А. Ю. ХРЕННИКОВ
ВВЕДЕНИЕ
В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ
ИНФОРМАЦИИ
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2008

УДК 519
ББК 22.314
Х91
Хренников А.Ю. Введение в квантовую теорию
информации. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 284 с. - ISBN 978-5-9221-0951-2.
Предлагаемая книга представляет собой введение в квантовую
теорию информации и основания квантовой механики. При этом квантовая
информация понимается в существенно более широком смысле, чем
в стандартных учебниках, и не сводится лишь к математическому
описанию передачи информации, криптографии и вычислениям с
помощью квантовых носителей информации, например фотонов. Поэтому
книга содержит приложения математических методов квантовой теории
информации за пределами физики: к психологии, когнитивным наукам,
экономике и финансам.
Предварительных знаний о квантовой и/или классической
механике не требуется. В краткой форме представлен математический аппарат
квантовой механики (теория операторов в гильбертовом пространстве).
Сложные математические рассмотрения возникают лишь в последних
главах книги, посвященных попыткам выйти за пределы стандартного
квантового формализма.
Для студентов старших курсов, аспирантов и научных
работников, в первую очередь физических и математических специальностей,
а также психологов, экономистов и ученых, изучающих процессы
мышления.
ISBN 978-5-9221-0951-2
© ФИЗМАТЛИТ, 2008
© А. Ю. Хренников, 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 7
§ 1. Об основаниях квантовой механики 7
§2. Специфика квантовых вычислений 16
Глава 1. Классическая статистическая механика 25
§ 1. Механика Ньютона 26
§ 2. Гамильтонова механика 27
§ 3. Статистическая механика 29
§4. Область применения классической механики 30
§ 5. Выход за пределы классической статистической механики . . 33
Глава 2. Квантовая механика 37
§ 1. Броуновское движение 37
§2. Уравнение Шрёдингера 41
§ 3. Квантовая нелокальность 44
§ 4. Различные интерпретации волновой функции 48
§ 5. Рассеяние квантовых и классических частиц на двух щелях 52
Глава 3. Современный математический формализм
квантовой механики 59
§ 1. Пространство волновых функций 59
§ 2. Комплексное линейное пространство 60
§ 3. Скалярные произведения 63
§ 4. Метрические пространства 65
§ 5. Гильбертово пространство 67
§ 6. Линейные операторы 70
§ 7. Теорема Рисса. . . . 72
§ 8. Сопряженный оператор 74
§ 9. Интегральные операторы 76
§ 10. Спектральное разложение. Конечномерный случай 77
§11. Спектр: точечный, непрерывный, остаточный 78
§ 12. Спектральное разложение самосопряженного оператора .... 80

4 Оглавление
§ 13. Операторы с чисто точечным спектром 81
§ 14. Тензорное произведение гильбертовых пространств 83
Глава 4. Аксиоматика 86
§ 1. Аксиоматика квантовой механики 86
§ 2. Совместное измерение квантовых наблюдаемых 94
§ 3. Смешанные состояния 94
§ 4. Символика Дирака 97
Глава 5. Квантовая теория информации 108
§ 1. Символика Дирака в квантовой теории информации 108
§ 2. Квантовые вентили 110
§ 3. Квантовое преобразование Фурье 112
§4. Алгоритм Дейча и Джоза 112
§5. Коноид 114
§6. Алгоритм Саймона 115
§ 7. Элементы теории чисел 117
§8. Алгоритм Шора 120
§9. Алгоритм поиска Гровера 127
§ 10. Квантовая телепортация 129
Глава 6. Неравенства Белла 132
§ 1. Различие в точках зрения Эйнштейна и Белла на квантовую
нелокальность 132
§ 2. Следствие белловских рассмотрений для квантовой
криптографии и квантовых вычислений 134
§3. Почему неравенство Белла вызывает столь бурные споры?. . 136
§4. Математические неравенства белловского типа 138
§5. Интерпретации нарушения неравенства Белла 141
§ 6. Правила соответствия между классической и квантовой
вероятностными моделями 142
§ 7. Постулаты фон Неймана для отображения между
классической и квантовой моделями 145
§ 8. Теоремы невозможности белловского типа 146
§9. Области значений предквантовых и квантовых переменных 151
§ 10. Контекстуальность 153
§11. Белловская контекстуальность и действие на расстоянии. . . 158
§ 12. О ценности аргументов Белла 159

Оглавление 5
Глава 7. Предквантовая классическая статистическая
теория поля 160
§ 1. Квантовая механика для советских морских офицеров 161
§2. Классические и квантовые статистические модели 170
§3. Винеровский процесс в пространстве полей 172
§4. Квантовая механика как теория измерений для «медленной»
временной шкалы 175
Глава 8. Гамильтонов подход к предквантовой
классической статистической теории поля 180
§ 1. Симплектическая геометрия на бесконечномерном фазовом
пространстве и асимптотическое представление квантовых
средних гауссовыми функциональными интегралами 180
§ 2. Гамильтонова механика на конечномерном фазовом
пространстве и ее комплексное представление 181
§ 3. Шрёдингеровская динамика как динамика с
«/-инвариантным гамильтонианом на бесконечномерном фазовом
пространстве 185
§ 4. Поднятие динамики точек в пространства физических
величин и мер 186
§ 5. Динамика статистических состояний, сохраняющая
дисперсию 188
§6. Динамика на пространстве физических величин 189
§ 7. Вероятностная динамика 190
§ 8. Асимптотическое разложение гауссовых интегралов на
гильбертовом пространстве и формула следа фон Неймана 196
§ 9. Инвариантные гауссовы меры для шрёдингеровской
динамики 201
§ 10. Динамика с неквадратичным гамильтонианом, сохраняющая
дисперсию 203
Глава 9. Скрытые параметры для квантовой теории поля. . 208
§1.0 представлении квантовой теории поля в виде классической
статистической механики полевых функционалов 208
§2. Гауссово квантование скалярного бозонного поля 209
§ 3. Классическая статистическая модель 211
§ 4. Классическая интерпретация волновой функции в квантовой
теории поля 212
§ 5. Квантово-полевое уравнение Шрёдингера как уравнение
Гамильтона 212
§ 6. Асимптотическое деквантование 213

6
Оглавление
Глава 10. Представление колмогоровской модели в
гильбертовом пространстве 215
§ 1. Квантовая и классическая вероятностные модели 216
§2. Интерференционная формула полной вероятности 221
§ 3. Извлечение комплексных вероятностных амплитуд и
правила Борна из колмогоровской модели 224
§ 4. Представление колмогоровских случайных величин
некоммутативными операторами 230
§5. Роль одновременной бистохастичности матриц Р61° и Ра1ь 231
§ 6. Комплексные амплитуды вероятностей в случае
многозначных базовых переменных 232
§ 7. Представление контекстуальной динамики в виде
дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве 237
Глава 11. Об эксперименте с когнитивными системами
по поиску квантовоподобной статистической структуры. . 240
§1.0 возможности квантовоподобного описания ментальных
процессов 240
§ 2. Описание эксперимента по обнаружению интерференции
мыслей 242
§ 3. Экспериментальное подтверждение 243
§4. Гиперболическая интерференция мысли 244
Глава 12. Квантово-психологическая модель фондового
рынка 245
§ 1. Является ли современный финансовый рынок классической
информационной системой 246
§ 2. Классическая модель фазового пространства 249
§ 3. «Классическая» модель Гамильтона динамики цен и
фондового рынка 254
§ 4. Финансовые ведущие волны 255
§ 5. Динамика цен, регулируемая финансовой ведущей волной. . 258
§ 6. Философия Уайтхеда и теория финансовой ведущей волны 265
Список литературы 267

8
Введение
122-124, 127, 128, 136-141, 144, 154-217, 228-230, 235-238,
241, 245, 250-254, 263-271, 275, 276, 281-287] о дискуссиях).
В квантовой механике складывается парадоксальная
ситуация: имеется замечательный математический формализм,
позволяющий делать предсказания о вероятностном поведении
огромных ансамблей квантовых систем. Однако интерпретация этого
формализма так и остается (уже на протяжении почти ста лет)
нерешенной проблемой.
Так называемая копенгагенская интерпретация
(разработанная Бором, Гейзенбергом, Паули и Фоком) не решает проблем
в основаниях. По существу, целью копенгагенской
интерпретации было успокоить физическую общественность, отвлечь
от работы по обоснованию квантовой теории и направить
энергию физических масс на разработку технического
аппарата. В какой-то мере это была правильная стратегия, которая
увенчалась успехом: в настоящее время квантовая механика
представляет собой многоэтажное здание, наполненное
различными техническими методами (например, спектральной теорией
самосопряженных операторов) и устройствами (например, для
производства зацепленных состояний и экспериментальной
проверки нарушения неравенства Белла — излюбленной
деятельности экспериментаторов в лабораториях квантовой информации по
всему миру).
Однако опирается этот квантовый небоскреб на очень
хлипкие основания. А если копнуть глубже, то там вообще
бездонное болото. И этот небоскреб достраивается новыми и новыми
этажами, на которые уже затаскиваются квантовые компьютеры
и квантовые криптографические устройства. Ситуация
осложняется тем, что «официальный закон», копенгагенская
интерпретация, запрещает пересматривать основания.
Предлагаемая книга, в частности, дает введение в
основания квантовой механики, связывая их с квантовой теорией
информации. В краткой форме представляется весь необходимый
математический формализм. Особое внимание уделяется
вероятностным основам, см. также [10]. К сожалению, студенты
физических специальностей не имеют достаточно серьезного курса
по теории вероятностей. Это существенно осложняет
понимание вероятностной структуры квантовой механики (например,
проблем, связанных с неравенством Белла). Также описываются
эксперименты, изучающие фундаментальную роль в основаниях
(например, двущелевой эксперимент).

§ 1. Об основаниях квантовой механики
9
Квантовая теория информации излагается в сжатой форме,
но со всеми деталями. Указаны проблемы в основаниях
квантовой теории информации, индуцируемые известными проблемами
в основаниях квантовой механики.
Проблема суперпозиции состояний трансформируется в
проблему квантового параллелизма для квантовых компьютеров.
Проблема полноты квантовой механики — в проблему квантовой
нелокальности (действие на расстоянии).
Так же как и Эйнштейн, и Шрёдингер, автор этой книги не
верит в полноту квантовой механики. Напомним, что полнота
квантовой механики является основой копенгагенской
интерпретации квантовой механики: волновая функция (ф-функция)
дает исчерпывающее описание состояния квантовой системы.
Никакого другого (более полного) описания квантовых явлений
не существует. Невозможно выйти за пределы квантовой
механики.
Тезис о полноте квантовой механики кажется очень
сомнительным даже с общефилософской точки зрения.
Трудно предположить, что физики подошли к последнему пределу
в описании микромира и дальнейшее продвижение в принципе
невозможно 0.
Поэтому мы уделяем внимание различным предквантовым
теориям. В частности, мы излагаем в нескольких словах бомов-
скую механику (являющуюся развитием теории ведущей волны,
предложенной де Бройлем на заре квантовой механики), см. [89,
55-57, 80, 148]. Электрон может описываться как маленький
шарик, движущийся в трехмерном физическом пространстве R3.
Динамика описывается уравнением Ньютона. Но, кроме
обычных классических сил (которые могут быть заданы
потенциалами на R3), возникает новая сила — квантовая сила. Эта сила
существенно изменяет траектории частиц. В качестве основного
недостатка бомовской механики обычно указывается ее
нелокальность. В общем случае квантовая сила, действующая на си-
0 В последние годы огромный интерес привлекли также новые физические
теории, такие как теория (супер-) струн, М-теория, квантовая гравитация.
Однако эти теории нельзя рассматривать как попытки выхода за пределы
квантовой механики. Например, струны должны тоже квантоваться, и
квантовая теория струн не решает ни одной проблемы квантовой механики. Полная
неудача всех попыток построения квантовой гравитации постепенно приводит
к пониманию того, что квантовая теория и теория гравитации попросту
несовместимы.

ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Об основаниях квантовой механики
В последние несколько лет развитие квантовой информации
приобрело взрывной характер. Квантовые компьютеры,
криптография и телепортация безумно привлекательны как для
теоретиков (физиков, математиков, специалистов в области теории
вычислений и алгоритмов), так и для экспериментаторов и на-
нотехнологов. Однако квантовая теория информации опирается
на квантовую механику и поэтому получает в наследство весь
букет проблем, связанных с основаниями квантовой механики.
Таким образом, развитие квантовой теории информации вызвало
новую волну интереса к основаниям квантовой механики. Цель
этой книги — удовлетворить в какой-то степени этот интерес,
тем более что на русском языке книг по основаниям квантовой
механики не так уж много.
Хотя было издано огромное количество учебников по
квантовой механике, например всем известный курс Ландау и Лиф-
шица [8], в то же время среди книг, в которых обсуждаются
основания, можно отметить лишь книги Фока [14] и Блохинце-
ва [3], а также переводы трудов классиков квантовой механики,
см. [6, 15, 16]. Недавно была опубликована монография Аккар-
ди [1] (в которой обсуждаются острые философские проблемы,
связанные с основаниями). Следует также обратить внимание
(в первую очередь студентов) на учебник по квантовой
информации, написанный Холево [9], в котором изложен ряд вопросов
оснований, важных для квантовой информации.
К сожалению, в основной массе книг по квантовой механике
явно прослеживается тенденция показать, что «в Багдаде все
спокойно». В то же время специалистам по основаниям
квантовой механики хорошо известно, что в Багдаде не так уж
спокойно и что квантовая механика (как физическая теория, а не как
математический формализм) — это тяжело больной, но
тщательно скрывающий свое заболевание человек (см. [17-26, 28-39, 41,
42, 44-47, 49, 52, 60, 61, 63, 65, 68, 78, 81, 84-101, 109, 112-115,

10
Введение
стему из нескольких частиц, зависит от координат всех частиц.
Таким образом, квантовое взаимодействие может быть
нетривиально даже при полном отсутствии классических взаимодействий
между частицами. Однако такая критика кажется весьма
странной в ситуации, когда значительная часть квантового сообщества
верит в квантовую нелокальность (следующую из нарушения
неравенства Белла). Для меня основным недостатком бомовской
механики является то, что она полностью совпадает со
стандартной квантовой механикой в своих предсказаниях. Невозможно
предложить какой-либо эксперимент, их различающий. Таким
образом, бомовская механика — это чисто формальный выход
за пределы квантовой механики. Возможно поэтому Эйнштейн
назвал решение Бома (проблемы о полноте квантовой механики)
дешевым 0.
В гл. 7-10 я излагаю результаты моих собственных
исследований (с рядом соавторов), имеющих целью выход за пределы
квантовой механики, см. [13, 172-174, 176, 178, 180-183, 186,
191-198, 200-206, 209-214, 216]. Для большинства физиков
трудно и помыслить, что квантовая механика имеет пределы
своего применения, что ее статистические предсказания могут быть
нарушены при повышении точности измерения (в первую очередь
времени). Важнейшую роль в формировании таких взглядов
сыграли копенгагенская интерпретация и личный авторитет Бора.
Тезис о полноте квантовой механики сомнению не подвергался.
Бор беспощадно подавлял все попытки «поднять бунт на
копенгагенском корабле».
Здесь показательна история появления континуального
интеграла в квантовой механике. Все попытки Фейнмана
внедрить континуальные интегралы в квантовую механику были
совершенно безуспешны. Появление траекторий квантовых
частиц (по пространству которых производилось интегрирование)
в квантовой теории рассматривалось (в первую очередь Бором)
О Этот негативный комментарий Эйнштейна сыграл свою роль в оценке
бомовской механики физическим сообществом. Не добавили популярности
бомовской механике и коммунистические воззрения Д. Бома. Как член
компартии США, он был посажен в тюрьму (где приобрел большой авторитет
среди заключенных и надзирателей, читая им лекции по основаниям квантовой
механики). Затем он был вынужден бежать в Бразилию, затем в Израиль,
и, наконец, в Великобританию, где смог «легализоваться», лишь написав
покаянное письмо правительству США, в котором он признавал свои ошибки
и отказывался от коммунистических убеждений.

§ 1 Об основаниях квантовой механики
11
как явная крамола. Даже непрерывные замечания Фейнмана
о том, что траектории виртуальны, не спасало положения.
Проект «фейнмановский интеграл» был полностью похоронен.
Спасла этот проект природная смекалка Фейнмана. Он смог
установить личный контакт с Паули; а уж затем убедил Паули,
что континуальный интеграл не противоречит копенгагенской
интерпретации, что это лишь удобное формальное представление
комплексных амплитуд. Лишь с помощью Паули континуальные
интегралы получили одобрение в квантовом сообществе [106].
Важнейшую роль в распространении копенгагенской
интерпретации сыграли так называемые теоремы невозможности. В
силу этих теорем результаты квантовой механики не могут быть
воспроизведены на основе какой-либо классической
статистической модели. Поэтому невозможно создать никакую
детерминистическую классическую модель, дающую более детальное
описание природы. Такая модель (если бы она существовала)
должна была бы воспроизводить предсказание квантовой
механики, что в силу указанных теорем невозможно.
Первая теорема невозможности была получена фон
Нейманом [15].
Любопытно, что, хотя книга фон Неймана стояла не полке
в кабинете Эйнштейна, эта теорема невозможности ни разу ке
цитировалась Эйнштейном. Он всю жизнь не оставлял надежды
создать предквантовую статистическую теорию. Почему?
Похоже, физик до мозга костей, Эйнштейн не мог себе представить,
что такая фундаментальная проблема физики может быть решена
с помощью какой-либо математической теоремы 0.
Впоследствии было доказано несколько новых теорем
невозможности, наиболее известны среди них теоремы Кохена-
Спекера и Белла. В последние двадцать лет большое внимание
уделяется теореме Белла. Особую роль она играет в квантовой
теории информации. Нарушение неравенства Белла для
корреляций различных измерений на квантовых носителях информации
обычно трактуется как специфическое (неклассическое) свойство
квантовой информации.
]) Кроме того, нобелевский лауреат Антони Леггет недавно обратил мое
внимание на то, что в оригинальном немецком издании утверждение о
невозможности построить предквантовую классическую теорию называлось отнюдь
не теоремой, a «anzatz».

12
Введение
Автор относится весьма сдержанно к попыткам использовать
теоремы невозможности. Конечно, такие математические
упражнения важны для более ясного понимания специфики квантового
представления статистических данных и, в частности,
квантового представления информации. Эксперименты по проверке
неравенства Белла [40, 75, 76, 296] сыграли большую роль в
развитии новых технологий работы с зацепленными микрообъектами,
фотонами, электронами, ионами.
Главная проблема в использовании теорем невозможности
состоит в том, что каждая такая теорема (как и любая
математическая теорема) основывается на целом ряде условий Yi,...,Y}v.
Показано, что при этих условиях невозможно представить
квантовую модель в виде образа классической статистической
модели. Однако некоторые из этих условий могут быть весьма
сомнительными с физической точки зрения.
Нам не известно, как.должна выглядеть предквантовая
модель и как она отображается на квантовую. Каждый автор
(фон Нейман, Белл) предлагает свой собственный список
условий, при этом условия, использовавшиеся другими авторами,
критикуются! Такую стратегию, например, избрал Белл,
раскритиковавший теорему фон Неймана и сформулировавший свою
собственную теорему невозможности.
По воспоминаниям учеников Дэвида Бома, Басиля Хайли
и Шелли Голдстейна, Джон Белл был «нелокальный реалист».
Он верил, что предквантовая классическая модель существует,
что это бомовская механика и, более того, любая такая модель
нелокальна. Нелокальность (наличие действия на расстоянии)
он обосновывал с помощью своей теоремы. Реализм был для
него очевидным следствием наличия точных корреляций (или
антикорреляций). Если два фотона (или иона) приготовлены
в зацепленном состоянии, то, измерив поляризацию (или спин)
в некотором направлении для одной из частиц, можно с
вероятностью 1 предсказать значение соответствующего измерения для
другой. Таким образом, Белл придерживался (как и Эйнштейн)
классических взглядов на корреляцию как результат совместного
приготовления.
Объяснение нарушения неравенства Белла с помощью
действия на расстоянии очень привлекательно для некоторых
физиков. Однако, как мы уже отмечали, неравенство Белла — это
математическая теорема, которая доказана при некоторых
математических предположениях. Соответствие этих предпосылок

§ L Об основаниях квантовой механики
13
физической реальности может быть поставлено под вопрос (так
же как и Белл поставил под вопрос соответствие реальности
математических условий «теоремы» фон Неймана), см.,
например, [10, 13, 18-21, 26, 32-37, 39, 85-88, 95-99, 108, 115, 116,
137-141, 154-158, 164].
В гл.5 мы повторим вкратце вероятностный анализ
теоремы Белла, который был представлен в [215] и покажем, что
среди условий теоремы Белла есть целый ряд предположений,
которые не кажутся обоснованными не только с точки зрения
физики, но и с точки зрения общей статистической методологии.
В частности, для вывода своего неравенства Белл манипулирует
вероятностями, относящимися к трем различным
экспериментам, трем различным комплексам экспериментальных условий.
Однако для математического описания этих вероятностей он
использует одно-единственное вероятностное пространство.
Такая деятельность — это нонсенс с точки зрения методологии
статистики. Каждый комплекс экспериментальных условий
(физический контекст, см. [183]) должен описываться своим
вероятностным пространством, см. также книгу Колмогорова [7]
по аксиоматике теории вероятностей, §2. Как было показано
в [10], если учитывать зависимость вероятностей от
физических контекстов, то вместо обычного неравенства Белла будут
получены обобщенные неравенства Белла. Эти неравенства не
противоречат экспериментальным статистическим данным.
И, наконец, в гл. 7 автор излагает свой вариант выхода за
пределы квантовой механики. Это предквантовая классическая
статистическая теория поля — ПТП, см. [197, 204, 210,
212-214, 216]. Показано, что квантовая механика может быть
представлена как асимптотическая проекция классической
статистической механики, но с бесконечномерным фазовым
пространством. Таким образом, платой за детерминизм является
бесконечная размерность пространства!
Реализуя бесконечномерное фазовое пространство Q как
декартово произведение двух /^-пространств, Q = ^2(R-3) и
Р = Z,2(R3), мы получаем представление точек фазового
пространства О, = Q х Р в виде векторных классических полей:
ф(х) = (д(х),р(х)).
Статистические состояния — ансамбли таких полей. Поэтому я
и назвал эту модель ПТП. Это модель с полевыми скрытыми
параметрами. ПТП имеет много общего с волновой квантовой

14
Введение
механикой, предложенной Шрёдингером в 20-е годы, см. [16].
Наша модель является чисто полевой.
Так называемые квантовые частицы — это эффекты пред-
квантовых полей, которые усиливаются (так как сами по себе
они очень слабы) и регистрируются измерительными приборами.
Таким образом, в нашей модели имеются, например,
электронные, нейтронные,..., поля, но нет корпускул, электронов,
нейтронов,... В этом смысле ПТП отличается коренным образом от
бомовской механики, в которой корпускула, например электрон,
направляется электронной ведущей волной. Важным отличием
также является то, что эта волна детерминистична (т.е. не
зависит от случая). В ПТП рассматриваются случайные поля.
Но наиболее существенным отличием ПТП от бомовской
механики является то, что ПТП действительно позволяет выйти за
пределы квантовой механики. ПТП описывает пределы применения
статистических законов квантовой механики и предсказывает
нарушение этих законов при повышении точности измерений.
А именно, средние наблюдаемых (например, энергии) в
квантовом формализме вычисляются с помощью формулы фон Неймана
(А)р = ЪрА,
где А — самосопряженный оператор, представляющий
квантовую наблюдаемую, и р - оператор плотности, представляющий
квантовое состояние. В ПТП это выражение дает лишь главный
член в асимптотическом разложении классического среднего по
малому параметру к. В ПТП роль малого параметра играет
дисперсия предквантового случайного поля:
<72(М) = } |М|2 М*),
где /х — мера на фазовом пространстве £7, представляющая это
поле.
Классическое среднее (как обычно) определяется с помощью
интеграла по фазовому пространству:
(/>M = f/(9.p)rfM(9.p),
п
где ф = (q,p) — точка фазового пространства (скрытый параметр,
классическое поле), а /: Q —* R — классическая переменная.
Этот интеграл разлагается по малому параметру с помощью
формулы Тейлора на бесконечномерном пространстве П. Класси-

§ 1. Об основаниях квантовой механики
15
ческой переменной / ставится в соответствие квантовая
наблюдаемая А = /"(0) (гессиан функции / в точке нуль).
Таким образом, ПТП объясняет, почему в квантовой
механике наблюдаемые представляются симметричными операторами
(гессиан всегда симметричен).
Заметим, что ПТП — вещественная теория. Комплексная
структура может быть введена через симплектическую структуру
на фазовом пространстве.
Основным предсказанием ПТП является то, что классическая
теория случайного поля более фундаментальна, чем квантовая
механика. Квантовая механика неполна (вопреки копенгагенской
интерпретации). Средние значения наблюдаемых, предсказанные
квантовой механикой, — это лишь приближения реальных
статистических средних, которые предсказываются ПТП. Разница
между предсказаниями квантовой механики и ПТП может быть
экспериментально проверена.
Эта книга написана на основе курсов по основаниям
квантовой механики и квантовой теории информации, которые я
читал в течение ряда лет в Московском государственном
университете электронной техники и в Институте защиты
информации в Российском государственном гуманитарном университете.
Я признателен А. С. Поспелову, Ю. П. Лисовцу, Е.Л. Борзистой
и В. С. Анашину, В. М. Максимову за гостеприимство и
организацию курсов.
При написании книги огромную роль сыграла серия
конференций по основаниям квантовой механики и основаниям теории
вероятностей, проводимых ежегодно Международным центром
математического моделирования в физике, когнитивных науках
и экономике, университет г. Векшё, Швеция. В ходе этих
конференций мне посчастливилось обсуждать основания квантовой
механики и квантовой теории информации с ведущими
специалистами со всего мира. Я особенно благодарен А. Аспекту,
Л. Баллентайну, С. Гаддеру, Л. Аккарди, А. Леггету, Ж. Тоф-
ту, Д. Гринбергеру, Д. Мермину, Б. Хайли, Ш. Гольдстейну,
Г. Ягеру, А. Сергиенко, И. Воловичу, В. Андрееву, Л. Вайдману,
А. Холево, К. Свозилу, П. Лахти, Т. Ноехойзеру, Э. Бельтрамети,
Г. Вайхсу, П. Квайту, К. Хессу, В. Филиппу, С. Альбеверно,
Э. Бинцу за дискуссии, советы и критику.
г. Зеленоград, 2002-2007

16
Введение
§ 2. Специфика квантовых вычислений
Поскольку эта книга представляет собой введение в
квантовую теорию информации, ср. [9, 4], предполагается, что среди
читателей могут быть люди, просто желающие расширить свой
кругозор и не имеющие никаких предварительных знаний в этой
области. В этом вводном параграфе мы бы хотели обсудить
достоинства и недостатки квантовых компьютеров и специфику
квантовых вычислений без использования математического
аппарата, см., например, [2, 4, 7] для детального представления.
Во-первых, отметим, что целью создания квантовых
компьютеров отнюдь не является миниатюризация — создание
микроскопических вычислительных устройств. Конечно, квантовый
компьютер базируется на микроскопических системах. В
качестве квантовых регистров могут быть использованы ионы
или электроны. Но это не означает, что сам квантовый
компьютер будет микроскопическим. Для создания квантовых
регистров могут использоваться макроскопические магниты или
охлаждающие устройства. Кроме того, необходимо создать
квантовый интерфейс, обслуживающий ввод и вывод информации.
Например, «квантовую клавиатуру». Так как мы
макроскопические существа, такая «квантовая клавиатура» также будет
макроскопической. И, наконец, нельзя исключить, что будут
созданы квантоподобные компьютеры, основанные на интерференции
вероятностей для макроскопических систем.
Иногда можно слышать мнение, что квантовые компьютеры
придут на смену нынешним «классическим компьютерам». Это,
конечно, заблуждение. Квантовые компьютеры будут
ориентироваться на решение специфических задач.
Каких именно задач?
Основной специфической чертой квантовых вычислений
является их вероятностный характер. Квантовый компьютер (в
отличие от обыкновенного) не может выдать «настоящее решение».
Он выдает лишь кандидаты на решение некоторой проблемы.
С очень большой вероятностью такой кандидат действительно
является решением (например, с вероятностью р = 0,95). Однако
всегда имеется ненулевая вероятность {q = 0,05), что квантовый
компьютер выдаст неправильный ответ. Поэтому квантовый
вычислительный цикл должен быть дополнен классическим
вычислительным циклом по проверке кандидатов на решение.

§ 2. Специфика квантовых вычислений
17
Формально мы можем описать класс задач для квантовых
компьютеров следующим образом. Мы хотим найти решение
некоторого уравнения
Д*) = 0, (2.1)
где х — многомерная переменная. Функция / обладает
следующими свойствами:
а) классические алгоритмы для нахождения решения
уравнения (2.1) работают недостаточно быстро;
б) в тоже время для фиксированного х можно очень
быстро проверить выполнение условия (2.1) (на классическом
компьютере).
Обычно предполагается, что для (а) требуется
неполиномиальное время по отношению к некоторому параметру п,
характеризующему размерность задачи (например, п может быть
числом переменных функции /). А вот (б) может быть
реализовано в течение полиномиального (по отношению к параметру п)
времени 0.
Для таких функций f(x) решение уравнения (2.1) на
классических компьютерах очень затруднено. В принципе для
решения некоторых задач (в физике, биологии, экономике) могут
потребоваться миллионы лет (так как параметр п может быть
очень велик). Поэтому предполагается, что будет использоваться
тандем квантового и классического компьютеров. На
квантовом компьютере будут вычисляться (с достаточно большой
вероятностью) предполагаемые решения уравнения (2.1), а потом
эти кандидаты на решение будут проверяться на классическом
компьютере.
Важнейшей проблемой является достижение «достаточно
больших вероятностей». Если вероятность получения решения
в результате применения квантового компьютера не достаточно
высока, то эффективность работы тандема в целом не
высока. Если квантовый компьютер может производить достаточно
длинные серии, х^х\... ,х^т\ кандидатов на решение, которые
решениями не являются, то будет необходимо повторить
вычислительный цикл слишком много раз. В итоге эффективность
работы тандема квантового и классического компьютеров может
х) Мы напомним, что функция Т = а(п) параметра п имеет
полиномиальный рост, если для некоторой константы d и для достаточно больших п
выполняется неравенство a(n) ^ nd.

18
Введение
оказаться не выше, чем эффективность работы классического
компьютера.
Важнейшим препятствием для создания эффективно
работающих квантовых компьютеров является наличие шумов. А так
как стандартный квантовый компьютер проектируется на базе
микроскопических квантовых регистров, то минимальные (с
макроскопической точки зрения) шумы могут существенно
осложнить работу квантового компьютера, и, в частности, снизить
вероятность получения «правильного кандидата на решение».
Сильнейшим аргументом в пользу создания квантового
компьютера является наличие квантового алгоритма, который
позволяет решить важную задачу криптографии (разложение
большого натурального числа п на простые множители) за
полиномиальное время Т = O(n), п —► оо. Наилучший из
известных в настоящее время классических алгоритмов имеет
экспоненциальную сложность Т — 0(2cnl/2log2/3n), п —> оо.
Мы напомним, что символ 0(а(п)), п —> оо, означает, что
существует константа М > О, такая что
\0(а(п))\^М\а(п)\
для всех достаточно больших п.
Речь идет об известном алгоритме Шора. Напомним, что
первый квантовый алгоритм был построен Дейчем и Джоза.
Задача была весьма искусственная и практического интереса не
представляла. Алгоритм Дейча и Джоза был усовершенствован
Саймоном для решения задачи, представляющей значительный
интерес. Это задача о нахождении периода булевой функции.
Рассмотрим булеву функцию /(ii,...,xn), где Xj = О, 1,
Допустим, что известно (из каких-то практических
соображений), что / периодическая, т.е. существует булев вектор
£ = (£ь ,fn), такой что /(xi,...,xn) = /(yi,...,yn) лишь
в случае у = х © £, здесь © — сложение по модулю два.
Требуется найти период £. Классический алгоритм основан
на переборе и требует Т = 0(2П/2) шагов, т. е. это алгоритм
с экспоненциальным временем. Квантовый алгоритм Саймона
требует Т — 0{п) шагов (однако не классических, а квантовых
вычислений).
Весь проект «квантовые компьютеры» ставится под сомнение
в связи с наличием только одного квантового алгоритма (Шора),
с помощью которого удается решить за полиномиальное время
реальную проблему, которая решается на классических компью-

§ 2. Специфика квантовых вычислений
19
терах за экспоненциальное время. Несмотря на гигантские
усилия исследователей во всем мире, никакого другого алгоритма
с такими же свойствами придумать не удалось. Задача (2.1)
для булевой функции / (х\,...,хп), Xj = О, 1, была решена с
помощью квантового алгоритма Гровера. Однако достичь
полиномиальной сложности вычислений не удается. Классический
алгоритм решает эту задачу за Г = 2п шагов (перебор всех х),
а алгоритм Гровера за Г = 2П/2 шагов. Конечно, при п —► оо
выигрыш колоссальный.
Обычно отсутствие квантовых алгоритмов объясняется
сравнительно недолгим периодом исследований, и ожидается, что
в недалеком будущем будут получены многочисленные
квантовые алгоритмы. К сожалению, проходят годы, но эти надежды
не оправдываются. Начинают возникать подозрения, что дело
отнюдь не в научных организационных проблемах и что,
возможно, по своей сути квантовые компьютеры применимы только
к решению специального класса проблем.
Если это действительно так, то проект «квантовые
компьютеры» напоминает проекты создания классических компьютеров,
ориентированных на решение специальных задач. Грубо говоря:
каждой задаче по компьютеру. Это давало возможность резко
уменьшать время вычисления. Причем одним из направлений
этой деятельности было создание компьютеров, в которых
процесс вычислений сводился к работе физических аналоговых
устройств.
Основные блоки квантового компьютера — это тоже
специальные физические устройства, реализующие квантовую
динамику. Напомним, что эволюция квантового состояния
описывается уравнением Шрёдингера. В силу свойств этого уравнения
динамика унитарна, т. е. задается семейством унитарных
операторов Ut (унитарный оператор сохраняет длину вектора-
состояния). Поэтому квантовые вычисления реализуются с
помощью унитарных операторов. Каждая унитарная эволюция
задается с помощью некоторого потенциала U(t,x), входящего
в уравнение Шрёдингера. Поэтому квантовый компьютер состоит
из блоков, реализующих различные физические потенциалы.
Завершается процесс квантового вычисления всегда
процессом измерения (для получения конкретного значения;
например, кандидата на решение уравнения (2.1)). Измерение
(реализующее «коллапс волновой функции») не может быть описано
как непрерывное преобразование состояния квантовой системы.

20
Введение
Уравнение Шрёдингера не описывает процесс измерения.
Измерение описывается неунитарным оператором проекции на один
из собственных векторов оператора А, задающего в квантовом
формализме измеряемую величину.
Это несоответствие между непрерывной унитарной
эволюцией квантового состояния ф(Ь) = ИгФо, решением уравнения
Шрёдингера и скачкообразным изменением состояния ip(s) —*
где 5 — момент измерения, а фк ~ собственный вектор
оператора А, получило в основаниях квантовой механики название
проблемы измерений. Впервые эта проблема была сформулирована
в математических терминах в книге фон Неймана [15]. Конечно,
решение этой проблемы зависит от интерпретации вектора ф
волновой функции.
Как уже отмечалось, в копенгагенской интерпретации ф дает
полное описание состояния индивидуальной квантовой системы,
например электрона. При такой интерпретации возникает
поистине непреодолимая трудность в решении проблемы измерений.
Как объяснить прыжок электрона (за бесконечно малый
промежуток времени) из состояния ф в некоторое собственное
состояние фк? И особенно, каким образом выбирается
фиксированное фк среди бесконечного множества собственных состояний?
Мне хотелось бы надеяться, что исследования в области
квантовых компьютеров могут прояснить некоторые проблемы
в основаниях квантовой механики и, в частности, проблему
измерения.
Теперь мы переходим к центральной проблеме: За счет чего
достигается огромное ускорение вычислений на квантовых
компьютерах}
Стандартный ответ на этот вопрос, который можно найти
в любом учебнике по квантовым компьютерам, — за счет
квантового параллелизма.
Однако объяснения того, что же следует понимать под
квантовым параллелизмом, либо отсутствуют, либо невнятны, либо
вообще фантастичны. Мы попытаемся обсудить эту проблему
в деталях.
Следует начать с принципа суперпозиции. Пусть ф —
некоторое квантовое состояние и А — некоторая наблюдаемая.
В математическом формализме квантовой механики ф
представляется нормированным вектором гильбертова пространства Н —
комплексного линейного пространства, наделенного скалярным
произведением (•,•), см. гл. 3.

§ 2. Специфика квантовых вычислений
21
Наблюдаемая А представляется эрмитовым оператором,
обозначаемым тем же симовлом А, т.е. оператором, симметричным
относительно скалярного произведения:
(Аф,<р) = (ф,А<р). (2.2)
Допустим, что А имеет чисто дискретный невырожденный
спектр, т.е. все его собственные значения Аь ..., Ап,...
различны и собственные векторы ф\у..., фП1..., где Афп = \пфп>
Фп Ф 0, образуют базис в пространстве Я:
ф = с{ф{ +... +Спфп + ..., (2.3)
где Cj = (ф,ф^ £ С. Здесь С — поле комплексных чисел.
В соответствии с копенгагенской интерпретацией, если ф
совпадает с некоторым фп, т. е. с\ = ... = Са-\ = Сп+\ = ... = О,
а Сп = 1, то считается, что А имеет в состоянии ф = фп вполне
определенное значение: А = Хп.
Если же хотя бы два коэффициента в разложении (2.3)
состояния ф по собственному базису {Фп}^=\ не равны нулю, то
считается, что А не имеет никакого определенного значения. Все
значения А = Ai,..., An,... потенциально возможны.
Реализуются эти значения с вероятностями
Р(А = \1) = \с/ = \(ф,<ф1)\2. (2.4)
Эта вероятностная интерпретация ниоткуда не следует. Это
постулат Борна. Борн не мог предложить какого-либо
естественного обоснования этого постулата. Впервые он появился
в работе Борна в виде сноски, причем вместо квадрата
использовалось просто абсолютное значение, которое было заменено на
квадрат при корректуре.
Основным аргументом в пользу постулата Борна является то,
что он работает на практике. Вероятности, полученные с
помощью (2.4), хорошо согласуются с частотными вероятностями,
получаемыми в экспериментах. Если провести большое число
измерений величины А, скажем N измерений, то получим частоты
^(Ал) = ^, (2.5)
где ш(Ап) — число измерений, в которых был получен
результат А = \п. Эти частоты стремятся к вероятностям,
задаваемым (2.4).

22
Введение
Однако в любой физической теории следует различать
возможность применения какой-либо математической формулы и ее
интерпретацию. Копенгагенская интерпретация ведет к
различным парадоксам и порождает весьма мистическое отношение
к квантовой реальности, и даже отказ от реальности как таковой.
Самый известный парадокс — это парадокс шрёдингеровско-
го кота. Как известно, Шрёдингер очень не любил
копенгагенскую интерпретацию и всячески с ней боролся. Он обратил
внимание, что микроскопические системы могут служить
источниками макроскопических следствий. Например, с помощью
усиления можно добиться, чтобы фотон, испускаемый атомом,
при переходе электрона с более высокой на более низкую орбиту,
разбивал ампулу с ядром. В результате состояние кота, сидящего
в коробке с ампулой и атомом, определяется состоянием атома.
Так как атом может находиться в суперпозиции состояний, то
и кот может пребывать в суперпозиции состояний: щ — живой,
(ро — мертвый 0.
Поскольку суперпозиция состояний для индивидуальной
квантовой системы является основой квантового параллелизма,
то все проблемы копенгагенской интерпретации наследуются
теорией квантовых вычислений.
Итак вернемся к фундаментальному свойству квантовых
вычислений — квантовому параллелизму. Поскольку квантовая
система может находиться в суперпозиции нескольких состояний,
то при решении задач по вычислению какой-либо функции f(x)
естественно сначала приготовить состояние, содержащее
суперпозицию всех значений аргумента х, а затем преобразовать это
состояние в суперпозицию всех значений f(x). Каждый шаг
вычислений описывается унитарным оператором. Обозначим через
U/ оператор приготовления суперпозиции значений f(x). Как
отмечает А. С. Холево [9]: «очевидно, что однократное
применение оператора Uj дает состояние, которое в латентной форме
содержит все значения функции / и из которого интересующая
нас информация может быть извлечена посредством квантового
измерения. Такой прием называют квантовым параллелизмом».
') Шрёдингеровский кот появился в результате дискуссии между Шрёдин-
гером и Эйнштейном о проблемах копенгагенской интерпретации. Сначала
Эйнштейн предложил пример с бомбой, которая находится в суперпозиции
двух состояний: не взорвалась 4- взорвалась. Шрёдингер переделал этот
пример в более наглядный — пример с котом.

§ 2. Специфика квантовых вычислений
23
Самое туманное место в этом описании квантового
параллелизма — это содержание всех значений / «в латентной форме».
Вроде бы существование (даже в скрытой форме) должно всегда
означать существование — наличие в действительности. Однако
далее А. С. Холево продолжает: «Важно, однако, подчеркнуть,
что в отличие от параллелизма в классическом компьютере речь
отнюдь не идет об одновременном вычислении всех значений
функции».
Из последнего высказывания следует, что «латентное
существование» вообще не означает никакого существования. А если
никакие значения функции / не были получены в результате
применения эволюции, описываемой С//, то что и откуда мы
извлекаем в результате завершающего измерения? И в чем
тогда параллелизм? Я обсуждал этот вопрос с рядом основателей
квантовых вычислений. Мне наиболее близки взгляды Джоза:
«Квантовый параллелизм — это лишь удобный термин для
использования суперпозиции при квантовых вычислениях.
Никакого реального параллелизма здесь нет».
К сожалению предыдущая дискуссия о квантовом
параллелизме оставляет чувство глубокого неудовлетворения.
Складывается впечатление, что термин «квантовый параллелизм» был
предложен, чтобы хоть как-то прикрыть невозможность какого-
либо объективного объяснения вычислительных преимуществ
квантового компьютера.
Необходимость хоть какого-то объективного обоснования
хорошо понимают создатели квантовых вычислений. И многие из
них (например, Дейч) склоняются к объяснению, которое, хотя
и не так мистично, как копенгагенское, но все же должно быть
отнесено к области научной фантастики. В основе этого
объяснения квантового параллелизма (и преимуществ квантовых
вычислений) лежит так называемая многомировая интерпретация
квантовой механики. В этой интерпретации квантовые
вычисления производятся в параллельных мирах. Поэтому квантовый
параллелизм — это все же классический параллелизм, и все
значения / действительно вычисляются. Однако вычисляются
они в различных мирах. Акт измерения фиксирует мир и
соответствующее значение f{x).
Мы еще раз вернемся к проблеме объективного понимания
квантового параллелизма в гл. 5.
В заключение отметим, что при создании работающих
квантовых компьютеров возникают технологические проблемы огром-

24
Введение
ной сложности. Основная из них — это проблема
неустойчивости. В результате взаимодействия с окружением квантовые
свойства состояния (индуцирующие «квантовый параллелизм»)
исчезают, происходит так называемая декогеренция. Нужно,
чтобы время, требующееся для одного шага квантового вычисления,
было существенно меньше времени, в течение которого
происходит декогеренция.
Заметим, что проблема неустойчивости квантового состояния
очень похожа на проблему неустойчивости плазмы в моделях
термоядерного синтеза. Можно предположить, что проект
создания работающего квантового компьютера не менее сложен, чем
проект по управляемому термоядерному синтезу, и его
реализация займет не меньше времени.
Другая проблема этого проекта — чрезвычайно узкий класс
задач, которые могли бы быть решены с помощью квантовых
компьютеров. По существу, в настоящее время речь идет только
об одном алгоритме — алгоритме Шора. Но, более того, нельзя
забывать о следующем: не доказано, что задача факторизации
в принципе не может быть решена за полиномиальное время
с помощью какого-либо классического алгоритма. Нельзя
исключить возможности, что такой алгоритм существует, но еще не
найден.
Лично у меня есть большие сомнения, что когда-либо будет
создан работающий и решающий «важные народнохозяйственные
задачи» квантовый компьютер. Однако в любом случае работа
над созданием квантовых компьютеров сыграет важную роль
в развитии оснований квантовой механики, а также новых
технологий для работы с микросистемами — нанотехнологий.

Глава 1
КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Нашим отправным пунктом является понимание того, что
квантовая механика — это статистическая теория. Квантовая
механика не может сказать ничего о свойствах индивидуальных
систем. К примеру, на вопрос, когда этот конкретный электрон
испустит фотон и перейдет на новую орбиту в атоме, квантовая
механика не может ответить. Более того, вопросы такого типа
невозможно даже формализовать в квантовой теории. Эта теория
описывает вероятностные свойства огромных ансамблей
квантовых систем, а отнюдь не поведение индивидуальных систем.
Заметим, что такой взгляд на квантовую механику не
является общепринятым. В соответствии с копенгагенской
интерпретацией волновая ф-функция дает наиболее полное описание
индивидуальной квантовой системы. Таким образом, волновая
функция электрона — это представление нормированным
вектором гильбертова пространства состояния одного конкретного
электрона.
Эйнштейн всю свою жизнь был ярым противником такой
интерпретации волновой функции. Поскольку для него квантовая
механика была чисто статистической теорией и ^-функция
давала описание вероятностных свойств огромного ансамбля
физических систем. Интерпретация Эйнштейна получила название ан-
самбль-интерпретации или статистической интерпретации.
Среди сторонников этой интерпретации стоит отметить Шрё-
дингера. Однако позиция Шрёдингера была двоякой. С одной
стороны, он считал копенгагенскую интерпретацию абсурдной.
С другой стороны, в своих письмах к Эйнштейну он писал, что
не может полностью принять ансамбль-интерпретацию, потому
что с ее помощью невозможно объяснить интерференцию
вероятностей.
В любом случае представляется естественным начать книгу
по основаниям квантовой теории информации с краткого
изложения основ классической статистической механики. Для сту-

26
Гл. 1. Классическая статистическая механика
дентов нефизических специальностей этого введения достаточно
для дальнейшего продвижения к квантовой механике. Для
студентов-физиков это приятное повторение пройденного материала.
Как обычно, одной из наших целей является выделение
отличительных особенностей классической механики по сравнению
с квантовой. Однако, в отличие от авторов большинства книг по
основаниям квантовой теории, мы не абсолютизируем эти
различия, а напротив, подчеркиваем аналогию между формализмами.
где т — масса частицы, а — ее ускорение и / — сила,
действующая на частицу. Ньютон ввел понятие непрерывного
пространства, в котором представляется (с помощью непрерывной
траектории) динамика частицы. Конечно, Ньютон еще не смог ввести
на математическом уровне строгости понятие вещественного
континуума. Только к концу 19 века усилиями математиков
была создана классическая модель физического пространства —
декартова произведения трех вещественных прямых R3. В этом
классическом пространстве второй закон Ньютона может быть
записан в следующей форме. Введем обозначения: q= (rr,y, z),
do
где х, у, z — координаты частицы, v = q = -j- — скорость части-
i (XL
dv ~
цы и а = q = — — ее ускорение. Тогда динамика классической
частицы задается траекторией q(t), которая находится как
решение задачи Коши, соответствующей второму закону Ньютона:
mq = /(g),
Как известно из курса обыкновенных дифференциальных
уравнений, если функция / достаточно гладка — удовлетворяет
условию Липшица (в частности, достаточно, чтобы / была
класса С\ один раз дифференцируема и ее производная была
непрерывна), — то задача Коши (1.2) имеет единственное решение.
Это важное свойство классической механики — детерминизм.
Зная состояние частицы, задаваемое парой (qo,vo) в начальный
§ 1. Механика Ньютона
Здесь мы обсудим второй закон Ньютона
та = /,
(ко
(1.2)

§ 2. Гамильтонова механика
27
момент времени t = to, мы можем предсказать ее состояние
в любой последующий момент времени. Обычно детерминизм
рассматривается как характеристическое свойство классической
механики и противопоставляется квантовому индетерминизму.
Следует согласиться, что возможность описывать эволюцию
системы с помощью цепочки состояний, в которой предыдущее
полностью определяет все последующие, — это действительно
важное отличительное свойство широкого класса классических
систем. Однако обычно в физической литературе не обращают
внимания на то, что детерминизм присущ отнюдь не всем
классическим системам! Хорошо известно, что для функций f(q) (поле
сил), которые не удовлетворяют условию Липшица (но
по-прежнему непрерывны), решение задачи Коши (1.2), вообще говоря,
неединственно. В этом случае начальное состояние (qo,vo) не
определяет полностью траекторию движения.
Обратим также внимание на то, что если динамическая
система неустойчива, то малая погрешность в определении
начального состояния zq может повлечь огромное отклонение
траектории. В этом случае детерминизм становится чисто формальным
математическим свойством. Если мы интересуемся (как в
квантовой механике) только результатами измерений, то, измерив
с недостаточно большой точностью начальное состояние, мы
не сможем получить определенных предсказаний о результате
измерения состояния z(t) = в момент времени t.
§ 2. Гамильтонова механика
Как обычно, введем импульс частицы: р = mv = mq.
Рассмотрим фазовое пространство с точками ф = (q,p). Мы неслучайно
выбрали символ ф для обозначения точек фазового пространства.
Аналогия с квантовой механикой будет обсуждаться позднее.
Заметим, что определение импульса можно рассматривать
как (линейное) дифференциальное уравнение:
<2-'>
Напомним, что сила f(q) называется потенциальной, если
существует функция V(q)y заданная на физическом пространстве R3,
такая что ят/
f(q) = (q). (2.2)

28
Гл. 1. Классическая статистическая механика
Таким образом, второй закон Ньютона можно записать в форме
P=-W (2.3)
Введем функцию на фазовом пространстве:
H(q,p) = £i + V(q), (2.4)
это функция Гамильтона. Система уравнений (2.1), (2.2) может
быть записана в форме
q=w p=~w (25)
Можно легко показать, что функция Гамильтона сохраняется
в процессе движения:
H(q(t),p(t)) = H(q0,Po)- (2.6)
Для этого достаточно показать, что ^ W(g(£),p(£)) = 0.
Последнее следует из правила дифференцирования сложной функции
и уравнений Гамильтона (2.5). Этот интеграл движения в физике
имеет смысл энергии.
В гамильтоновом формализме естественным образом
формулируется свойство классической механики, которое естественно
назвать локальностью.
Рассмотрим систему, состоящую из N частиц с
координатами qj и импульсами pj. Функция Гамильтона для системы из N
частиц, движущихся под действием потенциала V(gi,...
имеет вид
^p) = Jt,er + v{qu-'->qN)> (27)
где q = (</i,... ,<j7v). Р = (рь ••• »Рлг)- Система уравнений
Гамильтона, описывающая динамику системы из N частиц, имеет вид
дН . дП /0 оч
V = dFj' Р) = ~дя~- (28)
В потенциале V(q\,... ,qiy) взаимодействие между частицами
описывается членами, содержащими координаты нескольких
частиц, например q\q2, или <71<й9з> или 4\42-4N- Рассмотрим
потенциал, не содержащий членов взаимодействия:
V{qx,..., qN) = Vx (?,) + ... + VN(qN), (2.9)

§ 3. Статистическая механика
29
где Vj — функции класса С1. В этом случае система уравнений
Гамильтона имеет вид
*—& <21о)
Это система из N независимых уравнений.
Итак, гамильтонова механика локальна. При отсутствии
взаимодействий в физическом пространстве частицы движутся
независимо друг от друга.
Отметим, что нелокальной динамике соответствует
следующая парадоксальная (с точки зрения классической физики)
ситуация. Несмотря на отсутствие взаимодействий в физическом
пространстве (даже при полном отсутствии взаимодействий:
V = 0), динамики частиц, тем не менее, зависят друг от друга.
Изменение состояния одной частицы, ipj = приводит
к изменению состояний всех остальных частиц.
При рассмотрении ансамблей, состоящих из огромного
числа М частиц, наличие системы уравнений Гамильтона (2.8)
играет в основном методологическую роль. Конечно, в
принципе можно решить систему Гамильтона для миллионов частиц
и найти миллионы траекторий в фазовом пространстве. Даже
если забыть о вычислительных трудностях, которые становятся
неимоверными, то в принципе неясно, как использовать
информацию о траекториях, как визуализировать эту динамику.
Поэтому было предложено вместо рассмотрения
индивидуальных траекторий рассмотреть вероятность нахождения частиц
в какой-либо области W фазового пространства.
Итак, рассмотрим фазовое пространство R3 х R3 с точками
Ф = (<7>р)- На этом пространстве задается плотность
вероятности: р(д,р) ^0 и ||p(g,p)dgdp= 1. Вероятность обнаружить
частицу в состоянии фу принадлежащем W, вычисляется с
помощью функции плотности
§ 3. Статистическая механика
(3.1)
w

30
Гл. 1. Классическая статистическая механика
Наша задача — найти динамику плотности, p(t,q,p). Эта
динамика задается уравнением Лиувиля:
Здесь {Н,р} — это скобки Пуассона функций на фазовом
пространстве:
Таким образом, если известна начальная плотность вероятностей
Ро(9>р)> то можно (решив уравнение Лиувиля) найти ее в любой
момент времени.
Заметим, что использование вероятностного описания в
классической статистической механике не противоречит
существованию детерминистической динамики для индивидуальных частиц.
§ 4. Область применения классической механики
К концу 19 века сложилось впечатление, что с помощью
классической механики можно описать все физические процессы 0.
Фундаментальные принципы классической механики —
детерминизм и локальность — ни разу не подвергались сомнению, не
было никаких экспериментальных данных, противоречащих этим
принципам. Складывалась изумительно красивая картина
природы. Предыдущее состояние определяло последующие. Изменение
состояния могло произойти лишь в результате воздействия сил.
Для сложных систем, состоящих из подсистем, при отсутствии
взаимодействия между системами изменение состояния одной
системы не могло вызвать изменения состояния других систем.
Впоследствии эти взгляды получили название локального
реализма.
Пофантазируем, как бы выглядел мир в случае нарушения
принципов локального реализма. Особенно интересно рассмот-
1) Забавно, что, когда Макс Планк после окончания гимназии пришел
подавать документы в университет на физический факультет, профессор,
принимавший документы, пытался его отговорить. По его мнению, развитие физики
подошло к концу и было бы глупо погубить свою карьеру. Макс обладал
хорошими музыкальными способностями, и профессор настойчиво советовал
ему избрать музыкальную стезю.
dp{t,q,p)
dt
^ = {«(?.p).p(t.9.p)}.
p{k,q,v) = poOlp)-
(3.2)
(3.3)

§ 4. Область применения классической механики
31
реть нелокальный реализм 0. Итак, здесь все физические
системы движутся по определенным траекториям (детерминистское
движение). Однако вне зависимости от наличия или отсутствия
взаимодействия между ними траектории не являются
независимыми.
Например, одна машина едет по Москве, а другая по Векшё
(городок на юге Швеции). Машина в Москве останавливается
у светофора и немедленно (!!!) машина в Векшё тоже
останавливается. Во всех других отношениях это нормальные реальные
машины. Основная проблема — это мгновенность действия на
расстоянии. Если бы был какой-то интервал времени At между
действиями машин в Москве и в Векшё, то можно было бы легко
объяснить поведение машин. Например, водители
перезваниваются, и водитель в Москве, останавливаясь у светофора, кричит
в телефон: «Тормози!». Однако если At = 0 (а именно так обстоят
дела в бомовской квантовой механике), то возникают проблемы
с пониманием такой нелокальной реальности.
Можно пойти дальше и вообще предположить, что принцип
детерминизма нарушается. Предыдущее состояние не определяет
однозначно последующие. Машина, едущая по Москве, может
с некоторыми вероятностями оказаться и в Киеве, и в Минске,
и вообще в любой точке земного шара (причем в любом случае
начальное состояние будет одно и то же).
Подчеркнем, что детерминизм — это основа описания
действительности с помощью «законов природы». Любой закон
связывает предыдущие состояния систем с последующими. Нет
детерминизма — нет и законов природы2).
Обратим внимание, что детерминизм классической
механики оказал большое влияние на создание философской основы
марксизма-ленинизма — исторического материализма: одна
социально-экономическая система с неизбежностью сменяет другую.
Несомненно также, что и психологический детерминизм 3.
Фрейда возник под влиянием классической механики: детская
сексуальность однозначно определяет психологическое формирование
О Приверженцами такого взгляда на мир были, например, Д. Бом
и Дж. Бэлл (а также почти все сторонники бомовской квантовой механики).
2) Напомним, что копенгагенская интерпретация отрицает возможность
детерминистского описания квантовых систем. Поэтому весьма логично
предположить и полное отсутствие законов природы как таковых. Остается лишь
место для вероятностных закономерностей.

32
Гл. 1. Классическая статистическая механика
личности (и, в частности, последующие неврозы). Замечу, что
в современной критике исторического материализма и фрейдизма
часто используются аргументы квантовой механики.
Важнейшим шагом в развитии классической механики было
создание (локальной) детерминистской модели для
электромагнитного поля. Если задавать состояние поля в момент
времени t вектором ф(Ь,х) = (E(tyx)yB(t,x))y где E(tyx) = (E\{t,х),
E2{tyx)yE3(tyx)) и B(t,x) = (Bl(tyx)yB2(t,x)yB3(t,x)) -
электрическое и магнитное поля, то эволюция состояния также
может быть описана задачей Коши:
^(1,х) = Ь(ф)(1,х)1 iKto,*) = iMx). (4Л>
Здесь L — дифференциальный оператор в частных производных
(относительно -^—ч j = 1,2,3, где х\ = х, х2 = у, хз = z)y соот-
OXj
ветствующий системе уравнений Максвелла. Напомним, что при
отсутствии зарядов уравнения Максвелла имеют вид
jf = VxB, (4.2)
ig~Vx* (4.3)
К этим эволюционным уравнениям добавляются линейные связи
между компонентами электрического и магнитного полей:
(V,jE) = (V,B) = 0. (4.4)
Здесь V = (77—, -тД-, тг—1 — известный набла-оператор, х —
\дх\ 0x2 oxzJ
векторное произведение, с — скорость света.
Заметим, что (4.2), (4.3) — это система уравнений первого
порядка. Если электрическое поле рассматривать как аналог
координаты, «полевая координата» q(x) = Е(х), а магнитное поле
как аналог импульса, «полевый импульс» р(х) = В(х), то система
уравнений Максвелла запишется в форме
q = cV х р, р = —cV х q. (4.5)
Если мы сравним (4.5) с обычной системой Гамильтона (2.5),
то сразу же поймем, что система уравнений Максвелла (в
пространстве без зарядов) есть не что иное, как полевый аналог
уравнений Гамильтона. Выпишем функцию Гамильтона:
W(g,p) = |[(Vxp,p) + (Vx9e9)],

§ 5. Выход за пределы классической статистической механики
33
где для вектор-функций д(х) и f(x) их скалярное произведение
определяется равенством
з
Тогда вариационная производная функционала H(q,p) по полю р
Равна &Н(д.р)
dp
а по полю q
= cV х р,
—ll-i-i = cV х q.
dq
Значит, (4.5) действительно является системой уравнений
Гамильтона на фазовом пространстве полей.
В связи с грядущим изложением квантовой механики
интересно рассмотреть математическую реализацию фазового
пространства для электромагнитного (классического) поля. Энергия
электромагнитного поля должна быть конечна:
Е(ф) = | (Е2(х) + В2(х)) dx < оо.
Таким образом, полевые координата q(x) и импульс р(х)
должны быть интегрируемы в квадрате. Итак, полевое фазовое про-
странство Q = b2X (4 6)
где L>2 обозначает пространство функций, интегрируемых в
квадрате. Известно, что на фазовом пространстве всегда можно
ввести комплексную структуру: ф = q + гр (или, в полевых
обозначениях: ф(х) = Е(х) +гВ{х)). Значит, фазовое
пространство классического электромагнитного поля можно представить
как пространство комплекснозначных суммируемых в квадрате
функций, ср. с формализмом квантовой механики.
§ 5. Выход за пределы классической
статистической механики
Как известно, первые шаги квантовой механики были робки
и неосознанны. Ни о каком изменении философских оснований
современной науки или создании принципиально нового
математического описания природы и речи не шло. Все началось
с графика, на котором был всплеск, который никак не удавалось
2 А. Ю. Хренников

34
Гл. 1. Классическая статистическая механика
объяснить в рамках классической статистической механики. Это
экспериментальный график излучения абсолютно черного тела.
Планк показал, что всплеск можно получить (в рамках
классической статистической механики!!!), если считать, что энергия не
непрерывна, а дискретна. Чисто формально энергетическое
пространство было разбито на ячейки. Величина ячейки зависела от
частоты колебаний электромагнитного поля. Зависимость
предполагалась линейной. Возникал некоторый коэффициент
пропорциональности: А „ /р. вч
AEl/ = hv. (5.1)
Этот коэффициент h был впоследствии назван постоянной
Планка. Так как частота v имеет размерность ~—, то h имеет
размерность «энергия х время». Это размерность
(классической) физической величины — действия. Позднее h была
измерена с большой точностью:
Л « 6,626069 3(11) х КГ34 Дж-с. (5.2)
Разбиение энергетического пространства на маленькие ячейки
и формирование сумм по ячейкам напоминают процедуру
вычисления интеграла Римана. Существует даже мнение, будто
Макс Планк совершил свое открытие, поскольку он не знал,
что нужно перейти к пределу, когда размер ячейки стремится
к нулю. Заметим, что прием дискретизации не был чем-то
совершенно оригинальным в классической статистической механике.
Больцман постоянно использовал дискретизацию е, 2е,..., пе,...
Может быть, именно поэтому работа Планка была встречена
очень тепло, так как никто не рассматривал введение параметра
дискретизации как подрыв основ классической физики. Похоже,
что такую же позицию занимал и сам Макс Планк. Параметр h
перестал быть просто параметром дискретизации и наполнился
реальным содержанием только после работы Эйнштейна, 1905 г.,
в которой утверждалось, что передача электромагнитной энергии
может происходить только порциями. Для частоты v размер
минимальной порции равен hv. Заметим, что таких слов, как
«квант энергии», тогда не употреблялось. В принципе
передача энергии порциями определенного размера отнюдь не влечет
представления о «квантованной энергии». Энергия вполне может
быть непрерывной, но передаваться порциями 0.
') Рассмотрим нейрон в мозге. Нейроны также обмениваются дискретными
электрическими импульсами. Однако вся картина чисто классическая.

§ 5. Выход за пределы классической статистической механики
35
В настоящее время Эйнштейну часто приписывается идея
о корпускуле света — фотоне. Однако Эйнштейн никогда не
рассматривал фотон как частицу. Для него фотон был порцией
передачи энергии и не более.
Итак, передача энергии дискретными порциями объясняет
экспериментальные данные об излучении абсолютно черного
тела (а также и фотоэффект) и отнюдь не противоречит
классической механике. Было бы естественно найти соответствующую
конкретную модель.
Напомним, что энергия, функция Гамильтона, сохраняет
постоянное значение на траекториях в фазовом пространстве.
Допустим, что имеются какие-то дополнительные связи, которые
запрещают системе двигаться по произвольной траектории,
причем остается лишь дискретное множество «разрешенных
траекторий» 7i,... ,7лг,... Энергия постоянна на каждой из этих
траекторий. Получаем систему с дискретными уровнями энергии:
Е\ = £"(71),...,En = E(jn),... Дискретность обмена
энергией фотонообразными порциями является следствием дискретной
структуры множества орбит. С помощью такой схемы объяснял
дискретный обмен энергией Нильс Бор, в частности в модели
атома Бора. Разрешенные орбиты получались из специальной
системы связей, «условия квантования». Основная проблема этого
подхода была в том, что условия квантования орбит не имели
естественного объяснения в формализме классической механики.
Они подгонялись под наблюдаемые спектры излучения.
В заключение напомним условие квантования Бора-Зоммер-
фельда:
opdq = nh. (5.3)
Это условие может трактоваться как связь, выделяющая
разрешенные орбиты. Условие Бора-Зоммерфельда является
обобщением условия Бора квантования момента вращения:
L = nh = п т^-, (5.4)
где п — 1,2,3,... — так называемые главные квантовые числа.
Модель атома Бора, основанная на правиле селекции орбит,
допускала только круговые орбиты, рассмотрение более общего
правила селекции дало возможность рассмотреть эллиптические
орбиты.
2*

36
Гл. I. Классическая статистическая механика
Заметим, что в учебниках по квантовой механике обычно
подчеркивается примитивизм моделей Бора и Бора-Зоммерфель-
да по сравнению с современной квантовой механикой. Я более
осторожен в оценке преимуществ современной квантовой
модели. По-существу, создание квантовой механики отнюдь не
явилось решением проблемы, исследовавшейся Бором, Зоммерфель-
дом и многими другими. Создание квантовой механики — это
был уход от проблемы создания детерминистского описания
микромира. Вместо этого было предложено формальное
вероятностное описание. По-существу, была сразу создана «статистическая
механика». Более того, позднее возникла точка зрения, в силу
которой за этим подобием статистической механики не стоит
никакой реальной гамильтоновой механики.
Итак, великая проблема, сформулированная в начале 20 века,
по-прежнему не решена. Следовательно, любые попытки
продвижения в духе ранней квантовой механики необычайно
интересны. Например, недавно мы вместе с моим аспирантом Ярославом
Воловичем предложили простую классическую модель,
воспроизводящую дискретные спектры квантовой механики, [166, 167,
185, 207]. Единственное новое предположение — это
дискретность времени, т. е. существование неделимого кванта времени т,
ср. с введением кванта действия h. Другая предквантовая
классическая модель предложена в [197], см. гл.6. В этой модели
платой за детерминизм является бесконечная размерность
фазового пространства.

