УДК 51
ББК 22.1
Б 32
Бачурин В. А. Задачи по элементарной математике и началам
математического анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 712 с. —
ISBN 5-9221-0563-9.
В книге представлены задачи по всем разделам элементарной математики
и по началам математического анализа. К большинству задач даются ответы;
приводятся также примеры решения задач и указания к решениям.
Дополнительно к школьным учебникам в пособии дается изложение важ-
важных разделов математики, например: алгоритм извлечения квадратного корня
из числа; теорема Безу и ее применение; векторное произведение; прямая в
пространстве.
В главе «Дополнительные задачи и образцы их решения» выделены задачи,
которые вызывают наибольшие затруднения у лиц, занимающихся самообразо-
самообразованием. Решения этих задач приводятся с соответствующими комментариями.
© ФИЗМАТЛИТ, 2005
ISBN 5-9221-0563-9	© В. А. Бачурин, 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие		7
К предисловию		9
Раздел I
АРИФМЕТИКА
§ 1. Целые числа и действия над ними		11
§ 2. Текстовые задачи с целыми числами		12
§ 3. Обыкновенные и десятичные дроби		15
§ 4. Проценты (первая серия задач)		20
§ 5. Задачи на кратные пропорции, пропорциональность величин и
другие задачи		22
Раздел II
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
§ 1. Предварительные понятия		27
§ 2. Одночлены и многочлены		28
§ 3. Алгебраические дроби		35
§ 4. Уравнения первой степени с одной переменной. Системы уравне-
уравнений первой степени и приводящиеся к ним		38
§ 5. Извлечение квадратного корня		50
§ 6. Квадратные уравнения		50
§ 7. Степени и радикалы. Обобщение понятия степени		57
§ 8. Уравнения высших степеней. Рациональные уравнения		61
§ 9. Иррациональные уравнения		64
§10. Системы нелинейных уравнений		65
§11. Множество действительных чисел		69
§12. Понятие функции. Графики функций		71
§13. Прогрессии		74
§14. Показательные и логарифмические функции		84
§15. Показательные и логарифмические уравнения		87
§16. Проценты (вторая серия задач)		91
§17. Тригонометрические функции		93
§18. Тригонометрические уравнения		114
§19. Неравенства первой степени. Исследование уравнений первой сте-
степени 		119
§20. Исследование квадратного трехчлена. Неравенства второй степе-
степени. Рациональные неравенства		125

Оглавление
§21. Неравенства с двумя переменными и их системы		130
§22. Иррациональные неравенства		132
§23. Показательные и логарифмические неравенства		133
§24. Тригонометрические неравенства		135
§25. Комплексные числа		136
§26. Комбинаторика и бином Ньютона		142
§27. Теорема Везу и ее приложения		148
§28. Принцип математической индукции		150
§29. Числовые последовательности и их пределы		151
§30. Исследование функции без применения производной. Предел
функции. Производная функции. Исследование функции с по-
помощью производной		153
§31. Дифференциал функции		168
§32. Неопределенный интеграл		170
§33. Определенный интеграл		174
Раздел III
ГЕОМЕТРИЯ. ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 1. Начальные понятия геометрии		177
§ 2. Начальные понятия геометрии (продолжение)		178
§ 3. Параллелограмм и трапеция		183
§ 4. Окружность и круг		188
§ 5. Симметрия фигур и некоторые другие вопросы		193
§ 6. Векторы		194
§ 7. Подобие фигур		204
§ 8. Правильные многоугольники и вычисление длины окружности ....	211
§ 9. Площади фигур		215
§10. Приложение алгебры к геометрии		221
§11. Решение треугольников. Задачи по планиметрии с применением
тригонометрических функций		222
Раздел IV
ГЕОМЕТРИЯ. СТЕРЕОМЕТРИЯ
§ 1. Начальные понятия		229
§ 2. Векторы в пространстве		230
§ 3. Прямая и плоскость		237
§ 4. Многогранники		246
§ 5. Цилиндр и конус		254
§ 6. Шар и комбинации геометрических фигур		262
§ 7. Задачи по стереометрии с применением метода координат и век-
векторов 		271
§ 8. Задачи по стереометрии с применением тригонометрических
функций		274

Оглавление
Приложение I
КРАТКИЕ СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ПО НЕКОТОРЫМ РАЗДЕЛАМ МАТЕМАТИКИ
§ 1. Функции и их графики		287
§ 2. Алгоритм извлечения квадратного корня из числа		293
§ 3. Алгоритм деления многочлена на многочлен		299
§ 4. Теорема Везу и ее применение		304
§ 5. Комплексные числа		308
§ 6. Комбинаторика и бином Ньютона		318
§ 7. Определители второго порядка и их приложение		323
§ 8. Определители третьего порядка и их приложение. Решение сис-
систем линейных уравнений методом последовательного исключения
переменных (методом Гаусса)		329
§ 9. Абсолютная величина действительного числа. Уравнения и нера-
неравенства, содержащие абсолютную величину действительного числа	333
§10. Метод математической индукции		340
§11. Векторное произведение		344
§12. Прямая в пространстве		349
§13. Дифференциал функции		355
§14. Неопределенный интеграл		358
Приложение II
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И ОБРАЗЦЫ
ИХ РЕШЕНИЯ
§ 1. График дробно-линейной функции (преобразование графика
функции у = 1/ж)		372
§ 2. Уравнения высших степеней (с целочисленными коэффициентами)	377
§ 3. Рациональные уравнения		379
§ 4. Иррациональные уравнения		381
§ 5. Показательные и логарифмические уравнения		384
§ 6. Тригонометрические уравнения		395
§ 7. Рациональные неравенства		410
§ 8. Иррациональные неравенства		415
§ 9. Показательные и логарифмические неравенства		418
§10. Тригонометрические неравенства		422
§11. Применение тригонометрических функций в стереометрии		431
Приложение III
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Экзаменационные задачи по разделам		441
§ 2. Разные задачи из экзаменационных билетов		457
§ 3. Образцы билетов с задачами по математике, предлагавшимися на
письменных вступительных экзаменах в вузах		460
§ 4. Выборочные задачи из экзаменационных билетов, не являющиеся
обязательными для всех абитуриентов		470

Оглавление
I 5. Дополнение к разделу «Экзаменационные задачи». Варианты
вступительных экзаменов	 480
5 6. Дополнение к разделу «Экзаменационные задачи». Варианты
билетов 2002 г	 513
Приложение IV
СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ФОРМУЛ
5 1. Алгебра и начала анализа	 553
5 2. Геометрия	 558
Приложение V
ЛАТИНСКИЙ И ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТЫ
5 1. Латинский алфавит	 564
5 2. Греческий алфавит	 564
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
Раздел I. Арифметика		565
Раздел П. Алгебра и начала анализа		567
Раздел III. Геометрия. Планиметрия		655
Раздел IV. Геометрия. Стереометрия		675
Приложение III. Экзаменационные задачи		692

Дорогой и незабвенной Т.П. Бартеневой — моей
тетушке и воспитательнице, репрессированной
в 30-е годы и освобожденной во время войны,
впоследствии персональной пенсионерке,
я посвящаю этот труд.
Автор
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга создана на основе (мною же написанных) по-
пособий по математике для заочных подготовительных курсов МГТУ
«Станкин».
В журнале «Математика в школе» была опубликована рекомендация
Отделения математики Академии наук СССР (во главе с академиком-
секретарем Н. Н. Боголюбовым) о том, чтобы на первых курсах пед-
пединститутов были организованы повторные занятия по элементарной
математике, прежде чем начать читать лекции по высшей матема-
математике. И поручено было организовать это мероприятие академику
СП. Новикову (президенту Московского математического общества).
А моя рукопись как будто по заказу была создана для этих за-
занятий. О ней написано:
«Особое достоинство книги В. А. Бачурина заключается в том, что
в ней отображена вся полнота вопросов элементарной математики...
Пособие может служить руководством для лиц, самостоятельно гото-
готовящихся к поступлению в вуз, это не менее важное достоинство его*).
Книга очень нужная**), вполне отвечает своему назначению, та-
таких книг нет...» (чл.-корр. АПН проф. И. Я. Верченко).
Рукопись была представлена академику СП. Новикову, а он в
свою очередь представил ее чл.-корр. Л. Д. Кудрявцеву и академику
СМ. Никольскому, которые как раз в то время издали учебник по
математике для школьников. Разумеется, они были в курсе школьных
проблем. Рукописи была дана «зеленая улица», и она превратилась в
книгу A998 г.)***).
Предполагается, что решению задач данной книги будет пред-
предшествовать повторение теории соответствующих разделов учебников
и изучение Приложений (условное название глав) к ней.
Материал Приложений представляет собой теоретическую часть
пособия, в которой освещаются важные разделы математики, в том
числе, например, Алгоритмы извлечения квадратного корня из чисел
и деления многочлена на многочлен, Функции и их графики, Метод
математической индукции, Комбинаторика и бином Ньютона, Абсо-
*) Это особое достоинство пособия отмечает и проф. И. И. Баврин:
«Книга нацеливает читателя на самостоятельную подготовку, что имеет ис-
исключительно важное педагогическое значение...».
**) Разумеется, в том числе и в частности, нужная для упомянутых
повторных занятий в пединститутах. (В. Б.)
***) Кстати, по приказу Минвуза СССР от 14 января 1971 г. книга долж-
должна была быть отпечатана еще в 1971-1975 гг.

Предисловие
лютная величина числа, Комплексные числа (Приложение I); Решение
рациональных уравнений и неравенств, Решение иррациональных
уравнений и неравенств, Тригонометрические уравнения и неравенства,
Применение тригонометрии в стереометрии (Приложение II). Прило-
Приложение III охватывает вопросы вступительных экзаменов по математике.
Добавляется важный материал математики: излагаются разделы
по теории и даются образцы решения задач (см. оглавление).
В журнале «Квант» опубликованы сведения о том, что некоторые
вузы стали проводить вступительные экзамены по математике только
в письменном виде. В соответствии с этим в экзаменационные билеты
стали вносить по 8, 12, 16 и даже по 20 задач. (Например, в Академии
нефти и газа им. И. М. Губкина — 12 задач.)
В этой книге и представлены такие варианты под названием До-
Дополнение к разделу «Экзаменационные задачи».
Автор благодарит рецензентов проф. В. А. Треногина и ст. пре-
преподавателя Н. Н. Луговую за полезные советы, способствующие
улучшению рукописи. Он также искренне признателен академику
С. М. Никольскому, чл.-корр. РАН Л. Д. Кудрявцеву, чл.-корр. РАО
И. Я. Верченко, профессорам И. И. Баврину, И. Н. Ильченко, В. С. Люк-
шину, Г. И. Макаренко, И. И. Мельникову, Б. И. Сегалу и др., доцен-
доцентам В. И. Гридасову, Н. Ф. Квачевой, Л. П. Паршеву, Б. С. Пицкелю,
С. Ф. Прокопцеву и др., а также всем преподавателям вузов, в кото-
которых рукопись апробировалась.
Кстати, эта помощь преподавателей выражалась в разной форме и
реализована в книге. Например:
Представленный в самом начале книги набор задач на все дейст-
действия с многозначными натуральными числами дан по рекомендации
профессора В. А. Треногина.
Будучи руководителем ПО МГУ в прошлом, профессор И. И. Мель-
Мельников дал решения некоторых задач, в том числе, например, интерес-
интересное решение непростого примера 9 на с. 406.
Доцент В. И. Гридасов из Воронежа прислал мне подробные ре-
решения некоторых задач.
Чл.-корр. РАО И. Я. Верченко рекомендовал обязательно дать в
книге алгоритмы извлечения квадратного корня из числа и деления
многочлена на многочлен.
Общее пожелание преподавателей, апробировавших рукопись — дать
(не стесняясь) побольше простейших задач (непростейших задач дос-
достаточно в других книгах). Это и было сделано, но с «оглядкой», потому
что некоторые рецензенты сочли наличие в книге простейших задач
за «низкий уровень» пособия, что, кстати, послужило поводом для
блокирования ее, начиная с 1971 г.
Все замечания и пожелания просьба присылать по адресу: 101472,
Москва, Вадковский пер., д. За, Московский Государственный Тех-
Технологический Университет «Станкин», кафедра высшей математики,
Бачурину В. А.
Автор

К ПРЕДИСЛОВИЮ
По этой книге можно систематически повторить и освежить в
памяти перед экзаменами всю элементарную математику, начиная с
арифметики, пополнить знания и закрепить их. Тогда при твердых
знаниях всей элементарной математики можно ожидать успеха на
вступительных экзаменах в вуз.
Эта книга может быть рекомендована также для самообразования.
Автору книги приходилось проводить вступительные экзамены в
разных вузах г. Москвы, в том числе в Московском Университете
«Станкин», в котором, как и в других высших учебных заведениях,
для успешного усвоения изучаемых в нем наук требуется основа-
основательная подготовка по математике. Однако экзамены показывают, что
знания некоторых абитуриентов весьма слабы и притом по целым раз-
разделам математики:
1)	прежде всего по тригонометрии, где нет твердых знаний по все-
всему курсу, начиная с определения тригонометрических функций и их
изменения по координатным четвертям;
2)	нет достаточных навыков в составлении алгебраических урав-
уравнений по текстовым условиям и их решении;
3)	часто вызывают затруднения задачи на построение и доказа-
доказательство в геометрии;
4)	построение графиков функций всегда было слабым местом не
только у абитуриентов, но потом и у студентов (и даже у студентов
3-го курса при изучении тройных интегралов, когда завершалось изу-
изучение высшей математики) *);
5)	задачи на применение тригонометрии к стереометрии некото-
некоторые абитуриенты последних лет даже и не пытаются решать;
6)	и даже четыре замечательные точки треугольника (как это ни
странно!), и в какой четырехугольник можно вписать или вокруг какого
можно описать окружность, далеко не все абитуриенты знают.
Абитуриент должен иметь в виду, что вступительные экзамены
проводятся строго по экзаменационной программе. Этой программой
охвачен весь объем знаний, который должен иметь будущий студент.
Следовательно, ее нужно изучить. При этом следует учесть, что,
во-первых, эта программа несколько полнее школьной программы и,
во-вторых, написана она очень сжато, без подробного разъяснения.
Например, о процентах в программе сказано только одно слово «про-
«проценты», а понимать под этим в данном случае следует: определение
*) Кстати, первое семинарское занятие по математике посвящается
построению графиков функций (если лекция еще не была прочитана).

10	К предисловию
процента, три основные задачи на проценты, сложные проценты. Разу-
Разумеется, надо уметь решать всевозможные задачи на проценты, в том
числе и на сложные проценты.
Развитие науки последних лет, и в первую очередь математики, вы-
вызывает необходимость повышенной подготовки абитуриентов. В связи
с этим в этой книге и даны задачи, выходящие за пределы требований
школьной программы. Это задачи по таким разделам элементарной
математики, как:
1)	теория соединений и бином Ньютона;
2)	тригонометрическая форма комплексного числа и формула
Муавра;
3)	теорема Безу и ее приложение;
4)	обратные тригонометрические функции с соответствующими
упражнениями;
5)	некоторые неравенства, не предусмотренные программой;
6)	задачи на нахождение области определения и области значения
сложных функций и их графики, например, у = lg tg x.
В данном руководстве решена только часть задач. К решению неко-
некоторых из них даны указания, для большей части задач даны только
ответы.
Автор

Раздел I
АРИФМЕТИКА
§ 1. Целые числа и действия над ними
Проверить правильность вычислений A-8; задачи 1-6 рекоменду-
рекомендуется выполнить устно).
1.	1) 1367 + 2143 + 2857 + 3633 = 10000;
2)	25361 - 12625 + 34639 - 37375 = 10000.
2.	1) 34639 - C7875 +12125) + 25361 = 10000;
2)	(G3745-53745)-19999)+ 9 = 10.
3.	1) 176332-G6310+ B3690-23668)) =100000;
2)	209891971 - A87654330 - 90108029) - 12345670 = 100000000.
4.	1) A + 2 + 3 + 4 + ...+96 + 97 + 98 + 99) + 50 = 5000;
2)	A + 3 + 5 + 7 + ...+45 + 47 + 49 + 51) + 324 = 1000.
5.	1) D5679+ 54321).4 = 400000;
2)	B4690 • 13 - 12345 • 26) • 100000000 = 0 *).
6.	1) A69-25-144-25) +375 :15 = 650;
2)	99-101 +F4-25) : 16 = 10099.
7.	1) 8-85-C6-E8-41) + 64) =4;
2)	A74 : A0000 - 9913) + 5 • 394) : 58 = 34.
8.	1) 47027-24 + 31325-2408-356 = 302752;
2)	960 : {2000 : [10002 - F085 - 6083) - 4976]} = 12.
9.	Выполнить действия:
1)	71792 - 4329450 : 1350 +103 • 305;
2)	349044 : 2006 + 8009 • 123 - 7403670 : 765;
3)	((83325 - 26719146 : 426) • 170 +12814173 : 381) • 7;
4)	(9405453300 : 205 - 61711 • 450) : 834 +1319 • 15150.
10.	Выполнить действия:
1)	D м2 16 дм2 72 см2 - 3 м2 95 дм2 92 см2) • 2;
±\ тт
) Напомним правило: при решении задач на все четыре действия в
арифметических выражениях (без скобок) сначала производят умножения
и деления, а потом складывают и вычитают полученные произведения и
частные.

12	Разд. I. Арифметика
2)	{[C га 20 ар : 16 - 32 ар 80 м2 : 41) : 30] • 3500 - 9 га 60 ар} : 20;
3)	A80°-64°15'36")-2;
4)	25 сут 46 мин - 5 сут 21 ч 54 мин) : 2.
11.	Вычислить х из равенств:
1)	(устно): A7ж-561)-7 = 0;
2)	(устно): F30-135ж + 720) : 9 = 15;
3)	G0 • х) : D616 -A273 + 3259)) =80;
4)	B520: D80 -3000: х) +48) -8 = 576;
5)	(E6 • F66 + х) +12600) : 40 - 700) • 24 = 21000;
6)	((8600 - 325 • E76 : х)) • 42) : 165 - 220 = 480.
§ 2. Текстовые задачи с целыми числами
12.	Одно изделие штампуется на станке в течение минуты. Сколь-
Сколько изделий может штамповаться за сутки; за неделю?
13.	36 книг отпечатано из трех стоп бумаги (в стопе 480 листов).
Сколько листов в каждой книге?
14.	Некто запланировал проехать 500 км за 20 дней. В первые
12 дней он проезжал по 23 км. По скольку километров он должен про-
проезжать в каждый из оставшихся дней?
15.	Двое выехали одновременно из двух городов, находящихся на
расстоянии 600 км друг от друга, и встретились через 15 дней в 240 км
от одного из городов. Сколько километров в день проезжал каждый
из них?
16.	Из пункта А выехал велосипедист со скоростью 6 км/ч. Через
2 ч за ним выехал другой велосипедист со скоростью 9 км/ч. Когда
он догонит первого?
17.	Расстояние ЛВ в 160 км автомобиль проехал за 4 ч, при-
причем сначала он ехал со скоростью 80 км/ч, а потом — со скоростью
20 км/ч. Какую часть пути ЛВ составляет первая часть его?
18.	7 рабочих за 4 дня вырыли канаву в 168 метров. Сколько нуж-
нужно рабочих, чтобы за 5 дней вырыть канаву в 150 метров?
19.	Турист, идя по 8 ч в день, прошел за 5 дней 160 км. Сколько
часов в день он должен идти, чтобы за 10 дней пройти 280 км?
20.	На бумажной фабрике машина изготовляет каждую минуту
100 листов бумаги. Сколько стоп (в стопе 480 листов) она изготовляет
в сутки?
21.	В пекарне каждую минуту выпекают по батону и завертывают
его в лист бумаги. Сколько стоп бумаги (в стопе 480 листов) использу-
используется в сутки?
22.	Родник в 24 минуты дает бочку воды. Сколько бочек воды
родник дает за сутки?

§ 2. Текстовые задачи с целыми числами	13
23.	Два путника одновременно выехали навстречу друг другу из
пунктов А и В, между которыми 85 км. Через сколько часов они
встретятся, если один километр они проезжают соответственно за 7
мин 30 сек и за 6 мин 40 сек?
24.	Из 200 листов бумаги сделаны 24 тетради двух сортов: по
7	листов и по 11 листов. Сколько получилось тетрадей каждого сорта?
25.	9 ткачей работали 8 дней по 7 часов в день и выткали 168 м
ткани. Сколько метров ткани выткут 10 ткачей за 9 дней, работая по
8	часов в день?
26.	Поезд, не останавливаясь, может проехать в сутки 960 км.
Сколько километров он проедет в сутки, если из каждого часа 12 мин
30 сек идут на остановки?
27.	Собака увидела зайца за километр и бросилась за ним. Заяц
пробегает в час 30 км, собака — 36 км. Через сколько времени собака
догонит зайца?
28.	Ткачиха ткет в день по 15 м ткани. На мешок идет 3,5 м ткани.
Сколько мешков она выткет за 7 месяцев, работая по 24 дня в месяц?
29.	В одной школе, имеющей 161 ученика, расходуется 7 стоп бума-
бумаги. Сколько нужно бумаги на 2 школы, имеющей 44 и 48 учеников?
30.	Стояли березы, летели галки. На каждую березу село по галке,
и осталось 5 галок. Потом на каждую березу село по 2 галки и осталось
5	берез без галок. Сколько галок, сколько берез?
31.	Поезд выехал из Москвы в 5 ч утра и приехал в Тамбов в
6	ч вечера того же дня. Останавливался он в пути 7 раз по 15 мин и
проезжал по 40 км в час. Сколько километров от Москвы до Тамбова?
32.	От Москвы до Санкт-Петербурга 604 км. Поезд ехал со ско-
скоростью 40 км/ч и останавливался 6 раз по 19 минут. Сколько часов
заняла поездка?
33.	Дорожные рабочие 3 дня ремонтировали дорогу. В первый
день работали 13 рабочих, и каждый отремонтировал по 18 м дороги.
Затем каждый день прибавлялось по одному рабочему, и каждый день
каждый из них чинил на метр больше, чем накануне. Сколько метров
дороги они отремонтировали?
34.	Размеры деревянного бруса 4 м х 3 дм х 2 дм. Вычислить его
массу, зная, что масса 1 дм3 бруса равна 600 г.
35.	Одно колесо делает 4620 оборотов за 77 мин, а другое за
54 мин оборачивается 1080 раз. Во сколько раз первое колесо обора-
оборачивается быстрее второго?
36.	1) Написать трехзначное число, которое делилось бы на 3, но
не делилось бы на 9.
2) Написать четырехзначное число, которое делилось бы на 9, а
при делении на 5 давало остаток 4.
37.	1) Написать четырехзначное число, которое делилось бы и
на 9, и на 4.

14	Разд. I. Арифметика
2) Написать трехзначное число, которое делилось бы на 4, а при
делении на 3 давало в остатке 2.
38.	1) Написать четырехзначное число, которое делилось бы на и
на 9, и на 25.
2)	В числе 5060703 вместо нулей поставить такие одинаковые
цифры, чтобы полученное число было кратно 9.
39.	Не производя действий и пользуясь признаками делимости,
установить, какие из данных произведений будут делиться нацело
на 2, 3, 5 и 9:
а)	6-23-75; 55-32-27; 64-128-32; 12-46-301;
б)	37-121-19; 123-207-41; 43-50-11; 129-121-621.
40.	Написать несколько чисел, кратных 3 и 7; 2,5 и 11; 3,5 и 7; 24
и 36; 27,5 и 121; 29,5 и 119; 73,5 и 147.
41.	Найти наименьшее общее кратное чисел и дополнительные
множители к ним:
а) 156; 195; 3900; б) 40; 64; 112; 88;
в)	317; 182; 241; г) 213; 117; 278; 173.
42.	Найти наибольший общий делитель чисел:
1)	475; 570; 741;	2) 1008; 882; 1134;
3)	980; 1176; 1225; 4) 594; 7920; 22374.
43.	1) Во сколько раз наибольший общий делитель чисел 6120 и
36360 больше наибольшего общего делителя чисел 1260 и 55260?
2)	Найти наименьшее общее кратное всех однозначных чисел.
44.	1) Не производя деления, сказать, какой остаток получится
при делении числа 591427 на 5; на 9; на 10; на 25.
2) Вычитаемое увеличено на 23 единицы. Как надо изменить умень-
уменьшаемое, чтобы разность:
а) увеличилась на 14 единиц; б) уменьшилась на 5 единиц?
45.	1) Как изменится произведение двух сомножителей, если один
из них:
а) увеличить в 5 раз; б) увеличить на 3 единицы;
в) уменьшить на одну единицу?
2) При делении числа на 108 в остатке получилось 90. Как изменит-
изменится частное и сколько получится в остатке, если то же число разделить
на 36?
46.	1) Какой цифрой оканчивается сумма всех трехзначных чисел?
2) На сколько единиц и во сколько раз наименьшее общее крат-
кратное чисел 126, 210 и 336 больше их наибольшего общего делителя?
47.	Из двух сцепляющихся зубчатых колес одно имеет 28, а другое
16 зубьев. До начала движения мелом отмечены два соприкасающихся
зубца этих колес. Через сколько оборотов того и другого колеса будут
повторяться совпадения этих меток?

§ 3. Обыкновенные и десятичные дроби	15
48.	Сумма двух чисел 495; одно из них оканчивается нулем; если
этот нуль зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.
49.	Собака погналась за лисой из точки Л, когда лиса была в
точке В на расстоянии 30 км от А. Скачок собаки равен 2 м, ли-
лисы — 1 м. Собака делает два скачка, а лиса за это же время — три. На
каком расстоянии от точки А собака догонит лису? Предполагается,
что собака и лиса бегут вдоль луча А В.
50.	Имеется 320 орехов, 240 конфет и 200 пряников. Какое наи-
наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого
запаса, и сколько орехов, конфет и пряников войдет в каждый по-
подарок?
51.	В 7 часов утра три автобуса одновременно отправляются с
площади по трем направлениям и вновь туда возвращаются. Первый
автобус возвращается через 2 ч 10 мин и вновь отправляется в рейс
через 20 мин; второй возвращается через 1 ч 48 мин, отправляется
через 12 мин; третий возвращается через 1 ч 36 мин, отправляется че-
через 4 мин. В какое ближайшее время автобусы вновь одновременно
выедут с площади?
52.	1) Найти два числа, зная, что их наибольший делитель 20, а
наименьшее кратное 420.
2) Произведение двух чисел равно 286. Если множитель уменьшить
на 2, то произведение будет равно 242. Найти эти числа.
53.	1) Делимое увеличено на число, равное делителю. На сколько
увеличилось частное?
2) Делимое уменьшено на число, которое в 7 раз больше делите-
делителя. На сколько уменьшилось частное?
54.	1) Число 1872 разделить на три такие части, чтобы вторая
была втрое, а третья — впятеро больше первой.
2) Сумма двух чисел 13248, а частное от деления одного числа на
другое 35. Найти эти числа.
55.	По кругу*) бегут 4 лошади. Одна лошадь пробегает круг за
20 мин, другая — за 15 мин, третья — за 12 мин, четвертая — за
10 мин. Если бы они вышли одновременно из одного и того же на-
начального пункта круга, то через несколько минут они пронеслись бы
опять одновременно через этот пункт. Через какое время все лошади
одновременно вернулись бы к исходному пункту, и сколько кругов
сделала бы каждая лошадь за это время?
§ 3. Обыкновенные и десятичные дроби
56. Проверить равенство дробей (устно):
хч 1 7 3790 100991. . 1 _ _8_ _ 170 _ 34000
' 9 О А	К1П
2 14 7580 201982' ' 3 24 510 102000
Строго говоря, по окружности, но принято говорить: «по кругу».

16	Разд. I. Арифметика
57. Доказать неравенства:
1} 3 < 2 U МеНЬШе 2> 2) 5 > 40 (б
58. Найти ошибки в следующих действиях:
л 2 32 + 35	,	1 5 + 3
3) 17-7:2 = ^-^ = 5; 4) 13 + 12:
2	5	5
59. Проверить правильность вычислений предыдущей задачи:
3)	17-7:2 = 17-3| = 13|;
4)	13 + 12:^ = 13 + 12-5 = 13 + 60 = 73.
О
60. Проверить правильность следующих вычислений (устно):
5) 10§+4±-2± = 13;	6) 15-| + 1^-2 = 12;
6 3 6	5 2
7) 11.5^-48.1^=6;	8) 13-4 ± -35-2- g =0;
9)^:5 + 2^:17=1;	10) g :5 + l| :20= i;
61.	Проверить правильность вычислений (устно):
1)	1,000111-0,979696 + 0,999889 = 1,020304;
2)	C,8-5,99 + 4,01-3,8) — G,4-3,85 + 3,7-2,3) = 1;
3)	0,0125 • 8000000 + 0,625 : 0,000025 = 125000;
4)	A7,7654 + 2-0,1173) - D,65433 + 0,69134 : 2) = 13.
62.	1) Единица разделена на три равные части, каждая из этих
частей разделена пополам и еще раз пополам. На сколько равных час-
частей окончательно разделена единица?
2)	Сколько пятых частей единицы содержится в одной единице? в
двух единицах? в трех единицах?
3)	Сколько седьмых частей единицы содержится в двух едини-
единицах? в пяти единицах?
4)	Поле площадью в 5 га разбито на 8 равных участков.
а)	Какую часть всей площади занимает каждый участок?
б)	Какую часть гектара занимает каждый участок?
в)	Вычислить площадь каждого участка в квадратных метрах.

§ 3. Обыкновенные и десятичные дроби	17
63.	1) Проверить равенства:
а) | = 1,5; б) \ = 0,75;	в) 1 = 0,05;	г) I = 1,75;
1Q	9Q	1 Q	17
Д) у = 3,8; е) g = 0,575; ж) -^ = 1,6325; з) ±1 = 1,0625.
2) Представить обыкновенные дроби в виде десятичных:
аL0; бIб; ВK; Г)99; ДK33; е)99; жJ12; 3) 7222'
64.	1) Сформулировать правила превращения чистой и смешан-
смешанной периодических дробей в обыкновенные.
2) Представить десятичные дроби в виде обыкновенных:
а) 2,4;	б) 1,6875;	в) 13,F);	г) 11,@1);
д) 3,A23); е) 17,C7); ж) 8,41F); з) 19,3A08).
65.	Проверить правильность вычислений:
1O8| + 24j-99i=4i; 2) 97^ -32 \ -64^ = |;
3>И+2И-1:1И
/2 7\ 30 /2.21\ 9 _1.
5)	lT5+112j T03~l2-2lJ 32 "I'
, 17	3	0,1-0,090 _ 37
6)	5--3+18-.2+ 0;6_058 -26-.
4,25:0,85 + 1:0,5
0
г1	E,56-4,06) :3
3
A,09-0,29) Л\ (ii,81 + 8,19)-0,02_
?	9П25
9) (82Д5 - 5'7L9°'°5 +И+^) @,81-1) =15,6961.
ААо X —
49
А. Ао X —
'	50
(	^^
10\ V	27	V 12
54,75-4,5:0,1
0,8: f^
: f--1,25^ (^1,08— —^ : -
U ; + ; in aT+l
/A1-90:0,003	0,45 - ± \	91 _
W4,05-3HV20 l3?:f2» + iW" 200
\	20/
2 В. А. Бачурин

18	Разд. I. Арифметика
Произвести указанные действия F6-75).
L± :3 —) -5— 3— : — + (б — -2,375^
4 12/ 60 _ 15 45 V 56	)
5,225---3-	2,25 + 0,25-8-
67. Г ° п 1'л д- ,\ * ,,о/ . 1:421.
4/ 9>
3 л\ 6 I Л _|_ 1 _ _L ) . ^Ц
^ ' 49 I Л
il.B + ь*-	з1 + Н I ^з
5 11	11	3 9
^928—	\ / D2 3|-3,3:О,ОЗ) :-1
69- | ^^ - 0,6) • I -г±	6-	^^ | - (См. ответ.)
5-: 0,625-0,84: 0,8 : 0,03;
4	/
:(з0,5(^
4 \ \ 2,4:0;8-2|
99
70.
71.
72.
73. | 4,25- v i0 ч л045	^-^-|:1,4 + 0,08C).
74. Ц- A0 : 2,F) + 7,5 :10) -?- - 0,2C) • ± + i^i • @,A7) - 0,A3)).
71	х Л1)	4 оЬО/
,4 ¦ E4,75 -4,5: 0,1) ^i + 0,F)) -\
0,4 ¦
(E8,2F) - 56^) : 1 + 2,A) ¦ 0,225) ¦ 1,F)
""""" ¦ 8,75 • A,001001 + 0,013 • 0,171)
75.
76.	Когда поезд прошел - расстояния между двумя станциями,
8
до половины пути ему осталось пройти 2 км. Как велико расстояние
между станциями?
77.	Рабочий может выполнить все задание за 12 дней, а подсоб-
подсобный — за 24 дня. За сколько дней будет выполнено все задание, если
оба рабочих будут работать вместе?

§ 3. Обыкновенные и десятичные дроби	19
78.	Сумма трех натуральных (целых положительных) чисел рав-
равна 125. Одно из них является пятнадцатым натуральным числом, вто-
второе составляет - часть третьего. Найти эти числа.
4
79.	Через один кран ванна наполняется за 18 мин, а через дру-
другой — за 27 мин. На какое время надо открыть сразу оба крана, что-
бы наполнить - всей ванны?
6
80.	Найти число, если известно, что 0,15 этого числа равны 0,6
от 17,5.
81.	Как изменится частное, если делимое умножить на 0,16, а де-
делитель разделить на 6,25?
82.	При размоле 3- ц пшеницы получили муку, манную крупу и
отруби. Масса муки составила - массы пшеницы, масса манной кру-
1	^
пы — — массы муки. Сколько получилось отрубей?
83.	Сколько было мяса, если мягкая часть его (вырезка), состав-
2	2
ляющая - всей массы, в сваренном виде равна - массы сырой вырезки
о	о
и меньше ее на 400 г?
84.	Запаса корма хватит для кур на 5 месяцев, а для уток — на
3 - месяца. На какое время хватит корма для тех и других?
о
2
85.	Два рабочих могут выполнить некоторое задание за 2 - дня.
о
Первый может выполнить это задание за 4 дня. За сколько дней мо-
может выполнить задание второй рабочий?
86.	В первый день туристы прошли — всего намеченного пути, а
4
во второй день - того, что прошли в первый день. Как велик намечен-
о
ный путь, если во второй день туристы прошли 24 км?
87.	Масло перелили из бака в 3 бидона. В первый бидон вошло —
^	10
всего масла, во второй - всего масла, а в третий — на 6 л меньше, чем
в первый бидон. Сколько масла было в баке?
88.	Автомат А может выполнить заказ за 3- дня, автомат Б тот
1	^
же заказ — за 2- дня. Сколько дней будут выполнять заказ оба ав-
автомата?
89. Из бассейна равномерно спускают воду. Через час после
начала спуска ее осталось 400 м3, а еще через 3 ч — - того, что
о
осталось после часа спуска. Сколько воды было в бассейне первона-
первоначально:

20	Разд. I. Арифметика
90.	Из пункта А вышел пешеход, а через 2 ч оттуда же выехал в
том же направлении верховой. На каком расстоянии от пункта А вер-
верховой догонит пешехода, если пешеход шел со скоростью 4- км/ч, а
верховой проезжал 9 км за 45 мин?
91.	Из Санкт-Петербурга в Кронштадт в 12 ч отбыл пароход и
покрыл все расстояние за 1 - ч. По пути он встретил другой пароход,
вышедший из Кронштадта в Санкт-Петербург в 12 ч 18 мин и шедший
со скоростью в 1- раза большей, чем первый. Когда произошла их
встреча?
§ 4. Проценты (первая серия задач)
92.	Выразить в процентах следующие числа (вычисления реко-
рекомендуется производить устно).
(Схема действий: А = А • 100 • — = А • 100%.)
1)	0,01; 0,5; 0,95; 0,073 @,0037 = 0,37%);
2)	1,5; 3; 5,07; 11,001 A3,031 = 1303,1%);
зИ- l- l- l A -2%\ 4) 3- 7 - 23- Ч1 -515%"|
3)	2' 4' 10' 20 150 %J' 4) Г 20' 50' 3 Il7 ^5 17 %J'
93.	Выразить процентные числа обыкновенной или десятичной
дробью или целым числом (вычисления рекомендуется производить
устно).
(Схема действий: п% — п	= 0,01n. J
1) 1%; 25%; 5,3%; 7,01% @,011% = 0,00011);
Три основные задачи на проценты
Нахождение процента от числа
(Схема действий: т % от В =	 от В =	• В. J
94.	Вычислить (устно):
1) 1% от 150 руб.; 2) 2% от 185 руб.; 3) i% от 1600 руб.;
4) 75% от 64 C3^% от 60,12 = 20,04).
95.	Из молока получается 10% творога. Сколько его получится из
12,3 кг молока?
Нахождение числа по проценту
(гл	07	Р	100 \
Схема действии: р /о от х = с; -^— • х = с; х —	с.
V	100	р /

§ 4- Проценты (первая серия задач)	21
96. Вычислить (устно), от какого числа 24 составляет:
1) 10%; 2) 50%; 3) 25%; 4) 3%.
Например, число 24 составляет 30% от числа х = 80, поскольку
97. Поверхность суши Земли составляет « 29,4% всей поверх-
поверхности планеты и равна « 150 млн. км2. Какова вся поверхность Земли?
Процентное отношение чисел
(г^	„„пул	х л	х а	100а
Схема действии: х % от Л = а; —— • Л = а; —— = —; х = ——; или
-1	-1 пп \ 1UU	1UU J\	J\
98.	Сколько процентов от 1 м составляют: 1 дм; 1 см; 3 дм; 7 мм?
A3	13	13 1
Например, 1,3 мм от 1 м составляют 0,13 %: ^ = — = — ¦ — =
= 0,13%, или iA = iA-100% = 0,13%.)
1 2
99.	Сколько процентов составляют числа 5; -; -; 0,8 от чисел,
A 5 5\ /	3
т\ ^5 о5 т V- (Например, число - от обратного ему
о	2 4/ V	8
числа - составляет - : - = -.- = _ = 14 - %. j
100.	При выпечке хлеба из 6 т муки получено 2,7 т припека.
Сколько процентов составляет припек?
101.	На товар снизили цену сначала на 15 %, а затем еще на 12 %.
Какова теперь цена товара, если до первого снижения цен он стоил
18000 руб.?
102.	Цена на товар понизилась на 40%, затем еще на 25%. На
сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первона-
первоначальной ценой?
103.	Составить формулу для нахождения процентного отношения
двух чисел а и Ь.
104.	Магазин продал в первый день 15 % поступившего с базы
товара, во второй день — 20 % остатка. Вычислить, сколько процентов
поступившего в магазин товара осталось непроданным.
105.	35% участников первого тура олимпиады было допущено
во второй тур, а - участников второго тура было отмечено премия-
ми и похвальными грамотами. Первую премию получил 1 человек,
вторую — 2 человека, третью — 5 человек, и 20 человек получили
похвальные грамоты. Сколько было участников в первом туре?
106.	Естественная убыль зерна при хранении за 5 месяцев сос-
составляет: в элеваторе 0,08%, на складе насыпью 0,12%, на площад-
площадке 0,18%. Вычислить потери при хранении 100 т зерна в каждом из

22	Разд. I. Арифметика
указанных мест, а также — на складе и площадке в отдельности по
сравнению с потерями в элеваторе.
107.	Охотничий порох состоит из селитры, серы и угля. Масса
серы относится к массе селитры, как 0,2 : 1,3, а масса угля составля-
составляет 11 — % общей массы серы и селитры. Сколько каждого из веществ
у
содержится в 25 кг пороха?
108.	В цистерну налили 37,4 т бензина, после чего осталось неза-
незаполненным 6,5 % вместимости цистерны. Сколько бензина нужно до-
долить в цистерну для ее заполнения?
109.	Объем строительных работ увеличился на 80%. На сколько
процентов нужно увеличить число рабочих, чтобы выполнить работу за
то же время, если производительность труда будет увеличена на 20%?
(Указание. Принять первоначальный объем строительных работ
за 100, а производительность труда рабочих до ее повышения за
100 единиц.)
110.	Сколько кг пресной воды нужно прибавить к 80 кг морской
воды, чтобы содержание соли в ней было не 5 %, а 2 %?
111.	1) При проверке влажность зерна оказалась равной 25 %. 2 ц
этого зерна просушили, после чего оно потеряло в массе 30 кг. Вычис-
Вычислить влажность зерна после просушки.
2) До просушки влажность зерна была равна 23 %, а после просуш-
просушки оказалась равной 12%. На сколько процентов убыло в массе зерно
после просушки?
112.	Найти число, зная, что 10 % его составляют 20 % от 16,5.
113.	Первое число составляет 50% от второго. Сколько процентов
от первого числа составляет второе?
Промилле называется тысячная часть числа, обозначение °/00.
114.	Заменить:
1)	Проценты промилле: 3%; 7,2%; 20%; 82,5%; 100%; 0,4%.
2)	Промилле процентами: 500 %0; 85 %0; 10 %0; 6 %0; 0,5 %0.
§ 5. Задачи на кратные пропорции*),
пропорциональность величин и другие задачи
115.	1) Заменить отношение дробей отношением целых чисел:
а)М:^ бL:1'7; в) 31:2,6:0,78.
*) Напомним, что а : b = с: d — кратная, или геометрическая пропорция
(например, 7:3 = 14: 6); т — п = р — q — разностная, или арифметическая
пропорция (например, 7 — 2 = 8 — 3). Их главные свойства: ad = be — произ-
произведение крайних членов кратной пропорции равно произведению средних ее
членов; т + q = п + р — сумма крайних членов разностной пропорции равна
сумме ее средних членов.

