Вероятностные методы бесконечномерного анализа. Сборник научных трудов - Скороход А.В.

Author: Скороход А.В.
Tags: теория вероятностей и математическая статистика математика математический анализ математическая физика академия наук ссср
Year: 1980
Similar
Вероятностные методы в физических исследованиях
Вероятностный метод
Статистические методы анализа и планирования экспериментов
Вероятностные методы в комбинаторном анализе
Text
                    академия наук
УКРАИНСКОЙ ССР

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ БЕСКОНЕЧНОМЕРНОГО
АНАЛИЗА
Сборник научных трудов
Киев
• Институт математики АН УССР
1980
УДК 519.21
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ БЕСКОНЕЧНОМЕР-
НОГО АНАЛИЗА: Сб.науч.тр. /Отв.ред.А.В.Скороход.-
Ки Ин-т математики АН УССР, 1980, -169 о.
Сборник посвяШен исследованию проблем, связан-
ных с теорией вероятностных мер в бесконечномерных
пространствах. Рассматриваются задачи теории стохас-
. тических дифференциальных уравнений, гауссовых мер в
абстрактных пространствах, случайные операторы, пре-
дельные -теоремы и тл.
Сборник предназначен для научных работников, ра-
ботающих в области теории вероятностей или применяю-
щих ее методы.
Ответственный редактор А.В.СКОРОХОД,
член-кор^АН УССР
*с) Институт математики АН УССР, 1980
УДК 519.21
С. А.А л и ев
О ПЕРЕХОДНЫХ ЯВЛЕНИЯХ ВЕТВЯЩИХСЯ
ПРОЦЕССОВ
Переходными называются явления, возникающие при
/ oq в асимптотике числа частиц в ветвящемся про-
цессе в момент времени t , когда вместе с t может
изменяться распределение процесса.
Пусть 5	, t*Q	есть последователь-
ность ветвящихся процессов с непрерывным временем.
Каждому процессу соответствует производящая функция
числа потомков одной частицы F(n> (t\	|
» /] .	, которая удовлетворяет дифференциаль-
ным уравнениям (см., например, [1 , с.2б] )
в /•	t F<n>(o;	)
ft
dt	ds
rt(O)
где г • (S) - производящая функция переходных плотно-
стей.
Традиционная постановка задачи на переходные яв-
3
пения состоит в выяснении условий иа т <8) ,при
которых
г %<п>а>
Щт рЧ-----------
4*~ Lмкмсн>о]
Обозначим
г X \Ztn\t)>0 ’'^XiO
atn\ I //п>а) « p\ъ<юа) >о
cts 1$-/ y L
Тогда из последнего соотношения следует, что
Нт —L—p\t)u’><t>£,'”(t>*xeia З’-/*, хео .
В частном случае, когда t 99	таким
образом, что tCL(n>^ с это эквивалентно следующе-
му:
—1-—p\o<n\t)£(n>(t)eak---------* еяр\~яее\,а^0.
otn>ct) 17	J	1 J
В отличие от традиционной постановки будем рассматри-
вать только этот частный случай, но вопрос ставим
несколько иначе. Именно, при каких условиях на Ptf>i(s>
существует последовательность положительных чисел
таких, что 8(n)(t) + <*> и
— > д?}------ п (л) ,
$(Юа) J	(з)
при t —	,/?**••• ,	с в каждой точке
« > О непрерывности функции /7 «
Здесь П(Х) не обязана быть ограниченной при я ~^0
и соотношение
Д-------------------------- П(0>
может не иметь места даже тогда, когда П(0)<
'Чтобы исключить нерегулярность в окрестности точки
ае^О > положим условие
в®	—»- lfl(ac)djc
J J	(4)
при t-*-00,	ta<n)~^c.
В дальнейшем ограничиваемся разбором соотношения
(3) при этом дополнительном условии. Если условие
(4) выполняется, тогда можно утверждать, что выраже-
ние (3) имеет место тогда и только тогда, когда для/><£
6in\t> l> (n>(ti	—»- К(р> * ар
U	f*--
где
a*e-j у	afl(^) •
Так как Л-^^/^^при F~*“f , то выражение (5) экви-
валентно следующему
I	J	П-*-**,
ta
(6)
где	и jj^J равно целой части 6 <
Обозначим
«.«>• йт А—IQ	Огт‘Т .	(7)
г «"”«>
Предположим, что
О £ (Г-СС) < 00 .
(8)
Тогда формула (6) дает существование? предела
(г» . r/6(rtte \ ^x6tn>(t^ «WiP>
(ft-е Я - е
'Ал?
(9)
ia(n±c
При этом необходимо^ чтобы
/Г(г;р) = атр + J nr6afp •
О
00
> К(^;рУК(р) .
п °	, '	„г
Левая часть в соотношении (9) равна /И [в	|£ (и)
= (zr£M,tt)]] . Это означает, что переходные вероят-
ности последовательности однородных марковских процес-
сов
о» ^’(rt>
д &) =--------- д (0)Ъ -----------------—
£(Л)(О	(Ю)
слабо сходятся при /-*<*»	, /?-»-«>•	,
к переходным вероятностям ветвящегося процесса f/Cti
с непрерывным фазовым пространством (процесса Иржи-
ны). Так называется однородный марковский процесс
(j (t)	, ttO , для которого (см. [2,3] )
М[₽|pj(oi•	-eaf(cr:,p), At[/ucr)
6
Таким образом, при условии (4) со ^всякими пере-
ходными явлениями (3) связывается предельная теорема
о сходимости к процессу Иржины. Верно и обратное.
Если для всякого т>в распределение
слабо сходится при /-*•«*	, л-*•’»’	, (а(л>-*~с
к распределению процесса Иржины	, т.е.
L * б1пЧа /-***
л-*- •»»
и м\р(Г) /] »	, то выполняется усло-
вие (4) и имеет место соотношение (3), в котором пре-
дельная функция /7 определяется из формулы
со
KC<ip) •ар + f <9^-0 П(tty) .
0
Для формулировки основных результатов нам пона-
добится данное в работе [2] oi/йсание стохастически
непрерывных процессов Иржины.
Всякому стохастически непрерывному процессу Иржи-
ны с конечным средним соответствует кумулянта
СО
hi.p)-cp + 6ра+ | cepV- 1-ру)Л aty) ,
где p4Q , 6 *0	, а мера Д такова; что
J* Л (rfy) < Каждое из уравнений
d?£££i£?«A(K(r;Z>» , ЯМ,/>)-/>>	(12)
От
вг	tp	(13)
однозначно определяет функции K(f,p) , которые в
свою очередь по формуле (11) определяют переходные
вероятности процесса
Теорема 1. Пусть /-*-*»• , л,-*-*»
Тогда если
Мп>. 4t">a>
IS <t>f ie	>------ л<р>
И
— hip)--------------------»-c	,
P p-*-0
то частные распределения процессов (10)
к частным распред ачениям процесса	с кумулян-
тов h(p).
Доказательство, Обозначим
Fm(rt-, ег1*т<а >.
(14)
(15)
слабо сходятся
Учитывая уравнение (1), получаем
—7Г~’ ‘ ----------------*-----------
,« .т Kf <r’w&<"k> ~llt'>lriP>/sa<t> kmllr‘m,
*t6 а)Г (е )е	«А (к
9	9
Так как С-О^рУ - р , отсюда следует
К™(г,р) «/><.[ h{"4K^(s;p^ftS.
8
С другой стороны,по формуле (12)
КСГ;р> * р +j* h(K(8'tp))ds .
Если обозначим	-=\К(^(Т,р') - К(Т^ р)\
тогда из двух.последних соотношений получаем
Л^\г-,р) * \\h("\K(stp))-h(KCsip))\(t$ +
*	J0
* <16)
+ \\Л(/”(К1П)<3}р» -h(.n\KCsip))\ds .
It*	ъ
О '
Если выполнено условие (14), то оно выполняется рав-
номерно по р в каждом конечном интервале. Поэтому
первый интеграл не превосходит (rt *	, где О* -*-0
при	,/?-*-0,5 , Так как 04Т4Т , для прос-
тоты можно о* Т оценить через	и . Рас-
смотрим второй интеграл:
Bhj\p>
8р
dh^(p>
др
\1%\к™<8;р» - h^KteipnX i ^\stp)
(17)
Из условия 1а11Г>—*~С следует sup
\р\*В
для всякого &*0.
Поэтому правая часть в выражении (17) не пре^
восходит	для всех р из интервала
[0,0J . Следовательно,
Г
; Р)	+ с (	(8 ;р)ds .
*	Г .1 •
О
По лемме Гронуолла-Беллмана
^п\т,р> 4^^--------^0
t	i

9
или, что то же самое,
(П)
К (€,рУ-------*-•
Г '	(-•-<*>
Следовательно ,

fr	. *К<ЧР>
л /* I * • р *	/|	•
[	J	4;-*вв
п
Отсюда и из тождества
F M(tt,..., tr,9tt... ,sry F	; 9f F	tf.tr~tf; Sa ...., S„ »,
где
..............
no индукции легко следует требуемая сходимость част-
ных распределений. Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть /-»••• , л-*-®* , Ли'Л’-*'с.
Тогда если распределение величины р*л>сг> слабо
сходится для всякого	к распределению величины
fj(*> и	«/]* 6 е* , то процесс
juft) (в случае его стохастической непрерывности)
является процессом Иржины с кумулянтой ' h(pi и вы-
полняются условия (14),(15).
Доказательство. В работе [з] показано, что если
—-К(т,р) и РйП К(Г,ру~р f
*	тр
10
то (Utt) является процессом Иржины* Далее, учиты—
вая уравнение (2), имеем
St гк"’<г;г> т г/6«»а	Р
Таким образом, получаем дифференциальное уравне-
ние
/»_ ,(Л)	, К[т(в\Р>~Р.
Tt i Р ffp
Отсюда	f (яу
Iri)	,tri) { дК л (Jip) .
К. (T-p^p + h\ (р>\-----£—— ds,
‘	<„>	t * Sp	f ,18>
J /р Пр ‘	} SP
KtfiPj следует
пронзводих
' 1 — следует равномерная ио t
ограниченность TfS K^tfipi	, то
Так как из сходимости К*
сходимость
при р<0 , а из iO^'^C
и се [ff, Г] ограниченное
первый интеграл в правой частй последнего соотноше-
ния стремится к нулю при	, /»-*••• .С дру-
гой стороны, из уравнения (13) имеем
««;/>> =/> +ЛГ/>) [Т— *!*'- <>S .
J, Sp
Переходя к пределу в выражении (18) при
л* ®в , получаем	 h(p>
(15) следует из МD/fO	.
Теорема доказана.
t-*O« ,
. Условие
11
Доказанные две теоремы позволяют получить необ-
ходимые в достаточные условия 'показательности" фун-
кции Л в формулах (3), (4).
Тео рема 3. Если имеет место условие (8), то
соотношения (3),(4) выполняются с П(&)*еяр{-а/Л(С)} ,
где 0<Л(с)4Ос , тогда и только тогда, когда
с	' i-e"**
Л(с)»е .	<£,сс)~------ ,	т>0.
<-?
/-*•«»	1-8'С
Доказательство. Соотношения (3),(4) с
эквивалентны пределу (9) с
г сс я	рЛ(СС)
К(Т',р)*\е -Л(сТ)\р +------------------- .
L	J i-p6Tcc>4(ti;)	(19)
Ho №•,/»•? H -£-K(t;p) = h(K(t-,p».	(20)
8t
Следовательно, существует конечный предел
ЗЧсУ » А7и £-0 (О
t^a г *
Отсюда и из формулы
и_ h(p) - Ср +J?(0)6,(C)p3,
(20) получаем
Х(г;/>?=
/_ рЛе(0)&'<с)£-т—
Сравнивая это с выражением (19), видим, что >1(0 »£ ,
- (21)
12
Далее , из формулы (7) очевидным образом следует,
что	, Вместе с равенством
(21)	это дает
-сТ
С	1-6
в'(СУ*------,	,
1-S-C т 1-в-с
ь1р->.ср+-±—р1'
что и требовалось доказать.
Пристатейный список использованной
литературы
1.	Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы.-М.: Наука,
1971.- 436 с.
2.	Рыжов Ю.М., Скороход А.В. Однородные ветвящиеся
процессы с конечным числом типов и непрерывно ме-
няющейся массой.- Теор^вероятностей и ее примене-
ния, 1970,}£, № 4, с.704-707.
3.	Kawasu. К»» Watanabe 3. Branching ргосевяен
with imaigration and related..liait theorems.-
Teop.вероятностей и ее применения, 197 ljjg,№ 1,
с.34-51.
УДК 519.21
Р.В.Бойко
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ОДНОЮ ВЕТВЯ-
ЩЕГОСЯ ПРОЦЕССА С ПЕРЕМЕННЫМ РЕЖИМОМ
В настоящей работе будет изучаться процесс «О
13
описывающий эволюцию количества частиц в популяции,
развивающейся следующим образом» Если в некоторый
момент времени t в популяции существует к частиц,
то каждая из существующих частиц независимо от ^воей
предистории и от других частиц за малый промежуток вре-
мени	превращается в т частиц
с вероятностью
+о(д!) *t +осдt>
и остается неизменной с вероятностью
1	к 1
причем
п^т-° 
/п 9	9	1	^^0 М
Введем следующие обозначения:
оо	О У
F- (з, % >« [e~stFi	.
Процесс, 5^0 можно получить из процесса
изучавшегося в работе автора [1] , если считать в
последнем >V=/ и tf(X)^O . Поэтому из результатов
работы [1] следует, что производящая функция
переходных вероятностей процесса удовлетворяет
уравнению
F.(t,x) -U) (1)
gt " X	* ta
с начальным условием F^CQtx) » X1 . Решение
14
уравнения (1) записывается в виде
I	X
W\
Далее, согласно работе [1}4
Л.	//*<*>
W”-----~
где и($)
(?'(<)* 00
- функция, обратная функции
(3)
> при
Й7п = р
(4)
корень уравне-
где р - наименьший неотрицательный
ния <р(Х)^0 ; р*1	, если ср'(.1)*О
при <р'(О^0, Поэтому
Нт	Пт sP (в) = Нт и*(з) » рх .
^«х» ю	9-*-о ю а^о	г
Следовательно, для процесса %(0) имеет место следую-
щее утверждение.
Теорема 1. Если $*'</> <•• , то вероятность
вырождения процесса 5^, Ъ,(.0)~3 , равна наименьшему
неотрицательному корню р уравнения ф(&)*0
когда 40	, 0лр*4	, когда	.
Рассмотрим теперь поведение процесса	при
условии его невырождения к моменту времни t при
существуют пределы tim
и их производящая фупкНИЯ Ф(Х)Я
вид
—— /
Теорема 2, Если у'(.О*0 , timi
то при любом я»/
• 2л«/ Л> ИМ9вт

15
где С>1 такое,что <f'(.C)C - CftCi^O ,	* 0.
Доказательство. Учитывая формулу (2), для произ-
водящей функции условных вероятностей
Pin(t)
pfat) •п ------------------- п » /,
1	1-Р<&
w
имеем следующее представление:
* lw
'-Vе

Фи,ач^
После несложных выкладок из соотношения (5) находим
(6)

Тдвдм образом, для доказательства теоремы дос-
таточно показать, что ври
16
Г	njr^
йт — \9xp\-u—z—{—”-----Л/«----------»(8)
1 V	*	“2— c
поэтому необходимо установить существование предела
л» '-У'*”
и найти его значение. Теоремы 1.6 и 1.7 работы £2]
дают возможность утверждать, что в условиях доказы—
ваемой теоремы
tun---2-----» ехрхи
<**	I
(©)
где сИ такое, что	® <? ,
Для обоснования возможности предельного перехода
под знаком интеграла достаточно показать», что равномер-
но по t
гаи?	Г
tim Zl^.\exp\-u---\—2—-ef^-л
*** «J	I	* J	(10)
Утверждение (10) следует из неравенства
Г f t-Pffftt+V) ?(X) Г f
-—\exp<~u-----f
« J 4	*
г
—“-----V
х • '-Vе х i
так как функция	монотонно убывает при возрас-
тании t . Следовательно»
о®
*. ХЛ/,
Лт	----1 ехр<~и
к J
О 1
(р(СУ
~Ct
Заметим, что #(/>•/ , так как	. Теорема
доказана.

Теорема 3. В условиях теоремы 2 предельное
распределение имеет конечное математическое ожидание
в
«{e<fl|ew>4”^ • <1х»
Покажем, что имеет место соотношение (11).
После несложных преобразований формулу (5) можно не-
>-е„а>	(12>
99
Тогда
дфЦ,Х>
ди

законность двфференкнроваммя под маком интеграла и
рехода к пределу под замом интеграла очевидна.
Далее, так как	при
Oj (1-Р*(г»ОГ • Ат* <*	— « 0,
9
л	<-иш и(з>
потому что пт	И --Г~	+ 0(0
при J (последнее легко следует из соотношения
«</(*> «	)	. то по правилу Лепиталя
,im . й/я .
Из теоремы 2 следует, что
Л/«
fim ---------2— =	-------
поэтому
18
в '*""*"""*”"“*"**’
*** Z'V^ *lc)
что и доказывает утверждение (11).
Теперь исследуем поведение процесса	при
условии его невырождеяня к моменту t , если (-*•*• , -
в том случае, коглл
Во-первых, найдем асимптотику при /-•-•* вероят-
ности вырождения процесса .
Теорема 4. Если	, то
при
/>«>•/-
№
Г___2___
H<p"(Ot
Доказательство. Преобразование Лапласа вероятнос-
ти невырождения процесса к моменту времени t
имеет вид
7-si	4-U(S>
*4	•
где и(3) - решение уравнения 9U(f) ®	•
Используя это уравнение для функции /- U(g) ври «-*•#,
получаем следующее соотношение:
u(srf(i+ 0(0)-$(f- tf(a»-a = 91
s
поэтому
y+
/— IT ft) «	'	    •
Следовательно, при 4-*-^
±£«>s£3Z+o/-U ,	(14)
$ I <f*(i)s КЛГ/
откуда no тауберовой теореме £3, В 5, гл. ХШ] в силу
монотонности функции	при <-►«»
7jF* г 1 \»
/-р	)
*	!*?”(/)( \/if
19
Рассмотрим поведение при	нормированного
процесса 4,(0»	ПРИ Условии невырождення
процесса %<t) к моменту времени t.
Теорема 5. Если y'W"0,
IA
fue^du
6/п SM-fim Р
* - ~п * .Я В ГМ1
4Ю ,	1
, то при
, Xtf,
Распределение $(х) называют распределением Релей.
Доказательство. Из формулы (в) получаем, что
преобразование Лапласа условного распределения
имеет вид
где jf » /вн/о/ Г * ^ля доказат0Льства теоремы
достаточно показать, что

Пт

(16)
я
-5

В силу того, что при f-** —
3
HMOQNt
Т/
20

Поэтому
Pim	*e 2 .
(*<* I « J
Учитывая соотношение (13}, получаем, что
Кт
i-- *~Pio(t> г
(18)
(19)
s* lW(f> J<\
—-------= — и—X  +О{—I	с
*(/-/£/«) 8 ' п 1/Г/ ’
(20)
Далее, нри t -*-««
t
fpdb
vm	Г it
Г—H/-P	(/-/?.(Т))дГГ .
*	’ i " ио
Используя теорему ОдСуэуяем, получаем:
t
=.[ eii	в81
к \	•!»
где /**<**</	. Очевидно, что при
(22)

(23)
*oft)
19	! к^(О
(24)
и
2
О
S
Так как _t»fl jn8
('	_^= Г е"** Jfz
J,	А
то при	> проведя замену переменной интегриро-
вания, получаем
/	ГТ С ~	'/
f e9t
Jf, fF 3 J *	(25)
Г	0
Учитывая формулы (21-25), находили ,что при /-*"*
Ц-Р	(С *tta
* " SffpW)	к /(26)
t
Jar/h -т
о
поэтому, если учесть оценку (20), будем иметь
л <?(Х) Г [ <К*>\	С -~
Нт --------- елр\-т-—ui-PjT))cft*s\е ' 4
<?(%>
2 .
Xd-PCt^
10
\е du.
* Г	Jff (27)
Таким образом, из формул^ 18), (19), ^(27) получаем
Нт	* <-з$е 7 (<- Д fo^du) ..
'о
что и требовалось доказать.
В'том: случае, когда	f для нормирован-
ного- процесса докажем следующую предельную тео-
рему.	t
Теорема 6. Если	0	,	f то
при t о° распределение процесса сходится к
предельному распределению, имеющему точки роста лишь
в нуле и в точке скачки распределения соответст-
венно равны J> и 1~р , где Jt - вероятность вырож-
дения процесса»
Для доказательства теоремы достаточно показать, что
£j/n Me =J> + e У'?)'	<28>
поэтому
Sim escp\i
(31) '
По теореме 1	• Далее» используя
теорем^^средяем, пол^чаем^^	t <f($j
f ^^p’cDctr^ f*~^pyr)(fr+\e ~%~Р'&4г-
'О

О
J r<r&>
£ t
e *
10
(32)
* P1s(.ft) +
"i
где 0&t*& ft~ . Учитывая формулу (30), находим,что.
-r'^i
Sim е Р,Л^9Р-	(33)
Так
как пр1М^»льших f
-,	ф'«>
PtotT)d€<se
(ЯУ)
то» принимая во внимание формулу (33),получаем
23
t -f <?g>
я™ Г* *	>
e-»-*» v0
ЧТО вместе с формулами (29), (31) доказывает соотно-
шение (28).
Пристатейный список .использованной
литературы
1.	Бойко Р.В.Ветвяшнеся процессы с иммиграцией с пе-
ременным режимом и некоторые системы массового
обслуживания.- В кн.: Случайные процессы в задачах
математической физики.-К.: 'Ин-т математики АН
УССР, 1979, с.36-56.
2.	Ежов И.И., Королкж В.С. Предельные теоремы для од-
ного класса условных марковских процессов: Препринт
N? 3.- К.: Ии-т математики АН УССР, 1978.-48 с.
3.	Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее при-
ложения: В 2-х т. - М.:Мир,1967.- Т.1, 752 с..
4.	Градштейн И.С.Рыжик И.М„Таблицы интегралов,сумм,
рядов и произведений.- М.: Наука, 1971.-1108 с.
УДК 519.21
В.В.Булдыгин
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ И ОДНА ЗАДАЧА СТАТИСТИКИ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Толчком к написанию настоящей заметки послужила
задача оценивания корреляционной функции стационарного
гауссовского процесса по наблюдениям за его траектория-
ми. При изучении асимптотических свойств естественных
оценок корреляционной функции мы неизбежно приходим к
необходимости применения предельных теорем в функнио-
наивных пространствах. Уровень развития последних поз-’
воляет достаточно просто получать содержательные ре-
зультаты по крайней мере в рассматриваемой ниже ста-
тистической задаче.	*
Пусть	} - вещественный стационарный
гауссовский процесс выборочно непрерывный с вероят-
ностью единица. Считаем, что процесс 4 имеет нулевое
среднее	О); R(b> ~ МЪЮЫ	- корре-
ляционная функция процесса £ , а /7*2),	- ©го
спектральная плотность. Одной из задач статистики слу-
чайных процессов является задача оценки неизвестной
корреляционной функции на некотором интервале
по наблюдениям за реализациями процесса на интервале
[^Г*//]	. Если наблюдению доступна всего одна реа-
лизация процесса £ на интервале [0,7**//] , то в качест-
ве опенки часто, выбирают функцию
=— I