Глава 2
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Наиболее естественным продолжением исследований по
модификации классической статистической механики, см. § 5
предыдущей главы, является волновая механика Шрёдингера.
Поэтому мы начнем изложение квантового формализма
с уравнения Шрёдингера, что, в общем-то, не соответствует
стандартному изложению квантовой механики, при котором
основное внимание уделяется некоммутативному операторному
представлению наблюдаемых в формализме Гейзенберга-
Дирака-фон Неймана.
Рассмотрение уравнения Шрёдингера предваряется
дискуссией о границах применения гамильтонова формализма в
классической физике. В частности, обсуждается броуновское
движение, а также стохастическое уравнение как обобщение описания
физических процессов, основанного на обыкновенных
дифференциальных уравнениях (механики Ньютона и Гамильтона).
Цель этой дискуссии — показать, что детерминизм Ньютона-
Гамильтона — начальное состояние (<7о>Ро) полностью
определяет траекторию — нарушается уже в классической физике.
Простейший процесс, броуновское движение, имеет недиффе-
ренцируемые траектории. И, следовательно, скорость, вообще
говоря, не определена. Поэтому чисто детерминистская модель
в фазовом пространстве неприменима.
Эти предварительные рассуждения показывают, что
механика Шрёдингера может в принципе (при желании)
рассматриваться как естественное развитие теории броуновского движения.
§ 1. Броуновское движение
Рассмотрим плотность распределения частиц p(ttq,p) на
фазовом пространстве. Проинтегрировав ее по импульсам,
получаем плотность распределения частиц в конфигурационном

38
Гл. 2. Квантовая механика
пространстве:
= } p(tq,p)dp. (1.1)
R3
С помощью плотности p(t, q) можно описать более общий класс
задач, чем с помощью распределения p{t,q,p) на фазовом
пространстве. Плотность p(t,q) может быть определена, даже если
не определена p{t,q,p). В последнем случае, конечно, (1.1) не
имеет смысла и p{t,q) определяется как плотность вероятности
обнаружить частицу в некотором объеме пространства R3:
P(q(t)eW)= \p(t9q)dq. (1.2)
w
Например, такая ситуация возникает, если импульсы p(t)
являются обобщенными функциями времени t. Здесь нельзя
определить значение p(to) для конкретного момента времени to-
Поэтому бессмысленно пытаться рассмотреть распределение
p(t,q,p) на фазовом пространстве. В то же время, если
траектории частиц q(t) являются непрерывными функциями времени,
то распределение на конфигурационном пространстве вполне
определено. Возникает задача нахождения уравнения (которое
должно будет заменить уравнения Лиувиля), описывающего
эволюцию распределения p(t,q).
Простейшим примером классической динамики с такими
свойствами являются броуновское движение и более общие
диффузионные процессы. При броуновском движении в результате
столкновений траектория частицы меняется негладким, но, тем
не менее, непрерывным образом. Кусок движения по отрезку
прямой, затем столкновение в момент времени т, прямолинейное
движение в другом направлении и т. д. Получаются ломаные
траектории q(t)\ в момент г траектория q(t) недифференцируема,
и скорость v(t) = q(t) просто не определена. Тем не менее для
броуновского движения можно получить динамику плотности
вероятностей p(t,q):
p(t,q) = -yLre-Ъ (1.3)
(мы ограничились одномерным случаем). Я не исследовал в
деталях историю вопроса. В связи с решением этой задачи следует
в первую очередь отметить имена Эйнштейна, Смолуховского,
Башилье. Из явной формулы (1.3) легко получить дифферен-

§ 1. Броуновское движение
39
циальное уравнение для плотности p{t,q) распределения
броуновских частиц:
Это хорошо известное в физике уравнение Фокера-Планка.
Задача Коши поставлена корректно, т.е. для каждой плотности
Ро(я) существует единственное решение (мы не обсуждаем, в
каком классе функций). Заметим, что описание динамики
плотности вероятностей уравнением (1.4) отнюдь не повлекло
отрицания существования траектории броуновской частицы.
Для более общих диффузионных процессов уравнения для
плотности p(t,q) было получено Андреем Николаевичем
Колмогоровым и получило название прямого уравнения Колмогорова.
Можно ли написать какое-либо эволюционное уравнение не
только для плотности вероятностей, но и для траекторий? Да, но
это уже не будет обыкновенное дифференциальное уравнение.
Возникает так называемое стохастическое дифференциальное
уравнение. Для общего диффузионного процесса оно имеет вид
где a(t, q) и b(t, q) — коэффициенты переноса и диффузии
соответственно. Здесь w(t) обозначает винеровский случайный
процесс. Это функция не только времени, но и случайного
параметра и: w(t,u). Задавая а;, мы определяем траекторию w(t,u)
движения (например, броуновской частицы). Следовательно, и
решение q(t) также определяется cj, и, конечно, начальным условием,
которое является случайной величиной:
Итак, получаем
g(M) = lg(M).
(1.4)
p(k,q) = Po(g)-
dq{t) = a(t, q(t)) dt + b{t, q{t)) dw(t),
(1-5)
q(t0,uj) = q0(u>).
(1-6)

40
Гл. 2. Квантовая механика
Эта случайная величина имеет распределение ро- Можно
показать, что почти все траектории винеровского процесса w{t,u)
недифференцируемы:
Р(и: w(tyu>) дифференцируема) = 0. (1.7)
Поэтому дифференциал dw(t,u) не существует в обычном
смысле. Уравнение (1.5) имеет смысл лишь как интегральное
уравнение:
S 5
q(s, и) = q0{u) + | a(i, q(t, u))dt+\ b(t, q(t, u)) dw{t, u) (1.8)
(т.е. уравнение (1.5) — это лишь символическая запись
интегрального уравнения). Можно показать, что почти все
траектории винеровского процесса w(t,u) непрерывны:
Р(и: w(t,u) непрерывна) = 1. (1.9)
Естественно искать непрерывные по t траектории q(tyu) (для
почти всех и). Поэтому (для непрерывного коэффициента a{tyq))
первый интеграл можно понимать как обычный интеграл Ри-
мана. Второй интеграл — это стохастический интеграл Ито.
Он определяется следующим образом. Рассматриваются суммы
(так же как и в интеграле Римана-Стилтьеса):
N
ЕлгМ = ^z{tk,u)(w{tk+{l(jj) - w(tk,u)). (1.10)
k=0
Здесь z(t,u) = b(t,g(£,u;)), a to < t\ < ... < = s — разбиение
интервала [£o,s]. Как и при определении интеграла Римана-
Стилтьеса, следует рассмотреть предел, когда размер разбиения
Д = max Atk —* 0 (N оо). Однако добиться сходимости сумм
k S
Eyv(^) к пределу, который и будет обозначаться | z(t,w)dw(t,u),
to
нельзя, если рассматривать сходимость для каждого и (или
даже почти всех ш). Тем не менее суммы ЕлК^) имеют предел
(как случайные величины) в среднем квадратичном. Это и есть
стохастический интеграл.
Итак, имеется целый класс классических физических
процессов, для которых естественно описывается динамика плотности
на конфигурационном пространстве R3, а не на фазовом
пространстве R3 х R3. Траектории описываются с помощью стоха-

§ 2. Уравнение Шрёдингера
41
стических дифференциальных уравнений. Таким образом, хотя
гамильтонова механика уже неприменима, классическое
описание с помощью траекторий по-прежнему возможно. Конечно,
траектория q(t,u) зависит от случайного параметра и и знание
qo(u) не определяет траекторию однозначно. Таким образом,
детерминизма в классическом его понимании уже нет. Имеет место
лишь весьма ослабленный (стохастический) детерминизм:
знание и задает траекторию. Можно сказать, что стохастичность —
это следствие нашего незнания.
Итак, при исследовании броуновского движения сначала
была описана динамика плотности p(t,q). Здесь P(q(t) € W) =
p(t,q)dq дает вероятность обнаружить частицу в
области W конфигурационного пространства. Значительно позднее
была развита теория случайных процессов, описывающая
траектории q(t). Напомним, что Колмогоров создал аксиоматику
теории вероятностей только в 30-е годы, а стохастический интеграл
был введен Ито в 40-е годы.
В начале прошлого века возникла задача описания динамики
микроскопических частиц, электронов, протонов, нейтронов, ...
Было естественно предположить, что их динамика уж никак не
может быть проще, чем динамика броуновской частицы. Если
броуновскую частицу так швыряет от столкновений, что ее
импульс не определен в классическом смысле, то уж «квантовые
частицы» должно швырять из стороны в сторону не меньше.
Причем, в силу их микроскопических размеров, сталкиваться
они могут не только друг с другом, но и с полями, например
с электромагнитным полем. При этом, очевидно, что вакуум,
как абсолютная пустота (имеющая нулевую температуру)
является просто математической абстракцией. Всегда присутствует
какое-то фоновое электромагнитное излучение. Нельзя
исключить, что имеются и другие классические поля, но столь малой
мощности, что их наличие мы можем обнаружить только по
воздействию на микрочастицы.
Поэтому естественно предположить, что электрон, так же как
и броуновская частица, имеет недифференцируемые траектории.
Следует искать плотность распределения p(t,q) не на фазовом,
а на конфигурационном пространстве. С помощью p(t, q) мы
§ 2. Уравнение Шрёдингера
w

42
Гл. 2. Квантовая механика
можем вычислить вероятность обнаружить электрон в некоторой
области W. Для бесконечно малого объема dq эта вероятность
равна
P{t,q) = p(t,q)dq. (2.1)
При этом задачу описания траекторий электрона (конечно, с
помощью случайных процессов) можно было оставить на будущее.
Таким образом, можно интерпретировать механику Шрёдингера.
Он нашел динамику p(t,q) для микрочастиц. Единственный трюк
состоял в том, что плотность распределения p(t,q) должна была
представляться в виде
P{t,q) = m,q)\\ (2.2)
где il){t,q) — некоторая комплекснозначная функция, а именно
волновая функция. Это знаменитое правило Борна. И уравнение
было получено не для p(t,q), а для ^{t,q):
i% ^ {t, q) = q) + V(t, д)ф{Ь, q), (2.3)
где m — масса частицы, a V(t,q) — потенциал. Это уравнение
Шрёдингера. Здесь
(2.4)
— оператор Лапласа. Дополняя (2.3) начальным условием
1>{к*я) = Мя)* (2.5)
получаем задачу Коши. Важно, что задача Коши (2.3), (2.4)
корректна. Следовательно, задавая волновую функцию в начальный
момент времени to (а значит, и начальное распределение
микрочастиц po(q) = \Фо{я)\2), мы можем найти однозначно r/j(t,q)
в любой момент времени t, а значит и распределение частиц
p(t,q), см. (2.2).
Основное отличие от описания броуновского движения с
помощью прямого уравнения Колмогорова (в частности, Фокера-
Планка) состоит в том, что начальное распределение
вероятностей po(q) само по себе не определяет p(t,q). Комплексная
амплитуда ip(t, q) может быть представлена в виде
#,<г) = \Ш^м, (2.6)

§ 2. Уравнение Шрёдингера
43
где S(t,q) — аргумент комплексного числа t/>(£, <?), фаза волновой
функции. В частности, чтобы задать фо{я)у мы должны знать не
только po(q), но и начальное распределение фаз So(q).
Возникает вопрос: можно ли построить случайный процесс
q(t,u), реализующий траектории микрочастиц, для которого
плотность вероятности p(t,q) будет вычисляться по
правилу (2.2)?
В 20-е годы сама формулировка этой проблемы вызывала
затруднения, так как теория случайных процессов была еще
в зародышевом состоянии. Поэтому проблема существования
динамики траекторий рассматривалась в формулировке фазового
пространства. Бомовскую механику проморгали каким-то
образом и пришли к копенгагенской интерпретации, в силу которой
уравнение Шрёдингера, в отличие от уравнения Колмогорова,
не может быть основано на какой-либо динамике для
траекторий (ни в фазовом, ни в конфигурационном пространствах).
Микрочастицы не имеют никаких траекторий в физическом
пространстве. Формула (2.2), вероятностный постулат Борна, дает
отнюдь не вероятность того, что частица находится в точке
q € R3. На самом деле это вероятность обнаружить частицу
в этой точке в результате измерения ее координаты. С одной
стороны, частицы существуют, так как мы собираемся производить
измерения над ними 1). С другой стороны, при копенгагенской
интерпретации частицы сами по себе не имеют даже координаты
в физическом пространстве R3.
Следует отметить, что в первоначальной интерпретации
Шрёдингера эта проблема не возникала. Интерпретация волновой
функции ip(q) как плотности вероятностей возникла позднее.
Фактически она была навязана Шрёдингеру. Вначале он
рассматривал ip(t,q) как настоящую физическую волну, причем
p(t,q) = \^(t,q)\2 интерпретировалось (для электрона) как
плотность заряда.
Итак, для Шрёдингера «квантовая механика» была волновой
теорией, которая шла на замену классической корпускулярной
теории:
«Основная идея волновой механики в следующем. Явление,
которому классическая механика, казалось, дала адекватное
х) Читая Бора, понимаешь, что он отнюдь не отрицал существования
атомов, электронов, ...

44
Гл. 2. Квантовая механика
описание тем, что изображала движение материальной
точки, т.е. рассматривала ее координаты х, у, z как функцию
времени, — это явление по новым представлениям должно
быть изображено некоторым волновым движением,
составляющимся из волн только что описанного вида, т.е.
определенной частоты и скорости (и, следовательно, определенной
длины волны)... Математически волновое движение
изображается не конечным числом функций одной переменной t,
а так сказать, непрерывным многообразием таких функций,
т.е. одной функцией (или, возможно, несколькими функциями
от х, у, z и t). Эти функции удовлетворяют
дифференциальному уравнению с частными производными типа волнового
уравнения», см. [16, с. 105-106].
Вернемся теперь к поставленному выше вопросу о
возможности описать динамику траекторий, например электрона,
при стандартной (борновской) интерпретации волновой функции:
p(t,q) = \ip(t,q)\2 — плотность вероятности. Заметим, что в
рамках такой модели мы бы могли говорить о вероятности того, что
частица находится в точке q € R3, а не только обнаружена.
Молодой читатель должен быть удивлен, сколь глубоко
могут заблуждаться даже выдающиеся умы. Вопреки идеям Бора,
Гейзенберга, фон Неймана, Дирака, Фока, Ландау, такая модель
была построена в 60-е годы Эдвардом Нельсоном [244] и
получила название стохастической механики Нельсона. Он показал, что
для «квантовой частицы» можно построить случайный процесс
q{t,uj), описывающий движение частицы, как решение
стохастического дифференциального уравнения. Картина движения очень
интуитивна. Маленькая частица движется в случайной среде
(поле). Взаимодействие со средой создает весьма сложные
траектории. Но плотность вероятности p(t,q) может быть
представлена в виде p(t,q) — \^{t,q)\2, где комплекснозначная функция
i/i(t,q) удовлетворяет уравнению Шрёдингера, см. также [84]
и о стохастической электродинамике [78, 90-94].
§ 3. Квантовая нелокальность
Обычно так называемая квантовая нелокальность
рассматривается в рамках нарушения неравенства Бэлла. Мы отметим,
что неравенство Бэлла дало лишь возможность сформулировать
проблему нелокальности в рамках копенгагенского подхода. Дей-

§ 3. Квантовая нелокальность
45
ствительно, при интерпретации, отрицающей саму возможность
описания с помощью траекторий в физическом пространстве,
нелегко даже говорить о локальности или нелокальности
квантовой механики. Только весьма странная связь нарушения
неравенства Бэлла с действием на расстоянии дала возможность
обсуждать эту проблему в подходе, где разрешено говорить только
о результатах измерений.
Я не уверен, что Бор и Гейзенберг были бы сторонниками
современной нелокальной копенгагенской интерпретации. Для
них квантовая механика означала отказ от попыток описать
квантовые явления в физическом пространстве. Неоднократно
подчеркивалось, что нельзя рассматривать электрон как частицу,
движущуюся по орбите в R3. При такой интерпретации
бессмысленно говорить о локальности или нелокальности квантовых
явлений.
Возможно, лишь немногим известно, что в своей первой
формулировке принципа дополнительности Бор писал лишь
о несовместимости волновой картины с описанием, основанным
на траекториях в R3.
Первым, кто обратил внимание на то, что имеет место
квантовая нелокальность, был Шрёдингер.
Рассмотрим уравнение Шрёдингера для сложной системы,
состоящей из двух подсистем, например электрон и протон.
Волновая функция этой сложной системы зависит от координат обеих
подсистем: ф = ф(х\,у\,z\,x2,y2jz2) и удовлетворяет уравнению
Шрёдингера:
%h ^ (£, х\, у\, z\, х2, У2> z2) =
2т, \дх2{ ду] dz\) 2т2 \дх22 ду\ dz\)
+ V(t,xuy\,zi,x2ly2lz2)
Начальное условие задачи Коши:
ф = ^(t0,Zi,yi,2bX2,i/2.22) = ^о0&1.1/Ь *Ь У2^2). (3.2)
Даже если потенциал V = О, для
У1, ZbX2,2/2>22)- (З-1)

46
Гл. 2. Квантовая механика
мы не можем расщепить уравнение Шрёдингера для сложной
системы на пару независимых уравнений.
Конечно, если -00 факторизуется, то задача Коши (3.1), (3.2)
эквивалентна задаче Коши на R3 для систем:
Действительно, если мы возьмем решения уравнений (3.3)
и (3.4), ф\(х,у,г) и ip2{xiViz)i и составим из них функцию
ф(х\,у\,г\,х2,У2,22) = *P\{x\,y\,zi)ip2(x2>y2,z2), то она будет
решением уравнения Шрёдингера (3.1) (для V = 0) и факторизо-
ванного начального условия фо, составленного из (ро и g0. Однако
начальные условия в задаче Коши (3.1), (3.2) не ограничиваются
факторизованными начальными условиями. Возьмем, например,
начальное условие
Фо(х\,У\9гиХ2,У2,22) = <Po(xi,yuZ\)gQ(x2,y2,z2) +
+ ёо(х\. У\. *1 )<А)(*2> 2/2 > z2). (3.6)
Тогда, несмотря на отсутствие взаимодействия, V = 0, динамика
сложной системы не распадается в две независимые динамики.
При желании это свойство волновой функции можно
трактовать как нелокальность.
Для волновой .теории Шрёдингера это была сложная
проблема. Для сложной системы «физическую волну» невозможно
определить на «физическом пространстве» R3. Шрёдингер не
справился с этой проблемой и, по существу, сдался. Напомним,
что для Шрёдингера физическое пространство было свято. Более
того, он (весьма наивно) отождествлял физическое пространство
с его специфической математической моделью R3. Поэтому для
него было легче отказаться от реальности квантовых волн, чем
от реальности модели R3.
С тех пор прошло много времени. Были, например,
рассмотрены многомерные модели в теории струн. Реальность струны
в R26 [118] ничуть не лучше и не хуже, чем реальность
квантовой волны, определенной на R6. Более того, возникло и успешно
(3.3)
(3.4)
(3.5)

§ 3. Квантовая нелокальность
47
применяется так называемое суперпространство, см. детальное
математическое изложение в [13]. В суперпространстве
координаты вообще принадлежат суперкоммутативной банаховой
супералгебре. Заметим, что, каким бы странным это ни казалось,
наиболее простая математическая модель получается для
бесконечномерной супералгебры, см. [13]. В заключение мы лишь
отметим, что даже использование вещественных чисел может
быть поставлено под вопрос, см. [289, 290, 11] о р-адических
моделях.
Заметим, что если не придавать волновой функции
физического смысла, а использовать лишь вероятностную
интерпретацию Борна для квадрата ее модуля, то проблема нелокальности
встает не так остро. Рассмотрим плотность, соответствующую
волновой функции:
Ро(яьУь21,£2.</2,22) = \lllo(xi>y\,Zi,X2,y2,z2)\2 =
= \<Ро(х\. i/l *1)g(y(x2, j/2, Z2) + g0{x{, ух, Z{ )(fo(x2, j/2. z2)\2 • (3.7)
Конечно, мы не можем ее факторизовать, т. е. представить в виде
Р0(Х\, j/1, z\, х2, У2. z2) = Ро(х1 • 1/1» Z\)Ро(х2, 2/2. z2). <3'8)
Однако с вероятностной точки зрения ничего страшного в этом
нет. Невозможность факторизации означает просто, что
случайные величины £о(и;) € R3 и £q(u>) Е R3, соответствующие
статистическим ансамблям подсистем, были зависимы.
Неудивительно, что такая зависимость в начальный момент времени
повлечет зависимость в процессе эволюции, т. е. случайные
процессы £x(t,u) и £2(t,u), вообще говоря, зависимы, и плотность
вероятности ро(£,х\,уьz\,Х2,У2,z2) не факторизуется.
Пусть, например, начальное распределение вероятностей ро
было гауссовским:
Р0(и)= , 1 е"*(Д"'ц'ц), (3.9)
v/(27r)6det5
где и = (х\,у\, z\,x2,y2, z2), а В — (6 х 6)-матрица, обратимая
и положительная. Здесь
(и, v) — ^2 ujyj (3.10)
э
— скалярное произведение. Если матрица В не имеет блочной

§ 4. Различные интерпретации волновой функции 49
х) В одном из писем Шрёдингер писал Эйнштейну, что если интерференция
вероятностей будет объяснена с помощью ансамбль-интерпретации, то он сразу
же станет ее сторонником.
лью классической статистической механики, см. наши
рассмотрения в §§1-2 этой главы. Волновая функция i/>(t,q)
приобретает физический смысл лишь через плотность вероятностей
p(t,q) = |^(£,g)|2. Здесь p(tyq) — вероятность того, что,
например, электрон находится в точке q € R3. В этом подходе
квантовая механика не является окончательной теорией
процессов в микромире. Как писали Эйнштейн, Подольский и Розен,
она неполна и может быть дополнена теорией, описывающей
траектории квантовых систем (например, в духе стохастической
механики Нельсона).
При ансамбль-интерпретации проблем с нелокальностью не
возникает. Основной проблемой этой интерпретации была
интерференция, которую не удавалось объяснить в рамках
классической статистической механики. В квантовой механике
интерференция проявляется в форме интерференции вероятностей.
Поскольку интерференция вероятностей не появлялась в колмо-
горовской модели и других классических моделях теории
вероятностей, а статистическая механика основана на классической
теории вероятностей, то считалось, что классическое
статистическое описание неприменимо к интерференции вероятностей 0.
Совсем недавно интерференцию вероятностей удалось
получить в рамках классической теории вероятностей [13, 172,
173], см. гл.9. Чисто корпускулярные системы, взаимодействуя
с различными комплексами физических условий (физическими
контекстами), могут производить интерференцию. Кстати, при
этом совершенно неважен размер объектов, важен лишь
характер их взаимодействия с физическими контекстами.
Другой проблемой ансамбль-интерпретации (так же как и
копенгагенской), если отвергать нелокальность, является
нарушение неравенства Бэлла. Однако эта проблема была решена в
работах автора [10, 154-158], см. гл.5.
Таким образом, вопрос о сводимости квантовой механики
к классической статистической механике по-прежнему открыт.
Имеются по крайней мере две классические предквантовые
модели. Стохастическая механика Нельсона (вероятностное описание
в конфигурационном пространстве, случайные траектории) и
механика Бома (детерминистская модель в фазовом пространстве).

48
Гл. 2. Квантовая механика
структуры вида
В =
где В\, В2 — (3 х 3)-матрицы, то ро(и) не факторизуется. Это
просто означает, что имеются нетривиальные корреляции между
гауссовыми случайными величинами. Неудивительно, что эти
корреляции могут сохраняться и в процессе эволюции.
§ 4. Различные интерпретации волновой функции
Волновая функция ф(Ь, q) похожа на волшебную палочку,
которая свалилась на физиков неизвестно откуда. Они ею успешно
пользуются уже сто лет, не имея ни малейшего представления об
ее устройстве 0. Имеются различные домыслы (интерпретации)
о смысле волновой функции.
А). Волновая интерпретация. Следуя Шрёдингеру, ф
рассматривается как физическая волна. Одна из проблем этой
интерпретации — это нелокальность. Волна для сложной системы
«живет» в многомерном пространстве, а не в R3.
Б). Копенгагенская интерпретация. Следуя Бору, Гейзенбер-
гу, Паули, Фоку, Ландау и большинству работающих в квантовой
физике, будем считать, что ф дает наиболее полное описание
состояния квантовой системы. При этом не предполагается, что
«система» — это волна. Но и не предполагается, что «система» —
это частица.
Как уже отмечалось, прямых проблем с нелокальностью
здесь не возникает, так как с самого начала и не
предполагается, что система, например электрон, движется в физическом
пространстве R3.
Квантовая механика не описывает природу как она есть сама
по себе. Они описывает лишь результаты наших измерений.
В). Ансамбль-интерпретация. Следуя Эйнштейну, Ланде,
Маргенаи, Баллентайну, см., например, [44-46, 226, 227],
считается, что квантовая механика является специальной моде-
0 Ситуация выглядит еще более романтично, если вспомнить, при каких
обстоятельствах Шрёдингер получил свое уравнение. Неизвестная женщина
(кто была она, так и не удалось выяснить историкам квантовой механики)
пригласила его в горы покататься на лыжах. Там в избушке, среди заснеженных
гор, он написал свое уравнение. После этого его добрая фея исчезла, и больше
ее никто не видел.
(Bl °1
U в2 '

50
Гл. 2. Квантовая механика
Заметим, что обе эти модели нелокальны. Может ли быть
открытие квантовой механики лишь открытием нелокальной
модификацией классической статистической механики? Так, например,
считали Бом и Бэлл 0.
Заметим, что поскольку мы не знаем, как предквантовая
классическая статистическая модель связана с квантовой
(правда, большинство даже не верит в существование первой), то
нельзя заранее предполагать, что предквантовое
конфигурационное пространство должно совпадать с R3. Обозначим это
гипотетическое предквантовое пространство через Л. Элементы А £ Л
получили название скрытых параметров. Последние 80 лет
ознаменовались ожесточенными спорами о существовании
скрытых параметров, см., например, [22, 23] о недавних дебатах.
Эти дебаты играют фундаментальную роль в развитии теории
квантовой информации. Если предположить, что скрытые
параметры существуют и все сводится к классической статистической
механике, то декларации о необычайных преимуществах
квантовых информационных систем повисают в воздухе. Либо они
вообще неверны, либо нужны более веские обоснования, а не
просто ссылки на то, что все мистично и необычно в квантовой
механике (при копенгагенской интерпретации).
Некоторые авторы, например Баллентайн, используют термин
статистическая интерпретация вместо
ансамбль-интерпретация. Здесь возможна путаница, так как сторонники
копенгагенской интерпретации под статистической интерпретацией
понимают борновскую интерпретацию волновой функции. Однако
источником вероятности они считают не классическую
изменчивость свойств внутри большого ансамбля систем частиц, а так
называемую квантовую случайность, см. фон Нейман [15],
присущую индивидуальной квантовой системе. При этом
подчеркивается, что квантовая случайность является «настоящей»,
т.е., в отличие от классической случайности, она не сводится
к ансамбль-случайности.
Для копенгагенца правило Борна относится не к ансамблю
электронов, а к одному электрону (имеющему волновую функ-
1) Джон Бэлл считал, что именно это он и доказал с помощью своего
неравенства. Легко понять возмущение его и других членов бомовского
сообщества, когда они увидели, что большинство отнюдь не признало эту позицию
Более того, неравенство Бэлла используется как один из аргументов против
ансамбль-интерпретации.

§ 4. Различные интерпретации волновой функции
51
цию il)(t,q)). Ситуация еще более запутывается тем, что копенга-
генцы признают, что эта индивидуальная квантовая случайность
в эксперименте может проявиться только с помощью измерений
для большого ансамбля частиц, т. е. так же, как и при ансамбль-
интерпретации, см. фон Нейман [15]. Однако копенгагенцы ни
в коем случае не откажутся от индивидуальной случайности
квантовых систем, а сторонники классической статистической
механики никогда не согласятся признать, что вероятность
может быть присуща одной частице, а не их ансамблю 0.
Г). Теория ведущей волны де Бройля-Бома (современный
вариант известен как бомовская механика). Де Бройль
предложил скомбинировать ансамбль-интерпретацию (в духе
Эйнштейна) и волновую интерпретацию в духе Шрёдингера (де Бройль
связал с каждой частицей волну еще до вывода уравнения
Шрёдингера).
Представим себе мячик, несущийся по морю на гребне волны.
Это и есть образ, например, электрона, несущегося на гребне
волновой функции. В бомовской механике волновая функция
удовлетворяет уравнению Шрёдингера, а траектория частицы —
второму закону Ньютона. Однако возникает новая сила,
квантовая сила. Она индуцируется ведущей волной.
Де Бройль мечтал получить одно уравнение, в котором
решение состояло бы из двух частей: гладкая часть описывает волну,
а сингулярная — частицу. Он понимал, что линейное уравнение
Шрёдингера должно быть заменено на некоторое нелинейное
уравнение. Де Бройль не преуспел в реализации этой
программы. Поэтому впоследствии он радостно принял бомовскую
механику2). С другой стороны, Эйнштейн, который тоже до
х) Я бы хотел обратить внимание, что впоследствии Шрёдингер отказался
от волновой интерпретации волновой функции. Он склонялся к тому, чтобы
считать, что по-видимому сама ^-функция физического смысла не имеет.
Физический смысл ей можно придать только с помощью вероятностного правила
Борна. Называя эту интерпретацию статистической, он, конечно, имел в виду
ансамбль-интерпретацию, а отнюдь не копенгагенскую: «Была предложена
близкая к истине статистическая интерпретация гр, а именно, что ф
распространяется не на отдельную систему, а на ансамбль систем,
определяя ту часть из них, которая в данном случае находится в определенной
конфигурации», [16, с. 142].
2) Заметим, что власть копенгагенских ортодоксов была так сильна, что
даже де Бройль — один из создателей квантовой механики — находился
в полной изоляции.

§ 5 Рассеяние квантовых и классических частиц
53
стигших щита В, через N\2, N\, N2 соответственно. Мы
предполагаем, что все эксперименты, Е\2, Е\ и Е2, имели равную
продолжительность по времени. Поэтому естественно
предположить, что
N\ = М\у N2 = M2l (5.1)
где М\ и М2 — это количества частиц, которые прошли через
щели № 1 и №2 соответственно в эксперименте Е\2 (т.е. при
двух открытых щелях).
Заметим, что в эксперименте с большими шариками мы
можем достаточно точно оценить М\ и М2, считая шары,
пролетающие через соответствующие щели в эксперименте Е\2.
Введем теперь числа щ2, пь п2 шариков, достигших
некоторой фиксированной ячейки в экспериментах Е\2, Е\, Е2
соответственно.
Введем теперь для эксперимента Е\2 числа т\ и т2 шариков,
достигших этой ячейки через щели № 1 и № 2, соответственно.
Эти числа уже трудней определить: нужно проследить весь путь
шарика от щели до щита В.
Нашим фундаментальным интуитивным
предположением было
П\ = mi, П2 = 777,2, (5.2)
и, следовательно:
п\2 = гп\ + т2 = п\ + п2. (5.3)
Ограничимся на время рассмотрением одного лишь
эксперимента Е\2. Получаем для вероятности попадания в
фиксированную ячейку:
р ( \ ) ~ 7112 = Ш1 + 7712 = 7711 Мх | Ш2 М2
Ех2\Т) ~ N N М\ N М2 N '
Введем теперь условные вероятности р(+ | 1) и р(+ \ 2)
попадания в эту ячейку при условии прохождения через щели № 1 и
№ 2, а также вероятности прохождения через соответствующие
щели: р\ и р2. Тогда
Получаем равенство
Ре12(+)=Р1Р(+|1)+Р2Р(+|2). (5.4)
Это всем известная формула полной вероятности.

52
Гл. 2. Квантовая механика
конца своей жизни пытался создать предквантовую нелинейную
полевую модель, очень сдержанно отнесся к созданию бомовской
механики.
§ 5. Рассеяние квантовых и классических частиц
на двух щелях
Имеется не так уж много экспериментов, демонстрирующих
сугубо квантовые свойства. Один из первых экспериментов
такого типа — это эксперимент, продемонстрировавший квантовую
интерференцию. Более того, существует весьма
распространенное мнение, что все фундаментальные квантовые свойства
заложены в интерференционном эксперименте.
Рассмотрим следующий экспериментальный контекст.
Имеется некоторый источник частиц S. Имеется щит с двумя
узкими щелями, расположенный на некотором расстоянии от S.
Обозначим этот щит через А. И на некотором расстоянии от А
расположен другой щит, скажем В, покрытый фотоэмульсией.
Так называемый интерференционный эксперимент на самом
деле представляет собой три отдельных эксперимента.
Эксперимент Е\2: открыты обе щели № 1 и №2.
Эксперимент Е\ \ открыта только щель № 1.
Эксперимент Е2: открыта только щель № 2.
В каждом из трех экспериментов из источника 5 вылетает
большой ансамбль частиц в направлении щита А, часть их
минует А и попадает на регистрационный щит В. Попадая на В,
частица действует на фотоэмульсионное покрытие и оставляет
след в виде черной точки. Поверхность щита В делится на
равные ячейки, считается, сколько частиц попало в каждую ячейку,
и строится гистограмма: количество частиц, попавших в ячейку,
делится на общее количество частиц, достигших щита В.
Рассмотрим сначала ситуацию, когда S излучает
«классические частицы», грубо говоря небольшие (например,
металлические) шарики. Чтобы достичь В, шарик должен
пролететь либо через щель № 1, либо через щель №2. Таким
образом, «интуитивно ясно», что количество шариков, достигших
некоторой ячейки на щите В в эксперименте Е\2, может быть
получено как сумма количеств шариков, достигших этой ячейки
в экспериментах Е\ и Е2.
Удобно описать эту ситуацию в элементарных вероятностных
терминах. Обозначим количество частиц, выпущенных из 5 и до-

54
Гл. 2. Квантовая механика
Введем теперь вероятности попадания в ячейку в
экспериментах Е\ и Е2:
р*(+)«^. р*(+)«$.
В силу условий (5.1) и (5.2) получаем, что
Яг,(+)=Р(+И). Ре2(+) = р(+\2), (5.5)
а также что
Pi = Рь Р2 =Р2. (5-6)
ГД6 ~ AT, _ iV2
Pi~^, P2~^- (5-7)
Поэтому формула полной вероятности (5.4) влечет равенство
Ре12(+) =Р\Рех(+)+Р2Ре2{+)- (5-8)
Заметим, что эта модифицированная формула полной
вероятности существенно лучше, чем стандартная формула (5.4),
которую мы вывели, используя лишь данные для одного
эксперимента Е\2.
Допустим, что шарики очень маленькие и мы не можем более
контролировать их прохождение через щели. Тогда числа Mi,
М2 и mi, т2, а следовательно, и вероятности р\, p2l р(+ | 1), р{+
+ |2), становятся скрытыми параметрами. Однако на основании
данных, собранных в трех экспериментах, Е\2, Е\, Е2, можно
получить числа N и п\2, М\ и п\у М2 и п2, а следовательно,
и вероятности Ря12(+), Ре2(+) и Рь Р2-
Формула (5.8) может быть проверена экспериментально!
Было показано, что если вместо шариков рассматривать
фотоны, то обобщенная формула полной вероятности (5.8)
нарушается*.
Обычно в литературе утверждается, что такие
эксперименты — рассеяние частиц сначала на двух щелях, а затем на
каждой в отдельности поочередно, были проведены и для
электронов, а также для более тяжелых частиц. Это не соответствует
истине. Проверка нарушения (5.8) была проведена лишь для
фотонов. Для электронов и более тяжелых частиц были проведены
эксперименты по рассеянию на кристаллических решетках. Это
эксперименты другого типа. Их цель показать, что на экране В
возникает дифракционная картина в виде чередующихся светлых
и черных полос.

§ 5. Рассеяние квантовых и классических частый,
55
Однако возникновение дифракционной картины не
вызывает таких проблем, как нарушение формулы (5.8). Эта
картина может быть объяснена в чисто классических терминах как
результат взаимодействия частиц с кристаллической решеткой,
см. книги Альфреда Ланде [226, 227].
Конечно, многие авторы не понимают, что реальная проблема
в интерфереционном эксперименте состоит в нарушении
формулы (5.8) для данных, собранных в трех различных
экспериментах. Для них парадоксом является появление на щите В
чередующихся светлых и темных полос. Их точку зрения трудно
принять. Собственно говоря, почему частицы, даже
классические, взаимодействуя со щитом А% не могут разбрасываться по
щиту В полосами? Например, S выбрасывает заряженные
металлические шарики, поверхности щита А тоже заряжены. Играя
параметрами — расстояниями между 5, А, В и щелями,
размерами щелей, шариков и потенциалом на А, типа дискретного
временного импульса [166, 167, 185], нетрудно показать, что
могут возникать картины дифракционного типа, практически не
отличимые от квантовых.
Итак, получить для шариков чередование полос на В (в
темные полосы попадает очень много шаров, в светлые очень
мало) — это не проблема. Проблемой является нарушение
равенства (5.8).
Но, во всяком случае для фотонов, формула (5.8) не
подтверждается статистическими данными, собранными в трех
экспериментах, Е\2, Е\, Е2. Из этого нарушения обычно делаются
фундаментальные выводы о невозможности описывать движение
фотонов законами классической механики. Нельзя считать, что
фотоны — это маленькие шарики, которые движутся в
пространстве, проходя через одну из щелей.
Решением этой проблемы могло бы быть рассмотрение волн,
вместо частиц, т.е., по-существу, тоже классической, но
волновой, модели. По принципу Гюйгенса каждая из щелей играет
роль источника волн. Эти волны интерферируют на пути к
щиту В. Поэтому, закрывая одну из щелей, мы уничтожаем эту
интерференцию, а поэтому интенсивность для эксперимента Е\2
в какой-либо ячейке щита В не равна сумме интенсивностей
для Е\ и Е2. Это влечет нарушение (5.8).
Итак, отказ от корпускулярной модели света объясняет
«нарушение законов классической теории вероятностей».

56
Гл. 2. Квантовая механика
Заметим, что известный физик Ричард Фейнман
интерпретировал [106] нарушение формулы (5.8) именно как нарушение
законов классической теории вероятностей.
Но ситуация существенно сложнее. Простым отказом от
понятия корпускулы-фотона, как это предлагал сделать Ланде
[226, 227], а также Лэмб [225], по-видимому, проблему не
решить. Если фотон — это просто волна, распространяющаяся
в пространстве, то ее энергия распределена по всему ее фронту.
Однако если поставить по детектору напротив каждой из щелей,
то всегда будет щелкать только один из детекторов. Конечно,
интенсивность света должна быть чрезвычайно низкой: «только
один фотон находится в экспериментальном устройстве». Такое
взаимодействие с детекторами вновь заставляет вернуться к
корпускулярной модели (похоже, что Альфред Ланде был неправ,
когда критиковал Эйнштейна за введение фотона). Конечно
частица-фотон будет «врезаться» лишь в один детектор, производя
лишь один щелчок.
Однако, вернувшись к частицам-фотонам, мы вновь получим
проблему с «нарушением законов классической теории
вероятностей».
По-существу, данная ситуация парадоксальна. Этот
интерференционный парадокс тревожил всех отцов квантовой
механики, особенно Нильса Бора. Пытаясь найти его решение, он
практически дошел до помешательства. Бор «разрешил» этот
парадокс следующим образом. Не с помощью физики и не с
помощью математики, а через рассмотрение нового философского
принципа: принципа дополнительности.
В силу этого принципа квантовые системы могут иметь
взаимодополнительные и взаимоисключающие свойства, которые
соответствуют несовместимым экспериментальным ситуациям.
Интерференционный парадокс «разрешается» так. Имеется
один эксперимент, Е\2> обе щели открыты. В нем мы видим на
щите В чередование светлых и черных полос. В этом
эксперименте проявляются волновые свойства фотона. Но в нем мы не
можем узнать, через какую щель пройдет фотон. Имеется
другой эксперимент, в котором напротив щелей ставятся
детекторы. В этом эксперименте мы можем определить корпускулярное
свойство фотона: его положение в пространстве — номер щели.
Однако интерфереционная картина при этом нарушается. Или,
используя Е\- и ^-эксперименты, мы можем сказать, что Е\

§ 5. Рассеяние квантовых и классических частиц
57
и Е2 приводят к определению номера щели, но из гистограмм
для Е\ и Е2 мы не восстановим гистограмму для Е\2.
Не знаю, как читателю, но мне принцип дополнительности
ничего не проясняет. По-видимому, научная польза его весьма
сомнительна, а вредные последствия поистине ужасны. Этот
принцип, по-существу, запрещает какой-либо глубокий научный
анализ интерференционного парадокса.
Можно ли этот парадокс разрешить без принципа
дополнительности? Например, используя чисто волновую картину для
фотона? Да! Один из отцов квантовой механики, профессор
Лэмб [225], считал, что «квант света» — это отнюдь не аналог
корпускулы, а лишь дискретная порция энергии, которая может
излучаться электромагнитным полем. Итак, имеется
непрерывная волна (т.е. обе щели играют роль источников, производя
интерференционную картину), но ее энергия может принимать
лишь дискретные значения, еп = hvn, п = 1,2,... («п-фотон-
ная волна») Более того, предполагается, что детекторы, которые
имеются в нашем распоряжении, могут поглощать энергию лишь
такими же порциями. При таком предположении для
«одно-фотонной волны» два детектора не могут щелкнуть одновременно,
так как нельзя порцию энергии в\ разделить на две порции
такого же типа.
Итак, возникает картина фотона как классической
электромагнитной волны, энергия которой может принимать только
специальные значения. Обмен энергией с детекторами тоже может
производиться такими порциями.
Но ситуация с интерференционным парадоксом даже более
интересна. Его можно разрешить не только в чисто волновой
картине, но и в чисто корпускулярной!
Напомним вновь, что формула полной вероятности (5.4)
была выведена для ненаблюдаемых данных. Числа М\, М2, mi,
77i2 в общем случае нельзя получить. Даже если считать, что
щели расположены симметрично по отношению к источнику, то
мы получим лишь числа Mi, М2\ 7V/2, но мы не сможем по
точке на В узнать, через какую щель частица попала в эту
точку! Поэтому мы вывели формулу (5.8). Проблема физиков
состоит в том, что они не различают (5.4) и (5.8) (см. Фейман
[106]), и, следовательно, не интересуются выводом (5.8) из (5.4).
А мы видели, что вывод был произведен при условии (5.2):
количество частиц, прибывающих в ячейку в эксперименте Е\2
через щель j, совпадает с количеством частиц, прибывающих

58
Гл. 2. Квантовая механика
в эту ячейку в эксперименте Ej. Однако экспериментально этот
постулат непроверяем! Более того, закрывая одну из щелей, мы
определенно меняем экспериментальный контекст! Итак, если
допустить, что условие (5.2) нарушается, т. е. величины
нетривиальны по сравнению с общим числом частиц N, то вывод
«обобщенной формулы полной вероятности» (5.8) блокируется.
Никаких проблем с ее нарушением не возникает.
Вывод: Интерференционный парадокс может быть раз-
решен без принципа дополнительности. Возможны решения
и в чисто волновой, и в чисто корпускулярной картинах.

Глава 3
СОВРЕМЕННЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 1. Пространство волновых функций
Стартуя с волновой функции ip(q) как с базовой величины
(т.е. несводимой к другим более фундаментальным величинам),
мы получаем по правилу Борна плотность вероятности для
распределения координат квантовой системы:
Р(9) = Ш\2-
Как известно, плотность вероятности должна быть
нормирована:
\ P(Q)dq= } Ш\2 dq=l.
R3 R3
Таким образом, ip(q) должна быть суммируема в квадрате:
| \<4>{q)\2 dq< оо.
R3
Итак, состояния квантовых систем, представляемые волновыми
функциями, должны принадлежать пространству Z/2(R3),
состоящему из комплекснозначных функций, суммируемых в
квадрате 1). В нем можно ввести скалярное произведение:
(Ф\>Ф2) = | ^\{q)^2{q)dq,
R3
') В зависимости от интерпретации функция ip(q) описывает или состояние
индивидуальной квантовой системы (копенгагенская интерпретация), или
статистические свойства огромного ансамбля квантовых систем (ансамбль
интерпретация). Но сейчас это для нас не имеет никакого значения. Математический
формализм квантовой механики один и тот же.

§ 2. Комплексное линейное пространство
61
Стоит напомнить, что линейная комбинация векторов ф\,...
..., фп е Н определяется равенством
Ф = с\Ф\ +... + спфП1 cj е С.
Векторы ф\у..., фп называются линейно независимыми, если ф —
= 0 с\ = С2 — ... = Сп = 0. Базисом в Н называется такая
система линейно независимых векторов {ej}n, что любой вектор
ф € Н может быть представлен в виде линейной комбинации
входящих в нее векторов:
п
ф = ^ с^е;-, Cj € С.
j=\
Так как базисные векторы линейно независимы, то
коэффициенты с\9...9Ст определяются однозначно. Они называются
координатами вектора ф относительно базиса {е;}^=1. Пространство Н
в этом случае конечномерно, и его размерность dim Я = п 1).
Канонический базис в Нп задается векторами
е2 =
еп =
В квантовой теории информации часто используются и
другие базисы. Например, в Н%
т. е.
/i
е\ +е2
V2
1
>/5
/2 =
/2 =
ei -е2
1 / 1
л/2
Любой линейный оператор в Яп может быть задан матрицей
относительно некоторого базиса. Пусть п = 2 и базис
канонический. Рассмотрим оператор поворота на угол в в #2:
Ае\ = cos0e\ + sin0e2,
Ав2 = — sin в е\ + cos в e<i-
1) Определение размерности корректно, так как любые два базиса состоят
из одинакового числа векторов.

60 Гл. 3. Современный математический формализм квантовой механики
где для комплексного числа ф = u + iv его сопряжение ф = и —
— iv. Скалярное произведение определяет норму
Состояния квантовых систем лежат на единичной сфере этого
пространства.
Пространство Z,2(R3) со скалярным произведением — это
важный пример гильбертова пространства над полем
комплексных чисел С.
Далее мы напомним некоторые факты из линейной алгебры
и функционального анализа.
§ 2. Комплексное линейное пространство
Рассмотрим произвольное комплексное гильбертово
пространство Я. Это множество любой природы, элементы которого
называются векторами. Предполагается заданной операция
сложения векторов. Она коммутативна, ф + (р = ip + ф, и
ассоциативна, (ф + ip) + и = ф + (у? + и). Также предполагается,
что векторы можно умножать на комплексные числа, причем эта
операция умножения связана с операцией сложения векторов
дистрибутивным соотношением: с((р + ф) = ар + сф, с € С,
<р,ф € Н. Отметим еще одну аксиому: 1 х (р = (р, где 1 —
единица в С. Относительно сложения Н является группой,
т.е. существует обратная сложению операция вычитания
векторов. Вектор (—ф) определяется равенством ф — ф = 0.
А нулевой вектор (существование которого тоже постулируется)
удовлетворяет соотношениям ф + 0 = ф для любого ф е Н.
Простейшим примером комплексного линейного
пространства является декартово произведение п копий С: Нп = С х ...
... х С = С71. Его элементы —- это координатные векторы
ф = (ф\,..., фп), ф^ € С. Операции сложения и вычитания
покоординатны: ф ±<р = (ф\ ± ip\,..., фп ± ipn), так же как и
операция умножения на комплексное число: сф = {сф\,... ,сфп).
странства. Однако в отличие от Нп это пространство имеет
бесконечную размерность. Эта размерность счетна.
тоже пример линейного про-

62 Гл. 3. Современный математический формализм квантовой механики
Значит,
А =
cos в —sin в
sin в cos в
Если в некотором линейном пространстве Я не существует
конечного базиса, то оно называется бесконечномерным. В
некоторых бесконечномерных пространствах тоже можно ввести
базисы. Но для этого на Я нужно ввести топологию, чтобы с ее
помощью задавать сходимость рядов в Я. В простейшем случае
сходимость задается с помощью метрики (расстояния) на Я.
Базис может быть счетным, {ej}^L{, или несчетным, {еа}аед,
где множество индексов А несчетно (например, А = R).
В квантовой теории информации можно ограничиться
рассмотрением конечномерных (комплексных) линейных
пространств. Однако в реальной квантовой физике используются
бесконечномерные пространства. Все они имеют счетный базис.
Пространства с несчетным базисом или пространства, не
имеющие базиса, в квантовой физике не возникают.
На всякий случай еще напомним, что линейным оператором
в Я называется отображение А: Н —> Н, переводящее линейные
комбинации в линейные комбинации:
А {Ххфх + Х2Ф2) = МАфх + А2А02,
Ai,A2 G С, фх,ф2 G Я.
Пусть Я конечномерно и {ej}™=l — базис в Я,
Тогда любой линейный оператор А представим в виде матрицы
Столбцы этой матрицы представляют координаты образов
базисных векторов:
Ае\ = а\\е\+а2\в2 +... + ап\еп, ...
п

§ 3. Скалярные произведения
63
где Н^) — два произвольных линейных пространства. Нас
в дальнейшем будет интересовать случай — С. Линейные
операторы А: Я —► С называются линейными
функционалами на Я.
Обозначим пространство всех линейных операторов
символом L{H^x\H^y На нем также можно
ввести структуру линейного пространства, определяя
(А\ + А2) ф = А\ф + А2ф, (сА) ф = сАф.
В частности, на пространстве линейных функционалов
имеется структура линейного пространства. Обозначим его Я*
(=L(#, С)).
Если dim Я < оо, то Я* можно отождествить с Я. Выберем
в Я базис {ej}™=1 и отобразим Я взаимно-однозначно на Нп =
п
= Cn, j (ф) - (сь... ,Сп), где ф = сзез- Пусть теперь и € Я*.
j=\
Тогда
✓ П ч 71
и(ф) = и(^ cjej ) = ciu (е^'
Отобразим теперь Я* на Нп (взаимно-однозначно), полагая
г {и) = (щ,... ,Un), Uj = u(ej). В итоге получаем изоморфизм
(т.е. линейное и взаимно-однозначное отображение) линейных
пространств:
W = j-loi:H*-+H,
где j~{: Сп —► Я — отображение, обратное j.
Заметим, что в бесконечномерном случае пространство Я*
вообще говоря, неизоморфно Я. Хотелось бы и в этом случае
выделить класс пространств, для которых Я и Я* совпадают.
Таковыми являются гильбертовы пространства, см. § 6. Однако
вместо пространства всех линейных функционалов Я* должно
быть рассмотрено пространство линейных непрерывных
функционалов.
§ 3. Скалярные произведения
Скалярным (эрмитовым) произведением на некотором
комплексном линейном пространстве Я называется функция двух
переменных, (ф\,ф2), обладающая следующими свойствами:

64 Гл. 3. Современный математический формализм квантовой механики
а) линейность по второму аргументу
(ф,С\(р\ +С2^2) =С\ (ф9(р\) +С2 (Ф,1Р2)-
где с\, с2 Е С, а ч/>, ум, у>2 € Я;
б) {ф,<р) = (</?,</>>;
в) невырожденность: (ф,ф) = 0 <е> ф = 0;
г) положительная определенность: (-0, ф) ^ 0У ф е Н.
Заметим, что из аксиом (а) и (в) следует, что
В квантовой теории это неравенство записывается в форме,
известной как соотношения неопределенности Гейзенберга.
Определение 3.1. Комплексное линейное пространство Н
со скалярным произведением называется эрмитовым
пространством.
Определение 3.2. Линейный оператор А: Н —► Н
называется симметричным, если
(Аф{ф2) = (Ф\,Аф2)
для любых векторов ф\,ф2 £ Н.
Напомним, что базис {е^}™=1 в конечномерном эрмитовом
пространстве Н называется ортонормированным, если
Матричные элементы линейного оператора А: Н —» Н
относительно ортонормированного базиса имеют вид
Если симметричный оператор задается матрицей А = (а^),
то aij = (е{,Ае3) = (Aei.ej) = (ej,Aei) — (iji, т.е. A = AT, где
индекс T обозначает транспонирование матриц: Вт = bjj = bj{.
Матрицы, удовлетворяющие условию А = АТ, называются
эрмитовыми.
{С\Ф\ + С2ф2,<р) = С\ (ф\,<р) +С2 (ф2уф).

66 Гл. 3. Современный математический формализм квантовой механики
Можно легко показать, что \хп — хт\ —► О, п,га —► сю, т.е.
это последовательность Коши в Q. Однако она не сходится ни
к какому рациональному числу а.
Определение 4.1. Метрическое пространство (Х,г)
называется полным, если любая последовательность Коши его
элементов имеет предел в X.
Пространство (X = R, г(х,у) = \х - у|) полно. А
пространство (X = Q, г(х,у) = \х — у|) нет. На самом деле множество
вещественных чисел R и было построено, чтобы получить «полную
версию» множества рациональных чисел Q.
Заметим, что построение пополнения R для Q не имеет
никакого специального физического смысла. Просто с точки
зрения математики удобнее работать в полном пространстве.
В частности, использование вещественной прямой как основы
физического пространства R3 — это вопрос исключительно
математического удобства.
«Физическими числами» являются лишь рациональные
числа. Любую величину можно измерить с конечной точностью,
поэтому можно получить лишь рациональное число вида
где (при использовании десятичных дробей) щ = 0,1,...,9.
Иррациональные величины — это плоды нашего
математического воображения (Флоренский, Пуанкаре). Эта проблема
обсуждалась также в деталях при построении основ неархимедовой
(р-адической) математической физики [289, 290, 11],
суперанализа [13].
х = ап,..., ао, a_i,..., а_т,
стью), если г(х ) —> 0, п, тп > ос. При больших п, m
расстояние между членами последовательности пренебрежимо мало.
Заметим, что любая сходящаяся последовательность хп —* а,
является последовательностью Коши. Используя неравенство
треугольника для метрики г, получаем
г(хп,жт) ^ г(хп,а) + г(а,хт) —► О, n,т —► оо.
Однако обратное верно не всегда. Выберем в качестве X
множество всех рациональных чисел Q (т.е. чисел вида х = ±n/m,
где п, т — натуральные числа ит/0). Выберем на X метрику
г(х,у) = |х — у|. Рассмотрим последовательность рациональных

§ 4. Метрические пространства
65
Напомним, что собственным вектором оператора А,
соответствующим собственному значению А, называется решение
уравнения
Афх = At/% Фх Ф 0.
Предложение 3.1. Пусть А: Н —> Н — эрмитов оператор.
Все его собственные значения принадлежат множеству
вещественных чисел, а собственные векторы, соответствующие
различным собственным значениям, ортогональны.
Предложение 3.2. В конечномерном пространстве любой
эрмитов оператор А: Н —> Н имеет базис из собственных
векторов.
§ 4. Метрические пространства
Напомним, что метрикой на произвольном множестве X
называется функция двух переменных г(х\,Х2), удовлетворяющая
следующим аксиомам:
rl) симметричность
r(xj,X2) = г(х2,х\);
г2) невырожденность
г(х,х) = 0 ФФ> х = 0;
гЗ) положительность
r(x, х) ^ 0;
г4) неравенство треугольника
r{x\,х2) ^ г(х\,х3) + г(х3,х2)
для любых трех точек х\,Х2,хз £ X.
Пара {Х,г) называется метрическим пространством.
Метрика г задает сходимость последовательностей в X.
Последовательность {х\, Х2,..., хп,... } элементов X сходится
к а £ X, если г(хп,а) —♦ 0, п —► оо. Используется
обозначение хп —♦ а.
Если выбрать X = R и г(х, у) = \х — у\, то получим обычную
сходимость последовательностей на вещественной прямой.
Последовательность {яп}^ » хп G X, называется
последовательностью Коши (или фундаментальной последовательно-
3 А. Ю. Хренников

§5. Гильбертово пространство
67
Заметим, что с этой же проблемой мы сталкиваемся при
построении пространства состояний для квантовой физики. К
сожалению, данная проблема не исследовалась в квантовых
основаниях.
Так же как и при построении математических основ
классической физики, в квантовой физике предпочли работать в полном
метрическом пространстве.
Пусть Я — некоторое эрмитово пространство. Заметим, что
для нормы выполняется следующее неравенство треугольника:
это прямое следствие неравенства Коши-Буняковского.
Следовательно, функция г(<р,ф) = \\(р — ф\\ является метрикой. Для
нее будет выполняться неравенство треугольника (г4)
(остальные свойства метрики очевидны). Итак, (Я, г) — метрическое
пространство. Если размерность Я конечна, то это метрическое
пространство полно, потому что Я можно представить как Сп.
А последнее пространство полно, как декартово произведение
конечного числа полных пространств (С в свою очередь полно,
так как С = R х R). А вот если размерность Я бесконечна, то Я
может быть и неполным.
Например, рассмотрим все функции вида
где p(q) — некоторый полином. Заметим, что dq < оо,
так как е q убывает существенно быстрее, чем любой
полином. Обозначим это функциональное пространство символом
пространство. Оно неполно относительно расстояния,
соответствующего норме
§ 5. Гильбертово пространство
\\ч> + Ф\\^Ы + \\*1
</>(<?) =Р(я)е q\
г2
Заметим, что PZ/2(R3) всюду плотно
бую функцию ф Е 1/2 (R3) можно аппрокс
можно аппроксимировать последова-

68 Гл. 3. Современный математический формализм квантовой механики
тельностью функций фп € PZ/2(R3). Используя терминологию
функционального анализа, можно сказать, что Z/2(R3) является
пополнением PZ/2(R3) (а пространство R — пополнением
пространства Q).
Пополнение всегда состоит из двух типов элементов:
«физических» и «идеальных». Мы можем ощутить последние,
лишь аппроксимируя их первыми. Было бы естественно
(с физической точки зрения) работать лишь в пространстве
физических элементов. Но с математической точки зрения
удобно работать в полном пространстве.
Определение 5.1. Полное эрмитово пространство Н
называется гильбертовым пространством.
В математической литературе обычно еще предполагается,
что гильбертово пространство бесконечномерно. Мы не
накладываем этого ограничения, т.е. Нп = Сп — это тоже гильбертово
пространство в нашей терминологии.
Заметим, что Н = /^(R3) — гильбертово пространство.
Чтобы получить строгое математическое определение этого
пространства, нужно отождествлять функции, которые отличны
друг от друга на множестве точек меры (Лебега) нуль:
ф ~ <р, если ip(q) = <p(q),
за исключением множества точек меры нуль. Итак, элементами
пространства L<i (R3) являются классы эквивалентных функций,
суммируемых в квадрате. Если не производить такого
отождествления, то получим вырожденное скалярное произведение. Если
ip(q) ф О лишь на множестве меры нуль, то
М2= | Ш\2 dq = 0.
R3
Поскольку мера Лебега множества рациональных точек равна
нулю, /i(Q) = 0, то функция ф> равная нулю во всех
иррациональных точках, отождествляется в L2(R3) с нулевым
элементом (каким бы сложным ни было ее поведение на
множестве Q) *). Такая конструкция противоречит нашей физической
интуиции.
Пусть Я — бесконечномерное гильбертово пространство. Это
пространство имеет счетный базис (иногда используется термин
') Лично я испытываю дискомфорт от этого свойства пространства Z/2(R3).

70 Гл. 3. Современный математический формализм квантовой механики
§ 6. Линейные операторы
Пусть А: Н —► Н — линейный оператор. Мы можем, как и
в конечномерном случае, определить его матрицу относительно
ортонормированного базиса: = (ei,Aej).
Пусть Н — произвольное гильбертово пространство
и А: Н —► Н — линейный оператор. Оператор А является
непрерывным, если он переводит сходящиеся
последовательности в сходящиеся: если фп —► ф, п —► оо, то Афп —> А0
или ||V>n - </>Н - 0 =» ||А^п ~ ^11 -> 0.
Для линейного оператора непрерывность равносильна
непрерывности в нуле:
Ш1->о=»цл^||->о.
Доказательство следующего предложения можно найти в
любом учебнике по функциональному анализу.
В связи с этим предложением непрерывные операторы
называются также ограниченными.
Предложение 6.1. Линейный оператор А: Н —► Н
непрерывен тогда и только тогда, когда выполняются следующие
эквивалентные условия:
а) sup < оо;
б) sup ||Ае|| < оо;
N1=1
в) sup < оо,
причем константы, заданные в (а)-(в), совпадают, определяя
норму \\А\\ оператора А.
В силу (в) имеет место неравенство
\\Аф\\ < \\ФЬ ^я.
Заметим, что в конечномерном гильбертовом пространстве
любой линейный оператор непрерывен.
Это легко доказать, раскладывая ф по ортонормированному
базису {ej-}£_j и оценивая \\Аф\\ = yj(Аф, Аф) через Ц^Ц =
В бесконечномерном случае отнюдь не любой линейный
оператор А: Н Я непрерывен. Однако интересно, что
построить пример разрывного линейного оператора А, определенного

§ 5. Гильбертово пространство
69
«топологический базис») {ej}JL{, если любой вектор ф
представим в виде сходящегося ряда:
оо
ф = ^Cjej, Cj € С,
и коэффициенты Cj определяются однозначно. Здесь
n
Длг = Ф — Е c^ej —►О, N —► оо.
j=i
Пусть базис {ejj^lj является ортонормированным: (е*,^) =
= (Jjj. Тогда координаты cj вектора ф £ Я определяются
равенством
cj = (е,,ф).
В силу свойства (а) эрмитова произведения каждая
координата является линейным функционалом на Я.
3*есь
д*= Е м2 = Е i<e^>i2-
j=N+l j=AT+l
оо
Следовательно, ряд ^ Cje^ сходится тогда и только тогда,
7=1
J оо
когда сходится числовой ряд ])Г |cj|2. Напомним, что гильберто-
во пространство полно. Значит, любая последовательность Коши
n
Sn = Y cjej сходится к некоторому элементу ф, обозначенному
оо
Значит, любое гильбертово пространство со счетным базисом
можно представить как координатное пространство
12 = |х = (хьХ2,...,хп,...): х; € С, ElxJ'|2 < 001
со скалярным произведением (х,у) = ^ Sjl/j-

§ 6. Линейные операторы
71
на всем гильбертовом пространстве, очень непросто. Однако
в квантовой механике сплошь и рядом возникают операторы,
определенные на плотных подпространствах Я, которые не
являются непрерывными.
Напомним, что линейное подпространство Е в Я называется
плотным (в Я), если любой вектор ф € Я можно
аппроксимировать векторами из Е: существует фп —► ф п —> оо, где все фп £ Е.
Пусть линейное подпространство Е плотно в Я и А: Е —►
—► Я непрерывен, т.е. если <рп —► </? (^п.^ € £), то А</?п —► Л</?.
Тогда Л можно продолжить до непрерывного оператора А: Я —>
—» Я. Действительно, пусть ф € Н, но ф £ Е. Пусть фп —► V»
п —► оо, ^n G Е.
Тогда [/шп — фп ~ Фт —> 0, n,m —» оо. Следовательно
^4f^nm 0, n,m —► оо. Таким образом, \\Афп — Афт\\ —► О,
n, га —► оо. Значит, {Афп} — последовательность Коши в Я.
Но пространство Я полно. Следовательно, существует lim Афп,
п—>оо
который и обозначается А0. Итак, мы продолжили А на все
пространство Я. Можно проверить, что полученное таким
образом отображение А: Я —> Я линейно и непрерывно.
Однако многие квантовомеханические операторы разрывны
(неограниченны), и их нельзя продолжить на все
пространство Я. Важнейшими операторами в квантовой механике
являются операторы координаты и импульса.
Пример 6.1 (операторы координаты и импульса). Шрёдингер
угадал квантовые аналоги координаты и импульса в
пространстве состояний Я = L<i(R3) (J = 1,2,3):
ЯзМ (я) = <цФ(я)*
»<*)<«>-?£*<«>■
Итак, оператор j-и координаты qj — это оператор умножения
на переменную qj, а оператор импульса pj — это (с точностью
до скалярного коэффициента) оператор дифференцирования по
переменной qj. Эти операторы линейны, однако они не являются
непрерывными. Мы не можем определить их на всем
пространстве L2(R3). Нужно задать их области определения. Например,
D (qj) = L& L2(R3) : | q) \ф(Я)\2 dq < оо
^ r3

72 Гл. 3. Современный математический формализм квантовой механики
dq < оо
Тогда qj : D (qj) —► Я, p; : Z) (pj) —►Я — линейные операторы.
Мы в нашей книге не будем слишком сильно акцентировать
внимание на существовании неограниченных операторов. Следуя
фон Нейману, мы отметим, что любой неограниченный оператор
можно аппроксимировать ограниченными операторами.
Например, аппроксимируем оператор координаты. Пусть
U(qj) — непрерывная ограниченная функция переменной qj.
Тогда оператор Ац = U(qj)} действующий как
Аи(ф) (q) = U(qj)iP(q),
определен на всем L2(li?) и ограничен:
\\Аиф\\ = /[ \U(qj)iP(q)\2 dq < sup \U(gj)\
Значит \\Au\\ ^ sup U(qj). Выберем теперь
UN{x) = <
'x, x£[-N,N],
0, x$
(на интервалах (-N - l/Ny—N) и (N,N + 1 /N) эта функция
выбирается так, чтобы получить ограниченную функцию,
например линейно).
Тогда lim Ux(qj) = qj в любой точке qj, и мы можем счи-
N—kx) ^
тать операторы (ограниченные) Ajjn = Um (qj) аппроксимацией
оператора координаты qj.
§ 7. Теорема Рисса
Пусть Я — произвольное гильбертово пространство.
Рассмотрим пространство всех линейных непрерывных функционалов
на Я. Обозначим его символом Я7. В Я' рассмотрим структуру
линейного пространства, индуцированную из пространства Я*
всех линейных функционалов на Я. Итак, U € Я' если
а) и(схф\ + с2ф2) = схи{фх) + с2и(ф2), Cj <Е С, ф{ G Я,
б) и(фп) —► 0 для любой </>п —> 0, п —► оо, в Я.

§ 7. Теорема Рисса
73
В силу предположения 6.1 последнее условие эквивалентно
ограниченности функционала и: Я —> С, причем
sup |^)| = supM = ||f/||<00.
Заметим, что в бесконечномерном случае Я* ф Я', т. е.
существуют разрывные линейные функционалы (например, Я =
= ЫВ?)).
Так как на гильбертовом пространстве определено скалярное
произведение, то любому вектору ip £ Я соответствует элемент
U<p Е Я', действующий по правилу
им = (ч>,Ф), Фен.
Этот функционал линеен в силу аксиомы (а) для (•, •). Он
непрерывен в силу неравенства Коши-Буняковского:
Более того, ||[/^|| = ||</>||. Действительно в силу предыдущего
неравенства
Кроме того, выбирая т/> = <л получаем, что ,, „ ' = „ ' =
„ „ IMI IMI
= 1М|.
Итак, построено вложение а: Я —► Я', а((р) = U^. Причем а
сохраняет норму: ||а((^)|| = \\ip\\ (изометрия).
Отметим замечательный факт из теории гильбертовых
пространств.
Теорема 7.1 (Рисса). Имеет место равенство: а(Я) = Н'.
Значит, любой линейный непрерывный функционал на Я,
U € Я', задается некоторым вектором. Легко видеть, что
отображение а взаимно-однозначно.
Если а(ч>\) = ot(ip2)> то ц>\ = v?2- Действительно, равенство
образов означает, что (ip\ — <^2» Ф) = 0 для любого ф € Я.
Полагая ф = ф\ — <£2, получаем
\\<Р\ - HI2 = (v>i - ¥>2. ~ ¥>2> = О-

74 Гл. 3. Современный математический формализм квантовой механики
Часто Я и Я' отождествляют. Это удобно, но следует не
забывать, что отображение а: Н —> Н' не линейно, а эрмитово
линейно:
а(сцр\ + c2ip2) = с\а(<р\) + c2a(ip2).
Это очевидно:
<*(с\<р\ + c2ip2) 00) = (с\<р\ + с2у2,ф) = с\ {<р\,ф) + с2 (ф2,ф) =
= c\a((pi)(t/>) + с2а((р2) {ф).
§ 8. Сопряженный оператор
Введем теперь очень важное в квантовой механике
понятие сопряженного оператора. Пусть А: Я —► Я —
линейный непрерывный оператор, и пусть ф е Я. Тогда функционал
Уф(<р) = (ф,А(р) линеен и непрерывен 1).
Значит, ему соответствует (единственный) вектор уф Е Я:
®(Уф) = Уф.
Причем имеет место равенство (у, ф) — (фуА<р). Заметим, что
соответствие ф —► Уф —► уф линейно:
(Ус1ф1+с2Ф2'Ч>) = (Ci^i +с2ф2,А<р) =с\ (фиА(р) + с2 (ф2,А<р) =
= с\ (уф1,(р) + с2 (уф2,<р) = (с1Уф{ +с2уф2,<р).
Итак, отображение ф -* Уф является линейным оператором.
Этот оператор ограничен (непрерывен):
\Ы = sup И^Г SUP Hi^T < М SUP Ш = ^ ^
Обозначим этот оператор А*: Я —* Я, Уф = А*ф. В силу
предыдущего равенства ^ ЦАЦ. Покажем, что = ЦАЦ:
||Л||_йро м ~ТЛТЛ мм ~ТЛТЛ мин "
- SUD JL SUD l^'^l - SUD ИМ _ М||
О Как композиция двух линейных непрерывных отображений, А: Я
Я, Щ: Я - С.

