j I '	• ОЦОП
УСТОЙЧИВОСТЬ
ИТОН Н 1.ИЙОВ
)ГПТ!ВТОЪ1 ктоти
ОПТИМИЗАЦИЯ и ИССЛЕДОВАНИЕ
ОПЕРАЦИИ
Д. А. МОЛОДЦОВ
УСТОЙЧИВОСТЬ
ПРИНЦИПОВ
ОПТИМАЛЬНОСТИ
МОСКВА <НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1987
ББК 22.18
М75
УДК 517.873
Молодцов Д. А. Устойчивость принципов оптимальности. —
М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.. 1987. — 280 с.— (Оптимизация
и исследование операций/ Ред. сер. Н. Н. Моисеев).
Излагается новый подход к описанию, определению устойчиво-
сти, аппроксимации и регуляризации для широкого класса задач
поиска приближенных решений. Исследуются взаимосвязи введенных
понятий и связь их с классическими определениями непрерывности
и регуляризации. Указываются способы построения регуляризующих
задач. Большое внимание уделено приложению развитого подхода
к решению системы неравенств, задаче математического программи-
рования, максиминным задачам, многокритериальным задачам.
Для специалистов по прикладной математике, кибернетике, не-
корректным задачам, теории устойчивости, а также для инженеров,
аспирантов и студентов.
Библиогр. 91 назв.
ОПТИМИЗАЦИЯ^ИТГССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
выпуск 21
Редактор серии Н. Н. МОИСЕЕВ
Рецензент
член-корреспондент АН СССР В. К. Иванов
Дмитрий Анатольевич Молодцов
УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Редакторы С. А. Ашманов, И. Е. Морозова
Художественный редактор Т. Н. Колъченко
Технический редактор И. Ш. Аксельрод
Корректоры Г. В. Подвольская, Л. С. Сомова
ИБ № 12862
Сдано в набор 08.07.85.	Подписано к печати 26.11.86.
Формат 84Х108/з2. Бумага книжно-журнальная. Гарнитура литературная.
Печать высокая. Усл. печ. л. 14,7. Усл. кр.-отт. 14,7. Уч.-изд. л. 16,4.
Тираж 5700 экз. Заказ № 48. Цена 2 р. 20 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Набрано в Московской типографии № 5 ВГО «Союзучетиздат»,
101000 Москва, ул. Кирова, 40
Отпечатано в типографии № 2 издательства «Наука»,
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6 Зак. 3264
М
1702070000—017
053(02)-87
© Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1987
32-86
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение................................................... 5
Некоторые обозначения............................• .	.	21
Глава 1. Устойчивость принципов оптимальности ...	22
§ 1.	Определение основных объектов и постановка задач 22
§ 2.	Примеры задания принципов оптимальности ...	26
§ 3.	Определения устойчивости принципов оптимальности	35
§ 4.	Взаимосвязи различных понятий устойчивости .	.	19
Глава 2. Исследование устойчивости в некоторых классах
задач...................................................65,
§ 1.	Свойства принципов оптимальности ех//?, in//?, ini,/? 65
§ 2.	Устойчивость множества, заданного ограничениями 75
§ 3.	Устойчивость задачи математического программиро-
вания .....................................•	.	.	.	92
§ 4.	Устойчивость максиминных задач....................111
§ 5.	Устойчивость многокритериальных задач оптимизации 128
Глава 3. Регуляризация принципов оптимальности . .	143
§ 1.	Сравнение принципов оптимальности.................144
§ 2.	Свойства отношений регуляризации..................152
§ 3.	Регуляризующие принципы оптимальности .	.	.	161
Глава 4. Сравнение принципов оптимальности для некото-
рых классов задач.......................................172
§ 1.	Регуляризация множества, заданного ограничениями 172
§ 2.	Регуляризация задачи математического программиро-
вания ................................................178
§ 3.	Сравнение принципов оптимальности для максимин-
ных задач.............................................201
§ 4.	Сравнение принципов оптимальности для многокрите-
риальных задач оптимизации............................208
Дополнение. Приближенный интеграл функции действи-
тельного переменного....................................227
Введение...............................................227
§ 1.	Приближенный предел и его простейшие свойства	229
§ 2.	Приближенные дифференциалы, производные	и	их
свойства.....................................232
§ 3.	Устойчивость приближенных дифференциалов	.	.	236
§ 4.	Регуляризация производной....................239
1*
4	ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5.	Приближенные верхний и нижний интегралы Перрона 240
§ 6.	Приближенные верхний и нижний интегралы Римана	243
§ 7.	Связь верхних и нижних приближенных интегралов
Перрона и Римана....................................245
§ 8.	Определение приближенного интеграла и его свой-
ства ...............................................248
§ 9.	Условия существования приближенного интеграла 254
§ 10.	Связь приближенного интеграла с классическими ин-
тегралами ..........................................259
§ 11.	Устойчивость приближенного интеграла ....	267
§ 12.	Приближенные дифференциалы и интегралы с более
общей структурой....................................274
Список литературы .	................................277
ВВЕДЕНИЕ
Исследование проблем устойчивости является тради-
ционным разделом математики. Это вызвано прежде
всего большой важностью понятия устойчивости для
прикладных наук. Так, решение различных задач по
приближенным исходным данным, интерпретация реше-
ний и наблюдений, вопросы численного счета и другие
прикладные проблемы непосредственно связаны с устой-
чивостью. Адамар включил устойчивость наряду с тре-
бованиями существования и единственности решения в
определение корректной задачи. Впоследствии условие
корректности часто рассматривалось как необходимое
для того, чтобы математическая задача отражала неко-
торую физическую реальность.
Однако исследования показывают, что многие мате-
матические задачи, относящиеся к основному аппарату
прикладной математики, являются неустойчивыми. Здесь
и задача Коши для дифференциального уравнения, и
интегральные уравнения, и различные экстремальные
задачи и многие другие. Конкретные примеры подобных
задач можно найти в [29, 38, 43, 71, 74].
Потребности анализа и решения неустойчивых за-
дач привели к созданию теории некорректных задач.
Основы этой теории были заложены в работах А. Н. Ти-
хонова, В. К. Иванова, М. М. Лаврентьева и других
[29, 37, 38, 74—79]. Постановку задачи в этой теории
продемонстрируем на примере операторного уравнения
Аг= и, u^U, z^F,
где (F, рр), (U, ри)—метрические пространства.
Пусть вместо точного значения ит, которому соответ-
ствует решение гт, известны элемент й и число б такие,
что ри(ит, й)^6. Далее цитируем [74]: «...По этим дан-
ным, то есть по (й, б), требуется найти такой элемент
ZjeF, который стремился бы (в метрике F) к гт при
6
введение
d-^О. Такой элемент мы будем называть приближенным
(к гт) решением уравнения Аг=й-».
В теории некорректных задач разработаны различ-
ные способы нахождения приближенных решений, ко-
торые были с успехом применены при создании систем
математической обработки результатов наблюдений в
естественных науках, при решении различных задач фи-
зики, геофизики, геологии и т. п. (достаточно подробную
библиографию можно найти в [1—4, 23, 32—37]).
В последнее время сфера применения математических
методов исследования бурно расширяется. Появляются
новые области исследований, специфика которых тре-
бует, на наш взгляд, некоторого уточнения понимания
устойчивости и подхода к исследованию проблем, связан-
ных с устойчивостью, к подобным областям относятся
прежде всего теории, изучающие проблемы управления
сложными системами, включающими в качестве актив-
ных элементов людей [1, 3—5, 11, 15, 17—19, 21—23, 30,
33—36, 39, 45, 46, 49—55, 59, 69, 71, 73, 83].
Чтобы указать причины возникновения нового подхо-
да к устойчивости и его основные черты, исследуем бо-
лее подробно, какое место занимает устойчивость в прак-
тических задачах. Поскольку общими вопросами приме-
нения математических методов к решению практических
задач занимается исследование операций, воспользуем-
ся разработанной там методологией [17, 55, 63, 85], хо-
тя некоторые элементы этой методологии потребуют
уточнения.
В любой задаче принятия решений можно выделить
трц этапа.
а)	Построение математической модели изучаемого про-
цесса или явления. Другими словами, на этом этапе
происходит описание процесса с помощью того или
иного математического аппарата.
б)	Определение цели исследования, то есть постановка
задачи. Формализация цели исследования часто до-
стигается с помощью формулировки некоторой опти-
мизационной задачи. При изучении сложных, мно-
гофакторных моделей, когда выбрать один критерий
затруднительно, оказывается удобным использовать
более общий подход к постановке задачи с помощью
понятия «принцип оптимальности» [71]. Принцип
оптимальности — это точечно-множественное отобра-
жение, которое каждой модели ставит в соответст-
ВВЕДЕНИЕ
7
вне подмножество множества выборов. Такое под-
множество понимается как множество решений, или
множество оптимальных решений, или множество оп-
тимальных стратегий. В дальнейшем такие принципы
оптимальности будем называть классическими.
в)	Решение возникающей на этапе б) математической
задачи. Обычно в процессе постановки и решения за-
дачи принятия решений участвуют два субъекта.
Первый, которого принято называть оперирующей
стороной, представляет собой человека или группу
лиц, в интересах которой и проводятся исследования.
Второго называют исследователем операции. Если
так можно выразиться, то оперирующая сторона от-
вечает за „содержательный аспект задачи, а иссле-
дователь операции отвечает за формальный аспект.
Конечно, такое деление не вполне строго, но на прак-
тике определить оперирующую сторону и исследова-
теля операции обычно достаточно несложно. Часто
оперирующей стороной является специалист в неко-
торой практической сфере деятельности, глубоко по-
нимающий содержание проблемы, но не владеющий
в достаточной степени математическими методами.
Он вынужден обратиться за помощью к математику,
который и является исследователем операции.
Однако роли оперирующей стороны и исследовате-
ля операции весьма различны на каждом этапе.
На этапе а) выбирается математический аппарат для
описания процесса и степень подробности этого
описания. Роль математика здесь заключается в том,
чтобы описать оперирующей стороне возможности,
которые предоставляет математика, то есть пред-
ставить оперирующей стороне семейство возможных
моделей, описать их свойства и возможности их ре-
шения. Роль оперирующей стороны — выбрать одно из
возможных описаний. Конечно, такое распределение ро-
лей весьма приближенно. Всевозможные уточнения мо-
дели могут происходить после решения задачи и в про-
цессе обсуждения модели с математиком, но важен прин-
ципиальный факт, что окончательный выбор математи-
ческого описания производит оперирующая сторона из
содержательных соображений.
Аналогичная ситуация имеет место и на этапе б).
Математик описывает различные возможности при фор-
мализации постановки задачи и указывает их свойства,
8
ВВЕДЕНИЕ
а оперирующая сторона делает окончательный выбор
между этими формальными постановками.
Как при выборе модели, так и при выборе формаль-
ной постановки задачи присутствуют две противобор-
ствующие тенденции.
Первая состоит в стремлении к более точному опи-
санию реального процесса и целей оперирующей сто-
роны.
Вторая — в стремлении к простоте возникающих
задач и возможности их эффективного решения.
Поэтому, чем шире возможности выбора постановок
задач, предоставляемые математикой оперирующей сто-
роне, тем шире и эффективнее возможно практическое
применение теории исследования операций.
На этапе в) главная роль принадлежит математику.
Он решает поставленную задачу, а оперирующая сто-
рона только использует полученные рекомендации для
принятия решений в реальной обстановке.
Итак, какова роль устойчивости оптимальных реше-
ний как функции модели? Почему возникает необходи-
мость анализировать возмущения модели?
Отметим прежде всего, что возмущения модели в до-
статочно сложных задачах неизбежно возникают на эта-
пе в), то есть в процессе решения. Процедура численно-
го решения задачи обычно связана с присутствием раз-
личных вычислительных погрешностей (погрешности ме-
тода, погрешности аппроксимации различных функций,
ошибки округления и т. п.). Это приводит к тому, что
ЭВМ. оперирует с информацией, соответствующей не мо-
дели, выбранной на этапе а), а некоторой возмущенной
модели.
Кроме этапа в), необходимость анализа возмущений
модели возникает и на этапе а). Прежде всего это объ-
ясняется присутствием двух указанных выше тенденций
при выборе модели. Чтобы достаточно хорошо описывать
реальность, модели должны быть достаточно сложны.
Но сложные модели часто недоступны для непосредст-
венного анализа с помощью ЭВМ. Необходимы упроще-
ния исходной модели, но не любые, а только те, кото-
рые сохраняют нужные свойства. Поэтому как поиск уп-
рощений модели, так и проверка удовлетворительности
рассматриваемых упрощений требуют изучения не одной,
а целого класса моделей.
ВВЕДЕНИЕ
9
Кроме этого, при построении математической модели
возможно использование различного математического
аппарата (непрерывные и дискретные модели, детерми-
нированные и стохастические постановки, классический
и интервальный анализ и т. д.). Использование различ-
ного аппарата приводит к различным, вообще говоря,
моделям. Если решения, полученные на таких различ-
ных моделях, сильно отличаются, то возникает вопрос:
как интерпретировать этот факт? Является ли такое
сильное различие результатов свидетельством неудовлет-
ворительности некоторых классов моделей или это объ-
ясняется выбором формализации постановки задачи на
этапе б)? Для ответа на возникающие здесь ропросы
опять необходимо рассмотрение класса моделей.
Кроме приведенных причин необходимости анализа
возмущений модели возможны, конечно, и другие, но
мы ограничимся пока рассмотрением указанных.
Если вариации модели, которые нужно исследовать,
достаточно малы, то естественно возникает вопрос: ма-
лы ли вызванные ими вариации решений? Другими сло-
вами, возникает проблема изучения устойчивости. Вве-
дение строгих понятий, определяющих, в каком смысле
понимается малость вариаций модели и решений, и уточ-
нение связи между ними приводят обычно к одному из
классических понятий непрерывности, полунепрерывно-
сти и т. п. Не анализируя пока этих понятий, отметим
один принципиальный момент, связанный с применением
различных определений непрерывности и устойчивости
в задачах принятия решений.
Обычно, оговаривается это явно или нет, элементы,
являющиеся решениями для возмущенной модели и близ-
кие к решению для исходной модели, трактуются как
приближенно удовлетворяющие постановке задачи, то
есть требованиям оптимальности. Другими словами, от
постановки задачи, данной на этапе б), отказываются, а
вводят новую постановку, где фактически определяют
понятие приближенного решения (e-решения, е-опти-
мального решения и т. п.) и формулируют задачу его по-
иска.
Такой переход к новой постановке задачи не явля-
ется, конечно, результатом применения каких-то матема-
тических концепций или математического аппарата. Этот
переход носит исключительно качественный характер и
вызван прежде всего тем, что достаточно сложные за-
10
ВВЕДЕНИЕ
дачи можно решить только приближенно, то есть сна-
чала изменив или дополнив понятие решения.
Итак, нужно определять не понятие оптимального
решения, а понятие приближенного или е-приближенно-
го решения, и формулировать задачу его поиска.
Такому выводу можно было бы возразить, отметив,
что е-оптимальные решения ничем в принципе не отли-
чаются от решений, и их можно понимать как решения,
но с другим классическим принципом оптимальности.
Это, конечно, верно. Для описания задач принятия ре-
шений и их устойчивости можно применять различные
языки. Вопрос в том; какой язык более удобен и плодо-
творен. Одной из целей настоящей работы является пре-
доставление доводов и доказательств предпочтительно-
сти предлагаемого здесь подхода.
Довольно часто множество приближенных решений
или е-решений понимается как окрестность точного ре-
шения, а окрестность задается выбором топологии, оп-
ределяемой в свою очередь с помощью метрик, норм,
баз или других конструкций.
Во многих практических задачах физики, геологии,
геофизики, астрономии такое понимание приближенного
решения при соответствующем выборе топологии, его оп-
ределяющей, достаточно адекватно отражает потребно-
сти прикладников. Устойчивость решений как функции
модели, если в определении устойчивости в качестве то-
пологии для решений использовалась топология, опре-
деляющая приближенные решения, является весьма при-
влекательным свойством для практиков.
Действительно, если решение устойчиво, то решения,
полученные на близких к исходной моделях, являются
приближенными решениями на исходной модели. Это
свойство позволяет приближенно решать задачи по не-
точной исходной информации, делает возможным в прин-
ципе применение ЭВМ, служит основой для различных
асимптотических методов и т. п. Все эти применения ус-
тойчивости чрезвычайно важны для практики.
Мы рассмотрели основные моменты, на которых ба-
зируется применение устойчивости в практических зада-
чах. Что же здесь требует уточнения?
На наш взгляд, описанный подход недостаточное
внимание уделяет вопросу о приближенных решениях.
Как уже отмечалось, в любых достаточно сложных прак-
тических задачах возмущения модели, имеющие место
ВВЕДЕНИЕ
11
на этапах а), в), приводят к тому, что оперирующая сто-
рона вынуждена довольствоваться приближенными ре-
шениями.
Поэтому постановка задачи, то есть этап б), долж-
на содержать определение понятия е-оптимальности или
понятия приближенных решений. Такая концепция эта-
па б) точнее соответствует практике и включает в себя
первоначальное понимание этапа б), так как понятие
решения можно считать частным случаем приближенно-
го решения.
Итак, на этапе б) оперирующая сторона выбирает
понятие приближенного решения, а математик играет
роль консультанта. Он разъясняет оперирующей сторо-
не свойства различных постановок задач, характеризу-
ет степень трудности их решения, исследует устойчи-
вость. Математик не должен навязывать удобные ему
понятия приближенного решения. Доминирование мате-
матика на этапе 6) может привести к тому, что понятие
приближенного решения будет недостаточно хорошо от-
ражать цели оперирующей стороны. Целесообразность
дальнейшего решения таким образам полученной зада-
чи является весьма сомнительной.
На наш взгляд, возможность расширения сферы при-
ложения математических методов связана, прежде все-
го, с возможностью достаточно точного описания дей-
ствительности и в том числе целей исследования в этих
практических задачах. Для этого в математике должны
быть развиты методы анализа и решения достаточно ши-
рокого класса приближенных решений. Теория некор-
ректных задач занимается в основном только семейст-
вом приближенных решений следующей структуры. Сна-
чала вводится понятие решения и топологии на множе-
стве решений. Считается, что семейство приближенных
решений совпадает с семейством окрестностей решения,
а сами окрестности или величины, их определяющие,
параметризуют семейство приближенных решений.
Такой способ определения приближенных решений
далеко не единственный и не самый естественный во
многих задачах. Часто приближенные решения или кон-
струкции, близкие к ним по смыслу, вводят как раз тог-
да, когда точные решения не существуют или работать
с ними весьма неудобно. Например, е-реализации верх-
ней грани функции, когда верхняя грань не достигается,
е-эффективные оценки [62], формальные асимптотиче-
12
ВВЕДЕНИЕ
ские ряды Пуанкаре [64], е-энтропия и е-емкость мет-
рических пространств [16]. Во многих задачах экономи-
ческого характера, где решение определяется как эле-
мент, удовлетворяющий некоторым условиям, понятие
приближенного решения естественно определять как эле-
мент, «почти» удовлетворяющий этим условиям. Раз-
личная формализация этого «почти» приводит к различ-
ным семействам приближенных решений, структура
которых может существенно отличаться от структуры
приближенных решений, рассматриваемых в теории не-
корректных задач.
Итак, необходимо разработать формальный подход
для описания приближенных решений с произвольной
структурой. В предлагаемой теории это достигается с
помощью предложенного в [58] понятия «принцип оп-
тимальности», обобщающего классическое понимание
принципа оптимальности. Если классический принцип
оптимальности для каждой модели из рассматриваемо-
го класса вводил определение оптимального выбора, то
принцип оптимальности для каждой модели вводит се-
мейство выборов, причем каждое из множеств этого се-
мейства интерпретируется как множество почти опти-
мальных выборов (е-оптимальных, приближенных реше-
ний и т. д.). Таким образом, при постановке задачи по-
иска почти оптимальных выборов нужно указать одно из
множеств семейства, определяемого принципом опти-
мальности на этой модели.
Сделаем одно терминологическое замечание. В даль-
нейшем термины: приближенное решение, е-оптимальное
решение, почти решение, почти оптимальное решение,
приближенно оптимальное решение, е-оптимальная стра-
тегия, почти оптимальная стратегия и т. п. будем счи-
тать синонимами.
Итак, пусть для некоторых модели и принципа оп-
тимальности указано одно из множеств приближенных
решений. Что дает классически понимаемая устойчивость
множества решений для задачи поиска приближенных
решений?
Если выделенное множество приближенных решений
обладает тем свойством, что при любых достаточно ма-
лых возмущениях модели решения, соответствующие воз-
мущенным моделям, являются элементами этого выде-
ленного множества приближенных решений, то все ука-
занные выше применения устойчивости в принципе мо-
ВВЕДЕНИЕ
13
гут быть повторены и здесь. Мы говорим — в принципе,
потому что рассуждения пока ведутся неформальные и
при формализации могут появиться некоторые уточне-
ния. Однако суть дела не изменится.
Пусть теперь множество решений неустойчиво, на-
пример, в том смысле, что существует окрестность мно-
жества решений на исходной модели такая, что для лю-
бой возмущенной модели найдется решение, не принад-
лежащее указанной окрестности. Следует ли отсюда,
что эти решения на возмущенных моделях не принадле-
жат выделенному множеству приближенных решений?
Вообще говоря, конечно, не следует. Поэтому неустой-
чивость решений в классическом смысле не обязана не-
сти с собой трудности при численном решении и интер-
претации результатов.
Такое несоответствие классических понятий устойчи-
вости и тех практических применений и свойств, которые
устойчивость призвана описывать, может возникнуть,
прежде всего, из-за несогласованности принципа опти-
мальности и топологии на множестве решений, участву-
ющей в определении устойчивости. Поэтому исследова-
ние устойчивости задач нахождения приближенных ре-
шений нужно начинать с формулировки нового понятия
устойчивости, согласованного с понятием приближенно-
го решения.
В данной работе предлагается весьма простой и кар-
динальный метод согласования понятий устойчивости и
приближенного решения. Вместо топологии для задания
понятия близости на множестве решений предлагается
использовать семейство приближенных решений. Такой
подход приводит к формулировке целой серии понятий
устойчивости принципов оптимальности — понятий, обоб-
щающих и дополняющих известные понятия непрерыв-
ности для точечно-множественных отображений.
Подведем некоторые итоги. Основные причины, по
которым классический подход к определению и иссле-
дованию устойчивости в задачах принятия решений, на
наш взгляд, является недостаточным, состоят в следую-
щем:
1. Недостаточно широк класс изучаемых понятий
приближенного решения. Основное внимание посвяще-
но понятию приближенного решения, когда семейство
приближенных решений понимается как семейство ок-
рестностей точного решения.
14
ВВЕДЕНИЕ
2. Определения устойчивости согласованы лишь с по-
нятием приближенного решения указанной в п. 1 струк-
туры. Поэтому практическое применение устойчивости
при численном нахождении приближенных решений от-
личной от указанной в п. 1 структуры и интерпретация
полученных величин, вообще говоря, перестают быть
обоснованными.
Предлагаемый в данной работе подход направлен,
прежде всего, на устранение указанных недостатков. А
именно, введение понятия «принцип оптимальности» и
уточнение постановки задачи позволяют рассматривать
задачи поиска приближенных решений достаточно об-
щей структуры. Введение согласованных с принципами
оптимальности понятий устойчивости позволяет обосно-
ванно применять устойчивость на практике в традици-
онных для этого понятия областях. Таким образом, фор-
мальной базой исследований настоящей работы явля-
ются понятие «принцип оптимальности» и различные по-
нятия устойчивости.
Следует отметить, что вопросы устойчивости, аппрок-
симации и регуляризации играют весьма важную роль
в проблеме численного нахождения приближенных ре-
шений, так как представляют собой формальный аппа-
рат, служащий базой для создания и обоснования алго-
ритмов численного счета. Однако непосредственно
алгоритмами в данной работе из-за ограничений на
объем мы заниматься не будем. Это самостоятельная
важная и обширная тема исследований, в которой все
большее внимание уделяется нахождению оптимальных
в некотором смысле алгоритмов (хорошая библиогра-
фия приведена в [80]).
Остановимся теперь более подробно на содержании
книги по главам. Поясним сначала принятый в книге
порядок нумерации параграфов, определений, утверж-
дений и формул. Параграфы нумеруются одним числом,
например, § 2. При ссылках на параграфы добавляется
номер главы, например, § 1.2 — это § 2 главы 1. Опре-
деления, утверждения и формулы нумеруются тремя
числами. Первое число — номер главы, второе — номер
параграфа, третье — порядковый номер указанных объ-
ектов в этом параграфе.
§ 1.1 посвящен определению основных объектов и
постановке задач. Вводится основополагающее для всех
дальнейших исследований понятие «принцип оптималь-
ВВЕДЕНИЕ
15
ности». Постановка задачи поиска е-оптимальных стра-
тегий требует уточнения, так как множество 8-оптималь-
ных стратегий может содержать более одного элемента.
Предлагается рассматривать задачу частного выбора —
найти любое непустое подмножество множества е-опти-
мальных стратегий и задачу полного выбора — найти
любое собственное подмножество множества стратегий,
содержащее множество е-оптимальных стратегий. Вво-
дится также смесь указанных задач и устанавливаются
связи между ними.
В § 1.2 приведены примеры задания принципов оп-
тимальности, отражающие как традиционное понима-
ние приближенного решения, так и менее традиционные
варианты определения е-оптимальности для следующих
задач: решение системы неравенств, задача максимиза-
ции функционала (поиск значений и реализаций), на-
хождение множества точек, оптимальных по Парето, на-
хождение множества полуэффективных точек, лексико-
графическая задача максимизации, максиминные за-
дачи.
§ 1.3. является одним из основных в работе, так как
здесь вводятся различные понятия устойчивости для
принципа оптимальности. Основным отличием вводимых
понятий от различных классических понятий непре-
рывности является то, что для определения «близости»
стратегий используется семейство е-оптимальных стра-
тегий, а не топология. Таким образом, понятие устой-
чивости получается согласованным с принципом опти-
мальности.
Есть и еще ряд отличий, носящих более техниче-
ский характер. Показано, что введенные понятия явля-
ются естественными обобщениями различных понятий
непрерывности для точечно-множественных отображений
и допускают такое же практическое применение, как и
классические понятия непрерывности.
Наличие различных понятий устойчивости ставит во-
прос о связи между ними. Ответу на этот вопрос по-
священ § 1.4. Отметим, что кроме достаточно очевидных
утверждений о том, что из более сильной устойчивости
следует более слабая, найдены условия, при которых
справедливы и обратные утверждения. Для произволь-
ного принципа оптимальности /? введены принципы оп-
тимальности ex//?, in//?, in„/?, которые играют важную
роль при исследовании устойчивости /?.
16
ВВЕДЕНИЕ
Глава 2 посвящена исследованию устойчивости раз-
личных принципов оптимальности в некоторых классах
задач оптимизационного характера.
В § 2.1 показано, что принципы оптимальности
ех/7?, in/7?, in® 7? устойчивы для всех введенных типов
устойчивости при достаточно слабых условиях.
В §2.2 исследуется устойчивость различных принци-
пов оптимальности в задаче решения системы нера-
венств. Предлагается принцип оптимальности, устойчи-
вость для которого имеет место при существенно более
слабых предположениях, чем для традиционного прин-
ципа оптимальности в этой задаче. Показано, что анало-
гичная картина имеет место и для системы, заданной
линейными неравенствами.
В § 2.3 предлагается схема исследования устойчиво-
сти для задачи математического программирования, за-
данной в весьма общем виде. Достаточно полное иссле-
дование устойчивости проведено для некоторых естест-
венных принципов оптимальности в случае, когда
множество допустимых значений задается системой не-
равенств. Предложены два понятия: «верхняя стабилиза-
ция супремума» и «нижняя стабилизация супремума»,
которые можно рассматривать как аналог супремума.
Показано, что принципы оптимальности, построенные на
базе этих понятий, устойчивы при весьма слабых пред-
положениях. Эти принципы оптимальности естественно
возникают в задаче математического программирования
при наличии неопределенных факторов. Подробно рас-
смотрено применение операций верхней и нижней стаби-
лизации супремума в линейном программировании.
В § 2.4 рассматривается устойчивость принципа оп-
тимальности, соответствующего задаче на кратный мак-
симин со связанными ограничениями. Показано, что в
случае, когда множества, по которым производится мак-
симизация и минимизация, задаются ограничениями в
виде неравенств, условия устойчивости более жесткие,
чем в случае, когда указанные ограничения учитывают-
ся с помощью штрафов. Предлагается модификация
максимина, приводящая к существенному ослаблению
условий устойчивости и допускающая естественную со-
держательную интерпретацию.
В § 2.5 исследуются многокритериальные задачи. Хо-
рошо известно (см., например, [71]), что традиционное
понимание приближенного решения в задачах нахож-
ВВЕДЕНИЕ
17.
дения множества точек, оптимальных по Парето, нахож-
дения полуэффективных точек, лексикографической оп-
тимизации приводит к неустойчивости соответствующе-
го принципа оптимальности. Поэтому для указанных за-
дач предлагаются нетрадиционные принципы оптималь-
ности, являющиеся устойчивыми при весьма слабых
предположениях.
Примеры исследования устойчивости, рассмотренные
в главе 2, показывают, что небольшое изменение поня-
тия приближенного решения, часто вполне допустимое
с содержательной точки зрения, позволяет существен-
но ослабить условие устойчивости в исследуемой за-
даче.
Однако могут быть ситуации, когда никакие измене-
ния принципа оптимальности не допускаются, но свой-
ства устойчивости нужного типа выбранного принципа
оптимальности отсутствуют. Возникают различные про-
блемы. Например, применение численных методов ре-
шения задачи с таким принципом оптимальности может
не дать ее решения из-за неизбежного присутствия раз-
личных погрешностей. Естественно поставить вопрос:
нельзя ли, решая задачу на ЭВМ с другим, вообще го-
воря, принципом оптимальности при достаточно малых
погрешностях, получить решение исходной задачи?
Для формализации этого вопроса необходимо ввести от-
ношения сравнения принципов оптимальности.
В § 3.1 вводятся различные определения, служащие
для сравнения принципов оптимальности. Так, отношения
внутренней и внешней аппроксимации позволяют заме-
нять решения задач с одним принципом оптимальности
на решения задач с другим, соответствующим образом
аппроксимирующим первый, принципом оптимальности.
Подобную же задачу, но при условии неконтролируемых
возмущений модели, позволяют осуществлять различные
отношения регуляризации. Подробно обсуждается воз-
можность применения отношений регуляризации при чи-
сленном решении задач и на этапе постановки задачи.
§ 3.2 посвящен изучению свойств различных отноше-
ний сравнения, введенных в § 3.1. Прежде всего уста-
навливаются связи между различными понятиями ре-
гуляризации. Показано, что картина здесь аналогична
соответствующим связям между понятиями устойчивости.
Устанавливаются необходимые условия регуляризации.
Доказаны достаточные условия регуляризации, имею-
18
ВВЕДЕНИЕ
щие вид цепочек отношений двух типов. Первая цепоч-
ка: если принцип оптимальности R регуляризует прин-
цип оптимальности Т, а Т аппроксимирует принцип оп-
тимальности Р, то тогда R регуляризует Р. Вторая це-
почка: если R аппроксимирует Т, а Т регуляризует Р,
то R регуляризует Р. Поскольку устойчивый принцип
оптимальности является регуляризующим сам для себя,
то частным случаем первой цепочки отношений является
следующее достаточное условие: если R устойчив и ап-
проксимирует Р, то R регуляризует Р. Многие регуляри-
зующие принципы оптимальности для конкретных клас-
сов задач будут. строиться в главе 4 с использованием
указанного достаточного условия.
В § 3.3 доказано, что регуляризующими для произ-
вольного принципа оптимальности R являются принци-
пы оптимальности ex/R, in//?, in®R, введенные в § 1.4.
Следует отметить, что этот факт имеет место при весь-
ма слабых предположениях. Из достаточного условия
регуляризации в виде второй цепочки отношений, при-
веденного в § 3.2, следует, что регуляризующие прин-
ципы ex/R, in/R, in®/? можно находить неточно, то есть
достаточно найти лишь аппроксимирующий их в нужном
смьЛле принцип оптимальности, что важно для практи-
ки. Исследован вопрос о том, обеспечивают ли ex/R,
in//?, in®R регуляризацию на предельно широких мно-
жествах. Для большинства типов регуляризации ответ
на этот вопрос положителен, для некоторых типов ока-
зывается, что множества, на которых имеет место ре-
гуляризация, и множества, которые даются необходи-
мыми условиями регуляризации, можно считать «поч-
ти» совпадающими. Лишь для двух весьма близких
типов регуляризации имеет место существенное несовпаг
дение указанных множеств. Исследован содержательный
смысл задач, нерегуляризуемых указанными принципа-
ми оптимальности.
Глава 4 посвящена сравнению различных принципов
оптимальности для классов задач, рассмотренных в гла-
ве 2.
В § 4.1 строятся регуляризующие принципи опти-
мальности для принципа оптимальности, традиционного
в задаче решения системы неравенств. Показано, что
для регуляризации достаточно выполнения только обоб-
щенного условия Слейтера. Для аналогичного случая в
линейной задаче построены регуляризующие принципы
ВВЕДЕНИЕ
19
оптимальности, не требующие выполнения условия Слей-
тера.
В § 4.2 исследуется взаимосвязь различных принци-
пов оптимальности в задаче математического программи-
рования. Для двух вариантов формулировки задачи на
максимум (в первом допустимое множества задается с
помощью ограничений типа неравенств, а во втором эти
ограничения учитываются с помощью штрафов) рассмот-
рены принципы оптимальности, соответствующие поиску
значения максимума и реализаций. При весьма общих
условиях (ограниченность целевого функционала) дока-
зано, что соответствующие принципы- оптимальности вза-
имно аппроксимируют друг друга.
Для задачи математического программирования с ог-
раничениями типа неравенств, определяющими допусти-
мое множество, построены регуляризующие принципы
оптимальности. Показано, что условия регуляризации
существенно ослабляются, если вместо нестрогих -нера-
венств, определяющих допустимое множество, рассмат-
ривать строгие.
Для задачи линейного программирования построены
регуляризующие принципы оптимальности, «почти» не
выводящие из класса линейных задач (появляются чле-
ны, содержащие модули переменных).
В § 4.3 для двух вариантов определения максимина
(в первом множества, по которым ведется максимизация
и минимизация, задаются с помощью ограничений типа
неравенств, а во втором эти ограничения учитываются
с помощью штрафов) рассмотрены принципы оптималь-
ности, соответствующие поиску величины максимина.
Сначала для обычного максимина, а затем и для крат-
ного максимина показано, что введенные принципы оп-
тимальности аппроксимируют друг друга. Этот резуль-
тат обобщает соответствующий факт для задачи мате-
матического программирования и может рассматривать-
ся как обобщенная теорема сходимости метода штра-
фов для кратного максимина со связанными ограниче-
ниями. Следует отметить большую общность этого ре-
зультата. Предполагается лишь ограниченность целево-
го функционала и непустота множеств, по которым про-
исходит максимизация и минимизация. Никаких условий
типа непрерывности и компактности требовать не нужно.
В § 4.4 для традиционных принципов оптимальности,
соответствующих задачам поиска множества полуэффек-
20
ВВЕДЕНИЕ
тивных точек, множества точек, оптимальных по Паре-
то, и лексикографического максимума, построены прин-
ципы оптимальности, регуляризующие и аппроксимиру-
ющие исходные. Отметим один вспомогательный резуль-
тат, имеющий и самостоятельный интерес. Практически
при «минимальных» предположениях показано, что мно-
жество точек, оптимальных по Джоффриону, всюду плот-
но в множестве точек, оптимальных по Парето.
Хотя излагаемый в книге материал связан более или
менее сильно со многими разделами математики, таки-
ми как теория некорректных задач [29, 37, 38, 43, 74—
79], теория устойчивости [8, 68, 84], теория оптимиза-
ции [2, 12, 13, 25—27, 31, 34—36, 44, 48, 54, 56, 61, 62,
65, 67, 72, 73, 80—83], параметрическое программиро-
вание [6, 7, 20, 24, 40—42, 60], теория многокритериаль-
ных задач [10, 32, 47, 61, 62, 70], теория размытых
множеств [9,28,91], интервальный анализ [86,90] и др.,
основной подход данной работы оригинален. Поэтому
при составлении библиографии не ставилась цель дать
достаточно полный список литературы по смежным об-
ластям.
НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
{х^А | В (к)} —совокупность элементов х множества А, для
которых выполнено В(х),
0— пустое множество.
Ш1(А) —множество подмножеств множества А.
h: А-+В — отображение h множества А в множество В.
ф(А, B) — {h\h: А-+В}.
Е1 — множество вещественных чисел;
Еп = РХ^ХЕ1.
п
п
0=2 «г, И, V(=Bn, U=\(uif ..., Un) V='(Vi, ..., Vn).
й=!
u>v тогда и только тогда, когда	1=1, и; u,v<=En.
u^v тогда и только тогда, когда u^Vi, f=l, ..., и; u,v<=En.
*п = (!,...> 1)еЕп.
Для и^Еп, v<=El положим u+v = u+v-en-
Е^ == {ueBn|u>0}.
£^ = {«еЕп|«>0}.
в — конец доказательства.
0хga={xeX|p(a, х) < 8} — открытая 8-окрестность точки а в
метрическом пространстве' (X, р). (Иногда верхний значок X будет
опускаться.)
Рр(А, В) = sup infp(a, b) — полуотклонение, порожденное
<н=А b(=B
метрикой р, где (X, р) — метрическое пространство, A, BczX.
Яр (Л, В) = тах{Рр(4, В), Рр(В, Л)}.	— псевдометрика
Хауодорфа, порожденная метрикой р.
|х| =>(|xi|, ..., |хп|), где xf=En.
(A) = {xeX|f(x)czA} — внутренний прообраз множества А,
где f: Х->Ш1(У).
gr[A]={(x, y)^XxY) |^еА(х)} — график А, где А: Х->ЗЛ(У).
ГЛАВА 1
УСТОЙЧИВОСТЬ
ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
§ 1. Определение основных объектов
и постановка задач
Цель данной работы состоит в создании единого и
достаточно общего подхода к изучению и оперированию
с приближенными решениями для широкого класса за-
дач. Для этого необходимо, прежде всего, описать иссле-
дуемый класс задач. В работе мы ограничимся рассмот-
рением задач принятия решений. Под задачей приня-
тия решений будем понимать такую задачу, когда в не-
которой ситуации из некоторого известного множества
необходимо в соответствии с некоторыми условиями вы-
брать некоторые элементы. Нетрудно видеть, что класс
задач принятия решений весьма широк. Он включает в
себя такие задачи, как поиск решений различных урав-
нений, нахождение наибольших значений функции, соз-
дание алгоритмов для численного решения задач, выбор
оптимальных механизмов функционирования различных
систем и т. п.
Общими вопросами принятия решений занимается те-
ория исследования операций. Поэтому естественно вос-
пользоваться разработанными там языком и методоло-
гией (см., например, [17]) для формального‘описания
задачи принятия решений или, как ее принято называть,
операции. Как следует из приведенного выше описания
задачи принятия решений, одним из элементов, ее оп-
ределяющих, является ситуация, в которой производит-
ся выбор или, другими словами, модель операции. Мо-
дель операции представляет собой формальное описание
всех выделенных факторов, характеризующих рассмат-
риваемую задачу. В дальнейшей множество моделей бу-
дем обычно обозначать буквой М.
Вторым элементом, определяющим операцию, явля
ется множество, из которого производится выбор. Это
множество будем называть множеством стратегий и обоз
§ i. определение и постановка задач 23
начать S (т), где т^М, то есть для разных моделей мно-
жество стратегий может быть различно. Отметим, что
множество стратегий может быть элементом описания
модели, но те условия, которым должен удовлетворять
выбор из множества, не включаются в описание модели.
Эти условия, накладываемые на выбор, задают цель
операции. Достаточно общий подход к описанию цели
операции дает использование понятия «принцип опти-
мальности». Обычно (см., например, [71], глава 3) под
заданием принципа оптимальности понимается выделе-
ние некоторого подмножества из множества стратегий
S (т) для каждой модели теМ Это подмножество на-
зывается множеством оптимальных стратегий для моде-
ли т (в другой терминологии — оптимальными решени-
ями или просто решениями).
Однако во многих практических задачах нахождение
оптимальных решений часто бывает связано с большими
техническими трудностями либо вообще невозможно. Это
объясняется неточностью исходной информации, неиз-
бежными вычислительными погрешностями, сложностью
задач и т. п. С другой стороны, оказывается, что доста-
точно удовлетворительными могут быть не только опти-
мальные решения, но и в некотором смысле близкие к
ним, которые часто много проще отыскать.
Фактически это означает введение «почти» оптималь-
ных решений и переход от задачи поиска оптимальных
решений к задаче поиска «почти» оптимальных реше-
ний. Часто такая замена задач явно не оговаривается, а
введение «почти» оптимальных решений не обсуждает-
ся. Вместе с тем задание понятия «почти» оптимальных
решений требует такого же обсуждения, как и выбор
цели операции, то есть оптимальных решений. Более
того, в задачах, где нахождение оптимальных решений
затруднительно, вопросы задания понятия «почти» оп-
тимальных решений выдвигаются на первый план.
Учитывая сказанное, можно сделать вывод, что за-
дание понятия «почти» оптимальных решений является
элементом задания цели операции и поэтому должно
включаться в понятие «принцип оптимальности». Дру-
гими словами, принцип оптимальности должен задавать
не только множество оптимальных стратегий, но и «поч-
ти» оптимальных. Поэтому дадим новое определение
принципа оптимальности, которое является основопола-
гающим для всех дальнейших исследований.
24 ГЛ. I. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Определение 1.1.1. Принципом оптимальности
называется пара (R, <F), где R— отображение, которое
каждой паре (tn, e)e44x<F ставит в соответствие под-
множество множества S (т).
Множество & служит для параметризации понятия
«почти» оптимальности или 8-оптимальности, и поэтому
множество R(tn, г) можно трактовать как множество
8-оптимальных стратегий. В множестве <$ может суще-
ствовать такой элемент ео^^Г, что множество R(m, во)
будет рассматриваться как множество оптимальных
стратегий, но, вообще говоря, это требование не накла-
дывается на принцип оптимальности. В дальнейшем в
тех местах, где это не вызовет недоразумений, вместо
обозначения (R, для краткости будем использовать
просто R.
Как уже говорилось, в ситуации, когда нахождение
оптимальных стратегий затруднительно, фактически при-
ходится переходить к задаче поиска 8-оптимальных стра-
тегий. Поэтому при постановке задачи необходимо уточ-
нить параметр ее^, что, конечно, не исключает случая
8=8о. Кроме этого, поскольку в общем случае множест-
во R (т, в) состоит не из одного элемента, необходимо
уточнить, что ищется: хотя бы одна в-оптимальная стра-
тегия или все s-оптимальные стратегии.
Таким образом, приходим к двум задачам: к зада-
че частного выбора ЧВ(7?, т, е), то есть для принципа
оптимальности R, модели т и найти множество Р
такое, что
0 #= Р с: R (т, е),
и к задаче полного выбора ПВ(/?, т, в), то есть для
принципа оптимальности R, модели т и найти мно-
жество Р такое, что
S (т) Р => R (т, е).
Требование S (m)^=P устраняет тривиальное решение
P—S(m). Другими словами, решение задачи полного
выбора заключается в нахождении хотя бы одной стра-
тегии из S(tn), не принадлежащей R(m, е).
Задача частного выбора является достаточно тради-
ционной. Задача полного выбора часто возникает при
изучении объектов, которые описываются многоуровне-
выми иерархическими структурами [19, 21, 22, 33, 46,
49]. Наглядным примером может служить проблема'про-
§ I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ	25
ектирования сложной технической системы, например,
самолета, В этом случае для подразделений, подчинен-
ных генеральному конструктору, основной задачей явля-
ется не окончательный выбор проекта, а отбраковка не-
удовлетворительных вариантов. Таким образом, для под-
разделений главное в наборе проектов, предлагаемых
генеральному конструктору, не пропустить ни одного
подходящего, то есть е-оптимального, а окончательный
выбор производит генеральный конструктор. Следова-
тельно, для подчиненных подразделений стоит типичная
задача полного выбора.
Если на решение задачи полного выбора ПВ(/?,/п, 82)
наложить еще условие, чтобы оно было не слишком «ши-
роким», потребовав, например, чтобы оно являлось так-
же решением некоторой задачи частного выбора ЧВ(/?,
т, 81), то придем к задаче, которую естественно назвать
задачей интервального выбора ИВ(/?, т, ei, 82), то есть
для принципа оптимальности R, модели т и 8ь 82&?Г
найти множество Р такое, что
R (т, Sj) с Р с R (т, 8J.
Непосредственно из определений задач выбора сле-
дует, что если задача ЧВ(/?, т, в) имеет решение, то
R(m, ъ)=^0; если задача ПВ(7?, т, в) имеет решение,
то R(m, 8)=/=5(тп); если задача ИВ (7?, т, 81, 82) имеет
решение, то R(m, e.2)<^R(m, ei).
Нетрудно также установить связи между тремя зада-
чами выбора. Введем для принципа оптимальности
(R, &) дополняющий принцип оптимальности (R, по
формуле _
R (т, е)= S(m)\R (т,г&).
Тогда, очевидно, выполнено:
1.	Если Р — решение задачи ЧВ(7?, т, в), то Р=
=S(m)\P является решением задачи ПВ(£, т, в).
2.	Если Р — решение задачи ПВ(7?, т, е), то Р явля-
ется решением задачи ЧВ (R, т, в).
3.	Если Р — решение двух задач ЧВ(/?, т, 81) и
ПВ (J?, т, 82), то Р — является решением задачи ИВ(/?,
tn, ei, 82).
4.	Если Р — решение задачи ИВ (7?, т, ei, 82) и R(m,
е|)5^0) #(т, 82) =7^5 (т), то Р является решением за-
дач ЧВ(/?, т, ei) и ПВ(«, tn, 62).-
Основное внимание в данной работе будет направ-
лено на изучение вопросов устойчивости принципов оп-
26
ГЛ. 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
тимальности по отношению к возмущениям модели. По-
этому необходимо выбрать некоторый способ для описа-
ния возмущений модели. Для простоты будем исполь-
зовать для этого псевдометрику ц, то есть числовую
функцию на М%М, удовлетворяющую условиям:
1)	р (tn, т) = 0,.	tn е М\
2)	р (т, л) = р (п, tri),	т, п се М',
3)	р (т, п) 4- р (п, k) ц (т, k), m,n,kEM.
Если в условии 3) положить k=m и воспользовать-
ся условиями 1) и 2), то получим
2 р (т, п) — р (т, п) + р (n, tri) р (т, tri) = О,
то есть р(/п, п) >0 для всех т, п^М.
Поскольку для дальнейших исследований существен-
но не полное описание модели, а лишь ее варьируемых
параметров, то в конкретных задачах для краткости бу-
дем включать в описание модели только те параметры,
которые могут варьироваться.
§ 2. Примеры задания принципов оптимальности
1. Решение системы неравенств. Широкий круг за-
дач можно привести к задаче решения системы нера-
венств .
at < ft (х) bit хеХ, 1=1,... ,п.	(1.2.1)
Здесь X — подмножество пространства Хо с метрикой р,
fi — функционалы на Хо, «г, bi — числовые параметры.
Моделью в данной задаче можно считать набор (f, X,
а, Ь), где /=(Д,..., fn), a=(at,..., ап), b=(bt,..., bn).
Множество стратегий для модели (f, X, а, Ь) можно счи-
тать равным Хо или X.
Наиболее распространенное понимание «почти» ре-
шений системы неравенств (1.2.1) дает принцип опти-
мальности (Л, В1©), где
Т, ((/, X, a, b), е) = О*° {х е Х\а< f (х)< Ь).
Напомним, что О*°А обозначает 8-окрестность множест-
ва А в метрическом пространстве (Хо, р), а 5й(Д) —
множество подмножеств множества А.
Менее традиционные принципы оптимальности мож-
но строить, варьируя условия, определяющие традици-
§ 2. ПРИМЕРЫ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ	27
онное понимание решения. Рассмотрим некоторый прин-
цип оптимальности (Р, ё), где Р : 2R (Xo)
и семейство функционалов fa, as 21, где Хо-+Е1. Бу-
дем считать, что условие х^Р(Х, е) задает понимание
е-выполнения включения х^Х, а fa является а-прибли-
женным функционалом к f. Тогда приходим к принци-
пу оптимальности (Т2, ёХ 21 ХЕ3), где
Т2((Л X, a,b), е) =
= Of; {х е Р (X, eJia—е3 < /в2 (х) < fc-f-ej,
е = (8Х, ... , е6), ех е2Е 21, (е3,84, еБ) (= £».
Для задания понятия близости моделей можно пред-
ложить достаточно естественный способ, а именно, сна-
чала ввести псевдометрику для каждой компоненты, а
потом с помощью подходящей свертки, например опе-
рации максимума, получить псевдометрику для моде-
лей.
Отметим только один естественный способ задания
псевдометрики для f в случае, когда допускается исполь-
зование и разрывных функционалов fi. Обозначим че-
рез gr [/] график функции f, то есть
gr [Л = {(х, и)ЕХ„ х £"|/(х)= и}.
Введем на ХохЕп метрику г:
r((Xi, мх), (х2, u2)) = max{p(x1, х.2); max |«u —aai|}.
1
Обозначим Hr псевдометрику Хаусдорфа, порожденную
г, то есть длд A, BczX0\En
Hr (А, В) = max { sup inf г (a, b); sup inf r (a, b)}.
qeA b<=B	b<=B a<=A
В качестве меры близости функций f, ЯеФ(Хо, Еп) мо-
жно использовать величину Hr(gr[f], gr[/i]). Такой вы-
бор псевдометрики иногда точнее соответствует реаль-
ной обстановке, чем, например, равномерная метрика
г с (f, h) = sup | f (x) — h (x) |.
Пусть ’f кусочно постоянна на [0, 1]=Хо и задается
в виде 1(х)=с{, если	tt+i), 0=/i<... </л= 1.
При вычислениях с такой функцией могут допускаться
ошибки как в векторах с<, так и в Л. В частности, если
/ (х) = 0 при х (Е [0, 1/2) ; f (х) = 1 при х Е |1/2, 1 ],
28 гл. 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
а возмущенная функция имеет вид
h (х) = 0 при х е’[0, 1/2+6);	(х) = 1 при х е
е[1/2+6, 1],
то при любом 6=/=0 расстояние между f и f6 в равномер-
ной метрике равно 1, a Hr(gr[f], gr[f6]) = |6|.
2. Задача максимизации функционала. С задачей
максимизации функции f на множестве XczXq обычно
связывают две проблемы.
Первая — найти величину
sup / (х),	(1.2.2)
х^Х
а вторая — найти стратегии, реализующие (1.2.2). В
этой задаче естественно считать моделью (f, X). Для
задачи поиска (1.2.2) множество стратегий для любой
модели равно Е1, а для задачи поиска реализаций — Хо.
Традиционное понимание величины, близкой к (1.2.2),
отражает принцип оптимальности (Supi, £’©), где
Supx ((/, X), е) = [ sup f (х)—е; sup f (х)+ в], е еЯ 
хеХ	хеХ	w
Для поиска реализаций обычно используется принцип
оптимальности (Argsuppfi1®), где
Arg suPi ((А X), 8) =	{х е Х| f (х) = sup f (у)},	&=Е1ф
Часто методы решения задачи поиска реализаций да-
ют точку, которая удовлетворяет другому принципу оп-
тимальности (Arg sups, £*©), где
Argsupa ((/, X), 8) = {х е Х|/ (х)+8 > sup f (у)}, ее £к
(	У&Х
Используя для построения принципов оптимально-
сти идею варьирования ограничений, определяющих
принцип оптимальности,, можно предложить ряд нетра-
диционных принципов оптимальности для задачи (1.2.2)
и поиска реализаций.
Пусть принцип оптимальности (Р, &), как и выше,
отражает 8-выполнение ограничений хеХ, a fa являет-
ся a-приближением к функционалу f, as Я. Для задачи
§ 2. Примеры принципов оптимальности 29
(1.2.2) можно предложить принцип оптимальности
(БиргЛ 2Х^2Х£‘Ф),
Sup2((Z, Х),8)=[ sup fe,(x)—е6; sup /8г(х)4-861,
хеР(Х,Е3)	хеР(Х,е4)
8 = (811 ... , е5);
8j,	’	83»	£ф
Если по смыслу задачи достаточно получить лишь верх-
нюю или нижнюю оценку для величины (1.2.2), то в
этом случае можно рассмотреть принципы оптимально-
сти (Supj, 51 X^X£*®), (Sup2, 51 Х^Х^’ф), где
Siip2 ((/» *)> е) = I SUP А. (х)—е3, + оо).
х<=Р(Х,ег)
Sj G 51, е2 е й, е3,е Е1ф ,
Sup.. ((/, X), е)= (— оо, sup А,(х) + е3].
---	хеР(Х,е2)
Понимание приближенной реализации величины
(1.2.2) можно задать с помощью принципа оптимально-
сти (Arg sup3, ^2Х SPxE1©), где
Arg sup3 ((/, X), 8) =
= {хеР(Х, + sup fZt (у)},
yePtX.e,')
8 ~ (e2, ... , 85) ,	8j, 82 GE $ ,	83, 84 £ 51 ,	85 G ^ф.
Возможны и другие пути варьирования ограничений.
Например, свяжем с множеством X некоторый функци-
онал Д(л, х, в), xeX0, ee£n$. Обычно этот функционал
называют штрафным и требуют от него следующего
свойства:
„/v ч (0, если хеХ,
11П1 Х(А,Х, 8) = 1	_
е-*о	1 + °°» если х^Х,
или условий такого же типа. Тогда понятие приближен-
ного решения задачи (1.2.2) можно задать с помощью
принципа оптимальности (Sup3,512Х^>2Х£*ф), где 8=
= (81....85) И
Sup3 ((/, X), е) = [ sup (/е, (х)—К (X, х, 83))—е6 ;
sup (А, (х)—К (X, х, е4))+86).
На основе этого принципа оптимальности, аналогично
30 ГЛ. 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
предыдущему, можно построить принципы оптимально-
сти, соответствующие задаче поиска верхней и нижней
оценок величины (1.2.2).
Естественно с (Sups, l^x^X-E1®) связать принцип
оптимальности (Argsup4, l^X^Xf1®), соответствую-
щий задаче поиска реализаций
Argsup4 ((/, X), е)= {хе X0|fe, (х) —К (X, х, е3) +
+ е5 > sup [Аг (у)—К (X, у, е4)]}.
уеХ„
Отметим, что решения, отвечающие принципам опти-
мальности Sup3, Argsupi, мы считаем почти оптималь-
ными решениями соответствующих исходных задач неза-
висимо от того, выполнены или нет теоремы о сходимо-
сти метода штрафных функций.
3. Многокритериальные задачи оптимизации. Под
многокритериальной задачей оптимизации понимается
задача максимизации функционалов А, —, fn, где
еФ(Хо, £'), на множестве X. Строго говоря, эта зада-
ча является недоопределенной, так как не ясно, что по-
нимать под одновременной максимизацией всех функ-
ционалов А,..., fn. Поэтому, в отличие от предыдущих
примеров, где понятие оптимальной стратегии было за-
дано и рассматривались лишь различные варианты оп-
ределения е-оптимальности, в многе'К|ритериальных за-
дачах и оптимальность и е-оптимальность нужно дооп-
ределять.
В .качестве модели примем (f, X), где /еФ(Х0, Еп),
ХсдХо. Так же, как и в задаче максимизации функциона-
ла, здесь можно выделить две проблемы. Первая—это
определение, какие же векторы uef(Xo) считать е-оп-
тимальными; в этом случае S(f, Х)=Еп. Вторая — ка-
кие хеХ0 считать е-оптимальными; здесь S(f, Х)=Х0.
Первую задачу будем называть задачей поиска е-оп-
тимальных значений, а вторую — задачей поиска е-оп-
тимальных реализаций.
При решении первой проблемы часто поступают сле-
дующим образом. На множестве Еп вводят некоторое
отношение доминирования и считают оптимальными для
множества VaEn такие иеУ, которые не доминируются
в смысле введенного отношения никаким меУ, то есть
рассматривается с-ядро отношения на V. Приведем не-
которые примеры отношений, часто встречающихся в
конкретных задачах.
и > v фф Ut > Vi для i = 1, ... , п.
§ 2 ПРИМЕРЫ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
31
и |- vо Ut V,- для i~ 1,..., п, и существует / такой, что
u}>Vj,	<=> uit>vilt, rjei0= mini.
ui*vt
Если обозначить С* (V) с-ядро отношения доминиро-
вания, обозначенного >|с, на множестве V, то C>(V) на-
зывают множеством полуэффективных векторов множе-
ства V [62], Си (V) называют множеством векторов V,
оптимальных по Парето [62], a C>(V) называют лекси-
кографическим максимумом [61].
Наиболее просто задать теперь е-оптимальность с
помощью некоторой метрики d на Еп. Так, принципы оп-
тимальности Е'&), (Hi, Е1®), (Lex max, Е1®), где
Л ((А Х),е) = Ое ((?>(/(%))),
.^1((AX),e) = oe(Cf_(HX))),	'
Lex max ((f, X), e) = 06 (C> (f (X))),
задают понятие е-оптимальности соответственно для по-
луэффективных векторов, для паретовских векторов и
для лексикографического максимума.
Однако такой способ задания е-оптимальности не
всегда удобен. Так, например, если f(X)—открытое
множество, что в случае одного критерия соответствует
недостижимости верхней грани, то имеем X), е) =
=ЗГ1 ((f, X), е) = Lex max ((f, X), е) = 0.
Можно предложить другой способ задания понятия
е-оптимальности. Он основан на том, что е-оптимальны-
ми стратегиями считаются стратегии, принадлежащие
с-ядру некоторого возмущенного по отношению к исход-
ному отношения доминирования.
Так, например, рассмотрим отношения
u>v О ut > fi + Sj для i=l,... , п; ееЕ®,
е
и	—а( для i=l, 2, ..., п, и существует
а
/ такой, что +	1	> а,$(==Еф'
и> УОм!л>и1о + Р(0, где i0= min i; а, peE®.
а	|иг—»г|>аг
Эти отношения можно считать возмущениями соответ-
ствующих отношений, введенных выше.
32
ГЛ. 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Теперь принципы оптимальности можно определить
так:
.^((АХ),8) = с> (Г(Х)),
8
^2((ЛХ), a,₽) = Cp(f(X)),
Н
a
Lex ((АХ), a,₽) = Cp(HX)),
>
a
a,PG^;
а,₽е£"ф.
Отметим, что возмущенные отношения доминирова-
ния не обязаны сохранять свойства исходных отношений.
Так, если существуют i, j такие, что i=/=j, pi<a<,
<aj, то существуют и, v^En такие, что но и v
Р	“
и v f- и. Примером такой пары и, v может служить еле-
a
дующая: uft=»fe для k=£i, j; «i=t^+(ai+Pi)/2, щ=
—Vj—(aj+pj)/2. Однако, если p^a, то утверждения
3	3
и v nv и не могут быть справедливы одновремен-
a	a
но. Действительно, из предположения, что они выпол-
нены, следует, что |и—ol^a и $i<Zui—vt^a<.
IT	0
Нетрудно видеть, что для отношения р транзитив-
ность также, вообще говоря, не имеет места. Однако,
а а	а-«	„	а
если и |- v j- w, то и w. Для отношения > утверж-
a	a	2a	a
3	3	.
дения и > v и v > и не могут быть справедливы одно-
a	a
временно ни при каких а,	Но свойство транзи-
тивности для > при а=/=0 не выполнено,
а
Как и в предыдущих примерах, можно вместо функ-
ции f и множества X рассмотреть соответствующие
принципы оптимальности, отражающие приближенное
задание f и приближенное выполнение включения хеХ.
Другой способ построения принципов оптимальности
в многокритериальных задачах связан с применением
свертки. Свертка — это функция ЕеФ(Еп, £’)• Пуцть
(R, <£) —принцип оптимальности, определяющий е-опти-
мальные реализации в задаче максимизации функции F
на множестве V, то есть на модели (F, V). Тогда в ка-
§ 2. ПРИМЕРЫ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
33
честве принципа оптимальности в многокритериальной
задаче можно предложить (Т, <F), где
T((f,X),e)=R((F,f(X)),t).
В качестве R можно взять любой принцип оптимально-
сти для реализаций из предыдущего пункта.
В более общем случае свертка может сама зависеть
от параметров, то есть F&b(Enx&, Е1). Тогда имеем
принцип оптимальности (Т, ^Х^), где
T((f,X), a,t) = R((F(-,a),f(X)),t),
При построении принципов оптимальности для реа-
лизаций, то есть для определения того, какие стратегии
х^Хо будут называться е-оптимальными, можно приме-
нить следующий прием. Пусть (Т, &) — принцип опти-
мальности в многокритериальной задаче для векторов
значений. Тогда принцип оптимальности (Q, <S), где
Q((f, X),e) = f-4T(AX),e),
можно предложить для задания 8-оптимальности для
реализаций. Возможны, конечно, и другие способы по-
строения. Приведем один такой принцип оптимальности
для лексикографической задачи максимизации [56].
Обозначим	...» fi, ai=(ao, at), а,^Е*ф. Поло-
жим
Z1((/\X),a»)= sup Ш,
*еОв(,(Х)
L, ((f1, X),	0») = {хеOat (Х)\К (х) + 04 > l\((f\ X), 0°)},
/г((Л,Х),а‘->,0^)=	sup f^x),
Lt ((E X), а‘, 0‘-«) = {x e	X),	p~Wt (x) +
+ аг>4((Л, X), 0'-*, а'-*)},
i = 2, ... , n.
В качестве принципа оптимальности выберем (£n> £$-1).
4. Максиминные задачи. В последнее время интерес
к подобного типа задачам увеличивается (см., например,
[12, 25, 26, 71, 81]).
2 Д. А. Молодцов
34
ГЛ. 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Так же, как и в предыдущих примерах, в максимин-
ных задачах можно выделить две проблемы. Первая —
это нахождение
sup inf f (х, у),	(1.2.3)
Х€=х y^Y(x)
а вторая — это нахождение стратегий х, реализующих
верхнюю грань в (1.2.3). В качестве модели здесь естест-
венно выбрать (/, X, У), где ХсдХ0, У:Хо->®1(Уо),.
f: XoxYo~+El. Для задачи поиска величины (1.2.3) по-
ложим S(f, X, Y)=E1, а для поиска реализаций поло-
жим S(f, X, У) =Х0.
Для задания принципа оптимальности для задачи
(1.2.3) введем сначала понятия, отражающие прибли-
женное выполнение включений хеХ, уеУ(х), и функ-
цию, приближенную к f. Итак, пусть
Л(Х, а)сХ0, В (У, а): Х0-Ю1(У0), Ftf/a): Хо xYt+E*
для всех ae^l. Включение хеА (X, а) интерпретирует-
ся как а-приближенное выполнение включения хеХ,
включение уеВ(У, а) (х) интерпретируется как а-при-
ближенное выполнение включения уеУ(х), a F(f, а)
рассматривается как a-приближенная функция к функ-
ции f. Обозначим
и ((/, X, У), а) = sup inf F (f, а) (x, у).
хеЛ(Х.а) //еВ(У,а)(х)
Принцип оптимальности (h, 212хВ2®), где
h((f, X,Y), а1,а2,е1,82) =
= [«((/,Х,У),а1)-81; Ы((ЛХ,У).а2)4-е2Ь
задает понятие 8-оптимальности в задаче (1.2.3). Варьи-
руя операторы Л, В, F, можно получить конкретные се-
мейства принципов оптимальности для задачи (1.2.3).
При задании принципа оптимальности, соответствую-
щего задаче поиска реализаций, можно воспользоваться
схемой построения принципа оптимальности Arg sup3 из
пункта 2. А именно, положим
//((/, X, У), а, е) =
= {хеЛ(Х,а1)| inf F(Aa2)(x> «/)>«((/, Х.П»а3)-8};
уеВ(У,аг)(х)
здесь а= (di, аг, a3)eU3,
Вместо задания семейства функций F(f, а), прибли-
женною к [, можно для любых (х, 1/)еХ0хУо задавать
§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
35
множество значений, близких к значению f(x, у). По-
лучим отображение G : Х0Х УоХи->^(£1), где G(x, у, а)
понимается как множество значений, a-приближенных к
/(х, у). Поскольку при фиксированном a G является, во-
обще говоря, точечно-множественным отображением, то
возникает принципиальный вопрос: что понимать под
выражением inf G(x, у, а)? Здесь можно ввес-
У^в (У,а) (X)
ти отношение частичного порядка на подмножествах Е'
и в качестве нижней грани рассматривать с-ядро этого
отношения или какой-то аналогичный объект. При этом,
конечно, возникают различные вопросы о согласовании
введенного отношения с обычным отношением порядка
для действительных чисел, о предельном переходе, ког-
да множества стягиваются в точку, и т. п. Еще более
сложным является вопрос о том, как понимать верхнюю
грань от полученного после минимизации объекта.
Указанную замену операций sup и inf можно прово-
дить не только в случае описания приближения к функ-
ции f с помощью точечно-множественных отображений.
Так, для описания с помощью семейства функций F(f, а)
можно заменить операции sup и inf на другие, напри-
мер, на существенные верхнюю и нижнюю грани.
Аналогично способам построения принципов опти-
мальности для максимина можно построить принципы
оптимальности и для кратного максимина. Чтобы не за-
громождать изложение, не будем здесь приводить их
конкретный вид.
С максиминными задачами тесно связаны задачи по-
иска седловых точек и ситуаций равновесия по Нэшу,
возникающие в теории игр. В теореме 2.5 [48] в доволь-
но общем случае доказано, что множество ситуаций рав-
новесия совпадает с множеством реализаций некоторого
максимина. Поэтому для построения принципов опти-
мальности, отвечающих задаче поиска ситуаций равно-
весия, можно воспользоваться приведенными выше спо-
собами.
§ 3. Определения устойчивости
принципов оптимальности
При введении понятий устойчивости для принципов
оптимальности будем руководствоваться, прежде всего,
как содержательным смыслом понятия непрерывности
2*
36 ГЛ. 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
отображений в метрических и топологических простран-
ствах, так и содержательной стороной понятия «прин-
цип оптимальности».
Сначала рассмотрим понятие непрерывности отобра-
жения метрических пространств. Пусть (X, рх), (У, ру)
— метрические пространства, а /еФ(Х, У). Отобра-
жение f называется непрерывным в точке х0, если для
любого 8>0 существует 6>0 такое, что для всех
Е=Охб (хо) выполнено
Pr(fW,/W)<8.	(1.3.1)
Поскольку множество 0% (у) понимается обычно как
множество точек, «близких» к у или «почти» совпадаю-
щих с у, то естественно связать с отображением f прин-
цип оптимальности (F, £*©), для которого
F(x,8) = 0*W)),
множество моделей равно X, а 5(х) =®1(У).
Казалось бы, естественным обобщением понятия не-
прерывности отображения является определение устой-
чивости принципа оптимальности на модели т^М. Од-
нако такой путь не совсем удобен по следующим при-
чинам. Условие «для любого 8>0» в общем случае
должно переходить в условие «для любого secT\{8o}»,
где ео соответствует множеству оптимальных решений.
Но поскольку в общем случае не делается предположе-
ний ни о существовании такого во, ни о выполнении
включения R(m, e,)zz>R(m, го), то построение понятия
устойчивости по такой схеме потребовало бы много не-
естественных оговорок и дополнительных условий. Кро-
ме этого, использование понятия непрерывности на прак-
тике обычно связано с заменой f(xo) на f(x) при неко-
тором фиксированном 8>0. Условие произвольности г>
>0 дает потенциальную осуществимость такой замены
при любой точности, но в любой практической задаче
нужна такая замена только для выбранного 8, а не для
любого. Поэтому практически удобнее и определение ус-
тойчивости принципа оптимальности формулировать для
фиксированного в, то есть фактически определять устой-
чивость на паре (т, г).
Следующее замечание относится к описанию вариа-
ций переменной х или, что соответствует в определении
устойчивости, модели т. В основном будем придержи-
§ 3 ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
37
ваться такой же схемы, как и в определении непрерыв-
ности. Заменим метрику рх на псевдометрику р и вместо
слов «существует 6>0» будем в определении устойчи-
вости указывать подходящие б с помощью специально-
го отображения.
Рассмотрим теперь наиболее интересный вопрос о
том, что должно .в определении устойчивости принципа
оптимальности соответствовать условию (1.3.1). Нетруд-
но показать, что определение непрерывности f в точке
Хо можно сформулировать в следующем эквивалентном
виде: для любого е>0 существуют ае(0, в) и 6>0 та-
кие, что для любых х^Ох6 (хо) выполнено
Py(/WJW)<e-a.	(1.3.2)
Если воспользоваться введенным принципом опти-
мальности (Е, Е1®), то условие (1.3.2) можно записать
в виде
F(x, а)с F(x0, е)	(1.3.3)
или, что в данном случае эквивалентно, в виде
F (х0, a) cz F (х, е).	(1.3.4)
Соотношения (1.3.3) и (1.3.4) положим в основу ус-
ловий, которые в определении устойчивости принципа
оптимальности будут соответствовать условию (1.3.1).
Однако формальная замена принципа оптимальности F
на произвольной /?, х на модель т и соответствующих
а и 8 не совсем удобна, так как в общем случае струк-
тура множества стратегий может быть такова, что
5(/и)ПЗ(т0) =0. Например, S(m0) состоит из функцио-
налов, определенных на множестве функций веществен-
ной переменной, то есть
S (т0) = Ф (Ф (Е1, Е1), Е1), S (т) = Ф (Ф (X, X), X),
где X — некоторое конечное подмножество Е1. На прак-
тике такие ситуации часто встречаются в связи с ис-
пользованием численных методов. Действительно, при-
менение ЭВМ связано с необходимой дискретизацией за-
дачи, и приходится сравнивать функции h, заданные на
некотором непрерывном множестве, и функции g, задан-
ные на сетке. Обычно применяются два подхода. Либо
сравнивается сужение h с функцией g, либо некоторым
способом доопределяют g так, что получается функция,
38	ГЛ. 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
заданная на непрерывном множестве, и она уже сравни-
вается с h.
Здесь для устранения указанных трудностей, связан-
ных с различной природой различных множеств страте-
гий, применяется аналогичный прием. Хотя нетривиаль-
ные примеры, где множество стратегий существенно за-
висит от модели, не вошли в настоящую публикацию, но
представляется естественным строить определения ус-
тойчивости принципов оптимальности так, чтобы они
охватывали и весьма важный случай, когда множества
стратегий для различных моделей могут иметь различ-
ную природу. Поэтому для сравнения стратегий из мно-
жеств S(m) и S(n) введем отображение Q, которое лю-
бой паре (т, п)<=МхМ и любому x<=S(m) ставит в со-
ответствие непустое множество
Q (х, т, п) cz S (п).
Отображение Q будем называть интерпретацией. Его
роль аналогична роли отображения сужения и роли ото-
бражения, которое функцию, заданную на сетке, пере-
водит в функцию, заданную на непрерывном множестве.
Для XczS(m) будем обозначать
Q (X, т, п)= U Q (х, т, п).
хеХ
Если Х = 0, то положим Q(0, m, /г)=0; в противном
случае Q(Ar, m, /г)=^0.
При построении определений устойчивости принципа
оптимальности (/?, <8) на паре (т, е) условия (1.3.3),
(1.3.4) заменим на условия, получающиеся по следую-
щей схеме. Вместо принципа оптимальности F будем
писать /?, вместо х0 — фиксированную модель т, вместо
х — варьируемую модель п. Учитывая, что множества
стратегий S(m) и S(n) могут иметь различную природу,
нужно выбрать, на каком из этих множеств будет про-
водиться сравнение.
Для указания этого множества будет использоваться
специальный параметр и, принимающий два значения:
и — если сравнение проводится на S(n) — множестве
стратегий варьируемой модели; f — если сравнение про-
водится на S(m) —множестве стратегий фиксированной
модели. Введение параметра и приводит к тому, что од-
но определение устойчивости содержит в себе два поня-
§ 3 ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
39
тия устойчивости. Одно получается при u = f, другое —
при u = v.
