Основы теории ускоренных испытаний на надежность - Степанова М.Д., Пешес Л.Я.

Глава I. Оценка надежности и ее особенности

Глава II. Основные положения форсированных испытаний на надежность

2. Основные математические соотношения. Линейные и нелинейные модели

Глава III. Определение верхней границы нагружения для проведения форсированных испытаний

2. Общие методы нахождения границы нагружения для проведения форсированных испытаний

3. Определение границы форсирования для линейных моделей

Глава IV. Методы определительных форсированных испытаний на надежность

2. Испытания объектов 1-го вида в общем случае

3. Испытания объектов 1-го вида в линейном случае

4. О выборе программ определительных форсированных испытаний на надежность объектов 1-го вида

Глава V. Ускоренные контрольные испытания в форсированных режимах

2. Минимизация времени контрольных испытаний на надежность

3. Пример оптимизации программы контрольных испытаний на надежность

Глава VI. Методы сокращения времени оценки надежности путем испытаний в нормальном режиме и комбинированных испытаний

2. Прогнозирование надежности изделий по данным наблюдений, полученным в ходе испытаний

3. Комбинированные ускоренные испытания на надежность

Приложение I. Обработка экспериментальных данных по выбору закона распределения и нахождения численных характеристик случайных величин

Приложение II. Оценка точности моделей форсированных испытаний

Приложение III. Некоторые задачи оценки надежности в переменном режиме

Author: Степанова М.Д. Пешес Л.Я.

Tags: общие характеристики испытания материалов товароведение силовые станции общая энергетика инженерия инженерное дело теория надежности издательство наука и техника надежность

Year: 1972

Similar

Надежность технических систем и оценка риска

Испытание материалов, изделий и конструкций

Ускоренные методы коррозионных испытаний металлов

Сопротивление материалов. Т.2. Более сложные вопросы теории и задачи

Text

АКАДЕМИЯ НАУ К БССР
Институт проблем надежности
и долговечности машин
Л. Я. Пешее, М. Д. Степанова
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ
УСКОРЕННЫХ
ИСПЫТАНИЙ
НА
НАДЕЖНОСТЬ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА И ТЕХНИКА»
МИНСК1972

П31
УДК 62— 19+620.119
Пешее Л. Я., Степанова М. Д. «Основы
теории ускоренных испытаний на надежность».
Минск, «Наука и техника», 1972, стр. 168.
В книге дается решение некоторых задач надежности
и излагаются основы общей теории ускоренных испытаний
на надежность промышленных изделий в форсированных
и нормальных режимах.
Показывается необходимость и эффективность ускоренных
испытаний при оценке количественных характеристик
надежности в условиях современного производства.
Рассматриваются цели и задачи испытаний на
надежность, а также направления проведения ускоренных
испытаний. Приводится классификация объектов
испытаний и указываются методы планирования и проведения
форсированных испытаний для объектов каждого
типа. Дан способ построения оптимальных планов контрольных
форсированных испытаний на надежность.
Рассматриваются возможности сокращения времени
оценки надежности при испытаниях в нормальных режимах
за счет использования априорной информации о виде
распределения времени безотказной работы и применения
методов прогнозирования по данным наблюдений, полученных
в ходе эксперимента, а также комбинированные
ускоренные испытания.
Таблиц 23, иллюстраций 18, библиография — 70 названий.
Предназначена для широкого круга лиц, занимающихся
вопросами надежности, сотрудников научно-исследовательских
организаций и промышленных предприятий,
а также будет полезна студентам вузов, изучающим
теорию надежности.
Научный редактор
член-корреспондент АН СССР
Е. П. ПОПОВ
3— 13— 2
117— 72

ПРЕДИСЛОВИЕ
Разработка и внедрение методов ускоренных испытаний
на надежность являются основой успешного решения
различных задач проблемы надежности. Улучшение
качества промышленной продукции невозможно без
всесторонней и объективной информации о ее свойствах.
Одним из главных этапов оценки качества работы и технического
уровня как самих изделий, так и отрасли, их
выпускающей, является определение и контроль характеристик
надежности, включаемых в стандарты, техническую
документацию и условия приемки. Такие данные
в значительной степени определяют целесообразность
осуществления различных технических мероприятий
и теоретических разработок, связанных с надежностью
промышленной продукции. Ускоренные испытания надежности
представляют собой наиболее эффективный
путь оперативного получения указанной информации,
что и определяет их важное место в общей проблеме надежности.
Идея написания настоящей книги была подана профессором,
доктором технических наук Н. М. Седякиным,
который должен был стать одним из ее авторов. Все, кто
его знал, всегда будут помнить об этом замечательном
человеке и талантливом ученом.
Посвящая книгу его светлой памяти, авторы лишь
в малой степени отдают дань тому глубокому уважению,
которым пользовался он среди нас.
Предлагаемая книга не претендует на полное изложение
теории ускоренных испытаний на надежность.
В ней отсутствует целый ряд сведений, касающихся специальных
вопросов подготовки, организации и проведения
испытаний.
Книга по своему характеру является прикладной,
и традиционным вопросам теории надежности уделяется
значительно меньше места, чем обычно. В то же время
3

в нее включены все необходимые сведения, чтобы основной
материал был доступен без специальной математической
подготовки. Книга нацелена на решение инженерных
задач по ускоренным испытаниям надежности
и содержит примеры экспериментов, которые могут служить
рекомендацией, как поступать в подобных ситуациях.
Значительная часть результатов была опубликована
ранее в различных источниках, но они не были систематизированы.
При написании книги авторы широко пользовались
помощью, критикой и поддержкой ряда лиц и организаций,
которым они весьма признательны. Авторы выражают
искреннюю благодарность научному редактору
члену-корреспонденту АН СССР Е. П. Попову и профессору
Р. С. Судакову за тщательный просмотр рукописи
и полезные замечания.
Учитывая, что проблема ускоренных испытаний на
надежность является одной из наиболее сложных и наименее
разработанных проблем теории надежности, предлагаемая
книга, по-видимому, содержит определенные
недостатки. Поэтому авторы с благодарностью воспримут
все критические высказывания.

ВВЕДЕНИЕ
Рост сложности, повышение ответственности выполняемых
функций, расширение диапазона режимов
использования и другие тенденции развития современной
техники предъявляют к ее надежности высокие требования.
Однако чем выше надежность, тем, как правило,
ее труднее определить. Использование для решения
задач по оценке надежности обычных методов, основанных
на сборе и обработке данных о надежности машин,
приборов, устройств и их элементов в эксплуатации,
весьма важно и необходимо, но требует значительного
времени. Основным источником данных по надежности
технических устройств на стадиях проектирования, изготовления
и в течение всего срока эксплуатации служат
специальные испытания, являющиеся главным звеном
в любой достаточно полной программе по исследованию
надежности. Но такие испытания, при которых имитируются
реальные эксплуатационные режимы работы изделий
и фиксируются необходимые сведения по надежности,
для большинства видов продукции весьма длительны.
Несвоевременность поступающей информации значительно
снижает ее ценность и затрудняет оперативное
управление качеством выпускаемой продукции, существенно
ограничивает практическую применимость методов
теории надежности при расчете, проектировании
и изготовлении изделий с заданными характеристиками
надежности.
Сокращение времени получения информации для постановки
своевременного диагноза возможности выполнения
конкретным типом изделий, возложенных на него
функций в условиях современного производства, когда
на надежность выпускаемой продукции влияет целый
комплекс различных факторов, может быть осуществлено
только путем проведения ускоренных испытаний.
Учитывая, что оценка надежности не является самоцелью,
а служит основой планирования мероприятий по
5

наиболее рациональному выполнению поставленных заданий
и стимулом модернизации старых и разработки
новых изделий, ускоренные испытания должны стать
звеном обратной связи в сложной системе потребитель
— производство. С одной стороны, их использование
обеспечит быстрое поступление информации о надежности
готовой продукции в сферу производства,
а с другой стороны, будет способствовать повышению
качества изделий, получаемых потребителем.
Цель настоящей книги состоит в том, чтобы изложить
направления, принципы и методы ускоренных испытаний
на надежность и проиллюстрировать их результатами
экспериментов.
Стремление рассмотреть основные вопросы ускоренных
испытаний с единой точки зрения привело к исследованию
закономерностей утраты работоспособности,
общих для объектов различного вида. При этом физико-
химические процессы, приводящие к отказам, настолько
многообразны, что описание характеристик отдельных
видов разрушения не может явиться основой для обобщений.
Для этой цели предлагается использовать математические
модели, отражающие статистический и вероятностный
характер различных процессов утраты
работоспособности. При этом сначала формулируются
некоторые достаточно общие посылки (условия), которым
должны удовлетворять изучаемые объекты и отношения
между ними, а затем логическим путем доказывается
ряд теорем и положений. Сами же объекты
(в данном случае процессы, изделия и режимы), а также
их свойства и отношения не оперделяются, но требуется
выполнение указанных условий.
Так как во всяком умозаключении истинность вывода
зависит от того, насколько верны посылки, то формулировка
последних потребовала предварительного анализа
и обобщения накопленного опыта проведения испытаний
надежности в различных отраслях техники. Все это
послужило базой для разработки некоторых вопросов
теории и создания формализованных математических
моделей ускоренных испытаний на надежность. Как
следствие этих моделей, предложен ряд практических
методов проведения ускоренных испытаний. Широкое
внедрение этих испытаний позволит осуществить эффективный
диагноз надежности выпускаемой продукции.

Глава I
ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ И ЕЕ ОСОБЕННОСТИ
1. ХАРАКТЕРИСТИКИ НАДЕЖНОСТИ
«Надежность — это свойство изделия выполнять заданные
функции, сохраняя свои эксплуатационные показатели
в заданных пределах в течение требуемого
промежутка времени или требуемой наработки» [64].
Это комплексное свойство обусловлено целым рядом
конструктивных, производственно-технологических и
эксплуатационных факторов. Следствием многообразия
и сложного переплетения параметров, влияющих на надежность
любого изделия, является случайный характер
процессов изменения их свойств во времени, приводящий
к отдельным нарушениям работоспособности, появлению
неисправностей и отказов. Поэтому надежность всякого
объекта описывается вероятностными характеристиками
и только вероятностно-статистические закономерности
могут служить основой при решении рассматриваемых
задач по оценке работоспособности материалов, деталей,
блоков, узлов, систем, комплексов и т. п.
Знание количественных характеристик надежности
требуется при оценке технического уровня изделий,
сравнении различных конструктивных и технологических
решений, нахождении количества оборудования, необходимого
для выполнения задания, планировании объема
выпуска продукции, установлении целесообразности
производства и эксплуатации оборудования определенного
вида, разработке методов обслуживания и т. д.
Показатели надежности в общем случае могут сильно
различаться для восстанавливаемых (ремонтируемых)
и невосстанавливаемых (перемонтируемых)
изделий.
7

Под невосстанавливаемыми изделиями понимаются
объекты, работа которых после отказа считается невозможной
или нецелесообразной. К ним относятся, с одной
стороны, простые элементы и детали, входящие в состав
более сложных устройств: резисторы, конденсаторы,
диоды, транзисторы, электровакуумные приборы, моточные
изделия, коммутационные изделия, модули, подшипники,
тросы, пружины, шестерни, редукторы и т. п.,
а с другой стороны, весьма сложные объекты (например,
космические аппараты), которые не могут ремонтироваться
в виду специфических условий эксплуатации.
Восстанавливаемыми устройствами называются изделия,
эксплуатация которых предусматривает проведение
после отказа необходимых ремонтных работ. Это автомобили,
вычислительные машины, металлообрабатывающее
оборудование, телевизоры, холодильники и т. п.
Некоторые изделия в зависимости от специфики
использования в одном случае могут рассматриваться
как восстанавливаемые, а в другом — как невосстанавливаемые.
Например, бортовая аппаратура ракеты
в предпусковой период при хранении, транспортировке,
подготовке к использованию может быть неоднократно
проверена и при обнаружении недопустимых отклонений
восстановлена, а в течение полета она, как правило,
является перемонтируемой.
Наиболее полной характеристикой надежности невосстанавливаемых
изделий является закон F(t) распределения
времени безотказной работы от момента включения
до возникновения отказа. Можно указать другие
эквивалентные полные характеристики и связь между
ними:
1) вероятность безотказной работы Р (t) = 1 — F (/);
2) частота отказов f(t) = = F' (/) = — Р' (/),
dt
т. е. плотность распределения времени до отказа;
Р’ (О
3) интенсивность отказов X (f) = -
.
7 Р (О
Интегрируя последнее равенство, получим
t
- J4(T)dT
P(0 = e 0
8

Таким образом, знание одной из функций F(f), P(t),
f (/), K(t) позволяет найти остальные.
Частными характеристиками надежности невосстанавливаемых
изделий могут быть: среднее время безотказной работы
^ср = J tf(t)dt =]p(t) dt,
о о
начальные vt или центральные моменты высших порядков
Vi = f tlf (/) dt,
6
И; = J (t — Tcp)lf(f) dt,
0
а также квантили T распределений для фиксированных
уровней qQ, определяемые из уравнения qQ = F(T).
Для восстанавливаемых изделий в процессе эксплуатации
происходит последовательное чередование интервалов
работоспособности и простоев, связанных с ремонтом
после отказа, до тех пор, пока изделие не исчерпает
свой ресурс. Поэтому полными характеристиками надежности
этих изделий являются законы распределения
наработок между отказами и длительности восстановления
после соответствующего отказа.
В общем случае распределение наработок между
1-м и f+1-м отказами отличается от распределения времени
безотказной работы между другими соседними отказами.
Аналогичные соображения справедливы и для
распределения времени восстановления. Такая дифференциация
распределений по каждому отказу приводит
к значительным осложнениям в оценке надежности.
Однако в большинстве практических случаев, когда
можно предположить, что ремонт возвращает изделие в
исходное исправное состояние, рассматриваемые распределения
не зависят от номера отказа. При этом одна из
полных характеристик надежности восстанавливаемых
изделий — закон распределения F(t) наработок между
соседними отказами — и его эквиваленты P(t), 1(1),
K(t) совпадают с соответствующей полной характеристикой
надежности невосстанавливаемых изделий. Та-
9

ким образом, описание надежности ремонтируемых
изделий во многом сводится к решению одной и той же
задачи. Кроме того, для востанавливаемых изделий
применяется еще одна полная характеристика работоспособности
— параметр потока отказов А(/), представляющий
собой среднее количество отказов ремонтируемого
изделия в единицу времени, взятое для рассматриваемого
момента времени. Эта функция связана с плотностью
распределения f(t) наработок между отказами
интегральным уравнением
Л (0 =/(/) + J Л (т) f (t — т) dx.
О
Указанное уравнение в операторной форме может быть записано
в виде
А*(р) = /*(р) +/*(р)Л*(р),
т. е.
где ср* (р) = j е (t) dt — изображение по Лапласу функ-
о
ции ≪р(/).
Такая запись позволяет получить решение в конечном
виде.
Аналогичные полные характеристики могут рассматриваться
и для случайных величин длительностей восстановления.
Частные показатели надежности ремонтируемых изделий
представляют собой характеристики, часть из которых
связана только со случайными величинами времени
исправной работы или восстановления: среднее значение
наработок между отказами, среднее время восстановления,
моменты и квантили распределений наработок и
восстановлений. Другие являются комплексными характеристиками
процесса работы и ремонта: вероятность
выполнения задания; коэффициент готовности — вероятность
того, что изделие будет работоспособно в произвольно
выбранный момент времени; коэффициент технического
использования, показывающий, какую долю
общего времени работы, простоя и обслуживания изде-
ю

лие исправно функционирует; коэффициент простоя, характеризующий
долю времени на вынужденные простои
и т. д.
Наличие полных характеристик надежности предопределяет
однозначное нахождение ряда частных
характеристик. Обратное утверждение неверно, т. е.
знание частных показателей надежности не позволяет
установить полные характеристики надежности исследуемых
изделий. В то же время при решении конкретных задач,
связанных с надежностью, часто требуются лишь некоторые
из частных характеристик. Поэтому возникает
задача выбора системы частных показателей надежности
для определенного типа изделий. Основная номенклатура
этих показателей должна задаваться исходя из целей,
для которых они предназначены (сравнение изделий по
надежности, разработка системы профилактики, комплектация
запасных частей и т. п.), и отражать характер
функционирования и режим использования оцениваемых
изделий. В настоящее время такие системы
показателей разрабатываются в различных отраслях промышленности
и в общегосударственном масштабе.
При этом надо иметь в виду, что решение практических
задач, связанных с надежностью, при наличии нескольких
частных показателей, как правило, весьма затруднительно
и предусматривает наличие некоторой
комплексной характеристики, функционально зависимой
от них. Поэтому практика составления разветвленной
системы показателей, по-видимому, является неверной.
Основной перечень частных характеристик должен иметь
минимальную номенклатуру и быть достаточным для
оценки надежности рассматриваемого изделия. Во многих
случаях указанное условие выполняется при наличии
одной характеристики надежности— вероятности выполнения
изделием задания в течение требуемого времени
при определенных условиях эксплуатации. Нетрудно
увидеть, что наиболее распространенные характеристики
надежности изделий являются частным случаем приведенной
меры при определенном смысле, вкладываемом в
понятие «задание». Например, если нужно, чтобы устройство
было работоспособно в произвольно выбранный момент
времени на заданном интервале, то указанная вероятность
совпадает с коэффициентом готовности. Если
требуется, чтобы изделие исправно проработало опреде-
11

ленную долю времени за некоторый период, то коэффициент
технического использования тождествен с мерой
выполнения задания и т. д.
Частные показатели надежности конкретных видов
продукции (особенно компонентов, не имеющих самостоятельного
эксплуатационного назначения) могут быть
определены из полных характеристик. Целесообразность
определения полных характеристик надежности комплектующих
изделий связана с тем, что эта продукция идет
на комплектацию самого различного по назначению,
использованию и характеру функционирования оборудования.
При оценке работоспособности последнего могут
требоваться различные показатели надежности составных
элементов. Поэтому информация о надежности компонентов
должна быть достаточно полной.
Однако неточность определения полных характеристик
может приводить к грубым ошибкам. Малые расхождения
эмпирической функции распределения и функции,
использованной для выравнивания, не исключают
существенных расхождений в результате. При обработке
опытных данных критерии хи-квадрат, омега-квадрат,
Колмогорова и др. зачастую не дают основания отвергнуть
несколько теоретических распределений, каждое из
которых имеет числовые характеристики (математическое
ожидание, дисперсия, эксцесс, асимметрия, квантили
и т. д.), соответствующие значения которых в десятки
и сотни раз отличаются друг от друга. Дело в том,
что, с одной стороны, неизвестен полный перечень необходимых
распределений, а с другой, отсутствуют обоснованные
правила их выбора. Это вынуждает применять
статистические методы вслепую, что приводит к большим
погрешностям и неправильным выводам. В книге предлагается
метод обработки экспериментальных данных
(приложение I), позволяющий исключить грубые ошибки.
Этот метод базируется на следующих ‘соображениях.
Наиболее существенные особенности законов распределения
случайных величин выражают числовые характеристики
— моменты, семиинварианты и др. Во многих
случаях знания некоторых числовых характеристик достаточно
для решения поставленных задач. Кроме того,
если для выравнивания выбрано такое теоретическое
распределение, численные характеристики которого
близки к оценкам соответствующих численных характе-
12

ристик, полученным по эмпирическим данным, то погрешности
расчета от неправильного выбора вида распределения,
как правило, весьма незначительны. Понятие
близости, указанное выше, определяется по вхождению
теоретических характеристик в доверительные границы
оценок эмпирических численных характеристик с
заданным уровнем доверия. Практическое решение указанной
задачи ведется путем статистического моделирования
на ЭЦВМ.
2. УСКОРЕННЫЕ ИСПЫТАНИЯ НА НАДЕЖНОСТЬ
Вероятностный характер показателей надежности приводит
к тому, что их определение встречает ряд специфических
трудностей. Они не могут быть найдены таким
же образом, как другие технические или физические
параметры изделий: скорость, мощность, потребляемая
Энергия, производительность, температура, давление и
т. п. Как уже указывалось выше, наиболее эффективная
оценка может быть получена путем ускоренных испытаний
на надежность.
Ускоренными испытаниями на надежность называются
такие испытания, которые позволяют оценить требуемые
характеристики надежности в более короткие сроки
по сравнению со временем, соответствующим определяемому
уровню показателя надежности. Иными словами, к
ускоренным испытаниям надежности относятся такие
испытания, которые за время позволяют дать оценку
надежности исследуемого изделия в течение времени t
непосредственного использования изделия по назначению,
т. е. чистой работы, где t>t^. Все виды испытаний,
для которых не соблюдается указанное соотношение, не
являются ускоренными. Отнесение некоторых видов
испытаний, для которых к ускоренным следует
считать ошибочным. Происходит это из-за отсутствия
четкого определения. Например, уплотненные во времени
испытания за счет сокращения длительности простоев,
замеров, монтажа и т. п. (если уплотнение не выходит
за рамки, допустимые техническими условиями на эксплуатацию
изделия) не являются ускоренными, так как
время, для которого даются соответствующие оценки, не
превосходит продолжительности испытаний. На том же
основании получение показателей надежности путем
13

наблюдений за лидерной группой не может классифицироваться
как ускоренные испытания.
Другой существенной стороной приведенного выше
определения является обязательное требование оценки
показателей надежности. Часто вместо ускоренных испытаний
на надежность предлагаются программы сокращения
времени нахождения некоторых физических постоянных,
условных величин, применяемых в инженерных
расчетах, и т. п. Например, ускоренные испытания на
усталость по определению условных пределов выносливости,
прочности и т. п. не относятся к испытаниям на надежность,
так как определение указанных величин не дает
оценки надежности рассматриваемых изделий в заданных
режимах. Более того, в одном и том же режиме характеристики
надежности изделий, выходящих из строя
только по усталостным причинам, не будут выше для
изделий, имеющих более высокие значения условных
пределов выносливости, прочности и т. п. Аналогичные
соображения следуют и для ускоренных испытаний на
износостойкость, коррозийную стойкость и т. д. Такого
рода испытания могут быть отнесены к испытаниям на
надежность только в том случае, если между получаемыми
характеристиками и параметрами надежности
существует и может быть установлена вполне определенная
связь.
По своему целевому назначению ускоренные испытания
так же, как и обычные испытания на надежность,
делят на определительные и контрольные. Определительные
испытания проводятся для установления фактических
значений показателей надежности исследуемых изделий.
Контрольные испытания предназначены для
оценки соответствия надежности рассматриваемой продукции
заданным требованиям стандарта и технических
условий. Такие испытания не позволяют найти количественные
характеристики надежности, но дают возможность
с определенной доверительной вероятностью установить,
что надежность изделия не ниже некоторого
уровня.
В зависимости от способов сокращения времени можно
указать следующие основные направления проведения
ускоренных испытаний на надежность:
1) испытания, при которых режимы работы изделий
соответствуют нормальным условиям, оговоренным в тех-
14

нических условиях на эксплуатацию, а сокращение времени
достигается за счет использования определенных
статистических моделей;
2) форсированные испытания с последующим пересчетом
результатов к нормальным условиям; уменьшение
времени получения требуемой информации осуществляется
за счет интенсификации процессов разрушения,
ведущих к быстрому исчерпанию ресурса работоспособности
и появлению отказов;
3) комбинированные испытания изделий, при которых
используются оба из указанных выше путей.
Полная классификация объектов в зависимости от
наиболее эффективного направления проведения ускоренных
испытаний на надежность в настоящее время не
представляется возможной. Однако имеются некоторые
соображения общего характера, справедливость которых
будет показана в следующих разделах.
Эффективность форсированных ускоренных испытаний
резко снижается с увеличением сложности изделий.
С другой стороны, статистика надежности сложных изделий
часто обладает рядом предельных свойств, позволяющих
организовать достаточно экономичные ускоренные
испытания в нормальных режимах. В некоторых случаях
такими свойствами обладает не вся система в
целом, а отдельные ее части. Тогда испытаниям подвергаются
компоненты изделия, причем одни в форсированных
режимах, а другие в нормальных. Таким образом,
комбинированным испытаниям на надежность подвергается
изделие, расчлененное на части (элементы), а
оценка надежности осуществляется по совокупности полученных
результатов.
Эти положения не отрицают в ряде конкретных случаев
целесообразности ускоренных испытаний на надежность
в нормальных режимах простых изделий (материалов,
деталей и т. п.) и форсированных испытаний на надежность
сложных изделий.

Глава II
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ФОРСИРОВАННЫХ
ИСПЫТАНИЙ НА НАДЕЖНОСТЬ
1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ и ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Исходными понятиями при разработке основных положений
форсированных испытаний на надежность являются
режим и мера ресурса работоспособности.
Назовем режимом (нагрузкой) вектор X{xx(t),
...» хп(0}> характеризуемый набором составляющих,
представляющих собой совокупность значений воздействующих
факторов: климатических (температура,
давление, влажность, запыленность окружающей среды),
электрических (напряжение, рассеиваемая мощность),
механических (частота вибраций, момент сопротивления,
напряжение), тепловых, радиационных и т. д.
Составляющие Xi(t), i=l, 2, ..., п, являются некоторыми
функциями времени, и в зависимости от их вида
режим X может быть либо детерминированным (когда
все функции Xi(t), f=l, 2, ..., п, детерминированные),
либо случайным (когда хотя бы одна из функций хД/),
z= 1, 2, ..., п, случайная).
Если два режима x2(Z), хп (/)} и У{#х(/),
r/2(Z), • • •» Уп (0) с одинаковым числом и видом составляющих
отличаются лишь одной из них при равенстве других,
т. е. xt (/) = yt (t), i k, xh (/) =£ yk (/), то такие режимы
могут быть охарактеризованы своими различными составляющими
X=xh(f), Y = yh(t). Данный случай является
наиболее распространенным в практике форсированных испытаний
на надежность.
В настоящей работе рассматриваются детерминированные
режимы и для их обозначения используются X,
Y, Z, предполагая, что численные величины составляющих
заданы.
16

Назовем эксплуатационным (нормальным) режимом
Хэ такой режим, в котором ни одна из составляющих не
выходит за границы значений, установленных техническими
условиями.
Форсирование осуществляется путем ужесточения одной
или нескольких составляющих режима. Это приводит
к увеличению напряжений в элементах, повышению
скоростей износа, коррозии, накопления усталостных повреждений,
ускорению физико-химических процессов
диффузии, адсорбции, эрозии и т. п., т. е. к интенсификации
утраты изделием работоспособности.
Для оценки влияния режима на развитие процессов
разрушения должна быть введена соответствующая
мера. В качестве такой характеристики в данной работе
предлагается мера ресурса работоспособности.
Пусть со = Fx (/) представляет собой интегральный закон
распределения сроков службы или положительную
строго монотонную функцию относительного изменения математического
ожидания определяющего параметра1 исследуемых
изделий в режиме X. Аргументом функции Fx(t)
может быть любая функция времени, например t = loga т,
t = та, число циклов N и т. д. За меру ресурса работоспособности,
соответствующего уровню со, примем время
Т{х} = Fx~i} (со), где Fx~i] (со) — обратная функция со =
= Fx(t). В частности, если уровень со определяется как
вероятность отказов q, т. е. со = q, то Тх} представляет
собой -100%-ную квантиль распределения q = Fx(t).
Приближенная оценка меры ресурсов работоспособности
по результатам испытаний партии из п изделий в
режиме X может быть произведена двояким образом в
зависимости от характера уровня со. Для случая со = ^
из эмпирической функции распределения
О для 0 ≪ t ≪z тт
mi
п для тх t ≪ т2
Лт)(0 =
1 Для немонотонных на всем отрезке функций рассматриваются
отдельные участки, на которых выполняется указанное свойство.
17

для тг ≪ t ≪ тг
( 1 для xk ≪ t,
где тг — количество изделий, отказавших в интервале (О,.
тг+1), значение меры ресурса Т{х для произвольного уров-
пгг
п
ня ≪? £ можно задать в виде
(тг+1 тг) + тг
— rrtj
Если (о = е, где е — относительное изменение математического
ожидания определяющего параметра, значение меры
Тх} получим как время, удовлетворяющее уравнению
п п
J _ 1 «•— 1
(0)
где Si (t) — значение i-й реализации случайной функции изменения
определяющего параметра в момент t.
Введенное нами понятие меры ресурса работоспособности
позволяет сформулировать определение форсированного
режима Z. Режим Z называется форсированным по отношению
к режиму X и обозначается Z>X, если для любого
уровня со справедливо неравенство ≪T%>) (принцип
форсирования).
Очевидно, что возможность проведения форсированных
испытаний на надежность зависит от наличия некоторого
функционала, связывающего меры ресурса работоспособности
и режимы работы изделия. Так как рассматриваются
режимы, удовлетворяющие принципу форсирования,
то, не ограничивая общности, указанная мера
может быть представлена следующим образом:
Т%» = ≪р(Х, о).
18

Существование этой функции в некотором диапазоне
режимов Е позволяет определить более частную функциональную
зависимость f(X, Z, со), описывающую отношение
мер ресурса работоспособности в режимах X,
ZczE, независимых от времени (X, Z — постоянные или
периодические функции с малыми периодами по сравнению
с соответствующей мерой), т. е.
— f (X, Z, а). (1)
* Z
Оказывается, что наличие этой зависимости f(X, Z,
со), названной функцией связи, является достаточно полной
характеристикой для решения основных задач форсированных
испытаний на надежность. Из самого смысла
функции связи следуют некоторые из ее особенностей.
Отметим ряд свойств, которым должна удовлетворять
эта функция.
1. f(X, Z, со)— однозначная положительная функция,
убывающая по X и возрастающая по Z.
2. Если в функции связи произвести перестановку переменных
X и Z, то будет справедливо равенство f(X, Z,
со) = l/f(Z, X, со).
з. ИХ, г, ») -
Hi' z- ″>
-
»*■ Y' м>
..
/ (Г, X, и) f (Z, Y, ш)
где Y — некоторый режим, отличный от X и Z. Для широкого
класса изделий в некотором диапазоне нагрузок
функция связи не зависит от уровня со, т. е. /(X, Z, со) =
= f (X, Z) = с, где с — некоторое постоянное число, зависящее
от двух фиксированных режимов X и Z. Этот случай
назван линейным, так как зависимость Т{х} от Tz°)
представляет собой прямую линию, проходящую через начало
координат с тангенсом угла наклона, равным с. Для
независимых (или слабозависимых) составляющих режима
функция f(X, Y) обычно может быть представлена в виде
произведения частных функций связи по составляющим
хр *2» • • • > ХП режима X и ух, у2, ..., уп режима У,
т. е.
f (X, Y) = /1 (Хр У]) f2 (х2, у2) ... f п (хп, г/п).
19