§ 8. Сопряженный оператор
7Ъ
Мы здесь несколько раз пользовались тем, что для вектора
\(х у)\
х £ Я: ||а(х)|| = sup „ „ (т.е. норма вектора совпадает с нор-
уфЪ \\У\\
мой соответствующего функционала).
Непрерывный оператор А: Н —> Н называется
самосопряженным, если А = А*. Заметим, что это эквивалентно равенству
(Аф,(р) = {ф,А(р)% (р,феН,
т.е. тому, что оператор симметричен.
Теперь мы определим сопряженный оператор для
произвольного линейного оператора с плотной областью
определения, A: D(A) —> Я.
Область определения А* состоит из векторов ф € Я,
таких что
Ч>->(ф,А<р), <p€D(A)
(это линейный функционал с плотной областью определения
D(A)) непрерывен. Как мы уже знаем, непрерывный функционал
(и даже оператор) можно всегда продолжить по непрерывности
с плотного подпространства на все Я.
По теореме Рисса (см. теорему 6.1), если ф € D(A*), то
существует единственный вектор и = А*ф. Легко видеть, что
оператор A*: D(A*) —> Я линеен.
Оператор А называется симметричным, если А* э А, т. е. А*
является расширением оператора А:
D(A*) D D(A).
В общем случае мы имеем
(ф,Аф) = (А*ф,1р)
для (р € D(A) и ф € D(A*). Значит, если А симметричен, то
ф е D(A) =>фе D{A*) и
(ф,А<р) = (Аф,1р) (8.1)
для ф,у е D(A).
Оператор А называется самосопряженным, если А* = А, т. е.
D(A*) = D(A), и (8.1) имеет место.

§ 10. Спектральное разложение. Конечномерный случай
77
§10. Спектральное разложение.
Конечномерный случай
В принципе для ограниченных операторов вообще не было
необходимости городить огород с самосопряженными
операторами. Было бы проще с самого начала работать с симметричными
операторами. Вся проблема в том, что если оператор А
неограничен (разрывен), то симметричности (на его области определения)
недостаточно, для того чтобы получить «хорошие свойства». Под
«хорошими свойствами» понимается возможность получить
аналог предложения 3.2. Напомним это предложение.
Пусть Я конечномерно и его размерность dim Я = п. Пусть
оператор А: Я —> Я самосопряжен, А = А*. В силу того что
любой линейный оператор в конечномерном случае непрерывен,
это эквивалентно его симметричности. В силу предложения 3.2
такой оператор имеет базис {Vy}*=p состоящий из собственных
векторов. В силу предложения 3.1 векторы, соответствующие
разным собственным значениям, ортогональны.
Рассмотрим случай, когда все собственные значения
ЛьЛ2,...,Лп различны; ф$ = (оператор с невырожденным
спектром).
Обозначим через 7Гд7 ортогональный проектор на вектор
Мы предполагаем, что базисные векторы нормированы. Итак,
в конечномерном случае всякий самосопряженный
(симметричный) оператор с невырожденным спектром можно представить
в виде
п
j=\
Это простейшая форма так называемого спектрального
разложения. В конечномерном случае понятие спектра совпадает
с понятием множества собственных значений.
Пусть теперь спектр А будет вырожденным, т. е. одному
собственному значению Л может соответствовать несколько
линейно независимых собственных векторов г= 1,...,пд. Здесь
п\ = dim Ял, где Н\ — линейное подпространство, натянутое на
векторы {^д^}^. Обозначим через ir\ ортогональный проектор
на собственное подпространство Яд, п\(Ф) = {Ф\ \ Ф)Ф\^-

76 Гл. 3. Современный математический формализм квантовой механики
§ 9. Интегральные операторы
Напомним, что скалярное произведение на L2(R?) имеет
вид: (ф, ip) = J Ф(х)<р (х) dx.
R3
Следовательно, для симметричного оператора (определенного
на всем L2 (R3)) имеет место равенство
| А(ф)(х)<р(х) dx = | ф(х) А(ф)(х) dx.
R3 R3
Пусть функция К(хуу) е L2(R? х R3). Рассмотрим
интегральный оператор с ядром К(х,у):
Аф(х) = J K(x^(y)dy. (9.1)
R3
Предложение 9.1. Интегральный оператор (9.1)
непрерывен в L2(R3).
Доказательство. Во-первых, покажем, что А действительно
определен на всем Z/2-пространстве:
||А0||2= J ] K(x^(y)dy\ dx^
R3'r3 1
^ I I \K(x,y)\2 dydx I Hy)|2dy.
R3 R3 R3
Здесь мы просто применили неравенство Коши-
Буняковского. Мы также получили оценку
| \К(х,у)\2 dxdy.
R6
Можно показать, что на самом деле имеет место равенство.
Предложение 9.2. Пусть ядро К е L2(R6,R) (т.е.
принимает лишь вещественные значения). Тогда
соответствующий интегральный оператор самосопряжен.

78 Гл. 3. Современный математический формализм квантовой механики
Оператор А можно представить в виде
Это общая формула спектрального разложения в
конечномерном случае. Хотелось бы получить аналогичную формулу
для самосопряженных операторов и в бесконечномерном случае.
Предложение 3.1 вызывает некоторые надежды. Действительно,
как в конечномерном, так и в бесконечномерном случае все
собственные значения самосопряженного оператора вещественны,
а собственные векторы для разных А ортогональны. Хотелось бы
также иметь спектральное разложение, заменяя в (10.1)
конечную сумму на сумму бесконечного ряда.
Конечно, такие операторы существуют. Мы будем
называть их операторами с чисто точечным спектром. Однако не
всякий (ограниченный) самосопряженный оператор, например
A: Z,2(R3) —* ^(R3). может быть разложен в ряд вида (10.1).
§ 11. Спектр: точечный, непрерывный, остаточный
Вернемся к конечномернрму случаю. Будем рассматривать
произвольный линейный оператор А. Здесь, если А € С не
является собственным значением, то Аф = Хф только для ф — 0.
Значит, оператор А — А/, где /: Я —► Я — единичный оператор,
является взаимно-однозначным.
В конечномерном случае это влечет равенство
так как имеет место следующее общее соотношение для любого
оператора С: Я —► Я.
Напомним, что ядром оператора С называется множество
всех его нулевых векторов:
ImC ={<реН:<р = Сф, фе Я}.
Легко видеть, что и КегС, и ImC являются линейными
подпространствами Я.
(10.1)
(А-Х1)(Н) = #,
КегС = {ф£Н:Ыр = 0},
а его образом — множество

§11. Спектр: точечный, непрерывный, остаточный
79
Теорема 11.1. Для любого линейного оператора С: Н —>
—► Я, dim Я < оо, имеет место равенство
dim Кег С + dim Im С = dim Я. (11.1)
Итак, если А не является собственным значением
оператора А, то оператор (А — XI) обратим. Причем, конечно, обратный
оператор R\ = (А — Л/)"1: Я —► Я непрерывен. Значит, если
dim Я < оо, то имеются две возможности:
1) уравнение Аф = Хф имеет ненулевое решение ф (т.е. А —-
собственное значение) и оператор R\ не существует;
2) оператор R\ существует и ограничен.
В случае (2) число А называется регулярным.
Однако в бесконечномерном случае имеется третья
возможность:
3) оператор R\ = (А - XI)"1 определен (на подпространстве
Im(;4 - XI)), т.е. уравнение Аф = Хф не имеет ненулевых
решений, но R\ неограничен.
Чтобы описать эту новую ситуацию, мы введем новую
терминологию и сделаем важное изменение в определении спектра
(по сравнению с конечномерным случаем).
Для линейного оператора А в гильбертовом пространстве Я
оператор
Rx = (A-XI)-{
называется резольвентой. Здесь не предполагается, что А
определен на всем Я и непрерывен. В общем случае А
определен лишь на некотором плотном линейном
подпространстве D(A) С Я.
В бесконечномерном случае спектр оператора не совпадает
с множеством его собственных значений. Если А таково, что
оператор (А — XI) является взаимно-однозначным и его образ
является плотным подпространством в Я, но R\ = (А — А/)"1 не
непрерывен, то А принадлежит непрерывному спектру. Если же
Кег (А — XI) = 0, но Im (А — XI) неплотно в Я, то А
принадлежит остаточному спектру.
Предложение 11.1. Спектр ограниченного оператора
А: Я —> Я есть непустое замкнутое ограниченное
подмножество в С, принадлежащее кругу \Х\ ^
Значения А, для которых оператор R\ определен на всем Я
и непрерывен, называются регулярными точками оператора А.

80 Гл. 3. Современный математический формализм квантовой механики
Множество всех остальных точек называется спектром
оператора А.
Конечно, все собственные значения оператора А принадлежат
его спектру. Если Аф = Хф, ф ^ 0, то (А — \1)ф = 0 и
резольвента не определена. Множество всех собственных значений
называется точечным спектром.
Заметим, что спектр любого оператора является замкнутым
множеством (т.е. если Лп принадлежат спектру и существует
А = lim Ап, то А тоже принадлежит спектру), что является
П—XX)
следствием следующего простого результата.
Предложение 11.2. Пусть А — линейный оператор в Н.
Множество всех его регулярных точек открыто.
Однако спектр неограниченного оператора может быть пуст.
Для неограниченного оператора имеем
A: D(A)->H,
для регулярной точки А:
RX:H->D(A).
Оператор R\ удовлетворяет равенствам
RX(A - XI) = ID{A)9 (А - XI)RX = J,
где Id(A) — единичный оператор на области определения D(A)
оператора А. Для регулярной точки А оператор А — XI: D(A) —>
-* Н биективен.
§ 12. Спектральное разложение самосопряженного
оператора
Теорема 12.1 (спектральная теорема). Пусть А —
самосопряженный оператор с областью определения D(A). Тогда
этот оператор порождает семейство проекционных
операторов 7Г\, —оо < А < +оо, обладающих свойствами:
1) тг\ ^ 7г^ для А < /х (т.е. для любого ip: (тг\(ру(р) ^
2) 7гд непрерывно слева (т.е. п\ = lim 7^);
/!—>А—0
3) 7г_оо = lim 7гд = О, 7Г+00 = lim 7Гд = /;
Л—оо Л—►-foo
4) Втг\ = ъ\В, если В — любой ограниченный оператор,
перестановочный с А;

§ 13. Операторы с чисто точечным спектром
81
-hoo
5) элемент ip £ D(A) j Л2 й(-к\ч>, ц>) < оо, и для этих (р
—оо
+оо
А<р= | \d7T\ip (12.1)
—оо
-hoo
Ш\2 = | A2d(7rA^). (12.2)
—оо
Сделаем несколько замечаний. Ограниченный оператор В
называется коммутирующим с неограниченным оператором А,
если из (р е D(A) Bip € D(A) и ABip = BAip.
Интеграл по конечному интервалу [а, Ь] по отношению к
спектральному семейству 7гд понимается как операторный интеграл
Стильтьеса:
II6 71
И /(A)d7TA - ^ f{h)*Ak -> 0, п оо,
где — частичные интервалы, на которые разбит интервал
[а,Ь], a Ajt - произвольная точка внутри А*; nsk = n\k+l — п\к.
Несобственный же интеграл понимается в смысле так
называемой сильной сходимости собственных интегралов:
+оо N
I fWdn\<p= Jim I /(A) dir\ip.
-oo -N
В частности, для /(A) = А мы получаем возможность взять
любой вектор (р € D(A).
При определенных ограничениях на функцию / мы можем
определить функцию от самосопряженного оператора А:
-hoo
f(A) = J /(А)Ага.
§ 13. Операторы с чисто точечным спектром
Пусть A: D(A) —> Н — самосопряженный оператор (с
плотной областью определения D(A)). Если в Н существует базис,
состоящий из собственных векторов оператора Ау то говорят,

82 Гл. 3. Современный математический формализм квантовой механики
что оператор имеет чисто точечный спектр. Такая
терминология может вызвать некоторое недоразумение, так как спектр
оператора с чисто точечным спектром состоит из множества
собственных значений и предельных точек этого множества.
Пусть Xj — собственные значения оператора А с чисто точечным
спектром, а 7гд. — ортогональные проекторы на соответствующие
собственные подпространства. Спектральное разложение А
имеет такой же вид, как и в конечномерном случае:
Л^ = £а,тга,¥>. G D(A), (13.1)
где сходимость понимается в следующем смысле:
Элемент ц> € D(A) Ф> ^2 ^IKa^-HI2 < 00 •
а,
Оператор А с чисто точечным спектром ограничена
Ф> sup |Aj| < оо.
з
Пример 13.1. Пусть {enJ-JJLj — ортонормированный базис
в гильбертовом пространстве Н. Положим Аеп = — еп. Этот
оператор продолжается по линейности на все конечные линейные
комбинации базисных векторов, а затем по непрерывности и на
все Н. Точка Aq = 0 = lim - принадлежит спектру А (так как
п—►оо П
спектр всегда замкнут), но Aq = О не является собственным
значением оператора. В силу спектрального разложения
оо
А<р = ]Г(еп,</?)еп
71=1
для любого ip £ Н.
Определим теперь другой оператор Ау полагая Аеп = пеп.
Тогда оо
Aip = ^n(en><p)en
n=l
для любого такого что
оо
^п2\(е„,<р)\2 < оо.
п=\

§14. Тензорное произведение гильбертовых пространств
83
§ 14. Тензорное произведение гильбертовых
пространств
Пусть ..., #(п) — некоторые гильбертовы пространства
со скалярными произведениями j= 1,...,п.
Рассмотрим в этих пространствах ортонормированные базисы: {еЦ.}^ ,
j = 1,..., п. Здесь Nj ^ оо — размерность гильбертова
пространства Рассмотрим следующие формальные выражения:
ет = ещ®ещ®...®ец,
где ® — знак тензорного произведения. Рассмотрим новое
гильбертово пространство, обозначаемое
с базисом {em}, га = (mi,...,гап), где т7- = 1,..., Nj. Элементы
С-линейного пространства Н имеют вид
Ф = ^ ^ cm6m,
га
где cm G С и
^Р|с™|2 < ОО.
771
В Н вводится скалярное произведение, относительно
которого векторы ет ортогональны. Для т = (mi,...,mn) и к =
= (fcj,..., кп)
(em,efc) = (emi,efc,)i(em2,efc2)2 ... (егг?Г1,екп)п-
Заметим, что если все Nj < оо, то и Н конечномерно и его
размерность
а1тя = 7у1ЛГ2...ЛГп.
Эта размерность растет экспоненциально с ростом п (если
все Nj > 1). Например, для Nj = 2, j = 1,...,п, получаем:
dim# = 2n
Ограничимся случаем двух пространств, и #(21
Пусть %j)j G j = 1,2. Тензорное произведение этих
векторов ® -02 определяется с помощью разложения их по
базису ет = ехтх ®е2Ш2:

84 Гл. 3. Современный математический формализм квантовой механики
ф = ф\ ® ф2 = y^Cm\Zmx J ® (Х^^6^ ) =
1711 77*2
Заметим, что £ Icm,^2 = (Ц l^il2) (Ц l^l2) < °°-
если V>i € Ж1) и ф2 € Я<21 Обратим внимание на то, что не
любой вектор ф € Я^) ® Я^2) может быть представлен в
виде "01 ® ф2.
Операция тензорного произведения векторов
дистрибутивна:
ip®{c\u + c2v) = c\ip®u + с2(р ® V,
(ciy? + с2ф) <g)U = C\(p<g)U + с2ф ® U.
Она также ассоциативна в следующем смысле:
(Я<!> ® я(2)) ® я<3> = я<!) ® (Я<2> ® Я<3>) = Я0> ® я») ® я<3>,
или, на языке векторов,
(ф ® ф) ® IX = -0 ® (ip ® U) = ф ® ® U.
Из определения тензорного произведения векторов легко
получаем
(Ф\ ® ^1, V>2 ® V2> = . ^2> 1 (Vl. V2)2-
Пусть Л1 : Я<*> -+ Я^) и Л2 : Ж2) -> Я(2) - линейные
операторы. Их тензорное произведение определяется равенством
Аф ® (р = А\ ® ® V = ^1 ^ ® ^2V
(продолжение на ® по линейности).
Пример 14Л. Пусть Я*1) = L2(RMl) и Я<2) = L2(RM2).
Выберем в каждом из £2-пространств ортонормированный базис:
{Л(я)}ь=1 и {Зг(у)}^1 (например, базисы, состоящие из
функций Эрмита), где х = (хь...,хм,) € btMl и у = (уь..., ум2) €
€ RM2. Тогда базис в Я = Я*1) ® Ж2) = L2 (RM') ® L2 (RM*)
состоит из формальных выражений
Fki = fk®9i-

§ 14. Тензорное произведение гильбертовых пространств 85
Удобно рассмотреть функциональное представление
элементов этого базиса, которое получается с помощью замены ®
на обычное произведение функций:
Получаем, что базисные векторы в Н могут быть представлены
как функции двух переменных. Следовательно, произвольный
элемент ф € Н тоже может быть представлен как функция двух
переменных:
hi
Этот ряд сходится в L2(RM), гДе М = М\ + М2 (если ^ \cki\2 <
ki
< 00). Более того, любой элемент этого /^-пространства можно
представить в виде такого ряда. Итак, получаем
По-видимому, наиболее четко суть тензорного произведения
выражена именно в таком функциональном представлении.
Fki(x,y) = fk(x)gi(y).
L2(RMl) ® L2(RM2) = L2(RMl+M2).

Глава 4
АКСИОМАТИКА
§ 1. Аксиоматика квантовой механики
Постулат 1. Квантовые состояния представляются
нормированными векторами .гильбертова пространства Н: ф £
£ Я, \\ф\\ = {.Два вектора ф и <р: ф = ар, с € С, \с\ = 1, задают
одно и то же квантовое состояние.
В общем случае Н может быть любым гильбертовым
пространством. В частности, в квантовой теории информации
предпочитают работать в пространстве Нп = Сп. Исключая из
рассмотрений пространственные степени свободы, х £ R3, мы
существенно облегчаем выкладки. Но все-таки не следует
забывать, что квантовый бит реализуется в физическом пространстве.
Это, например, спин электрона. И хотя мы интересуемся лишь
спином (в квантовой теории информации), реальный электрон
живет в физическом пространстве. Современный подход,
основанный на использовании абстрактного гильбертова
пространства, принадлежит Дираку [6]. В то же время фон Нейман
работал исключительно в Н = L2(R3). Хотя его подход менее общий,
но здесь не теряется связь с физическим пространством R3.
Поэтому постулат 1 может быть дополнен.
Постулат 1а. Пространство представления квантовых
состояний — это пространство Н = Z/2(Rn,Cm) квадратично
суммируемых функций ф: Rn —> Cm.
Векторнозначные функции появляются из-за учета
внутренних степеней свободы, например спина. Для одной квантовой
частицы п = 3 (она находится в физическом пространстве R3).
Обычно постулат 1 дополняется следующим образом.
Постулат 16. Любой нормированный вектор ф £ Я, \\ф\\ =
= 1, представляет некоторое квантовое состояние.

§ 1. Аксиоматика квантовой механики
87
Итак, в силу постулатов 1 и 16 множество всех квантовых
состояний может быть реализовано в виде единичной сферы:
5Я = {^€Я: = 1},
причем Sh разбивается на классы эквивалентности, ф ~ <р: ц> =
= егвф. Обычно постулат 16 не выделяется в качестве отдельного
постулата. Мы его выделили, потому что он не так уж естествен
с физической точки зрения. Однако без этого постулата рушится
фундамент квантовой механики, рассматриваемой как линейная
теория, см. принцип суперпозиции. Постулат 16 также широко
использовался в теоремах невозможности (о сведении квантовой
механики к классической).
Как уже было отмечено, Z/2-пространства содержат
идеальные элементы, не имеющие прямой физической интерпретации.
Об этом не стоит забывать. Не любая математически
определенная -0-функция, ||^|| = 1, соответствует реальному физическому
состоянию.
Замечание 1.1 (линейная структура). В современной
аксиоматике наличие линейной структуры в гильбертовом
пространстве Я вызывает двойственные чувства. С одной стороны,
состояние — это нормированный вектор. Причем нормировка
единицей здесь существенна, так как она связана с
вероятностной интерпретацией состояния. Возникает вопрос о физическом
смысле ненормированных ф £ Я. В квантовой механике такие
векторы физического смысла не имеют. Поэтому, возможно,
было бы разумно работать лишь на единичной сфере. С другой
стороны, при формулировке принципа суперпозиции состояний
используется линейная структура. Попытка сформулировать этот
принцип на единичной сфере выглядела бы очень неестественно.
Напомним этот принцип, следующий из постулатов 1 и 16.
Линейная комбинация квантовых состояний вновь
является квантовым состоянием.
Ограничимся рассмотрением линейных комбинаций
конечного числа состояний (чтобы избежать вопросов о
сходимости рядов в гильбертовом пространстве). Пусть ф\1...,фм € Я,
Ц^-1| = 1. Рассмотрим их линейную комбинацию
ф — с\ф\ + ... + с^Фы, Cj € С.
Эту комбинацию мы не можем реализовать на единичной
сфере в Я. Мы должны подняться в линейное пространство Я.

88
Гл. 4. Аксиоматика
И результат суперпозиции, ф, лежит в Я, и в общем случае
вовсе не на сфере. В итоге, чтобы получить квантовое
состояние, нужно нормировать ф — опустить его на сферу. Рецепт
на редкость неестествен. Похоже, что нормировка и линейная
суперпозиция — это свойства разных объектов, которые
в квантовом формализме объединяются в один — квантовое
состояние. В гл. 6 мы изложим предквантовую классическую
статистическую теорию поля, в которой все станет на свои места.
В этой теории принцип суперпозиции имеет место для
классических полей ф(х) € Z/2(R3), а нормировка на единицу — это
стандартная в теории вероятностей нормировка дисперсии предк-
вантового случайного поля (имеющего ковариационный оператор
РФ = ф®ф).
Постулат 2. Наблюдаемые для квантовых систем
представляются самосопряженными операторами в Н.
Постулат 3. Множество значений наблюдаемой,
представленной самосопряженным оператором А, совпадает со
спектром этого оператора.
Таким образом, для наблюдаемой, представленной
оператором с чисто точечным спектром, могут наблюдаться лишь ее
собственные значения Xj.
Замечание 1.2 (о линейности квантовых наблюдаемых).
Итак, квантовые наблюдаемые должны представляться
линейными операторами. А собственно говоря, почему? Ведь мы уже
отмечали, что пространство состояний — это вовсе не
линейное пространство Я, а сфера Sh (факторизованная с помощью
соотношения эквивалентности ф ~ у). Линейный (даже
непрерывный) оператор Ai Я —* Я отнюдь не переводит единичную
сферу £# гильбертова пространства в себя. Мы увидим, что
линейность квантовых наблюдаемых может быть объяснена очень
просто на основе предквантовой классической статистической
теории поля, см. гл. 7.
Замечание 1.3 (самосопряженность). Собственно говоря,
почему наблюдаемые не могут представляться
несамосопряженными операторами? Обычно в квантовой литературе говорится
следующее. Выбор самосопряженных операторов
обусловливается тем, что в эксперименте мы всегда получаем результаты,
представляемые вещественными числами. А самосопряженность
гарантирует вещественность спектра. Меня совершенно не
удовлетворяет такое объяснение. В принципе показания приборов

§ 1. Аксиоматика квантовой механики
89
можно нумеровать любыми символами; например, А = 1, г, — 1,
7Г 37Г
—г, вместо углов в = 0, -,п, —. Хотелось бы найти более
глубокие корни появления самосопряженных операторов в квантовой
механике, ср. с гл. 7.
Мы сформулируем сначала вероятностный постулат Борна
для операторов с чисто точечным спектром.
Постулат 4Т. Пусть задано состояние ф £ Я, и пусть
самосопряженный оператор А имеет чисто точечный спектр:
A^^XjirXj, Xj £ R.
Вероятность получения значения Xj для наблюдаемой,
представляемой оператором А, определяется правилом
В частности, если оператор А, имеющий чисто точечный
спектр, невырожден для некоторого Aj, т.е. имеется
единственный собственный вектор (с точностью до коэффициента
с = егв) ф\., то 0
Р^4 = А,-) = |<^>|2
Если же все собственные значения {Xj} невырождены, то
любое состояние ф можно разложить по собственным векторам
оператора А:
Ф = С\ф\х+ ...+Спф\п + ...
Здесь Cj £ С и, поскольку Cj = {ф\гф),
|с,|2 + ... + |с^|2 + ... = |И|2=1.
Итак, \cj\2 дает вероятность получить значение Xj при измерении
наблюдаемой, представленной оператором А.
В общем случае вероятностный постулат Борна
формулируется с использованием спектрального разложения
самосопряженного оператора А = | Xdn\.
R
Постулат 4. Пусть заданы состояние ф £ Я и
наблюдаемая А. Вероятность того, что результат ее измерения
лежит в интервале А С R, определяется правилом Борна:
Р^(АеА) = \\пАф\\2,
где 7гд — спектральный проектор для интервала Д.

90
Гл. 4. Аксиоматика
Постулат 4 для операторов с непрерывным спектром имеет
чисто теоретическое значение. Любое реальное измерение в
лаборатории подразумевает дискретизацию. Например, мы хотим
измерить координату частицы. Это можно сделать с помощью
системы детекторов. Но эта система всегда конечна, и детекторы
представимы операторами с дискретным спектром.
Постулаты 3 и 4 обычно дополняются проекционным
постулатом фон Неймана.
Постулат 5. Пусть заданы состояние ф и наблюдаемая,
представленная оператором с чисто точечным
невырожденным спектром:
Если в результате А-измерения было получено значение А&,
то (непосредственно после измерения) система оказывается
в состоянии ф\к: первоначальное состояние ф проецируется
Постулат 5 широко применяется в теории квантовых
измерений. В то же время он уже на протяжении десятков лет является
предметом бурных дискуссий. Довольно распространено мнение,
что его нужно применять с ограничениями: не для каждой
наблюдаемой и не для каждого состояния.
Подчеркнем, что фон Нейман предложил свой проекционный
постулат только для операторов с невырожденным (точечным)
спектром. Однако в современной литературе этот факт
полностью игнорируется. Проекционным постулатом называют
обобщение постулата 5 на операторы с вырожденным (точечным)
спектром, предложенное Людерсом.
Постулат 5а. Пусть заданы состояние ф и наблюдаемая,
представленная оператором с чисто точечным спектром:
Если в результате А-измерения было получено значение А^,
то (непосредственно после измерения) система оказывается
в состоянии .
на ф\к.
а;

§ 1. Аксиоматика квантовой механики
91
Нормировочный коэффициент — возникает в связи
1кл>||
с тем, что проекция тг\^ не принадлежит Sh-
Однако фон Нейман утверждал, что если спектр вырожден,
то в результате измерения со значением А = состояние ф
отнюдь не переходит в его проекцию (нормированную) на
собственное подпространство для А*;. Он привел очень четкую
аргументацию того, что при вырождении А^ в результате А-измере-
ния не возникает никакое определенное состояние\ Это очень
важная точка зрения.
Постулат 6. Эволюция состояния ф во времени, t —► ф(Ь),
описывается уравнением Шрёдингера:
где Н — самосопряженный оператор, представляющий
наблюдаемую энергии, h — постоянная Планка и Tt = — —
постоянная Дирака.
Полагая _ш _itx
Ut = е h = е т dir\,
к
где Н = | \dir\, получаем однопараметрическую группу у
null
тарных операторов:
Ut+T = UtUT, Ufl = U-u U0 = I.
Из унитарности следует, что \\Ut^\\ = ||^||, т.е. Щ: Sh —* Sh- Это
важное следствие динамики Шрёдингера: квантовые состояния
переводятся в квантовые состояния. Генератор квантовой
динамики называется гамильтонианом.
Замечание 1.4 (линейность уравнения Шрёдингера). В
физике, биологии, экономике (по-существу, в любой науке)
линейные эволюционные уравнения возникают как
аппроксимация нелинейных уравнений. Природа фундаментально нелинейна
и линейность используется для упрощенного описания
сложнейших нелинейных процессов. Однако квантовая механика
является исключением (по-видимому, единственным) из этого общего
правила. Здесь линейность фундаментальна. Каких-либо
общенаучных объяснений линейности микромира неизвестно.
Конечно, нельзя исключить, что и в квантовой теории фундамен-

92
Гл. 4. Аксиоматика
тальное эволюционное уравнение нелинейно и что уравнение
Шрёдингера — лишь аппроксимация этого еще неизвестного
нелинейного уравнения. Попытки развития квантовой теории
в данном направлении известны. Например, в работах польского
физика Белянского-Бирулы, немецкого физика Дёбнера и
автора этой книги, см. [209], содержащую полную библиографию.
Эффект нарушения линейной динамики может быть проверен
экспериментально. Для достижимой в настоящее время
временной шкалы, At = 10~18 с, отклонений от динамики Шрёдингера
обнаружено не было.
Постулаты 1-5 описывают квантовую механику для одной
системы. Для описания нескольких квантовых систем
используется следующий постулат.
Постулат 7. Пусть имеется т квантовых систем
si,...,5m, имеющих (комплексные гильбертовы)
пространства состояний Н(х\...,Н(т\ Тогда пространство
состояний сложной системы s, состоящей из подсистем si,...,sm,
описывается тензорным произведением
Подчеркнем, что описание сложных квантовых систем
отличается коренным образом от описания сложных классических
систем.
Если 5i и s2 — классические системы с фазовыми
пространствами Aj = R2ni и Л2 = R2n2, то сложная система s
с компонентами s\ и 52 может быть описана фазовым
пространством Л = Ai х Л2 = R2™ х R2n2 = R2("i+n2).
Если (<?i,pi) и (q2„Р2) — состояния систем s\ и s2
(координаты и импульсы), то состояние системы s задается точкой (р,д),
где q = (q\, q2) и р = (р\, р2). В частности, уравнение движения —-
это уравнение Гамильтона на фазовом пространстве Л:
где H(quq2,p\,p2) = + + V(q\,q2) — функция
Гамильтона для сложной системы 5.
В то же время пара квантовых систем s\, s2 описывается не
декартовым, а тензорным произведением пространств состояний.
# = <8>...<8>Жт).
Pi =
Ф^(9Ь92>РЬР2).
дн( .

§ 1. Аксиоматика квантовой механики
93
Например, пусть пространство состояний — это Z/2(R3). Тогда
для каждой из систем имеем динамику Шрёдингера.
Гамильтониан квантовой системы массы m для потенциала V
имеет вид
п гр.
где Д = —9 ~~ оператор Лапласа, q = (q\,..., qn).
Итак, рассматривая s\ и 52 по отдельности, получаем систему
уравнений Шрёдингера:
ih^(t,qi) = ~AMt,ql) + Vl(qi)Mt,qi),
ih-jjjl(t,qi) = - —Д^Мг) + V2(q2№2{t,q2).
Интуиция, идущая из классической физики, говорит нам, что
состояние сложной системы 5 с компонентами s\,s2 должно
задаваться вектором ip(t,q\,q2) = (^i('»9i).^2(*.ft))- При этом
система двух уравнений Шрёдингера должна быть модифицирована,
принимая во внимание наличие взаимодействия между s\,s2. Это
привело бы к рассмотрению потенциалов вида V(q\,q2). Однако
классическая интуиция нас обманывает. Состояние системы s
описывается не декартовым произведением Z,2(R3) х L2(R?),
а тензорным произведением Ь2(Л?) ® L2(R?) = ^2(R3 х R3) =
= Ь2(В?):
гЬ & (*, Чх, q2) = (- А- Д„ - А- Д„2) </>(*, 91,92) +
Использование тензорного произведения вместо декартова
для описания сложных систем — это одна из загадок квантовой
теории. Именно это свойство квантовых систем влечет
экспоненциальное возрастание вычислительных возможностей
квантовых компьютеров по сравнению с классическими. Рассмотрим га
квантовых битов, каждый из которых описывается гильбертовым
пространством состояний Н2 = С2. Тогда система из га
квантовых битов описывается пространством Н2т = С2 <g> ... ® С2.
Здесь dimН2т = 2т, а размерность пространства состояний
сложной классической системы была бы 2га.

94
Гл. 4. Аксиоматика
§ 2. Совместное измерение квантовых наблюдаемых
Создатели математического формализма квантовой механики,
фон Нейман и Дирак, связывали возможность совместного
измерения квантовых наблюдаемых с коммутативностью операторов,
их представляющих.
Постулат 4*. Квантовые наблюдаемые, представленные
самосопряженными операторами А\,...,Ап, допускают
совместное измерение тогда и только тогда, когда операторы
коммутируют. В этом случае для состояния ф вероятность
того, что значения наблюдаемых будут получены в
интервалах А\,..., Ап, вычисляется по формуле
Рф(А1еА{,...,АпеАп) = ... тг£ ||2, (2.1)
где 7Гд обозначает спектральное семейство оператора А.
Обычно этот постулат не вызывает сомнений и дискуссий
(в отличие, например, от проекционного постулата фон
Неймана-Дирака). Однако при вдумчивом анализе этот постулат
вызывает следующие замечания. Собственно говоря, отправной
точкой и для фон Неймана, и для Дирака был математический
формализм квантовой механики, а вовсе не эксперимент. Было
подмечено, что для коммутирующих самосопряженных
операторов их спектральные семейства тоже коммутируют и
формула (2.1) задает величину, не зависящую от порядка операторов.
Однако из этого отнюдь не следует, что мы гарантировано можем
найти измерительную процедуру для совместного измерения.
С другой стороны, если не считать, что квантовый формализм
дает наиболее полное описание микромира (точнее, измерений
в микромире), то нет никаких оснований считать, что отсутствие
в математическом формализме квантовой механики «хорошей
формулы» для вероятности совместного измерения квантовых
наблюдаемых, которые представлены некоммутирующими
операторами, действительно влечет фундаментальную невозможность
такого измерения.
§ 3. Смешанные состояния
В соответствии с копенгагенской интерпретацией
нормированные векторы гильбертова пространства задают чистые
состояния. Эта терминология является следствием копенгагенско-

§ 3. Смешанные состояния
95
го постулата о полноте квантовой механики. В силу этого
постулата нормированный вектор ф дает наиболее полное
описание состояния квантовой системы. Никакое более детальное
описание (введение «скрытых параметров») невозможно.
Хотя мы и не придерживаемся копенгагенской интерпретации
(в частности, считаем, что более детальное описание возможно),
мы будем использовать устоявшуюся терминологию, понимая,
конечно, что «чистые состояния» отнюдь не чисты. Они на
самом деле представляют собой статистические смеси состояний,
описываемых скрытыми (при нынешнем уровне развития
технологии) параметрами.
Итак, пусть ф\ и ф2 — два чистых состояния. Рассмотрим
ансамбль квантовых систем 5, в котором состояния ф\ и ф2
реализуются с вероятностями р\,р2, гДе Pj > 0 и р\ + р2 = 1.
Постулируется, что такой ансамбль описывается в квантовой
механике оператором плотности
где 7г^. — ортогональный проектор на вектор фу
Это определение особенно естественно при использовании
ансамбль-интерпретации квантовой механики. Пусть
состояния описывают экспериментальные контексты Cj, j = 1,2,
и пусть Sj — ансамбли физических систем, приготовленные
с помощью Cj 1). Оператор р описывает статистическую смесь,
новый ансамбль 5, приготовленный из ансамблей S\ и S2 с
весами р\ и р2. Оператор р называется статистической смесью чистых
состояний ф\ и ф2.
Используя постулат 4Т, найдем вероятности реализации
значений квантовой наблюдаемой для состояния р. Как обычно
в этой книге, будем предполагать, что данная наблюдаемая имеет
чисто точечный спектр: А = ^2^тт\у Тогда получаем, что
Рр(А = Xj) = р,|кл>||2 +Р21К^2||2.
Это выражение может быть переписано в виде
Рр(А = \,) = ЪртгХг (3.1)
О Например, описывает локализацию частицы в некоторой области Oj
пространства R3 (в общем случае 0\ П Оч Ф 0); Cj — контекст отбора частиц
в области Oj\ Sj — ансамбль таких частиц.

96
Гл. 4. Аксиоматика
Обобщая эти рассуждения, сформулируем следующий
постулат.
Постулат 8 (фон Нейман-Ландау). Статистическая смесь
«чистых квантовых состояний» представляется оператором
плотности р, обладающим следующими свойствами:
а) р самосопряжен, р* = р;
б) р имеет конечный след, Тгр < оо (в частности, р
ограничен)',
в) Trp = 1;
г) р положительно определен (рф, ф) ^ 0 для любого ф.
Для квантовой наблюдаемой А вероятность получить
значение Xj из области точечного спектра задается
формулой (3.1).
Заметим, что каждый оператор с конечным следом (ядерный
оператор в терминологии функционального анализа) имеет чисто
точечный спектр:
Р = Y^ajKaj,
j
причем все собственные значения су € [0, 1] и
Тгр = ^ajdim7raj(#) = 1,
i
см. в), г). Если в каждом подпространстве 7raj(H) (состоящем
из собственных векторов для собственного значения су) выбрать
ортонормированный базис и построить таким образом базис
в Н : {Фз)> то, обозначая собственные значения с учетом
кратности (3j, получаем представление оператора плотности в виде
з
где _
=i
Напомним следующее соответствие между элементами
тензорного произведения Н ® Н и операторами в Н. Элементу ф\ ® ф2
соответствует оператор А = ф\ ® ф2, действующий следующим
образом:
Aip = (ф2,(р)ф\,

§ 4. Символика Дирака
97
в общем случае А = ^ cktmfk <8> дт, fk,9m € Я, действует так:
к,т
А(р = ^2ckm{gm,<p)fk-
к,т
В частности, ортогональный проектор на вектор ф можно
записать в виде
^•ф=Ф®Ф-
Формулу (3.2) можно переписать в виде
оо оо
j=\ j=\
Заметим, что чистое состояние ф также может быть
представлено матрицей плотности:
Рф = Ф ® ф.
Такое представление не может быть разумно объяснено
в рамках копенгагенской интерпретации, так как «чистые»
и «смешанные состояния» ни в коем случае нельзя
отождествлять. Однако при ансамбль-интерпретации (при условии
неполноты квантовой механики) все состояния квантовой теории
смешанные (для скрытых параметров). Поэтому естественно, что
все квантовые состояния представляются единообразно
операторами в Н.
Можно ли придать оператору плотности р классический
вероятностный смысл? Интересная возможность будет осуждаться
в гл. 7.
§ 4. Символика Дирака
Впервые представление состояний квантовых систем
векторами абстрактного комплексного гильбертова пространства было
рассмотрено в книге Дирака [6] (фон Нейман работал в
пространстве Z/2(R3), сравни постулаты 1 и 1а). Дирак ввел
собственную терминологию и обозначения, отличные от
используемых в математической литературе по теории гильбертова
пространства.
Он исходил из произвольного комплексного пространства Н
(конечной или бесконечной размерности). Его элементы он
называл кет-векторами и обозначал с помощью символа |). Он от-
4 А. Ю. Хренников

98
Гл. 4. Аксиоматика
мечал, что фундаментальным свойством представления
квантовых состояний в Н является принцип суперпозиции. Взяв любые
два кет-вектора и |^) и два комплексных числа с\, с2, мы
вновь получим кет-вектор:
\Ф) = cih/>i) + с2Ш-
Далее Дирак писал: «Мы теперь предполагаем, что
каждое состояние динамической системы х) в фиксированный
момент времени соответствует некоторому кет-вектору.
Соответствие таково, что для состояния, возникающего из
суперпозиции некоторых других состояний, кет-вектор
выражается линейно через кет-векторы этих состояний. Верно
и обратное».
Самым туманным в этой формулировке является понятие
суперпозиции (физических) состояний. Что такое линейная
комбинация векторов, мы отлично понимаем, а вот что такое
суперпозиция двух физических состояний — отнюдь не ясно. В книге [6]
этому вопросу посвящено несколько разделов. Мы приведем
часть этих рассуждений и прокомментируем их.
В качестве важнейшего примера суперпозиции состояний
в [6] рассматривается суперпозиция поляризаций фотона. Дирак
начинает свои утверждения с того, что поляризация
действительно является физическим свойством фотона. Хорошо известно,
что когда свет, поляризованный в плоскости, используется для
вышибания фотоэлектронов с поверхности металла, то имеется
предпочтительное направление для электронной эмиссии 2).
Таким образом, поляризационные свойства фотона тесно связаны
с его корпускулярными свойствами, и мы должны приписать
каждому фотону его поляризацию. Здесь под корпускулярными
свойствами подразумеваются направления в физическом
пространстве.
Комментарий. Собственно говоря, почему из этих
рассуждений следует, что поляризация должна быть приписана фотону?
Во-первых, поляризация определяется с помощью
поляризационного кристалла. Кристалл — это гигантская система (по
сравнению с фотоном). Таким образом, поляризация — это отнюдь
не свойство фотона, а результат (очень сложного) взаимодей-
*) Мы используем термин «квантовая система».
2) Конечно, не все электроны вылетают в этом направлении. Но большая
часть выбирает именно его.

§ 4. Символика Дирака
99
ствия фотона с кристаллом. И в рассмотренном примере с
фотоэлектронами направление вылета электрона — это результат
сложного взаимодействия фотона с поверхностью металла. Более
естественным кажется предположить, что реальное состояние
фотона нам неизвестно. Это «скрытая переменная» Л. Одна и та
же поляризация может соответствовать совершенно различным
скрытым параметрам А.
Далее Дирак продолжает. Рассмотрим пучок света,
проходящий через кристалл, пропускающий лишь свет, поляризованный
в плоскости, перпендикулярной оптической оси кристалла.
Классическая электродинамика предсказывает результат
прохождения пучка для любой поляризации. Если пучок был поляризован
в плоскости, перпендикулярной оси кристалла, то он полностью
пройдет через кристалл; если параллельно оси, то ничего не
пройдет; если же он поляризован под углом а к оси, то пройдет
только часть с коэффициентом пропорциональности sin2 а.
Предполагается [6], что в квантовой механике каждому
фотону в световом пучке, поляризованном в некотором направлении,
приписывается это направление поляризации. Если фотон
принадлежит пучку, перпендикулярному оси, то он пройдет через
кристалл. Можем приписать ему определенное поляризационное
состояние — кет-вектор |+). Если же он лежит в пучке,
параллельном оси, то он не пройдет; припишем ему состояние — кет-
вектор |-).
Для Дирака проблема возникает в случае фотонов с «косой
поляризацией». При прохождении через кристалл мы будем
получать либо результат +1 (прошел), либо -1 (не прошел).
Комментарий. В принципе, я не вижу здесь большой
проблемы. Фотоны в «косом пучке» имеют некоторые состояния,
описываемые скрытыми параметрами из некоторой подобласти Ла
пространства скрытых параметров Л. Перед началом
взаимодействия фотон находится в состоянии Aq = \(to). В результате
взаимодействия фотона с кристаллом возникает некоторая
динамика А = А(£), t ^ to- В зависимости от Aq и состояний атомов
в кристалле (состояние) А(Т) соответствует либо прохождению
через кристалл, либо его отсутствию. Здесь Т — момент времени
окончания взаимодействия.
Однако Дирак придерживается другой идеологии. Он
считает, что вопрос о том, что случится с фотоном при прохождении
через кристалл, на самом деле неточно сформулирован. Чтобы
4!

§4. Символика Дирака
101
предопределяется условиями проведения эксперимента.
Наибольшее, что может быть предсказано, это результат эксперимента
и вероятность результата.
Комментарий. Выводы Дирака ничем не обоснованы.
Никакого противоречия с детерминизмом и классической теорией
незаметно. Собственно говоря, почему классический процесс
взаимодействия фотона с кристаллом не может привести к
излучению фотона той же энергии? Кроме того, было бы очень наивно
предполагать, что по другую сторону кристалла мы
обнаруживаем «тот же самый фотон». Да, конечно, в результате
взаимодействия волнового импульса с кристаллом кристалл излучает
новый импульс. Но, нет оснований отождествлять приходящий
и исходящий импульсы с одним и тем же фотоном.
Тем не менее Дирак продолжает в том же духе. Вопросы
о том, что определяет факт прохождения фотона через кристалл
или его отсутствие и как фотон изменит свою поляризацию
в результате прохождения через кристалл, не могут быть
исследованы экспериментально. Они должны рассматриваться как
вопросы, лежащие за пределами науки.
Комментарий. Несомненно, Дирак был жертвой махизма
(так же как и Бор, и Гейзенберг). Напомним, что Мах довел до
самоубийства Больцмана, утверждая, что Больцман занимается
псевдонаукой, развивая теории, основанные на ненаблюдаемых,
в принципе, химерах, таких как молекулы.
Итак, отмечая, что вопросы о том, что происходит с фотоном
внутри кристалла, запрещены в квантовой теории, Дирак пишет,
что тем не менее некоторое более полное описание (по
сравнению с рассмотрением лишь поляризаций |+), |-))
необходимо, чтобы связать результаты эксперимента по взаимодействию
фотона с кристаллом с другими возможными экспериментами.
А также для того, чтобы создать некоторую общую
теоретическую схему. Он предлагает следующее описание.
Предполагается, что фотон с а-поляризацией может быть рассмотрен как
находящийся в состоянии поляризации частично параллельной
оптической оси кристалла и частично перпендикулярной оси.
Состояние а-поляризации может быть рассмотрено как
результат некоторого рода суперпозиционного процесса, примененного
к двум состояниям — параллельной и перпендикулярной
поляризации.

100
Гл. 4. Аксиоматика
сформулировать его точно, нужно предложить некоторый
эксперимент, соответствующий вопросу. Он подчеркивает, что только
вопросы о результатах экспериментов имеют реальное значение
и только такие вопросы могут рассматриваться в теоретической
физике.
В примере с кристаллом единственной экспериментальной
возможностью является использование пучка, состоящего из
одного фотона, и регистрирование результата.
Комментарий. Во-первых, совершенно неясно, почему
запрещено пытаться построить математическую модель для динамики
скрытого состояния А(£)? Математическая модель — это лишь
модель. Она не может быть полностью идентична
экспериментальной реальности. Например, если рассмотреть классическую
механику Ньютона, то она тоже не удовлетворяет критерию
Дирака соответствия экспериментальной реальности. Даже
фундаментальный постулат о непрерывности пространства и
времени не может быть проверен экспериментально. Во-вторых,
отсутствие в настоящее время экспериментальных возможностей
для контроля за прохождением фотона через кристалл вовсе не
означает, что такие возможности не возникнут в будущем при
дальнейшем развитии нанотехнологии.
Дирак продолжает рассмотрение эксперимента по
прохождению фотона через кристалл. Согласно квантовой механике,
результатом этого эксперимента будет то, что иногда мы
будем регистрировать целый фотон с энергией, равной энергии
пришедшего фотона, по другую сторону кристалла, а иногда
не будем регистрировать ничего. Если будет обнаружен целый
фотон, то он будет иметь поляризацию, перпендикулярную
оптической оси х). Никогда по другую сторону от кристалла не
будет найдена лишь часть фотона (в смысле энергии). Если
эксперимент будет повторен большое число раз, фотон будет
зарегистрирован по другую сторону от кристалла sin2 а раз от
общего числа фотонов, вступивших во взаимодействие с
кристаллом. Таким образом, индивидуальность фотона сохранена.
Однако этого удается достичь только потому, что мы отвергли
детерминизм классической теории. Результат эксперимента не
') Здесь уже используется проекционный постулат. Этот постулат ввели
независимо Дирак и фон Нейман. Однако фон Нейман провел более глубокий
анализ этого постулата. Поэтому он и получил название проекционного
постулата фон Неймана.

§ 4. Символика Дирака
103
Однако сам Дирак был бы категорически против такой
интерпретации. Он старался всячески подчеркнуть отличие квантовой
модели с состояниями, представленными векторами, от
аналогичной классической. Он писал:
Продолжая математическое формулирование принципа
суперпозиции, мы должны наложить следующее ограничение, а
именно: суперпозиция любого состояния \и) самого с собой не
может породить новое состояние, но только вновь то же самое
состояние \и). В линейном пространстве состояний суперпозиция
представлена линейной комбинацией
с\\и) + с2\и) = (с\ +с2)|гх).
Постулируется, что кет-вектор (с\ + с2)\и) представляет то
же квантовое состояние, что и кет-вектор \и). При этом
делается замечание, что случай с\ + с2 = 0 особый. В этом случае
суперпозиционный процесс порождает «ничто» (nothing at all).
Это объясняется интерференцией. Итак, постулируется, что
если кет-вектор, соответствующий состоянию,
умножается на любое комплексное число, отличное от нуля, то
полученный кет-вектор будет соответствовать тому же
состоянию.
В книге [6] подчеркивается, что это предположение
показывает фундаментальное различие суперпозиции в квантовой
теории и в любой классической теории. В случае классической
системы, для которой имеет место принцип суперпозиции,
например вибрирующей мембраны, суперпозиция состояния
самого с собой приводит к новому состоянию, имеющему другую
магнитуду осцилляции. Однако отсутствует какая-либо
физическая характеристика квантового состояния, соответствующая
магнитуде классических осцилляции. В квантовом случае мы
имеем лишь аналог пропорций между магнитудами осцилляции
в разных точках мембраны.
В простейшем случае двух осцилляторов и квантовое, и
классическое состояния задаются векторами
\Ф) = с\\щ) + с2\и2).
Предполагается, что осцилляторы имеют частоты щ и v2
соответственно. Однако в квантовом случае состояния \ф) и
с\ф) = (сс\)\щ) + {cc2)\v2), сфО,

102
Гл. 4. Аксиоматика
В заключение Дирак формулирует проекционный постулат
для состояния фотона. Когда мы направляем фотон на кристалл,
мы делаем его объектом наблюдения. Эффект наблюдения
приводит к тому, что фотон переходит полностью либо в состояние |+),
либо в состояние |—). Он должен сделать неожиданный прыжок
из состояния пребывания частично в |+) и частично в |—) в одно
из этих состояний. В какое из этих состояний он прыгнет,
предсказать в принципе невозможно. Можно предсказать лишь
вероятность.
Замечание (проблема измерения в квантовой механике). Как
мы знаем, динамика состояния квантовой частицы массы га,
движущейся в потенциале V(q)y описывается уравнением
Шрёдингера:
Это непрерывная эволюция: гр = ч/>(£). И Дирак, и фон
Нейман подчеркивали, что измерение приводит к прыжку в одно
из собственных состояний наблюдаемой, представленной
самосопряженным оператором А (во всяком случае для точечного
невырожденного спектра). Невозможность описать и эволюцию,
и измерение одним уравнением получила название проблемы
измерения. Считается, что эта проблема не решена до сих пор.
Хотя и были предложены различные подходы и ее решению,
например в работах Белавкина [49].
Если отвлечься от детального изложения махистской
идеологии, то рассуждения Дирака о принципе суперпозиции
сводятся к следующему. В классической теории электромагнетизма
физические системы описываются волнами. Волны могут быть
представлены векторами комплексного гильбертова
пространства. В частности, рассматривается вектор поляризации. То же
самое следует делать и в квантовой теории. Однако неизвестен
механизм, индуцирующий передачу энергии квантами-фотонами.
Поэтому стоит приписать квантовый вектор-состояние
корпускуле (фотону) 1). Конечно, как любой вектор, квантовый вектор-
состояние можно разложить по любому базису. Например,
вектор поляризации по базису {|+), |-)}, связанному с оптической
осью кристала.
') Следует заметить, что вопреки широко распространенному мнению
Альберт Эйнштейн никогда не рассматривал «фотон-частицу». Он изучал лишь
передачу энергии порциями — квантами света, фотонами.

104
Гл. 4. Аксиоматика
отождествляются, а вот в классическом они различны. Для
классического \ф) магнитуды флуктуации равны R\ = |ci|2, R2 = |с212
и R\ = \c\2Ru Rf2 = |с|2Д2.
Комментарий. Складывается впечатление, что различие
между квантовой и классической суперпозициями чрезмерно
подчеркивается. Эти различия могут быть легко объяснены,
если отказаться от постулата о том, что квантовое описание
полно. Предположим, ср. с гл. 7, что квантовая механика —
это приближенная математическая модель микромира. В этой
модели абсолютные магнитуды осцилляции неизвестны по
простой причине: квантовое состояние (волновая функция)
ненаблюдаемо. Одной из причин ненаблюдаемости может быть
просто малость этих магнитуд (по сравнению с точностью
существующих измерительных устройств). Допустим, что тем не
менее относительные магнитуды можно оценить статистически.
Вот мы и получим квантовую теорию.
Если мы наблюдаем лишь частоты v\ и щ системы из двух
классических осцилляторов, но не наблюдаем магнитуды
осцилляции, то мы можем найти вероятности получения результатов v\
и U2- Ответ будет такой же, как и в квантовой теории:
ры = , К ,2> гы = , .j*1' |2. (4.1)
\с\Г + NZ |cir + 1С2Г
Мы сделали естественное предположение, что вероятность
получить фиксированную частоту пропорциональна магнитуде
колебаний на этой частоте. При этом нет необходимости
предполагать, что эта магнитуда должна быть наблюдаемой величиной.
Она может быть и ненаблюдаемой. Но она все равно проявит
себя статистически в формулах (4.1). Эти формулы являются не
чем иным, как правилом Борна.
В заключение этого комментария обратим внимание на
случай с\ + С2 = 0. Если следовать Дираку и действительно
считать, что система с состоянием \(р) = с\\ф\) + С2\ф2) находится
частично в состоянии l^i) и частично в состоянии |ч/>2), то
для l^i) = l^) = \и) и ci + с2 = 0 мы получаем, что «ничто»
может быть всегда представлено как суперпозиция любого
состояния \и) с самим собой.
Ограничимся на время рассмотрением конечномерного Я.
Кроме линейного пространства состояний Я кет-векторов,
в книге [6] рассматривается пространство Я*. Это пространство

§ 4. Символика Дирака
105
линейных функционалов <р: Я —► С. На Я* задается
естественная структура векторного пространства: (<р\ + <р2)(ф) = Ч*\{Ф) +
+ ^(VO* € Я* и ф € Н, (ар)(ф) = с<р(ф). Однако Дирак
вводит свою терминологию и обозначения. Элементы Я* он
называет бра-векторами и обозначает (ip\. Результат применения
линейного функционала ц> = (<р\ к вектору ф = |^) обозначается
((р\ф) (= <р(Ф))- Конечно, мы имеем
(<р\Ш +IV>2» = Ш\) + (<рШ> (<р\Ш) = с(ф).
Это просто свойство линейного функционала (</?|. Далее
отмечается, что если для любого кет-вектора \ф)\ (<р\ф) = 0, то
бра-вектор (</?| = 0. Это тоже свойство функционала (</?|. Далее
линейная структура на Я* влечет следующие свойства:
(Ы + Ш)Ф) = ЫФ) + ЫФ)>
Ш)\Ф) = Ф\Ф).
Далее Дирак по-существу постулирует гильбертовость Я. Он
использует в качестве «постулата гильбертовости» теорему Рисса
об изоморфизме пространств Я и Я* в гильбертовом случае.
В гл. 3, § 7 мы показали, см. теорему 7.1, что для гильбертова
пространства Я существует отображение а: Я —► Я', такое что
а(Я) = Я'. Здесь Я' — сопряженное к Я пространство
линейных непрерывных функционалов. Отображение а
взаимнооднозначно и
а(с\ф\ + С2Ф2) = с\а(ф\) + с2а(ф2).
Более того, верно и обратное: нормированное линейное
пространство 0, для которого сопряженное пространство Я' связано
с Я с помощью такого отображения а, имеет структуру
гильбертова пространства. Таким образом, теорема Рисса представляет
собой характеристическое свойство гильбертовых пространств.
Однако Дирак не знал топологии, и он не рассмотрел с
самого начала пространство непрерывных функционалов в качестве
пространства бра-векторов. Поэтому, чтобы сохранить математи-
1) Комплексное линейное пространство, на котором существует норма,
а именно отображение х —► ||х||, обладающее следующими свойствами:
а) |И| > 0, б) ||х|| = 0 <Ф х = 0, в) ||сх|| = |с||М|, с G С, г) ||х + у\\ < ||х|| + ||у||.
Всякое гильбертово пространство является нормированным, ||х|| = у/(х,х).
Но существует и множество негильбертовых линейных нормированных
пространств.

106
Гл. 4. Аксиоматика
ческую строгость изложения, мы ограничились конечномерным
случаем (где #* = #')• 1)
В книге [6] постулируется, что имеет место
взаимнооднозначное соответствие между бра и кет-векторами,
такое что бра-вектор, соответствующий сумме \ф\) + \ф2) кет-
векторов, является суммой бра-векторов, соответствующих
\Ф\) и НЫ» а также бра-вектор, соответствующий кет-
вектору (с\ф)), равен умноженному на с бра-вектору,
соответствующему \ф).
С этого момента будет использоваться один и тот же
символ для обозначения кет-вектора и соответствующего ему
бра-вектора. Таким образом, бра-вектор, соответствующий кет-
вектору \ф), будет обозначаться (ф\.
Получаем на Я форму ((р\ф) со свойствами
(<р\с\Ф\ +с2ф2) = С\((р\ф\) + с2((р\ф2),
(С\<Р\ +С21Р2>Ф) = С\(<Р\\Ф) +С2(ЫФ)'
Далее постулируется, что
(ч>\Ф) = {Ф\ч>)
и что
за исключением случая \ф) = 0.
В итоге Дирак приходит к гильбертову пространству
состояний. Линейные операторы в обозначениях Дирака выглядят
так. Пусть А: Н —► Н — линейный оператор; \<р) = А\ф) —
результат действия А на кет-вектор \ф)\ линейность: А(с\\ф\) +
+ С2\Ф2)) = с\А\ф\) +С2А\ф2). Сумма двух линейных операторов
определяется как
(А + В)\ф) = А\ф) + В\ф)
(сА)\ф)=с(А\ф)).
1) Конечно, все рассуждения Дирака можно повторить, стартуя с
произвольного комплексного нормированного пространства е для кет-векторов и его
сопряженного е' для бра-векторов. А потом потребовать, чтобы имела место
теорема Рисса, и получить таким образом гильбертово пространство.

Глава 5
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ
§ 1. Символика Дирака в квантовой теории
информации
Формализм бра- и кет-векторов широко используется в
теории информации. Квантовый бит информации физически
реализуется любой двузначной квантовой наблюдаемой. Например,
поляризацией относительно оптической оси. Здесь 1
кодируется поляризацией |+) (в плоскости, перпендикулярной оси) и О
кодируется поляризацией |-) (в плоскости, параллельной оси).
Основное отличие квантового регистра от классического состоит
в том, что в классический регистр можно записать или О, или 1.
А вот квантовый может содержать одновременно и О, и 1 в форме
суперпозиции:
№)=с,|0)+с2|1),
где с\,с2 € С и |ci|2 + |сг|2 = 1. Заметим, что мы отступаем
от интерпретации Дирака и представляем состояние не лучом
= с\ф): с е С} в пространстве кет-векторов, а выбираем
представитель \ф) € Sh- Конечно, и такой представитель
выбирается лишь с точностью до коэффициента егв. С точки зрения
Дирака, \ф) действительно находится в суперпозиции
поляризаций в двух плоскостях.
Однако я бы интерпретировал ф как представление
поляризации электромагнитной волны. В гл. 7 мы увидим, что дираков-
ская суперпозиция может быть интерпретирована в классическом
полевом формализме. При волновом подходе вполне ясно, за счет
чего возникают новые информационные возможности.
Классический регистр реализует дискретное пространство F2 = {0,1}
(поле вычетов по модулю 2), а квантовый регистр реализует
непрерывное физическое пространство. В первом случае
вычисления происходят в F2, а во втором случае — в непрерывном

§ 4. Символика Дирака
107
Символ ((р\А\ф) в математической литературе соответствует
символу (ф,Аф).
Еще используется символ для оператора
А\и) = (<р\и)\ф).
В частности, — это проектор на вектор \ф):
(\Ф)(Ф\)\и) = (ФШ).
Собственный вектор \ф) для оператора А в обозначениях Дирака
удовлетворяет уравнению
А\ф) = Х\ф).

§ I. Символика Дирака в квантовой теории информации
109
волновом пространстве. Иллюзия квантовой дискретности
возникает за счет измерительных устройств. В случае
поляризационного квантового бита дискретность индуцируется фиксацией
оптической оси кристалла.
Квантовый бит можно получить не только с помощью
поляризационной наблюдаемой, но и с помощью любой двузначной
наблюдаемой. Например, можно использовать спин электрона.
Однако и в этом случае реальным представлением квантового
регистра является непрерывное физическое пространство.
Рассмотрим для большей наглядности спин иона. Его можно
изменить с помощью магнита Штерна-Герлаха. Дискретность, столь
подчеркиваемая в квантовой механике, возникает за счет того,
что магнит «раскидывает» ионы вверх и вниз.
Рассмотрим теперь несколько квантовых регистров, п штук.
Они представляют п квантовых битов информации. Пусть О
кодируется |0) и 1 кодируется |1). Например, для поляризации
|0) = ]-), а |1) = |+). Пространство состояний для одного
квантового бита #2 = С2, а для п: Н2п = С2 ® ... ® С2.
Обозначая базисные векторы в каждом из Я2 для j = 1,..., п
через х = 0,1, получаем базис в Н2п\
\Х\)\ ® ... ® \хп)п-
Опуская индексы для кет-векторов и знак ®, получаем
обозначение
\х\)... |хя),
которое обычно переписывается в виде
\х) = \х\ ...xn), Xj = 0,1.
Произвольный вектор-состояние может быть записан в виде
\ф) = 5^сх|х),
х
где сх е С, ]Г |сх|2 = 1.
X
Рассмотрим множество всех натуральных чисел вида
х = х{ +х22 + ... + хп2п~\ Xj =0,1.
Это числа х = 0,1,..., 2п — 1.
Заметим, что на этом множестве можно рассмотреть
арифметику кольца вычетов по модулю 2П. Обозначим его F2n. Векторы

по
Гл. 5. Квантовая теория информации
из нулей и единиц длины п можно отождествить с
элементами F2n. Можно записать
2п-1
\Ф) = 2 Сх^'
х=0
§ 2. Квантовые вентили
Идеей квантового алгоритма является формализация
аналога понятия алгоритма, где вместо бита, принимающего
значения 0, 1 (ложно, истинно) мы будем иметь кубит — двумерное
комплексное линейное пространство с базисом |0), |1)
(когерентные комбинации истинно и ложно), а место элементарных
логических операций (не, и, или) займут простые унитарные
операторы в двумерном (однокубитном) и четырехмерном (двух-
кубитном) линейных пространствах.
Такие элементарные квантовые логические операции
называются квантовыми вентилями (или гейтами, quantum gates).
Квантовые вентили — унитарные операторы, применяемые к од-
нокубитному либо двухкубитному пространству. Приведем
список таких операторов.
Однокубитные вентили:
оператор NOT:
NOT =
NOT: |0)-+|1); |1> — |0>;
оператор Адамара:
-.)■
U„: |0)-.-L(|0) + |l»; |1>"-^(|0)-|1».
Двухкубитные вентили:
оператор CNOT — идентично действует на первый кубит в
тензорном произведении, второй переводит в сумму по модулю 2
значений первого и второго кубитов:
CNOT: \х,у) »-* |х,х + у mod 2),
CNOT: |0)®|0)н->|0)®|0); |0> О |1> |0) ® |1),
CNOT: |1>®|0>^|1>®|1>; |1) ® |1) ~ |1) ® |0);

§ 2. Квантовые вентили
111
матрица в базисе 00, 01, 10, 11:
/1 о
CNOT = q
\0
оператор контролируемого изменения фазы: меняет фазу
(умножает на —1) состояния 11 и действует идентично на
остальные состояния:
В: |0)®|0)»-*|0)®|0); |0) ® |1)->|0> ® |1),
В: |1)®|0)~|1)®|0); |1)®|1>нч-|1)®|1>,
В =
/10 0 0
0 10 0
0 0 10
\0 0 0 -1
Упражнение:
CNOT = 1 ® UH о В о 1 <g> UH;
оператор SWAP обмена состояниями кубитов
SWAP: |0) ® |0) н-» |0) ® |0>; |0) ® |1) ■-» |1) ® |0),
SWAP: |1)®|0)i-»|0)®|1); |1) ® |1) ■-» |1) ® |1);
SWAP =
/10 0
0 0
0 1
\0 0
1 о
о о
О 1/
Трехкубитный вентиль — оператор Тоффоли: в трехкубитном
(8-мерном) гильбертовом пространстве, являющемся тензорным
произведением трех однокубитных.
Оператор Тоффоли при действии на базисные векторы не
меняет два первых индекса а, Ь в номере базисного вектора, на
третий действует так:
с н-► аЪ + с,
где сложение и произведение понимаются в кольце вычетов по
модулю 2.
Квантовым регистром длины L назовем тензорное
произведение L кубитов:
С2' = 0 С2.
г=0

112
Гл. 5. Квантовая теория информации
Многокубитные вентили: оператор Уолша-Адамара на
квантовом регистре длины L равен тензорному произведению
i=0
§ 3. Квантовое преобразование Фурье
Квантовым преобразованием Фурье называют оператор
Такой оператор может быть представлен как
QFT: Izo.---.sl-i)1-»
~ -L (|0) + e27ril2"L|l)) <g> (|0) + e27rix2"L+'|l)) в ...
VN
...®(|0) + e27rix2",|l))-
Легко видеть, что преобразование Фурье выполняется
квадратичным по L числом квантовых вентилей.
§ 4. Алгоритм Дейча и Джоза
Мы рассмотрим этот алгоритм для булевой функции /(х),
где х = 0,1 — булева переменная. Конечно, превосходство этого
квантового алгоритма над классическими может быть
продемонстрировано лишь для функции f{x\y... ,хп), зависящей от п
переменных, при достаточно большом п. Но для того чтобы
лучше понять структуру алгоритма, мы ограничимся одномерным
случаем.
Напомним, что булева функция f(x) называется
сбалансированной, если /(0) ф /(1). Имеются две постоянные функции:
1) /(0) = /(1) = 0; 2) /(0) = /(1) = 1, и две сбалансированные:
1)/(0) = 0, /(1)=1;2) /(0) = 1, /(1) = 0.
Проблема: Определить, является ли f(x)
сбалансированной.
Классический алгоритм. Нужно найти значения / во всех
точках, х = 0,1, а затем сравнить /(0) и /(1). Таким образом,
нужно дважды повторить операцию вычисления функции /.

