесообразно окуляр выбрать из каталоrа
по найденным из rабаритноrо расчета значениям f ОК' 200 0к , заданному
удалению s' 1" выходноrо зрачка и пересчитать ero конструктивные па-
раметры на требуемое фокусное расстояние. *)
Очень важно при выборе окуляра соrласовать удаление выходно-
ro зрачка зрительной трубы. Это объясняется тем, что при аберраци-
онном анализе окуляра в обратном ходе лучей наклонный пучок про-
ходит через входной зрачок окуляра, расположенный на вполне оп-
ределенном расстоянии SPOK . Объектив рассчитывается или выбира-
ется таким образом, чтобы скомпенсировать эти аберрации. Компен-
сация аберраций будет лишь в том случае, если  s, = SPOK . Из рис.
2.11 видно, что точки Р иР', F об И F'OK являются оптически сопряжен
ными, поэтому величины z р и z' 1" можно связать через продольное уве-
личение, которое обратно пропорционально квадрату видимоrо увели-
, r 2
чения, а именно Z р == Z 1'" т .
ПД е:""
L
а;"
Рис. 2.11. К rабаритному расчету трубы Кеплера
*) Можно задаться фокусным расстоянием окуляра с учетом требуемоrо удалення
выходноrо зрачка и по известным значениям f' о,, 2оо ок выбрать rотовый окуляр, не пе
ресчитывая ero конструктивные параметры, а фокусное расстоянне объектива опреде-
лить как f' об  f' OK r т' тоrда L  f об + f ОК'
39

Расчет и nроектирование оптических систем
Но в соответствии с рис. 2.11 z;" = s;"  s" а zp = ар  {об' тоrда
ар = (s;"  s, )r;  f: б . (2.28)
С учетом сферической аберрации в зрачках /).Z'P' (сферической
аберрации rлавноrо луча), которая может достиrать при больших 20)ок
величины порядка 2...3 мм, формулу для определения положения
входноrо зрачка в трубе можно записать в виде:
ар = (s;"  Sp'  ы;" )r;  f: б . (2.29)
Диаметр полевой диафраrмы, обеспечивающей заданное уrловое
поле трубы, вычислим по формуле
D пд = 2{:бl t g ro j.
Для определения световых диаметров объектива (D j ), коллектив
ной линзы окуляра (D 2 ), rлазной линзы окуляра (D э ) следует рассчи
тать верхний и нижний полевой лучи (рис. 2.11), тоrда
D] = 2т] + 2а р tgO);
D 2 = 2а р tgO) 2(t:б  SF )tgШ 2 + 2т2;
D э = 2s;" tgO)' + 2т' ,
rде 2т]  kroD  поперечный меридиональный размер наклонноrо
пучка; 2т2  2m j s F /{'об  расстояние между точками пересечения
нижнеrо и BepxHero полевых лучей в плоскости коллективной линзы;
2т'  kroD'  поперечный меридиональный размер наклонноrо пучка
в плоскости выходноrо зрачка;
У ( 1.' + а ) tgO)
tgO) = tg0)2 = tgO)+  = !.
{об {об
Если при определении Dj окажется, что Dj < D, то световой диаметр
объектива следует принять равным диаметру входноrо зрачка Dj  D.
После вычисления диаметров D 2 и D э эти значения следует cpaB
нить со значениями D 2 и D э , приведенными в каталоrе.
Как было сказано выше, зрительная труба Кеплера имеет визир
ную сетку в виде плоскопараллельной пластинки с нанесенными на
ней перекрестиями или делениями, которая устанавливается в плос
кости действительноrо изображения. Цена деления сетки /).у зависит
от требуемой уrловой величины /).0) деления и фокусноrо расстояния
объектива: /).у  fобtg (/).0)).
В том случае, коrда требуется изменить положение выходноrо
зрачка без изменения всех остальных оптических характеристик TPY
бы, применяют коллективы  обычно одиночные плосковыпуклые и
плосковоrнутые линзы, устанавливаемые в фокальной плоскости OKY
ляра (рис. 2.12).
40

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
1 1
3 
<1
I со>


f:.б
d 1
Эр
ЭР'
a,
Рис. 2.12. ХОД rлавноrо луча в телескопической системе Кеплера
Положительный коллектив приближает выходной зрачок и «при
rибает. лучи наклонноrо пучка к оси, что уменьшает световой диа
метр окуляра.
На рис. 2.12 представлена оптическая схема зрительной трубы с
коллективом 2 в фокальной плоскости окуляра.
При отсутствии коллектива Zp = Zp/r; . При установке положи
тельноrо коллектива положение выходноro зрачка получается в т. Р' .
Найдем положение выходноrо зраtJ:ка относительно Т'УОК' В COOTBeT
ствии с рис. 2.12
zp = zp  y/tgro;,
rде у=узуз=f;к(tgro;tgro) и так как tgro=tgrol+Уl/f:.б,
tgro; = tgro + уz/f: ол ' то y = f;куz/f: ол ' тоrда положение выходноrо
зрачка относительно T.F'OK
, , I',Z /1. '
Zp = Zp'  lок КОЛ'
а ero положение относительно последней поверхности окуляра в слу
чае установки коллектива
Эр = э, + Zp = э, + Zp  ';; /f;"'л, (2.30)
Из формулы (2.30) видно, что в зависимости от знака f кол .(поло
жительная или отрицательная линза) можно либо удалить, либо при
близить выходной зрачок.
Коллективная линза, установленная в задней фокальной плоско
сти объектива, не влияет на ход апертурноrо луча и ее оптическую
силу можно вычислить по формуле
Ф КОЛ =Фоб(1аРФоб)+Фок(1арФок)' (2.31)
41

Расчет и проектирование оптических систем
Чтобы поrрешности стекла, из KOToporo выполнен коллектив, не
были видны наблюдателю, ero смещают из фокальной плоскости
объектива (обычно в сторону объектива) так, чтобы это смещение co
ответствовало бы перемещению окуляра на несколько диоптрий
(обычно А  10...20 дптр). Перемещение определяется отрезком
 = Af:: /1000, но в Этом случае необходимо пере считать f: б , f: ол и pac
стояние d 1 между ними, чтобы сохранить положение выходноrо зрач
ка (Эр ), а фокусное расстояние системы f:б+кол должно быть равно пре
жнему значению f об. Пересчет f: б , f: ол приведен на с.60.
Расчет зритеJlЬНОЙ трубы с внутренней фокусировкой
В современных rеодезических приборах широкое распростране
ние получили зрительные трубы с внутренней фокусировкой [12]. В
таких трубах объективом является двухкомпонентный телеобъектив
(ТО), состоящий из положительноrо и отрицательноrо компонентов,
расположенных на некотором расстоянии d o друr от друrа. Оптичес
кая схема телеобъектива, состоящеrо из бесконечно тонких компонен
тов, представлена на рис. 2.13.
1
2
Н'
об
Н 1

F'
об
.........................
F'
2
f;
н: н;
F;
d
а; = a,
Lro
t: б
Рис. 2.13. Оптическая схема телеобъектива
Особенность телеобъектива состоит в том, что фокусное расстоя
ние f'об больше оптической длины L объектива, т.е. f'об > L TO '
" об > > а' Р. Такая конструкция позволяет при малых rабаритах иметь
большое фокусное расстояние объектива, а следовательно и большое r Т.
ДЛЯ таких конструкций вводится понятие коэффициента телесок
ращения т  Lто/fоб, величина KOToporo для линзовых систем COCTaB
ляет т  0,6...0,8, для зеркальных и зеркальнолинзовых
т  0,25...0,4. Для линзовых систем коэффициент телесокращения
42

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
нельзя сделать меньше 0,6, Т.к. при этом уменьшится ОП'l'ическая дли
на объектива, увеличится линейное увеличение 02 BToporo компонен
та, уменьшится фокусное расстояние первоrо компонента, что приве
дет к повышению относительноrо отверстия и усложнению ero KOH
струкции. Обычно для линзовых систем 02  1,5...2,2.
Фокусировка на различные расстояния осуществляется переме
щением BToporo компонента в сторону окуляра (рис. 2.14), при этом
изменяется эквивалентное фокусное расстояние телеобъектива, KOTO
рое определяется по формуле
f.'  1;.1; (2.32)
об  {' {'  d '
] + 2 о
1
а] = OQ 2
 lпд ок
Нб l! I н;
F;б
IF oK
а)  f OK
1 ,
H 1
d
б)  а 1 '* OQ .. d.
Рис. 2.14. К определению перемещенил BToporo компонента при перефокусировке:
а) предмет расположен в бесконечности;
б) предмет расположен на конечном расстоянии
Перемещение фокусирующей линзы вычисляют по формуле [24]:
d s = 0,5[(40 + a)::t ,f{ a  4o)(a  40 +41;> ], (2.33)
rде отрезок а'] определяется по формуле raycca при заданном paCCTO
43

Расчет и проектирование Оптических систем
а .'
янии визирования а 1: а; == ; f 1 И f 2  фокусные расстояния пер
al+
Boro и BToporo компонентов телеобъектива.
В техническом задании на проектирование обычно задают r т' 2оо,
D', оптическую длину L трубы, удаление э' Р' (или а' Р') выходноrо зрач
ка, перемещение  окуляра, уrловой предел разрешения \jI, допусти
мый коэффициент виньетирования k(J)' Оптическая схема трубы с BHYТ
рен ней фокусировкой представлена на рис. 2.15.
АД, Вх. зр.
l D
пд 3 (ок)
2
р'
Н 2 Н; Р'
1
I
а; == a fO z'
f; а' ,
f/x,
L
Н'
об
Рис. 2.15. Оптическая схема трубы с внутренней фокусировкой
Для rабаритноrо расчета используем формулы (2.19...2.21), по
которым вычисляют {/х" f;K' D, 200 0к И Dпд'
Определим оптическую длину телеобъектива L TO == L  f' ОК И най
дем коэффициент телесокращения т == LTO/f об  0,65. Чаще Bcero f' ок
задают с YQeTOM требуемоrо удаления выходноrо зрачка, уrловоrо поля
окуляра и Rыбирают окуляр из каталоrа (ero конструктивные пара
метры). Если {'"к расч #- f ок кат' то через коэффициент масштабирования
К == f /f' , который должен мало отличаться от единицы, пе
м ОК раСЧ J ОК !сат
ресчитывэ-ют eI'o конструктивные параметры, а также величину отрез-
ка в' Р"
Затем следует выполнить rабаритный расчет телеобъектива, Т.е.
найти f l' f 2 И d o  расстояние между тонкими компонентами при ви
зировании на бесконечность.
Fа6аритный расчет двухн:о;мnонентноео телеобъен:тива опреде-
ляется назначением зрительной трубы в приборе. Если это зрительная
44

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
труба дальномера, то она должна быть квазианаллатической, Т.е. Ta
кой, чтобы при изменении фокусировки аддитивный член с. в ypaB
нении дальномера s  kl + с был бы минимальным. Достичь этоrо
. *)
можно, если труба будет аналлатической , Т.е. расстояние от перво
ro компонента до проекции оси вращения при бора на оптическую ось
будет равно о  0,5L об + (15...20) мм. Тоrда из уравнения аналлатич-
ности, введенноrо в практику расчетов телеобъективов Б.В. Фефило-
вым [24], можно определить оптическую силу первоrо компонента Te
леобъектива
ф: . о . L об + Ф 1 [L Об (о + 1)  о] + L об  о  2 = О. (2.34)
Оптическая сила Ф2 BToporo компонента и расстояние d o между
компонентами при визировании на бесконечность определяются из co
BMecTHoro решения уравнений оптической длины объектива
L об = d o + a, = t;б (1  d О Ф 1)+ d o (2.35)
и фокусноrо расстояния (или оптической силы) двухкомпонентной си-
стемы
1.' ,;. ';
об = ' { '+ { '  d
1 2 О
Из cOBMecTHoro решения уравнений (2.35) и (2.36) получим:
Ф об = Ф1 + Ф2  d О Ф 1 Ф 2'
(2.36)
d  L об  t:б . ( 2 37 )
о  1  f. ;ф , .
об 1
Ф2 = Об ='р.i. (2.38)
1  dоФ 1
Если это зрительная туба теодолита, нивелира, прибора длл про-
верки параллельности или соосности, то rабаритный расчет телеобъ-
ектива следует выполнять из заданноrо расстояпuя б.лuжпеzо вuзuро-
вапuя а 1 min (минимальное расстояние, на которое можно сфокусиро-
ваться трубой). Было показано, что при фокусировке на расстояние
а 1 min второй компонент телеобъектива следует передвинуть в крайнее
правое положение, Т.е. а'l  L Об  (10...15) мм  L. Тоrда оптическую
силу первоrо компонента или ero фокусное расстояние можно вычис-
лить по формуле raycca 1 /а'l  1/а 1 min  1/t'1' Т.е.
1 a1rninL
Ф 1 =  = .'-=C-. (2.39)
' 1 a 1min . L
') Аналлатической трубой в теории дальномеров называют такую трубу. для кото-
рой вершина диастимометрическоrо yr ла совпадает с точкой проекции вертикальной оси
вращения инструмента на оптическую ось трубы. Для такой трубы постоянная дально-
мера C s  О [12].
45

Расчет и проектирование оптических СИСтем
Оптическую силу BToporo компонента и расстояние между компонен
тами вычисляют по формулам (2.38) и (2.37).
Если в техническом задании на проектирование не заданы ни
а 1 min' ни 8, то можно задаться значением линейноrо увеличения 02
BToporo компонента тещюбъектива. Обычно 02  1,5...2,2. Выбрав
значение увеличения BToporo компонента, находят '; = t:.б , так как
r 
t:.б == . Фокусное расстояние BToporo компонента можно вычис
лить п2 формуле (2.38) или как '; = o2(t;do) ,rде d o определяется по
1
формуле (2.37). 02
Для определения положения ар входноrо зрачка целесообразно
рассчитать rлавный луч в обратном ходе лучей через систему тонких
компонентов, полаrая ар = и:K + Zp), ro 1= О>ОК по формулам расчета
+--- +--- +--- Ь
хода BToporo вспомоrательноrо луча, принимая 1 = tgO>OK' У1 = ар Р1 '
+----, +--- /1,
тоrда ар'з=уз/рз=ар.
Если после расчета окажется, что входной зрачок значительно
удален от первоrо компонента телеобъектива, то надо задать новое зна
чение ар или положить ар  О, рассчитать rлавный луч в прямо м ходе,
а требуемое удаление выходноrо зрачка получить введением коллек
тива в фокальную плоскость окуляра.
Световые и полные диаметры всех компонентов зрительной TPy
бы определяются из расчета хода полевых лучей.
По найденным из rабаритноrо расчета оптическим характеристи
кам (, об' D/f об ' 20>об' т) выбирают конструкцию телеобъектива и либо
ero конструктивные параметры выписывают из каталоrа, либо объек
тив синтезируют (см. rлаву 4).
Следует отметить, что при перефокусировке изменяются фокус
ное расстояние телеобъектива, видимое увеличение трубы, происхо
дят колебания визирной оси.
Постоянное фокусное расстояние можно получить в трехкомпо'
нентных телеобъективах, а для исключения поrрешностей визирова
ния можно в качестве фокусирующих систем использовать призмы,
системы типа аксикона и Т.п.
Расчет трехн:о.мnонентноео телеобъен:тива зрительной трубы.
В точных нивелирах, используемых в строительстве, машиностро
ении, судостроении и т.п. необходимо получить малое расстояние ви
зирования  до 0,4...0,5 м. В таких случаях в оптической схеме зри
тельной трубы нельзя использовать двух компонентные телеобъекти
вы, так как они обеспечивают расстояние s 1 min ближнеrо визирования
46

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
не менее 1,5...2 м при значительном перемещении фокусирующеrо
компонента.
Эту задачу можно решить, применяя двухкомпонентный объек
тив с положительным фокусирующим компонентом, позволяющим
фокусировать на предметы в диапазоне от нуля до бесконечности. Oд
нако это приведет к увеличению продольных rабаритов трубы и ее Mac
сы, что неприемлемо. Поэтому для уменьшения расстояния 81 шiп до
0,4...0,5 м можно использовать трехкомпонентный телеобъектив
(рис. 2.16), содержащий фокусирующую систему из двух подвижных
компонентов  положительноrо 2 и отрицательноrо 3.
1
2
Н 1 H
у;
Уб F.:б
Р'
1
d 1
а 1
1 с
L
Рис. 2.16. Оптическая схема трехкомпонентноrо телеобъектива
Исходными данными для rабаритноrо расчета телеобъектива яв
ляются результаты rабаритноrо расчета зрительной трубы:
фокусное расстояние r об и оптическая длина L телеобъектива; диаметр
D входноrо зрачка; положение ар входноrо зрачка (ар  О); уrловое
поле 200; расстояние а 1 min ближнеrо визирования.
Требуется определить фокусные расстояния компонентов, рассто-
яния между ними, световые диаметры компонентов, величины пере-
мещения компонентов 2 и 3, закон их перемещения и выбрать конст-
рукции компонентов по значениям оптических характеристик.
При расчете надо учесть, что оптическая система (рис. 2.16) дол-
жна удовлетворять следующим условиям:
L = а; + lфс = const;
y = у; . o фс = const,
rде lфс  оптическая длина фокусирующей системы, т.е. расстояние
от плоскости предмета до плоскости изображения фокусирующей си
(2.40)
47

Расчет и проектирование оптических систем
стемы, причем lфе  величина переменная, зависящая от расстояния
визирования; O фе  линейное увеличение фокусирующей системы,
меняющееся с изменением расстояния визирования.
Из рис. 2.16 видно, что
L= d 1 + d z + а; = d 1 +а ! +lфе' (2.41)
Используя известные уравнения параксиальной оптики, можно
вывести следующие соотношения, необходимые для выполнения pac
чета:
а (,'
a;='
а 1 + ff'
d = lфе :t  f e l ( ,+/,, ) ,#, (lофс)Z
z 2 4 ере 12 13 1213 А
....Офе
, IФеd2(1офс)
aZ=f2 , ( . ) ;
dZОФе + { 2 lофс
а  , lфс  d z )O фс + d 2 .
ЗfЗ 1;(офс1)+d2 '
(2.42)
(2.43)
(2.44 )
d1=a;a2;
(2.45)
(2.46)
, "
А  Уоб  a z . аа . (2.47)
....Офе'
У1 az"a B
'"  f;f; {; (2.48)
об  (f;  d 1 )f; + и;  d 2 )(f; + (;  d 1 )
Расчет можно проводить, приняв, что r 2  1, тоrда
1;/1; = 1;, Zфc/t; = l.
Поскольку система имеет постоянное положение плоскости изоб
ражения и два подвижных компонента, перемещающихся при визи'
ровании на разные расстояния, то меняется фокусное расстояние r об
телеобъектива и ero увеличение в зависимости от расстояния а l' По
этому расчет данноrо телеобъектива с малым расстоянием ближнеrо
визирования во MHorOM аналоrичен расчету панкратической системы.
Для получения приемлемых результатов надо выполнить иссле
дование системы. Для этоrо удобно использовать ПЭВМ, поскольку
данная задача не решается однозначно. Рассмотрим рекомендации по
расчету и ero примерную последовательность.
3ная оптическую длину L телеобъектива и диаметр D входноrо
зрачка, можно задаться значением "1' так чтобы D/f'1  1:3. Но
48

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
(об  (1.02' поэтому надо проверить, чтобы было 02 < 1,8...1,9. При
расчете надо учесть, что для реальной системы величина L увеличит
ся за счет толщин линз, поэтому заданное значение L надо уменьшить
примерно на 15 мм, Т.е. на величину, соответствующую Sj'
Для расчета фокусирующей системы надо задаться значениями (2
И {' 3' используя практические рекомендации: {'2ft' 3  3. ..4 при
(об  250 мм, L  165 мм, (1  130 мм. Для данноrо примера оптималь
ный вариант был получен при (2  148 мм и ( 3  49 мм.
Уточнив L, задавшись (1' (2 и (3' можно проводить расчет в сле-
дующей последовательности:
1. Определить величины а'l и У'l для разных расстояний а 1 . Обяза-
тельно надо взять а 1  oo И а 1  а 1 min' а также, например, а 1 
 1000.
2. Из условий (2.40) найти IфС и o ФС'
3. Вычислить значения d 2 , а 2 , dl' а з и а'з из (2.43)...(2.47).
4. Определить величины 2 и 3 максимальных перемещений второ-
ro и третьеrо компонентов: 2 = (d 1 ) . (d1)  ; a =(a) 
( ' ) Qlmш al....oo Qlmin
 а з al='
5. Необходимо контролирорать величину (об' а также L.
6. Для нескольких расстояний визирования надо рассчитать полевые
лучи с целью определения световых диаметров D CB2 и D cBa , а также
относительных диаметров ( B ) 2 И ( B )3 .
Полученные результаты удобно представить в виде таблицы 2.1.
Таблица 2.1
N a 1  81  oo alalmin
М {
сис- {'2 {'9 {'а ( ) ( ) (Z; 1 (  ) L 2 a
те- d 1 d 2 а' d 1 d 2 а'а
а
мы
1
2
k
Подобные вычисления выполняются для нескольких пар выбран-
ных значений (2 И (3' Оптимальный вариант выбирают по значениям
относительных диаметров, величинам 2 и з смещения компонентов
49

Расчет и проектирование оптических систем
и значению а'з. Прежде Bcero величины ( B )2 И ( В )з не должны
привести к значительному усложнению конструкции компонентов.
Предпочтительней, коrда эти компоненты можно взять двухлинзовы
ми склеенными. При этом условии величины 1:12 и 1:13 не должны быть
большими. Кроме Toro, законы перемещения компонентов должны
меньше отличаться от линейных, по крайней мере они не должны coдep
жать особых точек, чтобы не было возвратноro движения компонента.
Обычно закон перемещения представляется rрафически в виде
кривой зависимости d 1  'I1 1 (a 1 ) и а'з  'I1 2 (a 1 ). Если обе зависимости He
линейны, что чаще Bcero дает расчет, то одну из них линеаризуют для
упрощения конструкции механизма перемещения (подробно см. 2.2).
Обычно зрительные трубы точных нивелиров дают прямое изоб
ражение. В качестве оборачивающей системы можно использовать
призму Аббе с крышей, которая должна разместиться в пределах OT
резка а'з. Поэтому надо контролировать величину этоrо отрезка, чтобы
она была достаточной для размещения призмы. Ясно, что при наличии
призмы надо определить ее размеры в процессе rабаритноrо расчета.
rабаритный расчет заканчивается выбором конструкции каждо
ro компонента по значениям их оптических характеристик.
Для упрощения конструкции механизма перемещения фокусиру
ющей части телеобъектива предпочтительней использовать оптичес
кую схему с одним перемещающимся вдоль оси компонентом 2 и не-
подвижными первым и третьим компонентами.
Основные условия разработки этой схемы следующие:
03  const, а з == const, у'!  const, d 1 + d 2  const.
В этом случае компоненты 2 и 3 должны быть более светосильны
ми, что при водит К увеличению числа линз в каждом из них.
rабаритный расчет зрительных труб с линзовыми
оборачивающими системами
Прямое изображение в зрительной трубе можно получить, вводя
в ее схему ./Iинзовые оборачивающие системы (ОБС): однокомпонент
ные (рис. 2.17), но чаще Bcero двухкомпонентные (рис. 2.18). Такие
трубы иноrда называют земными зрительными трубами [24]. Линзо-
вые оборачивающие системы меняют не только знак видимоrо увели
чения, но ero численную величину, если увеличение ОБС отлично от
единицЫ, т.е. Оnбс * 1. * )
*) (далее в тексте для упрощения написания 130 обс обозначаетсЯ как l3 обс ).
50

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
Обычно линейное увеличение оборачивающей системы обс   1,
тоrда для одно компонентой оборачивающей системы а з  2f' 3 и
L обс  4' 3 (рис. 2.17), в результате относительное отверстие (относи
тельный диаметр) оборачивающеrо компонента оказывается в два раза
больше относительноrо отверстия окуляра. Если уменьшить по абсо
лютной величине линейное увеличение, то это приведет к еще боль
шему увеличению относительноrо диаметра компонента оборачиваю-
щей системы. При увеличении по абсолютной величине линейноrо
увеличения резко возрастает уrловое поле 200з и общая длина систе
мы L. И то и друrое нежелательно.
Вх. зр.
D 1
2
3
1пд 4
t; = f: б
 а з а;
L обс
L
Рис. 2.17. Схема зрительной трубы с однокомпонентной оборачивающей
системой
Для уменьшения световых диаметров компонентов оборачиваю
щей системы в задней фокальной плоскости объектива устанавлива-
ется коллектив 2. Он не изменяет фокусное расстояние системы, CTO
ящей перед окуляром, и поэтому не меняет видимое увеличение r T
трубы.
Выполним zабаритllЫЙ расчет зри11J-еЛЪ1l0Й трубы с oд1l0"O.м.no
llеllт1l0Й оборачивающей систе.м.ой (рис. 2.17). Исходными данныМи
для расчета являются: r T , 200, D' (или D), L, а'р' (или ар), коэффици
ент виньетирования k(jj' линейное увеличение обс оборачивающей си
стемы.
С учетом требуемоrо удаления выходноrо зрачка зададимся
f' 4  f ОК' Так как видимое увеличение телескопической системы с обо-
51

Расчет и проектирование ОПтических систем
рачивающей системой равно r T  flf30бс/r4' то по известному 1'4 най
дем: 1'1  I'Об  rт"ок/f30бс' Далее расчет выполним по формулам:
D  D'r T , D CB1  2т 1 + 2a p tgro, причем, если окажется, что D CB 1 < D, то
следует принять D CB1  D, чтобы не срезать осевой пучок. Затем вычис
лим tgro = tgro OK = r T tgro, определим оптическую длину оборачива
ющей системы L обс = L  (1; + 1;), и так как f30бс = a / аз ' а L обс = аз + a '
то найдем отрезки аз = L обс /(f30бС  1); a = f30бсLОбс/(f30бС  1). По форму
ле raycca найдем фокусное расстояние компонента 3 оборачивающей
системы
./'  аза   L обс ' f3
Iз , 2 .
аз  аз (1  f30БС)
Фокусное расстояние коллектива 2 определим из условия, что он направ
ляет I'лавный луч в I'лавные точки оборачивающей системы 3, ТОl'да
(2.49)
1 ,2./,
f' 1 / з (2.50)
2 1;(I;+a p )+1;2'
Световые диаметры коллектива, компонента оборачивающей си
стемы и окуляра определяются из расчета хода полевых лучей.
Однако применение однокомпонентной оборачивающей системы
приводит к большому относительному диаметру оборачивающеl'О KOM
понента или к увеличению el'o Уl'ловоl'О поля и длины системы.
Хорошие результаты можно получить при использовании симмет
ричной двухкомпонентной оборачивающей системы с увеличением
f3 0бс  . 1 с параллельным ходом лучей между компонентами и апертур
ной диафраl'МОЙ в середине воздушноl'О промежутка d з (рис. 2.18). В
этом случае система свободна от комы, дисторсии, хроматизма увели
чения вследствие ее симметрии. Применение такой схемы значитель
но улучшает исправление аберраций всей трубы. Воздушный проме
жуток d з можно использовать для уменьшения аСТИl'матизма. БлаI'О\
даря тому, что между компонентами оборачивающей системы идут па
раллельные лучи, существенно облеrчается сборка и юстировка TPy
бы, так как изменение расстояния d з между компонентами не изме
няет увеличение r T . к изменению d з часто прибеl'ают при сборке труб
дЛЯ TOI'O, чтобы при неточно выдержанных расстояниях (допуск
2...3%) получить точную длину L или телескопичность. Пределы из
менения d з Оl'раничиваются допустимым виньетированием.
Выполним zабаритный расчет телескопической систе,М.ы с KOk
лективо,М. в фокальной плоскости otYoeKmUBa II си'м''м'етри'l.НОЙ обора-
чивающей системой (рис. 2.18).
52

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
Вх. зр.
D 1 (об)
2
3 АД 4
пд 5 (ок) Вых
1 .зр.
D'
ap
!;= f/ю = d 1
d
{;
f5
L
L
а'
у
Рис. 2.18. Зрительная труба с двух компонентной оборачивающей системой
в техническом задании на расчет обычно указываются: видимое
увеличение r т' уrловое поле 200, диаметр D' выходноrо зрачка (или ди
аметр D входноrо зрачка), оптическая длина L трубы, удаление в' у BЫ
ходноrо зрачка (или положение ар входноrо зрачка), коэффициент ви-
ньетирования k(J) и, если имеется rотовый окуляр, то ero фокусное рас-
стояние {' ОК  {' 5' Иноrда вводятся дополнительные условия: напри-
мер, задается равенство всех световых диаметров компонентов или ра-
венство диаметров коллектива и компонентов оборачивающей систе-
мы и т.п.
Часто расчет трубы начинается с выбора окуляра, фокусные рас-
стояния KOToporo кратны пяти. Лишь в исключительных случаях вы-
бирается или задается окуляр с друrим значением фокусноrо рассто-
яния и требуется выполнить ero расчет.
Наиболее распространены окуляры с {'ОК  20...30 мм, так как
окуляры с f ОК < 20 мм неудобны для наблюдения из-за малоrо удале-
ния выходноrо зрачка, а окуляры с f' ОК > 30 мм имеют большие диа-
метры линз, делают rромоздкой окулярную часть прибора и ведут к
увеличению длины L трубы.
Пусть в ТЗ дано r T , 200, D', L, в'у, k(J)' В качестве дополнительноrо
условия примем оrраничение поперечных размеров трубы до величи-
ны D доп (рис. 2.18).
Определим диаметр D входноrо зрачка трубы и уrловое поле 2оо 0к
окуляра по формулам (2.15), (2.17).
53

Расчет и проектирование оптических систем
Из каталоrа выберем rотовый окуляр по требуемым уrловому
полю 20)0к и фокусному расстоянию f' ОК' заданному удалению В' Р' и ди
аметру D' выходноrо зрачка. Если же задана величина а' Р" то следует
учесть, что а' Р'  В' Р'  В' Н" Найдем положение выходноrо зрачка от
F ' , , , F б
Т. ок Zp' == Вр'  SFK ' тоrда удаление входноrо зрачка от т. об при ли
женно определим по формуле для простой телескопической системы
Zp == Zrr. По значениям f' ОК И обс вычислим фокусное расстояние
объектива f: б ==  r тf;к/обс И найдем расстояние от объектива до BXOk
HorO зрачка из соотношения
ар == Zp  f;б'
Определим диаметр полевой диафраrмы
Dn д == 2f;б I tgO)I.
Вычислим световой диаметр объектива с учетом заданноrо коэф
фициента виньетирования (рис. 2.19)
D св . об == D 1 == 2т+ 2а р tgO) == Dk(f) + 2ар tgO), (2.51)
причем обычно k(f)  0,5. Если уrловое поле 20) трубы мало и относи
тельное отверстие невелико, то k(f)  1. Если расчет по формуле (2.51)
дает, что D 1 < D, то принимаем D 1  D, так как осевой пучок должен
проходить полностью без затенения.
Световой диаметр коллектива
D КОЛ == D 2 = 2Уб == 2f;б ItgO)I.
По условию задания Dз D4 == D доп '
В соответствии с рис. 2.19 из подобия треуrольников с общей Bep
шиной в т.F'об при условии, что диаметры D3 и D4 определяются xo
дом луча, параллельноrо оптической оси, запишем
h 1 ==  f: б . '" == '" ==  h з ./, == D доп . f/ю .
h ./,' 3 4 h lоб D
3 13 1
Расстояние d з между компонентами 3 и 4 оборачивающей систе
мы определим из подобия заштрихованных треуrольников с учетом
50% виньетирования (k(f) == 0,5)
d = 2Dзf;(1  k(f))  ./' (2.52)
3 D 1з'
2
rде D 2  D КОЛ  D3.
Длина трубы L  f'об + f'з + f'4 + d з + 'ОК' И если L:;:. L задав ' то сле
дует сделать пересчет, избежать который можно, если фокусное pac
стояние в начале расчета определить по следующей формуле (при
k(f)  0,5 и D3  D 2 ) [23]
54

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
Вх. зр.
1 (об)
2 (кол)
4
D
lпд
d э /2
ap
f! = t;б = d j
 t э = d 2
{;
d э
Рис. 2.19. ХОД апертурноl'О, I'лавноl'О и полевых лучей при k",  0,5
в первых четырех компонентах зрительной трубы
 6r; tgro {:; + (1 +rT)f: K  L== о.
D
Затем полученное значение f ОК надо окруrлить до ближайшеrо
стандартноrо значения, KpaTHoro пяти, и далее расчет выполнять в
описанном выше порядке.
Определим фокусное расстояние {' 2 коллектива. Оно должно быть
таким, чтобы центр входноrо зрачка трубы (т.Р) изобразился систе
мой «объектив + коллектив + первый компонент оборачивающей си
стемы" в т.Р 4' лежащей на середине воздушноrо промежутка d 3 .
Именно в этой плоскости и должна быть установлена апертурная ди
афраrма зрительной трубы. Для этоrо последовательно запишем фор
мулы для расчета хода rлавноrо луча:
Уl = ар tgro, tgro 2 == tgro 1 + Уl/f:б = tg ro (ар + f:б)/f: б ,
У2 = f:б tgro, Уз = d з tgro 4 /2. Для телескопической систе
мы, образованной первым, вторым и третьим компонентами, запишем:
'" tgro
r  , / '  ' d t /(2 ' )
Тl  f;  tgro ,тоrда tgro 4 =  /об tgro /3 и Уз   /об 3 gro /3.
Так как tgro з = tgro 2 + У21f:ол' то фокусное расстояние коллекти
ва qпределим по формуле:
1.' = '" == У2
кол 2 tgro з  tgro 2
и после подстановки и преобразований получим
2 ,2 ,2
1.' / 3 / об
кол = {:1 (2f;  d з ) + 2 {; 2 (f:б + ар) .
(2.53)
(2.54)
55

Расчет и проектирование Оптических систем
Теперь следует уточнить удаление выходноrо зрачка по формуле:
zp, = f;; /f: ол  Zp/r.
Если Zr значительно отличается от требуемой величины, то, изменив
ар, надо вновь вычислить f: ол по формуле (2.54). rабаритный расчет
можно выполнять, приняв ар  О.
Затем rрафически или расчетом хода BepxHero и нижнеrо полевых
лучей определяют световые диаметры компонентов, а для контроля
вычисляют диаметр выходноrо зрачка. По rлавному лучу находят yдa
ление выходноrо зрачка.
Коллектив 2, установленный в задней фокальной плоскости
объектива 1, не изменяет фокусное расстояние системы, стоящей пе
ред окуляром, и не изменяет r T . Но из хода лучей видно, что изобра
жение коллектива получается в передней фокальной плоскости OKY
ляра, rде строится изображение наблюдаемоrо или измеряемоrо пред
мета, поэтому наблюдатель увидит все дефекты стекла, из KOToporo
выполнен коллектив. Чтобы избежать этоrо, надо рассчитать внефо
кальный коллектив (см. стр. 60).
rабаритный расчет зрительной трубы с двухкомпонентной обо
ра'lивающей системой II равными п.о диаметру компонентами.
Исходными данными для расчета являются: r T , 200, D', ар, k ro ,
обс  1.
Оптическая система трубы прямоrо изображения с равными CBe
товыми диаметрами компонентов представлена на рис. 2.20.


Х. зр. а
1 (об) ;Зf
"
.J
, 2 (кол)
ap  f3
.... а 1впл
fl = fоб L обс a.
L
Рис. 2.20. Ход лучей в зрительной трубе ПрЯМОl'о изображения при условии
равенства световых диаметров 1,2,3,4
56

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
Найдем диаметр D ВХОДноrо зрачка: D  D'r т' Тоrда размер BXOД
Floro зрачка для наклонноrо пучка лучей в меридиональной плоско
СТИ с учетом коэффициента виньетирования: 2т 1  kroD.
Соrласно техническому заданию световые диаметры компонентов
1,2,3,4 должны быть равными, поэтому после объектива верхний по
левой луч (впл) с учетом виньетирования должен идти параллельно
оптической оси, тоrда D 1  D 2 , И нижний полевой луч (нпл) после
преломления на коллективе должен быть также параллелен оптичес
кой оси, тоrда D 2  D3  D4 В том случае, если апертурная диафраrма
будет располаrаться посередине между компонентами 3 и 4 симмет
ричной оборачивающей системы с Обс   1. Тоrда в соответствии с
рис. 2.20 при определении фокусноrо расстояния первоrо компонен
та можно записать
m kD
f 1 == f об == а 1 . == ар +- == ар + . (2.55)
впл tgro 2tgro
Фокусное расстояние BToporo компонента (коллектива) определим
по форму л
.;,2
{ '  1. ,  !, ' ,  / об
2  кол  об  а 1нпл  .;' ,
а 1НПЛ + /об
(2.56)
тl kroD
rде аlнпл == ар + tgffi == ар  2tgro .
По известным значениям {' об И r т вычислим фокусное расстояние
окуляра: f 5  l' ок  f' об/ r т'
Определим длину оборачивающей системы L обс
L обс == L+ ар  f; f; == fз + d з + f; == 2f; + d 3 . (2.57)
Так как апертурная диафраrма расположена посередине между
компонентами 3 и 4 оборачивающей системы, то расстояние от кол
лектива 2 до плоскости апертурной диафраrмы составит
!:обс == f; + d З . (2.58)
2 2
Плоскости ВХОДноrо зрачка и апертурной диафраrмы сопряжены
относительно оптической системы, составленной объективом, коллек
"ивом и первым компонентом оборачивающей системы. Тоrда, запи
Сывая уравнение raycca, позволяющее определять линейные коорди
наты промежуточных изображений осевой точки входноrо зрачка пос
ледовательно через компоненты 1, 2 и 3 с учетом формул (2.56) и
(2.58), после преобразований получим
57

Расчет и проектирование оптических систем
",,2 2 "," Looc , О (2 59)
13  Iз.а2р+т.а2Р= , .
rде а;р  положение изображения т.Р входноrо зрачка после BTOpO
ro компонента (ар, ap = apf;/( ар + {;); а 2р = ap  d 1 = ap  f: б ; а;р =
= а 2р ' {;/(а 2р + {;»).
Уравнение (2.59) дает два решения для {; . Из двух выбираем зна
чение, приемлемое в конструктивном отношении.
Расстояния между компонентами определим по формулам:
d 1 = {; = f:б, d 2 = {; , d з = L обс  2f; , d 4 = {; + {; = {; + {;К'
Удаление a r выходноrо зрачка для всей системы найдем из pac
чета хода rлавноrо луча через всю систему, полаrая  1  tg <.о, '
Уl  aptg <.о.
Далее следует выписать оптические характеристики всех компо
нентов, выбрать их конструкции (см. rлаву 4), выбрать rотовый OKY
ляр, выполнить аберрационный расчет (см. rлаву 3), выбрать из Ka
талоrа или синтезировать компоненты (см. rлаву 4).
Выполним zабаритный расче'т зрительной трубы nрямоzо изоб
ражения с большим выносом выходноео зрачка, которую, например,
можно использовать в качестве охотничьеrо прицела (рис. 2.21).
3 (ок)
{! = f:б = d j
a2
. a
fOK
{: к
z'
1"
L обс
а'
1"
L
Рис, 2.21. ХОД I'Лавноl'О и anepтypHOI'O лучей в оптической схеме
охотничьеl'О прицела
58

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
Пусть заданы r т' L, D', 200, а' Р" Апертурная диафраl'ма совпадает
с оправой объектива и одновременно является входным зрачком
(ар  О), ТОl'да D eB 1  D, причем D  DT T .
Найдем Уl'ловое поле окуляра:
200' == 2оо 0к == 2arctg(r т tg(O).
Связь между фокусными расстояниями объектива и окуляра, а
также с заданными характеристиками системы L и a. выражается
уравнением
f'f' . r;[L(af:K)af:K]
1  об  rT[rT(a,  {: к )+ 2f:K]+L {: к (2.60)
Зададимся величиной фОКУСНОI'О расстояния {' оК окуляра, причем
при выборе ' ок следует учесть требуемое удаление ВЫХОДНОI'О зрачка,
т.к. а' Р'  {' ок + z' Р" ПО найдеиным оптическим характеристикам
объектива f'об' D/f об , 2(0 выберем el'o конструкцию (см. I'лаву 4).
Вычислим фокусное расстояние однокомпонентной оборачиваю
щей системы, исходя из условия оптическоl'О сопряжения точек F' об
и F oK :
{'  '"  f:бf:кrт[L f:б  {: К ]
2  обе  (f:б + r Tf:j2'
Определим отрезки а 2 и а' 2:
(2.61)
f:б [ L  f:б  f:K] .
а 2 == ,
f:б + r Tf;K
,  ri;K[L f: б  f: K ]
а  ..
2 .;' + r .;' ,
/об т/ ок
(2.62)
(2.63)
ТОl'да линейное увеличение оборачивающей системы обе == a/a2 ==
== r i;к/f: б .
Проверим оптическую длину системы
L == f: б  а2 + а; + f: K == Laaд'
Из расчета хода I'лавноl'О луча через всю систему найдем положе
иие a выходноl'О зрачка, а из расчета хода полевых и апертуриоl'О
лучей  световые диаметры компонентов.
Для уменьшения относительноl'О отверстия оборачивающей систе
мы и удобства юстировки оборачивающую систему можнО сделать из
двух компонентов с параллельным ходом лучей между ними. Расстоя
иие d 2 между компонентами 2 и 3 выбирается из конструктивных сооб
ражений (рис. 2.22), причем f 2  а 2 , '3  а'2 (из формул (2.62) и (2.63».
59

Расчет и проектирование оптических систем
АД, Вх. эр.
1 (об)
2
llвд.r llвд:
f2 d 2 {; f4 f; z'
{! = f: б 1"
L обс
L a
Рис. 2.22. К определению положения второй виньетирующей диафраl'МЫ
Для уменьшения световых диаметров компонентов допускается
50% виньетирование наклонных пучков лучей.
Положение виньетирующей диафраrмы ВДl определяется пересе
чением нижнеrо полевоrо луча и нижнеrо апертурноrо луча после
первоrо компонента
а  (hl  Уl впл)f: б 
вд!  h 1  Уl нпл  f: б tgro
Такая диафраrма обеспечит одностороннее виньетирование. Для
оrраничения прохождения верхней части наклонноrо пучка следует
установить вторую виньетирующую диафраrму ВД2 на пересечении
BepxHero апертурноrо и BepxHero полевоrо лучей после BToporo KOM
понента.
Второй виньетирующей диафраrмой может быть и оправа перво
ro компонента оборачивающей системы.
Расчет телескопических систем с виефокальиым
коллективом
Как видно из схем, представленных на рис. 2.17, 2.18, 2.19, изоб
ражение коллектива получается в передней фокальной плоскости OKY
ляра, Т.е. там, rде строится изображение наблюдаемоrо или измеряе
Moro предмета. И если стекло, из KOToporo выполнен коллектив, име
ет дефекты, то все эти дефекты увидит наблюдатель. Чтобы не допус
тить этоrо, надо либо повысить требования к стеклу, либо сместить
коллектив из фокальной плоскости объектива на величину
60

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
ь.:=: Af:: /1000, превышающую rлубину аккомодации rлаза (А ='
==10...20 дптр), Т.е. рассчитать впефО1Сальпый коллектив. На
рис. 2.23, б, в показаны два случая смещения коллектива 2 относи
тельно т.F'об' причем Ф(1+2) ='Ф об ' Т.е. оптическая сила системы .объек
тив + смещенный коллектив. должна быть равна оптической силе
объектива, полученной из расчета без смещения коллектива
(рис. 2.23, а).
1
2
Н 1
d
а) {; =' f: б 1+2
1
..+ 2
..
I
Н 1 Н' Н' F'
. 1 1
б)
Н 1 н;
1
.....
......
......
н'
об
f;
а
в)
f: б 12
Рис. 2.23. К расчету системы с виефокальным коллективом:
а) коллектив  в фокальной плоскости объектива, д  о;
б) смещение коллектива вправо (положительная величина а' z);
в) смещение коллектива влево (отрицательная величина а' z)
61

Расчет и проектирование оптических систем
Так как при смещении коллектива из фокальной плоскости
объектива изменяется фокусное расстояние системы 4 объектив + кол
лектив., то rлавный луч не будет проходить через центр апертурной
диафраrмы. Вследствие этоrо изменится r T и нарушится симметрия
оборачивающей системы. Поэтому для сохранения фокусноrо paCCTO
яния системы 40бъектив + коллектив. после перемещения коллекти
ва (рис. 2.23, б, в), необходимо пересчитать фокусные расстояния
объектива, коллектива и расстояние между ними.
Для определения трех неизвестных f l' f 2 И d 1 следует выполнить
три условия:
1. Сохранить величину а' 2 =' д.
2. Фокусное расстояние системы (объектив + коллектив) должн быть
равно ранее рассчитанному значению фокусноrо расстояния объекти
ва, коrда коллектив находился в ero задней фокальной плоскости (рис.
2.23, а).
3. Входной зрачок и апертурная диафраrма должны находиться в co
пряженных плоскостях.
На рис. 2.23, б, в показаны два случtuI смещения коллектива, при
чем при смещении коллектива в сторону объектива (рис. 2.23, в)
уменьшается расстояние между компонентами а 1, а, следовательно,
сокращается длина зрительной трубы L.
ДЛЯ выполнения первоrо и BToporo условий запишем известное из
rеометрической оптики уравнение для отрезка а' 2 =' а'.у :
,  1dif)1  1di1  1di1
а 2       д,
Ф1+Ф2d 1 Ф 1 Ф 2 Ф1+2 Ф об
тоrда
д 1 = 1аФ1+2 = lаФоб . (2.64)
<1>1 Ф1
ДЛЯ оптической силы двухкомпонентной системы можно записать
Ф 1 + 2 = Ф1+Ф2а 1 Ф 1 Ф 2= Ф1+, Ф2 а ;Ф 1 + 2
тоrда
Ф2= Ф1+2Ф1 (2.65)
аФ 1+'
Следует помнить, что Ф 1+2  Ф об' rде Ф об  оптическая сила объек
тива, полученная из расчета, коrда коллектив находился в задней фо
кальной плоскости объектива.
Для выполнения TpeTbero условия последовательно записывают
формулы raycca и перехода для отрезков rлавноrо луча, начиная от
положения апертурной диафрarмы а'эр' в результате получают ypaB
62

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
нение для определения HOBoro значения фокусноrо расстояния перво
rO компонента (объектива) 1/:
, 1  2f;2(1+ара2Ф:+2)+а2(2f;dз)
h    ' ) ,2 '
Ф1 2(1а2Ф1+2 f з Ф1+2
(2.66)
фокусное расстояние BToporo компонента можно вычислить по фор
муле (2.65), а расстояние между компонентами  по формуле (2.64).
Поскольку при смещении коллектива изменились значения
', т;, (/1' то следует уточнить величины световых диаметров компо
нентов, рассчитав ход BepxHero и нижнеrо полевых лучей или выпол
нив В масштабе rрафические построения.
rабаритный расчет телескопических систем с призменными
оборачивающими системами. Призменные монокуляры и
бинокулярные зрительные трубы
Прuзмен.н.ый мон.о"ул.яр  оптический прибор, представляющий
собой простую зрительную трубу Кеплера с призмой или призменной
системой для получения прямоrо изображения. Кроме Toro, введение
призм в оптическую систему позволяет сократить rабариты оптичес
кой системы, получить заданный уrол между оптическими осями
объектива и окуляра, который должен обеспечить удобное положение
rоловы наблюдателя и компенсацию вращения изображения. Это по
ложительные стороны использования призм. Однако введение призм
или призменных систем в качестве оборачивающих систем увеличи-
вает массу прибора, появляются технолоrические трудности, связан-
ные с изroтовлением и юстировкой.
Если в монокуляре применяется одиночная призма, то для полу-
чения прямоrо изображения она должна иметь «крышу. [5]. В табли-
це 2.2 приведены некоторые схемы монокуляров с призменными обо-
рачивающими системами.
Как видно из приведенных схем, призменная оборачивающая си-
стема позволяет существенно уменьшить rабариты оптической систе-
мы вдоль оптической оси за счет ее излома.
Особенность rабаритноrо расчета оптической системы с призмен-
ной оборачивающей системой состоит в том, что необходимо опреде
лить положение и rабариты призм, входящих в призменную систему.
Для этоrо необходимо:
1. Найти форму и размеры двух сечений пропускаемоrо через при
зменную систему cBeToBoro потока, а также расстояние между этими
сечениями вдоль оси.
63

Расчет и nроектирование оптических систем
i]
f
{В.
64
Оптическая схема
iJ}.
ос призматической ПРШJ;елъиой трубки
..1)t.
призма П К  00 состоит из двух частей,
разделенных воздушным npoмежутком
Таблица 2.2
Примечание
Монокуляр с призмой
IIIмидта (ВКР  450).
Уrловое поле  200 :::; 8.
Обеспечивает уrол отклоне-
ния 450 между визирной
осью и осью окуляра.
Монокуляр с призмой Аббе
(А к  00).
Такая схема иноrда исполь-
зуется для изrотовления
призменных биноклей.
Монокуляр с призмой
Лемана (ВкЛ  00).
Если бинокулярный прибор,
состоящий из монокуляров,
должен обладать повышен-
ной пластичностью и ком-
пактностью, то применяют
призму Лемана.
Применение призмы Пеха-
на (П К  00) позволяет полу-
чить компактную вдоль оп-
тической оси систему. Но
призма.имеет большой вес,
трудна в изrотовлении и
сборке.

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
Оптическая схема
ЗУ
/С)"
.  MOO)
3
.
ч
6 7
f
4 (Бк900)
Продолжение таблицы 2.2
Примечание
Монокуляры с призмевиы
ми системами Малафеева
1ro и 2ro рода.
Эти системы известны Taк
же как системы Порро.
Особенностью этих систем
является то, что оптические
оси объектива и окуляра не
лежат в одной плоскости.
Такие призменные системы
используются в биноклях.
Монокуляр стереотрубы:
1  защитное стекло;
2  roловная призма (АР----90 0 );
3  объектив;
4  башмачная призма с
крышей (Б к  900);
5  клин; 6  сетка; 7  окуляр.
Особенность схемы приз
. менной зрительной трубы 
большая перискоlIИЧНОСТЬ,
которая оценивается pac
СТOSlнием Ln между оптичес
кими осями объектива и
окуляра.
65

Расчет и проектирование оптических систем
Оптическая схема
Ап
AP-900)

ч
3 (APOO)
4
6 7
5  L
.bl.u.ii
* -900
I В П-90'
к
66
:4
Продолжение таблицы 2.2
Примечание
Оптическая схема артилле
рийской панорамы. Имеет
большую перископичность
(L п ) и возможность Kpyro
Boro обзора при неподвиж
ном окуляре (7):
1  защитное стекло;
2  вращающаяся rоловная
призма .АР-..-90 0 ;
3  призма Доне (APOO),
служит для компенсации по
ворота изображения. При ее
повороте BOкpyr этой же оси на
yrол в 2 раза меньший yr ла
поворота rоловной призмы
происходит компенсация по
ворота изображения.
Призменная оборачивающая
система из двух призм:
прямоyroльной .АР-..-90 0 и
певтanpизмы с крьппей
Б п 900.
к

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
2. Учесть, что в процессе расчета призмы заменяются эквивалент
Ilыми плоскопараллельными пластинами (выполняется развертка
призм), которые затем редуцируютсЯ (заменяются эквивалентными
воздушными пластинами, причем d ред  dnnn/п). Такие замены воз
можны, если первая и последняя rрани призмы перпендикулярны к
оптической оси.
В остальном rабаритный расчет призменноrо монокуляра подобен
rабаритному расчету простой зрительной трубы.
Для призм, расположенных в сходящихся пучках, необходимо
учитывать вызваное ими удлинение хода луча. На величину этоrо yд
линен ия (11  d(пl)/п) увеличивается в реальной системе расстояние
между поверхностями Toro пространства, в котором размещены приз
мы. Как только будут определены диаметры световых пучков, KOTO
рые должны пропустить призмы (D свпр )' остальные размеры отража
тельных призм определяются по нормалям, которые приведены в
справочниках [20].
Определим световые диаметры призм, установленных в сходя
щихся пучках для различных случаев, представленных на рис. 2.24.
Призмы развернуты в плоскопараллельные пластины, а пластины pe
дуцированы.
Рассмотрим случай, коrда диаметр входноrо зрачка больше диа
метра полевой диафраrмы. Как видно из рис. 2.24, а, если наклонный
пучок лучей не виньетируется, то верхний полевой луч имеет макси
мальную высоту на первой поверхности призмы, развернутой в плос
копараллельную пластину, и тоrда D св пр  2 у 2 впл' Если же наклонный

IIД

.... F
.,
IIД
об
..
11
C'I
-----

...,:
"
,.,...
d 1
Сl
Сl
а)
б)
t;б
Рис. 2.24. К определению CBeToBoro диаметра призмы, если
a)D > D пд ' б)D < D пд
67

Расчет и проектирование оптических систем
пучок будет виньетироваться на 50% , то апертурный луч будет иметь
максимальную высоту на первой поверхности призмы и D СВ пр =' 2 h z .
Если диаметр полевой диафраrмы больше диаметра входноrо
зрачка (D пд > D), то как видно из рис. 2.24, б световой диаметр
призмы уже определится высотой BepxHero полевоrо луча на второй
поверхности пластины, Т.е. D свпр =' 2 УЗ впл' Однако MHoroe зависит и
от положения входноrо зрачка в системе и положения призмы.
Поэтому прежде чем определять D св пр необходимо правильно yc
тановить призму в схеме, развернуть ее в эквивалентную плоскопарал
лельную пластину (рис. 2.25). Заднюю rpaHb призмы не следует pac
полarать слишком близко к фокальной плоскости окуляра, так как все
дефекты стекла (пузыри, мелкие царапины, пылинки) будут резко
видны в поле окуляра и мешать наблюдению.
0<1
-----
об g. ок
..
D U ПД
F: б
F OK
z'
 { ОК {: к р'
д
ap
f;б
L
a
Рис. 2.25. К определению положення призмы
Но удаление призмы от фокальной плоскости пропорционально
двоению изображения изза поrрешностей изrотовления уrла крыши
призмы. Оптимальное положение призмы, определяемое отрезком С 1 '
будет таким, при котором ее последняя поверхность размещается пе
ред окуляром так, чтq иэображение поверхности после окуляра полу
чается вне пределов аккомодации rлаза наблюдателя. Этому COOTBeT
ствует разность сходимости А за окуляром А=' 10...20 дптр, причем
величины с 1 и А связаны формулой
С 1 = {::А/I000.
Затем надо выполнить расчеты хода верхних полевых лучей при
k m =' 1 и k m =' 0,5 по формулам расчета хода BTOpOro вспомоrательноrо
68

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
луча, а также расчет хода первоrо вспомоrательноrо луча и определить
максимальную высоту лучеЙ на поверхностях пластинки, удвоив KO
торую получить D свпр ' После этоrо по нормалям [20] надо определить
размеры призмы. Следует отметить, что световоЙ диаметр призмы
D св пр  D шах оrраничивает ход верхнеЙ части наклонноro пучка, а ниж
няя часть этоrо пучка оrраничивается оправами линз окуляра.
Вин.окул.ярн.ые зрительн.ые трубы  приборы, предназначенные
для наблюдения предмета двумя rлазами.
Бинокулярное зрение, Т.е. зрение двумя rлазами, позволяет Ha
блюдателю различать разноудаленность предметов, что дает представ
ление о rлубине пространства, об объемном распределении наблюдае
мых объектов. Способность оценивать расстояние до различных пред
метов называют простран.ствен.н.ым зрен.ием или стереос/сопичес/сим
эффектом. Этот эффект значительно усиливается при наблюдении че
рез бинокулярныЙ прибор.
Все бинокулярные приборы состоят из двух одинаковых систем,
каждая из которых представляет зрительную трубу. Трубы соедине
ны на общем основании, причем их оптические оси должны быть па
раллельны. Если это условие не соблюдается, то наблюдается двоение
изображения. К бинокулярным зрительным трубам относя'rся: бинок
ли rалилея, призменные бинокли, дальномеры, стереоскопические
зрительные трубы и Т.д. Расстояние между осями объективов этих
приборов обычно больше, чем расстояние между осями окуляров.
Расстояние между осями объективов В называют базоЙ прибора,
а расстояние между осями окуляров Ь (rлазами наблюдателя)  rлаз
ным базисом. Обычно rлазноЙ базис Ь  65 мм, но при разработке при
бора необходимо предусмотреть изменение базиса от 52 до 76 мм.
Для бинокулярных приборов определяют удельную пластику
Ро  Bjb и полную пластику Р  POr T . Полная пластика характеризу
ет увеличение стереоскопическоrо эффекта восприятия наблюдаемо
ro пространства по сравнению сневооруженным rлазом. Чем больше
база прибора В, тем больше ero пластика Р, тем больше стереоскопи
ческий эффект.
В бинокулярных приборах изображение должно быть прямым. По
сравнению с монокулярными приборами конструкция бинокулярно-
ro прибора должна удовлетворять двум дополнительным требовани-
ям:
1. Оптические оси левой и правой половин прибора должны быть
c1'poro параллельны между собой;
2. Видимое увеличение обеих частей должно быть одинаковым.
69

Расчет и проектирование Оптических систем
Несоблюдение этих требований приводит к ухудшению качества
изображения.
rабаритный расчет приз:менноzо бинокля.
Исходными данными для расчета являются: r T  видимое увели
чение бинокля, D' диаметр выходноrо зрачка, L оптическая дли
на одной ветви бинокля, 200  уrловое поле бинокля, Ь  rлазной ба
зис (Ь  52...76 мм). Допустимая разность увеличений в правой и ле
вой ветвях бинокля не должна превышать 1,5...2% от заданноrо r T .
в качестве оборачивающей системы используется призма С крышей
или призменная система (пусть это будет призменная система Мала-
феева 1ro рода (призма Порро». в системе допускается 50% винье-
тирование.
На рис. 2.26 приведена оптическая схема призменноrQ бинокля.
t:Q
1
_utp
F OK \UI W iJ
.
Рис. 2.26. Оптическая схема
призменноrобинокля
Соrласно ТЗ в оптической схеме допускается 50% виньетирова
ние наклонноrо пучка для уменьшения размеров призм. Следователь
но, наклонный .пучок опирается на половину диаметра входноrо зрач
ка, который совпадает с оправой объектива (ар  О). Оборачивающая
призменная система Малафеева (Порро) 1-ro рода состоит из двух
призм БР1800, развернутых друr относительно друrа под уrлом 900
(рис. 2.27).
Для призм БР-180 0 отношение длины l хода луча (толщины эк
вивалентной ППП) к ее входному (световому) отверстию равно
k = d ппп / D CB пр = l/ D CB пр = 2,
rде k  коэффициент призмы (для БР1800  k == 2); l  rеометричес
кая длина хода oceBoro луча в призме (l  d ппп после Toro, как призму
развернули в ППП).
70

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
*e.
 lF'
"-('1 . 
Рис. 2.27. Оптическая схема ОДНОЙ
ветви бинокля без окуляра
С 1
Для rабаритноrо расчета рассмотрим одну ветвь бинокля, развер
нув призмы в ППП И редуцировав их (рис. 2.28).
Определение оптических характеристик объектива и окуляра BЫ
полняется по тем же самым формулам, что и расчет простой зритель
ной трубы.
Положение выходноrо зрачка для всей системы определяется из
расчета хода rлавноrо луча (Уl rл == О, /31 == tg ro)
, р L
ау = 'ОК L р , а ero расстояние от т.Р'ОК вычисляется как
'ОК
Zy = а'у  {;К .
Удаление выходноrо зрачка можно также найти, используя фор
мулу Ньютона
Zy =  f;; /Zp и так как Zp = t:Ю, то Zy = {;; /t:Ю, а а'у = {;К + z'y.
Для определения размеров призм необходимо найти световой ди
аметр призм из расчета хода апертурноrо и нижнеrо полевоrо лучей.
На рис. 2.28, рис. 2.29 представлены два случая, коrда диаметр
входноrо зрачка D больше диаметра полевой диафраrмы (D > Dпд) и
наоборот  D < Dпд'
Запишем формулы, по которым можно вычислить удвоенные BЫ
соты:
I
апертурвоrо луча на первой rрани призмы
2h  D.n.(Cl+C2) .
2  nt;б  2kD '
(2.67)
нижнеrо полевоrо луча на первой rрани призмы
 Dk ю + 2 [t;б  (С 1 + С 2 )]/32 ВПЛ .
2У2ВПл  1+4k /3 / n '
2 ВПЛ
нижнеro полевоrо луча на выходной rрани второй призмы
2У5 ВПЛ = Dk ю + 2 [t;б  С 1 ]/32 ВПЛ'
(2.68)
(2.69)
71

PaC'ieT и проектирование ОПТИ'iеских систем
АД, Вх. зр.
D
 
 
lrщ
С 2 z'p
d 1 d d С 1 tOK
lред
t:Ю а'
р
.... ..
L
Рис. 2.28. Оптическая схема ОДНОЙ ветви бинокля с призмами,
развернутыми в эквивалентные ППП
в формулах (2.67), (2.68), (2.69):
С 2  расстояние между призмами (задается из конструктивных co
ображений); с 1  вычисляется по формуле С 1 == {:; А/1000; А 
 10...20 дптр  ширина аккомодации rлаза; k",  коэффициент ви
ньетирования (k",  1, если нет виньетирования; k",  0,5 при 50% ви
ньетировании); k  l/DcB пр  коэффициент призмы; п  показатель
преломления стекла, из KOToporo выполнена призма; D  диаметр
входноrо зрачка.
АД, Вх. ар.
р....................
(О.. .
........H H
d 1
d
lред
f:.б
L
lпд
С 1
"
J
;::"
I
72
Рис. 2.29. К определению размеров призм (случай D < D пд )

[Лава 2. rабаритный paC'ieT ОПТИ'iеских систем
В зависимости от данных на rабаритный расчет по одной из фор
мул (или rрафически) определяют D свпр ' а затем по нормалям [20] на-
ходят размеры призм. Размеры призмы БР1800 приведены на
рис. 2.30.
c:s
  A
/:
.....,/T+-
/ I
а)
h Ь б) d"...  !  2DJ
a2D; h  D; C l,414D; Ь D; l 2D
Рис. 2.30. К определению размеров призмы БР1800
Затем определяют по нормалям припуск на закрепление W и на-
ходят D пр  D CB пр +Ш, вычисляют rеометрическую длину хода луча в
призме l  kD пр  d ппп , находят толщину редуцированной ППП:
d ред  d ппп / n; (d 1ред = d2ред = dред)'
в соответствии с рис. 2.31 находят расстояния от бесконечно тон-
Koro объектива до поверхностей редуцированных пластин:
d 1 == t;б  (С 1 + C2) 2d ред ;
d 2 == t:б (Cl + C2) d ред ;
d з == t:б  С 1  d ред ;
d4=t;бСl'
об
н об н:.." - .
d 1 д dpeд
с
d z
d.,
d С 1
f:б
Рис. 2.31. К определению расстояний до
поверхностей редуциров8.lIНЫХ ППП
1
При установке призм в
сходящихся пучках лучей
происходит удлинение хода
лучей на величину 6. 
 d(n  1)/n и тоrда расстоя-
ние между объективом и
изображением 'будет равно
f' об + 26.. Однако удлинение
хода автоматически учиты-
вается, коrда редуцирован-
ные пластины заменяются
призмами (эквивалентными
ППП). Чтобы убедиться в
Р'
об
73

PaC'ieT и проектирование ОПТИ'iеских систем
этом, необходимо найти расстояние между бесконечно тонким объек
тивом и изображением предмета в плоскости полевой диафраrмы с
учетом хода oceBoro луча: r об + 2/).  d 1 + (с 1 + с 2) + 2d nnn .
Если расчет выполнен правильно, то приведенное выше равенство
должно выполняться, Т.е. расстояние между объективом и призмами
такое же, что и расстояние между объективом и редуцированными
ППП.
ДЛЯ исправления недостатков rлаза (миопия и rиперметропия)
предусматривается перемещение окуляра на величину
/). = {;к2А/1000,
rде А  аметропия rлаза ::!:5.. .:!:10 дптр.
Вычисляют удельную и полную пластику бинокля, показываю
щую во сколько раз действительная дистанция на местности больше
кажущейся при наблюдении с помощью прибора. Ощущать rлубину
наблюдаемых предметов можно в пределах радиуса стереоскопичес
Koro зрения
Rc = POrTRO = PRo = Br T //).11,
rде Ro  радиус стереоскопическоrо зрения невооруженноrо rлаза
(R o  Ь / /).11); Rc  радиус стереоскопическоrо зрения при наблюдении
в бинокль; /).11  острота стереоскопическоrо зрения в секундах, KO
торая колеблется от 2...3" до 30" и в среднем принимается равной 10".
При Ь  65, Ro  1341 м.
Например, у бинокля r T  8 Х , В  125 мм, Rc  20,4 км, а у HeBO
оруженноrо rлаза Ro  1,3 км.
Опыт показывает, что уrловая величина непараллельности осей
не замечается наблюдателем, если она не превышает установленных
60' и 30' в rоризонтальной плоскости и 10' в вертикальной плоскости.
Тоrда расхождение осей правой и левой ветвей бинокля в rоризонталь
ной плоскости в пространстве предметов не должно превышать
8 = 8'/(r T  1)= 60'/(r T  1);
схождение осей в вертикальной плоскости
8 = 8'/(r T  1)= З0'/(r т  1).
Н епараллелъностъ осей в вертикальной плоскости
8 = 8'/(r T  1) = 10'/(r T  1).
Если указанные выше требования не соблюдать, то будет иметь
место двоение изображения.
Разность увеличений /).r T в правой и левой ветвях бинокля не дол
жно превышать 1,5...2% от заданноrо r T .
74

rлава 2. rабаритный paC'ieT оптических систем
Определив из rабаритноrо расчета размеры призм, их положение в
схеме, а для объектива и окуляра  их оптические характеристики, BЫ
бирают конструкции объектива (rлава 4) и окуляра. Выполняют аберра
ционный расчет одной ветви бинокля по методике, изложенной в rлаве
3. Затем по основным параметрам и оптическим характеристикам син
тезируют компоненты или выбирают rOToBble из каталоroв.
Особенности rабаритноrо расчета
оптических систем пери скопов
Перис"оn  зрительная труба, предназначенная для наблюдений
из укрытий большой rлубины. Специфической характеристикой Ta
кой трубы, кроме обычных характеристик телескопической системы,
является nерис"оnичн.остъ. Оптическая схема перископа (рис. 2.32)
состоит из rоловной призмы 1 (обычно AP900), объектива 2, коллек-
тива 3, оборачивающей линзовой системы 4 и 5 с параллельным xo
дом лучей между компонентами, окулярной призмы 6, уrломерной
сетки 7 и окуляра 8.
П ерис"оnичн.остъ L п  это расстояние между осями объектива и
окуляра. И поскольку между компонентами 4 и 5 оборачивающей си
стемы идет параллельный пучок лучей, то перископичность можно из
менять за счет изменения расстояния d между этими компонентами.
Это расстояние мож
но менять в широких
пределах, не нару-
шая телескопичности
оптической системы
и не меняя ее увели
чение. Однако d не
должно быть больше
некоторой величины,
которая зависит от
степени допустимоrо
виньетирования, ко-
торое зараН,ее oroBa
ривается. В зависимо
сти от назначения пе
рископов их периско
пичность колеблется в
широких пределах 
от 400 мм до 2 м и бо
лее. Ручные периско
ч=
2

Рис. 2.32. Оптическая схема перископа
75

PaC'ieT и проектирование ОПТИ'iеских систем
пы имеют перископичностьот 400 мм до 700 мм, увеличение r T  1,5...4 Х ,
yrловое поле 2Ф от 100 до 300. Масса таких перископов до 4 Kr.
Для rабаритноrо расчета отражательные призмы 1 и 6 заменяют
ся эквивалентными ППП, которые затем редуцируют. Оптическая
схема перископа в тонких компонентах приведена на рис. 2.33.
D 1 2 3

н;
{; = f;б I  f з
.
5
4
L ОБС
L TC
L п
Рис. 2.33. ХОД апертурноrо и rлавноrо лучей в оптической схеме перископа
Исходными данными для rабаритноrо расчета являются: r т' 2Ф,
D', Ln, L обс , ОБС (обычно обс   1). В системе допускается 50% винье
тирование. Окуляр должен иметь линейное перемещение вдоль опти
ческой оси :t5 дптр.
Если в системе нет оборачивающей системы, то оптическую дли
ну L телескопической системы можно определить как
L = 4с  L 06c = f/ю + f: K
Видимое увеличение такой системы I'T= f:6/f;K' тоrда
L = p r + 1. , ==./' ( 1  r ) и фокусные расстояния объектива и окуля
/ОК 'f ОК 'ОК т
ра определятся по формулам
{. '  LI'T.
Об I' '
т
{.' L
ОК = 1  I' .
т
Видимое увеличение перископа r T = /3обсI'т и, если принять, что
А б   1, то r = r . Найдем:
fJ'o с т Т
 диаметр входноrо зрачка перископа D == D'r т;
 общую оптическую длину телескопической системы:
4с = L+ L обс = f: 6 + Loбс + ': к .
76

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
Вычислим фокусные расстояния компонентов оборачивающей
системы, задавшись расстоянием d 5 . Так как оБС =. t;/t; и в тоже Bpe
мя f; + f; =. L ОБС  d 5 ' то
./'  f. '  L ОБС  d 5
13  4  .
1  /30БС
ДЛЯ контроля вычислений фокусных расстояний компонентов
следует определить:
1) видимое увеличение первой части оптической системы (объек
тив + первый компонент обрачивающей системы) r Т] =.  {/х,/ {; ;
2) ВИдимое увеличение второй телескопической системы (второй
компонент оборачивающей системы + окуляр) r T =.  f;/t: K ;
3) видимое увеличение перископа rT=.rTj'T2=.t/x,.t;/f;'f:K и r T
должно быть равно заданной величине.
Определим положение входноrо зрачка перископа. Соrласно ТЗ
апертурной диафраrмой и входным зрачком является световой диа-
метр rоловной призмы 1. Так как rоловная призма АР-90 0 , то коэф
фициент призмы k  1 и тоrда 11  rеометрическая длина хода луча в
призме равна D свпр  п. Толщина эквивалентной ППП d 1  11 И поло
жение входноrо зрачка
ар =. (11  d 2 ).
Из условия заданной перископичности
L п = 11/2 + d 2 + t: б + L ОБС (12/2+ С 1 )
найдем положение d 2 первой призмы, полаrая, что выходная rpaHb
окулярной призмы должна быть расположена так, чтобы дефекты ее
последней поверхности не были заметны в окуляр. Как было показа
но раньше, С 1 =. f:; А/1 000, rде А  10...20 дптр и составляет обычно
10...15 мм от фокальной плоскости окуляра, тоrда d2=L,.11/2
 t: б  L ОБС + (12/2+ с 1 ).
Фокусное расстояние коллектива 2 (если ero необходимо устано-
вить) определяется из условия сопряжения плоскости входноrо зрач
Ка и плоскости апертурной диафраrмы.
Размеры окулярной призмы определяются по световому диамет-
ру призмы, который ВЫЧИСЛflется из расчета хода апертурноrо и на-,
клонноrо пучков лучей.
В системе две полевых диафраrмы: одна расположена в фокаJIЬ
ной плоскости объектива и ее диаметр Dnд] =. 2f:б tgro, вторая распо-
ложена в фокальной плоскости окуляра, совпадающей с фокальной
плоскостью BToporo компонента оборачивающей системы, и если
/3 06С  1, то Dnд2 = Dnдj'
77

Расчет и проектирование оптических систем
Положение ВЫХОДноrо зрачка всей системы определяется из pac
чета хода rлавноrо луча. Если в системе необходимо уменьшить CBe
товые диаметры компонентов оборачивающей системы, окулярной
призмы, то В системе следует установить коллектив 3 и ввести винье
тирование. В остальном расчет аналоrичен расчету телескопической
системы, приведенному выше.
Особенности l'абаритноl'О расчета зрительных труб
с электроннооптическими преобразователями
Для наблюдения предметов, излучающих в рентrеновской, ульт
рафиолетовой или инфракрасной областях спектра, а также предме
тов, создающих освещенность на зрачке rлаза порядка 5.109 лк ис
пользуют трубу с электроннооптическим преобразователем (ЗОПом).
ЗОП  вакуумный фотоэлектронный прибор. С ero помощью He
видимое rлазом изображение, образованное какойлибо оптической
системой на фотокатоде ЗОП, сначала внутри ЗОП преобразуется в
промежуточное электронное изображение, а затем на флюоресциру
ющем экране  в видимое. ЗОП используют и для усиления яркости
видимоro изображения.
Оптическая схема зрительной трубы с ЗОП представлена на
рис. 2.34.
ОК
п'
D эк
Fo Н ОК
р'
f:.б
Lэоп
fOK
L
а'
р
Рис. 2.34. Схема зрительной трубы с ЭОП
Объектив зрительной трубы образует на фотоктоде ЗОП изобра
жение предмета. rлаз наблюдателя рассматривает через окуляр, BЫ
полняющий роль лупы, преобразованное ЗОП изображение на экра
не. Так как ЗОП оборачивает изображение, то в схему не надо вводить
оборачивающих систем. Объектив и окуляр являются самостоятель
ными оптическими узлами, так как в системе отсутствует оптическое
сопряжение лучей в пространстве предметов с лучами, проходящими
в пространстве изображений. В системе отсутствует взаимная компен
78

rлава 2. rабаритный paC'ieT ОnТИ'iеских систем
сация аберраций, поэтому и объектив и окуляр самостоятельно pac
считываются в отношении исправления аберраций, которые исправ
ляются тщательно. ЭОП по сравнению с объективом и окуляром име
ет невысокую разрешающую способность.
Зрительную трубу с ЭОП характеризуют [5]: видимое увеличение
r т =  f;бЭОП/ f;1< ; уrловое поле 2(0 объектива; ДЛИНа системы L; элект
роннооптическое (линейное) увеличение ЭОП l3 эоп : l3 эоп == DЭI</DФI<'
rде DФI<  диаметр фотокатода, D эк  диаметр экрана; разрешающая
способность N эк экрана; интеrральная чувствительность S фотокато
да и коэффициент световой эффективности К == Фvэк/Фефк' которые ис
пользуются при энерrетическом расчете; яркость экрана L vэк , завися
щая от энерrетической освещенности Е; фк фотокатода и коэффициента
яркости экрана; расстояние LЭ()П между фотокатодом и экраном ЭОП.
rабаритный расчет зрительной трубы с ЭОП выполняют по следу
ющим формулам:
{. '  LLэоп r. {. '  LLэоп А .
06rR т' ок"'::r""ЭОП'
т ....эоп ....эоп т
D фк = 2f;б tg(O; D эк = Щ;к tg(O'.
По заданной энерreтической яркости Le предмета и достаточной
энерrетической освещенности Е; фк фотокатода определяется диаметр
входноrо зрачка объектива.
Качество изображения, создаваемое объективом на фотокатоде,
значительно выше качества изображения на экране ЭОП, ибо оно за
висит от размера пятна рассеяния 80 электронов на экране. Обычно эк
раны ЭОП имеют разрешающую способность NЭI< == 20...40 MMl, что
соответствует 80 = 0,025...0,05 мм.
Разрешающая способность на фотокатоде N фк == эоп/80 и ее надо
соrласовать с разрешающей способностью объектива, причем
N Об  N фк '
2.2. rабаритный расчет зрительных труб nepeMeHHoro
увеличения
Область применения оптических систем
переменноrо увеличения
В оптических приборах, применяемых в различных отраслях Ha
уки и техники, появляется необходимость изменять увеличение. Это
фотоrрафия, кинематоrрафия, телевидение, видеотехника, микроско
пия, астрономические приборы, спектрофотометрия, тренажеростро
79

Расчет и проектирование Оптических систем
ение, тепловидение, пирометрия, лазерная техника, медицинская Tex
ника, военные приборы, наблюдательные приборы и Т.п. [10].
Изменением увеличения решаются прежде Bcero 2 основные за-
дачи:
1. Быстрый поиск объекта и ero введение в поле системы. Для это-
ro удобно использовать большое поле прибора, которому COOTBeTCTBY
ет малое увеличение (или малое фокусное расстояние).
2. Изменение увеличения (или фокусноrо расстояния) для наблю
дени я за объектОМ, выполнения измерений, наблюдения увеличенных
деталей и Т.п. При больших увеличениях (или больших фокусных pac
стояниях  для объективов) поле системы заметно уменьшается.
РассмотриМ телескопические системы.
Телескопические nанкратические системы (ТПС) находят широ-
кое применение в светолокационных лазерных дальномерах для
уменьшения и реrулирования уrла расходимости излучения лазера,
направляемоrо на объект, для более эффективноrо использования
мощности излучения лазера. В лазерных дальномерах с помощью ТПС
узконаправленНый пучок света можно сконцентрировать на различ-
ные расстояниЯ, используя практически всеrда полностью всю энер-
rию.
К зрительнЫМ трубам переменноrо увеличения относятся различ-
ные оптические прицелы, перископы, наблюдательные системы. Зри-
тельные трубы с плавно меняющимся увеличением имеют несомнен-
ные преимущества при наблюдениях за быстро движущимися объек
тами.
Для удобства пользования приборами с l1еременным увеличени
ем приходится решать две конструктивные задачи: сохранение поло-
жений входноrо и выходноrо зрачков. Положение входноrо зрачка оп-
ределяет всю конструкцию, а положение выходноrо зрачка в наблю-
дательных системах  неподвижность rлаза наблюдателя.
Классификация зрительных труб nepeMeHHOro увеличения
Зрительные трубы переменноrо увеличения можно классифиро-
вать по способу получения переменноrо увелич.ения. Эти зрительные
трубы разделяют на две rруппы: трубы со ступенчатым, или диск-
ретным изменением увеличения и трубы с непрерывным, плавным из
менением увеличения, называемые nанкратическими трубами.
Переменное увеличение можно получить применением какоroлибо
компонента или части системы с переменным увеличением или фокус
ным расстоянием (объектива, окуляра, оборачивающей системы).
80

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
На рис. 2.35, rде приведена схема классификации, представлены
известные способы изменения увеличения зрительных труб, а в таб
лице 2.3  оптические схемы зрительных труб дискретноrо увеличе
йия и панкратических труб.
В таблице 2.3 не показаны только редко применяемые схемы со
сменными объективами и окулярами. Первый способ применяют
крайне редко, он приводит к неудобной конструкции прибора, к силь
йому изменению rабаритов. Известно ero применение в некоторых пе
рископах и прицелах. Обычно используется телецентрический ход
rлавноrо луча после cMeHHoro объектива.
Второй способ  сменных окуляров  самый простой и распрос
траненный. Ero широко применяют в астрономических системах и в
rеодезических приборах. rабаритный расчет системы вполне опреде
ляется расчетом по малому увеличению. Единственной особенностью
такой системы является возможность допущения значительноrо ви
ньетирования на краю поля при малом увеличении, которому COOTBeT
ствует большое уrловое поле. Диаметр выходноrо зрачка меняется, по
ложение выходноrо зрачка непостоянно при изменении увеличения.
В панкратических зрительных трубах плавное изменение увели
чения можно получить с помощью nаnкратическоzо объектива 
объектива с непрерывно изменяющимся фокусным расстоянием и Ha
зываемоrо также вариообъективом, а также за счет использования
панкратической оборачивающей системы с плавным изменением YBe
личения или, наконец, с помощью панкратическоrо окуляра.
Известны панкратические объективы и оборачивающие системы
с механической и с оптической компенсацией смещения плоскости
изображения. Панкратические системы с механической компенсаци-
ей смещения плоскости изображения  оптические системы, в KOTO
рых непрерывное изменение их фокусноrо расстояния или увеличе
ния и неподвижность плоскости изображения осуществляется за счет
нелинейноrо перемещения компонентов.
Панкратические системы с оптической компенсацией смещения
плоскости изображения  системы, в которых непрерывное измене
ние их фокусноrо расстояния (или увеличения) достиrается за счет
перемещения компонентов с линейной связью между их перемещени-
ями. В таких системах плоскость изображения смещается в неболь-
ших пределах.
К паНIратическим оборачивающим системам с механической
компенсацией относятся двух- и трехкомпонентные оборачивающие
системы (табл. 2.3, поз. 2.1 и 2.2). Нелинейное перемещение одноrо
81

со
N
ЗТ переменноrо увеличения
ЗТ с дискретным переменным
увеличением
ЗТс
дискретным
изменением
фокусноrо
расстояния
объектива
ЗТсо
сменными
окулярами
ЗТсо
сменными
объективами
ЗТс
дискретным
изменением
за счет
смены
части
объектива
ЗТс
дискретным
переменным
увеличением
оборачивающей
системы
ЗТсо
сменными
компонентами
оборачивающей
системы
ЗТс
вращающейся
системой
rалилея
ЗТс
перемеща
ющейся
вдоль оси
ОБС
Панкратические ЗТ  трубы с
плавно (непрерывно) меняющимСя
увеличением
ЗТс
панкрати
чески м
объективом
(варио
объективом)
ЗТс
оборачивающей
системой.
поворачива
ющейся
на 1800
ЗТс
панкрати
ческой
оборачива-
ющей
системой
ЗТс
панкрати
ческим
окуляром
ЗТс
панкратической
ОБСс
механической
компенсацией
ЗТ с двухкомпонентной ОБС
с переменным диаметром
BblXoднoro зрачка
ЗТс
панкратической
ОБСс
оптической
компенсацией
"'о
'"
(')
.r.
Ф
....
:s:
::::1
"8
ф

:s:
"о
о
'"
'"
:t:
:s:
ф
о
::::1
....
:s:
.r.
Ф
(')
><
:s:
><
(')
:s:
(')
....
ф
;::
ЗТ стрехкомпонентной ОБС
с постоянным диаметром
Bblxoднoro зрачка
Рис. 2.35. Схема классификации зрительных труб (3Т) переменноrо увеличения

Оптическая схема 3т перемеmюrо увеличения
Таблица 2.3
Особенности схемы
3т с дискретным перемениым УВeJIИЧением
1. Применение Обе переменноrо увеличения
Увеличение 3Т меняется путем смены
оборачивающей системы. Обе состоит из
двух попеременно включающихся компо
нентов 1 и 2.
обс {=Мf:3 обс 2' rде М  кратность измене
ния увеличения. Выходной зрачок удален
на разные расстояния а' Р" Можно сделать
a'p' const, но тоrда ap==var.
1.1.
1 2
 '   F Ш
об :::::n l ......., ОК
e d F" "
1.2.
 . i:J! 
I,I F'
[., 
....--....
1 2
 р' 11  .... '1\ ,..... ...... F ",,11
1.3.  J 1. ............... ОК
IU , I /1 F' ". ....
\.J Ш \L
со
w
ОБС состоит из двух компонентов с парал
лельным ходом лучей между ними. Для
изменения увеJШчения одни из КOМlIOHeH-

тов заменяется дрyrим, rlMf'2' в схемах g'
1.1 и 1.2 реализуется способ смеииых ком- 
понеитов ОБС. 
:S;<
;'
'"
'"
'"
!'"
ОБС состоит из одноrо компонента, ко-
торый принимает 2 различных положе-
ния; 1 и2.
 обе 1== мf:3 обе 2
В схеме 1.3 реализуется способ перемеще-
иия оборачивающей системы для получе-
ния переменноro увеличения.
"о
'"
(')

<D
....
О

:S;
..с
<D
(')
'"
:S;
х
(')
:S;
(')
ф
;::

со

Оптическая схема 3т перемеШlOrо увеличения
1.4.
1
1.5.
F
ок
Продолжение таблицы 2.3
Особенности схемы
'1:J
'"
(')

<D
...
:s:
:::1
"с
О
<D

:s:
"с
о
'"
'"
::1:
:s:
<D
о
:::1
...
:s:
.<:
<D
(')
""
:s:
><
(')
:s:
(')
...
(1)
;::
ОБС с отрицательным значением L обс .
Прим:еняется вперископах. ОБС состоит из
одноrо компонента, занимающеrо положе
ния 1 и 2. Компонент может быть трехлин-
зовым склеенным или состоять из двух co
прикасающихся симметрично расположен-
ных двухлинзовых склеенных компонентов.
Изменение увеличения достиrается поворо-
том ОБС из одноrо положения в друrое на
1800 .l3 обс Il3or' 13 0бс п='1/13 0r ; М='l3 обс /13 0бс п='13 2 0l .
Прuмечапие: смена компонентов ОБС или ее
поворот на 1800 усложняет механику прибора
и увеличивает поперечные размеры прибора.
2. Прим:енеШIе дополнителъных телескопических систем rалилея, устанawшваемых в
параллельном пучке лучей
1.6.
 . .
I I I
Р 1 I '
t  1I
F
Перед 3Т помещают вращаюJЦYIOCЯ на 1800
трубу rаJlИЛея r = Mr r = .
ТА] ТА2 ' ТJЧ r '
ТА2
r ч = r TA ]. r T , r T2 = r TA2 . r T .
Выходной зрачок системы rалилея в обоих
положениях совпадает с входным зрачком
основной трубы. Поэтому ось вращения 010]
трубы rалилея расположена посередине
между этими зрачками.

ПанкратичесlGlе 3Т (ПЗТ)
1. Применение павкратическоrо объектива
М = f8X/fin = rm8X/rmJn'
Объектив может СОСТОЯТЬ из двух положи
тельных компонентов. Предпочтительней
телеобъектив, дающий больший перепад М
(M2...6X)
Оптическая схема 3т переменноro увеличения
1

об ъ ктив
Продолжение таблицы 2.3
Особенности схемы
2.1
внефок.
кол.

2. Применение панкратической Обе
2.2.
........

2.3.

Панкратическая ОБС с механической KOM
пенсацией. Оба компонента перемещаются по
нелинейному закону
М = oбc.nu /oбc.nin .
Выходной зрачок непостоянен.
;'
'"
'"
'"
!"
....,
'"
0\
Панкратическая ОБС с механической ком- 
:S:
пенсацией. ВЫХОДНОЙ зрачоК постоянен, :i!
![
положение стабильно. Входной зрачок меняет :S:<
размер и расположение.
Панкратическ8Я Обе с оптической компенса-
цией. 2ой и 4-ый компоненты одновременно
перемещаются относительно 3-ro. ПЛоскость
изображения смещается на величину б.
"о
'"
(')
ffi
....
о
::::1
....
:s:
.s:;
ф
(')
""
:s:
><
(')
:s:
(')
....
ф
;::
со
ся
3. Применение панкратическоrо окуляра (см. рис. 2.36)

Расчет и проектирование оптических систем
из компонентов усложняет ИЗi'Oтовление паза, по которому перемеща
ется штифт, несущий оправу компонента.
Технолоrическими преимуществами обладает оборачивающая си
стема с оптической компенсацией. Этому условию может удовлетво
рить четырех компонентная ОБС, имеющая два жестко связанных по
ложительных компонента, перемещающихся вдоль оптической оси,
между которыми находится неподвижный отрицательный компонент
(табл. 2.3, поз. 2.3). В этом случае упрощается механическая часть
конструкции, однако увеличивается число компонентов оптической
системы.
Зрительные трубы с дискретным изменением увеличения имеют cy
щественный недостаток: во время смены увеличения наступает краткий
момент, коrда наблюдатель теряет из виду предмет наблюдения.
Основным недостатком панкратических ЗТ является невозмож
ность получить одинаково высокое качество изображения при всех
значениях увеличения.
Оптические характеристики зрительных труб
переменноrо увеличения
Видимое увеличение сложной телескопической системы опреде
ляется формулой:
r т =  б .1301.1302'" ,'130Р'
'ОК
rде 13 01 ...f3 0P  линейное увеличение оборачивающих систем, pa3Me
щенных между объективом и окуляром.
Одной из основных характеристик является перепад или ICpaт
пость увеличений М: М  rтшах/rтшin'
Большой перепад увеличений М == 5...6 Х можно получить при ис
пользовании панкратических линзовых оборачивающих систем. Пан
кратические окуляры позволяют получить М == 3...4 Х .
Однако следует помнить, что требования к изrотовлению обора
чивающей системы жестче, так как за ней располаrается короткофо
кусный окуляр, который существенно увеличивает остаточные абер
рации системы перед окуляром (<<объективной части») и вносит свои.
При использовании панкратическоrо окуляра эти требования снижа
ются, так как за ним располаrается rлаз наблюдателя.
Наиболее рациональной схемой ЗТ переменноrо увеличения счи
тают схему, в которой окулярное уrловое поле используется полнос
тью при всех увеличениях, 'f.e. 2ю' == const. Следовательно, диаметр
полевой диафраrмы Drщ также постоянен.
86

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
в этом случае tgm == tgm' /r т == var, rде r т  переменное увеличе
ние. Отсюда следует, что с возрастанием увеличения r T уrловое поле
2ю трубы уменьшается.
Предпочтительней схема, в которой входной зрачок использует
ся полностью при всех увеличениях, но тоrда D' == D/r T , следователь
но, с возрастанием увеличения выходной зрачок D' уменьшается.
Уrловое поле 2О) и диаметр D' выходноrо зрачка 3Т изменяютсЯ
обратно пропорционально увеличению r т' Иноrда изменяется также
положение S'y выходноrо зрачка относительно окуляра. При разработ
ке системы стремятся это изменение сделать минимальным.
Полное использование входноrо зрачка при всех увеличениях и
ero постоянное положение обеспечивается в схеме зрительной трубы
с панкратической двух компонентной оборачивающей системой
(табл. 2.3, поз. 2.1). В этом случае положение s'P' и диаметр D' BblXOk
Horo зрачка зависят от увеличения r т'
Стабильное положение и диаметр выходноrо зрачка можно полу
чить при использовании панкратической трехкомпонентной оборачи
вающей системы (табл. 2.3, поз. 2.2). Однако это приводит к зависи
мости положения s Р и диаметра D входноrо зрачка от увеличения r т'
Оптимальные оптические и технические характеристики панкра
тической 3Т выбирают исходя из условий эксплуатации. Например,
систему с входным зрачком от 60 мм и r т > 8 Х требуется устанавли
вать на штатив или упор, так как большая масса и тремор рук наблю
дателя не позволяют использовать все технические возможности по
достижению предельной разрешающей способности системы
«rлаз + прибор» .
В менее rромоздкиХ панкратических зрительных трубах (П3Т),
удерживаемых в руках, используют rиростабилизирующее устрой
ство.
Следует помнить, что в светлое время суток rлаз наблюдателя
имеет размер зрачка до 2 мм и обеспечивает в среднем уrловое разре
шение в одну уrловую минуту, поэтому для этих условий наблюдения
диаметр D входноrо зрачка трубы D == 2r т'
Если освещенность объекта низкая, то оптимальная яркость изоб
ражения обеспечивается размером зрачка rлаза 3 мм и более.
Панкратические 3Т позволяют подбирать оптимальные оптичес
кие характеристики (r T , 2ю, D') с учетом условий наблюдения.
Оптические и технические характеристики разрабатываемых 3Т
определяются назначением прибора и характером решаемых задач.
Уrловое поле в пространстве предметов определяет время поиска
87

Расчет и проектирование оптических систем
объекта, увеличение прибора  дальность видимости, а диаметр вход-
Horo зрачка и аберрационная коррекция оптической системы влияют
на разрешающую способность.
Важными параметрами, определяющими пределы использоваНИ5.
прибора, являются также яркость фона, контраст объекта и ero уrло
вые размеры.
В качестве примера в табл. 2.4 приведены оптические и техничес
кие характеристики, а на рис. 2.36 пред ставлены оптические схемы
зрительных труб nepeMeHHoro увеличения, разработанные в rои в
1993 r.
Таблица 2.4
N2 r" крат D', мм D,MM 2ы , L,MM 't, % Масса,
п/п Ву'ММ т,r
1 15.. .60 4 66 3010'...0048' 17,1 343,6 70 378
2 7...35 5 50 6048'...1022' 15,2 252,7 70 221
3 6..30 5 40 7014' ...1 028' 15,2 228,4 71 165
4 4...8 2 28 120...60 10,5 103,0 73 85
5 9 и 18 2 50 6028' и 30 13,2 181 200
На рис. 2.36 приведены 4 схемы панкратических зрительных труб
(1 4) и одна схема (5) зрительной трубы с двумя дискретными увели
чениями.
Рассмотрим особенности конструкций. В схемах 1 3 и 5 исполь
зуются телеобъективы. Наиболее компактной среди схем 1 3 с боль
шим перепадом увеличений является схема 3, rде используется теле
объектив с f == 148,8 мм, D/f == 1:3,7, т == L/f '" 0,59.
В схемах 1 3 используются двухкомпонентные панкратические
оборачивающие системы с механической компенсацией смещения
плоскости изображения, причем в схемах 2 и 3 каждый компонент
оборачивающей системы является трехлинзовым. В схеме 5 примене
на оборачивающая система с двумя дискретными увеличениями.
В схеме 4 применен панкратический OIсуляр, установленный за
пр из мой Пехана с крышей.
88

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
1
 ....... I 
. . m. F' ,
f. ТУ
343,6 
 +,, p
 252,7 
3.H. 
r 228,4
t.t
5J jp
, L:..' I т
181
Рис. 2.36. Оптические схемы новых зрительных труб переменноrо увеличения
89

Расчет и проектирование оптических систем
Расчет паmcратической зрительной трубы
переменноro увеличения с двухкомпонентной
оборачивающей системой
В панкратических зрительных трубах чаще Bcero используется
двух компонентная оборачивающая система с двумя подвижными ком-
понентами (см. рис. 2.36). Рассмотрим rабаритный расчет зрительной
трубы с одно компонентным объективом 1, коллективом 2 и двух ком-
понентной панкратической оборачивающей системой 3, 4 (рис. 2.37).
1( об)
2(кол)
3
4
5( ок)
F'
4
Н4 н4
a
а р , z'
а'
c
а'
L
Рис. 2.37. Оптическая схема панкратической зрительной трубы (П3Т)
с двух компонентной оборачивающей системой
Увеличение трубы r ==  t:бlf:к . 13 обе ' rде f3 0бе == var, поэтому
r т == var. Пределы изменения линейноrо увеличения f3 0бе оборачиваю-
щей системы зависят от пределов изменения r т и выбранных значе-
ний t: б и {: К .
ДЛЯ удобства пользования трубой желательно, чтобы оптическая
длина L Обс оборачивающей системы была Постоянной, так как в этом
случае окуляр остается неподвижным.
В тз чаще Bcero указывается r Tmin ... r TID8X (или rmin иМ), L, 2ю ок ,
D. Иноrда задается {: к , если е<;ть roтовый окуляр. Чаще Bcero апертур-
ная диафрarма расположена между компонентами 3 и 4, при этом ар = о.
Выбор оптимальных значений rayccoBblX (параксиальных) харак-
теристик представляет собой неоднозначную задачу, решение которой
можно получить в результате проведения исследований и получения
возможной области рациональных решений.
В начале расчета компоненты ПЗТ принимают за бесконечно тон-
кие, поэтому надо заранее предусмотреть, что при введении конечных
толщин оптическая Длина ПЗТ увеличится. Величина удлинения тру-
90

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
бы существенно зависит от оптических характеристик и конструкции
компонентов.
При расчете первоrо варианта схемы П3Т можно использовать pe
комендации, предложенные И.А. Турыrиным [23].
Пусть заданы r Tmin ... r Tmax  пределы изменения увеличений
П3Т, тоrда соответствующие им пределы изменения линейноrо YBe
личения оборачивающей системы  о6ешin ... o6eтax.
Для достижения лучшей коррекции аберраций в П3Т желатель
но, чтобы o6eтax ==1/ о6ешin. В этом случае у оборачивающей системы,
состоящей из двух одинаковых компонентов, при крайних значени
ях увеличения эти компоненты занимают два симметричных положе
ния. Поэтому, если в такой системе исправить аберрации для KaKOTO
либо значения 06e' то они будут исправлены или малы и при увели
чении, равном 1/ 06e. Это может значительно упростить всю расчет
ную работу.
Пусть 06e ер  среднее увеличение оборачивающей системы (ОБС),
относительно KOToporo кратность изменения увеличения в сторону
обоих пределов одинакова.
Т 06eт8X 06eep А   A А  1
оrда  , откуда 1-'06e ер   1-'06e тах . 1-'06e min   .
06e ер 06e min
Увеличению 06eep ОБС соответствует увеличение r Tep трубы:
r  {;6 А  {;6
тер  p.1-'06eep  р.
'ОК 'ОК
Можно леrко получить, что при этом r =  r . r . .
тер ттах TnUn
Далее необходимо выполнить расчет оптической схемы при YBe
личении r Tep . Для упрощения расчета, конструкции и изrотовления
всей системы желательно вначале рассчитать вариант с симметричной
оборачивающей системой. Следовательно, надо ввести дополнитель
ное условие: при r т ер П3Т имеет симметричную ОБС с обе ==  1 с парал
лельным ходом лучей между компонентами (рис.2.18). Для расчета
можно использовать теорию и формулы, приведенные в rл.2.
3ная 1;', d t для r Tep далее рассчитывают перемещение компонен
тов ОБС. ДЛЯ получения оптимальноrо решения следует рассчитать
несколько вариантов при разных значениях {;, {; , а также изменении
значений L, L обе и t:б.
При перемещении компонентов ОБС изменяются отрезки
аз, d, a (рис.2.37).
Получим формулы, которые позволят рассчитать перемещение
компонентов. Рассмотрим общий случай, коrда {; -::;:. {; .
91

Расчет и проектирование оптических систем
Найдем зависимость между обе И положением компонентов, Т.е.
отрезками аз, d, а 4 , которые меняются при изменении Обе'
При расчете надо учесть, что
L обе = аз + d + a = const. (2. 70
Для Обе 1, коrдаа з == f з и a = {;, имеем аз = a F , a = a,.
Оптическая сила оборачивающей системы
Ф=ФЗ+Ф4ФЗФ4d. (2.71)
Положение переднеrо и заднеrо фокусов оборачивающей системы
(ОБС) при обс # обсср определяется известными формулами [12]
  1Ф4d . ,  lФзd (2.72)
ap Ф ,aF'
z'
Линейное увеличение ОБС обе =  {' = Фz' .
Из рис. 2.37 видно, что z' = а 4  a" поэтому
обс = (a,  а 4 )Ф.
Учтя (2.72), получим:
обс = 1  Фзd  а 4 Ф.
Заменяя значение Ф из (2.71) и решая последнее уравнение OTHO
сительно а 4 , получим:
,  lобеФзd  (lобе)f;f;f;d
а 4  Ф З +Ф 4 ФЗФ4d  {;+ {; d (2.73)
Для отрезка аз. определяющеrо положение первоrо компонента
ОБС относительно фокальной плоскости объектива, получим:
z = аз  a F ;
 f  {'  1
 б .
о е Z Z zФ
Уrловое увеличение ОБС
1
'Уобе = = Фz= Ф(аз aF)'
обе
Подставив a F из (2.72), имеем:
'У обе = Фаз  Ф 4 d + 1.
Отсюда получим расчетную формулу для аз:
 'Уобе1+Ф4d
аз- (2.74)
ФЗ+Ф4ФЗФ4d
В уравнениях (2.73) и (2.74) при известных или выбранных Ф З и
Ф 4 неизвестными являются обе И d. В (2.70) подставим (2.73) и (2.74). .
В результате получим:
92

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
d Z L d (f ' f. ' )L (1  обс)Z ' f. '  О
 обе + З + 4 обе + А Iз 4  .
I-'обе
Решая уравнение относительно d, имеем:
(2.75)
dO.5L""IO.5{l,,,,(t;+t:)+ (1::)' t;t;]. (2.76)
Если d < L обе . то перед корнем ставим знак 4., что справедливо
для нашеrо случая.
При {; = {: формулы (2. 73)(2. 76) несколько упрощаются.
П осл.едовател.ьн-ость расчета nеремещен-ий очевидна:
1. Определив или выбрав {; и {: ' задаем для обе значения с опре
деленным шarом от обеmiп до обеm8Х И из (2.76) определяем d.
2. Подставляя соответствующие пары значения обе И d в (2.73)
или (2.74), находим аз или a. Например, a.
3. Отрезок аз найдем из (2.70)
аз = d + a  L обе .
Результаты расчета удобно представлять в табличном виде:
r обс d a d+a аз
т
1 2 3 4 5 6
r т шiп
r
ттах
4я и 5я rpафа определяют перемещение компонентов 3 и 4 от-
носительно фокальной плоскости окуляра.
Следует обратить внимание на то, что прежде чем подробно pac
считывать величины перемещений, вначале необходимо определить
расположение линз для крайних и среднеrо увеличений, уточнить по
ложение и размеры зрачков и определить световые диаметры компо-
нентов и их оптические характеристики. Затем надо оценить возмож-
ность физической и технической осуществимости рассчитанной схе-
мы. Нельзя допускать большоrо относительноrо отверстия хотя бы для
одноro компонента схемы. Лучше выполнить пересчет схемы, изме-
нив отдельные принятые данные.
93

Расчет и проектирование оптических систем
Кроме Toro, надо оценить величину перемещения компонентов
оборачивающей системы для крайних увеличений и их взаимное по-
ложение. Если они расположены близко друr от друrа при каком-то
увеличении обс' то при переходе к реальным линзам это может при.
вести к не возможности получения какоrо-либо одноrо или нескольких
увеличений из-за конечных величин Bз и ВН4.
Помимо этоrо, удаление ау выходноro зрачка обычно изменяется с
изменением увеличения. Изменение a, должно быть минимальным.
Поскольку rабаритный расчет панкратической зрительной трубы
включает исследование системы, неоднократное обращение к началу
с целью пере распределения 1;', d i , L обс , L, то для расчета целесообраз-
но составить проrрамму для проrраммируемоrо калькулятора или
персональноrо компьютера с целью получения оптимальноrо вариан.
та с возможно малыми rабаритами и приемлемыми оптическими ха-
рактеристиками компонентов.
Кон.структивн.ое оформлен.ие механ.изма nеремещен.ия лин.з.
Оnределен.ие характера движен.ия лин.з.
Возможный вариант конструктивноrо оформления движения
линз схематически показан на рис. 2.38 [23].
Рис. 2.38. Схема перемещения компонентов ОБС
Компоненты вставлены в подвижные оправы со штифтами 1 , BXO
дящими В продольный паз П внутренней трубы 2 и пазы наружной
вращающейся трубы 3. При вращении наружной трубы 3 BOKpyr оси
оправы компоненты, не имеющие свободы вращения BOKpyr этой оси,
движутся поступательно вследствие наличия продольноrо паза П на
трубе 2. Если вращение наружной трубы пропорционально изменению
увеличения r T , то соrласно формулам (2.76), (2.73), (2.74) пазы на этой
трубе будут винтовыми с переменным шarом.
Разметка этих пазов может быть сделана на основе результатов
вычислений для большоrо числа значений ОБС. Так как изrотовление
94

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
спиральных прорезей с переменным шаrом затруднительно, то жела
тельНо, чтобы один из пазов, определяющИХ движение компонентов,
был винтовым с постоянным шarом, при этом уrлы вращения наруж
ной трубы не будут пропорциональны изменениям увеличения.
В этом случае перемещение компонентов и изменение увеличения
удобнее рассчитывать, выбирая произвольно ряд положений одноrо
компонента, при этом каждый раз определяется положение BToporo
компонента и ИХ общее увеличение. По формулам (2.76), (2.74) и
(2.73) определяются лишь предельные значения аз и a.
Допустим, что первый компонент должен двиrаться равномерно.
Выведем закон перемещения BToporo компонента.
Из формулы raycca для первоrо компонента оборачивающей сис
темы имеем:
а; = а з /(l + азФ з ).
Из рис. 2.37 видно, что
С = аз  а; + L обс .
Для BToporo компонента ОБС имеем:
(2.77)
(2.78)
, 1 1 Ф
а 4 =a4C' поэтому = 4 или
а 4 а 4  С
,2 , ./' О
а 4  са 4 + С14 = .
Из ДВУХ решений уравнения выби раем пол ожительное:
a =O,5c(1  14f;/C),
так как в нашем случае a > О и С < О.
Представим (2.80) в более удобном виде, чтобы избежать неопре
деленности, получаемой при с  00:
1 1
=Ф4;
а 4 а 4
(2.79)
(2.80)
, щ;
а 4 = 1+  14f;/C' (2.80')
Общее увеличение оборачивающей системы определим по формуле:
А  а; . a
I-'обс  . (2.81)
а э .а 4
Коrда первый компонент оборачивающей системы имеет paBHO
мерное перемещение при равномерном вращении наружной трубы, то
для расчета используют формулы (2.77), (2.78), (2.80'), (2.81). Резуль
таты расчета удобно представлять в табличном виде, используя для
расчета ПЭВМ:
95

Расчет и проектирование оптических систем
Таблица 2.5
аз аз+а; с а 4 а' а;/а з a/a4 13 0бе
4
Полученные результаты представлены в виде rрафиков на
рис. 2.39.
По оси абсцисс отложен уrол
вращения у наружной трубы в rpaдy
сах, а по оси ординат  перемеще
ние компонентов. I]>афик движения
первоrо компонента имеет вид пря
мой. Уrол 't l этой прямой С осью аб
сцисс определяет подъем винтовой
линии. Значение этоrо уrла должно
быть таким, чтобы усилие на пре-
одоление трения при перемещении
у было невелико.
Рис. 2.39. rрафик движения ком- Для определения характера
понентов панкратической оборачи- движения второй линзы следует по
вающей системы оси ординат отложить величину
L обс  a. Расстояние между обеими кривыми на rрафике равно рассто-
янию между компонентами. Форма кривой BToporo компонента дол-
жна отвечать следующим требованиям:
1. Кривая Lобса не должна иметь экстремума (максимума или
минимума), так как это приводит к возвратному движению BToporo
компонента. На rрафике такая кривая показана пунктиром для слу-
чая максимума.
2. Кривизна кривой должна быть малой. В этом случае паз будет
мало отличаться от винтовоrо с постоянным шarом.
3. Кривая L обс  a не должна близко подходить к прямой аз, а тем
более пересекать ее, так как в первом случае возникнут трудности в
разработке конструкции, а во втором случае конструктивное решение
невозможно.
4. Уrол 't касательной к кривой L обс  a в любой ее точке не дол-
жен принимать TaKoro значения, при котором на преодоление трения
между краями паза и ведущим штифтом 1 (рис. 2.38) потребовалось
бы слишком большое усилие.
L обс  a
аз ..... ,
?; LОбса4
( 't
17 аэ
l
о
96

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
Выполнение этих требований возможно при соответствующем вы-
боре фокусных расстояний {; и {; , а также предельных значений yr-
лов вращения наружной трубы. *)
После получения одноrо или нескольких вариантов расчета пан-
кратической зрительной трубы выбираются конструкции каждоrо
компонента.
Обязательно рассчитывается внефокальный коллектив (см. 2.1).
Для сокращения rабаритов при меняют 3Т с внутренней фокусировкой
(особенности расчета см. 2.1).
После rабаритноrо расчета выполняется аберрационный расчет.
2.3. rабаритный расчет луп и микроскопов
Лупа  самый простой и древний оптический прибор.
Лупой называется положительная линза или система линз, пред-
назначенная для наблюдения близкорасположенных мелких предме-
тов или деталей предметов.
Лупа, называемая иноrда простым микроскопом, служит для рас-
ширения возможностей rлаза.
В'
y'
А' F 
Yf .
Осн.овн.ые оптические характерис-
тики  видимое увеличение r л и ли-
нейное поле 2у. Иноrда к ним относят
диаметр лупы D л .
Предмет АВ расположен перед фо-
кусом линзы (рис. 2.40, а) или в пере-
дней фокальной плоскости. Лупа дает
мнимое прямое увеличенное изображе-
ние (рис. 2.40), которое rлаз видит под
уrлом ш с расстояния р'. Без лупы тот
Рис. 2.40. К определению
увеличения лупы: же предмет rлаз видит под меньшим yr-
а) ход лучей в лупе; лом ro (рис. 2.40, б) с расстояния Рl.
б) наблюдение предмета rлазом Обычно Рl == 250 мм.
Видимое увеличение лупы r л = tgro' /tgro.
z'
р'
p'
.(1) ..
r
Pl
,
Определим из рис. 2.40 tgro и tgro': tgro = JL; tgro' =  У, =
 у' у'  z Z' Рl Р
Учтя что И У ,   Y f' , а z '"", Р ' + zp ' , имеем . .
 , Z ' . ,    { ' 
zp  У
1\=  Рl(l + z'p/p')/f' .
*) При увеличении числа компонентов оборачивающей системы перемещение отдельных
компонентов будет почти линейным.
97

Расчет и проектирование оптических систем
В таблице 2.6 приведены различные случаи расположения зрач
ка rлаза относительно лупы и предмета и соответствующие этому фор-
мулы видимоrо увеличения лупы. Следует отметить, что если пред-
мет расположен в передней фокальной плоскости лупы и изображе
ние лежит в бесконечности, то rлаз работает без напряжения (без aK
комодации) и меньше устает.
Оrраничение пучков лучей надо рассматривать в системе «лупа +
rлаз» , которая имеет две вещественные диафраrмы  оправу лупы и
зрачок rлаза. В этой системе полевая диафраrма отсутствует, а поле
лупы оrраничивается ее оправой, которая служит виньетирующей
диафраrмой, а одновременно входным и выходным окном.
Обычно диаметр оправы лупы больше зрачка rлаза. Апертурной
диафрarмой и выходным зрачком является зрачок rлаза (рис. 2.41),
а ero изображение через лупу в обратном ходе лучей является вход-
ным зрачком.
......"';::;. ВД
"'" ........:........
I .....................
А ........ ---..... ""'---
YI .........:::::.....
Рис. 2.41. Оrраничение пучков лучей в системе «лупа+rлаз»
при условии D n > D зр . "п
Следует отметить, что лупы простой конструкции с большим ви
димым увеличением и с малым фокусным расстоянием имеют малый
диаметр и малое поле. Здесь возможен случай, коrда диаметр зрачка
rлаза больше, чем диаметр лупы и тоrда входным зрачком, апертур-
ной диафраrмой и выходным зрачком является оправа лупы, а роль
виньетирующей диафраrмы иrpает зрачок rлаза. Однако это исклю-
чительный случай.
Для pacnpocTpaHeHHoro варианта D л > D зр . rл. Величина поля за-
висит от диаметра оправы лупы и расположения зрачка rлаза. При-
ведем формулы для определения уrлов O), 0)' и 0); для трех зон винье-
тирования 0%,50% и 100%, определяемых соответственно лучами 1',
О', 2' (рис.2.42).
98

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
Различные
варианты
расположе
ния зрачка
r лаза и
предмета
Общий
случай
z.o
zO
p"'a 'a 'p,OO,
zp  любое
p'= 250
z'  { '
р'
.
1 у'
t
, у'
Оптическая схема
F у Н' Р' l.P'
a' {' z'
р'
p'
F
lр,
.Р'
ау = "
 р'
у
+
, у'
Р'
.Р'
 р'  Zy = "
Таблица 2.6
Формула
видимоro
увеличения
r = 250 ( 1+ ) '
Л {' р'
rде
p'a'(f'+z'p.)
a'a'p"
z' z'
. р' rЛ
r = 250
ло "
r = 250
ло "
r r + 1
Л ЛО
99

Расчет и проектирование оптических систем
2'
...........
............
......... ...........
 ...........
........... ................. ........ ........ "'-
.......  ::::::...........
А'
F
.
А
O)
 .
"
а' .
p'
Рис.2.42 Уrлы поля в пространстве изображения для трех зон виньетирования
Из рис.2.42 видно, что уrлы O), 0)' и 0); можно определить с помо
щью следующих формул:
t ' DлD'
gO)] = 2 , ,
ау
D
t g O)' = 
2 ' ,
ау
t ' D л + D'
g0)2 = 2 , ,
ау
(2.82)
rде D' = D rл , 0)'  половина уrловоrо поля лупы в пространстве изоб
ражений.
Соответствующие уrлы в пространстве предметов можно опреде-
лить, зная увеличение в зрачках o Р'
Тоrда линейное поле можно определить так:
2у == 2f'tgO)' .
Из (2.82) видно, что уrловое поле увеличивается при увеличении
диаметра оправы и приближения rлаза к лупе, Т.е. при уменьшении
а' у' Эти формулы справедливы, если rлаз не вращается в своей орби-
те (относительно центра rлазноrо яблока).
Иноrда линейное поле измеряют диаметром Kpyra, который мож-
но видеть через лупу в плоскости предмета при неподвижном положе-
нии rлаза. Тоrда, если предмет расположен в передней фокальной
плоскости, получим (см. табл. 2.6): 2у= 2f'tgO)'. Учтя формулу для
. 2 500tgO)' u
видимоrо увеличения, получим: у = r . Следовательно, линеи-
л
ное поле уменьшается, если увеличивается видимое увеличение лупы.
100

rлава 2. rабаритный paC'feT ОПТИ'fеских систем
Разрешающая способность системы «лупа+rлаз» в линейной мере
определяется формулой: 0= 25О'Vrл /r л ' rде 'V rл = l' при хороших yc
ловиях освещения и достаточной контрастности. Но для обеспечения
более комфортных условий наблюдения при продолжительной рабо
те, чтобы не утомлять rлаз уrол 'V rл должен быть не менее уrла «удоб
Horo видения». paBHoro 2' 4'. Этой величиной пользуются при расче
те лупы и микроскопа.
rлубина резко изображаемоrо пространства, даваемоrо лупой,
складывается из двух величин  аккомодационной и волновой:
Az = Az aк + AZ B = 250/1": + А /( 2А 2 ),
D
rде A=.
2f'
Основные виды луп и их характеристики приведены в табл. 2.7.
Известны более сложные конструкции луп. Коrда расстояние от пред
мета до лупы велико, применяют телескопические лупы. Они пред
ставляют собой зрительную трубу, чаще Bcero половину оптической
системы бинокля, с насадкой. Предмет расположен в передней фо
кальной плоскости насадки, поэтому после насадки формируется па
раллельный пучок лучей, попадающий в зрительную трубу. Тоrда YBe
личение телескопической лупы, формирующей изображение в пере
дней фокальной плоскости зрительной трубы, можно определить сле
дующим образом:
    250 f/Ю
r л РОи.об.rок 'p'
/ОК /и
rде РОи.об линейное увеличение системы «насадка+объектив зри
тельной трубы., r OK  видимое увеличение окуляра.
Насадка чаще Bcero представляет собой двухлинзовый склеенный
компонент.
Телескопические лупы имеют увеличение от 2 Х дО 4 Х, большое
поле, хорошее качество изображения. По оптической схеме и прин
ципу работы телескопические лупы правильней называть микроско
пами. Их часто оформляют как бинокулярную систему и называют би
nокулярnыми лупами.
К сложным лупам относят также расфокусированную систему ra
лилея, в которой есть возможность плавно менять увеличение изме
нением расстояния между компонентами. Известно применение по
добной бинокулярной системы, называемой телескопичес"ими очка
.ми, для сильно аметропических rлаз. Конструктивно они оформлены
в виде очков. Они также применяются для rлаз с небольшой aмeTpo
101

PaC'feT и проектирование ОПТИ'fеских систем
Таблица 2.7
Видимое
Оптическая Название увеJШ Поле Примечание
схема чение
rл,крат
 Лупа Имеет историческое значе
Волластона 500 Мало ние. Свободна от хроматиз
(1812) ма увеличения, комы, ac
тШ'матизма Идисторсии.
. Простая Относительное отверстие
лупа мало, поэтому малы абер
(плоско До 7 До 150 рации. Заметны астШ'ма
выпуклая
линза) тизм идисторсия.
. Лупа 1,7...4 До 400 Исправлен астиrматизм.
монокль Применяется редко.
. Дуплетная Достаточно хорошо ис-
До15 До 300 правлены все аберрации,
лупа кроме хроматических.
. Верантная Исправлен хроматизм,
До15 До 600 сферическая аберрация,
лупа полевые аберрации.
. Апланатическая лупа,
Лупа хорошо исправлены сфери
Штейнrеля 6.. .15 До 200 ческая аберрация, XpoMa
(аплана- тизм увеличения, абер
тическая) рации широких наклон
ных пучков..
f1}. АнаСТИI'Ма По качеству изображения
тическая До 40 До 400 приближается к объекти
лупа вам микроскопов.
.r Лупа Хроматизм не исправлен.
Исправлена сферическая
в виде 15...20 До 350 аберрация, удовлетвори
окуляра тельно исправлены поле-
Рамсдена вые аберрации.
102

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
пией, коrда требуется небольшое увеличение для рассматривания дe
талей на расстоянии 1520 см при сохранении хорошеrо стереоскопи
ческоrо видения.
Кроме бинокулярных телескопических луп разрабатываются бu
нокулярные прuзматuческuе лупы. В этих лупах в отличие от теле
скопических оптическая ось насадки составляет небольшой уrол а с
осью лупы, а оптические оси насадок двух ветвей сходятся в центре
предметной плоскости (рис. 2.43).
Сфера применения бинокулярных призматических луп разнооб
разна: медицина (стоматолоrия, микро и нейрохирурrия, лаборатор
ные исследования), криминалистика, искусствоведение (раставрация
картин и художественных изделий), промышленность (часовая, юве
лирная, материаловедение, электроника, точное приборостроение).
Некоторые лупы имеют осветитель, что позволяет использовать
их и как наблюдательный прибор с подсветкой, и как источник CBe
та. Иноrда в осветительной системе используется световолоконный
жrут. Такая подсветка оперируемоrо или диarностируемоrо поля He
обходима для исключения посторонней засветки. Одни модели MorYT
размещаться на rоловном обруче, друrие  на специальном штативе,
который позволяет устанавливать прибор на операционном или про
изводственном столе.
Основными оптическими характеристиками призматической
бинокулярной лупы являются видимое увеличение r л ' линейное поле
2у, диаметр D' выходноrо зрачка.
Видимое увеличение рассматриваемой лупы определяется так же,
как и телескопической лупы:
r  r  r.  R r  25 О t:б
л  н' т  ....Ообс. ок   f. ' '7" (2.83)
R /ОК
 250
rде r =  окулярное увеличение насадки;
н J.'
РО обс =  ;,? н  линейное увеличение оборачивающей системы,
образовaiiной насадкой и объективом зрительной трубы;
'"
r об u б
т   f, '  видимое увеличение зрительнои тру ы.
01<
Относительное отверстие окуляра можно определить с помощью
следующей формулы:
(2.84)
(2.85)
D'
{:к
=
D'r л
250 Ро
обе
(2.86)
103

.....
о
,..
O    . ..
..
.
.f+i.4
'"о
'"
n
.s;
со

:s:
:::J
"t:I
О
со

:s:
"t:I
о
'"
'"
::z:
:s:
со
о
:::J

:s:
.s;
со
n
""
:s:
х
n
:s:
n

со
;::
о
.
Рис. 2.43. Оптическая схема призматической бинокулярной лупы

rлава 2. rа6аритный расчет оптических систем
Диаметр полевой диафраrмы, расположенной в плоскости изоб
ражения лупы, определяется из соотношения:
Dn д = 2у:Ю = 2у. РО ОБС = щ: к . tg<OK' (2.87)
Сложной лупой часто называют микроскоп.
Микроскоп предназначен для наблюдения и измерения мельчай
ших предметов или их деталей с увеличением значительно большим,
чем дает лупа, и с большей разрешающей способностью.
Принципиальная оптическая схема микроскопа состоит их трех
частей  осветительной системы, объектива и окуляра. Микроскопы
бывают монокулярными, бинокулярными И тринокулярными, если
есть ветвь для фотоrрафирования.
Рассмотрим формирование изображения системой микроскопа,
состоящей из объектива и окуляра (рис. 2.44). Предмет расположен
за передним фокусом объектива (вблизи Hel'o), в передней фокальной
а)
Вх. эр.
АД
fdi

а;
""
a,
2\t;
d
L
б)
Рис. 2.44. Оптическая схема микроскопа с ходом лучей
а) оптическая схема виэирноrо микроскопа; 6) rрафическое определение r N и f N
105

PaC'feT и проеКТирование ОПТИ'fеских систем
плоскости микроскопа. Увеличенное изображение предмета строится
объективом в передней фокальной плоскости окуляра (rлаз работает
без аккомодации).
Видимое увеличение микроскопа равно про изведению увеличения
объектива на увеличение окуляра:
  А 250 250
r M ==РОоб"r ок ==p"== f, ' , (2.88)
/06 /ОК м
А
rде РО 06 == p; (2.89)
/об
 250
r OK ==  f, ' ; (2.90)
ОК
А  оптический ин.тервал или оптическая длин.а тубуса
(рис. 2.44).
Величина А == 160...200 мм в зависимости от фокусноrо расстоя
ния объектива. Для Toro чтобы выдержать эти значения, положение
объективов при их установке на приборе фиксируется нижним срезом
тубуса микроскопа. Оправа окуляра опирается на верхний срез тубу
са (рис. 2.45). Расстояние от нижнеrо до BepxHero среза тубуса назы
вается механ.ической длин.ой тубуса, которая стандартизована. Она
равна 160 мм для микроскопов, работающих в проходящем свете и
190 мм для микроскопов, работающих в отраженном свете. Остальные
стандартные величины показаны на рисунке.
Известна третья длина тубуса  бесконечность, встречающаяся
в микроскопах, работающих в отраженном свете. В этом случае из
t-..
":j1
....
оп
F OK ..  п
.
.......
<;:) <;:)
R  Q)
.... ....
t--. ........
....
........
н
 оп
i Пло
Верхний срез тубуса
орная плоскость окуляра
олевая диафраrма
c't::)
....
Рис. 2.45. Схема тубу
са упрощенноrо мик
роскопа
ижний срез тубуса
орная плоскость объектива
скость
предмета
106

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
объектива выходит параллельный пучок лучей, поэтому в схеме за
объективом устанавливается тубусная линза. В этом случае видимое
увеличение микроскопа определяется формулой:
r  f;л r
м  ОК'
f об
rде f;л  фокусное расстояние тубусной линзы.
В комплект микроскопа входят наборы объективов и окуляров,
позволяющие получать различные значения видимоrо увеличения
микроскопа. На оправе объектива rравируется ero линейное увеличе
ние и числовая апертура, а на оправе окуляра  видимое увеличение.
Тубус микроскопа (рис. 2.45), в нижнюю часть KOToporo BBepTЫ
вается объектив, а в верхнюю  окуляр, имеет соrласованные поса
дочные размеры с оправами объективов и окуляров.
Увеличения объективов для проходящеrо и фокусные расстояния
для отраженноrо света, для тубуса бесконечность, изменяются в reo
метрической проrрессии со знаменателем 1,6. Это соответствует ряду
Ra5 (rOCT 663669).
Номинальные значения видимых увеличений окуляров peKOMeH
дуется выбирать из ряда Ra10 и соответствуют кратности 4; 6,3; 10;
12,5; 16; 20; 25.
Оzран.ичен.ие пучков лучей зависит от вида микроскопа. В микро
скопах среДНИХ и больших увеличений, содержащих сложные объек
тивы, апертурной диафраrмой служит одна из последних линз объек
тива или специальная диафраrма, устанавливаемая между последней
линзой и задним фокусом объектива. В объективах малых увеличе
ний с простыми объективами, а также в визирн.ых микроскопах, lIрИ
меняемых в rеодезических и контрольноизмерительных приборах,
апертурной диафраrмой и входным зрачком является оправа объек
тива (рис. 2.44).
В отсчетн.ых микроскопах апертурная диафраrма устанавлива
ется в задней фокальной плоскости объектива (рис. 2.46), что обеспе
чивает телецентрический ход rлавных лучей в пространстве предме
тов. Это ослабляет влияние параллакса на точность измерений.
Полевая диафраrма установлена в плоскости действительноrо
изображения, Т.е. в передней фокальной плоскости окуляра. В отсчет
ном микроскопе там установлена измерительная шкала.
Диаметр полевой диафраrмы определяется величиной изображе
ния, даваемоrо объективом:
DnD = 2у'об = 2у. ООб = щ;к' tgro'. (2.91)
107

Расчет и проектирование оптических систем
АД
р
 Zоб
 f об
a
а Ад = f:.б
А
 { ОК а' ,
Рис. 2.46. Оптическая схема отсчетноrо микроскопа
Линейное поле микроскопа можно найти из соотношения:
2у = 5tg(J)' = Dn д .
r M ООб
Выходной зрачок микроскопа является изображением апертур
ной диафраrмы через окуляр. Ero положение определяется отрезком
z'p':
z'y=f;;/A. (2.93)
Диаметр выходноrо зрачка можно вычислить по формуле:
D' = 500A/f'M . (2.94)
Если диаметр выходноrо зрачка микроскопа равен диаметру зрач
ка rлаза наблюдателя, то субъективная яркость изображения rлаза
будет МaI<:СИМальной. В этом случае увеличение называется нормаль-
ным:
(2.92)
rм.н=500А/Drл' (2.95)
Линейный предел разрешения микроскопа зависит от вида OCBe
щения.
Для прямоrо освещения имеем:
о=л./А. (2.96)
Для Kocoro освещения:
о=л./2А, (2.97)
rде A=пllsinoA.I, А  числовая апертура, п 1  показатель прелом
ления среды в пространстве предметов.
Если п 1 :;С 1, то объектив называется иммерсионным, а при п 1  1
 «сухим».
Для иммерсионноrо объектива имеем: D' = 2п/ tg о А' С учетом
выполнения условия синусов из предыдущей формулы получим:
D' = 2п 1 f1 sino AI. (2.98)
108

rлава 2. rабаритный paC'feT ОПТИ'fеских систем
Из условия полноrо использования rлазом разрешающей способ
ности микроскопа, полаrая ""..==2'...4', получим следующее соотноше
ние для nолезноzо увеличения микроскопа
500A<r м.n< 1000А.
Применение микроскопов с увеличением, больше полезноrо, не
выявляет новых подробностей предмета, но при этом требуется более
точная фокусировка, так как rлубина изображаемоrо пространства
уменьшается.
Световой поток, проходящий через поверхность предмета и попа
дающий в объектив микроскопа Ф=11J1tsiп20А'
Субъективная яркость изображения при наблюдении в микроскоп
пn 'tL D,2
E = 4f ' rде т.  коэффициент пропускания микроскопа.
Относительная субъективная яркость rлаза при наблюдении в
микроскоп E == т.. ( D' ) 2
EIJ D rл
Основными оптическими характеристиками микроскопа явля
ются: увеличение r м , числовая апертура А, линейное поле 2у, вид им-
мерсии (для иммерсионных микроскопов), разрешающая способность.
К важным характеристикам относится механическая длина тубуса.
Следует обратить внимание на то, что для микроскопов, приме
няемых в zеодезических и контрольно-измерительных nри60рах, до-
пускается отступление от стандартных значений механической дли
ны тубуса.
При проектировании микроскопа важно оценить rлубину резко
изображаемоrо пространства. Она складывается из аккомодационной,
rеометрической и волновой rлубин:
Az ==. Aza + AZ r + AZ B ,
rде AZa == O , AZ r = 25!!n 1 "'rл ; AZ B ==.
r M rM.A 2А
При расчете величины Az надо учитывать ряд особенностей.
1. Если в микроскопе применяется окуляр с сеткой, то AZa ==0.
2. При максимальном использовании увеличения микроскопа до-
пустимое снижение качества изображения определяется в основном
волновой аберрацией дефокусировки.
3. При наблюдении rpубых объектов волновую rлубину AZ B мож
но не учитывать.
При расчете отсчетных микроскопов rеодезических приборов
надо учитывать их особенности. С помощью отсчетных микроскопов
109

PaC'feT и проектирование ОПТИ'fеских систем
решают следующие задачи: оценка десятых долей интервала, оценка
совпадений совмещения двух штрихов и оценка биссектирования.
Важным условием для точной работы отсчетноrо микроскопа яв
ляется соблюдение равенства 8' = 8. Ооб' rде 8  малая часть окруж
ности на лимбе, которая принимается за прямолинейный отрезок, а
8'  ее изображение. В линейной мере
ra"
8=,
р
rде r  радиус лимба; [1."  отсчет по лимбу в секундах; р"  значе
ние одной уrловой секунды в радианах.
ra".
Тоrда величина 8' определится так: 8' = 006 .
р"
Изза технолоrических поrрешностей расчетная величина не BЫ
держивается с требуемой точностью и действительная цена деления
отсчетноrо приспособления отличается от расчетной, в результате по
является необходимость в определении РО об и введении поправок.
Можно привести РО об в соответствие с расчетным изменением значе
ния t;б за счет изменения расстояния между двумя компонентами
объектива, так как f. О ' б = {;' {; . В современных конструкциях изоб
t;+t;d
ражения различных частей лимба сведены в один канал. Изза воз
можноrо несоответствия расчетноrо t;б и полученноrо возникает по
rрешность, известная в rеодезии под названием «run», на которую cy
ществует допуск.
При расчете надо учитывать известные реlCомен.дации: при oцeH
ке десятых долей интервала увеличение r м должно быть таким, что
бы видимое значение интервала было равно 1,0...2,0 мм. Видимая ши
рина штриха должна быть равна 0,1 интервала. Но технолоrическая
ширина штриха получается не более 2 мкм, поэтому увеличение оп
тической системы микроскопа не должно быть больше 80...100 Х .
При оценке совпадения (совмещения) двух штрихов и оценке бис
сектирования видимое увеличение выбирают в зависимости от допу
стимой поrрешности отсчета.
К специальным областям применения микроскопа относятся мик
ропроекция и микрофотоrрафия, широко используемые в научных
исследованиях. МUlCроnроеlCЦUЯ  это проектирование увеличенноrо
микропредмета на экран для ero рассматривания несколькими наблю
дателями. В этом случае в микроскопе вместо обычноrо окуляра при
меняют проекционный.
110

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
Мuн:рофотоzрафuя  фиксирование на фотослое изображения
микропредмета или микропроцесса. В этом случае часто используют
отрицательный окулярrомал. При микропроекции и микрофотоrра
фии микроскоп формирует действительное изображение (рис. 2.47).
экр/ан
Zоб
'"
, "


а)
2у
fоб
а/
L
 у/ == YK
a == aK
L
Рис. 2.47. Оптические схемы микроскопа для микропроекции и
. микрофотоrрафии:
а) с положительным окуляром; 6) с отрицательным окуляром
Микропроекцию применяют для получения изображения микро
объектов на фотокатоде ЭОПа, в телевизионной микроскопии и т.п.
Ниже при водятся основные формулы, применяемые при расче
те микропроекционной системы.
111

Расчет и проектирование оптических систем
Увеличение системы:
OM = 006 . OOK '
(2.99)
I'де
z' {,'
R .::!2!i!..об...
1-'006  1.'  z '
об об
(2.100)
, , r .
   ZOK .   ZOK. ОК
ООК  l"  250
/ОК
т.к. ZK» (: К и ZK == a.
Размер изображения на экране (фотослое):
2у;к = D пд . OOK = 2у. o,.'
 a.:rOK
= 250 .'
(2.101)
(2.102)
Линейное поле:
2' 1)
. 2у= У' К =.
o,. Ооб
Освещенность на экране определяется формулой:
. 2
Е ,  L . Sln (J А
и't1t и 2
OM
I'де L и  яркость источника,
't  коэффициент пропускания всей системы.
Отсюда следует, что при больших увеличениях надо брать мощ
ные источники света и микрообъективы с большой апертурой.
Линейный предел разрешения на экране зависит от предела раз
решения объектива и увеличения системы:
б' = боб' OM = 2 . O м'
ТОl'да величина разрешающей способности на экране в MMl свя
зана с этой же величиной в мм следующим образом:
R = l. = л.. O м .
8' 2А
Эта формула верна при условии, что окуляр не ухудшает качества
изображения.
В системе для МИКрОфОТОl'рафии, КОl'да вместо экрана установле
на фотопленка, время выдержки определяется освещенностью изоб
ражения и светочувствительностью пленки.
Расчет бинокулярной призматической лупы
Исходные данные: Видимое увеличение r л ,линейное поле 2у, ди
аметр D' выходноl'О зрачка.
112

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
Плоскость предмета расположена перпендикулярно к оси 00
JlУПЫ (рис. 2.43) и ее центр совпадает с передним фокусом насадки
(объектива) 1.
rабаритный расчет выполняется для одной ветви лупы, призмы
заменяются редуцированными плоскопараллельными пластинами
(рис. 2.48). При расчете надо учитывать следующие рекомендации:
YI'JlOBOe поле трубы 20)2  8...100, Уl'ловое поле окуляра 20)K < 550,
(J. s 70, (см. рис. 2.43), увеличение оборачивающей системы, образо
ванной насадкой 1 (рис. 2.48) и объективом 2 зрительной трубы,
Ообс = o, 7. ..1.
Особенности расчета зависят от расположения апертур ной диаф
parMbl и дополнительных условий в исходных данных. Возможны сле
дующие варианты:
1) Апертурная диафрarма расположена между компонентами обо
рачивающей системы, например, посредине (рис. 2.48). .
2) Апертурная диафрarма совпадает с оправой первоro компонента
оборачивающей системы.
3) Апертурная диафрarма совпадает с оправой BTOpOro компонента
оборачивающей системы, Т.е. с оправой объектива зрительной трубы.
Рассмотрим ориентировочную последовательность расчета. Пусть
апертурная диафраrма расположена посередине между компонента
ми 1 и 2 оборачивающей системы (рис. 2.48), которые имеют одина
ковые световые диаметры.
\'<.х
F
1f [ ЛУПЫ
те
.......'""'/2
3 (ок)
{ ОК
а рл
"
I
J
" I
'
Рис. 2.48. Развернутая оптическая схема одной ветви лупы
113

Расчет и проектирование оптическик систем
Вначале определим относительное отверстие первоro компонента
D D'I'
насадки:  = .
{; 250
Затем задаемся увеличением Oo6c' учитывая рекомендации. Te
перь из (2.86) найдем относительное отверстие окуляра, а затем фо
кусное расстояние окуляра: {: К = D'. КОК'
Вычисляем диаметр полевой диафраrмы из (2.87), после чеl'О оп
ределяем уrловое поле окуляра из той же формулы.
Находим фокусное расстояние BToporo компонента оборачиваю
щей системы (объектива зрительной трубы) учтя, что 002 :=;4...50.
При б6льших значениях 002 отражающие rрани призм необходи
мо выполнять зеркальными, так как полное внутреннее отражение не
может быть осуществлено. Кроме Toro, увеличение уrловоro поля при
ведет к усложнению конструкции компонента.
Затем определяем фокусное расстояние первоrо компонента (Ha
садки) из (2.84) и находим диаметр входноrо зрачка компонента и
лупы.
Вычисляем yrол а. наклона осей каждой ветви лупы из решения Tpe
yrольника (рис. 2.49): t g a. = Dl/2+ 3/cosa. . Иноrда уrлом а. задаются.
(;
F 1
а. а.
-
. Н:H
. 11
/j
CI':)
Рис. 2.49. Фраrмент оптической схемы одной ветви с первым компонентом
Теперь следует рассчитать призму, представляющую собой дефор
мированный ромб (рис. 2.50).
1. Диаметр входной rрани призмы EW = D 1 + 2btga..
2. Уrол '1': LOAW = '1' = (900 a.)/ 2.
3. Уrол LOWA= 900 'I'.
4. Е = E' = 900  '1' .
EW
5. OA=.
2tg'l'
114