Например, некоторые из ft (хь yt) могут быть выражены
в виде
ki ( у\л
ft (xt, yt) = at fi (xj> У1) =
bi + сзУк!> \li
bj + CjX^j J
и т. п., где сц, ki, lif bj, kj, lj, Cj — некоторые постоянные
[39, 52]. Однако отметим, что указанное представление
функции связи даже для независимых составляющих
режима не всегда имеет место. Например, по результатам
исследований [18— 21] временной зависимости прочности
у ряда материалов — металлов, сплавов, пластмасс,
резины, полимеров — функция связи в зависимости
от напряжения о (растяжение, изгиб, кручение) при
статическом и циклическом нагружении и температуры
Т в некотором диапазоне представляется в виде
^0 / J _ J \ I V ( СГ2 )
/(о,, 7,; о„ 7J = е ‘ ' г' г-,+ ‘1г'
(uq, k, у — постоянные величины), т. е. не является произведением
функций по отдельным составляющим.
2. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ.
ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
Решение задач, связанных с определением максимальной
степени форсирования режима, осуществлением
пересчета данных форсированных испытаний к эксплуатационным
условиям, а также разработка методов форсированных
испытаний должны основываться на знании
общих закономерностей, характеризующих работу исследуемых
объектов в различных режимах.
В предыдущем параграфе были введены основные
понятия: режим и мера ресурса работоспособности, а
также функция связи для независимых от времени режимов.
Чтобы оценивать надежность изделий в переменном
заданном режиме, требуется определенная схема преобразований
над введенными понятиями при переходе с
одного режима на другой. Для этой цели необходима математическая
модель, описывающая поведение изделия
с точки зрения утраты им работоспособности в некоторой
области режимов, включающей в себя режим я испытаний.
20

Такая модель вводится на базе принципа, заключающегося
в том, что в некотором диапазоне режимов Е надежность
изделия зависит от величины выработанного
им ресурса в прошлом и не зависит от того, как выработан
этот ресурс (физический принцип надежности) [49].
Для изделий, работающих в ступенчатоизменяющемся
режиме (
1
Для
для
0 ≪ t ≪ tr
t-^ t “1“
для Ml
A
A (2)
в котором на каждой ступени достигался уровень соь 1 =
= 1, 2, ..., v, этот принцип можно представить в следующей
математической интерпретации (рис. 1):
А.-1 + tk = Т^\ (3)
где tk — время испытаний партии изделий в режиме Xkr
k
причем t = — время, за которое достигнут уровень
‘=\ = 0; L± = trf(X21 Xlt coj;
Lr-i — (^fe-2 + 4-i) f Xh_lf cofe_1),
k = 2, 3, . . . , v.
Количественное выражение физического принципа надежности
для указанного способа испытаний можно представить
также следующим равносильным соотношением:
= tlf (z, Xlt ®х) + 2 (Tx’}f (z- х» -
i=2 1
-T^f(Z, Xjt ®7_x)]( (4)
где Z — произвольный режим, не зависящий от времени и
принадлежащий области Е.
Соотношения (3) и (4) получены из условия равенства
уровней со при переходе со ступени на ступень, т. е.
=%(гх)-
21

Рис. 1. Суммирование долей ресурса работоспособности при ступенчатом нагружении

Очевидно, что этот принцип можно обобщить, установив
между уровнями другое однозначное соответствие
% (Тх) = 'ф [®Г. (Тх )].
it J J
Функция гр представляет результат последействия режима
Xi на выработку ресурса в режиме Xj (например,
явления упрочнения, разупрочнения и т. д.).
Рассмотренная модель открывает возможности построения
методов перехода от результатов форсированных
испытаний к требуемым характеристикам надежности
в эксплуатационном режиме. На ее основе могут
быть разработаны практические методы проведения
определительных форсированных испытаний на надежность
как в общем, так и в линейном случае, причем для
последнего зависимости (3) или (4) значительно упрощаются
и сводятся к следующим эквивалентным соотношениям
(линейным моделям) [39,40]:
k
= 2 itf (2, хг); (5)
1=1
k
У = 1; (6)
k
2 = u(^- Qo). (7)
i=l *
где
«К, ≪o0) =
k
§ = Uqh' (8)
где uqh = T^lM-Xi (0; (0 — математическое ожидание
срока службы в режиме
k
У - 1. (9)
mXi m
Нетрудно увидеть, что указанные соотношения могут
быть обобщены на случай, когда режим У представляет
23

собой не ступенчатую функцию независимых от времени
режимов, как (2), а некоторую произвольную заданную
функцию времени Y=Y(t). Например, для линейного
случая уравнение (5) примет вид
f f [Z, Y (/)] dt, (10)
6
где т— время достижения уровня со в режиме У(0-
Оценка надежности изделий в переменном режиме представляет
собой самостоятельную важную проблему и несколько
выходит из круга вопросов ускоренных испытаний,
которые рассматриваются в данной книге. Однако,
учитывая актуальность и все возрастающий интерес к
указанной проблеме, в приложении III приведены некоторые
результаты и методы решения отдельных задач надежности
на основе предложенных моделей в режимах,
изменяющихся во времени.
3. КРИТЕРИИ ЛИНЕЙНОСТИ
В связи с тем что линейный случай имеет большое
практическое значение, несомненный интерес представляет
нахождение условий его справедливости. Рассмотрим
ряд критериев линейности.
1. Функция связи не зависит от уровня тогда и только
тогда, когда в некоторой области режимов Е сохраняется
вид закона распределения сроков службы и если этот
закон m-параметрический, то для любых двух режимов
X, Z^E справедлива любая из следующих систем равенств:
v(i) v(p
v£) = 6) ’ B) M‘x = Mlz '
где v≪p, v«> — начальные моменты i-го порядка распределения
сроков службы соответственно в режимах X и Z,
i = 1, 2, ..., m;
или
Их Их
Г) № [Т^]1
№ .
.
=
№
’ е М1х Мг
тде — центральные моменты i-ro порядка распределения
сроков службы соответственно в режимах X и Z,
24

i = 2, 3, ... , m\ c — постоянная величина, равная функции
связи f(X, Z, q) в случае независимости последней от
уровня.
Пусть функция связи не зависит от уровня, т. е.
/(X, Z, q) = f(X, Z)=c, что равносильно равенству Тх} =
= cTz}. Если в режиме X закон распределения сроков
службы q = Fx(t) с плотностью Фх(0, то плотность распределения
≪pz(/) в режиме Z равна ≪pz(/) =cqx(cf), а закон
распределения в режиме Z:
t
Fz (t) = J сух (ст) dr = Fx (ct),
0
т. e. вид закона распределения сохраняется.
Далее, так как
= ] tldFx(t),
О
a v р = J t‘dFz (t) = J FdFx (ct) =
0 0
OQ
1 p yil)
= J
0
то справедливо равенство = c‘.
Из условий = — ?xo) и Mz=— Mx следует,
c c
что
≪y(0 Vg^ Vg)
[T^r = ~irFF и ~мГ ~ ~мГ'
Аналогично проводится доказательство и для равенств
г)— д):
ОО 00
= J (t _ Mzy dFz (t) = J - Mxy dFx (ct) =
0 0
oo oo z.v
P / т 1 V If 11У
= J (т- с M dF^ = —
0 0
25

Отсюда следует
hJP
_ ci _
>4° и#
=
№
№ ’ [Т^]‘ ' М‘х Mz
'
Докажем обратное утверждение: если в режимах X и
Z сохраняется вид закона распределения сроков службы и
одно из равенств а) — е), то функция связи f(X, Z, q) не
зависит от уровня q, т. е. f (X, Z, q) =f (X, Z) = с.
Исходя из условий сохранения вида закона распределения
сроков службы, запишем его выражения соответственно
для режимов X и Z:
q = F[v≪p, v^', ..., /];
q = F[vy>, v*2», ..., v^″>, t],
Пусть выполняется равенство а). Тогда закон распределения
в режиме X можно представить в виде
F [v('\ ..., fl = F [cv≪!\ c2v(2\ .. ., fl.
Л Л. A J Z Л j
(11)
t
Рассмотрим правую часть выражения (11) в масштабе т = —
Flcv*1', c2v≪2>, c'″v≪'n>, fl = F[v≪1), v(2>, т].
JU £ L Li L L
Таким образом, закон распределения (11) тождествен распределению
сроков службы в режиме Z. Отсюда следует,
что Тх} = cTz}, т. е. f (X, Z, q) = с, что и требовалось
доказать.
Легко убедиться, что для равенств б)— е) доказательство
аналогично приведенному.
Для конкретных законов распределения из рассмотренного
критерия вытекает ряд следствий. Например,
условие линейности будет выполнено, если в области Е
1) сохраняется экспоненциальный закон ^=1— e-v или
распределение Релея q = 1 — e_fl2?2;
2) в распределении Вейбулла q = 1 — е~а* параметр b
постоянный и не зависит от режима;
3) для любого двухпараметрического распределения
коэффициент вариации постоянный и не зависит от режима.
26

Приведем доказательство еще одного критерия независимости
функции связи от уровня, причем в качестве
последнего могут быть приняты как изменение определяющего
параметра 8, так и вероятность отказов q.
2. Если мера ресурса работоспособности, выработанного
п
партией изделий за время в режимах Хх, Х2, ...
i=i
..., Хп cz Е, где tt — время работы изделия в режиме Хг,
1 = 1,2 . п, не зависит от порядка следования этих
режимов, то функция связи для них не зависит от уровня
и наоборот.
Проведем доказательство для двух режимов Хх и Х2.
Пусть изделия работают сначала в режиме Хх в течение
времени /х, а затем в режиме Х2— время t2. Тогда мера
выработанного ресурса ТХг‘} = (Х2, Хх, ≪ох) +12, где сох,
со2 — уровни, достигнутые соответственно в режимах Хх и
Х2. Другая партия изделий того же вида работает сначала
в режиме Х2, время t2, а затем в режиме Хх— время Zx.
Тогда справедливо равенство
т(ху = [t2f (Хх, х2, со;) + /х] цх2, хх, со'),
где со', со' — уровни, достигнутые при работе второй партии
соответственно в режимах Х2 и Xv
Из условий теоремы следует равенство выработанных ресурсов
в первом и втором случаях, т. е. со2 = со'. Отсюда
/х/(Х2, Хх, сох) + t2 = [/2/(Хх, Х2, со;) + /х] f (Х2, Хх, со2);
/х[/(Х2, Хх, сох) — / (Х2, Хх, со2)] =
= i2[f(X1≪ Х2, ≪o[)f(X2, Хх, со2) - 1].
Но
f (хх, х2, со;) = ■
1
,
/(Л2> А1> ®1)
тогда
/х (Х2, Хх, сох) — f (Х2, Хх, со2)] =
t2lf(X2, Хх, со2)-/(Х2, Хх, со;)]
Хр «;)
27

Так как значения /2, f (Х2, Хх, — положительные, то
равенство может соблюдаться только в том случае, когда
выражения
f(X2, Xlt ^)-f(X2, Xlt ®2);
f(X2, Xlt a>2)— f(X2, Xv (Dj)
одного знака или равны нулю. Пусть они будут положительными.
Тогда
f(X2, Xlt a1)>f(X2, Xlt co2);
f(X2, Xlt ®;)≪/(X2, X1; ≪o2),
t. e.
f(X2, Xv ≪o1)>f(X2, Xlt coj).
Но из произвольности уровней сох и co2 и вида функции
связи следует несправедливость полученного неравенства.
Аналогичным путем получим противоречие, если рассматриваемые
выражения в квадратных скобках будут отрицательными.
Следовательно, /(Х2, coj = f (Х2, Хр coj) =
= /(Х2, Хр со2), т. е. функция связи для режимов Хх и
Х2 не зависит от уровня.
Предложенное доказательство нетрудно распространить
для произвольного числа режимов Xb Х2, Хп^Е.
Для варианта, когда две последовательности режимов
отличаются лишь одной транспозицией рядом стоящих
режимов, высказанное утверждение вытекает непосредственно
из рассмотренного случая. Общее доказательство
следует из того, что любую последовательность из п
режимов можно получить из любой другой некоторым
числом транспозиций рядом стоящих в последовательности
режимов.
Обратное утверждение является тривиальным. Действительно,
если функция связи для режимов Х19 Х2, ..., Xncz
erf не зависит от уровня, т. е. f(X, Xit со) = /(Х, Х2),
i = 1, 2, ... , п, то для меры выработанного ресурса вы-
п
полняется равенство Тх» = J? из КОТОРОГО сл＆-
r=i
дует, что значение не зависит от порядка режимов
работы.
Данный критерий открывает новые возможности
экспериментального обнаружения и проверки свойства
28

линейности. Кроме того, на его основе можно провести
аналогию линейных моделей и линейных электрических
цепей. Для линейных моделей режимы действуют на выработку
ресурса независимо друг от друга, без взаимодействия,
как сигналы, проходящие через линейные электрические
цепи.
4. МЕТОДЫ ПРИВЕДЕНИЯ К ЛИНЕЙНЫМ МОДЕЛЯМ
Проведение форсированных испытаний на надежность
для линейных моделей значительно облегчается по
сравнению с общим случаем за счет упрощения процедур
нагружения, контроля и измерений, что в свою очередь
существенно сокращает время получения характеристик
надежности. Однако не всегда результаты форсированных
испытаний удовлетворяют критериям линейности.
Поэтому возникает задача нахождения преобразований,
с помощью которых данные эксперимента могут быть
сведены к линейным моделям.
Рассмотрим некоторые из таких преобразований для
часто встречающихся в практике испытаний на надежность
случаев.
Пусть в результате испытаний в определенном диапазоне
режимов Xi, Х2, ..., XnczE получены зависимости
уровня от времени со (0, которые при соответствующем
выборе масштаба т(£) и z/(co) (например, с помощью
вероятностной бумаги) могут быть представлены в виде
прямых y = ai%+bi, /=1, 2,... ,п. Тогда для случаев, когда
а) прямые параллельны, Hi = const,
б) прямые пересекаются в одной точке (т0, у0), т. е.
— - — = const, I #= /,
bt-b}
можно указать соответственно следующие преобразования,
приводящие к линейной модели:
yW— bj
а) 4“’ = = а ,
где а — некоторое постоянное число, и
б) параллельный перенос оси ординат на величину, равную
т0.
29

Действительно, отношение мер ресурсов работоспособности
в координатах [т(0, «/(≪»)]
МО
МО
[у (≪о) — aj
[у (со) — fej at
зависит от со. Чтобы выполнить условие независимости
функции связи от уровня, используем предложенные преобразования.
Для первого случая
yW-bi
а ≪“
yW~- bf
bi-bi
= а а
= const,
так как at = cij = а.
Для второго случая в новой системе координат прямые
пересекаются в точке (0, у0). Тогда отношение мер ресурсов
работоспособности
x't_ [у (≪Д) — ^0] Д/ _ _ const
*Д0 [//(«>)-y.]at
~ -COnSt
Исследуем применение подобных преобразований для
нескольких видов законов распределений (со = д).
I. В некотором диапазоне нагрузок cz Е, i =
= 1, 2, ..., /г, сохраняется нормальный закон распределе-
* (т-мр
ния F (/) = - —
=^ ( е 2(72 dr.
а]/2л J
1-й случай. В координатах (/, uq) экспериментальные
данные ложатся на параллельные прямые
•
— Д/^х
ип = — - -
- ; orv = const, i = 1, 2, . . . , n,
q
где /Их. — математическое ожидание; ох — среднее квадратическое
отклонение; uq — q-100%-ная ‘квантиль нормированного
и центрированного нормального распределения.
Отношение
tx\ ^xi + uq(3xi
txj M-Xj + ^q^Xy
30

зависит от уровня q. Взяв масштаб по оси абсцисс atXi ,
можно воспользоваться линейной моделью
а
t (Q)
Xi
AQ)
axi
аМх^и^
aMxi + u^xi
= aMxi-^xj = COnst.
2-й случай. Прямые в координатах ug] пересекаются
б одной точке (т0, yQ). Отношение мер ресурсов работоспособности
будет постоянно в масштабе [/%> — т0, uq], где
Мх#х. — Мхвх
т0 = - - - —
. Если т0 = 0, т. е. точка пересеву
чения лежит на оси ординат, то выполняется постоянство
@х •
коэффициента вариации vY = -л-л-- = const, i = l, 2, ...
Лг Мх.
..., п, и линейная модель применима в обычном масштабе
(см. гл. II, § 3).
II. В некотором диапазоне нагрузок Xt cz Е, i =
= 1, 2, . . ., п, справедливо логарифмически нормальное
распределение
1 _
Ug уЛ2
F(t) = -
2°2 dy,
ст /2л ,] у
о
А = lg е = 0,4343.
1-й случай. Результаты эксперимента ложатся на параллельные
прямые в координатах [lg/х7?, ид] (рис. 2, а, б):
lg 4’ - М [lg ]
Uq = ■
- ; сту = const.
axt Xi
Для приведения к линейной модели следует воспользоваться
масштабом = а* ‘Х( +
= kt^. , т. е. обычной
шкалой времени или любым ее линейным преобразованием.
Действительно,
Тх} J+ Vx.
= /Hhw = c°nst
31

7 в 9 10й 2 3 9 5 6 7 8 9 10

2-й случай. Прямые в координатах [lg , uq] пересекаются
в одной точке (т0, z/0) (рис. 3). По аналогии с нормальным
распределением линейная модель справедлива в
масштабе 1g tx■ — то»
где
М [lg txl ] а — м [lg М] ах_
1 ] ]
При т0 = 0 линейную модель можно применять в масштабе
IgT^?.
Анализируя данные усталостных испытаний [67, 69],
можно заметить, что с увеличением нагрузки происходит
переход от второго случая к первому (рис. 4, 5). Таким
образом, для разных диапазонов нагрузок для приведения
к линейной модели требуется разное преобразование. Например,
как следует из рис. 4, в диапазоне нагрузок 35 —
60 кг! мм2 линейность выполняется в обычном масштабе, а
в диапазоне нагрузок 18 — 35 кг/мм2— в масштабе lg/x}—
— т0, где т0 — значение абсциссы точки пересечения прямых.
III. В некоторой области нагрузок cz£, i =1, 2, ...
... , п, сохраняется распределение Вейбулла q (t) =
= 1 - е-≪
1-й случай. В координатах [1п(— ln^), In/] результаты
испытаний ложатся на параллельные прямые
1п[— In q] = lnax + In tx}. , bx = const.
Рис. 2. Испытание на кручение никелевой (a) (*i = 15,5; *2=18; Х$=
= 21,5; *4=25,5; *5 =30; *б = 33; *7 = 37,5; *8 = 44,5; *э=49; *10 =
= 56 кг/мм2) и железной (б) (*i = 10,7; *2=11; *з=И,75; *4=12; Х5 =
= 13; Х6=14,5; *7=18; *8 = 21,5; *9 = 26; *ю = 31 кг/мм2) проволоки [67]
33

о
о
9
о
о
о
0
о
•
•
о
•
О
о (
о
9 *° •
≪
* *1
о о о
0 •
[’’W
о
к»с о > ооо
О
©
i
с
•
о
О
о
с Cff
о
о
L °О gy
о
Л.. _ qL- _
© о }
©
to. о
^g; ет
°о ? о
о ( *•«
i
о ©
%≪ ° О Л
J* 5 is S §5 S3 s is s
'S ≪5S“ ≪5J ≪5>“ С5Г ≪55“ «ST ≪55“ «as* ≪5S“ ≪5T «55“
S3/0'f 2 3 4 5 6 78310* 2 3 4 5 6 78910е 2 3 4 5 6 789107 2 Igt
Рис. 3. Испытания на изгиб гладких образцов из алюминиевого сплава 75ST [69]: Xj =
=35; %2=36; Лз=41; Х4=47; Х5=53 кг/мм2

§ S?§rS? '§3 Si ig
≪3 ед ≪5j‘ ≪5T едедедедедедедедед*^?
о о
>в
°0 Л
в
®oo b
о
о
О • А
6 o°
о ’ о о
*•« 000ц о
. >гч
о
® о Рп 0
□ оо °о Юоос fl 0 6 Ooo,
% о
и
Q ≪р
О о О о о о • % >
1О О
о
о
о о о ® о ОО С О t fo“ о °o≪ • c о о
о о ° ° • w о 99 ft
о c •
-k
4
3 0 56769V3 2 3 0 56 S tt4 2 3 4 56 6 10s 2 3 0 5 6 6 10* 2 3 4 56 6 V7lgt
Рис. 4. Испытания на изгиб образцов с надрезами из алюминиевого сплава 75ST [691:
Х1 = 18; Х2=23; Х3=29; Х≪=35; %5=50; Х6=60 кг/мм*

Рис. 5. Испытания на изгиб с вращением образцов из стали IX18H9T: %i = 27; Х2 = 30; Х3 = 34; Х4 = 40 кг!мм2

В этом случае линейная модель применима в обычном масштабе
уД?) / аХ. \i/b
-
J— | = const1.
2-й случай. Прямые пересекаются в одной точке на оси
ординат, т. е. ах = const. Линейная модель будет справедлива
в масштабе In Тх}. :
In Т%}. lln (— In q) — In ax ] bx.
_ = _ _
!_ = —
L = Const
In T%] Un (— In q) — In ax] bx. bx,
IV. Для диапазона нагрузок Xt cz E, i = 1, 2, . . . , n,
выполняется гамма-распределение, плотность вероятности
которого имеет вид
t
1ГП— \
ф(0 = ~1 -
П1 m
6
(т— 1)! ст
где с и т постоянные.
Тогда в координатах tq9 yq результаты эксперимента
при фиксированном числе степеней свободы т можно представить
в виде прямых, исходящих из начала координат
[60]:
Уд = 2 А. , i = 1, 2, п,
ci
где yq — квантиль распределения хи-квадрат; tq — квантиль
гамма-распределения.
Легко увидеть, что линейная модель справедлива в
обычном масштабе для фиксированного числа степеней свободы
т
JXj
1 X:
^гУд
^С]У q
Ci 4-
= const.
ci
Этот же вывод следует из того, что при постоянном т для
разных режимов в области Е коэффициент вариации гамма-
1
распределения постоянный: v =
1 Так как при Ь = \ имеем экспоненциальное распределение,
а при 6 = 2— распределение Релея, то для этих законов линейная
модель может быть использована в обычном масштабе.
37

Глава III
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРХНЕЙ ГРАНИЦЫ
НАГРУЖЕНИЯ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ
ФОРСИРОВАННЫХ ИСПЫТАНИЙ
1. ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГРАНИЦЫ
ФОРСИРОВАНИЯ
Все предложенные выше модели справедливы в некотором
диапазоне режимов Е. Возникает вопрос об определении
указанной области Е или хотя бы некоторых из
ее границ по отдельным составляющим режима. Сначала
отметим некоторые из принципиальных особенностей нахождения
границ искомой области. Пусть имеется группа
независимых от времени режимов Xi ≪Х2≪Х3≪••• Задача
заключается в нахождении максимального значения
(предельной нагрузки или границы форсирования)
max {XJ = Хп, т. е. Xn-i≪Xn≪Xn+i, для которого выполняется
физический принцип надежности. Очевидно,
что значения Хп для общего и линейного случаев, вообще
говоря, не совпадают, и так как справедливость линейных
моделей требует выполнения некоторых дополнительных
условий, то всегда Хп≪Хп\ где Хп и Хп*—
границы форсирования соответственно в линейном и общем
случаях при одном и том же характере нагрузок.
Аналогичная задача может рассматриваться и относительно
другой группы независимых от времени режимов
У1≪У2≪Уз≪..-, отличающихся от Хг- видом изменяющихся
составляющих режима. При этом найденное значение
границы форсирования Уп отличается от Хп , и
между этими режимами не обязательно должен выполняться
принцип форсирования, т. е. Хп>Упили Хп≪
≪УП. Таким образом, в зависимости от характера нагрузки
могут рассматриваться различные границы форсирования
(предельные нагрузки). Но даже для одних и
38

тех же видов нагружения, например, при отличии режимов
^(хО), 4», .... .... х≪»)≪
≪х2(х≪2), 42), 42>, .... ≪2))≪
≪Х3(х≪з>, Х≪3), .... хр, Хр)≪ ...
по одной составляющей х^ и совпадающих по другим,
т. е. х х≪т> для всех /=/=＆, предельная нагрузка Хп
не является единственной, а зависит от исследуемой
зоны режимов. Рассматривая такую последовательность
режимов Хг, можно получить, что для начальной подпоследовательности
Xi≪X2≪... предельной будет нагрузка
Хп для подпоследовательности Xni+1≪ ХЛ1+2 —
граница форсирования ХПг и т. д. Этот зонный характер
предельных нагрузок является следствием того, что механизм
разрушения (утраты ресурса работоспособности)
имеет разную физическую природу в исследуемых
поддиапазонах режимов. Например, исследование шариковых
подшипников показало, что с увеличением контактных
напряжений происходит скачкообразный переход
от одного вида износа к другому: окислительный износ,
усталостные явления, смятие [27]. Таких примеров
для различных типов изделий 1можно привести достаточно
много. Отличие процессов разрушения в отдельных
диапазонах режимов (называемых областями автомодельности
или эквимодельности) приводит в большинстве
случаев к разному характеру отказов работающих в них
изделий.
Область, для которой требуется найти предельную
нагрузку Хп , непосредственно вытекает из задания режима
X, для которого нужно определить характеристики
надежности исследуемых объектов, а наиболее рациональный
подбор составляющих режима, подлежащих
ужесточению, следует делать исходя из принципа форсирования.
Из изложенного, казалось бы, следует полная аналогия
между физическим и математическим определением
предельной нагрузки как верхней границы соответственно
области автомодельности и сохранения принципа надежности,
т. е. полученных моделей утраты ресурса работоспособности.
И если это справедливо, то задачу по
39

определению границы форсирования можно решить
экспериментально, наблюдая за протекающими в разных
режимах физическими процессами.
Указанный подход широко распространен, но, как
правило, является ошибочным из-за неразрешимости в
общем случае задачи нахождения границы форсирования
чисто физическими методами. Действительно, реальный
процесс разрушения любого объекта сопровождается
огромным количеством разнообразных физико-химических
процессов (износ, коррозия, окисление, кристаллизация,
диффузия, сорбция, изменение структурных состояний
и т. п.), полный перечень которых далеко не известен
и соответствует определенному уровню наших знаний.
Фиксируя изменения отдельных характеристик этих
процессов на разных режимах, всегда можно наблюдать
«изломы», т. е. нарушения закономерностей течения тех
или иных процессов, а значит, и условий автомодельности.
Будет ли это в каждом случае свидетельствовать о
превышении искомой границы форсирования Хп? Очевидно,
нет. Появление «изломов» в некотором режиме
является лишь необходимым, но не достаточным условием
того, что этот режим выше предельной нагрузки. Более
того, чем полнее и тщательнее осуществляется контроль
протекающих процессов при разных режимах, тем
естественно больше «нарушений» автомодельности мы
наблюдаем и тем большая создается неопределенность в
искомой предельной нагрузке Хп .
Полученное заключение не выходит за рамки обычного,
посягающего на физическую сущность явлений, а следует
из вероятностного смысла характеристик надежности
и статистической природы приведенных математических
моделей утраты ресурса работоспособности. В этом
случае изучение на разных режимах индивидуальных
траекторий всех процессов, их начальных состояний, скоростей
протекания, прогноз новых состояний и т. п. является
практически бесполезным и должно уступить место
статистическим методам. В рассматриваемых задачах
безразлична судьба каждого процесса в отдельности, а
оценке подлежат общие параметры совокупности (ансамбля)
однотипных исследуемых изделий, которые
носят вероятностный характер. Например, задача состоит
не в точном определении меры ресурса работоспособности
уровня со в режиме X, а в оценке среднего значения
40

Тх} и вероятности того, что это значение лежит в интервале
(Т(х\ Тх^). Исходя из этого, нахождение предельной
нагрузки Хп сводится к проверке некоторых неравенств,
постулируемых физическим принципом надежности
1 при определенной последовательности нагружения,
и рассмотрено в следующем параграфе.
Такой абстрактный подход к определению границы
форсирования имеет и другое преимущество, связанное
с тем, что указывает область справедливости конкретных
математических соотношений для численных параметров
надежности, а это в свою очередь позволяет решить
основную задачу форсированных испытаний на надежность
— пересчет характеристик надежности от форсированных
режимов к эксплуатационным. Из неразрешимости
определения предельной нагрузки путем физического
эксперимента в общем случае, очевидно, не
следует отрицание такой возможности в отдельных конкретных
случаях. Рассмотрим этот случай, когда граница
форсирования определена. Тогда, наблюдая за процессами
в идентичных изделиях в режимах ниже предельного,
на предельном и выше, можно обнаружить
нарушения закономерностей протекания некоторых процессов,
происходящие при превышении установленной
границы форсирования. Наблюдаемые «изломы» являются
не только необходимыми, но и достаточными условиями
для нахождения предельной нагрузки. Например,
на основе проверки физического принципа надежности
для приемно-усилительных ламп 6Н1П установлена предельная
нагрузка по напряжению накала Ап =8,1 в [39].
Из физических исследований было обнаружено, что при
напряжениях накала свыше 8,1 в для этих ламп наблюдается
резкое повышение сеточных токов. Нахождение
процессов, изменение характеристик которых является
достаточным условием превышения предельной нагрузки,
хотя и весьма важно, но практически в большинстве
случаев неосуществимо. Однако качественное описание
процессов, протекающих при работе отдельных типов
изделий в разных режимах, позволяет иногда указать
режим форсирования, заведомо не превосходящий пре-
1 Очевидно, что указанный подход справедлив вне зависимости
от самого принципа надежности, из которого следует только вид
неравенств.
41

дельного, что весьма важно, как будет показано ниже,
при организации форсированных испытаний на надежность.
2. ОБЩИЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ГРАНИЦЫ
НАГРУЖЕНИЯ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ФОРСИРОВАННЫХ
ИСПЫТАНИЙ
Предельная нагрузка Xn представляет собой верхнюю
границу области режимов Е справедливости физического
принципа надежности. В соответствии с определением
нахождение предельной нагрузки связано с проверкой
выполнения с заданной точностью указанных”
выше математических моделей при различных уровнях
нагружения. Например, воспользуемся соотношением
(G), )
(3). Учитывая, что значения Txk , полученные в
результате эксперимента, являются случайными, то
вместо равенства (3) целесообразно рассматривать неравенства:
где Т^, — соответственно верхняя и нижняя доверительные
границы для мер T^h\
Тогда, если испытания вести путем ступенчато-возрастающего
нагружения, т. е. Xi≪X2≪..., очевидно, что
наибольшая нагрузка, для которой выполняются неравенства
(12), является предельной. Способы определения
предельной нагрузки по указанному принципу в зависимости
от имеющейся информации об испытываемых объектах
подробно рассмотрены в [39]. Этими методами
были определены предельные нагрузки для ряда типов
изделий: приемно-усилительных ламп, полупроводниковых
приборов, резисторов, подшипников качения и др.
Однако из-за трудоемкости предварительных исследований,
предусматривающих нахождение функции связи, эти
способы в ряде случаев не являются наиболее эффективными.
Ниже предлагаются некоторые общие методы нахождения
верхней границы нагружения (предельной нагрузки),
не требующие определения функции связи.
42