(1)
стве
(гауссовской мере)	/<?[0,//]
ним и корреляционной функцией (i
В сообщении О.П.Баниной и, Е.Н.Островского [1] и
статье Л.В.Иванова [21 рассматривались асимптотические
свойства оценки (1). В частности, в работе [2] были по-
лучены условия, при которых опойка (1) является асимпто-
тически нормальной при Т*-**0* в пространстве 0[0,//]
- вещественных непрерывных на	функций с нормой
равномерной сходимости. Оказывается, если выполнены ус-
ловия:
А1) процесс £ удовлетворяет условию сильного
перемешивания и коэффициент перемешивания имеет поря-4
ДОК	, где €>о •, .
А2) для некоторого £”>0 f * РЫУсМ < °* ;
то распределение процесса {С (№/т(хг(А)-еи»
h^rn uil слабо сходится при Г-»-«> в простран-
к распределению гауссовского процесса
']} с нулевым сред-
„__________________________ * л, ,	~ J	".
адя любОГо ограниченного не-
прерывного в норме равномерной сходимости функционала
25
М<р(С,С‘)У-----.
Т	у* —>.оо
Не обсуждая возможности ослабления условий А1,
А2, заметим, что они могут оказаться излишне ограничи-
тельными и трудными для проверки в некоторых реальных
ситуациях. Например, если R(h) = 6~с'”'	, то условие
А2 не выполняется. Выяснение же условий, при которых
процесс имеет заданный коэффициент перемешивания, вооб*»
ще является очень сложной задачей. Кроме того, для хо-
рошего приближения оценки (1) к £СЛ)на интервале [&,М]
интервал усреднения [0,7*] должен быть достаточно боль-
шим, осуществление
но. Эти затруднения
доступно достаточно
цесса С .	_
Итак пусть	f - неза-
висимые реализации процесса , тогда в качестве оцен-
ки функции [R(h)9	выберем функцию
— 2 — f (t + h)dt .
* А»/ ГЛ *	*
О
Для исследования свойств оценки (2) введем случайный
процесс	г
П И к*1 Т } *	*
где	им} * к * /7 ,	- незави-
симые копии процесса	. Легко ви-
деть, что процесс	выборочно непрерывен с вероят-
ностью единица. Кроме того,
MKnW^R(h) , Ле [о,Н] j
т.е. оценка (2) является несмещенной оценкой корреля-
ционной функции. Асимптотические свойства оценки (2)
формулируются в следующей теореме.
Теорема 1.
*• р{‘Л IVft,-ww|7X?}’z-
чего иногда принципиально невозмож-
можно преодолеть, если наб. юдению
много независимых реализаций про-
(2)
П. Если процесс 4 таков, что для некоторого е.^-0
Р<
i+s
i,s
Т.
\en\i-^'ir‘ J
<(3)
то распределение случайного процесса ^45НСft)	t
слабо сходится при Пв пространст-
ве	к распределению гауссовского процесса
Л ер,Я]} С нтлевык^ средним и корреляционной
функцией /Х'МР’Т’
^r^(i+hs)^t)~e(h^dl,
Замечание 1 • В статистических терминах утверж-
дение 1 означает сильную состоятельность оценки (2) в
С [р9 #]	, а утверждение П означает асимптотическую
нормальность оценки (2) в	•
Замечание 2. Условие (3) имеет место, если
для какого-нибудь tf>0
? jl
ГЛ?2+tr(^d)P(JL)dd < ~ .	(4)
^0
Замечание 3. Условие (3) может оказаться в
реальных ситуациях предпочтительней , чем условие (4),
поскольку оно связано с наблюдаемыми свойствами про-
цесса, Так, например, если процесс $ выборочно диф-
ференцируем или его реализации удовлетворяют условию
Липшица с показателем	, то условие (3) выполне-
но.
Замечание 4. В утверждении П, по сравнению с
утверждением об асимптотической нормальности оценки
(1), требование сильного перемешивания процесса £ от-
сутствует, а условие (3) значительно слабее условия
А2 (см.замечание 2)а
Для доказательства теоремы 1 нам понадобятся ана-
логи классических предельных теорем в пространстве
27
Лемма 1* Пусть , te , X*/ J -
последовательность независимых вещественных выборочно
непрерывных с вероятностью единица случайных процес-
сов, являющихся копиями процесса 9 £б(27,Л]) .
Если М	< <»	, то
• sup

о
п
где met) » Mtxt) , ttfff.A] .
Лемма 1 является переформулировкой на случай про
ранства	известного варианта усиленного закона
больших чисел для случайных элементов в сепарабельном
банаховом пространстве ПЭ^. Заметим, что т(*) G С[р9Л]
Ле мм а 2. Пусть процессы	такие же,
как в лемме 1, и MC,et)-Q, MC,2(t)*°° , te\p,A\ .
Если найдется функция	, являющаяся модулем не-
прерывности на некотором интервале	и такая,
что с вероятностью единица
ItfW-Cwl <Vq(\t-3\) , \t-s\£u0 ,	(5)
(6)
где MV8<^	, и
Л 000
I ..... -du	< <*> ,
и Мп и)
/—
то распределения процессов	W)
л] У слабо сходятся при л—*-«»	в пространст-
ве С[0,Л) к гауссовскому процессу с нулевым сред-
ним и корреляционной функцией р	,
[MJ 
Лемма 2 является частным случаем центральной пре-
дельной теоремы для пространств непрерывных функций
на компактах , полученной Н.Джейном и МЛЧаркусом [4]t
Замечание 5. В качестве функции fttf) могут
выступать, например, функции	,
i/л «j *|л? ।fnuiыиг/я \еп
и tui
28
тверждения 1 теоремы 1. Так как
	, то покажем, что
лча <
Л4
Заметим, что в силу гауссовостн и выборочной непрерыв-
ности процесса $ [51
,7)
для любого of># , поэтому
A*M( аир
{е[О,Г+Н\
Лемма 1 завершает доказательство. Таким образом, силь-
ная состоятельность оценки (2) в пространстве	>.
установлена.
Асимптотическая нормальность оценки (2) (т.е. ут-
верждение П теоремы 1 J вытекает из следующей более
обшей теоремы.	.
Теорема 2.Пусть {(fyCt), Hforptyt Ле/ }
п > / }	такие же,как и
в теореме 1. Если найдется функция	» являю— ,
щаяся модулем непрерывности на некотором интервале - “,
[	и такая, что с вероятностью единица.
|де>-до|
»« Slip --------------Z*o	/ft\
< i*S QCtt-St)
к выполнено условие (в) леммы 2. то распределения
процессов	(Xn(h)~RW) ,	слабо
сходятся при /»-*••• в пространстве	К
гауссовскому процессу с нулевику средним и корреляшгон"-
нсй функцией
-tKhJDdt).
Доказательство. Так ка^
п	/п *’/г \ *	*
то воспользуемся утверждением леммы 2, положив
CCW-XT. Л«	*’
Очевидно* что М;(Л>-0 , #$*(*)* —	, В силу
гауссовости и выборочной непрерывности процесса ft и
непрерывности функции f иэ условия (в) следует (см.

(9 )
Далее, в силу Успорвя” (в) при
Используя соотношения (7), (О), получаем
+ м?
<г [*(. й *?*/*• *|<«>|
30
Лемма 2 завершает доказательство слабо* сходимос-
ти. вад корреляционной функции предельного распределении
находится непосредственно на вида корреляционных функций
допредельных процессов. Теорема 2__доказана.
За меч ан не-'в. .Утверждение. XI теоремы. 1 вытекает
из теоремы 2, если положить
(см.эамечание 5).
Хотя условие (8) .в теореме 2 или условие (3) в тео-
реме 1 выражены и терминах наблюдаемых характеристик
процесса 4 . все же представляют интерес ограничения
на корреляционную функцию или спектральную плотность
процесса 4 .при которых »™ условия выполняются. Остано-
вимся для конкретности на условии (3) .Известно (см„на-
пример. £б, 7j), что условие (3) выполняется, если для дос-
таточно малых й равномерно по |/-й|
«О(|&> |t-S|F<***’ > .	10
13 свою очередь . используя технику, описанную в работ»
(8) , легко показать, что условие (10) выполняется, если
(для некоторого
Это к составляет утверждение замечания 2.
Асимптотическая нормальность оценки (2) в прост-
ранстве С\0, й) служит основой для построения довери-
тельных фунциональньис интервалов, Действнтельво.посколь- .
ку гауссовская мера любой сферы в пространстве
равняется нулю, то излСимптотической, нормальности оцен-
ки (2) следует, что для любого ус>‘0
pL’^(XnW'SMl *
Следовательно, при достаточно больших П
величины	? ,зс]’	существуют
ачественно хорошие оценки, типа опенки Ферника [б] , .
Так, например, недавно В.А.Дмитровский получил опенку
* вХ?
где рбО - центрированный гауссовский процесс,
| pCf)r]%r, а Л - некоторая константа, для под-
счета которой требуется знание энтропийных характерис-
тик процесса. Последние же, вычисляются через функцию
У*,*) ={♦/ I s р7/*	, t,s е &,л] . Сле-
дуя выкладкам, приведенным в работе [2], можно показап
что	Г
SJ J |
+cos(.l-p)h1 + cos(J,-p)ha -• 2cos ft(ht-ha)- cos (dhf-pfy-
-cos (ph.,	dp.
(13)
Выражение (13) имеет довольно сложный вид, кроме то-
го, в него входит спектральная плотность процесса § ,
которая нам неизвестна, поэтому прямое использование
неравенства (12) для получения численных оценок мало
эффективно. Однако можно получить удовлетворительные
оценки опираясь на технику теорем сравнения. Так, ис-
пользуя известные неравенства Слепяна и Андерсена, мож-
но получить следующее утверждение, которое приведем,
' ..'без доказательства.
Лемма 3. Пусть {У#\ U&д1/,
вещественные сепарабельные гауссовские про-
~ цессы с нулевым средним. Если
У"то для всех ос>0
Pf WjWWl*#*}	(14)
" ’ ’ •<	‘	• < 32
где	, a 7-
Н(0&- распределенная случайная величина, независимая
с процессом 3 <
Следствие 1. Для процесса ifi(h)f	с
корреляционной функцией	справедливо нера-
где f - произвольное число из [V].
Доказательство. В результате простых оценок пра-
вой части выражения (13) получаем, что для всех
в»	«•
Так как Г	t а
4J	- м l#»f)	| * ,
то'для всех h1,hsie\p,H\
М|3 £ 2G*M	- %Ui*>\ *.
Воспользуемся теперь леммой 3, положив Уб) “ £6?
/61-^40 .Так как процесс £ стационарный,
то * МIе Следовательно, для произ-
вольных Л > О f is	/]
р/ sup	sup (/2f£(toi-ngCb»*-a\i
l/»« М J 1лгМ	* J
&2Р{ sup ^20% <hY>	> (У-	*
33
421
<-r
Следствие 1 доказано.
Замечание 7. Неравенство (15), особенно при
(больших интервалах усреднения [#,Г] , может быть зна-
чительно уточненно. •
Замечание 8. Правая часть неравенства (15) за*
висит лишь от числовых характеристик наблюдаемого
процесса , которые при надобности могут быть оце-
1 йены статистически.
Если относительно процесса ё, имеется априорная
информация, то изложенные выше факты позволяют полу-
чать полезные в практическом отношении утверждения.
Теорема 3. Если наблюдаемый процесс 4 диф-
ференцируем в среднем квадратическом и	f
1 то для любых , re[O,f]

(16)
О(п,е>
Доказательство. Из дифференцируемости процесса 4
в среднем квадратическом следует, что
оо
( J*z 7
поэтому, в силу теоремы 1 (см.эамечание 2), опенка
(2) асимптотически нормальна и для любого .2 * Q
34
p{ sup |W|	1	(17)
1Ле[0,ЛЗ	Г
Воспользуемся неравенством (15). Так как для любого
а>0
sup £(М >а У*Р$£(о) ъа. У * pf^(O)z а,
1ЛеМ	j L
sup £(.h)>a p Ф(о.) + p{ыл & н] * 1
htM
где #л [Р>	- число пересечений процессом $ урив- ;
ня а>0 за время [0,^] , то в силу неравенства Чебы- •
шева и известной формулы Райса^см. f8] )<	;
Г	] ' н -а7е >	\
pj sup &(h>>a Н Ф(а> + е >
' я *	•. .	.
Полагая аж—— и подставляя полученную оценку в •
выражение (15),получаем неравенство	. 
p<f sup >e/n\s G(n,e) T
применение которого к соотношению (17) приводит к не-
равенству (16). Теорема 2 доказана»
Замен анйе: 9. Произвольностью параметра f мож-
но воспользоваться, выбирая оптимальные опенки при на-
личии конкретных числовых величин е 9 Н* б* .
Пристатейный список использованной
литературы
Банина О Л.. Островский ЕЛ. Инвариантные стагнсти-
35
ки и доверительные интервалы для корреляционной
функции гауссовского процесса в разных метриках.
В кн.: Материалы Всесоюзл.симпозиума по статис-
тике случайных процессов (Киев, июнь 1973):Тез.
докл.,Киев: Иа-во *'Виша школа .,1974,с.148-149.
2.	Иванов А.В. Одна предельная теорема для оценки
корреляционной функции.-Теория вероятностей и мате-
матическая статистика, 1978, вып.19,с.76-81.
3.	Гренандер У. Вероятности на алгебраических струк-
турах.-М.: Мир, 1965.-275 с.
4.	Jain N.C., Marcus М.В. Central limit theorem
for C S - valued random variables.- Joum.
Funct.Analysis, 1975» 19. No.}, p. 2I6-2JI.
5.	Fernique X. Regularite des trajeotoires des
functions aleatoires gaussiennes.— Lecture
Notes in Mathematics, 1975» 4 ВО» Р» 1-60.
6.	Dudley R.M. Sample functions of the Gaussian
process.- The Annals of Probability, 1973»
I. No.I, p. 3-62.
♦
7.	Акбаров M., Булдыгин B.B.O локальных свойствах
случайных функций на компактах в метрических
пространствах.- М»: 1974-22 с. Рукопись деп. в
ВИНИТИ 26.08.74 г. № 2818-74 Деп.
8.	Крамер Г.,Лидбеттер М. Стационарные случайные
процессы.- М,: Мир, 1969. - 398 с.
36
УДК 519.21
С.П. Буцан
О РАЗЛОЖЕНИИ ЛЕВИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ
МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ
ПОЛУГРУПП
В работе [1] (формулы (14) и (21); см.также
[2], формула 3.27) были получены два вида разложения
Леви для мультипликативных стохастических покугрупп-
однородных и неоднородных соответственное Первое нам
представляется более естественным, потому что является
чисто смешанным произведением взаимно независимых
скачкообразных и непрерывной компонент, тогда как вто-
рое содержит и обычные нормирующие сомножители. Кре-
ме того, первое разложение может быть получено конст-
руктивно, без перехода к инфинитезимальным аддитивным
стохастическим полугруппам (см. fl] , с.15-16 и [2],
с.115-118), в то время как второе в работе [1] (см.
с.19-20) получено с помощью именно такого? перехода. \
Все дело в том, что для неоднородного случая в работе
[1] не было указано подходящей для этой цели норми-
ровки (такой, например, как в однородном случае), что-
бы^ мультипликативная стохастическая полугруппа
без скачков, превышающих е>0 , стала
мартингалом по i, з и С . Однако после выхода ра-
боты [3] мы в состоянии указать такую нормировку и в
результате получить разложение Леви неоднородной ь^уль—
тйплийативной.’стохастической полугруппы, полностью ана-
логичное соответствующему разложению однородного слу-
чая и даже при более слабом условии непрерывности (см.
ниже условие М2).
В дальнейшем мы систематически используем обоз-
начения, принятые в работах [3] и (4] .	< 2
Переходя к непосредственному изложению материала,
прежде всего, напомним определение т - полугруппы,
принятое в работе [1] (см.с.6).
37
Случайная функция	» Д^ со значениями в
ХСН) называется левой т - полугруппой, если она
удовлетворяет следующим условиям:
М1)ХГл'«Л; , &.-Е.(то4р) ff£S*T ii * <*•;
M2) I	£	ири ;
МЗ)<5^(Х>	и <?£ (X) независимы при
И	.
В данной заметке /т> - полугруппа xj всегда бу-
дет принимать значения в
Покажем, что в этом случае, не нарушая общности в
условии М2), норму м^ожно эа^енить нормой I* I з •
Действительно, если	при	,
то существует такое Т>0 и последовательность
Г/7’^} /то Р{\к"ап - £|3 >/} >Т .Но пос-
кольку]/	«-0 при |гл,^ J-по условию,
то существует такая подпоследовательность	| О ,
что	(modP) . Из этого соотношения
в силу того, что >Л* - Е e ff (.Н)	, уже выте-
I	— I	П	-! П	f -
кает, чтоЛ^_^ - Е\& —*~v	(тоаР) при |	»
Л4}/«	*(см. И). А это, в свою очередь, про-
тиворечит соотношению
пк
На основании замечания 2.6, теоремы 1.11 и след-
ствия 3.1 из работы [2] т полугруппу X* можно
представить в виде*
а
* Всюду в дальнейшем, где не оговорено противное,
рассматривается левое смешанное произведение (см. [3] )
« потому стрелка
для упрощения записи опущена
38
где т - полугруппа	является произведением
всех скачков т - полугруппы Л* , превышающих за-
данное	в норме 1*1^ и происшедших от момента $
до t (их конечное число (modP)) т - полугруппа 9
[б# 9°° ) таких скачков не содержит, они независи-
мы, и сходимость указанного смешанного произведения
понимается в смысле (mod P)t
На основании теоремы 1.6 и замечания 2.6 из рабо-
ты [2] , т- полугруппа	> на самом деле,
является М - полугруппой в смысле определения 1 из
работы [4] ,т.к. имеет непрерывные моменты всех поряд-
ков в норме | • 15 •	t
Предположим теперь, что при некотором £^>0,
является MV - полугруппой (см. {4]), т.е.
Var*MX\£a,°°)	(в норме |* I 3 > .
Анализируя доказательство теоремы 1.6 из работы
[2] , легко видеть , что
\МХ*С(6,60. П|МХ^г0 “>-Е\3
при О 4 Ь <	* °0 -' Поэтому
также будет MY - полугруппой при любом
С другой стороны, /и - полугруппа	на осво"
вании теоремы 1.6 и замечания 2.6 из работы [2] всег-
да является MV - полугруппой, tjc.
Var*MX [г,ев> *e0U**<t,b,g9v - м)(з,[>,«,»> .
Здесь пуассоновский процесс М,^ЛО)) есть число
скачков Х$ , попавших до момента £ во множество
{х : е ф-Е|, (см. [2] , с. 28).
На основании теоремы 2 из работы [3] (см^также ,
замечание 1 в 14] ) определены и независимы ЛГ-пблу-Э
группы	*(*, рЛД* 	н Я* [<?,«*> “
ш(®5	Kg	(cty.определение 1 в [4] ),
и их среднее равно £ . Здесь	»
39
Покажем, что эти М - полугруппы являются мар-
тингалами по if , по sf и, кроме того,
есть мартингал по sf , а	- мартингал по
при фиксированных оставшихся переменных. Здесь все мар-
тингалы рассматриваются относительно потоков & -ал-
гебр, порожденных соответствующими случайными процес-
сами (см. [2] , с.111).
Например, для доказательства мартингальности
по tf , воспользовавшись условиями Ml и
М3 при	* запишем следующее равенство, которое
справедливо в смысле (mod Р):
Остальные случаи S и .доказываются аналогично.
Покажем теперь, что *	есть мартингал
по . Действительно, по теореме 3 из работы [3J и
формуле 3.7 из работы [2] при
справедливо равенство
Ч №-(Ч	8 %	’
и*/[«..«,» И
««*/ &, .*,» 'йх' [е,,г,9 - X' &г,г,) И%' [г, ,е„ 1
(mod Р) ,
Кроме того , М - полугруппы	и ^5
независимы, поскольку независимы X* г £ , ) и
(см.следствие 1.12 в [2] . Теперь иско-
мый результат вытекает из следующего соотношения:
40
V	w К“1	!*л1	'''
• -яН/гЛХ^л*
W	*~f
(mod Pi f
поскольку здесь имеет место сходимость в норме • ••
Покажем наконец, что Х$ С£,<”> является мартин-
галом по £ f . Действительно, воспользовавшись формулой
3.8 из работы [2] и теоремой 3 из работы [3] , при ,
Oiia^£1*£g< 90 получаем соотношение
ft-»**5 "*s ft» *5 » tmodр>-
%
Теперь закончить доказательство можно аналогично пре-
дыдущему . В виде следствия полученных выше резуль-
татов укажем формулу, которая понадобится нам в даль- .
нейшем, при О * ё 4 ё0 * °° •
(2)
Рассмотрим теперь М - полугруппу Xg Cs, oe>.
По предыдущему, она является мартингалом по ё f ,
О‘£ * ё0 < <*>	. Следовательно, тоже самое справедливо
и для Я*	.Но поскольку последнее случайное
семейство принимает значения в гильбертовом простран-
стве &2СЮ , то величина!	является
субмартингалом по si (см.налрнмер, [5] ), откуда
41
| z/ се,- > -£|4 хДе,,«> - E .
Далее из результатов работ [б]	и	[7] ,в	частности,	вы-]
кает, что существует некоторая случайная	величина
со значениями в	,	такая, что
|XJ*(0,-)-E|,<oe,	при	0<e*^zco
есть мартингал по Sf и	XJ [^,°°>|^ О
при в/Я.
Покажем, что на самом деле Х$	(О,00)
<rnoct£>'> равномерно по е [0,Р] в норме |*|.
для некоторой последовательности t1 0 . Для этого
прежде всего заметим, что	) также является
М - полугруппой, поскольку она очевидным образом
удовлетворяет условиям Ml - М4 из работы [4] , кото-
рые получаются из соответствующих условий для xJ[^T°°,
предельным переходом при &J0 . Поэтому, аналогично
предыдущему, Х*(09<**) является мартингалам по t |
и по Sf . Следовательно (см. [5-6] ),
5 есть субмартингал по i | и по & I .Выбе-
рем теперь ^последовательность | О так, чтобы
’ Тогда по неравенству Ко
могорова-Дуоа для субмартингалов (см. [8] , с.124)
получаем