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
ВХОДная rpань
ВЫХОДная I'рань


900  '1'
L
Рис. 2.50. Ромбовидная призма
EW
6. OV=='cosa.
2
7.OD==OA.sina.
8. DV==AК==OVOD.
9. ЕК == EV + VK == EV + DA == W . sina + ОА. cosa
2
10. АВ==АК+КВ==АК+ЕК.
11. Определение ВН и диаметра выходной rрани SL.
BT==AВ.tg'l';
НТ== BTBH == AВ.tg'l'BH;
SH == ВН == HT.tg(90° 'I')== (AВ.tg'l' BH)..tg(90° 'I');
ВН == АВ. tg '1" ctg'l'  ВН. ctg '1' == АВ  ВН. ctg '1',
ОТкуда
BH==SH== АВ SL==2.SH.
1 + ctg '"
115

Расчет и провктирование оптических систем
12. УI'ОЛ LWEB=45° +(900 a.).
13. LAБН=360 0 (450 + LOWA+ LWEB ).
Контроль: а$н = 1800  '1'.
14. Длина пути луча в стекле, равная толщине эквивалентной ППП:
l = d ППП1 = ОА+ АВ+ ВН.
15. Толщина редуцированной ППП (рис. 2.48) d реД1 = dППl
Затем выполняется расчет BepxHero, rлавноrо и нижнеrо полевых
лучей и определяются размеры призм, световые диаметры компонен
тов и коэффициент виньетирования, а также уrол падения нижнеrо
луча (рис. 2.48) на rрани призм АР  900 .
Определив оптические характеристики каждоrо компонента,
можно выбрать их конструкции.
Ход расчета существенно изменится, если имеется roтовый окуляр,
и в исходных данных приведены ero оптические характеристики и уда-
ление B (a ) выходноro зрачка, на которое он рассчитан. В этом случае
положение anертурной диафрarмы зависит от величины a,.
Завершается расчет определением допусков на параллельность
осей после окуляров и на наклон изображения.
rабаритный расчет отсчетноrо микроскопа
по заданной точности отсчета по нониусу
При расчете отсчетных микроскопов всеrда следует исходить из
требуемой точности отсчета. И сходными данными являются: точность
 отсчета по нониусу, линейное поле 2у, оптическая длина L об объек-
тива, длина волны л., способ освещения.
Оптическая схема приведена на рис. 2.46.
Точность отсчета по нониусу, часто при меняемому вотсчетных
микроскопах, зависит от разрешающей способности микроскопа
1; = 8/6. Учтя способ освещения и вычислив разрешающую способность
из (2.96) или (2.97), определим апертуру А микроскопа. Например,
для KOCOro освещения получим: 1; = л./ 12. А, откуда А = л./12.  .
Используя (2.95), вычислим нормальное увеличение микроскопа
r М.И ' задавшись диаметром выходноrо зрачка, например, приняв
D'=l мм.
Определим уrловое поле окуляра из (2.92). Из каталоrа выбира-
ем окуляр и зная r oK , определим ' ОК из (2.90).
116

rлава 2. rабаритный расчет оптическик систем
Возможна и друrая последовательность расчета. Можно по вели
чине апертуры А выбрать из каталоrа микрообъектив с тем увеличе
Iiием, которое указано, а затем определить видимое увеличение OKY
дяра.
Продолжим расчет для случая, коrда выбран окуляр. Из (2.88)
найдем увеличение Ооб объектива, а затем определим фокусное pac
стояние объектива по известным значениям L об и Ооб'
А
.Н об Н'
А'
al
а'
1
L об
Рис.2.51. К расчету объектива микроскопа
Из рис. 2.51 видно, что L об == al +а;. Но Ооб == а;/а 1 . Из решения
двух уравнений найдем а 1 и а 1 : а 1 ==  Lo l ' а 1 == а 1 . 006 и определим
006
f;б по формуле raycca.
Затем вычислим диаметр сетки  полевой диафраrмы из (2.91).
Для устранения влияния параллакса на точность измерений апертур
ная диафраrма установлена в задней фокальной плоскости объектива
(рис. 2.46) для обеспечения телецентрическоrо хода лучей со стороны
пространства предметов.
Диаметр апертурной диафраrмы DAД == 2t: б . tgcr А .
В случае малых апертур sincr A ==tcrA ==а А и учитывая, что
А' == Ajооб' получим DAД == 2f, А== 2. Ll.А/IОобl.
Оптический интервал Ll == а;  f:б.
Положение выходноrо зрачка Z можно определить из (2.93).
Определим оптическую длину микроскопа  расстояние от пред
метной плоскости до выходноrо зрачка микроскопа:
L== al + d+ a"
rДе а;" == {: к + Z .
Для определения световых диаметров объектива и окуляра надо
рассчитать ход полевых лучей.
Если объектив не выбирается из каталоrа, а рассчитывается, то
lIадо по ero оптическим характеристикам выбрать конструкцию. При
117

Расчет и проектирование оптических систем
малых апертурах и увеличениях часто используется двухлинзовый
склеенный компонент.
Расчет микроскопа для микропроекции
И сходными данными для расчета являются: r'OK , ООб ' ';6' o,.' 2у.
В данном случае целью rабаритноrо расчета является определение,
положения предмета ар фокусноrо расстояния окуляра и взаимноrо:
расположения объектива, окуляра и экрана, размеров экрана, диамет-
ра апертурной диафраrмы (рис. 2.47, а), световых диаметров объек-
тива и окуляра.
При разработке микропроектора важную роль иrрает осветитель-
ная система, обеспечивающая равномерное освещение предмета и не.
обходимую освещенность экрана (см. 2.4). Будем считать, что прове-
ден светотехнический расчет, из KOToporo определена апертура А
объектива.. .
Возможны различные варианты расчета. Рассмотрим один из них.
Из (2.99) найдем O..QK' затем определим фокусное расстояние ';К OKY
ляра по заданному r OK (рис. 2.4 7, а).
Положение Zo6 предметной плоскости определим из (2.100), Tor-
да а 1 == Z06  ';6' Положение полевой диафраrмы относительно объекти.J
ва f:Ю +Z, rде Z найдем также из (2.100). ,
Смещение плоскости изображения объектива относительно пере-
днеrо фокуса окуляра ZOK определим из формулы: ZOK == ':K/O .
Теперь можно найти а 2 (см. рис. 2.4 7) и расстояние d между объек
тивом и окуляром: а 2 == ' ОК + ZOK == ZOK  ': К '
Зная а 2 и ';К' определим положение экрана а; по формуле rayc.
са. Размер экрана 2YK найдем из (2.102), так как задано 2у и o,..'
Диаметр полевой диафраrмы можно также определить из (2.102):
DuD == 2YK/OOK .
В рассматриваемом микроскопе апертурная диафраrма обычно
установлена между объективом и ero задней фокальной плоско-
стью. Если объектив не выбирается из каталоrа, то положением аАД
диафраrмы можно задаться. Тоrда диаметр этой диафраrмы
DAД==2(aaAД).tg(}. .
Зная аАД и f:Ю ' можно леrко найти положение входноrо зрачка ар,
затем величину А' == А/ооб и диаметр входноrо зрачка: D == ар. tg(} А'
Теперь можно рассчитать ход полевых лучей и определить свето-
вые диаметры компонентов. В некоторых случаях один из компонен-
тов выбирается из каталоrа.
Определим оптическую длину системы: L == al + d + а;.
118

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
Получив из расчета оптические характеристики объектива и OKY
Jlяра, можно выбрать их оптические схемы, с тем чтобы после абер
рационноrо расчета выполнить их синтез или подыскать rOToBble KOH
струкции.
2.4. rабаритный и светотехнический расчет
проекционных систем
Проекционным-и называются оптические приборы, предназна-
ченные для nолученuя изображений (проекций) диапозитивов, кино-
кадров, HezamUBoB, чертежей, рисунков, текстов и т.n. в плоскости
изображенuя (экране, плоскости фотопленки, фотобум-аzи и др.). Ta
кими приборами являются: кинопроекторы, эпидиаскопы, аппараты
для чтения микрофильмов и микрофиш (читальные аппараты), фото
увеличители, фотоrрамметрические проекторы, микрофильмирую
щие аппараты, измерительные проекторы для контроля деталей (ча
совой проектор), мультиплексы, проекционные устройства кинофото
теодолитов и др. Во всех этих приборах rомоцентрические расходящи
еся пучки на входе оптической системы преобразуются в сходящиеся
пучки на выходе. Оптические системы таких приборов состоят ИЗ oc
ветительной и проекционной частей, которые всеrда должны быть co
rласованы для Toro, чтобы обеспечить требуемую освещенность плос
кости, в которую проецируется предмет (например плоскость экрана
при кинопроекции), и ее распределение при заданном масштабе (ли
нейном увеличении) проекции.
Проекция nрозрачных nредм-етов (кинокадров, диапозитивов,
слайдов) в nроходящем- свете называется диаnроекцией, а nроекцuя
неnрозрачных nредм-етов (чертежи, рисунки, текст книrи и т.п.) в
отраженном- им-и свете называется эnиnроекцией. Имеются проек
ционные приборы с двумя видами проекций  диаскопической и
эпископической. Такие приборы называются эпидиаскопами, а опти-
ческие систем-ы, обеспечивающие получение nроекций обоих видов,
называются эnидиаскоnическим-и.
Основным-и характеристикам-и nроекционных приборов являют-
ся: размер плоскости, в которую проецируется предмет (размер экра
на) или масштаб изображения o (линейное увеличение); расстояние
р' от проекционноrо объектива до плоскости изображения (проекци
онное расстояние); размер проецируемоrо предмета (ахЬ), осевая oc
вещенность E в плоскости изображения или ее яркость Lv'
Яркость изображения Lv зависит от мощности осветительной си
стемы, оптической плотности диапозитива при диаскопической про
119

Расчет и проектирование оптических систем
екции или отражающей способности поверхности предмета при эпи
проекции, а также отражающих (отражающие экраны) или пропус
кающих (просвечивающие экраны) свойств экрана. Просвечивающие
экраны применяются в освещенном помещении или на открытом воз
духе. Это обстоятельство необходимо учитывать при светотехничес
ком расчете.
Качество изображения предмета на экране при диапроекции оп
ределяется качеством диапозитива, аберрационными свойствами про
екционноro объектива. Существенное влияние оказывает посторонняя
засветка экрана, которая приводит к уменьшению контраста изобра
жения. Способность наблюдателя различать предметы по яркости оп-
ределяется контрастной чувствительностью rлаза, которую можно
определить как 4/(4 4), которая достиrает 50...70 и увеличивает-
ся с ростом яркости изображения. В формуле Lv  осевая") яркость
изображения предмета на экране, L ф  яркость фона экрана, образу
емая посторонней засветкой.
На nрактике принято характеризовать nроекционную систему
осевой освещенностью экрана E или ezo осевой яркостью Lv при oт
сутствии диапозитива при диаnроекции, или nроецируя в плоскость
изображения белую, рассеивающую поверхность, при эnиnроекции.
Для диффузно рассеивающеrо экрана при диапроен:ции или пред-
мета при эпипроекции яркость определяется как
т  pE .
....,, ,
1t
(2.103)
для просветноrо экрана
4= 'tэкЕ , (2.104)
1t
rде р  коэффициент диффузноrо отражения экрана или предмета;
't эк  коэффициент пропускания просветноrо экрана. .
Установлено [3], что необходимая яркость Lv экрана проекцион.
ной системы определяется ее назначением и для некоторых видов про.
екционных систем должна иметь следующие значения:
 при демонстрационной диапроекции Lv3...50 кд/м 2 ;
 для контрольно.измерительной проекции Lv15...25 кд/м 2 ;
 при проекции микрофиш в читальных аппаратах Lv100...
...200 кд/м 2 при работе в освещенном помещении;
 при эпипроекции Lv5...20 кд/м 2 .
') далее по тексту слово .осевая. будет опущено
120

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
Яркость (или освещенность) экранов, как это следует из формул
(2.103), (2.104), зависит от коэффициентов диффузноrо отражения р
или пропускания "t эк экранов. Для диффузно рассеивающих экранов
коэффициент Р имеет следующие значения:
 для идеально белоrо рассеивающеrо экрана р=о 1;
 для экрана из уrлекислоrо бария р=оО,88;
 для баритовоrо экрана р=оО,81;
 для MaToBoro экрана из пластмассы р=оО,72 и др.
Кроме диффузных экранов, которые имеют постоянную яркость
во всех направлениях, существуют экраны направленноrо действия,
позволяющие концентрировать световую энерrию в оrраниченном Te
лесном уrле. Такие экраны характеризуются коэффициентом яркости
L
1: =J
'" L'
l'де L", яркость в направлении наблюдения на экране, Lv  яркость
идеально рассеивающеrо экрана, и полезным уrлом рассеивания 2ч>п,
Т.е. уrлом, в пределах KOToporo коэффициент яркости не падает ниже
допустимоro значения. Если коэффициент яркости r", диффузно OTpa
жающеrо экрана равен коэффициенту отражения р и не может быть
больше единицЫ, то коэффициент яркости экрана направленноrо дей
С'l'вия может быть значительно больше единицЫ, поскольку при одном
и 'roм же световом потоке отраженный свет концентрируется в нуж
ном направлении. Если сравнить индикатрисы яркости диффузноrо
и направленноro экранов, то будет видно, что направленные экраны
более эффективны.
При коммерческой кинопроекции обычно используют направлен
liOрассеивающие отражающие экраны (алюминированные, бисерные,
«перламутровые.). Эти же экраны для улучшения светораспределе
ния MOryт быть также растровыми (в растровых экранах выдавлено
множество сферических ячеек, причем форма и размер ячеек позво-
ляет достичь paBHoMepHoro распространения света в пределах задан-
Horo телесноrо уrла).
В незатененных помещениях обычно при меняются направленно
рассеивающие пропускающие экраны (экраны отсчетных устройств
приборов, экраны читальных аппаратов и др.). От них требуется боль
той коэффициент яркости r . В качестве таких экранов применяют
'"
восковые экраны, экраны из матированноrо стекла или лавсановой
пленки [20]. Наивысшую разрешающую способность имеют восковые
экраны, обладающие очень тонкой структурой, невидимой для rлаз,
равномерным распределением CBeToBoro потока в большом телесном
уrле и создающие лучшие условия для наблюдения двумя rлазами.
121

Расчет и nроектирование оптических систем
Существуют пропускающие экраны со специальным распределе-
нием света  это растровые про пускающие экраны. Они представля-
ют собой рифленое стекло или пластмассу типа линз Френеля или на-
оборот мелких положительных линз. Такие экраны имеют 't эк 49%
(стекло), 'tэк43% (пластмасса).
По требуемой яркости Lv экрана можно определить ero освещен-
ность E, а по освещенности и площади 8 плоскости изображения (эк-
рана) можно вычислить тот световой поток Ф, который должен по-
ступать на экран из проекционной системы. Однако освещенность на
экране (плоскости изображения) неодинакова для различных точек
поля и для края поля равна
E = Ek", совоо', , (2.105)
rде E  освещенность на краю плоскости изображения, лк;
E  осевая освещенность плоскости изображения (экрана), лк;
k",  коэффициент виньетирования;
200'  уrловое поле проекционноrо объектива в пространстве
изображений.
Если уrловое поле проекционноrо объектива не более 300, то мож-
но пренебречь виньетированием (k",1) и влиянием уrловоrо поля 200',
тоrда световой поток, падающий на экран (плоскость изображения),
можно вычислить по формуле
Ф ' v =Е' .8, (2.106)
и ср
rде ф'у  световой поток, выходящий из проекционной системы, лм;
Еи ср  средняя освещенность экрана для различных ero точек, лк;
8  площадь экрана (плоскости изображения), м 2 .
В качестве источников света при проекции используются:
а) лампы накаливания (в основном в любительских и передвиж-
ных кинопроекторах и проекторах). Световой поток таких ламп со-
ставляет 500...2'10 4 лм и выше, а rабаритная яркость достиrает поряд-
ка 30 Мкд/м 2 . Форма тела накала должна быть близка к форме кад-
pOBoro окна;
б) электрические пламенные дуrи, имеют яркость Lv180...
...300 кд/м 2 . В пламенных дуrах большой интенсивности яркость до-
ходит до 2000 Мкд/м 2 . Используются В основном в мощных стацио-
нарных кинопроекторах;
в) rазоразрядные лампы cBepxBblcoKoro давления, ксеноновые
импульсные лампы используются в качестве источников света в мик-
рофильмирующей и читально-копировальной проекционной аппара-
туре, а также для освещения ориrинала (предмета) при эпипроекции
или создании cBeToBoro потока при диапроекции. Яркость ксеноновых
122

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
ламп 250...1200 Мкд/м 2 . Для освещения ориrиналов при эпипроекции
йспользуются также люминисцентные лампы, относящиеся к rазораз
рядным лампам низкоrо давления. Более подробные сведения об ис
точниках можно найти в каталоrах на электролампы и справочнике
[20].
Если в каталоrах ламп указаны величины только полных CBeTO
вых потоков Фvист И размеры тела накала ахЬ, то силу света 1 vист и яр
кость Lv ист для ламп с плоским светящимся телом можно приближен
но найти по формуле 1 vист = Фvист/21t, для ламп с точечным источни
ком сила света определится как 1 vист = Фvпол/ 41t .
Расчет проекциоииой системы для эпипроекции
Оптическая схема эпископической проекции представлена на рис.
2.52.. Непрозрачный предмет АВ освещается источниками света 1,2 с
силой света 11 и 12. С помощью зеркала 3, обязательно с внешним по
крытием, чтобы избежать двоения изображения, и проекционноrо
объектива 4 изображение предмета АВ строится на экране 5. Исполь
З0вание зеркала 3 в схеме обязательно, если необходимо получить пря
в
'
I  
1 2у      
'...
I 
I

L....-.
в
А
Рис. 2.52. Оптическая схема эпископической проекционной системы.
Случай, коrда 113006 1<1
123

.......
Расчет и проектирование оптических систем
мое изображение. rабаритный и светотехнический расчеты эпископи.
ческой системы выполняют одновременно, используя взаимосвязь
фотометрических и оптических параметров, исходя из требовани
техническоrо задания [21].
Приведем формулы, по которым следует выполнять rабаритный
и светотехнический расчеты.
Если поверхность предмета АВ диффузно рассеивающая, то ее яр.
кость в соответствии с формулой (2.103) определяется соотношением
p ==Рпр.Е vпр /1t,
rде Е и  освещенность непрозрачноrо предмета источниками све.
пр
та. Зная силу света 1 v каждой лампы, расстояние 1 от тела накала до
центра предмета (т.С) в метрах, можно определить освещенность, со.
здаваемую в плоскости предмета, по формуле:
Е ==  Е. ==  I.cose. ) l2,
иnp}} }}
j=l j=l
rде т  число ламп; е  уrол падения лучей; Еи  суммарная ос.
пр
вещенность предмета.
Освещенность экрана при условии, что проекционный объектив
имеет увеличение в зрачках Р ОР == 1, вычисляется по формуле
Е' Т' 2 ,
и_к == 1:OCпnp Sln cr А',
rде 1:ос == 1:06 . Рзер  коэффициент пропускания системы' «объектив+
зеркало.; a,  апертурный уrол проекционноrо объектива в про.
странстве изображений.
В соответствии с рис. 2.52
sincr, == D'!2p' (2.109)
и если проекционное расстояние р' больше диаметра D' выходноrо
зрачка проекционноrо объектива, то выходной и входной зрачки
объектива лежат почти в rлавных плоскостях и поэтому увеличение
в зрачках РО Р == 1, Tor да диаметры входноrо и выходноrо зрачков рав.
ны, DD'.
Используя формулу raycca, зная масштаб изображения, можно
определить фокусное расстояние объектива
р' в'
{====..
lPOoo lPOoo
С учетом (2.110) выражение (2.109) запишется в виде
. , . D
slncr А' ==. , ( ) ,
2f06 1  Ро об
(2.107)
(2.108)
(2.110)
124

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
а формула (2.108) для определения освещенности в плоскости изобра
жения на экране будет иметь вид
( ) 2
Е' = 't 1tL  1 .
и, к ос и пр 1. , ( ) 2
06 4 1  a
об
(2.111)
Если известны требуемая освещенность экрана или ero яркость,
то по формуле (2.111) можно определить относительное отверстие про
екционноrо объектива
D 1 [, Е'
, =  = 2( 1  13006) "эк .,
1 об К 't oc . Рпр . Еи пр
rде К  диафраrменное число.
Так как коэффициенты 't 06 , Р.ер' Рпр невелики, то невелико их про
изведение, поэтому для получения большой освещенности экрана не-
обходимо, чтобы объектив был светосильным, а увеличение проекци
онной системы небольшим.
Уrловое поле объектива определим, исходя из рис.2.53.
(2.112)
А'
Рис. 2.53. К определенню уrловоrо поля объектива и размеров зеркала
в соответствии с рис. 2.53
t ro 1L Y' 
g об p Р'1:б(1аОб)'
l'де у= .J A 2 +в 2 /2  половинадиaroнали предмета (ориrинала), тоrда
125

Расчет и проектирование оптических систем
2W об =2аrсt g [ '('O ) ] (2.113)
t об lo
а так как ООб == 1, то 2w:Ю = 2w об .
Обычно при эпипроекции объектив имеет относительное OTBep
стие D/t;б == 1:1,5...1:2,5, уrловое поле 2W об  450.
Выполним zабаритный расчет эпипроекционной системы. В Tex
ническом задании на проектирование обычно задают: увеличение O
проекционной системы, размер проецируемоrо предметаАхВ, paCCTO
яние р' до плоскости изображения (проекционное расстояние), требу
емую освещенность E плоскости изображения.
эк
Расчет можно проводить в следующем порядке. По формулам
(2.110) и (2.113) найти фокусное расстояние объектива и ero уrловое
поле.
По рассчитанным значениям t;б и 2W об по каталоrу выбрать про-
екционный (фотоrрафический) объектив с возможно большим отно-
сительным отверстием и методом проб пересчитать ero конструктив
ные параметры на требуемое t:Ю (пересчет конструктивных парамет
ров проводить только после Toro, как этот объектив подойдет по CBe
тосиле).
Далее, используя формулы (2.111) и (2.103), найти
Е = 4ЕэJlо)2
и пр ( D / ./' ) 2 ,
't oc . Рпр . lоб
вычислить необходимую освещенность предмета, полаrая первона
чально 't oc = 0,5.. .0, 7, Рпр = 0,8. Для обеспечения требуемой освещен
ности предмета при выбранном расположении ламп (l, Е), определить
их количество т. Если лампы одинаковые и имеют одинаковую силу
света [и' то используя формулу (2.107), можно записать
[и .т= l2 Е vпр , (2.114)
СОВЕ
rде [и'т  суммарное число кандел этих ламп. Из каталоrа выбрать
подходящую лампу, и по формуле (2.114) найти необходимое число
ламп.
Если потребуется увеличить освещенность в плоскости предмета,
то за лампами следует установить зеркалорефлектор, а также мож
но ввести дополнительную оптическую систему (конденсор) для боль-
шей концентрации света в поле предмета.
Размеры зеркала 3 с наружным покрытием можно определить по
формулам [12] или rрафически из построения хода лучей (рис. 2.53)
126

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
bL ' [ 1 1 ]
= '81nO"A + ;
. q>+ 20" А . q>  20" А
81n 8ln
2 2
Ь . <p20"A
8ln
2
Ь . q>  20" А
8ln
2
L8inO" А
(2.115)
а=
(2.116)
С080" А
rде Ь  длина зеркала; а  ширина зеркала; q>  уrол отклонения oce
Boro луча зеркалом; о" А  апертурный уrол объектива в пространстве
предметов; L  расстояние от плоскости предмета до зеркала по оп
тической оси (рис. 2.53).
Расчет проекциоииой системы для диапроекции
Проекционная система для диапроекции (рис. 2.54, а, б) состоит
из источника света 1, осветительной системы 2, KaдpOBoro окна 3, про
екционноrо объектива 4, экрана 5. Проекционный объектив создает
изображение прозрачноrо предмета (например диапозитива), располо
женноrо в плоскости KaдpOBoro окна (КО), на экране (просвет но м или
отражающем) с требуемым увеличением O'
Наибольшее распространение получили две принципиальные cxe
мы диапроекции.
В первой из них (рис. 2.54, а) осветительная система строит
изображение источника света во входном зрачке проекционноzо
обоектива. Это обеспечивает равномерную освещенность экрана даже
при неравномерной яркости светящеrося тела. Такой способ проеци
рования при меняют при использовании ламп, у которых тело накала
имеет неравномерную яркость и не может полностью закрыть Kaдpo
вое окно. Такое осветительное устройство имеют диапроекторы, фо
тоувеличители, аппараты для чтения с микрофиш и микрофильмов
идр.
Во второй схеме (рис. 2.54, б) осветительная система строит
изображение источника света в плоскости KaapoBozo окна (напри
мер, на диапозитиве или вблизи Hero). В этом случае на экране полу
чаются одновременно два изображения: изображение структуры ис
точника и изображение caMoro диапозитива и, чтобы обеспечить paB
номерную освещенность на экране, необходимо иметь источник со
сплошным равномерным излучателем. Кроме Toro, необходима быст
рая смена кадров в кадровом окне, чтобы избежать HarpeBa диапози
127

Расчет и проектирование оптических систем
тива, слайда, микрофиши и т.п. В кадровом окне. По такой схеме по-
строены кинопроекторы.

б)
5
эк
,
,
а)
с\)
в'
эк
Рис. 2.54. Оптические схемы длядиапроекции, в которых:
а  источник света проецируется во входной зрачок объектива;
6  источник света проецируется в плоскость KaдpOBoro окна.
Рассмотрим первую оптическую схему проекционной системы 
источник света проецируется осветительной системой в плоскость
BXOaHOZO зрачка объектива (рис. 2.54, а).
Если увеличение осветительной системы Ро ,а увеличение в зрач
ках проекционноrо объектива Рйр' то к
2у' = 2уист . РОк; 2у" = 2у' . Рйр = 2уист . РОК. Рйр ,
rде 2уист  размер источника света; 2у'  величина изображения ис-
128

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
точника во входном зрачке; 2у"  величина изображения источника
:в выходном зрачке.
В большинстве случаев Op '" 1 и поэтому 2у" == 2YCT ' OK' Чем боль
тую площадь на выходном зрачке занимает изображение светящей
ея поверхности источника, тем больший световой поток поступит из
объектива на экран. Возможны два варианта заполнения BXOaHOZO
зрачка изображением источника света.
В первом варианте изображение источника света вписывается
во входной зрач.ок объектива (рис. 2.55).
Входной зрачок



11

......
Ь'
а)
б)
Рис.2.55. Изображение источника света во входном зрачке объектива:
а) изображение нсточника меньше cBeToBoro диаметра входноrо зрачка;
6) изображение источника полностью заполняет входной зрачок
В этом случае площадь BCT изображения источника меньше пло
щади Sвэ,эр. входноrо зрачка L Bcт < Sвх.зр.' или (а' х ь') < 1tf)2 /4], а, сле
довательно, световой поток, идущий на экран, будет меньше возмож
Horo. Отверстие входноrо зрачка полностью не используется, увели
чение осветительной системы в этом случае равно
D
o" ==, (2.117)
2уист
rде 2уист == .J a 2 +ь 2  диаrональ светящеrося тела.
Такой способ проецирования имеет оrраниченное применение.
Во втором варианте (рис.2.55, б) окружность BXOaHOZO зрачка
вписана в размер изображения' источника. В этом случае входной зра
чок используется полностью, что увеличивает световой поток на эк
ране. Увеличение осветительной системы в этом случае будет равно:
D
O == , (2.118)
к а
rде а  высота тела накала источника.
129

Расчет и проектирование оптических систем
Если тело накала источника имеет квадратную форму (а = ь), то
увеличение осветительной системы будет наименьшим, а использова
ние источника света  наибольшим. Оптимальным было бы приме
нение источника с круrлой излучающей площадкой, тоrда
o =Dldист [23].
К Если размер тела накала (ахЬ) мал, то линейное увеличение oc
ветительной системы соrласно формуле (2.117) будет большим по аб
солютной величине, что приведет к сложной конструкции осветитель
ной системы. Усложнение конструкции можно избежать, если поста
вить контррефлектор (сферическое зеркало), расположив тело HaKa
ла источника света в центре кривизны этоrо зеркала (рис. 2.56). Это
позволит более полно использовать световой поток от источника. Мож
но предложить два способа установки тела накала.
а)
б)
r
Рис. 2.56. Принцип действия дополнительноrо зеркальноrо отражателя:
а) источник расположен симметрично относительно оптической оси;
6) источник расположен над оптической осью.
Если тело накала источника света установить в плоскости,
перпендикулярной к оптической оси, проходящей через центр кривиз
ны зеркала но так, чтобы оно располаzалось симметрично оптичес
кой оси, то после отражения от зеркала изображения отдельных ceK
ций светящеrося тела окажутся расположенными между COOTBeTCTBY
ющими секциями источника света. Это позволит увеличить rабарит
ную яркость источника на 20...30% (рис. 2.56, а).
Если светящуюся площадку источника света расположить над
оптической осью, то ее зеркальное изображение (а' Х Ь') будет Haxo
дится над оптической осью и таким образом мы как бы получаем yд
военный по ширине источник излучения 2а. Тоzда линейное увеличе
ние осветительной системы определится как
D
o =.
к 2а
(2.119)
130

rлава 2, rабаритный расчет оптических систем
Диаметр входноrо зрачка проекционной системы независимо от спо
соба проецирования источника света определяется требуемой OCBe
щенностью на экране.
Запишем основные соотношения, необходимые для выполнения
rабаритноrо и светотехническоrо расчетов проекционных систем в
проходящем свете.
В случае проецирован-ия источн-ика света н-еравн-о.мерн-ой ярко
сти в плоскость exoaHozo зрачка проекцион-н-оzо объектива (рис. 2.54,
а) на основании закона синусов запишем выражение для линейноrо
увеличения осветительной системы
А  а{к  sinO' А  sinO'OXB
tJO}(  . ,  . I '
u,.K sln о' А' sln о' А'
rде lZ:i  положение тела накала относительно осветительной систе
мы; а;к  положение изображения тела накала в плоскости входноrо
зрачка; о' А  апертурный уrол осветительной системы в пространстве
предметов (в дальнейшем уrол 20' А для осветительных систем будем
называть уrлом охвата и обозначать 20'0хв); O',  апертурный уrол oc
ветительной системы в пространстве изображений.
Уrловое поле объектива в соответствии с принципом ero работы
из рис. 2.54, а можно определить по формуле
", У А
У  ко . 1-' 006
P' {:6(1p006)'
(2.120)
tgO)o(I =  У ко =
Р
(2.121)
тоrда
2 2 , 2 t Уко'РО06
0)06 = (006 = arc g , ( ) ,
{ о6 1  РОo(l
rде р'  проекционное расстояние, которое л ибо зал ается, либо опре
деляется по формуле р' = f:б . (1  Ро 06 ); У ко = .J А 2 + В2/ 2  диаrональ
KaдpOBoro окна размером Ах В. Так как O' = 0)06' то подставив (2.121)
в (2.120), получим
sinO'OXB = Рок sinO' =
У ко . РО 06 . Рок
{: 6 .(1роo(l)
(2.122)
у .р .р
и тоrда 20' = 2 arcsin ко 00(1 Оок .
ОХВ {: 6 . (1  Ро 06 )
Из практики расчетов осветительных систем известно [3], что чем
больше уrол охвата 20' ОХВ ' тем сложнее по конструкции осветительная
Система (rлава 5). Для уменьшения уrла охвата надо использовать бо-
131

Расчет и проектирование оптических систем
лее мощный источник света или устанавливать вблизи KaдpOBoro окна
коллективную линзу.
Известно [12], что для проекционных систем, у которых Ро := 1,
р
освещенность изображения в плоскости экрана определяется по фор
муле
1
2 .
(lPoJ
Тоrда, зная требуемую освещенность экрана E ' можно определить
либо диаметр входноrо зрачка проекционноrо об;ектива
Е'
D=2.(1РОоб)'f:б' V L ЭК'
1t't ос v ист
либо ero светосилу
Е' = 1t'tосLvист . (  ) 2
K 4 f: б
(2.123)
(2.124)
( D ) 2 ( 1 ) 2 2 Е'
р = к =4.(1Рооб) 1t't K
Jоб ос U ист
В формулах (2.123)...(2.125) '[ ос  коэффициент пропускания оптичес
кой системы; L vист  яркость источника излучения; РОоб  масштаб
изображения (линейное увеличение проекционноrо объектива); К 
диафраrменное число (f:б I D) .
Можно поступить иначе. Вычислив фокусное расстояние объек-
тива по формуле (2.110), определив ero уrловое поле по формуле
(2.121), выбрать из каталоrа проекционный или фотоrрафический
объектив с относительным отверстием в пределах 1:1,2...1:4,5 (имен-
но в таких пределах лежат относительные отверстия объективов для
диаскопической проекции) и по формуле (2.123) вычислить необходи-
мую яркость L источника в зависимости от заданной Е и ' и выбран-
U ист эк
Horo относительноrо отверстия:
(2.125)
2 Е'
L  4. ( 1A ) vэк
v ист  t-'Ооб 1t't oc (11 к)2 .
По требуемому значению яркости Lv ист источника и размеру (а х Ь )
площадки светящеrося тела из каталоrа выбрать проекционную лам-
пу. Варьируя относительным отверстием объектива, можно получить
ряд вариантов источников света.
Для уменьшения поперечных размеров осветительной системы в
схему вводится линзареле [5], устанавливаемая между конденсором
и кадровым окном (рис. 2.57), которая служит для оптическоrо сопря-
жения выходноrо зрачка конденсора (т. Р:) с плоскостью KaдpOBoro
окна (КО). ДЛЯ rабаритноrо расчета линзыреле (ЛР) следует приме-
нить формулы идеальной оптической системы.
132

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
l(к) 2(л.р)
 а 1 л.р a л.
3(об.)
эк
t
s
;:"
C\J
 а 1 к a к
a2
а;
a об == р'
Рис. 2.57. Оптическая схема диаскопической проекции с линзойреле (Л.Р.)
в случае проецирования источника света в плоскость кадровоzо
окна (рис. 2.54, б) линейное увеличение осветительной системы опре
деляется по формуле
А =  2уко = sincr OXB
 2 ., ,
Уист slncr к
rде 2уко  диаrональ KaдpOBoro окна размером АхВ. Но как видно из
рис. 2.54,6 выходной апертурный уrол a осветительной системы бу
дет равен апертурному уrлу cr А в пространстве предметов проекцион
Horo объектива. Тоrда в соответствии с рис. 2.54, 6 запишем
t cr  D.Ро об  Рооб 
g A 2p 2р'  2f:б'(lРооб)' (2.125)
rде р  положение кадровоrо окна относительно входноrо зрачка
объектива. Эту величину можно найти через известное проекционное
расстояние р', которое обычно задается, а именно р = р' /Ро об ' или по
формуле Ньютона для объектива. Для этоrо найдем положение Kaд
pOBoro окна относительно переднеrо фокуса объектива
f,' t: б . (1  Ро )
z=, тоrда р=tоб+Z=' (2.126)
Ройб Рооб
с учетом формул (2.125) и (2.126) линейное увеличение осветитель-
ной системы определится как
lP
Ро =2t:бsiпcrохвР,
к D.Ро об (2.127)
1ЗЗ

Расчет и проектирование оптических систем
Из формулы (2.127) можно всеrда определить уrол охвата 2а охв для
осветительной системы.
Далее расчет следует выполнять по тем же формулам, что и в слу
чае, коrда тело накала источника проецируется в плоскость входноrо
зрачка, Т.е. по формулам (2.110), (2.121), (2.124).
Для Toro чтобы изображение источни
ка света перекрывало отверстие KaдpOBoro
окна, а также, учитывая отклонение в ходе
действительных лучей вследствие аберра
ций, необходимо соблюдать следующие yc
ловия (рис. 2.58)
a>(AjOK); b>(BjPOK)'
rде а и Ь  размеры светящейся площад
ки источника света;
. А и В  размеры KaдpOBoro окна.
Из рис. 2.54,6 видно, что при больших размерах KaдpOBoro окна
и диаметра входноrо зрачка объектива световой диаметр осветитель
ной системы может быть большим, что приведет к rромоздкой KOHCT
рукции, а также к увеличению остаточных аберраций осветительной
системы. Этоrо можно избежать, если около KaдpOBoro окна поставить
коллектив (прикадровую линзу) (рис. 2.59). Так как эта линза распо
ложена вблизи KaдpOBoro окна, то она практически не влияет на ход
лучей, проходящих через центр KaдpOBoro окна (на рис. 2.59 линза
стоит в плоскости KaдpOBoro окна).
В соответствии с рис. 2.59 увеличение коллективной линзы мож
но определить как
Ь'

B
Рис. 2.58. Заполнение Kaдpo
BOI'O окна изображением ис
точника света

Р О = P j a; = а'/а, (2.128)
кол к
rде р = р' jРО об  положение входноrо зрачка объектива относитель
но KaдpOBoro окна;
а; = а 1 . Р О  положение изображения источника света после oc
к к к
ветительной системы (этим расстоянием можно задаться из KOH
структивных соображений).
Тоrда фокусное расстояние коллективной линзы можно вычис
лить, используя формулу raycca
t: ол =a;K 'Dкoj(lPOKJ,
а световой диаметр осветительной системы будет равен
D CB к = DjРо кол .
134
(2.129)
(2.130)

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
к
Рис. 2.59. Оптическая схема проекционной системы с дополнительной
коллективной при кадровой линзой для уменьшения cBeTOBOI'O диаметра
осветительной системы
Введение прикадровой линзы (коллектива) дает большой эффект
при светосильном проекционном объективе, большом кадровом окне
и большом расстоянии р'. Коллективная линза может быть плоско вы-
пуклой или двояковыпуклой. Если она плосковыпуклая, то по извест
ному t: ол радиус кривизны сферической поверхности будет равен
r z = t: ол (1  n) .
После rабаритноrо расчета всеrда выполняется светотехнический
расчет, который должен подтвердить правильность rабаритноrо рас-
чета и, если уrол охвата осветительной системы после светотехничес
Koro расчета не будет соответствовать уrлу охвата, полученному из ra
баритноrо расчета, то вычисления выполняются снова и до тех пор,
пока не будет соответствия между rабаритным и светотехническим
расчетами.
Пример za6apum1iozo расчеmа nрое1СциО1i1iОЙ системы для диa
nрое1Сции (диапроектора, читальноrо аппарата, проектора).
Оптическая схема проекционной системы представлена на
рис. 2.60. В соответствии с техническим заданием на проектирование
обычно задается: формат диапозитива АхВ; размер А'хВ' экрана (или
масштаб изображения РО об ); тип экрана (отражающий РЗК или просвет
ный 't З ); освещенность Е' или яркость экрана L V ; проекционное
к K ЭК
расстояние р'. Иноrда указывается тип источника излучения, для ко-
135

Расчет и проектирование оптических систем
В'
t
s
;:"
C\J
ко
В


Вх.зр.к
эк

а'

арк
aK
р'
Рис. 2.60. Оптическая схема диаскопической проекции
Toporo из каталоrа выписывают размер тела накала ахЬ, ero световую
отдачу 11 (лм/Вт), мощность р (Вт) или rабаритную яркость L/J и пол
ный световой поток Ф ист . ист
Определим оптические характеристики проекционноrо объекти
ва. По заданным размерам диапозитива и экрана найдем линейное YBe
личениеобъектива
РО об = А'/А= В'/В= 2уэк/2уко < о.
По формуле (2.110) по известному проекционному расстоянию найдем
фокусное расстояние объектива t: б = р' /( 1  РО об ) = s'/( 1  РО об )' а из фор
мулы (2.124) определим диаметр входноrо зрачка объектива, полаrая
'[ ос  0,5
D=2 ( 1РО б) f:б rщ, / 1t't oc L/J =2p' E /  1t'toc4 .
о \j .LJ Uэк 'ист ЭК ИСТ
Если яркость источника не задана, то ее можно определить по следу
ющим формулам:
4 ист = Ijsист = Ф/Jпол/(41tS ист ) = 11 Р /(41tS ист ) ,
r д е S  площадь светящеrося тела в м 2 ;
ИСТ
Ф/JПОЛ  полный световой поток от источника.
136

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
Найдем положение KaдpOBoro окна относительно точки передне
ro фокуса объектива, используя формулы (2.126)
z = f: 6 /Ро об , р = f об + z или р = р' /РО об .
Так как диапозитив расположен в кадровом окне, то уrловое поле
объектива в пространстве предметов определится по формуле (2.121)
tg(Ооб = Уко/ Р = YK/ р' = Уко' Ро об /[f:6 (1  PoJ].
По оптическим характеристикам {: 6 , D/f:б, 2(006' предварительно pac
считав коэффициент добротности С для про верки физической осуще
ствимости TaKoro объектива по инвариа нту Д.С . Волосова
С т = (D/f:б)tg(Ооб -J f:б/1 00,
из каталоrа выберем (или синтезируем) фотоrрафический объектив,
выпишем ero конструктивные параметры, предварительно пересчитав
их на требуемое фокусное расстояние (см. rлаву 4). Определим увели
чение в зрачках РО р и, если оно отличается от единицы, то вычислим
эту величину и пересчитаем диаметр входноrо зрачка проекционноrо
объектива
D = D/Po p .
Для выбора конструкции осветительной системы (конденсора) и
дальнейшеrо ее расчета (определения конструктивных параметров) из
rабаритноrо расчета найдем:
 линейное увеличение рок конденсора из условия, что тело Ha
кала проецируется им в плоскость входноrо зрачка (формулы
(2.117...2.119) в зависимости от заполнения площади зрачка);
 уrол охвата конденсора по формуле (2.122)
sino OXB =  УистРооБРоj[f:Б (1  poJ].
Для Toro, чтобы дефекты стекла конденсора не изображались рез-
ко на экране, задают расстояние между последней поверхностью кон-
денсора и кадровым окном в пределах нескольких миллиметров
(10...15 мм).
Для определения cBeToBoro диаметра D CBK необходимо выполнить
расчет лучей, идущих от источника света во входной зрачок KOHдeH
сора (рис. 2.61). Если кадровое окно принять за выходной зрачок кон-
денсора, то для определения положения входноrо зрачка можно, ис-
пользуя формулу raycca, найти:
а рк =а Ук 'f:/(f:aYк),
rде f.' = а; j( 1  130 )  фокусное расстояние конденсора; a = a + р
 поожеие выодноrо зрачка; aK = а 1к . Рок  расстояние о;' Ko;дeH
сора до входноrо зрачка проекционноrо объектива; р = р' /Ро об  по
137

Расчет и проектирование оптических систем
Вх.зр.к
к
Вых.зр.к ;1J"
ко /
,/"'/
/
t
..
;:"
c\i
c\i
------
:.:
,;
qU."
c\i
------
:.:
q
al к
a,
а рк
Рис. 2.61. К определению CBeTOBOI'O диаметра конденсора
ложение KaдpOBoro окна относительно входноrо зрачка проекционноrо
объектива (рис. 2.60).
Зная увеличение в зрачках РО р конденсора, можно вычислить
диаметр ero входноrо зрачка
D K = 2уко' РО р ' rде 2уко = .J А 2 + в 2 .
Из рис. 2.61 видно, что верхний полевой луч определяет световой
диаметр конденсора, тоrда
D CBK = 2 [УИСТ+ а 1к tgcr 1впJl ],
rде cr l ВПJl  уrол BepXHero полевоrо луча с оптической осью, который
в соответствии с рис. 2.61 равен:
t ( DK )  ( )
gcr 1ВПJl = 2 Уист / I a 1K  а рк .
В результате rабаритноrо расчета получили оптические характе.
ристики для проекционноrо объектива и конденсора. По этим харак,
теристикам из каталоrов выбирают конструкцию объектива, а по ре.
комендациям, приведенным в rлаве 5, выбирают конструкцию осве.
тительной системы.
Результаты rабаритноrо расчета обязательно проверяют светотех.
ническим расчетом.
138

rлава 2. rабаритный расчет оптичеСКИХ систем
Светотехн-ический расчет оптической системы диаnроекции.
Для получения требуемой освещенности E экрана проекцион
выЙ прибор должен направлять на экран необходмое количество CBe
то вой энерrии в виде cBeToBoro потока Ф". Чем б6льший световой по
ток выходит из проекционноrо объектива, тем больше освещенность
экрана, а, следовательно, и ero яркость.
Пусть Ф" пол  полезный световой поток, посылаемый на экран,
коrда в кадровом окне нет диапозитива. Если известна среднЯЯ вели
чина освещенности Е' на экране, то величина полезноrо cBeToBoro
"ЭК
потока определяется по формуле (2.106), а именно:
Ф" п ол = E .8 (лм).
ЭК
ОднаКо при nроектирован-ии светооnтической системы npoeKци
oHHozo прибора приходится определять nредварительн-ую величин-у
nолезн-оzо световоzо потока. Если известны световой поток Ф":ст ОТ ис
точника в пределах полной сферы и потери, испытываемые лучами
при прохождении ими всех узлов схемы, то
Ф" пол = 'Тl ист ' 'tобщ' Ф" ист'
rде 'Тl ист  коэффициент использования источника; 't общ  коэффици
ент про пускания системы, 't общ = 't тФ ' 't Ko . 't K . 't об ; 't тф  коэффициент
пропускания теплофильтра, который может быть установлен в схеме;
't KO  коэффициент пропускания диапозитива; 't K  коэффициент про
пускания конденсора; 't об  коэффициент пропускания объектива.
Для определения коэффициента использования 'Тl ист источника
света необходимо знать как распределяется световОЙ поток в простран
стве для Toro, чтобы определить ту ero часть LlФ", которая попадает в
оптическую систему осветителя и направляется в сторону KaдpOBoro
окна. Тоrда
'Тl ист = LlФjФ"ист, (2.131)
Определение величины LlФ задача трудоемкая. Поэтому предлаrается
следующий путь решения этой задачи.
Если задана осевая яркость L" экрана, то определяют осевую oc
вещенность экрана в зависимости Эт Toro, работет он на просвет или
отражение, по формулам (2.103), (2.104)
E = 1tL" / 't эк или E = 1tL" / р.
эк ЭК ЭК эк
Зная площадь экрана 8 эк в квадратных метрах, определяют величи
ну cBeToBoro потока Ф"l' который должен поступать на экран из BЫ
ходноrо зрачка объектива: Ф и l = E . 8 эк , Далее определяют световой
ЭК
Поток Ф"2' который должен поступать во входной зрачок проекцион
139

Расчет и проектирование оптических систем
Horo объектива: Ф"2 == Ф"l/'t об . Так как окружность входноrо зрачка
вписана в наименьший размер изображения источника света
(рис. 2.55, 6), то часть источника системой не используется, поэтому
необходимо найти коэффициент использования входноrо зрачка
Sвх.зр тcD 2
'Тlвх.зр ==:::::. 4( ь) .А2
ис... ах t-'OK
Кроме Toro световой поток, проходя через
кадровой окно, испытывает потери, так как
оно имеет прямоуrольную форму, а сечение
световых пучков в плоскости KaдpOBoro окна
 круrлую, поэтому следует определить KO
эффициент использования кадровоrо окна
(рис. 2.62)
 SKO  А х В
'ТlKO ,
SCB.n ТСУко
rде SKO  площадь KaдpOBoro окна;
SCB.n  площадь сечения cBeToBoro пуч
ка в плоскости КО.
Све'rовой поток, который должен поступать во входной зрачок
объектива проекционной системы, с учетом коэффициентов исполь
зования входноrо зрачка и KaдpOBoro окна следует вычислять по фор
муле
ф"з:::::' Ф"2/('Тlвх.зр' 'ТlKO)'
Далее определяется та часть cBeToBoro потока от источника, которая
должна ПОС1'упать во входной зрачок конденсорной системы
Ф"4 == LlФ" == ф"з/( 't тФ . '[ к )'
Величина этоrо cBeToBoro потока Ф 4 и есть та искомая величина LlФ,
которая должна попадать в оптическую систему, чтобы создать на эк
ране необходимую яркость L или освещенность Е и ' . Тоrда по фор
U эк ЭК
муле (2.131) следует определить коэффициент использования лампы
и вычислить величину уrла охвата конденсора. Если источник с плос
ким светящимся телом, то 'тl = 0,5 sin 2 а охв и sin<J OXB == J'Тl/O,5 . Если ис
точник излучения точечный, то 'Тl==O,5(1cos<JoXB)' тоrда cos<J OXB ==
== 1  2'Тl. Если уrол охвата, полученный из rабаритноrо расчета, совпа
дает с величиной уrла охвата, полученноrо из светотехническоrо pac
чета, то расчет выполнен правильно и можно приступать к вычисле
нию конструктивных параметров объектива и конденсорной системы
(rлавы 4, 5).
Рис. 2.62. К определению
коэффициента использо
ванин KaдpOBOI'O окна
140

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
Пример 2.1. Выполнить rабаритный расчет оптической схемы диапроекционной
системы с зеркальной осветительной системой.
Для расчета такой системы задано: линейное увеличение 006  200; размер про
ецируемоrо кадраАхВ  18х24 мм; расстояние до экрана р' == s' 20 м; освещенность эк
рана Е'  200 лк.
и..
Оптнческая схема кинопроекцнонноrо прнбора представлена на рис. 2.63.
'"
к
Рис. 2.63. К расчету оптической системы диапроекции с зеркальной
осветительной системой
Вычислим фокусное расстояние проекционноrо объектива по формуле (2.110)
f:""  р'/(1  006)  20000/(1 + 200) == 100 мм
и уrловое поле объектива по формуле (2.121)
tgы об  A2 +в 2 /2р  582:2"42 .( 200)/(4.104)  0,15,
2ыоб  1 1'04'.
Для обеспечения ббльшей освещенности экрана примем относительное отверстне
объектива D/f:"" 1:2 н с учетом установки в схеме теплофнльтра определим по форму-
ле (2.123) необходнмую яркость нсточника света
 4(1006 ) E;  4(1+200)2.200.4  137.10б .
't oc 1t.(D/f:"") 0,3.3,14 м
4 ист
Такую яркость имеет пламенная дуrа с диаметром d ИСТ  10 мм. При использовании пла-
менных дуr применяют зеркальные осветнтельные системы, нзображаюш ие источннк
света в плоскостн KaдpOBoro окна (источннк равномерной яркостн), так как применение
лннзовых осветительных снстем (конденсоров) в таких схемах нежелательно. нбо от
сильноrо HarpeBa уrлей лннзы конденсора разрушаются.
Найдем диаrональ KaдpoBoro окна 2уко  182 + 242 зо мм. Тоrда увелнчеине зер-
кальной осветнтельной системы равно:
2ук 30
OK :м 10 3'
ИСТ
141

Расчет и проектирование оптических систем
Соrласно формуле (2.127) найдем уrол охвата осветнтельной снстемы
sincr ox . = Ооб . o. (D/f)j[ 2( 1  Ооб)] =
= (200)(  3).0,5/2(1 + 200) = 0.746268, тоrда 2а ох . = 96032'.
Если в качестве осветнтельной системы нспользовать одиночное сферическое зер
кало, то ПРИ5. = 100 и 5 = 300 ero радиус кривнзны следует вычислить по формуле
raycca
r= 25.'5 2.100.300 =150мм.
5. +5 100+300
Прн уrле охвата 2а ох . = 96032' зеркало имеет большне размеры и большую сфери
ческую аберрацню. Днаметр зеркала можно определить либо из расчета хода нижнеrо
полевоrо луча (QKOT на рнс. 2.63). лнбо rрафическн. Для данноrо случая D зр  250 мм.
Диаметр зеркала, определяемый расчетом хода апертурноrо луча АМА'Т, ра-
вен: D зер = 251 tgcr А = 251 tgcr ox . = 2 .100tg48°16' = 224.22.
Уменьшнть rабариты зеркала можно, если перед кадровым окном поставить кол-
лектив, нзображающнй световой диаметр зеркала. определяемый ходом апертурноrо
луча, во входной зрачок проекцнонноrо объектива (рис. 2.63). Тоrда линейное увеличе
нне коллектива равно:
D 50
окол =  =  22 4 2 2 = 0,22,
MN ,
а ero фокусное расстоянне можно найти по формуле
1,' = 5xo.o. = зоо(0.22) =54,lмм.
хол 1о.ол 1+0.22
Коллектив следует установить вблнзн KaдpOBoro окна на таком расстоянии (10.. .15
мм), чтобы дефекты стекла ero поверхностей не были заметны на экране прн проекцнн.
Чаще Bcero коллектив  положнтельная плосковыпуклая линза. Зная ее фокусное pac
стояние, можно определнть и ее раднусы крнвнзны: r 1 = (ол (1 п), r z = 00.
Но сферическое зеркало при таком уrле охвата будет нметь большне остаточные абер
рацин, поэтому целесообразнее в этой схеме нспользовать асферическое (эллнпсоидное)
зеркало.
Пример 2.2. Выполнить rабарнтный расчет фотоувелнчителя с зеркальным осве-
тителем (рнс. 2.64). Осветнтель проецирует нзображенне нсточннка в плоскость вход-
Horo зрачка проекционноrо объектнва [21].
Пусть в ТЗ на проектированне оптической системы фотоувелнчнтеля заданы: ли
нейное увеличение, которое должно изменяться в пределах от min = 1,5 до тax = 10.
наибольшнй формат неrатива 6х6 мм (устанавлнвается в плоскости KaдpOBOI'O окна); наи
большее проекцнонное расстоянне Р;'.х = 825 мм; освещенность плоскости, rде YCTaHaB
ливается фотобумаrа E = 100 лк; яркость нсточннка 4. = 2.5.105 Кд/м 2 .
Можно предложнт;: следующнй порядок rабаритноr расчета:
1. Для максимальноrо масштаба изображення. которому соответствует максималь-
ное проекцнонное расстоянне, определнм фокусное расстоянне объектнва по формуле
(2.110)
f = р;.../( 1  Om..) = 825/(1 + 1 О) = 75 мм.
2. ВЫЧНСJIИМ уrловое поле объектива
tg = Yxo'Om.x = .(10) =o 514260
Ыоб р' 2.825 '
2ы обmaх = 54026'.
142

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем

::t1=
"
..
=
1:5:;
Рис. 2.64. Оптнческая схема фотоувеличителя
3. Найдем относительное отверстие проекцнонноrо объектнва по формуле (2.125)
D Е' 100
f/ю <::2(1Om..) 1t't ос 4 иот <::2(1+10) 3,14.0,75.2,5.105 1:3,5.
4. По оптическим характеристикам t;б  75 мм, п/ t;б  1:3,5, 2ro об  54020' выбн-
рем нз каталоrа фотоrрафнческнй объектнв .Индустар-58.. у KOToporo t;б  75 мм;
D/ t;б  1:3,5; 2ro об  600.
5. Определим отрезок РI тln' определяющий J-e положение неrатива относительно
входноrо зрачка проекцнонноrо объектива для Oт.. :
Z   f/ю/Оm..  75Л 10)  7,5 мм и
PIпriп = f об + z 75  7,5  82,5 мм.
143

Расчет и проектирование оптических систем
6. Выполннм расчет зерквльноro осветителя  ЭЛЛИПСОИДНОI'О зеркала, в первом
reометрическом фокусе KOTOpOI'O (т. F j ) помещен нсточник света, а второй фокус (т. Fz)
совмещен с центром ВХОДНОI'О зрачка объектнва. Из рис. 2.65 найдем световой днаметр
зеркала
D CB .. = 2gtgыоб'
I'де g =  РII твх + k; k  расстояиие между HeI'aTHBOM в eI'o крайнем положении (при
Omin ) И краем зеркала (т. М). Это расстоянне выбнрают нз конструктивных соображе
ний и удобства работы. Пусть k  35 мм. Найдем отрезок РII твх' используя формулу
raycca, ТОI'да
 1  Omin f. '  1 + 1,5 75  125
РII твх  R об   1 5'  ММ,
t-'Omin '
а отрезок
g = PllтBX + k= 125+35 = 160 мм
и световой днаметр зеркала равен
DCB,' = 2. 160tg27°10' = 165 мм.
Расстоянне между точками фокусов эллнпса FjFz = 2 .Ja z  ь : , I'Де а и Ь  полу-
осн эллипса; s  расстоянне от вершины эллипса до т. Fj' Это расстоянне обычно выбн-
рается из конструктнвных соображеннй для получения наименьшей высоты h зеркала
(рнс. 2.64) при условнн удобноro размещения электролампы с фокуснрующнм патроном.
Пусть 8  40 мм, ТОI'да в соответствин с рис. 2.65 можно запнсать
2а = 28+ 2 .Ja z  ь : .
Для любой точкн эллипса справедливо равенство
r j +r z = 2а.
Из треУI'ольника FjNFz запишем
FjFz = rj СОВО"охв +r z СОSЫоб = 2 .Ja z  ь Z .
с учетом (2.132) и (2.133) запншем выраження для определення размеров полу-
осей ЭЛЛИПСОНДНОI'О зеркала
(2.132)
(2.133)
s(s+rzсоsы об ) 
а  . ь = " 2ва  B ,
 28rz(1соsыоб)'
I'де
r z = DCB,./(2 siпы об ).
Из (2.33) найдем
1j = 2a Dсв,./(2siпыоб)'
(2.134)
ТОI'да а  133,2 мм, Ь  95,1 мм.
Определнм УI'ол охвата конденсора для случая O об m ..' Из рнс. 2.65 и формулы
(2.134) запишем
sin(180 О"охв) = D CB ..!(2r j ), ТОI'да sinO"OXB = DCB,' siпы об /( 4аSiпы об  D cB ,.) ,
ТОI'да 20"0х. = 211 о.
НайдеМ увеличение ЭЛЛИПСОИДНОI'О зеркала. В соответствни с рис. 2.64 нмеем
O. = 8'!8 = (s+FjFz)/s = (2 .JaZ  ь : +8)/8 = 5,66. (FjFZ 2c).
144

rлава 2, rабаритный расчет оптических Систем
g

..
"
......,
"
,
'\
'\
\
\
\
,.с:,
C\:I
/
/
/
./
./
м'"
Ik

2с
s
2а
Рнс. 2.65. К расчету ЭЛЛНПСОИДноrо зеркала
Запишем уравненне профиля эллнпсоидной поверхности
у; = 2rO,ZJ  (1  ef)zf.
rAe r Oj  вершннный радиус эллнпса. который для сферической поверхности можно
вычислить по формуле
r Oj = 288'/(8+ 8') = 67.9880 мм;
е,  эксцентрнситет поверхности. определяемый из соотношения:
е ! = :: :: =  1 (b/a)2 =  1  (95.1/133.2)2 = 0,7.
Уравненне профиля асферической поверхностн будет иметь вид:
У; = 135,975Z J 0.5Iz2.
(подробно о расчете систем с асферическимн поверхностями см. rлаву 7).
Найдем наибольшую высоту фотоувеличителя (рис. 2.64)
Нтох = р;.,.ч + g+h= 825 +160+66.4 = 1051.4 мм,
rAe h = 2a 8 g = 2.133,240160= 66,4  высота зеркала.
145

Расчет и проектирование оптических систем
2.5. Оптические системы для лазеров
Параметры пучка лазера и основные соотношения
при ero преобразовании оптической системой
Специфические свойства лазерноrо излучения  узкая направ
ленность, высокая монохроматичность, KorepeHTHocTb, поляризован
ность, высокая спектральная мощность  позволяют создавать новые
высокоэффективные приборы и устройства, качественно отличающи
еся от приборов и устройств С тепловыми источниками излучения. В
отличие от тепловых источников лазеры излучают неrомоцентричес
кий пучок лучей с определенным амплитудно-фазовым распределени
ем (модовым составом). Направленность излучения обеспечивается
резонатором ФабриПеро, состоящим из двух зеркал. На выходном
зеркале формируется излучение с плоским волновым фронтом, расхо-
димость KOToporo оrраничивается дифракцией.
Использование лазеров как источников излучения для решения
различных задач в большинстве случаев требует разработки оптичес-
ких систем, служащих для преобразования лазерноrо излучения:
1. Колли,м-ирующих  для преобразования лазерноrо пучка в пу
чок С малым уrлом расходимости;
2. Фокусирующих  для концентрации лазерноrо излучения в
пятно малых размеров;
3. Соzласующих  для формирования лазерноrо пучка с парамет
рами, необходимыми для соrласования с последующей оптической
системой.
Известно [7], что распространение лазерноrо излучения в свобод
ном пространстве или в оптических системах описывается с помощью
пространственных параметров: диаметра пучка 2у лазерноrо излуче
ния; расходимости 200 (плоский или телесный уrол с вершиной, со-
впадающей с точкой пересечения оси резонатора с плоскостью пере
тяжки); радиуса кривизны R волновоzо фронта; распределения мощ-
ности в поперечном сечении пучка; ближней и дальней зонами лазер-
Horo излучения (дальняя зона  область пространства вдоль оси ла
зерноrо пучка, расположенная на таком расстоянии от излучателя, Ha
чиная с KOToporo диаrрамма направленности остается постоянной).
Эти параметры получаются либо экспериментальным путем, либо рас-
считываются по известным параметрам резонатора. Связь параметров
пучка с параметрами лазера определяется типом резонатора.
Разработано несколько методов расчета характеристик лазерно
ro излучения, основанных на волновом представлении ero формиро
146

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
вания. Они позволяют рассчитать положение перетяжки лазерноrо
излучения, сформированноrо оптической системой, а также найти
диаметры пучка лазерноrо излучения в произвольных сечениях. Ta
кими методами являются [13]:
1. Метод "оnфокальnоzо параметра. В этом методе излучение,
rенерируемое лазером с произвольным резонатором, представляется
rенерируемым с помощью rипотетическоrо (эквивалентноrо) резона
тора, имеющеrо один параметр в виде ero длины R э  f(r 1 , r 2 , d). На oc
нове этоrо параметра и длины волны л. излучения определяют поло
жени е плоскости перетяжки внутри резонатора, диаметры пучка и
радиусы ero кривизны.
2. rеометрооnтичес"ие модифи"ации метода "оnфо"альnоzо na
раметра. Излучение представляется в виде пакета лучей, оrибающая
которых является rиперболой, соответствующей дифракционной при
роде распространения излучения. rеометрическая интерпретация из
лучения позволяет воспользоваться формулами rеометрической опти
ки в пар аксиальной области при прохождении лучевоrо пакета через
оптические компоненты.
3. Метод вариаnсов. В этом методе амплитуднофазовые COOTHO
шения излучения описываются в исходном сечеНI;fИ произвольным
комплексным числом V  вариансом, содержащим радиус излучения
пучка и радиус R ero волновоrо фронта. Использование варианса дoc
таточно для описания перетяжки на выходе лазера без использования
параметров резонатора.
Все методы являются эквивалентными и в ряде случаев дополня
ют друr друrа. Общим для всех методом является рассмотрение лазер
Horo пучка в виде одномодовоrо с rауссовым энерrетическим профи
лем.
Прежде чем трейти к rабаритному расчету оптических систем
для лазеров (коллимирующих, фокусирующих, соrласующих), pac
смотрим пространственные параметры пучка лазера и основные COOT
ношения при ero преобразовании оптической системой.
На рис. 2.66 показан резонатор произвольной конфиrурации из
двух зеркал 1 и 2 с радиусами кривизны r 1 и r 2 соответственно. Ла
зерный пучок, выходящий из резонатора, не является rомоцентричес
ким. Лучи совпадают с нормалями к волновому фронту, но этот фронт
только вблизи оптической оси является сферическим.
Расстояние между вершинами зеркал обозначим через d. В HeKO
торой плоскости (в плоскости АВ на рис. 2.66) волновой фронт плос
кий и в этом месте лазерный пучок имеет минимальный поперечный
147

Расчет и проектирование оптических систем
8
Рис. 2.66. Структура пучка лазера
размер 2у (перетяжку), положение которой определяют по отношению
вершин зеркал резонатора отрезками 8 1 И 82' которые можно вычис
лить по формулам {5], [7]:
 dqz(1ql)
81  -- (2.135)
q1 +qz  2q1qZ
 dql(1q2)
82' (2.136)
ql + q2  2qlq2
rде ql и q2  обобщенные параметры, определяемые соответственно
через радиусы кривизны r 1 и r 2 зеркал:
ql=(1d/rl); q2=(1d/r2)' (2.137)
Пространственные параметры лазерноrо пучка рассчитывают дЛЯ ЭК
вивалентноzо конфокальноzо резонатора, у KOToporo радиусы кривиз-
ны зеркал равны, Т.е. r 1 == r2' Фокусы зеркал совпадают. Для TaKoro
резонатора расстояние между зеркалами (т.е. радиус кривизны каж-
доrо зеркала) является конфокальным параметром лазерноrо пучка.
Любой резонатор с зеркалами разных радиусов и различным paccтo
янием между ними может быть заменен эквивалентным конфокаль
ным резонатором, конфокальный параметр KOToporo определяется по
формуле
2d  qlq2 (1  qlq2)
R = . (2.138)
э q 1 + q 2  2 q lq Z
Если одно из зеркал резонатора плоское (резонаторы современных ма-
ломощных лазеров), то перетяжка находится в плоскости ЭТоrо зер-
кала, а конфокальный параметр определяется как
148

rлава 2, rабаритный расчет оптических систем
"
R э = 2;J(rd)d. (2.139)
Если резонатор имеет два плоских зеркала, то выходящий лазер
вый пучок представляет собой совокупность плоских волн, расходя-
щихся под дифракционным уrлом. В этом случае понятия «перетяж-
ка') и «конфокальный параметр» не применяются.
Зная конфокальный парам етр R э , нах одят ди аметр 2у перетяжки:
2у = 2[ЛВ э /( 21t) =  2Щ/1t. (2.140)
Диаметр 2ys сечения пучка и радиус R волновоrо фронта в произ-
вольном месте на расстоянии 8 от плоскости перетяжки равны соот-
ветственно
2ys = 2y 1+e , (2.141)
RS=(1+2)/(2), (2.142)
rде  28jR э  относительная координата сечения.
Расходимость пучка лазера характеризуется плоским уrлом 200 и
изменяется при изменении диаметра 2у s сечения пучка на произволь-
ном расстоянии 8 от перетяжки. В этом случае, если 8» R э , то в со-
ответствии с формулой (2.141) диаметр 2ys сечения пучка изменяет-
ся линейно, поэтому пучок можно рассматривать как квазиrомоцен-
трический, пересекающийся в центре перетяжки (рис. 2.66). Тоrда
уrол 200 расходимости этоrо пучка в радианах равен
2оо = 2  2Л/(1tRэ) = 2A/(1ty).
(2.143)
в телесном уrле, соответствующем плоскому уrлу 200, заключено
около 86% Bcero потока излучения OCHoBHoro типа колебаний (для ос-
новной моды). Моды высших порядков характеризуются большими
уrлами расходимости.
Таким образом можно найти параметры лазерноrо пучка в любом
сечении (2у, 2ys, Rs, 2(0), зная положение перетяжки (81 и 82) и KOH
фокальный параметр R э .
Преобразование лазерноzо nуч"а положительным и отрицатель-
НЫМ бес"онечно тон"ими "омnонентами.
После прохождения лазерноrо пучка через бесконечно тонкую оп-
тическую систему с фокусным расстоянием f преобразованный пучок
характеризуется новым значением конфокальноro параметра R' э' но-
Вым положением перетяжки а' и z' относительно rлавных плоскостей
II задней фокальной плоскости компонента соответственно, а также
Радиусом кривизны волновоrО фронта (рис. 2.67).
149

Расчет и проектирование оптических систем
z'
a
б)
..
z
Рис. 2.67. Про хождение лазернOI'О пучка через тонкий положительный (а)
и тонкий отрицательный (6) компоненты
Пусть волновой фронт падающеrо на линзу пучка имеет радиус
кривизны R. Этому сферическому фронту соответствует воображае
мый rомоцентрический пучок, центр KOToporo расположен на paCCTO
янии s от бесконечно TOHKoro компонента и I R I  1 s 1. Таким образом,
лазер представляет собой точечный источник, расположенный на pac
стоянии, равном радиусу кривизны волновоrо фронта пучка в плос
кости TOHKoro компонента. Бесконечно тонкий компонент не искажа
ет общеrо характера распределения KorepeHTHoro поля, Т.е. преобра
зует сферический фазовый фронт волны тоже в сферический с радиу
сом кривизны К. Этому фронту также соответствует воображаемый
rомоцентрический пучок, центр KOToporo расположен на расстоянии
в' от компонента, причем 1 R' 1  1 в' 1.
в идеальной оптической системе отрезки s и в' связаны между co
бой формулой raycca, поэтому можно записать
111
R' R f'
(2.144)
Дифракционный характер изменения параметров пучка сохраня
ется и за компонентом, IIОЭТОМУ преобразованный пучок можно xapaK
150

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
теризовать новым конфокальным параметром R'э' новым положени
ем перетяжки а' и z' относительно rлавных точек и задней фокальной
плоскости компонента соответственно.
Воспользовавшись формулами, полученными в [7], запишем вы-
ражения, определяющие:
а) положение плоскости перетяжки, сформированной оптической
системой (рис. 2.67, а)
а' 1 + а/ {'
1=
{' (1+a/f,)2 + [-пэ/(2f')У
б) конфокальный параметр преобразованноrо пучка
(2.145)
R; -пэ
 (1+a/f,)2+[-пэ/(2f')У'
(2.146)
в) диаметр 2у' перетяжки и уrол расходимости 2оо' преобразован-
Horo пучКа
2у' = 2 Щ/(21t) =  2Щ/1t; (2.140')
2оо' = 2  2f.,,/(1tR;) = 2л/1tу'. (2.143')
Формулы (2.145) и (2.146) являются основными для rабаритноrо
расчета оптических систем с лазером. Эти формулы остаются справед
ливыми и для компонента конечной толщины, если расстояния а и а'
отсчитывать от соответствующих rлавных точек компонента. Исполь-
зуя формулы (2.145), (2.146), можно определять фокусные расстояния
и световые диаметры тонких линзовых компонентов, линейные раз-
меры друrих оптических деталей и расстояний между ними. И если
изза аберраций компонент должен быть сложным, то ero выбирают
или рассчитывают по правилам reометрической оптики.
Соотношения (2.145) и (2.146) можно записать и в друrом виде
через отрезки z и z', равные расстояниям от передней и задней точек
фокуса компонента до положения плоскости перетяжки исходноrо и
преобразованноrо пучков (рис. 2.67, а, 6), а именно:
R; R э .
 (z/f,)2 + [R э /(2f')У'
(2.147)
,   z
z  .
(Z/f,)2 + f R э/(2f')У
Из соотношений (2.147) и (2.148) следует, что
z' / л;, =  z/ R э .
(2.148)
(2.149)
151

Расчет и проектирование оптических систем
Из формулы (2.148) видно, что если перетяжка лазерноrо пучка
будет расположена в передней фокальной плоскости компонента
(z == О), то перетяжка преобразованноrо пучка будет находиться в ero
задней фокальной плоскости.
После TOHKoro отрицательноrо компонента (рис. 2.67, б) перетяж-
ка будет мнимой, а расходимость увеличится по сравнению с расхо-
димостью падающеrо пучка.
Если перетяжку и ее изображение рассматривать как предмет и
изображение, то поперечное увеличение Оп в перетяжке пучка лазе-
ра можно определить как
Оп = .)R;/R э или п = /Rэ.
С учетом формулы (2.147) находим, что
2 1
Оп = (Z/f,)2 + [Rj(2f,)2]
и, полаrая o = {' /z (линейное увеличение TOHKoro компонента), пос-
ле преобразования получим
2 4f,2 . 
Оп = 4f,2 + .п;'
(2.150)
'Уrловое увеличение УО п для пучка лазера
УО п = .)Rэ/R; или Уп =R../
и так как в пучке лазера соблюдается соотношение
выражения (2.150) получим
Уп =Y+[R../(2f')Y. (2.151)
Равенства (2.150) и (2.151) можно использовать для расчета раз-
мера перетяжки и расходимости пучка лазера после преобразования
ero оптической системой.
Чаще Bcero для преобразования излучения лазера используют
двухкомпонентные системы (рис. 2.68).
Найдем выражения для вычисления поперечноrо увеличения Оп
в перетяжках и уrловоrо увеличения У оп в пучке лазера для такой си-
стемы. Применяя последовательно формулу (2.147) к первому, а за-
тем ко второму компонентам, полаrая, что расстояние между задней
фокальной плоскостью первоrо компонента и передней фокальной
плоскостью BToporo компонента равно  и z 2 == Z' 1  , можно получить
выражение для конфокальноrо параметра преобразованноrо пучка
УО == l/o , то из
п ! п
152

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем

;:),
c\;j
11
;:),
c\;j
,..
;:),
c\;j
11
';:),
c\;j
z' z
1

al а' a2 а'
1 2
d
Рис. 2.68. Двух компонентная оптическая система для преобразования
лазерноrо излучения
4 f ,2 л 1?
1?'  2 "э l
""э  2'
2 4(Zl+.A) +Л;
2 1
rде A=(Zl/t!)2 + [-пэj(2f!)] . Тоrда уrловое увеличение в пучке лазера
запишетс,я в виде:
(2.152)
2 =1 1А2 = 4(Zl+.A)2+
Уо" 11-'0" м;2.А (2.153)
Если при выводе формулы (2.153) принять Z2  О (перетяжка пос
ле первоrо компонента располаrается в передней фокальной плоско
сти BToporo компонента, Z'l  ), то получим
2 ( t! ) 2 
Уо" = {; 4z; +. (2.154)
Все формулы для пучка лазера получены исходя из дифракцион
ных соображений. Поэтому естественно, что соотношения в пучке ла
зера и преобразования ero оптической системой не подчиняются за
конам rеометрической оптики.
Однако, с друrой стороны, волновой фронт пучка лазера в каж
дой плоскости представляет собой сферу, соответствующую точечно-
му источнику света в rеометрической оптике. Очевидно, что на тех
расстояниях от перетяжки, на которых всем фронтам соответствует
один и тот же центр кривизны (rомоцентрическая точка), пучок ла
153

Расчет и проектирование оптических систем
зера можно рассматривать как пучок прямолинейных лучей. В этом
случае применимы все законы rеометрической оптики. На меньших
расстояниях необходимо использовать соотношения, полученные для
пучка лазера.
Оптические системы для концентрации излучения лазера
Для получения б6льших значений энерrетической освещенности,
создаваемой лазером, поток ero излучения необходимо сконцентриро
вать в пятно минимальных размеров. Таким пятном может быть и пе
ретяжка лазерноrо пучка, преобразованная оптической системой.
Из формулы (2.140) следует, что для получения минимальноrо
сечения 2у' перетяжки преобразованноrо пучка необходимо стремить
ся к уменьшению конфокальноrо параметра К. этоrо пучка за счет
увеличения, как это следует из формулы (2.147), расстояния а от ис
ходной перетяжки до компонента и уменьшения ero фокусноrо pac
стояния {'.
Положение а' перетяжки преобразованноrо пучка определяют по
формуле (2.145) или (2.148). При этом следует иметь в виду, что при
использовании короткофокусных компонентов R.» {', поэтому co
rласно (2.148) перетяжка преобразованноrо лазерноrо пучка получа
ется вблизи задней фокальной плоскости (z'  О).
ДЛЯ полноrо использования потока излучения, создаваемоrо ла
зером, диаметр входноrо зрачка оптической системы должен быть не
меньше диаметра сечения лазерноrо пучка в плоскости входноrо зрач
ка. Если использовать в качестве оптической системы бесконечно TOH
кий компонент, то ero диаметр определится из условия
D 2ys, (2.155)
rде 2ys вычисляют по формуле (2.141), в которой величина s прини
мается равной величине а  расстоянию от rлавной точки TOHKoro
компонента до плоскости перетяжки.
Из формул (2.141) и (2.155) следует, что для получения мини
мальноrо диаметра входноrо зрачка компонента лазер необходимо pac
полаrать как можно ближе к компоненту. В этом случае даже при ис
пользовании короткофокусной системы получается минимально воз
можное относительное отверстие (D/f), что позволяет уменьшить oc
таточные аберрации компонента.
Итак, при расчете однокомпонентной фокусирующей системы
(рис. 2.67, а) определяют [4], [7]:
а) для выбранноrо типа лазера ero конфокальный параметр R. и
диаметр перетяжки 2у по формулам (2.138) и (2.140);
154

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
б) конфокальный параметр R'э преобразованноrо пучка по форму-
лам (2.140'), исходя из заданноrо диаметра 2у' перетяжки (пятна);
в) фокусное расстояние r TOHKoro компонента по формуле (2.147),
задавшись из конструктивных соображений величиной z  положе-
нием перетяжки относительно передней фокальной плоскости компо-
нента
1 f:)'
{'=О2  (4z2+.п;); (2.156)
r) диаметр D входноrо зрачка системы по формуле (2.141), rде
D  2ys' а   2а/R э ;
д) положение перетяжки преобразованноrо пучка, отрезки а', z'
по формулам (2.145) и (2.148) соответственно.
При фокусировке лазерноrо излучения в пучок с малым попереч
ным сечением следует учитывать дифракционное и аберрационное
увеличение диаметра пятна, определяемое по формуле:
2у' =о 2 ЛВ;/(2л) + 1,22л.а/ D + 2y', (2.157)
rде D  диаметр входноrо зрачка системы; Y'  поперечная сфери
ческая аберрация компонента в плоскости перетяжки преобразован
Horo пучка.
При использовании короткофокусных систем плоскость концен-
трации излучения лазера получается на небольшом расстоянии от
последней поверхности оптической системы из одноrо компонента, что
может оказаться неудобным при эксплуатации. Если фокусирующий
компонент установить на большом расстоянии от лазера, то размер
сфокусированноrо пятна будет меньше. Однако степень уменьшения
размера пятна с увеличением отрезка а невелика, так как второе сла-
raeMoe в знаменателе формулы (2.146) значительно больше первоrо.
Только на большом расстоянии а » r будет сказываться влияние пер-
Boro члена и размеры пятна заметно уменьшаться. Но при этом rаба-
риты фокусирующей системы MorYT быть очень большими.
Длину фокусирующей системы можно сократить, если сделать ее
двухкомпонентной (рис. 2.68). Второй компонент уменьшает размер
пятна, полученноrо после первоrо компонента, если а 2  2' 2' Этот ре-
зультат можно получить из формулы (2.146), если воспользоваться
общим выражением для увеличения всей системы. Сравнивая форму-
лу (2.150) для линейноrо увеличения однокомпонентной системы с
формулой (2.153) для увеличения двухкомпонентной системы, мож-
но видеть, что при Zl  О И   ( 2 линейное увеличение последней си-
стемы становится меньше соответствующей величины при использо-
155

Расчет и проектирование ОПтических систем
вании одноrо компонента. При увеличении отрезка z 1 выиrрыш ста-
новится ощутимым.
Линейное увеличение для однокомпонентной системы равно:
g/ ==4fI2/[4zf+R], (2.158)
Увеличение двухкомпонентной системы при Zl  О запишем в виде
А2 == 4 f ,2 А /[ 4/),,2 А2 + р2 ]
1-'0(1+2) 2 .. "01 ·
rде A==(Zl/t;)2 + [-пэ)(2fl)2].
Из формул видно, что изменение отрезка/)" сильнее сказывается
на значении увеличения, чем изменение Zl' Выбрав величины (1 и (2
двухкомпонентной системы, вычислив значения Z 1 и /)" при заданном
увеличении всей системы для выбранноrо типа лазера, можно найти
rабариты оптической системы.
Если необходимо сконцентрировать излучение лазера в пятно ма-
лых размеров на значительном расстоянии от последней поверхности
оптической системы (несколько сот метров), то следует также исполь-
зовать двух компонентную систему: для этоrо первый компонент надо
сделать короткофокусным, с тем чтобы получить малое значение кон-
фокальноrо параметра я:. 1 ; фокусное расстояние (2 BToporo компонен-
та и расстояние ero а 2 от перетяжки, образованной первым компонен-
том, выбирать из условия, чтобы
[я:.)(2f;)2]« (1 + a 2 /f;)2. (2.160)
В этом случае соотношения (2.145) и (2.146) после BToporo ком-
понента примут следующий вид:
(2.159)
R;2 == -пэ 2 /(1 + a2/f;)2;
1 a/f; == 1/(1 + a 2 /f;).
Если теперь выбрать значение отрезка а 2 равным
а 2 == (1 + т) {; ,
rде m  небольшая положительная величина, то
a;==[(т+1)jm]f;»f;. (2.163)
Правда в этом случае конфокальный параметр R;2 будет в 11т2 раз
больше конфокальноrо параметра я:. 1 ' Если же с помощью первоrо
компонента величину я:./ сделать достаточно малой, то размер пятна,
сфокусированноrо вторым компонентом, будет также малым, а рас-
стояние а' 2 большим.
(2.161)
(2.162)
156

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
Таким образом, расчет двухкомnoнентной системы для фокуси
рования излучения лазера на большом расстоянии можно выполнить
в следующей последовательности [4], [7]:
а) найти конфокальный параметр R;,z пучка, преобразованноrо
системой по формуле (2.140'), исходя из заданноrо диаметра 2У'2 пят-
на (перетяжки преобразованноrо пучка);
б) вычислить конфокальный параметр R;,1 и положение z' 1 пере-
тяжки пучка, преобразованноrо первым компонентом, по формулам
(2.146) и (2.148), исходя из выбранноrо положения а 1 перетяжки ла-
зера относительно rлавных плоскостей первоrо компонента и задан-
Horo фокусноrо расстояния f 1 этоrо компонента;
в) определить положение Z2 перетяжки пучка после nepBoro ком-
понента относительно передней фокальной плоскости BToporo компо-
нента из формулы (2.149): R.z/R;,z =Z2Iz, rде R. z = R;,/, а Z'2 прини-
мается равным расстоянию а' 2 от фокусирующей системы до пятна
(этим расстоянием задаются);
r) вычислить фокусное расстояние r 2 BToporo компонента,ИСПОЛЬ-
1" 1 л: z ( 2 р2 )
зуя формулу (2.147), а именно: /2=2 R. y z 2+.....z ;
д) найти минимально необходимые дАя прохождения пучка лучей
диаметры D 1 и D 2 первоrо и BToporo компонентов:
D 1 = 2Yl 1+: ; D 2 = 2Y2 1+ ,
rде 2Уl = 2  Щ /(2л)  диаметр перетяжки лазера; R.  конфокаль-
/ , 1
ный параметр резонатора лазера; 2у 2  2у 1  диаметр перетяжки пуч-
ка, преобразованноrо первым компонентом; 1 = 2а 1 / R. 1 ; 2 = 2а 2 / R. z .
Для концентрации лазерноrо излучения в пятно малых размеров,
но с большим расстоянием от последнеrо компонента, можно приме-
нить двух компонентную систему, построенную по схеме реверсивно-
ro (обращенноrо) телеобъектива, у KOToporo a, »f;б' или использо-
вать обращенные телескопические системы с насадками в виде поло-
жительных компонентов.
Оптические системы для уменьшения расходимости
лазерноrо пучка
Несмотря на то, что излучение лазера характеризуется острой на-
правленностью, тем не менее при передаче энерrии на большое рассто-
яние требуется уменьшение расход им ости 2оо лазерноrо пучка. Тре-
бование малой расходимости, соrласно формуле (2.143), совпадает с
157

Расчет и проектирование Оптических систем
условием получения большою конфокальною параметра пучка. Дoc
тижение большой величины конфокальноrо параметра за счет исполь
зования в резонаторе зеркал меньшей кривизны нежелательно, так
как резко возрастают ero дифракционные потери, а сам он станет
чувствительным к разъюстировке [7].
Рассмотрим возможность коллимирования лазерноrо пучка ok
ним тонким компонентом. Создание наибольшеrо значения конфо
кальноrо параметра за компонентом соответствует получению наи
большеrо размера перетяжки, но в таком случае перетяжка должна
совпадать с rлавными плоскостями компонента. Так как размер пуч
ка на компоненте не меняется, то для получения большей перетяжки
нужно увеличивать расстояние от лазера до компонента с тем, чтобы
за счет естественной расходимости пучка получить необходимый раз
мер на компоненте. Например, для получения расходимости пучка за
компонентом 2оо'  10" необходимо иметь размер пятна
2 == 0,50103 ор" "" 3 2 м
у 2 1 О " ,м .
ЛЫ 1t о
Тоrда при кон фокальном параметре R э  2000 мм такой размер мож
но получить лишь на расстоянии z  8 м, что практически невозмож-
но изза rабаритных соображений.
Размеры коллимирующей системы можно значительно YMeHЬ
шить при использовании двухкомпонентной системы (рис. 2.69).
Если с помощью первоrо компонента увеличить уrловую сходи
мость лучей (что и делается при фокусировке), то после перетяжки
пучок будет быстро расходиться, и необходимый размер пятна на BTO
ром компоненте может быть получен на сравнительно небольшом pac
стоянии.
Задача первоrо компонента аналоrична задаче фокусирования
пучка, и выбор параметров первоrо компонента не отличается от pac
cMoTpeHHoro выше случая. Фокусное расстояние' 2 BToporo компонен
та и ero положение Z2 относительно перетяжки, образованной первым
компонентом, выбирается в зависимости от Toro, задано ли фокусное
расстояние или rабариты системы. В первом случае, коrда задано' 2'
как это видно из формулы (2.146), второй компонент следует устано-
вить на расстоянии Z2 '2 так, чтобы перетяжка, образованная пер-
вым компонентом, совпадала бы с передней фокальной плоскостью
BToporo компонента. Если же задано Z2' то максимальное значение
конфокальноrо параметра R;z достиrается при фокусном расстоянии
BToporo компонента, равным
158

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
2
;:;;
c\;j
11
;:),
c\;j
 { 2 = {;
..
;:),
c\;j
11
';:;;
c\;j
р'
1
..

р'
2
';:),
c\;j
11
,..
;:),
c\;j
а'
2
Рис. 2.69. Двух компонентная система для уменьшения
расходимости пучка лазера
f;=z2[1+R;j(4Z;)]. (2.164)
Это выражение совпадает с формулой для радиуса кривизны волно
Boro фронта пучка, падающеrо на второй компонент. При заданном Z2
условие получения максимальноrо размера пятна, а, следовательно,
минимальной расходимости пучка выполняется, коrда фронт волны
на выходе компонента плоский.
В формуле (2.164) слаrаемое R;j(4Z;) обычно малая величина и
поэтому r 2 == Z2' Т.е. системы с заданным r 2 и Z2 практически совпа
дают. Разница между ними появляется только в том случае, коrда ди
аметр выходноrо зрачка BToporo компонента оrраничен реальной ди
афраrмой (оправой). Тоrда Z2 фактически задано и фокусное расстоя
ние ( 2 выбирается из условия (2.164).
Так как фокусное расстояние r 2 BToporo компонента совпадает с
расстоянием от перетяжки до BToporo компонента, а чем оно больше,
тем меньше расходимость, то второй компонент должен быть длинно
фокусным. Таким образом коллимирующая система напоминает Te
лескопическую, а в некоторых частных случаях полностью совпада
ет с ней. Увеличение коллимирующей системы, Т.е. отношение pac
ходимости на выходе системы к расходимости пучка лазера равно об
159

Расчет и проектирование Оптических систем
ратному отношению соответствующих размеров перетяжек:
r T Yo = 2ro'!(2ro)= 2у/(2у;).
Однако эту формулу можно применять в случае, коrда пучок cy
щественно не оrраничивается на втором компоненте.
Первый компонент коллимирующей системы может быть поло
жительным или отрицательным. Применение отрицательноrо компо
нента (рис. 2.69) предпочтительнее, так как при этом сокращаются
rабариты коллимирующей системы, исключается появление нежела
тельных тепловых явлений изза отсутствия промежуточноrо действи
тельноrо изображения, и, кроме Toro, в такой системе леrче компен
сировать сферическую аберрацию BToporo компонента.
Чаще Bcero для коллимации применяют телескопические систе
мы (афокальные насадки), линзовые или зеркальные, построенные по
схеме обращенной системы rалилея или по схеме обращенной двyx
зеркальной системы типа KaccerpeHa. Но не всеrда эти системы ис
пользуются оптимально. Из формулы (2.153) следует, что уrловое YBe
личение телескопической системы при 6  О не зависит от параметров
лазера и равно уrловому увеличению обычной телескопической сис
темы. Действительно, подставляя в (2.153) значение коэффициентаА
из (2.152) и принимая 6  О, получим
Ул = r; ,
rде у Ол  уrловое увеличение коллимирующей системы для лазера;
r T  видимое увеличение телескопической системы.
С друrой стороны, при Z2  О, Т.е. при Z'l  6, получено выраже-
ние (2.154), в котором отношение (t;lt;)2 = r;. Следовательно, в ЭТО1\(
случае
У 2 = r 2 . R 2 J( 4Z2 + R 2 )
Ол т 3/ 1 31'
Так как величина [J(4zi +Л;/)] всеrда меньше единицы (при Zl ()
она равна единице), то увеличение коллимирующей системы станО".
вится меньше, что и необходимо для получения минимальной pacxo'
димости.
Таким образом, устанавливая второй компонент коллимирующей
системы так, чтобы перетяжка пучка, преобразованноrо первым ком-
понентом, располаrалась в передней фокальной плоскости BToporo
компонента, получим уrловое увеличение меньше, чем в случае, Kor-
да 6  О. Если это условие соблюдается, то надо стремиться к тому,
чтобы отрезок Z 1 был большим. Однако с увеличением Z 1 пучок может
виньетироваться на оправах компонентов, кроме Toro, при !l,.1 »Zl
160

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
влияние члена 4z; невелико. Поэтому величину z 1 и выбирают из кон-
структивных соображений.
При достижении очень малой расходимости 20)' лазерноrо пучка
величина перетяжки преобразованноrо пучка становится такой боль-
uюй, что пучок оrраничивается реальными диафраrмами оптической
системы, обычно оправой BToporo компонента. Поэтому расходимость
пучка на выходе коллимирующей системы будет определяться не ra-
баритными соотношениями, а дифракцией на этом компоненте.
При расчете двух компонентной системы для уменьшения расхо-
димости пучка лучей лазера определяют [4], [7]:
а) конфокальный параметр R. 1 для выбранноrо типа лазера с из-
вестными л, 2у  2у 1  D и 20);
б) уrловое увеличение У Оп коллимирующей системы (афокальной
насадки на лазер):
 0)'  2у  rк
УО п ы 2у'  R; '
rде 0), 0)' уrлы расходимости лазерноrо пучка на входе и выходе кол-
лимирующей системы; 2у = 2Уl' 2у' = 2У2' R. = R. J и Я; = Я;Z  диа-
метры перетяжек иконфокальные параметры соответственно лазер-
Horo и преобразованноrо пучков лучей; обычно УО п  (O.02' JO.2)X;
в) диаметр D 1 первоrо компонента по формуле п 1  2у 1 +  2 . r де
  2а 1 /R э ; а 1  положение перетяжки лазера относительно rлавных
плоскостей первоrо компонента, выбранное из конструктивных сооб-
ражений;
r) фокусное'расстояние r 1 первоrо компонента с учетом Toro. что
из-за аберрационных соображений относительное отверстие D 1 / {' 1
компонента не должно быть больше 1 :4;
д) величину расфокусировки !:!, равную смещению z' 1 положения
перетяжки преобразованноrо пучка относительно задней фокальной
плоскости первоrо компонента
z
!:!=z= 1
(Zl/t{)2 + [R.)(2t;)Y
rде Zl = а 1 + {;; R. 1 = R..
е) конфокальный параметр Я;1 пучка. преобразованный первым
компонентом
Я;J = 2 R.t ]2 ;
(1 + a 1 /t{) + R. 1 j(2t;)
161

Расчет и проектирование оптических систем
ж) диаметр 2у' 1 перетяжки пучка, преобразованноrо первым KOM
понентом
2y == 2  л.R;j(27t) ==  2л.R;,1/7t;
з) фокусное расстояние BTOporo ко мпонен та
{; == {; R. 1 /( у oJlfi z ; + );
и) диаметр BToporo компоне:fJта
Dz  2Yz == 2y 1 + ,
rде z == 2a z / R. z == 2 {;/ R;,1 .
Расчет оптических систем ДЛЯ соrласования параметров лазерно
ro пучка с последующими оптиqескими элементами аналоrичен pac
чету рассмотренных выше ОптJ{ческих систем для концентрации и
коллимации лазерноrо излучения.
Основные требования к разработке оптических систем
для преобразования лазерноrо излучения
При разработке принципиaJI ЬНЫХ оптических схем и их расчете,
а также при выборе оптических материалов надо учитывать свойства
лазерноrо излучения, закоНЫ ero распространения и взаимодействия
с оптической средой.
Особенности лазерноrо излучения приводят к ряду нежелатель
ных эффектов, которые требуют принятия специальных мер.
Возникновение интерференционных эффектов искажает про
странственную структуру сформированных оптической системой пуч
ков. Чтобы избежать их, надо соответствующим образом выбирать
толщину оптических деталей. 110 этой же причине нежелательно ис
пользование склеенных оптических деталей, например, склеенноrо
компонента. Наличие тонких клеевых слоев, вызывающих интерфе
ренцию, приводит к искажениЮ структуры пучка. Кроме Toro, при
воздействии мощноrо излучения лазеров клеевые слои разрушаются.
При расчете систем ориентацИи, rеодезических светодальномеров,
интерферометрических и поляриметрических приборов надо учиты
вать деполяризующее действие оптических деталей. Даже в любых
оптических системах, в которых состояние поляризации не имеет ни
KaKoro значения, оно может оказать существенное влияние на энер
rетический расчет. Это объясняется несколькими причинами:
1. Коэффициент отражения (пропускания) излучения оптически
ми элементами зависит от состояния поляризации.
2. При взаимодействии с оптическими поверхностями происходит
деполяризация излучения.
162

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
3. Распределение интенсивности в сфокусированном кружке за
висит от уrла сходимости лучей и состояния поляризации.
4. Чувствительность приемников излучения в ряде случаев зави
сит от поляризации излучения.
ПО этой причине необходимо выбирать схему с наименьшим чис
лом деполяризующих элементов, к которым относятся призмы пол
Horo BHYTpeHHero отражения, линзовые и зеркальные детали с уrла
ми падения больше 100. Поэтому надо правильно выбирать кривизны
отражающих поверхностей, вид покрытия, устанавливать плоские
элементы так, чтобы уrлы падения не превышали критических зна
чений.
К отрицательным последствиям приводят сфокусированные бли
ки, возникающие в результате отражения излучения от поверхностей
системы.
Под действием мощноrо излучения MorYT возникать нежелатель
ные нелинейные явления, про изойти оптический пробой и Т.П. Поэто
му надо выбирать оптическую схему, в которой не образуется проме
жуточное действительное изображение. При работе с мощными лазе
рами надо правильно выбирать оптические материалы с учетом их лу
чевой (оптической) прочности, чтобы не произошло их разрушение.
Достаточной лучевой прочностью обладает, например, стекло К8.
При решении вопроса о выборе вида системы  линзовой, зер
кальной (зс) или зеркальнолинзовой (злс)  надо принимать во вни
мание прежде Bcero рабочий спектральный диапазон. В видимом и
ближнем инфракрасном (ИК) диапазонах используются линзовые си
стемы, а в дальнем ИК диапазоне  чаще Bcero зс и злс, имеющие
значительно меньшие осевые размеры и массу.
зс имеют широкий спектральный диапазон, вследствие чеrо они
MorYT работать в мноrоканальных системах, спектрально разделен
ных. Однако центральное экранирование зс и злс оrраничивает их
применение. При преобразовании лазерноrо пучка этими системами
неизбежны потери излучения, величина которых зависит от коэффи
циента экранирования, а также изменение диаrраммы направленно
сти. Для соrласования rayccoBa пучка с зс или злс используют aK
сиконы, изменяющие распределение интенсивности в сечении пучка
и расширяющие rраницы применения систем с центральным экрани
рованием.
Оптические системы, преобразующие лазерное излучение, не
дают изображение, а формируют излучение в пучке с заданным pac
пределением амплитуды и фазы. Поэтому эти системы можно услов
но отнести к классу осветительных.
163

Расчет и проектирование оптических систем
Преобразование пучка оптической Системой достиrается в OCHOB
ном за счет изменения кривизны волновоrо фронта на поверхностях
оптических деталей системы. Иноrда средством для получения задан
Horo распределения MorYT служить и аберрации системы (например,
ваксиконах).
Для 1Jыполнения rабаритноrо расчета системы лазерный пучок с
произвольным амплитуднофазовым распределением заменяется MO
делью, для которой известен метод расчета. К выбору модели  KBa
зиоптической или rеометрооптической  надо подходить особенно
тщательно, учитывая особенности излучения KOHKpeTHoro лазера и
требования к преобразованию пучка [7].
Как было отмечено выше, во мноrих случаях можно с успехом ис
пользовать rеометрооптическую модель. Это было MHoroKpaTHo про
верено расчетом оптических систем и последующими испытаниями и
работой их в приборах .
rабаритный расчет оптических систем для коллимации
и концентрации лазерноrо излучения при использовании
rеометрооптической модели излучения
Расчет систем для "оллимации лазерnоzо излучеnия.
Системы для коллимации излучения, или "оллимирующие систе-
мы, предназначены для уменьшения уrла расходимости 2(0 пучка лу
чей лазера. Для различных типов лазеров уrол 2(0 меняется от He
скольких уrловых минут до нескольких десятков rрадусов. Для
уменьшения уrла расходимости лазерных пучков лучей используют
телес"оnичес"ие системы, иноrда называемые афо"альnыми nacaд
"ами. Они MorYT быть линзовыми и зеркальными в зависимости от
спектральноrо диапазона излучения и требований к структуре преоб
разованноrо излучения.
Линзовые коллимирующие системы (рис. 2.70) представляют co
бой обратные системы rалилея (рис. 2.70, а) или Кеплера (рис. 2.70,6).
Предпочтительней применять обратную систему rалилея, не дающую
промежуточное действительное изображение, недопустимое при ис
пользовании мощных лазеров. Однако известно применение обратных
систем Кеплера при использовании лазеров малой мощности в систе
мах оптической обработки информации.
Возможно использование зеркальной системы  обратной систе
мы Мерсенна (рис. 2.71) или ее модификаций с асферическими повер
хностями (расчет см. в rл.6).
164

rлава 2, rабаритный расчет оптических систем
 0)'
а)
б)
O)
РН
Н 2 H
о)
о)
0)'
t;
a
 { 2
d==L
a
{;  { 2
d==L
Рис. 2.70. Оптические системы для коллимации лвзерноrо излучения
а) обратная система rалилея. б) обратная система Кеплера
Рис. 2.71. Обратная система Мерсенна
Основными оптическими
характеристиками коллимиру
ющей системы являются [4]: yr
ловое увеличение Уо' уrловое
поле 2(0' (уrол расходимости пуч
ков лучей) в пространстве изоб
ражений, диаметр D входноrо
зрачка, равный диаметру BЫXOД
Horo торца лазера, положение ар
входноrо зрачка относительно
первоrо компонента, длина L си
стемы, длина волны Л. излучения лазера.
Для KOHKpeTHoro лазера известны величины л., D и 20). Расчет си
стемы аналоrичен rабаритному расчету телескопической системы
(п. 2.1).
Вначале находят уrловое увеличение Уо системы: Уо  tgO)' /tgO). В
случае малых уrлов можно использовать приближенную формулу
Уо == 0)'/0). Обычно Уо == 0,2...0,02.
Затем определяют диаметр п' выходноrо зрачка телескопической
системы, используя формулу уrловоrо увеличения: ])' == п/уо. Чаще
Bcero п' == 5...12 мм. Световой диаметр первоrо компонента вычисля
ют по формуле
O)
F,'
1
F 2
р
d
Bp
D CB1 == п+ 2а р tgO).
Иноrда рекомендуют выбирать п св == 1,12D, что справедливо лишь
Для дифракционнооrраниченных систем, Т.е. систем, в которых oc
165

Расчет и проектирование оптических систем
таточные аберрации не оказывают заметноrо влияния на изменение
параметров лазерноrо Пучка. (При условии сохранения структуры ra
ус сова пучка диаметр компонента выбирают из соотношения D CB 
 2,2D).
Затем ВЫЧисляется диаметр D CB2 BToporo компонента. Часто при
малом уrле расходимости 20) принимают, что D CB2 == D' . В этом случае
коэффициент виньетирования k", == 1  211h/ D' [4].
Фокусное расстояние f' 1 находят из условия, что относительное
отверстие (относительный диаметр) первоrо компонента не более 1:3,
иноrда 1:2 при небольших значениях {'1'
Фокусное расстояние f'2 определяют из формулы увеличения:
f; ==  f; /у о ' вычисляют длину системы L == {; + f; и выбирают KOHCTPYK
ции компонентов.
Расчет систем для концентрации лазерноzо излучения
Оптические системы, фокусирующие лазерное излучение, или
системы для концентрации лазерноrо излучения предназначены для
получения наибольшей поверхностной плотности излучения в круж
ке или на площадке малых размеров.
Для этоrо используют объектив, отдельную линзу или систему из
нескольких компонентов, устанавливаемых за выходным торцом ла
зера, с фокусным расстоянием f' и уrлом расходимости 20) пучка лу
чей. Они фокусируют излучение в задней фокальной плоскости на пло
щадку диаметром Ь, тоrда
Ь== 2f'tgO). (2.165)
Часто ставится задача получения минимально возможноrо диа
метра сфокусированноrо пятна. Однако следует учитывать при расче
те, что предельный дифракционный размер пятна можно получить
при использовании безаберрационной системы и лазерных пучков с
идеальным распределением интенсивности излучения.
В общем случае диаметр Ь пятна определяется назначением сис
темы. Например, для операций на сетчатке rлаза лазерный пучок фо
кусируется, образуя кружок диаметром 1 мкм.
Ясно, что при таких требованиях к оптической системе она дол
жна иметь небольшое фокусное расстояние. Поэтому при использова
нии простой линзы или однокомпонентноrо объектива плоскость KOH
центрации лазерноrо излучения расположена близко от линзы или
объектива. Это вызывает неудобства при эксплуатации и нежелатель
ные эффекты, например, зarрязнение и повреждение последней повер
хности системы продуктами взаимодействия излучения с обрабатыва
емым материалом в технолоrических установках и Т.п.
166

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
Вследствие этоrо применяют двухкомпонентный обратный (peBep
еивный) телеобъектив (рис. 2.72) или трехкомпонентную систему
(рис. 2.73), состоящую из обратной системы rалилея (реже Кеплера 
для маломощных лазеров) и объектива или линзы с фокусным paCCTO
лнием f З' Первая система короче второй и может применяться при
использовании мощных лазеров. Подобные системы позволяют полу
чить большой задний отрезок, в несколько раз превышающий фокус
ное расстояние системы, при сохранении малой величины {'. Следо
вательно плоскость концентрации излучения значительно отдаляет
ел от системы, эквивалентной обратному телеобъективу.

Н 2 H
{'
ap
d
a.
L
Рис. 2.72. Оптическая схема линзовоrо обратноrо телеобъектива
Известно также применение обратноrо зеркальноrо телеобъекти
ва (рис. 2.74, а). Ero расчет приведен в rл. 6. Ero применяют, напри
мер, в установках для лазерной обработки материала, не требующих
высокой интенсивности в зоне обработки. Для этих же целей исполь
зуют децентрированный, или внеосевой обратный телеобъектив
(рис. 2.74, 6).
Основными оптическими характеристиками системы дЛЯ KOH
центрации излучения являются фокусное расстояние (, относитель
ное отверстие D If, задний отрезок в' F' (а' 1"')' величина диаметра о круж
ка сфокусированноrо излучения, длина волны л. излучения, располо-
жение и диаметр торца лазера (входноrо зрачка), ар и п.
Исходными данными для расчета являются перечисленные выше
оптические характеристики, а также уrол расходимости лазера. Иноr
да задается оптическая длина L системы.
167

Расчет и проектирование оптических систем
а)
 р
;'
oo
a d] d z a, == f;
L
б)
oo
ap
d
d z
a, == f;
L
Рис. 2.73. Оптические схемы трехкомпонентных систем, эквивалентных
обратному телеобъективу:
а) схема, состоящая из обратной системы rалилея и отдельной линзы;
б) схема, состоящая из обратной системы Кеплера и отдельной линзы
При выбранной rеометрической модели излучения расчет BeдeT
ся в предположении, что каждая точка последней поверхности зерка
ла резонатора лазера излучает пучки лучей с уrлом расходимости 200,
и оси этих пучков параллельны между собой (рис. 2.75).
Вначале рассмотрим расчет трехкомпонентной системы
(рис. 2.73, а). Из этоrо рисунка видно, что
h h f' f'
Yo========' (2.166)
h z h3 f; a,
Известно, что Уо == tgro' jtgoo, поэтому rtgoo  r зtgоо'  Ь.
Рассчитывать систему можно в такой последовательности. Из
(2.165) определяют фокусное расстояние системы: r == bj(2tgoo).
При малом уrле расходимости можно использовать приближен
ную формулу: r == 3438'bj(2ro).
Уrловое увеличение телескопической системы находят из (2.166):
Уо  r j а' 1'" и далее рассчитывают эту систему. Световой диаметр пер
168

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
а)
ro

р
ro
Bp
Р'
d
B, =L
6)
Р'
Рис. 2.74. Оптические схемы зеркальных обратных телеобъективов:
а) осесимметричный обратный телеобъектив;
б) внеосевой обратный телеобъектив
Boro компонента определяется так же, как при расчете коллимирую
щей системы [12].
Формулы для определения фокусных расстояний компонентов
найдем, решив два уравнения: d (1 + (2 и уо  (1/(2'
В результате получим:
{;= yod/(y о  1); {; = d/(1  Уо)'
Для определения f 1 И (2 вели
чиной d задаются или определяют,
исходя из заданных rабаритов сис
темы. При выборе значения d надо
находить относительные отверстия
компонентов, с тем чтобы их значе
ния не были завышены и не приве
ли к усложнению конструкции. В
зависимости от {' берут D/f' '"
 р
ap
{'
РИс. 2.75. rеометрическая модель
Излучения применительно к ero KOH
центрации отдельной линзой
'" 1:2...1:3.
169

Расчет и проектирование оптических систем
При малой расходимости пучка лучей D == D .
св 2 СВЗ
Следует обратить внимание на то, что для дифракционнооrрани
ченных систем иноrда рекомендуют следующее соотношение световых
диаметров линзовых компонентов и размеров лазерных пучков на
этих компонентах: п св  1.12 D пучкв '
Рассмотрим особенности расчета двухкомпонентноrо обратноrо
телеобъектива (рис. 2.72) при тех же исходных данных.
Расчет удобно выполнять для нормированной системы (при
r == 1). в соответствии с нормировкой первоrо вспомоrательноrо луча
0,1  О, аз  1, a z  <Р 1 ,h 1  r  1, тоrда h z == a , ,rде /1'р' == a,/f'.
Прежде Bcero из rабаритноrо расчета надо определить f'1,f z и d.
Для нормированной системы определим <р1' <Pz и а.
Для определения трех неизвестных величин запишем два ypaBHe
ния: <PI + h z <P2 == 1; h 2 == a , = 1  aa z == 1  а<Р1'
Если задано L, то появляется третье уравнение L = d + а'ро .
Если L не задано, то необходимо выбрать значение a z  <Р1 или а.
Выбрав а, определим <Р1 и <Pz из соотношений:
 1  h z  1  a ,.  1  <р 1
<Р1   ,<pz.
d d ар,
Для реальноrо значения {' получим:
fi==f'/<P1; f;=f'/<pz; d==a'f'.
Значением d или a z можно задаваться таким образом, чтобы <Р1 и
<Pz были возможно меньшими, что приведет к большим {' и, следова
тельно, меньшим значениям относительных отверстий компонентов
и более простой их конструкции. Усложнение конструкции компонен
тов вызовет уменьшение коэффициента пропускания 1: системы и сни
жение плотности излучения.
Диаметры компонентов определяются так же, как рассмотрено
выше.
В отдельных случаях для концентрации излучения применяют
ся простые линзы. Это MorYT быть линзы блаrоприятной формы и рас-
считанные на минимум сферической аберрации.
Требования к разработке отдельной линзы зависят от назначения
оптической системы, что ярко иллюстрирует приведенный ниже при-
мер применения ПЛОСКОI'иперболоидной ан аберрационной линзы, на-
зываемой линзой Декарта (см. рис. 7, расчет в rл. 7).
При создании систем для концентрации излучения, например,
излучения лазера на неодимиевом стекле в экспериментах по высоко-
температурному HarpeBY плотной плазмы предъявляются требования
170

rлава 2. rабаритный расчет оптических систем
максимальной светосилы фокусирующей системы и минимальноrо
пути прохождения в нем луча.
Выполнение первоrо требования позволяет получить максималь
ную интенсивность излучения в каустике объектива, а также прово
дить исследование при разных условиях фокусировки. Выполнение
BToporo требования дает возможность минимизировать самофокуси
ровку лазерноrо пучка в материале линз или линзы, что также спо
собствует увеличению интенсивности в каустике. Большой апертур
ный уrол а'к позволяет снизить вредное влияние рефракции лазерно
ro пучка в плазменной короне.
Однако эти преимущества светосильной оптики реализуются
лишь при отсутствии или малой величине аберраций в пределах yr
ловой расходимости лазера. Аберрации отрицательно сказываются
также на равномерности облучения исследуемоrо объекта и MOryT при
водить К возникновению и развитию неустойчивости плазмы, образу
ющейся при взаимодействии с веществом.
При этих условиях хорошие результаты дает плоскоrиперболоид
ная линза, полностью свободная от сферической аберрации. При плот
ностях потока излучения, при сущих современным лазерам, положи
тельным фактом является распространение в материале этой линзы
параллельноrо пучка. Это снижает влияние самофокусировки, особен
но леrко развивающейся в сходящихся пучках. Для исключения по-
вреждений вдоль оптической оси, как показал расчет хода лучей, OT
раженных от поверхностей линзы, необходимо сделать сквозное OTBep
стие. При ['  170 мм, диаметре линзы 120 мм, диаметр отверстия 
6 мм, что дает потерю энерrии около 0,2% .
Расчеты и эксперимент показали, что использование линзы Дe
карта rораздо эффективней, чем трехлинзовоrо объектива с просвет
ленными поверхностями.

Расчет и проектирование оптических систем.
rЛАВА з. АБЕРРАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ.МЕТОДЫАБЕРРАционноrо
РАСЧЕТА
з. 1 . Общие понятия
Под аберрационным расчетом понимают такой расчет оптической
системы, в результате KOToporo определяются конструктивные пара
метры элементов схемы, обеспечивающие необходимое качество изоб
ражения или нужную структуру выходящих пучков. Кроме собствен
но аберрационноro проводятся rабаритный и светотехнический расче
ты, которые всеrда предшествуют аберрационному. От Toro, насколь
ко правильно выбраны тип и схема системы, зависят результаты pac
чета, так как этот выбор в значительной мере определяет коррекци
онные возможности системы, а в итоrе и качество изображения.
Для ряда типов оптических систем существует взаимосвязь опти
ческих и фотометрических параметров, поэтому результаты rабарит
Horo расчета проверяются светотехническим расчетом.
На втором этапе аберрационноrо расчета выбирают конструкции
отдельных компонентов или узлов в зависимости от оптических xa
рактеристик, от заданных значений допустимых остаточных абер
раций и выполняют их расчет  определяют конструктивные пара
метры, коэффициенты деформаций асферических поверхностей, если
таковые необходимо ввести в систему.
Если можно из каталоrа, архива, патентов и друrих источников
подобрать rOToBble компоненты с известными r, d, n, то на этом этапе
по известным конструктивным параметрам выполняют аберрацион
ный анализ, определяют аберрации и по ним уже судят о приrоднос
ти системы. Эта задача леrко решается.
172

rлава 3. Аберрационный расчет оптических систем. Методы аберрационноrо расчета
Если требуется синтезировать оптическую систему (определить ее
r, d, п), то необходимо знать аналитическую зависимость между задан
ными значениями аберраций и конструктивными параметрами. Эта
задача наиболее трудная при создании новых оптических систем.
В общем виде аналитическая связь может быть записана лишь в
области аберраций TpeTbero порядка. Применение теории аберраций
TpeTbero порядка позволяет не только определять r, d, п, но и ответить
на вопрос, можно ли рассчитать оптическую систему с заданным Ka
чеством изображения.
3.2. Методы аберрационноrо расчета оптических
систем
Известно несколько методов аберрационноrо расчета: метод проб;
алrебраический метод, или метод разделения переменных; компози
ционный.
Метод проб
Первоначально из каталоrов, архивных данных, патентов, а если
есть машинные архивы, то с помощью ИПС по требуемым характери
стикам подбирают наиболее подходящую оптическую систему, KOTO
рую пересчитывают при необходимости на требуемое фокусное paCCTO
яние или линейное увеличение. Для этоrо определяют коэффициент
масштабирования у == f' тplf к' rде f тр  требуемое значение фокусно
ro расстояния; f к  значение фокусноrо расстояния из каталоrа, и все
значения радиусов кривизны, толщин и воздушных промежутков YM
ножа10Т на этот коэффициент. При выборе прототипа следует обратить
внимание на то, чтобы 2оо < 2оо , -F' == 1. , .
тр  к ' тр К
Систему, пересчитанную на требуемое фокусное расстояние, при
нимают за исходную и выполняют аберрационный анализ по универ
сальным проrраммам, оценивают качество изображения и, если оно
не удовлетворяет техническому заданию, то выполняют оптимизацию
до получения оптической системы с требуемым качеством изображе-
ния. Для выбора коррекционных параметров находят зависимости
между изменениями аберраций и изменениями конструктивных па
раметров.
Если выбранная из каталоrа и пересчитанная на требуемые xapaK
теристики оптическая система после оптимизации не позволяет полу
чить желаемоrо результата, то выбирают друryю или усложняют ис
ходную.
173

Расчет и проектирование оптических систем
Расчет оптических систем методом проб достаточно трудоемок,
длителен и не способствует созданию новых, патентночистых опти
ческих систем. Оптикконструктор должен иметь высокую квалифи
кацию и хорошую интуицию.
Если методом проб рассчитать оптическую систему нельзя, то сле
дует использовать композиционный метод  самый эффективный Me
тод создания патентночистых высококачественных систем с высокими
оптическими характеристиками.
Композиционный метод
Расчет оптических систем методом проб и алrебраическим мето-
дом, который подробно описан далее, приводит фактически к реше
нию одной и той же задачи: изучению влияния различных парамет
ров уже выбранной оптической системы на аберрации и отысканию
таких значений конструктивных параметров, при которых аберрации
будут допустимыми. Эти методы не затраrивают вопрос о выборе ис-
ходной системы, обладающей необходимыми свойствами для YCTpa
нения аберраций.
Исторически стали складываться приемы построения оптических
систем с заранее известными коррекционными возможностями [18].
Так, в 1634 r. Мерсенн создал телескопическую систему из двух па
раБОЛОИДRЫХ зеркал. Оказалось, что такая система свободна от сфе-
рической аберрации, меридиональной комы и астиrматизма. Суттон
предложил схему концентрическоrо линзовоrо 9бъектива, свободно-
ro от комы, астиrматизма, дисторсии, хроматизма увеличения для
произвольно большоrо поля. Шмидт для исправления сферической
аберрации зеркал использовал афокальную коррекционную плаС1'ИНУ
и, установив ее в центре кривизны сферическоrо зеркала, исправил
кому, астиrматизм и дисторсию.
В микроскопах для микрообъективов с большими апертурами
были введены фронтальные линзы с апланатической поверхностью,
что обеспечило большую апертуру без внесения сферической аберра-
ции и комы. Рудольф первый ввел в схемы объективованастиrматов
склеенные аномальные поверхности. Ш1'ейнrель разработал схемы
симметричных объективов. Вследствие симметрии обеспечивалось ис-
правление нечетных аберраций  комы, ДИС'l'орсии, хроматизма YBe
личения.
Перечисленные выше работы положили начало созданию оптичес-
ких систем, в которых предусма'rривается возможность устранения
тех или иных аберраций, Т.е. к композиционному методу расчета.
174

rлава З. Аберрационный расчет оптических систем. Методы аберрационноrо расчета
Кроме Toro, в процессе развития оптическоrо приборостроения
накапливались и теоретические материалы по композиции оптичес
ких систем: были получены формулы, позволяющие определить абер
рационное виньетирование в зависимости от значения комы в зрачках
для части системы, расположенной впереди материальной диафрar
мы; получены точные формулы для расчета астиrматизма асферичес
ких поверхностей BToporo порядка и формулы, определяющие влия
иие малых деформаций сферических поверхностей на неэлемеитарные
аберрации, а также их влияние в зависимости от положения дефор
мированной поверхности относительно зрачка и плоскости изображе
ния; развиты приемы устранения астиrматизма; предложено разделе
ние конструктивных элементов оптической системы на базовые, или
силовые, коррекционносиловые, коррекционные с малой оптической
силой и Т.д. Все это позволило создавать оптические системы Toro или
иноrо назначения, выбирать для исходной системы базовые элемен
ты и уже после этоrо в зависимости от значений остаточных аберра
ций базовых элементов определять коррекционносиловые и KoppeK
ционные элементы, что дало возможность заранее выполнить необхо
димую коррекцию и избежать неоправданноrо наrромождения ненуж
ных элементов.
Композиционным методом можно создать оптическую систему:
по набору из поверхностей с известными аберрационными свой
ствами [16];
путем синтеза по базовым компонентам [16];
простейшим параметрическим синтезом для систем с невысоки
ми оптическими характеристиками [18], [19].
Синтез оптических систем по набору из поверхностей с задан
ными свойствами. Этот метод применяют для синтеза особо CBeTO
сильных (1:0,7...1:1,2) и широкоуrольных (20) > 600) объективов, для
которых друrие методы практически отсутствуют.
В качестве поверхностей с известными свойствами используют
изопланатические поверхности, вносящие примерно одинаковые абер-
рации по всему полю. Синтезируя оптическую систему на базе линз с
изопланатическими поверхностями, можно получить исходную сис-
тему, обладающую хорошими коррекционными возможностями для
последующей оптимизации.
Этот метод, предложенный и разработанный М. М. Русиновым
[16], позволяет избежать введения в систему .лишних. параметров и
дает возможность проводить исследования свойств и коррекционныХ
возможностей в области действительных лучей.
175

Расчет и nроектирование оптических систем
ОСНОВНЫМИ типами поверхностей Являются:
аn.1lанатичесн:ая поверхность, которая образует идеальное
изображение одной сферы на друryю (тип А). Апланатическая Повер
хность при совпадении предмета со сферой будет свободна от аберра-
ций по всему полю;
"онцентричесн:ая поверхность по отношению" зрач"у (тип К3).
На эту поверхность rлавный луч падает по нормали, поэтому она не
вносит астиrматизма и комы, а имеет только сферическую аберрацию
и кривизну поля изображения;
н:он.центричес"ая поверхность по отношению" осевой тОч"е
nреамета (тип КП). ДЛЯ осевой зоны она обладает строrим апланатиз-
мом, но при удалении точки предмета от оси аберрации быстро возра-
стают.
Набор из указанных поверхностей можно вести в rауссовой облас-
ти, но полученная при этом система может иметь большие аберрации
для внеосевых точек предмета и даже не обеспечивать прохождение
реальных лучей. Поэтому рациональнее определять кривизну повер-
хностей по rлавному лучу, идущему от крайней точки предмета.
ДЛЯ определения значений кривизны поверхностей получены
формулы, которые проrраммой вводятся в память ЭВМ. Набор опти-
ческой системы по поверхностям с применением этих формул произ-
водится в процесс е расчета rлавноrо луча и бесконечно узких пучков,
проходящих через систему. Перед началом расчета определяется кри-
визна поверхности в зависимости от ее типа и выполняется расчет хода
луча по формулам Федера. Последовательность поверхностей различ-
Horo типа, а также осевые расстояния и положение зрачка задаются
разработчиком. Наиболее трудной задачей синтеза является опреде-
ление осевых расстояний, обеспечивающих заданные значения фокус-
Horo расстояния, линейноrо увеличения, заднеrо фокальноrо отрезка
и тех аберраций, исправление которых не обеспечивается автомати-
чески свойствами изопланатических поверхностей. Все эти характе-
ристики зависят от незначительных изменений осевых расстояний,
поэтому приближенное задание последних разработчиком без ЭВМ
затруднительно. Вот почему необходимым этапом синтеза является
автоматическое определение значений осевых расстояний.
В проrрамме синтеза, разработанной в Санкт-Петербурrском ro-
сударетвенном институте точной механики и оптики, эта задача реша-
ется как задача оптимизации [16]. При этом в качестве параметров оп-
тимизации выбираются осевые расстояния и положение апертурной
диафрarмы или зрачка, а в качестве оптимизируемых функций  ОТ-
клонения от заданных значений таких характеристик, как линейное
176

rлава 3. Аберрационный расчет оптических систем. Методы аберрационноrо расчета
увеличение Р О ' положение плоскости изображения  отрезок в/, по-
ложение входноrо и выходноrо зрачков  отрезки вр, в/ р " HeKOH
тролируемые автоматически аберрации.
В оrраничения включаются условия прохождения rлавноrо и
апертурноrо лучей на всех поверхностях, а также условия конструк-
тивной реализации системы.
Разработчик задает тип поверхностей, их число и начальные, весь-
ма приближенные значения осевых расстояний. Проба состоит в на-
боре системы из поверхностей с теми значениями осевых расстояний
d, которые соответствуют значениям параметров оптимизации в дан-
ной точке пространства параметров, в расчете хода лучей и определе-
нии необходимых характеристик.
Оптимизация проводится модифицированным методом наимень
ших квадратов с контролем оrpаничений методом штрафных функций
[15], [16]. Особенностями оптимизации в процессе синтеза являются
специфические параметры оптимизации, связанные с типом синтеза,
небольшое количество оптимизируемых функций (двепять аберра-
ций), но значительное число оrраничений (условий прохождения лу-
чей, построения системы, конструктивных оrравичений).
Этот метод позволяет просматривать множество вариантов, а так-
же в широких пределах менять конструкцию для получения требуе-
мых результатов, приrодных для последующей оптимизации. Таким
методом М.М. Русинов синтезировал светосильные широкоуrольные
фото и rидрообъективы [16].
Пример 3.1. Требуется сиитезировать светосильный широкоуrольиый фотообъек-
тив с 200  800, А'  0,25, r 06  (50 I 2) мм.
Решен.ие. Такой объектив был синтезировав М. М. Русииовым рассмотреиным выше
методом на ЭВМ [16]. Объектив синтезировался из шести поверхностей со следующей
последовательностью: K3K3AK3AK3. Апертуриая диафраrма расположена
после первой лиизы. Линзы выполиеиы из стекол марок ТФ7ТICI6ТIC16. Последо-
вательность поверхностей предложена М. М. Русииовым.
Система состоит из трех лииз, первая из которых коицентрична зрачку, вторая и
третья образованы апланатической и концентрической зрачку поверхностями. Началь-
ные зиачеиия осевых расстояиий указаны на рис. 3.1.
На первом шаre сиитеза при наборе системы было нарушеио условие прохождеиия
апертуриоro луча на второй поверхиости. На втором шаre процесса это явлеиие было ус-
транеио, но оказались нарушеииыми условия преломлеиия без полиоrо BHyтpeHHero от-
ражения и прохождеиия апертурноro луча иа четвертой поверхиости.
На третьем шаre процесса система была построена полиостью без нарушения усло-
вий прохождеиия, одиако фокусиое расстояние ('06 сильио отличалось от задаииоro, кро-
ме Toro, толщииа по краю у второй лиизы оказалась слишком малой ((' 06  21,65).
После четвертоrо шаrа было достиrнуто значение ('06  48,5 и удовлетворены усло-
вия КОНСТРУКТИВНОСТИ. Так как изопланатические поверхности не вносят астиrматизма,
то для крайией точки предмета, для которой проводился иабор, астиrматизм z', z' т  О.
177

Расчет и проектирование оптических систем

1
..........
SAД== 15,25
ШО21
Шоz2
ШО2J
ШОl4
Шоz7
т, .. 1J,0
rz.. 8,0
r, = 16,4-11
rz = 11,ЛJJ
'J= ,f6,927
'.::  15, 081
r, = 17, 216
r z == 12, 7,1.9
'J" Д885
'" = 18,J86
r,,= Jl,118
fi =91,809
'i = 37, 606
rz.. 16, 854
'.] = JJ, 777
r. == 2o, 566
rf" 157. 054
,,... 71,477
r, .. U,J2J
тz :: 15,246
rJ== 47,014
r. =  29.275
r.f= 117,363
'6= 105,J75
а, - 5,0
" .. J,92
а ! .. 18,25
d J .. 5, 17
а, .. 4,46
t/z" 20,06
а;} .. 6,2"
'. .. 0,99
t/ з = 4,96
" = 20, 75
Oz" 23,0
.. lQ,8!J
'" .. 9,.1"9
t/s.. 7, 51
", = 8,08 ТФ7
"2 .. 16, 74
tI.S .. 26,50 ТК16
". .. 8,65
's .. 15, 70 ТК16
Рис. 3.1. Синтез объектива по набору из поверхностей с известными свойствами
178

rлава З. Аберрационный расчет оптических систем. Методы аберрационноrо расчета
однако система имела значительную сферическую аберрацию и кривизву изображения:
68'  7,62; (z' + z' )/2  0,8. Для устранения этих аберраций потребовалось еще два
Jll;ra, после этоr поучился отрицательиый задниЙ фокальиый отрезок, и для исправ
пения этоrо нарушения потребовался еще один шаr.
На седьмом шаrе в результате синтеза и оптимизации получен объектив, удовлет
воряющий требуемому качеству изображения.
Синтез оптических систем по базовым компонентам [16].
При разработке любой оптической системы первоначально опре
деляются свойства узлов, из которых создается оптическая система,
и в первую очередь вычисляются Ф ([') этих узлов с учетом общих Tpe
бований, предъявляемых к оптическим системам в целом: обеспече-
ние требуемых линейноrо увеличения, уrловоrо поля и светосилы, а
также rабаритных размеров.
Оптические силы отдельных компонентов MOryT быть получены
различными сочетаниями элементов  преломляющих поверхностей.
Такие простейшие силовые (или базовые) компоненты представляют
собой одиночную линзу (базовую линзу). Свойства базовых линз бу
дут определяться радиусами обеих поверхностей, показателем прелом
ления, толщиной, линейным увеличением, положением входноrо и
выходноrо зрачков.
Однако при одной и той же оптической силе, но различных фор-
мах возможны различные и аберрационные свойства. Например, для
объективов зрительных труб, у которых 2(0 < 100, исправление поле-
вых аберраций, таких, как астиrматизм и кривизна поля, имеет BTO
ростепенное значение, а rлавной будет коррекция сферической абер-
рации и комы. Поэтому в качестве базовой целесообразно принять TOH
кую линзу, обладающую минимумом сферической аберрации и комы.
Для фотоrрафических объективов rлавной задачей будет исправление
полевых аберраций  астиrматизма и комы. В этом случае базовыми
будут линзы конечной толщины.
Итак, базовый элемент  это элемент, создающий оптическую
силу. Базовая линза  простейший базовый элемент, оrраниченный
двумя преломляющими поверхностями.
Строя оптическую систему из таких элемен'rов, которые не будут
обладать аберрациями Toro или иноrо вида, можно получить систему,
свободную от этих аберраций (апланаты, анастиrматы и т.п.). При
этом надо ПОМНИ'lЪ, что устранение нечетных аберраций  комы, ди..
сторсии, хроматизма увеличения  успешно решается при исполь-
зовании симметричных и пропорциональных систем. Однако это не
обеспечивает исправление четных аберраций  астиrматизма, кри-
визны изображения, сферической аберрации. Астиrматизм и кривиз
179

Расчет и проектирование оптических систем
ну поля устраняют введением аномальных склеек. Силовые концен-
трические линзы позволяют исправить сферическую аберрацию. Для
увеличения уrловоrо поля выrодно использовать первую поверхность
плоской, не дающей в параллельном пучке ни астиrматизма, ни кри
визны поля, ни комы.
Таким методом были созданы объективы .Руссары., .Лиар., ряд
репродукционных объективов.
Подробно композиционный метод расчета оптических систем при-
веден в моноrрафии М. М. Русинова [16].
АЛl'ебраический метод расчета (метод разделения переменных).
Основные уравнения
Параметрический синтез оптических систем на основе метода раз-
деления переменных применяют для расчета оптических систем, ком-
поненты которых можно принять за бесконечно тонкие, т. е. метод
применим к компонентам, у которых сумма толщин линз, входящих
В компонент, и воздушных промежутков в 8...10 раз меньше фокус-
Horo расстояния (Ы + 1:d возд s: 0,1f об ).
Если оптическая система или объектив состоят из нескольких
компонентов, расположенных на значительном конечном расстоянии,
то система принимается состоящей из двух или нескольких бесконеч-
но тонких компонентов, расположенных на не котором конечном рас-
стоянии друr от друrа.
Особенность бесконечно TOHKoro компонента заключается в том,
что при переходе к линзам конечной толщины аберрации изменяют-
ся незпачительно, Т.е. толщины линз и компонентов не являются
параметрами, которые можно использовать для коррекции аберраций.
К системам, компоненты которых можно принять за бесконечно
тонкие, следует отнести астрономические трубы, rеодезические инст-
рументы, визиры, бинокли, микроскопы малоrо увеличения и апер-
туры, стереотрубы, при цельные трубки, пери скопы , оптические сис-
темы оптикоэлектронных приборов и Т.п. Для перечисленных выше
систем rабаритный расчет имеет важное значение; им определяются
размеры системы и основные оптические характеристики: приведеп-
ные оптические силы <р, воздушные промежутки d возд ' относительные
отверстия D/f, линейные 2у и уrловые 2(0 поля, иными словами, вне-
шние характеристики системы.
Синтез основан на аналитических зависимостях между конструк-
тивными параметрами (r, d, n) синтезируемой оптической системы и
аберрациями TpeTbero порядка (аберрации высшеrо порядка счита-
180

rлава 3, Аберрационный расчет оптичесКиХ систем. Методы аберрационноrо расчета
!Отся равными нулю). В литературе (12], (18] этот метод носит назва
иие .метод разделения переменных..
Синтезу оптических систем этим методом посвящены rл. 4, 6.
Рассмотрим основные уравнения алrебраическоrо метода. Из Te
ории аберраций известно [12], что меридиональную Ау' и саrит
тальную !::.х' составляющие аберраций для любоrо луча, идущеrо из
точки предмета, можно представить степенным рядом от координат
т, М луча на зрачке, размера у предмета при заданном ero положе
нии 81  const и положении входноrо зрачка 8 р  const:
Ау' = (y,тl,Ml); Ах' = Р 2 (у,т 1 ,М 1 ).
Так как оптическая система симметрична относительно оптичес
кой оси, то слаrаемые этоrо ряда MOryT быть только TpeTbero, пятоrо,
седьмоrо, девятоrо, ..., (нечетноrо) порядка, Т.е. в разложении будут
члены видаА j , зависящие от r, d, n, 81' 8 р И являющиеся коэффици
ентами аберраций, и члены уа. ,т ,МУ , а сумма показателей степеней
при у, тl' М 1 должна быть равна нечетному числу, Т.е.
а +  + 'у  2k + 1.
a.++y=2k+l
Ау' = L AтМfYa. =: L Ajya.тMY +
a.+y=3 a.+y=3
a.++y=2k+l
+ L Aya.тMY =Ау;п+А.п.,
a.++y=5
(3.1)
rде Ау;п = L Aya.т МУ  аберрации TpeTbero порядка;
a.+y=3
a.++y=2k+l
Ау.п. = L Aya.тMY  'аберрации высшеrо порядка.
a.++y=5
Кроме этих аберраций при расчете оптической системы обычно
учитывают еще две хроматические аберрации и фокусное расстояние
системы.
Из формулы (3.1) следует, что аберрации одноrо порядка не MO
ryт быть полностью компенсированы аберрациями какоrолибо дpy
roro порядка. Поэтому в идеальной (без аберрационной) системе
аберрации любоrо порядка должны быть равны нулю, Т.е. должны
быть выполнены условия
L А j у о. т  М 1 = о при а +  + 'у  3;
181