Данные методы нахождения указанной границы
основаны на проверке равенства уровней со, достигнутых
при испытаниях различных партий исследуемых изделий
в определенных условиях нагружения. Учитывая случайный
разброс уровня со, связанный с ограниченным числом
наблюдений, алгоритм нахождения предельной нагрузки
строится на сравнении в заданных контрольных
точках полученных уровней с верхней или нижней доверительной
границей одного из них.
Принадлежность двух независимых от времени режимов
X и Y одной области Е может быть установлена следующим
образом. Испытываются две однородные партии.
Первая партия — в режиме У до уровня соо, а вторая
— в режиме X до того же уровня. Затем в течение
Xt испытываются обе партии в режиме У. Пусть при
этом достигнуты соответственно уровни со и со' (рис. 6).
Тогда, если выполняется одно из неравенств:
со — со' со — со для со > со',
_
″ (13)
со' — со ≪ со — со для со' > со,
где со, со — соответственно нижняя и верхняя доверительные
границы для со (приложение II), то режимы X, Ус=Е.
Поставленная задача нахождения предельной нагрузки
сводится к нахождению максимального режима
Хп >ХЭ, принадлежащего вместе с эксплуатационным
режимом Хэ области Е.
Эта задача решается экспериментально путем последовательных
проверок условия (13) при ступенчато-возрастающем
нагружении по определенной программе.
Рассмотрим несколько методов.
I. Одна партия изделий испытывается сначала при нагрузке
У1>ХЭ До достижения уровня соо, а затем в этом
же режиме, время Xtv Другая партия — сначала в режиме
Хэ до достижения уровня со0, а затем в Ух>Хэ в течение
времени Д/г Полученные уровни сох и coj сравниваются
на основании условий (13). Если указанное условие выполняется,
то нагрузка Y± не превосходит предельной, т. е.
Ух≪Хп, и проверяется следующая нагрузка У2>У1. На
испытания ставится третья партия в режиме У2, в котором
изделия работают до достижения уровня й^, а затем в течение
времени Д/2. Одновременно партия, в которой был
43

достигнут уровень переводится в режим У2 на время
Д/2. Полученные уровни со2 и со^ сравниваются по условию
(13). Если одно из неравенств не выполняется, то Хп = У^
в противном случае нагрузка У2 не превосходит предельной,
и аналогичной проверке подвергается нагрузка У3>У2
в соответствии с критерием принадлежности одной области
Е режимов У2, У3 и т. д. (рис. 7).
Рис. 6. Проверка принадлежности
двух режимов одной области
Рис. 7. Нахождение верхней
границы нагружения в общем
случае: 1 — I партия, 2— II
партия, 3— III партия
Пример. Сначала испытываются две партии однотипных
изделий.
Первая партия испытывается под нагрузкой У±>ХЭ до
уровня со0 = 0,1 (в качестве уровня принято относительное
изменение математического ожидания определяющего параметра),
а затем при той же нагрузке Уг в течение 72 час.
При этом был достигнут уровень сох = 0,285. Вторая партия
испытывается под нагрузкой Хэ: сначала до уровня
0,1, а затем в течение 72 час в режиме Уг Достигнутое
значение уровня составило coj = 0,3. Найденное значение
= 0,319 и, следовательно, условие (13) выполнено, т. е.
,
coi— сох = 0,015≪(»! — (Oi = 0,034. Поэтому нагрузка Уг
44

не превосходит предельной. Далее испытывается третья
партия в режиме У2 до уровня = 0,285, а затем в течение
12 час. Первая партия переводится в режим У2 и
работает Д/2 = 12 час. При этом были достигнуты
соответственно уровни со2 = 0,48 и = 0,42. Так как
≪со2, а со2= 0,43, то со2 — = 0,06 :> (о2— со2 = 0,05,
Рис. 8. Нахождение верхней границы
форсирования путем проверки влияния
предыстории нагружения:
1 — I партия, 2— II партия
т. е. условие (13) нарушено. Значит, нагрузка У2 превосходит
предельную, т. е. Хп =
Рассмотренный метод определения предельной нагрузки
предусматривает, как правило, испытания большого числа
партий ＆ > 2.
Укажем другой, менее точный способ, основанный на
проверке влияния предыстории нагружения. При этом достаточно
испытаний всего двух партий исследуемых изделий.
II. Первая партия испытывается в режиме Хэ до уровня
со0, а затем время Д/г Вторая партия — под нагрузкой
У1>ХЭ до уровня со0, а далее под нагрузкой Хэ в течение
времени Д/г Пусть в партиях достигнуты соответ-
45

Программа испытаний для определения предельной нагрузки cd
ЕГ
Я
Ю
сп
Н
II
31
з >7
V Л
СМ 1-1
О ■ с
СО
о
II
С
X
Доверительная
граница уровня
60‘0 = т≪”
см
00
о″
II
со
1 3
o'
II
U5
31
з СМ о о СО о о о о о см
о о ^-4 см СМ см 00 ю
* *4 Л •ч 04 04 04 04 а. а. ач
л
к о о о о о о о О О o' О О
а>
д
о II II II II II II II II II II II II
Q. © —
и © V N п ≪М ч СО Ml UJ м≪ К ю
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
S
S
*
0)
Л
CD
X CD
X CD
X >7 tN
aS
2 н
2 а
о а
X с
г—
| СМ см см см ^-4 см см
Номер
цикла
см 00

ственно уровни с^ и со'. При невыполнении условия (13)
нагрузка Ух>Хп- В противном случае Уг не превосходит
предельной, и проверяется нагрузка Y2>Y1. Для этого
первая партия испытывается при нагрузке Уг до уровня
со2 > шах (сор со'), а затем в течение времени Д^2. Вторая
партия работает в режиме Y2 до уровня со2 и далее в режиме
Ylf время Л/2. Сравниваются достигнутые уровни со3
и со' и т. д. (рис. 8).
Результаты испытаний по рассмотренной выше программе
и последовательность расчета иллюстрируются табл. 1.
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦЫ ФОРСИРОВАНИЯ
ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ
Для определения верхней границы форсирования области
Е, где справедлив линейный случай, можно указать
другой более эффективный метод. Он основан на
доказанном в главе II, § 3 критерии независимости порядка
нагружения. Для определения предельной нагрузки
достаточно двух партий.
Первая партия испытывается в режиме Хэ в течение
времени Д/1? а затем в режиме Y^^Xa— время Д/2. Вторая
партия — сначала в режиме в течение времени Д^2,
а затем в режиме Хэ — время Д/Р Обе партии достигнут
соответственно уровней и Проверяется условие (13).
Если оно выполнено, то Ух ≪ Хп и наоборот. В первом
случае партия с меньшим значением уровня испытывается
в режиме Ух до достижения уровня, равного шах^, со'),
а затем в этом же режиме время Д/3 и время Д/4 в режиме
Y2 > Yv Другая партия — в режиме У2 в течение времени
Д/4, а затем в режиме — время Д/3. После этого
снова проверяется условие (13) для полученных новых
уровней со2 и со'. Если указанное условие не выполнено,
то У2>ХП, а Хп = Уг В противном случае испытания
продолжаются аналогичным образом (рис. 9).
Пример. Определение предельной нагрузки в соответствии
с указанным методом осуществлялось для компрессоров
K4N (ЧССР), используемых в бытовых электрохолодильниках.
Форсирование производится по величине
противодавления, а уровень 8 оценивается относи-
47

тельным изменением средней холодопроизводительности
компрессорных агрегатов. Испытания проведены (В. Е.
Соболевым). Испытываются две партии по шесть компрессоров,
имеющих в начальные моменты следующие
значения холодопроизводительности Qo (табл. 2).
Очевидно, что в начальный момент значения уровней
е (0) и е' (0) для обеих партий равны нулю.
Рис. 9. Определение границы форсирования
для линейных моделей: 1 — I
партия, 2— II партия
Первая партия вначале испытывается в режиме Хэ =
= 8 атм в течение Д/х = 300 час, а затем в режиме Y1 =
= 15 атм — время Д^2 = 100 час. Одновременно вторая
партия испытывается Д/2 = 100 час в режиме У\= \Ьатм,
а затем при Хэ = 8 атм — время Д/х = 300 час. При этом
получены следующие значения уровней: 8 = 0,0204 и е' =
= 0,0277 и среднее квадратическое отклонение о (е) =
= 0,0106. Для уровня доверия 0,9 проверяем условие
8' — е≪8 — 8, 8 = 8 + ^о,9а(е)> гДе ^о,9 — критическое значение
распределения Стыбдента, 0,277— 0,0204 0,0204 +
+ 2,015 • 0,0106 — 0,0204, так как 0,0073 ≪ 0,0214, то
условие (13) выполнено и YT = 15 атм не превосходит
предельной нагрузки. Испытываем 1-ю партию при У2 =
=20атм, время 100 час и затем при У\ = 15 атм, Д^4=
= 300 час. Одновременно вторая партия испытывается при
= 15 атм, Д/4 = 300 час и далее при К2 = 20 атм,
Д/3 = 100 час. Получены значения 8 = — 0,0351, е' =
48

=— 0,0182 и а (е) = 0,0146. Условие (13) оказалось выполненным,
т. е. s' = — 0,0182 ≪ 8 = — 0,0351 + 2,015 х
X 0,0146 = — 0,0057.
Проверяем режим У3 = 25 атм. Для этого испытываем
1-ю партию, время А/5 = 300 час в режиме Y2 = 20 атм
и затем А/6= 100 час при У3=25 атм и 2-ю партию, Д/6 =
= 100 час при Y3 = 25 атм и А/5 = 300 час в режиме
У2 = 20 атм. Определяем 8 = — 0,0483, е' = — 0,0343,
Таблица 2
Значение холодопроизводительности
компрессоров K4N
I партия II партия
Qo, ккал!г Qo, ккал!г
111,10
109,90
115,50
106,13
105,23
109,89
110,36
107,15
116,76
107,42
109,96
104,60
о (б) = 0,0137 и /0)9 = 2,1318. Величина критического значения
распределения Стьюдента /0>9 изменилась, так как
в 1-й партии уменьшилось количество объектов из-за отказа
одного компрессора, и число степеней свободы вместо 5
стало равным 4. Условие (13) выполнено, так как 8' =
= — 0,0343 ≪ё=— 0,0483 + 2,1318- 0,0137 = — 0,0191.
Испытываем первую партию в режиме У4 = 30 атм в течение
А/7 = 100 час и затем при У3=25 атм, время А/8=
= 300 час, а вторую партию сначала 300 час при Ys =
= 25 атм и далее 100 час при У4 = 30 атм. Найдены
значения е = 0,0729, е' = — 0,0392, о (в) = 0,0234 и t0 9 =
= 2,92.
Проверяемое условие (13) оказалось невыполненным:
е = 0,0729 — 2,92 • 0,0234 = 0,0046 > е' = — 0,0392, т. е.
нагрузка Yi = 30 атм превосходит предельную, а искомая
величина Хп = У3 = 25 атм.
Последовательность определения предельной нагрузки
приведена в блок-схеме.
При нахождении границы форсирования, как уже выше
указывалось, следует учитывать то обстоятельство, что
49

Блок-схема определения границы форсирования
для линейных моделей
розийных
вание
вает
ществует
водящие
лия
ря,
ходит
сирования,
ния
ные
фикации
ческим
образных
го
пытания
делие
го
ческого
сящиеся
ние
ных

предельная нагрузка не является единственной, а зависит
от диапазона нагружения по конкретным составляющим
режима.
Предложенные методы нахождения предельной нагрузки
дают решение для одной произвольной зоны. Так
как задача форсированных испытаний на надежность
заключается в получении количественных характеристик
надежности изделий в условиях, соответствующих эксплуатационным,
то граница форсирования (предельная
нагрузка) для проведения испытаний должна определяться
для конкретной эксплуатационной зоны режимов.

Глава IV
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫХ ФОРСИРОВАННЫХ
ИСПЫТАНИЙ НА НАДЕЖНОСТЬ
1. КЛАССИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ ИСПЫТАНИЙ
Всякая классификация объектов определяется целью исследования.
В данной главе рассматривается задача нахождения
характеристик надежности изделий в эксплуатационном
режиме Хэ по результатам форсированных испытаний.
В соответствии с введенными определениями решение в общем
виде эквивалентно получению мер ресурса работоспособности
Т(х^ для различных уровней со по значениям Tz)) ,
установленным в режиме Z>Xd. Нетрудно увидеть, что
для режимов, которые можно считать приближенно независимыми
от времени, пересчет мер T(z} к возможен
э
тогда и только тогда, когда для исследуемого типа изделий
существует функция связи /(Хэ, Z, со).
Любое изделие можно условно представить как совокупность
определенных составных частей (компонентов). Очевидно,
воздействие режима Z>X3 на изделие в целом
приводит к интенсификации процессов разрушения отдельных
компонентов. Интенсивность протекания этих процессов
для каждого компонента характеризуется некоторой функцией
связи Д (Х3., Zh cof), где Х3., Zt — режим работы
f-ro компонента при режиме изделия в целом соответственно
Хэ и Z. Отсюда непосредственно следует, что функция
связи f (Хэ, 2, со) для всего изделия в режимах Х3 и Z
существует только при равенстве всех частных функций
связи Д (Х3., Zf, сог), т. е. при условии, что интенсивности
процессов утраты ресурса работоспособности должны удовлетворять
определенным ограничениям. Если в некотором
диапазоне режимов механизм разрушения строго однозначен
52

(определенный тип износа, усталостных повреждений, коррозийных
процессов, явлений эрозии и т. п.), то существование
функции связи в рассматриваемой области не вызывает
сомнений. Обратное утверждение неверно, т. е. для
некоторых изделий в определенном диапазоне режимов существует
однозначная функция связи, хотя процессы, приводящие
к отказам, весьма разнообразны.
Существование функции связи у исследуемого изделия
в области режимов Е свидетельствует, вообще говоря,
о том, что изделие в разных режимах X, Zcz Е проходит
одни и те же состояния, причем если Z>X, то,
согласно ранее введенному определению принципа форсирования,
времена попадания в одни и те же состояния
характеризуются неравенством TZ≪TX- Изложенные
предпосылки показывают целесообразность классификации
изделий по методам форсированных испытаний
не по функциональным, конструктивным или технологическим
признакам, а в зависимости от существования
для них функции связи.
Изделия, для которых существует функция связи
мер ресурсов работоспособности в некотором диапазоне
режимов Е, включающем эксплуатационный режим Хэ
и хотя бы один не зависящий от времени режим Z>X3f
назовем объектами первого вида. К ним относятся, как
правило, сравнительно простые изделия: образцы разнообразных
материалов, элементы, детали и отдельные
устройства (резисторы, конденсаторы, переключатели,
реле, разъемы, электровакуумные и полупроводниковые
приборы, электродвигатели, опоры качения и скольжения,
подшипники, шестерни, зубчатые передачи, валы, муфты,
тросы, ремни и т. п.).
Все остальные изделия относятся к объектам второго
вида. Как будет показано ниже, форсированные испытания
последних необходимо проводить так, чтобы изделие
при испытаниях прошло некоторые из состояний,
имеющих место в эксплуатационных режимах. Для этого
используется специальный прием временно периодического
расчленения изделия на составные части, относящиеся
к объектам первого вида. Поэтому общее решение
задачи форсированных испытаний на надежность
непосредственно связано с разработкой методов указанных
испытаний для изделий первого вида.
53

2. ИСПЫТАНИЯ ОБЪЕКТОВ 1-ГО ВИДА В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
Выбор метода испытаний исследуемых изделий зависит
от того, какой априорной информацией располагает
экспериментатор. Наиболее полной характеристикой является
функция связи. Если известна функция связи в
некотором диапазоне режимов Е, то для определения
характеристик надежности в нормальном режиме XczE
достаточно испытать партию изделий в режиме Z,
представляющем верхнюю границу области Е, и осуществить
пересчет полученных мер ресурсов работоспособности
= Т(^) ’f со). Однако если функция
связи заранее неизвестна, но с достаточным основанием
можно указать некоторые значения форсированных режимов,
заведомо не превосходящих предельного, то
существуют методы испытаний, позволяющие в рамках
единого эксперимента получить решение поставленных
задач.
Наиболее общий метод форсированных испытаний
по определению характеристик надежности для случая,
когда функция связи неизвестна, но имеются два форсированных
режима Zb Z2^E, состоит в следующем.
Испытываются г>2 партий изделий по программе,
i-й цикл (f=l, 2, ...) которой приведен в табл. 3.
В соответствии с (4) значение меры ресурса работоспособности
(/=1,2; k = 1, 2, 3, ...) по результатам
этих испытаний находится суммированием всех промежутков
времени работы изделий в режиме Z; в непересекающихся
интервалах (≪о0, (ох), (со15 со2), ..., (а\_15 coj; соо=0. Число
предшествующих циклов испытаний для нахождения меры
равно целой части отношений ＆/г. Остаток от деления
k/r указывает номер последней партии, в которой в режи-
Таблица 3
Программа t-ro цикла испытаний объекта 1-го вида
Номер
партии Режим Уровень Режим Уровень
1 zr w(i-i)r+i Z2
2 ^2 w( f-i)r+i W(j-l)r+2
3 z2 0)(i-i)r+3
г Z2 Zi.
54

ме Zx достигнут уровень со^1. Если этот остаток увеличить
на единицу, то он будет соответствовать номеру партии,
для которой в режиме Z2 достигнут уровень По полученным
значениям мер и определяется функция
связи и в соответствии с (1) вычисляются искомые характеристики
надежности в эксплуатационном режиме X.
Данный метод можно непосредственно использовать для получения
значений мер T(xh) без нахождения функции связи.
При этом сохраняется предложенная выше программа испытаний,
в которой один из режимов Zx или Z2 (целесообразно
меньший из них) заменяется режимом X.
Таблица 4
Программа испытаний на надежность объектов
1-го вида в общем случае
Номер
партии
I ступень
_ _
II ступень
_
режим достигнутый
.уровень время режим достигнутый
уровень время
I X
1-й
(о1=0,04
цикл
842,1 Z ©4=0,16 I 256,7
II Z со1==0,04 156,3 X со2=0,06 846,4
III Z ©2=0,06 221,8 X со3=0,10 509,0
IV Z ©3=0,10 367,1 X ©4=0, Гб 530,5
т X
2-
©5=0,22
й цикл
226,1 Z ©8=0,38 177,1
1
тт Z ©5=0,22 277,3 X ©6=0,26 582,4
11
III
IV
Z ©6=0,26 170,3 X ©7=0,32 541,2
Z ©---0,32 179,6 X ©8=0,38 549,8
I X
3-й
©9 =0,42
цикл
889,9 Z (о12=0,54 150,7
II Z ©9 =0,42 181,9 X ©1о=0,44 232,8
III Z со10=0,44 137,4 X ©п=0,48 779,4
IV Z ©11=0,48 110,5 X ©12=0,54 959,4
I X
4-й
со13=0,58
цикл
437,6 Z ©16=0,72 304,8
II Z ≪013=0,58 179,8 X ©14=0,64 963,5
III Z ©14=0,64 175,8 X со15=0,68 789,2
IV Z со15=0,64 155,7 X со16=0,72 395,6
1 Остаток, равный нулю, соответствует r-й партии.
55

Таблица 5
Расчет значений мер и
со T’(to)
1 X Т’О0) (0 т(со)
1X T'O’J)
0,04 842,1 156,3 0,42 5517,4 719,0
0,06 1688,5 221,8 0,44 5750,2 730,0
0,10 2197,5 367,1 0,48 6529,6 786,9
0,16 2728,0 413,0 0,54 7489,0 869,7
0,22 2954,1 499,1 0,58 7926,6 909,8
0,26 3536,5 537,4 0,64 8890,1 962,7
0,32 4077,7 592,6 0,68 9679,3 1025,4
0,38 4627,5 676,4 0,72 10074,9 1214,6
В качестве иллюстрации рассмотрим следующий
пример. Испытываются четыре партии изделий. Результаты
испытаний представлены в табл. 4. На основании
этих данных вычисляются значения мер и для
уровней (01— (016 (табл. 5).
Время испытаний каждой партии составило соответственно
3285,0; 3420,1; 3324,1; 3248,2 час. При испытаниях
в режиме X для получения такой же информации потребо-
10074 9
валось бы 10074,9 час, т. е. в - — =2,95 раза больше.
3420,1
3. ИСПЫТАНИЯ ОБЪЕКТОВ 1-ГО ВИДА В ЛИНЕЙНОМ
СЛУЧАЕ
Проведение ускоренных форсированных испытаний
на надежность существенно упрощается для линейного
случая. При этом практические методы испытаний являются
следствием полученных выше моделей (5) —
(9). Если в области Е справедлив линейный случай, то
одна партия исследуемых изделий испытывается в форсированном
режиме ZczE. Одновременно испытываем
вторую партию аналогичных изделий одним из следующих
способов.
1. До уровня (ох в режиме X cz Е, соответствующем
эксплуатационным условиям. Находим Тх = с. Значения
Т{х'} в эксплуатационном режиме определим из равенств
T{xi} =cT{zl\ i = l, 2, . . . , п, где числа T{zi} оп-
56

ределяются по данным форсированных испытаний первой
партии.
Метод можно уточнить, проведя испытания в режиме X
до уровней Фр со2, .. ., coft, k≪Zn, и взяв
где с^Т^/Т^.
Средний срок службы изделий в эксплуатационном режиме
Мх (/) = cMz (/), i-й центральный момент распределения
сроков службы изделий в эксплуатационном режиме
Их (0 = C‘^Z (t).
Пример. Испытываются мелкомодульные редукторы.
В качестве уровня со принят определяющий параметр —
мертвый ход редуктора. В результате предварительных
экспериментов установлено, что изменение параметра
партии для области режимов скоростей вращения двигателя
от 7500 до 24 000 об/мин подчиняется линейному
случаю. Поэтому для определения зависимости со (t)
в эксплуатационном режиме можно использовать данную
модель.
В форсированном режиме Z = 24 000 об/мин для партии
редукторов получено изменение мертвого хода от
времени со (0 как среднее отдельных реализаций
(табл. 6).
Вторая партия испытывается в эксплуатационном режиме
Х3 = 7500 об/мин. По данным испытаний получено
Г(а>1=о,12о) = 113б цас_ отсюда С = Т^/ТМ= 5,07. Значения
мер ресурса работоспособности i>l, в режиме
Хэ могут быть рассчитаны по формуле Тх^} = cTz^- Значения
мер T(xq в эксплуатационном режиме были получены
также экспериментальным путем. Расчетные и экспериментальные
данные приведены в табл. 6.
2. В режиме X до достижения уровня сок в течение
времени а затем в форсированном режиме Z до уровня
0)А+г. В соответствии с (6) получим = 1,
где /г1> — время испытаний на второй ступени до уровня
57

≪ofe+i, 1 = 1, 2, 3, k--=Ot 1, 2. Это равенство позволяет
определить неизвестные значения T(xh+i) в эксплуатационном
режиме, использовав Тг*к+1), полученные при испытаниях
первой партии в форсированном режиме Z.
Таблица 6
Изменение мертвого хода редуктора и
значения мер в режимах Хэ и Z
*р хэ
0,120 224 1136 1136
0,125 286 1450 1418
0,130 344 1744 1761
0,135 415 2104 2053
0,140 462 2342 2344
0,145 513 2601 2613
0,150 574 2910 2947
0,155 601 3047 3051
0,160 630 3194 3262
0,165 669 3392 3419
0,170 695 3524 3528
0,175 722 3661 3660
0,180 750 3802 3775
0,185 776 3884 3910
0,190 803 4071 4043
0,195 848 4299 4283
0,200 911 4619 4677
Данный способ можно комбинировать с предыдущим.
На второй ступени достаточно провести испытания до уровней
(ofe+1, coft+2, .. ., I ≪ n, и затем найти
M-z
у т^/т^ .
i=k+l
Если на 1-й ступени за время достигнуты уровни
≪i)2, ..., ≪oft, ＆ > 1, то можно предложить другой вариант
пересчета. Так как Zi/)/7'z>^)=Cy, где /Р — время достижения
уровня ©у, / = 1, 2, ..., k, на первой ступени, то
^(i)
Н— j с>' Этот вариант позволяет ограни-
fSi
чить время испытаний 1-й партии достижением уровня coft.
58

Пример. Испытываются приемно-усилительные лампы
6Н1П. Форсирование осуществляется путем увеличения
напряжения накала. В качестве уровня со принята
относительная частота отказов. Отказом считается превышение
предельно допустимой величины крутизны
анодносеточной характеристики. Первая партия объемом
20 шт. испытывается в форсированном режиме Z =
=7,6 в. Вторая партия такого же объема испытывается
ступенчато, сначала в эксплуатационном режиме Х =
=6,0 в до достижения уровня со3 = 0,15, а затем в форсированном
режиме Z = 7,6 в до уровней со4=0,2; со5 =
=0,25; (Об = 0,3. Результаты испытаний приведены в
табл. 7.
Находим T(xk+i) = -
» а затем с (табл. 8). Да-
1— t(2l)/T(Zh+i)
лее с помощью с определяем Т^\ Mx(t), Gx(t) (табл. 7).
Таблица 7
Результаты форсированных испытаний ламп 6Н1П
Mz (0=2286,5; Мх (/)= 24008,2;
az(0 =1400,3; ах (/) = 14703,2
I
ступень /г-
II
ступень tcp Tz 1 T«bi)
0,05 3731,7 361,3 3793,7
0,10 4771,8 389,2 4086,6
0,15 4775,5 431,3 4528,7
0,20 367,1 846,1 8884,0
0,25 493,8 916,4 9622,2
0,30 851,2 1336,5 14033,2
0,35 1482,2 15563,1
0,40 1519,9 15959,0
0,45 2034,1 21358,0
0,50 2103,4 22085,7
0,55 2252,2 23643,4
0,60 2 32,7 27643,4
0,65 2860,3 30033,2
0,70 2949,3 30967,6
0,75 3021,8 31728,9
0,80 3221,4 33824,7
0,85 3841,9 40340,0
0,90 3928,6 41250,3
0,95 4442,0 46641,0
1,00 5159,0 54177,9
59

Расчет значений с
Таблица 8
“>h+i
/О
*2 T^k+i'1 ►се л?
S, E-
L
T^h+i*
0,20 0,434 8437,3 9,97
0,25 0,539 10359,0 11,30
0,30 0,637 13155,6 9,84
с=10,5
=и(со1( ®0).
бо-
по
ис-
определяются по результа-
а Т(хо) рассчитывается по
7^(СОо)
i X
3. В эксплуатационном режиме фиксированное время тп
а затем в форсированном режиме Z до уровня се»!. Согласно
(7), получим
_Ь_
7^(со0)
1 X
Значения T{zq} и и (оц, соо)
там испытаний первой партии,
приведенному выше равенству. Вычислив с= ^у , посту-
7z 0
паем так же, как в первом способе.
Метод можно уточнить, проведя испытания на второй
ступени до уровней сох, со2, ..., со^. Тогда справедливо
т
-
*
г И - 7— -=и(со^, со0), 4=1, 2, ..., k,
Т'(й)о) 1 Х 1 U/
1 X 1 Z
т. е. получим k значений Тхо)- Взяв среднее, найдем
лее точную оценку для Т(х о)
•
Пример эксперимента (испытания компрессоров K4N)
данному методу будет приведен в § 4.
Указанный способ испытаний для ≪о = q позволяет
пользовать равенство (8)
т1
_ I _
**
_ = и
мх (0 mz (О ч’
где t„— время испытаний на второй ступени до уровня q.
Мх (t)
Находим Мх (t)- Определив значение с= - -
—
, можно
Mz (О
60

вычислить, согласно п. 1, любой момент распределения сроков
службы и значения Txi} в эксплуатационном режиме X.
4. Испытываем на первой ступени так же, как в п. 3,
а на второй ступени в форсированном режиме Z до выхода
всех N образцов. В соответствии с соотношением (9)
получим
m N
ATi7^rVjZ1≪,)+(JV~m)T1+ V.
NMx (0 NMz (0
i=l У=т4-1
где m — число изделий, отказавших на первой ступени;
— опытная наработка i-ro изделия, отказавшего на
первой ступени (/=1, 2, /и); — время работы /-го
изделия до отказа на второй ступени (j=m + 1, m+2, ...
..., У).
Приведенное равенство позволяет, используя значение
Mz (t), полученное в результате испытаний первой
партии, найти Мх (t). Остальные характеристики надежности
вычисляются так же, как в п. 3.
Если в этом случае на первой ступени за время Ti
не произошло ни одного отказа, т. е. т = 0, то, согласно
(9), получим [24]:
— - - F - -
- (14)
Мх (0 NMz (О
1=1
Пример. На испытания поставлены две партии шарикоподшипников
по 20 образцов каждая. Первая партия
испытывается в форсированном режиме Z, вторая —
в условиях ступенчатого нагружения: I ступень — эксплуатационный
режим X, длительность ступени т=
= 2520 час.; II ступень — режим Z до выхода всех
образцов из строя.
Результаты испытаний приведены в табл. 9.
Определив с=8,06, находим расчетные значения мер ресурса
работоспособности Тх^} (см. табл. 9).
5. Испытания проводим методом программного циклического
нагружения. Партия испытывается циклами
до выхода из строя всех N изделий партий. Каждый
цикл' заключается в испытании изделий — время ©i в
61

Таблица 9
Результаты форсированных испытаний шарикоподшипников
i 4° ,(О
*2 г(≪вр
Tz 1 %
1 0,05 2503,5 287,0 2313,2
2 0,10 2505,5 319,8 2577,6
3 0,15 253,7 740,2 5966,0
4 0,20 325,3 742,9 5987,8
5 0,25 335,8 801,7 6461,7
6 0,30 349,1 824,5 6645,5
7 0,35 361,8 854,5 6887,3
8 0,40 388,4 900,0 7254,0
9 0,45 513,3 913,8 7365,2
10 0,50 734,6 941,2 7586,1
11 0,55 822,9 968,9 7809,3
12 0,60 836,6 989,1 7972,1
13 0,65 948,5 1066,4 8595,2
14 0,70 996,5 1213,6 9781,6
15 0,75 1029,1 1301,7 10491,7
16 0,80 1032,2 1308,3 Ю544.9
17 0,85 1125,9 1331,9 10735,1
18 0,90 1130,9 1334,2 10753,6
19 0,95 1231,3 1467,8 11830,5
20 1,00 1307,7 1652,8 13160,4
2 20
^’)= 4809,0; 4° = 13714,8; Mz (0=997; Мх (0=8035,2;
1=1 1=3
≪jz (0 = 347,6; их (0 = 2801,3.
режиме X и 02 в режиме Z. Если ki — число циклов до
отказа r-го изделия и ki 1, то
N N
i=l
и, пользуясь формулой (9)
М＆) М(4)
Mz(f)
находим Мх (t). Остальные характеристики надежности
определяются указанным ранее способом.
Пример. Проводятся испытания на коррозионную
усталость сплава АДЗЗ [50]. В качестве коррозионной
62

среды использовалась морская вода. Первая партия
подвергалась программному нагружению при 6000 об/мин,
напряжении 6 кг/мм2 и прерывистом действии агрессивной
среды с соотношением — — =0,33, где
Т1 — время одного периода действия воздуха; Т2 — время
одного периода действия морской воды.
Вторая партия испытывалась в тех же условиях нагружения,
но при непрерывном действии морской воды
(режим Z). Данные испытаний первой и второй партий
представлены в табл. 10.
В результате испытаний необходимо оценить среднее
число циклов до разрушения при напряжении 6 кг/мм2
в воздухе, т. е. в отсутствие коррозионной среды.
По данным исследований [50] установлено, что накопление
повреждений образцов из сплава АДЗЗ в пе-
Таблица 10
Результаты испытаний сплава АДЗЗ при прерывистом
и непрерывном действии агрессивной среды
Номер отказа 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Л-10″3
число циклов до разрушения
25,1 27,8 31,3 32,0 34,2 38,0 39,8 40,0 41,1 42,8
Номер отказа 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
и-10~3
число циклов до разрушения
44,3 46,3 48,1 53,0 55,1 60,0 61,0 65,3 73,8 80,0
63