Если значение параметра и выбрано, например f, то
множество R(n, а) отображается с помощью Q(-, пу т)
в S(m) и получается аналог (1.3.3) в виде
VneAf: p(m,n)^6 Q (R (п, а), п, т) с: R (tn, s).
Как уже отмечалось, для практики удобнее, когда те
а и 6, при которых выполнено полученное условие устой-
чивости, будут указываться явно. Для этой цели в опре-
деление устойчивости вводится специальное отображе-
ние, которое паре (т, е) ставит в соответствие некоторое
множество значений а и 6, при которых выполнены усло-
вия устойчивости. Одной из важных характеристик ука-
занного согласования является величина максимального
б. Часто величина б понимается как допустимая ошибка
вычислений, и поэтому важно, чтобы максимально допу-
стимое б было не слишком маленьким. Учитывая сказан-
ное, параметр Д, характеризующий максимальное б, бу-
дем включать в определение устойчивости.
Введем формально некоторые понятия, участвующие
в определениях устойчивости принципов оптимальности.
Пусть (R,	—принцип оптимальности, AfczA4x<?>\ А —
согласование,
А: М х (£ х Е{)
Мъ(Е) = {n^M\3tn^L: р (т, п) б}, LcM.
Определение 1.3.1. Принцип оптимальности
(R, S) называется внутренне (Д, и)-устойчивым сверху
на N при согласовании Л, если для любых (т,
выполнено:
1) A (tn, е)=£ 0 ;
2) V (а, 6) Е Л (m, е), V п^ Мъ(т) выполнено
R (п,а) =£ 0 , б > Д,
Q (R (и, а), п, т) cz R (т, е) для u = f,
R (п, а) с: Q (R (tn, е), т, п) для u = v.
Для краткости множество принципов оптимально-
сти, удовлетворяющих определению 1.3.1, обозначим
ISUAw[Af, Л]. Аналогичные обозначения будем употреб-
лять и далее.
40 гл. I. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Определение 1.3.2. Принцип оптимальности
(R, &) называется внутренне (А, и)-устойчивым снизу
на N при согласовании А, если для любых (т, e)&V
выполнено-.
1) А (т, е) #= 0 ;
2) V (а, 6) е A (tn, е), V я е Me (т) выполнено
R(m, а)#=0, 6> Д,
R (т, а) а £2 (R (п, е), п, т) для u=f,
Q (R (т, а), т, п) a: R (п, е.) для u=v.
Обозначение: ISDAU[A^, 4].
Рассмотрим примеры. Пусть g — многозначное отображение из
М в У; (Af, ц), (У, р) — метрические пространства. Возьмем в ка-
честве множества моделей М, и пусть 5(ш) = У для т^М. Тог-
да интерпретацию й можно считать тождественным отображением.
Введем принцип оптимальности (О, Е1^), где
G(m, е) = Og (g(m)).	(1.3.5)
Пусть \(G, Е1®) eISU°[mX^1+, Л] (условимся, что в случае, ког-
да устойчивости с нижними индексами f и v совпадают, будем опу-
скать эти индексы). Это означает, что для любого е>0, любых
(а,	е)=/= 0 и любььх	выполнено 0 =£G(n, a)cz
czG(m, е), то есть 0 ^g(n)aOYe	Следовательно, много-
значное отображение g полунепрерывно сверху в точке т.
Совершенно аналогично показывается, что из условия (G, E^)<=
eISD°[mXE‘1+, Л] следует, что g полунепрерывно снизу в точке т.
Приведенные примеры показывают, что введенные
определения внутренней устойчивости можно рассматри-
вать как обобщение различных понятий непрерывности
для однозначных и многозначных отображений.
Понятия внутренней устойчивости сверху и снизу для
принципов оптимальности удобны и для использования
в различных прикладных вопросах.
Рассмотрим, например, некоторые проблемы, возни-
кающие при численном решении задач. Пусть требуется
решить задачу ЧВ(/?, т, е), где (/?,	— -принцип оп-
тимальности, т — модель, а еей’ — параметр, который
будем интерпретировать как допустимую точность -полу-
ченного решения. Из-за неизбежного присутствия раз-
личных погрешностей метод решения будет работать с
другой моделью (т), причем обычно можно уп-
равлять только параметром 6, который интерпретирует-
ся как характеристика точности аппроксимации, точно-
§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
41
сти метода и т. п. Область управления параметром 6
практически всегда ограничена некоторой положитель-
ной величиной А>0, то есть 6>Д.
Если (R, <?)eISU/[(m, е), Л], то, выбрав (а, 6)е
ь4(т,е), можно ставить для ЭВМ задачу ЧВ (R, т,а).
В действительности по указанным причинам ЭВМ реша-
ет задачу 4B(R, п, а), где неизвестна модель пе
Пусть Р — решение задачи 4B(R, п, а). Тог-
да из условия внутренней устойчивости сверху следует,
что £2(R, п, т) является решением задачи 4B(R, т, е).
Здесь Q обычно является отображением, связанным с
доопределением различных функций, заданных на сетке,
па непрерывную область изменения аргументов.
Таким образом, можно сделать вывод, что условие
внутренней (A, f) -устойчивости сверху позволяет решать
задачи частного выбора при наличии возмущений.
Посмотрим, что дает условие (R, #)eISD/A[(m, в),
А] при численных расчетах. Легко видеть, что включе-
ние
R (т, a) cz Q (R (п, е), п, т)
можно понимать так. Выбирая (a, d)&4(m, в) и решив
на ЭВМ задачу ПВ (R, т, е), в действительности полу-
чим решение задачи ПВ (R, п, е) при neMe(m).
Применим отображение Q(-, п, т) к решению и полу-
чим решение задачи ПВ (R, т, а).
Таким образом, если в предыдущем случае согласо-
вание А указывало точность а, с которой нужно ставить
задачу частного выбора для ЭВМ, чтобы получить ре-
шение исходной задачи с точностью 8, то здесь согласо-
вание А указывает, какая получается точность решения
а исходной задачи полного выбора при постановке за-
дачи для ЭВМ с точностью 8.
Итак, можно сделать вывод, что условие внутренней
(А, ^-устойчивости снизу позволяет решать задачи пол-
ного выбора при наличии возмущений.
Отметим, что в указанных задачах, связанных с при-
менением численных методов, использовались лишь по-
нятия внутренней (A, f) -устойчивости сверху и снизу.
Это связано с тем, что в этих задачах требуется найти
решение для некоторой фиксированной модели т, а по-
этому и используется сравнение стратегий на множестве
S(m). Естественно возникает вопрос: где могут быть ис-
42
ГЛ. 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
пользованы понятия внутренней (А, у) -устойчивости
сверху и снизу?
Рассмотрим один из первых этапов в решении любой
практической задачи, а именно этап формирования мо-
дели. Обычно на этом этапе исследователь должен вы-
бирать модель, учитывая, с одной стороны, стремление к
более точному соответствию реальности, что ведет, как
правило, к усложнению модели, а с другой стороны,
учитывая стремление к обозримости и простоте модели,
которые позволили бы применять разработанные мето-
ды решения. Зачастую это приводит к тому, что снача-
ла строятся более подробные и сложные модели, а за-
тем делается переход к более простым идеализирован-
ным моделям. Обычно это достигается за счет отказа от
учета каких-то малых воздействий, малых ошибок в ин-
формации, заменой малых значений параметров на нуле-
вые и т. п. Даже если нет необходимости в подобном ка-
чественном изменении структуры модели, то неизбежные
ошибки в измерениях приводят к тому, что различные
параметры модели, например коэффициенты дифферен-
циального уравнения, фактически известны неточно и
фиксация каких-то определенных значений является пе-
реходом к некоторой идеализированной модели. Возни-
кает вопрос: в какой мере переход к подобным идеали-
зированным моделям обоснован, то есть могут ли эти
идеализированные модели приближенно заменять близ-
кие к ним модели?
Оказывается, что удобным инструментом для описа-
ния этих проблем являются понятия внутренней (А, у)-
устойчивости сверху и снизу.
Действительно, пусть (/?, eISU\[(т, е), Л]; это
значит, что для всех (а, 6)еЛ(т, е)=£0 и всех ле
еЛ4б(т) выполнено
0 у= 7? (и, а) cz Q (/? (m, е), т, и).
Отсюда следует, что любое решение задачи ПВ (/?, т, г),
отображенное с помощью интерпретации Q на S(/?), да-
ет решение задачи ПВ (/?, /г, а). Итак, если рассматри-
вается задача полного выбора, то модель т можно счи-
тать идеализацией относительно близких моделей для
принципа оптимальности (/?, <?Г), если (/?,
eISUAv[(m, g), Л]. Мерой допустимости замены мо-
делью т близких моделей является согласование Л, ко-
торое указывает связь между близостью моделей 6 =
§ 3 ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
43
= ц(ш, п) и точностью решения а задачи выбора на мо-
дели п.
Пусть теперь (/?, <^)eISD\[(m, е), Л]. Это значит,
что для всех (а, 6)еЛ(т, е)#=0 и всех пе7Иб (т) вы-
полнено
0 Ф Q (7? (ги, а), ги, п) с: R (п, е).
Отсюда следует, что любое (решение задачи ЧВ(/?, т, а),
отображенное с помощью интерпретации Q на S(n),
дает решение задачи ЧВ(7?, и, е). Таким образом, для
задачи частного выбора модель т можно считать идеа-
лизацией относительно близких моделей для принципа
оптимальности (7?, &), если выполнено
(7?, 8) е ISD£ [(/и, 8), Л].
Можно сделать вывод, что условия внутренней (А, у)-
устойчивости сверху и снизу являются критериями до-
пустимости замены решения семейства задач {7?, п, а},
пе7Иб(т), задачей {7?, т, е}.
Отметим еще раз, что во всех указанных применени-
ях понятий устойчивости роль согласования Л не сим-
метрична. Так, в проблемах, связанных с численным
счетом для задачи частного выбора, согласование Л ука-
зывает, какова должна быть точность аппроксимации
модели S и точность решения возмущенной задачи а,
чтобы получить e-решение на исходной модели. Для за-
дачи полного выбора согласование Л указывает точность
исходной задачи а, если возмущенную задачу решать с
точностью 8.
Аналогичная картина имеет место для проблемы,
связанной с понятием идеализации. Указанное обстоя-
тельство наводит на мысль о необходимости введения
еще одной разновидности устойчивости для принципов
оптимальности.
К такому же выводу приводит и более общий взгляд
па вопрос о том, чем надо заменить условие (1.3.1) в
определении устойчивости принципа оптимальности. Ус-
ловие (1.3.1) можно понимать как условие аппроксима-
ции f(xo) величиной f(x). Аналогом для принципов оп-
тимальности является условие аппроксимации множеств
7? (и, а) и 7?(ги, е). В определении 1.3J1 под аппроксима-
цией этих множеств (понимается включение R(n, a)cz
cz7?(m, е) (для простоты пока считаем Q тождествен-
ным отображением), то есть приближением к е)
44 ГЛ. I. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
считается любое непустое его подмножество. Это и объ-
ясняет наличие слова «внутренняя» в названии устойчи-
вости. Однако столь же естественно и полезно рассмот-
реть и другой способ аппроксимации, а именно, мно-
жествами, содержащими R(jn, е). Понятия устойчивости,
построенные на этом принципе, естественно назвать
«внешними».
Определение 1.3.3. Принцип оптимальности
(/?, называется внешне (А,и)-устойчивым сверху на
N при согласовании А, если для любых (m, 8)еМ вы-
полнено:
1) Л (/п, е) #= 0 ;
2) V (a, S) Е .4 (т, е), V п е (т) выполнено
R(n,e.)=£0, 6>Д,
Q (R (п, е), п, т) с. R (т, а) для u=f,
R (п, е) с Q (7? (т, а), т, п) для u=v.
Обозначение: ESU4U[7V, Л].
Определение 1 .3.4. Принцип оптимальности
(R, <£) называется внешне (Д, и)-устойчивым снизу на
N при согласовании А, если для любых (пгу е)еМ вы-
полнено:
1) А (т, е)^0 ;
2) V (а, б) е А (т, е), V п е ТИв (т) выполнено
R(m,z)=£0, 6>Д,
R (т, в) с й (7? (п, а), п, т) для u=f,
□ (R (т, в), т, п) с R (п, а) для u=v.
.. Обозначение: ESD4U|W, Л].
Определения 1.3.3, 1.3.4 естественно дополняют опре-
деления 1.3.1, 1.3.2 в вопросах применения их для чис-
ленного ечета и для понятия идеализации модели и уст-
раняют несимметричность роли согласования Л.
Обратимся снова к проблеме численного решения за-
дачи. Пусть (7?, <!?)eESU4f[(/n, 8), Л]. Тогда, выбрав
(а, б)еЛ(/п, в)¥=0 и потребовав от ЭВМ решить за-
дачу ЧВ(7?, п, е), где п — любая модель из М6(т), по-
лучим решение задачи ЧВ (R, т, а). Здесь согласование
Л указывает точность решения исходной задачи, кото-
рая получается, если возмущенную задачу решать с точ-
ностью в.	....
§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
45
Пусть теперь (7?, <?)eESDAf[(m, е), Л]. Выбрав
(а, 6)еЛ(т, е)=#0 и потребовав от ЭВМ решить зада-
чу ПВ(R, п,а), получим решение задачи ПВ(7?, т, е).
Здесь согласование А указывает, какую точность реше-
ния возмущенной задачи нужно брать, чтобы получить
точность в в исходной задаче.
Аналогичная картина имеет место и для вопросов,
связанных с идеализацией моделей. Так, включение
(7?, S) eESUA»[ (m, е), Л] можно считать условием, опре-
деляющим, что модель т является идеализацией отно-
сительно близких моделей для принципа оптимальности
(7?, S) и задачи полного выбора, но, в отличие от ус-
ловия (7?, S)eISU\[(т, в), Л], здесь согласование Л
указывает, с какой точностью нужно решать задачу
на идеализированной модели т, чтобы получить точ-
ность в на близкой к идеализированной.
Условие (7?, ^’)eESDA»[(/n, в), Л] аналогично усло-
вию (Р,	(т, в), Л], но здесь согласование Л
указывает, какая точность решений получится на близ-
кой к идеализированной модели т, если на модели т
решать задачу с точностью 8.
Рассмотрим теперь, что означает внешняя устойчи-
вость сверху и снизу для принципа оптимальности
(G, Е1®), определенного соотношением (1.3.5).
Пусть (G, E1©)eESU°[(/n, е), Л]. Нетрудно видеть,
что это эквивалентно следующему: существуют а, б>0
такие, что для любых (т) выполнено g(n)cz
cO7a(g{m)). Это более слабое условие, чем полунепре-
рывность сверху многозначного отображения g в точке
т. Если g(m) ограничено, то отсюда следует, что для
достаточно близких п множество g(ri) также ограни-
чено.
Обозначим полуотклонение множества Л от В через
рр (Л, B) = sup inf р (а, Ь).
а&А Ъ<=В
Тогда из внешней устойчивости сверху для (G, В1®) сле-
дует, что
inf ти (т, б) <+ оо,	(1.3.6)
д>0
(т, 8) = sup ₽Р (g (п), g (m)).
(m)
46 ГЛ. I. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Справедливо и обратное утверждение. Если выпол-
нено (1.3.6), то (G, E1e)eESU°[mxB1e, Л], где
А (ги,е)= {(а, 6)}^ Е^|ти (т,б)<4-оо, а>ти(т, 6)}.
Пусть теперь (G, £1e)^ESD°[(m, в), А], что экви-
валентно следующему: существуют а, 6>0 такие, что
для любых п^М6(т) выполнено g(m)czOYa (g(n)).
Это более слабое условие, чем полунепрерывность снизу
многозначного отображения g в точке т. Если g(m)
неограничено, то отсюда следует, что для достаточно
близких п множество g(n) также неограничено. В об-
щем случае из внешней устойчивости снизу для (G, Е1®)
следует, что
infrd(m, S)<+oo,	(1.3.7)
d>0
тДт, 6) = sup ₽p(g(m), g(n)).
(m)
Здесь также справедливо обратное. Если выполнено
(1.3.7), то (G, E1®)eESD°[mXE1©, А], где
А(т, е)={(а, 8)<=E2+\xd{m, 6)< + °о, a^JTd(m, б)}.
Несмотря на внешнюю несхожесть понятий внутрен-
ней и внешней устойчивости, они тесно связаны. Как
показывает следующее утверждение, одно переходит в
другое при замене принципа оптимальности (/?, S) его
дополнением. Напомним, что R(m, z)=S(m)\R(m, е).
Утверждение 1.3.1. Пусть для любых т, п^М
выполнено
Q(S(ri), п, m) = S(tri).
Тогда:
1.	Если для всех (т, e)E.V выполнено R(m, г)=/=0,
то из условия (R, «Heists [У, А] следует (R,
eESD^V, А].
2.	Если (R, «f)eESD» [У, А] и для любых (пг, e)&V,
любых (а, б)еА(/п, е) и любых п^М6(т) выполнено
R(n, а)#=0, то (R, £)е15и„[У, А].
3.	Если (R, с?) е ISD А] и для любых
любых (a, 8|E.4'(m, е) и любых пе= М&(т) выполнено
R(n, е.)^0, то (R, £)eESU„[N, А].
§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
47
4.	Если (R, 'I) ЕЕ ESljA [А7, Л] и для любых (т, е) е
EEjV, любых (а, б)еЛ(т, е) и любых п(^М6(т)
выполнено R(m, а)У=0, то (R, <«)elSD^[Af, А].
Доказательство утверждения непосредственно
«следует из определений 1.3.1—1.3.4 и справедливости
включения
Q(S(m)\C, т, n)zoQ(S(m), т, п)\£1(С, т, п).
Введем еще два типа устойчивости для принципов
оптимальности. Так же как понятие непрерывности для
многозначных отображений получается путем объедине-
ния условий полунепрерывности сверху и снизу, так и
вводимые понятия устойчивости в некотором смысле
объединяют условия устойчивости сверху и снизу.
Пусть (R, &) — принцип оптимальности, AfczAfX#,
А — согласование, А:Л4Х<?-*®1(<!ГХ£'2+).
Определение 1.3.5. Принцип оптимальности
(R, <£) называется внутренне (X, v, и)-устойчивым на N
при согласовании А, если для любых (пг, eJeW выпол-
нено:
1) А(т, 8)у= 0;
2) V(a, 6, y)EA(m, е), Vп~М&(т),
выполнено R(n, a) =/= 0, б >> X, у > v и
R(n, a)C2Q(R(k, е), k, п)	для u = v\,
Q(R(n, a), п, k)czR(k, е)	для u — v2,
Q(R(n, a), n, m) czQ(R(k, e), k, tri) г‘ля u=f.
Обозначение: ISux>v[lV, А].
Определение 1.3.6. Принцип оптимальности
(R, &) называется внешне (X, v, и)-устойчивым на N
при согласовании А, если для любых (пг, eje.V выпол-
нено:
1) А(пг, е)=£0;
2) V(a, б, у)Е/1(т, е), VпеЛ46(/п), V£e/Wv(m)
выполнено R(n, 8)^=0, 6>Х, y>v и
R(n, г) czQ(R(k, a), k, ri)	для u = v\,
Q(R(n, s), n, k)czR(k, a)	для u = v2,
Q(R(n, 8), n, m) czQ(R (k, a), k, m) для u-=f.
Обозначение: ESUX’V[A7, А].
48 ГЛ. 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Посмотрим, что означает внутренняя и внешняя ус-
тойчивость для принципа оптимальности (G, f1®), за-
данного соотношением (1.3.5).
Пусть (G,)eIS°’°[./nxE1+,А]; тогда для любого
8>0, любых (а, 6, у)еА(/п, е)¥=0, любых п<=М6(т),
k^Mv(m) «выполнено OYa(g(n))czOYs (£(&)). Нетрудно
видеть, что это эквивалентно следующему: для любого
8>0 существует 6>0 такое, что для любых (tn)
выполнены включения
g (п) с ol (g (tn)), g (tn) c: Oe (g (n));
тем самым мы получили определение непрерывности
многозначного отображения g в точке т.
Пусть теперь (G, £1®)eES0'0[(m, е), 4], следова-
тельно, для любых (а, б, у)е4(т, е)¥=0, любых
п^М6(т), k^Mv (т) выполнено OTt(g(n))aOTa(g(k)).
Это эквивалентно следующему: существуют а, б>0 та-
кие, что для любых пеМ6 (т) выполнено g(n)az
<^OYa(g(m)) и g(tn)aOYa (g(n)), то есть Hp(g(n),
g(tri))<a. Отсюда следует, что условие внешней устой-
чивости для (G, £«©) слабее условия непрерывности
многозначного отображения g. Если непрерывность g в
точке т означает, что
inf sup Hp(g(n), g(tn)) = 0,
d>0 neMg (m)
то внешняя устойчивость (G, £*©) на (tn, e) означает
лишь
inf sup Hp(g(n), g(tn))<_ + oo.
б>0 n(=M$ (m)
Рассмотрим теперь вопрос о возможных областях
применения понятий внутренней и внешней устойчивос-
ти. Поскольку с формальной точки зрения эти понятия
объединяют свойства соответствующих понятий устой-
чивости сверху и снизу, естественно ожидать аналогич-
ной картины и для их содержательной интерпретации.
Пусть (R, &) elS^' v[ (т, е), 4]. Выберем (а, б, у)е
е4(т, е)=#0 и поставим для ЭВМ задачу ЧВ(7?, т, а),
ограничив возможные погрешности, приводящие к воз-
мущению модели, величиной 6. В действительности из-за
неизбежных погрешностей разного рода ЭВМ решит
задачу ЧВ (R, п, а), где п — какая-то модель из множе-
ства М6(т). Теперь, выбрав любую модель k<=M (tn) и
§ 4. ВЗАИМОСВЯЗИ ПОНЯТИИ УСТОЙЧИВОСТИ
49
отобразив полученное решение с помощью интерпрета-
ции Q в множество S(k), получим решение задачи
ЧВ(Д k, е). Таким образом, внутренняя устойчивость
позволяет не только численно решать задачу при нали-
чии возмущений, но и получать решения, пригодные для
любых близких к т 'моделей.
Все то же самое можно повторить для случая, ког-
да (R, <§?)eESJ>2X,v[(w, е), Л], только согласование А
выполняет здесь несколько иную роль. Если в первом
случае оно указывало, какую точность решения а нуж-
но задать для задачи, решаемой на ЭВМ, .чтобы полу-
чить точность в для исходной задачи, то теперь по точ-
ности е задачи, решаемой на ЭВМ, согласование указы-
вает точность а, получающуюся для исходной задачи.
Совершенно аналогичная интерпретация имеет место
и для случаев
(/?, £)eis$i’v[(/n, е), Л] и (/?, й)еЕ5£Г[(т, в), Л].
Здесь только задачу частного выбора нужио заменись
на задачу полного выбора.
Введенные в определениях 1.3.1—1.3.6 понятия устой-
чивости для принципов оптимальности можно рассмат-
ривать как обобщения различных понятий корректности
(см., например, [38, 74]) для задач частного и полного
выбора.
Действительно, различные определения корректности
содержат обычно три условия: 1) существование реше-
ния; 2) единственность решения; 3) непрерывность ре-
шения как функции от исходных данных. Поскольку
условие единственности нехарактерно для е-оптималь-
ных стратегий, а условие существования решения вхо-
дит в условия устойчивости принципов оптимальности,
то, учитывая, что практическое применение понятий ус-
тойчивости соответствует содержательному смыслу по-
нятий непрерывности, можно считать понятия устойчи-
вости принципов оптимальности синонимом корректнос-
ти принципов оптимальности.
§ 4. Взаимосвязи различных понятий устойчивости
Рассмотрим сначала связь различных понятий устой-
чивости внутри каждого из определений 1.3.1—1.3.6. По-
скольку указанные типы устойчивости отличаются толь-
ко множествами, на которых производится сравнение
50
ГЛ. 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
стратегий, то для установления связей между ними по-
требуются некоторое условия на интерпретацию Q.
Пусть Lc^MxM.
Будем говорить, что Q удовлетворяет условию Affl[L],
если для любых (Z, п) ^L, x&S (I) выполнено
xeQ(Q(x, /, n), n, I).
Будем говорить, что Q удовлетворяет условию Л°т [L],
если для любых (Z, п)еА, xeS(Z) выполнено
х =Q(Q(x, I, п), п, I).
Факт выполнения соответствующего условия для Q
будем записывать в виде включения, например, Не
еЛл[Л]. Условие Лш, по-видимому, вполне естественно,
но условие Л°в довольно сильное.
Пусть L состоит из двух пар (/, п) и (п, I), то есть
ь={(/, и), (п, Z)}.
Утверждение 1.4.1. Если Q&4%)[{(Z, и), (n, Z)}],
то отображения Q(«, Z, и) и Q(-, и, Z) устанавливают
взаимно однозначное соответствие между элементами
множеств S(l) и S{n) и являются взаимно обратными.
Доказательство. Пусть xeS(Z). Покажем, что
множество Q(x, Z, п) состоит из одного элемента. Пред-
положим противное; пусть существуют у2^£1(х, Z, п)
и	По условию QeX°G)[{(Z, /г), (/г, Z)}] имеем
£1(ух п, Z)=Q(z/2, и, Z)=x.
Применяя Q еще раз, получаем равенство
y1=Q(Q(z/1 /г, Z), I. n) = £l(£2(y2i /г, Z), Z, п) = у2,
что приводит к противоречию. Доказательство остальной
части утверждения элементарно. 
Условия Лш, Л°ш позволяют сфор'мулировать простые
связи между некоторыми типами устойчивости, отли-
чающимися только множествами стратегий, на которых
производится сравнение. Такие связи позволяют сущест-
венно сократить число рассматриваемых типов устойчи-
вости принципов оптимальности. Пусть (/?, <У) — прин-
цип оптимальности.
Утверждение 1.4.2. Для J = L Е выполнено'.
1.	Если (R, F)eJSU^[y, А] и для любых (пг,
и (а, 6)еЛ(т, е) выполнено Aa[M6(m)xm], то
(R, £)е JSUp [У, Л].
§ 4. ВЗАИМОСВЯЗИ ПОНЯТИЙ УСТОЙЧИВОСТИ	51
2.	Если (R, %)ЕЕ JSDo [X, 4] и для любых (m,z)EzN
и (а, 6)£Л(т, е) выполнено ЙЕAa[mxM6(m)], то
(R, c)eJSDf[X, 4].
3.	Если (R, ?)=JSU„ [N, 4] и для любых (т,
и (а, 5)ЕЛ(т, е) выполнено Qe^[nxM^m)], mo
(R, g)EEJSU|[/V, 41.
4.	Если (R, £)GJSD^[X, 4] и для любых (m,s)^N
и (а, 6)E4(m, е) выполнено Йе4° [Л4в(лг)хлг], то
(R, S)<=JSD2[X, 41.
5.	Если (R, ^)eJS^v[2V, 4] и для любых (т, e)=N
и (а, б, у)ЕЕА(т, е) выполнено йе4м[Л46(tri)хМ.{(/и)],
то (R, &)eJS*fv[X, 4].
6.	Если (R, <£)&JSvi v[2V, 4] и для любых (т, е)еХ
и (а, б, y)s4(/n, е) выполнено Йе4ш [М7(лг)хМб(лг)1,
то (R, 8)&JSV[M, 4].
Доказательство непосредственно следует из оп-
ределений 1.3.1—1.3.6.
В дальнейшем для установления связей между дру-
гими типами устойчивости потребуются еще четыре ус-
ловия на интерпретацию Й. Пусть LczAfxAf.
Будем говорить, что Й удовлетворяет условию Вш [L],
если для любых (/, k, ri)<=L, x^S(l) выполнено
Й (Й (х, I, k), k, л) й (x, I, n).
Будем говорить, что й удовлетворяет условию СШ[А],
если для любых (/, k, n)<=L, x^S(l) выполнено
й (й (х, I, k), k, л) с: Й (х, I, п).
Пусть NczM.
Будем говорить, что Й удовлетворяет условию DO[X],
если для любых n^N, x^S(n) выполнено
лЕЙ(х, л, л).
Будем говорить, что й удовлетворяет условию В°Ш(Х],
если для любых n^N, x^S(n) выполнено
х— й(х, л, л).
Утверждение 1.4.3. Для J=I, Е выполнено:
1. Если (R, &)eeJS£i v[jV, 4] и для любых (т, €).еУ,
(а, б, у)е4(лг, е) выполнено Й^Сw[44?(m)xAle(4n)x»iJ?
то (R, $)(=JS^v[2V, 4J.
52
ГЛ. I. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
2. Если (Я,	Л] и для любых (т,
(а, 6, y)S=A(m, 8) выполнено И^Вш[М6(т)хМу(т)хт\,
то (R, £)=JS/"v (2V, Л].
Доказательство непосредственно следует из оп-
ределений 1.3.5, 1.3.6.
Для иллюстрации условий Л^, 4°^, В , рассмотрим при-
мер. Пусть множество моделей М. состоит из отрезка [а, Ь] и лю-
бых непустых конечных подмножеств этого отрезка. Множеством
стратегий, соответствующих модели шеМ, будем считать 5 (т) =
= Фь(т, Е1) — множество функций из т в Е1, удовлетворяющих
условию Липшица с константой L. Определим теперь интерпрета-
цию Q. Прежде всего положим, что для любой модели т<=М. и
xeS(m) выполнено x=Q(x, m, m). Для m=/=[a, b] и xeS([fl, d])
положим Q(x, [a, b],	для любого то есть пере-
ход от функции, заданной на отрезке, к функции, заданной на сет-
ке, является просто операцией сужения. Обратный переход от функ-
ции, заданной на сетке, к функции, заданной на отрезке, опреде-
лим неоднозначно. Пусть i/eS(m), m=/=[a, 6J, /е[а, Ь]. Обозна-
чим
т_ (m, /) = гпахт, т, (т, /) = 1ш’пт.
ХЕ=т	телп
x>t
Если и т_ и т+ существуют, то положим
*+ Ш (0 = min {у (т_ (m, t)) + L (t—т_ (m, /));
</(т+(т, t))—L(t — T+(m, t))},
(0 = max{y(r_(m, t)) — L(t—x_(m, /));
y(x+(tn, +	— T+(m, /))}•
Если Т— не существует, то
*+М(0 = y(r+(m, t)) — L(t — x+(m, t)),
*_h/l (0 = !/(T+(m, t)) + L(t-~T+(m, t)).
Если же т+ не существует, то
-=У (т_(т, t)) + L(t — rjm, /)),
x_[y]W^y(T__(m, /)) —L(/—т__(т, /)).
Таким образом, на всем отрезке [а, 6] заданы две ломаные х+[г/]
и *-[#], причем х+[г/]	(0, а равенство достигается толь-
ко в точках множества т. Положим
Q(y, m, [a, 6]) = {xeS([a, 6])|V/e[a, 6],
х_ М (t) «(/) М (/)}.
Осталось определить интерпретацию для пар т, п^[а, 6] и т^=п.
Будем считать, что
Q (yt т, n) = Q(Q(yt т, [а, Ь]), [а, 6], п).
§ 4. ВЗАИМОСВЯЗИ ПОНЯТИЙ УСТОЙЧИВОСТИ	53
Итак, интерпретация Q полностью определена. Непосредствен-
но из определения следует, что
QeBw[Mox[a!, Ь]ХМ0]Л[Af0X[a, 6]XМо],
где 7Ио=Л1\[а, Ь]. Нетрудно видеть также, что
xeQ(Q(x, [а, Ь], т), т, [а, Ь]), то есть [[а, Ь]хЛ1],
Q(Q(i/, m, [а, b]), [а, Ь]), т) = (/, то есть О(=Д°ю[Мх [а, Ь]].
Легко проверяются и следующие соотношения:
Q(Q(x, [а, Ь], m), zn, zi)zdQ(x, [а, 6], zi),
Q(Q(y, tn, п), п, k) = Q(y, т, k) при nzozn,
Q(Q(z/, zn, п), л, Aj)zjQ(z/, zn, k).
Приведем еще один пример, показывающий, что существует не-
тривиальное отображение □, удовлетворяющее условию С0 [ЛР].
Пусть А1={а, Ь, с}, a S(x) = {xi, х2}, где хеМ Определим Q сле-
дующим образом: Q(ai, а, b) = {&i, b2}, Q=(ai, a, c) = {ci, сг}, а
для остальных случаев выполнено Q(Xi, х, #)=#2, x,t/eM, (=1,2.
Тогда включение
Q(Q(Xj, х, у), у, z)cQ(xj, х, z)
является строгим для (=1 и (х, yt z) = (a, b, с), (а, с, Ь), (а, а, Ь),
(а, а, с), (а, 6, Ь), (а, с, с). Отметим, что условие хгеП(х<, х, х)
не выполнено, так как П(х<, х, х)=х2, xgAL
Следует заметить, что хотя пример отображения Q,
удовлетворяющего условию Сш, и построен, но из содер-
жательных соображений условие является более ес-
тественным, чем С0. Особенно хорошо это видно, когда
применение Q вносит некоторую неопределенность, то
есть стратегии х ставит в соответствие несколько стра-
тегий. Тогда повторное применение Q должно вносить
большую неопределенность, что говорит в пользу усло-
вия В^.
В дальнейшем будет удобно применять некоторые
специальные обозначения. Пусть (/?,	— принцип оп-
тимальности. Обозначим
dom(/?, й>) = {('П, е)ЕМх?|/?(т, е)=^0};
это множество аналогично области определения функ-
ции .или, как принято в выпуклом анализе (см., напри-
мер, [67]), эффективному множеству.
Рассмотрим теперь некоторые производные от (/?, <?Г)
принципы оптимальности. Их содержательный смысл
очень прост — рассматриваются стратегии, е-оптималь-
ные для любых близких к т моделей п^М (т) и е-оп-
тимальные хотя бы для одной близкой к. т модели
Учет различных вариантов множеств/ на
54
ГЛ I. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
которых производится сравнение, приводит к четырем
принципам оптимальности.
Принцип оптимальности (In/Т?, ^ХЕ®), где
1п/Е(т, е, б) =
= {XcS(m)|"'neM8H XaQ(R(n, е), п, т)}. (1.4.1)
Принцип оптимальности (In®R, S’XE®), где
Inc/?(m, е, 6) =
= {XcS(/n)|VneAf6(/n)Q(X, т, n)czR(n, е)}. (1.4.2)
Принцип оптимальности (Ех//?, ^ХЕ®), где
Ех^ R (т, е, 6) =
= {ХсЕ(т)|УпеЛ4в(т)Х=эЙ(Е(п, е), п, т)}. (1.4.3)
Принцип оптимальности (Ех®/?, <§ГхЕ®), где
Ех0 R (т, е, 6) =
= {X<zS(/n)|VneMe(/n)Q(X, т, ri)=>R(n, е)}. (1.4.4)
Множеством стратегий для введенных принципов оп-
тимальности на модели т является	Если в
качестве отношения частичного порядка .на ®l(S(m))
рассмотреть отношение включения для множеств, то
можно поставить вопрос: имеют ли множества (е, б)-оп-
тимальных стратегий для введенных принципов опти-
мальности максимальные или минимальные элементы?
Введем обозначения
infR(tn, е, 6) = П Q(R(n, е). п, т),	(1.4.5)
inBR(tn, е, б) = {xeS(/n)|Vne44e(m), Q(x, tn,'n)c.R(n, е)),
(1.4.6)
ex//?(m, е, б) = (J й(/?(п, е), п, т).	(1.4.7)
пеМф (т)
Очевидно, что (in//?, ^ХЕ1®),	(in»/?, ^хЕ1®),
(ех/7?, «^ХЕ1®) можно рассматривать как принципы
оптимальности, заданные на множестве моделей М с
множеством стратегий S(m), т^М.
Утверждение 1.4.4. Для любых т^М, ее#,
беЕ1®, u = f, v выполнено:
1) Inu/?(/n, е, б) = {Xc:S(/n)|Xc:inu/?(/n, е, б)};
2) ~Exf R(m, et .8) = {XczS(m)\Xz>QxfR(m, е, б)}.
§ 4. ВЗАИМОСВЯЗИ ПОНЯТИЙ УСТОЙЧИВОСТИ	55
Доказательство очевидно.
Аналогичного описания для Exr в общем случае по-
лучить, очевидно, нельзя. Принципы оптимальности
(1.4.5) —(1.4.7) полностью определяют принципы опти-
мальности (1.4.1) — (1.4.3), но удобнее для использова-
ния, так как множество стратегий для них совпадает с
исходным S(m), а для (1.4.1) — (1.4.4) оно равно
ЭД(5(т)). Поэтому в дальнейшем преимущественно бу-
дут использоваться принципы оптимальности (1.4.5) —
(1.4.7).
Нетрудно видеть, что принципы оптимальности
(1.4.1) — (1.4.7) монотонны по включению по парамет-
ру 6. Границу тех 6, для которых inuR=A0, задает
функция
ли R (tn, е) = sup у,
где верхняя грань берется по всем у^О таким, что
inu/?(m, е, у) =/=0. Множество тех (т, е), для которых
эта верхняя грань ограничена снизу числом 6, обозна-
чим
П„((Я, £), 6) = {(m, e)f=Mx8\nuR(tn, е)>б}.
Семейство множеств {М6(т), б>0} задает систему
окрестностей радиуса б для т^М. Доопределим эту си-
стему для Л1Х^, а именно, окрестностью радиуса б па-
ры (т, е)еЛ!х^ будем считать множество М6(т)Хе..
Тогда, если Кс.М'Х.%, то функция
QN(m, e) = supy,
где верхняя грань берется по всем у^О таким, что
Му(т) XeczN, дает предельный радиус окрестности па-
ры (т, е), содержащейся в N.
Множество
int(7V, 6)={(m, tty=Mx$\QN(tn, е) > 6}
является б-внутренностью множества N. При 6=0 оно
совпадает с множеством внутренних точек N.
Важную роль в изучении устойчивости принципов
оптимальности играют согласования. Введем для них
различные характеристики, которые потребуются в даль-
нейшем. Пусть А: Мх^-^Щ#'). Пока мы встречались
с согласованиями А, для которых &~=&ХЕ1+ либо
&“=&ХЕ2+. Далее будут использоваться согласования и
более общего вида.
56	гл. I. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Сужением согласования А на множество AfczAfX^
назовем согласование A |JV, для которого Л|А^(т, в) =
=А(т,&) при (т, e)eJV и A е) =0 при (m, е)ё=М.
Графиком согласования А называется множество
gr[4]={(m, е, а)Е^М xtSxflaEEAfm, в)}.
Поскольку в дальнейшем потребуются различные сече-
ния и проекции этого множества, то для единообразия
введем обозначение
Mx$xf = Л(1)ХЛ(2)Х... xAw,
причем Л(1)=М, А(2)=^9 3"=Л(з)Х ... ХЛ(/0. Такое разло-
жение для согласования Л, конечно, не единственно; оно
просто задает разбиение набора (ги, 8, а) на компонен-
k	k
ты. В этих обозначениях grL4] о П Л(,). Для Вс=ПЛ(,),
1=1	z=i
1	введем сечение множества В:
secit...itBbit) =
=	/r¥=is,	bh)(=B}.
Таким образом, seci2gr[.A] =A.
Проекцию В на компоненты ц, it обозначим
prG.„ftВ =	bif)^0}.
Сформулируем теперь простейшие необходимые ус-
ловия для различных видов устойчивости. Эти условия
можно рассматривать как условия регулярности различ-
ных типов. Справедливость такой интерпретации необ-
ходимых условий подтверждается результатами следую-
щей главы.
Для согласований А, участвующих в формулировке
утверждения, будем считать Л(1) = Л1, Л(2)=йГ, А^^#,
Aw=El+ при i^4.
Утверждение 1.4.5. Для u=f, v выполнено:
1.	Если (R, £)eISU*[A\ Л], то Усбот(7?, и
PrJ3grb4|W]c:int(dom(/?. &), А).
2.	Если (R.8)(=ISDt[N, Л], то NdHu((R, £), А) и
Рг1збгМ|ЛПсс1от(7?, %).
3.	Если (R, 8)=ESU£[iV, Л], то 7Vczint(dom(/?, ^), А)
и Pri3 gr [A |7V]cdom(7?,
4.	Если (R, ^)eESD„[Af, Л], то AZ<zdom(/?, и
РГ1збПЖ]сПи((Я, ^), А).
§ 4. ВЗАИМОСВЯЗИ ПОНЯТИЙ УСТОЙЧИВОСТИ	57
5.	Если (R, 8)eIS^v[W, Л], то pr13gr [Л | TV] с
czint(dom(R, &), X) и N<=nf((R, %), v) при w = vl, f;
8), v) при w=v2.
6.	Если (R, 8)eES^’v[W, Л], то tfcint (dom (R, 8), X)
и pr^grHIWJa:!!^/?, %), v) при w=vl, f; pr13gr [Л|ЛПс:
dI0((R, 8), v) при w = v2.
Доказательство проведем только для пункта 5
при a>=v2. Остальные случаи доказываются аналогич-
но. Докажем сначала первое включение.. Пусть (т, а) е
epris gr [ Л |1У]; это значит, что существуют
(6, у)е£2+ такие, что (т, e)eV и (а, 6, у)еЛ(/п, е).
Из определения 1.3.5 следует, что 6>Х и для любых
п^М6 (т) выполнено R(n, а)=Н=0, то есть Af6(/n)Xacz
czdom(R, S), а следовательно, 0dom(R, S') (т, a)^
>6>Х. Поэтому (т, a)eint(dom(R, S), X).
Докажем второе включение. Пусть (т, e)e/V; тогда
А(т, е)¥=0 и для любых (а, 6, у)еЛ(т, е), п^Мй(т),
k<=Mv(m) выполнено R(n, а)У=0, S>X, y>v и
Q(R(n, а), п, k)<^R(k, в). Положим п = т; тогда отсюда
следует, что 0=/=R(m, a)c=in»R(m, 8, у). Поэтому
nvR(m, e)>y>v, то есть (т, е)еП„((7?, S), v). 
Следующее утверждение устанавливает довольно
очевидный факт, что внутренняя и внешняя устойчивость
сильнее, чем соответственно внутренняя и внешняя ус-
тойчивость сверху и снизу. Для точной формулировки
потребуются следующие обозначения. Пусть Л — согла-
сование Л: MxS->$R(SxE2+) и -NczMxS’. Обозначим
Л|АГ(£, в) =
= {(а, 6) её х Е+13 у > О, m^Mv (k): (т, 8, а, 6, у) ее
GgrM|W]},
Л|АГ(£, в) =
= {(a, y)s8 х 13 6> О, тЕ=М6 (k); (т, г, а, 6, у)е
е gr [Л|У]}.
Утверждение 1.4.6. Для J = I, Е выполнено: если
(R, «^eJSa^lW, Л], то (R, <r)eJSL6A[dom(B, &), В],
где набор параметров (a, b, с, L, В) принимает значения
(о1, v, X, U, A\N’), (ul, А V, D, A\N"),
(v2, f, X, U, A\N'), (v2, v, v, D, AIN").
58
ГЛ. 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Доказательство проведем при J = E для набора
параметров (v2, f, %, U, А |АГ)- Пусть (k, е) edom(A |Af')
и (а, б)еА|Х' (k, е). Тогда существуют у>0 и т^Мй (k)
такие, что (m, e)eiV, (а, б, v)G^(m, е). Из определе-
ния 1.3.6 следует, что для любых пеЛ4б (m),
выполнено б>%, R(n, е)=£0 и
Q(7?(n, е), п, l)c:R(l, а).
В частности, это включение выполнено и при l=k. 
Замечания. 1. Если считать Aw=М, А(2)=^(з)=^>,
А(4) = А(5) = Е1+, то
А|Л''(&, е)о sec12 pr1234 gr [A|W] (k, е),	(1.4.8)
А|ЛГ(£, e)=sec18pr1238gr[A|y](Ve).	(1.4.9)
Отсюда нетрудно получить, что
dom(A|AT, «)=>У, dom(A|AT, V>zdN.
2. В утверждении не рассматривается a=f. Если на
интерпоетацию Q наложить естественное условие
Дош[Л1]:
Q(x, т, tri) = х VxE^S(m), т^М,
то совершенно аналогично можно сформулировать, как
из /-устойчивости следует устойчивость сверху и снизу,
только вместо указанных в утверждении согласований
будут участвовать сечения проекций, фигурирующие в
(1.4.8), (1.4.9).
3. На согласования, участвующие в различных опре-
делениях устойчивости, можно смотреть как на принци-
пы оптимальности частного вида, обладающие той осо-
бенностью, что множества стратегий у них не зависят
от модели. Учитывая сказанное, будем применять к со-
гласованиям такие же операции и обозначения, как и к
принципам оптимальности, опуская нижние индексы /
и v в обозначениях устойчивости, так как в данном слу-
чае они не вносят никаких различий.
Укажем теперь условия, при которых из устойчивос-
ти сверху или снизу следует устойчивость. Пусть
AfczAfx<^, т)^0, A:	. Введем два
согласования
ип[Д, В, г)] (т, е) =
=={(«, 6, 7)Е?х£4-|(а, 6 + y)^inX(m, 8, у),
В< 7<min {л А (т, 8), 0/V(m, 8), т]}}»
§ 4 ВЗАИМОСВЯЗИ ПОНЯТИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
59
un* [Л, Е, т]] (т, 8) =
= {(а, 6, X £+1 (а, у, 6)Gun[A, I, q] (tn, е)}.
Утверждение 1.4.7. Для J = I, Е и
выполнено'.
1.	dom(un[A, В, т|], g) = dom (un* [A, g, ij], %) =
= П((А, ?), £)nint(JV, £).
2.	Если (R, M) e JSUa[tf, Л], mo (R, g) e
eJSb-’1,5[dom (un [A, r]|, I), un (A, r)]], где набор пара-
метров (a, b) принимает значения (f, v2), (v, vl).
3.	Если (R, g) s JSDa [N, A], mo (R, g) e
gJS|’ v"’’[dom(un*[A,	t]], g), un*[A, g, т)]], где набор
параметров (а, b) принимает значения (f, у1), (у, v2).
Доказательство. Докажем первый пункт ут-
верждения. Включение
dom(un[A г)1, Ос=П((Л, ё), g)f]int(АД £)
очевидно. Докажем обратное включение. Пусть (ги, е)е
сП ((Л, ^), g) Пint (N, I); тогда выполнено min {лЛ (т, е);
0W(т, е)}>£. По условию утверждения g<r), поэтому
существует у, удовлетворяющее условию ^<у<
<тт{лЛ(т, в); 0Af(m, е); т]}. Отсюда следует, что
inA(m, 8, у)¥=0, то есть существует пара (а, Д)е
&пЛ(т, 8, у). По условию Д>£ Следовательно,
6 = Д—у>Х——т]^0. Поэтому (а, 6, у)еип[Л, g, т|].
Второй пункт утверждения докажем для набора пара-
метров (f, v2). Остальные случаи доказываются аналогич-
но. Итак, пусть выполнено (пг, е)ес!от(ип[Л, g, т]], S).
Тогда существует (а, 6, у)еип[Л, g, iq] (пг, е). Из вклю-
чения (а, 6-by)ein Л (т, 8, у) следует, что (а, б + у)е
еЛ(&, е) для любого k^My (m), а значит, в силу усло-
вия утверждения, для любого n^M6+/k) выполнено
Q(R(n, а), п, k)czR(k, е). Осталось заметить, что из не-
равенства треугольника для псевдометрики р, вытекает
справедливость включения M6+y(k)^M6(m) и, кроме
этого, л>т>&;	—Л- 
Теперь из утверждений 1.4.6, 1.4.7 непосредственно
следует связь между устойчивостью сверху и снизу.
Утверждение 1.4.8. Для (a, b) = (f, v), (v, f);
J = I, E; g<r]^X выполнено*.
60
ГЛ I УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
1. Если (R, g)GJSUa[W, Л1, то
(R, £)е JSD|[dom(un[A, В, т)]|АГ, й), ип[Л, В, т)1|АП-
2. Если (R, £)eJSDj;[W, Л], то
(R, £)GEJSU||dom(un*M, В, ?), ип*[Л, В, nWl-
Рассмотрим теперь связь между внутренней и внеш-
ней устойчивостью. Пусть k'cMxtf, согласование
Л: МХ^-^^ХЕ1^, а согласование В: МХ&-+
-+-ЧИ(&хЕ2+). Будем считать, что A(i)=B(i)=Af, Л(2) =
= Л(3) = В(2) = В(3)=^Г, Л(4) = В(4) = В(5) = £1+.
Утверждение 1.4.9. Для a=f, v; b = vl, v2, f-,
(J, L) = (I, E), (E, I); V=U, D выполнено:
1. Если (R, £)eJSVa[W, Л], mo
(R, £)e=LSV*Jpr13gr[A|NJ, sec13gr [A|AT]].
2. Если (R, gjeJS£-v[W, В], mo
(R, 2)el4’v[pr13gr[B|N], sec13gr[B|N]].
Доказательство проведем для пункта 1 при
a=f, (J, L) = (I, E), V=U. Пусть (m, s) epri3 gr [Л | A/];
это значит, что seci3 gr|\4 |Af] =И=0. Пусть (a, 6)e
eseci3gr[X |Af]; это значит, что (/n, a, 8, 6) ^gr [Л | W],
или (m, a)^N, (e, 6)E/l(m, a). Теперь из условия
(/?, <F)eISU/A[Af, Л] следует, что 6>Д и для п<=М6 (т)
выполнено /?(/г, е)=И=0 и Q(/?(n, s), пу m)czR(my a). 
Итак, с помощью утверждений 1.4.3, 1.4.6—1.4.9 мож-
но из устойчивости одного типа получить согласование
и множество, на котором имеет место устойчивость дру-
гого типа. Такие связи между различными понятиями ус-
тойчивости позволяют при исследовании свойств устой-
чивости конкретных принципов оптимальности сущест-
венно сократить число исследуемых типов устойчивости.
Кроме этого, некоторые связи, например, условия, при
которых из устойчивости сверху и снизу следует устой-
чивость, представляют и самостоятельный интерес.
Остается пока неясным, насколько полны установ-
ленные связи между различными понятиями устойчивос-
ти. Сформулируем вопрос более точно. Рассмотрим пре-
дельно широкие согласования и множества, при которых
имеет место устойчивость фиксированного типа. Если к
этому случаю применить соответствующее из приведен-
§ 4. ВЗАИМОСВЯЗИ ПОНЯТИИ УСТОЙЧИВОСТИ
61
ных утверждений и получить согласование и множество
для другого типа устойчивости, то возникает вопрос:
будут ли они предельно широкими для полученного ти-
па устойчивости? Для исследования этого вопроса вве-
дем полные согласования.
Пусть W обозначает тип устойчивости, то есть W
принимает значения ISUU4, ISDU4, ESUU4, ESDU4, ISwx,v,
ES№’-'v, где u=f, v\ w = f, ul, v2.
Определение 1.4.1. Согласование А называется
полным для принципа оптимальности (R, S) и типа ус-
тойчивости W, если для любого (т, e)eA4x<F из усло-
вия (R, &")^W[(ni, е), В] следует В(т, е)с=Л(т, е) и
(R, ^)eW[(m, е), Л]. Если же не существует такого В,
что (R, £)eW[(m, е), В], то А(т, е) =0.
Введем соответствующие обозначения. Для J = I, Е;
L = U, D; a=f, v; b=f, vl, v2 обозначим conJLa4[R,
полное согласование для принципа оптимальности (R,
и устойчивости типа JSLa4; conJbx’v[R, S’] — полное
согласование для принципа оптимальности (R, <8} и
устойчивости типа JSbx-v.
Будем считать, что для полных согласований компо-
ненты определяются следующим образом:
conJLa [R, $](!) = conv[7?, 8>](1)=7И,
con JLa [R, £](,•) = con v [R, £J(0 = %, i — 2, 3,
con JLa [7?, g](4) = con Jb"v [R, S](4> = con Jb” v [R, 8](6)=£!|..
Очевидно, что предельно широкие множества, на ко-
торых имеет место устойчивость, получаются, если к со-
ответствующим полным согласованиям применить опера-
цию dom.
Посмотрим, что дают утверждения 1.4.6—1.4.9 для
полных согласований. Отметим, что Л | dom (Л, <8)=А.
Теперь утверждение 1.4.6 принимает вид:
Утверждение 1.4.10. Для J = I, Е выполнено-.
1)	(R, $)SEJSUj: [dom (con j£f V[R, %]', %), conJ^i V[R, m
2)	(R, £)=JSDf [dom (con^i V[R, £ ]", g), conj^f V[R, £]"];
3) (R, £)&JS(4 [dom (con J*2 V[R, &Г, 2), conJ*$ V[R, gJ'J;
4)	(R, 8)eeJSD;; [dom(con J^ V[R, ё]", 8), conJ^j V[R,
62	гл. 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Отсюда следует, что для J = I, Е; (a, b) = (vl, v),
(и2, f); (c, d) = (yl, f), (v2, v) выполнено
dom(con Ja•v[/?, <$], <o)c=dom(con J*'v[/?, V]', £) c
c: dom (con JUb [/?, £], <f),
dom (con J*’ v[/?, Й], <r)cdom (con J*’ v[/?, %]”, $)<=2
c:dom(con JD?[₽, %], %),
conJa v[₽, S]'(m, e)ccon JU*[/?, ё](т, e) V(m, i)eMx$,
(1.4.10)
con J*’v [7?, $]" (tn, e)a:con JDj [/?, %] (tn, e) V(m, e)=M x
(1.4.11)
Уточним включения (1.4.8), (1.4.9).
Утверждение 1.4.11. Для J = I, Е; u = f, vl, v2 вы-
полнено:
1) in (con Ju’v [/?, <£]')(m, e, v)r>
r)sec12pr1234 gr[conJ„’v[/?, &]](m, e);
2) in (con J„'v [Я, &Г)(т, e., Х)дэ
osec12pr1233gr[con J*’v[/?, 8]\(m, e).
Доказательство. Докажем первый пункт. Вто-
рой пункт доказывается аналогично. Пусть (а, 6)е
eseci2рг|2з4gr[con J„>-v[/?, &]] (т, е). Значит, сущест-
вует уеЕ’+ такое, что (а, б, y)econ Jux> v(7?, &] (т, 8),
но тогда y>v и (a, б)есопJux>v[/?, &]'(к, е) для лю-
бого k^Mv (т). 
Теперь для включений (1.4.10), (1.4.11) и утвержде-
ния 1.4.11 следует, что для (a, b) = (v\, v), (v2, f) и
(c, d) = (v\, f), (v2, v); J= I, E выполнено
inconJU*[7?, И (tn, e, v)
zjsec12prl234gr[CQjjJ* v[/?, ?]|(/n, e), (1.4.12)
in con JDd [/?, ё](пг, 8, X)ro
Z5secKpr1235gr[ccn J*' v[/?, ?]](/«, 8).	(1.4.13)
§ 4. ВЗАИМОСВЯЗИ ПОНЯТИИ УСТОЙЧИВОСТИ	63
Заметим, что при i=4, 5; u = vl, v2 справедливо
dom (sec12 pr123i gr [con J„’v [7?, £]],«) =
= dom (con J*’ v[7< g], 8).
Отсюда и из включений (1.4.12), (1.4.13) следует
Утверждение 1.4.12. Для J = I, Е выполнено
dom(con Jo’v [/?, g], g)cz
с:П((соп JU& [7?, g], $),v)nn((conJDH₽, g], g), X),
где (a, b, c) = (yl, v, f), (v2, f, v).
Применяя утверждение 1.4.7 к полным согласова-
ниям, получаем
Утверждение 1.4.13. Для J = I, Е;
выполнено'.
1) n((conJU*[tf, g], g), g)cdom(conjrn’5[/?, #1, $),
где (a, b) = (f, v2), (y, pl);
2) П((сопJDa[R, g], g), |)cdom(conjP~’1[7?, g], g),
где (a, b) = (f, pl), (p, p2).
Итак, утверждения 1.4.12, 1.4.13 дают оценку сверху
и снизу для множества, на котором (R, S) внутренне
или внешне устойчив, через соответствующие множест-
ва для внутренней и внешней устойчивости сверху и
снизу. Для некоторых частных случаев эти оценки мож-
но уточнить.
Утверждение 1.4.14. Для J = I, Е выполнено
dom (con Ja0 [7?, g], g) =
= П((соп JU°[7?, g], g), 0) = П((соп JD°[7?, g], g), 0),
где (a, b, c) = (p1, p, f), (p2, f, p).
Докажем первое равенство для случая J = I, a=v2,
b=f.
Остальные случаи доказываются аналогично. Из ут-
верждений 1.4.12, 1.4.13 следует, что для любого %>0
выполнено
П((соп Ш/[7?, %], g), 0)cdom(conJV[fl, g], g)c=
сП((сопШ“[₽, g], g), 0).
Это значит, что справедливо
и П((con lUf’[7?, g], g), 0)czdom(conJ22°[7?, g], g)c
X>0
cn((conIU®[7?, g], g), 0).
64	ГЛ. 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Покажем, что имеет место и обратное включение, а
именно
и П ((con IU/[7?, $], £), 0)г)П((сопШ“[₽, $], $), 0).
1>0
Пусть (т, е)еП((соп IU°/[P, &], &), 0), то есть суще-
ствует у>0 такое, что л con IU°/[7?, (т, e)>y>0.
А потому существует (а, 6) ein con	&](т, 8, у),
но тогда (a, 6)eincon&](т, 8, у), что озна-
чает лсоп Ш/в/2[/?,	(т, е)^у>0. Таким образом, по-
лучаем (лг, 8)<=П((сопШ/в/ф?, &], S}, 0). 
Выясним теперь связь между полными согласова-
ниями для внутренних и внешних типов устойчивости.
Утверждение 1.4.15. Для a=f, и; b=f, vl, v2;
(J, L) = (I, E), (E, I); V=U, D выполнено:
1) con JVa [P,	(m, e)=sec13gr [conLVa [Я, 8], 8] (m, e),
V(tn,
2) con J*’v [7?, 8] (tn, e)=sec13 gr [con Ц’ v[7?, 8], 8] (tn, г),
У! (tn, е)еМх8>.
Доказательство. Рассмотрим для примера
пункт 2) при b=f, J = I, L=E. Множества
gr[conJAv[/?, #], #] и gr[conE/-v[/?, <!Г], отлича-
ются только тем, что вторые и третьи компоненты у них
переставлены, поэтому
sec12gr[conlf" v[7?, 8], 8](т, е.) =
= sec13gr[con£f,,v[7?, 8], 8](т, е).
Напомним, что
sec^gr [coni*’v[7?, $], 8](т, e) = conlf’v[7?, 8](т, г). 
ГЛАВА 2
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ЗАДАЧ
§ 1. Свойства принципов оптимальности
ex/??, in//?, inv7?
Для дальнейших исследований будет удобно исполь-
зовать некоторые понятия для многозначных отображе-
ний. Итак, пусть f:	Для AczY множество
/®(Л)={хеХ|/(х)сЛ)
будем называть внутренним прообразом множества А,
а отображение f®: ®1(У)->®1(Х) будем называть внут-
ренним обратным отображением. Представляет интерес,
как отображение j® действует на объединение и пере-
сечение множеств.
Утверждение 2.1.1. Для AiCzY, i^l, выполнено:
1) /®(и Лг)=>и/®(А);
ieZ	teZ
2) /®(ПЛ)= П/®(А).
Ze/	lei
Доказательство элементарно.
Выясним, какими свойствами обладает композиция
отображений f и f®. Считаем, что f(B)= J f(x)-
хеВ
Утверждение 2.1.2. Для BczX и A czY выполнено:
1) Вс/® (/(В));
2) Лс/(/®(Л)).	'
Доказательство элементарно.
Для отображения й(-, т, п) внутреннее обратное
отображение будет иметь вид
О® (Л, пг, п)= (xeS(m)|Q(x, т, п)сЛ}.
Отметим, что в то время как для Q при любом Л=/=0
выполнено Й(Л, пг, п)^/=0, для Q® это уже не так.
3 Д. А. Молодцов
С6	гл. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Используя внутреннее обратное отображение, мож-
но показать, что
8,	6)= П	е), т, п).
(т)
Эта формула по структуре аналогична определению
in/ R и ех/7?. Сформулируем простейшие свойства прин-
ципов оптимальности in//?, ex/J?, inr/?.
Утверждение 2.1.3.
1.	Для 61^62^0 выполнено
exfR(tn, е, 61) ех/ R (т, г, б2),
in/ 7? (т, е, 6j) с: in//?(m, е, 6.J,
inp/?(m, е, 6J cz in0 R (т, е, 6.J.
2.	Для любых п^М6 (т) выполнено
in/ R(m, е, 6)’czQ(/?(n, е), п, т) <= ех/ 7? (т, г, 6),
£2(inB/?(m, е, б), т, ri)<=R(n, е).
3.	Если Q^D№[m, т], то
in„ R(m, е, 8)czR(m, 8)czex//?(m, е, б).
4.	Если Q^D^Jm, mJ, то
infR(m, е, б)с/?(/п, е).
5.	Если ^1^Аа[тхМ6(т)], то
inv R(m, 8, б) cz inf/?(m, 8, б).
6.	Если QeXlMe(/n)x/n], то
infR(m, 8, б) с: in„ 7? (т, 8, б).
Доказательство. Первые четыре пункта дока-
зываются элементарно. Докажем пункт 5. Из пункта 2
следует, что для п^М^(т) выполнено
Q(inp7?(/n, 8,6), т, n)c.R(n, 8).
Отсюда
Q (Q (in0 7? (т, 8, б), т, п), п, т) czQ(R(n, 8), п, т).
Учитывая условие Аш, получаем для п^М6 (т)
in„7?(/n, 8, 6)<=S2(/?(n, в), п, т),
что и означает справедливость утверждения пункта 5.
§ I. e-Ху Й, iny я, in„ й
67
Докажем пункт 6. Из условия Лош следует, что для
любого «еЛ4б(т) выполнено
Q(Q (/?(n, е), п, tri), т, ri) = R(n, е).
Это значит, что
Q(R(n, е), п, tri)c.®®(R(n, е), т, п).
Используя первое включение пункта 2, получаем для
любого (т)
infR(m, е, 8)czQ®(R(n, е), т, п),
следовательно,
in/7?(m, 8, б)<= р Q®(R(n, е), tn, п) = in0/?(m, 8, 6). 
ПЕ:М^ (т)
Переформулируем условия Л°о и Са в терминах внут-
реннего обратного отображения.
Утверждение 2.1.4.
1.	Условие ПеЛ°ш[/п, и] эквивалентно условию: для
любого x^S(tn)
Q(x, т, н)сй®(х, п, т).
2.	Условие	т, п] эквивалентно условию:
для любого x^S(k)
Q(x, k, tn) ей®(H(x, k, ri), т, ri).
3.	Из условия	т, п] следует, что для лю-
бого YczS(n) выполнено
Й(Й®(У, k, ri), k, m)czQ®(Y, tn, п).
Доказательство первых двух пунктов очевид-
но. Докажем пункт 3. Из пункта 2 следует, что для
любого XczS(k)
Й(Х, k, m)c:Q®(Q(X, k, ri), m, п).
Положим Л’=Й®(У, k, п), где YczS(n), тогда имеем
Й(Й®(У, k, п), k, tn)<^Q®(^^l®(y, k, п), k, п), tn, п).
Из пункта 2) утверждения 2.1.2 следует, что
Q(Q®(V, k, п), k, n)czY.
Осталось заметить, что Q (•, /и, п) монотонно возрастает
по включению. 
68
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Если трактовать принципы оптимальности ех/7?, inzR,
invR как результат применения операций ех/, in/, in»
к принципу оптимальности R, то интересно выяснить,
что дает повторное применение этих операций. Как будет
видно в дальнейшем, конструкции, полученные при пов-
торном применении указанных операций, возникают при
исследовании устойчивости принципов оптимальности
ех/7?, in/ R, invR.
Утверждение 2.1.5.
1. Если QeCw[Ma+p(/n)xAfp(/n)xwi], то
eXfexfR(tn, е, a, 0)сех/7?(т, 8, а 4-0).
- 2. Если йЕВш[Ма^(т)'хМ^т)хт] и ai>0, то
infexfR(m, 8, а, 0) зэех/R(т, е, а—0).
3.	Если Q^Cv{Ma_$(m)xmxMb(m)\ и а>0, то
inpex>/?(/n, е, а, 0) зэ exf R (т, 8, а—0).
4.	Если QeCffl[Afa_p(/n)x^p(/n)x/n] и а>0, то
ex/in/₽(/n, 8, a, 0)c:in/7?(/n, е,а—0).
5.	Если QeCo>[A4a+.p(/n)xmxAlp(m)] П Ли[тх Mp(m)|,
то
infinfR(m, 8, a, 0)3oin/7?(m, е, а-|-0).
6.	Если Q^Cv[Ma+${m)xmxM$(m)\, то
inp in/ R(m, 8, а, 0) зэ intR(m, е, а4-0).
7.	Если	и а^0, то
ex/inpjR(/n, 8, а, 0) cz inp R (т, ъ, a,—0).
8.	Если QeCo[/nxMp(/n)xAfa+p(/n)] f|/lo>[mxAlp(/n)],
mo
‘ infinp7?(m, e, a, 0)3>inp/?(/h, e, a 4-0).
9.	Если QeCo[/nxAfp(/n)xMrx+p(/n)], mo
inpinp₽(m, e, a, 0) з> inp R (tn, e, a-|-0).
Доказательство утверждения опирается в ос-
новном на использование утверждений 2.1.1, 2.1.2, 2.1.4
и следующих очевидных соотношений: для любого
§ 1. exy R, iny R, inv R	69
п^Ма(т) выполнено Ma(n) <=Ma+$(m) и Afa_p(m)cz
<^Ma(n) при aj>0,
й(ЦЛг, m, n)~ IJQ(A» m> n)>
iej . tel
й(ЛЛг, tn, п)срй(Ль tn, ri).
i<=l
Остановимся для примера на доказательстве некоторых
пунктов.
Доказательство пункта 5.
in,in/R(tn, е, a, 0) =
= f| й (fl Q(R(k, е), k, п), п, т)^>
ПЕМ^ (гп) k^Ma (л)
zd п й (П й(й (/?(&, е), k, tn), tn, п), п, т)=>
neMg (т) ЛеМа+р (т)
дэ П й(й (f| Q(R(k, е), k, tri) т, п), п, т) =
ksMa+Q(m)
= f| Q(Q(infR(rn, 8, a-1-0), tn, ri), n, т)=>
n(=M$ (m)
=3inf7?(m, e, a + 0).
Доказательство пункта 9. Заметим, что если
ЙеСш [т, п, k], то из пункта 3 утверждения 2.1.4 сле-
дует, что для Ус=5 (k) выполнено
Й(Й®(У, /и. k), tn. ri)czQ®(Y, п, k).
Это означает, что
Й®(У, tn, k)czQ®(£l®(Y, п, k), tn, п).
Используем полученное включение в следующей це-
почке:
inDinD/?(m, 8, a, 0) =
= п й® (Л й®(7?(^, 8), п, k), т, п) =
(т) ЛеМа (и)
= Л Л Q®(Q®(R(k, е), п, k), т, п)<=
пеМ^ (лг) fceAfa (и)
с Л П Й®(7?(Л, е), tn, k) =
nEzM^ (т)	(m)
= in0/?(m, e, а-Ь0). 
Перейдем теперь к исследованию устойчивости прин-
ципов оптимальности ex.fR, in/ R, invR. Учитывая связи,
70
ГЛ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
установленные в § 1.4, между различными типами ус-
тойчивости, ограничимся изучением внутренней устой-
чивости сверху и снизу. Основную роль при формули-
ровке утверждений об устойчивости играют согласова
ния. Введем некоторые согласования, с помощью кото-
рых можно построить согласования, необходимые для
формулировки различных типов устойчивости. Пусть
пк=М, 81^#,
Дл(ги, 8n е2) = {(аг, а2,	| аг = еп а2+6^82,
6>Д},
Вл(/п, 8V 82) = {(а1, а2, 6)СЕй х£+1^ = 61, е2 + 6^а2,
6>Д).
Для принципа оптимальности (Т, ё'хЕ1®) обозначим
Т[Т](т, еп 8^ =
= {(а1( а2, 6)e<£x£'+|Afe(/n)xe1xa2c:dom(T, #x£©)},
X[T](m, ev e2) =
= {(ai> a2> S)G^x£+|(m, ex, a2)sdom (T, $x£®)}.
Утверждение 2.1.6.
1.	Если для любых (m, e2)edom (Дл f|4r[exf/?],
8X £©) выполнено
йеС1В[Л182(/и)хЛ482(/п)х/п] для a=f,
QeBw[A482(m)xmxM82(m)l для a=-v,
mo ex/flelSl# [dom (Ал П [exffl], £x£®), Лд П^ех,/?]].
2.	Если для любых (m, ех, 82)t=dom(A4flX[exf/?J,
$ х £$) выполнено
О^Ва[МЪг(т)хМй2(т)хт] для a=f,
йеСш[Л182(/п)ХтхЛ182(/п)] для a = v,
mo
ex/7?e!SDa [dom (Ал f|X [ех^/?], £x£®), Лл Г) X [exz/?]].
3.	Если для любых (m, ei, 62, ai, 0.2, S)egr[B4f]
f|4r[irib/?]] выполнено
QeColMa.-e^xAfe^X'71] ^ля a==f> b=f-,
§ 1. exy R, iny R, inv R
71
QeCffl [Me, (tn) x M6 (tn) x tn] f)	[Л4б (tn) xm]
для a = v, b=f;
Q^Ca[M6(tn)xmxMa2^(m)]	для a=f, b — v,
QeCffl [Me (m) x m x M&2 (tn)] П Лш [7Ив (tn) x tn]
для a=v, b = v,
TO
inbRsISUa [dom(BAf|4f[inbR], Ш'ф), fl T [in& /?]].
4.	Если для любых (m, ei, ег, си, «2, 5) egr[BA f|
nX[in&/?]] выполнено
[МЕг+6(tn)xtnx Af6(m)J f|	[mx M6 (tn)]
для a=f, b=f;
Q<=Ca[Mf,2+6(m)xmxM6(tn)]	для a = v, b=f;
Й<=СИ[tnxM6(tn)xМВг+б(m)] П A,[tnxM6 (tn)]
для a=f, b = v\
QGQmxMj(m)xMei+{(m)]	для a — v, b = v,
TO
inb R<=ISDa [dom (Вл ("| X [inb R], 8хЕ'ф), Вл П X[infe/?]].
Доказательство всех пунктов утверждения лег-
ко следует из утверждений 2.1.3, 2.1.5 и соответствую-
щих определений. Исключение составляет лишь случай
внутренней (Д, и)-устойчивости сверху. Для примера
докажем этот случай для принципа оптимальности
in„R. Пусть (т, 8Ь 82, аь а2, б)egr[ВЛПЧГ[in®/?]]. Из
условия Л46 (m) XeiXa2C=dom(in„/?, &хЕ1$ ) следует,
что для любого п^М6 (т) выполнено in»7?(n, 81, аг)¥=
=#0. Справедлива следующая цепочка включений:
Q(inp/?(/n, 8р в2), tn, п) —
= й (П й® (R (k, 8i), т, k), tn, п) z>
(m)
□ й (П й(й®(7?(&, ej, п, k), п, tn), tn, п)гэ
keMBi (m)
=>Й(Й	(0	Q®(R(k, 8j), n, k), n, tn), tn, n) =
feeMg2+e (n)
= й(й(1пс/?(л, 8], e2 + 6), n, tn), m, n) о
3>inpR(n, Bl e?-{-6) =з in,; R(n, a}, aj. 
72
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
В утверждении 2.1.6, в определении согласований и
множеств, на которых доказана устойчивость, исполь-
зуются различные характеристики исследуемых прин-
ципов оптимальности. Представляет интерес описать
или в каком-то смысле аппроксимировать указанные со-
гласования и множества, используя только характери-
стики исходного принципа оптимальности 7?. Конечно,
такая задача весьма неопределенна, так как принципы
оптимальности ех/7?, in/7?, сами можно считать
характеристиками 7?, но во всяком случае будем пони-
мать такую постановку как некоторую тенденцию, а
точные формулировки приведем ниже.