§ 5. Задачи на кратные пропорции	23
2	5
2) - одного числа равны - другого. Найти отношение этих чисел.
3	6
116. 1) Число 78117 разделить на части пропорционально чис-
112, Л1
11
2) Разделить число 2,38 на три части х,у, z так, чтобы х : у =
= 3:5 и у :z = 8: 11.
117.	Найти отношение числа а к числу 6, если 2,5 : а = 3,5 : Ь.
118.	Составить кратные пропорции из следующего равенства:
119.	Дано: — = —. Доказать следующие производные пропорции:
о а
..ч a-\-b c-\-d ^ч a — b c — d оЧ a — b c — d /гл	ч
!)_ = _; 2)— = —; 3) — = —• (См. ответ.)
120.	Проверить на числовом примере следующее свойство членов
кратной пропорции: наибольший общий делитель крайних членов,
наименьшее общее кратное средних членов, наибольший общий де-
делитель средних членов и наименьшее общее кратное крайних членов
составляют пропорцию.
121.	Санкт-Петербург расположен на 30° восточной долготы, а
Самара — на 50° восточной долготы. Вычислить солнечное время Са-
Самары в тот момент, когда в Санкт-Петербурге полдень.
122.	Когда в самом западном пункте России (Калининградская
область) полночь, в самом восточном пункте России (мыс Дежнева)
уже 11 ч 20 мин. На сколько градусов с востока на запад простирает-
простирается территория России?
123.	Пролетев 1700 км, самолет сделал вынужденную посадку на
1 ч 30 мин, после чего полетел с уменьшенной на 50 км/ч скоростью.
Найти первоначальную скорость самолета, если известно, что он при-
прибыл на место назначения через 5 ч после вылета, покрыв расстояние
в 2900 км.
124.	Сплавили 120 г серебра 640-й пробы со слитком серебра не-
неизвестной пробы и получили 320 г серебра 700-й пробы. Вычислить
пробу второго слитка. (Указание. Пробой называется количество
граммов драгоценного металла в 1000 г сплава: например, серебро
835-й пробы в 1000 г сплава содержит 835 г чистого серебра.)
125.	Расстояния от Л, В и D до С пропорциональны числам 1; 1,6
2
и 2-. Расстояние от Л до С на 4,5 км меньше расстояния от В до С.
о
Найти расстояния от Л, В и D до С.
126.	Из Нижнего Новгорода в Астрахань и обратно, из Астрахани
в Нижний Новгород, ежедневно в один и тот же час выходит по па-
пароходу. По течению этот путь пароход проходит за 4 дня, а обратно
против течения за 5 дней. Сколько пароходов встретит на своем пути

24	Разд. I. Арифметика
до Астрахани пароход, вышедший из Нижнего Новгорода, и сколько
пароходов нужно для обслуживания этой линии?
127.	На заводе имеются станки: токарные, фрезерные и шлифо-
шлифовальные, количества которых относятся, как — : 0,5 : 0,25. Сколько
всего станков на заводе, если фрезерных и шлифовальных станков
вместе на 92 меньше, чем токарных станков?
128.	Два зубчатых колеса соединены зубцами: меньшее имеет 38
зубцов, большее 114. Сколько оборотов сделает меньшее колесо, когда
большее сделает 5 оборотов?
1	2
129.	В первый день рабочий выполнил - всего заказа, во второй -
о	о
всего заказа. Во сколько раз работа, выполненная за два дня, больше
невыполненной работы?
130.	Серебряный слиток массой в 2 кг 340 г содержит чистого
серебра 0,875 всей массы. Сколько меди нужно прибавить к слитку,
чтобы проба его стала 835-й? (Вычислить с точностью до 1 г.)
131.	Две бригады работали в поле. Первая бригада засеяла 25 га
при плане в 20 га, вторая засеяла 90 га, имея план 75 га. Какая брига-
бригада работала успешнее?
132.	Производительность труда рабочего повысилась на 20%. На
сколько процентов уменьшится время, необходимое для выполнения
одной и той же работы?
133.	Среднее арифметическое трех чисел 8,9. Второе число боль-
больше первого на 0,7, а третье больше второго тоже на 0,7. Найти эти
числа.
134.	С дровяного склада в первый день отпустили 420 м3 — 35 %
имевшихся на складе. Во второй день — - того, что отпустили в пер-
первый день, в третий день остальные дрова распределили между тремя
потребителями пропорционально числам 2,625; 1,125; 0,75. Сколько
дров было отпущено каждому потребителю в третий день?
135.	Сумма двух чисел равна 120. Найти эти числа, если 40%
одного равны 60 % другого.
136.	Сцеплены два зубчатых колеса, причем на первом 15, а на
втором 28 зубцов. Первое колесо делает 32 оборота за 15 с. Сколько
оборотов сделает второе колесо за 21 мин?
137.	На сколько процентов увеличится площадь квадрата, если
сторону его увеличить на 20 %?
138.	Взяв любые два числа, убедиться, что их наименьшее общее
кратное можно найти, перемножив эти числа и разделив полученное
произведение на наибольший общий делитель данных чисел. Прове-
Проверить этот способ для чисел: 1260 и 4410; 1650 и 2730.
139.	Первое число на 25 % больше второго. На сколько процентов
второе число меньше первого?

§ 5. Задачи на кратные пропорции	25
140.	Взяв любое многозначное число, убедиться, что если из него
вычесть сумму его цифр, то разность будет кратна 3 и 9. Почему?
141.	Для посева пшеницы было выделено три опытных участка.
Площадь второго участка составляла 48 % площади всех трех участ-
участков, а площади первого и третьего участков относились, как 0,1 : —.
Найти суммарную площадь всех трех участков, если известно, что
площадь третьего участка меньше площади второго на 2,5 га.
142.	Сколько тонн продукции дает каждый из двух станков за од-
одну смену, если известно, что первый станок, работая в две смены, дает
в 3 раза больше продукции, чем второй за одну смену, и что второй
3
станок, работая в две смены, дает на 20 - т продукции больше, чем
первый за одну смену?
143.	Два туриста едут навстречу друг другу. В первый день каж-
каждый из них проезжает 5 % всего пути, равного 560 км; во второй день —
1
по - остатка пути; в третий день они встретились, двигаясь со скорос-
6	4
тями в отношении 0,26 : —. Чему равны пройденные туристами рассто-
яния до их встречи?
144.	На карте с масштабом	турист находился от базы в 16 см.
50000	3
Через какое время он будет находиться от базы в 1 - км, если будет
двигаться к ней со скоростью 4 - км/ч?
о
145.	Грузовая машина прошла 135 км. Сначала она шла по шоссе,
а затем по грунтовой дороге, которая на 50 % длиннее шоссе. Время
движения машины по шоссе относилось к времени движения ее по
2
грунтовой дороге, как - : 1,25. Какова скорость машины по шоссе, если
о
по грунтовой дороге она равна 18 км/ч?
146.	Вычислить массу загруженного поезда, состоящего из 6 двух-
двухосных и 9 четырехосных цистерн, если: масса пустой двухосной цис-
цистерны равна 7,55 т, а масса пустой четырехосной цистерны в 3,1 раза
больше массы двухосной; вместимость четырехосной цистерны равна
о
51 м3, а двухосной составляет — вместимости четырехосной; 1 см3
нефти содержит 0,76 г.
Найти х из пропорций A47-148).
147.
1,0D5)*-5§i
}]_ 0,675-2,4-0,02'
24 40/ 16
г.о	1— -0,945: 0,9
148. 	—	= -^	-	-.
10,5-0,24-14,15:7,5	1±-4- -7
40	8 '

26	Разд. I. Арифметика
149.	Разработка 1002 м2 мрамора вручную стоила 701901 руб.,
2
а разработка на 16 - % большего количества его механизированным
о
способом обходится на 579740,5 руб. дешевле. На сколько процентов
механизированный способ разработки 1 м мрамора дешевле ручного?
150.	Двое бегут по окружности навстречу друг другу. Один про-
пробегает окружность за 3 мин, другой — за 5 мин. Через сколько минут
происходит каждая их встреча?
3
151.	В первый месяц завод переработал в сахар - всей сахарной
3
свеклы, во второй месяц — - оставшейся свеклы, а в третий месяц —
8
остальные 220 т. Из 1 кг сахарной свеклы получили 0,16 кг сахара.
Сколько сахара выработано в течение 3 месяцев?
152.	Сколько килограммов олова надо прибавить к куску бронзы
массой в 2 кг, содержащему 12 % олова, чтобы повысить содержание в
нем олова до 20 % общей массы?
Найти х из выражений A53-156).
153.	(l6^ - 13^) ж + 2,2@,B4) -0,090909...) = ^;
27'
(i -0,375) : 0,125+ (^-1-Y. @,358-1,4796 : 13,7)
3,8ж)-— \	11
155. @,D) + 3,4^ \, 136 =0,58-0,5 = g;
(|	)	3Н. 5,8C)
-I ка \ 4	/	35	_ 1 q к
' A0,3-ж)-0,E5) 3,F)-31F)

Раздел II
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
§ 1. Предварительные понятия
1.	Написать общую формулу:
1)	четного числа;
2)	числа, кратного 5;
3)	нечетного числа;
4)	числа, кратного 7;
5)	числа, кратного 2 и 3.
2.	Записать число, имеющее:
1)	т десятков и п единиц;
2)	р сотен и q единиц;
3)	а сотен, b десятков и с единиц.
3.	Любое число, написанное по десятичной системе счисления, мо-
может быть представлено в следующем виде:
N = ап • 10п + ота_1 • КГ + ап-2 • 10п +...
... + а3 • 103 + а2 • Ю2 + oi • 10 + а0,
где an, an_i, ..., ai, ао — цифры, п — натуральное число.
1)	Записать по общей формуле числа: а) 7384; б) 1204005.
2)	Записать одним числом следующие выражения:
а)	3-104 + 2-103 + 5; б) 7-106 + 5-104 + 7-103 +4-10 + 3.
4.	Доказать, что:
1)	Трехзначное число с одинаковыми цифрами делится на 37.
2)	При любом целом числе п число п2 -\-п четное.
3)	Сумма любых двух последовательных целых чисел не делится
на 2.
4)	Сумма любых трех последовательных целых чисел делится на 3.
5)	Сумма любых пяти последовательных целых чисел делится на 5.
б)	Сумма двух нечетных чисел — число четное.
7)	Разность двузначного числа и числа, написанного теми же циф-
цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.
8)	Сумма двузначного числа и числа, написанного теми же цифра-
цифрами, но в обратном порядке, делится на 11.

28	Разд. II. Алгебра и начала анализа
§ 2. Одночлены и многочлены
Проверить правильность выполнения действий E-10).
2) 13,За + @,01с-Gж-(с-0,За)) + 7ж) = 13а + 1,
4) 2,8х2у-(-1
= 1,9х2у + 8,1ху2
6.	(\2) 22
2) (-7m3)(-^n2)(-|n3)=-2m3n5;
3)
4) A,2Ж2
7. 1) Bж2-5ж + 3)-Bж)-(ж2-ж-2)(-Зж)=7ж3-13ж2;
2)	11 об f 5 a2b -lab2-I Ъг\ = аЧ2 - 2a2b3 - 11 об4;
3 \4	2	6 /	9
3)	B \ x2 - I xy + 2 i y2) (-21 ягу) = -5,4*3y + 3 \ x2y2 -
4)	(-2а
= -2iax6 + 3-a2x5-3-a
4	4	4
8.	1) 6а + 3-2а-5 = 12о-5;
2)	6а + 3-Bа-5) = 12а-15;
3)	Fа + 3)-2а-5 = 12а2 + 6а-5;
4)	Fа + 3)- Bа -5) = 12а2 -24а -15.
9.	1) (a + b)(m + n) = am + bm + an + bn;
2) Bж + 3)(9ж-13)-3A-6ж)(-13-ж) =-230ж.
10.	1
2) ^а2
11. Вывести формулы сокращенного умножения и деления и при-
привести их словесные формулировки:
2)	(a
3)	(a-6J = a2-

2. Одночлены и многочлены	29
4)
5) (a-bK = a3-
6)
7)	(a-b)(a2
8)	(а + 6 + сJ = а2 + Ь2 + с2
Произвести указанные действия или проверить правильность их
выполнения (устно) A2-36).
12. 1) (т + п)(т-п); 2) (p + q)(p-q)=p2-q2.
13.
14.	1) 7(n2-2)-4C + n)(n-3);
2) (а + 1)A-а)A + а2) = 1-а4.
15.	1) (а -ЬJ = (Ь -аJ; 2) (-а - ЬJ = (а + 6J.
И.	., (J
17.	(х + уJ — (х — уJ = Аху (двумя способами).
¦to	i\ / , \з о\ /^а ь\3 а3 Ь3 аЬ (а ь\
18.	1) (m + nf; 2) (_--)=__-_(_--).
19.	1) а3	3	3
2) а3-Ш(а-Ь)-Ь3 = (а-ЬK.
20. 1) (а + 1)(а2-а + 1); 2) B-ж)D + 2ж + ж2) = 8-ж3.
2) (|-26)(т
22.	1) (а2 + 6 + 1J; 2) @,5 + m-2n2J.
23.	1) (a2-^ab + 2c\ ;
2) (|Ж2 + 12/-зJ = ^4 ^1
24.	(m-n)(m + n) -F-а) (а
25.	(а2 + 62)(о2 - b2) + (m2 + п2)(п2 - m2) = (а4 - б4) - (m4 - n4).
26.	(а3 + 63)(а3-63) + 66 = а6.
27.	(а4 + 64)(а4-64)-а8 = -68.
28.	(а + 6 + с)(а-6-с) + F + сJ=а2.
29.	(a-c + b)(a-b + c)-a2 = -(с-ЪJ.

30	Разд. II. Алгебра и начала анализа
30.
31.
32.
33.	(	)( )
34.	(а3-а2 + а-1)(а + 1) + 1 = а4.
35.
36.
Проверить справедливость равенств C7-46).
37.	(а-1J + 2а-1 = а2.
38.	(х + уJ-х2-у2 = 2ху.
39.	(За2 + 0,2J-1,2а2 = 9а4 + 0,04.
40.	(I + I)-(I-I) = ±.
\а bJ \a b/ ab
41.	22
42.
43.	(а2 + 62J-(а2-62J = 4а262.
44.	(а3 + 62J + (а3-62J = 2(а6 + 64).
45.	(а - бJ - (Ь - аJ + (а3 - б3J - (б3 - а3J = 0.
46 Bж + ЗJ + 2Dж2 - 9) + Bх - ЗJ _4^2
22	2 ~ 9Ж '
Дополнить до полного квадрата двучлены D7-50).
47.	1) ш2-2шп + ?; 2) 1 + ? + 2562.
48.	1) а2 + 6а + ?; 2)
49.	1) а4-3а2 + ?; 2) ?-o + i.
50.	1) 0,01ш2-? + 169п6; 2) ^ a2m-?
Выделить квадраты двучленов из трехчленов E1-54).
51.	1) ж2 + 2ж + 1; 2) 0,25 + 0,7п2 + 0,49п4.
52.	1) ж2 + 4ж + 4; 2) 4а4 + 5а2-2.
53.	1) x2+px + q; 2) 9а2-8а + 17.
54.	1) ш2 + 0,2ш-13; 2) а + Ьх-х2.
Проверить справедливость равенств E5-64).
55.	33 3	2	2
56.
57.

2. Одночлены и многочлены	31
2 !	1 2Л 1 з ! з
+ЪХУ+У) = Х ТУ '
58.
60.	@,3а5+ 0,5аK-0,135а-0,225а7 = 0,027а15+ 0,125а3.
61.	п6 +11 - 2A - п3J - C - п3)(п3 + 3) = 4п3.
3K-Bа-3K =fi
+ За2-24а-7
V 7 У 343
rJ 1331'
Произвести действия F5-96).
65.	12,07ж + 41 - C,6ж - 0,8?/) + (-5,04ж - 7,5?/) - (б ^ - 0,03ж).
о	V lz	/
66.	0,4р2Ж + ^а;2-AрЖ2-(-|р2Ж-Aра;2
о
67.	3,4 - (J п3 - D,008 - @,Зп3 - 5,092) + ^
68.	- (а - IO -{VLax- 0,099 + (-(а - IO - (^ах - 0,9))).
69.	1,4ж@,5ж - 0,3?/) - 5@,4?/2 - Ах у) + 0,2?/(8?/ - 5ж).
70.	A,5а2 - 2,15) • 0,6а - C,2а - 1,8) • 0,5а2 - 1,8B,6а2 - 1,8а + 3,2).
71.	D2
72.	(
73.	(
75.	B
75.	(	)(	)
76.	Bc3n4 + 8c9 + n6 + 4c6n2).Bc3-n2).
77.	D62 + 2а2-4а6)-(За6 + 1,5а2 + 362).
78.	Eп4 + 4п2ж2 - п3х) - Dп2ж - 7х3 + п3).
79.	{ia2x4y3 - ах2у6 -^у9 + 8а3хбу {-2ах2у3
80.	(a2 + b2 + c2-ab-ac-bc)-(a
81.	(о-6 + с)-(о-6-с).
82.	(х + у + 1)-(х-у + 1).
83.	(ж3 + 2ж2)()
84.	(Bа + Ь) х3 + (а2 - об) ж2 - а3ж) • (Bа + Ь) х2 - (а2 - об) х - а3)
85.	2а2ж2 (Ьх4 - i аж5) - 0,4аж3B0а - 2,5а2ж4).

32	Разд. II. Алгебра и начала анализа
86.	(l,12a9 - А а2 (о,66а10 - | а6A,65а4 - 12,1а))) • (-5а).
87.	(За3-4а62 + а26J.
88.	Bп3ж2 + п2х3 + 2п4ж) • Bп3ж2 - п2ж3 - 2п4ж).
89.	(х2 + О,Ьу6)-(х2 + ху3 + О,Ьу6)-(х2-ху3 + О^у6).
90.	Dа4ж15 - 0,2а2ж9 + Юж3) • @,15а2ж7 + 7,5ж).
91.	Dа462 + а& - 2а763) • (За362 - аЧ3 - 5а964).
92.	l4x — 2x — 4x+-:
93.	(a2x3 - 2xy3) ¦ (a2x3 + 2xy3) ¦ (a4x6 + ix2y6) ¦ (asx12 - Ых4у12).
94.	(a2n~2 - a2z2) ¦ Banz - (a" + azJ).
95.	Bx + xy) x - - [2x — ху) х у - — Dж — x у ) у .
QR |7rn -U _ грП — 1 _ ^ грП—2 \ (ч г71 — — грП — l _i_ _ ^
V ^5	8	) V	5	8
Произвести действия (97-104).
97.	1) 0,064xV :1,6ж2/2; 2) - ab2c : (--be).
о	V 3 /
98.	1) (—0,5a362c) : (—a26cj; 2) (—a7613cj
99.	1) a13n:a12n; 2) xm:xm; 3) an+1:an] 4)
100.	@,21an+1cV):GancV).
101.	I,5a3(a + 1) : @,3a2(a + IJ).
102.	@,6a5(x - lN(x - 2)n+1) : @,8a2(x - lN(x - 2)).
103.	B,4
104.
Разделить многочлен на одночлен A05-108).
106.	@,01a4-0,02a3 + 0,04a2+ 0,002a) : @,01a).
107.	(-4a562 - \ a465 + \ a3b6) : (\ a3b2).
108.
Разделить многочлен на многочлен A09-124).
(См. предварительно изложение этого вопроса в Приложении I, § 3.)
109.	1) (а2-а-2) :(а + 1); 2) Bа2+ 7а + 3) : (а + 3).
110.	1) Dа4 + 19а2-5) :(а2 + 5); 2) (а2+ а + 2) : (а2 + 1).
111.	1) (а5-65) :(а-6); 2) (а5+ 65) : (а + 6).

§ 2. Одночлены и многочлены	33
112.	(-13а3ж - 5а4 - Пах3 + 6ж4 + 13а2ж2) : Bх2 -а2- Зож).
113.	A9а&3-8а262-15&4 + а4 + а3&):(За& + а2-5&2).
114.	(а4 - 1564 + 19а&3 - a3b - Аа2Ь2) : (а2 - 362 + 2ab).
115.	(ж4 -Ъх3у -17ху3 + 12у4 + 13х2у2) : (х2 + 4у2 -Зху).
116.	B
117.	(
118.	(
119.	Dс4ж6 - 13с6ж4 + Uc8x2 - 2с10) : (с2х4 - 2с4х2 + с6).
120.	E 4 32	2
121.	(
122.	(,	,,	)(,,)
123.	B0а6 + 12а5х - 23а4х2 - 9а3х3 + 14а2ж4 + бах5 - Ах6) : Dа4 -
124.
Разделить одночлен на многочлен A25-128) (см. решение зада-
задачи 127).
125.	1) 2ж:Bж-1); 2) Зж3:(ж2 + 1); 3) 8ху:B-4х).
126.	1) ж4:(ж2 + 1); 2) 2ж4:A-4ж4); 3) Бх3:B-7х).
127.	1) хь:A-х3); 2) 2ж4: (ж2-ж + 3); 3) 12жп: Fжп-3жп-2).
128.	1) ж5:(ж2 + 2J; 2) х4 : (х3 + 2х2 - х - 2); 3) аж3:A-аж2).
Вычислить устно, разложив на множители A29-130).
129.	1) 8,85-2,5 + 1,15-2,5; 2) 652-632.
9	9
130.	1) 34-1,73 + 25-1,73 + 41-1,73; 2) 2 \ .
Разложить многочлены на множители A31-182).
131.	1)	2х-х3] 2) 5a3 + 20a26 + 20a62.
132.	1)	(a-6J-(a + 6)(a-6); 2) а2(х - 1) - Ь2(х - 1).
133.	1)	(х + уJ-4ху; 2) (a2-lJ+4a2.
134.	1)	m2(a-2) + nB-a); 2) (a + 6K - a(a + 6J.
135.	1)	ж3 + Зж2-9ж-27; 2) a5-a3-a2 + l.
136.	1)	xn-xny2\ 2) an+1 + an.
137.	Iff a12-0,0004614.
169
138.	ia264 + -ab2c3d4 + ^-c6d8.
4	4	16
139.	8a366-36a465 + 54a564-27a663.
140.	0,6a6 + a-36-5.
141.	2a-a2-a3.
142.	(п22	22 2
3 В. А. Бачурин

34	Разд. II. Алгебра и начала анализа
143.	а2 — п2 + 2пр — р2. 144. ху — xz — {у2 — 2yz + z2).
145.	2а2-а2п + (п-2)(ап-аJ. (См. ответ.)
146.	3n5-18n4 + 36n3-24n2. 147. 27с4 + 54с6 + 36с8 + 8с10.
148.	ж6п + 12ж4п+48ж2п+64. 149. х8- 2х7 + х6- х5 + 2х4- х3.
150.	Dа + 36J-16(а-6J.
151.	xyz-\-x2y2 + 3ж42/5 + 3x3y4z — ху — z.
152.	25ж2-4а2 + 12а6-962. 153. ж3 + ж2+4. 154. ж4-4.
155. 26с + а2-62-с2. 156. а6 - Ь6.
157.	(x + y + zK -х3 -у3 - z3. (См. ответ.)
158.	(а-6K + F-сK + (с-аK. 159. 2
160. ж3 + 8ж2 + 17ж + 10.	161. ж4
162.	(ах - byJ + (Ьх + ауJ. 163. ж^2 - (х - у)х3 - zA.
164.	(ж + 1L-1. 165. (ж + 2/N-(ж-?/N. 166. ж4 + 1.
167.	(п - ж) • Eп2 - Ах2) - (Зж2 - 4п2) • (х - п).
168.	Bа + жK + (а + 2жK. 169. 1139
170.	a4-a3n2 + a2n3 5
171.	a6-a6z4 + 3a4z
172.	а8ж4 - а4х2 - 8а4п2х2+4а2пх - 4п2 + 16п4.
173.	(ж-?/2J + 2ж^3-2?/2^3 + ^6.
174.	32а5 - 32а4ж + 8а2ж3 - 16а4ж3 + 16а3ж4 - 2аж4 - 4аж6 + х7.
175.	ж3 + (а-1)ж + а. 176. ж6 + 1. 177. ж4 4
178.	х4 + х2 + 1. 179. (а + 1L + 1. 180.
181. (а + пN + (а-пN. 182.
183.	При каких значениях а трехчлен а2 — 14а + 51 принимает
наименьшее значение? Найти его.
184.	При каких значениях х трехчлен Юх — 23 — х принимает
наибольшее значение? Найти его.
185.	Какое выражение надо прибавить к квадрату разности двух
чисел, чтобы получить квадрат суммы тех же чисел?
186.	Доказать, что:
1)	квадрат нечетного натурального числа есть число нечетное;
2)	произведение двух нечетных чисел — число нечетное.
187.	Доказать, что:
1)	разность квадратов двух последовательных целых чисел — число
нечетное;
2)	разность квадратов двух последовательных четных чисел делит-
делится на 4;
3)	разность квадратов двух последовательных нечетных чисел де-
делится на 8.

§ 3. Алгебраические дроби	35
188.	Проверить, что если к целому числу прибавить квадрат его,
то полученная сумма будет четным числом.
189.	Какое выражение надо вычесть из куба разности чисел а и 6,
чтобы получить разность кубов тех же чисел?
190.	Доказать, что сумма кубов трех последовательных натураль-
натуральных чисел делится на 3.
191.	Проверить, что если к двузначному числу приписать такое
же число и полученное четырехзначное число разделить на 101, то в
частном получится первоначальное число.
192.	Доказать, что выражение (х — 1)(х — 3) + 1 при любых значе-
значениях х принимает неотрицательное значение.
193.	Доказать, что сумма двух любых последовательных натураль-
натуральных степеней числа 2 делится на 6.
194.	Проверить, что:
1)	если к произведению двух последовательных целых чисел при-
прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа;
2)	если к произведению трех последовательных натуральных чисел
прибавить среднее из них, то полученная сумма будет равна кубу
среднего числа.
195.	Не вычисляя всего произведения многочлена За + 5а3 — 4а2 — 2
на многочлен 1 + За2 — 2а, найти его члены с наибольшим, наимень-
наименьшим показателями и с показателем 3.
196.	Найти в произведении (8а2ж-2а3-4ж3 + 5аж2)Cаж-2ж2 + 4а2)
члены четного порядка, расположенные по убывающим степеням а,
не вычисляя всего произведения.
197.	Доказать, что сумма трех последовательных натуральных
степеней числа 2 делится нацело на 14.
198.	Доказать, что разность двух целых чисел делится нацело
на 9, если цифры в одном из них расположены в обратном порядке
по сравнению с другим.
§ 3. Алгебраические дроби
Сократить дроби A99-202).
199 (Устной Л а2~1- 2\ °* ~^' V) (а~6J- А)
199. (Устно.) 1) 7ТГ, 2) т—, 3) -^, 4)
г\ г\ о О	Л Л
ъпп а; \ i\ ci + ci	о\ а — 2а + 1 оЧ	а —Ь	ЛЛ b —a
200. (Устно.) 1) -5—;	2) 	2—^5 3)	"г—Гг!	4) ~1~^2-
а —1 а —1	а — о	а — о
3 2х3	an + 2а — сп —2с
201. 1) "* *; 2)
2ап-2а-2сп + 2с:
, 3a3 + ab2-6a2b-2b3 , . 	Па11'1 с2х2п+4
' 9а5-а64-18а46 + 265'	32an+3cV - 24an+2cV +
з*

36	Разд. II. Алгебра и начала анализа
Л	Ьпх2Bх-1K
АУЛА. V) 	=—о	о	о—5
ЗО2ж315пж31Оп2ж2
30п^жа - 15пжа - ЮгИаГ
2)	20ахп-\хп+1-3)п+1
12Ж3и+1 + 24Ж2и+2-36Ж2и-72ЖГ1+1'
Выполнить действия B03-224).
203. (Устно.) 1) -±- + -°-; 2) а+^=^; 3) ?--; 4) —
204.
-Ц--^; 3) -^
а-1 а	ж-
205. 1) ^	^;
а 6 6с
^32	23*
т п р тп р
206.	1) 3w +. 2" ; 2) —	^—--?±Zl
ап + ат bn + bm m m — 2 4n — i
207.	1) —!^ + _t—; 2)
ас + с а + ас	2ап + п +а
208.	4 г з	з"^	4+ 4 \ 2-
2B -|- 2B Ж 2B Ж ~Ь 2B B -|- B Ж
209.	ап	а"И	Х
3 3 2	2 3	2 *
а +п а п — ап +п ап + п
2Ю.
ж3-ж2 + ж-1 ж3 + ж2 + ж + 1 ж4-1'
п3 — ж3
3 3*2	2 '
п +ж	п — пх + х
213.
+1):AЦ
o-1 / V 1-а
214.
215.	*—*-.(*+!-х-у).
ож ж+ 2/ V ож	/
216.	@=1-2+1).A-1-1-).
Vn + l и-1/ V2 4 4п/
217.	Г а + п2 - Зп - п2C2Па+аЛ : A а2 + 4,5п2 - Зап).
+ ; 2)Ц; 3)	; 4J^.
1-ж ж + 1	а-1 а	ж-г/ ?/ + ж 7	Ъ а
§^1
2	2	2 *
6с —с -\-ac — ab ab — ac — b +bc ab + ac — bc — a
2	2	3
ж	ж +ж —1	ж —ж —1	2ж
—К	1	Ъ	п	Г

§ 3. Алгебраические дроби	37
0-ю / , b(a-\-b — с) — ас ,	,Л / с —а	Ь — а
219. х + -	(~ ~ и\\.\
х-Ъ	v	7 \(c-b)(x-c) (c-b)(x-b)J'
220. (I-!
) : Ux3+
ж+1/ V	1 + ж
_(
V
222. -
223.
224 ( а2~аХ	—	)-A-Х~г Х
\ 2	3 3	2 2	3
\а х + х х —ах + а х — а ,
Доказать тождества B25-226).
1 \ / 1 1
. б2с2 V62 с2; \а2 с2) а2с2 )' a2b2	a2b2
ZZ\). \ -	о \	I	/I	о	о I	о I	о I I •	о о
?тгп
т — п
Выполнить действия B27-233).
х2п-2\( Зх2п-2-12хп~4 х4п+1
228. [хп-\-
-1)Bж + 1)\	0,5ж5
3	6
a2b + ab2 \ /о^-о-Зо^+Зо^ a^ + az-2ad
a3b-b4
Л	6_ 6	а_ _ах
) V	У	а + ж
(a x — ах ):(((а + ж) — аж)((а — ж ) + аж)) а_ _^f
fa + 26 _
V 4
2 2
а +с
\ Г^"	4Г^ / • \ ,2 2 \ 72" ~2 I \~2 ~2 I 2ПГ~
\ аи	а о / \ о с \о с J \а с J ас
1-Зж + ж2 1 "\ 1-2ж + ж2-2ж3
ж3-1

38	Разд. II. Алгебра и начала анализа
234. Какие свойства алгебраических дробей применялись при ре-
решении задач этого параграфа?
§ 4. Уравнения первой степени с одной переменной.
Системы уравнений первой степени
и приводящиеся к ним
235.	Нестандартный вид линейного уравнения может быть до-
довольно громоздким; чтобы привести его к стандартному виду ах +
+ 6 = 0, производят целесообразные и допустимые (чтобы сохранить
равносильность) операции. Какие это операции?
236.	При каких значениях а и b уравнение ах-\-Ь = 0:
1)	имеет единственное решение;
2)	не имеет решений;
3)	имеет бесконечное множество решений?
237.	При каких значениях а уравнение (ж+ 2)(а — 1) + 1 = а2:
1)	имеет единственное решение;
2)	имеет бесконечное множество решений?
238.	При каких значениях а уравнение (а — 2)(х — 1) = а2:
1) имеет нулевое решение (х = 0); 2) не имеет решений?
Равносильны ли следующие уравнения B39-244)?
239.	2ж + 1 = ж + 7 и 2х-6 = х.
240.	(ж-1)(ж + 3) = 0 и 5(ж + 3)A-ж)=0.
241.	ж-3+^—= 3-ж + ^— и ж-3 = 3-ж.
ж +1	ж +1
242.	5-Зж	— = 2х	— и 5-Зж = 2ж.
х — 1	х — 1
243.	Bж-1)(ж-2)=2(ж-2) и 2ж-1 = 2.
244.	?zi = ?z? и ж-4 = 6-ж.
ж — 5 ж — 5
245.	Сформулировать теоремы о двух основных свойствах равно-
равносильных уравнений и по одному следствию из этих теорем.
26	х
246.	При каких значениях а уравнение — ж + 5 = 2а + — имеет
нулевое решение
?
247.	Определить, при каких значениях а уравнение 1 + - х = — х
х A — х) не имеет решений.
248.	Определить такие значения а, 6, т, п, при которых уравне-
уравнение ах + Ь = тж + п:
1) не имеет решений; 2) имеет бесконечное множество решений.
249.	Решить уравнение п(х + а) = х + b. Рассмотреть случаи:
1) п ф 1; 2) п = 1 и а / 6; 3) п = 1 и а = 6.

х
§ 4- Уравнения и системы уравнений первой степени	39
250.	Проверить, является ли число 13 корнем уравнения 5 х
@,4ж + 3-) = 254 — х\ если нет, то найти корень этого уравнения.
Решить уравнения 251-302 B51-253 решить устно).
251.	1) 13ж = 0; 2) П(х - 1) = 0; 3) 7(х - 2)(ж + 3) = 0.
252.	1) -3(ж + 5)Bж-1)Eж + 11) = 0; 2) 13ж + 0,25 = 0,5ж + 169.
253.	1) 5(ж-2)-3 = 4(ж-2); 2) 0,C)@,2ж + 1)@,51-0,17ж) = 0.
254.	4(ж + 3)-3(ж + 2)-2(ж + 1) + ж=0.
255.	(ж-1) + 2(ж-2) + 3(ж-3) = 6 (ж-2^)
256.
3	2	6
х-9 х-1 1/ж-5 14-2ж
258.	|ж| = 1.	259. \х\ = -х.	260.
261.	|ж-1| = -1. 262. |2ж + 3| = 2. 263. |3-2ж| = 5.
264.	\х\ = 2х-1. 265. 241,2ж-0,04(ж + 0,9) = 24,08.
266.	5(9ж + 4) + 12(ж-18)=36ж-12.14.
267.	5A,14ж + 1,44-0,171ж)= 0,05C19,77 + 69ж).
268.	0,35@,35ж - 1) - 0,45@,45ж - 2) = 0,55@,55ж - 3) - 0,65 х
х@,65ж-4).
269.	4ж + Eх - Fх - Gх - (8х - 9)))) = 10.
270.	2
272.	( ) (
273.	7х2 - (Dж - ЗJ - 1) = 11ж - (Зж - 5J.
274.	(х + 2)Bх + 1)(х -2) - х2(х + 1) = (х2 -
275.
276.
277.
278.	(у/2 +1) A - л/2) A + ж2) - 2 A - л/2) ж = (д/2
279.	(л/2-1)(л/2-ж)-(л/2 +
280. _^ = ??±1. 281.
Зж — 1	ж

40	Разд. II. Алгебра и начала анализа
282 Ж + 5	Ж~5	ж+ 25
ж2-5ж 2ж2-10ж 2ж2-50
283 3	7 =4-20ж2
* 2ж-1 2ж + 1 г-4х2 '
284. ^±^ = ^. 285.
2х
2ж-1 ж + 3'	* Зж + 1
286. Проверить, что уравнения 1), 3), 4) не имеют решений, а
уравнение 2) имеет бесчисленное множество решений:
1) 2ж-3 = Зж-A + ж); 2) 2
, ж + 1 2(ж + 1) _ 1	, 2(ж-2,5) , , _ 1
-3 3	' ж-3	ж-3
2ж2 + 2ж + 61 2ж2 + 23ж + 61
(ж-5)-(ж + 6)
2
-ж +ж +1
ж + 1	ж — 1	ж2 — 1
о	о	Я	2
ж +ж +ж + 1 ж —ж +ж —1_1,5ж —2
289. 1) ^ = 3; 2) 1±^ = а; 3) --4=-.
2 —ж	1 — ж	ж	ж
290 2(ж-!) | 2п2A-ж) = 2х-\
n2_l	n4_i	1-п4'
2аж + ж-3_ 1 + ж 2ж
	^	— 	о "I	•
( ) а
292.	^-^-^ , ж-6-с | ж
са
293.	^ + ?^ + ?^? = 2( + +
ос	ас	ао	\а о с
ж + 4а + 3 1 —ж	1 —ж	_	1 —ж	1 —ж
	—	Ту Л	о	о	 — 	о	о	о +
! + а	1 + а а-а+а-1 1 + а + а+а 1-а
1 — а
295.	(а + 6) (а - х) -(а - х) (х - b) = (x-b)(b + x).
296.	(а + х - Ь)(а - b - х) = (а2 - х)(b2 + x)-a2b2.
297.	(а — п)-(а — пх) — (а + п)(п + ах) = п(Bа — Зп)ж — п) — 2а2ж.
298.	(а + &)(&- о)A + ж2) - 2F - а) х = (а - ЬхJ - F - ахJ.
2	2 .	/ 2 1ч
.7!	.7! — /7.Г7. -I- Л,	СЦП — 1) Ж
о	2	1	/ 2 \ '
ап -ап — ап + пж —ж + а	п —1	а(п — 1) + ж
3(ж — п)	(а + ж)(ж — п)	_
301
2	2	2	2 2	2
ж — аж + пж — ап ж — 2аж +пж +а ж —2апж + а п ж —а
302. 2 ,1Ж aj	2 + ^	—	г = -!--
а —с —2аж + ж а —ас + сж —2аж + ж ж —а

§ 4- Уравнения и системы уравнений первой степени	41
303.	Велосипедист должен проехать путь из пункта А в пункт В
в определенный срок. Если он будет ехать со скоростью 12 км/ч, то
опоздает на - ч, если же поедет со скоростью 15 км/ч, то приедет
в пункт В на 12 мин раньше срока. Определить расстояние между
пунктами А и В.
304.	После снижения цен 1 кг товара стал дешевле на 540 руб. За
15 кг товара по новой цене надо теперь заплатить на 900 руб. меньше,
чем за 13 кг товара по прежней цене. Определить новую цену 1 кг
товара.
305.	Улучшив технологию производства, завод стал на обработ-
обработку одной детали тратить времени на 1 ч меньше, чем прежде. Теперь
30 деталей обрабатываются за то время, за которое ранее обрабатыва-
обрабатывались 24 детали. Сколько времени затрачивается теперь на обработку
одной детали?
306.	Имеются два слитка сплавов меди и олова. Первый содержит
40% меди, второй 32%. Какой массы надо взять куски этих слитков,
чтобы после из совместной переплавки получить 8 кг сплава, содер-
содержащего 35 % меди?
307.	Один рабочий выполняет некоторое задание за п дней, дру-
другой рабочий то же задание может выполнить за т дней. За сколько
дней будет выполнено это задание, если оба рабочих будут работать
вместе?
308.	От двух кусков сплава в 6 кг и 12 кг с различным процент-
процентным содержанием меди отрезано по куску равной массы. Каждый
из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего
процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Какова
масса каждого из отрезанных кусков?
309.	Кусок железа и кусок меди имеют общую массу в 373 г, при-
причем объем куска железа на 5 см3 больше объема куска меди. Найти
объем каждого куска, если плотность железа 7,8 г/см3, а плотность
меди 8,9 г/см3.
310.	Два шкива соединены бесконечным ремнем. Окружность пер-
первого шкива равна 60 см, а второго 35 см. Сколько оборотов в минуту
сделает второй шкив, если первый делает 84 оборотов в минуту?
311.	В 200 г раствора содержится 50 г соли. Сколько воды надо
добавить к раствору, чтобы получить раствор концентрации 10 %?
312.	Сплав из золота и серебра массой 1,06 кг при погружении
в воду «теряет» 70 г. Сколько в этом сплаве золота и серебра, если
известно, что золото «теряет» в воде —, а серебро — 0,1 своей массы?
313.	Ледяная глыба плавает в морской воде, причем объем ее
надводной части равен 2000 м3. Каков приближенно объем всей глы-

42	Разд. II. Алгебра и начала анализа
бы, если плотность морской воды равна 1,03 г/см3, а плотность льда
0,9 г/см3?
314.	Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если к этому числу
прибавить 63, то получится число, обозначенное теми же цифрами, но
написанными в обратном порядке. Найти число.
315.	Первую часть пути самолет летел со скоростью 360 км/ч,
а вторую — 500 км/ч и прибыл на место в назначенное время. Ка-
Какое расстояние пролетел самолет, если известно, что первая часть
пути превышала вторую на 640 км, а скорость по расписанию равна
400 км/ч?
316.	Два ученика изготовили 350 деталей. У первого ученика было
2% нестандартных деталей, у второго — 3%. После сортировки ока-
оказалась 341 стандартная деталь. Сколько деталей изготовил каждый
ученик?
317.	Веревка длиной 25 м разрезана на 4 части так, что вторая
часть вдвое длиннее первой, третья на 1 м короче первой, а четвертая
на 1 м короче второй. Каковы длины отрезков?
318.	Длина окружности переднего колеса трактора 2,8 м, задне-
заднего — 3,2 м. На каком расстоянии переднее колесо сделает на 10 обо-
оборотов больше заднего?
319.	Пассажир метро опускается вниз, стоя на ступеньке движу-
движущегося эскалатора, за 56 с. По неподвижному эскалатору он спуска-
спускается по ступенькам за 42 с. За какое время этот пассажир спустится
вниз, если с той же скоростью он будет спускаться, шагая по ступенькам
движущегося вниз эскалатора?
320.	К 20 кг воды при температуре 15° С добавили 8 кг при тем-
температуре 100° С. Какова температура смеси?
321.	Какова ширина реки, если звук с другого берега доносится
по воздуху на 2 с позже, чем по воде? Скорость распространения звука
в воздухе 340 м/с, в воде 1450 м/с.
322.	Определить вместимость сосуда, если он, наполненный мас-
маслом, имеет массу на 200 г больше, чем наполненный керосином. Плот-
Плотность масла 0,90 г/см3, а керосина 0,80 г/см3.
323.	В городе в настоящее время 48400 жителей. Известно, что
население этого города увеличивалось ежегодно на 10%. Сколько
жителей было в городе два года назад?
324.	Для технических целей взяли а литров серной кислоты кон-
концентрации в р% и добавили к ней b литров воды. Определить процент-
процентную концентрацию получившегося раствора.
325.	В а литрах воды растворено b граммов соли. Сколько надо
добавить воды, чтобы на каждый литр раствора приходилось т грам-
граммов соли?