§ 4. Алгоритм Дейча и Джоза
113
Квантовый алгоритм. Основная идея — использовать
квантовый параллелизм и получить информацию о всех значениях /
за один шаг квантового вычисления.
A) Приготовление начального состояния:
V* = |0>|1). (4.1)
Б) Применение ветиля Адамара, t/# ®1/#:
= 5 (10) + |1»(|о> - |i» = i (|<х>) + |Ю) - |oi) - |П)).
B) Вычисление функции. Считается, что задан («свыше»)
унитарный оператор Uf, соответствующий вычислению
функции / (в квантовых вычислениях такой оператор называют
оракулом):
Uf\x)\y) = \x)\y®f(x)). (4.2)
Итак, мы получаем конечное состояние:
фш = и}фх = \ (|0)|0ф/(0)> + |1>0Ф /(1)> -
- |о>|1 ©/«>)) - |i)|i е /(1)) = \ (|0)(|о©/(0)> -
-|1ф/(0)» + 5|1)(|оф/(1))-|1©/(1)>).
Заметим, что
|0Ф/(х))-|1Ф/(х)) = (-1)Л«)(|0)-|1».
а также что
(_1)/(D = (_1)2/(0)e/(Df где 2/(0)0/(1) = (2/(0)) 0/(1).
В результате этих преобразований конечное состояние может
быть представлено в форме
^ou, = 5((-l)/(0)|0) + (-l)^|l)) (|0)-|1» =
= 5(-1)/(0)(|0) + (-1)/(0)ф/(1)|1)) (|0)-|1)).
Г) Измерение состояния в первом регистре. Если /(0) = /(1),
|0> + |1>
то в первом регистре получаем вектор <р+ = ' , а если
v2
/(0) ф /(1) (т.е. / сбалансирована), то получаем <р_ = ^.
v2

114
Гл. 5. Квантовая теория информации
Итак, для одной переменной вместо двух шагов вычислений
на классическом компьютере (/(#) для х = 0 и х = 1)
необходим только один шаг (реализуемый оракулом Uf) на квантовом
компьютере. В случае п переменных, вместо Т = 2П шагов для
вычисления f(x) в 2п точках, мы вновь получаем суперпозицию
всех значений f(x) за один шаг квантовых вычислений
(предполагается, что задан оракул Uf).
§ 5. Коноид
Перед Второй мировой войной была разработана
система наведения зенитных снарядов, которая была развернута
в 50-е годы для отражения предполагаемых ударов
американских бомбардировщиков по территории СССР *). Американские
бомбардировщики Б-29 шли на высоте 12 км с очень
большой скоростью. Бомбардировщик засекался радаром.
Необходимо было мгновенно рассчитать угол наведения ствола зенитного
орудия и момент взрыва снаряда. На снаряде стоял часовой
механизм, и взрыв происходил в заданный момент времени.
Необходимо было вычислительное устройство, которое за
секунды решало систему дифференциальных уравнений и находило
пересечение траекторий Б-29 и зенитного снаряда. Погрешность
вычисления должна была покрываться облаком взрыва снаряда.
Было предложено замечательное решение этой задачи.
На геометрическом теле специальной формы, коноиде, были
вырезаны бороздки, соответствующие траекториям — решениям
системы дифференциальных уравнений 2). Считывающая головка
бежала по бороздкам (стартуя с кусочка траектории Б-29,
который предварительно отслеживался в течение нескольких
минут с помощью радара) и выдавала решение задачи.
Следуя терминологии квантовых вычислений, мы можем
сказать, что на коноиде была реализована суперпозиция всех
возможных траекторий. Таким образом, не было необходимости
вычислять их каждый раз. По-существу, коноид — это аналог
оракула (созданный ленинградскими работницами).
1) Система наведения была засекречена и запрещена к применению в годы
войны. Предполагалось, что если бы она попала в руки немцев, то территория
Германии была бы надежно защищена от атак англо-американской авиации.
2) Это была работа неимоверной сложности.

§ 6. Алгоритм Саймона
115
§ 6. Алгоритм Саймона
Проблема: Известно, что булева функция f(x\y... ,хп)
является периодической. Найти ее период £.
Таким образом, по функции / нужно найти булев вектор f =
= (fi...-,Cn), такой что
f{x) = f{y) <=► у = *0£. (6.1)
Квантовый алгоритм
A) Приготовление начального состояния:
V>o = |00...0>. (6.2)
Б) Применение ветиля Адамара:
X
В результате создается суперпозиция всевозможных значений
аргумента х = (х\,... ,хп).
B) Вычисление функции /. К п регистрам,
использовавшимся для приготовления суперпозиции переменных, добавляется
еще п регистров для значений функции /: \z) = \z\ ...zn).
Предполагается существование оракула Uf.
few) И — £>)|* ©Я*)). (6.3)
^ X ' x
Заметим, что мы вынуждены рассмотреть \z © f(x)) вместо
|/(х)), чтобы получить обратимый оператор (все унитарные
операторы обратимы).
Применение оракула к состоянию ф\ ® |00...0) дает
состояние .
^ = ^£и1/(*)>-
X
В1) Вновь применяем вентиль Адамара (для первых п
регистров):
х у
Г) Проводим измерение во всех регистрах (и для переменной
и для функции \f(x))).

116
Гл. 5. Квантовая теория информации
Получаем состояние \y)\f(x)) с вероятностью
(напомним, что £ — это период /). Заметим, что Р = —гг,
<£1{п— I)
если (£, у) = 0, и Р = 0, если (£, у) ^ 0. Итак, мы получили
устройство для получения векторов у, ортогональных периоду f.
Вероятность Р не зависит от у. Значит, мы с равной
вероятностью можем получить любой вектор у J_ £. Мы хотим
найти п - 1 независимых векторов, уь...,уп-ь ортогональных £.
Таким образом, мы определим и сам период f (напомним, что
рассматриваются булевы векторы).
Ясно, что следует повторять шаги (А)-(Г), производя в
итоге новые и новые векторы у ± f. Конечно, среди них будут
появляться и зависимые векторы. К счастью, оказывается, что
зависимые векторы появляются не слишком часто:
Пусть у\(ш)у...,уп-\(и>) — независимые (в смысле теории
случайных величин!) случайные булевы векторы, которые
равномерно распределены и ортогональны некоторому
фиксированному булеву вектору £. Тогда
Pn_i = Р(и: у\(о;),... ,уп-\(ш) линейно независимы) ^ i,
где основание натурального логарифма е = 2,718 281 828...
Таким образом, вероятность получить серию из п — 1 линейно
независимых булевых векторов является довольно большой:
Доказательство этого факта можно найти, например, в учебнике
А.С. Холево [9, 146, 147]. Здесь и — случайный параметр. Он
соответствует случайности квантового измерения на шаге (Г).
Это классический образ несводимой квантовой случайности,
закодированной в состоянии Vbut- Мы смогли получить
классический образ, потому что мы выбрали одно фиксированное
измерительное устройство, измеряющее состояния в х- и /-регистрах.
Д) Построение системы линейно независимых у, у _L £.
Повторяем (А)-(Г) т(п - 1) раз, где
Pn_, > 0,354.

§ 7. Элементы теории чисел
117
Тогда с вероятностью 1 — е получаем по крайней мере п — 1
линейно независимых векторов, ортогональных f, а значит и сам
период f.
§ 7. Элементы теории чисел
В настоящем параграфе будут изложены некоторые сведения
из теории чисел. Основным объектом будет кольцо вычетов.
Введем кольцо вычетов Fq = Z/qZ по модулю д, где q —
натуральное число. Элементы кольца представлены целыми числами
0,1»— 1. Сложение — сложение по модулю д, т.е. сумма
элементов х иу есть остаток от деления суммы соответствующих
целых чисел на д:
х + у (mod q).
Аналогично определяется умножение по модулю д. Если q
простое, кольцо является полем (можно делить).
Алгоритм Евклида. Алгоритм Евклида служит для
нахождения наибольшего общего делителя двух (ненулевых) целых
чисел.
Пусть а > b > 0. Тогда разделим а на 6 с остатком:
а = q\b + п, 0 ^ г\ < Ь.
Затем повторим эти действия, используя Ь, г\ вместо а, Ь:
6 = <72П + г2> 0 ^ г2 < П •
Будем итерировать эту процедуру, пока не получим нулевой
остаток от деления (процедура оборвется, поскольку все входящие
в нее числовые параметры натуральные и г» уменьшается на
каждом шаге). В конце получим
Гк = 9*+2ПЬ+1 + ПЬ+2» Гк+\ = д*+зГ*+2.
Обозначим rfc+2 = rf.
Из процедуры видно, что каждый последующий делит
предыдущий. Поскольку Ь — т\), a = r_i, поднимаясь вверх по
алгоритму, мы получим, что алгоритм Евклида дает общий
делитель d для а и 6.
С другой стороны, пусть с делит а и Ь. Тогда с делит п,
аналогично все г», включая d. Таким образом, d — наибольший
общий делитель а и Ь.

118
Гл. 5. Квантовая теория информации
Как всегда, наибольший общий делитель чисел А и В будем
обозначать символом (А, В).
Пример: найдем (128,24).
128 = 5-24 + 8, 24 = 3-8.
Отсюда (128,24) = 8.
Непрерывные (цепные) дроби. Любое рациональное
число единственным образом разлагается в конечную непрерывную
(или цепную) дробь:
а 1
Ь=*+ м 1
42 +
93 +
1
+ —
Такая дробь может быть получена следующим образом.
Применим к а, 6 алгоритм Евклида и соответствующие соотношения
разделим на соответствующие остатки:
a = q\b + ru t = Q\+ 1
b ' Ь/гГ
1 Ь . 1
о = ?2rl + r2> ~ = 92 +
Г\ ПДУ
Гк 1
^fc = 9АН-2ПН-1 + ПН-2» " = Чк+2 +
Гк+\ nk+l/nfc+2'
Гк+2
Подставляя следующее выражение в предыдущее, получим
цепную дробь. Имеет место теорема.
Теорема 7.1. Если х — рациональное число, a, b — целые
числа, удовлетворяющие неравенству
262
а
6"Х
то а/Ь есть приближение цепной дроби к х. Обратно,
приближение цепной дроби удовлетворяет этому неравенству.

§ 7. Элементы теории чисел
119
Китайская теорема об остатках. Пусть у нас есть
конечный набор взаимно простых чисел т\,...,ть и набор
сравнений , | V
х = а\ (mod mi)
х = ak (mod ra^).
Тогда существует решение такой системы сравнений,
и любые два таких решения сравнимы по модулю
произведения модулей М — гп\... т^.
Доказательство. Обозначим М* = М/гп{. Тогда, поскольку
М{ взаимно прост с гп{, существует Л^:
M{Ni — 1 (mod mi).
Рассмотрим k
х = y^ajMjNj.
i=\
Легко видеть, что
х = aiM{Ni — а{ (mod тп{),
т.е. х есть решение системы сравнений.
Второе утверждение теоремы следует из взаимной
простоты ТП{.
Малая теорема Ферма. Пусть р простое. Тогда для
любого целого а
ар = a mod р,
и, если а не делится на р:
ар~{ = 1 mod р.
Доказательство выглядит следующим образом. Пусть а не
делится на р. Тогда {0, а, 2а,..., (р — 1)а} есть полная система
вычетов по модулю р, т. е. после соответствующей перестановки
такая последовательность сравнима по модулю р с
последовательностью вычетов {0, 1,2, ...,р— 1}. Отсюда
ар-\р- 1)! = (р- 1)! mod р.
Следовательно, (ар~1 — 1)(р — 1)! делится на р. Так как (р— 1)!
не делится на р, получаем (второе) утверждение теоремы.
Первое утверждение очевидным образом следует из второго.
Функция Эйлера. Функция Эйлера ф(п) есть число
натуральных чисел, меньших п и взаимно простых с п.

120
Гл. 5. Квантовая теория информации
В частности, для простого р
#р)=р-1, Ф(рп)=Рп-Рп-1-
Для взаимно простых га, п: (т, п) = 1 функция Эйлера
мультипликативна:
ф(тп) — ф(т)ф(п).
Для
имеем
0(n) = n(l-pr1)-(l-Pfc')-
Следующая теорема обобщает малую теорему Ферма.
Теорема Эйлера. Если (a,m) = 1 (т.е. а и т взаимно
просты), то
аФ(т) = j mod т
Доказательство выглядит следующим образом. Пусть
Г2,...,Гф(т) суть натуральные числа, взаимно простые
с га. Поскольку а взаимно просто с га, то ar\,ar<i>..., a*>(m)
также взаимно просты с m и образуют перестановку набора
п, Г2,..., Гф(т) вычетов но модулю т. Тогда, перемножая вычеты,
получим
аф(т)Г1 ... гф(т) = гх... гф{т) mod га.
Поскольку произведение п,Г2,... ,r^(m) взаимно просто с т,
получим a^m) — 1=0 mod т.
Следующая теорема описывает асимптотику функции
Эйлера.
Теорема 7.2. Существует константа С > 0, такая что
для достаточно больших п
ф(п) С
п log log n'
§ 8. Алгоритм Шора
8.1. Модулярное экспоненцирование. Вычисление та
(mod М) называется модулярным экспоненцированием. Будем
считать, что га, а < М. Имеет место следующая теорема.
Теорема 8.1. Существует классический алгоритм для
модулярного экспоненцирования, требующий асимптотически
0(n2(logn)3), п = logM.

§ 8. Алгоритм Шора
121
Доказательство. Разложим а по степеням двойки:
а = clq + а\2 + ... + as2s, a* = 0,1.
Тогда для mo = га, i = 1,.... 5, вычислим
mj = т^т^"1 (mod М).
Поскольку s < n = logM и на каждом шаге не более трех
умножений, используя оценку 0(n(logn)3) на время умножения,
получаем утверждение теоремы.
8.2. Алгоритм Шора нахождения порядка числа.
Зафиксируем число М. Рассмотрим числа га: 1 < га ^ М, взаимно
простые с М: (га, М) = 1. Будем считать число га случайным
с равномерным распределением. Рассмотрим задачу поиска
порядка га, т. е. наименьшего натурального числа г:
Выберем N = 2L: М2 < N < 2М2.
Квантовый алгоритм Шора нахождения порядка состоит из
следующих пяти шагов.
1. Приготовление квантового состояния. Приготовим
состояние вида
Здесь первый сомножитель тензорного произведения лежит
в квантовом регистре длины L, второй сомножитель лежит
в таком квантовой регистре, который может содержать М (т. е.
в регистре длины L\\ 2L] > М).
2. Модулярное экспоненцирование. Вычислим тх
(mod М) во втором регистре и получим квантовое состояние
3. Квантовое преобразование Фурье. Выполним квантовое
преобразование Фурье в первом регистре:
гаг = 1 (mod М).
N-1
N-\
N-\

122
Гл. 5. Квантовая теория информации
и получим в результате
j N-\N-\ 2ткх
^ = n 5^ Iехр № ® m* (mod м)>-
4. Измерение. Проведем измерение по обоим регистрам.
Получим для вероятности попадания в состояние
\k,mz (mod М)) = \к) ®mz (mod М))
следующее выражение:
\P(k,mz (mod М))) = \(k,mz (mod М),<0з)|2-
В результате измерения у нас получается случайная
величина к. Имеет место теорема, утверждающая, что эта вероятность
сосредоточена на состояниях с малым остатком г к (mod N).
Здесь г есть порядок га в группе вычетов по модулю N.
Таким образом, мы получаем в результате вычислений на
квантовом компьютере ансамбль ответов. Каждый из этих
ответов мы можем проверить на классическом компьютере и узнать,
получили ли мы правильный ответ (период). Поскольку ансамбль
устроен так, что вероятность получения правильного ответа
велика, то, повторяя испытания ограниченное (в интересующем нас
случае полиномиальное) число раз, мы получим ответ с любой
интересующей нас достоверностью (вероятностью, как угодно
близкой к 1).
Лемма 8.1. Для натуральных к, N, к < N, существуют
натуральные г, d, d < г < N, такие что
-L^rk-dN^7^. (8.1)
Доказательство. Мы можем получить d/r, округляя k/N до
ближайшей дроби, имеющей знаменатель, меньший N. Для
такого приближения можно взять разложение k/N в непрерывную
дробь (применимость гарантируется теоремой 7.1).
Теорема 8.2. Если г, k% N, d удовлетворяют (8.1), где г
есть период и N достаточно велико, то
\P(k,mz (mod M)))>-V
5. Вычисление порядка на классическом компьютере.
На предыдущем шаге вычисления мы получили к (как
случайную величину). Зная М, к и N, найдем порядок г. Поскольку

§ 8. Алгоритм Шора
123
N > М2, существует по крайней мере одна дробь d/r,
удовлетворяющая условию, эквивалентному (8.1):
Получив d/r, мы будем испытывать знаменатель на предмет
того, является ли он периодом (это проверяется быстро на
классическом компьютере). Проведя достаточно много испытаний,
мы получим период с достаточно высокой вероятностью, если
вероятность получить период в одном испытании достаточно
велика. Такая оценка на вероятность получения периода дается
теоремой 8.2.
Имеет место теорема.
Теорема 8.3. Если целое число М достаточно велико, то,
повторяя первые четыре шага алгоритма Шора нахождения
порядка 0(log logM) раз, мы можем получить значение
порядка г с вероятностью 7 > О, где 7 не зависит от М.
Доказательство. Будем искать d/r, где d, г взаимно просты,
в виде разложения в непрерывную дробь. Из такого разложения
мы получим г (в виде некоторого набора значений). Существует
гф(г) состояний \k,mz (mod М)), позволяющих вычислить г,
поскольку существует ф(г) значений d, взаимно простых с г,
и г возможных значений mz (mod М). По теореме 8.2 каждое
из таких состояний встречается с вероятностью не менее 1/Зг2.
Следовательно, мы можем получить г с вероятностью не меньше
ф(г)/3г. Применяя теорему 5.2 об асимптотике функции Эйлера,
получим доказательство теоремы.
Доказательство теоремы 8.2. Имеют место равенства
(га2 (mod М) \ тх (mod М)) = 1, z = х (mod г),
(mz (mod М) \ тх (mod М)) =0, z ф х (mod г).
Отсюда для амплитуды получаем
x=z (mod г)
Представим
х = br + z.

124
Гл. 5. Квантовая теория информации
Для суммы в правой части формулы выше получим
Е/2ткх\ /2тк(Ьг + z)\
ехр(— ) = £ехр( n ) =
x=z (mod г) 6=0
. /2тггАт(/ + 1)>
~expV N ) . /2тггА;г\
где / есть целая часть:
[N-1-z
f =
г
Мы получили для вероятности такого состояния выражение
\P(k,mz (mod М))) =
№*РУ N ) ,-ехр(^)
N 81ПЫ
Здесь мы используем соотношения
|1 - e2ix|2 = 1 - e2ix - e"2ix + 1=2 - 2cos2x =
= 2(1- cos2 x + sin2 x) = 4 sin2 x.
В силу (8.1) в вышеприведенной формуле мы можем заменить
кг на dN + rf, f € [-1/2,1/2]. Эта формула примет вид
. 2/тгг(/+1)\
N sin (-лг)
где £ принимает значения f € [—1/2,1/2]. Числитель при
больших N можно оценить как sin2(7r£) (мы избавились от
зависимости от г). Знаменатель можно оценить как 1/(7гг£)2. Оценивая
числитель по формуле
sin (х) > - х, 0 < х < ^,
7Г 2

§ 8. Алгоритм Шора
125
получим для дроби
n2r2e " *2r2 > Зг2*
Мы получили утверждение теоремы.
Суммируя количество квантовых вентилей, примененных на
всех шагах алгоритма Шора, получим теорему.
Теорема 8.4. Алгоритм Шора нахождения порядка числа
modM требует
0((logM)2(log log Af)(log log logM))
квантовых вентилей. Таким образом, этот алгоритм
полиномиален (на квантовом компьютере).
8.3. Разложение числа на множители. Используя
описанный выше алгоритм нахождения порядка числа, найдем
разложение числа на множители. Для числа М выберем случайное га,
1 ^ га < М, с однородным распределением и найдем порядок г
числа га, используя алгоритм Шора.
Если г четно, вычислим наибольший общий делитель
(га7*/2 - 1,М) при помощи алгоритма Евклида.
Если этот наибольший общий делитель больше 1, мы
получили делитель М. Если делитель равен 1 или период г нечетен,
повторим процедуру для другого га.
Выясним, почему такая процедура должна давать
делители М с высокой вероятностью. Рассмотрим уравнение
у2 = 1 (mod М).
Это уравнение имеет тривиальные решения
у = ±1 (mod М).
Предположим, что существует нетривиальное решение у = 6,
Ь2 = 1 (mod М), Ь ф ±1 (mod М).
Тогда
(6-1)(6+1) = 0 (modM), Ьф±\ (modM),
Т'е' (6- 1)(6+ l) = fcM. (8.2)
Таким образом, 6—1 и b + 1 являются (неравными нулю)
делителями кМ для некоторого к. Если b не слишком велико

126
Гл. 5. Квантовая теория информации
(оценка b2 < 2М), то можно считать Л=1,и6—1,6+1 будут
делителями М.
Теперь, если г есть четный порядок т, то, выбирая b = гаг/2,
мы получим решение сравнения b2 = 1 (mod М). Мы доказали
следующую лемму.
Лемма 9.1. Пусть число т имеет четный порядок г по
модулю (modM), причем
тг12ф±\ (modM)
и mr < 2М. Тогда наибольший общий делитель нетривиален
(mr'2± 1,М) > 1.
Можно отказаться от требования mr < 2М, если полученный
делитель делить на к из формулы (8.2).
Процедура, описанная в лемме, может не сработать, если
порядок г нечетен или решение mr/2 тривиально. Покажем, что
такие ситуации возникают с малой вероятностью.
Теорема 9.1. Пусть М — нечетное натуральное число
с разложением на простые множители вида
М = р<?р<?...РакК
Предположим, что т есть выбранное случайно с
однородным распределением число 1 ^ т < М, взаимно простое с М:
(т,М) = 1. Пусть г есть порядок т по модулю М. Тогда
для вероятности того, что г четно и ttW2 ф ±1 (mod М),
получим оценку
(где к есть число простых чисел в разложении М).
Вероятность положительна для к ^ 2.
Доказательство. Пусть г четно. Поскольку г есть
порядок т, то равенство тг'2 — 1 (mod М) не может иметь места.
Любое решение сравнения х = 1 (mod М) будет решением
системы сравнений
х — 1 (mod pai), г — 1,..., к
(обратное очевидно). По китайской теореме об остатках эта
система сравнений разрешима и решение единственно modM.
Рассмотрим следующие случаи.

§ 9. Алгоритм поиска Гровера
127
1) Пусть г нечетно. Поскольку га может быть решением
каждого сравнения из вышеприведенной системы с х = тг с
вероятностью, не превосходящей 1/2, и сравнения независимы (тот
факт, что га есть решение одного из сравнений, не влияет на
вероятность разрешимости остальных сравнений), мы получаем
оценку на вероятность разрешимости системы 1/2*1
2) Пусть г четно и mr^ = —1 (mod М).
В этом случае рассмотрим систему
rar/2 = ±i (modpQ'), t = l,...,fc.
Рассуждения, аналогичные предыдущим, дают оценку
вероятности разрешимости системы l/2k~~K
В общем случае получаем для вероятности обоих случаев
РгоЬ < *
§ 9. Алгоритм поиска Гровера
Пусть на группе вычетов по модулю 2Ь (элементы которой мы
сопоставляем с последовательностями 0 и 1 длины L или
базисными векторами соответствующего квантвого регистра) задана
функция F(x), принимающая значения 0 и 1, причем F(x) равна
1 ровно в одной точке xq. мы будем считать, что эта функция
для каждого значения аргумента вычисляется быстро.
На классическом компьютере поиск с вероятностью 1/2
значения аргумента, где F(x) = 1, занимает в среднем N/2 шагов.
Покажем, что на квантовом компьютере существует более
быстрый квантовый алгоритм. Поставим в соответствие
функции F унитарный оператор
If : |x)^ei7rF^|a:).
Таким образом, этот оператор инвертирует (умножает на — 1)
амплитуду \xq) и оставляет без изменений остальные амплитуды.
Рассмотрим также оператор J = — 1$, где 6 — символ Кроне-
кера, сосредоточенный на |0) (т.е. J оставляет без изменений |0)
и умножает на -1 остальные базисные векторы).
Имеет место следующее предложение.

128
Гл. 5. Квантовая теория информации
Предложение 9.1. 1) Оператор Т = U^lJU^lIf
переводит в себя (оставляет без изменений) пространство,
натянутое на векторы |а?о) и
х=0
2) Ограничение оператора Т на двумерную вещественную
плоскость, натянутую на \xq) и \ф), есть вращение по
направлению от \ф) к |xq) на угол фн, определяемый (при больших N)
условиями
ф" = ж
Доказательство. Для операторов имеем
U®LJU<f>L = 2\ф)(ф\-\,
T = (2|V)<V|-l)(l-2|xo>(xo|) =
= -1 + 2|^><V| + 2|х0>Ы - -±=- \Щф\,
где мы воспользовались тождествами U®L\0) = \гр), U®L\tp) =
= |o), (02 = i-
Следовательно, оператор Г отображает все гильбертово
пространство в двумерное, натянутое на |жо), причем действие
в этом пространстве выражается формулами
Т\ф) = \Ф) + щ Ы) - jf Щ, Т\хо) = |хо) - \ф).
Таким образом, мы имеем вращение на угол фм в вещественной
плоскости, натянутой на \xq), \Ф)- Угол фн имеет величину
порядка -)=. Точнее, для больших N векторы |хо), \ф) почти
VN
ортогональны и мы имеем оценку
фм =
y/N'
Таким образом, чтобы приблизиться к \xq), стартуя с \ф),
нужно приблизительно пу/N вращений.
Алгоритм Гровера состоит в следующем: мы выбираем
начальное состояние, равное \ф), и применяем операторы Т (ny/N
раз, если N достаточно велико).

§10. Квантовая телепортация
129
После этого мы производим измерение в координатном базисе
квантового регистра и получаем с высокой вероятностью
результат £().
§ 10. Квантовая телепортация
Квантовая телепортация обычно рассматривается как
важнейшая сугубо квантовая информационная процедура (т.е. не
имеющая классических аналогов). Основой квантовой телепор-
тации является возможность создания зацепленных состояний,
ЭПР-пар. Отметим, что квантовая телепортация не является
чисто квантовой процедурой, так как необходимо наличие
классического информационного канала связи.
Алиса хочет иметь возможность передавать произвольное
квантовое состояние ф своему другу Бобу.
Во-первых, устанавливается классическая связь между ними
(например, телефонный канал или световод). Мы рассмотрим
простейший случай, когда ф является квантовым битом
информации:
ф = а\0) + (3\1),
Н2 + |/3|2=1.
Перед началом передачи Алиса и Боб получают каждый по
одной системе из пары зацепленных систем (например, фотонов),
приготовленных в состоянии
to = -j-(|00) + |ll».
Технически это реализуется так (для фотонов). Имеется
источник зацепленных фотонов 5, из которого фотоны
(принадлежащие паре) идут по двум световодам к Алисе и Бобу. Очевидно,
что друзья могут находиться на огромном расстоянии друг от
друга.
Итак, Алиса хочет передать некоторое состояние ф. Заметим,
что система из трех фотонов для состояния ф и зацепленного
состояния ф$ имеет состояние
у?=-^(а|0> + /?|1))(|00) + |11)).
5 А. ю. хренников

130
Гл. 5. Квантовая теория информации
На это завершается подготовительный этап телепортации.
Запишем у> в виде
tp = -L (а|000) + 0\ 100) + а|011) + /?| 111».
v2
Заметим, что первые два квантовых регистра находятся у Алисы,
а третий у Боба. Пусть Алиса имеет физическое устройство,
выполняющее операцию контролируемого нет (CNOT):
|оо>-.|оо), |01)-к»), |io)-»|п), |ii)-чю).
После его применения Алиса получает состояние
Vl = 4- (а|000) + 0\ 110) + а|011) + 0\ 101)).
v2
Затем Алиса применяет вентиль Адамара (поворот на 45°) к
первому регистру (соответствовшему телепортируему состоянию).
Она получает новое состояние:
<р2 = \ (а(|000) + 1100)) + /?(|010) - 1110)) + a(|011) + 1111» +
+ /?(|001)-|101))).
Обратим внимание, что до сих пор Боб не предпринимал
никаких действий. Все изменения общего квантового состояния
для трех квантовых битов происходили за счет манипуляций
Алисы. Боб вообще может не знать, что Алиса что-то делает.
На заключительном этапе Боб тоже применит некоторые
квантовые вентили. Но этому предшествует изменение состояния
в двух квантовых регистрах Алисы и использование
классического канала связи. Выделим в состоянии (р2 регистры Алисы:
<Р2 = \ (|00)(а|0) + /3|1)) + |01)(а|1) + /3|0» + |10)(а|0) - /?|1» +
+ |11>(а|1>-/?|0»).
Итак, Алиса производит измерение в своих регистрах,
соответствующее проецированию (с равными вероятностями) на один
из базисных векторов:
ei = |00), е2 = |01), е3 = |Ю), е4 = |11).
Эта наблюдаемая может быть задана оператором
А = 7Гех+ 2пе2 + 37Гез + 47Ге4,
где nej = ej ® ej — проектор на вектор ej, j = 1,2,3,4.

Глава 6
НЕРАВЕНСТВА БЕЛЛА
§ 1. Различие в точках зрения Эйнштейна и Белла
на квантовую нелокальность
Как мы уже отмечали, проблема сведения квантовой
случайности к классической ансамбль-случайности возникла на заре
квантовой механики. Новой волной интереса к этой
проблеме были отмечены 60-80 годы — в связи с исследованиями
Дж. Белла. Он привнес новый элемент в знаменитый диспут
между Эйнштейном и Бором о полноте квантовой механики.
Эйнштейн утверждал, что если квантовая механика полна (т. е.
квантовая случайность несводима к классической), то она
нелокальна. Измерение над частью системы приводит к мгновенному
изменению состояния другой части системы. В связи с тем что
части системы могут находиться на большом расстоянии друг от
друга, возникает действие на расстоянии. В частности,
приходится признать несовместимость законов квантовой теории и теории
относительности.
Таким образом, для Эйнштейна выбор был между действием
(мгновенным) на расстоянии и неполнотой квантовой
механики.
Он не хотел признать, что теория относительности неверна.
И это было вполне естественно, так как никаких прямых
доказательств нарушения ее законов мы не имеем и по сей день.
Поэтому до конца своих дней Эйнштейн считал, что квантовая
механика неполна, и стремился найти некоторую предквантовую
классическую статистическую модель. Подчеркнем, что в
аргументации Эйнштейна ни о каком противоречии между
квантовой механикой и классической статистической (локальной)
механикой не шло и речи. Просто, с точки зрения Эйнштейна,
квантовая механика дает лишь грубое приближенное описание
физической реальности. И он надеялся, что квантовое описание

§10. Квантовая телепортация
131
Результат измерения передается от Алисы к Бобу по
классическому каналу. Для простоты будем предполагать, что канал
идеальный, т. е. в нем нет помех.
В зависимости от результатов измерения Боб применяет к
системе в своем квантовом регистре один из вентилей, задаваемых
матрицами:
Пожалуй, стоит отметить, что в последнем случае Боб
получит в итоге не первоначальный вектор ф = а\0) + /3\1), а его
поворот на угол в = — -, ф = —г(а\0) + Однако из
постулата 1 квантовой механики вытекает, что векторы ф и ф
представляют одно и то же квантовое состояние.
Если следовать копенгагенской интерпретации, т.е. считать,
что нормированный вектор представляет состояние конкретной
системы, то квантовая телепортация несомненно представляет
собой практическое применение квантовой нелокальности. В тот
момент, когда Алиса производит измерение величины А и
получает, например, А = 1, общее состояние трех квантовых битов
мгновенно становится
и = |00)(а|0)+/?|1>).
При этом Боб может находиться на другом конце
Вселенной! Конечно, здесь используется проекционный постулат
фон Неймана. Если предположить, что этот постулат
неверен (во всяком случае в форме, предложенной фон Нейманом:
мгновенный переход в собственное состояние измеряемой
величины), то проблема квантовой нелокальности разрешится.
Допустим, что две части системы разделены расстоянием L\
таким образом, время распространения светового сигнала
tb = L/c. Предположим, что постулат фон Неймана верен
лишь в модифицированной форме, а именно: время
проекции на собственное состояние Т > ti. Тогда действие на
расстоянии по-прежнему будет. Но его можно будет
описать как распространение физического взаимодействия в
пространстве-времени. Однако, поскольку в схеме телепортации
задействован классический канал связи, телепортация не может
быть произведена быстрее скорости света.

134
Гл. 6. Неравенства Белла
Действительно, если приготовить пару антикоррелированных
электронов, то, измеряя проекцию спина одного из них, мы
можем предсказать (с единичной вероятностью) проекцию спина
(на то же направление) для второго. Белл сделал вывод, что
спин должен быть объективным свойством электрона. А так
как значение спина для индивидуального электрона не может
быть найдено с помощью квантового формализма, то квантовая
механика неполна.
Итак, Белл отнюдь не показал, что квантовая механика
нелокальна и что квантовая случайность несводима к
классической ансамбль-случайности. Точка зрения Белла на
квантовую нелокальность и полноту квантовой механики в корне
отлична от точки зрения Эйнштейна. Для Белла любая пред-
квантовая модель должна быть нелокальной, а для Эйнштейна
отнюдь нет.
§ 2. Следствие белловских рассмотрений
для квантовой криптографии и квантовых вычислений
Рассмотрения Белла широко используются для обоснования
превосходства квантовой криптографии над классической. Суть
рассуждений такова. Если бы квантовая случайность сводилась
к классической, то квантовая теория информации сводилась бы
к классической теории информации. И это действительно так:
классическая информация вводится через энтропию, а энтропия
через вероятность. Сведя квантовую вероятность к классической,
мы бы свели квантовую информацию к классической. В этом
случае квантовая криптография описывалась бы законами
классической теории информации и, следовательно, не имела бы никаких
фундаментальных преимуществ. Заметим, что технологические
преимущества сохранялись бы, поскольку квантовые системы
очень чувствительны к внешним вмешательствам.
Широко распространено мнение, согласно которому Белл
показал, что квантовая случайность не сводится к классической.
Поэтому квантовая теория информации не сводится к
классической, и поэтому квантовая криптография может (во всяком
случае в принципе) порождать протоколы, которые фундаментально
отличны от протоколов классической криптографии. В такой
ситуации неудивительно, что могут быть предложены протоколы,
обеспечивающие существенно более высокую надежность, чем
известные классические.

§ 1. Различие в точках зрения Эйнштейна и Белла
133
может быть уточнено. В частности, квантовые корреляции
могут быть сведены к классическим. Джон Белл, стартуя с того
же эксперимента, что и Эйнштейн (ЭПР-эксперимента), пришел
к выводу, весьма отличному от эйнштейновского. По Беллу, мы
стоим перед выбором: или квантовая механика полна, или
предквантовая классическая механика нелокальна*.
Возникает реальное противоречие между квантовой
механикой и обычной (локальной) классической механикой. Последняя
должна быть заменена на нелокальную теорию. Заметим, что
с точки зрения Белла (в отличие от Эйнштейна), если
предположить, что квантовая механика полна (как считали Бор,
Гейзенберг, Паули, Фок, Ландау), то она не обязана быть
нелокальной. Часто отмечается, что Белл «доказал» нелокальность
квантовой механики. Это полное непонимание его
аргументации. Он считал, что «квантовая нелокальность» возникает, лишь
если предположить, что квантовая механика неполна. В этом
случае мы получим классическую нелокальность, тенью которой
и является квантовая нелокальность.
Большая часть физического сообщества придерживается
следующей точки зрения.
Квантовая механика нелокальна и квантовая случайность
несводима к классической.
Причем считается, что это прямое следствие исследований
Белла. Это не совсем точно.
Особенно такая точка зрения возмущает последователей
Дэвида Бома. Они считают, что исследования Белла (также
горячего сторонника учения Бома) должны были привести к расцвету
бомовской механики — одной из наиболее красивых моделей
нелокальных классических теорий. Однако этого не произошло
(«бомовец» — до сих пор синоним аутсайдера в квантовых
кругах).
Целью исследований Белла было оправдать бомовскую
механику, которая отвергалась в силу своей нелокальности.
И действительно, нелегко признать нелокальность классической
теории. (Другое дело квантовая нелокальность. В квантовой
механике и так все мистично. Почему бы ей еще не быть
в добавок нелокальной?) Белл «показал», что любая
предквантовая классическая теория должна быть нелокальной. Затем,
используя те же доводы, что и Эйнштейн, он показал, что
квантовая механика неполна.

§2. Следствие белловских рассмотрений для квантовой криптографии 135
Однако, как мы подчеркнули в предыдущем параграфе, Белл
отнюдь не доказал, что квантовая случайность (и, следовательно,
квантовая теория информации) несводима к классической! Для
Белла наиболее естественной моделью, индуцирующей
квантовую случайность, являлась бомовская механика. Случайность
в бомовской механике чисто классическая. Таким образом,
применима классическая теория информации. Однако модель
нелокальна, и появляется возможность нелокальных атак. В
принципе, содержание моего компьютера может стать известным
другому лицу без какого-либо физического контакта с моим
компьютером [28].
Следовательно, квантовая криптография должна
гарантировать защиту от подобных нелокальных атак. Таких гарантий
квантовая криптография не дает. Конечно, можно возразить, что
появление противника с нелокальными бомовскими
возможностями весьма маловероятно и, более того, принадлежит области
научной фантастики. Я согласен с такой точкой зрения. Однако
весьма нелогично, с одной стороны, отвергать возможность
классических нелокальных атак на квантовые криптографические
схемы, а с другой стороны, ссылаться на Белла, рекламируя
достоинства квантовой криптографии.
Я считаю, что несводимость квантовой информации к
классической не следует из белловских рассмотрений. Поэтому
заявления о 100-процентной секретности квантовых
криптографических схем не слишком обоснованны.
Это никоим образом не умаляет значения проекта «квантовая
криптография». Даже если фундаментальной несводимости нет,
то, оперируя с фотонами (чрезвычайно чувствительными к
любым внешним воздействиям), мы весьма сужаем класс
возможных атак на квантовые криптографические схемы.
Итак, исследования Белла не могут быть использованы
для обоснования превосходства квантовой криптографии над
классической.
Рассмотрения Белла играют также важную роль при
обосновании превосходств квантовых алгоритмов над классическими.
Упоминание о неравенстве Белла присутствует почти во всех
книгах о квантовых вычислениях. Здесь используются те же
доводы, что и при рекламе квантовой криптографии.
Считается, что Белл обосновал фундаментальность
квантовой случайности. Поэтому суперпозиция квантовых состояний
не имеет классических объяснений. Неудивительно, что, исполь-

136
Гл. 6. Неравенства Белла
зуя эти новые свойства квантовых систем, можно ожидать, что
квантовые вычислительные машины будут существенно более
эффективны, чем классические.
Как мы уже отмечали, это в корне ложная трактовка
аргументов Белла. Для него квантовая случайность — это
классическая ансамбль-случайность. Поэтому квантовый параллелизм
нельзя вывести из суперпозиций состояний. По Беллу, основным
отличием квантовых вычислительных машин от классических
является нелокальная связь между квантовыми битами.
Квантовые биты, расположенные в различных точках пространства
(например, связанные с отдельными квантовыми точками),
взаимодействуют нелокально. Это позволяет проводить (во всяком
случае в теории) в синхронные вычисления с N квантовыми
битами. Здесь важнейшую роль играет мгновенность действия на
расстоянии. Поэтому попытки создать макроскопический
квантовый компьютер, основанный на нелокальной связи классических
битов, по-видимому, обречены на провал.
Конечно, нелокальное (но классическое) объяснение
квантового параллелизма противоречит теории относительности.
Однако это противоречие не будет иметь экспериментальных
последствий, потому что мы не можем контролировать внутреннюю
динамику квантовых вычислений. Имеется лишь возможность
провести измерение после завершения цикла вычислений.
Я не думаю, что большинство квантовых компьютерщиков,
ссылаясь на работы Белла, действительно имеет в виду его
нелокальную классическую модель. Итак, доводы Белла не могут
быть использованы для обоснования превосходства
квантовых вычислительных машин над классическими.
Более того, как мы увидим в этой главе, неравенство Белла
вообще не может быть использовано для
противопоставления квантовой и классической физики.
§ 3. Почему неравенство Белла вызывает столь
бурные споры?
Споры о неравенстве Белла не утихают уже в течение 40 лет.
Интересно, что эти споры характеризуются диаметрально
противоположными точками зрения на его роль в физике. Квантовое
большинство считает, что появление этого неравенства и его
экспериментальная проверка дали ответы на самые волнующие
вопросы об основаниях квантовой механики и положили конец

138
Гл. 6. Неравенства Белла
определяются по формуле Байеса, использовавшейся
Колмогоровым [7].
Нечеткость в определении предквантовой классической
вероятностной модели усугубляется отсутствием математической
формализации соответствия между классической и
квантовой моделями. Это важнейшая проблема, которая ускользнула
от всеобщего внимания. Классическая модель чисто
гипотетическая. Мы не знаем, как она отображается на квантовую. Это
порождает необозримые возможности для спекуляций. Каждый
автор некоторой теоремы невозможности формирует свой список
правил соответствия. И доказывает свою теорему, которая
соответствует этому списку.
Анализируя рассмотрения Белла, мы формализуем его список
правил соответствия между классической и квантовой моделями.
И сразу станет очевидно, что многие правила Белла весьма
нефизичны. Впрочем, в этом нет ничего нового: то же самое
Белл проделал в свое время [50] с теоремой невозможности
фон Неймана [15].
Итак, основой бурных споров о роли неравенства Белла
в квантовой физике являет отсутствие четкой
математической формулировки его подхода.
§ 4. Математические неравенства белловского типа
4.1. Неравенство Белла для ковариаций. Рассмотрим
колмогоровское пространство 5Р' = (fi,F,P). Здесь Q —
некоторое множество, F — некоторая а-алгебра его подмножеств иР~
вероятностная мера на F.
Ковариация двух случайных величин £ (и) и г/ (и)
определяется равенством
(^,i7> = JeM^HdP(o;).
п
Теорема 4.1. Для любых трех случайных величин £а(^),
£ь(^)> £с(<^)> принимающих значения ±1, имеет место
неравенство

§ 3. Почему неравенство Белла вызывает столь бурные
137
спору между Эйнштейном и Бором о полноте квантовой
механики 0. Другие ученые считают, что рассмотрения Белла весьма
«мутные» (и с физической, и с математической точек зрения)
и из них, по-существу, ничего не следует.
Как организатор десяти международных конференций по
квантовым основаниям, см. например [22, 23, 25, 165, 170, 190,
160], я был свидетелем бурных дебатов, в которых
респектабельные профессора превращались в горячих юнцов, которые не
лезут в карман за крепким словцом. До прямого рукоприкладства
дело не доходило, но было близко к этому. Я много раз задавал
себе вопрос: «Что же такого особенного в рассмотрениях Белла?
Почему именно они ведут к возникновению столь разных
позиций?» Особенно меня настораживало, что как сторонники, так
и противники белловских аргументов, люди квалифицированные
(если они даже иногда таковыми друг друга и не считают).
Конечно, существенность белловских аргументов для физики
играет не последнюю роль. Но есть масса других важных проблем,
и они не характеризуются такими ожесточенными дебатами.
После долгих раздумий и кропотливого анализа
рассмотрений, использовавшихся Беллом, я пришел к выводу, что все-
таки основной причиной такого глубокого взаимонепонимания
является то, что Дж. Белл не формализовал на математическом
уровне строгости свои рассмотрения. В его рассмотрениях
присутствуют две модели: а) квантовая вероятностная модель; б)
гипотетическая предквантовая классическая модель. Во-первых, не
была точно описана предквантовая модель. Поэтому
значительная часть математически образованных дискуссантов думает,
что речь идет об общепринятой в теории вероятностей модели
Колмогорова. Но, это неверно! Хотя Белл использовал колмого-
ровское определение вероятности как меры, в его предквантовой
классической вероятностной модели условные вероятности не
1) Как мы видели, эта точка зрения основана на извращенной трактовке
следствий из рассмотрений Белла. Он «показал» (мы увидим, что отнюдь
нет), что или квантовая механика полна (как считали Бор, Гейзенберг, Фок,
Ландау), или предквантовая физическая модель нелокальна. Испытывая
отвращение к нелокальным классическим моделям, большинство физиков поэтому
считает, что из белловских рассмотрений следует полнота квантовой механики.
Таким образом, квантовая случайность не сводится к классической. Однако
одновременно (каким-то немысленным образом) многие считают, что из
нарушения неравенства Белла следует «квантовая нелокальность».

140
Гл. 6. Неравенства Белла
Р(ш € ft: 6 И = + L6H = +1) =
= P(w G ft: 6 И = + 1.6М = + 1.6Н = +1) +
+ P(w € ft: 6 И = +1,6 И = -UcM = +1). (4.7)
Складывая равенства (5) и (6), получаем
P(w е ft: ^ И = +1,6 И = +1) +
+ P(w€fl:&H = -UcM = +l) =
= P(w 6 ft: 6М = +1.6 И = +1.6 М = +1) +
+ Р(а; € ft: 6 И = + L6M = + L6H = -1) +
+ P(wGft:6H = +1.6M = -l,6M = +l) +
+ P(w € ft: 6 И = -1,6 И = -1,6 И = +1). (4.8)
Но первый и третий члены в правой части равенства (8) при
сложении дают вероятность Р(и> € ft: 6(w) = +1>6(W) = +!)•
Поэтому получаем
P(w € ft: 6Н = +1.6М = +1) +
+ P(w € ft: 6M = -1.6И = +1) =
= P(w € ft: 6H = +1.6И = +1) +
+ P(w € ft: 6M = +1.6H = +1.6M = -1) +
+ P(w € ft: 6И = -1-6И = -1.6И = +!)• (4.9)
В заключение, используя неотрицательность вероятности,
получаем
P(w € ft: 6И = +1.6Н = +1) +
+ Р(ш е ft: 6М = -1.6Н = +1) >
> Р(ы е ft: 6И = +1.6Н = +1). (4.Ю)
4.3. Неравенство Клаузера-Хорне-Шимони-Холта
Теорема 4.3. Пусть £j(cj) и ^(ш), j = 1,2, — случайные
величины, ограниченные единицей:
ШК1 « К»Ю «-е. (4.П)

§ 4. Математические неравенства белловского типа 139
P(w€fi:&(w) = -l,€cH = +l) =
= P(w € fi: Ca H = + 1.&M = -1.&И = +1) +
+ P(u> € Q: & (w) = -1.&И = -1.&И = +1) (4.6)
Доказательство. Используя линейность интеграла,
получаем
А = \ U М & М dP(u) - | dc (и) & И dPM =
Q ft
= J[Mw)-&M]6MdPH. (4.2)
ft
Далее используем тот факт, что
£2= 1
и получаем
|Д| = 1} [1 - £а И £с И] £а И & И Л>Н <
'ft
<}[1-&М&И]ЛРИ. (4.3)
ft
4.2. Неравенство Вигнера
Теорема 4.2. Пусть £a(u>), £ь(о>). £с(^) принимают
значения ±1. Тогда имеет место следующее неравенство
Р(£а = + = +1) +Р(& = = +0 >
>p^« = +i,ec = +i). (4.4)
Доказательство. Имеем
P(u>Gfi: = +1.&М = +1) =
= P(w € ft: Са (w) = = +ЦсН = +1) +
+ Р(ы € П: Се И = +1.6 И = +UcM = "О- (4-5)

§ 5. Интерпретации нарушения неравенства Белла
141
Тогда
<£i.£'i> + + (fc.tf) - <fc,&> < 2. (4.12)
Доказательство. Отметим очевидное неравенство для
вещественных чисел, ограниченных единицей:
U\V\ + U\V2 + U2V\ - U2V2 ^ 2, (4.13)
следовательно,
Ы\ + (4.14)
Для завершения доказательства проинтегрируем последнее
неравенство по вероятностной мере Р.
§ 5. Интерпретации нарушения неравенства Белла
Обычно в физической литературе после вывода неравенств
типа (4.1), (4.4), (4.12) отмечается, что можно найти такое
квантовое состояние (например, синглетное состояние) и такие
квантовые операторы, что эти неравенства будут нарушаться.
Из этого делается вывод о противоречии между классической
и квантовой вероятностными моделями. Условие локальности
здесь возникает в форме возможности использовать
случайные величины £а(ш)9 &(w)f £с(а;), а не £абМ, СасМ»---.
Если бы мы допустили возможность мгновенного действия на
расстоянии, то измерение в одной лаборатории для
экспериментальной конфигурации а (например, направления оси проекции
спина) зависело бы от выбора экспериментальной
конфигурации b в другой лаборатории. Для результата измерения в первой
лаборатории мы не могли бы использовать случайную величину
£а(и;), не зависящую от Ь.
Поскольку для двухиндексовых случайных величин
невозможно получить неравенства типа (4.1), (4.4), (4.12),
противоречие между квантовой и классической моделью снимается. Итак,
решение проблемы нарушения неравенств типа (4.1), (4.4), (4.12)
Белл видел в действии на расстоянии, а не в невозможности
использовать классическое вероятностное описание.
Однако, как мы уже отмечали в §§ 1, 2, обычно из
нарушения неравенств типа Белла для квантовых вероятностей
делается вывод о противоречии между квантовой и классической
вероятностными моделями. Нарушение объясняется тем, что

142
Гл. 6. Неравенства Белла
результат измерения в принципе нельзя записать в виде
случайной величины £а(^) (возможность £аб(^) отвергается вместе
с классической нелокальностью). Но при такой интерпретации
все возвращается на круги своя, а именно к диспуту между
Эйнштейном и Бором. Нужно объяснить, почему, если для одного
электрона в синглетной паре проекция спина на направление а
равна, например, +1, то для второго она предопределена: -1.
В этой ситуации неясно, почему результат измерения нельзя
записать как функцию £а(^) от состояния и — «скрытого
параметра».
Целью наших последующих рассмотрений является
формализация соответствия между квантовой и классической
вероятностными моделями. До сих пор это соответствие не описывалось
в четких математических терминах. В рамках такой
формализации станет очевидным, что белловская дилемма: «или полнота,
или (классическая) нелокальность», — ничем не обоснована.
Можно представить целый ряд очень естественных физических
объяснений нарушения неравенств белловского типа, отличных
от действия на расстоянии. В частности, возможность
построения локальной предквантовой классической теории отнюдь не
исключена, несмотря на доводы Джона Белла.
§ 6. Правила соответствия между классической
и квантовой вероятностными моделями
Предполагается, что имеется пространство скрытых
параметров Q. Точки и € Q задают состояния отдельных физических
систем. При условии неполноты квантовой механики считается, что
чистое состояние ф вовсе не является чистым. Различные
физические системы 51,52,5з,..., описываемые в квантовой механике
одним и тем же чистым состоянием ф, на самом деле имеют
различные состояния ш\,Ш2,<л>2,... Например, когда на квантовом
языке мы говорим об электронах, находящихся в стационарном
(чистом) состоянии Феу соответствующем энергетическому
уровню Е, на языке классической предквантовой теории это может
означать, что эти электроны описываются различными скрытыми
параметрами. В частности, может оказаться, что эти скрытые
состояния соответствуют скрытым флуктуациям энергии, Е + SE.
А квантовая механика описывает измерения, нечувствительные
к столь малым флуктуациям энергии.

§ 6. Правила соответствия между классической и квантовой 143
В математической теории следует зафиксировать некоторую
сг-алгебру подмножеств F множества скрытых параметров Q.
Заметим, что в физической литературе множество скрытых
параметров обозначается обычно символом Л, а не Q (скрытый
параметр А, а не и). Мы же следуем символике, принятой в теории
вероятностей.
Классические физические величины представляются в виде
случайных величин £: fi —» R. Это измеримые отображения:
для любого борелевского подмножества В £ К его прообраз
£-i(jB) € F. Таким образом, «классицизм» эквивалентен
возможности функционального представления. Для системы, имеющей
состояние uj Е fi, классическая величина £ задает объективное
свойство этой системы.
Предполагается заданным некоторое пространство
случайных величин V(Q), представляющих классические физические
величины. Вовсе не следует предполагать, что V(Jl) совпадает
с пространством всех случайных величин. Например, П может
быть гладким (или аналитическим) симплектическим
многообразием и V{Cl) — пространством гладких (или аналитических)
функций.
В любой статистической теории рассматриваются ансамбли
физических систем. Каждому ансамблю соответствует
распределение вероятностей Р на F. Обозначим пространство
вероятностных мер символом S(Q). При этом вовсе не предполагается,
что S(ft) совпадает с пространством всех возможных
вероятностных мер. S(Cl) выбирается в зависимости от модели. В
частности, в предквантовой классической статистической модели
(см. гл. 7, 8) 5(i7) состоит из гауссовых мер на бесконечномерном
фазовом пространстве £), имеющих малую дисперсию.
Классическую теорию можно считать моделью объективной
реальности, т.е. реальности как она есть сама по себе, когда
мы ее не наблюдаем. Кроме того можно создать модель для
наших измерений. Конечно, в идеале можно надеяться, что мы
можем изобрести замечательные измерительные устройства,
способные измерять непосредственно свойства систем. В этом
случае наблюдаемые будут задаваться непосредственно случайными
величинами £ € V(tt). Однако в реальности мы не способны
сделать это. Наблюдаемые (или более точно «измеряемые») не
совпадают с классическими физическими переменными. Поэтому
можно надеяться лишь установить некоторое соответствие
между классическими переменными и наблюдаемыми.

144
Гл. 6. Неравенства Белла
Так как наблюдаемые отнюдь не задают объективные
свойства физических систем, то в принципе нет никакой
необходимости представлять их в математической модели с помощью
случайных величин. Возможны различные символические
представления. В квантовой механике наблюдаемая а представляется
с помощью самосопряженного оператора а. Если ограничиться
рассмотрением ограниченных линейных операторов, то
пространство наблюдаемых можно реализовать как CS(H) —
пространство ограниченных самосопряженных операторов.
Как уже было отмечено, описание статистического состояния
ансамбля систем в теории наблюдений может отличаться от его
классического описания. В частности, в квантовом формализме
это статистические операторы фон Неймана Т>(Н).
Итак, основная проблема — найти адекватные правила
соответствия между классической статистической моделью
МКЛ = (S(Q),V(Q))
и квантовой моделью
ЛГКВ = (£,(#), !>(#)).
Ситуация осложняется тем, что модели М мы не знаем, мы
ее только ищем. Основная цель авторов теорем невозможности
(включая Белла) показать, что само предположение о
существовании Мкл ведет к противоречию.
В общей ситуации мы можем только надеяться построить
отображения соответствия (обозначаемые одним и тем же
символом для наблюдаемых операторов)
j:V(Q)^Ca(H), (6.1)
j:S(il)^V(H), (6.2)
или же
i: CS{H) -> V(Q). (6.3)
i: V(H) -> S(fi). (6.4)
Так как мы не предполагаем, что j или г взаимно-однозначны,
то (6.1), (6.2) и (6.3), (6.4) — это разные проблемы. Как уже
отмечалось, физика нам, по-существу, ничего не говорит о
свойствах отображений j или г.
Далее, чтобы символически подчеркнуть различие между
наблюдаемыми величинами и представляющими их операторами,
мы будем обозначать последние 2,6,...

146
Гл. 6. Неравенства Белла
§ 8. Теоремы невозможности белловского типа
Свою деятельность Джон Белл начал с уничижительной
критики теоремы невозможности фон Неймана. Особенно сильной
критике подвергся постулат ФНЗ, в связи с тем что правая часть
равенства (7.2) содержит сумму некоммутирующих операторов
ак = j(£k). Также критиковался постулат ФН1. Вообще говоря,
нет никаких физических оснований считать, что каждая
квантовая наблюдаемая а € CS(H) представляет только одну
классическую физическую переменную £ £ V(Q).
Различные классические предквантовые переменные могут
отождествляться нашими макроскопическими измерительными
устройствами. Более того, нет никаких физических оснований
считать, что каждый самосопряженный оператор а € CS(H)
соответствует какой-то реальной физической наблюдаемой. В
принципе, может оказаться, что j(V(£l)) — это лишь собственное
подпространство в CS(H), см. Л. Баллентайн [45].
Итак, Белл убрал постулаты ФН1 и ФНЗ, постулат ФН2
также был ослаблен. К сожалению, сам он представил в
формализованном виде лишь некоторые из своих постулатов 0.
Поэтому мы вынуждены провести эту формализацию, дополнив лист
постулатов, которые Белл четко сформулировал, постулатами,
которые использовались негласно 2).
Б1). Образ j(V(Q)) содержит операторы спина д(9) ® I и
I ®д(в), 9 Е [0,27г), для системы из двух частиц со спином 1/2.
Б2). Для любой переменной £ £ V(fy ее образ значений £(£})
совпадает со спектром оператора а = j(£).
БЗ). Образ j(S(Q)) содержит синглетное спиновое состояние
</, = -L(|+)|-)-|-}|+». (8.1)
Это состояние принадлежит 4-мерному пространству
состояний Я = С2 х С2 и может быть записано в тензорных
обозначениях как
^ = -L(|+>®|-)-|-)®|+». (8.2)
') Как уже отмечалось, следствием этого является нездоровый интерес
к неравенству Белла.
2) Исследования в этом направлении начались еще в 70-е годы (Л АккарДи
[1, 18-20]). Здесь предлагается формализация, проведенная автором [215].

§ 7. Постулаты фон Неймана для отображения между моделями 145
§ 7. Постулаты фон Неймана для отображения между
классической и квантовой моделями
Фон Нейман был первым [15], кто попытался формализовать
свойства отображения j в (6.1):
ФН1). j взаимно-однозначно.
ФН2). Для любой борелевской функции /: R —► R имеет
„вето равенство im)).Jm) (7.1)
для любой случайной величины £ € У(Л).
ФНЗ). Для любой последовательности случайных величин £ь
£2,--. имеет место равенство
J«i+& + -)=jKi)+J(&) + -. (7.2)
Как писал фон Нейман [23], «совместная измеримость
наблюдаемых j(£i),j(f2)»--- не предполагается». Значит, в общем
СЛУЧЗе [*К»Шт)]?*0, пфт.
Грубо говоря, фон Неймана «доказал», что любой оператор
статистического среднего на V(Q) может быть представлен как
квантовое среднее на CS(H). Он не писал о теореме. Это был
так называемый анзатц.
Анзатц 1 (фон Нейман). При условиях ФН1-ФНЗ (и
некоторых добавочных технических условиях) существует
отображение j: S(Q) —► ©(#), где S(Q) — пространство всех
вероятностных мер на £2, которое является
взаимно-однозначным, и классическое и квантовое средние совпадают:
<0р = JCMdP(w) = TVpaf (7.3)
где р = j(P), 2 = j(0-
Используя Анзатц 1, фон Нейман получил следующую
«теорему невозможности».
Анзатц 2 (фон Нейман). Не существует отображений
(6.1), (6.2), удовлетворяющих постулатам ФН1-ФНЗ.
Для доказательства этого анзатца он показал, что Т>(Н) не
содержит состояний р с нулевой дисперсией. В то же время
любая 6-мерг на Q, имеет нулевую дисперсию 0.
') 5-мерой мы называем меру, сосредоточенную в одной точке.

§ 8. Теоремы невозможности белловского типа
147
Итак, отнюдь не требуется, чтобы отображения j: V(fl) —►
—► CS(H) и j: S(Q) —► V{H) были инъекциями и сюръекциями.
Требования на размеры образов j(V(Q,)) и j(S(Q)) минимальны.
В отличие от ФН2, в постулате ФНЗ отсутствует связь между
алгебраическими структурами в классическом и квантовом
пространствах, в V(ft.) и С(Н).
Мы использовали, как и фон Нейман, отображение j, см.
(6.1), (6.2), из классического мира в квантовый. А Дж. Белл
рассматривал отображение г, (6.3), (6.4), из квантового мира
в классический 0.
Заметим, что по любому отображению j мы можем
построить некоторое г (но не единственным образом). Для оператора
a G CS(H) полагаем: г (а) = £а> где случайная величина £а
выбирается из множества j~l(a) С V(Q). Для состояния р € £>(Я)
полагаем: i(p) = Рр, где вероятностная мера Рр выбирается из
множества j~l{p) С 5(П). Конечно, переход от отображения j
к отображению г весьма деликатен. Он опирается на аксиому
выбора, которую лучше не использовать. Также обратим еще раз
внимание на неединственность выбора г для фиксированного j.
Дальнейшие постулаты были сформулированы Беллом [44].
Б4). Для любого состояния р € V{H) и любых
коммутирующих операторов а и Ъ имеет место равенство классической
и квантовой ковариаций:
(£а,£б)рр = j СаНСьИ rfPp(cj) = (а, ft), = Тграб. (8.3)
п
Б5). Для синглетного состояния ф и любого 9 Е [0,27г)
случайные величины
&М = »(ЭД®/) и й(ы) = »(/®ад) (8.4)
антикоррелированы:
Ы") = (8-5)
п. в. по отношению к вероятности PPt/>, где р<ф = ф ®ф.
Теорема 8.1 (Белл). Пусть размерность пространства
квантовых состояний Н равна четырем. Отображения
j: V(il) —► CS(H), j: S(Q) —► V(H), удовлетворяющего
0 Постулаты Б1-БЗ не были им сформулированы четко, они лишь
использовались как негласные предпосылки.

148
Гл. 6. Неравенства Белла
Б1-БЗ и такого, что соответствующее отображение г
удовлетворяет Б4, Б5, не существует.
Заметим, что теорему можно было бы сформулировать,
используя лишь отображение г. Просто в постулате Б1 нужно было
бы сказать, что область определения г, см. (6.3), содержит
спиновые операторы, а в постулате БЗ — что область определения г,
см. (6.4), содержит синглетное состояние. Однако, по-видимому,
это противоречило бы взглядам Белла. Фиксируя г, мы полагаем,
что каждая квантовая наблюдаемая а представляет лишь одну
классическую случайную величину
U = г (а).
Доказательство. Мы применим теорему 4.1 к случайным
величинам £#(сс;), соответствующим спиновым операторам:
|(&Р&2)р ~ (&3'&2)pI ^ 1 ~" (&1»&з)р'
где Р = РРф и ф — синглетное состояние. Заметим, что
постулат Б2 был использован. Напомним, что при доказательстве
неравенства Белла мы использовали тот факт, что классические
случайные величины принимали значения ±1. Теперь мы
применим постулат Б5 об антикорреляциях и перепишем неравенство
Белла в виде
В заключение применим постулат Б4 и заменим в этом
неравенстве классические ковариации на квантовые:
\Тг(ф®ф)(Э(в{)®1)(1®д(в2))-
-Тг(ф® ф)(Э(93) ® /)(/ ® Э{в2))\ ^
^ 1 + Тг (ф ® ф)(д(вх) ® /)(/ ® Э(вг)).
Однако последнее неравенство нарушается для специальным
образом подобранных углов 0\, 62, #з, см. доказательство
последующей теоремы 8.2.
Хотя соответствие между алгебраическими структурами
(сложением и умножением случайных величин в V(Q) и
сложением и композицией операторов в С(Н)) уже не присутствует
в постулате Б2, ср. с ФН2, но след этого соответствия все
же есть в постулате Б4. Хотелось бы вообще обойтись без
рассмотрения этого соответствия, так как один из доводов
против теоремы 8.1 может быть таким:

§ 8. Теоремы невозможности белловского типа
149
Собственно говоря, почему классические алгебраические
выражения для ковариаций (а для дискретных случайных
величин это просто линейные комбинации) должны переходить
в квантовые алгебраические выражения для ковариаций (а для
операторов с дискретным спектром это линейные
комбинации следов)}
Таким образом, можно сказать, что теорема невозможности
Белла появилась как результат того, что список свойств для
соответствия между классической и квантовой моделями содержит
сомнительное условие Б4. В этом случае нет никакой
необходимости привлекать действие на расстоянии, как это делал Белл.
Поэтому очень важен вклад в белловскую программу Вигнера,
предложившего рассматривать вероятности вместо ковариаций.
Он предложил вместо постулата Б4 рассмотреть следующий
постулат о соответствии между классическими и квантовыми
вероятностями.
В). Для любого квантового состояния р € V(H) и любых
коммутирующих операторов а, Ъ € CS(H) квантовые и классические
совместные распределения вероятностей совпадают:
РР(и € П: £аМ 6 A,tb(u>) е В) = Тгртг^, (8.6)
где £а = г(а), & = г(6), а А и В — произвольные борелевские
подмножества R. Здесь {7Гд} и {пьв} — спектральные семейства
для самосопряженных операторов а и Ь.
Теорема 8.2 (Вигнер). Заключение теоремы 8.1 остается
верным при замене постулата Б4 на В.
Доказательство. Мы применим неравенство Вигнера и
теорему 4.2 для вероятности Р = РРф, где рф = ф <g> ф и ф —
синглетное состояние (8.4), и случайных величин ^(и),
соответствующих спину:
Р(а;еП:&,И = +1,^И = +1) +
+ Р(и € П: &2И = -1,&3(Ч) = +1) >
>Р(а;еП:&,Н = +1,^И = +1).
Заметим, что мы воспользовались здесь постулатом Б2.
Имеется мнение, что значения случайных величин не играют
никакой роли в теоремах типа Вигнера. Это неверно! Хотя
конкретные значения неважны, но тот факт, что случайные величины

150
Гл. 6. Неравенства Белла
€в(ш) и £'в(ш) принимают лишь два значения, играет
фундаментальную роль.
Теперь мы применим постулат Б5 о спиновых
антикорреляциях и перепишем неравенство Вигнера в виде
Р(иеП:^1М = +1,^Н = -1) +
+ Р{ш е П: = -1,^3И = -1) >
^Р(а;еП:&1И = +ЦН = -1).
Применим постулат В и заменим классические вероятности
на квантовые:
Тг(ф® ф)*к+(вх)ж'_(в2) + Ъ(ф® ф)п-{62)п'_(в3) >
>Ъ{ф®ф)п+(в{)тг'_(0з), (8.7)
где 7г±(0) и 7г±(0) — спектральные проекторы спиновых
операторов Э(в) ® I и I ®д(6).
Для спиновых квантовых наблюдаемых а(в) и сг'(0),
относящихся к электронам в паре, квантовая механика предсказывает
следующие вероятности:
P*(a(6i) = +1V(02) = -0 = 5 sin2
Р^(а(02) = -1,<т'(03) = -1) = ^ cos2
Рф(<т(Ох) = + 1,а'(03) = -1) = ^sin2
Из неравенства (8.7) следует тригонометрическое
неравенство о о о о оо
S1IT —^— + cos —2— —2— ' '
Положим в\ = 0, 92 = 60, 0з = 20 и получим
тригонометрическое неравенство
sin2 30 + cos2 30 ^ sin2 0. (8.9)
Нарисовав график функции /(0) = sin2 30 -f cos2 20 — sin2 0
(с помощью компьютера), читатель увидит, что для достаточно
больших 0 неравенство /(0) ^ 0 нарушается.
0\
-02
2
02
-0з
2
-0з
2
02
-0з
2

§9. Области значений предквантовых и квантовых переменных 151
Обратим теперь внимание на постулат Б2 о совпадении
областей значений предквантовых физических переменных £ Е V(Q)
и соответствующих квантовых наблюдаемых, а = € CS(H).
В теореме Клаузера-Хорне-Шимони-Холта существенно
ослаблен этот постулат:
КХШХ). Для любой случайной величины £ € V(Q)
sup{|x|: х Е = sup{|x|: х Е Spectrum (j(0)}- (81°)
Теорема 8.3. Заключение теоремы 8.1 остается верным
при замене постулата Б2 на КХШХ и отказе от постулата
Б5 (о точных антикорреляциях).
Доказательство проводится по той же схеме, что и
доказательства теорем 8.1 и 8.2, и основывается на неравенстве
Клаузера-Хорне-Шимони-Холта, см. теорему 4.3, (4.12).
Как уже отмечалось, Белл считал, что единственное
разумное объяснение возникновения теорем невозможности — это
использование условия локальности. В нашей формализации
условие локальности следует из возможности «обратить»
отображение j: V(Q) —► CS{H) и построить отображение г: CS(H) —*
—* V(fl). При нелокальном взаимодействии классическая
физическая переменная £а, соответствующая наблюдаемой а, может
зависеть от любой другой наблюдаемой 6, которая может быть
измерена одновременно с а: [а,6] = 0. Однако такой вывод более
чем преждевремен.
В отношении теорем невозможности белловского типа мы
поступим так же, как Белл поступил с теоремами невозможности,
полученными его предшественниками — фон Нейманом, Яухом
и Пироном, Глисоном, см. [50, с. 4-9]. Так же как это сделал
Белл, мы выделим сомнительные условия в его теореме
невозможности и покажем, что последняя теорема имеет не больше
отношения к физике, чем все предыдущие теоремы.
§ 9. Области значений предквантовых и квантовых
переменных
Доказательства теорем невозможности Белла и Вигнера
основаны на постулате Б2 о совпадении областей значений
классической переменной £ и соответствующей ей квантовой
наблюдаемой а, которая в соответствии с аксиоматикой квантовой
механики равна спектру оператора а = Более того, в случае

152
Гл. 6. Неравенства Белла
нарушения постулата Б2, легко построить пример классических
случайных переменных, воспроизводящих ЭПР-корреляции.
Является ли этот постулат непосредственным следствие
анализа физической ситуации? Похоже, что вовсе нет! Здесь
уместно процитировать выдающегося квантового физика Генри Стапа
[280], внесшего огромный вклад в анализ следствий нарушения
неравенства Белла:
«Основной проблемой является то, что для применения
квантовой теории мы должны разделить фундаментально
неделимый физический мир на две идеальные части: систему, которая
наблюдается, и систему, которая наблюдает. Однако теория не
дает адекватного описания связи между этими двумя
частями. Вероятностная мера является функцией микроскопических
наблюдаемых систем, в то время как вероятности, которые ей
соответствуют (в квантовой теории), — это вероятности реакций
макроскопических измерительных устройств. Эти реакции
(например, сигналы детекторов) описываются совершенно другими
степенями свободы». Здесь замечания в скобках и выделение
шрифта сделаны мною.
Итак, согласно Стапу, имеются два совершенно различных
множества степеней свободы, микроскопических и
макроскопических, и мы ничего не знаем о связи между ними. Предполагать
в такой ситуации, что белловские переменные должны меняться
в одних и тех же областях, было бы очень опрометчиво.
Например, почему классические спиновые переменные также
должны принимать значения ±-, как и квантовые
наблюдаемые? Может быть, дискретность — это просто результат работы
макроскопических измерительных устройств? Может быть, в
реальности имеют место лишь флуктуации вида
±\ + еф). (9.1)
где е достаточно мало?
Из анализа Стапа следует, что £ и а = j(f) зависят от
совершенно разных координат. Я считаю, что нет никаких физических
оснований верить (как это делал Белл, Вигнер и все остальные
исследователи роли неравенств белловского типа в квантовой
механике), что постулат Б2 верен. То же самое можно сказать
о постулатах КХШХ.