Для NczM и т^М обозначим
р (/n, N) = inf р (т, и).
ne/V
Напомним, что
secadom(/?, $)(е) = {/пе/И | (т, e)edom(/?, ^)}.
В следующем утверждении строятся внешние и внут-
ренние оценки для множеств, на которых не пусты
принципы оптимальности ex//?, in//?, in,,/?. Эти оценки
будут использоваться в данном параграфе и в главе 3.
Утверждение 2.1.7. Для любого принципа опти-
мальности (R, ё) выполнены включения:
1)	{(m, 8n 82)<=M x#x£+|'|T(7n, sec2dom(/?,
<ejc:dom (exf R, g’xf®);
2)	{(tn, 8Р 82)еА4 Х<о х£+| ц(т, sec2dom(/?, #)(ei))^s
о dom (ех/ R, % x £$);
3)	{(tn, e1( 82) s M x 8 X £4. I л,. R (tn, 81)>e2}cz
cdom(ins/?, <£x£®), a=f, v;
4)	{(m, «i, e2) e M X 8 X E'+ I na R (tn, 8j)>82}=>
odom(ina/?, $х£ф), a=f, v.
Доказательство. Включение 1). Предположим
p(m, sec2dom(/?, <F) (ei)) <«2, то есть существует
nesec2dom(/?, (®i) или R(n, ei)=/=0 такое, что
y.(m, n) <82- Тогда
ex//?(m, 8t, ej =
= U Q(R(k, ej), k, niy=)Q(R(n, 8j), n, tri)=£0.
(m)
Включение 2). Пусть еху/?(лг, ei, 82)=/=0, то есть су-
ществует neAfe?(m) такое, что R(n,	или яе
§ i exy R, iriy R; inv R
73
<=sec2 dom(R, <^) (ei). Отсюда p.(m, sec2 dom (R, <F) (ei))^
=Ce2- Аналогично доказываются и остальные вклю-
чения. 
С помощью утверждения 2.1.7 условия Мй (m)XsiX
Xa2c:dom(ex/R, &ХЕ1®) и (т, 81, a2)<=dom(ex,R,
^TXf1©) можно заменить более сильными, а именно,
если ц(т, sec2dom(R, &) (et)) +6<a2, то выполнено
первое условие; если ц(т, sec2dom(R, <S) (ei))<a2, то
выполнено второе условие. Действительно, пусть
п^М6 (т); тогда
ц(п, sec2dom(R, £)(ex))^p(m, sec2dom(R, $) (ех)) -|- б.
Если теперь ц(т, sec2dom(R, <?) (ei))+6<a2, то
для любого (т) выполнено ц (n, sec2 dom (R,
«?) (е,)) <a2 и, как следует из утверждения 2.1.7,
(и, ei, a2)edom(ex/R, $ХЕХ§ ), то есть Мй (zn)XeiX
Xa2<=dom(ex/R, ^Xf1® ).
Замена указанных условий более сильными позволя-
ет заменить согласования A4fpF[ex/R] и A4f|X[ex/R]
более узкими, но имеющими более конструктивный вид.
Обозначим
Аи(т, 8„ в2) =
= {(alt a2, 6)e^x£'+lai = e1, Iх (т< sec2dom(R, й)(е,))4-
-j-6<aii^e2—б, 6>Д},
Ad(m, ex, e2) = {(ax, a2, 6) s $X E® | ax = 8X,
p.(m, sec2dom’(R, 8)(ej)<a2^e2—6, 6>A}.
Для любых (m, ei, е2)еЛ1 х^Х^'ч- выполнено
Аи(т, ех, 82)с:Ал(/п, ex, в^П1? [еХ/ЯЦт, slt е2),
Ad(m, ех, 82)сДд(/п, ех, s2) f| X [exf R] (m, ex, e2).
Отсюда следует, что множества dom (Ади, S X Е1^ ) и
dom(A4d, ^’х£'1ф) являются подмножеством соответст-
вующих множеств, на которых доказана устойчивость.
Нетрудно видеть, что
dom (Аи , % х Е®) = {(т, ех, е2) е
еЛ4х^х£+|р(т, sec2dom(R, #)(ех))4-2Д <ej,
dom (Ad ,	х£+) = {(пг, 8Х, е3) е
eMx^xE+|p(/n. sec2dom(R, g)(8x)) +Д <s2}.
74
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Отсюда, в частности, следует, что
dom (4u, $ X £+) о dom (R, $)х{е2еЕ+|е2>2Д},
dom (Ad , $ X £+) zs dom (R, S) X {sae£+| e2 > Д}.
Перейдем теперь к аналогичной аппроксимации для
принципов оптимальности in//?, in„/?. Начнем с внут-
ренней • устойчивости снизу. Обозначим для a=f, v
B^d(m, elt е2) = {(ах, a,, 6)egxE^|a1 =
= ех, naR(m, ej)>a2^e2+б, 6>Д}.
Из утверждения 2.1.7 следует, что для любых (т, ei, 82) е
еМх^Х£’+ выполнено
В£/(/п, ех, ^сВ\т, ех, s2) f) X [ino/?] (m, 8X, e2).
Отсюда
dom .(E$rf, $xE+)a:dom(BA f)X[ine/?], %xEl+).
Легко видеть, что
dom(B^, ^xE^) =
= {(m, ex, 82)(=/Wx $ XEl+1 R(m, ex)>e2 + Д}.
С внутренней устойчивостью сверху дело обстоит не-
сколько сложнее. Усиления потребуют не только усло-
вия, входящие в согласования, но и условия на интер-
претацию Q. Обозначим для a—v,f
Ваи(т, 81; 82) = {(а1, аа, б)<=
XЕ2+1ах = 8р nuR(m, ej — б>а2>е; 4-б, 6>Д}
Отметим, что
dom (В$и, SxEl+) =
= {(tn, elt e2)^MX(SxE'+\naR(m, 81)>е2 + 2Д}.
Переформулируем пункт 3 утверждения 2.1.6 при более
сильных, но и более конструктивных условиях.
Утверждение 2Л.8. Если для любых (т, е1( е2)е
edom(BAau, (^ХЕ1-!-) выполнено QeCw[AE(m) х
XMt(m) xMt(m)] при t — naR(’nt e,) (для случая b=v
дополнительно предполагается [Mt(m)Xfn]), то
§ 2 МНОЖЕСТВО, ЗАДАННОЕ ОГРАНИЧЕНИЯМИ	75
справедливо ina/?eISUAb[dom (BAau, ^ХЕ1+), ВАои],
a=f, v; b=f, v.
Доказательство. Ввиду того, что при (ai, 02,
d)eBAau(m, 81, 62) выполнено naR(tn, ei) >max{a24-6,
6, ег}, условия на интерпретацию Q в данном утвержде-
нии более сильные, чем в утверждении 2.1.6, и остается
проверить только непустоту множеств ina7?(n, ai, а?)
при neMe(m). Докажем это для a—v. Итак, пусть
(си, a2,	ei, 82) и п^М6(т); тогда, учиты-
вая, что ai = ei, Afa2 (n)cAfa2-|-6 (m), и пункт 3 утверж-
дения 2.1.4, следующий из условия Сю, имеем
inB/?(n, ax, a2) = П Q®(R(k, ех), п, £)гэ
(п)
п Q(0®(₽ (k, 8j), tn, k), tn, n)Z3
*eMa2_|_g (m)
oQ (П £i®(R(k, 8X), m, k), tn, ri) =
*sMa2+6 <m)
= Q(inB/?(m, 8X, a2 + 6), m, n)=£0,
так как a24-6<nB R(tn, ej. 
§ 2. Устойчивость множества,
заданного ограничениями
Изучим сначала устойчивость принципа оптимально-
сти Tt, введенного в пункте 1 § 1.2. Для простоты рас-
смотрим случай, когда меняться в модели (f, X, а, Ь)
может только f. Таким образом, можно считать, что
множество моделей М=Ф(Х, Еп). Предположим также,
что Х=Хо, и положим 3(f) =Х0. Поскольку множество
стратегий не зависит от модели, интерпретацию Й бу-
дем считать тождественным отображением.
Несмотря на то, что а и b не варьируются, будет
удобно рассматривать принцип оптимальности Ti при
различных значениях а и Ь. Поэтому а и b будем счи-
тать просто параметрами и обозначим
7?’Ь(А e)=0*7tbtf), П-ь(/) = {хеХ|а^/(х)<6}.
Введем нормы в Еп. Для и^Еп положим ||и|| =
= max I U{I. На (ХхЕп)2 введем метрику
r((xv ux), (хг, a2)) = max{p(xi, х9), ||ux—u,||}.
76
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
В качестве псевдометрики р, на МхМ рассмотрим
/2) = ^/-(ёг[/11, gr[f2]).
Докажем сначала несколько вспомогательных ре-
зультатов. Обозначим для и^Еп
фа, ь (и) = min {min (щ—min (&z—
l^i^n	l^i^n
Тогда нетрудно видеть, что
П’ b(f) = {хеХ|<ра. ь (/(*)) >0}.
Изучим некоторые свойства функции <ра,б.
Утверждение 2.2.1. Для u,v^En выполнено
|фа, ь(и) — фа. b(t»)| <1|U—<
Доказательство. Обозначим ф(ы) = min ы».
Очевидно, выполнено и^и + ||и—и|| и, следовательно,
ф(ы)	+ ||ы—и||. Отсюда
Фа. !>(«)—фа, b(») =
= пнп{ф(и—а), ф(6—я)}—пмп{ф(и—а); ф(6—у)}=С
^Cmin(ф(и—а) + ||я—и||, ф(6—о) + ||«—v||}—
—min {ф(у— а), ф(&—а)} = ||«—о||. 
Введем функционал
Фа *(/) = SUP Фа.
’ ° хеХ
Утверждение 2.2.2. Для f, £еФ(Х, Еп) выпол-
нено
1фа,Ь</) —Фа.Ь^)1<Н(А SY
Доказательство. Для любого 8>0 существует
хе^Х такой, что фалСИ^е)) ^Ф*а,ь(^)—е. Для хе и а>0
существует у'еа е! такой, что
Р(*е> «/еаХМА £)+“ и II/(*е) —£ (#еа)11 < Р(А £)+“•
Из утверждения 2.2.1 следует, что
Фа. Ь (£) > Фе• ь!(£ <уеа)) >’фа, b (f (хе)) - |\f (хе) — g (Уеа)| I >
>Ча.ъ№ — е“а —	£)•
В силу произвольности положительных 8 и а получаем
Фа.ь</)—Фа,ь(£)<Р(Л £)•
§ 2. МНОЖЕСТВО. ЗАДАННОЕ ОГРАНИЧЕНИЯМИ	7-?
Осталось заметить, что f и g можно поменять места-
ми. 
Утверждение 2.2.3. Для a, реЕ1 и и^Еп вы-
полнено
<ра, (,(«) +max {а, р} > фа_а, 6+p(«) >фв, ь(и)+min{a, Р}.
Доказательство следует из равенства
<pa_a,b+P(u) = min{ip(M—a) + a; tp(&—м) + Р).  !
Следствие. При а=р получаем
фа-а. Ь+а(м) = фа, b(«) + a	.	. '
и, следовательно,
ф;_а.ь+а(/)=Ф:,ь (/)+«.
Для изучения устойчивости 7\а-ь потребуются оценки
на множество dornfTi0’6, Е*+) и принципы оптимально-
сти ех Л0’6 и inTi0 6. Очевидно, справедливы включения
{f^M |ф; ь (/) > 0} X £V<=dom (Т?> \ Е'+)С2
с{/еЛ4|ф;ь(/)>0}хд;.
Оценки на ехЛ0-6 и in Т\а<ь дает следующее
Утверждение 2.2.4. Для &=ЕХ+, а^Ь;,
i-=i, ..., п, выполнено:
1.	Если у>6^0, то
exTi’b(f, е, 6)сТГ?,Ь+1’(А е+у).
2.	ехТ?’ь(А 8, 6)оТГб,Ь+6(Л «).
3.	Если min{e, 7} >6, то
in Taib(f, е, 6)оТ?+т>ь“?(А 8—у).
4.	\nT“'b(f, е, S)czTf+e-b~e(f, 8).
Доказательство. Пункт 1. Пусть x^T\a<b(g, в)
и (f). Тогда существует х'^Х такой, что р(х,
х')<8 и Фа,б(^(х')) >0. Для х' и р>0 существует
z/р еХ такой, что р(х', </р)<6+р и ||f(yfi )— g(x') ||<
<6+р. Отсюда получаем р(х, г/р)^р(х, х')+р(х’,
У» )<8+б + р и а—6—P^g(x')— 6—P<f(yp)Cg(x')-i-
+6+Psg&+б+р. Положим v=6-|-p; тогда хе
.eTia-^b+v(f, g-j-y).
78
ГЛ. 2 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Пункт 2. Пусть x0^Tia~6’b+(,(f, е). Тогда существу-
ет х'^Х такой, что р(х', х0)<е и <pa_e ,&+в (/'(х/))^0.
Рассмотрим функцию
gt (*) =
(	если х^=х' или ai^.f:i(x’)^.bi,
= { тШ{Д(х') + 6, Ь^, если х—х' и
I min{/i(x')—6, аг}, если х—х' и fi(x')>bi,
1=1, п.
Покажем, что <pa,t>(g(x')) ^0. Действительно, если
^fi(x')^b{, то gi(x')=ft(x') и at^.gi(x')^bi. Если
А(х')<аг-, то gi(x') =min{fi(x') +6, bt]^.bi. Из усло-
вия <pa_e>6+e (f(x'))^0 следует	—8, то есть
fi(х') +6^а,, а значит, gi(x')^ai. Аналогично рассма-
тривается случай fi(x')>bi.
Покажем теперь, что g^Mb (f). По определению ц
имеем
И (A g) = max { sup inf max {p (x, y}, ||f (x)— g (y) ||},
xeX y&X
sup inf max {p (x, y}, ||g (x)—f (y) ||}}
xeX yeX
< max {inf max {p (xz, y); ||f (x')~g (y) ||},
i/eX
inf max {p (x', y); || g (x')—f (y)||}} < ||f (x')—g(x')||.
yex
Оценим Ifi(x')—gi(x')|. Очевидно, достаточно рассмот-
реть случаи, когда gi(x')=bi и gi(x')=ai. Если gi(x') =
= bi, это значит Ьг^А(х')+8 и fi(x')^bi4-6, то есть
|^6. Если gi(x')=ai, это значит fi(x')—6sS
и ai—b^fi(x'), то есть |fc(x')—Итак,
|fi(x')— gi(x') | ^6 и, следовательно, ||f(x')— g(x') ||<6.
Пункт 3. Как показано в ходе доказательства пунк-
та 1, для g^Mb(f) справедливо включение 1\a’b(g, e)cz
c.Tia-v- b+v(f, е-г-у). Положим а—у=а', b + y=b',
€-|_y=g'j a f и g поменяем местами. Получим
TytH-v,е'—y)c:Tia''b' (g, е'). Осталось взять пере-
сечение по g^Mfi (/).
Пункт 4. Рассмотрим функцию -
( fi (х)—б, если	fi (х) < аг + 6,
gb'(x) = | ft (х),	если а; + б	ft (х)< bt—8,
• i/i(x) + s> если ft (х)> bt—8,.
t - 1,	, п.
§ 2. МНОЖЕСТВО, ЗАДАННОЕ ОГРАНИЧЕНИЯМИ	79
Очевидно, g6<=M6 (f). Пусть x°&n Tia-b(f, е, 6). Тогда
x°e7'ia’b(g6, е). Следовательно, существует х'^Х такой,
что р(х°, х')<Се и a^.g6(x')tgzb. Но тогда а+б^
:£Zf(x')s^.b—б, то есть х°еТ1а+б-6~e(f, в).
При использовании утверждения 2.2.4 для исследо-
вания устойчивости Tta’b возникает необходимость ’ в
сравнении двух принципов оптимальности Tia-b и
fja-t, ь+t ПрИ для этого введем функции
Tu(f,6) = Pp(Toa-6-b+6(f)> T^b(f)),
Td(A6) = ₽p(Tg.b(/),T«+«.b-6(/)).
Так же, как и в предыдущем параграфе, эти функции
можно назвать модулями полунепрерывности сверху и
снизу многозначного отображения Тоа'ь.
Нетрудно заметить, что если 8> a+'iu(f, б) и
Tg-ь (/) у=0, то Т“-ь (f, 8) гэ	(/, а).
Если в > a4-xd (f, б) и Tg+O-e (/)у= 0, то
Та+6.ь-6 (J, -э Та,ь (ft а)
Теперь получены все необходимые оценки для ис-
следования устойчивости принципа оптимальности Tia-b.
Остановимся только на внутренней и внешней устой-
чивости снизу и сверху. Введем необходимые согласова-
ния. Используем для их обозначения букву А, надеясь,
что это не приведет к путанице с другими согласова-
ниями, обозначенными этой же буквой и использован-
ными выше:
ЛА (Л 8) = {(а, б) е E2Jф:(Ь (/) > б > Д,
8 > а + б + та (/, б+)}, а = и, d;
Л д (А е) = {(а, б) е Я*.!(/) > б > Д,
а> е + б H-Ta(f, б+)}, а= и, d.
Для нахождения dom (ЛЛ^а, El+), j = i, е; а = и, d заме-
тим, что
та (А Д++) lim та (/, б+)= та (А Д+).
б->Д+
Учитывая это соотношение, получаем
dom (ЛА, Е^ = {(А е) е М х е;|ф;(Ь (/) > д,
е> д + та(/, Д+)}, a^u.d-,
80
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
dom (ЛА, £*.) = {(/, 8) е М х (/) > А,
та (f, А+) <+«>}, а= и, d.
Как видно из этих формул, множества dom (Лл;а (£*+)
определяются двумя условиями. Первое <р*а,ь (f) >Д оз-
начает, что существует х0^Х такое, что a+A<f(x0)<
<&+А. При А=0 оно превращается в условие Слей-
тера, поэтому и при Д>0 будем называть его так же.
Второе условие связано с функциями та, а=и, d, и
означает достаточную малость ха в случае j—i и огра-
ниченность в случае j=e. Условие малости та обобщает
условие в лемме 1.4 [81], условие малости ти обобщает
условия регулярности ограничений в [81] и корректно-
сти ограничений в [13], поэтому условия, использую-
щие малость или ограниченность модулей, полунепре-
рывности, будем называть условиями регулярности.
В следующем утверждении для четырех типов ус-
тойчивости указываются достаточные условия устойчи-
вости принципа оптимальности Tta>b.
Утверждение 2.2.5. Для (J, /) = (!, i)> (Е, е)>
(V, v) = (U, a), (D, d) выполнено
(Т?.ь, Еу) е JSVA [dom (Лд, е;), ла ]
Доказательство. Остановимся для примера на
случае (J, /) = (!, i), (V, v) = (D, d). Пусть (f, е)е
е^от(ЛА{<г> Е’+) и (а, 6)еЛд{<|(Д е); тогда существует
у>’6 такое, что 8>а+у+та([, у) и Ф*а,ь ([)>?. Из по-
следнего условия следует, что <p*o+v,	(/)>0, то есть
7'o“+v.b-v(f)y=0. Тогда	а). Ис-
пользуя пункт 3 утверждения 2.2.4? получаем
in Tia-b(f, ei д)оТ1а>6([, а). Осталось заметить, что из
Ф*а.ь(/)>У>0 следует Tta<b (Да) =Н=0. 
Итак, на множестве пар (Д е), где выполнены ус-
ловие Слейтера и соответствующие условия регулярно-
сти, Tia'b устойчив в указанном смысле. Естественно
возникает вопрос: являются ли условие Слейтера и ус-
ловия регулярности необходимыми для устойчивости?
Утверждение 2.2.6. Для J = I, Е; V=U, D из
условия (Т}а-Ь, Е1+)^№У&[(1, е), Л] следует <р*а,ь(f)>
>А.
Доказательство. Отметим сначала, что из лю-
бого указанного типа устойчивости следует, что для
§ 2 МНОЖЕСТВО. ЗАДАННОЕ ОГРАНИЧЕНИЯМИ	81 '
(а, 6) еЛ (f, е) выполнено Toa-b (g) ^=0 для любого
(f). Рассмотрим функцию
6 (х\ = М W—s- если Ф U (х)~'а) < Ф (b~f (*))>
1/(х) + 6, если Ф(/(х) —а)>ф(6—f (х)).
Очевидно, g6 G Мц (/). Вычислим фа,t>(ge(x)).	Если
Ф (/(*) —а)<Ф(&—/(*)). то ф(ёб(х) —а) = ф(/(х) —а)~б<
<ф(Ь—f (х)) + б = ф (Ь—g6 (х)) и поэтому
фа.Ь (g6 (х)) = фа.6 (/ (х)) — б.
Если ф (f (х) —а) > ф (Ь—f (х)), то ф(& — g6 (х)) =
= ф (Ь—f (х))—б < Ф (/ (х)—а) + б = ф (g6 (х)—а) и поэто-
му фа.б(£б (*)) = фа,ь(/(х))—б. Отсюда следует, что
Фа,!>(бб) = Фа.ь(^—6- Из условия T»«b(g«)=/:0 следует
Фа,ь(£в) = <Ра.ь^)—б>0- Отсюда ф* ь (0 > 6 > Д. 
Итак, условие Слейтера является необходимым для
указанных типов устойчивости для Tia-b. 
Утверждение 2.2.7. Для (V, v) = (U, и), (D, d)
выполнено-.
1. Если (T°-b, El+) е ISV* [(Л е), Л], tno Д+).
2. Если (Т°-ь, Е«_) е ESVA [(А е), Л], то т„ (/, Д+)<+«.
Доказательство проведем для пункта 1 при
(V, v) = (U, и). Остальная часть утверждения доказы-
вается аналогично. Пусть (а, б)еЛ(/, е); тогда, исполь-
зуя пункт 2 утверждения 2.2.4, получаем цепочку
включений
=) ex	(f/а/б)	b+« (f,ra) => Тв-e.M-e
Отсюда следует, что е>ти(/, 6)^ти(А А+). 
Итак, для внутренней устойчивости условия регуляр-
ности являются необходимыми, а для внешней устой-
чивости необходимы условия регулярности в несколько
более слабом виде. При Д=0 необходимые и достаточ-
ные условия для внутренней устойчивости «почти» сов-
падают. Достаточные условия задаются строгими нера-
венствами, а необходимые — с теми же функциями, но
нестрогими неравенствами.
82
ГЛ. 2 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Получение в явном виде модулей полунепрерывнос-
ти или удовлетворительных оценок для них, вообще го-
воря, является довольно сложной задачей. Поэтому не-
обходимость использования условий регулярности для
устойчивости (Tia'b, Е1+) является весьма ограничи-
тельным требованием.
Рассмотрим теперь один упрощенный вариант прин-
ципа оптимальности Т2 из § 1.2. Будем изучать его
при более общих условиях, чем Tia-b, а именно, множе-
ство моделей примем равным Л4 = Ф(Х0, £п)Х®1(Хо).
Как и выше, будем считать, что S(f, Х)=Хо, и поэтому
интерпретация Q также будет считаться тождествен-
ным отображением. Итак, будем рассматривать прин-
цип оптимальности (Т3а’ь, Е1+ХЕ2),
Т“-ь «Д X), е) = Of; {х е Х|а< f(x) < b + е3}.
В качестве псевдометрики р, на МхМ рассмотрим
Р((А, *,), (f2.	= Hr (gr [AIXJ, gr [f2|X2]).
Как и выше, здесь обозначено
Г ((*1, «1)> (х2, «?) = max {Р (*1> Xi) > II «1 — «2 II},
a f|X — сужение функции f на X.
В отличие от случая, рассмотренного в начале это-
го параграфа, где для /еФ(Х0, Еп) применялось рас-
стояние между графиками, здесь используется расстоя-
ние между графиками функций, являющихся сужением
на соответствующее множество X. Поэтому, если
хг), (f2, х2))<б,
то
sup inf max (р (хп х2), || А (х,)—А (х2) ||} < б,
XjGXi х2б=Х2
то есть для любого XieXi выполнено
inf max {р (xv х2); || A (xj —f2 (х2) ||} < б.
х2еХ2
Это означает, что для любых XieXi и е>0 существует
д-г2еХ2 такой, что р(х,, х82)<б-!-е и ||fi(xi)—f2(xe2) ||<
<6-i-e.
Если бы в качестве ц была выбрана функция
max {Hr (gr [AL gr [Al), Нр (Х1Т Х2)},
то можно было бы утверждать, что для любых х,еХ, и
г>0 существует х82^Х0 такое, что p(xi, хе2)<б+е п
§ 2 МНОЖЕСТВО, ЗАДАННОЕ ОГРАНИЧЕНИЯМИ	83
Ц/i(xi)—/2(хе2)II <6 + 8, и существует у82еХ2 такое,
что р(%1, уе2) <6 + 8. Но утверждать, что хе2=уе2, вооб-
ще говоря, нельзя.
Как и выше, для изучения устойчивости потребуется
сравнить значения принципа оптимальности Тза,ь на
близких моделях.
Утверждение 2.2.8. Если ц( (/ь	, (./2, Х2)) <6,
то для любого у>б выполнено
Х^г)<=Т^((12,Х2),г + у).
Доказательство. Пусть XieT3a>b((A, XJ, s).
Тогда существует x'i^Xi такой, что р(хь x'i)Oi и
a—(х'1) ^Ь-1-8з. Для х'1 и а=у—6>0 существу-
ет ха2еХ2 такой, что p(x'i, х“2)<6+а и ||/2(х“2) —
—A(*'i) ||<6 + а. Отсюда а—е2—6—«^А(ха2) <Ь + ез +
+6-|-а, то есть х'1^Тза,1} ((f2, Х2), 6 + а, 82 + 6-|-ci, ез"!-
-j-64-а), и, следовательно, так как р(Xi, х“2)^р(х>,
x'i)+p(x'i, xa2) <81-{-6+а, получаем XieT3a'b((A, Х2),
е+у). 
Как следствие, получаем, что для у>б выполнено
ex T°-b ((f, X), 8, 6) с Т°-ь ((А X), 8 + у),
((/, X), е—у) с in Т“-ь ((А X), в, 6), ег > у.
Для оценки множества dom(7’3a-b, £*+X£2), так же
как и при исследовании Tia<b потребуется функционал
ф*а,ь, но, учитывая, что моделью теперь является пара
(/, X), а не А будем использовать следующее обозна-
чение:
Фаь<Ах) = W Фо.ь (/(*))•
хеХ
Для новых множеств моделей Л4=Ф(Х0, £п)Х®^(Хо)
и псевдометрики р, справедливо утверждение, аналогич-
ное утверждению 2.2.2.
Утверждение 2.2.9. Для (ft, Xi), (f2, Х2)^М вы-
полнено
Кь (А,	(А, х2)|< р «л, х,), (A, xj).
Доказательство почти дословно совпадает с
доказательством утверждения 2.2.2 и поэтому не приво-
дится.
84	ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Используя определение Т3а>ь, нетрудно получить
оценку
{(f, х, 8) е М X Е'+ X	(А’Х) > 0} <=
cz dom (Т“‘ь, Е^ х Е2) с:
<= {(А X, е)е М х Е'+ х	(f, X) > 0}.
Из утверждения 2.2.3 следует, что
<Pe.b(f>X) + max<e»«
> Ф«-е2.6+е, (А Х) > Фа.ь (А Х) + ™П {е2- М-
Применяя это неравенство, получаем оценку для
dom(7’3a>b, Е1+ХЕ2), использующую функционал ф*л,ь
при несмещенных значениях параметров а, Ь:
{(f, X, 8) еМ х Е'+ х Е2|ф;ь (А X)+min'{8„ 83) > 0} <=
с dom(T“-b, Еу х Е2),
{(А х, 8) е М X Е«_ х Е«|ф; ь (А X) 4-тах^{е2/83}> 0} =>
ZJ dom (Т“'ь, Еу х Е2).
Выпишем согласования, необходимые для. формули-
ровки утверждения об устойчивости Тза’ь. Остановимся
только на внутренней и внешней устойчивости сверху
и снизу:
в>и «А X), 8)={(а, 6) е е; X Е2] X е^1ф* 1Ь (АГХ)+
4-min {а2, Од}>6>Д, е>а4-6},
BA ((А X), 8) = {(a, S)^ei+xe2x е;|ф; ь (А х)+
+min'{a2, а3р> 0, 6 > Д, 8 > а 4-6},
В* ((А X), 8) = {(а, 6) S е; х Е2 хЕ\\^а Ь (f, X) 4-
4-min {ег, 83} >'6£>Д, а > 84-6},
((f. X), 8)= {(а, 6) е е; X е2 X е;|ф‘ 6 (f, X) 4-
4-min {s2, 83} > 0, 6> Д, а> 84-6}.
Нетрудно видеть, что
dom (Bfu, Е^ х Е2) =
= {(А X, 8)|Ф* ь(А X)4-min {б., 83} > 2д, 8> д},
§ 2. МНОЖЕСТВО, ЗАДАННОЕ ОГРАНИЧЕНИЯМИ	85
dom (ЕА, Е'+ х Е®) =
= {(А X, е)|<р* & (A X) + min {е8, е3} > А, 8 > А},
dom (В^и, Е'+ х Е2) =
= {(А	8)|Ф’ 6 (Л X) + min {е2, е3} > А}.
dom(BA, Е'+хЕ2) =
= {(А X, 8)|Ф; ь (A X) + min {е2, 83) > 0}.
Утверждение 2.2.10. Для (J, /’) = (!, t), (Е, е);
(V, и) = (U, и), (D, d) выполнено (Т3а'ь, Е'+хЕ2)^
<=JSVA[dom(BS, Е^хЕ2), BS].
Доказательство проведем для случая (J, j) —
= (I, i), (V, u)=i(U, и). Пусть (А X, e)edom(BAiu,
Е1+ХЕ2) и (a, 6)eBAiu((f, X), е). Из неравенства
Ф*а,ь(А X)-f-min{a2, аз}—6>0 следует, что для любых
(g, У)еМв(А X) выполнено <р*а,ь (g, У)+т1п{а2, a3}$s
5>ф*а,ь(А X)—6+min{a2, а3}>0, то есть T3a’b((g, У),
а)=£0. Из неравенства е>а+6 следует, что существу-
ет у>6 такое, что е>у4-а. Используя следствие из ут-
верждения 2.2.8, получаем
ех Т‘-ь ((А X), а, 6) с T°-b((f, X), а + Т) <=	X), е).И
Для устойчивости Т3а’ь от модели (А X) требуется
только условие Слейтера. По сравнению с Tia<b прин-
цип оптимальности Т3а,ь обладает лучшими свойствами
в смысле устойчивости. Если согласования для устой-
чивости Т\а'ь требовали знания модулей полунепрерыв-
ности, то ничего подобного для Т3а'ь не требуется.
В заключение параграфа рассмотрим устойчивость
множества, заданного линейными ограничениями. Обо-
значим
L0(A,&)={xeEn|Ax<6},
где А — матрица размером тХп, Ь^Ет. Для этой за-
дачи множеством моделей М будем считать множество
пар (А, Ь), где А — (тХп)-матрица, ЬеЕ”1. Положим
S(A, Ь)=Еп и поэтому интерпретацию Q будем счи-
тать тождественным отображением. Естественно допус-
тимые возмущения модели определять как независимые
изменения коэффициентов матрицы и вектора, образу-
86
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
ющих модель. Такие возмущения описываются метри-
кой
и ((Лр &!), (Л2, м =
= max { max |аш—а2г<|; max |&u—627-|).
В качестве принципа оптимальности рассмотрим
аналог Tia,b, а именно
Т4((Л,&),е) = 08 Lo (А, b),
где открытая е-окрестность Ое задается метрикой
d(%i, х2) = ||Х1—х2||, ||х|| = <х, х>’/2, а <хь х2> = £ xIfx2,-.
£=1
Обозначим о(х) = max [<а^, х)—aj— (ац, ...
1 j^tn
..., ajn) — j-я строка матрицы А.
Нетрудно видеть, что L0(A, 6) = {хеЕп|о(х) ^0}.
Возмущения модели (Л, Ь) в метрикё р, порождают
возмущения функций <а,, х>—bj. Если рассматривать х
на ограниченном множестве, то малым возмущениям
(Л, Ь) соответствуют малые в равномерной метрике воз-
мущения функций <aj, х>—bj. Если же хе£п, то для
любого 6>0 и любых (Л, &), (Л', Ь'), где ц( (Л, Ь), (Л',
о'))=б, aj^a'j, расстояние в равномерной метрике меж-
ду функциями <а>, х>—bj и (a'j, х>—b'j равно 4-оо. Это
наводит на мысль, что устойчивость Т* следует ожидать
лишь в том случае, когда L0(A, b) ограничено.
Покажем, что это действительно так. Введем обозна-
чения |х| = (|xi|, ..., |хп|), еп= (1, ..., \)^Еп, а матрицу
размером тхп, все элементы которой равны единице,
обозначим F.
Утверждение 2.2.11. Для любого беЕ1® вы-
полнено:
1. ехТ4((Л, Ь), е, б) = Ов{хЕ Е"| Ах—8 F|x|^ б-|-бет}.
2. in Т4((Л, б), е, 6) =>08{х.е Е"| Лх + б F|x|^ & —бет}.
Доказательство. Пусть (Л', Ь')^Мй (Л, Ь),
A'=(a'ji), b'=(b'i, ..., b'm). Нетрудно видеть, что спра-
ведливы равенства
max а.. xf = max{(ая + 6) х, ; (а}1—б)хг}= a}i хг4-б|хг|,
1а/г-°я^в
min aJ{ xt =min {(ап + 6)хг; (a}i—6)xJ =an xt—6|хг|.
§ 2. МНОЖЕСТВО, ЗАДАННОЕ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
87
Как следствие, получаем
шах [(а'., х) —Ь'Д = (ajt х) +6 (еп, |х|) — Ь; + &,
(Л' ,Ь')(=М6(А,Ь)	7
min	[{а.,х} — b'] = (арх) —6 <еп, |х|) — Ь}—б.
(А',Ь')еМ6 (А,Ь)	1	1
Отсюда следует, что для любого х^Еп выполнено
Ах—бF|x| —b—8ет^.А'х—Ь'	Дх + бГ|х| —Ь-\-Ъет.
Это означает справедливость второго пункта утвержде-
ния и справедливость включения
ехТ4((Д,/>),8,б)сОе{хеД'г|Дх—6F|x|^ b + &em}.
Пусть теперь Ах0—6F|x0| ^b+6em. Положим
а'ц(х0)=ац—6 sign xj, b' = b + f>em.
Очевидно, (Л'(х0), b')eM6 (Л, b). Осталось заметить,
что А'(хо)хо—Ь'=Ах0—6F|x0|— b—бет^О и поэтому
x0<=L0(A' (х0), Ь'). 
Рассмотрим конус К.(А) = {хе£п|Дх^0}. Нетрудно
видеть, что луч /(хо, о) = {хе£’п|х=Хо+/и, /^0} содер-
жится в Lq(A, b) тогда и только тогда, когда х0<=
еЛо(Д, Ь) и ие/((Л). Таким образом, L0(A, b) огра-
ничено тогда и только тогда, когда /<(А) = {0}.
Утверждение 2.2.12. Если we=K(A), то
$d(l (х0, w), Lo (Л, Ь)) = + оо.
Доказательство. Из ®ё=/С(Л) следует, что
матрица А — ненулевая, так как если Д = 0, то /С(0) =
=£п. Поэтому а= max На^НХ). Пусть yt^L0(A, b) —
проекция точки xt=x0-rtw на множество Lo(A, b). Тогда
x0 + tw—yt = d(xt, L0(A, b))-lt,	(2.2.1)
a lt принадлежит нормальному конусу к Lo(A, b) в
точке yt и ||It|| = 1. Умножим (2.2.1) на вектор а;- и возь-
мем максимум по /, /=1, ..., т; получим
d (xt, Lo (Л, b))- max (a}, lt) =
1
= max [ (x0, dj) — (yt, a}} +1 (w, a,} ].
Воспользуемся неравенством Коши — Буняковского
1<а/. II1|-||/(||.
88
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Тогда имеем
d (xt, Lo (Д. ft))- max || а} || > max [(<х0, a-) —bj) —
— ({yvai)—bj) + t{aj,w')]'^t max (at,w) +
+ min [(<x0,aj>—ft,-)—max {af,w) +
1^/^m
+ min |(x0, a,) — ft,-]— max	ftj.
Учитывая, что г/ге£о(Д, ft), получаем —о(у<)^0. Де-
лим на а и получаем
d (xt, Lo (A, ft) > — • max (a,-, w) + —-min [<x0, a/>—ftJ.
ci	a, i^j^rn
Из условия w^K(A) следует, что max (а,, да)>0, поэтому
Р d (l (x0, w), Lo {A, ft)) = sup d (xt, Lo (A, ft)) = + oo. 
Утверждение 2.2.13. Пусть l(x0, v)czLo(A, b),
||i»|| = l, 6>0. Если ||tt)|| = l, ||o>—u||<А и
fn	1
1; V |x01-| I <6,
i=i	J
TO
I (x0, W)C{XE En\Ax—6F|x|< ft + 6em}-
Доказательство. Обозначим u = w—v. Как от-
мечалось выше, Дхо^Ь и Ди^О. Оценим величину
а}= (aJt x0 + wt)— б (еп, x0 + wt)— b}— 6 =
= [<ау,Xo>— ftyl-H {ah v) +/(aj,tt)— б 2 koi + aMI —
1=1
n
-б</||аД|-А-б 5} |хог + ^-/|-б<
</-Д- max ||a71|—6 V |хог /| — б .
Если max ||а,|| = 0, то а,-^0. Пусть теперь а~
= max ||aJ|>0. Тогда при 0^/^6/Аа имеем а^О.
1
Осталось рассмотреть случай t^blAa. Воспользуемся
§ 2. МНОЖЕСТВО, ЗАДАННОЕ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
89
неравенством |хог + аМ| |^г| — |*ог|. Тогда имеем
п.	п
а} ^tka — dt 2 IwJ +6 2 koi|— б.
1=1	1=1
Так как ||ш||2 =	+... + w% = 1, то	ПМ2== Ь
f=i
п.
поэтому а;-	t (Да—6) 4-6 У] kod —® •
f=i
Полученная в правой части неравенства функция ли-
нейна по Л и коэффициент при t отрицателен. Следова-
тельно, максимум этой функции достигается при t=
= и его величина равна
(б/Да) (Да - б) + б Д |xod = 6 ( 2 1х<и1 - <б/Аа)) < °-
Отсюда следует а^О при всех i^O. 
Утверждение 2.2.14. Пусть (Т4, Е*+)^
е!5ил[((Л, &), е), В], и>1 и L0(A, b) неограничено.
Тогда матрица А — нулевая.
Доказательство. Пусть матрица А — ненуле-
вая. Тогда /<(Л)=/=£П и К (Л) #= {0}. Следовательно, су-
ществует граничный для К (А) вектор v такой, что
1М=1. Пусть (а, б)еВ((Л, Ь), е); тогда
ех Т4 ((Л, Ь), а, б) с Т4 ((Л, Ь), е) = О£ £0 (Л, Ъ),
то есть pd(ex Т4 ((Л, Ь), а, б), £о(Л, б))^е. Возьмем
произвольный x0^L0(A,b). Так как v — граничный, для
Д = б-
{п
1; 2 1*о<-1
/=1
-1
> 0 существует
ш^Еп такой, что ||ie>|| = l, ||и—&у|1<Д и w^K(A).
Из утверждения 2.2.13 следует, что l(x0, w) cz
czexT4((A, b), а, б), ио из утверждения 2.2.12 следует,
что
ра(Т4((Л, Ь), а, б), L0(A,b))>
> ₽ d (l(x0, w), Lo (Л, b)) = + oo. 
Утверждение 2.2.15. Пусть (T4, £*+)e
eISDA[((X, b), e), В], n>\ и L0(A, b) неограничено.
Тогда матрица A — нулевая.
Доказательство. Пусть Л — ненулевая. Тогда
£(Л)=Н=£П и К(Л) =/= {0}. Следовательно, существует
co
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
граничный вектор оеК(Д). Можно считать, что ||v|| = l.
Так как v — граничный, то max <а>, и> = 0. Пусть
1
(а, 6)е-В((А, Ь), е). Тогда для любых (Д', ft')e
(А, Ь) выполнено
OaT0(A,ft) сО£ L0(A’, b’)
и, следовательно,
$d(L0 (A, b), То (Д', ft')) е.
Положим a'j = aj-|-6v. Так как ||и|| = 1, то |a'j—аД^бе,,..
Тогда
max (a., о) = max [ (a,, v) + 6 (v, v) ] = 6 > 0,
то есть veA'H'). Так как L0(A, b) неограничен©, то
для любого xo^Lo(A, b) выполнено l(x0, v)c:Lo(A, b),
но в силу утверждения 2.2.12
₽d(T0(A,ft),T0(A',ft'))>pd(/(x0,v),T0(A',ft')) = +«>. 
Из доказательства утверждений 2.2.14, 2.2.15 можно
заметить, что если То (А, Ь) неограничен© и матрица
А — ненулевая, то Т4 не может быть внешне устойчи-
вым ни сверху, ни снизу на ((A, ft), ®) при любом
s>0.
Покажем теперь, что в случае, когда То (A, ft) огра-
ничено, принцип оптимальности Тд будет устойчив. Для
этого потребуется утверждение о регулярности линей-
ных ограничений [89].
Утверждение 2.2.16. Пусть Т0(А, ft)=/=0. Тогда
существует константа т=т(А)>0, определяемая матри-
цей А, такая, что для всех x^En\L0(A, b) выполнено
max [(а.;, х) —ft;] т-d (х, То (A, ft)).
Следствие. Если L$(A, Ь)=И=0, то для любого
с/^0 выполнено
Р d (Lo (А, b + a em), Lo (Л, &)) < ат-’.
Утверждение 2.2.17. Если L0(A, b) ограничено,
п
то есть для любого x^Lq(A, ft) выполнено 2 |х*| ^Т,
i=i
то
1	ex Т4 ((A, ft), е, 6) cz Т4((Д, ft + 6 (Т +1) ет), е).
2	. in Т4 ((A, ft), е, 6) => Т4 ((А, Ь-6 (Т+ 1) ет), е).
§ 2 МНОЖЕСТВО, ЗАДАННОЕ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
91
Доказательство следует из утверждения 2.2.11.
Введем функционал
о* (Л, b) = inf max [ {at, х) —bj].
х^Еп •
Если о* (Л, Ь)>—оо, то нижняя грань достигается. По-
этому /-о(Л, Ь)^=0 тогда и только тогда, когда
о* (Л, 6)^0. Рассмотрим согласование
Вд ((Л, Ь), е) = {(а, б) е £+|т (е—а) > 6 (£+ 1), о* (Л, Ь)+
+ б(£+1)<0, б> Д).
Утверждение 2.2.18. Пусть для любого хе
е£о(Л, Ь) выполнено
2	и 0 Д < (£+ I)-1 -min {те,—а*(Л, Ь)} .
1=1
Тогда:
1. (Л. £lp) S ISU4 [«Л, б), е), Вд].
2. (Л, £^) е ISDA [((Л, Ь), 8), Вд1.
Доказательство сводится к элементарной про-
верке условий соответствующих определений с помощью
следствия к утверждению 2.2.16 и утверждения 2.2.17.
Итак, можно сделать вывод, что Л устойчив тогда и
только тогда, когда £о(Л, Ь) ограничено и выполнено
условие Слейтера. Близкие вопросы, но в классической
терминологии непрерывности рассмотрены в [2]. Не-
устойчивость принципа оптимальности Т4 в случае, ког-
да Lq(A, b) неограничено, объясняется тем, что е-опти-
мальные стратегии определяются не совсем естественно.
На практике допустимые отклонения от оптимальных
стратегий определяются обычно в зависимости от этих
стратегий, то есть более естественно определять 8-оп-
тимальность через относительное отклонение. Для этого
введем положительную функцию иеФ(£п, £*+) и рас-
смотрим принцип оптимальности (Т5, Е1), где
Т5 ((Д, Ь), е) = {х е Е'ЧАх—b < ех (л)}.
Устойчивость Т5 уже не связана с ограниченностью
L0(A,b).
92
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Утверждение 2.2.19. Если для любых х^Еп вы-
полнено
х(х)> 1 + <еп,|х|>,
то
1. ех Т6 ((Л, Ь), е, 6) с: Т6 ((Л, Ь), 8 +б).
2. in Т6 ((Л, Ь), 8, б) о Т5 ((Л, Ь), е- б).
Доказательство аналогично доказательству ут-
верждения 2.2.11.
Для получения оценки множества dom (Ге, Е1) уве-
дем аналог условия Слейтера. Обозначим
о** (Л, Ь, в) = inf max [ (а}, х} — bj — ек (x)J.
х<=Еп
Очевидно, что если о** (Л, Ь, е) <0, то ^((Л, Ь), е)=/=0,
и если ((Л, Ь, е)=/=0, то о**(Л, Ь, е)^0. В услрвиях
утверждения 2.2.19 при eJ>0 выполнено о**|(Л, Ь, е)=^
^о*(Л, Ь), при 8=С0 выполнено о’*(Л, Ь, е)^о*(Л, Ь).
Рассмотрим согласования
В* ((Л, Ь), 8)= {(а, б) е Е1 х д;|о** (Л, Ь, а-б) < 0,
8—б	а, б > А},
В% ((Л, Ь), 8) = {(а, б) Е Е1 х £^|о** (Л, Ь, а) < 0,
8—б^а, 6>Д).
Утверждение 2.2.20. Если для любых х^Еп вы-
полнено
х(х)>1 + (еп, |х|>,
то
1.	(Т6, 4)eISUA[dom(B^ Е1Ф), В^].
2.	(Т6) ^)eISDA[dom(BdA, £^), В$].
Доказательство сводится к элементарной про-
верке условий соответствующих определений с помощью
утверждения 2.2.19.
§	3. Устойчивость задачи
математического программирования
Как уже отмечалось в § 1.2, с задачей математиче-
ского программирования связывают две проблемы. Пер-
вая— найти величину
w = sup/(x),	(2.3.1)
хеХ
§ 3 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
93
вторая — найти точку леХ, реализующую супремум, ес-
ли он достигается, и если супремум не достигается, то
для заданного е>0 — точку хеХ такую, что f (х)+е>и.
Иногда, если супремум не достигается, ставят задачу
нахождения последовательности хп^Х такой, что
limf(xn)=M. С формальной точки зрения эта задача
/г->оо
представляется достаточно строго и однозначно постав-
ленной.
Практическая важность задачи математического про-
граммирования весьма велика. Она является ценным ин-
струментом для формализации и решения многих прик-
ладных задач и особенно экономических. Однако прак-
тическое использование задачи математического прог-
раммирования зачастую связано с неточной исходной
информацией и с неизбежными вычислительными пог-
решностями при ее решении. Эти обстоятельства при-
водят к тому, что в указанной выше постановке задача
является фактически недоопределенной. Поясним это на
примере.
Пусть допустимое множество X имеет вид.
Х = {хеХ0|71(х)>0},
где Хо — некоторое пространство. При численном реше-
нии задачи
u=supy0(x)
при вычислении значений функций fi в точке х возмож-
ны погрешности, не превышающие бг(*)>0, i=0, 1.
Будем считать, что функции 6г выбираются исследовате-
лем из некоторого разрешенного множества. Пусть 6г
выбраны. Тогда, так как бг(*)>0 для всех х^Х0, то
перед исследователем возникают вопросы: какое множе-
ство считать допустимым и что 'понимать под верхней
гранью /о, когда f0 известно неточно? Это типичная про-
блема выбора в условиях неопределенности, и ответ на
поставленные вопросы означает доопределение задачи.
Такое доопределение является, вообще говоря, не фор-
мальным вопросом, а так же, как и выбор исходных
функционалов f\ пространства Хо, ’входит в поста-
новку задачи.
При доопределении понятия решения задачи мате-
матического программирования с неопределенным фак-
тором возможны весьма разнообразные разумные под-
94	ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
ходы. Не останавливаясь на их сравнении, укажем два
в некотором смысле крайних варианта.
Первый вариант — это подход к доопределению зада-
чи с позиции гарантированного результата. Поскольку
результаты вычислений значения fi(x) лежат в преде-
лах [fi(x)—6г (х), /г(х)+6г (х)], ТО ДОПУСТИМЫМИ будем
считать только те хеХ0, для которых fi (х)—6i(x)^0,
а максимизировать на допустимом множестве будем ми-
нимальную из возможных функций, то есть fo(x)—6о(х).
Второй вариант —это подход, если так можно выра-
зиться, с позиции крайнего оптимизма. Допустимыми
считать точки, где fi (x)+6i (х) ^0, а максимизировать
функцию f0 (х) +6о (х).
В каждом из вариантов функции 6г можно включать
в набор параметров, характеризующих понятие «е-опти-
мальностй» в данных задачах.
Приведенный пример показывает, что постановка за-
дачи математического программирования в виде (2.3.1)
недостаточна для практических целей. Необходим бо-
лее полный учет реальной обстановки и в основном не-
определенных факторов. Конечно, постановка задачи в
условиях неопределенности является более сложной, и
естественно стремление к ее упрощению, например, к пе-
реходу к идеализированной задаче (2.3.1) при условии,
что неопределенные факторы в некотором смысле ма-
лы. При этом необходимо строго определить, в каком
смысле понимается близость задач. Подчеркнем важный
момент — первичной и наиболее адекватной реальности
является задача с неопределенными факторами, а зада-
ча (2.3.1) является идеализированной по отношению к
исходной, лишь только если доказана ее близость к ис-
ходной задаче.
Таким образом, приходим к выводу, что необходимо
изучение задачи математического программирования в
более общей постановке и одним из аспектов такого
изучения является 'исследование условий, при которых
задача (2.3.1) может /приближать исходные постановки.
Перейдем теперь к описанию одного из возможных
вариантов более общей постановки задачи математиче-
ского программирования. Будем считать, что заданы не-
которое множество моделей М с псевдометрикой ц, мно-
жество параметров &, метрическое пространство (Хо»р),
функционал ^Ф(МХ^Х^о, Е{) и принцип оптималь-
ности РеФ(А1х<^, ЭД(Х0)). С содержательной точки
§ 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
95
зрения множество Р(т, в) при т<=М, (гупны. по-
нимать как множество е-допустимых стратегий, а функ-
ционал f(/n, е, •) — как е-целевой функционал, который
нужно максимизировать на множестве Р(т, е).
Отметим, что если обобщение описания допустимо-
го множества с помощью принципа оптимальности Р яв-
ляется, на наш взгляд, вполне естественным и весьма
общим, то замена задачи максимизации целевой функ-
ции на максимизацию е-целевой функции хотя и явля-
ется, как показал приведенный пример, вполне разум-
ной и обоснованной, но далеко не единственная из воз-
можных. Вполне допустимы и другие постановки, одна-
ко ограничимся пока рассмотрением указанного случая.
По аналогии с постановкой задачи (2.3.1) для общей
задачи математического программирования будем рас-
сматривать задачу поиска наибольшего значения е-целе-
вой функции и нахождение стратегий, в некотором смы-
сле реализующих это наибольшее значение.
В качестве принципов оптимальности соответствую-
щих первой задаче, будем рассматривать
(F, ?хЕ'ф), (F, g'x^), (F, £2х^),
где
F (т, e,) = [h(m, е,)—еа, 4-оо),	е^^’, e2e£$;
F(m, е) = (—оо, him, ej + ej,	е2<=Е^;
F'(m, e)=[/i(m, ej—е3, h(m, е2)+е4], e1(	e3, e4e£^;
him, a) = sup f(m, a, x), ae?.
xeP (m, a)
Принцип оптимальности F соответствует поиску верх-
ней оценки для h, F соответствует поиску нижней оцен-
ки для h, а F — интервальной оценки для h. Мно-
жеством стратегий для этих_принципов оптимальности
естественно считать S (т)—Е'=Е{[){—оо; -f-oo}, и по-
этому интерпретация Q есть тождественное отображение.
Исследуем устойчивость принципов оптимальности
F, F, F. Обозначим для и
h+(т, е, 6)= sup h(n, е),
(т)
h~ (т, е, 6)= inf h (п, е).
neAfy (т)
96
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Очевидно, для любого пеМ{ (т) выполнено
h~(т, е,	-e)^.h+(m, е, 6),
и функция h+ не убывает по б, a hr не возрастает по б.
Утверждение 2.3.1. Справедливы оценки
1.	(h~(m, еп б)—82, +°o)c:exF(ffl, е, б)с
ez[h~(m, ер б)—е2, 4-оо).
2.	in F(tn, в, 6) = [/i+(m, en б)—е2, + оо).
3.	(—оо, h.+ (т, ех, 6) + e»)ciexF(т, е, 6)с
с(—оо, h+(m, бр 6) + е2].
4.	inF(m, 8, 6)=(—оо, h~ (пг, е4, б) + е2].
5.	inF(m, 8, 6) = [/i+(m, 8lt б)—е3, h~ (т, 82, б)-|-84].
6.	exF(m, е, 8)a[h~ (т, 8Р б)—e3,rh+(m, е2, б) -J-s4],
причем оценка точна на множестве оценок, имеющих
вид отрезка.
Доказательство элементарно.
Отметим, что
dom(F, £ х £$) = dom (_F, <£х£$) = Мх$хЕ@,
dom (F, £2х£©) =
= {(m, е)еМхё2хЕ®\1г(т, ej—h(m, e2)s^e3 + e4}=)
=){(m, е)е/Ихй2х£ф|е1 = 82}.
Посмотрим, к чему сводится исследование устойчи-
вости F, F, F. Рассмотрим, например, внутреннюю устой-
чивость сверху F. Пусть (а, б) принадлежит значению
полного согласования для внутренней А-устойчивости
сверху для принципа оптимальности F на паре (т, в).
Это эквивалентно условиям 6>А и
[h~ (tn, <Хр б)—а2, + oo)cz[/i(/n, 8j) — е2, + оо).
Нетрудно видеть, что и для других типов устойчи-
вости исследование условий устойчивости для принци-
пов оптимальности F, F, F сводится к изучению мно-
жеств, имеющих вид
R+h.(m) = {ге82хЕ$хЕ'\1г+(п1, ev e3)^.h(m, е2) + е4},
R~h(tn) = {ы=£2хЕ®хЕ1\1Г{т, ep e3) + e4>h(m, 82)}.
§ 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
97
Покажем это на примере исследования внутренней Д-
устойчивости сверху и снизу для принципа оптимально-
сти F. Непосредственно из определений 1.3.1, 1.3.2 и ут-
верждения 2.3.1 следует, что соответствующие полные
согласования имеют вид
сопШд[Р, £2х£ф](/п, е) =
= {(а, 6)ей2х£'ф|(а1, е4, 6, е3—a3)G/?~ft(m),
(а2,	6, е4—a4)e/?+ft(m), 6>А,
F(n,	V пеЛ4в(/п)},
conIDA[F, ^x41(m- «) =
= {(а, б)е$2 х £ф | (е2, а2, 6, е4—a4)e/?“ft (т),
(ех, а4, 6, е3—a3)e₽+ft(/n), 6>А, F (т, а)=/=0}.
Так как для выполнения F(mt a)=H=0 достаточно потре-
бовать ai=a2, то осталось рассмотреть условие F(n,
a)+0 VneAf6(m). Заменяя его на более сильное
inF(.m, а, б)=+0, получаем h+(m, щ,	02, б) +
+04+03. Для выполнения последнего неравенства дос-
таточно, чтобы (аь а, б, ₽) ^R+h (т), (аг, а, б, у)е
<=R~h(m) при некоторых o£i?, р, у^Е1, удовлетворя-
ющих условию р+у=а3+о4.
Поскольку условия, определяющие множества R+h,
R~h, играют такую важную роль при исследовании ус-
тойчивости, то будем называть их условиями регуляр-
ности для функционала ft.
Используя структуру функционала Л, нетрудно уста-
новить связь между условиями регулярности для функ-
ционала h и условиями регулярности для функционала
f и устойчивостью принципа оптимальности Р.
Условия регулярности для f введем аналогично ус-
ловиям для Л. Обозначим
R+f(m, х) =
= {ee^2xF®xF'|f+(/n, ej, х, 83Xf(m, ъ2, х) + е4},
R~f(m, х) =
= {ee8’2xF®x£1|/!~('n> е1» *> 8з) + е4>/(т» 82, х)},
4 Д. А. Молодцов
98
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
где
(т, а, х, б) = sup f(n, а, х),
(m)
f~(tn, а, х, 6) = inf f(n, а, x).
neMg (m)
Нетрудно видеть, что справедливы оценки
h+(т, ер е2)^ "sup f+(m, вр х, ег),
хеех Р (т, Bj, е2)
h~ (tn, ех, е2)^ sup f~ (tn, ех, х, е2).
xein Р (т, 8j, е2)
Отсюда получаем:
1. Если ехР(т, ех, e.3)czP(m, е2) и
exP(m, ех, е3)с:{хеХ0|(8х, s2, е3, ei)(^R+f (т, х)},
то (ех, е2, 83, e4)e₽+ft(m).
2. Если in Р(т, ех, 83)зэР(/п, 82) и
Р(т, е2)с:{хеХ0|(8х, в2, s3,	x)},
то (ex, 82, e3, e4)e/?_/i(m).
Эти условия можно несколько ослабить. Введем мно-
жества
Pf+(tn, ер 83, у) =
= {хеехР(т, 8ц 83)|/+ (т, 8Х, х, е3) + у^
> sup /4-(m,'8j, у, 83)},
f/eex Р (т, е1( 8а)
Pf(m, 82, у) =
= {хеР(т, 8„)|/(m, е?, x) + yj> sup f(m, s2, у)}.
ysP(m,e2}
Тогда более слабые условия имеют вид:
1'. Если Pf+(m, 8Р 83, у)Г)Р(т, s2) П {хеХоКвц 82,
8з» ^—y)^R+f(tn, х)}^=0, то (8р 82, 83, е4)еР+Л(/п).
2'. Если Pf(tn, е2, у) Q in Р(пг, 8Р 83) П {xeX0|(8i, s2,
ез> е4—(т, х)}^=0, то (8Р е2, 83, 84)eP_/i(/n).
Рассмотрим теперь задачу нахождения стратегий,
реализующих в некотором смысле верхнюю грань е-це-
левого функционала. С этой задачей свяжем принцип
оптимальности (Arg sup, ^ХЕ1©), где
Arg sup (tn, е) = {x^P(tn, ^\f\tn,re1, x) + 83 h (tn, e3)}.
§ 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
99
Нетрудно видеть, что
exArgsup(/n, е, б)<=
с{хеехР(/п, ех, 6)|f+(m,. ех, х, 6)+83>/i~(/n, е2, 6)},
in Arg sup (т, е, 6)=>
=){х&пР(т, ех, 6)|f_(m, ех, х, б) -j-e3^h+(m, е.2, б)},
dom (Argsup,
=>{m, e|(/n, ex)edom(P, й), h(m, sx) -f-e3>/i (tn, e2)},
dom (in Arg sup, S2xE2e)^
=>{/n, e|(m, ev e4)edom (inP,	hr(m, ex, e4) + e3>
>h(tn, e2, e4)}.
С помощью этих оценок и условий регулярности нетруд-
но получить достаточные условия для различных типов
устойчивости Arg sup. Продемонстрируем это на при-
мере внутренней A-устойчивости сверху. Для выполне-
ния включения
exArgsup(/n, a, 6)cArgsup(m, е)
достаточно потребовать, чтобы exPpn, ai, б)<=Р(лг, ej
и для любых хеехР(/п, аь б) было выполнено нера-
венство
f(m, 8Х, х)4-е3—h(m, 82)>
^f+(tn, ax, x, 6) + a3—h~ (tn, a2, 6).
Последнее неравенство выполнено, если (ai, ei, б, 0)e
eP+f(m, x), (az, 82, 6, f)eR~h(m) и 83—a3^y+p.
Для выполнения условия Arg sup (л, а)=й=0 для лю-
бого п^М (т) достаточно потребовать, чтобы Р (п, ai) =#
=#0 для любого п^М6 (т) и
inf [h(n, ax)—h(n, a^J-j-a^O.
neAfg (m)
Таким образом, доказано
Утверждение 2.3.2. Пусть выполнено:
1.	(ах, б)есопШЛ[Р, $](т, 8Х).
2.	ехР(/п, ах, б)с{хеХ0|(ах, 8Х, б, Р)еР+/(т, х))П
П(хеХ0|(а2, е2, б, y)eP-/i(/n)}.
3.	83--а3>у + р.
4.	inf [h(n, ах)—h(n, а2)] + а3>0.
(т)
д*
100
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Тогда
(аь а2, аз, 6)econIUA[Agr sup, ^Х-Е1®] (m, ei, e2, e3).
Отметим, что если условие 2 выполнено при некото-
рых ai, а2 таких, что ai=a2, то условие 4 принимает
весьма простой вид аэ>0.
Совершенно аналогично формулируются достаточные
условия и для других типов устойчивости.
Исследуем теперь некоторые частные случаи, с тем
чтобы, используя специфику этих задач, получить и бо-
лее тонкие результаты.
В начале параграфа на частной задаче математиче-
ского программирования было показано, что традици-
онная форма подобных задач является по существу не-
доопределенной. Посмотрим, что дает аналогичный под-
ход к общей задаче математического программирования.
Итак, возникает вопрос, как нужно понимать реше-
ние задачи математического программирования, если
множество е-допустимых стратегий Р(п, е), 8-целевой
функционал f(n, е, х), а п<=М6 (т) является неопреде-
ленным фактором.
Поскольку доопределение задачи, так же как и по-
становка задачи, является не формальной процедурой,
а отражает представления лица, ставящего задачу, то,
вообще говоря, понятие решения в задаче с неопреде-
ленным фактором может быть весьма слабо связано с
понятием решения в условиях полной информации. Од-
нако мы будем накладывать некоторые естественные ог-
раничения на возможные понятия решения в задаче с
неопределенным фактором, а сами будем подходить к
этой задаче с позиции гарантированного результата. Как
показывают исследования [17], гибко понимаемый прин-
цип гарантированного результата является довольно
универсальным и содержательно обоснованным принци-
пом поведения в условиях неопределенности. Безуслов-
но, возможны и интересны и другие подходы, например
статистический, но здесь такой подход не исследуется.
Прежде всего возникает проблема определения до-
пустимого множества в условиях неопределенности. Бу-
дем предполагать, что при любом определении допусти-
мого множества в условиях неопределенности те точки
х, которые являлись допустимыми при любом neAfs(zn),
остаются допустимыми и те точки х, которые являлись
недопустимыми при любом (т), остаются недо-
§ 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ	101
пустимыми. Тогда гарантированными внутренними и
внешними оценками для любого определения множест-
ва допустимых стратегий в условиях неопределенности
являются inР(т, 8, б) и ехР(т, е, б).
Рассмотрим теперь проблему определения понятия
наибольшего значения функции при наличии неопреде-
ленных факторов. Если оценивать эффективность страте-
гии х в условиях неопределенности с помощью числа, то
естественно предполагать, что это число лежит в интер-
вале е, х, б), f+(tn, е, х, б)]. Поэтому гаранти-
рованными оценками снизу и сверху для наибольшего
значения функции являются
sup	е, х, б), sup f+ (т, е,'х, б).г
xein Р {tn, 8, б)	хеех Р {т, е, б)
Эти величины можно понимать как результат примене-
ния некоторых новых операций, обобщающих операцию
sup, к паре (f(m, е, • ),	в)). Эти новые операции
будем называть нижней и верхней стабилизацией супре-
мума и применять обозначение
st-[б] sup f(m, 8, х)= sup t~(m, 8, х, б), б>0,
хеР {т. 8)	xein р {т, 8, б)
(2.3.2)
st+[6] sup f(tn, е, х)= sup f+ (т, 8, х, б), б>0.
хеР (/и, е)	хеех Р {т, е, б)
(2.3.3)
Если рассматривать задачу поиска реализаций, то
с задачами (2.3.2), (2.3.3) естественно связать принци-
пы оптимальности
(Argsup_,	(Argsup+, £2x£$),
где
Argsup_(/n, 8) =
= {x<=inP(m, еп е3)|/— (m, sv х, s3) + e6>
> st“ [84] sup f(m, 8a, y)},
y<=P {m, e2)
Argsup+(/n, e) =
= {xeexP(m, 8X, e3)|/+ (tn, 8X, x, 83;4-88>
>st+[8j sup f(m, e2, y)}.
y&P {mt e2)
Приведенные рассуждения показывают, что задачи
(2.3.2), (2.3.3) и принципы оптимальности Argsup_,
102
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Arg sup+ возникают естественным образом при изуче-
нии задач математического программирования в усло-
виях неопределенности, но, конечно, не являются един-
ственно возможными.
Покажем, что задачи (2.3.2), (2.3.3) оправдывают
данное им название, то есть обладают весьма удобны-
ми свойствами устойчивости.
Из неравенства треугольника для псевдометрики р
и того факта, что для любого (т) выполнены
включения
Afe,-8 (m)<=Me2 (п)сЛ1ег+в (т),
следует справедливость оценок, которые фактически да-
ют достаточные условия для выполнения	условий pery-
лярности для функций f+ и	
/++ (т, е1, х, е2,	ех, х, е2 + 6),	
f+~(m, 8Х, х, е2, 8)~^f+(m, 8Х, х, е2—6),	(2.34
/-+(т, 8Х, х, 82, 6)^f~(m, 8Х, х, е2—6),	e2>6,
f~~(m, 8Х, х, 8g, 6)>f_(/n, 8X, x, e2 + 6).	
Отсюда непосредственно следуют оценки, которые дают
достаточные условия для выполнения условий регуляр-
ности для (2.3.2), (2.3.3):
sup st+ [е21 sup f (п, ех, х)
neMfi (m)	xeP(n,8i)
st+ [е2 + 6] sup f (tn, 8X, x),
inf st+ [e2] sup f (n, ex, x)
neMt (m)	xeP(n,e,)
St+ [82— 6] SUp f (tn, 8X, X), 82	6,
sup st- [e2] sup f (n, 8V x) <
(m)	xt=P(n,8i)
< st- [e2—6] sup f (tn, 8P x), 82 > 6,
xeP(m,8i)
inf st- [8al sup f (n, 8X, x)
> st- [82 4- 6] sup f (tn, 8X, X).
Теперь, используя полученные оценки, легко сфор-
мулировать достаточные условия для устойчивости лю-
§ 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
103
бого типа для принципов оптимальности
(st+ F, 82 х Е*ф), (st- F, 82 х Еф),
где
st* F (т, в) = [st* [83] sup f (tn, 8Х, х)—8б,
xeP(m,ei)
st* [е4] sup f (tn, e2, x) H-8e],
xeP(m,e2)
a * принимает значения + и —.
Для примера приведем утверждение о внутренней
A-устойчивости сверху для st+F. Введем согласование
GA (т, 8) = {(а, 6) s82 X Е^|ах = а2 = ех = е2, е3 + 6 <
< а3 < а4 < 84—6, а5 < 85, ав е0, 6 > д}.
Нетрудно видеть, что
dom (GA, 82 X Е^) = (т, e|8j = е2, е3 + 2 Д,< е4}.
Утверждение 2.3.3. Принцип оптимальности st+F
внутренне ^-устойчив сверху на множестве
dom(GA, ^Г2хЕ4ф) при согласовании GA.
Доказательство сводится к элементарной про-
верке условий определения 1.3.1 с использованием по-
лученных оценок.
Рассмотрим устойчивость принципов оптимальности
Arg sup+, Arg sup_. Напомним, что
sec2 dom (P, 8) (sx)= {tn <= M\(m, 8X) e dom (P, 8)}.
Из утверждения 2.1.7 следует, что справедливы оценки
dom (Arg sup+, 82 X Е®) о
zd {т, 8| р (m, sec2 dom (Р, 8) (ех)) < е3,8Х = е2, 83^84, е5 > 0},
(2.3.6)
dom (Argsup_, 82 х
О (т, 8|л Р (т, ех) > 83 , 83	е4> 81 — 82> 85 > 0}-
Из утверждения 2.1.5 и оценок (2.3.4), (2.3.5) получа-
ем оценки
ex Arg sup+ (tn, 8,6) <= Arg sup+ (tn, 8X, e2, e3 + 6, s4—6, s5),
in Argsup+(/n, e, 6) о Argsup+(m, 8lt 82,’s3—6,84-j-fi, e8),
(2.3.7)
ex Arg sup- (m, e, 6) cz Argsup_(/n, ех, e2, 83 — 6,84 + 6, e5),
in Argsup- (tn, 8, 6) Argsup_(/n, 8l(8.4, 83 + 6, 84 —6, 83).
104
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Теперь можно сформулировать утверждения о лю-
бых типах устойчивости для Arg sup-, Arg sup+. Для
краткости остановимся только на внутренней устойчи-
вости. Рассмотрим два согласования
8)={а,б,у|а1 = а2 = 81 = 82, 844-б4-у<а4<а3<
С 83—6—у, 0 < а5	е5, р. (т, sec2 dom (Р, %) (8^)4-
4-б<а3,6>Х, у> v),
A^v(m, е) = {а, б, у|а; = а2 = ех = е2, е34-6 4-у а3 а4^
84—б—у, 0'< а5 е5, л Р (пг, st) >’а34- б, б > %, у > v).
Очевидно, справедливы равенства
dom(A*_-v,$2хЕ^) = {zn/e|ех = s2,s44-2(X4-v)<e3,s5> 0,
р,(т, sec2 dom (Р, %) (ej) 4-2 X 4- v < е3},
dom (Д?2v> $2 X	== {пг, е| ех = е2,83 4~ 2^(Х 4- v) < е4, е5 > 0,
п Р (пг, ег) > 834т 2 X 4- v}.
Утверждение 2.3.4. Для принимающей зна-
чения 4- и —, принцип оптимальности Arg sup. внут-
ренне (X, v) -устойчив на dom(A|v, <^2Х£3Ф) при сог-
ласовании А%> v.
Доказательство сводится к проверке условий
определения 1.3.5 с помощью полученных оценок.
Рассмотрим теперь случай, когда множество допу-
стимых значений переменной задается с помощью сис-
темы неравенств. Итак, пусть (Хо, ро) — метрическое
пространство; множество моделей положим равным М=
=|ф(л0, En+i) Х®1(Х0). Будем рассматривать два ва-
рианта задания псевдометрики
Hi ((gi. Хг), (g2, Х2))= Hr (gr [gJXJ, gr [g2|X2]),
где r((xlt «i), (a, wj) = max {p0 (xv хг), p (ux, u2)}, p (ult
— max |и1г—w2i|, щ 6E P'!+*, /= 1, 2, и
((gv xo, (gt, X^)=Hp (gl (X,), g2 (X,)).
Нетрудно видеть, что
Иг ((gi» Xj), (g3> X2))	((gi, X]), (g2, X2)).
Для указания, в какой псевдометрике происходит рас-
смотрение, б-окрестность модели пг будем снабжать верх-
§ 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
105
ним индексом, совпадающим с индексом псевдометри-
ки. Таким же, но нижним индексом будем снабжать
операции ех и in для принципов оптимальности. Опе-
рации для функционалов, обозначаемые верхним индек-
сом + и —, также будем снабжать соответствующей ин-
дексацией. Например, Мх6(т), exzPfm, е, б), б)
и т. п.
С задачей поиска наибольшего значения функции
свяжем принцип оптимальности (F, Е^Е2®), где
F ((g, X), 8)= [h ((g, X), en 82)—86, h ((g, X), е3, e4) + se],
h((g, X), 8n е2) = sup g0(x),
xeP((g,X),e1,e2)
P((g, X),el,82)=
= {xe X\at~et<gj(x)<&г + e2, i= 1, ... ,n}.
Утверждение 2.3.5. Пусть p.2((£i, Xi), {gz,
Х2))^Ъ. Тогда для любого б'>б выполнено
h ((gi, XJ, 8) < h ((g2, X^e +6') + 6', . 8 e £2.
Доказательство. Если P((giJ Xi), e)=0, to
h((gt, Xi), e)=—oo и утверждение очевидно. Пусть те-
перь P((gi, Xi), е)^0. Для любого у>0 существует
x^ePUgi, X!), 8) такой, что gia(Xiv)+?>/i((£i, X]), е).
Из условия утверждения следует, что для хЛ и б'>б су-
ществует X2v6^X2 такой, ЧТО p(gl(Xlv), g2(^2TS )) <б'.