§ 4- Уравнения и системы уравнений первой степени	43
Решить системы уравнений (устно) и проверить (также устно) най-
найденные корни C26-327).
Г х + у = 5,	Г х + у = а,
326. 1) { У '	2Н ,
^-2/ = l;	[x-y = b.
ч Гж —2/ = 0,	ч (
327 11 <	21 <
' ; \Зж + 2?/ = 5;	; \
Решить системы уравнений C28-331).
330 Р*4г/ + 1 0,
33°* \315 + 16 0
При каком значении параметра а системы имеют бесконечно мно-
много решений C32-334)?
Гож-32/= 4,	Гж + ад = 2,	Г я +1,52/= 4,
332. <^	4 ззз. ^Q ; ' 334. ^ у
ух-у = -	[Зх-2у = 6.
При каком значении параметра а системы не имеют решений
C35-337)?
Bх + ау = 8,	Г ж —у = 3,	(х-у = 2,
335. ^	^	336. ^ ^	337. ^ ^
\З5 6	\ + 2	6
Можно ли указать значение параметра а, при котором системы
имеют решения C38-340)?
338. \Х ~ У~ '	339. \Х + У~а1 340. | Х~ У~ '
(ах + у = — о.	(Ах + 4:у = Ъ.	(ах + у = — о.
Решить системы уравнений C41-370).
341. [Х У ~, '	342.
= 9A0у-7).
2,5а -1,256 = 7,5,	Г 0,Зу - 0,5ж = 1,18,
344> \1,6у + 2ж = -3,04.
Г 2 л/3A + 1/) = - (л/3
Г4BЖ-1) + 5(Зу-2)=40,
'
,( (у()))
\5F@,5(ж + 1)-|/)-ж)=

44
Разд. II. Алгебра и начала анализа
349.
351.
353.
350.
'2х + у 4ж —г/ _ Зж + 0,5г/
~~	2~~ 6
/-1	0,8-52/
8	"^^-
352.
1 + 1^
х у Ь
1 _ 1 _ 1
.ж г/ 6
Зу = 10(а; - у) - 4A - ж).
354.
= бху,
<^	1
[1Бх-2у = 2-х
355.
357.
356.
х+у х-у
1_3BЖ
2C-2а:)'
3B»-у)
2B/-4)
2 л/2
358. <
x-yV2
10
= 1,
Юл/2 +_L^ = 1.
360.
к х + ул/2 х —
(х -
359.
1	3
361.
363.
365.
+
ж + г/-1 х-у + 1
ж + 2/ — 1 х — у + 1
5	6
52
25	20
100'
7
30'
362.
364.
х + y + l х — у + 1
ГП 	 ПШ 	 1
Ju у л.
~-i ~ з
! _ х + у _ 1
3'
? ,2/ _ А
6 2 15'
366.
х + у =

' 4- Уравнения и системы уравнений первой степени	45
11,4 + 10ж	1	х-у
367
3Dж2 - у) - 6хA -у) 2ж - 1 у - 2жBж - A - у))'
18
х3 + 2х2 + х ху- х2 х3 - (у - 2) х2 - Bу - 1) х - у '
368. <
8ж + 3^/ _
3
He решая следующие системы, определить, имеет ли каждая из них
единственное решение, бесконечное множество решений, или совсем не
имеет решений C71-376).
(х + 2у = Ь,	(Зх + 4у 5,
' \2 + 3 &	' \б + 8 10	'
377. К каждому из следующих уравнений присоединить второе
уравнение такое, чтобы полученная система:
а)	имела единственное решение;
б)	стала несовместной (не имела решений);
в)	имела бесконечное множество решений.
1) х -у + 10 = 0; 2) 0,2ж = 5-2^; 3) 4х-у = 0.
378.	Дана система уравнений: ,
i ах~\ ?у — с.
Подобрать такие значения а и с, чтобы система уравнений:
1)	имела одно решение;
2)	имела бесконечное множество решений;
3)	не имела решений.
379.	Может ли быть несовместной система уравнений:
\ п2Х + Ь2У = 0?
Решить следующие системы с тремя и более неизвестными
, у, z, и, t) C80-401). (См. §8 Приложения I.)
( x + y + z = 6,	( 2x + 3y-5z = 17,
380. < x + y-z = 10, 381. < 3x-4y-6z = -U,
\x-y + z = 0.	I 8>x - 7y + 2z = 17.

46
'. //. Алгебра и начала анализа
Юх- 9^ = 19,
382. { 8х-у = 10,
¦122 = 18.
384. <
= 11,5,
У х _
f"T=0,2,
386. I
388.
ж
к 
f 1
ж
1
ж
1
<У
f гп
2
2/ _
2
1 _
2/
1 _
z
1
_ 2/~
1
1
12'
1,
1
4'
1
4'
1 _ г + 1
2
383.
385. <
а:+2У = 1'
,. . 1 _ _ -,
У * о — '
О
z+i^-1
г+4ж-1.
Т+3 ~Т = ~1;
.5(у + 1)-4ж = -1.
387. <
389.
г 10
ж
7
ж
4
^ ж
f х -
5
,3ж
6
3
2/
-7 _
-2/
8
z
5
2?
2
_ у-
1
+ 2^
= 14,
-10 ^
~ '
= 2,9.
4 _ ^
= 5.
9,
?-5
4
390.
0,4x4-0,52/4-0,72? = 51.
391.
5ж _ у_ z_ _ 1
6 4 3 4'
392.
394.
393.
396.
х у z
- + --- = 1,
ж ?/ z
2а
х
395. ^
2
10	5
20
^/ — z
20
2 _ 1
Г^ ~ 20'
_3	 2
Г^ ~ 5'
20
. 2х-\-у
3
5ж — z
= -5.
397.
¦ +
6 +^ = i,
|
15
2х-у
4
2х-у
2
2ж-2/
= 5.

' 4- Уравнения и системы уравнений первой степени
47
' а — Ъ Ъ — с а — с
1
398.
х у
¦ + ¦
с,
2,2,2 2 2 2
а — b , о — с а — с
У
га/0, (афЪ,
, < Ь ф О, I а ф с,
399.
401.
У
+ ?/ + 2; + ^ = 2,
= 2(о-сN,
400.
-5^ + ^ =
ж -22/
402.	Если числитель дроби уменьшить на единицу, то дробь ста-
становится равной -, а если знаменатель ее уменьшить на единицу, то
о	^
дробь становится равной -. Найти эту дробь.
403.	По плану бригада рабочих должна выполнить некоторое за-
задание в определенный срок. При уменьшении числа рабочих в бригаде
на 5 срок выполнения задания увеличится на 10 дней, а при увеличе-
увеличении числа рабочих на 4 срок его выполнения уменьшится на 2 дня.
Каковы число рабочих в бригаде и срок выполнения задания по плану?
404.	Участок земли имеет форму прямоугольника. Если длину его
увеличить на 15 м, а ширину уменьшить на 20 м, то площадь участка
уменьшится на 2400 м ; если же длину участка уменьшить на 10 м,
а ширину увеличить на 15 м, то его площадь увеличится на 1500 м2.
Определить длину и ширину участка.
405.	Две детали имеют общую массу р кг; п процентов массы
одной детали равны т процентам массы другой. Определить массу
каждой детали.
406.	Два завода должны были по плану выпустить 360 станков в
месяц. Первый завод выполнил план на 112%, а второй на 110%, и
поэтому оба завода выпустили за месяц 400 станков. Сколько станков
сверх плана выпустил каждый завод?
407.	Три города — Л, В и С — не расположены на прямой. Рас-
Расстояние от Л до С через Б в 4 раза больше прямого пути от А до С;
расстояние от Б до Л через С на 5 км больше прямого пути от В
до А] расстояние от С до Б через А равно 85 км. Определить расстояния
между городами.
408.	На прокорм нескольких лошадей и коров отпускали ежеднев-
ежедневно 162 кг сена: на каждую лошадь — по 9 кг, а на каждую корову —

48	Разд. II. Алгебра и начала анализа
по 6 кг в день. Если бы число коров увеличилось на -, а число ло-
1	3
шадей — на - от первоначального количества голов, то при той же
4
норме пришлось бы отпускать ежедневно 213 кг сена. Сколько было
лошадей, и сколько было коров?
409.	На участке в с км поезд шел х ч со скоростью 50 км/ч и у ч
со скоростью 60 км/ч. Известно, что если бы поезд шел х ч со ско-
скоростью 60 км/ч и у ч со скоростью 50 км/ч, то он прошел бы путь в
210 км. Найти х и у. При каких значениях с задача имеет реше-
решение?
410.	Латунь состоит из сплава меди и цинка. Кусок латуни массой
в 124 г при погружении в воду «потерял» 15 г. Сколько в нем содер-
содержится меди и цинка отдельно, если известно, что 89 г меди «теряют» в
воде 10 г, а 7 г цинка «теряют» 1 г?
411.	В двух сосудах имеются две различные жидкости. Если
взять первой жидкости 10,8 г, а второй 4,8 г, то плотность смеси будет
1,56 г/см3. Если же взять жидкостей поровну, то плотность смеси бу-
будет 1,44 г/см3. Найти плотность каждой жидкости.
412.	Два сплава золота и меди, один из которых 950-й пробы, а
другой 800-й пробы, сплавляют с двумя граммами чистого золота и
получают новый сплав 906-й пробы массой в 25 г. Вычислить массу
первых двух сплавов.
413.	По окружности, длина которой 100 м, движутся два тела.
Они встречаются через каждые 20 с, двигаясь по одному и тому же
направлению, и через каждые 4 с, двигаясь в противоположных нап-
направлениях. Определить скорость каждого тела.
414.	Если искомое двузначное число разделить на обращенное*),
то в частном получится 4 и в остатке 3. Если же искомое число разде-
разделить на сумму его цифр, то в частном получится 8 и в остатке 7. Найти
это число.
415.	Найти число, которое при делении на 7 дает в остатке 2, а при
делении на 15 дает в остатке 6, причем первое частное относится ко
второму, как 2,2 : 1.
416.	На погрузке парохода сначала работали 4 подъемных крана
одинаковой мощности, затем через 2 ч к ним присоединили еще 2 крана
меньшей мощности, и после 3 ч совместной работы всех кранов погруз-
погрузка была закончена. Если бы все краны начали работать одновременно,
то погрузка была бы закончена за 4,5 ч. За сколько часов мог бы окон-
окончить погрузку один кран большей мощности и один кран меньшей
мощности, работая отдельно?
*) Число, написанное теми же цифрами, что и искомое, но в обратном
порядке.

§ 4- Уравнения и системы уравнений первой степени	49
417.	Трем работникам поручено некоторое задание. Первый и
второй выполнили бы его вместе за 12 дней, второй и третий — за
20 дней, а первый и третий — за 15 дней. За сколько дней каждый
может выполнить задание без помощи других?
418.	В бассейн проведены три трубы. Когда открыты первые две,
бассейн наполняется водой за 1 ч 10 мин; через первую и третью трубы
он наполняется за 1 ч 24 мин, а через вторую и третью за 2 ч 20 мин.
За какое время наполнится бассейн через каждую трубу отдельно?
419.	Найти трехзначное число, в котором единиц первого разряда
на 2 больше, чем единиц третьего разряда, и имеющее следующие
свойства: если его разделить на 30, то в остатке получится 8; если в
нем отбросить цифру единиц, то получится двузначное число, которое
будет в 3 раза больше частного в предыдущем делении, а если отбро-
отбросить цифру сотен, то число, изображаемое прочими двумя цифрами,
будет относиться к тому же частному, как 2 к 5.
420.	600 станков размещены на четырех этажах фабрики так, что
на первом этаже их вдвое больше, чем на четвертом; на втором и
третьем столько же, сколько на первом и четвертом вместе; и, наконец,
на одном третьем - количества станков на втором. Сколько станков
помещалось на каждом этаже отдельно?
421.	Три куска серебра имеют общую массу в 16 кг; первый кусок
840-й пробы, второй имеет массу 4 кг. Если сплавить первый кусок
со вторым или с третьим, то получится серебро соответственно 870-й
или 760-й пробы; сплав же из второго и третьего кусков дает серебро
780-й пробы. Определить массу и пробу каждого куска.
422.	Чтобы совершить некоторую работу, А и Б затрачивают
вместе в а раз меньше времени, чем В] Б и В в b раз меньше, чем А.
За какое время каждый из них в отдельности выполнит эту работу,
если А и В могут ее выполнить за время t? (а = 2, b = 1,5, t = 30.)
423.	В трех ящиках находится некоторое (неодинаковое) число из-
изделий. Сначала перекладывают из первого ящика в два других в п раз
меньше изделий, чем в них находится; потом из второго переклады-
перекладывают в первый и третий также в п раз меньше, чем в них оказалось
после первого перекладывания; наконец, из третьего перекладывают в
первые два опять в п раз меньше, чем в них находилось после второго
перекладывания. Тогда во всех ящиках получилось поровну, именно
по а изделий. Сколько изделий было в каждом ящике первоначально?
(а = 54 или 250, п = 2 или 1,5.)
424.	Населенные пункты Л, Б, В, Г лежат на одном меридиане.
Найти их широты по следующим данным: разность широт между дву-
двумя отдаленнейшими пунктами А и Г составляет 80°; расстояние меж-
между Л и Б равно расстоянию между Б и Г; утроенное число градусов
широты Б равно удвоенному числу градусов пункта Л, а число граду-
градусов пункта Б равно сумме градусов пунктов А и Г.
4 В. А. Бачурин

50	Разд. II. Алгебра и начала анализа
§ 5. Извлечение квадратного корня*)
Извлечь квадратный корень из чисел (без помощи компьюте-
компьютера) **) D25-432).
425.	1) 361; 2) 1849; 3) 43 264; 4) 133 225.
426.	1) 65 583 801; 2) 62 523 502 209.
427.	1) 48 303 584 206 084; 2) 8152 292 406 682116.
428.	1) 79,21; 2) 1044,5824; 3) 0,00094249; 4) 103247,185041.
429.	1) 0,000001048576; 2) 0,010779215329;
3) 24336,03120001; 4) 1523822,60951041.
430.	1) д/0,49-36-0,01; 2) л/48-л/75; 3) \/652-632.
/3132-3122	v /2572-322
13 -122	У 32 + 8
Извлечь квадратный корень из чисел с точностью до 0,001 D33-437).
433.	1) 2; 2) 13; 3) 349; 4) 9999.
434.	1) 0,005; 2) 1,009; 3) 13,00103; 4) 100,00101.
435.	1) 7,F); 2) 0,0(91); 3) 37,04925; 4) 257,25764.
436.	1) 30126,07541; 2) 70001,00035; 3) 3^; 4) -^.
2	16
§ 6. Квадратные уравнения
438.	При каких значениях х трехчлен у = х2 + 7х + 10 :
а)	обращается в нуль;
б)	принимает значение, равное 10;
в)	принимает значение, равное 4;
г)	принимает значение, равное —5?
439.	Выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена,
2	a > 0.
440. Вывести формулу для решения полного квадратного урав-
уравнения:
= 0, 2) ах2 + 2Ьх + с = 0, 3) x2+px + q = 0.
*) См. Приложение I, § 2.
**) Задачи 430-432 рекомендуется решать устно.

§ 6. Квадратные уравнения	51
441.	Как геометрически истолковать значения действительных
корней квадратного уравнения (и случай отсутствия действительных
корней)?
442.	Написать общий вид квадратного уравнения, в котором:
1)	один корень равен нулю;
2)	оба корня равны нулю;
3)	корни равны по абсолютной величине, но противоположны по
знаку.
443.	Вычислить значение а, при котором уравнение х2 — 2х +
+ ах — а + 2 = О имеет двукратный корень, равный нулю.
444.	Один из корней уравнения х2 — х + а = 0 равен 2. Вычислить
второй корень и свободный член этого уравнения.
445.	Один корень уравнения х2 + тх — 5 = 0 равен 5. Вычислить
второй корень и коэффициент т.
446.	Какая зависимость существует между коэффициентами р
и q уравнения х2 + рх + q = 0, если один из его корней равен —1?
447.	Какая зависимость существует между коэффициентами квад-
квадратного уравнения ах2 + Ъх + с = 0, если известно, что его корни —
взаимно обратные числа?
448.	При каких значениях а один из корней уравнения 4ж2 —
+ 4а3 = 0 равен квадрату другого корня?
449.	Сумма квадратов корней квадратного уравнения х2 —
+ а2 = 0 равна 1,75. Найти числовое значение а.
450.	Один из корней квадратного уравнения ах2 — Ъх + с = 0, где
а > 0 и с ф 0, равен а, а другой корень равен с. Вычислить коэффи-
коэффициенты а и с.
Решить уравнения, выделяя квадрат двучлена D51-452).
451.	ж2-2ж-35 = 0. 452. 5ж2 + Зж-8 = 0.
Доказать, что уравнение не имеет действительных корней D53-454).
453. ж2-11ж + 32 = 0. 454. 2
Найти множество значений ?, при которых уравнение не имеет
действительных корней D55-456).
455. Зж2-2ж + ? = 0. 456.
Установить, равносильны ли следующие уравнения D57-460).
457.	ж2 = 2ж + 3 и ж2-2ж-3 = 0.
458.	(ж-1)(ж + 5) = 2(ж-1) и ж + 5 = 2.
459.	(х-1)(х + Ь) = 2(х-1) и (ж-
4*

52	Разд. II. Алгебра и начала анализа
460.	^1=*?±1 и ж-1 = 2ж + 1.
ж + 2 ж + 2
Решить уравнения D61-500).
461.	(ж-0,7)(ж-13)=9,1. 462. D + ж ^/2) (ж ^/2 - 4) = 2-8л/2.
463. Bж + 1)^4ж + 4,	464.	3Ж = х2Ж>
8 5	5	8
.„_ ж + 15 2ж + 25	.__	5 8-ж(ж + 2)
465. —Г = —^-.	466.	— = д2_4 ¦
467. 2?^=»?±4.	468.	« =_8 _
ж + 7 ж-1	ж-1 ж + 1
469. А: + ^=3.	470.	^ж2-7 3
ж-3 1-ж		 ж-1 ж2_1 ж + 1
Bж + 1J-8ж_3Bж-1)	ж + 1 _ ж 7-2ж
4ж2-1	7Bж + 1)'	" 2ж-2 ж-12ж + 2"
473. ^— = -±	Ъ— 474.
2	2	2
=	474.
ж2-9 ж2 + 3ж 6ж + 2ж2	ж-5 ж-2
ж+ 2 ж(ж-4)_ж-2 4A +ж)
^2 +^ГГ"^+2~7Г^-
5,3
24	ж	18
477. 2х~г	8
12ж2-3
г* 	 Q Q 	 rn	Of)
478. A б ¦	U
479.
480.
481.
ж-4 4 + Зж-ж2'
3	1	3
ж -9 9-6ж + ж 2х +6х
4(Зж + 1) _ Зж + 2 2ж + 3
(ж-1)(ж + 3) ~ ж-1 ж + 3 '
5	8	2	20
ж2-4
.oo	35ж	ж + 2 2ж-1
4oo. 	^г ^ 	—	.
4 + Юж-бж Зж + 1 ж-2
484 25ж-21	2ж-3 ж + 4
2ж2 + 5ж-12 ж + 4 2ж-3'
485. Зх2-Ьах-2а2=0.	486. жBж + 5) - 6(ж + 3) = 3.
487. ж2-2пж + 4п-4 = 0. 488. х2 -6ж + 9- а2 = 0.

§ 6. Квадратные уравнения	53
489.	х(Зх-1)-2п(х-2) = 10.
490.	ах(х + Б) + х(х + 2) = 3-6а.
491.	i!	4	1 4±4
х-у/2 ж-1Д	ж	а2-б2
^	2а
493.	1 = ^-^ + 1.	494.
аж — 1	а	ж — а ж + а ж^_а^
495. ^—^ + ^—^ = 2,5. 496. —!— + —!—= 1 + 1.
ж —6 ж —а	ж —а ж —6 а 6
497. -^- = (а + 1J.	498.
(ж — а) — ж(ж — а) + х
499. 1+1+1=	—-
ж а о х + а + о
500.
л/З + л/2 л/З-л/2	ж
501.	Составить квадратное уравнение по его корням х\^ — 2 =Ь л/3.
502.	Если число 165683 разделить на квадрат искомого числа, то в
частном получится 3 и в остатке 8. Определить искомое число.
503.	Если произведение трех последовательных целых чисел раз-
разделить на каждое из них порознь, то сумма частных равна 107. Найти
эти числа.
504.	Плотники и столяры, всего их было 14, изготовили 96 изде-
изделий. При этом каждый плотник изготовил столько изделий, сколько
было столяров, а каждый столяр — столько, сколько было плотников.
Сколько было тех и других?
505.	Несколько человек должны были заплатить 96000 руб. поров-
поровну. Во время платежа трое были в отсутствии, а потому другие вносят
за них деньги, прибавляя к своим частям по 1600 руб. Сколько лиц
участвовало в платеже?
506.	Составить квадратное уравнение, в котором коэффициент при
неизвестном в первой степени был бы равен (—15) и один корень кото-
которого был бы вдвое больше другого.
507.	Не решая уравнение х2 + рх + q = 0, выразить через р и q
сумму квадратов его корней.
508.	Выразить через р и q:
а)	разность квадратов корней уравнения х2 +рх + q = 0;
б)	сумму и разность кубов корней уравнения х2 +рх + q = 0.
509.	Известно, что х\ и х<± — корни уравнения х2 + Ъх + т = 0. При
каком значении т:
а)	разность корней данного уравнения будет равна 6?
б)	один из корней уравнения будет вдвое больше другого?

54	Разд. II. Алгебра и начала анализа
510.	В уравнении х2 — 6х + q = 0 найти то значение q, при кото-
котором корни уравнения х\ и х<± удовлетворяют условию Ъх\ + 2x2 — 20.
511.	Разложить на множители: (а2 — Ь2)х2 — Aabx — (а2 — Ь2).
512.	Не решая уравнения 2ж2 + 3ж = 2, установить, имеет ли оно
два различных корня, два равных корня или не имеет корней (действи-
(действительных).
513.	Не решая уравнения уравнения 4ж2 + 9х + 2 = 0, установить
знаки его корней.
514.	Показать, что если дискриминант квадратного уравнения
ах2 + Ъх + с = 0 равен нулю, то левая часть этого уравнения есть пол-
полный квадрат.
515.	Составить приведенное квадратное уравнение, которое имело
бы:
1)	положительные корни;
2)	корни с противоположными знаками;
3)	равные отрицательные корни.
516.	Один из корней квадратного уравнения с рациональными ко-
коэффициентами равен 1 + д/2. Найти второй корень и составить соот-
соответствующее уравнение.
517.	С аэродрома вылетают одновременно в пункт, отстоящий от
него на 1600 км, два самолета. Скорость первого из них на 80 км/ч
больше скорости второго, а потому он прилетает к месту назначения на
час раньше второго. Найти скорость каждого самолета.
518.	Водонапорный бак наполняется двумя трубами за 2 ч 55 мин.
Первая труба может наполнить его на 2 ч скорее, чем вторая. За какое
время каждая труба, действуя отдельно, может наполнить бак?
519.	Два каменщика, из которых второй начинает работу 1 - днями
позже первого, могут выложить стену за 7 дней. За сколько дней
каждый из них отдельно мог бы выложить эту стену, если известно,
что второй каменщик может выполнить эту работу на 3 дня скорее,
чем первый?
520.	Население города за два года увеличилось с 20000 человек
до 22050 человек. Найти средний ежегодный процент роста населения
этого города.
521.	Если каждый участник шахматного турнира сыграет по од-
одной партии с каждым из остальных участников, то всего будет сыграна
231 партия. Сколько было участников турнира?
522.	Какой многоугольник имеет число диагоналей на 12 больше
числа его сторон?
523.	Из сосуда, вмещающего 20 л и наполненного спиртом, отли-
отлили некоторое количество спирта и долили сосуд водой, потом отлили

§ 6. Квадратные уравнения	55
такое же количество смеси и снова долили водой. Тогда в сосуде оста-
осталось 5 л чистого спирта. Сколько литров жидкости отливали каждый
раз?
524.	Паровоз, пройдя первый перегон в 24 км, был задержан на
некоторое время, а потому следующий перегон проходил со скоростью
больше прежней на 4 км/ч. Несмотря на то что второй перегон был
длиннее первого на 15 км, паровоз прошел его за время только на
20 мин большее, чем потребовалось на прохождение первого перего-
перегона. Вычислить первоначальную скорость паровоза.
525.	Для посева нового сорта кукурузы было выделено два опыт-
опытных участка земли. На первом участке, площадь которого была на 2 га
меньше площади второго участка, кукуруза была посеяна квадратно-
гнездовым способом. При уборке кукурузы с каждого из этих участ-
участков было собрано по 180 т кукурузы. Сколько тонн кукурузы было
собрано с одного гектара на каждом участке, если урожай кукурузы
на первом участке был на 3 т с гектара больше, чем на втором?
526.	Из двух кусков металла первый имеет массу 880 г, а второй —
858 г, причем объем первого куска на 10 см3 меньше объема второго.
Найти массу каждого куска, если плотность первого на 1 г/см3 больше
плотности второго.
527.	Из двух кусков металла первый имеет массу 178 г, а второй
219 г, причем плотность первого на 1,6 г/см3 больше плотности вто-
второго. Найти объем каждого куска, если объем первого на 10 см3 меньше
объема второго.
528.	К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды,
после чего его концентрация уменьшилась на 10%. Сколько воды со-
содержал раствор и какова была его концентрация?
529.	Звук от падения камня на дно шахты долетел до наблюдателя
через 4 с после начала падения. Вычислить глубину шахты, принимая
скорость звука равной 330 м/с, а путь свободно падающего тела рав-
2
ным s = -—, где g = 10 м/с2.
530.	Переднее колесо трактора совершает на расстоянии s мет-
метров на к оборотов больше заднего. Найти длину окружности каждого
колеса, если окружность заднего на t метров больше окружности пе-
переднего.
531.	Из сосуда, вмещающего а литров и наполненного спиртом,
отлили некоторую часть и вместо спирта сосуд долили водой; потом
опять отлили такое же количество смеси и снова долили водой, после
чего в сосуде осталось b литров спирта. Сколько литров жидкости
отливали каждый раз?
532.	На середине пути между станциями А и В поезд был задер-
задержан на t минут. Чтобы прийти в Б по расписанию, пришлось уве-
увеличить скорость поезда на а км/ч. Найти первоначальную скорость

56	Разд. II. Алгебра и начала анализа
поезда, если известно, что расстояние между станциями А и В рав-
равно d километрам.
533.	Турист должен прийти в назначенный срок в город В из
города Л, расстояние между которыми равно s километрам. Пройдя
половину всего пути от А до В, турист подсчитал, что опоздает на 2 ч,
если будет идти далее с той же скоростью, а если он на половине всего
пути отдохнет 1 ч, а затем будет проходить на v км/ч больше преж-
прежнего, то придет в город В в назначенный срок. Сколько километров в
час проходил турист первоначально?
534.	Для перевозки 60 т груза за один рейс было затребовано
некоторое количество автомашин определенной грузоподъемности.
На перевозку были направлены автомашины грузоподъемностью на
полтонны меньшей, но на 4 автомашины больше. Какое количество ав-
автомашин было затребовано?
535.	Время, затрачиваемое автобусом на прохождение расстояния
в 325 км, в новом расписании сокращено на 40 мин. Найти сред-
среднюю скорость движения автобуса по новому расписанию, если она на
10 км/ч больше средней скорости, предусмотренной старым распи-
расписанием.
536.	Одна бригада выполняла задание в течение 3,5 дней, затем
она была заменена второй, которая закончила работу за 6 дней. За
сколько дней каждая бригада в отдельности выполнила бы задание,
если второй бригаде для этого нужно на 5 дней больше, чем первой?
537.	Найти дробь, если числитель ее на 2 больше знаменателя, а
4
при сложении ее с обратной получится 2 —.
35
538.	Из шахматного турнира выбыли два участника, причем один
из них сыграл 10 партий, а второй — только одну. Поэтому в турни-
турнире было сыграно всего 55 партий. Установить, играли ли выбывшие
участники между собой и сколько было участников первоначально.
(Предполагается, что каждый шахматист должен играть по одному
разу со всеми другими участниками турнира.)
539.	Перевозка одной тонны груза от пункта М до пункта N по
железной дороге обходится на b руб. дороже, чем водным путем.
Сколько тонн груза можно перевезти из М в N по железной дороге
на сумму s сотен руб., если водным путем на ту же сумму можно
перевезти на к тонн больше, чем по железной дороге?
540.	Машина двигалась 3 ч, простояла 20 мин и снова отправи-
отправилась со скоростью, на 6 км/ч большей первоначальной. Какова была
первоначальная скорость, если весь путь равен 150 км?
541.	Колонна войск протяжением d км движется со скоростью
v км/ч. Вестовой выезжает из конца колонны в ее начало и немедлен-
немедленно возвращается в конец колонны. Какова скорость вестового, если
туда и обратно он ехал t мин?

§ 7. Степени и радикалы. Обобщение понятия степени	57
§ 7. Степени и радикалы. Обобщение понятия степени
542.	Записать с помощью степеней десяти следующие числа:
1) 583; 2) 15496; 3) 12000000000. (См. ответ.)
Выполнить действия E43-547).
543.	(х + у2 + уДJ. 544.
545. I — +	1) . 546. l-a2 + -Vb--y/c) .
\v b a J	\2	3	4 /
547.
548. Доказать справедливость тождества
549.	Представить следующие дроби в виде целых выражений, вво-
вводя отрицательные показатели степеней:
0,00015; 0,0000023; 0,00000124; 2,000003.
Выполнить действия E50-551).
есп / (л ч_1\ т(т-2) + т°
550.	(m-(l-m) ij	у—	.
¦ — т + 1
то
a26-l + a-l62
О
Z2Z2h(
а — b
552. Упростить выражение
C(а-6)) V	а-!
и найти его числовое значение при а = —4, 6 = —.
Проверить справедливость равенств E53-554).
553. D + л/15) • (л/Ш - л/6) • л/4 - л/15 = 2.
554.
555. Найти ошибку в доказательстве софизма: 2 • 2 = 5(!?).
Возьмем равенство 16 — 36 = 25 — 45. Прибавив к обеим частям это-
этого равенства по 20-, получим 16-36 + 20 -= 25 -45 + 20 -. Отсюда
9 9
или 4	= 5	. Ответ: 4 = 5(!?).

58
Разд. II. Алгебра и начала анализа
Проверить упрощения и вычисления E56-561).
557.
558.
Зл/6-2л/5-2 л/б-Зл/5-2
8	6
л/6
12
()(	^) =1,2.
559.	A2^+^-2 W5^-3W^) =84.
560.	L/8x2y -2у у/х- х у/х\ : [уДу - у/х) =х-^/2ху.
561.
Выполнить действия E62-570).
567. V3 + 2\/2-V3-2\/2
566.
568.
570.
/2 + л/3 л/2-л/З
569.
7 + 4л/3 7-4л/3*
Л/2-л/З Л/2 + л/З
Уничтожить иррациональность в знаменателе E71-574).
571. v^+v^. 572.
л/6-л/2
573.
574.
14
Упростить выражения E75-581).
575. 4-7;^,/;.	576.
577.
з/2 з/З /2
зУгУз-
у
х у х у/х
11/16
|mn
578.
;, -W4. 579. J-J2- ?/-•

' 1. Степени и радикалы. Обобщение понятия степени
59
580.
U/xy/x) .
581.
4/ о з/ Q> -1/18
\ х6 \ —? • а '
Выполнить действия, заменяя радикалы степенями с дробными по-
показателями E82-584).
582.
583.
584.
- 3 v^oft -
Выполнить действия E85-591).
с + d - у/с - d Vc + d+Vc-d\ d \/с1 - d2
585.
586
587.
/с — d л/с + d — л/с —
/	9	\
. ((д/п — - лУп^-nj +-Пу/п-п2\ :пу/п.
1-а
588.
1 + а - л/1 - а у/\ _ а2 _ -
а
л/a + VbJ \Vab + b Vab-a Vab J
590.
х-у
Л
— \/ax .
л/а —л/ж \л/а+л/аж	/
x
x — у у ах — ay
591. 2yy/x — y-\-x
592. Найти числовое значение выражения
	у/'хъ — x2y
— ay
¦2/
2 14х-у)
Ьх —6ху — 2у при х —
л/З + л/2
л/З-л/2
л/З + л/2'
593. Доказать, что при х —	^-	 выражение ах2 + Ьх + с
обращается в нуль.
2а

60
Разд. II. Алгебра и начала анализа
594. Доказать, что если х = y/ab и а > 6, то
у/{а + х)(х + b) + i/(a - ж)(ж - 6) _ л/об
у/(а + ж)(ж + fc) - л/(а - ж)(ж - 6)	6
Выполнить действия E95-597).
595.
596.
х — х + 1	х + х + 1
2
-a +
597. 0,02т-1/3 ~{--Л
Проверить упрощения и вычисления (без компьютера, 598-601).
598.
599.
2ш4/3 + 4mn3 - 3(m2 • п2I/6 - 6п3 • у^ 2 _
-1
=-28,23 при п = 88,5481.
600.
601.
a —
= у^=9,64 при у = 92,9296.
V2
= 7^ = 9,28 при а = 86,1184.
Выполнить действия F02-607).
602.
/2 , {/а-1-6а-2
(а2-а6J/3'
603. I
604.
(аб)
-1/2 '
о-Ь 2aVa2-62
605.
л/а-л/ж {a + Vax
: [у/а-

606.
8. Уравнения высших степеней. Рациональные уравнения	61
4Bа6K/4(а + 26)~1
л/а-л/26	'	V2ab
а , а	26	86Z
— о
6а-486 За-66 а2 - 10а6 +1662/
607.
608. Левую часть равенства преобразовать в правую:
> 2
_6-4ос ft>Q
4а
2) -а + 6ж-УБж2= 6 ~4"Vc-(^a;--^ ) , с > 0.
§ 8. Уравнения высших степеней.
Рациональные уравнения
Многочлен (полином) n-й степени с действительными коэффициен-
коэффициентами
Р(х) = апхп + an-ixn~l + ап-2Хп~2 +... +a2x2 + aix + a0 (an / 0)
называется целой рациональной функцией, а отношение двух целых
Р(х)
рациональных функций R(x) = { ' — рациональной функцией.
Будем рассматривать уравнения вида Р(х) = 0 — уравнения выс-
высших степеней, а также уравнения вида R(x) = 0 — рациональные
уравнения.
Предполагается, что дробь ; : несократима, т.е. ее числитель и
Q(x)
знаменатель не имеют общих корней.
Р(х)
Решение уравнения R(x) = ( ' = 0 сводится к решению уравне-
ния Р(х) = 0 и проверке того, что его корни удовлетворяют условию
Q(x) ф 0, т.е. уравнение R(x) = 0 равносильно системе Р(х) = О,
()
Решить уравнения F09-612).
609.	1) ж4-9ж2 = 0; 2) 4
610.	4ж4 + а2 = 2 22
611.	ш2п2ж4-(
612.	x4-2(a2 +

62	Разд. II. Алгебра и начала анализа
Решить уравнения введением вспомогательного неизвестного
F13-616).
613.	(ж2-8J+4(ж2-8)-5 = 0.
614.	(ж2 + 6ж)г
615.	(х + -) -
\	X/	\	X
616. „ 1 +^^=™
617.	Доказать, что сумма всех корней биквадратного уравнения
ж4 -\-рх2 + q = 0 равна нулю, а произведение корней равно </.
2
618.	Составить биквадратное уравнение по данным его корням: ±-
и±4.	3
619.	Составить биквадратное уравнение по его корням 3 и 4.
Разложить на множители многочлены F20-621).
620.	ж4-12ж2 + 32. 621. х4-A-2а + 2а2)х2 + а2(а-1J.
Сократить дроби F22-623).
а4 -11а2 + 24 х4 + Bа + 1)х2 - а2(а + IJ
—j	к	. Ь2о. —-.	к	«~-
а4 - 17а2 + 72	ж4 + а(а + 2) х2 - (а + IJ
Решить уравнения F24-662).
624.	3	3
625.	ж4 =
626.	(ж2-
627.
628.
629. (ж-

§ 8. Уравнения высших степеней. Рациональные уравнения	63
640.
641.	2Eж4-6) = ж8-3.
642.	F-жL+ (8-жL = 16.
643.	—!— + —?—= 1. (См. ответ.)
ж + 1 ж — 2
644.	^ + ^ = 2,8ж. 645. ж35
5 х	ж + 9 ж+5
646. ^1 = ^.	647. ^-^ = —.
х2 -9 7	ж2-25 6
648. -|2_ = 1 + J-	649. Ж2_^2=1
2 2	2
650. 	^	h
651. —i	+ ^^-
2ж2-1 7,2ж2-7,7
652.	=	s	.
5	2Bж2-1)
653.
654.
655.
3	ж~2A-ж~У
24 _ 15
ж2 + 2ж-8 ж2 + 2ж-3
2	2	г»
ж2 —ж + 1 ж2 —ж —2
2 2 о
Ь5О. —5	о^	 = 1.
657.
„ко ж + 2ж + 1 ,
658. ^^	Ь
659. 1+ Ш4 Ш6
ж4-3 ж4-2'
660.	-=-^	+ 9 5ж	= --. (См. ответ.)
ж +ж + 3 ж -5ж + 3	2
661.	-^-^	+ 9 ЗЖ	= 1.
4ж - 8ж + 7 4ж - Юж + 7
^^о ж2- Юж + 15	4ж
оо2.
ж2-6ж + 15 ж2-12ж +

64
Разд. II. Алгебра и начала анализа
§ 9. Иррациональные уравнения
663. Найти области определения уравнений:
1) У2ж- 1-^/2^ = 0; 2)
3) д/#-3-л/# + 2 = -1;
Не решая уравнений, объяснить, почему они не имеют корней во
множестве действительных чисел F64-665).
2) у10 + л/ж~5 = 3.
Установить, равносильны ли следующие уравнения F66-669).
666.	\/^^5 = 2 и ж2-5 = 4.
667.	л/х — 5 + 10 и л/х — 5 = —10.
668.	Vx2 + 3 = 2y/x и ж2 + 3 = 4ж.
С± С± Q /О <у* Т — т» 9 Т/Г 9 т» 1 	 ^ т» 9^2
UUi7i у ZiJu _L — Ju — Zi vY ZiJu — _L — I Ju — Zi I
Решить уравнения F70-704).
670. Vx2~^2 = ^/x. 671. V6-x = x. 672. x-y/x-l = \
673. л/ж-1-л/ж + 4 = 6.	674.
675.
677.
679.
681.
683.
685.
687.
688.
690.
6Fл/ж-1) 4л/ж-1
691. 	1^ +	^2	= 7,5.
693. ж2 - 4ж = 3 у/х2 - 4х + 20 - 10.