риод их работы в морской воде и воздухе достаточно
хорошо описывается линейным случаем. Следвательно,
для расчета может быть использована последняя модель.
На основании данных табл. 10 М (tx) =92,99-105;
Л4 (72)=45,8-105; Mz (t) =46,91 • 105. Тогда число циклов
до разрушения в воздухе Mx(t) =387 • 106 циклов. Нетрудно
увидеть, что получение Мх (t) путем испытаний
образцов в воздухе при 6000 об/мин и напряжении
6 кг/мм2 практически невозможно из-за большой длительности
таких испытаний.
4. О ВЫБОРЕ ПРОГРАММ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫХ
ФОРСИРОВАННЫХ ИСПЫТАНИЙ
НА НАДЕЖНОСТЬ ОБЪЕКТОВ 1-ГО ВИДА
Предложенные методы испытаний не предусматривают
наличия априорной информации о функции связи,
что значительно облегчает решение требуемой задачи.
Однако все рассмотренные варианты испытаний предполагают
наличие форсированной нагрузки Z, входящей
вместе с эксплуатационным режимом X в одну область
Е, где выполняется физический принцип надежности
для общей и линейной моделей.
В зависимости от достоверности информации о справедливости
условия X, ZczE программы форсированных
испытаний на надежность можно подразделить на три
вида: 1) по полной, 2) по сокращенной и 3) неполной
программам.
Первый вид испытаний предусматривает определение
предельной нагрузки для общего или линейного
случаев и проведение испытаний соответственно по методам,
изложенным в § 2 или 3. Эту программу целесообразно
использовать при отсутствии достаточной информации
о влиянии режима на процесс утраты ресурса
работоспособности исследуемого изделия.
Вторая программа заключается в форсированных испытаниях
изделий только согласно методам § 2 или 3 в режимах
X и Z, причем расчету мер Т(х} предшествует проверка
принадлежности режима Z одной области с режимом X.
Проверка осуществляется на основе соблюдения указанных
выше закономерностей изменения мер T(z} для разных уров-
64

ней со при переходе с одной ступени нагружения на другую.
Например, когда в общем случае партия изделий работает
в режиме Z, начиная с некоторого уровня ≪в' до
уровня со″, время то, зафиксировав время испытаний
/(So на этой ступени до промежуточного уровня со'≪со≪со″,
значение T{z '} можно определить двумя способами:
+ $3
И
.
Если полученные значения мер , вычисленные несколькими
способами, близки между собой, то гипотезу
о том, что режим Z не превосходит предельного, т. е. X,
Z (=Е, можно считать выполненной. Для линейных моделей
(§ 3, п. 2— 5) проверка несколько проще и осуществляется
аналогичным образом. Сравниваются значения Tz», полученные
в форсированном режиме Z, и значения Т≪г>), найденные
по данным /{S’) ступенчатых испытаний
mW _ mW) | /(w)
1 Z — 1 Z + t(to') ,
где co'— уровень, достигнутый на первой ступени в режиме
X, — время испытаний на второй ступени в режиме
Z до достижения уровня со.
Если результаты проверки окажутся отрицательными,
то можно исследовать другие масштабы времени
для оценки мер. В случае, когда в использованных масштабах
значения мер ресурса работоспособности, найденные
указанными способами, имеют между собой
большие расхождения, данные рассматриваемого эксперимента
не могут быть использованы для оценки характеристик
надежности изделий в эксплуатационном режиме
X, так как a Z не принадлежит Е.
Сокращенную программу форсированных испытаний
целесообразно использовать, когда имеются определенные
соображения о режиме форсирования, сохраняющем
приближенную автомодельность процессов разрушения
по сравнению с эксплуатационным режимом и
позволяющем провести испытания на надежность в
приемлемые сроки (т. е. когда отпадает потребность в
нахождении максимальной границы форсирования).
65

Неполная программа форсированных испытаний на
надежность предусматривает проведение эксперимента
в режимах X и Z по методам, приведенным в § 2 или 3,
и расчет мер Т(^ без проверки принадлежности нагрузок
X, Z области Е. При испытаниях по указанной программе
всегда имеется большой риск получения ошибочных
результатов. Поэтому ее следует применять
только в том случае, когда имеется большая уверенность
в принадлежности режима Z>X одной области Е,
где выполняется общая или линейная модель. Такая информация
может быть получена из некоторых предварительных
исследований рассматриваемых изделий или
по данным испытаний аналогичных изделий-прототипов.
Рассмотрим полную программу испытаний на примере
компрессоров K4N (ЧССР). На первом этапе исследований,
приведенном в предыдущей главе, получено
значение предельной нагрузки для компрессоров
Хп = 25 атм. На втором этапе испытаний надежности,
определяемой нахождением характеристик холодопроизводительности
агрегата в заданной области, поставлены
две партии по четыре компрессора.
Первая партия испытывается в ступенчатом режиме,
сначала при нормальном противодавлении ^э=8 атм в
условиях циклического переключения (5 мин работа,
5 мин стоянка в течение 12 мес), а затем переводится
на непрерывную работу при Лп = 25 атм. Данные относительного
изменения средней холодопроизводительности
е для первой партии приведены в табл. 11.
Таблица 11
Изменение холодопроизводительности компрессоров
K4N в ступенчатом режиме
I ступень
66
/, мес 1 0 1 2 1 4 1 6 | 8 | 10 | 12
е-103 | о | 4,6 | 5,5 | 27,6 | 21,5 | 18,4 | 16,1
II ступень
t, час 1 0 1 100 | 200
8*103 1 I6.! 1 — 3,2 | — 22,0

Таблица 12
Изменение холодопроизводительности компрессоров
K4N в форсированном режиме
t, час | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600
е-103 | 0 | 27,4 | 26,3 | 12,1 |— 27,3| — 37,5 | — 48,4
Вторая партия испытывается в форсированном режиме
Хп = 25 атм. Результаты изменения исследуемого
параметра е даны в табл. 12. Графическая иллюстрация
изменения параметра е для обеих партий приведена на
рис. 10.
Сопоставим значения мер достижения максимального уровня
Ег = 27,6-10-3 второй партией в форсированном режиме
и первой партией на I ступени: Tx$ = 6 мес-720 час/мес =
= 4320 час, Тх1} = 125 час. Значение q = = 34 д
п 125
Для уровня 82 = 17,0-10 3, соответствующего значению параметра
при окончании первой ступени, Тхг) = 12месх
э
Рис. 10. Изменение холодопроизводительности компрессоров
по результатам форсирования испытаний:
1— I партия, 2 — II партия
67

Таблица 13
Значения с для компрессоров K4N
'• 1 3 1 4 1 1 5 6 7 8
103
ci
7,5
36,0
0
35,3
— 3,75
36,0
— 7,5
34,6
— 15,0
33,9
— 22,0
36,8
т /(“о)
В соответствии с третьей моделью -| - = 1 рас-
Тхэ Тхп
m(tOo)
Тхэ т
считаны значения с = - —
г, приведенные
Тхп Тхп “k
в табл. 13.
8
Среднее значение с составит с = 1/8^Сг=35,2, т. е.
1=1
чтобы получить изменение зависимости холодопроизводительности
при работе компрессора в эксплуатационном
режиме за 35,2 час (месяца), достаточно испытать
указанные изделия в непрерывном режиме при противодавлении
Хп=25 атм в течение 1 час (месяца).
Учитывая, что неполная программа совпадает со
вторым этапом полной программы, пример испытаний
по неполной программе не приводится.
Сокращенную программу форсированных испытаний
на надежность можно проиллюстрировать данными испытаний
двух партий резисторов ОМЛТ-0,5— 1,6 ком±
±10% по 30 шт. в каждой.
Первая партия испытывается в форсированном режиме
при мощности рассеивания Рф =2,5-Р0 = 2,5Х
Х0,5 вт= 1,25 вт.
Вторая партия из 30 резисторов испытывается
200 час в режиме 7э = 7эо=О,5 вт, а затем все изделия
переводятся в режим Рф=1,25 вт.
Данные о средних значениях относительного изменения
сопротивлений резисторов е обеих партий приведены
на рис. 11.
68

Близость уровней е, достигнутых при работе резисторов
в ступенчатом (зависимость II) и форсированном режиме (зависимость
Г) показывает, что Ро, Рф cz £, т. е. нагрузка
Рф = 1,25≪ Хп. Значение с = Tp°/Tp＆ по полученным данным
равно 4,8, что позволяет пересчитать результаты форсированных
испытаний на номинальный режим PQ = 0,5 вт.
Рис. 11. Изменение относительного сопротивления резисторов по
результатам форсированных испытаний:
I — форсированный режим, II — ступенчатый режим, Г — перенесенный
участок кривой I
Так как для исследуемых изделий при различных нагрузках
по мощности рассеивания Р19 P2≪zE функция связи
/(/\, Р2) = е^Р2“Р1) [52], то, определив k, подобные расчеты
можно осуществить и для других эксплуатационных режимов
Р.
При Рф = 1,25 вт и PQ = 0,5 вт f (Ро, Рф)=е^1’25-°’5) =
= 4,8. Тогда k = 2,1. Среднее значение относительного изменения
сопротивлений исследуемых резисторов и двусторон-
69

E7Z7*
100
ЧП
_ —
си
0 1
~50Q ' loQO '
4000
' ~Ш1 '
t,4ac (0,56т)
500 ~2000 '
W
’
Ш
' ~8000 ’ t,4ac(0,46m)
MOO
'
т
' ~6000 '
Ж
'
ШО
'
t,4ac(0,36m)
~2000 '
4000 6000
’
6000 10000 12000 14000 i, час (0,2 вт>
Рис. 12. Изменение относительного сопротивления резисторов
ОМЛТ-0,5-1,6 ком и доверительный интервал в режимах 0,5; 0,4; 0,3;
0,2 вт
ний доверительный интервал с уровнем доверия у = 0,95
для различных режимов Р = 0,5; 0,4; 0,3; 0,2 вт представлены
на рис. 12.
5. ИСПЫТАНИЯ ОБЪЕКТОВ 2-ГО ВИДА
Специфические особенности протекания процесса утраты
ресурса работоспособности в объектах 2-го вида
приводят к тому, что при известных режимах форсирования
для них не существует функции связи мер ресурса
работоспособности. Поэтому перенесение методов
форсированных испытаний на надежность, справедливых
для объектов 1-го вида, на объекты 2-го вида является
ошибочным. К сожалению, подобный подход широко
используется некоторыми авторами, предлагающими
проводить форсированные испытания таких изделий путем
ужесточения отдельных нагрузочных воздействий.
В этом случае по существу испытывается наиболее чувствительный
к применяемому режиму элемент, а само
изделие служит испытательным стендом.
70

Указанные выше обстоятельства вызывают необходимость
разработки принципиально новых методов форсированных
испытаний объектов 2-го вида, обеспечивающих
решение задач выбора режима форсирования и
пересчета результатов испытаний к эксплуатационным
условиям. Как будет видно из дальнейшего изложения,
это может быть сделано только при наличии решения
упомянутых задач для компонентов, составляющих объект
2-го вида. При этом с увеличением числа компонентов
усложняется процедура форсированных испытаний.
Рассмотрим некоторые особенности, характеризующие
работу объектов 2-го вида в форсированных режимах.
Нагрузка, воздействующая на объект 2-го вида, распределяется
неодинаково между его компонентами. Поэтому
на режим форсирования Z(Zb Z2, ..., ZN), где
Zi — режим работы i-ro компонента, /=1, 2, ..., W; N —
число элементов в изделии, накладывается ограничение,
заключающееся в том, что нагрузка ни на одном
из компонентов не должна превышать предельной
Zf≪Xn , f=l, 2,..., N, где Хп≪— предельная нагрузка
i-го компонента.
Кроме того, многообразие компонентов и их режимов
проводит к тому, что процессы разрушения протекают в них
с различной интенсивностью. Если изделие 2-го вида испытывалось
в режиме Z, время т, то при этом каждым составляющим
компонентом выработан определенный ресурс, для
чего в эксплуатационных условиях необходимо время Тх. =
= Tfi (Aj, Z,, (of), i = 1, 2, . . . , N, где Xt — нагрузка на
f-м компоненте в эксплуатационных условиях.
Так как о общем случае T(x.i} =# Т(хР для i=^=j, то режим
Z относительно эксплуатационных условий по-разному
воздействует на выработку ресурса составляющих изделие
компонентов. Форсированные испытания должны быть организованы
так, чтобы определенному времени испытаний т в
режиме Z соответствовало время ТхУ = const для всех i =
= 1, 2, . . ., N. Выполнение этого условия достигается построением
испытаний в виде циклов с программным изменением
режима форсирования. Основные части этого цикла составляют:
а) испытание всей системы в форсированном режиме
Z;
71

б) выравнивание мер выработанных ресурсов для
составляющих систему элементов. Исходя из этого, можно
указать следующие этапы исследований для проведения
форсированных испытаний на надежность.
1. Определение эксплуатационных режимов Xi всех
компонентов, входящих в систему.
2. Нахождение функций связи всех компонентов для
эксплуатационной зоны режимов.
3. Выбор режима форсирования Z, удовлетворяющего
условию Zi^Xn , £=1, 2, N.
4. Осуществление выравнивания мер ресурса работоспособности
составляющих компонентов.
Программа испытаний надежности изделий 2-го вида
представлена в блок-схеме.
В зависимости от характера функций связи составляющих
компонентов изделий 2-го вида подразделяются
на линейные и нелинейные. Если функция связи всех
компонентов в соответствующем масштабе не зависит
от уровня со, изделие называется линейным. По способу
выравнивания мер ресурса работоспособности изделия
второго вида делятся на две группы. Для первой группы
возможно расчленение изделия на объекты первого
вида, отключение последних и работа их в автономном
режиме. К таким изделиям можно отнести ряд схем автоматики
и электроники, содержащих типовые элементы:
электровакуумные и полупроводниковые приборы,
резисторы, конденсаторы, трансформаторы, переключатели,
дроссели, электродвигатели и т. д.
Кроме того, существует большая группа изделий (в
первую очередь механических), для которых добиться
равенства мер выработанных ресурсов указанным способом
невозможно. Для них выравнивание осуществляется
путем испытаний в определенной последовательности
режимов.
Нетрудно увидеть, что выполнение всех изложенных
выше требований значительно усложняет проведение
испытаний изделий второго вида по сравнению с изделиями
первого вида. Однако такой путь является единственно
возможным для осуществления форсированных
испытаний изделий 2-го вида в целом.
Рассмотрим основные количественные соотношения,
необходимые для организации форсированных испытаний
надежности объектов 2-го вида.
72

Блок-схема программы испытаний надежности
изделий 2-го вида
73
ствующий
бовалось
вый
сурса

а). Первая группа, линейный случай.
Изделие, состоящее из п (п = 2, 3, ...) компонентов,
испытывается в форсированном режиме Z в течение времени
т. Чтобы каждому компоненту выработать ресурс, соответствующий
времени т, в эксплуатационном режиме X потребовалось
бы время Тх? = tfi (Xif Z}) = ncit i = 1, 2, . . . ,
n, причем один из компонентов выработал больший ресурс
шах {Тх^} по сравнению с остальными на величину
6г = max {7t?} - Т£> = т (max с} - ct).
1 \≪j≪n
Для того чтобы время работы системы в эксплуатационном
режиме X составило шах {Т(х?}, необходимо, чтобы каж-
1≪/≪п 1
дый из компонентов доработал в режиме Xt время, равное
бг. Выравнивание может быть проведено либо за одинаковый
промежуток времени Дт для всех компонентов, либо
каждым компонентом индивидуально под соответствующей
предельной нагрузкой, при этом компонент, относительно ресурса
которого производится выравнивание, отключается из
схемы.
Для первого случая интервал выравнивания выбирается из
условия
Дт> max
' б* 1 i = 1, 2, . . . , п.
Тогда нагрузки Yif под которыми должно быть проведено
выравнивание для каждого компонента, определяются из
уравнения
6, =ДтЛ(Х#, У,), i = l, 2, ..., и,
причем Yj-^Xn.. Во втором случае время выравнивания
каждого компонента рассчитывается по формуле
Дтг = -
, i = 1, 2, . .., п.
ГЛХьХп.)
Практически выравнивание целесообразно осуществлять
за одинаковый промежуток времени Дт, так как в
этом случае облегчается создание автоматического экспериментального
оборудования, обеспечивающего выполнение
программного изменения режима.
74

После окончания выравнивания первый цикл испытаний
завершается, и аналогичным образом организуются
последующие циклы. Время одного цикла таких
испытаний составит /Ц=т + Дт. Для того чтобы перейти
к интересующим нас характеристикам надежности в эксплуатационных
режимах, нужно результаты форсированных
испытаний интерпретировать в масштабе вре-
В качестве примера рассмотрим испытания релейного
усилителя (РУ)1, относящегося к первой группе линейных
объектов второго вида. Цель экспериментального
исследования заключалась в нахождении изменения
от времени характеристик работоспособности для эксплуатационного
режима по результатам форсированных
испытаний этих устройств в целом. Так как время безотказной
работы РУ определеятся моментом достижения
его рабочим параметром границы заданной области,
то на основании полученных данных нетрудно рассчитать
характеристики надежности.
Релейный усилитель (рис. 13) предназначен для усиления
сигнала до величины, необходимой для срабатывания
рабочего реле Р\. РУ состоит из каскада усиления
и триггерной схемы. Спецификация схемных эле-
1 Испытания проведены В. В. Соколовым.
75

Таблица 14
Нагрузочные режимы элементов релейного усилителя
в эксплуатационных условиях
Обозначе- |
ние в схеме Название и типономинал элемента Напряжение,
ток
Мощность
рассеивания,
вт
R, Резистор ОМЛТ-0,5-820 ом ±10% 0,91 в
Rz Резистор ОМЛТ-0,5-1,3 ком ±10 % 0,24в
Rt Резистор ОМЛТ-0,5-1 ,3ком ± 10 % 25,бе
Rt Резистор ОМЛТ-0,5-12 ком ± 10% 0,24в
Rs Резистор ОМЛТ-0,25-100 ом ± 10% 0,36в
Re Резистор ОМЛТ-0,5-130 ом ± 10 % 4,685 в
Ri Резистор ОМЛТ-0,25-7,5 ком ± 10% 24,46в
Rs Резистор ОМЛТ-0,5-2,7ком ± 10 % 21,21 в
R, Резистор ОМЛТ-0,25-13 ком ± 10 % 21,98 в
Д1 Диод Д-226 £/=0,755 в
/=41 ма
д2 Диод Д-226 0
Pi Реле РЭС-10 £/=21 в
1=35 ма
ПП1 Триод МП 14 £/=0,173 в
/=4,05 ма
ПП2 Триод МП 14 U=l,02 в
/=1,125 ма
ППЗ Триод МП26 U=2,32e
/=31,75 ма
0,001
4-Ю-5
0,0504
0
0,0013
0,169
0,798
0,167
0,037
0,031
0
0,735
0,0007
0,00115
0,074
ментов и значения нагрузок в эксплуатационном
режиме представлены в табл. 14.
В качестве рабочего параметра РУ выбрана разность
напряжений срабатывания и отпускания At/=
= t/cp - отп-
Форсирование схемы осуществлялось путем повышения
температуры как основного фактора, ведущего к
старению полупроводниковых приборов [37, 44, 59].
Принимая во внимание, что диапазон максимально допустимых
эксплуатационных значений температур составляет
для германиевых транзисторов 80— 100 °C и
для кремниевых полупроводниковых приборов 100—
125°C [53], величина форсированной нагрузки Z принята
равной 100 °C (эксплуатационный режим: темпе-
76

ратура 20±5°С, напряжение питания 27 в). На испытания
было поставлено четыре усилителя. Выравнивание
ресурсов для всех элементов РУ производилось за
равные промежутки времени путем увеличения их электрических
нагрузок.
Проведем расчет времени и режимов выравнивания для
одного никла испытаний (табл. 15). РУ испытывался в форсированном
режиме ＆z = 100 °C в течение т = 24 час. Этому
времени для транзисторов в эксплуатационном режиме
= 25 °C соответствует время
TXi = тЛ (0х, ©z) = Тe“,≪0z ~＆х ’
=
= 24 ео,оз(юо-25) = 24 е2,25 = 228 час;
для резисторов
Тх2 = V2(0X , ©z) =rea2(@z~＆x) = 24е0’02≪100_25)= 108час;
для диода
ТХз = т/3 (@х, 0Z) =xea3(＆z~ex} = 24е°’01(100~25)= 51 час.
Шля катушки реле повышение температуры до
100 °C не является форсированием режима, поэтому
7^=24 час. Время, которое необходимо доработать
этим элементам схемы по сравнению с транзисторами,
составляет:
для резисторов б2 = 228— 108=110 час;
для диода 63 = 228— 51 = 177 час;
для реле 64 = 228— 24 = 204 час,
Приняв длительность выравнивания Дт=48 час, определяем
для резисторов, диодов и реле электрические режимы,
в которых время доработки 6; (/ = 2, 3, 4) каждого из
элементов эквивалентно 48 час. Функция связи для нахождения
нагрузки выравнивания равнае zi xi ’
Ат
где Pz., Pxt — мощности рассеивания f-го элемента схемы
соответственно в форсированном и эксплуатационном режимах;
7?0 = 140°C/em для МЛТ-0,5,
7?0 = 200°C/em для МЛТ-0,25,
Rq — 600° Clem для диодов,
/?0 = 100°C/em для реле [52].
77

Цикл испытаний релейного усилителя (время работы РУ т=24 час в форсированном
режиме = 100 °C. Время выравнивания Дт=48час, 0^-— 25 °C) ю
03
SI
S
хо

Тогда нагрузки выравнивания определятся по формуле
Рг, _ pXi + .
Вычисленные значения Pzi приведены в табл. 16.
Нетрудно убедиться, что указанные значения режимов
не превосходят предельных для соответствующих
типов элементов. Аналогичным образом производится
расчет последующих циклов.
После окончания каждого цикла замеряется параметр
AU для построения зависимости At/ = cpz (t) в форсированном
режиме. Пересчет к эксплуатационным условиям осуществляется
изменением масштаба характеристики cpz (0 в
k раз, где
k = — =
228
= 3,2.
т + Ат 24 + 48
В табл. 17 приведено сравнение рабочих характеристик
РУ, полученных по данным форсированных испытаний
и контрольной партии усилителей (рис. 14).
б). Первая группа, нелинейный случай.
Для этого случая требуется значительно больший объем
начальной информации. Помимо функций связи и предельных
нагрузок, необходимо знать законы распределения сроков
службы или функции изменения основных параметров
со = F (/) компонентов в каком-либо режиме, не превосходящем
предельного. Объект 2-го вида работает в форсированном
режиме Z, время т. Каждый компонент достигнет
Таблица 16
Значения нагрузок выравнивания при испытаниях
релейного усилителя
Элемент схемы Pt Ръ Яз Р* Рь
Нагрузка выравнивания
Р z , вт 0,328 0,327 0,377 0,327 0,496
Элемент схемы Р, Р, Р, р, Д1 Pi
Нагрузка выравнивания
Pz , вт 0,494 0,230 0,309 0,216 0,248 0,975
79

Таблица 17
Изменение At/ релейного усилителя в
эксплуатационном режиме
По данным форсированных
испытаний
По данным испытаний контрольной
партии усилителей в экспл. режиме
t, час Д≪7 ＆и— ьи0 /, час 1 W 1 Д[У— ДС70
0 0,0415 0 0 0,036 0
552 0,0401 — 0,001 312 0,033 — 0,003
732 0,0400 0 552 0,036 0
1272 0,0425 0,001 696 0,036 0
1632 0,0434 0,002 1008 0,034 — 0,002
2712 0,0432 0,002 1104 0,038 0,002
3252 0,043 0,002 1248 0,037 0,001
3972 0,045 0,024 1488 0,037 0,001
4512 0,045 0,004 1656 0,037 0,001
5412 0,046 0,005 2304 0,040 0,004
6312 0,046 0,005 3192 0,0425 0,0065
7992 0,046 0,005 4104 0,041 0,005
9720 0,048 0,007 4992 0,042 0,006
11448 0,049 0,008 7152 0,042 0,006
14040 0,050 0,009 8496 0,043 0,007
15300 0,052 0,011 8904 0,043 0,007
16476 0,053 0,012 10512 0,043 0,007
17592 0,053 0,013 12408 0,0475 0,0115
19020 0,056 0,015 14208
18000
0,0475
0,050
0,0115
0,014
при этом уровня ^}=Fzt (т), i = 1, 2, . . . , /г, где
закон распределения сроков службы или функция изменения
определяющего параметра в режиме Zf. Соответственно
время работы компонентов в эксплуатационном режиме
Тх^ = Zb (оР}). (Для компонентов с функцией связи,
не зависящей от уровней, со/1} не определяется). Выбираем
из данного ряда времен максимальное max > ],
i = 1, 2, ..., и, с которым производится сравнение всех
остальных значений \ и находим время доработки =
(1)
= max {T(®i } \ Далее, как и для линейного слу-
1≪/≪л / *
чая, производится выравнивание. При выравнивании в тече-
80

ние одинакового интервала времени для всех компонентов
его значение Д^ определяется из условия
(1) /м U)
T^i ^4-бР 7″(coi )
_
Xi
_
xi
_
fitXi, ZnptoV’) ft (xt, Zn.,
Д/х > max
где
Рис. 14. Сравнение рабочих характеристик релейного усилителя, полученных
по данным форсированных испытаний (/), и контрольной
партии в эксплуатационном режиме (2)
Тогда нагрузочные режимы выравнивания Yt должны
удовлетворять уравнению
(1) (1)
T(”i ’ +6Z(1) >
д/ =
*
_ _
1 Л(Хг, Yit 41?) Д (Хг, Yit а>?>) •
Длительность первого цикла испытаний равна /ц = т + Д^х
Аналогичным образом можно получить расчетные соотношения
для любого числа циклов. Очевидно, что для рассмат-
81

риваемого случая /ц. =И=/Ц.. Пересчет результатов форсированных
испытаний к эксплуатационным режимам осуществляется
путем изменения масштаба времени в рамках каждого
цикла в
где / — номер цикла.
в). Вторая группа, линейный случай.
Так как для данной группы изделий невозможно
отключение компонентов, то необходимо найти такую
последовательность смены нагрузочных воздействий,
(давления, температуры, влажности, радиации и т. д.),
которая бы компенсировала различия в условиях нагружения
компонентов исследуемого изделия. Из-за сложности
алгоритма и расчетных соотношений рассмотрим
испытания данного вида объектов на примере изделия.
состоящего из двух компонентов (п = 2).
Изделие испытывается в форсированном режиме Z
в течение времени т, причем нагрузка на первом компоненте
Zb а на втором Z2. В эксплуатационных режимах
и Х2 времени т соответствуют времена:
для первого компонента
= т/!1’ (Хх, Zx) =
(/)
)
для второго компонента
т¥г = (Х2, Z2) =
Полагаем, что £≪*> >, т. е. Для выравнивания
отработанных ресурсов должна существовать нагрузка
Y такая, что с≪2) ≪ cj2), где с≪2) = f{2) (Хх, Ух); с≪2) =
= f≪2> (Х2, У2), а Ух, У2 — нагрузки соответственно на первом
и втором компонентах. Тогда испытания изделия проводим
под нагрузкой У, время 6, которое определяется из условия
где
(Х1У ух) = тс!,)+М2);
Tl^=T^+8f(22) (Х2, У2) = т4‘>+М2).
Отсюда б = Т[С(О-С≪»]
42,-С1(2)
82

При выполнении этих условий в течение первого цикла
испытаний /Ц1 = т + 6 обоими компонентами будет выработан
одинаковый ресурс. Нетрудно видеть, что остальные
циклы испытаний тождественны первому. Для перехода
от результатов форсированных испытаний к
эксплуатационным режимам необходимо все данные
рассматривать в масштабе времени, увеличенном в
т + S т + S
£(0 р(2)_ С(2)] +с(2) [- C(l)_ C(1)J
= J2) , „(О ДО Ра3,
С2 — Ci -j- Ci — С2
Переход к объектам, содержащим более двух компонентов
с функциями связи, не зависящими от уровня,
аналогичен изложенному выше линейному случаю и требует
выравнивания по всем элементам.
г). Вторая группа, нелинейный случай.
Основные количественные закономерности для данного
случая также рассмотрим на примере объекта, состоящего
из двух компонентов (п = 2).
Объект испытывается в форсированном режиме Z в течение
времени т. При этом нагрузки на первом и втором
компонентах соответственно равны Zx и Z2, а в эксплуатационном
режиме — Хг и Х2. Пусть для режимов Zx и Z2
известны законы распределения или функции изменения основного
параметра /% (/) и Fz2 (О, а также функции связи
fiXX^ Zx, со) и /2(Х2, Z2, ю)- За время испытаний т компонентами
достигнуты следующие значения уровней со^1) =
=Fzr (т) и co^1)=Fz2 (т). Тогда времени т в эксплуатационном
режиме будут соответствовать времена для первого
компонента Zn coj1)), для второго— Т^2 =
= т/2(Х2, ^2» Пусть, например, 1 }>Т^2 \ т. е.
Zlt coj0) >/2 (Х2, Z2, coU)). Для выполнения равенства
выработанных элементами ресурсов в эксплуатационно
(2 )) ((0 (2 ))
ном режиме =ТХ2 'необходимо выбрать такую новую
нагрузку Y, чтобы Yv со) для co>cOj(l) была мень-
83

ше /2(Х2, ^2> ш) Для Тогда время выравнивания
6 определится из неравенства
[А“>0)лаг х1( а>(») +б]л(хх, л, ≪0^) =
(со(0\
= [Л22)/2(У2, х2, со(О) + 6] /2(Х2, У2, ш≪2)).
Аналогичным образом можно получить количественные
соотношения для любого числа циклов испытаний и любого
числа компонентов в исследуемом объекте. Пересчет характеристик
надежности от форсированных режимов к эксплуатационным
осуществляется по циклам путем изменения
(2/)
масштаба в каждом цикле в kj = Тх ■' + б7- раз, где / —
номер цикла; i — номер компонента, относительно которого
производится выравнивание.