Расчет и проектирование оптических систем
L Ajy(J.тMl = О при a.++'Y5; ...,
а так как практически получить это невозможно, то оптическая сис-
тема всеrда имеет остаточные аберрации.
При малых значениях относительноrо отверстия и уrловоrо пола
rлавными являются аберрации TpeTbero порядка, при средних значе-
ниях D / f и 200  аберрации TpeTbero и пятоrо порядка, в светосиль-
ных и широкоуrольных системах  аберрации более BblcoKoro поряд-
ка. Иными словами, чем выше оптические характеристики системы,
тем большее число членов будут содержать ряды (3.1), тем сложнее
должна быть оптическая система.
Из теории аберраций [12] также известно, что если оптическая си-
стема должна быть свободна от пяти монохроматических аберраций
и двух хроматических аберраций, то при заданном фокусном расстоя-
нии надо удовлетворить восьми (5+2+18) поставленным условиям,
Т.е. рассчитываемая оптическая система должна иметь восемь незави.
симых друr от друrа параметров. Так как толщины линз мало влия-
ют на аберрации, а постоянные стекла n ло и V Ло имеют дискретные
значения и небольшой интервал изменений, то действующими пара-
метрами будут радиусы кривизны поверхностей линз и воздушные
промежутки. Поэтому проектируемая оптическая система должна со-
стоять из трех линз, разделенных воздушными промежутками (типа
триплета).
Если стоит задача рассчитать оптическую систему, в которой дол-
жны быть исправлены пять аберраций TpeTbero порядка, девять абер-
раций пятоrо порядка и две хроматические аберрации, то таI<.ая оп-
тическая система формально должна иметь 17 (5+9+2+ 117) свобод-
ных параметров, Т.е. содержать пять-шесть линз. Число линз можно
уменьшить, если рационально выбрать марки стекол, форму линз,
причем отдельные параметры можно использовать для одновременно-
ro исправления не одной, а двух аберраций и более.
Следует помнить, что аберрации TpeTbero порядка для всех лучей
не MorYT быть компенсированы аберрациям:и вы(:ших порядков, по-
этому хорошие оптические системы должны иметь малые аберрации
TpeTbero порядка или малые значения коэффициентов аберраций
81' ..., 8 у , 8 Ixp ' 8 пхр '
Теория аберрации показывает, что аберрации высших порядков
будут малы, если каждое из слаrаемых, входящих в состав этих сумм,
будет также мало.
Аберрационный расчет оптических систем с использованием тео-
рии аберраций TpeTbero порядка основан на том, что все поперечные
182

rлава З. Аберрационный расчет оптических систем. Методы аберрационноrо расчета
аберрации монохроматических лучей, а также обе хроматические
аберрации параксиальных лучей центрированной оптической систе
мы из бесконечно тонких компонентов MorYT быть представлены в
виде рядов:
t.yfll =  mtP t +  ntW t +  p t 7t t +  qt; }
t=1 t=1 t=1 t=1
t.Xfll =  m;P i +  n:Wt +  р;п ! +  q;;
t=1 t=1 t=1 t=1
(3.2)
t.SIЛ2 =  rtC t ; t.УIЛ2 /yo =  r/C i .
t=1 t=1
Здесь величины m t , т;. n i . n;, r i , r/ зависят только от внешних па
раметров оптической системы (Фком' d возд ' D/f, 2оо, 2у), значения ко-
торых определяются при rабаритном расчете. Параметры P t , W p Пр qi
И q;, С ! связаны с конструктивными параметрами (ry. d y . п ло , V Ло ) и
зависят только от положения предмета относительно i-ro компонен-
та. Чтобы эти параметры не зависели от положения предмета, дела
ют переход от неосновных параметров к основным Pi , Wt . которые
являются функцией только конструктивных параметров, или BHYT
ренних параметров. Зависимость , W i от Pt , Wt линейная и Bыpa
жается формулами:
(3.3)
 = (а;  a t )3 Pt + 4a t (a;  at)2Wt + 1
+ at(a;  a i )[2a i (2+ 7tt) а;];
W t = (а;  at)2Wt + а ! (а;  a t )(2 + 7t t ),
поэтому вид уравнений (3.2) и (3.3) остается без изменений.
Определив внешние параметры оптической системы, значения
слarающих аберраций и подставив их в формулы (3. 2) и (3. 3), мож
но найти параметры P i . W i . Сt.п t , Для этоrо по известным фр d возд ' а 1 и
ар рассчитывают ход nepBoro и BToporo вспомоrательных лучей:
для nepBoro вспомоrательноrо луча
h i + 1 = ht  dia;; n;а;  nta t = htФi;
(3.4)
(3.5)
для BToporo вспомоrательноrо луча
Yt+l=Yidi:; п;;nii=УtФt' (3.6)
Вычислив координаты для nepBoro и BTOpOro вспомоrательных лу
чей, составляют уравнения для пяти монохроматических и двух хро-
матических сумм для системы из Р тонких компонентов с учетом пе-
183

Расчет и проектирование оптических систем
рехода от неосновных параметров к основным по формулам (3.4):
j=p
S;' = L h i 2 <pj{ h;<pf Pj + 4а,Л<рjWj + a,j[(4 + 21(Ja,j  a,]};
j=l
t=p
S;; = L ht <pj{Yt h t 2 <pf Pt + hj<pt (1 + 4a,tYj)Wj +
j=1
+ a,j[(1 + 2Yta,j)(2 + 1(j) Yja,ta,]};
t=p
S;;'1 = L <pj{yfh;<pf  + 2УЛ<Рi (1 + 2a,tYt)Wj +
i=l
+ 1 + 2a,jYj (2 + 1(t)+ a,jY:[ а,! (4 + 21(t) а,;]};
t=p
S;; = L <pj1(t;
t=l
t=p
S; = L (<pj/hjXyfh;<pfPj + (3+ 4a,tYt)y;hi<PtWt +
j=l
+ Yj (3 + 1(t)+ 3a,jY; (2 + 1(t)+ a,tyf[( 4 + 21(j)a,t  a,]};
(3.7)
p p
S;'xP = L h;<pJ]j; S;;'xP = L htYt<PtGt;
1 1
=I =I
G j =  L <p/y = (1/Фj)L Ф/V, так как <р = Ф/Фi'
=1 =1
rде i  номер компонента; р  число компонентов; Jl  номер линзы
в компоненте; l  число линз в компоненте.
Приравнивая коэффициенты аберраций s;-... s::; , S;-XP' s;; хр В фор
мулах (3.7) нулю или какимнибудь числам для компенсации аберра
ций высшеrо порядка, получают систему уравнений, из которой Ha
ходят значения основных параметров  , VV; , 1(! ; C j . По основным па
раметрам и выбранным типам компонентов вычисляют внутренние
параметры, т.е. определяют конструкцию системы (r, d, п).
Иноrда при расчетах оптических систем возникает необходимость
в вычислении основных параметров TOHKoro компонента для обратно-
ro хода лучей. Установлена связь [18] между основными параметра-
ми , VV; в прямом ходе и p, 'ИТ в обратном ходе лучей. Эта зави
симость имеет вид:
+---
P= P;  4Wj + 4 + 21(t;
+---
W=Wi+2+1(j.
184

rлава З. Аберрационный расчет оптическиХ систем. Методы аберрационноrо расчета
Из приведенных формул следует, что тонкий компонент не изме
няет своих аберраций при оборачивании (lf" = 1>j, W; = Wj), если BЫ
полняется условие VV; = 1 + 1t t / 2, при этом P,. может быть любым. Это
свойство характерно для симметричных линз и компонентов.
Представление оптической системы бесконечно тонкими компо
нентами позволяет вдвое сократить число параметров, от которых за
висят аберрации, и облеrчить исследования, связанные с выбором KOH
струкции системы. Это очень удобно на начальной стадии расчета, Kor
да известна лишь общая схема системы.
Рассмотрим коррекционные возможности оптической системы,
состоящей из TOHKoro компонента, который в свою очередь может co
держать l бесконечно тонких линз.
Запишем коэффициенты аберраций TpeTbero порядка для отдель
Horo iro компонента и проанализируем их:
SIt = hiP/;
Sш = YiP;  IW t ;
SIШ = (У; /ht)p;  2I(Yt/ h t)W t + I2Фt; (3.8)
SIYt = Фt 1t i;
SYt = (Y /hпPt  3I(y; /hпWt + I2(Yt/ h t)(3+ 1t t )Фt>
rде 1 = n 1 уа. 1 = n 1 а. 1 (а р  al)l'
Анализ формул (3.8) покаэывает следующее.
1. Сферическая аберрация и кривизна поверхности изображения
не зависят от положения входноrо зрачка, так как в выражения сумм
81 t И SIY t не входит величина У t  ар.
2. Кривизна поверхности изображения, определяемая суммой
8ry t' не зависит от формы линз, так как данную оптическую силу Фt
может иметь линза любой формы.
Параметр TOHKoro компонента
Jl=l
п ; = L <l'Jl/nJl = <l'1/nl + <l'2/ n 2+...+<I'I/n 1
Jl=l
Изменяется в небольших пределах для обычных комбинаций марок
Стекол и не может оказать существенноrо влияния на SIV' Если пока
затель преломления n == 1,5 ... 1,7, то
п ; = (<1'1 +<1'2 +...+<I'Jl)/n:; 1/n = 0,6...0,7.
3. Все остальные монохроматические аберрации, за исключени
ем кривизны поля, зависят от формы линз.
4. Кома, астиrматизм, дисторсия, которые соответственно опре
Деляются суммами Sп, Sш, Sy, зависят от положения входноrо зрач
185

Расчет и проектирование оптических систем
ка, так как У! = apt. Однако изменением положения входноrо зрач-
ка нельзя повлиять на исправление (t+l)-й аберрации, если первые t
аберраций исправлены. Например, если:
а) исправлена сферическая аберрация (t-я), Т.е. SIt ==0 (Р! == о), то
кома  (t+l)-я аберрация  не может быть исправлена за счет поло-
жения входноrо зрачка, так как Sп t ==  IW t и, если W t * о, то Sп t  О
при любом значении У! ;
б) в апланатическом тонком компоненте SI i== о, Sп t == О (Р! == О ]f
W t == о), поэтому исправить астиrматизм нельзя, поскольку
SШt = 12Фt * о, так как 1 *ОИФt *0;
в) исправлены первые четыре аберрации (SI == Sп == Sш == SIV == о), то
изменением положения ВХОДноro зрачка нельзя влиять на дисторсию.
5. Если в бесконечно тонком компоненте а р == о, то он не имеет ди
сторсии.
6. Астиrматизм в тонком компоненте исправлен только тоrда, Kor
да ар:#- о, и при этом либо P i * о, либо W t * о, либо одновременно Р! * О
И W t * О. Например, если
а) У ! * о, Р/ * о, W t == о, то Sш/ = У; /hi + 12Фt, и, приняв SШt == о,
можно найти положение входноrо зрачка, при котором астиrматизма
нет: у; =  12Фtht/ 
б) У! * о, Р! = о, W i * О. то при Sшt == О У! == 1ФthJ(2Wt);
в) Yt:#- о, P i :#- о, W t * о, то при SШt == О получают квадратное урав-
нение У; Pt!h t  2IYtWt/ht + 12Фt = О, из решения KOToporo находят Yt.
Анализ формул (3.8) позволяет сделать следующие выводы.
Все монохроматические аберрации TpeTbero порядка бесконечно
TOHKoro компонента зависят от трех параметров P t , W t , Л t ' причем па-
раметр Л t практически постоянен. Поэтому формально в бесконечно
тонкой системе можно исправить только две аберрации, но при бла-
rоприятных условиях аберрационным параметром может быть пара-
метр у t == а р  положение входноrо зрачка.
Если в оптической системе требуется исправить все пять монохро-
матических аберраций, то система должна состоять из нескольких бес-
конечно тонких компонентов, разделенных значительными воз-
душными промежутками, причем каждый бесконечно тонкий компо-
нент может быть простым (линза, зеркало) или сложным, что зависит
от f, D / f, 2О) и требуемоrо качества изображения.
Используют следующий порядок аберрационноrо расчета [19].
В соответствии с требуемыми значениями аберраций и оптически-
ми характеристиками устанавливают число компонентов или. линз
системы и выбирают марки стекол.
186

rлава З. Аберрационный расчет оптических систем. Методы аберрационноrо расчета
По формулам аберраций TpeTbero порядка находят область изме-
нений параметров системы (уrлов и высот первоrо вспомоrательноrо
луча с оптической осью и оптических постоянных стекла), внутри ко-
торой эти аберрации малы.
В пределах указанной области находят варианты, обеспечиваю-
щие малые поверхностные коэффициенты (Pv' W), и путем дальней-
lUих изменениЙ параметров доводят систему до окончательноrо вида.
Определяют точные значения аберрациЙ и их изменения при ва-
риации параметров.
Обычно расчеты исходных вариантов оптических систем в облас-
ти аберраций TpeTbero порядка проводят либо по специализированным
проrраммам на ЭВМ, либо по проrраммам, составленным по алrорит-
мам на ППЭВМ. Формулы, по которым можно составить алrоритмы
синтеза оптических систем с невысокими оптическими характеристи-
ками и отдельных компонентов сложных систем со среДНИМИ оптичес-
кими характеристиками, приведены в rл. 4,6.
Чтобы обеспечить возможность сравнения отдельных вариантов
и типов оптических систем по величинам 81' ..., 8 у , 81 хр' 8 п хр' необ-
ходимо вычислять их при одних и тех же начальных и конечных ус-
ловиях. Выбор значений начальных и конечных данных для nервоео
и второео всnо,м,оzателъных лучей в зависи,м,ости от положения npeд
мета носит название нор,м,ировки. Так, для систем, у которых " > о:
если 81  OO, то a. 1  о, а.'  1, h 1  " = 1, 1  1, У1  8 р . 1  1 при
n 1  1; если 8 1 :#- oo, то a. 1  O' а.'  1, h 1  8 1 а. 1 , 1  1, Yl == 8 р '
I nlo(8p  81)' Для систем, у которых r < о: если 81 == oo, то а. 1  о,
а' == 1, h 1 == r = 1, 1 == 1, У1  8 р . 1  +1 при n 1  1.
Выбор аберраций, подлежащих исправлению.
Допустимые значения остаточных аберраций
Выбор аберраций, которые необходимо исправить,  это одна из
наиболее ответственных задач при расчете и проектировании оптичес-
ких систем. Полноro исправления всех аберрациЙ достичь невозмож-
но даже в сколь уrодно сложной оптическоЙ системе. Частичное ис-
правление всех аберраций приводит к неоправданному усложнению
конструкции оптических систем, ее нетехнолоrичности, большоЙ чув-
Ствительности прибора к внешним воздействиям и удорожанию опти-
Ческой системы. Именно поэтому для большинства оптических при-
боров стремятся применять сравнительно простые зеркально-линзо-
ВЫе и линзовые системы и для каждой катеrории оптических систем
Устанавливают компромисс между качеством изображения и сложно-
стью системы.
187

Расчет и проектирование оптических систем
Число аберраций, подлежащих исправлению, связано с назначе-
нием прибора, ero оптическими характеристиками 2оо, D/f, 2у. А, (,
o и требуемым качеством изображения [18].
Так, в объективах снебольшим У2ловым полем 2оо == 1...40 (напри-
мер, в объективах астрономических труб с большим увеличением) ис-
правляют хроматизм положения и сферическую аберрацию. Дли
объективов зрительных труб средне20 увеличения с уrловым полем
2оо < 100 кроме указанных выше аберраций следует исправлять и ме-
ридиональную кому или компенсировать ее остальной частью систе-
мы, например оборачивающей системой или окуляром. Для rеодези-
ческих инструментов и биноклей допускают остаточную уrловую сфе-
рическую аберрацию 1...2', а хроматизм  2...3'. Суммарная монохро-
матическая аберрация вне осевых пучков может быть 5...10', из них
2...3' приходится на кому. В более сложных телескопических систе-
мах (дальномеры, перископы и т.п.) допускают сферическую аберра-
цию до 10...12', а во всем видимом диапазоне  даже до 20'.
Допустимые значения таких аберраций, как кривизна поля изо-
бражения, астиrматизм и дисторсия, зависят от уrловых полей окуля-
ров: астиrматизм и кривизна изображения для обычных окуляров со-
ставляет 3...4 дптр, для широкоуrольных окуляров 5...6 дптр; дистор-
сия для обычных окуляров примерно равна 3,5...7%, для широко-
уrольных  не превышает 10%.
Хроматическая аберрация увеличения в зрительных трубах
допускается до 0,5...1 %.
Допустимые значения аберраций зрительных труб приведены в
таблице 3.1.
Для панкратических зрительных труб допускается ухудшение
качества изображения на 20...30%.
При увеличениях, больших 10х, в зрительной трубе начинает ска-
зываться влияние вторичноrо спектра и сферохроматической аберра-
ции, поэтому необходимо применять объективы-апохроматы.
В объективах микроскопов малой апертуры (А == 0,1...0,2), малых
(o == 3...10) и средних (o == 10...40) увеличений обычно ис-
правляют хроматизм положения, сферическую аберрацию и меридио-
нальную кому.
В микроскопах, как правило, аберрация после окуляра больше,
чем в телескопических системах. Для точки на оси уrловая аберрация
может достиrать 10...15'. Кривизна изображения и астиrматизМ:
объективов средних увеличений соответственно допускаются: в аХро-
матах 1,2...3 мм и 0,5...3 мм; в апохроматах 2 и 1,5 мм. При исполь-
зовании компенсационных окуляров дисторсия допускается де 1,5%,
188

rлава 3. Аберрационный расчет оптических систем. Методы аберрационноrо расчета
Качество изображения
Наименование
аберраций Удовлетвори Хорошее Отличное
тельное
Сферическая (точка на оси)
А. В уrловой мере:
на краю зрачка < 2' < l' < 20"
на зоне зрачка < l' < 30" < 10"
Б. В диоптрийной мере:
на краю зрачка > 0.25 <0,25 < 0,1
на зоне 0,7 зрачка > 0,1 < 0,1 < 0,05
Хроматизм положения в
уrловой мере < 8' < 6' < 3'
Точка вне оси
Кривизна поля:
в меридион. сечении, дnтp >6 > 3 > 2
в сarитт. сечении, дnтp <2 > 1 > O,1
Астиrматизм, дnтp 8 2 1,5
Дисторсия, % :
для поля < 500 6 3 2
для поля> 500 9 5 4
Хроматизм увеличения на
краю поля в уrловой мере < 8' < 5' < 3'
Таблица 3.1
а в окулярах Келънера. ДО 2% [21]. .
Однако в объективах микроскопов допустимые значения остаточных
аберраций определяются по волновым аберрациям. В табл. 3.2 ПрИведе-
ны допустимые значения волновых аберраций для микрообъективов.
Таблица 3.2
Объектив Аберрация
микроскопа
Сферическая Сферическая с Хроматизм Суммарные
для Л учетом увеличения, для BHooceBoro
,
л.}" и л. с % пучка
Ахромат О,25Л О,5л 2 >о ,51..
Апохромат (0,1.. .О,15)Л <0,251..
Ilланобъектив <2 0,51..
189

Расчет и проектирование ОПтических систем
в фотО2рафичес"их и nрое"ционных обое"тивах с D/f > 1:2,8,
200 > 50...600 обычно исправляют сферическую аберрацию для края I!
зоны отверстия, кривизну поля, дисторсию, хроматизм положения I!
увеличения. Как правило, для фотоrрафических объективов указыва.
ются [2] предельно допустимые размеры кружков рассеяния 2!:J.y', paв
ные 0,03.. .0,05 мм для снимков, полученных без увеличения, I!
0,01...0,03 мм для снимков с последующим увеличением. Анализ оте.
чественных фотообъективов позволяет установить средний допус.
тимый размер кружков рассеяния для точки на оси 0,01...0,02 мм I!
для 'rочки вне оси 0,03...0,05 мм.
В приведенных допустимых размерах кружков рассеяния скры_
ты значения допустимых аберраций. Конкретизация в этом случае
сложна, так как в зависимости от характеристик фотообъектива и erQ
назначения допустимые величины аберраций будут различными. В
нормальных фотообъективах астиrматическая разность примерно ....
0,15...0,3 мм, средняя кривизна до 0,3 мм и дисторсия 0,5...3% на
краю поля.
В аэрофотосъеМОЧ1lЫХ обое"тивах допускается дисторсия О, 1 %
а в особоширокоуrольных  0,04%.
В объе"тивах nрое"ционных систем допустимые остаточны
аберрации имеют примерно такие же значения, что и для фотообъек.
тивов. "у проекционных объективовапланатов хуже исправлена кри.
визна изображения, у кинопроекционных объективованастиrмато.
допускается дисторсия 1...2 % .
В обоектuвах сnе"траЛЬ1lЫХ приборов в основном исправляются
сферическая аберрация и меридиональная кома. В ряде случаев ис
правление астиrматизма обязательно только тоrда, коrда прибор дол-
жен давать резкое изображение каждой точки щели, что не всеrда He
обходимо. Исправление дисторсии необязательно, поскольку изме-
рение положения спектральных линий производится обычно сравне-
нием двух спектров, образованных той же оптической системой. В
ряде случаев не исправляют хроматические аберрации и кривизн}'
поля, так как поверхность изображения щели может быть и не пдос
кой.
Хорошее распределение cBeToBoro потока обеспечивается ли1lзовы
ми "онденсорными системами тоrда, коrда кружок рассеяния не пре.
вышает более 3...10% размера изображения источника. В не<?т.
ветственных конденсорах этот параметр допускается до 30% [3].
в обое"тивах оnти"оэле"тРО1l1lЫХ приборов (ОЭП) обычно ис-
правляют сферическую аберрацию, кому, хроматизм положения, ас- .
тиrматизм, кривизну поля, а иноrда и дисторсию. Однако выбор кон.
190

rлава З. Аберрационный расчет оптических систем. Методы аберрационноrо расчета
1<ретно исправляемых аберраций будет определяться назначением
прибора, приемником излучения, оптическими характеристиками
оэп и рядом специфических условий, связанных с работой прибора.
Допустимые значения остаточных аберраций объективов различ-
ных следящих фотоэлектрических устройств, определяемые допусти-
м:ыми размерами кружков рассеяния, удобнее оценивать в УI'ЛОВОЙ
м:ере, в радианах. Если объектив TaкOI'O устройства имеет допустимый
размер пятна рассеяния 211у'доп и фокусное расстояние (, то Уl'ловой
размер llcf пятна рассеяния в миллирадианах может быть вычислен
по формуле
llcr' == 211у;оп.1 000/1'.
Особое внимание при выборе аберраций, подлежащих исправлению,
необходимо обращать на условия работы прибора. Так, в ряде схем
оптик о-электронных приборов большое поле необходимо лишь для
обнаружения объекта, измерение же параметров объекта проводится
в центре поля, поэтому нет необходимости тщательно исправлять по-
левые аберрации. Следует также учитывать свойства коэффициентов
аберраций TpeTbel'O порядка, описанные выше.
3.3. Аберрационный расчет оптических систем
Телескопические системы
Выполним аберрационный расчет телескопической системы Кеп-
лера и телескопических систем с линзовыми и призменными обора
чивающими системами [23].
Тел.ескоnическая система Кеnл.ера. Оптическая схема системы
представлена на рис. 3.2, в которую входит луч АВ с координатами
т, ю.
(J
А
Рис. 3.2. Схема для аберрационноrо расчета телескопической системы Кеплера
191

Расчет и проектирование оптических систем
Если объектив и окуляр системы безаберрационные, то луч пой.
дет по направлению AВCDEGA'T и пересечет фокальную плоскость в
точке D с координатой У' об' Выходными координатами этоrо луча бу-'
дут т', 00'. связанные с координатами т и 00 следующими соотно-
шениями:
m'==m!30==mjr T ; tg(O'==rTtg(O;
Уб == t:бtg(О  t:Ktg(O'. (3.9)
Если объектив и окуляр системы имеют аберрации, то луч пой-.
дет по пути AВMRNO A'T и в фокальной плоскости (точка Я) будет
иметь координату У: б . Тоrда поперечная аберрация луча в фокальной
A'' ,
плоскости и.У == Уоб  У06' I
Обозначим уrловую аберрацию луча по выходе из системы lloo'
(LA'T..4.'), а поперечную аберрацию в выходном зрачке  llm'. Най.
дем значение уrловой аберрации ll(O'. Для этоrо выполним расчет хода
луча A'G через окуляр в обратном ходе лучей. Вследствие аберраций
луч А'а пойдет по пути SP. Обозначим координату безаберрационно.
+-;
ro луча в фокальной плоскости У ОК . тоrда поперечная аберрация луча
+---, t-, +-;
определится как llY OK == У ОК  У ОК .
Если аберрации объектива компенсируют аберрации окуляра, то:
А'  А' О А , О , 1;,
и.Уоб == и.У ОК И и.(О == ,и.т == ,а У06 == У ОК
При наличии аберраций в окуляре
t; ............ ............
YK == YK + llYK == ': К tg(O' + llYK
(3.10)
в том случае, если точка Р совпадает с точкой Я. а направление луча,
SP  с направлением ЯN,
 .... t ...............
llYK == У:.б  YK == llу:.б  llYK .
Дифференцируя формулу (3.10) по переменным т'. (О' и переходя
от d(O' и dm' к их конечным приращениям от' == llm' и &О' == ll(O', после
некоторых преобразований будем иметь
............ ............
, llу:.б  llYK  [д (llYK ) / am']llm'
ll(O ==
............
': К / сов 2 (О, + д (llYK ) / д(О'
Для нахождения частных производных д(K )/дт' и
д(Aif ) la(O', входящих в формулу (3.11), надо знать функци
01< / 
t1Y;,K == '(т') при of == const и llYK == F«(O') при т' == const.
(3.11)
192

rлава З. Аберрационный расчет оптических систем. Методы аберрационноrо расчета

Если dyx определяется только аберрациями третьеl'О порядка,
то в зависимости от т' и ю' при принятых условиях нормировки
...., 1 т'8 8 3 т,2 , 8 1 , 12 (38 8 ) 1 ,8 1. ' 8
dyox =  2 1. '2 1  2 1. ' m II  2т m III + IV  2Ю ох У'
ОК 01<
ТОl'да частные производные д(x )/дт' и д(x )/дю' COOTBeT
ственно будут равны:
д (x )    т' 2 8   m 1 , 8 ! ю' 2 ( 38 + 8 ) .
д '  2 1. ,2 1 2 1. , m Il 2 III IV'
m ОХ ОХ
...........
a(dYx )   т'2 8  ' , ( 38 8 )   ,2 1. ' 8
дю' 2 1. , II m m III + IV 2 m ох У'
ох
у КОррИl'ированных систем Уl'ловая аберрация dm' мала, и при
практических расчетах достаточно знать ее приближенное значение,
поэтому слarаемыми
a(7lY;,x )/дю' и [a(7lY;,x )/am']dm'
в формуле (3.11) можно пренебречь, и ТОl'да

А , dу:.б  dyx 2,
аЮ "" ' f "'cOS Ю. (3.12)
ох
Из (3. 12) следует, что Уl'ловая аберрация отсутствует, если dу:.б =
==K
В случае, КОl'да m  О (точка на оси), сферическая аберрация в Yl'
ловой мере равна (рис. 3.3, а)
dcr' = dm' = (dу:.б  x )/f:x' (3.13)
Если учесть, что dУ:.б = t1s:.бcr:.б ;
 
dy' =  dSx crб ' то
ох
А ,  (dS:.б + x )cr:.б  (dS:.б + 6B x )т'
acr    2
': х ': к

Из (3.14) следует, что dcr' == О, если dS:.б =  dSx . Уl'ловую сфери
чес кую аберрацию можно уменьшить, если раздвинуть фокальные
плоскости объектива и окуляра на величину d (рис. 3.3,6), которая
Может быть как положительной, так и отрицательной.
Из теории аберраций известно также, что кома телескопической
системы, обусловливающая асимметрию BepXHel'O и нижнеl'О лучей
Относительно I'лавноro в выходном пучке лучей, определяется ypaв
lIением (рис. 3.4):
(3.14)
к = (dm: m  dmm)/2 dmл,
(3.15)
193

Расчет и проектироваНие оптических систем
1:: Н(/I
Р
 ..., IASI
As(/!(
1 t r:!(
I 
1":1
и)
Л 1
н:!( F: K
8,1 Н(/К
. . . I
Р Р
1 Q)
Рис. 3.3. Схемы для определения уrловой сферической аберрации
I'де t!оо' +т  Уl'ловая аберрация для луча наклонноro пучка с коорди-
натой на входном зрачке+ т; t!оо' т  Уl'ловая аберрация для луча на.
I1,
,;,
'DA'
11;'
Рис. 3.4. Схема для определения меридиональной комы в телескопической
системе Кеплера
194

rлава З. Аберрационный расчет оптических СИСтем. Методы аберрационноrо расчета
КЛОННОI'О пучка с координатой на входном зрачке т; ДО} rл  УI'ЛО
вая аберрация I'лавНОI'О луча в этом пучке. Но так как кому, вноси
мую объективом, можно вычислить по формуле
К об == (у' +т+ у' т)/2 у'rл == (ДУ:т + t!Ут)/2t!ул,
а кому, вносимую окуляром и рассчитанную в обратном ходе лучей,
можно определить как
..... ........... ........... I ...........
КОК ==(ду' +ду' ) 2ДY'M'
+т т .....
то формула (3.15) после преобразований примет вид:
К == (К об  КОК )сов 2 ro' If: K . (3.16)
Из формулы (3.16) следует, что кома телескопической системы
может быть исправлена, если она будет равна коме окуляра, вычис
.....
ленной в обратном ходе лучей, Т.е. К об == + КОК . Аналоl'ИЧНЫМ образом
можно показать, что дисторсия всей системы будет равна нулю, если
дисторсии в линейной мере объектива и окуляра будут равны между
собой: t!уоб == OK .
Для вычисления аСТИl'матизма и кривизны поля изображения Te
лескопической системы обратимся к рис. 3.5, на котором показан ход
I'лавноl'О и двух лучей 1 и 2, бесконечно близких к нему. Эти два луча
после объектива создают меридиональное изображение (точка А' т Об)
бесконечно удаленной точки предмета. Расстояние ее от фокальной
плоскости  отрезок z' т об' На выходе всей системы эти лучи образу
ют меридиональное изображение (точка А" т) на I'лавном луче на рас-
стоянии t' т ОТ центра выходноl'О зрачка Р'.
Если через окуляр в обратном ходе лучей направить два луча,
близких и параллельных I'лавному лучу (на рис. 3.5 они проведены
штриховой линией), то при про хождении через окуляр эти лучи об
1
/
А т06
'.
Рис. 3.5. Схема для определения астиrматизма в телескопической системе
195

Расчет и проектирование оптических систем
разуют меридиональное изображение (точка А' т ОК)' которому COOT
 
ветствует отрезок ZmOK . Зависимость между отрезками z'тоб' ZOK И
z' может быть записана в виде:
, ( ,2 /( ,  )
Z == ОК Zтоб+Zток'
Пренебреrая расстоянием z' У' дЛЯ отрезка t: найдем
(т ==  ':; / [(zоб + ?ток )соsоол].
Аналоrичным образом определим отрезок t' 8:
 t '  ( ,2 1 [( , ., ) , ]
. ОК/ Z.об+Z.ОК соsоо rл '
Так как для характеристики астиrматизма величины t:
принято измерять в диоптриях (дптр), то
L8 == 1000/(8 ==  1 000 (z; об + ?ОК )СОSООл/f:;; }
4n == 1000jt'm ==  1 ООО(zоб + Рток )СОSООл/f:; .
ие
а
(3.17)
Тоrда
дL== L.  4n == (1000соsоол/f::)х
х[(z;обZоб)+ (OK ZOK )].
(3.18)
Из формулы (3.18) следует, что телескопическая система не бу-
дет иметь астиrматизма, если астиrматические разности для объекти-
ва и окуляра будут равны между собой: (Z;об -<.об)== (.?OK ?тOK ).
Допустимыми считаются аберрации, если они в уrловой мере в те-
лескопической системе не превытают 1...3'.
Поскольку телескопические системы, как правило, имеют неболь-
тое уrловое поле, то rлаз может изменить свою аккомодацию, поэто-
му величины La и L m , а соответственно и отрезки (. и (т должны быть
такими, чтобы изображения точек А". и А" т находились в пределах
объема аккомодации rлаза с учетом ero rлубины резкоrо видения.
Хроматизм положения в параксиальной области можно вычис-
лить в диоптрийной мере по формулам. аналоrичным формулам (3.17)
и (3.18), полаrая в них сов 00'  1:
4,  4,  ( 1000/ ':.') [( Ав;",).. + (М"" )0.]=
==(1000/f:K2)[(S1 Sz)об +(';;kl';;kz )ОК J.
(3.19)
196

rлава З. Аберрационный расчет оптических систем. Методы аберрационноrо расчета
..........
rде (dS k1kz )01(  хроматичеСRая аберрация окуляра для лучей с дли
нами волн л]' л 2 ; (dS k1kz )Об  хроматическая аберрация объектива.
Обычно при расчете зрительных труб используются rOToBble OKY
ляры из имеющихся на производстве наборов. В наборах есть окуля
ры с различными вариантами аберрационной :коррекции.
Выбрав из набора окуляр, рассчитывают для Hero объектив, CTapa
ясь по возможности компенсировать остаточные аберрации окуляра, Т.е.
.......... +--
dy; = dy' ;к; к;;; = к ;к;
+--
,00 I QO
Zтоб = Z ток;
(Z;  z;" );б= ( Р.  Р т ) ;к;
..........
dУ;:б = dy'; ОК;
...........
d , d ,
SklkZ об =  S kl k Z OK ;
(3.20)
..........
А , А ,
uSko об =  uS kOOK'
По известным значениям аберраций объектива определяют коэффи
циенты аберраций, а по ним затем вычисляюонструктивные пара
метры объектива. Например, пусть d Sk o об =  dS',  , но так как
",оок
d8 II iоб = o,5(т 2 Ir:б)Si,
то
8,.об =  21:"'dS;ПОб/m2 = 21:"'" 1т2;
+--
к;;; = к :К'
Но
К П10б = 1,5(т2 Ir:б)tgООобSПоб
Тоrда
SIiоб =  21: б к Пlо:j(Зm 2 tgОО"б);
Но
..........
d , d ' 
Sktk: об =  S k 1 kz ок'
А , ." S
USktkZ об = /об Ixp'
Тоrда
nт.д.
.......... ;.
QO 8' QO ,
S;xp=d ktkZок,1об
197

Расчет и проектирование ОПтических систем
Так как все условия (3.20) точно и одновременно выполнить не
удается, то всеl'да оценивают значения остаточных аберраций в УI'ЛО-
вой И диоптрийной мерах для всей телескопической системы.
Параметрический синтез объективов различных конструкций для
телескопических систем по известным коэффициентам аберраций из-
ложен в I'Л. 4.
Если I'отовый окуляр из набора использовать невозможно, то рас-
чет оптической системы начинают с окуляра. Чтобы правильно рас-
считать окуляр, оценивают влияние каждоl'О компонента на коэффи-
циенты Sl' ..., Sy. SIxp' SПхр И аберрации TpeTbel'O и первоl'О поряд-
ков.
Рассмотрим случай (рис. 3.6), КОl'да входной зрачок совпадает с
объективом (ар  О) [18].
d,,= О
...
-«:::

, I
H/JK NIК
(j.,J=O .
Рис. 3.6. Оптическая схема трубы Кеплера (случай ар  О)
в соответствии с нормировкой высота первоl'О ВСПОМОl'ательноl'О
луча на объективе h 1  1, ТОl'да по свойствам телескопической систе-
мы h 2 == l/r T . Так как ар == О. то высота BTOpOI'O ВСПОМОl'ательноl'О луча
на первом компоненте у 1 == О, а УI'ОЛ BTOpOI'O ВСПОМОl'ательноl'О луча с
оптической осью 1 l/t'об == 1. В соответствии с рис. 3.6 УI'ОЛ
2 ==  1  1, высота BTOpOI'O ВСПОМОl'ательноl'О луча на втором компонен-
те у 2 == У 1  d2 == О  d   d и расстояние между компонентами
d = t:б + (;к = t;б(1 lfrT)'
Запишем выражения коэффициентов SI' Sп, Sш, Sy аберраций
TpeTbel'O порядка для системы из двух тонких компонентов:
i=2
SI = L h i l1 = pz + h 2 P 2 = pz + P 2 frT'
i=l (3.21)
198

rлава З. Аберрационный расчет оптических систем. Методы аберрационноrо расчета
ИЗ (3.21) следует, что сферическая аберрация определяется только
первым компонентом, Т.е. объективом;
i 2
Sп = L Yt  1L  = УI Р l + У2 Р 2 + W 1 + W 2 =
1 1 (3.22)
= dP2 ++W 1 + W 2 = (1 1/r T )P2 + W 1 + W 2 .
Из (3.22) следует, что кома в одинаковой степени зависит и от
объектива и от окуляра;
2 2 2
Sш = L у: /ht  21I, Yt/ht + 1 2 L Фt =
1 1 1
= У;Р2/h2+2У2W2/h2+Фl+Ф2 = (3.23)
= y;P 2 /h 2 + 2Y2W2/h2 + 1  r т'
Из (3.23) вытекает, что астиzматизм зависит только от BTOpO
ro компонента  окуляра, влияние объектива проявляется в присут
ствии постоянной 1, представляющей собой относительную оптичес
кую силу объектива;
2 2 2
Sv = L y/hf  31L yfwJhf + 1 2 L у(з+ 1t t )Фt/ h f =
1 1 1
= yP2/h; + 3y;W 2 /h; + У2 Ф 2(3+ 1t 2 )/h 2 .
(3.24)
Из (3.24) следует, что дисторсия зависит только от окуляра.
Так как хроматические аберрации телескопической системы on
ределяются уравнениями:
SIxp = h;ФI С l + h;Ф 2С2 = С 1  c 2 /r T ; }
( ) (3.25)
SПхр = h 1 УI Ф l С l + h 2 У2 Ф 2 С 2 = 1  l/r т С 2 '
то можно заключить, что соrласно (3.25) хроматизм положения за
висит только от объектива. а хроматизм увеличения определяется
только окуляром.
Из сказанноro выше можно сделать вывод, что при расчете телес
Копической системы по отдельным компонентам объектив необхо
димо исправлять в отношении сферической и продольной xpOMaти
ческой аберраций. а окуляр  в отношении комы. астиzматизма. xpo
матизма увеличения и дисторсии. Возможность распределять исправ
ление аберраций по отдельным компонентам широко используется в
практике расчетов оптических систем.
199

Расчет и проектирование оптических систем
Пример 3.2. Из rабаритноrо расчета зрительной трубы Кеплера было получено, что
при увеличении трубы r T  6, уrловом поле 20006  80 фокусные расстояния объектива и
окуляра соответственно равны {' 06  120 мм, {' ОК  20 мм, диаметры входноrо и выходноrо
зрачков  D  30 мм, D'  5 мм, уrловое поле окуляра 2ОО 0к  480.
Выполнить аберрационный расчет телескопической системы, подобрав rотовыми
объектив и окуляр, и сложением аберраций оценить систему в целом [21].
Решепие. Выберем из набора окуляр Кельнера, который при {'ОК  25 и 2ОО 0к  480
имеет следующие значения остаточных аберраций в обратном ходе лучей:
Аберрации точки па оси
 +-- +--
т' в' I1s' '-о I1B' '-j'-z ОН
О 7,43 О 0,07
1,75 7,24 0,19 0,07
2,5 7,04 0,39 0,07
Сферическая аберрация окуляра K
поэтому для т' 2, 5 мм найдем значение
2f;H М'-ООН
Sj =
т,2
Аберрации точ/(и впе оси
+-- +-- +-- +--
00' ОК z' ВОК z тон z SZ,т
23030' 1,14 1,33 2,47
+--
Кома окуляра К  0,006 при
т'  :t3,5 мм.
определяется только третьимИ порядками
 2- 25( ,39) = 3,12.
2,5
Так как окуляр имеет {'  25 мм, то пересчитаем ero аберрации на требуемое фо-
К у сное Р асстояние. д ля этоrо Кп р еделим коэффициент пересчета у  {' б /{'  20/25-
ОК,тре ОК
 о, 8. Для заданноrо диаметра выходноrо зрачка D'  5 мм и фокусноrо расстояния
{'ок20ммнайдем MOOH: при т'2,!> мм MOOH (т'2/2{'0К> Sj 2,52.3,12/
/(2-20)  0.488, а при т'  1,75 мм B' o ОН  0,239. Тоrда аберрации окуляра с
f'OK  20 ММ будут иметь следующие значения (рис. 3.7):
р
.....,
Ц)o/(
A
f5
...,
SOK
..,
Sp'
200
Рис. 3.7. Схема для расчета аберраций окуляра в обратном ходе лучей

rлава З. Аберрационный расчет оптических систем. Методы аберрационноrо расчета
Аберрации точки па оси
Аберрации точки впе оси
... ... ...
т' s' он 8' ).0 ок 8' ).1).2 0K
О 5,95 0,0 0,056
1,75 5,95 0,24 0,056
2,5 5,95 0,49 0,056
... ... ... ...
оо' ОК z' ток z' ВОК z' BOK z' ток
23030' 1,06 0,91 1,97
Кома окуляра К  0,0048 при
т'  :1:2,8 мм, а при т'  :1:2,5 мм
К  (2,5/2,8)2(0,0048)  0,004.
Следовательно, соrласно (3.20) объектив телескопической системы при f' об  120 мм
должен иметь следующие значеиия аберраций:
Аберрации точки па оси
Аберрации точки впе оси
т
80
81).2 об
(J)об
Zоб
Zоб Z;06  Zоб
15
0,49
0,056
40
0,91
1,06 1,97
10,5
0,24
0,056
Кома ообъектива К  0,004 при т  :1:15 мм
Пусть также мы рассчитали объектив и в результате аберрационноrо анализа на-
шли, что ero остаточные аберрации имеют следующие значения (Вр  О)
Для точки па оси Для точки впе оси
т 8' 81).2 об (J)об Z;об z:поб Z;об z:поб K т --f.12,5
).0
15 0,18 0,097 40 0,6 1,2 0,6 0,006
10,5 .0,02 0,024
О О 0,13
Определим значения остаточных аберраций телескопической системы в уrловой и
диоптрийной мерах, используя соотношения (3.14), (3.16), (3.17), (3.19). Уrловая сфе-
рическая аберрация равна:
при т' 2,5 мм
.........
, (Д80 об + .1.8').0 ОК ) т'
a '" 2
{: к
{o,18o,49)  '" o 00187 '" 6' 4
202 ' , .
при т' 1,75 мм дcr" 0,00131 '" 4,5';
при т' 1,25 мм дa' 0,000938 '" 3,21'.
Как следует из расчетов, уrловая сферическая аберрация превышает допустимое
уrловое значение. Найдем отрезок д, определяющий перемещение окуляра с тем, чтобы
i'.cr"   1'. В соответствии с рис. 2.3
дa  [(i'.800б + Д80 ок  Д )т' J/t:! '" м'  дт' It;: '
ТOI'да
д c=(:. .a + да'l t;. '" Lо.. .g°о.Ц2  0,00 187)202 '" ..0 254
т' 2 '
мм
201

Расчет и nроектирование оптических систем
Иными словами, чтобы yrловая сферическая аберрация телескопической систеl\(Ы
/1r:1'   1', точки F' об и F.. должны быть смещеиы на величину /1  0,254 мм.
Меридиональная кома для 00'..  23030' и т'  :1:2,5 мм
К = (К об  Кок )coS 2 oo'/t: K '= (0,006 + 0,004) х сов 2 23'30'/20 = 0,0001 '" 20".
Астиrматнческая разность для телескопической снстемы
L; = (1000/202)( 0,6  о,91)сов23'30' = 3,46 дптр;
L m =(1000/20Z)(1,21,06)COS23'30' '" 0,32 дптр;
L,  L m = 3,46  0,32 = 3,14 дптр.
Хроматизм положения в параксиальной области
L,  LC = (1000/202)(o,1 3 0,056)= 0,46 дптр.
Как было показано выше, для обеспечения /1r:1'   l' необходимо переместить olty-
лир на 0,25 мм, что соответствует перемещению ero иа 0,6 дптр (1 дптр  t:; /1000
= 0,4 мм). На такое же значение измеиятся величины L, = 3,46  0,6 = 2,86 дптр,.
Lm = 0,32  0,6 = 0,28 дптр, L,Lm = 2,58 дптр.
Призменные моно"уляры (зрительная труба Кеплера с призмой.
или призменной системой). Известно [12], [23], что введение призм
или призменных систем в схему зрительной трубы Кеплера позволя-
ет получить прямое изображение, заданный уrол отклонения (уrол
между оптическими осями объектива и окуляра), обеспечивающий
удобное положение rоловы наблюдателя и компенсацию вращения
изображения (рис. 3.8, aв).
Так как призма по своему оптическому действию эквивалентна
плоскопараллельной пластинке, то для удобства расчета оптическую
схему монокуляра развертывают по rоризонтальной оси, заменяю']
призму эквивалентной плоскопараллельной пластинкой (ППП)
редуцированной к воздуху (рис. 3.8, е), и выполняют rабаритный рас-
чет, аналоrичный расчету телескопической системы. Отличием явля-
ется определение размеров призм (см. rлаву 2). Кроме Toro, для призм,
расположенных в сходящихся пучках, необходимо учитывать вызы-'
ваемое ими удлинение хода луча А  (п  1) d ппп / n.
В задачу аберрационноrо расчета входит расчет объектива вмес-
те с призмой. Аберрации системы «объектив + ППП» должны полно-
стью или частично компенсировать аберрации окуляра. В таких С!1:С-
темах обычно исправляют сферическую аберрацию, хроматизм поло-
жения и меридиональную кому [23].
Если окуляр выбрать из нормальноrо набора или наборов, имею-
щихся на производстве, то ero аберрации будут известны. 3апишеЪ'
условия компенсации аберраций:
...........
!1s'!1s' А ,
"'1"'2 об + "'1"'2 ппп =  s лi'-2 ОК ;
202

rлава З. Аберрационный расчет оптических систем. Методы аберрационноrо расчета
о)
6)
ы
р
"nnn ре'
1'11
е)
1)
/
./
FI;
Рис. 3.8. Призменный монокуляр
............. .............
A' А' А ,  A' А' А , 
u.Sл.о об + u.Sл.о ппп ""  u.S "О ОК; u.Ул.о об + u.Ул.о ппп "" u.y "О ОК
К;; + К ппп "" к;,,;
100' +-; 00 100 J +-; 00
Zтоб + Zтппп == Zтo,,; Z.об + .ппп == z ;
ВОК
( ,  ) ( ' ' ) ( .,  ., 
Z.обz'тоб + Z.ппnZтппn ==z.Zт)OK'
203

Расчет и проектирование оптических систем
При расчете монокуляров в области аберраций третьеrо порядка
при принятых условиях нормировки (а 1  О, а'  1, h 1  1, 131  1, коrда
У1  ар/f'об' 1  1) уравнения компенсации аберраций будут иметь
вид:
S1"2 об+ппп == f;б( "р.Об + SIХР.ппп) ==  м "j"2 ок;
 ' 1 т 2 ( Q S ) 
S"o об+ППIl == 2 f "-'IоG + Iппп ==  s "о ок;
( ИЛИ "y'""...   2' (13,-;' + B,.)  Ху"'''" }
3 т 2   ....
Коб+ппп == 2 f;б tgO}( Iоб + 8 пппп ) == КОК;
2 (  ) ....
А.,б+ппп==f;бtg О} Iоб+8IIIппп ==A.,K;
(3.26)
У;.об+ППп == f;б tg З О}( S:;об +Svппп) == A? д.ок'
Известно [12], что дЛЯ ППП в воздухе 81 пп  8 п ппп  8 ш ппп 8vпnп 
 dппп (п21)/пЗ, а ХPnпп ==dппп(п1)/(п2v,,0), поэтому в случае, Kor
да входной зрачок совпадает с оправой объектива ар  О (рис. 3.8), Т.е.
коrда у == ар  о, 8 UIоб == 1, 8:; == О, найдем:
 
S' 21" S' 24" 2  1 d
S;   рОК Б  "оОК ' об  пп
об  2 1 ппп 2 + з 1','
т т п 'об
тоrда, поскольку h  1,

B' 21" 2 1 d
P   "о ОК ' об п  ппп.
об 2 + п З'
т 'об
...., 2
Q   Кок  /об tgю + п  1. ппп .
"-'II об  3 2 3 1','
т п 'об
и так как 8;;Об == IWo == W o ';;' то
[ ...., 2 ]
W ==   Кf t g ю п  ! d ппп .
об 3 2 3 1" '
т п 'об
 / .
ХРоб == ( Sj"2 ОК /   81 хр.ппп;
204

rлава З. Аберрационный расчет оптических систем. Методы аберрационноrо расчета
с =  [ Мл.lл.z ОК + n  1 d ппп ] .
об 'О( n 2 f:.б. Vл.о
По значениям Соб,Р, W рассчитывают первый компонент, Т.е.
объектив.
Если rотовый окуляр из набора использовать нельзя, то расчет
начинают с расчета окуляра, находят несколько вариантов и выбира
ют тот из них, для KOToporo можно рассчитать объектив с наибольшей
компенсацией аберраций.
Зрительная труба Кеплера с симметричной оборачивающей сис-
темой и "олле"тивом (рис. 3.9). Будем считать, что rабаритный pac
чет системы выполнен по заданным техническим характеристикам и
определены все фокусные расстояния компонентов, расстояния меж
ду ними, диаметры компонентов, положение зрачков и их размеры,
уrлы поля.
Окуляр выбран или рассчитан заранее. Аберрационный расчет
выполним из условия компенсации аберраций выбранноrо окуляра
аберрациями системы, расположенной до окуляра, которую назовем
объективной частью и обозначим как ОС. Поэтому вначале надо cдe
лать аберрационный анализ окуляра в обратном ходе для определения
ero реальных аберраций. Расчет будем проводить для спектральноrо ин
тервала F' е С'.
Рис. 3.9. Зрительная труба Кеплера с симметричной оборачивающей системой и
коллективом
Принимая во внимание сложение аберраций в зрительной трубе,
можно записать следующие условия компенсации аберраций:
A' ......, K  K ( , z'.. ) ( ., z' ..... .. )
L>.Soc =  L>.S ОК ' ос = ОК' Z.  т ос = Z .  ток'
205

Расчет и проекrирование оптических систем
 +--..-...-
ДB";'c, ос =  дв' ;'C' ОК' дy";'c, ос = ду' ;C' ОК .
Зная величины аберраций объекrивной части, определенные из
приведенных выше условий, можно вычислить соответствующие зна-
чения коэффициентов аберраций из следующих уравнений, учтя, что
': с < о:
'00 т 2 00
ДВос =  2\ ': с I Sr ос ;
K 3 т 2 B
ос = 2F I 1I0с;
,/ос
(z;  Z )ос = !f:c!tg 2 ro. SIrI ос;
ДB' C' ос = If:c 1. В;"хр ос ; дy";'c, ос = у' SIr хр ос.
Теперь перейдем к составлению аберрационных уравнений дли
8r ос ' 8rr ос '  ос , 8rxp ос ' .s;; хр ос' значения которых известны.
Вначале надо принять нормировку первоrо и BToporo вспомоrа-
тельных лучей  лучей Зейделя. Для первоrо вспомоrательноrо луча
имеем следующую нормировку (рис. 3.9): а. 1  о, h 1 = r ос = 1 , поэто-
му а. 5  1.
Нормировка BToporo вспомоrательноrо луча: 131  1, поэтому
У1 = ар , rде ар = а р /! ': с 1, 1  h1  1.
Для расчета хода вспомоrательных лучей надо определить при-
веденные значения -т: ,а ! для объективной части системы: r: = ft1! ': с I '
a i = d t /! {:", 1. Деление выполняется на ! ': с !, так как ':'" < О, а нормиров-
кой первоrо луча уже учтен знак «минус».
Затем выполняется расчет хода первоrо и BToporo лучей по изве-
стным формулам.
Рассмотрим аберрационные свойства коллектива и симметричной
оборачивающей системы. Коллектив расположен в задней фокальной
плоскости объектива, т.е. в плоскости промежуточноrо изображения
или вблизи Hero. Следовательно, h 2  О, (Х2  (Ха' поэтому для коллек-
тива S;- =в;; = 8rrI = о, 8rxp = 8rr хр = о.
Для симметричной оборачивающей системы с параллельным хо-
дом лучей между компонентами и сапертурной диафраrмой в середи-
не воздушноrо промежутка (13 0бе   1) исправлены кома, дисторсия,
хроматизм увеличения, поэтому .s;; = О, s; = О, .s;;xp = о . Кроме Toro,
PaP4' Wa==W4.
206

rлава з. Аберрационный расчет оптических систем. Методы аберрационноrо расчета
Выразим неосновные параметры объектива и компонентов обора
ч:ивающей системы через основные (3.4). Для объектива имеем: а 1  О,
С/.. 2   1, поэтому  =  , W 1 = WI' ДЛЯ первоrо компонента оборачи
ваЮщей системы: CJ. з  1, а 4  О, поэтому Рз = Р4 = , W З = W4 = W4'
ДЛЯ BToporo компонента оборачивающей системы получим:
С/.. 4  О, а 5  1, поэтому Р4 = , W 4 = W4 .
С учетом этоrо составим аберрационные уравнения, Т.е. ypaвHe
пиЯ для коэффициентов аберраций:
s..oc == h 1 Pz + hаРэ + h4 == Pz + 2h4;
SПос = YIPz + УаРз + У4 Р 4    W a  W 4 = Y1P1  W1;
Q = У: р. + У% Р. + у; Р  2У1 W  2ув W  2У4 W +
Ioc h 1 h а h 4 h 1 h а h 4
1 а 4 1 а 4
2 2
2 p  Уа +У4 P  2 W 
+<P1+<Pa+<i>4==YI 1 + 4 + У1 1 
h4
 2 (у 4  У а) W + (n + (n + (n .
h4 2 4  "У1 :а Y4' }
SIxpoc == h I <i>ICI + 2h4 <Р4 С 4;
SПхрос = Yl h I<i>I C I+ 2(У4 + уз)h 4 С 4= Yl<i>lCl .
Из системы трех уравнений (3.27) надо определить 4 неизвестных
 , WI , P4 , W4 . Если отдельные компоненты являются двухлинзовы
ми склеенными, то при решеи уравнений надо вычислять величи
ну P;";;un =  O,85(W; o,15) . В соответствии с рекомендациями
предпочтительней, коrда :lin = 0...1, что особенно важно при пре
дельных значениях оптических характеристик для этоrо компонента
(см. rл. 4).
Из уравнений (3.28) надо определить С 1 и (;4 .
При расчете систем с внефокальным коллективом надо учесть, что
h 2  О, поэтому (Х2  (ХЗ и а 2   1, но CJ. з   1. На эти особенности надо
обращать внимание при расчете вспомоrательных лучей, при опреде
лении основных параметров , WI И при составлении уравнений
(3.27).
Уравнения (3.27) можно решить, задаваясь значением одноrо из
Основных параметров, например, приравнивая ero нулю.
Затем выполняется синтез двух компонентов  объектива и KOM
ПОнента оборачивающей системы по известным значениям основных
параметров и оптических характеристик.
(3.27)
(3.28)
207

Расчет и проектирование оптических систем
ТелеСКОllические паикратнческие системы.
Особенности аберрацноииоrо расчета
Панкратическая зрительная труба должна иметь хорошее исправ-
ление аберраций для каждоrо увеличения rTmax...rTmin. Но аберрации
изменяются с изменением положения подвижных компонентов, по-
этому их исправление для Bcero интервала увеличений окажется воз-
можным лишь в том случае, если величины аберраций, вносимые
каждым компонентом, будут невелики при любом положении подвиж-
ных компонентов. Для этоrо аберрации, вносимые каждым элемен-
том, должны незначительно изменяться при ero смещении. Поэтому
удовлетворительное исправление системы во всем интервале увеличе-
ний возможно только в том случае, если каждый из компонентов рас-
считывается так, чтобы величины вносимых им аберраций были от- .
носительно малы и, кроме Toro, остаточные аберрации панкратичес-
кой части системы были ОДИНaRОВЫМИ для максимально возможноro
числа точек [10].
Эти основные положения необходимо учитывать в процесс е абер-
рационноrо расчета и последующей корреКЦИИ аберраций.
Зрительные трубы рассчитывают с учетом сложения аберраций в
телескопической системе. Порядок составления аберрационных урав-
нений рассмотрен выше. Для панкратических труб необходим тща-
тельный анализ уравнений коэффициентов аберраций при нескольких
(5...7) положениях подвижных компонентов, чтобы выбрать опти-
мальные значения основных параметров , W; , с I . or их правиль-
Horo выбора во MHOroM зависят возможности последующей аберрацион-
ной коррекции остаточных аберраций и качество изображения системы.
Аберрационный расчет включает большой объем вычислений,
поэтому для ero выполнения целесообразно составить проrpамму дЛЯ:
ПЭВМ с учетом предлarаемых ниже рекомендаций.
Для каждоrо из нескольких выбранных положений компонентов
разработчик системы может задавать любой набор аберраций с учетом
аберраций окуляра и допустимых аберраций объективной части сис-
темы. Число уравнений может быть больше числа неизвестных. ПЭВМ
выполняет расчет всех аберраций третьеrо и первоrо порядков дJUI
всех выбранных увеличений.
Надо предусмотреть, чтобы в результате расчета определялись и
выводились на экран и печать следующие результаты:
1. Максимальные высоты полевых лучей, rлавноrо луча, вычис-
ленные по формулам идеальной оптики, для каждоro компонента и
уrлы между этими лучами с оптической осью. Эти данные позволяюТ
208

rлава з. Аберрационный расчет оптических систем. Методы аберрационноrо расчета
оценить условия, в которых работает каждый компонент, и правиль
но выбрать конструкцию компонета.
2. Коэффициенты аберраций третьеrо порядка для значений P 1 ,
W 1 , С 1 подвижных компонентов в выбранных положениях.
3. Основные параметры l't, W; , С 1 .
4. Значения аберраций третьеrо порядка при всех положениях
подвижных компонентов, вычисленные по найденным l't , W; , С 1 .
В проrpамме можно предусмотреть минимизацию основных пара
метров одним из известных методов.
Затем по выбранным значениям основных параметров и оптичес-
ким характеристикам компонентов уточняется их конструкция, пос-
ле чеrо выполняется синтез каждоro компонента (см. rл.4). После pac
становки реальных компонентов выполняется аберрационный анализ
зрительной трубы для нескольких увеличений.
Система микроскопа
Выполним аберрационный расчет оптической системы микроско-
па, представленной на рис. 3.10.
....
.............
..................
..........
..........
................................
Л ,l
Il'
,
и,
ii,
l
Рис. 3.10. Оптическая схема объектива микроскопа с призмами,
развернутыми в плоскопараллельные пластины
Пусть из rабаритноrо расчета системы определены фокусные pac
Стояния и увеличения компонентов, размеры и положения призм, рас-
Стояния между компонентами, их световые диаметры и т. п.
Известно [12], что для систем небольшой светосилы с малым по
лем аберрации одних компонентов можно переносить в сопряженные
плоскости изображения друrих компонентов по правилу сложения
аберраций. Выбрав rотовый окуляр, зная el'o остаточные аберрации
и используя правила сложения аберраций, найдем для объектива мик-
209

Расчет и проекrирование оптических систем
роскопа значения параметров РОб' W об ' С об , исходя из условия исправ-
ления в рассматриваемой схеме сферической аберрации, хроматизма
положения и меридиональной комы.
Запишем условия исправления указанных выше аберраций:
( 118' )  ( 118' ) 132 + ( 118' ) + ( 118' ) + М = О;
'1<..0 МИК  '1<..0 ппп! Ооб '1<..0 об '1<..0 пппП 'l<..оОК
(1181'l<..Z )мик = (1181'l<..Z )ппп! I3g об + (118j'l<..z )06 +
+ (118j'l<..Z) пппП + (l'l<..Z )ок = О;
(3.29),
....
К мик = Кппп! 130 + К06 + К пппП  К ок= О.
Тоrда
( 118 ) =  [( 118 ) I3g0б + ( 118 ) + (М'I<..
о 06 О ппп! о пппП О
(А.(,.,) о, = [( А.(,., )00.' : + (А.(,., )шп + (А.(,.,
К Об = [ Кпппl 130 + К пппП  КОК J.
Подставив в формулы (3.30) значения аберраций 118' ппп 1 И 118' ппп 11'
вносимых плоскопараллельными пластинками, после соответствую-
щих преобразований получим:
)0. }
)0. }
(3.30)
<---------
р  nil d РОб + nl d 1 + 2118K 1300б .
об  3 1 3 П А 2
n l а 1 nп a 1 1-'006 aja j
(3.31)
С  n l  1 d l 130 об N П  1 d п 1
об
n l v 1 а 1 n п V П а 1 РО06
<---------
118'OK .
lРООб '
(3.32)
nfl А2 n1 21300б....
w об = dll-'Ооб + 3 d п  KOK' (з.3,3)
а 1 n l . а1n п 130 За 1 у
Сделав переход от неосновных параметров Роб' С об ' W об К основ-
ным параметрам Р';, С;;;', wo, выполняют параметрический синте,
объектива микроскопа в зависимости от ero конструкции.
210

rлава 3. Аберрационный расчет оптических систем. Методы аберрационноrо расчета
Объектив из двух компонентов, расположениых на конечном
расстоянии дpyr от дрyrа
Проведем аберрационный расчет объектива, состоящеrо из двух
компонентов, расположенных на конечном расстоянии d дру!' от дру-
ra. Пусть апертурная диафраrма АД расположена на расстоянии
d 1 =' d/2 от первоrо компонента (рис. 3.11).
f
AAJ2
d.,=o
р,

F,'
Е:
::;:;
р
d,
Ор
d
п:"
t.
1'1/
Рис. 3.11. ,Оптическая схема объектива из двух компонентов, расположенных на
конечном расстоянии друr от друrа
Аберрационный расчет выполним, приняв следующую нормиров-
ку для высот и уrлов первоl'O и BToporo вспомоrательных лучей:
а 1 =О; a=1; h 1 =f:б=1; 131=1; У1=а р ; I=1; (ар=ар/f:б); d=d/f:б.
Из рис. 3.11 определим: а 2 =' <Р l' h 2 == 1  <Р1 д. Вычислим уrол
2=' 131 + У1<Р1 == 1 + У1<Р1 и У2 == У1  d 132' Зная положние апертурной ди-
афраrмы, определим положение входноl'О зрачка ар == d / (2  d <Рl)' в
еОответствии с нормировкой у 1 == d / (2  d <Р1)'
Объектив имеет три внешних параметра <Р1' <Р2' d. Так как коэф-
Фициенты аберраций SI хр' Sп хр' SIV зависят только от внешних пара-
метров, то зависимости межДУ этими параметрами и заданными зна-
Чениями коэффициентов аберраций при f об =' 1 будут иметь следую-
Щий вид:
<Роб = <Р1 + h 2 q>2 = 1;
211

Расчет и проектирование оптических систем
z
S;oxp = L h 1 Z <f'J:3 1 =ч> i] 1 + h:<f' zCz;
1=1
z
SПхр = L hIYI<f'/Ci = Y1<f'i31 + hzYz<f'zCz;
1=1
(3.34)
z
SIV = L <f' 1 1t 1 = <f' l Х 1 + <f' z1t Z "" 0,67 (ч> 1 + <f' z ).
1
В системе (3.34) из четырех уравнений пять неизвестных С р С 2 '
<рl' <f'z' d.Приняв xp = О,  = О, y = О (в реальных объективах SIV:F- О
и имеет небольшое положительное значение, поэтому <f'1:F- <f'2'
исправление средней кривизны изображения достиrается за счет
допущения астиrматизма) и считая С 2  О, из условия xp = О можно
найти параметр С 1 == О, из условия SIV == О  значение <Р1 = q>z ""
== 1 /(1  h z ). Такие объективы называются телеобъективами.
Соrласно рис. 3.10 оптическая длина объектива L == d + а'у и так
как уrол a.'z== 1, то a'F'== h z , причем h z ""l  d/(l  h z ), а расстояние
между компонентами
d = (h1  h 2 )/a. Z = (1  h 2 )/<f'1 =(1  h 2 )Z,
тоrда
L = 1  2hz + h: + h z = h:  h z + 1.
Конструктивно желательно, чтобы оптическая длина объектив&:,
была минимальной. Найдем минимальное значение L min . Для этоro,
вычислим первую производную dL/dh z . приравняем ее нулю'
dL/dh z == 2hz  1 == О и найдем, что в этом случае h z  0,5, тоrда L min ....
== 0,52  0,5 + 1 == 0,75, а это значит, что при выполнении условия
SIV== О оптичская длина L min не может быть меньше (3/4)f 06 . Еслll
принять L == 0,75, h z == 0,5, то d == (1  h Z )2 == (1  о,5)! == 0,25. Оптичес
кие силы компонентов <Р1 == <f'z ==1/(1  0,5) == 2. Высота BToporo вспо-;
моrательноrо луча на первом компоненте Уl == d/(2  d<f'1) ,: 0,25/(2 ,.
o, 25.2) == 0,17. Параметры С 1 и С 2 будут равны нулю.
Составим и совместно решим уравнения исправления MOHoxpOMa,:
тических аберраций  сферической аберрации, меридиональноЙ
комы, астиrматизма и дисторсии:
212

rлава 3. Аберрационный расчет оптических систем. Методы аберрационноro расчета
s;- =  + h 2 P 2 =  + 0,5Р 2 ;
s;; = Yl + У2 Р 2 + W 1 + W 2 = 0,17 0,17P2 + W 1 + W 2 ;
Q = ( 0 17 ) 2р' + (0,17)2 Р, 2.0 17W  2.0,17 W:.
'"'III ' 1 0,5 2+ , 1 0,5 2'
s = ( О 17 ) 3 Р,  (0,17)3 Р, + 3 ( 0 17 ) 2 W + 3.0,172 w: +
v ' 1 0,52 2 ' 1 0,52 2
017
+ 0,17(з+0,67)2+(3+ 0,67)2.
0,5
Из решения уравнений (3.35) найдем параметры Р 1 . Р 2 . W 1 . W 2 . за
тем определим основные параметры компонентов и по ним выполним
параметрический синтез компонентов объектива.
(3.35)
Оптические системы для коллимации лазерноrо излучения
Лазерное излучение характеризуется высокой монохроматично
стью, направленностью, большой мощностью и является KorepeHTHblM
и поляризованным независимо от типа лазеров и их конкретных Tex
нических данных.
Использование лазеров как источников излучения в большинстве
случаев требует применения оптических систем для преобразования
лазерноro излучения. Рассмотрим аберрационный расчет оптической
системы для уменьшения расходимости лазерноrо пучка.
Чтобы уменьшить расходимость лазерноro пучка, целесообразно
использовать перевернутые на 1800 телескопические системы Кепле
ра (рис. 3.12, а) или rалилея (рис. 3.12,6). Если излучение лазера име
ет большую мощность, то лучше использовать систему rалилея, так
как в этой схеме отсутствует плоскость промежуточноrо действи
тельноrо изображения, что исключает концентрацию энерrии внутри
оптической системы.
1 2
F/ ' 1

f2,
tI f/ tI
а) 1) fz
Рис. 3.12. Оптическая система для коллимации лазерноrо излучения:
а) по схеме Кеплера; б) по схеме rалилея
213

Расчет и проектирование оптических систем
Запишем условие исправления сферической аберрации всей систе-
мы:

(SO )1 = (s'Ло )2.
В области аберраций третьеrо порядка
(SO )1 =  О,5т;  1ft; }
(so )2 =  О,5т; 1>2 If;,
rде т 1 и т 2  oopД!!HaTЫ апертурноro луча на компонентах 1 и 2 со-
ответственно; Р7 и р;  основные параметры тонких компонентов.
Подставив правые части выражения (3.37) в формулу (3.36),
после преобразований получим Р;=  т; Р; f;/(ftm:), и так как
r т   Шf; , то
Р;= rT'p;. (3.38)
Если в системе требуется исправить и меридиональную кому, то
записывают условие ее исправления:
(3.36)
(3.37)
(К ЛО )1 =( К ло )/
3 т; ( )  3 т: , ( ) 
 t g ro S = t g ro S
2 {/ II 1 2 {; II 2'
тоrда (Sn); = (SIl); .

rлава 4. Параметрический синтез OДHO и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
rлава 4. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ OДHO И
ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ ЛИНЗОВЫХ
СИСТЕМ ИЗ БЕСКОНЕЧНО ТОНКИХ
КОМПОНЕНТОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДА
РАЗ Д ЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
4.1. Уравнения первой и второй rpynn метода
разделения переменных. Внутренние и внешние
параметры. Свободные параметры
Метод разделенu,я переменных, или алzебраuчес"uй метод, OCHO
ванный на теории хроматизма и аберраций третьеrо порядка, ДOCTa
точно эффективен для синтеза широкоrо класса оптических систем,
включая объективы зрительных труб снебольшим уrловым полем,
ДBYX и трехкомпонентные окуляры, микрообъективы, фотообъекти
вы в широком понимании этоl'О термина [2], астрообъективы, систе
мы переменноrо увеличения, оптические системы оптикоэлектрон
Ных приборов и т.п.
Метод не утратил cBoero значения с появлением ЭВМ. Среди пос
лед них разработок известна САПР оптических систем с возмож
ностями синтеза систем с различными оптическими характеристика
ми, в основу которой положена теория тонкокомпонентных систем.
Применение метода разделения переменных позволяет выбрать
Оптимальный исходный вариант, изучить область существования pac
СЧитываемой конструкции, ее возможности и затем правильно выб
рать направление коррекции при оптимизации в автоматическом pe
ЖИме.
В основе метода лежит деление параметров на две rруппы: внеш
ние и внутренние. Внешнuмu параметрами оптической системы яв-
215

Расчет и проектирование оптических систем
ляются yrлы а первоro вспомоrательноro луча с оптической осью в воз
духе и высоты h. Внешними параметрами определяются оптические
силы линз и расстояния между ними, и их вычисляют на первом эта
пе синтеза. Внутренними параметрами являются уrлы а внутри
линз, в стекле. Внутренние параметры определяют форму, или про-
rиб, линз.
Метод основан на свойстве бесконечно тонкой линзы, заключаю-
щемся в независимости хроматизма от проrиба линзы, т. е. внутрен-
Hero уrла а. Действительно, в условия устранения хроматизма поло-
жения и увеличения, условие Петцваля и различные конструктивные
условия не входят внутренние параметры. Поэтому оказывается воз-
можным на первом этапе определить внешние параметры оптической
системы, на втором  внутренние из условий исправления мо-
нохроматических аберраций.
На основе анализа техническоrо задания выбирают конструкцию
системы и аберрации, которые следует исправить или для которых
надо получить определенные значения. Затем принимают компонен
ты системы бесконечно тонкими и составляют аберрационные уравне-
ния, учитывая нормировку первоrо и BToporo вспомоrательных лучей.
При этом выделяют две rpуппы уравнений.
В первую zpynny входят уравнения, зависящие от внешних nа-
раметров:
1) уравнение масштаба I:ht<Pt  1, rде ht  высота первоrо вспомо
rательноrо луча на i-M компоненте или линзе; <Р!  приведенная опти-
ческая сила компонента или линзы при f  1;
2) уравнение исправления хроматизма положения 81 хр  о;
3) уравнение исправления хроматизма увеличения 8 п хр  о;
4) уравнение исправления вторичноrо спектра 81 в.с.  О (для апох-
роматов);
5) уравнение исправления кривизны Петцваля 8 1у  о;
6) уравнение исправления термооптической или термобарической
аберрации (для систем, работающих в условиях значительноrо пере-
пада температур или давления);
7) уравнение, представляющее собой конструктивное условие или
друroе дополнительное уравнение, например уравнение массы.
Из решения уравнений первой rруппы определяют внешние па
\
раметры системы и оптические силы линз, а также воздушные про
межутки межДУ бесконечно тонкими линзами или компонентами,
если они имеют конечные значения, и выбирают оптимальные KOM
бинации марок стекла или друrих оптических материалов. Для их
выбора исследуют несколько вариантов системы.
216

rлава 4. Параметрический синтез одно- и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
Во вторую еруnnу входят уравнения, зависящие от внутренних
nараметров системы, поскольку внешние уже определены из ypaв
нений первой rpуппы:
1) уравнение исправления сферической аберрации SI =: о;
2) уравнение исправления меридиональной комы Sп =: о;
3) уравнение исправления астиrматизма Sш =: о;
4) уравнение исправления дисторсии Sv =: о.
При расчете новой, ранее неизвестной системы и требовании ис
правления аберраций суммы 3ейделя приходится приравнивать нулю.
Для рассчитанных ранее конструкций систем, например фото-
объектиов, известен диапазон значений сумм 3ейделя, при которых
аберрации высших порядков практически минимальны.
При расчете компонентов сложных систем требуется получить
определенные значения аберраций из условий компенсации аберраций
остальной части системы, поэтому суммы 3ейделя значительно отли-
чаются от нуля.
Выбор исправляемых в системе аберраций зависит от назначения
системы, ее конструкции и оптических характеристик (см. rл. 3).
Все уравнения первой и второй rрупп являются алrебраическими,
поэтому метод разделения переменных получил свое второе название
 алrебраический.
Для решения полученных алreбраических уравнений необходи-
мо, чтобы число свободных параметров оптической системы COOTBeTCT
вовало числу составленных уравнений. Свободными параметрами си-
стемы являются радиусы кривизны, воздушные промежутки конеч-
ной величины и оптические постоянные оптических материалов, если
они не заданы.
Если число уравнений больше числа свободных параметров, то в
качестве свободноrо параметра можно использовать оптические посто
янные стекол (или друrих оптических материалов), иноrда оказыва-
ется возможным пренебречь исправлением одной из аберраций.
Если число уравнений меньше числа свободных параметров, т.е.
имеется избыточный (лишний) параметр, то надо принимать допол-
Нительное условие. Можно составить уравнение для исправления ка-
кой-либо аберрации высших порядков или использовать уравнение,
содержащее конструктивное условие (см. п. 4.3). Например, для трех-
линзовых к?мпонентов в качестве дополнительноro уравнения прини
Мают равенство одной из оптических сил определенному значению,
что позволяет уменьшить аберрации высших порядков. Иноrда мож
llо упростить конструкцию. Добавляя новые условия, надо иметь в
Виду их осуществимость и целесообразность. Следует избеrать введе-
217

Расчет и проектирование оптических систем
ния условий исправления трудноисправимых аберраций, к KOTOPbll\l
относятся, например, кривизна Петцваля и вторичный спектр, если
в этом нет особой необходимости.
Точное математическое решение уравнений каждой rруппы удает-
ся получить только для систем снебольшим уrловым полем, коrда ис- ,
правляются одна хроматическая и две монохроматические аберрации,
т.е. коrда на каждом этапе решают по два уравнения, включая урав-
нение масштаба. Для этих систем удается получить исходную систе-
му, требующую незначительной коррекции или даже исключаюlЦYJO
ее.
При расчете сложных систем, коrда необходимо решать ceMЬBO-
семь уравнений (микрообъективы, окуляры, фотообъективы), точный
метод решения значительно усложняет задачу и, самое rлавное, чаще
Bcero при водит к конструктивно неприемлемым решениям, например.
получаются очень большие или отрицательные ВОЗдyIIIные промежyr-
ки, большие оптические силы линз и Т.п. В этих случаях прибеrают\,
к приближенному методу, изменяя в определенных пределах искомые
параметры и анализируя полученные значения сумм для выбора оп- .
тимальноrо варианта. Этот метод позволяет получить несколько кои-
струкций исходных систем и выбрать оптимальную на этапе автома-
тизированной коррекции аберраций.
При синтезе систем (кроме симметричных) сапертурной диафрar-
мой, расположенной в одном из воздушных промежутков, для упро-
щения уравнений допускается совмещение этой диафраrмы с одним
из компонентов, так как при хорошем исправлении аберраций объек-
тива положение входноro зрачка практически не влияет на аберрации
[12]. В дальнейшем при переходе к реальной системе можно выбрать
друrое положение зрачка, практически не меняя оптических свойств
системы.
4.2. Общая методика синтеза оптических систем
из бесконечно тонких компонентов
Уравнения синтеза
Для синтеза компонентов снебольшим уrловым полем до 5...6011
относительным отверстием до 1:3, а иноrда и до 1:2 особенно эффеК-
тивно можно использовать теорию аберраций третьеrо порядка систем
из бесконечно тонких компонентов. Такие компоненты применяlOТ
при разработке зрительных труб (объективов, оборачивающих систе",
коллективов), оптикоэлектронных и контрольноизмерительнЫХ
218

rлава 4. Параметрический синтез одно- и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентоВ на основе метода разделения переменных
приборов, систем формирования лазерноrо излучения, микроскопов
небольшой апертуры и Т.п.
В начале расчета компоненты можно принять за бесконечно TOH
кие и применить к ним теорию аберраций первоrо и третьеrо поряд
ков. В системах снебольшим уrловым полем синтез исходноrо вари
анта выполняется из условий исправления или получения заданных
значений хроматизма положения, сферической аберрации и мериди
анальной комы. Остальные аберрации практически не влияют на Ka
чество изображения.
В результате для TOHKoro компонента, коrда h 1  h 2 ... hk  h,
У1 == У2 ... ==Yk == У составляют четыре уравнения:
уравнение масштаба
I
L <Р" = 1;
,,:1
уравнение исправления (или получения заданноrо значения) xpo
матизма положения
(4.1)
k k
S;"xp = L hvC v = h L С у = hC = о;
у:1 у:1
уравнение исправления (или получения заданноrо значения) сфе
рической аберрации
(4.2)
k k
S I  = '" h Р = h'" Р = hP = О.
 v v  v '
у:1 у:1
(4.3)
уравнение исправления (или получения заданноrо значения) Me
ридиональной комы
k k
Sп = L УуРу  IL W V = yp  IW = о.
у:1 у:1
(4.4)
Уравнения (4.2)( 4.4) приравнивают нулю для исправления абер
раций третьеrо порядка или некоторому небольшому значению для
компенсации аберраций высших порядков. Например, для двухлинзо
Boro объектива для компенсации сферохроматической аберрации, Kor
да 81 == OO, рекомендуют принимать С == 0,1(т/f)2, rде т == О,7п/2,
а для компенсации сферической аберрации высших порядков можно
принять SI== (10...15) (т/n 2 ; т == D/2.
Из уравнений (4.1), (4.2) определяют внешние параметры, а из
(4.3), (4.4)  внутренние параметры оптической системы.
219

Расчет и проектирование оптических систем
При бесконечно удаленном предмете для компонента из несколь-
ких линз с бесконечно малыми расстояниями между ними с учетом
нормировки первоro и BTOpOl'O вспомоrательных лучей (а 1 == О, h 1 == r ""
== 1, a.'k == 1, sp== 0,131 == 1, Yl == У! == ". ==Yk == 0,1 == 1, h 1 == h z == ." ==h k ),
коrда входной зрачок совпадает с оправой компонента, уравнения
(4.2)(4.4) преобразуются к виду:
<Pl + <PZ+"'+<P1 == 1; (4.5)
k 1
S;"xp == L C v ==  L <PI'/v/I == С == о;
v=l /1=1
(4.6)
k
S;" == L Pv == P == о;
v=l
(4.7)
k
SIi == L W v == W  == О.
v=l
При наличии избыточных параметров к четырем уравнениям мо-
rYT быть добавлены одно-два дополнительных условия.
В случае предмета на конечном расстоянии необходимо учесть
нормировку первоro вспомоrательноrо луча и соответствующим обра-
зом преобразовать аберрационные уравнения. Возможен и друrой при-
ем: можно сделать переход от неосновных параметров Р, W, С к QCHOB-
ным P, w"" и С и расчет вести как бы для эквивалентноro объектива
или компонента, работающеro с бесконечно удаленным предметом, ис-
пользуя уравнения с основными параметрами.
Описываемая методика синтеза справедлива также для расчета
компонентов сложных систем с высокими оптическими харакrеристи-
ками, коrда из условий исправления: двух хроматических и всех мо-
нохроматических аберраций определяют значения основных пара-
метров каждоrо из компонентов системы и в дальнейшем в зависи-
мости от значений P, w"" и С выбирают конструкцию компонентов и
выполняют их синтез.
(4.8)
ПоследоватеJlЬИОСТЬ выполиения синтеза
Внешние параметры системы определяют из решения двух линей-
ных уравнений (4.5) и (4.6) первой rруппы, а внутренние  из усло-
вий исправления монохроматических аберраций (4.7), (4.8) или равен-
ства их определенным значениям. Для большинства систем уравнение
(4.7) является квадратным, а (4.8)  линейным. Из двух решений
(4.7) выбирают меньшее положительное (для уrлов а) или меньшее по
220

rлава 4. Параметрический синтез одно- и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
модулю (для инвариантов Аббе Q для склеек) в целях получения бо-
лее блаroприятной формы линз и меньших аберраций высших поряд
ков.
Контроль составлении и решении уравнений. Для контроля, а
также для выбора избыточноrо параметра и предварительной оценки
аберрационных возможностей системы рассчитывают параметры Су,
Ру и W y по поверхностям и определяют их сумму. При правильном pac
k k k
чете L Су = с; L W y = W; L Ру = P с точностью вычислений.
У21 У=l v=l
Помимо контроля такой расчет позволяет при выборе избыточных
параметров найти оптимальный вариант с меньшими значениими па
раметров по поверхностям. Особое внимание надо обращать на мини
мизацию максимальных по модулю поверхностных коэффициентов,
так как соrласно правилу Берека большие значения аберраций BЫC
тих порядков обычно появляются на поверхностях с большими зна
чениями (по модулю) коэффициентов. Так, в компонентах со склеен
ной поверхностью надо стремиться уменьшить значение инварианта
склейки соответствующим выбором избыточноrо параметра (см. [1]).
При использовании ПЭВМ такой расчет одновременно ивляется
контролем вычислений и исключает необходимость введения KOH
трольноrо примера.
Определение радиусов кривизны бесконечно тоикоrо KOМnOHeH
та. После определения внешних и внутренних параметров компонен
та из решения аберрационных уравнений можно вычислить ero ради
усы кривизны:
r YTH = hv(n nv)/(na nvav)'
Для наиболее часто встречающеrося случая, коrда 81 == OO, то
h 1 == r , а 1 == О, а' k == 1; если предмет находится на конечном расстои
Нии, то а. 1 == O' h 1 == a1O' a.'k == 1. Дли бесконечно TOHKOro компонента
Все высоты одинаковы, Т.е. h 1 == h%=< ... == h k .
Для контроля правильности вычислений радиусов кривизны pac
Считывают ход параксиальноrо луча из бесконечности и определяют
Фокусное расстояние: r == h/a'k== П (8'y/8 vH )'
Если предмет находится на конечном расстоянии, то надо опреде
Лить линейное увеличение компонента, рассчитав ход параксиально
1'0 луча с расстоиния а 1 , При контроле необходимо следить за равен-
Ством полученных уrлов <ху расчетным значениям.
Если расчет выполняетс.я для двух решений аберрационных урав-
1:Iений, то выбирают вариант системы с максимальными значениями
221

Расчет и проекrирование оптических систем
радиусов кривизны, что приводит К уменьшению уrлов падения лу-
чей на поверхностях системы и уменьшению аберраций высших по-
рядков.
Переход к линзам конечной толщины. Общие положении. Полу-
ченные радиусы кривизны поверхностей компонентов системы обес-
печивают заданные значения ее оптических характеристик (увеличе-
ния, фокусноrо расстояния, поля, оптической длины), если эти ком-
поненты бесконечно тонкие. Переход к системе линз конечной толlЦИ_
ны осуществляется при условии сохранения значений фокусных рас-
стояний всех компонентов и уrлов первоro вспомоrательноrо луча с оп.
тической осью. Кроме Toro, расстояние между задней rлавной точкой
каждоrо компонента и передней rлавной точкой следующеrо компо-
нента остается равным расстоянию между двумя бесконечно тонкими
компонентами.
Расстояние от входноrо зрачка до передней rлавной точки перво.:.
ro компонента принимается равным расстоянию от входноrо зрачка
до первоrо бесконечно TOHKoro компонента. В результате соблюдения
этих условии оптические характеристики системы остаются неизмен"
ными.
При таком переходе сохраняется неизменность значений основ-
ных параметров С, P. W"" ,зависящих только от уrлов (х и показате-
лей преломления сред. Однако суммы 3ейделя не остаются без измене-
ния, так как для реальной системы высоты hv и Yv обоих вспомоrа-
тельных лучей изменяются. Для систем с невысокими оптическими
характеристиками эти изменения несущественны. Последователь-
ность перехода к реальным линзам:
1) определяют световые и полные диаметры линз;
2) вычисляют толщины линз и воздушные промежутки между
линзами, которые вначале принимались за бесконечно малые;
3) рассчитывают высоты первоrо вспомоrательноrо луча линз
конечной толщины, причем h 1 == r при s 1 == oo И h 1 == S 1130 при s 1"# ----00,
Для предмета на конечном расстоянии предварительно надо рассчи-
тать луч в обратном ходе и найти расстояние s l' характеризующее по-
ложение предмета относительно первой поверхности;
4) находят радиусы кривизны поверхностей линз конечоЙ
толщины и выполняют контроль вычислений;
5) вычисляют расстояния между вершинами поверхностей компо-
нентов, расположенных на конечном расстоянии друr от дрyrа.
Определение световых и поJIIIыx диаметров компонентов. В об-
щем случае для вычисления световых диаметров компонентов необ-
ходимо рассчитать ход апертурноrо и полевых лучей  BepxHero,
222

rлава 4. Параметрический синтез одно- и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
rлавноrо и нижнеrо  через бесконечно тонкую систему. Максималь
ная высота падения какоrо-либо из лучей на каждый компонент и оп-
ределит световой диаметр D CB ' Световой диаметр отдельноrо компо
нента леrко определить с помощью рис. 4.1. В случае бесконечно уда-
ленноrо предмета световой диаметр компонента (рис. 4.1, а)
D CB = D+ 2а р tgro,
{'де D  диаметр входноro зрачка; ар  расстояние от компонента до
входноrо зрачка; ro  половина уrловоrо ПОЛя.
2IJ
a,
5)
Рис. 4.1. Ход полевых лучей для определения световых диаметров компонентов
Если предмет находится на конечном расстоянии (рис. 4.1, б) и
имеет малые размеры, то
D CB = 2аl tgO' А'
{'де О' А  апертурный уrол в пространстве предметов. Для малых апер-
тур sin О'А == tg О'А = О'А' поэтому D CB == 2а 1 А.
В общем случае для предмета, находящеrося на конечном расстоя-
нии, при линейном поле 2у световой диаметр определяют по формуле
D св == D+ 2Ь. Как видно на рис. 4.1, б,
ь = [а р /(а 1 ap)](D/2+ у),
и тоrда
D CB = D + ap(D + 2у)/(а 1  ар).
Если входной зрачок совпадает с компонентом, то а р == О, D CB == D.
Полный диаметр линзы D пол == D CB + tliJ, rде tliJ  припуск на закреп
ление линзы в оправе. Рекомендуемые значения tliJ в зависимости от
CBeTOBOro диаметра и способа крепления линзы приведены в табл. 4.1
[4]. В ней же указана наименьшая толщина d min края положительной
Линзы.
223

Расчет и проекrирование оптических систем
Таблица 4.1
Полный диаметр ПоJШЪ1Й диаметр
D nп :ММ, Световой D.... мм,
при креплении диаметр при креплении
drn!n. MM линзы d""",M:!I
пс.,мм зажим- п е8 , ММ зажим-
38ВМЬ- 38ВМЬ-
ЦО8КОЙ вым ЦОВКОЙ HLIМ
KQI1ЬЦOM KQI1ЬЦOM
До6 0,6  1,0 Св. 80 до 120  3,0 3,0
"
Св. 6до 10 0,8 1,0 1,2 " 120 " 180  4,0 4,0
.. 10" 18 1,0 1,5 1,5 .. 180 .. 260  5,0 5,0
.. 18" 30 1,2 1,8 1,8 .. 260 " 360  6,0 6,0
.. 30" 50 1,5 2,0 2,0 " 360 " 500  8,0 7,0
.. 50" 80 2,0 2,5 2,5
Полученное значение полноrо диаметра окруrляют до бли
жайшеrо большеrо нормальноrо диаметра по rOCT 663669 (табл.
3.2), в котором приведены ряды нормальных линейных размеров.
Ряды числовых значений построены по закону rеометрическ'" ...
проrрессии с определенными значениями знаменателя и с окруrле.
ными значениями чисел. Как следует из заrоловков столбцов
табл. 4.2, пятому ряду (Ra 5) соответствуют числа только одноrо стол ,
бца  lro, десятому (Ra 10)  числа двух столбцов  1ro и 5ro.
двадцатому (Ra 20)  числа четырех столбцов  1ro, 3ro. 5-ro и 7-
ro, а сороковому ряду (Ra 40) соответствуют числа всех столбцов таб.. ,
лицы.
При выборе ближайшеrо нормальноro числа из табл. 4.2 ее Haдq
просматривать построчно (кроме ряда Ra 5). Предпочтительным яв-
ляется ряд Ra 5 с более крупной rрадацией. На отраслевых преД-
приятиях в зависимости от номенклатуры изделий и технолоrическо
то цикла устанавливается тот или иной ряд, по которому рекомендУ-
ется выбирать диаметры. В учебной практике можно использовать JYIД
Ra40.
Определение ТОJIЩИн JlИВз. При переходе к линзам конечной тол-
щины (к реальной системе) известны радиусы кривизны r vтв бесконеч-
но тонкой системы и все уrлы  первоrо вспомоrательноrо луча при
заданных оптических характеристиках. ПО известным значенияМ ра- ,
диусов кривизны можно найти расстояния между вершинами поверХ-
224

rлава 4. Параметрический синтез одно- и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
Таблица 4.2
Ва5 
Ra 10  Ra 10 
Ra 20  Ra 20  Ra 20  Ra 20 
Ra 40 Ra40 Ra40 Ra 40 Ra40 Ra 40 Ra40 Ra 40
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1,05 1,1 1,15 1,2 1,3 1,4 1,5
1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,4
2,5 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8
4,0 4,2 4,5 4,8 5,0 5,3 5,6 6,0
6,3 6,7 7,1 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5
10 10,5 11 11,5 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22 24
25 26 28 30 32 34 36 38
40 42 45 48 50 53 56 60
63 67 71 75 80 85 90 95
100 105 110 115 120 130 140 150
160 170 180 190 200 210 220 240
250 260 280 300 320 340 360 380
400 420 450 480 500 530 560 600
630 670 110 750 800 850 900 950
настей  толщины линз и воздушные промежутки между ними.
Толщину линзы по оси следует рассчитывать с учетом ее KOH
структивных особенностей: в наиболее тонком месте линзы  на краю
отверстия для положительной линзы и на оси для отрицательной
(рис. 4.2)  толщина линзы должна быть не менее d m1n что необходи
мо для обеспечения ее достаточной
dтtn прочности. Слишком тонкие лин
зы при полировании проrибаются,
что делает невозможным получе-
ние точных поверхностей и цент-
рировки.
Наименьшие толщины  от-
рицательных линз по оси и поло-
жительных линз по краю  (d m1n ),
t/тtпstl также фаски и диаметр под кре-
пеЖные элементы определяются
соrласно ныне действующим стан-
Pl1c. 4.2. Минимальная толщина дартом [4].
ПОложительной и отрицательной линз
225

Расчет и проектирование оптических систем
Значение d min зависит от диаметра линзы и отчасти от условий
применения. Для отрицательных линз толщина по оси принимает-
сяравной d == d min ==(0,08...0,15) D пол и выбирается в зависимости от
ее диаметра D пол и точности обработки (табл. 4.3). Для отрицатель-
ных менисков при отношении радиуса кривизны выпуклой поверхно
сти к полному диаметру D пол менее 1,5 толщину по оси следует при-
нимать не менее О, 15D пол .
Таблица 4.3
Характеристика отрица- Наименьшие значения ТОJПЦИны по оси dmlnd, ММ,
тельной линзы при допуске tlN на Mecmble поrpешности
Форма Диаметр sO,3 0,3...0,5 0,5...2,0 2,0
D пол' мм
До 50 О, 15D поп О, 12D пол О, 1т поп 0,10D пол
воrнутая 50...120 О, 12D поп О, 12D пол 0,10D. ол о,О8D рол
120.. .260 0,10D поп 0,10D по . О,О8D по . 0,08D пол
260.. .500 O,10D. on о,О8D пол 0,08D поп О,О8D по .
МеIDIСК До 50 О, 12D рол О, 1т ро . 0,10D поп 0,10D p o.o
50.. .120 О, 12D поп 0,10D поп 0,08D пол о,О8D рол
120.. .260 0,10D поп О, 10D пол о,О8D. ол о,О8D пол
260.. .500 0,10D по . 0,10D по . О,О8D поп 0,08D пол
Толщину положительных линз следует вычислять, принимая во
внимание рекомендуемое значение d min на краю линзы (см. табл. 4.1),
Обозначим kv стрелки проrиба поверхностей линзы (рис. 4.3), Tor-
да толщина линзы d == k 1 + d min  k 2 , причем
значения стрелок проrиба следует подстав- 1<, al11ifl
лять со своими знаками.
Стрелку проrиба сферической поверхнос-
ти леrко определить из чисто rеометрических
соображений (рис. 4.4):
k = r  МС = r  r2  D;ол/4.
Для отрицательных радиусов кривизны
перед радикалом должен стоять знак плюс.
Удобно для вычислений использовать следу-
ющую формулу, автоматически обеспечиваю-
щую правильный результат:
kv = rv  (rv/I rv I)  r}  D;ол/ 4 .
226
\
kz
r/
Рис. 4.3. К определениЮ
толщииы положительнОЙ
линзы

rлава 4. Параметрический синтез OДHO и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
Следует помни'rь, что нормы,
приведенные в табл. 4.1, 4.3, не Bce
rда обеспечивают достаточной
прочности линзы. При больших pa
диусах кривизны линза по форме
напоминает плоскопараллельную
пластинку, и в этом случае необходимо учесть дополнительное усло
вие для толщины положительной линзы: d  (0,1...0,12) Dпол.
Определение воздушных промежутков между линзами КОМПОRеи
та. Во мноrих компонентах в начале расчета воздушные промежутки
принимают бесконечно малыми. При переходе 1<' реальной системе
важно правильно рассчитать или выбрать воздушный промежуток.
В зависимости от конструкции линз MorYT представиться два слу
чая: «касание» линз по центру или по краю, т.е. при максимальном
приближении друr к друry линзы MorYT соприкоснуться или краями
поверхностей, или вершинами (центрами).
При «касании» по центру
(рис. 4.5, а) воздушный проме
жуток следует выбрать возмож
но меньшим: d в . п .  0,1...0,2 мм,
чтобы не нарушить исходное
предположение о бесконечно Ma
лом расстоянии.
При «касании» по краю
(рис. 4.5, б) необходимо рассчи
тать толщину образовавшейся
положительной воздушной лин
зы, принимая d min  0,1...0,3 мм;
d в . п .  kv + (0,1...0,3)  kV+I'
После этоrо остается вычис
лить высоты hv первоrо вспомо
rательноrо луча, полаrая, что
h 1  f' при 81  oo И h 1  81130 при 8 1 :F- oo, сначала вычислив 81  а 1 + 8Н'
а затем  радиусы кривизны реальной системы:
r vp = hv (n  nv)/(n(X  nva. v ).



r
Рис. 4.4. Схема для расчета стрелки
проrиба сферической поверхности
d,."
а)
6)
Если rv» D пол , то стрелку про
rиба можно вычислить по прибли
женной формуле
kv = Dол/(8rv).
d6л
Рис. 4.5. К определению воздуmноrо
ПРомежутка между линзами компонента
227

Расчет и проектирование оптических систем
Толщины линз и воздушные промежутки рассчитывают с точ-
ностью до десятых долей миллиметра, а радиусы кривизны  до ше-
сти значащих цифр.
Особенности перехода к линзам конечной толщины в случае
предмета на конечном расстоянии. После определения толщин линз
и воздушных промежутков между ними надо определить положение
предмета относительно первой поверхности, Т.е. 81'
При использовании известноrо метода перехода вначале необходи-
мо рассчитать пераксиальный луч из бесконечности в обратном ходе
через систему с радиусами кривизны rv 1'В дЛЯ бесконечно тонкой сис-
темы и с реальными расстоянИями d v между вершинами поверхностей
для определения 8 н , а затем вычислить 81' Надо помнить, что при рас-
чете луча в обратном ходе, коrда система перевернута на 1800, ее кон-
структивные параметры связаны с теми же параметрами прямой сис-
темы следующим образом:
+--
n 1 = n l <+1
+--
r 1 = rk
+--
d 1= dkl
+--
n 2 = n"
+--
r 2 == rkl
+--
d 2 == d"2
+--
N З == n"1
+--
d "1= d 1
+--
r" == r1
+--
n k + 1 == nl
В этом случае 8 н определяют приближенно, так как фокусное
расстояние r системы отличается от заданноrо: оно сохраняется рав-
ным фокусному расстояНИю системы только с радиусами rv 1'В и тол-
щинами d v == О. Затем рассчитывают высоты hv первоro вспомоrатель-
Horo луча с учетом нормировки, Т.е. а 1 == 130' h 1  81130' и вычисляют ра-
диусы кривизны реальной системы:
rv р = hv (n  nу )/(na  nvCJ. v ) = hvrv 1'0 /( ( 1 130)'
Для контроля линейноrо увеличения 130 рассчитывают ход первО-
ro вспомоrательноrо луча с конечноrо расстояния 81' а для определе-
ния фокусноrо расстояния  при 8 1  oo. Если значение фокусноrо
расстояния сохраняется неточно, то делается второе приближение.
Для этоrо уточняется значение SH дЛЯ рассчитанной системы с радиу-
сами r vp ' Т.е. вновь определяется 81' затем 1i 1 ,1iv и rvp' Следует обра-
тить внимание на точность вычисления 81: целесообразно 81 окруrлят ь
228

rлава 4. Параметрический синтез одно- и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
до десятых долей миллиметра, что соответствует приемлемой точно
СТИ установки предмета. Во мноrих случаях расчета бывает достаточ
но первоrо приближения (см. пример 9.2 в задачнике [1, с. 175]).
Для более точноrо сохранения фокусноro расстояния при перехо
де к реальной системе можно рекомендовать несколько иную методи
ку. Сущность ее такова. Вначале необходимо выполнить переход при
условии сохранения фокусноrо расстояния. Для этоrо нужно рассчи
тать ход параксиальноrо луча из бесконечности через бесконечно TOH
кую систему с радиусами кривизны r VTH ' полаrая, что al== О, hl== r ==
 al0/(1  130)' и определить уrлы a,,, сохраняющиеся постоянными
в этой части переход а при вычислении hv и r:;'. Для полученной сис
темы с r:;' надо рассчитать параксиальный луч из бесконечности в об-
ратном ходе и вычислить Вн> а затем 81' Дальнейший порядок расчета
аналоrичен описанному выше, Т.е. определяют h 1 == 81130' и затем r vp че
рез исходные уrлы а".
В целях контроля вычислений рассчитывают ход параксиально-
ro луча при 81 == OO дЛЯ определения " и с конечноrо расстояния 81
для контроля расчетных уrлов а" и линейноrо увеличения 130'
После расчета радиусов кривизны линз конечной толщины не сле-
дуе'I' сразу окруrлять их значения по rOCTy. Только после абер
рационноrо анализа исходноrо варианта в случае допустимых значе-
ний остаточных аберраций (см. rл. 3) можно окруrлить значения ра-
диусов по rOCT 180775 (см. rл. 8).
Определение расстояния между компонентами, расположеRНЫ
ми на конечном расстоянии дрyr от друrа. В ряде случаев оптическая
СИстема может состоять из нескольких мноrолинзовых компонентов,
расположенных на конечном расстоянии друr от друrа. Расчет подо
бных систем проводится по компонентам. Для сохранения фокусноrо
расстояния всей системы надо определить расстояние между компо
нентами, считая, что расстояние d o между задней rлавной точкой H'I
nepBoro компонента и передней rлавной точкой Нн BToporo равно pac
Стоянию между бесконечно ТОНКими компонентами (рис. 4.6). Тоrда
 :=. d o + 8Иi  8 Нп .
Особые случаи перехода к реальным линзам. Иноrда при расче
'fe ЛИНЗ приходится учитывать конструктивные условия, например,
равенство радиусов кривизны, определенные соотношения между
НИМИ, разные формы поверхностей (одна из них является плоской) и
др. Тоrда при переходе к линзе конечной толщины для сохранения
Конструктивных условий рекомендуется использовать уравнение оп
'!'йчеСI,ОЙ силы реальной линзы:
229

Расчет и проекrирование оптических систем
Н 11
' о
Рис. 4.6. К определению расстояния
S"ll между компонентами, расположенны-
ми на конечном расстоянии друr от
дрyrа
t/ p
Sit.
ф = 4 = (n  l) ( i   ) + (n  1)2 d .
f r 1 r2 n r 1 r 2
Радиусы кривизны реальной линзы определяют из решения это.
ro уравнения при известных толщине и фокусном расстоянии.
Модульный принцип составления аберрационных уравнений.
Параметры Р, W и С отдельной линзы и двухлинзовоrо
склеенноro компонента
ДBYX, трех и четырехлинзовые компоненты (табл. 4.4), применя-
емые в качестве объективов систем снебольшим уrловым полем и ком-
понентов сложных систем с повышенными оптическими характерис-
тиками, представляют собой различные комбинации отдельных лииз
и склеенноrо компонента, которые можно считать модулями [6].
Зная уравнения для параметров Р, W, с модулей, можно составить
соответствующие аберрационные уравнения для каждоrо из компо-
нентов, учитывая расположение модулей в определенной KOHCTPy
ции. Поэтому приведенные ниже уравнения параметров модулеЙ со-
ставлены в предположении, что перед ними расположено fJ. линз и v
поверхностей.
Дл.я модуля в виде отдельной линЗЫ уравнения параметров име-
ют вид [6]: .
с = (a. V + 1  (XV+S)/V I1 + 1 ;
(4.9)
Р == [1/ (1  m v + 2 )2][a.+2 (а. V + З  a. V + 1 )( 2m v + 2 + 1)+
+ a. v +2 (a.+1  а.+з )(m V + 2 + 2)+ (Х+З  a.+1]; т == 1/n;
(4.10)
w == [1/(1  m v + 2 )][a. V + 2 (a. V + 1  а. v + з )(m V + 2 + 1) + a.+B  a.+1]. (4.11)
230

Таблица 4.4
..,
::>
'"
'"
'"

::J
'"
"с
'"
3:
со
.....
"с
s
.с
со
(')
><
s
,,"с
(')
S
d 
 ffi
g
S 5
3: '
=> s


..... ><
а а
'" 3:
х =>
'" а
g ffi
х =i
о х
:g 
3: ::>
со s
..... х



 ф
х 3:
s s
::а '"
=> '"
со со
16(')
3: ><
со а
х ffi
х .с
It х
>< о
Рекомендуемые ОБЩИЙ вид фуикцион8ЛЬВОЙ завнсимости
Оптическая: ЧисJЮ nарв:метров значения аберрациовных уравнений
М избыточных ОБID/lЯ формула составлеиия
М схема уравнений по модульному npивциny
nарв:метров
КQМ!IOHeвтa свобод- изБЪ1ТОч- ДЛЯ ВИДИМОЙ
С W Р
вых вых области
1  3   'f'('I>\) F(Q) f(QZ) Пф '" П:8
2 .-м-- 4   'f'('I>,) (a2' ( 4 ) F/(a 2 2 , ( 4 2 ) П 3 -П:1 + П,
3  4   'f'\('I>,) F(Q/) F(Ql Z ) 
4  4 1 азI,I...I,з  F/(a 2 , ( 4 ) (a/, а/) П* - П!:'+П;F
(монохромат)
5  6 2 'l>1'I>з; аз шiо П-ее&=П;:S +П:F +П:.
,.,z
 '1>1 (1,3.. .1,4)<рз ('I>) F(a 4 , ( 6 ) 'Р(а/, а/) П.в&- - Пj:, + п; + П.
6 6 2
а з =о,l. ..0,25 ,.-:
7  5 1 а з =0,5...0,75 'Р( '1>2' а э ) F(a 2 , Q) (a22, (1) П -nt, + ПI
8 =I- 5 1 а.=О,з. ..0,5 F( '1>., ( 4 ) 'f'(a s ' Q) 'Р(а/. (1) П.. -п; +П;:/
9  3   'f'('I>\) F/Q) «(1) П , /Z =п;
10  4   F('I>\) 'P(, ( 4 ) FZ(2, а/) П". -П;;f + ПF
11  6 2 а.=0,4. ..0,5 'f'('I>" '1>3' ( 4 ) F 1 (Qj' Qп) Fз(QjЗ, Qп З ) П == П +Пs
'1>з=1...1,1 е-е- J&.' J"'l
N
W
....

Расчет и проектирование оптических систем
Более компактные и удобные при расчете уравнения параметров
для модуля в виде склеенноrо компонента (рис. 4.7, а)* MOryт быть по-
лучены с помощью инварианта Аббе для склеенной поверхности, ко-
торый в дальнейшем называется инвариантом склейки Q:
Q ==: Qz ==: [(аз  О:! )/(n з  nz)]nzn з '
с учетом уравнения оптической силы <1>1 первой бесконечно TOH
кой линзы и инварианта Q выражения для уrлов О:! и аз запишем в
следующем виде:
О:! ==: (1  mz)Q + <1>1 + 0:1;
О:з ==:(1тз)Q+<I'l+О:l.
(4.12)
..........
 осу';;-,: :
А А'
"/,Л
а)
5)
Рис. 4.7. Оптическая схема двухлинзовоrо склеенноrо компонента. Ход первоro
вспомоrателъноrо луча: а) в компоненте; 6) в модуле
Так как перед модулем может быть расположено  линз и v по-
верхностей, Т.е. первый уrол О:У+1' а последний D:y+4' и оптическая сила
первой линзы равна <i>11 +I (рис. 4.7, 6), то [6]
С = <l'11+l (l/v l1 + z  1/v l1 + 1 ) + (О:У+1  О:Н4 )/v l1 +z ;
Р ==: aQz + bQ + с;
(4.13)
(4.14)
w = О:У+1  О:У+4  а Q + (O:Y+l  О:У+4 )(<1'11+1  O:Y+.J 
23'
(4.15)
rде
. в оптических схемах линзовых компоневтов, представленных На рис. 3. 7з.15,
для упрощения рисунков условно nо"азан ход nepBozo вСnОJllоzательноzо луча в реаль
вых конструкциях компонентов. Следует помвить, что вспомоrвтельные лучи прелоМ-
ЛЯlOТся на rл8ВНЫХ плоскостях поверхностей, предст8ВЛЯЮЩИХ собой касательные 
поверхностям в их вершинах. Высоты этих лучей MOryт быть значительно больше сае-
TOBoro диаметра компонента.
232

rлава 4. Параметрический синтез одно- и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
а = 2</>11+1 (mv+2  mv+3) + (2mv+з + 1)( (Х,У+4  (Х,У+1);
ь = 3</>+1/(nY+2  1) 2(X,V+1</>11+1  [lj(n v + з  l)]х
х [3( </>11+1 + (Х,У+1) 2 + (Х,+4(2nv+з + 1)
 2(Х,у+4 ( </>11+1 + (Х,У+1)( 2 + nУ+3)];
ё = [nУ+2/(nУ+2  1)2][</>+1 + (Х,У+1 </>+1 (1  n у + 2 )]+
+ [1/(1  mv+3)2][ (X,+4  (X,+4 (</>11+1 + (Х,У+1)(2+ ту+з)
 ( </>11+1 + (Х,У+1) 3 mv+3 + (Х,У+4 ( </>11+1 + (Х,У+1) \1+ 2mv+з) J.
(4.16)
Уравнения кривизн поверхностей склеенноrо модуля при h =: 1
имеют вид:
РУ+1 = Q + (Х,Н1 + </>11+1 n H2 j(n Y + 2  1);
РН2 = Q + </>11+1 + (Х,н1;
( 4.17)
ру+з = Q+[n H3 (</>11+1 +(X,Y+1)(X,H4]/(nH3 1).
Общие формулы для составления аберрационных уравнений для
любоrо из компонентов на основе модульноrо принципа приведены в
табл. 4.4. В целях сокращения записи каждый из параметров Р, W и
С заменен символом П. Например, чтобы составить аберрационное
уравнение для параметра Р трехлинзовоrо объектива, состоящеrо из
Склеенноrо компонента и отдельной линзы, при использовании ypaB
нений модулей надо учесть, что перед склеенным компонентом число
поверхностей и линз равно нулю, Т.е. V =: О И  == О, а перед отдельной
Линзой расположено три поверхности и две линзы. Такая схема состав-
Ления уравнений по модульному принципу В компоненте реализует-
Ся следующей записью:
ПЛln == П + п:з
'U'" р-о fl*Z
Сделав соответствующие подстановки, получим развернутое урав-
Нение для Р.
2ЗЗ

Расчет и проектироеание оптических систем
4.3. Синтез OДHO и двухкомпонентных линзовых систем
с бесконечно малыми воздушными промежутками
Виды однокомпонеитных линзовых систем
При проектировании оптических систем одним из самых слож-
ных и важных вопросов является правильный выбор конструкции
всей системы и отдельных компонентов, имеющих заданные значения
оптических характеристик: фокусноrо расстояния, относительноrо
отверстия, уrловоrо поля. Чтобы сделать правильный выбор, надо хо-
рошо знать аберрационные возможности компонентов различных кон-
струкций и предельные значения их оптических характеристик.
Сложные мноrолинзовые системы состоят из ряда компонентов.
содержащих небольшое число линз. В системах снебольшим уrловым
полем эти компоненты часто являются объективами, так как они дают
хорошее качество изображения.
При выборе кон.струкции системы н.адо учитывать техн.олоzи-
ческие и экон.омические соображен.ия. Теоретически всеrда можно рас-
считать систему, включающую асферические поверхности, и тем са.
мым обеспечить хорошее качество изображения при высоких относи-
тельных отверстиях и больших уrловых полях. Однако нередко такие
системы практически неприемлемы вследствие их дороrовизны.
При расчете систем также необходимо иметь ввиду, что выбор
оптических материалов должен быть обоснованным и лишь в исклю-
чительных случаях допустимо применять дороrостоящие особые оп-
тические материалы.
Рассмотрим двух-, трех- и четырехлинзовые компоненты, входя
щие в состав различных оптических систем. При небольших уrловых
полях они MOryT служить объективами телескопических систем.
Двухлинзовый склеенный компонент (см. рис. 4.7, а, 4.8). Ero
применяют в качестве объектива зрительной трубы, компонента те-
леобъектива, объектива микроскопа небольшой апертуры, в обора-
чивающей системе, фотообъективах и Т.п.
(){t. O
Рис. 4.8. Оптическая схемадвухлинзО-
Boro склеенноrо компонента и ход пер-
Boro вспомоrателъноrо луча при s 1>='""
234

rлава 4. Параметрический синтез OДHO и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
При возможности выбора марок стекол компонент имеет ДOCTa
точное число параметров (три радиуса кривизны и оптические
постоянные стекол), позволяющих исправить любые аберрации тре-
Tbero порядка, кроме кривизны поля и иноrда астиrматизма. Астиr
:м:атизм, как известно, нельзя исправить в системе, если входной зра
чок совпадает с оправой бесконечно TOHKoro компонента (SrI = 1 при
ар == О) [12].
В ахроматизованном двухлинзовом склеенном компоненте для
обычных стекол коэффициент Петцваля практически постоянен,
обычно принимают 1t == 0,7.
Чаще Bcero в компонентеобъективе исправляют сферическую
аберрацию, меридиональную кому и хроматизм положения при усло-
вии выбора оптических материалов. При задан.н.ых .марках стекол.
можн.о исправить тол.ько две аберрации  чаще Bcero хроматизм по
ложения и сферическую аберрацию. В общем случае при использова-
нии компонента в Сложной системе корректнее rоворить о получении
заданных значений параметров Р, W и С при возможности выбора Ma
рок стекол.
Двухлинзовые компоненты с различными фокусными расстоя-
ниями целесообразно применять при следующих относительных
отверстиях:
{',мм ......................... 100
D/f. не более .............. 1:4
300
1:5
$;500
1:6
1000
1:10
Дальнейшее увеличение относительноrо отверстия невозможно
изза быстро растущих аберраций высших порядков, особенно замет-
110 проявляющихся на радиусе склейки. 'Уrловое поле компонента не
превышает 10.. .120 при малых фокусных расстояниях и 7... 100  при
больших.
Двухлинзовый несклеенный компонент. Такой компонент (рис.
4.9) имеет один дополнительный параметр, по сравнению со склеен-
ным компонентом, что дает ВОзможность лучше исправить сферичес-
кую аберрацию и меридиональную кому, не прибеrая к подбору ма-
рок стекол. Несклеенный компонент отличается меньшими аберраци-
Of.,zO
Рис. 4.9. Оптическая схема двухлин
зовоrо несклеенноrо компонента и ход
Первоrо вспомоrательноrо луча при
810::::=....00
-------........
235

Расчет и проектирование оmических систем
ями высших ПОРЯДКОВ, что позволяет получить относительное OTBep
стие до 1:3 при f ==100 мм. Дальнейшее увеличение апертуры оrрани
чивается ростом сферохроматической аберрации. По сравнению со
склеенным рассматриваемый компонент имеет меньшую стабильность
центрировки и несколько большие потери на отражение.
Двухлинзовые несклеенные компоненты широко используются в
качестве объективов (или их компонентов) астрономических и rеоде-
зических зрительных труб, объективов коллиматоров, биноклей, а
также в системах для коллимации лазерноrо излучения и Т.П.
Трехлинзовый склеенный компонент. По сравнению с двухлинзо'
вым склеенным трехлинзовый компонент (рис. 4.10) имеет один до-
полнительный пара.."4етр, позволяющий исправить аберрации при лю
бой комбинации марок стекол. Блаrодаря этому появляется воз
можность для существенноrо уменьшения сферической аберрации
высших порядков и возможна ее коррекция для двух зон отверстия
 «двойн.ая» коррекция [16].
«,-о  . '  «4 ш «" r
" '
, ,
'/." 
Рис. 4.10. Оптическая схема трехлин-
ЗОDоrо склеенноrо компонента и ход
перВоrо вспомоrателъноrо луча при
s 1  oo
Хорошие результаты получаются при расчете трехлинзовых скле-
енных компонентов с применением трех различных мароК стекол, Kor-
да удается исправить сферическую аберрацию при относительном от-
верстии 1:2 и r == 100 мм.
В более ранних публикациях высказывалось мнение о том, что по
своим коррекционным возможностям трехлинзовые склеенные
компоненты не имеют преимуществ перед двухлинзовыми [19]. Оно
было основано на результатах анализа аберраций объективов, наруж-
ные линзы которых выполнены из одинаковых материалов, Т.е.
справедливо для частноrо случая. Исследования показали, что трех-
t
линзовые склеенные компоненты, имеюпие одинаковые с двухлинзо-
вымя склеенными компонентами значения основных параметров и
стекла, MOryT существенно отличаться от них по аберрациям высших
порядков даже при небольших значениях p, w"" и С .
Эти KOMnoHeH'fbl применяют в окулярах, в микрообъективах с по-
вышенной числовой апертурой и уменьшенной вуалирующей засвет-
кой, в фотообъективах, при разработке систем с уменьшенным вторич'
ным спектром.
236

rлава 4, ПарамеТРИ'lеский синтез одно- и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
Двойные четыреХЛинзовые объективы, состоящие из двух одина-
ковых двухлинзовых компонентов, разделенных бесконечно малым
воздymиым промежутком. Двухлинзовые объективы нельзя приме
нять, коrда требуется большое относительное отверстие. В этом слу
чае их можно заменить системой из двух одинаковых двухлинзовых
компонентов (рис. 4.11), разделенных воздушным промежутком.
ат2О
Of.ll"'o'S
аll=0,5
I
а)
6)
Рис. 4.11. Оптическая схема и ХОД первоrо вспомоrательноrо луча в
четырехлинзовых компонентах, состоящих:
а) из двух ОДИнаковых двухлинзовых склеенных компонентов;
6) из двух одинаковых двухлинзовых несклеенных компонентов
Каждый компонент имеет в 2 раза большее фокусное расстояние,
чем фокусное расстояние Bcero объектива, поэтому отдельный компо-
нент имеет и в 2 раза меньшее относительное отверстие. Следова.
тельно, радиусы кривизны поверхностей компонента примерно в 2
раза больше, чем радиусы кривизны в двухлинзовом объективе сана.
лоrичными характеристиками. Вследствие этоrо уменьшаются уrлы
падения и преломления на каждой поверхности, поэтому умень-
шаются аберрации высших порядков. Это дает ВОзможность повысить
относительное отверстие до 1: 2... 1: 3 в объективе из двух склеенных
КОмпонентов и до 1:2...1:1,5 при удачном выборе марок стекол  в
объективе из двух несклеенных компонентов при фокусном расстоя-
нии 50...100 мм. Конструкции объективов технолоrичны вследствие
равенства радиусов кривизны компонентов. Число свободных пара-
метров такое же, как и в двухлинзовых компонентах.
Следует помнить, что в наклонных пучках объектив не имеет пре..
Имуществ перед двухлинзовым.
Четырехлинзовые объективы, состоящие из двух склеенных ком-
Понентов с разными радиусами кривизны (рис. 4.12). ПО сравнению
с аналоrичными двойными объективами рассматриваемые объективы
позволяют получить заданные значения параметров p,  и С при
Любых комбинациях марок стекол. При удачных комбинациях мож-
11:0 получить относительное отверстие до 1: 1,8 при f == 100 мм.
237

Расчет и проектирование оптических систем
«,..0
Рис. 4.12. Оптическая схема и ход пер
Boro вспомоrательноrо луча в четырех-
линзовом компоненте с разными ради
усами кривизны
Эффективно их применение в качестве компонентов телеобъекти-
вов телескопических систем, фототелеобъективов, в качестве самосто-
ятельных объективов.
Трехлинзовые объективы, состоящие из склеенноrо компонента
и отдельной линзы. Известны две конструкции подобноrо типа (рис.
4.13), позволяющие повысить относительное отверстие до 1:2...1:3 по
сравнению с относительным отверстием склеенноrо компонента. Ус-
ложнение конструкции компонента по сравнению с двухлинзовым
склеенным позволяет уменьшить аберрации высших порядков, одна-
ко теперь объектив состоит из двух положительных компонентов, по-
этому приходится компенсировать хроматизм отдельной линзы хро-
матизмом склеенноrо компонента, переисправляя ero. Это вызывает
уменьшение радиуса склейки и увеличение аберраций высших поряд-
ков.
еж ,=0
а,=О
F'
(Х6='
"
а)
5)
Рис. 4.13. Оптическая схема и ход первоrо вспомоrателъноrо луча в
трехлинзовых компонентах, состоящих:
а) из отдельной линзы и склеенноrо компонента;
6) из склеенноrо компонента и отдельной линзы
Предпочтительней конструкция с первой отдельной линзой (рис.
4.13, а). Такой компонент при меняется в телеобъективах в целом ряде
отечественных и зарубежных теодолитов и нивелиров, в фототелеобъ-
ективах, проекционных системах.
Трехлинзовые несклеевиые компоненты. Добавление к двухлин-
зовому несклеенному компоненту дополнительной линзы позволяет
повысить относительное отверстие до 1:2...1:3. Отрицательная линза
необходима для корррекции сферической аберрации и хроматизма, а
238

rлава 4. Параметрический Синтез одно- и двухкомпонентных линзовых Систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
две положительные линзы при меняются вместо одной для уменьше-
ния относительноrо отверстия каждой из них и, следовательно, умень-
шения кривизн и аберраций высших порядков.
Рассматриваемые конструкции (рис. 4.14) различаются располо-
жением отрицательной линзы. Обычно аберрации высших порядков
меньше в симметричной по оптическим силам конструкции (рис.
4.14, а) при правильном выборе избыточных параметров. Во второй
I<ОНСТРУКЦИИ (рис. 4.14, б) положительные линзы чаще Bcero имеют
одинаковые оптические силы.
0(,"0
F'
а)
1)
Рис. 4.14. Оптическая схема и ход первоl'О ВСПОМОl'ателъноl'О луча в
трехлинзовых компонентах разных конструкций
По сравнению с друrими конструкциями трехлинзовые несклеен-
ные объеI<ТИВЫ имеют значительно меньшую сферохроматичеСI<УЮ
аберрацию.
Опыт расчета показал целесообразность использования крона с
высоким показа1'елем преломления и малой дисперсией и флинта с
высоким показателем преломления и большой дисперсией, что спо-
собствует уменьшению оптичеСI<ИХ сил линз и снижению аберраций
высших порядков.
Трехлинзовые неСI<леенные I<омпоненты используются в телеобъ-
ективах телеСI<опических систем и телефотообъективов, а также в I<a-
честве объективов телеСI<опических систем и Т.п.
СIlнтез ДВУХЛИНЗО80rо склеевноrо компонента
Уравнения синтеза получим из уравнений модуля, приняв, что
 =о О И V  О (см. табл. 4.4). В общем случае, коrда предмет находится
на конечном расстоянии (см. рис. 4.7), уравнения (4.13) (4.16) име-
ют вид [6]:
с = <1>1 (1/У 2  1/У 1 )+ (а 1 (4)/Y2;
Р = aQ2 + bQ + с;
W = о,5(а 1  а 4  a)Q + [(a1' ( 4 )(<I>l  (4) Б]/з,
{'де
239

Расчет и проектирование оптических систем
а = 2<р 1 (т2  m з )+ (2m з + l)(а 4  ( 1 );
Б = 3<р: /(n 2  1) 2а 1 <Рl  [l/(n з  l)]х
х [3(<Рl + ( 1 )2 + a (2n з + 1) 2а 4 (<Рl + а 1 )(2 + n з )]:
с = [n 2 /(n 2  1)2][<p + а 1 <р: (1  n 2 )]+ [n: /(n з  1)2]х
Х [a  a (<р 1 + а 1 )(2 + m з )+ а 4 (<р 1 + ( 1 )2 (1 + 2mз) (<р 1 + ( 1 )3 m з ].
Кривизны поверхностей при h == 1 и уrлы а 2 и а з nepBoro вспомо
rательноrо луча определяют с помощью (4.12) и (4.17). В результате
для кривизн р получаем следующие уравнения:
р 1 = Q + а 1 + <р l n 2 / (n 2  1);
Р2 = Q+ <Pl + а 1 ;
р з = Q + [1/(nз  1)][ n з (<Р 1 + ( 1 )  а 4 ].
При а 1 == О и а 4 == 1 получаются известные уравнения дЛЯ OCHOB
ных параметров [19].
При заданных комбинациях марок стекол компонент имеет три
свободных параметра, поэтому может обеспечить получение заданных
значений двух из трех параметров (чаще Bcero С иР) или в частном
случае исправление двух аберраций  хроматизма положения и сфе-
рической аберрации.
Синтез бесконечно TOHKoro компонента сводится к решению двух
уравнений и определению из них оптической силы <Рl первой беско-
нечно тонкой линзы и инварианта склейки Q. а затем к вычислению
кривизн и радиусов кривизны тонкой системы и контролю вычисле-
ний. Пример синтеза приведен в [1, с. 175].
При условии выбора марок стекол склеенный компонент дает воз-
можность получать любые значения параметров Р, W и С. ДЛЯ выбо-
ра комбинаций марок стекол и расчета компонента можно рекомен- ."
довать таблицы С. В. Трубко [22], являющиеся дальнейшим развити ';
ем известных таблиц r. r. Слюсарева [19]. В таблицах С. В. Трубко уч- .
тены результаты новых теоретических разработок и требования roCT
351476 на оптическое стекло. В этих таблицах по сравнению с таб.-
лицами r. r. Слюсарева число комбинаций марок стекол увеличено
почти D 5 раз, исключены старые марки стекол, снятые с ПрОИЗDОД-
ства. Таблицы С. В. Трубко охватывают все 62 марки стекла серии О
из rOCT 351476 и включают 864 комбинации марок стекол типа
240

rлава 4. Параметрический синтез OДHO и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
.крон впереди. и .флинт впереди. в интервале изменения хромати
ческоrо параметра С == O,006...+0,006 с шаrом 0,002. В качестве oc
нов ной длины волны принята Л О == Л е == 0,5461 мкм вместо ранее при
нятой Л D == 0,5893 мкм. В качестве спектральноrо интервала введен
диапазон FC' вместо прежнеrо интервала PC. Таблицы позволя
ют выполнить расчет в спектральном интервале л 1 ...л z , отличающемся
от Р' C'.
Порядок пользования таблицами несложен и подробно изложен
в их описании [22]. Опыт использования таблиц показал их эффектив
ность при выборе комбинаций марок стекол с дальнейшим синтезом
на ППЭВМ по описанной методике.
При составлении таблиц для расчета двухлинзовоrо склеенноrо
компонента [19, 22] были использованы формулы, выведенные
r.r. Слюсаревым. Их можно также применять при синтезе компонен
та, поэтому рассмотрим их.
Между параметрами p и w"" двухлинзовоrо склеенноrо компо
нента существует зависимость [19]:
p = Po + [4а/(а + 1)2](W  w;)2,
rде Po' Wo  основные параметры, полученные при соблюдении yc
ловия минимума сферической аберрации, т.е. dP jdQ == О, поэтому их
также обозначают Pn, wn [12]:
Po =cb2/(4a);
wo = o,5(a+ 1)Qo + (1  ff'1  Ь)/3 =
= <1>2/3 + Ь(3  а )/(12а),
rде
Qo =  Ь/(2а).
Как известно, аналоrичная: зависимость между p и W"" получена
и для отдельной линзы [12]. Однако для линзы параметр Po может
быть только положительным, в то время как для склеенноrо компо
нента в зависимости от марок стекол и значения OCHoBHoro хромати
ческоrо параметра С параметр Po может быть положительным, от-
рицательным и равным нулю.
Кроме Toro, r. r. Слюсаревым показано, что p == Po+ a(Q  QO)2,
1-V""== O,5(a + 1)(Q  Qo) + wo. (Подробный вывод рассмотренных фор-
мул см. в [12]).
241

Расчет и проектирование оптических систем
При расчетах можно использовать приближенные зависимости,
учитывая, что для большинства марок стекол а == 2,31...2,35;
Wo== 0,1 для комбинации скрон впереди.; Wo == 0,2 для комбинации
.флинт впереди., поэтому в среднем принимают Wo  0,14...0,15.
Тоrда P == Po+ O,85(Wo  0,14)2. В результате при расчетах, опре
делив сначала <1>1' Qo и Р о' инвариант склейки вычисляют по форму
лам
Q = Qo I  (p  Po )/2,35; Q = Qo  (w  Wo )/1,67.
В зависимости от Toro, какую из величин P или W"" следует по-
лучить с большой степенью точности, применяется одна из последних
формул. Знак в первой из указанных формул берут тот, который при
водит к значению Q, получаемому из второй формулы. Обе формулы
всеrда приводят к близким, практически одинаковым значениям Q.
При этом степень соответствия двух полученных значений Q xapaK
теризует степень соответствия выбранной комбинации ранее постав
ленным условиям, что позволяет судить об одновременности KoppeK
ции сферической аберрации и комы. Если значения величин суще
ственно различаются, необходимо повторно выбрать комбинацию Ma
рок стекол.
В таблицах С.В. Трубко используются соотношения, учитываю
щие значение параметра Петцваля1t:
P = Po + (1 + 2п)/(1 + 1t)2(W  wo)2,
rде 1t == <l>1/ n 2 + <l>2/ n З;
Q = Qo i:  (p  Р;)/(1 + 2п);
Q = Qo  (w  Wo )/(1 + п).
Поэтому при расчетах по таблицам для выбранной комбинации
марок стекол в зависимости от значения С находят оптическую силу
линзы из крона <l>к, затем Qo' W o ' 1t И вычисляют Q по приведенным
выше формулам. После этоrо леrко найти уrлы а 2 , аз и радиусы кри
визны TOHKoro компонента rv тв'
Синтез двухлинзовоrо несклеенноrо компонента
Двухлинзовый несклеенный компонент (см. рис. 4.9) имеет четы-
ре свободных параметра, что позволяет получить заданные значения
параметров Р, W и С при любых комбинациях марок стекол.
242

rлава 4. Параметрический синтез одно- и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
равнения синтеза получаются сложением уравнений параметров
для модуля (линзы) (см. табл. 4.4) и имеют вид:
С=(аlаЗ)/Vl+(аза5)/V2; (4.18)
р = [1/(1  т2)2][(a  ап+ a(2т2 + l)х
х (аз  ( 1 )+ а 2 (т 2 + 2)(а:  а;)]+
[1/(т 4  1)2][a  a + a (2т 4 + l)х
х (а 5  а з )+ а 4 (т 4 + 2)( а;  a)];
(4.19)
w = [1/(1  т 2 )][a  а:  а 2 (т 2 + l)(а з  а 1 )]+
+ [1/{1  т4)][a  a  а 4 (т 4 + 1)(а 5  аз)].
Приведенные уравнения являются универсальными и ПрИI'одны
для синтеза компонента при любом положении предмета. Для этоrо
достаточно принять соответствующую нормировку первоrо вспомоrа
тельноrо луча: а 1 == O' а 5 == 1 при 81 =1: OO; а 1 == О, а 5 == 1 при 81 = OO.
ДЛЯ получения расчетных соотношений, удобных для синтеза и
составления алrоритма, надо выполнить преобразования, характер
которых одинаков для компонентов всех видов.
Из уравнения (4.18) определяют а з == <1>1 при 81 = O<>. Справедли-
вость этоrо равенства очевидна, так как h 1 == r == 1, а аз == h 1/ r 1 == 1/ r 1 ==
== <1> l' равнение для параметра w"" преобразуется к виду: а 4 == Аа 2 + В.
Подставив а 4 в уравнение (4.19) для p, получают квадратное ypaвHe
иие вида:
(4.20)
Da+Ea2+F=O.
Отсюда следует очевидный порядок решения аберрационных
уравнений.
Последовательность расчета
1. Из (4.18) определяют <1>1 == [У 1 /(У 1  v 2 ](l + Су 2 ).
2. Далее вычисляют коэффициен'rы преобразованных уравнений:
азЬ ( а + 2 )
A .
 а(Ь+2)(аз1)'
В= aHba)+a(l+bW)
а(Ь+2)(1аз) ,
rдеа==1/n21; b==1/n41.
243

Расчет и проектирование оптических систем
3. D = а. а ь 2 (2а + 3)+ а 2 А 2 (1  а. а )(2Ь + 3).
4. Е = 2АВа 2 (2Ь + 3)(1  а.з) a.b2 (а + 3)+ Аа 2 (ь + 3)(a.  1).
5. F = в 2 а 2 (2Ь + 3)(1  а.,з)+ Ва 2 (ь + 3)( a.  1) + а.Нь 2  а 2 )+
+a2a2b2p.
6. Находят уrол а. 2 из решения KBaдpaTHoro уравнения:
Da. + Еа. 2 + F = О.
Выбирают меньшее по модулю значение а. 2 .
7. Вычисляют уrол а. 4  Аа. 2 + В.
Дальнейший расчет выполняется по общей методике (см. 4.2).
Примеры синтеза приведены в [1, с. 185].
Для компенсации сферической аберрации высших порядков и
сферохроматической аберрации, особенно заметной в длиннофокус
ных системах небольших и средних апертур, параметры p и С при
равнивают некоторым значениям. При небольших относительных OT
верстиях хорошие результаты дают приведенные выше соотношения
(см. 4.2).
Выбор комбинаций марок стекол. Условие выбора комбинации
марок стекол следует из соотношения для <1>1' Целесообразно выбирать
пары стекол или друrих оптических материалов с большой разностью
коэффициентов дисперсии. Для видимоrо интервала это комбинации
типа $КРОН  флинт.. Такой выбор приводит к меньшим значениям
оптических сил <1>1 и <1>2' следовательно, б6льшим радиусам кривизны
и меньшим аберрациям высших порядков. Обычно <1>1  2,5 (см. [12]).
При возрастании <1>1 приходится уменьшать относительное отверстие
изза увеличения аберраций высших порядков. Стекла выбранных
марок (или друrие оптические материалы) должны иметь разные по
казатели преломления для основной длины волны Л- О (n 4  n 2 ==
== t!..n  0,1). Выбирая материалы, надо обращать внимание на их фи-
зикомеханические свойства и стоимость. Примеры расчета объекти-
ва из стекла разных марок приведены в задачнике [1].
Синтез четырехлинзовых компонентов из двух одинаковых
ДВУХЛИНЗ0ВЫХ компонентов
Четырехлинзовые компоненты (см. рис. 4.11) имеют одинаковые
радиусы кривизны, поэтому при заданных марках стекол число сво-
бодных параметров равно их числу в двух линзовом компоненте.
244

rлава 4. Параметрический синтез OДHO и двухкомпонентных ЛИНЗОВЫХ систем из бесконечно
ТОНКИХ компонентов на основе метода разделения nepeMeHHblX
Для расчета надо определить параметры P, w"" и С одноrо ДBYX
линзовоro компонента и затем выполнить ero синтез.
В соответствии с нормировкой первоrо и BToporo вспомоrательных
лучей a I == о, ан =' 0,5, а'п== 1, h 1 == f == 1, l == 1, Уl == а р == 0,1 == 1. Уч
тем, что h 1 == h 2 == h3 == 1, так как компонент тонкий.
Следует обратить внимание наразли'lие и,."дек:сов координат вспо
моrательных лучей, параметров аберраций, оптических сил д.л.я noвep
х,."остей (или ли,."з) и к:омnо,."е,."тов. И,."дек:сы, соответствующие no
верх,."ости (или ли,."зе), записываются арабск:ими цифрами, Т.е. V == 1,
2,3,..., k (или 11 == 1, 2,.., l). В отличие от этоrо и,."дек:сы. cooтвeтcтвy
ющие к:омnо,."е,."там, записываются римск:ими цифрами, Т.е. i == 1,
П,..., р. Например, <1>1  оптическая сила первой линзы (или в част-
ном случае оптическая сила поверхности, что бывает ясно из вывода
или текста), но <1>1  оптическая сила первоrо компонента. Аналоrич
но Р 1  поверхностный аберрационный коэффициент, соответствую-
щий первой поверхности, но P 1  аберрационный параметр первоrо
компонента.
Суммы 3ейделя SI и Sп можно записать по компонентам в сле
дующем виде: SI == P == P 1 + Р П ; Sп == W"" == W 1 +W п .
Выразим параметры P, W"" четырехлинзовоrо компонента через
основные параметры двухлинзовоrо компонента, используя формулы
перехода от неосновных параметров к основным [12]. Тоrда, приняв,
что коэффициент Петцваля 1t == 0,7, и подставив значения уrлов а ! для
компонентов в соответствующие формулы, найдем:
 = 0,125; W 1 =0,25WI;
I ==0,125 +0,5WI +0,425; W П == 0,25W I i' +0,675;
P =  + I == 0,125 + 0,125Pr + 0,5WI + 0,425 == О;
W == W I + W п == 0,25WI + 0,25WI + 0,675 == о.
с учетом конструктивных условий можно записать: PI == Рп ==
== P; WI == Wп == W"", тоrда 0,250P + 0,5W"" + 0,425 == о; 0,50W"" +
+ 0,675 == О.
Из решения системы двух линейных уравнений имеем: P == 1,0;
vv'" ==  1,35. Иавестно, что при положительных значениях P и w"" ==
== 1,3 в склеенном компоненте аберрации высших порядков умень-
шаются [19].
245