' 10. Системы нелинейных уравнений
65
694.
695.
697.
699.
696. ^x~- Vx~2T6=Vx~2Tl.
-4. 698. ^+^ = 3|
700.
701.	у 23 +
702.	/
703.
704.
- 68 = 5.
= 4.
§ 10. Системы нелинейных уравнений
Решить системы уравнений G05-743).
705.
' 706.
707. <'*2-*0-»2 = W. 708.
^х-у = 7.
709.
711.
713.
715.
717.
719.
721.
х2 -\-ху = 15,
у2 + ху = 10.
ху + х + у = 29,
710.
712.
2ху = 1.
( 6 + ху =
714.
716.
I -¦
718. < V у
U + 2/ = 10.
с3 + 2/3 = 65,
^_5
ж '
Г ж3
720. 2
[х2
722.
2/ + ж2/2 = 2О.
5 В. А. Бачурин

66
Разд. II. Алгебра и начала анализа
723.
725. I*„ У	'
^ х у — ху = 6.
727.
729.
731.
732.
733.
734.
735.
Пх-у)(х2-у2) = 45,
724.
726.
728.
730.
=3ху.
у3 -\-х2у = Ь2х.
+ у)(х2-у2)=9.
\ Ьу/уЬ^Ъ-2у/х(х-Ъ) -6 = 1.
= 35.
736.
- у
= 29.
- 9 = 3,
/2ж - у +11 + л/Зж + у - 9 = 3
737. {y-z = 4,	738.
гху = 6,	(:
739. (xz = S,	740. ly(x + z) =-28, 741. ^ xz = 6,
г = 12.	[^(ж + 2/) = -10.
742. ^ + ^/ + ^ = 12, 743. < ж2 + ?/2 + z2 = 61,
[^/ + ж2; = 2yz.
744.	Найти стороны равнобедренного треугольника по двум его
неравным высотам а и Ь.
745.	Среднее арифметическое двух чисел 0,17, а среднее геомет-
геометрическое 0,12 д/2. Найти эти числа.
746.	Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на ги-
гипотенузу, равен /г, а сумма катетов равна т. Найти гипотенузу.

§ 10. Системы нелинейных уравнений	67
747.	Разность двух сторон параллелограмма равна 3 см, меньшая
диагональ параллелограмма равна большей его стороне и на 2 см мень-
меньше большей диагонали. Найти стороны и диагонали параллелограмма.
748.	В двух концентрических кругах, радиусы которых равны
25 см и 17 см, требуется провести хорду так, чтобы часть ее, лежащая
во внутреннем круге, составляла 2/5 всей хорды. Определить длину
хорды и расстояние ее от центра.
749.	Поезд выходит со станции равноускоренно и на пути в 1,2 км
набирает скорость, равную 72 км/ч. Найти ускорение движения поез-
поезда и время разгона.
750.	Бассейн наполняется через два крана. Наполнение бассейна
только через первый кран длится на 22 мин дольше, чем наполнение
этого бассейна только через второй кран. Оба крана, действуя одно-
одновременно, наполняют бассейн за один час. За какое время каждый из
кранов может наполнить бассейн?
751.	Два грузовых автомобиля должны были перевезти некото-
некоторый груз в течение 6 ч. Но второй автомобиль задержался в гараже,
и, когда он прибыл на место погрузки, первый перевез уже 0,6 всего
груза; остальную часть груза перевез второй автомобиль, и весь груз
был перевезен таким образом за 12 ч. Сколько времени потребова-
потребовалось бы каждому автомобилю в отдельности для перевозки груза?
752.	В первом забеге на 800 м спортсмен А пришел к финишу
на 11- с раньше спортсмена В. Во втором забеге на ту же дистан-
У
цию спортсмен А уменьшил свою скорость на 0,8 м/с, а спортсмен В
на столько же увеличил свою скорость, а потому пришел к финишу
также на 11- с раньше, чем спортсмен А. Найти первоначальные
скорости спортсменов.
753.	Расстояние между двумя городами, равное 240 км, пасса-
пассажирский поезд проходит на 1 ч быстрее, чем товарный. Если увели-
увеличить скорости движения пассажирского поезда на 12 км/ч, а товарного
на 8 км/ч, то и в этом случае пассажирский поезд прошел бы расстоя-
расстояние между городами на час быстрее товарного. Найти первоначальные
скорости движения каждого поезда.
754.	Из двух пунктов А и В, расстояние между которыми 30 км,
навстречу друг другу одновременно отправились два туриста. После
встречи турист, вышедший из Л, приходит в В через 4,5 ч, а турист,
вышедший из Б, прибывает в А через 2 ч. Найти скорости движения
каждого туриста.
755.	Учет урожая на участках двух бригад показал, что на участке
первой бригады было собрано 200 ц пшеницы, а на участке второй
бригады, имеющем площадь на 2 га больше, собрано 300 ц пшеницы
при урожае, на 5 ц с гектара большем, чем на первом участке. Найти
площадь каждого участка земли и количество собранной пшеницы
с 1 га того и другого участка.
5*

Разд. II. Алгебра и начала анализа
756.	Велосипедист А обогнал велосипедиста В, придя к финишу
на 2 мин раньше В. Если бы А уменьшил скорость на 0,1 км/мин,
а Б на столько же увеличил свою скорость, то В пришел бы к фини-
финишу на 2 мин раньше А. Найти скорость каждого велосипедиста, если
дистанция состязаний 6 км.
757.	Равнодействующая двух сил, направленных под прямым уг-
углом, равна 89 Н. Если каждую из этих сил уменьшить на 3 Н, то
равнодействующая уменьшится на 4 Н. Найти составляющие.
758.	Из двух жидкостей плотностью 1,2 г/см3 и 1,6 г/см3 состав-
составлена смесь массой 60 г. Сколько взято граммов каждой жидкости и
какова плотность смеси, если масса ее 8 см3 равна массе менее тяжелой
жидкости?
759.	При делении двузначного числа на сумму его цифр получится
в частном бив остатке 2. При делении же этого числа на произведение
его цифр получится в частном бив остатке 2. Найти это число.
760.	По круговой дорожке длиной 2 км движутся в одном нап-
направлении два конькобежца, которые сходятся через каждые 20 мин.
Найти часовую скорость каждого конькобежца, если первый из них
пробегает окружность на 1 мин скорее второго.
761.	По окружности длиной с м движутся два тела А и В; А
пробегает окружность на t с скорее Б, и если они движутся в одном
направлении, то сходятся через каждые п с. Найти линейную ско-
скорость каждого тела.
762.	На расстоянии d м начали двигаться навстречу друг другу
два тела и встретились тогда, когда одно из них прошло а м. Каковы
скорости этих тел, если число метров, выражающее разность между
их скоростями, равно числу секунд их движения?
763.	Два кристалла равномерно наращивают свою массу. За 3 ме-
месяца первый из них дал такой же прирост, что и второй за 7 месяцев,
а за год масса первого увеличилась на 4%, второго — на 5%. Найти
отношение первоначальных масс кристаллов.
764.	Между Москвой и Смоленском 415 км. Между ними рас-
расположены города Можайск и Вязьма. Расстояние между Москвой и
Можайском относится к расстоянию между Можайском и Вязьмой,
как 7 : 9, а расстояние между Можайском и Вязьмой составляет 27/35
расстояния между Вязьмой и Смоленском. Вычислить расстояния
между двумя соседними городами.
765.	Из автоцистерны сливали бензин в подземное хранилище по
двум шлангам разного сечения. Первоначально а мин бензин посту-
поступал через оба шланга, затем первый шланг был отключен, и весь ос-
оставшийся бензин прошел через второй шланг за b мин. Если бы после
первоначальных а мин был отключен не первый, а второй шланг, то
весь оставшийся бензин прошел бы через первый шланг за с мин.
Сколько времени продолжалось бы переливание всего бензина только
через один первый шланг?

§11. Мноэюество действительных чисел	69
766. Три робота разной производительности изготовляют одина-
одинаковые изделия. Производительность всех трех одновременно действу-
действующих роботов в 1,5 раза выше производительности первого и второго
роботов вместе взятых. Сменное задание первого робота могут выпол-
выполнить совместно второй и третий на 4 ч 48 мин быстрее его. Это же
задание второй робот может выполнить на 2 ч быстрее первого. Найти
время выполнения первым роботом его сменной нормы.
§ 11. Множество действительных чисел
767.	Запись А = {1; 2; 3; 4} означает, что множество А состоит из
элементов 1; 2; 3; 4 и только из этих элементов. Порядок элементов
может быть другим: А = {2; 4; 3; 1} = {4; 3; 1; 2}. Записать, что В есть
множество чисел 0; 1; 2; 3; 7.
768.	Через N обозначают множество натуральных чисел: N =
= {1; 2; 3; 4; ...п...}. Записи 2 G N, -3 ^ N означают, что число 2 входит
в множество TV, а число —3 не является элементом этого множества.
Записать, что число 2 принадлежит множеству чисел А = {0; 2; 5},
а число 3 не является элементом этого множества.
769.	Пусть в окружность вписан квадрат и вокруг нее описан
другой квадрат. Множество А точек вписанного квадрата является
частью множества В точек круга, а множество В точек круга —
частью множества С точек описанного квадрата. В этом случае гово-
говорят, что множество А является подмножеством множества Б, а мно-
множество В — подмножеством С и пишут А С В С С, где С — знак
включения.
Записать, что множество А = {0; 1; 2} является подмножеством В =
= {0; 1; 2; 3; 5}.
770.	Если А = {0; 1; 3; 5} и В = {1; 2; 3; 4}, то множество С = {1; 3},
содержащее общие элементы этих множеств, является пересечением
данных множеств А и В. Пишут {0; 1; 3; 5} П {1; 2; 3; 4} = {1; 3}, или
АПВ = С.
Записать, что множество С всех квадратов есть пересечение мно-
множества А всех ромбов и множества В всех прямоугольников.
771.	Множество С, состоящее из всех таких элементов, каждый
из которых содержится хотя бы в одном из данных множеств А
и Б, называется объединением этих множеств. Записывается это так:
{1; 2; 3; 4} U {2; 3; 4; 5} = {1; 2; 3; 4; 5}, или Ли В = С.
Найти объединение множества всех четных положительных чисел
и множества всех нечетных положительных чисел.
772.	Множество всех отрицательных рациональных чисел являет-
является дополнением множества всех положительных рациональных чисел
до множества всех рациональных чисел.
Какое множество является дополнением множества всех четных
положительных чисел до множества всех натуральных чисел?

70	Разд. II. Алгебра и начала анализа
773.	Множество Л, являющееся пересечением множества В всех
четных чисел и множества С всех нечетных чисел, не содержит ни
одного элемента. В этом случае говорят, что множество А есть пустое
множество, и пишут А = 0, или В ПС = 0.
Найти пересечение множеств А = {0; 1; 2} и В = {—2; —1}.
774.	Пусть даны следующие числовые множества:
N = {1; 2; 3; 4; ...} — множество всех натуральных чисел;
Zq = {0; 1; 2; 3; 4; ...} — множество всех неотрицательных целых
чисел;
Z = {... — 2; —1; 0; 1; 2; 3; ...} — множество всех целых чисел;
Q = \ — т Е Z] n ? N \ — множество всех рациональных чисел;
R — множество всех действительных чисел.
775.	Три цвета — желтый, зеленый и голубой — дополнить мно-
множеством цветов до множества всех цветов спектра.
776.	Пусть А — множество всех четных положительных чисел, В —
множество всех целых положительных чисел, делящихся на 6. В ка-
каком отношении находятся множества А и В?
777.	Является ли множество А подмножеством В, если А =
= {1; 3; 5} и В = {5; 3; 1}?
778.	Записать с помощью фигурных скобок пересечение мно-
множеств А и В, если:
а)	А = {5; 10; 15; 20; 25}, В = {15; 20; 25; 30; 35};
б)	А = {а; б; в; г; д; е}, В = {а; в; г; е}.
779.	Записать множество делителей числа X и множества делите-
делителей числа У. Найти пересечение этих множеств, если:
а) Х = 20, У = 30; б) Х = 36, У = 24.
780.	Из множества X = {67; 48; 90; 45; 76; 25} выбрать подмножест-
подмножество Л, состоящее из чисел, кратных 5, и подмножество В, состоящее из
чисел, кратных 3. Найти пересечение этих подмножеств.
781.	Пусть А = {7; 8; 9; 10}, С = {9; 10; 11; 12; 13}. Записать с по-
помощью фигурных скобок:
а) АПС; б) АиС.
782.	Множество А состоит из первых четырех натуральных чи-
чисел, кратных 3, В — из первых трех натуральных чисел, кратных 6.
Записать с помощью фигурных скобок пересечение и объединение
этих множеств.
783.	Записать множества делителей чисел 60 и 24 и найти пере-
пересечение этих множеств. Найти наибольший общий делитель чисел 60
и 24.
784.	Множество натуральных чисел, расположенных между
числами 13 и 23, разбить на два непересекающихся подмножества, одно из
которых содержит числа, кратные 7, а другое — числа, не кратные 7.

§12. Понятие функции. Графики функций	71
785.	Каково объединение множества равносторонних треугольни-
треугольников и множества равнобедренных треугольников?
786.	Найти пересечение и объединение:
а)	множества четных чисел и множества целых чисел;
б)	множества нечетных чисел и множества целых чисел.
787.	Найти натуральное число а, зная, что 7 < а < 17 и множест-
множество его натуральных делителей является подмножеством множества
натуральных делителей числа 24.
788.	Из 40 школьников 30 научились работать на тракторе, 27 —
на комбайне; пятеро эти машины не изучили. Спрашивается, какое
наименьшее число ребят школы могут работать и на тракторе, и на
комбайне?
789.	Дано множество А = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Найти дополне-
дополнение Л — В множества В до множества Л, если:
а) Б = {3; 4; 5; 6; 7}; б) В = {1; 3; 5; 7}.
790.	Какое множество является дополнением множества Q рацио-
рациональных чисел до множества R действительных чисел?
791.	Найти дополнение:
а)	множества натуральных чисел до множества целых чисел;
б)	множества положительных и отрицательных рациональных чи-
чисел до множества рациональных чисел.
792.	В отряде строителей умеют бетонировать 75% всего состава,
плотничать — 70 % и штукатурить — 65%. Каково наименьшее число
рабочих, умеющих и бетонировать, и плотничать, и штукатурить?
§ 12. Понятие функции. Графики функций*)
793.	Построить на одном рисунке графики функций:
1) у = х; 2) у = -х; 3) 2/= 0,5; 4) у = 0.
794.	Построить на одном рисунке графики функций:
1) 2/ = Зж; 2) 2/ = -Зж; 3) у = -х\ 4) у = --х.
Указать различие в расположении полученных графиков относительно
осей координат.
795.	Построить прямую, проходящую через начало координат и
точку МC; 6). Написать уравнение этой прямой.
796.	Прямая проходит через начало координат и имеет угловой
коэффициент, равный 4.
1)	Написать уравнение этой прямой и построить ее.
2)	Лежит ли точка МB; 5) на этой прямой?
См. Приложение I, § 1.

72	Разд. II. Алгебра и начала анализа
797.	Построить на одном рисунке графики функций:
8	о
L)y = -; 2)y = --.
В чем сходство и различие полученных графиков?
798.	На одном и том же рисунке построить графики функций:
1)	2/ = Зж + 2; 2) у = -Зх + 2.
Как расположен относительно осей координат каждый график?
799.	1) На одном и том же рисунке построить графики функций:
а) У= 2Ж + 45 б) У= 2Ж~4;
в) 2/ = ~2Ж + 45 г) У = ~2Х-^'
2)	Каков «наклон» (угловой коэффициент) каждой прямой?
3)	Записать координаты точек пересечения этих графиков с
осью Ох.
4)	Вычислить значения х (четыре значения), при которых соот-
соответствующее значение у равно 3, и проверить результат по графику.
800.	Построить на одном рисунке следующие графики:
1) у = 2; 2) 2/= -2; 3) х = 4; 4) х = -4; 5) х = 0; 6) у = 0.
Как расположена каждая прямая относительно осей координат?
801.	Построить графики:
1) х-у = 0] 2) х + у = 0; 3) 2х-Бу = 0; 4) Зх-2у = 6.
Найти для каждого графика точки пересечения с осями координат и
угловые коэффициенты.
802.	Известно, что при х = 4 линейная функция у = Зж + b при-
принимает значение, равное 11. Найти Ь.
803.	Известно, что график функции у = ах + 5 проходит через
точку МD; 13). Найти а.
804.	Найти ординаты точек пересечения с осью Оу графиков
функций (устно):
1) у = х-Ь; 2) 2/ = 2ж + 3; 3) 2/ = -4ж + 7; 4) ?/ = 0,5ж-2,5.
805.	Найти абсциссы точек пересечения с осью Ох графиков
функций (устно):
1) у = х-6] 2) 2/ = Зж + 3; 3) у = 2х-1; 4) y = 2x-S.
806.	График функции у = 2х + b пересекает ось ординат в точ-
точке @; 5). Найти значение b и построить график функции.
807.	График функции у = кх + b проходит через точку МB; 3)
и через точку 7V(—5; —4). Найти значения к и b и построить график
функции.
Исследовать системы уравнений и дать графическое истолкование
их решений (808-810).
808' \х-у = 1. 809' \2х + 4у = 6. 81°* \2у-Б = -2х.

§12. Понятие функции. Графики функций	73
811.	Построить графики следующих функций:
1)	у = х°; 2) у = х~1; 3) у = 2х~1; 4) у =-Ах~х.
812.	1) Построить графики следующих функций:
а) у — х2\ б) у — х2 + 2; в) у — х2-2\ г) у = 1 + х2.
2)	В чем сходство и различие полученных графиков?
3)	Как построить графики функций б) и в) по графику функ-
функции а)?
4)	Установить, при каком значении х каждая из данных функций
имеет наименьшее значение.
Построить графики следующих функций, по четыре графика на
каждом рисунке (813-816).
813.	1) у = х2; 2) у = (х-1J; 3) у = х2 - 2х (= (х - IJ - 1);
4) у — х2 — 4х.
814.	1) у = х2; 2) у = (х + 1J; 3) у = х2 + 2х (= (ж + IJ - 1);
4) у — х2 + 4ж.
815.	1) у = -х2; 2) у = -(х-1J;
3) ^/ = -х2 + 2х (=-(ж-1J + 1); 4) 2/ = -ж2 + 6ж.
816.	1) у = -х2; 2) 2/ = -(ж + 1J;
3) у = -х2-2х(=-(х + 1J + 1); 4) 2/ = -ж2-6ж.
Пояснить, в чем состоит сходство и в чем различие построенных
графиков.
При каких значениях х каждая из этих функций убывает, возрас-
возрастает, обращается в нуль, принимает наименьшее или наибольшее зна-
значение и какое именно?
817.	1) Построить графики следующих функций:
а) У=\х2; б) у = 1(ж-2J и в) у = 1(ж + 2J.
В чем сходство и различие полученных графиков? Каким преоб-
преобразованием графики функций б) и в) можно получить из графика
функции а)?
2) С помощью графика функции у = 2х2 построить графики
функций:
а) у = -2(х-3J; б) у = -2(ж + 4J + 1.
Построить графики трехчленов (818-823).
818.	2	2
819.
820. /(ж) = 2ж2 + 3ж-^ Uu/2x + -^j -2
821. /(*) 3* + 5*+

74	Разд. II. Алгебра и начала анализа
соо -Р(>г*\ 	 Qt»2 Л гг _|_ К ft*?4 f (+\ — А-/-^ -L 1 0-t Q
О^^. J \JU ) — ОХ — 4Х тО. ОаО( j 16 J — —4:6 ~~г 1Z6 — с/.
Найти области определения функций и построить их графи-
графики (824-827).
824.	1) 2/ = |ж| + 1; 2) 2/ = -|ж|-1.
825.	1) 2/ = -; 2) ?/ =
х-1
826. W = T?-.
828.	Точка, лежащая на гиперболе 2/ = —, имеет координаты B; 8).
х
Написать уравнение гиперболы, найти координаты ее вершин и пост-
построить (схематически) эту кривую.
Построить графики функций (829-842).
829.	2/ = Л-	83°- У = х3. 831. у = 1-х3.
х1
832. 2/ = 1--. 833. у = х4. 834. у = х~4.
х
835.	1) 2/ = 1-^2; 2) у = —*—.
1-х
836.	1) 2/ = ж2 + 1; 2) 2/= ^т^.
837. 1) 2/ = (ж-1J; 2) 2/ =	^—г-
(х-1J
838.	1) 2/ = ^2 + 2ж; 2) у =-*	.
7	J	x2 + 2x
839.	1) 2/ = -^2+4ж-3; 2) у = —
840.	1) ?/ = 2-ж2; 2) у = \2-х2\.
841.	2/ = |ж2-2ж| + 1. 842. у = | - ж2
§ 13. Прогрессии
1. Арифметическая прогрессия
843.	По значениям ai = —1,6; ti = —0,2 и п = 23 найти an.
844.	По значениям а\ = 5,2; ti = 0,4 и п = 43 найти S.
845.	По значениям а\ = а; ап = 9а+ 86 и п = 9 найти d и S.
846.	По значениям а1 = 1 + q; п = 28 и ап = 28 + 27</ найти ai и S.
847.	Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100; от 1 до п.
848.	Найти сумму всех четных натуральных чисел от 2 до 100
включительно.
849.	Найти сумму всех двузначных чисел.

13. Прогрессии	75
850.	Найти n-е нечетное число и сумму п первых нечетных чисел
натурального ряда.
851.	Найти n-е четное число и сумму п первых четных чисел.
852.	Между числами 7 и 35 поместить 6 чисел, которые с данны-
данными числами составили бы арифметическую прогрессию.
853.	Найти 5 чисел, которые следует поместить между числами 1
и 25 так, чтобы получилась арифметическая прогрессия.
854.	Между каждыми двумя последовательными членами ряда
2, 14, 26, вставить по 5 средних арифметических. Составить искомый
ряд.
855.	Между числами а и b поместить т чисел, которые с данны-
данными числами составили бы арифметическую прогрессию. Определить
три первых члена этой прогрессии.
856.	Сумма всех членов арифметической прогрессии равна 28,
третий член ее равен 8, четвертый 5. Найти крайние члены и число
членов этой прогрессии.
857.	Сумма второго и четвертого членов арифметической прог-
прогрессии равна 16, а произведение первого и пятого ее членов равно 28.
Найти первый член и разность этой прогрессии.
858.	Найти первый член и разность арифметической прогрессии, в
которой 5ai +10^5 = 0, S4 = 14.
859.	Определить первый член, разность и число членов арифмети-
арифметической прогрессии, в которой ап = 55; ^2 + ^5 = 32,5; Si 5 = 412,5.
860.	Определить первый член и разность арифметической прог-
прогрессии, в которой а\ + а\2 = 1170; а7 + а^ = 60.
861.	Найти сумму всех трехзначных чисел, кратных 4.
862.	Найти сумму т + п первых членов арифметической прогрес-
прогрессии, в которой ттг-й член равен п, а n-й член равен т.
863.	Найти сумму п первых членов арифметической прогрессии,
в которой (т + 1)-й член равен 2т+ 1.
864.	Найти х из уравнения
865.	Найти х из уравнения
(х +1) + (х + 4) + (х + 7) +... + (х + 28) = 155.
866.	Найти сумму п первых членов прогрессии
х — 1 х — 3 ж — 5
х	х	х
867.	Найти сумму п первых членов прогрессии
х — а Зх — а Ьх — а
х + а х + а х + а

76	Разд. II. Алгебра и начала анализа
868.	Какой зависимостью связаны между собой три последова-
последовательных члена арифметической прогрессии?
869.	Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а
в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую.
Определить, какое расстояние пройдет падающее тело за 12 с. (Сопро-
(Сопротивление воздуха не учитывается.)
870.	По условиям предыдущей задачи определить, сколько секунд
будет падать тело с высоты 1960 м.
871.	Камень, падая с поверхности земли в шахту, достиг ее дна
через 5 с. Найти глубину шахты.
872.	Сколько секунд будет лететь вертикально вверх пуля, если
в первую секунду она пролетела 300 м, а в каждую следующую се-
секунду пролетела на 9,8 м меньше, чем в предыдущую?
873.	Предполагается, что при углублении на каждые 30,5 м внут-
внутренняя температура земли возрастает на 1°С. Считая, что на поверхно-
поверхности земли температура равна 10° С, определить:
1)	температуру на глубине 1000 м;
2)	на какой глубине температура достигнет точки кипения воды.
874.	Найти натуральное число, которое равно сумме всех ему
предшествующих натуральных чисел.
875.	Найти три последовательных нечетных числа, зная, что сум-
сумма их квадратов на 55 больше суммы квадратов заключенных между
ними четных чисел.
876.	Шар, движущийся по наклонной плоскости, проходит в
первую секунду 0,5 м, а в каждую следующую секунду — на 0,8 м
больше, чем в предыдущую. Найти расстояние, пройденное шаром в
течение 10 с.
877.	Из пункта А выехал велосипедист, который в первый час
проехал 10 км, а в каждый следующий час проезжал на 1 км больше,
чем в предыдущий. Одновременно вслед за ним из пункта Б, находя-
находящегося от А на расстоянии 7,5 км, выехал второй велосипедист, ко-
который в первый час проезжал на 1,5 км больше, чем в предыдущий.
Определить, через сколько часов второй велосипедист догонит пер-
первого.
878.	Два тела, находясь на расстоянии 153 м друг от друга, дви-
движутся навстречу одно другому. Первое тело проходит 10 м в секунду,
а второе в первую секунду прошло 3 м и в каждую следующую на 5 м
больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд они встретятся?
879.	Из пункта А движется в одном и том же направлении тело,
проходя в первую минуту 3 м, а в каждую из следующих минут на 6 м
больше, чем в предыдущую. Через 5 мин после выхода первого тела
из того же пункта А выходит другое тело и движется в направлении,
противоположном первому, проходя в первую минуту 54 м, а в каж-

13. Прогрессии	77
дую последующую минуту на 3 м больше, чем в предыдущую. Через
сколько минут (после выхода второго тела) тела будут находиться на
равном расстоянии от пункта А?
880.	Два тела, выйдя одновременно, движутся навстречу друг
другу из двух пунктов, находящихся на расстоянии 200 м. Первое тело
проходит по 12 м в секунду, а второе в первую секунду прошло 20 м
и в каждую следующую секунду проходит на 2 м меньше, чем в пре-
предыдущую. Через сколько секунд тела встретятся?
881.	Для поливки 20 деревьев, расположенных на прямой на рас-
расстоянии 2 м друг от друга, садовник приносит воду для каждого от-
отдельного дерева из колодца, находящегося на той же прямой в 10 м от
первого дерева. Сколько всего метров пройдет садовник, чтобы полить
все деревья и возвратиться к колодцу?
882.	Найти сумму
502-492 + 482-472 + ...+22-1.
883.	Найти сумму первых двадцати нечетных чисел, которые при
делении на 3 дают в остатке 1.
884.	Первый член арифметической прогрессии равен 7, второй и
третий равны соответственно квадратам двух последовательных нату-
натуральных чисел. Найти прогрессию.
885.	Арифметическая прогрессия содержит 8 членов. Сумма чле-
членов, стоящих на четных местах, равна 28, а сумма членов, стоящих на
нечетных местах, равна 16. Найти прогрессию.
886.	Найти число сторон многоугольника, у которого числа граду-
градусов, содержащихся в последовательных внутренних углах его, состав-
составляют арифметическую прогрессию, первый член которой равен 100°,
а разность 10°.
887.	Если длины сторон а, 6, d и с четырехугольника составляют
арифметическую прогрессию, то в него можно вписать окружность.
Доказать это утверждение.
888.	Показать, что числа, выражающие суммы внутренних углов
треугольника, четырехугольника, пятиугольника и т.д., составляют
арифметическую прогрессию.
889.	Определить такую арифметическую прогрессию, в которой
отношение суммы п первых членов к сумме п членов, следующих за
ними, не зависит от числа членов.
890.	Некоторые члены арифметических прогрессий 9; 12; 15; 18; ...
и 8; 12; 16; 20; ... одинаковы. Найти сумму первых 50 одинаковых
членов этих прогрессий.
891.	Сферические ядра сложены в пирамидальную кучу следую-
следующим образом: нижний слой ядер образует квадрат, в каждой стороне
которого 10 ядер; на этот слой помещен в промежутках между ядрами

78	Разд. II. Алгебра и начала анализа
второй квадратный слой, содержащий в каждой стороне 9 ядер, и
т. д. до верхнего слоя, в котором находится 1 шар. Определить, сколько
ядер в такой куче.
2. Геометрическая прогрессия
892.	По значениям п = 3; ап = 135; Sn = 195 найти а\ и q.
893.	По значениям а\ = 2,5; q = 1,5; п = 5 найти S.
894.	По значениям а± = —1,5; п = 4; а^ = 96 найти q и S.
3	115
895.	По значениям </ = -;п = 5;аз = 1	 найти ai и S.
896.	По значениям п = 12; </ = 2; Si2 = 4095 найти а± и а±2.
897.	По значениям q = 2; an = 96; Sn = 189 найти п.
898.	Чему равен знаменатель геометрической прогрессии, в кото-
л/З	2л/3?
рои an_i = —; ота = -^—г
899.	Чему равен знаменатель геометрической прогрессии, в кото-
которой аъ = 96; а6 = 192?
900.	Найти сумму шести членов геометрической прогрессии:
\ л 1 1	*\ >/3 п 2л/3
а) 4; -1;-; ...; б) —; 1; —; ...
901.	Найти число членов и сумму членов геометрической прогрес-
о	1	3
сии, в которой (ц = 3; q = -; ап = —.
2	64
902.	Чему равен знаменатель геометрической прогрессии, состоя-
2	9 о
щей из четырех членов, если а\ = - и an = —:
О	О Ii
903.	Показать, что последовательность, общий член которой выра-
выражается одной из следующих формул, есть геометрическая прогрессия:
а) а„=3-2"; б) ап = \-Ъп; в) ап = А; г) 3-(-i)".
Вычислить суммы первых четырех членов каждой прогрессии.
904.	Показать, что значения функции tg а углов -,-,- обра-
образуют возрастающую геометрическую прогрессию.
905.	Проверить, что если а\ — \/б; Q — л/2; п = 9, то Sn =
906.	Проверить, что произведение восьми первых членов геомет-
л 3 ^ 1 о	к/^46
рическои прогрессии о-;4-;3;... равно 50 — .
907.	Проверить, что произведение л/3 • ^3 • v^3 • ... • 2\/3 рав-
равно З1/^.

13. Прогрессии	79
908.	Между числами 9 и 243 поместить два числа, которые об-
образовали бы вместе с данными числами геометрическую прогрессию.
909.	Между числами 160 и 5 поместить четыре таких числа, кото-
которые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию.
910.	Между числами 1 и 7 поместить шесть таких чисел, которые
вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию.
911.	Между числами — и — вставить пять таких чисел, кото-
b a
рые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию.
912.	Определить а\ и я, если а2 + ^5 — ^4 = Ю; аз + &б — а$ = 20.
913.	Определить ai,^ и п, если а$ — а4 = 216; аз — а\ — 8; Sn = 40.
914.	Определить ai, q и п, если а7 — а4 = —216; а$ — а4 = —72;
Sn = 1023.
915.	В геометрической прогрессии с положительными членами
S2=4; 53 = 13. Найти 55.
916.	Найти геометрическую прогрессию, состоящую из 6 членов,
зная, что сумма трех первых ее членов равна 168, а сумма трех пос-
последних 21.
917.	Определить четыре числа, составляющие убывающую гео-
геометрическую прогрессию, зная, что сумма крайних членов этой прог-
прогрессии 27, а сумма средних 18.
918.	Найти три числа, образующие возрастающую геометричес-
геометрическую прогрессию, зная, что сумма их 26, а сумма квадратов этих чи-
чисел 364.
919.	Найти геометрическую прогрессию, в которой сумма первых
трех ее членов равна 13, а произведение их 27.
920.	Найти геометрическую прогрессию, имеющую шесть членов,
в которой сумма членов, стоящих на четных местах, равна 99,75, а
сумма членов, стоящих на нечетных местах, равна 66,5.
921.	Найти четыре числа, образующие геометрическую прогрес-
прогрессию, у которой второй член меньше первого на 35, а третий больше
четвертого на 560.
922.	Найти число членов геометрической прогрессии, в которой
_ 1	_ 1 о _ 121
q~ З5 tt4~54; ^n~ 162"
923.	Найти члены а± и а$ геометрической прогрессии, в которой
q = 3 и S6 = 1720.
924.	Первые члены арифметической и геометрической прогрессий
равны. Первый член арифметической прогрессии равен 3, а второй
член ее больше второго члена геометрической на 6; третьи члены
прогрессий одинаковы. Найти эти прогрессии, если все члены обеих
прогрессий положительны.

80	Разд. II. Алгебра и начала анализа
925.	Найти четыре целых числа, из которых первые три состав-
составляют арифметическую, а последние три — геометрическую прогрес-
прогрессию; известно, что сумма двух крайних чисел равна 37, а сумма двух
средних 36.
926.	Сумма первых трех членов геометрической прогрессии рав-
равна 42; те же числа составляют первый, второй и шестой члены возрас-
возрастающей арифметической прогрессии. Найти эти числа.
927.	Найти арифметическую и геометрическую прогрессии, если
известно, что первый член каждой прогрессии равен единице, третьи
члены обеих прогрессий равны между собой, а 21-й член арифмети-
арифметической прогрессии равен пятому члену геометрической.
928.	В арифметической прогрессии второй член равен 14, а пятый
равен 20. Составить геометрическую прогрессию, у которой знамена-
знаменатель в два раза больше разности арифметической прогрессии, а сумма
трех первых членов была бы равна сумме таких же членов арифме-
арифметической прогрессии.
929.	Сумма трех чисел, составляющих возрастающую арифмети-
арифметическую прогрессию, равна 51. Если от этих чисел отнять соответст-
соответственно 1, 7 и 8, то получатся три числа, составляющие геометрическую
прогрессию. Сколько членов арифметической прогрессии надо взять,
чтобы их сумма была равна 555?
930.	Четыре числа составляют геометрическую прогрессию. Если
из них вычесть соответственно 2, 1, 7 и 27, то вновь полученные числа
составят арифметическую прогрессию. Найти эти числа.
931.	Разность между вторым и первым членами геометрической
прогрессии равна 4, а разность между третьим и вторым членами той
же прогрессии равна 12. Определить сумму 10 членов арифметичес-
арифметической прогрессии, первый и пятый члены которой равны первому и
третьему членам данной прогрессии.
932.	Доказать, что во всякой геометрической прогрессии произве-
произведение членов, равноудаленных от ее начала и конца, есть величина
постоянная, равная произведению крайних членов.
933.	Вывести формулу произведения п членов геометрической
прогрессии.
934.	Вывести формулу формулу произведения п членов геомет-
геометрической прогрессии с положительными числами в зависимости от
крайних ее членов а± и ап.
935.	Найти произведение п членов геометрической прогрессии:
1) л/6; 3^/2; Зл/6;...; п = 7; 2) а; -• -1; ...; п = 5.
936.	Из сосуда, наполненного 20 л спирта, отливают 1 л и допол-
дополняют сосуд водой, потом отливают 1 л смеси и опять дополняют сосуд
водой; подобным образом поступают в третий, в четвертый день и т. д.
Сколько спирта останется в сосуде после десяти таких отливаний?