Глава V
УСКОРЕННЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ
В ФОРСИРОВАННЫХ РЕЖИМАХ
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Контроль надежности технических изделий относится
к числу наиболее важных задач проблемы надежности.
Необходимо установить (подтвердить или опровергнуть)
соответствие надежности исследуемых изделий
требованиям стандартов и технических условий. Эта
задача решается на основе выборочных контрольных
испытаний на надежность, проводимых периодически
на исследуемых изделиях одного типа. Целью таких
испытаний является проверка того, что уровень надежности
рассматриваемых изделий не ниже заданного. Если
в результате выборочных контрольных испытаний
на надежность получено подтверждение требуемой надежности,
то выпущенная партия изделий принимается,
в противном случае она бракуется (либо направляется
на сплошной контроль или переделку).
Наибольшее распространение получили методы
контрольных испытаний типа однократной выборки,
двукратной выборки и последовательного анализа [11,
22, 60, 61]. Контроль осуществляется по одному или
двум уровням надежности, заданным в технической документации.
Например, один уровень надежности — минимальное
значение вероятности безотказной работы Рн на
время /г в заданных режимах испытаний при риске заказчика
1 (потребителя) 0; два уровня надежности —
1 Риск заказчика 0, называемый ошибкой второго рода, представляет
собой вероятность приемки изделий, имеющих характеристики
надежности на нижнем (браковочном) уровне.
85

минимальное значение вероятности безотказной работы
Рн на время /г в заданных режимах испытаний при риске
заказчика р и верхний уровень — приемлемое значение
вероятности безотказной работы Рв на время /г в
заданных режимах при риске поставщика 1 (изготовителя)
а.
Значения вероятностей аир обычно устанавливаются
в диапазоне 0,05— 0,3.
Для ряда изделий, подверженных регулярным включениям
и выключениям, значения Рп и Рв следует задавать
также на число циклов включения в заданное
время.
Вместо нижнего и верхнего уровней Рн и Рв могут
устанавливаться браковочный и приемочный уровни по
среднему сроку безотказной работы (наработке) или
другие характеристики.
План контрольных испытаний по методу однократной
выборки включает в себя нахождение размера выборки
п и продолжительности испытаний /и в зависимости
от заданных уровней надежности, рисков поставщика
а и заказчика р, приемочного числа с, объема
партии изделий п за контролируемый период и вида закона
распределения сроков службы. Если за время испытаний
количество отказов d^c, то партия принимается,
а при d>c — бракуется.
При многоступенчатых испытаниях из контролируемой
партии объема N отбирается пг изделий (первая выборка)
и испытывается в течение времени /и. Если число отказов
dr^ clf то партия принимается, а в случае d±>c2> с±
партия бракуется. Если же c1≪zd1 ≪ с2, то испытывается
вторая выборка объема п2, Полученное число отказов d2
суммируется с d1 и проверяются условия приемки. Если
di+d2 ≪ с2 — партия принимается, если + d2 > с3 > с2 —
партия бракуется, а при с2 ≪ dr + d2 ≪ с3 испытывается
третья партия объема п3 и т. д.
Такие испытания заранее планируются на некоторое фиксированное
число ступеней s . Если испытания доходят до
s-й ступени, то при окончании испытаний последней выборки
из ns изделий осуществляется приемка или браковка
партии соответственно в зависимости от выполнения нера-
1 Риск поставщика а (ошибка первого рода) представляет вероятность
браковки изделий, обладающих верхним (приемочным)
уровнем надежности.
86

s s
венств ≪ cs или 2 > Cs’ Метод двукратной вы-
1=1 1=1
борки представляет собой указанный план контроля при
s=2. Характеристики плана и сь i= 1, 2, ... , s, находятся
в зависимости от параметров, указанных для метода
однократной выборки.
Проведение контрольных испытаний на надежность методом
последовательного анализа определяется построением
специальных непересекающихся
областей, состоящих
из зон приемки, браковки
и продолжения испытаний.
Эти области представляют
собой части плоскости, разделенные
двумя параллельными
прямыми Сп (О,
сБ (0- График строится в
Рис. 15. Последовательный анализ.
при контроле надежности
координатах: время испытаний или суммарная наработка —
количество отказов (рис. 15). Контроль надежности осуществляется
следующим образом. При последовательном увеличении
времени испытаний (суммарной наработки) полученное
число отказов d (t) за время t > tm[n сравнивается с
сп(0 и cB(t). Если то партия принимается,
если d (t) > сб (t) — бракуется, а в остальных случаях испытания
продолжаются.
Каждый из указанных методов контрольных испытаний
на надежность обладает рядом преимуществ и недостатков,
подробно рассмотренных в [11, 22, 60].
В качестве основного плана контрольных испытаний
на надежность ГОСТ 13216-67 [65] регламентирует метод
однократной выборки с приемочным числом с, равным
нулю. Этот план с организационной точки зрения
является наиболее простым.
87

Рассмотрим метод одноступенчатого контроля по
двум уровням надежности, когда на время испытаний
/и задано минимальное значение Рн и приемлемое верхнее
значение Рв вероятности безотказной работы.
Предположим, что мы заранее можем разметить все
N изделий контролируемой партии на те, которые откажут
за время испытаний /и (их общее количество обозначим
М), и те, которые проработают безотказно. Тогда
при с = 0 риск заказчика [3 равен вероятности того,
что при испытаниях случайной выборки размера п отказов
не было, т. е.
М
N — (п— 1)
Для наиболее распространенных в практике случаев
отношение n/7V≪0,l и указанное равенство можно заменить
уравнением
Если рассматриваемые изделия имеют нижний уровень
надежности Рн, то М. = N (1 — Рн). Отсюда 0 = Р″. Аналогичным
образом можно получить соотношение для риска
поставщика а при условии, что изделия имеют приемлемый
уровень надежности Рв, т. е. Л4 =7V(1— Рв). Действительно,
вероятность а получить не менее одного отказа и,
следовательно, забраковать хорошую продукцию при испытаниях
случайной выборки из п изделий может быть оценена
из равенств:
а = 1 — II М \
N ) м
N — (п— 1)
п п 1
для — ≪0,1
N
Таким образом, параметры контрольных испытаний а, 0,
Рн, Лр п удовлетворяют следующим двум уравнениям:
88
а = 1-р:; ₽=^.

Очевидно, если заданы три из четырех параметров (а, 0,
Рн, Рв) или тройки параметров (а, 0, /г), (Рн, Рв, п), остальные
два могут быть легко получены из указанных равенств.
Для простоты в дальнейшем в этой работе рассматриваются
контрольные испытания методом однократной
выборки по одному нижнему уровню надежности Рн с
приемочным числом с = 0, хотя полученные результаты
могут быть без особых затруднений распространены на
другие методы контроля.
Размер выборки п для испытаний в этом случае опре-
О log 0
деляется из равенства 0 = Рп , т. е. п= -
.
log Ри
Таким образом, если установлены фиксированные
значения риска 0 и нижнего уровня Рп (/и), то в рассматриваемом
случае размер выборки для контрольных
испытаний на надежность не зависит от закона распределения
времени безотказной работы изделий.
Однако изменение времени испытаний /и ведет к изменению
значения Рн, которое определяется в зависимости
от вида распределения сроков службы изделий.
Например, если распределение экспоненциальное, то
для фиксированного значения Рв (/и) находится величина
Хтах из уравнения Ри (/и) = е“^ах *и
, т. е.
1 _
In (U
'чпах— .
Тогда для любого t'K величина Ря (Q определится из равенства
Ри (Q = е~Хтах ги . При этом
z;=evln₽H (*и) =[PhOv
и измененный объем выборки
п> = *ogP
= logP
= *и п
^и/^и logРн(/И) /и
Следовательно, в рассматриваемом методе при экспоненциальном
распределении сроков службы изменение
численности выборки пропорционально изменению
длительности испытаний.
89

В общем случае при /' > ta всегда Рн (t'K) ■≪ Рн (≪„) и
=
log? с ..1оеР _
10gPH(M log^H(U
т. е. с увеличением длительности размер выборки при тех
же исходных ограничениях уменьшается.
При проведении контрольных испытаний на надежность
общая длительность испытаний t0＆, как правило,
значительно превосходит установленное время /и, так
как требуется дополнительное время для подготовки
изделий к испытаниям, их установки, проведения замеров
параметров и т. п. Если обозначить условное дополнительное
время, затрачиваемое на одно изделие 0, то
при контроле надежности методом однократной выборки
величина /Об = /и + ^0-
Значение /Об характеризует меру запаздывания поступающих
сведений о результатах контроля. Несвоевременность
получаемых сведений значительно снижает
их практическую ценность. Это положение еще усугубляется
и тем, что если результаты контрольных испытаний
на надежность оказались отрицательными, то
бракуется значительный объем продукции, как правило,
тем больший, чем больше t06, и при внесении соответствующих
конструктивных или технологических изменений
снова требуется время для проведения новых контрольных
испытаний на надежность. Таким образом,
обратная связь от заказчика к поставщику осуществляется
с запаздыванием, непосредственно связанным с величиной
/об- Возникает задача минимизации общего
времени контрольных испытаний на надежность.
2. МИНИМИЗАЦИЯ ВРЕМЕНИ КОНТРОЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ
НА НАДЕЖНОСТЬ
Задача заключается в том, чтобы осуществить эквивалентное
преобразование установленного плана контрольных
испытаний на надежность так, чтобы, сохранив
заданную точность, достигнуть наименьшего значения
общего времени испытаний /Об, изменив время /и
и размер выборки и.
90

С изменением времени /и в т раз общая длительность
испытаний для плана типа одноступенчатого контроля
может быть определена из равенства
t06 = mtu + п'®>
где п' — размер выборки, соответствующий времени самих
испытаний mtn.
Как было показано в предыдущем параграфе, при т>1
т/и > /и, величина п' ≪ п, т. е. п' = — —
, где ф (т) —
ф(т)
неубывающая функция, зависящая от закона распределения
сроков службы исследуемых изделий. Для экспоненциального
закона, как было показано выше, ф (т) = т.
Если существует метод форсирования, такой, что любому
времени /и обычных (используемых) испытаний соответствует
время /и/＆0, £0>1, ускоренных испытаний, то, очевидно,
что контрольные испытания на надежность могут
быть проведены за время
/об = — н -
ф (т)
Значение m=mQ, удовлетворяющее равенству
min /об = min к
к ф(щ) =т0 Н
-
,
Ф(то)
назовем оптимальным.
Покажем справедливость следующего утверждения:
оптимальное значение т возрастает, а минимальное общее
время проведения контрольных испытаний на надежность
убывает с ростом коэффициента k (рис. 16).
Пусть имеются два метода форсированных испытаний
с коэффициентами kx и k2, причем ki>k2. Обозначим
соответствующие оптимальные значения параметров
mi и т2, т. е.
ta | П0
т1 J - = min
ф (т1) т
и
t„ , П0 .
т2 Н
- = min
^2 Ф .
Г 1
т — Н -
kx ф (/и)
L , П©
т -2-Н -
.
К Ф (т)
91

Тогда для т ≪ т2 справедливо неравенство
О ≪ т„ +
“ k2
п@
№)
«О
г|)(т)
так как т2— оптимальное значение для k2.
Очевидно, что при ^>^2
Рис. 16. Минимизация времени контрольных испытаний
на надежность
Тогда
т2-^- — т2-^~>т~^- — т-^~ .
2 k2 k2 k2
(15)
(16)
92

Шо
=т- К
k
min
т
Вычитая из левой и правой частей неравенства (15) соответственно
левую и правую части неравенства (16), получим
Следовательно, mx>m2, а
т
k.
— т2
— т-^—
п®
ф (т)
L, , п0 / t,,
Н - т2 — ■
А2 ф (та) \ «2
≪ т -2- Н
- иг — —
й2 ф (т) \ Л,
Ф (т2)
п®
ф(/П1)
для любых m≪m2, но
tu , п®
k± ф (т)
= /об(ОТ2- ^)-
*0б (т1’ kl) = т1~^- +
k'
≪ т2 -J
-
£2 Ф (т2)
п＆
ф(/7?1)
Таким образом, минимизация общего времени контрольных
испытаний на надежность связана с нахождением
оптимального значения параметра т для максимального
k. При этом если бы удалось разработать новую
программу форсирования с большим k, то новое
оптимальное значение т будет больше предыдущего.
Оптимальное значение т находится из условия
dto6(m, k) = /и »0ф' (/п)
_ 0
dm k ф2 (/п)
Найдем функцию ф(т) для наиболее распространенных
в теории надежности типов распределений. Для рассматриваемого
случая одноступенчатого контроля размер выборки
„ log В „ ,
для испытании п= - — —
. При изменении г„ в т раз
logP
новая выборка, очевидно, содержит п±= - - - образ-
log Рн W
93

Для
= 1 —
то
, то
Для
боты
где Fq (х) = — = i е yZ/2 dy — табулированная функция
j 2л J
цов, где Ри (т/и) — нижний уровень вероятности безотказной
работы за время mtn для рассматриваемого закона распределения.
Отсюда
^,(m) = 2L= '″ef.W
.
«1 10gPB(/„)
Для экспоненциального закона Р (/) =е~и, и функция
loge-Xm/H
Ф (tn) =
＆
_м = т.
loge и
распределения Вейбулла вероятность безотказной ра-
Р (/) = е~а* . Искомая зависимость
— a (mt )Ь
, / х bge И
.
ф (т) = — - -ь— =ть.
log e~at″
нормального распределения
1 % (т~а)2
Р (0 = - е 202 dx =
а/2л J
[4, 60, 61]. Так как вероятность PH(t„) = Fo
а — t« *
квантиль } = - — может быть определена из указанных
таблиц при заданном значении Рн(/И). В свою очередь
Р (mtn) = ~— ~L ) ■ Учитывая, что-^2- = — -
\ о / со
__ _
1 — VuPu≪t„)
UPn(i№) -
v
a-mtn 1 tn ^-т+™“Рн^
ри(/и) а v Q v
о
где v= - коэффициент вариации.
а
94

Отсюда значение функции
/ mvup t + I — in ;
10gPH(U log^H(U
Для логарифмически-нормального закона
* (IgT-lg/o)2 Z1 . , .x
p W _ л=F„
сг у 2л J т \ о I
t
Д = Ige = 0,4343,
вероятность PH (/„) = Fo (
\ G
Ig^O— >g^H
квантиль u„ ,, , = — —
- —
3
.
Q-
Значение
Ig^o — Ig^I ^''p — —
С) о
=u _
UPM _
•
Следовательно, искомая функция
j F /1ё/о-1ёт/и\
ф(т) = q
log^H(U logPH(/H)
iogq гоч≪>.>-18'″)
“ (U ‘
Для гамма-распределения
P (z) = T77j~ Jxr l e~UdT = P°(2a’ 2r)’
t
95

где
00 k
dy
х 2*/2 Г | — |
I 2 /
— табулированная функция распределения хи-квадрат [4, 63].
При заданном значении Рв (/и) из равенства Рп (Q =
= P0(2th, 2г) находим значение z = 2 А. Тогда
ф(/п) = log 1^о (^)]
f
logPH(Q
P0(mz) находится из таблиц [4, 60, 61].
Найденные функции ф (т) позволяют осуществить выбор
оптимального значения т. Например, для распределения
Вейбулла ф(т) = ть и из соотношения (17)
L, п＆Ьт^1 (kn@b \ 1/^+1
— — = -
, т= -
k V /
Так как функция ф (т) однозначно определяется законом
распределения, то при прочих равных условиях оптимальное
т может быть различным для разных законов
распределений. Это положение будет проиллюстрировано
ниже.
Рассмотренный метод минимизации времени контрольных
испытаний в форсированных режимах для случая
одноступенчатого контроля при приемочном числе
с = 0 может быть применен и для других планов контрольных
испытаний на надежность.
3. ПРИМЕР ОПТИМИЗАЦИИ ПРОГРАММЫ
КОНТРОЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ НА НАДЕЖНОСТЬ
В соответствии с технической документацией контрольные
испытания на надежность моточных изделий
рекомендуется проводить, исходя из экспоненциального
закона распределения отказов, методом однократной
выборки. Испытания ведутся циклами, повторяющимися
в течение всего времени испытаний! /и. Состав испытаний
в пределах одного цикла (250 час) приведен в
табл. 18.
96

Таблица 18
Режимы испытаний на надежность моточных изделий
Номер
п/п Воздействующие факторы
и их последовательность
Длительность
воздействия,
час
Электрический
режим
1 Повышенная температура
(максимальная по ТУ)
200 Номинальная токовая
нагрузка
2 Повышенная влажность
(максимальная по ТУ)
48 Обесточенное
состояние
3 Нормальные климатические
условия
2 Обесточенное
состояние
Установлено /и=Ю00 час, т. е. четыре цикла по указанной
программе, нижний уровень надежности Ри
(1000) =0,99, риск заказчика 0 = 0,1, приемочное число
с = 0 и размер выборки п = 229.
При проведении контрольных испытаний моточных
изделий по этой программе общие затраты времени
равны /Об=1600— 1700 час (в среднем 1650 час), т. е.
дополнительное время на подготовку изделий к испытаниям
и замеры составляет в среднем 650 час.
Максимальная по ТУ температура для рассматриваемых
изделий — 85 °C, а максимальная повышенная
влажность — 95— 98% при температуре 40 °C.
Исследования показали, что имеется возможность
увеличения температуры испытаний по сравнению с
максимальной по ТУ на 40 °C и температуры влажной
среды на 10 °C. При этом удалось время пункта 1 рассматриваемого
цикла испытаний сократить в 11,5 раза,
т. е. вместо 200 час испытывать 17,4 час, а время испытаний
по пункту 2 сократить в 4 раза, т. е. испытывать
12 час вместо 48. Тогда время испытаний одного цикла
вместо 250 час станет равным /ци= 17,4+12 + 2 =
= 31,4 час, а для четырех планируемых циклов /И = 31,4Х
Х4= 125,6 час. При этом общее время испытаний составит
примерно
/об = 125,6 + 650 = 775,6 час.
Таким образом, если время самих испытаний уда-
, Ю00 о х
лось сократить в =^25~б Раз’ Т° общее вРемя
97

испытаний сократилось примерно в 1650/775,6=2,1 раза,
т. е. получаемый эффект намного ниже.
Используем предложенный метод оптимизации для
повышения эффективности контрольных испытаний.
Если исходить из экспоненциального распределения
т / nQk /650-8
сроков службы изделия, то т = I/ — -— = I/ qqq =
= 2,29, т. е. целесообразно осуществить не 4 цикла, а
4-2,29^9 циклов. Тогда общее время испытаний
/ = 9-31,4 + -^- = 2,25-125,6 +
06 2,25
V
10gPH(U
u0f9d = 2,326.
. 650 С_1 -
И - = 571,5 час,
2,25
Общее сокращение времени контрольных испытаний соста-
1650
вит - = 2,9 раза.
571,5
229
При этом размер испытываемой выборки равен - =
2,25
= 102 шт. Таким образом, с помощью оптимизации удалось
повысить эффективность по времени (не считая сокращения
размера выборки) разработанной программы ускоренных
, о 2,9
форсированных испытании на надежность в - ■— =
= 1,4 раза.
Влияние вида закона распределения на величины оптимального
значения т нетрудно оценить, если положить, что
сроки службы рассматриваемых изделий распределены не
по экспоненциальному закону, а по нормальному с коэффициентом
вариации v = 0,3. Тогда tоб = т-125,6-| -
.
Оптимальное значение т при этом найти аналитически не
представляется возможным из-за сложности функции ф(т).
Поэтому путем перебора различных т найдем значение,
дающее min /об. В данном случае
/ mvup„(M + 1 — т \
log 1 - т - I
≪p(m) -
98

Для tn — 2
= log Fo (1,319)
= log 0,9064
= 9 75
log 0,99 log 0,99
to6 (2) = 2-125,6 + -^- = 317,9 час.
9,75
Размер выборки= 24 шт.
Для m = 1,75
1,75-0,3-2,326+ 1 — 1,75
_
0,3
_
log 0,99
log Fo (1,5705) = log 0,9418
= g gp
log 0,99 log 0,99
log +
io6 (1,75) = 1,75-125,6 + = 329,8 час.
5,91
Размер выборки = 39 шт.
Для т = 2,25
2,25-0,3.2,326 + 1— 2,25
_
0,3
_
log 0,99
_ log 0,8571
_ ! г 9.
log 0,99
to6 (2,25) = 2,25-125,6 + = 325,4 час.
log +
229
Размер выборки - =15 шт. Следовательно, в рассмат-
15,2
риваемом варианте оптимальное т = 2, и испытываться по
99

разработанной программе форсированных испытаний должны
24 изделия в течение 4-2 = 8 циклов.
Сокращение времени при этом по сравнению с суще-
о » 1650 _
ствующеи программой составит - ″
g
= 5,2 раза.
Полученные результаты показывают, что при различных
законах распределения оптимальные значения
величины т и параметров планов контроля (размеров
выборки и длительности испытаний) отличаются между
собой.

Глава VI
МЕТОДЫ СОКРАЩЕНИЯ ВРЕМЕНИ
ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ ПУТЕМ ИСПЫТАНИЙ
В НОРМАЛЬНОМ РЕЖИМЕ
И КОМБИНИРОВАННЫХ ИСПЫТАНИЙ
1. УСКОРЕННЫЕ ИСПЫТАНИЯ НА НАДЕЖНОСТЬ
В НОРМАЛЬНЫХ РЕЖИМАХ
ПРИ НАЛИЧИИ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ
О ВИДЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ
Если для конкретного типа исследуемых изделий из
предварительных исследований получен вид закона распределения
времени безотказной работы, то разработка
программы ускоренных испытаний в нормальных режимах
не представляет принципиальных затруднений. Наличие
подобной информации позволяет ограничить испытания
достижением небольшого числа отказов. По полученным
данным находятся параметры распределений, на
основе которых производится оценка надежности.
Установление типа распределения должно осуществляться
на базе изучения механизмов разрушения исследуемых
изделий. Рассмотрим некоторые процессы, приводящие
к известным в теории надежности распределениям.
1. Проанализируем процесс износа [26]. Пусть отказы
происходят из-за того, что при работе трущейся пары
превышен определенный предел So накопленного износа
(например, вес или объем изношенной поверхности).
Обозначим s(t) значение накопленного износа за время
t.
Тогда Si(AZ) =s(/i + AZ)— s(^) и s2(AZ) =s(/2 + AZ) —
s(Z2) представляют собой значения износа, полученные
за время Д/ соответственно после моментов tx и /2. Каждая
из этих величин является случайной, так как представляет
собой сумму случайного числа разных частичек,
отделившихся при износе, т. е.
$1 (Д/) — Рц + Р12 4″ ” * 4″ Pin’’
s2 (АО = Р-21 4 Р22 4- • • • 4* Ргт’
101

где pij — мера износа частицы (вес или объем); п, т —
число частиц, отделившихся за время Д/ соответственно
после моментов t\ и t2.
Во многих случаях без существенных ограничений
можно предполагать, что $(Д/) представляет собой сумму
большого числа взаимно независимых или слабозависимых
случайных величин и в соответствии с предельной
теоремой теории вероятностей распределение величины
износа является асимптотически нормальным. Более
строгое доказательство этого утверждения может быть
получено из следующих соображений.
Если статистическая связь между величинами $1(Д0
и s2(AZ) исчезает или ослабевает по мере роста расстояния
между t\ и t2, т. е. увеличения разности \t2 — ^|, то
износ s(t) представляет собой случайный процесс с сильным
перемешиванием (или с независимыми приращениями,
если $1(Д/) и s2(A/) независимы для всех |/2 — fi|>
>Д/), который при больших t является асимптотически
нормальным [9]. Учитывая монотонность процесса износа,
закон распределения сроков службы F(t) = P(x≪t),
очевидно, равен вероятности превышения предельного
уровня износа s0 за время Z, т. е.
P(s>so) = ф(5о),
где Ф($о) — закон распрделения величины износа. Тогда
при постоянной средней скорости износа (т. е. скорость
износа представляет собой стационарный процесс) математическое
ожидание и дисперсия величины износа
за время t определяются следующими равенствами:
Лф= D[s(t)]=bt-, а среднее значение и дисперсия
срока службы соответсвенно
M|ZW] = i, D [/ ы] = , т. е.
1/аз р _
а
F (/) =
а
-= е 2dso dx.
i bsQ | 2л J
- 00
Если предельное значение износа s не является постоянной
величиной, то полученное распределение F(t) надо
102

усреднить в соответствии с плотностью f(s) рапределения
предельного износа, т. е. искомое распределение
Л (/) = М [f(//s)] =]’ F(t/s)f(s) ds,
6
где F(t/s) — вероятность отказа изделия за время t при
условии, что предельный износ равен s. Без существенной
погрешности распределение F\(t) можно считать нормальным
с математическим ожиданием и дисперсией,
определяемыми равенствами:
Мг (0 = — М (s) и Di (0 = — D(s) + — М (s),
а а а3
где М (s) и D ($)— соответственно математическое ожидание
и дисперсия предельной величины износа [26]. Отсюда закон
распределения F± (/) определится из равенства
1'^
F, (0 = -т=— ==-v— X
/a2D (s) + ЬМ (s) /2л
* (т— M(s)/a)2a3
х Г е~ 2[a2jD(s)+6Ai(s)]
Таким образом, нахождение коэффициентов функций изменения
определяющих параметров изделия во времени
является еще недостаточным для решения задачи по
оценке надежности исследуемых изделий. Необходимо
найти закон распределения пересечения этих функций с
определенной граничной (предельной) областью. Более
подробно эти вопросы рассмотрены в следующем параграфе.
2. Рассмотрим изделие, каторое можно считать параллельным
соединением (в смысле надежности) нескольких
элементарных ячеек, причем отказ в нем возникает при
накоплении определенного числа отказов (повреждений)
указанных ячеек. В простейшем случае (например, холодный
резерв) время до отказа рассматриваемого
изделия можно представить как сумму сроков службы
каждой ячейки, т. е.
t — ^1 + ^2 + • * * + tp-
Если времена распределены по экспоненциальному
закону, то нетрудно установить, что сроки службы подоб-
103

произошло k повреждений,
fe=0
= 1 —
k=0
О,
1,
ных изделий (т. е. композиция г экспоненциальных
распределений) описываются гамма-распределением
(распределением Эрланга). Очевидно, при больших г
(г >6) это распределение практически не отличается от
нормального, так как сумма большого числа взаимно независимых
случайных величин распределена асимптотически
нормально.
В более общем случае рассмотрим следующий процесс
разрушения изделия. Пусть изделие отказывает
только в том случае, когда число внутренних повреждений
не меньше заданного числа г, т. е. вероятность отказа
за время t при условии, что
равна
если £ > г.
Предположим, что вероятность одного повреждения за
время от /о до /0 + Д^ пропорциональна длине Д/ и равна
р=ХД/ + о(Д/).
Если эта вероятность не зависит от положения рассматриваемого
интеврала, т. е. от значения tQ (поток повреждений
без последействия), и вероятность более одного
повреждения на коротком отрезке Д/ мала по сравнению
с вероятностью одного повреждения (ординарность
потока), то вероятность ровно k повреждений за время
t может быть найдена по закону редких событий
≪7i (М) = e~w,
KI
т. e. поток единичных повреждений является стационарным
пуассоновским процессом. По этому же закону распределено
количество повреждений, если каждое из них
является следствием действия многих независимых причин
малой интенсивности. При введенных предположениях
на течение процесса разрушения исследуемых изделий
закон распределения времени безотказной работы
F(t) может быть определен в соответствии с теоремой
о полной вероятности как
F (0 = я Wt) = 1 ,М- е-« =
' ″ k=r
— e~Kt.
104

Плотность этого распределения
f(t) = F' (/)=*]£
k=Q k=l
= — -— F-1 e-w.
(M*-1 e_w =
(£-1)!
(г-1)!
В общем случае, когда г не обязательно целое, указанный
закон, являющийся гамма-распределением, можно представить
в виде:
- tr~l e-w, если / > О
Г (г)
О, если t ≪ О
где Г (г) — гамма-функция, определяемая равенством
Г (г) = J хг~’ е~х(1х
о
и табулированная в [4].
С увеличением г, как указывалось выше, гамма-распределение
стремится к нормальному. При этом математическое
ожидание и дисперсия последнего равны соот-
Г г
ветственно — и —
. Если поток повреждений представляет
собой нестационарный пуассоновский процесс 1 с вероятностью
единичного повреждения р на отрезке [/, £+Д/],
характеризуемой некоторой функций Л6(/), т. е.
р = \Ь (/) М 4- о (А/),
то вероятность появления ровно k повреждений за время
t:
ГХа (Оре-^)
-
,
1 Таким процессом называется процесс, описывающий нестационарный
ординарный поток событий без последействия.
105

где
t
a(t) = J b (t) dx.
Q
Определяемый закон распределения
F(t)=^q(t/k)q2(k/t) =
k=r
ks
Плотность этого распределения
f (/) = F' (0 = Ха' (О е-М0 -
6=0
* 6=0
= ГаМ^е-ИО .
(г— 1)! L J
Для не целых г
f(t) = — аДО^-'е-^),
а интегральный закон
t
F (/) = - I а' (т) [а (т)]г-1 е~Ха^т) dx =
о
106

ka(t)
= j Уг~' e~y dy = I [%a (t), r] —
0
неполная гамма-функция, табулированная в [36].
Например, когда р = - + 0 (^0, и> как в рассмотренном
случае, отказ исследуемого изделия наступает при
наличии не менее, чем г повреждений, то
t
[* /7 т
a(t)= -
- = In (1 + t).
J 1 + т
О
Искомый закон распределения времени безотказной работы
F(t) = 1 [XIn(1 +0, г].
Таким образом, если средняя скорость накопления
повреждений (усталостных, износных, коррозийных, из-
за старения и т. п.) убывает указанным выше образом,
то для оценки надежности может быть использовано
полученное распределение. При больших г это распределение
приближается к логарифмически нормальному закону
[10]. В частности, если накопление усталостных
повреждений сопровождается перераспределением напряжений
между участками поверхности, то отказы,
обусловленные усталостными явлениями, хорошо описываются
логарифмически нормальным распределением
[25]. Аналогичным образом указанному закону подчиняются
сроки службы ряда изделий (некоторые типы
материалов, радиокомпонентов, полупроводниковых и
электровакуумных приборов и др.), разрушение которых
связано с накоплением повреждений, происходящих на
основе химических реакций, диффузионных и сорбционных
процессов, причем скорость их обычно убывает.
Разрушение металлов из-за атмосферной коррозии связано
с образованием на их поверхности пленки окисла.
У большинства металлов толщина пленки в зависимости
от времени растет по затухающему закону с логарифмической
зависимостью [1,57], т. е. скорость роста fe(/)=-^-
Р-|Л
107

поверхностного слоя удовлетворяет рассмотренным условиям.
Можно указать ряд случаев, когда скорость накопления
повреждений возрастает. Например, в процессе
работы ряда изделий происходит концентрация нагрузок
(повышаются напряженность электрического поля,
удельные давления, температура и т. п.), а также наблюдаются
ускорение разрыва химических связей, роста
трещин, появления пробоев, развития локальных дефектов
и др.
Пусть, например, в рассматриваемом случае вероятность
единичного повреждения на отрезке [/, 14- А/] для р =
t
= \ЫЬ-Х А/ + о (A/), b > 1. Тогда значение а (/) = ^Ьхь-1 dx=
6
= tb. Время безотказной работы распределено по закону
F (t) = I (№, г). При г = 1 это распределение Вейбулла
F (/) = 1 — е~х/ , которому подчиняются наработки
до отказа ряда изделий, некоторых типов электронных
ламп, транзисторов, конденсаторов, приборов СВЧ, реле,
подшипников качения и т. д.
Модель отказов, удовлетворяющая распределению
Вейбулла, может быть интерпретирована и в несколько
ином плане. Пусть исследуемое изделие можно представить
в виде последовательного соединения (в смысле надежности)
определенного числа п элементарных ячеек.
Отказ изделия происходит при повреждении любой одной
(или более) из этих ячеек. Предполагая, что повреждения
ячеек независимы и закон распределения времени безотказной
работы i-й ячейки Fi(t), вероятность безотказной
работы изделия Р(1) представляет собой вероятность
того, что на отрезке [0, t] не произошло ни одного повреждения
ячеек. Отсюда
р (0 = [1 - Р! (0] [1 - Л (0J • • • [1 - Fn (0].
а закон распределения F (/) = 1 — Р (/).
Если при малых t допустимо представление Ft (/) в виде
Fi (/) = Хг [с(/)]ь + о [с(/)]й, где c(t) — некоторая монотонная
функция, имеющая предел limc(/) = 0 [10], то иско-
/->•0
мое распределение
п п
F(f) = 1 — П (1 — К [с(0]6} ~ 1— П =
Z = 1 1 = 1
108