Отсюда получаем Хг^еР ((g2, Х2), в+б') и
h ((£i, *1). е)~Y < £10 (4) < £20 «') +6' <
<Н(£о> х2), 8 + д')+б'.
Осталось заметить, что у>0 произвольно. 
Из утверждения 2.3.5 непосредственно следует спра-
ведливость неравенств
/г<2)+ ((g, X), е, 6) < h ((g, X), 8 + 6') + б', б' > б,
/г<2>- ((g, X), 8, б) > h ((g, X), 8—б')—б', б' > б,
которые и дают соотношения, достаточные для выполне-
ния условий регулярности функционала h. Теперь мож-
но легко сформулировать условия устойчивости любого
типа для принципа оптимальности F (с псевдометрикой
106
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
р2)- Приведем в качестве примера условия внутренней
(X, v)-устойчивости. Рассмотрим согласование
((g, X), е) = {(а, б, у) е Е4 х £ф|ег + б + у<аг
С °Ч+2 < е,+2—у—б, i=l,2; a; + y + 6<ej, j = 5, 6;
б >• X, у > v}.
Очевидно, что
dom (В* Л Е4 х £^) = {(g, Х),в|ег4-2(А+у)<8г+г, i= 1,2;
X + v < e^, j= 5, 6).
Утверждение 2.3.6. Принцип оптимальности F
внутренне (X, v) -устойчив на dom(Bx-v, £4X-E2$). при
согласовании В*-v (в псевдометрике р2) •
Перейдем теперь к рассмотрению задачи поиска ре-
ализаций, с которой свяжем принцип оптимальности
(Arg sup, £4Х^2ф) следующего вида:
Arg sup ((g, X), е) =
= Ое, {х е Р ((g, X), 8Х, е2)|g0 (х) 4-85 > h ((g, X), 83, в4)}.
Устойчивость этого принципа оптимальности будем изу-
чать для псевдометрики щ. Из неравенства p2^pi сле-
дует, что ЛРв (m) аМ26 (т) для любой модели т^М.
Поэтому
/1<2’+ ((g, X), 8, б) > /г<>>+ ((g, X), 8, б),
Я<2>- ((g, X), 8, б) < Л< О- ((g, X), 8, б).
Используя эти неравенства, вполне аналогично утверж-
дению 2.3.5, можно доказать
Утверждение 2.3.6. Пусть gi((gi, Xj), (g2,
Х2))^б. Тогда для любого б'>б выполнено
Arg sup ((gi, Xj), 8) с
CZ Arg sup ((g2, X2), 814-б',82 + б',83 — б',84 — б'>86 +
+ 2 6', 83 + б').
Как следствие, получаем
ехх Arg sup ((g, X), 8, б) <= Arg sup ((g, X),
8X + 6', 8S + 6', 83 — 6', 84 — 6', 85 + 2 6', 8e + 6'),
inx Arg sup ((g, X), e, 6)	Arg sup ((g, X),
8j — 6',e2 — б',83 + 6',84 + б',85 —26', 8g — 6').
§ 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
107
Используя результаты предыдущего параграфа и, в
частности, функцию <р*а.ь, нетрудно получить следую-
щую оценку:
dom (Argsup, Е4 X Е^) => {(g, X), е |<p; 6(g1,..., gn, X) +
+ min {elt e2} >0, 8X > %, e2 > 8v 8s > 0, ee > 0}.
Полученные оценки позволяют легко установить ус-
ловия устойчивости любого типа для Arg sup. Остано-
вимся для примера на внутренней Д-устойчивости свер-
ху и снизу. Введем согласования
B«((g, X), 8) =
= {(а, 6)<=Е4 х Е^ | ег—6 > аг > а,+2>е(-+2 +6, 1 = 1,2;
0<а8<е8—26, 0<ав<8в—S, Ф* b(gi,..., gn, Х) +
+ т1п{ах, а2}>6>Д},
X), 8) =
= {(а, 6)е=Е4 X Е^ | ег—6>аг > а,+2>8(+2 +6, i = 1, 2;
0<a6<86—-26, 0<ae<8e—6, <|>;Лgn, Х) +
+ min{a1, а2}>0, 6>Л}.
Нетрудно видеть, что
dom (В„ , Е4хЕ®) =
= {(g, X), 8|8г>8/+2 + 2Д, i = l, 2; 88>2Д, 8в>Д,
X) + min{81, 82}>2Д},
dom (в£, Е4хЕ®) =
= {(£, X), 8|8<>8<+2+ 2Д, i = l, 2; 85>2Д, 8в>Д,
Фа,ь(Я1»...’ Еп. XJ + minfex, 82}>Д}.
Утверждение 2.3.7. Для псевдометрики pi спра-
ведливо’.
1. Arg sup внутренне ^-устойчив сверху на dom(B£ ,
Е4ХЕ при согласовании В^.
2. Arg sup внутренне ^-устойчив снизу на dom(B^ ,
Е4ХЕ$) при согласовании В%.
Доказательство сводится к элементарной про-
верке условий соответствующих определений.
Рассмотрим теперь некоторые вопросы, связанные с
устойчивостью задачи линейного программирования.
108	ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
В классической постановке задачи линейного прог-
раммирования функционал h задается следующим об-
разом:
h(A, &, с) = sup (с, х).
х^Еп
Ах^Ъ
Множество моделей здесь М=Етп+т+п, а метрика ц,
имеет вид
р((Л, Ь, с), (Л', Ь', с')) =
= max {max |а;<—a'.l, max |Ьг — b'.\, max I с,—c'.l}.
Условия непрерывности h как функции от (Л, b, с)
достаточно хорошо изучены; так, в [2] приведены необ-
ходимые и достаточные условия непрерывности h. По-
этому остановимся на исследовании менее традицион-
ных постановок.
Рассмотрим, что дают в применении к задаче линей-
ного программирования операции нижней и верхней ста-
билизации супремума. Поскольку целевой функционал
и принцип оптимальности, задающий допустимое мно-
жество, в классической постановке задачи линейного
программирования имеют вид
/((Л, Ь, с), х) = (с, х),
Р(А, Ь, с) = {хе=Еп|Лх^б},
то
/+((Л, Ь, с), х, б) = (с, х)+б<епЛ|х|>,
b, с), х, б)=(с, х) — 6(еп, |х|>,
ехР((Л, Ь, с), б)={хе£"|Лх—б(еп, |х|)С&4-б},
1пР((Л, Ь, с), б) ={х<=Еп| Л*4-б (en,	б}.
Тогда для верхней и нижней стабилизации супремума
имеем
st+ [6] sup (с, х) b, с), б),
Ах^Ъ
st-[б] sup (с, х} =h\(A, Ь, с), —б),
Ах^Ъ
где
h((A, b, с), 6)= sup [<с, х)4-б](еп,
Лх^Ь+в.(1+<еп, |х|>)
8с=Е1.
§ 3 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ	109
Напомним, что
st~ [S] sup f(m, 8, х)= sup	8, x, 6),
xeP (m, e)	xein P (m, e, 6)
st+ [6] sup e, x)=. sup f+(tn, e, x, 6).
xeP (m, e) “	xeex P (tn, e, 6)
Посмотрим, как конкретизируются условия устойчи-
вости принципов оптимальности Arg sup+ и Arg sup_,
которые в рассматриваемом случае имеют вид
Argsup+((A, Ь, с), е) = {х<=Е"| Ах<&4-8,(1 4-(еп, |х|>),
(с, х>+81(еп, |х|> +83>4(4, Ь, с), е2)}, es£©,
Argsup_((A, b, с), 8) = {xsE"|Ax<;&—е,(1 + (en, |х|)),
(с, х}— е, (еп, |х|> 4-е3>Л((А, Ь, с), — sa)}, 8g=E®.
Оценки (2.3.6), (2.3.7) принимают вид
dom(Argsup+, Еф)гэ{А, Ь, с, е|оо*(А, Ь, е,)^0, 8,>8а},
dom(Argsup_, E®)zo{A, Ь, с, е.\о*0*(А, Ь, —е,)^0, s,^e2},
ex Argsup+((A, b, 6)с
c=Arg’sup+((A, b, с), 8,4-6, 8а—6, 83),
in Argsup+((A, b, с), 8, 6)=>
:z>Argsup+((A, b, с), 8,—6, Sj+6, 83),
ex Argsup_((A, b, c), 8, 6)c
cArg'sup_((A, b, c), 8,—S, 8a4-6, 83),
in Argsup_((A, b, c), 8, 6)=>
=>Argsup_((A, b, c), 8,4-6, ea—6, 83),
где
Go* (A, b, a)= inf {max [(at, x) — 6f]—a(l 4- (en, |x|>)},
xGEn
ai,..., am — строки матрицы A.
Приведем условия внутренней устойчивости. Введем
согласования
GJ+((A, b, с), 8) =
= {a, S, у|б24-б4-у^яа^а,^81—6—у, а3^е3,
а*0*(А,’Ь, а,—6)<р, 6>Л, y>v},
НО	ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Ghv(C4, Ь, с), 8) =
= {а, б, у^ + б + у^а^а^е.,—6—у, а3^ь3>
oj* (Л, Ь,— at— 6)^0, б>*1, y>v}.
Для того чтобы указать, где эти согласования не пу-
сты, исследуем свойства функции во** как функции от
параметра а. Из очевидного неравенства 1+<еп, |х|>>
>0 следует, что о0** строго убывает по а. Также оче-
видно, что относительно а функция оо*‘ вогнута. Обоз-
начим
2 (Л, b, a) = {xe£"| max [(ait х}—bt]—
-a(l+(gn, |х|)) = <(Л, Ь, а)}.
Множество 2 (Л, Ь, а) не пусто тогда и только тогда,
когда сто** (Л, b, а) >—<х>. Пусть 2 (Л, Ь, а) #=0; тогда
для р>0 имеем
о;*(Л, Ь, а-р)<<(Л, b, а) + р inf (1 + (<?п, |х|)).
хе2 (Л, Ъ, а)
Отсюда следует, что в точке а функция по** непрерыв-
на слева. Итак, получаем, что на множестве ае (—оо,
£(Л)] функция по** является строго убывающей, непре-
рывной и вогнутой, причем
а**(Л, 6, а)^—a— min bh
При а>£(Л) выполнено оо**(Л, Ь, а)=—оо. Нетруд-
но указать и функцию |(Л). Легко видеть, что
£(Л) = inf max (ah х).
х^Еп
<I xl. еп)~1
Теперь, используя свойства функции Оо**, легко полу-
чить, что
dom (G^v, £3Ф) =
= {Л, Ь, с, e|82-|-2(X + v)<e1, o’’(Л, b, ех—21—v)<0},
dom (Gtv, ^ф) =
= {Л, b, с, 8|81-]-2(l-|-v)<82, o’; (Л, b, — 8X—21—v)<0}.
§ 4. МАКСИМИННЫЕ ЗАДАЧИ	Ш
Утверждение 2.3.8. Для * , принимающей зна-
чения + и —, выполнено: принцип оптимальности
Arg sup* внутренне (X, v)-устойчив на множестве
dom (GK> vi„, Е3®) при согласовании GK> v;*.
Отметим, что условия <То*‘И> b, ei—2Х—v)<0 и
По** И, Ь, —ei—2Х—v) <0 можно рассматривать как
обобщения условия Слейтера о*(А, Ь)<0, но, учитывая
неравенство
о" (A, b, 8Х—2Х—у)<о*(А,	Ь,—61—2Х—v),
видно, что первое условие слабее, а второе сильнее ус-
ловия Слейтера.
§ 4. Устойчивость максиминных задач
Рассмотрим задачу поиска кратного максимина. Для
ее описания нужно задать целевой функционал и
множества, по которым ведется максимизация и ми-
нимизация. Будем считать, что М — множество моделей
с псевдометрикой ц, <S — множество .параметров,
А0», У0, — некоторые множества i=l, ..., п. Пусть
РеФ[ М х ПX?X Y[Y°iX$, £’ ], F-целевой функционал, а
\	1=1	4=1	/
е-допустимые множества значений переменных будем за-
давать с помощью двух семейств принципов оптималь-
ности (Рг[х‘-1, yi-1], S), (Qi[xf, t/’-1], <£), где х’=
= (Xi,..., Xi), yl= (yi,... t/i), Xj<=X°j, yj^Y°j. Итак, мно-
жества Pi[x<-1, </*-’] (m, e)azX°i, Qi[xj, yi-1] (m, e)c Уд-
ивляются множествами е-допустимых значений перемен-
ных Xi И Уй ПОЛОЖИМ
Fn(m, хп, уп, e,) = F(m, хп, уп, в),
Fi(m, х{, у‘, е)= sup inf Fl+i(tn, х'+Ч у‘+1, е),
*i+lePi+l ^i+lsQi+l
i = 1, , п— 1,
F0(m, е)= sup inf F^m, x1, y1, e),
Xi<£Pt yiSQi
где P1+i = P1+i [x‘, y‘](m, s), Q,+l = Q/+1 [x'+i, yl](m, e),
Pj^PJm, e), Qx = Qi fx1] (m, в).
С задачей поиска кратного максимина будем связы-
вать принцип оптимальности (Л	где
F(m, e)=[F0(/n, sj—е3, Fo (m, е2)4-84].
112
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Исследование устойчивости принципа оптимальности Р
сводится к изучению условий регулярности для функ-
ционалов Нетрудно получить оценки для F+i и F~i.
Напомним, что
P'fitn, х1, у\ 8, S) = sup Fi(kf х1, у1, 8),
fceAfg (m)
рт (tn, xl, yl, e, 6) = inf Ft (k, x{, y‘, e).
k<=M^ (m)
Тогда имеем
Ft (tn, xl, y‘, 8, 6) sC
sup inf (tn, xi+1, y‘+l, e, 6),
*Жеех PW //z+1ein Q(+1
FT (tn, X1, yl, 8, d)^>
sup ' inf Рж (tn, x‘+l, yl+{, 8, 6),
*<+ie=in P(-+1 ужет Q(+I
где
exP(+i = exPw [x{, у‘](т, 8, 6),
in Pl+i = in Pl+i [x‘, y‘](m, s, 6),
exQ1+i = exQt+i[x£+1, y‘](m, 8, 6),
inQl+i = inQ(+1[x£+1, yl](m, 8, 6).
Используя эти оценки, можно выписать достаточные
условия для условий регулярности функционала Ро.
Утверждение 2.4.1. Пусть т<=М, а, и 0,
>0 удовлетворяют условиям: для i=l, ..., п и любых
"о	п о
хп е n*L УП^ПУ/ выполнено:
/=1	/=1
1)	0^QxPi[xi~i, у‘~1](пг, е, tyc:Pt [х‘~1, у1~1](т, а).
2)	inQ{[x£, у1-'](т, 8, 6)=э<2г[х1', у‘~1](т, а)=/=0.
3)	F+(m, хп, уп, 8, 6)^Pn(m, хп, уп, а) + 0.
Тогда Ft (tn, г, 6)^F0(m, а) + 0.
Доказательство очевидно.
Совершенно аналогично выписываются достаточные
условия для выполнения неравенства
FT (tn, е, 6) + 0^ F(tn, а).
§ 4. МАКСЙМИННЫЁ ЗАДАМИ	ИЗ
Отметим, что условие 1 означает внешнюю устойчи-
вость сверху	у1~*] на (т, в) при согласовании
(а, 6), а условие 2 означает внутреннюю устойчивость
снизу у1'-1] на (tn, в) при согласовании (а, 6).
Приведенные в утверждении 2.4.1 достаточные условия
хотя и являются весьма грубыми, но зато достаточно
просты и наглядны. Можно было бы существенно уточ-
нить эти условия, используя для сравнения Fq и оценки
для F+o результаты, приведенные в [12]. Однако такой
путь приводит к слишком громоздким и сложным усло-
виям. Это объясняется большой общностью рассматри-
ваемой постановки задачи. Поэтому для получения бо-
лее простых и обозримых результатов естественно рас-
смотреть различные частные случаи задач на связанный
максимин.
Отметим, прежде всего, класс задач, который полу-
чается при замене некоторых операций sup и inf на
нижнюю и верхнюю стабилизации sup и inf. Не иссле-
дуя подробно такие постановки в общем виде, заметим,
что замена лишь одной внешней операции sup на верх-
нюю или нижнюю стабилизацию супремума приводит
к задаче, для которой условия регулярности выполня-
ются при очень простых соотношениях между парамет-
рами. Это сразу следует из того, что задачу на макси-
мин можно рассматривать и как задачу на максимум,
и, следовательно, к ней применимы соответствующие
результаты § 2.3.
Рассмотрим теперь задачу на максимин, в которой
ограничения на переменные задаются с помощью нера-
венств.
Пусть (X°j, pj), (У0;, vj) — метрические пространства,
Х°‘==ПХ°, Y°{=nYOj, / = {1,.„, n},
/=1 /=1
Л4 = Ф(Х0гахУ0'’, £х)х Пф(^0<хУ0‘-1, £х)Х
1=1
X пф(Х°'хУ0‘»
1=1	Г=1	1=1
Таким образом, моделью является набор т= (f, рп, qn,
Хп, Yn), где f —функционал от аргументов хп, уп, рп =
= (Р\, .... pn), qn=(qi. </п), а р, — функционал от ар-
гументов х\ у{~1, qi — функционал от аргументов у*,
1,14	ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Хп), У"=(У1, Уп), a XiGzXOi, ПсзУо,
для te/.
Введем псевдометрику р, на множестве моделей. Обо-
значим
Н((Л Рп> Хп, YnY (Л <7'п> X"1, ^'")) =
= тах{р™(А /'); max ц‘(pit р\); ^ах |х‘‘(<7/, <);
max НрЛХ^ X'); max Н
где
K/(g>g')= sup \g(xl, yi)—g'(x‘, yi)\,
X1 G X°‘
yi e Y°l
g, g'ed)(Xw xYW, E1).
Определим теперь целевой функционал и е-допусти-
мые множества. Пусть
 F((f> Рп> Чп> Хп> уп)> хП> yn) = f(xn, у"),
Pi{x‘-', y‘-'](f, рп, qn, Хп, Yn, е) =
= Р?(х‘->, у‘-Ч (Pi, Xit 8), ее4,
Qi[х‘, y‘~l](f, рп, qn, Хп, Yn, в) =
= Q°[*‘’, y‘~l](qt, Yh 8), 8eE®,
у‘~'](Р1, Xt, e)={Xi^O^Xi\Pi(x‘, y‘~l) + ^Q},
Q°i[x‘, yl~'](qt, Yt, e.) = {yt^OeiYilqi(xl, y{) + %^0}.
Тогда функционал Fo принимает вид
F0((f, p", q\ X-, Y"), a, p) =
= sup inf ... sup inf f(x", yn),
x^pOy.&tf xnepO yneQo
где P^ = P°!(Pv a,)» Qi = Qi [*4 (<h. Л. Pi). P? =
= P?^-«, y‘-'](Pi, Xh at), Q? = Q?[x', y‘-'](qi, Yi, p{),
a. Pe<
Утверждение 2.4.2. Пусть y,((f, p", qn, Xn, Yn),
(f, p’", q'n, X'n, Y'n))^b. Тогда для любых xn^XOn,
yn^YOn и 1=1,..., n выполнено:
1) P®[x‘-1, «/‘-‘Kp-, X'e a^cPOfx'-^z/'-’Kpi.Xi.ai |-6),
§ 4. МАКСИМИННЫЕ ЗАДАЧИ
115
2) qo[x‘\ у;., рг)<=с?[^,	у,-, pi+6).
Дока зательство. Пусть х'^Р°.[хс~1, у‘~1](р'.,
Х\, а;), то есть x'{<=OailX'{ и //(х‘-‘, х'(, у^У + а^б.
Учитывая, что Х'( czO6 Xt и |pj(x‘-1, х', у‘~1)— р'{(х‘~1,
Х1’.У‘~')\^, получаем х;<=Оа.1+вХг и рг(х'-', х\, у{~') +
+ аг2 + б^0, то есть х'^Р°[х‘~1, y{~l](pt, Xt, аг + 6).
Аналогично доказывается и второй пункт утверждения.

Как следствие, из утверждения 2.4.2 получаем, что
для любых х eXOn, yn^YOn и i= 1,..., п выполнено
ехР0[х'->, у1~х](р1, Xit at, 6)с=
сР»{х>-', у1’-1] (р^ Xit а4 + б),
in Р®[х'~y‘-l](Pi, Xh ah 6)=>
=>Р0[х'->, yl~'Kpi, Xit ctt-S), a{>6,
exQ°[x‘, y‘->](qi, Yit рг, 6)cQ0[x‘, y^](qi, Yif ^8),
inQi[xz, y‘-l](qi, Yit р{, 6)=3
=>Q0[x\	(к, Yit pi-6), Pi >6.
Напомним, что мы придерживаемся соглашения
sup/ = —оо, inf f= 4-00.
0	0
Однако для задачи кратного максимина удобнее тре-
бовать, чтобы все множества, на которых производится
максимизация и минимизация, были не пусты. Поэтому
введем функционалы
Р’(рг, Xif х'-1, у1~\ е)= sup pt(x{, у1-1),	п,
Q*(qi, Yh x‘, y1-1, e)= sup 9i(x‘\ yl), t = n.
y^o& y.
Тогда, очевидно, справедливы оценки
dom (Р®^-1, i/'-1],
=э{рг, Xi, z\P*.(pi, Xh x1’-1, у1~\ 81)4-e2>0},
dom(QO[x‘‘, #*-'], £$)=>
Yb xt> У1~\ sx)4-82>0}.
116
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Отсюда получаем условия, при которых определен функ-
ционал Fo. Введем функции
(Pi> ai) = ^>i(Pi> Хп <хХ1)4"®ц;
Pf(p*, qk~'> Xk> Yk~\ а\
= infp;(ph, Xft, Л*-', yk~', ahl) + ak2,
где нижняя грань берется по
х,(=ро[х*-’, yl~l] (pi, Xi, ai),
yi~>](qt, Yt, рг), i=l,..., k—1;
Q”(pl, qi, Xi, Yl, ai, p') =
= infQ*(^„ Yjt xl, yl-1, ря) + Р/ж>
где нижняя грань берется по
х{е=Р°[х‘->, y!-l](Pi Xi, a,), 1=1,..., j,
У1<=(%[х*, y‘-l](qt, Yt, pt), i= 1,..., j— 1; / = 1,..., n,
a*=(a1,.„, aft), a,s^, p* = (Plt..„ pft), рге=£^.
Тогда, если для i=l, .... п выполнено
P”(Pl> Xl> Y‘~'> a'» Р,-')>0,	(2.4.1)
Q**(pi, qi, Xi, Yi, ai, p‘)>0,	(2.4.2)
то функционал Fq определен, то есть
1.	P?(P1, Xlt a1)^0.
2.	Q?[x4(<7p Ylt pj^0 Ух1еР?(рх, Xlt at).
3.	Ph*1, {/г](ра, X8, aa)=^0
Vx^Pf^x, Xx. aJ, Vl/xeQh*1)^ Л, Pi) (2.4.3)
2n. фи[х”, yn UO/n, Yn, pn):/:0
VXjSPiOii, Xi, ax),..., VXnSPh*"”1, </n-,](pn, Xn, an).
Объединяя полученные условия co следствием из
утверждения 2.4.2, получаем
Утверждение 2.4.3. Пусть для i=l, ..., п выпол-
нены условия (2.4.1), (2.4.2).
§ 4. МАКСИМИННЫЕ ЗАДАЧИ
117
1. Если для 1=1, п выполнено
X*, a* + S, Р*-1—6)> О,
Х^ аЦв, р*—6)> О,
то
рп, qn, Хп, Yn), а, ₽, б)<
<F0(tf, р", q", X”, Yn), а+ 6, р-б) + б.
2. Если для i=l, .... п выполнено
P'*(pl, q1-', X1, Yl~l, а'—б, 0{-Ч-6)>О,
Q”(pi, qi, Xi, Yi, а*—6, р‘ + б)>0,
TO
Ff((f, pn, qn, Xn, Yn), a, p, 6)>
>F0(f, Р"» <Г> *"» r")> a—6, P + 6)—6.
Напомним, что	af + 6=(ai + 6, ..., ai + 6), а; + б=
= (aji + б, а^ + б).
Нетрудно заметить, что утверждение 2.4.3 фактичес-
ки указывает согласование параметров, при которых вы-
полняются условия регулярности для функционала Fo.
Поэтому теперь несложно сформулировать достаточные
условия для устойчивости любого типа для принципа
оптимальности F, который в данном случае имеет вид
F((A р", р", Хп, Yn), е) =
= [МА Р"» <Л *"» у")> 81» ег)—
—85, F0(tf, P'S Хп> Yn), 83, е4) + ев],
где ei, 82, 8з, е«е£2пф; 8s, ee^F1.
Для примера покажем, как получить условия, доста-
точные для внутренней Д-устойчивости сверху. Для крат-
кости будем применять обозначение m = (f, рп, qn, Хп, Yn).
Итак, для указанной устойчивости на паре (пг, е.) доста-
точно, чтобы пара (а, б) удовлетворяла условиям
6>А, exF(m, a, f>)czF(m, е), inF(m, а, д)=/=0. Исполь-
зуя утверждение 2.4.3, получаем условия
F0(/n, ax—б, а2 + б)—б—a5 > Fo (m, 81? е2)—85,
Fo (пг, а3 + б, а4—б) + 6 + ae	Fo (tn, 83, е4) + ев,
F0(/n,ai + 6,ra2—б) + б—а5
< Fo (пг, а3—б, а4 + б)—б + ав, б > Д,
118
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
и функционал Fo определен для всех выписанных здесь
аргументов. Используя теперь монотонность Fq, имеем
систему условий
ех4-26	aj + б	а3—6	83—26,
84 + 26	а4 + 6	а2 — 6	е2—28,
2 Д < 2 6 а6 + а6, а5 < е5—6, а6<86 — б
плюс условие определенности Fo для выписанных выше
аргументов. Последнее условие можно задать, исполь-
зуя (2.4.1), (2.4.2). Эта система условий и определяет
искомое согласование. Отметим, что наиболее сложными
условиями здесь являются условия типа (2.4.1), (2.4.2),
гарантирующие, что функционал Го определен для на-
боров аргументов (т, еь 82), (/и, 83, 64), (ап, си±6,
«2+6), (т, аз±6, а4=Рб). Существенно ослабить эти ус-
ловия нельзя, так как если выполнено (2.4.3), то для
i=l, ..., п выполнено
Р** (Р*>	Р1"1) >
а', Р')>0.
Поэтому в тех задачах, где вычисление или удовлет-
ворительная оценка функций Р**> Qi** связаны с боль-
шими сложностями или невозможны по каким-либо при-
чинам, естественно попытаться несколько модифициро-
вать определение функционала Fo, с тем чтобы условия,
гарантирующие, что функционал определен, были более
просто проверяемы. Поскольку основные сложности воз-
никают из-за ограничений типа неравенств, участвую-
щих в задании множеств и Q0,, то с помощью мето-
да штрафов эти ограничения можно перенести в целе-
вой функционал. Итак, рассмотрим постановку задачи
поиска кратного максимина, использующую идею штраф-
ных функций.
Пусть множество моделей М и псевдометрика ц та-
кие же, как и в предыдущем случае, где ограничения
задавались с помощью неравенств. Но целевой функ-
ционал и 8-допустимые множества зададим иначе. По-
ложим
F ((А Рп, q\ Хп9 Yn), хп9 уп9 е2) =
п
= f (хп, Уп) +	[elf y^ + ^i qt (x‘, yt)].
1=1
§ 4. МАКСИМИННЫЕ ЗАДАЧИ
119
Л [X*-1, (A рп, qn, Хп, Yn, e) = OeXt,
Qi l*‘> У1~'] (f> Рп> Яп> Хп> Кл. е) = Ое Yt,
ех, в2 GE 8 е i = 1, ... , п.
Обычно штрафные функции и qi выбираются так, что
pi^O, a qi^O. Эти свойства существенно облегчают
исследования, так как обеспечивают монотонность по
параметрам еь ег функционала Fo, который в рассмат-
риваемом случае принимает вид
Fo ((А рп, qn, Хп, Yn), 8V 85, е8, е4) =
= sup inf ... sup inf F((f, pn, qn, X", Yn),
«.eOe,/, У.е^У, *ns°esn xn упе0\п Yn
Xn, yn, 8X, 8j),
где 81, 82, 83, 84^£n+.
Как видим, нахождение Fo представляет собой зада-
чу на кратный максимин, но с распадающимися огра-
ничениями. Для того чтобы функционал Fo был опреде-
лен (значения ±оо не исключаются), достаточно потре-
бовать, чтобы для i=l, ..., п было выполнено Х{=^=0 и
Yi^=0. Нетрудно указать соотношения, достаточные
для условий регулярности функционала Fo. Очевидно,
справедливы неравенства
Ffi (т, 8, 6) < Fo (т, 8Х, %, е34-б, е4—б) +
[(еп> е1 + е2) + 1]» е4 >
F~ (т, 8, б) > Fo (tn, 81( е2, е3—б, е4-|-б) —
—6[<еп, 814-е2) + 1], 83 > б,
где m= (f, рп, qn, Хп, Yn) и X, 0, Yt 0, i = 1,..., п.
Теперь можно легко сформулировать утверждения
об устойчивости любого типа для принципа оптималь-
ности F, который в данном случае имеет вид
F (tn, е)= [Fo (т, ех, ... , s4)~е9, F0(m, s6, ... , 88)Ч-8Х0],
8Х, ...., 8g GE Е1^, 8#, ехо ЕЕ Е^
Для сравнения с предыдущим случаем приведем ус-
ловия внутренней Д-устойчивости сверху. Введем согла-
сование
Лд ((А рп, qn, Хп, Yn), 8) =
= {(а, б) е Е% х £^|б > Д, Xt ф 0, Yt Ф 0, i= 1,..., п;
120
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
otg oCj 8Х, e2 а2	е8,
е3 |-8^а3<:а7<е,—б, 88 + 6< а8 =С а4 <84—6,
б [ {еп> ах + а2) +1 ] + Og в,,
6 [ <еп, а8 + ав> + 1 ] + а10 < 810}.
Элементарные выкладки дают
dom (А4, Евл х Еф) —
= {A Pn/<7"> *n. Yn> 8lxi 0> Yt¥= 0, i= 1, - . п ;
86< 81. 82 < ев, 83 + 2Д<87) 8g Д-2 Д < 8g,
AJ<en. е24-е5> 4-1] < min {е9, е10}}.
Утверждение 2.4.4. Принцип оптимальности F
внутренне ^-устойчив сверху на dom (A4, X Е^) при
согласовании А*.
Отметим, что все условия, участвующие в определе-
нии А4 и dom (А4, Е8”+ХЕ2ф), имеют весьма простой вид
и не содержат никаких трудновычислимых функций.
Таким образом, учет ограничений на переменные с по-
мощью штрафных функций приводит к принципу опти-
мальности, условия устойчивости которого существенно
проще, чем в максимине со связанными ограничениями,
заданными с помощью неравенств.
Во многих задачах теории игр и исследования опе-
раций приходится иметь дело с максиминами, для кото-
рых целевая функция и функции, задающие ограниче-
ния, не являются, вообще говоря, непрерывными функ-
циями тех переменных, по которым берется максимум
или минимум [18]. Хотя при исследовании максиминов
с ограничениями, заданными неравенствами, и максими-
нов, использующих идею метода штрафов, не предпола-
галась непрерывность функций, входящих в модель, то
есть f, рп, qn, но выбор псевдометрики, где функции
сравниваются в равномерной метрике, является не сов-
сем естественным для разрывных функций. Как уже от-
мечалось, для сравнения разрывных функций более ес-
тественно использовать метрику Хаусдорфа для их гра-
фиков. Однако такая метрика и разрывность функций
приводят к неустойчивости задачи на максимин, даже с
распадающимися ограничениями.
Приведем простейший пример. Пусть Х0=У0=[0, 1] и
,.	, fl. если х = 0,
f(x, У)=\.	„
10, если х О,
§ 4. МАКСИМИННЫЕ ЗАДАЧИ
121
fl, если х — 0 и ^>0,
& ’	10, если х#0 или # = 0.
Очевидно, расстояние между графиками f и g в метрике Хаусдор-
фа равно нулю, но
sup inf f(x, г/) = 1, a sup inf g(x, у) = 0.
Ясно, что для получения устойчивости максимина
при возмущении графиков функций в метрике Хаусдор-
фа и без введения дополнительных ограничений на
функции необходимо как-то модифицировать само опре-
деление максимина. Одну из возможных модификаций
определения максимина, естественную и в достаточной
мере содержательно обоснованную, рассмотрим на при-
мере однократного максимина.
Пусть (Хо, р), (Уо> v) — метрические пространства,
множество моделей Л4 = Ф(ХохУо, £'1)ХФ(Х0, f1) X
ХФ(Х0хУо, Я1) Х^(Х0) Х^(Уо). Итак, моделью явля-
ется набор m=(f, р, р, X, У), где f и q — функционалы
от переменных (х, у)еХохУо, Р — функционал от пере-
менной хеХ0, Хс:Х0, УсгУ0.
Графиком модели m=(f, р, q, X, У) будем называть
gr [fn] = {(и, х, у) S Е3хХ X]У|== f (х, у),	= р (х),
и3 = 7~(х, У)}-
На множестве Е3хХоХУо введем метрику
r((u, х, у), (и', х', р'))==
= max{ max \щ—и.\, р(х, х')> v (у, у')}.
1*^3
В качестве псевдометрики ц для моделей возьмем
р (m, k) = Hr (gr [m], gr [A]), m9 k G M.
Основное отличие приводимой модификации макси-
мина от максимина, где ограничения задаются с по-
мощью неравенств, состоит в том, что вместо целевой
функции f и функции р, задающей ограничения, будут
рассматриваться функции
/Ф [X, Y, а] (х, у) = sup f (х', у'), а > 0,
х'еХ.у'еУ
р(х,х')^а,
v(y,y')<a
/9 [X, Y,"a] (х, у) = inf f (х’, у'), а > 0,
x'gX, у'&Г
р (х,х')^а,
и [X, У, a],	[X, У, а].
122
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Введенные функции имеют прозрачную содержатель-
ную интерпретацию. Если предположить, что при реали-
зации выбранных точек х и у допускается ошибка а,
то есть в действительности может реализоваться любая
пара (х', у')^ХуУ такая, что р(х, х')^а, v(//,
то значения функций [X, У, а] (х, у) и У, а] (х, у)
дают неулучшаемые верхнюю и нижнюю оценки для
возможных значений f(x', у').
Итак, рассмотрим две модификации определения мак-
симина
F$((f,p,q,X,Y), а)= sup F$((f, р, q, X, У), а^а^а^х),
хеР(р,Х,а3)
F$((f,p,q,X,Y),a)~ sup Ff ((f,p,q,X,Y), а», а,, а.,,х),
хеР(р,Х,а8)
где а0 :> 0, ах > 0, а2, а3 е Е1,
F® ((А Р- <Ъ X, Y), а0, ах, а2,х) =
inf f® [X, Y, а0] (х, у),
^eQ©[x]((/,X,y,ai,a2)
р® <(/. Р. X, Y), а0, ах, а2, х) =
= inf /© [X, Y, а0] (х, у),
i/eQ®[x](q,X,y,ai,a2)
О® [Я] (р, х, Y, а1,а2) = {уеУ|<т®[Х, У,а1](х,у) + а2 > 0},
® принимает значения © и ©,
Р (р, X, а3)={хеХ|р(х) + а3>0}.
Нетрудно, основываясь на содержательной интерпре-
тации функций f®, f®, q®, q®, дать содержательную
трактовку и функционалам F®0, F®„,
Изучим свойства введенных функционалов.
Утверждение 2.4.5. Пусть p((f, р, q, X, У),
(A, р', q', X', У'))^6<6'. Тогда для любых (х, z/)e
еХоХУо выполнено:
1) f® [X, Y, а] (х, у) < Г® [X', У', а + 6'] (х, </) + §'.
2) f® [X, У, а] (х, у) > f® [X', У', a-f-6'J (х, у)-8'.
§ 4. МАКСИМИННЫЕ ЗАДАЧИ
123
Доказательство. Для любого е>0 существует
пара (хе, г/е)Е%ХУ такая, что р(х, xe)^a, v(//, у«)^а и
f® [X, Y, а] (х, у) (х*, у8) + е.
Тогда существует пара (х', y')^X'xY' такая, что
р(х', хе) Сб', v(y', ye)^f>' и f(x8, yE)^f'(x', у')+6'. От-
сюда’следует, что р(х, х')^а + б', v(y, у')^а+6',
f® [X, Y, а] (х, у) < f (х', у') + е + 6' <
< г® [X', Y', а + 6'] (х, у)+е + 6'.
Для завершения доказательства пункта 1 осталось за-
метить, что 8 — произвольное положительное число.
Пункт 2 доказывается аналогично. 
Следствие. Пусть р ((f, р, q, X, У), (/', р', q', X', Y'))	’
^6<6'^а. Тогда для любых (х, y)^XoxYo выполнено:
1) f® [X, Y, а] (х, у) > Г® [X', Y', а—6'] (х, у)-6'.
2) f® [X, Y, а] (х, у) < f® [X', Y’, а-6'] (х, у)-&. ’
Аналогичное утверждение и следствие справедливы,
конечно, и для функций q®, q®.
Утверждение 2.4.6. Пусть х, /еА'о; у, y'^Y0 и
р(х, х')^б, v(y, у')^Ь. Тогда выполнено:
1) f® [X, Y, а] (х, у) < f® [X, У, а + 6] (х', у').
2) f® [X, Y, а] (х, i/)> f® [X, У, а + 6] (х', у').
Доказательство очевидно.
Следствие. Пусть, кроме условий утверждения
2.4.6, выполнено неравенство а^б. Тогда:
1) f® [X, У, а] (х, у) > f® ]Х, У, а—6] (х', у').
2) f® [X, У, а] (х, у) С fe [X, Y, а-6] (х', у').
Утверждение 2.4.7. Пусть р. ((/, р, q, X, У), (/', р',
q’, X', Y'))	6 < 6' и х s X, У £ X', р (х, х')	6'.
Тогда
1) Р, q, X, У), а, х) С
Р'. q,,X',Y')a0 + 28,,al + 2d', а2—6', х') + 6'.
2) F®((f, р, q, X, У), а, х) >
((fz, pfу с/'у X', У') у ао + Зб7, а] 4-26', a24_6z, х')—6х.
124
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Доказательство. Для любого е>0 существует
у£еУ' такое, что
q'G [X', Y', а,4-26'] (х', у^ + а^-д' > О,
Г® [X', У',а0 + 2 6'](х', у8)-е<
р', q'> X', Y'), ао + г^'.о^ + гб'.^-б'.х').
Для у& существует уеУ такое, что v(ye, у)^Ъ'. Из ут-
верждений 2.4.5, 2.4.6 следует
qe [X, Y, ах] (х, у) + <^ > О,
/© [X, Y, а0] (х, у)-8'	/'© [X’, Y’, а0 + 26'] (х', у8)
и, значит,
Ft ((А Р> Я> X, У), а0, а1г а2, х)—6'—е С
Р', q’. X’ У'), а0 4-2 6', а,+ 2 6', а,- 6',гх').
Пункт 2 доказывается аналогично. 
Следствие. Пусть, кроме условий утверждения
2.4.7, выполнены неравенства ао5>26', ai^26'. Тогда
выполнено:
1)РТ((А Р, q, X, Y), а,х)>
>Ft((f', р', q', X’, У'),а0—26', а1-26', «, + 6', х')-6'_
2)F?((A р, q, X,Y), а,х)<
<??((/', р'. р'. X', Y'),	+
Заметим, что утверждение 2.4.7 и следствие к нему
справедливы и тогда, когда некоторые множества, по
которым берется нижняя грань, являются пустыми. Од-
нако при рассмотрении максиминов мы условились, что
множества, по которым максимизируют и минимизируют,
должны быть не пусты. Поэтому нужно вводить допол-
нительные условия, гарантирующие непустоту указан-
ных множеств. Обозначим
Р*(р, Х)= supp(x),
хеХ
Q®* [х] (у, X, У, at) = sup у® [X, У, ах] (х, у),
Q®** (р, q, X, У, an а3) = inf Q®* [х] (q, X, У, aj,
хеР(р,Х,а8)
где ® принимает значения ©и © и си^О, аз^^1.
$ 4. МАКСИМИННЫЕ ЗАДАЧИ
125
Нетрудно видеть, что если Р*(р, Х)+аз>0 и
Q®**(p, q, X, У, аь аз) +а2>0, то Р(р, X, а3) =/=0 и для
любого х<=Р(р, X, аз) выполнено Q® [х] (q, X, У, ацаг)1#
=#0. Аналогичное утверждение справедливо и для Q®.
Отметим, что функции Q®** и Q®** монотонны по
параметрам, а именно Q®** не убывает по ai и не воз-
растает по аз, a Q®** не возрастает по ai, аз.
Утверждение 2.4.8. Пусть ц((f, р, q, X, У), (/', р',
q', X', У'))<б<б'. Тогда:
1.	|Р*(р,Х)-Р*(р',Х')|<б.
2.	Если Р*(р', X') +аз>6', то
Q®** (р, q, X, Y, ах, а3) <
<Q®**(p' q', X', У',’ах + 2б', а3—6') + 6'.
3.	Если Р* (р, X) +аз>0, то
Qe**(p, q, X, Y, ах,а3)>
> Q®** (/, q’, X', У', ax-j-26', а3 + б')- 6'.
Доказательство. Пункт 1. Для любых у>6 и
х^Х существует х'^Х' такой, что р(х) ^р'(х')+у^
<Р*(р', Х')+у. Отсюда Р*(р, Х)<Р*(р', Х')+у.
Пункт 2. Из условия Р*(р', Х')+аз>6' и пункта 1
следует, что Р*(р, X) + б' + а3—б'>Р*(р', Х')+“з—б'>0,
то есть Р(р', X', а3—Ь')^0 и Р(р, X, аз)=^0. Из ут-
верждений 2.4.5, 2.4.6 следует, что если р(х, х')^6',
v(p, У')^Ь', то
q®[X, У, ai](x, y)^q'®[X', Y', ai + 2d'](x', /)+У.
Поскольку для любого y^Y существует y'^Y' такой,
что v(y, у')^Ь', то тогда
Q®* {х] (q, X, У, ax) < Q®* [х'] (/, X', У', а1 + 2б') + 6'.
Для любого х'еР(р', X', а3—6') существует хеХ такой,
что р(х, х')^6' и р(х)+б'^р'(х'). Следовательно,
Р(р', X', а3—б')с=Об'Р(р, X, аз) и
Q®** (р, q, X, У, ах, а,) <
< Q®** (р', q', X', Y', ах + 2 6', с^—6') + б'.
Пункт 3 доказывается аналогично. 
Утверждение 2.4.9. Пусть р. ((Л р, q, X, Y),(f, р',
q’.X', У'))<6'.
126	ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Тогда:
1. Если Р* (р, Х)4-а3> О и
QQ**(p', q', X', У', ах-|-26', as-|-6')4-04 > S',
то F®0((f, p, q, X, У), a)<F®0((.f', p', q', X', Y'),
ao4*26', ai + 26', az—b', (Хз4-6') 4-6'.
2. Если P* (p', X') 4- a3 > 6' и
T0	Q®** (p, q, X, У, ax, a3) + a2 > 0,
F°e ((f, p, q, X, У), a) > F® ((/' p', q', Х',У'),
a04-26', 04 + 26', a24-6', a3—6')—6'.
Доказательство следует из утверждений 2.4.7,
2.4.8.
Теперь можно легко указать соотношения, достаточ-
ные для условий регулярности функционалов F®0, F®0.
Утверждение 2.4.10. Пусть Р*(р, Х)4-аз>6'>6.
Тогда-.
1. Если Q®** (р, q, X, У, 04 4- 2 6', а3 4- 6') 4- а2 > 6', то
F®+((f, р, q, X, У), а, 6) < F® ((/, р, q, X, У),
а04-26', ах4-26', 04—6\ а3 4-6') 4-6',
F®- ((/, р, q, X, У), а, 6) > F® ((/, р, q, X, Y),
а0—26', 04—26', а24-б', ос3 — 6') —6'.
2. Если Q®**(p,q, X, У, 04 — 26',а3 4-6') 4-a2>S',
04	26', то
Ff- ((f, р, q, X, У), а, 6) > F® ((/, р, q, X, У),
а0-|-2б', 04 4-26', а24-6', а3—6')—б'>
Ff+ ((А Р, q> X, У), а, 6) < F® ((Д р, q, X, У),
а0—26', 04—2 6', 04—б', а34-6')4-6'.
Доказательство следует из утверждений 2.4.8,
2.4.9.
Используя утверждение 2.4.10, нетрудно сформули-
ровать условия устойчивости любого типа для принци-
§ 4. МАКСИМИННЫЕ ЗАДАЧИ
127
пов оптимальности F®, F&, где
F® (т, е) = [ F$ (tn, е0,8Х, е£, 83)—84,	(т, е5, ee, 87, s8) + е9],
tn—(f,p, q, X, Y)^ M, 8gE=£®x£2x£®x£2x£®,
а ® принимает значения фи©.
Приведем условия внутренней Д-устойчивости сверху.
Рассмотрим согласования
В®д (т, в) =
= {(а, 6) е Е х	13 б' > 6: а3 + Р* (р, X) > 6', 6 > Д,
o^ + Q®** (р, q, X, Y, авН-2д', а8 + д')	д', а4	84—д',
Oj 8в—д', е0 + 2 д' < а0 < а5 < 8Ь—2 д',
8х + 2д' < ах < а6 ев—2 д', 8, +д' ^а7^а2^ 82—д',
е3 + д'< а3 < ocg < е8—д'},
В©Д (пг, 8) =
= {(а, д)е£ + £+|Зд'>д : а3 + Р* (р, X) > д', д> Д,
0^ + Q®** (р, q, X, Y, а8—26', а8-|-д')	д', а4	84—д',
а» < е»—S'. е5+ 2д'	а6 < а0 < 80—2 д',
884-2д' + а8 ах < ех—26', е7 + д' а7 =С аа =С —S',
83+ S' < а3 < а8 <е8—д').
Нетрудно видеть, что
dom (В®д, Ё) = {/, р, q, X, Y, е|Э б'> Д:е8 +Р* (р, X) > 2д,
8г + С®**(р, q, X, Y, 8х4-4д', 83 + 2 д') > 2 Д, s4 > Д, s9> Д,
е0 + 4 Д<85, 8Х + 4Д <88,87 + 2 Д<82,83 + 2д<е8},
dom (В®д,£) =
= {/, р, q, X, Y, 8|3 д' > Д : % + Р* (р, X) > 2 Д,
82 + Q®**(p,<7, X, Y, е1—4д',83 + 2д')>2Д,84>Д,ев>Д,
е5 + 4д'<е0, 8в + 4д'<81, 87 + 2 Д<е2,83 + 2 Д<s8).
Утверждение 2.4.11. Для ®, принимающего зна-
чения ф и ©, принцип оптимальности F® внутренне
^-устойчив сверху на dom(B®A, £) при согласова-
нии
Доказательство следует из утверждения 2.4.10
и монотонности F®0 по параметрам.
128	ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Отметим, что условия устойчивости для F®, F® име-
ют весьма простой вид, за исключением условий с ис-
пользованием функций Р*, Q®**, QO**. Но легко видеть,
что последние условия являются обобщением условия
Слейтера и существенно ослаблены быть не могут.
§ 5. Устойчивость многокритериальных
задач оптимизации
Напомним, что множеством полуэффективных точек
5%(Ю для множества VczP71 называется с-ядро (мно-
жество недоминируемых точек) отношения частичного
порядка > (где u>v<=>tii>Vi, f=l, и), то есть
(Ю = (v У|если и > v, то и V}.
Хорошо известно (см., например, [71]), что принцип
оптимальности, соответствующий множеству полуэффек-
тивных точек и заданный в виде Oe^o(V), вообще гово-
ря, не является устойчивым.
Прежде чем рассматривать другие варианты опре-
деления принципа оптимальности в этой задаче, обоб-
щим ее постановку.
Обычно задание множества VczEn означает, что точ-
ки v^V рассматриваются как достижимые точки, а
ve=V— как недостижимые. На практике столь катего-
ричное разделение точек на достижимые и недостижи-
мые не всегда естественно. Поэтому представляется ин-
тересным рассмотреть случай, когда задано понятие
8-достижимости. Итак, пусть принцип оптимальности
(V, <?), где V: М Х^->^(РП) задает (понятие 8-дости-
жимости, то есть множество V(m, е) понимается как
множество 8-достижимых точек. Будем предполагать,
что на М задана псевдометрика ц, множество стратегий
для модели т равно Еп, а интерпретация является тож-
дественным отображением.
Принцип оптимальности соответствующий множе-
ству полуэффективных точек, определяется на том же
множестве моделей М и с тем же множеством страте-
гий Еп. Положим для е^&2ХЕп
& (т, в) = {v е V (т, 8х)|если и > u4-s3, то и е V (tn, s2)}.
Введем функции
d(n)= min ui9 p(m,\v)= sup d(u—v),
§ 5. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
129
Тогда е) можно представить в виде
& (т9 е) = {и G V (т, 8г)|р (т9 82, 83 + v) 0}.
С содержательной точки зрения задача состоит в
изучении поведения множества полуэффективных точек
при малых возмущениях исходного множества. Но по-
скольку в данной постановке исходное множество за-
дается с помощью принципа оптимальности (V, Й’), то
естественно предполагать, что (V, устойчив в нуж-
ном нам смысле. Поэтому в дальнейшем будем без до-
полнительных оговорок пользоваться устойчивостью
(V, <F), так как с содержательной точки зрения это
предположение не является ограничительным.
Как и в § 2.3, обозначим
р+ (т, 8, v, 8)= sup р (k9 8, и);
(т)
р- (т, е, v, 6) = inf р (k, е, »).
(т)
Очевидно, справедливы оценки
р+ (т, е, и, 6) = sup	d (и—v—е2), е s 8 хЕп, (2.5.1)
неех V (m,elt6)
р- (т, е, v, &)^ sup	d(u—v—е2), eE^Xf", (2.5.2)
uein V
ex & (tn, e, 6) cz
c (tiEexV (tn, en 6)|p~ (tn, e2, e3 + v, 6)	0}, (2.5.3)
in & (m, e, 6) =>
□ {oEin/ (tn, en 6)|p+ (tn, e2, 83-}-t>, 6)	0). (2.5.4)
Для оценки множества dom(^, ^2X£n) введем функцию
p* (tn, e) = inf sup d (u—v—e3).
veV(m.ei) ueV(m,e2)
Тогда справедливо включение
dom (5°, g2 x En) =>
zo {tn, e|p* (tn, e) < 0, (tn, s dom (V, 8), i = 1, 2}. (2.5.5)
Используя устойчивость V и оценки (2.5.1) — (2.5.5), не-
трудно сформулировать утверждения об устойчивости
любого типа для di. Остановимся для примера только
5 Д. А. Молодцов
130
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
на внутренней устойчивости сверху и снизу. Введем сог-
ласования
Л*(/П,8) =
= {(а, 6) е 8* X Еп х ЕуКар 6) е con Ш* [V, 8] (т, 8J,
(а2, 6) GE con ED* [V, %] (tn, е2), р*+ (tn, а, 6) < 0, а3 е3),
4Д (т, 8) =
= {(а, 6) е й2 х Еп х ЕуЦах, 6) е con ID* [V, 8] (т, 81),
(а2, S) е con EU* [V, 8] (т, гг), р* (т, а) < 0, а8 е3).
Утверждение 2.5.1. Для (L, Z) = (U, и), (D, d)
выполнено
(&, 8* X Еп) е ISL* [dom (Л*, ё2 х Еп), Л*]
Для примера рассмотрим один конкретный вариант
задания принципа оптимальности V. Пусть Af=®l(£n),
а р,=Нг, то есть р, — псевдометрика Хаусдорфа, порож-
денная метрикой г, где r(u, v)= maxlu,—vJ. Поло-
жим ^> = Е1+ и V (т, е)‘=Оет.
Утверждение 2.5.2. Для любых tn, k<=$R(En) и
и, v^En выполнено:
1)	р (т, e,,v)=p (tn, 0, u) + e.
2)	IP (т> 8» —Р (£, е> u)l^ Hr (tn, k).
3)	|р (tn, e, v)—p (tn, 8, t/)|^ r (u, v).
Доказательство. Из равенства
™t — »i = (Pi—ut) + (Ut—Vi)
следует
min (wi—min (wt—ui)+ max (щ—vt),
l^i^n	\^i^n
min (wt—v})	min (иг—y4)4- max (wt— U{).
l<i<n	Isjisgn
Отсюда получаем
Id (w—v)—d (w—u)|< r (u, v),	(2.5.6)
Id (w—u)—d (u—v)| r (w, u).	(2.5.7)
Для любой точки u^Oem существует точка w^m та-
§ 5. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	131
кая, что г (и, w)<e.. Поэтому d(u—v)<d(w—у) 4-е. От-
сюда
р(т,Е, у) = sup d (u—y)^supd(o>—y)4-e =
ugOe m	w^m
= p (tn, 0, y)4-e.
Заметим, что для 0=Ca<8 выполнено m + ae„czOe/n,
Поэтому
p (m, 8, v) sup	d (u—v) = p (tn, 0, u) + a.
uEtn^a.en
Поскольку a может быть любым меньшим е, то пункт 1
доказан.
Нетрудно видеть, что
р (т, 8, и)—р (k, e,v) = p (tn, 0, v)—р (k, 0, и) =
= sup inf[d(«—v)—d(w—v)].
u&n w&k
Учитывая (2.5.7), получаем
p (m, 8, u)—p (k, 8, v)	sup inf r (u, w) Hr (tn, k).
u^m wek
Для доказательства пункта 2 осталось поменять места-
ми т и k. Из (2.5.6) следует, что
d (w—v) d (w—u) + r(u, у).
Взяв верхнюю грань no w^m, получаем
р (т, 0, и) р (т, 0, ы)4-г (и, v).
Осталось применить пункт 1 и поменять местами и и у.

Из утверждения 2.5.2 непосредственно следует:
р+ (т, 8, v, 6) р (т, 8, v) -j- 6,	(2.5.8)
р~ (т, 8, v, 6) >= р (т, 8, у)—6.	(2.5.9)
Отметим, что Hr(m, /n4-Sen)^6, Нг(т,т—6еп)^6 и
р (т + 6 еп, е, у) = р (т, 8, у) 4- 6;
р (т—6еп, е, и) — р (tn, е, v) — 6.
Сопоставляя с (2.5.8), (2.5.9), получаем
р+ (tn, е, v, 6) = р (т, 0, и) + е + 6,
p~(tn, е, v, 6)= р (т, 0, v) 4-е — 6.
Для рассматриваемого случая оценки (2.5.3), (2.5.4)
5*
132
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
принимают вид
ех (пг, е, 8) с & (т, ех 4-S, е2, 83 4-6еп),
in & (т, е, 6) о & (т, ег—6, е2, е3—6еп).
Посмотрим теперь, какой вид примет функция р*. Ис-
пользуя утверждение 2.5.2, легко показать, что
р* (пг, ех, е2, е3) = р* (т, 0, 0, е3) + е2—ех, (2.5.10)
— шах езг р* (т, 0, 0, 83)—р* (т, 0, 0, 0)	— min e3t.
IsUsJn	l=SisSn
(2.5.11
Утверждение 2.5.3. Для любого m^SR(En) \0
выполнено
*/ о n n\ (°> есЛи m*<Z + oo,
р* (т, 0, 0, 0) = 1
(4-оо, если /п*= + оо,
где т*= sup min
ы=т l^i^n
Доказательство. Очевидно, d(и—v)min'Uj —
l<i<n
— max Vj. Отсюда
l^i^n
p* (m, 0, 0, 0) = inf sup d(u—v)^ inf (tn*— max vt).
v&n u<=m	v&n
Если m*= + oo, to p*(tn, 0, 0, 0) = 4-oo.
Заметим, что p*(m, 0, 0, 0)^0. Из определения p*
имеем, что для любого иет и а>0 существует
и (и, а)^т такой, что
min (Uf (v, а)—uf)	р* (пг, 0, 0, 0)—а.
lCis&>
Отсюда Ut(v, a)^Vi+p*(т, 0, 0, 0)—а для i=l, ..., п и,
следовательно, m*^d(u(v, а)) ^d(v) +р*(т, 0, 0, 0)—а.
Из произвольности v^m и а>0 получаем	+
+р*(т, 0, 0, 0) или р*(т, 0, 0, 0)^0. 
Из утверждения 2.5.3 и (2.5.10), (2.5.11) для т*<
< + оо следует оценка
ег—ei—тахъзг^р*(т, ei, 82, 83)^82—81—min ъц.
Отсюда получаем оценку для dom(£?, Е2+х£п):
dom (<^, х Еп) гэ
=5	т* <4-оо, в2 < p.j4-d (е3)}.
§ 5. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
133
Теперь утверждение об устойчивости Ф примет более
простой вид. Введем согласование
Ад (/и, е) = {(а, 6) GE Е2+ х Еп х	—б, а2 ^е2 + б,
а3 е3, а2 < ах + d (а3), § > Ь., т-=£0, пг* < + <х>}.
Нетрудно видеть, что
dom (АА, Е2^ х f") =
= {т, е]т =/=0, /и*<-|-оо, е2 + 2 Д < ej-f-d (е3)}.
В рассматриваемом случае утверждение 2.5.1 принимает
вид:
Утверждение 2.5.4. Для L = U, D выполнено
(^, Е2_ х Еп) е ISLA [dom (Ад, Е2+ х Еп), Ад].
Итак, мы изучили устойчивость принципа оптималь-
ности д>< связанного с нахождением полуэффективных
точек множества V (т, е). Часто множество е-достижи-
мых точек V(m, е) задано не непосредственно, а в ви-
де образа некоторого множества N (т, е,)аХ при отоб-
ражении с помощью функции f(m, е, х), ^Ф(МХ^,
Еп). В этом случае V(m, e)—f(tn, е, N(т, в)). Для по-
строения принципа оптимальности, соответствующего
задаче поиска прообразов полуэффективных точек
f(m, е, N (т, е)), можно использовать конструкцию, ана-
логичную принципу оптимальности Ф. Например, мож-
но рассмотреть принцип оптимальности (arg^F, 82ХЕп'),
где
arg s)={rE^ (m, ех)| если / (т, е2, у) >
> f (т, 8Х, х) + е3, то у ё N (т, е2)}.
Естественно в этом случае множество стратегий для
модели т считать равным X.
Аналогично предыдущему, arg^1 можно представить
в виде
arg Ф (пг, в) =
= (xG A(m, 8j)| sup d(f (пг,е2, у)—f (tn, &ltx)—83)^0).
y^N (m,e2)
С содержательной точки зрения нас интересует устой-
чивость arg^ при малых колебаниях множества N и
функционала f. Поэтому естественно считать принцип
оптимальности и функционал f удовлетворяющими
соответствующим условиям устойчивости. Используя
134
Гл. 2 исследование устойчивости
устойчивость N и f, можно аналогично исследованию
устойчивости Ф, исследовать и устойчивость arg^*. При-
водить соответствующие утверждения не будем.
Перейдем к исследованию устойчивости множества
точек, оптимальных по Парето. Пусть принцип опти-
мальности (V, S), где V: Мх^-^ЦЕ”), задает поня*
тие 8-достижимости. Все предположения относительно
V такие же, как при изучении полуэффективных точек.
В качестве принципа оптимальности, соответствующе-
го множеству точек, оптимальных по Парето, рассмот-
рим (^,^2хД2п),
31 (т, е) = {о Е V (m, 84)| если и Е V (т, s2) и и	v—г3,
то t>4-e4}.
Принцип оптимальности 31 является обобщением прин-
ципа оптимальности ^2, введенного в § 1.2.
Введем обозначения
D (т, 8, о) = {u е V (tn, 8j|d (и—v + е2) > 0), 8 е 8хЕ",
nt(m,e.,v) = sup ut—vit i	eE^xf",
UGD(m,8,o)
случай, когда D(m, 8, v)=0 не исключается, тогда счи-
таем щ=—оо. Отметим некоторые очевидные свойства
введенных объектов.
Утверждение 2.5.5.
1.	Пусть u^v; тогда D(m, е, и) с: D(m, е, и).
2.	Пусть	тогда	D{m,zx,e,'rv).
3.	Пусть u^v; тогда п(т,е, и) л (т, 8, и).
4.	Пусть 82^8'2; тогда л (/п,	е2, о) л (tn, elt е', и).
5.	л(/л, е, v—а) = п(т, 8^8^4-а, о)-|-а.
6.	31 (т, е) = {оЕ V(т, 8j)|n (т, е2, е3,и) ^е4).
7.	Пусть ез^е'з! тогда 31 (m, et, е2, е3, s4) <=
<= 31 (пг, 8пе2,83, е4).
8.	Пусть 84^8'4; тогда 3b (/n, Sj, е2, е3, е4) гэ
=> 31 (ШуЪу, е2, е3, е')
9.	Пусть v—e,2^V(m,	тогда л (/п,8П 82, o)-|-82Z>0.
Для исследования устойчивости 31 нужно получить
оценки для ехЗ«, in37 и dom (3?, S^XE^. Обозначим
Л+= (л+1, ... , л+п), Л~= (л“1, ... , л~п).
§ 5 МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
135
Утверждение 2.5.6.
1.	ех£>(т, 8, v, б) = (uEex V (т, 8j, 6)|d (и—о-|-82):> 0}.
2.	in D (пг, 8, v, 6) = {и s in V (т, е4, 6)|d (и — о+е2) > 0).
3.	л+ (т, 8, v, 6) =	sup	Ui—Vf.
utEex D (m,e,v, 6)
4.	л~ {пг, e, и, 6)	sup	Uj—vL.
MGin D {tn, e, v, 6)
5.	in 31 (m, 8, 6) zd
□ {ueinV (m, 8P б)|л+(т, e2, e3, v, 6)	e4}.
6.	ex л (tn, 8,6) cz:
c: {fe ex V (m, 8P 6)|л~ (tn, e2, e3, v, 6)^ e4}.
Доказательство элементарно.
Обозначим для е^&2ХЕ2п
л* (tn, 8)= inf max [лг- (tn, 82, е3, v)—84J.
rsVCm.ej)
Очевидно, справедливо включение
dom (31, % 2 х E2n)-r> {т, s|(m, е4) <= dom (У, %), п*(т, е)<0}.
Как и при исследовании множества полуэффектив-
ных точек, при формулировке утверждений об устойчи-
вости 9б будем предполагать, что принцип оптимально-
сти V является устойчивым в нужном смысле. С содер-
жательной точки зрения это не является существен-
ным ограничением.
Рассмотрим согласования
(т, s) = {(а, б) е <?2 хЕ2п х Е^Цар 8) е
е con Юд [V, %] (т, 8]), (а2, 6) е con EDA [V7, %] (tn, 82),
а3 83, а4 к4, л*+ (т, а, б) < 0),
Вд (т, 8) =
— {(а, б) е <^2 х Е2п х Е^|(а1,б) е con Юд [V,	(т, е-,),
(а2, б) <= con Е11д (V,	(т, е2), а383, а4 е4, л* (пг, а) <0}.
Утверждение 2.5.7. Для (L, Z) = (U, u), (D, d)
выполнено (31, х Е2п) <= ISLA [dom (Вд, х Е2"), Вд]
Конкретизируем результаты для случая Л4 = ®(ЕП),
р = Яг, <F=E*® и V(т,е) —Ое т при е>0 и V(т,0) =т.
136	ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Утверждение 2.5.8. Справедливы оценки:
1.	ex V (пг, 8, 6) = V (пг, е -|- 6) = 08+а пг.
2.	in V (пг, е, 6) о V (tn, 8—б) = 08_б пг при е>б.
3.	ex D (пг, ех, е2, о, 6) = D (т, ех -]-б, е2, и).
4.	in D(m, е1( в2, v, б) => D(tn, ех—б, е2,р)	при e,>6.
5.	л+ (пг, 8Х, е2, v, б)= л (пг, 8Х -f-б, е2, и).
6.	л- (т, еп 82, и, б)	л (т, 8Х—б, е2,и)	при 8i>6.
7.	ех31(т,	s2,83, 84, б) az 31 (т, 8Х -}-б, е2—б, е3,84)
При 82 >б.
8.	in 31 (т, ех, 82, 83,84, б) => 31 (т, ех—б, 82 + б, 83, е4)
При 81 >б.
Доказательство элементарно.
Утверждение 2.5.9. Пусть а<ег, тогда:
1)	л (пг, 81, е2, и) < л (т, 0,
2)	л (т, 81, е2, и)	л (т, 0, е2-|-аеп, о) + а.
Доказательство. Пусть u^D(m, ei, 82, v), то
есть u^Or,tm, u~^v—82. Тогда существует w^m такое,
что г (и, о») <8ь Отсюда w>u—eien^v—ег—ъеп- Сле-
довательно, выполнено w^D(m, 0, ег+в^п, о), а зна-
чит, D(m, 81, ег, v) czOei D(m, 0, вг+в^п, v). Поэтому
имеем
л, (пг, 8Х, 82, о) =
- sup Ut —	sup	щ—ог =
wGD(m,e! ,e2,v)	ueOgiD(m, 0,e2+ei?n ,v)
= лг (tn, 0, ва+в^п, u) + e1.
Для a<8i выполнено m + aertczO81/п. Следовательно,
(tn, 81,'‘e2, v) sup	и,—vt=	sup a»,—vt + a,=
u(Eim4-aen	wejn
u^v--£2	w^i)—E2—(xen
= Ki (m, 0, 82 + aen, v) +a.
Нетрудно показать справедливость утверждения и для
случая D (т, 8Х, е2, о) = 0. 
Используя утверждение 2.5.9, можно из оценок 7, 8
утверждения 2.5.8 получить следующие оценки:
ex 3i (пг, е, б) cz
cz 31 (пг, 8, 4-6, 0, 83 + (es—б') еп, 84—(е2—б') еп), б' >б,
(2.5.12)
§ 5. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
137
in 3b (т, 8, 6) о Jb (т, ех—б, 0, s3 + (s2 + б) еп,
е4—(е2 + 6) еп), 8Х > б, (2.5.13)
3b (tn, ev 0, 83 4- а еп, е4—а еп) о 3b (т, в), а < е2,
3b (tn, е) => 31 (т, 8V 0, 834-е2 еп, е4—в2 еп). (2.5.14)
Для удобства использования функции я* получим
для нее оценки. Используя утверждения 2.5.5 и 2.5.9, не-
трудно получить оценку сверху
л* (т, в) < л* (т, 0, 0, (е2—8Х) еп 4-s3, 0)—d (е4) -|-ег—е4 .
Пусть теперь v6&Oeim и удовлетворяет неравенству
max [лг (т, е2, 83> Vе)—е4г]—б < л* (т, е).
1 i^n
Существует точка w^m такая, что г (о®, а>)<81, отку-
да ae<a>+eien. Используя пункты 3, 5 утверждения
2.5.5, получаем
л* (т, в) max [лг (т, s2, е3, о’4-81еп)—e4j] —б =
= max [лг (tn, е2, s3—^e^w)—s4i]—8г—б.
Пусть a<82; тогда из утверждения 2.5.9 следует
л* (т, е)
max тг{ (m, 0, е3 + (а—8j)en,a»)— max 84J-f-a—ех—б>
1 i^n	1
л* (/n, 0, 0, е3 + (а—8j)en, 0)— max e4f4-a—ех—б.
Учитывая произвольность б>0, получаем оценку снизу
л* (т, в)
>л*(/и,0,0,83-|-(а—ех)еп,0)— max e4i + a—e1,a<e2
Свойства функции я*(т, 0, 0, 0, 0) существенно зави-
сят от множества т.
Утверждение 2.5.10. Пусть функция <Х, и>+
+vrf(u) ограничена сверху на т и k^En+, vJ>0. Тогда
л* (т, 0,0, а, 0) ^7 [v max аг + (а,.., , (X)-1 — d (а)
ligissn	К) 1 а
<Ца||-С (%, v),
где || ы]|= max |u«|, С (К, v) = (v4-/i||X||)d(X)~l+l.
136
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Доказательство. Из ограниченности функции
<Х, w>+vd(«) на т следует, что для любого 6>0 суще-
ствует такая, что для любых и^т выполнено
(X, и) + v d (и)	(%, v6) + v d (ое) + 6.
Пусть u^v6—а. Тогда vd(u)^vd(v6)—v max ai, по-
этому
(X, и) +v d (о6) — v max at (X, o6) 4~vd (i?) + 6.
l^l^n
Отсюда получаем
(X, и—v6 + a)	v max аг 4- (X, а) 4-6.
1
Заметим, что
(X, и—xfi + а)^ d (X)• max (ut—о? + аг),
поэтому
d (X)- max (щ— оеЧ-аг)	v max аг4- (X, а) 4-6.
Отсюда
max (щ — lA) d (X)-1 • [v max аг4- (X, a) +6]—d (a).
Поскольку и — любая точка, удовлетворяющая услови-
ям uem и «:>ое—а, то
л* (т, 0, 0, а, 0) sup max (м,—де)
UE=tn
d (Х)-> [v max af4- (X, а) +6]—d (ан
Осталось заметить, что б>0 произвольно. 
Рассмотрим иллюстративный пример. Пусть п — 2 и
пг =	> 0, и2 =—minl^, иу1}} U
U {«е£2|н2 > 0, иг=—min {и2, w^1}} U(0,0).
Элементарные вычисления дают
(— оо, —оо), если	и# а,
— v, если и —а,
зт (т, 0, a, v) —
(4-00, —о2),
(—fi, 4-0°).
(4-°°. 4-0°),
если
если
если
v2 < а2 >
V1 < «1,
и< а.
vr >
V2 > «2»
§ 5. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	139
Отсюда получаем
л*(т, 0, 0, а, 0) — inf max лг- (т, 0, а, и) =
DEm t=l, 2
’ — оо, если v а, v # а,
— inf —d(v), если и=а,	=
v^m	в остальиых случаях
— оо, если «!<0 или а2<0,
=	0, если а = 0,
+ оо, если а ^>0, а 0.
Если не выполнено условие а+р^О, то имеем
31 (т, 0, 0, а, Р) = {иет|и > а, v # а}.
При а+р^О имеем
(т, 0, 0, а, р) = {ие/п|и>а}.
Отсюда видно, что при а, Р<=£2ф выполнено
z- / л л ах	если .а = 0,
(т, 0, 0, а, Р) == {
10, если а / 0.
Если хотя бы одна компонента а отрицательна, то
3Z (tn, 0, 0, а, Р) 0.
При формулировке утверждения об устойчивости 31
в рассматриваемом случае можно использовать оцен-
ки 7, 8 из утверждения 2.5.8 либо оценки (2.5.12) —
(2.5.14). Остановимся на первой группе оценок.
Утверждение 2.5.11. Пусть функция <Х, а>+
+vrf(w) ограничена сверху на множестве пг, К^Еп+,
v^O и выполнены условия ai+S^ei, аг—б^8г, аз^е3,
«4^84, «1^0, 8г^0, 6>А, т^0,
v max а3/+(а2—+ v) + <X,a3)<d(X)[d(a4) + d(a3)]
Тогда:
1)*(а,б) е con Шл [31. Е^ х Е2п] (tn. е).
2) (а, 6) е con ГОД [31. Е2^ х Е2'1] (т. г).
Доказательство сводится кч проверке условий
устойчивости с помощью утверждений 2.5.5, 2.5.8, 2.5.10.
Заметим, что для того, чтобы существовали (а, б),
Требуемые в условиях утверждения 2.5.11, достаточно е
выбрать удовлетворяющим условиям ei>A, ег^О,
. <||е,(| + еа—е1 + 2Д)	+ +|Г»3||«1 (»<).
140
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Исследуем теперь устойчивость лексикографическо-
го максимума [56, 61]. Множество моделей положим
равным М=^(Еп), псевдометрику \ь = Нг, r(u, v) =
— max \щ—Oil, а множество е-достижимых точек для
1
модели т<^Еп будем считать равным Оет, ъ^Е1+. Обо-
значим
/i(m, а0)= sup «р
цеОа„т
Lx (tn, a0, a1, Po) = {« e	+ lj (tn, ₽0)},
It (tn, a0, a1'-1, po, pz~2)=	sup	uit
3o.pI—2)
(tn, a0, a‘, p0, p‘~’) = {« (=	(tn, a0, a1’-', po, p'~2)|ut +
+ a; > h (tn, p0, p>-’, a0, a/-2)},
a/=(«i,... , a;), p/ = (pn ... ,p>), i = 2, ..., n; j=l, ... , n.