' 13. Прогрессии	81
937.	Некто сообщил новость двум своим знакомым; каждый из
них сообщил ее также двум знакомым и т.д. Полагая, что на каждое
сообщение требуется полчаса и что новость сообщают все новым ли-
лицам, определить, через сколько времени все население города, состоя-
состоящее из 2 млн. человек, узнает о новости.
938.	Каждое движение поршня разрежающего насоса удаляет из
сосуда - находящегося там воздуха. Определить давление воздуха
8
после двадцатого движения поршня, если первоначальное давление
было равно 760 мм рт. ст.
3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
939.	По значениям а\ = 1 и Sn = 2 найти q.
940.	По значениям 54 = 33- и 5 = 36 найти а±.
4
941.	По значениям S = 729 и а2 = 162 найти а\.
о
942.	По значениям S = 14,4 и q = - найти а\.
8
943.	По значениям а\ — 66 и S = 110 найти q.
944.	По значениям </= 0,4 и S = 33 - найти а^.
2	2
945.	По значениям а2 = 1 - и q = - найти S.
о	о
946.	По значениям 5 = 12,5 и ai + tt2 = 12 найти q.
947.	Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прог-
прогрессии:
а) 1; -|; \- ...; б) л/2; -1; -L; ...;
в) B + v^J; (v^ + i) U + -^- ••• г) —f— 	f о •••
V	J V	У V 2 /	л/2-l 2-л/2 2'
948.	Найти первый член бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, если:
аM = 4и9=1; б) 5 = 2 (л/2 + l) и 9 = -Ь
в) 5 = | и 55 = ^.
О	О
949. Найти третий член бесконечно убывающей геометрической
б(л/30 + 5)
прогрессии, если сумма прогрессии равна —-—	 и знаменатель
5
равен .
6
950. При каких значениях х прогрессия
а + х а — х /а — ж\3
а —ж' а + ж' \a-\-x) '
является бесконечно убывающей? Найти сумму такой прогрессии.
6 В. А. Бачурин

82	Разд. II. Алгебра и начала анализа
951.	Найти число членов арифметической прогрессии, первый член
которой равен 5, а разность равна 1, если сумма всех ее членов равна
сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой
3	11
второй член 15-, а третий 13 —.
952.	Следующие чистые периодические дроби представить в ви-
виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и найти
эту сумму:
а) 0,B); б) 1,C); в) 0,(901); г) 5,@02).
953.	Следующие смешанные периодические дроби представить в
виде суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрес-
прогрессии и вычислить эту сумму:
а) 0,2C); б) 1,0G); в) 2,3B4); г) 3,7B88); д) 0,00(819);
е) 0,111B).
Доказать теоремы (954-956).
954.	Если ai, ^2, аз, ..., anj ... — геометрическая прогрессия, то
числа ка±, ka2j ка%, ..., kanj ... также образуют геометрическую прог-
прогрессию (к — действительное число, не равное нулю).
955.	Если ai, tt2, а%, ..., ап, ... — геометрическая прогрессия, то
числа af, а\, ..., а*, ... также образуют геометрическую прогрессию.
956.	Если ai, а^-, а%, ..., an, ... и 6i, 62, 63, ..., bn, ... — две геомет-
геометрические прогрессии, то числа ai&i, ^2^2, ^363, ..., anbn, ... также об-
образуют геометрическую прогрессию.
Эти теоремы сохраняют силу и для бесконечно убывающей геомет-
геометрической прогрессии.
Вычислить выражения (957-958).
957. у2у2л/2\/2... 958.
959.	Найти третий член бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, сумма которой равна -, а второй член равен —.
о	2
960.	Найти три первых члена бесконечно убывающей геомет-
геометрической прогрессии, сумма которой равна 6, а сумма пяти первых
членов равна 5 —.
16
961.	Найти четвертый член и знаменатель бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, сумма которой равна 16, а сумма квадра-
тов членов этой же прогрессии равна 153 -.
о
962.	Найти первый член бесконечно убывающей геометрической
прогрессии и ее знаменатель, если ее сумма равна 4, а сумма кубов ее
членов равна 9-.

13. Прогрессии	83
963.	Определить бесконечно убывающую геометрическую прог-
прогрессию, в которой второй член равен 6, а сумма членов равна - суммы
квадратов ее членов.
964.	Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прог-
прогрессии, обладающей следующими свойствами: если от ее первого члена
отнять —, то первые три числа образуют арифметическую прогрес-
27	16
сию; если же после этого от третьего числа отнять —-, то эти три
числа составят геометрическую прогрессию.
965.	В равносторонний треугольник со стороной а вписан путем
соединения середин его сторон новый треугольник; в этот треуголь-
треугольник тем же способом вписан новый треугольник и т. д. до бесконечнос-
бесконечности. Найти предел:
а)	суммы периметров этих треугольников;
б)	суммы их площадей.
966.	Дан квадрат с диагональю, равной 5 см; сторона этого квад-
квадрата принимается за диагональ второго квадрата; сторона второго
квадрата — за диагональ нового квадрата и т.д. до бесконечности.
Найти предел суммы площадей этих квадратов.
967.	В круг, радиус которого равен R, вписан квадрат; в квад-
квадрат вписан круг; в этот круг вписан второй квадрат и т. д. до беско-
бесконечности. Найти предел суммы площадей всех кругов и предел суммы
площадей всех квадратов.
968.	В квадрат со стороной а вписан путем соединения середин
его сторон новый квадрат; в квадрат таким же образом вписан квад-
квадрат и т.д. до бесконечности. Найти предел суммы периметров этих
квадратов и предел суммы их площадей.
969.	Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна а.
Из высот этого треугольника строится новый правильный треуголь-
треугольник, из высот второго треугольника строится еще треугольник и т. д.
до бесконечности. Вычислить предел суммы площадей всех построен-
построенных таким образом треугольников и предел суммы их периметров.
970.	Дан правильный треугольник, сторона которого равна а.
В треугольник вписан круг, в круг вписан снова правильный треуголь-
треугольник, в треугольник — круг и т. д. до бесконечности. Вычислить предел
суммы площадей всех кругов и предел суммы длин всех окружнос-
окружностей.
971.	Две бесконечно убывающие геометрические прогрессии от-
отличаются одна от другой только знаком их знаменателей. Их суммы
соответственно равны А и В. Найти сумму бесконечной геометричес-
геометрической прогрессии, составленной из квадратов членов любой из данных
прогрессий.
6*

84	Разд. II. Алгебра и начала анализа
972.	Когда мотор автомобиля был выключен, движение его в это
время можно считать совершающимся по закону бесконечной геомет-
геометрической прогрессии. За это время автомобилем было пройдено s м,
за первую секунду 1 м. Чему будет равен путь того же автомобиля,
если включить, кроме того, тормоза и считать его движение также
происходящим по закону бесконечно убывающей геометрической прог-
прогрессии, в которой каждый ее член равен квадрату соответствующего
члена первой прогрессии?
§ 14. Показательные и логарифмические функции
973.	Какое число больше:
1) 51/2 или 52/3; 2) У? или W; 3) (-J^ или (-) ;
974. Какая из следующих степеней больше единицы, равна едини-
единице или меньше единицы:
•> (if > «»Gf = ¦> (i
975.	Какое заключение можно сделать относительно чисел т
и п, если:
I) < (§) ; б) A,5)- < A,5)»; в) @,3)- > @,3)";
(9 \т р»	/ 7\т
|) =|; е) (!) =@,6)»?
976.	Какое заключение можно сделать относительно положи-
положительного основания а, если:
а) а3/5<а5/4; б) а2/3 > а4/3; в) о-2 > о1-2; г) а13 = а'4?
977.	Найти области определения функций:
а) у = ах; б) у = а~х; в) у = а2/х; г) у = а^х~; д) ^/ = а5/B~ж);
^	/ -^ \\/ж2-1
е)г/ = —; жJ/=(^—J	(а>0;а/1).
Построить схематически графики функций (978-980).
978.	1) у = Зх; 2) у = 2\х\.
979.	1) у = 2~\х\; 2) ^ = @,5)ж1.
980.	1) }/=(-) +2; 2) у = (-) .
Данные равенства переписать в виде логарифмических равенств
(981-982).
981.	1) 23 = 8; 2) 3 = ^-; 3) 161/4 = 2.
81
982.	1) 82/3 = 4; 2) A3,7)° = 1; 3) 64-1/2 = 1

§ Ц. Показательные и логарифмические функции	85
983. Найти логарифмы следующих чисел при основании -:
1) 3; 2) -I; 3) 27; 4) л/3; 5) -Ь 6) 9л/3;
81	л/3
7)	8)L
Какие из следующих функций возрастающие и какие убывающие
(984-985)?
984.	1) y = \og2x; 2) y = log1/2x.
985.	1) y = log0ilx; 2) y = lgx.
Найти области определения функций (986-991).
986.	y = \og2x. 987. y = lg(-x). 988. y = log7\x.
989. y = \og1/3(x2+l). 990. 2/ = lg(x-l). 991. y = lgy/l-x.
Построить схематически графики функций (992-993).
992.	1) y = \og2x; 2) y = \og1/2x.
993.	1) y = -\og2x; 2) y = \log2x\.
994.	Найти основание х, если:
1) log, 0,001 = -3; 2) log, 1 = 0; 3) log, 10 = 10; 4) log, n = n.
995.	Вычислить:
1) 36log62; 2) 81°'51og97; 3) S10^10; 4) 21~l°^7.
Найти x из следующих выражений (996-999).
996.	1) x = 10lg3-lg2; 2) x = 81-log23; 3) х = 23-ш^3.
997.	1) x = a2+log«6; 2) x = a^1'310^^; 3) ж = 2 • 100^ lg81g2.
998.	1) log^x = 4; 2) log, (^) = -3; 3)
999.	1) Iog1/327 = x; 2) log, B^/2-3) = 2;
3) log(^+1) C + 2^2) =x.
Вывести формулы A000-1006).
1000.	log67V = !^. 1001.	J
1002. \ogakN = -^—. 1003.
1004. loga — = logam-logan. 1005. \oganh = k\ogan.
1006. loga^=i^.
Прологарифмировать следующие выражения A007-1014).
1007. ж = 5а2. 1008. х = Ц. 1009. х = ^-^-.
Ь2	а(а-Ь)

Разд. II. Алгебра и начала анализа
Ю10. ж=
1012. V = ^-W--sin6^-
Найти х из выражений A015-1026).
2
1015. log ж = log a + log b -log с. 1016. log ж = - (log a + log b).
о
1017. logx = 21oga-31og&.
1018.
1019.	Iogx = -loga-21og6-31ogc.
2	3
1020.	log ж = - log a	log b.
о	А
1021.	log ж = loga + nlog(a + 6)	log (a — b).
12	3
1022.	\ogx = —- log(m-n) + - log(m + n) - - logm.
1023.	log x = - log 10000 + 2 log (a + b) - 3 log (a - b).
1024.	log ж = 5 log m + - f log (m + n) + - log (?n — n) — log m — log n J.
1025.	log ж = — log(a + 6) + - B1oga+ - log b — (log a — log b) — log a).
1026.	1оёЖ = li (i Iog6+^ logo- i E(loga + i log ft) -log(a + 26))).
Вычислить ж, если известен log ж A027-1030).
1027.	^
1028. Iogx = i(91og2-31og4).
1029.	Iogx ^log32
5	3
1030.	Iogx = 31og5-21og25-logl0.
Вычислить при помощи таблиц логарифмов выражения A031-1042).
1031.	4,134-1,548. 1032. Ш'85'436. 1033. 9'73321'09
1034. з/0Д532 _ 1Q35> -,,.,. w. -^ 1Q36>
48,72-0,8478
2,152-{/l2J6	V О'006422

§15. Показательные и логарифмические уравнения
87
1037.
1039.
5/l2,4 + 0,6{/0,0548
0,38972
1038.
1040. 4
\
0,093-з
29,9
0,047-л/0,0678
1041-5'387f|ii-9-3183- 1042-
\
Построить схематически графики функций A043-1056).
1043. у = 22х-2. 1044. у = Зх+3~х. 1045. 2/ = Зж — 3"^.
1046. y = lgx + l. 1047. 2/ = |lgx| + l. 1048. j/ = lg(rc —1).
1049. y = l-lgx. 1050. 2/ = l-|lgx|. 1051. y = -lg\x\-l.
1052. 2/ = lg(-x). 1053. 2/ = -lg(-x). 1054. y = 2\gx + 2.
1055. ?/ = lg2x.	1056. y = \g2(
Найти области определения функций A057-1062).
1057. !/ = log0>3(9-*2). 1058. у = lg (g±|-l).
1059. ?/ = 1п(-ж-ж2). 1060. ?/ = lgCx2-4x + 5).
1061. y = \og7rF + x-x2). 1062. ^/ = loga V2 - ж + loga Vx + 2.
§ 15. Показательные и логарифмические уравнения*)
Решить уравнения A063-1123).
1063.	1) 13(Ж-2)(Ж-3) = 1; 2) 1000-@,1I/ж = 100ж.
1064.	1) 4^+т = 64-2^+Т; 2) ,/@,6)ж = л 1 - • (-) .
1065.	1) 2ж2+ж'5 = 4\/2;	2) 2х'1 + 2Х~2 + 2Ж = 448.
1066.	2Ж-5Ж =0,1-A0ж-1M. 1067. 152ж+4 = 33ж-5ж+8.
1068.	V?-V? = 36.	1069. @,1)-(ж2ж+8) = 100.
1070.	5ж + 125-5"ж =30.	1071. 12-З1/^) -З1/^ = 27.
МО 9
1072. —
1074. 132
1076. 22ж
2х-
1073.
1075.
См. примеры решения таких уравнений в Приложении II, § 5.

Разд. II. Алгебра и начала анализа
1077. (л/х + 2IОх S
1079. 2Ж31"Ж = 7.
1081. \ogx_1(x2-5a
1083. \g(-+x) = \g
1085. log2 log3 log4 x
1087. log5lgV^2 + l
1089. 32-iog3(^-i)=)
>>x 1 = 1. 1078. @.
1080. lgx = 2-lg
; + 10)=2. 1082. :
@,5) -lgx. 1084. ]
= 0. 1086. 100lg
9 = 0. 1088. \g(x
81(ж-1). 1090.
,4)-= F,25)—.
\gx+\ga = 0,a>0,a^l.
(Ж+20) = 1000Q_
+ 1,5) = — lga;.
\/log \fbx~ = - log 5.
1091.
1094. 0,llg4x + 0,9 = lg2x. 1095.
1096.	lg 10+ilg B71 + 3^) =2. 1097. 0,
1098.	lg8-lg(x-5)=lg2-lgV^T7.
1099.	log5 (V2x — 7 + 1) = - log5 [y/lx - 7 + 7).
1100.	lg(lgx) + lg(lgx3-2) = 0. 1101. @,3H'5B"ж) = 53ж.
1102.	log3C*-8) = 2-x. 1103. 32ж-1-@,17Jж = 3-@,25)ж
2-х		1		2+ж	25+11ж 10,5-41ж	28-5ж
1104.	5!+ж ^б1-^2 =5Т=^. 1105. 8^+з~-4 5+5ж =2Тн^.
1106.	lgf36 + 2VA^-i)j = ^9. 1Ю7. 21og4log3log2x:
1108.	10ж2+1§ж = @,01). 1109. xl%x-2/3 = 100^100.
i 1 in	ож+3 ox -\-1x—6 	 ox -\-2x—5 ож
J. -L -L \J.	/j	О	— О	Zi
-4-4-4-4	Л HP i /~* HP	/\7»	-f-f-f ^^	*-> I X — 1/л1 СЛгп I P^
1111.	4Ж+6Ж=9Ж. 1112. v \/31иж+5 =
lllo.	o6 — o6 = 3l&'b^±
1114. B.4ж)ж = 23ж-4. 1115.
1116.	2
1117.
1118.
1119.

§15. Показательные и логарифмические уравнения	89
1120. 7lgx - 5lg*+1 = 3 • б18* - 13 • t^-1.
1121.
1122.	(V4 + ^/ЩХ + (V4 - /15)Ж = 8.
1123.	3A/10^+1/10^) -10 = 0.
Решить уравнения, используя формулу перехода от одной систе-
системы логарифмов к другой (log6 TV = °ga j A124-1133).
1124.	Iog3x + log^x-log1/3x = 6. 1125. log^ 16 + log2a,64 = 3.
1126.	21og4x + 21og^4 = 5. 1127.
1128.	Iog2(x-1J-Iog055(x-1) = 9.
1129.	Iog16x + log4x + log2x = 7.
1130.	log,2.1og2,2 = log4,2. 1131.
1132.	log^9x2-log3X = 4.
1133.	log5(x-)	C)
Решить системы уравнений A134-1161).
'-У = 90,
1134. ^ _ /	1135. , ,
;x + lg2/ = 3.
1136. ^ , ,	о 1137.
I I от т* 	 I О* 7/ — Ч
1138. {,°8ж;/ + „ ~2' 1139. /
J	log2a;-log23 = 4-log2y.
1140. (log2- + log4?/ = 4, 1ы1 j
\log4x + log22/ = 5.
= 40,	Г lg (ж2 + у2) = 2 - lg5,
1143
1142
32^ _ 2j/ = 725,	г 2(х~уУ2 - 2^~^)/4 = 12
1144. <^	/o	1145. <
\ 3^ 22/2 = 25.
-LJ.4iy.

90	Разд. II. Алгебра и начала анализа
1150.
Г 2х • Зу = 6,	Г (log. х + log. у - 2) log18 a = 1,
1152. ^ж 42/_12 И53. J V Ва	ЬаУ } В18
1154.
1156	г	Ц57
\	' \l + l = 31g2.
1158 1
\ log3Bя: + у) - log2Bа; - у) = 1.
(ху = а,
1159. \ з	2	2	116°-
Ug ж + lg 2/ = 2,51g2a.
Bху-х-у = 1,
1161
1г/2 + 2-Зж-1г/-32ж-1=0.
1162. Определить, при каких значениях х каждая из следующих
функций:
(^^ ) 2) y = \g(x2-2x-2)
а)	принимает только полож;ительные значения;
б)	принимает только отрицательные значения;
в)	не существует.
1163.	Доказать, что lg f a + \/a2 — 1J = — lg f a — Vcl2 — 1 )•
1164.	Вычислить 8loS23.(lg6,7-lg0,67).
1165.	Дано: Ig2 = a и Ig3 = 6. Найти Iog56.
1166.	Дано: Igl96 = 2,2923; lg56 = 1,7482. Найти lg2 и Ig5, не
пользуясь таблицами.
1167.	Найти log6 16, зная, что Iog1227 = a.
1168.	Вычислить без таблиц логарифмов lg5 - lg20 Ч- (lg2J.
1169.	Найти Iog1245, если Iog122 = m и Iog125 = n.
1170.	Доказать без помощи таблиц:
Iog35 Iog85 '	Iog35 Iog95
1171.	Вычислить le1"
1172.	Дано: Iog147 = a, Iog145 = 6. Найти Iog3528.

§ 16. Проценты [вторая серия задач)	91
§ 16. Проценты (вторая серия задач)
1173.	При обработке детали, проходящей 4 операции, потери
материала составляют на первой операции 5%, на второй — 4,9%, на
третьей — 12 % и на четвертой — 6,5%. Вычислить размер потерь
материала в процентах (точность 0,1 %) в процессе обработки детали
и объем выхода конечной продукции, если в производство пущено
2500 кг материала.
1174.	Стоимость станка после пяти лет работы равна 60% его
первоначальной стоимости. Определить первоначальную стоимость
станка, если по истечении пяти лет станок оценивался в 2 млн.
400 тыс. руб.
1175.	При изготовлении в день по 324 детали план будет пере-
перевыполнен на 8%. Сколько деталей нужно изготовить в день, чтобы
перевыполнить план на 14 %?
1176.	До снижения цен велосипед стоил 96000 руб. Когда же
цена на велосипеды снизилась, количество покупателей увеличилось
на 20%, а выручка магазина — на 10%. На сколько рублей была сни-
снижена цена на велосипеды?
1177.	На сколько процентов нужно увеличить длину радиуса кру-
круга, чтобы площадь круга стала больше на 96 %?
1178.	После двух последовательных одинаковых процентных по-
повышений зарплата в 500000 руб. обратилась в 627200 руб. На сколько
процентов каждый раз повышалась зарплата?
1179.	В городе в настоящее время 85 тыс. жителей. Сколько будет
в нем жителей через 5 лет, если ежегодный прирост населения в сред-
среднем составляет 3 %?
1180.	Месячное задание по изготовлению станков завод выпол-
выполнил на 105%. В следующем месяце было выпущено станков на 4%
больше, чем в предыдущем. На сколько процентов был перевыполнен
двухмесячный план завода?
1181.	Цех за первую неделю выполнил 20% месячного плана, за
вторую неделю было изготовлено 120% продукции, выработанной за
первую, а за третью — 60% продукции, выработанной за первые две
недели вместе. Каков месячный план цеха, если известно, что для
его выполнения необходимо за последнюю неделю месяца изготовить
1480 деталей?
1182.	На один продукт была снижена цена дважды, каждый раз
на 15%. На другой продукт, бывший до снижения в одной цене с
первым, снизили цену один раз на х%. Каким должен быть ж, чтобы
после всех указанных снижений цен оба продукта были вновь в одной
цене?

92	Разд. II. Алгебра и начала анализа
1183.	Рабочий день уменьшился с 8 ч до 7 ч. На сколько процен-
процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же
расценках зарплата возросла на 5 %?
1184.	Двадцать процентов от общего объема раствора составляют
примеси. Каково наименьшее число фильтров, через которые нужно
пропустить раствор, чтобы окончательное содержание примесей не
превышало 0,01%, если каждый фильтр поглощает 80% примесей?
(Известно, что lg2 « 0,30.)
1185.	Из бутыли, наполненной 12 %-ным раствором соли, отли-
отлили 1 л и долили бутыль водой, затем отлили еще литр и опять долили
водой. В бутыли оказался 3 %-ный раствор соли. Какова вместимость
бутыли?
1186.	Стоимость оборудования по истечении каждого года умень-
уменьшается на Р процентов. Найти, сколько будет стоить оборудование
через 5 лет, если первоначальная стоимость его 160 млн. руб., а еже-
ежегодный процент амортизации равен 2.
1187.	В течение года цех осваивал производство новых автома-
автоматов, неизменно увеличивая их выпуск. Если в январе было изготовлено
2500 автоматов, то в декабре — 4000. Каков средний процент ежеме-
ежемесячного прироста этой продукции?
1188.	Предприятие увеличивало объем выпускаемой продукции
ежегодно на одно и то же число процентов. Найти это число, если
известно, что за два года объем выпускаемой продукции возрос в два
раза.
1189.	На сколько процентов увеличивалась ежегодно в среднем
производительность труда на заводе в течение последних двух пяти-
пятилетий, если в первом году первого пятилетия было выпущено 2456 ма-
машин, а в последнем году второго пятилетия — 4015 таких же машин?
Количество рабочих не изменялось.
1190.	Прирост продукции на заводе по сравнению с предыдущим
годом за 1-й год составлял р%, за 2-й год q%. Каким должен быть
процент прироста продукции за 3-й год, чтобы средний годовой при-
прирост продукции за три года был равен г%?
1191.	Из общего количества товара а% его было продано с при-
прибылью в р%, из оставшейся части 6% его было продано с прибылью
в q%. С какой прибылью следует продавать всю остальную часть то-
товара, чтобы общий процент прибыли составлял г%?
1192.	1) Производство любой продукции удвоится через 70 лет,
если ежегодный прирост его будет составлять 1 %, через 25 лет при
приросте в 2 %, через 23 года при приросте в 3 %, через 19 лет при при-
приросте в 3,8 %. Проверить это утверждение.
2) Если через десять лет выпуск продукции увеличился вдвое, то
каков средний процент прироста за каждый год?

§17. Тригонометрические функции	93
§ 17. Тригонометрические функции
1. Измерение углов и дуг
1193.	С помощью числа тг составить выражения в радианах для
следующих дуг:
а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 136°; д) 22°30/; е) 157°30'; ж) 162°.
1194.	Выразить в радианах (с точностью до 0,0001):
а) 51°; б) 28°42/; в) 73°21'; г) 216°13/.
1195.	Выразить в радианах внутренний угол правильных 3-уголь-
ника, 4-угольника, 5-угольника, 6-угольника, п-угольника.
1196.	Почему ошибочна запись тг = 180°?
1197.	Углы треугольника относятся между собой, как 3:5:7. Оп-
Определить радианные меры этих углов (с точностью до 0,0001).
1198.	В равнобедренном треугольнике угол при вершине в 2,5 раза
меньше угла при основании. Выразить углы треугольника в градусной
и радианной (в долях числа тг) мерах.
1199.	Зубчатое колесо, имеющее 56 зубцов, повернулось на 14
зубцов против часовой стрелки. Выразить в радианах угол поворота
колеса.
1200.	Окружность морского компаса делится на 32 равные части,
называемые румбами. Выразить румб:
1)	в градусах и минутах;
2)	в радианах (с точностью до 0,001).
1201.	Радиус круга равен 5 см. Вычислить длину дуги, содержа-
содержащей:
а) 18°; б) 30°; в) 45°; г) 135°.
1202.	В круге радиуса R определить длину дуги, содержащей а°.
1203.	Определить радианную меру дуги, длина и радиус которой
равны соответственно 17 см и 20 см.
1204.	Определить длину дуги окружности радиуса R = 25 см, если:
1)	радианная мера дуги равна 1,25 рад;
2)	градусная мера дуги равна 144°.
1205.	Радиус окружности равен 36 см. Найти периметр сектора,
7
дуга которого содержит - радиана.
У
1206.	Найти радианную меру угла сектора, длина дуги которого:
1)	втрое меньше периметра сектора;
2)	составляет половину периметра сектора.
1207.	Шкив скоростного электромотора делает 120000 оборотов в
минуту. Определить угловую скорость вращения этого шкива:
1) в град/с; 2) в рад/с.

94	Разд. II. Алгебра и начала анализа
1208.	Для измерения географической долготы места употребля-
употребляют особую единицу, называемую часом. Час долготы равен — части
полного угла C60°), на который поворачивается Земля за сутки. Выра-
Выразить час, минуту и секунду долготы в градусах, минутах и секундах
дуги.
1209.	Географическая долгота города N (от Гринвича) рав-
равна 27°24/15//. Выразить ее в часах, минутах и секундах.
1210.	Географическая долгота города М равна 9 ч 47,5 мин. Вы-
Выразить долготу его в градусах, минутах и секундах.
1211.	Колесо, радиус которого равен 1,2 м, совершает в 1 минуту
300 оборотов. Требуется:
1)	найти его угловую скорость ш в 1 секунду (угловая скорость
выражается в рад/с);
2)	найти линейную скорость точки колеса, отстоящей от центра
на 20 см;
3)	найти линейную скорость точки М окружности колеса;
4)	доказать, что линейная скорость вращения точки, отстоящей от
центра на расстоянии г, равна г и.
1212.	Угловая скорость вала равна 21 рад/с. Вычислить число его
оборотов в 1 минуту.
2. Тригонометрические функции острых углов
1213.	Какая функция в каждой из следующих пар имеет большее
значение:
1) sin 20° или cos 20°; 2) sin 50° или cos 50°;
3) tg40° или ctg40°; 4) tg 50° или ctg 50°?
Вычислить выражения A214-1225).
1214.	(Устно.) sin 0° + 2 cos 60°- 2 tg 45°.
1215.	(Устно.) 2sin30°-tg 45°+ 2ctg 45° +cos90°.
1216.	3sin J-2cos J+3tgJ-4ctg J.
1217. 3-sin2|	J
4-2tg245° + ctg460°
1218
3 sin3 90° - 4 cos2 60° + 4 ctg 45°
1219.	BsinjJ-CtgjJ+BcosjJ-BctgjJ.
1220.	3sin2 \ - Btg JK - 4cos2 J + 3ctg3 \.
1221. 2sin30°+3cos30o-2tg30o-4ctg30o+sec30o-cosec30°.

§17. Тригонометрические функции	95
1222.	5sin45° + 2cos45o + 3tg45o-10ctg45o-4sec45o-7cosec45°.
1223.	sin 60° + cos 60° - tg 60° - ctg 60° + sec 60° - cosec 60°.
1224.	3sin0o-5cos0° + 7tg0o + sec0°-9ctg4^.
о
1225.	sin90o-6cos90° + 3ctg90o + 5cosec90° + 36tg2^.
Упростить выражения A226-1231).
1226.	(Устно.) a2sin90° + 2a6-tg45
1228.	4asin2--3(atg-) + ha cos-) .
1229.	4a2sin4^-6a&tg2^+(Vctg^) .
4	6 V 4 /
1230.
2 „; „ "" о л l „	г» i /lj	. 1" \
6*
2a2 sin — — 2a6cosO+ Ftg —
6	^4
1231.
Ea cos-) + 2a sin — — 26 cos2 —
^	2 '	6	4
Найти значения следующих выражений A232-1238).
1232.	(Устно.) sina + cosa при значениях угла а: 0°; 45° и 90°.
1233.	tga + sina при значениях угла а: 0°; 30° и 60°.
1234.	sin a + sin 2а + sin За при а = —.
Ь
1235.	sin2a + tg а — 4cosa — 2ctg 2a при а — —.
1236.	2sinD5o + a) + 3cosA80°-2a)-4ctg(90°-a) при а =
1237.	/ osin2a—:	 при а = 30°.
sin A5 + a)— sin a
1238.	. 2si"«-cosf	при a = 60°, /3 = 30°.
cos(a + /3) + cos(a/3)
3. Тригонометрические функции углов от 90°
do 360° и отрицательных углов
1239.	В какой четверти все тригонометрические функции поло-
положительны? Могут ли в какой-нибудь одной четверти все шесть три-
тригонометрических функций быть отрицательными?
1240.	Если угол принадлежит треугольнику, то какие из его
тригонометрических функций могут быть отрицательными и когда
именно?

96	Разд. II. Алгебра и начала анализа
1241.	Какие знаки имеют тригонометрические функции полови-
половины угла в треугольнике?
1242.	В каких пределах может изменяться сумма 1 + sinx при
произвольном изменении аргумента xl
1243.	Какие из следующих равенств возможны:
1) sina = Л Ъ , а>0, 6>0; 2) cos/3 = a + -;
i(a + 6)
о\ т —п о
3) sec а = —5	о •
га + п
1244.	Может ли быть отрицательной дробь 	?
sec ж
Упростить выражения A245-1248).
1245.	a-sin0o + &-cos90° + c-tgl80°.
1246.	a3 • ctg 270° +б3-tg 90°.
1247.	a2 • sin 2тг + lab • cos - тг + б2 • tg 2тг.
1248.	a2 • cosec 90° - 2a6 • sin 180° + b2 • cosec 270°.
Установить знак каждой из следующих разностей A249-1250).
1249.	1) cos20o-cosl20°; 2) sin 120° -sin240°.
1250.	1) tgl20o-tg40°; 2) ctg 30° -ctg 130°.
1251.	Построить углы, синусы которых равны:
1) 0,6; 2) -I.
Найти их величину с точностью до 1°.
1252.	Построить углы, косинусы которых равны:
1) ~\\ 2) -1.
1253.	Построить углы, котангенсы которых равны:
1) -2; 2) 1.
1254.	Найти значения всех шести тригонометрических функций
следующих углов (устно):
1) -30°; 2) -45°; 3) -60°; 4) -90°; 5) -135°; 6) -210°;
7) -300°; 8) -180°.
Найти значения следующих выражений A411-1421).
1255.	a sin (-30°) - 2a tg (-45°) + b cos (-60°) - b ctg (-90°).
sin3(-30°)-2ctg(--)-l
1256.
2-tg45° + 4cos2(--)
sin2 60° + sin2(-45°) - 1,25
tg245° - sin2(-30°) + sin2 60°
1258. Ba -cos (-^ -4 (a ctg (-j)K + 6tg 0.

' 17. Тригонометрические функции
97
1259. 5tgO + 2sin(-?) -3ctg (-^) +4cos (-0.
1260.
1261.
1263.
sin45° cos60° - cos (-45°) sin (-60°)
tg230°-sin290°-cos2270°
sec(-30o) + cosec(-30°) 1262
sin2(-30°) + cosec2(-30°)'
a sin тг + b cos тг + с tg тг
5 sin 270° - 2 cos 0° + 3 ctg 90°
2 cos2 315° + 3p ctg 135° + p2tg2300° - 2p3 sin3 225°
1264. 4cosCa-300) + 2tg22a-2sinC0°
при а = -30°.
1265.	sin/3 + cosa + tg a + ctg /3 при а =—^- и /3 = —?-.
1266.	В I четверти тригонометрические функции изменяются и
притом монотонно (либо только возрастают, либо только убывают) в
следующих пределах:
0 ^ sin a ^ 1
оо > ctg a ^ 0
1 ^ cos a ^ 0
1 ^ sec a < оо
0 ^ tg a < оо
оо > coseca ^ 1
Составить соответствующие таблицы для остальных трех четвертей.
Эти четыре таблицы полезно воспроизводить время от времени
(это очень важно!).
1267.	Выразить тригонометрические функции угла а:
1) через sin a; 2) через cos a; 3) через tg a; 4) через ctg a.
(См. ответ.)
1268.	Найти тригонометрические функции угла су, если дано:
2	8
1) cosa = -; 2) ctg а = —; 3) ctg a = -3; 4) sine* = -0,6.
о	15
Предполагая 0 < b < а, найти тригонометрические функции уг-
угла а по следующим данным A269-1270).
а-b ,Л^Л ...	\/а2 - Ь2
1269.
а + Ь'
1270. cosa =
Найти тригонометрические функции угла а при следующих усло-
условиях A271-1272).
19
1271.	а — угол положительный острый и tg а = 4 —.
1272.	а — угол IV четверти и ctg a = -1,05.
1273. Упростить выражение
7 В. А. Бачурин
sin a + cos a
sec a + cosec a '

98	Разд. II. Алгебра и начала анализа
1274.	Выразить sec а через ctg а, если а — угол IV четверти.
1275.	Вычислить sin a -cos а, если sin a + cos a = т.
1276.	tg a + ctg a = m; вычислить tg2a + ctg2а и tg3	3
Доказать тождества A277-1287).
1277.	tg2ce — ctg2се = sec2се — cosec2 a.
1278.	sin3x(l + ctg х) + cos3x(l + tg х) = sinx + cosx.
t <лр*ъ sec a ' ctg ol — coseca -tg a
1279.	—= sec a • cosec a.
1280.
1282.
1
1
cos a
— sin а
— cos a 1
. 2
sin a
9 . '
— sin а
1 + sec a
+ cosec a
cos2 a
9
- ctg3a.
1
1281.
1283.
ctg а
tg a + ctg а
l+tg4a
- COS2
-Ц2
a.
a.
+	^
sec a — I cosec a — I	tg a + ctg a
1284. (sin ce + tg a) (cos ce + ctg a) = (cos ce + 1) (sin a + 1).
^ sina + tga
cosec a + ctg a J cosec2 a + ctg2 a '
1286. tg2cv — sin2а = tg2cv -sin2a.
ioow /l + sina /1 —sina
1287.
4. Формулы приведения. Тригонометрические функции
произвольного аргумента
1288.	Привести к углу, меньшему 45°:
1) sinl2P40'; 2) cos98°21'; 3) ctg 140°42/; 4) tg322°17/.
Упростить выражения A289-1291).
1289.	cos A80° - а) • sin (90° + а) • tg A80° - а) • ctg (90° + а).
1290.	t
tg A80° - a) cos A80° - a) • tg (90° - a)
sin (90° + a) • ctg (90° + a) • tg (90° + a) '
1292.	Показать, что:
a) sin D5° + a) = cos D5° - a); 6) cos D5° + a) = sin D5° - a);
в) tg D5° + a) = ctg D5° - a); и т. д.
Вычислить выражения A293-1295).
1293.	а) sin(-1350°); б) cos720°; в) tg900°; г) cosyvr.
1294.	4sin 330° • cos (-240°) tg 120° - 2cos 150° • tg (-315°).
1295.	sec97r.

§17. Тригонометрические функции	99
1296.	Тригонометрические функции угла 50° выразить через
функции его смежного угла. (См. ответ.)
Упростить выражения A297-1303).
1297.	sin (	а) — cos(tt — а) Ч-tg (тг — а) — ctg (	\-а).
1298.	sin 0° + sin 1° + sin 2° +... + sin 360°.
1299.	ctg 15° + ctg 30° + ctg 45° +... + ctg 165°.
cosec (—a) • cosec (90° + a)
1300.
sec (—a) • sec A80° + a)
sin3(q-270°)-cos C60°-a)
tg3(a-90°)-cos3(a-270°) '
1302. sin 160° • cos 110° + sin250°-cos340°+tg 110°-tg 340°.
tg B70° - a) • sin 130° • cosec 220° • sin 270°
ctg A80° - a) • cos 50° • sec 320° • 360°
1304.	Применить формулы приведения для углов:
а) а -90°; б) а -180°; в) а -270°; г) а -360° (см. ответы).
1305.	По данному общему виду угла х написать его частные поло-
положительные значения, меньшие 360°Bтг):
1) ж = 15° + 120°п; 2) ж = -60° + 360°п (см. ответ);
3) ж = (-1)п-45° + 180°-п; 4) х = (-1)п • ^ ±тг -п.
о
Написать общий вид углов по значениям тригонометрических функ-
функций этих углов A306-1315).
1306. 1) sin;
1307. 1) sin;
1308. 1) cos
1309. 1) tga
1310. 1) ctg
1311. 1) ctg
1212. 1) sin;
1313. 1) tg2
1314. 1) tg?
_!. 2) in -
X~ 2' ) smx - 2
x = — • 2) cos ж = -
x = ^. 2)со8Ж = ^
5 = 1; 2)tgS = V3.
x = 1; 2) ctg x = y/S.
x = -l; 2) sin2a; = 0.
8Ж = -^; 2)со87Ж =
\х = -уД\ 2) tga;=-^
3
1315.
sBx - 13) =-^.
1316. При каких значениях аргумента х следующие функции:
1) cosx; 2) sinx; 3) (sinx + 1); 4) A-cosx)
принимают наименьшие значения?

100	Разд. II. Алгебра и начала анализа
1317.	При каких значениях аргумента х следующие функции:
1) cosx; 2) sinx; 3) (sinx-l); 4) (l + cosx)
принимают наибольшие значения?
5. Тригонометрические функции суммы и разности
двух углов
1318.	Дано: cosa = 0,5; sin/3 = -0,4; 270° < а < 360°; 180° < /3 <
< 270°. Найти sin (а - /3) и cos (а + /3).
1319.	Вычислить:
а)	sin 75° и cos 75°, заменяя 75° через 45°+ 30°;
б)	sin 15° и cos 15°, заменяя 15° через 45° -30°.
1320.	Если углы а и /3 — положительные и а +/3 < 90°, то
sin (а + /3) < sin a + sin /3. Доказать это:
1) с помощью чертежа; 2) используя формулу.
1321.	Выразить sin (а + /З + 7) и cos (а + /З + 7) через тригономет-
тригонометрические функции слагаемых аргументов.
Упростить выражения A322-1329).
1322.	sin4,25-cosl,ll- sin 1,11-cos4,25.
1323.	sin A5° + a) • cos A5° - a) + sin A5° - a) • cos A5° + a).
1324.	sin a • sin (a + /3) + cos a • cos (a + /3).
sin 56° • sin 124° - sin 34° • cos 236°
1326. 1 + tga'tg^. 1327. cos la -sin la- ctg a.
1328. cos 10°-2cos50°-cos70°. 1329. cos|-ctg |+sin |.
Доказать тождества A330-1337).
1330.	cos2 a - cos F0° + a) • cos F0° - a) = 0,75.
1331.	0,5sin2 a + sin G +a) '8m[~7 ~a) = 0,5cos2 a.
1332. V2cosa2cosD5 + a) =
2D5° + )V2
1333. cosl5o + sinl5° = ^\. 1334. cos 15°-sin 15° = cos45°.
cos 45
1335.	cos2(a-30)	(	)
1336.	sin (a + /3) • sin(a - /3) = sin2 a - sin2 /3.
1337.	cos(a + /3) -cos(a —/3) = cos2a-sin2f3.