-[W(£xz)
= 1 — e \'=i 7=
где % = 2 К
i=l
При c (f) = t получим распределение Вейбулла F (t) —
- 1 —
Таким образом, исследование кинетики физико-химических
процессов, предшествующих отказу изделий, может
служить основой построения общих моделей распределения
времени безотказной работы.
3. В заключение этого параграфа рассмотрим некоторые
из моделей, порождающие экспоненциальное распределение
времени безотказной работы.
Предположим, что отказ изделия наступает в тот
момент, когда величина режима, действующего на изделие,
превосходит некоторый уровень s. Таким образом,
времена безотказной работы исследуемых изделий совпадают
с отрезками времени до пересечения указанной
границы случайно изменяющимися характеристиками режима.
Задача состоит в нахождении распределения времени
между соседними выбросами случайной функции
за фиксированный уровень. В общем случае эта задача
является весьма сложной. Однако для дифференцируемого
нормального стационарного случайного процесса
при достаточно больших s (s>3n, где о — среднее квадратическое
отклонение случайного процесса), т. е. когда
пересечение уровня является событием весьма редким,
распределение между соседними выбросами является
экспоненциальным [56], а поток выбросов представляет
собой стационарный пуассоновский (простейший) поток.
Очевидно, что если отказы происходят из-за выбросов
различных составляющих режима, удовлетворяющих
приведенным выше условиям, то общий поток отказов
представляет собой сумму простейших потоков. Эта сумма
является также стационарным пуассоновским потоком,
и время безотказной работы рассматриваемых изделий
распределено по экспоненциальному закону.
Сходимость суммарного потока отказов (выбросов) к
стационарному пуассоновскому потоку имеет место и в
более общем случае, когда потоки выбросов случайных
функций отдельных составляющих режима, из-за которых
109

происходят отказы, не являются простейшими. Для этого
при весьма несущественных ограничениях, указанных
ниже, достаточно, чтобы число независимых составляющих
режима было велико, а интенсивность выбросов
по каждой составляющей была мала по сравнению с интенсивностью
выбросов суммарного потока (предельная
теорема Пальма [35, 47, 58]).
Рис. 17. Параметр потока отказов Л по данным трех обследований
автоматической линии ЛМ-119
Аналогичные выводы можно сделать и относительно
распределения сроков службы между отказами целого
ряда сложных восстанавливаемых устройств (систем),
содержащих большое число составных частей (подсистем,
компонентов), выход из строя каждой из которых
вне зависимости от причины (поломка, сбой, выход за
допуск и т. п.) вызывает отказ всего устройства. Ранее
уже было показано, что если время безотказной работы
каждого компонента подчиняется экспоненциальному закону,
то и сроки службы между отказами всей системы
имеют экспоненциальное распределение. Однако, как
следует из приведенного выше обобщения, сходимость к
простейшему потоку отказов всей системы должна зачастую
выполняться и в том случае, когда отказы указанных
подсистем не подчиняются экспоненциальному распределению.
Действительно, без существенных ограничений
можно предполагать, что потоки отказов компонентов
являются ординарными с ограниченным последействием.
Такие потоки с течением времени становятся
стационарными [48, 60] (рис. 17) L Тогда, согласно пре-
1 На рис. 17 приведена характерная зависимость параметра потока
отказов Л от времени, полученная по данным обследования
автоматической линии ЛМ-119, введенной в эксплуатацию в феврале
1962 г. Время t измеряется днями обследования: I — первое (сентябрь
1962 г.), II — второе (апрель 1964 г.), III — третье (декабрь 1964 г.).
НО

дельной теореме Пальма для рассматриваемого случая,
если система состоит из большого числа независимых
компонентов, имеющих малые интенсивности отказов,
то суммарный поток отказов по истечении некоторого
времени близок к простейшему.
В [8, 47, 48] доказано достаточное условие
(Ti — среднее время безотказной работы t-й подсистемы,
г — общее количество компонентов системы) того, чго
распределение времени работы рассматриваемой системы
между отказами независимо от характера распределения
времени безотказной работы ее компонентов является
практически экспоненциальным.
Параметр потока отказов удовлетворяет соотношению
Таким образом, нахождение полных характеристик
надежности многих сложных устройств и комплексов
оказывается более простым, чем нахождение указанных
характеристик у отдельных частей рассматриваемых
изделий, что чрезвычайно важно для разработки методов
ускоренных испытаний.
Соответствие последних из приведенных моделей отказов
реальным закономерностям многократно подтверждено
на практике для ряда изделий (элементов,
блоков, систем) радиоэлектронной техники, автоматики,
телемеханики и т. п. Этот диапазон восстанавливаемых
изделий можно существенно расширить, если на основе
описанных алгоритмов осуществить условное подразделение
исследуемых объектов на подсистемы, потоки отказов
которых заведомо сходятся к стационарному пуассоновскому
потоку, и подсистемы, удовлетворяющие
другим (известным или неизвестным) моделям отказов.
Для целого ряда изделий поток отказов складывается из
111

многих различных типов потоков отказов, имеющих достаточно
большую интенсивность. Это приводит к сложному
виду распределения времени безотказной работы
изделия в целом, имеющему характер суперпозиции нескольких
законов распределения, что существенно затрудняет
анализ надежности. Условное разделение на
подсистемы с более или менее определенным характером
процесса появления отказов значительно облегчает решение
указанной задачи. Например, анализируя работу
металлообрабатывающего оборудования, можно в большинстве
конкретных случаев выделить подсистему, связанную
непосредственно с инструментом, от которой в
основном зависит точность работы оборудования, и подсистему,
включающую остальные части: электрооборудование
и привод, гидравлику, механическую часть. Последняя
подсистема имеет явные тенденции сходимости
к простейшему потоку. Наблюдаемое несоответствие
потока отказов многих видов металлообрабатывающего
оборудования стационарному пуассоновскому потоку
возникает главным образом из-за искажения общего
характера появления отказов в связи с наложением отказов
других подсистем, удовлетворяющих иной модели
отказов и имеющих достаточно высокую интенсивность
по сравнению со всем изделием. Действительно, часто
отказы по точности из-за износа отдельных элементов и
неисправностей инструмента составляют значительный
процент общего количества отказов и распределение
наработок между ними существенно отличается от экспоненциального.
Для ускоренного получения характеристик
надежности этих подсистем целесообразно использовать
другие методы, изложенные в этой главе, или форсированные
испытания на надежность. Если сходимость
к простейшему потоку отказов электрооборудования,
как правило, не вызывает особых сомнений, то рассмотренная
сходимость для механической части изделия и
гидрооборудования по вполне объяснимым причинам в
ряде исследований ошибочно оспаривается. Проиллюстрируем
справедливость нашего утверждения на примере
одной из моделей вертикально-протяжного станка. На
основе длительных наблюдений (6— 8 лет) за отказами
этих станков в условиях эксплуатации (без учета отказов
инструмента и электрооборудования) получены перечень
деталей и численные характеристики их надежно-
112

Таблица 19
Значения характеристик надежности деталей
вертикально-протяжного станка
Наименование детали Номер детали Ti
(месяц) (месяц)
Клин 7Б720-30.12 31,45 11,87
Золотник 7Б720-52.41Б 66,00 15,34
Сердечник 7Б720-52.43А 49,38 12,14
Плита 7Б720-80.11 13,43 3,65
Втулка 7Б720-80.32 7,86 3,43
Втулка 7Б720-80.33 8,00 3,95
Втулка 7Б720-80.34 7,81 3,73
Клин 7Б720-80.48 44,53 11,76
Рейка 7Б720-80.59 48,74 12,94
Кольцо поршневое 200 Г 101 26,74 4,72
Кольцо поршневое 105 Г 101 36,21 13,26
Кольцо опорное 75хЮ0 ГОСТ 9041-59 24,83 5,25
Манжета 75x100 ГОСТ 9041-59 25,93 4,26
Кольцо нажимное 75x100 ГОСТ 9041-59 25,28 5,18
Эксцентрик 7Б720-80.42 52,95 10,63
Кольцо уплотнительное 75X100 ГОСТ 9041-59 22,55 4,91
Втулка 7Б720-51.31А 28,67 12,17
Шпонка 7Б720-80.35 29,34 11,11
Кольцо поршневое Г 105 30,79 9,71
Полумуфта 55Р91-24-ПА 28,78 10,54
Полумуфта 60Р91-24-12А 29,73 13,42
Палец Р91-24-13А 31,24 11,66
Кольцо Р91-24-14А 26,71 11,16
Втулка Р91-24-15А 21,76 4,13.
сти для рассматриваемой модели станка, приведенные
ниже в табл. 19. Эти элементы можно считать почти независимыми,
а отказ каждого из них ведет к отказу
станка. После отказа происходит полное восстановление
отказавшего элемента. Для нахождения наработок между
отказами станка предлагается следующий алгоритм.
На основе метода статистического моделирования Монте-
Карло сначала определяются случайные величины наработок
до отказа каждого из элементов в соответствии с их
эмпирическими распределениями1. Полученные числа
1 В данном случае без существенных погрешностей моделирование
можно осуществить, основываясь на том, что времена безотказной
работы всех рассматриваемых элементов распределены по
нормальному закону с математическим ожиданием и средним
квадратическим отклонением аг-, приведенными в табл. 19.
113

т}2>, т≪г) (г — число элементов) располагаются в порядке
возрастания, и находится первое число 0г = t[s> =
= min {t}Z)}, где 0Х означает время работы до первого от-
1
каза, as — номер отказавшего элемента. Для указанного
элемента аналогичным образом находим новое время безотказной
работы т≪5> и прибавляем к тр>. Полученное значение
тр) *r≪s> рассматриваем вместе с числами k=£s,
снова находим минимальное значение 02 и соответствующий
номер отказавшего элемента и т. д. Очевидно, разность
©/+1— 0f представляет собой наработку станка между i + 1 -
и i-м отказами, £=0, 1, 2, ...; 0о = О. Так как получение
большого количества этих наработок не представляет
трудностей, то имеется возможность осуществить детальный
анализ их закона распределения. Результаты
показывают, что сроки службы между соседними отказами
станка (разумеется, в рамках рассматриваемой
подсистемы из указанной группы деталей) строго подчиняются
экспоненциальному закону. Сходимость к простейшему
потоку осуществляется весьма быстро, и уже
после 2-го и 3-го отказов поток можно считать практически
простейшим. Вычислив значение d=0,063≪0,l,
можно также убедиться в справедливости высказанных
24
ГТ Л 1
утверждении. Параметр потока отказов Д = =
z=i
1
= 1,13 \)мес. Полученные результаты полностью соответствуют
также и данным непосредственных наблюдений
за группой рассматриваемых изделий в эксплуатационных
условиях.
Аналогичные выводы оказались справедливыми для
ряда других моделей выпускаемых протяжных станков
с различными тяговыми усилиями.
Отсюда следует, что ускоренная оценка надежности
такого типа изделий может осуществляться двумя путями:
а) кратковременными наблюдениями за наработками
изделий на отрезке времени, где поток отказов практически
является простейшим;
б) оценкой средних времен безотказной работы компонентов
на основе одного из методов ускоренных испытаний.
114

Изложенные результаты этого параграфа показывают,
что детальный анализ процессов, приводящих к
отказу, может служить хорошей базой для определения
вида закона распределения и, следовательно, для разработки
эффективной методики ускоренных испытаний
в нормальных (эксплуатационных) режимах. Причем
разработка такой методики для сложных изделий зачастую
намного проще, чем для простых, т. е. дело обстоит
как раз наоборот по сравнению с методикой форсированных
испытаний на надежность.
Если исследуемые процессы приводятся к одной из
указанных моделей распределения с некоторой задержкой
то (например, процесс коррозии наступает после
разрушения защитного покрытия, усталостные явления—
после появления концентратора напряжений, периоду
нормального износа или некоторому сходящемуся
процессу требуется период приработки и т. д.), то для
их описания могут быть использованы соответствующие
законы распределения, в которых вместо аргумента
времени записывается аргумент t — т0, и распределения
используются для />То-
2. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
ПО ДАННЫМ НАБЛЮДЕНИЙ, ПОЛУЧЕННЫМ
В ХОДЕ ИСПЫТАНИЙ
Знание и анализ закономерностей изменения ряда
контролируемых параметров изделия в некоторых случаях
позволяет предвидеть характеристики работоспособности
исследуемых объектов. По данным об истории
процесса требуется предсказать его будущее. Прогноз
возможен только тогда, когда на основе статистических
данных на отрезке [О, /и] можно в виде гипотезы задать
процесс изменения требуемых параметров в интервале
[О, t], где />/и, т. е. продолжить процесс от /и до t. Общие
задачи прогнозирования рассмотрены в трудах [13,
23, 42, 70] и др.
Прогнозирование надежности непосредственно связано
с определением априорных характеристик случайных
процессов (данные об отказах, восстановлениях,
изменении определенных параметров и т. п.) и разработкой
модели для нахождения апостериорных процес-
115

сов утраты изделиями ресурса работоспособности. При
этом наблюдаемый (контролируемый) случайный процесс,
как правило, отличается от прогнозируемого ненаблюдаемого
процесса. Таким образом, общая постановка
рассматриваемой задачи заключается в следующем:
по данным наблюдения отдельных реализаций
случайного процесса A(t) в интервале [О, /и] требуется
определить условный случайный процесс утраты
ресурса работоспособности B(t), статистически связанный
сЛ(/), и для />/и найти закон распределения
(или численные характеристики) моментов выхода процесса
B(t) за допусковую область [6].
Решение поставленной задачи в ряде случаев сопряжено
с принципиальными затруднениями в связи с искаженностью
априорной информации из-за неточности
замеров, неполноты данных и т. п., сложностью рассматриваемых
процессов Д(/) и B(t) и их статистической
связи, условным характером прогнозируемого
процесса B(t). Поэтому практически приходится отказываться
от рассмотрения случайных функций общего
вида и ограничиваться исследованием сравнительно
простых процессов и связей, обладающих специальными
свойствами и встречающихся в некоторых классах изделий.
Это в первую очередь марковские процессы без
последействия, стационарные гауссовы процессы и основные
связи, главным образом линейные, характеризуемые
корреляционной матрицей.
Если наблюдаемые реализации хаотичны и можно
сделать предположение, что предыстория процесса не
влияет на его последующие состояния, то с достаточным
основанием для описания исследуемых объектов
можно рекомендовать марковские зависимости.
Случайные процессы называются марковскими, если
все вероятностные характеристики процесса в будущем
зависят только от того, в каком состоянии этот процесс
в настоящее время, т. е. будущее зависит от прошлого
только через настоящее. Для непрерывного аргумента
(времени наблюдения) в зависимости от того, принимают
реализации процесса дискретные (например, отказы
элементов, изменение структурных связей) или
непрерывные (например, замеры контролируемых параметров)
значения, марковские процессы подразделяются
соответственно на дискретные и непрерывные.
116

В первом случае решение задач прогнозирования
осуществляется на основании уравнения Колмогорова
— Чэпмена:
Рц (≪0> Q = 2 Ptv ДЛЯ Z0 ≪ G ≪ *2>
V
где Р^Иц т2) означает вероятность перехода изделия из
состояния Z, в котором оно находилось в момент тх, в состояние
т в момент т2; суммирование осуществляется по
всем возможным состояниям изделия v.
Аналогом этого уравнения в непрерывном случае служит
уравнение
00
Р(х2, t2-, х0, /0) = [Р(х2, /2; хи tJPfa, \\ х0, t0)dx1
- 00
для Zq ≪С Z2,
где P(z, т2; у, тх) — плотность вероятности перехода, представляющая
собой производную от условной интегральной
функции распределения F (z, т2; у, тг) — вероятности того,
что реализация случайного процесса % (т2) ≪ г, если при
≪ т2 имело место равенство £ (тх) = у. Нетрудно увидеть,
что многомерная плотность вероятности переходов для
марковских процессов удовлетворяет равенству
р (*0, Х1 . xn; t0, tlt tn) =
п
= Р(х0, Q П P(.xi> ^-1.
i=l
т. е. развитие марковского процесса полностью определяется
заданием начального распределения и плотностей
вероятности перехода на один шаг. Эти плотности
удовлетворяют системе уравнений Колмогорова — Фоккера
— Планка
дР(х, t\ х0, t0)
dt0
дР(х, t\ х0, t0)
дх0
л- — b(x t) Х°’
— = О-
+ 2 ” 0
и
дР(х, t; х0, /0) д [а (х, /) Р (х, t\ х0, /0)]
dt ″I дх
1 дф(х, QP(x, /; х0, Q]
2 дх*
117

принадлежащих к параболическому типу дифференциальных
уравнений в частных производных.
Числовые характеристики а(х, Z), b(x, t) определяются
равенствами:
ОО
а (х, t) = lim - I (у — х)Р (у, t; х, t — A/) dy\
л/-о А/ J
- 00
00
b(x, t) = lim — -— С (у — х?Р(у, t; х, t — \t)dy.
Д/-0 А/ J
- СО
Для стационарных случайных процессов функции а и b не
зависят от времени, а плотность вероятности перехода зависит
только от разности А = t — 10.
Таким образом, прогнозирование для марковских
объектов связано с решением указанных уравнений при
заданных начальных и граничных условиях. Для нахождения
решения могут применяться общие и специальные
методы теории дифференциальных уравнений
в частных производных параболического типа [2, 28, 45,
54, 55].
При исследовании нестационарных марковских процессов
целесообразно использовать аналоговые вычислительные
машины, позволяющие интегрировать дифференциальные
уравнения в частных производных параболического
типа.
Несколько проще решаются задачи для стационарных
марковских процессов на основе преобразования
Лапласа или разложения по собственным функциям.
Отметим, что полученные при решении задачи апостериорные
вероятностные характеристики, измененные
в соответствии с байесовским подходом, могут быть
использованы как априорные, т. е. как новые начальные
условия для следующего интегрирования указанных
уравнений. Таким образом, по мере накопления статистических
данных прогноз может быть уточнен.
Как было указано выше, прогнозирование надежности
тесно связано с задачей пересечения случайным
процессом определенной области. Аналогичная задача
решается в теории выбросов [3, 29, 30, 45, 46, 56, 68].
Основной метод исследования — статистическое моделирование.
Аналитическое решение получено лишь для
118

весьма простых процессов. Например, в [34] дается
решение указанной задачи, когда изменения основного
параметра B(t) может быть представлено в виде суммы
дифференцируемого стационарного гауссова процесса
c(t) и неслучайной функции времени ф(0- Отметим
при этом, что за время наблюдения рассматриваемые
изделия не обязательно должны доводиться до отказа,
чтобы осуществить прогноз надежности на отрезке [О,
/], />/и- За время /и достаточно получить некоторое
количество пересечений контролируемым процессом
максимально сближенных (совмещенных) границ допуска.
Таким образом, оценка надежности в нормальной
области за сравнительно короткое время находится
по результатам испытаний в суженной области. Эти методы
целесообразно использовать для класса настраиваемых
систем, у которых ряд параметров должен поддерживаться
в заданных границах путем специальных
регулировок.
В том случае, когда в результате наблюдения за
определенными параметрами удается достаточно точно
предвидеть некоторые дальнейшие изменения во времени
требуемых характеристик, прогнозирование целесообразно
осуществлять путем аппроксимаций полученных
реализаций на основе численного анализа или
теории случайных функций.
Практика показывает, что довольно часто изменение
прогнозируемого параметра изделий носит необратимый
характер и представляет собой достаточно гладкую
монотонную функцию. Тогда для решения поставленной
задачи целесообразно воспользоваться приближенным
представлением прогнозируемого процесса в виде неслучайной
функции случайных аргументов. Для построения
систематического смещения — неслучайной
функции — используют аппарат численного анализа и,
в частности, методы наименьших квадратов, приближения
функций многочленами, построения эмпирических
формул и др. [14].
Аналитическое решение получено в ряде конкретных
случаев. Например, при линейной аппроксимации процесс
В (/) можно представить в виде В (/) = а + Ы, где а и b —
случайные величины. Изделие работает безотказно до тех
пор, пока B(/)≪s0, где s0 — граница области допустимых
значений определяющего параметра. Тогда вероятность без-
119

отказной работы Р (/) за время t равна вероятности того,
что параметр В (/) на отрезке [0, /] ни разу не превысит
значения sox. Отсюда следует, что
So— д
СО t
P(t)= [J ≪р(а, b)dadb= J da J ≪p(a, b)db,
a-{-bt≪sQ — oo — oo
где ф(я, b) — плотность распределения величин а и b [38].
Если а и b независимые случайные величины, распределенные
по нормальному закону соответственно с математическими
ожиданиями та, тъ и дисперсиями а^, а^, то сумма
а + bt также описывается нормальным законом [7, 60] с
математическим ожиданием М. (а + bt) = ma + тъ^ и ДаПерсией
D (а + bt) = в2а-\- o2t2. Вероятность безотказной работы
изделия за время t в этом случае равна
р m = ф [ s0 — ma — mbt \
u I /’
X
где Ф(х)= I e~u!/2du— функция нормального рас-
у 2л J
пределения, таблицы значений которой приводятся в ряде
работ, например в [4, 10, 60]. Закон распределения
F (/) = 1 — Р (/) = 1 — ф Sq — (^g + mbt)
- J *а + ≪^2 .
та + mbt — s0
у а2 О2^2
Полученное распределение времени безотказной работы
представляет собой распределение Бернштейна [10].
Для случая, когда в функции B(t) =a + bt, a=const,
т. е. B(t) представляет собой веерный случайный процесс,
указанный закон подробно исследован в [16].
1 Предполагается, что в начальный момент при /=0 В(0) = a^s0,
т. е. изделие исправно.
120

= 1/8 мин.
0,24 мм/об • 800 об/мин
В качестве примера рассмотрим метод ускоренных
испытаний спиральных сверл из быстрорежущей стали.
В зоне установившегося износа величина накопленного
износа Bi для каждого из сверл, достаточно хорошо
описывается уравнением прямой в зависимости от числа
просверленных отверстий (времени испытаний)
Вг (/) = at + btt.
Установлено, что величины щ и bi независимы и распределены
по нормальному закону.
Основной причиной отказа сверла является достижение
предельного износа s0 по задней поверхности, т. е.
время до первой переточки сверла определяется длительностью
выполнения неравенства
Для нахождения распределения наработок сверл
воспользуемся результатами [33]. Испытаны 17 сверл
диаметром 8 мм в нормальных режимах при 800 об/мин,
подаче 0,24 мм и глубине сверления 24 мм, т. е. одно
отверстие просверливается за
24 мм
Таблица 20
Значения износа сверл после обработки 100 и 200 отверстий
200 отв
- = 25 мин
8 отв/мин
В табл. 20 приведены данные замеров износа Вг (100) и
ВД200) для каждого из сверл соответственно после 100
плл » / 100 отв 1п -
и 200 отверстии соответственно - = 12,5 мин,
\ 8 отв/мин
Номер
сверла, i Bt (100) Bt (200) Номер
сверла, i Bi (100) Bt (200)
1 23 30 10 15 24
2 25 30 11 21 31
3 13 15 12 15 21
4 9 17 13 25 26
5 10 20 14 8 17
6 5 10 15 14 21
7 30 35 16 15 19
8 20 26 17 14 23
9 19 26
121

Исследованиями [33] установлено, что замеры проведены
в зоне установившегося износа после участка приработки,
а предельный уровень so = O,4 мм достигается
до наступления катастрофического износа. Тогда для
каждого сверла из уравнения
Bj (/) - at + bj
по данным указанного эксперимента для tr = 100 и /2 =
= 200 отв находим значения случайных величин:
b = (200) — (100)
=
Bt (200)(100) .
1 200— 100 100
at = Bi (100) -
ЮО^ т -ВЛЮО)] =
100
= 25г (100) — Bt (200)
И
17
ma~~ = Ю,06-10’4;
Z=1
17
На « T- (ma - a;)2 = 64,56 • 1 O’8;
1=1
17
= 6’47’10“4;
1=1
17
°ь « (tnb -biY = 6,89- IO″8.
Закон распределения времени работы рассматриваемых сверл
до переточки
_ ф , 10,06-10~4 + 6,47- 1Q4/ — 0,4\
_
~ ( ]/64,56-10″8+ 6,88-10-8/2 } -
Л/ 6,47/ — 2996 \
= Ф z •
\ Иб4,56+6,88/2 /
122

Оценим вероятность отказа для t = 300, 400 и 500 отв.
F (300) = Ф / 6,47-300 — 2996 \
\ /64,56 + 6,88-3002 /
= Ф(— 1,34) = 0,090;
F (400) Ф /M7-400zi299^^ _
\ Иб4,56 +6,88-4002 }
= Ф (— 0,389) = 0,349;
Р (500) = Ф /■ 6,47-500-2996 _)
\ И 64,56 + 6.88-4002 /
= Ф(0,182) = 0,572.
Нетрудно оценить у%-ный ресурс исследуемых сверл до
первой переточки из уравнения
'
ma + mbtv — s0 \
= j _
у 2 , 2 ,2 I
г (Ja ОЬ f
Например, при у = 0,95 квантиль нормального закона
^1-7 = 0,05— 1,645 —
6,47/0,95 — 2996
у 64,56 + 6,88/20>95
Отсюда находим /0,95= 278 отв или 278 отв-1/8 мин!отв ==
= 34,75 мин работы.
Аналогичным образом нетрудно найти распределение, если
представить процесс изменения определяющего параметра
в виде
В (/) = а + Ьф (/),
где а и b — случайные величины с плотностью ≪р(а, Ь), а
ф (/) — некоторая неслучайная монотонная функция. Закон
распределения времени безотказной работы
F (/) = 1 — Р (/) = 1 — f f Ф (a, b) dadb =
so— Q
OO ≪ф(р
= 1 — \ da ( (p (a, b) db.
123

Если, как и в рассмотренном выше варианте, а и b независимы
и распределены нормально с указанными параметрами,
то
F (/) = ф f та + ть^ (t) — Sp \
\ V (J2a + Gb [1|) (012 '
Приведенные методы могут быть использованы и в
тех случаях, когда процесс B(t) представляется в виде
суммы большого числа слагаемых. Очевидно, что способов
приближенного представления некоторых случайных
процессов через неслучайные функции случайных аргументов
достаточно много и в большинстве таких вариантов
получение аналитического решения не представляет
принципиальных трудностей.
Если запись случайных процессов в указанном виде
осуществить непосредственно не удается, то целесообразно
воспользоваться каноническим представлением случайных
функций [42]
В (0 =а (0 + (0.
I
где а (/) — математическое ожидание случайного процесса;
bt — некоррелированные случайные величины с математическим
ожиданием, равным нулю; ср f(Z)— неслучайные координатные
функции.
Аналитическое решение задачи прогнозирования надежности
в данном варианте часто связано с большими
трудностями. Однако как в этом случае, так и в предыдущем
решение может быть получено сравнительно просто
путем статистического моделирования Монте-Карло.
Как уже указывалось, рассматриваемые задачи существенно
усложняются, когда прогнозируемый процесс не
наблюдается, а имеются только данные контроля вспомогательных
параметров другого процесса А(/). Прогнозируемый
процесс B(t) в данном случае может быть
представлен как преобразованный с помощью некоторого
оператора L процесс A (I), т. е. В (t) =L {А(/)} .
В [42] дается вывод явного выражения оптимального
в смысле минимума средней квадратической ошибки оператора
L.
Теория линейной экстраполяции стационарных случайных
процессов на основе минимума среднеквадрати-
124

ческой ошибки разработана в [17, 62, 70]. Практически
решение рассматриваемой задачи основано в большинстве
случаев на том, что косвенный процесс A(t) в период,
предшествующий отказу, имеет определенные особенности.
Например, повышение уровня внутренних шумов
некоторых изделий (резисторов, транзисторов, электровакуумных
приборов, подшипников, зубчатых передач и
т. д.) сопутствует ухудшению их основных параметров.
Известны и другие признаки: ток утечки для элекролитических
конденсаторов, величина инфракрасного излучения
с силового германиевого транзистора, температура
трущихся пар, уровень вибраций отдельных соединений
и т. д. Эти признаки являются своего рода предвестниками
отказов, и наблюдение за ними может быть использовано
для прогнозирования надежности. Однако
эффективность этого направления для ускоренной оценки
надежности изделий в большинстве случаев весьма
ограничена из-за небольших сроков прогноза, хотя оно и
перспективно для целей повышения надежности путем
своевременного предупреждения отказов.
Рассмотренные задачи прогнозирования надежности
иногда удобно интерпретировать в терминах теории распознавания
образов. Действительно, из принципиальной
возможности прогнозирования следует вывод о том, что
наблюдаемый процесс Д(/) является, вообще говоря,
искаженным образом интересующего нас процесса B(t).
Задача заключается в процедуре распознавания поведения
прообраза В(/) в будущем по имеющейся априорной
информации. Отдельные попытки прогнозирования
надежности на основе методов теории распознавания образов
нашли отражение в [12, 32, 43].
Закон распределения времени безотказной работы при
условии его сохранения на протяжении всего срока службы
может быть установлен на основе распределения экспериментальных
значений времени до первого отказа
[II, 51]. Пусть испытывается или находится под наблюдением
достаточно большое число партий по г изделий.
Фиксируются значения наработок до отказа первого объекта
в каждой партии. По полученным данным находится
распределение Q(t) до первого отказа партии. С другой
стороны, вероятность того, что за время t не откажет
ни один из элементов определенной партии рассматриваемых
изделий равна
125

P(t) = l-Q(t)=P(t1>t)P(ti>t)...P (tr > t),
где ti — случайное значение наработки до отказа Z-го изделия
указанной партии; Р (tt — вероятность выполнения
неравенства i =1, 2,. . . , г. Так как все изделия
имеют одинаковое распределение времени безотказной работы,
то
Р(/г>0 = 1-^≪0 = 1-^(0
для всех i = l, 2, . . . , г.
Отсюда Р (/) = [1 — F (/)f, а искомое распределение
F(t) = l-[P (/)]1Л=1-[1_(2(/)]1Л
определяется по результатам испытаний большого числа
партий только до первого отказа в каждой.
Такой метод ускоренных испытаний целесообразно
использовать для оценки надежности дешевых изделий,
имеющихся в большом количестве: образцов из различных
материалов, простых типовых элементов и деталей,
а также при прогнозировании надежности по данным
эксплуатационных наблюдений за несколькими группами
однотипного оборудования.
В некоторых случаях необходимые оценки надежности
могут быть получены на основе эвристического
подхода. Решение задачи может осуществляться путем
анкетного опроса специалистов-экспертов, проводимого
в несколько туров, и соответствующей обработки полученных
данных. В каждом следующем туре уточняются
оценки следующих этапов. Этот способ прогноза, называемый
методом дельфи [15], хотя и дает неточные результаты,
но достаточно перспективен в том случае,
когда другие методы непригодны.
В заключение следует сделать несколько замечаний
[6] общего характера. Если после прогнозирования получаются
неудовлетворительные результаты, то это значит,
что требуется корректировка в описании наблюдаемых
случайных процессов или статистических закономерностей,
связывающих наблюдаемый и прогнозируемый
процессы. Если такое уточнение не помогает и прогноз
неустойчив, то необходимо уменьшить время между моментами
наблюдения (контроля); увеличить глубину контроля
за изделием и его элементами (т. е. использовать
дополнительные средства более тщательного анализа
126