154
Гл. 6. Неравенства Белла
10.1. Следствия взаимной неоднозначности соответствия
между классической и квантовой моделями. Мы собираемся
сыграть на том, что, возможно, квантовая механика является
лишь грубой аппроксимацией некоторой фундаментальной пред-
квантовой классической теории х).
Отображение j из классической модели на квантовую может
быть проекцией, при которой огромное количество классических
структур (переменных и вероятностей) отображается в одну
квантовую (оператор-наблюдаемую или оператор фон Неймана).
И такая картина проекции весьма естественна. Результаты
наших измерений — это результат взаимодействия
макроскопических устройств с микросистемами.
Как результат белловской критики теоремы невозможности
фон Неймана, сейчас общепринято, что нет никаких оснований
считать, что для квантовой наблюдаемой а ее классический
прообраз
J-l(a) = {UV(Q):j(0 = a}
содержит лишь одну случайную величину.
По-видимому, нет также никаких оснований предполагать,
что, фиксируя квантовое состояние р, мы в состоянии
зафиксировать и классическое вероятностное распределение Рр.
Действительно, р — лишь символ процедуры приготовления ансамбля
систем. В силу вышеприведенных аргументов квантовая
механика дает слишком грубое описание реальности и ее формализм
не определяет однозначно вероятностное распределение на
пространстве скрытых параметров Q. Итак, множество
j-\P) = {P€S(n):j(P) = p}
может быть, в принципе, бесконечно велико, как и j~l(a).
10.2. Контекстуальная атака на доводы Белла. Заметим,
что при доказательстве всех теорем невозможности белловского
типа, теорем 8.1-8.3 использовалось одно фиксированное
классическое вероятностное распределение Pp£j~l(p) (во всяком
случае для синглетного состояния) и для любой квантовой
наблюдаемой а одна фиксированная классическая случайная
величина £ £ j~l(3>) (во всяком случае для спина или
поляризации). Имеется важный физический аргумент против такого
1) Такая теория отнюдь не обязана совпадать с классической механикой
на фазовом пространстве R3 х R3.

§ 10. Контекстуальность
153
Вывод: Если отказаться от постулатов о соответствии
областей значений для классических и квантовых переменных
(в формах ФН2, Б2 или КХШХ), то классическая {локальная)
и квантовая вероятностные модели не противоречат друг
другу.
§ 10. Контекстуальность
Следуя Нильсу Бору, под контекстом мы понимаем
совокупность всех физических условий эксперимента. В этом
параграфе будет представлен весьма общий взгляд на роль
контекстуальное™ в рассмотрениях белловского типа. Личный взгляд
Белла на контекстуальность и ее роль в его теореме
невозможности будет представлен в §11. Заметим, что белловская
контекстуальность — это весьма специфическая форма контек-
стуальности. Здесь контекст сводится к измерению других
наблюдаемых, совместных с измеряемой наблюдаемой а. Будем
называть эту специальную форму контекстуальности белловской
контекстуальностью. Таким образом, это контекстуальность
совместных измерений. Конечно, общий комплекс физических
условий для измерения наблюдаемой а не сводится к работе
других измерительных устройств, совместимых с измерением а.
Общий физический контекст С включает огромное количество
степеней свободы, соответствующих приготовлению системы для
измерения и самому измерению.
Однако, следует заметить, что в литературе под контексту-
альностью обычно понимается ее белловская физическая форма.
Как в свое время было отмечено Беллом, единственным
объяснением контекстуальности, обусловленной совместными
измерениями, является действие на расстоянии. Иначе как еще
объяснить тот факт, что в комплекс физических условий для
измерения а входят параметры других измерительных устройств,
расположенных на расстоянии от устройства для измерения а?
В отличие от белловской контекстуальности совместных
измерений, общая контекстуальность вовсе не влечет действия на
расстоянии. Более того, если серьезно проследить зависимость
вероятностей от физических условий (контекстов), то приходим
к неожиданному результату.
Вероятность реализации комплексов физических условий,
влекущих выполнение неравенства Белла, равна нулю (см.
теорему 9.1).

156
Гл. 6. Неравенства Белла
как и случайные величины: £а,с(^). £б,с(<^)» £с,с(^)« Рассмотрим
первоначальное белловское неравенство для ковариаций. На
самом деле ковариаций, рассмотренные в теореме 4.1, относятся
к трем различным комплексам физических условий: С\, C<i> С3-
Здесь
(ta,Zb)(Ci) = J fa.c.M&.c.HdPp.cM.
Если Ci 7^ C2, то мы не сможем повторить операции с
интегралами, которые были использованы при доказательстве
теоремы 4.1. Мы не сможем получить неравенство Белла, содержащее
третью ковариацию:
<euc)(c3) = \ucMUc3HdPp,c3H'
Для получения неравенства Белла нужно предположить, что
С\ — С2 — С3.
В контекстуальном подходе возникает не неравенство Белла,
а его обобщение, см. [10], которое не противоречит
экспериментальным данным.
Специальная форма контекстуальности, основанная на
условии невоспроизводимости данных, была изучена В. Де Баере
[85-88]. Он также пришел к выводу, что неравенство Белла
невыводимо при учете зависимости от контекста.
Хорошо известная проблема эффективности детекторов
тоже может быть представлена как форма контекстуальности.
В этом подходе различные контексты индуцируют различные
выборки (ансамбли) пар частиц, см. [247, 228, 229, 116, 24, 26].
Те же самые контекстуальные контраргументы могут быть
выдвинуты против стандартных доказательств неравенства Виг-
нера (теорема 4.2) и неравенства
Клаузера-Хорне-Шимони-Холта (теорема 4.3).
Перейдем к формализации соответствия между
классической и квантовой моделями в случае контекстуальной
зависимости. Обозначим множество всех контекстов символом С.
Предположим, что на С определена некоторая вероятностная
мера Q. Здесь Q(C) для С € С — вероятность реализации кон-

§ 10. Контекстуальность
155
подхода. В экспериментальной физике в любом из неравенств
белловского типа используются статистические данные,
которые получены для нескольких различных экспериментальных
контекстов. Эти контексты соответствуют, например,
различным выборам осей в экспериментах с поляризованным светом.
В свете предыдущей дискуссии об отсутствии взаимной
однозначности отображения классической модели в квантовую, нет
никаких физических оснований надеяться получить одно и то
же классическое вероятностное распределение и те же самые
классические величины (например, соответствующие квантовым
наблюдаемым проекций спина или поляризации). Нет никаких
гарантий, что все последовательности измерений проводятся при
одних и тех же экспериментальных условиях. Даже если
используется то же самое оборудование, невозможно
гарантировать точное воспроизводство всех внутренних физических
параметров измерительных устройств и источника. Например, мы
фиксировали ось в и, следовательно, спиновую наблюдаемую
сг(0), а также ось в' и спиновую наблюдаемую о'{9),
относящиеся к электронам в паре. Мы рассмотрели некоторую
последовательность измерений. Эта последовательность была
проведена для некоторого распределения параметров источника, Рр,
некоторого распределения параметров измерительных устройств
(магнитов Штерна-Герлаха), задающего классические
случайные величины, £в(и), ^{uj). Обозначим этот экспериментальный
контекст С\ (распределение всех параметров). Выберем теперь
другой угол, 0", вместо в'. Проведем другую последовательность
измерений. Ей будет соответствовать контекст С2. Распределение
параметров систем и измерительных устройств будет другим. Это
следствие не только выбора другой оси, 0", для измерения
проекции спина, но и изменения распределения параметров источника
и измерительного устройства о{9). Мы не можем предположить,
что для С2 должны возникнуть обязательно те же Рр и
случайная величина что и для С\.
Итак, рассмотрим новый случайный параметр С,
описывающий контекст серии измерений (комплекс физических условий,
но не на уровне макроскопических устройств, а на уровне
микропараметров этих устройств). А теперь попытаемся повторить
рассуждения Белла и его последователей, но учитывая новый
параметр С. Теперь классические вероятностные меры,
представляемые в квантовой модели статистическим оператором р,
зависят и от экспериментального контекста С: Рр = Рр,с, так же

§10. Контекстуальность
157
текста С. Вместо вырожденных отображений j: V(Q) —» CS(H)
и i: S(fl) —> £>(#) мы рассмотрим случайные отображения
Для любого контекста С (рассматриваемого как случайный
параметр) и любой квантовой наблюдаемой а определена
(единственная) величина £(и>) = i(C,a)(u)), и для любого
квантового состояния р определена единственная вероятностная мера
Р = г(С,р). Однако и(,иР должны рассматриваться как
функции дополнительного случайного параметра С.
В этом формализме можно сформулировать следующую
интересную проблему.
Какова вероятность получить наборы статистических
данных, которые будут удовлетворять неравенству Белла?
Так как в эксперименты вовлечены огромные множества
физических параметров (например, в лазере, оптических
кристаллах, магнитах Штерна-Герлаха), то естественно предположить,
что вероятность появления фиксированного С £ С равна нулю,
т.е. вероятность Q на множестве контекстов С равна нулю:
для любого С € С.
Теорема 10.1. При условии (невоспроизводимости) (10.1)
вероятность получить статистические данные, которые
будут удовлетворять неравенству Белла, равна нулю.
Доказательство. Так как Q(C) = 0, то вероятность
получить в трех различных последовательностях измерений один
и тот же комплекс физических условий, С = С\ = С2 = Сз равна
нулю.
10.3. Неравенство Белла и эксперимент. Поскольку
экспериментальные статистические данные, полученные для
различных выборов поляризационных проекций, нарушают неравенство
Белла, обычно делается вывод, что квантовая механика
несовместима с локальным реализмом 0.
') Хотя в литературе неравенство Белла обычно рассматривается для
проекций спина электрона (как и в нашей книге), но реальные эксперименты были
проведены не для спина электрона, а для поляризации фотона. С электронными
парами ничего не получается, поскольку не удается создать пары зацепленных
(entanglet) электронов, для которых мы могли бы измерять спин на суще-
i:C
х С3(Н) -> V(Q), г: С х £>(#) -> S(Q).
Q(C) = 0
(ЮЛ)

158
Гл. 6. Неравенства Белла
Таким образом, остается либо считать, что само
предположение о существовании предквантовой классической модели
(проецируемой на квантовую) было ложно, либо считать, что
существует действие на расстоянии: измерение, произведенное
для одной частицы, немедленно (быстрее скорости света) меняет
состояние другой.
Наш вероятностный анализ показал, что такая
интерпретация экспериментальных нарушений неравенства Белла не совсем
обоснованна. При контекстуальном подходе неравенства типа
Белла должны выполняться с вероятностью нуль. Конечно,
вероятность нуль не означает, что ни в каком эксперименте не могут
возникнуть статистические данные, которые будут удовлетворять
неравенству Белла. Но вероятность такого события
пренебрежимо мала.
§ 11. Белловская контекстуальность и действие
на расстоянии
В белловском подходе контексты полностью задаются
наблюдаемыми, представляемыми коммутирующими операторами.
Таким образом, все микроусловия приготовления состояния и
измерения игнорируются. Лишь совместное измерение а и 6, для
которых [а,6] = 0, рассматривается как источник контексту-
альности. Пусть а G CS(H). Для Белла контексты а-измерений
задаются лишь наблюдаемыми 6, соизмеримыми с а. Итак, все
контексты для а-измерения могут быть представлены в форме
С = СьЛеС8{Н) и [а,6] = 0.
Конечно, белловская контекстуальность тоже блокирует
доказательство неравенства Белла. Однако, как Белл всегда
подчеркивал, если измерения наблюдаемых а и b проводятся в
областях, разделенных в пространстве, то его контекстуальность
можно получить лишь с помощью действия на расстоянии:
i(Cb,a)(u) = UCb*u).
ственном расстоянии друг от друга. Недавно были проведены эксперименты
с зацепленными ионами. Неравенство Белла было нарушено. Однако в таких
экспериментах не удается гарантировать локальность. Не удается развести
зацепленные ионы на достаточно большое расстояние друг от друга.

§ 12. О ценности аргументов Белла
159
Таким образом, классическая случайная величина не
определяется только наблюдаемой а, но зависит также от измерения Ъ,
которое действует мгновенно на любом расстоянии.
§ 12. О ценности аргументов Белла
В принципе, аргументы Белла могли бы стимулировать
исследования по поиску подтверждений гипотезы о действии на
расстоянии. Однако этого не случилось. Экспериментальное
нарушение неравенств типа белловского рассматривается как
окончательное доказательство существования квантовой
нелокальности.
Но мы видели, что белловская контекстуальность и ее
интерпретация, как действия на расстоянии — это лишь одна из
множества возможностей блокировать вывод неравенства Белла.
Поскольку мы не имеем ни малейшего представления о
реальных свойствах соответствия между классической предквантовой
моделью и квантовой механикой, мы не знаем, что в реальности
блокирует вывод Белла.
Я лично предпочел бы отнести нарушение этого
неравенства к нарушению условия равенства образов значений для
классических и квантовых переменных или контекстуальности
(и невоспроизводимости на микроуровне) условий приготовления
состояния и измерения.
Вывод. Можно сказать, что основным следствием
белловских рассмотрений был расцвет технологий по работе с
зацепленными фотонами. Как и все предшествующие теоремы
невозможности, «теорема Белла» не сыграла существенной
роли в прояснении оснований квантовой механики.

§ 1. Квантовая механика для советских морских офицеров
161
Первоначальный вариант ПТП был развит в формализме
бесконечномерного фазового пространства, см. гл. 8.
Такой подход более нагляден с точки зрения классической
механики, однако он гораздо более сложен математически, чем
вероятностный подход этой главы. Здесь, чтобы получить
квантовую механику, нужно лишь перейти от конечномерного фазового
пространства, f^n = R-n х R77, к бесконечномерному фазовому
пространству, ft = L2(R3,R) х I>2(R3,R), гДе -MR^R) ~~ это
пространство функций ip: R3 —► R, суммируемых в квадрате по
мере Лебега. Затем нужно разложить интеграл по fi,
представляющий классическое предквантовое среднее, по малому
параметру к (дисперсии предквантовых флуктуации), и квантовое
среднее (задаваемое с помощью операторного следа) возникнет
в качестве главного члена в этом ассимптотическом разложении
по /с. Однако этот подход весьма сложен с математической точки
зрения, так как необходимо рассматривать интегралы по бес-
ства ft интерпретируются как классические векторные поля:
где q € Z/2(R3,R) — «координатное поле» и р е Z/2(R3,R) —
«импульсное поле». Рассматриваются ансамбли этих полей,
которые представляются мерами на и функционалы полей, которые
представляются гладкими функциями /: Q —► R.
Чтобы избежать математических трудностей, мы на первом
этапе изложения ПТП не будем вдаваться в детальное
представление бесконечномерной симплектической структуры, лежащей
в основе ПТП. Мы изложим ПТП как формализм
асимптотического разложения вероятностных средних.
§ 1. Квантовая механика для советских
морских офицеров
Этот параграф книги возник в результате бесед с моим тестем
Александром Петровичем Шустовым, капитаном второго ранга
в отставке. Я имею обыкновение «обкатывать» новые теории на
своей жене Ольге и во время одной из таких бесед о ПТП
О Заметим, что мы рассматриваем обычные интегралы Лебега по
гильбертову пространству, а не интегралы Фейнмана по комплексным псевдомерам.
6 А. Ю. Хренников
конечномерным пространствам
). Элементы фазового простран-

162 Гл. 7. Предквантовая классическая статистическая теория поля
(на даче тестя в Севастополе у моря за бутылочкой домашнего
вина) я заметил, что тесть очень легко «вошел в тему». Более
того, он заметил, что вещь-то это вполне понятная и ее можно
найти в учебниках по теории вероятностей, которые
использовались в военно-морских и артиллерийских училищах. Здесь же на
даче из стопки старых книг он достал учебник Елены Сергеевны
Вентцель «Теория вероятностей» [5], и я с удивлением понял, что
основные моменты ПТП могут быть извлечены из этой книги.
Далее мы следуем изложению Вентцель [5, с. 238-235].
1.1. Приближенные методы вычисления математических
ожиданий. Важным разделом классической теории
вероятностей является аппарат нахождения числовых характеристик
случайных величин.
Этот аппарат во многих случаях практики позволяет
находить числовые характеристики функций случайных величин
(в первую очередь — математическое ожидание и дисперсию) по
числовым характеристикам аргументов, оставляя совершенно
в стороне законы распределения. Такие методы
непосредственного определения числовых характеристик применимы, главным
образом, к линейным функциям.
На практике очень часто встречаются случаи, когда
исследуемая функция случайных величин, хотя и не является строго
линейной, но практически мало отличается от линейной и при
решении задачи может быть приближенно заменена
линейной. Это связано с тем, что во многих практических задачах
случайные изменения фигурирующих в них величин выступают
как незначительные «погрешности», накладывающиеся на
основную закономерность. Вследствие сравнительной малости этих
погрешностей обычно фигурирующие в задаче функции, не
будучи линейными во всем диапазоне изменения своих аргументов,
оказываются почти линейными в узком диапазоне их случайных
изменений.
Действительно, из математики известно, что любая
непрерывная дифференцируемая функция в достаточно узких
пределах изменения аргументов может быть приближенно заменена
линейной (линеаризована). Ошибка, возникающая при этом, тем
меньше, чем уже границы изменения аргументов и чем ближе
функция к линейной. Если область практически возможных
значений случайных аргументов настолько мала, что в этой области
функция может быть с достаточной для практики точностью ли-

Глава 7
ПРЕДКВАНТОВАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Вопрос о возможности построения предквантовой
классической статистической модели обсуждается с первых дней
создания квантовой механики. Козырями в этой игре являются
теоремы невозможности. В настоящее время основной козырь
сторонников несводимости квантовой механики к классической
теории является теорема Белла. В гл. 6 мы уже представили
критический анализ предпосылок этой теоремы. Мы увидели,
что эта теорема так же необоснованна с точки зрения
физики, как и все предыдущие теоремы. Напомним, что мы лишь
применили против теоремы Белла ту же стратегию, что и Белл
применял против теорем своих предшественников, в частности
фон Неймана.
Итак, мы не считаем, что вопрос закрыт. Поэтому следует
продолжать исследования, целью которых является выход за
пределы квантовой механики [10, 13, 18-26, 30, 31, 39, 42, 46,
55-57, 60, 61, 68, 78, 80, 84-99, 110, 120, 136-141, 149, 162-216,
225-227, 235-238, 244, 245, 253, 254, 269, 270, 283-287, 290].
В серии работ автора [197, 204, 209] была построена пред-
квантовая модель, в которой роль скрытых переменных играют
классические поля. Пространство таких полей бесконечномерно.
Таким образом, платой за квантовый детерминизм является
бесконечная размерность пространства.
В нашей теории — предквантовой классической
статистической теории поля (ПТП) — квантовая структура возникает
отнюдь не как следствие особых физических законов в микромире,
отличающихся коренным образом от законов макромира.
Квантовый формализм — это следствие неполноты описания. Квантовая
механика дает лишь некоторое приближенное описание
классических вероятностных процессов на предквантовых шкалах
времени и пространства. Квантовое исчисление вероятностей —
это лишь исчисление для работы с квантовыми приближениями
классических вероятностных средних.

§ 1. Квантовая механика для советских морских офицеров
163
неаризована, то, заменив нелинейную функцию линейной, можно
применить к последней тот аппарат числовых характеристик,
который разработан для линейных функций. Зная числовые
характеристики аргументов, можно будет найти числовые
характеристики функции. Конечно, при этом мы получим лишь
приближенное решение задачи, но в большинстве случаев точного
решения и не требуется.
При решении практических задач, в которых случайные
факторы сказываются в виде незначительных возмущении,
налагающихся на основные закономерности, линеаризация почти всегда
оказывается возможной именно в силу малости случайных
возмущений.
Рассмотрим, например, задачу внешней баллистики о
движении центра массы снаряда. Дальность полета снаряда
определяется как некоторая функция условий стрельбы — угла
бросания 0о» начальной скорости vq и баллистического
коэффициента с:
Х = ¥>(0о,Ч>,с). (1.1)
Функция (1.1) нелинейна, если рассматривать ее на всем
диапазоне изменения аргументов. Поэтому, когда речь идет о
решении основной задачи внешней баллистики, функция (1.1)
выступает как нелинейная и никакой линеаризации не подлежит.
Однако есть задачи, в которых такие функции линеаризуются; это
задачи, связанные с исследованием ошибок или погрешностей.
Пусть нас интересует случайная ошибка в дальности полета
снаряда X, связанная с наличием ряда случайных факторов:
неточностью установки угла #о> колебаниями ствола при выстреле,
баллистической неоднородностью снарядов, различными весами
зарядов и т. д. Тогда мы зафиксируем определенные номинальные
условия стрельбы и будем рассматривать случайные отклонения
от этих условий. Диапазон этих случайных изменений, как
правило, невелик, и функция у?, не будучи линейной во всей области
изменения своих аргументов, может быть линеаризована в малой
области их случайных изменений.
Метод линеаризации функций, зависящих от случайных
аргументов, находит самое широкое применение в различных
областях техники. Очень часто, получив решение задачи обычными
методами «точных наук», желательно оценить возможные
погрешности в этом решении, связанные с влиянием не учтенных
при решении задачи случайных факторов. В этом случае, как
б*

164 Гл. 7. Предквантовая классическая статистическая теория поля
правило, задача оценки погрешности успешно решается
методом линеаризации, так как случайные изменения фигурирующих
в задаче величин обычно невелики. Если бы это было не так
и случайные изменения аргументов выходили за пределы области
примерной линейности функций, следовало бы считать
техническое решение неудовлетворительным, так как оно содержало бы
слишком большой элемент неопределенности.
1.2. Линеаризация функции одного случайного
аргумента. На практике необходимость в линеаризации функции
одного случайного аргумента встречается сравнительно редко:
обычно приходится учитывать совокупность нескольких
случайных факторов. Мы увидим, что в квантовой механике
учитывается бесконечно много случайных факторов — флуктуации
случайного (классического) поля. Однако из методических
соображений удобно начать изложение с наиболее простого одномерного
случая.
Пусть имеется некоторая случайная величина X и нам
известны ее числовые характеристики: математическое
ожидание тх и дисперсия Dx.
Допустим, что практически возможные значения случайной
величины X ограничены пределами а, /?, т. е.
Р{а<Х </?)« 1.
Имеется другая случайная величина У, связанная с X
функциональной зависимостью:
Y = ЖХ), ')
причем функция (р9 хотя не является линейной, но мало
отличается от линейной на участке (а,/?).
Требуется найти числовые характеристики величины Y —
математическое ожидание ту и дисперсию Dy.
Рассмотрим кривую у = (р(х) на участке а, /3 и заменим ее
приближенно касательной, проведенной через точку с
абсциссой тпх. Уравнение касательной имеет вид
у = <р(тх) + (р'(тх)(х - тх).
Предположим, что интервал практически возможных
значений аргумента (а,/?) настолько узок, что в пределах этого
1) Функцию <р на участке а, /3 предполагаем непрерывной и
дифференцируемой.

§ 1. Квантовая механика для советских морских офицеров
165
интервала кривая и касательная различаются мало, так что
участок кривой практически можно заменить участком касательной;
короче, на участке (а, 0) функция у = (р{х) почти линейна. Тогда
случайные величины X и Y приближенно связаны линейной
зависимостью:
Y = ip(mx) + ч>'(тх)(Х - mx),
о
или, обозначая X — тх = X,
Y = ip{mx) + ip'{mx)X. (1.2)
К линейной функции (1.2) можно применить известные
приемы определения числовых характеристик линейных
функций. Математическое ожидание этой линейной функции найдем,
подставляя в ее выражение математическое ожидание аргумен-
о
та X, равное нулю. Получим
ту = (р(тх). (1.3)
Формула (1.3), разумеется, является приближенной,
поскольку приближенной является и сама замена нелинейной функции
линейной.
Таким образом, мы решили поставленную задачу и пришли
к следующим выводам.
Чтобы найти математическое ожидание почти линейной
функции, нужно в выражение функции вместо аргумента
подставить его математическое ожидание.
1.3. Линеаризация функции нескольких случайных
аргументов. Имеется система п случайных величин:
(-Хь Хг, ...,ХП),
и заданы числовые характеристики системы: математические
ожидания
и корреляционная матрица
K = (Kij) =
(К\\ К\2 ... К\п\
&22 • • • К2п
Кпп/

166 Гл. 7. Предквантовая классическая статистическая теория поля
Случайная величина Y есть функция аргументов Х\,Х2,...
Y = (p{Xl9X2,...9Xn)9 (1.4)
причем функция <р нелинейна, но мало отличается от линейной
в области практически возможных значений всех аргументов
(короче, «почти линейная» функция). Требуется приближенно
найти числовую характеристику величины Y — математическое
ожидание ту. Повторяя в многомерном случае предыдущие
рассмотрения, основанные на формуле Тейлора первого порядка, мы
вновь получаем формулу (1.3).
В книге [5] можно найти многочисленные примеры
применения формулы (1.3) в бомбометании и артиллерийской стрельбе,
см. с. 243-245.
1.4. Уточнение результатов, полученных методом
линеаризации. В некоторых задачах практики возникает
сомнение в применимости метода линеаризации, в связи с тем
что диапазон изменений случайных аргументов не настолько
мал, чтобы в его пределах функция могла быть с достаточной
точностью линеаризована.
В этих случаях для проверки применимости метода
линеаризации и для уточнения полученных результатов может быть
применен метод, основанный на сохранении и разложении у
функции не только линейных членов, но и некоторых последующих
членов более высоких порядков и оценке погрешностей,
связанных с этими членами. Для того чтобы пояснить этот метод,
рассмотрим сначала наиболее простой случай функции одного
случайного аргумента. Случайная величина Y есть функция
случайного аргумента X:
Y = <p(X), (1.5)
причем функция tp сравнительно мало отличается от линейной
на участке практически возможных значений аргумента X, но
все же отличается настолько, что возникает сомнение в
применимости метода линеаризации. Для проверки этого обстоятельства
применим более точный метод, а именно: разложим функцию (р
в ряд Тейлора в окрестности точки тх и сохраним в разложении
первые три члена:
у = (р(х) « ц>(тх) + (р'(тх)(х - тх) + ^ (р"(тх)(х - тх)2.

§ 1. Квантовая механика для советских морских офицеров
167
Та же формула будет, очевидно, приближенно связывать
случайные величины У и X:
У = <р(тх) + (f/(mx)(X - mx) + i <р"{тх){Х - тх)2 =
= р{тх) + р'(тх)Х+1-р'\тх)Х2. (1.6)
Пользуясь выражением (1.6), найдем математическое
ожидание величины Y. Применяя теоремы о числовых
характеристиках, имеем
ту = (р{тх) + (р'(тх)М[Х2\ = <р(тх) + <p'(mx)Dx. (1.7)
По формуле (1.7) можно найти уточненное значение
математического ожидания и сравнить его с тем значением <р(гах),
которое получается методом линеаризации; поправкой, учитывающей
нелинейность функции, является второй член формулы (1.7).
Совершенно аналогичный метод может быть применен по
отношению к функции нескольких случайных аргументов:
Y = <p(XuX2,...,Xn).
Разлагая функцию
у = <р(х\,Х2,...,хп)
в ряд Тейлора в окрестности точки гах,, тпХ2,... , гаХп и сохраняя
в разложении члены не выше второго порядка, приближенно
имеем
Y = <p(mX]imX2,... ,mXn) +
г=1 г=1 г
+ Е(аЙ-)т,№ -m,t),
i<j J
или, вводя центрированные величины,
Y = ^(mXpmX2,...,mXn) + ^^^^ Х{ +
г=1 % т Х
г=1 1 i<j

168 Гл. 7. Предквантовая классическая статистическая теория поля
где индекс т по-прежнему обозначает, что в выражение для
частной производной вместо аргументов Х{ подставлены их
математические ожидания mXi. Применяя к формуле (1.8) операцию
математического ожидания, имеем
1 п
Щу = v(rox,.mX2,...,mXn) + £ J^(^j)^ DXi +
t=i * 1
где Kij — корреляционный момент величин Xj, Xj.
В наиболее важном для практики случае, когда аргументы
Xi,X2,...,Xn некоррелированы, формула (1.9) принимает вид
j п д2
my = <p(.mXl,mX2,...,mXn) + ^^2(^)m D*r О-10)
i= 1 1
Второй член формулы (1.10) представляет собой поправку на
нелинейность функции.
Мое замечание к формуле (1.9) состоит в том, что ее можно
записать в виде, не зависящем от системы координат. А именно,
используя след матриц (который не зависит от выбора орто-
нормированного базиса) и вводя матрицу вторых производных
отображения ip(x\,... ,хп) (гессиан),
4>"{mx) = (|^(т*))'
перепишем формулу (1.10) в виде
my = (f{mx) + ^ TrKip"(mx).
Рассмотрим теперь класс функций </?, таких что
Ф) = о.
Конечно, любую функцию (р можно перевести в этот класс с
помощью сдвига (р(х) — <^(0). Получаем следующую формулу для
приближенного вычисления математического ожидания:
гпу = ^ TrK(p"(mx).

§ 1. Квантовая механика для советских морских офицеров
169
И, наконец, рассматривая центрированный случайный вектор X,
т. е. тх = О, получаем формулу
ту=1-ТтК<р"(0). (1.11)
1.5. Обсуждение возможных следствий из приближенной
формулы для средних. Читатель уже, конечно, обратил
внимание, что формула (1.11), которая была получена с помощью
разложения в ряд Тейлора, совпадает с формулой для средних,
которая постулируется в квантовой механике. Нужно лишь рас-
л <р"(0) К 0
смотреть операторы А = ^ и р = ^г^- Первый оператор
симметричен (как гессиан) и он является «квантовым
наблюдаемым». Второй оператор неотрицателен, симметричен и в силу
нормировки имеет единичный след. Следовательно, р может быть
интерпретирован как «квантовое состояние» (оператор плотности
фон Неймана). Мы получаем следующую формулу:
ту = кТгрД (1.12)
где к = Тг К — след корреляционной матрицы. Если нормировать
случайную величину у на к: ук = -, то получим
/с
тук = ТгрА. (1.13)
Следует отметить, что члены более высоких порядков,
которыми мы пренебрегли в (1.12), имеют порядок 0(/s3/2), а для
гауссовой случайной величины X получаем порядок 0(к2).
Значит (в результате деления правой и левой части (1.12)),
получаем, что rriyK = ТгрА с точностью до О(к).
Давайте теперь пофантазируем. Представим, что имеется
цивилизация, которая в силу каких-либо причин не
развила обычной теории вероятностей, основанной на теории меры.
И в какой-то области науки было замечено, что среднее могут
вычисляться по формуле (1.13). Если к очень мало, то эта
формула будет работать очень хорошо. Может возникнуть целая
идеология: открыта новая форма случайности и рассматриваемая
область науки фундаментально отличается от других областей
и т.д.
Возможно, что нечто похожее произошло в квантовой
механике. Конечно, человеческая цивилизация открыла (в лице
Колмогорова) вероятностное описание с помощью теории меры.

170 Гл. 7. Предквантовая классическая статистическая теория поля
Однако у меня нет никакой уверенности в том, что создатели
квантовой механики когда-либо имели курс теории
вероятности в объеме учебника Ветцель [5]. Не следует забывать, что
аксиоматика классической теории вероятностей была создана
А. Н. Колмогоровым лишь в 1933 г. [7], т.е. примерно через
8-10 лет после возникновения основ современной квантовой
механики.
§ 2. Классические и квантовые статистические модели
Общая схема классической статистической механики может
быть изложена следующим образом. Заданы:
а) пространство состояний ft;
б) пространство статистических состояний S(ft)
(описывающих ансамбли систем с пространством состояний ft), элементы
S(ft) задаются вероятностными мерами на ft;
в) пространство физических переменных V(ft), элементы
V(ft) задаются функциями /: ft —+ R, где R — множество
вещественных чисел;
г) среднее физической переменной / в состоянии /i
определяется интегралом:
Итак, классическая статистическая модель — это пара М =
= (5(Q), V(Cl)). Например, в классической статистической
механике ft = Rn х Rn — фазовое пространство, 5(ft) —
пространство вероятностных мер на ft, l^(ft) — пространство С°° —
функций на ft.
Общая схема квантовой механики (которую мы
рассматриваем как статистическую теорию) может быть коротко изложена
в следующем виде. Заданы:
а) комплексное гильбертово пространство Нс
(нормированные элементы ф Е Яс, ||^|| = 1, называются чистыми
состояниями);
б) статистические состояния, определяемые операторами
плотности р: р* = р, р ^ 0, Тг р = 1 (пространство операторов
плотности обозначим через 2)(#с));
в) физические наблюдаемые, представляемые непрерывными
самосопряженными операторами: А = А* (пространство
наблюдаемых обозначим через £s(ffc));

§ 2. Классические и квантовые статистические модели
171
г) среднее наблюдаемой А в состоянии р определяется
формулой
(А)р = ТгрА.
Итак, квантовая статистическая модель — это пара N =
= {ЩНс),Са(Нс)).
Проблема скрытых параметров (или полноты квантовой
механики) — это проблема построения некоторой классической
модели М, которая будет индуцировать квантовую модель N.
При этом значение термина «индуцировать» пока не определено.
В различных теоремах невозможности этот термин
определяется различными системами условий (например, «индуцировать»
в смысле фон Неймана — это отнюдь не то же самое, что
«индуцировать» в смысле Белла).
С математической точки зрения речь идет о связи квантовых
средних,
(А)р = ЪрА, (2.1)
где А — квантовое наблюдаемое (самосопряженный оператор),
ар — квантовое состояние (оператор плотности фон Неймана),
с классическими средними,
(/)^|/И*И, (2.2)
где функция /: О, —► R — классическая физическая переменная
(fl — это пространство скрытых параметров; в физике оно
обычно обозначается Л), а р — вероятность на Q. В серии работ
автора [197, 204, 209] эта проблема была переформулирована
в следующем виде. Не является ли квантовое среднее (2.1)
аппроксимацией классического среднего (2.2)? То есть нельзя
ли разложить классическое среднее (2.2) по некоторому малому
параметру модели к так, чтобы главный член этого разложения
совпадал с квантовым средним (2.1)? Оказывается, что при
специальном выборе пространства скрытых параметров ft, а именно
используя пространство классических полей, это можно сделать.
При этом отображение классических величин (функций) в
квантовые (операторы) таково:
/ -» А = (2.3)

172 Гл. 7. Предквантовая классическая статистическая теория поля
а классических статистических состояний (вероятностных мер)
в квантовые (операторы плотности фон Неймана):
М-Р- (2.4)
Основная проблема, которая не была решена в [197, 204, 209], —
это оценка величины малого параметра к. Без такой оценки
невозможна экспериментальная верификация нашей предкван-
товой модели ПТП. Мы предлагаем решение этой проблемы,
используя вероятностный подход и оперируя с двумя шкалами
времени — с квантовой и предквантовой. Наш малый параметр к
связывает квантовое и предквантовое времена:
t = ks. (2.5)
В статье [197] мы отождествляли малый параметр модели
с постоянной Планка. По-видимому, такая интерпретация не
состоятельна, так как, во-первых, параметр должен быть
безразмерным, а во-вторых, он должен быть малым с точки зрения
квантовой механики (а постоянная Планка может быть выбрана
равной 1 во всех квантовых расчетах). В последующих
работах мы отказались от такой интерпретации малого параметра
и использовали символ а. Однако это вызвало нарекания, так
как а обычно используется для обозначения постоянной тонкой
структуры. Поэтому мы будем использовать новый символ к.
§ 3. Винеровский процесс в пространстве полей
Напомним, что винеровский процесс — это случайный
процесс с непрерывным временем, т.е. отображение
ю: [0,оо) х П -> R,
где (ft,.^,Р) — колмогоровское вероятностное пространство,
названный в честь Норберта Винера. Часто w(t,u) называется
броуновским движением. Этот процесс описывает траектории
частицы, движущейся в сосуде с жидкостью под действием
столкновений с молекулами жидкости. Впервые процесс броуновского
движения был введен на математическом уровне строгости фран-
цузким финансовым математиком Башелье [43] для описания
курсов акций на парижской бирже. Большой вклад в изучение
броуновского движения в статистической физике внесли
Эйнштейн и Смолуховский. Норберт Винер доказал, что мера Р на
функциональном пространстве С([0, oo),R) непрерывных функ-

§ 3. Винеровский процесс в пространстве полей
173
ций и: [0,оо) —► R, построенная по конечномерным
распределениям броуновского движения, счетно-аддитивна. При этом
он, по-существу, скопировал конструкцию, использовавшуюся
при построении интеграла Даниеля. Затем конструкция Винера
(а по-существу, Даниеля) была использована Колмогоровым при
доказательстве счетной аддитивности меры Р на пространстве
всех траекторий (не обязательно непрерывных),
соответствующей конечномерным вероятностным распределениям
произвольного случайного процесса £{t,u), см. [7].
Имена Норберта Винера и Андрея Николаевича Колмогорова
хорошо известны во всем мире. А вот о Перси Даниеле знает
лишь узкий круг математиков. Интересующийся читатель может
прочитать соответствующую статью в википедии (которая,
конечно, не содержит и следа вышеприведенного обсуждения).
Напомним, что конечномерными распределениями
случайного процесса £(s,u) называются вероятностные распределения
случайных векторов (f(si,u;),... ,£(sm,a;)), s\ ^ s2 < ... ^ sm.
В силу теоремы Винера в качестве пространства ft для
винеровского процесса может быть выбрано пространство всех
непрерывных траекторий: ft = С([0,оо),R), т.е. случайный
параметр и отождествляется с некоторой непрерывной функцией
ш: [0,оо) —* R. В общем случае, т.е. для произвольного
случайного процесса £(s,u;), в силу теоремы Колмогорова
можно выбрать ft = F([0, oo),R) — пространство всех функций
и: [0,оо) -> R.
Винеровский процесс может быть охарактеризован
следующим образом:
а) w(0,cj) = 0 для почти всех a; € ft;
б) для почти всех и € ft траектории w(s,lj) непрерывны;
в) w(s,u) имеет независимые приращения с распределением
w(s2yu) - w(s\,lj) ~ ЛГ(0,s2 - S\),
где 0 ^ s\ ^ s2. Здесь N(a,a2) обозначает нормальное
распределение со средним а и дисперсией а2:
у/2па2
В многомерном случае стандартный винеровский процесс
определяется как вектор, состоящий из независимых винеров-

174 Гл. 7. Предквантовая классическая статистическая теория поля
ских процессов, w(s,u) = (w\(s1u),... , u>n(s,u;)), т.е.
w(s2,uj) — w(s\,u>) ~ ЛГ(0, (52 — s\)I),
где / — единичная матрица. В общем случае рассматриваются
процессы с зависимыми координатами
w(s2,uj) - w(s\,uj) ~ 7V(0, (s2 - si)p),
где р ^ 0 — некоторая симметричная матрица (т. е. приращение
имеет ковариационную матрицу (s2 — s\)p). Мы будем
обозначать такой процесс символом w$(u) (=wp(syu>)).
Без особых трудностей конструкция Винера-Даниеля для
меры на пространстве непрерывных функций может быть
перенесена на случай процессов, принимающих значения в
бесконечномерных (например, гильбертовых) пространствах.
Итак, мы хотим построить теорию аппроксимации функций
от случайных векторов в бесконечномерном случае (так как
естественное пространство скрытых параметров — это
бесконечномерное гильбертово пространство Z/2(R3)). Мы ограничиваемся
гауссовыми величинами (т. е. на предквантовом уровне имеет
место гауссова стохастичность) и рассматриваем случайные
процессы.
Для упрощения изложения мы рассмотрим вещественный
вариант квантовой механики. Здесь операторы А и р в
формуле (2.1) действуют в вещественном гильбертовом
пространстве Я. Скалярное произведение в этом пространстве обозначим
(•■•)•
Пусть р — ядерный (Тгр < оо) положительный оператор
и Тгр = 1. Рассмотрим Я-значный винеровский процесс
соответствующий этому оператору:
E(tp,w5) = 0, <р€ Я,
E(ip\,wS)(<p2,w2) = s(p<pi,<p2), ¥>ь¥>2 G Я.
Напомним хорошо известную формулу для линейного
изменения временной шкалы для винеровского процесса:
вероятностное распределение {w%s: s ^ 0} =
= вероятностное распределение s ^ 0}.

§4. Квантовая механика как теория измерений для «медленной* 175
§ 4. Квантовая механика как теория измерений
для «медленной» временной шкалы
4.1. Квантовая и предквантовая временные шкалы.
Предполагается, что квантовая механика — это теория
измерений (как это и предполагали Бор, Гейзенберг, Паули,
Фок, фон Нейман). Имеется «медленная шкала времени» —
«квантовая шкала», по отношению к которой измерения
занимают мгновения. Обозначим это время символом t. Кроме того,
рассматривается «быстрая шкала времени» — «предквантовая
шкала», по отношению к которой измерения длятся очень долго.
Рассмотрим предквантовый винеровский процесс w%(u)y
описывающий предквантовые флуктуации, и соответствующий
квантовый винеровский процесс
ИТ = «С (4.1)
где к — малый параметр. Рассмотрим функцию /: Н —► R и ее
среднее
Ef(Wt%=K- (4-2)
Это среднее относительно квантового мгновения в
предквантовой шкале является результатом случайных флуктуации в
течение единичного интервала времени.
Если выбрать в качестве Н пространство L2(R, R)
квадратично суммируемых функций ф: R3 —> R, то мы получим
аналог броуновского движения в пространстве классических полей.
Классическое поле в результате «столкновений со средой» имеет
весьма сложную (но все же непрерывную) траекторию в L<i. Что
является предквантовой средой? Это непростой вопрос.
Можно говорить о взаимодействии с «полем вакуума». О
физической природе этого «классического» поля можно только строить
предположения. По-видимому, наиболее естественно связать его
с гравитацией.
С точки зрения «квантового времени» *) измерение винеров-
ского среднего (4.2) от классической переменной /: Н —► R про-
0 В соответствии с интерпретацией квантовой механики как теории
измерений мы называем «квантовым временем» время измерительных процедур,
«лабораторное время». Наша терминология не является общепринятой. Обычно
под «квантовым временем» понимается временная шкала, которая существенно
быстрее, чем классическая временная шкала. Например, в качестве
«квантового времени» часто рассматривается планковское время. Для нас планковское
зремя — это скорее один из возможных кандидатов на «предквантовое время».

176 Гл. 7. Предквантовая классическая статистическая теория поля
исходит за мгновение. Естественно, что это должна быть очень
малая величина. Поэтому, чтобы получить нетривиальный
результат, следует произвести усиление классической физической
переменной /(ф).
Оказывается, что адекватным усилением является
Ш) = —• (4-3)
К
Теорема 4.1. Пусть функция / £ С3(Я) (где под
дифференцированием понимается дифференцирование по Фреше на
гильбертовом пространстве), /(0) = 0, и имеет место оценка
||/(3)(^)Ka/er/ll*lle феН. (4.4)
Тогда винеровское среднее (4.2) для усиления (4.3) имеет
следующую асимптотику по малому параметру к:
ЕШрк) = \ S(/"(0K, wp) + 0(к), к -> 0. (4.5)
Схема доказательства. С помощью ^-шкалирования
времени для Я-значного винеровского процесса представляем среднее
в первой части равенства (4.5) в виде
EfK(Wp)=X-Ef{^wp). (4.6)
Гь
Затем раскладываем /(у/кф) по малому параметру у/к. Детали
могут быть найдены в гл. 8.
4.2. Предквантовая классическая статистическая теория
поля. В качестве пространства скрытых параметров
выбирается пространство fi = Z/2(R3,R), в качестве пространства
классических переменных — функциональное пространство V(fi),
состоящее из функционалов /(ф), удовлетворяющих условиям
теоремы 4.1. Статистические состояния описываются винеров-
скими процессами Wf. Обозначим пространство этих состояний
символом S(Q). Итак, ПТП — это классическая стохастическая
модель: Мкл = (S(Q),V(Q)).
Рассмотрим также квантовую модель Мкв = {T>(Q), £s(fi)),
где V(Q) — это пространство операторов плотности, a Cs —
это пространство ограниченных самосопряженных
операторов А: Q —► П.

§4. Квантовая механика как теория измерений для «медленной» 177
Рассмотрим отображение Т: Мкл —> Мкв, задаваемое парой
отображений:
T:S(n)-2?(n)f T{Wf) = p, (4.7)
Т: - CS(Q), Т(/) = 1 /"(0). (4.8)
Теорема 4.2. Оба отображения, (4.7) и (4.8), являются
сюръекциями. Отображение (4.7) инъективно, но
отображение (4.8) имеет нетривиальное ядро. Кроме того, это
отображение линейно.
4.3. Оценка малого параметра модели. Для того чтобы
найти малый параметр к, мы должны выбрать квантовую и пред-
квантовую временные шкалы. В качестве первой мы выберем
атомную временную шкалу, а в качестве второй планковскую.
Начнем с планковской шкалы. Здесь в качестве единицы
выбирается планковское время:
tpq = tP= « 5,391 • 1(Г44 с. (4.9)
Заметим, что планковское время может быть представлено в виде
tp = ^ (4.10)
где планковская энергия определяется как
ЕР = \ ^ « 1,956- 109 Дж. (4.11)
V
Единица планковского времени пренебрежимо мала с точки
зрения современных измерительных технологий. А вот планковская
энергия относительно велика. Нам понадобится также
планковская масса:
тР = х!£ = Ц. « 2,176 • 1<Г8 кг. (4.12)
V G сг
Это также относительно большая масса.
Напомним, что Планк ввел комбинации фундаментальных
констант с, G и ft, имеющие размерность энергии, массы и
времени в начале двадцатого века. С нашей точки зрения
фундаментальны Ер, тр и tp, а единица квантового действия
получается как
h = EPtp. (4.13)

178 Гл. 7. Предквантовая классическая статистическая теория поля
Теперь найдем квантовую временную шкалу, используя
электрон в качестве пробной частицы. Как мы знаем, гае « 9,109 х
х 10~31 кг и ей соответствует энергетическая шкала Ее = тес2 «
Е h2
« 8,181 • 10~14 Дж. Заметим, что Ее = —^, где Ен = « «
ос mtaQ
« 4,359 • 10~18 Дж — энергия Хартри. Здесь а — константа
тонкой структуры, а ао - радиус Бора. Итак, мы получаем
единицу квантового времени
t = *е = Л « 1,288 • 1(Г21 с. (4.14)
ЕР
Поэтому получаем следующий параметр линейной связи между
шкалами: .
Л= «4,185- 10"23. (4.15)
Как и следовало ожидать, это безразмерная величина.
Величина эта пренебрежимо мала. Поэтому для электрона
невозможно заметить отклонения средних (и вероятностей),
которые предсказываются квантовой теорией, от соответствующих
ПТП-величин. Заметим, однако, что
к=^. (4.16)
ТПр
В общем случае, рассматривая квантовую систему массы га, мы
получаем
777
к=—. (4.17)
ТПр
Значит, с ростом массы погрешность аппроксимации ПТП-сред-
них с помощью квантовых Тг-средних растет линейно.
Таким образом, ПТП предсказывает, что для систем с
макроскопическими массами порядка планковской массы
квантовая механика неприменима. Однако даже для тяжелых
элементарных частиц квантовая погрешность пренебрежимо
мала и могут использоваться предсказания квантовой
механики. Например, рассмотрим квантовую временную шкалу,
выбирая мюон в качестве калибровочной частицы:
mmuon in-20
ТПр
Конечно, для мюона квантовая погрешность в 1000 раз больше,
чем для электрона. Но, она по-прежнему пренебрежимо мала.

§4. Квантовая механика как теория измерений для «медленной» 179
Далее рассмотрим нейтронную шкалу времени. Здесь
_ raneuron in-19
^neuron — ~ 1U
Это в десять раз хуже, чем для мюона, но по-прежнему
пренебрежимо мало.
Рассмотрим теперь гипотетические частицы, которые могут
быть обнаружены с помощью нового поколения ускорителей. Нас
интересуют тяжелые частицы. Поэтому рассмотрим хигсовский
бозон. Некоторые модели с суперсимметриями предсказывают
mH\ggs ~ 120 ГэВ (или меньше).
Здесь
*Higgs ~ Ю-17.
В соответствии с ПТП хигсовские бозоны еще менее
квантовые, чем нейтроны. Но по-прежнему отклонение от классической
теории поля пренебрежимо мало. Если рассмотреть не
суперсимметричные модели, то (при условии, что стандартная модель
верна до планковской энергетической шкалы) можно ожидать
wiHiggs ~ 130-190 ГэВ. Однако это не меняет порядок
параметра п. Даже, предполагая, что за пределами стандартной модели
может возникнуть новая физика на ТэВ-шкале энергий,
приходим к оценке mniggs ~ 1 ТэВ. А следовательно, ^Higgs ~ 10~16.
Заключение. Предквантовая классическая статистическая
теория предсказывает, что квантовая механика является
приближенной вероятностной моделью. Погрешность квантовых
статистических предсказаний растет линейно с ростом массы
частицы. Вероятностный характер квантовых предсказаний является
следствием винеровских флуктуации классических полей
(аналог броуновского движения в пространстве классических
полей) на предквантовой шкале времени. При условии что
предквантовая шкала определяется планковским временем, получаем,
что разница между ПТП-средними (классическими
интегралами по пространству полей) и квантовыми средними порядка
10~18-10~23, т.е. она пренебрежимо мала. Это объясняет
удивительную точность предсказаний квантовой механики. Однако,
если шкала предквантовых флуктуации грубее, чем планковская,
т. е. возникает надежда обнаружить нарушение вероятностных
предсказаний квантовой механики в обозримом будущем.

§ 2. Гамильтонова механика на конечномерном фазовом
181
модели. Такая асимптотическая конструкция нетривиальна для
неквадратичных функционалов. Из нее также следует, что
динамическое уравнение — это нелинейное уравнение Шрёдингера,
получающееся из общей системы бесконечномерных гамильтоно-
вых уравнений. Обычные линейные уравнения отвечают
квадратичным гамильтонианам, см. [204, 209].
§ 2. Гамильтонова механика на конечномерном
фазовом пространстве и ее комплексное представление
Рассмотрим обычное классическое фазовое пространство Q =
=QxPcQ=P= Rn. Состояния представляются точками ф =
55 (?»Р) € ^» а эволюция состояний описывается гамильтоновыми
dl~t d1~L
уравнениями q = —, р = ——, где H(q,p) есть гамильтониан
ар aq
(вещественнозначная функция на фазовом пространстве £}).
п
Рассмотрим скалярное произведение (х,у) = ^Xjyj на Rn
и определим скалярное произведение на $7 формулой (ф\,ф2) =
= (?ь92) + (РьРг)- Нас будут интересовать квадратичные
гамильтонианы H(qyp) = -(H/0,i/>), где Н: Q —» £) —
симметрический оператор. Заметим, что любой (R-линейный) опера-
»2п т>2п л I А\2
тор A: KZn —> RZn можно записать в виде А = [ л А К где
\^21 A22J
Ац: Q -> Q, Al2: Р -+ Q, A2i: Q -> Q, А22: Р -> Р.
Линейный оператор A: R2n —► R2n является симметрическим, если
А*и = Ац, А^2 = ^22» А*2 = ^2ь ^21 = ^\2- Поэтому квадратич-
ные гамильтонианы записываются в виде H(q,p) = ^ [(Нцд, q) +
+ 2(Hi2P, q) + (Н22Р,р)]. Соответствующие им гамильтоновы
уравнения линейны: q = U2\q + Н22р, р = -(H\\q + Н12Р). Как
обычно, зададим каноническую симплектическую структуру на
фазовом пространстве П = Q х Р с помощью симплектического
оператора
J
(Здесь блоки «±1» означают (n х п)-матрицы с ±1 на
диагонали.) Тогда гамильтоновы уравнения можно записать в оператор-

Глава 8
ГАМИЛЬТОНОВ ПОДХОД
К ПРЕДКВАНТОВОЙ КЛАССИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 1. Симплектическая геометрия на бесконечномерном
фазовом пространстве и асимптотическое
представление квантовых средних гауссовыми
функциональными интегралами
Хорошо известно, что в физике параллельно (и практически
независимо друг от друга) используются две математические
модели статистического характера: классическая статистическая
механика с фазовым пространством состояний f^n = Rn х Rn
и квантовая механика с комплексным гильбертовым
пространством состояний. Обычно подчеркиваются различия между
классическими и квантовыми моделями, но наша цель — показать,
что между этими математическими структурами имеется тесная
связь. Мы увидим, что если вместо конечномерного фазового
пространства f^n рассмотреть бесконечномерное фазовое
пространство (1 = Я х Я, где Н — вещественное (сепарабельное)
гильбертово пространство, то основные математические
структуры квантового формализма могут быть получены из
асимптотических разложений соответствующих структур классической
статистической механики на фазовом пространстве Q = Н х Н.
Надлежащий малый параметр задается дисперсией гауссовой
меры на П = Н х Н. Симплектическая структура
бесконечномерного фазового пространства играет ключевую роль в нашем
подходе. В частности, гауссовы меры, индуцирующие квантовые
средние, должны быть совместимы с симплектической
структурой. Уравнения Шрёдингера, Гейзенберга и фон Неймана
получаются как образы гамильтоновой динамики на ft.
Наше основное нововведение — это рассмотрение
асимптотических разложений интегралов на бесконечномерном
фазовом пространстве относительно дисперсии как малого параметра

§ 2. Гамильтонова механика на конечномерном фазовом
183
Пример 2.1 (одномерный J-инвариантный гармонический
осциллятор). Пусть H(q,p) = ^ — + mk2q2 (мы обозначаем
частоту через к). Чтобы получить J-инвариантный
гамильтониан, рассмотрим случай, когда — = тк2. В этом случае т = -
к
и H(q>p) = - [р2 + <?2], а гамильтоновы уравнения принимают вид
q = кр, р = -kq. Они отвечают симметрической J-коммутирую-
щей матрице Н = I ^ 1.
Определим симплектическую форму на фазовом
пространстве формулой
ги{фиф2) = {фх^ф2). (2.5)
Таким образом, ъи(фиф2) = (P2»9i) - (рь92) Для ф^ = {ф.р^},
j = 1,2. Это кососимметрическая билинейная форма.
Предложение 2.3. Пусть А — симметрический оператор.
Имеем: A G Csymp{Cl) тогда и только тогда, когда А
симметричен относительно симплектической формы
гю(Афх, ф2) = ъи(ф1, Аф2). (2.6)
Замечание 2.1 (келерова структура). Мы начали изложение
не с произвольной симплектической формы на fi, а с
канонической симплектической формы (2.5), отвечающей скалярному
произведению (римановой метрике) на П. Это позволяет
канонически ввести эрмитову метрику на комплексной реализации fic
пространства Q. Таким образом, мы с самого начала работаем
не на произвольном симплектическом многообразии, а на келе-
ровом многообразии. При этом J-инвариантность естественно
возникает как условие совместимости римановой метрики и
симплектической структуры.
Введем на фазовом пространстве Q комплексную структуру:
Пс = Q® гР- Имеем: гф — —p + iq = —Зф. При этом R-линейный
оператор А: Пс —► Г2С является С-линейным тогда и только тогда,
когда А(1ф) = гАф, что эквивалентно требованию А Е £Symp(^)-
Предложение 2.4. Множество C(QC) всех С-линейных
операторов совпадает с множеством Csymp(Q) всех
J-коммутирующих операторов.
Введем на Пс комплексное скалярное произведение (эрмитову
метрику, см. замечание 6.1) посредством С-продолжения
вещественного скалярного произведения: (ф\,ф2) = (q\ +ip\,q2 +

182
Гл. 8 Гамилыпонов подход
ном виде
= тф.
(2.1)
Таким образом,
ip(t) = Utipo, где Ut = е
mt
(2.2)
Отображение ф —* Щф — линейный гамильтонов поток на
фазовом пространстве ft.
Далее мы будем рассматривать только J-инвариантные
квадратичные формы. Легко видеть, что J-инвариантность
квадратичной формы /а(Ф) = (Аф,ф), где A: ft —► ft — линейный
симметрический оператор, эквивалентна тому, что А
коммутирует с симплектическим оператором J. Рассмотрим множество
£symp = £Symp(^) всех линейных операторов A: ft —* ft,
коммутирующих с симплектическим оператором:
Это множество представляет собой подалгебру в алгебре £(ft)
всех линейных операторов. Операторы из этой подалгебры будем
называть J-коммутирующими.
Заметим, что оператор А € £Symp(ft) является
симметрическим тогда и только тогда, когда D* = D и S* = -S. Поэтому
всякий симметрический J-коммутирующий оператор на фазовом
пространстве задается парой операторов (D,S), где D
симметричен, a S антисимметричен. Такой оператор индуцирует
квадратичную форму /а(Ф) = {Аф,Ф) = {Dp,q) + 2(Sp,q) + (Dp,p).
(R Т\
T J. Он
задает квадратичный гамильтониан W(</,p) = ^ (Нф,ф), который
можно записать в виде: H(q,p) = ^ [(#Р>Р) + 2(Гр, q) + (Rq,q)],
где Д* = Д и Г* = —Т. Соответствующие гамильтоновы
уравнения имеют вид
Предложение 2.2. Если гамильтониан J-инвариантен, то
гамильтонов поток Ut (см. (2.2)) состоит из
J-коммутирующих операторов: UtJ = JUt.
AJ = JA.
(2.3)
Предложение 2.1. A € Csymp(Q) Л =
q = Rp-Tq, p = -{Rq + Tp).
(2.4)

184
Гл. 8. Гамильтонов подход
+ т) = (91.92) + (Р1.Р2) + *((Рь92) - (P2.9i))- Таким образом,
(Фх^Фъ) — (ФиФ2) — ^(^ь^г)» гДе w ~~ симплектическая форма.
Это каноническая эрмитова метрика на келеровом
многообразии П.
С-линейный оператор Л симметричен относительно
комплексного скалярного произведения (•, •) тогда и только тогда,
когда он симметричен относительно обеих вещественных
билинейных форм (•, •) и w(-y •). Поскольку ДЛЯ А Е £Symp(^)
первое влечет второе, мы видим, что С-линейный оператор на ftc
симметричен тогда и только тогда, когда он симметричен на
вещественном пространстве ft.
Предложение 2.5. Множество £s(ftc) всех С-линейных
симметрических операторов совпадает с множеством
Aymp, s(^c) всех J-комму тирующих симметрических
операторов.
Заметим также, что для каждого ./-коммутирующего
оператора А его вещественный и комплексный сопряженные
операторы (обозначаемые через А* и А*) совпадают. Мы показали, что
С-линейные симметрические операторы естественно возникают
как комплексные представления ./-коммутирующих
симметрических операторов.
Предложение 2.6. Комплексификация квадратичного
J-инвариантного гамильтониана Н(ф) не меняет динамики.
Доказательство. Достаточно заметить, что ю(Нф, ф) = О,
откуда П(ф) = l- (HV, ф) = \ Ф) - гь){Щ>% ф)) = \ (Щ>, ф)
для ф € ft.
По предложению 2.6, гамильтониан можно записать в виде
Ц(ф) = ^ (Нф.ф), где Н е £s(Cn), а гамильтоновы уравнения
(2.1) принимают комплексный вид
г^ = Нф. (2.7)
Все решения допускают комплексное представление
ф(1) = иьф, Ut = e-iHt.
Таково комплексное представление потоков, отвечающих
квадратичному J-инвариантному гамильтониану.

§ 3. Шрёдингеровская динамика
185
§ 3. Шрёдингеровская динамика
как динамика с J-инвариантным гамильтонианом
на бесконечномерном фазовом пространстве
Пусть ftc — (бесконечномерное сепарабельное) комплексное
гильбертово пространство с комплексным скалярным
произведением (•, •). Обозначим через £s = £s (ftc) пространство всех
непрерывных С-линейных самосопряженных операторов на ftc.
Используется планковская система единиц: h = 1.
Шрёдингеровская динамика на ftc задается линейным уравнением
= (31)
откуда
ф(Ь) = Щф, Ut = e-im'h. (3.2)
Мы видим, что это просто бесконечномерные варианты
уравнений, полученных из гамильтоновых уравнений для
квадратичного J-инвариантного гамильтониана в процессе комплексифика-
ции классической механики. Теперь мы можем обратить наши
рассуждения (заметив только, что фазовое пространство
теперь бесконечномерно) и представить шрёдингеровскую
динамику (3.1) на комплексном гильбертовом пространстве как гамиль-
тонову динамику на бесконечномерном фазовом пространстве.
Подчеркнем, что эта гамильтонова динамика (2.1) есть динамика
на всем фазовом пространстве ft, а не на единичной сфере
гильбертова пространства! Гамильтонов поток ф(Ь,ф) = Щф тоже
определен на всем фазовом пространстве ft.
Рассмотрим R-линейный оператор J на ft, заданный
умножением на —г. Мы представляем комплексное гильбертово
пространство как ftc = Q © гР, где Q и Р суть два экземпляра
некоторого вещественного гильбертова пространства, и пишем
ф = q + ip. Подчеркнем, что здесь q и р не являются
обычными координатой и импульсом частицы: это их полевые аналоги
(функции от х Е R3, если мы выберем Q = Р = Z^R3))- Рас~
смотрим вещественное фазовое пространство ft = Q х Р. Как
и в конечномерном случае, имеем следующее предложение.
Предложение 3.1. Множество £s(ftc) всех непрерывных
С-линейных самосопряженных операторов совпадает с
множеством £Symp,s(ft) всех непрерывных J-коммутирующих
самосопряженных операторов.

§ 4. Поднятие динамики точек
187
пространство случайных величии (измеримых отображений
/: X —> R) через RV(X), а пространство вероятностных мер
на (X,F) — через РМ(Х). Всякое измеримое отображение
g: X —> X индуцирует отображения
5* : RV(X) - RV(X), = /(<?(*)),
<?*: РМ(Х) -> РМ(Х), | Дх) d5*M(x) = | g*f(x) d^(x).
X X
Рассмотрим на X динамическую систему вида
xt = gt(x), (4.1)
где gt \ X —> X — однопараметрическое семейство измеримых
отображений (вещественный параметр t играет роль времени).
Пользуясь указанными выше отображениями д*, можно поднять
эту динамику точек пространства X до динамики в
пространствах RVpO и РЩХ):
ft = 9*tf, (4.2)
fit = g*fi. (4.3)
Мы увидим, что для бесконечномерного фазового пространства
X = П квантовые образы динамических систем (4.1), (4.2), (4.3)
суть соответственно динамики Шрёдингера (для состояний, т.е.
волновых функций), Гейзенберга (для наблюдаемых, т.е.
операторов) и фон Неймана (для оператора плотности). Чтобы
получить квантовую механику, надо выбрать надлежащие
пространства физических величин и мер.
4.2. Поднятие гамильтоновой динамики. Хорошо
известно, что поднятие гамильтоновой динамики в пространство
гладких физических величии задается уравнением Лиувилля.
В частности, функциональное поднятие любой гамильтоновой
динамики на гильбертовом фазовом пространстве Q можно
представить бесконечномерным уравнением Лиувилля (см. [3-8]).
Заметим, что это общий факт, не имеющий отношения к нашей
специальной классической постановке, основанной на
./-инвариантных гамильтонианах. Для гладких функций на Q введем
скобки Пуассона:

186
Гл. 8. Гамильтонов подход
Рассмотрим квантовый гамильтониан Н G Cs{flc) ]). Он
определяет классическую функцию Гамильтона
П(ф) = \ (Нф, ф) = \ [(Др, р) + 2(Тр, q) + (Rq, q)].
Соответствующие гамильтоновы уравнения на классическом
фазовом пространстве П = Q х Р, где Q и Р суть экземпляры
вещественного гильбертова пространства, имеют вид
^ = Rp-Tq, ft=-(Rq + Tp). (3.3)
Применяя к этой гамильтоновой системе уравнений процедуру
комплексификации, мы, конечно, получим уравнение
Шрёдингера (3.1).
Пример 3.1. Рассмотрим важный класс гамильтонианов
H(q,p)=l-[(RpiP) + (Rq,q)l
где R — симметрический оператор. Соответствующие
гамильтоновы уравнения имеют вид: q = Яр, р = —Rq. Выберем
Н = Z/2(R3). Тогда q(x) и р(х) суть компоненты векторного поля
ф(х) = (q(x)yp(x)). Поля q(x) и р(х) можно назвать взаимно
индуцирующими: наличие поля р(х) индуцирует динамику поля
q{x) и обратно (сравните с электрической и магнитной
компонентами q(x) = Е(х) и р(х) = В(х) классического
электромагнитного поля). Квадратичную форму можно записать как
Щър) = \ | R(x,y)[q{x)q(y)+p(x)p(y)]dxdy
или как j -
ЩФ) = g J Щх,у)ф{х)ф(у)<1хс1у,
где R(x, у) = Д(у, х) есть в общем случае распределение на R6.
§ 4. Поднятие динамики точек в пространства
физических величин и мер
4.1. Общая динамическая постановка. Пусть (X,F) —
произвольное измеримое пространство, т.е. X есть некоторое
множество, a F — сг-алгебра его подмножеств. Обозначим
') Можно считать, что Н ^ 0, но в данном рассуждении это неважно.