Расчет и проектирование оптических систем
При расчете компонента, состоящеrо из двухлинзовых склеенны:
компонентов, для выбора комбинации марок стекол удобно использо
вать таблицы С.В. Трубка. Хроматический параметр С при больши:
относительных отверстиях рекомендуется брать в интервале 0,001..
0,002.
Следует помнить, что фокусное расстояние каждоrо двухлинзово
ro компонента в 2 раза больше фокусноro расстояния Bcero компонен
та. Далее выполняется синтез двухлинзовоrо компонента (см. выше)
Рассмотренная методика расчета применима практически ко все!
системам, состоящим из двух одинаковых компонентов.
Пример синтеза см. в задачнике [1, с. 197].
Синтез треХJlИНЗ0воrо склеенноrо компонента
Трехлинзовый склеенный компонент (см. рис. 4.10) имеет четы
ре свободных параметра и позволяет лучше исправить сферическуъ
аберрацию высших порядков. Ero можно рассматривать как услож
нение двухлинзовоrо склеенноrо компонента. При условии выбор:
комбинаций марок стекол он позволяет получить заданные значени:
трех параметров p, w"" и С. Синтез компонента проводится решени
ем двух уравнений, чаще Bcero для С и p, а заданное значение W
обеспечивается выбором оптических материалов.
Так же как в случае двухлинзовоrо склеенноrо компонента, вве
дем в аберрационные уравнения инвариант склейки QI' Для этоrо вы
разим уrлы  первоrо вспомоrательноrо луча в зависимости от инва
рианта склейки QI и оптических сил <1>1 и <1>2 первой и второй бесконеч
но тонких линз. Принимая во внимание, что а 1  О, QI  (аз  а 2 )п 2 n з ,
/(n з  n 2 ); <1>1  (n 2  1)(Р1  Р2); <1>2 == (п з  1)(Р2  рз), получим
а 2 == <1> 1 + QI (1  т 2 );
аз == <1>1 +QI (1 mз);
(4.21
а 4 == <1> 1 + QI (1  m 4 )  <1> 2 (п 4  n з ) /[ n 4 (n з  1)];
rде mv == l/nv'
Нодставив полученные выражения для  в уравнения поверхнос
тных коэффициентов Р v и W v ' получим после их суммирования сле
дующие аберрационные уравнения:
v4
Р == L Pv == AQI 2 + BQI + D;
v=l
(4.22
246

rлава 4. Параметрический синтез OДHO и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
у=4
W == L W y == EQI + Р,
У=l
(4.23)
в приведенных формулах коэффициенты А, В, п, Е, F имеют сле
дующий вид:
А == 2q>1 (т 2  т 4 )+ 2q>2 (тз  т 4 )+ а Б (1 + 2т 4 );
В == 3q>: /(n 2  1) 2n з q>1q>2 (т 4  тз)/(n з  1)+
+ n з q>а n 4 (тз  1)+ n з (1  3т 4 )+ 2]/[(n з  1)2 n 4 ] +
+ [2a S q>1 (2т 4 + 1) a (т 4 + 2) 3m 4 q>: +
+ ат 4 (6q> 1  За) 2а Б (1 + 2т 4 )а ]/(1  т 4 );
D == n2q> / (n !  1)2 + q>n:q> 1 (т 4  т з )/ (n з  1)2 
 <pn: (n4  nз)/[(n з  l)З n ;]+
+ {a  aq> 1 (т 4 + 2)+a s q>: (2т 4 + 1)
 <pт4 + ат 4 [a (2n 4 + 1) 2a s q> 1 (2 + n 4 )+ 3q>:]+ (4.24)
+ а 2 [а Б (1 + 2т4) Зq>l т 4]+ а З т 4 } /(1  m 4 )Z;
Е == <Р1 (т 4  т2) q>2 т з + q>2 n З (n4  1)/[n; (n з  1)]
 ат 4  а Б (1 + т 4 );
F == <Р: /(1  n 2 )+ q> 2 n з[q> 1 (т 4  тз) ат 4 ]/(n з  1)+
+ {а: + аа Б (1 + m4)q>1 [а Б (1 + т 4 )+ 2ат 4 ]+
+ <р:т 4 + a Z m 4 } /(1  т 4 ),
rде а == <Р2(n 4 nз)/[(nз 1)n4]'
Блаrодаря введению в аберрационные уравнения инварианта
Склейки Q} они имеют более простой вид, чем в ранее известных пуб
ликациях. Поскольку уравнения получены для случая бесконечно
Удаленноrо предмета, коrда а 1 == О, то приняв, что а Б == 1, получим
р == p, w== П""'.
247

Расчет и проектирование оптических систем
Уравнение для хроматическоrо параметра С имеет вид:
с = (<I>l/V1 + <l>2/ У 2 + <l>з/Vз); (4.25)
Значения кривизн Ру поверхностей бесконечно TOHKoro компонен
та при h == 1 можно вычислить с помощью следующих формул:
Р1 = QI + n2<1>1/(n 2  1);
Р2 = <1>1 +QI;
(4.26)
Рз = <1>1 +QI  <l>2/(n З 1);
Р4 = QI + [n4<1>1  <1>2 (n4  n з )/(n з  1) а 5 ]/(n 4  1).
Для синтеза ахромата на первом этапе необходимо решить со-
вместно три уравнения: уравнение масштаба
<l>1+<I>2+<f'з=1, (4.27)
уравнение ахроматизации (4.25) и дополнительное уравнение
t=<I>l/(<I>l+<I>з) или (1t)<I>It<pз=О. (4.28)
При t =" О, <1>1 == О имеем случай перехода от трехлинзовоrо к двух-
линзовому склеенному компоненту; если t == 1, то <l>з =" О и опять  слу-
чай перехода к двухлинзовому компоненту.
При синтезе апохромата вместо дополнительноrо уравнения для
t вводится уравнение апохроматизации:
(<I>I/ V 1)Y 1 + (<I>2/ V Z)Y 2 + (<I>з/Vз)Уз = CB.e.,
(4.29)
rде У"  коэффициенты частных относительных дисперсий; Св.е. 
параметр вторичноrо спектра.
Между параметрами P и W"" существует зависимость, аналоrич-
ная зависимости для двухлинзовоrо склеенноrо компонента. Диффе
ренцируя P и приравнивая производную нулю, установим зависи-
мость, связывающую основные параметры P, W"" компонента с пара-
метрами Р':n' W':n' Qrnin соответствующими минимальной сферичес-
кой аберрации TpeTbero порядка:
rде
P = P;in + (A/E2)(W  W;in)2,
P;in =пB2/(4A),
W;in = F BE/(2A)= EQmin +F,
248

rлава 4. Параметрический синтез OДHO и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
Qrnln =  В/(2А).
Коэффициент А/ Е 2 можно считать постоянным для обычных CTe
кол и равным примерно 0,80.
Приведенные соотношения позволяют выполнить синтез компо
нента из трех различных марок стекол. Задача синтеза ахромата CBO
дится к выбору комбинации марок стекол по заданным основным па
раметрам и значению t, а затем к определению оптических сил TOH
ких линз из уравнений первой rруппы и инварианта склейки QI из
уравнения для P. Дальнейшая последовательность расчета: опреде
ление уrлов . вычисление параметров Су, W y , Ру и их сумм W y ' Wy,
LP v ' нахождение rv тв и переход к линзам конечной толщины.
Рекомендации по выбору оптических материалов. Лучшие pe
зультаты можно получить при синтезе компонента из трех различных
ОП'l'ических материалов. Для полноrо использования коррекционных
возможностей компонента и получения двойной коррекции сферичес
кой аберрации рекомендуется при менять сочетание .нормальной. и
t(аномалъной склеек. Нормальными считаются склейки, имеющие
отрицательную оптическую силу (п < п'), а аномальными  положи
( > ' ) >
тельную п п, Т.е. п кропа пфлипта'
Кроме Toro, чтобы обеспечить принципиальную возможность
двойной коррекции сферической аберрации, разности показателей
преломления на склейках должны иметь либо разные знаки при
одинаковых знаках радиусов кривизны обеих поверхностей, либо
одинаковые знаки при разных знаках обоих радиусов склеек.
Использование малой разности показателей преломления и KPYTO
ro радиуса в склейке оказывает большое влияние на аберрации BЫC
ruи:х порядков и позволяет выявить существенные преимущества Tpex
линзовых компонентов с разными стеклами в наружных линзах по
сравнению с этими компонентами из одинаковых стекол в наружных
линзах и тем более перед двухлинзовыми склеенными компонентами.
Поверхность склейки с больuюй разностью fJ.n == п  п' и более по
лоrим радиусом рассматривают как основную, а друrую  с малой
разностью fJ.n и крутым рациусом  как дополнительную, позволяю
щую осуществить двойную коррекцию сферической аберрации.
В табл. 4.5 представлены четыре известные формы компонента,
обеспечивающие двойную коррекцию, и приведены соотношения меж
ду показателями преломления н ЛИliзах (две конструкции с отрица
Тельными линзами в середине и две  с положительными) [16]. Фор
Ма компонента с внутренним положительным мениском наиболее бла
249

Расчет и проектирование оптических систем
rоприятна для устранения сферохроматизма. В конструкциях 3 и 4 с
плоскостью raycca совмещена экстремальная точка кривой сфери-
ческой аберрации, но от TaKoro вида коррекции леrко перейти к двой-
ной коррекции небольшим изменением параметров или смещением
плоскости изображения. Для примера в табл. 4.5 приведены комби-
нации марок стекол для ')...0== 0,5893 мкм и спектральноrо интервала
FC.
Таблица 4.5
.N" Конструкция Марка !'рафик сферической
по п v V v аберрации 6.у' при
компонента стекла
пор. "100 мм
{J 1:! т :;,
ТК16 1,6126 58,34
1 ТК23 1,5891 61,23 (
ТФ7 1,7280 28,32 .l1g'
I
n 2 >n Э <n 4 II,OS 11,0$
{i ТК20 1,6220 56,70 'L
2 ТБФ4 1,7786 38,07
ТБФ25 1,8122 37,442
n 2 <n э <n 4 4 005
1:3 т
{i ....... 16,67
БФ25 1,6076 46,10
3 ТФI0 1,8060 25,36 (
ТФ5 1,7550 27,32
. .4g'
n 2 <n Э >n 4  Q.OO3 11,003
G 1:3  16,67
ТК14 1,6130 60,57
4 ТК21 1,6568 51,10 (
ТФI0 1,8060 25,36 iJ!1'
.
n 2 <n Э <n 4  Q.QO:] Q.OO.J
Пример 4.1. Выполнить синтез компонента-апохромата, если (  100 мм, D I(  1 :4,
200  30, 1..0  0,5893 мкм, спектральный интервал FC. оптические материалы  флюо-
рит, ОФ4, ТФ4.
Решение. Из COBMecTHOro решения уравнений ахроматизации (4.25), масштаба ( 4.27)
иапохроматизации(4.29) при С  Ои С .....  o,0003 получено: <р/  2,1943;<i',  1,5519;
<р!  0,3576.
250

rлава 4. Параметрический синтез одно- и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
Решив уравнение (4.22), определив значения (Х. из (4.21) и параметров по повер-
хностям P v ' W v ' а также rv то' найдем:
(Х,  о
(хз  0,134367
(хз  0,488918
(х.  0,578185
r,тo  2,251834
r зто  O,216742
r зто  0,448818
r. тo  O,368807
Р,  0,018480
Р з  18,0734
Р з  0,29748
Р.  18,35258
W,  O,041611
W.  2,65470
W з  O,103636
W.  4,94486
4
Для выбранной комбинации оптических материалов L W v  2,14.
1
После перехода к лннзам конечной толщины конструктивные параметры компонен-
та ИМеют следующие значения:
пп v п
r,  225,183
d, 5,9 CaF. 1,43384 95,3
r 2  21,3594
d 2  2,7 ОФ4 1,6505 43,45
r з  46, 7073
d, 2,0 ТФ4 1,7398 28,15
r.  37,5089
Обоснование выбора избыточных параметров в трех- и
четырехлинзовых компонентах
В компонентах с числом линз более двух, кроме склеенных, по
являются uзбыточные nарам.етры, поскольку число свободных пара
метров оказывается больше числа решаемых уравнений, К таким ком-
понентам относятся трехлинзовые компоненты из отдельной линзы и
склеенноrо компонента в различных комбинациях, трехлинзовые He
склеенные и четырехлинзовые компоненты с разными радиусами кри
визны (см. схемы 511 табл. 4.4).
Избыточные параметры выбирают из условия исправления
аберраций высших порядков. Правильный выбор их значений особен
но заметно сказывается при синтезе компонентов с относительным OT
верстием, близким к предельно возможному для каждоrо компонен-
та, Коrда влияние аберраций высших порядков велико. Это требует
исследования системы с применением ППЭВМ или должно быть пре-
дусмотрено при автоматическом синтезе.
Выбор оптимальных значений избыточных параметров позволя-
ет сократить время на дополнительную коррекцию аберраций. В табл.
4.4 приведен рекомендуемый диапазон значений избыточных пара-
метров компонентов для спектральноrо интервала F' C', основной
ДЛины волны Л е == 0,5461 мкм и условий исправления аберраций. При
lIереходе к друrим спектральным интервалам и оптическим материа-
лам, а также при С, Р"" и W"", значительно отличающихся от нуля, оп-
251

Расчет и проектирование оптических систем
тимальные значения избыточных параме'тров MOryт существенно из
мениться.
Отдельные общие рекомендации даны в п. 4.2. Для уменьшения
влияния аберраций высших порядков надо стремиться выбором избы
точноrо параметра заметно уменьшить по модулю значения коэффи
циентов Ру, W v на поверхностях с их максимальными по модулю зна
чениями. Следствием этоrо является уменьшение уrлов падения на
поверхностях в реальной системе.
В трехлинзовых объективах со склеенным компонентом оп'rи
мальное значение избыточноrо параметра обычно выбирают по мини-
муму модуля инварианта склейки и соответствующеrо значения Ру на
поверхности склейки. rрафик зависимости поверхностных коэффици
ентов Р 4 , W 4 и инварианта Q от значения избыточноrо параметра (аз)
для одноrо из объективов со вторым склеенным компонентом (см. рис.
4.13, а) показаны на рис. 4.15,
при рассмотрении KOToporo кри
терий выбора очевиден. Анали.
тические зависимости для точно
ro определения аз очень сложны
и неприroдны для практическоrо
применения.
В трехлинзовых несклеен
ных компонентах (см. рис. 4.14)
имеются два избыточных пара
метра  это соотношение между
n./J 0:.1 оптическими силами положи.
тельных ЛИНз, Т.е. '1>1 == k'l>2  В
компоненте с задней отрицатель-
ной линзой и '1>1 == k'l>з  в компо-
ненте с отрицательной линзой в
середине, а также значение BHYТ
peHHero уrла а 2 . При выборе при-
меним общий критерий миними
зации поверхностных коэффици
ентов, который в данном случае
справедлив при минимуме CYM
мы r.P v 2. В конструкции с задней
отрицательной линзой при рабо-
те в видимом диапазоне при усло-
вии исправления аберраций оп-
Р. WIJ
1,2
1,1
1,0 0,*
o,g 0,3
0.8
2.o
2.1
2.!
 2,3
2.4
2.S
Q
1l,4
Рис. 4.15. rрафик зависимости парамет
ров Р 4' W 4 И инварианта склейки Q от из-
быточноrо парам:етра аз в трехлинзовом
компоненте, состоящем из отдельной
линзы и склееННОI'О компонента
252

rлава 4. Параметрический синтез OДHO и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
тимальный вариант обычно получается при k  1 и расчете первой лин
зы на минимум сферической аберрации.
В четырехлинзовых компонентах, состоящих из двух склеенных
компонентов с разными радиусами кривизны (см. рис. 4.12), также
два избыточных параметра, за которые принимают оптическую силу
<Рх nepBoro компонента и оптическую силу <J>з третьей линзы. Исполь
зование общеrо критерия применительно к данной конструкции обес
печивает минимальное значение величин QII и Р 5  параметров на BTO
рой склейке. При этом обычно получается минимальная разность
между значениями инвариантов склеек Qr и Qп и минимальная CYM
ма LPy2.
Предварительным критерием на первом этапе расчета может слу-
жить минимальная сумма DI>/. В табл. 4.6 приведены значения Ql' QII'
I Р5 1 mах' LPy2 для различных пар избыточных параметров для комби
нации марок стекол К8ТФ5 при работе в видимом диапазоне
(F' C'). Выбор оптимальных избыточных параметров позволил полу-
чить приемлемое качество изображения в исходном варианте для
f'  100 мм, D/r 1:1,5.
Таблица 4.6
Избыточные параметры Инварианты склеек Параметр
склейки r.P 2
v
(14 <Ра Qп Qп I Р61"",%
0,6 1,0 1,284 1,813 0,601 0,615
0,6 0,9 D<O   
0,6 1,1 1,156 1,941 0,734 0,898
0,4 1,1 D<O   
0,5 1,1 1,282 1,908 0,674 0,701
0,4 1,2 1,187 2, 126 0,856 1,045
0,6 0,95 1,294 1,835 0,602 0,594
0,4 1,0 D<O   
Тщательпый выбор избыточ.пых параметров особеппо важеп для
1Сомnопептов с большой светосилой, работающих на пределе их воз-
можностей. При сравнительно невысоКИХ относительных отверстиях,
например D/r 1:5, и при r  100 мм для трехлинзовых объективов
со склеенным компонентом можно воспользоваться известной peKO
мендацией и взять аз или а 4 равным 0,5 при работе в диапазоне
P'C'.
253

Расчет и проектирование оптических систем
Следует обратить внимание на влияние воздушных промежутков,
которые MoryT составлять несколько миллиметров и существенно из
менять аберрации высших порядков. В некоторых случаях это МОЖет
стать причиной несоответствия между теоретически правильным BЫ
бором избыточных параметров и остаточными аберрациями высших
порядков в вариантах с различными значениями параметров.
Синтез трехлинзовых компонентов
Синтез трехлинзовоrо компонента, состоящеrо из отдельной лин-
зы и двухлинзовоrо склеенноrо компонента [6]. Аберрационные ypaB
нения для синтеза получим, используя правило сложения уравнений
модулей (см. табл. 4.4).
Поскольку компонент обычно формирует изображение бесконеч
но удаленноrо предмета (см. рис. 4.13, а), то примем, что а 1  о, а в  1,
h l  f'  1.
Синтез сводится к определению параметров <Р2' Q и а 2 из решения
трех аберрационных уравнений для С , P и w"" [6] при выбранном зна-
чении избыточноrо параметра (см. табл. 4.4), вычислению Ту ТВ и пе-
реходу к линзам конечной толщины.
Преобразовав уравнения так же как описано ранее, из уравнения
для W"" получим уравнение вида: а 2  AQ+ В. Подставив ero в аберра-
ционное уравнение для р"", найдем KQ2 + LQ + М  о. Свободные чле.
ны В и М содержат соответственно значения W"" и P.
П оследователъностъ расчета
1. Определение оптической силы <Р2 из уравнения для С:
<Р2 == [1/V з  аз (1/V з  1/У 1 )+ С]/(1/V з  1/У 2).
2. Вычисление коэффициентов преобразованных уравнений Р"" и
W"" :
а == 2<J>2 (т 4  т Б )+ (2т Б + 1)(1  аз); ту =. 1/nу;
ь == 3<J>;/(n 4  1) 2а з <J> 2  [l/(nБ  1)] х
х [3 (<J> 2 + а з )2 + ( 2n Б + 1) 2 (<J>2 + аз )(2 + nБ)];
с  [n4/(n4  1)2][<J> + а з <J>;(1  n 4 )]+ [n;/(nБ  1/]Х
х [1  (<J>2 + а з )(2 + т Б )+ (<J>2 + а з / (1 + 2тБ) (<J>2 + аз)з тs ];
254

rлава 4. Параметрический синтез OДHO и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
d = аз (n2 + 1)/(n 2  1); А = (аз  а  1)j(2d);
В = (1/d){n2a/(n2  1)+ (1/3)[(а з  1)( <1>2  1) b] w oo };
l=n:/(n21)2; Т=lа з (1+2т 2 ); D=laH2+m2);
к = а+ ТА2; L = Ь+ AD+ 2АВТ; М = с+ la; + В(ТВ + D)POO.
3. Определение Q (меньшеrо по модулю) из решения KBaдpaTHoro
уравнения
KQ2 + LQ + М = О.
4. Определение уrла а 2 AQ + В.
5. Определение уrлов а 4  (1  m 4 )Q + <1>2 + а з ; а 5  (1  m 5 )Q + <1>2+
+а з ,
6. Расчет по общей методике (см. 4.2).
Синтез трехлинзовоrо компонента, состоящеrо из склеенноrо
компонента и отдельной линзы [6]. Этот компонент (см. рис. 4.13,6)
отличается от paccMoTpeHHoro выше только расположением компонен
тов, и ero синтез выполняется аналоrично только что paCCMOTpeHHO
му, отличие лишь в нумерации неизвестных параметров  <1>1' Q и а 5 .
Избыточный параметр а 4 выбирается в соответствии с методикой, из
Jlоженной ранее (см. табл. 4.4).
Из уравнения для W"" получим соотношение а 5  AQ + В. подста
вив которое в уравнение для р оо , имеем: Kif + LQ + м  О.
П осл.едовател.ъностъ расчета
1. Определение оптической силы <1>1 из уравнения С
<1> 1 = [1/у 3  а 4 (1/У 3  1/У 2) + с]/[ 1/У 2  1/У 1]'
2. Вычисление коэффициентов преобразованных уравнений W"" и р оо :
а = 2<1>1 (т 2 тз)+ (2т з + 1)а 4 ;
Ь= 3<1>: [3<1>:+а(2nз+1)2а4<1>l(2+nз)];
n z  1 n 3  1
255

Расчет и проектирование оптических систем
з
 n 2q> 1 N З ( ) 2 ( ) .
с  2 + 2 q> 1  (Х4 (Х4 n З  q> 1 ,
(n21) (nзl)
d = [(1 + n 5 )(1  (Х4 )]/(n 5  1); А =  ((Х4 + a)j(2d);
1 { 1 [ ( )  ] 1(X  }
В  d 3 (Х4 (Х4  q> 1  Ь + 1 т 5  W ;
.l = 1/(1 т5)2; т = l(2m5 + 1)(1  (Х4);
D=l(m5+2)((X1); К=а+ТА 2 ;
L = Ь+ A(D + 2ВТ); М == с+ l(l  (X)+ В(ТВ+ D) P.
3. Определение Q из решения KBaдpaTHoro уравнения
KQ2 + LQ + М = О.
4. Расчет уrла (Х5 ==AQ + В.
5. Вычисление уrлов
(Х2 =(1m2)Q+q>1; (хз =(1mз)Q+q>1"
6. Расчет по общей методике (см. 4. 2).
Пример синтеза приведен в задачнике [1, с. 203, 208], rде преД
ставлены расчеты двух конструкций трехлинзовых объективов с обо
снованием выбора избыточных параметров.
Синтез компонентов из трех несклеениых линз. Аберрационные
уравнения для синтеза компонентов двух конструкций (см. рис. 4.14,
табл. 4.4) получаются сложением уравнений для модулей линзы [6].
Синтез компонента заключается в выборе оптимальных значений двух
избыточных параметров, определении оптических сил <Р1' <Р2' q>з из
уравнений масштаба, ахроматизации (или получения заданноrо зна-
чения С) и соотношения оптических сил (см, табл. 3.4), а затем опре-
делении внутренних параметров (Х4 и (Х6 при выбранном или рассчи-
танном значении (Х2'
Для получения удобных расчетных соотношений из уравнения W""
получим зависимость: (Х6 == Ь(Х4 + d. Подставив ее в Р'", имеем KBaдp!iT-
ное уравнение: D(X4 2 + Е(Х4 + F == О.
256

rлава 4. Параметрический синтез одно- и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
IIоследовательностъ расч.ета
1. Определение оптических сил из уравнений:
<j)l+q>2+q>з=1;
q>1/Vl+q>2/V2+q>з/Vз==С; q>1=kq>2 (или q>l==kq>з);
а з =q>l; a 5 =q>1+q>2'
2. Вычисление коэффициентов преобразованных уравнений p и W':
W 1л == [1/(т 2  1)][а 2 (т 2 + 1)а з  а;].
f)J;e т 2 "" 1 /n 2 ; а 2 выбирают или вычисляют:
а 2шiп = (2n 2 + 1)а з ![ 2(n2 + 2)];
А == W - W 1л . (а,; - (Y.)/(т4 -'..1) (o.  1)/(т в  1);
в __ (т 4 + 1)(а з  ( 5 ). 'т  (тв + 1)(1  ( 5 ).
- _о. '.- т  { '   т l'
ь == В/Т; d == А/Т;
D == (т -1y[(2т4 + 1)(а 5  а з )]+ (;;-1 )2 [ь 2 (2т в + 1)(1  ( 5 )];
Е == _ ( J 1 -: ) -2 [(т 4 -t 2) ( а;  а п] + - ( ---- ) -2 х
т4 тв1
х [2bd (2т в + 1)(1  0.5)+ Ь(2 + т в )( a  1)]:
1 [ 2 ( . ) 2 ( ) 3 ]
F=2 а 2 0: з 2т 2 +1 0:2аз 2+т2 +0:з +
(т 2  1)
+ (4 1)2 (a  a)+ (   ly[d2 (2т 6 + 1)(1  ( 5 )+
+- d(2 + тв )(a 1)+ 1- a]-- P'.
257

Расчет и проектирование оптических систем
3. Решение KBaдpaTHoro уравнения Da./ + Еа. 4 + F  о. Выбирает-
ся меньшее по модулю значение а. 4 , которому соответствуют меньшие
по модулю Р у.
4. Определение а. 6  Ьа. 4 + d.
5. Расчет по общей методике (см. 4.2). Пример синтеза см. в за-
дачнике [1, с. 210], rде приведены примеры синтеза объективов при
различных значениях хроматическоrо параметра С и различных ком-
бинациях мароК стекол.
Синтез четырехлинзовых компонентов
Синтез четырехлинзовых компонентов, состоящих из двух скле-
енных компонентов с разиыии радиусами кривизны [6]. Аберраци.'
онные уравнения дЛЯ С, P, W четырехлинзовоrо компонента (см.
рис. 4.12) получаются сложением уравнений модулей склеенных ком-
понентов (см. табл. 4.4). При заданных оптических материалах ком-
понент имеет шесть свободных параметров, из них два избыточных
a.4  <1>1 и <1>3.
При выполнении синтеза на первом этапе при заданных а. 4 и <l>э
(см. табл. 4.4) определяют <1>1 из уравнения для С, что позволяет, ис-
пользуя уравнение масштаба, найти все оптические силы бесконечно
тонких линз. Затем из cOBMecTHoro решения линейноrо уравнения дли
W"" и KBaдpaTHoro уравнения для Р" вычисляют инварианты склеек
QI и Qп.
Удобные расчетные соотношения получают после преобразованИIJ
уравнения W"" к виду Qп  AQI + В и подстановки ero в уравнение дЛЯ РО:
D2 +E +F=O.
Последовательность расчета
1. Определение оптических сил линз <1>1,<1>2' <1>4:
<1> 1 = [   а. 4 (    )  <l>з (    ) +c ]/(    ) ,
У 4 У 4 У 2 У 4 V З У 2 У 1
тоrда <1>2  а. 4  <1>1 и <1>4  1  (а. 4 + <l>з).
2. Определение коэффициентов преобразованных аберрационныХ
уравнений Р" и W"":
а1 = 2<1>1 (т 2  т з )+ а. 4 (2т з + 1);
321
Ь1 =  [3<1>: + a. (2n з + 1) 2а. 4 <1>1 (2 + nЗ)];
n 2  1 N З  1
258

rлава 4. Параметрический синтез OДHO и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
 n 2 q>f n 3 ( ) 2 ( ) .
C1 2 + 2 <P1a.4 а.4nзq>1'
(n21) (nз1)
а2 = 2q>з(т 5 тв)+(2тв +1)(1a.4);
Ь2 = 3q>/(n5  1) 2а. 4 q>з  [1/(n в  1)]х
х [3(q> з + а. 4 )2 + (2n в + 1) 2( q>з + а. 4 )( 2 + n в )];
С2 = [n)(n 5  1)2][q>; + a.4q> (1  n 5 )]+ [n: /(n в  1)2]х
Х [1  (q>з + а. 4 )( 2 + тв) (q>з + а. 4 )3 тв + (q>з + а. 4 )2 (1 + 2т в ) J
d=a.4a21; A=(a. 4 +a 1 )/d;
В = [1/(3d)]{6W + 2 [Ь1  а. 4 (а. 4  <Р1 )]+2 [Ь2  (а. 4  1)(q>3  1)]};
  2   
D=a 1 +a 2 A; Е=Ь 1 +АЬ 2 +2а 2 АВ;
   2  
F = С 1 + С 2 + а 2 В + Ь 2 В  Р .
3. Определение Qr из решения KBaдpaTHoro уравнения
DQI 2 + EQr + F = о.
Из двух решений выбирают то, которому соответствуют инвариан
ты склеек Qr и Qп с меньшей разностью между ними, обычно при этом
Qп меньше по модулю, причем Qп  AQr+ В.
4. Определение уrлов  и кривизн Ру (при h  1):
а. 2 = Qr (1  т 2) + q> 1; а. 3 = Qr (1  т з ) + q> 1 ;
а. 5 =Qп(1т5)+q>з+а.4; а. в =Qп(1тв)+q>з+а.4;
Р1 = Qr + <Р1 n 2/(n 2  1); Р2 = Qr + q> 1;
Р3 = Qr + [1/(nз  1)](n3q> 1  а. 4 ); Р4 = Qп + а. 4 + <Р3n5/(n5  1);
259

Расчет и Проектирование оптических систем
Р5 = Qп + <J>з + (Х4; Рв = Qп + [1/(n в  1)][n в (<J>з + (X4). 1].
5. Расчет по общей методике (см. п. 4.2).
Пример 4.2. Выполннть сннтез четырехлинзовоrо объектива из условни исправле.
ния хроматизма положення, сферической аберрацни и меридиональной комы, если
"  100 мм, п/"  1:2, 200  60, Вр  О, стекла марок :К8ТФ5, ЛаЕ е, Л,  Л, =F'  С'.
Решение. Для обоснования выбора избыточных параметров воспользуемся дaнHЫ
ми 'rабл. 4.6 и прнмем вариант с мннимальными по модулю значениями QII и Р. при
a, O,6 и Ч>_  1,0.
На первом этапе расчета получены ч>,  0,74828, ч>,  O,14829, Ч>.  0,6. :Коэффи-
циенты преобразованных аберрационных уравнений для Р- и W, решаемых на втором
этапе расчета, имеют следующие значения: а;  1,41734.5, ь;  3,332329, с;  2,388722.
а;  1,03612, о;  4,370372, с;  4,071036, А  1,40470, В  3,61700, D  3,46187,
Е  7,72198, F  4,20749.
Остальные результаты синтеза бесконечно TOHKoro компонента для BToporo реше.
ния приведены в табл. 4.7. В табл. 4.8 представлены значения уrлов а для двух реше-
ний, а в табл. 4.9 для сравнення прнведены результаты расчета и отдельые данные абер-
рационltоrо аниза объектива для двух решений.
Таблица 4,7
v Р, W v rv то!
1 0,168281 O,185344 100,140
2 O,155870 O,121386 186,638
3 0,434342 0,461518 293,154
4 0,057481 0,051498 58,2687
5 O,601416 O,331688 469,045
6 0,097180 0,228398 174,061
Прuжчанue. При этих результатах расчета I.Pv  I,4xl06, а EW v  О.
Таблица 4.8
Решение (Х, а_ (Х, (Х. (Х8
1 0,425184 0,339055 0,6 0,819145 0,610994
2 0,309941 0,193092 0,6 0,081030 0,816033
..
Таблица 4.9
Решение Qr Q)f Р. ЕР} ДВ' .'J.y"KP ДВ' ЛS' C'
, <кр y,
1 O,!H6 - 2,287 1,508 1,513 0,156 0,040 0,312 0,127
2 . 1,284  1,813 O,601 0,615 O,O32 O,008 0,062 o,010

260

rлава 4. Параметрический синтез OДHO и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
После перехода к линзам конечной толщины для оптимальноrо 2ro, а также 1ro
решений получим
rJ' 110,140
rJ' 80,2873
dl7,1
К8
d 1  7,2
I8
rz; 182,533
r z  489,077
d z  5,3
ТФ5
d z  5,3
ТФ5
r э  283, 702
r э  26972,3
dэ 0,1
d э  0,1
r 4  56,3553
r 4  76,5578
d 4  9,1
К8
d 4  8,9
К8
r 5  411, 770
r5 127,710
d 5  5,8
ТФб
d z  5,3
ТФб
r B ," 145,278
rB 843,116
ФОI,усное расстояние системы "  100,00 мм; меридиональная ltOMa для о>  30 со-
ставляет 0,02 мм.
Рассчитанная система практически не требует дополнительной коррекции при от-
носительном отверстни 1:2 и дает хорошие резудьтаты при увеличении относительноrо
отверстия до 1:1,5 и проведении оптимизации.
Особенности синтеза объективов малых увеличении инебольших
апертур. В оптических системах часто при меняются объективы и KOM
[]uиенты простой конструкции, для которых предмет расположен на
!\Опечном расстоянии. В качестве примера можно привести объекти
Я,,,] отсчетных микроскопов rеодезических приборов, фокусирующие
I\омпоненты телеобъективов, компоненты систем оптикоэлектрон
н:ых приборов и Т.П.
Полат'ая объектив бесконечно тонким, из условий исправления
аберраций определяют параметры Р, T И С И переходят к основным
lJflpaMe'l'paM P, w"" и С. Затем выполняют синтез объектива по изве
l:'J'НОЙ методике (см. п. 4.2 и 4.3). В объективе небольшой апертуры дo
r:таточно исправить хроматизм положения, сферическую аберрацию
Е :\lеридиональную кому.
Пример синтеза приведен в п. 4.4, rде рассмотрен расчет фокуси
ру-ющеrо компонента телеобъектива, а также в задачнике [1, с. 175].
4.4. Синтез линзовых систем из двух компонентов,
расположенных на конечном расстоянии
Apyr o'r Apyra
Синтез телеобъективов телескопических си(тем
Виды телеобъек'l'ИВОВ и их харан:теристики. В современных оп
''Iческих приборах применяются преимуще;твенно зрительные тру-
"Ы С ВНУ'I'ренней фокусироВl'ОЙ, имеЮlцие существенные преиму-
'1"i,'eTBa перед трубами с внешней фон:усировкой: постоянство длины,
261

Расчет и проектирование оптических систем
малые размеры, rерметичность, большое постоянство линии визиро
вания и возможность создания rеодезических аналлатических труб.
В зрительных трубах с внутренней фокусировкой объектив COCTO
ит из первоro положительноrо компонента и BToporo отрицательноrо
фокусирующеrо компонента, расположенноrо на конечном расстоя
нии d от первоrо (рис. 4.16). При такой компоновке задняя rлавная
плоскость Н' вынесена далеко вперед, что позволяет значительно co
кратить продольный размер трубы. Как известно, такой объектив Ha
зывается телеобъективом [12]. Он находит широкое применение в зри.
тельных трубах rеодезических приборов, оптикоэлектронных прибо-
рах, фотообъективах и Т.п.
Н' 0(1"0
....
ос::
р
F'
............
.................
d
аll
L
"
a,
Рис. 4.16. Оптическая схема бесконечно TOHKoro телеобъектива и ход первоrо
вспомоrательноrо луча
Одной из основных характеристик телеобъектива является коэф
фициен.т т телео67>ектива, или коэффициен.т телесокращен.ия (те-
леукорочен.ия). представляющий собой отношение оптической длины
L к фокусному расстоянию (т  L/f'). Обычно для линзовых телеобъ-
ективов т  0,6...0,8, а уменьшение этой величины приводит к YBe
личению относительноrо отверстия первоrо компонента, что обуслов
ливает необходимость усложнения ero конструкции. Как правило, OT
носительное отверстие первоrо компонента не более 1:3.
Линейное увеличение J}o 11 BToporo компонента чаще Bcero COCTaB
ляет 1,45...2,2. Ero дальнейшее увеличение нецелесообразно, так как
вызывает значительный рост аберраций и предъявляет более жесткие
требования к коррекции аберраций первоrо компонента, что может
привести к усложнению ero конструкции. Фокусирующий отрица-
262

rлава 4. Параметрический синтез OДHO и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
тельный компонент представляет собой отдельную линзу или чаще
двухлинзовый склеенный компонент.
Зрительные трубы rеодезических приборов отличаются значи
тельным увеличением, малым уrловым полем в пространстве предме
тов и наличием окуляра с малым фокусным расстоянием. Поэтому
расчет объектива и окуляра можно вести раздельно.
Диаметры объективов труб в зависимости от точности прибора и
ero назначения составляют 20...65 мм, а иноrда достиrают 100 мм.
Фокусные расстояния объективов MorYT меняться в интервале
100...700 мм, а относительные отверстия  в интервале 1:9...1:6 [12].
Оптические схемы и характеристики телеобъективов зрительных
труб представлены в табл. 4.10, а в табл. 4.11 приведены оптические
характеристики компонентов телеобъективов труб некоторых rеодези
ческих приборов.
К зрительным трубам предъявляют высокие требования, так как
от качества изображения трубы зависит не только точность визирова
ния, но и степень утомляемости наблюдателя и продолжительность
работы с прибором.
Телеобъективы зрительных труб Moryт быть построены по тради
ционной двух компонентной схеме (схемы 16 табл. 4.10) или по Tpex
компонентной схеме (схемы 7, 8 табл. 4.10). В телеобъективе, выпол
ненном по схеме 7, существенно уменьшен сферохроматизм, а в теле
объективе, выполненном по Схеме 8, он исправлен блаrодаря введению
воздушных промежутков между компонентами положительной час
ти. Апохроматическая коррекция телеобъектива (см. схему 7) достиr
нута за счет применения стекла ТФ12, частная относительная диспер
сия KOToporo больше, чем для обычных стекол, особенно в синефио
летовой части спектра. Это позволило увеличить продолжительность
работы в сумеречное время, однако вызвало появление желтоватоrо
фона вследствие применения стекла ТФ12. В объективах уменьшен
также коэффициент рассеяния до 0,06.
Эти объективы, несмотря на их преимущества, имеют существен
ные недостатки изза трудностей изrотовления и сборки, вызванных
чувствительностью систем к изменению оптических постоянных CTe
кол и воздушных промежутков.
rабаритный расчет ДBYX и трехкомпонентных телеобъективов
рассмотрен в rл.2. Пример расчета двухкомпонентноrо телеобъекти
ва приведен в задачнике [1, с.219].
263

Расчет и проектирование оптических систем
Таблица 4.10
ММ Оптическая схема D/(
и/п телеобъектива т
1 т--.H 0,78. ..0,80 1:7...1:10
2 G}-..ж 0,78...0,80 1:7...1:10
3 -ij 0,75...0,78 1:7...1:10
4 .ж 0,65...0,72 1:6...1:9
5 €i- 0,65. ..0,70 1:6...1:8
6 _i 0,65. ..0,72 1:6...1:9
7 M 0,65. ..0,71 1:6,6...1: 7,9
8 &-« 0,62. ..0,70 1:5,8...1:8,3
....' ......................
264

rлава 4. Параметрический синтез OДHO и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
Табли.ца 4.11

Наименование
reодезическоro т D f' f'! f'п 13 0п D/f' D/f'!
при бора
Нивелир 0,78 34 314 206 223 1,52 1:9,2 1:6,1
технический
Нивелир 0,75 55 410 282 281 1,45 1:7,5 1:5,2
высокоточный
ТеоДОЛИТ 0,74 27 156,8 97,81 78,03 1,60 1:5,8 1:3,6
оптический
точный Т30
ТеоДОЛИТ 0,59 35 250 119,87 47,97 2,08 1:7,1 1:2,9
оптический
точный Т2
ТеоДОЛИТ 0,60 38 218,5 110,9 41,24 1,97 1:5,6 1:3,47
точный
УНИфШJ;ироВанный
серии 2Т
ТеоДОЛИТ 0,59 64 500 222,22 138, 78 2,25 1:7,8 1:3,47
высокоточный Т05
ТеоДОЛИТ 0,72 55 347 231,6 112,48 1,50 1:6,2 1:4,2
высокоточный Т1
Синтез телеобъективов с фокусирующим компонентом в виде OT
дельной линзы. Исходными данными для синтеза помимо оптических
характеристик телеобъектива являются результаты ero rабаритноrо
расчета. В исходных условиях часто задаются требования, определя-
ющие форму отрицательной линзы: r k + 1 = rk+2; r k + 1 = 00; r k + 2 = 00 или
a k + 2 = a min , rде k  число поверхностей в первом положительном ком-
поненте телеобъектива. В этом случае синтез телеобъектива выполня-
ется из условия компенсации аберраций. Конструктивные параметры
первоrо положительноrо компонента определяют из условия компен-
сации аберраций BToporo фокусирующеrо компонента.
Предположим, что телеобъектив состоит из положительноrо ком-
понента, имеющеrо k поверхностей, и отдельной линзы. Принимая оба
I<омпонента бесконечно тонкими и учитывая известные условия HOp
мировки первоrо вспомоrательноrо луча, получим h 1  h 2  h3... h k 
== r  1, hk+l  hk+2  h Il , а 1  О, а' Н2  1, тоrда а Н1  а'I  Ч'I  130 п .
265

Расчет и проектирование оптических систем
Внутренний уrол a. k + 2 для BToporo компонента зависит от выбора
ero формы (табл. 4.12).
Таблица 4.12
Uптическая схема .конструктивное a k + Z
компонента условие
 1 +<1'1
C(,.: . "," Tk+l = Tk+Z
t:t...... 2nk+Z
t«m<п Компонент рассчитан на (2nk+Z + 1)( a k + 1 + 1)
минимум сферической 2 (nk+Z + 2)
аберрации
i T k + 1 = 00 a k + 1 /nk+l
i 1
T k + Z = 00 
nk+Z
В результате для BToporo компонента известны все уrлы: a. k +1' а.Н2
и а.'Н2  1, и можно найти параметры Р п , W11' Сп:
I = P k + 1 + P k + 2 ; П'iI = W k + 1 + W k + 2 ;
I = С'Нl + C k + 2 = (<РI  J)/v п .
Из условий исправления хроматизма положения, сферической
аберрации и меридиональной комы определим параметры C 1 , Р р W 1 И
затем выполним переход к основным параметрам Сх, , П'i.
Условие ахроматизации имеет вид: XP == C 1 + hПI = О, откуда
С 1  hIlCII'
Из условия исправления сферической аберрации третьеrо поряд
ка s:; =  + htIРП = О имеем Р I  hпРп, rде h п == J  dO<PI'
Из условия исправления меридиональной комы при Уl  ар  О
S;;' = УПI + П'i + W п == о получаем W п  УIlРП  W п .
Из расчета BToporo вспомоrательноrо луча при ар  О, J}1  1 име
ем УН  УI  dоJ}п '= do. поэтому W I  dоРп  W п .
Тоrда с помощью формул перехода [11] можно определить OCHOB
ные параметры  = /!PI; П'i == П'i/<р;;  = /<p: .
266

rлава 4. Параметрический синтез одно- и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
При известных значениях С; , И1j и  выполняется синтез пер
Boro положительноrо компонента по известной методике.
Для контроля правильности вычислений радиусов кривизны пер
Boro компонента проводится расчет хода первоrо вспомоrательноrо
луча через реальный компонент (с радиусами кривизны линз конеч
ной толщины) и контролируются значения уrлов <\" полученные в про
цессе синтеза, и значение фокусноrо расстояния (1' Для этоrо расче-
та принимается следующая нормировка первоrо вспомоrательноrо
луча: а 1  О, h 1  (1' при этом a'k  1, rде k  число поверхностей в пер
вом компоненте. При такой нормировке h k == Sl ' и можно вычислить
Sl == Si  f( . Величину Sl необходимо знать для расчета d p  paCCTO
яния между компонентами (см. рис. 4.6).
Далее выполняется расчет BToporo компонента, в рассматривае
мом случае фокусирующей линзы, для которой известно значение фо
KycHoro расстояния (п' при условии сохранения конструктивных за
висимостей (см. табл. 4.12). Толщина линзы d п  dk+1  О,1D полп .
Если задано условие r k + 1  rk+2' то радиусы кривизны определя
ют из уравнения оптической силы линзы конечной толщины (см.
п.4.2), которое приводится к квадратному уравнению вида:
rk2 + 2 (nk+2  1МI rk+2 + (nk+2  1)2 hI d П /n k +2 == о.
Из этоrо уравнения определяют второй (положительный) радиус
кривизны. Положение передней rлавной плоскости рассчитывают по
известной формуле: SНП ==  fI (nk+2  1)d П /(n k + 2 r k +2)'
Если одна из поверхностей является плоской, то rk+1  00 или
rk+2  00 (см. табл. 4.12). В этом случае уравнение оптической силы
упрощается, и тоrда r k +2 == hI (1  n k + 2 )' SНП == d П /n k + 2 , если rk+1  00. Если
rk+2  00, то r k + 1 == f!r. (nk+2  1), а SНП == О.
Расчет несколЬКО усложняется, если фокусирующая линза pac
считана на минимум сферической аберрации. В этом случае при pac
чете надо CTporo сохранить уrлы а первоrо вспомоrательноrо луча. Pa
диусы кривизны рассчитывают по известной общей формуле
rv == hv (n  nv )/(na  nva v ),
но так как высоту hk+1 нельзя сразу точно определить, то расчет BЫ
полняется методом последовательных приближений.
Для расчета hk+1 надо знатЬ h k и d p ' поскольку h H1  h k  d p a H1 .
Поэтому необходимо рассчитать ход первоrо вспомоrательноrо луча
через первый компонент при условии, что а 1  О, h 1  (, rде ( фо
кусное расстояние телеобъектива. Тоrда а Н1  а п  <PI' ДЛЯ опреде
лсниа веЛИ::J:ННЫ d p надо знать отрезок Sнп, зависЯЩИЙ от BToporo pa
267

PaC'ieT и проектирование оптических систем
диуса кривизны, который также нельзя рассчитать для реальной лин
зы, но можно определить для бесконечно тонкой линзы.
Действительно, для бесконечно тонкой линзы h п  hk+l  аПOj:I'
rде а п == r 1  d o . Можно определить приближенные значения r TU Н2 и
sнп:
r Tuk +2 = I (.l  n k + 2 )/(1  nk+2a k + 2 );
SII =  h (п k + 2  l)d п /( n k + 2 r тиk + 2 ),
Тоrда расстояние между компонентами в первом приближении
вычисляют следующим образом: а р = d o + s;'f  SII . Теперь можно най
ти в первом приближении hk+l' hk+2' rk+l и rk+2:
.... ..... ..... .....
hk+l = hk' dp<PI; h k + 2 = hk+l d п а k + 2 ;
  I
r k + 1 = hk+l (nk+2  1)j(nk+2 a k + 2  Ч'I);
r k + 2 = h k+2 (1  n k + 2 )/(1  n k + 2 a k + 2 ).
Проверим значение sнп: sнп=f(nk+21)dIl/(nk+2rk+2)' Если по
луqенное значение SНп не равно первоначально вычисленному SII' то
расчет rюв'rоряют, приняв за исходное последнее значение S H ' затем
,  п
вычисляют во втором приближении ар ,высоты hv ,радиусы кривиз
ны И новое значение SНп . Расчет выполняют до тех пор, пока значе
ния SНп' !"Нl И rk+2 не совпадут в двух последних приближениях с точ
ностью до единицы третьеrочетвертоrо знака после запятой.
3a'rer.l для контроля вычислений рассчитывают ход первоrо вспо
моrательноrо луча через весь объектив. Для этоrо можно воспользо
ваться резу.'IЬ'l'атами расчета хода параксиальноrо луча через первый
компонен'т' .арн нормировке а 1 == О и h 1 == {' и продолжить ero расчет
только через отрицательную линзу. Фокусное расстояние телеобъек
тива {' == tl 1 /U."[1' После этоrо выполняется аберрационный анализ
объектива.
Пример синтеза телеобъектива рассмотрен в задачнике [1, с. 219].
Синтез теJIеобъектива с фокусирующим компонеИ'l'ОМ, ,содержа-
ЩИМ две линзы или более. В ряде конструкций телеобъективов (см.
табл. 4.10) фокусирующий компонент является двухлинзовым скле
енвым, и расчет 'rелеобъектива проводится по компонентам с исправ
лением аберраций в каждом компоненте.
Первый положительный компонент рассчитывается при извест
ных из rабаритноrо расчета значениях ero фокусноrо расстояния,
относительноrо отверстия и уrловоrо поля.
268

r..лава 4. Параметрический синтез одно- и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
Второй отрицательный компонент рассчитывается при известныХ
значениях линейноrо увеличения J}o 11' положения предмета а п . фокус
поrо расстояния (п. апертуры А и линейноrо поля 2уп,
Пример 4.3. Выполнить синтез телеобъектива для видимоrо диапазоиа спектра, если
f'  300 мм, D/f'  1:6,5, 200  40, ближнее расстояние визирования a jmln  3,5 м, коэф-
фициент телеобъектива т  0,68. Первый компонент  треХJlИНЗОВЫЙ несклеенный сим-
метричной конструкции, второй  двухлинзовый склееиный (рис. 4.17).
F'
Рис. 4.17. Оптическая схема пятилиизоноrо телеобъектива
Решение. Результаты rабаритноrо расчета приведсны ".l'абл. 4.13. Выполним син-
.rе:з каждоrо компонента из условий исправления аберра:.т;иЙ.
Для первоrо компонента при a j  о, h j  {'!  1, а,  1, задавшись соотношением
«>,  1,4«>з, из условия масштаба и уравнения ахроматизации при c О получаем:
Ч'j  1,02585; <1'2  o, 74829; <1'3  0,72243, поэтому а з  Cj)j  1,02585, а 5  <1', + I{J2 
. о, 27757.
Из аберрационных уравнений для W и p при условии p  W  о уrол а. =
 0.77292 а. + 0,83546, тоrда о,03517а.' + 15,6741 а. + 1,84906  , откуда a. 0,1l800,
а.  0,74425. При расчете было принято а 2  0,12.
В табл. 4.14 приведены значения уrлов ау' параметров Ру' W y и ради.усов кривизны
TOHKoro компонента при {'I  192,764.
'l'аблица '..] 3
T-'
D '. D all..
{' {'[ f'п d" ан  'Тi rW11l
при f'  300
1 0,64255 --{),18834 0,57523 0,6732 46,2 22,9
300 192,764 56,50 172,56 20,196 48 25
L 
Таблица 4.14
'у ау Ру W y r y ",
1 О 0,00976 0,027783 548,363
2 0,12 6,66709 2,51246 1l8,424
3 1,02585 7 ,64885 2,891l9  119,011
4 --{) ,11800 0,28840 0,31523 302,456
5 0,27757 0,39738 --{) ,29068 117,205
6 0,74425 0,28614 0,38194 768,538
и,.  7 ,410-5 :EW y  2,3.1(}5
269

Расчет и проектирование оптических систем
После перехода к линзам конечной толщины по известной методике (см. п. 4.2) по-
лучим:
nе
r 1  548,363
d 1  5,0 К8 1,5183
rz 118,055
d z  0,1
rэ 118,577
d э  4,8 ТФ5 1,7617
r 4  302,244
d 4  0,1
r5117,106
d 5  4,8 К8 1,5183
r6 753,644
Второй компонент также рассчитываем из условия исправления аберраций, Т.е.
Р  W  с  О. Чтобы исправить кому, надо выбрать комбинации марок стекол. Для это-
ro воспользуемся таблицами С.В. Трубко [22]. Сделав переход от неосновных парамет-
ров к основным при а,  ОII' а.  1, найдем P  46,979, w  7,4975. Поскольку
w > 0,8, надо выбрать комбинацию $фЛИНТ впереди>, и для выбора марок стекол вы-
числяем величину РОФ  1,8384. При найденном РОФ и С  о выбираем стекла марок
Ф9ТКl'7 и выполняем синтез компонента на ПЭВМ по методике, описанной выше (см.
4.2).
После переход а к линзам конечной толщины имеем:
r 1  43,3311
d 1  5,5
Ф9
rz 149,389
d z  2,5
ТК17
rэ 23,599
B146,86; OII1,566 Sнп26,4
Выполнив расстановку компонентов, найдем d .  142,4.
В результате получены следующие значения конструктивных параметров телеобъектива:
r 1  548,363
d 1  5,0 К8
rz 118,056
d z  0,1
r.з118,577
d э  4,8 ТФ5
r.  302,244
d.  0,1
r5 117,106
d 5  4,8 К8
r6 753,644
d 6  142,4
r7 43,3311
d 7  5,5 Ф9
rs  148,389
d s  2,5 ТК17
r9 23,599
f'  300,0 sj,.,  59,74
Для реальной системы т  (Ы + sj,., )/f'  0,733.
270

rлава 4. Параметрический синтез OДHO и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
Аберрационный анализ исходноrо варианта системы показал (рис. 4.18), что она не
требует дополнительной коррекции аберраций. Рассчитанная система дает также xopo
шие результаты при пересчете на D/f'  1:6 и требует незначительной дополнительной
коррекции.
т
ZO
т
.20
I!
10
o.2 o.'
D.1 0.2 !J.//
o) o. t ф
20
5)
10
Рис. 4.18. rрафики остаточных аберраций в пятилинзо
вом телеобъективе: а) rрафик сферической аберрации
и сферохроматических разностей; 6) rрафик аберраций
широкоrо наклонноrо пучка
Синтез фототелеобъективов
Особенности конструкции и характеристики фототелеобъекти-
вов. Фотоерафичесн:ие телеобъен:тивы, или фототелеобъен:тивы,
предназначены для съемок с больших расстояний. В отличие от обыч
ных объективов они позволяют получать изображения большеrо раз
мера и с больших расстояний.
Одной из основных характеристик телеобъектива является н:оэф
фициеnт телеун:орочеnuя т  f / L, показывающий, во сколько раз оп
тическая длина телеобъектива меньше ero фокусноrо расстояния. Из-
вестно также понятие телефотоувеличеnия r  f' / B. , которое менее
удачно, поскольку не учитывает длину объектива.
Обычно Т$; 1,35...1,4, r $; 2...2,5. Значения этих коэффициентов
во MHOI'OM зависят от относительноrо отверстия. При их увеличении
приходится уменьшать относительное отверстие и уrловое поле.
Чем меньше оптическая длина L и чем больше телеувеличение r
и коэффициент телеукорочения Т, тем выше эксплуатационные пре
имущества телеобъективов.
Фокусные расстояния телеобъективов меняются в широком
диапазоне  100...2000 мм.
271

Расчет и проектирование оптических систем
Для современных линзовых систем характерны значения:
f', мм .................. .., .... ..................... 400
r .............. ........ ......... .......... .......... 1,666
L/f' ............ш........ ............................................ 0,6
300
1,428
0,7
200
1,25
0,8
135
1,11
0,9
Однако эти значения нельзя принимать за ltритерий, надо учиты
вать также оптические характеристики системы.
Наиболее традиционные телеобъективы построены по двухкомпо
нентной схеме. В табл. 4.15 показаны некоторые известные схемы фо
тотелеобъективов, начиная от самых первых разработок, схемы KOTO
рых применяются до настоящеrо времени, и кончая некоторыми раз
работками последнеrо десятилетия.
Обычно предприятияразработчики наряду с престижными теле
объективами с высокими оптическими характеристиками, но rpомоз
дкими И тяжелыми, выпускают простые компактные системы, хотя
и уступающие первыМ по техническим параметрам, но более удобные.
В соответствии с известной классификацией Д.С. Волосова [2] HOp
мальные линзовые телеобъективыанастиrматы имеют коэффициент
укорочения 1,2...1,25, относительное отверстие 1:7...1:5.
llIирокое распространение получили объективы малоrо теле
укорочения, но повышенной светосилы, к которым относится rруппа
телеобъективов «Таир. (см. табл. 4.15), имеюlЦИХ преимущественно
простую схему и обеспечивающих следующие оптические xapaKTe
ристикИ:
", мм ............................................. 50...150
D/f'. ............ ................................... 1 :2,5
2000 ...................................................................:5 20
200...300
1:3... 1:3,5
:515
1000
1:4...1:5
:510
При усложнении конструкции первоrо компонента и замене Me
ниска, являющеrося плананастиrматическим корректором, склеен
ным компонентом, относительное отверстие повышается до 1:1,5.
Понятие «фототелеобъектив ., так же как и «фотообъектив.,
обычно имеет более широкое содержание [2] и включает не только фо
тоrрафические объективы, но и объективы более широкоrо назна
чения, имеющие высокие оптические характеристики. К ним услов
но относятся, например, построенные по простой схеме телеобъекти
вы, применяемые в инфракрасной области, изrотовленные из таких
материалов, как кремний, rерманий и Т.п.
В процессе синтеза компоненты телеобъективов можно в первом
приближении принять за бесконечно тонкие, кроме мениска в «Таи
ре., и использовать метод разделения переменных. Тоrда, получив pe
272

rлзва 4. Параметрический синтез одно- и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
Таблица 4.15
XM Оптическая схема Название Примечание
п/п
1 +- .MarHap. r  3; D/f'  1:10;
200 < 150
2 -+-'! .'rелетессар. D/f  1:6,3;
20035...400
3 tl-+- «'rеJ1ИКОН. , r  2,44;
«'rелемар. D/f  1:6,3;
2Ц)  300
-- Примечание:
фОТОI'рафия,
4 .Таир. !(иносъсмка,
.- телевидение
L  0,8...0,85('

. Апохромат с внут-
5 . Телеапотес- ренней фокусиров-
сар. кой {'  500;
D/f'  1:8; 200  90
- f  300;
6 Объектив D/f'  1:2,8;
фирмы .Canon. 200 80;
масса 2,3 Kr
$4-- {'  300;
7 Объектив D/f'  1:5,6;
фирмы .Canon. 200  80; L  о, 7'
масса 0,63 Kr
273

Расчет и проектирование оптических систем
зу льтаты на основе теории аберраций TpeTbero порядка и учитывая
известные свойства рассмотренных ДBYX, Tpex и четырехлинзовых
компонентов, можно получить и оценить исчерпывающую картину
тех возможностей, которые обеспечивают телеобъективы наиболее
распространенных типов (в отношении светосилы, rабаритных разме-
ров и качества изображения).
Синтез двухкомпонентноrо телефотообъектива при заданном ко-
эффициенте телеукорочения. Определим оптимальные zeOMempu
ческие характеристики телефотообъектива. Расчет выполним, пола- .
rая, что компоненты бесконечно тонкие, и принимая известную нор-
мировку первоrо вспомоrательноrо луча: <X 1 == о; h 1 == f == 1; <Х ш == 1 (см..
рис. 4.16).
Уравнение масштаба для двухкомпонентной системы имеет вид:
q> == СРI + q>п  d СРI q>п == 1.
t=П
Из уравнения Петцваля 8r.v == L п ! СР! следует
i=1
q>п == (8 1у  п l q>I)/ п н .
Выразив расстояние d из уравнения масштаба и подставив в Herq
полученное значение q>Il' найдем
d == [(f)l (п н  1t 1 )  п н + 8 IV ]![ q>I (81V  п l q>l)]'
тоrда
hrI == a{I == 1  dq>l == 1t п (1  q>1)/(8 IV  1t I q>I)'
ДЛЯ коэффициента телеукорочения получаем следующее выражение:
т == f' /L == l/(d + а{I)==
== ерl (81V  п l q>I)/[8 IV  1t I q>I  (1 q>I)21tп].
Рассматривая т как функцию СРl' найдем ее экстремум и опре де 7
лим соответствующие экстремальные характеристики телеобъектиВ.
[2]: дТ/дерl == о, И
 [( 1  8 IV / 1t п ) + (1  8 IV / 1t I ) Х .J 1  8 lV / п н ] 
q>Iextr  [(1  1t 1 /1t H )+ (1  8 IV /1t I )]  q>Ie'
откуда видно, что q>I е является вещественной величиной при 8 IV < 1trJ.
так как 1tr1 > о.
274

rлава 4. Параметрический синтез OДHO и двухкомпонентных ЛИНЗОВЫХ систем из бесконечно
ТОНКИХ компонентов на основе метода разделения nepeMeHHblx
Проанализируем экстремальные величины (/>lе' d e . а'н и Те В раз
ных частных случаях (табл. 4.16). Обозначим m=  l8rv/1[, приняв
1t ==  == 1[п, что значительно упростит общие формулы. При SIY == 1t Be
личина т == О, при этом получим обычный однокомпонентный объек
тив. Для наиболее высококачественных телеобъективов с уrловым
полем 200 == 20...300 SIV == О. Тоrда т == 1, оптическая сила первоrо KOM
понента (/>1 е == 2 и в экстремальном случае L == 0,75(, Т.е. Те == 1,333. В
результате получаем телеобъектив с минимально возможными раз
мерами.
Таблица 4.16
Экстремальные характеристики в частных случаях
Условие
ЧlIе d e а'е н Те
т 1 (1 + т )2
SIY* О 1 +т (1 + т)2  I
1+т 1+2т
SIV == 1[, т == О 1 О 1 1
8 IV == О, т == 1 2 0,25 0,5 1,333
Сравнивая линзовые телеобъективы с зеркальными, следует OT
метить, что в последних длина системы сокращается в 2 раза, но в
34 раза уменьшается поле и составляет 6...70. При небольшом поле
сумма SIY может существенно отличаться от нуля, поэтому можно
уменьшить rабаритные размеры системы.
Следует помнить, что кривизну поля в линзовых телеобъективах
Мс,жно не исправлять, если 200 == 1...20, D/( == 1:15...1:20, но и при этом
L '" 0,5(. Например при SIY='= 6п получим (/>1 е == 3,64, L == О,47' [2].
Однако выбор экстремальных rayccoBblX характеристик для
Srv == О ПРИ:':lОдит к оптической схеме, в которой невозможно исправить
ДИсторсию. Поэтому приходится несколько отступать от экстремаль-
НЫх знаЧDRИЙ.
Большое значение приобретает правильный выбор значения оп
ТИчсской силы (/>1 первоrо компонента. При условии исправления всех
ПЯ'rи монохроматических аберраций TpeTbero порядка при Ун ='= О oc
lIОВные параметры компонентов являются функциями (/>1 [2]:
275

PaC'IeT и проектирование ОПТИ'lеских систем
1l = 2 (3 + п)( (/>1  1)2; Wl =  (3 + п)( (/>1  1);
Px = [1/ ((/>1  1)2]{ 2(3 + 1t )((/>1  2)(/>: + [2(2 + 1t )(/>1 + 1](/>1};
Wl = [(/>1/((/>1  1)][ 2 + 1t  (3  1t )(/>1].
При (/>1 е  2 получаем Px  23,6. При таком значении OCHoBHoro
параметра нельзя выбрать простую оптическую схему BToporo компо
нента. Однако при небольшом уменьшении (/>1 величина  быстро
уменьшается, но при этом неСltолько возрастает длина системы.
Анализ зависимости оптической длины L от (/>1 показывает, что
при изменении ерl от 1,5 до 3 общая длина системы BOJpaCTaeT не бо
лее чем на 3...4% от экстремальной при (/>1 е  2. При 1,5 < (/>1 < 1, 7 все
основные параметры компонентов оказываются в интервале практи
чески реализуемых значений без существенноrо усложнения KOHCT
рукции или снижения светосилы. Это обеспечивает в конечном счете
разработку планастиrматических ортоскопических телеобъективов,
теория расчета которых разраБО'I'ана Д.С. Волосовым [2].
Последовательность расчета
Выбрав (/>1 в диапазоне 1,5...1,7, вычисляют (/>II' d, а' Il и Т, исполь
зул полученные соотношения.
При заданном коэффициенте Т телеукорочения определяют (/>1' а
затем остальные rayccoBbl характеристики для телеобъектива при
f == 1, используя приведенные выше уравнения. При SIV == О получим
(/>1 == ерП' Определив значения {у', f!x и d для заданноrо значения фокус
Horo расстояния телеобъектива, выбирают положение апертур ной ди-
афраrмы и находят диаметры компонентов. Обычно апер'rурную ди
афраrму устанавливают на середине расстояния между компонента
ми или ближе к первому компоненту, сраВIПIвая относительные отвер-
стия компонентов.
Определив оптические характеристики КWКДОl'О компонента, вы-
бирают их конструкцию.
Затем определяют значения основных параметров ,  , ис-
пользуя приведенные выше формулы для этих параметров. Часто при
заданном Т приходится решать систему уравнений для коэффициен
тов аберраций S, S;;, S, S'; . Все суммы, кроме S'; , приравнивают-
ся нулю. Значение S'; выбирают так, чтобы получи'rь приемлемые
значения для основных параметров BTOpOro компонента с целью уп-
рощения ero конс'rруКЦИИ. При необходимости выполнения BTOpOro
276

rлава 4. Параметрический синтез OДHO и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
компонента в виде двухлинзовоrо скленноrо при решении уравнений
надо контролировать величину P';in (см. п.4.3).
Следующим этапом расчета является окончательный выбор KOH
струкции rомпонентов, выбор марок стекол компонентов и их синтез.
После расстановки компонентов с учетом реальноrо положения апер
турной диафрarмы про водят аберрационный анализ объектива.
Синтез телефотообъектива при заданном телеувеличении. В Ha
чале расче'l'а, как и обычно, принимаем компоненты за бесконечно
тонкие 11 вычисления проводим при r  1. Тоrда а'н  1jr, h п  а'п'
Из уравнения масштаба (/>п + hп(/>п  (/>х + а' п (/>п  1 определим
СРп  (1  (/>х) / а' п  (1  (/>r)r, но h п  1  d(/>I' поэтому
d = (1  hп)/(/>r = (1  а{х)/(/>х, (4.30)
Расстояние d обычно выбирают не более 1j(2r) [19]. При большем
значении телеобъектив превращается в обычный объектив. При Ma
лом d получается большое значение (/>1' что приводит К большому OTHO
сительному отверстию компонента. Обычно рекомендуется d '" 1j(2r).
С учетом этоrо для оптических сил компонентов имеем:
(/>r=2(r1); (/>п=r(32r); (4.31)
Определим оптимальное значение телеувеличения, при котором
исправлена кривизна Петцваля, 8ху  о.
Подставляя полученные выражения для (/>х и (/>п из (4.31) в усло
вие исправления кривизны поля и принимая п х  п н :== 0,7, получаем
8ху = о, 7((/>х + (/>п) = о;
2(r1)+r(3-2r) = о;
2r25r+2=0;
r(1)==1/2; r(2)=2.
Практическое значение имеет второе решение: r(2)  2. При r > 2
плоское поле можно получить лишь при значительном усложнении
конструкции или существенном уменьшении светосилы.
Следовательно, на первом этапе расчета при известном значении
коэффициента телеувеличения r можно определить (/>1' (/>п и d из фор
мул (4.30) и (4.31). Затем необходимо решить уравнения исправления
сферической аберрации, комы, астиrматизма и дисторсии TpeTbero
порядка, помня, что коэффициент Петцваля 8ху зависит от телеуве-
личения r.
Формулы сумм Зейделя значительно упрощаются при УХ  ар  о,
коrда входной зрачок совпадает с первым бесконечно тонким компо-
277

Расчет и проектирование оптических систем
нентом. В дальнейшем при переходе к реальной системе можно выб
рать друrое положение зрачка (см. п. 4.2), не изменяя коррекции. При
этом условии аберрационные уравнения имеют вид:
В;' = Р! + hпР п ;
Вй = упРп + W r + W п ;
вйх == уРп / h п + 2 Уп П Т Н / h п + (/>х + (/>п;
в:; == уrrРп/ hir + Зу!rW п / hir + Уп(/>п (3 + 7tп)/hrr'
Из решения системы четырех уравнений определим параметры Рl'
Wl' Р п , W п И выполним переход к основным параметрам Px, И'i, Px,
И'i по известным формулам (см. I'Л. 2), найдя которые, выберем кон-
струкцию компонентов и проведем их синтез.
Из условий исправления хроматизма положения 8i'xP = cr + hпСх! =
= о и увеличения 8rxp = УпCrr = О следует, что каждый компонент дол-
жен быть ахроматизован.
При выполнении условия исправления дисторсии часто получают-
ся большие значения основных параметров, приводящие к снижению
светосилы системы [2]. Если принять в:;  2,5...4, то основные пара-
метры будут иметь приемлемые значения и телеобъектив может быть
светосильным при простой конструкции каждоrо компонента. Но при
этом возрастает дисторсия. Так, при в:;  3, ro  150, Ау' /у'  10%. Не-
обходимо также иметь в виду, что дисторсию мо)кно понизить, умень-
шив Ун' следовательно и d, но тоrда возрастают (/>1' (/>п и в результате
приходится уменыатьь светосилу.
Дисторсию леrко исправить в длиннофокусных системах со сред-
ним телеувеличением, так как они имеют малое относительное OTBep
стие. Это позволяет оставить большие значения Pr и tv;, при KOTO
рых дисторсию леrче исправить.
Пример 4.4. Определить значения основных параметров компоиентов телефото-
объектива при тслеувеличении r  2 при условии sj = sп = SПr = sjy = s::; = о .
Решен.ие. В соответствии с изложенной методикоЙ расчета при r  2 h п  а' 11  1/r 
 1/2. <РI  2. поэтомуd  (1  а'п)!<Р,  1/4. УН  d  1/4.
Коэффициенты аберраций TpeTbero порядка при ар  О имеют вид:
81" = II + 0.51l/ = О; sп = wj  0,251l/ + Wjr = О;
sm = 0.1251lr  Wj/ = О; s::; = 0.062511r + 0.75Wj/ + 3,7 = О.
OTKyдaP, 60.0; W 1  15; Р П  120; W П = 15.
Сделав переход к основным параметрам при а,  О. а',  <Р,  2. :Х Ш = 1. 1t = 0,7, по-
лучим:
lli = 23.6; W П = 9,6; ll = 7.5; Wj = 3.7.
278

rлава 4. Параметрический синтез OДHO и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
Основные параметры имеют большие значения, что ведет к существенным аберра
циям ВfСШИХ порядков. Например, для склеенноrо компонента Р';;ш = P O,85x(w 
 0,15); p,;m = 60 . Это приводит К большим оптическим силам линз и к выбору особых
марок стекол.
Синтез светосильноrо двухкомпонентноrо объектива
Объектив (рис. 4.19) состоит из двух положительных компонен
тов, расположенных на конечном расстоянии друr от друrа. Каждый
компонент имеет простую конструкцию, чаще Bcero двухлинзовую.
Объектив позволяет получить высокое относительное отверстие
(1:2...1:1,5) при небольшом уrловом поле 200  200. Применение Tpex
линзовых компонентов и особых марок стекол позволяет увеличить
относительное отверстие до 1:1,4...1:1,3.
Рис. 4.19. Оптическая схема CBeTO
сильноrо объектива типа объектива
Петцваля
Оба компонента являются положительными, имеют небольшие
оптические силы, поэтому общая длина объектива больше фокусноrо
расстояния L  1,3...1,5f. Отсутствие в системе отрицательноrо KOM
понента делает принципиально неустранимой кривизну Петцваля
(8 rv  0,8...1,2), поэтому уrловое поле 200  200.
Объектив позволяет получить хорошую апланатическую KoppeK
цию, а также исправить астиrматизм выбором расстояния между KOM
понентами. Для компенсации кривизны поверхности изображения
допускается небольшой отрицательный астиrматизм.
Объектив такой компоновки был разработан Петцвалем как пор
третный объектив, от KOToporo не требовалось строroй коррекции кри
визны поля. Входной зрачок расположен обычно вблизи первоrо KOM
понента, и ero расстояние от BToporo компонента примерно равно фо
кусному расстоянию BToporo компонента, поэтому rлавные лучи в про
странстве изображений образуют малые уrлы с оптической осью, Т.е.
ход лучей близок к телецентрическому .
Такие объективы, называемые дублетами, применяются в каче
стве светосильных кинопроекционных объективов, объективов при
боров ночноrо видения для получения изображения на фотокатоде
ЭОПаи т.п.
Особенности синтеза. Считая объектив бесконечно тонким (рис.
4.20) и принимая известную нормировку первоrо вспомоrательноrо
279

Расчет и проектирование оптических систем
.............. а'll
...
о&::
F'
"
l
Рис. 4.20. Оптическая схема бесконечно
тонкой системы светосильноrо объекти-
ва и ход первоrо вспомоrательноrо луча
d
луча (а 1  О, h 1  1, а ш 1), получим:
ан = (/>1; (/> = (/>1 + (/>п  d<i>l<i>п = 1;
h п = 1  d(/>l;
а ш = ан + hп(/>п = 1;
<i>п=(1аlI)/hп; d=(1hп)/ап. (4.32)
Из (4.32) определим внешние параметры, влияющие на хромати
ческие суммы и кривизну Петцваля.
Для упрощения решения аберрационных уравнений примем, что
входной зрачок совпадает с первым компонентом [19], как это дела
ется при синтезе друrих рассмотренных систем.
Тоrда по нормировке BToporo вспомоrательноrо луча ар  Уl  О,
так как 1  1, а Ун  Уl  dп, но Р Н  '1  1, поэтому УН  d.
Условия исправления хроматических аберраций имеют вид:
SI: P = (/>IС1 + h:(/>пСп = о; }
SПхр = упhП(/>IСН = о,
(4.33)
rде С 1 и Сп  основные хроматические параметры.
Из (4.33) следует, что для ахроматизации каждоrо компонента
необходимо, чтобы С 1 = Сп = О.
С учетом принятоrо допущения (ар  О) и нормировки первоrо и
BToporo вспомоrательных лучей суммы 3ейделя можно представить в
следующем виде:
s;- = Р 1 + h п Prl; )
B1 = УпPrl + W 1 + W H ;
STJ = УРII/hп + 2уп W п/ h п + (/>у + (/>п;
rде <Р!  ан; <РП  (1  ап)/h п .
(4.34)
280

rлава 4. ПарамеТРИLlеский синтез OДHO и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
Три уравнения (4.34) имеют четыре неизвестных: Рl' Wl' P11'W11'
поэтому при выборе недостаточноrо параметра надо принять во внима
ние рекомендации, учитывающие аберрации высших порядков. Их
влияние в данном случае особенно велико, так как относительное OT
верстие большое.
Из практики расчета следует, что, чем выше относительное OТBep
С'I'ие, тем ближе к нулю сумма Sj. Для компенсации обычно положи
тельной сфеlJичеСIЩЙ аберрации высших порядков надо ввести о'rри-
цательнуlО аЬеррацию TpeTbero порядка, поэтому принимают
Sj  0,2...1),3.
Обы'шо SI  О, а S;;I  (0,02...0,1) [19], что обеспечивает KOM
пеlIсацию II,рИ:ШIЗНЫ поля. Но не рекомендуется брать S'{I < 0,1 во
избежание Уl1еличения астиrматизма и получения неблаrоприятных
Jначений Pr и Ff ' при KO'I'OpblX возрастают аберрации высших поряд
ков.
Выбор значений ан и h п должен обеспечить оптимальные значе
lшя основных napi'lMe'I'poB компонен'I'ОВ, при которых аберрации выс-
ших порядков минимальны, Т.е. достаточно большие P, но при
И""'",О.
На сферическую аберрацию высших порядков основное влияние
оказывает конструкция первоrо компонента, так как высота oceBoro
луча, проходюцеrо через край зрачка, в 23 раза больше, чем ero BЫ
еота на втором компоненте. Поэтому выбор основных параметров Рх ОО
!1 И должен обеспечить наименьшие аберрации высших порядков
первurо компонента. Например, для двухлинзовоrо склеенноrо компо-
неп'rа аберрации высших порядков будут меньше, если Px > О, а
иr! "" 0...0,2.
п оследователъностъ расчета
1. Задаются значениями ан и h I !, учитывая, что наиболее удачные
решения получаются при 0,1  0,5...0,7 и hI! == 0,5...0,3 [19]. Затем по
формулам (4.32) определяют ((>" и d.
Реальные значения фокусных расстояний компонентов и paCCTO
яния между ними находят из соотношений: f;= f' /(Рl' f; = f' j(P2'
d p = d. " .
2. Определяют диаметры компонентов, устанавливая реально!'
положение апертурноЙ диафраrмы (см. пример 4.5), оценивают оп
тические характеРИI'rин.и каждоrо компонента и выбирают их KOHc'r
рУIЩИЮ.
281

Расчет и проектирование оптических систем
3. Выражают неосновные параметры Р р W; через основные по из
вестным формулам перехода [12], учитывая нормировку а l  о,
а' 1  ан  <1>1' а' н  1. Затем полученные выражения подставляют в
уравнения (4.34), принимая ПТi  о или 0,2, суммы Зейделя при
равнивают некоторым рекомендуемым значениям (Sj  0,2...0,3;
i  о; Snl  0...0,1) и из трех уравнений с тремя неизвестными оп
ределяют 11 , l1i и Wii .
Возможен и друrой путь решения уравнений. Определяют
wi = ПТi a: l , задаваясь ПТi , и из решения трех уравнений (4.34) опре
деляют неосновные параметры Р l' Р Н' W П. Затем делают переход к oc
новным параметрам, используя соотношения перехода и принимая
7t  0,7, и получают:
PI = P1/afl;
P1i == [1/ (1  а н )3][ I  4а ll W п + а п (1  а п )( 5 ,4а ll + 1)];
W1i = [1/(1  a ll )2][W 1  2,7а н (1  а ll )].
4. В случае двухлинзовых склееннх компонентов надо вычис
лить значения  = p O,85(W o,15) , позволяющие оценить пра
вильность выбора <Ххl и h H , И затем выбрать комбинации марок стекол.
5. По значениям основных параметров и оптических характерис
тик компонентов выбирают их конструкции.
6. Выполняют синтез каждоrо компонента (см. п. 4.3) при усло
вии получения расчетных значений основных параметров , \V;,
принимая, что величина С равна нулю или имеет небольшое отрица
тельное значение (для компенсации сферохроматизма).
7. Выполняют переход к линзам конечной толщины (см. п. 4.2).
Объектив является светосильным, поэтому толщины линз получают
ся значительными и радиусы кривизны реальной системы будут за
метно отличаться от радиусов тонкой системы.
8. Проводят контроль вычислений расчетом хода параксиально
ro луча через объектив и определяют ero фокусное расстояние.
Для выполнения синтеза объектива целесообразно составить про
rpaмMY на ПЭВМ. Это позволит провести исследование системы при
разных значениях избыточных параметров и сумм Зейделя и выбрать
оптимальное решение, которое позволит уменьшить аберрации BЫC
ших порядков.
282

rлава 4. Параметрический синтез одно- и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
При мер 4.5. Рассчитать светосильный объектив, если "  150 мм, D/f'  1:2,
2ro  12°.
решен.ие.3адавшисыxu  0,71, h п  0,342, из(4.32) найдем !Рп  0,84795, d  0,9268.
Тоrда для "  150 определим f'I 211,268, rп 176,897, d  139,02.
Применяя формулы перехода к осиовным параметрам, получим
1\ = O,3581\; W 1 = О,504ПI;
1\1 = O,02441\i + O,2388Wji + 0,5835;
ПII = О,84ПV 1 i + 0,5559.
Принимая ПI  O,2 и подставляя полученные соотношения в (4.34), находим:
SI = O,3581\ +O,08341\i +O,0816W 1 i +0,2 = 0,23;
Sii = O,02261\i  O,1373Wji + O,504WI + 0,015 = О;
Siil = O,06131\i +O,144W l i +0,011 =O,13.
Из решения уравиений определяем основные параметры: l\  0,2069; 1\i   1,3569;
П'ii  O,4016. При этих значениях P Imin  0,1026, Р пmin  1,6155, что вполне приемле-
мо для склеенноrо компонента.
Далее расчет ведем, используя таблицы С.В. Трубко [22]. Поскольку W < 0,8, для
каждоrо из компонентов выбираем комбинации .крон впереди. и определяем РОК по
формуле
Рок = [p  O,84(W  0'08)2]/[1 O,022 (W o,08)+ 0,0002 (W  0,08)2].
В результате получим РОк]  0,140, Рок:  1,581. Из таблиц по значениям Рок вы-
бираем комбинации марок стекол: для nepBoro компонента ЛК7Ф9, дЛЯ BTOPOro 
БК10БФ24. ДЛЯ этих комбинаций при заданных значениях Рок параметр С  O,001,
что блаrоприятно для компенсации сферохроматизма. Результаты расчета бесконечно
тонких компонентов приведены в табл. 4.17.
Таблица 4.1 7
Марка Q <Х: <Х э r] тв r: m Т зтв
стекла
ЛКФ9 4,317328 0,595506 0,355744 115,805 91,357 301,64
БК1О---БФ24 5,923843 0,631090 0,476242 101,914 56,3527 514,35
Для определения диаметров компонентов примем в данном случае, что апертурная
диафрarма находится посередине между компонентами [19]. Тоrда d /2  69,51, и по фор-
муле raycca определим, что ар  103,6, тоrда D....  50,32.
Световой диаметр nepBoro компонента D'.I  2а р tgro + D  99, а световой диаметр
BToporo компонента, как видно на рис. 4.21, определяется ходом BepxHero полевоro луча
при отрицательном значении ro. В результате имеем D ,. п  63, о. Тоrда полные диамет-
pblD I102,D п66.
nПосле перехО;а к линзам конечной толщины имеем:
283

Расчет и проектирование оптических систем
йJ

""i!!;;
I
,Р
I
.+
I
J
t
Рис. 4.21. ХОД 1I0леВОI'О пучка лучей в
оптической cxee светосильноrо
объектива из тонких компонентов
ар
d
Для пеРВОI'О компонента:
"  115,803
d,  30,4
ЛК7
1,48.16
T,. 83,5288
d2' 10,2
Ф9
1,6180
/',  27(j,ООб
{{= 211,269; SfI'r = 21,73
ДЛН BToporo компонента:
r,  101,914
d, 18,7
БК10
1,6386
т."  .52,5932
d 2  6,6
БФ24
1,5713
f'з  4'1O,896
; = 176,89: в;,, = 161,952; Sи, = 14,94; sH = 1,142.
Реальное расстояние между I<омпонентами d p = dtJ + И'  ВИп O 139 ,02  21,73
1, 142  116, 15.
Значение (1 р вычислено с точностью до сотых долей МИЛ'lИметра для сохранения зна-
чения фОI<усноrо расстояния с точностью ДО пяти :ншчащих цифр, Т.е. для контроля вы-
ЧI!СJIСНИЙ. При выполнении дальнсiiших расчетов "ледует взять d р  116,2,
Положение апертурной циафраrмы относительно задней поверхности первоrо
JЩМПОIlента определяется В.. д . = а.. д . + Ву!  47, 78.
Таким образом, получаем елецующие КОНС1'РУКТИRные парамстры обьектива:
r;  115,803
d, . 30,4 ЛI<7
/',  83,5288
d""'10,2 Ф9
Т..  276,O06
d з  116,15
r 4  101,914
d 4  18,7 БК10
Т.<  52,5952
d, 6,6 БФ24
Те  470,8!)6
f" = 150,00; "[' = 36,35; s;1 ..113,65.
284

rлэва 4, Параметрический синтез одно- и ДВУХКОМllонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
в результате аберрационноrо апализа найдены следующие зпачения остаточных
аберраций: поперечная сферическая аберрацня для края зрачка !!у'  0,076 мм, хрома-
.1'ИЗ'М положения дЛЯ З0НЫ отверстия .:l8F'C'  0,079 мм, астиrма'rизм для (»  60,
z;  Z  0,29 мм, меридиональная кома К  0.97 мм, дисторсия .:ly' /у'о  0,15%. Хрома-
тизм увеличения весьма мал и составляет несколько микрометров.
Объектив требует дополнительной коррекции аберрации. После 0l1'rИМИЗ8ЦИИ на
ЭВМ качество нзображения объектива вполне удовлетворительное.
Для улучшения качества изображения в исходном варианте апертурную диаФр8Р-
!>!У необходимо устанавливать ближе к первому компоненту, учи'rывая при этом, что 38k
ЕЯЯ rлавная плоскость реальноrо компонента находитсн внутри Hero (ВН! < О), 110э'rому
следует выбирать а. од  25...30 мм.
Синтез оптических систем для преобразования лазерноrо
излучения
При использовании лазеров в качестве источников излучения не-
обходимо применять оптические системы для ero преобразования (7).
Рассмотрим особенности синтеза систем для коллимации и КОНЦNIТ-
рации лазерноrо излучения.
Системы для. коллимации излучения. или коллимирующие си,сте,
МЫ, предназначены для уменьшения уrловой расходимости ИЗЛ:i"е-
"IИЯ.
rабаритный расчет оптичеСIИХ систем для коллимации излуче.
ния с учетом структуры лазерноrо пучка и для rеометрооптическоiI
модели излучения pacCMo'rpeH в [7, 13] и rл. 2. Аберрационный PliC-
чет систем выполня:ется с использованием rеометрических преДС'I'ilВ-
лений.
Для коллимации и.злучения можно использовать системы разных
увеличений, разработанные в С.-П. rит:мо (ТУ) (рис. 4.22). Для син-
теза таких систем можно применить теорию аберраций TpeTbero по.
рндка, считая компоненты в начале расчета бесконечно тонкими. Из
теории 'rелескопических систем известно [12], что уrловое увеличение
'у о ::::  "-'! "-; , а оптическая длина L = "-' + fl = h (1  У о) .
rабаритный расчет рассматриваемых систем приведен в rл. 2, а в
rл. 3 представлен аберрационный расчет, из KO'l'OpOro определяют ос-
 +--
новные нараметры  и Р;; отдельных компонентов системы.
Для синтеза конструкций телескопических систем разных увели-
чений с первым отрицательным компонентом в виде отдельной плос-
ковоrнутой линзы были рассчитаны основные параметры этой линзы,
а также OДHO и двухлинзовых компонентов разных конструкций при
различных значениях показателя преломления (см. [4]). На основе
+--
сравнения значений 11 первой плосковоrнутой линзы и Р;; BToporo
компонента разных КОНСТрУIЦИЙ были выбраны оптические схемы,
предс'Т'авленные на рис. 1.2.
285

Расчет и проектирование оптических систем
*
IZ)

5)
 
1)
 *
е)
. .*
  
Рис. 4.22. Оптические схемы систем различных увелнчений для коллимации
лазерноrо излучения: а) УО  1/2,2; 6) УО  1/2,7; в) УО  1/3,9;
2) УО  1/4,7; д) У О  1/5,3; е) УО  1/10,8
В качестве при мера рассчитана система ДЛЯ уменьшения уrловой
расходимости пучка при следующих условиях: А  0,488 мкм; Уа 
 1/5; L == 62...65 мм; диаметр пучка излучения на входе D == 4 мм.
Для расчета выбрана система со вторым компонентом, состоящим из
двух плосковыпуклых линз. При этих условиях получено, что f'{ ==
== 15 мм, (II 79,5 мм. Рассчитанная телескопическая система име
ет следующие конструктивные параметры:
ПА  0,488
r==oo
1
d/ == 1,5
1,52182
К8
r 2  7,827
d 2 == 12,277
r==oo
з
d з == 3,3
1,52182
К8
r 4 == 82,969
rs == 82,969
d 4 == 1,0
d s == 3,0
1,52182
К8
r==oo
6
Аберрационный анализ системы показал, что расходимость oce
Boro и наклонноrо пучков лучей не более 2",
286

rлава 4. Параметрический синтез одно- и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
в зависимости от требований к уrловой расходимости пучка на
выходе системы и к ее размерам возможен синтез различных кон-
струкций двух компонентных систем (рис. 4.23).
В обратных системах Кеплера (рис. 4.23, а, 6, д, е) (см. rл. 2), ra-
лилея (рис. 4.23, в, z, Ж, 3) В качестве первоrо компонента малоrо ди-
аметра может быть использована отдельная линза, так как она вно-
сит небольшую сферическую аберрацию при малом фокусном рассто-
янии. Однако радиусы кривизны короткофокусной линзы имеют
очень малые значения, что затрудняет ее изrотовление, поэтому по
технолоrическим соображениям часто приходится заменять линзу
двухлинзовым компонентом или для ОДНОЙ линзы принимать r 1 == r2'

F.'
I
F"
6)
If' ,.
F"
z)
r
ж)
Рис. 4.23. Оптические схемы систем для коллимации лазерноrо излучения
3)
Ясно, что простейшие конструкции систем, состоящие из двух
однолинзовых компонентов (см. рис. 4.23, а, в, z), имеют значитель-
ную длину, поскольку отдельные линзы имеют малое относительное
отверстие 1:10...1:12. В простейшей конструкции обратной системы
Кеплера (рис. 4.23, а) каждая из линз рассчитывается на минимум
сферической аберрации, но эта система имеет большие аберрации и
287

Расчет и проектирование оптических систем
находит весьма оrраниченное применение. В обратной системе rали-
лея (рис. 4.23, в) возможна компенсация сферической аберрации, так
как компоненты имеют разную по знаку сферическую аберрацию. ПО-
этому составляется аберрационное уравнение исправления сфери-
чеСl<ОЙ аберрации всей системы (81  О) при условии расчета первой
линзы на минимум сферической аберрации (см. rл. 5) или при извест-
ном конструктивном условии (например, r 1 ==" r2) и определяется
внутренний уrол а 4 первоrо вспомоrательноrо луча для второй линзы.
Значительно эффективней в аберрационном отношении выбирать
оптические схемы, в которых возможно исправление сферической
аберрации и комы (см. рис. 4.23, 6, е, ж, з), поскольку одновременно
увеличивается технолоrичность системы. Для этоrо ПРИХОДИ'fСЯ при-
менять двухлинзовые несклееиные компоненты (см. п. 4.3), состоя-
щие из положительной и отрицательной линз.
Двухлинзовые компонен'ты имеют четыре свободных параме'rра
при заданНЫХ марках стекол, один из которых является избыточным,
так как исключается необходимость коррекции хроматизма положе-
ния. При расчете возможны две КОНСТРУКЦИИ  с первой rIOложитель-
ной и с первой отрицательной линзой. В соответствии с рекомендаци-
ями (см. п. 4.3) оптимальное значение избыточноrо параметра, выби-
раемое из условия исправления аберраций высших порядков, получа-
ют при возможно минимальных по модулю значениях поверхностныХ
коэффициентов Р v' W v ' Это приводит К увеличению радиусов кривизны.
Для конструкции с первой отрица'l'ельной линзой избыточный
параметр аз  0,22...0,38 (рис. 4.24, а), а с первой положительной 
аз  1,22...1,27 (рис. 4.24, б) для оптических ма'териалов с показате-
лем прело мления n  1,5...1,7. Как видно на рис. 4.24, несколько
меньшие значения поверхностных коэффициентов Pv при указанных
значенях аз имеет схема с первой отрицательной линзой.
Расчет двухлинзовоrо компонента проводится по известной мето-
дике (см. п. 4.2 и п. 4.3), отличие заключается лишь в отсутствии урав-
нения ахроматизации и выборе оптических ма'l'ериалов. После расче-
та каждоrо компонента проводится их расстановка, заключающаяся
в определении раССТОЯlIИЯ d p между компонен'тами (см. п. 4.2).
При выборе оптических материалов надо учитывать их физико-
механические свойства и лучевую прочность. В отличие о'т ранее рас-
смотренных систем в коллимирующих системах можно при менять
стекло одной марки. Для повышения светосилы каждоro компонента
возможно использование двух стекол, лучше кронов, с наибольшей
разностью показателей преломления.
288

rлава 4. Параметрический синтез одно- и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменны)(
 Р,
.0 8
30 6
20 4
10 Z
а а
fP,
10 z
zo +
зо 6
't0 8
10
1Z
d)
1.1
1,2 1,З
1,. Ct.j:Ip,
r
о)
Рис. 4.24. I'pафик зависимостей поверхностных коэффициентов Pv от
избыточноrо параметра ('(з в двухлинзовом объективе-монохромате:
а) С первой отрицательной линзой; 6) с первой положительной линзой
После расчета исходноrо варианта проводится аберрационный
анализ и при необходимости выполняется коррекция остаточных
аберраций. Остаточные аберрации в коллимирующих системах сни-
жают осевую интенсивность формируемой диarраммы направленнос-
ти и тем самым уменьшают коэффициент ее заполнения. Поэтому не-
обходимо стремиться к получению минимально возможных значений
остаточных аберраций.
Оптические системы для концентрации (фокусирования) лазер.
HOZO излучения должны иметь совершенную коррекцию сферической
аберрации. которая оценивается по волновой аберрации и не должна
превышать 0.11.. (критерий Рождественскоrо).
Это требование надо учитывать при выборе конструкций отдель-
ных компонентов или объектива при выполнении rабаритноrо расче-
та (см. rл. 2).
Аберрационный расчет проводится традиционным методом в за-
висимости от вида оптической системы.
В качестве объектива можно использовать плоскоrиперболоидную
ан аберрационную линзу Декарта (см. rл. 2 и 6).
289

Расчет и проектирование оптических систем
Синтез симметричвоrо окуляра
При разработке оптических систем обычно стремятся использо
вать уже roтовый окуляр. Кроме TOro, имеются нормальные наборы
рассчитанных окуляров с различными вариантами аберрационной
коррекции. Выбрав из этоrо набора подходящий окуляр, рассчитыва
ют объектив, стараясь компенсировать остаточные аберрации этоrо
окуляра. Однако в отдельных случаях возникает необходимость pac
чета HOBoro окуляра.
Наиболее часто применяемые на практике окуляры (в биноклях,
визирах, reодезических при60рах, микроскопах) состоят из двух cpaв
нительно тонких компонентов, разделенных более или менее значи
тельным воздушным промежутком. Их уrловое поле не превышает
40...500, относительное отверстие  1:4. При таких характеристиках
удовлетворительные результаты дает метод разделения переменных.
При синтезе окуляров необходимо исправить аберрации наклон
ных пучков: астиrматизм. кому. дисторсию. кривизну поля. хромати
ческую разность увеличений. Осевые аберрации малы. так как фокус
ные расстояния обычно составляют 10...50 мм, редко выходя за эти
пределы, чаще Bcero они не превышают 25...30 мм.
Симметричные окуляры. известные также под названием окуля
ров Плосселя (рис. 4.25). широко при меняются в различных оптичес
ких приборах. особенно там. rде требуется значительное удаление
выходноro зрачка. Эти окуляры. построенные по традиционной cxe
ме. имеют удовлетворительную коррекцию сферической аберрации.
хроматизма положения. астиrматизма и дисторсии. однако их кома
и хроматизм увеличения имеют достаточно большие значения 5...1 О'.
что оrраничивает их применение.
1
@
F,l
1
F

т
а)
6)
Рис. 4.25. Оптические схемы симметричноrо окуляра:
а) классической конструкции; 6) с улучшенной коррекцией аберраций
Кроме Toro, указанные аберрации особенно мешают в тех случа-
ях. коrда в фокальной плоскости окуляра располarаются шкалы или
290

rлава 4. Параметрический синтез одно- и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
сетки. Причиной этих недостатков является наличие поверхности
склейки значительной кривизны, разделяющей среды с большой раз
ностью показателей преломления.
В 1967 r. в С.П. rитмо (ТУ) были разработаны конструкции
симметричных и квазсимметричных окуляров с хорошо исправлен
ными хроматизмом увеличения и комой. Окуляр состоит из двух плос
ковыпуклых склеенных компонентов с .хроматическим. радиусом
склейки, поэтому были использованы стекла с показателями прелом
ления, близкими по своим значениям для основной длины волны, но
с заметно различными коэффициентами дисперсии.
Синтез окуляра леrко выполняется с помощью метода разделения
переменных. Особое внимание обращается на исправление полевых
аберраций, включая хроматизм увеличения.
Расчет про водим в обратном ходе лучей, считая компоненты бес
конечно тонкими (рис. 4.26). Примем, что а 1  О, а'  1, h 1 ,  1,
131  1, тоrда при условии, что входной зрачок установлен в передней
фокальной плоскости окуляра, т.е. У1  1, для сумм 3ейделя полу
чаем:
(4.35)
(4.36)
(4.37)
(4.38)
В;;хр = .c. (4.39)
Принимая условие исправление астиrматизма .елочкой. (z' m 
 z'.), коrда  = y/2 0,35, и учитывая, что в симметричныхси
стемах w'"  1,35 [18], из (4.35) и (4.36) находим p  1,35.
Наиболее близкие значения p и W'" имеет система, состоящая из
двух плосковыпуклых линз, изroтовленных из стекол с n  1,7...1,8
и расположенных выпуклыми поверхностями друr к друrу.
«,-о
в;; = p + W;
B;;I = p  2W  + 1;
B 1v = q>/n;
Ву = p + 3W  3,7;
a = F
Рис. 4.26. ХОД первоrо и BToporo вспо-
моrательных лучей в бесконечно тон-
ком симметричном ОКУJIJфе
291

Расчет и проектирование оптических систем
Большие значения показателей преломления, как следует из
(4.37), позволяют уменьшить кривизну изображения. Для исправле
ния хроматизма параметр С должен равняться нулю.
Рассмотрим возможность ортоскопической коррекции. Из теории
аберраций известно [18], что для симметричной системы величина p
может быть выражена через основные параметры компонента (.поло
винки.) следуюЩИМ образом:
p == 0,25Рl/2  W 1 i2 + 2,45.
( 4.40)
Для отдельной линзы связь между /2 и :; при n  1,75 такова:
Pli2 == 1,24 + 0,87(W 1 / 2  0,13)2. (4.41)
Подставив (4.40) и (4.41) в (4.38), получим
s; == 0,22(Wli2)2 + 1,05W 1 / 2  2,41. (4.42)
Определим значение /2' соответствующее минимуму S'V . Для
этоrо найдем минимум функции, продифференцировав (4.42) по /2
и приравняв ero нулю. В результате получим /2 min  2,38, довольно
близкое к значению W"" плосковыпуклой линзы из стекла с n ==
"" 1,7...1,75 (W"" "" 2,43 при n == 1,7; W""  2,33 при n  1,75).
Следовательно, выбранная схема в виде двух плосковыпуклых
линз С высоким показателем преломления обеспечивает оптимальную
коррекцию монохроматических аберраций. Для исправления xpOMa
тических аберраций вводится «хроматический» радиус поверхности
склейки [12]. Наиболее подходящими стеклами являются, например,
СТК9 (nе== 1,7460, У е == 50) и ТФ4 (nе"" 1,7462, У е "" 27,95). Для опреде
ления (lхроматическоrо. радиуса вначале надо составить уравнения
масштаба и исправления хроматизма положения для одноrо компо-
нента. Определив оптические силы линз, несложно найти радиус кри-
визны линзы при известном втором радиусе.
Исследования показали, что по сравнению с симметричной квази-
симметричная схема, для которой k  Фl/ Ф 2"" 0,667, позволяет полу-
чить несколько лучшее исправление дисторсии, но в ней ухудшается
коррекция комы. Кроме Toro, очевидна меньшая технолоrичность
этой схемы.
Описанная методика обеспечивает чрезвычайно быстрый синтез
окуляра, который сводится в конечном счете к определению радиуса
кривизны плосковыпуклой линзы при r л == 2' и затем введению (lXpO
матическоrо. радиуса. Переход к линзам конечной толщины заклю-
292

Расчет и проектирование оптических систем
Большие значения показателей преломления, как следует из
(4.37), позволяют уменьшить кривизну изображения. Для исправле
ния хроматизма параметр С должен равняться нулю.
Рассмотрим возможность ортоскопической коррекции. Из теории
аберраций известно [18], что для симметричной системы величина Р""
может быть выражена через основные параметры компонента (.поло
винки.) следующим образом:
Р"" = 0,25Р 1 / 2  W 1 i2 + 2,45.
(4.40)
Для отдельной линзы связь между iz и i2 при n == 1,75 такова:
Pli2 = 1,24 + 0,87 (W 1 i2  0,13)2. (4.41)
Подставив (4.40) и (4.41) в (4.38), получим
в; = 0,22(Wli2)2 + 1,o5W 1 i2  2,41. (4.42)
Определим значение i2' соответствующее минимуму Ву . Для
этоrо найдем минимум функции, продифференцировав (4.42) по i2
и приравняв ero нулю. В результате получим i2 Пlin == 2,38, довольно
близкое к значению W"" плосковыпуклой линзы из стекла с n ==
== 1,7...1,75 (W"" == 2,43 при n == 1,7; W"" == 2,33 при n == 1,75).
Следовательно, выбранная схема в виде двух плосковыпуклых
линз С высоким показателем преломления обеспечивает оптимальную
коррекцию монохроматических аберраций. Для исправления xpOMa
тических аберраций вводится «хроматичес"ий» радиус поверхности
с"лей"и [12]. Наиболее подходящими стеклами являются, например,
СТК9 (nе== 1,7460, У е == 50) и ТФ4 (nе== 1,7462, У е == 27,95). Для опреде
ления .хроматическоrо. радиуса вначале надо составить уравнения
масштаба и исправления хроматизма положения для одноrо компо
нента. Определив оптические силы линз, несложно найти радиус кри
визны линзы при известном втором радиусе.
Исследования показали, что по сравнению с симметричной квази
симметричная схема, для которой k == Фl/ Ф 2== 0,667, позволяет полу
чить несколько лучшее исправление дисторсии, но в ней ухудшается
коррекция комы. Кроме Toro, очевидна меньшая технолоrичность
этой схемы.
Описанная методика обеспечивает чрезвычайно быстрый синтез
окуляра, который сводится в конечном счете к определению радиуса
кривизны плосковыпуклой линзы при r JI == 2' и затем введению .xpo
матическоrо. радиуса. Переход к линзам конечной толщины заклю
292

rлава 4. Параметрический синтез одно- и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
чается в определении диаметра компонента и расчете толщин линз.
Радиусы кривизны пересчитывать не нужно, поскольку компонент
имеет форму плосковыпуклой линзы, оптическая сила которой OCTa
е'rся постоянной при изменении толщины.
Пример4.6.Рассчитать симметричный окуляр, еслиf'  22мм, D/'  1:4, 200  400.
Спектральный диапазон  видимый.
Решение. Из теории расчета следует, что надо рассчитать плосковыпуклую линзу,
выбрав по rOCT 1365978 соответствующие материалы с почти одинаковыми значе.
ниями n. Оптические постоянные стекол для трех выбранных пар марок с наибольшей
разностью коэффициентов дисперсии приведены в табл. 4.18. Выберем пару ТФ4СТК9,
приняв для расчета плоско выпуклой линзы n  1,746. Тоrда второй радиус этой линзы
r z  2f'(1 n) 32,824.
Таблица 4.18
Марка стекла п . У.
СТК9 1,7460 50,00
ТФ4 1,7462 27,95
СТК12 1,6950 54,81
ТФ8 1,6947 30,89
ТК20 1,6247 56,43
Ф13 1,6241 30,89
Введем .хроматический. радиус в плосковыпуклую линзу. Для этоro сначала оп-
ределим ОП1'ическую силу первой бесконечно тонкой отрицательной линзы компонента
из уравнения масштаба и ахроматизации, приняв С  о: <1'1  v /(у 1 .. у.).
Реальное фокусное расстояние первой линзы '1 p 2f' /<1'1' Тоrда хроматический
радиус
r z rxp  2(1nz)f'j<pl  2f'(1 n2)(vl VZ)/Vl'
Подставив числовые значения, найдем r.  25,9021. Световой диаметр компонента
D  D + 2а р tgoo  21,5 мм. Полный диаметр D  24 мм.
" Толщина первой отрицательной линзы :;мпонента из стекла марки ТФ4 dl
 О, 1D  2,4. Толщина второй положительной линзы из СТК9 d. == k. + d 1  ks  7,0
;I'IM, rд:Оci .  1,8 мм. m n
В ре";;ультате получено
r==oo
1
d,' 2,4 ТФ4
r.  25,9021
d.  7,0 СТК9
rs  32,824
d s  0,2
r.  32,824
d.  7,0 СТК9
'"5  25,9021
d 5  2,4 ТФ4
,. == 00
б
При работе на ЭВМ в диалоrовом режиме. хроматический. раднус леrче подобрать
методом проб, поскольку решение уравнений дает приближенное значение, иноrда тре-
бующее уточнения.
293

Расчет и проектирование оптических систем
4.5. Синтез трехкомпонентных линзовых систем
типа триплета
Оптические характеристики tI примевевие. Триплет (рис. 4.27)
был изобретен анrлийским оптиком Тейлором в конце XIX в. и впер
вые был изrотовлен фирмой .Кук., поэтому вначале ero называли
триплетом Тейлора  Кука. Правда, схема с отрицательной линзой
посередине была предложена еще rayccoM, но осуществлена Тейлором.
%Ж-
а)
5)
(1\ro
6)
Рис. 4.27. Оптические схемы триплета разных конструкций:
а) классической; б) с двумя отрицательными линзами;
в) с отрицательной лннзой посереднне напертурной днафраrмой,
расположенной в первом воздушном промежутке
Исторически это первый объективанастиrмат с исправленной
кривизной поля. Он имеет одну из простейших схем, позволяющую
исправить две хроматические и все монохроматические аберрации, а
при необходимости  и термооптические.
Он относится к rруппе универсальных объективов, оптические
характеристики которых имеют средние значения: относительное от-
верстие не превышает 1:2,8, уrловое поле не более 500. При разработке
триплета важное значение имеет подбор марок стекол, поскольку он
в большей степени определяет пределы поля и светосилу объектива.
До появления лантановых стекол относительное отверстие трип
летов не превышало 1:4... 1:3,5 при 2ю == 50...550. С появлением этих
стекол были созданы триплеты с относительным отверстием до
1:3...1:2,8 при тех же уrловых полях.
Объектив типа триплета под разными названиями и в различных
вариантах до сих пор является продуктом MaccoBoro производства по
чти всех оптических фирм мира. При использовании особых марок
стекол ero качество изображения примерно такое же, как у четырех
линзовоro объектива .Тессар. (.Индустар.) с обычными марками сте-
кол.
Б настоящее время триплеты применяют в основном в качестве
проекционных объективов массовых малоформатных диапроекторов,
294

rлава 4. Параметрический синтез oднo и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
эпидиаскопов с большими форматами кадров, в фотоувеличителях, в
малоформатных фотоаппаратах типа .Смена., .Вилия., среднефор-
матных зеркальных фотоаппаратах типа .Любитель., в читальных
аппаратах. Известно также применение триплета в приборах для ин-
фракрасной области.
Виды конструкцвй в модвфвкацвв. Возможны различные ва-
рианты компоновки положительных и отрицательных линз в трипле-
те (см. рис. 4.27), однако наиболее рациональной является схема с от-
рицательной линзой посередине. В варианте с положительной линзой
посередине более сильный положительный компонент имеет значи-
тельную оптическую силу, которая почти в 2 раза больше, чем опти-
ческая сила отрицательноro компонента.
В классической схеме триплета все оптические силы приблизи-
тельно равны по абсолютному значению, что блarоприятно сказыва-
ется на коррекции аберраций. Остальные комбинации с отклонения-
ми от симметрии в отношении знаков оптических сил линз приводят
К значительным трудностям при коррекции дисторсии. Апертурная
диафрarма чаще Bcero находится в воздушном промежутке между вто-
рой и третьей. линзами.
Триплет оказался прототипом большоro числа друrих первоклас-
сных объективов (см. табл. 4.19), часть которых при меняется до на-
стоящеrо времени. Усложнение ОДноrо или нескольких компонентов
привело к созданию универсальных объективов, обеспечивающих по-
вышенное качество изображения, и объективов с повышенной свето-
силой, имеющих малые и средние фокусные расстояния и средние yr-
ловые поля.
Выбор комбвнаций марок стекол. Как правило, применение кро-
нов с малыми показателями прело мления приводит к значительному
увеличению астиrматизма высших порядков, вследствие чеro поле
триплета из стекол обычных марок не более 300 при относительном
отверстии до 1:3. При использовании флинта и тяжелых баритовых
кронов (п == 1,61) можно получить поле до 600, D/r == 1:3,5, при r ==
== 100...200 мм. Обычно применение тяжелых кронов для положи-
тельных линз при малом показателе преломления флинта для отри-
цательной линзы ведет к увеличению поля. Уменьшение показателя
преломления флинта в этом случае увеличивает сферическую аберра-
цию высших порядков и уменьшает относительное отверстие.
Следует помнить, что, чем длиннее объектив и чем больше ero от-
носительное отверстие, тем меньше поле.
295

Расчет и проектирование оптических систем
Таблица 4.19
Оптическая схема Название Примечание
!fIt .Тессар. D/( не более
.Индустар. 1:2,8
{} .rелиар. Качество изображения
хуже, чем у .Тессара.
t.!Н .Сириус. D/( 1:2;
.Сатурн. 2Ф  30...350
fiIO .Целор.
.Ортоrоз. 
1.11it . Калейнар. D/( не более
1:1,5
ilrf Srv  0,4
.reKTop. D/(  1:2,5; 2Ф  300
Качество изображР.ния
хуже, чем у .Тессара.
296

rлава 4. Параметрический синтез OДHO и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
Продолжение таблицы 4.19
Оптическая схема Название Примечание
.{{.{t .Эрностар. 
+» .Зоннар. D/(  1:1,5;
.Юпитер. 200  46...500
Обобщенный триплет
Для получения большоrо относительноrо отверстия надо увели
чивать значение суммы SIV' так как при этом увеличиваются радиу
сы кривизны, что вызывает уменьшение сферической аберрации BЫC
ших порядков. Однако при этом возрастают кривизна и астиrматизм.
Из анализа рассчитанных объективов можно рекомендовать сле
дующие комбинации марок стекол: СТКI9ТФ3СТКI9; CTK9
ТФ2СТК9; СТКI2ТФ2СТКI2; СТКI9ТФ3БФ6 и др.
Способ Тейлора исправления кривизны поля в триплете. Чтобы
исправить кривизну поля, необходимо выполнить условие  высота
h первоrо вспомоrательноrо луча на положительной линзе должна
быть больше, чем на отрицательной. Этот прием применяется при
разработке мноrих объективов.
Доказать это положение можно на примере двухлинзовоro объектива
с воздушным промежутком. Условие масштаба для Hero имеет вид: h 1
+ h 2 <r>2  1, а условие Петцваля: <Р1/n2 + <Р2/п4  О. Вследствие близости
значений показателей преломления это уравнение можно заменить бо
лее простым приближенным: <Р1 + <Р2  О. Из решения двух уравнений
имеем: <Р1  1/(h2  1); <Р2  1/(h 2  1). Следовательно, при
<Р1 > о h 2 < 1. Если <Р1 < О, то h 2 > 1, что доказывает исходное положение.
Методика синтеза. Большинство трехкомпонентных объективов,
включая триплет, состоят из нескольких линз, простых или склеен
ных, сравнительно тонких, но разделенных воздушными промежутка
ми. Поэтому для их расчета можно применить метод разделения пе
ременных. Рассматриваемая здесь методика синтеза триплета приме
нима с небольшими модификациями для расчета более сложных Tpex
компонентных конструкций.
297

Расчет и проектирование оптических систем
Триплет имеет восемь свободных параметров при заданных Map
ках стекол  шесть радиусов кривизны и два воздушных промежут
ка, а при условии выбора марок стекол или дрyrих оптических мате.
риалов добавляются шесть оптических постоянных (n и V), а также три
термооптические постоянные.
В общем случае задача по расчету триплета сводится к решению
девяти уравнений, выражающих условия исправления двух хромати-
ческих, пяти монохроматических аберраций и двух rабаритных усло-
вий. При условии исправления термооптической аберрации появля-
ется десятое уравнение.
Для получения более простых аберрационных уравнений будем
считать, что апертурная диафрarма совпадает со вторым компонентом,
т.е. У2 == О (рис. 4.28).
«,-о
"
F'
d, d z
Расчет проводим при нормировке: а 1 == о; h[ == r == 1; 131 == 1; 1 ==
== 1. Вначале составим уравнения первой rpуппы, зависящие от вне-
шних параметров. К ним относцтся следующие шесть уравнений:
1) условие масштаба <1>1 + h 2 <1>2 + hs<l>s == 1;
2) условие получения заданноrо значения заднеrо фокальноro от-
резка ha == 8, ;
3) уравнение кривизны Петцваля SIV == <l>1/ n 2 + <l>2/ n 4 + <l>а/n в ;
4) условие исправления хроматизма положения
В;ОХР == (<I>l /V 1 + h: <l>2/ V 2 + h; <l>s/V s );
5) условие исправления хроматизма увеличения
Рве. 4.28. ХОД первоrо и BToporo
вспомоrательвых лучей в опти-
ческой схеме триплета
SПХР == (Y1<1>l/V1 + Yshs<l>s/V s );
6) условие исправления дисторсии в; == 3,65 (У1<1>l + Ys<l>s/hs).
298

rлава 4. Параметрический синтез одно- и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения neременных
Условие (6) для s; упростилось по сравнению с ero выражением
в общем виде (см. [12]), поскольку общая длина объектива мала по
сравнению с ero фокусным расстоянием. При малых воздушных про-
межутках d 1 и d 2 значения Уl и У8 малы и можно пренебречь их квад-
ратами и кубами, а для 1t принять: 1t == 0,65. Формула для S; требует
поправки при переходе к линзам конечной толщины. Дисторсия не
требует тщательноrо исправления, поэтому такая запись допустима.
Для упрощения уравнений (5) и (6) из них надо исключить Уl И
У8. Используя формулу связи координат первоrо и BToporo вспомоrа-
тельных лучей [12]
"
y"/h,, = Yl/ h l + i L dVl/(nVlhvhvl)'
y2
получаем
Y2/h2 = Уl  d 1 /h 2 ; Y8/ h 8 = Уl  d 1 /h 2  d 2 /(h2 h 8);
при у 2== О высоты у 1 == d 1/ h 2 , У 8 == d2/ h 2 .
Величины Уl И У8 пропорциональны d 1 и d 2 , поскольку при У2 == О
второй вспомоrательный луч проходит через вторую линзу, не откло-
няясь (см. рис. 4.28).
В результате уравнения (5) и (6) дЛЯ XP и S; при обретают вид:
В;;'ХР = dlЧ'1/(h2Vl) d 2 h 8 Ч'8/(h 2 V 8 );
Ву = 3,65 [d 1 Ч' 1/h2  d 2 Ч'8/(h 2 h 8 )],
rде h 1 == 1; h 2 == 1  d 1 Ч'1; h8 == 1  dlЧ'l d 2 (Ч'1 + Ч'2  d 1 Ч'1Ч'2).
в уравнения второй rpуппы, зависящие от внутренних парамет-
ров, входят суммы  , sп и . в которых неизвестными являются
уrлы (1.2' (1.4 И (1.6:
В;' = Рl + h 2 P 2 + h 8 P 8 ;
В;;' =YIPl+Y8P8+Wl+W2+W8;
S;;'I = У: Р 1 + 2YI W l + yffP8/h 8 + 2Y8 W 8/ h 8 + ч' 1 + Ч'2 + Ч'8.
В этих уравнениях У/, h/, Ч'/ известны из уравнений первой rpуппы.
Особеивости реmения уравнений. На первом этапе имеем пять
уравнений с пятью неизвестными, если исключить условие h8 == S'F' И
считать, что марки стекол заданы. Четыре суммы приравнивают оп-
ределенным значениям.
299

Расчет и проектирование оптических систем
Несмотря на то, что число уравнений равно числу неизвестных,
их определение представляет трудности, так как уравнения нелиней
ны относительно неизвестных. Чисто математические методы в боль
шинстве случаев при водят к решениям, не имеющим практическоrо
значения, например, MorYT получиться слишком большие значения <1'1
или отрицательные значения d. Однако, оказывается, что часто дoc
таточно изменить одну из сумм на ничтожно малую величину, не
имеющую никакоrо практическоrо значения (например, XP  на
тысячные доли), чтобы в результате решения получить вполне при
емлемую систему. Поэтому оптимальное решение может быть найде
но путем исследования системы при разных значениях искомых Be
личин.
Сущность методики заключается в следующем.
1. Для величин <1>1 и <1>2 задают ряд определенных значений: для
<1>1 в интервале от 1 до 2 (иноrда до 3) с шarом 0,1...0,2; для <1>2 в ин
тервале от 1 до 3 с шаrом 0,1...0,2.
2. Для каждой пары значений <1>1 и <1'2 находят <1>3 из уравнения Пет
цваля.
3. Вычисляют h 2 И hs из KBaдpaTHoro уравнения дЛЯ XP и ypaB
нения масштаба.
4. Определяют d 1 и d 2 из уравнений для h 2 и h3.
5. Вычисляют значения 8;ixp и Sy.
Тюr.ой расчет связан с большим объемом вычислений, поэтому ero
всю'да автоматизируют. Для этоrо задают пределы изменения <1>1 и <1'2
И шаr изменений <I>1 и <I>2'
Результаты вычислений d 1 и d 2 представляются rрафически для
разных <1>1 и Ф 2 (рис. 4.29). Особенно эффективно эти исследования BЫ
полняются н:а ПЭВМ с rрафопостроителем. По rрафику определяют
сочетание 1 и <1>2 при приемлемых значениях d 1 и d 2 .
АналОl'ИЧНЫЙ rрафик строится для друrих стекол, что дает воз
можность бые1'РО отбросить неприrодные комбинации марок стекол,
приводящис: к неудобным и неосуществимым решениям. При таких
комбинациях помимо слишком больших или слишком малых d 1 И d z
MoryT получиться недостаточно симметричные системы, Т.е. отноше
иие <1>1 /<1>2 далеко от единицы, чрезмерно большие <1>, и Т.п.
На втором этапе для исправления трех монохроматических абер
рaI.ЩЙ третьеro порядка выбирают значения внутренних параметров
(12' а 4 и (16' Зависимости сумм Зейделя от внутренних параметров дo
вольно сложные, и для нахождения указанных yrлов вновь надо про
вести исследование системы. Этот процесс также автоматизируется,
300

rl1aBa 4. Параметрический синтез OДHO и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
o.z
о
0.1
0.2
0.3
d z
Рис. 4.29. !'рафик зависимости воздушных промежутков d 1 и d 2 триплета от
оптических сил !Рl и !Р2
тем более что составление проrрамм в даююм случае не представляет
трудностей.
Вначале значения уrлов задают в довольно широких пределах
(1...1) с определенным шаrом их изменения, оrраничивая значения
сумм Зейделя также этим пределом. Расчет проводится в несколько
этапов с постепенным сужением пределов изменения а и вычисляе
мых сумм до получе:е:ия оптимальных значений уrлов, которым соот-
ветствуют заданные или близкие к ним значения сумм.
Затем переходят к линзам конечной толщины, проводят аберра-
ционный анализ и вычисляют новые значения сумм в случае больших
остаточных аберраций, при которых коррекция затруднительна, и
вновь выполняют синтез системы. Таким образом частично компенси-
руются аберрации высших порядков аберрациями TpeTbero порядка.
Известна еще одна разновидность перехода, разработанная
r.r. Слюсаревым [19], позволяющая учесть влияние тодщин на сум-
мы Зейделя и хроматические суммы. Сущность методики заключается
301

Расчет и проекrирование оптических систем
в следующем. После первоrо этапа расчета вычисляют приближенно
толщины линз, а затем фиксируют положение апертурной диафрar
мы в воздушном промежутке и вычисляют суммы 3ейделя первых
двух реальных линз до диафрarмы для ряда значений (1: и (14' Далее к
каждой комбинации уrлов (1z, (14 подбирают уroл (16 для третьей лин
зы конечной толщины так, чтобы сумма 8r была равна заданному зна
чению.
В процессе вычисления реальных радиусов кривизны соблюдает
ся условие равенства расстояний между бесконечно тонкими линза
ми и rлавными плоскостями реальных линз.
Затем строят rрафики 8r и SxI В зависимостн от тех же уrлов и
определяют значения (1: и (14' при которых эти две суммы имеют близ
кие к заданным значения.
После аберрационноrо анализа находят необходимые изменения
сумм в случае больших остаточных аберраций и вновь проводят син
тез по изложенной методике. Но объем повторных расчетов сокра.
щается блarодаря тому, что при небольших изменениях h и <р кривые
равных yrлов (1: и (14 сдвиrаются целиком без поворотов. Величину
сдвиrа можно определить, назначая те же пары значений для (1z, (14'
Такой расчет позволяет впоследствии успешнее провести
оптимизацию на ЭВМ.
Рассмотренная методика дает возможность получить несколько
решений с разными значениями аберраций высших порядков, а в про.
цессе автоматической коррекции определить оптимальное решение,
а также получить несколько вариантов конструкции.
4.6. Специализированные nporpaMMbI синтеза одно- и
двухкомпонентных систем
Специализированными называют проrраммы, предназначенные
для расчета определенных типов оптических систем. Они основаны на
применении известных методов и формул, применяемых при HeaвTO
матическом расчете.
К специализированным относятся хорошо известные проrpаммы
для расчета систем, состоящих из бесконечно тонких компонентов
(рис. 4.30), синтез которых выполняется решением аберрационных
уравнений для Р, W и С. ДЛЯ каждоro типа систем составлена KOH
кретная проrрамма [4,15,18].
После решения аберрационных уравнений и определения кон-
структивных параметров тонких систем переходят к линзам конечной
толщины. В проrpаммах предусмотрено выполнение BToporo этапа, в
302

rлава 4. Параметрический синтез одно- и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
1 Л Ш N У
} 00} 00 tИ $
Рис. 4.30. Оптические схемы компонентов, синтез которых
выполняется на ППЭВМ
результате KOTOporo получают заданные значения трех аберраций для
осевой точки: L\so, 11 и L\SJЛZ . Для этоro выполняется расчет хода лу-
чей и сравнение полученных аберраций с заданными. Если разности
рассчитанных и заданных значений больше допусков, то вычисляют
поправку к основным параметрам и повторяют первый этап расчета
со значениями параметров Р + АР, W + L\W, С + L\C дО получения за-
данных значений аберраций.
Проrpаммы синтеза различных компонентов имеют свои особен-
ности, и следует отметить, что различаются они не только видом абер-
рационных уравнений и числом свободных параметров. Рассмотрим
отдельные особенности проrрамм.
Проrрамма для расчета двухлинзовых склеенных компонентов
позволяет получить заданные значения трех параметров p, w"" и С
блaroдаря возможности выбора марок стекол. Для этоro в проrpамме
заложены три набора для расчета: ахроматов, апохроматов, содержа-
щих комбинации стекла с флюоритом, и полуапохроматов  систем
с уменьшенным вторичным спектром, содержащих комбинации соот-
ветствующих марок cTeKo)J.
Для составления наборов использована приближенная зависи-
мость между оснвными параметрами компонента: P == PZ: in +
+o,85&o,15) ,rде .p,;ili. минимальноезначениеРприпосто-
янном С; р min представляет собой полином третьей степени относи-
тельно параметра С.
Для составления набора по синтезу ахроматов отобраны пары сте-
кол, для которых rpафики зависимости PZ:ln == 'I'(c) не пересекаются
и расположены на плоскости по возможности равномерно. Bcero в на-
боре ахроматов было 35 комбинаций марок стекол по roCT 351476,
размещенных в проrpамме в порядке убывания .P,;ili..
При расчете по проrрамме по заданному С определяет Р:Ш для
первых двух комбинаций марок стекол, сравнивает полученные зна-
чения Р:Ш с расчетными p':np и осуществляет перебор до тех пор, пока
разностьP.:'rn и p:u. p не станет минимальной.
зоз

Расчет и проектирование оптических систем
Для расчета выбираются две комбинации. Поиск выполняется для
комбинаций «крон впереди. и «флинт впереди., в результате в общем
случае выдаются четыре решения по два в каждом варианте. После
этоrо выполняется синтез по описанной методике. Эта проrрамма была
реализована на БЭСМ4 еще в 60-е rоды.
Известна проrрамма, предусматривающая обращение к таблицам
С.В. Труб ко для выбора комбинаций марок стекол и получения задан-
ных значений аберраций. В проrрамме склеенный компонент рассмат-
ривается как частный случай HeCKJIeeHHOro, если r 2 == r з . Алrоритм яв
ляется универсальным и позволяет рассчитывать компонент при лю
бом положении предмета; для этоrо достаточно изменить нормиров-
ку первоrо вспомоrательноrо луча. В основе алrоритма лежат уравне-
ния для Р, W и условие склейки. После преобразования получено
уравнение пятой степени относительно аз, в зависимости от KOToporo
выражаются yr лы а 2 и а 4 . Алrоритм основан на сочетании перебора с
решением уравнений для а 2 и а 4 и выборе системы, удовлетворяющей
условию r 2 == r з "
Если для выбранных по таблицам марок стекол не удается полу-
чить заданных значений аберраций, точный расчет которых произво-
дится проrраммой, то находят новые значения параметров Р, W и С и
:txовторяют расчет, при необходимости вновь выбирая марки стекол.
Обращение к таблицам дает большое преимущество, так как сущес-
твующие проrраммы содержат оrраниченное число комбинаций, кро-
ме Toro, таблицы универсальнее и нarляднее. Проrpамма была реали-
зована на БЭСМ-6 и в настоящее время входит в пакет прикладных про-
rpaмм для автоматизированноro проектирования оптических систем.
Известны два варианта проrраммы, предназначенной для расче-
та четырех типов двухкомпонентных систем (см. рис. 4.30). Предус-
мотрена возможность расчета при произвольном положении предме-
та. В качестве данных используются параметры Р, W, С, вычисленные
при нормировке а: k == 1. Разработчик задает комбинации марок стекол,
уroл первоrо вспомоrательноro луча и высоту h 1 "
Для конструкций 11, II1 с избыточными параметрами их значе
ния аз, а 4 задает разработчик. При расчете конструкции IV задают
значения С 1 И С Z для к8ЖДОro компонента, причем С == С 1 + С Z" ДЛЯ всех
этих компонентов задача сводится к решению одноrо KBaдpaTHoro и
двух линейных уравнений. При решении KBaдpaTHoro уравнения вы-
даются оба корня.
В последние rоды разработан дополнительный блок проrраммы,
расширяющий возможности расчета компонентов 11,111 из отдельной
линзы и склеенноrо компонента. Этот блок обеспечивает вычисление
304

rлава 4. Пара метрический синтез OДHO и двухкомпонентных линзовых систем из бесконечно
тонких компонентов на основе метода разделения переменных
rраничных значений избыточных параметров аз или а 4 в разных KOH
струкциях, для которых MorYT быть рассчитаны системы, удовлет
воряющие заданным значениям Р, W и С.
Поиск производится перебором. Область возможных значений or
раничена диапазоном ::1::5, шar перебора 0,00001. Проrрамма позволяет
леrко выявить те области изменения а, rде возможны решения.
Для видимой области при изменении избыточноrо уrла а в преде
лах О < а < 1 получается система с минимальной сферической аберра
цией пятоrо порядка, и в этом случае сферохроматическая аберрация
также практически минимальная.
Значения аберраций высших порядков при одинаковых Р, W и С
в значительной мере зависят от комбинаций марок стекол.
При расчете трехлинзовоrо склеенноro компонента V проводились
исследования зависимости между параметрами Р, W и С и уrлами а,
что в общем случае привело к уравнению шестой степени. В резуль
тате в специализированной проrрамме дЛЯ ППЭВМ синтез данноrо
компонента рассматривается как частный случай системы III, коrда
r з  r4' Параметром, обеспечивающим это условие, является уrол а 4 ,
перебором KOToporo добиваются равенства r з и r 4' Диапазон значений
а,4 задается разработчиком, и это вполне осуществимо, поскольку Bce
rда можно указать предельное значение I а,41 шах' При превышении это
ro значения оптические силы компонентов, определяемые формула
ми
<!>I == (:t1а,4Iшах al)/hl; <!>п = (1:tlа 4 Iшах a,l)/hl'
примут нереализуемые значения.
Алrоритм построен таким образом, что вначале задается значение
I а,41 шах решаются уравнения относительно a j , аз, а,4 и отыскивается
разность r 4  r з , затем принимается а 4 I а,4 шах +0,1, вновь отыски
вается та же разность и так далее, до тех пор, пока не изменится знак
разности. Внутри последнеro интервала путем интерполяции находит
ся решение. Затем отыскивается второе решение внутри заданноrо ин
тервала.
Проrрамма позволяет выполнить переход к линзам конечной тол
щины, осуществляет расчет для нескольких лучей oceBoro пучка и
позволяет провести расчет для нескольких вариантов, при этом пре
дусмотрена возможность автоматизированной коррекции аберраций
для осевой точки изменением Р, W и С (см. выше).
Известны разработки специализированных проrрамм для расче
та рассмотренных компонентов на ПЭВМ. Так, на кафедре IIрИКЛад
305

Расчет и проектирование оптических систем
ной оптики мииrАиК для пэвм и ППЭВМ разработан пакет про
rpaмM синтеза компонентов и объективов, основные формулы дЛЯ KO
торых приведены в rл. 4, с последующим переходом к линзам конеч
ной толщины. Также разработаны проrpаммы для синтеза светосиль-
Horo объектива, фототелеобъектива, триплета, окуляра Кельнера, а
также компонентов и систем для коллимации лазерноro излучения.

rлава 5. Расчет оптических осветительных систем
rлава 5. РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ ОСВЕТИТЕЛЬНЫХ
СИСТЕМ
5.1. Линзовые осветительные системы (конденсоры)
Осветительная система оптическоro прибора предназначена для
создания необходимой освещенности предмета, рассматриваемоrо с
помощью этоrо при бора или проецируемоrо им. Она должна собрать
как можно большую часть cBeToBoro потока, даваемоrо источником
света, и обеспечить ему требуемое направление.
Осветительные системы MOryт быть линзовыми (конденсоры), зер
кальными и зеркально-линзовыми. Выбор Toro или иноrо типа осве-
тительной системы определяется требуемыми уrлом охвата 20'охв и ли
нейным увеличением o'
Оптическими характеристиками конденсора являются фокусное
расстояние (, линейное увеличение o' уroл охвата 20'охв == 20' А и уroл
сходимости 20':"" Значения этих величин находят на этапе rаба-
ритноro и светотехническоrо расчетов оптических схем приборов с oc
ветительными системами (см. rлаву 2).
Между входным апертурным уrлом О'А == О'охв И диафраrменным
числом К == r / D имеется зависимость, которую можно установить с по
мощью рис. 5.1: tgO' А == D /(2а) == пo/(2ao) == пo/(2a'), но так как
а' == (1  o)r, то
tgO' А = пo/[ 2(1  o)f'] = o/[ 2(1  o)K].
Уrол охвата осветительной системы определяет степень использо-
вания ею cBeToBoro потока, испускаемоrо источником, или кпд (11)
конденсора. Известно [3], что 11 == Ф/Фпол' rде Ф  световой поток в те-
лесном уrле, соответствующем апертурному yrлу О'А; Фпол  полный
световой поток, испускаемый источником света.
307

Расчет и проектирование оптических систем
--=
н'
"
a
а'
L
Рис. 5.1. Схема для выполнения rабаритноrо расчета !<онденсора
Если источник имеет плоское светящееся тело, то
11 = т и sin 2 о' А/( 21tl v sin 2 900) = sin 2 о' А/2 = 0,5 SiIl 2 О"охв'
rде 1 v  осевая сила света источника, и, если 20"0хв  600, то
'1  0,5 siп 2 зо о == 0,125. В случае точечноrо источника 11 == 0,5 (1 
. cosO" охв)'
Применение в линзовых осветительных системах дополнительно
ro рефлектора в виде сферическоrо зеркала для использования OTpa
женноrо от Hero cBeToBoro потока может увеличить коэффициент 11 на
20...70% в зависимости от формы нити накала лампы (rлава 2).
Рассмотрим основные виды конденсорных систем. Так как
конденсоры обычно содержат только положительные линзы, то эти
системы обладают значительными сферической и хроматической абер
рациями, и аберрации тем больше, чем больше уrол охвата и увели
чение. Наличие больших аберраций, например у осветительной час
ти проекционной системы, при водит к тому, что часть световых лу=
чей не проходи'!' через изображение источника света, лежащее во BXOД
ном зрачке проекционноrо объектива, поэтому на экране MorYT по
явиться темные и цветные пятна. Чтобы Jl[з6ежать вредноrо влияния
аберраций на равномерность освещения э,рана, для каждоrо вида
конденсора устанавливают свои предеды ут'ла охвата и линейноrо YBe
личения.
Линзовые схемы (конденсоры) используют в том случае, если
20'0хв < 90.", причем при 20'0хв  300 применяют однолинзовые схемы
конденсоров, при этом сумма уrлов охвата и сходимости не должна
превышать 450, Т.е. 20'0хв + 20', == 450; если 20'0хв  500, то применяют
конденсоры из двух линз, при этом 20'0хв + 20', == 600; если 20'0хв  750,
то используют конденсоры из трех линз, причем 20'0хв + 20', == 1000;
если 20'0хв  900, ТО используют конденсоры из четырех линз [3].
З08

rлава 5. Расчет оптических осветительных систем
Введение асферических поверхностей позволяет увеличить уrол
охвата в линзовых системах до 1500 или же упростить конструкции
уже рассмотренных выше схем.
Конструктивные схемы конденсорных систем, рекомендуемые к
применению в зависимости от увеличений и уrлов охвата, приведены
в табл. 5.1.
Часто в осветительную систему микроскопа вводят коллектор,
который служит для передачи изображения источника света в плос
кость апертурной диафрarмы, что позволяет удалить источник света
от конденсора и исключить температурное воздействие на объект Ha
блюдения. Виды коллекторов идентичны видам конденсорных систем
(см. табл. 5.1), а требования к коллекторам совпадают с требования-
ми, предъявляемыми к конденсорным системам.
5.2. Методы расчета конденсорных систем
Так как конденсор служит только дЛЯ TOI'O, чтобы вся энерrия,
поступившая в осветительную систему, прошла через заданную ШlOс-
кость (входной зрачок, щель, предмет и т.п.), то чаще Bcero от Hero не
требуется хорошеrо качества изображения источника. Обычно KOHдeH
СОР должен изображать источник, расположенный вблизи оптической
оси, поэтому от Hero прежде Bcero требуют исправления сферической
аберрации (L\so) и отступления от условия синусов (L\), а также со-
блюдения условия ортоскопии. При расчетах CTpoI'oe выполнение пе
речисленных требований довольно затруднительно. Так, исправление
сферической аберрации в конденсорах со сферическими поверхностя
ми возможно, как это будет показано дальше, лишь для определенных
показателей преломления материала линз и при определенном числе
линз конденсора. "у хорошо корриrированных конденсоров диаметр
2!!..у' наименьшеrо кружка рассеяния должен составлять 3...10% раз
мера изображения источника; для обычных конденсоров допускает-
ся 2L\y'  30% размера изображения [3].
Марки стекол линз конденсора задают или выбирают в зависимос-
ти от условий, в которых он работает. Если конденсор не ахромат, то
все линзы изrотовляют из стекла одной марки (обычно К8). Если ис
точник излучения мощный, то первую линзу лучше делать из стекла
марки ЛКЗ или ЛК4, ЛК5, а остальные  из стекла марки К8.
ДЛЯ некоторых схем микроскопов большоro увеличения и аперту
ры, а также схем читальных аппаратов требуется расчет ахромати
ческих конденсорных систем, что заметно усложняет схему KOHдeH
сора (рис. 5.2). Ахроматический конденсор большой апертуры обыч
но содержит два апланатических мениска из стекла марки К8 и два
309

Расчет и проектирование оптических систем
Таблица 5.1
Схема конденсора А 20'00' о o Примечание
не более
 0,20 20 1...3 Линза, рассчитанная на
0,3...1 минимум сферической
аберрации
- -    rJ -= 00
0,15 20 1 r 1 ... rz

0,5 60 10...00 Вторая поверхность линзы
х) параболоидная
. -
1...3 Из двух ПЛОСКОВЫПyJ<:лых
 линз С параллельным -
ходом лучей
4...10 Две линзы, рассчитанные
 0,4 50 на минимум сферической
аберрации
10...00 Апланатический мениск и
 линза на (A8O)1D1n
310

rлава 5. Расчет оптических осветительных систем
Продолжение таблицы 5.1
Схема конденсора А 20'00' о o Примечание
не более
 0,5 60 Мениск, близкий к аплана-
тическому, и плосковыпук-
лая линза
10...00
х) 0,7 90 Мениск, близкий к аплана-
-  тическому;четвертая
поверхность асферическая
1,5...5 Апланатический мениск
-  и две плосковыпуклые
линзы
Все линзы рассчитаны на
-  минимум сферической
0,6 70 аберрации
1,5...12
Апланатический мениск
 и Две линзы, рассчитанные
на минимум сферической
аберрации
2...6 Два апланатических менис-
. ка и ДВе плосковыпуклые
линзы
0,7 90
Два апланатических менис-
 ка и ДВе линзы, рассчитан-
ные на ( ABo ) шln
4...6
Все линзы, рассчитанные
 на (ABo )Шln I
311

Расчет и проектирование оптических систем
Продолжение таблицы 5.1
Схема конденсора А 2а охв , О o Примечание
не более
 125 1 Две линзы со сфероэллип
соидными
 поверхностями
......... - - ......
х)  90 1,5...5 Anланатический мениск с
. асферической
поверхностью
....... .---
......
..............
.............