В качестве принципа оптимальности, соответствую-
щего задаче на лексикографический максимум, рассмот-
рим (Ln, £®2n+1), который является аналогом принципа
оптимальности tn из § 1.2 и может рассматриваться как
обобощение метода уступок [14].
Следующее утверждение устанавливает монотонность
и Li по соответствующим аргументам.
Утверждение 2.5.12. Пусть ао^бо, а"^6”, Ро>=
^уо, Рп~,^уп~1, i=l,..., п. Тогда:
1)	1( (tn, а0, а1’-1, р0, р‘-2) > Ц (tn, 60,]6‘-J, р0, Р‘-2).
2)	lt (tn, а0, а'-1, Ро, Р‘-2) < It (tn, а0, al~l, у0,~у‘~2).
3)	Li (tn, аа, а', р9, Р‘~‘) о Lt (tn, 60, &, р0, Р‘~>).
4)	Li (т, а0, а1, р0, pf->) <= Lt (т, а0, а*', у0, у'"1).
Доказательство легко проводится индукцией
по i. 	. ___
Утверждение 2.5.13. Для i— 1,..., п справедли-
вы оценки:
1)	Z+(m, а0, а1’-1, ро, Р‘-2-6)<
lt (т, а04-6, а'-1, Ро—6, Р'~2), аи > 0, ро > S.
2)	/- (т, а0, а‘-', ро, Р‘~2, 6) >
> li (tn, а0-б, a>-i, р0 + 6, Р‘-2). ао > б, Ро > 0.
§ 5, МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
141
3)	ех Ц (т, а0, а£, 0О, 0£->, 6) <=
<= Ц (tn, а0 + 6, а£, 0О—6, 0£-'), а0 > 0, р0 > 6.
4)	in L( (tn, а0, а£, 0О, 0£~», 6) =>
Lt (т, а0—6, а£, 0о4-6, 0£-'), а0> 6, 0О > 0.
Доказательство проведем индукцией по I. Для
/=1 справедливость пунктов 1 — 4 следует из включе-
ний Оа0-в/п<=Оао kczOaa+6 т, k^M6(m). Пусть теперь
утверждение доказано для /=!,..., /. Тогда
^1 (т, а0, а/, 0О, 0/-', 6)	sup	«у+1
ueex Z.y(m,«0,а/,р0,р/—1,6)
sup и)+1 = lJ+1(tn, а0 + 6, а/, 0О—6,0/->).
, а0+б, а /, ₽0—6, р/—1)
Аналогично получаем оценку
fa (т, а0, а/, 0О,0'-1,6) > lj+1 (т, а0—6, а', 0О + 6, ₽/->).
Теперь имеем
ex L}+1 (tn, а0, а'+', 0О, 0/, 6) <=.
с {ц Е ex L} (т, а0, а', 0О, 0/-1, 6)|
«>+i+a;+i > l^+i (т> Р” Pz’ а/“1> ЭД С
<= {U е L} (tn, a0 + S, а/. 0О—6,	+
> /,+1 (т, Ро—6, 0/, ав4-6, «/-!)} =
= LJ+1 (т, а0 + 6, ai+l, 0О—6, 0/).
Оценка для in L3+i доказывается аналогично. 
Укажем теперь условия, гарантирующие непустоту
Lh. Будем называть множество т^М /-ограниченным,
если для любого k=\,..., п и любых а, Ь^Еп, а^Ь,
выполнено
sup uk<i + oa.
u^m, z=l...fe—1
Утверждение 2.5.14. Если tn — непустое, l-огра-
ниченное подмножество Еп и для /=1,..., п выполнено
lt (tn, а0, а'-*, 0О, 0£~2) + аг > lt (tn, 0О, 0‘-*, а0> а‘~2)>
/по Lk (m, а0, а*, 0О, 0*-1)	0 для k=\, ... ,п.
Доказательство легко проводится индукцией
по k,
142	ГЛ. 2 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Отметим, что если т — .непустое, /-ограниченное
подмножество Еп и ао^Ро, aft-1>pft-1, aft>0, то Lk(m,
ао, ак, ро, pft_1)=?&0. Это следует из утверждения 2.5.12.
При формулировке утверждения о внутренней устойчи-
вости Ln будем использовать последнее, более простое
условие, гарантирующее непустоту Ln.
Введем согласование
В*-» (т, а0, а", ро, Р"”1 ) =
= {а0, а", р0, Р"-1 , б, у|б > X, у > v,
8 + ? + Ро «о а0—б—у,
Ро > О» Р"-1	Р”-1	а'1-1	, ап >а„, а">0}
и множество
DBk'y = [т> ао> ап,	рп-1 |т у=0, т —/-ограничено,
0 < Ро < ао~2 (А-Ч-v), Р'’-1 < а"-1, ап > 0}.
Утверждение 2.5.15. (Ln, £®2n+1)eISx'v[DBx*v,
ВЛ, v]
Нетрудно видеть, что для Ln согласование Вк>у име-
ет весьма простой вид, и поэтому использование Ln
удобнее, чем Lex.
В заключение параграфа отметим широко распро-
страненный метод решения многокритериальных задач
с помощью сверток. Напомним, что идея этого метода
состоит в следующем. Вводят некоторую функцию F:
Еп'Х&-+Е1, называемую сверткой, и рассматривают за-
дачу максимизации F(u, в) при иет. Показывается,
что при соответствующем выборе F и е решение зада-
чи максимизации аппроксимирует в определенном смы-
сле полуэффективные, паретовские или лексикографиче-
ские решения.
Для описания этого метода с помощью принятого
здесь языка нужно выбрать принцип оптимальности в
задаче максимизации. После этого приходим к задаче,,
рассмотренной в § 2.3, поэтому исследование устойчи-
вости метода сверток сводится к уже изученному классу
задач математического программирования.
ГЛАВА 3
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Важнейшими прикладными свойствами различных
понятий устойчивости принципов оптимальности явля-
ются: во-первых, то, что решение задач частного и пол-
ного выбора с устойчивыми принципами оптимальности
можно получить по приближенной информации и, во-вто-
рых, то, что решения задач частного и полного выбора
с устойчивыми принципами оптимальности являются так-
же решениями соответствующих задач для близких мо-
делей. Эти свойства в принципе позволяют применять
численные методы к решению задач и пренебрегать
небольшими ошибками в исходной информации. Все эти
вопросы подробно рассматривались в главе 1.
Однако неустойчивые принципы оптимальности до-
статочно широко распространены как в разделах мате-
матики прикладного характера, так и в областях чи-
стой математики. Примеры таких принципов оптималь-
ности можно найти, например, в [29, 38, 71, 74], а так-
же в главе 2. Отсутствие устойчивости у принципа
оптимальности существенно затрудняет как само обос-
нование его выбора в качестве приемлемого описания
действительности, так и возможность применения чис-
ленных методов решения к задачам частного и полного
выбора с его участием.
Одно время в математической литературе высказы-
валось мнение, что неустойчивые задачи не могут слу-
жить удовлетворительным описанием действительно-
сти, но широкое распространение неустойчивых задач,
прежде всего в прикладных науках, требовало другого
решения этой проблемы.
Фундаментальное значение для теории некорректных
задач имело введение А. Н. Тихоновым понятия регу-
ляризующего оператора и разработка методов регуля-
ризации. Основную идею метода регуляризации, состо-
ящую в замене неустойчивой задачи другой задачей,
используем и здесь. Однако специфика развиваемой те-
ории, в частности специфика определений устойчивости
144 ГЛ. 3." РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
принципов оптимальности, требует и соответствующих
понятий регуляризации. Введению различных понятий
регуляризации, обсуждению их практической пользы и
исследованию их свойств и посвящается эта глава.
§ 1. Сравнение принципов оптимальности
Обычно формализованная постановка содержатель-
ной задачи возможна не единственным способом. Осо-
бенно ярко это видно на примере различных задач ис-
следования операций, где определение целей участников
операции во многом зависит от субъективных факторов.
Расширение понятия «принцип оптимальности», данное
в главе 1, приводит к еще большим возможностям и ва-
риантам выбора принципа оптимальности. Естественно
возникает вопрос: нельзя ли ввести какое-то отношение
на множестве принципов оптимальности, позволяющее
заменять один из них другим в определенных ситуа-
циях?
Будем строить такие отношения сравнения на базе
теоретико-множественного включения для множеств. Как
уже отмечалось, включение можно рассматривать как
отношение аппроксимации. Так, если СсВ, то можно
считать, что С внутренне аппроксимирует В, а В внеш-
не аппроксимирует С.
Пусть (7?,	(Р,	—принципы оптимальности,
заданные на множестве моделей М, множество страте-
гий для модели т^М есть S(tn), A:
N<=MX&.
Определение 3.1.1. (Р, внутренне аппрокси-
мирует (R, &) на N при согласовании А, если для лю-
бых (m, е) выполнено'.
1. А(т, е)=/=0.
2. V а^А(т, е) выполнено 0=£Р(т, а)с^Р(т, е).
Для обозначения внутренней аппроксимации будем
использовать запись (Р, ^")с(Р, &)[N, Д], или, если
это не приведет к недоразумениям, PcJ?[Af, Д].
Oin р е д е л е.н и е 3.1.2. (Р, внешне аппроксимиру-
ет (R, на N при согласовавании А, если для любых
(т, е)еЛ' выполнено-.
1.	А (пг, е) ^0.
•- 2. V а&4(т, е ) выполнено R(m,g,)czP(m,a):?l=S(m).
Обозначение: (Р, ^")гэ(Р,	[N, Д], или РгэР[АГ,Д].
§ 1 СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
145
Между внутренней и внешней аппроксимацией суще-
ствует очевидная связь. Если (R, S')a^(P, &~) [N, Л],
то (R, <?’)=>(₽, &~)[N, Л]. Напомним, что R(m, е) =
=S(m) \R(m, в).
Используя внутреннюю и внешнюю аппроксимацию,
задачи частного и полного выбора можно заменять на
соответствующие задачи с другим принципом оптималь-
ности. Действительно, пусть (Р, ^)<^(R, &)[(т, в), Л];
тогда любое решение задачи ЧВ(Р, т, а), где ае
еЛ(т, е), является решением задачи ЧВ(Р, tn, г).
Пусть теперь (Р, ^)=>(Р, S)[(m, е), Л]; тогда любое
решение задачи ПВ(Р, пг, а), где аеЛ(/п, в), является
решением задачи ПВ (р, пг, в).
В определениях 3.1.1, 3.1.2 сравнивались значения
принципов оптимальности на одной и той же модели.
Если одну или обе модели, стоящие в разных частях
включения, подвергнуть возмущениям, то придем к бо-
лее жестким понятиям сравнения. Дополнительная диф-
ференциация этих понятий, так же как и в определе-
ниях различных типов устойчивости, возникает за счет
различных выборов множеств стратегий, на которых
производится сравнение.
Пусть (Р, <§Г), (Р, £Г)— принципы оптимальности,
NczMX&, а Л:	(РХЕ1+).
Определение 3.1.3. (Р, #") называется внутрен-
не (А, и)-регуляризующим сверху (R, S) на N при со-
гласовании А, если для любых (tn, e)e/V выполнено:
1. Л (tn, г) ^0.
2. V (а, 6)еЛ (tn, е), V п е Мб (пг)выполнено Р (п, а)у=
У=0, б> А и
Q (Р (п, а), п, пг) а: Р (т, 8) для u=f,
Р (п, а) cz Q (Р (т, е), т, п) для u = v.
Обозначение: (Р, £F)eIRU^[(P, <§Г), N, Л].
Определение 3.1.4. (Р, &~) называется внут-
ренне (А, и)-регуляризующим снизу (R, S’) на N при
согласовании А, если для любых (tn, е)еУ выполнено:
1. Л (пг, е)=£ 0.
2. V(a, б)^Л(/п, е),	выполнено Р (пг, а)=£
Ф0, 6>А и
Р(пг, a)czQ(P(n, г), п, пг) для u=f,
Q(P(m, а), m, n)cz.R(n, s) для u = v.
146
ГЛ. 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Обозначение: (Р, ^“)sIRDAu[(R, S’), N, 4].
Присутствие термина «регуляризующий» в определе-
ниях 3.1.3, 3.1.4 объясняется тесными связями с поня-
тием регуляризующего оператора [74]. Напомним оп-
ределение регуляризующего оператора. Сначала введем
необходимые обозначения. Пусть (X, рх), (У, ру)—
метрические пространства, В: X-+Y. Рассматривается за-
дача решения уравнения Вх=у. Приведем определение
2 из [74, с. 55], изменив лишь некоторые обозначения.
Определение 2. Оператор Р(у, а), зависящий от
параметра а и действующий из Y в X, называется регу-
ляризующим для уравнения Вх—у (относительно эле-
мента уо), если он обладает свойствами:
1) существуют такие числа Si>0, ai>0, что опера-
тор Р(у, а) определен для всякого а, принадлежащего
промежутку (0, си), и любого y^Y, для которого рг(У,‘
Уо)<бг,
2) существует такой функционал ао=«о(У, 6), опре-
деленный на множестве Yь,= {уеУ|ру(1/, уо) =^6i}, что
для любого 8>0 найдется число 6o(e)^di такое, что
если y^Y и ру(У, Уо) ^б^бо(е), то рх(х0,	где
Вх0=у0, ах<=Р(у, ао(у, б)).
Для установления связей определения 2 с определе-
ниями 3.1.3, 3.1.4 сформулируем определение 2, исполь-
зуя язык принципов оптимальности. Для этого введем
множество моделей M=Y с метрикой ц=ру, множество
стратегий S(m)=X. Интерпретацию Q считаем тожде-
ственным отображением. С уравнением Вх=у свяжем
принцип оптимальности (R, В1+), где R(y, е)=Ох (хе
^Х)Вх=у). Регуляризующему оператору Р поставим
в соответствие принцип оптимальности (Р, &~), где ST—
=Ф(МХЕ\, £1+)Х£’+, а Р(у, а, р)=Р({/, а(у, ₽))•
Тогда свойства 1), 2) из определения 2 можно за-
писать в виде:
1) существуют Si>0, ai>0 такие, что
dom(P, Р)-=>{у, а, Р|уеЛ4в,(у0)>	Р)^(°>
2) существуют аоеФ(Мх£‘+, Е1+) и 6еФ(Е' |., (0,6i))
такие, что для любого е>0 выполнено
4(e) = {а, р, 6|0<6s^6(e), аа0, р =
§ 1. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
147
и для любых (а, р, б)еЛ(в) и любых у^М6(уо) вы-
полнено
Р(у, a, 8)czR(y0, б).
Если наложить еще условие а0(Мб1 (у0), 6i)c(0, си),
которое в [74], очевидно, предполагалось, то будет вы-
полнено Р(у, а, б)#=0. Таким образом, получаем, что
(Р, &~) является внутренне О-регуляризующим сверху
(R, £*+) на (t/oXE1^-) при согласовании А. Следова-
тельно, определение 3.1.3 не уже, чем определение 2,
а отказ от метрики и топологии для задания понятия при-
ближенных решений, отказ от стремления е, к нулю и
другие свойства предлагаемой теории позволяют сде-
лать вывод, что определение 3.1.3 обобщает определе-
ние 2.
Определения 3.1.3, 3.1.4 строились на базе отноше-
ния внутренней аппроксимации путем варьирования мо-
делей, входящих в правую или левую часть включения
Р(пг, a)cR(m, е) из определения 3.1.1. Совершенно ана-
логично строятся отношения сравнения на базе внешней
аппроксимации.
Перейдем к формальным определениям. Пусть
(Р, ST), (R, S)—принципы оптимальности, NczMxS,
а А:	(&~хЕ'+).
Определение 3.1.5. (Р, &~) называется внешне
(Д, и) -регуляризующим сверху (R, S) на N при согла-
совании А, если для любых (т, e)eN выполнено:
1. А (т, е)=£0.
2. V (а, 6)еД(т, е), V/zeA46(m) выполнено R(n, ъ)=£
=£0, 6>Д и
Q(R(n, е), п, т)сР(п, а) для u=f,
R(n, e)czQ(P (tn, a), tn, n) для u — v.
Обозначение: (P, £F)eERUAu[ (R, S'), N, Л].
Определение 3.1.6. (P, 3P) называется внешне
(Д, и)-регуляризующим снизу (R, S) на N при согласо-
вании А, если для любых (пг, е)еМ выполнено:
I. А(пг, г)=£0.
2. V(a, 6)еЛ(/?г, е), Vп^ М6(т) выполнено R(m, s)^=
У=0, 6>Д и
R(m, г)с.О.(Р(п, а), п, пг) для u = f,
_Q(R(tn, 8), пг, n)czP(n, а), для u = Vi :' .
148
ГЛ. 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Обозначение: (Р, eERD* [ (R, S), N, 4].
Следующая группа отношений сравнения получает-
ся на базе внутренней и внешней аппроксимации путем
одновременного независимого варьирования моделей в
обеих частях соответствующих включений.
Пусть В: МХ^^(^~ХЕ\) и у,
Определение 3.1.7. (Р, &~) называется внутрен-
не (%, v, и)-регуляризующим (R, S) на N при согласо-
вании В, если для любых (m, e)eN выполнено:
1. В(т, г)^0.
2. V(а, 6,	е), VneAf6(m), VkeMv(ni)
выполнено R(n, е)#:0, f>>&, у>у и
Р(п, a)czQ(R(k, в), k, п)	для u = ul,
Q(P(n, а), п, k)c=R(k, 8)	для u = v2,
Q(P(n, а), п, m)cz£i(R(k, е), k, т) для u=f.
Обозначение: (Р, ^~)eIRux’v[(R, S’), N, В].
Определение 3.1.8. (Р, &~) называется внешне
(%, v, и)-регуляризующим (R, S) на N при согласовании
В, если для любых (т, e,)^N выполнено:
1. В(т, 8)^=0.
2. V(а, 6, у)еб(т, 8), Vп^М6(т), VkGMv(m)
выполнено R(n, г)=£0, б>1, у>у и
R(n, e)czQ(P(k, а), k, п)	для u — vl,
Q (R (п, е), п, k)czP (k, а)	для и = v2,
Q(R(n, е), п, m)<=.Q(P(k, а), k, т) для u=f.
Обозначение: (Р, Sr)eERuA,'v[ (R, &), N, 5].
Нетрудно видеть, что с формальной точки зрения
все отношения регуляризации являются обобщениями
соответствующих понятий устойчивости принципов оп-
тимальности. Покажем, что и с содержательной точки
зрения понятия регуляризации дополняют соответству-
ющие понятия устойчивости. Так же, как при обсужде-
нии возможности практического применения понятий ус-
тойчивости, рассмотрим две области возможных приме-
нений.
Первая область — это численное решение задач с по-
мощью ЭВМ. Пусть задача описывается моделью т^М,
принципом оптимальности R и параметром Тре-
буется решить задачу ЧВ(Р, т, в) или ПВ(Р, т, в),
§ I. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ	149
Параметр в данной интерпретации будем называть точ-
ностью решения. Как известно, процесс численного сче-
та на ЭВМ неизбежно сопровождается различными пог-
решностями, поэтому ЭВМ фактически оперирует не с
моделью пг, а с некоторой другой моделью п, близкой
в некотором смысле к пг. Меру близости будем описы-
вать функцией ц, поэтому можно считать, что исследо-
вателю модель п точно неизвестна, а известно лишь, что
neAfj (m), и управлять можно только параметром б. Па-
раметр б описывает погрешности численного счета, и
поэтому будем его называть точностью вычислений.
Часто считается, что точность вычислений может
быть как угодно близкой к нулю. Реально, конечно, точ-
ность вычислений всегда ограничена снизу, 6>А^О,
где число А определяется особенностями применяемых
методов вычислений и конструктивными особенностями
ЭВМ. Этим обстоятельством, в частности, объясняется
введение соответствующих параметров в определения
устойчивости и регуляризации.
Итак, наличие вычислительных ошибок приводит к
тому, что для решения поставленных задач выбора {/?,
пг, в} с помощью ЭВМ для ЭВМ ставить, вообще гово-
ря, нужно уже друпие задачи. Если R устойчив в нуж-
ном смысле, то задача для ЭВМ может отличаться от
исходной лишь точностью решения, которая должна быть
согласована с точностью вычислений. Если же R неус-
тойчив, то для ЭВМ можно ставить задачу типа {Р, пг,
а}, где принцип оптимальности Р является регуляризу-
ющим R в нужном смысле, а параметр точности реше-
ния а должен быть согласован с точностью вычислений.
Для задачи частного выбора {7?, пг, а} принцип опти-
мальности Р должен быть внутренне (A,f)-регуляризу-
ющим R на (пг, е) при согласовании А. Причем для то-
го, чтобы при любом п^М6(т) решение задачи ЧВ(Р,
п, а) являлось (после применения отображения £2) ре-
шением исходной задачи ЧВ (R, т, в), достаточно вы-
полнения условия (а, б) ^А(т, е).
Для задачи полного выбора {Р, т, s} принцип оп-
тимальности Р должен быть внешне (A, f) -регуляризу-
ющим снизу R на (т, в) при согласовании А. Тогда при
выполнении условия (а, б)еЛ(/п, в) для любого яе
еМ (т) решение задачи ПВ (Р, п, а) будет (после
применения отображения £2) решением исходной зада-
чи ПВ (R, т, б) ,
150 ГЛ. 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Таким образом, можно сделать вывод, что существо-
вание регуляризующих принципов оптимальности дает
принципиальную возможность численного решения с по-
мощью ЭВМ даже неустойчивых задач.
Рассмотрим теперь этап формирования постановки
задачи. Этот этап является весьма сложным для фор-
мального описания, так как содержит много трудно фор-
мализуемых факторов и включает в себя большое чис-
ло различных проблем. Рассмотрим лишь одну из таких
проблем, а именно, каким требованиям должна удовле-
творять формальная постановка задачи, если она с до-
статочной точностью описывает действительность даже
по неточным исходным данным.
С содержательной точки зрения ответить на этот
вопрос можно следующим образом. Нужно, чтобы ре-
шение задачи являлось также решением или прибли-
женным решением и для близких задач, которые не-
различимы при данном уровне точности измерений и
наблюдений.
Формализовать эти требования можно различными
способами. Покажем, как можно применять здесь раз-
личные понятия регуляризации принципов оптимально-
сти. Опишем сначала ситуацию, когда наблюдения и из-
мерения производятся абсолютно точно. Будем считать,
что в этих условиях действительность с достаточной сте-
пенью адекватности описывается задачей частного или
полного выбора {/?, т, е}. Причем т отражает все не-
обходимые результаты наблюдений и измерений, прин-
цип оптимальности фактически определяет характе-
ристики, которые, собственно, и интересуют исследова-
теля и которые обычно непосредственно не наблюдают-
ся, а подлежат определению; параметр в можно считать
точностью вычисления тех характеристик, которые ну-
жно найти, или в можно интерпретировать как степень
адекватности полученных характеристик и описываемой
реальности.
Опишем теперь ситуацию, когда наблюдения прово-
дятся неточно. Поскольку результаты всех необходимых
наблюдений описываются моделью т, то неточности в
наблюдениях приводят к тому, что, получив в резуль-
тате наблюдений некоторую модель т, исследователь
знает, что действительности может соответствовать лю-
бая модель п<=Мй (т), где S — точность наблюдений.
Причем параметром б можно управлять в пределах б>
§ 1. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
151
>>А^0, где А характеризует предельную точность на-
блюдения в рассматриваемых условиях.
Итак, результаты измерений и наблюдений, точность
которых характеризуется параметром б, дали некоторую
модель пг. Если бы измерения были абсолютно точны,
нужно было бы решить задачу выбора {/?, пг, в}, кото-
рая соответствует действительности. Поскольку точность
реальных измерений б, то задачи {R, п, е} для пе
^М6 (т) являются неразличимыми при точности наблю-
дений, б. Поэтому, если задача {Р, т, а} описывает дей-
ствительность с учетом того, что измерения приближен-
ны, то ее решение должно быть решением и для задач
{/?, п, е} для neAfe(m). Ситуация немного осложняет-
ся тем, что множество возможных решений S(m), во-
обще говоря, зависит от модели т и при т=/=п может
быть S(/n)f|S(n) =0. Поэтому нужно уточнить, в ка-
ком смысле решение задачи {Р, т, а} является реше-
нием близких задач {Р, п, е}, пеЛ4б(/п). Естественно
использовать для этой цели интерпретацию 62. Тогда для
задач частного выбора это условие можно записать в
виде
а), пг, n)czR(n, е) для п<=М6(т),
а для задач полного выбора — в виде
й(Р(/п, а), т, n')zjR(n, г)^0 для п<=Мь(т).
Таким образом, получаем, что Р должен быть внутрен-
не (А, и)-регуляризующим снизу R на (пг, в) для зада-
чи частного выбора и Р должен быть внешне (А, о)-ре-
гуляризующим сверху R на (т, е) для задачи полного
выбора.
Итак, можно сделать вывод, что указанные отноше-
ния регуляризации являются математическим аппара-
том, удобным для описания некоторых необходимых ус-
ловий, которым должна удовлетворять задача, претен-
дующая на описание действительности.
Выше приведены примеры практического применения
для понятий регуляризации типов IRU4/, IRD4„, ERU4,-,
ERD4/, но нетрудно видеть, что в парах отношений
IRU4/—ERU4/, IRD\—ERD\, ERU\—IRU\, ERD4/—
IRD4/ принципы оптимальности P и R просто поменя-
лись ролями и соответствующие отношения отличаются
только тем, какой принцип оптимальности взят за исход-
ный. Поэтому для указанных отношений регуляризации
152
ГЛ. 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
справедливы аналогичные слова о практической приме-
нимости.
Отношения регуляризации типов IRUX,V и ERUX,V
для «=у1, v2, f не только являются формальными уси-
лениями остальных понятий регуляризации, но и обла-
сти их практического применения объединяют указан-
ные выше области численного счета и формирования по-
становки задачи. Поэтому не будем повторять для них
аналогичных рассуждений, а перейдем к исследованию
формальных свойств отношений регуляризации.
§ 2. Свойства отношений регуляризации
Этот параграф посвящен изучению формальных
свойств отношений сравнения принципов оптимальности,
введенных в § 3.1. Прежде всего нас будут интересо-
вать взаимосвязь различных понятий сравнения, свой-
ства, которые накладывают эти отношения на регуля-
ризуемые принципы оптимальности, и достаточные ус-
ловия для понятий регуляризации.
Отметим, что связи между различными понятиями
регуляризации, отличающимися только множеством стра-
тегий, на которых проводится сравнение, устанавлива-
ются аналогично соответствующим понятиям устойчиво-
сти с помощью условий Аа, Л°ш, Вм, Са. Поэтому не бу-
дем останавливаться на этом вопросе.
Также довольно очевидно, что отношения внутрен-
ней и внешней регуляризации сверху и снизу сильнее со-
ответствующих отношений внутренней и внешней апп-
роксимации. Чтобы это показать, нужно использовать
одно из условий D а, D° ю, введенных в § 1.4.
Приведем одно из утверждений указанного типа.
Формулировка остальных совершенно аналогична и не
составляет труда.
Утверждение 3.2.1. Пусть (Р, является вну-
тренне (Д, 1)-регуляризующим (iR, на N при согла-
совании А и Q удовлетворяет условию Da [L], где
L— {иеА4|Эее$:(п, e)<=N}.
Тогда (Р, У) с: (R, 8} [АГ, А], где
A(m, e)={ae.f |3 6>Д: (а, 6)«=Л(т, е)\
Вполне аналогично показывается, что понятия внут-
ренней и внешней регуляризации сильнее соответству-
§ 2. СВОЙСТВА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
153
ющих понятий внутренней и внешней регуляризации
сверху и снизу. Поэтому не будем приводить соответ-
ствующих утверждений.
Отметим, что в определениях различных понятий ре-
гуляризации включения типа
Q(P(n, а), п, m)c.R(m, е) V пе М6(т),
используемые в определении внутренней (А, ^-регуля-
ризации сверху, можно заменить на
eXfP(m, а, 8)с/?(ш, е).
Приведем замену аналогичных условий и для других
понятий регуляризации.
R(rn, e)^ExvP(m, а, 6) для внутренней (А, и)-ре-
гуляризации сверху;
Р(т, а)отШцТ?(т, е, б) для внутренней (А, ^-регу-
ляризации снизу u=f, v\
exfR(m, 8, 6)czP(m, а) для внешней (А, ^-регуля-
ризации сверху;
P(tn, a)eExc/?(rn, 8, 6) для внешней (A, v)-регуля-
ризации сверху;
R (т, в) cziriu Р (т, а, б) для внешней (А, и) -регуля-
ризации снизу U=f, V,
exfP(m, a, 6)czin//?(m, 8, у) для внутренней (X, v,
f) -регуляризации;
exfR(m, е, 6)czin/P(m, а, у) для внешней (X, v, f)-
регуляризации.
Понятия регуляризации можно рассматривать и как
обобщение понятий устойчивости. Действительно, с по-
мощью понятий регуляризации можно легко описать по-
нятия устойчивости. А именно, если (R, является ре-
гуляризующим в некотором смысле (R, на N при со-
гласовании А, то это эквивалентно условию: (R, яв-
ляется устойчивым в соответствующем смысле на N
при согласовании А. Соответствующее понятие устойчи-
вости получается заменой слова «регуляризующим» в
полном названии понятия регуляризации на слово «ус-
тойчивым». Обозначения 'соответствующих понятий от-
личаются только заменой R на 3. Доказательство этого
факта непосредственно следует из определений.
Так же, как и для соответствующих понятий устой-
чивости, можно показать, что из внутренней и внешней
регуляризации снизу и сверху следует внутренняя и внеш-
няя регуляризация. Поскольку доказательство этих фак-
154 ГЛ. 3 РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
тов совершенно аналогично доказательству утверждения
1.4.7, приведем лишь формулировки утверждений.
Утверждение 3.2.2. Для J = I, Е и
выполнено'.
1. Если (Р, ,OeJRUa[(fl, ?), N, Л], то
(Р, .F)eJR^n-§ [(R, ?), dom (un [Л, В, i)L %), un [Л, В, вН»
где набор параметров (а, b) принимает значения (f, v2),
(v, ul).
2. Если (P, ,f)^JRDa[(R, ?), N, Л], mo
(P,
t), dom(un*M, B> nl. <'), ип*[Л, В, nil.
где набор параметров (а, Ь) принимает значения (f, ul),
(и, v2).
Здесь обозначено A:
ип[Л, В. П1(т> е) =
= {(а, б, y)efx£^| (а, 6 +у) е in А (т, е, у),
B<y<min{nX(m, е), QN(m, е), т]}},
ип*[Л, В» 1)10». е) =
= {(а, б, Г X | (а, у, б)еип[Л, В> 1)] (»г, е)}-
Напомним, что в утверждении 1.4.7'доказано, что
бот(ип[Л. В, т)1> <0 = dom(un* [Л, В. л1> $) =
= П((Л, й)> g) Л int(A7, В).
Установим теперь связь между внутренней и внеш-
ней регуляризацией. Идею этой связи можно выразить
так: если (Р, 3~~) внутренне регуляризует (R, S), то
(/?, внешне регуляризует (Р, SP), и наборот. Точ-
ную формулировку дает
Утверждение 3.2.3. Для a—f, v; b = vl, v2, f-,
(J, L) = (I, E), (E, I); V=U, D выполнено:
1. Если (P, f)<=JRV* [(/?, g), N, Л], mo
(R, g)«=LRV*[(P, F), pr]3gr[A|N], sec13grM|tf]J.
2. Если (P, .Oe=JR£’v[(R, ^), У, В], mo
(R, OeLRb’v[(P, J), pr13gr|B|2V], seclsgr[В|У]].
§ 2 СВОЙСТВА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
155
Доказательство аналогично доказательству ут-
верждения 1.4.9.
Напомним, что А |N обозначает сужение согласова-
ния А на множество N, gr [Л]—график согласования
A, рг137<— проекция множества К на компоненты с но-
мерами 1, 3, seci37< — сечение множества К. по компо-
нентам 1, 3, а разбиение множеств gr [Л | X] и gr[B|W]
на компоненты задается следующим образом:
ЯГ[Л|ЛПсЛ(1)х...хЛ(4>,
gr[B|JV]czB(i)x...xB(5),
где Л(1)=В(1)=Л1, Л(2)=В(2)=^, Л(з)=В(з)==^", Л(4>—
= В(4)=В(5)=^'+. Точные определения приведены в
§ 1.4.
Сформулируем теперь простейшие необходимые ус-
ловия, которые непосредственно следуют из определе-
ний понятий регуляризации. Поскольку снова потребу-
ются проекции и сечения множества gr^|iV], то для
согласований Л, участвующих в формулировке утвер-
ждения, будем считать, что £г[Л |У]сЛ(1)Х ... ХА/ц,
где Л(1)=А1, Л(2)=<§’, Л(з)=^", Л(г)=В‘+ для г^4. Обоз-
начим также
П„((Р, ё), а, Ь) =
= {(m, e.)=Mx'£\nuR(n, e) + p(m, n)>b Vn=Ma(m)},
u = f, v.
Утверждение 3.2.4. Для u—f, v выполнено:
1.	Если (Р, $)e=IRU„ [(R, S), N, Л], то WozdomfR, ё)
и pr13grH|W]c:int(dom(P, f), Д).
2.	Если (Р, F)eIRD*[(R, 8), N, Л], то N<=.WU((R, ё),
A) w pr13gr[X|y]czdom(R, ,f).
3.	Если (Р, f)eERU^[(₽, S), N, Л], то N<=
czint(doni(R, ё), А) и pr13gr[Л|У]аДот(Р, F).
4.	Если (Р, F)eERDu [(R, ё), N, Л], то Wczdom (R, ё)
и pr18gr [Л|ЛПс:Пи((Р, Я» А).
5.	Если (Р, F)^IRw V[(R. ё), N, Л], то pr13gr[Л|AZ]c=
czint(dom(P, А) и NczHf((R, v) при w = f,
N<^t[f((R, %), min{X, v), v) при w~vl, УсП„((Р, ё),
rnin{X, v), v) при w = v2.
136 гЛ. з. Регуляризация принЦиПоё оЦтимаЛьностй
6.	Если (Р, ^)eER^-v[(R, й), N, А], то N с
c:int(dom(R, й), Л) и pr13gr[Л|7У]сП/((Р, ^), v) при
w = f, Pri3gr[Л|2У]с:П/((Р, $"), min{%, v), v) при w = vl,
Pri3gr [Л|ЛЛсПр((Р, f), min{X, v), v) при w — v2.
Докажем для примера пункт 5. Из условия: для лю-
бого п<=М6 (т) выполнено Р(п, а)#=0 следует М6 (т) х
Xacdom(P, ^"), но тогда 0dom(P, (т, a)^d>X,
т. е. (т, ajeint(dom(P,
Заметим, что для любого n&Mmin (e.v) (т) выполне-
но Alv-u(m,n)(«)c:Afe (m). Пусть теперь а»=©1. Тогда
для (а, 6, у)^А(т, е) и любых n<^Mmin{e,v>(/п) и
sW y-ц (т, П) (п) выполнено
0=H=R(n, a)cQ(R(&, е), k, п).
Отсюда следует, что 0=^ш/Р(п, г, у—р.(т, п)), а Зна-
чит, л/Р(п, е)+р(/п, п)^у. Осталось заметить, что
6>Х и y>v. Случай, когда w=v2, доказывается анало-
гично. Пусть теперь w—f. Тогда для (а, 6, у)еЛ(/п, в)
выполнено
0z£ex.fP (tn, a, 6)<=in/R(m, s, у),
откуда л/Р(т, e)^y>v, то есть
(т, е)еП/.((Я, <Г), v). 
Представляет интерес сравнить множества Пи((Р,
ЙГ), а, Ь) и ПИ((Р, ё), А). Поскольку в утверждении
3.2.4 встречается только случай a^Zb, то для него и бу-
дем исследовать множество Пи((Р, ё), а, Ь).
Рассмотрим сначала случай а>0 и покажем, что тог-
да справедливы включения
int(nu((R, й), b), a)(=tlu((R, i), а, b),	(3 2
liu((R, й), а, Ь)сс Л int(nu((P, 6-0). а).
а, р
Пусть (пг, е)eint(Пи((R, ё}, Ь), а); тогда Л4а(т)Х
ХесзПи((Р, ё), Ь) или для любых nsMa(m) выполне-
но nuR(n, е)>6. Но тогда для любого п^ма(т) вы-
полнено ЛиР(п, е)+р(ги, га)^лиР(п, е)>6, то есть
первое включение доказано. Отметим, что условие а>0
пока не использовалось.
Пусть теперь (т, е)еП((Р, ё), а, Ь). Тогда для лю-
бого п^Ма(т) выполнено nuR(tn, е)>6—а, то есть
§ 2. Свойства рёгулярйзацИй	157
Ма(т) ХесПи( (R, S), b—а), и, следовательно, имеем
0П« ((R, S), b—а) (т, е)^а. Отсюда получаем
(т, е)<= П int(IIu((R, %), Ь—а), а).
О^аСа
Отметим, что
n„((R, %), а, Ь)~ П П((7?, #), ₽, Ь).
0<ps?a
Окончательно имеем
(m, e)s П П((Я, 8), 0, Ь)<=
0<Р<а
сП П int(n„((R, Я), &-₽), а).
0<р^а 0^а<р
Пусть теперь а=0. Тогда нужно уточнить только
внешнюю оценку для Пи, так как внутренняя оценка ос-
тается справедливой. Нетрудно видеть, что
Пи((/?, 8), 0, &)cIIu((R, 8), Ь).
Как следует из проведенного сравнения отношений
аппроксимации и регуляризации, наиболее слабыми яв-
ляются отношения аппроксимации. Рассмотрим теперь
вопрос об аналоге свойства транзитивности для отно-
шений сравнения. Более точно, пусть имеется цепочка
отношений сравнения из трех принципов оптимальности
и двух отношений сравнения. В каком отношении тогда
находятся крайние принципы оптимальности? Мы не бу-
дем рассматривать все возможные комбинации отноше-
ний сравнения. Остановимся лишь на некоторых, у
которых не более одного отношения отличается от отно-
шения аппроксимации. Учитывая, что внутренняя и внеш-
няя аппроксимация является наиболее слабыми отно-
шениями сравнения, такой набор цепочек является дос-
таточно представительным.
Рассмотрим сначала простейший случай, когда все
отношения сравнения в цепочке представляют собой ли-
бо внутреннюю аппроксимацию, либо внешнюю аппрок-
симацию.
Утверждение 3.2.5. Пусть (Р, &~) внутренне
(внешне) аппроксимирует (Т, &) на L при согласовании
В, а (Т, 3) внутренне (внешне) аппроксимирует (R,S“)
на N при согласовании А. Тогда (Р, &~) внутренне (вне-
158 гл. 3 РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
шне) аппроксимирует (R, &) на dom (С, <Г) при согла-
совании В'С, где С:	(Мх&),
С(пг, е.) = (mxA\N (пг,
Доказательство проведем для внутренней ап-
проксимации. Пусть (пг, е)е(С, <?Г); тогда (/их
ХА(пг, g))QL#=0, (пг, e)^N. Пусть а^В((пгХА(ш,
е))П£), то есть существует реЛ (пг, е) такой, что (пг, р)е
eL и аеВ (пг, р). Тогда
0=/=P(m, а)аТ (т, $)c.R(m, е). 
Теперь исследуем случай, когда первое отношение
сравнения в цепочке является аппроксимацией, а вто-
рое — регуляризацией.
Утверждение 3.2.6. Для u=f, v выполнено:
1. Пусть (Р,&~) внутренне аппроксимирует (Т,&) на
L при согласовании В, а (Т, S) внутренне (А, й)-регу-
ляризует сверху (R, на N при согласовании А. Тог-
да (Р, внутренне (0, и)-регуляризует сверху (R,S)
на dom (К, S) при согласовании К.
2. Пусть (Р, внешне аппроксимирует (Т, на
L при согласовании В, а (Т, S) внешне (А, и)-регуля-
ризует снизу (R, на N при согласовании А. Тогда
(Р, У) внешне (0, и)-регуляризует снизу (R, <S) на
dom(К, при согласовании К.
Здесь обозначено
К(пг, е) = {(р, xE+\M&(m)X$ciC(ni, е)},
где
С (tn, е) =
= {(n, P)sAf x^|{sec13gr[B|A](/i, Р)х[ц(ш, п), + оо)} П
ПЛ|У(т, е)#=0},
sec13gr[B|£](n, Р) = {ае , |Ре=В|£(и, а)}.
Доказательство проведем для первого пункта
при u=v. Второй пункт доказывается аналогично.
Пусть (пг, e)«=dom (К, %) и (р, 6)е/((т, в), то есть
для любого пеА1в (пг) существует
(a, y)(={seci3gr[B|T](n, Р)Х[|х(т, п), + °°)}П
ПЛ|М(/п, е).
Это означает, что peB(n, а), (п, a)^L, у^ц(/п, п),
§ 2 СВОЙСТВА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
159
(а, у)еД(т, е), (т, e,)^N. Отсюда получаем, что спра-
ведлива цепочка включений
0У=Р(и, Р)сТ (n, a)czQ(P(m, е), т, п). 
Утверждение 3.2.7. Для u=f, v выполнено:
1. Пусть (Р, &~) внутренне аппроксимирует (Т, &) на
L при согласовании В, а (Т, S) внутренне (А, и)-регу-
ляризует снизу (Р, S) на N при согласовании А. Тогда
(Р, ЗГ) внутренне (А, и)-регуляризует снизу (Р, &)на
dom (К, S) при согласовании К.
2. Пусть (Р, &") внешне аппроксимирует (Т, S) на
L при согласовании В, а (Т, *§) внешне (А, и)-регуля-
ризует сверху (Р, S) на N при согласовании А. Тогда
(Р, 3~) внешне (А, и)-регуляризует сверху (Р, <8) на
dom (К, S) при согласовании К.
Здесь обозначено
К(т, е)=(ф, 6)s£x£+|3ae.^ :0<=B|L(/n, а),
(а, 6)еЛ|У(т, е)}‘
Доказательство аналогично доказательству ут-
верждения 3.2.6.
Практическая ценность утверждений 3.2.6, 3.2.7 со-
стоит в том, что если указан в общем виде регуляризу-
ющий принцип оптимальности, то в конкретной задаче
нет необходимости точно вычислять этот регуляризую-
щий принцип оптимальности, достаточно найти аппрок-
симирующий его в нужном смысле принцип оптималь-
ности.
В утверждениях 3.2.6, 3.2.7 рассмотрена только внут-
ренняя и внешняя регуляризация сверху и снизу. По-
скольку результаты для внутренней и внешней регуля-
ризации носят вполне аналогичный характер, не будем
их приводить. Остановимся теперь на исследовании це-
почек отношений, у которых второе отношение являет-
ся аппроксимацией.
Утверждение 3.2.8. Для u—f, v выполнено:
1. Пусть (Р, ЗГ) внутренне (А, и)-регуляризует свер-
ху (Т, $) на L при согласовании В, а (7, 3) внутренне
аппроксимирует (Р, S) на N при согласовании А. Тог-
да (Р, ST) внутренне (А, и)-регуляризует сверху (Р,&)
на dom (С, S) при согласовании В-С.
2. Пусть (Р, ST) внешне (А, и)-регуляризует снизу
(7, 9) на L при согласовании В, а (Т, S) внешне ап-
160 ГЛ. 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
проксимирует (Р, S) на N при согласовании А. Тогда
(Р, &~) внешне (А, и)-регуляризует снизу (Р, &) на
dom(С, <??) при согласовании В»С.
Здесь обозначено
C(m, е) = (mxA\N(т, s))f]£.
Доказательство аналогично доказательству ут-
верждения 3.2.6.
Утверждение 3.2.9. Для u — f, v выполнено-.
1.	Пусть (Р, внутренне (А, и)-регуляризует снизу
(Т, $£) на L при согласовании В, а (Т, внутренне
аппроксимирует (Р, &) на N при согласовании А. Тогда
(Р, внутренне (0, и)-регуляризует снизу (Р, <£) на
dom (Д’, S) при согласовании К.
2.	Пусть (Р, внешне (А, и)-регуляризует сверху
(Т, 3) на L при согласовании В, а (Т, 3) внешне ап-
проксимирует (Р, на N при согласовании А. Тогда
(Р, внешне (0, и)-регуляризует сверху (Р, на
dom(K, при согласовании К.
Здесь обозначено
К(т, 8) = {(р, 6)е,<х£'+|Л4в(т)хр<=С(т> в)},
С(т, 8) = {(п, Р)еЛ4х.Т'|ЭаеД|У(п, в);
Эб>n):(P, 6)GB|L(m, а)}.
Доказательство проведем для первого пункта
при u=iv.
.Пусть (m, e)edom(X, <?), (р, Ь)^К(т, е). Тогда для
любого п^Мй (т) выполнено (п,	в), то есть
существуют a^A\N(n, е),	п) такие, что
(Р, y)<=B\L(m, а). Следовательно, справедлива цепочка
включений
Р(п, s)z>T(n, a)z>Q (Р(т, Р), т, п)
и Р(пг, р)У=0. 
Утверждения 3.2.8, 3.2.9 упрощают поиск регуляри-
зующих принципов оптимальности, так как позволяют
свести эту задачу к поиску регуляризующих принципов
оптимальности для принципа оптимальности, аппрокси-
мирующего исходный. Особый интерес представляет слу-
чай, когда аппроксимирующий принцип оптимальности
является устойчивым в соответствующем смысле. Тогда
регуляризующим для него является он сам, и в резуль-
тате получаем интересное достаточное условие регуля-
§ 3. РЕГУЛЯРИЗУЮЩИЕ ПРИНЦИПЫ ОПТИМАЛЬНОСТИ 161
ризации. Кратко его можно выразить в следующем ви-
де: если принцип оптимальности устойчив и аппрокси-
мирует исходный, то он является регуляризующим для
исходного принципа оптимальности. Конечно, понятия
устойчивости, аппроксимации и регуляризации должны
быть соответствующим образом согласованы.
§	3. Регуляризующие принципы оптимальности
В § 1.4 для произвольного принципа оптимальности
(/?, были введены принципы оптимальности (ех//?,
#Х£ф), (in//?, <FX£©), (in»/?, ^Гх£ф), которые при
некоторых условиях на Q являются аппроксимирующи-
ми (/?, #). В § 2.1 доказана их устойчивость, поэтому
естественно применить утверждения 3.2.8, 3.2.9 для по-
лучения регуляризующих принципов оптимальности в
общем виде. Однако непосредственное доказательство
этих фактов проще и требует меньше предположений.
Начнем с исследования принципа оптимальности
(in//?, <§ГХ£®). Как следует из пункта 2 утверждения
2.1.3, для любых т, п^М таких, что р(т, п)^а, вы-
полнено
in/7?(m, в, а)сй(/?(п, в), п, т).	(3.3.1)
Отметим, что неравенство ц(т, эквивалентно лю-
бому из условий п^Ма (/и) и т^Ма (п). Поэтому вклю-
чение (3.3.1) может служить основой для доказатель-
ства того, что in//? является внутренне (A, v)-регуляри-
зующим сверху R и внутренне (A, f) -регуляризующим
снизу /?. Нужно только наложить условия, обеспечиваю-
щие непустоту соответствующих множеств. Это можно
сделать, используя пункт 3 утверждения 2.1.7. Таким
образом, приходим к согласованиям
е) =
= {(а, 6)е$ X £© 104 = 8,	аа<л//?(/п, в)},
(т, в) =
= {(а, 6)f=$x£^|o4 = 8, A<6<a2<nf/?(n, s)
Vn^M6 (m)}.
Утверждение 3.3.1.
1. (in//?, #x£©) внутренне (Д, v)-регуляризует
сверху (R, на dom(/(ft“, %>} при согласовании К/?.
6 Д. А. Молодцов
162 ГЛ. 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
2. (in/7?, ^ГХ^®) внутренне (A, f)-регуляризует сни-
зу (R, на dom (К//, &} при согласовании Kff. .
Отметим весьма большую общность утверждения.
Для его справедливости не нужны никакие условия, да-
же на интерпретацию Q, в то время как для доказа-
тельства устойчивости in/ R использовались условия
Большой интерес представляет оценка множеств, на
которых in/ R является регуляризующим для R. Для
согласования очевидно, выполнено
dom(KfV> «) = П/((₽, 8), А).
Оценка множества dom(K^“,^>) чуть сложнее. Очевид-
но,	s)#=0 тогда и только тогда, когда сущест-
вует 6>Д такое, что А<л/7?(п, е) .для всех п^М6(т).
Или, иначе, когда существует 6>А такое, что
’ М6(т)хесПД(7?, 8), Д),
что эквивалентно условию (пг, е)eint(П/((/?, с?), А), А).
Поэтому dom(X^,“, <5) =int(n/((R, S), А), А). Исполь-
зуя условие Сш на интерпретацию Q, можно получить
оценку для внутренности П/. Для этого докажем
Утверждение 3.3.2. Пусть Q,^C^\Mt(m)xtnx
XAlt(ffi)] при t=TtjR(m, е) >0. Тогда для любого п<=М
такого, что р(пг, п)<Л, выполнено
nfR(n, s)^>n,f*R(m, е)—p(m, n).
Доказательство. Пусть infR(m, ®, у)У=0. Тог-
да для n^Mv(m) справедлива цепочка включений
0^=Q(infR(m, 8, у), т, n)cz
<=ff( П &(R(k, в), k, m), tn, n)cz
k<=Ma (n)
<= n Q(Q(7?(&, 8), k, tri), tn, ri)cz'‘
keMa (n)
с: П Q(R(k, 8), k, ri)=infR(n, г, a),
ksMa (n)
где a=y—\k(tn, n). Отсюда получаем nfR(n, e)^
^y—li(m> n) для любого n^Mv(m). Осталось устре-
мить у к t при условии у</. 
Пусть для любых (т, е)еП/((7?,	а + 0) выпол-
нено йеСфрИД/п) XmxMt (m)] при t = n/R(m, е). Возь-
мем (т, e)sn/((i/?, S), а+р); тогда	е)>« + р.
§ 3. РЁГУЛЯРИЗУЮЩИЕ ПРИНЦИПЫ ОПТИМАЛЬНОСТИ 163
Но тогда существует б>0, для которого л/7?(т, е)>
>а+р+б. Пусть пеМо+б(/п); поскольку ц(т, п)^
^а+б<л/7?(т, в), то, используя утверждение 3.3.2,
получаем
nfR(n, &)^nfR(m, в)—a—6>0.
Отсюда имеем Ма+6(т) ХесП/((R, S), р) и поэтому
0П/((7?, S), р) (m, е) 2>а + 6>а, то есть (пг, е)е
eint(П/((</?, S), р), а). Следовательно,
int(II/((7?, s), Р), а)=>П,((/?, 8),-а + р). .
Приведем теперь условия, при которых in/ R являет-
ся внутренне (%, v, ol)-регуляризующим R. Рассмотрим
согласование
e)={(a, 6, y)^x£®|a1 = 8, б + у<аг<
<nfR(n, e) VneM6(m), 6>X, y>v).
Утверждение 3.3.3. (in/R, SxE&) внутренне
(k,v,v\)-pezyляризует (R,S) на int(II/((/?, S), %+v), X)
при согласовании Kf£i.
Доказательство очевидно.
Рассмотрим теперь принцип оптимальности (in» 7?,
<FX£©). Как следует из пункта 2 утверждения 2.1.3,
для любых пг, п^М таких, что ц(т, п)^ц, выполнено
Q (in0 R (пг, е, a), т, п) az R (п, е).	(3.3.2)
Включение (3.3.2) является основой для исследования
регуляризующих свойств принципа оптимальности in»/?.
Введем согласования
K# (т, 8) = {(а, 6) е 8 х = 8,
Д < б а2 < л0 7? (п, в) V п е Mi, (т)},
К%(т,ь) =
= {(а, б) е # х £^|аг = 8, Д < б < аг < лр 7? (т, е)},
^»»2V <m>е) = «а> S. У) X £^|ах = 8,
б + У а2 <	7? (п, е) V п е (пг), б > 1, у > v}.
Утверждение 3.3.4.
1.	(in» 7?, <?ХДф) внутренне (&., f) -регуляризует свер-
ху (R, S) на int(II»((#, S), Д), Д) при согласовании
-
*\vf.
6*	'
164 ГЛ- 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
2.	(in®/?, <Гх£ф) внутренне (Д, о)-регуляризует сни-
зу (R, &) на П®((/?, $), Д) при согласовании Кт-
3.	(in®R, <^х£ф) внутренне (X, v, v2) -регуляризует
(R, <£) на int (П® ((R, &), X+v), X) при согласовании
tA.v
Лщ?2 •
Доказательство вполне аналогично рассмотрен-
ному случаю для in/7?.
Для получения оценки внутренности множества П®
потребуется аналог утверждения 3.3.2.
Утверждение 3.3.5. Пусть Q<=Ce)[mxMt(m)x
XMt(tn)] при t=nvR(m, е)>0. Тогда для любого п^М
такого, что ц(т, n)<t, выполнено
л0 R (т, е) > л5 R (п, е)—ц (т, п).
Доказательство аналогично доказательству ут-
верждения 3.3.2 и использует пункт 3 утверждения 2.1.4.
Из утверждения 3.3.5 следует, что если для любых
(пг, е)еП®((/?, <?”), а + р) выполнено Q^Ca[mxMt(m) X
XMt (m)] при t=n,vR(m, е) >0, то
int (Пр ((R, V), а), Р) о Пр ((R, V), а + Р).
Из всех видов внутренней регуляризации осталась
только внутренняя (Л, v, f) -регуляризация, для которой
пока не указан регуляризующий принцип оптимальности
для (R, S).
Заметим, что условие из определения 3.1.7: Vne
еЛ4д(т), V£eAfv(m) выполнено
Q (Р (п, а), п, т) cz Q (R (k, е), k, т)
эквивалентно условию: VneAfe(/n) выполнено
Q (Р (п, а), п, т) с: in/ R (т, е, у).
Но тогда, используя включение (3.3.2), получаем, что
для любого п^Мй(т) выполнено
Q (inp in/ R (п, е, у, S), п,т) cz in/ R (пг, е, у).
Следовательно, в качестве внутренне (X, v, /)-регуляри-
зующего для (R, <£) можно взять in®in/R. Для строгой
формулировки этого утверждения введем согласование
КМ(т, =
= {(а, 6, у) (= х £'®|a1= 8, а2 > у > v, а3 > 6 > X,
inp in/ R (п, 8, а2, а3) =/= 0 Vn s Mj(т)}.
$ 3. РЕГУЛЯРИЗУЮЩИЕ ПРИНЦИПЫ ОПТИМАЛЬНОСТИ 165
У тве р ж д е н и е 3.3.6. (in® inf/?, <Fx£® ) внутренне
(X, v, f) -регуляризует (R, <5) на dom(Kx-v, &) при сог-
ласовании
Отметим, что никаких условий на Q для справедли-
вости утверждения 3.3.6 не требуется. Для нахождения
оценки множества dom (/(*••v, &) такого рода условия
уже приходится накладывать.
Пусть для любых (иг, 8) е inf (Ilf ((/?,	X)
выполнено условие Q s Cffl [Mfl (пг) х A4tl (tn) X Mt, (ri)],
где tx = t2 +ta, t2 = (v+v')/2, t3 = (K 4- vz)/2, vz > v.
Покажем, что тогда dom(/C>v, <§?)z>int(nf ((/?, <F),
X+v'), vz). Пусть (m, e)eint(n/((/?, <§?), %+v'), v'); это
значит, что 0П/((/?, #), K+v')(m, e)>v'. Положим
y= (v+vz)/2. Тогда для любого п^Му(пг) выполнено
n,fR(n, e)>X+vz и, следовательно, infR(n, е, X+vz) =#0.
Положим 6=X+vz—y=%+(vz—v)/2>tk. Тогда inf/?(и, е,
6+у)=#0. Из пункта 6 утверждения 2.1.5 вытекает
inp inf /? (п, е, у, 6) ity /? (и, е, 6+т) =/= 0.
Если пользоваться условием С&, то утверждение 3.3.6
можно упростить, а именно, в качестве регуляризующе-
го принципа оптимальности взять inf/?. Это нетрудно
показать, используя пункт 4 утверждения 2.1.5.
Исследуем теперь регуляризующие свойства принци-
па оптимальности (exf/?, ^xf®). Из пункта 2 утверж-
дения 2.1.3 следует, что для любых т, п^М таких, что
р, (т, п)^.а, выполнено
Q ((/? (п, в), п, т) <=. ех/ /? (tn, 8,"а).	(3.3.3)
Из этого свойства легко получаем утверждение о трех
типах внешней регуляризации. Введем необходимые сог-
ласования
Н^(т, г) —
= {(а, 6) е $ х ’£®1а1 = 8» А < в аа>
S < 0 dom (/?,	(т, в)},
(т, 8) = {(а, 6) <= £ х £ф|®1 = в. А < 6 < о^},
(tn, в) = {(а, 6, у)	х Е^|ах = 8, 6 > К, у > v, -
О2>6 + у, 6<0 dom (/?,	(т, е)}.
166 ГЛ. 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
 Утверждение 3.3.7.
1.	(ех, 7?,	внешне (А, f)-регуляризует сверху
(R, S) на int(dom(/?, <?), А) при согласовании Н^.
2.	(ex/R, SxE&) внешне (А, v)-регуляризует снизу
(R, S) на dom (7?, <F) при согласовании Н%.
3.	(ех/7?, <Fx£$) внешне (X, v, v2)-регуляризует
(R, S) на int(dom(/?, <?), X) при согласовании HK<V.
Доказательство сводится к элементарной про-
верке условий соответствующих определений с исполь-
зованием включения (3.3.3).
Для остальных типов внешней регуляризации прин-
цип оптимальности exfR является регуляризующим для
R, но для доказательства этого уже требуются условия
на интерпретацию Q.
Утверждение 3.3.8.
1.	Пусть для любых (m, e)eint(dom(/?, S), Д) и
6<0dom(7?, S) (tn, е) выполнено £2еАи [М^(т) хгп].
Тогда (ex/R, SxE&) внешне (&., и)-регуляризует свер-
ху (R, S) на int (dom (7?, S), А) при согласовании ,
2.	_Пусть для любых (m, e)edom(/?, S) и бе
е (А, Д(.т, е)]=#0 выполнено Q^A(a[mxM6 (m)]. Тогда
(ex.fR, SxEl$) внешне (A, f) -регуляризует снизу (R,S?)
на dom(/?, S) при согласовании Н%, где (пг, е) =
= {(а, б) е S х £+1»! = е, Д < б < min {а2, Д (tn, е)}}.
3.	Пусть для любых (пг, 8) е int (dom (R, %), X), б е
е (0, 6 dom (R, <£) (пг, в)) и у е (v, у (пг, е)] =/=0 выполнено
й е [ТИо (пг) х Му (т)]. Тогда (ex, R,% х Е^) внешне
(X, v, v 1) -регуляризует (R, %) на int (dom (R, %), X) при
согласовании H*"v, где
Нк,у (пг, в) = {(а, б, у) е 77х*v (пг, е)|у у (пг, в)}.
4.	Пусть для любых (пг, в) е int (dom (R,	), X), у е
е (v, у (пг, в)] у= 0, а2 s (X + ?> «2 (т, е)] ^4 0 выполненб
й е Вщ [Маг_? (пг) х (пг) х т]. Тогда (ex, R,% х Е^)
внешне (X, v, /) -регуляризует (R, <#) на int (dom (R, ^), X)
при согласовании HK'V, где
(пг, в)= {(а, б, y)s Н*"у (т, 8)|а_^ а2 (пг, е)}.
§ 3. РЕГУЛЯРИЗУЮЩИЕ ПРИНЦИПЫ ОПТИМАЛЬНОСТИ 167
Доказательство в основном элементарно. От-
метим только, что при доказательстве пункта 4 исполь-
зуется пункт 2 утверждения 2.1.5.
Итак, для всех типов регуляризации для произволь-
ного принципа оптимальности (/?, указаны регуля-
ризующие принципы оптимальности. Причем при дока-
зательстве регуляризуемости (/?, типа ERUAV, ERDAy,
ERиспользовалось довольно естественное условие Лю,
для регуляризуемости ER/»V — условие а в осталь-
ных случаях не использовались вообще никакие усло-
вия. Поэтому результаты о регуляризуемости (R,
носят весьма общий характер.
Естественно возникает вопрос: нельзя ли построить
принципы оптимальности, обеспечивающие регуляриза-
цию на более широких множествах, чем те, которые по-
лучены в утверждениях 3.3.1, 3.3.3, 3.3.4, 3.3.6—3.3.8. Из
утверждения 3.2.4 следует, что для всех внешних типов
регуляризации и внутренней (А, и) -регуляризации снизу
при u = f, v множества, на которых доказана регуляри-
зация, являются максимальными.
Для регуляризации типа IRUX’V, u = v\, v2, утверж-
дение 3.3.3 и пункт 3 утверждения 3.3.4 приводят прин-
ципы оптимальности, регуляризующие (R, #) на мно-
жестве int(Пи((^?, ^), X+v), X). Из пункта 5 утверж-
дения 3.2.4 следует, что множество, на котором возмож-
на регуляризация (R, типа IRUX>V, не шире Пи((^?,<?),
min{X, v}, v). Множества int(Пи(CR, ^), X+v), X) и
nu((R, <^), min{X, v}, v) не совпадают, но, учитывая
оценку (3.2.1), их можно считать «приближенно» равны-
ми. Действительно, из (3.2.1) следует, что при X, v>0
выполнено
[пв ((/?, %), min {Л, v}, v)cint (Пи ((/?, V), а+Р), Р),
где а, Р^О, a + 2p<v, р<Х, то есть на множестве
Пи((Я, •У), min {%, v}, v) можно обеспечить регуляриза-
цию, но более слабую, а именно IRua>р. В этом смысле и
понимается «приближенное» равенство.
Приближенному равенству множеств riu((R, &),
min{X, v}, v) и int (Пи ((R, &), X+v), X) можно придать
смысл, используя отношения сравнения принципов опти-
мальности. Рассмотрим в качестве множества «новых»
моделей М' множество принципов оптимальности, опре-
168 ГЛ. 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
деленных на множестве 7И, множество стратегии для мо-
дели (/?,	положим равным Myg. Тогда
(П*и, Е2+) и (intn*«, £%), где
ГС ((₽, 8), %,'v) = Пи ((/?, S), min {%, V}, v),
int П’ ((7?, 8), а, Р) = int (П„ ((7?, S), а + р), р),
являются «новыми» принципами оптимальности, задан-
ными на М'. Для удобства будем считать, что для лю-
бого (7?, 8)^М' выполнено dom (/?, <У)=#Л1Х<?Г. Этого
легко добиться с помощью введения специального зна-
чения е*, для которого R(tn, g*)=0 при всех mt=M.
Тогда из включения (3.2.1) следует, что
(Па, Ё+) =э (int Па, Е+) [№' ХЕ+, Л].
(int Па, Е2+) => (Па, Е2+) [М' хЕ2+, В],
где
А ((/?, #), X, v) = {(а, р) е Е^| а + р > V, р > min {%, v)},
В ((R, 8}, а, р) = {(X, v) <= E2J X > р, v > а + 2 р}.
Итак, принципы оптимальности П*и и intn*u внешне
аппроксимируют друг друга, поэтому их естественно
считать в некотором смысле эквивалентными или «при-
ближенно» равными.
. Осталось рассмотреть один случай, когда min{X, v} =
= 0. Тогда
int (П„ ((7?, <Г), V), 0) с П„ ((7?, 8), 0, v) <= Пи ((7?, £>). v),
и если %=0, то
int (П„ ((7?, <Г), % + v, %)= int (П„ ((/?, г?), V), 0).
В этом случае рассматриваемые множества отличаются
друг от друга так же, как множество отличается от
своей внутренности, и в этом смысле могут считаться
«почти» равными.
Если v = 0, то
int(nu ((7?, 8\ %+v,’X) = int (Пи ((/?, 8}, X), X),
и в понятие «приближенного» равенства нужно вклю-
чать как возможность варьирования X, так и совпадение
0 точностью до замыкрния. Отметим, что при рассмот-
§ 3. РЁГУЛЯРИЗУЮЩИЕ ПРИНЦИПЫ ОПТИМАЛЬНОСТИ 169
рении практического применения понятий регуляризации
случай v=0 соответствует возможности проводить наб-
людения и измерения с любой точностью. Поскольку в
практике такое встречается довольно редко, то практи-
ческая значимость случая v = 0 снижается.
Для регуляризации типа принцип оптимальнос-
ти inv in/J? регуляризует на множестве int(II/((J?,
X+v'), v'), где v'>v, а необходимые условия регуляри-
зации дают множество П/((Р, <F), v). «Приближенное»
равенство этих множеств можно понимать аналогично
предыдущему.
Для регуляризации типа IRUAU принцип оптималь-
ности inwR, где (и,	=	у), (и, f), регуляризует R
на множестве int(IIW((•/?, <F), А), А), а необходимые
условия дают dom (R, Из всех рассмотренных типов
регуляризации здесь наибольшее несовпадение резуль-
татов. Нетрудно указать принципы оптимальности, осу-
ществляющие внутреннюю (А, и)-регуляризацию сверху
R на предельно широких множествах. Положим ST—
=AfX<F и рассмотрим два принципа оптимальности
(Ри, «=Д V, где
РДи, а) = {x&S(n)|Q(x, n, aJczPfap a<j)} =
= Q®(/?(a), п, aj),
P0(n, a) = Q(7?(a), an n).
Очевидно, что если (m, e) = (ai, аг), то для любых n^M
выполнено
Р0(п, a)czQ(7?(m, е), т, п).
Кроме этого, если R(m, е)=£0, то и Pv(n, a)=/=0. По-
этому (Pv, является внутренне (А, у)-регуляризую-
щим сверху (7?, на dom (J?, &} при согласовании Сд,
где
CA(m, e)={(a, 6)eFxE+|a1 = tn, а2=8, 6>Д}.
Аналогично, для Pf имеем: если (tn, е) = (aj, аг), то для
любых п^М выполнено
Q(Pf(n, а), п, m)<=.R(m, г).
Для того чтобы (Pf, был внутренне (A, f) -регуляри-
зующим сверху (R, <$} на (т, в), нужно потребовать,
170 ГЛ. 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
чтобы существовало 6>А такое, что Pf(n, а)=#0 для
всех neMj(m) или М6(т) Xaczdom(P/, Это усло-
вие можно записать в виде 9 dom (Ру, &~) (пг, а)>А, или
0dom(Py, ST) (т, пг, в)>А. Теперь можно сделать вы-
вод, что (Pf, ST) является внутренне (A, f) -регуляризу-
ющим сверху (Р, <!Г) на dom(DA, ST) при согласовании
£)д, где
Ол (пг, е) = {(a, б)е,^ X Р+1 cq = пг, а2 = 8,
A<6<0dom(Pf, f)(m, пг, в)},
dom(Z)A, J) = {(m, в)еЛ4 x^|0dom(P/, f)(m, tn, е)>Д).
Нетрудно видеть, что множество dom(DA, ST) наибо-
лее широкое множество, на котором возможна регуляри-
зация типа IRUAy.
Хотя приведенные результаты регуляризации с по-
мощью Pf и Pv являются формально исчерпывающими,
их содержательная ценность невелика. Дело заключает-
ся в следующем. При формулировке основных понятий
в понятие модели включались все факторы, которые мо-
гут подвергаться неконтролируемым возмущениям. На-
против, параметры, задающие понятие «почти» опти-
мальности, предполагались неподвергаемыми подобным
возмущениям. Поэтому считать, что множество парамет-
ров, задающих «почти» оптимальность, равно
означает либо отказ от того, что они не варьируются,
либо вообще отказ от рассмотрения возмущений. Фор-
мальным отражением этого противоречия является тот
факт, что при (т, е)^=(п, jj) выполнено Сд(т, б)П
Г|Сд(п, ₽)=0, £>д(т, 8)ПДд(п, ₽)=0.
Поскольку внутренняя (A, f) -регуляризация сверху
имеет практическое значение для численного решения
задач частного выбора, то представляет интерес выяс-
нить, какой содержательный смысл имеют задачи, кото-
рые не попадают в множество задач, регуляризуемых
принципом оптимальности in«R. Итак, пусть (пг, е)ё=
eint(Щ((Р, В), А), А). Это означает, что для любого
6>А существует п^М6 (пг) такое, что для любого у>А
выполнено invR(n, 8, у)=0. Возьмем а>2А и для про-
стоты предположим, что QeCo[/nxA4a(m) xAfa(m)].
Выберем у>Д и п^М так, что р,(/п, п)>Д, а=у+
+ р(/п, п) и invR(n, 8, у) =0.
§ 3. РЕГУЛЯРИЗУЮЩИЕ ПРИНЦИПЫ ОПТИМАЛЬНОСТИ 171
Тогда, используя пункт 3 утверждения 2.1.4, полу-
чаем
Q(inp/?(m, е, а), т, п)с
ей (Л Q?(R(k, е), т, k), т,
keMy (л)
с Л Q(Q®(R(k, е), т, k), т, fi)cz
fee My (п)
<= Л Q®(R(k, е), п, k)=invR(n, е, у) = 0.
АеМу (л)
Следовательно, invR(nt, е, а) =0. Аналогичная си-
туация имеет место для (т, е), на которых R нерегуля-
ризуем в смысле IRDA„, то есть для (т, е) ёГЩ (R, &},
А). Тогда для любых у>А выполнено invR(m, г, у) =0.
Таким образом, нужно выяснить, какой содержательный
смысл имеют задачи,-для которых invR(m, 8, у)=0 для
всех у>А. Наиболее ясно это можно понять в случае,
когда множества стратегий для всех моделей совпадают,
а интерпретация й является тождественным отображе-
нием. Тогда, если точность наблюдений у недостаточно
хороша, то есть у>А, то найти x^S такие, что
x^R(n, е) для всех яеЛ1?(т), невозможно. Следова-
тельно, если считать, что задача 4B(R, п, в) соответст-
вует с точностью 8 действительности, то приходим к вы-
воду, что поставленную задачу с данной точностью е при
точности наблюдений у>Д решить нельзя. Необходимо
либо повышать точность, то есть уменьшать А;>0, либо
снижать требования к точности получаемого решения, то
есть переходить к «большим» е. Если параметры 8 и А
изменять нельзя, то это означает, что, используя „ прин-
цип оптимальности R, описать действительность с точ-
ностью в при точности наблюдений Д нельзя.
ГЛАВА 4
СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ЗАДАЧ
Основной целью данной главы является демонстра-
ция примеров применения общей теории сравнения прин-
ципов оптимальности для некоторых классов задач, ус-
тойчивость которых изучалась в главе 2. Поэтому пред-
лагаемые результаты для исследуемых классов задач не
претендуют на полноту изложения имеющихся в этих
областях результатов. Основное внимание уделяется
сравнению принципов оптимальности, обычно используе-
мых в рассматриваемых задачах, с принципами опти-
мальности, носящими менее традиционный характер.
§ 1.	Регуляризация множества,
заданного ограничениями
Задача нахождения множества
7o’b(f, X) = {xe=X|a<f(x)<&}
описывается набором (f, X, а, Ь). Так же, как в § 2.2,
будем считать, что параметры а и b не варьируются.
Поэтому будем считать, что множество моделей есть
Л4=Ф(Х0, Еп)Х%ЦХо), где (Хо, р) — метрическое прост-
ранство. Множество стратегий S(f, X) положим равным
Хо, а интерпретацию Q считаем тождественным отобра-
жением. В качестве псевдометрики р на М рассмотрим
*1),	grl/JXJ),
где Hr — псевдометрика Хаусдорфа, порожденная мет-
рикой
r((xlt	uO^maxfpta, х2), max’ll—u2f|},
i^i^n
Xi, x2eXo, Ui, u2^En, a f|X — сужение функции f на
множество X.