§ 6. Динамика на пространстве физических величин
189
Предложение 5.1. Гамилыпонов поток Щф изометричен
тогда и только тогда, когда функция Н(ф) J-инвариантна.
Доказательство, а) Пусть Н является J-коммутирующим.
Тогда
jt \\игф\\2 = 2{Щф, Щф) = 2(JHW, игф) = 0.
Здесь мы использовали кососимметричность оператора JH:
(JH)* = -HJ = —JH. Следовательно, имеет место (5.4).
б) Пусть выполнено (5.4). Тогда — ||E/t^ll2 = 0. Из
предыдущих вычислений и (5.1) получаем, что
{Шф,ф) = 0, феП. (5.5)
Следовательно, оператор JH кососимметричен. Отсюда
вытекает, что Н коммутирует с J.
Для дальнейшего изложения полезно переписать (5.5) в виде
{т\ф),ф) = 0, феП. (5.6)
Следствие 5.1. Поток, заданный J-инвариантным
гамильтонианом, сохраняет множество флуктуации
фиксированного размера к: для всякой меры р (с нулевым средним
значением и конечной дисперсией) из <J2(p) = к вытекает, что
а2(Щр) = ^ для всех t^O.
Этим объясняется исключительная роль J-инвариантных
физических величии на бесконечномерном классическом фазовом
пространстве. Если гамильтониан не является J-инвариантным,
то его гамильтонов поток может привести к увеличению размера
флуктуации.
§ 6. Динамика на пространстве физических величин
6.1. Произвольные квадратичные величины. Рассмотрим
гамильтонов поток [/*: ft —» ft, порожденный произвольным
квадратичным гамильтонианом. Для любого непрерывного
самосопряженного оператора A: ft —► ft положим: /а(Ф) — (Аф,ф).
Тогда и?/л(Ф) = /аФьФ) = /и;АиЛФ)- Эту динамику можно
представить как динамику At = U*AUt на пространстве непрерывных
линейных симметрических операторов. Заметим, что Щ = eJHt,
откуда Щ = е~нл. Поэтому
At = e-HJtAeJHt. (6.1)

188
Гл. 8. Гамильтонов подход
Напомним, что первую производную функции /: Я —> R
можно представлять как вектор из Я. Поэтому градиент V/(^)
функции /: Я х Я —► R принадлежит Я х Я. Заметим, что
{/ь/2} = (V/ь JV/2) = w(V/i, V/2). Пусть гладкий
гамильтониан 7i(i/0 индуцирует поток и^ф). Для любой гладкой
функции /о положим /(£,t/>) = fo(Ut(ip))- Легко видеть, что эта
функция является решением задачи Коши для уравнения Лиувилля:
^(Ь,ф) = {№,ф),Щф)}, №Ф) = МФ). (4.4)
Функциональный поток Ф(£, /о) = Г/4*/о можно представить как
•<«• А)-«-**.«*-(* W.|)-(f <*).£)•
§ 5. Динамика статистических состояний,
сохраняющая дисперсию
В этом параграфе мы рассматриваем только
квадратичные гамильтонианы на бесконечномерном фазовом
пространстве ft. Начнем с произвольного квадратичного гамильтониана
Н{ф) = -(Нф,ф), гДе оператор Н не обязан быть J-комму-
тирующим. Рассмотрим гамильтонов поток Щ: ft —* ft,
порожденный гамильтоновой системой (2.1). Отображения Ut заданы
формулой (2.2). Важно отметить, что они обратимы, в частности,
Ut(Sl) = ft. (5.1)
Нас интересуют такие гамильтоновы потоки Uu при которых
соответствующая динамика (4.3) на пространстве вероятностей
сохраняет размер статистических флуктуации:
cr2(Ut*p) = а\р), т.е. \\\ф\\2<Ш!р{ф) = \\Щ?<1р{ф), (5.2)
Q Q
j Ш\\2с1р(ф) = \ \\ф\\2<1р(ф). (5.3)
Начнем изучение этой задачи с достаточного условия для
сохранения размера статистических флуктуации. Это условие
заключается в том, что гамильтонов поток Щф состоит из
изометрических отображений:
IIWII2 = \\Ф\\2, Феп. (5.4)

190
Гл. 8. Гамильтонов подход
Таким образом, —^ = (At JH - Н</ЛЛ или
at
^ = [^,HJ] + i4t[J,H]. (6.2)
6.2. J-инвариантные величины. Рассмотрим
пространство физических величин
Kjuad, symp(^) =
= {/: П -> R: / = Ш) = \ (Аф,ф), A G £SymP,s(ft)},
состоящее из J-инвариантных квадратичных форм, и поднимем
на пространство Kjuad.symp(^) поток, заданный J-инвариантным
квадратичным гамильтонианом. В этом случае оба оператора Н,
А коммутируют с J. Поэтому поток (6.1) можно записать в виде
At = U*AUt = e~JHtAeJHt. Эволюционное уравнение (6.2)
упрощается:
*£ = -J\H,At]. (6.3)
6.3. Комплексификация. Как в п. 11.2, допустим, что
[Н, J] = 0 и [A, J] = 0. Используя комплексную структуру
фазового пространства и представляя симплектический оператор J
как умножение на -г, запишем (6.1) в виде динамики Гейзен-
берга: At = U£AUt = ettHAe~~ttH, где Щ есть комплексно
сопряженный оператор к Uu а эволюционное уравнение (6.2) — в виде
уравнения Гейзенберга:
^ = -[Н,Л(]. (6.4)
Итак, это уравнение есть не что иное, как образ поднятия
классической динамики квадратичного гамильтониана на случай
J-инвариантных квадратичных физических величин.
§ 7. Вероятностная динамика
7.1. Произвольные гауссовы меры. Рассмотрим поток
Ut: ft —► ft, заданный произвольным квадратичным
гамильтонианом Н(ф). Пусть р — любая гауссова мера со средним
значением 0. Так как непрерывное линейное преобразование гауссовой

§ 7. Вероятностная динамика
191
меры есть гауссова мера, то мера Ut(p) гауссова. Найдем
динамику ковариационного оператора меры U?(p). Имеем
(cov(t/t*p)yi.Ift) = \{У\>Ф)(У2,Ф) dU?p(tp) =
п
= \(У\МьФ)(у2,иьф) <1р(ф) = (cov(p)C/;j/bj/2).
п
Таким образом, ковариационный оператор Bt = cov([/j*p)
имеет вид
Bt = UtBU*t = emtBe-HJt. (7.1)
Отсюда ^ = (JHBt - BtHJ), или
^ = [JHfBt] + Bt[J,H]. (7.2)
7.2. J-инвариантные меры. Рассмотрим поднятие потока
Ut: ft —► ft, порожденного J-инвариантным квадратичным
гамильтонианом Н(ф), на пространство мер. Начнем со
следующего чисто математического результата.
Предложение 7.1. Гауссова мера р с нулевым средним
значением J-инвариантна тогда и только тогда, когда ее
ковариационный оператор J-инвариантен.
Доказательство, а) Пусть J*p = р. Достаточно доказать
кососимметричность оператора В J, где В = cov р. Имеем
(5Jyby2) = \(1у\,Ф){У21Ф)(1р{ф) =
Q
= -\(У1,ШУ2,Г^)<1р(ф) = -\(yuW)(Jy2,W)dpW =
= -\ЫУ2*Ф)(у\>Ф) ЫФ) = -(BJy2>y\) = -{y\,BJy2).
б) Пусть Б = cov(p) G £Symp(£})- Найдем преобразование
Фурье гауссовой меры J*p:
fpb) = j йр{ф) = (Ю'У^ = р(у).

192
Гл. 8. Гамильтонов подход
Из этого доказательства получаем также следующее
следствие.
Следствие 7.1. Пусть р — любая J-инвариантная мера.
Тогда ее ковариационный оператор J-инвариантен.
Поскольку поток J-инвариантного квадратичного
гамильтониана состоит из J-коммутирующих линейных операторов
(JUt = UtJ), из представления (7.1) и предложения 7.1 вытекает,
что пространство всех J-инвариантных гауссовых мер со
средним значением 0 инвариантно относительно отображений U*.
Здесь мы имеем
Bt = UtBU; = eJHtBe-HJt, (7.3)
или ,д
-Ж —'I*- <7">
7.3. Комплексификация. Допустим, что [Н, J] — О
и [В, J] = 0. Используя комплексную структуру фазового
пространства и представляя симплектический оператор J как
умножение на —г, запишем (7.3) в виде
Bt = UtBU; = e"iHtBeiHt, (7.5)
или ,R
^ = г[В*,Н]. (7.6)
Это не что иное, как уравнение фон Неймана для
статистического оператора. Единственное различие в том, что ковариационный
оператор В ненормирован.
7.4. Динамика в пространстве статистических
состояний. Сначала рассмотрим пространство всех гауссовых мер со
средним значением 0 и дисперсией к. Заметим, что если выбрать
H = Q = P = L2{R3)1 то
к = | | (|<7(х)|2 + \p(x)\2)dxdp(q,p).
L2(r3)xL2(r3)r3
Обозначим это пространство мер через Sq(Q). Его элементы —
это такие гауссовы меры, что
{у,тр) = |(у,^) (1р{ф) = 0, уеП,

194
Гл. 8. Гамильтонов подход
Предложение 7.3. Пусть р — произвольная J-инвариант-
ная мера со средним значением 0. Тогда
covcp = 2covp. (7.12)
Доказательство. Имеем
covcp(y,y) = | \(y,ip)\2dp{ip) = j|(y,^) -iw(y^)\2dp{ip) =
= \[(y^)2 + (y,JrP)2}dP№).
n
Пользуясь симплектической инвариантностью меры р, получаем
\(y,Ji>)2dp(i>) = \(y,i>)2dp(i>).
Таким образом,
covc р(у, у) = 2 J (у, dp(t/>) = 2 cov р(у, у).
п
Теорема 7.1. Для любой меры р со средним значением 0
и любого J-коммутирующего оператора А имеем
\(Афу<ф) dp(tl>) = TV covcpA. (7.13)
В частности,
a2(p) = Trcovcp. (7.14)
Доказательство. Пусть {ej} — ортонормированный базис
в £)с. (Подчеркнем, что ортогональность и нормировка
понимаются в смысле комплексного, а не вещественного скалярного
произведения.) Тогда
Tr covcM = ^^2(Aej,il))(il>,ej)dp(il>) = \(Аф,<ф) dpty).
Напомним, что в [1] было получено следующее равенство
cr2(p) = Trcovp. (7.15)
Возникает впечатление, что равенства (7.12), (7.14) и (7.15) не
согласуются. Однако это лишь мнимое несогласование.
Объяснение просто: в равенстве (7.14) нормировка следа единицей для
оператора плотности фон Неймана понимается в смысле ком-

§ 7. Вероятностная динамика
193
а2(р) = \\\ф\\2(1р(ф) = к.
Q
Для потока Uи заданного J-инвариантным квадратичным
гамильтонианом, имеем: Щ: Sq(Q) —► Sq(Q). Обозначим через
5gsymp(ft) подпространство Sg(fl), состоящее из всех J-инвари-
антных мер. Тогда снова имеем: U*: 5,gsymp(ft) —> 5§symp(ft).
7.5. Комплексная ковариация. Всюду далее
рассматриваются только меры с конечными дисперсиями. Введем
комплексное среднее значение т°р и комплексный ковариационный
оператор Вс = covc р, полагая
(rncp,y) = \(y,tl>)dp(tl>), (7.7)
Q
(ВсуиУ2) = \(УиФ)(Ф,У2)<1р(ф). (7.8)
Предложение 7.2. Для J-инвариантных мер р имеем
тср = 0 тр = 0. (7.9)
Доказательство. В силу J-инвариантности р для любой бо-
релевской функции /: Q, —* R имеем
/(фя,фр)<1р(фя,фр) = \ 1(ФР,-фд)(1р(фя,фр). (7.10)
Пусть Шр = 0. Тогда
0 = |(у, tf) (1р(ф) = |[(У(7, ^) + (урв </>р)] <Ш) =
п ft
= J[(%'^) ~ (vp.^p)]rfpW = Jw(y,^)
где w — симплектическая форма на Q. Следовательно, последний
интеграл также равен нулю. С другой стороны, для комплексного
среднего имеем
(у, тср) = |(у, ф) йр(ф) - г | Цу, ф) <1р(ф). (7.11)
7 А.Ю. Хренников

§ 7. Вероятностная динамика
195
плексного скалярного произведения. Обозначая вещественный
и комплексный след индексами R и С соответственно, имеем:
сг2(р) = Ttr cov р = Trc covc р.
Заметим, что комплексное среднее тср и комплексный
ковариационный оператор В° являются С-линейными даже для
мер, не являющихся J-инвариантными. Однако в общем случае
вещественные и комплексные средние не совпадают, а
вещественные и комплексные ковариационные операторы не связаны
формулой (7.12).
Чтобы найти соотношение между В = covp и Вс = covc р
в общем случае запишем: В = (^п ^12 ), В\х = Вц, BL = В22,
\#21 #22/
В\2 = В2\ и Вс = ( ^ Тогда легко получается следующее
'12 " "21 " " ~ 1-5 D.
предложение.
Предложение 7.4. Блоки вещественного и комплексного
ковариационных операторов связаны уравнениями
D = В\ \ + В22, S — В\2 — В2\.
Таким образом, в общем случае гауссова мера рв не
определяется однозначно своим комплексным ковариационным
оператором Вс.
Если же мера рв является J-инвариантной, то В
В\\ В\2
.. Следовательно, D = 2В\\, S — 2В\2, откуда
-В2\ В\\J
получаем (7.12). Этим доказано следующее следствие.
Следствие 7.2. Имеется взаимно-однозначное
соответствие между J-инвариантными гауссовыми мерами со
средним значением О и комплексными ковариационными
операторами х).
Как уже отмечалось, комплексный ковариационный
оператор В° не определяет однозначно меру р, даже для гауссовых
(но не являющихся J-инвариантными) мер. Тем не менее мы
будем представлять произвольную меру р (со средним значением
О и конечной дисперсией) ее комплексным ковариационным
оператором Вс (тем самым мы «проецируем» меры в их комплексные
ковариационные операторы).
') То есть С-линейными самосопряженными положительно определенными
операторами Вс: Q,c —> Г2С, принадлежащими классу операторов со следом.
7*

196
Гл. 8. Гамильтонов подход
Рассмотрим динамику меры р, индуцированную динамикой
квадратичного J-инвариантного гамильтониана Н на Q. Получим
однопараметрическое семейство мер pt = U*p. Легко видеть, что
Bc(t) = игВсЩ. Поскольку [Вс, J] = О, оператор Bc{t)
удовлетворяет уравнению фон Неймана (7.6).
§ 8. Асимптотическое разложение
гауссовых интегралов на гильбертовом пространстве
и формула следа фон Неймана
Рассмотрим бесконечномерное фазовое пространство Q, =
= Q х Р, где Q и Р суть экземпляры (сепарабельного)
гильбертова пространства. Наша цель — построить предквантовую
классическую статистическую модель на этом фазовом
пространстве, индуцирующую обычную квантовую статистическую
модель (Дирака-фон Неймана)
^quant = (2?(Пс),А(Пс)).
где Пс = Q © iP есть комплексное гильбертово пространство,
Р(ПС) — пространство операторов плотности, a CS(QC) —
пространство ограниченных самосопряженных операторов на Пс
(квантовых наблюдаемых) 0.
В качестве пространства классических статистических
состояний выберем множество 5'gsymp(Jl) всех J-инвариантных
гауссовых мер со средним значением 0 и дисперсией к.
Рассмотрим Q как вещественное гильбертово пространство
и перейдем к его комплексификации Лс = Q ф itl. (Следует
четко различать два комплексных гильбертовых пространства:
Пс и Qc с его естественной комплексной структурой,
отвечающей J.) Пусть bn: Qc х ... х Qc —► С есть непрерывная
n-линейная симметрическая форма. Определим ее норму как
\\bn\\ = sup \Ьп(ф\,... ,ф)\. Тогда
ЫФх П^\\Ьп\\\\Ф\\п (8.1)
') Для простоты мы рассматриваем только те квантовые наблюдаемые,
которые представляются ограниченными операторами. Чтобы получить общую
квантовую модель, где некоторые наблюдаемые представлены
неограниченными операторами, следует перейти к предквантовой классической
статистической модели, основанной на тройке Гельфанда С Пс С П~.

198
Гл. 8. Гамильтонов подход
Отметим, что возможность аналитического продолжения
функции / на ftc и экспоненциальная оценка на ftc играют
важную роль в асимптотическом разложении гауссовых
интегралов.
Пример 8.1. Пусть Н £ £symp,s(^)- Тогда пространство
N
Vsymp(^) содержит все полиномы вида /(ф) — ^ а*(Н^\ ф)к,
к=\
где ак е R.
Следующий математически тривиальный результат играет
фундаментальную роль при переходе от классических объектов
к квантовым.
Предложение 8.1. Пусть f G Vsymp(^)- Тогда /"(0) €
^symp.s
Для любой функции ф € ft имеем: J$"(ф) = f"(Jф)J^ Любая
функция из Vsymp(^) интегрируема по любой гауссовой мере
на ft. Выберем Vsymp(ft) в качестве пространства классических
физических величин и рассмотрим однопараметрическое
семейство классических статистических моделей
^ymp = (5£.symp(Q),Vsymp(n)). (8.4)
Фиксируем физическую величину / € Vsymp(^) и
статистическое состояние рв € 5gsymp(ft) (напомним, что
пространство 5'gsymp(ft) состоит из гауссовых мер с нулевым средним
и дисперсией к, которые инвариантны относительно J). Здесь
рв — мера с ковариационным оператором В. Наша
следующая цель — найти асимптотическое разложение (классического)
среднего значения {f)PB = ^/{Ф)(1рв(Ф) относительно малого
Q
параметра к.
Лемма 8.2. Для f € Vsymp(^) и Рв € SQSymp(Q) имеет
место асимптотическое равенство
(f)p=^TrDcf"(0) + o(K), к^О, (8.5)
где оператор D° имеет вид Dc = covc р/к. При этом
о(к) = K2R(n,f,p), (8.6)
где \R(n,f,p)\ < с/ | er/W dpD{ip), D = covp.

§ 8. Асимптотическое разложение гауссовых интегралов
197
Рассмотрим пространство аналитических функций
экспоненциального роста:
1/0/01 ^ae6W, феПс, (8.2)
см., например, [153]. Здесь константы зависят от /: a = а/,
6 = 6/.
Лемма 8.1. Пространство аналитических функций
экспоненциального роста совпадает с пространством таких
аналитических функций, что
||/(п)(0)|| ^сгп, п = 0,1,2,... (8.3)
Здесь константы с = cj и г = rj зависят от функции /.
Доказательство, а) Пусть / имеет экспоненциальный рост.
Для каждого гр G ftc рассмотрим функцию g^(z) = f(zip)
комплексного переменного z € С. По интегральной формуле Коши
для g^z) имеем: ^п)(0) = ^ J ^(*)*-<n+1> dz, где Я > О
пока является свободным параметром. Отсюда
l5in)(0)| <n\R-n sup \f(ReieiP)\^afn\R-neb'R№l
(К0^2тг
Выбирая Я = п и замечая, что 5^(0) = f^{0)(^,..., ф),
получаем
||/(п)(0)|| ^affe-nn[/2ebfn.
Поэтому производные функции / удовлетворяют неравенствам
(8.3) с г/ = ebf.
б) Пусть производные / удовлетворяют неравенствам (8.3).
В силу неравенств (8.1) имеем
оо оо
i/woi ^ £ n/(n)(°)ii iMin/n! ^ чТ,ь\\пг/п\ < с/еГ/1М1-
п=0 п=0
Поэтому / имеет экспоненциальный рост с 6/ = rj.
Рассмотрим пространство Vsymp(ft)* состоящее из таких
функций /: ft —* R, что (а) /(0) = 0, (б) / является
«/-инвариантной: f(Jip) = 1{ф), (в) / продолжается до аналитической
функции /: ftc —► С, имеющей экспоненциальный рост:
|/WI<c/er/H*ll
для некоторых с/,гу ^ 0 и для всех ф € ftc.

§ 8 Асимптотическое разложение гауссовых интегралов
199
Доказательство.
теграле | /(ф) dp(ip):
Q
Получаем, что
(8.8)
где
/, p) = j /; V) dpoty),
°° „n/2-2 , ч
р(к,/;^ = ^^г/(п)(0)(^...,^.
n=4
Отметим, что
J(/'(0), </>) dpD(^) = о, \ /'"(o)ty. Ф, Ф) dPD№) = o,
поскольку мера рв (и, следовательно, ро) имеет среднее
значение 0. Так как рв £ ^Gsymp^)' то вещественный след Tr D = 1.
Следовательно, и комплексный след Тт Dc = 1 !).
Оценим остаточный член Я(к,/,р). Пользуясь неравенством
(8.3), для к < 1 имеем
п=4 п=4
Сделаем замену масштаба в гауссовом ин-
ф-*-^. (8.7)
]) Можно рассматривать указанную замену переменных как
масштабирование размера статистических (гауссовых) флуктуации. Пренебрежимо малые
случайные флуктуации с а(р) = у/к (где к — малый параметр)
рассматриваются на новой шкале как стандартные нормальные флуктуации. На языке теории
вероятностей, если мы рассмотрим гауссовы случайные величины £(А), то
преобразование (8.7) будет не чем иным, как как стандартной нормализацией
этой случайной величины (используемой, например, в центральной предельной
теореме): 77(A) = £(А) ffi ^в нашем СЛучае Е£ = 0).

200
Гл. 8. Гамильтонов подход
Поэтому |Я(л, ^ с/ J ег/1М1 dpo{ip)- Получаем, что
Г)
(f)P = %\(f"m^)dPD(iP) + o(K), к-*0. (8.9)
ft
Выполняя гауссово интегрирование, приходим к
асимптотическому равенству (8.5).
Мы видим, что классическое среднее (вычисленное в модели
MTymp = (^G.symp(^)» Иутр(^)) С ПОМОЩЬЮ ПОДХОДа, ОСНОВаННОГО
на теории меры) связано равенством (8.5) с квантовым средним
(вычисленным в модели Nquzn{ = ДОС).А(^)) с помощью
формулы следа фон Неймана).
Равенство (8.5) можно считать мотивировкой для
определения следующего отображения перехода от классических к
квантовым объектам. Это отображение Т переводит классическую
статистическую модель M*mp = (5gsymp(fi), VSymP(f))) в
квантовую статистическую модель 7Vquant = (Х>(Г2С), £s(ftc)). По
формулам
Т: 5S,symp(fi) - V(QC), Dc = Т(р) = ^ (8.10)
(гауссова мера p представляется матрицей плотности Dc, равной
ковариационному оператору этой меры, нормированному
делением на к) и
Т: Vsymp(fl) - £,(ПС), ,4quant = T(f) = ±/"(0). (8.11)
Наши предыдущие рассуждения суммирует следующая теорема.
Теорема 8.1. Однопараметрическое семейство
классических статистических моделей Ms*mp = (5g symp(fi), VsymP(^))
задает «деквантование» квантовой модели iVqUant =
= (Т>(ПС),С5(ПС)) посредством пары отображений (8.10),
(8.11). Классические и квантовые средние связаны
асимптотическим равенством (8.5).
Заметим, что наша проекция Т: VSymP(fi) —► £s(^c)
удовлетворяет важному постулату для отображений перехода от
классических к квантовым объектам, используемому фон
Нейманом [2]:
Г(ЕЛЛ>) =EWj)- xj € R, fj G Vsymp(n). (8.12)

§9. Инвариантные гауссовы меры для шрёдингеровской динамики 201
Здесь квантовые наблюдаемые Aj = T(fj) могут быть
несовместимыми (так что эти операторы не коммутируют), см. фон
Нейман [23].
Следствие 8.1. Сужение отображения Т на пространство
(ft) всех квадратичных J-инвариантных физических
величин взаимно-однозначно переводит это пространство в
его образ Cs(Clc)-
Пусть Ф = и + iv Е ftc, так что и € Q и v £ Р, и пусть
||Ф|| = 1. В нашем подходе матрица плотности = Ф ® Ф
представляет собой образ классического статистического состояния
J-инвариантной гауссовой меры ру на фазовом пространстве,
имеющей среднее значение 0 и (комплексный) ковариационный
г>г ~ or Cifu®ui-v<S>vv^u-u<S>v\
оператор В% = ки^ или SS, = 2к [
* * V и 0 г; — г; ® и и (8) и + v 0 v /
§ 9. Инвариантные гауссовы меры
для шрёдингеровской динамики
Все гауссовы меры, рассматриваемые в этом параграфе,
предполагаются J-инвариантными. В рамках нашего подхода
векторы Ф с ||Ф|| = 1 («чистые состояния») суть просто метки
для гауссовых мер, сосредоточенных на одномерных
(комплексных) подпространствах ft^ бесконечномерного фазового
пространства ft. Ниже мы более подробно изучим случай так
называемых стационарных чистых состояний. Масштабирование
делением на к не играет в этом случае никакой роли, так что
мы не будем его учитывать. Будем рассматривать чистое
состояние Ф (с ||Ф|| = 1) как метку для гауссовой меры со средним
значением 0 и с ковариационным оператором covc^ = Ф ® Ф.
Теорема 9.1. Пусть v — гауссова мера со средним
значением 0, сосредоточенная на одномерном комплексном
подпространстве, натянутом на нормированный вектор Ф, и пусть
Н: ft —у ft есть ограниченный самосопряженный оператор.
Мера v инвариантна относительно унитарной динамики
Ut = e~ltli тогда и только тогда, когда Ф есть собственный
вектор оператора Н.
Доказательство, а) Пусть НФ = Ф. Гауссова мера U*u
имеет ковариационный оператор В% = С/*(Ф ® Ф)С/£ = 1/*Ф ® £/*Ф =
— е"":4ЛФ ® е_г£ЛФ = Ф ® Ф. Поскольку все рассматриваемые ме-

202
Гл. 8. Гамильтонов подход
ры гауссовы, отсюда следует, что Щи = и. Поэтому мера и
инвариантна.
б) Пусть Ufu — и и и — иу для некоторого Ф с ||Ф|| = 1. Тогда
[/*Ф ® Ut^ = Ф ® Ф. Поэтому для всех гр\, гр2 £ ^ имеем
(^1,ВД(№^> = (^1,Ф>(Ф,^>.
Полагая V>2 = Ф, получаем, что (01,с(^)^Ф) = (^,Ф), где c(t) =
= (£/*Ф,Ф). Поэтому c(t)UtV = Ф. Заметим, что с(0) = ||Ф||2 = 1.
Отсюда (7(0)Ф - ШФ = 0, т. е. НФ = -гс'(0}Ф. Таким
образом, Ф есть собственный вектор оператора Н с
собственны^ значением -гс'(О). Заметим, что с'(0) = —г(НФ,Ф), т.е.
&(0) = г(НФ, Ф). Поэтому А = -id(0) = (НФ, Ф).
Опишем теперь все возможные [/^-инвариантные гауссовы
меры.
Теорема 9.2. Пусть Н — ограниченный
самосопряженный оператор с чисто дискретным невырожденным
спектром: НФ^ = Xk^k для некоторого ортонормированного
базиса {Ф*;}, состоящего из собственных векторов оператора Н.
Тогда всякая Ut-инвариантная гауссова мера и со средним
значением 0 имеет ковариационный оператор вида
оо
£с = ^сЛ®Фь с^О, (9.1)
k=\
и обратно.
Доказательство, а) Пусть covcu = Вс имеет вид (9.1). Тогда
оо
covc Щи = ЩВЩ = cke-iXkt^k ®*k = covc и = Bc.
k=\
Поскольку меры гауссовы, отсюда вытекает, что Щи = и для
всех t.
б) Пусть Щи = v для всех t. Заметим, что любой
ковариационный оператор Вс можно записать в виде
оо
Вс = £(ЯФЛ, ф*)ф* ® ф* + Х^5Ф*' *^ф* ®
A:=l fc#

§ 10. Сохраняющая дисперсию динамика
203
Покажем, что (ВФ^Ф?) =0 при к ф j. Обозначим оператор,
отвечающий через Z. Имеем
кфэ
кфз
Выберем ф\ = Ф^, ф2 = Тогда
Поэтому (ВФь Ф^> = 0 при fc ^ j.
§ 10. Динамика с неквадратичным гамильтонианом,
сохраняющая дисперсию
Рассматривая неквадратичные классические величины, мы
сталкиваемся с новой интересной задачей: исследованием
динамики для неквадратичных гамильтонианов. Пусть дан
произвольный гамильтониан Н: ft —► R. Первое важное замечание
состоит в том, что его динамика переводит гауссовы состояния
в гауссовы тогда и только тогда, когда функция Н
квадратична. Допустим, что для каждого ф Е ft система гамильтоновых
уравнений имеет единственное решение ф(Ь) = Щф с ^(0) = ф.
В этом случае корректно определено отображение (гамильтонов
поток)
Ut: ft-+ft. (10.1)
Оно индуцирует отображение U* пространства PM(ft)
вероятностных мер на фазовом пространстве ft, см. §8. Мы уже
упоминали, что в неквадратичном случае мера Щр с t > 0 может
быть негауссовой даже для гауссовой меры р. Таким образом,
для неквадратичных гамильтонианов нельзя ограничить
классическую статистическую модель моделью с гауссовыми
состояниями. Приходится взять в качестве пространства
статистических состояний множество всех вероятностных мер р на ft
со средним значением 0 и дисперсией к. Обозначим последнее
множество через PM*(ft). Может быть, следует рассматривать
подмножество PMsymp в PM*(ft), состоящее из всех
«/-инвариантных мер: J*p = р. Но в данный момент мы рассмотрим
произвольные меры.

204
Гл. 8. Гамильтонов подход
Нас интересует такая гамильтонова динамика Ut на фазовом
пространстве ft, которая индуцирует некоторую динамику U?
на PM*(ft). Такая динамика должна сохранять свойство меры
иметь среднее значение 0 и дисперсию к. Примером динамики,
сохраняющей среднее значение 0 и дисперсию к, является
квантовая динамика, соответствующая классической гамильтоновой
динамике с квадратичным J-инвариантным гамильтонианом. Нас
интересуют более общие примеры с подобными свойствами.
Дисперсия меры Щр для произвольной р € PM(ft) со
средним значением 0 равна
а2(и;Р) = \ш\\2(1р(ф). (10.2)
п
Нас интересует такая гамильтонова динамика, при которой
дисперсии вероятностных мер сохраняются, т. е. динамика,
сохраняющая дисперсию.
Допустим, что Ut сохраняет среднее значение мер.
Согласно (10.2), если Ut сохраняет норму на фазовом пространстве ft,
то U* сохраняет дисперсию. Заметим, что нелинейное
сохраняющее норму отображение U: ft —► ft не обязано быть ни инъектив-
ным, ни сюръективным. Оно также может не быть изометрией;
из того что \\Uip\\ = \\ф\\ для всех ф € ft, еще не вытекает, что
\\иф\ — Uip2\\ = \\Ф\ — ^2II- Легко найти необходимое и
достаточное условие того, что динамика, заданная гамильтонианом Н(ф),
сохраняет норму. Запишем общее гамильтоново уравнение в виде
= Jft'(0). (Ю.З)
Теорема 10.1. Пусть поток Ut, порожденный
гамильтонианом Н(ф), состоит из сюръекций £/*(ft) = ft. Такой поток
сохраняет норму тогда и только тогда, когда выполнено
равенство (сравните с (5.6))
(т'(Ф),Ф) = о, феп. (ю.4)
Доказательство, а) Пусть ||С/^||2 = ll^ll2 Для всех ф G ft.
Из представления (10.3) получаем
0=±\\иф\\2 = 2(МШ)М<ф).
Таким образом, (Л{'(Щф),Щф) = 0 Для всех ^ Е ft. Пользуясь
тем, что Ut(£t) = ft, получаем равенство (10.4).

206
Гл. 8. Гамильтонов подход
стративного примера рассмотрим квадратичный гамильтониан
W(gi,?2.PbP2) =P\Q2 -Ч\Р2- Тогда
/ d2n
d2n
d2n _
dqdp
dq{ dpi
d2H
dq\ dp2
d2H
\dq2dp\
dq2 dp2
( d2H
d2H
d2H
dpdq
dpi dqi
d2H
dpi dq2
d2n
\
\ dp2 dq
J
0 1
-1 0
dp2 dq2
Заметим, что всякий полином вида, рассмотренного в
примере 13.1, удовлетворяет условию (10.4). Поэтому каждый
гамильтониан такого вида (например, Н(ф) = а\(Нф,ф) + а2(Яф,ф)2,
где [Н, J] = 0) индуцирует сохраняющий норму поток и^ф).
Однако нам неизвестно общее соотношение между классом
J-инвариантных функций и классом функций, удовлетворяющих (10.4).
С другой стороны, с помощью (10.4) легко найти
гамильтонианы, потоки которых не сохраняют норму. Например,
рассмотрим отображение H(q,p) — q2p (в двумерном случае). Для
него условие (10.4) не выполняется, так что соответствующий
гамильтонов поток не сохраняет норму.
Исследуем условия сохранения среднего значения. Пусть
дана мера р со средним значением 0 («флуктуация вакуума»):
Шр = 0. Мы хотим дать условие, достаточное для того, чтобы
это значение сохранялось: mPt — 0 при t ^ 0. Рассмотрим класс
симметричных мер, т.е. таких р, что д*_хр = р, где д~\ф = -ф.
Заметим, что всякая симметричная мера имеет среднее
значение 0.
Предложение 10.1. Пусть р — симметричная мера,
а Щ(ф) — нечетный гамильтонов поток:
Щ(-ф) = -иь(ф). (10.9)
Тогда среднее значение сохраняется: mPt = 0 при t^0.
Можно доказать даже следующее предложение.
Предложение 10.2. Нечетный гамильтонов поток
сохраняет класс симметричных мер.

§10. Сохраняющая дисперсию динамика
205
б) Пусть равенство (10.4) выполнено для всех ф £ £2. Тогда,
в частности,
(тЩф)МгФ)=0 (Ю.5)
для всех ф е Q. Поэтому ||ЕЛ/>||2 = 0 и, следовательно, \\иф\\ =
= \\ф\\ для t0, ф
Заметим, что (10.4) влечет сохранение нормы, даже если Ut
не сюръективны. Обозначим через W(Q) множество всех
отображений /: Q, —► R, удовлетворяющих (10.4).
Следствие 10.1. Гамильтонов поток сохраняет норму
тогда и только тогда, когда выполнено равенство (10.5).
Условие (10.4) является линейным уравнением относи-
тельно Н: т т
\wp) = \wq)- (10-6)
Теорема 10.2. Пусть Н € W(Q). Тогда Н"'(0) е AymP,s(^)-
Доказательство. Имеем: (H'(ip), Jip) = 0. Отсюда
H"(ip)Jip + J*H'(ip) = 0 и, следовательно, H"'(0)Jip + H"{^)J +
+ J*H"(ip) = 0. Поэтому
[W"(0),J] = 0. (10.7)
Заметим, что в общем случае
[H"(il>),J] = -H'"(tl>)Jil>. (Ю.8)
Отметим также, что для любого отображения Н: П —> R
можно записать , , , .
/ д2Н д2П \
dq2 dqdp
н"
д2Н д2П
\dpdq dp2 j
Из условия W'(0,0) G £Symp.s(^) следует, что
(о.о) = ^?(о.о). д2п дЫ
dq2 dp2 ' dqdp dpdq'
Последнее равенство может вызвать удивление в свете
хорошо известного равенства смешанных производных дважды
непрерывно дифференцируемого отображения. Конечно, всегда
д2И д2Л
имеем: -—— = -——- для всех г, j. В качестве иллю-
дрг dq3 dqj dpi

§ 10. Сохраняющая дисперсию динамика
207
Доказательство. Надо показать, что 5-i^*P— Щр- Имеем
} нф) d9uu;P{i>) = j f(ut(-i>)) с1Р(ф) = | /(-ад)) мф) =
= | дад» <1Р(ф) =} /(</>) dutPw.
Предложение 10.3. Пусть задача Коши для гамильтоно-
вых уравнений является корректной. Если функция И! нечет-
на, то гамильтонов поток нечетен.
Доказательство, а) Пусть выполнено (10.9). Тогда ^ МО =
= откуда Ч'шф)) = -П'ш-ф)). Следовательно,
П'(ф) = -Н'(-ф) (10.10)
для всех ф = Щф. В силу корректности задачи Коши, любой
вектор ф eft представим в таком виде.
б) Пусть выполнено условие (10.10). Имеем: ("^О =
= -JHf(Uti—ф)) = JH'(-Uti—ф)). Но в силу корректности
задачи, решение единственно. Поэтому выполнено (10.9).
Следствие 10.2. Пусть гамильтониан 1-С(ф) J-инвариан-
тен. Тогда его поток сохраняет среднее значение для
симметричных мер.
Наконец, заметим, что всякая J-инвариантная мера
симметрична (и, в частности, имеет среднее значение 0).
Следствие 10.3. Пусть гамильтониан Н(ф) и мера р
являются J-инвариантными. Тогда гамильтонов поток
сохраняет среднее значение меры р (равное нулю).

Глава 9
СКРЫТЫЕ ПАРАМЕТРЫ ДЛЯ КВАНТОВОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЯ
§1.0 представлении квантовой теории поля в виде
классической статистической механики полевых
функционалов
Проблема скрытых параметров в квантовой механике
обсуждается уже около ста лет, см., например, [15]. Как уже
отмечалось, попытки решить эту проблему с помощью так
называемых теорем невозможности (фон Неймана [3], Кохена-Спекера,
Белла, см., например, обсуждения в [9, 10, 100, 101, 114,
119, 240]) нельзя признать удовлетворительными (несмотря на
огромный интерес к некоторым из этих теорем, в частности
к теореме Белла). Таким образом, неудивительно, что в
конце концов удалось построить классическую статистическую
модель М = (5(ft), V(ft)), воспроизводящую квантовую механику.
Здесь ft — фазовое пространство, S(ft) — некоторое
пространство вероятностных мер на ft (представляющих статистические
состояния — ансамбли систем с состояниями и € ft), V(ft) —
некоторое пространство функций /: ft —> R (представляющих
физические переменные).
Вопрос о существовании скрытых параметров для квантовой
теории поля, по-видимому, никогда не ставился, так как
считалось, что поскольку невозможно построить статистическую
модель со скрытыми параметрами для квантовой механики, то уж
тем более невозможно построить ее для квантовой теории поля.
В этой главе, используя методы, развитые в [213], мы строим
классическую статистическую модель для скалярного бозонного
поля [53, 54]. Обобщение на другие квантовые поля требует
более сложных рассмотрений, но в принципе тоже возможно.
В нашей модели фазовое пространство классической пред-
квантово-полевой модели ft = L2(<S'(R3),/i) х L2(Sf (R?),/л), где
<S'(R3) — пространство Шварца обобщенных функций, а \± —

§ 2. Гауссово квантование скалярного бозонного поля
209
гауссова мера на <S'(R3), соответствующая свободному бозонно-
му полю.
Статистические состояния представляются гауссовыми
мерами на ft. Они описывают ансамбли функционалов f(ip) от
классических полей <р £ <S'(R3). Физические переменные
представляются функционалами F(f( •)) от полевых
функционалов /: <S'(R3) —► R. Например /(</?) = (и,(р), где и G <S(R3),
a F(f) = | /(</?) dp(ip) = II/H2- Квантовополевые операторы А
получаются как вторые производные этих функционалов в нуле:
F —► А = Классические средние совпадают с квантовыми:
(F), = | F(/( •)) dp(/( •)) = TrD ^f (1.1)
n
где D = cov p — ковариационный оператор гауссовой меры р на
фазовом пространстве полевых функционалов.
§ 2. Гауссово квантование скалярного
бозонного поля
Рассмотрим псевдодифференциальный оператор
а = у — Д + m2 , т > 0.
Заметим, что оператор а-1 непрерывен в tS(R3). Значит,
квадратичная форма b(ip,(p) = (а~1ф,ф) тоже непрерывна. По теореме
Минлоса-Сазонова гауссова мера р (с нулевым средним) с ко-
i а"1
вариационным оператором ом = cov/x = счетноаддитивна на
сг-алгебре борелевских подмножеств пространства <S'(R3),
наделенного сильной топологией. Рассмотрим гильбертово
пространство L2(5'(R3),//), состоящее из функционалов /: <S'(R3) —> R,
для которых
11/111= J /2Ы^Ы<оо.
S'(B?)
Важнейшие операторы квантовой теории поля, например
свободный гамильтониан Щ и оператор числа частиц N,
строятся с помощью процедуры вторичного квантования. Эту
процедуру наиболее естественно описать с помощью
исчисления бесконечномерных псевдодифференциальных операторов
в L2(57(R3),/i), см. [13]. Пусть оператор A: <S(R3) -> <S(R3)

210
Гл. 9. Скрытые параметры для квантовой теории поля
непрерывен и симметричен относительно скалярного
произведения в Z/2(R3,dx). Его вторичным квантованием называется
оператор dT(A): I,2(5;(R3), /л) -* Z^OS^R3), м)> который может
быть определен, например, с помощью своего символа:
rfT(A)(g,p) = (ЬАр.р) + г(д,Ар), где р G 5(R3), 9 € <S'(R3).
Квантование проводится с помощью представления классических
полевых переменных р и q операторами:
(<?.г) - (q,r)f(>p) = (^.г)/Ы. г е S'(R3).
(*.р) - (•.*)/(?) = { («. • е <S'(R3).
Таким образом,
«Г(АШ>~(м£.£)+ <21)
Если А = а = \/—Д + т2, то получаем свободный гамильтониан
Н0 = dr(V-A + m2) =
R3 R3
Если А = 7 — единичный оператор, то получаем оператор числа
частиц
TV = rfT(l) =
R3 R3
Заметим, что эти операторы не ограничены в L2(5;(R3),/x).
Однако они могут быть аппроксимированы
ограниченными операторами, соответствующими аппроксимации ядер
(—Д + т2)±х/2 гладкими функциями, см. фон Нейман [15].
Поэтому в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением
квантово-полевой модели с непрерывными операторами:
Equant = (©(Пс).А(Пс)), где Пс = Lp(<S'(R3M -
пространство квадратично суммируемых по мере /л функционалов
/: <S'(R3) -4 С, D - пространство операторов плотности,
Cs — пространство самосопряженных линейных непрерывных
операторов.

§ 3. Классическая статистическая модель
211
§ 3. Классическая статистическая модель
Выберем фазовое пространство ft, состоящее из квадратично
суммируемых полевых функционалов /(•): ft = Q х Р, где Q =
= P = L2(5'(R3),m).
Пространство физических переменных V(ft) состоит из
квадратичных форм инвариантных относительно оператора
т ( 0 Л
\ 10/' опРеделяЮ1дего симплектическую структуру на
фазовом пространстве ft:
F(Jf) = F(f).
Заметим, что симплектическая форма на Q определяется
равенством
Ц/1./2) = (/ь«Ш = \ (ЫуЫу)-Pi(v)«2M)dA*(¥>).
5(R3)
Пространство статистических состояний ST(ft) состоит из
гауссовых мер р на пространстве ft с нулевым средним и
единичной дисперсией:
<г2(р) = \\\/\Ш/) = 1.
п
Также предполагается, что р инвариантна относительно действия
оператора J:
\F{Jf)dpU) = \F(f)dp{f).
Далее символом ftc обозначается фазовое пространство ft,
наделенное комплексной структурой: ftc = Q®iPy см. §2.
Итак, рассматривается классическая статистическая модель
М = (ST(ft), V(ft)). Рассмотрим отображение
Г: ST(ft) -> P(ftc), Т{р) = covp, (А)
Т: V(Q) —> £5(ftc), T(F) = ^-. (Б)

212
Гл. 9. Скрытые параметры для квантовой теории поля
С ГУ
Для F: L2(S'(R3),fj,) -+ R ее производная F'(f) = —— (/)
является вариационной производной по полевым функционалам
/М-Итак, здесь F'^0) =(0).
Теорема 3.1. Отображение Т: М —► iVquant. заданное (А),
(Б), взаимно-однозначно, и имеет место равенство (1.1) клас-
сических и квантовых средних.
§ 4. Классическая интерпретация волновой функции
в квантовой теории поля
Рассмотрим «чистое состояние» в квантовой теории поля: Ф Е
Е fic = Lp(5;(R3),/i), ЦФЦ2 = 1. При нашей интерпретации Ф
описывает гауссов ансамбль полевых функционалов.
Теорема 4.1. Чистые квантово-полевые состояния Ф
являются образами гауссовых мер рц с ковариационными
операторами Ф (8) Ф. Имеет место равенство
\FU)dp*{ip) = 1(*"(0)Ф,¥) = (T(F))TM. (4.1)
п
§ 5. Квантово-полевое уравнение Шрёдингера
как уравнение Гамильтона
Пусть Н е V(Q):
H(f) = \(Hf,f),
Я: L2(<S'(R3),/i) х L2(<S'(R3),/i) -> L2(<S'(R3),//) x L2(S'(R3),//)
— непрерывный самосопряженный оператор, коммутирующий
т ~ ~ . дН дН ,
с J. Тогда уравнения Гамильтона g = , р = —-тг- (где все про-
ор oq
изводные понимаются как вариационные производные: 6/6р((р)
и 6/6q(<p)) могут быть представлены в виде
f(t,<p) = JHf(t,<p). (5.1)

§ 6. Асимптотическое деквантование
213
Теорема 5.1. Для функции Гамильтона Н € V(Q)
уравнение (5.1) совпадает с квантово-полевым уравнением
Шрёдингера
if{t,ip) = Hf(t,tp). (5.2)
Заметим, что функции Гамильтона Н € V(Q) описывают
гармонические осцилляторы в пространстве полевых
функционалов /((/?).
Если Н — диагональный оператор, Н = diag(#, Я), то H(f) —
= - [(Rp>p) + {Rq>q)] и уравнения Гамильтона имеют вид
q(t, if) = Rp{t, ip)9 p(i, <p) = -Rq{t9 <p). (5.3)
Таким образом, полевые функционалы q(t,<p) и p(t,<p)
взаимно индуцируемы (ср. с электромагнитным полем).
Уравнения (5.3) влекут уравнение
q(t,<p) + R2q(t,<p) = 0. (5.4)
Аналогичное уравнение может быть получено и в общем
случае с помощью замены переменных. Мы получаем следующий
результат.
Теорема 5.2. Квантовая теория поля может быть
представлена как классическая статистическая механика
гауссовых ансамблей гармонических осцилляторов в пространстве
полевых функционалов.
Осцилляторы согласованы с симплектическои
структурой фазового пространства полевых функционалов:
L2(5/(R3),/i)xL2(<S,(R3),/i).
§ 6. Асимптотическое деквантование
Классическая модель М = (ST(Q),V(Q)) дает простое,
математически корректное классическое представление квантово-
полевой модели iVquant = (О(Пс). £s(^c))- Однако с физической
точки зрения модель М не вполне удовлетворительна.
Возникают два вопроса:
а) почему пространство классических физических
переменных V(il) состоит только из квадратичных форм?
б) почему макроскопические гауссовы флуктуации (сг2(р) «
« 1) не наблюдаются непосредственно?
Чтобы ответить на эти вопросы, предлагается перейти от
точного деквантования (где отображение Т взаимно-однозначно)

214
Гл. 9. Скрытые параметры для квантовой теории поля
к асимптотическому деквантованию, как это было сделано
в гл. 8.
Рассмотрим малый параметр к —► 0, к ^ О, и пространства
STK(Q), состоящие из гауссовых мер р с нулевым средним
и дисперсией а2(р) = к. Также предполагается, что мера р
инвариантна относительно действия оператора J. Обозначим
символом Пс комплексификацию пространства £1, т. е. Пс = £2 © Ш.
Здесь Q само по себе рассматривается как вещественное
линейное пространство, а не как комплексное Qc- Обозначим
символом W(Q) пространство функций F: Q —► R, F(0) = 0, которые
продолжаются до аналитических функций первого порядка
роста F: Пс С:
\F(f)\^aF№'h aF,bF>0.
Также предполагается, что функции F инвариантны
относительно действия оператора J: F(Jf) = F(f), f G fi.
Рассмотрим однопараметрическое семейство
классических статистических моделей для полевых
функционалов: MK = (ST«(Q),V(n)).
Рассмотрим отображение
Т: STK{Q) 0(ПС), Т(р) = (А)
Т:\¥(П)^Са(Пс), T(F) = ^p-. (Б)
Теорема 6.1. Отображение Мк —► iVquant корректно
определено с помощью (А) и (Б). Классическое и квантово-полевое
средние связаны асимптотическим равенством:
(f)p = к TV T(p)T(F) + о(к). к - 0, (6.1)
|о(*)| < *2tfF | e^l^H #f, dF > 0,
где p — гауссова мера с нулевым средним и ковариационным
~ v COV/9
оператором и — Т(р) — —-.

Глава 10
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОЛМОГОРОВСКОЙ МОДЕЛИ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Через всю эту книгу красной нитью проходит мысль, что
различия между квантовой механикой и классической
статистической механикой (которые непрерывно подчеркивались многими
основателями квантовой механики 0) на самом деле не
являются фундаментальными. Речь идет в основном о различных
математических представлениях теории вероятностей. Мы уже
обсуждали эту проблему в гл. 6 о неравенстве Белла, и в гл. 7
о предквантовой классической статистической теории поля.
Основное следствие этих обсуждений — существование различных
возможностей для математического соответствия между
классической и квантовой вероятностными моделями. В гл. 7 мы
получили интересную интерпретацию квантовой механики как
приближенной теории для вычисления классических средних.
Однако в этой модели не выполнялось условие соответствия
между областями значений предквантовых и квантовых величин.
Даже дискретные квантовые величины реализовывались в ПТП
гладкими функционалами от классических полей с непрерывной
областью значений.
Возникает вопрос о возможности построения отображения из
классической вероятностной модели в квантовую таким образом,
чтобы постулат о совпадении областей значений выполнялся.
Такое отображение было построено в работах [173, 186], см. также
[193, 194]. Мы излагаем эту теорию в настоящей главе.
Сравниваются две модели теории вероятностей: классическая
(предложенная А. Н. Колмогоровым [7]) и квантовая. Показано,
что различие между этими теориями не так велико, как
обычно считают. Оказывается, что основные структуры квантовой
теории вероятностей — такие, как интерференция вероятностей,
1) Например, Бором, Гейзенбергом, Дираком, Паули, фон Нейманом,
Фоком, Ландау, а позднее, например, Фейнманом.

216
Гл. 10. Представление колмогоровской модели
правило Борна, комплексные вероятностные амплитуды,
гильбертово пространство состояний, представление наблюдений в виде
операторов, — содержатся в скрытой форме в модели
Колмогорова. В частности, получена «интерференция вероятностей»
без обращения к представлению в гильбертовом пространстве.
«Интерференция вероятностей» интерпретируется как
возникновение дополнительного члена (cos-члена) в обычной формуле
полной вероятности. Такая связь между классической теорией
вероятностей и квантовым вероятностным формализмом может
стимулировать применение квантовых методов вне микромира,
например в психологии, биологии, экономике и других науках.
§ 1. Квантовая и классическая вероятностные модели
Напомним определение вероятностного пространства,
предложенное А. Н. Колмогоровым [7].
Определение 1.1. Вероятностным пространством называется
тройка
Р = {П,^Р},
где Q — множество любой природы («пространство
элементарных событий» или «выборочное пространство»), Т — некоторая
сг-алгебра подмножеств множества fi, Р — (счетноаддитивная)
вероятностная мера на Т.
Напомним, что а-алгеброй называется система множеств,
замкнутая относительно счетных пересечений и объединений,
содержащая вместе с каждым множеством его дополнение, а
также Q и пустое множество 0.
Имеется достаточно общее мнение, что квантовая модель
теории вероятностей, т.е. исчисление вероятностей, основанное
на комплексном гильбертовом пространстве, существенно
отличается от классической теоретико-множественной модели
Колмогорова [7] (детали и обсуждение см., например, в [3, 6, 8, 9, 14,
15, 100-102]). Упомянем несколько отличительных особенностей
квантовой теории вероятностей.
а) Использование комплексных амплитуд вероятностей, или
волновых функций, ф{х).
б) Правило Борна: вероятность события Вх — того, что
частица находится в точке х, — задается формулой
Р^Вх) = Щх)\2 (1.1)

§ 1. Квантовая и классическая вероятностные модели
217
в) Интерференция вероятностей. Мы представим этот
феномен, связав его с формулой полной вероятности. Рассмотрим
простейшее разбиение выборочного пространства cJ = {АьАг},
А\А2 = 0, А\ U А2 = ft. Тогда мы имеем (см., например, [277,
278]):
Р(В | С) = £ Р(А,-1 С)Р(Я | А,С). (1.2)
Однако в квантово-вероятностном формализме была получена
иная формула:
p(Bio=x;p(^ic)p(Bi^)+
+ 2 cos0(B | С) v^P(Ai | С)Р(Я | i4i)P(A2 | С)Р(В \ А2),
(1.3)
где 0(J3|i*/, С) — угол (фаза), который зависит от события В,
разбиения и условия С, при котором событие В
происходит. Наличие тригонометрического члена интерпретируется как
интерференция вероятностей (см., например, [6]). В [6]
было подчеркнуто, что имеющаяся интерференция вероятностей
в квантовой механике свидетельствует об отклонении от
фундаментальных законов классической теории вероятностей.
г) Представление физических наблюдаемых
некоммутативными операторами в комплексном гильбертовом пространстве (в то
время как в колмогоровской модели используются случайные
величины — измеримые функции на выборочном пространстве).
Цель этой главы — показать, что в действительности
расхождение между квантовой моделью (Дирак-фон Нейман [6,
102, 15]) и классической моделью (Колмогоров [1]) не столь
большое, как принято считать. Все упомянутые отличительные
особенности (а)-(г) квантовой теории вероятностей
представлены в скрытой форме и в классической модели Колмогорова.
Конечно, мы не утверждаем, что все проблемы нами разрешены.
Решающим моментом в нашем подходе является то, что все
вероятности рассматриваются как контекстуальные
вероятности. Мы рассматриваем контекст С как комплекс условий:
физических, биологических, экономических, финансовых и т.д.
Таким образом, бессмысленно говорить об абстрактной
вероятности Р, которая не связана с конкретным контекстом; всякая

218
Гл. 10. Представление колмогоровской модели
вероятность должна быть связана с некоторым фиксированным
контекстом С 1).
Главным результатом нашего исследования является
контекстуальный вероятностный анализ формулы полной
вероятности (1.2) и вывод «квантовой формулы полной вероятности*
(1.3) (которую обычно называют интерференцией вероятностей).
Отправляясь от формулы полной вероятности, полученной в
рамках теоретико-множественного подхода с колмогоровским
вероятностным пространством & = (fi,^, Р), мы воспроизводим
другие отличительные особенности квантового вероятностного
формализма.
Исходной точкой нашего анализа является контекстуальная
интерпретация условных вероятностей. Обычно условная
вероятность Р(А | С) понимается как вероятность осуществления
события А при условии, что произошло событие С. Но мы не
хотели бы рассматривать условные вероятности по отношению
к некоторому событию. В общем случае это и невозможно,
нельзя, например, отождествить набор оборудования в лаборатории
с некоторым событием. Мы будем рассматривать условные
вероятности относительно комплекса, например, физических
условий С. Таким образом, мы рассматриваем условные вероятности
не относительно событий, а относительно контекста С.
Важным следствием этой новой интерпретации условных
вероятностей Р(А | С) в колмогоровской модели является
невозможность использования булевой алгебры для множеств С,
представляющих контексты — комплексы, например, физических
условий. Для двух событий, скажем С\ и С2, всегда можно
рассмотреть событие, соответствующее их одновременному
осуществлению, что в булевой алгебре реализуется как С = CiC2.
Это естественная операция на алгебре событий. Но для двух
контекстов не всегда возможно определить их совместную
реализацию. Таким образом, даже если такие контексты представлены
множествами С\ и С2, принадлежащими сг-алгебре SF колмого-
ровского пространства (£),^, Р), мы, рассматривая множество
1) Конечно, тут нет ничего нового. Например, А.Н. Колмогоров
указывал на роль комплекса экспериментальных условий для определения
вероятностей в его знаменитой книге [7]. Подобная точка зрения также была
представлена в книгах Гнеденко и А. Реньи. Частотную теорию вероятностей
Р. фон Мизеса [292, 293] также можно считать контекстуальной, так как
«коллектив» у Мизеса определен комплексом экспериментальных условий.

§ 1. Квантовая и классическая вероятностные модели 219
С = С\С<1. не можем быть уверены, что оно представляет
физически осмысленный контекст.
Итак, мы не можем рассматривать всю сг-алгебру if кол-
могоровского пространства как набор множеств,
представляющих контексты. В зависимости от решаемой задачи условные
вероятности Р(А\С) могут рассматриваться только для
контекстов С, принадлежащих некоторому специальному набору
множеств *в С &. (Событие А по-прежнему представляется
произвольным элементом сг-алгебры
Мы покажем, что на таком «усечении» колмогоровской сг-ал-
гебры f можно вести квантово-вероятностный формализм. В
таком подходе квантовый формализм появляется как
специальное представление контекстуальной колмогоровской модели.'.
^cont = (fi,^"|#,P) для специального выбора множества
контекстов (которые используются для определения условных
вероятностей).
Заметим, что наша конструкция — контекстуальная модель
Колмогорова — очень близка к модели Реньи. Реньи также
рассматривал специальные множества, обозначим их 4?reni
представляющие условия. Но наше контекстуальное множество не
удовлетворяет условиям модели Реньи. Это дает нам
возможность воспроизвести квантовый вероятностный формализм, чего
не позволяет модель Реньи. Последняя модель является более
общей с теоретико-множественной точки зрения. В принципе,
мы могли бы использовать это обобщение даже в нашем
контекстуальном подходе. Но мы не делаем этого здесь. Мы хотим
показать, что даже колмогоровская модель содержит в скрытой
форме основные квантово-вероятностные структуры. Подчеркнем
снова, что обычно наличие таких структур рассматривается как
проявление «неколмогоровости».
Применяя контекстуальный подход к формуле полной
вероятности, видим, что использование вероятностей типа P(B\AjC),
являющихся условными по отношению к пересечению
контекстов, в общем случае бессмысленно. Также видно, что в
квантовой формуле полной вероятности (1.3) такие вероятности были
исключены из рассмотрения. Вероятности Р(В \ AjC) не
определены в физическом смысле. Поэтому в (1.3) вместо P(B\AjC)
были рассмотрены «экспериментальные условные вероятности»
P(B\Aj). Однако в общем случае имеет место неравенство
Р(Я|С)^£Р(^|С)Р(В|ЛД (1.4)

220
Гл. 10. Представление колмогоровской модели
которое можно представить в виде равенства
Р(В | С) = I С)Р(В IАй + *(В\^,С). (1.5)
Очевидно, дополнительный член &(B\*sJ>С) есть разность
между левой и правой частью (1.4). Для специальной системы
контекстов О #г (см. §2) мы получим «квантовую формулу
полной вероятности» (1.3), а с помощью этой формулы мы
конструируем представление набора контекстов ^tr в единичной
сфере комплексного гильбертова пространства. Это решающий
шаг для обнаружения особенностей (а)-(г) квантовой теории
вероятностей в классической теории вероятностей, но в рамках
контекстульного подхода.
Какова главная цель такой конструкции? С одной стороны,
мы готовы демистифицировать квантовую вероятность и связать
ее достаточно простым путем с классической моделью
Колмогорова. С другой стороны, воспроизведя квантовое
вероятностное исчисление, в частности «интерференцию вероятностей»,
в теоретико-множественной теории вероятностей, мы не видим
причин к ограничению применения этого исчисления только
для описания процессов микромира. Используя контекстуальный
подход, мы можем построить квантовое представление для
статистических моделей в различных областях знаний, например
в биологии, психологии, экономике.
Естественно спросить, почему такой подход может быть
плодотворным? В нашем подходе квантовое представление есть
проекция классической модели теории вероятностей. Оно
является существенным упрощением классического вероятностного
описания. Такое упрощенное описание может быть полезно для
моделей, в которых детальное классическое описание крайне
затруднено. Например, применение в когнитивных науках и
психологии [12, 27, 66, 67, 105, 110, 111, 161, 175, 180], в теории
игр [120, 121], в финансовой математике [69-74, 129-133, 82,
83, 180, 179, 105, 253-262, 274], в классической теории
неупорядоченных систем [198].
Заметим, что впервые «квантовая формула полной
вероятности» (1.3), без обращения к гильбертову пространству, была
1) Так называемых «тригонометрических контекстов», т.е. производящих
cos-интерференцию.

§ 2. Интерференционная формула полной вероятности
221
получена в [159] в рамках частотной теории фон Мизеса.
В [63] дано применение для этой цели закона больших чисел.
В последние годы было предпринято несколько попыток
использования неколмогоровского, но теоретико-множественного
подхода для вывода некоторых положений квантовой механики
(см., например, [4] и [22]).
§ 2. Интерференционная формула полной вероятности
Мы рассмотрим формулу полной вероятности (1.2) в частном
случае, когда а и 6 — двузначные случайные величины, а = а\,a<i
и 6 — 61,62. Тогда мы имеем
Р(Ь = Ь.|С) = £р(а = Оп| С)Р(Ь = bi\a = ап,С).
п
Если измерение случайной величины а существенно возмущает
контекст С, то мы не в состоянии создать контекст,
соответствующий невозмущающему измерению величины а при
комплексе экспериментальных условий С. Поэтому следовало бы
изменить эту формулу и исключить вероятности Р(6 = 6* | а =
= аПУС).
Следующее понятие хорошо известно в теории измерений
квантовой механики (см. [64, 99, 100, 101, 151]). Обозначим
через Aj некоторый контекст выбора по отношению к
значению а = aj случайной величины а. Например, в квантовой
механике рассматриваются измерения, когда выбираются все
частицы с фиксированным значением импульса а. Эти контексты
(в нашем случае j = 1,2) в теоретико-множественном подходе
представлены множествами Aj = {и £ ft: а{ш) = aj}. Мы
также введем контексты выбора по отношению к фиксированным
значениям случайных величин 6, которые будут представлены
множествами В{ = {и € П: Ь(и) = 6*}. Мы рассмотрим разбиения
<s4 = {А\, А2] и 3i = {В\,В^\ выборочного пространства П.
Множество С, принадлежащее Эг% будем называть
невырожденным контекстом относительно разбиения *s4, если Р(АпС) Ф 0
для всех п. Мы обозначим множество всех ^-невырожденных
контекстов символом %^nd. Разбиения ^ и Я) мы будем называть
взаимно дополнительными, если P(BnAk) Ф 0 для всех пик.
Таким образом, ^? и i являются взаимно дополнительными
тогда и только тогда, когда Вп есть невырожденный контекст
относительно и наоборот. Если случайные величины а и 6

222
Гл. 10. Представление колмогоровской модели
индуцируют взаимно дополнительные разбиения d и 95, то
они также будут называться взаимно дополнительными. Таким
образом, взаимная дополнительность определена в теоретико-
множественной теории.
Везде далее мы предполагаем, что а и Ь — взаимно
дополнительные случайные величины. Пусть В Е ^^пА- Определим
коэффициент интерференции случайных величин а к Ъ
следующей формулой:
\(В\Л,С) = 6(В\Л,С)
2^Р(А, | С)Р(В | А{)Р(А21 С)Р(В| А2)
2
где 6(В \Л,С) = Р(В | С) - р(в I Aj)p(Aj I С). Мы увидим,
что «формула полной вероятности с дополнительным членом»
(1.5) имеет интересные следствия, если дополнительный член S
(возмущение) представлен в виде
6(В | J, С) = Х(В | С)у/Р(А{ | С)Р(В | Ах)Р(А2 | С)Р(В \ А2).
(2.2)
Положим
^tr = {Ce^nd:|A(B|^,C)|^l}
и будем называть элементы множества тригонометрическими
контекстами. Мы будем рассматривать контекстуальную колмо-
горовскую модель с таким набором контекстов:
^сопигИа^Г,Р). (2.3)
Заметим, что в общем случае система множеств ^г не
является алгеброй, так как из условия С\,С2 Е не следует, что
С = С\С2 Е ^*г. Наш основной результат может быть
сформулирован в виде следующей теоремы, доказательство которой будет
проведено в несколько этапов.
Теорема 2.1. «Квантовая формула полной вероятности»
(1.3) может быть получена в рамках колмогоровской
теории вероятностей. На основании этой формулы можно
построить отображение множества тригонометрических
контекстов *&{Т в единичную сферу S комплексного гильбертова
пространства Н (пространство комплексных амплитуд).
Такое отображение определяется парой a, b взаимно
дополнительных случайных величин (базовые случайные величины),

§ 2. Интерференционная формула полной вероятности
223
которые представлены некоммутативными операторами а, Ь.
Унитарность матрицы Vb^a перехода от базиса {е?} к
базису {еь} (эти базисы определенным образом соответствуют
случайным величинам а и Ь) эквивалентна правилу Борна для
этих случайных величин. Такая конструкция может быть
реализована только для бистохастических матриц
переходных вероятностей.
Используем сначала соотношение (2.2) для преобразования
формулы полной вероятности с дополнительным членом (1.5)
к виду
Р(В|С) = ^Р(^|С)Р(Б|Л,) +
+ 2\(В | о/, С) у/Р(Ах | С)Р(В | А, )Р(А2 | С)Р(В \А2). (2.4)
1) Пусть интерференционные коэффициенты |А(5|^/, С)\ ^ 1
для каждого В е «Й?. Мы введем новый статистический параметр
0(В |.*/, С) € [0,27г] и представим коэффициенты в
тригонометрической форме
Х(В\^С) = co&9{B\jS,C).
Параметр 0(В|**/, С) называется фазой события В относительно
разбиения <s4 в контексте С. В этом случае формула полной
вероятности с дополнительным членом в форме (2.4) совпадает
с «квантовой формулой полной вероятности» (1.3) и есть не
что иное, как знаменитая формула «интерференции
вероятностей». Обычно эта формула получается с помощью унитарных
преобразований в гильбертовом пространстве, соответствующих
переходу от одного ортонормированного базиса к другому, и
вероятностного постулата Борна. В квантовых рассмотрениях ор-
тонормированный базис состоит из собственных векторов
некоммутативных операторов, соответствующих квантовым
наблюдаемым а и Ь.
2) Предположим, что |А(В | ^с/, С)\ > 1 для всех В € 3i. Тогда
0(В\Л,С) е (-оо, +оо) и мы представим коэффициенты в
гиперболической форме
\(В\Л,С) = ±сЪв(В\Л,С).
В этом случае (2.4) имеет форму «гиперболической
интерференции вероятностей»:

§ 3. Извлечение комплексных вероятностных амплитуд
225
где 0(6 = х | а, С) = ± arccos А(6 = ж | а, С), х € X. Здесь
5(6 = х | а, С) = pk(x) - Е I У)»
\(Ь = х\а1С)= 6(Ь = х\а,С)
2 Г[[рас(у)р(х\у)
Используя элементарную формулу D = А + В + 2у/АВ cos в =
= \у/А + ei0y/B\2 для А,В > О, 0 € [0,27г], мы можем
представить вероятность рьс(х) как квадрат комплексных амплитуд
{правило Борна):
рьс{х) = \ус{х)\2, (3.2)
где
ф) = <рс{х) = Jpac{ax)p{x\ax) + ew^ Jpac(a2)p(x\a2).
(3.3)
Важно подчеркнуть, что поскольку для каждого х Е X фазы
вс(х) могут быть выбраны двумя способами (со знаком + или со
знаком -), то представление контекстов комплексных амплитуд
определено неоднозначно.
Чтобы зафиксировать представление колмогоровского
пространства ^cont.tn мы должны зафиксировать фазы. Ниже будет
видно, что для получения «хорошего представления» надо
выбирать фазы специальным образом.
Мы обозначим пространство функций (р: X —► С, где С
есть поле комплексных чисел, символом Е = Ф(Х,С). Так как
X = {61,62}, то Е есть двумерное комплексное пространство.
Функции Дирака {6(b\ - x)yS(i>2 - х)} являются каноническим
базисом в этом пространстве. Мы увидим (предложение 5.1),
что при естественных предположениях на матрицы переходных
вероятностей справедливо представление ipBj(x) = &(bj — х). Для
каждого ip Е Е имеем: ip(x) = ip(bj)S(bj — х) + ^(62)^(62 — х).
Используя представление (3.3), построим отображение
Jb\a. &т _+ф(х,С). (3.4)
Отображение Jb\a переводит контексты (комплексы,
например, физических условий) в комплексы амплитуд.
Представление (3.2) вероятности рьс(х) как квадрата абсолютного значения
комплексной (61 а)-амплитуды есть не что иное, как знаменитое
8 А. Ю. Хренников

224
Гл. 10. Представление колмогоровской модели
P(B\C) = Y,1P^j\C)P(B\Aj)±
± chв(В | С)у/Р(АХ | С)Р(В | АХ)Р(А2 | С)Р(В \ А2). (2.5)
В этой главе наши рассмотрения относятся к первому
случаю 0. Везде ниже В = Вх, х = 61,62, и мы будем часто
использовать символы Л(6 = х | а, С) вместо Л(ВХ | С).
§ 3. Извлечение комплексных вероятностных
амплитуд и правила Борна из колмогоровской модели
Напомним, что мы изучаем случай взаимно
дополнительных двузначных случайных величин: а = аьаг, 6 = 61,62. Эта
пара случайных величин фиксирована в дальнейших
рассмотрениях. Будем называть такие случайные величины базовыми.
Для каждой фиксированной пары а, 6 базовых величин мы
построим представление контекстуальной колмогоровской модели
^cont.tr = (n,^|^?trfP) в комплексном гильбертовом
пространстве. Положим У = {аьаг}, X = {61,62} («спектры» случайных
величин а и 6). Пусть С £ ^tr. Тогда положим
Р&М = Р(а = у|С)в рьс(у) = Р(Ь = х\С),
р(х\у) = Р(Ь = х\а = у), х € X, у £ Y.
Формула (1.3) может быть записана в виде
Рс = 5>сШ* I У) + 2 cos 9с(х) 1ЦрасШх\у), (3.1)
yeY ]jyeY
1) Мы только упомянем, что во втором случае мы можем получить
представление контекстуальной колмогоровской модели ^ont.hyp = ^ур, Р),
где ^ур = {С 6 ^j/nj: МД? I^»C)I ^ 1}' в так называемом гиперболическом
гильбертовом пространстве — гильбертовом модуле над двумерной клиффор-
довой алгеброй, т. е. коммутативной алгеброй с базисом е\ = 1 и еч = j,
j2 = 4-1 (см. [13, 174, 180]). Таким образом, невозможно представить всю
колмогоровскую а-алгебру & в комплексном гильбертовом пространстве.
Более того, U ^ур есть собственная подсистема 9. Например, существуют
смешанные гипер-тригонометрические контексты: одно |А| ^ 1, другое |А| ^ 1.
Также существуют вырожденные контексты С, для которых
интерференционные коэффициенты не определены вообще.