Теперь из сходимости ряда
к*4 \HS*ttVS
*77] по лемме Бореля-Кантелли (см. [9]
с. 155) вытекает; что при любом л происходит толь-
ко'конечное число событий
•[ sup	'4 «ПО«Л,
[o&S^t^T 5	5 nJ
42
огкуда и следует искомая^ равномерная по £0,7*1
сходимость X*	%* <!,**> (mod РУ при
g в норме |» 13 . Для дальнейшего изложения нам по-
надобится одна лемма, доказательство которой из методи-
ческих соображений приведем несколько позже.
. Лемма 1.Пусть заданы	, Тогда если
MY - полугруппа Х£ не имеет скачков, попадающих во
I множествоДх :|X-f «J (mod Ру , то ДV - norty-
, группа *УЯ не имеет скачков, попадающих во множество
I	(modРУ и обратно.
1 * Используя эту лемму, легко видеть, что Л? - по-
лугруппа XJ £б„, °"* > не имеет скачков, попадающих во
множество {X'• Е\з * ёд} , поскольку таковые отсут-
ствуют у [*Л , **У по определению, а
непрерывна по 3 и t . Таким образом,
(Окак равномерный по s,t Г] t
(mod РУ предел	,**> при	в норме
| • |3 будет непрерывным по обоим^аргументам в норме
| • | а , (/nodРУ. /И- полугруппу X3 ( 0, У назовем
непрерывной нормированной составляющей ~
пы .
Заметим далее, что из формулы (2)
' назовем
- полугруп-
аналогично пре-
дыдущему вытекает соотношение
«{*Х	Л> в
• <т°ае> 
поскольку	, a	к
, °*У независимы в силу независимости Х^[<5ЛЛ^#)
и	(см. теорему 1.11 в f2j ). Кроме того,
очевидно, что
<,». я-/~-
43
I
Из результатов работ [б] и [7] теперь вытекает сущест-
вование такого семейства (О,£0')~ё со ^значениями в
г	, чтоhIAj^,^)-	
,SO>\ *—при £nf о , поскольку |Х$ [<5в,°*’)'
' 'if х	силу теоремы Ъ6 из работы [2] .
'  Назовем Я - прлугруплу Xf (0t6o) ноомирован-
/ ной скачкообразной составляющей m - полугруппы Х£ .
< Далее, поскольку	-Х*	и
’ ^5“ X* [	, «• ) адляютёя мартингалами по t1 и I
5| , а следовательно,|Х*60,€в)“Х£[^/»,£р1э и
|Х<у^,вв5"“ Х^[^л	- субмартингала-
ми по	и	то, учитывая теорему 1,6 из работы |
[2]	, при	10	получаем соотношения:
* ?
Воспользовавшись этими соотношениями и замечанием 4
из работы [10] , мы можем перейти к пределу при ।
ee«rt| 0 в формуле (2) и получить следующую формулу:
*	J'
к (2)
Теперь на основании теорем 2 и 3 из работы [3] из j
формулы (3) легко вытекает следующая формула:	I
; , (4)
что в свою очередь, в силу формулы (1), дает разложе- j
ниё Леви т - полугруппы вида	1
, (5) J
' •	44	|
I
вполне аналогичное соответствующему разложению, полу-
ченному для однородного случая в работе [1] (см. форму-
, попадающие во множество
- полугруппа %у	скачкооб-
, попадающие во
Сформулируем полученный выше результат в виде еле-*
дующей теоремы.
Теорема 1. Если лт - полугруппа Ху такова,
что для некоторого &о>0 Ху[£у,°°) является MY -полу-
группой, то^тогда Л* допускает разложение Леви вида
(5), где М - полугруппа	непрерывна (.modp),
Щ - полугруппа Xg	скачкообразна и содержит
только скачки Ху
{Х:|Л-£|/«Л  ">
равна и содержит только скачки X*
множество {X:\X~Elj	> все эти полугруппы
взаимнонезависимы, а а* , в“ > - некоторая детер-
минированная непрерывная мультипликативная полугруппа
ограниченной вариации.
Для того, чтобы завершить доказательство этой тео-
ремы нам остается только проверить справедливость ис-
пользованной выше леммы 1. А она доказывается вполне
аналогично лемме 3.1 из работы-1*^! , если вместо зна-
чения 2.11, использованйого при этом доказательстве,
воспользоваться следующим, более*общим замечанием.
Замечание 1. Если заданы две MV - полугруп-
пы // и Ну и ЛУ - полугруппы
и	- независимы, то уравнение Ху И	“,
относительно неизвестной MV - полугруппы Ху имеет
единственное решение
Доказательство вытекает непосредственно из теоре-
мы 1 и следствия 2 из работы [3] .
Замечание 2. Воспользовавшись замечанием 1 из
работы [3] , формулу (5) можно переписать в виде
Ху - (Я(Х*	+	(3(%* (0,^ tOlD
в Сй (а*	+ Е) Я (» * О,, °°)} *£>,	(6*
45
. что дает нам возможность конструировать т -полугруппы
с наперед заданными свойствами выборочных функций, исх
дя из А -полугрупп (см. 2 с аналогичными свойствами.
В частности,из теоремы ^Зм4 работы р] и доказанной вьи
леммы вытекает, что	) является гауссовской
Л -полугруппой.	_	- *
Замечание 3. Если X (.0 °°) — М — полугруппа
из формулы (5), а - детерминированная непрерывная
мультипликативная полугруппа неограниченной вариации,
ТО т - полугруппа (Л’#)'**	дает пример
тому, что следующее утверждение неверно: для всякой т
- полугруппы Xs существует такое	, что
/£[^,*'’1 есть MV -полугруппа.
Пристатейный список использованной
литературы
1.	Буцан Г.П. Стохастические полугруппы:Авторефлис..
докт4>из.-матлаук.-К., 1977,- 27 с.
2.	Буцан Г.П. Стохастические полугруппы.-К*:Наук.думка,
1977.- 213 с.
3.	Буцан С.П. О связи между левыми и правыми мульти-
пликативными стохастическими полугруппами: Препринт
80.20. - К.: Ин-т кибернетики АН УССР, 1980.-12 с.
4.	Буцан С.П. К вопросу о смешанном произведении сто-
хастический полугрупп: Препринт 79.69 - К.: Ин-т' ки-
бернетики АН УССР, 1979.-18 с.
5.	Cattferji S.D. Vector valued martingales and
their applicationsLeet.Notes Math., 197^,
526, p.. 53-51.
6.	Chatterji S.D. Martingales .convergence and the
Radon-Nicodim theorem in Banach, spaces. Math.
Scan!., 1968, 22, p. 21-41.
7.	Scalora P.S. Abstract martingales convergence
theorems. Pacif.J.Math., I96i., П, No.I,
P. 347-374.
46
8	Мейер П.А. Вероятность и потенциалы.- М.: Мир, 1973.*
’ - 578 с.
9	. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию слу-
чайных процессов.- М.: Наука, 1965.- 690 с.
iО	.Буцан Г.П. О смешанном произведении неоднородных
стохастических полугрупп,-"Теория вероятностей и ее
применение", 1979, В.1, с. 168-175.
УДК 519.21
Я.И. Елейко
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ТЕОРИИ МНОГОМЕР-
НОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ С ДИСКРЕТНЫМ
ВРЕМЕНЕМ
Пусть Рх	- последовательность неотрица-
тельных ядер, где - элемент фазового пространства
Л ,в котором задана 0 -«алгебра' множеств , п - це-
лое положительное число, - множество из - ал-
гебры f , £ - некоторый малый параметр. При фиксиро-
ванных	и £ ядро Рд	является мерой на
X , а при фиксированных £, имеем - изме-
римую функцию от л •
Пусть также
аг* • v f	-
(.n,dp^2. jP	г'2,5,...,
<?/* i
. Г <, xeau ,	„ =	(1)
0t x/du или г-ФО ,
47
Будем предполагать, что P*(OfX) • Q для всех XdX .
Кроме того, пусть последовательность операторов
)(2)
в операторной норме при &—*"0 в пространстве огра-
ниченных измеримых функций	« При этом норма one
ратора Р равна единице и оператор Р имеет собствен-
ное число единицу, которое является изолированной точкой
спектра с собственной функцией 4 f(X) * С& , где
Суположительные числа. Предположим также, что су-
ществует конечная инвариантная мера	в прост-
ранстве X , для которой
для всякого множества
' Не ограничивая общности, можно полагать, что
Так как	при £—*-0 по норме операторов, то по
теореме о полунепрерывности спектра (см. [1], стр.269-
271) оператор Р® имеет собственное число fa изолиро-
ванной точкой спектра. Причем	при 4—*~0 , Р€(Х)-
— •?(») при е—*~0 равномерно по х , где (X) _
собственная функция, отвечающая собственному значению
А ' т‘е- г
Р f, (х) -f.f.txi.
Пусть последовательность операторов
—"	1к-лрЩ'
i x
(3)
48
' при е'*'0 в операторной норме, где А - линейный огра-
ниченный оператор.
Обозначим
оо
H*u,dx> -Z
Вследствие наших предположений ядро Н*(к,с(к) яв-
ляется ограниченным.	*
Теорема 1. Пусть последовательность положитель-
ных функций (п,и)	, n*otjtSтакова,
что для некоторого целого к>0
9е <п'У)
(4)
SUp
е,п,и
* 1
-^и1п,Р 9(С'!Р при
тогда если выполнены условия (2), (3), то
—-—Qf. (.n-kt	H* (к, dx) —►- -
k-0 Y *	P
1 Л
d f(P>\ I	«-у*еЦШх)
о Л
(5)
при	t £-*- 0 f	-*• C 9 .
ГДв ( f
ot-2 к J	.
k'° XX
Доказательство. Введем
49
nedz
*2 t&n,ciu'> ,
* < л^р,о л у
♦
где cfZ - борелевское множество на положительной
оси. Все выше определенные ядра являются ограничен-
ными величинами.
Положим _
X 0
где Qtt) - ограниченная измеримая функция. Тогда при
достаточно малых £
J*J	»{£-лЛ«>}'^<яг> ,
х о
если S достаточно велико, где £ - единичный опера-
тор .
Далее
ХО	п
Покажем, что Д7 {в)—*-/' по норме операторов при
Имеем
|	J J e4Aexcdy,ctz)g(*)\ л
‘Ш	(tfy< +
•о
+|JJ	.	(е)
X о '
50
Вследствие условия (2) первое слагаемое неравенства (6)
стремится к нулю при
Так как
| Г<&)$&)\ <sJ jU^Cdtf, dz}Q(Z),
KO	Kt
то, вследствие условия (3), при S~*~0, &.-*• Q правая
часть неравенства стремится к нулю. Тем самым мы по-
казали сходимость операторов Ме(£) к оператору Р
при S-+-0 »
Поскольку
>
где fa - изолированное собственное значение опе-
ратора	» то
—If	—-—П при г-»* «•, е -*~о,
Г I WJ
следовательно,	*
/ ff'tfя	ёре^ dp 0(dy) .	(7)
Для произвольного	имеем
> -
51
где	- ступенчатая функция, которая на интерва-
лах	принимает значение	.
Если л-*-00, е -*• О)	*-c	, то
Л	[са-^> ,2]
равномерно по у в [0,	и, как показывает выраже-
ние (7), предел первого интеграла правой части формулы
(8) есть
<:г
$ Lc(^~y\е	<>(dz) .
Далее, в силу (4), для некоторой постоянной
нено неравенство
выпол-
Следовательно, при п>^ абсолютная величина второго
слагаемого в правой части (8) не превосходит
•/’/‘M4"’-0 - я‘ • х1] 
Предел этого выражения при </-J>g>п-*-с	в силу
(7) равен	у
dy >(Х)
1‘Т
и, следовательно, выбором f может быть сделан
сколь угодно малым. При этом выражение (8) будет
сближаться с правой частью (4). Теорема доказана.
В пространстве ограниченных, измеримых функций
рассмотрим теперь семейство операторнозначных
функций
Через Qg<U> обозначим^оператор, который определяет-
ся по формуле
52
-l, е im\ppn, ffiy >?<у >
Пусть	%
—»-P*(n.,dL<j) , £ *~0 равномерно no je;(9)
Pim cup 2 kP& (kpx)-O,	(10)
л-0-оо etx	л
r оператор с ядром
co
<“>
имеет единицу изолированной точкой спектра в простран-
стве ограниченных измеримых функций с нормой операто-
ра, не превосходящей единицу. Собственная функция
отвечающая собственному значению 1 , положительна.Кро-
ме того, пусть оператор, определяемый ядром (11), име-
ет конечную меру ftCcfs:) , такую» что
Как
JРхЩ)Я(е?х) • 1T(dy) .
X
прежде, положим
Покажем, что при наших условиях по норме операто-
ров
Р£(и)—
при 6 -^0 у
(12)
где
Справедливость выражения (12) следует из соотношений:
<1 -J 4
Л	53 X
~№п-атпъ tlt< •
X	X
где - произвольное как угодно малое положительное
число, выбор которого гарантируется условием (10).
5 Далее, выбирая £ достаточно малым и пользуясь
(9)» I (' )I можно сделать меньше
Следовательно, устремляя N -*-<*> и S-+-0	, полу-
чаем выражение (12). При помощи аналогичных рассужде*
ний можно показать, что Q& (и) непрерывно по и в ।
операторной норме. Покажем, что имеет место
ftm atrn3m - J	•
„ 6~*’0
На самом деле,
Il ч” inu
sup у 2 e
nt
©• Л
px i 1п-ат' iii
X
(13)
Ift-f "'s	1/1-/
Вторую сумму в неравенстве (13), вследствие (10), мож
но сделать сколь угодно малой. Тогда первая сумма (13
при £-*-0,и~^0, вследствие (9), будет стремиться к ну-
лю, что заканчивает доказательство неравенства (13).
Пусть jig - изолированное собственное значение
оператора	(а) •	- соответственно собствен-
ная функция, отвечающая р& .
Теорема 2. Ьсли выполнены условия (9), (10)
и I!ffg(if)IIz / при и + 0 ,	и е достав
точно, малых, то
где
(f-pg)n-^c	X
Доказательство. Пусть все fa . Тогда
«-—j* (Е ~аб(.и»1д(х)41П пи du .
-1i
Если	~ иэолиР<>ванное собственное значение опе-
ратора (и) при е ни достаточно малых, ?е и (а)
собственная функция, отвечающая собственному значению
fl tides)	-инвариантная мера оператора •
то
X
X
f

(14)
При u^O второе слагаемое суммы (14) есть бесконечно
малая величина высшего'порядка малости от первого сла-
гаемого, потому что fg и (х) равномерно по х сходится
(х) , Следовательно, из сказанного выше получает-
I, что
----------------------------- ---- »
J <*•*/> G'W*"	(1S’
X X
Правую часть выражения (15), деленного на ill , обоз-
начим через 4* .
Дальнейшая наша задача заключается в нахождении
Предела
*
-Jy ng}gWn пи du
ири	п-*-оа , rfle flg - проектор, натянутый
на подпространство ^(л).	;
Для произвольного de (0,11) имеем	}
.*1 .*1d
Обозначим
б
Тогда
d"	d"
IJ ^-sinkuc"'l * J
-d	-J	t<d
•ife'l-.
>	-ЯГ
где
fb22.\^a (ufr1a'(u>lE-a,
/ l £ 1 € l £ 1 iu^ £ 1
(16)
a
Q's (U)g(x) - iu к Jp^(kjf) Q(%) .
X
56
Легко видеть :иэ формулы (16), что
Здесь под О понимаем нулевой оператор. Поэтому для
Аналогичная оценка будет иметь место для
образом,
Я
Я
' 9г1и)
-----sin kudu
Т аким
-
t2m“pM	"’I
tit
Возьмем =	. Переходя в предыдущем соотношении к
пределу при* Л.-*-** , а потом при	; находим
Я	1
Г
Pim | ----------sin пи dU •О,
е-*-0 J и
П-ь-со -Я
откуда немедленно следует
Pim Г iff - 4?g (и))1 q(a)sin пи du «
’ -S	57
V
ж Pf/П I ,
в~-0 Hl J
i
где
» J ду) 1i(dip.
Пусть J>£ + 1	. 1 огда
<-J>£(U)'~ 1-Jb£ + iu* ,	t-^-O ;
Это следует из соотношения
^S(da)(Q£(0)
X	X
Если (f-Д )n-~c , n**-e* ,	0
<-p„	+ iu<* .
~*n n
Обозначим - s f	, .
Покажем, что существует предел
9еп(и>
* п .....<•" п" ** ,
, то
Нт
Ц-р, )л-*с
Для <fe(O,vy
•» Л
л/"
sinrtt^dtt р аир |д,^Л|лУ,
-/ п *„<+
'(Щи> н II	1^’1
—2-----ЛЛ пи а&11 < вир ,.,... вил —--------
. -58
• Поскольку
да//> 99, (&)9—•-#	при	/—*-0
ii/l*/ ее”
(здесь под 0 понимается нулевой оператор ), то» выби-
рая и устремляя	п—•"**	, а затем ^-к
нулю, получаем
-й{	Т“—? fl^g(ot)sinnu du *ff,
J^n
Следовательно,
n—<*
U-p, w~c
Jen
a 1
П'^9 di
>n-4f

sin nudti 9
-C
' Па(«У	4 -efa
— sin nudu » — в	Ho(x)
+ iud
Теорема доказана»
S9
Пристатейный список использованной
литературы
1. Като Т. Теория возмущений линейных операторов,-М.:
Мир, 1973.-740 с.
2. Шуренков В.М. Две предельные теоремы для критичес-
ких ветвящихся процессов.-Теор.вероятностей и се
применения, 1976, 21, № 3, с.843-853,
УДК 519.21
Т.Н. Исакова
ОДНА ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ДИФФУЗИОННЫХ
ПРОЦЕССОВ
В заметке изучается предельное поведение решений
стохастических дифференциальных уравнений
ttn(.-Ь • Jcn (0) +Jап(лп d»dt + -uKt)	(1)
0	d
в cl- мерном евклидовом пространстве R { d^3	) в
предположении, что специальным образом подобранная пос-
ледовательность R^ - значных функций &п(я) ,
сходится в слабом смысле к функции а (л) =	,
Здесь	d - мерный винеровский процесс, 5 -сфера
в R& с центром в точке 0 радиуса R , R>0 .	-
единичный вектор внешней нормали к сфере $ в точке л?,
произвольное положительное число, а	-
обобщенная функция на S , действующая на произвольную
непрерывную функцию <?(&) ,	t По формуле
(xydjc »|^62У^ (7
V	V
(справа поверхностный интеграл).
Обе значим	пространство непрерывных >
функций jeCt) , заданных при	»со значениями вЦа,
60
Jtlq -г минимальную
оическими множествами в
₽ы РГ •	.
- алгебру, порожденную цилинд-
• Введем ме-
на (?’- алгебре JU , для ко-
торых выполняются условия:
1) P^{zr(ff) = x}=/, f
2) процесс ж Ct) - jeCO) -	(x(t)) dt
есть квадратично интегрируемый мартингал относительно
ч ) с характеристикой t •
Другими словами, мера Р&> на пространстве
г *^о соответствует решению уравнения (1).
Показано, что при каждом Т х последовательность
сужений мер Р&Р на б* -алгебру М# слабо сходится
к сужению на ту же - алгебру меры Р& , соответствую-
щей процессу X(t> , который является решением урав-
нения
dxCt) 'th a f(x(t))t (x(ty)dt + 4 uT(t) ,	(2)
*	5
Уравнения такого типа рассматривались в работах [1],[2].
Упомянутая выше последовательность коэффициентов
сноса в уравнении (1) имеет вид
ип(а) о й (х)
|я1 7 л „
f /
г„да=7/„а^1),
*	I и
где
Так как функция Ип(.Х) зависит лишь от |а?| , для
изучения поведения процессов Хп (t) достаточно изу-
чить поведение процессов	. Применяя формулу
Ито к функции	• где	”
решение (1), получаем
t
7 л„а) гщ xnct)

61
Z Ж*>^С*>\£
К/^l 'r<
(I^r •	
Q
Здесь обозначает скалярное произведение векторов
a, 6&R	. Воспользовавшись следствием 1 на с.292
работы [3] , заключаем, что процесс
является одномерным винеровским процессом. Таким об.
резон, t
eft + fret) .
Г/ Г
rAt) г СО) + — \па 1Лг„ (О) +--—
п J SL L7 гп п Oftf)
Пусть	- пространство непрерывных
функций Utt) с положительными значениями, заданных
при t Л р,09? , Обозначим через минимальную
<у - алгебру подмножеств пространства	t
содержащую все множества вида	*
ds
где	0. - алгебра борелевских подмножеств fi*
Далее, обозначим через	меру на
, соответствующуюрешению уравнения (3), то
есть меру, для которой {ц(0> » |ДГ| |«/ и
процесс	t
является	— мартингалом, интегрируемым с
квадратом, характер истина которого равна t , Другими
словами, втот процесс является винеровским относитель-
но (Jy « У . Обозначим его через 1&п Ct)
есть функционал от траекторий ^($) , S*t.
62
Рассмотрим теперь на этом же вероятностном прост-
ранстве (С&	9* ,	>	стохастическое
дифференциальное уравненье
d-i eLt
решение этого уравнения существует (см.например, [4]).
Процесс 4-(t> является бесселевским процессом относи-
тельно	. Из теоремы сравнения [з , с.14О] выте-
кает теперь, что — почти наверное выполнено нера-
венство	при всех t*0 , Этим замеча-
нием воспользуемся ниже.
Заметим, что меры Рх однозначно восстанавливают
ся по мерам Q&? . Действительно, пусть х(/)сВ^
есть решение уравнения (1) и	. Пос-
кольку	) зависит лишь от r(t> , процесс
xtt) определяется своим модулем r*(t> и функцией
y(t) , где рбО такова, что для винеровского процес-
са из уравнения ,(Д) справедливо VFtf) • %(t) •
Пусть теперь Un(x') , в?е В* , есть решение
уравнения	’ '
’и^(Х) + и’п&)~. »О 9	**1, 9
*	с/-/
<(Ж) + и'п (ЛЭ(Щ+—) •(> , хе 1а .
Здесь и ниже j	,

а„г«> можно выбрать в виде
d„eV'd
(d-2)d„ f* i^u1'ddu
(4)

63
где
л-d


K n
L	
л₽7
V* n 1 *	,
По построению un(x) один раз непрерывно дифферен-
цируема в ; li"n (X) существует почти везде в
кроме точек	и ^+7f	где > имеет односторонние
пределы. В силу этого возможно применение формулы
Ито к функции ип(Х) и процессу	. Для
ип (гп (<))	получим .уравнение
du„(rn(/» = и’п(rn(t))Clu)-(t) .
„ Процессы un(^(ty) порождают семейство мер
«I. на пространстве (СГо (R J,	. Меры
каковы, что	!?•>-
wev,->i
2)	X(tA&y) -2(0) есть квадратично интегри
руемый мартингал относительно (У**9*	,	’)
с характеристикой	_
(лб„	у6н
[ [ип(ип	’ I &*&(*»<**,
0	°
где	, JD!ye('“»yV) > inf ф s °* •
Лемма 1. Семейство мер	на	>
) при любых фиксированных	и
слабо компактно.
Для доказательства леммы, согласно работе [3,
с,25О] , достаточно показать, что
1) tlm Jim 8^1 sup fitt) >0 >
f	* \O4t‘T	J
64
2) if*	4 H-t*',
где	не зависит от n и