физических и химических процессов, а также методы
дефектоскопии, интроскопии и т. п.); сократить интервал
прогноза, так как время, для которого даются оценки,
может быть настолько велико, что между наблюдаемыми
и прогнозируемыми параметрами все функциональные
и корреляционные связи уже утрачены или в значительной
мере ослаблены. При этом надо иметь в виду,
что прогноз параметров только на основе математических
методов ни индуктивным, ни дедуктивным путем
принципиально невозможен. Гипотеза о характеристиках
надежности изделий для будущих моментов времени может
быть сформулирована лишь на основе статистического
описания реально протекающих процессов, ведущих
к разрушению, и данных по эксплуатации (испытаниям)
аналогичных изделий.
3. КОМБИНИРОВАННЫЕ УСКОРЕННЫЕ ИСПЫТАНИЯ
НА НАДЕЖНОСТЬ
Определение характеристик надежности исследуемых
изделий путем проведения комбинированных ускоренных
испытаний предусматривает выполнение трех этапов.
Два из них (форсированные испытания и ускоренные испытания
в нормальных режимах) предназначены для
нахождения исходной информации о надежности отдельных
частей (компонентов) исследуемого изделия.
Третий этап заключается в оценке надежности изделия
в целом на основе полученных характеристик надежности
его компонентов. Этот этап является наиболее
важным и предопределяет разбивку изделия на составные
части, а также вид характеристик надежности каждой
из них. Модель расчета представляет собой некоторый
оператор (в виде формул, уравнений, алгоритмов)
над определяемыми характеристиками надежности изделия
в целом и показателями, полученными из испытаний
компонентов. Некоторые из таких операторов были
рассмотрены выше.
Например, в случае, когда исследуемый объект удовлетворяет
критериям сходимости к простейшему потоку
отказов, то для нахождения параметра Л достаточно
определить только средние времена Л безотказной работы
компонентов. Если изделие можно представить в
127

в виде последовательного соединения (в смысле надежности)
его составных частей, то закон распределения F(t)
времени безотказной работы изделия может быть получен
из соотношения
F (0 = 1 -[1 — F, (/)] [1 -F2 (0].. • [1 -Fr (/)],
где Fi(t)— закон распределения г-го компонента, г —
общее число компонентов, 1=1, 2, г.
Пуска-защитное реле
Рис. 18. Схема пуско-защитного реле
Построение операторов многих схем резервирования
подробно рассмотрено в ряде работ [8, 11, 41]. Очевидно,
что устройства с различного рода структурной и информационной
избыточностью характеризуются весьма
специфическими операторами расчета надежности, существенно
зависящими от индивидуальных особенностей
функционирования этих изделий. Поэтому систематизированное
представление методов ускоренных комбинированных
испытаний на надежность не представляется
возможным.
Проиллюстрируем метод комбинированных испытаний
на примере пуско-защитного реле электрохолодильника.
Это реле предназначено для запуска асинхронного
двигателя компрессорного агрегата холодильника и защиты
его в условиях аварийного режима (рис. 18).
128

Пуско-защитное реле начинает работать, когда замыкаются
контакты регулятора температуры (РТ), сигнализирующего
о повышении температуры в камере. Ток
протекает по катушке реле (К), последовательно соединенной
с рабочей обмотки (РО) двигателя (Д), в результате
чего втягивается сердечник, замыкаются контакты
пусковой части реле, которые включают пусковую обмотку
(ПО) двигателя. По мере разгона ротора ток уменьшается,
и сердечник возвращается в исходное положение,
отключая пусковую обмотку.
Для защиты обмоток двигателя от перегрева используется
тепловая часть реле токового типа. Нагревательный
элемент (/?) и биметаллическая пластинка (Т) с
нормально замкнутыми контактами включены последовательно
в цепь обмотки двигателя. При большом увеличении
тока, тепло, выделяемое нагревательным элементом,
воздействует на биметаллическую пластинку, которая
размыкает контакты тепловой части реле, отключающие
двигатель. После остывания пластинки контакты вновь
замыкаются и включают двигатель.
Пусковая и тепловая части совмещены в одном корпусе
и составляют цельное изделие — пускозащитное
реле.
Таким образом, из описания процесса функционирования
пускозащитного реле закон распределения его
сроков службы может быть представлен в виде
qp (N) = 1 -[1 -qn (Л0П1 -≪7Т(ЛГ)],
где qn (N), ?т(Л9 — интегральные функции распределения
соответственно пусковой и тепловой частей реле.
Если пусковая часть работает регулярно, включаясь
примерно через каждые 10 мин (т. е. число рабочих
циклов в течение часа N^6 цикл/час), то тепловая
часть срабатывает в случайные моменты времени при
возникновении определенной аварийной ситуации (повышение
температуры окружающей среды, большие отклонения
питающего напряжения, подклинивание двигателя,
возникновение повышенных давлений в холодильной
системе и т. п.), т. е. при наличии соответствующей
«заявки».
Определение закона распределения qn(N) времени
безотказной работы (в циклах) для пусковой части не
представляет принципиальных трудностей. Для ускоре-
129

ния получения необходимых характеристик наиболее целесообразными
являются форсированные испытания на
надежность. При этом ужесточение режима заключается
в значительно более высоких темпах (частотах) работы
пусковой части на специальном стенде по сравнению с
допускаемыми по техническим условиям при сохранении
остальных параметров режима на уровне эксплуатационных.
Доказано, что при таком форсировании в определенном
диапазоне частот распределение числа циклов
до разрушения совпадает с распределением в эксплуатационных
условиях. Результаты испытаний 77 шт. пусковых
частей исследуемых реле РПЗ-23 приведены в табл.
21. Испытания реле проведены Г. И. Черняком.
Наиболее приемлемым как из модели отказов пусковой
части, так и из обработки полученных статистических
данных по разным законам для выравнивания эмпирического
распределения сроков службы оказалось гамма-
распределение t
F (0 = — — f тг-]е-₽т≪/т
(г— l)!j
О
Таблица 21
Результаты испытаний пусковой части реле РПЗ-23
Число циклов до
отказа N
Число циклов
до отказа N
Число циклов
до отказа
Число циклов
до отказа
20844 400405 1058079 1721514
215318 402256 1083756 1725611
219641 407150 1206130 1748482
237981 422201 1206356 1803824
248675 423617 1211365 1824486
255290 458660 1247671 1826486
261683 466831 1335216 1835679
273119 467517 1345672 1838243
275941 477695 1356283 1924222
299461 496253 1417805 1954382
303457 511980 1422836 1978465
303711 512585 1425836 2148356
307640 520031 1438516 2240701
330682 555453 1548432 2630000
354799 572390 1571880 2747192
366347 639085 1575684 2964503
371695 701495 1625344 3000005
376910 794495 1672017
377699 948219 1675321
378595 992195 1711354
130

с параметрами г = 2, 0 = 1/529082, т. е.
9nW =
1
(529062)2
Г те-т/529062бк.
Несколько сложнее обстоит дело с определением закона
распределения времени безотказной работы тепловой
части. Как мы уже видели ранее, тепловая часть
исследуемого реле срабатывает в случайные моменты
времени при наличии выброса тех или иных составляющих
режима. Так как общий поток выбросов является
суммой большого числа независимых потоков малой
интенсивности, то без существенных ограничений этот
поток можно рассматривать как простейший. Отсюда
вероятность k срабатываний тепловой части за N включений
пускозащитного реле равна
где Л— параметр потока заявок на работу тепловой
части.
Тогда, согласно теореме о полной вероятности, закон
распределения тепловой части 9т (AQ может быть определен
из соотношения
со
k=0
где q\ (k) — вероятность отказа тепловой части реле при
поступлении на него k заявок на срабатывание. Очевидно,
что 91 (й) представляет собой закон распределения
числа циклов безотказной работы тепловой части при ее
регулярной работе. Этот закон может быть легко установлен
при циклических испытаниях в режиме нормального
срабатывания тепловой части. Результаты стендовых
испытаний 100 шт. тепловых частей исследуемого
реле РПЗ-23 приведены в табл. 22.
Анализ полученных данных показал, что на отрезке
[0, 8500] выравнивание достаточно точно осуществляется
с помощью равномерного распределения, а «хвост» распределения
после 8500 циклов описывается экспоненциальным
распределением с соответствующим порогом чув-
131

Таблица 22
Результаты испытаний тепловой части реле РПЗ-23
Число
циклов до
отказа N
Число
циклов до
отказа
Число
циклов до
отказа
Число
циклов до
отказа
Число
циклов до
отказа N
Число
циклов до
отказа N-
16 1754 3254 5112 6437 8317
48 1812 3286 5117 6575 8397
112 1927 3473 5240 6827 8642
167 20 4 3813 5327 6913 8670
216 2111 3847 5361 7005 8671
305 2193 3914 5412 7118 8752
545 2241 3985 5531 7216 8826
754 2457 4052 5542 7240 9116
814 2545 4130 5672 7313 9119
982 2725 4241 5882 7427 9423
1041 2743 4257 6045 7535 9995
1050 2754 4316 6112 7618 10513
1215 2982 4358 6268 7846 10711
1281 3028 4432 6376 7852 10718
1317 3215 4600 6425 8164 11540
1325 3245 4833 6433 8167 12317
1448 4983 8195 12716
ствительности 7Vq=8500 циклов, т. е.
_ \ki’°
j v[A._85oo]
V [1 C
для
ДЛЯ
0 ≪ k ≪ 8500
k > 8500.
Параметры распределения qx (k) могут быть легко определены
из данных эксперимента. Их значения равны: b =
= 10 000 (так как qr (8500) = 0,85), у = 0,000675 1/цикл
(из последних 15 значений наработок, приведенных в табл.
22, т. е. у = ? -
2 (М-8500)
£=85
= 0,15 (из условий нормировки, т. е. = 1).
Искомый закон распределения сроков службы тепловой
части
≪7т W= Vе-л″71 (k)= М [q. (k)]
jLA k\ [o,jv]
fe=0
— — = 0,000675 , c =
1482 ]
132

представляет ожидаемую вероятность отказа тепловой части
реле на отрезке [О, JV] или за время /, соответствующее Л/’
циклам срабатывания пускового реле в рассматриваемом
± Nutuui \ ~
случае t4ac = -
-
-
• Очевидно, что на сравнительно
бцикл/час /
небольшом отрезке [О, Л\] число заявок k на срабатывание
тепловой части мало, а значит можно пользоваться только
левой частью полученного распределения qr (k) (т. е. когда
£≪8500).
Тогда на рассматриваемом интервале
k=0
k
10 000
V (AN)k^-AN 1
— 1)! 10000
AN
10000
Неизвестный параметр потока требований на срабатывание
тепловой части может быть определен следующим образом.
Из известных законов распределения пусковой части
qn(N) и тепловой части qT(N) искомый закон распределения
всего пускозащитного реле, как мы уже показали, равен
qp (N) = 1 - [1 - qn (N)][l-qT(N)] =
= qn(N)+qT(N)-qn(N)qT(N).
Отсюда
п (Ny
1 Если на отрезке [0, Л\] число заявок k мало, а значит малы
00 k
значения qr (＆), то нетрудно увидеть, что q (TV) = e“AAx
T k\
k=Q
Xqx (k) = q± (AAZ) для любых законов распределения qY (k), так как
на начальном отрезке произвольного закона распределения можно осуществить
линейную аппроксимацию, а ожидаемое значение q1(k) на
отрезке [0, TV], равно соответствующей вероятности при ожидаемом
среднем числе^заявок k = AN.
133

Определив
≪7nW =
2V
- ! - Г Te-T/529062dT
(529 062)2 J
о
и qp(N) для некоторых значений числа циклов на начальном
отрезке, например, в течение года, т. е. на отрезке
[О, IV'], N' = 6 цикл/час-12-30'24 (час) = 51 840 циклов,
легко найти численные значения qT (N) на рассматриваемом
интервале. Так как для N £ [О, IV'] вероятность qT (N) =
AW
= -
, то искомая величина
10 000
≪7Т (N)-10 000 [7р (N) - qn (IV)]. 10 000
IV W[l-≪7n(W)]
По результатам наблюдений за бытовыми электрохолодильниками
Минск-3, оснащенными пускозащитными
реле РПЗ-23 в течение 1968 г. найдены величины Л за все
12 месяцев (табл. 23).
Как видно из таблицы, параметр потока Л является
для различных месяцев достаточно устойчивым, и его
среднее значение Л = 0,0022 1[цикл. Таким образом, в течение
одного месяца тепловая часть срабатывает в среднем
9— 10 раз (4320• 0,0022^9,5).
Таблица 23
Значения параметра потока требований на срабатывание
тепловой части реле РПЗ-23
Месяц Число циклов Л
1 4320 0,00117 0,0027
2 8640 0,00207 0,0024
3 12960 0,00280 0,0021
4 17280 0,00378 0,0022
5 21600 0,00509 0,0024
6 25920 0,00634 0,0021
7 30240 0,00743 0,0025
8 34560 0,00816 0,0024
9 38880 0,00863 0,0022
10 43200 0,00894 0,0021
11 47520 0,00940 0,0020
12 51840 0,00970 0,0019
134

Это число может быть определено и путем специальных
наблюдений за работой тепловой части. Такие исследования
были проведены и полностью подтвердили полученный
результат, что доказывает правильность предлагаемой
модели для оценки работоспособности пускозащитного
реле.
После определения параметра Л задача нахождения закона
распределения сроков службы пускозащитных реле
для произвольного отрезка времени может считаться решенной,
так как в соотношении
≪7Р(М = 1 - [1 - ≪zT(W)][l - ≪7П(У)]
все слагаемые установлены.
Действительно,
N
р — Т/529С62
7п ”
J (529062)2 d‘1’
О
ffT(JV)= на отрезке [О, Л\], где Л\ = 3 863 636
/ Л ос 0,0022Л^ Л7 8500
циклов так как 0,85 = - —
, то = - =
\ 10 000 0,0022
= 3 863 636^ а для N > Nr «хвост» распределения qT (#)
не представляет практического интереса, так как относится
к весьма далеким срокам эксплуатации, превышающим многие
десятки лет1.
Рассмотренный метод ускоренной оценки надежности
путем комбинированных испытаний может быть эффективно
использован для ряда других устройств с автономной
блокировкой (защитой) многоразового действия,
которые широко применяются в машиностроении, энергетике,
автоматике, телемеханике и других отраслях техники.
1 Вычисление (N) для N N1 не представляет трудностей. На
основе приведенного соотношения
a (2V) = + с [1 - е-?≪Л*-8500) j = 0,85 +
т ь
| 0 15 [1 — е-0’000675 (0,0022?/— 8500)]

ПРИЛОЖЕНИЕ I
ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
ПО ВЫБОРУ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
И НАХОЖДЕНИЮ ЧИСЛЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
При решении задач, связанных с оценкой вероятностных характеристик
ряда процессов, в том числе утраты и восстановления работоспособности
изделий, требуется информация о законах распределения
различных случайных величин, например таких, как наработка между
отказами, время ремонта, длительность обработки деталей, продолжительность
настройки оборудования и т. п. При этом всегда приходится
иметь дело с ограниченным количеством экспериментальных данных,
определяющих статистическое (эмпирическое) распределение случайных
величин. Как бы хорошо ни было подобрано теоретическое распределение,
между ним и эмпирическим распределением неизбежны
некоторые расхождения. Вопрос о существенности этих расхождений
на практике решается с помощью различных критериев согласия:
хи-квадрат, омега-квадрат, Колмогорова и др. [7, 11, 51, 60].
Для этого выбирается некоторая величина А — мера расхождения
теоретического и статистического распределений — и определяется ее
значение Да такое, чтобы вероятность события А>Аа была равна а,
т. е. Р(А>Аа) =а, где а — уровень значимости (достаточно малая
величина). Если полученное после обработки данных значение Д0>Аа
или P(A>A0)≪a, то отклонение от теоретического закона считается
значимым и предположение о виде закона распределения должно
быть отвергнуто. В противном случае гипотеза о виде теоретического
закона, используемого для выравнивания эмпирических данных, принимается.
Следует отметить, что с помощью указанных критериев
можно только в некоторых случаях отбросить выбранную гипотезу
как противоречивую опытным данным, но ни в коем случае нельзя
отдать предпочтение какому-либо из исследуемых законов распределения,
если они не отвергаются, хотя и имеют разные меры отклонения
Д^Аа. При этом неправильный выбор теоретической функции
распределения может привести при решении конкретных задач к существенным
погрешностям.
Для исключения грубых ошибок при выборе теоретического закона
распределения предлагается следующий метод.
Известно, что при совпадении конечного числа первых моментов
можно аппроксимировать неизвестное распределение, найдя другое
распределение известного вида с теми же первыми моментами. Практически
для такого приближения достаточно совпадения только первых
трех или четырех моментов.
136

Выбор теоретической кривой распределения для описания экспериментальных
данных будем вести на основе оценки степени близости
эмпирических и теоретических моментов, определяемой по вхождению
последних в доверительные интервалы, вычисленные для эмпирических
моментов.
Метод построения доверительных интервалов для эмпирических
моментов произвольного закона распределения основан на выделении
искомого интервала из упорядоченного множества моментов, полученного
путем многократного моделирования на ЭЦВМ эмпирической
функции распределения.
Пусть задана эмпирическая функция распределения
' О
≪71
Для
Для
О ≪ t
t2
F{t) =
Qi для ti ≪ t
1 для t > tn,
где qi — наблюденное значение случайной величины и соответствующая
ему частость, п — число различных наблюденных значений случайной
величины, 7=1,2, п. Тогда величины
/ = + (18)
для q £ [^7-ь qi\ распределены в соответствии с заданной статистической
моделью (эмпирической функцией распределения), если q распределено
равномерно на отрезке [0, 1]. Процесс моделирования заключается
в последовательной выработке на ЭЦВМ псевдослучайных
чисел, равномерно распределенных на интервале [0, 1], и нахождении
соответствующих случайных-'величин t по указанному равенству. По
сформированной выборке находятся статистические оценки первых
четырех выборочных моментов:
1) среднее значение
m(i)=4г S /‘1)>
где tW— значения случайных величин; N— объем сформированной
выборки, равный исходной;
2) центральный момент второго порядка — дисперсия
а(о =
1 -m(i))2;
1=1
137

3) центральный момент третьего порядка
N
— m(i))3»
(2V— 1)GV — 2) 1
i=l
4) центральный момент четвертого порядка
N
Аналогичным образом формируется вторая выборка случайных величин
≪=и2’> 42) . $’}
и определяются моменты /И(2), •
Этот процесс повторяется многократно I раз и в результате определится
множество числовых характеристик:
\ п2 п(1> ll(1)
m(l)’ а(1)> Из » Рч
m(2), о^2), р,≪2’, |42>
«(/)> 0(0- Ир-
Чтобы найти доверительные границы для моментов, составляется вариационный
ряд для каждого из моментов
т1 mi
(СТ2)1 ≪ (СТ2)2 ≪ • • • ≪ («2)г ≪,•••≪ (СТ2)/
(Из)1 ≪ (Цз)г (Из)г ≪ • • • ≪ (Из)/
(и≪)1 ≪ (^>2 ≪. • • • ≪ (H≪)i ≪ ≪ (Ил)/-
Численная оценка двусторонних доверительных границ с уровнем доверия
у = 1 — 2а определится величинами тг^ и тг^ о2х и о2*,
и РзГ2\ р≪4Г1) и Р4Гг), где
_
Г Z (1 — Т) 1
_
Г/(1 +т) 1
fl “ I 2 Г f2^L 2 J ’
а квадратные скобки означают целую часть содержащегося в них
числа. Для получения оценок с достаточной практической точностью
количество моделируемых выборок / целесообразно рассчитывать
10
из условия />-
-
.
l-v
138

Выбор теоретической кривой распределения производится следующим
способом. Для наиболее распространенных в теории и практике
надежности законов распределений (равномерного, нормального,
логарифмически нормального, Вейбулла, экспоненциального, гамма)
по формулам, приведенным ниже, находятся первые четыре теоретических
момента распределения и определяется, попадают ли они в доверительные
интервалы, вычисленные с несколькими заданными уровнями
доверия Yi>Y2>Y3>->Ya Для статистических моментов по
вышеизложенному способу.
Сравнение с доверительным интервалом начинается с больших
уровней доверия. Если значение хотя бы одного из моментов какого-
либо закона распределения выходит из доверительного интервала, то
данный закон не может быть использован для описания случайной
величины.
Если в результате сравнения окажется, что значения всех моментов
для нескольких видов распределений лежат в соответствующих
доверительных интервалах с уровнем уь переходим к сравнению при
уровне Y2≪Yi и т* Д- Для описания эмпирических данных выбирается
распределение, все моменты которого попадают в соответствующие
доверительные интервалы с наименьшим уровнем доверия.
Ниже приводятся формулы для нахождения оценок параметров
и моментов указанных законов распределения, полученные методом
максимума правдоподобия [11].
/. Равномерное распределение. Плотность распределения
1
ПРИ
Сначала находятся оценки параметров
^max ^min
н = - ~2 - ;
+1
w —
_ I (^тах ^min)>
с помощью которых вычисляются: а) среднее значение тп = pi; б) дис-
w2,
Персия а2 = ; в) третий центральный момент ц3 = 0; г) четвертый
центральный момент pi4 = 0,0125ку4. Затем найденные значения
четырех моментов сравниваются с соответствующими доверительными
интервалами.
2. Нормальное распределение. Плотность распределения
(*-ц)2
, , „
1 2s2
f (0 = -
,/-≪5- е ’
— а>
139

Оценки для среднего и дисперсии нормального распределения, выраженные
через его параметры, совпадают с оценками эмпирического
среднего и дисперсии. Поэтому сравнение по доверительному интервалу
для нормального распределения производится только для третьего
и четвертого центральных моментов, которые выражаются следующим
образом: а) третий центральный момент р,3 = 0; б) четвертый
центральный момент ц4=3а4.
3. Логарифмически нормальное распределение. Плотность распределения:
_
(In t — tnln t)2
1 2(j2
InZ
> ≪>0.
у 2л
Сначала оцениваются параметры распределения:
N
m^t=4г 21п/г;
N
t=- 41 •• S(1п h ~ т'п *)2;
затем вычисляются: а) среднее значение tn = е 2 ; б) дис-
2 2
О]п / t Н- ^1п t
Персия о2 = (е — 1) е ; в) коэффициент вариации v =
(У
= ; г) третий центральный момент р,3 = у3о3 -f- Зусг3; д) четвертый
центральный момент
ц4 == у8д4 -|- 6у6п4 + 15у4о4 + 16и2сг4 4≪3а4
и производится их сравнение с доверительными интервалами.
4. Распределение Вейбулла. Плотность распределения:
f (t) = abtb~x e~at , b> 0, a > 0.
Первоначально определяется параметр b из уравнения
(19)
Для этого задаемся точностью 6 и начальным значением параметра
т
Ьо = , где тис — статистические оценки среднего и среднего
квадратического отклонения, и вычисляем значение левой части уравнения
у0 для b = Ьо. Если | у0 | с 6, то bQ является корнем уравнения.
Если | у0 I > 6, в уравнение (19) подставляем значение Ь± = 5Ь0
140

и находим г/х. Если yQ и у± разных знаков, определяем b2 = — bQ
и у2 и сравниваем знак у2 со знаком у0 или yv Для значений у с
разными знаками приближенное значение корня находится методом
половинного деления, пока не будет выполнено условие | yt | ≪ 6.
В случае, когда у0 и у± одинаковых знаков, подставляем в уравнение
bQ
значение bY = - и определяем у{. Если у± и yQ разных знаков, то
5
дальнейшие вычисления аналогичны вышеописанным. Параметр а определяется
из уравнения
N
а = N
1=1
Если же г/о» Уг и у\ одинаковых знаков и ] yQ |, | у± | и | у\ | > б, то
для нахождения параметров применяем метод итераций [31].
Исходные уравнения записываются следующим образом:
N
а — n ; (20)
S'?
1=1
N
b = N N • (21)
а ln — 2 1п fi
i=l 1=1
В качестве начального значения bQ выбираем значение, соответствующее
у = min {| yQ I, | I, |^|}, и, подставляя его в уравнение
(23), получаем с помощью которого пересчитывается b по уравнению
(21) и т. д.
Процесс итерации заканчивается, когда будет выполнено условие
I У1 I ≪ б.
Вычисление моментов с помощью параметров производится по следующим
формулам:
среднее значение
г (I + -Ц а-1'*,
\ б /
где Г (г) — гамма-функция, определяемая равенством [4]
ОО
Г (г) = j* xro~xdx\
d
141

дисперсия
третий центральный момент
Из =
+ 2Г3|
четвертый центральный момент
|Л4
+ 6Г
Оценкой для параметра X является Л —
выраженная через параметр
статистическим средним, то
(22)
142
а-^ь-
a-W
для среднего в экспоненциальном законе,
N
1
к, т= —
л
Следующим шагом вычисленные моменты сравниваются со своими до
верительными интервалами.
5. Экспоненциальное распределение. Плотность распределения
/ (/) — Ze~^, ^>>0, к > 0.
^ = 0,
г (Г)
ti совпадает со
сравнение по доверительному интервалу делается для 2, 3 и 4-го центрального
моментов, вычисляемых следующим образом: а) дисперсия
а2 = ; б) третий центральный момент ц3 = 2а3; в) четвертый
центральный момент р4 = 9а4.
6. Гамма-распределение. Плотность распределения
f (0 = Т(7Гt>Q’ р>0, г>°'
Значение параметра г определяется из уравнения
N
1
In г — In т Н -
N
-
. Так как оценка

т =
среднего гамма-распреде-
1 Если закон распределения q=F(t) случайной величины t известен,
то выборка для нахождения оценок моментов т, ст2, р,з,
формируется на основе соотношения /=F-i((7) вместо указанной
ранее зависимости (18), F~i(q') представляет собой обратную функцию
F(t).
где Г' (г) — производная гамма-функции,
N
б) дисперсия ст2 = ;
Р
г) четвертый центральный
Для решения уравнения (22) используем следующий метод. Задаемся
/и2
точностью 6, начальным значением параметра г0 = , где tn и о2—
статистические оценки среднего и дисперсии. Подставляя в уравнение
(22) г0, находим значение левой части г/0. Затем вычисляем /^ = 5г0
и соответствующее ему значение ух. Если у0 и yY разных знаков, оп-
о
ределяем г2 = — г0 и у2 и сравниваем знак у2 с yQ и у±. Для значений
у с разными знаками интервал для г уменьшаем наполовину, пока
не будет выполнено условие | yt | б. Тогда ц— корень уравнения.
В случае, когда г/0 и у± были одинаковых знаков, задаем rj =
=и находим у\. Если у\ имеет разный знак с г/0, тогда даль-
□
нейшие вычисления аналогичны вышеописанным. Если знаки у0, уг
и у\ — одинаковые и | у01, | уг |, | у\ | > 6, то это свидетельствует о
непригодности гамма-распределения для описания исследуемой выборки.
Оценка г находится как значение, соответствующее min {[ yQ |,
У11, I IJ-
Параметр 0 находится из условия 0 = —
.
Моменты гамма-распределения вычисляются через его параметры
г
следующим образом: а) среднее tn = — ;
Р
2г
в) третий центральный момент р,3 = ;
Зг (г + 3)
момент ц. = - —
-
. Так как оценка
04
ления, выраженная через его параметры, совпадает со статистическим
средним, то сравнение с доверительными интервалами производится
для 2, 3 и 4-го моментов.
Для нахождения доверительных интервалов параметров распределений
используется функциональная связь этих параметров с моментами.
Пусть некоторый параметр а = ф (tn, ст2. р,3, ц4). Находим значения
ац) — ф (tna), р^)1, i = 1, 2, . . . , Z, и располагаем
их в порядке возрастания
^2 '″С- •
143

Оценка доверительных границ с уровнем доверия у определится
величинами art и аг2 для двусторонних границ и величинами aSl и a S2
соответственно для нижней и верхней односторонних доверительных
границ, где
_
Г I (1 — У) 1
1 L 2 J ’
• /(1 + ?) 1
.
2 J ’
Функциональная зависимость параметров от моментов (р для рассматриваемых
распределений определяется следующими равенствами:
1) равномерне распределение
ц = т\ w = 2 ст;
2) нормальное распределение
р = m; s = ст;
3) логарифмически-нормальное распределение
2 / q2 \ , т
ст7п , = In 1 + —
, m1n / = In —
р=====- ;
1П1 \ т2 ) * /1 + о2/т2
4) распределение Вейбулла
выражается через неявную функцию,
5) экспоненциальное распределение
6) гамма-распределение
т2
r=v ft- —
Р о2
Аналогичным образом решается задача для других параметров произвольных
законов распределения.

ПРИЛОЖЕНИЕ II
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ МОДЕЛЕЙ ФОРСИРОВАННЫХ
ИСПЫТАНИЙ
Оценка точности предложенных моделей испытаний связана с нахождением
доверительных интервалов мер ресурса работоспособности
Т и функции связи. При весьма общих ограничениях на функцию
со = Fx (/) значения мер ресурса работоспособности, полученные
при испытаниях п изделий, распределены асимптотически нормально
[11,51] с математическим ожиданием и средним квадратическим
отклонением - для (о = q и = i / для
Кп F'x (/) |/ п
со = 8, где D — дисперсия случайной функции относительного изменения
математического ожидания в сечении 8.
Доверительные границы с уровнем доверия у = 1 — а
а — риск) находятся по формулам:
T’(CJ) _ ] / r(w).
1 X — 1 X SX ’
ш=≪7>е>
где Р = 2 а для односторонних и 0 = а для двусторонних доверительных
пределов; — коэффициент Стьюдента с п — 1 степенями свободы
[4].
Приближенное значение доверительных границ для меры ресурса
можно также найти из равенств:
^((о) ^(со) У'(со) ^(со)
_ X х * 1 X ~ 1 X ’
где (со, со)— доверительный интервал для уровня со.
Если со = е, доверительные пределы уровня е находятся в сечении
случайной функции t = Тх\ а для со = q = — — - из уравнений:
п
k=m
145

т
= -Цр-
IE?
В последнем случае (со = q) для определения (7, q) можно воспользоваться
тем, что для больших п относительные частоты распределены
« ?(!— ?) ~
нормально с дисперсией -
. Экспериментально определенная
П
функция связи v = представляет собой частное двух асимптотически
нормально распределенных случайных величин. Плотность распределения
имеет вид [66]:
m2 s2 + s2 v Г (т1 — m2v)2
f (t° = У2Т (s]+s22v)^ еХР [ 2(s2+＆?) ] ’ (23)
где т1, т2, sx s2— соответственно математические ожидания и среднеквадратические
отклонения числителя и знаменателя. При этом величина
w = — - распределена нормально с нулевым математиче-
1 S2 + $2 у2
ским ожиданием и единичной дисперсией, т. е.
w 9
1 (‘ / * \
ф (w) = —
г - | ехр — — dx.
V 7 у 2 л J \ 2 )
Доверительные пределы отношения двух независимых нормально
распределенных случайных величин с достоверностью у находятся из
равенства
/TZjl
/п2
777 i
/п2
^1.2 =
2 s2 S2 S2
1 , 2 2 1 2
,2 + w2 ~W w2 w2
f^2 ^^2
1
l~w
^2
в котором w определяется из уравнения Ф (оу) == у. В нашем случае
«1 = , m2 = , S1 = , s2 = .
Ширина доверительного интервала может быть исследована в зависимости
от объемов испытываемых выборок для конкретных функций
со = F (0.
Оценка точности форсированных испытаний несколько упрощается
s(＆)
для линейных моделей. В этом случае — = с, где с не
Tz sz
146

зависит от уровня со, и в разных режимах равны коэффициенты вариации
мер ресурса работоспособности, т. е.
4Ш) 4“’
дг(СО) ^(СО)
X Z
Тогда плотность распределения (23) и соотношение (24) для нахождения
доверительных пределов при одинаковых объемах выборок можно
соответственно представить в виде
f, ч _
1
_
с2 + су Г (с — у)2 1
/( )_ /2ТГ £≪“)(?+г, 3/2 еХР L 2й≪°> (с2 + v2) J (25)
и
с ± cwk^ 1^2 —
1 — [ш/г≪ш)]2 (26)
Исследование доверительных интервалов, как следует из последнего
равенства, сводится для линейных моделей к изучению зависимости
k(＆) для определенного объема выборок испытаний и конкретного
вида закона распределения (случайного процесса изменения
определяющего параметра).