§17. Тригонометрические функции	101
Упростить выражения A338-1343).
°	tg 1,47- tg 0,69
1338
1340. ctgD5°-a)+1 + Ctga. 1341.
BV	; 1t
1 + tg D5° + а) • tg a '	1 + tg 1,47 • tg 0,69 '
tg50o-tg5°-l
. 1341.
1-ctga	tg50°-tg5°
1342.	(tga-tg/3).ctg(a-/3)-tga.tg/3.
1343.	sin20°+ 2sin40°-sin 100°.
Доказать тождества A344-1350).
sin(ff-a)
=
ctg (a-/3) +ctg/3 s
-, o47 tga + tg/3 tga-tgff =
* t( + /3) ^ t(/3)
1348.	0,5-ctgl5°-0,5-tgl5° = 3.
1349.	cos 10° - 2 cos 50° - cos 70° = - sin 40°
1S50.
ctg /3-ctg a
1351.	Если tg a = - и tg /3 = -, причем углы а и /? — острые, то
.2	о
= 45°. Доказать это утверждение.
3	1
1352.	Дано: ctg а = -; ctg /3 = -; а и /3 — острые углы. Дока-
Доказать, что су + /3 = 135°.
6. Тригонометрические функции двойных
и половинных углов
1353.	Если 0 < а < 45°, то sin 2a < 2sin а. Доказать это:
1) с помощью чертежа; 2) пользуясь формулой для sin 2a.
1354.	Выразить sec 2a через sec a.
1355.	Выразить sin а и cos а через tg —.
1356.	Показать, что все тригонометрические функции угла вы-
, а
ражаются рационально через tg —.
1357.	Дано: tg — = -. Найти sin a, cos a, tg a.
А о
1358.	Дано: ctg a = \/2 + 1. Найти sin2a, cos2a, tg2a.
1359.	Выразить sin3a и cos3a и tg 3a соответственно через sina,
cos а и tg a.
1360.	Выразить sin 4a и cos4a через sin a и cos a.
1361.	Выразить sin— и cos— через sin a.

102	Разд. II. Алгебра и начала анализа
1362.	Выразить tg — и ctg — соответственно через tg а и ctg а.
Вычислить без таблиц и компьютера A363-1368).
1363.	cos215° -cos2 75°. 1364. 2tg^5 . 1365. 2cos2--l.
l-tg275°	8
1366. 1s9in22-5°. 1367. tg435° + tg 375°. 1368. X"tg 7°°^ 65°
2со8215о-Г 	&	&	tg70o+tg65°
Упростить выражения A369-1376).
1369. 2sin40°-sin50°. 1370. (simp -cos</?J + sin2</?.
1371. cos2a + 2sin2a. 1372. ctgD5 -a) ^
ctg^D5°-a)-l
1373. ]~sm2a.	1374. 2cos2D5°-a)-sin2a.
l + sin2a	v	;
1375. tga(l + cos2a). 1376. \/2sin2a + 2.
Доказать тождества A377-1395).
1377. l + cosa = 2cos2-. 1378. 1 -cosa = 2sin2 -.
1379. l + sina = 2cos2D5°--V 1380. 1 -sina = 2sin2 D5°- -V
1381. l + cos2a =ct 2a>
1 —cos 2a
1383.	tgl5o + ctgl5°=4.
1384.	4sin3a -cos3a + 4cos3a -sin3a = 3sin4a.
2Sin2a-Sin4a = 2q ^ l-Sin2a + coS2a
1387. g I Cg I =-cosa. 1388. tg a =cos4a.
tg|+ctg|	tg4a-tg2a
1389. cos4a + l = 1 ^^ ^^ 1 -cos(8a -Зтг) = _sin8a
ctg a — tg a 2	tg 2a — ctg 2a	2
1391.	cos2 (a +/3) + cos2 (a-/3)-cos 2a- cos 2/3 = 1.
1392.	——	——	=tg2a.
1-tga 1 + tga
1393. 	seca + sec/?	=ctg^+^.
tg a sec /3 + tg /3 sec a	2
1394.	sin3a -coseca — cos3a -seca = 2.
1395.	4 cos a-cos F0°-a)-cos F0° +a) = cos 3a.
1396.	Проверить, что если tg a = - и tg /3 = -, то cos 2a = sin 4/3.
7	о

§17. Тригонометрические функции	103
7. Преобразование произведения
тригонометрических функций в сумму
Вычислить (без таблиц и компьютера) значения выражений
A397-1402).
1397. cos45°-cosl5°. 1398. sin 105° -sin75°.
1399. sin^cos^-	140°- 2sin 10°-sin40° +cos50°.
1401. 2cos20°-cos40°-cos20°. 1402. cos^yr -cos^tt.
о	о
Преобразовать произведения тригонометрических функций в сум-
суммы A403-1430).
1403. 2cosa-cos3a. 1404. sin5a-sin3a.
1405. cos2a + 2sin (a + ^-J -sin fa — ^ j. 1406. sin4a-cos2a.
1407. (l + 2cos2a)-sina.	1408. 4cos8°-cos 10°-cos6°.
1409. 4cosa-cos3a-cos4a. 1410. 2sina-sin2a-sin3a.
1411. 8cos(a-/3) cos(a-7) cosG-^). 1412. sin2ж.
1413. cos2ж. 1414. sin2тж. 1415. cos2—.
m
1416
. sin a — sin I a-\- — 1 -sin I a — — 1.
1417.	cos2 a - cos C0° + a) • cos C0° - a).
1418.	2cosa-cos2a-cos3a.
1419.	cos2a-cos2a- - cos4a- - cos2a.
1420.	cos23 + cos2 1-cos4-cos2.
1421.	cos3(mx + n). 1422. sm3(ax-b). 1423. cos4a.
1424.	sin4a. 1425. cos2a-sin2a. 1426. cos3a-sin2a.
1427.	sin3 a-cos2 a. 1428. cos2(x - 1) -sin3(l - x).
1429.	cos43x-cos25x. 1430. cos63x.
Проверить равенства с помощью упрощений и вычислений
A431-1442).
1431.	tg20o-tg40°-tg60o-tg80° = 3.
1432.	cos35° + cos 125° + 2sin 185° • (sin 130° + sin 140°) = 0.
1433.	8cos 10° • cos 20° • cos40° = ctg 10°.
1434.	16sin20°-sin40°-sin60°-sin80° = 3.
1435.	cos 10° • cos30° • cos50° • cos70° = —.
16
1436.	ctg 10° • ctg 50° • ctg 70° = ctg 30°.

104	Разд. II. Алгебра и начала анализа
4	14	2
1437.	8 cos - тг • cos — тг • cos - тг = 1.
У	У	У
1438.	sin270° -sin250° -sin2 10° = —.
64
1439.	sin 16°-sin54° = -. 1440. sin 15°= л/б~л/2,
4	4
1441.	Vl+cosa + A/l-cosa = 2sinf j + -V 0<a<-.
(cosa + cos — ) + (sina + sin—)
1442.	2-	2—=ctg^.
o . a	4
2sin-
8. Преобразование суммы
тригонометрических функций в произведение
Привести к виду, удобному для логарифмирования, и упростить
A443-1464).
1443.	sin75° + sin 15°. 1444. sin78°-sin42°.
1445. cos 152° +cos28°. 1446. cos48°-cos 12°.
1447. sin a + cos a. 1448. sin a — cos a. 1449. sin2 a — sin2 f3.
1450. cos2a — cos2/3. 1451. 1 + sina.	1452. sina — 1.
1453. l-2sin2a.	1454. l-2cos2a. 1455. l±tga.
1456. l±ctga. 1457. y/1 +cosa + \/l -cosa.
1458.	л/l +cosa —л/1 -cosa. 1459. 1 -
1460.	1 + tga + seca. 1461. seca + tga —1.
1462.	tg a-\-ctg a-\-sec a-\-cosec a.
1463.	tg a — ctg a — sec a + cosec a. 1464. sin a + sin 2a + sin 3a.
Доказать тождества A465-1470).
tg2atga =
gin2a> 1466#	^
tg 2a — tg a	l + tga-tg2a
а
1467. Vl+sirm-Vbrsirm = 2sin- (если 0° < a < 90°).
1468. Sin2acosa
tg
+ cos2a 1 + cosa ь 2
i ^i^o sina + sin3a + sin5a , o
1469. 	=tg3a.
cos a + cos 3a + cos oa
1470.	tg 3a - tg 2a - tg a = tg 3a • tg 2a • tg a.
Доказать, что при условии a + /3 + 7 — 180° (например, для углов
треугольника) имеют место следующие соотношения A471-1479).
1471.	sin a + sin f3 + sin 7 = ^ ^ ^

§17. Тригонометрические функции	105
1472.	sin а + sin /3 — sin 7 = 4sin — -sin — -sin —.
OL	0	T
1473.	cos a + cos /3 + cos 7 = 1 + 4sin — • sin — • sin —.
(У.	в	T
1474.	cos a + cos /3 — cos 7 = -l + 4cos — -cos^- -cos-^-.
Z	li	li
1475.	tga + tg/6 + tg7 = tga-tg/6-tg7.
1476.	tg|-tg|+tg|-tg|+tg|-tg| = l.
1477.	ctg a • ctg /3 + ctg a • ctg 7 + ctg /3 • ctg 7 = 1.
1478.	sin 2a + sin 2/3 + sin 27 = 4sin a • sin /3 • cos 7.
1479.	cos 2a + cos 2/3 + cos 27 = — 1 — 4 cos a -cos/3 -cos 7.
Следующие выражения преобразовать в произведения тригономет-
тригонометрических функций с помощью некоторых «ходовых» углов A480-1485).
1480.	l-2cosa. 1481. \/3-2sina. 1482. 3-4cos2a.
1483. 1 + cos a + cos 2a. 1484. sin a + sin 2a + sin 3a.
1485.	cos a — cos 2a + cos 3a.
9. Обратные тригонометрические функции
1486.	Выразить х с помощью обратных тригонометрических функ-
функций из равенств:
1) tg х = m; 2) cosx = m; 3) sinx = m.
Какие значения можно подразумевать под т в каждом из этих
равенств?
Записать с помощью обратных тригонометрических функций ра-
равенства A487-1490).
1487.	1) sin- = -; 2) sin (--J = - —; 3) cos - = —.
1488.	1) cos |=0; 2) tg(-?)=-l; 3) 3tg0 = 0.
1489.	1) ctg^ = V3; 2) ctg ? = ^; 3) sinx = 0,23.
О	о о
1490.	1) cosx = 0,5762; 2) tg ж = 0,468; 3) ctg ж = 1,237.
Построить графики функций A491-1492).
A \	2
— 1; 3) arccos-.
о /	о
1492.	1) arccos (-0,75); 2) arctg^; 3) arctg(-l,5).
Найти значения следующих выражений A493-1496).
1493.	1) arccos 1; 2) arccos 0; 3) arccos 0,5; 4) arccos (-1).

106	Разд. II. Алгебра и начала анализа
1494.	1) arcsinO; 2) arcsinl; 3) arcsin(-l); 4) arcsin(-0,5).
1495.	1) arctgO; 2) arctgl; 3) arctg(-l); 4) arctg^.
о
1496.	1) arcctgl; 2) arcctgO; 3) arcctg(-l); 4) arcctg (-^
Найти значения следующих выражений A497-1543).
1497.	arccos (-—) + -. 1498. arcsin (- — ) + 2тг.
V 3 ) 6	V 2 У
1499. arctg(-l)-^7r. 1500. arccos(-0,5)+ 2arcsin@,5).
1501.	arcsin 0 + arccos 0 + arctg 0 + arcctg 0 — тг.
1502.	arcsin(-1) + 2arccos (-1) + 4arctg (-1) + 2arcctg (-1) + 13тг.
1503.	arctg (-л/3) + 2arcctg л/3.
1504.	2arccos^-3arcsin(-^
2	у 2
-^ - 6arcctg (-л/3) - 4,5тг.
1506. sin (arcsin (-0,37)). 1507. arcsin (sin ^V
1508. cos( arccos (-^)). 1509. arccos (cos f-^
V	V 5 //	\ \ 2
1510. ctg(arctgm). 1511. arctg (ctg^j.
1512. tg ('arcctg—V 1513. arcctg fsin^V
1514. cos Barcsin-—].	1515. sin Carccos —-
\	2 J	\	2
1516. cos 2 arcsin I—^-)). 1517. sinEarctg(—1)).
V	V 2 ))
1518. sin (arccos0,8). 1519. cos (arcsin— j.
1520. tg (arcsin ^Y	1521. ctg (arccos 0,8).
V	5/
1522. tg (arccos — ). 1523. ctg (arcsin— ).
\	lo /	\	17 /
1524. sin (arctg (-2)). 1525. sin (arcctg —J.
1526. cos (arctg j-У 1527. cos (arcctg (-1,05)).
1528. sin (arcsin- +arccos-j. 1529. cos (arccos — + - arcsin-— ).
\	2	2 /	\	2 2	J

§17. Тригонометрические функции	107
(О	О \	/	1 \
arcsin- + arcsin—J. 1531. tg (arctg 2 + arctg - J.
1532.	tg f arctg ж +arctg-j.
1533.	tg (arctg a + arctg	-=? J. (Дано решение.)
63	av3/
1534.	cos B arcsin -j. 1535. sin B arcsin m).
1536.	tg^3arctgiV	1537. sin Barctgm).
1538.	cos B&тг=Ь arccos ж), 0 < \x\ < 1.
1539.	sin (&тг +arctg- j. 1540. arccos (sin ^j.
1541.	arctg fctg—j.	1542. sin ( - arcsin	2arctg(—2)J.
1543.	tg [-7Г- - arcsinf--JJ.
Проверить справедливость следующих равенств A544-1559).
1544. arcsin - = arccos -.
о	о
1545.	arcsin л/—^—= arctgW^, a > 0; b > 0.
у а + о	у 6
1546.	arcsin	h arcsin— = —.
lo	lo 2i
1547.	arccos - + arccos - = arccos (-— J.
2	7	V 14/
1548.	arcsin 0,6 — arcsin 0,8 = — arcsin 0,28.
1549.	arctg-+arcctg- = —-.
1550.	2arcsin m = arccos A - 2m2), 0 ^ m ^ 1.
7Г
1551. arccos^/	arccos
V3
	— = —
2л/3 6
1552.	2arctg\/—= arccos	, a > 0, ж > 0.
у a	a + x
4	2	2
1553.	arcsin -+ arccos —= = arctg —.
5	V5	11
1554.	arcctgлД + arcctg B + л/З) = j-
1555.	arcsin — + arctg— = arctg (л/2 +1) .
1556.	arctg 1 + arctg 2 + arctg3 = тг.

108	Разд. II. Алгебра и начала анализа
1557. arctgт + arctgп = arccos—	} т > 0, п > 0.
/A 2)A 2)
1558.	sin Barctg - ) + tg ( - arcsin — ) = -.
1559.	cos Barcctg 7) = sin Darcctg 3).
10. Графики тригонометрических функций
Построить графики функций A560-1565).
1560.	1) у = 28тх; 2) y = -sinx; 3) y = sinx + l.
1561.	1) 2/ = |sin#|; 2) у = —sinx; 3) y = sin(—x).
1562.	1) ^/ = l-cosx; 2) ^/ =
1563.	1) 2/ = cos (—ж); 2) ^/ = -
1564.	1) 2/ = tga;-l; 2) y = \ztgx.
о
1565.	1) |/=tg(-a:); 2) y = \tgx\.
Определить наименьший положительный период функции; указать
промежутки монотонности и интервалы знакопостоянства; построить
графики этих функций A566-1569).
1566.	1) y = sm2x; 2) 2/ = sin —.
1567.	1) 2/ = sin(Wj); 2) 2/ = sin(z-
1568.	1) y = smBx + 7r); 2) 2/ = i + sin -.
1569.	1) y = 2 + 28in2x; 2) 2/ = I-Isin|.
Построить графики функций A570-1599).
1570.	у = -ыпBх--\	1571. у = sin (^2ж - -) + 1.
1572. 2/ = 2sin(| + j)-l. 1573. ?/ = cos
1574. 2/= cos ^2ж + 0.	1575. 2/ = \ cos
1576. ?/ = 2cos^-^+l. 1577. 1) y = tg2x] 2) 2/ =
1578. 2/ = tg(x + 7r). 1579. 2/= ctg B
1580. 2/= sinx + cosx. 1581. ^/ = l + cos2x. 1582. ^/ =
1583. 2/ = l + cos2x. 1584. у = sin2ж + cos2ж.
1585. 2/ = --sin2x. 1586. 2/ = sinx + sin2x.

§17. Тригонометрические функции	109
1587.
1590.
1592.
1595.
1597.
У =
1 =
У =
У =
ъ\х\2х-
^osec 2
X
sec-
ъ\пх-\-
f С(
Гр
2е
)s2x. 1588
1591. у =
v). 1593.
1596. 2/ = s
I11 Zi«/y "T" — olll ^
. у = secx. 1589. г
2 + 2cosec2x.
?/ = sec2x. 1594. у
inx + - sin2x.
'«ЛУ • -L d t/ C3 • l/ 	 V/vJJj JU
> = \
°
ж
cosec —.
os22x.
1599. у = cosx- - cos3x + - cos5x.
11. Тождественные преобразования
тригонометрических выраснсений
Проверить вычисления A600-1601).
1600. tg25°+tg2o°	1601. i-tgTQ;
l-tg25°-tg20°	tg70°+tg65°
Проверить справедливость равенств A602-1644).
1602. sin;g-a;+cos!g-ai=ctga.
sinD5 -a)-cosD5 -а)
1603 tg^ + tg^ = sin(^ + /^)
tga-tg/3 sm(a-/3)'
1604.	sin6a -ctg За -cos6a = 1.
1605.	cos 10°-2cos50°-cos70° =-sin40°.
^
g(? )g()
1606. 	^	^	— = 1.
1607.	6 ; ^ 6 ; =tg 3,14^0.
l-tg2,22-tgO,92 B '
1608.	ctgD5°+a)+?~Ctga=0. 1609. u^b xu ~ x -ctg 15° = 0.
1 + ctga	3-ctg210°
1610.
1611
f+ f) =
. ( cos f — + 2a) +cos f — — 2a JJ — cos 4a = 1.
-.^-.o (cos 0,75a —sin 0,75a) 1 -,^-,o
1612. ^	¦	:	¦	— = l. 1613.
1 — sinl,5a
1614. 1 — 8sin2a-cos2a = cos4a. 1615. tga
1616. 2cos2a-cos2a = 1. 1617. tg 0,5a + ctg 0,5a = 2coseca.
1618. 2tgl/a = sin3a. 1619. ^^ + ^^
l + tg2l,5a	1 + tga 1-tga

110	Разд. II. Алгебра и начала анализа
1620. 16cos20o-cos40°-cos60o-cos80° = l.
1621.	W±-±sina = sin D5° - ^
1622.	1-sin C0° +2а) =
cos C0° +2а)	BV	;
1623.	2sin2D5°-a) + sin2a = l.
1624.	sin2a + 2sin(^|-a) -cos(^| + a) =0,5.
1625.	cos 2a + 2sin (a+ ^) -sinfa-^) =0,5.
1626.	sec(- + a)-sec(--a) = 2sec2a.
1627.	l-sin4a + ctg (-тг-2а) -cos4a = 0.
i^oo sin4a	cos2a	/3	\
1628.	= cteM - 7Г — a .
l + cos4a l + cos2a	ь V2	/
1629. sin^a + ^)	^
sin a
1630. tg2a-Sec2/?-tg2/3-sec2a =
sec 2a + sec 2/3
1631.
zctg 2a
1632. tg - + - •	=1-
.4 2,
1633.
Ba — - тг) — 4 + 4sin a
_,„О/1	sin6a , cosFa — тг) о 1ЛОГ	o , . o ,	i
1634.	1	^—	J- = 2. 1635. cos2a + sin2a-tg a = I.
sin 2a	cos 2a
1636.	sin4a - 2cos2 2a +1 = y/2 sin Da - 45°).
1637.	3sin2 (a " f *") " cos2 (« + f *") = 4cos C0° + «) cos C0° " «)
1638.	2sin2a + \/3sin2a-l = 2sin Ba-30°).
1639.	sin2(a + 90°) - 3cos2(a - 90°) = 4sin C0° + a) sin C0° - a).
1640.	sin2 (P--)~ cos2 (а--тт)= cos (a + /3) cos(a - /3).
1641.	tg(a + j)+tg(a- J) =2tg2a.
-ггълп	sina — 2cos3a — sin5a , 2 (^ \ j_ о
1642.		=ctg2 --a -ctg3a.
cos a — 2 cos 3a — cos 5a	\4 /
1643.	2 cos2 (| - 17г^) + л/3 cos ^ тг - a) - I = 2 sin (a - ^.

§17. Тригонометрические функции	111
1644. „,„ (?+а)-в.п (--«)=—.
Проверить правильность преобразования произведения тригоно-
тригонометрических функций в сумму A645-1650).
1645.	^j(
1646.	sin (х — у) • cos (у — х) = - sin 2(ж — у).
1647.	4sinA sin2A sin3A sin4A = l-cos6
1648.	sin 4x cos2 f 2x + j j = - sin 4x + - cos 8>x - -.
Q	1	1	1
1649.	32sin5a -cos3a = - sin2a	sin4a	sin6a + - sin8a.
1650. 4cos(- + a) cos(--a) = 2cos2a + 1.
(--a) =
Проверить правильность преобразования суммы тригонометри-
тригонометрических функций в произведение A651-1665).
1651.	sina + tg a = 2tg a -cos2 —.
1652.	sinvra — tg тгсу = — 2tg тга -sin2 —-.
z
1653.	A + sin a - cos a) cosec | = 2 y/2 • cos (^45° - | V
1654.	1 — cosBa — тг) — cos Da + тг) + cos Fa — 2тг) =
= 4cosa -cos2a -cos3a.
1655.	sin2a + sin4a + sin6a = 4sin3a -cos2a -cosa.
2л/2 sin2 a • cos (- + 2a)
1656.	1 +sin2a-cos2a-tg 2a =		4
1657. 1 - - sin2 2a - sin2 /3 - cos4 a = sin (a + /3) sin (a — /3).
1658.	l + sina + cosa = 2\/2cos-cosD5o--y
1659.	1 — 2sina — cos2a = —4sina -sin2 f 45° — — J.
1660.	cos a-sin a-sin 2a = cosa-cos 2a.
a + ff	a
tgCtg
1662.	sin a + sin 3a + sin 5a + sin 7a = 4 cos a -cos 2a -sin 4a.
1663.	ctg a + ctg 2a + cosec2a = ctg a.
чппл л i • .	. x	oAT 2a sin D5° +a)
1664.	1 + sin a + cos a + tg a = 2 V 2 cos2 —	^	.
2	cos a

112	Разд. II. Алгебра и начала анализа
1665. tga + t
Доказать тождества A666-1702).
1666.	si"(« + /3)-2cosa.sinl
2 cos a • cos /3 - cos (a + /3)
1^>т sirm + 2sinF0° — a)	/77 ,
1667.	-	——— = V3ctga.
2cosC0 -a)-V3cosa
1668.	tg	i^
1669. *l°0+W «»<а±Й. 1670.
t( + ?)t?	(?)
4sin a — I
1671. —?__ =—!_ = _!_
l-tg a 1-ctga cos 2a
1672. 2sin2D5°	1=1 —sin a.
1673.	4cos — -cos a -sin — = sin a + sin 2a + sin 3a.
1674.	4cos2a-cos(-+30°) -cos (- -30°) = cos a + cos 2a + cos 3a.
1675.	4 cos — -cos a -sin —- = sin a + sin 2a + sin 3a + sin 4a.
A	A
1676.	4 cos — -cos a -cos-— = cos a + cos 2a + cos 3a + cos 4a.
A	A
cos a — cos в . в — a -* „г-ъ ctga + 1 . //lro ч
	^-g-=tg^——. 1679. —	 =ctgD5°-a).
sina + sin/3 ь 2	ctga-1	v	;
1680 ctga + tg^ _ cos(a-/3)
ctg a — tg/3
1681. ^(» + g-^(«-/3)	t
cos(a + /3)cos(a/3)	ь
1682.	sin a - sin 2a + sin 3a = 4sin — -cos a-cos—-.
Z	A
1683.	4sin a • sin F0° - a) • cos C0° - a) = sin3a.
1684.	sin6a + cos6a + 0,75sin22a = l.
1685.	4cos4x + cos22
1686.	ltg| + ltg|
1687. s
;;i=ct
cos a -sin B6 -a)
-.•.«о sina —cosB6 —a) l + sin26
lOoo. 	 = 	.
cos a — sin B6 — a)	cos 26

+ tg
1695. sin (a + b) • sin (a - b) = sin2 a - sin2 b = cos2 6 - cos2 a.
.2 . 2 ,
sin a —sin о
§17. Тригонометрические функции	113
1689.	cos (a + b) + sin (a + b) = (cos a + sin a) (cos b — sin 6).
1690.	tg2a - tg26 = sin (a + 6) sin (a - b) sec2 a • sec2 b.
1691	sin (a-6)	sin(fe-c) sin(c-a) =Q
cos a -cos b	cos 6-cos с cos с-cos a
1692	sin(a~6) |	sin(fe-c)	sin(c-a)=0
sin a -sin 6	sin 6-sin с	sin с-sin a
1ЛПО , /тг a\ /1 , . ч	лгъъл 1 —2sin a 1 —tga
1693. tg -	-A + sina) = cosa. 1694. 	:	=	—.
&V4 27 v	;	l + sin2a 1 + tga
1695.	sin (a + b) • sin (a - b)
часка 4. / . , ч , / ,\
1696.	tg(o + 6)tg(tt-6) = 52
cos a — sin о
-«™^	I(sin2a + 2cos2a —1)
1697.	—:	-r—=coseca.
cos a — sin a — cos3a + sin3a
1ЛПО sina — sin3a + sin5a , o
1698. 	=tg3a.
cos a — cos 3a + cos 5a
1699.	tg2a + sec2a = tgD5° + a).
1700.	cos6 a + sin6 a = cos22a + - sin22a.
4
1701.	2(sin6 a + cos6 a) - 3(sin4 a + cos4 a) + I = 0.
1702.	cos6 a - sin6 a = cos la (l - i sin2 2a).
Проверить упрощения и вычисления A703-1709).
1703.	cos20o-cos40°-cos80° = i
о
1704.	tgl0o-tg50°-tg70o=tg30°. 1705. l~4s'"oL0 =tg40°.
tg 20
i >тги^	2тг , 4тг	7тг	тг 1
1706.	cos	hcos	cos	cos— = -.
15	15	15	15 2
1707.	cosl2o-cos48° = sinl8°.
1708.	1) tg20o + 4sin20° = \/3; 2) \/3-2sinl0o = 4sin25°-cos35°.
1709.	\/2 + 2sinl5o = 2cosl5o.
1710.	Доказать тождества:
1) arcsin ж + arccos ж = —; 2) arctg x + arcctg x = —
12. Вычислительные задачи
1711.	По таблицам натуральных тригонометрических величин или
с помощью компьютера найти числовые значения следующих функ-
функций:
1) sin87°10'; 2) cos61°10'; 3) tg89°59'; 4) ctg2°27/;
5) sin 0,211; 6) cos 2,114; 7) tg 3,071; 8) ctg 0,261.
8 В. А. Бачурин

114	Разд. II. Алгебра и начала анализа
1712.	Найти острые положительные углы х, если:
1) sinx = 0,3932; 2) cosx = 0,4485; 3) tg х = 2,675;
4) ctg ж = 7,115.
1713.	Найти по таблицам значения следующих функций тупых
углов:
1) sinll5°22/; 2) cosl69°17'; 3) tg 147°39'; 4) ctg 124°30/.
1714.	Найти по таблицам:
1) Igsin21°ll/; 2) lgsinl°23'.
1715.	Найти острый угол, если известно:
1) lg sinx = 9,6747 -10; 2) lg ctg x = 0,3738; 3) lg cosx = 1,9497.
Вычислить с помощью логарифмов A716-1717).
1716.	1) sin20°; 2) cosec53°3'; 3) cos740°; 4) tg(-250°10/).
1717.	1) ctgl000°15'; 2) sec(-100°); 3) cos(-l,2538);
4) sin2,1730.
Найти острый угол, если дано значение тригонометрической функ-
функции A718-1719).
1718.	1) sinx = -; 2) cosx = 0,38934; 3) secx = l,5.
-;
1719.	1) cosecx = 2,65047; 2) sinx = - sin20°;
3) ctgx = 3ctg48°.
1720.	Найти углы, содержащиеся между 0° и 360°, если дано:
2
1) secx = -2,5; 2) cosecx = -l-.
1721.	Вычислить a2-secaty-tg2a при а = 0,020438 и а = 67°34/.
1722.	Вычислить выражение, преобразовав его сначала в произ-
произведение: х = у a2 -sin2 a + Ь2 -cos2 а, если а = 0,014806; b = 0,003984;
§ 18. Тригонометрические уравнения *)
1723. Проверить решения уравнений **):
1) sin
3) sin
5) sin
I
x = -; x — (—1)
2
ж_ А ж_(_
x = ——; x = (
3
-!)«¦
тгп; 2) cos
fvrn; 4) cos
'J + ^n;
1
; = ±
x =
:f4
*) См. примеры решения таких уравнений в Приложении II, §6.
**) Здесь и в дальнейшем под буквой п будем подразумевать любое це-
целое число, п G Z.

§18. Тригонометрические уравнения	115
6) cosx = -—-; х = ± —- + 2тгп; 7) tg ж = —-; ж = —+ тгп;
о\ ^	V^	7Г	пч	л/3	7Г
8) ctgx = —-; ж = - + тгп; 9) tgx = -—-; ж = --
3	3	3	6
10) ctgx = - —; ж = --+тгп.
Решить уравнения A724-1729).
1724. 1) sinx = —-; 2) cosx = —-; 3) sinx = --; 4)
z	z	z
1725.	1) sinx = -^f; 2) cosx = -^; 3) tgx = \/3; 4)
1726.	l)tgx = -V3; 2)ctgx = -\/3; 3) sin ^ = 0; 4)
1727.	1) tg(-2x) = 0; 2) ctg | =-1; 3) 2sin [x - j) = 1.
1728.	1) cosB^-5)=0; 2) 3tg (ж-^) =-д/З; 3) ctg22x = 3.
1729.	1) sinBa; + ^) =-1; 2) cosBx-1) = ^=-
Решить уравнения A730-1753).
1730.	sinx-cos2x = 0.	1731. sin2x -cos (^ - x) = 0.
1732. cos ж = sin 2ж-cos ж. 1733. (tg ж +1) cos ж = 0.
1734. 2sinx = sin2x.	1735. tg2x = — л/3 tg ж.
1736. 3sinx-sin2x = 2.	1737. 4cosx-4cos2x = 1.
1738. tg2x + ctg2x = 2.	1739. 1 + cosx = 2cos ^.
9	1
1740. l-cosx = sinx.	1741. sin x + cos2x =-.
1742. sin32x = sin2x.	1743. cos4x = cos2x.
1744. \/3sin2x =-3cos2x. 1745. sin5x
1746. cos4x = -cosx. 1747. ctg x -ctg x cosx = 1 -cosx.
1748. 2sin2x = 3cosBtt — x). 1749. sin3x + sin2x = cos2ж.
1750. cos2(- + aA =2cosx-2.
1751.	sinfx	J —sin — = sinfx +—J.
1752.	3ctg(^-a;)=tg(|-a;).
1753.	sin2x -cos3x = sin ж -cos4x.

116	Разд. II. Алгебра и начала анализа
1754. Найти значения тригонометрических функций, которые
содержатся в уравнениях, и построить наименьшие положительные
углы по найденным числовым значениям этих функций:
1) sin2x-l,25 = 2sinx; 2) —-
1 ~Г
=-1.
A tg X
1755.	Найти х из уравнений:
1) arcsinx = —; 2) arccosx = —; 3) arctgx = —;
4	6	3
4) arcsin — = a; 5) arccos—= -; 6) arctg— = a; a / 0, с / 0.
3	ас	х
Решить уравнения A756-1757).
1756.	sinx — \/3 cosx = 0. 1757. 1 — 3cos2x = 2sinx-cosx.
1758.	Найти cos ж, если
3sin2B7r - x) - 7sin (ж--
1759.	Найти ctgx, если
sin (^ж + — j + sin - = sin \^x - — j.
1760.	Найти tgx, если
-7T -x) -sin2B7r-x) = 0.
Решить уравнения A761-1774).
1761.	sin(x-\--) =-ctgB7r-x).	1762. l-tgx
1763.	sin(l-x) :cos(l + x) = ^. 1764. tg(x +1)-tg(x - 1) = 3.
1765.	sin(a + x) -cosx-sma = cosa. 1766. 1-cosx = 2sin-.
1767.	sin(^ + x)+sin(^-x) =i. 1768. 2 (tg | - l) = cos ж.
1769. sinx-cosx = 0,25. 1770. sin2x — cos2ж = 0,5.
1771. 2sinx = 3cos^.	1772. 1 + secx = 8tg2^, х^^ + ктт.
1773. cos3x-sin3x + sin3x-cos3x = -. 1774. ^™ = 2secx.
4
В нижеследующих уравнениях A775-1777) sin ж и cos ж выразить
предварительно через tg — (см. решение задачи 1356).
1775. sin ж + cos ж = 1 -. 1776. sin ж — \/3 cos ж = 2.
4
1777.	3sinx-cosx = 3.
Следующие уравнения решить, преобразуя сумму или разность
функций в произведение A778-1781).
1778.	cosx-sinx = l :y/2. 1779. tg x -ctg х = 2 (l - д/2) .

§18. Тригонометрические уравнения	117
1780. tg ж + tg Зж = secx -sec3x. 1781. sin3x = sin2x — sinx.
В задачах 1782-1784 определить величину х:
а) в общем виде; б) в пределах от 0 до 2тг.
1782. 3sinx = 2cos2x. 1783.
1784. 2sin(|-f) = l.
Найти простейшую зависимость (т. е. без символов тригонометри-
тригонометрических функций) между углами а и /3 A785-1787).
1785. sina = sin/3. 1786. ctga = ctg/3. 1787. tga = -ctg/3.
Решить уравнения A788-1802).
1788.	(cosl)sin* = l. 1789. a -s'mx + b -cosx = 0, а / 0, 6/0.
1790.	5cos2x = 4sinx. 1791. sin3x + sin2x + sinx = 0.
1792.	asin? + 6cos? = \/a2 + 62 (a / 0; 6/0).
1 7QS	Qcosx 	 nsincc ф o2seccc
1794.	D-\/3(secx + cosecx)) =4(sinx-tg ж + cosx-ctg x).
1795.	cos (a — b) sin(c — x) = cos (a + 6) • sin (с + ж).
1796.	sec2 ж + 3sec x • cosec x + cosec2 ж = 4.
1797.	a-8mx-\-b-co8x = a-8in2x — b-cos2x, a / 0, 6/0.
1798.	2sin2x + tg2x = 2. 1799. 8tg2| =
1800. sin2x + sin22x = sin23x. 1801. tg ж + tg 2x + tg Зж = 0.
1802. tg(x-15o)ct	i
5)
о
1803.	Выразить ж через a, 6 и у? из системы
{а = ж -sin a;
b — x -sin/3;
a + fi = (p.
Решить уравнения A804-1811).
о
1804.	sin2 х + sin2 2x + sin2 Зж = -.
1805.	cos2x + cos22x + cos23x = 1.
1806.	sin22x + sin24x = ^ 1807. д/З cos ж + sin x = д/З.
1808. 4sinx + 3cosx = 2. Решить двумя способами: введением вспо-
могательного угла и «универсальной» подстановкой у = tg —.
1809.
1810. 5cos Bx +18°) - 12sin Bx +18°) = 13.

118	Разд. II. Алгебра и начала анализа
1811.	(
Решить уравнения A812-1874).
1812.	cos2x -cosж = sin2x -sinж.
1813.	sin a • cos (a + х) = cos a • sin (а + х).
1814.	sin4x + cos4x = sin2x. 1815. sin4 |-cos4 | = 0,25.
1816. tg2x = 3tgx. 1817.
1818. cos2x = 1 + sinx. 1819. cos2x-cos6x = 0.
1820. tg4x = tg2x. 1821. cos2x + 3cos2 - = 2.
1822.	sinx + sin2x + sinЗж + sin4ж = 0.
1823.
1824.	cos2x — cos8x + cos6x = 1.
1825.	cosx-cos2x = sin3x. 1826. sin (x - ^ J = cos (x + ^).
1827.	2
1828. cos4x = -2sin2x. 1829. sin4 ? +cos4 ^ = |.
о	о 8
1830. 3tg2x-sec2x = 1. 1831. (l + cos4x) sin4x = cos22x.
1832.	3cos2x —sin x — sin2x = 0.
1833.	6sin2x + 3sinx-cosx-5cos2x = 2.
1834.	sin2x +1,5 cos2 ж = 2,5 sin ж -cos ж.
1835.	1 - cos (тг - x) + sin @,5(тг - x)) = 0.
1836.	sin ж — cos ж — 4cos2x -sin ж = 4sin3x.
1837.	sin (тг - x) + ctg (-^- + x J = sec (-x) - cos Bтг - x).
1838.
1839.	1 — cos22x = sin3x — cos f—\-x\.
1840.	(sin x + cos xJ = 2 sin (j + ж j sin (j - x).
1841.	(l-tg
1842.
1843. secx-4sinx-6cosx = 0. 1844.
1845. sin4 x + cos4 x = cos —. 1846. sin6 x + cos6 x = —.
2	Id
1847.	sin2 x - cos2 x = cos —.
1848.	cosx + cos f ж +— J+cos f ж +- тг J = 0.

§ 19. Неравенства и уравнения первой степени	119
C	3 \2
- х — sin - х 1 .
1850.
1851.	tgx+ С°8Ж =2.	1852. 1 + tga! = (sin x + cos жJ.
ь 1 + sinx	1-tgx v	y
1853.	cosx — cos2x = 1.	1854. sinx + cosx — 1 = 0.
1855.	sin (x — a) = sin x — sin a. 1856. arcsin Bx + 1) = arccosж.
1857.	arccosx = arctgx.	1858. arccos ж = arctg ж.
1859.
1860. arccos (x — 1) = 2arccosx. 1861. arctgx = 2arctg —.
x	x
1862. arccos — = 2arctg (x — 1). 1863. arcsin 2x = 3arcsinx.
1864. arcsinx + arcsin — = —. 1865. arcsin x + arcsinx— = —.
1866.	arccos x + arccos A — x) = arccos (—x).
1867.	arctgx + arctg3x = —. 1868. arcsin x - arccos x = arccos —.
1869.	2arcsinx + arccos A — x) = 0.
1870.	arctg(x — 1) + arctg x + arcctg (ж +1) = arctg3x.
1871.	arcsin 2x + arctg	= —. 1872. x = arcsin (cos x).
2x 2
1873. 2x = arcctg (tg x). 1874. arctg	arctg	= arctg a.
X X	X ~\ X
§ 19. Неравенства первой степени.
Исследование уравнений первой степени
1875.	(Устно.) Умножить обе части неравенства на указанные в
скобках множители:
1) 4>-2 E); 2) -6<-5 (-3).
1876.	Разделить обе части неравенства на указанные в скобках
делители:
1) 15 < 20 (-5); 2) -14 >-21 (-?); 3) 2х > 3 E);
4) 2ж>3 (-7).
Равносильны ли следующие неравенства A877-1884)?
1877.	х2>х-1 и х2 + 1>х.
1878.	2ж + 1>0 и Bж + 1) + (ж-4) > ж-4.
1879. Зж^О и Зж + -^-. 1880. 2х > 1 и 2х3 > х2.
Х Х	2x4
1881. 2х > 3 и 2х2 > Зж.	1882. 2ж>3и ^>^.
уж \Jx

120	Разд. II. Алгебра и начала анализа
9т	^
1883. 2х > 5 и -=^- > —%. 1884. 2х > 5 и
1885.	Решить неравенства и отметить на числовой оси полученные
решения:
1) 3-2ж<12-5ж; 2) 2ж-3<7A + ж);
3) -3(ж + 10) > -20; 4) 16-3Bж -5) < 3- 16ж.
1886.	Определить, при каких значениях х следующие выраж;ения
полож;ительны:
1) (ж + 1)-2-3; 2) 5(ж-1)-2(ж-2).
1887.	Определить, при каких значениях х следующие выражения
отрицательны:
1) (ж + 3)-2-ж; 2) 4ж-(ж + 1)-3.
1888.	Сложить неравенства: 5а + b < 2а + 1; 36 — 2а < 15 — 4а.
1889.	Вычесть второе неравенство из первого: Ъх > 10; Зж < 15.
1890.	Перемножить почленно неравенства: —5 < 3; —6 < 2.
Решить неравенства A891-1898).
1891.	3-^>^-^^.	1892. 1(Зж	|
1893. -—— + 8 >	-х. 1894. ———+9<
о	2	2
1895.	G0 • х) : D616 - A273 + 3259)) < 80.
1896.	(E6 • F66 + х) +12600) : 40 - 700) • 24 > 21000.
1897 52- ( 6: @,4-0,2) C4,06-33,81)-ж
' \2,5- @,8 + 1,2) 6,84: B8,57-25,15)
/ 1
1898.
Решить системы неравенств и указать на числовой оси точки, изоб-
изображающие решения A899-1902).
1899. /4*1>3* + 5;	1900.
\х + 2> -5ж + 14.
1901. |! + 2<f1;	1902.
[2>1 +
Решить системы неравенств A903-1906).
^ Л 9-х	G-х
/4	1904.
12-±D7--)
3 V	х)

' 19. Неравенства и уравнения первой степени	121
3-7ж ж + 1 , 7-Зж
1905. Г 10	2	5 ;
{Зж + 5 , 10-Зж
"^—+	5~^^	°'
7х 11(ж + 3) Зж-1 13-ж
3 6 5	2*
Найти целые решения систем неравенств A907-1908).
ГЗх-10>0;	|^1_^ + 1^1<2Ж;
1907. I 1	1908.
[5^-51 <6ж.
1909. Равносильны ли неравенства:
¦О?
Решить неравенства A910-1924).
1910. (ж-5)(ж-3) <0. 1911. fx-iW-4) > 0.
1912. (Зж-1)D-ж)Bж-3J<0. 1913. (х -S)(x -7) < Ь(х -3).
1914. |^<0. 1915. 3~°:5Ж >0. 1916. ^|
2 + 4	^
х — 6
3 ~
1917.	1) |ж|^1; 2)	\х\ >3.
1918.	1) |2ж-3|<0;	2) |0,5ж + 1|>0.
1919.	1) \1-х\ > 1;	2)|2ж-4|^6. 1920.
1921.	|2ж-1| ^3|ж|.	1922.
1923. |ж|-|ж-1| >0. 1924.
Решить уравнения A925-1928).
1925. |3-4ж| + |4ж-3|=0. 1926. |3-4ж| - |4ж -3| = 0.
1927. |2ж-5|-|Зж-4| = 1-2ж. 1928. |3 + 4ж| + 2|4-ж| = 1 + Зж.
Решить неравенства A929-1931).
1929. ±х-\ ^ж-2,5. 1930. \2х - 5| + \Ъх -4| ^ 3- 2х.
-ioq-| Icr	()rr\ \\с1гГ*	л\ ^s O/v» i Q
-L t/ t-f _L • \tj La Jb I %J JU Tt «^^ ?a JU | \J •
1932.	В двузначном числе цифра десятков на 2 меньше цифры
единиц. Найти это число, если известно, что оно больше 21 и мень-
меньше 38.
1933.	Если к некоторому двузначному числу прибавить его поло-
половину, то в результате получится число, большее 128, но меньшее 130.
Найти первоначальное число.