226
Гл. 10. Представление колмогоровской модели
правило Борна. Комплексная амплитуда ipc(x) может быть
названа волновой функцией комплекса физических условий
(контекста С) или чистым состоянием. Положим ех(-) = 6(х - •).
Тогда правило Борна для комплексных амплитуд (3.2) может
быть переписано в следующем виде:
Pbc(x) = (<fic,ebx)2, (3.5)
где скалярное произведение в пространстве Е = Ф(Х,С)
определено стандартным образом: (<ptil>) = ¥?(x)t/;(x)- Система
хех
функций {еьх}Х£х образует ортонормированный базис в
гильбертовом пространстве Я = (J3, (•)). Пусть X С R, где R — поле
действительных чисел. Используя представление (3.5), идущее
от правила Борна, мы получаем представление в этом
гильбертовом пространстве среднего для колмогоровской случайной
величины Ь:
E(b\C) = J2 хРс(х) = x\vc{x)\2 =
= 5^^с,4>(^с,4> = (Ьу>с,<рс), (3.6)
хех
где самосопряженный оператор b: Е —> Е определяется его
собственными векторами: bex = хех, х € X, оператор Ь есть
оператор умножения в пространстве комплексных функций Ф(Х,С):
b(p(x) = xip(x). Таким*образом, с помощью (3.6) условное среднее
колмогоровской случайной величины представляется в
гильбертовом пространстве с помощью самосопряженного оператора Ъ.
Введем следующие обозначения:
u*i = \/Рс(аз)> и) = \/Pc(bj)> Рц=Р(Ы<н), (37)
uij = y/PijOj = Qc{bj).
Заметим, что коэффициенты u°j, ub зависят от контекста С,
т.е. и" = v%(C), ubj = ubj(C). Рассмотрим матрицу переходных
вероятностей
рь|а = ы-

§ 3. Извлечение комплексных вероятностных амплитуд
227
Это всегда стохастическая матрица. Поскольку <рс
+ v\(^2, где vbj = v!\u\j + u?;u2jeiei, имеем
&(bj) = \ij\2 = №ulJ + v$bQjeP>\2.
Это дает интерференционное представление
вероятностей, которое используется, например, в квантовом формализме.
Напомним, что формула (3.8) получена из интерференционной
формулы полной вероятности (3.1).
Мы хотели бы получить правило Борна не только для
величины 6, но и для случайной величины а, что, как будет видно из
дальнейшего изложения, невозможно в общем случае.
Отправляясь от двух произвольных взаимно дополнительных
случайных величин а и Ь, мы получили представление вероятностной
модели в комплексном линейном пространстве. Эта модель
существенно более общая, чем стандартное квантово-механическое
представление. В нашем (более общем) линейном представлении
«сопряженная случайная величина» а не обязательно
представляется симметричным оператором (матрицей) в гильбертовом
пространстве Я, порожденном Ь. Напомним, что в квантовой
механике обе базовые величины (координата и импульс)
представлены в одном и том же гильбертовом пространстве.
Для всякого контекста Со мы можем представить
соответствующую волновую функцию ц> = ipo в виде
tp = иахеах + иа2еа2, (3.9)
где
е? = (tiiifu12), еа2 = (егЧ21, А22). (3.10)
Здесь {е?} — система векторов в Е, соответствующая а-наблю-
даемой. Мы предполагаем, что векторы {е?} линейно независимы
и поэтому являются базисом в Е. Имеем: = v\\e\ + v\2e\,
е2 = ^21е1 + ^22^2' где У = (vij) ~~ матрица, соответствующая
преобразованию комплексных амплитуд: v\\ = щ\, у2\ = и2\,
v\2 = егвхи2\, v22 = егв2и22. Найдем теперь класс матриц V, такой
что правило Борна (3.5) справедливо для а-базиса:
P&(<*i) = !<¥>. е?>|2. (3.11)
В силу (3.9) правило Борна (3.11) справедливо тогда и только
тогда, когда {е-1} — ортонормированный базис, т.е. когда V
представляет собой унитарную матрицу.
8*
= у\е\ +
(3.8)

228
Гл. 10. Представление Колмогоровской модели
Так как мы изучаем двумерный случай, возникающий
вследствие двузначности случайных величин, то матрица V = Vb\a
является унитарной тогда и только тогда, когда матрица
переходных вероятностей Р6'а является бистохастической и егв{ =
= -е^2, или
вСо(Ь1)-вСо(Ь2) = 7г mod27r. (3.12)
Следует заметить, что условия (3.12) на фазы и условие би-
стохастичности не являются независимыми, что демонстрирует
следующая лемма.
Лемма 3.1. Пусть матрица переходных вероятностей
Р61а является бистохастической. Тогда
cos0c(62) = -cos0c(6i) (3.13)
для любого контекста С Е Фг.
В силу леммы 3.1 мы имеем две различные возможности
выбора фаз:
cos0c(&i) + cos0c(&2) = к
или
cos0c(&i) — cos0c(b2) — п m°d 27Г.
В силу (3.12), чтобы получить правило Борна для случайной
величины а, нужно выбрать фазы 0co(&i)» г = 1,2, таким образом,
чтобы
cos0c(62) = cos0c(M + тт. (3.14)
Если вс{Ь\) Е [0,7г], то 0с(&2) £ [тг,27г], и наоборот. Эта лемма
очень важна, так как с ее помощью мы всегда можем выбрать
9c{bj), j = 1,2, удовлетворяющие (3.14). Очевидно, что это
возможно только для случая, когда базовые наблюдаемые выбраны
так, что матрица переходных вероятностей является
бистохастической.
Специфической особенностью конструкции а-представления
является то, что базис {е^} зависит от контекста Со: = е^(СЬ).
А правило Борна в действительности имеет вид Pc0(aj) =
= Ку>с0>ej(Q)))|2- Однако в соответствии с условием квантового
формализма нам нужен фиксированный а-базис для всех
контекстов С е Ф\

§ 3. Извлечение комплексных вероятностных амплитуд
229
Лемма 3.2. Пусть матрица переходных вероятностей
Р61а является бистохастической и для каждого контекста
С € 4vir фазы ec(bj) выбраны из условия
0со(Ъ2) = eCo{bi) + тг mod27r. (3.15)
Тогда для каждого контекста С €&г правило Борна
справедливо в базисе = е^(Со), построенном для фиксированного
контекста Cq:
Pc(«j) = \(<Pc,e°)\2. (3.16)
Доказательство. Пусть Со есть некоторый фиксированный
контекст. Рассмотрим базис {е^(Со)} и матрицу V{Co)^
соответствующую этому контексту. Для каждого С Е 4§*г представим
волновую функцию как фс = vf (С)е*(Со) + ^(CJegfCb), где
|г;? (С)|2 = p£r(aj). Очевидно, что для каждого С Е Ч5*г мы можем
представить волновую функцию как
Фс{Ъх) = ua{(C)vu(C0) + е^(Ь1ЬЧ(^)]^(С)г;12(Со),
фс(Ъ2) = uUC)v2l(C0) + е^^^Ь^0(Ь2)]иа(с)^2(Со)
Таким образом, мы должны иметь: вс(Ь\) — Ос0(Ь\) = (вс{Ь2) -
— 9c0(b2)) mod 2тг для всякой пары контекстов Со и С\.
Используя соотношение (3.15) между фазами 6с{Ъ\), вс(Ь2) и вс0{Ь\),
вСо(Ь2), получаем: вс{Ь2) - вСо(Ь2) = (вс{Ь\) + тг) - (0co(6i) -
-7r) = (^(bi)~^c0(bi)) mod 2тг.
Условия (3.15) существенно ограничивают класс
комплексных амплитуд, которые могут быть использованы для
представления контекста С € Всякое С может быть представлено
только двумя амплитудами (р(х) и Тр(х), соответствующими двум
возможным выборам 9с{Ь\) (в интервале [0,7г] или [я-,2п]).
Из леммы 3.2 мы получаем следующую часть теоремы 2.1:
можно построить представление контекстуальной
колмогоровской модели ^contjr в гильбертовом пространстве так,
что правило Борна будет справедливо для обеих базовых
случайных величин тогда и только тогда, когда матрица
переходных вероятностей рМа является бистохастической.
Если Р61а является бистохастической матрицей, то мы имеем
квантовоподобное представление не только для условного сред-

230
Гл. 10. Представление колмогоровской модели
него случайной величины в (см. (3.6)), но также и для случайной
величины а:
Е(а\С) = Y,VPc(y) = 5>1<¥>С,е2>|2 = (арсрс), (3.17)
где самосопряженный оператор а: Е —► Е с симметрической
матрицей определен собственными векторами: ае" = <уе*. Из (3.17)
следует, что случайную величину а можно естественно
представить оператором а.
Обозначим символом 5 единичную сферу гильбертова
пространства Е = Ф(Х,С). Отображение J6la: Ч?*г —> 5 не
обязательно сюръективно или инъективно. В общем случае множество
(чистых) состояний, соответствующее колмогоровскому
контекстуальному пространству,
является собственным подмножеством сферы 5. Структура
множества чистых состояний S<g>tr определяется колмогоровским
пространством и базовыми случайными величинами а и 6.
§ 4. Представление колмогоровских случайных
величин некоммутативными операторами
Пусть матрица переходных вероятностей Р6'а является би-
стохастической. В этом пункте мы рассматриваем случай
действительнозначных случайных величин. Здесь спектры
случайных величин 6 и а являются подмножествами R.
Положим q{ = у/рП = >/Р22 и q2 = у/рп = у/Р2\- Таким
образом, векторы a-базиса (см. (3.10)) имеют следующий вид:
е? = (fli.ffi). е2 = (е%в1Я2>егв2Я\)- Так как в2 = в\ + 7г,
имеем: е\ — el02(—q2,q\). Найдем теперь матрицы операторов а
и Ь в 6-представлении. Очевидно, Ь-представление является
диагональным для Ь. Для а имеем: а = Vdiag(ai, ^2)^*, гДе
= ^22 = 91. ^21 — ~"vi2 = Q2- Таким образом, а\\ = a\q\ + a2q^y
а22 = a\q\ + a2q\, a12 = a21 = (a\ - a2)q\q2. Отсюда [6,2] = га,
где m\\ = m22 = 0 и гп\2 = —m2\ = (a\ — a2)(b2 — b\)q\q2. Так
как a\ ф a2j b\ ф b2 и qj ф 0, получаем, что га ф 0.
= SbJ{? = J6lfl(^tr),

232
Гл. 10. Представление колмогоровской модели
Таким образом, когда матрицы Ра'ь и Р61а бистохастические,
т.е. когда обе базовые случайные величины а и Ь равномерно
распределены, правило Борна имеет вид: ръс(х) = \(Фс,Фвх)\2-
§ 6. Комплексные амплитуды вероятностей в случае
многозначных базовых переменных
Общий случай величин, принимающих более двух
различных значений, индуктивно сводится к случаю двузначных
величин. Мы рассмотрим две взаимно дополнительные случайные
величины а и Ь, принимающие по п значений: а = а\,... ,ап
и Ь = Ьь... УЬп. Начнем с некоторых очевидных обобщений
результатов § 2.
Лемма 6.1. Пусть B,C,D\,D2 € Р(С) ф О и D\ П D2 =
= 0. Тогда
P(B(D\ U D2) | С) = P{BDX | С) + P(BD2 \ С). (6.1)
Предложение 6.1 (формула полной вероятности). Пусть
выполнены условия леммы 6.1, и пусть P(DjC) Ф 0. Тогда
P(B(Dx U D2) | С) = Р{В | D{C)P(D{ | С) +
+ P{B\D2C)P(D2\C). (6.2)
Предложение 6.2 (контекстуальная формула полной
вероятности). Пусть выполнены условия предложения 6.1
и P{BDj) ф 0, j = 1,2. 7Ъгда
Р(В(£>! U D2) | С) = Р(В | DX)P(DX | С) +
+ Р(В | Д>)Р(£>2 | С) + 2Х(В | {Dx, £>2}, С) х
х у/Р{В | Di)P(D, | С)Р(В | L>2)P(£>2 | С), (6.3)
где интерференционный коэффициент
6(B\{Dx,D2},C)
\(B\{Dx,D2},C) =
у/Р(В | D, )Р(А | С)Р(В | Д2)Р( А>1 С) '
(6.4)

§ 5. Роль одновременной бистохастичности матриц Р 1 ° и Р
231
§ 5. Роль одновременной бистохастичности матриц
pb | a jj ра | 6
Отправляясь от Ь-представления, т.е. комплексных
амплитуд </>c(^)i определенных на спектре случайной величины Ь,
мы построили а-представление. Это естественная конструкция
продуцирует вероятностное правило Борна только тогда, когда
матрица Рь\а бистохастична. Нам нужно иметь симметричную
модель. Отправляясь от а-представления, т. е. от комплексных
амплитуд ipc(y), определенных на спектре случайной
величины а, мы хотим построить естественное b-представление. Обе
эти матрицы переходных вероятностей Р61а и Ра'6 должны быть
бистохастическими.
Теорема 5.1. Пусть матрица Рь1а является
бистохастической. Тогда контексты В\, В2 принадлежат & тогда
и только тогда, когда матрица Ра'ь является бистохасти-
Лемма 5.1. Матрицы переходных вероятностей Р6'а
и Ра16 являются бистохастическими тогда и только тогда,
когда имеет место симметричность, т. е.
Это эквивалентно тому, что случайные величины а и Ъ
являются равномерно распределенными, т.е. pa(ai) = pb(bi) =
4-1.2.
Эта лемма имеет важные физические следствия. Нормальное
(борновское) гильбертово представление контекстов может быть
построено только для пары взаимно дополнительных одинаково
распределенных случайных величин а и Ь.
Лемма 5.2. Пусть обе матрицы Рь'а и Ра16 являются
бистохастическими. Тогда
Предложение 5.1. Пусть обе матрицы переходных
вероятностей Р61а и Ра1ь бистохастические. Тогда
ческой.
p{bi\a,j) =p(aj \ bi), i,j = 1,2.
(5.1)
X(Bi\a,Bi) = 1.
(5.2)
(в,)(х) = б(ь,-х), xex,
и
(А,)(у) = 6(ц-у), yeY.

§ 6. Комплексные амплитуды вероятностей
233
6(B\{DUD2},C) =
2
= P(B(D{ U D2) I С) - ]Г Р(В | Я,-)Р( Л,-1 С) =
j=i
2
= £ P(D, I С)(Р(Д I DjC) - P(B I Dj)).
j=i
Заметим, что если 2) = {D\,D2} есть разбиение выборочного
пространства, то формула (6.3) совпадает с интерференционной
формулой полной вероятности (см. §2).
Для представления контекстов в случае многозначных
наблюдаемых будут использованы следующие комбинации
формул (6.1) и (6.3).
Лемма 6.2. Пусть выполнены условия леммы 6.1 и
значения P(BD\), P(CD\) и P(BD\C) строго положительны. Тогда
P(B(D{ U D2) | С) = Р(Б | DX)P{DX | С) + P(BD2 \ С) +
+ 2р(В | {DUD2}, С)л/Р(В | Dl)P(Dl | C)P(BD2 \ С), (6.5)
где
р(В | {D\, D2}, С) = [P(B(Dl U D2) I С) - Р(В \ D{)P(D{ \ С) -
- P(BD2 | С)] [2y/P(B\D{)P(D{\C)P(BD2\C) ] ~\
Предположим, что коэффициенты р и А ограничены
единицей. Тогда их можно представить в тригонометрической форме
Х(В | {D\, L>2}, С) = cos0(В | {Di, £>2}, С),
/x(J5 | {А, £>2}, С) = cos7(В1 {А, £>2}, С).
Подставляя эти выражения в (6.3) и (6.5), получаем
преобразование вероятностей в тригонометрическую форму. Из
леммы 6.2 имеем
Р{ВХ | С) = Р(ВХ(АХ U ... U Ап) | С) =
= Р(ВХ | А\)Р(А\ | С) + Р(ВХ(А2 U ... U Ап) | С) +
+ 2p(Bx\{AuA2U...UAn},C) х
х у/Р{Вх | Ai)P(Ai I С)Р(ВХ(А2 U ... U An) | С),

234
Гл. 10. Представление колмогоровской модели
где
р(Вх | {Ах, А2 U ... U An},С) = [Р(ВХ(АХ U... U Ап) \С) -
- Р(ВХ | А\)Р(А{ | С) - Р(ВХ(А2 U ... U An) | С)] х
2 д/Р(Вх I A!)P(Ai | С)Р(ВХ(А2 U ... U An) | С)
т-1
Предположим, что коэффициенты относительно малы для всех
х Е X: \/л(Вх | {А\, А2 U ... U Ап}, С)\ ^ 1. Тогда мы можем
представить эти коэффициенты как /i(Bx | {А\, А2 U ... U Лп}, С) =
= cos7(Bx | {А\, А2 U ... U Ап}у С). Таким образом, вероятность
Р(ВХ | С) = P(Bx(i4i U ... U Ап) | С) может быть представлена
как квадрат абсолютного значения комплексной амплитуды
tpc(x) = ipff(x) = ^P(Bx\Al)P(Al\C) +
+ е^сМ ^P(Bx(A2U...UAn)\C),
где фаза 7^ равна у(Вх \ {А\,А2 U ... U Ап}у С). Таким же путем
вероятность во втором слагаемом может быть представлена как
P(Bx(A2U...UAn)\C) =
= Р(ВХ | А2)Р(А2 | С) + Р(ВХ(А3 U ... U An) | С) х
х у/Р(Вх | А2)Р(А2 | С)Р(Вх(Аг U ... U An) \ С),
где
M(Bx I {4*. А3 U ... U Лп)}, С) = [Р(ВХ(А2 U ... U Ап) \ С) -
- Р(5Х | А2)Р(А2 | С) - Р(ВХ(А3 U ... U Лп) | С)] х
2 v/P(Bx | А2)Р(А2 | С)Р(ВХ(Л3 U ... U An) | С)
-1
Предполагая, что эти коэффициенты «статистического
отклонения» ограничены единицей, мы можем представить
вероятность как квадрат абсолютного значения комплексной
амплитуды
$\х) = ^/Р(ВХ\А2)Р(А2\С) +
+ е^сМ ч/Р(Дс(Л3и...иД1)|С),

§ 6. Комплексные амплитуды вероятностей
235
где 7^\х) = ± arccos/x(Bx | {А2, A3 U ... U Ап}, С). На j-м шаге
мы представим P(Bx(Aj U ... U Ап) \ С) как квадрат абсолютного
значения комплексной амплитуды
$\х) = y/P(Bx\Aj)P(Aj\C)
+
+ ^){х) ^/Р(В1(А,+1и...иЛп)|С),
где 7^ — фаза коэффициента
р{Вх | {A,, Aj+x U ... U An)},С) = [P(Bx(Aj U ... U Ап) \ С) -
- Р(ВХ | A^PiAj | С) - P(5,(Ai+1 U ... U Ап) | С)] х
х [2yJp(Bx | ^)Р(А,-1 С)Р(Вх(А^х U ... U An) | С) ] ~\
Предполагается, что на каждом шаге коэффициенты |/х|
ограничены единицей. На шаге j = п — 1 мы должны получить
представление для вероятности Р(Вх(Ап-х U Ап) \ С). Здесь уже
можно вообще исключить С-контекстуальность для Вх:
Р(Вх(Ап-х U An) | С) = Р(ВХ | i^.iJP^i | С) +
+ Р(ВХ | Ап)Р(Ап | С) + 2Х(ВХ | {Лп-!, Ап}) х
х х/Р(5х | Ап-х)Р(Ап-х | С)Р(ВХ | АП)Р(АП | С),
где коэффициент статистического отклонения Л определен в
(6.4). И если |Л| ограничено единицей, то мы можем представить
эту вероятность как квадрат абсолютного значения комплексной
амплитуды
^п_,)(х) = ^(ДПЛп-ОРИп-ИС) +
где 6с(х) = ± arccos Х(х \ {Ап-х»^п}> С). Имеем
= y/P(Bx(Aj^U...UAn)\C)e^c(x)t
аС Vх) — агё^с (х) = arccos-^—-,

236
Гл. 10. Представление колмогоровской модели
Mj = ^Р{ВХ\А,)Р{А,\С) +
+ ц(Вх | {Aj.Aj+i U ... U Ап},C)yJP(Bx(Aj+l U ... U Ап) | С),
^ = у/Р(Вх(^и...иАп)\С).
Наконец, имеем
(п—1)/ \ (п—1)/ \
ас (х) = &Т8<Рс (х) =
= arccos
1^Р(Вх(Ап^иАп)\С) L
>/P(£«l4.-i)P(4n-i|C) +
+ А(ВЖ | {Ап-иАп}, С)у/Р(Вх\Ап)Р(Ап\С)
Таким образом,
<рс(х) = s/P(Bx\Ai)P(Al\C) + МсЫ-«с^$\х) =
= У/Р(ВХ\А1)Р(А1\С) + е{№Ыу/Р(Вх\А2)Р(А2\С) +
+ e<#Hg>(x).
где
$\х) = -$\х) ~ о&(х), ${х) = $\х) + $\х) - *%\х).
Наконец, получаем
<рс{х) = £е№Му/Р(Вх\А,)Р{А1\С)
с Pq\x) = О (благодаря нашему специальному выбору
представления) и $\х) = /?^"0(х) + 0с(х).
Таким образом, индуктивно расщепляя многозначные
величины в двузначные, мы представили контекстуальные вероятности
комплексными амплитудами <рс{х)- Здесь правило Борна
справедливо.

§ 7. Представление контекстуальной динамики
237
Используя стандартные в этой работе обозначения р(х \ у) =
= Р{ВХ | Ау) и рьс(х) = Р(ВХ | С), рас{у) = Р(АУ | С), мы пишем
woo = Ee^v)(xV^(j/)p(x|y)-
У
В частности, для п = 3 имеем
<рс{х) = 0£(а,)р(;г|а,) + е^2)(х)^ра,(а2)р(х|а2) +
где
/#}(*) = 1§\х) - а{?(*). 43)(х) = 7<?>(х) + вс(х).
Заметим, что каждая фаза Pq\x) зависит от всех трех а-кон-
текстов А\, А2, A3. Заметим, что вероятности рьс{х) могут быть
представлены в виде
рьс(х) = \ч>с(х)\2 = Y,Pc(y)P(x\y) +
У
+ 2 £ cos [$2\х) - ^{х^рЪЫШУЫх I Ух)р{х | у») •
У\<У2
Далее мы можем следовать тем же путем, что и в случае
двузначных случайных величин (см. §§. 2, 3).
§ 7. Представление контекстуальной динамики
в виде дифференциального уравнения
в гильбертовом пространстве
Предполагается, что величины а и 6 эволюционируют со
временем: а = a(t,u;), 6 = b(t,u). Будем предполагать, что их
области значений Y и X не зависят от t. Каждая из величин
принимает два значения: X = {61,62}, Y = {си,02}. Будет
рассматриваться эволюция, удовлетворяющая ряду условий. Первое
из них
Т) (сохранение тригонометрического поведения). Множество
тригонометрических контекстов не зависит от t.

238
Гл. 10. Представление колмогоровской модели
При условии (Т), если в начальный момент времени to
коэффициент дополнительности |Л(6(*о) = x\a(to),C)\ < 1, то он все
время будет флуктуировать на отрезке [0, 1].
Для каждого t применим формализм контекстуального
квантования, развитый в предыдущих параграфах, любой
тригонометрический контекст С представим комплексной амплитудой
^(t, х) = фс&х) = ^ра£\ах)№)\<Цх\ах) +
+ е^КО l«№ y^(a2)pW |а(0(д | а2). (7.1)
Наблюдаемая a(t) представляется самосопряженным оператором
а(£), диагональным в базисе:
т . (, 4 w - «"■*> (^).
VvW »2 I «г)/ \-VW;b2la2)/
где p(t;x|y) = Р(6(<) = x\a(t) = у), 9c(t) = flgt)|e(0(bi) и е° =
= ef\ Заметим, что tfjf |a(t)(62) = ^(t)|a(t)(6,) + тт.
Далее описывается динамика волновой функции гр(Ь,х) при
следующих предположениях:
СВ) (сохранение о-вероятностей)
Pf\y)=P^\y), ye У;
СПВ) (сохранение переходных вероятностей)
p(t\х\у)= p{t0; х\у)=р(х\у).
При этих условиях
e?(t) = e?(*0), ф) = e^W-^^eg(«u)e
т.е.
</>(*) = tx?e?(t) + u§e§(t) = u?e?(t0) + e^'^ugegfo)),
где = yjpf0\aj), j = 1,2, и £c(Uo) = MO - M*o).
Рассмотрим унитарный оператор C/(Mo): Н —> Н, соответствующий
переходу от базиса еа(*о) к базису ea(t\). В первом базисе этот
оператор перехода имеет вид: U(t,t0) = diag(l,ei«c^). Таким
образом, мы получили следующую динамику в гильбертовом
пространстве Н:
4>(t) = U(t,t0m<)). (7.2)

§ 7. Представление контекстуальной динамики
239
Эта унитарная динамика похожа на динамику Шрёдингера.
Однако в общем случае унитарный оператор U(t,to) = U(t, to, С)
зависит от контекста С, т.е. от начального состояния ip(to):
U(t,to) = U(t,to,Ф(^о))- Таким образом, фактически (7.2)
имеет вид
Ф(Ь) = U(t, to, Фо)Фо> (7.3)
где для любого фо семейство [/(Мо^о) состоит из унитарных
операторов. Итак, в общем случае гильбертов образ
контекстуальной динамики описывается нелинейным уравнением.
Линейность эволюции обеспечивается следующим условием:
КН) (независимость приращения вероятностной фазы от кон-
текста)
£с(Мо) = М*) - М*о)
не зависит от С.
В этом случае унитарный оператор U(t,to) = diag(l,e^t,to^)
не зависит от контекста С, т. е. начального условия V>(*o)- Однако
даже в этом случае гильбертов образ контекстуальной
динамики не сводится к уравнению Шрёдингера. Чтобы получить это
уравнение, нужно наложить еще следующие условия:
а) непрерывность эволюции: (t,to) —► U(t,to) непрерывно;
б) эволюция детерминистична:
Ф^'ЛоуФо) = ^(*;*ь^(*ь*о.^)).
где t0 < t\ ^ t и t/>(t;i0,t/>o) = U{t\to)^o\
в) эволюция инвариантна относительно временных
сдвигов: [/(i;t0) = {7(t-t0).
При этих условиях e h , где H: H —► Н —
самосопряженный оператор. Здесь h > О — некоторая константа,
задающая шкалу (например, постоянная Планка). Заметим, что
Н = diag(0,£), где Е = -к\вс^\ ~ fc(*o)1. Таким образом,
L t — to J
уравнение Шрёдингера соответствует контекстуальной эволюции
с линейной динамикой вероятностной фазы:
М*) = М«о)-| (t-to)-

Глава 11
ОБ ЭКСПЕРИМЕНТЕ
С КОГНИТИВНЫМИ СИСТЕМАМИ
ПО ПОИСКУ КВАНТОВОПОДОБНОЙ
СТАТИСТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ
В гл.10, §§3, 6 был предложен алгоритм представления
статистических данных о системе комплексными
вероятностными амплитудами (или, в абстрактной форме, нормированными
векторами гильбертова пространства). Мы делаем упор на
возможность квантовоподобного представления колмогоровских
вероятностей. Однако все формулы гл. 10 применимы и в более
общей ситуации, когда контекстуальные вероятности Р(Ь = х\С)
не обязательно определены в рамках модели Колмогорова.
Например, они могут определяться в рамках более общей частотной
теории вероятностей, предложенной фон Мизесом !), см. [10,
291, 292].
В настоящей главе мы применим алгоритм квантовоподобного
представления к когнитивным (мыслящим) системам.
§1.0 возможности квантовоподобного описания
ментальных процессов
Признание особой роли, которую средние значения
наблюдаемых должны играть в теории ментальных измерений, создает
впечатление, что квантовоподобные модели могут
использоваться и для описания ментальных состояний.
Главным экспериментальным последствием особого
квантового вероятностного поведения является интерференция
вероятностей, см. [13] и [192] для детального анализа. В классической
1) В подходе фон Мизеса вероятность с самого начала вводится как предел
относительно частот, когда число испытаний стремится к бесконечности.
Частоты рассматриваются для случайных последовательностей. Фон Мизес
называл эти последовательности коллективами. В подходе фон Мизеса возникают
некоторые проблемы с определением случайной последовательности, см. [10].

§1.0 возможности квантовоподобного описания
241
статистической физике вероятность события С = А или В, где А
и В альтернативны, равна сумме вероятностей. В квантовой
физике появляется дополнительное аддитивное условие, условие
интерференции.
Используя эту точку зрения на квантовую теорию, мы можем
использовать ее методы при описании измерений, проводимых
не только для элементарных частиц, но также и для других
систем, которые обладают квантовым вероятностным поведением,
см. [13, 175, 188, 198, 208, 27, 67-74, 82, 83, 105, ПО, 111,
129-133, 243, 253-262, 274]. Мы попытаемся сделать это для
ментальных измерений, см. также [7, 8]. Подчеркнем следующее.
Наша квантовоподобная ментальная модель не имеет
никакой связи с квантовыми редукционистскими моделями,
см. [48, 125, 126, 231, 275, 276, 281, 288, 248, 249], в которых
когнитивные процессы сведены к квантовым механическим
процессам в микромире!
В противоположность работам [48, 125, 126, 231, 275, 276,
281, 288, 248, 249] я считаю, что главной мотивацией
использования квантовоподобного формализма для ментальных
измерений является не редукция когнитивных систем (и, в частности,
мозга) к ансамблям элементарных частиц (которые описываются
квантовой механикой), а высокочувствительность когнитивных
систем как макроскопических информационных систем.
Замечание 1.1 (коллапс). В нашей модели квантовое
состояние является чисто математическим понятием, используемым
для описания довольно специального поведения плотности
вероятностей ансамблей систем, которые очень чувствительны к
изменениям, вызываемым взаимодействиями (включая внутренние
взаимодействия). Важно отметить, что, несмотря на наличие
в нашей модели «волновой функции» ф(х), мы не используем
квантовые логические модели мышления, см. Орлов [24]. В
модели Орлова мозг представляет собой суперпозицию нескольких
ментальных состояний, описываемых волновой функцией.
Коллапс волновой функции (внутреннее измерение) дает
реализацию одного конкретного ментального состояния. Это квантовый
логический процесс мышления. В нашей модели мы не
используем понятие коллапса волновой функции. Процесс мышления
(в противоположность квантовому логическому подходу) не
является серией внутренних измерений.

242
Гл. 11. Об эксперименте с когнитивными системами
Как уже отмечалось, одним из главных отличий квантовопо-
добной статистической теории является интерференция
вероятностей. Если такая интерференция обнаружится в измерениях
ментальных наблюдаемых, то такой результат можно будет
интерпретировать как довод в пользу использования
квантовоподобного формализма для описания ментальных измерений.
§ 2. Описание эксперимента по обнаружению
интерференции мыслей
Эксперимент по ментальной интерференции заключается в
следующем. Пусть а = ai,a2 и Ь = Ьь62 — Ава ментальных
наблюдаемых: а\ = «да», а2 = «нет», Ь\ = «да», 62 = «нет». Это
могут быть два различных вопроса или два различных типа
когнитивных проблем. Мы рассматриваем ансамбль е
когнитивных систем, обладающих одинаковым ментальным состоянием.
Затем мы проводим измерения а над элементами из е и получаем
вероятности по отношению к этому ансамблю:
а число результатов a,j
^ общее число элементов в е
Итак, — вероятность получить результат clj после измерения
над когнитивной системой, принадлежащей е. Аналогично
находим вероятности рь для 6-наблюдения. На следующем этапе мы
рассматриваем два ансамбля еь, j = 1,2, когнитивных систем,
имеющих состояния, соответствующие значениям b = bj, j = 1,2.
Ансамбли ebj могут быть приготовлены с помощью фильтрации
относительно значений (ответов) b = fy, j — 1,2.
Теперь рассмотрим а-измерения для элементов ансамблей еь,
j = 1,2. Получаем вероятности
а 16 число результатов a,j для ансамбля е\
^ общее число элементов в ансамбле е\
Так, например, вероятность р0^ получена как частота
ответа а = а\ = «да» в ансамбле когнитивных систем, которые
уже ответили Ь = Ь2 = «нет». Классическая теория вероятностей
утверждает, что все эти вероятности должны быть связаны так
называемой формулой полной вероятности, см. [23]:
а Ь о>\Ь . h a\b ir»
Vj =V\P\j +Р2Р2} • J = 1.2.

§ 3. Экспериментальное подтверждение
243
Однако если статистика является квантовоподобной, то мы
получаем квантовую формулу полной вероятности:
Здесь Oj — фаза а-интерференции между состоянием мысли
в ансамбле е и ансамблях Sj.
В эксперименте по проверке квантовой статистики для
ментальной теории мы вычисляем
Если cos 0j Ф О, то мы получим сильнейший аргумент в
подтверждение квантовоподобного поведения когнитивных систем.
В этом случае, начав с (вычисленного экспериментально) cos0j,
мы перейдем к формализму гильбертова пространства, см. гл. 10.
Мы можем ввести «ментальную волновую функцию» ф (или
квантовоподобное ментальное состояние), принадлежащую
гильбертову пространству. Напомним, что в нашем подходе
«ментальная волновая функция» ф описывает
подготовительный процесс (отбор), используемый для подбора ансамбля
индивидуумов к ментальному измерению. Следующим шагом
является нахождение операторов ментальной энергии и описание
уравнения Шрёдингера эволюции ментального состояния.
§ 3. Экспериментальное подтверждение
Эксперимент по проверке квантовоподобного поведения
когнитивных систем, описанный в этой главе, был недавно
проведен группой Элио Конте в Центре по изучению радиоактивности
университета г. Бари, Италия. Экспериментальные результаты,
полученные этой группой, подтвердили гипотезу о квантовопо-
добном вероятностном поведении когнитивных систем [79].
Нас очень интересует проведение подобных экспериментов
в различных областях когнитивной психологии для выяснения
квантовоподобного поведения когнитивных систем, в частности
людей.
Pj=P\P\j + P§P2j +2yP\P2P\j P2j СОБвЗ'
COS 6j —
_ Pj PlPlj P2P23

244
Гл. 11. Об эксперименте с когнитивными системами
§ 4. Гиперболическая интерференция мысли
Фактически общая контекстуальная теория вероятностей
предсказывает не только квантовоподобную тригонометрическую
(cos в) интерференцию вероятностей, но также и
гиперболическую (ch0) интерференцию вероятностей. В принципе,
статистические данные, полученные в экспериментах с когнитивными
системами, могут дать гиперболическую (chO) интерференцию
вероятностей.
В общем случае величины
могут быть больше единицы (см., например, [13]). В этом случае
мы можем ввести гиперболический фазовый параметр в £ [0, оо),
В этом случае мы не можем перейти к обычному формализму
гильбертова пространства. Тем не менее можно воспользоваться
аналогом комплексного расширения гильбертова пространства
для вероятностей. Вероятности статистических ансамблей
когнитивных систем (подобранных некоторой процедурой отбора)
могут быть представлены в гиперболическом гильбертовом
пространстве — модуле над двухмерной клиффордовой алгеброй,
см. [13]. В настоящее время нет экспериментальных
подтверждений гиперболической интерференции для когнитивных систем.
Pj -P\P\j -P2P2J
такой что

Глава 12
КВАНТОВО-ПСИХОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ФОНДОВОГО РЫНКА
Я надеюсь, что эта книга убедила читателя, что XXI век
принадлежит приложениям квантовой теории за пределами
микромира. Квантовая вероятность и информация не обязательно
должны быть связаны с микросистемами. Математический
аппарат квантовой механики может применяться во многих областях
науки. В частности, О. А. Шустова 0 применила методы
квантовой механики к описанию финансового рынка, см. [69-74].
В этой главе мы излагаем эту квантовоподобную финансовую
модель. Она основана на реалистической квантовой модели —
механике Дэвида Бома (обобщающей теорию ведущей волны
Луи де Бройля).
Мы используем методы классической и квантовой механики
для математического моделирования динамики цен финансового
рынка. На фазовом пространстве с переменными — цена и
изменение цены — развивается формализм Гамильтона для описания
классического процесса ценовой эволюции. Классическая
динамика цен определяется «производственными» факторами
(природные ресурсы, промышленное производство, сфера
обслуживания и т.д.). Эти факторы, так же как и «производственные»
отношения между агентами на финансовом рынке,
математически описываются с помощью «классического»
финансового потенциала. Однако на реальном финансовом рынке
«производственные» факторы не являются единственным
источником изменения цен. Обмен информацией и психология
рынка также играют важную (а иногда и определяющую) роль
в динамике цен. Мы предлагаем описать эти «информационные»
финансовые факторы, используя (бомовскую) модель квантовой
механики с ведущей волной. Теория финансовых ментальных
(или психологических) волн развивается с целью учета психоло-
1) Международный центр математического моделирования в физике,
когнитивных науках и экономике, университет г. Векшё, Швеция.

246
Гл. 12. Квантово-психологическая модель фондового рынка
гии рынка. Реальные траектории цен определяются с помощью
финансового аналога второго закона Ньютона двумя
финансовыми потенциалами: «классическим» («производственные» факторы
рынка) и «квантовым» («информационные» факторы рынка).
§ 1. Является ли современный финансовый рынок
классической информационной системой
Начиная с 70-х годов интенсивный обмен информацией в
финансовом мире становится одним из основных источников,
определяющих динамику цен. Электронная купля-продажа (ставшая
важнейшей составляющей главных фондовых обменов)
порождает огромный поток информации между финансовыми агентами
(включая валютный рынок). Финансовые контракты
заключаются в новой шкале времени, существенно отличающейся от
старой «производственной» временной шкалы, которая определялась
развитием экономической основы финансового рынка. Цены, по
которым финансовые агенты желают купить (квоты
предложения) или продать (квоты спроса) финансовый актив, больше не
определяются развитием промышленности, торговли, сферы
обслуживания, ситуацией на рынке природных ресурсов и т.д.
Информационные (ментальные, рыночно-психологические) факторы
играют очень важную (а в некоторых случаях и определяющую)
роль в динамике цен. Финансовые агенты, осуществляющие
финансовые операции, представляют собой огромную коллективную
мыслительную систему. Грубо говоря, на «классическую»
динамику цен, определяемую «производственными» экономическими
факторами, постоянно действуют дополнительные финансовые
силы, ментальные силы (или рыночно-психологические силы),
см. книгу Дж. Сороса [279].
К сожалению, в настоящее время не существует
математических моделей ментальных процессов, которые могли бы
дать адекватное описание процессов мышления высокого
уровня (в частности, сознания), см. [19, 267]. Конечно, некоторые
простейшие мыслительные операции могут быть
смоделированы с помощью нейронных сетей, см. [103]. Однако высокий
уровень мыслительной организации, видимо, не может быть
смоделирован таким образом, см. [12, 267, 143]. Мы считаем,
что существует некоторый аналог между процессами
мышления и квантовыми процессами. В частности, были предприняты
попытки использования модели квантовой механики с ведущей

§ /. Является ли финансовый рынок классической системой 247
волной (механики Бома) при моделировании процессов
мышления, см. [267, 12, 143].
Наша «квантовая» модель финансовых процессов была
мотивирована исследованиями Дж. Сороса [279], рассматривавшего
финансовый рынок как сложную мыслительную систему. Такой
подход он назвал теорией рефлексивности. В этой теории
существует большое отличие между рынком, управляемым
только «производственными» экономическими факторами, и рынком,
на котором ментальные факторы играют определяющую роль
(они диктуют развитие «производственного» базиса, см. [279]).
Дж. Сорос верно заметил, что «нементальный» рынок
развивается благодаря классическим случайным флуктуациям. Но эти
флуктуации не дают адекватного описания ментального
рынка. Он предложил использовать аналогию с квантовой теорией.
Однако было замечено, что обычный квантовый формализм не
может быть применен к финансовому рынку, [279]. Поведение
финансовых агентов существенно отличается от поведения
элементарных частиц. Элементарные частицы ведут себя
стохастически в силу эффектов возмущения, порожденных измерениями.
Согласно Соросу, финансовые агенты на финансовом рынке
ведут себя стохастически в силу свободы выбора для каждого из
них. Сочетание огромного количества таких свобод выбора для
финансовых агентов порождает дополнительную стохастику на
финансовом рынке, которая не может быть сведена к
классическим случайным флуктуациям (порожденным нементальными
факторами). Здесь Дж. Сорос использовал стандартную (Гейзен-
берг, Бор, Дирак) точку зрения на квантовую стохастику. Однако
при бомовском подходе (который не является стандартным)
квантовая стохастика порождается дополнительным потенциалом,
квантовым потенциалом, возмущающим классические
траектории элементарных частиц. Такой подход позволяет применить
квантовый формализм к финансовому рынку. Мы также отметим,
что не так давно было показано, что фактически «квантовый»
формализм (вероятностный формализм в гильбертовом
пространстве) может быть применен к различным статистическим
явлениям вне микромира, см. гл. 10, 11.
Нам кажется, что квантовый финансовый подход дает новые
возможности для математического описания стохастики
финансового рынка по сравнению с классическим стохастическим
подходом, предложенным в докторской диссертации Башилье [43]
и развивавшимся более ста лет, [239, 278].

248 Гл. 12. Квантово-психологическая модель фондового рынка
Как уже отмечалось, модель квантовой механики с ведущей
волной не является стандартной. Более того, существует сильное
предубеждение против бомовского подхода. Нам бы не хотелось
обсуждать здесь корни этих проблем. Отметим лишь, что
некоторые положения бомовской механики, часто рассматриваемые
в физике как патологические, получают естественную
интерпретацию в нашей финансовой модели. Например, «существование»
траекторий квантовых частиц не имеет смысла со стандартной
точки зрения. Однако на финансовом рынке мы действительно
имеем корректно определенные траектории развития цен
финансового актива конкретного финансового агента. Бомовская
нелокальность является здесь только информационной (или
ментальной) нелокальностью на конфигурационном пространстве
цен. Посредством системы электронных коммуникаций каждый
финансовый агент информирован (практически немедленно) об
изменении цен, предлагаемых другими агентами. Наконец, мы
обращаем внимание на две (практически забытые) проблемы
теории ведущей волны, обсуждение которых было начато в [57].
Одна из них — это энергетический обмен между ведущей
волной и элементарной частицей. Согласно Бому и Хайли, должен
существовать ненулевой поток энергии, возникающий при
взаимодействии ведущей волны и элементарной частицы. Однако
величина этой энергии пренебрежимо мала 0. В рамках квантовой
механики это только предположение, которое не было доказано
экспериментально. Тем не менее в финансовой модели ведущей
волны такая энергия действительно присутствует в финансовом
процессе. Это энергия, которая используется в сферах
информационного обслуживания (в частности, в электронном обмене).
Данной энергией в самом деле можно пренебречь (в финансовом
эквиваленте) по сравнению с «финансовой энергией» активов,
присутствующих на рынке. Теперь обсудим другое
предположение Бома и Хайли, а именно предположение о сложности
внутреннего строения квантовых частиц 2). Это тоже всего лишь
предположение. Однако в нашей финансовой модели это очевид-
1) квантовое информационное поле также может обладать энергией.
Однако... этой энергией можно пренебречь по сравнению с энергией частицы,
которая ведется этой волной...» [57, с. 38].
2)«.. предполагается, что электрон, или любая другая элементарная
частица, имеет сложную и тонкую внутреннюю структуру ... Это предположение
противоречит общим положениям современной физики, которая утверждает,
что чем меньше части, на которые мы разбиваем материю, тем проще ее

§ 2. Классическая модель фазового пространства
249
ный факт: каждый финансовый агент представляет собой очень
сложную информационную систему, состоящую из группы людей
и компьютеров.
Нам бы хотелось, чтобы данная глава была доступна не
только физикам и математикам, но и математически
ориентированным экономистам. Поэтому мы попытаемся применять
достаточно простую математику.
§ 2. Классическая модель фазового пространства
Рассмотрим математическую модель, в которой п финансовых
агентов ai,...,an взаимодействуют и реагируют на внешнюю
экономическую (и политическую) информацию с целью
определения наилучшей цены продажи или покупки финансовых
активов. Рассмотрим ценовую систему координат. Пусть задано
конфигурационное пространство цен размерности п: Q = Rn,
q = (gi,...,gn). гДе 4j — иена, предлагаемая j-м финансовым
агентом. Здесь R — действительная прямая. Динамика цен
описывается траекторией q(t) = (q\ (£),..., qn{t)) в ценовом
пространстве Q.
Читателя может удивить, что мы собираемся использовать
всю действительную прямую R (а не положительную
полупрямую) для описания ценовой динамики финансового агента.
Совершенно ясно, что означает цена q — 1 доллар. Но что такое
цена q = -1 доллар? Мы используем следующее соглашение.
Если агент aj продает продукцию, то qj ^ 0, а если покупает,
то qj ^ 0.
В дальнейшем будет рассматриваться и другая
переменная — это переменная ценового изменения: Vj(t) = <jj(t) =
сматривать дискретную шкалу времени Д£,2Д£,... И нам
необходимо использовать дискретную переменную ценового
изменения Zj(t) = qj(t + At) - qj{t).
Обозначим пространство ценовых изменений символом V
(=Rn), v = (v\}..., vn). Так же как и в классической физике,
введем фазовое пространство Q х V = R2n. Назовем его фазо-
поведение. Но наша интерпретация квантовой теории показывает, что природа
намного сложнее и загадочнее, чем мы ранее представляли...» [57, с. 37].
= lim
At-+0
q3(t + bt)-qj{t)
At
. В реальных моделях мы должны рас-

250
Гл. 12. Квантово-психологическая модель фондового рынка
вым ценовым пространством. А пару (q, v) = (цена, изменение
цены) назовем состоянием финансового рынка 1).
Введем аналог га массы как число пунктов (позиций),
которые финансовый агент предлагает на рынке2). Назовем т
финансовой массой. Таким образом, каждый агент обладает своей
финансовой массой mj. Общая цена его предложения на рынке
равна Tj = rrijqj — капитализация рынка.
Мы также введем понятие финансовой энергии торговли как
функции Н: Q х V —► R. По аналогии с классической
механикой 3) можно рассматривать (по крайней мере при
математическом моделировании) финансовую энергию в виде
j=\
1 71
Здесь К = - ^2 mjv<j ~~ кинетическая финансовая энергия,
a V(q\,... ,qn) — потенциальная финансовая энергия, rrij —
финансовая масса j-ro финансового агента.
Кинетическая финансовая энергия отражает попытки
финансовых агентов повлиять на изменение цен: увеличение ценовых
изменений влечет увеличение кинетической финансовой энергии.
Финансовая масса тоже играет важную роль: если один агент, а\,
продает 1 пункт, а другой агент, продает 2 пункта, и они
оба одинаково влияют на изменение цены, то агент а2 обладает
вдвое большей кинетической финансовой энергией, чем агент а\.
Заметим, что кинетическая финансовая энергия не зависит от
абсолютных величин цен (только от ценовых изменений).
Отметим также, что большая кинетическая финансовая энергия
влечет быстрые изменения финансовой ситуации на рынке. Однако
кинетическая финансовая энергия не описывает тенденцию этих
изменений. Это может быть как быстрый экономический рост,
так и упадок.
1) Позднее мы рассмотрим «квантовые» состояния финансового рынка.
Состояние (q,v) является классическим.
2) «Число» — это обычное натуральное число m = 0,1,..., так как даже
в торговле «непрерывными продуктами» (такими как масло или газ) мы
используем дискретные единицы, например тонну или баррель.
3) Почему нет? В принципе, не так много различий между движениями
в «физическом пространстве» и «ценовом пространстве».

§ 2. Классическая модель фазового пространства
251
Потенциальная финансовая энергия V описывает
взаимодействия между финансовыми агентами ai,...,an и внешними
экономическими факторами. Например, рассмотрим простейший
потенциал взаимодействия
п
V(q\,...,qn) = 5^(ф-ф)2-
i,j=l
Разность \qi — qj\ между ценами агентов а* и aj
является важнейшим условием арбитража. Поэтому описание
взаимодействий между различными финансовыми агентами
посредством потенциальной финансовой энергии является достаточно
простым. Какова роль внешних факторов? Это очень
сложная проблема. В некотором смысле V описывает (если забыть
о взаимодействии между агентами ai,...,an) реакцию наших
финансовых агентов на внешние факторы. Имеет место большое
разнообразие таких факторов, как экономических, так и
политических. Допустим, к примеру, что мы изучаем рынок
автомобилей. Тогда ai,...,an — это автомобильные агенты (по покупке
и продаже). Потенциальная финансовая энергия зависит,
например, от цены на бензин (что в свою очередь влияет на цену
автомобиля); в частности, потенциальная финансовая энергия
зависит от политических факторов, например вероятности войны
на Ближнем Востоке.
Невозможно учесть все условия, влияющие на рынок, будь
то экономические или какие-то другие. Поэтому, используя
конкретный потенциал V(q), мы рассматриваем довольно
идеализированную модель финансового процесса. Тем не менее этот
подход стандартен для физических моделей, где мы также
рассматриваем идеализированные математические модели реальных
физических процессов.
Для описания «классической» динамики цен естественно
использовать динамику Гамильтона на фазовом ценовом
пространстве. Как и для материальных тел в классической механике,
введем новую переменную р = mv — ценовой импульс. Вместо
вектора ценового изменения v = (i>i,..., vn) рассмотрим вектор
ценового импульса р = (рь... ,pn)> Pj = mjVj- Пространство
ценовых импульсов обозначим символом Р. Пространство Q х Р
также назовем фазовым ценовым пространством. Уравнения дви-

252
Гл. 12. Квантово-психологическая модель фондового рынка
жения Гамильтона на фазовом пространстве имеют вид
Яз = ^ Ъ = -да-> J = l,-,n. (2.2)
Также необходимо задать начальные условия
Qj(0) = QjO' Pj(0) = PjO-
Если финансовая энергия имеет вид (2.1), т.е.
j=\ 3
то уравнения Гамильтона выглядят следующим образом:
qj = — = Vj, Pj = --x--
Последнее уравнение можно переписать в виде
dV
J J dqj
Величину у At) = lim -r ll-L естественно назвать
J JW д—о Д*
ценовым ускорением (изменение ценового изменения). Величина
fj(q) = — ^— называется (потенциальной) финансовой силой.
Мы получили финансовый вариант второго закона Ньютона:
ту = /. (2.3)
Произведение финансовой массы на ценовое ускорение
равно финансовой силе.
Фактически эволюция Гамильтона определяется следующим
фундаментальным свойством финансовой энергии: финансовая
энергия постоянна в процессе эволюции Гамильтона:
H{qx(t),...,qn{t),px{t),...,pn(t)) =
= H(q{ (0),..., 9n(0), pi (0),...,pn(0)) = const.
Мы не ограничиваемся рассмотрением финансовой энергии
вида (2.1). Во-первых, внешние (т.е. экономические) условия,
так же как и характер взаимодействий между финансовыми
агентами, зависят от времени. То есть необходимо учесть
зависимость потенциала от времени: V = V(t,q). Более того,
предположение, что финансовый потенциал зависит только от це-

§ 2. Классическая модель фазового пространства
253
ны, V = V(t,q), неверно для современного финансового рынка.
Финансовые агенты обладают полной информацией о ценовых
изменениях. И эта информация учитывается агентами при
арбитражных действиях. Поэтому есть смысл рассматривать
потенциал, который зависит не только от цены, но и от ценовых
изменений: V = V{t, q, v), или, в рамках гамильтонова
формализма: V = V(t, q,p). В этом случае финансовая сила не
является потенциальной. Следовательно, финансовый вариант второго
закона Ньютона удобнее рассматривать для общих финансовых
сил: mv = f(tyq,p).
Замечание 2.1 (о форме кинетической финансовой энергии).
Мы заимствовали форму кинетической финансовой энергии из
классической механики для материальных объектов. Может
оказаться, что эта форма неадекватна реальному финансовому
рынку. Поэтому, видимо, лучше рассматривать предлагаемое
представление кинетической финансовой энергии только как основу
для математического моделирования (и параллельно искать
другие варианты).
Пример 2.1 («свободный агент»). Пусть п = 1 и V = 0. Здесь
получаем: р = 0 или p(t) = ро» а Q — — = Щ- Таким образом,
q[t) = qo + vot- Пусть vq > 0. Тогда, если отсутствует
конкуренция и внешними (экономическими и политическими) факторами
можно пренебречь, то финансовый агент будет линейно
повышать цену. И это естественно 0.
Теперь рассмотрим ситуацию, когда г;о < 0. В этом случае
финансовый агент будет линейно снижать цену. Пусть в момент
времени t = to он (на основе некоторой информации) решает
снижать цену и после этого не получает никакой информации об
экономической и финансовой ситуации. Поэтому он будет
продолжать понижать ее. Конечно, это довольно идеализированный
пример. Не существует абсолютно изолированного агента.
Любому агенту необходим партнер для арбитража, и, следовательно,
он может использовать информацию, основанную на поведении
этого партнера.
1) Если рынок имеет очень большую емкость. Однако бесконечная емкость
рынка ведет к условию V = 0: отсутствию внешнего влияния.

254
Гл. 12. Квантово-психологическая модель фондового рынка
§ 3. «Классическая» модель Гамильтона динамики цен
и фондового рынка
Модель Гамильтона динамики цен на фазовом пространстве
может быть полезна для описания рынка, который существенно
зависит от «производственных» экономических факторов:
природных ресурсов, объема промышленного производства,
трудовых ресурсов и т. д. В принципе, можно даже использовать такую
модель и в плановой экономике: если вводить различные
потенциалы V(q\y..., gn), то можно регулировать плановый «рынок».
Тем не менее создается впечатление, что классическая динамика
цен неадекватна финансовому рынку. Да, «производственные»
экономические факторы играют важную роль в формировании
фондовых цен. Но совершенно ясно, что фондовый рынок
основывается не только на этих «производственных» факторах.
Существуют и другие факторы, «информационные», которые играют
важную, а иногда даже определяющую роль в формировании
цен на финансовом рынке. Мы не можем точно описать все эти
«информационные» факторы. Но мы можем говорить о рыночной
психологии. Эти психологические факторы становятся все более
важными из-за быстрых информационных изменений,
происходящих благодаря бурному развитию современных финансовых
компьютерных систем.
Пренебрежимо малые количества информации (благодаря
быстрому изменению) могут приводить к резким изменениям
цен на финансовом рынке. Можно говорить о финансовых
(психологических) волнах, которые постоянно присутствуют на
финансовом рынке. Иногда эти волны порождают
неконтролируемые изменения цен, что отражается на всем финансовом рынке
(финансовый кризис). Конечно, финансовые волны зависят от
«производственных» экономических факторов. Однако эти
факторы не играют решающей роли в формировании финансовых
волн. Финансовые волны — это просто волны информации 0.
Мы могли бы сравнить поведение финансового рынка с
поведением гигантского корабля, управляемого радиосигналом.
Радиосигнал с пренебрежимо малой физической энергией может
существенно изменять (благодаря информации, содержащейся
в этом сигнале) движение этого корабля. Если мы не будем
0 Можно говорить о психологических волнах или даже коллективном
сознании финансовых агентов.

§ 4. Финансовые ведущие волны
255
обращать внимания на радиосигнал (например, вообще не будем
знать о его существовании), то будем сбиты с толку странным
поведением корабля. Он способен менять направление своего
движения без каких-либо «производственных» причин (погоды,
места назначения, технического состояния его оборудования).
Однако если нам известно о существовании радиомониторинга,
то мы можем отыскать информацию, посылаемую по радио. То
есть в этом случае мы обладаем мощным инструментом для
предсказания траектории корабля. Данный пример о
радиомониторинге корабля был взят из книги Д. Бома и Б. Хайли [57]
о квантовой теории ведущей волны (или бомовской квантовой
механике).
§ 4. Финансовые ведущие волны
В соответствии с бомовской интерпретацией квантовой
механики, квантовая система состоит из материального тела (т. е.
элементарной частицы) и ведущей волны. Причем волна
управляет данным телом.
Если мы рассматриваем ведущую волну как физическое поле,
то видим, что это довольно странное поле. Оно абсолютно
непохоже на другие физические поля, например на
электромагнитное поле, которое обладает физической энергией. Существуют
и другие патологические особенности поля, соответствующего
ведущей волне. В частности, сила, которой обладает поле
ведущей волны, не зависит от амплитуды волны. Следовательно, как
маленькие, так и большие волны одинаково влияют на изменение
траектории элементарной частицы. Исходя из характера ведущей
волны мы заключаем, что данная волна является волной
информации (активной информации). Значит, поле ведущей волны не
описывает распространение энергии в физическом пространстве-
времени, а описывает распространение информации. Ведущая
волна больше похожа на радиосигнал, посылаемый кораблем.
Конечно, это только сравнение (так как радиосигнал связан
с обычным физическим полем, а именно с электромагнитным
полем). Более точным является сравнение ведущей волны с
информацией, связанной с радиосигналом.
Заметим, что интерпретация квантовой механики на основе
ведущей волны не является стандартной. Как уже отмечалось,
существует ряд веских аргументов против бомовского квантового
формализма.

256
Гл. 12. Квантово-психологическая модель фондового рынка
1. Бомовская теория дает возможность математически
описывать траекторию q(t) элементарной частицы. Однако в
соответствии со стандартным квантовым формализмом такой траектории
не существует.
2. Бомовская теория нелокальна, а именно в поле ведущей
волны одна частица «чувствует» другую на большом расстоянии
(без какого-либо изменения физической энергии).
3. Так как ведущая волна не обладает физической энергией,
то она не является физическим полем, а значит, и
элементом физической реальности. И представляется нецелесообразным
изучать структуру, не имеющую отношения к физической
реальности.
Рассмотрим аргументы 1 и 2. Оказывается, что данные
недостатки бомовской теории становятся ее преимуществами в
приложениях к финансовому рынку. А рассматривая аргумент 3,
отметим, что Бом и Хайли [57] и Хайли и Пилкканен [143] уже
обсуждали возможность интерпретировать поле ведущей волны
как одну из разновидностей информационного поля. Эта
информационная интерпретация была углублена в работе автора [12],
где рассматривались когнитивные модели ведущей волны. В этих
моделях поле ведущей волны является чисто информационным
полем. Оно даже не определено на физическом вещественном
пространстве R3, а только на информационном пространстве
человеческих идей [12]. В работе [12] поле ведущей волны
описывает сознание человека или группы людей. Фактически,
предлагаемую модель ведущей волны финансового рынка можно
рассматривать как конкретное приложение общей теории [12]
поля сознания (финансовое сознание).
Наше основное предположение заключается в том, что
финансовые агенты на современном финансовом рынке являются
не просто «классическими» финансовыми агентами. Их действия
описываются не только «классическим» потенциалом V(t,q\,...
• »9п.Рь ••• >Рп)> но и дополнительным информационным (или
психологическим) потенциалом, порожденным финансовой
ведущей волной.
Следовательно, для описания реальных траекторий цен мы
не можем использовать классическую финансовую динамику
(формализм Гамильтона) на финансовом фазовом пространстве.
Нам необходимо учитывать информационное (психологическое)
возмущение уравнений Гамильтона для цены и ценового
изменения. Для математического описания такой модели удобно ввести

§ 4. Финансовые ведущие волны
257
понятие финансовой ведущей волны, которая активно управляет
каждым финансовым агентом на финансовом рынке.
Читатель может спросить: «Где определено такое финансовое
поле?». В принципе, можно рассмотреть модель, в которой такое
поле определено на физическом пространстве (поверхности
Земли с сингулярностями в Нью-Йорке, Токио, Лондоне, Париже,
Франкфурте, и т.д.). Но мы при моделировании будем
использовать информационное пространство, а именно ценовое
пространство Q 0. Таким образом, финансовую ведущую волну
математически можно описать функцией (р: Q —> С, где С —
множество комплексных чисел. Она отображает ценовую
конфигурацию q = (gi,..., qn) для п финансовых агентов а\,..., ап
в комплексное число ip(q) — амплитуду ценовой конфигурации.
В некотором смысле <p{q) описывает психологическое влияние
конфигурационной цены q на агентов. Читатель может быть
удивлен появлением комплексных чисел С. Но использование
этих чисел — это просто математический прием, который
позволяет математически описывать динамику финансовой ведущей
волны. Подчеркнем две важные особенности модели финансовой
ведущей волны.
1. Все финансовые агенты взаимосвязанны на финансовом
уровне. Формализм теории ведущей волны гласит, что если
функция (p(q\,..., qn) не факторизована, т. е.
V(9i.---.9n)^ v(ffi),.-.,v(9n),
то, изменяя цену qj, финансовый агент а{ автоматически
меняет поведение всех других агентов aj, j ф i. В то же время
«производственный» экономический потенциал V(q\,.,qn)
может быть полностью локальным: экономические условия для
удаленных агентов могут быть независимыми. Например, V(q\,...
• • •. Qn) = У\ + • • • + Яп и ai»• • •»ап экономически независимы.
1) Мы советуем читателю не слишком сосредотачиваться на идее
физического пространства как чего-то действительно реального. Эта старая идея
(предложенная Ньютоном и Кантом) абсолютного физического пространства,
основанного на евклидовой геометрии, была существенно деформирована
благодаря открытиям неевклидовой геометрии Лобачевского, общей теории
относительности и квантовой теории. В последней даже обсуждается проблема
«смерти физической реальности». В любом случае, если читатель не может
отказаться от физического пространства, то он может представить поле
финансовой ведущей волны как поле, охватывающее мышление агентов финансового
рынка и компьютеры, осуществляющие финансовые сделки.
9 А. Ю. Хренников

258
Гл. 12. Квантово-психологическая модель фондового рынка
Здесь уравнения Гамильтона при отсутствии финансовой
ведущей волны имеют вид: <jj = Pj, Pj = —2qj, j = 1,2,... , п. Таким
образом, «классическая» траектория цены qj(t) агента aj не
зависит от динамики цен других агентов а*, г ф j. Однако, если,
например,
¥>(9i..-..9n) = cei(9lft+-+9n-l9n)e"^+-+*),
где с Е С — некоторая нормировочная константа, то финансовое
поведение агентов на финансовом рынке нелокально (см.
предыдущие рассуждения). То есть каждый финансовый агент будет
немедленно реагировать на изменение цен другими агентами,
несмотря на стабильную внутреннюю экономическую ситуацию.
2. Действия финансовых агентов aj не зависят от амплитуды
финансовой ведущей волны: финансовые волны </?, 2у>, 100000<£
порождают одинаковую реакцию агентов aj. Такое поведение
финансовых агентов на финансовом рынке довольно естественно
(если отождествить финансовую ведущую волну с
информационной волной, волной финансовой информации). Амплитуда
информационного сигнала не играет большой роли в информационном
изменении 1). Самое важное — это контекст такого сигнала.
Контекст, полученный из формы сигнала, вид функции финансовой
ведущей волны.
§ 5. Динамика цен, регулируемая финансовой
ведущей волной
На самом деле, нам нет необходимости развивать новый
математический формализм. Достаточно применить стандартный
формализм ведущей волны (который был разработан Д. Бомом,
для элементарных частиц) к агентам финансового рынка.
Основной постулат теории ведущей волны заключается в том, что
ведущая волна (поле) <£>(<7i,... ,qn) порождает новый (квантовый)
потенциал U(q\,... ,qn), что в свою очередь приводит к
изменению классических уравнений движения. Модифицированное
уравнение Ньютона имеет вид
. - f dV dU
P = f + g, где / = -^. 8=-Щ'
1) Неважно, получил ли финансовый агент некоторую информацию,
касающуюся рынка, одновременно из тысяч газет, радио и телеканалов или
в приватной беседе с другим агентом или политиком.