ПРИЛОЖЕНИЕ III
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ
В ПЕРЕМЕННОМ РЕЖИМЕ
1. Характеристики надежности конкретных изделий существенно
зависят от режима их использования. В то же время показатели
надежности, как правило, находятся для фиксированных условий работы,
и переход к характеристикам надежности в других режимах
связан с принципиальными трудностями. Предложенные модели в ряде
случаев позволяют указать метод решения задач оценки надежности
в переменном режиме. В зависимости от характера изменения такой
режим может быть представлен: а) детерминированной функцией времени;
б) случайной последовательностью, в которой случайными
являются или величина самого режима, или длительность каждого
режима, или оба из указанных параметров; в) случайным процессом.
Оценка надежности для последних двух случаев в значительной
степени зависит от возможностей решения аналогичной задачи для
режима, являющегося детерминированной функцией и представляет
собой нахождение математического ожидания определенного функционала,
являющегося решением для варианта а).
Если диапазон изменения детерминированного режима не выходит
из области Е выполнения физического принципа надежности, то
оценка выработанных мер ресурса, приведенных к некоторой фиксированной
нагрузке ХсЕ, может быть получена на основе соотношения
(4) и уравнений (5) или (10), когда выполняются условия линейности.
Указанным путем имеется возможность сравнивать влияние различных
переменных режимов на степень утраты ресурса работоспособности.
Ниже рассматривается обратная задача: по данным о надежности
в постоянном режиме требуется оценить надежность изделий, работающих
в переменном режиме.
Пусть в исследуемом диапазоне режимов Е для любого постоянного
режима X Q Е задана монотонная функция изменения уровня =
= ?Х (О1- Тогда в ступенчатом детерминированном режиме
1 Очевидно, вместо такого задания можно указать одну функцию
o) = FXo(t) для постоянного режима XQ С Е и функцию связи f(X0, Хоу)
для любого X С Е.
148

ГЛ, для 0 ≪ t ≪ tt
X2 для /i≪7≪4 + 4
по = { .
Л— 1
Хп для
«=1
(27)
в соответствии с предложенной моделью (3) уровень V) определяется
равенством
' Fxt (О
FХ2 (Т1 + — *1)
для t ≪ /i
ДЛЯ t ≪ /1 + t2
4>Y{t} (О =
л— 1 л— 1
Fxn (tn-i+(- 2 z0для* > 2
1=1 1=1
(28)
где значения находятся последовательно из равенств:
FX2 (ti) = Fxt (^i)
FХя(т2) = Fх2 (Ti + ^г)
т. е.
FХп (тл-1) ~ FXn.i (Уп-ъ + 6г-1),
тг = FX-+1 lFXf (х‘-1 + Zi)]>
1=1, 2, . . . , и — 1, т0 = 0.
Обратная функция = (Оу^ определяет значения мер ресурса
в переменном режиме Y (t).
Рассмотрим пример. Изделие работает переменно в режиме Zx в
течение времени tY и в режиме Z2 — время /2, т. е.
(X2i-i = Для G — l)(^i + У — l)(^i + ^г) + ^1
|Х2i = Z2 для (i — 1)(4 + У + +/2),
i = 1, 2, . . .
149

Предположим, что законы распределения времени безотказной работы
в режимах Zx и Z2 соответственно
≪72i(Z) = l-e-4
9Zs(0 = l-e-W.
Оценим вероятность отказа qY(t) W и сРеДнее время безотказной работы
изделия TY{t} в рассматриваемом переменном режиме Y (t).
В соответствии с приведенным соотношением (28), учитывая, что
юУ(0 (0 + ≪7у(0 (0 находим
?У(0 (0 —
q^ W = 1 _е-[М+(;-1)/2(*2-М)]
для (/ — 1)(/х + /2)≪t ≪ (i — 1)(/х + /2) + /х
q2i (/) = 1 — e-[M-tfi(b2-M)]
ДЛЯ (l — 1)(/х + /2) + 6. t ≪ 1 (^i + ^2) >
Так как в режимах Zx и Z2 выполняются условия линейности, то для
определения вероятности отказа qY(t) (О можно также воспользоваться
равенством (10):
t
Tf =jf[Z, Г(т)]Л.
о
(n>. In (1— q)
При Z = Zx ,
a
1, если Y (/) = Zx,
Г(/)] =
если Y (t) = Z2.
Тогда из уравнения (10) следует соотношение
In [1
Xi
t + (i - 1)
I для (i — 1)(/х + t2) t ≪ (i — 1)(^ + /2) + /j
для (i — l)(/i + /2) + ≪ * (4 +/2),
i = 1, 2 .
из которого непосредственно вытекает зависимость для qYyy тождественная
полученной выше из общего случая.
150

Вычислим математическое ожидание времени безотказной работы
ОО
^Y(t) = J П ~ ^Y(t) (01 =
О
«О (i— 1)
= 2[ J е-[М+(;- м>] ш +
;=1 1 (£-1)
i(G+^s)
_|_ J e-[V-≪-/.(>.2-Xl)]^ =
(I— 1) (G+^)~H1
е— (Н-1) (^1^1+^2^г) 0 е—
Данный результат полностью совпадает со значением Ту^, полученным
в работе [5] с помощью модели полумарковских процессов.
Приближенное значение среднего времени безотказной работы в
рассматриваемой задаче при условии
может быть легко найдено из соотношения (9)
м (^) м (/2) =1
Mzt (t) Mz2 (О
Указанная модель применима, так как в режимах Z± и Z2 выполняются
условия линейности. Тогда при введенных ограничениях, если пред-
151

ставить М (/х) = г/х, то, очевидно, М (/2) л г/2, а ТГ(/) » г (/х +/2).
Учитывая, что Mz (/) = —
, Mz (/) = —
, из равенства (9) находим
Л1 2 Л2
г/i Лх + г/2 Л2 = I.
1 /х “I- /2
Отсюда величина r= , a Ту(() к ■
■
Л1 *1 “Г Л2 Г2 М И. “Г ^2 h
В общем случае, когда детерминированный режим Y (/) является
непрерывной функцией, приближенное вычисление (0 может быть
осуществлено аналогичным образом путем представления функции Y (/)
в виде ступенчатой зависимости. Для этого интервал времени разбивается
на большое число малых, не обязательно равных промежутков времени
(О, /х), (/х, tr + /2), (4 + ^2> ^1 + ^2 + У • • • ,
на каждом из которых режим берется постоянным и равным какому-
либо значению функции Y (/) в этом интервале. Таким образом, задача
сводится к рассмотренному варианту, а точность решения тем выше,
чем мельче разбиение.
В линейном случае необходимость такого разбиения для непрерывной
функции Y (/) отпадает, так как определение уровня со = ^Y(t) (О
осуществляется из равенства (10):
t
ТХ} = Fx' (“) = J f и- r WJ
о
Если моменты /2, • • • в соотношении (27) являются случайными
с заданными распределениями, то при нахождении со Y^ (t) осуществляется
соответствующее усреднение. Рассмотрим, например, случай
Y(t) = [X1 ДЛЯ
|х2 Для />/х,
a FXt Ф (0— соответственно законы распределения времени
безотказной работы в постоянных режимах Хх, Х2 и длительности
работы изделия в первом режиме Хх. Оценим вероятность PY^ (/) =
= 1 — qY(^ (t) того, что изделие на отрезке (0, t) проработает безотказно.
При этом к моменту t изделие может работать либо в режиме
Хх, либо в режиме Х2. Вероятности безотказной работы, соответствующие
указанным состояниям, равны:
Р1(/) = [1-гХ1 (0][1 - ф (/)]
и
t 00
p2(0 = J[ f dFXi (ффй),
о Ti-H-A
где тх находится из равенства FXj(Zx)’= FXi (тх), т. е. tx=F^[/7Xi (/х)].
152

о
Тогда
Ру(0 (0 = Р1 (() + р2 (О = [1 - FXl (ОШ - Ф (01 +
J dF2 (г) аф (/,).
Укажем решение для случая, когда
г(0 =
*1
х2
Для
Для
Для
≪ /1
h ≪ О + О
^2-
^Xt(0» ^x2 (0> ^x3 (0— законы распределения времени безотказной
работы изделия в режимах Xlt Х2, Х3, а Фх(/), Ф2 (0— законы распределения
длительности tr первого режима Хг и длительности t2 второго
режима Х2. Тогда, оценивая вероятность безотказной работы изделия
pY^ (f) = 1 — qY(t) за вРемя целесообразно рассмотреть три состояния:
изделие работает либо в режиме Хх, либо в Х2, либо в Х3.
Соответствующие вероятности безотказной работы рх (/), р2 (Z), р3 (/)
равны:
Pi (0 = П-^ (01[1 - Ф1 (01;
t оо
р2 (О = [1 — ф2 (01 J [ f dFx2 (z)] ^Фх (0);
о T1-J-/—
t t oo
₽3^ = J{f[ J d Fx3 d Фг
0 0 T2-H— /1— 12
где тх и т2 находятся из условий:
F xt (0) — Fx2 (ti) » ?x2 (Ti + 0) — FXa (t2).
Искомая вероятность
Qy(t) (0 = 1 — Py(t) (0 = * — [Pi (0 + P'2 (0 + Рз (Ob
В общем случае, когда режим может быть представлен в виде (27),
где It распределены по закону ФИО, t = 1, 2, . . . , п— 1, а время
безотказной работы в режиме X/ определяется распределением
вероятность отказов в рассматриваемом режиме 1
4Y(t) (0 = 1 - {[1 - ф1 (ОН 1 - FXi(t)] +
153

k=l
f
т -H—
n— 1
k=i
dFx
An
n— \ (z)J d Фл_1 (/n-i) • • • d Ф1 (yj ,
где Tj, i = 1, 2, ...» n— 1 определяются рекуррентно из равенств:
(^1) = Лхг (Т1) ’ ^Хг (Т1 + = ?ха (Т2)’ • • • »
(Ti-1 + = ^Xf,t (Ti)’ • • • » ^Xn.t, (тл-2 + 6i-l) = Рх (Trt-1)
J Ъ + * ТЬ 1 71
Аналогичная задача возникает при расчете надежности систем со
структурной избыточностью, когда выход из строя отдельных элементов
ведет к изменению характеристик надежности остальных [8]. Например,
пусть изделие состоит из двух параллельно работающих устройств.
Вышедшее из строя устройство отключается, после чего изделие
нормально функционирует при наличии одного из устройств. При
этом последнее работает в ином режиме. Отказ изделия наступает при
выходе из строя обоих устройств. Обозначим соответственно (/),
Г2 (0 и Ф1 (/), Ф2 (/) законы распределения времени безотказной работы
каждого из устройств в первом режиме и во втором. Если и —
случайные времена работы до отказа первого и второго устройствав
первом режиме, то отказ рассматриваемого устройства за время t наступит
при выполнении хотя бы одного события
/1 + z2 ≪ ≪ ^2
* * * *
/2+ Z1 ≪t,
где Zj и Z2 — время работы первого или второго устройства соответственно
после отказа второго или первого устройства. Если отказало
первое устройство в момент то, согласно принятой модели, вероятность
отказа q\ (t) изделия за время t > равна
* . , .*
(t) = J ≪/Ф2(г), где rf = Ф^'[Г2(^)],
*
Т1
154

и аналогично, если отказало сначала второе устройство, то вероятность
отказа q2 (/) изделия
*14 4*
Т2+/-Л
j rf$i(z), где Т2= Фр1 [Л (^И-
*
Т2
Так как и t2 распределены в соответствии с законами F± (t) и F2(t),
то вероятности Qi (/) и Q2 (/) выполнения указанных выше неравенств,
представляющих собой несовместные события, определятся соотношениями:
t Ti+Z—
Qi(0 = Д f ≪/Ф2(г)]
0V Т1
t x2-\-i— tz
Q2(/) = j[ f йф1(г)] dF2(t2),
6 T2
Г де
Т, = ФГ’[Р2 (/1)1, Т3 = Фр’ [Л (/,)].
Вероятность отказа исследуемого изделия
q (0 = Q1 (0 + ≪?2 (О-
2. Среди переменных режимов можно выделить класс периодических
режимов, которые по своему действию на характер утраты ресурса
работоспособности во многом сходны с постоянными режимами. Рассмотрим
периодические режимы Y (/) в линейном случае.
Если Y (/) — периодическая функция с периодом Т, т. е. Y (/) =
= Y (/ + ?), причем для рассматриваемых уравнений со = q значения
мер ^Y{t) то ВИД закона распределения сроков службы в режиме
Y (/) С Е будет такой же, как и в любом постоянном режиме X С Е.
Действительно, на основании соотношения (10)
TY(t) Т
Tf = J f(X, Y (/)] dt = n f f [X, Y (/)] dt + о (T£>)«nY(T),
o d
— число периодов до достижения уровня q. Отсюда
следует, что
_
пт
_г
nV (Т)
т. е. линейно связано с Т^1, а значит, вид закона распределения
такой же, как Fx (/). Постоянный режим X = Уэ, ПРИ
где п = 1%
Т
155

котором — 1, т. е. Y (Т) = Т, является эквивалентным периодическому
режиму Y (t) относительно выработки ресурса работоспособности.
При этом УЭС£, так как справедливы неравенства:
-»гй/ ю ≪1,1 ssz w -
Из монотонности функции связи для следует
т т
fix, Y (t)}dt> [ f (X, Yrnin)dt = Tf(X, YminY,
o d
т т
f{X, Y (t)}di≪ J f (X, Ymax)di = Tf(X, Kmax).
0 0
T
Учитывая, что J f [X, Y (/)] dt = Y (Г) = T для X=YQ,
о
T > Tf (Гэ, ≪ Tf (K8, ^max)>
t. e.
f(Yz> ^min)≪ 1,
a
f (Кэ, Kmax)> 1,
следует -^^max-
Следовательно, для любого периодического режима Y (/) £ Д
когда период Т ≪≪С Туу)’ существует такой постоянный режим Уэ С\Е,
в котором закон распределения времени безотказной работы совпадает
с распределением указанных времен в режиме Y (/). Значение Уэ оп-
т
ределяется из равенства j f [Уэ» Y (01
о
Если Ух (/), У2 (/) с; Е — два периодических режима, отличающиеся
лишь периодами Тг и 1\, то время достижения уровня со не зависит
от длины периода, если т- е- =
= ry?(0’
Действительно, для любого постояннсго режима X С Е из (10)
справедливо
/’(to)
Ki(0
J ИХ, Y^Ndt^ П1 J И*. Л(/)]Л + О(т^), (29)
о о
Т’(й))
yZ(t) Тг
т^ = J f [X, У2 (/)] dt = n2^f [X, Y, (01 d/+0(7’(“>). (30)
0 0
156

Вводим замену переменных v = ~ и w = — соответственно в (29)
Л ^2
и (30).
Тогда
Ti !
’/[X, = Л j /[X, Kx(v)]rft> (31)
о о
и
Т2 I
f [X, У2(≪)] dt = Т2 J f IX, Y2 (ш)] dw. (32)
о о
Очевидно, Yr (v) = Y2 (w) являются периодическими функциями с периодом,
равным 1:
1 1
f/(X, riOOJdv = р[Х, Y2(w)]dw = B. (33)
о 6
Таким образом, из равенств (29) — (33) следует высказанное утверждение
= п^1\В = п2Т2В, т. е. = п2Т2,
а число циклов до достижения уровня со обратно пропорционально
длине периода. Отметим, что для рассматриваемых периодических режимов
Y± (t) и Y2 (/), отличающихся только периодами, эквивалентные
постоянные нагрузки г(1) и у (2) совпадают. Действительно, из
определения эквивалентного режима следует:
7\
р[Х. Г,
о
7\
(t)]dt= J /(X, У≪») dt = TJ (X, У*1»)
о
Тг
ри. Y2(t)]dt = T2f (X, У≪2>).
о
(34)
Учитывая равенства (29) — (33), получим
ЛИХ, У≪1)) = 7’1В;
T2f(X, Y^)=T2B,
т. е. f (X, У^)4-/(Х, Уд2*), а следовательно, Y^ = Y^'.
В общем случае число циклов пг и п2 достижения любого фиксированного
уровня со в произвольных периодических режимах УД/)
157

и У2 (О С Е, для которых » Л и > Т2, удовлетворяют
соотношению
У≪2>). (35)
П2 1 1
Из приведенных выше равенств (29) — (30) следует:
Ti т2
«1 J f [X, Ух (0] dt =п2 С f [X, У2 (/)] di, (36)
о 6
а из (34) —
Ti Tt т «о)
J f [X, Ух(/)]≪й= J f(X, У*1’) dt = TJ (X, У≪>’) = Т1-^~
о о т 11)
Y э
и
тг уЧо)
ffix, YM]dt = Ti~r,
0 Т
г э
где X — любой постоянный режим из области Е. Учитывая (36), получим
доказываемый результат.
Таким образом, в линейном случае анализ надежности в периодических
режимах может быть сведен к исследованию надежности в
соответствующих постоянных режимах.

ЛИТЕРАТУРА
1. Астафьев А. В. Окружающая среда и надежность радиотехнической
аппаратуры. М.— Л., «Энергия», 1965.
2. Баруча-Рид А. Г. Элементы теории марковских процессов
и их приложения. М., «Наука», 1969.
3. Беляев Ю. К. О числе пересечений уровня гауссовским
случайным процессом. «Теория вероятностей и ее приложение», т. XI,
вып. 1, 1966; т. XII, вып. 3, 1967.
4. Большее Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической
статистики. М., «Наука», 1965.
5. Броди С. М., Власенко О. Н., Марченко Б. Г. Расчет
и планирование испытаний систем на надежность. Киев, «Наукова
думка», 1970.
6. Васильев Б. В. Прогнозирование надежности и эффективности
радиоэлектронных устройств. М., «Сов. радио», 1970.
7. Вентце ль Е. С. Теория вероятностей. М., «Наука», 1969.
8. Владимирович Г. И., Седякин Н. М. Теория надежности
радиоэлектронной аппаратуры. ЛВИКА им. А. Ф. Можайского,
1968.
9. Волхонский В. А., Резанов Ю. А. Некоторые предельные
теоремы для случайных функций. «Теория вероятностей и ее
применение», вып. 2, 1959.
10. Герцбах И. Б., Кордонский X. Б. Модели отказов.
М., «Сов. радио», 1966.
11. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д.
Математические методы в теории надежности. М., «Наука», 1965.
12. Гранин А. И., Лосицкий О. Г., Пермяков Ю. В.,
Поповкин В. Е. Индивидуальное прогнозирование долговечности
электромеханических объектов с применением ЭВМ. «Стандарты и качество»,
1966, № 5.
159

13. Гренандер У. Случайные процессы и статистические
выводы. М., ИЛ, 1961.
14. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалов Э. 3. Численные
методы анализа. М., Физматгиз, 1963.
15. Добров Г. М. Типология прогнозов и анализ метода
дельфи. В кн.: Анализ тенденций и прогнозирование научно-технического
прогресса. Киев, «Наукова думка», 1967.
16. Дружинин Г. В. Надежность устройств автоматики. М.,
«Энергия», 1964.
17. Дуб В. М. Вероятностные процессы. М., ИЛ, 1956.
18. Журков С. Н., Нарзуллаев Б. Н. Временная зависимость
прочности твердых тел. ЖТФ, 23, 1953.
19. Журков С. Н., Санфирова Т. П. Температурно-временная
зависимость прочности чистых металлов. ДАН СССР, т. 101, 1955,
№ 2.
20. Журков С. Н., Абасов С. А. Температурная и временная
зависимость прочности полимерных волокон. Высокомолекулярные
соединения. М., Изд-во АН СССР, т. 111, 1961.
21. Журков С. Н. Кинетическая концепция прочности твердых
тел. «Неорганические материалы», т. 3, 1967, № 10.
22. 3аренин Ю. Г. Контрольные испытания на надежность.
Изд-во Комитета стандартов, мер и измерительных приборов при
Совете Министров СССР. М., 1970.
23. Колмогоров А. Н. Интерполирование стационарных случайных
последовательностей. Изв. АН СССР, сер. матем. и естеств.
наук, 1941, № 5.
24. Кордонский X. Б. Форсированные испытания надежности
машин. «Стандартизация», 1964, № 7.
25. Кордонский X. Б., Кузнецов А. Использование информации
о наблюдаемых моментах отказов для оценки надежности
деталей машин. Латвийский республиканский институт научно-технической
информации и пропаганды. Рига, 1967.
26. Кордонский X. Б., Харач Г. М., Артамоновский
В. П., Непомнящий Е. Ф. Вероятностный анализ процесса
изнашивания. М., «Наука», 1968.
27. Костецкий Б. И., Едигарян Ф. С. Классификация
основных видов износа и элементы теории износа при трении качения.
В кн.: Трение, смазка и износ. КИГВФ, 1964.
28. Кошлеков Н. С., Глинер Э. В., Смирнов М. М.
Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.,
Физматгиз, 1962.
29. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные
процессы. М., «Мир», 1969.
160

30. Красовский А. А. Интегральные оценки моментов и синтез
линейных систем. «Автоматика и телемеханика», 1967, № 10.
31. Милн В. Э. Численный анализ. М., ИЛ, 1951.
32. Михайлов В. А., Лукьянов Ю. П., Сироджа Ю. Б.
Прогнозирование надежности аппаратуры автоматики методами теории
распознавания образов. В кн.: Приборы и устройства средств
автоматики и телемеханики. Изд. ХГУ, 1968, № 7.
33. Невельсон Р. А. Ускоренные испытания режущего инструмента
на надежность. Л., ЛДНТП, 1971.
34. Невельсон М. С. Ускоренные испытания точных приборов
на надежность. Л., 1966.
35. Ососков Г. А. Одна предельная теорема для потоков однородных
событий. «Теория вероятностей и ее применение», т. 1, вып. 2,
1956.
36. Пагурова В. И. Таблицы неполной гамма-функции.
ВЦ АН СССР. М., 1963.
37. Пек Д. Данные о распределении сроков службы полупровод
никовых приборов и их использование. В кн.: Обеспечение надежности
полупроводниковых устройств. Пер. с англ. М., «Мир», 1964.
38. Перроте А. И., Карташов Г. Д., Цветаев К. Н.
Основы ускоренных испытаний радиоэлементов на надежность. М.,
«Сов. радио», 1968.
39. Пешее Л. Я., Степанова М. Д. Методика определения
предельной нагрузки для проведения ускоренных испытаний. Изв.
АН СССР. Техническая кибернетика, 1966, № 6.
40. Пешес Л. Я., Степанова М. Д. Модели ускоренных
испытаний. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1968, № 3.
41. По ловко А. М. Основы теории надежности. М., «Наука»,
1964.
42. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение
к задачам автоматического управления. М., Физматгиз, 1962.
43. Рябов Г. Г. Применение методов распознавания образов
к техническому прогнозированию. В кн.: Самообслуживающиеся автоматические
системы. М., 1966.
44. Савина А. С., Гусев Н. С. К вопросу об ускоренных
испытаниях полупроводниковых приборов. Изв. ЛЭТИ им. Ульянова
(Ленина), вып. 56, ч. III, 1966.
45. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных
функций. М., «Наука», 1968.
46. Свешников А. А., 3арицкий В. С., Кругликов
В. К. Вычисление вероятности пребывания одномерного марковского
процесса в области с переменными границами. Изв. АН СССР.
Техническая кибернетика, 1970, № 5.
161

47. Седякин Н. М. Элементы теории случайных импульсных
потоков. М., «Сов. радио», 1965.
48. Седякин Н. М. Введение в теорию надежности и обслуживания
технических систем. ЛВИКА им. А. Ф. Можайского, 1968.
49. Седякин Н. М. Об одном физическом принципе надежности.
Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1966, № 3.
50. Серенсен С. В., Гиацинтов Е. В., Когаев В. П.,
Степанов М. Н. Конструкционная прочность авиационных сплавов.
Труды MATH, М., 1962, № 54.
51. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс теории
вероятностей и математической статистики для технических приложений.
М., «Наука», 1965.
52. Сотсков Б. С. Основы теории и расчета надежности элементов
и устройств автоматики и вычислительной техники. М., «Высшая
школа», 1970.
53. Справочник по полупроводниковым диодам и транзисторам.
Под ред. Н. Н. Горюнова. М., «Энергия», 1964.
54. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической
физики. М., Гостехиздат, 1951.
55. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М., «Сов.
радио», 1966.
56. Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов. М., «Наука»,
1970.
57. Томашов Н. Д. Теория коррозии и защиты металлов. Изд.
АН СССР, 1959.
58. Xинчин А. Я. Математические методы теории массового
обслуживания. М., Изд. АН СССР, 1965.
59. Шифрин-Крыжаловский Ю. А., Митин В. С. Тепловая
устойчивость транзисторов и надежность радиоэлектронной
аппаратуры. М., «Сов. радио», 1966.
60. Шор Я. Б. Статистические методы анализа и контроля качества
и надежности. М., «Сов. радио», 1962.
61. Шор Я. Б., Кузьмин Ф. И. Таблицы для анализа и контроля
надежности. М., «Сов. радио», 1968.
62. Яглом А. М. Экстраполирование, интерполирование и
фильтрация стационарных случайных процессов с рациональной
спектральной плотностью. Тр. Московского математического общества,
т. 4, 1955.
63. Янко Я. Математико-статистические таблицы. М., 1961.
64. ГОСТ 13377-67. Надежность в технике. Термины. М., 1968.
65. ГОСТ 13216-67. Государственная система промышленных приборов
и средств автоматизации. Общие технические требования и методы
испытаний. М., 1968.
162

66. G е а г у R. C. The frequency distribution of the quotient of two
normal variables. J. Roy. Statist. Soc., 93, 1930.
67. R a v i 11 у E. Contribution a Г etude de la rapture des fils metalliques
soumis a des torsions alternees. Publications scientifiques et
techniques du Ministere de 1’aire. No. 120, 1938.
68. Rice S. O. Mathematical analysis of random noise. BSTJ, 23,
No. 3, 1944; 24, No. 1, 1945.
69. W e i b u 11 W. Static strength and fatigue properties of threaded
bolts. Rapport FFA, Stockholm, 1955.
70. Wiener N. The extrapolation, interpolation and smoothing of
stationary time series. J. Willey, N. Y., 1949.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . 3
Введение . 5
Глава I.
Оценка надежности и ее особенности ... 7
1. Характеристики надежности . 7
2. Ускорение испытания на надежность ... 13
Глава II.
Основные положения форсированных испытаний
на надежность . 16
1. Исходные понятия и определения .... 16
2. Основные математические соотношения. Линейные
и нелинейные модели . 20
3. Критерии линейности . 24
4. Методы приведения к линейным моделям . . 29
Глава III.
Определение верхней границы нагружения для
проведения форсированных испытаний .... 38
1. Об особенностях определения границы форсирования
. 38
2. Общие методы нахождения границы нагружения
для проведения форсированных испытаний 42
3. Определение границы форсирования для линейных
моделей . 47
Глава IV.
Методы определительных форсированных
испытаний на надежность . 52
1. Классификация объектов испытаний ... 52
2. Испытания объектов 1-го вида в общем случае 54
3. Испытания объектов 1-го вида в линейном случае
. 56
4. О выборе программ определительных форсированных
испытаний на надежность объектов 1-го
вида . 64
5. Испытания объектов 2-го вида . '70
164

Глава V.
Ускоренные контрольные испытания в форсированных
режимах . 85
1. Постановка задачи . 85
2. Минимизация времени контрольных испытаний
на надежность . 90
3. Пример оптимизации программы контрольных
испытаний на надежность . 96
Глава VI.
Методы сокращения времени оценки надежности
путем испытаний в нормальном режиме и комбинированных
испытаний . 101
I. Ускоренные испытания на надежность в нормальных
режимах при наличии априорной информации
о виде распределения времени безотказной
работы . 101
2. Прогнозирование надежности изделий по данным
наблюдений, полученным в ходе испытаний 115
3. Комбинированные ускоренные испытания на надежность
. 127
Приложение I.
Обработка экспериментальных данных по
выбору закона распределения и нахождения численных
характеристик случайных величин . 136
Приложение II.
Оценка точности моделей форсированных
испытаний . 145
Приложение III.
Некоторые задачи оценки надежности в
переменном режиме . 148
Литература . 159

Леонид Яковлевич, Пешее
Маргарита Дмитриевна Степанова
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
УСКОРЕННЫХ ИСПЫТАНИЙ
НА НАДЕЖНОСТЬ
Издательство «Наука и техника»
Минск, Ленинский проспект, 68
Редактор Н. Гурова
Художественный редактор Н. Евменова
Обложка И. Андрианова
Технический редактор В. Крученой,
Корректор В. Сарванова
Печатается по постановлению РИСО АН БССР.
АТ 06082. Сдано в набор З/Н-72 г. Подписано в
печать 13.ГУ-72 г. Формат 84X108732. Бум. тип. № 1.
Физ. печ. л. 5,25. Усл. печ. л. 8,82. Уч.-изд. л. 7,3.
Изд. зак. 227. Тип. зак. 86. Тираж 2100 экз.
Цена 74 коп. Типография им. Франциска (Георгия)
Скорины издательства «Наука и техника» АН
БССР и Госкомитета Совета Министров БССР
по печати. Минск, Ленинский проспект, 68.

П31
Пешее Л. Я., Степанова М. Д.
Основы теории ускоренных испытаний на надежность. Мн., «Наука
и техника», 1972.
168 с. с ил. (АН БССР. Ин-т проблем надежности и долговечности
машин). 2100 экз. 74 коп.
В книге дается решение ряда новых задач надежности и излагаются
основы общей теории испытаний на надежность промышленных
изделий в форсированных и нормальных режимах. Список лит.:
с. 159— 163 (70 назв.).
3— 13— 2 6П5.1
117— 72

В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ
„НАУКА И ТЕХНИКА″
ГОТОВИТСЯ К ПЕЧАТИ КНИГА
3. П. ШУЛЬМАНА, Ю. Ф. ДЕЙНЕГА,
Р. Г. ГОРОДКИНА, А. Д. МАЦЕПУРО
ЭЛЕКТРОРЕОЛОГИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ
На русском языке. 10 л. Цена 90 коп.
(ориентировочно)
В монографии впервые систематизированы и обобщены
результаты исследований различных авторов в
области электрореологического эффекта — все еще малоизученного
явления, открытого два десятилетия назад.
Основное место отведено последним разработкам в этой
области, выполненным в Институте тепло- и массообмена
АН БССР и в Институте коллоидной химии и химии
воды АН УССР. Рассмотрены физико-химические аспекты
электрореологического эффекта, а также его различные
инженерно-технические приложения и возможные
области практического применения.
Предназначена для научных работников и специалистов,
интересующихся автоматикой, энергетикой, механической
обработкой материалов. Может быть использована
преподавателями, аспирантами и студентами вузов.
Заказы следует направлять Управлению книжной
торговли Госкомитета СМ БССР по печати.
Адрес: Минск, Омский пер., 13.