Az
Рис. 5.2. Оптическая схема ахроматическоrо конденсора
СI<леенных компонента из стекол различных марок. Расчет TaKoro
конденсора выполняется на основе теории аберраций TpeTbero ПОРЯk
ка. Введение склеенных компонентов позволяет исправить сфериче<::
кую аберрацию и хроматизм положения.
Расчет ковденсорных систем на минимум сферической
аберрации
Конденсор из одной линзы (рис. 5.3). Оптические параметры про.
стой линзы, как и всякой оптической системы, можно разделить на
внешние и внутренние. К внешним параметрам относятся yrлы <Х 1 И
<Х З ' Эти уrлы определяют фокусное расстояние линзы (, расстояние 81
до ИСТОЧНИ,ка излучения, линейное увеличение O' ,К внутренним па.
раметрам относятся уrол <Xz, определяющий форму линзы (ее проrиб),
и показатель преломления n. Эти параметры задают конструктивные
элементы линзы (r v ' d).
Свойства бесконечно тонкой линзы и ее параметры Р! и W t pac
смотрены в учебнике [12, S 77]. Анализ формул для параметров Р!, W t
показал, что параметр W. линейно зависит от уrла <Xz и может прини-
мать любые значения, ап'ри <XZ == (<ХВ + <х 1 )/[1 + (1/n)] параметр W t == О.
312

rлава 5. Расчет оптических осветительных систем
А
А'
OlJ =0
SH
Sf
a,
a
L
.....
0(,
6)
F'
ll)
Рис. 5.3. Конденсор из одноЙ линзы
Параметр Р, является функцией a. Он может изменяться в широ
ком интервале, однако имеет и некоторый минимум. Было показано [12],
что для получения Р; min' необходимо найти производную dP/da 2 , при
равнять ее нулю и определить значение yrла а 2 . (Функция от P i будет
иметь минимальное значение, если dP/da2 О и d2/da > О.)
Как показали расчеты, функция Pj имеет минимальное значение
в случаях:
если 81  oo, то уrол a 2m1n будет вычисляться по формуле
a 2min = (2n+1)/[2(n+ 2)].
(5.1)
Тоrда
:in == (4n  1)n /[ 4(n + 2)(n  1)2 J;
(5.2)
если 81 * OO, то уrол а 2 шiп будет равен
'rоrда
a 2min == (2n+ 1)(аз + ( 1 )/[2(n+ 2)].
(5.3)
 ( n ) 2 [( 3 3 ) (2n+l)2 ( 2 2 )( )]
min  alJa1  4  (  ) аза1 а з +С1'l .
n1 n п+2
(5.4)
313

Расчет и проектирование оптических систем
Из формулы (5.2) следует, что минимальное значение 1fmin зави
сит только от показателя преломления n.
Расчет однолинзовоro конденсора выполним для двух вариантов.
1. Н зображение источни"а А света nроецируется "онденсором в
бес"онечность (рис. 5.3, а). Тоrда конденсорную линзу следует pac
u ......
считывать в обратном ходе лучеи при нормировке: а 1 == о; аз == 1;
f == 1. Полarая линзу бесконечно тонкой, d == о, h 1 == h 2 == h == (>= 1, Ha
.....
ходят значение уrла a 2min , обеспечивающеro форму линзы с миниму
мом сферической аберрации третьеrо порядка по формуле (5.1). По из
вестным уrлам <ху определяют радиусы кривизны бесконечно тонкой
линзы
7TH= "(n li(na;min): ;ти= ,'(1 n)/( lna;min).
вычисляют толщину и выполняют переход к радиусам линзы конеч
ной толщины по методике, изложенной в rлаве 4.
2. Н сточни" А и еео изображение А' находятся на "онечном pac
стоянии L (рис. 5.3,6).
Исходными данными для расчета конденсора являются: а 1 (или
81)  расстояние от линзы конденсора до нити накала источника (мо-
жет быть задана оптическая длина L конденсора вместо отрезка а 1 );
130  линейное увеличение; 2аОХ8  уrол охвата конденсора; 2у  раз
мер тела накала источника (ero диarональ); марка стекла линзы.кон
денсора (n 2 == n). Необходимо определить конструктивные параметры
линзы, рассчитав ее на минимум сферической аберрации.
При расчете примем линзу за тонкую (d >= о, h 1 == h 2 == h, HH' == о).
Определим ее фокусное расстояние, предварительно вычислив отрез-
ки а 1 и а'l' В соответствии с рис. 5.3, б запишем L == a1+ а'l' 130 ==
==а'l/ а , тоrда а 1 == L/(I3o  1) и фокусное расстояние конденсора, если
задан отрезок а 1 , вычислим как f == а 1 а'1 /(а 1  а'l) == а l I3 0 /(1  130) или,
если задано расстояние L, то , == Ll3o/(l  130)' Примем нормировку:
а 1 == 130; а з == 1; h >= а 1 а 1 == аll3о' Найдем по формуле (5.3) значение уrла
а 2 min И вычислим радиусы кривизны бесконечно тонкой линзы как
r 1TH = all3o(nl)/(naJ1min 130)
r 2TH == a l l3o(1  n)/(1  na 2min ).
d=O
Переход к радиусам линзы конечной толщины при s :/:. oo изложен в
rлаве 4.
314

rлава 5. Расчет оптических осветительных систем
Кон.денсор из l линз, рассчитанных на минимум сферической
аберрации (рис. 5.4, а). Рассмотрим два случая работы конденсора.
1. Конденсор nроецирует изображение источника в заданную
плоскость, находящуюся на конечном расстоянии от конденсора.
Пусть конденсор состоит из l линз, разделенных малыми воздymны
ми промежутками. При расчете примем их за сконечно тонкие (рис.
5.4, 6) (d 1 == d 2 == d з == 0.0 == d 2H == о; h 1 == h 2 == h3 == '"  h ... аll3о) и опреде
лим неизвестные уrлы 1Xy, приняв по нормировке а 1 ... 130' а' к == 1, h ==
== а 1 а 1 == аll3о,
А'
а)
Рис. 5.4. Конденсор из l линз, рассчитанных на минимум сферической
аберрации
Неизвестными являютС8 уrлы а 2 , а з , а 4 , ..., a(211) из них: а 2 , а 4 ,
. о., а 21  четные уrлы первоrо вспомоrательноrо луча с оптической
осью, относящиеся к стеклу линзы; а з , а б , ..., a(211)  нечетные уrлы
первоro вспомоrательноrо луча с оптической осью в воздухе.
Если к материалу линз конденсора не предъявляются никакие
особые требования, то все линзы MOryт быть выполнены из стекла oд
ной марки с показателем прело мления n.
Все четные уrлы определяют из условия минимума сферической
аберрации для каждой линзы. Эти yrлы можно вычислить по эмпири
ческой формуле [12]
(Х! = [(2n + 1)/(n + 2)]{[2l (i l)]o +(i1)}/(2l),
(5.5)
{'де i ... 2, 4, 6,..., 2l.
315

Расчет и проектирование оптических систем
Все нечетные уrлы относятся к воздушным промежуткам, KOTO
рые рассматриваются как воздушные линзы с показателем преломле
ния, равным единице, окруженные средами с показателями n. Рассчи
тав эти воздушные линзы на минимум сферической аберрации, Haxo
дят нечетные уrлы. Эмпирическая формула для определения нечет
ных уrлов имеет вид [12]:
а ! =: {[ 2l  (i  l)]o + (i  1)}/(2l), (5.6)
rдеi==3, 5, 7, ...,(211).
2. Изображение источника nроецируется конденсором в бесн:онеч
ность. Расчет конденсора TaKoro вида про водят в обратном ходе лу
чей при нормировке а 1 ==0, а' =:1, h 1 == h 2 == hlJ=='" == {'КОНД. Эмпиричес
кие формулы для определения уrлов будут иметь вид [12]:
для четных уrлов
a= [(2n + 1)/(n + 2)Ю  1)/(2l),
(5.7)
rде i == 2, 4, 6,.... 2l;
для нечетных уrлов
a=:(i1)/(2l),
(5.8)
rде i == 3,5,7,..., (2l  1).
Формулы для вычисления a min конденсорных систем с различным
числом линз, рассчитанных на минимум сферической аберрации, све-
дем в таблицу (см. табл. 5.2).
Зная <Ху, вычисляют радиусы кривизны бесконечно 'l'онких линз
по формуле
r YTH == h(n  nу )/(na  nуа у )
и выполняют переход к радиусам линз конечной толщины.
Как следует из формул (5.7) и (5.8), уrлы первоrо вспомоrатель
Horo луча с оптической осью зависят только от показателя преломле-
ния n. Поэтому, если значения а; min подставить в выражение для
[ ] 2
k v=k ба а
Р.шт =  Б(Уп) . (Б;;),
и вычислить значение показателя преломления, соотвеТСТВУЮIIее
2,. P vmin == О, то для случая, Коrда изображение находится в бесконеч-
316

rлава 5. Расчет оптических осветительных систем
Схема конденсора
.
._


.:.  '" .
А А
lf
&1-0
. . 
Таблица 5.2
Формулы для расчета уrлов <x""mIn
8 1 :F- oo
аl =130;
а2 = (2n + 1)(1 + 130)Л 2(n + 2)];
аз =1
аl = 130;
а2 = (2n + 1Х3130 + 1)Л4(n + 2)];
аз = (130 + 1)/2;
а4 = (2n + 1)(130 +3)/[4(n +2)];
а5 =1
аl = 130;
а 2 = (2n + 1)(5130 + 1)Л6(n + 2)];
аз =(2130 +1)/3;
а4 = (2n + 1)(130 + 1)Л 2(n + 2)];
а 5 = (130 + 2)/3;
а6 = (2n + 1)(130 + 5)Л6(n + 2)];
а7 =1
аl =130;
а 2 = (2n + 1)(7130 + 1М8(n + 2)];
аз = (3130 + 1)/4;
а4 = (2n + 1)(';130 + З)Л8(n + 2)];
а5 = (130 + 1)/2;
а6 =(2n+1)(313о+ 5 )/[8(n+2)];
а7 = (130 + 3)/4;
а8 = (2n + 1X130 + 7)Л8(n + 2)];
а9 =1
81 == <X>
аl =0;
а2 =(2n+1)/[2(n+2)];
аз =1
аl =0;
а2 (2n + 1)/[4(n + 2)];
аз = 0,5;
а4 = 3(2n + 1)Л4(n + 2)];
а5 =1
аl =0;
а2 =(2n+1)/[6(n+2)];
аз = 1/3 ;
а 4 =(2n+1)/[2(n+2)];
а5 = 2/3;
а6 =5(2n+1)/[6(n+2)];
а7 = 1
а/ =0;
а2 = (2n + 1)/[8(n + 2)];
а з =1/4;
а4 =3(2n+1)/[8(n+2)];
а5=1/2;
а 6 = 5 (2n + 1)/[8(n + 2)];
а7=3/4;
а8 =7(2n+1)/[8(n+2)];
а9 = 1
317

Расчет и проекrирование оmИ'lеских систем
ности, получим: для ОДНОЛИНЗ0воrо конденсора п == 1/4, что не имеет
смысла; для двухлинзовоrо конденсора п == 2,5; для трехлинзовоrо
конденсора п == 1,75 и для четырехлинзовоro конденсора п == 1,5.
Расчет ковдеисорвwx систем
из двух пл«)с!(овыпук.лых линз
Из теории аберраций известно, что плосковыпуклая линза имеет
минимум сферической аберрации, если она выпуклой поверхностью
обращена к бесконечности. Поэтому конденсор из двух плосковыпук
лых линз (рис. 5.5) рассчитывают из условия, что между линзами, об
ращенными дру!' к ДРУ.1'у выпуклыми сторонами, идет параллельный
пучок лучей. Оптическая сила TaKoro конденсора равна оптической
силе однолинзовоrо конденсора, однако аберрации в рассматриваемой
конструкции в несколько раз меньше, чем в однолинзовой. Это обсто
ятельство позволяет увеличить уroл охвата по сравнению с уrлом ox
вата однолинзовоrо конденсора до 40...500.
Рассчитаем конденсор. Пучок лучей между линзами будет парал
лельным, если выполняется условие а 1 == { 1 , тоrда а' 2 == '2' Так как ли
нейное увеличение в параксиальной области 130 ==, 2/'1' то, 2 == 130'1'
Известно также, что оптическая сила линзы в воздухе -
Ф = 1/t' = (п l)(l/rJ  1/r:) + (n 1)2 d/(nr1r:),
А
А'
a,
а;
а)
«J=O
н, н: н, H
az
6)
Рис. 5.5. Конденсор из двух плосковыпуклых линз:
а) :конечной толщины; б) бесконечно тонких
318

rлава 5. Расчет оптических осветительных систем
тоrда ДЛИ плосковыпуклой линзы, если один из радиусов ее кривиз
ны равен бесконечности, можно записать:
для первой линзы Ф1 = 1/1;== (п2  1)( 1/r 2 );
для второй линзы Ф2 = 1/1; = (п4  1)(1/r3).
Зная марки стекол линз конденсора, найдем:
r ==00
1
d 1 == dm.in  k 2
r 2 == , 1(n 2  1)
r з == r 2(п 4  1)
d 2 '" 0,1...0,4 (.касание. линз по центру)
(5.9)
d з == k3 + d rnin
r 4 == 00
Здесь d min  минимальная толщина линзы по краю; k 2 , k3  стрелки
проrиба линз.
Возможны два случая расчета такой схемы конденсора.
1. Заданы: отрезок 81' увеличение 130' уroл охвата 2аохв. Тоrда пер
воначально необходимо найти отрезок а1' отличающийся от отрезка
81 на величину Вн. Для этоrо выбирают значение 8 но вычисляют OTpe
зок а 1 == 81  8 н , затем находят радиус второй поверхности первой лин
зы r 2 == а 1 (п 2  1), определ яют величины
k: = r: +  r:  (D пол / 2):; d 1 = d min  k:
и уточняют значение кардинальноrо отрезка ВН по формуле 8 н ==
 d 1 /п 2 .
Расчет в такой последовательности выполняют до тех пор, пока
значение вновь вычисленноrо отрезка 8 н не будет равно предшеству
ющему значению отрезка 8 н с точностью 0,001. После этоrо про водят
расчет конденсора по формулам (5.9).
2. Заданы: отрезок а 1 , увеличение 130' уrол охвата 2аохв. KOH
структивные параметры конденсора определяют по формулам (5.9),
а значение отрезка 81 вычисляют как 81 == а 1 + 8 н , rде кардинальный
отрезок 8 н для плосковыпуклой линзы 8 н == d/n 2 .
Расчет ковдеисорвых систем, содержащих
аПJIаиатвческие мениски
в конденсорах большой апертуры для уменьшения сферической
аберрации последующих линз за счет уменьшения для них апертур
Horo уrла в качестве первых линз используют апланатические менис
319

Расчет и проектирование оптических систем
ки, В которых отсутствует сферическая аберрация и выполнено усло
вие синусов.
11)
6)
5)
А
Рис. 5.6. Схемы конденсорных систем, содержащих апланатические мениски
2)
На рис. 5.6 представлены различные оптические схемы конден-
сорных систем, содержащих апланатические мениски. Из апланати
ческих менисков чаще Bce
ro используют положитель
ные мениски, в центре кри-
визны первой поверхности
которых располаrают тело
накала источника излуче-
ния (рис. 5.7).
Выполним расчет апла-
натическоrо мениска. Пер-
вая поверхность мениска
концентрична предмету и
удовлетворяет, условию 81 ==
r 1 == == 8'1' Луч проходит эту
поверхность без преломле
ния. Вторая поверхность
апланатическая при усло-
вии, что п 2 8 2 == п' 28' 2. Для
системы в воздухе, коrда
tI тlп
А'
%
s,
r,
s
d,
St
S
SJ
Рис. 5.7. Схема для расчета апланатическоrо
мениска
320
d%



rлава 5. Расчет оптических осветительных систем
n ' 2 == 1, запишем n 2 8 2 == 812 И тоrда линейное увеличение мениска
o м == 8;/82 == n 2 . Апланатическая поверхность должна удовлетворять
равенствам, полученным из уравнения параксиальноrо луча для сфе
рической преломляющей поверхности:
82 == r 2 (n 2 + n;)/n 2 == r 2 (n 2 + 1)/n 2 ; (5.10)
8; == r 2 (n 2 + n;)/n; == r 2 (n 2 + 1). (5.11)
Тоrда из (5.10) найдем
r 2 == 8 2 n 2 /(n 2 + 1) == (8;  d] )n2/(n2 + 1) == (r]  d])n2 /(n 2 + 1). (5.12)
Чтобы рассчитать радиус кривизны второй поверхности мениска
r 2 , необходимо вычислить толщину мениска
d] == k] + d min  k 2 ,
(5.13)
rде
k] == r] + ri  (D пол /2)2; k 2 == r 2 +  r;  (D пол /2)2.
Определим световой и полный диаметры апланатическоrо менис
ка. В соответствии с рис. 5.7 запишем D CB == 28] tgo OXB ' тоrда D пол ==
== D CB + I:JJ, rде I:JJ  припуск на закрепление.
Найти радиус кривизны второй поверхности мениска можно oд
ним из следующих способов.
1. Совместно решить два уравнения (5.12) и (5.13):
r 2 == (r]  k]  d mi n + k 2 )n 2 /(n 2 + 1);
k 2 == r 2 + H (D пол /2)2.
Обозначив через а == r]  k]  d min , из cOBMecTHoro решения ypaBHe
ний получают квадратное уравнение относительно r 2 ,
r;(l  n;)  2an 2 r 2 + n:[а 2 + (D пол /2)2] == О. (5.14)
Из решения уравнения (5.14) находят два значения радиуса кри
визны и оставляют отрицательное значение, а если оба корня отрица
тельные, то выбирают значение r 2 < r] по абсолютной величине. 3a
тем вычисляют толщину мениска d] и окруrляют ее до десятых долей
миллиметра. При окруrленном значении d] уточняют значение радиу
са кривизны r 2 == (r]  d] )n2 /(n 2 + 1).
321

Расчет и проектирование оптических систем
2. Принимают толщину мениска равной нулю d J == О И находят по
(5.12) значение TOHKoro радиуса кривизны r 2TH = rJn2/(n2 + 1), затем
вычисляют стрелку проrиба на эт ом радиусе
k zтн = r zти +  r:ти (Dпол/2)Z
и толщину мениска d J == kJ+ d min  k 2тa . С учетом найденной толщины
пересчитывают значение радиуса r 2 = (rJ  d J )n2/(n2 + 1), вычисляют
заново значения -п2, а] и определяют значение радиуса кривизны BTO
рой поверхности мениска 1-2 = (rJ  а] )n2/(n2 + 1). Расчет в указанной
последовательности выполняют до тех пор, пока вновь вычисленное
значение r 2 не будет равно предшествующему значению r 2 с точностью
единицы шестой значащей цифры.
После определения конструктивных параметров мениска пере
ходят к расчету следующей за мениском системы, вычислив для ее
расчета:
отрезок 8з == 8'2  d 2 , rде 8'2 == r 2 (n 2 + 1); расстояние d 2 между лин
зами выбирают в интервале 0,1...0,4;
апертурный уrол а з из соотношения siпа з == sinaOXB!OM == sina OXB !
!n 2 ;
линейное увеличение следующей за мениском системы 02 ==
= O KOНД!O м == o! n 2 .
По найденным значениям 8з, а з , 02 проводят расчет линз, следу
ющих за мениском. В зависимости от схемы конденсора рассмотрим
три варианта расчета (рис. 5.6, а, 6, в).
1. За первым апланатическим мениском стоит линза, рассчитан
ная на минимум сферической аберрации (см. рис. 5.6, а). Расчет этой
линзы выполняется при нормировке а з == 02' а 5 == 1. Линза принима
ется бесконечно тонкой, при этом d з == О, h3 == h4 == h == а з а з , Внутрен-
ний уrол а 4 определяют из условия минимума сферической аберрации
для этой линзы, Т.е. a 4min == (2n 4 + 1)(1 + 02)![2(n4 + 2)]. Радиусы кри-
визны бесконечно тонкой линзы вычисляют по формуле
r VTH = h(n nv)/(na nvav)'
2. За первым апланатическим мениском расположена система из
двух плосковыпуклых линз (см. рис. 5.6, 6). Задавшись значением
кардинальноro отрезка 8 ю находят отрезок а з == 8з  8 н ; полаrая 13 == а з ,
определяют r 4 == , 3(n 4  1), стрелку проrиба k 4 , толщину линзы d з И
заново вычисляют 8 н , Расчет отрезка а з выполняют до тех пор, пока
8 нвыч == 8 н зад С поrрешностью не более 0,001. Затем находят конструк-
322

rлава 5. Расчет оптических осветительных систем
тивные параметры плосковыпуклых линз:
'"  00
3
d з == d min  k4
r 4  а 3 (n 4  1)
d 4  0,1...0,4
r 5  a302(n6  1)
d 5  k5 + d min
r  00
6
3. За первым апланатическим мениском стоят второй апланати
ческий мениск и линзы, либо плосковыпуклые, либо рассчитанные на
минимум сферической аберрации (см. рис. 5.6, в, z).
Для BToporo апланатическоrо мениска первый радиус r з == 8з == S'З,
Расчет BToporo радиуса мениска может быть выполнен любым из
способов, изложенных выше, а далее рассчитывают линзы по COOTBeT
ствующим КОНС'l'рукции методикам.
Примеры расчета всех видов линзовых конденсорных систем при
ведены в книrе [1].
5.3. Формулы для вычисления продольной и
поперечной сферической аберрации TpeTbero
порядка в конденсорах различной конструкции
Для всех рассмотренных выше видов конденсоров на основании
формул теории аберраций TpeTbero порядка можно определить про
дольную ДS'ш и поперечную ду'ш сферическую аберрации, а также ди
аметр кружка рассеяния 2ду' пик в плоскости наименьшеrо кружка
(ПИК).
ДЛЯ линз, рассчитанных на минимум сферической аберрации,
продольную сферическую аберрацию вычисляют по формуле
ДSIII = o,5(0,)2 alOPmin =  o,5al0:Pmin/O'
(5.15)
Y=k Y=k 2
I'де P min = L Ру = L (Oa y /O(ljn)J o(ajn )У; о' = о 1 jo , В радианах,
У=l У=l
тоrда поперечная сферическая аберрация
Y=k
ДУIП = ДSIП О ' = O,5 al0'3o L Ру'
У=l
(5.16)
323

Расчет и проектирование оптических систем
Кружок рассеяния в плоскости наименьшеrо кружка можно
вычислить по формуле
1 1 vh
2д,у;,нк == 2д,у{п == аlа'ЗРо L Ру' (5.17)
4 4 у=1
Если s 1  OO, то
д,s'  i'!!p . д,' 1 тЗ p
ш  2 f' min' Уш == 2P mш' (5.18)
В конденсорах из двух плосковыпуклых линз С параллельным xo
дом лучей между ними продольная сферическая аберрация опреде
ляется суммированием аберраций:
 2  ( ) 2 
д,s{п == (д,s'r>IРо + (д,s'r>2 == f;/f! (д,S'I)l + (д,s'r>2'
rде (M)1 == o,5 ( т2 /f! ) Pl  продольная сферическая аберрация пер
ш  
вой линзы в обратном ходе лучей; (д,s' I)2 == o,5( т 2 / f;) Р 2  продоль
ная сферическая аберрация второй линзы в прямом ходе лучей.
Для плосковыпуклой линзы при s 1  oo
  ....  ( З 2 ) / [ 2 ]
Р == Р 1 == Р 2 == п  2п + 2 / (п  1) п .
Тоrда
д,s{п == o,5( т 2 /f;)P[ 1  p);
2l1у{п == 21 д,S{п la == тЗ Р(l  p)/f;2,
(5.19)
(5.20)
rде т  а 1 tg а 1 ;
2д,у;,нк == тЗР(1Р)/(4f;2).
Для конденсора, состоящеrо из апланатических менисков и либо
линз, рассчитанных на минимум сферической аберрации, либо плос
ковыпуклых линз, продольная сферическая аберрация определяется
только аберрацией той системы, которая стоит после апланатов, так
как мениски не вносят сферической аберрации и отступления от yc
лови я синусов.
5.4. rрафический способ определения положения
плоскости наименьшеrо кружка рассеяния и
размера кружка рассеяния в этой плоскости.
Эффективное увеличение
Часто бывает целесообразно вычислять значения д,s' и д,у' точным
путем. В этом случае рассчитывается ход параксиальноrо и действи
тельноrо лучей для полноrо значения апертурноrо уrла акр и ero зоны
а зоп  0,7а кр , Из расчета хода лучей (рис. 5.8) получают отрезки s' и
324

rлава 5. Расчет оптических осветительных систем
5' и вычисляют L\Sp == в'кр  s', L\SOH == В'ЗОН  s', L\yP == L\Sp tgcrp ,
[\YOH == L\SOH tgcr;OH' а положение плоскости наименьшеrо кружка pac
сеяниЯ (ПИК) и размер кружка рассеяния в этой плоскости опреде
Jlяют rрафически. Для этоrо по оси абсцисс откладывают значения
продольной сферической аберрации для зоны (точка А 2 )и края (точка
A j ) отверстия, а по оси ординат откладывают размеры кружков pac
сеяния в плоскости raycca (точки Вр B'l И В 2 , В'2). Точки Ар Bl иА р
В' j' а также точки А 2 , В 2 И А 2 , В' 2 соединяют прямыми линиями, Ha
ходят точки С и С' их пересечения. Через точки С и С' проводят ли
нию. Отрезок ОК соответствует положению в'ПНК плоскости наимень
IIlero кружка, СС'  диаметру кружка рассеяния в этой ПJlОСКОСТИ и,
если эта величина не превышает 3...10% размера изображения источ
ника, то конденсор обеспечивает требуемое направление и распреде
Jlение CBToBoro потока в заданной плоскости.
ПНК >с
,.
c::
...
<1
....
,
Sлнк
,
SЗОН
SK p
В,

....
<1
Bz.....
в; '"
>C

<1
....
в'
,
.1S'K
51
Рис. 5.8. rрафический способ определения положения ПИК
Определим линейное увеличeiIие конденсора в ПИК. Эта плос
{{Ость смещена относительно плоскости raycca на (3/4)L\s'KP' кружок
рассеяния в этой плоскости в 4 раза меньше кружка рассеяния в плос
кости raycca.
Увеличение в ПИК обозначим РО зф и назовем эффективным линей
Ным увеличением. Так как продольная сферическая аберрация про
порuиональна квадрату уrла 0', то значение РОэф следует рассчитывать
I\ЛЯ HeKoToporo зональноrо луча, образующеrо с оптической осью уrол
(jUII == .f3crp/2. Для этоrо уrла [3] в ПИК найдем:
Роэф == Ро  (3/8)Poa;[ у озрSr  8rr]/I,
325

Расчет и проектирование оптических систем
если Уозр 1, а 1  а13 0 , то
130Эф ::: 130  (3/8 )130 (op / a')(SI  Sп),
rде SI и Sп  коэффициенты аберраций TpeTbero порядка.
5.5. Зеркальные и зеркальнолинзовые
осветительные системы
(5.21)
Зеркальные осветительные системы отличаются отсутствием xpo
матических аберраций и имеют б6льший уrол охвата 20 0хв  1800,
меньшую массу по сравнению с линзовыми системами при равных
D/f' и б6льший коэффициент пропускания t. Часто перечисленные
особенности являются определяющими при выборе типа системы.
Зеркальные осветительные системы
Простейшая зеркальная осветительная система представляет co
бой BorHYToe сферическое зеркало (рис. 5.9), у KOTOpOro 20 0хв  1100,
а линейное увеличение 11301 < 5. Однако такая система имеет оrpани
ченное применение вследствие большой сферической аберрации, боль
ших потерь cBeToBoro потока и
неравномерности освещения.
При уrлах 20 > 1800 раци
ональнее использовать эллип
А'
соидный отражатель (рис.
5.10). Источник света распола
rают в переднем фокусе эллип-
са, тоrда свободное от сфери
ческой аберрации изобра
жение источника получают во
втором фокусе F 2' совмещен
ном с входным зрачком проек-
ционноrо объектива.
5'
Рис. 5.9. BorHYToe сферическое зеркало в
качестве конденсора
в соответствии с рис. 5.10 найдем
ОЛ == 1800 arctg{D /[2(ss)]}; tgо л == у/р,
rде р  расстояние плоскости предмета от плоскости входноrо зрач-
ка, определяемое из условия требуемоrо увеличения объеК'l'ива; 2у 
диаrональ диапозитива, причем полученный по формуле удвоенный
выходной апертурный уrол отражателя 20' л должен быть больше yr-
ловоrо поля проекционноrо объектива, Т.е. 20' л  200 0б .
326

rлава 5. Расчет оптических осветительных систем
Задавшись расстоянием l между краем зеркала и диапозитивом,
найдем параметры эллипсоида: а и Ь  размеры малой и большой по
луосей. Расстояние между точками F 1 и F 2 ф окусов эллипсоида.
F 1 F 2 = 2 -J a 2  ь 2 , (5.22)
а удаление точки F 1 от вершины зер кала
s=a .,J a2 b2. (5.23)
Кроме Toro, удаление любой точки, лежащей на поверхности эл
липсоида, от ero фокусов определяется соотношением
F 1 M + MF 2 = 2а. (5.24)
На основании формул (5.22)(5.24) и в соответствии с рис. 5.10
можно вычислить малую и большую полуоси эллипса, а также OTpe
зок 8 (стрелку зеркала):
а = 8(8 + l  р) ;
28+l pD/(2 sincr)
Ь = -J 2а8  82;
8 = 2a8l+ р.
Как будет показано в rл. 7, уравнение профиля отражающей по
верхности эллипсоидноrо зеркала имеет вид:
у2 = 2roz (1  e 2 )z2,
rде ro  вершинный радиус кривизны асферической поверхности, KO
торый можно вычислить по формуле ro  288'/(8' + 8); е  эксцен
триситет поверхности, вычисляемый как е  (8'  8)/(8'+ 8).
Эллипсоидный отражатель
проецирует излучатель во входной
зрачок объектива, заполняя изоб
ражением всю площадь зрачка.
Обычно диаметр входноrо зрачка
больше диаметра окружности,
вписанной в световую площадку
излучателя, поэтому линейное YBe
личение зеркальноrо конденсора
определяется как o =  (8+ l  р)/ 8 ,
причем одновременно должно
быть выполнено условие o =  D/
У(2уизл) , rде D  диамеТр входноrо Рис. 5.10. Эллипсоидный отражатель
(5.25)
(5.26)
м

:::.,::--
....,.е.

1
p
$'
327

Расчет и проектирование оптических систем
зрачка проекционноrо объектива; 2уизл  диаrональ cBeToBoro тела
излучателя.
Известно, что анаберрационные зеркала любой формы, кроме
плоскоrо, исправленные в отношении сферической аберрации для дан-
Horo положения s предмета и ero изображения s/, вызывают отступ-
ление от условия синусов , кроме случая, коrда o  :t1, что приво-
дит К различным линейным увеличениям в разных зонах широкоrо
пучка. Величина  может достиrать больших значений в системах с
увеличенным уrлом охвата. Известно, что для анаберрационных сис-
тем
:= [1 ;  (1  g)COScrOXB ]/(2o),
и тоrда, если эллиптическое зеркало имеет o  5, при 2а охв  1400
отступление от условия синусов составит   3,4.
Наличие большоrо значения  особенно существенно, если ис-
пользуется источник света, яркость KOToporo уменьшается от центра
к краям светящеrося 'l:ела. В этом случае периферические зоны зер-
кала изображают источник с меньшим увеличением, чем центральные
зоны, и дают изображение той
ero части, rде спад яркости не-
допустимо велик. Устранить
такой дефект можно лишь в
зеркале ступенчатоrо профиля
(рис. 5.11). Например, два
концентрических ступенчатых
зеркала дают небольшие значе-
ния s/ и . ОднаКО такая кон-
струкция имеет свои недостат-
ки  трудность изrотовления и
неравномерность HarpeBa вслед-
ствие Toro, что толщина зерка-
ла по высоте неодинакова.
s'
Рис. 5.11. Зеркало ступенчатоrо профиля
в качестве конденсора
А'
Зеркально-линзовые осветительные системы
Сфероэллипсоидныи отражатель (рис. 5.12). Отражатель пред-
ставляет собой линзовый мениск, у KOTOpOO выпуклая поверхность
эллипсоидная и покрыта отражающим слоем, а воrнутая поверхность
сфероидальная (рис. 5.12, а). Такая конструкция используется для
изображения источника на близком расстоянии при уrлах охвата
2а охв ", 1400 и линейном увеличении o  (6...8).
328

rлава 5. Расчет оптических осветительных систем
d/{
,.,
 С,
z2
r,
'о z,
5' 'о""/{
а) 5)
Рис. 5.12. Сфероэллипсоидный отражатель
Увеличение конденсора для крайнеrо луча определяется форму
лой, справедливой для анаберрационных отражателей [3]:
 == [1 +   (1  )coscr ]/(2o).
( 5 . 2 7)
Радиус кривизны первой поверхности рассчитывают из условия
обеспечения малой разности толщин линзы по оси и по краю для наи
более paBHoMepHoro нмрева зеркала. Исходя из условия равенства тол
щин линзы на краю и в центре, получают [3]
 [ 1 (o + 1)2 ] 
r 1  r 2 1 +   mr 2 .
4 o(o ctg2(cr/2) 1)
(5.28)
Эксцентриситет е второй поверхности рассчитывают из условия
компенсации сферической аберрации преломляющей поверхности
аберрацией отражающей поверхности.
Если d k == d o , то проrиб Z1 на первой и проrиб Z2 на второй повер
хностях на высоте у будут примерно одинаковыми (рис. 5.12, 6).
Запишем уравнения профиля:
Ф u u 2 2 2
серическои преломляющеи поверхности У1 == r01 z  Z1 ;
эллипсоидной отражающей поверхности у; == 2r 02 z 2  (1 + b 2 )z;,
I'де Ь == oj е 2  коэффициент деформации, и если Z1 == Z2' то
1'1 == r 2  bz 2 /2.
(5.29)
329

Расчет и проектирование оптических систем
Сравнив (5.28) и (5.29), получим
22 = r2(O  1)2 / {2o[o ctg 2 (a/2) 1]}.
(5.30)
Метод расчета сфероэллипсоидной линзы основан на совместном
решении следующих двух уравнений при принятых условиях норми
ровки а1 == O' h 1 == so' а4 == 1:
условия двойноrо преломления луча до и после отражения на по
верхности радиуса r 1 . Если n 2 == nз == n, n 1 == 1, n 4 == 1, то
r 1 = h 1 (n  1)/(nа 2 + o) = hз(n  l)/(nа з  1);
(5.31)
условия сохранения толщин по краю и центру r 1 == mr 2 , rде т 
выражение, стоящее в скобках в уравнении (5.28).
К этим условиям добавляются известные соотношения между па
раксиальными величинами:
h 2 =h 1 +d o (J.,2; hз=h2dоаз и
(5.32)
r2 = h 2 (n з  n 2 )/(n з (J.,з  n2 ( 2) = 2h 2 /(а з + ( 2 ).
Совместное решение системы уравнений (5.31) и (5.32) приводит
к кубическому уравнению относительно уrла а 2 , но множителем
[do/(So)2] при a можно пренебречь, и тоrда приходят к KBaдpaTHO
му уравнению вида
Аа;+Ва 2 +С=О,
rде
А = 2nао[тn  (n  1)/2];
В = тn(n + зoao) (n  1)(n + oao);
c=тo(n+oao)o,5(n1)(n+o), rде ао =d o /hl'
(5.33)
Так как все величины n, o' d o , т, s, входящие в выражения (5.33),
известны, то из решения уравнения находят уrол а 2 . Остальные неиз-
вестные следует вычислять в следующей последовательности:
1) rl =(n1)hl/(na2+O);
2) h 2 = h 1 + doa 2 ;
З) аз = а 2 +(1 +o)/n;
ззо

rлава 5. Расчет оптических осветительных систем
4) r2 = 2h 2 /(a 2 +а з );
5) 8' = h3 = h 2  d o a 3 .
"Указанную последовательность расчета важно соблюдать, так как
I<BaдpaTHoe уравнение является лишь приближенным решением сис
темы сформулированных выше условий.
Для определения эксцентриситета е эллипса составляют уравне-
ние исправления сферической аберрации, Т.е. полаI'ают SI == о:
SI = h 1 {P 1 + h 2 [P 2  о,25nЬ(а 2 + а з )3]/h 1 + h з Р з /h 1 },
{'де Pl=[n(a2+o)2(a2+on)]/(n1/;
Р2 = о,25n(аз  (2)\аз + ( 2 );
Р3 = n(1  аз)\аз  n )/(n  1)2 .
ПолаI'ая SI == о, находят коэффициент деформации Ь ЭЛЛИПСОИk
ной поверхности
3
Ь = {4/[nh 2 (a 2 + а з )3]}I, hyPy.
у=l
Так как Ь = -J  е 2 , то определяют эксцентриситет поверхности и
записывают уравнение профиля этой поверхности
У: = 2r 02 z 2  (1  e 2 )z:,
{'де r 02  радиус кривизны соприкасающейся сферы.
Таким образом, в результате расчетов получили конструктивные
параметры отражателя. В рассчитанной системе выполняют аберра
ционный анализ, вычисляют сферическую аберрацию и, если она не
в допуске, то изменяют либо коэффициент Ь, либо r 1 .
Отражатели сфероидальпой формы (липза М апжепа). Линза
Манжена (рис. 5.13)  отрицатель /.
u Ф 7
выи мениск со с ерическими повер- &
хностями, у KOTOpOI'O сферическая
аберрация, вносимая отражающей
поверхностью, компенсируется абер-
рацией преломляющей поверхности.
VI'ол охвата для TaKoro отражателя Ii
может достиrать 1350, причем при
больших УI'лах охвата следует ис
пользовать линзу Манжена, у кото-
рой r 1 == (, r 2 == nr. Расчет линзы при- Рис. 5.13. Линза Манжена в качестве
веден в п. 6.6. конденсора
А'
С!
$.,
r,
5'5
rz
ЗЗ1

Расчет и проектирование оптических систем
Сферическое зеркало и плосковыпуклая линза. Такая зеркально
линзовая система (рис. 5.14, а) применяется в качестве осветительной
при УI'лах охвата 2а охв до 1350. Плосковыпуклая линза служит для
коррекции сферической аберрации сферическоrо зеркала.
 .     '
а)
5)
Рис. 5.14. Сферическое зеркало:
а) с плосковыпуклой линзой; б) с пластинкой Шмидта
Если между зеркалом и линзой идет параллельный пучок лучей,
то линейное увеличение конденсора определяется формулой
o =:о <P/<P2' Продольная сферическая аберрация в обратном ходе лу
чей для зеркала
 ....
s'ПI:;: O,5m2(SI)7 I f;,
и для плосковыпуклой линзы Мiп= o,5т2(8д'2 I f; , ТОI'да CYMMap
ная сферическая аберрация осветительной системы
S;п = О,5т2[l3g(Sд; I f; + (81)'2 I f; J.
Если входной зрачок совпадает с вершиной зеркала (Вр O), то Me
ридиональную кому рассчитывают по формуле
f--- ....-t f-----...Jo
Кш =oK;+K'2=(3/2)m2tgro[130(SIl); If;+130(SП)'2 1т.
Сферическое зеркало с коррекционной пластинкой Шмидта. Эта
осветительная система (рис. 5.14, б) имеет уrол охвата до 1350. Kop
рекционная пластинка служит для коррекции сферической аберрации
сферическоI'О зеркала. Формы коррекционных пластинок и их расчет
приведены в I'л. 6.
Оптический растр в качестве осветительной системы
Оптический растр (рис. 5.15)  это совокупность линзовых или
зеркальных элементов (ячеек), имеющих оптическую силу. Каждый
элемент растра формирует изображение предме'rа так, что число по
лученных изображений предмета равно числу элементов растра. Ha
клонный пучок лучей, идущих от источника света А, заполняет BXOk
ЗЗ2

rлава 5. Расчет оптических осветительных систем
ной зрачок 3. Элемент растра 1 создает изображение А' 1 центра источ
ника света. Элемент растра 2 направляет пучок во входной зрачок про
екционной системы. стоящей за растром.
2
А
S, а= s;
sz=(s,d)
Рис. 5.15. Оптический растр в качестве конденсора
Пусть задан период растра t 1 (расстояние между оптическими ося
ми элементов растра 1). ТОI'да период растра 2
t 2 = t 1 (1  d / 8 1 ).
{'де d  расстояние между растрами; 81  расстояние от тела накала
источника света до элементов растра 1.
Число элементов растров 1 и 2 должно быть одинаковым.
Найдем фокусные расстояния элементов растра
f; = 8 1 d/(8 1  d); f; = [(81  d)8;]j(8 1  d  8;).
{'де 8' 2  удаление ВХОДНОI'о зрачка 3 от растра 2.
Зная фокусные расстояния элементов растра. леI'КО определить
радиусы кривизны линз растра
r 1 == 00
r 2 == r1(n  1)
r з == 00
r 4 == f'2(n -1)
ззз

Расчет и проектирование оптических систем
Пример 5.1. Найти конструктивные параметры плосковыпуклых элементов растра
1 и растра 2 (см. рнс, 5.15), еслн 8,  50 мм, расстояние между растрами d  25 мм,
период первоrо растра t/  15 мм, уrол охвата 1000. Линзы выполнены из стекла марки
К8 (n  1,5183).
Решение. По известному периоду t / растра 1 найдем период растра 2 t 2  t /( 1  d/8/)
15 [1  25/(50)]  22,5 мм. Определим фокусные расстояния элементов растров {', 
 8/d/(8,  d)  [(50) 25] / (50  25)  16,6666 мм; {'2  (8/  d)8'2/(8,  d  8'2) 
 (50  25) 150/(50'. 25  150)  49,9999 мм (удаление входноrо зрачка приняли рав,
ным 8' 2  150 мм).
Определим световой диаметр растра: D /  28/tgcr  2 ('50) tg (500)  119 мм.
Тоrда на световом диаметре 199 мм с периодо t /  15 Мl:i'будет расположено восемь эле.
ментов растра диаметром 15 мм.
Найдем конструктивные параметры плосковыпуклых линз растров:
r 1 :=: 00
dl d nun k2 1,5 + 1,7 3,2
r 2  (16,6666)(1,5183  1)  8,63833
d 2  25
rз==оо
d з  d min  k4  2 + 2,57  4,57
r 4  49,9999 (1,5183  1)  25,9149
Световой диаметр BToporo растра Dc.2  2(-50 25) tg (500)  178,8 мм, а число
элементов растра  восемь с периодом t 2  22,5 мм.

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
rлава 6. РАСЧЕТ ЗЕРКАЛЬНЫХ И ЗЕРКАЛЬНО
ЛИНЗОВЫХ СИСТЕМ
6.1 . Преимущества и недостатки зеркальных и
зеркальнолинзовых систем перед линзовыми
Зеркальные (зс) и зеркальнолинзовые (злс) системы обладают
рядом существенных преимуществ перед линзовыми системами и Ha
ходят самое широкое применение. В них I'лавная роль в образовании
изображения отводится отражающим поверхностям, не вносящим
хроматических аберраций, поэтому чисто зеркальные системы удоб
ны для использования в ультрафиолетовой и инфракрасной областях
(Уф и ИК-областях) спектра. Преломляющие поверхности, которые
Бводятса в качестве коррекционных элементов в схемы зеркальных
объективов, имеют, как правило, небольшие оптические силы, поэто
му они также не 'ВНОСЯТ заметных хроматических аберраций. При
сравнительно несложной конструкции злс и зс можно получить дo
статочно совершенную коррекцию сферической аберрации. Кроме
I'OI'O, эти системы имеют высокую светосилу и разрешающую способ-
ность при ббльшей компактности по сравнению с линзовыми система-
Ми: при одних и тех же фокусных расстояниях продольные размеры
зс (т == L/r == 0,25...0,33) меньше, чем размеры линзовой системы
(т == 0,6...0,8). Требования к стеклу, из KOTOpOI'O может быть ИЗI'О
товлена подложка для зеркал (подложка может быть и металличес
кой), значительно ниже, чем требования 1< стеклу, предъявляемые при
ИЗI'отовлении линзовых систем.
Однако наряду с ПD.1южительными свойствами ЗС и злс имеют и
Недостатки, ОI'раничивающие их применение: это  экранирование
центральной части ВХОДНОI'О зрачка, вызывающее перераспределение
ЗЗ5

Расчет и проектирование оптических систем
освещенности в дифракционном изображении точки; малое уrловое
поле изза большой комы этих систем; высокая чувствительность к
разъюстировке; необходимость применения защитных стекол для {'ep
метизации; .паразитные засветки», для устранения которых ставят
бленды или экраны; сложность изrотовления и контроля асферичсс
ких поверхностей.
Исходными данными для расчета зс и злс являются:
Случай, н;оеда s 1  oo
(  фокусное расстояние;
D/(  относительное отверстие;
20)  уrловое поле;
Случай, н;оеда 81 * oo
o  линейное увелнчение;
А  числовая апертура;
2у  линейное поле;
s 1  передний отрезок или оптическая
длина L:
1)  вынос плоскости изображения;
k. и  коэффициент центральноrо экранирования;
8 р  положение входноrо зрачка;
1..1' 1..0' Az  рабочий спектральный интервал для злс;
 требуемое качество изображения;
 общие конструктивные требования.
Если зс или злс используются в оптикоэлектронных приборах,
то исходные данные выбирают из следующих соображений:
D /' об(А)  из условия требуемоrо качества изображения, причем
(об должно обеспечивать необходимую точность измерений, отвечать
rабаритным и конструктивным требованиям;
диаметр D входноrо зрачка и коэффициент экранирования k зк Ha
ходят из энерrетическоrо расчета;
2ю  уrловое поле должно обеспечивать необходимое поле обзо
ра, быстродействие системы, ее помехозащищенность, требуемое
качество изображения; в некоторых случаях 2ю определяется разме
рами чувствительной площадки приемника;
Ар Ао, А 2  рабочий спектральный интервал; обусловлен спек
тральными характеристиками излучения объекта, фона, среды, филь
тров, приемника лучистой энерrии и Т.п.;
необходимое качество изображения, которое в общем случае мож
но охарактеризовать распределением энерrии в пятне рассеяния по
всему полю, определяется точностью измерений и выбранным типом
анализатора.
Основные схемы зс и злс приведены в [12]. Здесь же остановим
ся на синтезе простых и двухзеркальных объективов с различными
видами линзовых компенсаторов.
ЗЗ6

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
6.2. Расчет простых зеркальных систем
Простыми зс будем называть системы, содержащие одно зерка
ло (плоский зеркальный отражатель во внимание не принимается).
Применение плоскоrо зеркала позволяет уменьшить размеры систе-
мы и рационально разместить приемник излучения, однако в этой схе-
ме имеет место центральное экранирование.
rабаритный и аберрационный расчеты
одиночноrо сферическоrо зеркала
Выполним rабаритный и аберрационный расчеты однозеркальных
систем для двух случаев: 81  OO, 81 '" OO.
Предмет расположен на
конечном расстоянии (81 '" OO,
рис. 6.1, а). Заменим отражаю-
щую поверхность rлавной
плоскостью и проведем ход
первоrо вспомоrательноrо луча
(рис. 6.1, 6). Расчет выполним
при нормировке а 1  o; a2 1,
тоrда h 1  8 1 а 1  81O' 1 
 n 1 а 1 (8 р  81)  nla181  81al'
если входной зрачок совпадает
с оправой объектива (8 р  О), И
1  o(8p  81)' если 8 р '" О.
Определим световой диа-
метр зеркала. Если 8 р  О, то

$,
а)
А'
s;
D CB = 281 tgcr l' (6.1)
б)
Если 8 р '" О (рис. 6.2), то из pac Рис. 6.1. Одиночное сферическое зеркало
чета хода нижнеrо полевоrо 81  oo
луча найдем tgcr н . п . л .  [(Dj2) + y]j(8 1  8 р ) И
D CB = D + 28 р tgcr н . п . л .
(6.1')
Радиус кривизны поверхности зеркала вычислим, воспользовав
шись формулой расчета хода первоrо вспомоrательноrо луча n 2 а 2 
 n 1 а 1  h'(n 2  n 1 )jr 1  h 1 Фl' тоrда
r 1 = 281O/(O  1) =  2/Ф l' (6.2)
Например, пусть o  2, 81  50 мм, тоrда 8'1  o81  (2)(50) 
"'" 100 мм, и радиус кривизны поверхности зеркала определим как
ЗЗ7

Расчет и проектирование оптических систем
По формуле raycca найдем фокус
ное расстояние зеркала n' / 8; 
,,  n/8 1 == n' / f! ' тоrда f! == r I /2 ==
== 33,3333 мм, Ф == n/ ff == 0,03 > О.
Таким образом, путем расчета
получили конструктивные пара
метры одиночноrо зеркала:
r I == 66,6667 мм; n == 1; n' == 1;
f! == 33,3333 мм.
Вычислим коэффициенты аберраций TpeTbero порядка по следу
ющим формулам [12]:
..,
""
s,
Рис. 6.2. К определению CBeToBoro
диаметра зеркала
r I == 2(50)(2)/(2  1) ==
== 66,6667 мм.
Sr=hIP 1 ; Srr=YIPIIWI;
Sш = У; P1/h I  2IYIWI/hI + 12ФI;
Sry == (а 2 + aI)/h I = ФI; (6.3)
Sy = У; Р) h:  3Iy:W)hf  21 2 YI(a 2 + aI)/hf ,
{'де
 = o,25( a  ап(а 2  a I );
WI==(aaп/2; ПI=(а2+аI)=hIФl;
1 = nlaII (8 р  81); I = 1; YI = 8 р .
С учетом принятой нормировки выражения для коэффициентов
аберраций Sroo,Sy при условии, что 8 р == О, примут вид:
Sr = O,258I0(1  I3g)(l + O);
Srr =  8I0( 1  g)/2;
Sш = 8I0 (1  (30) = 1 2 ф;
Sry = Фl =  (1  0)/(8I0);
Sy = О.
ЗЗ8
(6.з')

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркальнолинзовых систем
5, =' ()Q
с
f"
 {'
r
а)
r
1х.зр б)
<xz
 2,'  sp  ,
б)
Рис. 6.3. Одиночное сферическое зеркало
при 81  oo
Предмет расположеп в бес
1-Сопечпости (81  OO, рис. 6.3,
а). Заменим отражающую по
верхность I'лавной плоскостью
(рис. 6.3, 6). Примем нормиров
ку: а 1  о; а 2  1; h 1  {'  1;
Yl 8 р ; Iп1Y1a1 п11 (8p 8 1 )h 1 /
/81  [(Sp/S1) 1] h 1  (1)(1) 
 1.
Найдем световой диаметр
зеркала. В случае, КОI'да 8 р  О,
он будет равен диаметру BXOk
HOI'O зрачка, Т.е. D CB  D. Опре
делим радиус кривизны повер
хности зеркала r  2{'  2.
Рассчитаем коэффициенты
аберраций TpeTbeI'O порядка
для ОДИНОЧIIОI'О зеркала по фор
мулам (6.3). С учетом принятой
нормировки будем иметь:
 = 0,25a == 0,25;
 == 0,5а; = 0,5,
ТОI'да
S:; == 0,25;
Sr = O,25Y1  0,5;
Srr = 0,25у; + У1 + 1;
Srv = 1;
s:; = o,25y:  Зу; /2  2У1'
(6.4)
Оценим влияние положения ВХОДНОI'О зрачка на аберрации оди
НОЧНОI'О зеркала.
Если входной зрачок совпадает с оправой зеркала (8 р  о, см. рис.
6.3,6), то У1  8 р  О И формулы (6.4) примут вид:
ЗЗ9

Расчет и проектирование оптических систем
Si" == 0,25; S == 0,5; SI == 1; SIV ==  1; S; == о.
Если центр входноrо зрачка совпадает с центром кривизны повер-
хности зеркала (рис. 6.3, в), то коэффициенты аберраций третьеrо по-
рядка будут иметь следующие значения:
Si"== 0,25; S== о; SI== о; SIV == 1; S;== о,
так как Уl == 8 р == 2.
Таким образом, изменяя положение входноrо зрачка, можно ис-
править полевые аберрации  кому, астиrматизм и дисторсию.
Определим сферическую аберрацию в линейной А8'шИ уrловой Аа'
мерах, радиус кружка рассеяния Ау'ш в плоскости raycca, а также вол-
новые аберрации N, вносимые одиночным сферическим зеркалом
(81 == oo):
A8{ =  O,5mzsi" /f' ==  о,125т 2 /f';
Аа' == АУ{п/f' =  т 3 j(Вf'З) =тЗ/r3;
Ау{п = As;a' =  о,125т 3 /f,2;
(6.5)
N == o,25т4 /r 3 ,
rде т  высота луча на входном зрачке.
Из первой формулы (6.5) следует, что сферическая аберрация,
вносимая сферическим зеркалом, оказывается в 8 раз меньше про-
дольной сферической аберрации линзы, рассчитанной на минимум
сферической аберрации, для которой при п == 1,5 P';in == 2,14 и
А , Z /f '
дsш =т .
При любом положении предмета относительно сферическоrо зер-
кала (за исключением, коrда 81 == rl' o ==  1) сферическая аберрация
остается неисправленной и ее можно точно вычислить по формуле
А8' = (r/2)(1  1/  1  (т/ ;)2 ).
(6.6)
Разложив в ряд подкоренное выражение формулы (6.6), раскрыв
скобки и оrраничившись третьим членом разложения, получим
А8' = (1/ 4)(т 2 /r) (3/ 16)(т 4 / r 3 )  (5/32)(т б /r 5 ). (6.6')
Отдельное сферическое зеркало дает практически идеальное изоб-
ражение точки на оси, если ero волновая аберрация не превышает
л/4. Условие получения первоклассноrо сферическоrо зеркала, заме-
няющеrо параболоид, установленное Д.Д. Максутовым [8], имеет вид:
340

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркальнолинзовых систем
Dmax == о,284и' / D)3 ,
rде Dmax  максимальный диаметр зеркала.
Ниже приведены допустимые значения относительных отверстий
при различных. значениях cBeToBoro диаметра зеркала:
D/f' 1; 1 1:1,4 1:2 1;2,5 1:3,5 1:5 1;7 I;IO
Dmax,MM 0,284 0,779 2,27 4,44 12,2 35,5 97,4 284
Например, одиночное зеркало диаметром D  100 мм будет экви
валентно параболическому, если ero относительное отверстие не пре
вышает 1: 7,05.
Однако зеркальные системы имеют оrраниченное уrловое поле
вследствие больших значений комы. Максимально допустимое уrло
вое поле для сферическоrо зеркала, у KOToporo кома будет минималь
ной, определяется формулой, полученной Д. Д. Максутовым [8]
Юmах == O,00362(t'/D)2/D.
Сферическое зеркало с плоским отражателем
В зеркальном объективе с плоским отражателем имеет место цeH
тральное экранирование (рис. 6.4, а) и входной зрачок имеет кольце
вую форму. Так как предмет в бесконечности, то коэффициент экра
нирования k эк определяется отношением диаметров зеркал, Т.е.
k зк  D 2 / D 1  h 2 /h 1 И для зс и ЗЛС обычно k эк лежит в пределах
0,3...0,5. В табл. 6.5 приведены формулы для определения коэффици
ентов экранирования для двух зеркальных систем при различных по
.........
 Н' [',;/
.... ".; 
а)
6)
В,
6)
Рис. 6.4. Сферическое зеркало с плоским отражателем:
а) ХОД апертурноl'О луча; б, в) формы ВХОДНЫХ зрачков экранированноl'О и
неэкразироваННОl'ообъективов
341

Расчет и проектирование оптических систем
ложениях предмета. Во всех схемах с центральным экранированием
следует определять эффективное относительное отверстие объектива.
Для этоrо рассмотрим два объектива с кольцевым и сплошным зрач-
ками (рис. 6.4, 6, в).
За эффективное относительное отверстие зеркальноrо объектива
с экранированием принимается относительное отверстие объектива с
тем же (об' но со сплошным зрачком, у KOToporo площадь 81 входноrо
зрачка равна площади 8: действующеrо отверстия входноrо зрачка
экранированноrо объектива. Поскольку 81 T 82' то 1tD; /4 =
= 1t(D;  D:)/4, и так как k эк  D:/D1' то Do = D 1 1  k;K и эффектив
ное относительное отверстие определится следующим образом:
Dо/f:б=Dl lk;к /f:б=Ееff' (6.7)
Эффективное относительное отверстие необходимо учитывать при
расчете дальности действия прибора с зеркальным объективом, опре
делении кпд прибора и оценке качества изображения. Центральное
экранирование вызывает перераспределение освещенности в дифрак
ционном изображении точки. Уже при экранировании на одну треть
диаметра D, Т.е. при 11 % -ной потере света на экранирование, каче-
ство дифракционноrо изображения заметно отличается от идеально
ro оптимума при неэкранированном отверстии объектива: централь
ный максимум дифракционной картины несколько снижается, а часть
энерrии переходит из центральноrо кружка в ближайшие кольца, ко-
торые становятся более яркими, что уменьшает контраст изображе-
ния. Именно поэтому в оптических системах не следует допускать эк-
ранирования, превышающеrо 10...12% площади действующеrо отвер-
стия объектива.
Запишем конструктивные параметры объектива
r 1  2(Об
d  (k эк  1) 'Об; 8  (2k эк  1) (об'
r:  00
Из последней формулы следует, что 8  о, если k эк  0,5, Т.е. эК
ранирование по диаметру составляет 50% и соответственно по площа
ди 25%. При k эк > 0,5 8> о, а при k эк < 0,5 8 < о.
При нормировке а!  о, a2 1, аз  1, h 1  'об  1, 1  1, тоrда
h:  h 1  d 1 a 2  1 + d 1 , параметры  и Wl имеют следующие значе
ния:  =a/4  0,25; Wl =a/2  0,5, а коэффициенты аберраций
8;0,25; 8IiYl/4+0,5; SllI=y;/4+Yl+ 1 ; 8IV1; 8у=у:!4+
+ Зу; /2+2У1' Т.е. аберрации определяются только аберрациями сфе-
рическоrо зеркала.
342

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркальнолинзовых систем
Пример 6.1. Выполнить аберрационный анализ зеркальноrо объектива из сфери
ческоrо зеркала и плоскоro коитротражателя, если В,  OO, f об  100 мм. п/, об  1:2,
уrловоеполе2ro20, k 0,5,Bp0.
Решение. Найдем ';онструктивные параметры объектива при ".б  100 мм:
r,   2" об  2(100)  200
d  (k. K  1)' об  (0,5  1) (100) 50.
r 2 ==oo
Расчет аберраций проведем точным путем, воспользовавшись формулой (б.б'), и
сравним ero результаты с результатами аберрационноrо анализа системы на ПЭВМ:
т 12,5 17,7 21,б 25
Ав',  0,19б  0,394  0,591  0,790
Ав'.  О,19б  0,393  0,591  0,790
Примечание.Ав',  точное значеиие, рассчитанное по (б.б'), Ав'.  значение, полу
чениое с помощью ПЭВМ.
Выполним аберрационный анализ системы в области аберраций третьеrо порядка.
Для этоrо вычислим коэффициенты аберраций по формулам (б.з): fЗr = 0,25 ;
8ri = 0,5 8r'П = 1; 8rv = 1; sv = о, тоrда
Asni = о,5т2fЗr /f:б = 0,5. 252.0,25/100 =, 781;
КП! =  (3/2)(т 2 sп tgro)/f:б =  (3/2)( 252. O,5tgl° )/100 = O,082;
z;" = о,5f:б tg 2 (о( 3SП ! + fЗrv) = O,5.100tg21°[3.1+( 1)] = O,0305;
z; = О,5':б tg 2 (о( sm + fЗrv) = O,5.100tg21°[1+(  1)] = о;
Ay = О.5f:б tg Э ros:; = ,5.100tgЗI0 . О = О.
6.З. rабаритный и аберрационный расчеты
двухзеркальных систем со сферическими
поверхностями
Если оптическая система содержит два неплоских зеркала и бо
лее, то такая система называется сложной.
Рассмотрим расчет двухзеркальных систем, при этом большее по
диаметру зеркало будем называть rлавным зеркалом, а меньшее 
вторичным зеркалом.
Двухзеркальные системы для предмета в бесконечности
Зеркальные системы из двух сферических зеркал можно l1ракти
чески свест}{ к трем видам: предфокальные системы (f' об > О); зафо
343

Расчет и проектирование оптических систем
кальныс системы «(об < О); афокальные системы «( == 00).
в предфокальных систе,мах вторичное зеркало 2 располаrается
перед точкой фокуса F'l rлавноrо зеркала 1 (рис. 6.5). Различают yд
линяющие и укорачивающие предфокальные системы. Фокусное pac
стояние таких зеркальных объективов больше нуля «(Об> О).
1 1 t
.....

..............................
F,
H6
".
Н;6
r: ./'"
s,
d
(;
,
Sll
d
fo,
(о5
а)
5)
Рис. 6.5. Предфокальные двухзеркальные системы типа KaccerpeHa:
а) удлиняющая «об> (1); б) укорачивающая «об < (1)
Удлиняющие системы в дальнейше,м будем называть телеобъек
тивами, а укорачивающие системы  зеркальными дублетами.
В зафокальныХ системах вторичное зеркало располаrается за
точкой F' 1 rлавноrо зеркала (рис. 6.6). Это системы типа rреrори. Фо
кусное расстояние таких зеркальных объективов меньше нуля
(' об < О), И они дают прямое изображение. Различают удлиняющие и
укорачивающие зафокальные системы.
,
...................................... ::"
..........
.................... H
51 6
'
$, '
 
Рис. 6.6. 3афокальные двухзеркальные системы типа rреrори:
а) удлиняющая; б). укорачивающая
Афокальные систе,мы  системы, у которых точки фокусов (F'1 И
F'z) вторичноro и rлавноro зеркал совпадают. Эти системы являются Te
лескопическими. Примером афокальных систем служат системы типа
Мерсенна (рис. 6.7, а, 6), построенные по схемам Кеплера и rалилея.
344

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
(,' 
.
F'
z
а) б) (/
Рис. 6.7. Оптические схемы двухзеркальных афокальных систем типа Мерсенна:
а) по схеме Кеплера; б) по схеме rалилея
Зеркальиая система типа Кассеrpеиа. Эта система представляет
собой зеркальный телеобъектив «(Об> L). оптическая схема KOToporo
показана на рис. 6.8, а.
,,' .---
:::..:::....... 
r,' ....
....

I
-sz
""


':'
""
I
,
$l-L
$;-':
6)
Рис. 6.8. Зеркальный объектив типа KaccerpeHa:
а) оптическая схема объектива;
б) ход первоrо и BToporo вспомоrательных лучей в объективе
Заменим отражающие поверхности бесконечными плоскостями и
рассмотрим ход nepBoro и BToporo вспомоrательных лучей (рис. 6.8,6).
Расчет системы выполним при нормировке а 1 o, аз  1, 1  1,
345

Расчет и проектирование оптических систем
h 1  (Об  1, 1  1, У1  sp  о. Полаrая, что система в воздухе (п 1 
 n 3  1, n 2  1), определим расстояние между зеркалами d, прини
мая уrол аз  1, тоrда h 2 "= d + 8, и так как h 2 "= k эк , то d "= 8  k эк . Най
дем уrол а 2 , воспользовавшись соотношением h 2 "= h 1  da,2:
а 2 == (1  k эк ) / d .
(6.8)
Радиусы кривизны поверхностей зеркал вычислим по формулам
r1 = [h 1 (n 2 n1)]/(п2a2  n 1 ( 1 )= 2/а 2 ;
r2 = [h 2 (n з  п 2 )]/(n з а з  n 2 ( 2 )== 2k"K/(1 + ( 2 ).
(6.9)
Определим оптические силы зеркал:
<1>1 = п 2 /t; = a,2; <1>2 = п з /t; = (1 + а,2 )/k эк и
<l>об = <1>1 + <1>2 + d<l>1<1>2 = 1.
Найдем коэффициенты аберраций в;,... s; двухзеркальной систе
мы при принятых условиях нормировки, предварительно вычислив
высоту BToporo вспомоrательноrо луча на второй поверхности у 2"=
Y1  d2  d:
S;' == Р1 + k эК Р 2; S;;' == dP2 + 0,5;
SII == d 2 Р 2 /k эк + 2dW 2 /k эк + <1>1 + <1>2;
SIV == а 2  (1 + а 2 ) / k эк ==  ( <1> 1 + <1> 2 );
S; == d 3 P 2 /k;K + 3d 2 W 2 /k;K + 2d(1 + ( 2 )/k;K'
(6.10)
rде=а/4; P2=(1a)(1a,2)/4; Wl;:a/2; W2=(1a)/2.
В табл. 6.1 приведены формулы для определения конструктивных
параметров системы типа KaccerpeHa и ее разновидностей: системы с
равными радиусами кривизны (r 1  r 2 ) и системы с концентрическими
зеркалами (r 2 r1  d). Формулы даны для двух случаев, коrда зада
ны либо коэффициент экранирования k эк , либо 8  вынос плоскости
изображения.
346

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовЫХ систем
r:-птическая схема объектива
Система типа KaccerpeHa
. 
d 8
Двухзеркальная система с
зеркалами равных радиусов
r j  r 2
4 
Система с исправленной
кривизной Петцваля (8 IV  О)
Двухзеркальная система с
концентрическими зерка-
лами
rZ-r1d.
Таблица 6.1
задан k."
ФОРМУЛЫ для rабаритноrо расчета (, об 1)
задан Б
r j  2/(:12;
r 2  2k.,,/(1 + (:12);
r j  2(k."  1);
r 2  2(k."  1);
d  (1  k.,,)2;
о  3k."  k:"  1 ;
(:12  1/(k."  1)
r j  2(k."  1)/(1 + k.,,);
r2k.,,1;
(:12  (k 2 + 1)/(k."  1);
d  о  k.,,;
 1  k."
(:12
k." = (3:t --J 5  40 ) /2 ;
rj =1:t --J54Б ;
r 2  r j ;
d = о (3:t --J5  40 )/2;
(:12  2/(H -f5 40 )
k."  (о + 1)/(3  о);
rl01;
r 2  2(0  1)/(3  о);
о  (3k."  1)/(k." + 1)
d  (1  k.Y /(1 + k.,,); (:12  2/(0  1);
d  (о  1)2/(0  3);
Зеркальная система типа rреrори (рис. 6.9). Расчет системы бу
дем выполнять при следующей нормировке уrлов и высот nepBoro и
BToporo вспомоrательных лучей, считая, что входной зрачок совпадает
с оправой rлавноrо зеркала: (1.1  о, (1.,9  1, h 1  {'Об  1, 1  1,
1 == 1, У1  Bp о. Для системы в воздухе n1 n,9 1, n:  -1. Аналоrично
расчету системы типа KaccerpeHa найдем: d  8  k эк , так как уrол
а,9  1,
(1.: = (h1  h:)/d = (kэк + l)/d.
(6.11)
347

Расчет и проектирование оптических систем
{;5
6"
а)
{;5
s'z
6)
Рис. 6.9. Зеркальный объектив типа rpel'OpH:
а) оптическая схема объектива;
б) ход первоrо и BTOpOI'O ВСПОМОl'ательных лучей в объективе
Тоrда радиусы кривизны поверхностей зеркал определятся как
r 1 =  2/0.2' r 2 := 2k эк /(1 + 0.2)' (6.12)
Для контроля правильности вычисления радиусов кривизны
двухзеркальных систем необходимо определить фокусное расстояние
объектива как {'Об == O,5r 1 r 2 /(r 1  r 2  2d).
Вычислим коэффициенты аберраций s... s; с учетом принятых
условий нормировки, полаrая, что У1 == Sp == О, У2 == У1  d2 == d. Тоrда
348

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
S;' = 0,25[CX + k эк (l  cx)(l  сх:)];
Sп = 025d(1  cx)(l  cx:) 0,5;
Sпr = d: 0,25( 1  cx)(l  сх: )/k эк 
 (d/ k э Х 1  сх ) + сх: + (1 + сх: )/ k эк ;
S;"y = [cx: + (1 + сх:)/k эк ] = (<I'l + <1':);
S; = d:(l  CX)[d(l  cx:) 6]/( 4k;K) + 2d(1 + cx:)/k;K'
(6.13)
Анализ формул (6.9)...(6.12) показывает, что чем меньше уrол <Х:,
тем больше радиусы кривизны зеркал ry и, следовательно, тем мень-
ше будут аберрации TpeTbero [см. формулы (6.10) и (6.13)] и высших
порядков.
Значение уrла сх:, как это следует из формул (6.8) и (6.11), зави-
сит от длины отрезка 8 (выноса плоскости изображения) и коэффици-
ента экранирования k эк , Чем больше вынос 8, тем меньше расстояние
d между зеркалами и больше уrол (х:, тем меньше радиусы кривизны
и больше аберрации высших порядков.
Оценим влияние 8 и k эк на аберрации в системах типов Kaccerpe-
на и rреrори. в табл. 6.2 представлены результаты расчета конструк-
тивных параметров, поверхностных коэффициентов Ру и W y зеркаль-
ных систем в зависимости от значения 8 выноса плоскости изображе-
ния при постоянном коэффициенте экранирования k эк  0,4, а также
значения аберраций TpeTbero порядка Аs{п и К пr при {' об  520 мм,
D/f'об  1:7, sp == О и 2оо  40.
Из табл. 6.2 следует, что оптимальным является вариант с 8  О.
Обычно в зеркальных системах 8  (0,05...0,15) 'об'
Как показывают расчеты, при одних и тех же исходных данных
Система типа KaccerpeHa имеет значительно меньшие аберрации, чем
система типа rреrори. Но в системе rреrори есть промежуточное дей-
ствительное изображение в отличие от системы KaccerpeHa, система
rреrори дает прямое изображение и иноrда эти обстоятельства явля-
ются решающими.
Оценим влияние коэффициента экранирования k эк на аберрации
в зеркальной системе типа KaccerpeHa. Результаты расчета парамет-
349

Расчет и проектирование оптических систем
Значения параметров систем типа Кассеrреиа (1) и
rреroри (11) и аберраций тpeтъero порядка при:
Парам:етр 8 О 80,I(oo 8O,2(oo
1 11 1 П 1 П
d] 4>,4 4>,4 -...(),3 4>,3 ,2 ,2
<Х: 1,5 3,5 2,0 4,66666 3,0 7,0
r] 1,3333 4>,571428 1,0 ,4285 ,6666 4>,28571
r: 1,6 0,177777 4>,8 0,141176 ,4 0,1
P 1 0,844  10,718 2,0 25,407 6,75 85, 750
Р: 4>,781 7,031 2,25 19,046 8,0 72,0
W] 1,125 6,125 2,0 10,888 4,5 24,5
W: 4>,625 5,625 1,5 10,388 4,O 24,0
 0,532 13,53 1,1 33,025 3,55 114,55
i 0,812 3,312 1,175 6,214 2,1 14,90
дsf;; 4>,706 17,941 1,457 43, 791 4,708 151,893
Кш 0,113 0,459 0,163 0,863 0,292 2,071
Таблица 6.2
Таблица 6.3
Значения парам:етров и аберраций Tpeтbero порядка в системе
Парам:етр типа Kaccerpeнa при коэффициенте экранирования k..:
0,3 0,35 0,4 0,5
d l ,25 ,3 ,35 1,45
<Х: 2,8 2,166667 1, 71428 1,111111
r l , 71428 , 923076 1,16667  1,800000
r: ,33333 ,6 1,120 ,O
Р] 5,488 2,543 1,259 0.343
Р: ,498 2, 925 1,316 ,124
W 1 3,920 2,347 1,469 0,617
W: 3,420 1,847 4>,969 4>,117
 3,539 1,519 0,733 0,281
i 2,124 1,378 0,960 0,556
дsf;; 4,709 2,020 4>,976 4>,374
КШ 0,296 0,192 0,134 0,077
Jls" 4,678 2,024 4>,987 ,334
Д(' 8,875 2,213 4>,302 0,328
, Аберрации вычислены для ( 500; D/(  1:7; 2Ф  4'.
350

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
ров системы при ()  0,05(06  const и переменном коэффициенте эк
ранирования приведены в табл. 6.3.
Из табл. 6.3 следует, что с увеличением коэффициента экраниро
вания аберрации уменьшаются, но, как было отмечено выше, при этом
происходит перераспределение интенсивности света в дифракционном
изображении точки за счет сужения кружка Эри, увеличения и уси
ления дифракционных колец. В результате падает контраст в изобра
жении и ухудшается ФПМ.
Рекомендуемые значения k эк  0,25...0,50.
Обратный (реверсивный) телеобъектив типа KaccerpeHa
(рис. 6.10). В таком телеобъективе (об L, а 8,» f:б; и ero используют
тоrда, коrда изображение необходимо вынести подальше от поверхно
стей зеркал при небольшом значении (06' При расчете системы вынос
8 плоскости изображения в явном виде обычно не задается, а задает
ся значение т  8/8'2' Система имеет центральное экранирование, и
для определения экранированноrо пучка точку Уо6 необходимо соеди
нить с точкой К на зеркале 1 (штриховая линия) и продолжить направ
ление этоrо луча до поверхности зеркала 2. Затем надо построить OT
раженный луч от первоrо зеркала (пучок между штриховой линией и
оптической осью экранируется). Коэффициент экранирования
k.aK = а.з/ аз.
otf.O ёi J f05
(06
а)
N
ос:
'
1i
б)
'-!
Рис. 6.10. Оптическая схема обраТIIоrо (ревеРСИВIIоrо) объектива типа
Кассеrреиа при s 1  oo
а) оптическая схема объектива; б) ход первоrо вспомоrательиоrо луча
351

Расчет и проектирование оптических систем
Из рис. 6.10, 6 следует, что уrол а з = h1/8, тоrда при принятых
условиях нормировки (а 1 ==0; аз  1; h] == t'об  1) запишем, что
k зк = а з = 1/8 = 1/(тB) и тоrда B = 1/(тk зк ). В то же время поскольку
а з == 1, то B = h 2 = 1/(тk зк ),
Определим расстояние d между зеркалами. В соответствии с рис.
6.10,6 запишем d= 8B; = тв; B = B;(т1), тоrда
d = (т  l)/(тk зк ), (6.14)
а уrол
а 2 = (h]  h 2 )/d = (тk зк  1)/(т  1). (6.15)
Вычислим радиусы кривизны поверхностей зеркал реверсивноrо
телеобъектива:
r]  2/а 2 = 2(т  l)/(тk зк  1);
r 2 = 2h 2 /(1 + ( 2 ) = 2(т  1)!{ тk зк [т(1 + kзк) 2]}.
(6.16)
Световые диаметры зеркал и отверстия в зеркале для всех типов
рассмотренных выше зеркальных систем определяются из расчета
хода полевых лучей по формулам расчета хода BToporo вспомоrатель
Horo луча, а именно
n13  nvl3v = Уу (n  nу )/rv ;
Уу+] = Уу  dvl3,
rде 131  tg 0)1' У]  координаты полевоrо луча на входном зрачке.
Удвоенная максимальная высота на соответствующей поверхно
сти зеркала определяет ero световой диаметр *).
Зеркальная телескопическая система типа Мерсенна. Телескопи
ческая система типа Мерсенна по схеме rалилея (рис. 6.11) состоит из
двух зеркал, расположенных так, что точка фокуса F'] первоro зеркала
совпадает с точкой фокуса F' 2 BToporo зеркала.
Найдем конструктивные параметры системы, если заданы увели
чение r т  УО и расстояние d между зеркалами. Расчет выполним при
нормировке: a] аз  о, h] == 1; при n] == n з  1, n 2 == 1, 1 == 1, 13] == 1
ИУ1==SР==0,
Известно, что уrловое увеличение
Уо = tl/t; = r]/r2 = h]/h2 = D]/D2'
(6.17)
') После определения световых диаметров зеркал оказывается, что пэк свое значение уве-
личивает, поэтому следует учитывать виньетирование для наклонных пучков.
352

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
r 1 = 2dy 0/( У о  1);
'/ ( ) (6.18)
r g =r 1 /yo=2d/ yol.
Выполним аберрацион
ный анализ зеркальной си-
стемы в области аберраций
Tpeтbero порядка. Для это-
rO найдем значения коэффициентов аберраций SI...Sy, задавшись зна
чением промежуточноrо уrла а 2 == 1. тоrда h 1 == 1. При принятых ус-
ловиях нормировки получим следующие значения параметров Pv И
W v . по поверхностям:
Для определения KOHCТ
руктивиых параметров сис-
темы воспользуемся форму-
лами расчета хода первоrо
вспомоrательноrо луча.
Для первой поверхности
n 2 а 2  n 1 а 1 ==h 1 (n 2  n 1 )/r 1 .
тоrда а а == 2h 1/r1. Кроме
Toro. Ьа == h 1  da 2 , и тоrда.
разделив правую и левые
части уравнения на h l' по-

лучим 1 /уо == 1  2d/r 1 .
Найдем радиусы кри-
визны зеркал:
{,' ........
. .... 
F2
d
а)
н: р
rij:D
ё
I
! d.
f:
5)
Рис. 6.11. Телескопическая система типа
Мерсенна, построенная по схеме rалилея:
а) оптическая схема; б) ход первоrо
вспомоrательноrо луча
 = a/4 = 1/4; Ра = a/4 = 1/4;
 = a/2= 1/2; W 2 = a/2= 1/2.
Так как входной зрачок совпадает с оправой первоrо зеркала, то
Вр == О и У1 == Вр == О, тоrда Уа == У1  d13 2 == d =='1 '2 == (1  Уо)l'Y о ' азначе
ния коэффициентов аберраций в соответствии с формулами (6.10) бу
дут равны:
 = (Уо 1)/(4yo); s;; = (Уо 1)/(4yo);
S'i'Il=(Yo1)2/(4yo); y=yol;
s; = (у о  1)8/( 4уо)+ (Уо  1ХЗ+ У 0)/2.
(6.19)
353

Рас..ет и проектирование опти..еских систем
Пример 6.2. Выполнить I'абаритный расчет четырех двухзеркальных систем  типа
KaCCeI'peHa, с зеркалами равных радиусов кривизны, двухзеркальноI'О объектива с KOH
центрическими зеркалами и системы типа rреI'ОрИ  и сравнить их по аберрацням. Фо-
кусное расстояние объективОв типа KaCCeI'peHa f'..  250 мм, типа rреI'ОрИ f'..  250 мм;
относительное отверстие для всех систем 1:4; УI'ловое поле 200  40; плоскость ВХОДНОI'О
зрачка совпадает с вершиной I'лавноI'О зеркала, коэффициент экранирования k..  0,4.
Для систем типов KaccerpeHa и rреI'ОрИ вынос плоскости изображения о  o,2f...
Решение. rабаритный расчет системы типа KaCCeI'peHa выполним по формулам (6.8)
и (6.9), системы типа rреrори  по формулам (6.11) и (6.12), а расчет двух зеркальных
систем с зеркалами равных радиусов кривизны и с концентрическими зеркалами  по
формулам, приведенным в табл. 6.1.
ТОI'да СОI'ласно указанным формулам при нормировке fl. 1  О, fl. в  1 найдем конст-
руктивные параметры систем и сведем их в таблицу (см. табл. 6.4). В этой же таблице
представлены результаты аберрационноI'О анализа рассчитанных систем.
Таблица 6.4
Формулы для raбаРИТIlоrо расчета зс Аберрации точки на оси
различных конструкций
т /),.s' !!.' !!.у' 11,%
зс типа Кассеереnа
При f  1
d  о  k эк  0,2  0,4  0,2; 15,6 1,74 2,44 ,11 0,41
а 2  (1  k..)!d  (1  0,4)!(0,2)  3; 22,1 3,47 ,88 ,32 0,82
Т 1  2/а 2  2/(3)  O,666667; 27,1 5,20 7,31 ,58 1,24
Т 2  2k",/(1 + ( 2 )  2.0,4/(1  3)  0,4; 31,5 ,93 9,73 4J,91 1,65
Т 1  166,667
d  50 при f  250 мм
Т 2   100,0
зс типа Кассеерена с IWнцентрическuми
зеркалами
При f == 1
d == (1  k",Y/(1 + k".)  O,257143; 15,6 4J,83 4J,83 ,05 0,29
а 2  (1  k,,)/d == 2,33332; 22,1 1,67 1,67 4J,15 0,57
Т 1  2(k эк  1)/(1 + k,,) == O,857143; 27,1 2,50 2,50 ,28 0,86
Т 2  Т 1  d  ,6; /)  0,142857; 31,3 3,34 3,45 ,43 1,15
Т 1  214,286
d  64,28 при f == 250 мм
Т 2  150,0
354

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
Продолжение таблицы 6.4
Формулы для raбаритноrо расчета зс Аберрации точки на оси
различных конструкций
т !!.s' !!., !!.у' 11,%
зс типа Кассеере1И с зеркалами равных
радиусов (Т 1  тз)
При r  1
d  (1  k.Y  0,36; 15,6 ....{),34 ....{),08 ....{),02 0,18
а. з  1/(k. K  1)  1,66667; 22,1 ....{),67 ....{),16 ....{),06 0,36
Tl\ 2/а. з  2/(k эк  1)  1,2; 27,1 1,01 ....{),25 ....{),11 0,55
Тз  Т 1  1,2; /)  0,04; 31,1 1,35 ....{),33 ....{),17 0,73
TJ  зоо
d  90 при r  250 мм
ТЗ  зоо
зс типа rpezopu
Расчет при r  1
dok эк;::: ----0,2; 15,6 34,6 99,4 3,61 1,73
аз  (1 + k.)/d 7,0; 22,1 49,8 143,4 10,6 2,45
rJ  2/аз  O,285714; 27,1 58,3 167,6 20,3 2,91
r з  2k.,/(1 + аз)  0,1; 31,3 63,6 182,5 33,3 3,35
При r  250
rJ  71,4286
d  50
r з  25,0
Нормировка: а 1  О, а. з  1, h 1  1
Пример 6.3. Выполнить расчет системы типа Мерсенна, если уrловое увеличение
системы у о  4, расстояние между зеркалами d  60 мм, относительное отверстие D /f' 
 1: 1, уrловое поле 200  20.
Решение. Расчет выполним при нормировке а 1  аз  О, аз  1, тоrда в соответствин
с формулами (6.18) найдем:
rJ  2dYol(1  уо)  2(60)4/(1  4)   160
d  60
r з  r/y o 160/4  40.
Коэффициенты аберраций найдем, полаrая, что аз  1, h 1  1, Y J  О, УЗ  (1 Yo)/Yo:
355

Расчет и проектирование оптических систем
вт. =(yo1)/(4yo)=(41)/4. 4= 3/16= 0,1875;
Вт.! = (у о  1)/(4у о) = 0,1875;
Вт.п = (1  уо)2 /(4уо)= (1  4)2/16 '= 9/16 = O,5625;
8т.v=(Yo1)=3;
Ву = (1 yo)3 /(4уо)+ (1  Уо )(3 + уо)/2 = 195/16 = 12,1875.
Двухзеркалъные системы ДJIЯ предмета
на конечном расстоянии
Коэффициент экранирования. На рис. 6.12,6.13 даны схемы
двухзеркальных систем разных. :конструкций. Коэффициент k эк цeHT
ральноro экранирования в расс:матриваемых системах, которые усло
вимся называть соответственно прямой (рис. 6.12) и обратной (рис.
6.13), зависит от диаметров зеркал, но не определяется их отношени
ем. Для предмета на конечном расстоянии в систему из точки на оси
направляется конический пучок лучей (в отличие от цилиндрическо-
ro пучка для предмета в бесконечности), и поэтому коэффициент эк-
ранирования определяется не отношением высот h 2 и h 1 на зеркалах,
а отношением уrлов а первоrо :вспомоrательноro луча, под которыми
из точки А предмета (или точки А' изображения для обратной систе-
мы) видны края зеркал.
Для прямой системы k эк = а l/а 1 ,но аl = h 2 /(Sl  d), поэтому
k эк = h 2 /[(Sl  d)a 1 ].
(6.20)
Для обратной системы k эк === аз/аз. в соответствии с нормировкой
первоrо вспомоrательноrо луча аз == 1, поэтому K = аз . Однако часто
при расчете задается отношение т == '6/S'2' но при аз == 1 S'2 == h 2 . На
рис. 6.13, 6 видно, что аз = h 1 /o == h 1 /(тh 2 ) , поэтому окончательно име-
ем
k эк = h 1 /'6 = h 1 /(тh 2 ). (6.21)
Полученные соотношения (6.20) и (6.21) являются основными при
расчетах данных систем. В сводной табл. 6.5 приведены формулы, по
которым определяют коэффициенты экранирования двухзеркальных
систем наиболее распространенных конструкций для разных положе-
ний предмета. Аналоrичные соотношения получаются для систем, со-
стоящих из сферическоrо и плоскоrо зеркал.
356

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркальнолинзовых систем
\
Рис. 6.12. Двух зеркальная система
типа KaccerpeHa для предмета на
конечном расстоянии s 1 *' oo:
а) оптическая схема; б) ход пер
Boro вспомоrательноrо луча
Рис. 6.13. Обратная система
ТИпа KaccerpeHa для предмета
На конечиом расстоянии:
а) оптическая схема; б) ход
первоrо вспомоrательноrо луча
А,
A
A
I,
L
а)
А,
d
sr
,
-а,
1.
6)
А,
A
s,
6
l
а)
N
...
А,
A
a,
1i
";
B,
l
357

Расчет и проектирование оптических систем
Особенности расчета прямой и обратной двухзеркальных систем.
Исходными данными для расчета прямой системы являются: 81 
предметное расстояние (или L  оптическая длина системы); 130  ли
нейное увеличение; 8 р  отрезок, определяющий положение BXOДHO
ro зрачка; k эк  коэффициент экранирования; 8  вынос плоскости
изображения; 2у  линейное поле; А  числовая апертура.
При расчетах надо принимать во внимание известную нормиров
ку первоrо вспомоrательноrо луча при 8] 7:- 00: а] == 130; h]  8]а] == 8]130;
аз == 1.
Из рис. 6.12, б видно, что d  8  h 2 при аз  1, тоrда с учетом фор
мулы (6.20) получим
d = (k эк 8]130  8)/(k эк I30  1). (6.22)
Уrол а 2 и радиусы кривизны поверхностей зеркал определим по
известным формулам расчета хода вспомоrательноrо луча, которые
являются общими для всех двухзеркальных систем:
а 2 = h]  h 2 .. r] = .. r 2 = 2h 2 (6.23)
а]+а 2 а 2 +а з
При заданной длине L необходимо учесть, что 8] == 8  L (рис. 6.12,
а), тоrда h] == (8  L) 130' и надо соответственно преобразовать все фор
мулы.
Аналоrично проводится расчет обратной системы (рис. 6.13), для
которой в исходных данных вместо 8 часто задается величина
т == 8/8'2' С учетом (6.21) h 2 == h]/(тk эк ), но d == 8  h 2 , поэтому
d = 8]130 (т  l)/(тk эк ), (6.24)
Величины !Х2' r] и r 2 можно определить по (6.23).
Для получения приемлемых конструкций с удобным расположе
нием предмета и изображения прямую систему рекомендуется приме
нять при увеличениях 1130 1 > 1, а обратную  при 1130 1 < 1.
Таким же образом можно получить соотношения для расчета си
стемы, состоящей из сферическоrо и плоскоrо зеркал. В этом случае
в исходных данных задается либо 8, либо k эк , Расчетные соотношения
приведены в табл. 6.6 при нормировке а] == 130' а 2 == 1, аз == 1.
Аберрационный анализ. Рассматриваемые системы со сферичес
кими поверхностями целесообразно использовать при небольших
апертурах, поэтому часто достаточно выполнить анализ в области
аберраций TpeTbero порядка. Для этоrо вычисляют параметры Pv' W v '
Ily, суммы 3ейделя и аберрации TpeTbero порядка. Ниже приведены
формулы в общем виде без учета нормировки, что делает их более уни-
358

rлаsа 6. Расчет зеркальных и зеркальнолинзоsых систем
Таблица 6.5
NM Оптические схемы k эк
п/п днухзеркальных систем
1  k эк  h z /h 1  Dz/Dl
"" ''112
2 h'== k эк  h z /h 1  1/10
\
3  k эк  hz/h1
h%
4  k эк  hz/h1  1/10
h%
5  k.K  аз/аз  h//o
6  -  k.K  аз/аз = h 1 /o
h. "
7  k эк = аз/аз = h//o
8  k эк = а1/а1  hzj[(s/ d)a/]
9 - k эк = а//а/
359

Таблица 6.6
."
0:0
(')
J:
Ф
...
S
::1
'8
ф

s
'8
'"
0:0
ж
s
ф
о
::1



х
n
s
n

!I::
(,)
m
о
Н!М Оптические схемы и исходиые d h z а, Общие
п/п данные для расчета соотвошения
1 I k.к oS l o lid В/>о  h, h l = 81РО
k..o  1 d
8.1I"".8
81 = О  L
h l h,
 0,= d
2  Lk..o + о б d
.. -- 1 k..Po d 
%,1111(.8 r l =
111 +11,

r, =
(тl) 11,+113
3   В/>о  h,
mk.. mk". d !'= O.5r 1 r,
s,.II,...",.4/,,; r l r,2d

Продолжение таблицы 6.6
ММ Оптические схемы и исходные d h z a z Общие
п/п данные для расчета соотношения
2п
'l=
 SIPO(k.к  1) al  1
4 1 + k.к130 h l + d  с--1  аз 'z = 00
 k. K I3O< S 1  d) " = 0,5'1
s"k. o=d+h z
11301> 1
 h l (l  k"K) п l +dl3o = '1 =00
5 k"K (o + 1) = hl(h.K +130) 130  al r
zl+az
з"k lК k.к(130 +1) " = 0,5r z
o=d+h z
1130 1<1
;'
'"
'"
'"
!"
."
'"
(')
J:
Ф
...
...
ф
"с

IТ
Ж
!I:
х
:s:
fg
"с

g:
о

:s:
ж
...
О
'"

n
:s:

!I::
(,)
m
....

Расчет и проектирование оптических систем
версальными и приrодными для различных нормировок nepBoro вспо
моrательноrо луча:
Р1 == 0,25(a  ап(а 1  ( 2 );
Р2 == 0,25( а;  а)(аз  ( 2 );
W 1 == 0,5( а;  ап; W 1 == 0,5 (а;  a);
W 1 + W 2 == o,5(a  ап;
П 1 == а 1 + а 2 == h1Ф1; П 2 == (a2 + а з )== h2Ф2;
81 == h 1 P 1 + h 2 P 2;
8 п == Yl + У2 Р 2  0,5I( a  ап;
у2 у2
8 ш ==  + P2 
h 1 h 2
 2I ( 1LL W + У2 W ) + 1 2 ( ф + Ф ) .
h 1 h 2 1 2'
1 2
8 1y == П 1 /h 1 + П 2 /h 2 == (Ф1 +Ф2);
уЗ уЗ
8у ==   +  Р 2
h 1 h 2
3I ( Y; W + у; W )  212 ( ILLп + п ) .
h2 1 h2 2 h2 1 h2 2
1 2 1 2
(6.25)
Следует обратить внимание на то, что при п 1  1 инвариант Лаr
ранжа  rельмrольца 1  1(8p  8 1 )а1' а при 8 р == О, что наиболее xa
рактерно для рассматриваемых систем, 1  h1'
Аберрации TpeTbero порядка вычисляют по известным формулам
[12].
Качество изображения двухзеркальных систем во MHoroM зависит
от конструктивных условий, и ero можно несколько улучшить, Bapь
ируя значения 81' k эк и 8 в приемлемых пределах.
При расчете необходимо контролировать значения d и 8'2' завися.
щие от исходных данных, так как должны соблюдаться соотношения
I d I < 8'2 И I d I < I 811, чтобы предмет и изображение были расположены
вне системы.
362

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
Пример 6.4. Определить конструктивные параметры и выполнить аберрационный
анализ трех двухзеркальных систем:
1-я система (прямая, см. схему 1 в табл. 6.6), если В/  50, o  8, k. K  0,33, о  25,
Вр  О, А  0,4226 (О'А  250);
2-я система (обратная, см. схему 2 в табл. 6.6), если В/  50, o  8, т  О/В': 
 0,6; k  0,38, о' А  250;
3-;' система (обратная, см. схему 3 в табл. 6.6), если В/  200, o  o, 2, т  0,6,
k  0,38, cr'A' 250.
.. Решен.ие. Расчет систем про водится по формулам, приведенным в табл. 6. 6. Резуль-
таты расчета систем сведены в табл. 6.7 с соблюдением ero последовательности.
Для 1 -й (прямой) системы из точноrо аберрационноrо анализа в плоскости raycca
имеем: ду'  0,295, а при у  1 мм получено: z'  3,84; z'  4,16; ду'  0,056, Т.е.
(ду' /у') 100%  0,7%. т, Д
д
Приведенный расчет подтвердил, что обратную систему нецелесообразно использо-
вать при 1 o 1 > 1 (см. результаты расчета 2-й системы в табл. 6.7), так как это приводит к
практически неприемлемой конструкции, коrда 1 В/ I < I d 1, т .е. предмет расположен меж-
ду зеркалами, к тому же получается система с первым BorHYТblM зеркалом.
Следует обратить внимание на большие значения параметров Р. на поверхностях и
сумм SI' что обусловлено особенностями нормировки первоrо вспомоrательноrо луча при
В/ с# , при которой все вычисления выполняются для системы с реальными значения-
ми отрезков и конструктивных параметров.
Таблица 6.7
Результаты расчета трех двухзерк8льных систем:
Параметр
1-й 2-й 3-й
h 1 400 400 40
h z  в': 54,3956 1754,386 175,438
d 29,3856 701, 754 70, 1754
Ot : 11,7570 1,9300 1,9300
r 1 40,4920 131, 796 46,2428
r z 10,1135 1197,533 119,753
L 75 1102,63 305,262
о 25 1052,63 105,262
Рl 69,718 149,633 1,962209
Р: 437,6бl 0,633539 0,633539
W 1 37,1135 ЗО,,1376 1,84245
W z ---68,6135  1,36245  1,36245
8. 4080,91 60964,6 32,6588
ду'ш 0,33 4,94 1,36
Э6Э

Расчет и проектироваНИе оптических систем
АПJIаиатические двухзеркальиые системы
При расчете двухзеркальных систем, апланатических в области
аберраций TpeTbero порядка, исходными являются условия исправле
ния сферической аберрации и комы, Т.е. 81 == О И 8 п == о.
Положив, что h 1 == 1, при а 1 == o получим 81 == h 1 /a 1 == 1/o, аз == 1.
Инвариант I == n 1 (8 р  81)lal == 1, так как 1 == 1, 8 р == о. С учетом это
ro У2 == d, h 2 == 1  da 2 .
Сделаем вывод в общем виде, учитывая лишь, что 8 р == О, И при
нимая h 1 == 1. Это позволит впоследствии получить соотношения и для
частных случаев. Вывод справедлив и для 8 р *- о.
Составим уравнения для первых двух сумм 3ейделя:
81 == h 1 P l + h 2 P 2 == (a  ап(а 1  ( 2 )+
+ (1  da2Xa  а)(аз  ( 2 )== о;
8 п == dP 2 + W 1 + W 2 ==
=(аа)(аза2)+  (aaп==o.
Из последнеrо уравнения получим
d ==  2(а;  aп/[(a  а;Ха з  а 2 )]. (6.26)
Подставив (6.26) в уравнение 81 == О, после преобразований полу
чим a  а 2 (а 1 + аз) (а; + а 1 а з + ап == О, откуда
а2 == (al +а з 1: 5a; + 6а1аз + 5a).
Под корнем всеrда получается положительное значение при лю
бом ар поэтому последнее уравнение дает два вещественных значения
а 2 .
Обозначим
D ==  5a; + 6а 1 а з + 5а:
и в результате получим
1
а2 == 2(а 1 + аз 1: D).
С учетом (6.28) уравнение (6.26) примет вид:
d == [2/(al +аз)З](а; +а 1 а з + 2а; +a 1 D).
(6.27)
(6.28)
(6.26')
364

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
Найдем
h 2 == 1da.2 == [1/(а 1 +аз)3][2(а aп:t(a.; +anD].
Определим радиусы кривизны, используя соотношение (6.23):
2h 1
r 1 ==
а 1 +а 2
1
2 2 (а 3 + 3 а 1 + D );
аз  а 1
(6.29)
r == 2 h 2 == 1 х
2 а 2 +а з (а1+аз)2(а.;ап
х [a  5а 1 а;  7a  5а.:а з 1: (a + за.пD].
Сравнение (6.29) и (6.30) показало, что r 2 == r 1  d, Т.е. система яв
ляется концентрической, поэтому свободна от астиrматизма и дистор
сии, но имеет большую кривизну изображения [25]. Для устранения
ее влияния предмет и изображение должны быть расположены на сфе-
рических поверхностях, концентричных с отражающими поверхнос
тями объектива.
Фокусное расстояние для двухзеркальной системы при В 1 ;f:. oo
определяется как
f' == {1/[(а з  a1Xa  ап]}(а; + а 1 а. з + 2а: +a 1 D).
Для оценки положения плоскости изображения необходимо
вычислить вынос плоскости изображения
(6.30)
i) == d + h 2 .
Коэффициент центральноrо экранирования k зк при В 1 ;f:. oo зави
сит от положения предмета и линейноrо увеличения системы и опре
деляется поразному для прямой и обратной систем (см. табл. 6.6).
При синтезе апланатических систем для предмета на конечном
расстоянии последовательно находят а 2 из (6.27) и (6.28), d из (6.26'),
а затем h 2 , r 1 и r 2 из общих формул (6.23), коэффициент экранирова
ния  из (6.20) для прямой системы (а 2 < О) и из (6. 21) для обратной
системы (а. 2 > О).
При принятой нормировке первоrо вспомоrательноrо луча, Kor-
да h 1 == 1, а. 1 == O' а В 1 == h 1 /a 1 , конструктивные параметры оказывают-
ся рассчитанными дЛЯ В 1 == 1/o. Для их приведения к реальному
заданному значению В 1 надо эти параметры и i) умножить на коэффи-
циент М == В 1 зад/В 1 == В 1 зад O'
365

Расчет и проектирование оптических систем
Фокусное расстояние реальной системы можно определить так:
{' == O,5r1r2/(r1  r 2  2d).
Прямую систему можно рекомендовать к применению при увели
чениях 10 < o < 5, а обратную  при O,2 < o < O,1. Указанные
диапазоны увеличении позволяют получить системы с удобным рас-
положением предмета и изображения, коrда 1811> 1 d 1,8'2> 1 d 1.
Для бесконечно удаленноrо предмета расчетные соотношения для
апланатической двухзеркальной системы найдем, положив, что а 1 
 о в уравнениях (6.26)(6.30). Тоrда получим два решения квадрат-
Horo уравнения a  а 2  1 == О, представленные в табл. 6.8.
Таблица 6.8
Решение
Параметр
первое второе
a- z 1,6180339 ---{),6180339
r] 1,236068 3,236068
r z 3,236068 1,236068
s 2 2
h z  s'z 4,236068 ....{},236068
Sz 2,618034 ....{},381966
k 0,447 0,236
эк
Оптические схемы систем, соответствующие двум решениям, при-
ведены на рис. 6.14. Второе решение с 8'2 < О практическоrо интереса
не представляет.
а)
5)
Рис. 6.14. Оптическая схема двухзеркальной апланатической системы:
а) схема для первоrо решения уравнения; б) схема для BT<Jporo решения
уравнения
366

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркальнолинзовых систем
Рассмотренные системы применяют в объективах микроскопов, pa
ботающИх в дальней ультрафиолетовой области. Обычно их рассчи
тывают в обратном ходе лучей для Toro, чтобы выдержать оптическую
<--
длину тубуса, и принимают следующую нормировку: h 1  1; а 1  ljo;
<-- <--
h 1 81/o, тоrда8 1  o.
Однако в этих системах коэффициент центральноrо экранирова
ния k эк увеличивается с ростом o объектива, поэому их можно при
менять при малых значениях o. Например, при o  0,25, т.е. o 
4, k эк  0,3, что соответствует предельному значению экранирования,
устанавливаемому по дифракционному распределению световой энер
rии в кружке рассеяния. Поэтому рассматриваемые системы обычно
прим'еняют в виде насадок к микроскопам с большим рабочим paCCTO
янием и в объективах высокотемпературных установок.
При 81  oo первое решение можно использовать в качестве ис
ходноrо варианта при расчете кардиоидконденсора для микроскопа
или для объектива с бесконечно большой оптической длиной тубуса,
коrда o  oo. Эта система также находит применение в системах для
концентрации лазерноrо излучения, оптикоэлектронных приборах.
Следует отметить, что объективы имеют малые аберрации высших по
рядков. Например, при Djf  1:1 Д8'  Д' == 0,00167f.
Пример 6.5. Рассчитать апланатические двухзеркальные системы: прямую систе-
му при 81  200 и увеличениях o  5; 3,333; 10; обратную систему при 81  200 и
o  0,1; 0,2; 0,3333. Пересчитать полученную систему с .  3,333 на предметное
расстояние 81  100.
Решен.ие. Результаты расчета систем сведены в табл. 6.9.
Таблица 6.9
o ---{),1 ---{),2 ---{),3333 10 5 3,333
81 200
(Х2 1,504751 1,4000 1,276170 15,0475 7 4,35030
h 2 113,377 320 937,827 352,806 125 55,2698
r l 28,4748 66,6666 141,398  159,696 166,666 173,519
r 2 90,5296 266,166 824,040 50,2304 41,666 32,9939
d ...-.62,0548 200 ...-.682,642 109,466 125 140,526
k эк 0,390 0,333 0,261 0,389 0,333 0,278
1) 51,322 120,00 255,185 243,340 О 85,256
Как следует из расчетов, при o  0,3333 предмет оказывается расположенным
между зеркалами, так как 1 81 1 < 1 d 1, а при a  3,333 8'2 < 1 d 1, т .е. изображение располо-
жено внутри системы, между зеркалами. Кроме Toro, при I o I < О, 1 и I a 1 > 10 коэффи-
циент экранирования k становится больше 0,4. Этот пример иллюстрирует правомер-
ность рекомеидаций по ;ыбору увеличении.
367

Расчет и проектирование оптических систем
Зиачеиия остаточиых аберраций ДЛЯ точки на оси при А  0,4226 (а А  250), полу-
чеииые в результате точиоro аберрациониоrо анализа системы с увеличением 130   10,
8,  200, указаны в табл. 6.10.
Таблица 6.10
lootgcr' Ав' ду' 11.%
О О О О
2,117 0,262 0,0056 ,OO
2,990 0,901 0,0289 ,02
3,652 2,140 0,078 ,04
4,199 3,987 0,167 0,00
Фокусиое расстояние системы r  36,64 мм.
Система практически аплаиатичиа при А  0,35, Т.е. имеет малые аберрации выс-
ших порядков иесмотря на то, что ее расчет выполиеи в области аберраций третьеrо по-
рядка.
Выбранная иормировка Первоl'O вспомоrательиоl'O луча, коrда 8,  130 (так как h, 
 1), позволяет леrко пересчитать систему для даниоrо увеличеиия на дрyroе предметиое
расстояние 8,.
Пересчитаем систему с 130  3,33 иа 8,  100. Коэффициент масштабироваиия
М  100/200  0,5, поэтому, умиожив иаэтот коэффициеит коиструктивиые параметры
системы, получим:
r 1  86, 7595
d  70,26
rJ  16,4970
r  10,18; 130  3,333; 8'  27,66.
При А  0,4226 кружок рассеяния в плоскости raycca 2L1.y'  0,036, коэффициеит
изоплаватизма 1'\  O,09%.
Аиалоrичнодля системы с увеличеиием 130  0,1 после пересчета на 8,  100 име.
ем:
r,  14,2374
d  31,03
rJ  45,2648
r  10,38; 8'  56,68.
Кружок рассеяиия в плоскости raycca при А  0,04937, что соответствует
a'A' 29,550, составляет 2ду'  0,046, 1'\  0,26%.
Приведеиные примеры свидетельствуют о малых аберрациях при апертурах до
0,35...0,4.
Двухзеркальиые системы с двумя проходами лучей
между зеркалами
Создание специальных оптических систем потребовало расчета
длиннофокусных зеркальных коллиматоров ('об;: 3...5 м) с относи-
тельно малыми rабаритными размерами. Сократить длину коллима-
тора можно, если ввести в рассмотренные выше двухзеркальные схе-
368

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линЗОВЫХ систем
мы типов KaccerpeHa и rреrори дополнительные зеркала. Известны
Tpex и четырехзеркальные системы со сферическими и асферически
ми зеркалами [19].
Рассмотрим работу и расчет двухзеркальных систем, но с ДBYKpaT
ным отражением света от nepBoro и BToporo зеркал из условий ис
правления сферической аберрации и меридиональной комы.
Оптические схемы объективов, построенных по схемам типов Kac
cerpeHa и rреroри, представлены на рис. 6.15.
rабаритный расчет систем выполним при следующих условиях
нормировки:
ДЛЯ схем на рис. 6.15, а, б: а 1 == О, а б == 1, h 1 == r == 1, причем для
. схемы на рис. 6.15, а h 2 > О, k эк == h 2 ; для схемы на рис. 6.15, б h 2 < О,
k эк == h2;
для схем на рис. 6.15, в, е: а 1 == О, а б == 1, причем для схемы на
рис. 6.15, в h 2 > О, k эк == h 2 , а для схемы на рис. 6.15, z h 2 < О,
k эк == h2'
"z.".
d,,,,dJ
а)
fti;
6)
rx.,.o
FJ,
е)
6)
Рис. 6.15. Оптические схемы двухзеркальных систем, построенных по схемам
типов KaccerpeHa и I'pеrори, с двумя проходами лучей между зеркалами:
а) hJ < о; б) hJ < о; 6 ) h z > О; z) h z < О
Для всех систем в воздухе n 1 == n з == nб == 1, n 2 == n 4 ==  1 и, кроме
Toro, при двойном проходе лучей d 1 == d з == d2'
Определим конструктивные параметры объективов. Для этоrо
Вначале выразим значение высоты h4 через конструктивные парамет
ры системы rl' r 2 , dl' k эк , Воспользовавшись формулой расчета хода
nepBoro вспомоrательноrо луча, запишем:
369

Расчет и проектирование оптических систем
h4 = h з  d з CJ. 4 = h 2  d 2 CJ. з  d з CJ. 4 = k эк + d 1 (CJ. з  ( 4 ), (6.31)
rде CJ. з = a2 + 2h2/r2" а 4 = CJ.з + 2h з /r з , тоrда, если r з == r 1
h4 = k эк + dl( а 2 + 2k эк /r 2 + CJ. з  2h з /r 1 ). (6.32)
Так как уrол а 2 == 2/r 1 и в то же время а 2 == (h 1  h 2 )/d 1 == (1  k эк )/d 1 ,
то
r 1 = 2d 1 /(1  k эк ), (6.33)
С учетом (6.33) выражение (6.32) после соответствующих преобразо-
ваний сведется к виду:
h4 = 2k;K  1 + 2d 1 k эк (1 + k эк )/r 2 . (6.34)
В то же время h 4 == (8  d 1) а 5 , И С учетом нормировки получим
h4=8dl' (6.35)
Приравняв (6.34) и (6.35) и выполнив элементарные алrебраические
преобразования,найдем
r 2 = 2d 1 k эк (1 + k эк )/(8  d 1  2k;K + 1). (6.36)
Кроме Toro, при двукратном отражении лучей r 4 == r 2 == 2hi(1 + ( 4 ),
тоrда, подставив значение высоты h4 и значение уrла а 4 , после ряда!
преобразований найдем
r 2 = 2d 1 ( d 1  8  k;K)/[ 2k эк (k эк  1) d 1 ]. (6.37)
Приравняв (6.36) и (6.37), после преобразований получим
df  d 1 (28 + k эк + 1)+ (1 + 8)(8  k;K)= О. (6.38)
Аналоrичным образом для схем, представленных на рис. 6.18, B,Z,
дЛЯ которых а 5 ==  1, находим
r z = 2 d 1 ( d 1  8 + k;K) /[ 2 k эк (1  k эк )  d 1]" (6.37') .
,
df  d 1 (28  k эк  1)+ (8  1)(8 + k;K) = О. (6.38') :
Задавшись выносом 8 фокальной плоскости относительно rлавно- ,
ro зеркала и коэффициентом экранирования k эк по формулам (6.33),
(6.37), (6.38) или (6.37'), (6.38') определим конструктивные параметры
системы, причем решение уравнения (6.38) в зависимости от знака
коэффициента экранирования приводит к двум видам схем: если,
h 2 > О, то система построена по схеме, представленной на рис. 6.15, а; ,
если h 2 < О, то система построена по схеме, приведенной на рис.
6.15,6.
370

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
Решение уравнения (6.38') также приводит к двум типам систем:
если h 2 > О  то к системе, представленной на рис. 6.15, в; если
h 2 < О  то к системе, приведенной на рис. 6.15, z. Но такие схемы на
практике применяются только как внеосевые.
В системах, схемы которых даны на рис. 6.15, а, 6, можно полу
чить малый коэффициент телесокращения (т  Ljf'об) при малом k зк ,
Но если объективы будут со сферическими поверхностями, то даже
при относительных отверстиях 1: 150 сферическая аберрация может
достиrать больших значений (сотни миллиметров). Поэтому в таких
системах используют чаще Bcero асферические поверхности, причем
коэффициенты деформации Ь 1 и Ь 2 поверхностей определяют из COBMe
cTHoro решения уравнений исправления сферической аберрации и Me
ридиональной комы (см. rлаву 7).
Пример 6.6. Найти конструктивные параметры двухзеркальноrо объектива колли-
матора, построенноrо по схемам, показанным на рис. 6.1б, а, 6, если 81  , '..  3 м,
h 2  0,1, Б  0,0011'.., D/f'..  1:50.
Решепие. Расчет выполним при нормировке: IX 1  о, ()..  1, f'..  1, h 1  '..  1. Для
системы в воздухе п 1  па  п.  1,п2 п. 1.
Тоrда уравнение (6.38) для системы со схемой, показанной на рис. 6.15, а, можно
записать в следующем виде:
d 2  1,102d  9,ОО9,10Э  О.
Из решения уравнения найдем два значеция расстояний между зеркалами: d 1 
. 1,11012, d 2  8,1145.10З. Приняв d 1  8,1145.10З, найдем
r j = 2d/(1  k эк )  2(8,1145.103)/(1  0,1)   1,80322,104;
r 2 = 2а(а  Б  K )j[2k эк (k эк 1) a] 2(8,1l45-103)(8,1145-103 0,001  0,12)/
/[2.0,1(0,1  1)  (8,1l45.103)]  1,80484.102.
Таким образом, конструктивные параметры двухзеркалъной системы, построенной
по типу KaccerpeHa, при h 2 > О И при f'..  3000 мм имеют следующие значения:
d  243,4
п 1  1
п:1
D
'"
600
D пол
650
r 1  540,967
r 2  54.1451
60
62
пa 1
Для зеркальной системы, построенной по типу зеркальиой системы rреrори, при
h 2  0,1, Б  0,001'.. и нормировке ().1  о, IX.  1 уравнение (6.38) примет вид:
а 2  О,902а  0,009009 = О,
Тоrда d 1  0,91188, d:  9, 88.1 оз . Приняв d  9 ,88.1 оз , найдем значения радиусов кри-
Визпы поверхностей зеркал r 1   1, 79636.101; r:  1, 79477.102.
371

Расчет и проектирование оптических систем
При r 011  3000 мм конструктивные параметры объектнва коллиматора нмеют
следующне значення:
D D.,",
с.
r,  539,455 п, 1 600 650
d  296, 7 п.l
r.  +53,8970 пэ 1 60 62
6.4.Компенсаторымонохроматическихаберраций
Аберрационный анализ зеркальных систем со сферическими зер
калами показывает, что все они обладают значительными монохрома-
тическими аберрациями, для компенсации которых либо в системы
вводят специально рассчитанные линзовые компенсаторы, либо повер-
хности зеркал делают асферическими.
Компенсаторы устанавливаются как перед зеркальной системой
в параллельных пучках, если предмет в бесконечности, так и внутри
ее, Т.е. в сходящихся пучках. Конструкция компенсатора должна
быть такой, чтобы он имел минимальные хроматические аберрации.
Рассмотрим некоторые схемы линзовых компенсаторов, которые
разделим на три rруппы: 1) афокалъные ахроматические компенсато-
ры  коррекционная пластинка Шмидта, двухлинзовые компенсато-
ры в параллельных и сходящихся пучках, компенсатор комы Чури-
ловскоrо; 2) неафокальные компенсаторы  мениск Максутова, лин-
зовые компенсаторы с отражающей поверхностью (линза Манжена,
склеенный и несклеенный компонент-отражатель); 3) компенсатор
кривизны поля (линза Смита).
Афокальные ахроматические компенсаторы
Коррекциоииаи пластинка Шмидта. Оптическая схема объекти-
ва с коррекционной пластинкой Шмидта пред ставлен а на рис. 6.16.
Ориrиналъная по простоте и осуществлению эта зеркальная система
1
2
Рис. 6.16. Оптическая
Схема объектива из
ОДИНОЧRОI'О зеркала И
корреКЦИОНRОЙ плас-
ТИНКИ Шмидта
372

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
была создана в 1931 r. и обеспечивала yrловое поле 200 == 400 относи
тельное отверстие D/f' == 1:2, в то время как известные ДBYX
зеркальные системы имели уrловое поле порядка нескольких уrловых
секунд.
Rоррекционная пластинка 1 с планоидной поверхностью YCTaнaв
ливается в центре кривизны (точка С) зеркала 2. Входной зрачок co
впадает с плоскостью пластинки, и поэтому rлавный луч падает на зер
кало по нормали к поверхности и безаберрационно возвращается в
центр кривизны. Это обеспечивает автоматическое исправление поле-
вых аберраций: комы, астиrматизма, дисторсии. Сферическая абер
рация зеркала может быть исправлена за счет планоидной повер
. хн ости пластинки. Уравнение планоидной поверхности пластинки
имеет вид [8]:
y4=32f';:(n1)z или z=DA3/[512(n1)].
rде D  диаметр пластинки; А == D/f.
Формы планоидных пластинок, используемых в качестве компен
саторов, представлены на рис. 6.17. Блаrодаря соответствующему
выбору формы планоидной поверхности максимум 8ax ее отступле
ния от плоскости или ближайшей сферы составляет 0,1 мм, и ero вы-
числяют по формуле
бах = DАЗ/[(п 1)2048].
Для пластинки, выполненной из стекла марки К8 (n е == 1,5183), зна
чения 8ax (в микрометрах) при различных значениях D и А приве
дены в табл. 6.11 для Ао == 0,546 мкм.
R недостаткам следует отнести большую длину системы, в 2 раза
превышающую фокусное расстояние объектива, большой диаметр
Рис. 6.17. Формы пластинок Шмидта с планоидными поверхностями:
1  ближайшая воrнутая сфера; 2  ближайшая сфера, обращениая в
плоскость; 3  ближайшая выпуклая сфера
373

Расчет и проектирование оптических систем
Таблица 6.11
D,мм Значения O т"" при А, равном
1:0,7 1:1 1:1,4 1:2 1:2,8 1:4
100 275 94,2 34,3 11,8 4,29 1,47
200 549 188,0 68,7 23,5 8,58 2,94
500 1375 470,0 171,5 59,0 21,45 7,35
1000 2750 942,0 343,0 118,0 42,9 14,7
коррекционной пластинки, труднодоступное положение изображе
ния. Кроме Toro, в системе не исправлена кривизна поля, соизмери
мая с фокусным расстоянием. Но эти недостатки не иrрают решаю
щей роли по сравнению с достоинствами системы (кривизну поля мож
но устранить, если вблизи точки. F' об поставить линзу Смита), и по-
этому сама система и ее модификации получили самое широкое рас-
пространение.
Одной из разновидностей системы
Шмидта является обоен;тив Райта (рис.
6.18). Borнyтoe зеркало имеет форму сплюс-
HYToro сфероида, длина системы почти вдвое
меньше длины системы Шмидта. В объекти-
ве хорошо исправлена кривизна поля, но на-
рушен принцип симметрии, поэтому камера
Рис. 6.18. Оптическая CXe Райта имеет астиrматизм, а это уменьшает
ма объектива Райта полезное поле системы и относительное от-
верстие не превышает 1: 3. 1
Обоен;тив Beйн;epa т мидта
(рис. 6.19) состоит из двух сферичес-
ких зеркал 2, 3 с равными радиуса- F'
ми кривизны и коррекционной пла-
стинки 1. Объектив свободен от сфе-
рической аберрации, комы, астиrма-
тизма и кривизны поля.
f 2:S -9
1ВF'
374
Рис. 6.20. Объектив .Супер----.-ШмИДТ.
Рис. 6.19. Объектив Бейкера
Шмидта
Интересной является cиc
тема «СуnерШмидт» (рис.
6.20). Два мениска 1 и 3 кон-
центричны сферическому зер-
калу 4, в центре кривизны ко.