§ I. МНОЖЕСТВО, ЗАДАННОЕ ОГРАНИЧЕНИЯМИ	173
Будем сравнивать два принципа оптимальности, наи-
более часто применяемый (Tia,b, Е1+) и менее тради-
ционный (Тза>ь, Е*+ХЕ2). Напомним, что
П*((А X), в) = 081 ТГВг'Ь+8’(А X), 8<=Е^хЕ2,
X), 8)=Т^Ь((Л X), 8, 0, 0), 8e£V
В дальнейшем без дополнительных оговорок будут при-
меняться обозначения из § 2.2.
Непосредственно из определений 7’ia>6 и Т3а'ь следует
справедливость включений
ТГЬ((А X), 8)с=Т^ь((А X), а), а, > 8, а2>0, а3>0,
7?Ь«А X), 8)=>ПЬ((А X), ₽), PxCs, р2<о, р3<о.
Используя их, не представляет труда сформулировать
утверждения о внутренней и внешней аппроксимации
для Tia’b и Тз°>6.
Перейдем теперь к поиску регуляризующих принципов
оптимальности различных типов для Т{а’ь. Здесь можно
применить результаты § 3.2 об исследовании цепочек
отношений, причем можно искать аппроксимирующие
принципы оптимальности для in Tia<ь и ехТ1°'ь, которые
являются регуляризующими для Tia’b, или использовать
устойчивость Т3а-Ь и то, что Тза’ь аппроксимирует Titt>ь.
Не останавливаясь подробно на выкладках, приведем
результаты для внутренней и внешней регуляризации
сверху и снизу. Введем согласования
cUtf, X), 8)=
= {(а/ 6)е^+ X Е2 х 1Д < 63< min {в—ах; — а2; — а3},
фа,ь(А Х)>шах{—а,, — OjJ + 6},
CU(f> X), 8) = {(а. 6)&4х£3х£Ш<6<
<min{e—ах, —а2, — а3}, Ча.ьУ» X)>max{—aj, —а,}},
Сед((/, X), е) =
= {(а, 6)е£+хЕ2х£1|.| A<6<min {aj—в, а2, ocj}}.
Нетрудно видеть, что
dom(C?„,£V) = {(A X, е)|8>Д, ф;ь(А Х)>2д},
dom (с&, eV) = {(А X, 8)|8>Д, ф;,ь(А Х)>Д},
174 ГЛ. 4. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Утверждение 4.1.1.
1.	(Тз’ь, Е\_хЕ2) внутренне ^-регуляризует сверху
(Tai-b, Е'+) на dom (С?„, е!|_) при согласовании Ctu-
2.	(Т3‘ъ, Е|хЕ2) внутренне t^-регуляризует снизу
(Т?ь, Е+) на dom (С&, Ец.) при согласовании Сц.
3.	(Тз,ь, Е!|_хЕ2) внешне ^-регуляризует сверху
(Tf-b, EV) на int (dom (7? ь, Е+), д) при согласовании
СеА.
4.	(7з'ь, Е!|.хЕ2) внешне ^-регуляризует снизу
(Т\’ь, Е1+) на dom (Т“’ь, Е1+) при согласовании С^.
Получить внешнюю регуляризацию сверху или снизу
для Т1а-Ь на более широких множествах, как следует
из утверждения 3.2.4, нельзя. Для возможности внутрен-
ней регуляризации сверху и снизу на (f, X, в) достаточ-
но, чтобы выполнялось условие Слейтера и е было доста-
точно большим. Можно показать, что условие Слейтера
является и необходимым для внутренней регуляризации
снизу.
Действительно, пусть inTio>b((f, X), е, 6)=/=0. Тогда
из утверждения 2.2.4 следует, что
0>inTf’b((A X), е, б)сТ?-ь((А X), е, -6, -б).
Теперь из оценки сверху бош(Тз°-ь, Е‘+ХЕ2), получен-
ной в § 2.2, имеем б^<р*о, б(/, X).
Следовательно, jtTta-ь ((/, X), е) ^<р*а, ь (:f, X). Но из
утверждения 3.2.4 следует, что если в точке ( if, X), е)
возможна внутренняя Д-регуляризация снизу для Tia,b,
то
Д<ЛТ«.Ь((Л X), 8)<ф;ь(А X).
Итак, изучение устойчивости и сравнение принципов
оптимальности Т\а<ь и Тза>ь показывают, что Т3а>ь обла-
дает определенными преимуществами. Для устойчивос-
ти Тза’ь требуется меньше условий, чем для устойчивос-
ти Т1о>ь, и Т3а>ь регуляризует Ti°>b в различных смыс-
лах. С содержательной же стороны Т\а’ь и Т3а-Ь прак-
тически не отличаются. Ведь единственным их отличием
является то, что у Т3а-Ь допускается нарушение ограни-
чений a^.f(x)^b в пределах ез для а и ез для Ь, а у
Tia’b нарушение этих ограничений также допускается,
так как рассматривается некоторая окрестность множе-
§ 1. МНОЖЕСТВО, ЗАДАННОЕ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
175
ства, где эти ограничения выполнены, но описываются
нарушения ограничений несколько иным способом.
Отсюда можно сделать вывод, что поскольку прин-
ципы оптимальности являются формальным выражением
тех содержательных понятий оптимальности, которые
имеет в виду лицо, ставящее задачу, то 1\а>ъ и Т3а>ь во
многих практических задачах имеют одинаковые содер-
жательные основания служить формальным отражением
понятия оптимальности. Но формальные свойства Т3а>ь
явно предпочтительнее, поэтому его можно рекомендо-
вать для более широкого применения вместо Tia>b. Ес-
тественно, в каждом таком случае замены 1\а>ь на Т3а>ь
нужно проводить анализ адекватности Т3а>ъ и содержа-
тельного понятия оптимальности.
Рассмотрим теперь случай, когда множество задает-
ся линейными ограничениями. Система линейных нера-
венств Ах^Ь описывается (шхп) -матрицей А и векто-
ром b^Em, поэтому множеством моделей М в данном
случае является множество пар (Л, &), где А — произ-
вольная (тХп)-матрица, а Ь^Ет. Возмущения моделей
описываются метрикой ц, где
И((4П &,), (Д2, bj) =
= max{ тах'|аш—а20|; max j&ij—62J}.
l^i^n
Множество стратегий для каждой модели будем считать
равным Еп. Будем исследовать традиционный принцип
оптимальности (Т4, Е1+), где
Т4((Д,Ч>)> ъ) = Ое{хеЕп'-\Ах^Ь},
и менее традиционный (Те, Е^хЕ1), где
1\ ((Д, Ь), е) = Ое, {хеЕ" | Ах b + е2 х (г)}.
Здесь считается, что открытая окрестность Ое задается
метрикой
d (xv х2) = ||хх—х2||, ||х|| = {х, х) >/2.
Из утверждения 2.2.11 следует, что если для любого
выполнено неравенство х(х)^1+<еп, |х|>, то для
беЕф справедливы включения
ехТ4((Д, Ь), 8, б)сТв((Д, Ь), 8, б),
in Т«((Д, Ь), 8, б)оТ6((Д, Ь), 8, —б).
176 ГЛ. 4. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Эти включения позволяют, используя результаты
§ 3.2, легко сформулировать утверждения о регуляриза-
ции Тц. Приведем без доказательства утверждения о
внутренней и внешней регуляризации сверху и снизу.
Для этого потребуются следующие согласования:
((Л, Ь), в) = {(а, б)е£^ х Е1 х ЗДД < S <—а»,
а1^е, о**(Л, Ь, а.—6)<0},
Dm ((Л, Ь), 8) = {(а, 6)е£'+х£1х£'+| А <6^—а2>
aj^e, о** (Л, Ь, а2)<0},
Dg ((Л, Ь), 8)={(а, 6)е£’+х£'1х£'+| Д <6^а2, е^аД.
Утверждение 4.1.2. Пусть для любого х^Еп вы-
полнено
+ еп).
Тогда:
1.	(Тв, Е'+хЕ1) внутренне &-регу ляризу ет сверху
(Т4, Е*+) на dom (D^, Е\.) при согласовании DiU.
2.	(Тв, Е'+хЕ1) внутренне ^-регуляризует снизу
(Т4, £4.) на d°m (^w» ^+) пРи согласовании Dy.
3.	(Тв, Е^-хЕ1) внешне ^-регуляризует сверху
(Т4, £+) на int (dom (Т^, £+), д) при согласовании D^.
4.	(Te, Е4.ХЕ1) внешне ^-регуляризует снизу
(Т4, £4-) на dom (Т4, Е\} при согласовании D,.
Как следует из утверждения 3.2.4, построить принци-
пы оптимальности, внешне регуляризующие сверху или
снизу Т4 на' более широком множестве, чем в утвержде-
нии 4.1.2, невозможно.
Представляет интерес выяснить достаточные условия
на (Л, Ь, е), чтобы на этом наборе была возможна внут-
ренняя регуляризация сверху или снизу, то есть чтобы
((Л, b), e)edom (D\u, Е1+) либо ((Л, Ь), е)е
edom(DAM, Е1+). Для этого потребуется сравнить функ-
ции о* и о**. Для простоты будем считать, что х(х)^
==1+<|х|, еп>. Тогда o**=<Jo**, и можно воспользовать-
ся свойствами функции Оо**, установленными в § 2.3.
Нетрудно видеть, что
dom (£>Д , £у) = {Л, b, е|Од* (Л, &.-2Д) < 0),
dom(DA £р = {Л, b, 8|a’0‘ (Л, &,-Д) < 0}.
§ 1. МНОЖЕСТВО, ЗАДАННОЕ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
177
Покажем теперь, что условие Слейтера является не-
обходимым для возможности внутренней регуляризации
снизу Л на (Л, Ь, е). Действительно, если указанная
регуляризация существует, то из утверждения 3.2.4 сле-
дует, что лЛ^Л, Ь), е)>0. Отсюда следует, что для
уе[0, лТ4((А, Ь), е)) и любых (Л', Ь')^.Му(А, Ь) вы-
полнено Т4((А', b'), е.)=£0. Отсюда получаем
supо*(Л', Ь')^.О. Однако supо*(Л', б')^о*(Л, Ь) +у,
А', Ь’)еМ (А.Ь)	’ (A'.b')SM (А.Ь)
откуда следует, что о* (Л, Ь)^—у<0.
Для внутренней регуляризации сверху принципа оп-
тимальности Т4 условие Слейтера не является, конечно,
необходимым. Поэтому рассмотрим способы внутренней
регуляризации сверху для Т4, не использующие условие
Слейтера.
Введем принцип оптимальности (Т7, где
Т7 ((Л, b), 8Х, &>) = {х <= Еп]Ах+ъ1{еп, |х|> < &+е2}.
Элементарные вычисления дают
ех Т7((Л, Ь), е, б) = Т7 ((Л, Ь), —б, е2+б),	(4.1.1)
in Т7 ((Л, Ь), е, б) = Т7 ((Л, Ь), ех 4-6, 8а—б),	(4.1.2)
dom (Т7,	= {Л, Ь, е|о" (Л, Ь,— ex) < sx4-82}.
(4-1.3)
Пусть т>0 — константа из утверждения 2.2.16, то
есть если L0(A, Ь)У=0, то для x^En\L0(A, b) выпол-
нено
max [<ah х) — fy] > т-d (х, Lo (А, b)).
Рассмотрим согласование
DA (А, Ь, 8) = {(а, б) е А < б ах, 4-6 те,
Од (Л, Ь,—ах—б) < ах 4-ota, £0 (Л,	0).
Утверждение 4.1.3. Принцип оптимальности Т7
внутренне ^.-регуляризует сверху Т4 на dom(Z)A, Е$) при
согласовании D\
Доказательство. Пусть ((A,b), e)<=dom(£)A, £®),
а (а, б)еДд(Л, Ь, е). Из условия оо**(Л, Ь, —ctj—б)^
^ai+«2 следует, что Т7((А, b), ai4-6, аг—б)=/=0 и, зна-
чит, выполнено Т7((А', b'), alt а2)У=0 для любых
(Л', Ь')^М6(А, Ь). Пусть х^ех.Т7((А, Ь), а, б) =
= Т7((А, b), ai—б, аг+б). Поскольку ai—6^0, то тог-
178 ГЛ. 4. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
да Ах^Ь+щ+Ь или max[<ai, х)—й{]^аг + 6. Если
тах[<а{, х)—^0, то x^L0(A, b)czT4((A, b), в). Если
же x^L0(A, b), то тогда d(x, L0(A, b))	(a2+6)x_1^s,
то есть x^T4((A, b), в). 
Используя свойства функции оо**, нетрудно показать,
что
dom (D\ Е^) = {А, b, е|тах {Д, о*’ (Л, Ь,—2 Д)} <
< те, о* (А, Ь) 0).
Отсюда видно, что условие Слейтера о*(А, &)<0 здесь
не требуется. Особенно простой вад приобретает полу-
ченное равенство при Д=0. Тогда
dom (D°, £|) = {А, Ь, е|о* (А, Ь) С 0, е > 0}.
§ 2. Регуляризация задачи
математического программирования
Сначала рассмотрим задачу математического про-
граммирования в общем виде. Повторим основные мо-
менты описания из § 2.3. Пусть заданы: множество мо-
делей М с псевдометрикой р,; функционал f, определен-
ный на множестве М'Х&'ХХо, где S — множество пара-
метров, а (Хо, р) — метрическое пространство; принцип
оптимальности РеФ(Мх^, ®1(Хо))- Функционал
f(m, е, •) интерпретируется как e-приближенный к це-
левому функционалу, а Р(т, в) понимается как множе-
ство е-допустимых значений переменной хеХ0.
С задачей вычисления наибольшего значения функ-
ционала f свяжем три принципа оптимальности
(Я, <ГХЕф), (Н,#ХЕ1®), (Н,^хЕ&, где
HJm, е) = (—оо, h (т, е1)А-8а],
Н (т, е) = [h (пг, ej—s2, + оо),
Н (т, в) = [h (т, ej—es, h (tn, 8.2) 4- е4],
h (т, a) = sup f (т, а, х), а Е
xsP(m.a)
Множеством стратегий для этих, принципов оптимально-
сти является Е1, и поэтому интерпретация Q есть тож-
дественное отображение.
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
179
В главе 3 показано, что для произвольного принципа
оптимальности 7? регуляризующими для него являются
in/? и ех/? или принципы оптимальности, соответствую-
щим образом аппроксимирующие in/? и ех/?. Посмот-
рим, что дает такой метод построения регуляризующих
принципов оптимальности для рассматриваемого случая.
Применяя утверждение 2.3.1, получим весьма уточные
оценки для принципов оптимальности ехЯ, ехЯ, ехЯ
и точные выражения для in Я, in Л, in Я. Из результа-
тов главы 3 следует, что оценки для ехЯ, ехЛ, ехЯ яв-
ляются внешне регуляризующими (всех типов) для Я,
П, Я на максимально широких множествах. Поскольку
in Я, in Л, in Я найдены точно, то относительно исследо-
вания аналогичных свойств для них можно повторить то
же, что говорилось в общем случае в главе 3.
Однако представляет интерес выяснить^ какой вид
принимают множества, на которых in Я, in Л, in Н обес-
печивают внутреннюю регуляризацию разных типов для
Н, П, Н. Нетрудно видеть, что для in Я и in Л для лю-
бых типов внутренней регуляризации обеспечивают ре-
гуляризацию Я и Л на AfX<Fx£$.
Для принципа оптимальности Н этот вопрос решает-
ся несколько сложнее. Рассмотрим сначала внутреннюю
Д-регуляризацию снизу. Как следует из утверждения
3.3.1, принцип оптимальности in Я является внутренне
Д-регуляризующим снизу для Я на множестве
П((Я, &*ХЕ&), Д), где
П ((Я, X Л|), Д) = {(т, е) 6= М х 8* х£||Э 6 > Д:
. h~ (tn, 82, 6)—h+ (tn, elt 6) + e3 + e4	0).
Несложно показать, что если (т, е)<=П((Я, <F2X£®), Д),
то на множестве (tn, еь е2)Х{(®з, е4)еЕ® |е3>е3+е4,
е4^ез + е4, ез + е4^3(ез + е4)} Я является внутренне Д-ус-
тойчивым снизу. Отсюда можно сделать вывод, что
П((Я, ’^РхЕф), Д) мало отличается от множества, на
котором Н внутренне Д-устойчив снизу. Если функцио-
нал h не зависит от е, то есть имеет вид h=h(m), то по-
лучаем качественный вывод, что здесь внутренняя Д-ус-
тойчивость снизу и внутренняя Д-регуляризуемость сни-
зу, по существу, эквивалентны.
180
ГЛ. 4. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Рассмотрим теперь внутреннюю Д-регуляризацию
сверху. Принцип оптимальности in// является внутрен-
не Д-регуляризующим сверху для Н на множестве
ш1(П((Я, <^2ХЕ®), Д), Д), которое уже, чем П((Я,
^2ХЕ©), Д). Поэтому здесь также можно сделать вы-
вод, что in Я внутренне Д-регуляризует сверху Н на
множестве, которое «почти» совпадает с множеством,
где Н внутренне Д-устойчив сверху. Если для внутрен-
ней Д-регуляризации снизу получить регуляризацию на
более широком множестве, чем П((Я, <?”2хЕф), Д),
нельзя, то получить внутреннюю Д-регуляризацию свер-
ху можно, вообще говоря, на всем множестве
dom(Я, #2ХЕ®).
Рассмотрим теперь задачу поиска значений перемен-
ной х, «реализующих» наибольшее значение функцио-
нала f. С этой задачей будем связывать принцип опти-
мальности (Arg sup, ё?2ХЕф), где
Arg sup (m, в) =
= Ott {х е Р (т, ех)|/ (т, вх, х) 4-е3'> h (т, s2)}.
Для этого принципа оптимальности множество страте-
гий для любой модели равно Хо, а интерпретация явля-
ется тождественным отображением.
Как следует из результатов § 2.3, внешнюю регуля-
ризацию любого типа для Arg sup на максимально ши-
роких множествах обеспечивает принцип оптимальности
(eArg sup, ^2ХЕф), где
eArg sup (т, в) =
= 0е4 {х <= ex Р (т, sx, 85)|f+ (т, ех, х, е8) +®3 >
>ft-(m, 82, еБ)}.
Внутреннюю регуляризацию любого типа для Arg sup
обеспечивает принцип оптимальности (iArgsup, ^2XE®),
где
iArg sup (т, в) =
= 0в4 {х 6 in Р (т, 8Х, е8)|/~ (т, ех, х, 8,)+83 > h+ (т, е2, в6)}.
Однако утверждать, что регуляризация обеспечивается
на максимально широких множествах даже для внутрен-
ней Д-регуляризации снизу, вообще говоря, нельзя.
Для сравнения достаточных для внутренней Д-устой-
чивости сверху условий, приведенных в утверждении
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
181
2.3.2,	сформулируем достаточные условия внутренней
Д-регуляризации сверху и снизу для Arg sup.
Утверждение 4.2.1. Пусть выполнены условия:
1.	Для любого	тР(п, ei, а5)#=0.
2.	Для любого п^М6 (т)
st~ (0%] sup f (n, ev x) 4- a3 > h+ (n, e2, a5).
xeP(n,8i)
3.	ax = 8X, otj = 82, a3 e3, a4 e4, a5 > 6 > A.
Тогда для Д^О выполнено: (i Arg sup, ё^хЕ^внут-
ренне к-регу ляризу ет сверху (Argsup, ^2Х^ф) на (пг, е)
при согласовании (а, 6).
Утверждение 4.2.2. Пусть выполнены условия:
1)	in Р (tn, ex, as)^0.
2)	st-[[a6] sup ff(m, 8X, x) + a3 > h+ (tn, e2, a8).
xGP(/n,8i)
3)	«1 "«!>«!« ®2»	< «<» a5 > 6 > Д.
Тогда для Д^О выполнено: (i Arg sup, «?2х£©) внут-
ренне ^.-регуляризует снизу (Arg sup, <F2XjE$) на (/п, е)
при согласовании (ю, 6).
Отсюда легко видеть, что достаточные условия внут-
ренней Д-регуляризуемости сверху для Arg sup сущест-
венно слабее соответствующих достаточных условий ус-
тойчивости.
Исследуем теперь некоторые свойства метода штра-
фов в математическом программировании. С методом
штрафных функций свяжем два принципа оптимальнос-
ти (Нр, ^2Х£ф), (Argsupp, «^Х-Еф), где
Нр (т, 8) = [hp'(m, 8n 83)—8j, hp (tn, 82, e4) 4-ee],
ftp (tn, 8, a) =
= sup [/ (tn, e, x)—aK(m, e/x)], ££<?”, a>0,
xsXe
Arg’supp (m, 8) =
= Oe. {/<=;x0|f (tn, 8n x)—8S к (tn, ex, x) 4-8e > hpr(m, 8.,, 84)}.
Функцию К будем называть штрафной, если для любых
(т, 8)еМХ^ выполнено условие inf К(т, в, х) =0.
хеХ0
Отметим, что обычно (см., например, [13]) опреде-
ление штрафной функции дается в связи с некоторым
множеством X, которое интерпретируется как множест-
во допустимых значений переменной х. Затем исследу-
182
ГЛ..4- СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
ется связь задачи математического программирования с
множеством допустимых стратегий X и метода штраф-
ных функций.
Здесь применяется другой подход. По заданной
штрафной функции указывается задача математического
программирования, которая будет близка к исходной
штрафной задаче.
Пусть К — штрафная функция. Обозначим
Qk (т> е, 0 = {х е Х0|К (т, е, х) < /},
hg(tn, 8, t) = sup f (пг, 8, x).
xsQK (m,B,t)
Из определения штрафной функции следует, что для
/>0 выполнено Qx(m, 8, t)=/=0, и поэтому на множест-
ве fe£1+ функционал hq не убывает по t. Значит, суще-
ствует (конечный или бесконечный) предел
lim hq (пг, е, /) = inf hg (tn, 8, i) = ft0 (m,’e).
<->o+	f>0
Утверждение 4.2.3. Пусть выполнено;
1) sup f(m, 8, x)< + oo.
2) h° (tn, e)>—oo.
Тогда при /^a-1[supf(m, e, x)—h°(m, в)] справед-
ливо равенство
hp (m, 8, a) = sup [f (tn, 8, x)—a К (tn, 8, x)].
Доказательство. Пусть те(0, t). Тогда
sup	[f (tn, 8, x)—a К (m, 8, X)]
xeQK(m,e,f)
sup	[f (tn, 8, x)—a К (m, 8, x)]
xeQK (m.B.X)
hg (tn, e, x)—ат	ft0 (/n,r8).
t-»o+
С другой стороны,
sup (f(tn,8,x)—aK(tn, 8, x)] <
xGX,\QK(m,e.t)
sup f(tn'e,'x)—atЛ*(tn, e). R
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
183
Из утверждения 4.2.3 непосредственно следует оценка
hq (т, 8, t) hp (т, в, а) hq (т, 8, т)—ат
для t > а-1 [ sup f (т, в, х)—h° (т, е)] й т> 0. Отсюда
XGrXjj
получаем, что если sup f (tn, 8, х)—№ (tn, в) < 4-00, то
xsX,
lim hp (tn, 8, a) = h9 (tn, e).
a—►-f'oo
Следовательно, при достаточно больших а и достаточно
малых />0 величины hp(m, е, а) и hq(tn, е, t) будут
близки. Используя этот результат, можно легко сфор-
мулировать условия, при которых Нр будет аппроксими-
ровать внутренним или внешним образом аналогичный
принцип оптимальности Hq, построенный на базе функ-
ционала hq.
Исследуем теперь взаимосвязи принципа оптималь-
ности (Argsupp, ^2х£ф) и (Arg sup,, #2х£ф), где
Arg sup, (tn, 8) =
= 08, {х <= QK (tn, 8П 83)|/ (tn, &lt X) 4- 86 > hq (ГП, 82, 84)}.
Утверждение 4.2.4.
1. Пусть a^ej, a2 = e2, 83 > 0, а4 > О, а3>е64-
+ «4е4, ав> 8в>
«з > 8-> [ sup f (tn, ех, x)—h9 (tn, 82) 4-85].
xeX0
Тогда выполнено Argsupp (пг, е) cz Arg sup, (tn, а).
2. Пусть рх = ех, Р2= 82, Р3 > О, Р3 4- Рз83 83, рз^ ев,
Р« > I SUP f (т> 8г» x)—h° (т, 8g)].
xGXo
Тогда выполнено Arg sup, (tn, Р) G Argsupp (tn, e).
Доказательство. Из условия
f (tn, 8p X)— 83 к (tn, 8X, X)4-86 > hp (tn, 82, 84)
следует, что
f (tn, 81, x) 4- 86 > hp (tn, 8а, 84) > hq (tn, 82,	—a4 e4.
Поэтому f(m, ei, x) +a5^hq(m, 62, at). Используя нера-
венство hp(m, 62, б4)^Л°(/п, 82), получаем
K(m, 81,х)^8~1 [ sup f(m, 8х, х)—h°(tn,e^ 4~85]^a3.
xeX0
Следовательно, x^Qx(m, 81, аз).
184	FH. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ оЦтимальностй
Пусть	ei, Рз) и f(m, 6i,x)+p5^:/ig (т,е2, Р<)-
Тогда f(m, ei, х)—zzK(m, ei, х)+8з0з+₽5^Лр(/п, ег, 84).
Оценим теперь множества dom(Argsupp, <?”2х£ф) и
dom(Argsupg, б?2х£©). Нетрудно видеть, что справед-
ливы включения
dom (Argsupp, #2х£^) =>
zd {(m, 8)|/tp (tn, ех, 83) + е5 >'hp (т, 8а, 84), 8в > 0},
dom (Argsupp, <Г2х
ci{(m,&)\hp(m,e1,e,3) + e,6^hp(m, s2, е4), ee > 0),
dom (Argsupp, сРхЕ^) =>
zd {(tn, z)\hq(tn, ex, s3)+e6 > hq (tn, e2, 84), s3 > 0, 8e > 0),
dom (Arg sup,, <g’2x£'^) <=.
<=. {(m, s)\hq (tn, ex, 83) + e5 > hq (tn, 82, e4), гв > 0}.
Используя эти оценки, можно легко сформулировать
условия внутренней аппроксимации для принципов оп-
тимальности Argsupp и Argsupg. Не приводя точных
формулировок, отметим качественную картину этих ре-
зультатов. Для принципа оптимальности Argsupp внут-
ренняя аппроксимация с помощью принципа оптималь-
ности Argsupp имеет место на множестве таких (пг, е),
что
hp (tn, sx, 83) + е5 > hp (tn, е2, 84)
и ез, 84 — достаточно большие числа. Для принципа оп-
тимальности Argsupg внутренняя аппроксимация с по-
мощью принципа оптимальности Argsupp имеет место
на множестве таких (т, е), что
hq (tn, ei, е3)+®5>Лд (ш, 8г, 84)
и ез, б4>0 — достаточно малые числа.
Пока задача математического программирования'
рассматривалась в весьма общем случае. Естественно
ожидать, что при конкретизации различных элементов
общей постановки можно будет получить и новые ре-
зультаты. Поэтому изучим некоторые частные случаи.
Пусть (Хо, р) — метрическое пространство; в качестве
множества моделей рассмотрим М=Ф(Х0, (Хо),
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ	185
псевдометрику для моделей положим равной
н ((g, X), (q, У)) = Hr (gr [g|X], gr [?|У]),
где
r ((x, и), (у, о)) = max {p (x, y), max \ut—vt|},
0<i<n
u, v e £"+’.
Функционал f возьмем в виде f((g, X), x)=g0(x), g=
= (go, —, gn), а принцип оптимальности
P(g,X)={xe Xlgt (x) > 0, i= 1.....n}.
Тогда принцип оптимальности И принимает вид
Н ((g, X), е) = [h (g, X)-^,h (g, X) + e2], (81, 8..) s E^
a
h(g, X) = sup g0(x).
xeP(g.X)
В данном случае, когда h зависит только от модели,
внутренняя аппроксимация и внутренняя регуляризация
сверху принципа оптимальности Н связаны с задачей
приближения функционала й некоторым функционалом
^еФ^Х^’ХА’о, Е1), удовлетворяющим соответствую-
щим условиям регулярности. Принимая во внимание
исследование устойчивости принципа оптимальности
Тза’ь в § 2.2, естественно рассмотреть возможность ап-
проксимации функционала h с помощью функционала k,
имеющего вид
k ((g, X), 8) = sup g0 (x), 8 e= En.
xsX
вг(*Н-в|>о
i=l, ,n
Изучим сначала некоторые свойства функционала k.
Аналогично утверждению 2.2.8 можно показать, что ес-
ли p((g, X), (q, У)) то для любого у>6 выполнено
к((ё,Х),г)^к((ч,У),г + у) + у.
Отсюда следуют 1неравенства
k+[((g, X), 8, 6)< k ((g, X), 8 + у) + у При'у > 6,
kr- ((g, X), 8, 6) > k ((g, X), 8—у)— у при У > 6,
которые фактически указывают параметры, при которых
выполнены условия регулярности.
Приведем достаточные условия для аппроксимации
функционала h. Нетрудно показать, что если X — ком-
186 ГЛ. 4. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
пакт, a gi, 1=0, 1.. п, полунепрерывны сверху на X,
то
limk((g,X),s) = h(g,X),	(4.2.1)
8->0+
то есть для любого а>0 существует e((g, X), а)е£п+
такое, что при 0<e^e((g, X), а) выполнено
h (g, Х)< k ((g,'X), е) < h\g, X) + а.
Введем принцип оптимальности (Ял, Е2пхЕ@), где
Hk ((£. X), a)=[k ((g, X), aj—a3, k((g, X), a2) + a4],
и согласование ДА, где
4A((g,X),8) =
= {(a, 6) е £^+3|Д < б < aj ^a2,a34-6<e1,a4 + 6<e2,
aj.ageE®, 3₽>6:a2 + p<	a4—₽)}.
Нетрудно видеть, что
dom (ДА, £|) =
= {(g, X), е\ех > Д, s2 > Д, Э р > Д: Р + Д < 8 ((g, Х),\—Р)}.
У т в е р ж д е н и е 4.2.5. Пусть Мс— множество мо-
делей (g, Х)^М, для которых X — компакт, a gi, i=
= 0, 1, п, полунепрерывны сверху на X. Тогда прин-
цип оптимальности Hh является внутренне tx-регуляри-
зующим сверху Н на dom(AA, £ф)П (ЛГсХЕф) при сог-
ласовании Лд.
Доказательство сводится к элементарной про-
верке условий соответствующих определений с помощью
полученных оценок.
Отметим, что при А = 0 и (g, Х)^МС множество
dom(AA, Еф) принимает вид
dom (АА, Е^) = {(g, X), 8|8 g= E2J
Наиболее ограничительными условиями в утвержде-
нии 4.2.5, по-видимому, являются компактность X и зна-
ние функции 8. Для получения внутренней регуляриза-
ции сверху, когда X неограничено, можно применить ста-
билизаторы из метода регуляризации А. Н. Тцхонозз
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ	18?
[74]. Однако такой прием требует наложения на модель
некоторых дополнительных условий [12]. Необходимость
наложения различных дополнительных условий на мо-
дель для возможности регуляризации связана, прежде
всего, с традиционным видом задания принципа опти-
мальности Р.
Введем принцип оптимальности PQ, который отли-
чается от Р только тем, что вместо нестрогих неравенств
используются строгие. Итак, пусть
ро (g> Х) = {х е Xlgi (х)> 0, i = 1, ... , п}, (4.2.2)
h0(g,X)= sup g0(x).
Для любых (g, X)eAf, очевидно, выполнено
lim k((g, X),e) = h0(g, X),
e->0—
то есть если ho(g, X)< + oo, то для любого a>0 суще-
A	A
ствует e((g, X), a)^En+ такое, что при —e((g, X),a)^
^8<0 выполнено
h0 (g, X)—a C k ((g, X), e) < h„ (g, X).
Как видим, по сравнению с аппроксимацией функцио-
нала h (4.2.1) аппроксимация функционала /г0 не тре-
бует никаких дополнительных условий. Естественно
ожидать, что условия регуляризации принципа опти-
мальности (Но, Еф), где
H0((g, X), 8) = [hQ(g, Х)-8х, he \g, X) 4-8,1,
будут значительно слабее соответствующих условий
для Н:
Введем согласование
4A((g- Х),е) =
= {(а, б) е Е2п х £®| Э б' > б: б' —е ((g, X),
ех—а3—б') < ах < а, <—б', а3 + б' < в,.
б > Д, б' < е2—а4; ах, а2 <= Еп}.
Нетрудно видеть, что
(1от(Л*,£|) =
= {(g, X), 8| 3 б' > Д: ех > Д, е2 > Д, 2 Д < е ((g, X), 8j— б')}.
1S&
ЁЛ. 4. срАвнениё ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Утверждение 4.2.6. Принцип оптимальности Нк
является внутренне к-регуляризующим сверху HQ на
dom(AA0, )л{(£, X), e\ho(g, X) <+00} при согласо-
вании Ддо.
Доказательство сводится к элементарной про-
верке условий соответствующих определений.
Отметим, что единственным ограничительным уело-
А
вием в утверждении 4.2.6 является знание функции е.
Отсюда можно сделать вывод, что с точки зрения регу-
ляризуемости задание ограничений в виде (4.2.2) много
удобнее, чем в виде (4.2.1). Традиционное предпочтение
в употреблении и исследовании ограничений (4.2.1)
объясняется, видимо, тем, что при наложении на gt
условий непрерывности, а на X условий компактности
имеет место достижимость верхней грани функции go.
Методом регуляризации, приведенным в утверждении
4.2.6, можно воспользоваться и для принципа оптималь-
ности Н на множестве тех ((g, X), е), где hQ(g, Х) =
= h(g, X). В общем же случае, то есть когда h0(g, Х)^.
^h(g, X), законность применения метода регуляриза-
ции утверждения 4.2.6 иногда можно обосновать, если
посмотреть на эту задачу несколько шире.
Действительно, часто в процесс исследований входит
не только изучение математической модели реального
явления, но и этап ее построения или уточнения. Поэто-
му уже на этапе формирования математического описа-
ния явления можно поставить вопрос: не будет ли ис-
пользование функционала h0 столь же содержательно
обоснованным, как и использование функционала /i?
По-видимому, найдется немало практических задач, в
которых ответ на этот вопрос будет положительным.
Перейдем теперь к изучению принципа оптимальнос-
ти, соответствующего задаче поиска реализаций для
h(g,X)= sup g0(x).
хеХ
g. (х)>0,Л=1,...,п
Наиболее традиционным является принцип оптималь-
ности
Arg sup! ((g, X), е) =
= ОВ {х е X\gi (х) > 0, i = 1, ... , п; gQ (х) = h (g, X)}.
При построении регуляризующего принципа опти-
мальности для Argsupj будем использовать один из ме-
§ 2. Математическое программирование
годов главы 3, а именно, будем искать устойчивый (в
нужном смысле) принцип оптимальности, аппроксими-
рующий Argsupi.
Введем вспомогательный принцип оптимальности
(Р, En+i), где
Р ((g, X), а) = {х е X\gi (x) + at > 0, i = 0, 1, ... , п}.
Легко показать, что если X— компакт, a gi, 1=0,1,..., п,
полунепрерывны сверху на X, P((g, X), а°)=/:0, то
lim рр (Р ((g, X), а), Р ((g, X), а°) = О,
а-»а°, Р(«.Х).а)#0	(4.2.3)
то есть для любого е>0 существует a((g, X), а0, е)е
е£п+ такое, что при условии шах |а»—a°i|	а((g, X),
O^i^n
а0, е) выполнено	•
P((g, X), a) cz ОеР ((g, X), а9).
Отметим также, что при а^а° имеет место Р( (g, X), а) о
=>P((g, X), а0) и поэтому
Нт Яр (Р ((g, X), а), Р ((g, X), а®)) = 0. (4.2.4)
а->а°+
Введем принцип оптимальности (Q, Рф+2), где
еоеЕ^, 8хеЕ",	83 <= Efr
Q ((g, X), 8) = Ое, Р ((g, X), е0-А ((g, X),	8Х).
Аналогично утверждению 2.2.8 можно показать, что для
любого достаточно малого а>0 выполнено
ex Q ((g, X), 8, 6) <=
с Q((g, X), 804-2б +2а, Sj + 6+а, е2—6—а, 83 + б + а),
in Q ((g, X), в, S)
=> Q((g, X), 80— 26—2а, 8X—6—а, 83 + 6 + а, s3—6—а).
Нетрудно видеть также, что
dom (Q, Яф+2)
=>{(g, X), 8|k ((g, X), 8Х) + е0 > k ((g, X), 82) >—оо, es>0} Z)
=>{(g. ^)> 8|80, е3>0, exj>82O 1=1, ... ,п,
k ((g, X), 8j) > —оо).
190 гл. 4. сравнение принципов оптимальности
Введем функцию
р* ((£• Я), в)= sup min [£г (x) + ej, 8 €= En.
xeX
Очевидно, из условия p*((g, X), e)>0 следует, что
&((g, X), e)>—co. Поэтому имеем
dom (Q, E&+2) zd
=> {(g. X), 8|80, 83 > 0, ех > e2, p* ((g, X), 82) > 0). .
Покажем теперь, как с помощью найденных оценок
построить согласование, при котором Q будет внутренне
А-регуляризующим сверху для Argsupi.
Для того чтобы набор (а, б) принадлежал значению
указанного согласования при аргументах ((g, X), е),
нужно, чтобы 6>А,
ex Q ((g, X), a, б) <= Argsupj ((g, X), 8)
и для любых (q, Y)eM6(g, X) было выполнено
Q((q, У), а)=#0. Заменим эти условия более сильными:
(Q ((g> X), а04-2б', ах + б',а2—б', а3 + б')сОеР ((g, X), а0),
I in Q ((g/Л)» а> б)=/=0 > б' > б > А, а0 = (—h (g, X), 0, ..., 0).
Для выполнения последних условий достаточно, чтобы
было выполнено
' |ao + 26'-ft((g,X),a2-6') + A(g, X)|<a((g, X),
а0, е—а3—б'),
Х),а°, е—а3—б'),
а0>2б',а3>б', а^аа + гб'.р*^, X), а2)+ б' > 0,
6' > б > А, а° = (-Л(g, X), 0,..., 0).
Для нахождения условий, достаточных для выполнения
первого неравенства системы, воспользуемся (4.2.1).
Учитывая области определения функций-а и е, имеем
ai + 6' <а ((g, X), а0, 8—а3—б'),
0<а2—6'Ce((g. X),a((g, Х),а°,е—а3—б')—а0—2б'),
a ((g, X), а0,8—а3—б') > а0 + 2 б', 8 > а3 + б', (4.2.5)
а0>2б', а3>б'» а^а2 + 2б', p*((g, X), а2) + б'>0,
б' > б > А. а0 = (-ft (g, X), 0,..., 0).
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ	191
Нетрудно видеть, что если X — компакт, gi, i=0,1,..., п,
полунепрерывны сверху на X, е>0 и Argsupi((g, \Х),
е) у=0, то при достаточно малых А>0 система (4.2.5)
имеет решения.
Если для записи этого результата о внутренней О-ре-
гуляризации сверху для Argsupi применить классичес-
кий язык теории пределов, то получим
lim $p(Q((q, Y), a), P((g, X),-h(g, X), 0,..., 0))= О,
а-»-о+
б->-0-|-
причем 6=ц((<7, У), (g, X)) и,стремление а и б к нулю
происходит согласованно, а именно, ао>2б, а1>аг+26,
аг>б, аз>б.
Казалось бы, результат записывается совсем просто,
и необходимости в достаточно громоздкой системе
(4.2.5) нет. Однако на практике реализовать точно пре-
дел, вообще говоря, нельзя, и, переходя к приближен-
ному результату, необходимо потребуются различные
оценки скорости сходимости, то есть функции а и в.
При исследовании регуляризующих свойств принципа
оптимальности Q был использован результат (4.2.3).
Интересно выяснить; что может дать использование
(4.2.4). Оказывается, с помощью одного согласования
можно получить и внутреннюю А-регуляризацию сверху
и внешнюю Д-регуляризацию снизу для Argsupi. Более
того, пусть X — компакт, g{, i=0, 1.п, полунепрерыв-
ны сверху на X, 62>ei и Argsupi((g, X), ei) =£0. Тогда
для достаточно малых А>0 система
' «2>6', 82>а34-6',а3>е14-б', а0> 2б',
a((g, X), а°, 8g—а3—б')> ав + 2б'>
а1 + 6' < а ((g, X), а0, в2—а3—6'),
а2—((g,X),a((g,X),a°,e2—а3—б')—а„—2 б'),
«г + б' < е ((g, X), а0—2 б'), ах > б' > б > А,
а0 = (—ft(g, X), 0,..., 0)
имеет решения и для любого ее решения (ао, си, «2, аз, б)
выполнено
0	Arg sup, ((g, X), 8Х) с Q ((<?, Y), a) a: Arg supx ((g, X), s2)
192 ГЛ. 4. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
для любых .(q, Y)&M6(g, X). Доказательство этого
факта совершенно аналогично получению системы
(4.2.5). Используя язык теории пределов, для Д = 0 этот
результат можно записать в виде
lim Hp (Q (0, У), а), Р ((g, X),-h (g, X), 0,.... 0)) = 0,
а->04-
д->0+
где б = ц,((<7, У), (g, X)), a ao>26 + &((g, X), а2 + 6) —
—h(g, X), ai>b, i=l, 2, 3.
Рассмотрим теперь принцип оптимальности (Argsupo,
Е®), где
Argsup0((g, X),' е) =
~О8Дх<=Х|&(х)>0, t = п; go(*) + eo>Mg, Ж
который соответствует задаче поиска реализаций для h0.
Тот факт, что для регуляризации Но требуется су-
щественно 'меньше предположений, чем для регуляриза-
ции Н, позволяет ожидать, что аналогичная картина бу-
дет и для принципа оптимальности Argsupo.
Введем принцип оптимальности (Qo, Д©+2), где
^Е ®, ei, 82еДф , ез^Дф,
Со((Я. х), е) = 0е,{хеХ|яг(х)>81г, i=l, ...,п;
gAx) + 4>k((g,X), —ej}.
Нетрудно видеть, что Qo от принципа оптимальности Q
отличается только областью значений параметра 8. По-
этому имеют место следующие оценки:
exQ0((g, X), е, б)с=
<=Qo((g> *), 804-2б', ej—6', 82 + 6', 83 + 6'). 6'>6,
inQ0((g, X), 8, б)=>
=>Qo((g» АГ), е0—2б',е1 + 6', 82—б', s3—б'), б'>б,
dom(Q0, Д^+2)о
=>{(g, X), 8|8Х <82; 80, 83>0, p*((g, X), — 82)>0}.
Найдем согласование, при котором Qo является внут-
ренне Д-регуляризующим Argsupo на ((g, X), е). Для
того чтобы набор (а, б) принадлежал значению этого
согласования на ((g, X), е), нужно, чтобы были выпол-
нены условия 6>Д,
ex(?0((g, X), a, 6)c=Argsup0((g, X), в)
5 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
и для любых (</, Y)^M6(g; X) имело место Qo((g, Y),
а) ^0. Заменим эти условия более сильными:
Q0((g, X), а0+2б', ах — 6', «в + б', а3 + б')с
cArgsup0((g, X), 8)>
Qo((g, X). oto—2§', ах + 6'>	«з—д№0,
. 6'>6>Д.
Дальнейшие элементарные преобразования с помощью
полученных оценок приводят к следующей системе усло-
вий:
’2§ oCq<СSq 2§ ,
2б'<а1 + 6'^аа—6'<p*((g, X), 0),
Д<б<б'<а3<е1—6',	(4.2.6)
А
la2+6'<8((g, X), 80—а0—26').
Нетрудно показать, что если ho (g, X) < + oor
p*((g, X), 0)>0, 8i>0, 8o>O, то при достаточно малых
Д>0 система (4.2.6) имеет решения. Отметим, что ни-
каких условий типа компактности здесь не требуется.
Остановимся теперь на задаче линейного програм-
мирования. Как и в § 2.3, положим множество моделей,
равным м. = Етп+т+п, а метрика
р'((А, Ь, с), (Д', Ь', с')) =
= max {max |ан—а'.|, max 16,-—Ь'Л, max Ic.—c'|L .
1 1/1 1 Й 1 1 П>
Классическая постановка задачи линейного програм-
мирования включает нахождение
Л(Д, Ь, с) = sup (с, х),	(4.2.7)
xGL0 (Л.Ь)
где L0(A, b) = {x^En\Ax^z.b}, и хотя бы одной точки
множества
Lp(A, b, c) = {xgL0(A, &)| (с, x)^h(A, b, с)}.
Хорошо известно, что h не является, вообще говоря;
непрерывной функцией модели. Поэтому исследуем сна-
чала вопрос о регуляризации задачи (4.2.7). Введем
функционал
ht((А, Ь, с), 8) = sup [<с, х)— 8Х (еп, |х|>],
хеТ7((Л, Ь), е2, е8)
(4.2.8>
1/г7 д. а. Молодцов
fSg4'	гл: *• СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
сДё в„ 8a, е3е£^,
Т7((Д, Ь), е2, 83) = (х<=Еп\Ах + ^ {еп, |х|Х&4-83}.
Аналогично утверждению 4.1.3 можно показать, что если
Lo(A, b)^0, то
Т,((А, Ь), ^, 83)<= О t L,(A, b),
E3T
т — константа из утверждения 2.2.16. Пусть теперь
. Ер(Д, b, с) = min (en,	(4.2.9)
xeLp (Л, b, с)
тогда Ьр(Д, b, с)ПТ’7(Д, &) =/=0. Следовательно, справед-
ливо
У тве р жд ё н ие 4.2.7.’ Если |/г(Д, Ь, с)1<оо и вы-
полнено (4.2.9), то -J' •
h(A, b, с) — 81Lp(A, b, с)< ’ -	•
< ht ((Д, Ь, с), е) h (Д, Ь, с) + ||с|| 83 т~' .
Заметим, что из утверждения 4.2.7 следует равенство
Нт /1;((Д, Ь, с), в) =Я(Д, Ь, с).
е-»0+
е, е~1-++~
Используя (4.1.1), (4.1.2), получаем
;й^((Д, Ь, с), 8, 6)/=
= М(А Ь, с), 8Х—6, 8,-6, 83 + 6), (4.2.10)
ЛГ ((Д, Ь, с), е, 6) =
= йг((Д, Ь, с}, в1+6, 82 + 6, 83— 6). (4.2.11)
<3 задачей (4.2.7) естественно связать принцип оптималь-
ности (Я, £2ф), где
Я ((А, &, с), 8) = [й(А &, с)—ех, й(А, Ь, с) +е2],
а с задачей (4.2.8) — принцип оптимальности (Hi, £8$),
где
Ht((A, Ь, с), е) =
^[^((А, b, с), 8„ 8а, 83)—84, /1,((Д, Ь, с), е5, ев, е,)-^].
Из монотонности функции hi по в легко следует оценка
domffli, £^)гэ{(Д, b, с), e|e1>85, 82>e(f, 8y<aJ.
(4.2.12)
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
195
Покажем, что Hi является внутренне Д-регуляризую-
щим сверху для Н. Найдем соответствующее согласо-
вание. Итак, пусть 6>Д,
ехЯг((А, Ь, с), a, 6)cz//((A, b, с), в)
и для любых (А', Ь', с/)еА1в(А, Ь, с) выпрлненр
b', с'), а)У=0. Испол.ьзуя оценки (4.2.10)—»
(4.2.12), приходим к системе условий
а^а^б, а2>ав>б, а7>а3>б>Д,
М(А, Ь, с), ах + б, Ог + б, а3—б)>
>Л(А, Ь, с)—«,-ЬОц,
ht((A, b, с), а6—6, а«—6» о^ + бХ ,
<Л(А, 6, с) + е2—qc8.
Чтобы применить утверждение 4.2.7, потребуем
|Л(А, Ь, с) | <ор, тогда получим
«а1>аь>б, а3>ав>б>Д, <*?>
>a3>6 + L°p(A, b, сИаз + б),	,42
IHHov + eX1+ а8<в2,	'•* '
(<%! Н-б) Lp (Л, Ь, сЦ-а^.
Обозначим сргласование, определяемое системой
(4.2.13), через бд/. Выясним, при каких ((А, Ь, с), г}
оно не пусто. Элементарные преобразования дают
dom (Сд, £^) = {(А, Ь, с),- е| |Л (А, Ь, с)| < оо,
2Д[1+1-р(Л, Ь, с)] • ||с|1 < 82т, 2дЬр(А, Ь, сХ^},
Итак, справедливо
Утверждение 4.2.8. Н{ внутренне А-регуляризует
сверху Н на dom(G\ f2®) при согласовании G\.
Отметим, что единственными ограничительными ус-
ловиями в утверждении 4.2.8 являются предположение
|Л(А, Ь, с)|<оо и знание величины Lp(A, b, с) или ее
оценки сверху. Последнее условие связано, прежде все-
го, с выбранной формой изложения. При формулировке
аналогичного утверждения с помощью пределов от него
легко. избавиться. Действительно, из утверждения 4.2.8-
следует, что если | h (А, Ь, с) | <оо, то
lim sup |Л,((A', b’, с'), a)-~h(A, b, c)| = 0.
вХоф	bt
7*
196	ГЛ. 4. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Причем выполнены соотношения си^б, а2^б,
{аз—б) (а2 + б)—
Проверка условия |й(Л, Ь, с)|<оо сводится к про-
верке непустоты множества LQ(A, b) и ограниченности
функции <с, х> на Lq(A, b). Вопрос о непустоте LQ(A, b)
сводится к нахождению знака величины
а* (Л, Ь) =* inf шах х}—&J.
х^Еп	'
Эта задача легко сводится к задаче линейного програм-
мирования и, вообще говоря, требует применения вы-
числительной техники для ее решения, что влечет воз-
мущение модели. Если вычислительные погрешности ог-
раничены величиной 6, то есть выполнено ц((Д, Ь, с),
(Л', Ь', с')) ^б, то результаты вычислений лежат в пре-
делах [а*~(Л, Ь, б), о*+(Л, Ь, 6)]. Нетрудно видеть, что
о**(Л, Ь, (Л, &,-б), о*-(Л, Ь, 6) = 0~(Л, Ь, 6).
Из свойства непрерывности слева функции оо** следует,
что
Ита*+(Л, Ь, 8) = о*(А, Ь).
Л-.0+
Однако равенство
limo*-(Л, Ь, б) = о*(Л, Ь)
б—►о+
справедливо тогда и только тогда, когда
|(Л)= inf Шах {аь х)у=0.
<*n, lxi>=1
Поэтому, чтобы не проверять дополнительно условие
5(Л)У=0, можно применить для вычисления о* (Л, Ь)
следующее равенство:
lim а** (Л',	—а)=о*(Л, Ь).
а->0+
б—>о+
а>б=ц ((А, Ъ, с), (Л, Ъ', с'))
Однако на практике предел можно реализовать лишь
приближенно и поэтому при ограниченной точности вы-
числений выяснить, пусто Lo(A, b) или нет, можно лишь
в случае, когда |а*(Л, Ь) | будет достаточно велик. Это
обстоятельство лишний раз говорит о том, что задача
является недоопределенной. Ситуация, когда точность
вычислений не позволяет сделать заключение о знаке
<г*(Л, &), не учитывается в постановке задачи.
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
197
Установление ограниченности <с, х> на Lq(A, b) сво-
дится к выяснению непустоты допустимого множества
двойственной задачи
{У*=Е™\у А = с}.
Хотя эта задача связана с решением системы уравне-
ний, а не неравенств, в принципе она аналогична рас-
смотренной, и здесь также возможен случай, когда огра-
ниченная точность вычислений не может дать ответ на
вопрос: ограничена ли функция <с, х> на L0(A, b) или
нет?
Рассмотрим теперь задачу поиска реализаций в ли-
нейном программировании. Наиболее традиционным
принципом оптимальности, который с ней связывается,
является (Arg Lp, El+), где
ArgLp ((A, b, c), e)=08Lp(A, b, c).
Рассмотрим еще один принцип оптимальности
(Arg sup,, £7®), где
Argsupj ((А, b, с), 8) = {хеТ7((А, b), еа, е8)| (с, х) —
—ei (en> |х|)+84>/iz((A, b, с), е5, ев, е7)).
Покажем, что Argsupi внутренне Д-регуляризует свер-
ху ArgLp. Для этого получим оценки для ex Arg sup, и
dom(Argsupi, £7ф). Используя свойства принципа оп-
тимальности Т7 и оценки (4.2.10), (4.2.11), имеем
dom(Argsupz, £^)=>{(А, b, с), е|о"(А, Ь, — е2)<
4” ®з» 81	®5> 8g 8e, 8j е7},
exArgsupz((A, b, с), е, 6) с
czArgsup,((A, b, с), ех—6, е2—6, е3+6, е4, s5 + 6,
8в + 6» 8, — 6).
Применим утверждение 2.2.16 к множеству Lp(A, b, с).
Тогда получаем: если Lp(A, b, с)У=0, то существует
константа т>0 такая, что для всех xe£n\Lp(A, b, с)
выполнено
max {max [(af, х) — fej; h(A, b, с) — (с, х)}^>
^s?-d(x, Lp(A, b, с)).
Найдем теперь согласованиё, при котором Argsupi
внутренне А-регуляризует сверху ArgLp. Пусть 6>Д
7* Д. А. Молодцов
198	гл. 4. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
для любого (Д', b', с')^М6{А, b, с), Argsupp(Д', Ь',
с', а)=/=0 и
ex Arg sup; ((Д, b, с), а, б)с ArgLp((A, Ъ, с), в).
Используя найденные оценки, получаем систему усло-
вий
о**(Д, b, -a2-6)<a,+«j, 6<ах^а5,
. 6<а2<ав. а3>а7>б>Д,
Argsupi((A, Ъ, с), 04—6, а3—б, а3 + б, а4,
а5 + б. ав + б, ои—б)сОеЬр(Д, Ь, с).
Последнее условие, применяя утверждение 4.2.7, можно
заменить на более сильные:
(ав + б)Ьр(Д, Ь, с)^а7—б,
{х^Е | Дх	b -|~ а3 -I- б,
{с, х) +а44-(а6-|-б) Ьр(Д, b, c)~^h(A, b, с)}с
сОеЬр(Д, Ь, с),
которые выполнены, если
max {аз-|-6; а4 + (а5-]-б)кр(Д, Ь, с)}^е т,
(а4+б)Ьр(Д, Ь, с)<а7—б.
Итак, получаем, что искомое согласование Уди имеет
вид
У«((Д, Ь, с), е) =
= {а, 6|о**(Д, ь> —«2—6Хаа + а3,
6<а2<ав, (а6+б)Ьр(Д, Ь, £)<«,—б, а3>а7>6>Д,
шах{а3+б; а4 + (а5 + б) Ьр(Д, Ь, с)}<8т}.
Элементарные вычисления и использование свойств
функции по** дают
dom (Vи, £+) = {(Д, Ь, с), е| ет >
>тах{о’*(Д, Ь,—2д); 2д(1 + Ьр(Д, Ь, с))}, |/г(Д, Ь, с)|<оо}.
Утверждение 4.2.9. Argsup< внутренне &-регу-
ляризует сверху ArgLp на dom(V£, Е^) при согласо-
вании 1М.
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
199
Рассмотрим теперь внешнюю Д-регуляризацию сни-
зу для ArgLp. Для этого введем принцип оптимально-
сти (Т8,	), где
Т8((А, Ь), е)={хеЕ"|Лх<&+8(1 + <е„, |х|))},
и принцип оптимальности (Argsupe, Е6®), где
Argsupe((A, b, с), е) =
= {х^Т8((А, Ь), е2)| <с, х) +8Х {еп, |х|> +
+ 83>^((А, Ь, с), е4, 8S, 8g)}.
Очевидно, справедливы оценки
inT8((A, b), 8, 6)=>Т8((А, Ь), 8-6),
in Argsupe((A, b, с), 8, 6)=J
ZD Argsupe((A, b, c), 8j —6, ea—6, e3, 84—6, 85—6, ee-f-6).
Найдем условия, при которых Argsupe будет внешне
А-регуляризовать снизу Arg Lp. Учитывая структуру
принципа оптимальности ArgLp, ограничимся нахожде-
нием таких (а, 6), что 6>Д и выполнено включение
0=/=Lp(A, b, c)<=in Argsupe ((А, b, с), а, 6).
Заменяем эти условия более сильными:
Lp(A, b, c)<=Argsupe((A, b, с), ах—6, аа—6, а3,
б» аб + ^)> (4 2 14)
ах>6, а2>6, а4>6, а5>6>Д,
. |/i (А, Ь, с)|<оо.
Учитывая, что Ао(А, Ь)с:Тз((А, Ь), аг—6), получаем,
что для выполнения (4.2.14) достаточно выполнения ус-
ловий
h(A, b, с) + (ах—6)Lp(A, Ь, с)4-а3>
>/i;((A, b, с), а4—6, а6—6, а,+ 6),
|/t(A, b, с)|<оо,
«1>6» а2>6, а4^6, а5>6>Д.
Используя утверждение 4.2.7, окончательно получаем,
что искомое множество имеет вид
Vd (A, b, с) = {а, eiminfaj, а2, а4, а5}>6>Д,
|/i(A, b, с)|<оо, ae + 6^L°p(A, b, с)(а5—6),
(ai-6)Lp(A, b, с) + а3>||с||(а, + 6)т-1}.
Очевидно, если |й(А, Ь, с)|<оо, то V^d(A, b, с)^=0.
7**
200	ГЛ. 4. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Естественно возникает вопрос, не слишком ли мно-
го «лишних» точек содержит Argsupe((A', b', с'), а, 6)
при (а, 6)eVAd(A, b, с) и (А', Ь', с')^М6 (А, Ь, с), то
есть интересно найти или оценить сверху величину
Hd(ex Argsupe((A, b, с), а, 6), Lp(A, b, с)). (4.2.15)
К сожалению, вообще говоря, величина (4.2.15) рав-
на 4-00. Однако эта оценка не дает достаточно деталь-
ной картины. Для ее уточнения произведем аналогич-
ное сравнение на ограниченном множестве. Обозначим
Kn(t) = {x=En\(en, |х|)<0.
Оценим величину
t»(/) = 0d(exArgsupe((A, b, с), а, 6)f|Кп(t), Lp(A, b, с))
при /^Lp(A, Ь, с) и (а, 6)е1/4ДЛ, Ь, с). Используя
включение
exArgsupe((A, b, с), а, 6)czArgsupe((A, b, с), 04 + 6,
а24-б, а3, а4+6, а5 + 6, а6—б),
имеем
o(/)<Pd(Argsupe((A, b, с), 044-6, а2 + 6, а3,
а4 + 6, 04 + 6, ав—6)f|Kn(f), Lp(A, b, с)).
Наложим на (а, 6) дополнительное условие а&—6^
о
^Lp(A, b, с)(аз + 6), тогда из условия xeArgsupe((А,
b, с), ai+6, 02+6, аз, a44"6, осз+6, ав—6)ПАп(0 сле-
дует, что
Ах—6<(а2 + 6)(1 +0,
h(A, b, с) — (с, х) ^a3 + (a1 + 6)Z+ (а4 + б)Ьр(А, Ь, с).
Отсюда получаем
и(0<т-1 max{(oc2 + 6)(l 4-/); аз + (а1 + бИ4-
+ (a4 + 6)Lp(A, b, с)}. (4.2.16)
Итак, это неравенство выполнено для любых (а, б)е
е1ГА(А, Ь, с), где
1ГЛ(А, b, c) = {a,’6|niin{a1, а2, а4, а
> 6 > А, а3 + (04—6) Lp (А, Ь, с) > (ав+6) ||с|| т”1 ,
|й(А, 6,"с)|<оо, ae>6 + (a6 + 6)Lp(A, Ь, с)}.
§ d. МАКСИМИННЫЕ ЗАДАЧИ
201
Очевидно, если |й(А, Ь9 с)|<оо, то ТГА(А, Ь9 с)=£0.
Возьмем нижнюю грань от правой части неравенства
(4.2.16) по (а, 6)еТГА(А, Ь9 с)9 тогда получаем
и(/)^2 Дт-1 max{(l+ Lp(A b9 с))||с|| т”1 +
-H + Lp((A, &, с); t+ 1}.
Отсюда следует, что при Д=0 для любых t и е>0 су-
ществуют (а, 6)еТГ°(А, Ь9 с) такие, что
Lp(A, b9 c)c:inArgsupe((A, b9 с), а, 6),
ex Argsupe((A, b9 с)9 а, fi) f] Кп (Z)cz08 Lp(A, b9 с).
§ 3. Сравнение принципов оптимальности
для максиминных задач
Сначала рассмотрим задачу на однократный макси-
мин со связанными ограничениями. Будем сравнивать
два принципа оптимальности. Один построен на идее
метода штрафов, а другой использует ограничения ти-
па неравенств для задания множеств, по которым ве-
дется максимизация и минимизация.
Перейдем к формальным определениям. Пусть Ло,
У о— некоторые пространства. В качестве множества
моделей возьмем
М-Ф(ХохУо, £х)хФ(Х0, Е1)хФ(Х»хУ09 Е')х
Х2В(Хо)хЗВ(Уо).
Итак, моделью является набор т= (f9 р9 q9 Х9 У), где
f будет играть роль целевого функционала, Х9 У — мно-
жества допустимых значений переменных, р9 q в одном
случае будут задавать дополнительные ограничения на
переменные, а в другом выполнять роль штрафных
функций. Поскольку в качестве отношений сравнения
будут исследоваться только внутренняя и внешняя ап-
проксимация, а эти отношения не зависят от псевдомет-
рики для моделей, то псевдометрику можно не вводить.
Принцип оптимальности (t/, £4Х£2 ), использую-
щий ограничения типа неравенств, зададим в виде
t/((А р, q, X, Y), 8) =
= [u(f, р, q, X, Y, elt sj—
e5> «(А P> 9»	®3> е«)+8в1»
202
ГЛ. 4. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
где
u(f, р, q9 Х9 Y, а, 0)= sup inf f (х, у)9
х<=Р (р, X, а) i/eQ (q, У, х, fl)
Р(р, X, а)={хеХ|р(х)^а),
Q(qt У, х, 0) = {y€zY\q(x, у)<0).
Поскольку, как было условлено выше, максимин счита-
ется определенным, только если множества Р и Q не пус-
ты, то для удобства будем предполагать, что (/, р, q,
X,	где
= р, q, X, У)е=М| infp(x) = 0, infq(x, y) = 0,
x<=X	y&Y
VxeX, sup f(x, y)— inf f(x, y) = k(f)<+ oo).
(x, y)e.XxY	(x, y)eXxY
Теперь при (f, p, q, X, Y)^M° и a, 0>O имеем P(p, X,
a)#=0 и Q(q, Y, x, 0)^=0 для всех x^X. Поэтому мож-
но сузить множество параметров, задающих 8-опти-
мальность, и рассматривать вместо (U, £4х£2ф) прин-
цип оптимальности (U, £4+х£2ф ).
Кроме этого, сужение множества моделей до АР поз-
воляет использовать функции р и q в качестве штрафных
при задании второго принципа оптимальности (V, £4+Х
Х£2Ф), где
V«A р, q, X, У), е) =
= [v(A Р> я, х, Y, 8Х, е2)—
—е5, v(f, р, q, X, Y, е3, е4) + ев],
Р> Я’ а> ty= SUP inf[f(x, у)—ap(x) + bq(x, у)].
хеХ y&Y
Очевидно, для любых (f, р, q, X, Y)^M° и а, Ь>0
функционал v определен (значения ±оо не исключа-
ются).
В дальнейшем, для краткости, в тех случаях, когда
модель (f, р, q, X, У) одна и та же во всех используе-
мых объектах и отсутствие этого аргумента не приво-
дит к недоразумениям, будем его опускать.
Из определений функционалов u, v непосредственно
следует, что и не убывает по а и не возрастает по 0, а
v не возрастает по а и не убывает по Ь.
§ 3. МАКСИМИННЫЕ ЗАДАЧИ
203
Исследуем взаимосвязь функционалов и и v. Обоз-
начим
и(х, Р)= inf fix, у),
yeQ(x, Р)
vfx, b) = inf [f (x, y) + bq(x, t/)].
y(=Y
Утверждение 4.3.1. Пусть (f, p, q, X, Y)^M°.
Тогда выполнено:
1) v(x, Ь)^.й(х, y)+by для любого y>0;
2) u(x, Ь)^й(х, p) для любых pe£'+ таких, что
Доказательство. Для любого у>0 выполнено
0^=Q(x, у)<=У, следовательно, учитывая что q^Q,
имеем
v(x, b)< inf [f(x, y) + bq(x, у)]^и(х, y) + by.
У<5<} (х, v)
Аналогично доказательству утверждения 4.2.3 показы-
вается, что при &p:>A(f) выполнено
v(x,b)= inf [fix, y)+bq(x, y)]^u[x, p). 
y<=Q (X, ₽)
Из условия if, p, q, X, У) следует очевидная оценка
inf fix, y)s^u(x, p)^ sup f(x,y), p>0.
(x, yfeXxY	(x, y)&XXY
Отсюда, как следствие утверждения 4.3.1, получаем
inf fix, y)^v(x, b)^ supf (x, y), &>0. (4.3.1)
(x, y)&XxY	(x, yf^XXY
Утверждение 4.3.2. Пусть (f, p, q, X, Y)^M\
Тогда выполнено:
1) v(a, b)^u(a, P)+&P при P>0, aa^A(f);
2) v(a, b)>«(S, y)—a6 при 6>0, &y^A(/).
Доказательство. По определению
via, &) = sup[v(x, b)—apix)].
xeX
Поскольку
sup v (x, b)— inf v (x, b) Д if),
xeX	xe=X
204	ГЛ. 4. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
то из утверждения 4.2.3 следует, что при аа^Д(/) вы-
полнено
v(a, b) = sup [о(х, b)—ар(х)].
xsP(a)
Используя пункт 1) утверждения 4.3.1, имеем для 0>О
и (а, b)^ sup {и(х, 0)4-60—ар (х)] О (а, 0)4-60.
хеР(а)
Докажем пункт 2). Используя пункт 2) утверждения
4.3.1, получаем, что при 6у^=Д(/) справедлива цепочка
неравенств
v(a, b)^ sup [и(х, b)—ap(x)]>
хеР (6)
> sup [а(х, у)—ар(х)]>а(б, у)—а б. 
х<=Р(й)
Следствие. Учитывая монотонность функциона-
ла и, утверждение 4.3.2 эквивалентно системе нера-
венств-. для а, Ь, 0, бе£*+
и(д, —Vаб<о(а, 6)<а(-^-, 0^4-М5.
Используя утверждение 4.3.2, теперь можно сформу-
лировать условия аппроксимации принципов оптималь-
ности U, V. Для этого на множестве М°ХЕ4+ХЕ'*@
введем два согласования
Л,((А р, q, X, У), 8)Н«е^Х^|Д(/)еГ1<а1<
<а3<(ев —ae) V1’ Л(/)8Г1^а4^а2^(е5— аб)еГ'}«
ABU((f, р, q, х, У), е) =}ае£*_х£^| Д (/)e~i г^а3<
=C“i<(e5—аБ) ef1,- Д (f)	ав) е~1}.
Легко видеть, что
dom (Дир, Е4+хЕ^) =
= {(f, р, <7, X, Y, е)еМ»Х^Х^|Д(/)е3<
<е18в, Д(/)е2<е4е6, Д(/)>0 или Д (/) = 0, е5>0, ев>0).
dom0pu, Е<+хЕ*ф) =
= {(/, р, <7, X, Y, z)^xE4+xE^(f)^
<езе6,-Д(/)е4<е2ев, Д(/)>0 или Д(/) = 0, е6>0, ев>0}.
§ 3 МАКСИМИННЫЕ ЗАДАЧИ
205
Утверждение 4.3.3.
1. Принцип оптимальности (U, Е4+хЕ2$) внутрен-
не аппроксимирует принцип оптимальности (У, £4+Х
Х£2Ф) на dom (Лиг, Е4+хЕ2^) при согласовании Auv~
2. Принцип оптимальности (V, £'4+х£2ф) внутрен-
не аппроксимирует принцип оптимальности (U, Е4+х
Х£2ф) на dom(/4ru, £4+х£2ф) при согласовании Avu.
Доказательство непосредственно следует из
определения 3.1.1 и утверждения 4.3.2.
Вполне аналогично можно сформулировать и утвер-
ждение о внешней аппроксимации принципов оптималь-
ности U и V. Отметим, что взаимную аппроксимацию*
принципов оптимальности U и V можно трактовать, з
некотором смысле как эквивалентность или взаимозаме-
няемость.
Полученные результаты легко переносятся и на слу-
чай многократного максимина. В этом случае множе-
ство моделей положим равным
Л4=Ф(ХРпхУОп, ^ХПФ^’ХРН, Е*)х
X П Ф(Х°1’хУ°‘, #)ХП® (^)ХП®(^),
где XQi= П X°j, УОг = П У%-, a У%- — некоторые
/=1	/=1
множества, /=1, ..., п. Для краткости будем использо-
вать следующие обозначения. Для Л=(Л1, ..., Ап) обо-
значим
Д£ = (Д1,..., Дг), £д = (дг,..„ дп).
Итак, моделью является набор m= (J, р, q, X, У), где-
f(x, У)—целевой функционал, x^X—(Xit Хп), y^Y—
= (У|, Уп); функции Р= (Р1, .... Рп), Рг = Рг(Х\ У*~*) И
множества X задают ограничения для переменных хг
а функции q=(qi.... qn), qi=qi(x{, у1) и множества У
задают ограничения для переменных у. Поскольку р »
q будут использоваться также и как штрафные функ-
ции, то удобно сузить рассматриваемое множество мо-
делей до М°, где
М° = {(А р, q, X, У)<=
еЛ4| inf Pi(x£_|, х', yl~') = 0, inf рг(х£, у1~', у'.)=0,.
х'.еХ
y'.&i
206	ГЛ. 4. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ '
для всех х<=Х, y^Y, i = l,..., п;
sup f(x, у)— inf f(x, y)=A(f)< + oo}*
(x, y)(=XxY	(x,	y)GXxY
Введем теперь принципы оптимальности Uo, Vo, ко-
торые являются аналогами принципов оптимальности
U, V:
U0(m, e)=[u0(/n, еп е2)—85, и0(т, е3, 84) + 8в],
V0(m, s) = [u0(m, er е2) —е5, v0(m, 83, 84) + ев],
где ei, е2, 8з, 84^5”+; es, ее^Е1© ; tn= (f, р, q, X, У)е
^.М°. Функционалы и0 и v0 определим по рекуррентным
формулам (так же, как и выше, в тех случаях, где это
.не вызывает недоразумений, не будем включать модель
в аргументы функций)
М*", yn) = vn (хп, уп) = f(x, у), х<=Х, y(=Y,
•щ(х1, У1> i+‘a, f+'P) =
= sup inf wl+i (x‘+',y ‘+l, ‘+2a, *’+2P),
*»+i s P/-H ^i+i e Q/-H
vt(xl, yl, ‘+la, l+lb) =
= sup inf [Uf+i (x£+!, y‘+l, ‘+2a, £+2&)—
xi-f-ieX»’+i ^i-i-isr»+i
—al-+Ipz+i'(x£+‘, у1) + Ьг+1 qw (x{+1, z/i+l)],
1 = 0, 1,..., n—1; a, p, a, b^E^,
тде
Рг=Р£(х£-', yl~\ ^) = {хгеХг|р,(х£, yw)<a(),
Qi = Qi(xi, yl~{,	= {yt^.Yi\ql(xi, i/'XPi}.
Нетрудно видеть, что при (f, р, q, X, Y)^M° функцио-
налы щ и Vi определены, Ui не убывает по aj и не воз-
растает по Pj, i+l^/^ra, а v{ не убывает по bj и не
.возрастает по a,,	i=0, 1, ..., п—1.
Установим связь между функционалами щ и иг-. От-
метим сначала, что из (4.3.1) для пгеЛ!0; t = 0, 1, ..., п\
<а, Ь^Еп+ следует справедливость неравенства
sup Vj (xl, у{, *‘+Ia, ‘+'fc) —
_х» xW
— inf Vi(x‘, yl, ('+Ia, i+l6)^A(/). (4.3.2)
X1 XY‘
§ 3. МАКСИМИННЫЕ ЗАДАЧИ
207
Утверждение 4.3.4. Пусть (f, р, q, X, У)еЛР.