\(u)
при
при
и‘*н >
а^ы ,
‘у inf {/«[ff,Г] : *(t) >/v}	(in ffi = О
a cm
Л/д. - символ математического ожидания по мере &
Докажем 1). По определению 8^ выполняется
"«’ter *т
Поскольку ип<у) монотонно убывает с ростом у
Вспомним теперь, что при всех t *0
y(i) a	O™ - п.н„ где	~
бесселевский процесс. Отсюда вытекает, что
0*Yinf uti) £	Q^linf	(t)
к1ш<Т* n J а\шг',г
<an^>} 
Пусть на некотором вероятностном пространстве
Р) задан бесселевский процесс	для
которого Р	(О) * | «| у • 1	. Тогда будет иметь
место равенство
Чй'г4'4
Далее, поскольку существует предел	при п~*,9Яt
йайдется не зависящая от п постоянная Сы , для кото-
Р0®	ПРИ каждом ff , причем См~^0
при лг-*. «и»	65	•*
Поскольку бесселевский процесс не достигает точку
О ни при каком положительном t , в силу сделанного
выше замечания
Лт Dim Г inf uCt) *	(л/)\ *
Д/-4-ОО Л-^«Э X	Q	п	J
так как Dim С* 0 .
Докажем 2). При каждом Н и п с вероятностью
ЯГ	„
v , равной единице, конечен интеграл
Я*

где
в; («сад
1а„о»
при
при
поэтому имеет место неравенство
I &%(x(6))al&(0>\4
9 t+s
‘ЬМ™( ( (S*
] п
мт
X
(5)
постоянная & не зависит от Т , п , N . Покажем,
что
Н » где не
зависит от п.
Используем явное выражение для ^п(л) •
ражения (4) находим __ i~d
• (2-сМпё
^(хе^^а
dn(2-d)
при хс
(f^ пР.
о w-
-1 F7
-------a.—g—....	при
J
Из вы-
в^«.
2
Ml' \
a ’
9
66
Здесь
t’s‘(n‘-atK^Ln->^> ,
ип (у* на интервале it.
монотонно возрастает по
при П —00	,
<рп (Я) - функция, обратная к
учитывая, что функция В„(Я)
X и что существует предел &п (X)
получаем оценку
и л	о
(й"(Ж0)» <(&„<#» <Н„.
Отсюда и из неравенства
(5) вытекает,
что
\%н(Л+9> - х*(3> | * 4
t*s
• if Вп <х <*»	(S) I 4 4
rs
4 Nfft >	»
1то и доказывает утверждение 2).
Итак, доказано, что для любого
<еры	на слабо сходится,
Т из любой последовательности мер
последовательность, сужение которой на е'
дится. При Tf > Т
выбрать такую подпоследовательност
& - алгебру	слабо сходит
су жение
при любом
Г < <*»
то есть
можно выбрать под-
слабо схо-
из этой подпоследовательности можно’
ь, что ее сужение на
а слабо сходится. Выбирая стремя-
щуюся к бесконечности последовательность 7* , можно
! помощью диагонального метода построить такую подпос-
ледовательность мер	на , что сужение
!е на	при любом Т слабо сходится к сужению
некоторой меры на г
Покажем, что при этом
67
1)
«Л» *
2)	x(Q) является квадратично интег-
рируемым мартингалом относительно	f Qс
характеристикой Q°(x(ff)) dff	9 где
^0	___
B(x)* tim ВсЛх)*
П-+-ОО "
<-d
X€(AtXo)
(6)
2-d



a 4/f|xp= firn ип( |jep . с
-so	~s9-
Здесь Л-*Ы(С *-f) , xg‘R e ,
- момент первого выхода процесса Х(в) из об-
ласти	Несложно убедиться, что последователь-
ность 6# приводит локальный мартингал X(t)-X(O)
относительно W	• Пусть О is it п р-
непрерывный ограниченный функционал от траекторий Х(9),
О&0 4зл&м . Достаточно доказать, что выполняют-
ся соотношения
’ Яв { 2 У*^ВЛ(х (f)) do J- ,
• Г.	SAf*
где Мп - символ математического ожидания по мере
(2л	, Так как х (t л - х (.0) - мартингал отно-
сительно	» 70
*х{? [х “л "x(s* }] h

68
Докажем 4). Поскольку
[х	>-*<*> v ] *}-
№ *
к
имеет место соотношение
Покажем, что
ft",(«от-»%да]<» -а.
ЗЛвм
Введем функцию
1 при x(6)eit >
/г И (в)) S Л
*	О при z(0) s 1. ,
.	г г*
где ^гГхо_/1	.Заметим, что
есть среднее время (по мере Sr^ ),
которое процесс проводит в интервале . Так
как В„ (fl) в окрестности точки невырождена , то
* М Г*
/ А
х 4'1^
69
Поскольку последовательность « компактна,
I с точностью до сколь угодно малого	совпада-
ет с величиной , ~
А7» ЛС J
*>’"**
Я
где
Т?/	&(в}) ~
- компакт из	’а
1 при &(0)€К ,
о при я. (В)еKf .
с
(2(0))
£
Учитывая, что р - ограниченный функционал и что при
*(9)е1#	(«(9)) - Ва(Х (9))}.	равно-
мерно по п. ограничена, получаем
I ‘ const\Pim М / / (Я(0))/Гл (X(9))cL& +
V7,--*.oo	«/ Ае
Г-а	о
к *л<к
в силу сделанных выше замечаний и в силу того, что при
% (0) 61/	(•)) —**	Z (•))	для
всех х(») и^ компакта . Тем самым 4) доказано.
Следовательно, ^(t) по мере х есть решение стохас~
тического дифференциального уравнения
g(t)^ а(\л\)^ГВ (Z(9))d(В) ,	{1)
О
где В(я) имееу вид (6). Таким образом, доказано, что
всякая мера О (ле) , предельная для последовательности
, соответствует решению уравнения (7).
С другой стороны, пусть процесс &е£/)€Я<' есть
решение уравнения
cfjc(t) *C’^(^^))^lx(t»ctt * dur U) ,
70
Можно показать, са x(t) можно	что гармоническую функцию для процес- выбрать в виде	
	г-d ас a-d х ~ ~— R	при 1+С 1-е s-d L с~	при 1*С	Dtjcifi, R. <х*0** ,
Для процесса is(\^(t)\ ) получим уравнение		
du(lx(t)\) =	dw(t) .		(8)
Положим Z(t)su(\&(t)\)	, тогда уравнение (8)
приобретает вид
dx(t) » и'Си'* (x(t)))ct ur(t) .	(9)
Пусть процессу is () на пространстве
—	) соответствует мера Q.
Лемма 2. Решение уравнения (9) единственно в
смысле мер.
Заметим, что решение уравнения (9) существует,пос-
кольку оно сконструировано предельным переходом в преды-
дущих рассуждениях и'(и" (X)) и б&) в точности совпада-
ют, если положить С ж th Ц.
Согласно теореме 6 (3,c.395j,достаточно показать,
что для всех %. X выполняется неравенство
tim B2(z'>(e>(z')--В(ху)2 в*(Х) .
В точках непрерывности оно, очевидно, выполнено.
Проверим его справедливость для точки разрыва Х0
функции &	. Поскольку 8 (%) невырождена в ок-
рестности %	,. процесс z(t) проводит в точке Х0 ну-
левое время, поэтому значение 8(х) в точке разрыва не
влияет на решение уравнения (9), Таким образом будем
считать, что в точке разрыва Х0 непрерывна сле-
ва. Тогда
w	9
"	у * v
71
Пусть для определенности с > О ♦ Должно выпол- '
НЯТЬС5<
или (/7’ что и будет ПРИ . Лем-
ма доказана.
Итак, процессу %(t)9 который построен предельным
переходом, соответствует мера Qx . Предельному про-
цессу z(t) = и(l-T(t)\9 с)	соответствует некоторая
мера 2^ , причем коэффициенты сноса в уравнениях (7)
и (9) равны нулю, а коэффициенты диффузии в точности
совпадают, если только c = thfy ф В силу леммы 2
о = 8е .
X яг •
Поскольку отображение UnGX) взаимно однозначно,
мера Q(^ однозначно восстанавливается по мере >
в свою очередь, как показано выше, по мере одно-
значно восстанавливается мера Р%>. в силу единствен-
ности вся последовзгелькость мер р^ слабо сходится к
некоторой мере/J., которая соответствует решению урав-
нения (2).
Таким образом, имеет место.
Теорема* При любом последовательность су-
жений мерР^ ^на б*- алгебруJU-# слабо сходится к
сужению на меры Рх , соответствующей процессу
-orrtj, который является решением уравнения (2),
Пристатейный список использованной
литературы
1„ Портенко Н.И. Диффузионные процессы с обобщенным
коэффициентом переноса. Теория вероятностей и ее
прикЛ» 2’4,1 (1979}» с.62-77.
2. Портенко Н.И. Стохастические дифференциальные урав-
нения с обобщенным вектором переноса. Теория ве-
роятностей и ее прим., 24,2 (1979), с.331-347.
3. Гихман И.И., Скороход А.В*, Теория случайных про-
цессов, т.З, М.: изд-во *Наукаг, 1975, 496 с.
72
. 4. Ито К„Маккин Г. Диффузионные процессы и их траек-
тории, М„ изд-во "Мир", 1968.
5. Скороход А.В. Исследования по теории случайных про- ,
цессов. Киев, изд-во Киевского университета, 1961,
215 с.
УДК 519.21
В.И.Колч инский
ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА ДЛЯ
ЭМПИРИЧЕСКИХ МЕР
1. Пусть на вероятностном пространстве Р)
определена последовательность v’/yf л »/ независи-
мых одинаково распределенных случайных элементов со
значениями в измеримом пространстве СХ,Я), -рас-
пределение . Обозначим эмпирическую меру на
Л, построенную по выборке ,... ,	, Пусть
равномерно ограниченный- класс Я - измеримых функций.
В дальнейшем II ’ll обозначает норму пространства
г е &)- пространство ограниченных действи-
тельных функций на У с нормой || ’	,
||y||~« sup |У<Л|, Уе^бП ,
Cg (?) - пространство действительных ограниченных не-
прерывных относительно ||’|| функций на «F , Яв(Х)~
пространство функций на <?* , представимых в виде
,
, fcf , xsX .
X
73
• ffCfy обозначает класс функционалов	,
непрерывных относительно | * || м и таких, что для лю-
бых
функция
' у
измерима относительно в - алгебры	(пополне-
ние 0 -алгебры Л ж Л* ,♦. *Л по мере fl *
П
Класс Л* называется fl- эмпирически измеримым,
если
Л* называется допустимым классом, если он fl -эм-
пирически измерим и для любых &>0,к*{ класс
также является fl - эмпирически измеримым.Достаточ-
ные условия допустимости класса Л* надо смотреть в
работе [1] *
В работе [1] получены достаточные условия для вы-
полнения на классе Л* центральной предельной теоремы
(ЦПТ) для пЬследовательности	эмпирических
мер, т*е. достаточные условия слабой сходимости распре-
делений случайных величин Ф(Яп) к распределению
Ф(4^)при	е Здесь
, М,
х л
- гауссовская случайная функция с нуле-
вым средним и корреляционной функцией
“J-Jff,g€ 7 't
x xx
74
траектории G^ с вероятностью 1 равномерно ограни-
чены и равномерно непрерывны на Л относительно 1*1 ,
В данной работе при аналогичных условиях будет по-
лучен закон повторного логарифма (ЗПЛ).
2.	Обозначим ||*||Л о норму в Rn , ntf,
л fy
Для />e+₽e
<p>
(X,,..., &n ) обозначает минимальное число эле-
ментов в & -сети относительно || • ||Л>(Р для множест-
{(/(«,) .... ,/(«„)) : ft?Rn.
Будем считать, что	— изме-
рима для любых	t > Q ,	• Из доказа-
тельства теоремы будет ясно, что в противном случае
можно заменить произвольной мажорирующей измеримой
функцией.
Положим
...х»j=еп ^р><х,.........
ЯЮСг,пу .	.
- энтропию класса Л* относительно |*|	. обозначим
75
Будем считать, что - допустимый класс. Поло- ,
жим
ГбП- sup
ft? 1
Теорема . Если
Г <h
\ Н' (.u)du *+°°	(1)
и для некоторого р> 2
р{и JCtf>cu., [и */)•« 0(?пР-^ ) , и+ 0 ,
то
Пример. Пусть Xяrcjj?,/]) .
Обозначим if (ос) вариацию функции xgX . Пусть
Л г у — последовательность независимых одинаково
распределенных равномерно ограниченных неслучайной
постоянной случайных процессов из
-	&	- энтропия Co, 1] относительно T.
Легко убедиться в справедливости оценки
v(xi} \
из ко.-орой следует следующее утверждение: если для
некоторого р> М1пр
* 76

и
Г 'А
I Н* (u)du * + <*>,
то
п
У-**,
/л tn tn П
= h sup M$At)
c<M> ^[6(J
3.	Перейдем теперь к доказательству теоремы.
Обозначим
S(f)=Z Г< (/)-	, /еУ.
Лемма 1. Если выполнены условия теоремы, то
при достаточно больших 6> О и произвольных ,
а >0 имеет место. оценка
«	|| „ - а - 42п6С(ЗЪ } .
Доказательство^ Пусть
ф’{“>•* НМ « » '-"’7 >
'«у*"-
Очевидно
Р(А)	(Ал{ря	^п6С^)}у +
77
*p{|jr0ll ~ » a- fsntctf) } ,
«'•'’Hi-'®-	“
Далее,
>01,1. ‘a '	*
tflntC<f>\>	- -*	,
Следовательно,
?G<>* /wear
Г/Л*л
/»{рд | * Ь*6С&)р>бо +
♦ а[|/л || „	},
т «в»	I ж
Л I •• * Л "*	'
у- ^{1^д8м * /inSCCT)}
Наконец, имеем
>{||у-г/^тгэтр
78
1
При условиях теоремы имеет место НЙТ на Т ,а, '
значит, распределение fl м слабо сходится при
л-*-*» к распределению	. Следовательно,
при больших 6>0
и
Р(Л) £зп\~ *а~ i2n6C(f) } .
Лемма доказана.
Лемма 2. Если , &• f+jl
достаточно малое, то при больших Л

Зя|| ~ » 6	|« 

Доказательство
I •• *$ПС(7>п fotnn J*
"Р {К II «ю s ^SC^ert ft^n У <
а Р.4 лямп |Ж,(/Я	/Л?<С^>Лт/д л-йУ*
Здесь П(^У -> минимальная сеть относительно '
||*| для , число элементов.» Л 6^) обозначим М/?,
79
Ч *?**<?) ,	t dn-*-0 ,
р{ та» IX (Л| * бЬсЮМпРпп - а } *
taa«£>
iNCfa max Pfl?„(f)l ? 6 i2Ctf)gh f» ri - er*
” ge.Mfy V n	}
a Stftdjexp£- 6*(f- &>ffn gn n j- ,
<F*gf tn достаточно велико.
При получении последней оценки мы воспользовались не-
равенством А.Н.Колмогорова Qi , с. 358J . Далее, име-
ем
Н(/п)ехр\-62и-&УРп Рп л} >-
f	<1
=ехр\-Р(1-о>9пРпп[ —-----------------)>
Подберем таким образом, чтобы
H(dn ) * Г&*«- Рп п ,
80
Тогда получим
max |*	» 6 i2CW)PnPnn - Л *
e	J
Г .2	i	~(<-лг)ба
tqexp\-о (<-p)BnBn nr»2(Pnn)
Остается показать, что при больших п
р{ш(*„;	Ottnnfl
для некоторого •£*/ . Это вытекает из следующих двух
лемм.
Лемма 3. При условиях теоремы для некоторых
С>0 t Ч'9'* и достаточно больших п
» «}> « С(.Рпп}^ .	.
Лемма 4. Если выполнены условия теоремы, то
для любых £ *8 к А *8 существуют /Рв*0 н С*О
такие, что
♦
* СЛГА&) * р{ш(2п i	,
, л><
Доказательство этих лемм основывается на оценках, ана-
логичных некоторым оценкам и приводиться здесь не
будет.
Используя леммы 1 и 2, легко доказать теорему.
Пусть г^о ,
Обозначим
81
f(n) . faCGbth in n , n *1
 пусть	,
6k
(.enfan^y*
В силу леммы 1 для р>0 при больших к
'Я>{И, | >(/*/*)/"»р- &»д	*
где /•, х/* .
Далее, в силу леммы 2,
р{1\ I - 1	‘
о
* ]ken(f+tj}	,
О < ft * 1' , fi>0 достаточно малое.
Выбрав так, чтобы
получаем
Используя стандартный метод доказательства закона
повторного* логарифма (см.,например, [2 , c.363j из
последнего соотношения легко следует, что
Г у:—	1 „
p\Pinn-------
L /7 f(n) J
Из обычного закона повторного логарифма следует, что . .
для £*0 , Р&&
р---- 11^» И	, -I
р4 ат .	-...	1 - е> юРЪ, > г -
п fin РпРп п
г_____	------ п
г р\ eifrt	"— *	> f s <
п jin tn Рп п
Выбрав	таким образом, чтобы
получаем:
p&irn ——>а-£у /гбрУ/. г>л
п jin Рп Рп п
Таким образом, теорема доказана.
Пристатейный список использованной
литературы
1. Dudley R.M. Central limit theorems for empiri-
cal measures.» АширгоЪ.,1.976,6tNo.6,p.899-929
2. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин.-
м«:Наука,1972.- 414 с.
S3
УДК 519.21
Б.И.Копытко
О СКЛЕИВАНИИ ДВУХ ДИФФУЗИОННЫХ
ПРОЦЕССОВ НА ПРЯМОЙ
Пусть а0 - фиксированная точка на вещественной .
прямой. Обозначим : хен', х, Ds*{a -.x*R,
x>Xff} , a Di ,	2 , — замыкание области jD/ .
Предположим, что в D' заданы вещественные функции
&i(M) > &1(л> 1	7 причем б^(.Х) 2 О . Опре-
делим в областях Х>. и Da дифференциальные операторы
X; ~7Г^;(Х) —X * О.:(Х)-£— , X€D; , i - f,2 .
* 2 1 dx4 dx	‘
Нас будут интересовать непрерывные феллеровские процес-
сы в £ , такие» что в областях и 2^ они управля-
ются операторами и соответственно. Задачу о
построении таких процессов называем задачей о склеива-
нии двух диффузионных процессов.
В настоящей работе эта задача решается при некото-
рых предположениях о функциях	, 6^ (ос) с по-
мощью методов теории параболических уравнений с разрыв-
ными коэффициентами (см. £1] ). Построенные процессы
при фиксированных CL-(oc) и 6j(X) определяются зна-‘
пением свободного числового параметра и оказываются
обобщенными диффузионными процессами. Это означает,что
цля них колмогоровские локальные характеристики сущест-
вуют в обобщенном смысле. При этом (обобщенный) коэф-
фициент диффузии совпадает с функцией 6^(х) в облас-
ти J); 9 / я(обобшенный) коэффициент переноса
представляет собой сумму функции типа - функции Ди-
рака, сосредоточенной в точке осо и имеющей массу.рав-
ную величине упомянутого параметра, и функции, совпадаю-
щей с (х) при xeD; , i-f,2	. Случай» когда
а{Сх) а О , i'll 2 , St(X0) Sa(x^) и такая
'склеенная” функция S(X~) достаточно гладка, рассмат-
ривался в работе E2J . В работе £з] рассмотрен случай
84
когда 50 , 6;(х)*6{ f	, где 6^
некоторые положительные числа.
Относительно функций а-(Х) и ft (X) , i
будем требовать выполнения следующих условий:
а)	при всех XGM' ,	2	, существуют поло-
'жительные постоянные в к А , такие, что
ба 6;(х) <JB >
б)	функция Л‘ (х) ограничена в 5j г, кроме того,
для всех	, *=/,5 ,
la-(х) ~а;(у>\ < L |л -у I *
\6-(к> - L\x-tj\* ,	\
где L и л - положительные постоянные, 4*1 , При-
этих условиях, как известно, существует фундаментальное
решение уравнения
ди <е дви , Ли
di 2 1 дха ‘ дх