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркальнолинзовых систем
Toporo расположена ахроматическая коррекционная пластинка 2. Для
устранения хроматической аберрации пластинку 2 изrотовляют из
стекла двух марок. Внутренняя поверхность пластинки планоидная.
Объектив имеет относительное отверстие Djf' ==1:1 и поле 200 == 300.
Расчет деформированной поверхности пластинки ведется из условия
исправления сферической аберрации зеркала.
Афокальные ахроматические компенсаторы из двух линз (рис.
6.21). Компенсаторы монохроматических аберраций должны обладать
апохроматической коррекцией в широком спектральном диапазоне.
«,.0
n,z'
'"
У,
а)
5)
Рис. 6.21. Оптические схемы двухлинзовых афокальвых ахроматических
компенсаторов, устанавливаемых в зеркальной системе:
а) в параллельных пучках; 6) в сходящихся пучках
Запишем условия афокальности компенсатора <1'1 + <1'2 == О И axpo
матизации Slxp == <l'1/У1 + <l'2/У2 == о. Эти два условия одновременно BЫ
полняются, если У 1 == У 2 ' т.е. коrда обе линзы компенсатора будут BЫ
полнены из стекла одной марки.
При переходе от бесконечно тонких линз к линзам конечной тол
щины ахроматизация практически не нарушается. Однако в системе
с большим относительным отверстием хроматизм положения будет
все-таки значительным, что является следствием проявления сферох
роматизма в такой системе [19].
С точки зрения исправления аберраций афокальные компенсато
ры из стекла одной марки обладают двумя степенями свободы, т.е.
этим компенсаторам можно придать любую пару значений Р КОМ и W KOM
(за исключением W== о, Р"* о). Параметр 1t  третий параметр для бес
КОнечно тонких афокальных систем  равен нулю. Следует также OT
метить, что число коррекционных пара метров в этих компенсаторах
равно трем, т.е. на единицу меньше числа конструктивных элементов
(четыре радиуса кривизны при выполнении условия афокальности).
Если компенсаторы применяют для зеркальных систем снебольшим
уrловым полем, то их целесообразно использовать для компенсации
375

Расчет и проектирование оптических систем
сферической аберрации и меридиональной комы, тоrда третий пара-
метр будет избыточным, не влияющим на аберрации TpeTbero поряд-
ка. Этот параметр служит для выбора удобной формы линз в техно-
лоrическом отношении или формы линз с уменьшенным значением
сферической аберрации высшеrо порядка.
Афокальн-ый комnен-сатор в nараллельн-ых пучках (рис. 6.21, а).
Компенсатор предложен д.с. Волосовым и устанавливается перед зер-
кальной системой, имеет три коррекционных параметра <Xz' аз, <Х 4 ; из
них уrлы <Х! и <Х4  для исправления сферической аберрации и Мери-
диональной комы, уrол аз  избыточный параметр для компенсации
аберраций высших порядков.
Запишем условия компенсации указанных аберраций:
SIKoM :;: SIзер; SПКОN:;: SIlзер' I
i
Так как при расчете компенсатор принимают за бесконечно тон-
кий компонент (d 1  d z "" d з "" о; h 1 "" h z  h з == h4 == h KON ; Уl "" У! == Уз:S
== У4 == У ком )' то уравнения компенсации будут иметь вид:
hKOMPKOM :;: SIзер; УкомРком  IW KOM :;: SIlзер' (6.39)
С учетом нормировки для yrлов И высот nepBOrO и BTOpOrO вспо-
моrательных лучей (а 1 == а 5 == о, h KOM == r 06 == 1, У КОМ == Sp, 1 ==  1, /31 == /35
== 1) и при условии, что входной зрачок совпадает с оправой компен-
сатора, уравнения (6.39) примут вид:
Р ком :;: SIзер' W KOM :;: SПаер'
(6.39')
rде
у=4 ( ) !
Р ком = LP v =  <хз(аZ<Х4)Х
у=1 n  1
х[(<х ! +a4\1+;)a8( 2+;)}
(6.40)
у=4 n + 1
W KOM :;: L W v :;: аз(аz  ( 4 ). (6.41)
у=1 n  1
Из cOBMecTHoro решения уравнений (6.40) и (6.41) определяют
уrлы <Х! и <Х4' Для этоrо из уравнения (6.41) находят
а !  а 4 == [(n  1)/(n + 1)] Wком/<Х з ,
а из (6.40)
[( ) ( ) ! ]
n 1 n1 Р ком
а ! +а 4 :;:  2+ аз   ( "".
2+n n n <Х4<ХZJV"З
376

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
Тоrда
2  1 [(2 1 \r. Рком 1  n 2 ] n  1 W KOM .
a2 n+ JV'з+ ,
2 + n W ком n n + 1 аз
2  1 [(2 1 \r. Рком 1  n 2 ] n  1 W KOM
a4 n+ JV'з+ +.
2+n W KOM n n+l аз
Ив (6.42) и (6.43) следует, что неизвестным при вычислении yr
лов а 2 и а 4 является уroл аз. Для выбора ero ОПТИМ8JIЬВОro значении
уrлы а 2 и а 4 целесообразно вычислять при различных значениях из
быточН'оrо параметра и в первом приближении выбрать тот уrол аз,
. при котором все поверхности компенсатора будут иметь достаточно
малую кривизну. Далее необходимо определить параметры ру и W y на
поверхностях и более точный выбор аз провести на основании этих
параметров ( * Ру2 = min) .
Из опыта расчетов установлено, что для систем, работающих в
видимой области спектра, уrол аз следует выбирать в интервале
0,5...1,0. Однако надо помнить, что MHoroe зависит от параметров Р ком
И W ком' которые определяются из расчета SI зер И Sп зер зеркальной ча
сти объектива. Одновременное требование малоrо значения W KOM (Me
нее 0,2...0,1) и даже не очень 6ольшоrо значения Р ком приводит к боль
шим значениям кривизны поверхностей компенсатора, так как в BЫ
ражения (6.42) и (6.43) входит отношение Р KOM/WKOM.
Если при аберрационном расчете зеркальной части объектива OKa
жется, что Р ком И W KOM имеют большие значения (4...6), то радиусы
кривизны поверхностей компенсатора будут малыми, что вызовет по
явление аберраций высшеrо порядка. И если при аберрационном
анализе системы с афокальным компенсатором выяснится, что OCTa
точные аберрации превышают допустимые по вине компенсатора, то
следует один компенсатор заменить двумя двухлинзовыми афокаль
ными компенсаторами, распределяя исправление аберраций TpeTьe
ro порядка на оба компенсатора (например, так, чтобы каждый из них
исправлял половину аберраций). В этом случае также необходим уме-
лый подбор избыточноrо параметра аз.
Значение уrла аз можно также определить из условия минимума
сферической аберрации для первой линзы компенсатора:
аз = 2а 2 (2 + n )/(2n + 1).
(6.42)
(6.43)
377

Расчет и проектирование оптических систем
Определив с помощью формул (6.42), (6.43) уrлы а2 и а4' по Me
тодике, изложенной в п. 4.2, находят конструктивные параметры KOM
пенсатора.
Афокальн-ый комnен-сатор в сходящuхся пучках лучей (рис.
6.21,6). Компенсатор предложен в 1934 r. В.Н. Чуриловским. Он co
стоит из двух линз, имеющих форму менисков. Компенсатор YCTaHaB
ливается в сходящихся пучках лучей, и, так как он афокальный,
 == +1 == 1, rде v  номер поверхности. Уrлы +1 И +э внутренние
и служат для исправления сферической аберрации и комы зеркаль
ной части объектива. Уrол +2 является избыточным параметром и
служит для компенсации аберраций высшеrо порядка. Значение это
ro уrла для видимой области спектра рекомендуется выбирать в сле
дующих пределах: если в компенсаторе положительная линза впере
ди, то +2 == 1,5...2; если в компенсаторе отрицательная линза впере-
ди, что лучше в аберрационном отношении, то +2 == 0,3...0,5 [25].
Принимая компенсатор бесконечно тонким (d v == d V +1 == d V + 2 == о;
hv == h V +1 == hV+2 == h v + э == h KOM ; У у == У У +1 == Y V +2 == Уv+э == У ком )' С учетом Toro,
что nv == nv+2 == n У + 4 == 1, nУ+l == n v + э == n и  == +4 == 1, выражения для
Р ком' W KOII можно представить в следующем виде:
Р ком == (n  1)2 (аУ+l  Q,v+э)(Q,V+2  1)х
х [(аУ+l + Q,v+э)(2 + n)  (1 + 2n )(1 + аУ+2)];
W KOM == n+1 (Q,V+lQ,v+з)(1Q,V+2)'
n1
Из (6.45) найдем:
Q,v+l  Q,v+З == [(n  1)/(n + 1)]W KOM /(1  Q,V+2)'
ИЗ (6.44) найдем:
1 [ (1  n)2 Р ком
Q,v+l + Q,v+э ==  ( )( ) +
2 + n n Q,v+l  Q,v+Э Q,v+2  1
+ (1 + Q,v+2)(1 + 2n)].
Решив совместно (6.46) и (6.47), определим
2а.  2n+1 ( 1+а. )  n2   PKOM  n1 W KOM .
v+l  2 + n v+2 N ( 2 + N ) W n + 1 Q,  l'
ком у+2
378
(6.44)
(6.45) .
(6.46)
(6.4 7
(6.48)

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
2  2n + 1 (1 )  n 2  1 Р ком n  1 W KOM
Q,v+з  + Q,v+2 ( ) + (6.49)
2 + n n 2 + n W KOM n + 1 Q,v+2  1
Если в формулах (6.44) и (6.45) положить +2 == 1, то параметры
р коМ == W KOM == О И компенсатор не будет выполнять cBoero назначения.
Задаваясь различными значениями избыточноrо параметра +2'
получаем разные внутренние уrлы +1 И +Э' Окончательный выбор
избыточноrо параметра делается по максимальным значениям радиу
сов кривизны компенсатора, распределению параметров Pv И W v по ero
поверхностям и LP; ==min.
Если одним компенсатором не удается исправить аберрации зер
. кальной части объектива, то можно использовать два компенсатора 
один в параллельных пучках, друrой  в сходящихся. Свободных па-
раметров в двух компенсаторах достаточно для исправления всех абер
раций третьеrо порядка. Следует также помнить, что в аберрацион
ном отношении система с компенсатором, у KOToporo первая линза OT
рицательная, предпочтительнее.
Компенсатор меридиональной комы Чуриловскоrо. В классичес-
ких зеркальных системах, имеющих асферические поверхности (сис
темы Ньютона, rреrори, KaccerpeHa), сферическая аберрация OTCYT
ствует, однако меридиональная кома имеет значительное положитель
ное значение, что оrраничивает полезное поле этих систем.
В.Н. Чуриловский в качестве компенсатора комы предложил ис
пользовать мениск с равными радиусами кривизны, внутри KOToporo
луч идет параллельно оптической оси (рис. 6.22, а) [25].
а)
5)
Рис. 6.22. Компенсатор
меридиональной Комы
ЧУРИЛОВСКОl'о
а) из ОДной линзы;
6) из ДВУХ линз с плос-
кими поверхностями и
воздушным промежут-
ком межДу ними
Мениск свободен от хроматизма положения (Sl хр == О) и сферичес
RОй аберрации (Sl == О). Хроматизм увеличения мениска небольшой и
не влияет на качество изображения. Покажем это, вычислив парамет
ры Р, W, с на поверхностях мениска при условии, что n v +1 == n, I1nv ==
379

Расчет и проектирование оптических систем
 !:!.nУ+2  О, !:!.n У +1  !:!.nv'Uv  Uv+2  1, Uv+l  О, hv  h V +1' rде v  TeKY
щий номер поверхности. Тоrда
С у =  !:!.n/(1  n); Ру = [n/(1  n)]2; W v = n/(1  n);
С У + 1 =  !:!.n/(n  1); Р У + 1 = [n/(1  n )]2; W v + 1 =  n/и  n),
и коэффициенты аберраций
SIXP = hvC v + h v + 1 C v + 1 = о; SI = hvPv + hv+l P v+l = о;
!:!.n
Sпхр = hvyvCv + hv+lYv+l C v+l =  hvdvv+l'
n1
так как УУ+l  уу  dvv+l'
Расчет мениска сводится к определению ero толщины d v из усло <
вия исправления им комы зеркальной части объектива, иными слова
ми, компенсация комы достиrается подбором толщины d v мениска.
Покажем это. Для определения толщины мениска d v запишем усло
вие компенсации мениском меридиональной комы зеркальной части,
объектива:
(6.50)
SПКО1\ll = Iзер ИЛИ
Уур" + УУ+I Р У+l + W V + W v + 1 = Iзер'
С учетом (6.50) выражение (6.51) запишем в виде:
С: n У (УУ+l  Уу)= SПзер'
И так как У У +l  У у  dvv+l' то [n/(1  n)]2dvv+1  SlIзер' Найдем тол
щину мениска:
d v = Sпзер(n  1)2 /(n2Y+l)' (6.52)
rде Y+l  уrол BToporo вспомоrательноrо луча с оптической осью, для
вычисления KOToporo необходимо рассчитать ход BToporo вспомоrа
тельноrо луча.
Так как мениск в зеркальной системе устанавливается в сходя-
щихся пучках, то ero положение относительно поверхности зеркала,
предшествующей мениску, определяется из условия, что в мениске
луч идет параллельно оптической оси. Поэтому мениск следует рас-
положить так, чтобы задний фокус F:.б зеркальной системы совпадал
с rayccOBblM передним фокусом первой воrнутой поверхности менис-
ка f  r(1  n) при nу  1. Изображение, свободное от комы, получа-
ется в задней фокальной плоскости второй поверхности мениска.
(6.51)
380

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркальнолинзовых систем
При расчете систем с малым относительным отверстием и боль
IlIИМ фокусным расстоянием может оказаться, что толщина мениска
будет БолыlIй,' Тоrда мениск заменяют двумя линзами (рис. 6.22, 6),
как бы вводя в Hero оrpаниченный плоскими поверхностями воздуш-
ный промежуток.
НеафокаJlЬвые компенсаторы
Ахроматический компенсатор Максутова (рис. 6.23). Компенса-
тор представляет собой слабый отрицательный мениск небольшой тол-
щины, конструктивные параметры Т, d, n KOToporo связаны соотно-
IlIением (Т 2  T 1 )/d == (n 2  1)/n, полученным из условия ахроматиза-
ции. Однако хроматизм положения в мениске равен нулю только в па-
раксиальной области. Компенсирующее действие мениска основано на
том ero свойстве, что он неафокален и по своему действию близок к
пластинке Шмидта [8].
а,=О
п,.'
«,.0
п,.'
ot]
а)
6)
Рис. 6.23. Ахроматический ме-
ниск Максутова при двух ero
ориентациях 1 и 11:
а) Iя ориентация мениска;
б) lIя ориентация мениска
d
Мениск имеет только один коррекционный параметр, и поэтому
ero можно применять для компенсации одной сферической аберрации
зеркальной системы. Но если с оправой мениска совпадает входной
зрачок системы, то, изменяя положение мениска, можно добиться He
KOToporo исправления комы. Обычно компенсатор устанавливается в
параллельных пучках лучей и может иметь две ориентации 1 и 11. При
Ориентации 1 мениска (рис. 6.23, а) уrлы а 2 и аз имеют отрицательные
знаки, при ориентации 11 (рис. 6.23,6) знаки уrлов а 2 и аз разные.
Например, если в системах с одиночным зеркалом используется
мениск с ориентацией 1 (рис. 6.24, а), то ero сферическая аберрация
Компенсирует сферическую аберрацию зеркала, и если правильно по-
добрать расстояние d 2 , то система будет апланатической. Обычно ре-
комендуется расстояние d 2 == (1,2...1,5)( 06.
При ориентации 11 мениска (рис. 6.24,6) система получается при-
мерно в 2 раза длиннее, чем при ориентации 1. Но в некоторых случа
Их, Коrда требуется, чтобы радиусы кривизны мениска были положи-
381

Расчет и проектироваНИе ОПТИ'ieских систем
0[,-0
а)
5)
Рис. 6.24. Оптические схемы зеркалънолинзовых объективов из сферическоrо
зеркала и мениска Максутова:
а) Iя ориентация мениска; б) Пя ориентация мениска
тельными, находит применение система, в которой мениск имеет ори
ентацию П.
Расчет таких систем показывает, что фокальная плоскость  не
плоскость, а выпуклая ( в сторону зеркала) сфера умеренной кривиз
ны, но астиrматизм мал и даже может быть устранен.
Эмпирические формулы для определения конструктивных пара
метров мениска из стекла марки К8, используемоrо в визуальной об
ласти спектра, были получены Д.Д. Максутовым [8].
Особенность расчета мениска заключается в том, что ero не при
нимают бесконечно тонким (d 1 =1= О, h 1 =1= h 2 ).
Из условия ахроматизации (Slxp == О) найдем связь между уrлами
а 2 и аз, полаrая а 1 == О и считая, что для системы в воздухе n 1 == n з == 1,
!:1n 1 == дn з == О, n 2 == n. Так как SIXP == h1Дnа2/n + h:!>n(а з  ( 2 )/(n  1),
то
аз=(h2h1)а2/h2 или а2+(1d1а2)(аза2)=О' (6.53)
Уравнение (6.53)  условие ахроматизации мениска, из KOTOpO
ro следует, что мениск может быть ахроматизирован в любом
спектральном интервале, так как в выражение для уrла аз не входит
значение показателя преломления стекла, из KOToporo сделан мениск.
Значение уrла а 2 находят из условия компенсации мениском сфе-
рической аберрации зеркальной части объектива.
Линзовые компенсаторы с отражающей поверхностью. К таким
компенсаторам можно отнести линзу (зеркало) Манжена, двухлинзо-
вый склеенный и несклеенный компонентыотражатели, а также ком-
понент-отражатель из двух несклеенных линз из стекла одной марки
с первой плоской поверхностью, по своему действию эквивалентный
параболическому зеркалу. Оптические схемы зеркальных систем с
компенсаторами в виде отражателей представлены на рис. 6.25.
382

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркальнолинзовых систем
а)
';6
О)
'д6
I!J
Рис. 6.25. Оптические схемы зеркальных объективов с компенсаторами
в виде отражателей:
а) rлавное зеркало в виде склеенноrо компонентаотражателя; б) линза
Манжена в качестве вторичноrо зеркала; в) rлавное зеркало в виде
несклеенноrо компонентаотражателя; z) двухлинзовые склеенные компонен
ты в качестве rлавноrо и вторичноrо зеркал
Линзовые компоненты-отражатели в схемах, представленных на
рис. 6.25, иrрают роль либо rлавноrо зеркала (рис. 6.25, а, в), либо BTO
ричноrо зеркала (рис. 6. 25, 6), либо Toro и друrоrо (рис. 6. 25, z) и oд
новременно являются компенсаторами.
Расчет компенсаторов выполняется из условия компенсации ими
монохроматических аберраций зеркальной части системы. Однако
компоненты-отражатели применяются не только в качестве компен
саторов и отражателей в зеркальных системах, но и используются са-
мостоятельно в качестве объективов зрительных труб, астрономи-
ческих объективов, объективов микроскопа и т.п., (расчет отражате
лей приведен в п. 6.6).
Здесь же покажем, как следует определять конструктивные пара-
метры отражателей на примере расчета линзы (зеркала) Манжена, ис
пользуемой в качестве компенсатора в двухзеркальной системе (рис.
6.25, 6).
Линза (зеркало) М анжена (рис. 6.26)  мениск, выпуклая повер
Хность KOToporo покрыта отражающим слоем. Поверхности линзы
Сферические. Третья преломляющая физически идентична первой
поверхности, Т.е. Т 1 == Т3' Так как толщина линзы мала (d 1 == d2) по
Сравнению с фокусным расстоянием, то при расчете линзу можно при-
Нять за бесконечно тонкую (d 1 == d2 == О, h 1 == h 2 == h3 == h).
заз

Расчет и проектирование оптических систем
IIJ=
",
d,
d,
2
а)

Рис. 6.26. Линза Манжена:
а) предмет в бесконечности; 6) предмет расположен на конечиом расстоянии
В аберрационном отношении линза имеет один параметр, позволя-
ющий исправить любую из монохроматических аберраций. Недоста-
ток линзы Манжена  большой хроматизм по ее краевым зонам [25).
Конструктивные параметры линзы определим из условия компен-
сации линзой сферической аберрации зеркальной части системы:
v=з
h KOM L Pv = SIзер'
v=l
(6.54)
Для линзы в воздухе n 1  1, n 4 == 1, n 2 == n, n з == n. Используя конст-
руктивное условие r 1  ТЗ' найдем зависимость между уrлами а 2 и аз,
считая, что уrлы а 1 и а 4 известны:
аз=а2+(а4а1)/n' (6.55)
причем
Р 1 = n(а 2  ( 1 )2(а 2  а 1 п)/(l  n)2;
Р 2 =  n(а;  а)(аз  <х 2 )/4;
Р З = п(а 4  а з )2(а з  а 4 n)/(1  n)2.
Подставив в (6.56) значение аз  f (а 2 ) из (6.55) и просуммировав па-
раметры по (6.54), получим уравнение третьей степени относительно
уrла а 2 . Из решения уравнения найдем уrол а 2 , а затем по формуле
(6.55) вычислим уrол аз и радиусы бесконечно тонкой линзы как rv тв ==.
 h(n'v  n)/(n'va'v  nv«v).Особенности перехода к радиусам линз ко-
нечной толщины изложены в п. 6.6.
(6.56)
384

rлава 6. Расчет зерквльных и зеркальнолинзовых систем
Компенсатор кривизны поля (линза Смита). Этот компенсатор,
устанавливаемый вблизи плоскости изображения, представляет собой
плосковыпуклую линзу и является фактически коллективом.
Рассчитаем компенсатор в зеркальном объективе KaccerpeHa (рис.
6.27). Радиус плосковыпуклой линзы следует определять из условия
исправления кривизны поля (В]у == О) дЛЯ всей системы:
v,=4 1 ( 1 )
SIV =  L  Б  = О.
v,=l rv n v
Полarая, что r 4 == 00, найдем:
r з = (1  n)![ 2n(1/r1  1/r2 )],
rде n  показатель преломления линзы; r 1 и r 2  радиусы кривизны
зеркальной системы, полученные из rабаритноrо расчета.
F Q 6
Рис. 6.27. К расчету компен
сатора кривизны поля
6.5. Параметрический синтез зеркальнолинзовых
систем с линзовыми компенсаторами
различных конструкций
Синтез систем с двухлинзовым афокальным
ахроматическим компенсатором в параллеJIЬНЫХ пучках
3еркаJIЬнолиизовая система типа KaccerpeHa с компенсатором
в параллельиыхпучкахлучей (рис. 6.28,6.29). При синтезе таких си
стем возможны два случая:
а) компенсатор расположен на некотором расстоянии от зеркаль-
Horo объектива, d 4 *- d 5 И r 4 *- r 6 (рис. 6.28);
б) вторичное зеркало нанесено на последнюю поверхность компен-
сатора, r 4 == r 6 , d 4  d5 (рис. 6.29).
Исходными данными для синтеза являются: 81 == oo  удаление
предмета; 'об  фокусное расстояние объектива; D/f об  относитель
ное отверстие; 200  уrловое поле; 8 р  положение входноrо зрачка;
k эк  коэффициент экранирования; б  вынос плоскости изображе
385

Расчет и проектирование оптических систем
6)
';'
 r;'
Н:,
J 
"." "s
б)
Рис. 6.28. 3еркалЬНОЛИНЗ0ВЫЙ объек
тив типа KaccerpeHa с ДВУХЛИНЗ0ВЫМ
афокальным компенсатором в парал
лельных пучках лучей (случай r 4 * r б ):
а) оптическая схема объектива;
б) ход первоrо и BToporo вспомоrатель
ных лучей
ния; конструктивные условия: r 4 * r в или Т4  r в ; спектральный ин
тервал: /"'1' /"'0' л,!; марка стекла линз компенсатора.
Первоначально компенсатор принимают бесконечно тонким (d 1 ==
 d!  d 8  о; h 1  h!  h8  h4 :: h KOM ; Уl  у!  У8  У4  У ком ) и выпол
няют rабаритный и аберрационный расчеты зеркальной части объек
тива по формулам (6.8), (6.9) при нормировке а 1  а 5  о, а 7  1,
h KOM == {'Об 1, у:: Вр, [:: 1. Затем:
а) если r 4 * Тв и d s  d 4 , вычисляют расстояние d 5  б  k зк , а pac
стоянием d 4 задаются (ero можно принять равным I dsl);
б) если r 4  r в , то расстояние d s  d4  О  k зк .
Далее вычисляют уrол а в  (1  k. K )/d 5 , радиусы кривизны повер-
хностей зеркал Т5  2/а в , r в  2k. K /(1 + а в ) и выполняют абер-
рационный анализ зеркальной части объектива, вычислив 81 зер И 8 п эер
по формулам (6.10). Находят уrлы а! и а 4 в компенсаторе из условия
компенсации им сферической аберрации и меридиональной комы зер-
кальной части объектива, Т.е. Р ком  8Iзер' W KOM  YKOKOM  8 пэер '
причем:
а) если Т4 * Тв' то уrлы а! и а 4 вычисляют по формулам (6.42),
(6.43), задаваясь соrласно рекомендации значением избыточноrо па.
раметра (а 8 );
386
Рис. 6.29. Объектив типа KaccerpeHa
с компенсатором в параллельных лу
чах:
а) оптическая схема объектива (при
r 4  r б ); б) ход nepBoro и BToporo
вспомоrательных лучей

rлава 6. Расчет зерКальных И зеркальнолинзовых СИСТем
б) если r 4 == Т 6 , то воспользовавшись формулой расчета хода пер-
Boro вспомоrательноrо луча через че'l'вертую поверхность компенса-
тора n 5 а 5  n 4 а 4 == h 4 (n 5  n 4 )/r 4 , находят уrол
а 4 = (n  1)j(nr6)' (6.57)
а неизвестные уrлы а 2 и аз определяют из COBMecTHoro решения урав-
нения (6.39) компенсации аберраций. Если входной зрачок совпада-
ет с оправой компенсатора, то У КОМ  Вр  О и уравнения (6.39) примут
вид:
Р КОМ = 8Iзер" W KOM == 8IIзер'
Тооrда из условия компенсации меридиональной комы выражают
УFОЛ а 2 == {( ( 4 ):
а 2 = а 4 [(nl)j(n+l)](Wком/аз). (6.58)
Значение уrла а 2 из (6.58) подставляют в уравнение для исправ-
ления сферической аберрации 81 об == О И после соответствующих пре-
образований получают квадратное уравнение относительно уrла аз:
Аа;Ваз+С==О,
rде А, В, С  коэффициенты, зависящие от показателя преломления
материала компенсатора, уrла а 4 и параметровР ком И W KOM ' Из реше-
ния KBaдpaTHoro уравнения получают два значения корня аз. Из двух
значений выбирают положительное (аз == <1>1)' а если оба корня поло-
жительные, то берут меньшее значение. По уrлу аз, используя соот-
ношение (6.58), вычисляют уrол а 2 и радиусы бесконечно тонких линз
компенсатора по формуле
rv б.Т.К = h(n  nv )j(na  nva v ).
Переход к радиусам линз конечной толщины осуществляется по
методике, изложенной в п. 4.2.
Однако при переходе к радиусам линз конечной толщины следу-
ет помнить, что радиус Т4 кривизны поверхности компенсатора дол-
Жен быть равен радиусу Т6 зеркальной части объектива (r 4 == r 6 ), а так
как в линзах конечной толщины h4 * h5' ТО И Т4 * Т6' Чтобы выполнить
Условие равенства радиусов кривизны и сохранить при этом заданное
значение r об' необходимо пересчитать расстояние d 5 следующим об-
разом. Так как Т4 == h 4 (n  1)/(nа 4 ), а r 6 == 2h 6 /(1 + ( 6 ), то, сохранив пре-
Жцим значение уrла а 6 , найдем новое значение высоты h6 == т 4 (1 + ( 6 )/
;' 2 и новое значение расстояния d 5 между зеркалами:
 
d 5 = (h 5  h 6 ) /а 6 .
(6.59)
387

Расчет и проектирование оmических систем
Приведем послеДовательность формул, по которым выполняется
синтез рассмотренных выше схем зеркальнолинзовых систем, для
двух случаев: а) Т4 *- Тв и б) Т4 == Тв"
rабаритный и аберрационный расчеты зеркальной части объекти
ва выполняются для двух рассматриваемых случаев по одним и тем
же формулам:
1) d 5 == б  k зк ;
2) а в == (1  k зк )/d 5 ;
3) Т5 == 2/а в ;
4) Тв == 2k зк /(1 + а в );
5) Р 5 = 0.25a;
6) Р в = 0.25(1  а:)(1  а в );
7) W 5 = 0.5a;
8) W B = 0.5(1  а:);
9) У5 == d 5 или У5 == d4;
10) Ув == d 5  k зк d 4 ;
11) Р ком == P 5  kзкР в ;
12) W KOM == Y6P5  ytl'B  0.5.
13) расчет конструктивных параметров компенсаторов имеет свои oco
бенности:
в случае а (Т 4 *- Тв) определяют
2а 2 =  [ (2n + 1)а з + Р ко ,. !  n ]  !!:  1 W KO ,. ;
2 + n W KOM n n + 1 аз
2  1 [(2 1) Рком 1  n 2 ] п  1 W KOM
a4 n+ аз+ +",
2 + п W KOM п п + 1 аз
задаваясь значением избыточноro параметра уrла аз;
в случае tJ (Т 4 == Тв) находят
а 4 = (п  1)/(nТ в ):
14) вычисляют коэффициенты А, в, С KBaдpaTHoro уравнения
А= 2п+1;
В = [(п 2  1)/п ]PKO,./WKOM + 2а 4 (2 + п);
С =Hп 1)(2+ п)/(n + 4]W'KD4'f;
15) решают квадратное уравнен ие вида Аа;  Ваз + С = о:
аз = (в 1: -J B 2  4АС )/(2А):
16) находят уrол
а 2 == а 4 + [(1  п )/(1 + п )]Wком/а з .
Далее выполняют контроль правильности решения аберрацион-
ных уравнений. Для этоro вычисляют параметры Pv И W v по поверх-
ностям:
388

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
Ру == (баlо»(  )/ W v == (баlо)v б(  )v.
Находят их суммы, которые должны быть равны значениям Р ком
и W KOM С поrрешностью не более ::1:0,01.
Затем вычисляют радиусы бесконечно тонких линз компенсато-
ра по формуле
r vти == f:б(n  nу )/(na  nуа у )
и переходят к радиусам линз конечной толщины.
Однако в случае а, коrда r 4 * Тв' после определения толщин линз
компенсатора и радиусов линз конечной толщины может оказаться,
что h4 * h 1 И фокусное расстояние объектива не равно заданному зна-
чению. Чтобы сохранить заданным r об' необходимо найти коэф-
фициент масштабирования у == h4/hl И радиусы кривизны зеркально-
ro объектива умножить на этот коэффициент.
В случае 6, коrда Т4 == Тв' после определения радиусов кривизны
линз конечной толщины для Toro, чтобы обеспечить равенство r 4 == Тв
и заданное фокусное расстояние объектива, находят новое значение
h в == (1 + а в )r4 /2 и пересчитывают расстояние d 5 == (h 5  h в ) / а в .
Примеры расчета систем, представленных на рис. 6.28 и рис. 6.29,
приведены в книrе [1]. z
3еркальнолинзовая система из одиночноrо зеркала, плоскоrо
контротражателя и ДВУХЛИНЗОDоrо компенсатора (рис. 6.30, а). В со-
ответствии с оптической схемой Т4 == Тв == 00, а так как компенсатор афо-
кальный, то а 1 == а 4 == а 5 == о. Компенсатор при расчете принимаем бес-
конечно тонким, а отражающие поверхности заменим бесконечными
«, t 
 ?'
. ,
Fs
Рис. 6.30. 3еркальнолинзо-
ВЫЙ объектив из одиночноrо
сферическоrо зеркала и
плоскоrо отражателя с двух-
линзовым афокальным ах-
роматическим компенса-
Тором:
а) оптическая схема
uбъектива; б) ход nepBoro
и BToporo вспомоrательных
ЛуЧей
«,аО
«.- «5.0
а)
I
л
р
Н,
1,
Hs
6)
d..dS

I
389

Расчет и проектирование оптических систем
плоскостями (рис. 6.30,6), тоrда d 1 == d 2 == d з == о; h 1 == h 2 == h з == h4 == h KOM ;
У1== У2== УЗ== У4 == уком.Пусть входной зрачок совпадает с оправой KOM
пенсатора, Т.е. Sp == о, тоrда в соответствии с принятой нормировкой
а 1 == о, а 7 ==1, h KOМ == h 5 == {'об ==1,131 == 135 == 1, У ком ==sp == 0,1 == 1.
Конструктивные параметры зеркальной части объектива:
r 5 == 2 п 5 == 1
d 4 == 1  k эк ; а в ==  1 п в ==  1
r в == 00 п 7 == 1
Определим коэффициенты аберраций 81 и 8 п зеркальной части
системы:
8 1зер == h 5 P 5 == Р 5 == 0,25a == 0,25;
8 11зер == У5Р5 + W 5 == d4. 0,25 + 0,5 == 0,25(2 d 4 )== (1 + k эк )/4.
Условия компенсации аберраций запишем в виде равенств
Р ком == 81зер == 0.25.. W KOM == 811зер == 0.25(kзк + 1).
(6.60)
rде
4 п
Р ком == L Ру == 2 а з а 2 {(п + 2)а 2  (1 + 2п )а з }.. (6.61)
1 (п  1)
W KOM == [(п + l)/(п  1)]а 2 а з . (6.62)
Из уравнения (6.62) выразим а 2 == {(аз):
а 2 == [(1  п )/(п + l)]W ком /а з .. (6.63)
и подставив значение а 2 из (6.63) в выражение (6.61), после COOTBeT
ствующих преобразований получим
Аа;  Ваз + С == О,
rде
А == 1 + 2п;
В == (п 2  l)PKoM/(nWKoM);
С == (п + 2)(п  l)W KoM /(n + 1).
(6.64)
Из решения KBaдpaTHoro уравнения определяем уrол аз, а затем
по формуле (6.63)  и уrол а 2 .
Дальнейший порядок расчета такой же, как и расчета предыду
щих систем. Однако при синтезе рассматриваемых систем следует по
мнить, что они имеют значительное центральное экранирование, так
390

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
как при выносе плоскости изображения о  о коэффициент экрани
рования k ЭК == 0,5. Примеры синтеза объективов приведены в книrе [1].
Синтез зеркально-линзовых систем с афокальным
ахроматическим компенсатором
в сходящихся пучках лучей
Зеркально-линзовый объектив типа KaccerpeHa (рис. 6.31, а).
Формально, если исходить из числа свободных параметров, влияющих
на аберрации, то система с афокальным компенсатором внутри может
показаться более предпочтительной, чем зеркальнолинзовая система
с компенсатором в параллельных пучках, так как появляется лишний
параметр  положение афокальноrо компенсатора (d 2 ). Однако это
преимущество не реализуется, поскольку фактически положение афо-
кальноrо компенсатора определяется однозначно (d 2  0,5L). Если
компенсатор поставить близко ко второму зеркалу, то лучи будут про-
ходить через компенсатор дважды. Как показывают расчеты афокаль-
Horo компенсатора при двукратном прохождении лучей, параметр
W ком становится близок к нулю и коррекционные возможности сис-
темы уменьшаются вдвое. Если же компенсатор поместить близко к
фокальной плоскости объектива, то он практически будет влиять толь
а)
а 7 f!Ю
li
I

 
п  Н К н: f
'-  Fo5
  
lIi н: р
:::;' d z 
f I
d,
) L
б
Рис. 6.31. Объектив типа KaccerpeHa с компенсатором в сходящихся пучках:
а) оптическая схема объектива; б) ход первоrо и Bтoporo
вспомоrательных лучей
391

Расчет и проектирование оптических систем
ко на дисторсию и кривизну поля. Поэтому рациональнее ставить KOM
пенсатор на половине оптической длины объектива, Т.е. d 2 == 0,5L. Это
приводит к максимально возможной высоте h KOM ' а следовательно, к
максимально возможному значению (hP)KOM' действующему на сфери
ческую аберрацию и кому. Но так как и в этом случае высота первоrо
вспомоrательноrо луча на компенсаторе имеет малое значение, то Р ком
И W ком для систем с различными значениями выноса о плоскости изоб-
ражения почти всеrда имеют большие положительные значения. Что-
бы расширить коррекционные возможности компенсатора, ero целе
сообразно применять тоrда, коrда сферическая аберрация rлавноrо
зеркала частично или полностью исправлена применением асферичес
кой поверхности.
Компенсатор имеет три коррекционных параметра  yrлы а 4 И а 6
для коррекции сферической аберрации и меридиональной комы и BHe
шний yroл а 5 для компенсации аберраций высшеro порядка. PeKOMeH
дации по выбору избыточноro параметра (yrла а 5 ) приведены в п. 6.4.
Приведем формулы для синтеза оптической схемы, представлен
ной на рис. 6.31, б. Синтез выполним при нормировке а 1 == о, а 7 == 1,
h 1 == f об == 1, 131 == 1, У1 == Эр == о, 1 == 1. Компенсатор примем бесконечно
тонким: d з == d 4 == d 5 == о; h3 == h4 == h5 == h6 == h KOM ; У3 == У4 == У5 == У6 == У ком '
Зададимся расстоянием d 2 == 0,5L == 0,5k эк , так как при а 7 == 1 h 2 == k эк ==
== d + о == L.
Для системы в воздухе п 1 == п з == п 5 ==п 7 == 1, п 2 == 1, п 4 == п 6 == п.
Формулы синтеза:
1) d 1 == О  k эк ; 2) а 2 == (1  k э )/d 1 ;
3) r 1 == 2/а 2 ; 4) r 2 == 2k эк /(1 + а 2 );
5) Р 1 = o,25a; 6) W 1 = o,5a;
7) Р2 = 0,25(1 a2)2 (1 + а 2 ); 8) W 2 = (1  a)/2;
9) У2 = У1  d 1 132 = d 1 ; 10) SIзер == Р 1 + k эк Р 2 ;
11) Sпзер == У:/'2 + 0,5; 12) h KOM == h 2  d 2 CJ. з == k эк  d 2 ;
13) Уком = У2  d 2 13з = d 1  d 2 (d 1 + 1)/k эк ;
14) Р ком == SIзер!hком; 15) W KOM == YKO.l' ком SПзер;
16)2a4= 2п+1 ( 1+a5 )  п21 Р ком п1 W KOM .
2+п n(2+n)W KOM  п+1a51 '
17) 2  2п + 1 (1 ) п 2  1 Р ком п  1 W KOM .
a6 +а 5  +,
2 + п п(2 + п) W KOM п + 1 а 5  1
CJ.r избыточный параметр, выбирается соrласно рекомендации;
392

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркальнолинзовых систем
18) r YTB = hKOM(п пy)/(пa пyay).
Контроль решения аберрационных уравнений:
19)
Ру = (oa/o;»(  )y;
W y = (оа/о;)у о(  )y;
6
LP y = P KOM (:t0,01);
з
6
L W y = W KOM (:t 0,01).
з
Далее осуществляется переход к радиусам линз конечной толщи
вы по методике, изложенной в п. 4.2.
При расчете систем с компенсатором в сходящихся пучках лучей
в аберрационном отношении лучше ставить первой линзой компенса
тора отрицательную.
Пример синтеза такой cxeMЬJ объектива приведен в книrе [1].
Зеркально-линзовый объектив из сферическоrо зеркала и KOM
пенсатора (рис. 6.32, а). Компенсатор применяют для коррекции сфе
рической аберрации и меридиональной комы, вносимых одиночным
зеркалом. Для этой цели используют два параметра  уrлы аз и а 5 ,
третий избыточный параметр  уrол а 4  служит для коррекции сфе
fX., o
F;5
dl.
a.
a,
а)
I
б)
Рис.6.32. Объектив из одиночноrо сферическоrо зеркала и компенсатора
в сходящихся пучках:
а) оптическая схема объектива; б) ход первоrо и BToporo
вспомоrательных лучей
393

Расчет и проектирование оптических систем
рической аберрации высших порядков, астиrматизма и дисторсии.
Степень влияния параметров а з и а 5 на коррекцию аберраций зави
сит также от положения компенсатора относительно вершины поверх
ности зеркала (расстояние d 1 ).
При расчете компенсатор принимаем бесконечно тонким (рис.
6.32, 6) (d2  dз  d4  О, h 2  h3  h4  h5  h KOM ' У2  У3  У4  У5 
У ком ) и синтез выполним при нормировке:
а 1  О, а 2  а в  1, h 1  'об  1, 131  1, У1  sp  О
(в случае, коrда входной зрачок совпадает с оправой rлавноrо зерка
ла), 1  +1. Для системы в воздухе п 1  1, п2 п4 пв 1, п з  п 5 
п.
Для зеркальной части объектива найдем:
r 1 = 2f: б ;
SIэер = h1 = (1)( 0,25)a == 0,25;
SПэер = Y1  W 1 =  a/2 == 0,5.
Запишем условия компенсации аберраций, считая, что компенса
тор расположен на расстоянии d 1  0,5L  0,5. Тоrда
Р ком = SIэер/hком ==  0,25/( 0,5) = 0,5;
(6.65)
(6.66)
W KOM = УкомРком + SПэер == d 1 P KOM  0,5 =
= 0,5PKOM  0,5 == 0,75,
rде h KOM  h 1  d 1 a 2  1  (0,5).1  0,5; У ком  У1  d1132  d 1  0,5.
Найдем:
у=5 (аза5)(1а4)
Р ком = LРv==Р2+РЗ+Р4+Р5 ==x
у=2 (т1)
х [(2т + 1)(а з + (5) (т + 2)(1 + ( 4 )];
у=5
W KOM = L W v =[(1+m)/(1m)](аза5)(1а4)'
у=2
(6.67)
(6.68)
(6.69)
rде m  1/п..
Решим совместно уравнения (6.68) и (6.69). Для этоrо из (6.69)
найдем
w 1т
а a .-
3 5  1  а 4 1 + m '
а из (6.68)
PKOM(т1)2 (т+2)(1+а 4 )
а з + а 5 = +.
(аза5)(1а4)(2m+1) 2т+1
394

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
Тоrда
2а з = (т+ 2)(1 + ( 4 ) + 1  т 2 о Р ком + W KOM о 1  т ;
2т+1 2т+1 W KOM 1a4 1+т
2a5= (т+2)(1+a4) +.!. т2 . Р ком  W KOM 0 1т .
2т+1 2т+1 W KOM 1a4 1+т
Задаваясь различными значениями избыточноrо параметра а 4 ,
вычисляем уrлы аз и а 5 и радиусы бесконечно тонких линз компенса
тора.
(6.70)
(6.71)
Пример 6.7. Выполнить параметрический синтез зеркально-линзовоrо объектива
из одиночноrо сферическоro зеркала и двухлинзовоrо афокальноrо ахроматическоrо KOM
п/:)нсатора из стекла марки К8, установленноrо в сходящихся пучках лучей, если f'o. 
 250 мм, D/f об 1:5, Sp  О. в объективе исправить сферическую аберрацию и мериди-
ональную кому. Коррекция визуальная (F', е, С').
Порядок расчета: 1) r j  2ro.  500; 2) SI'.P  0,25; 3) Sп,.р   0,5; 4) Р КОМ  0,5;
5) W  o, 75, если компенсатор установлен на расстоянии d j  0,50
КЗатем при различных значениях избыточноrо параметра а. вычислим уrлы а. и а 5
по формулам (6.70) и (6.71) и выполним контроль решения уравнений компенсации абер
раций, рассчитав параметры Р. И W v иа каждой поверхности компенсатора. Результаты
расчетов сведем в табло 6.12.
Таблица 6.12
а. 1,5 2,0 0,5 0,3
аз 1,50705 1,71670 0,62468 0,55405
а 5 1,19834 1,56234 0,93339 0,77456
Р: 0,01633 ---0,57604 0,71147 1,08383
Р з ---0,00022 ---0,59873 ---0,01181 0,03596
Р. 0,55503 1,59603 ---0,18499 ---0,40615
Р 5 ---0,07114 0,07874 ---0,01467 ---0,21364
Р 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000
ком
W j 0,01100 ---0,27437 ---0,64711 ---0,82965
W: ---0,01048 0,72145 ---0,03235 0,04831
W. ---0,62807 1,24488 ---0,14571 ---0,29216
W s ---0,12244 0,04780 0,07516 0,32349
W ---0,74999 ---0,75000 ---0,75001 ---0,75001
ком
r: тa ---0,20118 ---0,16132 5,02673 1,63201
r зтв ---0,32880 ---0,42731 ---0,57787 ---0,47882
r. тa ---0,81130 ---0,69646 ---0,28255 ---0,29682
r sтa ---0,31625 ---0,18887 ---0,62120 1,47233
395

Расчет и проектирование оптических систем
Из четырех вариантов выбираем вариант с а.  0,5. После перехода к радиусам
линз конечной толщины получаем систему со следующими конструктивными парамет-
рами:
п , Марка стекла D " D пол
п,  1
r,  500 50 52
d,  125 п .  1
r z  1256,78
d.  3,4 п з  1,5183 К8 31,6 34
r з   142,014
d з  0,2 п.1
r.  69,381
d.з,1 п 5  1,5183 К8 31,6 34
r5148,943
п.   1
Далее проводится аберрационный анализ исходноrо варианта. Значения остаточ-
ных аберраций для точки на оси сведены в табл. 6.13.
Таблица 6.13
Для одиночноro зеркала Для зеркалъно-линзовоrо объектива
т
!1s' , !1у'е 11, % !1s' е !1у'е 11, % !1s' F'
О О О О О О О ---0,0163
17,68 0,156 ---0,011 0,125 ---0,0012 9.105 ---0,001 ---0,0152
25 0,313 ---0,031 0,249 ---0,0022 2 ,3.10' ---0,003 ---0,0140
Синтез зеркальных систем с афокальным
ахроматическим компенсатором комы
Как указывалось в п. 6.3, чаще Bcero компенсатор комы YCTaHaB
ливается в системах с исправленной сферической аберрацией, так как
он имеет только один коррекционный параметр для компенсации Me
ридиональной комы. Рассмотрим расчет OДHO и двухзеркальных си
стем с компенсатором [25].
Одиночное параболоидиое зеркало с компенсатором (рис. 6.33).
В соответствии с теорией компенсатора а 1  а з  а 4  а 5  о, а 2  а 6 
 1. Примем {'об  1, h 1  1, тоrда h 2  h3  h4  h5  h 1  d 1 a 2 ==
 1 + d 1 и
d 1 == h 2  1.
(6.72)
Из условия компенсации меридиональной комы одиночноrо
зеркала соrласно формуле (6.52) найдем толщину мениска d 2 , слив обе
линзы компенсатора в один мениск, Т.е. считая d з  о:
d 2 == SПзер(п  1)2 /(п 213з)'
rде Sпзер  У1 Р 1  IW 1 .
396

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
Так как Sp  О, то Y1 Sp
 О. ДЛЯ системы в воздухе и
при принятых условиях HOp
мировки 1   1
Sпзер == W 1 == a/2 == 0,5.
d, Найдем уrол 13з из расче-
([ та хода BToporo вспомоrатель-
Horo луча. Соrласно норм и-
Рис. 6.33. Зеркально-линзовый объектив из ровке 131  1, тоrда 132  1,
одиночноrо зеркала и компенсатора комы У2  У1  d1132  d 1 иуroл
13з == 1/п + (h2  1)(п  1)/(пт 2 ).
Для плосковыпуклой линзы T2 (п  1 )h 2 , тоrда 13з   1 /(nh 2 ) и тол-
щина мениска определится как
d 2 ==  h 2 (n  1)2 (6.73)
2п
Задавшись высотой h 2 , или положением мениска d 1 , находим тол-
щину мениска d 2 , и конструктивные параметры системы при r об  1.
Т 1  2
d 1  h 2  1
r2(n1)h2
d 2  O.5h2(n 1)2 /п
rз(п1)h2
Например, пусть h 2  0,2, положим, что d з  О, тоrда при {' об 
 1000, если линза компенсатора выполнена из стекла марки К8
(п е  1,5183), получим:
Т О1   2000
Т 2  103,66
d 1  800
d 2  17,69
r з  103,66
п 1  1
п 2  1
па  1,5183
п 4  1
Сферическую аберрацию зеркала исправим введением асферичес-
кой поверхности. Если зеркало параболоидное, то е  1, и уравнение
поверхности запишется в виде: у; == 2r 01 z 1 = 4000z 1.
397

Расчет и проектирование оптических систем
Менисковый компенсатор со сферическими поверхностями позво
ляет простым и недороrим способом устранить влияние комы любоrо
параболоидноrо зеркала. Если в схеме требуется устранить астиrма
тизм, то необходимо сферические поверхности компенсатора сделать
асферическими  rиперболоидными с коэффициентом деформации Ь
== O,25(п + 1)2. При этом воздушный промежуток определяется по
формуле [25]
d з == 2(1т)h2/(з+т)т(d2 +d 4 )
,
rде т == 1/п.
Объектив KaccerpeHa с KOM
пенсатором комы (рис. 6.34). С
учетом условий нормировки и
апохроматической коррекции
системы полаrаем, что а 1 == а 4 ==
== а 5 == а в == О, CJ. з == а 7 == 1, h 1 == f об
== 1, У1 == Эр, 131 == 1. Если входной
зрачок совпадает с оправой rлав
HOro зеркала, то У1 == Эр == О. Най
дем
0(.1"0
Ct.J"
If
F5
Рис. 6.34. 3еркальнолинзовый объектив
KaccerpeHa с компенсатором комы
h 2 == h 1  d 1 a. 2 == 1  d 1 CJ. 2 ;
(6.74)
h KOM == h 2  d 2 CJ. з == h 2  d 2 .
Зададимся rабаритным условием, rарантирующим удобное распо
ложение плоскости изображения: 8'2 == h 2 == d1 (так как CJ. з == h 2 /d 1 ==1).
Тоrда в соответствии с (6.74) запишем d1 == 1  d 1 CJ. 2 , тоrда
d 1 == 1/(а 2  1),
а так как h 2 == d1' то
(6.75)
h 2 == -1/(a.2  1). (6.76)
Уrол а 2 в двухзеркальной системе можно найти по формуле (6.8)
либо из условия устранения в системе кривизны Петцваля (SIV == О).
В соответствии с формулами (6.10) для двухзеркальной системы за
пишем
SIV=[CJ.2(1CJ.)]==O,T.e. a+a21==O.
Из решения KBaдpaTHoro уравнения найдем два значения корня; по-
ложительное значение отбросим как неприемлемое, оставив отри
цательное значение а 2 == 1,618034, тоrда в соответствии с (6.75),
(6.76) d 1 == 1/(а 2  1) == 0,381966; h 2 == d1 == +0,381966 и радиусы
кривизны при вершине асферических поверхностей зеркал будут co
398

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркальнолинзовых систем
ответственно равны:
r 01 = 2/а 2 = 2/(1,618034) = 1,23607;
r oz = 2h 2 /(1 + а 2 )= 2. 0,381966/(1  1 ,618034) = 1,23607.
Из расчетов видно, что по условию Петцваля зеркальная система
должна иметь равные радиусы кривизны, Т.е. r 1 == r 2 ,
Пусть обе линзы компенсатора слиты в один мениск, тоrда ero
толщину d з можно определить из условия исправления им аберрации
комы зеркальной части объектива:
d з = SПзер (п  1)2 /(п 2134)'
rде SПзер == Y:l'2 + W 1 +W 2 == d 1 P 2 + 0,5; 134  уrол BTOpOrO вспомоrа
тельноrо луча.
Вычислив Sп зер И уrол 134' из расчета хода BToporo вспомоrатель
Horo луча получим
d з =(п1)2hз/(2п).
Если положить, что h3 == 0,2, то для системы с фокусным расстоя
нием f об == 1000 мм получим следующие конструктивные параметры
объектива с компенсатором из стекла марки К8 (п е == 1,5183):
r 01 ==1236,07
d 1 == 381,95
r oz ==  1236,07
d 2 == h 2  h3 == 381,95  200 == 181,95
r з == 103,66
d з == 17,69
r 1   103,66
в рассматриваемой оптической системе использован тот же Me
нискообразный компенсатор, что и в системе с параболоидным зерка
лом. Таким образом, одним и тем же мениском можно устранить кому
любоrо зеркальноrо объектива, состоящеrо из анаберрационных по
верхностей. В рассмотренной выше системе первое зеркало  пара
болоидное, второе  rиперболоидное. Определение эксцентриситетов
поверхностей зеркал см. в rлаве 7.
Синтез зеркальных систем с мениском Максутова
Выполним расчет различных конструкций зеркальных объекти
вов с компенсатором Максутова, установленным в параллельном пуч
Ке лучей.
399

Расчет и проектирование оптических систем
Мениск Максутова и одиночное сферическое зеркало (рис.
6.35, а). Особенность расчета Ta ct2
Koro объектива заключается в «,.о
том, что мениск при расчете не
принимают бесконечно тонким
(d 1 '/:. о, h 1 '/:. h z ) (рис. 6.35, 6). Рас.
чет можно выполнить двумя
способами.
l-й способ. Из cOBMecTHoro
решения уравнений ахроматиза.
ции мениска (6.53)
аз ==dlaи(1dla2) и условия
компенсации мениском сфери.
ческой аберрации зеркала, запи-
санных при условии нормировки
а 1 ==0, а 4 == 1, h 1 == fОб' находят
уrол а 2 :
d,
sj
а2
а)
«,-о
..;-
6)
h 1 P 1 + hzP2 ==  haP8'
Рис. 6.35. Мениск Максутова и одиноч-
ное зеркало: а) оптическая схема
объектива; б) ход nepBoro BCnOMora-
тельноrо луча
rде
Р 1 == аа;;
Р 2 == а(аз  ( 2 )2 (паз  ( 2 );
Р З == 0,25(1 + а з )2 (1  аз);
а == n/ (1  n / .
Тоrда
(6.77)
d;a;  d 1 (n + l)a + (d;8 13ep ja)a; 
 (2dI811эер / а )а2 + 8 1эер / а == о.
(первоначально значение 8 1зер вычисляют В предположении, что
аз == о). Из решения уравнения (6.78) определяют единственное дей.
ствительное значение уrла а 2 , по формуле (6.53) вычисляют уroл аз и
заново определяют S lэер== hзР з . Из уравнения (6.78) вновь находят
уrол а 2 .
2-й способ (приближенный). Записывают условие устранения сфе-
рической аберрации для вcero объектива:
8106 == h 1 P 1 + h 2 P 2 + hзР з == О.
400
(6.78)

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркальнолинзовых систем
rде параметры Р l , Р 2 , Р з вычисляют по (6.77), высоты первоro вспо
моrательноrо луча находят по формулам h l  (об == 1; h 2 == 1  d l (1.2;
h3 == h 2  d 2 (1.з,
Задаваясь значением уrла (1.2' например (1.2 == 0,9, вычисляют по
формуле (6.53) значение уrла (1.3  (h 2  hl)(1.2/hз И определяют пара
метры Р l' Р 2' Р 3' Затем, полаrая, что 81 об == о, находят высоту
h3 =  (h l P[ + h 2 P 2 )/ Р 3 (6.79)
и расстояние d 2  (h 2  h з )/(1.з, Оставляют вариант, коrда расстояние
d 2 == (1,2...1,5)( об'
(6.80)
Система типа Кассеrpеиа с компеисатором Максутова (рис. 6.36).
В оптической схеме, представленной на рис. 6.36, а, вторичное зер
кало системы типа KaccerpeHa нанесено на вторую поверхность. Для
компенсатора d l '" о, h[ '" h 2 , Уl '" У2' Пусть Вр  о, тоrда толщина Me
ниска (11  о,lD меи (в расчетах фиryрирует всеrда приведенная толщи
на мениска d[ == d 1/( об)' Примем нормировку: (1.[  о; (1.5 == 1; h l == (об 
==1 при n l == n 3 == n 5 == 1, n 2 == n и n 4 == 1.
«,-о
{'"
(l r :
d,
dz-d1
S.
а)
5)
Рис. 6.36. 8еркальнолинзовый объектив типа KaccerpeHa с компенсатором
Максутова:
а) вторичное зеркало нанесено на второй поверхности мениска; б) вторичное
зеркало имеет радиус кривизны. отличный от радиуса кривизны второй
поверхности мениска
Запишем условие равенства радиусов кривизны поверхностей Me
ниска и вторичноrо зеркала r 2 == r 4 , Т.е.
h 2 (1  n )/«(1.8  n(1.2) = 2k эк /(J + (1.4)' (6.81)
а также найдем значение yrла (1.4 из расчета хода первоrо вспомоrатель
Horo луча, отраженноrо от зеркальной поверхности,
(1.4 = (1.8 + 2(h2  d 2 (1.з )/r з , (6.82)
Подставим значение уrла (1.4 из (6.82) в (6.81) и после преобразований
найдем радиус кривизны rлавноrо зеркала
401

Расчет и проектирование оптических систем
 2h 2 h з (1  n)
rз 2kЭR(<ХЗn<Х2)h2(1n)(1<хз)' (6.83)
Радиус кривизны rлавноrо зеркала можно также определить по
формуле
rз==2(h2d2<ХЗ)/(<Х4+<ХЗ)' (6.84)
rде уrол <Х4 в соответствии с рис. 6.36 равен:
<Х4 == (h з  k ЭR )/(3  k эR ). (6.85)
Тоrда выражение (6.84) с учетом выражения (6.85) после преобразо
ваний запишем в виде
r з == 2h з (k ЭR  3)/[k ЭR  h з + <хз(k ЭR  3)].
Приравняв (6.86) и (6.83), после преобразований получим
(6.86)
 (1  n )(k ЭR  h 2 )h 2 + 2k эR d 2 <х 2 n + (1  n )h 2 d 2
<х з  [ ] .
d 2 2kЭR(1n)h2 .
(6.87)
Так как h 2  h 1  d 1 <X 2 == 1  d 1 <x 2 , то, подставив значение h 2 в ypaвHe
ние (6.87) и введя соответствующие обозначения, получим
<х з == (с + В<Х 2  A<x;)/(D + ad 1 d 2 <x 2 ), (6.88)
rде а  1  n; А == ad;; С  а(k ЭR + d 2  1); В  d 2 (2k эR n  ad 1 ) + ad 1 (2 
 k эR ); D  d 2 (2k ЭR  а).
Зеркальная система хроматизма не вносит, поэтому мениск дол
жен быть ахроматом. Из условия ахроматизации мениска (6.53) име
ем
аз == dl<x;/(l  d 1 <x 2 ).
Тоrда, приравняв правые части уравнений (6.53) и (6.88), после пре
образований получим кубическое уравнение относительно уrла а 2
aHAd 1 + ad;d 2 ]+ <xHDd 1  Bd 1  А]+ <Х 2 [в  Cd 1 ]+ С == О. (6.89)
В соответствии с изложенным выше предлаrается следующий по
рядок расчета:
1) а  1  n;
3) d 1 == О,lDпол/fоб;
5) В  d 2 (2k эR n  ad 1 ) + ad 1 (2  k эR );
2) d 2 == k ЭR  3;
4) А == ad; ;
6) С == а(k ЭR + d 2  1);
402

rлава 6. Расчет зеркальных И зеркальнолинзовых СИСтеМ
7) D  d 2 (2k"K  а);
9) F == Dd 1  Bd 1  А;
8) Е == d 1 (A + d 1 d 2 );
10) к == в  Cd 1 .
11) уравнение (6.89) принимает вид:
Ea + Fa; + Ка 2 + С == о, (6.90)
и ero можно решать либо по формулам Кардана, (см. п. 6.6) либо Me
тодом хорд и касательной. Так как I(а 2 )= Ea + Fa; + Ка 2 + С, то
1'(a 2 )=3Ea;+2Fa 2 +K, затем следует вычислить a2[I(a2)/
/1'(a 2 )] = а 2 и найти разность (a2a2)' Вычисления выполнять до тех
пор, пока (a2 ( 2 ) == 0,0000001;
12) а з == dla/(1  d 1 ( 2 ); 13) ry = hy(n  nу )/(na  nуа у ),
{'де h 1 == (об; hy == hYl  dYlf:1.y.
Выполним расчет системы типа KaccerpeHa с компенсатором Maк
сутова в случае, коrда радиус кривизны вторичноrо зеркала системы
не равен второму радиусу кривизны поверхности мениска (рис.
6.36,6). Если сферическая аберрация исправлена асферизацией rлав
Horo зеркала, то расстояние d 2 является коррекционным параметром
для минимизации меридиональной комы или астиrматизма. Таким
образом можно получать системы либо апланатические, либо анастиr
матические с не исправленной комой.
Примем нормировку для уrлов и высот первоrо вспомоrательно
{'о луча: а 1 == о; а 5 == 1; h 1 == (об == 1. Для системы в воздухе n 1  n 3 ==
== n 5 == 1; n 4 == 1; n 2 == n. И если входной зрачок совпадает с оправой
компенсатора, то Вр == О и толщина мениска d 1 == О,lD меи (d 1 == d II(об)'
Пер во начально , полаrая, что уrол а з == О, выполним rабаритный
и аберраJJ;ИОННЫЙ расчеты системы типа KaccerpeHa по формулам, при
веденным в п. 6.2, определив величины d з , а 4 , r з , r4' Найдем
SIзер == o,25a; + О,25k эк (1  а;)(1  ( 4 ).
Далее выполним расчет мениска из cOBMecTHoro решения ypaBHe
ний ахроматизации мениска (6.53) и условия компенсации мениском
сферической аберрации зеркальной части объектива, а именно
а 2 + (а з  ( 2 )(1  d 1 ( 2 )== о;
aa + (1  d 1 a 2 )(а з  а 2 )2(а з n  ( 2 )а == SIэер'
{'де а == nl(l  п)2.
Из cOBMecTHoro решения уравнений (6.53) и (6.91) после преобразо
ваний получаем уравнение пятой степени относительно уrла а 2 :
(6.91)
403

Расчет и проектирование оптических систем
а;  Ba + Са;  Da 2 + Е = О, (6.92)
rде В == (1 + n)/d 1 ; С == SIзе/а; D == 2S Iзе /(аd 1 ); Е = SIэер/(аdп.
Из решения уравнения (6.92) находим значение уrла а 2 , по фор
муле (6.53)  значение уrла аз.
Затем следует вычислить SIоб == Рl + hzP2 + h:l'з + h 4 P 4' Эта сумма
не будет равна нулю, так как при вычислении высоты h з == h 2  d 2 а з
уrол аз уже не равен нулю. Чтобы компенсатор полностью компен
сировал сферическую аберрацию зеркальной части объектива, нео()..
ходимо, найдя значения уrлов а 2 и аз, вычислить новое значение yrла
а 4 == аз + 2h з /r з , rде h з == h 2  2аз. При расчетах расстоянием d 2 зада-
ются, причем d 2  d з . Определить новое значение SIзер== h:l'з + h 4 P 4 и
заново решить уравнение пятой степени (6.92) с учетом вновь полу-
ченноrо значения S Iзер'
Пример 6.8. Выполнить параметрический сиитез зеркально-линзовоrо объектива
из одииочноrо зеркала и меННСКОВОl'Oкомпенсатора, если 8,  OO, f'afj 250, D/f afj  1:5;
8 р  о. Мениск выполнен из стекла марки К8. Коррекция визуальная.
Решекие. l-й способ. Порядок расчета системы в соответствии с формулами (6.53),
(6.78) при нормировке а,  о, а.  1, h,  , afj  1:
1) а,  O,lDN" 0,1.52  5,2; d,  0,02:
2) 8,,,.  0,25;
3) а  п/(1  п)'  1,5183/(1  1,1583).  5,65203;
4) d,(n + 1)  0,02(1,5183 + 1)  0,0503658:
5) d; ..p/ а  0,02..0,25/5,65203  0,0000176;
6) 2d,81...Ia  2.0,02.0,25/5,65203  0,0017692;
7) 8 1 ...!а  0,25/5,65203  0,0442314;
8) o,0004a  0,0503658a + o,0000176a o,0017692a. + 0,0442314  о;
9) a 125,914a + 0,044a  4,423а. + 110,578  о;
а.  ,975566; а.  0,0186702;
Р,  aa  5,24 782;
Р.  а(а.  а.)'(па.  а.)  4,90218;
Р.  0,25(1 + а.)"(1  а.)  0,245247;
10)h,1:
h.  1  d.a.  1,01951;
h.  h.  d.a.  1,04195;
l1)h'p. SI..pO,255526;
12) a 125,914a + 0,44972a  4,52077а. + 133,023  о;
ii,  0,980954; ав   0,0188749;
404

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
13) h,  1;
h.  1,019б2;
h3  1,04227;
Р,  5,33525;
P.4.98199;
Р 3  0.245194;
3
LP"  0.0180бб
1
h,P,  5.33525
h'p. 5.07974
h'рз 0,255558
3
Lh.P"  0.00005
1
14) r,  h,(n  l)/(na.)  8б.9980
r.  h.(1  n)/(а з  па.)  89.9125
d/5.2
d.  300
r з  2hз/(1  а з )  511.8б
Значения остаточных аберраций. полученные в результате аберрационноrо анали
за нсходноro варианта, приведены в табл. б.14.
Таблица б.14
т !!.в' !!.У. 1'\. % !!.B'p'
.
17.67 0,012 ----0,0008 0.013 0.00930
25.00 0.015 ----0.0015 0.024 0.01162
2-й способ (при расчете этим способом испольэyIOТ формулы (б. 79) и (б.80». Зада-
димся значениями yrла а. и вычислим параметры Р " Р.. Р 3' определив первоначально
h.-h,  d,a.. yroл а з по формуле (б.53). Результаты расчета сведем в табл. б.15.
Таблица б.15
м h. Р/ Р. Ра h3 d.
п/п а. а з
1 ---0,9 1.018 ---0,0159135 1Ю37 3,86921 0,245959 0.737986  17,596
2 ---0,98 1.0196 ---0,0188387 5,31970 4,96779 0,252203 1,00928 ---0.54 78
3 0,98096 1.01962 ---0,0188752 5,З3535 4,98208 0,245193 1.05612 1.19364
4 ---0,981 1,01962 ---О,01887б8 5,3З600 4,982б7 0,245119 1,042б49 1.21996
5 --{),982 1.0964 ---0,0189149 5,З5234 4,99758 0,2451&1 1,046600 1.42533
ТаК как рекомеидуемое расстояние d.  (1,2...1.5) r "". то выбираем результаты рас-
чета, указанные в строке 3 табл. б.15, и ДЛЯ этоrо варианта найдем конструктивные
параметры объектива
n.
n, 1
r,  8б.9975
d/ 5,2
n.  1.5183
К8
r.  89.843
d. 289.41
n3 1
r з  51l.42З
n 4   1
405

Расчет и проектирование оптических систем
Значения остаточных аберраций, полученНые в результате аберрационноrо анали-
за исходноrо варианта, приведены в табл. 6.16.
Таблица 6.16
т АВ' Ау'. 11, % АВ'ус
.
17,67 ....0,0046 0,00033 0,0124 0,00178
25 ....0,0192 0,00193 0,023 0,00376
Пример 6.9. Выполнить параметрический синтез зеркальнолинзовоrо объектива с
компенсатором Максутова, оптическая схема KOToporo пред ставлена на рис. 6.36, б, если
"06  400, D/f об  1:4, 200  30, 8 р  О, k..  0,35, 1)  О,1' 06' Компенсатор выполнен из
стекла маркн ТК16 (л.  1,6152). Коррекция визуальная.
Решение. На основании изложенноrо выше н в соответствии с фОРМУJIами (6.91) и
(6.92) предлаrается следующий порядок расчета объектива:
1) d,  O,1D QOA /f 06  0,1.103/400  2,575.10.2;
2) d s  1)  k..  0,1  0,35  0,25;
3) а.  (1  k..>/d s  2,6;
4) rs  2/а.  2Л2,6)  o, 769231;
5) r.  2k../(1 + а.)  0,43750;
6) конструктивные параметры зеркальной части объектива в предположении, что
а .  О при" 06  400, имеют значеиия:
rs  307,692
r.  175,0
ds 100
лs 1
л.  1
Л5 1
7) Р.  a/4  (2,6)Э/4  4,394;
8) W s  а: /2  (2,6)2/2  3,38;
9) Р.  0,25(1  а.)2(1 + а.)  5,185;
10) W.  (1  а: )/2  2,88;
11) 81'..  Р, + k..P.  4,394 + o,35(5,185)  2,5796;
12) примем расстояние d z  d s ' Пусть d.  d.  0,25.
Выполним расчет компенсатора:
13) а  л/(1  л)' 1,6152/(1  1,6152)2  4,26770;
14) В  (1 + л)/d,  (1 + 1,6152)/(2,575.102)  101,562;
15)С  8 1 ../а  2,5796/4,2677  0,604447;
16) D  28 1 ../(ad,)  2.2,5796/(4,2677.2,575.102)  46,9474;
17)Е  8 1 ../(adf)  2,5796/(4,26770.2,5752.104)  911,5999;
тоrда уравнение пятой степени относительно уrла а, примет вид:
a101,562a+6,04447 .1Ola46,9477az +911,5999 = о;
а,   1,76213;
406

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
18) аз  dla/(1 dlIXZ) 7,64855-102;
19) h,  1; h.  1  d,a.  1,04537;
h.  h.  dp.  1,06449;
h.  h.  d.a.  0,41449;
20) при а.  7.64855.102 найдем
зер = hзРз +h 4 P 4  4,67737  2,14875  2,5286;
2})зановоперечитаемкоэффициенты уравнения (6.92): В 101, 562; ё  5,59346.10.1;
D  43,4444; Е  843,580, тоrда
а:  1, 727705; аз 7 ,358897.102
22) для контроля правильности решения уравнении исправления сферической аберра-
у=4
цин в объектнве рассчитаем параметры Р, по поверхности и найдем об  Lh"P,.:
\>-=1
Р ,  22,0091;
Р 2  18,7862;
Р 3  4,2662;
Р.  5,184;
h , P ,  22.0091
h'p. 19,62199
h;P. 4,534497
hJ'.  2,140399
r.hvPv 0,006988
23) вычислим радиусы кривизны поверхностей исходноrо варианта объектива, предва-
рительно определив h,  h'1  d,, а,:
п, 1
h I  400 r/  88,1821
d/10,з п.  1,6152 ТК16
h.417,795 r.  94,5998
d.  100 п. 1
hз 425,154 r,  318,0401
dз100 п.  1
h. 165,154 r.  206,443
п5 1
Результаты аберрационноrо анализа исходноrо варианта объектива приведены в табл.
6.17. Рассчитанный объектив имеет f' 06  399,999; в'у  165,154.
Таблица 6.17
т I1в' !!.у', 11, % !!.В'У.(У
.
О 0,0 0,00 0,00 ....0,0001
35 0,438 0,039 0,094 ....0,05
50 2,113 0,264 0,119 ....0,132
407

Расчет и проектирование оптических систем
Синтез объектива типа KaccerpeHa с линзой Манжена
в качестве компенсатора на вторичном зеркале
Расчет объектива (рис. 6.37, а) выполним при следующих усло-
виях нормировки для уrлов и высот первоrо и BTOpOI'O вспомоrатель
ных лучей: а 1 ==0; а 5 == 1; h 1 ==
== f об ==l; l == 1; Уl == Вр; 1 == 1.
При расчете компенсатор
принимаем бесконечно тон-
ким, а отражающую поверх-
ность зеркала заменим беско-
нечной плоскостью (рис. 6.37,
6): d2 == d s == о; h 2 == hs == h4 ==
== h KOM ' nз == n; n 4 == n. Для си-
стемы в воздухе n 1 == n 5 == 1,
n 2 ==  1. Конструктивные пара-
метры компенсатора найдем
из условия компенсации им
сферической аберрации зер-
кальной части объектива с
учетом Toro, что в линзе Маи-
жена r 2 == r4'
Запишем условие исправ-
ления сферической аберрации в
объективе:
0.:,.0
"2
",

F05
а,.о
"1
".
а)
Rtr н:
,.,


'"
б)
Рис. 6.37. Объектив типа KaccerpeHa с ком-
пенсатором в виде зеркала Манжена вмес-
то вторичноro зеркала: а) оптическая схе-
ма объектива; б) ход nepBoro BcnoMora-
телъноrо луча
v;4
8 10б == L hvPv == P 1 + h KOM (P 2 + РЗ + Р 4 )== о;
v;1
Р КОМ == Р 2 + Рз + Р 4 ==  Р 1 /k эк ,
Так как r 2 == r 4 , то соrласно формуле (6.55) получим
а 4 == а з + (1  ( 2 )/n.
Найдем значения параметров Р 2 , Р з , Р 4 И их сумму. После соответ-
ствующих преобразований выражения для указанных параметров
примут вид:
(6.93)
Р 2 == [n/(n  1)2][a2a + Ь2a + с 2 а з + d 2 ];
РЗ == (n/4)[аза + Ьза; + сза з + d s ];
Р 4 == [n/(n  1)2][a4a + Ь 4 а; + с 4 а з + d 4 ],
408
(6.94)

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркальнолинзовых систем
rде
а 2 == 1;
аз == о;
a4==1;
Ь 2 == Ьа 2 ; Ь З == о;
С 2 == aa; с з == 2t 2 /n 2 ;
d 2 == па;; d з == tз /n з ;
здесь а == 2n + 1; Ь == n + 2;
Ь 4 == (1/n)(nЬ + 3t);
С 4 == (n2a + 2ntb + 3t 2 )/n2;
d 4 == (n 4 + an 2 t + bnt 2 + tЗ)/n З ,
t == а 2  1 .
v=4
Найдем сумму параметров L Pv и запишем условие компенсации
. v=2
аберраций (6.93). После соответствующих преобразований получим
а; + Ба; + Са з + D == О, (6.95)
rде
1
Б == [Ьn(a2 + 1)+ 3t];
2п
С  2 ' [ ап'(l + ai) + 2пын'[ 3  (п  1)' )].
1 [ 1 ] ( n 1 ) 2 ( t3 аз N )
D== nаЗ+ ( n4+аn2t+Ьnt2+tЗ ) +  +.
2 2 n з 8n 2 n k
эк
Кубическое уравнение решаем по формулам Кардана (см. п. 6.6),
находим уroл аз и по формуле (6.55) вычисляем уroл а 4 , а затем и pa
диусы бесконечно тонкой линзы компенсатора. Затем переходим к
радиусам линз конечной толщины (см. п. 6.6).
Пример 6.10. Выполнить параметрический синтез зеркальнолинзовоrо объектива
типа KaccerpeHa с компенсатором в виде линзы Манжена на вторичном зеркале, если
8}  OO, r 06 350 мм, D/f'06  1:4, k..  О,38,I) O.lf'06' Объектив работает в монохромати
ческом свете 1..0  2 мкм). Компенсатор выполнен из CaF 2 (п.. о  1,4239). Входной зрачок
совпадает с оправой rлавноrо зеркала (см. рис. 6.37).
Решение. Приведем последовательность параметрическоrо синтеза объектива:
1) d,  1)  k..  0,1  0,38   0,28; 2) IX.  (1.,.. k..)/d,  2,21429;
3) r,  2/IX. 2/(2,21429)  O,903224; 4) r.  2k..I(1 + IX.)   0,62588;
5) конструктивные параметры зеркальной системы из двух зеркал при " 06  350 мм:
r}  316,128
d,  98
п}  1
п.   1
пэ 1
r,  216,058
409

PaC'teT и проектирование оптических систем
3
6) Р,  a.2 /4  (2,21429)З/4  2,7142;
7) Р,  (1  а.,)'(1 + а.,)/4  (1 + 2,21429)2[1 + (2,21429)]/4  3,1364;
8) 8,...  Р, + k.KP,  2,7142 + O,38(3,1364)  1,52236;
9) W/  a. /2  (2,21429)2/2  2,451; W,  (1  a. )/2   1,951;
10) У,  О, У,  d,  O,28, тоrда 8 п ...  у.р, + W, + W,  1,3782;
11) выполним расчет компенсатора. Предлаrается следующий порядок расчета.
t  а,  1  3,21429; Ь  n + 2  3,42388; а  2n + 1  3,84776;
В  o,5[Ь(a, + 1) + 3t/n]  5,4691;
С = [1/(2n2)][an2(a. + 1)+ 2ntb +3t2][t2(n  1)2 /(4n 2)]  11,0427;
D = O,5[na. + (n 4 +an 2 t+ bnt 2 + t 3 )/n 3 ]+ (n  1)2 (t 3 /n +a.n/k.R)/(8n2)  7,67934;
12) а; +5,46491a +11,0427аз +7,67934 = о;
а.  1,52649;
13) а.  а. + (1  а.,)/n  0,730926;
14) контроль решения уравнения нсправления сферической аберрации: вычисляем Р, 
2, 7142, P, 6,0973,P.  1,44315, p. 0,397589, тоrда8,... P, + hKOM(P, +Р. +Р.) 
 O,00008;
15) определение радиусов бесконечно тонкой линзы компенсатора:
r 2TB =  h.c... (n + 1)/(а 2  nа з )  3,95260;
r3TB = 2h.c.../(a. 4 + аз) O,955297;
r4TB = h.co.. (1  n )/(1  na4) 3,95260;
16) d,  0,1 D по .  4,5; тоrда d.  d,  4,5;
17) h,  f'об350;
h,  h,  d,a,  132,999; r,  r,..h,/h KOM  1383,40;
h.  h,  d,a.  126,129; r.  r...h.lh KoM  317 ,083;
h.  h.  d.a.  122,839; r.  r...h.lh KoM  1277,73.
Так как I p,l> I p.I, то примем соrласно рекомеидации (см. п. 6.6) r.  r, и получИl\l
исходный вариант объектива с r об  348,912 и следующими конструктивными парамет-
рами:
n,  1
r,  316,128
d,  98 n,  1
r,  1383,399
d,  4,5 n. 1,4239 CaF 2
r.  317,083
d.  4,5 n.  1,4239 CaF.
r.  1383,399
n5 1
410

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
Найдем коэффнцнент масштабирования y 350/348.912  1.003. После масштаби
рования получим:
n,1
r,317.112
d,  98,3 N.  1
T.. 1387.704
d.  4.5 Па  1,4239 CaF.
Т'а  318.069
d a  4.5 N.  1.4239 CaF.
r4 1387.704
n5 1
Рассчитанный объектив имеет {'об  350.1; в'у  122.922. Результаты аберрацион
Horo анализа исходноrо варианта приведены в табл 6.18.
Таблица 6.18
()статочные аберрации системы
т двухзеркальной зеркально-линзовой с компенсатором
дs'ш Кш дs'лО ду'ло h. %
О О О О О О
21.90 1.043 .....0.148 .....0.010 .....0.0006 0.278
30.97 2.049 .....0.292 .....0.013 .....0.0012 0,549
37.93 3.091 .....0,439 .....0,010 .....0.0010 0.811
43,80 .170 .....0.594 0.001 0.0001 1,065
6.6. Параметрический синтез линзовых систем с
отражающей поверхностью
Синтез зеркала Манжена
Как известно. зеркало Манжена (рис. 6.38) представляет собой
линзумениск. выпуклая поверхность которой покрыта отражающим
слоем. Такую систему можно считать состоящей из трех поверхнос
nz=n
0(1=0
dl
а}
nz=n
d 1
Рис. 6.38. Зеркало MaH
жена:
а) предмет в бесконечно-
сти; б) предмет располо-
жен на конечном расстоя-
нин
s,
5)
411

Расчет и проектирование оптических систем
тей: первой преломляющей, второй отражающей и третьей преломля
ющей, идентичной физически первой, Т.е. их радиусы r з == r 1 . К лин
зовым системам, содержащим отражающие поверхности, можно при
менить все формулы, выведенные для преломляющих поверхностей,
с учетом Toro, что при каждом отражении происходит перемена зна
ка показателя преломления следующей за отражающей поверхностью
среды. И кроме Toro, если свет после нечетноrо числа отражений дви
жется справа налево, то толщину соответствующей среды следует счи
тать отрицательной.
Поверхности мениска сферические, а исправление сферической
аберрации в линзовом отражателе возможно только за счет взаимной
компенсации сферических аберраций отражающей и преломляющей
поверхностей. Хроматические аберрации в зеркале Манжена, свой
ственные ero краевым зонам, не устранены.
Использовать зеркало можно в качестве конденсора (см. рис.
5.14), компенсатора монохроматических аберраций (см. п. 6.5) в зер
кальных системах, как самостоятельный объектив. Применять зерка
ла Манжена в прожекторных системах вместо параболоидных OTpa
жателей при мощных источниках нецелесообразно, так как основной
недостаток мениска  большая толщина ero у края при малой тол
щине в центральной части. В начале работы прожектора ero централь
ная часть быстро нarревается, в то время как ero толстые края про
rреваются значительно медленнее. Вследствие этоrо в стекле отража
теля возникают сильные внутренние напряжения, которые при MHO
rOKpaTHoM повторении HarpeBa и охлаждения приводят к .усталости.
материала, зеркало дает трещины и разваливается на куски. Это oc
новной И важнейший недостаток зеркала Манжена.
Выполним параметрический синтез зеркала из условия исправле
ния в нем сферической аберрации с учетом конструктивной особен-
ности (r 3== r 1 ).
Примем мениск бесконечно тонким (d 1 == d2 == о; h 1 == h 2 == h3 == h)
и для системы в воздухе запишем n 1 == 1, n 2 == n, n 3 == n, n 4 == 1. Из
условия r 1 == r з была найдена связь между уrлами а 2 и а з [см. форму
лу (6.55)]:
аз=а2+(а4аl)/n'
Запишем условие исправления сферической аберрации в зеркале
Манжена
У=3 у=3
81 = L hyPy = h L Ру == hP OTP = О.
У=l У=l
(6.96)
412

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
Вычислим параметры Р l' Р 2' Р з на каждой поверхности по фор
мулам (6.56) с учетом (6.55) и условий нормировки для уrлов и высот
первоrо вспомоrательноrо луча. После преобразований получим:
Для предмета в бесконечности (рис. 6.38, а), коrда а 1  О, а 4  + 1,
h  f об  1 и аз  а 2 + 1jn,
v=з
Р ОТР = L Ру == (п  1)2 P /(2п)== a + Aa + Ва 2 + С = О, (6.96')
У=1
rде
А == 0,5 [3/п  (п + 2)];
В = 1,25/п 2  1,5п + п  0,75;
С = 0,375/п З  0,75/п 2  0,5п  о,125/п + 1.
Для предмета на конечном расстоянии (рис. 6.38, б), коrда
а 1  o' а 4  1, h  а 1 а 1  alO и аз  а 2 + Ф О + l)jn,
(6.97)
v=з
Р ОТР = L hvPv = a + A<x + В<Х 2 + С,
у=1
(6.96")
rде
А = 0,5[(п + 2)фо  1)+ 3(o + l)/п];
В == (1+ 2n)g/n (o + l}(п + 2)/п+
+ [3  о,5(п  l)2](o + 1)2/( 2п 2 ) + п + 0,5;
С = 0,5 {[1 (o + l)/п y[(o + l)/п  п]
 о,25(п  1)2 (o + l)З /п З + п}.
(6.98)
Из решения кубическоrо уравнения (6.96') или (6.96") определим
одно действительное значение корня (уrол ( 2 ), а затем найдем уrол аз
и вычислим радиусы тонкой линзы Манжена.
Уравнение третьей степени можно решить либо методом хорд и
касательной (см. п. 6.5), либо по формулам Кардана. Для этоrо BBe
дем новую переменную у  а 2 + А! 3, тоrда уравнение (6.96') или (6.96")
примет вид:
уз+ 3 ру+2q=0,
413

Расчет и проектирование оптических систем
rде Зр  в  (ljЗ)А2; 2q  2А 3 /27 АВjЗ + С, т оrда у  и + и, rде
и =  q+-f? + р2,' V =  q р2 И а 2 = y А/З.
По найденным значениям уrлов а 2 и а з вычислим радиусы бесконеч
но тонкой линзы Манжена:
r 1 = h(n  1)/(па 2  ( 1 );
r 2 = 2h/(a 3 +( 2 );
r з = h(n  l)/(па з  ( 1 ).
Определим толщину мениска d 1  о,lD llол И высоты hv на поверх
ностях с учетом толщины линзы.
При переходе к радиусам линзы конечной толщины окажется, что
h3 '1= h 2 , И поэтому r 1 '1= r3. Чтобы правильно выбрать значение радиуса
кривизны первой поверхности линзы, необходимо вычислить парамет
ры Р \' на каждой поверхности мениска, и если окажется, что
1P11> 1Рзl, то rз r 1 , аеслиlРзl> I Р11, то r 1  r з ,
Но тоrда:
1. При 81  oo фокусное расстояние рассчитанной системы не бу
дет совпадать с заданным значением, Т.е. {' об. зад '1= {' об. расч' Чтобы полу
чить заданное значение фокусноrо расстояния, необходимо найти KO
эффициент масштабирования 'У, и все значения радиусов кривизны и
осевых толщин умножить на этот коэффициент.
2. При 81 :F- oo увеличение рассчитанной системы не будет совпа
дать с заданным, Т.е. Озад:F- O расч' Чтобы сохранить заданным увели
чение O и оптическую силу отражателя Фотр' необходимо по заданно
му отрезку а 1 определить отрезок 81  а 1 + 8н> найти h 1  8 1 а 1  81O
и высоты на поверхностях мениска, вычислить rv тв' сравнить парамет-
ры I Р11 и I Рзl, определить Фотр  (2п  1) (Р1  Р2)  2Р1 и, сохраняя
Озад и Фотр' пересчитать радиусы кривизны и толщину мениска.
Если линза Манжена работает как конденсор (коллиматор, про-
жектор), то для устранения вредноrо влияния переднеrо рефлекса сле-
дует положить, что r з  1. В этом случае луч, идущий от точки ис-
'l'очника на оси и отраженный от передней поверхности мениска, вновь
возвратится в осевую точку источника, тоrда при нормировке h 1 
 r  1,а 1  О, а 4  1 и при условии, что r 1  r з  h 1 (n  1)j(па з + 1) ==
414

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркальнолинзовых систем
 1, найдем уrлы аз 1 и a2 (1  n)/n. Уравнение исправления сфе
рической аберрации в этом случае примет вид [25]:
v=З
Р ОТР = L Pv = (2n  3)/(4n 2 ) = О,
v=l
из решения KOToporo найдем, что n  3/2  1,5.
Таким образом, получено практически удобное значение показа
теля преломления стекла, из KOToporo должна быть изrотовлена лин
за Манжена. При n  1,5 уrлы аз и а 2 и радиусы кривизIrt.1 будут иметь
следующие значения аз  1; а 2  (1  1,5)/1,5  1/3; rl r з  1;
r 2  2h/(а з + ( 2 )  2h/[1 + (1/3)]  1,5.
Практически показатель преломления n несколько отличается от
значения n  1,5. Обозначим 1/n  т и положим, что т  2/3 + !im,
считая приращение !im настолько малым, чтобы можно было прене
бречь всеми степенями этой величины, выше первой. Кроме Toro, при
мем аз 1 + !iа з , тоrда а 2  т  1  1 + 2/3 +!im  1/3 + !im, в то
же время а 2  а з + 1/n  1 + !iа з + 2/3+!im  1/3 +!im + !iа з .
Подставим значения уrлов а 2 и аз в уравнение (6.96) для ис
правления сферической аберрации и после преобразований получим
!ia.  (3/10)!im, тоrда а 2   1/3 + (7/10)!im; аз   1  (3/10)!im.
Радиусы кривизны линзы Манжена будут равны: r 1  r з  1 
 (9/10)!im; r 2  3/2  (9/20)!im, или, так KaK!im  !i(1/n)  !in/n2 
 (4/9)!in  (4/9) (n  3/2), то а 2  2/15  (14/45) n; аз  6/5 +
+ (2/15)n; r 1  r з  8/5 + (2/5)n; r 2  9/5 + (1/5)n.
Таким образом, получены простые формулы для расчета зеркала
Манжена. Однако при их использовании необходимо помнить, что по
казатель прело мления стекла должен мало отличаться от значения,
paBHoro 1,5 [25].
Выполним анализ основных параметров P, w"" зеркала Манже
на и сравним их с основными параметрами одиночной линзы.
Основные параметры зеркала Манжена при нормировке а 1  О,
а 4  1 имеют вид:
( n  1 ) 2
Pka3+Aa2+Ba +С. k
 2 2 2 '  2n
W = a2(1+т)0,5т2 +1;
1t = 2(1 + т )а 2 + т 2 ;
С = (1  т  2( 2 )/у.
(6.99)
(6.100)
(6.101)
415

Расчет и проектирование оптических систем
Сравнительный анализ приведенных формул для параметров р"'.
W"". С зеркала Манжена и одиночной линзы [12] показывает следу-
ющее.
1. Уравнение p = f(аП для зеркала Манжена является парабо-
лой третьей степени с точкой переrиба. Решение этоrо уравнения име.
ет один действительный корень. следовательно. сферическая аберра-
ция может быть исправлена.
Для одиночной линзы p = {(a), и поэтому ее можно расчитать
только на мJнимум сферической аберрации.
2. Основные параметры 1t и W"" для зеркала Манжена связаны ли-
нейной зависимостью 1t -= 2(1  W""). кроме Toro 1t -= {(а 2 ). и поэтому
изменением а 2 можно исправить кривизну поля. в то время как дли
линзы в воздухе 1t -= 1/ п "" 0.7.
3. Параметр С. характеризующий хроматические аберрации, со-
rласно формуле (6.101) для зеркала Манжена является также функ-
цией уrла а 2 , поэтому, если положить С -= О, то п  1  2а 2 п -= О и а 2 ==
-= (п  1)/(2п); аз -= а 2 + т -= (п + 1)/(2п), тоrда r 1 == 2; r 2 -= 2, p ==
== 0.25; W"" == 0.5; 1t == 1 и линза Манжена превращается в сферическое
зеркало с внутренним покрытием. Для одиночной линзы C=1Iy",O
и поэтому исправить хроматизм в ней нельзя.
4. Для линзы Манжена, изroтовленной из стекол распространен-
ных марок, кривизна поверхности Рl == 1/r 1 , найденная из условия ис-
правления сферической аберрации, равна Рl == 0,93...1,01, а кривиз-
на, найденная из уравнения W"" == О (п -= 2), равна Рl -= 0,41...0,24.
Синтез ДВyxJIИнзовых компонентов-отражателей
Компонентом-отражателем назовем линзовую оптическую систе-
му, последняя поверхность которой покрыта отражающим слоем,
вследствие чеro свет, отраженный от этой поверхности. снова прохо-
дит через всю систему в обратном направлении. В отличие от линзы
Манжена, имеющей только один коррекционный параметр  уrол а 2 ,
двухлинзовые компоненты-отражатели имеют уже два коррекцион-
ных параметра, что дает возможность исправить две аберрации  сфе-
рическую и хроматизм положения, если компонент используется как
самостоятельный объектив, или компенсировать две аберрации, если
использовать ero в качестве компенсатора.
Если компонент-отражатель использовать одновременно и как
одно из зеркал в двухзеркальной системе, и как компенсатор, то иМ
можно исправить кому, хроматизм, сферическую аберрацию и кри-
визну поля.
416

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
При удачном выборе марок стекла в склеенном компонентеотра
жателе можно получать практически любые значения основных па
раметров p, W"", n, с.
Двухлинзовые компонентыотражатели применяют либо caмOCTO
ятельно как объективы, либо в виде компонентов объективов зритель
ных труб, астрономических объективов, объективов микроскопов,
репродукционных и проекционных объективов. Их использование
позволяет сократить размеры оптической системы и получить CBeTO
сильные системы (D/f' == 1:1...1:0,7 при r == 10). Возможность xopo
шей коррекции сферической аберрации в широком диапазоне длин
волн спектра учитывается при использовании таких компонентов в
объективах микроскопов, работающих в УФобласти спектра (А ==
== n I sin а А 1== 0,85 при o == 60 Х ).
Однако наряду с преимуществами компонентотражатель имеет
и недостатки  экранирование, малое поле, технолоrические TPYДHO
сти изrотовления, сборки и юстировки, высокую чувствительность к
внешним воздействиям.
Выполним синтез трех конструкций компонентовотражателей,
используемых в качестве объективов, при различных положениях
предмета.
Объективотражатель, склеенный из двух линз (рис. 6.39). Сле
дует отметить, что после каждоrо отражения света показатели пре
ломления и толщины меняют знак. Все остальные величины при этом
знак не меняют, т.е. n 1 == 1, n 4 == nз, n 5 == n2' n в == 1, d з == d2' d 4 
== d 1 .
$}
d,
d.
а)
Рис. 6.39. Оптическая схема
склеенноrо объективаотра
жателя для предмета, распо
ложенноrо:
а) в бесконечности; б) на
конечном расстоянии
6)
Примем компонент бесконечно тонким (d 1 == d 2 == dз == dз == О,
h 1 == h 2 == h з == h 4 == h) и зададимся следующими условиями нормировки
для двух случаев:
1) если 81 == OO, а 1 == О, а в == 1, h == r об == 1;
2) если 81 ;t: OO, а 1 == O' а в == 1, h == а 1 а 1 == a1O.
417

Расчет и проектирование оптических систем
Найдем конструктивные параметры компонентаотражателя из
условия исправления в нем хроматизма положения 81 хр == О и сфери
ческой аберрации (81  О). Однако при расчете данной системы кроме
условий коррекции аберраций необходимо принять во внимание еще
и чисто конструктивные условия. Таких условий два: r 4 == r 2 ; r 5 == r 1 .
Если эти условия не будут выполнены, то система будет практически
неосуществимой. Найдем из конструктивных особенностей компо-
нента зависимость между уrлами а 5 =={(а 2 ) и а 4 == {(аз).
Так как компонент склеенный, то аз == (n з  n 2 )Q/(n 2 n з ) + а 2 , и
если значение уrла аз =={(а 2 , Q) подставить в выражение для опти
ческой силы тонкой линзы компонента Фl == (n 2  1) (Рl  Р2)' то после
преобразований получим:
а2=Фl+аl+Q(11/n2); (6.102)
аз = Фl + а 1 + Q(1  1/n з ); (6.103)
rде Q  инвариант Аббе поверхности склейки; т 2 == 1/n 2 ; тз == 1/nа.
Из условия равенства r 1  r 5 и r 2 == r 4 найдем соответственно
a5=a2(alaв)т2; (6.104)
а 4 = аз  (а 1  ав)т з . (6.105)
После подстановки в (6.104) и (6.105) значений уrлов а 2 и аз из (6.102)
и (6.103) получим:
а 2 = Фl + а 1 + Q(1 т 2 );
аз == Фl + а 1 + Q(1  тз);
а 4 == Фl + а 1 + Q(1  тз) (а 1  ав)т з ;
а 5 = Фl + а 1 + Q(1  т2) (а 1  а в )т 2 .
Запишем условия исправления аберраций:
(6.106)
v=5 v=5
8 1хр = L hvC v = h L C v = hC OTP = О, т.е. С ОТР == о;
v=l v=l
v=5 v=5
81 = L hvPv = h L Pv = hP OTP = О, т.е. Р отр == о.
v=l v=l
С учетом (6.106) выражения для С отр и Р отр после преобразований при
мут вид:
С ОТР == 2пзтзQ (а 1  ав)ilnзтз  2Фl/Vl;
(6.107)
418

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркальнолинзовых систем
Р ОТР = AQS + BQ2 + DQ+E,
(6.108)
rде
А == 2тз(1  тз);
в = 2Фz(2т2 +тз)+ (а !  (6)тз(2 Зm s )+ 2т з а !  (а ! + ( 6 );
D:;: 6т 2 Ф: /(1  т 2 )+ 2(а !  ( 6 )Фz(2т 2 + тз) 2Фz(аz + ( 6 )+
+ (а !  ( 6 )2 тз (О,5  2,5т з )+ 2(а !  ( 6 )(a z m s  ( 6 );
Е = o,75(a!  ( 6 )з т;  a z a 6 [тз(а !  О,5( 6 )+ а !  2а 6 ]+
+ о,5тза  a + (а !  ( 6 )2 Фz(2т 2 + о,5тз) 2(а !  ( 6 )а.6 Ф Z +
+ 2Фm2/(1  т 2 )2  1/(1  т 2 ){ Ф: [(а ! + (6) з(а z  а 6 )т 2 ]}.
Решая совместно уравнения (6.107) и (6.108), получают кубичес
кое уравнение относительно инварианта склейки Q (или Фz)' Из реше-
ния этоrо уравнения находят единственный действительный корень
(значение Q), затем по формулам (6.107) вычисляют фz ==
== nsmsvz[Q + (а !  ( 6 )/2] и по формулам (6.106) определяют , а
затем и значения r vтн .
Переход к радиусам линз конечной толщины изложен в п. 6.6.
Объектив-отражатель из двух нескнеениых нинз (рис. 6.40). Ком-
понент имеет три коррекционных параметра (а 2 , аз, ( 4 ), и в нем мож
но исправить три аберрации: хроматизм положения, сферическую
аберрацию и меридиональную IЮМУ (81 хр == О, 81  О, 8 п == О). Если BXOk
ной зрачок совпадает с оправой компонента, то условия исправления
указанных аберраций запишутся в виде С об  О, Роб == О, w об  О. Най
дем выражения для параметров С об , Роб' W об " Так как по условию ра-
боты объектива r z == r 7 , r 2 == r 6 , rs == r 5 , то эти конструктивные особен-
ности накладывают определенные связи на уrлы , а именно:
если r z  r 7 , то а 7 == а 2  (а !  а в )т 2 ;
если r 2 == r 6 , то а 6 == а з  (а !  а в );
если rs == r 5 , то а 5 == а 4  (а !  а в )т 4 ;
(6.110)
419

Расчет и проектирование оптических систем
fL7
((! t/J
"7
"z
",
а)
5)
Рис. 6.40. Оптическая схема несклеенноrо компонентаотражателя для
предмета, расположенноrо:
а) в бесконечности; б) на конечном расстоянии
Для TOHKoro компонента d 1 =о d 2 =о d з =о d4 =о ds =о d6 =о О, h 1 =о
=о h 2 =о h3 =о h4 =о hs =о h6 =о h7 =о h. Для системы в воздухе n 1 =о n 3 =о 1,
ns =о n4' n 7 =о n2' n 6 =о nB 1, и выражения для параметров С об ' Роб'
W об С учетом (6.110) можно представить в общем виде:
С Об = а. з (2/V 2  2/у 1) 2а. 4 /у 2 + (а. в  а. 1 )!1n4/ n 4 + 2а. 1 /У 1; (6.111)
W об = а. з (а. 1  а. в Х т 2  т 4 )+ a.ia. 1  а. в )(т 4 + 1)+
+ а.Н 1  о,5т:) + (а.;  2а. 1 а. в )(т:  о,5т;) +
(6.112)
+ [а.;( 1  т) + а. 1 а. в ( 2т  т:  т 2 )]/(т 2  1);
Роб = Аа.; + Ва. 2 + С,
(6.113)
rде
А = 2(а. з  а.1Х2т2 + 1);
в = (2+ т2Xa.  2а.; + а.п + (а. 1  а. в )2( 4т: + т 2  2)+
+ 2а. в т 2 (а. 1  а. в )(1 + 2т 2 )+ 4а. з ( а. 1  а. в Х 1  т:);
420

rлава 6. Расчет зеркальных и зеркальнолинзовых систем
с = 2а;  a  a + (а 1  а&)3(2т 2  2т  1)  a(al  а&)(2 + т 2 )т 2 
 а&(а 1  а& )2 т ;(2т 2 + 1)+ а;(а1  а& )(т2  1)(т2 + 3)+
+ а з (а 1  а&)2(1  т 2 )2 (2т2 + 3)+ [(т2  1)/(т 4  l)У х
х {2aт4  2а; + аа(а 1  а&)(l  т 4 )(3т 4 + 1) 2а з (2m 4 + 1)]+
+ а 4 [2аНт 4 + 2)+ 4а з (а 1  а& Хт;  1) + (а1  а& )2(т4  1)2 Х
+ (3т 4 + 2)]+ а;(а 1  а 8 )(1  т4)(т4 + 3) а з ( а 1  а&)2 (т4  1)2 Х
Х (2т 4 + 3)+ (а 1  а&)2(т4  1)2( 1  т;)} (т2  1)2 Х
Х [0,5(а 1  а&)2 а 4 т 4  0,25( а 1  а&)3 т;]  РОб(m 2  1)2.
Возможны два случая работы компонента: 81  oo; 81"* oo, И В за
висимости от положения предмета принимают следующие условия
нормировки:
еСЛИ 81  oo, то а 1  о, а&  1;
если 81 -:j:. oo, то а 1  PO' а&  1.
Решая совместно уравнения (6.111)(6.113) для принятых усло
вий нормировки находят уrлы а 2 , а з , а 4 , а затем по формулам (6.110)
определяют уrлы а 5 , а 6 , а 7 . По значениям «v вычисляют радиусы бес
конечно тонких линз компонента и переходят к радиусам линз конеч
ной толщины (см. п. 6.6).
Если в двухлинзовом несклеенном объективеотражателе в слу
чае, коrда 81  oo, обе линзы изrотовлены из стекла одной марки
(n 2  n 4  n, n 5  n 7  n), то этот объектив-отражатель будет
апохроматом.. В таком объективе имеются два коррекционных пара
метра а 2 и а з , причем параметр а 2 используется для выбора системы,
наиболее выrодной в конструктивном и технолоrическом отношении,
а параметр а з  для исправления сферической аберрации. Практичес
кий расчет показал, что линзы объектива имеют наиболее блаrопри
ятную форму при условии а 2  о. При этом первая поверхность CTa
новится плоской.
421

Расчет и проектирование оптических систем
Объектив-отражатель из двух несклеениых линз с первой плос-
кой поверхностью, эквивалентный параболоидному зеркалу (рис.
6.41). Линзы объектива изrотовлены
из стекла одной марки, Т.е. А,
n 2  n 4  n, n 5  n 7  n, и для систе
мы в воздухе n 6  n 8  1, n 1 
 n з  1.
Так как r 1  r 7  00, то в случае
предмета в бесконечности а 1  а 2 
 о и ИЗ условия ахроматизации
81 хр  О, принимая по нормировке
а 8   1, найдем уrол а 4 :
d,
d,
С об = [дn/(т 1)][ 2а 4 (т+ 1)]= О;
ds
d.
d!
(/!
а 4 = (т  1)/2.
Рис. 6.41. Оптическая схема компо-
(6.114) нента-отражателя, эквивалентноrо
параболоидному зеркалу
Подставив значение уrла а 4 в урав-
нение (6.112), после преобразований получим W  0,5; так как
r 4  2, то при условии исправления сферической аберрации объек-
тив по своим аберрационным свойствам становится эквивалентным
параболоидному зеркалу. Для Hero также 1t   1.
Из конструктивных особенностей объектива (r 1  r 7  00, r 2  r 6 ,
r з  r 5 ) найдем зависимость между уrлами:
а 5 = а 4  т = O.5(т + 1);
а 6 = аз  1; а 7 = т.
Тоrда выражение для p (5.113) с учетом нормировки и формул
(5.114), (5.115) после преобразований можно представить в следую-
щем виде:
(6.115)
4а:(т 2 +т 2) +2а з (2т З т2  4т+з)+ т 2  2т+ 1
= 4(1т)2 . (6.116)
Из решения квадратнOI'О уравнения (6.116) относительно уrла аз оп-
ределяют два значения уrла аз. Затем по формуле (6.114) вычисляют
уroл а 4 , по (6.115) определяют а 5 , а 6 , а 7 и рассчитывают радиусы бес-
конечно тонких линз объектива:
422

rлава 6. PaC'IeT зеркальных и зеркально-линзовых систем
r 1 = r 7 = 00;
r 2 = r B = (п l)/СХ з ;
r з = rs =  2(п  l)/(п  1 + 2сх з );
r 4 = 2.
Интересно отметить, что, если с четвертой поверхности объектива
снять отражающий слой, превратив ее из отражающей поверхности в
преломляющую, то луч A.rA2 (см. рис. 6.41) выйдет из объектива па
раллельно оптической оси, Т.е. система окажется афокальной.
Пример 6.12. Выполнить параметрический синтез апохроматическоro объектива-
отражателя из двух несклеенных лииз с первой плоской поверхностью, если r об  200,
D / f' об  1: 2, 200  20, входной зрачок совмещен с оправой отражателя. Линзы выполнены
из стекла маркиК8, спектральный диапазон РО, е, С' (п,  1,5183).
Решение. Предлаrается следующий порядок синтеза объектива:
1) т  1 /п  0,65864;
2)А  4(т 2 + т  2)  3,63024;
3)В  2(2т З  т 2  4т + 3)  1,00615;
4)D  т 2  2т + 1 - 0,11653;
5) уравнение (6.116) примет вид:
З,63024а  l,ОО615азо,l1653 = о.
Из двух значений корня выберем меньшее по абсолютной величине, т .е. аз  o, 08 792 53;
6) а.  О,5(т  1)  o, 17068; а.   О,5(т + 1)  0,82923; а.  аз  1   1,08792;
7) контроль решения аберрационных уравнений
PlO
Р 2  0,00583
РЗ 0,00144
P.0,164659
P.0,31091
Р.  1,03449
P7 0,566196
ЕРу  0,000009
WlO
W2 0,022647
W.  0,0059372
W.  0,329318
W.  0,41038
W.  0,822605
W 7  0,566196
I:W y  0,499999
8) найдем радиусы кривизны поверхностей тонкой системы: r 1  r 7  ; r,  r.  ----(п  1 )/а з 
 1178,993; r.  2  400; r.  r.  2(п  1 )/(п  1 + 2а.)  605,428;
9) определим световой и полный диаметры линз объектива: D  100; D  103, тоrда
d,  10,3; d,  3,82; d.  10,3; .. ....
423

PaC'leT и проектирование ОПТИ'lеских систем
10) вычислим радиусы линз конечной толщины, определив высоты первоrо вспомоrа-
тельноrо луча:
h}  200 h 2 r ==00
I
d}  10,3
h з  200,366 r21178,932
d 2  3,82
h4  202,094 r з  606,437
d з  10,3
h5  193,552 r 4  404,188
d 4  10,3
h.  189,396 r 5  585,901
d 5  3,82
h7  182,612 r.  1116,425
d.10,З
r 7 ==oo
И так как I p.1 > 1 Р21. то r 2  rб,l Р51 > 1 рз 1, то r з  r 5 ;
11) конструктивные параметры исходноrо варианта:
r==oo
}
r 2  1178,932
d,  10,3
d 2  3,82
r з  606,437
d з  10,3
r 4  404,188
r. 1178,932
d 4  10,3
d 5  3,82
d б  10,3
r 5  606,437
r==oo
7
f'..  197,922
Найдем коэффициент масштабирования у  200/197,92 2  1, О 1 05. После масшта-
бирования получаем следующие конструктивные параметры исходноrо варианта (ради-
усы приведены по rOCT 180775):
п} 1
r ==00
}
d,  10,4 п 2  1,5183 К8
r 2  1191,2
d.  4,0 пз 1
r з  612,4
d з  10,4 п 4  1,5183 К8
r 4  408,4
d 4  10,4 п5I,5183 К8
r 5  612,4
d 5  4,0 п.  1
r. 1191,2
d.  10,4 п7I,5183 К8
r==oo
7
п.   1
В результате аберрационноrо анализа получены следующие значения остаточныХ
аберраций:
т  50; 1'18',  O,05; l:1y',  O,OI4; 11  0,4%;
т  35,4; 1:18'F'.C' 0,03; т1  0,4%.
424

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
rлава 7. РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С АСФЕРИЧЕСКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
7.1.Применениеасферическихповерхностей
в оптических системах
Применение асферических поверхностей (АП) позволяет улуч
шить качество изображения, повысить оптические характеристики
систем, упростить их конструкцию, уменьшить rабаритные размеры
и массу.
Преимущества АП по сравнению со сферическими поверхностя
ми объясняются их б6льшими Коррекционными возможностями. Если
сферическая поверхность имеет один свободный параметр  радиус
кривизны, то АП в общем случае имеет множество параметров, опре
деляемых коэффициен.тами уравнения профиля. Так, наиболее. широ
ко применяемые поверхности конических сечений  эллипсоиды,
параболоиды, rиперболоиды  имеют два свободных параметра  pa
диус кривизны при вершине и эксцентриситет.
Однако АП, известные со времен Декарта, до сих пор находят or
раниченное применение. Основными причинами этоrо являются Tex
Нолоrические трудности их изrотовления и контроля и, следова
тельно, высокая стоимость.
В настоящее время АП применяют только в тех случаях, коrда без
них невозможно обойтись или коrда их применение дает существен
НЫе преимущества по сравнению с системами из сферических повер
Хностей. Рассмотрим эти случаи.
Без асферики невозможно создать оптические системы приборов
для рентrеновской области спектра, rде лучи отражаются от оптичес
Ких поверхностей лишь при уrлах падения, близких к 900. Это при
425

Расчет и проектирование оптических систем
водит к необходимости разработки внеосевых (децентрированных)
систем.
Синтез систем с повышенными оптическими характеристиками
часто с дифракционным разрешением, имеющих малые размеры и
массу, становится невозможным без применения АП. Такие системы
прежде Bcero необходимы для космической и астрономической опти
ки.
Особое значение приобретают АП в инфракрасной области спек
тра, коrда оптические системы должны быть компактными, CBeTO
сильными вследствие малой интенсивности излучения объектов и низ
кой чувствительности приемников, а также отвечать требованиям к
аберрациям в широкой области спектра. В таких случаях чаще Bcero
применяются зеркальнолинзовые системы, но иноrда используются
и простые линзовые конструкции с асферикой. Применение линзовых
систем оrраничивается недостаточным количеством прозрачных в ин
фракрасной области материалов и их ВЫСОкой стоимостью.
При введении АП значительно упрощается конструкция освети
тельных систем, к качеству изrотовления которых предъявляются в
основном невысокие требования. Кроме Toro, это позволяет решить
проблемы, неразрешимые при использовании сферических поверхнос
тей.
Широко известно использование цилиндрических и торических
поверхностей в очковой оптике, цилиндрической оптики  в aHaMOp
фотных системах. АП применяют и в лазерных оптических системах:
линзы Декарта  в системах для концентрации излучения, аксико
ны  в системах формирования пучка по плотности излучения и Т.П.
Перспективным является применение АП в широкоуrольных и
сверхширокоуrольных объективах для увеличения относительноrо
отверстия и уrловоrо поля при сохранении rабаритномассовых xapaK
теристик, в объективах с переменным фокусным расстоянием.
Можно привести примеры наиболее эффективноrо использования
АП. Это анаберрационные (декартовы) поверхности, полностью YCT
раняющие сферическую аберрацию. Одна линза или зеркало с такой
поверхностью при относительном отверстии 1: 1 позволяет заменить
пятьшесть линз. Одна АП може'f заменить несколько линз в случае
полноrо исправления одной аберрации при создании светосильных
неширокоуrольных и широкоуrольных, но малосветосильных систем.
Такая замена особенно эффективна в случае применения линз боль
шоrо диаметра.
В общем случае при расчете светосильных и широкоуrольных си
стем одна АП равноценна одной дополнительной тонкой линзе, IIОЭТО
426

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
му вопрос оприменении асферики надо решать с учетом следующих
факторов:
существенное упрощение конструкции по сравнению с KOHCTPYK
цией из сферических поверхностей;
возможность исправления аберраций;
значительное уменьшение rабаритных размеров и массы системы;
степень сложности технолоrии изrотовления и ВОЗМОЖНОсти KOH
троля;
обеспечение технических требований и экономические соображе
ния.
Одновременно важно также учитывать светопропускание систе
мы и уменьшение числа вторичных изображений. В линзовых систе
мах следует обратить внимание на возможность исправления xpOMa
тических аберраций высших порядков, так как уменьшение числа
линз может привести к возрастанию сферохроматической аберрации
и друrих хроматических разностей аберраций.
Рассмотрим основные виды асферических поверхностей, преиму
щественно применяемых в оптических системах. К ним отнОсятся:
поверхности конических сечений (коникоиды), к которым OTHO
сятся параболоиды, эллипсоиды, rиперболоиды  поверхности BTO
poro порядка;
цилиндрические поверхности;
конические поверхности;
торические поверхности;
поверхности высших порядков с малым отступлением: от сферы,
от поверхностей BToporo порядка и от плоскости (планоиды).
Поверхности высших порядков даю'l' большие возможности ис
правления аберраций, так как имеют большее число независимых пе
ременных.
7.2. Общие свойства асферических поверхностей
Уравнение профиля асферической поверхности
Профилъ асферической поверхности (или кривая м.еридионалъно
zo сечения, или образующая) может быть задан тем или иНым ypaBHe
нием либо просто таблицей значений координат. Уравнения MorYT
быть произвольными, однако на практике обычно используют степен
ные функции различноrо вида.
Центрированная АП вполне определяется уравнением своей обра
зующей. Способ задания уравнения зависит от формы поверхности.
Для определения профиля поверхности удобно совместить начало KO
427

Расчет и проектирование оптических систем
ординат с вершиной поверхности, а ось вращения  с оптической
осью.
В табл. 7.1 приведены различные виды уравнений профиля АП,
применяемые для описания разных форм поверхностей [17], [18].
Таблица 7.1
Номер Виды поверхностей,
ypaвHe Уравнение профиля ОIШсываемые Примечания
ния уравнением
(1) 11  Az + Bz2 Поверхности BТOporo А  2ro;
порядка  коникоиды В  (1  е 2 )  (1 + Ь)
(2) 11  Az + BZ2 + Сz Э +... Все поверхности, кроме Рекомендуется для
планоидных (ro  00) поверхностей, мало
отличающихся от
поверхностей Bтoporo
порядка
(3) z  A1I + В!!, + Су6 + ... Все поверхности Рекомендуется для
задания IlЛаноидной
поверхности; не peKO
мендуется для дефор
мированной сферы
(4) R  Ro + а<р2 + Ь<р4 + Поверхности, мало Начало координат не
+ е<р8 + ... отличаюIЦИеся от совмещено с
сферы вершиной кривой
(5) R  ro + Ь<р4 + с<р8 + ... Начало координат COB
мещено с центром дe
формированной сферы
(6) у2  NAz+Bz2 + Все поверхности, кроме
С 3 планоидных (ro  00)
+z +...
N Рекомендуется при
пересчете системы с
А В коэффициентом
(7) z y2 +y4 + Все поверхности подобия N (при
N N 3 масштабировании)
С 6
+ N 5 у +,..
в уравнении (1) табл. 7.1 А  2r o ' rде ro  радиус кривизны в Bep
шине кривой (вершинный радиус), или радиус соприкасающейся сфе
ры. Коэффициент В, содержащий коэффициент деформации Ь, в OT
личие от коэффициента А не влияет на параксиальные параметры си
стемы, и изменяя ero, можно воздействовать на аберрации для OДHO
428

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
ro апертурноrо луча. Исключение составляют анаберрационные повер
хности BToporo порядка, позволяющие полностью исправить сфери
ческую аберрацию для Bcero отверстия зрачка.
Уравнение (2) отличается от (1) большим числом членов алrебра
ическоrо ряда. Коэффициенты В, С... являются дополнительными
коррекционными параметрами и позволяют исправить какуюлибо
одну аберрацию TpeTbero, пятоrо и более высоких порядков. Такой вид
уравнения, особенно удобный для задания профиля поверхностей,
мало отличающихся от поверхностей BToporo порядка, теряет смысл,
если ro  00, Т.е. в случае планоидной поверхности  поверхности с Ma
лым отклонением от плоскости. Уравнения этоrо вида неприменимы
также для задания профиля поверхностей, имеющих экстремальные
точки, например типа поверхности пластинки Шмидта с точкой пе
реrиба.
Уравнение (3) представляет собой уравнение параболы высшеrо
порядка и определяет профиль поверхности, симметричной относи
тельно оси z. Здесь А == 1/(2r o ) == О для планоидной поверхности. YpaB
нение приrодно почти для всех случаев, но при апертурах не более оп
ределенных предельных значений. Это уравнение неудобно для опи
сания профиля поверхностей, мало отличающихся от сферы, так как
содержит большое число членов разложения. Получающийся в этом
случае практически бесконечный ряд удлиняет время расчета на ЭВМ.
На практике вычисление ряда z по степеням У представляет оп
ределенные трудности вследствие крайней малости коэффициентов В,
С, D,..., особенно если система имеет большое отверстие, так как Be
6 8 10 б В б
личины У ,у ,у ,... становятся ольшими. о из ежание таких TPYk
ностей r. r. Слюсарев рекомендовал вместо У вводить пропорцио
нальные ему переменные У == Y/Yk' rде Yk  D/2 или У = y/ro [18].
Уравнение (4) в полярных координатах позволяет представить
профиль деформированной сферы. Здесь начало координат О (рис. 7.1,
а) не совмещено с вершиной поверхности, поскольку это неудобно,
поэтому в уравнении содержится постоянный член Ro  радиусвек
IJ
у
Рис. 7.1. Два способа располо
женин начала координат OTHO
сительно асферической поверх
ности
z
а)
5)
429

Расчет и проектирование оптических систем
тор вершины кривой. }Травнение представляет собой четную функцию
уrла <р, так как поверхность симметрична относительно оси z.
Если начало координат совместить с центром деформируемой сфе
ры (рис. 7.1,6), то получим уравнение (5) (см. табл. 7.1), описывающее
профиль в полярных координатах. Следует обратить внимание на то,
что радиусвектор R не является нормалью к поверхности.
Для определения деформации поверхности относительно соприка
сающейся в вершине поверхности сферы надо определить разность
М  R  (ro)  Ь<р4 + с<р6.
На практике часто возникает необходимость пересчета оптичес
кой системы по подобию в том или ином масштабе, Т.е. необходимость
масштабирования. В уравнениях (2) и (3) в разные члены входят ли
нейные величины z и у в различных степенях, но очевидно, что для
всех членов должна сохраняться одна и та же размерность. Следова
тельно, размерность коэффициентов А, В, С,... должна быть различ
ной, поэтому при масштабировании системы необходимо изменять KO
эффициенты с учетом их размерности. При коэффициенте пересчета
(подобия) N получим уравнения (6) и (7).
Уравнение асферической поверхности
При расчете на ЭВМ обычно задают уравнения асферических по
верхностей, а не уравнения профиля. Для асферических поверхнос
тей, наиболее часто применяемых в оптических системах, уравнения
MorYT быть представлены в виде зависимостей двух типов [4]:
Ь 2 2 2 3 п О .
у + сх + a 1 z + a 2 z + азz +...+anz = ,
(7.1)
z = а 1 (у2 + х 2 )+ а 2 (у2 + х 2 )2 +...+а п (у2 + х 2 )п. (7.2)
}Травнение (7.1) позволяет описать поверхности BToporo порядка,
имеющие ось симметрии, совпадающую с осью Oz,  параболоид, эл
липсоид и rиперболоид. В некоторых случаях, например, при aB'l'OMa
тизированной коррекции оптических систем, с lIОМОЩЬЮ уравнения
(7.1) задается сфера. С помощью уравнения (7.1) можно также задать
цилиндрические поверхности, образующие которых параллельны
либо оси Оу, либо оси Oz, так как в уравнении имеются разные коэф
фициенты при у2 и :С.
}Травнение (7.2) можно использовать для задания поверхностей с
осью симметрии, совпадающей с оптической осью  осью Oz. Это ypaB
нение используется rлавным образом для задания поверхностей, име
ющих точн:и переrиба, типа асферической поверхности пластинки
Шмидта.
430

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
Порядок асферической поверхности в уравнении (7.1) определя-
ется величиной п, а в (7.2)  2п.
Коэффициент деформации и ero определение
Основной поверхностью в оптике является сферическая поверх-
ность, уравнение профиля которой, Т.е. уравнение окружности, име-
ет вид: Z2  2rz+ i  О. Решим это уравнение относительно Z и разло-
жим решение в ряд:
z=rJ =+ F )=
==r ( +L++ у + J ==
2r z2 8r 44 16:6 1 8:8 ...
у2 у4 у6 5 у 8
==  +  +  + ..+...
2r 8r 3 16r 5 128r 7
(7.3)
Любую асферическую поверхность можно рассматривать как де-
формированную сферическую, поэтому уравнение профиля асфери
ческой поверхности можно записать, введя коэффициенmы дефор.ма
ции Ь, с, d в уравнение сферической поверхности:
у2 у4 у6 5 у 8
Za == . + (1 + ь)+ 5(1 + с)+ (1 + d)+....
2rO 8rO 16r O 128r O
{'де ro. радиус кривизны поверхност при вершине.
В уравнении (7.4) первый член разложения ряда, в который вхо-
дит кривизна поверхности l/r o ' характеризует область первоrо поряд-
ка, Т.е. параксиальную область. В области аберраций третьеrо поряд-
ка появляется следующий член разложения, и поэтому коэффициент
деформации Ь влияет на аберрации третьеrо порядка. Аналоrично ко-
эффициент деформации с позволяет изменить значения аберраций
пятоrо порядка и т.д.
Особый интерес представляют поверхности с малым отклонени-
ем от сферы, в которых коэффициент Ь равен нулю. Эти поверхности
имеют те же коэффициенты аберраций третьеrо порядка, что и сфе-
рические поверхности. Поэтому деформацией поверхности, т. е. вве-
дением коэффициентов деформации с и d при Ь  О, можно влиять на
аберрации высших порядков, не изменяя аберраций третьеrо ПОРЯk
ка. Кроме TOI'O, чем Llыше степень первоrо члена разложения в ряд,
(7.4)
431

Расчет и проектирование оптических систем
у
тем меньше отклонение от сферической повер
хности и тем дальше от вершины оно начина
ется.
Меру асферичности .6.z, Т.е. деформацию,
или отклоненuе от вершинной сферы (рис. 7.2),
можно определить разностью dz  Za  Z при oд
ном И том же у:
Ьу4 су6 5 dy8
dz=++.+...
8r 3 16r. 5 128r 7
о о о
Определим коэффициент деформации сфе
рической поверхности, которую надо заменить
асферической поверхностью BToporo порядка.
}Травнение профиля этой поверхности имеет
вид: у2  2roZ  (1  e 2 )z2.
Решим квадратное уравнение: Z2  [ 2r o/
/(1  e 2 )]z + у2 /(1  е 2 )  О относительно Z и раз
ложим в ряд, как это было сделано выше в (7.3):
(7.5)
.,
2
z
Zo Llz
z
Рис. 7.2. Определение
асферичности L'1z:
1  асферическая пo
верхность; 2  сфери
ческая поверхность
у2 1 2 ( у4 ) 1 2 2 ( у6 )
z=+(1e ) 3 +(1e) 5 +
2ro 8 ro 16 ro
5 3 ( у8 )
+ 128 (1e2)  rci +...
(7.6)
Сравнивая (7.4) и (7.6), найдем коэффициенты деформации Ь, с, d:
ь = e2.. с = е 4  2е 2 .. d = 3е 4  3е 2  ев.
(7.7)
Из (7.7) следует, что конические сечения для коэффициента Ь
дают только отрицательные значения, поэтому коническими сечения
ми нельзя заменить любую заданную кривую, имеющую ось симмет
рии, даже вблизи ее вершины.
При изменении коэффициента деформации Ь меняется форма по-
верхности, которую несложно определить, поскольку Ь  e2 (табл.
7.2). Следует обратить внимание на то, что положительные значения
Ь соответствуют поверхностям, меридиональные сечения которых
имеют вид эллипса с большой осью, перпендикулярной оптической
оси, Т.е. при изменении Ь образуется сплюснутый эллипсоид, который
трудно изrотовить.
432

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
Таблица 7.2
Коэффициент Эксцентриситет Форма профиля
деформации Ь eД поверхности
О О Окружность
1 1 Парабола
О> Ь > 1 О<е<l Эллипс
Ь < 1 е>l I'ипербола
Ь> О е  мнимая величина Сплюснyrый эллипс
Радиусы кривизны асферической поверхности
Для сферической поверхности длина нормали одинакова для всех
точек поверхности, Т.е. радиусы кривизны одинаковы в меридио
,нальной и саrиттальной плоскостях независимо от высоты падения
луча.
Для асферических поверхностей такая закономерность не соблю
дается. Если профиль поверхности представляет собой одну из кривых
BToporo порядка (конические сечения), то при совмещении большой
оси эллипса или действительной оси rиперболы с осью системы наблю
дается увеличение радиуса кривизны по мере удаления от вершины
кривой.
Встречаются также поверхности, для которых наблюдается
уменьшение радиуса кривизны по мере удаления от вершины кривой.
Примером такой поверхности является сплюснутый эллипсоид.
Существуют поверхности с образующей, имеющей точки переrи
ба, радиус кривизны которой изменяется по сложному закону.
Для асферических поверхностей используются понятия меридио
нальноrо и саrиттальноrо радиусов кривизны, являющихся перемен
ными величинами. При расчетах оптических систем необходимо знать
их значения.
Поясним эти понятия для кривой, симметричной относительно
оси Oz. Пусть КС.  нормаль к кривой в точке К (рис. 7.3, а), тоrда
КС т  r т' rде r т  меридиональныи радиус кривизны.
Так как центр С. кривизны поверхности в саrиттальной плоско
сти лежит на прямой ОС.' то r.  КС., Т.е. саzиттальныи радиус
кривизны можно определить как проекцию отрезка нормали между
точками ее пересечения с поверхностью и осью системы.
Значение r. можно найти из МС.Т (рис. 7.3, 6):
r. == у jsin <р == у jcoS't, (7.8)
rде 't  уrол, образованный касательной в точке К с осью. Из анали
4ЗЗ

Расчет и проектирование оптических систем
а)
А
s'
.r
О)
Рис. 7.3. К определению меридиональнOI'О и саrиттальноrо радИусов кривизны
u u u dy
тическои rеометрии известно, что значение первои производнои 
dz
определяет собой TaHreHC уrла касательной с осью абсцисс, а TaHreHc
уrла <р между нормалью и той же осью определяется TaHreHcoM уrла
касательной, взятой с противоположным знаком, Т.е. tg <р == l/tg 't.
Но в оптике принято друrое правило знаков, с учетом KOToporo полу
чим
dy 1
 = tg't = .
dz tg<p ,
dz 1
== =tg<p.
dy tg't
Так как 1 /cos 2 't == 1 + tg 2 't == 1 + у ,2, то и з (7.8) находим
r. == у  1 + у' 2 ,
(7.9)
rде у' == dy .
.dz
Меридиональный радиус кривизны '" т можно найти по известной
формуле аналитической rеометрии:
3/ I 3/ I
r m == (1 + yI2Y2/y" = (1 + Zl2Y2 /Z",
(7.1 О)
"d 2 y "d 2 z
rде у . z =.
 dz 2 ' dy2
Сравнивая (7.9) и (7.10), получаем
r m ==  r. 3 /(у3 У")' (7.11)
В табл. 7.3 приведены формулы для r m и r. для уравнения кривой,
заданной в полярных координатах, а также поверхностей BToporo по
рядка.
434

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
Таблица 7.3
Вид формул r m r
.
Общие [1 + (у')2]% [1 + (Z')2]%
y l+ у,2
 
у" z"
Для уравнения J[ я' +( : П F + (: J
кривой в полярных
координатах
R2+2( dR JR d2R  dR l
Rtgq> dq>
dq> dq>2
Для кривых BТOporo ( J е 3 у2
порядка е 2 у2 ro 1+
ro 1+ ro2 r. 2
о
7.3. Расчет центрированных оптических систем
с асферическими поверхностями в области
аберраций TpeTbero порядка
Коэффициенты аберраций TpeTbero порядка оптических Систем
с асферическими поверхностями
Впервые теория аберраций третьеrо порядка была расширена для
случая систем с асферическими поверхностями К. Шварцшильдом в'
начале ХХ в.
Коэффициенты аберраций третьеrо порядка наиболее удобно и
эффектно с математической точки зрения можно получить из теории
эйконала. Для этоrо вычисляют изменение уrловоrо эйконала LlW,
вызываемое деформацией сферической поверхности, и затем с учетом
этоrо изменения определяют изменения величин п' Lly' и п' Llx'  про
изведений показателя преломления среды на меридиональную и ca
rиттальную составляющие поперечной аберрации.
Уравнения для меридиональной и саrиттальной составляющих
поперечной аберрации третьеrо порядка имеют вид [18]:
435

Расчет и проектирование оптических систем
 2n' L'1 y ' == о' ( 0,2 + 0,2 ) 8 + ( 30,2 + 0,2 ) 008 +
тт s 1 т s П
+ (38 ш + 1 2 8 Iy )о,оо2 + 8 у ОО 3 ;
 2n' L'1x' == 0' (0 ,2 + 0 ,2 ) 8 + 20' о' 008 +
s т s 1 т s II
(7.12)
+ (8 ш + 1 2 8 Iy ) 0:002,
rде о;"  апертурный уrол в меридиональной плоскости в простран-
стве изображения; o  апертурный уrол в саrиттальной плоскости
в пространстве изображений; 8r" .8 у  суммы 3ейделя для оптичес-
ких систем с асферическими поверхностями; 00  уrол поля в про-
странстве предметов.
При исследованиях оптических систем, состоящих из k сферичес-
ких и асферических поверхностей, часто используются суммы 3ейде-
ля в следующем виде [18]:
yk
8r == L hv (pv + Bv );
yl
k k
8 п == L Yv(pv + Bv) 1L W y ;
vl vl
k у2 k У k 1 а
8 ==  'L ( p. + В ) 21W +12 o'
III  h v v  h v  h '
vl у vl v vl v NV
k 1
8 Iy == L Пу;
vl h y
(7.13)
k 3 k 2
8 у == L Yi (Pv +Bv)31L Y i W v +
vl hv vl hv
+12  [ зо+п ] 13 oJ
 h 2 v  h 2 2'
vl v NV vl v NV
rде
436

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
в == b v [o(nvav)Y
v (Onv)2
р == [ oav J 2 О a v .
v 1 '
o nv
nv
п == o(avn v ) .
v "
nvnv
W == oa v  a v
v 1 u .
o nv
nv
Каждую из сумм 3ейделя, кроме четвертой, можно разбить на два
слаrаемых, причем первое определяет соответствующую аберрацию
третьеrо порядка системы из сферических поверхностей, а второе 
ту же аберрацию, вносимую деформированием поверхности.
Из формул (7.13) следует, что коэффициент деформации не BXO
дИТ в четвертую сумму, следовательно, введением асферической по
верхности нельзя исправить кривизну поверхности изображения. Но
деформирование поверхности в отдельных случаях позволяет KOCBeH
ным образом повлиять на исправление кривизны. При введении асфе-
рики обычно устраняется несовместимость условий одновременноrо
исправления сферической аберрации и кривизны поля. Такой случай
встречается, например, при расчете объективов микроскопов и CBeTO
сильных фотообъективов.
Суммы 3ейделя для асферических поверхностей, так же как и для
сферических, зависят от положения входноrо зрачка и предмета, KOH
структивных элементов системы, показателей преломления опти
ческих материалов и сред.
Из (7.13) также следует, что к величинам Pv добавляется член,
связанный с деформацией поверхности:
в == b v [o(n v a v )]3
v (on v )2
 bvh(n  nv)
 3 '
rv
rде b v  коэффициент деформации. Физический смысл добавочноrо
члена в суммах 3ейделя заключается в изменении положения волно
Boro фронта вдоль луча. К этому выводу можно прийти, зная, что мера
асферичности определяется величиной у 4 ь/ (8r 3 ), а умножение ее на
разность (n'  n) дает изменение волновоrо фронта, путем сравнения
этоrо выражения с Bv'
437

Расчет и проектирование оптических систем
Следует отметить, что деформация поверхности влияет ТОлько на
величину P v ' оставляя без изменения функции W v ' II", <р. Эта особен
ность очень облеrчает расчет.
Суммы 3ейделя можно ИСПОльзовать для определения коэффици
ента деформации из условия исправления той или иной аберрации Tpe
Tbero Порядка, кроме кривизны поля. Подбором коэффициента дефор
мации на следующем этапе можно добиться исправления и аберраций
высших порядков, так как число коэффициентов, определяющих фор
му поверхности, бесконечно велико, по крайней мере теоретически.
Однако из этоrо не следует, что большое число дополнительных пара
метров асферики позволяет исправлять несколько аберраций высших
порядков. Необходимо учитывать, что каждая аберрация также xa
рактеризуется бесконечно большим числом коэффициентов.
При использовании для расчета сумм 3ейделя надо помнить о HOp
мировке первоrо и BTOpOI'O ВСПОМОI'ательных лучей.
Влияние деформации асферической поверхности
на аберрации третьеrо порядка
бесконечно TOHKoro компонента
Мноrие оптические системы в начале расчета принимают сост()я
щими из нескольких тонких компонентов, толщинами которых мож
но пренебречь.
Для бесконечно тонких компонентов, разделенных воздухом, CYM
мы 3ейделя имеют вид [18]:
р
8r == Lhi(P;+B 1 );
1=1
Р р
8rr == LYI( +Bi)I})V;;
i=l i=l
Р у2 Е., У. 2 Е.,
8rп == L (p; + Bi) 2IL  w; + 1 L Фi;
1=1 h i i=l h i i=l
Р
Вху == L Ф I 1t i ;
i=l
Р УЗ Р у2 2 Р У.
Sy==L(P;+BI)3ILW;+I LL(3+1tI)Фi'
1=1 h l 1=1 h i i=1 h i
(7.14)
438

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
Ф  а;  а; .
rде t  ,
h;
l<р
п/ == L ;
..) n..
ф
<р 
.. ф. .
I
Для одноrо бесконечно TOHKoro компонента имеем: h 1  h 2  ...==
 h;> У)  У2 ==... == У/' Как видно из (7.14), в этом случае допол
нительный член В; входит во все суммы, кроме четвертой, в виде oд
Horo дополнительноrо слаrаемоrо вместо l, rде l  число линз в KOM
поненте. Следовательно, для изменения Р; на некоторую величину М/,
можно ввести одну либо несколько асферических поверхностей, при
этом влияние на аберрации третьеrо порядка будет одинаковым. Прав
да, влияние на аберрации высших порядков в таком случае будет раз
личным. Поэтому введение асферики в бесконечно тонкий компонент
позволяет исправить только одну какуюлибо аберрацию, даже если
будут асферизованы все поверхности линз компонента.
Перенос деформации с одной поверхности
оптической системы на дрyryю
Теория этоrо вопроса разработана М.М. Русиновым [17]. Для pac
смотрения теории удобно представить суммы 3ейделя в переменных
Аббе:
k
Br == L (h v /hJ4 {Q;v o [lj(n v s v )]+ Ку};
y1
k
ВП == L (hv/hJ)3(Yv/yJ{QPvQsvo[lj(nvsv)] + Ку};
y1
k
Вш == 2, (hv/ h J)2(Yv/YJ)2 {Q;vo[lj(n v s v )]+ Ку};
y1
(7.15)
k
BIV ==  2, (hv / h 1 )2 (уу / Уl)2 (Qpv  QsJ2 (l/rv )О(1/n у );
y1
k
Ву == 2, (h v /h J )(Yv/YJ)3 {Q;vo[lj(n v s v )]+ Qpv (Qpv  Qsv)x
y1
Х о [l/(nv s pJ] + Ку};
439

Расчет и проектирование оптических систем
rде
Ку ==(b)r;)(nnv);
Qpv == nу (1/rv  1/s pv ) == n (1/rv  1/Sv);
Qsv == nу (1/rv  1/s v ) == n (1/rv  1/S) == (1/ hv )[8а у /8 (1/nу )];
Qpv  Qsv == nу (1/ Sv  1/ spJ == I/(yvhv),
Суммы Бl...Бv в (7.15) связаны с суммами 8!,..8у в (7.13) следу
ющими зависимостями:
4 3  2 2
81 == h 1 81; 8 п == h 1 У18п; 8 ш == h 1 Уl 8ш;
2 2 2  3
181V==hlY181V; 8 v ==h 1 Y1 8v .
Из (7.15) следует, что влияние коэффициентов Ку' содержащих
коэффициент деформации Ь у ' можно представить в таком виде:
(hv/ h l)4 Ку, (hv/hl)3(Yv/Yl )Ку,
(hv/ h l)2(Yv/Yl)2 Ку, (h v /h 1 )(YV/Yl)3 Ку'
(7.16)
Предположим, что в оптической системе есть какаялибо друrая
поверхность с номером т, для которой справедливы равенства'
(h m /h 1 )4 Кт == (hv/ h l)4 Ку;
(h m /h 1 )3(Ym/Yl)K m == (hv/hl )3(УУ/Уl)К У ;
(h m /h 1 )\Ут/Уl)2 Кт == (hv/ h l)2(Yv/Yl)2 Ку;
(h m /h 1 )(Ym/Yl)3 Кт == (h v /h 1 )(YV/Yl)3 Ку'
( 7 . 1 7)
Сократив на знаменатели обе части равенств (7.17) и составив OT
ношение коэффициентов К т/ Ку, получим
440

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
к т/К v = h / h = ( h: у v ) / ( h; у т) =
= (h;yn/(h;y;) = (hvyп/(hmY).
Соблюдение всех этих условий возможно при условии, что
(7.18)
hv/h m = Yv/Ym = l/Pm v (7.19)
независимо от значений h и У. Полученное условие справедливо лишь в
случае, коrда vя и тя поверхности являются сопряженными.
Рассмотрим примеры практическоrо применения переноса дефор
мации при разработке оптических систем.
В системе типа rреrори с нулевым выносом изображения (рис.
7.4, а) сопряженными являются плоскости, проходящие через точки
F' 1 И F'. Поместив в плоскость промежуточноrо изображения F' 1 плос
копараллельную пластинку, мы выполним условие (7.19). Теперь BMe
сто деформации сферической поверхности первоrо зеркала можно дe
формировать одну из поверхностей пластинки, что технолоrически
более целесообразно. В этом случае допуск на изrотовление асфери
ческой поверхности будет в 4 раза больше, чем при деформации зер
кала. Кроме Toro, размер пластинки значительно меньше размера зер
кала. Значение отношения коэффициентов деформации можно най
ти из (7.18) и (7.19).
Друrим особо интересным примером является система Мейнела
(рис. 7. 4, 6). В этой системе осуществляется перенос деформации из
плоскости, проходящей через центр кривизны С 1 первоrо зеркала, rде
нужно было бы разместить коррекционную пластинку Шмидта, в фо
кальную плоскость этоrо же зеркала F' l' В которой устанавливается
планоидное зеркало. Эти плоскости являются сопряженными (см. рис.
7.4, 6). Преимуществами TaKoro переноса являются отсутствие лин
зовых компонентов и существенно меньший диаметр деформируемоrо
элемента.