122	Разд. II. Алгебра и начала анализа
1934.	Доказать, что среднее арифметическое двух неравных по-
положительных чисел больше их среднего геометрического.
1935.	Числитель дроби меньше ее знаменателя на единицу; если к
числителю и знаменателю этой дроби прибавить по единице, то дробь
будет больше -; если от числителя и знаменателя отнять по единице,
6
то дробь будет меньше -. Найти такие дроби.
1936.	Доказать, что от прибавления к числителю и знаменателю
одного и того же положительного числа положительная правильная
дробь увеличивается, а неправильная дробь уменьшается.
1937.	Доказать, что если а, 6, с — длины трех сторон треуголь-
треугольника, то имеет место неравенство
Сформулировать свойство сторон треугольника, выраженное дан-
данным неравенством.
1938.	Доказать, что в неравнобедренном прямоугольном треуголь-
треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, меньше половины гипотенузы.
1939.	Доказать, что из всех прямоугольников, имеющих данный
периметр, квадрат имеет наибольшую площадь.
1940.	Определить знак неравенства (больше или меньше) между
следующими выражениями:
1) л/2 + л/З и л/7; 2) л/ГГ-л/2 и л/5 + 1;
3) л/8-л/15 и ±(л/Зб-л/2).
1941.	Определить, при каких п следующие уравнения имеют поло-
положительные решения:
1) 4ж = Зп-15; 2) 4-п = -^-р
1942.	Определить, при каких значениях к следующие уравнения
имеют отрицательные решения:
i\ и о _ Зж +1 ^ 5 _ 3
] *	х + 1 ' ] Зх-к~ кх-4'
1943.	Исследовать, при каких значениях параметров (букв, вхо-
входящих в уравнение и отличных от неизвестного х) нижеследующие
уравнения имеют:
а) положительное решение; б) отрицательное решение;
в) нулевое решение; г) бесконечное множество решений;
д) совсем не имеют решений.
1) аж-а = Зж-5; 2) 2тж + 3 = 2т-ж; 3) ^	^
д
= -^—;
+ о + х
4) тх = (а + х)п.

§ 19. Неравенства и уравнения первой степени	123
1944.	Определить, при каких значениях параметра уравнение
3(ж + 1) = 4 + ах будет иметь решение:
1) большее, чем —1; 2) меньшее, чем 13.
1945.	В т литрах морской воды содержится п граммов соли.
Сколько литров чистой воды надо добавить, чтобы т литров раство-
раствора содержали q граммов соли?
1946.	На одном складе а тонн угля, а на другом складе b тонн.
Ежедневно на оба склада поступает по d тонн угля. Через сколько
дней на первом складе будет угля в 2 раза больше, чем на втором?
1947.	Один автомат изготавливает в день а деталей, другой — b
деталей. Первый изготовил уже р деталей, второй q деталей. Через
сколько дней после этого число деталей, изготовленных каждым ав-
автоматом при одновременной их работе, будет одинаково?
1948.	К двум окружностям, радиусы которых R и г, проведена
общая внешняя касательная. Определить положение точки пересече-
пересечения касательной с линией центров, если расстояние между центрами
равно d.
1949.	Определить, при каких значениях т система уравнений
имеет положительные решения, т. е. х > О и у > 0.
1950.	Определить, при каких п система уравнений
ГЗж-б2/ = 1,
\ Ъх — пу = 2
имеет отрицательные решения, т. е. х < 0 и у < 0.
1951.	Определить, при каких т система уравнений
ж — 2у = т
имеет решения:
1) х >0, у <0; 2) х <0, у > 0.
1952.	Определить, при каких п система уравнений
Г Зх-\-пу = 3,
\2х-4у = 1
имеет решения:
1) х >0, у <0; 2) х <0, у > 0.
1953.	При каких тип системы уравнений
(тх + пу 8,
имеют бесконечное множество решений?

124	Разд. II. Алгебра и начала анализа
1954. При каких а системы уравнений
Dж + 3?/ = 12,	Г Зх + 2ау = 1,
1) <	2) <
[2х-\-ау = 5;	1Cа — 1)х — ау = 1
не имеют решений?
Определить, при каких значениях параметра т системы уравне-
уравнений A955-1958):
а)	имеют единственное решение;
б)	имеют бесчисленное множество решений;
в)	не имеют решений.
1955.
1956. <	/ ,ч	,	1У&/. S / ,ч
I )ТП ПГ —I— I УП 	 1O/ 	 УП —I— 1 — I I	I i TY1 —I— 1 I ПГ —I— 7/ — 7
V.	V	/is	\ \	/	is
( (m — 5) x — 2y = m — 7;
1958. < ,	i
[{m-\-1) x + my = 6m.
Определить, при каких значениях параметров тип системы
уравнений A959-1960):
а)	имеют бесконечное множество решений;
б)	не имеют решений.
1959. \	'	I960.
^23
7TZ X
Исследовать системы уравнений относительно параметров
A961-1964).
1961
1962 Г
\ Bп + 1) ж + (п + 1) 2/ = 2(п + 1).
(|г|_7/_9 — п-
1963. г- : \ : 1964. |аж+|у| = 1+а;
= 1 — а.
1965.	Для отопления дома сделан запас угля, из которого ежеднев-
ежедневно расходуется по одинаковому числу килограммов. Спустя т дней из
этого запаса осталось а килограммов, а спустя п дней b килограммов.
Как велик был запас угля и сколько килограммов угля расходовали
ежедневно?
1966.	Два автомобиля едут равномерно от пункта А по шоссе в
одном и том же направлении. В некоторый момент времени первый
автомобиль находился от Л на расстоянии т километров, а второй —
на расстоянии п километров. Через сколько часов после этого и на

§ 20. Неравенства и уравнения второй степени	125
каком расстоянии от пункта А второй автомобиль догонит первый,
если скорость первого а км/ч, а второго b км/ч?
§ 20. Исследование квадратного трехчлена.
Неравенства второй степени.
Рациональные неравенства *)
1967.	Дана функция у = (х — 4J. Не вычерчивая графика этой
функции, установить следующее.
1)	Вид и положение кривой относительно осей координат.
2)	Будет ли функция иметь наибольшее или наименьшее значе-
значение, какое именно и при каких значения х?
3)	При каких значениях х функция у:
а) убывает; б) возрастает; в) обращается в нуль?
4)	В какой точке кривая пересечет ось Оу?
5)	Ответить на вопросы 1)-4) при следующих данных:
а) у = -(х + 5J; б) у = 2(х-1J.
1968.	Дана функция у = х2 — 4х + 4.
1)	Представить квадратный трехчлен в виде квадрата двучлена.
2)	Доказать, что при любых значениях х функция у не имеет от-
отрицательных значений.
3)	Выяснить, при каких значениях х функция у:
а) убывает; б) возрастает;
в)	имеет наименьшее или наибольшее значение;
г)	обращается в нуль.
4)	Не выполняя точного построения графика данной функции, на-
начертить его от руки, предварительно вычислив координаты несколь-
нескольких точек (например, точку наименьшего или наибольшего значения
функции, точки пересечения графика с осями координат).
1969.	Пользуясь указаниями предыдущей задачи, исследовать
квадратные трехчлены:
1)	у = х2 — # + -; 2) у — — х2 — 8х — 16.
1970.	1) При каком условии квадратный трехчлен у = х2-\-рх-\-
+ q представляет собой полный квадрат двучлена (т. е. двучлен вида
(х + пJ?
2)	Как расположена в этом случае парабола относительно осей
координат?
3)	При каком условии квадратный трехчлен имеет наибольшее
или наименьшее значение?
4)	Как вычислить координаты вершины параболы по коэффици-
коэффициентам трехчлена?
См. примеры решения рациональных неравенств в Приложении II, § 7.

126	Разд. II. Алгебра и начала анализа
1971.	Дан квадратный трехчлен у = 2х2 — 4х + 2. Разложить пра-
правую часть равенства на множители и выяснить следующие вопросы.
1)	При каких значениях х функция у:
а) имеет наименьшее значение; б) убывает; в) возрастает?
2)	На одном и том же чертеже построить графики функций у =
= 2х2 и у = 2х2-4х + 2.
3)	Выяснить по графикам сходство и различие полученных кривых.
4)	Найти координаты вершин парабол и сравнить расположение
кривых относительно осей координат.
1972.	1) Квадратный трехчлен у = х2 — 6х-\-4 привести к виду
2/ = (ж-3J-5.
2)	Вычислить значения х, при которых функция у обращается в
нуль.
3)	Вычислить координаты вершины параболы.
4)	Определить значения ж, при которых функция:
а) у > 0; б) у < 0; в) убывает; г) возрастает;
д) имеет наименьшее значение.
5)	На основании полученных результатов начертить схематичес-
схематический (от руки) график функции у = (х — ЗJ — 5.
1973.	Квадратный трехчлен имеет вид у = х2 -\-px-\-q.
1)	При каком условии тречлен имеет:
а)	два различных корня; б) два одинаковых корня;
в) не имеет корней (действительных)?
2)	При каком значении х трехчлен имеет наименьшее значение?
3)	Как находятся координаты вершины параболы по коэффици-
коэффициентам р и q?
1974.	Дан квадратный трехчлен у = — 2х2 + 4х — 6.
1)	Доказать, что этот трехчлен не имеет корней (действитель-
(действительных).
2)	Доказать, что при любых значениях х значения функции у < 0.
3)	Найти, при каком значении х трехчлен имеет наибольшее зна-
значение и какое именно.
4)	Установить, как изменяется значение функции у при измене-
изменении X ОТ —00 ДО ОО.
5)	Построить график функции.
б)	Проверить, что координаты вершины параболы у = — 2х2-\-4х — 6
1 b Ь2 — 4ас	,
определяются по формулам х = — —, у —	, где а, о и с —
коэффициенты трехчлена ах2 + Ъх + с.
Построить графики функций A975-1976).
1975.	у = х2-2\х\-Ъ. 1976. у = х2 - Щх\ + 24.
Найти наибольшие значения функций A977-1978).
1977. у = 3-2х-х2. 1978. у = Зх-х2-2.

20. Неравенства и уравнения второй степени
127
1979. у = -х2--х +
-4 = 0.
|3ж-0,5|
= 0.
Найти наименьшие значения функций A979-1980).
1980. у = 2х2 + 12ж + 13.
Решить уравнения A981-1984).
1981. ж2 + |ж-3|-9 = 0. 1982. х2 -3|ж
1983. 2ж2-3|2ж + 1| + 1 = 0. 1984. 2,5ж
Построить графики функций A985-1988).
1985. 2/ = ж2 + |ж + 3|-9. 1986. у = 2х2
1987. ?/ = 4ж2-3|ж-1|-4. 1988. у = -2х2 -3|2ж -3| + 1.
1989. Доказать, что при любых действительных значениях ж:
1)	выражение (х — 3) (ж — 1) + 2 принимает положительные значе-
значения;
2)	выражение (х — 1)A — Зж) — 1 принимает отрицательные значе-
значения.
Решить неравенства A990-2009).
1990.	х2
1992.	О,
1994.	2(
1996.	х1
1998.	х2
2000.	2х
2002.	|ll
2004.	1)
2005.	(х
2007.	(х-
2008.	(
2009.	-
+ 3^0.
2)
1991. х2
1993. 2х
1995. ж
1997. х2
1999. ж2
2001.
2003. \х'
ж + 4 ^ о
0.
1).
ж-2
2006.
-5ж)(ж-2J > 0.
+ 4)(ж-5)(ж-3) > 0.
0.
+ ^^<0.
1 ж + 2 х-1
Решить неравенства B010-2037).
2010. Х-*\	(
2012.
Bя + 5Г
(*-2J "
(ж — 1)(ж — 2)
2011. (ж~2)@'574ж)>0.
2013- з-^>з-
(ж-3J

128
Разд. II. Алгебра и начала анализа
2016.
(*-4Г
2017. 2-
>
ж-2 ж — 1
Q
2020.
2022.
х2-1
> 1. 2021.
2023.
2024.
о о	о
2025. Х ~Х +Х~1 <0. 2026. 1< ^_^
2027.
2029.
ж + 8
Q
2-ж
2030.
2 1-2ж
	 ^ 	о	 •
2031.
2033.
2035.
2037.
ж —4
2032. \х-(
2
+ ¦
2034.
2036.
< 12.
х-3
2038.	При каких значениях х следующие выражения имеют смысл:
1) lg(x2-6x + 9); 2) lgEx2-8x-4)?
2039.	При каких значениях т следующие неравенства удовлетво-
удовлетворяются при всех значениях х:
1) х2 + 2х + т>0; 2) х2 + (ш + 2)ж + 8ш + 1 > 0;
3)	E-ш)ж2
4)	D-ш)ж2
2040.	При каких значениях т следующие трехчлены второй сте-
степени представляют собой полные квадраты:
2
) ()
2) (ш-1)ж
2041.	Найти коэффициенты трехчлена ах2 + Ьх + с, зная, что он
обращается в нуль при х — 6 и что его наименьшее значение рав-
равно (—8) при х — 4.
2042.	Известно, что квадратный трехчлен ах2 -\-bx-\-c имеет наи-
наибольшее значение, равное 25, при х = -, а при ж = 0 принимает зна-
чение, равное 24. Найти коэффициенты этого трехчлена.

§ 20. Неравенства и уравнения второй степени	129
2043.	Вершина параболы у = ах2 + Ьх + с имеет координаты х —
= 6 и у = —12. Зная, что направление ветвей параболы совпадает с
положительным направлением оси Оу и что одна из ветвей пересека-
пересекает ось Ох в точке (8; 0), найти коэффициенты a, b и с.
2044.	Парабола у = аж2 + 6ж + с пересекает ось Оу в точке, орди-
ордината которой равна 15. Зная, что ветви параболы направлены вверх от
оси Ох и что координаты вершины параболы (—2; 7), найти коэффи-
коэффициенты a, b и с.
Определить, при каких значениях т корни уравнений B045-2048)
будут:
а)	действительными различными;
б)	действительными равными;
в)	комплексными (не действительными).
2045.	2
2046.
2047.
2048.
2049.	При прохождении одного и того же расстояния в s кило-
километров автомашина «Волга» расходует бензина на а литров больше
автомашины «Жигули». Сколько литров бензина расходует каждая из
автомашин на пробег этого расстояния, если «Жигули» при расходе
одного литра бензина проходят на b метров больше «Волги»?
2050.	Два самолета вылетают одновременно из пункта А в пункт В,
расстояние между которыми s километров. Скорость первого само-
самолета на т км/ч меньше скорости второго, поэтому первый самолет
прилетает в В на п часов позже другого. Найти скорость первого
самолета и время, затраченное им на перелет из А в В.
2051.	Два элеватора принимают зерно. Пропускная способность
первого на к тонн в час больше второго. Определить, сколько тонн
зерна принимает в час каждый элеватор, если для приема по т тонн
зерна каждым первому требуется на t часов меньше времени, чем
второму.
2052.	Тело Л движется по прямой от точки М по направлению к
точке N со скоростью а м/с; когда оно прошло с метров, из N нача-
начало двигаться тело В, которое проходило в секунду — расстояния MN
и встретилось с Л по прошествии стольких секунд, сколько метров в
секунду проходит тело В. Определить расстояние МN.
2053.	За п часов трактор А вспахивает на р гектаров больше
трактора В. Сколько гектаров вспашет за п часов трактор Б, и сколь-
сколько гектаров вспашет за это же время трактор Л, если трактор А
вспахивает 1 га на t часов быстрее трактора В?
9 В. А. Бачурин

130	Разд. II. Алгебра и начала анализа
2054.	Для наполнения ванны проведены две трубы. Первая тру-
труба, работая одна, требует времени для наполнения ванны на а минут
больше второй. Чтобы наполнить ванну, сначала открыли одну пер-
первую трубу на b минут, а затем обе трубы закончили наполнение ванны
в с минут. За какое время может наполнить ванну каждая труба,
действуя отдельно?
2055.	Две бригады заработали по одинаковому числу рублей.
В первой бригаде было на а рабочих меньше, чем во второй, вследст-
вследствие чего каждому рабочему второй бригады досталось на b рублей
меньше, чем каждому рабочему первой бригады. Число рублей, зара-
заработанных каждой бригадой, на с больше числа рабочих в обеих бри-
бригадах вместе. Сколько было рабочих в каждой бригаде?
2056.	Две машины выехали одновременно из одного пункта в од-
одном направлении. Одна машина идет со скоростью 50 км/ч, другая —
40 км/ч. Спустя полчаса из этого же пункта и в том же направлении
выехала третья машина, которая обогнала первую на 1,5 ч позже, чем
вторую. Определить скорость третьей машины.
§21. Неравенства с двумя переменными и их системы
2057.	Является ли решением неравенства х — у < 0 пара значе-
значений переменных х и у:
а) х = 0, у = 2; б) х = 2, у = 5; в) х = 3, у = 0; г) х = 1, у = —4?
2058.	Показать штриховкой на координатной плоскости множест-
множество точек, заданное неравенством:
а) 2/^2ж-1; б) у^-х + 1; в) х + у-2^0; г) у>1.
(См. решение в ответе.)
2059.	Показать штриховкой на координатной плоскости множест-
множество точек с координатами (х; у), для которых:
а) ж^З; б) х ^2; в) у ^ -1; г) 1 < х < 3.
2060.	Принадлежит ли кругу с центром в начале координат и
радиусом, равным 4, точки: ЛA;5), БD;0), С(—1; -1), D@; 7)?
2061.	Показать штриховкой множество точек на координатной
плоскости, заданное неравенством:
а) у^х-1; б) Зж-32/^1; в) у^х2-1; г) у^--.
2062.	Каково множество точек на координатной плоскости, задан-
заданное неравенством:
а) х2 + у2<1; б) х2 + у2^4; в) х2 + у2>0; г) х2 + у2<0?
2063.	Является ли решением системы неравенств
Bх + у > -1,
\
пара значений переменных х и у:

§ 21. Неравенства с двумя переменными и их системы	131
а) х = 0, у = 0; б) х — — 1, у — \\ в) ж = 5, у ——2\
г) ж = 0,5; 2/ = --?
2064.	Пусть i? — множество точек координатной плоскости, за-
заданное системой неравенств
Г^/^ж + 4,
\2/^ж-4.
Принадлежат ли этому множеству точки: ЛA;2); Б@; 5); GA3;—17);
2065.	Показать штриховкой на координатной плоскости множест-
множество точек, для которых:
Гж^О,	Г 1^ж^2,5,	Г-0,5<ж<0,5,
1О0;	\-2^2/^1,5; В) \ —3 < 2/ < 1,5.
2066.	Показать штриховкой на координатной плоскости множест-
множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:
у^аг + 1,	ГуЗж2^0,	/	^
а) <	б) -^	в) < у-ж ^ 2
2067. Показать штриховкой на координатной плоскости множест-
множество точек, заданное системой неравенств:
Показать штриховкой множество точек координатной плоскости,
заданное системой неравенств B068-2069).
2068. {у^2х, 2069.
2070. Каково множество точек координатной плоскости, заданное
системой:
а) ,
х-у = 0;
2071.	Где на координатной плоскости расположены точки, коор-
координаты которых удовлетворяют неравенству:
а) ху ^ 0; б) ху ^ О?
2072.	Показать штриховкой множество точек координатной плос-
плоскости, заданное системой неравенств:
( Г2_
б)

132
Разд. II. Алгебра и начала анализа
Найти множество решений системы B073-2086).
зх-у
2073
Гж + ^ + 2^0,
{х-у = 0.
2074.
\х + у = 0.
2075. (ж-2)B/-3)^0. 2076.
2077.
2079.
2081.
2083.
. к-
[ху
2078
2080.
2082.
2084. <х-у + 1
2085. <
^0,
2086.
§22. Иррациональные неравенства*)
Решить неравенства B087-2104).
2087.	1) у/х~^Т^О; 2) у[Т=х~ <С 0; 3) д/ТТж < 1;
2088.	1) ^/Т^^<ж; 2) УжТТ > ж; 3)
4) Уб^г <Зж-4.
2089.	1) \/ж2 + 2ж-3 < 1; 2) д/З
2090.	1) л/ж2-ж-12 > ж-1; 2)
2091.	1) -|^=<1; 2) А/5±4>2.
/15-ж
< 1-х;
2.
*) См. предварительно примеры решения таких неравенств в Приложе-
Приложении II, §8.

' 23. Показательные и логарифмические неравенства
133
2092.
2093.
2094.
2095.
2096.
2097.
2098.
2099.
2100.
2101.
2102.
2103.
2) л/&
2104.
!) \l1~^<h 2) -^<2 + л/2^.
х
-2 ^5' ' Ji-x
6 X, A)
1)
1 — л/21 — 4r — r2
3. 2)	V21 4Ж	^Q_
10-ж
1-х2; 2)
0; 2) 4
Л/24-2,-,2 <L
l) -^= > :A; 2)
/3^^ «-2'
, 2-Vx + S ^ 1 „,	2ж2
} ~^~ з; 2) 7-713
; 2)
~^ж>з' 2)
5.
3; 2)
1) ж + ^~^ <0; 2) ^^-л/2-ж<2.
ж-л/ж-2 ' ' V2-x
-5.
1) _^== + 1<л/Т+2^; 2) J(^_l >1.
/2ж + 9
3-2ж/
§23. Показательные и логарифмические неравенства*)
Решить неравенства B105-2122).
2105.	1) 4ж<2ж+1 + 3; 2) 32ж+5 ^ Зж+2+ 2;
3) 4ж-252ж < 10ж; 4) (±)* + (^)~"~1 ^ 3.
2106.	1) 4 • 25ж~2 - 25ж+4 ^ -120; 2) 0,б^1^ ^ 0,0625;
3) ж2-Зж-Зж+1 ^0; 4) 0,5ж>6.
2107.	1) lg(aj
2) 1о§0Д(ж2 + 1
*) Примеры решения таких неравенств представлены в Приложе-
Приложении II, §9.

134	Разд. II. Алгебра и начала анализа
2108.	1) log2(x + 4)<2; 2) Iog1/2(x - 7) > 4;
3)	log2(x2-5x + 6) > 1; 4) (x2-2x + 3)\og2x < 0.
2109.	1) \og03(x2-bx + 7) >0;
2)
3)
4)	21og1/2x >log1/2(W-J -1.
2110.	1) logax + loga(x-2) > 1, a>
2)	loga(x-o) >log1/a(x + o), o> 1;
3)	i^>1' 0<tt<1; 4) 2
2111.	1) logl55^=!<0; 2)
3) (x2-6x + 8)log5Bx-5)>0; 4) log^_58>3.
2112.	1) 22ж+1 + 2^21.2-Bж+3);
2) 4^+4.24^^-4 > 2Ж+1.22л/^~т.
2113.	1) 5-4ж+2-25ж ^7-10ж; 2) 0,8ж - 1,25Ж+1 > 0,25.
2114.	1) 2-Зж+9-4ж ^ 12ж + 18; 2) 32ж+1 -2Ж+1 +6 > 18
2115.	1) 9^-^ + 3 < 28-3^-3-1;
1-ж 9ж , 1	.ж 9ж+1 , 8
	 <
)	2х_г	\ ,	/	2
2117. 1) ж2-5ж-52+ж < 0; 2) ^/9^
2118.
2119.	1)	(ж2 + ж + 1)ж<1; 2) (х-
2120.	1)	(ж2-8ж + 15)ж~6 < 1; 2)
2121.	1)	3loS2(*2-3*+2) > 3; 2) log
2122.	1]

§ 24- Тригонометрические неравенства
135
§ 24. Тригонометрические неравенства
2123. Проверить правильность изменения тригонометрических
функций в соответствии с изменением аргумента.
1) В пределах II четверти (см. задачу 1266 и ответ к ней):
f
ТГ
2"
O^c
•^ ж ^
sin ж J
^ ж <
tgO
7Г
?0
7Г
—oo
0 ^ cos ж ^
—oo < sec ж
7Г
-1
7Г
7Г
2"
—oo
7Г
<
<
ж ^
ж <
1 ^ cosec ж
7Г
7Г
<
0
oo
2) В некоторых других пределах:
0
0
о
7Г
2"
sin ж ^
^ ж ^
ctg ж
Зтг
T
^ -1
7Г ^
J ж ^ —
— 1 ^ cos ж ^
2
7тг
T
л/2;
^ ж ^ 2тг
? sec ж ^ 1
Зтг
— 1 ^ tg ж ^
Зтг
т^ж<
л/2 ^ cosec ж
so
7Г
< OO
2124. Проверить правильность решения неравенств:
x < ?-
2)
3)
4) ctgx<0; — + тгк < х < тг + тг&.
2125. Проверить правильность решения неравенств:
2)	—
3)	O^
2'
\ i;
л/3.
2 '
2тг^ ^
7Г
"б"
_L On
-Г ^
'. X $
5 6
т к
^ 7Г
* 6"
-+ 2тгк ^ х ^ 2тгк;
3
4) — 1 ^ ctg ж > — оо; -7г-\-к7г^х<7г-\-ктг.
Далее рекомендуется познакомиться с образцами решения триго-
тригонометрических неравенств в Приложении II, § 10.

136	Разд. II. Алгебра и начала анализа
Решить неравенства B126-2140).
2126.	1) cosx<-^; 2) tgx<^; 3) si
л\ /ж , 1\ _ л/2
2127.	1) tgCx-2)<-V3; 2) ctg (ж - j) ^ 1;
3) sin f-^ — x\ > —-; 4) sinx fcosx + - J
0.
2128. 1) sinx + \/3 cos ж > 0; 2) sinx<cosx; 3)
4) cos2x
21 2Q ^^ - < sin2 r < 1 • 2) - < ros2 г < 1 •
414V. L)	^ ЫИ X ^ 1, A)	^ COS X ^ 1,
3) cos^ cos ж + sin ^ sin ж ^ —-; 4) 2sin2x + \/3 sin ж -3 > 0.
6	b	2
2130. 1) cos ж -cos2x -cos3x ^ 0;
2) sec2x+B-^/3)tgx< 2^/3 + 1.
О "Я ^^ "Я	1 l лап О ry* I Q ел 1 ул гу* ч, 	 1 •	7 \ "f~ ГГ <У* > / Г*^ ГГ <У*
^luli X I y^yJu ?JL ~\ fj JM11 Ju s* X j Zi I Ic «L ^ Zj U Lgj «/y •
О "I О О	1 \ г\ л VI ry* I лап О ^у»	•	О I 	 Л .	 i~*\- CY SY* <—
/	8 ;	ь 2
2133.	1)	0^1gtgx<oo; 2) -oo < lgcosx ^ 0.
2134.	1)	arcsinlgx>0; 2) arcsin log3x < 0.
2135.	1)	tg(sinx)>0; 2) arcsin (vrarctgx) > 0.
2136.	1)	\/3sec2x <4tgx; 2) tg 2x + ctg 2x < -2.
2137.	1)	sin4x + cos4x -ctg 2x > 1;
2) sin2x -sin3x — cos2x -cos3x > sin Юж.
2138.	1) tg	o^l' ^) sin2^ < sin2 ж -tg	2-
1+x	1+x
2139.	1) arccosx < arcsinx; 2) arcctgx < arctgx.
2140.	1) log2sinx<-i; 2) 0,2СО8Ж ^ 1, если ^—^ + - > 0.
Z	^ Ж А
§25. Комплексные числа*)
2141.	Даны следующие числа: 1; 2; 13; 17-; -5; \/Тб9; ^-27;
0,C); л/18; 0; lgl; lg 100; sin45°; тг; tg тг; 2 + Зг; 2г; -\/б-г; 3 - г л/5-
Найти среди них числа:
1) натуральные; 2) целые; 3) положительные;
*) См. Приложение I, § 5.

' 25. Комплексные числа	137
4) отрицательные; 5) рациональные; 6) иррациональные;
7) действительные (вещественные); 8) мнимые;
9) чисто мнимые; 10) комплексные.
2142.	Можно ли сказать, что:
1)	число —7г является отрицательным;
2)	число 7 +5г больше числа—1 — г?
2143.	На основании определения равенства комплексных чисел
найти действительные числа х и у из уравнений:
1) 3x-y + (x + y)i = 7 + 5г; 2) х2 — 3(ж - г) = гу - 2.
2144.	Если а и b — натуральные числа, то во множестве каких чи-
чисел разрешимо каждое из следующих уравнений:
1) х — а = 6; 2) х + а = Ь; 3) ах = 6; 4) — = 6; 5) ах2— VI
2145.	Каково условие того, что квадратное уравнение ах2 + Ьх +
+ с = 0 не имеет решений на множестве действительных чисел?
Выполнить действия B146-2161).
2146.	1) B + 5г) + (-7-Зг); 2) 2-\-(l^-2-i) - (---i);
3)	(a + bi) + (c + di); 4) (Зж-4^/г) + (-ж + 2^/г).
2147.	1) @,C) +
2)
2148. 1) (m-m) + Cm-2m)-((-m-m)-Em +
2149.	1) 5-2г; 2) Зг-7г; 3) A —г)-(—3); 4) (-8-7г) • (-Зг).
2150.	1) A-2г)-E-г); 2) () (
3) E + г)-E-г); 4) B + гд/З) • B-гл/З).
2151.	1) (ш-ш)-(ш + ш); 2) (
3) (о-6)г-F-о)г; 4) (д/2- г) • (-\/2 + г)
2152.	1) (
2153. 1) 6г:3; 2) Юг : 5г; 3) 7г : (-0,5г); 4) 0,C)г :0,4
1)!; 2)i; 3)z^i; 4)
+ 2г	1 —2г	1 —г	2 + Зг

138	Разд. II. Алгебра и начала анализа
. 1) —, 2) —, 3) ^-^, 4)
21ЬЬ. 1) 	— I) 	— 6)
1-г-ч/З	l + iV2
2157. 1) -^-; 2) ^^; 3)
2158.	(Устно.) 1) г2; 2) г4;	3) г5; 4) г11; 5) г17; 6) г36;
7) (-гM; 8) (-гJ1; 9) -г7; 10) -г18.
2159.	1) A + гJ; 2) A-гJ;	3) B + ЗгJ; 4) A + 2агJ;
5) B + 6гJ; 6) (а-26гJ.
2160.	1) A + гL; 2) A-гL;	3) A + гI0.
2161.	1) A + г)8-A-г)8; 2)
a/2 + г,
2162.	Показать, что при возведении в куб двух сопряженных комп-
комплексных чисел снова получаются сопряженные комплексные числа.
2163.	Показать, что квадратное уравнение х2 — 8ж + 25 = 0 не име-
имеет решения на множестве действительных чисел.
2164.	а) Построить в координатной плоскости векторы, соот-
соответствующие следующим мнимым числам:
1) Зг; 2) -г; 3) ^г; 4) -2г; 5) -0,5г; 6) -глД.
б) Найти модуль и аргумент каждого из данных чисел.
2165.	Построить и вычислить разность чисел: B — Зг) — B + Зг).
2166.	Выполнить действия:
J) A+*I6; 3) B-*L; 4) (-
2167.	Написать два таких комплексных числа, чтобы их сумма и
произведение были вещественными числами.
2168.	Написать два таких комплексных числа, чтобы их сумма и
произведение были чисто мнимыми числами.
2169.	Выполнить действия:
2170. Составить квадратное уравнение с действительными коэф-
коэффициентами по его корням:
= г; 2) xi =
ел
3) х\ — -—:; ж2 = 1 + г; 4) #i = l —г'л/З; #2 =
1 + г

' 25. Комплексные числа	139
Решить следующие уравнения B171-2172).
2171.	1) ж4-16 = 0; 2) ах4-Ь = 0, а > 0, b > 0.
2172.	1) ж6-9ж3 + 8 = 0; 2) 8ж6-65ж3 + 8 = 0.
Выразить в тригонометрической форме следующие числа и пост-
построить их геометрическое изображение B173-2174).
2173.	1) 1; 2) г; 3) -\/3 + г; 4) 1 — г л/3-
2174.	1) -2-2г\/3; 2) лД + глД] 3) 5 + 12г; 4) -1-г^.
Представить в алгебраической форме числа B175-2176).
2175.	1) 4 cos^ + i-sin^- ; 2) 6(cosO + i-sinO).
V 6	6 /
2176.	1) 8 ( cos—Ьг-sin—|; 2) 4 (cos—Ьг-sin—|.
; V 4	47' ; V 3	3/
Построить геометрическое изображение сомножителей и произве-
произведений B177-2180).
2177.	1)	Зг; 2) 4г-г.
2178.	1)	A + г)-A-г); 2) A + г)-A + г).
2179.	1)	(cosO + i-sinO)-i; 2) 2(cos60° + г -sin60°) -i.
2180.	1)	C + 4г)-D + Зг); 2) C + 4г) • C-4г).
Выполнить умножение B181-2183).
2181.	5 (cos —\-i -sin — ) -2 (cos — -\-i -sin — ).
V6	6/V4	4/
2182.	5(cos20° + i • sin 20°) • 3(cos25° + i • sin 25°).
2183.	^ (cos 150° + i • sin 150°) • д/З (cos 120° + i • sin 120°).
2184.	Разложить на комплексные множители:
1) а + 2; 2) 4 + 3.
2185.	Выполнить деление комплексных чисел в тригонометричес-
тригонометрической форме:
1)	(cos 75° + г sin 75°) : (cos30° + г sin 30°);
2)	4(cos 120° + г sin 120°) : 2(cos30° + г sin30°).
Выполнить действия B186-2198).
2186.	(Устно.) 1) @,H); 2) -(-0,1г)3; 3) (mi)4;
4) -(-mi)9.
2187.	A + гI0-A-гI0. 2188. B + г\/3M + B - '

140	Разд. II. Алгебра и начала анализа
2189. C + гч/2)8-C-гч/2)8. 2190.
2191. <°'25f. 2192. (-?-=). 2193.
A + 0	\1-*л/
2194. A + ^6Af ¦ 2195.
( N(N
B-2гJ V2
2196. fi^Y.(B + ^J + 5). 2197.
2199. Выполнить действия, пользуясь формулой Муавра:
1) B(cosl2° + zsinl2°)M; 2) (з (cos^-г sin^)
Каждое из упражнений B200-2201) выполнить двумя способами,
выразив комплексные числа:
а) в тригонометрической форме; б) в алгебраической форме.
Показать, что результаты выполнения действия будут равными.
2200. 1) (cos30o + z-sin30°I0; 2) B(cos60° + i -sin60°)N.
22„, ц
Выполнить действия B202-2205).
2202. 1)УзТ4г; 2) д/-3-4г.
2203. 1) л/?-4\/2г; 2)
2204. 1) \j\-ijY-\ 2) ^-
2205. 1) л/5 - i л/ГГ; 2) ^8.
В задачах B206-2207) вычислить все значения корня данной степе-
степени и построить их геометрическое изображение.
2206. 1) ^cosl35o + i-sinl35°; 2) ^cosl20° + i -sin 120°.
2207.	1) ^cos225o + i-sin225°; 2) ^cos60° + i -sin60°.
2208.	Решить уравнение х3 — 1 = 0 двумя способами:
1)	разложением левой части на множители;
2)	путем извлечения кубического корня из числа 1, выраженного в
тригонометрической форме.
Найти все значения корня B209-2215).
2209.	1) ^Т; 2) у/1. 2210. 1) ^27; 2) у/1.

' 25. Комплексные числа	141
2211. 1) л/^Тб; 2) ^Т.
2212. 1) л/-7-24г; 2) {/-± + 1^. 2213. 1) ^Г; 2)
4/
2214. 1) \/-2-2гд/3; 2) л/L
2215.	1) ^г; 2) \/-24-8гд/3.
2216.	Составить квадратные уравнения по их корням:
1) xi = ^-p^; ж2 = 2г; 2) ж1 = --G + 5г); ж2 = --G-5г).
2217.	Решить уравнения:
1) ж2 + 13ж + 46,25 = 0; 2) ж3-6ж-9 = 0.
2218.	На основании условия равенства комплексных чисел опре-
определить х и у из равенства
агх + Ыу — а = i — а2х — Ь2у.
2219.	Проверить справедливость равенства
2220. Показать, что если п кратно 3, то
а если п не делится на 3, то
2221. Показать, что при четном п сумма
равна или =Ь2 или 0, а при нечетном п эта сумма равна ±д/2.
оооо тт	-1 + Зг	—1 —Зг
2222. Показать, что если х =	и у =	, то
2223.	Пусть одно и то же комплексное число записано в двух ви-
видах: z = \/2(cos45o -zsin45°) и г = \/2(cos315o + г sin315°). Обели
записи являются тригонометрической формой этого комплексного
числа?
2224.	Показать, что квадраты двух сопряженных комплексных чи-
чисел являются комплексными сопряженными числами.
2225.	Дано комплексное число л/2 (cos -^ + г sin -^ J. Записать в
алгебраической форме число, сопряженное данному, и построить его
геометрическое изображение.