(1)
т.е. функция	Ct>0,	, удов-
летворяющая уравнению (1) в области t>0	, xeDj
при фиксированном ^'«5^	, а тажке . условию
й/п Г у.)	J «€Pt- ,
кавова бы ни была непрерывная ограниченная функция ф(яе).
Определим теперь функции* а-(Х) и Т^(Х) , i*t,2,
с помощью соотношений
Ц(Х) , atty i
At(xt> . а?е^\Д-
t
11 обозначим	<i>01
ЪУ'пеыеатлпыюе решение уравнения ( 1), в котором вме-% '
85
сто	и fyf#) нужно положить соответствен^)
5дл?> и	. Функция Gj(trx,y) , i-<92
является продолжением фундаментального решения у) 1в-
нения (1) из области Х>- на К* . Заметим, что р< эуль-
тат работы не будет зависеть от данного продолжения
решения, поскольку мы будем пользоваться лишь теми
свойствами функции	, которыми обладают
все фундаментальные решения, а именно, согласно рабо-
там |4, 5] :
1)	функция	, в области
t^O 9 х ,	неотрицательна, непрерывна, непре-
рывно дифференцируема по t t дважды непрерывно диф-
ференцируема по х , причем для	.**1 2
J^2M\ г . Л	'
‘К^	2	К!> -h	,
где г и <5 - ц^елые неотрицательные числа,, для которых
2г+ 3 4 2 ,	- символ производной по t порядка f j
<0ж - символ частной производной по порядка «$ > Л
и Хг- положительные постоянные, * **• при Т*—’г
2)	 G;(t,se,y) , i»it2 , представима в виде
у) + 2; (,	(3)
где
а для функции £'• при 2г+ 3*2 справедли-
вы неравенства
\’>(Ъ.сЪ«.-’'.у>\‘Кт* e"PXht~yW
где te(O,T\	и А-положительные пос-
тоянные, оС - постоянная, входящая в условие б).
Мы будем еще пользоваться неравенствами (см.
[4, с.428, 44^1])	86
|jf в’	; - or{,
Э-Зг-З+Л, -3-.	,	|V.-|^
Л-fxt') 3 +<t-f> 3 (e)3\exp\^hL-y\._.
ru	1 I / j(5)
iiг'.и ty) |. Kra-t'fa АЦ-Л '^AX
'	*<e)
где 2r + S*/,Q , t>t'>0 f
НИЯМИ
= 1 ,
R1
/•/,г ,
, соотноше-
(7)
'	• •> •	<8)
<9>
OR1
а также аналогичными соотношениями для
(в этом случае в (7), (8), (9) нужно положить
~	г%>>	справедливыми при
t*G , XeRi., i • 1,2	. Доказательство этих соотношений
состоит в проверке того факта, что левая и правая части
любого из равенств (7) - (9) представляют собой реше-
ние одной и той. же задачи Коши для уравнения (1) с kos
фициентами	и 8'(Х) (или соответствующего
неоднородного уравнения).
Построение интересующих нас процессов проведем с
Помощью теории параболических уравнений с разрывными
коэффициентами (см.,например, fl} ). Искомый процесс бу-
Нэт построен с помощью полугруппы операторов Т. , t>0 t
87	1
• действующих на ограниченную измеримую функцию 
, по формуле t
ж*ж<> >
где	и	- неизвестные функции, под-
лежащие определению. Будучи суммой тепловых потен-
циалов, функция 7^	в области Jfy будет удовлет-
ворять уравнению (1) и начальному условию
Am Tt <f(T) • (f(X)
при xeDj ,	.
Функции Vj и V? будем искать из следующих двух
условий сопряжения в точке ж  л :
• Ъ<?(Я9+О),	(11)
0Tttf(X,-O> 0Tt?(x9*Q)
Ь *1* i» s9
(12)
где Д, и fa - некоторые вещественные числа.
Замечание* В теории параболических уравнений с
разрывными коэффициентами вместо условий (11), (12)
фигурируют условия
Т*Ф(хв-О> ' Ъ<Р(*0+°> */•,<*> ,
ДТ. ллг- О)	(fCX.+O)
-V»,
где fa СО , h-(t) ,	-некоторые непре-
рывные функции от f * Сравнивая последние условия с
(11), (12), заметим следующее. Равенство (11) означает,
что искомый процесс должен быть феллеровским, незави-
симость от t параметров ^/ ,	в условии (12)
следует из того, что мы рассматриваем однородные лро-
88
цессы, и, наконец, параметр ht в (12) равен нулю,так ’
как лишь в этом случае полугруппа 7^ является стохасти-
ческой.
Предполагая, что функции	(tr р) , i	не- * *
прерывны для	и используя формулу скачка
для потенциала простого слоя (см, (1), 9 1), убеждаем-
ся, что OTt<?(Xe-O) и О^(х^р) при / >0 удов-
Ох	Ох
летворяют соотношениям
дх Jf Лг г 7 4 дх * т
6f(*S
Л ДГ 1 i J M ' ,r
. (13,
6g (Xg)
Учитывая соотношения (13) и (10), из условий (11),
(12) получаем следующую систему интегральных уравне-
ний относительно неизвестных К и К :
ft	f 2
ft-	-	Of 9i <14>
4
6g(XJs Y 8t(Xg>1 r ’
где
*	• f	Ллл
89
Первое уравнение в (14) является интегральным уравне-
нием Вольтерра 1 рода. При помощи преобразования Гольм-
грена [1] приведем это уравнение к уравнению Вольтерра
П рода. Для эт^го умножим обе части .указанного уравне-
ния на Сз - О’	> О 9 проинтегрируем по t от
О до S и поменяем порядок интегрирования по t и
по Т :
0
J	(is)
глв f -S	----
♦fe-O	s /	4 & ~	Ъ т> >
с /	I "о?*?'
Ki <S’T> ’J	Хо ’ аР » * = '»* >
aQ(f)dt -з^Ф (з>,
о<	1
ж Г
%(s) • / Ф<л(1-,р»с1р •
*4.
Докажем*теперь, что имеют место соотношения:
(16)
О
(17)
Для доказательства соотношения (16) заметим, что из
неравенства (2) при S90 9 F = f п&гко получить оцен-
ку	Л
| — ФС>«-^\ iK-Wis',
os ♦	’
90
где Irl-	, *т - некоторая постоянная,
Отсюда следует, что несобственный интеграл в правой
части (16) сходится абсолютно в области з>0 . При по-
мощи неравенства (5) (3'0 , г*1) убеждаемся, что он
совпадает с	. Аналогично при помощи нера-
г венств (4) и (6) доказывается соотношение (17). Ис-
пользование соотношений (16) и (17) , а также легко
проверяемого равенства K(3s>*J *—-	*'4®	,
i ’ г
приводит после дифференцирования уравнении (15) по з
(и замены в окончательном результате з на t ) к урав-
нению Вольтерра П рода:
О	/
(18>
★
Заменяя первое уравнение в системе (14) уравнением
(18), ОТМеТИМ, ЧТО ПРИ ---------sJbbzx*- jsQ	сис-
/4<*р
тема (14) может быть заменена эквивалентной системой
интегральных уравнений Вольтерра П рода, разрешенных от-
носительно V; (t,cp>
3 Г
ML	< 19Ь
J# 4
91
W ’	9f _ It
а ядра #i: (t,T) являются линейными комбинациями
функций	и Kj(i,T) , i,j*lt3.
Докажем, что если <f(x> - произвольная ограни-
ченная измеримая функция на R* с вещественными зна-
чениями, то система (19) имеет единственное непрерыв-
ное решение в области t>-0 ^представимое в виде
?}<**> •#<*>	' -Л* ,	(20)
ff
причем ядро резольвенты Вольтерра в (20) допускает
оценку вида
• %
.	(21)
Действительно, для таких <f(X) с использованием нера-
венства (2) получаем при t£C0,T]
где К? - некоторая постоянная. Отсюда следует, что
такая же оценка справедлива для функции /Uj(t) ,
Используя представл ение (3) и неравенство
(4), находим оценки
92
йэ которых следует, что ядра	имеют сла-
бую особенность вида
,2 , i,j 4,t.
Поэтому для решения системы (19) применим обычный
метод последовательных приближений, откуда и вытекает
справедливость равенства (20), оценки (21) и непре-
рывность функции	, i*i,2 , при t^O .
При этом	_
где ^{/7, Г] , Кг - некоторая постоянная»
Из последнего неравенства , а также из (2) при Г90 9
ss 0 вытекает существование потенциалов простого
слоя в правой части (10).
В случае, когда (?(&) дважды непрерывно дифферен-
цируема и ограничена вместе со своими производными,
то можно доказать, что решение системы уравнений (19)
представляет собой непрерывную функцию в области t*Q.
При этом
\\И9(Г>\^КТ ,	/’А* ,
с некоторой постоянной в каждой области вида
te\O9T] .
Отметим еще одно очевидное свойство решения сис-
темы (19). Если	- последовательность огра-
ниченных измеримых функций на R1 с вещественными зна-
чениями такова, что <Рп(Ю—^Ср(Х^	при каждом
X€R* , когда л-*-** ,и 3UP	<о°	. ю
п,х
Sim У (t,Vn) 3 У; , i • /, 2 t
п 9 оа *	п	*
каково бы ни было t>0	. Отсюда вытекает, что
firn	VW , если только ffm ф„(Х) * <fW
При каждом хеИ1 и sup ср^(Х) < с*	. До-
кажем теперь, что при некоторых дополнительных усло-
виях построенная полугруппа обладает тем свойством,
ч*о она неотрицательные функции переводит в неогрица-
т^льные^
93
о	9в
Лемма. Пусть —.. — -	Г4— + О . Полугруппа
/4^
Tf , t>0 , оставляет инвариантным конус неотрица-
тельных функций тогда и только тогда» когда выполнено
одно из следующих двух условий:
[ft"’
<	или <
qs*0 {‘h*0	(22)
Доказательство достаточности совпадает
тельством достаточности леммы в работе [3]
жем необходимость леммы. Пусть при ———
с доказа-
_______
Т*</>(&) * О	для каждой неотрицательной функции
<?(Х) , а условия (£2) не выполняются. Рассмотрим
две неотрицательные функции
'О •
о *
и
О '

°
и найдем значение £ 9>Сж>
В силу представления (3), соотношений (7), (8)
функции	и неравенства (4) имеем:
Г
-7—*?«). «-/.в,
Я1	____
0 ,
в точке Хо
для
2/Г
где f.(t> , / -/,2 , ?(t) , /•*а;
неравенствам
(23)
(24)
удовлетворяют
\^)\<Кг1а , Кт1^, \r\i)\<Krt't/i .	(26)
Заметим еще раз, что первые слагаемые в правых час-*
тях (23)-(25) и оценки (26) сохраняются при произ-
вольном продолжении
94
фундаментального решения уравнения (1).
Подставляя выражения (24) и (25) в решение (20),
получаем 
I,	<v. ‘-'f».
где
Отсюда, а также из выражения (23) находим, что
/ t	ггл\
Т. V. (%,)*-{------------->
гя J1 ь
(27)
где
Проводя аналогичные вычисления для 7^ (pg >
лучаем	г ...
WV'S *! ' ч> *F“м•
где	удовлетворяет неравенству
1+4
I /Г t *
Г
(28)
, по-
(29)
(30)
в области
Из формул (27-)-(30) следует, что можно подобрать па-
раметр t>B так, чтобы знак в (27) и (29) опреде-
лялся первыми слагаемыми, потому из выражения (27)
имеем, что при 5====--==dSss ^0 t О: > О или
'j^=s^y=Ss^ 9 У 9 » t 4,2	. , функция
’у'Зр	для некоторого ,^в^9 должка быть
отрицательна. Аналогично из соотношения (29) следует,
95
ЧТО при ...—Г--•гю=шаг>0 ,	0,-< О	ИЛИ
;	f6,u,i
H6,w ~	функция
для некоторой ^*<7 должна быть отрицательна. А это
противоречит нашему допущению о том, что 7^ ф. (je)
неотрицательна. Тем. самым необходимость, а значит,и
лемма доказаны.
Далее, замечая, что для функции
* и, стало быть ,	,
приходим к заключению, что построенная нами шолугруп-
па операторов в условиях леммы определяет неко-
торый однородный необрывающийся марковский процесс.
Обозначим его вероятность перехода P(t,X,dy) , так
что
Ц ^>(Х) • J,P(t,X,dy)p(y).
Для большей наглядности последующих результатов вве-
дем параметр	который в условиях леммы
принимает значения |С|< / • Условие (12) при этом
запишется в виде
(c-о-** t— + (с^о-------------------о
Ох	0«
а функции	, преобразуются следую-
щим образом: >-
(C+OU	$<V
---------ZZhsiL:------------------,
,сЧ - f,4
(c-oJZ
,
2 с-/ Ci'f
/9я(х,>
™e с Г	OGott-x-.irA
Докажем теперь, что траектории процесса можно
выбрать непрерывными. Для этого достаточно показать,
что вероятность перехода P(t	обладает следую-
щим свойством:
«Л1	Р(*'л*аР‘кт*9'	(31)
где 1^(0 К? - некоторая положительная постоян-
ная. Зафиксируем некоторое	и определим функ-
цию
^ = |у-л|4, уе*'.
Подставляя у» (у? в формулы для Ф'(О и tytt) и ис-
польэуя_неравеиство (2), находим
г «/ -f/a
\ф<Л,у>\4 KT<i +t	t
откуда получаем неравенство для функции V- ,
i^,a , (te(0,TY> -.		'
Имеем теперь
+ ^G.(t-t,xlx0)Vi(7,<p)dtr , z<£$>- .
•io 1
Так как, в силу неравенства (2) (при t'^O,-saO )
Sup < J	‘ty*,
то при	(0, Т J f JC6 R	I — — (
J P^,x,clU)iKT(.t *J (t-Г) exp^-h -т—
97
откуда и вытекает свойство (31).
Подсчитаем, наконец, диффузионные коэффициенты
построенного процесса. Определим функции “У"**»
€ к .В силу представления
(3), из соотношений (7), (8) для функции 5/ (1,Я,Ц)
и неравенства (3) имеем:
+	, Z = /,2, />/7,
где ’~с'+/' °—^7"?’а ФУНК“ИЯ	>
допускает оценку
(32)
в области te(O^T2 « Отсюда, а также из соотношения
(8) вытекает соотношение
[fi(*'a'№(PdVaT+s9
хJzz.f/-T, гг, 4Г	+р. tf-f, jr,rp JC	,	(33}
0	f 1ч,2.
Далее , аналогичным путем получаем представле-
ние для функции, V- <t,fg) ,	•
Щ9+ 2(Т9-Я)t,<fg> , t>ff9
где	удовлетворяет неравенству
	(34)
при t е(0, Т] . Поэтому. использовав формулу (9), на-
98
,itf)q-X)dydT*2(xe~x)jc'i и-т,х,хв чц + * <*, Ъ усбг+
t	9
+ [б <*-*, х,х„> Ъ Ъ % >ат >	•
i	(35)
Теперь мы можем доказать» что для любой финит-
ной непрерывной функции 9 xtR1 с вещественны-
ми значениями справедливы соотношения:
>	* I69(i9y^p(xa)}
(36)
tim f	(и-
Ц91<
га&а(х) •(X) , Цх) = 6( (х) t ха^ ,
Чтобы доказать первое из них, ^умножим обе части ра-
венства (33) на непрерывную финитную функцию ф(Х)
и проинтегрируем под:.'
WxMjfyxMv +
(37)
О
где	f
LAt,x)	(Г,ж,р&М)4и f
° t
xtxe)<f(x)dx,
(t>x0> ‘J#; (t,x,xo> <p(x>4x , i• /,л.
A
99
Заметим, что из оценки (2) (при г* О , s*0 ) выте-
кают неравенства
справедливые при t 6 (О, Г]	. Кроме того, в силу пред-
ставления (3) имеем
Л/л £.(х) , Pirn v.(t.x) s^<p(xay , i* s,2 t
t]o 1	‘ Ц0 1 e 2	°	’ >
поэтому, переходя к пределу при t fff в равенстве (37)
с учетом оценки (32), получаем первое из соотношений
в (36). Аналогично из выражения (35), учитывая нера-
венство (34), можно получить и второе соотношение из
(36).
Равенства (36) означают, что для построенного
нами процесса с вероятностью перехода р (t9 х^сСу)
существуют в обобщенном смысле диффузионные коэф-
фициенты: коэффициент диффузии, равный	, и век-
тор переноса , ра вный а(х) * £ ^f(x0 * *	*
*(Р(Х-Х0) , где	d1 - функция Дирака, Заме-
тим, что при t}-0	получаем классический
случай склеивания двух диффузионных процессов.
Таким образом , нами доказана
Те орём а. Предположим, что на к заданы функ-
ции
fa).
5а(х)
причем (X)
удовлетворяют
х<Х0 >	х*Хо ’
а(х) « <
х^хо ’	I*/*'» х>хо >
и Q; (X) в области Dj , I
условиям а)-б). Пусть выполнено условие
|с | £ 1 . Тогда существует феллеровский процесс с не-
прерывными траекториями, вероятность перехода которо-

го удовлетворяет соотношениям (36).
100
Пристатейный список использованной
литературы
1.	Камынин Л.И. О существовании рещения краевых за-
дач для параболического уравнения с разрывными
коэффициентами.- Изв.АН СССР. Серия математич.
1964.28 № 4. с. 721-744.
2.	Портенко Н.И. Диффузионные процессы с обобщенным
коэффициентом переноса.- Теор.вероятностей и ее
применения, 1979. 26 . № 1, с.62-77,,
3.	Копытко Б.Й. О склеивании двух процессов броу-
новского движения.- В кн.: Случайные процессы в
задачах математической физики. К., 1979, с.94-
106 .
4.	Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н.
Линейные и квазилинейные уравнения параболичес-
кого типа.- М.: Наука, 1967. - 736 с,
5.	Фридман А. Уравнения с частными производными па-
раболического типа.- М.: Мир, 1968.- 427 с.
УДК 519.21
А.В. Скороход
О ЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРНЫХ
УРАВНЕНИЯХ
Уравнения, указанные в заглавии статьи, возникают
при описании систем, на которые воздействуют случай-
ные силы с независимыми значениями в различные момен-
ты времени (силы типа 'белых шумов') .С такой системой
естественно связать семейство операторов	кото-
рые переводят состояние системы в момент t в ее состоя-
ния в момент s>t . Если интервалы	и (u,v) не
имеют общих точек, то	и tf-iu) независимы.
101
Так возникают стохастические полугруппы, они изучались в
работах [1,2,3],в частности,было установлено, что они
удовлетворяют линейным стохастическим уравнениям.
Укажем другой источник стохастических линейных урав-
нений. Пусть квазидиффузионный процесс (см. [4] ).
Тогда для <р из DC0-* области определения инфинитези-
мального оператора Л * имеет место соотношение
+ (В<р(хр , CL иШ))
(1)
где В - некоторый оператор из DC А)	в гильбертово
пространство Н - винеровский процесс в Н . Пусть
. Тогда уравнение (1) можно переписать в
виде
+ 2 u^((V)^B^9e^dwkct),
где {fy}~ базис в Н ,	- независи-
мые винеровские процессы. Особенностью уравнения (2) яв-
ляется то, что его операторные коэффициенты являются не-
ограниченными < А - обычно дифференциальный оператор
2-го порядка, СВу^в^ >	- первого порядка).
В настоящей заметке рассматривается уравнение ти-
па (2) с неограниченными операторными коэффициентами в
предположении, что они коммутируют между собой и в пра-
вую часть входит конечное число винеровских процессов;.
1.	Рассмотрим сначала случай, когда уравнение рас-
сматривается в гильбертовом пространстве Z и имеет вид
dик(и>) - 2/.(и>)B^di + Z t (d>) S^du^Ct),	,3.
A*/
где операторы BQ , B1 ,	симметричны и комму-
тируют Межану собой. Тогда существует такая операторная
мера в R * E(dd99 ...	, значениями
которой являются проекторы, ортогональные на жепэресе-
мающихся множествах, такая, что £б]
...«<’•
102
(4)
Будем искать решение (3), для которого	-еди-
ничный оператор и 1(0) для всех t >0 является огра-
ниченным оператором. Уравнение (3) можно понимать в
следующем смысле: для всех , где JD - пересечение
областей определения операторов, имеет место соотношение
dl Ut (а»х,у) ~(V{ (a>) box,y)dt + £. (11 t (UJ) 5k x,%)dwk (i) (5)
для всех уеХ . В последнем соотношении слева под зна-
ком дифференциала стоит числовая .функция, она должна
быть	измеримой и иметь стохастический дифферен-
циал, равный правой части. Заметим, что такой подход к
определению решения дает возможность рассматривать и
неограниченные операторы 21(так называемые •'сла-
бые*' и*сильные*, и даже более обшего вида).
Теорема 1. Пусть существует такая постоянная
d <4-	, что
*	€ Q
(6)
/г»/ *
»
Тогда существует решение уравнения (3), задаваемое со-
отношением
л	г
(u/)	1	2	>У £ (ddg...ddr \ (7)
Доказательство. Из соотношения (6) вытекает, что
* 2 В* ”3,ж 2 d?-d ") Е (dd t ... э ddr )
к*{	° J ы *
является неотрицательным оператором, поэтому
E(dd0,...tddr-) -0.
—к.Гк
Значит интеграл в (6) можно брать по области <*,«<<4.^
103
Ъ этой области
da’.
Так как ^-в< * 0 , то выражение в правой части ограниче-
но:
- л2 + f a. vr. ) +
К2 ' 1 к 1 к к \? 7 / ' Л	'
поэтому подынтегральная функция в соотношении (7) огра-
ничена в области интегрирования* Следовательно, интеграл
в (7) определен и представляет собой ограниченный сим-
метричный оператор. Пусть Это значит, что
....
Тогда
г	/*
(1ii (и»ачр =(8)
*	Jlp •
Пусть	. где »„-£&>№	>*	- подпрост-
ранство, на которое проектирует X значение операторной
меры на кубе	в	. Тогда мера в соот-
ношении (7) отлична от нуля лишь на этом кубе. Очевидно,
что левую часть (8) можно дифференцировать под знаком
интеграла. Дифференцируя, будем иметь г
ц(*)+
104
+Л64-
Интегрируя по t ,
г
-£ 2	«4 *ДО *
О
г 1
*<« • (Q)
В области ofZ»^, >v^ подынтегральные функции огра-
ничены. Действительно,
e®p{Zz лк iffk(s) ^(а0-^л8к )}ав <2^ exp\Lik **<*>★
при '1о'*0 . Но при некотором ^$0 правая часть не пре-
восходит	*
Г Л
а ограниченность этой функции уже была показана. При
Ц\exp{L dkurk(s) +	j.8k ))» =
4I«"w.
эта функция также ограничена. Далее,
\\\exp\fakvrk(S) + s(^}Zf Uj} <
105
i—2—tsv-J- ’
а ограниченность функции справа уже доказывалась. Поэ-
тому в выражении (9) можно перейти к пределу по
а последнее множество плотно в X .
Таким образом, соотношение (9) справедливо для
всех у , Тем самым доказано существование дифферен-
циала Ито у функции	xtP, уеХ . При х*Х>
)}(Е	.dJr «*
..
мы воспользовались равенствами J f... •	~
, справедливыми для лю-
бого измеримого множества «У в	• Следовательно,
соотношение (9) можно переписать следующим образом:
. v	' t
а последнее соотношение означает, что - Е и выпол-
нено (5). Теорема доказана.
Замечание 1» Хотя IIС(0>№ при каждом t~**0
конечна и для каждого &’>0 ограничена в области ЯГббУ,00),
однако, вообще говоря,	иеограничена. Пусть
г»/ . &в~о , ^я(г°*«utf>(u), ^е^с-00,00)
, тогда	ия L
иHf(t)—
ПЛю)ф(и)^е
„4	° 1	1
Пусть / / Л у ииг(Ь- — j —	. тогда
) е
106.
в (t \/еГ
) b	du-i,
/✓	UF$(i>	9
( f \BC 2UUT(t)~uSi - "~7F~	1 aLfW
-(—-) e	2t au^—e rt.
л J	fas
Следовательно,
Vim IlZLfaofi*~~8im в Bi «
t—0	* g <2 t+0
так как Д7п ' \.	s * "°
логарифма.
Замечание 2. Tеорема остается справедливой, ес-
ли условие (6) заменить следующим:
в силу закона повторного
где ~ некоторая постоянная. Единственное отли-
чие в доказательстве то, что в интервале (7) область ин-
тегрирования будет иметь вид J^-всЛд Ла^ tjb.
Замечание 3. Пусть для
42 и выполнено неравенство
^£-
при некоторых
Тогда
ИЛшу = П V?(<&) ,
1 f i
где
...............................................чаг~),
(dJlt	,
107
(О)	(р
при этом U , (ШУ и (W удовлетворяют стохас-
тическим дифференциальным уравнениям
• и^иавлИ +$_ 1/^(и>)Вкс1игк(t) ,
Г	* О	г	Д’ ДГ >
dV* сип* У* (u»Bkdidk(t>.
«
(*)
Замечание 4. Обозначим (W) решение сто—
хастического:>уравнения
dW^Ca»- W&\u»BkdWkCt) *VfW(u))bkdt, к •/,4,..., f .
Для этого уравнения выполнены условия теоремы 1 и его
решением будет
cti+u-v'dA^
E(dd^................d<tS.
0
Пусть, далее, Wj. - неслучайная полугруппа, для которой
dw**w*(%~*tbk) ,	ЕШ9„„,ал^,
Тогда
/*	[L\
1/. (и») • П IV. <л?> ,
г к»е
2. Рассмотрим теперь вопрос о единственности реше-
ния уравнения (3), Предположим, что имеется два ограни-
ченных решения с одними и теми же начальными условиями.
Обозначим их разность через	. Для всех
и ^€Х будет выполнено соотношение
d(Uf (а>)л^) • (fyavfyJC'yidt + 2. (. funB^^Jdu^ (t),

вытекающее из соотношения (S). Пусть	» тогда
определена величина
- к	л
иг)
,t
поскольку мера отлична от нуля лишь на [г#,#] ,а
на этом множестве подынтегральная функция ограничена.
Для любого дгед) выполнено следующее уравнение:
dfy (ab,x)=Jdexp^'2 dkurk(t)-f(d^yZ.d^)x
Г Г v	г
xf£6^, „.,аЦ.у,х)«Wk
^lJkatdk(i^(d+tll)dDCE(d4o	»
»Z \exp\-idkt,..tddr^^
k~i	1	* I J
* <wk a	) J ((&a »•
r	£ 
+I t?k )E(tta9, ...,dd^xydt^^{^^kx)didkay-