%
F' %
С , 
%
,
,
а) 5)
Рис. 7.4. Перенос деформации с одной поверхности на друrую в системах
rреrори и Мейнела
441

Расчет и проектирование оптических систем
Анализ сумм 3ейделя (7.15) позволяет сделать еще один важный
вывод. Во все суммы коэффициенты деформации b v входят в первой
степени. Это дает возможность в любых оптических системах, состоя
щих не менее чем из четырех поверхностей, не совпадающих друr с
друrом и не являющихся изображениями друr друrа, корриrировать
все четыре аберрации третьеrо порядка: сферическую аберрацию,
кому, астиrматизм и дисторсию. Коэффициенты деформации неслож
но получить из решения системы четырех линейных уравнений с че
тырьмя неизвестными.
Исправление сферической аберрации деформированием
поверхности в простейших оптических системах
Отдельная поверхность. Для обычной сферической поверхности
исправить сферическую аберрацию МОЖ!rt> дЛЯ нескольких пар точек,
причем одна из точек является мнимой (см. [12]).
Для исправления сферической аберрации третьеrо порядка дефор .
мированием поверхности достаточно определить коэффициент дефор
мации ы' приравняв нулю первую сумму 3ейделя: 81  h 1 (Pl + В 1 ) 
о. Это приводит К условию Р 1 + В 1  О. Раскрыв выражения для Рl и
В 1 по известным формулам [см. (7.13)], получим для общеrо случая:
Ь 1 = (a al)2 (а;п 1 alп;)/(aп alпl)3'
(7.20)
Результаты анализа (7.20) для преломляющих и отражающих по-
верхностей при различных расположениях предмета и изображения
приведены в табл. 7.4.
Таким образом, получены интересные результаты, поскольку к
тем же формам поверхностей можно прийти, применяя точное усло
вие исправления сферической аберрации  условие точечноrо изобра
жения [см. (7.4)] при расчете анаберрационных поверхностей. Под
робно свойства полученных поверхностей рассмотрены в п. 7.4, здесь
же отметим, что сферическая аберрация полностью исправлена для
всех зон зрачка.
Особенности расчета линзовых конденсоров с асферическими
поверхностями. Применение асферических поверхностей в освети
тельных системах позволяет упростить их конструкцию, увеличить
уrол охвата и получить более совершенное исправление сферической
аберрации. Требования к точности изrотовления поверхностей в этих
системах оказываются невысокими, что упрощает технолоrию их про
изводства.
442

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
Таблица 7.4
Оптическая схема
8 1  oo
п,=1, nz=n

j{
п,zп, n2=1
;, 


n,=1, n='
 
(' 
81 * oo
п 1  1
п 2   1
«, >Q.IX2.<О
 

«'>О'()(2 <О
ос, <О, "2 <О

«, >0, ОС 2 >0
Рl
aп;п2
1п2)2
aп
(1  п )2
aп2
(ni r
 a
4
В 1
blпa
(п2пl)2
blп3a
(п  1)2
bla
(1п 7
 bla
4
 Ь 1  е;
( : J
1
п 2
(эллипс)
п 2
(rипербола)
1
(парабола)
( a2al ) 2
а 2 +а 1
>1
(a2  а/)2 > Ь ( 3 (rипербола)
4  а, + а 2 )
х(а/+а 2 ) 4
<1
(эллипс)
ro
п 2 пl f'
п 2
п 1 f'
п
(1  n )f'
2f'
281130
130  1
в однолинзовых конденсорах, рассчитанных на минимум сфери
ческой аберрации (см. п. 5.2), условие 81  О можно выполнить при
определенных значениях показателей преломления стекла, а при
81 ::j:. 00 условие 81  О выполняется для определенных увеличений [3]
443

Расчет и проекrирование оптических систем
без асферики. Введение асферической поверхности позволяет испра
вить сферическую аберрацию при любом 81'
Прежде чем деформировать одну из поверхностей конденсора,
надо выполнить ero расчет и определить значения вершинных радиу
сов кривизны. Коэффициент деформации b v тем меньше и, следова
тельно, тем меньше отклонение асферической поверхности от сфери
ческой, чем больше кривизна деформируемой поверхности. Значения
радиусов кривизны зависят от увеличения. Поэтому, рассчитав OДHO
линзовый конденсор на минимум сферической аберрации по извест
ной методике (см. п. 5.2), коэффициент,деформации определяют из
условия 81  О. Выражения для b v приведены в табл. 7.5.
Коrда источник изображается в бесконечности, то конденсор pac
Таблица 7.5
Вид конденсора

_ f '

._.
444
Коэффициенты деформации
 2п(2+п)2(1301)T
Ь 1  3'
[п(l + 2п) п130 (1  2п) 4130]
rде T=(4n1)l3g2(2n2+1)130+4n1; ь 2 =о
или
 2п(2 + п )2(130  l)Т .
b2 ..., ь 1 =о
[п(l  2п)  п130 (1 + 2п )+4]
п З 2п2 +2
Ь 1 =
п
При 1130 I > 1
1 13 3
Ь = ( п32п2+2 ) '
2 п13 '
3 п 3  2п 2 + 2
сф = alI30(1130) ( ) 2
п пl
Ь з = ( п 2п lJ (п з  2п 2 + 2)

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
считывают в обратном ходе. В этом случае можно выбрать плосковы
пуклую линзу, которая имеет блаrоприятную форму в отношении сфе
рической аберрации. Коэффициент деформации выпуклой повер
хности определяется также из условий 81  О (табл. 7.5).
В двухлинзовом конденсоре из двух плосковыпуклых линз BBeдe
ние асферической поверхности позволяет повысить уrол охвата до
65...700. Если I РО 1> 1, то асферизуется вторая более «крутая» повер
хность. Значение коэффициента деформации Ь 2 определяется из усло
вия 81  О (см. табл. 7.5). Поскольку данный конденсор применяют
преимущественно при увеличениях 1...3, то вторая поверхность
должна иметь форму rиперболоида, что следует из выражения для Ь 2 .
Если I РО I < 1, то асферизуется третья поверхность, так как
I r31 < I r 2 1.
Последовательность расчета состоит из определения конструктив
ных параметров по методике, изложенной в п. 5.2, а затем введения
асферической поверхности при условии 81  о.
Для увеличения уrла охвата до 900 перед двумя плосковыпуклы
ми линзами надо установить апланатический мениск. Здесь
целесообразно ввести асферику на вторую поверхность мениска, име
ющую наибольшую кривизну, и в этом случае отклонение поверхнос
ти от сферической будет несколько меньше.
В конденсорах больших увеличений (1 РО 1 > 15) и при уrлах OXBa
та до 900 применяют двухлинзовую схему, состоящую из апланатичес
Koro мениска с асферической выпуклой поверхностью и плосковы
пуклой линзы. Данная схема применяется также в случае, коrда
81  oo (см. табл. 7.5). Коэффициент деформации несложно опреде
лить, если рассчитать систему в обратном xoдe приняв во внимание,
что сферическую аберрацию вносит только плосковыпуклая линза,
так как для мениска 81  8 п  о. Тоrда при нормировке первоrо вспо
моrательноrо луча а 1  о, h 1  h 2  h3  h4  1, а 4  а 5  1 получим
а 2 n  а з ; а з  1 /n  РО м' rде РО м  увеличение апланатическоrо Me
ниска, и а 2  1/n 2 .
в результате можно записать Р1 + Р2  (n 3  2n 2 + 2)/[n 5 (n  1)2] и
при условии 81  О получим уравнение, приведенное в табл. 7.5.
Поскольку сферические поверхности заменяются поверхностями
BToporo порядка, то уравнение профиля записывается в виде
(см. табл. 7.1): у; == 2r03z3 + (е; 1)z;, rде r оз == nf'/(n+1), так как
а з  1/n; а 4  1.
445

Расчет и проектирование оптических систем
Особенности расчета зеркальных и зеркально-линзовых освети
телей. Для расчета простейшеrо зеркальноrо осветителя, состоящеrо
из одной отражающей поверхности, из условия исправления сфери-
ческой аберрации (81  О) надо определить коэффициент деформации
Ь (см. табл. 7.4). При условиях нормировки а 1  130' а 2  1
b:=e2 :=[(a2a1)/(a2+a1)]2 :=[(130+1)/(1301)Y.
Если источник света и ero изображение расположены по одну сто-
рону от поверхности, то она имеет форму эллипсоида, О > е > 1. При
заданном увеличении 130 и расстоянии до источника 81 (см. rл. 5) вер-
шинный радиус кривизны
ro:= 2818;/(81 + 8;):= 281130/(1  130)'
Оценим влияние деформации зеркала на кому при условии ис-
правления сферической аберрации. Для этоrо рассмотрим уравнение
для Sп. в общем случае, коrда 8 p =F- О, 8п yi P 1 + В 1 )  IW 1 ' Но так
как 81 h 1 (I 1 + В 1 )  О, то Р 1 + В 1  О, поэтому 8п  IWl' откуда сле-
дует, что деформация зеркала не влияет на кому.
Приняв во внимание условия нормировки первоrо и BToporo вспо-
моrательных лучей, Т.е. а 1  130' а 2  1, 1  130(8p  8r)' и учтя, что
W 1  0,5 (1  13), получим
Sп :=  IW 1 := 0,5130 (8 р  81)( 1  13) == о.
Это уравнение имеет три решения': 1) 130 H; 2) 130  о; 3) 8 р  81'
Практический интерес представляет лишь первое решение: 130   1.
Для всех друrих увеличений, если сферическая аберрация ис-
правлена, кома не может быть исправлена ни деформацией формы зер-
кала, ни выбором положения входноrо зрачка. Следовательно, для ас-
феричес"их поверхностей подтверждается известная теорема тео-
рии абlfрраций: при исправлении первых t аберраций mpembezo поряд-
"а последующая (t + 1) -я аберрация не будет зависеть от положения
входноzозрач"а [12].
Для 81  oo отражающая поверхность имеет форму параболоида
(r o  2(; ь  1). Подробно о свойствах этих поверхностей см. в п. 7.4.
При расчете зеркально-линзовых осветителей коэффициент де-
формации асферической поверхности определяется аналоrичным об-
разом, Т.е. из уравнения 81  О.
446

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
Расчет двухзеркальных апланатических систем
При расчете апланатических двухзеркальных систем со сферичес
кими поверхностями (см. п. 6.2) получаются cTporo фиксированные
значения коэффициента экранирования k' K и выноса изображения 8,
зависящие от заданноrо увеличения системы, что оrраничивает их
применение. Часто необходимо рассчитать апланатическую систему,
имеющую при заданном увеличении определенный коэффициент эк
ранирования и заданный вынос изображения. В этом случае приходит
ся вводить асферические поверхности.
rабаритный расчет двухзеркальных систем изложен в rл. 6. Ha
шей задачей является определение коэффициентов деформации Ь] и
Ь 2 из условий исправления сферической аберрации и комы третьеrо
порядка, Т.е. при
81 = h 1 (Р] + В])+ h 2 (Р 2 + В 2 ) = о;
(7.21)
8 п = У] (Р] + В]) + У2 (Р 2 + B2) 1 (W] + W 2 ) = о.
Для упрощения вывода примем, что Sp  О, так как кома не зави
сит от положения входноrо зрачка, если сферическая аберрация ис
правлена. Тоrда в соответствии с нормировкой BToporo вспомоrатель
Horo луча У]  Sp  О. Так как 13]  1, 132  1, 1 hl' ТО У2  У]  d13 2 
d.
Принимая во внимание выражения (7.13) для параметров Pv' W v
и учитывая, что Bv  b v [8(n v <Xy)]3 (8n)2, получаем из (7.21) следующие
уравнения для первых двух сумм 3ейделя:
81 == (h]/4)[( a  ап(а;  а])+ Ь] (а 2 + а])3]+
+ (h 2 /4)[( а;  а)(аз  ( 2 )+ Ь 2 (а з + ( 2 )3]; (7.22)
8 п == (d/4)[( а;  а)(аз  ( 2 )+ Ь 2 (а з + ( 2 )3]+ (h]/ 2)( а;  ап.
Из cOBMecTHoro решения двух уравнений (7.22) находим:
( а a ) 2 2h2 ( a;a: )
 b = 2 ] +
] 3 .
а 2 +а] d(a 2 +a])
( а a ) 2 2h] ( a;a: )
b == 3 2 +
2 3 .
а з +а 2 d(а з +а 2 )
Те же результаты получим при sp ::j:. О.
(7.23)
(7.24)
447

Расчет и проектирование оптических систем
Уравнения (7.23) и (7.24) позволяют определить Ь 1 и Ь 2 для любо
ro положения предмета при соответствующем выборе нормировки для
первоrо вспомоrательноrо луча.
Для бесконечно удаленноrо предмета, положив, что а 1  О, h 1 
 1, аз  1, получим:
 Ь 1 == 1 + 2h 2 /( da;); (7.23')
b  (  ) 2 2
2 З (7.24')
 l+a z + d(1+a 2 ) .
В этих формулах для величины d надо взять приведенное значе
ние (при f'  1), в то время как для предмета на конечном расстоянии
в уравнения (7.23) и (7.24) надо подставить реальное значение d, а зна-
чения h 1 и h 2  С учетом выбранной нормировки первоrо вспомоrа-
тельноrо луча.
При 81 =! oo для прямой системы (r 1 < О и r 2 < О) получим е 1 > 1 и
е 2 > 1, Т.е. обе поверхности имеют форму rиперболоидов, а при
81 ::j:. OO, 11301> 1 чаще Bcero е 1 < 1, e z < 1, Т.е. зеркала представляют
собой эллипсоиды вращения.
Однако рассматриваемый метод не обеспечивает строrой аплана
тической коррекции системы при любых оптических характеристи-
ках. Для частичноrо исправления аберраций высших порядков мож-
но уточнить значения Ь 1 и b z методом проб в процессе аберрационноrо
анализа, но не всеrда удается получить хороший результат.
е помощью формул (7.23) и (7.24) можно рассчитать апланатичес-
кую двухзеркальную систему с относительным отверстием не выше
1:2. В светосильных системах с относительным отверстием 1:1 апла-
натическая коррекция достиrается при использовании асферических
поверхностей высших порядков.
При мер 7.1. Рассчитать апланатическую двух зеркальную систему, если
"  100 мм, D/f'  1:2, Вр  О, 200  50, k  0,35; Б  0,05".
Решение. Используя известную ме;дику расчета (см. п. 6.2), найдем: <Х.  2 ,16666,
d  о,ЗО, h z  s' z  0,35 при"  1. В этом случае апланатическую систему можно рассчи-
тать только при условии введения асферики. Из (7.23) и (7.24) определим Ь,  1,22940,
Ь 2  11,56560. В результате получим систему со следующими данными:
то,  92,3077
d  зо
Т О2  60,OO
У/  184,6154z, + O,2294z/; У;  120zz + 10,5656z;.
Аберрационный анализ показал, что поперечная сферическая аберрация для края
(т  25 мм) и зоны (т  17,68 мм) зрачка составляет соответственно !'!.у'КР  0,013 мм и
!'!.у"ОВ  0,002 мм, меридиональная KOMaK  0,04 мм для наклона 00  2030'.
448

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
Расчет линз конечной толщины при условии исправления
четырех аберраций TpeTbero порядка
Линза конечной толщины с двумя асферическими поверхностя-
ми. Линза конечной толщины (рис. 7.5, а) имеет четыре свободных
параметра (а 2 , d, Ь 1 и Ь 2 ) и, следовательно, позволяет исправить четы
ре монохроматические аберрации TpeTbero порядка.
а)
5)
Рис. 7.5. Линзы конечной толщины
Пусть центр входноrо зрачка совпадает с вершиной первой повер
хности, Т.е. Sp  О. Примем нормировку первоrо и BToporo вспомоrа
тельных лучей: а 1  О, h 1  f'  1, аз  1, 131  1, поэтому У1  Sp  О,
1   1. Условия исправления четырех аберраций имеют вид:
SI:= h 1 (+ В 1 )+ h 2 (Pz + В 2 ):= о;
SI:= У2(Р2 + В 2 )+ W 1 + W 2 := о;
(7.25)
(7.26)
S   У% (Р ) 2Y2 W az 1 (1 ( 2 )  0 "
III 2+ В 2 + 2++   ,
h 2 h 2 n h 2 n
SIV := а 2 + (1  а 2 n )/(h2n):= о. (7.28)
Из (7.28) определим h 2  (т  ( 2 )/а 2 , rде т  1/n. Но h 2  1  a 2 d,
поэтому
(7.27)
d:= т/a := 1/(na). (7.29)
Определим У2  У1  d132' но У 1  О, 131  1, а 132  1/n, поэтому с
учетом (7.29) получим
У2:= т/a:= 1/(na). (7.30)
Из (7.26) и (7.13) следует, что В 2  (W1 + W 2 )/Y2  Pz Ь 2 (т  ( 2 )З /
/[(т  1)2 т ]. С учетом (7.29) и (7.30) из последнеrо уравнения после
преобразований получим
449

Расчет и проектирование оптических систем
Ь 2 == {l/[т(т  а 2 )З]}[аНт З + т 2  l)+a (1  т  т 2  2т З )+
(7.31)
+a2т2(2+т)т2].
Выразив В} из (7.25) и приняв во внимание, что В}  Ь j (па 2 )З/
/(п  1)2, а также раскрыв выражения дЛЯ Рl' В 2 из (7.13), с учетом
(7.29) и (7.30) после преобразований найдем
Ь } == [l/(т а п]{(т  ( 2 )(1  т )[1  а 2 (т + 1)]} т 2. (7.32)
Подставив в (7.27) В 2 , найденное из (7.26), и выразив все вели
чины в зависимости от а 2 , получим
аНт З + т 2 + т  1) а 2 т 2 (т + 1)+ т 2 == О. (7.33)
Уравнение (7.33) имеет Дfствительное решение при п > 1,6022.
В результате для конструктивных элементов линзы находим:
r 01  (п  1)/(па 2 )
d  l/(па/)
r 02  (п  1)/(па 2 ).
Таким образом, получена линза с равными радиусами, дЛЯ KOTO
рой а 2 надо определить из (7.33), а коэффициенты деформации  из
(7.31) и (7.32). Так, для стекла марки ТК16 при f'  1 имеем:
r 01  0,242442
d  0,2508 1,6152
ТК16
r 02  0,242442
Ь 1  0,01704105  e;
Ь 2  2, 7238341  e;
Первая поверхность имеет форму эллипсоида, вторая  сплюсну
Toro эллипсоида. Выполнив аберрационный анализ линзы при
f' 100 мм, можно убедиться, что хорошее качество изображения
получается при относительном отверстии 1:6, уrловом поле 200  120.
Рассмотрим частный случай. Поскольку Ь 1 имеет малое значение,
примем Ь 1  О. Тоrда, приравняв нулю (7.32) и сложив ero с (7.33), най
дем
aт  а 2 (1 + т 2 )+ т == (т (2)(1 т(2)== О.
450

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
Практически приrоден один корень: а 2  п  l/т, при котором
h 2  1  т 2 , d  тЗ, r 1  r 2  т (1  т). Подставив а 2  п в уравнение
(7.32) или (7.33), получим
1  т  т 2 == О или п 2  п  1 == о,
откуда п == 0,5(1+-J5) 1,618034 (для стекла Ф9 п е  1,618), тоrда
h 2  (т  ( 2 )/а 2  0,618034, d  0,236068  тЗ, r 1  r 2  т(1  т) 
 0,236068, Т.е. r 1  r 2  d.
Из (7.31) при а 2 == п находим Ь 2  п 2  1+ п  2,618034. Вторая
поверхность преДСТliвляет собой сплюснутый эллипсоид.
После коррекции аберраций высших порядков уравнение профи
ля поверхности будет иметь вид:
у; == 0,472136Z 2  з,618034z; + 0,0988z  0,0035z;  0,00015z.
В результате при f'  100 мм, D/f'  1:2,5 была получена апланати
ческая линза со второй асферической поверхностью.
Линза конечной толщины с одной асферической поверхностью.
Она (рис. 7.5, б) имеет четыре свободных параметра: а 2 , d, Ь 2 , п, KOTO
рые можно использовать для исправления четырех аберраций. В цe
лях упрощения расчета положим, что У2  О. Отсюда следует, что BBe
дение асферики на второй поверхности линзы будет влиять только на
величину S;' . Заменим сферическую поверхность поверхностью Bpa
щения BToporo порядка, введя коэффициент деформации Ь 2   е; .
С учетом нормировки при Ь 1  О, У2  О суммы Зейделя можно опи
сать следующими уравнениями:
Sr == Рl + h 2 (Р2 + В 2 ) == о;
Sr == УI Р l + W 1 + W 2 == о;
Srr == у; Рl + (2у 1/ h 1 )W 1 + а 2 /п + (1/ h 2 )(1  а 2 /п) == о;
Srv == а 2 + (1  па 2 )/(h 2 n)== о,
rде Уl  (1  h 2 )/(h 2 na 2 ), что вытекает из уравнения связи двух вспо
моrательных лучей.
Решив систему четырех уравнений, найдем а 2  п, h 2  l/п,
Уl == (п  1)/п 2 .
451

Расчет и проектирование оптических систем
в результате расчета получим следующие данные:
r 01  (п  1)/п 2
d  (п  1 )/п 2
r 021  1 /[п(п + 1)]
Ь 2 == п 5 /[(п  1)3 (п + 1)3]; Вр == Уl == d; 8rv == п  п 2 + 1.
При 8rv  О показатель преломления п  1,618, что соответствует
показателю прело мления стекла марки Ф9 дЛЯ линии е. Например,
дЛЯ ТК16 пe 1,6152, 8rv  0,0063; дЛЯ К8 п е  1,5183, 8rv  0,213;
дЛЯ ТК20 п е  1,6247, 8rv  0,01495.
В результате расчета получена линза, для которой r 1  d, т.е.
центр кривизны первой поверхности совпадает с вершиной второй по
верхности. Для нее Рl  п 4 /(п  1)2, Wl п 2 /(1  п), аР 2  О И W 2  О,
т.е. вторая поверхность аП.""fiнатическая, имеет форму сплюснутоrо эл
липсоида, как следует из уравнения дЛЯ Ь 2 .
Однако рассмотренные линзы можно рекомендовать для работы
только в монохроматическом свете, поскольку они имеют значитель
ный хроматизм. Для исправления хроматизма положения или
увеличения можно рассчитать «хроматический» радиус склейки, по
скольку линзы имеют достаточную толщину и позволяют преобразо-
вать их в склеенный компонент при введении поверхности склейки.
С этой целью надо выбрать стекла с одинаковыми показателями
преломления п ло для основной длины волны и возможно большей раз-
ностью коэффициентов дисперсии V Ло . Для видимой области спектра
(е, F'...C') можно использовать следующие пары стекол: ТК8Ф1,
СТК9  ТФ4, СТК12  ТФ8 и др. (см. rл. 4, пример 4.6).
Чтобы рассчитать «хроматический» радиус, вначале определют
оптические силы линз из решения уравнений масштаба и ахромати
зации (см. rл. 4). Затем несложно найти радиус склейки по известно
му значению оптической силы одной из линз и одному радиусу кри
визны этой линзы.
Расчет трехзеркалъной системы с асферическими
поверхностями
Двухзеркальные системы имеют оrраниченные коррекционные
возможности, а введение линзовых компенсаторов оrраничивает pa
бочий спектральный диапазон. Поэтому большой интерес преk
ставляют трехзеркальные системы, имеющие достаточное число па
раметров для исправления всех монохроматических аберраций.
452

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
Рассмотрим пример расчета трехзеркальноrо объектива с rлав
ным параболоидным зеркалом. Поставим задачу определения коэф
фициентов деформации BToporo и TpeTbero зеркал при условии
исправления сферической аберрации, комы, астиrматизма и кривиз
ны поля.
Вначале надо выполнить rабаритный расчет системы. Примерная
конструкция системы показана на рис. 7.6.
fX., =0
h 2
 CG. R jj7 .......
..... 
'F'
/
3
d,
S
Рис. 7.6. Оптическая схема трехзеркалъной
системы
Примем нормировку
первоrо вспомоrательноrо
луча: а 1  о; h 1  1; а 4  1;
f'  1. В этой системе, распо
ложенной в воздухе, n 1 
 n з  1, n 2 n4  1. Из фор
мулы перехода для высот с
учетом принятой нормиров
ки получим:
d 1 ==(1h2)/a2;
(7.34)
(7.35)
h з  h 2  d 2 а з ; но hз/(s'з)  a4 1; поэтому h з  s'з.
Из рис. 7.6 следует, что d 2  Б  h з , откуда с учетом (7.35) имеем:
d 2 == h з +Б == Б+ h 2 d2аз;
(7.36)
d 2 == (Б + h 2 )/(1 + аз). (7.37)
Из уравнений (7.35) и (7.37) путем несложных преобразований
получим:
h з == (h2  Баз )/(1 + аз). (7.38)
Поскольку rлавное зеркало имеет форму параболоида, то Ь 1   1,
Рl + В 1  о. Так как Вр  о, то при 1  1 высота Уl  Вр  о, а 1  1.
При раскрытии сумм 3ейделя и последующих преобразованиях учтем,
что
Ь у [Б (nуа у )]з
В ==
у (Бn у )2
Р"  r  1 ' 1) а" ;
l Б  nу
nу
П == Б (ауn у ) ;
у nyn
W == Ба у s:: ау
у 1 u .
Б nу
nу
453

Расчет и проектирование оптических систем
3
Кроме Toro, нетрудно убедиться в том, что L. W v == 1/2, так как
J
WJ==a/2; W2==(a:a)/2; Wз==(1а;)/2.
Все эти особенности учтены при записи уравнений исправления
монохроматических аберраций TpeTbero порядка:
8r == hJ (Р 2 + В 2 )+ h3 (Р 3 + В з )== о;
8;; == У2 (Р 2 + В 2 )+ У3 (Р 3 + В з )+ 1/2 == о;
(7.39)
(7.40)
8;;r == (У; /h2 )(Р2 + В 2 )+ (У: /h3 )(Р 3 + В з )+ (Y2/h2)( а:  а;) +
.1 (7.41)
+ (У3 / h з )( 1  а;)  а 2 + (1/ h 2 )(а з + а 2) + (1/h3)(1  а з ) == о.
8rv ==а2(1/h2)(а2+аз)(1/hз)(1аз)==0. (7.42)
Из (7.42) следует, что в (7.41) последние три слаrаемых равны
нулю, и это надо учесть при преобразованиях.
Из формулы связи координат двух вспомоrательных лучей
определим У3  d J h 3/ h 2  d 2 /h 2 .
Учтем, что
Р 2 == (1/4)(а з (2)2(аз + ( 2 ); В 2 == (1/4)Ь 2 (а з + ( 2 )3;
Р3 == (1/4)(1 + а з )2(1  а з );
В3 ==(1/4)Ьз(1аз(
.В процессе преобразований получим следующие соотношения:
а з == (8 h 2 )/(2h 2 );
а 2 ==  [h2 (8 + h 2 )  8 (8  h 2 )]![ 2 h 2 (1  h 2 )( 2 h 2  8)].
Учтя значение а з , из rабаритных соотношений найдем:
(7.43)
(7.44)
d 2 == 2h 2 ; h3 == 2h 2  8.
Окончательно из решения системы уравнений получим:
(7.45)
Ь 2 == [(аз (2)/(аз +( 2 )]2 (2h2 8)/[h2(аз +( 2 )3]; (7.46)
Ьз==[(1+аз)/(1аз)]2 +1/[(1аз)3]. (7.47)
Подробный вывод см. в [25].
454

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
С помощью полученных уравнений можно провести полное иссле
дование трехзеркальных систем разных конструкций.
Рассмотрим частные случаи. Пусть имеется объектив, в котором
первые два зеркала образуют телескопическую систему квазиМерсен
на, Т.е. аз  О. Тоrда из (7.43) и (7.44) получим:
b==h 2 ; a2==1/(1h2)' (7.48)
Из (7.46) и (7.47) находим:
Ь2==1+(1h2)З; Ьз==О, (7.49)
С учетом значения аз, запишем новые выражения для dl' d 2 , h з :
dl==(1h2)2; d 2 ==2h 2 ; h з ==h 2 . (7.50)
Из (7.49) следует, что третье зеркало является сферическим, а BTO
рое имеет форму эллипсоида. Предпочтительней та конструкция сис
темы, при которой вершины первоrо и TpeTbero зеркал совпадают. В
этом случае d 2  dl' тоrда из (7.50) получим 2h 2  (1  h 2 )2 или
h; 4h2 +1 == О, откуда h 2 == 2  0,26795.
Из (7.48) определим а 2 ==0,5(+1)  1,36603; d 2  dl  2h 2 
 0,53590.
Из (7.49) найдем Ь 2 == (116)  0,60770.
Приведенные значения вершинных радиусов кривизны поверхно
стей r 01 ' r 02 и радиуса кривизны r з таковы:
r 01 == 2/а 2 == 2(.J3  1) 1,46410;
r 0 2 == 2h 2 /a 2 == '2(3.J3  5) 0,39230;
r з == 2 h 2 == 2 (2  -JЗ)  0,53590.
Задний фокальный отрезок в' F  h2  0,26795.
Для вычисления реальных значений конструктивных параметров
системы надо полученные приведенные значения этих параметров
умножить на заданное фокусное расстояние.
Коэффициент центральноrо экранирования системы
k ж == h 2 /(1  h 2 )= 0,5( 1) 0,366.
Рассмотренная система разработана в С.П.rитмо (ТУ) дЛЯ aCT
рофотоrрафическоrо объектива. Объектив имеет простую компактную
конструкцию, исправление четырех монохроматических аберраций,
обеспечивает возможность работы в широком интервале спектра. He
455

Расчет и проектирование оптических систем
достатками системы является центральное экранирование инеудобное
положение плоскости изображения, rде размещается приемник лучи
стой энерrии.
В последнее время в С.П. rитмо (ТУ) разработаны и исследова
ны различные конструкции трехзеркальных систем с асферикой.
7.4. Анаберрационные и анастиrматические
поверхности и системы
Анаберрационные преломляющие поверхности и линзы
Анаберрационными называются поверхности, свободные от сфе
рической аберрации. Это осесимметричные поверхности вращения.
Для определения формы ю;аберрационной поверхности используется
условие тОllечяоzо изображения, являющееся следствием принципа
Ферма: оптическая длина хода любоrо из лучей пучка, идущеrо из точ
ки предмета и сходящеrося в точке изображения, должна быть вели
чиной постоянной, Т.е. I.nl  const. Эти поверхности впервые были раз
работаны Декартом в XVH в., поэтому их часто называют дe"apтoвы
ми.
Рассмотрим общую задачу, коrда предмет находится на конечном
расстоянии. Поместим начало декартовых координат в вершину пре
ломляющей поверхности Р Р (рис. 7.7), разделяющей две среды с по
казателями прело мления n и n'. Ось Oz направим вдоль оптической оси
поверхности.
п
Ij
р
п'
А
А'
z
$'
Рис. 7.7. Схема для вывода уравнения овала Декарта
Запишем условие точечноrо изображения:
nl+n'l'= nB+n'B'.
Правая часть уравнения содержит оптическую длину хода луча, иду
щеrо по оптической оси. Заменив l и l' их значениями, полученными
из треуrольник ов АР М и А ' Р М, получим
n  y2 +(SZ)2 +n'  Y2+(S'Z/ =nB+n'B'.
456

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
Освобождаясь от квадратных корней, приходим к уравнению
[ 0,5 ( п ' 2  п 2 ) ( у 2 + Z 2 )  ( п ' 28'  п 28) z]2 ==
== пп'(п'8' п8)[(п8' п'8)(y2 + Z2) + 2(п'  п )88'Z].
(7.51)
Это уравнение четвертой степени является уравнением профиля
анаберрационной поверхности. Оно представляет собой уравнение Kap
тезианскоzо овала, или овала Декарта. Такие поверхности вследствие
трудности их изrотовления не получили практическоrо применения,
за исключением частных случаев, коrда анаберрационная поверхность
имеет более простую форму.
Приняв rраничные условия, от овала Декарта можно перейти к
различным частным случаям (рис. 7.8).
Уравнение овала Декарта
I
I 1
Уравнения кривых Broporo порядка-уравнения
Уравнение профиля профиля анаберрационных преломляющих и
ппаноидной 01ражающих п6верХНОС1еА
поверхности при I
s'/s= п'/п, r о-=' 00 r I
Уравнения 3II/Iипса Уравнения эмипса
и rипврболы при и rипербonы при
SI==""I '>е,{'  п''''п, S,"'Ol1 ;
уравнения профиля Уравнвние параболы при
препомпяющих п'=п, 'I od
поверхностей . .уравнения про филя
отражающих повврхностей
Рис. 7.8. Схема получения уравнений профиля анаберрационных поверхностей
из уравнения овала Декарта
Для удобства преобразований приведем уравнение овала к следую-
щему виду:
[ п'2п2 y2+Z2  (п'28'/8п2)z ] 2
28 п'8'/8п п'8'/8п
[ п8' / 8 п' 8'Z ]
==пп'  ( y2+z2 ) +2 ( п'п ) , .
п'8'/8п п'8 /8п
(7.52)
457

Расчет и проектирование оптических систем

Используя условие 8' /8  п' /п, которое получается из уравнения
параксиальноrо луча при ro  ()о, получим анаберрационную поверх
ность, радиус кривизны которой в вершине (вершинный радиус ro) pa
вен бесконечности. Такая поверхность называется плапоидпой (или
плапоидом), а уравнение ее про филя имеет вид:
у2== 28 [( п'2+пп'+п2 ) Z:tп' ,j 2п(п'+п)8Z ] Z2. (7.53)
п(п'+п)
Следует обратить внимание l'a то, что Z должен иметь тот же знак,
что и s, иначе в этой формуле возникнет мнимость. Приближенное
уравнение планоида в области аберраций TpeTbero порядка имеет вид:
Z == (1/8)[п(п' + п )/п'2](у4 /83).
(7.54 )
ПреЛОМЛЯIOщие анаберрационные поверхности для предмета в
бесконечности. Для бесконечно удаленноrо предмета уравнение про
филя ан аберрационной поверхности можно получить как частный слу
чай овала Декарта, положив, что 8'  f' (рис. 7.9) при 81 
 ()O. Преобразовав (7.52), для этоrо случая получим
у2 + Z2 [1  (n/п,)2] 2f'z (1  п/п') == О.
Аналоrичный результат полу у
чим, записав условие точечноrо п
изображения (см. рис. 7.9)
пz + п'l'  п'f' и пре образо вав ero,
. учтя, что l' ==  у2 + и '  z)2 .
Для определения формы полу
ченной поверхности BToporo ПОРЯk
ка, профиль которой описывается
уравнением (7.55), надо привести
уравнение к каноническому виду и Рис. 7.9. Схема для вывода уравнения
определить эксцентриситет этой анаберрационной преломляющей
поверхности. поверхности при 81  OO
Перенес я начало координат в центр кривой Zc' расположенный на
середине расстояния Zc  п" /(п' + п) '= (Z1 + Z2)/2 между ее вершина
ми, получим
(7.55)
п'
у
f'z

о
z
s'=r'
z2/[п'f,/(п, + п)У + у2 /[f'2(п'  п )/(п' + п)] == 1.
458
(7.56)

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
Следовательно, длины большой и малой полуосей (рис. 7.10, а) оп
ределяются уравнениями:
а == n'f'/(n' + n); Ь == f'  (n'  n )/(n' + n).
(7.57)
Тоrда э"сцептриситет nоверхпост и Bmopoz o nоряд"а, как изве
стно из аналитической rеометрии, е ==  1  (Ь/ а)2 , И В данном случае
с учетом полученных значений а и Ь имеем
е==n/n'. (7.58)
Если свет идет из менее плотной среды в более плотную среду, Ha
пример из воздуха в стекло, то n < n', е < 1 и поверхность имеет фор
му эллипсоида. Задний фокус поверхности F' совпадает при этом СО
вторым rеометрическим фокусом эллипса F 2 (рис. 7.9).
При распространении
света из более плотной
среды в менее плотную эк
F 2
сцентриситет е > 1. В этом
F'
случае получаем ypaBHe
ние rиперболы, OTHeceH
ное к вершине левой BeT
ви, Т.е. малая ось rипер
болы мнимая, а ее опти
ческим фокусом является
rеометрический фокус
правой ветви (рис. 7.10, б) и фокусное расстояние f' == а + с == а +
+;;;2  ь 2 ,что леrко подтверждается подстновкой а и Ь из (7.57).
Для перехода к уравнению профиля, принятому при расчетах оп
тических систем (см. табл. 7.1), подставим в (7.55) фокусное расстоя
ние преломляющей поверхности f'  n'ro/(n'  n) и учтем, что е  n/n'.
После преобразований находим i  2r oZ  (1  e 2 )z2. В зависимости от
значений е поверхность имеет форму эллипсоида или rиперболоида.
Однако следует обратить внимание на то, что параболоидпая nрело:м
ляющая nоверхпостъ пе является апаберрациоппой и впосит сфери
1lес"ую аберрацию ДB :
а)
/
.q

2а
5)
Рис. 7.10. Кривые BToporo порядка
LlS,== f' ( COSE' l )[ n'coSE'ncoSE +l ] . (7.59)
п 2 COSE (n'+n)coSE
Если n > n', то ДB < О, а если n < n', то ДB > О. Формула (7.59)
справедлива и для плоскопараболоидной линзы с первой плоской по
верхностью.
: 459

Расчет и проектирование оптических систем
Отступление от условия синусов в анаберрационных преломляю
щих поверхностях. Рассмотренные ан аберрационные поверхности не
являются апланатическими и вносят значительную кому.
Определим отступление от условия инусов, которое в случае
предмета в бесконечности имеет вид: Lif' == f' f'. Как видно из рис. 7.9,
{' == у / sin а' == l' , а l' == j;;2 + (f' ' Tor да
Lif' ==  y2 + (f'  Z)2  f'. (7.60)
Исключим из (7.60) у2, подставив вместо Hero ero выражение из
(7.55), тоrда получим
Lif' == (n/n')z == ez. (7.61)
Полезное уrловое поле можно определить, задавшись допустимым
значением комы К"". Для этоrо можно использовать известную при
ближенную зависимость, справедливую для малых уrловых полей:
r  3y'Lif If'. Так как у'  f' tg (о, то учитывая (7.61), получим
tg(O == K/(3ez).
(7.62)
Анаберрационные линзы. Для получения анаберрационной лин
зы с первой эллипсоидной поверхностью надо вторую поверхность
выбрать апланатической и так, чтобы луч шел через нее без прелом
ления. В этом случае r 2  в'у (рис. 7.11, а и рис. 7.15).
Если анаберрационная поверхность имеет форму rиперболоида, то
для создания линзы, свободной от сферической аберрации, первую
поверхность необходимо выбрать плоской (рис. 7.11, 6).
$",=1"2
а)
О)
Рис. 7.11. Анаберрационные ЛИНЗЫ
Анаберрационные линзы MorYT применяться в симметричных
комбинациях, например при o   1. При этом получается система,
свободная от сферической аберрации, комы, дисторсии и хроматизма
увеличения. Неисправленными остаются хроматизм положения, кри
визна поля и астиrматизм.
460

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
Анаберрационные отражающие поверхности
Если предмет находится на конечном расстоянии (рис. 7.12, а),
то уравнение профиля поверхности можно получить из уравнения OBa
ла Декарта, положив, что n' == n:
у2 == [488'/(8' + 8 )]z  [488'/(8' + 8 )2]z2. (7.63)
Это уравнение отнесено к вершине кривой. Для определения фор
мы кривой перейдем к каноническому виду уравнения, как это было
сделано и для преломляющих поверхностей. Перенеся начало KOOp
динат в центр кривой Zc == (8' + 8)/2, получим уравнение профиля в
каноническом, или нормальном, виде:
Z2 у2
2+==1,
[(8' +8)/2] 88'. (7.64)
rде (8' + 8)/2 == a большая полуось; -JSS' == ь  малая полуось.
'./
If
а)
О)
Рис. 7.12. Анаберрационная отражающая поверхность
Эксцентриситет кривой
е ==  1  (bja)2 == 1 (8'  8 )/(8' + 8) 1== I (а  а')/( а + а') 1,
(7.65)
так как 8' == h/a', 8 == h/a.
Если отрезки 8 и 8' имеют один и тот же знак, то уравнение (7.64)
представляет собой уравнение эллипса, а если знаки fj и 8' разные, то
уравнение (7.64) становится уравнением rиперболы, большую ось KO
торой можно вычислить так же, как и для эллипса, ее малая ось 
мнимая.
Следует обратить внимание на то, что для эллипсоида и zиnербо
лоида предмет и изображение находятся в zеометрических фокусах
461

Расчет и проектирование оптических систем
поверхности. Различные случаи ря.сположения предмета и изображе-
ния относительно отражающих анаберрационных поверхностей пока-
заны на рис. 7.13.
.....-
/'
I А
-
\ F 1
'..........
/
/
...../.......д
- т-= -......
\ Fz
"-
"
'"

......
Рис. 7.13. Различные виды анаберрционных отражающих поверхностей
Уравнение (7.63) можно преобразовать. Учтем, что вершинный
радиус ro  2вв' /(в' + в) для отражающей поверхности, а эксцентри-
ситет е  (в'  в)/(в' + в). Тоrда из (7.63) получаем у2  2roZ  (1  e 2 )z2.
Уравнение профиля поверхности для бесконечно удаленноrо преk
мета несложно определить из (7.52) или (7.63), принимая во внима-
ние, что В1  oo, а в'  (. Правда, в данном случае уравнение проще
найти, записав условие точечноrО изображения (см. рис. 7.12, б). В
результате получим
у2 == 4f'z == 2roz. (7.66)
Анаберрационные отражающие поверхности применяют в извес-
тных классических двухзеркальных системах KaccerpeHa, rреrори и
Мерсенна (см. rл. 6), в осветительных системах, системах накачки ла-
зеров и Т.п.
462

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
Отступление от условия синусов в анаберрационных отражаю-
щих поверхностях. Для предмета на конечном расстоянии условие
синусов обычно записывается в следующем виде: Ll ==   o или
Ll/o == (  o)/o' rде  == sincr /sincr', o == B' / В == a../a..'.
Определив sin cr и sin cr' из рис. 7.12, а, находим
 =  [y2 +(z в,)2]/[у2 +(z в)2].
Преобразуем подкоренное выражение, учтя, что у2 == 2roZ  (1  e 2 )z2 и
ro == 2вв' (В' + в). В результате получим
 == :t(ez B')/(ez+ в). (7.67)
Знак увеличения выбирают таким же, как и для ero параксиаль-
Horo значения o' Тоrда
Ll == [е z (1   0)]/( е z + в);
Ll/o ==[ez(lo)]j[o(ez+B)].
Для параболоидной поверхности отступление от условия синусов
выражается формулой Llf' == f'  f' , так к ак в 1 == oo.
Как следует из рис. ".12, б, {' == l' ==  y2 + (z f,)2 . Но у2 == 4' /z, по-
этому получим
Llf' == z == у2 /(4 f').
(7.68)
Вследствие значительноrо отступления от условия синусов ан-
аберрационные поверхности вносят заметную кому, что оrраничива-
ет их полезное поле.
Анаберрационные поверхности и линзы,
не имеющие параксиальной области
Одним из частных случаев овала Декарта является поверхность
в форме улитки Паскаля вблизи узловой точки (рис. 7.14, а), урав-
нение которой можно получить, записав выражение для овала Декар-
та в полярных координатах и проведя erO анализ [11]. Это единствен-
ный пример оптической анаберрационной поверхности, имеющей осо-
бенность  узел на оптической оси. Такую поверхность нельзя полу-
чить на основе теории аберрации третью'о порядка, и она не имеет па-
раксиальной области.
Если предмет находится на поверхности, в узловой точке на оси
симметрии, то изображение не лежит на поверхности.
463

Расчет и проектирование оптических систем
Можно разработать линзы с профилем поверхности в виде улит
ки Паскаля (рис. 7.14, бд), позволяющие получить большую CBeTO
силу (2cr'  1800). Исследования показали, что MOryT быть получены
даже более светосильные линзы из rермания и кремния, которые MO
ryT найти применение в инфракрасной астрономии и технике. Такие
линзы изrОТОВЛяют путем их обработки алмазным резцом на станке с
nporpaMMHblM управлением.
а)
5)
8)
8)
q)
Рис. '1.14. Анаберрационные поверхности и линзы, не имеющие
параксиальной области
Расчет ан аберрационных линз
К ан аберрационным линзам, часто называемым линзами Дe1Cap
та, относятся плоскоrиперболоидная и сфероэллипсоидная линзы. Их
применяют для концентрации лазерноrо излучения, в качестве объек
тивОв спектральных приборов, в схемах контроля асферической оп-
тики. Линзы Декарта, свободные от сферической аберрации, MorYT
иметь большую светосилу.
Расчет линз сводится к определению их диаметра, конструктив
ных параметров и расчету значения отклонения от вершинной сферы.
Эксцентриситет анаберрационной поверхности полностью определяет
ся показателем преломления оптическоrо материала. Фокусное pac
стояние каждой линзы равно фокусному расстоянию анаберрационной
464

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
поверхности, зависящему от радиуса кривизны вершинной (соприка
сающейся) сферы.
В результате расчета плоскоrиперболоидной линзы получают KOH
структивные параметры, соотношения между которыми приведены в
табл. 7.6.
При расчете сфероэллипсоидной линзы вершинный радиус r 01 пер
вой эллипсоидной поверхности вычисляют при заданном значении (.
Найдем радиус кривизны второй апла
натической поверхности, имеющей
сферическую форму (рис. 7.15). Как
следует из рис. 7.15, d  f  r 2 , Но Taк
же d  Zl + d min  k 2 , rде стрелка проrи
С 2 ба k 2 определяе тся по извес тной фор
мул: k 2 = r 2  -J r;  D;ол/4 .
На основании приведенных COOT
ношений для d и выражения для k 2
получаем:
r 2 =  и'  Zl  d min )2 + D;ол/ 4 .
эллипс
r 2 == S'F'
" == ';
Рис. 7.15. Оптическая схема
сфероэллипсоидной линзы
Определив r 2 , леrко найти толщину d линзы.
В результате для расчета линзы имеем соотношения, приведенные
в табл. 7.6.
Рассмотренные линзы целесообразно использовать при работе в
монохроматическом свете, поскольку они вносят хроматизм. Для pa
боты в конечном спектральном интервале надо ввести «хроматичес
кий» радиуq склейки (см. rл. 4, при мер 4.6).
Расчет ан аберрационных зеркальных систем
Расчет однозеркальных анаберрационных систем сводится к оп
ределению вершинноrо радиуса ro и эксцентриситета е (см. табл. 7.1),
диаметра зеркала и асферичности ДZ.
Классические двухзеркальные системы, разработанные в ХУН в.,
объективы KaccerpeHa (см. рис. 6.8), rреrори (см. рис. 6.9), телес
копическая система Мерсенна (см. рис. 6.11)  состоят из двух aHa
беррационных поверхностей, поэтому также являются анаберрацион
ными. Они широко применяются в настоящее время и представляют
практический интерес. В телескопической системе Мерсенна помимо
сферической аберрации исправлены кома и астиrматизм
(Sп == Sш  О), о чем не подозревал сам автор.
465


ф
ф
Оптическая схема
"'1= (JI.2. 0
 S=-1
{'
 - -
ru.пrр/ола
()t.1=O
эллипс
rv' d
r 1 OC
d  d шin  Z 2
r 02  ((1  п)
f'
r 01 = (п 1)
п
d  ZI + d шin  k 2
r 2 = Вр' =
2 п 2
= (ZJ + d шin  f') + '40'
е 2  п
1
eJ=
п
е
Уравнение профиля анабер
рационной поверхности
у; = 2r 02 z 2 (1 n2)Z;
2 (1 ) 2
Уl =2rOlZJ1 п 2 zJ
Таблица 7.6
"u

(")
..с
Ф
--!
:s;
::J
-о
о
ф

:s;
-о
о
'"

:r
:s;
ф
о
::J
--!
:s;
..с
Ф
(")
;<
:s;
х
(")
:s;
(")
--!
Ф

{).( Вершинная асферичность {).z
Ьу4 суб 5 dy8
e2z2 ы= 8rj + 16rt + 128r; '
rде Ь  e2; с  е 4  2е 2 ;
d  3е 4  3е 2  е б
или точно:
{).Z  z.  Zсф из
решения уравнений
2 2ro у2  .
Z. z.+o.
1e 1e
elz1
Z  2r о z сф + у2 = О

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
Большое зеркало в каждой из систем имеет форму параболоида,
а малое зеркало  rиперболоид в системе KaccerpeHa, эллипсоид  в
системе rреrори, параболоид  в системе Мерсенна.
rабаритный расчет систем, рассмотренный в rл. 6, позволяет оп
ределить вершинные радиусы кривизны r 01 и r 02 ' Для расчета анабер
рационной системы надо вычислить эксцентриситет BToporo зеркала
в объективах, зная, что е 2  1 (аз  ( 2 )/(а з + ( 2 ) 1, rде уrол а 2 известен
из rабаритноrо расчета. Затем надо определить значение D..z асферич
ности зеркал и записать уравнения профилей поверхностей.
Для расчета рассматриваемых систем помимо известных оптичес
ких характеристик для систем KaccerpeHa и rреrори задаются коэф
фициент экранирования k эк и вынос изображения 8, а для системы
Мерсенна  уrловое увеличение у и расстояние d 1 между зеркалами.
С учетом этоr запишем уравнения профилей поверхн?стей для каж
дой из систем:
1) система KaccerpeHa
у; == [4(8  k эк )/(1  k эк )]f'Zl;
у; == 4kэк(8kЭК) f'Z2 [ 1 ( 18 ) 2 ] Z;;
12K+8 12kэк+8
2) система rреrори
у; == [4 (k эк  8 )/(1 + k эк ) ]f'Zl;
2== 4kэк(kэк8) ,z  [ 1 ( 1+8 ) 2 ] Z2.
У2 82k 1 2 1+2k 8 2'
эк эк
уравнения записаны для заданноrо фокусноrо расстояния, но величи
ну 8 надо подставлять приведенной к r  1 для системы KaccerpeHa и
к I r 1  1 для системы rреrори.
3) система Мерсенна
у; ==[4dy/(y1)]Zl;
у; == [4d/(y  1)]Z2'
Запись уравнений в таком виде удобна при анализе различных
систем, сравнении значений асферичности и Т.п.
467

Расчет и проектирование оптических систем
Расчет двухзеркальных анаберрационных систем для предмета на
конечном расстоянии аналоrичен рассмотренному. Можно заранее
сказать, что в прямой системе KaccerpeHa при S 1 i:- oo первое зеркало
имеет форму эллипсоида, а второе  rиперболоида.
Анастиrматические поверхности и линзы
Условие анастиrматичности. Анастиrматические выходные зрач-
ки поверхностей BToporo порядка. Условие анастиrматичности асфе
рических поверхностей можно получить, используя меридиональный
и саrиттальный инварианты Юнrа  rульстранда:
n'cos 2 E' пCOS 2 E n'coSE'ncoSE
t'
т
t m
r m
n' n
n' COSE'  n CQSE
(7.69)
t; t s rs
rде t m и t s , как известно из теории аберраций,  отрезки вдоль rлав
Horo луча, отсчитываемые от точки пересечения луча с поверхностью
до точки предмета, соответственно в меридиональной и саrиттальной
плоскостях; t' т и t's  отрезки вдоль rлавноrо луча, отсчитываемые
от точки прело мления луча на поверхности до точки изображения
[12].
Примем, что точка предмета на rлавном луче находится в беско
нечности, Т.е. t m == t s == 00, а также зададим равенство t' т == t's' которое
будет справедливо, если поверхность не вносит астиrматизма. С уче
том этих условий из астиrматических инвариантов получим
r m COs 2 Е' == rs' (7.70)
Условие (7.70) справедливо для всех асферических поверхностей.
Для поверхностей BToporo порядка меридиональный и саrитталь
ный радиусы кривизны связаны соотношением: r m == r s 3 /r; (см. табл.
7.3). Под ставив ero в условие анастиrматичности (7.70), получим
cOSE'==ro/rs' (7.71)
Записав уравнение rлавноrо луча в пространстве изображений и
используя (7.71), можно доказать, что отрезок Вр' ==   (1 :t -J 1 + в )
(7.72) определяет положение анастиrматическоrо выходноrо зрачка.
Составив сумму и разность двух решений, найдем
ВР'I + Sр'п ==  2ro/ В == 2а;
ВР'I  ВР'II = (2ro/ B) -J 1 + В == 2с.
468

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
Отсюда следует, что раСстояние между анастиrматическими BЫ
ходными зрачками кривой BToporo порядка равно расстоянию между
rеометрическими фокусами этой кривой, а выходные зрачки совпада
ют с этими фокусами, если предмет находится в бесконечности.
Условие анастиrматичности справедливо и для отражающих по
верхностей, в чем нетрудно убедиться, положив в инвариантах Юнrа
 rульстранда n == п' == 1. В отличие от преломляющих, отражаю-
щие поверхности анастиrматичны при произвольном положении пред-
мета. Действительно, положив в (7.69) n' == п, t m == t s и t' m == t's (усло
вие анастиrматичности), вновь получим r mCOS2E == rs. В этом случае
rлавный луч, прошедший через один анастиrматический зрачок по
верхности BToporo порядка, после отражения от поверхности пройдет
через второй rеометрический фокус, Т.е. входной зрачок будет анас-
тиrматичным для обратноrо хода лучей. Это свойство используют при
разработке зеркальнолинзовых. широкоуrольных объективов [17].
Анастиrматические линзы. Для преломляющей параболоидной
поверхности один анастиrматический выходной зрачок расположен в
rеометрическом фокусе параболы, а друrой  в бесконечности, что
объясняется rеометрическими свой
ствами параболы. Это свойство по
верхности использовано в плоскопа
раболоидной Линзе, которая не име
ет астиrматизма в случае предмета,
расположенноrо в бесконечности, и
обладает телецентрическим ходом
лучей в пространстве изображений.
Следовательно, ее входной зрачок
совпадает с оптическим фокусом
(рис. 7.16).
Сферическая аберрация широких наклонных пучков для такой
линзы меньше, чем осевая сферическая аберрация. При COOTBeTCTBY
ющем выборе показателя преломления линза может быть свободна от
дисторсии при полевых уrлах до 1200. Поэтому такая линза может
служить в качестве базовоrо элемента при разработке широкоуrоль
ных окуляров, в проекционных системах с телецентрическим ходом
лучей при хорошей ортоскопии, в объективах с вынесенным входным
зрачком. Однако эта линза не является анаберрационной.
Рассмотрим возможность создания анаберрационной анастиr
матической линзы на при мере плоскоrиперболоидной линзы (рис.
7.17).
F'
Рис. 7.16. Оптическая схема анастиr
матической плоскопараболоидной
линзы
469

Расчет и проектирование оптических систем
I
,.
Для нее коэффициент В == п 2  1 .
Тоrда, воспользовавшись формулой
(7.72), найдем
B =ro/(nl)=f';
s;"п =r o /(n+l).
{'
Первый корень соответствует па
раксиальному изображению точки
на оси и не имеет практическоrо ин-
тереса. Второй корень определяет по-
ложение выходноrо зрачка, для ко-
Toporo не будет астиrматизма при
большом уrловом поле. Однако вследствие сферической аберрации в
зрачках удается исправить астиrматизм только для одноrо полевоrо
уrла. Этоrо можно добиться подбором толщины линзы [17]. .
Для анаберрационной эллипсоидной поверхности также сущест
вует одно положение анастиrматическоrо выходноrо зрачка, совпада
ющее с первым rеометрическим фокусом эллипса. Это свойство ис-
пользуется при разработке фронтальной линзы в rидросъемочных
объективах.
Рис. 7.17. Оптическая схема анас-
тиrматической плоскоrиперболоид-
ной линзы
Применение условия точечноrо изображения к расчету
сложных систем. Метод дифференциальных уравнений
Если центрированная оптическая система состоит из однойдвух
асферических и произвольноrо числа сферических поверхностей, то
для получения стиrматической системы используется условие точеч
Horo изображения, позволяющее определить форму поверхности. В
простейших случаях задача решается с помощью алrебраических со-
отношений. Однако чаще Bcero использование этоrо условия приводит
к дифференциальным уравнениям, которые преимущественно реша
ются приближенными методами или численно с помощью ЭВМ.
Методы, основанные на применении дифференциальных ypaвHe
ний, особенно удобны для расчета компактных систем, имеющих CBe
тосильные компоненты, в частности для космических и астро-номи
ческих приборов. Расчеты подобных систем методами, основанными
на теории аберраций TpeTbero порядка с последующей оптимизацией
на ЭВМ, часто не позволяют получить хорошо исправленную систему
и приводят к потере решений.
Часто разработка таких систем представляет собой сложную Ma
тематическую задачу, реализуемую на ЭВМ с последующей разра-
боткой технолоrии с применением станков с ЧПУ. Эти особенности
470

rлава 7, Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
значительно повышают стоимость проектирования, что допустимо
лишь для уникальных специальных систем. Правда, в некоторых слу-
чаях удается получить приближенное решение и упростить задачу,
заменив асферические поверхности высших порядков коникоидами
при условии снижения светосилы системы.
Для расчета cTporo апланатических систем используются условие
точечноrо изображения и условие. синусов, совместное решение кото-
рых при водит К системе дифференциальных уравнений. Так, методом
дифференциальных уравнений рассчитана апланатическая линза с
относительным отверстием на теоретическом пределе  1:0,5, при
этом !!..в/  М/  1O10f' [10].
Одна из первых двухзеркальных апланатических систем была рас-
считана Шварцшильдом, затем независимо друr от друrа Д.Д. Мак-
сутовым и Кретьеном. Известны различные модификации подобных
систем [8,'9]. Задача разработки и исследования подобных систем ча-
сто решается и в настоящее время.
Рассмотрим одно из известных решений задачи в параметричес-
ком виде [21]. Исходными являются условие точечноrо изображения
и условие синусов.
словие точечноrо изображения для этой системы (рис. 7.18) за-
пиш ем в виде: ТМ + МК+ K F'  0201 + 0102 + 02f" или
 (Zl  Z2  d)2 + (У1  У2)2 +  (Bp'  Z2)2 + у; + Zl + d  sp' = О. (7.73)
Из рис. 7.18 следует, что Y2/(S'F'  Z2)  tg а/. Введем параметр
t  tg (а/ / 2), тоrда
У2/(вр,  Z2) = 2t/(1  t 2 ).
(7..74)
т
н и
J(
!Jz
01
Z
Z2
s;.
Рис. 7.18. Оптическая схема апланати
Z ческой двухзеркальной системы
 1
d
471

Расчет и проектирование оптических систем
Условие синусов имеет вид: f' == y/sin 0-', но при f' == 1 получим
Y1==sino-'==2t/(1+t 2 ). (7.75)
Из cOBMecTHoro решения уравнений (7. 73)(7. 75) найдем KOOp
динаты поверхностей двухзеркальной апланатической системы в за
висимости от параметра t и двух постоянных величин d и в' у:
Zl =  1/[ (1 + t 2 )2J{ B, [1 + t 2 (d + 1)/d ](2d+1)/(d+1)  t 2 / d } + B,;
У1 == 2t/(1 + t 2 );
Z2 == d(1  t 2 )/ {t 2  (d/s, )[1 + t 2 (d + 1)/d ]l/(l+d)} + B,;
У2 ==  2td / {t 2  (d/s,)[ 1 + t 2 (d + 1)!d ]l/(l+d)} ,
rде t==(1 1yп /Y1'
Эта методика расчета, известная под названием метода Робертса,
обеспечивает получение светосильных систем с асферическими повер
хностями высших порядков, К которым можно перейти от уравнений
в параметрическом виде, выполняя аппроксимацию одним из извест
ных методов.
Особенности расчета системы Шмидта
Как известно, в системе Шмидта (рис. 7.19), разработанной в
1929 r., исправлены все аберрации, кроме кривизны поля. Полевые
аберрации исправляются блаrодаря выбору положения входноrо зрач
ка в центре кривизны сферическоrо зеркала, а сферическая аберрация
исправляется введением коррекционной пластинки с планоидной по
верхностью.
Задачу определения профиля пластинки можно решить точным
методом, применяя условие точечноrо изображения, однако получае
мое при этом решение довольно rромоздко инеизящно.
Для определения уравнения поверхности пластинки сравним два
зеркала: сферическое с фокусным расстоянием f' и параболлоидное с
фокусным расстоянием f'n [9]. Вершины зеркал совмещены и обе по
верхности пересекаются на зоне Уа (см. рис. 7.19). Уравнения профи
лей сферы и параболоида имеют вид:
z == у2 /(4f')+ y4/(64f'3);
(7.76)
472

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
с
Уо
н lJп
d.
r
d a
Рис. 7.19. Оптическая схема системы Шмидта
ZП == у 2 /(41;). (7.77)
Отклонение dz параболоида от сферы, касающейся ero в вершине
и пересекающейся с ним на зоне Уа' с достаточной точностью определя-
ется уравнением, полученным как разность (7.77) и (7.76):
dZ == (у2 /4)(1/1;  1/1') y4j(641'3).
(7.78)
Поскольку при У  Уа dZ  О, получим, что на произвольной
зоне У
dZ == (y2yg  y4)j(641'3). (7.79)
Это отклонение вызывает появление волновой сферической абер-
рации N y в сферическом зеркале:
N y == 2dz == (y2yg  y4)j(321'3).
Выразим У и Уа в долях полудиаметра Н  D/2 пластинки, как это
принято в астрономии: у == у/ н, уо == уо/ Н; тоrда У == Dy/2, уо == Dyo/2.
2
Обозначим уо через а. С учетом этоrо
N y == [(y4  y2a)/512]A3D,
rдеА  D/I'.
Эта аберрация должна быть скомпенсирована во входном зрачке
соответствующим профилем пластинки:
Z == d  d o == {(у4  ai?)/[512(п  l)]}А 3 D,
rде п  показатель преломления стекла пластинки.
473

Расчет и проектирование оптических систем
Одной из важных характеристик пла
2
стинки является величина а  УО' в зави
симости от которой меняются вид профи
ля пластинки (рис. 7.20), смещение фо
кальной плоскости Ll системы относитель
но фокуса сферическоrо зеркала, положе
ние нейтральной зоны и отклонение от
плоскости. При а  О профиль наиболее
леrок в изrотовлении. а при а  1.5 пла
стинка имеет минимальный хроматизм.
Действие планоидной поверхности
пластинки аналоrично действию клина.
Уrол отклонения 8 определяется уrлом
наклона норали к оптической оси, сле-
довательно,
у
a2 1.5 1 О
1.0
1.0
z
z-!f"a'l2
Рис. 7.20. Виды профилей пла-
3 2 3 
8 == ( п  1 ) dz == 4у  2уоу == 4у  2ау А 3. ноидной пластинки Шмидта
dy 32f'3 256 для различиых значений а
Тоrда линейное смещение луча. проходящеrо через зону У пластинки.
в фокальной плоскости будет
yo == 8f' == [(4У 3  2aY)/256]A3f'.
Эти соотношения справедливы для длины волны л'о'
Составив аналоrичные выражения для длин волн л'1 И л'2' получим
3 
, , пЛlпЛ24у 2aY A 3 f '
Ул ул  .
1 2. п  1 256
Из (7.81) видно, что хроматическая аберрация системы Шмидта
будет минимальной, если выбрать такое значение а, которое для
О  У  1 обеспечивает минимальное значение абсолютной величины
3 
разности  == 4 У  2ау. Оно экстремально при d/ dy  О, поэтому
12у2 2a== О, откуда у== У т == a/6 . Экстремальное значение
3  ( ) JJ;;
т == 4Ут  2аУт ==  4/3 aa/6.
На краю пластинки у  1,   1  4  2а. Поставленное требование
будет удовлетворено, если т  1' Т.е. (4/3)a a/6 .  2а  4. Это
уравнение имеет решение при а  1,5.
474
(7.80)
(7.81)

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
Следовательно, профиль поверхности пластинки Шмидта, YДOB
летворяющий условию минимума хроматизма, описывается ypaBHe
нием
Zm == d  d o == {(у4  1, 5у 2)Л512(п  1)]}А 3 D. (7.82)
Условию минимума хроматизма, вносимоrо пластинкой, COOTBeT
ствует смещение фокальной поверхности из параксиальноrо фокуса
сферическоrо зеркала на il == (3/ 16) [H 2 /(8r)] == 3D2 /(64r).
Для а == 1,5 известны эмпирические формулы для оценки уrлово
ro и линейноrо диаметров кружков рассеяния, вызванных хромати
ческой аберрацией [9]:
2ilу'(л. 1 , л. о ) == Нп л /  плJ/(п лп  1Н1600А 3 , уrл.сек. (")
2 ily' (л.1' л. о ) == [( п Л1  п ло ) /( п ло  1) ]DA 2/128.
Задаваясь допуском 2ilу'д' получим условие, оrраничивающее pa
бочий спектральный диапазон:
п Л1 == п ло + 128(\7'2 /D)( п ло  1) 2ily;
п Л2 == п ло 128(\7'2/D)(пло 1)2ilY
rде \7' == 1/А== r /D.
Единственную неисправленную аберрацию  кривизну поля 
можно существенно уменьшить, применив линзу ПиацциСмита или
изоrнув фотопленку (поверхность изображения) по выпуклой сфери
ческой поверхности. Линза Смита, однако, вносит сферическую абер
рацию и кому, которые оrраничивают поле светосильных систем.
Правда, пересчетом пластинки Шмидта можно устранить аберрации,
вносимые линзой Смита.
При значительном хроматизме пластинки устранить ero можно,
используя ахроматическую пластинку, склеенную из деталей, KOTO
рые выполнены из стекол двух марок.
Данная теория позволяет рассчитать системы с относительным
отверстием до 1:2, поскольку при выводе уравнения профиля исполь
зовались два члена разложения в ряд уравнения сферы и не учитыва
лись аберрации высших порядков. Правда, их влияние можно учесть,
пересчитав коррекционную пластинку после аберрационноrо анализа.
475

Расчет и проектирование оптических систем
7.5. Исправление а6ерраций высших порядков
введением малых деформаций
Метод исправления аберраций высших порядков введением Ma
лых деформаций предложен r.r. Слюсаревым [18] и применяется в
том случае, если оптическая система исправлена в отношении абер
раций TpeTbero порядка. В качестве исходных данных для расчета
этим методом необходимо иметь волновые аберрации системы, так как
деформация поверхности непосредственно связана с изменением вол
новой аберрации.
Если система состоит из преломляющих и отражающих поверх
ностей, то целесообразнее асферизовать отражающие поверхности, так
как деформация в этом случае будет в 4 раза меньше, чем в случае пре
ломляющей поверхности.
Пусть для системы определена волновая аберрация для несколь
ких зон зрачка: это аберрации Nl' N 2 , N з , N 4 ; деформация на COOT
ветствующих высотах у составляет!!..z  N(n'  п).
Уравнение поверхности имеет вид:
Z = А у 2 + В у 4 + Суб + D y 8.
в процессе решения задачи надо определить такие приращения
коэффициентов уравнений, при которых z для соответствующих BЫ
сот У принимают значения Zz + !!..Zl' Z2+ !!..Z2"" Полаrая, что высоты у
находятся в отношении -/4, -13, -J2 , 1, и учитывая, что высоты т на
зрачке находятся в таком же отношении, можно написать четыре
уравнения вида
!!..Z/ = ААу,2 + !!..Ву: + !!..cyt + l1D yj 8
для четырех значений у/. Из решения системы уравнений определя
ются соответствующие приращения М,IVЗ, !!..С, W.
Добавляя эти значения к первоначальным значениям коэффици
ентов, получаем уравнение профиля поверхности, исправленной в OT
ношении определенной аберрации. После введения деформации надо
выполнить аберрационный анализ системы. Наибольший эффект от
деформации поверхности получают в том случае, коrда эта повер
хность является последней в системе. Если поверхность находится
внутри системы, то не всеrда удается исправить аберрации с первой
попытки, так как после деформированной поверхности происходит
непредусмотренное изменение волновой аберрации последующими
поверхностями.
476

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
Деформирование двух и более поверхностей также можно прово
дить С применением этой методики. Такая необходимость возникает
при исправлении двух аберраций, так как в общем случае нельзя ис
править две аберрации деформированием одной поверхности. Правда,
в отдельных случаях [17] это возможно при соблюдении нескольких
условий, касающихся характера изменения аберраций, однако и в
этом случае исправляются аберрации только для одноrо полевоrо уrла
или для одной высоты на зрачке.
Исправление сферической аберрации в тонком двухлинзовом
объективе. При устранении в тонком двухлинзовом склеенном объек
тиве сферической аберрации TpeTbero порядка остается неисправлен
ной сферическая аберрация высших порядков, которая положитель
на и по характеру изменения близка к зависимости 4й степени от BЫ
соты или о' [16].
Эта зависимость может быть представлена в виде I:1s' Ao ,4. Tor
да поперечная сферическая аберрация l:1y'  I:1s'o'  Ао ,5.
Учитывая связь rеометрической и волновой аберраций
а'
N == J I:1s' о' do' , получим
а
N = (l:1y'/6)0' = (А/6)0,в == (l:1s'/6)0'2.
Например, если для объектива I:1s'  1 мм при D/f'  1:5 (о'  0,1), то
волновая аберрация N  0,00167 мм. Для устранения этой аберрации
можно деформировать поверхность объектива, rраничащую с возду
хом. Значение деформации I:1z определяют по формуле I:1z = N/(п 
 1). Для нашеrо примера при п  1,6!!..z  0,0028 мм, Т.е. асферич
ность очень мала.
Исправление сферической аберрации в триплете введением Ma
лой деформации поверхности [17]. При синтезе триплета обычно по
лучается несколько конструктивных схем (см. п. 4.5). Широко распро
странена конструкция с отрицательной линзой посередине со сравни
тельно большими воздушными промежутками и средним полем. Yr
ловое поле оrраничивается астиrматизмом высшеrо порядка, а OTHO
сительное отверстие  остаточной сферической аберрацией на зоне,
имеющей отрицательное значение.
Сферическую аберрацию TpeTbero порядка можно устранить за
счет значительной положительной сферической аберрации на краю
отверстия, описываемой зависимостью, близкой по своему характеру
параболе 4й степени. Для коррекции подобной сферической аберра
ции можно ввести малую деформацию на одну из сферических повер
хностей. Деформация описывается параболической зависимостью
477

Расчет и проектирование оптических систем
6й степени и направлена вовнутрь линзы, что потребует незначитель
Horo съема стекла по краю поверхности. Деформируемая поверхность
должна быть расположена вблизи апертурной диафраrмы, чтобы дe
формация не вызвала изменений друrих аберраций.
Например, деформация одной из поверхностей триплета с f' 
 150 мм позволила повысить относительное отверстие до 1:2,8 и cдe
лала возможным замену этим объективом шестилинзовоrо объектива
типа rелиос [17].
7.6. Технолоrические характеристики асферической
поверхности. Определение радиуса ближайшей
сферы ДЛЯ поверхностей BToporo порядка
в настоящее время блаrодаря применению ЭВМ синтез оптичес
ких систем с АП разной формы не вызывает серьезных проблем. Ok
нако чисто теоретическое решение вопроса разработки высококаче
ственных оптических систем с АП является недостаточным. При pac
чете таких систем особенно важно оценить технолоrичность АП. ДЛЯ
этоrо служат так называемые технолоrические характеристики АП,
.позволяющие сделать вывод о степени сложности изrотовления и KOH
троля АП и выбрать соответствующие методы.
Техволоrические характеристики АП. Рассмотрим некоторые
технолоrические характеристики, которые необходимо определить в
процессе разработки систем с АП. К ним относятся крутизnа, асфе
ри'lnостъ, zpaauenm асфери'lnости, а также zабаритnые размеры.
Крутизnа поверхnости определяется максимальным уrлом <Ртах
наклона нормали к поверхности с оптической осью. Для монотонной
АП этот уrол соответствует крайней зоне, Т.е. половине диаметра. По
верхность с <Ртах < 300 относят к полоrим, с <Ртах> 300  к крутым.
Иноrда вводят понятие «апертура АЛ», причем в отличие от об
щепринятоrо ААП  tg <Ртах' Поверхности с апертурой ААП > 0,25 OT
носят к высокоапертурным. Например, параболоидное зеркало с OT
носительным отверстием 1:1 имеет ААП  0,25. Для известноrо ypaB
нения про филя АП расчет <Ртах не вызывает трудностей.
Второй важнейшей технолоrической характеристикой является
асфери'lnостъ, т.е. максимальное отклонение от базовых поверхнос
тей  от ближайшей сферы или плоскости. Ранее рассматривал ась
вершинная асферичность, представляющая собой отклонение АП от
вершинной сферы. В этом случае с увеличением высоты у на повер
хности растет отклонение АП от сферы, достиrая максимальноrо зна
чения на крайней зоне. Можно изменить радиус сферы сравнения так,
478

rлава 7. Расчет оптических систем с асферическими поверхностями
чтобы ее отклонение от АП было минимальным, и получить радиус
ближайшей сферы r б . с .. Часто ближайшую сферу выбирают так, что
бы она проходила через вершину АП и ее край. При задании асферич
ности обязательно указывают способ выбора ближайшей сферы  сфе
ры сравнения.
Асферичность определяет толщину слоя стекла, удаляемоrо при
изrотовлении АП механическими методами, и толщину наносимоrо
слоя дополнительноrо вещества при изrотовлении методом вакуумной
асферизации.
По значению асферичности поверхности разделяют на три вида:
с малой асферичностью (до 30 мкм), со средней асферичностью (30...
1000 мкм) и С большой асферичностью (более 1000 мкм).
rpaauenт асфери'lnости характеризует наибольшее изменение
асферичности на 1 мм дуrи кривой профиля. Ero обычно определяют
по зависимости асферичности от q> или у. Максимальное значение rpa
диента соответствует наибольшему уrлу между касательной к кривой
и осью. rрафическое определение rрадиента асферичности обеспечи
вает достаточную для практики точность.
По zабаритnым размерам оптические детали с АП разделяют на
малые (до 30 мм), средние (30...300 мм) и крупные (свыше 300 мм).
Определение радиуса ближайшей сферы дЛЯ АП BToporo поряд
ка. В настоящее время в оптических системах часто применяют АП
BToporo порядка, технолоrия изrотовления которых достаточно xopo
шо разработана. Рассмотрим метод определения радиуса ближайшей
сферы r б . с . для этих поверхностей [14].
Для определения r б . с . надо сначала ввести понятие продольnой
аберрации 1l0рмалей АП [14]. Нормали пересекают ось АП в разных
точках и под разными уrлами. Следовательно, любой АП COOTBeT
ствует совокупность HopMa
лей, которая образует HeroMO
центрический пучок. Назовем
отрезок СоС (рис. 7.21) про
дольной аберрацией нормали
(LlS' n) по аналоrии с продоль
ной аберрацией луча, Принад
лежащеrо неrомоцентричес
кому пучку. Поэтому поверх
ность можно характеризовать
зависимостью LlS' n  f(q» для
продольной аберрации HopMa Рис. 7.21. Продольная аберрация нормалей
ли.
!I
о
z
479

Расчет и проектирование оптических систем
Но 1'1в'п == z+ У ctg q>  ro (см. рис. 7.21). Для поверхностей BToporo
порядка ctg q> == [ro + (е 2  1) z]!y, поэтому 1'1В' п == e 2 z.
Радиус ближайшей сферы равен радиусу окружности, проходя
щей через вершину О АП и ее крайнюю точку А с координатами z 1 и
У1 (рис. 7.22):
МС == (Zl/2)[1 + (YI/ZI)2].
Но МС == ОС, поэтому продольная аберрация нормали РС
LlS =MCro ==e 2 z o .
Отсюда найдем координату Zo точки Р  точки касания АП и сфе
ры ЕРВ.
Для выпуклой поверхности
радиус ближайшей сферы равен
отрезку МС, а для воrнутой 
длине нормали РС (рис. 7.22).
Тоrда асферичностъ поверхнос
ти BToporo порядка 1'1Z == МС 
Рис. 7.22. К выбору радиуса ближайшей РС.
сферы для АП BToporo порядка Определение радиуса бли
жайшей сферы для поверхностей высшеrо порядка можно найти в MO
ноrрафии [14].
.v

о
Зная Zo' из уравнения кри-
вой найдем уо' а затем длину
нормали РС:
РС ==  r02 + е 2 У5.
с
z

rлава 8. Аберрационный анализ исходноrо варианта оптической системы и оптимизация
rЛАВА 8. АБЕРРАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ исходноrо
ВАРИАНТА ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
И ОПТИМИЗА Ц ИЯ
8.1. Аберрационный анализ исходноrо варианта.
Методы коррекции аберраций
Конструктивные параметры ИСХОДноrо варианта определяют oд
ним из известных методов (см. rл. 3), после чеrо проводят аберраци
онный анализ системы на ПЭВМ. ДЛЯ этоrо используют известные
проrраммы анализа оптических систем на персональнопрофессио
нальных ЭВМ (ППЭВМ), получивших широкое распространение в пос
леднее время.
Современные системы САПР оптических систем позволяют полу
чить оптические схемы с вычерчиванием хода лучей, таблицы и rpa
фики аберраций.
Аберрационный анализ оптических систем дает полную информа
цию об остаточных аберрациях системы  хроматических и MOHOXpO
матических как осевых, так и полевых.
Для систем с невысоким относительным отверстием инебольшим
уrловым полем, синтез которых выполняется с применением метода
разделения переменных (см. rл. 4), возможно получение исходноrо
варианта с малыми значениями остаточных аберраций, не требующих
дальнейшей коррекции. В остальных случаях приходится Проводить
исправление, или коррекцию, аберраций.
Под коррекцией аберраций понимают их уменьшение до опреде
ленных допустимых значений (см. п.3.!), зависящих от типа опти-
ческой системы и ее назначения. Оптимальной можно считать KOp
481

Расчет и проектирование ОПтических систем
рекцию, обеспечивающую минимальные значения аберраций для дaH
ной системы, что позволяет увеличить допуски на изrотовление опти
ческих деталей и снизить требования к оптическим материалам.
Параметры, изменение которых влияет на определенные аберра
ции, называют н:оррен:ционными. В качестве коррекционных парамет
ров можно назвать радиусы кривизны, воздушные промежутки, Map
ки стекол и толщины линз (в случае их значительной толщины). Для
систем со сравнительно невысокими оптическими характеристиками
коррекционными параметрами являются внешние и внутренние па
раметры, исходные значения которых получены из решения абер
рационных уравнений в процессе параметрическоrо синтеза.
Известны два основных метода коррекции. Первый метод имеет
две разновидности и представляет собой продолжение метода разде
ленил переменных. В ero основе лежит предположение о том, что при
небольших изменениях основных параметров p, w"" и С влияние
аберраций высших порядков и толщин остается практически неиз
менным, изменяются лишь аберрации TpeTbero порядка. При исполь
зовании метода определяют разность (y) между требуемым значе
нием аберрации и полученным (здесь y == f(т,М,ю) Sk; Sk  COOT
ветствующая сумма 3ейделя). Дифференцируя эту функцию и заме
няя дифференциалы конечными приращениями, находят все измене
ния L1S k сумм SI'''SV И хроматических сумм SIxp и SПхр' с учетом BЫ
численных значений Sk определяют основные параметры и при новых
их значениях вновь определяют конструктивные элементы системы,
т. е. фактически повторяют расчет исходноrо варианта. Это является
недостатком метода.
Рассмотренная разновидность метода применяется, например,
при синтезе триплета (см. п.4.2) и фототелеобъектива на предвари
тельной стадии коррекции, что позволяет выбрать направление
коррекции.
Друrая разновидность метода, применяемая при коррекции OДHO
и двухкомпонентных систем снебольшим уrловым полем, дает воз
можность дифференцированием аберрационных уравнений опреде
лить приращения коррекционных параметров, с учетом которых BЫ
полняется расчет новых значений конструктивных элементов систе
мы. В этом случае нет необходимости заново проводить синтез систе
мы. Метод позволяет одновременно исправить хроматизм положения,
сферическую аберрацию и меридиональную кому. ОН используется в
специализированных проrраммах для расчета ДBYX, Tpex и четырех
линзовых компонентов [4,18] на ППЭВМ.
482

rлава 8. Аберрационный анализ исходноrо варианта оптической системы и оптимизация
Второй метод коррекции  это метод проб. В ero основе лежит
последовательное изменение коррекционных параметров системы и
определение тех значений параметров, при которых система удовлет
воряет заданным условиям, т. е. дает требуемое качество изображе
ния. В некоторых случаях приходится делать вывод о практической
неприrодности рассчитываемой системы и выбирать друrой исходный
вариант.
Использование метода проб предполаrает линейный характер И3
менения аберраций при изменении коррекционных параметров сис
темы, что справедливо при небольших вариациях параметров. Для
большинства систем эта зависимость явно нелинейная, причем нели
нейность заметнее сказывается при больших порядках аберраций.
Вследствие этоrо приходится применять метод последовательных при
ближений, в процессе KOToporo параметры меняются незначительно.
При коррекции аберраций сложных систем особое значение име
ет выбор параметров, оказывающих существенное влияние на исправ
ляемые аберрации. Для этоrо рассчитывают таблицу влияния
параметров, в которой представлены последовательные изменения
разных параметров и соответствующие им вариации аберраций. На
основе анализа этой таблицы выбирают коррекционные параметры,
с помощью которых по nporpaMMaM автоматической коррекции
(см. 8.3) осуществляется исправление аберраций.
Общие рекомендации по выбору коррекционных параметров мож
но дать лишь для несложных систем снебольшим уrловым полем. В
остальных случаях большую роль иrрают опыт, хорошее владение Te
орией аберрации и даже интуиция.
Кроме описанных двух ocHoBHыx методов находит применение
комбинированный метод. При ero использовании переменные делят
на две rруппы. К первой относят параметры, имеющие простую aHa
литическую связь с аберрация ми для систем с конечными толщинами.
Примером TaKoro параметра может служить оптическая сила q> лин
зы, которая влияет на хроматические аберрации. Ко второй rруппе
принадлежат параметры, выбор которых зависит от вида системы и
результата анализа таблицы влияния ИЗменения параметров.
При использовании описанных методов коррекции для получения
оптимальноrо варианта приходится несколько раз изменять парамет
ры, каждый раз пересчитывая конструктивные элементы и выполняя
аберрационный анализ системы. Эти методы коррекции применяют-
ся в специализированных и универсальных Проrраммах коррекции на
ППЭВМ (см. п. 4.6 и 8.3).
483

Расчет и проектирование оптических систем
Рассмотрим коррекцию аберраций методом проб в одно- и
двухкомпонентных системах, исходный вариант которых можно по-
лучить методом разделения переменных. Применение этоrо метода
эффективно при работе на ПЭВМ или ППЭВМ в диалоrовом режиме в
учебной l1рактике.
8.2. Метод проб
Для систем снебольшим уrловым полем, имеющих значительные
аберрации высших порядков, целесообразно использовать метод проб,
называемый также методом линейной интерполяции (или экстрапо-
ляции) и методом последовательных приближений. В таких системах
нарушается линейная зависимость между аберрациями и коррекци-
онными параметрами, поэтому дифференциальный метод, являющий-
ся продолжнием метода разделения переменных, ,не дает быстроrо
положительноrо эффекта.
Рассмотрим вначале особенности коррекции аберраций в двух-,
трех- и четырехлинзовых компонентах (объективах).
Из условия ахроматизации (п. 4.2) следует, что для коррекции
хроматизма можно поменять марки стекол, если это возможно, или
изменить (перераспределить) оптические силы линз компонента, со-
храняя их сумму.
Коррекция хроматической аберрации положения выполняется
для зоны зрачка т  О, 707Dj2 (или т  0,87Dj2 в некоторых случа-
ях), что необходимо для получения наиболее блаrоприятноrо распре-
деления сферохроматической аберрации по зрачку системы (рис. 8.1).
т
е с'
F'
JJs'
т
е с' F'
!Js'
 D,ёD, 1 О О, 1 9,2 D,J
/JSFC'==O
а)
Рис. 8. 1. rрафик сферической аберрации и сферохроматических ,У.азностей:
а ) хроматизм положения исправлен в параксиальной области  t.SF' C' ) ;
б) хроматизм положения исправлен на зоне т  0,707 D/2
484

rлава 8. Аберрационный анализ исходноrо варианта оптической системы и оптимизация
При коррекции хроматизма положения в параксиальной области, Ha
пример, сферохроматическая аберрация значительно возрастает на
краю отверстия (рис. 8.1,а).
Коррекция сферической аберрации проводится для края OTBep
стия, т. е. при т  D/2 (рис. 8.2, а). Более блаrоприятной является
коррекция снебольшим переисправлением для края отверстия, что
fl1
т
0/2
o,ZO,1 О 0,1 L1J"'
и)
D,ZD,1 О 0,1 .iJ"
о)
Рис. 8.2. l'рафик сферической аберрации:
а) сферическая аберрация исправлена на краю отверстия (т  D/2);
б) сферическая аберрация незначительно переисправлена для края отверстия
позволяет уменьшить зональную сферическую аберрацию (рис. 8.2, 6).
Сферическая аберрация и меридиональная кома в значительной
степени зависят от формы (проrиба) линзы, поэтому их следует ис
правлять изменением внутренних уrлов а" в отдельных линзах или
подбором инварианта склейки Qv в склеенных компонентах, что BЫ
текает из соответствующих аберрационных уравнений.
В основе метода проб также лежит предположение о линейной за
висимости между аберрациями и коррекционными параметрами. В
большинстве систем со значительными остаточными аберрациями,
что характерно для систем с повышенной светосилой, эта зависимость
является явно нелинейной, поэтому коррекция н:аждой из аберраций
выполняется после нескольких изменений коррекционных IIарамет
ров.
Виды н:оррен:ционных параметров для компонентов разных KOH
с'rрукциЙ приведены в табл. 8.1: для коррекции хроматизма положе
ния служат внешние параметры (оптические силы линз компонентов),
а для коррекции сферической аберрации и комы  внутренние пара
метры, определяющие форму линз, к числу которых относятся TaK
же инварианты склейки в конструкциях с двухлинзовыми И Tpex
линзовыми склеенными компонентами.
485


со
ф
Таблица 8.1
-u
'"
n
..с
<D
--i
:s;
::J
"о
О
<D

:s;
"о
О
tD
'"
:t:
:s;
<D
О
::J
--i
:s;
..с
<D
n
'"
:s;
х
n
:s;
n
--i
<D
;::
Ре1\омендуемые 1\орреющонные
Корре1\ЦИОШlые параметры ДЛЯ параметры при работе на ЭВМ в
исправлеШlЯ ДИ8Лоrовом режиме, используемые ДЛЯ
исправлеШlЯ
N2 Вид
п/п 1\омпонента
хроматизма сферичес1\ОЙ хроматизма сферичес1\ОЙ
положеШlЯ аберрации и 1\ОМЫ аберрации и 1\ОМЫ
1  <Р1 Q а' а/ (при <Р1  const)
" з
2  аз  <Р1 а 2 , а, а з а 2 , а,
, ,
3  <Р1 Q[, Qп <J>l Q[, Qп
,,  ...
4   а 2 , а,  а 2 , а,
монохромат

Продолжение табл. 8.1
, Рекомендуемые коррекци:онные
Коррекцнонные параметры для параметры при работе на ЭВМ в
исправления диалоrовом режиме, используемые для
исправления
N2 Вид
п/п компонента
хроматизма сферической хроматизма сферической
положения аберрации и комы аберрации и комы
5  аз, а 5 а" а 6 аз, а 5 (Х4' а б
, ,
6  аз, а 5 а" а 6 аз, а 5 а" а 6
7  <Р2 a 2 ,Q а' а 2
5
8  <Р1 Q, а 5 а' а 5
, ' з
--,
'"
'"
tD
'"
00

со
"'"
:t>
0\
<D
"Q
"Q
'"
>=
s
О
:I:
:I:
cr
'"
'"
:I:

S
'"
S
n

:1:>
:I:
О
(3
tD
'"
"Q
S
'"
:I:
Qj
О
'"
--i
S
..с
<D
n
'"
О
""
n
s
n
--i
<D
;::
2:
s
О
'"
--i
S
;::
S
'"
'"
>=
s
:о

J:io
CD
CD
Продолжение табл. 8.1
""u
'"
(")
..с
Ф
--i
:s;
::J
"8
ф

:s;
"Q
а
'"
'"
:I:
:s;
Ф
о
::J
--i
:s;
..с
Ф
(")
""
:s;
х
(")
:s;
(")
--i
Ф
;:
Рекомендуемые коррекционные
Коррекциониые параметры для параметры при работе на ЭВМ в
исправления диалоrовом режиме, исполъзуемъrе для
исправления
Ng Вид
п/п компонента
хроматизма сферической хроматизма сферической
положения аберрации и комы аберрации и комы
9  Фr Q а' а/(при <рО!  const)
" , з
10  аз  <Р! а 2 , а, аз а 2 , а,
""" 
11  <Р! Q[, Qu аз., а' az' (при <1"'\  const)
6 аs'(при <рОз  const)
lIримечанuе. Знаком .*. отмечены ,неполные. корреКЦИОlIНые параметры, которъrе одновременно влияют на все
исправляемые аберрации.

rлава в. Аберрационный анализ исходноrо варианта оптической системы и оптимизация
Следует обратить внимание на то, что в трехлинзовых компонен-
тах с первой и второй склейками внешние параметры  уrлы а 4 и аз
соответственно  не MorYT выполнять роль коррекционных парамет-
ров для исправления хроматизма положения, поскольку они прини
мались за избыточные при синтезе исходноrо варианта и выбирались
из условия исправления аберраций высших порядков по минимуму
модуля Q и р на склейке. По этой же причине не может быть кор-
рекционным параметром уrол а 4 в четырехлинзовом компоненте с раз-
ными радиусами кривизны.
Общие принципы метода заключаются в следующем. Вначале,
корда неизвестен характер изменения аберрации в зависимости от KOp
реКЦИОНноrо параметра, можно взять ero приращение в интервале
::1::(5...10)% исходноrо значения и рассчитать новые радиусы кривизны.
Затем выполняется аберрационный анализ системы с новыми значе
ниями конструктивных элементов.
Рекомендуется строить rрафик зависимости аберраций от KoppeK
ционных параметров, чтобы выявить характер зависимости, что воз
можно при наличии хотя бы трех вариантов. При существенном от-
клонении от линейности оптимальное значение коррекционноrо па
раметра можно определить rрафически, соответствующим образом
выбрав масштаб построения.
Если имеются результаты расчета двух вариантов системы (напри-
мер, ИСХодноrо и с измененными коррекционными параметрами), то
можно найти оптимальное значение параметра методом линейной ин
терполяции. Для этоrо можно использовать известную формулу ли-
нейной интерполяции:
у == Уа +[(Уl  Уа)/ (Хl  Ха )](х x'a)'
(8.1)
rде У  искомое значеНие коррекционноrо параметра;
х  допустимое значение исправляемой аберрации (можно по-
ложить х == О);
УО и Уl  значения коррекционных параметров, которым соот-
ветствуют аберрации Хо и Х 1 .
Обозначив коррекционный параметр через а, а аберрацию через
1'18', получим следующее соотношение для определения оптимально-
ro коррекционноrо параметра а О :
аа = ан +[(aaH)/(8' 1'18)](1'18,a  1'1s),
rде индексом «и» обозначены величины в исходном варианте.
(8.2)
489

Расчет и проектирование оптических систем
Если имеются три пары значений aprYMeHTa и функции, то более
точные результаты можно получить, применяя формулу параболичес
кой интерполяции, например формулу Лаrранжа:
 (ХХ2КХЗ) (ХХI)(ХХЗ) (XXI)(XX2)
Y ( ) ) YI+ У2+ Уз' (83)
XIX2 (ХIХЗ (Х2ХI)(Х2ХЗ) (ХЗХI)(ХЗХ2) .
Применительно к коррекции уравнение (8.3) примет вид:
о  (L'1s'O s')(L'1s'O B') (L'1s'O L'1S)(L'1s'O B') 
а  (  ) аи +  (  =СО ) а +
(L'1s B') L'1s B' (L'1s' L'1s) L'1s' L'1s'
(L'1s'O  L'1s)( L'1s'O  B') =со
+ (B'  L'1s )(B'  B') а,
rде L'1s'O  ожидаемое значение аберрации, чаще Bcero нуль;
L'1s  значение аберрации в исходном варианте;
B'  значение аберрации после первой коррекции;
B'  значение аберрации после второй коррекции;
ао, ан, а и а  соответствующие значения коррекцион
ных параметров.
При таком расчете удобно данные сводить в таблицу.
Если при найденных значениях коррекционных параметров
значение исправляемой аберрации больше допустимоrо, то надо дe
лать следующее приближение, вновь повторяя описанный процесс,
включая и rрафическое построение. Данный метод удобно применять
в учебной практике.
Особенности коррекции хроматизма положения. Коррекция абер
раций обычно начинается с исправления хроматизма положения, по
скольку изменение внешних параметров, входящих также в абер
рационные уравнения для p,  вызывает заметное нарушение KOp
рекции сферической аберрации и комы.
Как известно, коррекция обычно выполняется для зоны
тO, 707D/2, но при этом надо следить за распределением хроматиз
ма по всему отверстию зрачка. Для этоrо целесообразно строить rpa
фик зависимости аберрации от коррекционноrо параметра для He
скольких зон зрачка. В некоторых случаях приходится принимать
компромиссное решение с тем, чтобы не увеличить в значительной CTe
пени хроматизм на краю отверстия при ero тщательном исправлении
490

rлава 8. Аберрационный анализ исходноrо варианта оптической системы и оптимизация
на зоне. Рекомендуется недоисправить хроматизм, т. е. получить ero
отрицательное значение.
В некоторых случаях, например в двух линзовых склеенных
компонентах, при неудачном выборе марок стекол кривая зависимо
сти S1л.2 = {(<Рl) может не пересекать ось ординат (рис. 8.3). Ясно, что
значение хроматизма положения нельзя получить менее значения,
paBHoro (S1л.2)miп' Единственный способ исправления хроматизма
в этом случае  поменять марки стекол.
1
Рис. 8.3. rрафик зависимости !J.s,лz неис
правленноrо хроматизма положения от
коррекционноrо параметра
(ДSi ..t )тiл
о
L1S A1 AZ
Особенности коррекции в телеобъективах. Если фокусирующий
компонент представляет собой отдельную линзу, то коррекцию абер
раций целесообразно проводить за счет изменения параметров перво
ro положительноrо компонента. При сравнительно небольших абер
рациях высших порядков коррекцию можно проводить, используя
правило сложения аберраций и выделяя аберрации фокусирующеrо
компонента. Для продольноrо хроматизма можно записать:
(S1л.2) об = (S1л.2 )1gII + (S1л.2)П'
откуда для BToporo компонента получим:
(S1л.2)П =(S1л.2)Об (S1л.2)1 gп.
Затем можно определить (Sл.2)1 при условии, что S1л.2 = о:
(SЛ2)1 = (S1л.2)П / g П'
Аналоrичные уравнения получим для продольной сферической
аберрации.
Если фокусирующий компонент является двухлинзовым склеен
ным или имеет более сложную конструкцию, то коррекцию можно
проводить, используя коррекционные параметры как первоrо, так и
BToporo компонентов.
491

Расчет и nроектирование оптических систем
Особенности коррекции хроматизма положения в зеркальнолин
зовых объективах. При больших значениях относительноrо отверстия
(J.:2 и выше) компенсатор может внести в систему значительный xpo
матизм. Для ero исправления можно рекомендовать несколько Hapy
шить афокальность компенсатора. Например, для этоrо в системе типа
KaccerpeHa с компенсатором в параллельных пучках лучей (см. рис.
6.2В) надо взять а. 5 ;f. О, определив ero значение методом проб, а в Ta
кой же системе с компенсатором в сходящихея пучках лучей (см. рис.
6.31) следует принять а. 7 ;f.l.
Для сохранения фокусноrо расстояния системы надо провести
масштабирование, т. е. вычислить коэффициент, представляющий
собой отношение заданноrо фокусноrо расстояния к полученному при
нарушении афокальности компенсатора, и умножить на Hero KOH
структивные элементы системы, после чеrо проверить величину f'.
. в двухлинзовых компонентахотражателях коррекционные пара
метры выбирают так же, как и в линзовых компонентах.
После получения допустимоrо или минимально возможноrо
значения хроматизма положения проводится коррекция сферической
аберрации и меридиональной комы.
Особенности Коррекции сферической аберрации и меРИДиональ
ной комы. Виды коррекционных параметров для линзовых объекти
вов представлены в табл. В.1. Большинство объективов имеют два или
три коррекционных параметра, позволяющих исправить указанные
аберрации. Можно исследовать их влияние на аберрации и выбрать
один из них.
Поскольку одни и те же параметры влияют одновременно на обе
аберрации, то при коррекции сферической аберрации надо следить за
изменением меридиональной комы. В учебной практике удобно CTpO
ить rрафики зависимости двух аберраций от одноrо и Toro же пара
метра, выбирая с помощью Hero оптимальное решение.
При проведении коррекции необходимо также следить за измене
нием зональной сферической аберрации. Стремление свести сфери
ческую аберрацию на краю отверстия практически к нулю (см. рис.
В.2, а) в отдельных случаях не дает оптимальноrо решения. Лучше
несколько переисправить сферическую аберрацию на краю и тем ca
мым уменьшить ее на зоне отверстия (см. рис. В.2, 6).
Для коррекции аберраций в зеркальнолинзовых системах ис
пользуют внутренние параметры компенсатора (см. rл. 6).
Особенности коррекции монохроматических аберраций в телеобъ
ективе такие же, как и при коррекции хроматизма.
492

rлава 8. Аберрационный анализ исходноrо варианта оптической системы и оптимизация
Коррекция аберраций методом проб при работе на ПЭВМ в диа
лоrовом режиме. Работая на ПЭВМ ИдИ ППЭВМ, при отсутствии про
rpaMM синтеза компонентов и зеркальнолинзовых систем с оптими
зацией можно быстро и эффективно выполнить коррекцию, задавая
систему не радиусами кривизны, а уrлами IXY . в этом случае для He
склеенных компонентов остаются те же самые коррекционные пара
метры. При исправлении хроматизма положения в объективах, coдep
жащих склеенный компонент, удобнее использовать «неполный» KOp
рекционный параметр, которым является уrол во второй линзе склей
ки: уrол аз  в отдельном склеенном компоненте, уrол а 5  в Tpex
линзовом объективе со второй склейкой и уrол аз  в трехлинзовом
объективе с первой склейкой (см. табл. 8.1). Эти уrлы одновременно
влияют на сферическую аберрацию и кому, так как входят не только
в соотношения для соответствующей оптической силы <р линзы, но и
в инвариант склейки Q. В некоторых случаях одновременно с KoppeK
цией хроматизма положения значительно уменьшаются сферическая
аберрация и кома.
После коррекции хроматизма во избежание пересчета
коррекционноrо параметра (для сохранения оптической силы одной
из линз) лучше корриrировать сферическую аберрацию за счет BHYT
peHHero уrла отдельной линзы (в трехлинзовых объективах с отдель
ной линзой), а в склеенном компоненте при изменении а 2 необходи
мо пересчитать аз так, чтобы оставить неизменными оптические силы
компонентов, при которых исправлен хроматизм положения, что co
ответствует изменению инварианта склейки Q при </>i  const.
8.З. Автоматизированная коррекция аберраций
оптических систем. Универсальные nporpaMMbI
для коррекции аберраций в оптических системах
любых типов и любой степени сложности
Автоматизированная коррекция аберраций с помощью ЭВМ (оп
тимизация) при самом активном участии разработчика позволяет оп
ре делить конструктивные параметры оптической системы, обладаю
щей заданными параксиальными характеристиками (2оо, D/f. (. o,...)
и требуемыми характеристиками (аберрациями или коэффициентами
аберраций).
Автоматизированную коррекцию можно осуществлять двумя
принципиально различными способами.
Первый способ применим к системам любоrо типа и любой степе
ни сложности и основан на использовании универсальных методов
493

Расчет и проектирование оптических систем
постепенных приближений (метод проб). Для этоrо в исходном вари
анте системы, которая либо выбирается, либо предварительно рассчи
тывается в области аберраций третьеrо порядка (т. е. числовые зна
чения конструктивных параметров rv' d v , п исходной системы извес
тны), последовательно изменяют некоторые параметры. После ряда
изменений получают систему с требуемым качеством изображения
либо устанавливают, что данная система не может обеспечить требу
eMoro качества изображения.
Изменения конструктивных параметров, как правило, выполня-
ют на основании изучения таблицы влияния изменения параметров
на аберрации и величины, характеризующие свойства оптической си
стемы. Обычно считается, что между изменениями параметров и из-
менениями аберраций существует линейная зависимость. На самом
деле эта зависимость далеко не линейная, причем нелинейность тем
сильнее, чем выше порядок аберраций. Поэтому разработчик. вносит,
как правило, незначительные изменения параметров и улучшает ис-
ходную систему с помощью универсальных проrрамм коррекции по-
степенно.
Второй способ применим к оrраниченному ряду оптических сис-
тем, обычно состоящих из бесконечно тонких компонентов. Здесь ис-
пользуются методы, основанные на решении системы уравнений, свя-
зывающих конструктивные параметры с аберрациями. Такие уравне-
ния удается составить только в области аберраций третьеrо порядка.
Специализированные проrраммы, составленные на основе решения
этих уравнений, применимы для расчета двухкомпонентных систем
из одиночноrо и склеенноrо компонентов, двойноrо и тройноrо скле-
eHHoro компонентов (см. п. 4.6).
Рассмотрим универсальные методы автоматизированной коррек-
ции.
Пусть оптическая система (например, ее исходный вариант) име-
ет N параметров: rv' d v , пл.о' пл.l пл.2' У, коэффициенты асферических
поверхностей и т. п. Часть параметров, которые назовем "oppe"циOH
ными, обозначим через Рl' Р2' ..., Р;> ..., Pt' Их число примем равным t,
эти параметры будем автоматически изменять в процесс е расчета, при-
чем, какие параметры будут коррекционными, решает разработчик.
Часть параксиальных характеристик и аберраций, которые подле-
жат коррекции, назовем "орри2ируемыми фун"циями. Обозначим их
через Фl' Фl' ..., Ф j , ..., Фk' а их число примем равным k. Какие функ-
ции будут вычисляться, решает также разработчик. Обозначим тре-
буемые значения корриrируемых функций через ф. , допустимые от-
. ]
494

rлава 8. Аберрационный анализ исходноrо варианта оптической системы и оптимизация
клонения от требуемых значений (допуски)  через 8Ф j , значения KOp
рекционных параметров в исходной оптической системе  через р}О) ,
а соответствующие им значения корриrируемых функции через
фО). Требуется найти такие значения параметровр i , при которых KOp
риrируемые функции ф. имеют значения, лежащие внутри интерва
 J
лов Фj:!::3Фj'
универсалыlеe методы автоматизированноzо расчета оптичес
ких систем МОЖ1l0 разбить на две zpyппbt:
1) методы, при которых задача автоматической коррекции сводит
ся к отысканию таких значений коррекционных параметров, при KO
торых все рассматриваемые функции будут иметь требуемые значения
с заданными допусками;
2) методы, при которых оптическая система характеризуется oцe
ночной (целевой) функцией вида
j=k
L  2
F= а(ФФj)
1 J ,
j=l
(8.4)
rде a j = 1/ 3ф;  весовой коэффициент, учитывающий масштаб еди
ниц измерения соответствующих функций Фj'
Задача автоматизированноrо расчета оптической системы сводит
ся к нахождению таких значений конструктивных параметров систе
мы, при которых оценочная функция будет минимальной. Так как не
существует точных аналитических методов решения задач оптимиза
ции, то поиск минимума оценочной функции всеrда строится как ите
рационный процесс последовательных приближений к минимуму, co
стоящий из ряда повторяющихся шаrов, при этом конечное состояние
предшествующеrо шаrа является начальным для последующеrо. По
этому достаточно описать один шаr оптимизации, чтобы был ясен весь
ход процесса. Итерационное повторение шаrов заканчивается, коrда
изменение состояния от шаrа к шаrу становится пренебрежимо Ma
лым.
Введение оценочной (целевой) функции F упрощает расчет, позво
ляет оперировать только одной единственной величиной. Следует OT
метить, что если все функции будут иметь требуемые значения, то и
оценочная функция обратится в нуль.
В последнее время разработаны методы, которые включают в oцe
ночную функцию помимо отклонений функций от требуемых значе
ний (Фj Фj) еще и изменения коррекционных параметров f..P i , бла
rодаря этому происходит оrраничение приращений параметров.
495

Расчет и проектирование оптических систем
Математические методы автоматизированной коррекции
Рассмотрим ряд математических методов автоматизированной
коррекции аберраций, получивших широкое распространение на
практике.
Комбинированный метод. При комбинированном методе aBTOMa
тизированной коррекции задача оптимизации имеет два этапа. Н а пep
вом этапе осуществляется поиск соотношения между изменениями
коррекционных параметров i1p (поиск направления движения), при
котором достиrается убывание оценочной функции Р.
Поиск направления движения осуществляется основными MeToдa
ми в зависимости от соотношения между числом коррекционных па
раметров t и числом корриrируемых функций k. В том случае, коrда
Основные методы не обеспечивают необходимую скорость сходимос
. ти итерационноrо процесса, независимо от соотношения между k и t
используется дополнительный метод, при котором направление дви-
жения выбирается противоположным по отношению к rрадиенту oцe
ночной функции Р.
Итак, если k  t, то для поиска направления движения использу
ется модифицированный метод Ньютона, заключающийся в том, что
решается система k линейных уравнений с t неизвестными, имеющая
в матричной форме вид:
Ai1p= i1Ф, (8.5)
rде А = {дФ / др;}  матрица первых производных функций Ф j по KOp
рекционным параметрам оптической системы. Элементы матрицы
вЫчисляются методом конечных разностей. Компоненты вектора i1Ф
С у ть ф.  Ф О)
J J' .
Решение p = А 1 i1Ф системы уравнений (8.5) трактуется как век-
тор, определяющий направление поиска минимальноrо значения oцe
ночной функции F на данном шаrе итераций.
Если k > t, то используется метод наименьших квадратов. Так
как k > t, то система линейных уравнений переопределена (уравнений
больше, чем неизвестных) и не имеет решения. Однако можно найти
такие приращения параметров, при которых оценочная функция F
убывает. Направление поиска определяется в результате решения нор-
мальной системы уравнений относительно i1p:
В Т Вi1р=В Т i1 1 Ф, (8.6)
rде В  матрица, полученная из матрицы А путем деления элемен
тов любой j-й строки на БФ.; вТ  транспонированная матрица в;
J
496

rлава 8. Аберрационный анализ исходноrо варианта оптической системы и оптимизация
lФ  компоненты вектора
 (О)
lФj=(ФjФj )/3Фj'
Если k < t, то используется метод Лаzранжа. В этом случае сис
тема линейных уравнений (8.5) имеет бесконечное множество реше
ний. Для дополнения системы уравнений (8.5) вводится требование
минимальности взвешенной суммы квадратов приращений парамет
ров Pj:
i=t
Р = Lai(Pi)2.
i=l
(8.7)
Весовые коэффициенты а ; принимаются равными сумме абсолютных
значений производных
.=k
а ; = lд2Фj /др;\.
j=l
Расчет д 2 ф j / др; осуществляется одновременно с расчетом первых
производных методом конечных разностей.
Н а втором этапе коррекции определяется минимальное значе
ние квадратичной формы (8.7) при выполнении условия (8.5). В pe
зультате получают систему из (k+ t) линейных уравнений с (k+ t) He
известными, из которых первые t  искомые приращения парамет
ров ДPi' а остальные k  произвольные коэффициенты Лаrранжа "т
Тоrда система уравнений в матричной форме будет иметь вид:
Су  <р, (8.8)
rде у  векторстолбец неизвестных (tпервых компонент  Pi' oc
тальные kкомпонент  множители Лаrpанжа л);
ер  векторстолбец, tпервых компонент KOToporo совпадают с
компонентами вектора ф системы (8.5), а остальные k-компонент 
нули;
С  матрица следующей структуры:
А О
а 1 О О О
О а 2 О О
О О аз О О
О А Т
I О о a t
497

Расчет и проектирование оптических систем
Решая систему линейных уравнений (8.8), получают множители
Лаrранжа и вектор приращений параметров p.
Если после применения OCHoBHoro метода не удается получить дo
статочной скорости убывания оценочной функции, которую можно
определить по формуле
 = (F(81)  F{8») / F(8) , (8.9)
то используют дополнительный метод. В формуле (8.9) F(81)  зна
чение функции F перед началом выполнения итерационноrо шаrа с
порядковым номером s; F(8)  значение функции F после выполнения
итерационноrо шаrа с порядковым номером В. И если  $; Е' , rде Е' 
некоторое заранее выбранное число, то осуществляется переход к дo
полнительному методу, с помощью KOToporo определяют направление
поиска наименьшеrо значения оценочной функции. 3а такое направ
. ,
ление принимают направление, противоположное rрадиентному Ha
правлению для оценочной функции:
p= gradF(p); Pi =  аij ( Фj  Фi ) / 8Ф:,
J=1
rде a ij  компоненты матрицы А. Получившийся вектор Ар опре
деляет направление поиска минимума оценочной функции F. 3атем
вводится переменная величина Ч', характеризующая длину шаrа в
выбранном направлении. Изменения параметров, соответствующие
длине шаrа Ч', вычисляют путем умножения приращения параметров
Ар;> полученных в результате решения системы уравнений (8.5) на шаr
Ч'. Исходной точке соответствует шаr Ч'  о. При поиске минимума
вектор коррекционных параметров определяется как р  р(О)+ Ч' p.
Для определения шarа Ч' используют оценочную функцию F, при
чем эта функция обращается в нуль, ко:сда корриrируемые функции
примут требуемые значения, равные Фj. И так как оценочная фуНI<
ция всеrда положительна, то значение шаrа Ч' целесообразно прини
мать соответствующим минимуму оценочной функции. Далее следу
ет найти зависимость оценочной функции от шаrа Ч' и значение Ч' min'
соответствующее минимальному значению функции F min. Поиск дли
ны шаrа Ч' min осуществляется различными методами, изложенными
в работах [4, 18, 21].
Расчет прекращается либо тоrда, коrда ни один из рассмотренных
выше методов не обеспечивает установленной скорости сходимости
итерационноrо процесса, либо тоrда, коrда все корриrируемые функ
ции находятся внутри заданных интервалов Ф i:t дФ j . в первом случае
498

rлава 8. Аберрационный анализ исходноro варианта оптической системы и оптимизация
решение не найдено, хотя аберрации и уменьшены, во втором  за
дача решена.
Сдерживающий метод наименьших квадратов. При использова
нии этоrо метода нет разделения задачи на поиск направления и BЫ
бор шarа: эти этапы объединяются и выполняются одновременно. Суть
метода заключается в том, что в оценочную функцию помимо откло
нений функций от заданных значений включаются изменения KoppeK
ционных параметров. При этом происходит оrраничение приращений
параметров, а оценочная функция имеет вид:
k 2 t
F= >j(Фj Фj) +qL(L'1p;)2,
j=l ;=1
rде q  «сдерживающий» параметр. Иноrда используют не один
«сдерживающий» параметр, а для каждоrо оррекционноrо парамет
ра выбирают свое значение qi.
Для нахождения минимума функции F решается система HOp
мальных уравнений, которая в матричной форме имеет вид:
(8.10)
(А т А + qE)L'1p+ А Т L'1Ф = О,
rде компоненты вектора L'1Ф = Ф j  Фj .
Метод применяется при любом соотношении между числом пара
метров t и числом функций k. Если используется не один сдерживаю
щий параметр q, а для каждоrо из коррекционных параметров выби
рается свое значение сдерживающеrо параметра qi' то это равносиль
но изменению метрики пространства параметров P i .
Если при решении задачи оптимизации во всем пространстве па
раметров не накладываются никакие оrраничения на возможные из
менения параметров, то такую оптимизацию называют безусловной.
Часто решение, полученное методами безусловной оптимизации, не
удовлетворяет требованиям конструктивной или физической реали
зуемости. Например, MorYT быть получены отрицательные значения
расстояний между поверхностями в оптической системе, слишком
большие толщины линз и т. п. Все это приводит к необходимости BBe
сти оrраничения, которые в общем виде MorYT быть выражены через
некоторые функции от параметров оптимизации.
К оzраничения.м типа неравенств можно отнести:
математические оrраничения, описывающие область существова
ния оптимизируемых функций Ф.. К таким оrраничениям относятся
]
условия попадания всех лучей на поверхность, преломление без пол
Horo BHYTpeHHero отражения и т.п.;
499

Расчет и проектирование оптических систем
физические или конструктивные оrраничения. К ним относятся
оrраничения максимальной и минимальной толщины линзы, значе
ния воздушных промежутков, оrраничения на параметры стекол, на
общую длину системы, на длину заднеrо отрезка и положение зрач
ков и Т.п.
К оzраничениям типа равенств относятся:
условия равенства заданным значениям увеличения, положения
зрачков, условия телескопичности или телецентричности и Т.п.;
связи параметров оптимизации. Такие связи часто возникают в
процессе оптимизации зеркальных и зеркальнолинзовых систем, Kor
да одна и та же физическая поверхность и среда появляются в KOHCT
руктивном описании несколько раз, а также и ТОI'да, коrда при опти
мизации желательно сохранить пропорциональность отдельных час
тей оптической системы.
Перечисленные связи являются линейными по отношению к па-
раметрам. Такие связи достаточно леrко контролируются в процессе
оптимизации. Существуют и нелинейные связи. К ним относятся, Ha
пример, связи концентричности. Нелинейность связей сильно услож
няет их контроль при оптимизации.
Оптимизация с ozраничениями, или условная оптимизация, зна
чительно более сложна и менее разработана, чем безусловная оптими
зация. Разновидностью методов условной оптимизации являются Me
тоды штрафных фуюсций, которые наиболее просты и универсальны,
но для обеспечения точноrо контроля оrраничений при их использо
вании требуются MHoroKpaTHble повторения процесса оптимизации.
Суть метода состоит в том, что каждому оrраничению ставится в
соответствие некоторая штрафная функция, возрастающая при Hapy
шении оrраничений. Штрафы включаются в общую систему оптими
зируемых функций наравне с остальными, после чеrо оптимизация
проводится уже как бы без оrраничений рассмотренными выше спо-
собами. Более подробно об этих методах можно прочитать в [16].
Приемы автоматизированной коррекции оптических систем
При использовании универсальных проrрамм автоматизирован
Horo расчета оптических систем разработчику приходится выбирать
исходную оптическую систему, назначать КОРРИI'ируемые функции и
устанавливать их требуемые значения и допуски, определять, какие
параметры будут использоваться в качестве коррекционных, и зада
вать в случае необходимости оrраничения на их значения.
В большинстве случаев полная коррекция оптических систем
представляет собой ряд этапов, каждый из которых включает набор
500

rлава 8. Аберрационный анализ исходноrо варианта оптической системы и оптимизация
условий, предъявляемых к оптической системе (требования к аберра
циям). Выбор конкретных аберраций на каждом этапе коррекции 
процесс творческий, активно влияющий на ход коррекции оптичес
кой системы.
Так как в основе методов автоматизированноrо проектирования
оптических систем (АПОС) лежат итерационные способы, то нет ra
рантии нахождения решения даже в тех случаях, коrда решение cy
ществует. Если неудачно выбрана исходная система, неправильно Ha
значены требуемые значения корриrируемых функций или допуски
на них вследствие неудачноrо выбора коррекционных параметров, то
возможны случаи, коrда проrрамма обеспечивает нахождение бли
жайшеrо локальноrо минимума F. но он не удовлетворяет поставлен
ным требованиям, хотя нужное решение и существует.
Выбор исходной оптической системы. Конструктивные парамет
ры оптической системы можно взять из каталоrа, архива, патентов;
получить путем расчета оптической системы в области аберраций
TpeTbero порядка (с помощью специализированных проrрамм); найти
методами синтеза оптических систем по поверхностям или элементам
с известными аберрационными свойствами; сформировать путем yc
ложнения какойлибо известной конструкции или путем сочетания
перечисленных выше методов.
К исходной оптической системе предъявляют обязательные требо
вания: лучи, с помощью которых определяются аберрации, не должны
испытывать полное внутреннее отражение, должны иметь точки пе
ресечения со всеми поверхностями оптической системы. В процессе
коррекции знаки у фокусноrо расстояния или увеличения не долж
ны меняться.
Выбор корриrируемых функций. Он определяется назначением
оптической системы и ее коррекционными возможностями (например,
при коррекции объективов микроскопов коррекция дисторсии Heцe
лесообразна; в осветительных системах достаточно оrраничиться KOp
рекцией сферической аберрации и меридиональной комы и т. д.). Kop
рекция избыточных аберраций  это наиболее частая ошибка разра
ботчиков, приводящая к отрицательным результатам. Так, в тонких
компонентах при небольших полях нельзя требовать одновременноrо
исправления сферической аберрации, меридиональной комы и астиr
матизма. При расчете важно установить необходимое и достаточное
число корриrируемых функций (аберраций). Опыт показывает, что
это число целесообразно определять постепенно, начиная с минимаЛь
Horo.
501

Расчет и проектирование оптических систем
Если зависимость между аберрациями и координатами точек пе
ресечения с плоскостью предмета у и плоскостью входноrо зрачка от
т и М монотонная, то максимальные значения аберраций COOTBeT
ствуют предельным значениям апертуры и поля. Поэтому первона
чально надо оrраничиться коррекцией аберраций для предельных зна-
чений этих величин, затем установить, не превышают ли аберрации
для промежуточных значений у, т и М допустимых значений. Если
превышают, то следует провести дополнительную коррекцию, увели
чив число корриrируемых аберраций.
Можно сделать и так: задать сразу большое количество корриrи
руемых аберраций, тоrда появление значительных аберраций для про-
межуточных значений у, т, М станет маловероятным, но в этом слу-
чае изза большоrо количества корриrируемых аберраций возрастают
затраты времени ПЭВМ и, кроме Toro, невозможно установить, какие
именно аберрации не поддаются коррекции. '
Если аберрационные свойства корриrируемой системы неизвест-
ны, то целесообразно принимать требуемые значения аберраций рав-
ными нулю. На более поздних стадиях коррекции часто в целях пере
балансировки аберраций для получения оптимальноrо качества изоб-
ражения эти значения задаются отличными от нуля.
Допуски на аберрации назначают, исходя из реальной потребнос-
ти. Изменяя допуски на аберрации, можно влиять на результаты кор-
рекции (если вследствие автоматизированноrо проектирования опти-
ческой системы все функции, кроме одной, получают заданные зна
чения, то коррекцию повторяют, задав более жесткий допуск на эту
функцию). При k > t четко проявляется зависимость результатов pac
чета от допусков 8Фj .
Выбор коррекциоииых параметров. В современных проrраммах
АПОС оптическая система может быть задана как через r y ' так и че
рез 1Xy. Поэтому коррекционными параметрами MOryT быть и ry (точ-
нее ру == l/r) и уrлы первоrо вспомоrательноrо луча 1Xy. На практике
использование уrлов ау является предпочтительным и дает лучшие
результаты, чем применение кривизны Ру' При использовании в ка-
честве коррекционных параметров IXY обеспечивается требуемое уве-
личение o или фокусное расстояние {' оптической системы, если вы-
полнить условия п 1 а 1 /(п'а') == o; h 1 /a' ==f. Задание оптической систе-
мы через уrлы IXY сохраняет anланатичность заданных поверхностей
и обеспечивает афокальность системы. В большинстве случаев KoppeK
ция одних и тех же исходных систем через уrлы IXY осуществляется
за меньшее число итераций, чем их коррекция при задании оптичес-
кой системы через кривизны Ру' Это объясняется тем, что при зада-
502

rлава 8. Аберрационный анализ исходноrо варианта оптической' системы и оптимизация
нии системы через уrлы ау количество корриrируемых функций
умеНЬШl;I.ется, так как [' или o поддерживаются автоматически и не
входят в число корриrируемых функций.
В качестве коррекционных параметров можно брать и толщины
линз и воздушные промежутки, показатели преломления сред и KO
эффициенты дисперсий У. НО эти параметры далеко не всеrда явля
ются активными параметрами (п и V можно изменять внутри узкоrо
интервала и они MorYT принимать дискретные значения, указанные
в rOCT 351476); величины d y и d возд оrраничены по конструктивным
соображениям.
Чтобы значения коррекционных параметров не выходили за rpa
ницы интервалов, в ряде проrрамм предусмотрено задание явных or
раничений P4nin  Pi  P4nax . Если в качестве коррекционных парамет
ров выбирают п, то обычно n min == 1,47 и птах == 1,808 (rOCT 351476).
После коррекции полученные значения показателей преломления за
меняют ближайшими, предусмотренными l'OCTOM.
При выборе коррекционных параметров в оптической системе с
неизвестными свойствами целесообразно выполнить работу « влияние
параметров» и по полученным результатам выделить параметры, из
менения которых в пределах допуска не MorYT вызвать существенных
изменений корриrируемых функций. Простейшим примером являют
ся толщины линз d 1 И d 2 В склеенном объективе при коррекции абер
раций осевой точки: толщины практически не влияют на аберрации.
Изменения же уrлов а 2 , аз пределах 0,1 вызывают в сотни раз боль
шие изменения указанных аберраций (сферической аберрации и xpo
матизма положения).
Известны три метода коррекции аберраций.
1. Метод последовательной коррекции аберраций. Суть метода
заключается в том, что коррекция необходимых аберраций осущес
твляется не одновременно, а постепенно: сначала корриrируют абер
рации, зависящие от коррекционных параметров более линейно, чем
остальные, и требующие для коррекции больших изменений KoppeK
ционных параметров. Затем количество корриrируемых функций
(аберраций) увеличивается. В случае необходимости добавляются все
новые и новые аберрации. Метод позволяет определить, какие из HO
вых аберраций не поддаются коррекции, и принять определенные
меры, например ввести дополнительные коррекционные параметры,
позволяющие исправить необходимые аберрации.
2. Метод целенаправленноro изменения параметров исходной системы.
3. Метод произвольноrо случайноrо изменения параметров исход
ной системы.
503

Расчет и проектирование оптических систем
rлава 9. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ИЗОБРАЖЕНИЯ
ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
9. 1. Исходные принципы оценки качества изображения
Оптическая система, полученная в результате синтеза и оптими
зации, должна иметь определенное качество изображения, зависящее
от ее применения.
Под "ачеством оптичес"оzо изображения обычно понимают CTe
пень соответствия rеометрических, фотометрических и спектральных
характеристик изображения и предмета. Для оценки качества изоб
ражения ero необходимо характеризовать как с количественной, так
и с качественной стороны.
Каждая оптическая система должна давать изображение, подоб
ное предмету не только по общему контуру, но и в каждой отдельной
ero точке. Однако оптическая система никоrда не изображает точку в
виде точки. С одной стороны этому препятствуют аберрации системы,
с друrой  дифракция света. Это приводит к тому, что изображение
точки оказывается нерезким, расплывчатым, мелкая структура преk
метов передается неправильно, в результате две близко расположен
ные точки сливаются в одно пятно, изображения решеток расплыва
ются в серый фон и Т.п. Даже безаберрационная система вследствие
дифракции дает изображение точки в виде кружка рассеяния малых,
но конечных размеров. Размеры кружков рассеяния дают некоторое
представление о качестве изображения, поскольку величина, обрат
ная размеру 2ду' кружка рассеяния, приближенно характеризует раз
решающую способность системы.
С позиций rеометрической оптики  чем меньше аберрации, тем
выше качество изображения. Однако это очевидное соответствие Tpe
504

rлава 9. Оценка качества изображения оптических систем
буе т более rлубокоrо анализа. Помимо аберраций надо учитывать Ta
кие характеристики изображения, как контраст составляющих ero
элементов, их количество и взаимное расположение в пределах поля
оптической системы, а также возможность их реrистрации приемни
ками (rлазом, светочувствительным слоем пленки, фотоприемником
и т.п.) с минимальными искажениями.
Требования.к качеству изображения определяются назначением
системы. Так, объективы телескопов, предназначенных для наблюде
ния звезд и друrих астрономических объектов, должны иметь такое
качество изображения, которое бы позволило различать две звезды
при наименьшем расстоянии между ними. Астрообъективы имеют
малое поле и для них достаточно оценивать качество изображения oce
вой точки, которое должно быть практически идеальным. В фотоrра
фических объективах, используемых в художественной фотоrрафии,
важным является соответствие изображения и предмета не только по
rеометрическим и фотометрическим, но и по спектральным xapaкTe
ристикам. Поэтому для этих объективов рассчитывается коэффици-
ент цветопередачи, а для оценки качества изображения важна связь
количественных оценок изображения с ero психофизиолоrическим
восприятием. Если оптическая система используется в канале связи,
то высококачественной она считается в том случае, если передает и по
зволяет зареrистрировать максимальное количество информации, по-
ступающей от объекта и Т.п.
Обычно оптические системы, формирующие изображения, счита
ют высококачественными, если они имеют изображение, близкое к
дифракционному. Эти системы называют дифра1СциОНltOоzраниченны
ми. Для них дифракция оказывает существенное влияние на распре-
деление энерrии в пятне рассеяния. К ним относятся не только объек
тивы телескопов, rеодезических зрительных труб, микрообъективы,
имеющие небольшое поле, но и объективы с достаточно высокими оп-
тическими характеристиками, предназначенные для микроэлектрон-
Horo производства.
Достаточно большой класс составляют zеометричеС1Сиоzраничен
ные системы, в которых остаточные аберрации не позволяют получить
изображение, сравнимое с дифракционным. К ним относятся кино,
фото И телевизионные объективы, мноrие системы для оптикоэлек-
тронных приборов Т.п. В большинстве случаев они имеют достаточно
большое уrловое поле (от 400 до 1200). Для этих систем распределение
энерrии в изображении точки и малой свеТЯIцейся площадки полнос
тью определяется rеометрическими аберрациями, а не дифракцией.
505

Расчет и проектирование оптических систем
Очевидно, что мерой оценки качества, т.е. количественные кри
терии должны быть разными в зависимости от назначения оптичес
кой системы, ее оптических характеристик, типа приемника.
Исторически одной из первых и важных характеристик качества
изображения является разрешающая способность, показывающая в
зависимости от типа системы, сколько линий или предметных ТОчек
может изобразить раздельно система на отрезке длиной 1 мм, или при
каком минимальном расстоянии между двумя точками они изобража
ются системой в виде двух точек. Однако этот простой количествен
ный критерий не дает полноrо представления о качестве изображения,
так как не несет информацию о качестве формирования элементов,
имеющих размеры больше минимальных, не дает представления о пе
редаче контраста и зависит от свойств приемника.
Во второй половине ХХ века процесс образования оптическоrо
изображения стали рассматривать подобно передаче сиrналов линей
ными электрическими элементами. Появляется новая более универ
сальная характеристика качества  оптичес"ая передаточная ФУН
"ЦUЯ (опФ), описывающая формирование элементов предмета от Maк
симальных до минимальных, контраст которых близок к нулю. Ha
звание ОПФ ПОЯвилось по аналоrии с передаточной функцией линей
ных радиотехнических элементов.
ОПФ  наиболее информативный критерий качества изображе
ния, позволяющий оценить два параметра изображения  количество
сформированных элементов с соответствующим контрастом и каче
ственное соответствие rеометрическоrо положения элементов изобра
жения по отношению к предмету. Первый параметр определяется
функцией передачи модуляции (фПМ) (ранее называлась частотно
контрастной характеристикой (ЧКХ», второй  функцией передачи
фазы (ФПФ) (ранее называлась частотнофазовой характеристикой
(ЧФХ». Обе эти функции можно получить из ОПФ . Интересно OT
метить, что вЫПолнив различные преобразования ОПФ, МОЖно полу
чить частные критерии, включая известные клаСсические критерии
Рэлея и Штреля (см. 9.1), при меняемые для оценки качества изобра
жения высококачественных систем снебольшим уrловым полем. ОПФ
применяют для оценки качества систем с ВЫСОкими оптическими xa
рактеристиками.
506

rлава 9. Оценка качества изображения оптических систем
9.2. Разрешающая способность оптических систем
Дифракционное изображение светящейся точки
Оптическую систему, не имеющую аберраций, можно считать
идеальной. Однако она дает изображение светящейся точки в виде
кружка рассеяния малых, но конечных размеров. Причиной этоrо яв
ляется дифракция света, которая не учитывается rеометрической оп
тикой.
Идеальная система создает изображение точки rомоцентрическим
пучком лучей, выходящим из системы. В пределах этоrо пучка, orpa
виченноrо уrлом 2<:r'}< (рис.9.1), выберем произвольную волновую по
верхность W', расположенную на значительном расстоянии от точки
А'}< изображения. Эта поверхность является сферической с центром в
точке А'}<.
в
1'(...
А
,
/'1..11
(;'.' ,
t'
В к '
11.'
2(;:'
"
W'
Рис. 9.1. Идеальная оптическая система, дающая изображение
осевой светящейся точки
Оrраииченные размеры выходноrо зрачка при водят к дифракции
Фраунrофера сферическоrо волновоrо фронта на круrлом отверстии.
Распределение освещенности Е' v в дифракционном пятне рассеяния
рассчитывается на основе принципа l'юйrенсаФренеля. Оно являет
ся результатом интерференции вторичных волн (источников) , обра
зуемых каждой точкой волновой поверхности W'.
Освещенность в точке В'" пятна рассеяния, расположенной вне
оси на расстоянии r от центра А' }< пятна, выражается формулой [12]
Е' =Е' [ 2J](X) ] 2
V иО Х '
rде Eo  освещенность в точке А'}<  центре пятна рассеяния, J] 
507

Расчет и проектирование оптических систем
функция Бесселя первоrо рода первоrо порядка, х  apryMeHT функ
ции Бесселя, причем
2тс ,. "
х=тпкsшО"кr. (9.1)
Величина х выражает отрезок r в так называемых оптических
единицах (безразмерная). Удобство применения таких единиц заклю
чается в том, что величина х, выраженная в этих единицах, сохраня
ет постоянное численное значение во всех промужуточных средах, в
пространствах предмета и изображения, так как пr'a = п 1 r 1 a 1 = 1 
инвариант Лаrранжаl'ельмrольца, rде а: = sina, так как a имеет
малое значение.
Результаты расчета распределения освещенности в дифракцион
ном пятне, выполненные впервые в 1834 r. Дж.Эри, приведены в
табл.9.1.
Таблица 9.1
х E/Eo, % х E/Eo,% Примечание
0,0 100,00 3,3000 1,79 
0,5 93,91 3,5000 0,62
1,0 77,46 3,8317 0,00 Минимум
1,5 55,34 5,1356 1,75 Максимум
2,0 33,26 7,0156 0,00 Минимум
2,5 15,81 8,4172 0,42 Максимум
3,0 5,11 10,1735 0,00 Минимум
3,2 2,67 11,6200 0,16 Максимум
':'1 '
" .....Е.;,
кружок дифракционной фиrуры рассеяния
(рис. 9.2) называется "руж"ом, или диc
"ом Зри. Ero радиус, равный радиусу пер
Boro минимума, составляет 3,8317 опти
ческих единиц (табл. 9.1).
Дифракционное пятно рассеяния
(рис. 9.2) состоит из центральноrо к.ружка,
в котором освещенность быстро убывает от
 центра к периферии, и ряда колец, разде
ленных темными промежутками, в KOTO
рых освещенность падает до нуля.
Центральный
Рис. 9.2. !'рафик распределе
ния освещенности в дифрак
ционном пятне
508

rлава 9. Оценка качества изображения оптических систем
Для определения радиуса кружка Эри вначале из (9.1) найдем r':
, u
r = 2пп' ' (9.2)
к к
Для предмета в бесконечности O' ... D/( 2['), поэтому имеем
, лх['
r=.
ппD
Подставив х == 3,8317 в (9.2) и (9.3), получим значение радиуса r'э
кружка Эри при п' к == 1 для s 1 *' 00, коrда O' = О'А' и s 1 == oo
8' = r; = О,61л./О'А' , (9.4)
8'=r;=1,22л.['/D. (9.5)
Для бесконечно удаленноrо предмета из (9.5) получим величину
радиуса кружка Эри в уrловой мере, учитывая, что \jI == r' If
\jI" = 1,22л.р" / D,
rде л. и D выражаются в мм, р" == 206265".
Найдем в пространстве предметов радиус кружка, которому в про
странстве изображений соответствует радиус r'. Зная, что пO'r' =
= п10'1r. получим
(9.3)
(9.6)
r = Лх/(2пп 1 0' 1) = л.Х/(2ппр А)'
ИЗ рис.9.1 видно, что 0'1 == О'А == DI(2p), поэтому
r=\jIp.
Приравняв (9.7) и (9.8), опустив знак «МИНУС'>, имеем
\jI=u/(пп 1 D). (9.9)
Подставив х == 3,8317, получим из (9.7) и (9.9)
r = О,61л./(пр А)= о,61л./А, (9.10)
\jI=1,22л./(п 1 D). (9.11)
Формулы (9.10) и (9.11) определяют соответственно линейную и
уrловую величину в пространстве предметов, которая соответствует
радиусу кружка Эри в пространстве изображений.
Чаще Bcero оптическая система находится в воздухе, поэтому п 1 ==
== п'к == 1.
Полученные соотношения справедливы для систем со сплошным
круrлым зрачком. Достаточно большой класс составляют зеркальные
и зеркальнолинзовые системы, имеющие центральное экранирование
и поэтому кольцевую форму зрачка (rл.6). Для них распределение oc
(9.7)
(9.8)
509

Расчет и проектирование оптических систем
вещенности в дифракционном пятне рассеяния можно рассчитать по
формуле [4]
Е' = Eo  [ 2Jl(X)
v 2
(lkп х
k; 2J] (x J ] 2
Х 1
rде Х] = kэх, k э = D;/D', Eo  освещенность в центре фиryры рассея
ния, D;  диаметр центральной экранированной части выходноrо
зрачка.
При расчете распределения освещенности при различных значе
ниях k э обнаруживается, что при значениях k э ::;; 0,25 максимум осве-
щенности в кружке Эри становится более острым, блаrодаря чему KPy
жок уменьшается. Это блаrоприятно для четкости изображения, He
смотря на то, что высота максимумов в кольцах несколько увеличи
вается. При k э ==0,30 степень резкости изображения еще незначитель
но отличается от случая неэкранированноrо сплошноrо зрачка. Толь
ко при k э == 0,40 наблюдается заметное, но во мноrих случаях допус
тимое ухудшение качества изображения.
Как известно [4], оптические системы с центральным экраниро
ванием применяются в качестве астрономических, фотоrрафических
объективов и объективов микроскопов.
Дифракционная разрешающая способность оптических систем
Разрешающая способность является первым количественным
критерием оценки качества оптическоrо изображения и характеризу-
ет способность оптической системы давать раздельное изображение
двух близкорасположенных точек.
Пусть в плоскости изображения идеальной оптической системы
получены близкорасположенные изображения двух светящихся TO
чек. Тоrда дифракционные картины, соответствующие им, частично
наложатся одна на друrую (рис. 9.3).
Учитывая, что свет является HeKorepeHTHblM, результирующее
распределение освещенности можно получить суммированием орди
нат двух rрафиков. Полученный таким образом rрафик напоминает
ropy с двумя вершинами, разделенными
(jседловиной., rлубина Ь впадины которой
характеризует минимальную относительную
Рис. 9.3. Распределение освещенности в изображе-
нии двух светящихся точек, расположенных на наи-
меньшем разрешаемом расстоянии друr относитель-
но друrа
510

rлава 9. Оценка качества изображения оптических систем
освещенность, получаемую двумя максимумами для двух точек. При
недостаточной величине Ь два пятна сольются в одно, и оптическая си
стема не сможет передать раздельно (разрешить) эти изображения.
Критерий разрешающей способности для безаберрационной си
стемы был установлен Рэлеем в 1879 r. умозрительным путем, по-
скольку он не располаrал опытными данными [12]. Соrласно этому
критерию минимальное расстояние между двумя максимумами в
изображениях двух точек должно быть равно радиусу r; кружка Эри,
Т.е. необходимо совпадеНИе нулевоrо дифракционноrо максимума од-
Horo изображения с первым минимумом друrоrо изображения (рис.
9.3). В этом случае отношение E/ Eo  0,775, обычно принимают ero
равным 0,8. Если E/ Eo < 0,8 то две точки сольются в одну и не MO
rYT быть различимы. Считается, что только если E/ Eo  0,8, то rлаз
различит оба максимума.
При этом условии для л  0,546.105 мм для системы в воздухе по
лучим из (9.6) или (9.11) '"  138"/D. Обычно принимают
'" = 140"/D, (9.12)
rде D  в мм, '"  в уrловых секундах.
Разрешающая способность объективов телескопических систем
выражается в уrловой мере, чаще в секундах, для фотообъективов 
в MMl, для объективов микроскопов  в линейной мере (в мкм) .
Критерий Рэлея для разрешающей способности позже был уточ-
нен на основании обобщения результатов астрономических наблюде
ний двойных звезд, накопленных к началу ХХ века. Опыт показал,
что тренированный rлаз наблюдателя способен различить две светя-
щиеся точки, если E/E  5%. Тоrда х  3,3 и '"  1,О50л/(n I D), и
для n 1  1, л  0,546.10 мм получим
",=120"/D. (9.13)
Формула (9.13) определяет nра"тичес"ий (астрономичес"ий)
"ритерий разрешающей способности объективов визуальных телеско-
пических систем.
Для невизуальных оптических систем при использовании прием-
ников (напр., ЭОП) разность освещенностей окажется друrой. Поэто-
му был установлен абсолютный "ритерий разрешающей способности
оптических систем, полученный при расстоянии х  3,0, коrда мини-
мум освещенности между двумя максимумами фиrур рассеяния изоб-
ражений двух точек достаточно мал, но не равен нулю. Для этоro слу-
чая при n 1  1 и л  0,546.105 мм имеем '"  О,955л/D  108"/D.
При изrотовлении, сборке и юстировке всеrда остаются поrpeш-
ности, поэтому практически рекомендуется использовать формулу
511

Расчет и проектирование оптических систем
(9.12), а соотношение (9.13) справедливо лишь для уникальных и до-
роrостоящих астрообъективов.
Полученные выше формулы справедливы для HeKorepeHTHoro CBe
та. При наложении изображений KorepeHTHblx источников складыва-
ются амплитуды их световых полей. В результате разрешающая спо-
собность может быть определена по формуле [12] 'II Kor == '11/1.5:
Критерий разрешающей способности Рэлея характеризует каче-
ство изображения объективов телескопических систем, спектральных
приборов, микрообъективов большоrо увеличения, для которых преk
метом являются две близко расположенные точки или линии [4, 12],
Т.е. узкопольных систем.
Разрешающая способность фотоо60е"тивов и фотоzрафичес"их
систем показывает, сколько линий или предметных точек может
изобразить раздельно фотообъектив на отрезке длиной 1 мм.
Визуальная разрешающая способность для безаберрационноrо
объектива при использовании миры абсолютноrо контраста для
л == o,546.105 мм может быть определена из (9.5) , учитывая, что
R == 1/8':
R= 1500D/f' = 1500/К.
Фотоzрафичес"ая разрешающая способность связана с разреша-
ющей способностью фотослоя приближенной зависимостью [12,21]:
1/ R ф == 1/ R об + 1/ R фс .
Разрешающая способность rеометрически-оrраниченНblХ
реальных оптических систем
При увеличении оптических характеристик, Т.е при расширении
поля системы и увеличении относительноrо отверстия качество изоб-
ражения определяется не только дифракцией, но и остаточными абер
рациями. От величины остаточных аберраций зависит дифракцион
ная картина изображения точки. Распределение освещенности в пят
не рассеяния меняется в зависимости от положения светящейся точ-
ки в поле объектива и меняется диаметр центральноrо кружка в пят-
не рассеяния. Разрешающая способность снижается. Поэтому приве-
денные выше соотношения становятся неприI'OДНЫМИ. Кроме Toro, из-
за аберраций происходит пере распределение энерrии между централь-
ным кружком и кольцами в пятне рассеяния, изображения двух CBe
тящихся точек наблюдаются на фоне рассеянноrо света из-за возрас
тания освещенности боковых колец. Фон уменьшает контрастность
изображения и разрешающая способность, даже полученная в резуль
тате измерений, недостаточно характеризует качество изображения.
512

rлава 9. Оценка качества изображения оптических систем
К таким системам относятся фото, кинообъективы и др. При
оцеНКе качества изображения фотообъективов большое значение Име
ет передача контраста. Однако за большой период времени был накоп
лен значительный статистический материал, позволивший опреде
лить связь числовоrо значения разрешающей способности с субъектив
ным психофизиолоrическим восприятием рассматриваемоrо изобра
жения. В результате появилась возможность для определенных rрупп
однотипных объективов найти соответствие числовоrо значения фо
тоrрафической разрешающей способности и оценки качества изобра
жения по rрадациям  отличное, хорошее, среднее, удовлетворитель
ное, пониженное (плохое) [2]. До настоящеrо времени эти оценки еще
используются несмотря на появление и ИСПОЛЬЗОвание таких COBpe
менных критериев, как ОПФ.
Кроме Toro, для отдельных типов объективов эмпирическим пу
тем были найдены приближенные формулы для оценки качества изоб
ражения. Например, для анастиrматов типа .Юпитер» можно прибли
женно найти ero разрешающую способность для центра поля по фор
муле R  5БОjК [21].
Фотообъективы обладают интересным свойством: их волновая
аберрация во MHoro раз превосходит критерий Рэлея (см. 9.3), приме
няемый для совершенных систем. Тем не менее, они часто имеют BЫ;
сокое качество изображения. Это объясняется тем, что фотообъектив
образует изображение на светочувствительном слое пленки, разреша
ющая способность которой НИже, чем для объектива. Структура фо
тослоя пленки маскирует влияние аберраций, так как зернистость
слоя приводит к срезанию высоких частот, на которых более Bcero CKa
зывается влияние аберраций.
Разрешающая способность этих систем может быть рассчитана по
ОПФ.
Интересно отметить, что на основе применения ОПФ были разра
ботаны критерии, позволившие перейти к конкретным значениям раз
решающей способности для центра поля и ero края для широкоrо
класса систем типа фотообъективов.
9.3. Критерий Штреля и волновые критерии оценки
качества изображения
Критерий Штреля
Критерий разрешающей способности дает представление о том,
насколько реальная система отличается от безаберрационной, дающей
дифракционное изображение, но не позволяет качественно оценить
изображение.
513

Расчет и проектирование оптических систем
При малых значениях сферической аберрации в качестве крите
рия оценки качества можно использовать критерий, или число S
Штреля. В 1895 r. Штрель предложил оценивать качествО изображе
ния по отношению освещенностей в центре кружка рассеяния реаль
ной системы и идеальной (в центре кружка Эри) с тем же фокусным
расстоянием. Отношение этих освещенностей Штрель назвал (jопре
делительной яркостью», Соrласно критерию Штреля, систему можно
считать совершенной, если критерий Штреля равен 0,8, Т.е.
S = Е ' ио I Eo = 0,8 .
Этот критерий оценивает качество изображения только осевой
точки, но с учетом контраста. С возрастанием сферической аберрации
происходит перераспределение освещенности в пятне рассеяния, YBe
личивается освещенность боковых колец за счет ее уменьшения в
центральном пятне, и применение критерия Штреля теряет смысл.
Считается, что (jудовлетворительные» системы с остаточной сферичес
кой аберрацией имеют S  0,6 ... 0,7. Обычно рекомендуется исполь
зовать критерий Штреля, Коrда он мало отличается от 0,8.
Для более полной характеристики качества изображения кроме
rеометрических аберраций надо знать величины волновых аберраций,
что особенно важно для дифракционнооrраниченных систем.
ВОJlИовая аберрация и ее связь с rеометрическими аберрациями
В системе, свободной от аберраций, волновая поверхность в про
странстве изображений имеет сферическую форму, коrда изображение
находится на конечном расстоянии. При наличии аберраций волно
вая поверхность деформируется. Отступление деформированной вол
новой поверхности от сферической называется волновой аберрацией.
Пусть из не которой точки В 1 , расположенной вне оси в меридио
нальной плоскости, выходит rомоцентрический пучок, которому co
ответствует волновая поверхность сферической формы. Вследствие
аберраций по выходе из системы эта волновая поверхность не имеет
сферическую форму (рис. 9.4).
Отклонение волновой поверхности от сферической в точке N xa
рактеризуется отрезком N  расстоянием между реальной W' и сфе
рической W волновыми поверхностями, отсчитываемым по HopMa
ли к сферической волновой поверхности с центром в точке B, явля
ющейся идеальным изображением внеосевоЙ точки В 1 (рис.9.4).
Отрезок N называется волновой аберрацией. Вершины волновых
поверхностей W', W совпадают с центром р' выходноro зрачка, pa
диус R'  радиус кривизны сферической волновой поверхности W '
называемой сферой сравнения. rеометрическая аберрация точки
514

rлава 9. Оценка качества изображения оптических систем
I

....
....
..............
....
IK
A
 z'
р'
Рис.9.4. Связь волновой аберрации с rеометрическими аберрациями
В'к определяется отрезком B B, а /).у'к и /).x соответственно явля
ются меридиональной и сarиттальной составляющей поперечной абер
рации.
Считая /). y ' и /).х' малыми аберрациями, можно получить сле
к к
дующую зависимость между волновой и reометрическими аберраци-
ями [12]:
N =  [ "'к J ' /). y ' dт, + M J K /).х' dM' ] .
R' к к к к
О О
При расчета на ЭВМ волновая аберрация вычисляется одновре-
менно с расчетом хода лучей. Волновая аберрация может быть преk
ставлена как разность оптических путей между двумя сферами срав-
нения  одной в пространстве предметов и друrой  в пространстве
изображений для ряда лучей. Как известно, оптический путь есть
функция координат луча, выходящеrо из точки В 1 вне оптической
оси. Если из оптических путей, соответствующих различным лучам,
вычесть оптический путь, например, для rлавноrо луча, то получим
волновую аберрацию этих лучей
N = /).К  /).0 '
rде /).К  оптический путь для любоrо луча, /).0  оптический путь для
rлавноrо луча (обычно координата точки B, равная y, вычисляется
для rлавноrо луча). Выбор сферы сравнения в пространстве изображе-
ний влияет на результаты вычислений.
515