§ 5. Динамика цен, регулируемая финансовой ведущей волной 259
Назовем новую финансовую силу g финансовой ментальной
силой.
Эта сила g(q\,..., qn) определяет вид коллективного сознания
финансового рынка. Безусловно, g зависит от экономических
и других «производственных» факторов, описываемых
финансовым потенциалом V(q\,... ,qn). Но это не прямая зависимость.
В принципе, финансовая ведущая волна (р может порождать
ненулевую финансовую ментальную силу для нулевого
финансового потенциала, V = 0. Поэтому условие V = 0 не влечет
U = 0. Для полноты описания психологии рынка недостаточно
только экономических факторов. Финансовые (психологические)
волны информации появляются не только из-за каких-то
изменений реальной экономической ситуации. Это смесь ментальных
и экономических волн. Ментальные финансовые волны могут
оказывать большое влияние на финансовый рынок даже при
отсутствии экономических волн.
Используя стандартный формализм ведущей волны, мы
получаем следующее правило для вычисления финансовой
ментальной силы.
Представим финансовую ведущую волну (p(q) в виде
<p(q) = R(q)eiS(<\
где R(q) = \<p{q)\ — амплитуда волны (p(q) (абсолютное значение
комплексного числа с = <p{q)), a S(q) — фаза <p(q) (аргумент
комплексного числа с = <p(q)). Тогда финансовый ментальный
потенциал можно вычислить как
2=1 ^%
а финансовую ментальную силу:
Из этой формулы видно, что сильное финансовое воздействие
оказывают финансовые волны, обладающие существенными
изменениями амплитуд.
Пример 5.1 (финансовые волны с малым изменением
амплитуд не оказывают эффекта). Пусть R = const. Тогда финансовая
ментальная сила g = 0. Так как R = const, то j-й финансовый
агент не может оказать влияния на коллективное рыночное
сознание изменением своей цены qj. Постоянное информационное
9*

260
Гл. 12. Квантово-психологическая модель фондового рынка
поле не вызывает никаких психологических финансовых
эффектов. Как мы уже отмечали, абсолютное значение этой постоянной
не играет никакой роли. Волны с постоянной амплитудой R = 1,
так же как и с R = 10100, не вызывают никакого финансового
эффекта.
Пусть R(q) = cq, с > 0. Это линейная функция; изменение
небольшое. В результате g=0. Финансовых ментальных
эффектов нет.
Пример 5.2 (последовательные спекуляции). Пусть R(q) =
2
= c(q2 + d), с, d > 0. Тогда U(q) = —« (не зависит от ампли-
4а q+d
туды с!) и g(q) = п——«• Квадратичная функция изменяется
(я + dy
намного сильнее, чем линейная, и поэтому такая финансовая
ведущая волна порождает нетривиальную финансовую ментальную
силу.
Проанализируем финансовые ситуации, возникающие под
действием такой силы для финансовых агентов, продающих
опционы. Пусть q > 0, g < 0. Финансовая ментальная сила g
заставляет финансового агента а понижать цену. Рассмотрим
случай низких цен, g{q) и —4q/d2. Если финансовый агент а
повышает свою цену для опциона q, то негативная реакция
финансовой ментальной силы становится все сильнее и сильнее.
Финансовый рынок давит на него, заставляя остановить повышение
цены q. Теперь рассмотрим случай высоких цен, g(q) « — 4/q3.
Если агенту а удастся достичь таких значений цен (несмотря
на негативное давление финансового рынка для относительно
низких д), то он почувствует ослабление негативного давления
финансового рынка. Данная модель хорошо объясняет
последовательное спекулятивное поведение на финансовом рынке.
Пусть R(q) = c{q4 + Ь), с, 6 > 0. Тогда g(q) = - j*"4
В этом случае поведение финансового агента а более сложное.
Рассмотрим случай q ^ 0. Пусть d = \/b. Если цена q
изменяется от q = 0 до q = d, то финансовый агент вынужден (под
действием финансовой ментальной силы g(q)) повысить цену.
Цена q = d является критической в его финансовой активности.
Под действием психологических факторов (косвенно основанных
на информации о мировом финансовом рынке) он понимает, что
продолжать повышение цены опасно. Начиная с q = d у него
появляется психологический стимул понизить цену.

§ 5. Динамика цен, регулируемая финансовой ведущей волной 261
Финансовые ведущие волны tp(q) с амплитудами R(q),
которые являются многочленами более высокого порядка, могут
иметь очень сложное поведение. Интервал [0, оо) разбивается на
множество интервалов О < d\ < d2 < ... < dn < оо, таких что на
каждом ценовом уровне q = dj финансовый агент меняет свое
отношение к повышению или понижению цены.
Мы рассмотрели одномерную модель. Но в действительности,
нам необходимы модели большей размерности. Финансовая
ведущая волна ip(q\,..., qn) на таком ценовом пространстве Q
порождает разбиение на большое число областей Q = 0\ U ... U 0#-
Каждая область Oj характеризуется фиксированным семейством
финансовых устремлений агентов на финансовом рынке.
Например, 0\\ а\ ведет кампанию повышения цены (и он продает
опционы, q\ ^ 0), а2 ведет кампанию понижения цены (и он
покупает опционы, q2 ^ 0), ап ведет кампанию повышения
цены (и он продает опционы, qn ^ 0).
Проблема состоит только в том, чтобы описать финансовую
ведущую волну в зависимости от времени: ip(tyq). Воспользуемся
стандартной теорией ведущей волны, т. е. q) найдем как
решение уравнения Шрёдингера. Для энергии
с начальными условиями ^(0, q\,..., qn) = ^(91. • • •, qn)-
Таким образом, если мы знаем у?(0, q), то, используя
уравнение Шрёдингера, можем найти ведущую волну <p{t,q) в любой
момент времени t. А значит, можем вычислить соответствующий
ментальный потенциал U(t,q), ментальную силу g(tyq) и решить
уравнение Ньютона.
Это же уравнение мы будем использовать для нахождения
эволюции финансовой ведущей волны. Необходимо только
сделать одно замечание, а именно о роли постоянной h в
уравнении Шрёдингера. В квантовой механике (которая имеет дело
с микроскопическими объектами) Ь — это постоянная Дирака.
i=i 3
уравнение Шрёдингера имеет вид
7=1 3
+ V(q\,...,qn)4>{q\,
..<&») (5-1)

262
Гл. 12. Квантово-психологическая модель фондового рынка
Постоянная Планка h = Ъ-кТь играет фундаментальную роль.
Однако первоначально h появилась только как параметр числовой
шкалы для обмена энергии. Следовательно, в нашей
финансовой модели мы можем рассматривать h как параметр ценовой
шкалы, а именно как единицу измерения ценового изменения.
Мы не придаем постоянной h никакого специального
значения. Существует множество исследований по ценовым шкалам,
см. [239]. Наверно, можно на их основе попытаться присвоить
какое-то определенное значение постоянной h для современного
финансового рынка, т. е. ввести фундаментальную финансовую
постоянную. Однако нам кажется, что h = h(t) меняется в
зависимости от экономического развития.
Мы полагаем, что финансовое уравнение Шрёдингера
(аналог уравнения Шрёдингера) описывает изменение финансовой
ведущей волны на ценовом пространстве. В общем случае это
уравнение имеет вид
ih^(t,q) = HV(t,q), V(0,9) = V(9).
где Н — самосопряженный оператор, соответствующий
финансовой энергии, порожденной функцией H(q,p) на финансовом
фазовом пространстве. Здесь мы должны идти тем же путем, как
и в обычной квантовой теории для элементарных частиц.
В качестве математической основы модели мы
используем пространство L2(Q) квадратично интегрируемых функций
(р: Q —* С, где Q — конфигурационное ценовое пространство,
Q = Rn или некоторая область Q С R71:
Ы\2 = \\ф)\Чх<оо.
О
Здесь dx — это мера Лебега, равномерное вероятностное
распределение на конфигурационном ценовом пространстве.
Конечно, равномерное распределение dx не является каким-
то уникальным выбором нормировочной меры на
конфигурационном ценовом пространстве. Выбирая dx, мы полагаем, что
при отсутствии изменений ведущей волны, т. е. <р(х) = const,
все цены «имеют равные права». В общем случае это неверно.
Если нет финансовых (психологических) волн, то финансовый
рынок, тем не менее, сильно зависит от «производственных»
экономических условий. В общем случае выбор нормировочной
меры М должен удовлетворять реальным взаимосвязям между

§ 5. Динамика цен, регулируемая финансовой ведущей волной 263
ценами. Поэтому финансовая ведущая волна </? принадлежит
пространству L,2(Q,dM) квадратично интегрируемых функций
относительно некоторой меры М на конфигурационном ценовом
пространстве:
У\\2 = \\ф)\2с1М(х)<оо.
Q
В частности, в качестве М можно рассматривать меру Гаусса:
j (В~'(х-а),х-а)
dM{x)=(2„etB)^e~ 2 dX'
где В = (by )Jj=1 — ковариационная матрица и a = (а\,..., ап) —
вектор средних значений. Параметры (by) и а определяются
«производственными» экономическими факторами. В частности,
by — это ковариация между ценами финансовых агентов а* и clj.
Матрица В симметрична, т.е. by = bj{. Число ctj — среднее
значение цен qj, olj = Tjj, предлагаемых агентом a,j. Мера М
описывает классические случайные флуктуации на финансовом рынке,
которые не относятся к «квантовым» эффектам. Такие эффекты
описываются в нашей модели финансовой ведущей волной. Если
влияние этой волны очень мало, то мы можем использовать
классические вероятностные модели; в частности, основанные на
гауссовом распределении. Гауссова модель для ценовых
флуктуации была первой финансовой вероятностной моделью, см. Баши-
лье [43]. Фактически, Башилье описал динамику цен с помощью
броуновского движения. Поэтому вполне естественно
рассматривать гауссово распределение ценовых изменений. В связи с этим
будет полезным изучить импульсное представление для теории
ведущей волны. Вместо финансовых волн на конфигурационном
финансовом пространстве Q мы можем рассмотреть финансовые
волны (р: Р —> С на импульсном пространстве. Напомним, что
импульс р = mv, где v — скорость, описывает ценовые
изменения. Таким образом, следуя Башелье, нам необходимо
рассмотреть представление Гаусса, (р € L2(P, dM), где Р — пространство
ценового изменения 1).
1) Однако нужно отметить, что в стандартной теории ведущей волны (в
противоположность обычной квантовой теории) нет симметрии между
координатным и импульсным представлениями. Поэтому нам следует быть очень
осторожными при использовании представления импульсов; см. новые работы
Хайли [144].

264
Гл. 12. Квантово-психологическая модель фондового рынка
Однако дальнейшие исследования показали, что модель
Гаусса ценовых изменений является не самой лучшей моделью для
описания ценовых флуктуации. Одной из альтернативных
моделей является модель, основывающаяся на процессе Леви [239,
278]. Поэтому исследуем «квантовую» финансовую модель,
основанную на мере Коши (Лоренца):
dM(P) = 1 -fi_2
7Г 72 + р2
на импульсном финансовом пространстве. Было бы интересно
представить сравнительный анализ моделей финансовой ведущей
волны для мер Гаусса и Коши.
Очевидно, что мера Коши имеет некоторые преимущества.
Используя эту меру, мы исключаем из рассмотрения финансовые
волны, которые растут на бесконечности как линейная функция.
Таким образом, ip(p) « pky k ^ 1, р —► оо, исключаются из этой
модели, что соответствует реальности, так как цены (по крайней
мере, на реальном финансовом рынке) не могут изменяться сколь
угодно быстро.
Теперь вернемся к общей квантовой схеме,
сконцентрировавшись на конфигурационном представлении (р: Q —> С,
(р G L2(Q) = L,2(Q,dx). Мы рассмотрим общий квантовоподоб-
ный статистический формализм на ценовом пространстве.
Как и в обычной квантовой механике, мы рассматриваем
представление финансовых величин (наблюдаемых) с помощью
симметричных операторов в L2(Q). Используя представление
Шрёдингера, мы определяем операторы цены и ценового
изменения с помощью операторов
— QjViQ) = qjVW) (оператор умножения на д^-цену),
— Pj(f{q) = -{ -щ- <p(q) (оператор дифференцирования
относительно gj-цены, нормированный постоянной h (и так как
—г = 1/г, то оператор pj симметричен)).
Операторы цены и ценового изменения удовлетворяют так
называемым каноническим коммутационным отношениям:
[q.ft = qp-M = ih.
Используя операторное представление цены и ценового
изменения, мы можем поставить в соответствие каждой функции
H(q,p) на финансовом фазовом пространстве оператор H(q,p)

§ 6. Философия Уайтхеда и теория финансовой ведущей волны 265
Здесь V(q) — оператор умножения на функцию V(q).
В этом обобщенном квантовоподобном формализме для
финансового рынка мы не рассматриваем индивидуальной
эволюции цен. Данная теория является чисто статистической. Мы
можем только определить среднее финансовой наблюдаемой А для
некоторого фиксированного состояния ф финансового рынка:
Однако использование бомовской модели дает дополнительную
возможность определять индивидуальные траектории.
В заключение повторим основные положения идеологии
финансовой ведущей волны.
1) Экономические условия определяют вид функции
финансовой энергии H(q,p) (на финансовом фазовом пространстве).
В стандартной модели (с квадратичной кинетической частью)
экономическая зависимость записывается с помощью
потенциала V(q\,...9qn).
2) Экономические условия, заданные посредством потенциала
... ,?п). определяют эволюцию финансовой ведущей волны
ip{t,q). Эта информационная (психологическая) финансовая
волна вызвана информационными изменениями между финансовыми
агентами на финансовом рынке.
3) Финансовая ведущая волна порождает новый финансовый
потенциал, U(q\t...,qn)-
4) Финансовый потенциал U(q\,..., qn) порождает новую
финансовую силу, которая меняет «классическую ценовую
эволюцию», описываемую уравнениями Гамильтона на финансовом
фазовом пространстве.
§ 6. Философия Уайтхеда и теория финансовой
ведущей волны
Хотелось бы сделать интересное философское замечание
относительно нашей модели финансовой ведущей волны.
Сначала напомним хорошо известную работу Уайтхеда [297] о ко-
(А)ф = \А{ф)(х)ф(х)с1х.
в L2(Q). В частности, оператор финансовой энергии можно
записать в виде

266
Гл. 12. Квантово-психологическая модель фондового рынка
гнитивной интерпретации квантовой теории. Грубо говоря,
поведение элементарных частиц (фотонов, электронов,
нейтронов, и т.д.) больше похоже на поведение когнитивных систем,
чем «неодушевленных» материальных тел. Следуя рассуждениям
Уайтхеда, мы можем предположить, что все когнитивные
системы можно описать посредством квантовой теории. Одна из
таких возможностей заключается в использовании теории ведущей
волны при моделировании когнитивного феномена. В этой главе
мы рассмотрели довольно специальную когнитивную квантовую
модель, а именно модель финансовой ведущей волны. Исследуя
эту модель, нам удалось получить важные факты,
подтверждающие предположения Уайтхеда. Если агенты на финансовом
рынке в действительности обладают «квантовым» поведением,
то мы получим строгое подтверждение предположений о
квантовом описании когнитивных процессов, а также строгое (хотя
и непрямое) доказательство утверждений Уайтхеда о когнитив-
ности квантовых систем.
Одними из важнейших физических экспериментов,
продемонстрировавших «квантовое» поведение элементарных частиц,
были эксперименты интерференции. Они продемонстрировали
волновой характер квантовых систем. Поэтому одним из
важнейших шагов при доказательстве оправданности использования
финансовой квантовой модели является нахождение
интерференции («психологической интерференции») между финансовыми
агентами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аккарди Л. Диалоги о квантовой механике. Гейзенберг, Фейнман, Акаде-
мус, Кандидо и хамелеон на ветке. М.: Едиториал УРСС, 2004.
2. Берман Г. П., Дулен Г. Д., Майньери Р., Цифринович В. И. Введение
в квантовые компьютеры. М.: Едиториал УРСС, 2004.
3. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 4-е изд. М.: Высшая школа,
1963.
4. Валиев К. А., Кокин А. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность.
М.: РХД, 2004.
5. Вентцель Е. Теория вероятностей. М.: Наука, 1953.
6. Дирак /7. Лекции по квантовой механике. М.: Наука, 1968.
7. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. 2-е изд.
М.: Наука, 1974.
8. Ландау Л. Д., Лифшиц У.М. Теоретическая физика. В 10 томах. М.: Физ-
матлит, 2005.
9. Холево А. С. Введение в квантовую теорию информации. М.: МЦНМО,
2002.
10. Хренников А.Ю. Неколмогоровские теории вероятностей и квантовая
физика. М.: Физматлит, 2003.
11. Хренников А.Ю. Неархимедов анализ и его приложения. М.: Физматлит,
2003.
12. Хренников А.Ю. Моделирование процессов мышления в р-адических
системах координат. М.: Физматлит, 2004.
13. Хренников А.Ю. Суперанализ. 2-е изд. М.: Физматлит, 2005.
14. Фок В. А. Начала квантовой механики. 4-е изд. М.: Физматлит, 2007.
15. фон Нейман И. Математические основы квантовой механики. (Пер.
с нем.) М.: Физматлит, 1964.
16. Шрёдингер Э. Лекции по физике. М.: Физматлит, 2001.
17. Aaronson S. Is quantum mechanics an island in theory space? // In:
Khrennikov A. Yu. (ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations-2.
P. 15-28. Ser. Math. Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003;
electronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
18. Accardi L. The probabilistic roots of the quantum mechanical paradoxes // In:
Diner S., Fargue D., Lochak C, Selleri F. (eds) The Wave-Particle Dualism.
A Tribute to Louis de Broglie on his 90th Birthday. P. 47-55. D. Reidel Publ.
Company, Dordrecht, 1970.
19. Accardi L. Some loopholes to save quantum nonlocality // In: Adenier C,
Khrennikov A. Yu. (eds) Foundations of Probability and Physics-3. P. 1-20.
American Institute of Physics, Ser. Conference Proceedings 750, Melville,
NY, 2005.

268
Список литературы
20. Accardi L. Could one now convince Einstein? // In: Adenier G., Khren-
nikov A.Yu., Nieuwenhuizen Th.M. (eds.) Quantum Theory:
Reconsideration of Foundations-3. P. 3-18. American Institute of Physics, Ser.
Conference Proceedings 810, Melville, NY, 2006.
21. Accardi L., Khrennikov A. Yu. Chameleon effect, the range of values
hypothesis, and reproducing the EPR-Bohm correlations // In: Adenier G., Fuchs C,
Khrennikov A. Yu. (eds) Foundations of Probability and Physics-3. P. 21-29.
American Institute of Physics, Ser. Conference Proceedings 889, Melville,
NY, 2007.
22. Adenier G., Khrennikov A. Yu. (eds): Foundations of Probability and
Physics-3. American Institute of Physics, Ser. Conference Proceedings 750,
Melville, NY, 2005.
23. Adenier G., Khrennikov A. Yu. and Nieuwenhuizen, Th.M. (eds.): Quantum
Theory: Reconsideration of Foundations-3. American Institute of Physics,
Ser. Conference Proceedings 810, Melville, NY, 2006.
24. Adenier G., Khrennikov A. Yu. Anomalies in EPR-Bell experiments // In:
Adenier G., Khrennikov A. Yu. and Nieuwenhuizen, Th.M. (eds.) Quantum
theory: reconsideration of foundations-3. P. 283-293. American Institute of
Physics, Ser. Conference Proceedings 810, Melville, NY, 2006.
25. Adenier G., Fuchs C., Khrennikov A.Yu. (eds): Foundations of Probability
and Physics-3. American Institute of Physics, Ser. Conference Proceedings
889, Melville, NY, 2007.
26. Adenier G., Khrennikov A. Yu. Is the fair sampling assumption supported by
EPR experiments? Phys. B: Atomic, Molecular and Optical Physics 40 (1),
131-141, 2007.
27. Aerts D.y Aerts S. Applications of quantum statistics in psychological studies
of decision-proceses // Found. Sc. 1, 1-12, 1995.
28. Aerts D., Czachor M., Pawlovski M. Security in quantum cryptography vs.
nonlocal hidden variables // In: Adenier G., Fuchs C., Khrennikov A. Yu.
(eds) Foundations of Probability and Physics-4. P. 71-78. American Institute
of Physics, Ser. Conference Proceedings 89, Melville, NY, 2007.
29. Aichele 7\, Herzog £/., Scholz M., Benson O. Single photon generation and
simultaneous observation of wave and particle properties // In: Adenier G.,
Khrennikov A. Yu. (eds) Foundations of Probability and Physics-3. P. 35-41.
American Institute oT Physics, Ser. Conference Proceedings 750, Melville,
NY, 2005.
30. Allahverdyan A.E., Balian /?., Nieuwenhuizen Th.M. The quantum
measurement process in an exactly solvable model // In: Khrennikov A. Yu. (ed),
Foundations of Probability and Physics-3. P. 16-24. American Institute of
Physics, Ser. Conference Proceedings 750, Melville, NY, 2005.
31. Allahverdyan Л., Khrennikov A. Yu.y Nieuwenhuizen Th.M. Brownian
entanglement // Phys. Rev. A. 71, 032102-1-032102-14, 2005.
32. Andreev V.A., Man'ko V.I. Two-particle spin states and generalized Bell's
inequalities // JETP Lett. 72, 93-96, 2000.
33. Andreev V.A., Man'ko V.I. The classification of two-particle spin states and
generalized Bell inequalities // Phys. Lett. A. 281, 278-288, 2001.
34. Andreev, V.A., Man'ko V.I. Bell's Inequality for Two-Particle Mixed Spin
States // Theor. Math. Phys. 140, 1135-1145, 2004.

Список литературы
269
35. Andreev V.A. Reduction of the two-spin state density matrix and evaluation
of the left-hand side of the Bell-CHSH inequality // J. Russian Laser
Research. 27, 327-331, 2006.
36. Andreev V.A., Man'ko V.I., Man'ko О. V. et al. Tomography of Spin States,
the Entanglement Criterion, and Bell's Inequalities // Theor. Math. Phys.
146, 140-151, 2006.
37. Andreev V.A., Man'ko V.I. Quantum tomography and verification of
generalized Bell-CHSH inequalities // In: Adenier G., Khrennikov A. Yu. (eds)
Foundations of Probability and Physics-3. P. 42-48. American Institute of
Physics, Sen Conference Proceedings 750, Melville, NY, 2005.
38. Appleby D.M. Concerning dice and divinty // In: Adenier C, Fuchs C,
Khrennikov A. Yu. (eds) Foundations of Probability and Physics-3. P. 30-39
American Institute of Physics, Ser. Conference Proceedings 889, Melville,
NY, 2007.
39. Ashwanden M., Philipp W., Hess K., Adenier G. Local time dependent
instruction-set model for the experiment of Pan et al // In: Adenier G.,
Khrennikov A. Yu., Nieuwenhuizen Th.M. (eds) Quantum theory: reconsideration
of foundations-3. P. 437-446. American Institute of Physics, Ser. Conference
Proceedings 810, Melville, NY, 2006.
40. Aspect A., Dalibard /., Roger G. Experimental Test of Bell's Inequalities
Using Time-Varying Analyzers // Phys. Rev. Lett. 49, 1804, 1982.
41. Atmanspacher Primas H. Epistemic and ontic quantum realities //
In: Adenier G., Khrennikov A. Yu. (eds) Foundations of Probability and
Physics-3. P. 49-62. American Institute of Physics, Ser. Conference
Proceedings 750, Melville, NY, 2005.
42. Bacciagaluppi G. Classical extensions, classical representations and
Bayesian updating in quantum mechanics // In: Khrennikov A. Yu. (ed)
Quantum Theory: Reconsideration of Foundations-2. P. 55-70. Ser. Math.
Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003; electronic volume:
http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
43. Bachelier L. Ann. Sc. l'Ecole Normale Superiere. 111-17, 21, 1890.
44. Ballentine L.E. The statistical interpretation of quantum mechanics // Rev.
Mod. Phys. 42, 358-381, 1989.
45. Ballentine L.E. Quantum Mechanics. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ,
1989.
46. Ballentine L.E. Interpretations of probability and quantum theory // In:
Khrennikov A. Yu. (ed) Foundations of Probability and Physics, Quantum
Probability and White Noise Analysis, 13. P. 71-84. WSP, Singapore, 2001.
47. Ballentine L.E. The classical limit of quantum mechanics and its
implications for the foundations of quantum mechanics // In: Khrennikov A. Yu.
(ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations-2. P. 71-82. Ser.
Math. Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003; electronic volume:
http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
48. Barrett J.A. The Quantum Mechanics of Minds and Worlds. Oxford Univ.
Press, Oxford, 1999.
49. Belavkin V.P. Visible information dynamics of hidden quantum
mechanics // In: Khrennikov A. Yu. (ed) Foundations of Probability and Physics-2.

270
Список литературы
Р. 69-98. Ser. Math. Model. 5. Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003;
electronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
50. Bell J. Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics. Cambridge Univ.
Press, Cambridge, 1987.
51. Beltrametti E.G, Cassinelli G. The Logic of Quantum Mechanics. (G.-C.
Rota (ed) Encyclopedia of Mathematics and its Applications). Cambridge Univ.
Press, Cambridge, 1984.
52. Bialynicki-Birula I. Renyi entropy and the uncertainty relations // In:
Adenier G., Fuchs C, Khrennikov A. Yu. (eds) Foundations of Probability
and Physics-3. P. 52-61. American Institute of Physics, Ser. Conference
Proceedings 889, Melville, NY, 2007.
53. Bogolyubov N.N., Shirkov D. V. Introduction to the Theory of Quantized
Fields. Nauka, Moscow, 1984.
54. Bogolyubov N.N., Logunov A. A., Todorov I. T. Fundamentals of Axiomatic
Approach to the Quantum Field Theory. M.: Nauka, 1969.
55. Bohm D. Unfolding meaning. Routledge and Kegan Paul, London, 1987.
56. Bohm D. Wholeness and the Implicate Order. Routledge and Kegan Paul,
London, 1987.
57. Bohm D., Hiley B. The Undivided Universe: an Ontological Interpretation of
Quantum Mechanics. Routledge and Kegan Paul, London, 1993.
58. Bohr N. Can quantum-mechanical description of physical reality be
considered complete? // Phys. Rev. 48, 696-702, 1935.
59. Bohr N. The philosophical writings of Niels Bohr, 3 vols. Woodbridge, Conn.,
Ox Bow Press, 1987.
60. Boyer Т.Н. A brief survey of stochastic electrodynamics // In: Barut A.O.
(ed) Foundations of Radiation Theory and Quantum Electrodynamics.
P. 141-162. Plenum, NY, 1980.
61. Brida C, Genovese M., Gramegna M., Novero C, Predazzi E. A first test
of Wigner function local realistic model // Phys. Lett. A. 299, 121, 2002.
62. Brock W.A., Sayers C. Is business cycle characterized by deterministic
chaos? // J. of Monetary Economics. 22, 71-90, 1988.
63. Bulinski A. V., Khrennikov A. Yu. Nonclassical total probability formula and
quantum interference probabilities // Stat. Prob. Lett. 70, 49-58, 2004.
64. Busch P., Grabowski M., Lahti P. Operational Quantum Physics. Springer
Verlag, Berlin, 1995.
65. Busch P. Less (precision) is more (information): Quantum information
in fuzzy probability theory // In: Khrennikov A.Yu. (ed) Quantum
Theory: Reconsideration of Foundations -2. P. 113-148. Ser. Math.
Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003; electronic volume:
http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
66. Busemeyer J.B.t Wang Z., Townsend J.T. Quantum dynamics of human
decision making // J. Math. Psychology 50, 220-241, 2006.
67. Busemeyer /. Wang Z. Quantum information processing explanation for
interactions between inferences and decisions // In: Bruza P.D., Lawless W
van Rijsbergen K., Sofge DA. (eds) Quantum Interaction, AAAI Spring
Symposium, Technical Report SS-07-08 P. 91-97. AAAI Press, Menlo Park,
CA, 2007.

Список литературы
271
68. Casado A., Marshal Т., Santos Е. Parametric downconversion experiments
in the Wigner representation // J. Opt. Soc. Am. B. 14, 494-502, 1997.
69. Choustova OA. Pilot wave quantum model for the stock market // In:
Khrennikov A. Yu. (ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations.
P. 41-58. Ser. Math. Model. 2, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002;
electronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
70. Choustova O. Bohmian mechanics for financial processes // J. of Modern
Optics. 51, 1111, 2004.
71. Choustova O. Price dynamics of shares and Bohmian mechanics:
Deterministic or stochastic model? // In: Adenier, G., Khrennikov A.Yu. (eds):
Foundations of Probability and Physics-3. P. 274-282. American Institute of
Physics, Ser. Conference Proceedings 750, Melville, NY, 2005.
72. Choustova O. Information field model for agents of financial market // In:
Petitjean M. (ed) Proceedings of FIS2005, The Third Conference on the
Foundations of Information Science. MDPI Publishers, Basel, Switzerland,
2005; electronic volume: http://www.mdpi.org/fis2005/proceedings.html.
73. Choustova O. Quantum Bohmian model for financial market // Physica A.
374, 304-314, 2006.
74. Choustova O. Quantum modeling of nonlinear dynamics of stock prices:
Bohmian approach. Theor. Math. Phys.152, 405-416, 2007.
75. ClauserJ.F., Home M. A., Shimony Л., Holt R. A. Phys. Rev. Lett. 49, 1804,
1969.
76. Clauser J.F.y Shimony A. Bell's theorem. Experimental tests and
implications // Rep. Progr. Phys. 41 1881, 1978.
77. Cohen D. An introduction to Hilbert space and quantum logic. Springer, NY,
1989.
78. Cole D. Simulation results related to stochastic electrodynamics // In:
Adenier G., Khrennikov A. Yu., Nieuwenhuizen Th.M. (eds.): Quantum Theory:
Reconsideration of Foundations-3. P. 99-113. American Institute of Physics,
Ser. Conference Proceedings 810, Melville, NY, 2006.
79. Conte £., Todarello O., Federici Л., Vitiello F., Lopane M., Khrennikov Л.,
Zbilut J. P. Some remarks on an experiment suggesting quantum-like
behavior of cognitive entities and formulation of an abstract quantum mechanical
formalism to describe cognitive entity and its dynamics. Chaos, Solitons and
Fractals 31, 1076-1088, 2006.
80. Cushing J., Fine A., Goldstein S. (eds). Bohmian Mechanics and Quantum
Theory. An Appraisal. Kluwer Academic Publ., Dordrecht and Boston, 1996.
81. D'Ariano G.M. Operational axioms for quantum mechanics // In: Adenier G.,
Fuchs C, Khrennikov A. Yu. (eds) Foundations of Probability and Physics-3.
P. 79-105. American Institute of Physics, Ser. Conference Proceedings 889,
Melville, NY, 2007.
82. Danilov V.I., Lambert-Mogiliansky A. Non-classical expected utility theory
Preprint Paris-Jourdan Sc. Economiques, 2006.
83. Danilov V./., Lambert-Mogiliansky A. Non-classical measurement theory:
a framework for behavioral sciences // arXiv:physics/0604051, 2006.
84. Davidson M.P. Stochastic models of quantum mechanics — a perspective //
In: Adenier G.y Fuchs C, Khrennikov A. Yu. (eds) Foundations of Probability

272
Список литературы
and Physics-3. P. 106-119. American Institute of Physics, Ser. Conference
Proceedings 889, Melville, NY, 2007.
85. De Baere W. Lett. Nuovo Cimento 39, 234-238,, 1984.
86. De Baere W. Lett. Nuovo Cimento 40, 488-498, 1984.
87. De Baere W. Advances in electronics and electron physics 68, 245-280,
1986.
88. De Baere W. Subquantum nonreproducibility and the complete local
description of physical reality // In: Khrennikov A. Yu. (ed)
Quantum Theory: Reconsideration of Foundations. Ser. Math. Model. 2.
P. 59-74, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002; electronic volume:
http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
89. De Broglie L. The Current Interpretation of Wave Mechanics. A Critical
Study. Elsevier, Amsterdam, 1964.
90. De la Репа L., Cetto A.M. The Quantum Dice: An Introduction to Stochastic
Electrodynamics. Kluwer Academic Publ., Dordrecht,, 1996.
91. De la Репа L. Does quantum mechanics accept a stochastic support? //
Found. Phys. 12, 1017, 1982.
92. De la Репа L. New Formulation of Stochastic Theory and Quantum
Mechanics // J. Math. Phys. 10, 1620-1630, 1969.
93. De la Репа L., Cetto A.M. Phys. Rev. D 3, 795, 1971.
94. De la Репа L., Cetto A.M. Recent development in linear stochastic
electrodynamics // In: Adenier G., Khrennikov A. Yu., Nieuwenhuizen Th.M. (eds.)
Quantum Theory: Reconsideration of Foundations-3. P. 3-18; P. 131-140.
American Institute of Physics, Ser. Conference Proceedings 810, Melville,
NY, 2006.
95. De Muynck W.M., De Baere W. Ann. Israel Phys. Soc. 12, 1-22, 1996.
96. De Muynck W.M., De Baere W., Marten H. Interpretations of quantum
mechanics, joint measurement of incompatible observables, and counterfactual
definiteness // Found. Phys. 24, 1589-1663, 1994.
97. De Muynck W.M., Stekelenborg ST. On the Significance of the Bell
Inequalities for the Locality Problem in Different Realistic Interpretations of
Quantum Mechanics // Annalen der Physik 45, 222-234, 1988.
98. De Muynck W.M. Interpretations of quantum mechanics, and interpretations
of violations of Bell's inequality // In: Khrennikov A. Yu. (ed) Foundations
of Probability and Physics. P. 95-104. Series PQ-QP: Quantum Probability
and White Noise Analysis 13. WSP, Singapore, 2001.
99. De Muynck W.M. Foundations of Quantum Mechanics, an Empiricists
Approach. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 2002.
100. d'Espagnat B. Veiled Reality. An Anlysis of Present-day Quantum
Mechanical Concepts. Addison-Wesley, 1995.
101. d'Espagnat B. Conceptual Foundations of Quantum Mechanics. Perseus
Books, Reading, Mass, 1999.
102. Dirac P.A.M. The Principles of Quantum Mechanics. Clarendon Press:
Oxford, 1995.
103. Eccles J.C. The Understanding of the Brain. McGraw-Hill, NY, 1974
104. Einstein A., Podolsky В., Rosen N. Can Quantum-Mechanical Description of
Physical Reality Be Considered Complete? // Phys. Rev. 47, 777-780, 1935.

Список литературы
273
105. Ezhov A. A., Khrennikov A. Yu. Agents with left and right dominant
hemispheres and quantum statistics // Phys. Rev. E 71, 016138-1 -8, 2005.
106. Feynman /?., Hibbs A. Quantum Mechanics and Path Integrals.
McGraw-Hill, NY, 1965.
107. Feynman R.P. Negative probability // In: Hiley B.J., Peat F.D. (eds)
Quantum Implications, Essays in Honour of David Bohm. P. 235-246. Routledge
and Kegan Paul, London, 1987.
108. Fine A. Hidden Variables, Joint Probability, and the Bell Inequalities // Phys.
Rev. Lett. 48, 291-295, 1982.
109. Folse H.J. Bohr's conception of the quantum mechanical state of a system
and its role in the framework of complementarity // In: Khrennikov A. Yu.
(ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations. P. 83-98. Ser.
Math. Model. 2, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002; electronic volume:
http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
110. Foulis D.J. A half-century of quantum-logic. What have we learned? // In:
Quantum Structures and the Nature of Reality. Einstein meets Magritte, 7.
P. 1-36. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1990.
111. FrancoR. Quantum mechanics, Bayes' theorem and the conjunction fallacy //
quant-ph/0703222, 2007.
112. Fuchs C.A. The anti-Vaxjo interpretation of quantum mechanics // In:
Khrennikov A. Yu. (ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations.
P. 99-116. Ser. Math. Model. 2, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002;
electronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
113. Fuchs C. Delirium quantum (or, where I will take quantum mechanics if it
will let me) // In: Adenier G.t Fuchs C, Khrennikov A. Yu. (eds) Foundations
of Probability and Physics-3. P. 438-462. American Institute of Physics, Ser.
Conference Proceedings 889, Melville, NY, 2007.
114. Genovese M. Research on hidden variable theories: A review of recent
progresses // Phys. Rep. 413, 319, 2005.
115. Gill R. Time, finite statistics and Bell's fifth position // In:
Khrennikov A. Yu. (ed) Foundations of Probability and Physics-2. P. 179-206. Ser.
Math. Model. 5. Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003; electronic volume:
http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
116. Gisin ЛЛ, Gisin B. Bell inequality for arbitrary many settings of the
analyzers // Phys. Lett. A. 260, 323, 1999.
117. Granger C. W.J. Is chaotic theory relevant for economics? A review essay //
J. of International and Comparative Economics 3, 139-145, 1994.
118. Green M.B., Schwarz J.H., Witten E. Superstring Theory. Cambridge Univ.
Press, Cambridge, 1987.
119. Greenberger D., Home M.y Zeilinger A. Going beyond Bell's theorem // In:
Kafatos M. (ed) Bell's Theorem, Quantum Theory, and Conceptions of the
Universe. P. 73-76. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1989.
120. Grib A., Khrennikov A., Starkov K. Probability amplitude in
quantum-like games // In: Khrennikov A. Yu. (ed) Quantum
Theory: Reconsideration of Foundations. Ser. Math. Model. 10.
P. 703-722. Vaxjo University Press, Vaxjo, 2004; electronic volume:
http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.

274
Список литературы
121. Grib A., Khrennikov А.у Parfionov G., Starkov K. Quantum equilibria for
macroscopic systems // J. Phys. A.: Math. Gen. 39, 8461-8475, 2006.
122. Gudder S.P. Trans. AMS 119, 428-442, 1965.
123. Gudder S.P. Axiomatic Quantum Mechanics and Generalized Probability
Theory. Academic Press, NY, 1970.
124. Gudder S.P. An approach to quantum probability // In: Khrennikov A. Yu.
(ed) Foundations of Probability and Physics, Quantum Probability and White
Noise Analysis, 13. P. 147-160. WSP, Singapore, 2001.
125. Hameroff S. Quantum coherence in microtubules. A neural basis for
emergent consciousness?// J. of Cons. Stud. 1, 91-118, 1994.
126. Hameroff S. Quantum computing in brain microtubules? The
Penrose-Hameroff Orch Or model of consciousness // Phil. Tr. Royal Sc.,
London A 1-28, 1994.
127. Hardy L. Quantum theory form intuitively reasonable axioms // In:
Khrennikov A. Yu. (ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations.
P. 117-130. Ser. Math. Model. 2, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002;
electronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
128. Harkavy A. A. Quantum mechanical information is ubiquitous // In:
Kafatos M. (ed) Bell's Theorem, Quantum Theory and Conceptions of the
Universe. P. 11-24. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1989.
129. Haven E. A Discussion on embedding the Black-Scholes option pricing model
in a quantum physics setting // Physica A. 304, 507-524, 2002.
130. Haven E. A Black-Scholes Schridinger Option Price: "bit" versus "qubit" //
Physica A. 324, 201-206, 2003.
131. Haven E. The wave-equivalent of the Black-Scholes option price: an
interpretation // Physica A. 344, 142-145, 2004.
132. Haven E. Analytical solutions to the backward Kolmogorov PDE via an
adiabatic approximation to the Schrodinger PDE // J. of Math. Analysis and
Applications 311, 439-444, 2005.
133. Haven E. Bohmian mechanics in a macroscopic quantum system // In:
Adenier G., Khrennikov A. Yu., Nieuwenhuizen Th.M. (eds) Foundations of
Probability and Physics-3. P. 330-340. American Institute of Physics, Ser.
Conference Proceedings 810, Melville, NY, 2006.
134. Heisenberg W. The Physical Principles of the Quantum Theory. Dover
Publications, London, 1989.
135. Heisenberg W. Physics and Philosophy. Harper and Row, Harper Torchbooks,
NY, 1958.
136. Helland I.S. Quantum theory as a statistical theory // In: Khrennikov A. Yu.
(ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations. P. 219-242. Ser.
Math. Model. 2, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002; electronic volume:
http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
137. Hess K., Philipp W. A possible loophole in the theorem of Bell, Proc. Nat.
Acad. Sc. 98, 14224, 2001.
138. Hess K., Philipp W. Exclusion of time in Mermin's proof of Bell-type
inequalities // In: Khrennikov A. Yu. (ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foun-
dations-2. P. 243-254. Ser. Math. Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo,
2003; electronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
139. Hess tf., Philipp W. Europhys. Lett. 57, 775, 2002.

Список литературы
275
140. Hess К., Philipp W. Bell's theorem: critique of proofs with and without
inequalities // In: Adenier G., Khrennikov A. Yu. (eds): Foundations of
Probability and Physics-3. P. 150-155. American Institute of Physics, Ser.
Conference Proceedings 750, Melville, NY, 2005.
141. Hess K. In memoriam Walter Philipp // In: Adenier G., Fuchs C,
Khrennikov A. Yu. (eds) Foundations of Probability and Physics-3. P. 3-6.
American Institute of Physics, Ser. Conference Proceedings 889, Melville, NY,
2007.
142. Hilbert D., von Neumann /., Nordheim L.\ Uber die Grundlagen der Quan-
tenmechanik Math. Ann. 98, 1-30, 1927.
143. Hiley В., Pylkkanen P. Active information and cognitive science — A reply
to Kieseppa // In: Pylkkanen P., Pylkko P., Hautamaki A. (eds) Brain, Mind
and Physics. P. 123-145. IOS Press, Amsterdam, 1997.
144. Hiley B. Phase space distributions of quantum phenomena // In:
Khrennikov A.Yu. (ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations-2.
P. 267-286. Ser. Math. Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003;
electronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
145. Hiesmayer B.C. Bell inequalities for neutral kaon system // In:
Khrennikov A. Yu. (ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations-2.
P. 255-266. Ser. Math. Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003;
electronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
146. Holevo A.S. Probabilistic and Statistical Aspects of Quantum Theory.
North-Holland, Amsterdam, 1982.
147. Holevo A.S. Statistical Structure of Quantum Theory. Springer,
Berlin-Heidelberg, 2001.
148. Holland P. The quantum theory of motion. Cambridge Univ. Press,
Cambridge, 1993.
149. Hudson R. Translation invariant phase space mechanics // In:
Khrennikov A. Yu. (ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations-2.
P. 301-314. Ser. Math. Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2004;
electronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
150. Jahn R.G., Dunne B.J. On the quantum mechanics of consciousness, with
applications to anomalous phenomena // Found. Phys. 16, 721-772, 1986.
151. Jauch J.M. Foundations of Quantum Mechanics. Addison-Wesley, Reading,
Mass., 1968.
152. Jibu M., Yasue K. Quantum Brain Dynamics and Consciousness. J.
Benjamins Publishing Company, Amsterdam/Philadelphia, 1984.
153. Khrennikov A. Yu. Superanalysis. Kluwer Academic Publ., Dordreht, 1999.
154. Khrennikov A. Yu. Interpretations of Probability. VSP International Science
Publishers, Utrecht, 1999.
155. Khrennikov A. Yu. Statistical measure of ensemble nonreproducibility and
correction to Bell's inequality // II Nuovo Cimento В 115, 179-184, 1999.
156. Khrennikov A. Yu. Non-Kolmogorov probability models and modified Bell's
inequality // J. of Math. Physics 41, 1768-1777, 2000.
157. Khrennikov A. Yu. A perturbation of CHSH inequality induced by fluctuations
of ensemble distributions // J. of Math. Physics 41, 5934-5944, 2000.
158. Khrennikov A. Yu. Contextualist viewpoint to Greenberger-Horne-Zeilinger
paradox // Phys. Lett. A 278, 307-314, 2001.

276
Список литературы
159. Khrennikov A. Yu. Linear representations of probabilistic transformations
induced by context transitions // J. Phys.A: Math. Gen. 34, 9965-9981,
2001.
160. Khrennikov A. Yu. (ed): Foundations of Probability and Physics. Series
PQ-QP: Quantum Probability and White Noise Analysis 13. WSP,
Singapore, 2001.
161. Khrennikov A. Yu. Classical and Quantum Mental Models and Freud's Theory
of Unconscious Mind. Ser. Math. Model. 1. Vaxjo Univ. Press, Vaxjo, 2002;
electronic volume http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
162. Khrennikov A. Yu. Ensemble fluctuations and the origin of quantum
probabilistic rule // J. Math. Phys. 43, 789-802, 2002.
163. Khrennikov A. Yu. Quantum statistics via perturbation effects of preparation
procedures // II Nuovo Cimento В 117, 267-281, 2002.
164. Khrennikov A. Yu. Frequency analysis of the EPR-Bell argumentation //
Found. Phys. 32, 1159-1174, 2002.
165. Khrennikov A. Yu. (ed): Quantum Theory: Reconsideration of Foundations.
Ser. Math. Model. 2, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002; electronic volume:
http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
166. Khrennikov A. Yu. and Volovich, Ja. I.: Discrete time leads to quantum-like
interference of deterministic particles // In: Khrennikov A. Yu. (ed)
Quantum Theory: Reconsideration of Foundations. Ser. Math. Model.
2. P. 441-454, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002; electronic volume:
http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
167. Khrennikov A. Yu. and Volovich, Ja. I.: Interference effect for
probability distributions of deterministic particles // In: Khrennikov A. Yu.
(ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations. Ser. Math. Model.
2. P. 455-462. Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002; electronic volume:
http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
168. Khrennikov A.Yu., Volovich I. V. Local realism, contextualism
and loopholes in Bell's experiments // In: Khrennikov A. Yu. (ed)
Foundations of Probability and Physics-2. Ser. Math. Model. 5.
P. 325-344. Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002; electronic volume:
http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
169. Khrennikov A.Yu., Volovich I. V. Quantum nonlocality, EPR model, and
Bell's theorem // In: Proceedings of the 3nd Sakharov conference on physics,
2. P. 269-276. WSP, Singapore, 2003.
170. Khrennikov A. Yu. (ed): Foundations of Probability and Physics-2. Ser.
Math. Model. 5. Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003; electronic volume:
http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
171. Khrennikov A. Yu., Kozyrev S. V. Noncommutative probability in classical
disordered systems // Physica A. 326, 456-463, 2003.
172. Khrennikov A. Yu. Contextual viewpoint to quantum stochastics // J. Math.
Phys. 44, 2471-2478, 2003.
173. Khrennikov A. Yu. Representation of the Kolmogorov model having all
distinguishing features of quantum probabilistic model // Phys. Lett. A 316,
279-296, 2003.
174. Khrennikov A. Yu. Hyperbolic quantum mechanics. Advances in Applied
Clifford Algebras, 13(1), 1-9, 2003.

Список литературы
277
175. Khrennikov A. Yu. Quantum-like formalism for cognitive measurements.
Biosystems 70, 211-233, 2003.
176. Khrennikov A. Yu. Interference of probabilities and number field structure of
quantum models. Annalen der Physik 12, 575-585, 2003.
177 Khrennikov A. Yu. Event-independence, collective-independence, EPR-Bohm
experiment and incompleteness of quantum mechanics // Phys. Essays 16,
26-32, 2003.
178. Khrennikov A.Yu., Smolyanov O.G., Truman A. Kolmogorov probability
spaces describing quantum correlations // Dokl. Acad. Nauk 393, 28-32,
2003; English translation: Doklady Mathematics 68, 452-456, 2003.
179. Khrennikov A. Yu. Quantum-psychological model of the stock market //
Problems and Perspectives in Management 1, 137-148, 2003.
180. Khrennikov A. Yu. Information Dynamics in Cognitive, Psychological, Social,
and Anomalous Phenomena. Kluwer Academic Publ., Dordreht, 2004.
181. Khrennikov A.Yu. Vaxjo interpretation-2003: Realism of contexts // In:
Khrennikov A. Yu. (ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations-2.
Ser. Math. Model. 10. P. 323-338. Vaxjo University Press, Vaxjo, 2004;
electronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
182. Khrennikov A.Yu., Loubenets E. On relation between probabilities in
quantum and classical experiments // Found. Phys. 34, 689-704, 2004.
183. Khrennikov A. Yu. Contextual approach to quantum mechanics and the theory
of the fundamental prespace // J. Math. Phys. 45, 902-921, 2004.
184. Khrennikov A. Yu. EPR-Bohm experiment and interference of probabilities //
Found. Phys. Lett. 17, 691-700, 2004.
185. Khrennikov A. Yu., Volovich Sal. Discrete time dynamical models and their
quantum-like context-dependent properties // J. Modern Optics 51, 113-114,
2004.
186. Khrennikov A. Yu. On unification of classical and quantum probability
theories // J. Modern Optics 51, 109, 2004.
187. Khrennikov A. Yu. Frequency derivation of the EPR-Bohm correlations // II
Nuovo Cimento 119, 131-147, 2004.
188. Khrennikov A. Yu., On quantum-like probabilistic structure of mental
information // Open Syst. and Inf. Dyn. 11 (3), 267-275, 2004.
189. Khrennikov A. Yu. Accentuate the negative. Wilmott (Serving the Quantative
Finance Community), September, 30-33, 2004.
190. Khrennikov A. Yu. (ed): Quantum Theory: Reconsideration of Foundations-2.
Ser. Math. Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2004; electronic
volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
191. Khrennikov A. Yu., Smolyanov O. G. Probabilistic measurement models with
noncommuting and commuting observables. Dokl. Acad. Nauk 402, 748-753,
2005. English Translation: Doklady Mathematics 71, 461-465, 2005.
192. Khrennikov A. Yu. The principle of supplementarity: A contextual
probabilistic viewpoint to complementarity, the interference of probabilities, and
the incompatibility of variables in quantum mechanics // Found. Phys. 35,
1655-1693, 2005.
193. Khrennikov A. Yu. Interference in the classical probabilistic model and its
representation in complex Hilbert space // Physica E 29, 226-236, 2005.

278
Список литературы
194. Khrennikov A. Yu. Interference in the classical probabilistic framework //
Fuzzy Sets and Systems 155, 4-17, 2005.
195. Khrennikov A.Yu., Smolyanov O.G., Truman A. Kolmogorov probability
spaces describing Accardi models for quantum correlations // Open Syst. and
Inf. Dyn. 12, 371-384, 2005.
196. Khrennikov A. Yu. On the representation of contextual probabilistic dynamics
in the complex Hilbert space: linear and nonlinear evolutions, Schrodinger
dynamics // II Nuovo Cimento 120, 353-366, 2005.
197. Khrennikov A.Yu. A рге-quantum classical statistical model with
infinite-dimensional phase space // J. Phys. A: Math. Gen. 38, 9051-9073,
2005.
198. Khrennikov A.Yu., Kozyrev S. V. Contextual quantization and the principle
of complementarity of Probabilities // Open Syst. and Inf. Dyn. 12, 303-318,
2005.
199. Khrennikov A. Yu., Volovich I. V. Local realistic representation for
correlations in the original EPR-model for position and momentum // Soft
Computing — A Fusion of Found., Methodologies and Appl. 10, 521-529,
2005.
200. Khrennikov A. Yu. Schridinger dynamics as the Hilbert space projection of a
realistic contextual probabilistic dynamics // Europhys. Lett. 69 (5), 678-684,
2005.
201. Khrennikov A.Yu. From classical statistical model to quantum model
through ignorance of information // In: Petitjean M. (ed) Proceedings
of FIS2005, The Third Conference on the Foundations of Information
Science. MDPI Publishers, Basel, Switzerland, 2005; electronic volume:
http://www.mdpi.org/fis2005/proceedings.html.
202. Khrennikov A. Yu. To quantum mechanics through projection of classical
statistical mechanics on prespace // In: Buccheri R., Elitzur A. C, Saniga M.
(eds) Endophysics Time, Quantum and the Subjective. WSP, Singapore,
2005.
203. Khrennikov A. Yu. Reconstruction of quantum theory on the basis of the
formula of total probability // In: Adenier G., Khrennikov A. Yu. (eds)
Foundations of robability and physics-3. P. 187-218. American Institute of
Physics, Ser. Conference Proceedings 750, Melville, NY, 2005.
204. Khrennikov A. Yu. Generalizations of quantum mechanics induced by
classical statistical field theory // Found. Phys. Lett. 18, 637-650, 2006.
205. Khrennikov A. Yu. Representation of the contextual statistical model by
hyperbolic amplitudes // J. Math. Phys. 46, 062111-062124, 2005.
206. Khrennikov A.Yu., Smolyanov O.G. Nonstationary Kolmogorov
probability models describing quantum measurements // Doklady Mathematics 73,
286-291, 2006.
207. Khrennikov A. Yu. and Volovich, Ya.I.: Energy levels of "Hydrogen atom" in
discrete time dynamics // Open Syst. and Inf. Dyn. 13, 119-132, 2006.
208. Khrennikov A. Yu. Quantum-like brain: "Interference of minds." // BioSys-
tems 84, 225-241, 2006.
209. Khrennikov A. Yu. Nonlinear Schrodinger equations from prequantum
classical statistical field theory // Phys. Lett. A 357, 171-176, 2006.

Список литературы
279
210. Khrennikov A. Yu. Prequantum classical statistical field theory: Complex
representation, Hamilton-Schrodinger equation, and interpretation of stationary
states // Found. Phys. Lett. 19, 299-319, 2006.
211. Khrennikov A. Yu., Segre G. Von Neumann uniqueness theorem doesn't hold
in hyperbolic quantum mechanics // Int. J. Theor. Phys. 45, 1869-1890,
2006.
212. Khrennikov A. Yu. Quantum mechanics as an asymptotic projection of
statistical mechanics of classical fields // In: Adenier G., Khrennikov A. Yu.,
Nieuwenhuizen Th.M. (eds) Quantum theory: reconsideration of founda-
tions-3. P. 179-197. American Institute of Physics, Ser. Conference
Proceedings 810, Melville, NY, 2006.
213. Khrennikov A. Yu. On the problem of hidden variables for quantum field
theory // Nuovo Cimento В 121 (5), 505-521, 2006.
214. Khrennikov A.Yu. To quantum averages through asymptotic expansion of
classical averages on infinite-dimensional space // J. Math. Phys. 48 (1), Art.
No. 013512, 2007.
215. Khrennikov A.Yu. A mathematician's viewpoint to Bell's theorem: in
memory of Walter Philipp // In: Adenier G., Fuchs C, Khrennikov A. Yu. (eds)
Foundations of Probability and Physics-3. P. 7-20. American Institute of
Physics, Ser. Conference Proceedings 889, Melville, NY, 2007.
216. Khrennikov A. Yu. Quantum mechanics for military officers. In: Adenier G.,
Fuchs C, Khrennikov A. Yu. (eds) Foundations of Probability and Physics-3.
P. 137-151. American Institute of Physics, Ser. Conference Proceedings 889,
Melville, NY, 2007.
217. Kim Y.S., Noz M.E. Can one do quantum mechanics without Einstein? In:
Adenier G., Fuchs C, Khrennikov A. Yu. (eds) Foundations of Probability
and Physics-3. P. 152-161. American Institute of Physics, Ser. Conference
Proceedings 889, Melville, NY, 2007.
218. Klyshko D.N. The Bell and GHZ theorems: a possible three-photon
interference experiment and the question of nonlocality // Phys. Lett. A, 172,
399-403, 1993.
219. Klyshko D.N. Phys. Lett. A 176, 415-420, 1993.
220. Klyshko D.N. Phys. Lett. A 218, 119-127, 1996.
221. Klyshko D.N. Phys. Lett. A 247, 261-266, 1998.
222. Klyshko D.N. Laser Phys., 6, 1056-1076, 1996.
223. Klyshko D.N. Annals of NY Acad. Sc. 755, 13-27, 1995.
224. Kochen S., Specker E. The problem of hidden variables in quantum
mechanical systems // J. Math. Mech. 17, 59-87, 1967.
225. Lamb W. E. The Interpretation of Quantum Mechanics. (Edited and annotated
by Mehra, Ja.) Rinton Press, Inc., Princeton, 2001.
226. Lande A. Foundations of Quantum Theory. Yale Univ. Press, 1955.
227. Lande A. New Foundations of Quantum Mechanics. Cambridge Univ. Press,
Cambridge, 1965.
228. Larsson J.-A. Quantum Paradoxes, Probability Theory, and Change of
Ensemble. Linkoping Univ. Press, Linkoping, 2000.
229. Larsson J.-A. Bell inequalities for position measurements // In:
Khrennikov A. Yu. (ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations.

280
Список литературы
Р. 353-364. Ser. Math. Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003;
electronic volume: http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
230. Larsson /.-A, Gill R. Bell's inequality and the coincidence time loophole //
In: Adenier G., Khrennikov A. Yu. (eds) Foundations of Probability and
Physics-3. P. 228-235. American Institute of Physics, Ser. Conference
Proceedings 750, Melville, NY, 2005.
231. Lockwood M. Mind, Brain and Quantum. Blackwell, Oxford, 1989.
232. Loubenets E.R. General framework for the probabilistic
description of experiments // In: Khrennikov A. Yu. (ed) Quantum
Theory: Reconsideration of Foundations-2. P. 385-387. Ser. Math.
Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2004; electronic volume:
http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
233. Ludwig G. Foundations of quantum mechanics. Springer, Berlin, 1983.
234. Mackey G. W. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. W. A.
Benjamin Inc., NY, 1963.
235. Manko V.I. Classical formulation of quantum mechanics // J. of Russian
Laser Research 17, 579-584, 1996.
236. Manko О. V., Manko V.I. Classical Mechanics Is not the hstrok, rarr 0 Limit
of Quantum Mechanics // J. Russian Laser Research 25, 477-492, 2004.
237. Manko V.I.t Shchukin E. V. A charged particle in an electric field in the
probability representation of quantum mechanics // J. Russian Laser Research
22, 545-560, 2001.
238. Manko M.A., Manko V.I., Mendes V.I.: A probabilistic operator
symbol framework for quantum information // J. Russian Laser Research 27,
507-532, 2006.
239. Mantegna R.N., Stanley H.E. Introduction to Econophysics. Cambridge
Univ. Press, Cambridge, 2000.
240. Mermin N. D. Is the moon there when nobody looks? Reality and quantum
theory. Phys. Today, April, 38-41, 1985.
241. Mermin N.D. Whose knowledge? In: Khrennikov A.Yu. (ed)
Quantum Theory: Reconsideration of Foundations. Ser. Math. Model. 2.
P. 261-270, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002; electronic volume:
http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
242. Muckenheim W. A Review of Extended Probability // Phys. Rep. 133,
338-401, 1986.
243. Nanasiova O., Khrennikov A.Yu. Representation theorem of observables on
a quantum system // Int. J. Theor. Phys. 45, 469-482, 2006.
244. Nelson E. Quantum Fluctuations. Princeton Univ. Press, Princeton, 1985.
245. Nieuwenhuizen, Th. M.: Classical phase space density for relativistic
electron // In: Adenier G., Khrennikov A. Yu. and Nieuwenhuizen, Th.M. (eds.):
Quantum Theory: Reconsideration of Foundations-3. P. 198-210. American
Institute of Physics, Ser. Conference Proceedings 810, Melville, NY, 2006.
246. Orlov Y.F. The wave logic of consciousness: A hypothesis // Int. J. Theor.
Phys. 21,1, 37-53, 1982.
247. Pearle P. Hidden-Variable Example Based upon Data Rejection , Phys. Rev.
D 2 1418, 1970.
248. R. Penrose, The emperor's new mind. Oxford Univ. Press, NY, 1989.
249. Penrose R. Shadows of the Mind. Oxford University Press, Oxford, 1994.

Список литературы
281
250. Peres A. Unperformed experiments have no results // Am. J. of Physics 46,
745, 1978.
251. Peres A. Quantum Theory: Concepts and Methods. Kluwer Academic Publ.,
Dordrecht, 1994.
252. Perez-Suarez M., Santos D.J. Quantum mechanics as an information theory:
Some further missing on a Fuchsian proposal // In: Khrennikov A. Yu.
(ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations. P. 469-478. Ser.
Math. Model. 2, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2002; electronic volume:
http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
253. Pitowsky I. Resolution of the Einstein-Podolsky-Rosen and Bell Paradoxes //
Phys. Rev. Lett. 48, 1299-1302, 1982.
254. Pitowsky I. Deterministic Model of Spin and Statistics // Phys. Rev. D 27,
2316-2326, 1983.
255. Piotrowski E. W., Sladkowski J. Quantum-like approach to financial risk:
quantum anthropic principle // Acta Phys. Polonica В 32, 3873-3879, 2001.
256. Piotrowski E. W., Sladkowski J. Quantum market games // Physica A. 312,
208-216, 2002.
257. Piotrowski E. W., Sladkowski /., Syska J. Interference of quantum market
strategies // Physica A. 318, 516-528, 2003.
258. Piotrowski E. W., Sladkowski J. An invitation to quantum game theory //
Int. J. Theor. Phys. 42, 1089, 2003.
259. Piotrowski E. W. Fixed point theorem for simple quantum strategies in
quantum market games // Physica A. 324, 196-200, 2003.
260. Piotrowski E. W.y Sladkowski J. Quantum games in finance // Quantative
Finance 4, C61-C67, 2004.
261. Piotrowski E. W., Sladkowski J. Quantum diffusion of prices and profits //
Physica A. 345, 185-195, 2005.
262. Piotrowski E. W.t Schroeder M., Zambrzycka A. Quantum extension of
European option pricing based on the Ornstein-Uhlenbeck process // Physica
A. 368, 176-182, 2006.
263. Plotnitsky A. Reading Bohr: Complementarity, Epistemology, Entanglement,
and Decoherence // In: Gonis Л., Turchi P. (eds) NATO Workshop Deco-
herence and its Implications for Quantum Computations. P. 3-37. IOS Press,
Amsterdam, 2001.
264. Plotnitsky A. The Knowable and Unknowable: Modern Science, Nonclassical
Thought, and the "Two Cultures." Univ. Michigan Press, 2002.
265. Plotnitsky A. "This is an extremely funny thing, something must be
hidden behind that": Quantum waves and quantum probability with Erwin
Schrodinger // In: Adenier G., Khrennikov A. Yu. (eds) Foundations of
robability and physics—3. P. 388-408. American Institute of Physics, Ser.
Conference Proceedings 750, Melville, NY, 2005.
266. Plotnitsky A. Reading Bohr: Physics and Philosophy. Springer, Dordrecht,
2006.
267. Pylkkanen P. (ed): The search for meaning. Wellingborough, Thorsons, 1989.
268. Rastal P. Found. Phys. 13, 555, 1983.
269. Santos E. Found. Phys. 21, 221, 1991.
270. Santos E. Phys. Rev. Lett. 66, 1388, 1991.

282
Список литературы
271. Schack R. Bayesian versus frequentist predictions in quantum tomography //
In: Adenier C, Fuchs C, Khrennikov A. Yu. (eds) Foundations of Probability
and Physics-3. P. 230-234. American Institute of Physics, Ser. Conference
Proceedings 889, Melville, NY, 2007.
272. Schrodinger E. Die gegenwartige Situation in der Quantenmechanik // Natur-
wissenschaften 23, 807-812; 823-828; 844-849, 1935.
273. Schrodinger E. Philosophy and the Birth of Quantum Mechanics. Bitbol M.,
Darrigol 0. (eds). Editions Frontieres, Gif-sur-Yvette, 1992.
274. Segal W., Segal I.E. The Black-Scholes pricing formula in the quantum
context. Proc. Nat. Acad. Sc. USA 95, 4072-4075, 1998.
275. Shimony A. Search for a naturalistic world view. Cambridge Univ. Press,
Cambridge, 1993.
276. Shimony A. On mentality, quantum mechanics and the actualization of
potentialities // In: Penrose R.y Longair M. (eds) The Large, the Small and
the Human Mind. Cambridge University Press, NY, 1997.
277. Shiryaev A.N. Probability. Springer, NY-Berlin-Heidelberg, 1984.
278. Shiryaev A.N. Essentials of Stochastic Finance: Facts, Models, Theory.
WSP, Singapore, 1999.
279. Soros J. The Alchemy of Finance. Reading of Mind of the Market // J. Wiley
and Sons, Inc., NY, 1987.
280. Stapp H.P. S-Matrix Interpretation of Quantum Theory , Phys. Rev. D 3,
1303, 1971.
281. Stapp H.P. Mind, Matter and Quantum Mechanics. Springer-Verlag,
Berlin-NY-Heidelberg, 1993.
282. Stenholm S. Two dogmas of quantum theory // In: Khrennikov A. Yu.
(ed) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations-2. P. 519-532. Ser.
Math. Model. 10, Vaxjo University Press, Vaxjo, 2003; electronic volume:
http://www.vxu.se/msi/forskn/publications.html.
283. Svozil K. Quantum Logic. Springer, Berlin, 1998.
284. Svozil K. Randomness and Undeciability in Physics. WSP, Singapore, 1993.
285. 7 Hooft G. Quantum Gravity as a Dissipative Deterministic System.
http://xxx.lanl.gov/abs/gr-qc/9903084, 1999.
286. 't Hooft G. The mathematical basis for deterministic quantum mechanics.
http://arxiv.org/abs/quant-ph/0604008, 2006.
287. 't Hooft G. The -Free-Will Postulate in Quantum Mechanics.
http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0701097vl, 2007.
288. Vitiello G. My Double Unveiled — the Dissipative Quantum Model of Brain.
J. Benjamins Publ. Company, Amsterdam/Philadelphia, 2001.
289. Vladimirov V.S., Volovich I. V., Zelenov E.I. P-adic analysis and
mathematical physics. WSP, Singapore, 1993.
290. Volovich I. V. Quantum cryptography in space and Bell's theorem // In:
Khrennikov, A,Yu. (ed) Foundations of probability and physics. P. 364-372.
QP-PQ: Quantum Prob. White Noise Anal. 13. WSP, River Edge, NJ, 2001.
291. Von Mises R. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Math. Z. 5,
52-99, 1919.
292. Von Mises R. Probability, Statistics and Truth. Macmillan, London, 1957.
293. Von Mises R. The Mathematical Theory of Probability and Statistics.
Academic, London, 1964.

Список литературы
283
294. Von Neumann /., Morgenstern О. Theory of Games and Economic Behavior.
Princeton University Press, Princeton, 1947.
295. Von Neuman J. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Princeton
University Press, Princeton, 1955.
296. Weihs G. A test of Bell's inequality with spacelike separation // In:
Adenier C, Fuchs C, Khrennikov A. Yu. (eds) Foundations of Probability and
Physics-4. P. 250-262. American Institute of Physics, Ser. Conference
Proceedings 889, Melville, NY, 2007.
297. Whitehead A.N. Process and Reality: an Essay in Cosmology. Macmillan
Publishing Company, NY, 1929.
298. Wightman A.S. Hilbert's sixth problem: mathematical treatment of the
axioms of physics. Proc. Symposia in Pure Math. 28, 147-233, 1976.
299. Wigner E.P. The problem of measurement // Am. J. Phys. 31, 6-46, 1963.
300. Wright R. Generalized urn models // Found. Phys. 20, 881-907, 1991.

Научное издание
ХРЕННИКОВ Андрей Юрьевич
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ИНФОРМАЦИИ
Редактор Н.Б. Бартошевич-Жагель
Оригинал-макет: Д.В. Горбачев
Подписано в печать 07.06.08. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 17,75
Уч.-изд. л. 19,5. Тираж 500 экз. Заказ №3530
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАЙК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ОАО «Ивановская областная типография»
153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6
E-mail: 091-018@adminet.ivanovo.ru
isbn 978-5-9221-0951-2
9|,7в5922,,109512"

Профессор прикладной математики
университета г. Векшё, Швеция, директор
Международного центра математического
моделирования в физике и когнитивных
науках. Первая монография "Суперанализ",
Физматлит, 1994 (второе издание 2006).
В дальнейшем автор активно работал в области
р-адических динамических систем и
приложений р-адического анализа к психологии.
В этой области им написано 6 монографий, в том
числе на русском языке: "Неархимедов анализ
и его приложения" и "Моделирование
процессов мышления в р-адических координатах",
Физматлит, 2003, 2004. Последние 10 лет
важнейшее место в разносторонней
исследовательской деятельности А.Ю. Хренникова
занимают основания квантовой механики
и квантовая теория информации.
Предлагаемая книга базируется на
дискуссиях с сотнями экспертов по основаниям
квантовой механики и квантовой теории
информации и дает наглядное представление
о проблемах, возникающих в этих бурно
развивающихся областях науки»