Тогда для a, b^En+, i=0, 1, ..., п—1 выполнено:
1) V, (х , у', ‘+1а‘+'Ь) щ (х‘, у1, г'+!а, l'+'P)4- ('+1b, l+I0)
при р е £*_, а,- а,>Д (/), j = i + 1, ... , n ; х1' s X1, у{<=У\
2) с, (х‘, у1', l'+,a,i+1b) щ (х‘, у1, ‘+1б, 1’+1у) — (‘+1 а, ‘+1б)
при б е Ь} Xj"^ &(f), j = i 4- 1,..., n; x{ e X1, eY(
Доказательство проведем индукцией по i.
Для i=n—1 утверждение фактически совпадает с ут-
верждением 4.3.2. Пусть теперь для п—1, ...,
утверждение доказано. Применим пункт 1) утвержде-
ния 4.3.2, когда роль целевого функционала играет
vi+i. Тогда, учитывая (4.3.2) и предположение индук-
ции, получаем, что при Pf+i>0 и ai+ia,+i^A(f) выпол-
нено
Vi (х1, у1, ‘+‘а, '+*&)
С sup inf ог+1(*‘+', yi+\ ‘+2a, i+2b) 4- ^z+iPi+i <
sup inf [Uf+i (x^1, у1’*1, *+2a, z+2P) +
Xz+iePi+l
+ <‘+2fe, Z+2P) ] + bi+l pf+1 = Щ (x‘\ y\ wa, WPH <^b, wp>.
Аналогично доказывается и пункт 2). 
Для ae£n+ обозначим a33 = (ac1,	ап~1). Тогда
из утверждения 4.3.4 следует оценка для а, &, 6, ре£п+:
«о (6. А (/) f»3) — (а, б) Oj (а, иа (Д (/) а^, Р) 4- (Ь, р>.
(4.3.3)
Приведем условия аппроксимации принципов опти-
мальности t/o, Vo. Введем на MQxE4n^.xE2^ два со-
гласования
Auv W’ p,q,X,Y), е) = (а е Е4^ х Д (/)	а3,
А (/) 8=8 < а4 а2, (е2, а2) + а5 < е5, (е3, а3> 4- ав =С М,
4°« «/’ Р> <Ъ Х’ у)> е) = {« е £^Х£||Д (/) С а2< а4>
А (/)	< а3 а1( (ep 04) 4- а5 < е5, (е4, а4) 4- ав < ев).
208
ГЛ. 4. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Легко видеть, что
dom(4u%, Е^хЕ2ф) =
= {(/, р, q, X, Y, 8) е М° хЕ^ xEfrЛ (f) (80, 83> С
< ев, Д (/) (еИ, е2) <е8, Д (/) > 0 или Д (/) = 0, е5 > 0, е6 > 0),
dorn (Л°и, Е^хЕ^) =
= {(/, p,q,X, Y, 8) е М« х Е^ ХЕ^МГ) (80,е4) С
86, А (/) (е0, в,)< е5, А (/)>0 или Д (/) = 0, е5 > 0,8в > 0}.
Утверждение 4.3.5.
1. Принцип оптимальности (Uo, E+4nxE2Q) ) внут-
ренне аппроксимирует принцип оптимальности (Уэ,
Е+4пхЕ2ф ) на domf-d0^, E+inXE2<$ ) при согласова-
нии Л°и».
2. Принцип оптимальности (Уо, Е+4пХЕ2ф ) внут-
ренне аппроксимирует принцип оптимальности (Uo,
Е+4пХ£2®) на dom(d°vu, E+4nxE2©) при согласова-
нии А°ги.
Доказательство непосредственно следует из
определения 3.1.1 и оценки (4.3.3).
§ 4. Сравнение принципов оптимальности
для многокритериальных задач оптимизации
Рассмотрим вначале взаимосвязь принципов опти-
мальности, отвечающих задаче нахождения полуэффек-
тивных точек. В качестве множества моделей М возь-
мем ЧЯ(Еп) с псевдометрикой у = Нг, то есть псевдо-
метрикой Хаусдорфа, порожденной г, где г (и, v)=
= max \ui—I.
1
В § 2.5 показано, что принцип оптимальности
(5®, Е2+ХЕп), где
&(т, 8) = {о е Ое, т\ если u>v-\-e3, то и~е О&2 т}, т^М,
устойчив при весьма слабых предположениях, причем
согласования, участвующие в формулировке утвержде-
ний о его устойчивости, имеют очень простой вид (ут-
верждение 2.5.4). Однако более традиционным для за-
дачи нахождения полуэффективных точек является
принцип оптимальности (^i, Е1+), где
(пг, е) = Og. & (пг, 0), m <= Л4.
§ 4. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
209
Поэтому естественно возникает потребность в сравне-
нии принципов оптимальности ZP и 3\.
Напомним, что в § 2.5 было установлено, что
Ф (т, е) = {v е ОЕ1 т\р (т, е2, v + s3)	0},
где
p(tn, a, u) = sup min (щ—
меОат 1<i^h
Отсюда получаем, что
е) = Oe{v emlplm, 0,и)	0}.
Для сравнения 93 и 3\ важную роль играет функция
т(/п, а) = Hr (^(т, а), &(т, 0)), т<=М, а^О,
где
&’(m, а) = (vem\p(m, 0,ц)^а}.
Изучим некоторые ее свойства. Очевидно, что т не убы-
вает по а, и если 9й (т, О)#=0, то х(т, 0)=0.
Утверждение 4.4.1. Если т— компакт, то т не-
прерывна справа по а на £*$ .
Доказательство. Из монотонности т по а сле-
дует существование
Игл т (пг, а)« т (пг, а0 + ) > т (пг, а0).
а-*х0+
Поскольку пг — компакт, то для любой последователь-
ности ап-^а0+ существует une^(/n, ап) такая, что
х(пг, an)= inf г (ип, и).
Не ограничивая общности, можно считать, что un->Mo.
Из непрерывности функции р(пг, 0, и) по и (утвержде-
ние 2.5.2) следует, что ио^&^пг, ао). Применяя нера-
венство треугольника для г, получаем
х (пг, ап) < inf г (и0, v) + г (ип, и0)^ т (пг, а0) + г (ип, и0).
Переходя к пределу при п->-оо, получаем х(пг, ао + )^
^х(пг, ао). 
210
ГЛ. 4. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Из утверждения 4.4.1 следует, что lim т(/п, а)=0,
а->0+
однако оценки скорости стремления не указывается, хо-
тя для построения конструктивных условий сравнения
принципов оптимальности Ф и 3\ такие оценки потре-
буются. Если на модель т не накладывать никаких до-
полнительных условий, то легко видеть, что сходимость
т(т, а)->0 может быть сколь угодно медленной. Вве-
дение ограничений на скорость стремления к нулю
т(т, а) является разновидностью условий регулярнос-
ти, рассмотренных выше и приводимых в [81].
Из определения функции т следует, что если 3\ (т„
е)=7^0 и 8>т(т, а),_то	е). Используя
этот факт, нетрудно сформулировать условия, при ко-
торых & внутренне аппроксимирует Введем согла-
сование
Ci (tn, е)= {а е Е2^ хЕ,г\е> а14-т(ги, max a3i + ax— а2),
а2<а1+ т’П а3«}«
Для обеспечения непустоты 9\ и Ci введем подмноже-
ство Мк множества моделей М, где Мк — множество
непустых подмножеств Еп, являющихся компактами.
Утверждение 4.4.2. Принцип оптимальности 9*
внутренне аппроксимирует принцип оптимальности 9it
на МКХЕ'+ при согласовании Ci.
Доказательство. Пусть (m, ®)eAfKx5*+. Тог-
да 9i(m, е)^0 и, как следует из утверждения 4.4.1,
Сг(т, е)=/=0. Пусть аеС;(т, е). Используя оценку для
dom(5s, £2+x£n) из § 2.5, получаем 9>(т, а)=^0.
Пусть v^9>(m, а). Тогда существует и^т такая, что
Г(У, U) <0С1 и
р (т, 0, и) р (т, 0, ц) + ах
<р(т, аг, и + а3)+ max азг + а,—а2<
1
max a3i+ax—а2,
1
Следовательно,
& (пг, а) а: Оа, & (т, max азг + а,—<Xj) <=. 9>г (т, е). 
Используя доказанное утверждение и устойчивость
принципа оптимальности 9, можно по схеме, указан-
§ 4. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	211
ной в утверждениях 3.2.8, 3.2.9, получить утверждение
о внутренней регуляризации принципа оптимальности
Для примера приведем условия внутренней Д-регу-
ляризации сверху для 3\. На множестве Л1КХ£‘+ вве-
дем согласование
С$(т, е)= {(a,6)s £2_x£'r‘x£'JH|a2<a14- min a3i, 6>Д,
e>a1 + 6 + 't(m, max oc3i + 264-«i—а2)}.
Используя свойства функции т, несложно показать, что
dom(CAj, Е1+) = {(т, е)еМкХД‘+|е>Д-|-т(т, 2Д)}.
Утверждение 4.4.3. Имеет место включение
(3, £2+x£n)eIRUA[(^, El+), dom(C\, £‘+). Сд<]-
Исследуем теперь вопрос о внешней аппроксимации
принципа оптимальности Введем на множестве
Л4КХ£*+ согласование
Се(пг, е) = {а х £п|ах > 8, as> е + а2).
Утверждение 4.4.4. Принцип оптимальности 3*
внешне аппроксимирует принцип оптимальности 3\ на.
МКХЕ{+ при согласовании Се.
Доказательство следует из неравенства
р(пг, а2, о-)-а3)^р(/п, 0, u>) + a2 + s— min a3i,
1
где r (v, w) <8. 
Заметим, что сужение множества моделей до мно-
жества компактов здесь потребовалось только для того,
чтобы обеспечить непустоту ^(т, в), хотя для этого
можно было бы наложить и более слабые условия.
Для примера сформулируем теперь условия внеш-
ней Д-регуляризации снизу для 31. Введем на МКХЕ1+
согласование
С* (m, 8) = {(а, 6) е E^xEnxEi+\a1
8 4" 6> аз ==^ 8 -]- б -1- 0t2, 6 > Д}.
Справедливо равенство dom(CAe, El+)=MKXEl+.
Утверждение 4.4.5. Имеет место включение
(3>, £2+X£n)<=ERDA[(^i, £>+), МкхЕ'+, С\].
Отметим, что условия внешней аппроксимации и ре-
гуляризации для весьма просты, а условия внут-.
ренней аппроксимации и регуляризации для сущест-
венно сложнее из-за использования функции т. В общем
212
ГЛ. 4. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
случае задача вычисления функции т является весьма
нетривиальной. Это обстоятельство и отсутствие, вооб-
ще говоря, устойчивости у принципа оптимальности
наводят на мысль, что принцип оптимальности
весьма неудобен для практического использования, и
поэтому разумнее не искать более простые, чем 3*.
внутренне регуляризующие принципы оптимальности,
а с самого начала перейти к более удобному и
близкому по содержанию к 3\ принципу оптималь-
ности, например к 3.
Теперь исследуем взаимосвязь принципов оптималь-
ности, связанных с задачей нахождения точек, опти-
мальных по Парето. Множество моделей и псевдометри-
ку для них оставим такими же, как и при сравнении
принципов оптимальности & и Будем сравнивать
два принципа оптимальности: (31, Е2фХЕ2п), где
31 (т, е) = {и е V (пг, е4)| если ug V(/n,e2), u^?v—е3, то
и^ц + е4},
V (т, а) = Оат при а>0 и V (пг, 0) = т, и более тради-
ционный (1Ь1г E^j
3b г (tn, e) = 0e3b (т, 0), е > 0, Зьг (т, 0)= 31 (т, 0).
Устойчивость принципа оптимальности 3b исследова-
лась в § 2.5, поэтому здесь будем использовать обозна-
чения и результаты из § 2.5. Хорошо известно, что Зьг
не является, вообще говоря, устойчивым (см., например,
[71]), поэтому выясним условия, при которых 3b ап-
проксимирует Si.
Рассмотрим сначала вопрос о внутренней аппрокси-
мации. Введем на множестве МкХЕхф согласование
Gi (пг, е) = {ае£^х£2п|а3 > ап е >	,
л* (т, а) < 0}.
Утверждение 4.4.6. Принцип оптимальности
(3b, Е2$,хЕ2п) внутренне аппроксимирует (Зьг, Ех$)
на dom(б,, Ех& ) при согласовании Gi.
Доказательство. Пусть (пг, e)edom(Gt-, £*©),
а aeGi(m, е). Из условия n*(m, а)<0 следует, что
3b (пг, а) =/= 0. Пусть
v е 3b (т, а) = {« е V(т, ajjn (т, а2, а3, и)^. а4).
§ 4. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
213
Тогда существует точка w&tn такая, что r(v, w)^ch.
Отсюда
w<=D(tn, 0, а3—си, w) = {u^mju^w—аз+ajc
czD (т, а8, аз, и)
и, следовательно, для i=l, ..., п выполнено
л, (tn, 0, а3—ах, а») = sup ut—vt
ueD(m, 0, а8—at, w)
sup	Ut—Vt + r (v, w)
uGD(m,al)a8,r)
nf (tn, a2, a3, d) + ai a4f +
Отсюда получаем
Hr (D (tn, 0,0, ш), to) + max a4i C «i + II «JI-
ICi^n
Ho D(m, 0, 0, w) — компакт и
0 ф 31 (D (tn, 0, 0, w), 0) cz 31 (tn, 0).
Поэтому существует точка v°^3l(m, 0) такая, что
r(w, v°) ^ai + ||a4ll, то есть
31 (tn, a) a: 31 i (tn, a1 + ||a4||). 
Используя утверждение 2.5.10, нетрудно получить
оценку для л*(/п, а). Действительно, раз т — компакт,
то на т ограничена любая функция вида <Х, u>+vd(iz),
где \е.Еп+, v^0, d(u} — min щ. Положим X=en, v=0,
тогда
л* (tn, а) л* (т, 0, 0, (а2—ах) еп + а3, 0) — d (а4) +а.—
—«1 < (аз> en> +п (а2—ах)— d (а3)—d (aj.
Если использовать полученную оценку в согласовании
Gi, то получим
Gt (tn, е) зэ 6' (tn, 8) = {а <= £^х£2"|а3 > ар
е>а1 + ||а4||, d(a3) + d(a4) >(а3, еп) +п(а2—ах)},
dom(G;,£^) = MKx£V.
Отсюда легко получить условия для внутренней регуля-
ризации любого типа для Я t. Остановимся на внутрен-
214	ГЛ. 4. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
ней Д-регуляризации сверху. На Мкх£*+ рассмотрим
согласование
G$ (т, 8) =5 {(а, 6) <= х Е2п X	+ 6 < а* а, > 6,
8>а,+6+ 11 «4II. 6> A. d(a3) + d«Z4)> (а3,еп) +
. . +п (а2—ах—2б)}.
Нетрудно установить, что
dom £i^ = Л|к'х{8 е £*Je > Д}.
Утверждение 4.4.7. Принцип оптимальности 51.
внутренне ^-регуляризует сверху 31 \ на dom(G\, £*+)
при согласовании G\.
Доказательство следует из утверждений 2.5.8,
4.4.6.
Перейдем к исследованию внешней аппроксимации
для 311. Задача заключается в том, чтобы для (пг, е)е
^МкХЕ1® найти ae£2® ХЕ2п, удовлетворяющее ус-
ловию 5Ц(т, г)а31(т, а). Поскольку справедливо
включение .	,	-
Ое 31 (т, а) с 31 (tn, at + e, а2, а3—е, а4 +8), (4.4.1)
то задача внешней аппроксимации 31 j сводится к нахо-
ждению aE£2$Xfi2n, удовлетворяющего условию3li(m,
0)<=^(/п, а). Пусть принцип оптимальности (Й, Е‘+)
удовлетворяет условиям:
1.	dom (31, £+)= Мц х£+ .
2.	пг Z) 31 (т, 04) о 31 (т, 02) при 04 <02.
3.	О$ 3с (пг, 0) z> (т, 0)	при 0 > 0.
Если ае£2® ХЕ2п и удовлетворяет условию
31 (пг, 0) <= 31 (т, а),	(4.4.2)
то, используя (4.4.1), получаем
31 х (т, 0) <=. 31 (т, а,+0, а2, а3—0, а4 + 0).
Для выполнения (4.4.2) достаточно потребовать, чтобы
а4 а> (т, 31 (т, 0), а2, а3),
где
<о; (пг, А, а2, а3) = sup 311 (т, а2, а8, и), А с Е", i = 1,..., п.
Итак, справедливо
§ 4. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
215
Утверждение 4.4.8. - Принцип оптимальности
(31, Е2$ хЕ2п) внешне аппроксимирует (Л i, Е1®) на
МкХЕ'& при согласовании Ge, где
Ge (nt, 8) = {а е Е^ х Е2л| 3 е' > 8 : аг > 8', а4> е' +
-	+(о (zn,Я (m, 8'—8). а2> аз + е')}.
Отметим, что принцип оптимальности Я, удовлетво-
ряющий указанным выше условиям, всегда существует.
Например, можно считать, чтоЯ{т, p)=^i(m, 0). По-
скольку основную трудность в условиях внешней ап-
проксимации составляет' вычисление функции <о или ее
оценок, то произволом в выборе Я мс-жно, воспользо-
ваться для упрощения оценки со. Вообще говоря,’ для
внешней аппроксимации подходят любые, даже весьма
грубые оценки сверху для со. Однако иногда желатель-
но, чтобы аппроксимирующее внешним образом множе-
ство не содержало слишком много «лишних» точек. По-
этому интересно поставить вопрос: при каких 81, 82 и
аеЕ2 Ф ХЕ2п выполнены включения
31 (tn, с 31 (tn, а) с 31у (т, е2)?
Ответ на поставленный вопрос зависит, конечно, от вы-
бора Рассмотрим один из вариантов выбора^. Вве-
дем.принцип оптимальности (Gf, Е1®), где
Gf (т, е)= {u е т\V а0 л (т, 0, аеп, v) ^аг~1}, е>0,
Gf (т, 0) = U Gf (tn, «)•
е>0
Этот принцип оптимальности естественно связать с точ-
ками, оптимальными по Джоффриону, который впервые
ввел множество Gf(m, 0) [88]. Нетрудно видеть, что
Gf(/n, 0)cz3l](m, 0). Для того чтобы использовать Gf в
качестве 31, нужно проверить условия, наложенные на
31. Основным для проверки этих условий является
Утверждение 4.4.9. Пусть т — замкнутое под-
множество Еп.
1. Если существуют ХеЕп+ и veE1® такие, что
функция ф(Х, v, «)=<Л, a>4-vd(«) ограничена сверху
при и&п, то Gf(m, 0)^0 и
Gf (tn, 0) о 31 v (fn, 0).
218	ГЛ. 4. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
2. Если для любых к^Еп+ и veE1® функция
v, и) неограничено. сверху при и&п, то Gf(/n, О)=0-
Замечание. Всюду плотность множества Gf(пг, 0)
в 9i\(m, 0) для выпуклого множества пг. доказана &
[87], при отсутствии выпуклости, но с более сильными
ограничениями на т, чем здесь, в работах [62, 57].
Для доказательства утверждения 4.4.9 потребуется
вспомогательное
Утверждение 4.4.10. В условиях пункта 1 утвер-
ждения 4.4.9 для i=l, ..., п выполнено:
1) lim jij (tn, 0, a, v) лг (пг, 0, а0, о0);
а-нх°
2} lim 'nf (m, 0, а, и1’) = lim (пг, 0, а0, о) =
а->а°+	—
= (пг, 0, а0, о0);
3) lim • л; (пг, 0,[а, р) = л; (пг, 0, а0, о0).
с^->а°, г->г0
а>а°+||1 -и°||
Доказательство. Пусть vk-^vQ и существует
lim Пг(т, 0, 0, vh). Если lim щ(т, 0, 0, vh) =—оо,
fe—>оо	/г->оо
то, очевидно, выполнено lim щ(т, 0, 0, vh)^.m(m, 0,
fe->oo
0, о0). Пусть теперь справедливо lim щ(т, 0, 0, vh) >
k-+oo
>—оо. Можно считать, что для любых натуральных k
выполнено D(m, 0, 0, vh)^=0. Покажем, что D(m, О, О,
vh) — компакт. Для этого достаточно показать, что
D(m, 0, 0, vh) ограничено. Пусть %еЕп+ и veE1® та-
кие, что -ф (A., v, и) ^.С для любого uem. Тогда для
любого u^D(m, 0, 0, vk) и /=1, ..., п выполнено
Kj(Uj — vk.	(К, и—4- vd(u—vk)^.C— (X, vk) —vd (vk)
и, следовательно,
0 sC и—
C —1|> (A, v, v*)
d(A)
(4.4.3)
Итак, поскольку D (m, 0, 0, vh) — компакт, то сущест-
вуют uh^D(m, 0, 0, vh) такие, что uki—vhi=m(tn, 0,
0, vh). Поскольку vh сходится к v°, то нетрудно пока-
зать, что последовательность и* ограничена, и, следова-
тельно, можно считать, что uh-*-u°. Так как пг замкну-
§ 4. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
217
го, то «°ет, и, переходя к пределу в неравенстве
^vh, получаем u°^D(m, 0, 0, и0). Отсюда
lim яг (т, 0, 0, vk) = lim (и* —v* ) = u°—
fe-*co	k-+ao
^.л} (m, 0,0, v°).
Для доказательства пункта 1) осталось заметить, что
справедливо тождество
л (пг, 0, а, о) = л (пг, 0, 0, v—а) — а.
Доказательство пункта 2) вытекает из монотонности
функции л(т, 0, a, v) по а и v. Доказательство пункта
3) вытекает из приведенного тождества, пункта 2) и не-
равенства
v——а0—1|v—v’||<u°—а0. 
Доказательство утверждения 4.4.9. Пусть йе
e^i(/n, 0). Из утверждения 4.4.10 следует, что для
8>0 существует ае£п+ такое, что а<е и 0^л(т, О,
а, ц)<л‘(т, 0, 0, v)+e=e.
Пусть для любого и^т выполнено ф(Х, v, u)^zC.
Аналогично доказательству утверждения 4.4.10 можно
показать, что D(m, 0, а, и) не пусто, является компак-
том и для любых u^D(m, 0, a, v) выполнено
—е<——v^n(m, 0, а,о)<е.
Существуют к^Еп+ и veE1® такие, что
d (а) [d (X) + v] > (X, л (пг, 0, а, о)}.
Рассмотрим функцию ф(\, v, v—б). Пусть «еЩт, О,
а, v) и существует /, 1^/^л, такой, что Uj = Vj—а,.
Тогда справедлива цепочка неравенств
ф (к, v, и— v) =	и—о) + v d (и— V)
—Ху	4- (к, л (пг, 0, а, и)) —v а.}
sC—d (а) [d (к) + v] + (к, л (т, 0, а, v)) < 0 =
= Ф (к, v, v— v)'
8 Д А. Молодцов
218
ГЛ. 4. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Отсюда, учитывая непрерывность “ф (Л,, v, v—б) и ком-
пактность D(m, 0, а, и), следует, что существует
и°е£)(т, 0, а, о), удовлетворяющая условиям v°>v—а
и ф (Л, v, v°—v)^if(X, v> v—О Для всех v^D(m, 0, а,
v). Из последнего условия следует, что
(X, о0— в) +vd(o®—v)> (X, v—v) + vd(v—v).
Отсюда
(X, v—xfi) 4- v [d (v—v)—d (o°—v)1^0.
Учитывая, что
mi о (»г—min (»,—v?)4- min (o°—u,)
15j>Xn
или, в других обозначениях,
d (v— v)—d (v®— v)	d (v—v°),
получаем
(X, v—o«) + v d(v—o°) 0	(4.4.4)
для любых v^D(m, 0, a, v).
Если теперь v^D(D(m, 0, a, v), 0, 0, v°—aen), a 2^0,
то из (4.4.4) получаем
(X,v—v®4-aen) 4- vd(v—o°4-aen)^a (X, en) 4-av.
Отсюда для i=l, ..., п имеем
Vi — v°i < a [ (X, en> + v]/d (X)
для всех v^D(m, 0, a, v) таких, что v^v°—aen. Это
означает, что
л (D(т, 0, a, v), 0, a en, v®) a [ (X, en) 4- v]/d (X),
то есть y°eGf (D(m, 0, a, v), 0).
Пусть теперь v^D(m, 0, aen, v°)\D(m, 0, a, v), to
есть существует i такой, что и0,——at-. Отсюда
a>o°z—Pf4-ai^d(o°—й4-а)>0. Следовательно, если
§ 4. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
219
w^D(m, 0, аеп, о0) и 0^a^d(o°—d + a), то w^D(m,
О, а, б) и тогда
л (т, 0, аеп, у0) = л (D (т, 0, а, о), 0, aen, и0)
<a[(Mn)+v]/d(X).
Если же a>d(v°—v+a), то, используя (4.4.3), получа-
ем для /= 1, .... л
л,- (т, 0, aen, о“) =
= Slip	U}—tfi—	SUP Uj—
uED(m, 0,aen,o°)	u&D (mt 0,aen)
<C [C—ip (X, V, u° —aen)]/d (X) =
= [C—ip (X, v, D°) + a (X, en) +va]/d (X).
Итак, для a>0 выполнено
л (tn, 0, a e„, v°)/a
max gn> + v | С —ф(Х, v,t>°) . <Л M +v I
d	d (X) d (v° - v + a) d (fy j
то есть uoeGf(m, 0). Пункт 1 доказан.
Докажем второй пункт утверждения. Предположим,
что Gf(m, О)=/=0 и M°eGf(m, 0). Тогда существует
v>0 такое, что
щ (т,0,аеп,и*) <
□Up '	V •
а
а>0
Это неравенство эквивалентно следующему:
О; — U?
sup ---------- V.	(4.4.5)
a
a>0
vED(m, 0,aen,tt°)
Пусть v — произвольная точка из т и о=#и°. Так как
(тл, 0), то as—d(v—м0)>»0. Следовательно,
ueD(m, 0, аеп, и°), и из (4.4.5) получаем для i==
= 1, ..., п
fa—«?]/[— d (v—и0)] < v.
Отсюда для i=l...л
и°—vt	v min fa—u?)	vd(v)—v max u°( (4.4.6)
8*
220 гл- 4- СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Пусть Хе£п+ и <Х, еп> = 1. Из (4.4.6) получаем
<u°, X) 4-v max «9	(v, X) 4- v d (v)
X^i^n
для любых v<=tn. Следовательно, ф (X, v, v) ограничена
на tn. 	_______
Из определения Gf следует, что для ueGf (т, 0)
lim г (v, Gf(m,a)) = lim inf r(v, u) = 0. (4.4.7)
(X,—►О-1-	ct—►0-J- wGFGf (zn, cc)
Из утверждения 4.4.9 следует, что (4.4.7) справедливо
для любых uejz 1 (т, 0). Введем функцию
t (tn, a).= Hr (31 х (т, 0), Gf (tn, a)), a 0.
Утверждение 4.4.11. Пусть т — замкнутое под-
множество Еп, существуют К^Еп+ и ve£'® такие, что
ф(Х, v, и) ограничена на m и 3li(m, 0) ограничено.
Тогда
lim t (m, а) = t (m, 0) = 0.
a->0+
Доказательство. Пусть an->0+, en->0 + ; тог-
да существует точка un^3li(m, 0) такая, что
t(m, an)C inf r(«n, o) + en.
re Gf (m, an)
Поскольку (tn, 0) ограничено, существует uoe/n, при-
чем un-+u0 и, следовательно, u0^3li(m, 0). Тогда имеем
t(m, an)< inf r(u0, v) + r(u9, wn) + en.
ceGf (m,an)
Переходя в этом неравенстве к пределу при п->оо, по-
лучаем
lim t(tn, a)^0.
a->0-b
Осталось заметить, что функция t(m, а) не убывает
по а. 
Из определения функции t следует, что при
~^t(m, а) выполнено
OpGf(m, a)^Sj (m, 0).
Выясним теперь, при каких	еь е2>0 и ае=
выполнено
Gf(m, (tn, а^Зь^гп, е2).	(4.4.8)
§ 4. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
221
Для обеспечения выполнения второго включения мож-
но воспользоваться согласованием Gf, а для обеспече-
ния первого включения оценим с помощью утвержде-
ния 2.5.9 величину
(m, ej, а2, а3) = sup]:- л/(/и, а2, а3,
veGf (m, 8i)
sup п}(т, 0, «з + с^вп, о) + аа^
ueGf (m, eO
sup n}(m, 0, en (aa + max азй), и)4-аа^
oeGf (m, 8t)
s^as + er'fo+maxaafc). (4.4.9)
Следовательно, для выполнения (4.4.8) достаточно,
чтобы aeG(m, ei, е2), где т^Мк и
G(m, 8П 8а) =
= {аеРф хЕ2п | 0С3»!, 8а > 04 + ||а4||, ’<(аз) + d(а4)>
> <аз. еп) + «(а2— ai)> а« > а2 + еГ! (а2 + max азй)}-
Нетрудно получить, что
dom(G, Е29)=>МкхЕ2+.
Из (4.4.8) следует, что
31 ^т, 0)<=.Ot(m, е.) 31 (т, а), 31 (т, а)с.0^3(.г(т, 0),
поэтому
Hr(3b(tn, а), 31г(т, 0))^max{/(m, sx), 8a).
Если положить а=(а, 0, аеп, Ьеп), где а, &>0, го
asG( т, — , а + b ] , и получаем оценки для т^Мк-
\ b	J
Slitm, 0)сО /	а_\31(т, а, 0, аеп, Ьеп),
\ ’ ~ь)
31 (т, а, 0, аеп, Ьеп)аОа+ь^Лт^ 0)-
Отсюда оценка в метрике Хаусдорфа имеет вид
Hr (31 (т, а, 0, аеп, Ьеп), 31
Рассмотрим теперь более общую, чем (4.4.8), задачу,
а именно, выясним, при каких	si, 82, б>0; ае
222
ГЛ. 4. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
еЕ2® Х£2п и Д^О для любых 1<^МК таких, что
Нг(1, выполнено 6>Д и
Gf(m, et)c:.^(/, a)az3l1(m, е2).	(4.4.10)
Нетрудно видеть, что существование указанных (a, б)
означает, что 31 внутренне Д-регуляризует сверху 31 \ на
(т, 82) при согласовании (а, 6) и 31 внешне Д-регуля-
ризует снизу Gf на (т, 81) при том же согласовании
(а, б).
Включение (4.4.10) эквивалентно следующим:
Gf(/n, e^crin 5Г(/п, а, 6), ех5Г(т, а, tyczSl^tn, е2).
Применяя оценки из утверждения 2.5.8, получим при
си, аг >б
Gf(/n,	а4—б, а2 + б, а3, а4),
31 ^т, 82)zj5z(m, 04 + 6, а2—6, а3, а4).
Теперь, используя согласование G\ и оценку (4.4.9),
приходим к согласованию
G^(ni, 84, е2)={(а, б)е£'2;х£2пх£'+| Д <6<«i<a3—б,
а2 > б, а4 > а-, + 6 + 8“' (а2 + б + max а3(),
е2 > ах + б + ||а4||, d (а3) + d (а4)> <а3, еп) +
+ п(а2- а4—2б)}.
Элементарные вычисления дают
dom(GA, £+) =A4kx{(8j, 82)<=£+1 е2> 4 Д (1 + ef1)}-
Итак, если т^Мк, 82>4Д(1+ег1), ei>0, то для
любых (а, 6)ебА(т, 8Ь ег) выполнено (4.4.10).
Таким образом, показано, что при выборе 31 =Gf
удается найти простую оценку для функции <о, участ-
вующей в согласовании для внешней аппроксимации
91 но тогда трудно оценивается расстояние между
•^i(m, 0) и Gf(/n, а), то есть функция /. Можно сужать
класс рассматриваемых моделей, с тем чтобы на этом
классе можно было найти достаточно простую оценку
для функции t. Однако удобнее задачу внешней аппрок-
симации Si [ заменить задачей внешней аппроксимации
Gf, если, конечно, это допустимо с точки зрения лица,
ставящего задачу. В случае, когда Gf — слишком «уз-
кий» принцип оптимальности и не удовлетворяет тре-
§ 4. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
223
бованиям постановщика задачи, легко построить рас-
ширение этого принципа оптимальности. Для этого вве-
дем принцип оптимальности (Gf, Чг), где
ХлЦт, ф)= (uem| Vo>0 п(т, 0, аеп, и)^ф(а)},
а семейство функций ЧгсзФ(£ф, £®) состоит из не-
которых неубывающих функций, равных нулю в нуле.
Нетрудно видеть, что если в качестве Т взять все ли-
нейные функции, то получим
(Gf, T)=(Gf, £+)•
Если же Ч; — более богатое семейство, то семейство
множеств Gf(m, ф) будет шире, чем Gf(m, в). В каче-
стве примеров можно предложить семейства
1
Ч\ = {ф|ф(а) = max {Aak, Ba1},
А, В>0, k, I —натуральные),
Чг,= {ф|ф(а) = eka—1, *>0).
Изучим теперь взаимосвязь некоторых принципов
оптимальности, связанных с лексикографической зада-
чей оптимизации. Множество моделей и псевдометри-
ку оставим прежними. Напомним определения и некото-
рые результаты для принципов оптимальности, рассмот-
ренных в § 2.5. Обозначим
(08т, если 8>0,	„
8	т^М, е>0,
т, если 8=0,
l^m, а0)= sup Uj,
<х0)
L^m, а9, a1, po) = {«<=V (m, a,0}\ux +ar^ l^m, 0O)},
lt(m, a0, a'-1, p0, p‘-2) = sup	uf,
«eLj—i (m, a0, a*""1, p0, 3l~2)
Lt(m, a0, a‘, po, p{~’) =
« {«<=£,_i (m, a0, at-', 0e, Р'-2)|иг + а,->
₽0, p‘-’, a0, a{-2)},
«/ = (а1,.„, a}), р/ = (рх. p^),
г = 2.. n; /= n.
224
ГЛ. 4. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
В § 2.5 показано, что весьма удобными свойствами в
смысле простоты согласований для устойчивости обла-
дает принцип оптимальности (Ln, Еф2п+1). Для тради-
ционного принципа оптимальности (Lexmax, Е1®), где
Lex max (tn, e)=V(Ln(m, 0-e2n), s),
хорошо известно, что его устойчивость является весьма
редким случаем. Выясним условия, при которых Ln ап-
проксимирует Lex max. Отметим прежде всего, что если
т — 'компакт, то есть т^Мк, то Lex max (tn, 0) =
= (/i (т, О-в]), ..., 1п(т, О-егп-i)). Поэтому изучение
условий аппроксимации упрощается. Объединим задачу
внутренней и внешней аппроксимации и найдем, при ка-
ких (cto, ап, ₽о; Рп-1) е£ф2п+1 для	и е>0 выпол-
нены включения
Lex max (tn, 0)c.Ln(tn, a0, a", po, pn“l)<=Lex'max(m, e).
(4.4.11)
Первое включение эквивалентно условиям
li(tn, 0 е2{-1) + аг>/г(т, ро, Р1'-’, а0, аг~2), t = l,.„, п.
Для выполнения второго включения достаточно, что-
бы	где d* — диаметр множества Ln(m, cio, а”,
Ро, Рп-1)> то есть
d*=	max	г (и, v).
и, vsLn (т, а,,'ап , р„,	!)
Оценим сверху величину d*. Справедлива цепочка не-
равенств
d*= max max (щ—
ueLn ('”• a«> a” ’ ₽»• P”—l)
max	max	(ut—»г)^
IsSisSn	(m, a0, L ₽<,.	2)
(m, p,,	1, <x0, a<—2)—aj
< тах(/г(т, a0, a'-’, p0, P{~2)—
—h(m, p0, p*-1, a0, a*-2)4-af].
Итак, получили, что если т^Мк, s>0 и (do, а”, Ро,
Pn-1)e/((m, е), где
К(т, в) =
-((а0, а”, р0, Р"-')е=Е2!Ж | /г (т,
§ 4. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
225
pi-1, а0, а<-2)>7,.(т, а0, а‘~\ ро, р<-2) +
+ а,—е, i = 1, , п},
то выполнено (4.4.11).
Интересно выяснить, при каких (т, е,)^.МкХЕ1+ бу-
дет выполнено К(т, е)¥=0. Для ответа на этот вопрос
потребуется еще одно вспомогательное утверждение.
Обозначим Ло(/п)=Д2® и для /=1, ..., п
= {(a0, а', р0, р/)€=£^+2| lt(m, 0-е2,-_1) + аг>
Ро. Р/-1, а0, ai-2); Ц(т, 0 е2»-1) + р/>
>/г(/п, а0, а‘-’, ро, pi-2), 4=1,..., j}.
Утверждение 4.4.12. Пусть т— компакт. Тогда
для i=l, ..., п выполнено:
1.	Нт Hr (Шт, а0, а1, ро, Р‘~'),
а„.	, ₽,, pi -»0л
(а0, ai , р,. pi )еКг (т)
Lt(m, 0е21_,)) = 0.
2.	Jim Нг(Щт, ро, pi, а0, ai-‘),
а„, а‘ , р„’ pt -* 0_
(а„. а* , р,. pi )еК; (т)
Ц(т, 0-е2/_!))=0.
3.	lim /,(т, а0, ai-’, ро, Р‘~2) =
а,.а‘'-1, ро. pi-1-*О
(ao.ai—1, ро, pi-'leK^i (т)
=	lim	It (т, ро, pi-1, а0, а'-2) =
а0, a i~ро, pi-1 -> О
(ao.ai-1, Р«, pi-^eK; (m)
= li(m, 0-e2l-i).
Доказательство. Заметим прежде всего, что
из справедливости первых двух пунктов утверждения
для i==l, ..., s следует справедливость пункта. 3 для
t=l, ..., $+1. Поэтому достаточно доказать только
пункты 1, 2. Доказывать будем индукцией по i. Для
4 = 1 из определения К\(т) следует, что
Lx(m, О-е^сЦт, a0,ra1, ро),
Шт, О-е^Шт, Ро. Рх> ао)-
226
ГЛ. 4. СРАВНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Пусть существуют у>0 и последовательности ао(й),
p0(ft>—»-0,	ao{h\aiw, р0</!)) такие, что
uwe=Ov Li (tn, 0-e3). Так как m — компакт, то, не ума-
ляя общности, можно считать, что	Переходя к
пределу в условиях г(м(й>, т) =^ао(й), «i(ft) + ai(ft)>>
^li(tn, Ро(й))> получаем и°^т,	0), то есть
и°е£1(/п, 0-е3) — противоречие. Аналогично доказы-
вается и сходимость множества Ц (т, р0, р1, ао).
Пусть теперь .первые .два пункта доказаны для
1=1, ..., s. Напомним, что пункт 3 справедлив для
i = l,..., s+1, и, следовательно, условия ao, as+1, Ро, ps+1—>-0
и (ао, as+1, Ро, ps+1)^#s+i (т) совместны. Из определения
/<8+1 (т) следует, что
Ls+i(m, 0-e2s+3)c:Ls+i(/n, а0> aS+I> Ро» Ps)>
L$+i(m, 0-e2s+3)c:Ls+I(m, po, Ps+>, ac, as).
Остальная часть доказывается вполне аналогично слу-
чаю i=l. 
Из утверждения 4.4.11 непосредственно следует, что
для любых (т, е)^МкХЕ'+ выполнено К(т, е,)У=0.
Полученная аппроксимация принципа оптимально-
сти Lex max и знание условий устойчивости позволя-
ют сравнительно легко получить достаточные условия
для регуляризации Lex max любого типа. Однако отме-
тим, что как согласования для аппроксимации Lex max
с помощью Ln, так и согласования для всех типов ре-
гуляризации используют функции 1г, эффективное вычи-
сление которых является весьма сложной задачей. По-
этому указанная аппроксимация будет эффективной,
только если можно получить достаточно простые и до-
статочно точные оценки для функций Ц. Решение этого
вопроса, по-видимому, можно получить, рассматривая
более узкие классы моделей.
Более подробное исследование лексикографической
задачи оптимизации можно найти в [56, 61].
ДОПОЛНЕНИЕ
ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФУНКЦИИ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Введение
В последние годы в связи с расширением круга
изучаемых задач появился ряд теорий, оперирующих с
недифференцируемыми функциями. Типичными приме-
рами таких теорий являются выпуклый анализ [67] и
недифференцируемая оптимизация [25]. В качест-
ве аналога понятия «производная» были предложены
различные конструкции с более широкой областью
применения, например, субдифференциал [67], произ-
водная Кларка и т. п. Введение обобщения произ-
водной естественно ставит вопрос о соответствующем
понятии интеграла.
Дополнение посвящено построению такого понятия
интеграла функции действительного переменного для
одного из обобщений производной, а именно для ус-
ловного 8-субдифференциала [25].
Следует сразу отметить, что здесь понятие услов-
ного 8-субдифференциала подвергнуто некоторой пере-
работке. В частности, изменено его название и введе-
ны еще два аналогичных понятия, позволяющих при-
менять предлагаемый аппарат приближенных диффе-
ренциалов к произвольным функциям, а не только к
выпуклым.
Большое количество обобщений производной, суще-
ствующее в литературе, естественно ставит вопрос: по-
чему здесь рассматривается именно условный 8-субдиф-
ференциал? Ответом на этот вопрос могут служить
§ 1—4, носящие вспомогательный характер. В них вво-
дятся необходимые определения, приводятся свойства
приближенных дифференциалов и показывается, что, в
отличие от производной, приближенные дифференциа-
лы устойчивы. Доказано, что приближенные дифферен-
циалы аппроксимируют и регуляризуют производную,
что говорит об их практической ценности.
228
д приближенный интеграл
При построении понятия интеграла, соответствую-
щего приближенным дифференциалам, прежде всего
возникает вопрос, что положить в основу такого по-
строения? В данной работе рассмотрены два пути по-
строения интеграла.
Первый исходит из того, что интегрирование долж-
но быть в некотором смысле обратной операцией
к дифференцированию. Для формализации такого
взгляда на интегрирование в работе использова-
лась схема построения интеграла Перрона. Эта схе-
ма дает возможность весьма просто ввести понятие
приближенного интеграла Перрона. Однако никакого
конструктивного пути вычисления схема Перрона, по
существу, не предлагает.
Другой путь основан на понимании интеграла как
площади. Такая схема построения названа схемой Ри-
мана, так как использует аналогичные римановским
интегральные суммы. На этом пути определения ин-
теграла нетрудно предложить и конструктивные спо-
собы его вычисления. Весьма интересным и удивитель-
ным, по мнению автора, является тот факт, что обе
схемы построения интеграла дают один и тот же
результат. Это делает возможным конструктивное
вычисление интеграла, построенного по схеме Пер-
рона.
Построенный приближенный интеграл удовлетворя-
ет свойствам, аналогичным свойствам классических ин-
тегралов. Это аддитивность по отрезку интегрирова-
ния, дифференцируемость по верхнему пределу инте-
грирования, формула Ньютона — Лейбница и т. п. От-
личие от классики состоит в том, что там эти свойства
выражались равенствами, а здесь равенства перехо-
дят в приближенные равенства с указанием погреш-
ности. Изучаются связи приближенного интеграла и
классических интегралов. Интересно отметить, что в
зависимости от типа интеграла, Римана или Лебега,
существенно отличаются возможности их аппроксима-
ции с помощью приближенного интеграла. Доказана
устойчивость приближенного интеграла при варьирова-
нии графика подынтегральной функции в псевдометри-
ке Хаусдорфа.
Автор благодарен М. А. Горелову, прочитавшему
рукопись дополнения и сделавшему ряд полезных за-
мечаний.
§ 1. приближенный предел
229
§ 1. Приближенный предел и его простейшие свойства
При построении понятия приближенного предела
будем исходить из следующей содержательной трак-
товки этого понятия. Число А будем считать прибли-
женным пределом функции f в точке а, если из того,
что х «близко» к а, следует, что f(x) «близко» к А.
Для формализации этого определения нужно уточнить,
что такое «близко» для аргументов и для значений
функции. Понятие «близко» для аргументов будем
описывать с помощью точечно-множественного отобра-
жения V:	, понимая множество V(х) как
множество аргументов, «близких» к х. Поэтому указан-
ные отображения будем называть Б-отображениями.
Если Б-отображение V удовлетворяет условию 0=#
=/= V(x) <=х+£'1+ для любого х^Х, то есть V(х) ле-
жит правее точки х, то такие отображения будем на-
зывать БП-отображёниями на X. Если для любого
х<=Х выполнено 0#= V(х) crx-f-E1-, то есть V(x) ле-
жит левее точки х, то такие отображения V будем
называть БЛ-отображениями на X. Понятие «близко»
для значений функции будем задавать ограничениями
справа или слева на приращения значений функции.
Итак, перейдем к точным определениям. Пусть f —
числовая функция, определенная на V(x), а а, р,
О п р е д е л е н и е . Д.1.1. Верхним, (е, V)-пределом
функции f в точке х Называется множество
Lim [Д’ е, V](x) = {ve£'1|[(!/)<H£(4 Vy<=V (х)}.
Нижним (е, V)-пределом, функции f в точке х назы-
вается множество
Lim[Д е, V] (х) = {oe£1|f(y)>t)—-е(х), VyeV(x)}.
Множество
Lim[f, а, р, V](x) =
= {пеЕ11V—а(х)	(у) <и+р(х), Vy^V(x)}
называется, (a, ft, V)-пределом функции f в точке х.
Очевидно, справедливы представления
Limtf, s, V](x) = [ sup f(y) —e(x), -j-oo),
yeV(x)
Lim [Д 8, V] (x) = (— 00,® inf Д({/)4-е(х)];’
---	yeV(x)
230	Д. ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Limff, а, 0, V] (х) = [ sup f(y)—Р(х), inf f(y) + a(x)].
ysV (х)	y^V(x)
Отсюда непосредственно следуют простейшие свой-
ства приближенных пределов.
1.	Lim[/\ е, V] (х) #=0 тогда и только тогда, когда f
ограничена сверху на V(х);
Lim[f, е, VJ(x)=#0 тогда и только тогда, когда f
ограничена снизу на У(х);
Lim[f, а, р,Й](х)=+0 тогда и только тогда, когда
колебание функции f на множестве V(x) не превосходит
а(х)+р (х), то есть
sup [f (у)— f(z)]<a(x) + p(x).
у, xeV(x)
2.	Lim [—f, e, V] (x) = -Lim [f, 8, V] (x).
Lim [—f, e, V] (x) =—Lim [f, 8, V] (x).
Lim [—f, a, p, V] (x) =—Lim [f, p, a, V] (x).
3.	Lim[6f, ke, V]=£Lim[f, 8, V] (x), k>0.
Lim [kf, ke, V] (x) =k Lim [f, 8, V] (x), A>0.
Lim [£f, ka, k$, V] (x) =k Lim [f, a, p, V] (x), k>Q.
4.	Если Lim[f, a, V] (x)#=0, Lim[g, p, V] (x)+0, to
Lim [f, a, V] (x) +Lim [g, p, V] (x) czLim [f+g, a+p, V] (x).
Если Lim [f, a, V] (x) =+0, Lim [g, p, V] (x)=#0, to
Lim [f, a, V] (x)+Lim [g, p, V] (x) czLim [f+g, a+p, V] (x).
Если Lim [f, a, p, V] (x) =#0, Lim [g,y, б, V] (x) ^=0,
TO
Lim [f, a, 0, V] (x) +Lim [g, у, б, V] (x) az
czLim [f+g,a+y, р+б, V] (x)..
Нетрудно установить связь между классическим и
приближенным пределами. Пусть существует lim f (у) =
у^-х
=А. Это значит, что существует такая функция 6:
Е'+-+Е1+, что для любого 8>0 и любого у, принадле-
жащего множеству (х) — [х—б (в), х+6 (в) ] \ {х},
выполнено неравенство |f(g)—Л|^в.
Отсюда следует, что для любого 8>0 справедливо
limf(y)eLim [f, е, 8, ire]_(x)czlim7(i/) + [—2s, 2е].
y-^x	у~^х
§ i. приближенный предел	231
На базе приближенных пределов введем соответст-
вующие понятия приближенной непрерывности функ-
ций.
Определение Д.1.2. Будем говорить, что функ-
ция f является (е, V) -непрерывной сверху на множест-
ве X, если /(x)eLim [/, в, V] (х) для любого х^Х.
Будем говорить, что функция f является (в, V) -не-
прерывной снизу на множестве X, если f(x)<=
eLim[f, 8, V] (х) для любого х^Х.
Будем говорить, что функция f является (а, В, V)-
непрерывной на множестве X, если f(x)eLim[f,a,
р, V] (х) для любого хеХ.
Для Б-отображений V введем обратное Б-отображе-
ние
V-i[X](y) = {x6=X|y<=V(x)}.
Отметим, что если V — БП-отображение на X, то
V~1 [X]—БЛ-отображение на У(Х), и наоборот, если
V — БЛ-отображение на X, то И-1[Х]— БП-отображе-
ние на V(X).
Используя обратное Б-отображение, можно устано-
вить связь между различными типами непрерывности.
Обозначим
*8(у)= sup 8(х), V(X) = SUV(x).
xeV-l [X] (у)	хеХ
Утверждение Д.1.1.
1. Пусть f является (г, V)-непрерывной сверху на X.
Тогда f является (е, V~l\X\)-непрерывной сншу на
V(X).
2. Пусть f является («, V) -непрерывной снизу на X.
Тогда f является (8,V"l[XJ) -непрерывной сверху на
V(X).
Доказательство. 1. Пусть уеи(Х). Следова-
тельно, существует хеХ такой, что yeV(x). Это зна-
чит, хеУ~*[Х] (у). Поскольку f является (е, ^-непре-
рывной сверху в точке х, то f(x)'+e(x)^f(y). Отсюда
f(y)— г (у) ^f.(x) для любого xeV-1[X] (у).
2. Доказывается аналогично. 
Легко видеть, что различные понятия приближен-
ной непрерывности означают, что значения функции на
«близких» к х, т. е. принадлежащих У(х), значениях
232
Д. ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
аргумента, можно аппроксимировать с указанной точ-
ностью значениями функции в точке х. Если нужна
более тонкая аппроксимация, то естественно к аппрок-
симирующей величине добавить некоторые члены. Если
добавочные члены линейно зависят от приращения-ар-
гумента, то приходим к понятию приближенных диф-
ференциалов.
§ 2. Приближенные дифференциалы,
производные и их свойства
Пусть V — Б-отображение, f—функция, определен-
ная на x|JV(х), ai, Pi, ы:Е'->-Е1, i=l, 2, е= (ei, е2).
Определение Д.2.1. Множество
D[f,e,V](x) = {v^\f(y)^
^f(x) + (v+ejx)) (у—х) +е2(х), V«/eV(x)}
называется верхним (в, V)-дифференциалом функции f
в точке х.
Множество
D[f,z, V](x) = {V(=E'\f(y)^
>f(x) + (u— ei(x)) (у—x)— e2(x), Vz/6e7(x)}
называется нижним (e, V)-дифференциалом функции f
в точке х.
Множество	D [f, а, р, V] (х) = D [f, а, V] (х) f]D [f, р,
V] (х) называется (а, р, V) -дифференциалом функции f
в точке х.
Замечание. Понятие нижнего (0, е2, V)-диффе-
ренциала функции f, по существу, совпадает с понятием
условного 8-субдифференциала функции f, по множест-
ву V [25]. Отличие состоит в следующем. В [25] мно-
жество V и 82^0 не зависят от х и предполагается,
что хе У. Здесь эти условия не. требуются. Отметим
также, что в [25] рассматривается случай хеЕ", а здесь
хеЕ1.
Верхний и нижний (в, V)-дифференциалы и
(а, р, V)-дифференциал будем называть приближенны-
ми дифференциалами.
Для БП- и БЛ-отображений введем приближенные
верхние и нижние производные, которые можно рас-
сматривать как аналоги верхней и нижней правой и
левой производных соответственно.
§ 2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ 233
Определение Д.2.2. Верхней
функции f в точке х называется
д [f, е, V] (х) = sup Г ~№1
yeV(x) L
(е, V) -производной
8 (х)	~1
У — х	IP—*1 -• ’
Нижней (e,V)-производной функции f в точке х на-
зывается
d[f, 8, V](x) = inf Г —	---iW-l
Для приближенных производных допускаются зна-
чения ±оо.
Для Б-отображений V введем
У+(х) = У(х)П(х,+оо), У-(х) = У(х)П(-оо,х).
Для приближенных дифференциалов справедливы пред-
ставления
D[f,8,V](x)==
= [<?[/=, 82, V+] (X) -8, (X) , d[f, 82> V-] (х)—8j (X) ],
D[f,S, V] (Х)==
= Ж 82, У"] (X) +81 (x),d[f, 82, V+] (X) 4-8! (X) ] .
Приведем некоторые очевидные свойства прибли-
женных производных.
1.	Пусть а(х)^р(х). Тогда, если V есть БП- или
БЛ-отображение, то
d[f, а, V] (х) <д[f, ₽, V] (х); <ф, а, V] (х)	₽, V] (х).
2.	Пусть V, W—БП-отображения на х, a U, Т — БЛ-
отображения на х. Если V(х)оIF(x) и U(x)=>T(x), то
d[f, 8, V] (x)>d[f,8, №]'(х), d[f,8, £71 (x)>d[f,8,T] (х),
<J[f, 8, V] (х) е, IF] (x), d[J, 8, C7J(x) <d[f, 8, T] (x).
3.	d[— f, ,8, V] (x) =—d[f, 8, V] (x).
4.	8, V] (x) =d[kf, ke, V] (x), k>0,
kd[f, 8, V] (x) =d[kf, ke, V] (x), k>0.
5.	d[f, a, V] (x) +d[g, p, И (x) ><?[/+£, a+p, V] (x) >
>d[f,a, V] (x)+d[g,-p, V] (x);
a, V] (x) 4-d[g, p, V] (x)	a+p, V] (x)
<d[f,a,V](x)+5[g,-p, И (x).
Из свойств 3 и 5 следует справедливость оценки
234
Д. ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
<ЧА<х, F] (х)-<?[/,₽, V] (х)<
<д[0, а+р, V] (х) = (а(х)+р(х)) (F(x))~‘,
где V(x) sup | у—х |, a V—БП- или БЛ-отображение.
#eV<x)
Аналогичные свойства справедливы и для приближен-
ных дифференциалов.
1.	Пусть а,(х) >р,(х), f=l,2. Тогда
D[f, а, V] (х) =>D[f, аь р2, V] (х),
Plf, а, И (x)oD[f,ai, p2, F](x).
Если V — БП-отображение на х, то
D[f, а, И (*) =>£>[/, Pi, a2, F]t(x),
D[f,a, V] (x)oD[f, Pi,a2, Fj (x).
Если V—БЛ-отображение на x, то
D[f,a, V] (x)c5[f,pba2, V] (x),
O[/,a,n(x)cO[[,pba2,V](x).
2.	При F(x)=>IF(x)#=0 выполнено
5[f,e, V](x)cD[f,e, IF] (x),
D[f,z, V] (x)czD[f,e, IF] (x).
3.	D[—f, e, F](x)=—£>[f, 8, F] (x),
D[-f, a, p, F] (x) =-D[f, P, a, V] (x).
4.	kD[f, 8, V] (x) =D[kf, kz, V] (x),
kD[f,8, V] (x) =D[kf,kz, F] (x), k>0.
5.	Если D[f, a, F] (x) =/=0, D[g, p, F] (x) =£0, to
D[f, a, F]-(x) +D[g, p, F] (x) cD[f+g, a+p, F] (x).
Если D[f, a, F] (x) #=0, P[g, p, F] (x) =/=0, to
D[f, a, F](x)+_D[g, p, F](x)C=£[f+g, a + p, F](x).
Если D[f, a, p, F] (x)=/=0, D[g, y, 6, F] (x)=/=0, to
0[f,a.P.V](x)+£te,y,6, F](x)c
c^tZ+g, a+y, P+6, F] (x),
D [f+g. a+т. P+6. V] (x) c:
[f, a. P, И (x) +D [g> V. fi> И (x) + [—K> x].
где
x = a1(x) + pi(x) + yi(x) + 6i(x) +
I «2 (x) + Рз (x) + ?2 (x) + 62 (x)
V(x)
§ 2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ 235
Установим теперь условия ограниченности прибли-
женных производных.
Утверждение Д.2.1. Пусть f определена на мно-
жестве л: (J V(x), V — БП-отображение и выполнены ус-
ловия
1) для любого а>0
и(а)= sup	x)~l <+оо;
y^V (х)П[х-|-а, +«)
2) существует b>0 такое, что либо
У%(х) = У(х)П(х, х + й)#=0,
либо f является (е, У°ь)-непрерывной сверху в точке х.
Тогда d[f, е, V] (х) <+°°-
Доказательство. По определению верхней при-
ближенной производной имеем
d[f, е, V](x) = max( sup	,
У х
sup Ну)-Нх)-е(х) >
y(EV (х)П[х+6, 4-оо)	у — X	J
где &>0 удовлетворяет условию 2). Поэтому
d[f, е, V](xXmax/0, и(&) — inf +	<-}-оо. И
I	t^b t J
Достаточные условия ограниченности приближенных
производных в остальных случаях можно получить, ис-
пользуя равенства
V] (х)=-а[-иУ](х),
3[U V](x)=d[gx,z, F] (х),
где gx(y)=—/(2х—у), W(x)=2x—V(x), V — БП-, либо
БЛ-отображение. Отметим, что если V — БП-отображе-
ние, то W — БЛ-отображение, и наоборот, если V — БЛ-
отображение, то IF — БП-отображение.
Утверждение Д.2.2. Пусть f_ определена на
x|jV(x), V — БП-отображение и d[f, е, V] (х)<4-оо.
Тогда:
1)	для любого а>0 выполнено условие
sup	f(y)(y—х)-1 < + <*>;
yt=V (х)П[х+«» 4-*)
236
Д. ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2)	для любого а>.ъ(х) существует Ь>0 такой, что
либо V°b(x)=0, либо f является (a, V°t>)-непрерывной
сверху в точке х.
Доказательство. Пусть а>0 и V(x)f|[x-|-a,
-|-оо) =/=0. Тогда
/ (*) + е (х)
sup	х)-1 <
1/еУ(х)П[х4-а, 4-оо)
<sup HjL)zzH5)-..e^).+ sup
y^V (x)	у — X	У^[х+а, -j-»)	у — X
sg:d[/, s, V] (x)-|-max/О, -LW+.LW
I a
Возьмем произвольное a>&(x) и b>0, удовлетворя-
ющее условию d[f, е, V] (х) <'(а—e.(x))b~l. Если V(х)П
П (х,x-j-ft) =0, то все доказано. Пусть У°ь(х)#=0, тогда
для любого у^У°ь(х) выполнено
f (У)	(X) +<T[f, 8, V] {х)(у—X) +8 (X)
(x)6+8(x)^f(x)+a. 
Заметим, что условие 1) .в утверждении Д.2.1 озна-
чает, что для случая, когда V (х) не ограничено, функция
f должна возрастать не быстрее линейной. Если же
V(x) ограничено, то условие 1) выполнено для ограни-
ченной сверху на V (х) функции f. Итак, условие 1) ут-
верждения Д.2.1 является необходимым, а условие 2)
утверждения Д.2.1 является «почти» необходимым для
ограниченности верхней (в, V) -производной. Аналогич-
ные результаты можно получить и для нижней произ-
водной, и для случая, когда V есть БЛ-отображение.
§	3. Устойчивость приближенных дифференциалов
Для исследования устойчивости приближенных диф-
ференциалов необходимо задать множество моделей с
псевдометрикой,- множество стратегий и принципы оп-
тимальности, соответствующие приближенным диффе-
ренциалам. Положим ЛГ=Ф([о, &].£*), то есть М — мно-
жество числовых функций, определенных на [а, Ь],
S (пг) =S — есть множество точечно-множественных ото-
бражений, определенных на [а,&], й — тождественное
отображение, ц — равномерная метрика для моделей
МА SWsup. |fl(x)—£(х)|.
xe>[a,b]
§ 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИБЛИЖЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ 237
Точечно-множественные отображения будем отож-
дествлять с их графиками, поэтому считаем S=[a,б]Х
(Е1)- С приближенными дифференциалами свяжем
принципы оптимальности
(Д,Ф2 (Е',Е')ХБ), (D,®2(£*,B*)XB),
(D, Ф*(Е1,Е')ХБ),
где
D[f, 8, V] = {(M,X)e£1X[«, &] I U^D[f, 8, V] (х)},
D[f, е, V] = {(u, х) е£'Х [a, ft] |ut=D[f, 8, V] (х)},
£>[f,а,р, V] = {(«,x)<=E>x[a,6]|«e=D[f,a,p, V] (х)},
а Б — множество Б-отображений V.
Заметим, что здесь допускается небольшое расхож-
дение с предыдущими обозначениями, где пара «модель
и параметр» записывались в круглых скобках, а здесь
используются квадратные.
Будем исследовать условия, при которых имеет ме-
сто внутренняя Д-устойчивость сверху и внешняя Д-
устойчивость снизу. Более точно, будем говорить, что
принцип оптимальности (/?, <£} Д-устойчив на АГ при со-
гласовании В, если для любых (/n, 81,8г)еМ выполнено:
В (/0,81,82) ^0 и для любых (а, д)еВ (01,81,82), любых
n<=Afe (т) имеем 6>Д и
0	(т, 81) с/? (и, а) сд/? (т, 82).
Здесь Л^стМХ^2, В : Л^-^-®(^>Х£’1+) и определение
Д-устойчивости сформулировано с учетом условий
S (/о) =S, Q — тождественное отображение.
Для примера исследуем лишь 0-устойчивость верх-
него приближенного дифференциала. Используя связь
между приближенными дифференциалами, результаты.©
0-устойчивости верхнего приближенного дифференциала
можно легко перенести на остальные приближенные
дифференциалы.
Из представления верхнего приближенного диффе-
ренциала следует,- что
D[f,e,V] = {(u>x)^EiX[a,b]\u^
<= P[f, 82, V+] (X)—81 (X) , d[f, 82, V-] (X) —81 (х) ]}.
Легко видеть, что справедливы оценки
ex/5[f,8, V, 6]c={(u, х) е£'Х[а, b] |we
e[d~[f,82, V+, б] (X)-81(X), B+[f,82, V’.S] (*)-81 (x)]},
238
д. приближенный интеграл
in В[f, е, V, б] => {(и, х) [л, Ь] | «е
s[d+[f,e2, V+, 6] (х)— 81 (х), d-[f,82,V-,d] (X)— 81 (X)]},
где
д+[Д 8, V, б](х) = sup d[g, 8, V](x),
ц (Л
d+[f, е, V, б] = sup d[g, 8, V](x),
u(f. ex*-
d~[f, 8, V, 6] (x) = inf d[g, 8, V](x),
Ц (f,
d~ [f, e, V, 6]= inf d[g, 8, V](x).
Пусть g(f,g)^6, тогда
d[g, s, V] (x) < d[f, 8-26, V] (x).
Нетрудно видеть, что эта оценка достигается. Поэтому
5+[f, 8, V, б] (X) =d[f, 8-26, И (X),
<F[f, 8, V, б] (х) =d[f, 8+26, V] (х),
d+[f, 8, У,б] (x)=d[f, e+26, V] (x),
<+[/, 8, V, 6] (x) =d[f, 8-26, V] (x).
Отсюда получаем оценки
exD[f, 8, V,6]c:D[f, 81,82+26, V],
in D[f, 8, V,6]=>D[f,8i,82—26, V].
Обозначим О=Ф2(Е1,Е1)ХБ» тогда
dom(£), G) = {f,8i,82, V|/5[f,8i,82, V](x)#=0 Vxge[<z, 6]}.
Теперь нетрудно сформулировать условия 0-устойчиво-
сти верхнего дифференциала. Обозначим
JV={f,81,82, Vi, V2|ei =
= (еп, e,2), i=l,2, 8i,:	8n(x) =821 (x),
inf (822(X)— 812(x))>0, У1(х)=)У2(х),
xe[a,6], (f, ei, Vi)edom (Z5, G)},
в (f, 81,82, V1, v2) = {a, W, 61 ai (x) =
— 811 (X) , 822 (x)—26^02 (X) >812 (x) +26,
V’! (x)ofF(x)oV2(x) Vxe=[a,6], 6>0}.
Утверждение Д.3.1. Принцип оптимальности
(D, G) ^-устойчив на N при согласовании В.
§ 4. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПРОИЗВОДНОЙ	239
Замечание. Условие (f, е, V)edom (D, 6) легко
проверяется для случая, когда V является либо БП-,
либо БЛ-отображением. Действительно, если V — БП-
отображение, то V~=0 и d[f,ev, У-] (х) = 4-оо. Поэто-
му достаточно проверить, что <5[f, е2, V] (х) ограничена
сверху. Достаточные условия ограниченности были ука-
заны выше.
§ 4. Регуляризация производной
Пусть множество моделей, множество стратегий, ин-
терпретация и метрика для моделей такие же, как в
предыдущем параграфе. С производной свяжем принцип
оптимальности (Dif, Ф(Е\ Е1®)), где Dif(/„ е) =
= {(и,х)^ElX[a, 6] | |и—f'(х) | (х)}.
Обозначим MD множество функций, определенных и
дифференцируемых на [а, &],
af[f, V] (х) = sup	Ну)—И*)—(х)
‘	yev(x) у—х
Если f^MD, хе [а, &] и Р(х)-»-0, то ®[f, V] (х)-»-0.
Пусть feAfp, g^M,	a V — любое БП-отобра-
жение или любое БЛ-отображение. Тогда справедливы
оценки
8, V](x)^f'(x)+<i>[f, У](х) —
V (X)
при е (х) > 26,
d[g, е, У](х)>/'(х)-®(Л V] (х) — 8<х>+26 ,
У W
dig, 8, У](х)>/'(х)-®[А У](х)+ е(|~26
V(x)
при 8(х)>26,
д[g, 8, И (х) </'(*) +МА V](x)+ 8^t26 -•
V (X>
Отсюда следует, что если положить ai (х) = Pi (х) =0,
а2(х) = р2(х)=2б+<о[А V] (х)-Р(х), то г(х)е£)[^,а,
р, V] (х) и длина отрезка D[g, а, р, V] (х) не превосходит
величины
4®[f, И (х)+86(7(х))-*.
Аналогично предыдущему параграфу будем искать
условия, при которых одновременно имеет место внут-
240	Д. ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ренняя О-регуляризация сверху и внешняя О-регуляри-
зация снизу. Более точно, будем говорить, что принцип
оптимальности (Р, Д-регуляризует принцип опти-
мальности (R,&) на N при согласовании А, если для
любых (пг, 61,82) выполнено: А (zn, 81,82) =#0 и для
любых (а, 6)еА(/п, 81,82), любых п^М6 (т) имеем
6>Д и
0 =A=R (m, 8i) cP (п, а)	(zn, 82).
Здесь N<=MX&2, A:N-^(^XEl+), S(tn)=S, Q —
тождественное отображение.
Это определение регуляризации, как и приведенные
в гл. 3 определения регуляризации, также является ес-
тественным обобщением понятий регуляризации, исполь-
зуемых в теории некорректных задач [74].
Сформулируем условия регуляризации для произ-
водной. Положим
N — {h 8i> ег I f^Mo, inf в2 (х) > 0, ех (х) = О,
хе[а, 6]
Vxe[a, &]},
С (f8ь 82) = {а, р, V, 61 а2 (х) = р2 (х) =
=264-®[f, V] (х) • V(x), У(х)с[а,&], ai(х) =р, (х) =0,
4<о [/, V]. (х) 4-86 (V (х)) ^82 (х), Vx<= [а, Ь]}.
Утверждение Д.4.1. Принцип оптимальности
(D, Ф4 (Z?1, Е')ХБ) О-регуляризует (Dif, Ф(£‘, Е1)) на
N при согласовании С.
Заметим, что для нахождения элементов, принадле-
жащих множеству D[f, a, р, V], не нужно точно нахо-
дить верхние и нижние приближенные производные, до-
статочно знать их с некоторой, указанной в согласова-
нии, точностью.
§ 5. Приближенные верхний и нижний
интегралы Перрона
Выше были введены понятия приближенных диффе-
ренциалов и производных, которые можно считать ана-
логами обычной производной. Естественно возникает во-
прос: что понимать под интегрированием, соответству-
ющим приближенным дифференциалам и производным?
Построение такого интеграла, который будем назы-
вать приближенным, можно осуществлять различными
§ 5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРРОНА
241
путями. В настоящем параграфе будет использоваться
схема построения интеграла Перрона.
Обсудим сначала, на каком множестве значений
аргумента естественно ставить задачу интегрирования.
Пусть V—Б-отображение. Если f(x) и верхняя или
нижняя приближенные производные заданы, то значе-
ния приближенных производных служат для оценки или
прогноза значений функции f на множестве У(х). Фик-
сация каких-то согласованных с оценкой значений функ-
ции f на множестве V (х) накладывает ограничения на
значения функции f на множестве У(У(х)) и т. д. Эти
соображения позволяют считать естественным такой ва-
риант постановки задачи приближенного интегрирова-
ния, когда по значению функции f в одной точке а и
ее приближенным дифференциалам и производным тре-
буется в некотором смысле восстановить значения
функции на множестве 
РгоГУ, а] = U Vh(a),
k—0
где V°(a) = {a),	= V(Vh~i(a)~). В случае, когда
множество, на котором происходит интегрирование, ог-
раничено отрезком [а,&] или [Ь,а], удобно рассматри-
вать множество
Pro [7, а, 6] = |Рг°1У’ а} Л [а’ ПрИ
(Pro [У, а] П [6, а] при а^Ь.
Пусть f — функция действительного переменногос
областью определения, содержащей Рго[У, а, Ь] \ {Ь},
feePro [V,a],.ееФ(Д1,£’1), V является лцбо БП-, либо
БЛ-отображением. Обозначим
|^(Х)П(—°°. 6], если V—БП-отображение,
И (х) П [Ь, + 09), если V—БЛ-отображение.
Будем говорить, что F является (в, V) -подфункцией
для f от а до Ь, если:	,	.	.
1)	Г определена на Pro [У, а, &],
2)	Е(а)=О,
3)	f(x)€=O|T,0,8,Vb](x), VxePro [У,а, &] \ {&}.
Будем говорить, что F является (е, V) -надфункцией
для f от а до Ь, если:
1)	F определена на Pro [У, а, Ь],
2)	F(a)=O,
242	Д. ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
3)	f(x)^D[F, О, е, Vb](x), VxePro[V, а, b] \ {&}.
Верхним (г, V)-интегралом Перрона функции f от а
до b будем называть величину
IP[A е, V]=infF(&),
а
где нижняя грань берется но всем (е, V) -надфункциям
для f от а до Ь.
Нижним (е, V) -интегралом Перрона функции f от а
до h будем называть величину
ь
П>[/,8, V]=supF(6),
а
где верхняя грань берется по всем (в, V)-подфункциям
для f от а до Ь.
Верхний и нижний (е, V)-интегралы Перрона будем
называть верхним и нижним приближенными интегра-
лами Перрона.
Следует отметить, что, как и для классического ин-
теграла Перрона, такая схема построения приближенно-
го интеграла Перрона не указывает никакого конст-
руктивного способа вычисления приближенных инте-
гралов.
Приведем простейшие свойства приближенных ин-
тегралов Перрона, непосредственно следующие из оп-
ределений.
1.	Пусть функция F определена на множестве
Pro [V,а,&] и для любого xePro [V,а,Ь]\ {&} выпол-
нено
f (х) eD[F, 0, а, V6] (х), g.(x) ^D[F, 0, р, V6] (х).
Тогда
1	ь
IPJA a,	F(a)<IP[g, 0, V].
“	а
А	ь
2.	IP [—А 8, V]= —1Р{/, 8, V].
а	а
L	L
3.	k IP [А 8, У] = 1Р[/?А ke., V], k>Q,
a	a
b	b
k IP [A e, V]=IPI*A кг, V], k>0,
9	ч
§ 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА	243
ь	ь_	>
4.	ГР[/, a, V] + IP [g, Р, V]>IP [f + g, a + P, V],
a	a	a
b	b	b
IP [A a, Vl + IP[g, ₽, H<IP[f4-g, a+P, И,
a	a	a
если суммы в левых частях неравенств имеют смысл,
то есть не являются выражениями вида оо—оо или
--ОО-[~ОО.