Расчет и проектирование оптических систем
Волновая аберрация для точки на оси
Волновая аберрация для точки на оси связана с продольной сфе
рической аберрацией зависимостью (при sino: "" o)
а;'
N  J !1s: о: do: .
о
Продольную сферическую аберрацию для точки на оси можно
представить в виде полинома
!1s == ao2 + bo4 + со: б + do: 8 +..., (9.15)
rде а, Ь, С, d  коэффициенты аберраций TpeTbero, пятоrо, седьмоrо
и девятоrо порядков. Если известны точные значеня сферической
аберрации для четырех зон т входноrо зрачка, то вычисление этих KO
эффициентов не вызывает трудностей.
Подставив (9.15) в (9.14), имеем:
(9.14)
а'
N == f ( ао: З + ьо: 5 + co7 + dO9 +. ..) do .
о
Проинтеrрировав выражение (9.16), имеем
N= i ao ,4 +iьо,б +iCO'8 +dO'10+... ( 9.17 )
4 к б к 8 к 10 к
Обычно плоскость, в которой качество изображение является
наилучшим, не совпадает в плоскостью raycca. Такая плоскость Ha
зывается плоскостью наилучшей установки, ей обычно COOTBeTCTBY
ет более высокая разрешающая способность, чем для плоскости rayc
са, что связано с распределением энерrии в кружке рассеяния в изоб
раже нии точки, зависящим от волновых аберраций. Любое друrое по
ложение плоскости, смещенной относительно плоскости raycca, назы
вают просто плоскостью установки [12].
Пусть плоскость установки смещена относительно плоскости ra
усса на величину !1 (рис. 9. 5). Тоrда
(9.16)
!1s = s' к +!1 или ДS = ДS  Д,
(9.18)
rде !1s' к продольная сферическая аберрация относительно плоско
сти установки.
Волновая аберрация в плоскости установки в соответствии с
(9.14) и (9.18) определяется выражением
а' а'
N = f !1S' о' do' = f( ДS'  !1 ) 0' do' = N  i!1. 0,2
1( к 1( к к к 2 К.
О О
(9.19)
516

rлава 9. Оценка качества изображения оптических систем
12
6'1(
jjK1 ).
а}
N/
б}
Рис 9.5. К определению положения плоскости наилучшей установки
Учтя (9.17), получим
N = L a <J,4 + LЬ<J,б + L C <J,8 +d<J'10  Ld. а,2. ( 9 20 )
4 к б к 8 к 10 к 2 к . .
Добавочный член d. a2 в (9.20), вызываемый смещением d плос
кости изображения (дефокусировкой), имеет большое значение. Bы
бором величины d можно добиться перераспределения rеометричес
ких и волновых аберраций, тем самым улучшить распределение энер
rии в кружке рассеяния и повысить качество изображения.
При выборе плоскости установки обычно пользуются rрафичес
ким методом. Вычислив значения волновых аберраций с помощью
(9.20), строят rрафик зависимости N /л от aprYMeHTa a2 (рис. 9.5,6).
Через начало координат проводят прямую так, чтобы отклонения от
нее кривой, измеряемые в направлении оси абсцисс, были наимень
шими по абсолютной величине. Эти отклонения дают значения вол
новых аберраций относительно новой сферы сравнения, смещение
центра которой относительно плоскости raycca определяется направ
лением прямой. С rрафика снимается величина отрезка t, которая в
масштабе N /л соответствует изменению волновой аберрации для край
Hero луча при смещении плоскости установки. Из рис. 9.5, б имеем
N Kp N КР
=+t.
л л
Сравнивая это выражение с (9.19), найдем величину смещения
плоскости установки d
d = 2tл/ a; .
517

Расчет и проектирование оптических систем
Наиболее точное положение прямой и соответственно плоскости
наилучшей установки определяется на основе минимума суммы KBaд
ратов волновых аберраций.
Значения волновых аберраций в плоскости наилучшей YCTaHOB
ки можно вычислить из (9.20).
В практике расчетов волновые аберрации определяются при BЫ
полнении аберрационноrо анализа на ЭВМ.
Волновые критерии оценки качества изображения
Критерий Рэлея и критерий Рождественскоrо. Известно несколь
ко количественных критериев оценки качества изображения. Первый
волновой критерий был предложен Рэлеем в 1879 r. для оценки BЫ
сококачественных систем. Рэлей показал, что остаточная сферическая
аберрация не оказывает заметноrо влияния на качество изображения,
если оптическая разность хода любой пары лучей из Bcero пучка не
более л./4. Оптическую систему можно считать практически идеаль
ной, если она удовлетворяет критерию Рэлея N  0,25л.. Этому крите
рию примерно соответствует критерий Штреля, равный 0,8.
Для некоторых оптических систем (микрообъективы, астрономи
ческие объективы) с малым полем выполнение критерия Рэлея Heдo
статочно для получения хорошеrо качества изображения. К таким си
стемам при меняют критерий Рождественскоrо N  л./10 [12].
Наибольшие отклонения или деформация А W шах *) волновоrо
фронта. В конце 40x  начале 50x rоДОВ
ХХ века были разработаны новые волно
вые критерии, получившие большое pac
пространение при расчете и оценке каче
ства изображения оптических систем.
Величина"" W тах характеризуется ал
rебраической суммой наибольших откло
нений ВОЛНОвоrо фронта от сферы cpaвHe
ния (рис. 9.6).
В соответствии с критерием Рэлея
N  0,25л.. Этот критерий успешно приме
няется в тех случаях, коrда rрафик вол
новой аберрации имеет плавный вид (дe
фокусировка, сферическая аберрация
третьеro порядка). Если волновая аберра
ция меняется по сложному закону, то pac
Нам" сфер.
Сфер. ср.внен"" Я'
сравненн" Rw  w
r 80ЛНО80 фронт
I w
wl
Рис.9.6. К определению cpeд
неквадратическоrоотклонения
волновоrо фронта
.)Сокольский М.Н. Допуски и качество оптическоrо изображения.Л.: Машиностроение,
1989. 221с.
518

rлава 9. Оценка качества изображения оптических систем
пределение освещенности в осевой точке (функция рассеяния точки)
может быть существенно искажено. Качество изображения зависит не
только от величины !1W тах' но и ОТ формы волновоrО фронта, от erO
местных деформаций, их расположения. Для учета этих факторов
удобно применять "ритерий средllе"вадратичес"ой деформации, или
отклонения волновоrо фронта.
Среднеквадратическое отклонение W С монохроматическоrо вол.
кв *)
HOBoro фронта. Этот критерий был предложен Марешалем в 1947 r.
Выясним rеометрический смысл величины W CKB ' Обозначим через Rw
сферу сравнения (рис. 9. 6) , через W  волновую аберрацию относи
тельно этой сферы. Введем новую сферу сравнения R' W" обозначим
волновую аберрацию относительно новой сферы сравнения через W'.
При этом R  R'  !1W o  постоянная величина. Тоrда получим
W 2  ( W )2 = W '2  ( w ')2. Подберем сферу сравнения R' W' так, чтобы
среднеарифметическое значение волновой аберрации
, 1 JJ ' , 2
W = S W ds = О, rде S  площадь выходноrо зрачка, тоrда W =
2 2  2
= KB = W  (W) . Таким образом, величину W CKB можно вычислить
двумя способами.
Первый способ
[ ] 0.5
W CKB = [ ( W  W ) 2]0.5 = J} (W  W )2 ds = [ W 2 ( w /]0.5.
(9.21)
В полярных координатах выражение (9.21) можно представить
в виде:
{ 2 } 0'5
1 2" 1 1 2" 1
KB =  J JW2(p,q»PdPdq>2 [ J JW(P,q»PdPdq> ] ,
п ОО 1t 00
rде волновая аберрация W определяется относительно сферы cpaвHe
ния Rиr.
Монохроматическую среднеквадратическую волновую аберра-
цию также можно найти вторым способом по формуле
[ 1 2" ] 0.5
, 1 ,2
WcкB=W = 2 J JW pdpdq> ,
1t о о
*) Марешаль А., Франсон М. Структура оптическоrо изображения. М. :Мир. 1964. 296 с.
Здесь оставлены обозначения, встречающиеся в моноrрафиях по оценке качества изоб-
ражения
519

Расчет и проектирование оптических систем
в которой W' определяется относительно оптимальной сферы cpaBHe
ния R' W"
Если аберрации малы, то освещенность в центре дифракционно
ro изображения можно выразить через средний квадрат W 2 .
СКВ
ДЛЯ нормированной освещенности, коrда в центре дифракцион
Horo пятна освещенность равна единице, получим известную форму
лу Марешаля
( ) 2
Е' "" 1  2п w 2 .
ио норМ А екв
(9.22)
Для безаберрационной системы Е'  1. При наличии аберра
ио норм
ций освещенность уменьшается на величину, пропорциональную cpeд
неквадратическому отклонению волновоrо фронта. Приближенная
формула достаточно точна, поrрешность составляет 1..2%, если OTHO
сительная освещенность не менее 0,75.
Если принять, что волновая аберрация понижает освещенность в
центре дифракционноrо пятна на 20%, что почти не влияет на каче-
ство, то и из (9.22) получим известный критерий Марешаля
W C : B $. ')} /196, W CKB $. А/14.
Этот критерий означает, что среднеквадратичное отклонение вол
HOBoro фронта относительно оптимальной сферы не должно превы
шать А/14.
Полихроматическое среднеквадратическое отклонение волново-
ro фронта W1: СКВ. Полихроматическую среднеквадратическую волно
вую аберрацию можно определить интеrрированием по спектрально
му интервалу монохроматическоrо волновоrо фронта W CKB :
[ 1 1 21< 1 2 1 [ 1 21< 1 ] ]
W1:CKB =  J J J W (р, <р, X)pdpd<pdx 2 J J J W(p, <р, X)pdpd<pdx 2 0'5,
п ооо 1t 000
rде вместо длины волны А введена безразмерная относительная спек
тральная координата Х' изменяющаяся от 1 до +1 [15], Х  (А  Ао)/
/М, rде Ао  0,5 (Аmах + A min )  средняя длина волны; !:J.A  0,5 (А mах 
A min )  полуширина рабочеrо спектральноrо интервала.
При расчете предполаrается, что функция спектральной эффек
тивности постоянна во всем спектральном интервале.
Примерная классификация оптических систем по значениям
волновых аберраций. По качеству изображения, оцениваемому вол-
новыми аберрациями, оптические системы MorYT быть разделены на
две rруппы. К первой rруппе относятся системы с высоким качеством
520

rлава 9. Оценка качества изображения оптических систем
изображения, волновые аберрации которых не превышают 1 ... 2 л. В
этом случае дифракция оказывает существенное влияние на распре-
деление энерrии в изображении. Расчет распределения энерrии вы-
ПОлняется на основании принципа rюйrенса-Френеля. К этой rруппе
относятся визуальные телескопические системы, микроскопы для на-
блюдения непрозрачных объектов и некоторые высококачественные
фотообъективы. Ко второй rруппе систем, имеющих более низкое ка-
чество изображения, относятся систеы с волновыми аберрациями свы-
ше 3 ... 5 л. Это большая часть фотообъективов, проекционные объек-
тивы и т.п. Распределение энерrии в изображении светящейся пло-
щадки, величина которых превышает несколько наименьших разре-
шаемых расстояний, не определяется дифракцией и можно оrрани-
читься тем, что дает rеометрическая аберрация.
Рассмотренные критерии не дают полноrо представления о каче-
стве изображения, к тому же почти все они относятся к высококаче-
ственным системам с небольшим полем.
9.4. Требования, предъявляемые к универсальному
критерию оценки качества изображения
Оптические системы являются основной частью или одной из
важных частей оптическоrо при бора. Современные оптические при-
боры представляют собой сложные комплексы, в которых сиrнал, не-
сущий информацию об исследуемых свойствах предмета, проходит
обычно сложную цепь преобразований, включающую рассеивающую
и турбулентную атмосферу, оптическую систему, а также телевизи-
онные системы, электронно-оптические преобразователи, модулято-
ры, фотоэлектрические приемники, электронные блоки и т.п. Поэто-
му задача оценки качества оптическоrо изображения должна базиро-
ваться на общей теории сиrналов, в которой работа любых преобразо-
вателей рассматривается с единых позиций, не затрarивающих физи-
ческих принципов их устройства [4].
На основе Taкoro ПОДХОДа надо было разработать такие универ-
сальные критерии для оценки качества изображения, которые бы хо-
рошо соrласовались с оценками качества для всех ступеней изобража-
ющей системы. Эти критерии должны удовлетворять следующим тре-
бованиям:
1. Быть универсальными, чтобы с их помощью можно было ха-
рактеризовать системы различных назначений.
2. Должны быть приrодными для оценки качества составных мно-
rоступенных (мноrозвенных) систем [26], в которых оптическая сис-
521

Расчет и проектирование оптических систем
тема является лишь одной из ступеней (например, фотообъектив +
светочувствительный слой пленки, объектив + фотоэлектрический
приемник и т.п.).
3. Быть удобными для расчета их теоретических значений.
4. Они должны обеспечить объективный характер их измерения,
т.е. зависимость не от индивидуальных особенностей и опыта иссле
дователя, а от показаний электроизмерительных приборов.
При оценке качества оптической системы ее представляют в виде
линейноzо фильтра, так как при оценке качества Bcero оптическоrо
прибора так представляются ero отдельные ступени. В этом случае
процесс преобразования сиrналов, различных по своей физической
природе, достаточно cTporo представляется с помощью единоrо
математическоrо аппарата, принятоrо в теории автоматическоrо уп
равления и связи, откуда было введено понятие передаточных фун
кций. Впервые такой подход был предложен Дюфье в 1946 r. и Шаде
в 1948 r. В результате оптическая система была представлена как
фильтр низких nространственных частот.
Для оптической системы новый критерий был назван оптическоЙ
передаточной функцией (ОПФ). Она характеризует способность
оптической системы создавать изображение определенноrо качества.
Очевидно, что в зависимости от назначения оптической системы Tpe
бования к качеству изображения заметно отличаются. Однако в лю
бом случае качество изображения можно считать тем более высоким,
чем меньше отличается изображение от объекта по распределению CBe
товой энерrии.
При такой трактовке качества изображения в общем случае ДBY
мерный объект характеризуют значениями яркости L *) в каждой точ
ке , т.е. представляют объект в виде функции L(x, у) двух независи
мых переменных. Тоrда изображение можно представить в виде функ
ции освещенности Е'(х', у') на плоскости, а воздействие оптической
системы выражается математическим оператором, названным ОПФ.
(Как известно, в rеометрической оптике связь между осевой яркостью
предмета и осевой освещенностью изображения выражается формулой
Е , L ,2, )
v == 1t't v Sln о' А' .
Однако для TaKoro представления ОПФ оптическая система дол
жна быть линейным фильтром, т.е. обладать свойствами линейности
и изопланатичности (пространственной инвариантности, или стацио
н арности).
*) Здесь и далее для простоты написания для яркости и освещенности оnyскае'l'СЯ ниж
ний индекс v
522

rлава 9. Оценка качества изображения оптических систем
Св.ойств.о линейн.ости исп.ользуется при представлении значения
.освещенн.ости в из.ображении двумерн.оr.о .объекта с к.онечными разме
рами в виде суммы .освещенн.остей .от кажд.ой er.o т.очки для HeK.ore
peHTH.or.o ист.очника. Зак.он распределения .освещенн.ости в пл.оск.ости
из.ображения .остается п.ост.оянным при перех.оде .от .одн.ой т.очки
объекта к друr.ой лишь при с.облюдения усл.овия из.опланатизма. Для
б.ольшинства .оптических систем эт.о усл.овие с.облюдается лишь при
малых уrл.овых п.олях.
В .осн.ове представления ОПФ лежит п.онятие .о функции рассея
ния для т.очки (ФРТ) или для линии (ФРЛ). Эти два п.онятия являют
ся .осн.овными В с.овременн.ой те.ории .оценки качества из.ображения.
9.5. Функции рассеяния точки и линии. Определение
освещенности в произвольной точке изображения
Математическ.ое .описание пр.оцесса .образ.ования из.ображения за
висит .от сп.ос.оба представления предмета. Предмет м.ожн.о рассматри
вать как с.ов.окупн.ость светящихся т.очек или линий  эт.о первый сп.о-
с.об er.o представления [26]. П.оэт.ому вначале рассм.отрИМ функцию
рассеянияА'(х', у'), к.от.орая п.озв.оляет математически .описать распре-
деление .освещенн.ости в из.ображении, .образуем.ом .оптическ.ой систе
м.ой.
Функция рассеяния т.очки (ФРТ) дЛЯ безаберраци.онн.оr.о .объекти
ва при круrл.ой ф.орме зрачка (рис. 9.1) имеет вид А'(х', у')= [ 2J 1 (x) 12 ,
rде J 1 (x)  функция Бесселя перв.оr.о р.ода перв.оr.о п.орядка (с:. 9.1),
а aprYMeHT х .определяется ф.ормул.ой (9.1) и п.озв.оляет .определить pac
ст.ояние r .от центральн.оr.о максимума в .оптических единиЦах.
П.оск.ольку интерес представляет .отн.осительн.ое распределение
.освещенн.ости, т.о уд.обн.о н.ормир.овать ФРТ, приняв .объем, .оrраничен
ный ею, за единицу [26]
-+<>0-+<>0
J J А'(х', y')dxdy= 1
(9.23)
Из.ображение беск.онечн.о длинн.ой светящейся линии м.ожн.о п.о
лучить суммир.ованием беск.онечн.оrо к.оличества т.очек, расп.ол.ожен
ных вд.оль нее. Математическ.ое .описание ФРЛ A(x') имеет вид
-+<>о
 (х') = J А' (х' , y')dy . Т.оrда н.ормир.овка ФР Л выражается ф.ормул.ой:
523

Расчет и проектирование оптических систем
-+<>о
J (x')dx= 1.
(9.24)
ФРТ и ФРЛ иноrда в лй;ературе называют импульсным откли
КОМ или импульсной реакцией по аналоrии с терминами из радиотех
ники и теории связи. В оптической Системе аналоrами бесконечно ко-
pOTKoro импульса являются бесконечно малая точка и бесконечно уз-
кая щель.
Определим освещенность в точке изображения с координатой х
(рис. 9.7) для HeKorepeHTHO излучающеrо одномерноrо объекта [21,
26].
Рис.9.7. К процессу свертки
фуикции L(x) распределения
яркости на объекте с функ
цией рассеяния A'()
.х.
Кривая L(x) описывает распределение
яркости на предмете, а каждому элементу
В 1  В з предмета соответствует не которая
функция рассеяния A'() объектина, xapaк
тер изменения которой зависит от влияния
аберраций и дифракции. Параметр  отсчи-
тывается от точки изображения, в которой
определяется освещенность. Для определе
ния освещенности в точке с координатой х
надо суммировать все элементарные ФР,
которые предварительно должны быть ум-
ножены на соответствующие значения фун-
кции распределения яркости L(x ) на
предмете:
-+<>о
Е'(х)= J A'()L(x)d.
(9.25)
Тоrда освещенность Е'(х', у') двумерноrо предмета для любой точ-
ки (х', у') в плоскости изображения может быть вычислена следующим
образом в предположении, что размеры предмета меняются от oo до
+00 [26]:
-+<>0-+<>0
Е'(х',у')= J J А'(,Т)L(х,уТ'l)ddТ).
(9.26)
Интеrралы в (9.25) и (9.26) представляют собой свертку функции
L(x) распределения яркости света в объекте с функцией рассеяния в
точке с координатами х или х, у соответственно, а х', у' координаты
точки в плоскости изображения, сопряженной с предметной точкой с
координатами х , у, причем х' == х 130' у' == у 130' 130  линейное увели-
чение оптической системы.
524

rлава 9. ОЦенка качества изображения оптических систем
Формулы (9.25) и (9.26) описывают процесс формирования опти-
ческоrо изображения при HeKorepeHTHoM излучении с помощью ли
нейной изопланатической системы.
9.6. Оптическая передаточная функция. Функция
передачи модуляции и функция передачи фазы
(ФПМ и ФПФ)
Представление предмета в виде спектра rармонических
составляющих
Второй способ представления предмета  в виде совокупности
элементарных объектов, яркость которых изменяется по синусоидаль
ному (косинусоидальному) закону. Каждая синусоидальная (косину-
соидальная) составляющая отличается от друrой амплитудой, пропор
циональной распределению яркости, фазой, Т.е. ориентацией на плос
кости, и пространственной частотой, равной обратной величине пери
ода изменения яркости.
Изображение предмета, представленноrо таким способом, получа
ется суммированием изображений синусоидальных rармонических
составляющих. При прохождении сиrналов синусоидальной формы
через объектив их форма не меняется, а изменяются амплитуда и фаза
в зависимости от свойств оптических элементов. Этим и объясняется
выбор формы составляющих.
В случае предметов произвольной формы распределение яркости
описывается непериодической функцией. В виде периодической фун
кции можно представить, например, распределение яркости в прямо-
уrольной мире (мире Фуко), применяемой при исследовании оптичес
ких систем.
Функция, выражающая распределение яркости в предмете, под
верrается rармоническому анализу. Если эта функция периодическая,
то она разлarается в ряд Фурье, а если непериодическая, то ее Bыpa
жают интеrралом Фурье, представляющим сумму бесконечно близких
по частоте синусоидальных составляющих по яркости. При этом
непериодическая функция должна быть всюду конечной и интеrри
руемой.
В результате распределение яркости на предмете представляет
собой спектр синусоидальных составляющих элементарных rармони-
ческих предметов, роль которых может выполнять синусоидальная
решетка с бесконечно протяженными полосами [26].
Описанный способ представления предмета основан на примене
нии к оценке качества изображения математическоro аппарата Фурье.
525

Расчет и проектирование оптических систем
Это позволило оценивать качество изображения по передаче пpocтpan
ствеnnых частот. Преобразование Фурье позволяет существенно уп
ростить расчеты распределения освещенности в изображении по из
вестному распределению яркости в предмете и функции рассеяния си
стемы, описывающей распределение освещенности в отдельной точ
ке или элементарной линии.
Для компактной записи уравнений rармоническую составляю
щую, а также ряд и интеrpал Фурье удобно представить в комплекс
ном виде [26]. Так, например, косинусоидальное распределение яр
кости для миры в направлении l с амплитудой Lo, частотой (J)  21tN и
начальной фазой а представляется уравнением:
L(l)== Lo cos(rol+ а). (9.27)
С помощью формулы Эйлера уравнение (9.27) можно записать в KOM
плексной форме:
Fo(l) == Lo exp[i( rol + а)] == Lo cos( rol + а)+ iLo sin( (J)l + а). (9.28)
При такой записи распределение L(l) служит вещественной час
тью и может быть найдено как проекция вектора Fo(l) на веществен
ную ось, Т.е. ось х. Вектор Fo(l) образует с положительным направле
нием вещественной оси уrол, равный фазе rol + а, следовательно при
l == О этот вектор имеет наклон а, а при увеличении l равномерно Bpa
щается с уrловой скоростью оо. Теперь различные преобразования
можно выполнять не с L(l), а с Fo(l), и в комплексном выражении, по
лученном после преобразований, брать в качестве результата веще
ственную часть.
Выражение (9.28) можно записать в следующем виде:
Fo(l) == Lo exp[i((J)l + а)] == Lo ехр(iа)ехр(iООl) == Fexp(i(J)l), (9.29)
rде F o(l) == Lo ехр (ia) называется комплексной амплитудой.
Аналоrичным образом обычно представляется и комплексная aM
плитуда световой волны.
Таким же методом можно в комплексном виде представить и ряд
Фурье.
Определение функции ОПФ
Теперь перейдем к Фурьепреобразованию изображения. Извест
на теорема [26] с такой формулировкой: преобразование Фурье HeKO
торой функции, являющейся сверткой друrих функций, равна произ
ведению преобразований Фурье функций, подверrнутых свертке.
Рассмотрим двумерный предмет. Для Hero нет необходимости BЫ
числять распределение освещенности Е'(х', у') в плоскости изображе
526

rлава 9. Оценка качества изображения оптических систем
ния как свертку распределения яркости в предмете с функцией рас-
сеяния точки по формуле (9.26). Используя записанную выше теоре-
му, упростим задачу, найдя преобразование Фурье изображения как
произведение преобразований Фурье предмета L(x, у) и изображения
А(х', у') изолированной точки.
Преобразование Фурье от распределения яркости в предмете
можно представить интеrралом
-+<>0-+<>0
g(Nx,N y )== J JL(x,y)exP[i21t(Nxx+NyY)]dXdy==L(Nx,Ny), (9.30)
а преобразование Фурье функции рассеяния точки имеет вид
-+<>0-+<>0
D(N x ' N y ) == J J А'(х', Y')exp[ i21t(N x x + Nyy)]dXdY == А'( N x ' N y ).(9.31)
Тоrда преобразование Фурье от распределения освещенности
Е'(х', у') в изображении, обозначаемое g'(N x , N y ) представляется в
виде:
g'(N x , N y ) == D(Nx,N y )' g(N x ' N y ) или (9.32)
E'(N x ' N y )== A'(N x ' Ny).L(N x ' N y ). (9.32')
Полученный результат справедлив для линейной изопланатичес-
кой системы (или в пределах изопланатической зоны), если предмет
представлен в виде суммы rармоник синусоидальных (или косинусо-
идальных) составляющих различных пространственных частот N х и N y .
Тоrда (9.30) позволяет найти частотную или спектральную ха-
рактеристику предмета, т.е. представляет спектр пространственных
частот, а модуль g(N) выражает спектральную плотность.
Функция D(Nx,N )== A'(N x ' N y ) называется оптической пepeдa
точnой фуnкциеи (ОП). Она показывает, как передается оптической
системой каждая частотная составляющая (пространственная часто-
та) с учетом дифракции, аберраций, ошибок изrотовления.
Из (9.31) видно, что ОПФ  преобразование Фурье от функции
рассеяния и в общем случае представляет собой комплексную функцию
-+<>0-+<>0
D(Nx,N y )== J J A(x',Y')exP[i21t(Nxx+Nyy)]dXdY==
== т( N x ' N y ) eXP[iq>(Nx,N y )].
(9.33)
Модулем комплексной функции является т(т, а apryмeHToM <Р(т.
527

Расчет и проектирование оптических систем
Модуль и арryмеит ОПФ. ФПМ и ФПФ
Теперь покажем, как можно определить модуль и aprYMeHT KOM
плексной ОПФ дЛЯ одномерноrо предмета, а затем для отдельной
частотной составляющей предмета, чтобы выяснить физический
смысл T(N) и <P(N).
В качестве одномерноrо предмета можно представить решетку из
параллельных штрихов, узкую щель и т.п. Такие простейшие
тестобъекты чаще Bcero встречаются при измерениях ОПФ. В этом
случае ОПФ становится функцией одноrо apryMeHTa  пространствен
ной частоты N в направлении х, поэтому при N v == О из (9.31) имеем:
-+<>о
D(N) = J (x')exp[i21tNx]dx. (9.34)
Применив к (9.34) формулу Эйлера, запишем функцию ОПФ в
виде:
-+<>о
D(N) == J A(x')[cos21tNx isin21tNx] dx ==
+ +
= J A(x') cos21tNx dx i J (x') sin21tNx dx =
= Tc(N) п:(N).
в полученном выражении (9.35) интеrралы, обозначенные Tc(N)
и T.(N) , называют соответственно косинус-преобразованием и синус-
преобразованием функции рассеяния, и они представляют веществен
ную и мнимую части комплексной функции D(N). Модуль комплекс-
ной функции по определению равен:
(9.35)
T(N)==  [(N)Y + [т.(N)У ,
а арryмеит <P(N) можно определить из соотношений
(9.36)
-+<>о
J (x')sin21tNx.dx
sin<p(N) = т.(N) = 
T(N) T(N)
(9.37)
-+<>о
J (x')cos27tNx'dx
(N) 
cos<p(N) == T(N) == T(N)
(9.38)
528

D
Е'(х)
о
Ах
rлава 9. Оценка качества изображения оПтических систем
а) Рис. 9.8. Распределение яркости в
элементарном косинусоидальном
L 1 объекте (а) и распределение освещен
ности в ero изображении (6)
Lo
.х
б)
.х
мен ной  через
(9.25):
-+<>о -+<>о
Е'(х') = J ()L(x)d== J ()[1.o+Llcos21tN(x)]d==
Покажем, как 'Изображается
отдельная частотная составляю
щая предмета системой с извес
тной функцией рассеяния.
Пусть имеется предмет в виде
косинусоидальноrо распределе
L T(N) ния яркости с постоянной co
1 ставляющей Lo (рис. 9.8): L(x) ==
Lo == Lo + L 1 cos21tNx, период р ==
== 1/ N, N  пространственная
частота.
Обозначим функцию pacce
яния линии при текущей пере
A (), тоrда освещенность изображения соrласно
+00 +00
= 1.0 J ()d + L 1 J A()cos21tN(x)d.
Интеrрал в первом слаrаемом во соответствии с (9.24) равен еди
нице. В подинтеrральном выражении BToporo слаrаемоrо применим
формулу косинуса разности двух уrлов, преобразуем и получим:
Е'(х')  L, + L{ сos 2хН х I А; ()соз2хН d +
+sin2.N х I А; ()sin2xNdI; ]-
Сравнивая с (9.35), видим, что 2 интеrрала  это Tc(N) и T.(N)
фу нкции рассеяни я. Поэтому, умножая и деля на T(N)=
=  [т,,(N)У + [т.(N)У имеем [26]:
Е'( х') = 1.0 + L 1 [т,,(N)соs21tN х + т.(N)siп27tN х] ==
== 1.0 +L Т(N) [ т,,(N) cos21tNx+ т.(N) S in21tNx ] .
1 T(N) T(N)
529

Расчет и проектирование оптических систем
Дроби Tc(N)IT(N) и T.(N)IT(N) позволяют определить cosq>(N) и
sinq>(N) по аналоrии с (9.37) и (9.38).
В результате получаем:
rде
Е'(х') = Lo + L 1 T(N)cos[ 21tNx q>(N)] ,
q>(N) = arсtg[т.(N)/(N)].
(9.39)
(9.40)
В итоrе получено, что изображение отличается от предмета
амплитудой, которая в T(N) раз меньше, и фазой q>(N), которая пока
зывает, что для внеосевых точек изображение может не совпадать с
ero идеальным положением.
Из (9.39) видно, что изображение косинусоидальноrо предмета
остается также Косинусоидальным, но изображение отличается от
предмета двумя особенностями. Первая из них заключается в том, что
коэффициент модуляции отличен от единицы. Для предмета модуля
ция определяется отношением т == L 11 Lo, а для изображения 
т' == L 1 T(N)IL o ,следовательно T(N) == т' lm.
Значение модуля T(N) ОПФ дЛЯ каждой пространственной часто
ты равно отношению модуляции в изображении rармонической co
ставляющей к модуляции в предмете и называется коэффициентом
передачи модуляции (КПМ). Тоrда T(N)  функция передачи MOДY
ляции (ФПМ), которая определяет зависимость КПМ от простран
ственной частоты. КПМ, иноrда обозначаемый Т N' равен единице для
пространственной частоты N == О, что можно проверить подстановкой
в в (9.36) с учетом (9.24). ДЛЯ T(N)  О N  N max ' rрафическое npek
ставление ФПМ показано на рис. 9.9, а.
Вторая особенность отличия распределения освещенности изобра
жения от предмета заключается в наличии сдвиrа косинусоиды на
уrол q>(N). Функция q>(N) называется функцией передачи фазы (ФПФ)
б)
tp(N
..3r
ч
О
7r
-.,
-3!
N
Рис. 9.9 Примерный вид функции передачи модуляции (а)
и функции передачи фазы (6)
530

rлава 9. Оценка качества изображения оптических систем
и представляет собой зависимость значений фазы от пространствен
ной частоты.
Линейное смещение дх косинусиды (рис. 9.8) дх '=' r.p(N)/ 2тcN. Для
N'=' О уrол r.pNO'=' О, что можно проверить по (9.39). Форма ФПМ зави
сит от степени симметрии ФРЛ относительно оси ординат. В случае
симметрии функция ФРЛ  четная, синуспреобразование равно
нулю для всех значений N как интеrрал от нечетной функции
A(x)sin21tx в симметричных пределах. В результате ФПФ равна
нулю или п. При асимметричной ФР, что может быть для оптических
систем на краю поля, при дефектах центрировки и Т.д., ФПФ дЛЯ
N *- О может принимать различные промежуточные значения между
+п и п [26] (рис.9.9,6).
ФПМ и передача контраста оптическими системами
Для оптической системы одной из важных характеристик явля
ется соответствие изображения и предмета по контрасту. Контраст
К предмета, включая предмет с синусоидальным (косинусоидаль
ным) распределением яркости, характеризуется отношением разности
и суммы их максимальных и минимальных значений. Для предмета
К = (L.nax  L.nin) / (L.nax + L.nin) ,
(9.41)
rде Lmax '=' Lo + L 1 , L min '=' Lo  L 1 .
Подставив эти выражения в (9.41), имеем К '=' LJ/Lo' Этот коэф
фициент показывает модуляцию амплитудноrо значения относи
тельно среднеrо, поэтому ero также называют коэффициентом Moдy
ляции.
Контраст К' изображения обычно определяется аналоrичным
выражением для освещенности:
К' = (Е:Пах  Е:Пiп)/(Е:Пах + Е:Пiп)' (9.42)
rде Е:Пах = Lo +LJT(N), Е:Пiп = Lo  LJT(N). Тоrда К' = [LJT(N)]/Lo. В
результате получаем, что T(N) = К'/К.
Однако только при использовании записанных выше формул для
контраста можно rоворить о том, что T(N) характеризует передачу
контраста оптической системой. Для ряда случаев можно встретить
такие соотношения, как К '=' Imax/1min или К'=' ([тах  Imin)/Imax' rде
через I обозначена интенсивность. В этих случаях нарушается
пропорциональность между контрастом изображения и предмета, и
нельзя вводить понятие коэффициента контраста [26].
ОПФ и ФПМ обладают еще одним важным свойством, позволяю
щим определять эти характеристики для мноrоступенной системы:
531

Расчет и проектирование оптических систем
ОПФ (ФПМ) мноrоступенной системы равно произведению ОПФ
(ФПМ) отдельных ступеней. Наrлядным примером применения это
ro свойства является определение ФПМ для системы .фотообъектив
+ фотопленка..
Кроме TOro, rрафически представив ФПМ фотообъектива и функ
цию noporoBoro контраста фотопленки, можно найти фотоrрафичес
кую разрешающую способность, которая определяется абсциссой точ
ки их взаимноrо пересечения [21].
9.7. ОПФ  автокорреляция зрачковой функции
Зрачковая функция оптической системы
Рассмотренный выше математический аппарат определения ОПФ
применим к линейным изопланатическим системам и не позволяет
точно учесть аберрации системы вне изопланатической зоны, а TaK
же не учитывает коэффициент пропускания "[.
Для полноrо описания всех особенностей работы оптической сис
темы используют зрачковую функцию для определения ОПФ. Она
учитывает волновую аберрацию и коэффициент пропускания в BblXOk
ном зрачке системы, rде расположеНf сфера сравнения, относитель
но которой вычисляют волновые аберрации для точек изображения.
Коэффициент пропускания может быть различным для разных
точек сферы сравнения (рис. 9.10) с координатами и, v (аналоrично
координатам у их).
и
JC
",'(Х}
Рис. 9.10. R определению зрачковой функции
Обозначим коэффициент пропускания по интенсивности "[(u, и).
Тоrда, учитывая связь интенсивности с амплит ой получим, что aм
плитудный коэффициент пропускания равен "[( и, и) . Обычно пропус
кание света приблизительно постоянно по всей площади выходноrо
532

rлава 9. Оценка качества изображения оптических систем
зрачка, и если считать ero равным 100%, то можно положить "[(и, и) ==1
в пределах контурах зрачка, а очевидно вне этоrо контура "[(и, и) == о.
В общем случае зрачковая функция может быть представлена в
комплексном виде:
Р(и,и) == 't(u,v) exP[i(21t/A.)W(u,v )], (9.43)
rде модуль 't(u, v) определяет уменьшение амплитуды пропускаемой
световой волны, а aprYMeHT (21t/л.)w(u, и) определяет сдвиr фазы вол
ны, вызванный волновой аберрацией W(u, и).
Зрачковая функция Р(и, и) связана с комплексной амплитудой
световой волны. Очевидно, что в систему попадают световые волны,
распространяющиеся от предмета. Если оrраничиться скалярной Te
орией дифракции, то можно представить распространение электромаr
нитноrо поля в виде rармоническоrо колебания Uocos(rot + а) или в
комплексной форме Uoexp[i (rot + а)], rде ro == 21tс/л.  круrовая час
тота, с  скорость света. В расчетах достаточно рассматривать зави
симостьдля комплексной амплитуды иоехр (ia), так как член ехр (irot)
не зависит от координат рассматриваемой точки.
Связь комплексной амплитуды изображения со зрачковой
функцией
Комплексная амплитуда световой волны на сфере сравнения у
выходноrо зрачка (вершина сферы сравнения совпадает в центром Р'
выходноrо зрачка) связана со зрачковой функцией. Для определения
величины этой комплексной амплитуды надо учесть коэффициент
пропускания системы и фазовые сдвиrи, вызванные волновой аберра
цией, т.е. умножить комплексную амплитуду на входе (входном зрач
ке) системы на зрачковую функцию Р(и, v).
Обычно качество изображения оптической системы анализирует
ся в плоскости изображения, а не в плоскости выходноrо зрачка. По
этому надо связать распределение комплексной амплитуды F(x) в
плоскости изображения с распределением комплексной амплитуды
вблизи выходноrо зрачка, пропорциональным зрачковой функции
Р(и, и).
Для этоrо в первую очередь надо учесть дифракцию света на ди-
афрarмах, в результате чеrо даже в идеальной системе точка изобра
жается в виде дифракционноrо кружка рассеяния. Вследствие диф-
ракции бесконечно удаленная осевая точка (рис. 9.11) изображается
в виде кружка рассеяния радиусом р, а М'  произвольная точка в
пределах р вблизи фокуса.
533

Расчет и проектирование оптических систем
.........
......
Рис. 9.11. Образование дифракционноrо изображения точки
В результате комплексная амплитуда света пропорциональна
Р(и) du от каждоrо элемента du, а фаза в произвольных точках М'(х)
по сравнению с фазой в центре F' дифракционной картины определя
ется rлавным образом разностью хода д от каждой точки А(и) на сфе
ре сравнения до точек F' и М', т .е. д  АР'  АМ'. Изменение фазы в
точке изображения М', соответствующее величине д, составляет
ехр [i (2пА/Д)]. Приближенно д '" uxf' :C /2r.
Следовательно, надо просуммировать действия всех бесконечно
малых элементов du.dv сферы сравнения в точке изображения. Мож
но показать [26], что комплексная амплитуда световой волны в точке
изображения для двумерноrо случая представляет собой преобразова
ние Фурье зрачковой функции:

F(x, у) = J Р(и, v)exp[i21t(ux+ иу)] du. dv
(9.44)
при Af'  1.
Определение функции ОПФ
Теперь заменим оптическую ось линией, соединяющей точки М
и М', Т.е. будем считать, что оптическая ось направлена по О'М', а точ
ка М'  начало координат (рис. 9.10). Рассмотренное выше влияние
дифракции на зрачковую функцию принципиально не изменится вви-
ду малости F' М'.
Однако теперь распределение световой волны F(x, у) представля-
ет собой амплИтудную функцию рассеяния точки М предмета. Но эта
функция связана с ФРТ, Т.е. с А'(х, у) в виде сопряженных комплек
сных чисел:
А'(х,у) = F(X,y). F *(х,у).
(9.45)
534

rлава 9. Оценка качества изображения оптических систем
Для более компактной записи [26] введем векторные обозначения
х, u, N: Х имеет проекции х и у; u  проекции и и и; N  проекции
N x и N y . Тоrда формула (9.45) примет вид:
A'(x)=F(x).F*(x). (9.45')
Теперь можно записать выражение дЛЯ ОПФ в виде преобразова
ния Фурье функции А'(х):

Do(N) = J J A'(x)exp[ i21tu o xdx],
rде вместо N записана пропорциональная ей величина uo' смысл KO
торой пояснен далее при рассмотрении формулы дЛЯ N. Учтя (9.45'),
функцию ОПФ представим в следующем виде

Do(N) = J J F(x).F*(x)exp[i21tuoxdx]=
= IIF(x{IIp*(u)eXP(i21tUX)dU] exp(i21tuox)dx.
(9.46)
Соrласно известному свойству преобразования Фурье от сопря
женной комплексной функции
+00
J р*( u)exp(i21tux) == F*(  х),
тоrда подинтеrральное выражение для первоrо интеrрала в (9.46) 
это обратное преобразование Фурье для зрачковой функции, т.е.

P*(u) = J F*(x)exp(i21tux)dx,
поэтому для ОПФ оптической системы получим
+00 +00
Do(N) = J J p*(u)p(u+ uo) du.
(9.4 7)
Известно, что интеrрал от произведения какойлибо функции на
сопряженную и сдвинутую по aprYMeHTY называется автО1Сорреляци-
анной фУН1Сцией.
Теперь поясним физический смысл сдвиrа uo. Ранее в (9.44) было
принято А' == 1.
535

Расчет и проектирование оптических систем
Сняв это оrраничение, заметим, что фазовый член 2пих имеет вид
2пих/А!' или 2пх[и/ (л.f')]. Тоrда фаза волны составляется как про
изведение координаты х в единицах длины на член u/л.r, имеющий
размерность пространственной частоты. Так как интеrрал в (9.4 7) яв-
ляется функцией U o (u  переменная интеrрирования), то значению
пространственной частоты соответствует
N=uo/(A!'), т.е. uо=л.f'N. (9.48)
Сдвиr u и сдвиr U o выражаются в единицах длины.
В результате получено, что ОПФ оптической системы можно оп-
ределить, зная распределение cBeToBoro поля на сфере сравнения с ее
вершиной в центре выходноrо зрачка.
Для двумерноrо предмета имеем, исключая векторные обозначе-
ния

Do(Nx,N y ) = J JР.(u,v)р(u+л.f'Nх,v+л.f'Nу)dU.dV.
(9.49)
АвтО1Сорреляцuонная ФУН1СЦUЯ, как видно из (9.49), отлична от
:iуЛЯ только в области перекрытия двух зрачков, смещенных один от-
носительно друrоrо на величину, пропорциональную пространствен
ной частоте. Эта область показана на рис. 9.12, из KOToporo видно, что
пределы интеrрирования можно оrраничить заштрихованной площа
дью М р .
Следует заметить, что рассматриваемый метод приrоден для опре
деления ОПФ системы не только с круrлым, но и со зрачком произ-
вольной формы. Однако выше рассматривалась дифракция скалярных
волн, поэтому получаемые значе-
ния ОПФ как автокорреляцион-
ной функции MorYT отличаться V
от точных значений при больших
относительных отверстиях и
больших уrловых полях.
Для пространственной часто
ты N == О сдвИr л.f'N == О, т.е. в
этом случае область перекрытия
наибольшая и равна площади
зрачка.
Как выше было показано,
для нулевой пространственной
частоты ОПФ равна единице, по- Рис. 9.12. R пояснению автокорреляци-
этому автокорреляционную фун- оиной зрачковой функции
536

rлава 9. Оценка качества изображения оптических систем
кцию из (9.49) надо нормировать, разделив на наибольшее значение,
равное
JЛ Р (u,v)1 2 du.dv.
в результате получим:
( )  Do(Nx,N y )
D Nx,N y  2 '
JJlp(u, v)1 du.dv
Sp'
(9.50)
9.8. Расчет ОПФ
Расчет дифракционных ОПФ
Рассмотрим систему с постоянным пропусканием по площади
зрачка и безаберрационную, в которой качество изображения опреде
ляется лишь ифракцией. В этом слу ч;е зрач ковая функция веще
ственна, 't(u,v)  1, поэтому p(u,v)== 't(u,v) 1. В результате фор
мула (9.50) примет вид [26]:
т( Nx,N y ) == JJ du dv / JJ du dv. (9.51)
Для безаберрационной сис.м&.ы оriФSводится к ФПМ, Т.К. OTCYT
ствует сдвиr фазы. ФПМ равна площади области перекрытия AS , за
р
висящей от пространственной частоты, к площади зрачка 8 р ' Общую
площадь пересечения двух одинаковых KpyroB можно рассчитать.
Площадь сектора, образованноrо уrлом в, равна 81 в? /2, а площадь
треуrольникаАВО равна 82 AВ.BO/2  rsine.rcose/2  sine.cose? /2.
То'.'да заштрихованная на рис. 9.13, а площадь равна М р  4(8 1  82) 
 2(в  sinecose)?  М р '
Orношение полученной площади к площади Kpyra определится так
М р /8 р == Д8 р /( 1tr 2 ) == (2/п)(в sinecose). (9.52)
а} 6}
о
а2
(11,(
Рис. 9.13. R расчету ОПФ без аберрационной системы
537

Расчет и проектирование оптических систем
Величина смещения 00' одноrо Kpyra относительно друrоrо
определяется по формуле 00' == 2r  2(r  rcose) == 2rcose. Наиболь
ший сдвиr, при котором область перекрытия исчезает, равен диамет
ру D == 2r, Т.е. относительный сдвиr, меняющийся от 1 дО О, равен
OO'/D == 2rcos8j(2r)== соэе. (9.53)
Важную характеристику позволяет найти наибольший caeuz зрач
ка, связанный с авто корреляционной функцией. Он дает возможность
найти предельную nространственную частоту. При ббльших часто
тах КПМ системы равен нулю.
Из (9.48), полаrая и о == D, имеем D == л.f'N пр ' откуда
N np == Dj(л.f')==-l/[л.{f' / D)],
N 1
rде пр  в мм .
Для предмета на конечном расстоянии вместо D/f' надо взять
2sina' А"
ДЛЯ rрафическоrо представления ФПМ надо выразить простран
ственную частоту в относительных единицах, приняв предельную ча
стоту за единицу. Частота в относительных единицах R == N/N np свя
зана с N соотношением
R==л.{f'/D)N.
Из (9.53) следует: R == соэе. Тоrда е == arccosR, и уравнение ФПМ
оптической системы дифракционноrо качества после подстановки в
(9.52) имеет вид:
T(N)== (2/1t)(аrссоsRR -J 1 R2 ). (9.54)
rрафик этой функции показан на рис. . В области низких частот
он является практически прямой линией и лишь при T(N) < 0,4 за
метно отличается от линейной зависимости по направлению к точке
R == 1. Заменив область перекрытия круrлых зрачков мноrоуrольни
ком особой формы, можно получить более ПРОС ТJЮ фор мулу, приrОk
ную для ориентировочных расчетов т( N) == 1  R 1  R 2 .
Расчет ОПФ дЛЯ оптической системы с аберрациями и
с постоянным пропусканием по площади зрачка
В этом случае 't(u, v) == 1, с учетом чеrо получим из (9.43)
Р( и + л.f'N х , v+ л.f'N у ) == ехр[i(21t/л.) W( и + л.f'N х , v+ л.f'N у )]
р* (и, v) == ехР[i(21t/л.) W(u, v)].
538

rлава 9. Оценка качества изображения оптических систем
Подставив эти выражения в (9.50), получим формулу дЛЯ ОПФ
оптической системы, если известна ее волновая аберрация,
{Л, eXP{i(21t/A) [w( и+ J.('N.. и+ Af'N,)  W(u, vтdUdV}
D(Nx,N y ) = JJ .
du.dv
sp
Рассмотренный метод определения ОПФ как автО1Сорреляции
зраЧ1Совой фУН1Сции чаще применяют для расчета ОПФ, так как зрач
ковую функцию получают из аберраций рассчитанной системы. Pac
чет выполняется с помощью ЭВМ. При расчете авто корреляционным
методом зрачковую функцию умножают на ее сдвинутый сопряжен
ный аналоr, после чеrо результирующую функцию интеrрируют. При
расчетах ОПФ возникает необходимость определять полихромати
ческие ОПФ, Т.е. ОПФ дЛЯ рабочеrо спектральноrо интервала.
9.9. Полихроматические ФУНКЦИИ ФРТ и ОПФ
Полихроматическая ФРТ может быть вычислена сложением ФРТ
дЛЯ различных длин волн в конечном рабочем спектральном диапа
зоне л. 1 ... л. 2 , rде л. 1 == л. шiп ' л. 1 == л. шiп '
А' ( х' У ' ) = 1 Л J 2 q (л.) dл..А' ( Х' У ' ) dл.
1:' Л2 ( ) л.2 Л' ,
J dл. ЛI (9.55)
л. 2
ЛI
rде q(л.)  функция относительной спектральной эффективности;
А'(х', у') нормированная монохроматическая ФРТ дЛЯ длины волны л..
Функция q(A.) определяется по формуле
q(A.) = В(А.). 1:(А.). S(A.),
rде В(А.)  относительная спектральная яркость источника; 1:(л.)  OT
носительное спектральное пропускание оптической системы, s(л.) 
относительная спектральная чувствительность приемника (в том слу
чае, если считается ФРТ дЛЯ двухступенной системы). Функцию HOp
мируют таким образом, чтобы ее наибольшее значение было равно еди
нице (qmах(л.) == 1). Если вместо длины волны л. ввести безразмерную OT
носительную спектральную координату Х, изменяющуюся от  1 до
+ 1 [15], то после преобразования (9.55) имеем:
539

Расчет и проектирование оптических систем
А' ( х' ' )  1
x ' у  1 ( )
f qx
1( x  +1J
f 1 q(X)A'(x', у')" d
2 Х.
11 [X(dA/Aa)+ 1]
(9.56)
Полихроматическая ОПФ может быть найдена как средневзве
шенная величина монохроматических ОПФ в рабочем диапазоне длин
волн А 1 ... А 2
D (Nx,N y ) = [ 1 q(A)dA ] 1 1 q(A)D" (Nx,Ny)dA
"1 "1
(9.57)
или в относительных спектральных координатах Х
1)" (N"N,) = [1, q(X)dX Т' 1,q(x)D,., (N,.N,)dX,
(9.58)
rде D,,(N x , N y )  монохроматическая ОПФ дЛЯ длины волны А. ИЗ
(9.57) следует формула для полихроматической ФПМ
T,(N" N,H D,(N" N,) I {[!, q(A)T, (N" N,) соф, (N" N,)]dA J +
2} а'5 1
л л  (9.59)
+ [l q('-)T,(N" N,)sin(,(N" N,)] dЛ] [l q(,-) dЛ] .
Выражение (9.59), как и cTporoe решение задачи определения по
лихроматической ФПМ (ЧЕХ) впервые было получено в 1964 r.
Д.ЕО. rальперном.
В случае, коrда для всех длин волн рабочеrо спектральноro диа
пазона функция передачи фазы равна нулю, для полихроматической
ФПМ получим
T(Nx, N у)= [ 1 q(A)dA ] 1 1 q(A)T" (N x , N y)dA,
"1 "1
rде Т" (N x ' N y )  монохроматическая ФПМ. Такое выражение полу
чают в том случае, коrда в системе есть только симметричные абер
рации, например, хроматическая аберрация для осевой точки преk
мета.
540

rлава 10. Отклонения конструктивных пара метров от номинальных значений и их влияние на
аберрации и параксиальные характеристики оптической системы
rлава 10. ОТКЛОНЕНИЯ КОНСТРУКТИВНЫХ
ПАРАМЕТРОВ ОТ НОМИНАЛЬНЫХ
ЗНАЧЕНИЙ И ИХ ВЛИЯНИЕ НА
АБЕРРАЦИИ И ПАРАКСИАЛЬНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПТИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ
10.1. Расчет влияния изменения параметров
на аберрации
При проектировании оптической системы необходимо знать вли
яние малых изменений конструктивных параметров (радиусов кри
визны поверхностей, расстояний между их вершинами, показателей
преломления, средних дисперсий, коэффициентов уравнений асфери
ческих поверхностей) на аберрации и параксиальные характеристи
ки, так как при изrотовлении оптических систем значения KOHCTPYK
тивных параметров вследствие неизбежных поrрешностей всеrда OT
личаются от номинальных расчетных величин [4].
Для этоrо в оптическую систему с номинальными значениями
конструктивных параметров последовательно вносят малые измене
ния этих параметров и выполняют расчет хода лучей. Таблицы с pe
зультатами расчета аберраций и параксиальных характеристик при
небольших изменениях конструктивных параметров должны входить
в перечень обязательной технической документации на оптическую
систему. Эти таблицы используются, вопервых, для определения дo
пусков на изrотовление оптических элементов схемы. BOBTOPЫX, их
541

Расчет и проектирование оптических систем
можно использовать для определения коррекционных параметров при
оптимизации. Втретьих  для оценки в производственных услови
ях допустимости отклонений параметров, превышающих допуски (Ha
пример, величин воздушных промежутков между линзами при сбор
ке) с целью возможной компенсации влияния поrрешностей изrотов
ления.
Каждый конструктивный параметр принято изменять симметрич
но относительно номинальноrо значения на величину :t8Pi' Это позво
ляет оценить степень нелинейности зависимости изменения аберра
ции (или параксиальной характеристики) 8Ф j от изменения парамет
ра 8Pi' Если приращение 8Ф j функции выразить с достаточной для
практики точностью в виде двучленноro ряда
дФ. д 2 ф. ( ) 2
8Ф j =  д J 8р; + o,5 д / 8р; ,
'Р; 'Р;
(10.1)
а затем в это выражение последовательно подставить приращения 8р ;
и 8Pi' то нетрудно найти, что:
:: = ( 8Ф 7 8Фj)/(28Рi);
д 2 Ф j  ( S: + s:  )/( S: ) 2
 д 2  uФ j uФj uPi ,
'Р;
rде 8Ф7 и 8Фj  соответствующие приращения функции Ф..
+  J
Так, если 8р ;  0,1, 8Ф j  0,Q15, 8Ф j  0,01, то дФ/дР i  0,125, а
д 2 Ф/др;  0,5. Если данный параметр получит приращение 8р ;  0,2,
то приращение функции составит
8Ф j  0,125.0,2 + 0,5.0,5.0,22  0,035.
Проrраммы для расчета влияния изменения параметров на
ппэвм строятся в основном следующим образом. Разработчик зада
ет номинальные значения конструктивных параметров, их изменения
8р;> начальные данные для расчета хода лучей. Вначале выполняется
расчет хода лучей в оптической системе с номинальными значения
ми конструктивных параметров. Результаты расчета распечатывают
ся в виде таблиц остаточных аберраций, а некоторые из них запоми
наются для последующеrо вычисления аберраций и параксиальных
характеристик. Целесообразно выдавать минимум информации о си
стеме с номинальными значениями конструктивных параметров, так
как данные, характеризующие положения и направления лучей в про
странстве изображений, координаты точек пересечения лучей с повер
542

rлава 10. Отклонения конструктивных параметров от номинальных значений и их влияние на
аберрации и параксиальные характеристики оптической системы
хностями системы выдавать нецелесообразно, ибо они определяются
с помощью проrpамм для аберрационноrо анализа систем. Расчет абер
раций в системе с номинальными значениями конструктивных пара
метров rлавным образом необходим для контроля правильности зада
ния.
Изменения конструктивных параметров целесообразно осуществ
лять по rруппам (rруппа радиусов кривизны, rруппа расстояний меж
ду вершинами поверхностей, rруппа коэффициентов уравнений асфе
рических поверхностей и т.д.) в порядке естественной последователь
ности. Чаще Bcero в проrраммах предусматривается, что изменения
радиусов кривизны, расстояний между вершинами поверхностей, KO
эффициентов уравнений асферических поверхностей задаются для
каждоrо отдельноrо параметра самостоятельно, так как реальные из
менения этих параметров колеблются в довольно широких пределах,
и, кроме Toro, влияние отдельных rрупп параметров на аберрации He
равномерно. Так, например, в двухлинзовом несклеенном объективе
воздушный промежуток между линзами влияет на сферическую абер
рацию сильнее, чем толщины линз. Поэтому в таком компоненте He
обходимо задавать малые изменения воздушноrо промежутка и зна
чительные приращения толщин линз.
Изменения показателей преломления и дисперсий MorYT быть
одинаковыми для всех линз. Поэтому в проrраммах обычно предус
мотрена запись одноrо числа для изменения I:1n ло показателя прелом
ления основной длины волны и одноrо числа для изменения
l:1(n Лl  nЛ,2) дисперсии.
При расчете влияния изменения дисперсии на хроматические
аберрации в проrрамме предусматривается изменение лишь одноrо из
двух показателей преломления: либо n л !' либо nЛ,2" В действительнос
ти при плавках стекол происходит одновременное изменение обоих по
казателей преломления таким образом, что частная относительная
n л nл
дисперсия 2 о сохраняет свое номинальное значение. Однако это
n Лl nЛ2 u
практически не сказывается на изменениях хроматических аберрации
и, следовательно, допущение, принятое в проrpаммах, не искажает pe
зультатов расчета.
При задании расчета влияния изменения конструктивных пара
метров на аберрации и параксиальные характеристики разработчик
оптической системы должен в первую очередь решить две основные
задачи:
1. Определить величины изменения параметров.
543

Расчет и проектирование оптических систем
2. Определить, изменения каких именно аберраций необходимо
получить. Иными словами, расчет каких лучей следует произвести.
Рекомендуемые изменения конструктивных параметров. Измене
ния конструктивных параметров не должны быть ни слишком малы
ми, ни слишком большими. Малые изменения параметров приводят
соответственно к малым изменениям аберраций, что может вызвать
потерю ТОЧности или же, если заданные малые изменения параметров
будут меньше тех, которые MorYT появиться при изrотовлении систе
мы, то на результате может сказаться нелинейная составляющая при
ращения, величиной которой можно пренебречь при малых измене
ниях параметров. При больших изменениях параметров, существен
но превышающих изменения (выше второй степени), которые MOryT
встретиться в практике, доля нелинейной части приращения может
оказаться большой. Тоrда двучленная формула (10.1) для вычисления
приращения функции не обеспечит получения достаточной точности.
Поэтому задаваеМые изменения параметров должны быть близки
ми К изменениям, которые MorYT возникнуть при изrотовлении сис
темы, т.е. не должны превышать допуски на отклонения конструктив
ных параметров. А так как допуски на конструктивные параметры
оптических систем изменяются в довольно узких rраницах (rOCT
278676 для радиусов, меньших 1000 мм, rOCT 351476 на стекло оп
тическое бесцветное), то можно рекомендовать определенные измене
ния конСтруктивных параметров оптической системы:
1. Для изменения радиусов кривизны дrjr  0,001 ... 0,01. Для
r  00 задается не приращение а само значение радиуса. В этом слу
чае следует исходить из числа колец Ньютона при наложении плос
Koro пробноrо стекла. Значение радиуса кривизны, соответствующе
ro N кольцам ньютона на световом диаметре D, следует вычислить по
приближенной формуле: r-= 450D 2 jN.
2. Для изменения расстояния между вершинами поверхностей
дd  0,01 ... 1 мм.
3. Для показателей прело мления в пределах, предусмотренных
rOCT 351476, дпe 0,0002 ... 0,002.
4. Для дисперсии п?  п с , в пределах, предусмотренных rOCT
351476, д(п у  пС')  0,00002...0,0002. Если оптическая система pa
ботает в друroй области спектра от А 1 до А2' то рекомендуемое измене
ние дисперсии
д(п Л1  п л2 ) = д(п F , пc, )[(nЛ 1  п л2 )/(п? пc, )].
544

rлава 10. Отклонения конструктивных параметров от номинальных значений и их влияние на
аберрации и параксиальные характеристики оптической системы
5. Изменения коэффициентов асферических поверхностей целе
сообразно находить по заданным изменениям дz  стрелки проrиба.
Дифференцируя уравнение асферической поверхности вида
Ь 2 2 2 3 n О
у +сх +a 1 z+a 2 z +азz +...+anz == ,
j=k
получаем да; == дz L jajzjH.
j=l
В случае асферических поверхностей, имеющих точки переrиба,
коrда уравнение асферической поверхности записывается в виде
z == а 1 (у2 + х 2 ) + а 2 (у2 + х 2 )2 +.. .+а n (у2 + х2)n,
после дифференцирования получаем да ;  дz/(у 2 + x 2 i.
Рекомендуемые значения изменения дz == 0,001.....0,01 мм.
Однако после выполнения расчета влияния параметров на абер-
рации может оказаться, что некоторые изменения были выбраны не-
удачно, поэтому иноrда после первой попытки приходится повторять
расчет влияния параметров с измененными значениями части вели-
чин OP i . .
Рекомендации по выбору рассчитываемых лучей. При выборе
лучей, расчет которых следует провести, необходимо исходить из Toro,
что их число должно быть минимальным, так как большой объем по
лученных результатов может затруднять их использование. Как пра-
вило, наибольшие изменения аберраций имеют место для лучей, иду
щих на край входноrо зрачка и край поля изображения. Поэтому для
подавляющеrо большинства оптических систем достаточно оrрани-
читься расчетом следующих лучей:
1. Для точки на оси  луча, идущеrо на край входноrо зрачка.
2. Для края поля изображения  rлавноrо луча; двух меридио
нальных лучей, идущих на верхний и нижний края входноrо зрачка
(с учетом виньетирования) и одноrо внемеридиональноrо луча, иду-
щеrо в точку зрачка с координатами т  О, М  mтах' rде т тах  ра-
диус зрачка.
Для оптических систем, работающих с большой числовой аперту-
рой (с большим относительным отверстием), целесообразно рассчитать
осевой и внеосевой лучи для зоны входноrо зрачка с координатой
т== О,5т m ах .
Для систем со средними и большими полями изображений следует
дополнительно рассчитать лучи пучка, идущеrо из точки предмета с
ординатой у == О,5 Уmах (или при 81  oo для fJ. == О,5fJ. mах)' rде Утах 
размер предмета, fJ. max  синус уrла поля.
545

Расчет и проектирование оптических систем
Расчет влияния изменения параметров в оптических системах
с большим увеличением
Для систем, работающих при больших увеличениях, например
для проекционных объективов, принято выполнять расчет влияния
изменения параметров на аберрации в обратном ходе лучей. Если pac
чет выполнять в прямом ходе, то даже малые изменения параметров
MOryT вызвать большие изменения увеличения и последнеrо отрезка
в', вплоть до появления разрывов функции (аберраций, параксиаль
ных характеристик) ввиду Toro, что последний отрезок может сменить
знак, пройдя значение, равное бесконечности. Кроме Toro, расчет лу
чей в прямом ходе принципиально неверен, так как не отражает yc
ловий, в которых будет работать система  постоянное расстояние в'
изображения от последней поверхности объектива.
При расчете влияния изменения конструктивных параметров на
аберрации и параксиальные характеристики в объективах микроско
пов следует обращать внимание на то, что в объективах с длиной TY
буса 160 и 190 мм с большой точностью должно быть сохранено pac
стояние L между предметом и изображением. Можно получить алrо
ритм, позволяющий выдерживать постоянным это расстояние. Для
этоrо необходимо с из'мененным значением какоrолибо параметра
выполнить расчет параксиальных лучей в прямом и обратном ходе из
бесконечности, найти положение фокусов и фокусные расстояния
объектива. Затем по формуле Ньютона найти расстояние z от передне
ro фокуса до плоскости предмета, при котором расстояние между
предметом и изображением будет равно заданному. Однако в силу сло
жившихся традиций расчет влияния параметров для объективов мик
роскопов выполняется при обеспечении постоянства заднеrо отрезка.
Для этоrо в системе с измененным параметром сначала осуществля
ется расчет параксиальноrо луча в обратном ходе с заданноrо paCCTO
яния в' от последней поверхности до изображения. Определяется по
ложение предмета  отрезок в l' а затем выполняются расчеты лучей
в прямом ходе.
Для объективов с длиной тубуса .бесконечность. расчет влияния
изменения параметров осуществляется для системы, содержащей
объектив и дополнительную линзу. В этом случае подцерживается по
стоянным расстояние от последней поверхности линзы до плоскости
изображения.
546

rлава 10. Отклонения конструктивных пара метров от номинальных значений и их влияние на
аберрации и параксиальные характеристики оптической системы
Расчет влияния изменения параметров в телескопических системах
Особенность расчета влияния изменения параметров телескопи
ческих систем заключается в том, что при изменении любоrо из пара
метров необходимо всеrда сохранять афокальность телескопической
системы. В противном случае расфокусировка исказит картину изме
нения аберраций, кроме Toro, сохранение афокальности отражает yc
ловия работы телескопической системы, которая юстируется дЛЯ BЫ
полнения этоrо условия.
Сохранение афокальности при изменении конструктивных пара
метров осуществляется путем изменения одноrо из воздушных про
межутков системы; расстояния между объективом и окуляром; pac
стояния между коллективом и окуляром и т.п. Какой конкретно про
межуток подлежит изменению, указывается в задании. ППЭВМ pac
считывает параксиальный луч из бесконечности в прямо м ходе через
часть системы, предшествующей этому воздушному промежутку , и в
обратном ходе из бесконечности через часть системы, расположенной
после воздушноrо промежутка. Промежуток определяется как сумма
последних отрезков, полученных для прямоrо и обратноrо хода лучей.
10.2. Оценка чувствительности оптических систем
к поrрешности изrотовления
Для оценки отклонений аберраций и параксиальных характери
стик в реальной оптической системе от расчетных номинальных зна
чений следует определять суммарный эффект одновременноrо изме
нения всех конструктивных параметров системы. Такую задачу необ
ходимо решать, так как следует про верить не только правильность
назначения допусков на конструктивные параметры, но и решить воп
рос о возможности реализации такой оптической системы при суще
ствующем технолоrическом уровне. Известны случаи, коrда оптичес
кие системы, обладающие требуемым качеством изображения, оказы
вались невыполнимыми изза слишком жестких допусков, обуслов
ленных сильным влиянием на аберрации отклонений конструктив
ных параметров от номинальных значений. Если такая высокая чув
ствительность системы к поrpешностям изrотовления обнаруживает
ся поздно (например, на этапе расчета влияния изменения парамет
ров на аберрации), то это приводит К большим непроизводительным
потерям времени. Во избежание этоrо проrрамма для оценки чувстви
тельности оптических систем к поrрешностям изrотовления должна
быть частью проrраммы автоматизированной коррекции оптических
систем, что позволит на ранних стадиях разработки отказаться от ис
547

Расчет и проектирование оптических систем
пользования оптических схем, не обеспечивающих достаточную yc
тойчивость системы. Для решения этой задачи в проrрамме должны
храниться некоторые фиксированные отклонения конструктивных
параметров от номинальных значений, близкие или равные предель
но возможным.
Для этоrо в проrрамме оценки чувствительности системы к по
rрешностям изrотовления вычисляют отклонения ДФji функций, выз
ванные заданными отклонениями конструктивных параметров. Эти
отклонения функций определяются методом центральной разности,
учитывающей возможность нелинейноrо изменения ф.. Отклонение
J
ДФji функции при изменении параметра Р ; определяется по формуле
дф.. = о 5 ( ф:. Ф:. ),
JI , JI JI
rде Ф;i  соответствует изменению ДР; ; Фji  соответствует измене
.нию ДPi. Предполаrается, что отклонение любоro параметра Р ; paB
новероятно в обе стороны от номинала, а также, что отклонения
ДФji подчиняются нормальному закону распределения. Тоrда средние
значения отклонений функций ДФji ер  О, среднее суммарное откло
нение любой функции ДФj ер  о. Тоrда и суммарное отклонение ПОk
чиняется нормальному закону. Поэтому для вычисления доверитель
Horo интервала отклонения ДФj ДОВ используется формула теории Be
роятностей
i=t
ДФjДОВ = L(ДФji)2.
i=l
Суммарное отклонение ДФj находится внутри интервала ::I:дФj ДОВ
С вероятностью 99,75%.
Если количество конструктивных параметров мало, то следует
использовать максимальные изменения каждой функции, вычисляе
мые в проrрамме по формуле, которая дает несколько завышенный
результат
i=t
дф. =  l дф.. I .
Jmax  JI
i=l
Доверительные интервалы для каждой функции следует выдавать
не только для всех параметров сразу, но и по rруппам: дr/r, N, дd,
дп ло , д(п Л1  пЛ,2). Это позволяет выявить причины значительных OT
клонений функций и оценить возможность их уменьшения не за счет
ужесточения допусков, а путем, например, пересчета на плавки CTe
кол, на радиусы имеющихся пробных стекол; комплектацию по тол
щинам линз.
548

rлава 10. Отклонения конструктивных параметров от номинальных значений и их Влияние на
аберрации и параксиальные характеристики оптической системы
Знание доверительных интервалов изменения аберраций и пара
ксиальных характеристик в некоторых случаях оказывается HeДOCTa
точным для оценки вероятноrо ухудшения качества изображения.
Иноrда требуется знать, являются ли изменения аберраций при Ma
лых изменениях конструктивных параметров независимыми друr от
друrа или между ними существует определенная линейная связь. Зна
ние связей между изменениями функций может быть полезным и при
оценке возможности компенсации аберраций при сборке путем pery
лирования воздушных промежутков между линзами, что широко ис
пользуется, например, при сборке объективов микроскопов.
Математически задача сводится к отысканию существования ли
нейной зависимости между приращениями функций Фj и Фl вида
k jl  ДФ/ ДФI.
При этом диапазон изменения конструктивных параметров ОР 1
столь небольшой, что изменения функций линейно зависят от изме
I=t дФ
нения параметров, т.е. выполняется равенство ДФj = I,  д j ДPI.
1=1 'РI
Матрица частных производных {дФ/др l } вычисляется приближен
но методом центральных разностей. Для вычисления коэффициентов
k jl целесообразно использовать метод линейной реrpессии [4].
Если же использовать обычную алrебраическую форму записи, то
k jl = %ОФjIОФli/%ОФ.
Степень связи между функциями характеризуется относительной
поrрешностью коэффициента kjl' т.е. I:1kjl/kjl = lp ' rде Р 
коэффициент корреляции между ДФj и ДФI' равный
Pjl =
I=t
I,ОФjlОФ и
1=1
( I, оФ7t )( I, ОФ ) .
1=1 1=1
Чем больше I:1kjl/kjl' тем менее зависимы функции. В большинстве
случаев учет связей позволяет назначать более широкие допуски на
отклонения конструктивных параметров от номинальных значений.
549

Расчет и проектирование оптических систем
10.3. Влияние децентрировки на аберрации оптической
систеМbI
Центрированная оптическая система, у которой центры кривиз
ны сферических поверхностей лежат на одной прямой, являющейся
оптической осью, а оси симметрии асферических поверхностей совпа
дают с ней, является идеализированной, практически недостижимой.
В реальных оптических системах вследствие поrрешностей изrо
товления оптических деталей и сборки оптическая ось отсутствует 
системы получаются децентрированными.
Децентрировка вызывает появление специфических аберраций,
ухудшающих качество изображения. Для определения допустимых
величин децентрировки необходимо рассчитывать ход лучей через
оптическую систему, в которой поверхности поочередно децентриру
ются, и выявлять аберрации, вызванные децентрировкой.
Существует несколько видов децентрировок:
1. Смещение центра vй сферической поверхности с оптической
оси на расстояние Су' что при Cv/rv« 1 эквивалентно повороту сфери
ческой поверхности BOKpyr ее вершины на уrол е у   cv/rv. Поэтому
в проrpаммах предусматривается лишь смещение центра кривизны
сферической поверхности с оптической оси.
2. Децентрировка плоской поверхности rv  00 проявляется как по
ворот поверхности BOKpyr точки пересечения ее с осью на уrол е у .
3. Децентрировка асферической поверхности представляется ДBY
мя составляющими: смещение оси симметрии поверхности парал
лельно оптической оси системы на Су; поворот оси симметрии BOKpyr
вершины поверхности на уrол е у . в общем случае эти два вида дeцeH
трировок дают различный, а иноrда даже противоположный эффект.
4. Смещение iro компонента оптической системы, состоящеrо из
нескольких поверхностей, в направлении, перпендикулярном к опти
ческой оси, на расстояние C t . Однако при малых смещениях аберра
ции децентрировки оказываются взаимно независимыми, и эффект,
вызванный смещением Bcero компонента, с достаточной степенью точ
ности равен сумме эффектов, вызванных децентрировкой отдельных
поверхностей.
5. Поворот iro компонента BOKpyr некоторой точки К, располо
женной на некотором расстоянии lt от первой поверхности компонен
та, на уrол е ! (рис. 10.1). Но, если е ! мал, то эффект от поворота эк
вивалентен сумме эффектов, вызванных смещением центра каждой
сферической поверхности на С у  et(lt  dVI  r) и поворота плоских
поверхностей на уrол e t .
550

rлава 10. Отклонения конструктивных параметров от номинальных значений и их влияние на
аберрации и параксиальные характеристики оптической системы
к
Са
I
C, 
.
u
I
е,. .
е.
v
с.4
d.
Рис. 10.1. Связь между децентрировкой компонента и де центрировкой
отдельных поверхностей
Для определения влияния децентрировки отдельных поверхнос
тей и компонентов на аберрации выполняется расчет хода лучей с по
мощью специальных проrрамм дЛЯ ППЭВМ. ДЛЯ расчета используют
ся формулы Федера. Де центрировка осуществляется в плоскости OYZ,
Т.е. смещение центров поверхностей, параллельное смещение осей
компонентов, осей симметрии асферических поверхностей произво
дится в направлении аУ, а поворот осей симметрии асферических по
верхностей и поворот компонентов  BOKpyr осей, параллельных оси ОХ.
Необходимо выполнить расчет следующих лучей.
1. Для вычисления комы в центральной точке поля необходимо
рассчитать три луча: луч 1, идущий вдоль оптической оси в простран
стве предметов; луч 2  из осевой ТОчки предмета на верхний край
входноrо зрачка; луч 3  из осевой точки предмета на Нижний край
входноrозрачка,тоrда
К = o,5(y + Y  У;),
rде У' с индексами  ординаты точек пересечения указанных лучей с
плоскостью raycca. Если необходимо определить зависимость комы,
вызванной децентрировкой, от числовой апертуры, то.следует рассчи
тать еще два луча, идущих из осевой точки предмета на зрачок с KOOp
динатами т = О,5т mах , т =  -Jo,5m.n ax'
2. Для вычисления хроматизма положения, вносимоrо децентри
ровкой, рассчитывается ход двух лучей из осевой точки предмета для
длин волн л'I И л'2'
Для больших уrловых полей находят изменения хроматизма YBe
личения для внеосевой точки по формуле
(Yl  Y2)дeц (Yl  Y2)цeHТP'
551

Расчет и проектирование оптических систем
3. Астиrматизм, вызванный децентрировкой, непосредственно не
вычисляется. Поэтому для определения влияния децентрировки на
качество изображения внеосевых точек производят расчет хода лучей,
принадлежащих к широким меридиональному и саrиттальному пуч
кам.
Изменение аберрации широкоrо меридиональноrо пучка лучей
изза децентрировки определяется по формуле
!:ill ( 'H' )  ( ' ' )
 У В Ун дец У В УН центр'
Изменение меридиональной составляющей астиrматизма .1z свя
зано с изменением !:ill следующим приближенным соотношением
.1z == !:illj( tgcr  tgcr).
Аналоrично изменение аберраций сarиттальноrо пучка лучей из
за децентрировки вычисляется по формуле
,1 (БG') = оа;ец  БGентр ,
rде БG'  сarиттальная составляющая поперечной аберрации для луча
с координатами на входном зрачке т  О, М  т тах . Изменение саrит
тальной составляющей астиrматизма .1z; связано с .1(БG')
Az; = ,1 (<5G')/tg<5'.
4. Для вычисления дисторсии необходимо рассчитать ход трех
лучей: rлавноrо луЧа из верхней крайней точки поля; rлавноrо луча,
идущеrо из нижней крайней точки поля; луча, идущеrо из осевой точ
ки поля вдоль оптической оси. Тоrда дисторсия, вызванная децентри
ровкой, определяется по формуле
.1У;ец = o,5[(y  1Ia)+ (Y  Y)],
rде У' с индексами  суть ординаты точек пересечения указанных
трех лучей с плоскостью raycca.
Следует отметить, что представление о коме, как наиболее опас
ной аберрации, вызванной децеНТрИрОБКОЙ, является ошибочным и
может привести к недопустимому завышению допуска на децентри
ровку.
При суммировании аберраций децентрировки необходимо прини
мать во внимание, что последняя представляет собой вектор, имею
щий длину Су и направление, определяемое, например, уrлом <Ру' об
разованным этим вектором с осью ОУ. Суммарные значения попереч
ных аберраций, вызванных децентрировкой, вычисляются по формуле
552

rлава 10. Отклонения конструктивных параметров от номинальных значений и их влияние на
аберрации и параксиальные характеристики оптической системы
I1l' == (Ысоsq>v J +(ЫSiпq>v J,
I1l' v  поперечная аберрация, вызванная децентрировкой v поверхно
сти, к  количество децентрированных поверхностей. Так как дeцeH
трировка распределена по закону Рэлея, то нетрудно получить фор
мулу для вычисления доверительноrо интервала изменения попереч
ной аберрации децентрировки с вероятностью 99,73%
к
I1l;OB == 1,15. L(I1)2.
v=I
По заданному доверительному интервалу не которой поперечной
аберрации I1l;OB (например, комы) можно вычислить допуск на дeцeH
трУ.ровку Cv' Чтобы задача имела одназначное решение, можно:
1. Доверительный интервал допустимой поперечной аберрации
I1l;OB поделить пор овну между всеми поверхностями оптической сис
темы.
Тоrда допустимая поперечная аберрация децентрировки l1l;оп для
каждой поверхности составит одно и то же значение, равное
I1l;оп == I1l;OB /1,15.JК .
Тоrда допуски на децентрировку отдельной поверхности после
расчета предварительноrо влияния децентрировки каждой поверхно
сти C v на изменение поперечной аберрации I1Z'v можно определить по
формуле .
l1l д ' оп . C v
с ==
v ,
I1lv
2. Доверительный интервал допустимой поперечной аберрации
разделить между поверхностями системы, учитывая влияние дeцeH
трировки каждой поверхности на эту аберрацию. Тоrда формула для
расчетов допусков на децентрировку C v будет иметь вид [4]:
ы;оп
C v == 2/8 2/8 '
1,15 ( 11!'v J  ( 11! J
C V v=I C V
rде с v  децентрировка каждой поверхности, при которой путем pac
чета хода лучей были вычислены изменения 111'v .
553

Расчет и проектирование оптических систем
rлава 11. РАСЧЕТ ДОПУСКОВ НА
КОНСТРУКТИВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Расчет на точность основных узлов и прибора в целом, а также за
дание обоснованных допусков на оптические детали  обязательный
и важнейший этап проектирования.
На точность прибора влияют Поrрешности отсчетных и переда
точных механизмов, а также поrрешности оптической системы. От
рационально выбранных посадок и допусков в значительной мере за
висит себестоимость изrотовления при бора, ero надежность и долrо
вечность в эксплуатации. При назначении допусков надо стремиться
к тому, чтобы обеспечить изображение BblcoKoro качества, иметь за
данные характеристики и получить требуемую точность прибора.
11 . 1. Расчет допусков на изrотовление и сборку
оптических деталей и узлов
На качество изображения оптической системы и ряд друrих ее
свойств влияют [20]:
1. Отклонения величины OCHoBHoro показателя преломления nе'
средней дисперсии nу  nс, и друrих констант оптических материалов
деталей от расчетных значений, а также такие дефекты, как оптичес
кая неоднородность, двойное лучепреломление, свили и т.д.;
2. Поrрешности обработки оптических деталей  отклонение фор
мы их рабочих поверхностей от требуемой (N, , LlЯ), децентриров
ка линз или их поверхностей (с), клиновидность пластинок (Э) и раз
верток призм;
3. Поrрешности сборки, изза которых нарушается взаимное по
ложение деталей и узлов в при боре и появляются децентрировка сис
554

rлава 11. Расчет допусков на конструктивные параметры оптических систем
темы, расфокусировка изображения и биение осей, а также деформа
ции оптических поверхностей.
Некоторые поrрешности изrотовления и сборки, а также HeKOTO
рые отклонения констант оптических материалов влияют на одни и
те же свойства системы, например, качество изображения, блаrодаря
чему возможна взаимная компенсация таких дефектов. Это позволя
ет иноrда расширить допуски на оптические детали.
Соrласно критерию Рэлея, качество изображения точки считает
ся первоклассным, пока волновые аберрации оптической системы не
превосходят величины А/ 4  четверти длины волны света. Поэтому
при А  0,55 мкм допустимые волновые аберрации визуальных опти
ческих систем не должны превышать.1 в  0,14 мкм.
Допустимые аберрации фотоrрафических систем MOryT значитель
но превосходить критерий Рэлея, так как структура фотоэмульсии
rрубее дифракционной структуры оптическоrо изображения.
В визуальных системах из указанноrо допуска .1 в  0,14 мкм на
все технолоrические аберрации, возникающие изза ошибок изrотов
ления и сборки оптических деталей, рекомендуется выделять только
ero часть [4], не более (.1 в )доп  0,1мкм.
Этот допуск задается на поrрешности всех оптических деталей
системы, влияющих на качество изображения, в пределах рабочеrо,
или действующеrо пучка лучей.
Рабочим, или действующим пучком называется пучок лучей наи
большеrо сечения 15, который дает в поле оптической системы изоб
ражение одной точки предмета и на выходе из системы целиком по
падает в зрачок rлаза наблюдателя диаметром или друrоrо приемни
ка световой энерrии.
Оптические поверхности и детали вызывают различные по xapaK
теру деформации проходящеrо через них ВОлновоrо фронта  Hepe
ryлярные микронеровности изза микрошероховатости поверхностей
(рис. 11.1, а) и нарушение ero формы вследствие, например, цилинk
ричности поверхностей (рис. 11.1, б) или их местных ошибок. При ис
пользовании немонохроматическоrо света возникают поперечный xpo
матизм, например изза клиновидности деталей (рис. 11.1, в), и про
дольный хроматизм ввиду непредусмотренной их фокусности
(рис. 11.1, е).
Допуск на поперечный и продольный хроматизм можно задавать
в волновой мере. Так, для деталей астрономических приборов при
нимают , что в пределах рабочеrо пучка лучей наибольшее расстояние
между волновыми фронтами для линий F' и С' не должно превышать
величины (.1F'')доп  0,1 мкм [4].
555

Расчет и проектирование оптических систем
,-
у ..
v

JI' ,
,-11 A6
,"
#
а) б) 8}
, .
WCI
I
I
,
r} О
6.h&
Рис. 11.1. Прохождение плоскоrо волновоrо фронта черех пластинку.
имеющую дефекты изrотовления:
а) микрошероховатость; б) цилиндричность; в) клиновидность;
е) сферичность
При расчете допусков на клиновидность деталей поперечный xpo
матизм удобнее выражать в уrловой мере. Допустимый уrловой xpo
,
матизм за окуляром прибора при диаметре D рабочеrо выходноrо
зрачка равен
(()F'C' )доп = (.1F'C' )доп/П' .
При (.1F'С')доп  О,lмкм для допуска на хроматизм в уrловых ce
кундах получилось бы (.1()YC.)" доп  20" /D' и при IJ'  2мм допуск co
ставил бы Bcero 1 О".
Обычно рекомендуется задавать большие допуски на хроматизм
 до 20" для каждой детали, вызывающей хроматизм, независимо от
размера выходноrо зрачка и сложности оптической системы [20].
Общий допуск на оптическую систему можно разделить на допус
ки для отдельных деталей и их элементов, исходя из предположения,
что действия первичных поrрешностей суммируются как случайные
величины  по квадратичному закону. Причем некоторые поrреш
ности имеют скалярный характер (например, хроматизм положения),
а друrие являются векторными (например, клиновидность деталей,
цилиндричность поверхностей и др.).
В случае скалярных поrрешностей средняя величина волновоrо
допуска (.1 в )ск на каждыЙ источник таких поrрешностей рассчитыва
ется по формуле
556
(.1 в )ск = (.1 В )ДОП.ск/ тCK '

r лава 11. Расчет допусков на конструктивные пара метры оптических систем
в случае векторных поrрешностей средняя величина ВОлновоrо
допуска (.1 в )вект на каждый источник таких поrрешностей рассчиты
вается по формуле
( ,1 ) == -12 ( ,1 ) / 
в вект в ДОП.Вект \j Ift'BeKT ,
rде (.1 в )доп.ск и (.1 в )доп,вект  общий допуск на скалярные и векторные
поrрешности всей оптической системы; тек и т вект  число первич
ных скалярных и векторных поrрешностей соответственно.
11.2. Расчет допусков на оптические поверхности и
детали
Между высотой ,1 дефекта оптической поверхности и величиной
вызываемой ею деформации .1 в проходящеrо волновоrо фронта суще
ствует прямая пропорциональность [20], [4]. Поэтому для расчета дo
пусков на поrрешности оптических поверхностей можно пользовать
ся формулой вида:
.1 доп == g(.1 в )доп' (11.1)
rде g  коэффициент, связывающий допуск на дефекты поверхности
детали с волновым допуском для нее.
Для поверхностей, перпендикулярных к оси пучка лучей, коэф
фициент g равен:
1. Для преломляющей оптической поверхности, разделяющей
среды с показателями преломления п 1 и п 2 :
g == l/(пl п2)'
2. Для преломляющей поверхности, rраничащей с воздухом
(п 1  1, п2 п):
gп = 1/(1 п).
3. Для внутренней отражающей поверхности (п 1  п2  п):
gоп==1/2п.
4. Для наружной отражающей поверхности:gо O,5. При п  1,5
для последних трех случаев получим:
gп  2; gоп  1/3; go  0,5, Т.е.
требования к точности обработки наружной отражающей поверхнос
ти в 4 раза, а внутренней отражающей поверхности даже в 6 раз CTpO
же, чем к обработке преломляющей поверхности, rраничащей с воз
духом.
Допуск.1N на дефекты оптической поверхности в пределах ее pa
р
бочей зоны определяется по формуле [20]:
557

Расчет и проектирование оптических систем
ыv p == g!'J.N B == gl1h B /('A/2), (11.2)
rде МВ  наибольшая допустимая разность стрелок выходящеrо вол
HOBoro фронта в пределах рабочеrо сечения пучка лучей; ЫV B  вол
новой допуск на астиrматизм и местные деформации выходящеrо вол
HOBoro фронта в пределах рабочеrо пучка лучей, заданный величиной
наибольшей допустимой разности числа интерференционных полос,
которая наблюдается при контроле формы оптической поверхности
под пробным стеклом (rOCT 278676); 'А  длина волны света, исполь
зуемоrо для освещения при контроле поверхности пробным стеклом;
при контроле в белом свете по полосам KpacHoro цвета берется длина
волны зеленоrо участка спектра 'А == 0,55 мкм.
Для визуальных систем предельное значение допустимоrо волно
Boro допуска (!'J.Nв)доп в пределах рабочеrо участка не должно превы
шать величины
( ЫV ) == (l1h в )доп' c ""
В доп 'А/2  0,28 0,35 полосы (11.3)
Допуск N на общее отклонение формы поверхности, перпендику
лярной к оптической оси, можно определить также из допустимых
величин остаточных аберраций системы.
Допуск на несферичность ыv (астиrматичность) поверхностей в
пределах cBeToBoro диаметра D CB можно увеличить в квадрате отноше
ния cBeToBoro диаметра D CB к рабочему диаметру пучка D , тоrда [20]
ыv==ыv ( B ) 2 ==g ( ыv ) ( DCB ) 2
Р D в ДОП D
(11.4)
Некоторые плоские поверхности и отдельные детали типа плос
копараллельных пластинок (защитные стекла, разделительные плас
тины, развертки призм) наклонены к оси пучка лучей.
Для коэффициента g, который связывает высоту неровности Ha
клон ной плоской поверхности, разделяющей среды с показателями
преломления п 1 и п 2 , с вызываемой этой неровностью деформацией
проходящеrо волновоrо фронта, получается более сложное выраже
ние вида [20]
11 1
g 
E I1 B  пlCOSE  пп;sin2E'
rде Е  уrол падения oceBoro луча на наклонную плоскость.
Формулы (11.1), (11.2), (11.4) для расчета допусков на микроне
ровности, на цилиндричность и местные ошибки поверхностей coxpa
няют свой вид И для наклонных поверхностей, но коэффициент gE сле
(11.5)
558

rлава 11. Расчет допусков на конструктивные параметры оптических систем
дует подставлять из формулы (11.5) в соответствии с типом поверх
ности и уrлом падения oceBoro луча.
Если предположить, что рабочий пучок лучей  параллельный
или близкий к нему, Т.е. имеет малый апертурный уrол, а сечение пуч
ка  KpyroBoe, то рабочий участок наклонной поверхности при этих
условиях будет эллиптической формы с длиной малой оси lmin и дли
ной большой оси lmax' Если ось, BOKpyr которой наклонена оптическая
поверхность, перпендикулярна оси рабочеrо пучка, то Znun == D , 1max ==
== D COSE, rде 15  диаметр рабочеrо сечения.
Величина допуска на цилиндричность в числе полос доп по фор
муле (11.2) в пределах рабочеrо участка эллиптической формы и для
наклонной поверхности не зависит от направления оси цилиндра.
Если же допуск выражать не числом полос  доп' а величиной наи
меньшеrо допустимоrо радиуса кривизны цилиндрической поверхно
сти, то допуск будет зависеть от направления ее rлавных сечений. Это
следует иметь в виду при определении допуска  в пределах CBeTO
Boro размера поверхности по формуле (11.4).
Второй причиной возникновения астиrматизма в изображении
точки является сферичность наклонной поверхности (рис. 11.2). Раз
ность стрелок проrиба выходящеrо волновоrо фронта в пределах pa
бочеrо пучка равна
I1h B == I1h/ ge == (h max  h nun )/ ge' (11.6)
Наибольшая h max и наименьшая
h min стрелки проrиба сферической по
верхности относятся друr к друry как
квадраты длин осей рабочеrо участка
эллиптической формы, поэтому
h.nax == hmin (  ) 2 == h.nin k2 . (11.7)
ш
Выражая допуск на сферичность
наклонной оптической поверхности
числом полос N доп вдоль малой оси pa
бочеrо участка, из формулы (11.6) с
учетом формулы (11.7) для общеrо слу 
чая получим
Рис. 11.2. Астиrматизм при отражении от
наклонной сферической поверхности
559

Расчет и проектирование оптических систем
N  ( дN )
ДОПk21 Вдоп'
rде (!:!Nв)доп  допуск на астиrматизм выходящеrо волновоrо фронта,
выраженный числом полудлин волны света, используемоrо для OCBe
щения при контроле поверхности пробным стеклом.
Если перед поверхностью, для которой рассчитывается допуск,
расположена наклонная преломляющая плоскость, то учитывается
коэффициент анаморфозы ka пучка, вызываемый поверхностью, paB
ный ka = COBE/COBEB' тоrда
k = ka/COSE = COBE/(COBEBCOBE),
rде Ев И E  соответственно уrлы падения и преломления oceBoro луча
на наклонную поверхность.
Для сферической поверхности допуск :А:а отклонение радиуса кри
визны r от ero номинальноrо значения может быть определен из дo
пустимоrо волновоrо хроматизма за окуляром (для визуальных при
боров)
(11.8)
8 ( дhF'C' ) r2
дr = ДОП
(nr  nС' )D;B '
rде h  стрелка кривизны сферической поверхности; D CB  световой
диаметр; дhрС' == (Пр  nС')дh.
Для асферических поверхностей допустимое отклонение HopMa
ли да.;оп в различных точках асферической поверхности определяют
по найденному N доп [4]:
да.;оп = 55 N доп / D,
rде D  диаметр, на котором наблюдается N доп ; N доп  предельное OT
клонение стрелки проrиба поверхности детали, выраженное числом
интерференционных полос или колец.
Однако допуск да.;оп можно рассчитать, исходя из разрешающей
способности данноrо компонента системы
да.;оп = дq>;оп/(n'  n),
А ,, ( 1  " ,
rде Llq> = ...  q> ; n и n  соответственно показатели преломле
3 5" u
ния стекла и сре ы; q>  уrловои предел разрешения для систем дaH
Horo типа.
Допуски на изrотовление yrлов иризм и пирамидальность рассчи
тываются, исходя из клиновидности развертки. Клиновидность раз
вертки выражается двумя составляющими: клиновидностью ес, воз
560

rлава 11. Расчет допусков на конструктивные параметры оптических систем
никающей в плоскости rлавноrо сечения призмы из-за ошибок ее yr-
лов. и клиновидностью О"' возникающей в плоскости. перпендикуляр-
ной к rлавному сечению из-за пирамидальности призмы n. Тоrда сум-
марная величина клиновидности в силу взаимной перпендикулярно-
сти обеих составляющих будет вычисляться по формуле
o== o:+o' .
Призмы с клиновидной разверткой вызывают такие дефекты как:
сдвиr изображения осевой точки предмета с центра поля и разворот
изображения; хроматизм увеличения; кома; двоение изображения
(обычно в призмах с раздельным ходом луча).
Приведем приближенные формулы для расчета допусков на кли-
новидность разверток призм [4]. [20]:
1. Для уrла отклонения луча клином:
 при ходе луча в rлавном сечении
8 Е "" О(п  1)+ [0(п 2  1)tg 2 Е ]/(2п);
 при ходе луча в сечении. пер пендикулярном rла вному сечению:
8 == 8 Е СОВЕ == OCOBE  п2 + [(п 2  1)tg 2 E 1];
 при нормальном ходе луча 80 == О (п  1) .
2. Для приращения уrла отклонения луча клином при повороте
от нормальноrо положения (Е == О) на уrол Е:
 BOKpyr оси. параллельной ребру клина
д8 Е == 8 Е  80 == [о( п 2  1) tg 2 Е ]/(2п);
 BOKpyr оси. перпендикулярной к ребру клина и параллельной
rлавному сечению
д8 == 8  80 == [0(п 2 l)tgE sinE]/(2n) 20(n1)Sin2;
3. Для хроматизма. измеряемоrо в случае визуальных систем yr-
лом между преломленными лучами для линий F и С' и вызываемоrо:
 наклонным клином при ходе луча в rлавном сечении
д8F'С' == 8 E /V e == (O/V e )(  п2 + [(п 2 + 1) tg2E 1]}
 наклонным клином при ходе луча в сечении. перпендикуляр-
ном к rлавному
д8F'С' == 8 E /V e == (O/V e )( COBE  п2 +[(п 2 1) tg2E1]}
561

Расчет и проектирование оптических систем
 клином, нормальным к оси пучка лучей
L18F'C' = е( n  l)/v е'
4. Для комы в линейной мере, вызываемой клином в плоскости
изображения,
Ы К = 3/2[e(n2  1)аа 2 /n].
5. Для комы в уrловой мере, пересчитанной через оптическую си
стему, которая расположена за клином и имеет уrловое увеличение W
для точки пересечения oceBoro луча с выходной rранью клина [4]
L18 K = 3/2[e(n2  1)cr 2 W /n].
6. Для величины двоения изображения 0), вызванноrо ошибкой
прямоrо уrла крыши L\рш призмы, за ОПТИ'iеской системой, располо
женной между призмой и наблюдателем,
о) = L1 крш 4nWСОSЕ.
Во всех приведенных выше формулах: n  показатель преломле
ния материала призмы: V e  коэффициент дисперсии; е  преломля
ющий уrол клина; Е  уrол падения луча на входную rрань призмы
или ребро крыши; W  уrловое увеличение системы для точки пере
сечения oceBoro луча с ребром крыши; а  расстояние по осевому лучу
от клина до плоскости изображения; cr  апертурный уrол пучка лу
чей.
Допуски на клиновидность пластин. Клиновидность характери
зует непараллельность рабочих поверхностей, измеряемую уrлом е.
Клиновидность вызывает отклонение выходящеrо пучка и попереч
ный астиrматизм. Допуск на клиновидность преломляющих деталей
можно определить по формуле [4]
е доп = L18F'C';(nF' nc,)= VeL18F'C,j(ne 1).
rде L18F'C'  допустимый уrловой хроматизм, вызванный КЛИНОВИk
ностью пластины или разверткой призмы, нормальной к оси пучка лу
чей; V e коэффициент дисперсии;
Но чаще Bcero используют формулу
е  (L18F'С')допVе 1  L18F'C' D'v e
ДОПl' W   1 ' 15 '
е е
rде (L18F'С')Доп  допустимый уrловой хроматизм детали за окуляром
прибора; W  уrловое увеличение оптической системы, стоящей за
деталью, для которой определяется допуск на клиновидность,
562

rлава 11. Расчет допусков на конструктивные параметры ОПтических систем
W = 1J/ D'; 15 и D'  соответственно диаметры рабочеrо пучка лучей
в месте расположения детали и выходноrо зрачка прибора.
Допуск на децентрировку линз, исходя из допустимоrо волново
ro хроматизма, вычисляется по формуле
с $; I1F,c,vef' / D ,
l1yC'  допустимый волновой хроматизм за окуляром прибора, выз
ванный децентрировкой линзы; f'  фокусное расстояние линзы; 15
 диаметр рабочеrо отверстия поверхности линзы.
Для большинства оптических систем имеет значение появление
комы для осевой точки. При расчетах допусков используют таблицы
влияния децентрировки отдельных поверхностей и целых компонен
тов па аберрации системы (rлава 10).
Расчет допусков на отклонение показателя преломления и тол-
щины линзы. Изменение показателя преломления линз оптической
системы и толщин линз являются причинами возникновения силовых
деформирующих элементов. Чаще Bcero в оптических системах зада
ется отклонение I1f' фокусноrо расстояния, исходя из KOToporo мож
но рассчитать допуск на показатель преломления l1пl!'
Для сложной оптической системы, состоящей из l тонких линз,
используя формулу для оптической силы, можно получить l1п 
М;оп h 1 ( 1 ) f. ' I!
= l['2 . h,. пl!  I! , rде l  f.l  число линз; h  высота луча на по
верхности.
Так для двухлинзовоrо склеенноrо объектива, исходя из условия
ахроматизации, можно определить влияние изменения показателя
прело мления l1п на величину I1f:
I1f' = f'2Ф1 ( L l1п2 . v 2 ) .
п 1  1 п 2  1 v 1
В системах снебольшим уrловым полем изменение l1п заметно
сказывается на сферической аберрации в области аберраций третьеrо
порядка. Тоrда, используя формулу для сферической аберрации Tpe
тьеrо порядка в случае бесконечно удаленноrо предмета, можно по из
вестным отклонениям показателя преломления l1п определить изме
нения сферической аберрации
I!=l
11(118;) = o,5h;f,2L( h,./h1)4 d.
1!=1
563

Расчет и проектирование оптических систем
Задаваясь допустимыми значениями сферической аберрации,
можно рассчитать допустимое изменение показателя преломления
д < д(дs;)доп (hl/)4
nдоп  o,s-fi h; f,2 (d/ dn) .
Для пластинок и призм изменение сферической аберрации от по
казателя прело мления выражается зависимостью
=l 3  n 2
д(дs;)= О,Ба, Ld дn,
=1 n
rде cr А'  апертурный уrол, d  толщина компонента.
Для системы из бесконечно тонких линз в воздухе для случая,
коrда предмет бесконечно удален, допуск на дисперсию при заданном
допуске хроматической аберрации положения можно определить из
форму лы
=l 2 д(n F ,  n с ,)
Д(Дs'С')=f'2(/hl) (ne1)  ф,
а именно: д(n F ,  n с ,) = д(дs,с,)/ f,2 (hl/)2 (nе  1)/:.
Требования к типовым показателям качества стекла выбираются
по rOCTy 2313678, исходя из полученных значений Дn и д(n у  nC')
в зависимости от назначения оптических компонентов.
Изменение толщины линзы будет вызывать возникновение дефор
мирующеrо элемента в виде линзы с равными радиусами и толщиной,
равной изменению толщины основной линзы. Оптическая сила Taкo
ro деформирующеrо элемента дф = дd(n  1)2 n ,.z.
Допуск на отклонение толщины оптическоrо компонента может
быть рассчитан через допуск дf' на фокусное расстояние .
Затем следует выполнить расчет допусков на изrотовление и yc
тановку зеркальнопризменных систем, если таковые имеются в cxe
ме. Здесь нередко возникают пространственные задачи, для решения
которых в простых случаях пользуются сферической триrонометри
ей, а в сложных векторной алrеброй или матричным исчислением.
На заключительном этапе проектирования оптической системы
выполняют расчет допусков на оптические детали с учетом требова
ний к точности работы и сборке прибора.
564

rлава 12. Оформление технической документации на рассчитанную оптическую систему
rЛАВА12.0ФОРМЛЕНИЕТЕХНИЧЕСКОЙ
ДОКУМЕНТАЦИИ НА РАССЧИТАННУЮ
ОПТИЧЕСКУЮ СИСТЕМУ
12.1. Требования к оформлению принципиальной
оптической схемы
Оформление технической документации на оптическую систему
является завершающим этапом проектирования.
В техническую документацию входят: принципиальная оптичес
кая схема, оптический выпуск на систему, таблицы влияния откло
нения параметров на аберрации и параксиальные характеристики,
чертежи на оптические детали. Процесс оФормления технической дo
кументации в настоящее время полностью автоматизирован.
Соrласно rOCT 2.41281 на оптической схеме должны быть изоб-
ражены оптические элементы, выполняющие определенную функ
цию, упрощенно иСТочники излучения, приемники лучистой энерrии,
если таковые есть в схеме; элементы, поворачивающиеся или переме-
щающиеся вдоль или перпендикулярно оси, которые следует показы
вать в основном рабочем положении; положение диафраrм, зрачков
(при необходимости), фокальных плоскостей, плоскостей изображе-
ния, предмета (для фотоrрафических объективов и объективов мик
роскопов), а также положение экранов, светорассеивающих плоско-
стей и поверхностей, если таковые есть в системе. На принципиаль
ной оптической схеме необходимо привести основные оптические xa
рактеристики в виде записей на поле схемы или в таблице произволь
ной формы.
Так для телескопических систем следует привести : видимое YBe
личение, уrловое поле оптической системы в пространстве предметов,
565

Расчет и проектирование оптических систем
диаметр выходноrо зрачка, удаление выходноrо зрачка от последней
поверхности, предел разрешения, коэффициент пропускания (при He
обходимости ).
Для фотоrрафических объективов: фокусное расстояние, относи
тельное отверстие, уrловое поле оптической системы или размер Kaд
ра, разрешающую способность, коэффициент пропускания.
Для фотоэлектрических систем: размеры фотокатодов или типы
фотоприемников, размеры cBeToBoro пятна на фотокатодах.
Кроме Toro, на оптических семах следует указывать дополнитель
ные сведения: расстояние от последней поверхности фотоrрафическо
ro объектива до плоскости изображения в зависимости от расстояния
до предмета; линейное перемещение окуляра на одну диоптрию; наи
менования или типы источников излучения и приемников лучистой
энерrии; световые диаметры и стрелки проrиба, толщины линз по оп
тической оси.
В зависимости от типа оптической системы на оптической схеме
следует указывать: диаметры диафраrм, размеры зрачков, размеры
тела накала или друrих светящихся элементов источников излучения,
воздушные промежутки и друrие размеры по оси, определяющие вза
имное расположение оптических элементов, диафраrм, зрачков, фо
кальных плоскостей, плоскостей изображения и плоскостей предме
та (для систем, работающих на конечном расстоянии), источников из
лучения и приемников энерrии; размеры, определяющие положение
оптической системы относительно механической частей прибора; ra
баритные или установочные размеры, например, длину базы, высоту
выноса ( при необходимости).
Пример оформления принципиальной оптической схемы одной
ветви бинокля с призменной оборачивающей системой приведен на
рис. 12.1.
12.2. Требования к оформлению оптическоrо выпуска
на оптическую систему
Для окончательноrо варианта системы с окруrленными по roc
Ту радиусами кривизны составляется оптический выпуск [21], KOTO
рый содержит чертеж оптической системы, ее оптические характери
стики, конструктивные параметры, таблицы и rрафики аберраций.
В левой верхней части формата (рис. 12.2) записывают название
объектива, а затем указывают основные оптические характеристики,
зависящие от расположения предмета и особенностей системы: фокус
ное расстояние или увеличение, относительное отверстие, апертуру
или диаметр входноro зрачка, уrловое или линейное поле оптической
566

111..
зш

'"
ID
'"
ii
..
gj
. РОЗНЕ'I> ДЛЯ cпl>oaOK
JUI РОЗНЕ'I>, ЮСТИI>Е'Н"PI а пl>Е'ДЕ'ЛОК IЗ.5нн
с поrl>Е'IJНОСТ"Ю 0.02нн
... ДиопТI>ИPlноЕ' пЕ'I>Е'НЕ'I4Е'НИЕ' ОкЛЯl>О I3HH
Сж"" oп

1:1
!'>
О
-е-
о
"с
;;::
:.
ф
:I:
:s;
Ф
....
Ф
Х
:I:
:s;
..r::
Ф
с')
'"
о
""<
J:I
о

;;::
ф
:I:
....
'"
s=
:s;
:s;
:I:
'"
"с
'"
с')
с')
..r::
:s;
....
'"
:I:
:I:
-<
ёS
о
::>
....
:s;
..r::
Ф
с')

ёS
с')
:s;
с')
....
ф
;;::
-<
1:t0.1

'"
N
В"КО HOPl
3130ЦОК
4
2Br,-W
 о. IQ'IrЮ8Or,#Ir " Т
о OCII U CI8r_ /rI9.3/ -/97.79
/ 4011 9 3'/." и 6./ '7 OЮIЛIIO и9В -1tr19
2 7 и 3'/.49 /J2 4.2
3 26.IJ4 /7.97 J/B
4 /и /и /JJ
/9.25 /./ 2/I.IIВ 2.6 6.D
/МВ /./ ИJJ 2.9 5,
7 ИJJ 2.9 JзA4 O.J /.'
1. !lаЕ'//ИЧЕ'НИЕ' 8 к
2. !lrлоаоЕ' полЕ' 50
3. ДИОНЕ'ТI> ак. ЗI>ОЧКО 40НН
4. РОЗl>Е'IJОЮI40Я спОСОБное Т"'
8 центl3Е' поля 4"
2 но K1300 ПОЛЯ 60"
Т' 5. !lдолЕ'НИЕ' a"KOAHoro зI>ОЧКО 10.6нн
6. ПЕ'I>Е'НЕ'I4Е'Н/'/Е' ОКЛЯI>О НО 1 дпТI> 0.62нн
/Ц69 7. КОЭФФИЦИЕ'НТ пl>опж:кония од
МВ 8. ДЕ'ТОЛИ поз. 3(2), 4, 5, 6, 7 слоано пoaE'I>HT"
aOKI>r ОСИ 001 но 900
u1
о)
...,
Рис. 12.1. Принципиальная оптическая схема одной
ветви бинокля
J\4T. Моссо IItoa.IT(5
т..
Т. lCонто
WT"

Расчет и проектирование оптических систем
системы в пространстве предметов. Для фотообъективов и проекцион
ных объективов может быть указан размер кадра, предел разрешения,
а иноrда и коэффициент пропускания.
Для телескопических систем указываются увеличение, уrловое
поле, диаметр выходноrо зрачка, ero расстояние от последней повер
хности. Кроме Toro, Moryт быть указаны предел разрешения и коэф
фициент пропускания. Для фотоэлектрических систем следует YKa
зать тип приемника излучения и размер cBeT!>Boro пятна на площад
ке приемника.
Для зеркальных и зеркальнолинзовых систем рекомендуется по
мимо общих оптических характеристик указать коэффициент цент-
ральноrо экранирования и эффективное относительное отверстие. Для
телеобъективов следует записать значение коэффициента теле-
сокращения. Иноrда приводятся дополнительные сведения, характе-
ризующие особенность работы системы.
Ниже, под основными оптическими характеристиками, приводит-
ся основная длина волны, для которой исправлены монохроматичес
кие аберрации, а также интервал длин волн, для KOToporo выполнена
ахроматизация системы (рис. 12.2).
Затем располarается чертеж оптической системы, выполненный
в масштабе. Под чертежом приводятся конструктивные параметры
системы (r, d, n, v), марки стекол или друrих оптических материалов,
световые и полные диаметры, а также стрелки проrиба поверхностей
по световым и полным диаметрам. Если система содержит асферичес-
кие поверхности, то соответствующие им вершинные радиусы запи-
сываются в виде ro,,' а ниже записывается уравнение профиля или по-
верхности.
Под конструктивными параметрами системы указываются значе-
ния заднеrо фокусноrо расстояния, а также переднеrо и заднеrо фо-
кальных отрезков.
Для случая предмета, расположенноrо на конечном расстоянии,
например для микрообъектива, проекционноrо, репродукционноrо
объективов, приводится расстояние от первой поверхности до предме-
та (передний отрезок) и от последней поверхности до изображения
(задний отрезок), а также оптическая длина системы L  расстояние
между плоскостями предмета и изображения.
Кроме Toro, указываются положение апертурной диафрarмы, рас-
стояние от первой поверхности до входною зрачка (Вр) и от последней
поверхности до выходноrо зрачка (в'р')' а также приводятся диамет-
ры зрачков и апертурной диафраrмы. Иноrда дается линейное увели-
чение в зрачках.
568

rлава 12. Оформление технической документации на рассчитанную оптическую систему
Телеобъектив телескопической системы
{'  240, Djf  1:5, 2О)  30, т  Ljf'  0,77
Исправлен для длины волны Л.  546,07 нм (е)
Ахроматизирован для длин волн Л.  480 нм (F') и л.  643,8 нм (С')
F'
t'l;78
183,88
n. У. Марка D CB D ПОJl Стрелка Стрелка
стекла по D CB ПО D ПОJl
r 1  87,9 48,2 50 3,36 3,63
d 1  9,8 1,5183 63,83 К8
r 2  83,95 47,7 50 3,46 3,80
d 2  0,2
rз8з,7 47,6 50 3,46 3,84
d з  5,0 1,6522 33,62 ТФ1
r 4  397,2 46,8 50 0,69 0,78
d 4  142,6
rs  32,66 13,1 15 0,66 0,87
d s  1,5 1,5183 63,83 К8
r B  со 13,1 15 О О
D:l  159,1
r  239,49; SF  815,40; в'у  24,78
Центры апертурной диафраrмы и входноrо зрачка СОВПадают с верши
ной первой поверхности, Вр  О. Диаметры апертурной диафраrмы и
входноro зрачка равны 48 мм. Расстояние от последней поверхности
до выходноrо зрачка В' р'  45,56 мм. Диаметр выходноrо зрачка
D'  9,16 мм.
569

Расчет и проектирование оптических систем
Аберрации точки на оси
Р' - С'
е
m !!.в'у<:,
100tgcr' !!.в' !!.у' 1"\, % !!.в' !!.у' !!.в' С'---< !!.у'
у..
О О О О О 0,023 О 0,350 О ,373
12,00 5,030 ,195 ,009 0,020 ,138 ,007 0,088 0,004 ,226
16,97 7,131 ,288 ,020 0,033 ,143 ,010 ,077 ,005 ,066
24,00 10,082 ,094 ,009 0,037 0,258 0,026 0,049 0,005 0,307
Аберрации широкоrо наклонноrо пучка
в меридиональном сечении
(J)  1030'
m е F' С'
100tgcr' !!.1 OOtgu' ду' ду' !!.у' !!.у'у<:'
24,00 19,20 10,24 ,013 0,012 0,001 0,011
16,97 16,18 7,22 ,028 ,029 ,001 ,028
12,00 14,04 5,08 ,015 ,024 0,011 ,035
О 8,96 О О ,013 0,013 ,026
12,00 3,96 5,00 0,008 ,007 0,005 ,012
16,97 1,88 7,08 0,018 ,004 0,014 ,018
24,00 1,01 9,97 0,011 ,034 0,016 ,050
т ..t, нм aJ Ш
с' ( z;" 1".JIJ' 1".I11'
МО z'
$
е 70 10
' зОО JO'
F' т =197"'''' JO'
, r;',zj,H'" "!1.4 /g,' %
S't111
D.З 7/.1 D 11,1 flЗ Z7.'I- 27,5 0.1 0,5
iJ $,',.,,.,
570

rлава 12. Оформление технической документации на рассчитанную оптическую систему
Аберрации точки вне оси
00 100tgcr' Вр в' z' z' . z'z' т !!.у'д t% 100 '} !!.!/ у.с'
р' т . !/о
1003'38" 6,35 О 45,501 ,018 0,034 0,052 ,006 0,150 ,018
1030' 9,01 О 45,432 ,035 0,070 0,105 ,019 0,302 ,026
Аберрации широкоrо наклонноrо пучка
в саrиттальном сечении
00  1 о 30'
М
100tgL' !!.у' !!.х'
12,00 5,03 ,0013 ,006
16,97 7,13 ,0022 ,015
24,00 10,08 ,0027 ,002
ш=u
1uоt.gб'
с'
10 '1="'
//
8
6
UJ==1°JQ'
100tg Е'
10
8
6
4-
Z
о,oz D,OZ 1Jy: нм
, !
"у.'нм
D,OZ 1JIt,' ИН
и.02
!

5
Рис. 12.2. При мер оптическоrо выпуска (с. 569571)
571

Расчет и проектирование отических систем
Числовые значения остаточных аберраций оптической системы
сводят в таблицы и строят соответствующие rрафики аберраций. Сна-
чала приводят в правой верхней части (рис. 12.2) таблицу аберраций
для точки на оси, rде указаны сферическая аберрация, условие изо-
планатизма, сферохроматические разности и хроматизм положения.
Затем следует таблица аберраций rлавных лучей и бесконечно
тонких астиrматических пучков для различных точек поля: меридио-
нальная и сarиттальная кривизна поверхности изображения, астиrма-
тизм, дисторсия и хроматизм увеличения. В этой же таблице приво-
дится удаление выходноrо зрачка при различных наклонах для оцен-
ки сферической аберрации в зрачках.
Далее следуют таблицы аберраций лучей широких наклонных
пучков в меридиональном и саrиттальном сечениях. Эти аберрации
MorYT быть даны как для основной длины волны, так и для длин волн,
подлежащих ахроматизации.
В отдельных случаях, например при больших относительных от-
верстиях и уrловых полях, приводится таблица аберраций для внеме-
ридиональных (<<косых») лучей.
Для высококачественных оптических систем, например объекти-
вов микроскопов, приводят таблицу волновых аберраций и указыва-
ют положение плоскости наилучшей установки.
На основании данных таблиц строят rpафики аберраций под со-
ответствующими таблицами (рис. 12.2). Трафики поперечных аберра-
ций для различных точек поля необходимо выполнять в одинаковом
масштабе.
Для объектива со сравнительно невысоким относительным отверс-
тием сферическая аберрация, сферохроматические разности и усло-
вие изопланатизма рассчитывают для двух лучей: крайнеrо (mKpD/
2) и зональноrо (тз = т кр /..[2). При высоких относительных отверсти-
ях число лучей в осевом пучке увеличивают до трех-четырех
(lnз = т КР /2, 1nз = (JЗ / 2)т кр ) .rрафик хроматизма положения обыч-
но приводят для лучей на зоне тз = (т КР / ..[2).
Аберрации rлавных лучей и наклонных пучков рассчитывают для
двух или трех наклонов у объективов с уrловым полем до 600 и для
четырех или пяти наклонов для широкоуroльных объективов. Аберра-
ции широких наклонных пучков определяют на основании расчета
четырех или пяти лучей в меридиональном сечении и двух или трех
лучей  в сarиттальном сечении. Для светосильных систем с высоким
относительным отверстием число лучей в пучке увеличивается.
572

rлава 12. Оформление технической документации a рассчитанную оптическую систему
в различных оптических системах, в частности в фотообъективах,
обычно допускается виньетирование части наклонноrо пучка оправа
ми линз или специальными диафраrмами, называемыми виньетиру
ющими. На rрафиках аберраций наклонных пучков следует указы
вать, какая поверхность или диафраrма вызывает виньетирование.
Коррекция аберраций оптической системы чаще Bcero выполня
ется относительно плоскости raycca. Однако плоскость, в которой
получается наиболее блаrоприятное распределение лучей в пятне рас-
сеяния, смещена относительно плоскости raycca. Для определения
смещения этой плоскости на rрафиках поперечных аберраций для раз-
ных наклонов, построенных в системе координат t1y' и 1ОО!! tg cr', че-
рез начало координат проводят прямую, отклонение которой от кри
вой поперечной аберрации является минимальным. В оптическом BЫ
пуске указывают значение смещения этой плоскости.

Расчет и проектирование оптических систем
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Апенко М.И., 3апряrаева Л.А., Свешникова И.С. Задачник по
прикладной оптике. М.: Недра, 1987. 310с.
2. Волосов Д.С. Фотоrрафическая оптика. М.: Искусство, 1978.
543с.
3. Волосов Д.С., Цивкин М.В. Теория и расчет светооптических
систем. М.: Искусство, 1960. 526с.
4. Вычислительная оптика: Справочник/М.М. Русинов, А.П.
rрамматин, П.Д. Иванов и др. Под общей ред. М.М. Русинова. Л.: Ma
шиностроение, 1984. 423с.
5. 3аказнов Н.П., Кирюшин С.И., Кузичев В.И. Теория оптичес
ких систем. М.: Машиностроение, 1992. 448с.
6. 3апряrаева Л.А. Формулы параметров Р, W и С беконечно тон-
ких объективов, содержащих двухлинзовый склеенный компонент/ /
Изв. вузов. rеодезия и аэрофотосъемка, 1984, N25. С. 95102.
7. Климков Ю.М. Прикладная лазерная оптика. М.: Машиностро
ение, 1985. 128 с.
8. Максутов Д.Д. Астрономическая оптика. Л.: Наука, 1979. 395с.
9. Михельсон Н.Н. Оптические телескопы. М.: Наука, rл.ред.
физ.мат. лит., 1976. 512с.
10. Пахомов И.И. Панкратические системы. М.: Машинострое
ние, 1976. 160с.
11. Попов r.M. Современная астрономическая оптика. Л.: Наука,
rл.ред.физ.мат. лит., 1988. 192с.
12. Прикладная оптика/А.С. Дубовик, М.И. Апенко, r.B. Дурей
ко и др. Под ред. А.С. Дубовика. М.: Недра, 1982. 612с.
13. Прикладная оптика/М.И. Апенко, А.С. Дубовик, r.B. Дурей-
ко и др. Под общей ред. А.С. Дубовика. М.: Машиностроение, 1992.
480с.
574

Список литературы
14. Пуряев Д.Т. Методы контроля оптических асферических по
верхностей. М.: Машиностроение, 1976. 262с.
15. Родионов С.А. Автоматизация проектирования оптических
систем. Л.: Машиностроение, 1982. 270с.
16. Русинов М.М. Композиция оптических систем. Л.: Машино
строение, 1989. 383с.
17. Русинов М.М. Несферические поверхности в оптике. М.: He
дра, 1973. 295с.
18. Слюсарев r.r. Методы расчета оптических систем. Л.: Маши
ностроение, 1969. 670с.
19. Слюсарев r.r. Расчет оптических систем. Л.: Машинострое
ние, 1975. 640с.
20. Справочник конструктора оптико-механических приборов/
В.А. Панов, М.Я. Kpyrep, В.В. Калуrин и др. Под общ.ред В.А. Пано
ва. Л.: Машиностроение, 1980. 742с.
21. Теория оптических систем /Б.Н. Беrунов, Н.П. 3аказнов,
С.И. Кирюшин и др. М.: Машиностроение, 1981. 432с.
22. Трубко С.В. Расчет двухлинзовых склеенных объективов.
Л.: Машиностроение, 1984. 142с.
23. Турыrин И.А. Прикладная оптика. Ч.I и 11, М.: Машиностро
ение, 19651966. 362 и 431с.
24. Фефилов Б.В. Прикладная оптика. М.: rеодезиздат, 1947.
531с.
25. Чуриловский В.Н. Теория хроматизма и аберраций третьеrо
порядка. Л.: Машиностроение, 1968. 312с.
26. Шульман М.Я. Измерение передаточных функций оптических
систем. Л.: Машиностроение, 1980. 208с.

Расчет и проектирование Оптических систем
оrЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ............................ ................... .................................3
rлава 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О РАСЧЕТЕ И ПРОЕКТИРОВАНИИ
ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ .... .......... ........ ............. ....... .... ......... 7
1.1. Исходные принципы автоматизированноrо
проектирования оптических систем .......................................... 7
1.2. Задачи, решаемые при проектировании
оптической системы................ ................ .................................. 8
1.3. Этапы разработки оптических систем
и степень их автоматизации .................................................... 10
1.4. Автоматизированное проектирование оптических
систем..................................................................................... 13
rлава 2. rАБАРИТНЫЙ РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ............................................................................ 25
2.1. rабаритный расчет телескопических систем ...........................25
Расчет простых телескопических систем Кеплера и rалилея .................. 31
Расчет зрительной трубы Кеплера с коллективом
в фокальной плоскости. ...... .............. ............... .................. ........... ......... 38
Расчет зрительной трубы с внутренней фокусировкой .......................... 42
rабаритный расчет зрительных труб с линзовыми
оборачивающими системами ................................................................50
Расчет телескопических систем с внефокальным
коллективом.......................................................................................... 60
rабаритный расчет телескопических систем с призменными .....................
оборачивающими системами. Призменные монокуляры и
бинокулярные зрительные трубы................. ............. ................ ............. 63
Особенности rабаритноrо расчета
оптических систем перископов .... ...... ..... ......... ...................................... 75
Особенности rабаритноrо расчета зрительных труб
с злектроннооптическими преобразователями .................................... 78
576

Оrлавление
2.2. rабаритный расчет зрительных труб nepeMeHHoro ......................
увеличения.................... ................................................................ 79
Область применения оптических систем
переменноrо увеличения ...................................... ................... ..... ......... 79
Классификация зрительных труб переменноrо увеличения .................... 80
Оптические характеристики зрительных труб
переменноrо увеличения ...... .... .... ................ ............................... .... ...... 86
Расчет панкратической зрительной трубы переменноrо увеличения
с двухкомпонентной оборачивающей системой ..................................... 90
2.3. rабаритный расчет луп и микроскопов .................................... 97
Расчет бинокулярной призматической лупы......................................... 112
rабаритный расчет отсчетноrо микроскопа
по заданной точности отсчета по нониусу ............................................ 116
Расчет микроскопа для микропроекции ............................................... 118
2.4. rабаритный и светотехнический расчет
проекционных систем........................................................... 119
Расчет проекционной системы для эпипроекции ................................. 123
Расчет проекционной системы для диапроекции ................................. 127
2.5. Оптические системы для лазеров .......................................... 146
Параметры пучка лазера и основные соотношения
при ero преобразовании оптической системой.................................... 146
Оптические системы для концентрации излучения лазера ................... 154
Оптические системы для уменьшения расходимости
лазерноrо пучка................................................................................... 157
Основные требования к разработке оптических систем
для преобразования лазерноrо излучения........................................... 162
rабаритный расчет оптических систем для коллимации
и концентрации лазерноrо излучения при использовании
rеометрооптической модели излучения ................................................ 164
rлава 3. АБЕРРАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ.
МЕТОДЫ АБЕРРАционноrо РАСЧЕТА.......................... 172
3.1. Общие понятия........ .... ............ ............................ .................. 172
3.2. Методы аберрационноrо расчета оптических
систем....................................... ............................................ 173
3.3. Аберрационный расчет оптических систем ........................... 191
Телескопические системы................................................................... 191
Телескопические панкратические системы.
Особенности аберрационноrо расчета ................................................ 208
Система микроскопа.. ... ............. ........ .... ..... ... ......... ....... ...... ................ 209
Объектив из двух компонентов, расположенных на конечном
расстоянии Apyr от Apyra ......... ............... ............... .............................. 211
Оптические системы для коллимации лазерноrо излучения ................. 213
577

Расчет и проектирование оптических систем
rлава 4. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ OДHO И
ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ ЛИНЗОВЫХ СИСТЕМ
ИЗ БЕСКОНЕЧНО ТОНКИХ КОМПОНЕНТОВ
НА ОСНОВЕ МЕТОДА РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ........215
4.1. Уравнения первой и второй rpynn метода разделения
переменных. Внутренние и внешние параметры.
Свободные параметры ..........................................................215
4.2. Общая методика синтеза оптических систем
из бесконечно тонких компонентов....................................... 218
Уравнения синтеза... ............. ........... ....... ............... .......... .......... .......... 218
Последовательность выполнения синтеза.... .......... .................... .......... 220
Модульный принцип составления аберрационных уравнений. ...................
Параметры Р, W и С отдельной линзы и двухлинзовоrо
склеенноrо компонента....................................................................... 230
4.3. Синтез OДHO и двухкомпонентных линзовых систем
с бесконечно малыми воздушными промежyrками ............... 234
Виды однокомпонентных линзовых систем ..........._.............................. 234
Синтез двухлинзовоrо склеенноrо компонента .................................... 239
Синтез двухлинзовоrо несклеенноrо компонента................................. 242
Синтез четырехлинзовых компонентов из двух одинаковых
двухлинзовых компонентов ..... ......... ......... ............................. ........ ...... 244
Синтез трехлинзовоrо склеенноrо компонента .................................... 246
Обоснование выбора избыточных пара метров в трех- и
четырехлинзовых компонентах .......... .................... .............................. 251
Синтез трехлинзовых компонентов ...................................................... 254
Синтез четырехлинзовых компонентов ................................................ 258
4.4. Синтез линзовых систем из двух компонентов, ...........................
расположенных на конечном расстоянии
друr от друrа ......................................................................... 261
Синтез телеобъективов телескопических систем................................. 261
Синтез фототелеобъективов ...................................... _......................... 271
Синтез светосильноrо двухкомпонентноrо объектива.......................... 279
Синтез оптических систем для преобразования
лазерноrо излучения............................................................................ 285
Синтез симметричноrо окуляра ........................................................... 290
4.5. Синтез трехкомпонентных линзовых систем
типа триплета................................... ..................................... 294
4.6. Специализированные проrраммы синтеза OДHO и
двухкомпонентных систем ........... ............ .... ..................... ..... 302
rлава 5. РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ ОСВЕТИТЕЛЬНЫХ..............................
СИСТЕМ....................................................................................... 307
5.1. Линзовые осветительные системы (конденсоры) .................. 307
578

Оrлавление
5.2. Методы расчета конденсорных систем .................................309
Расчет конденсорных систем на минимум сферической аберрации..... 312
Расчет конденсорных систем из двух плосковыпуклых линз................. 318
Расчет конденсорных систем, содержащих апланатические мениски .. 319
5.3. Формулы для вычисления продольной и
поперечной сферической аберрации TpeTbero
порядка в конденсорах различной конструкции..................... 323
5.4. rрафический способ определения положения
плоскости наименьшеrо кружка рассеяния и
размера кружка рассеяния в этой плоскости.
Эффективное увеличеRие ..................................................... 324
5.5. Зеркальные и зеркальнолинзовые
осветительные системы........................................................ 326
Зеркальные осветительные системы ................................................... 326
Зеркальнолинзовые осветительные системы ..................................... 328
Оптический растр в качестве осветительной системы .......................... 332
rлава 6. РАСЧЕТ ЗЕРКАЛЬНЫХ И ЗЕРКАЛЬНО
ЛИНЗОВЫХ СИСТЕМ ...................................................... 335
6.1. Преимущества и недостатки зеркальных и
зеркальнолинзовых систем перед линзовыми ..................... 335
6.2. Расчет простых зеркальных систем .......................................337
rабаритный и аберрационный расчеты одиночноrо
сферическоrо зеркала ......................................................................... 337
Сферическое зеркало с плоским отражателем..................................... 341
6.3. rабаритный и аберрационный расчеты двухзеркальных
систем со сферическими поверхностями.............................. 343
Двухзеркальные системы для предмета в бесконечности..................... 343
Двухзеркальные системы для предмета
на конечном расстоянии ...................................................................... 356
Апланатические двухзеркальные системы............................................ 364
Двухзеркальные системы с двумя проходами лучей
между зеркалами................................................................................. 368
6.4. Компенсаторы монохроматических аберраций ..................... 372
Афокальные ахроматические компенсаторы ........................................ 372
Неафокальные компенсаторы.............................................................. 381
6.5. Параметрический синтез зеркальнолинзовых
систем с линзовыми компенсаторами
различных конструкций ............... ............................ .............. 385
Синтез систем с двухлинзовым афокальным ахроматическим
компенсатором в параллельных пучках ................................................ 385
Синтез зеркальнолинзовых систем с афокальным ахроматическим
компенсатором в сходящихся пучках лучей .................................... ...... 391
579

Расчет и проектирование оптических систем
Синтез зеркальных систем с афокальным ахроматическим
компенсатором комы ...................... ..................................................... 396
Синтез зеркальных систем с мениском Максутова .............................. 399
Синтез объектива типа KaccerpeHa с линзой Манжена
в качестве компенсатора на вторичном зеркале ................................... 408
6.6. Параметрический синтез линзовых систем с
отражающей поверхностью.. .... ............................................. 411
Синтез зеркала Манжена ..................................................................... 411
Синтез двухлинзовых компонентовотражателей ................................. 416
rлава 7. РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С АСФЕРИЧЕСКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ ......................... 425
7.1. Применение асферических поверхностей
в оптических системах.......................................................... 425
7.2. Общие свойства асферических поверхностей ....................... 427
Уравнение профиля асферической поверхности .................................. 427
Уравнение асферической поверхности ................................................430
Коэффициент деформации и ero определение .................................... 431
Радиусы кривизны асферической поверхности .................................... 433
7.3. Расчет центрированных оптических систем
с асферическими поверхностями в области
аберраций TpeTbero порядка ................................................. 435
Коэффициенты аберраций TpeTbero порядка оптических систем ...............
с асферическими поверхностями ......................................................... 435
Влияние деформации асферической поверхности
на аберрации TpeTbero порядка бесконечно TOHKoro компонента ......... 438
Перенос деформации с одной поверхности
оптической системы на друryю .... .... ......... ............. .............................. 439
Исправление сферической аберрации деформированием
поверхности в простейших оптических системах ................................. 442
Расчет двухзеркальных апланатических систем ................................... 447
Расчет линз конечной толщины при условии исправления
четырех аберраций TpeTbero порядка .................................................. 449
Расчет трехзеркальной системы с асферическими
поверхностями ...................... .............................................................. 452
7.4. Анаберрационные и анастиrматические
поверхности и системы .........................................................456
Анаберрационные преломляющие поверхности и линзы ...................... 456
Анаберрационные отражающие поверхности.. ..................................... 461
Анаберрационные поверхности и линзы, не имеющие
параксиальной области ....................................................................... 463
Расчет анаберрационных линз .................. ....... .................................... 464
Расчет анаберрационных зеркальных систем ................................ ....... 465
Анастиrматические поверхности и линзы ............................................. 468
580

Оrлавление
Применение условия точечноrо изображения к расчету сложных
систем. Метод дифференциальных уравнений .....................................470
Особенности расчета системы Шмидта ............................................... 472
7.5. Исправление аберраций высших порядков
введением малых деформаций ............................................. 476
7.6. Технолоrические характеристики асферической
поверхности. Определение радиуса ближайшей
сферы для поверхностей BToporo порядка............................ 478
rлава 8. АБЕРРАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ исходноrо
ВАРИАНТА ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
И ОПТИМИЗАЦИЯ......... ......... ......... ................................ 481
8.1. Аберрационный анализ ИСХОДноrо варианта.
Методы коррекции аберраций .................... .......................... 481
8.2. Метод проб........................................................................... 484
8.3. Автоматизированная коррекция аберраций оптических
систем. Универсальные проrраммы для коррекции
аберраций в оптических системах любых типов
и любой степени сложности .................................................. 493
Математические методы автоматизированной коррекции ................... 496
Приемы автоматизированной коррекции оптических систем ............... 500
rлава 9. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ИЗОБРАЖЕНИЯ
ОПТИЧ ЕСКИХ СИСТЕМ ................................................... 504
9.1. Исходные принципы оценки качества изображения .............. 504
9.2. Разрешающая способность оптических систем .................... 507
9.3. Критерий Штреля и волновые критерии оценки
качества изображения........................................................... 513
9.4. Требования, предъявляемые к универсальному
критерию оценки качества изображения............................... 521
9.5. Функции рассеяния точки и линии. Определение
освещенности в произвольной точке изображения............... 523
9.6. Оптическая передаточная функция. Функция
передачи модуляции и функция передачи фазы
(ФПМ и ФПФ) ........................................................................ 525
9.7. ОПФ  автокорреляция зрачковой функции ......................... 532
9.8. Расчет ОПФ.. ............................................ ................ ...... ....... 537
9.9. Полихроматические функции ФРТ и ОПФ.............................. 539
581

Расчет и проектирование оптических систем
rлава 10. ОТКЛОНЕНИЯ КОНСТРУКТИВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ОТ
НОМИНАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ И ИХ ВЛИЯНИЕ
НА АБЕРРАЦИИ И ПАРАКСИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ .............................................. 541
10.1. Расчет влияния изменения пара метров на аберрации ........ 541
10.2. Оценка чувствительности оптических систем
к поrреш ности изrотовлен ия ............................................... 547
10.3. Влияние децентрировки на аберрации
оптической системы........ ................. ............................. ...... 550
rлава 11. РАСЧЕТ ДОПУСКОВ НА КОНСТРУКТИВНЫЕ
ПАРАМЕТРЫ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ............................554
11.1. Расчет допусков на изrотовление и сборку оптических
деталей и узлов .................................................................. 554
11.2. Расчет допусков на оптические поверхности и детали ........ 557
rЛАВА 12. ОФОРМЛЕНИЕ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДОКУМЕНТАЦИИ
НА РАССЧИТАННУЮ ОПТИЧЕСКУЮ СИСТЕМУ .............565
12.1. Требования к оформлению принципиальной
оптической схемы............................................................... 565
12.2. Требования к оформлению оптическоrо выпуска
на оптическую систему........................................................ 566
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ................................................................. 574
or ЛАВЛЕНИЕ............................................................................... 576

По Вопросам приобретения литературы
обращаться по адресу:
105318, Москва, Измайловское Ш., 4
Тел./факс: (095) 3695668, 3697727
Электронная почта: uпiversitas@тai/.ru
Пейджер: (095) 956 1956 аб. 55032

Уче6ное издание
Запряrаева Людмила Алексеевна
Свешникова Инна CepreeBHa
РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Уче6ник
Ориrииал-макет подrотовлен в УПП .РепроrрафИЯt мииrАиК
Б.В. Кузнецовым, Е.В. Мельниковой
103064, Москва, rороховский пер., 4
ЛР N2 071045 от 09.06.99
Подписано в печать 22.05.2000. rарнитура Школьная. Формат 60х90/16.
Бумаrа офсетиая. Печать офсетная. Печ.л. 36,5. Уч.-изд. л. 36,4.
Тираж 1000 экз. Заказ 827
Издательство .ЛоrОСt
105318, Москва, Измайловское ш., 4
Отпечатано с roTOBblX диапозитивов
Марийским полиrрафическо-издательским комбинатом
424000, Йошкар-Ола, Комсомольская, 112