109
Выберем базис	• лежащий в D . Тогда
(W,em)clt +
+Ц(<»ъетуЩ^
Г
^<0"ДЧWKQty(u>)t&kem)dtfke)-
-Z (и. (шу&кх, ет )(z* (wy,bkemydt.
к*/
Интегрируя эти соотношения от О до £ с учетом, что
ц,*(и))«е "О , и складывая их по т , получаем:
(UtW)X, Xf((O)) = 2 Д	сшу ,етУ-
У
^шу^ету(х/ФУ,В9етУ^^^
t
+2
к*1 Ju
9	110
,£>кет%dwk(s) .
(13)
Предположим, что знак суммы можно внести под знак ин-
теграла, тогда
(to)x, X* (io>)	(и>)&0«, %(">)) -	(to)x, &0 хв(ипу -г
О
^1. ^us(u>)x,£^xg(u>)) - (и3(ш), Ькх, В* xs (to) ]]<** +
+ 2 J («ОZs(u») - (us (a>),x,£>k xs(a»)J du^(s).
Если Вд Uf (W) - &k на Д) для всех к в 9,<>..., г ,
то выражение справа равно нулю. Следовательно, в этом
случае	г
(a^toyXfX^to^^O.
Из формулы (12) вытекает, что когда	.то
х^(и»еХ)м . При этом отображение ij-*~X{(u>) взаим-
но однозначно отображает Dk на Т>к :
“л <Ь * *(ЧГ>}£(аЛо...ddr >
(последнее соотношение справедливо при каждом to ). Та-
кик1 образом, (й^(Ш)я f и > • О	для иеХ)*	.значит
Uf(tO) ас ъО для	. Из плотности J> в X
«ограниченности й(to) вытекает, что и.^(и>)»9.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1.
Тогда решение уравнения (3) Т1^(и>)г для которого вы-
полнены условия: 1) Zlf(to)bk(x)^e>k1l^(W)tK. при осев-,
С’гвенно.«Р^Л10Л:1*<*5 для всех ксХ> „ един-
111

&
Доказательство^ силу предыдущих рассуждений дос-
таточно показать, что в выражении (13) можно суммы вне^
ти под знак интеграла. Другими словами, нужно обосновать
предельные переходы под знаком интеграла. Для интеграла ,
по ds будем иметь, например,
ф	I fl
О	и
(\и$(а»Вва18+ Ia)ds .
Таким образом, суцествует у подынтегральной функции
интегрируемая мажоранта, так как	- функция,
ограниченная на каждом конечном промежутке. Аналогичные
опенки справедливы и для других интегралов по di . Сле-
довательно, для этих интегралов можно внести сумму под
знак интеграла. Для интегралов стохастических, чтобы до-
казать, что интегралы
Л «*	п
сходятся по вероятности к нулю, достаточно доказать, что
г ”
J	(14)
о
сходится к нулю по вероятности при «-*•*• .Но
112
Т’ак как правая часть стремится к нулю при	и ог-
раничена интегрируемой величиной
I 1 я
(напомним, что|^^)| локально ограничено), то ин-
теграл (14) стремится к нулю при /7->*оо с вероятное >
стью 1. Значит суммы в выражении (13) можно внести и
под знак стохастических интегралов. Теорема доказана.
3. Рассмотрим теперь случай нессиметричных опера-
торов. Предыдущее рассмотрение симметричных подсказыва-
ет подход к исследованию уравнения в этом (случае. Теперь
X - некоторое сепарабельное банахово пространство.
... •>	~ операторы в X с плотной общей областью
определения JD . Они коммутируют между собой. Рассмат-
ривается уравнение вида (3). Решение	предполага-
ется при каждом t ограниченным оператором, а функция
для всех ос&Х) - непрерывной в X и удов-
летворяющей соотношению
dU.(a))x - UAW) S> х dt +1L 'll, (u>) b, (x)dur.(t).
*	*	Ы *	(15)
Воспользуемся замечанием 4 к теореме 1. Будем ис-
кать решение уравнения (15) в виде
Г (LX
	<1S)
где
dW°(a>) =
Для существования решения первого из уравнений (16) нуж-
113
но, чтобы B^-cC.2	было производящим оператором
некоторой локальн£> ограниченной сильно непрерывной полу-
группы. Для построения решения второго уравнения предпо-
ложим , что для всех вещее твенных f оператор •*
является. также производящим оператором не-
которой полугруппы (f)	. Кроме того, пусть '
(/9 сильно дважды дифференцируемо по^* ,для плотно-
го множества :
d	«	<**„<*>	а*
— vt	yt
Действительно, воспользуемся следующей формулой
представления полугруппы через резольвенту (см. [б ,
с.28б] ) :
*("^'л Ч х=
(18)
Дифференцируя допредельное выражение, будем, иметь
п * гг2 '	\ п * П'2 / </
П. ' п пх2 I к' к

Пусть 2)^. - область определения оператора . Исполь-
зуя ограниченность второй производной и существование
пределов
CL^ ”	|
114
n+оь	n(s~*)bk) ***
убеждаемся в справедливости формул (17). Положим
тогда
- v“(LV(tf) [2^-Ц- *dt -
- V^^LiffCtЙ 2^ B* (sc) •#• V™(£ UT(t))&k X duXi) 4-
4,	/
+-V^efadt= Л-«г<о)\&kduw +dB*dt\x.
2	"t *
Таким образом, справедлива следующая
Теорема 3 • Пусть существует такое *z£*	>что
1) оператор	^9? является производящим
*	*х/ Л
оператором сильно непрерывной локально ограниченной по-
лугруппы ; 2) для всех R оператор
является производящим оператором локально ограниченной
полугруппы (/)	9 для которой справедлива формула
(18). Тогда существует решение уравнения (15), предста-
вимое в виде
и,(О))Х wf П &(*)) х .
i	кН i Ч '	(19)
115
Пристатейный список использованной
литературы
1.	Скороход А.В. Мартингалы и стохастические полугруппы.
В кн.: Теория случайных процессов, Вып.4, К.: Наук лум
ка, 1976, с. 86-94.
2.	Буцан Г.П. Стохастические полугрупПы.-К.: Нау к.думка,
1977,- 216 с.
3.	Скороход А.В. Случайные линейные операторы.-Наук.
думка, 1978,- 200 с.
4.	Скороход А.В. Стохастические дифференциальные урав-
нения для квааидиффузионных процессов.- В кн.: Асимп-
тотические методы в теории нелинейных колебанийДС.:
Наук.думка, 1979, с. 211-219.
5.	Березанский Ю.М. Самосопрякенные операторы в прост-
ранствах функций бесконечного числа переменных.-К.:
Науклумка, 1978,- 360 с.
6.	Хилл Э. Функциональный анализ и полугруппы.-М.:
Изд-во иностр.лит.,1951.- 635 с.
УДК 519.21
Г.Н. Сытая
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
ОТ БРОУНОВСКОГО ПРОЦЕССА
В статье будут рассмотрены некоторые дифференциаль-
ные уравнения, с помощью которых можно определить рас-
пределение функционалов
Е (t) - j Г f( tff(u), ufW))dudtr	(1)
"	\f(tf(u).w(tf»dur(u)durao (2)
v 9	116
от процесса броуновского движения vrtt) в том случае,ког-
да функция	представима в виде
(3)
«• ( FQ(.t) есть кратный стохастический,.интеграл, введенный
в статье [1J ).
Отправным пунктом будет служить нам следующее ут-
верждение .
Теорема 1. Пусть f(X), g(X),Q'(X) непрерывны
и ограничены. Рассмотрим величину
= Меар&Л \ф(и7({)+л) -a-J* f(W(s)+x)ds+
Если (t^X) ограничен^ и имеет непрерывные ограни-
ченные производные	• то U*	является
IZ vCC fir*
решением задачи Коши
^L. + id +id f(x)u ~^-^£(х>и
решением задачи
/ 0su
dt ~2
Ox*
t/l
Заметим,
личины
что	есть характеристическая функция вэ-
f	t
F(t)s<P(ur(t)) + J f(w(s)}cl3	(uf(s)>dur(s). (s)
Доказательство этого утверждения проводится подоб-
но тому, как выводятся уравнения для распределения адди-
тивного функционала Ггт(бл^(ЗУ)о13 от диффузионного
процесса 2;(3) в книге^[2лгл.УШ] •
Для нахождения дифференциальных укравнений, опреде-
ляющих характеристические функции величин F> (t) (см.
117	4
формулы (1) и (2) ) прежде всего заметим,что для
определяемой формулой (3), функционалы F-(t) прини-
мают вид	и t
F^tb-L Uj(J q>k(w(uy)du) ;
*	2
FAt^L. (UW) dtf(U)) .
* K Jo *
Рассмотрим соответственно функционалам F;(t) сле-
дующие функции	, которые при т*0, х*0
обращаются в И ехр^~р F-(t)^:
VfT*"'*	/\6)
N t 0
typ, т,1,х)*Меяр^-р1< ^[J Vk(tf(U)+#)ai0(U)+mfy-i)
тк при dk>0'^
V»k при dk<0"^
fit* - вещественный a p- комплексный параметр ,
Ftep>0, Для функций lT-(p,m,t,&') оказываются
справедливыми следующие утверждения.
Теорема 2. Пусть в разложении (3) функции
(рк (X) непрерывны и ограничены. Еслй функция	(р, т •,
t,x) определяемая формулой (в), ограничена и имеет не-
прерывные ограниченные производные	, то
8х 8хя
t,x) есть решение уравнения
2 fat*	J fan^
С начальным условием
118
Теорема 3. Пусть в разложении (3) функции
непрерывны й ограничены вместе со своими производными
(&)	. Если функция ^л<р,т\ t,x) , определяемая фор-
мулой (7), ограничена имеет непрерывные ограниченные '
производные	. & Уа , то it t,xy есть ре-
Лг * 0хя 8
шение уравнения
п Ы	.	. мН	jAr
fA'i^Z </„т±	1 rttVf aoJJ!.
st й 0ха ы * дх dmk	Ч tifydfn-
с начальным условием

Доказательство теоремы 2. Поскольку при Рер>0
09
-оо
к функциям <.р,т ; ttx) можно применить преобразо-
вание Фурье по гг*^ .
В случае функции пГ. (р х) , положим:
г t *
J ^(ttr(d)fx)d/f при Лк>о^
°. ct
-< ^k(ur(u)+x)du при
Тогда
119
Применив к (р, т ; Ы - кратное преобразование
Фурье по всем пп, (Аг«Л, получим, что
1 м?
———
у=£*'и1>	,
*•/ Z?/>PAI	(о)
(9)
Воспользовавшись теоремой 1 с Ф(&) = 0, у(ХУ*О
, для функции
dt
будем иметь следующее утверждение:
если tpk(x) непрерывны и ограничены, а функция
<r	определяемая формулой (9), ограничена
и имеет непрерывные ограниченные производные dt/f ,
dsut	,	.	дх
~—g	, то	удовлетворяет уравнению
^7^"'//*^'	(10)
с начальным условием
(11)
Отсюда заключаем , что функция	(8) удов-
летворяет тому же дифференциальному уравнению (10) с
начальным условием
£ -/?
&
Подвергнув уравнение (10) и начальное условие (12) об-
ратному преобразованию Фурье, получим утверждение тео-
120
ремы 2.
Поступая аналогичным образом длй доказательства
теоремы 3, найдем fit - кратное преобразование Фурье по
всем гл, функции	в	’
t
где
ui
Положив в F(t) (см. (5) )	f(X)sO, /4^ =
= tZ,	• получим для и	следую-
шее уравнение:
dt & дха W* * дх S'k*rkr* J л (13)
с начальным условием
ил\ > э<
j?|
Следовательно, функция удовлетворяет также уравне-
нию (13) и начальному условию в
fl ~П '^'1^
(14)
Обратив уравнение (13) и начальное условие (14), получим
утверждение теоремы 3.
Пристатейный список использованной
литературы
1. Сытая Г.Н. Об одном кратном стохастическом интеграле.
- Укр.мат.журн., 1964.16, № 3,с.351-364.
Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных
процессов.- М.:Наука, 1977.-568 с.
121
УДК 519.21
Е.В. Черкашин
СТРУКТУРА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ -АЛГЕБР,
ПОРОЖДАЕМЫХ ПРОЦЕССОМ С КОНЕЧНЫМ
ЧИСЛОМ СКАЧКОВ
Целью настоящей статьи является описание момен-
тов остановки и структуры фундаментальных (7 -алгебр
при	- прогрессивно измеримых^при / = / -
вполне измеримых, при / = 2 - достижимых, при -
предсказуемых множеств, порождаемых линейной комби-
нацией элементарных точечных процессов. Данное описа-
ние для элементарного точечного процесса рассматрива-
лось, например, в работах [1,2] , В данной статье ис-
пользуются обозначения работы [1] .
1. Описание в случае точечного процесса.
Зададим процесс соотношением	» где 2 и
V определены на некотором полном вероятностном прост-
ранстве * У 9 Р> » Не ограничивает общности предполо-
жение	последовательно, сама случайная величина
/ является моментом остановки относительно естествен-
io связанного с X потока (3 - алгебр
Пусть	- пространство,
котором лежат значения случайного вектора (S')
< которое является декартовым произведением Я* на
Введем меру
Р(&) *Р'({и>\(#№), 3f(uP)€3})
а $ - алгебре & (R* * R) - борелевских множеств
пространства Р •
Процесс У	’ где
, удовлетворяет свойству стохастической
эквивалентности в широком смысле с процессом X .
Зстественно связанный с У поток -алгебр имеет сле-
дующую структуру:
122
Теорема, выделяющая моменты остановки относитель-
но семейства среди неотрицательных случайных ве-
личин, имеет следующий вид.
Теорема. Неотрицательная случайная величина Г
представляет собой момент остановки относительно се-
мейства тогда и только тогда, когда при некото-
ром (возможно, равном + °° ).
Т^5 на {т£Т0} и Г=-г на	•
Доказательство.Так как <5 -момент остановки и
б -алгебра предшествующих 5 событий совпада-
ет с 7- ’ то приведенное условие является достаточным^
В самом деле,величина Т	0js -изме-
рима и Г-З t поэтому Т' - момент остановки,кро-
ме того, Т ®	"" сУжение постоянного момента
остановки на элемент б - алгебры 9,.Г-ГлГ.
Для доказательства необходимости предположим,
что при всяком сформулированное в теореме условие
нарушается. Пусть такое, что{г*®?}	,
при этом полагаем	,если данное включение
не имеет ;места для всех конечных значений ? .На мно-
жестве $ > 1в силу предположения событие
z	имеет положительную меру, причем
*‘г’ г>
(объединение берется по рациональным л ). Значит для
некоторого г* множество | Т(и>) i г ')• не пренебре-
жимо, и, поскольку Т - момент остановки, получаем
противоречие. Следовательно, сформулированное ^условие
является необходимым. in
Пусть A *{(t, Ь ) | P\U« €[ > 0 }	- множество то-
чек из С , проекции которых на ось * являются ато-
мами распределения случайной величины 1L , Будем обоз-
начать множество атомов V. через А1 , таким образом,
4 в А'» R . Классификация моментов остановки выгля-
дит следующим образом.
Теорема. Пусть Т - момент остановки.
(а)	Г является предсказуемым моментом остановки тог-
123
I да и только тогда, когда Г>Л на	и Т*Т0
на { г г '»
(б)	Г является достижимым моментом остановки тогда
и только тогда, когда Р{Г	;
(в)	Т - вполне недостижим тогда и только тогда, когда
^ + OO}=Z7-
Доказательство. Необходимость (а) следует из оп-
ределения предсказуемости. Поскольку должна быть по-
точечная сходимость элементов предвещающей последова-
тельности (Т*) к 7 на множестве ^(7,0 |	г
то, во-первых, автоматически (Тп) сходится к на
, а» во-вторых, для каждого U> |
должен найтись номер	, такой,что
Т (О» -5 (со) . Отсюда по определению предсказуе-
мости T(w) >S (и»	•
Если приведенное условие выполнено
- последовательность чисел, сходящаяся снизу к мо-
нотонно, то последовательность
предвещает
S(f.Z) +А/^/(Г(ГЛ)”^(Г,Фри
?к	при
Г. L

Из доказанного следует, что график предсказуемо-
го момента остановки может пересекаться с графиком 3
г, существенным образом * лишь на множествах вида
, где Г' - атом распределения слу-
чайной величины 11 . Следовательно, условие (б) необ-
ходимо.
Проверим достаточность (б). По теореме Лебега
множество А1 дискретно. Пус^ь^Ту	- набор
тех атомов распределения # , для которых выполнено
включение
с[Т] л И
»
124
и которые расположены в порядке возрастания,
Построим следующее семейство предсказуемых моментов
остановки:
	Т(Г,£)	при	к-4
	W;)*'	при	Тб U Ti > 1*4 1 *
		при	rs*k .
Объединение графиков моментов содержит график Т.
Достаточность (в) очевидным образом следует из
общего вида предсказуемого момента остановки и опре-
деления полной недостижимости. Наконец, если имеем
вполне недостижимый момент Т , то P^T*COnst\*Q и
Г -Q , значит rrl'Pl ". На множестве
А значение Т равно *"° (если бы для какого-ни-
будь	было выполнено T~S на{^,С)|С£	,
, то предсказуемый момент пересекался
бы нетривиальным образом с моментом Т ), а следова-
тельно, условие (в) выполнено. Теорема доказана.
Теорема, (a) X =
(б)	•> >
(гЦ = <7{<Я(15,+ <и’1); [f.-sb	.
Доказательство* (а) Обозначим Л 6 -алгебру в
правой части равенства формулировки теоремы. Так как
ЬхЦ,ВеЛ([р,4})} ,
го всякое ^множество из Л является прогрессивно из-
меримым.
Обратно, пусть А - прогрессивно измеримо. Мно-
жество	в силу определения прогрессивной
измеримости борелевское и, следовательно, входит в Л.
Другую часть А - множество Лл|[0,«з|[	- можно
представить в виде объединения множеств
125
Лг-Xn{^,40|e<r,rar,4tf^} ,
где /* принимает рациональные значения. Каждое Аг
есть декартово произведение некоторого борелевского
множества из [0,г] на{(<г,ф|твг, R} , а их
объединение имеет вид ) п [ 5,3£	, где
6бЛ(#+) и значит также принадлежит 0L . Итак,
а •
Для доказательства (б) достаточно проверить \
ьктачвть	• Оно очевидно, потому что в ка-
честве порождающих множеств можно выбрать еле-
дующие:	f	tzsbsup Я^СА) (fyU)
- проекция Л на ось Г (и ([$,£][	, s9ieR+ . Все
они являются стохастическими интервалами.
Аналогично получаются остальные утверждения тео-
ремы,	порождается набором предсказуемых
стохастических интервалов Гл . где
. множество^т"[
при
при
г>гл ;
С™)
при ***к~1/п 1
при 1к~*1п **"**/•
при с >	.
2. Случай процесса с конечным числом
скачков. Рассмотрим теперь процесс с п скачками,
величины которых случайны. Можем считать последова-
тельность моментов скачков неубывающей и сам процесс
представимым в виде
X-Z Or* ,
* |[Т*.***[_ ’
где ^>5	,	, и множества
=5}- ^пренебрежимы относительно
меры Р1 для любых	£ Р £п .
Как и ранее , пусть Q	I >
- пространство значений случайного вектора
V„,Z„)t где]Г=Гг ,
л , и пусть Р- мера на <5 -ал-
гебре борелевских множеств	, задаваемая ра-
венством
Р(Ы*Р‘({(У,?)ев}).
Процесс У=£Д^+ОО|[	> гм
стохастически эквивалентен исходному процессу X.
Введем обозначения. При всяком фиксированном Ь
равенства
0-4
задают очевидно разбиение Q. на попарно неперосекаю-
щиеся множества. Будем обозначать ТО & -алгеб-
ру борелевских по первым к компонентам множеств.
Другими словами, ( О порождается системой эле-
ментов вида
В таких обозначениях 4?^* (S2) совпадает с <7 -ал-
геброй борелевских множеств в 5? t 93 (£?)-<$(£?),
Если А Я Q , то (В(ку (А)	_ индуцированная VO
& -алгебра в А .
Пусть	- поток <5 -алгебр , порождающий-
ся процессом V	л Справедлива еле
Дующая	___
Лемма.	(/)) , к -ft,/?} ,
Доказательство. Нужно показать, что сужение 9^.
113 множество	есть	при любом
Начала докажем, что сами (О - элементы .
127
1
Очевидно
Пусть 3*t
n
входит в J* как атом :
, йбб , рассмотрим разность
«	"	(4 л "
д;<л)»и (N.(.tti\\Z К:*л¥)\(НЛ9кии N.torALt
1	к-{	к (.*«/	t J	о k-f	к 1/я/
л к-1	f Z А ,
-I/ и ^лО)л{гС;?вДС,<4.
ка2 1'1 f * 'М 1	t-1 * J
_ n ГЛ , n
Пусть далее
1	n h-i	_.?	к
П{Х 4;^a}~U U 0(S)nM (t)n{£ K-£a,Z l?;>fl} •
W 1 J k*21”< e * hl
Поскольку U (ZT'(ti) U Д\!(Л» * U N,(t)	, где
a,s '	2 к *2 к
объединение в левой части берется по всем рациональ-
ным Л и s , Jii , то, следовательно, Л^бГ)- эле-
мент <7^ . Совершенно аналогично из принадлежности
множеств	,i’O, к
.следует (t)e^ ,
Сужение на есть:	.потому
что
=6/v/$)/nл;а),
и /У/*)-{У^гг}л
.. ..Если верно, что нН NlA*3 &+ индуцирует
$	, то из соотношений
к	к k-f
{Z	U ,{Z Т^Г,1
I * J r*UVi-f 1 J U*rlt4*1 *	/./ f J
где г пробегает множестве рациональных значений из
[«.и « t t_,
{<Г,‘r,itС,. »r-ej-
128
> следует, что и на N^Ct) ^индуцирует борелевс-
кую по первым к переменным (У -алгебру.
Данная лемма дает возможность получить необхо-
димое и достаточное условие того, что неотрицательная
случайная величина является моментом остановки jb рас-
сматриваемом случае. </f4>
Символ Т.	({Г	условимся
1/ *аГ
по определению понимать следующим образом: часть гра
фика Т , расположенная строго ниже графика 3^ .яв-
ляется графиком	- измеримой функции, и
кроме того, если в точке	... >3^,4,,.)
Т « Sjt	, то для всякой
... , Т* , С,'п )	, такой, что	*
/Z/./	» выполнено Т(т[£'>	,
Теорема. Неотрицательная случайная величина Т
представляет собой момент остановки относительно се-
мейства тогда и только тогда, когда