Если g=const, то свойство 4 можно уточнить:
ь
IP[f + &, 8,	V]=k(b—a) + IP[f,	8,	И,	ksE\
а	а
b	b
\P[f+k, 8,	V] = k(b—a) + IP[f,	8,	V],	kt=El.
a	a
5.	Если cePro [V,a, &], &ePro[V,с], to
b	c	b
IP [A e, V]>TP[A e, V] + lP|A 8, V],
a	a	c
b	c	b
IP [A e, V1C_IP[A 8, V] + IP[A 8, vi.
a	a	c
6.	Пусть f(x)^g(x), a(x)^p(x) для всех хе
ePro [V, a, ft]. Тогда
?	?	b	b
IP (A a, Vl>IP[g, a, V], IPk[/, a, V] > IP [g, a, V],
a	a	a	a
если V—БП-отображение;
b	А	ъ	ъ
IP[A a. VKIPjg, a, V], IP (A a, V] < IP [g, a, V],
a	a	a	a
если V—БЛ-отображение;
b	±	b	b
IP (A a, V]<IP[A ₽, V], JP[A a, V]> IP (A ₽. V].
a	a	a	a
§	6. Приближенные верхний и нижний
интегралы Римана
Под схемой Римана будем понимать определение
приближенных интегралов с помощью интегральных
сумм.
244
Д. ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пусть V — либо БП-отображение, либо БЛ-отббраже-
ние. Введем множество dis допустимых разбиений от-
резка интегрирования, fteProfV,о],
dis [V,а, Ь}={х= (х0, ...,хп) |х0=а,
xn=b, xi+i^V(Xi), i=0,	1}.
Заметим, что номер п — свой, вообще говоря, для
каждого разбиения х, и поэтому тогда, когда это тре-
буется явно указывать, будем писать п=п(х).
Верхним (е, V)-интегралом Римана от а до b (воз-
можно а>Ь) функции f будем называть величину
IR [/, 6, и=_ sup V {/(*i)(Xi+i —.*/)—e(*i)}.
°	zsdis [К, a, bj i=0
Нижним (e, V) -интегралом Римана от а до b функции
f будем называть величину -
b	п (х)—f
IR[/, е, У] = _ inf 2	+8 (**)}•
a	xedis [V, a, b] i=0
Верхний и нижний (в, V)-интегралы Римана будем
также называть приближенными верхним и нижним ин-
тегралами Римана. Отметим прежде всего, что для при-
ближенных интегралов Римана справедливы свойства,
аналогичные свойствам 2—6 приближенных интегралов
Перрона. Укажем еще ряд некоторых простейших
свойств.
1.	Пусть f, в—конечные на Рго[Р, а, ft] функции.
Если V — БП-отображение и a<ft, либо V — БЛ-отобра-
жение и а>Ь, то
*	ь
IR[f, е, И> —ОО, IR [/, е, Р]<+оо.
«	и
2.	Пусть е(х)^=0 для всех хеЕ1, Pro [V, a, ft] ^=0.
Если f ограничена сверху на Pro [V, a, ft] и V —
БП-отображение, то
L
IR[f,8, У]<4-оо.
а
Если f ограничена «снизу на Pro [V, a, ft] и V —
БЛ-отображение, то
§ 7. СВЯЗЬ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРРОНА И РИМАНА	245
Если / ограничена снизу на Pro[V, а, Ь] и V — БП-ото-
бражение, то
ъ
JR[f,e, V]>-oo.
а
Если f ограничена сверху на Pro [V, а, Ь] и V —
БЛ-отображение, то
ъ
JR[f, 8, V]>-OO.
а
b
3.	Пусть Pro [V, а, Ь] =/=0. Если JR[g; р, V]>—оо,
а
ТО
b	Ё	ь
W+g, а-Р,	a, V] + IR[g, р, V].
а	а	а
Ъ
Если IR[ёГ, Р, V] < + <*>, то
а
Ъ	Ъ	Ъ
IR[/ + g, а-p, V]<_IRlf, а, V] + IRlg, р, V].
а	а	а
§	7. Связь верхних и нижних приближенных
интегралов Перрона и Римана
Утверждение Д.7.1. Пусть ftePro [V,а], V — ли-
бо БП-отображение, либо БЛ-отображение, f, е — число-
вые функции, определенные на Pro [V,a, 6]=/=0. Тогда
Ъ	Ъ	Ъ	ъ
1Р[/, е, V]<IR[f, е, П IP [f, е, V] > IR [f, е, V].
а	а	а	а
Доказательство. Достаточно доказать только
первое неравенство. Если множество (s, V)-подфункций
для f от а до b пусто, то IP[f, е, V]=—оо и утвержде-
а
ние справедливо. Пусть теперь F является (в, V)-под-
функцией для f от а до Ь. Из условия ЬеРго [V, а]
следует, что dis [V, а, 6]=#0. Пусть х — произвольное
разбиение, принадлежащее dis [V, а,&]. Так как F есть
(е, V)-подфункция для f от а до Ь, то справедливы
246	Д. ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
неравенства
F (xi+i) F (Xi) +f (xt) (xi+l— Xi) 4-8 (х{),
i=0,1,... ,n(x) —1.
Суммируем no i=0,1,...,n(x)—1, учитывая, что F(Xq) =
=0. Получаем
n (x)-l
F(b)=F(xn)^ J] {/(*i) (x1+1 —хг)+ e (*/))•
i=0
Поскольку x — произвольный элемент dis [V, a, &], по-
лучаем требуемое неравенство. 
Пусть V — БП-отображение, либо БЛ-отображение.
Тогда для любого хеРго [V,а] \{а} определены вели-
чины
ТР[/, е, V], 1Р[/, 8, V], TR [f, 8, VJ, Ш [f, 8, V].
а	а	а	а
Если считать, что при х—а все интегралы равны нулю,
то таким образом определены четыре функции аргумен-
та х на множестве Pro [V,а], являющиеся приближен-
ными интегралами с переменным верхним пределом.
Утверждение Д.7.2. Пусть s(x);>0 для х^Е1 и
ЬеРго [V,а]. Тогда:
1.	Если f ограничена сверху на Pro[V, a, ft]U
U V (Pro [ V, а, Ь]), V—БП-отображение, то
5[lR [f, 8, V], е, V] (х)	(х), VxePro [ V, a, ft];
a
2.	Если f ограничена снизу на Pro [V, a, ft] J
U V (Pro [ V, a, b ]), V — БЛ-отображение, то
d[TR [f, в, V], e, V] (x) ^f(x), VxePro [V, a, &];
a
3.	Если f ограничена снизу на Pro[V, a, b]U
UV(Pro [ V, a, ft]), V — БП-отображение, то
d[iR[f,8, V],8, V](x)^f(x), VxePro [V,a,&];
a
4.	Если f ограничена сверху на Pro [V, a, b]J
UV(Pro [V,a,b]), V — БЛ-отображение, то
d[IR[f,8, У], в, V] (x)>f.(x), VxePro [V,a,6].
§ 7. СВЯЗЬ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРРОНА И РИМАНА
247
Доказательство. Докажем для примера п. 2.
Ограниченность снизу функции f и е^О гарантируют ко-
.	у-
нечность интегралов IR[f, е, V], IR[frs, V] для уеУ(х),
а	а
хеРго [V, a, ft], Используя свойства верхнего прибли-
женного интеграла Римана и учитывая, что (х, у)е
у	х	у
<=dis[V,x,t/], имеем IR[f,е, V]—IR[f,e, V]>lR[f,e, V]>
а	а	х
^f(x)(y—х)—s(x). Отсюда для любого y^V(х) полу-
чаем
У	х
Ш[Л е, V] —IR[f, е, V]
а	а
У~х
*(х)
\У—*1
Следствие. Пусть s(x)^0 для х^Е* 1 2 3 4 и
еРго[У, а]. Тогда
1. Если f ограничена сверху на Pro [V, а, 6] и V —
X
БП-отображение, то IR [f, е, V], рассматриваемый как
функция верхнего предела интегрирования х, является
(г, V)-надфункцией для f от а до Ь;
2. Если f ограничена снизу на Pro [V, a, ft] и V —
X
БЛ-отображение, то IR[f, 8, V] является (е, V)-надфунк-
а
цией для f от а до ft;
3. Если f ограничена снизу на Pro[V, a, ft] и V—
X
БП-отображение, то _IR [/, 8, V] является (г, V) -подфунк-
а
цией для f от а до ft;
4. Если f ограничена сверху на Pro[V, а, ft] и V —
X
БЛ-отображение, то IR[f, 8, V] является (г, V)-подфунк-
а
цией для f от а до ft.
Из определений верхнего и нижнего приближенного
интеграла Перрона в условиях следствия получаем
Ь	[Ь	Ь	ь
IP[Д е, V]<IR[f, 8, V], К»[Д е, V[>IR[f, 8, И.
а	а	а	а
Сопоставляя эти неравенства с утверждением Д.7.1, по-
лучаем
248	Д ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Утверждение Д.7.3. Пусть е(х)^О для х^Е' и
ftePro [V,а]. Тогда-.
1. Если либо f ограничена сверху на Pro [V,a,b] и
V — БП-отображение, либо f ограничена снизу на
Pro [V, а, ft] и V — БЛ-отображение, то
ь	ь
ТР[Д е, V] =IR[/, е, VI;
а	а
2. Если либо f ограничена снизу на Pro [V, а,6] и
V — БП-отображение, либо f ограничена сверху на
Pro [V, а, ft] и V — БЛ-отображение, то
ь	ь
IP (А 8,ЧЧ=П<[Д е, V].
а	а
§ 8. Определение приближенного интеграла
и его свойства
В этом и следующих параграфах интегрируемые
функции будем считать ограниченными на промежутках
интегрирования, а функции в, входящие в определения
верхних и нижних приближенных интегралов, — неотри-
цательными. Тогда _оправедливо утверждение Д.7.3 и
вместо обозначений IP, IP, IR, IR будут использоваться
Г И I.
При построении приближенного интеграла будем ис-
пользовать аналогии со схемой построения классических
интегралов, например Римана и Перрона. Интегралы
Римана и Перрона существуют тогда и только тогда,
когда верхние и нижние интегралы совпадают. При вве-
дении приближенного интеграла естественно ослабить
условие совпадения верхнего и нижнего приближенных
интегралов и заменить его на приближенное равенство.
Итак, пусть ftePro[V,а], V является либо БП-ото-
бражением, либо БЛ-отображением, f ограничена на
множестве
Pro [V, a, ft]; ai, PieE1, а2» Р2еФ(£*. Е1® ).
ь	ь
Если I[f, a2, V]—ai^I[A Pz. V]+Pi, то отрезок
а	а
ь_	ъ	ь
[I (А a2, VI-ах, ИА ₽2, И +PJ = I [Ara, р, V]
а	в	а
§ 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРАЛА 249
будем называть приближенным (а, р, V)-интегралом
функции f от а до Ь.
Приведем некоторые свойства приближенного инте-
грала.
Утверждение Д.8.1 (Обобщение формулы Нью-
тона— Лейбница). Пусть выполнены следующие усло-
вия-.
1.	V является либо Б П-отображением, либо БЛ-
отображением. Функции f, ai, Pi определены и огра-
ничены на множестве Рго[У, а, 6], функции аг, Рг опре-
делены и неотрицательны на Pro [V, а, &], бе Pro [V, а];
2.	Функция F для любого хеРго[У, а, Ь] имеет не-
пустой (а, р, V) -дифференциал;
3.	f(x)eZ>[F,a, р, V] (х) для любого хеРго [У,а, б];
4.	a'i = I[ai,0,V], p'i = I[p1(O,V],
а	а
Ъ
Y=J[ai+Pi,a2+P2, V].
а
Тогда существует приближенный (а'ь аг, Р'ь Рг, V) -
интеграл функции f от а до b и справедливы включе-
ния
ь
F(b)—F (a) el [if, a'i, а2, p'i, Рг, V] c=F(б) — F(а) + [—у, у].
а
Доказательство. Ограничимся рассмотрением
случая, когда V является БЛ-отображением. Из усло-
вия 3 следует, что
d[F,a2,Vb] (х)+а, (x)^f(x)^
^d[F, рг, Vb]'(x)—р! (х), Vхе Pro [У, о, 6].
Отсюда следует, что F—F(a) является (аг, V) -надфунк-
цией для f—ai на [b,a] и (Рг, У)-подфункцией для f-f-pi
на [б, а]. Из определений верхнего и нижнего прибли»
женного интеграла Перрона получаем
А	ь
<х2, VJCFW-F^Xltf+Pn р2, V].
а	а
Заметим, что из условия 1 следует конечность интегра-
лов	1КЗ
Ь.	.	ь
a;, PJ, I [/-«!, а2, V], 1[/ + Рп Р2, V].
а	а
9 Д. А. Молодцов
250	д. ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Осталось воспользоваться неравенствами
ь	£	ъ
И/ + 01. 02. И-И/-»!, а2> У]< 1(04 + 0!, «2 + 02. И,
а	а .	а
Ъ	b	±
Hf + Pi, 02.	02, VJ + K0!, 0, V],
а	а	а
Ь_	Ь_	Ъ_
Iff—а1; а2,	а2, V] — Ц04, О, VJ. 
а	а	а
Утверждение Д.8.2. Пусть fug ограничены на
множестве Pro [7, а, 6], аг, 0г, уг, 62 — неотрицательные
функции и х=1 [0, аг+Рг+уг+бг. Г] +<xi+0i+yi + 61. Ес-
а
Ь	b
ли существуют I [Д а, 0, V] и I [g, у, 6, V], то существует
а	а
Ъ
I [f+g. а+у, Р+6, V] и выполнены включения
а
Ь	b	Ъ
И/, а, 0, И + Hg, У, 6, V]crl (f + g, ос + у, р + 6, V],
а	а	а
Ъ
I|/ + g, а + у, 0 + 6, И<=
а
b	Ъ
czl[f, а, р, V] + I[g, у, 6, И + (—X, х].
а	а
Доказательство. Используя свойства верхнего и
нижнего приближенных интегралов, получаем цепочку
неравенств
ь
H(f + g)-(f + g), (аг + Уг) + (02 + 62),
а
Ь	£
^I[f + g, Рг + бг, V] — I [f + g, «г + Уг» V]
а	а
ъ	1	L.
>![/ + £, Р2 + б2, V]-I(A а2, V]-I[g, ?2, П
а	а	а
Условие существования приближенных интегралов
b	ь
I[f, а, р, V], I[g,y, 6, V] означает справедливость нера-
а	а
венств
§ 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРАЛА 251
НА а2, И-04СП/, Р2, П + Pi,
«	а
*	Ь
i[g, ?2» И—б2, И + 61
а	а
Используя их, получаем
Ъ	Ь	ъ
Ш+я, Р2+62,	р2, VJ + Hg, 62, VJ + X.
а	а	а
Аналогично получаем неравенство
ь	ь_	ь_
i[/ + g, 04 +у2, V] > I [/, а2, У] 4-1 [g, у2, V] — х.
а	а	а
Осталось воспользоваться установленными выше нера-
венствами
b	b	ь
][f+g, р2+б2, V]>ц/, р2, vj+Hg, б2, V],
а	а	а
Ъ	—	—
I[/+g, ос2 + у2, V]<T[/, а2, V] + I[g, ?2, И. 
а	а	а
Утверждение Д.8.3. Рассмотрим условия:
1)	существует I [f, а, р, V];
а
2)	функция f ограничена на Pro [V, a,b], а2, р2 неот-
рицательны на Pro [V, а, 6];
3)	&ePro[V, а], cePro [V, а, &], &ePro[V, с];
4)	a'i+p'i^ai+pi4-I[0, а2+р2, V],
С
a,zi+p,zi^ai+pi+I [0, аг+Рг, V];
5)	pzi+p,zi2^Pi, azi4”0tzzi^ai;
6)	v>(I_+I)[0,a2+p2,V] +
а с
+ max {ai+pzi+pzzi, pi-4— azi4-azzi}-
Если выполнены условия 1)—4), то существуют ин-
тегралы
с	Ъ
И/, «J, а2, Р[, Р2 И, 1[/, а;, а2, р; р2, V|.
а	с
2*
252	Д. ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Если выполнены условия 1)—5), то справедливо
включение
ь
1[Д а, р, V] с
а
<=![/, а;, а3, р;, р2, И + Н/, а*, а2, р; р2, VJ.
а	с
Если выполнены условия 1)—4), 6), то справедливо
включение
ь
ИА а, р, И + [ —V,
а
с	Ь
=>l[f, а;, а2, р;, р2, И + ИА а' а2, р;, р2, V].
а	с
Доказательство. Вычитая два неравенства
1[А а2, H>f(A а2 И+ИА а2, И,
а	а	с
Ь	с	Ъ
ПА ₽2, ИСКА р2, И+1(А ₽8, И,
а	а	с
получаем
t	Ь
ПА а2, И—ПА р2. И>
°	а
'	с	ь.	ь
>ПА а2, И-ИА Р2, И + ПА а2, И-НА ₽2, И.
“	а	с	с
Отсюда
£_	с	Ь
НА а2, и-ПА р2. HCai + Pi + nO, а2 + р2, ИС
а	а	с
с«;+р;.
?	Ь	с
ПА а2, И-нА р2, ИСа1 + ₽1 + Н°> а2 + ₽2, ИС
с	с	а
С<+Р'
и, следовательно, существование интегралов доказано.
§ 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРАЛА 253
Легко видеть, что справедлива цепочка неравенств
£. L	с ь	с ь
(I + l)[f, а2,	₽2, V]-(1 + 1)Ю. «2 + ₽2. Г]>
а с	ас	ас
>НЛ Р2. V]—(£+1)[0, а2 + р2, V]>
а	ас
Ъ	с b
а2, V]-оч-рх-(£+0[0, а2 + р2, V].
а	ас
Аналогично доказывается неравенство
с b
0+1) [f, ₽2,
а с
b	с Ь
Р2. И + а1 + р1 + 0 + 1) (О, а2 + р2, V].
а	ас
Используя полученные неравенства и свойства верхних
и нижних приближенных интегралов, легко доказать ос-
тавшиеся включения. 
В связи с утверждением Д.8.3 естественно возникает
вопрос: при каком минимальном у возможно соответст-
вующее включение? Для ответа на него необходимо ре-
шить задачу
y0=minmax{a1 + p;+p[, p1 + a1' + oQ +
с b
+ (J+J) [О’	У]»
а с
где минимум берется но всем a'i, a"i, P'i, Р"ь удовлетво-
ряющим условиям
b
а\ + р; > ax + Pi +1(0, a2 + p2, V], a[ +	ax;
c
a;+p;>a1+p1+ho, a2+p2, v], p;+p;>pv
a
3	c b
Нетрудно видеть, что y0=—(ai+Pi+(IH-I) [0, a2+
2	a c
+p2, V]) и минимум достигается на любом наборе (a'i,
a"i, P'i, p"i), удовлетворяющем условиям
ь
ai +Pi = ai + Pi +J_[0> а2+Рг. И,
254	Д. ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
+ Pj = ai + Pi + ЦО, а2 + Рг>
а
а; + а;=	+-L(l+j)[Ot а2 + 02, И.
а с
Легко устанавливаются следующие свойства прибли-
женного интеграла:
![-Л а, 0,	—И/, 0, а, V],
а	а
Ъ	b
kl[f, а, 0, У] = I [А/, ka, Л0, V], k>0.
а	а
Для формулировки свойства монотонности прибли-
женного интеграла введем отношение «больше» на мно-
жестве отрезков вещественной оси. Будем говорить, что
[a,	d], если а^с и b^d. Аналогично определя-
ется отношение «меньше».
Пусть f(x)^g(x) для всех xePro[V, а, Ь] и суще-
ствуют I[f, а, р, V] и I[g, а, р, V]. Тогда: если V — БП-
а	а
отображение, то
ь	ь
Ilf, а, р, и I [£, а, р, V],
а	а
если же V — БЛ-отображенпе, то
ъ	ь
ПА а, Р, V] I [^, а, р, V].
а	а
Пусть ai>a'i, 0i>0'i, а2(х) >а'2(х), 02(*)>0'2(х)
для всех хе Pro [Г, а, Ь] и существуют приближенные
интегралы I [/, а, 0, V], I [f, а', 0', V]. Тогда
а	а
b	Ъ
1[/, а, 0, V]ol [f, а', 0', И-
а	а
§ 9. Условия существования приближенного
интеграла
В этом параграфе будем исследовать условия суще-
ствования приближенного интеграла для случая, когда
Б-отображение имеет вид V(x) = Vb(x), где Ге(х) =
= (х, х-фб(х)].
§ 9 СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРАЛА
255
Функцию 6, удовлетворяющую трем условиям:
1)	б(х)>0 для любого х^Е1,
2)	lim б(у)2>б(х) для любого х^Е1,
У^-х—
3)	функция х+б(х) является неубывающей на £',
будем называть допустимой.
Заметим, что из условий 2), 3) следует непрерыв-
ность слева функции б.
Утверждение Д.9.1. Если б удовлетворяет первым
двум условиям допустимости, то Pro [Ve,a] = [а, +<»)
для любого а^Е}.
Доказательство. Предположим, что существует,
такое, что ЬёPro [V6,a]. Обозначим
b0 = inf b.
bePro [Vg , а], Ь>а
Если предположить, что fe0ePro [Уб,а], то справедливо
[&o,^o+6(fto)]c:Projlze,a], что противоречит определе-
нию Ьо. Поэтому Рго[Уб,а]. Возьмем произвольную
последовательность Ьп такую, что bn<Zb0 и bn->b0. Тог-
да &„+б(М<&о и, переходя к пределу в неравенствах
0<б(бп)<Ь0—Ьп, имеем lim б(&п)=О<б(бо). 
П -* оо
Исследуем теперь, какой вид имеет обратное Б-ото-
бражение для Напомним, что
W'[[a> +cx)](x) = {t/e£1|F>«. У<х^у + 8(у)}.
Обозначим б* (х) = sup (х—у).
хКу+6(У)
Очевидно, 6*(х)^0. Пусть б удовлетворяет первым
двум условиям допустимости. Предположим существует
Хо такой, что б*(Хо)=О. Возьмем последовательность
Уп<х0 такую, что Уп->~х0. Тогда уп<Уп+б(уп)<х0 и,
переходя к пределу, получаем limЪ(уп) = 0<б(х0), т. е.
п—>ОО
противоречие. Следовательно, 6*(х)>0 для любого
хеЕ1.
Из определения 6* следует, что для любого х>а
выполнено
0 ¥= ^в"1 [[«, + оо)]'(х)с=[тах{а, х—б*(х)}, х).
Если функция S является допустимой, то легко показать,
что при х>а выполнено включение
Уб-1 [[а, + оо)] (х)о(гпах{а, х—6*(х)}, х).
256	Д- ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Утверждение Д.9.2. Пусть f — функция
(g, V-1e[[a, + оо)])-непрерывная сверху на (а, Ь),
е, l-tE^E1®, б— допустимая функция. Тогда для лю-
бого с^(а, Ь)
1 If, е, V6] < f[f, е, + Г[А е, Ve] + 8 (с) + g (с) 6 (с).
а	а	с
Доказательство. Пусть xvedis [7б,а,b] такое,
что
п (х^}—1	L
S [f (4)(4+-4)-«(4)]+т>ИА 8. vei,
1=0	°
Y > 0.
Пусть k такое, что x^^c<xvfe+1. Тогда
t>	fe—i
1|/. В,	[/(Й)(ХГ -Х?)-8(Х?)] +
a	i=0
+f (4) (с—Ч) —е (4)+f (с) (4+1—с) —в (с> +
п— 1
+ 3 1/(*7)И«-,«-Ч*ПЖ(4)И+.-<0-
1=н-1
с	Ъ
-f(c)(4+I-c)+«(*) +НА е, Ve] + Iff, 8, VJ +
а	с
+ (4+1“с) (f (4)—f (с)) + 8 (с) + ? С
с	Ъ
СПА 8, Vel + Iff, 8, Ve]+8(C) + Y+£(C)6(C).
а	с
Осталось устремить у к нулю. 
Следствие. Пусть f — функция, (г), У-16 [ [а, + оо) ]) -
непрерывная снизу на (а, Ь), е,, ц : Е1-^>-Е1^, 6 — допусти-
мая функция. Тогда для любого с^(а, Ь)
ИА е, Уб]>ПА 8, VJ+HA 8, Ve]-8(c)-T](c)S(c).
л	а	с
Утверждение Д.9.3. Пусть функция f является
(I, V-‘e[K + оо)]) -непрерывной сверху на (а, Ь) и
(г), У«)-непрерывной сверху на [а,ft); б — допустимая
функция, г,^,Ц'.Е1-*-Е1ф. Тогда
ь	ь
НА 8, Ve]Clff + n, 65, уд]_е(а)_б(а)5(а).
«	4
§ 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРАЛА
257
Доказательство. Пусть х — произвольное раз-
биение, принадлежащее dis [V6,a,&]. Тогда из утверж-
дения Д.9.2 следует
И/. 8, Гб^з'г'Лл 8, VJ+31eto)+5to)6to)].
a	i=;0 х.	£=1
Поскольку f является (т], V6 )-непрерывной сверху на
[а, Ь), для любого хе[х,-, xi+i] выполнено f (х) sgjf (х<)-j-
4-т) (Xf). Отсюда
_^i+l	* i+l
I [Л 8,	1/(*г) + П(хг). 8, Уб] =
х.	х;
= [/ to) + n to)] (*r+i—Xi) — £ [0, e, VJ =
xi
= If (Xi) + T] (Xi)J (x,+I — Xi) — 8 (x,).
Следовательно,
ъ_
I I/. 8, Ve] C
a
n—1
< *2 {№) + n (*f)l (Xi+l—Xi)—8(хг)} +
i=o
n—1
+ 3 Iе to) + £ (Xi) 6 (Xi)l =
i=l
= S*0/ to)+n to)] to+1—xi)+б to) 5 to))—
i=0
•	8 (Xq) B(^o)6(Xq).
В силу произвольности xedis [Ve,a, ft] требуемое нера-
венство доказано.
Следствие. Пусть функция f является
(l,V-l6[[a,-\-oo)])-непрерывной снизу на (а,Ь) и
(п> Г6 ) -непрерывной снизу на [а, Ь), в, g,rj:	, д —
допустимая функция. Тогда справедливо неравенство
ь	1
НА е, Гб]>Ш-п, 6В, Гв] + 8(а) + б(а)1(а).
"5	°
Утверждение Д.9.4. Пусть функция f является
(т], V6)-непрерывной на [а, Ь) и (В, V~‘о [[а, +°°)])-
258	Д. ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
непрерывной на (а, Ь) ; аг, Рг, g, Л : Е'-+Е' ©, 6 — допусти-
мая функция, ai+Pi+a2(a)+P2(a)-|-26(a)g(a)>
^2£[r),6g, Ve], Тогда существует (а, $,У6)-интеграл
'а
функции f от а до Ь.
Доказательство. Из утверждения Д.9.3 и след-
ствия к нему вытекает оценка
L	ь
UA а2, Ув]- 1(/, р2, V6]^
а	~а
Ь
sQtf + ’l’	'''el —а2(а)—26(«)В(а) —
а
Ъ
-II/-T], 6g, VJ-р2 (а)<
а
Ъ
<21[т), 6g, Ve] —а2(а)—р2(а) —26(a)g(a). 
а
Нетрудно видеть, что аналогичные результаты мож-
но получить для случая V (х) = V-e (х) = [х—6(х),х).
Полученные оценки для верхнего и нижнего прибли-
женных интегралов можно использовать для практиче-
ских вычислений приближенных интегралов. Пусть функ-
ция f является (g, V-16 [[а,+оо)])-непрерывной на
(а, Ь) и (г), Ve)-непрерывной на [a, b), а2, рг, g,
6 — допустимая функция. Рассмотрим по-
следовательность x°edis [Ve,a,ft] следующего вида:
х°0=а, x°t+1=x°i+6(x°i), »=0, 1,..., «—2, x°n-i<b,
x°n=b. Из утверждения Д.9.3 и следствия к нему вы-
текают оценки
И/, a2,	—04<
а
b
СШ + П, 6g, Иб]—«!—а2(а) —6(a)g(a)^
а
п—\	п—1
< 2 f ((4н - *?) + з [’1 (х°)+Ч *?) ]s (*?) -
i=0	t=0
—aj —а2(а) —6(a)g(fl),
§ !и СВЯЗЬ С КЛАССИЧЕСКИМИ ИНТЕГРАЛАМИ
259
пл ₽2.	+Р1 >
а
Ь_
> И/—Т]. 61, Vel + Pi + Ma) 4-6(аН(а)>
а
п— 1	п— 1
> 2 f (J) (*!+, - *!) - 3 И («?)+5 (*?) 1«(4) +
i=0	1=0
+ Pi + 02 (а) + 6 (а) 5 (а).
Отсюда получаем, что если выполнены условия
П—1
“1 + “2 (а) + 6 (а) £ (а) > 2 [т] ( х°) + Цх°) ] 6 ( х°),
1=0
п— 1
Р1 + Р8(«) + 6(аШо)>3
е=о
п—1	Ъ
то о= 2/ (х°) (х“ —х«) е=1[/, а, 0, Ув].
i=o	а
Легко показать, что
Ь	Г п— 1	n—1
ПЛ а, 0,;УДа:а+ —	а8(лс0)—аг, £ 02 (x°)+Pi ,
а	L	1=0	1=0
причем длина отрезка, стоящего в правой части вклю-
чения, равна
3* [“2 (*?)+02 (*?)]+“! + ?!•
i=0
§ 10. Связь приближенного интеграла
с классическими интегралами
При исследовании связей приближенного интеграла
с классическими интегралами, такими как интегралы Ри-
мана, Лебега, Перрона, оказывается, что многие резуль-
таты не зависят от типа классического интеграла. По-
этому для удобства исследований введем понятие обоб-
щенного интеграла Римана.
Функционал J f от переменных /, а, Ь, где f—число-
а
вая функция, определенная на [а, &], а, ЬеЕ1, будем на-
260
Д. ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
зывать обобщенным интегралом Римана, если выполне-
ны условия:
1)	если f интегрируема по Риману от а до b, toJ /
а
совпадает с интегралом Римана функции f от а до Ь;
ь ь
2)	если существуют jf, Jg и f(x)^g(x) для всех
а а
Ь Ь
хс=[а,&], toJfg;
а а
3)	обобщенный интеграл Римана является аддитив-
ной функцией отрезка интегрирования, а именно, если
ь
а=С\^ ... ^.Ck=b и J f существует, то существуют J f,
а
1=1,..., k—1, и
ъ ft-i сж
a i—\ С}
Для /еФ([а, 6], £*) рассмотрим график f, обозна-
чаемый
= х) <^Е'Х[а, 6] |«=f(x)}.
Пусть Hr—псевдометрика Хаусдорфа, порожденная г,
где
r((ultxi), (u2,x2))=max{\ui—u2\, |xi—х2|}.
Обозначим
Ot (f) = {£<=Ф ([а, &],£*)! Ял (gr (0, gr(g)) <0-
b
Нас будет интересовать оценка величины sup jg.
ь е а
Поскольку не для всех	существует J g, то верх-
а
нюю грань будем брать только по тем geOt(f), для ко-
торых J g существует.
а
Предположим, что sup |f(x) | = С<+оо, а б —
хе[а.6]	ь
допустимая функция. Тогда существует I[f, 0, Vd] <4-оо
а
и для любого у>0 существует xeDis [Ve,a,&,f,O,y],
§ 10. СВЯЗЬ С КЛАССИЧЕСКИМИ ИНТЕГРАЛАМИ
261
где
Dis [V, а, &, Д е, у] =
xedis [V, а, Ь\
п (*) —1
3	xt)—e(Xi)] + y>
i=0
jb	ч
>КА 8, И
a	J
Рассмотрим разбиение
(x0, y0, xlt yv..., x„_b «/„_!, xn) e dis[lz6, a, b], n=n(x).
Для любых yi^[Xi,xi+i], i=0, 1,..., n—1, выполнено не-
равенство
3 f(Xi)(xi+i—Х/) + т>
l=;0
> 3 If (xi) (yi—Xi) + f (t/i) (xw — yt)],
i=0
что эквивалентно неравенству	' 
n—1
i=0
где
= sup	[f (y)—f (xf)l (Xl+l—y) >0, i = 0, 1,..., n— 1.
yelxi, xt+iJ
Отсюда получаем, что для хе [а, 6]
f(x)<<p(x),
где
<p(x)=min {f(Xi)4-vi(x1+i—х)-1; С},
хе [xi( xi+i], i=0,..., п— 1.
Обозначим
= {»10^	п (х)—1, f (х^ 4-у,- (xi+i— х{) -1 < С},
/2 = /2(f, х) =
= {i|0s^isgn(x)—1, ?(х{)4-у{(х{+1— Xi)-!>C}.
Для любого /eJi выполнено Xj+i—Xj—yj(C—f(xj))"’l>0.
Будем считать, что ye^2C(b—а). Тогда при J\=^0 для
любого /е[0,— min (x3+i—х;— у, (С—f(xj))-’)), любой
262	Д ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
geO((f) и хе[а,&] справедливо неравенство
g(x)< sup/(#) + *< sup <р(у) + ^
у^[а, b]	У^[а, Ь]
\у—
</+(Ф(а:+0> хе[хг+/, х,+1—у;(С—/(х,))-'—/], teJj,
1С в остальных случаях.
Заметим, что функция, стоящая в правой части не-
равенства, интегрируема по Риману. Используя адди-
тивность обобщенного интеграла Римана, получаем
ь
sup
geO, (f)
< £C(X/+1-Xj)4- 2 1с(ъ(С-/(х,))-Ч-20 +
/’ey,	I
*<+l-Vi (C~f (*.))“'-< „	)
+ j	+ x~ o_’]d* +
Х.+/	J
+ (b—a)f<3 [f(^)(x/+i—х/) + тЛ +
/GJf
+ 2 С?{(С-/(хг))-> + 2ИЛ|С+(&-а)/+
/GJt
«	xi 2Z) (C f (*j)) \
4- Yt In	) <
< 2 f (xt)(xt+i—xi) + y+4tCn(x)+t(b—a) +
i=0
>	vn 1	(•’f+l xi) C
4- sup V yf In—.
Vi5=0	Yi
S ?i<v
С учетом условия ye^2C(b—а) справедливо неравен-
ство
_	. 2(x.+1-x,)C	2C(b-a)
sup 2 Viln------V In —------------------.
?i>o ieJ,	V»	Y
«Y
§ 10. СВЯЗЬ С КЛАССИЧЕСКИМИ ИНТЕГРАЛАМИ
263
Отсюда получаем оценку
ь
sup fgC
g^ot (hi
<i[f, 0, V6] + f (b- a) + у + 4tCn (x) +y In 2C (b~a}.
a	V
Если /i(f,x)=0, to g(x)t^C-\-t для любого xe[a,ft].
Поэтому
b	n— 1
sup \g^t(b—a)+ YC(xl+i — xf)<
ge0/ (f) Ja	,?=0
n—1
Cf (b—a) + 2 \f (*i) (*i+i—Xi) + yd
i—0
b_
CHA 0, V6J + /(b-a) + y.
a
Итак, доказано
Утверждение Д.10.1. Пусть sup |/(х)| = C<-f-oo,
x£[a, b]
6 — допустимая функция, уе(0,2С(Ь—a)e-1], хе
eDis [Ve, a, b, f, 0, у]. Если Ji(f,x)=^=0, то для t<=
е Го, — min_ (x/+i — Xj—	f(Xj))~')\ и любого
L 2	x)	J
b
g^Ot(f) такого, что Jg существует, справедливо
a
{g<T[f, о, v6l + / (b—a) + у + 4tCn(x) + у In2C{b~a}.
a ‘	V
Если^1(1,х)=0, то для t>0 и любого geOt(f), такого
что J g существует, справедливо
a
b	1
$g^Uf,0, V6] + t(b-a)+y.
a	a
Аналогично устанавливается нижняя оценка.
У тв ер ж д ен и е Д.10.2. Пусть sup |f(x)| ==С<+ °о,
хе[а, Ь]
б — допустимая функция,	уе(0,2С(6—а)^-1],	х^.
eDis [ V6, а, b,—f, 0, у]. Если	—f,x)^=0, то для
е Го, — min _ (х;+1—xj—у'.(С + /(х|))-1)) и любого
1 2
264	Д. ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
b
g^Ot(f) такого, что J g существует, справедливо
а
\g>I[f, 0, V6]-t(b-a)—y-4tCn(x)-y\n 2C(f?~?-L
а а	V
Если	то для t>0 и любого g^Ot(f) та-
кого что J g существует, справедливо
а
Ъ Ь
О, V6] — t(b—a)—y.
а а
Здесь у' = sup	lf(xt) — f (у)](хж —1/)>0,	i =
_ ^lxi, xi+i]
= 0, 1,..., n(x)—1.
b
Предположим, что существует J f. Тогда из утверж-
а
дений Д.10.1, Д.10.2, переходя к пределу при f-»-0, а
затем при y-Н), получаем
ь	ь ±
ИА о, Щс^^ИА о, vj.
а	а а
Естественно возникает вопрос: нельзя ли за счет вы-
бора достаточно малой функции S сделать малой вели-
чину
L	*
ИА о, vj-ha о, у*]?
а	а
» Для функции f, интегрируемой по Риману на [а, &],
ответ положительный. Обозначим
_	_	ft—i
° (А	х)=	V (хж—х^ sup	fix),
i=0	хе[х.,	zl+J]
° (A	X)=	У (Xi+i— xt)	inf	f(x),
i=0	xs[xi, *i+ll
(О (А Д) = sup [a (A x) — o(f, y)],
d (x)sSA
d (7)<Д
где х=(%о... xk), a=x0<Xi<... <xk=b, d(x) =
= max (xi+i—Xf), Ae£*+-
CisSft-l
§ 10. СВЯЗЬ С КЛАССИЧЕСКИМИ ИНТЕГРАЛАМИ
265
ь
Если существует интеграл Римана (R) J /, то
__	а
lim ©(Д А) =0. Очевидно при 6= sup 6(х)^А справед-
Д->04-	хе [а, Ь]
ливы неравенства
_ ъ	ъ.	_	_
inf o(f, x)^I[f, 0, Ve]<I[f, 0, sup o(f, X).
d (х)^Д	a	a	d (х)^Д
b
Следовательно, Iff, 0, V6] — I[f, 0,	Д) и
a	a
Jim F[A 0, VJ =Jim !_[/, 0, V6] = (/?) f f.
б->-0+a	в->-0+ a	a
Отсюда и из утверждений Д.10.1, Д.10.2 следует, что
интеграл Римана устойчив относительно варьирования
графика подынтегральной функции в псевдометрике
Хаусдорфа. А именно, если существует интеграл Римана
функции f от а до Ь, то
ь	b
a	a
lim
/-о+
sup
geOt (f)
= 0,
где верхняя грань берется по всем geO/(f), таким что
существует (R) j g.
а
Если функция f интегрируема по Лебегу, т. е. су-
ществует интеграл Лебега (L)jf, то сделать величину
а
L	ь
Iff, 0, Уб] — Ц/, 0, V6] бесконечно малой, вообще говоря,
°	7
нель зя. Приведем пример.
Пусть Р и Q — два непересекающихся подмножества
множества рациональных чисел полуинтервала (0,1] и
пусть Р и Q всюду плотны в [0, 1]. Положим б(х) =
—А>0,
[ р, х^Р,
f(x) = j 0, х<=[0, 1]\(PUQ), р,
(— q, x^Q.
266	Д ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	Я
Тогда	1
(£)ff= О, Т[/, 0, Уд] = р, I [/, 0, Уд] = —q.	|
О	0	О
Оказывается, что более тесная связь существует между i
приближенными интегралами функции f и величинами |
ъ	ь
sup (£)jg,	inf (L)$g,
8eot(f) £	geOt(f) £	!
где g берутся только те, для которых существует (L) Jg.
а
Пусть f — ограниченная, измеримая по Лебегу функ-
ция, определенная па [а,&], С= sup |f(x)|.	|
x<=[a,b]	5
По теореме Лузина для любого у>0 существует от-
крытое множество Ц,с[а,6], мера которого m(Uy)^.y,
а сужение функции f на Wv = [a, ft] \UV, обозначаемое ,
f| Wy, является непрерывной функцией на 1У7.	i
Обозначим xv(6)= sup |f(x)—f(y)\. Так как
х, y<=Wy
/|1У7 равномерно непрерывна на Wv, то для произволь-
ного />0 существует £е(0,/) такое, что	и
пусть {yi, ..., у*} — конечная £-сеть для 1У?. Другими
словами, существует функция	... yk}aWv
такая, что |х—<р(х) | для x^Wy. Пусть х=
= (х0, xs)edis[y°;, а, й], где У°((х) = (х, х -!-/). По-
ложим t'<i t И
g(x) =
]	f(x), если xet/vU{«/n Ук, х0,..., xs} = F,
V(*z) + A, если хе(х;, X/+i), xl=F, г = О, 1,...» s—1.
Оценим Hr(gr(f), gr (g)):
sup inf max{|f(x)—g(y)|, |x—1/|}<
xe[fl, b] i/e[a, b]
sup max{|f(x)—f(<p(x))|, |x—<p(x)|}<
xeWy
<max{xv(|), £}</,
sup inf max{|f(x)-g(t/)|, |x— z/|}^
i/e[a,b] xs[a, b]
max sup max{|f(x;) —g(y)|, \y—хг|}</.
1 xi<y<xij(_x
y^F	;
§ И. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРАЛА
267
Итак, Hr (gr(f), gr(g))</ и поэтому
Ь	Ь	s— 1
I tfW+n-cT>
a	a	i=0 [x.t xf+1]\F
> 3(f (*i) + *') max {*<+1—xi—Ъ 0} — c Y >
f=!0
> 3 f(xi)(xi+i—Xi)—(C + t'h + t't.b—a)~ CY-
f—0
Переходя к пределу при у->-0 и учитывая произволь-
ность получаем
b	s—1
sup	2H^)(^+1—Xi) + t(b—a).
(f) a £=o
Поскольку x — произвольный элемент dis [V°«, a, ft],
справедливо
Утверждение Д. 10.3. Пусть f — ограниченная, из-
меримая по Лебегу функция, определенная на [а, ft].
Тогда для любого />0 выполнено неравенство
ь 1
sup (L) f/i>I [/ + /, 0, У»].
/teOz (f)	„ а
Как следствие получаем
ь ь
inf (L)	t, 0, V°l.
^0/ (П а а
§ 11. Устойчивость приближенного интеграла
Как и в § 3, будем исследовать Д-устойчивость при-
ближенного интеграла при варьировании графика под-
ынтегральной функции в псевдометрике Хаусдорфа Hr.
Положим множество моделей А4=Ф([а,ft], £*)>
S(m)=E\ #=£1еХ£Х£1©Х£ХБП, где F=<D([a,ft],
E1q), а БП — множество БП-отображений. С прибли-
женным интегралом свяжем принцип оптимальности
Ь	!>
(1,^), где I[f,a, р, V] есть приближенный (a, р, V)-инте-
грал, feM, (a, р, V)
268
Д ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Очевидно, справедливы следующие	оценки:	|
ь	I
exl [f, а, р, V, у] cz	1
а
—	ь	к
а:[ inf I [g, а2, V] — аи	sup I [g, ₽2, VJ+PJ, t
geMv(f) a	geMv(f)7
Ь
in I [А а, p, V,
a
L	ь
=>[ sup I [g, а2, V] —an inf I [g, p2, VJ + PJ.
geMv(f)a	(f) a
Напомним, что Mv(f) = {geM|//r(gr (f),gr (g))s^y}.
Обозначим
N [V, a, b, f, 8, y] =_ sup n (x),	|
xeDis [V, a, b, f, e, y]
7V[V, a, b, f, 8, y] = _ min n(x).
xeDis [V, a, b, f, e, y]
/
Утверждение Д.11.1. Пусть |f(x) |^C для xg
e[a, &], a, peE1® , a>p, &ePro[V,a], V — БП-отобра-
жение. Тогда справедливы оценки:	$
A	L	'
1.	НА р, У]-1[Д а, У]>
а	а
^(а—P)2V[V, a, b, f, а, у]—у, у>0; j
ь_	ь_
2.	КА р, И-ПА а. VI <
а	а
C(a-p)W, a, b, f, р, £>0;
3.	2V[V, a, b, f, а, у]< W, a, b, f, р, £] +
+(у+В) (“—Р)-1.	> °;
4.	N [V, a, b, f, а, у]< [2С(Ь—а) + у] а-1 +
+ min п(х), а,у>0.
xsdis[V, a, b]	f
§ 11. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРАЛА 269
Доказательство. 1. Пусть xeDis[V, a, b,f, а, у],
тогда
ь_
ПА ₽, У]>
а
n(xj—1	_	_
> У]	Xi)—ап(х) + (а—
i=0
L	—
>I[A «, И—у + (а—p)n(x).
а
2. Пусть i/eDis [ V, a, b, f, р, |], тогда
ь_
UA ₽,
а
п (7)—1	_	_
< 3 f(yt)(yi+i— Уд—ап{у) + (а—Р)п(у) + К
1=о
__
СПА а, П + (а-Р)п(«/) + !.
а
3. Непосредственно следует из пунктов 1, 2. При
Р=0 из пункта 1 следует
N[V, a, b, f, а, у]<
{*.	L	)
1[С, 0, V]—1[—С, а, Vj + у а-1 =
a	a	’
b
= [2С(Ь—а) 4-у] а-1 + а~х 1_[0, а, V] =
а
= [2С(Ь—а) + ?]а-1+ min п(х). 
xedis [V, а, Ь]
Отметим, что если V=V6 и fieE’+, то из пункта 4
получаем
]V[Ve, a, b, f, а, ВК[2С(&—а)+|]а-' + (&—а)6->+1.
Обозначим f^(x)= sup f(y). Очевидно, что при
yelx~t, x-HJ
любом
b	ь
sup I [gr, е, VKI [/+ + ?, 8, V].
geM^ (f) a	a
270
д приближенный интеграл
Пусть |)(х)|^С для хе[а, 6], 6,е,и хе
eDis[V6,a, b,f+v , е, g]. Заметим, что справедлива оценка
A^[V6, a, b, f+ е> g]^[2C(&-a) + g]8-’+-(&-a)6-*+l,
(Д.11.1)
где правая часть не зависит от у.
Из определения х следует, что
П/+, е, Ve]<"^_1f+(x<)(xz+1-xi)-n(x)e + L
°	z=o
Для любого т]>0 существуют yi^[a,b], i=0, 1,...
п(х) — 1, такие, что |х,—/л| Су и /+7 (х{)	-5-т|- До-
кажем, ЧТО ТОЧКИ У{ МОЖНО выбрать так, ЧТО Уг+1^Уг,
1 = 0, п(х)—2. Действительно, для т]/2>0 сущест-
вуют Zi^[a,&], i—0,..., п(х)—1, такие, что |х<—Zj|s^y,
/+v(XiXf(z{)+ii/2. Пусть zft = min_ zit zk<zu,k^=0.
O^i^n (x)-l
Из неравенств x0—у<х*—y^Zk<zo^Xo + y<Xk+y сле-
дует, что z0, zh^[x0—уЛо+уЦДА—У, Яь+у], и поэтому
f(zk) (z0) +т)/2, f(z0)<f(zft) +т]/2. Положим z<l>i=z{
для i=/=0 и zow = Zk- Тогда
pf—2Р|<У,	+n,
(гр>)+п/2,'»= 1,...» <W-1.
Если существует 1>1 такое, что z<1)z<z<1>i, то продела-
ем аналогичное преобразование с последовательностью
zO) и в итоге, не более п(х)—1 раз проделав такие пре-
образования, получим требуемое.
Итак, пусть Ь], i=0, 1,..., п(х)—1, таковы,
что pi—Уг\^у, f+vfriXfG/O-Hl. Vi+vSzyi- Положим
^(7)=&- Тогда _
1 [/+, 8, Veic"y +	— Xi) — n(x)s + l =
a
n(x)—1	—
= U f(«/i)(Xi+1—хг) + т]0—a)—n(x)e+5.
<=o
Нетрудно видеть, что	_
|({/ж—yt)—(хж—хг)|<2у, i = 0,.„, n(x)—2,
|( Уп (7) Уп (7)-1)	( ХП (7) ХП (7)—1)|=
= | Уп (х)—1 хп (7>-11 Т.
§ 11. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРАЛА 271
Поэтому
е, Ve]< 2 f(yi)(yi+i—yt) + 2Cyn(x)^
—К + т] (Ь —а)—п(х)8 + g< f (а) (у„—а) +
п (7)^1	_	_
+ 2 ^У^(У1+' — У1) + 2СЧп<х)—п(х)г + т](Ь—й) + ?.
1=0
Для 1=0....п(х)—1 имеем yt+t—уг^2у+б, уо—а^у<
<2у+6. Хотя набор (а,у0,..., уП(х)), вообще говоря, мо-
жет не принадлежать множеству dis [Ve+2v,а, &], так
как не все у, могут быть различны, но легко видеть, что
при Х>0
L	L
Ц/+. 8, V6]<Itf, X,
а	а
-j- ti (х) (2С у 4~ %—8) -|- % 4~ Л —#) 4~
Если е^2уС, то положим Х=8—2уС, устремим т], g и
нулю и получим
L	L
Ш+, е, V6]<I [Д 8—2уС, Уб+27Ы-е—2уС.
a Y	а
Если 8<2уС, то, используя утверждение Д. 11.1 и пере-
ходя к пределу при т), g-Н), получаем
ь	ь
П/+, 8,	X, уб+2?] +
a r	а
+ (2Су + X—8) (2С (i>—а) 8-1 + (fe—а) 6-1 + 1) + X.
Итак, доказано
Утверждение Д.11.2. Пусть |f(x)|^C для всех
ze[a, b], 8,беД1+, /еД1® , y>t.
Если 8^2-уС, то
L	L
sup I[g, 8, VfiKHZ+v. 8—2уС, 7e+2vl + 8—2уС.
а
Если 8<2уС, то для любого
_Ь
sup I [gf, 8, Vfl] I [f4“ Y, Vd-KvJ +
g&Mf (J) a	a
+ (X+ 2yC—8) [ 2C(6~a)  + — + 11 4 x.
Iе 6 J
272	Д. ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- ।
Найдем теперь нижнюю оценку для inf I [g, е, Уб]. I
geMt(/)a
Как и выше, |f(x)]^C, x,%^El+, ^оеЕ1© , g<=Mt(f),
y>t. Рассмотрим xeDis [Vx,a, b,f, a, £]. Для x{, i=
=0,..., n(x)—1, существуют y^.[a, &] такие, что
|*i—f/i| <Y, f(xi)<^(i/i)+v- Положим t/n(7)=&. Дока- ’
жем, что уi можно выбрать так, что уш^Уъ i=
=0, 1,..., rt(x)—1. Пусть это не так, тогда обозначим
Т(У, /) = {i\n(x)^i>], yi<y}}, х(у) = min i
Т (у, i)^0
и пусть т(у°) >т(у) для всех у таких, что |х»—yt\ <у,
f(Xi)<g(yi)+y. Пусть т^Т(у° х^ЩЩу0)} такое,
что g(ym)^g(yk) для k^T(y°,x_(y°))lj{x(y0)}. Положим
y't=ym для 1^Т(у°,х(у_°)){){х(у0)}, у',=Уз для осталь-
ных /. Тогда х(у') >х(у°). Получили противоречие.
Итак, пусть yi^[a,b], |xj—Уг\<.у, f(Xi)<g(yi)+y,
Уш^Уг, i=0, 1,...., n(x) —1; yn<y)=b. Нетрудно видеть, -
что уш—t/i^2y+x. Будем предполагать, что 6>х4-2у.
Тогда для набора (а,у0.</п(Г>)
ь
е, Кв]>
а	__
П(х)-1	—
>g(a)(y0—a)+	g(yi)(yi+i—У1>—п(х)е—е>
i~0
п (7)—1	_
>—Су—у(у0—а)+ 2	у] (yi+i—yt)—n (х)е—е.
1=0
Для i=0, 1, ..., п(х)—2
1(Уж — yi)—(*ж—**)1 <2?,	J
|( Уп (7) Уп (xj-j) ( Хп (7) Хп (7)—1)1 —
= | Уп (7)_1 хп (7)-1 | < V-
Поэтому
ь
Г[£, е, V6]>—Cy—yy0 + ya +
а
п(х)—1	_
+ 2 f(xt)(xi+l—Xi)—2Cyn(x) + Cy—
i=0	_
—?(&—Уо)~ п(х)е—8>
—	—	' л
>![/—у, a, VJ— g-4-n(x)(a—2уС—е)—е.	;
°	t
§ II. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРАЛА 273
Если a^s2yC+e, то при g-Н) получаем оценку
I[g, 8, Ve]>I[/ —у, a, KJ —е.
а	а
Если а'<2уС+е, то воспользуемся оценкой
n(x)<7V[Vx, а, Ь, f, а, < 2С(6 —а) + ^ + b-a + j.
а	х
Тогда при g->0 получаем оценку
L	L
Ня, 8, VJ >![/—?, a, VJ—
а	а
— (е + 2уС—а)( 2с(6—а) +Lzl£+8-
\ а	х . /
Итак, доказано
Утверждение Д.11.3. Пусть |f(x) |^С для всех
хе [а, 6], у, а.б.хеЕ'-ь /, ееЕ1®, d>x-J-2y, у>/.
Если а^2уС-|-е, то справедлива оценка
L	1
inf I[g, е, VJ>![/—у, a, Vx]—e.
(f) а	а
Если а<2уС+е, то справедлива оценка
L	L
inf I[g, е, Ve]>I[f—у, а, Vx] —
g^Mt (f) а	а
— (е + 2уС—а) ( 2c(b~a) +^L£_|_l\_e,
\ а	х /
Из утверждений Д.11.2, Д.11.3 следуют оценки при
ь	ь
exl(f, а, р, /]с ЦД aj+ а2 + у (Ь—а), а2Н-2уС,
а	а
Pi + Pa + Y^ —а), Рг + ^уС, V6_2v], 6>2у;
ь	ъ
inltf, а, р, V6,	ах —а2 + 2уС —у(Ь—а),
а	а
а2—2уС, рх—р2 + 2уС—у(&—а), р2—2уС, Уб+27],
®2> Рг^^уС.
Для формулировки утверждения об Д-устойчивости
приближенного интеграла введем следующие обозначе-
ния. Пусть — множество ограниченных функций, оп-
274
Д ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ределенных на [а, 6], для f^MB константа С/ такова,
что |/i(x) |^С/ для всех хе [a, ft],
dom(I, 3’) = {(/, а, р, Ve)e=
а
<^М3Х& Wf, а, Р, V6]=£0, 6<=EU,
а	*
«*=--№,	₽'. Ves а", р", М|(Д а'. Г. Me
edom(I, g1), а">а; + 2а24-2Д [2СХ + Ь—a],
a2 > a2 4 ДСу, Pj > Pj + 2P2 2д [2С/ + ft—a],
р;>р;+4дсу, б'>б"+4д},
Лд(Д a', P', V6-, a", P", V6„) =
= {(B, Я>	Os?x£Ylai' + ^ + <(&—«)—2tCf<
6" + 2/<%<6'—2t, a’2 + 2tCf<
<l2<a2-2tch p;+2/c/<1|2<p;-2/c/, p;+ti2 +
+ t(b—a) — 2/Cy<i]1<p"—r)2—t(b—a), t>Д}.
Утверждение Д.11.4. Принцип оптимальности
(1,^) k-устойчив на при согласовании Лд .
а
§ 12. Приближенные дифференциалы и интегралы
с более общей структурой
Определение приближенных дифференциалов было
построено на идее аппроксимации приращения функции
f(y)—f(x) с помощью линейной по у функции, которую
будем называть структурой приближенного дифферен-
циала. Если точность аппроксимации е и множество
V (х) фиксированы, то иногда обеспечить аппроксима-
цию с помощью линейной по у функции нельзя. Естест-
венно рассмотреть приближенные дифференциалы со
структурой более общего вида.
Пусть W, — некоторые множества, ei: E’-HF,
е2: Е’-э-Е1® , 6 : E2X^X.'F->-^1, f — функция, определен-
ная на x|JV(x), V — Б-отображение.
§ 12. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ	275
Определение Д.12.1. Верхним (е, V)-дифферен-
циалом со структурой 0 функции f в точке х называ-
ется
DG[f,z, V](x) = {v<=W\f(y)^
(X) 4-0 (X, у, V, ei (X) ) 4-82 (х) , VУ<= V (X) }.
Нижним (е, V) -дифференциалом со структурой 0 функ-
ции f в точке х называется
D^[f, б, V](x) = {veW\f(y)^
>/(х)4-0(х, у, v, ет (х))—е2 (х), V^=V(x)}.
-<
(а, р, V) -дифференциалом со структурой 0 функции f в
точке х называется
DQ{f, а, р, |/](x)=D0[f, а, И(х)ПD0[/, р, V](x).
Если структура дифференциала 0 имеет вид
0(х, у, v, e) = (u14-8l)(</—х)4-
+ (f2 + ег) (у—х)2 4-... 4- (у„ 4-eJ (У—х)п,
где V=(U]... vn),	8= (81,..., 8п), то Vi можно считать
аналогом i-й производной функции f. Интересно рас-
смотреть и структуры 0 вида 0(х, у, v, e)=v(g(y) —
—g(x) + е), где geO(£1, Е1), или еще более общего вида.
Нетрудно уловить связи между этими структурами диф-
ференциала и интегралом Стилтьеса.
Естественно, что свойства приближенных дифферен-
циалов со структурой 0 существенно зависят от свойств
функции 0. Не останавливаясь на изучении свойств при-
ближенных дифференциалов, рассмотрим две схемы по-
строения приближенного интеграла по приближенным
дифференциалам со структурой 0. -
Пусть V является либо БП-отображением, либо БЛ-
отображением, f: Pro [V, a, b]->-W, bePro [V, а], ei: £'-*•
82: £'^£‘® , 0 : E*XWX9~+E', 8= (еь в2).
Будем говорить, что F является (в, V) -подфункцией
со структурой 0 для f от а до Ь, если:
1)	F определена на Pro [V, а, Ь];
2)	F(a)=0;
3)	f(x)€=£>0[F,8,Vb](x), VxePro [V, a, b] \ {b}.
Будем говорить, что F является (е, V)-надфункцией
со структурой 0 для f от а до Ь, если:
1)	F определена на Pro [V, а, Ь];
276
Д. ПРИБЛИЖЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2)	F(a) =O;
3)	f(x)&DQ[F, е, Уь](х), VxePro[V, а, 6] \ {£}.
Верхним (е, V) -интегралом Перрона со структурой 0
функции f от а до b будем называть величину
ь
I0P[[, е, lz] = inf F (д),
а
где нижняя грань берется по всем (в, V) -надфункциям
со структурой 0 для функции f от а до Ь.
Нижним (е, V) -интегралом Перрона со структурой 0
функции f от а до b будем называть величину
ъ
l_0P[f, е, У] =smp F(b),
а
где верхняя грань берется по всем (е, V) -подфункциям
со структурой 0 для функции f от а до Ь.
Верхний и нижний (е, V)-интегралы Римана со струк-
турой 0 функции f от а до b определим следующими со-
отношениями:
ь_
10R [/, е, V] =
а
п (Г)-1
= _ SUP 3	/(*/), ex(xf)) —82(xf)},
х eEdis [V, a, b] i=0
b
I_OR[f, e, =
a	_
n (x)—1
= _ inf	{0(х,-, xl+i, &1(х1)) + г.2(х1)}.
xedis [V, a, b] i=iQ
Вполне аналогично предыдущему доказывается
Утверждение Д. 12.1. Пусть V — БП-, либо БЛ-
отображение, деРго [V,а]. Тогда
X
1. Если T0R[f, е, V]<4-oo для хеРго [ V, а, &], то
а
Ь_	Ь_
10 R [Л 8, V] = I0P [/, 8, V].
а	а
2. Если I0R[f, 8, V] >—оо для хе Pro [V,a, &], то
а
b	ь
I0RII, 8, V] = I0P[f, 8, V].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Акофф Р., Эмери Ф. О целеустремленных системах. — М.:
Советское Радио, 1974.
2.	А ш м а н о в С. А. Линейное программирование. — М.: Наука,
1981.
3.	А ш м а н о в С. А. Математические модели и методы в эконо-
мике.— М.: Из-во МГУ, 1980.
4.	Б а г р и н о в с к и й К. А., Бу с ы г и н В. П. Математика пла-
новых решений. — М.: Наука, 1980.
5.	Багриновский К. А. Основы согласования плановых ре-
шений.— М.: Наука, 1977.
6.	Б а р а б а ш С. Б., Б у с ы г и н В. П. Анализ параметрических
свойств экстремальных задач (абстрактная теория). — В кн.:
Методы анализа взаимодействия в экономических системах. —
Новосибирск: Наука, 1980, с. 5—32.
7.	Б а р а б а ш С. Б. Параметрический анализ конечномерных эк-
стремальных задач. — В кн.: Математический анализ моделей
экономического взаимодействия. — Новосибирск: Наука, 1981,
с. 3—21.
8.	Б а р б а ш ши Е. А. Введение в теорию устойчивости. — М.:
Наука, 1967.
9.	Б е л л м а н Р., 3 а д е Л. Принятие решений в расплывчатых
условиях. — В кн.: Вопросы анализа и процедуры принятия ре-
шений.— М.: Мир, 1976, с. 172—215.
10.	Березовский Б. А., Борзенко В. И., Кемпнер Л. М.
Бинарные отношения в многокритериальной оптимизации. — М.:
Наука, 1981.
11.	Бурков В. Н., Кондратьев В. В. Механизмы функцио-
нирования организационных систем. — М.: Наука, 1981.
12.	В а с и л ь е в Ф. П. Методы решения экстремальных задач. —
М.: Наука, 1981.
13.	Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных
задач. — М.: Наука, 1980.
14.	В е н т ц е л ь Е. С. Введение в исследование операций. — М :
Советское Радио, 1964.
15.	В и л к а с Э. И., М а й м и н а с Е. 3. Решения: теория, инфор-
мация, моделирование.—М.: Радио и связь, 1981.
16.	Виту шк ин А. Г. Оценка сложности задачи табулирова-
ния.— М.: Физматгиз, 1959.
17.	Гер мейер Ю. Б. Введение в теорию исследования опера-
ций. — М.: Наука, 1971.
18.	Гер мейер Ю. Б. Игры с непротивоположными интереса-
ми. — М.: Наука, 1976.
19.	Гер мейер Ю. Б., Моисеев Н. Н. О некоторых задачах
теории иерархических систем. — В сб.: Проблемы прикладной
математики и механики. — М.: Наука, 1971, с. 30—43.
20.	Г о л ь ш т е й н Е. Г., Юдин Д. Б. Новые направления в ли-
нейном программировании. — М.: Советское Радио, 1966.
278	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
21.	Горелик В. А. Динамические системы с иерархической
структурой управления. — Кибернетика, 1978, № 3, с. 106—109.
22.	Г о р е л и к В. А. Иерархические оптимизационно-координиру-
ющие системы. — Кибернетика, 1978, № 1, с. 87—94.
23.	Горелик В. А., Кононенко А. Ф. Теоретико-игровые мо-
дели принятия решений в эколого-экономических системах. —
М.: Радио и связь, 1982.
24.	Д а р х о в с к и й Б. С., Л е в и т и н Е. С. Второго порядка ус-
ловия оптимальности для одного класса негладких задач ма-
тематического программирования. — Сибирский мат. журнал,
1980, т. XXI, № 2, с. 79—97.
25.	Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая
оптимизация. — М.: Наука, 1981.
26.	Д е м ь я н о в В. Ф., М а л о з е м о в В. Н. Введение в мини-
макс.— М.: Наука, 1972.
27.	Еремин И. И., А с т а ф ь е в И. Н. Введение в теорию ли-
нейного и выпуклого программирования. — М.: Наука, 1976.
28.	3 а д е Л. Понятие лингвистической переменной и его приме-
нение к принятию приближенных решений. — ЛГ: Мир, 1976.
29.	И в а н о в В. К., В а с и н В. В., Т а н а и а В. П. Теория ли-
нейных некорректных задач и ее приложения. — М.: Наука,
1978.
30.	Интрилигатор Н. Математические методы оптимизации
и экономическая теория. — М.: Прогресс, 1975.
31.	Карманов В. Г. Математическое программирование. — М.:
Наука, 1980.
32.	К и н и Р. Л., Р а й ф а X. Принятие решений при многих кри-
териях: предпочтения и замещения. —> М.: Радио и Связь,
1981.
33.	К о н о н е н к о А. Ф. Теоретико-игровой анализ двухуровне-
вой иерархической системы управления.—ЖВМ и МФ, 1974,
№ 5, с. 1161—1170.
34.	К р а с о в с к и й Н. Н. Игровые задачи о встрече движений. —
М.: Наука, 1970.
35.	К р а с о в с к и й Н. Н., Субботин А. И. Позиционные диф-
ференциальные игры. — М.: Наука, 1974.
36.	Ку р ж а н с к и й А. Б. Управление и наблюдение в условиях
неопределенности. — М.: Наука, 1977.
37.	Л а в р е н т ь е в М. М. О некоторых некорректных задачах
математической физики. — Новосибирск: Из-во СО АН СССР,
1962.
38.	Л а в р е н т ь е в М. М., Романов В. Г., Ш иш ат-
с к и й С. П. Некорректные задачи математической физики и
анализа. —М.: Наука, 1980.
39.	Л а н к а с т е р К. Математическая экономика. — М.: Советское
Радио, 1972.
40.	Левитин Е. С. Методы теории возмущений экстремальных
задач в численной оптимизации. — В сб.: Методы оптимизации.
ВНИИ Системных исследований. — М., 1984.
41.	Левитин Е. С. Методы теории возмущений экстремальных
задач при анализе сложных систем. — В сб.: Модели и методы
оптимизации. ВНИИ Системных исследований.—М., 1984.
42.	Л е в и т и н Е. С. О дифференцируемости по параметру опти-
мального значения параметрических задач математического про-
граммирования.— Кибернетика, 1976, № 1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
279
43.	Л и с к о в е ц О. А. Вариационные методы решения неустойчи-
вых задач. — Минск.: Наука и Техника, 1981.
44.	Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. — М.: Мир, 1975.
45.	Л о т о в А. В. Введение в экономико-математическое модели-
рование.— М.: Наука, 1984.
46.	Месарович М., Мак о Д., Такахара И. Теория иерар-
хических многоуровневых систем. — М.: Мир, 1973.
47.	Миркин Б. Г. Проблема группового выбора. — М.: Наука,
1974.
48.	Моисеев Н. Н., И в а н и л о в Ю. П., С т о л я р о в а Е. М.
Методы оптимизации. — М.: Наука, 1978.
49.	Моисеев Н. Н. Иерархические структуры и теория игр.—
Изв. АН СССР. Технич. киберн., 1973, № 6, с. 1—11.
50.	Моисеев Н. Н. Люди и кибернетика. — М.: Молодая Гвар-
дия, 1984.
51.	Моисеев Н. Н. Математика ставит эксперимент. — М.: Нау-
ка, 1979.
52.	Моисеев Н. Н. Математик задает вопросы. — М.: Знание,
1974.
53.	Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анали-
за. — М.: Наука, 1981.
54.	М о и с е е в Н. Н. Численные методы в теории оптимальных
систем. — М.: Наука, 1971.
55.	М о и с е е в Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. — М.:
Наука, 1975.
56.	М о л о д ц о в Д. А. К вопросу о последовательной оптимиза-
ции.— В сб.: Вопросы прикладной математики. — Иркутск,
1975, с. 71—84.
57.	Мо л о д ц о в Д. А. Регуляризация множества точек Паре-
то.— ЖВМ и МФ, 1978, № 3, с. 597—602.
58.	М о л о д ц о в Д. А. Устойчивость и регуляризация принципов
оптимальности. — ЖВМ и МФ, 1980, т. 20, № 5, с. 1117—1129.
59.	О п о й ц е в В. И. Равновесие и устойчивость в моделях коллек-
тивного поведения.—М.: Наука, 1977.
60.	Первозванский А. А., Гайцгори В. Г. Декомпозиция,
агрегирование и приближенная оптимизация. — М.: Наука, 1979.
61.	П о д и н о в с к и й В. В., Гаврилов В. М. Оптимизация по
последовательно применяемым критериям. — М. Советское Ра-
дио, 1975.
62.	Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальпые
решения многокритериальных задач. — М.: Наука, 1982.
63.	П о п о в Ю. П., С а м а р с к и й А. А. Вычислительный экспе-
римент.— М.: Знание, 1983.
64.	П у а н к а р е А. Соб. соч. т. I. — М.: Наука, 1971.
65.	П ш е н и ч н ы й Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные зада-
чи.— М.: Наука, 1980.
66.	Р а с т р и г и н Л. А. Современные принципы управления слож-
ными объектами. — М.: Советское Радио, 1980.
67.	Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. '— М.: Мир, 1973.
68.	Р у ш Н , А б е т с П., Л ал у а М. Прямой метод Ляпунова в
теории устойчивости. — М.: Мир, 1980.
69.	С а а т и Т. Л. Матема! ические модели конфликтных ситуаций.—
М.: Советское Радио, 1977,
280	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
70.	С о б о л ь И. М., Статников Р. Б. Выбор оптимальных
параметров в задачах со многими критериями. — М.: Наука,
1981.
71.	Современное состояние теории исследования операций; Сб,
работ/Под ред. Н. Н. Моисеева. — М.: Наука, 1979.
72.	С т р о н г и н Р. Г. Численные методы в многоэкстремальных
задачах. — М.: Наука, 1978.
73.	С у б б о т и н А. И., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в
задачах управления. — М.: Наука, 1981.
74.	Т и х о н о в А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некор-
ректных задач. — М.: Наука, 1979..
75.	Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степа нов В. В.,
Я гол а А. Г.'Регуляризующие алгоритмы и априорная инфор-
мация. — М.: Наука, 1983.
/6.	Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач. — Докл.
АН СССР, 1943, т. 39, № 5, с. 195—198.
77.	Т и х о н о в А. Н. О нормальных решениях приближенных си-
стем линейных алгебраических уравнений. — Докл. АН СССР,
1980, т. 254, № 3, с. 549—554.
78.	Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных
задач. — Докл. АН СССР, 1963, т. 153, № 1, с. 49—52.
79.	Т и х о н о в А. Н. О решении некорректно поставленных задач
и методе регуляризации. — Докл. АН СССР, 1963, т. 151, № 3,
с. 501—504.
80.	Т р а у б Дж., Вожьняковский X. Общая теория опти-
мальных алгоритмов. — М.: Мир, 1983.
81.	Федоров В. В. Численные методы максимина. — М.: Наука,
1979.
82.	Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программиро-
вание. Методы последовательной безусловной минимизации. —
М.: Мир, 1972.
83.	Ч е р н о у сь к о Ф. Л., Меликян А. А. Игровые задачи уп-
равления и поиска. — М.: Наука, 1978.
84.	Четаев Н. Г. Устойчивость движения. — М.: Гостехиздат, 1955.
85.	Что такое прикладная математика. — М.: Знание, 1980.
86.	Ш о к и н Ю. Н. Интервальный анализ. — Новосибирск: Наука,
1981.
87.	Э р р о у К. Дж., Баранкин Е. В., Блекуэлл Д. Допу-
стимые точки выпуклых множеств. — В кн.: Матричные игры.
М.: Физматгиз, 1961, с. 274—280.
88.	G е о f f г i о n А. М. Proper efficiency and the theory of vector
maximization. — J. Math. Anal, and Appl., 1968, v. 22, № 3,
p. 618—630.
89.	Hoffman A. J. On Approximate Solution of Sistems of Linear
Inequalities — Jornal of Research National Bureau of Standarts,
V. 49, № 4, 1952.
90.	Moore R. E. Interval analysis. — N. Y. Prentice — Hall, 1966.
91.	Zadeh L. A. Fuzzy Sets. — Inf. Control., 1965, v. 8, p. 338—353.