Доказательство. Так как	f то доста-
точность приведенного условия следует из следующего
представления для случайной величины Т :	^{04745^
Каждая компонента в правой части равенства в силу ус-
ловия теоремы является моментом остановки^ операция
минимум, примененная конечное число раз, не выводит
из множества моментов остановки.
Необходимость. Предположим противное, пусть най-
дутся такие к и соответствующий ему момент 3^	,
что сужение Т на{7<^}	}	не ПРИ~
Улежит Л*	.Другими словами, Г
5а {Т < J- либо не измерим относительно	,
нарушается условие постоянства Г по переменным
7 » /	• Поскольку = U	9
129
Г - рационально, то найдется такое л*' , при котором
{rttyr, . Таким образом» Т моментом остановки
являться не будет» и» следовательно» условие необходимо»
Сформулируем и докажем соответствующую теорему
о классификации моментов остановки относительно потока
'	•Пусть 4в{^>1 sk >
где .	- множество атомов ,
к^ .
Теорема. Пусть Г -момент остановки относитель-
но потока б -алгебр (X) . „	. Тогда
г г
(а)	Т предсказуем тогда и только тогда, когда
Т{тчк}еа’*П^Т‘^- Ь'77" 
(б)	Т достижим тогда и только тогда, когда
(в)	Г вполне недостижим тогда и только тогда, когда
P(U {Т*5.	*/.
Л-/ 1	J
Доказательство, (а) Необходимость. Пусть Т -
предсказуемый момент остановки, тогда существует не-
которая предвещающая его последовательность моментов
остановки (7 > ,	. Момент Г молодо предста-
вить в виде
7» Г Г л... ЛТ' -Л7\
{г>0}	y„./TiSn} '
причем на каждом из множеств
Т. есть предел последовательности
Тт	х
у “ ФУНКЦИЙ» принадлежащих v»
' * Достаточность. Воспользуемся поседним представ-
лением для момента Г и построим предвещающую Т
последовательность >по следующему правилу:
130
(Г-5Р	• «о™»	.J-
Поскольку в силу предположения 7L	, то
Тп
7{Гл< 5 * }	~ также элемент Л %и, следова-
тельно, 7***{ipH всяком п есть момент остановки. Оче-
видно, что Тп<Т Р - п.н. на{Т>0|- .
(б) Поскольку	t то из общего вида пред-
сказуемого момента остановки следует, что графики
и предсказуемого момента нетривиальным образом пе-
ресекаются лишь на множествах ,поэтому если Т -
достижимый момент остановки, то его график содержит-
ся в счетном объединении графиков предсказуемых момен-
тов , и условие (б) выполнено.
Обратно, пусть выполнено условие (б), которое экви-
валентно требованию, чтобы графики моментов Г и
пересекались только на . Рассмотрим часть Г ,гра*ч
фик которой лежит строго выше графика 5^ . Пусть
t? 9 J ч - последовательность тех атомов распреде-
ления 5 , значения которых принимает момент Т .Слу-
чайные величины
являются предсказуемыми моментами остановки, и оги-
бающей их графиков служит график	у • При каж-
дом к будем рассматривать атомы момента	»
z г / т тогда в данных обозначениях [Г]*0 у (Г?] .
(в) Данное условие означает, что график Г содер-
жится в объединении графиков 5* с , каждый из кото-
рых. пересекается лишь тривиальнь^л образом с графиком
k произвольного предсказуемого момента 5 . Следова-
тельно, [Т1 И IS] также не имеют общих точек, усло-
вие (в) достаточно. Если предположить, что Г не удов-
летворяет (в),	, будет иметь ненулевую ме-
ру при некотором	(So^0)	, и поскольку
^{T>S У является предсказуемым моментом оста-
новки, *то Т не вполне недостижим. Это доказывает необ-
ходимость данного условия. __	.
Из доказанной теоремы следует ,что семейство
квазинепрерывно слева тогда и только тогда, когда все
моменты распределены непрерывно. В этом случае
131
понятия достижимости и предсказуемости совпадают.
Приведем без доказательства теорему о структуре
фундаментальных ff -алгебр для рассматриваемого по-
тока. Ее доказательство идейно ничем не отличается от
доказательства аналогичной теоремы в одномерном слу-
чае.
Пусть в пространстве
символ Л ^обозначает борелевскую по переменным
& -алгебру,	• Есл»
А - некоторое случайное множество, то ' (А)
индуцированная 01( * & -алгебра в А , Пусть также
• А‘*
прообраз /г при отображении о* 9 (*; - атом 5Д
Теорема, (а) £	,^.*Д ), X-pjn} ;
(б)	*<% >
(В)	[j J,
M^-s{aa'asi,Sl,H'i),aaiase,^'>, i = Ь>} .
Пристатейный список использованной
литературы
1Деллашери К. Емкости и случайные процессы.- М.:Мир,
1975,- 192'с.
2.Фишер Х.Ю. Об одном простейшем потоке сигма-алгебр,
порождаемом общим точечным процессом.-Теория верояг-
ностей и математическая статистика, 1979, вып.20,
с.128-137.
132
УДК 519.21
BJ4. Шуренков
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ТЕОРИИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
В АСИМПТОТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ
Переходными называются явления, возникающие при
в асимптотике решения уравнения восстановле-
ния	£
+ \ , (1)
если вместе с t могут изменяться свободный член $ и
мера М •
Задачи на переходные явления возникают в таких раз-
личных по своей структуре разделах теории случайных про-
цессов, как предельные теоремы для сумм случайных вели-
чин, граничные задачи для случайных блужданий, ветвящие-
ся процессы. Например, пусть я* , t*0 ,есть регенерирую-
щий случайный процесс с моментом регенерации Ш .
Числовой случайный процесс	, называется
аддитивным случайным функционалом процесса зс* * t*0 ,
если процессы	нвза~
висимы и распределение последнего совпадает с распределен
нием процесса	t-Q . Совместное распределе-
ние Cj. и сдвинутых на t функционалов от траектории t
иъО , удовлетворяет уравнению типа (1). Именно, если
, то t
f. (t) « д9 Ci) + Г At (du) f.tt-u),	(2)
о /J J о о
где
Res^o,	,
i^(du) = p	£da^ f
133
Т* -оператор сдвига на t траектории процесса	«и* о,
& - ограниченная случайная величина, измеримая от-
носительно процесса	.
Таким образом, изучение совместного предельного
при	распределения 7^. 4 и соответствующим об-
разом нормированной величины приводит к асимпто-
тике решения уравнения (2) при t-— —, S . Причем
мера	9 вообще говоря, только в пределе при
становится вероятностной.
Другой пример связан с изучением предельных рас-
пределений граничных функционалов от полунепрерывных
процессов с независимыми приращениями. Пусть ,
, есть сложный пуассоновский процесс с положи-
тельными скачками и единичным сносом, т.е.
ре -е
зс
где &&0
Р^ - условная вероятность при условии
дю «-5 +пиалу,
мера L конечна и неотрицательна.
Пусть также есть момент первого выхода тра-
ектории 4L , £ £0 из открытого интервала СО,*) , т.е.
. Тогда (см„напри-
“ч>’^ ’
* °
(3)
гае
134
-неположительный корень уравнения
и неубывающая непрерывная справа функция Н9(Х) при
каждом s^Q является функцией восстановления, соответ
ствуюшей мере	~H9(^)dy с плотностью
•»
Г	(х-цуй(з)
* * J	1
т.е.
Г e^dH. (tJ) =------1---------- ,
4	1-\" С?* ц$«рЩ
“а
Правую часть формулы (3) можно переписать в виде
J	— j 1sa-pMs<p,
о	Ks о
ол	'
г xa(s>
где $sly>sLe L	. Следова-
тельно, предельное при Z -*•»• поведение совместного
распределения	и соответствующим образом
нормированного момента 8% оказывается тесно связан-
ным с асимптотикой при t **” * , л 9 интеграла
fs(^*[X9g(x-y+uidHgty)	. который
является решением уравнения восстановления
О
причем
Г
I s (yjdy =--------------- .
J tf
Традиционной областью приложений теории восста-
135
новлеиия являются ветвящиеся процессы. В работе Г21 
показано, что исследование предельного поведения распре»
делений критических ветвящихся процессов сводится к
изучению рекуррентной системы уравнений восстановле-
ния. Желание изучать асимптотику ветвящихся процессов,
близких к критическим (см., например, СЗ , гл.шЗ
приводит к переходным явлениям теории восстановления,
В течение всего изложения используются следую-
щие обозначения, соглашения и сокращения.
Вероятностное пространство (Я,«Г, А) предполага-
ется достаточно богатым для того, чтобы на нем мог-
ли быть определены все встречающиеся в дальнейшем
случайные процессы и величины.
Для максимального и минимального из чисел л и
6 используются два типа обозначений:
тах(а,в) • a v6 ,	min(a,6>* алб.
Все встречающиеся в дальнейшем меры на вещест-
венной прямой <т считаются определенными на боре-
левских множествах. Значение меры а на интервале
(или	[о, б] , (а,61 )обозиачается
(соответственно fit(a,6>t 4J, fi{(Q,61).
Под мерой понимается счетно-аддитивная функция мно-
жеств. Неотрицательная счетно-аддитивная функция мно-
жеств называется неотрицательной мерой. Вариация ме-
ры на интервалах , <0>г6) ,fyz,6] , i£at61
обозначается соответственно Увг fit tpt6) , УЫр (а,б),
Varp[a,6], Var fif .
Символом J® всегда обозначается интегрирова-
ние no замкнутому интервалу
Определенная на	функция gf называется
непосредственно интегрируемой по Риману, если
136
Семейство	функций на	называ-
ется равномерно непосредственно интегрируемым по Ри-
ману, если ряд
2 вир
сходится равномерно по МЛ к
М?	ггвСЙ.АЛ**]^^’
Вели семейство функций	на С^*м?
имеет непосредственно интегрируемую по Риману мажо-
ранту, то для равномерной непосредственной по Риману
интегрируемости этого семейства необходима и доста-
точна равностепенная непрерывность на подмножестве
полной лебеговой меры каждого из интервалов и] ,
iff,/,.,. ,	*
Переходные явления теории восстанов-
ления. Пусть	, А •	, есть последо-
вательность конечных неотрицательных мер на
каждой иэ которых^ соответствует функция восстановле-
ния Н*(<е)	гс.*. Нк(*)”2'0Млкг(Х) ,
где ж*0,	- Г, *£'’*$₽>•(	са^).
V
Пусть также последовательность AfyCafp,
слабо сходится к вероятностной мере	, т.е.
” ?
о
какова бы ни была непрерывная ограниченная функция £
Пусть, наконец. /Лд есть полная масса меры
°	137
Теорема 1. Пусть последовательность борелевс-
ких функций у* ,	Л*,.. , на С?,?*) такова,
что (для некоторого
лир
к
SUp -----
уго fvyf
9	...
при А-*-°* , у-*- , у (п\к-1 > “*• % .
Тогда,если
eim sup j умксау)	<5)
t
X	1	С.
~7Т f	w-lfVV-/'у ° ЛЦ
Q	D
при хА	х(тк-с .
Доказательство. В частном случае	•
ря0 утверждение теоремы принимает вид
х Я [»,«] ——/.с//л-и
х	х-*-^ е'	(6)
А-*- «*
и может быть доказано переходом к преобразованиям Лап
ласа. Интересующийся читатель без особого труда проде-
лает это самостоятельно.
На основании соотношения (6) утверждение теоремы
также доказывается весьма простр. Действительно,
7?^	1к<*ч-р><н1к i*<f> •
О	х v0
138
ffe	r 1	' 1
$ * f'£
r	ww-t»
Если ж-*—, A—«, х(/пЛ-/>-* С , то-—------r-г
[х(7-$Л>]Г
сходится к А’С(/-ул> равномерно по	и
Ху^(ху)при всех Ц>0 имеет предел —J*»* ^dt , поэ-
тому предел первого интеграла в правой ?асти выраже-
ния (7) равен
/-е
ftw-pu-ji
Г°*\-
(8)
О
Далее, в силу неравенства (4) выполнено неравенст-
во	*7	, с некоторой постоянной Ji .
Следовательно, при абсолютная величина второго
слагаемого в правой части (7) не превосходит
(Ж> ~ **
Предел этого выражения, в силу утверждения (6), равен
Л	.	л
J 6 Ц и, следовательно, выбором	мо-
жет быть сделан сколь угодно мвдым. При этом выраже-
ние (8) будет сближаться с ~ J
, что и требовалось доказать.
Доказательство следующей теоремы содержится сре-
ди результатов работы [4] (см.также f5j ).
Теорема 2. Пусть последовательность борелевских
Функций 9	на °® равномерно непосред-
ственно интегрируема по Риману. Тогда если
ft/Л «//>
139
' и распределение вероятностей нерешетчато, то
л	с/ °°
I д. (х-ц)<*н.ап-~ е л Г олиуац—- о
«при л ***» А 00 9 зс	с •
Теорема 3. Пусть в условиях теорем 1,2 меры
сходятся при	к МСйу) по вариации
и при некотором целом	мера М\. несингулярна.
Тогда если последовательность борелевских функций ,
к*<<,2	имеет монотонную ограниченную интегри-
руемую на	мажоранту и последовательность мер
на	такова, что
Sim	9
, /г-кем»	к
и
с*
dim sup I я Yar* Hk(.dx>»О,	(9)
<-*«* A
то
Я	Х-Х
о	о
1
при	.
Доказательство основано на изложенном в работах
'g-sl методе банаховых алгебр мер на ?рямой.
ПустьуСу)^» 9 есть неотрицательная монотон-
ная ограниченная интегрируемая функция» мажорирующая
140
<
последовательность ^<у> »	•
Сосредоточенная на	мера ? принадлежит
совокупности & тогда и только тогда, когда Уй'' ***•
и	Ж
&im xj у<х-у>Уаг lidyi•!-.
Совокупность co сверткой в качестве умножения мер
и обычным образом определенными сложением мер и умно-
жением их на скаляры образует банахову алгебру, если в
качестве нормы меры 9 взять число
Yar	Var ,
В силу монотонности и интегрируемости р банахова алгеб-
ра ® содержит например, все меры с УЛЛ ? Г^,00) <ел
н -Р 9	• О . Последнее очевидным обра-
зом вытекает из ^Ar> *°* t ЧТО1 в свою
очередь, обеспечивает принадлежность банаховой алгебре
& одновременно с мерой Р меры с плотностью
Последовательность Kiep 9п t я • f, i ,	 из®
сходится и к мере 9 в топологии банаховой алгебры YC
тогда и только тогда*, когда последовательность 9п ,
, сходится к ? по вариации и
Pirn аир х Г yfx-yjYar 9„(dp) *0.
fl у/
Это условие вытекает из такого: dl/p <	»
л ..	.**
что , в свою очередь, следует из того, что аир Г X Ydf* fyda
п £
х 0 • Нетрудно также понять, что последнее уело- ,
вие и слабая сходимость Рл , л» /, 9, ...	, к ? обес-
печивают сходимость в топологии ® мер с плотностями
?Л [у, °° ) , л • 6 f . ... > к мере с плотностью
Pty,**).	А
Пусть , наконец, & есть изометричная банахова
141
- алгебра преобразований Лапласа:
оо
, Repto ,
о
teSC ,
Используемые в дальнейшем результаты работ [в*,
7] могут быть объединены следующим предложением.
Если сосредоточенное на	распределение ве-
роятностей имеет конечный положительный первый мо-
мент и при некотором целом ft * 1 ju - кратная сверка
распределения 9 с собой несингулярна, то
/~77~	*
<~Р €&
f-i(p)
(Ю)
Цель дальнейших рассуждений - доказательство соотно-
шений
Я Х~х	~
я	F
ГN. (dxrfi. а-х)-~- +— I xN.
J *	* A 4,1	*
о	о
(dx>—-a
(12)
при	*
Х-*-*» , А-+-«*» ,	.	(13)
Здесь	есть функция восстановления, соответствую-
щая распределению вероятностей. Функции
и Нк связаны простым тождеством
X
тк(Х> 9 ^к^ *<тк~*>] $к <&“фйНкЧР '
• *&	(14)
К соотношению (11) приводит следующая формула, в пра-
ведливости которой проще всего можно убедиться, перейдя
к преобразованиям Лапласа:
142
X
о
о
(15)
где
X
(16)
О
"к
(17)
На основании выражения (9) можно записать, что
X
Sim sup х \ й(*-з?) Ya г L- (dtf> -О,
X-^oo n Ja	л
0
Ключевым моментом доказательства является следующее
предложение: мерыпринадлежат tC
и при л -*• о® сходятся в топологии ЯГ к мере f* с
Г[О,Х) • I
О
(18)
143
или
оо
Доказательство вытекает из простого тождества
Выражение в фигурных скобках является элементом ба-
наховой алгебры w и, в силу (5), сходится при А'-*'®*
в топологии « к
а М(р)-4	f-М (р)	1
f-p
Но из условий, теоремы и выражения (10) вытекает об-
ратимость	в » , поэтому в силу непрерывнос-
ти операции обращения в -банаховой алгебре можно утвер-
ждать включение
1
\ для Bgex достаточно больших к * сходимость в тополо-
гии в последнего выражения к	. Это как раз к
означает нужнуА сходимость мер
144
Отсюда
Пт
Ж
мр ж j ^ж-р/^гдум/.
* V
(Ю)
Неравенство
%
о
+21 ^<4р<ж-р I
0	0
справедливое для любых неотрицательных мер и ,
показывает, что благодаря соотношениям (19), (17)
Л* *JV4,dyJ
• о
Значит *
gf^dx)j
О О
~!р*Пк<р ~
в условиях (13), и для доказательства (11) осталось
заметить, что Г{Р»*•>.
Далее, если в формуле (15) положить	•
то получится , что
Г	Г	t
J	[0,*~*>+щ J rk[otx)dx.
о	ъ	> *4
145
Отсюда	и из того, что L. &?»••? - nk - 1 ХЛС ('</«),
	
	-/П4 [[/** . о
очевидным образом следует (12).
Не ограничивая общности можно считать, что пос-
ледовательность	слабо сходит-
ся к	и что tim	;
*-*••• Vff *	*J(f
при «том >VC^»
Пус^ь	ж
&к<«)
и пусть *^**‘e* » *кпк"*‘<*' *	'
Тогда, как показывают теоремы 2 и соотношение (12),
. СХ/Л f*
равномерно по *в	для всякого
’ если Х>0 •“
Л.Г<7,	Глагол),
**» я* *-►*> О' Л %	
С помошью тех же рассуждений, что и при доказательст-
ве теоремы 1 из тождества
5	Г
Г Ак(<1л)&к бг-аг) «]	dx> Gk(^ (/-&» f (20)
•4	»
146
• получается, что
I л- —
ч> * .	ас
л 4>
—^-0
при х —00 , к*Afk[0,o*)-*-d , X(/nk~f)^c.
Если теперь заметить, что благодаря тождеству (14)
X
тк Х J Nk (dac> & (Z ~ * ~<PdMk	*
*0 J0
jg X-x	X
i 0	0	1
и собрать согласно этому тождеству соотношения (11),
(20) , то после приведения подобных членов получится
утверждение теоремы.
Аддитивные функционалы. Применительно к
уравнению (2) теоремы 1 и 2 дают следующее утверж-
дение.
Теорема 4. Пусть неотрицательный аддитивный
случайный функционал 6 , i^O стохастически непреры-
вен и распределение вероятностей M(dW> • pCHtcdU.)
нерешетчатое. Тогда если
рзп t ре т - f-а t
где ЛО . *
ся в нуле, то
, и функция Р медленно меняет-
147
ton rK)./,Pn.d_.Pf r^at,
<•*•• ' r ' .Pfa 4
(21)
где
StQ	r ,
* Г
случайная величина 2^ ограничена, измерима относитель-
иояу , <*0 и случайный процесс Г, * ,	. стохас-
тически непрерывен.
Доказательство. Так как	> то параметр л
а уравнении (2) можно считать вещественным не' трина-
тельным. Равномерная непосредственная интегрируемость
по Риману семейства функций
, 3*0	(22)
вытекает из неравенства &СР <Л* ЦП) 9 Г1Хе С
есть константа, мажорирующая величину , и из равно-
степенной непрерывности на множестве точек непрерывнос-
ти распределения момента М каждого из интервалов
, что следует из стохастической
непрерывности процессов	*№>***•
Теперь для доказательства осталось заметить,что
соотношение
Д t 9
эквивалентно (21).
Теорема S. Пусть аддитивный случайный функцио-
нал С/ • * стохастически непрерывен и распределение
148
1
HUctUi^P(ffteiiu) нерешетчато. Тогда если РШ
Р(Сл-ивио п	, то
[f dL] 1
^еа:р>
L
и процесс
r^at,
- -0
где	• случайная величина^
ограничена, измерима относительно , *
, 1*0 стохастически непрерывен,
Доказательство достаточно провести в предположе-
нии, что
£ -£ ^0 при t*m и£ -£ гс для некоторого с*0,	(23)
gj/l о
Действительно, всегда можно определить пару про-
цессов , t^O и , t *0 следующим образом;
^таа(О,^о) ,
^^+тах(°л
тк+<

и если
te Ш/сн ?
, то

Ct’Ct
*	I
(здесь
) .Определение процесса
t *0 получается заменой 5*. на “ К* •
Ясно, что при всех неотрицательных з+ и 5_ • про-
цесс	9-	. удовлетворяет усло-
виям (23) и является аддитивным случайным функциона-
лом. Кроме того,	г’.'
тической нормальности величин ^5
ческой независимости
Дует асимптотическая
независимость от
поэтому из асимпто-
и из асимптоти-
их от гпри всех	сле-
нормальность и асимптотическая
пары, величин г /Г *
149
что , в свою очередь, очевидным образом влечет утверж-
дение теоремы.
Итак,, пусть имеет место условие (23). Тогда па-
раметр $ в уравнении (2) опять можно считать вещест-
венным неположительным. Равномерная непосредственная
цнтегрируемость по Риману семейства функций (22) дока-
зывается незначительным изменением соответствующих
рассуждений из доказательства теоремы 4. Как вытекает
из теоремы 2, для полногр доказательства теоремы 5 ос-
талось заметить, - что
— а.
U	5^0
Ветвящиеся процессы. Всякий ветвящийся про-
цесс с частицами одного типа, превращения которых мо-
гут зависеть от их возраста» связан с некоторой случай-
ным образом эволюционирующей популяцией» состоящей из
однотипных частиц. Каждая из существующих в данный
момент частиц независимо от своего происхождения и на-
личия других частиц по истечении времени своего* сущест-
вования превращается в некоторую (возможно , пустую)
совокупность новорожденных частиц» Потомство частицы
может зависеть лишь от возраста, в котором произошло
превращение.
Пусть есть число частиц, существующих в мо-
мент времени i • Достаточными условиями для конеч-
ности х* с вероятностью 1 являются конечность сред-
него числа потомков одной‘частицы и положительность
(с вероятностью 1) времени существования одной частицы
(см.,например, [3 , с,233] ).
Математически эти условия можно записать следую-
щим образом. Пусть начальная совокупность состоит из
одной новорожденной частицы и -усть Г есть момент
превращения первоначально существующей частицы. Тогда
сформулированные ограничения означают» что
*1
150
Эти условия постоянно предполагаются выполненными.
Теорема 1 из работы [2^ для процессов с одним
типом частиц дает следующий результат.
Теорема 6. Пусть	и распределение ве-
роятностей	* те du)	нерешетчато.
Тогда если
©о
рг< , о*Ря*(х*-г><~, РтяЛиМ(аи) < <»,
ч)
то
А/л /Р (~at еар {- ~ 4L
/-^00 Ч '	6 I в а,
где
Рг
и>0, а9---------	.	6 »----------- ,
9	Ртх?	piat
Если число /» "Prf<.wM(j^,ee> близко к единице,
но. возможно, не равно ей, то формулировка этой теоремы
допускает следующую модификации^ величины а и 6 вы»
чис л я юте я по тем же формулам).
Теорема 7. Если при вероятность Р из-
меняется таким образом, что
Ал» t |/»-/| < •** ,
Pirn P(rvrxr,		
	у..'.. °'	(24)
Pim Р(ж^. ч х* х		
		
Pim Pxv (.лт~1)	>Г,	( 25)
151
и все предельные (в смысле слабой сходимости ) распре--
деления для Mid и) нерешетчаты, то
tpLLac tu\-~ - —
[а **
"5°г;
о.
где
Г’
m-f
Доказательство достаточно провести
в следующих
дополнительных предположениях. Именно, пусть вероят-
ностьзависит от натурального параметра к
Характеристики ветвящегося процесса, вычислен»! ie по
вероятности Р* , снабжаются индексом к , Например,
mk - Ркхг < <au) *Рк (xr » те•
Пусть,кроме того, последовательность мер
Л-/,2,..., слабо сходится при А-*-** к распределению
вероятностей M(du) и существуют положительные конеч-
ные пределы
a * Pirn—-—	,
6 r Pirn —=—I—’-
*** Pk*xt
В этих дополнительных предположениях утверждение
теоремы эквивалентно следующему:

при	(26)
152
1
Для доказательства достаточно показать, что в ус- •
ловиях (26)
/ Р I \ Рае
при достаточно малых по абсолютной величине Р*^»
Из общих уравнений теории ветвящихся процессов
(см., например, £3 ,c.23jJ ) для функции
справедливо уравнение
f(ttp) • (е?-f )/.*({,-) +J L	•
где
* Г
р*0, L^du^p^du), jk(u,Si) ’/> Г| Гш4Г]-/,
4 0.
По теореме 1 из книги (3,c.ll2j можно записать
/ *	Q	ft
q,(.ut2.)«а.(и)% +—6 (и)* -е. (и,*.)% >
<к	*	1 *	* a	(27)
гае ге[-/.о],	’
\z.t •
( 28)
153
 при	*0 и, как показывает выражение (25)(
Ат» лир I Ljdu'ii t-lU,*) • 0.
ЦО к Ч * К
Пусть, далее,^ f(tf?) есть решение уравнения
представимое в виде ряда по степеням у
*	Г*4 г с Г/
(29)
коэффициенты которого определяются по рекуррентным
формулам
t-U
0	0
где г *2 ,	Ж* и	есть функция
восстановления, соответствующая 00^(0(41).
Для У* СО получается уравнение восстановления
* b.a	+1 MJdu) (f*(t - а).
’	* Jo *	1	(30)
Условие (24) обеспечивает применение теоремы 2, кото-
рая показывает, что (в условиях (26) )
Отсюда вытекает существование положительных постоян-
ных Сл и С , удовлетворяющих неравенству
С,
(31)
154
при всех кг 1, t *0.
Оценка снизу требует пояснений. Пусть положтмьное •
велико,
число te так мало, а натуральное число  kt так
что
inf	• e>0.
получается,
что в
условиях (26)
H.(i)
ft /10
* w
----------e .
^uM(du)
Следовательно, можно считать, что

(32)
для всех к*ка и достаточно больших t.
Кроме того, H£t> сходится при Л -*• •• к
восстановления Htt) , соответствующей M(du)
чем разность H(t) ~	отделена от нуля
полненным для t*tf , *» кв
и нк(?> на>
что	при всех кгк0 ,
ния (30) следует, что
функции
, при-
при
Это позволяет неравенство (32) считать вы-
'в , к * к9 , Наконец, так как
, то можно считать,
1ъО .Из уравне-
О
Если	.то	ng и
btMk<t)n8^ t Если же , то
^’^9
155
Таким образом, левое из неравенств (31) выполне-
но при	, t * О , к* к* . Сдвиг параметра А
на к0 вправо дает требуемое»
Не ограничивая общности можно считать, что
'	— sup I L	* с
* * V
и	С (1У t) Пря t>0. Из этих
дуют (сМфДоказа^ельство неравенств {11)
(33)
неравенств еле-
в статье (X] )
следующие:
к	$г-2	г-1
(1Yt ) ,
' Г	~
(34)
которые, в свою очеред^, влекут абсолютную сходимость
ряда (29) для р 4 t ~ и оценку
4cWvt)
-rnin(f, 2с\р\) ^f^(t,p) £0	(35)
для ~7~Т * Р * "	» где *=	~ (см.получение аналогич-
ной оценки в £2] ).
Далее, на основании выражения (27) можно при
t-f4pt0
записать, что
* у К ff	1г П
t
О
156
Первое слагаемое в правой части неотрицательно и
не больше, чем "X-j	). По-теореме 4.1.2
из монографии [3] второе слагаемое мажорируется по
абсолютной величине выражением
i
(du^Ct-u,
»
а третье слагаемое .неотрицательно и, согласно оценкам
(28), (3S) не превосходит
с
Следовательно, если обозначить
ftp, Ь » sup Lk (t,°°) + kc9sup j Lk(du)ik (u, Pep),
Xr	к g
то можно записать неравенство
t
£ (tA + [ M. (du) I £ (t-u,-) - r:(t-u ,£-) L
'if/ \r / J * I * V к U I ’
итерация которого приводит к неравенству
Vs ^0
Если положить здесь Vst и умножить обе части на f
то получим, что	t
i)
157
По теореме 1 правая часть в условиях (26) стре- '
мигея к нулю. Для доказательства теоремы осталось про-
верить, что (в условиях (26) )
- А	ра*
-------1	• W*<	<3<?’
1~Pa 2 ' vr
HO
* t r,< r r!
Неравенства (34) гарантируют равномерную no i *0 f
k~ft2,... , сходимость этого ряда при |р|<^	,
поэтому утверждение (36) вытекает из справедливого в
условии (26) асимптотического соотношения:
(37)
При r*f соотношение (37) выполнено. Пусть (37) дока-
зано для Гу/.......л-/	, тогда векторы
я- / . /
—1 Iп J \ L лай)5. (и) <£«-и) у* „
({-и)
(38)
равномерно по	, ограничены.
В самом деле, равномерная ограниченность на каж-
дом конечном интервале изменения t следует из нера-
венств (33), (34). Но тогда неограниченность (38) оз-
начала бы существование такой последовательности
Iе* , что вектор (38) не имел бы Конечного предо—
158
ла при	, А-*** .Не ограничивая общности, мож-
но считать, что существует конечный предел
Л»£-/
“Г'"',,'ЛТТГ — и, следовательно, предел (38) при
равен
Z. (и)г! (п-г>! (-Л ам/~---\ е^б^инийи)-»
• a(n-n^uM(du)n!^j *ап(£-2^п *ев*.
о
। Требуемая ограниченность доказана. Попутно вычислен
предел (38) в условиям (26). По теореме 1 с ^•л-Л
следует, что в условиях (26)
i J~n к	i(6\*п{\е™ Ф-Л **«’$> л-Svfu
в . %
Входящий сюда интеграл равен следующему:
и, стало, быть, соотношение (36), а вместе с ним и тео-
рема, доказаны.
Полунепрерывные процессы с независимы-
ми приращениями. Пусть 4^, t~0 есть однородный
процесс с независимыми приращениями, траектории которо- .
го непрерывны справа и не имеют отрицательных скачков.  *v -
Тогда	\ ,
р*е •
150	1
1
где 3*0 t	- условная вероятность при условии
ж
4Cs> « afs * а,л*+[	1-з (ул lfy,(dy),
к
•ив
aa*o , 1Лйу)*о,	<в®.
Предполагается, что процесс 4^ , t-О не являет-
ся монотонно возрастающим, т.е.
д£+ таоеуб* ~ai *1
О
>0.
(39)
Асимптотический анализ совместного распределения
момента 8* первого выхода процесса , **0 из
интервала (0,Х) и положения & в этот момент
основан на предельном поведении функции Нл(х> при
®	°® , з ~*~0 , которая по своим свойствам весь-
ма напоминает функцию восстановления и определяется
своим преобразованием Лапласа
*	p-a(s)
J 3 ' • А/тп *5
где ф(3) есть единственный неположительный корень
уравнения Л(р*з»0 . То, что равенство действительно . f
определяет непрерывную возрастающую функцию (х> ,..
показано в работе. [1J .	' i
Как асимптотика Hstxy , так и дополнительно '	1
накладываемые ограничения существенно зависят от эна» . |
ка числа	••
f	160	- I
(здесь и в дальнейшем штрих обозначает дифференцнрова--
ние). Так если /и* О , то единственное дополнительное
ограничение состоит в конечности ft .
Если же ft “О , то предполагается конечность вто-
рого момента процесса , t»0 , или, что то же самое,
конечность второй производной А(») в нуле
Л "(о) • 2ag * Г^*4 (<1у) < •» .
Наиболее жесткие ограничения накладываются в слу-
чае ft*О , а именно: Лб?)”1 при некотором
и	* 00	, или, в развернутом виде,
•О Л£/
и
ai4 * аа 9* + J•О.
о
В силу выпуклости A(t) наложенные условия определяют
число f единственным образом.
Далее
А(р)+з
К3(р>


поэтому
и ........ , при каждом
W»
являются преобразованиями Лапласа неубывающих функций
А(л(вс) и $g(X) соответственно, являющихся , в свою
очередь, коэффициентами уравнения восстановления для rtgCr)i

161
Теорема 2, проверка условий которой для этого уравне-
ния тривиальна» дает следующее.
Пусть семейство борелевских функций J,s , я*0
равномерно непосредственно интегрируемо по Риману на
. Тогда если ^>0 , то
' S	С/ Г
j *— * J • '• («»
0	•	XS с
если	, то
X	-£!*,-
j feW '•	,41>
9	о я»я+е
Ж
i -
1 44^
— > -
* «	’	<42)
если (!^0 , то
? Л9	9 f
i	из
Асимптотический анализ распределения и
, опирается на доказанные в работе fjQ формулы:
162

R3(X-x)
*s(*>
X	*2*	(44)
f Rs(*'ipL ty*t,~)dy-\Rs(x-*-pl ty*t,->dy,
>	*
(48)
X
f (ac-u>q<s>
Jtf * dH <y> .
где
x€(O,z) , s<0t t*0, R3(xt*
Для упрощения письма удобно ввести параметр £ ,
зависящий от знака ft :
у»0(0-> s , если fj*8 t и £ равно положительному ’
корню уравнения А(<р *0 , если ft *8 , т.е.
* О, если ft* О
*01 если
О
Далее, правая часть в Формуле (14) имеет вид w
R.tX-ee) ?
О
где
i** ЖЛ W f.
о
Так как	• rfle
*?0 (см., например, [9 , с.457] ). то выражение
(45) показывает, что в случае fi*O
163
Ра(х-х>
' 1 '	““ в	*’"г
s	SfD
(47)
равномерно по t Отсюда и из формулы (40) вид-
но, что если ff*O ,то разность между (46) и выраже-
нием
[у*/,—
равномерно по стремится к О при x-cr-*>ee ,
-*-с	. Кроме того, из (4S), (47) следует, что
в случае
PJ4 * *>	----ь- Q
равномерно по ж *0 • Таким образом^ можно считать
доказанным следующее утверждение.
Теорема 8» Если	, t>0 , ,то
[&(*'*)*	1
fy f Г 0
------g X
z-x-***	//J

равномерно no X s t.
Аналогично рассматривается случай fi*O .Из ус-
ловия (43) и из легко провер яемого соотношения
R(X)	следует, что после умножения на в
?
выражение (46) сходится при ^"*"*"в*	к
164

.Кроме того,
равномерно no зс t О .
Этим доказана
Теорема 9. Если	t>0, £> 0 , то
Г sfL(x-x)f
i \y-t.-Xtg
равномерно по * * 6,
Рассмотрение случая в предположении
-
~ #*/мало чем отличается от л/ч*« . Действитоль-
•
X
но,
!гв(х-х>
9-х
-J------ .что
л
при
можно увидеть из выражения и представления
j	M(s> Г <>ядоф z
—Р<г>»в	4 J7 flf—A. .
X s	J	X 8 V
165

Поэтому PL [fe {ftp *	*- 1-u >0 и как показывает
условие (41), предел (46) равен
?-<* •
Случай *“£----требует привлечения теоремы 3, Дей-
' ствительно, выражение (46) можно переписать в виде
г z
N*tXydy) j Gg(X-y-V+t)dHgOf) ,
0	*4
где


p
а распределение 4 щ> имеет массу 1, сосредоточен-
ную в точке ас. Вариация меры (ее, dy> не превосхо-
дит 2 и, равномерно по л ,
Л'/б*, с?,**»-*-0
£-О*
Х-сс-*-»* , з-*-0, ——*-(.
Кроме того,
——| и Var М*(ее,du) *--------1-0
х >fi «. 9 S < с-*-*®
равномерно по X^ec^OtS . Lo теореме 3 и в силу усло-
вия (41) можно заключить, что в условиях
о	Х-Х
Х-Ж-*-** , а-£> с , —	.
Х	(48)
166
разность между умноженным на ~ выражением (46) и
I С 1^?	м
^Iffl	О
стремится к О равномерно по xtt>0 ,а из (42) сле-
дует, что в условиях (47)
JB з? я
р авномерно по х t 6. "*• О ,
Полученные соотношения могут быть объединены
следующим предложением.
Теорема 10. Если (J*0 , t*0,	0, 4*0 ,го
равномерно по а? *4.
Пристатейный список использованной
литературы
1.	Королюк В .С.,Супрун В.Н.,Шуренков В.М. Метод по-
тенциала в граничных задачах для процессов с неза-
висимыми приращениями и скачками одного знэша .-
Теор.вероятностей и ее применения, 1976. 21
с. 253-259.
167
2.	Шуренков BJ4. Две предельные теоремы для критичес-
ких ветвящихся процессов.-Теор.вороятностей и ее при-
менения, 1976. 21 о. 548-558,
3.	Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы.- М.:Наука, 1971,-
-436 с.
4.	Сильвестров Д.С. Теорема ".осстановления в схеме се-
рий, 1.П -В кн.:Теория вероятностей и математичес-
кая статистика. К. 1978. вып.18 с.144-161: вып.20,
с.97-116.
5.	Шуренков В.М. Предельное распределение момента выхо-
да и положения в момент выхода из широкого интервала
для процессов с независимыми приращениями и скачка-
ми одного знака.- Теор.вероятностей и ее применения,
1978. 22 с. 419-425.
6.	Рогозин Б.А. Банаховы алгебры мер на прямой, связан-
ные с поведением мер на бесконечности.- Сиб.матикурн.
1976, 17. с. 897-906.
7.	Рогозин Б.А. Асимптотика функции восстановления.-
Теор.вероятностей и ее применения, 1976, 21. с.689-
- 706.
8.	Рогозин Б.А. .Сгибнев М.С. Максимальные идеалы ба-
наховых алгебр* мер на прямой.- Мат.эаметки, 1978,
с. 315-318.
9.	Гихман И.Й., Скороход А.В. Теория случайных проЦес-
cobJB 3-х т.-М.:Наука,1973,-	Т.2, 635 с.
168
СОДЕРЖАНИЕ
Алиев С.А. О переходных явлениях ветвящихся
процессов ••••••• ••••••••••••••	3 .
Бойко Р.В. Предельные теоремы для одного
ветвящегося процесса с переменным режимом	13
Булдыгин В.В. Предельные теоремы в функ-
циональных пространствах и одна задача ста-
тистики случайных процессов •••••••«••	24
Буцан С.П. О разложении Леви для неодно-
родных мультипликативных стохастических по-
лугрупп	37
Ел ей ко ЯЛ. Переходные явления в теории
многомерного восстановления с дискретным
временем •*.•••••••••••••••»..	47
Исакова ТЛ. Одна предельная теорема для
диффузионных процессов	«л. ...... .	60
Колчпнский ВЛ. ЗакоЪ повторного логариф-
ма для эмпирических мер •••••••••••• ' 73
Копытко БЛ» О склеивании двух диффузион-
ных процессов на прямой ••••••••••••	84.
Скороход А.В. О линейных стохастических
операторных уравнениях ••••••••«•.•	101
Сытая ГЛ. О распределении некоторых функцио-
налов от броуновского процесса •••••••	116'
Черкашин Е.В. Структура фундаментальных
6 -алгебр,порождаемых процессом с конечным
числом скачков •••.•••.•••••••••	122
Шуренков В.М. Переходные явления теории
восстановления в асимптотических задачах тео-
рии случайных: процессов ............	133
. 169
УДК 519.21
О ПЕРЕХОДНЫХ ЯВЛЕНИЯХ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРО-
ЦЕССОВ/ Алиев С.А. - В кн.: Вероятностные методы
бесконечномерного анализа. К., 1980,с» 3-13,
С каждым переходным явлением связывается предель-
ная теорема о сходимости последовательности соответст-
вующим образом нормированных ветвящихся процессов с
непрерывным временем к ветвящемуся процессу с непре-
рывным фазовым пространством (процессу Иржины)^ До-
казывается теорема о показательности предельной функции.
Список лит.; 3 назв.
УДК 519.21
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ОДНОГО ВЕТВЯЩЕГО-
СЯ ПРОЦЕССА С ПЕРЕМЕННЫМ РЕЖИМОМ / Бойко Р.В.
К., 1980,с.13-24.
В работе рассматривается ветвящийся процесс с пере-
менным режимом, в котором интенсивности размножения
каждой частицы обратно пропорциональны числу существую-
щих частиц. Доказаны теоремы, касающиеся предельного
распределения такого процесса при условии его невырожде-
ния.
Список лит.: 4 назв.
170
УДК 519.21
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ И ОДНА ЗАДАЧА СТАТИСТИКИ СЛУ-
ЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ/ Булдыгин В.В.— В кн.:Вероятност-
ные методы бесконечномерного анализа.К„ 1980, с.24-3е
Рассмотрены асимптотические свойства оценки корре-
ляционной функции стационарного гауссовского процесса в
схеме многих выборок.
Список лит.: 8 назв.
УДК 519.21
О РАЗЛОЖЕНИИ ЛЕВИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ МУЛЬ-
ТИПЛИКАТИВНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОЛУГРУПП /
С.П.Буцан,- В кн.: Вероятностные методы бесконечномер-
ного анализа. К., 1980, с.37-47.
i
В работе получено разложение Леви для неоднород-
ной мультипликативной стохастической (некоммутативной)
полугруппы, что значительно усиливает результаты работ
[1] и [2] .
Список лит.: 10 назв.
171 •
УДК 519.21
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ТЕОРИИ МНОГОМЕРНО-
ГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ/
Елейко Я.И. - В кч.: Вероятностные методы бесконечно-
мерного анализа. К., 1980, с. 47-60.
Доказаны две предельные теоремы для переходных яв-
лений в теории многомерного восстановления с дискретным
временем и произвольным фазовым пространством.
Список лит.: 1 назв.
УДК 519.21
ОДНА ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ДИФФУЗИОННЫХ
ПРОЦЕССОВ/ Исакова Т.И.- В кн.: Вероятностные методы
бесконечномерного анализа, К.:, 1980, с. 60-73.
Исследуется (Предельное поведение решений стохасти-
ческих дифференциальных уравнений в к в предположении,
что последовательность коэффициентов сноса слабо сходит-
ся к некоторой обобщенной функции. Показано, что последо-
вательность мер, соответствующих решениям уравнения,схо-
дится в слабом смысле к некоторой мере. Найден вид урав-
нения для процесса, которому соответствует предельная ме-
ра.
Список лит.: 5 назв.
УДК 519.21
ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА ДЛЯ ЭМПИРИ-
ЧЕСКИХ МЕР/ Колчинский В.И.- В кн.: Вероятностные
методы бесконечномерного анализа. К., 1980 , с. 73-83.
Установлен закон повторного логарифма для последо--
летальности эмпирических мер на абстрактном измеримом
пространстве.Как следствие получен закон повторного ло-
гарифма в пространстве С\р,1] .
Список лит.:3 назв.
172
УДК 519.21
О СКЛЕИВАНИИ ДВУХ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ,
НА ПРЯМОЙ / Копытко Б,И.-В кн.: Вероятностные методы'
. бесконечномерного анализа. К.,I960, с. 84-101.
На вещественной прямой решается задача о склеи-
вании двух диффузионных процессов. Доказано, что получен-
ные процессы являются непрерывными, феллеровскими, а
при фиксированных коэффициентах диффузии и переноса ис-
ходных процессов они определяются значением свободного
числового параметра и оказываются обобщенными диффузион-
ными процессами. Построение указанных процессов прове-
дено с помощью методов теории параболических уравнений
с разрывными коэффициентами.
Список лит.: 5 назв.
УДК 519.21
О ЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРНЫХ
УРАВНЕНИЯХ /Скороход» А.В.- В кн.: Вероятностные ме-
тоды бесконечномерного анализа. К.,1980, с.~Ю1-Л16.
В статье строится представление решения линейного
операторного стохастического уравнения с неограниченными
коммутирующими операторными коэффициентами.
Список лит.: 6 назв.
УДК 519.21
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
ОТ БРОУНОВСКОГО ПРОЦЕССА./ Сытая Г.Н.- В кн.; Ве-
роятностные методы бесконечномерного анализа. К.,1980,
с.116-121.
Получены дифференциальные уравнения, с помощью ко-
торых можно определить распределение некоторых интегра-
лов от броуновского процесса.
Список лиги 2 назв.
173
УДК 519.21
СТРУКТУРА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ <У-АЛГЕБР,
ПОРОЖДАЕМЫХ ПРОЦЕССОМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ
СКАЧКОВ/ Черкашин Е.В.- В кн.: Вероятностные методы
бесконечномерного анализа* К., 1980 , с. 122-132.
Рассматривается поток & -алгебр, порожденный ли-
нейной комбинацией элементарных точечных процессов.
Дается описание моментов остановки относительно данно-
го потока и характеризуются фундаментальные 6" -алгеб-
ры прогрессивных, вполне измеримых , достижимых и пред-
сказуемых множеств.
Список лит.: 2 назв.
УДК 519.21
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ТЕОРИИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
В АСИМПТОТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ/ Шуренков В.М.- В кн.: Вероятностные мето-
ды бесконечномерного аыализа.К., 1980, с. 133-168.
На основе переходных явлений теории восстановления
исследуются пре дельное поведение аддитивных функциона-
лов от регенерирующих процессов, переходные явления тео-
рии ветвящихся случайных процессов и предельные распре-
деления граничных функционалов от полунепрерывных про-
цессов с независимыми приращениями.
Список лит.: 9 назв.
174
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ БЕСКОНЕЧНОМЕРНОГО
АНАЛИЗА
Сборник научных трудов
Печатается по постановлению ученого совета
Ии~та математики АН УССР
Ответственный за выпуск Г.Н. Сытая,
канд.физ.-мат.наух
Редактор А.А.Букач
Техя4>едакторы: НЛДлодко,
В .М.Тарасенко
В.М,Васильев<
Корректор!
Подпав печ.15.10.80 БФ 0X142 Формат 60x84/16
Бумага тип^Ь 1, Офслечать. Усллечл» 9.0О^Уч.-иад,л.
7,3. Тираж 1ООО экз. Заказ 638 Цева 70 *ов,
•	ч	v	'	' -V . Л ‘ I		'
Подготовлеяои отпечатало » 
Институте математики АН УССР
2526О1,ГСП,Киев-4,уд.Ре<1ика,3
ЗБ/Ч
ЗЗЖ