142	Разд. II. Алгебра и начала анализа
2226.	Найти все значения л/625 и изобразить их в виде векторов.
2227.	Показать, что если аь а2 и а% — корни уравнения х3 = 1,
то справедливы следующие равенства:
2228.	Дано комплексное число z = х + г у = г (cos cp + i sin <p). Опре-
Определить множество точек плоскости, если:
1) |2| = 1; 2) |*| < 1; 3) |*|^1; 4) |*| > 1; 5) К |*| < 2.
2229.	На плоскости дана некоторая точка, изображающая комп-
комплексное число * = а + Ы; где расположена точка * + 1?
2230.	Если |*| = 1, то где расположены точки l + 2z?
§26. Комбинаторика и бином Ньютона*)
2231.	Найти число перестановок:
1)	из трех букв а, 6, с;
2)	из четырех цифр 5, 4, 3, 2.
2232.	Найти число размещений:
1)	из пяти букв а, 6, с, d, e по 3 буквы в каждом (без повторения);
2)	из четырех цифр 1, 3, 5, 7 по 3 цифры в каждом.
2233.	Сколько сочетаний можно составить из пяти букв а, 6, с, d, e
по 3 буквы в каждом?
Вычислить выражения B234-2237).
ль
р
4,
2Р3
5Р5
Cfno
2)
2) ¦
+ ЗЛ4
-Рз
; 2)
л|
р8
Рб'
;
с
2)
52.
54 5
3) '-
з) -
6!;
3)
lio-
aI-
g — /
3)
7!-
¦
)
)
4)
-5!;
4)
Л3 Л4
1/ 1 1
^5-^1
^2
/|\ Ач — Ръ
' 2
2235.	1)
2236.	1)
2237.	1)
2238.	Установить справедливость равенств:
х>/ °15	Б5 ZJ °m Б	' *)
r5	^ m—8
2239.	Сколькими способами могут разместиться 4 пассажира в
четырехместном купе?
2240.	Группа учащихся в 30 человек пожелала обменяться свои-
своими фотокарточками. Сколько всего фотокарточек потребовалось для
этого?
*) См. Приложение I, § 6.

§ 26. Комбинаторика и бином Ньютона	143
2241.	Учащиеся школы изучают 10 различных предметов. Сколь-
Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день,
чтобы при этом было 5 различных предметов?
2242.	Сколькими различными способами собрание, состоящее из
40 человек, может выбрать из своей среды председателя собрания, его
заместителя и секретаря?
2243.	Сколько различных пятизначных чисел можно написать при
помощи цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без повторений?
2244.	Сколько различных плоскостей можно провести через 10
точек, если никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие
четыре точки не лежат в одной плоскости?
2245.	Найти:
1)	число размещений из п +1 элементов по 3 элемента в каждом
размещении;
2)	число размещений из т — п элементов по т — 2п — 1 в каждом
размещении.
2246.	Найти:
1)	число перестановок из к + 1 элементов;
2)	число перестановок из 2п + 2 элементов.
2247.	Найти:
1) ^m+i5 2) С^+2; 3) Сп_1; 4) Сп+2.
2248.	Вычислить выражения:
дп-l р	лП	дт-п+2 . дт-п+1
-1 \ ^гп-1ггп-п	9ч ЛтГт_Г1	. fim+n i- ^im_|_n
}
Пп-l	/m-l	Am+n
n(n-l)(n-2)(n-3)(n-4)
2249. Доказать справедливость равенств:
= Cm+i', 2) Ст-\-Ст = С
3)	С
4)	С
2250. Упростить выражения:
!. v Bn)!. v 1
!' j n! ' j n!
4
n! ' j n! (n + 1)!' j (A;-l)! А;!'
2251.	Сколько надо взять элементов, чтобы число размещений из
них по четыре было в 12 раз больше, чем число размещений из них по
два?
2252.	Из скольких элементов можно составить 56 размещений по
два элемента в каждом?
2253.	Число размещений из п элементов по 2 в 7 раз больше числа
размещений из трех элементов по 2. Найти п.

144	Разд. II. Алгебра и начала анализа
2254.	Найти число элементов п, если известно, что число соче-
сочетаний из п + 2 элементов по 4 в 11 раз больше, чем число сочетаний
из п элементов по 2.
2255.	Найти Cf, если Cf8 = С*+2.
2256.	Найти число элементов п, если известно, что число сочета-
сочетаний из 2п элементов по п + 1 относится к числу сочетаний из 2п + 1
элементов по п — 1, как 3:5.
Решить системы уравнений B257-2258).
х = 153.
2259.	Сколько различных пятизначных чисел можно написать при
помощи цифр 0, 1, 3, 5, 7?
2260.	Найти сумму цифр во всех пятизначных числах, написан-
написанных с помощью цифр 1, 4, 6, 7, 8.
2261.	Сколько перестановок из цифр 1, 2, 3, 4, 5 не начинаются
цифрой 5? числом 12? числом 123?
2262.	Сколько сочетаний из 10 букв а, 6, с, ... по 4 не содержат
букву а? буквы а и Ь?
2263.	Решить уравнение С?+8 = ^ ^ж+6-
2264.	Сколько можно получить различных четырехзначных чи-
чисел, вставляя две пропущенные цифры в числе 1...7?
2265.	Сократить дроби:
51-4! .. 71-5! .. п\
Л	Ъ	4^
6! ' j 4! + 4!' j (n + 2)!' } (n + Jfe-3)!
2266. Решить уравнения:
^±11 2) Сг2_2 + Сг2_з + Сг2_4 = 20; 3) С2Х
х\
Bп + 1)! Bп + 2)!_
j Bn-iy. Bn)!
2267.	Сколько пятизначных чисел, кратных пяти, можно изобра-
изобразить цифрами 0, 1, 2, 3, 5?
2268.	Определить, сколько нулей имеет на конце число E0!).
2269.	Из группы туристов в 16 человек создаются две подгруппы
в 10 и 6 человек. Сколькими способами можно создать эти подгруппы?
2270.	Ревизионная комиссия состоит из председателя, секретаря
и еще пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут
распределить между собой обязанности?
2271.	Из 15 солдат пятерых необходимо послать в разведку. Сколь-
Сколькими способами это можно сделать, если один из пяти разведчиков
должен быть старшим?

§ 26. Комбинаторика и бином Ньютона	145
2272.	Четыре электромонтера обслуживают восемь цехов (каж-
(каждый по два). Сколькими способами могут быть распределены цехи
между рабочими?
2273.	Два водопроводчика должны проверить водопроводную
сеть в десяти подъездах. Сколькими способами может быть распре-
распределена указанная работа?
2274.	Сколько размещений из 12 букв а, 6, с, ... по 5 не содержат
букву а? буквы а и 6?
2275.	Сколько сочетаний из т букв по п содержат к определен-
определенных букв?
2276.	Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат
и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?
2277.	Показать справедливость равенств:
1) С*т-С8т+1 + С7т=0; 2) С1 + С$ + С
Решить системы уравнений B278-2279).
[с2.:С2. = 2-.	1СГ:СГ = 5:8.
2280.	Сколько различных четных делителей имеет число 3570?
2281.	Доказать тождество С^ + С^+1 = +\
Решить системы уравнений B282-2285).
{лп . лп-1 _ о.	( 4П~3 • Лп~2 — 1 • 7-
m-2	2283 I Ьх	Ьх
{
2283>
rim . лп-1 _ 1 п	1 rin-2 . rin-3 _rj . л
2284.	Сколько различных произведений, кратных 10, можно сос-
составить из чисел 7, 2, 11, 9, 5, 3?
2285.	В состав бригады строителей входит 25 рабочих, в том чис-
числе 5 плотников, 4 каменщика и 2 штукатура. Сколькими способами
можно укомплектовать группу контроля из 5 человек, чтобы в нее
вошли рабочие всех этих специальностей по одному?
2286.	Сколько можно составить трехзначных чисел из нечетных
цифр, если каждую из этих цифр использовать только один раз?
2287.	Сколько существует различных положений, в которых мо-
могут оказаться 6 переключателей, если каждый из них может быть
включен или выключен?
2288.	Сколько можно составить различных шестизначных теле-
телефонных номеров, у которых на первых двух местах стоит цифра 3, а
на третьем, четвертом, пятом и шестом — любая из цифр 0, 1, 2, ...,9?
10 В. А. Бачурин

146	Разд. II. Алгебра и начала анализа
Проверить справедливость разложений B289-2290).
2289.	(а + 1)(а + 2)(а + 3)(а + 4) = а4 + A + 2 + 3 + 4) а3 +
+ B+ 3 + 4 + 6 + 8 +12) а2+ F + 8 +12+ 24) а+ 24 =
= а4 + 10а3 + 35а2 + 50а + 24.
2290.	(а + i)(a + 2i)(a + Зг)(а + 4г) = а4 + 10а3г - 35а2 - 50аг + 24.
Проверить справедливость разложений биномов B291-2295).
2291.	(а + 62M = а5 + 5а462 + 10а364 + Юа266 + 5а68 + 610.
2292.	(Зж2 + у2L = Six8 + 108жV + 54ж V + 12х2у6 + у8.
2293.
2294. (л/аТТ- \/а^ТL = 4Bа2 - 2аУа2 - 1 - 1).
2295.
Найти B296-2313).
2296.	Восьмой член разложения бинома (ж + 2I2.
2297.	Средний член разложения бинома (	у
\ х
2298.	Два средних члена разложения бинома (л/х — л^
2299. Пятый член разложения бинома _...
9
2300. Член разложения (х + у)9, содержащий х7.
22/3
2301.	Член разложения (\Z~x~2 — -\Z~x~2) , содержащий х
2302.	Член разложения (Ь~1х1^3 + бж/4I8, содержащий х~х.
2303.	Член разложения (а~2/3 + а3/4I7, не содержащий а.
2304.	Член разложения (а~2/3 + \/а^) , не содержащий а.
2305.	Показатель степени бинома, если третий член разложения
а-1)п содержит а0.
2306.	Показатель степени бинома, если биномиальные коэффи-
коэффициенты четвертого и шестого членов разложения A + ж)п+1 равны
между собой.
2307.	Показатель степени бинома, если биномиальные коэффи-
коэффициенты четвертого и шестого членов разложения соответственно рав-
равны 120 и 252.
2308.	Показатель степени бинома, если шестой член разложения
(а~1/30+ \[а)П не содержит а.

§ 26. Комбинаторика и бином Ньютона	147
2309.	Показатель степени бинома, если отношение седьмого члена
разложения B1/3 + 31/3)п к седьмому члену от конца равно 0,1F).
2310.	Показатель степени бинома (х + у)п, если коэффициенты
2-го, 3-го и 4-го членов разложения составляют арифметическую прог-
прогрессию.
2311.	Номер того члена разложения (а1/3^/6 + а/6^1/2J1, ко-
который содержит а и b в одинаковых степенях.
2312.	Тот член разложения (ж1/2 + ж~2/3)п, который содержит бук-
букву ж в первой степени, если известно, что коэффициент пятого члена
относится к коэффициенту третьего члена, как 7:2.
2313.	Тот член разложения (а/7 + а2/3)п, который содержит
букву а в первой степени, если известно, что коэффициент третьего
члена от конца разложения равен 45.
Найти х из заданного условия B314-2318).
2314.	Пятый член разложения бинома (у/х + ж) равен -.
2315.	Разность между пятым и третьим членами разложения би-
бинома [х + л/5) равна 300.
2316.	Третий член разложения бинома (ж~2/7 + xlg^) ра-
равен 36000.
2317.	Отношение седьмого члена от начала в разложении бино-
бинома B1/3 + 3-1/3)ж к седьмому члену от конца этого же разложения
равно -.
2318.	Третий член разложения бинома ( 2 л/2 +4-41^ж~4М ра-
равен 240.
2319.	Найти члены разложения биномов, не содержащие радикалы:
1)(^-^M; 2) A+^2I5; 3)(у/Е-у/2).
2320.	Имеется многочлен х{2 - ЗжM + х3A + 2х2O - ж4C + 2х3)9.
Вычислить коэффициент члена, содержащего ж5, если выполнить все
указанные действия.
2321.	Вычислить коэффициент члена, содержащего ж3, в произ-
произведении A + хO • A — хL.
2322.	Найти а, 6, п, если известно, что второй, третий и четвертый
члены разложения (а + Ь)п равны 240; 720; 1080.
2323.	Найти пятый член разложения бинома [\/2 — V2~1)n, если
последний член разложения равен C v^) 3
2324. Сколько окажется всего членов в разложении биномов
(а + ЬJп + (а — ЬJп после того, как будут сделаны все возможные
упрощения?
10*

148	Разд. II. Алгебра и начала анализа
2325.	Не прибегая к непосредственному разложению бинома
{^/~а-\- 1\/~b) , указать, сколько будет в разложении членов, не содер-
содержащих радикалов.
2326.	Доказать, что II10 — 1 делится на 100.
2327.	Найти число Л2, если пятый член разложения бинома
(%г- 1\п
\х/х-\— не зависит от ж.
V	х)
2328.	Применяя формулу Муавра и формулу бинома Ньютона для
возведения в целую положительную степень выражения (cos</? + z sin(/?)n,
выразить через sin</? и cos</?:
1) sin5</?; 2) cos5</?.
§ 27. Теорема Безу и ее приложения *)
2329.	Не выполняя деления, найти остаток от деления:
2)
3)
4)
2330.	При каком значении а многочлен 2ж5 — Зж3 + 11ж2 — х + а
при делении на ж + 2 дает остаток, равный 3?
2331.	При каких значениях а и b многочлен ах3 + Ьх2 — 37ж + 14
делится на х2 + ж — 2?
2332.	Дан многочлен 2ж3 — Зж2 — аж + 6. Каковы должны быть
числовые значения а и 6, чтобы многочлен при делении на х +1 дал
остаток, равный 7, а при делении на х — 1 дал остаток, равный 5?
2333.	Показать, что многочлен х6 — 2хъ — 4ж4+ Зж3 — Зж2 + Их — 6
делится на произведение (х — 1) (ж + 2) (ж — 3).
4+ 2ж2— 3
	^
х -2х -х-\-2
ж+ 2ж— 3
2334. Дана дробь —	^	• Установить, можно ли эту дробь
2	\2
сократить на:
1) х-1; 2) ж + 1; 3) ж + 2; 4) ж-2; 5) ж + 3; 6) ж-3.
2335.	Не производя вычислений, установить, делится ли:
1)	сумма (ж5-1L + (ж2-1K на х-1;
2)	произведение (х4 — 16)(ж3 + 3ж — 5) на ж —2.
2336.	Разложить на множители многочлены:
1) ж3-7ж2 + 1бж-12; 2) ж4-Зж3 + ж2 + Зж-2;
3)	ж4-2ж3 + 5ж2-8ж + 4; 4) х4 - Ьх3 + 2х2 + 20ж - 24.
*) См. Приложение I, §4.

§ 27. Теорема Безу и ее приложения	149
Решить следующие уравнения B337-2340).
2337. ж3-8ж2 + 13-6 = 0. 2338. хА -Зж3 + х2 + 3ж = 2.
2339. ж4-3ж3-8ж2+12ж = -16. 2340. хъ- ж4-3ж3 + 5ж2 = 2х.
2341.	Составить уравнения наименьшей степени с рациональными
коэффициентами, корнями которых служат:
1) 1; 2; -2; 2) ^2; -д/2; 3) 1; 1 + 2г; 1-2г;
ЛЛ л 1-гл/З 1 + гл/З к\ -, о i . • i •
4) -1; —2—; —2—' ^ ' ' ' '
6) 1 + г; 1-г; 1-2г; 1 + 2г.
2342.	Составить уравнения с вещественными коэффициентами:
1)	третьей степени, если даны его корни: х\ = 2; х^ — — ц
2)	четвертой степени, если даны его корни: х\ — 1 — г; ^2 = 3 + г;
3)	пятой степени, если даны его корни: х\ — х<± — х% — 1; ^4 = 1 — г.
2343.	Зная, что уравнение ж4 - 6ж3 + 15ж2 - 18ж + 10 = 0 имеет
корень, равный 1 — г, найти все другие его корни.
Решить двучленные уравнения B344-2345).
2344.	1) ж3+ 27 = 0; 2) 27ж3 - 125 = 0; 3) ж6-64 = 0.
2345.	1) 81ж4-25 = 0; 2) 4ж4 = 25; 3) Зж4 = 16.
Решить трехчленные уравнения B346-2348).
2346.	1) Eж + 4J-5Eж + 4)-36 = 0; 2) ж6-9ж3 + 8 = 0.
2347.	1) 16ж8-257ж4 + 16 = 0; 2) (ж + 3N-9(ж + 3K+ 8 = 0.
2348.	1) л/ж2Т8-(ж2 + 8)=-12; 2) A + ЗжI/2-3A + ЗжI/4 = 4.
Решить уравнения B349-2355).
2349.	(ж2-6жJ-2(ж-3J=81.
2350.	5	5
2351.
2352.	(х + 1J(х + 2) + (х + 1J(х - 2) = 12.
2353.	(ж-
2354.
2355.	(ж-
2356.	Найти все корни уравнения 4ж4 — 24ж3 + 57ж2 + 18ж — 45 = 0,
если один из корней равен 3 + г л/б.
2357.	При каких числовых значениях параметра а уравнение
х2 + 2ах Vd2 — 3 + 4 = 0 имеет равные между собой корни?
2358.	В уравнении ж2+ B — а) ж — а — 3 = 0 найти а так, чтобы
сумма квадратов его корней была наименьшей.

150	Разд. II. Алгебра и начала анализа
§28. Принцип математической индукции
Доказать методом полной математической индукции справедли-
справедливость следующих формул B359-2363).
2359.	1 + 3 + 5 + 7 + ...+Bп-1) =п2.
2360.	l2 + 22 + 32 + ...+n2=
2361.
2362.	l-2 + 2-3 + 3-4 + ...+n(n + l) = -
О
2363.	1-2-3 + 2-3-4 + 3-4-5 + ...+n(n + l)(n
= i
2364.	Доказать, что n-й член арифметической прогрессии равен
ап — а\ + (п — l)d, где а\ — первый член, ad — разность этой прог-
прогрессии.
2365.	Вывести формулу n-го (общего) члена геометрической прог-
прогрессии.
Доказать тождества B366-2367).
94fifi	-\-	-\-	-\- -I
' U Й Й ¦"' Bra-l)-Bra + l) ~ 2га + Г
2367. ,l ,4 +-	-^	rr + ...-
2368. Доказать неравенство
n + 3	3n + l '
2369.	Методом математической индукции доказать тождество
о л on sin2n+1a
cos a -cos 2а -cos 4а... cos 2 а = —п	•
2n+1sina
Какой еще метод можно предложить для доказательства этого
тождества?
2370.	Доказать, что
sin 	х
sin x + sin 2x + sin Зж +... + sin nx =	sin——.
х	2
sin —
2371.	Доказать, что A + а)п ^ 1 + па при любом натуральном п и
а > -1.
2372.	Доказать, что 2п ^ 2п + 1 при п ^ 3.
2373.	При каких натуральных значениях п справедливо нера-
неравенство 2п > п2?

§ 29. Числовые последовательности и их пределы	151
2374.	Дано: an+i = Зап — 2an_i; ао = 2; а\ — 3. Доказать, что ап =
= 2п + 1.
2375.	Дано: an+i = Зап — 2an_i; ao = 0; ai = 1. Доказать, что an =
= 2n-l.
2376.	Составить формулу n-го общего члена последовательности,
если an+i = 2an — an_i; ai = 1; ft2 — rf.
§ 29. Числовые последовательности и их пределы
2377.	Написать четыре первых члена числовой последователь-
последовательности с общим членом:
1) ап — щ 2) ап — 1щ 3) an = 2n-l; 4) an = n2;
5) ота = -; 6) an = —; 7) an =	-; 8) ап = —;
77.	Z7T,	Z77. — 1	ц
9) an = 3 + 2n; 10) ап= ^	; 11) an = sin^n; 12) an = t
2378.	Найти формулу общего члена для каждой из данных число-
числовых последовательностей:
1) 1,2,3,4,5,...; 2) 1,3,5,7,9,...; 3) 2,4,6,8,10,...;
4J,-2,2,-2,2,.., 5) ^J,^,..,
К\ 1 -- - -- —	7) - - — — —
} ' 2' 4' 8' 16''"' } 2' 5' 10' 17' 26''"'
8) tg45°, tg22°30/, tg 11°15/,...
2379.	Какие из данных числовых последовательностей являются
возрастающими, какие убывающими и какие колеблющимися:
1) 1,4,9,16,26,...,»»,...; 2) 1,1,1,1,^,...,^,...;
3)	sin I, sin2, sin3, sin4, ..., sinn, ...;
4)	tg-, tg-, tg-,...,tg-,...?
2380.	Выяснить, какие из данных числовых последовательностей
ограничены и какие не ограничены:
v 1 1 1	1_	o^I--	2п-1
' 2' 3' 4''"' п'"'; ' 2' 4' 6'"' ^Г'"'
3) 2,-3,4,-5,...,(-
.ч sinl sin 2 sin3	sinn
j ~Г' ~2"' ~3~'"' ^T'"
2381. Общий член бесконечной числовой последовательности вы-
1	»	П + 1
ражается формулой ап =
1)	Вычислить первые пять членов этой последовательности.
2)	Дать геометрическое изображение их на числовой оси.

152	Разд. II. Алгебра и начала анализа
3)	Показать, что данная последовательность неограниченно воз-
возрастает.
4)	Найти порядковый номер того члена данной последователь-
последовательности, начиная с которого все следующие члены будут больше 1000;
10000; 1000000.
2382.	Дана бесконечная числовая последовательность, общий член
которой выражается формулой ап =	-. Показать, что последова-
2п + б
тельность возрастает и ограничена. Дать на числовой оси графическое
изображение первых пяти членов этой последовательности.
2383.	Даны бесконечные числовые последовательности:
а) 1,1-2, 1-2-3,...; б) 1, |, |,...; в) 1,-I, I,-I,...;
-,-,-,-,...; д) 2,-1,-4,...
1)	Написать формулу общего члена каждой из данных последова-
последовательностей.
2)	Дать на числовой оси геометрическое изображение первых пяти
членов каждой последовательности.
3)	Установить, какая из данных последовательностей: неограни-
неограниченно возрастает; неограниченно убывает; возрастает и ограничена;
убывает и ограничена; колеблется.
2384.	Установить, какие из следующих числовых последователь-
последовательностей имеют пределы:
1) 1,1,1,...,-^,...; 2) -1,1,-1,...,(-1)",...;
3) 1 -1	L_ 	I	 ¦ 4) Н 3 4 п + 1
1-z Y26	1-2-6.. .п	1 2 6	п
2385.	Показать, что числовая последовательность с общим членом
-п + 1	-
ап =	 неограниченно убывает.
2386.	Даны две бесконечные числовые последовательности
ai, а2, аз, •••, ап, ••• и bi, 62, 63, ..., Ьп, ..., причем lim an = -,
о	п—^оо	А
lim bn = -. Найти пределы бесконечных числовых последователь-
последовательностей:
2	2
1) Нт(ота-6та); 2) lim 3Q" + Qn-1. 3) lim ^^ + 3
Проверить, что заданные бесконечные числовые последовательнос-
последовательности имеют указанные пределы B387-2390).
2387. lim—= 1. 2388. lim ^—- = 2.
п->-оо П	п->-оо П
2389. lim (-T = 0. 2390. lim n	l

§ 30. Предел и производная функции. Исследование функции	153
Найти пределы бесконечных числовых последовательностей
B391-2398).
2391. lim ln . 2392. lim A + ^-Л).
n—>-oo %nz _|_ 3	n—>-oo\n	П /
2393. lim (Ё2±1__ЗД 2394. lim "V5"
n->-oo\2n —1 2 /	n^-oo 2n +3
2395. lim *J^?. 2396. lim ^ + Зп
2397. lim (л/ггП-д/п). 2398. lim 3n + 1
§ 30. Исследование функции без применения производной.
Предел функции. Производная функции.
Исследование функции с помощью производной
1. Исследование функций без применения производной
Построить интервалы изменения переменной х, удовлетворяющей
неравенствам B399-2402).
2399.	1)	-2^ж^-1; 2) -К х ^ 1.
2400.	1)	К х -3^2; 2) -2<х-тт <1.
2401.	1)	\х\ <3; 2) |ж-4| < 1.
2402.	1)	х2 ^4- х; 2) (ж-2J^4.
Найти области существования функций B403-2418).
2403.	1) У = ^-^; 2) у= 24ж-1 .
2404.	1) y = Vx2-2x-8; 2) 2/ = л/B " ж) E +ж).
2405.	1) у = у/х + л/1^х; 2) 2/ =
2406.	1) 2/ = \/4ж-ж2; 2) 2/ =
2408. 1) 2/ = Л/(ж-1J(ж-2); 2) ?/= i/x2(x - 1J(ж-3).
/Зж-2
2409. 1) 2/ =

154	Разд. II. Алгебра и начала анализа
2412.	1) у = arcsin л/2х; 2) у = arccos—-—.
2413.	1) y = \gsmx; 2) y = \ogx2.
2414.	1) y = (x-2)J^; 2) у =
2415.	1) y = tg^x-\-ctgx; 2) у = lg (Уж^З - 2).
2416.	1) 2, = -^+^-; 2) у =
lg(9 — ж)
2417.	1) У= I?,., ,: 2) !,= lga;
arcsinB —ж)'	arcsin(x — 3)
2418. 1) j/= logs* / i 2) j,= /
о — ж
Найти области значений функций B419-2422).
2419.	1) y = V2 + x-x2; 2) у = л/2х - х2 - 1.
2420.	1) 2/ = -^; 2) 2/ = ^-4-
1 + ^	1 + ^
2421.	1) ^/ = sinx — 5cosx; 2) 2/ = (sinx + cosxJ.
2422.	1) 2/ = 4ж-2ж + 1; 2) у = \og3
Найти области значений функций в указанных интервалах
B423-2424).
2423. 1) у = х2 + х (-2^ х ^4); 2) y = \gx A0 < ж ^ 1000).
; 2) 2/ = lgA-2 cos ж) ^ < ж ^ А
Найти промежутки возрастания и убывания функций (без при-
применения производной) B425-2430).
2425. 1) у = х2; 2) у = х3. 2426. 1) 2/= —; 2) у = у = ±.
X	%
2427.	1)	y = \g(x + l); 2) 2/ = tgx.
2428.	1)	у = 4х-х2; 2) 2/ = 2ж.
2429.	1)	y = lg\x\; 2) 2/ = 21ж1.
2430.	1)	y = sm2x; 2) 2/ = 5
Какие из следующих функций — четные, какие — нечетные, и ка-
какие не являются ни четными, ни нечетными B431-2434)?
2431.	1) у = х4-2х2; 2) у = х-х2.
2432.	1) у = 1 — х2;	2) y = sinx —
е)Х_е)-Х	f _
2433.	1) у=1-^—; 2) у = 1—

30. Предел и производная функции. Исследование функции	155
2434.	1) у = 3sinxcosx; 2) у = lg (
Построить графики функций B435-2454).
2435.	1) у = \х\-х; 2) у = -\х-2\.
2436.	1) у = х4-1;
2437. 1) у = \ +2;
2438.
2439.	1)	?/ =
2440.	1)	?/ =
2441.	1)	2/ =
X
= х-\х\;
2)	у = \х\3-1.
2)	у = \ \
2)	у =
2)	у = |ж2 - 1| + х2.
;	2) у = \х2-
;	2) у = ——
У |2
2442.	1)	у = (х-1)(х-2); 2) у =
о а а о	1 \ 	 2	4 о\ 	 (л	2
J44o.	1)	у = X — Ж j ^) ?/ = A — Ж
2444.	1)	?/ = —!—; 2) 2/ = ^—.
2445.1), = ^; 2)у
2446.	1) у = л/х +1 - д/ж; 2) у = л/-2х.
2447.	1) 2/ = ^-2; 2) у = ^.
Х\	1 + Х
2448.	1) у = у = 0,5 sin x cos ж; 2) з/= |tg |2ж||.
2449.	1) у = tgx-\-ctgx; 2) 2/ = cos \x\ + | cos ж |.
2450.	1) у = --arccos (-x); 2) у = 3arcctg (-ж)
2451.
2452.
2453.
2454.
= 22-ж-2;	2) у = @,5Jж-1.
= \g(\x\ + l); 2) y = \\g(x + l)\.
2) у = log1/3Bx + l).
()
2/ = 1оё2A-Ж2); 2) у = \\g(x2 -
2. Вычисление пределов функций
Найти пределы B455-2498).
Нт(ж5
ж—>-0
2455.
2456.
ж—>-3
2457. 1) Нт (
ж—)-—1
); 2) Нт A7ж4
ж^-0
2) Нт Eж3-6ж
2) Нт Bх3 - Ъх2 + ж -4).
ж—)-—1
2 - ж + 1).
- 5).

156	Разд. II. Алгебра и начала анализа
2458.	1) Нт
ж—>-0
2) Нт
ж—>4
о/1кп i\ r х2-х-\-1	ч г (ж + 3)(ж-2)
2459.	1) hm	; 2) hm
7 ж>2 Ж3	жI
hm;	2)	hm
ж->2 Ж-3	ж-)—1	Ж+ 2
о,1^гл 1\ 1- ж2—4ж + 1	оЧ	,.
2460. 1) hm—	—;	2)	hm
} х->2 2ж + 1	У	ж^4
2461.	1) Hm 5_zi;	2) lim^-^i
ж->-2 Ж — 2	ж->4 Ж — 1
2462.	1) lim3a? ~2а?;	2) lim X
^^0 225	^^з Зж -9ж
2463. 1) lim ?|±^; 2) lim
О>|Л>| пч г 2ж2 + ж-15 оЧ г ж3-7ж + 6
2464. 1) hm —5	; 2) hm-5	5	•
^^з З2 + 7-6	^^2 х6 - 5ж2 + 2ж + 8
о.„г 1Ч 1. 1 + 81п2ж	оЧ ,. 81пж —со
2465.	1) hm 	; 2) hm
ж->-7г/4 1 — СО84ж	ж->-7г/4 СО82Ж
2466.	1) Нт -^-; 2)	lim siх~cos2а!"
Ж^7Г81П2Ж	/
ж^-тг/4 COS Ж —Sin Ж
2467. 1) lim ^-1 (положить х = t6);
ж-)>1 д/ж — 1
2) hm	 (положить 1 + ттгж = t ).
7 ж^О	Ж	V	7
Ж
2468.	1) lim JL_6 -;	2)	lim-
ж^бд/ж + З-З	ж-ю
2469.	1) lim 2~2Л//^Г?;	2)	lim
24™- 1) V™*~fj	2)	lim
2471.1) lim [3+--AV 2) lim (ж2 -Зж + 7).
ж^-оо у х X )	ж^-оо
2472. 1) lim (ж3 - 7ж2+ 5ж-4); 2) lim (ж
2473. 1) lim -^; 2) lim
ж^оо Ж 1	ж^о
; 2) lim	.
Ж — 1	ж^-оо 2ж — 1
2x'"
2474.	1) lim f^-; 2)	lim 9
ж^-оо 5Ж — 3	ж^ooЗжz_4ж
3 2	3
2475.	1) lim q —;	2) lim ~75.

30. Предел и производная функции. Исследование функции 157
л/х — бх
;
2476. 1) hm	;
ж—>-оо 6Х + 1
2477. 1) hm
2n +
2) hm
ж—>-оо
2) hm
х —2х + 5
Предел отношения
при а —у О
^ ,. sina .. a 1
Ьсли угол a выражается в радианах, то hm	= 1; hm 	= 1.
a>o a	a>o sin a
2479. 1) li
2480.	1) lim^;
rjn	^.Q X
2481.	1) lim
2482. 1) hm
>0 Si
2483. 1) lim -^-;
ж->-0 COS Ж
2484.	1)	lim
2485.	1)	lim
2486.	1)	lim
2487.	1)	1
Sin3 Ж
2)
2)
2)
2)
<)\
lim
lim
lim
lim
lim
lim
з
Ж
. 2 x
sin —
ж2 '
1-СО8Ж
ж2
1 — cos ж
ж
. 2
sin ж
Ж
cos ж — созЗж
оч	,.	tg Ж —
; 2) hm —	^
оЧ ,. 1 —С08ШЖ
2) nrTi
.2
;; 2) lim
Ж Sin Ж	ж->-0
2488. 1) lim
ж + 1 — 1
; 2) lim
Г)
sin ж
lim
ж->-о VI + ж sin ж — cos ж
2489. 1) lim (х	)tgx (положить х = —Ьом;
ж->-7г/2 V 2 /	V	2 J
оЧ ,. 1 + Ж81пЖ — СО82Ж
2) hm	5	.
жю	sin ж
о
+1 • 2) lim /
жЮ
2490. 1) lim
жI
lim ,	2) lim /^!-^.
ж-)—1 Sin (Ж + 1)	ж-Ю ж ^д/1 + х - 1)
Число е
Числом е называется предел
-)= lim
П/	n^-oo

158	Разд. II. Алгебра и начала анализа
Это число иррациональное и приближенно равно е = 2,71828...
Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначают-
обозначаются loge х = In ж.
/	1 \п+5	/	1 чЗж
2491.	1) lim A + -) ; 2) lim A + -) .
2492.	1) lim fl + —T ; 2) lim (l - IY\
2493.	1) lim A + -^ ; 2) lim (l + 2xI/x.
n—У — cxd V	Tl J	x—>-0
2494.	1)	lim	f-^-Г; 2) lim fl + ->Kn.
2495.	1)	lim	f^---Y* ; 2) lim A-4ж)A"ж)/ж.
2496.	1)	lim	f^±AJ . 2) lim H^zl\X.
2497.	1)	lim	(^—1\X- 2) lim
2498. 1) lim (l + -)- 2) li
; ^\	X)	'
Найти точки разрыва функций и построить графики этих функ-
функций B499-2510).
2499. ?/ = --. 2500. у =—*—. 2501. у = ——.
2502. 2/ = ^--. 2503. у =-^	. 2504. у =-~ 3
2505. y = l--L. 2506. 2/ = tgx. 2507. 2/ = А-
2508. у = -^. 2509. ?/ = 21/ж. 2510. ?/ = 1-
3. Дифференцирование функций
2511. Вычислением lim —— найти производные функций:
Аж^-0 Ах
1) у = х2; 2) у = л/х; 3) у = -; 4) ^/ = sinx.
ж
Найти по формулам дифференцирования производные следующих
функций*) B512-2560).
2512. 1) 2/ = Зж2-5ж + 1; 2) у =
*) Во всех задачах выражения, которые будут получены при диффе-
дифференцировании, следует преобразовывать до ответов, данных в конце книги.

§ 30. Предел и производная функции. Исследование функции 159
г3	г5 2г3
2513.	1) у = ^--2х2 + 4х-5; 2) у = ^-Щ-+х.
2514.	1) у = 1 + ^-^; 2), = , + -L-^.
2515.	1) у = 3х-6у/х; 2) 2/ = 7х5 + 2 д/ж - 4ж2 д/ж.
2516.	1) y
2) у = (у/а — у/х) (дано решение).
2517.	1) у = Bх + 3)(х2-1); 2) у = (х2 -Зж + 3)(ж2 + 2ж - 1).
2518.	1) 2/ = ^ti; 2) у = ^
2	2
2519.	I) y = 6tyx] 2) 2/ = - + - + —- + —-.
п х m х
2520.	I) » = J= _ в	«;+п^_
2521.	1) г/ = Bж3 + Зж2 + 6ж + 1L; 2) у = ^/D + ЗжJ.
2522.	1)„
/v» 	 Fx	/1 	 T*
2523. 1) у=з/—-= (дано решение); 2) у = х, 	?.
л/ж2+ 4	\ 1 + х1
2524. 1) /(ж) = ^--Ж2 + ж; вычислить f@), f(l), f(-l);
2) /(ж) = ж2-^; вычислить /'B)-/'(-2);
2ж
з) /И = 2^гт; найти /г(°)' /'B) и /'(-2M
4) /(ж)= ^	' ; вычислить 0,01- /'@,01).
2525.	1)	у = x-smx]	2) у = x — tgx.
2526.	1)	у = x-\-ctg x;	2) y = x2-tgx.
2527.	1)	у = ^/х -cosx;	2) ^/ = x2-ctgx.
2528.	1)	^/ = sin6x; 2)	у = cos (a - 6ж).
2529.	1) 2/ = sin|+cos|; 2) j/ = tg Зж + ctg |.
2530.	1) у = sin2x + \/sinx; 2) 2/ = cos2 ж + cos y/x.
2531.	1) ?/ = sin3x + cos3x] 2) 2/ = tg3x -3tg ж + Зж
о	i
2532.	1) 2/ = ctgx + -ctg3x + -ctg5x; 2) ^/ = sin2x3.
о	О

160	Разд. II. Алгебра и начала анализа
cos ж	~ч	cos ж
2533. 1) f(x)=	; 2) у = —^
J J v ' 1-sinx' ' * l + 2si
in ж
sin3x	n4	sin ж , cos ж
2534. 1) y= """ ; 2) у =
2 sin ж cos ж	1 + ^ж l + tgж
(В обеих задачах рекомендуется предварительно упростить правые
части.)
1	ж
2535.	1) у = sin y^ + sin-; 2)	у = a cos — +cos34x.
X	о
2536.	1) 2/ = tg—— + Wtg-;	2 2/ = ctg3-
z V ^	о
2537.	1) у = \/l — ж2 + arcsinж; 2) ^/ = x
2538.	1) 2/ = arccos A-2ж); 2) у = arccos A - х2).
2539.	1) ^/ = х2 -arctgx; 2) ^/ = t
2540. 1) у = х \/1 - ж2 + arcsin ж; 2) ^/ = ж arccos ж - \/1 - х2.
2541.
4) y =
2541. 1) 2/ = 1пж-2^/ж; 2) у = х\ъх-\; 3) ?/ = ^ + 1;
2542.	1) ^/ = 1п(ж2 + 2ж); 2) у = - In2ж
2543.	1) ^/ = In A + cosx); 2) 2/= In sinx	sin2 ж.
2544.	1) 2/ = J- + ^; 2) 2/ = l
In ж x
2545.	1) ^/ = x \gx + x2\og3x; 2) 2/ = xn\nx + л/1-\-\п2x.
2546.	1) у = \п(у/х-л/х~^1)] 2) ^/ =
lt 2
2547. 1) y = 2tyx-4\n y/2 + y/x] 2) 2/ = - lntg x
2	1•
2)	\
2548.	1) у = In	^-; 2) y = \n\ 	:	 (дано решение).
1-х	V 1 ~sin2#
2549.	1)	2/ = 2ж+ж2;	2) y =
2550.	1)	2/ = 3-ж + У^; 2) y =
2551.	1)	y = xex; 2) 2/ = ж2-2ж
2552.	1)	?/ = e^cosx; 2) y = ?
sin ж
2553. 1) y = 2(e-/2-e-/2); 2) У =
2554. 1) у = ае-ж/а + же-ж/а; 2) y= в^
e — e

§ 30. Предел и производная функции. Исследование функции	161
2555.	у = -tg4x	tg2x — In (cosж).
2556.	у = cos2 x + sin x2 + tg2x2 + i/ctg y/x.
2557.	2/= cosx2+ sin2—\- tg л/х • ctg2 ——.
<^2„
2558.	?/ =
(дано решение).
2
2559.	^/ = — у/а2 - x2 + —- arcsin - (a > 0).
2
2560.	?/ = | V^2 + a2 + у In (ж + y/x2 + a2).
4. Задачи на касательную
2561.	Выразить угловой коэффициент отрезка АВ через коорди-
координаты его концов А{х\\ у\) и В(х2] 2/2)• Сделать рисунок.
2562.	Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к
параболе у = х2:
а) в начале координат; б) в точке А(—2; 4);
в) в точках пересечения ее с прямой у = Зж — 2.
2563.	1) В каких точках угловой коэффициент касательной к ку-
кубической параболе у — х3 равен 3?
2) Составить уравнения касательной и нормали, проведенных к
кривой у — х3 в точке МA; 1).
2564.	1) Написать уравнение касательной к локону (так называют
о
эту кривую) у =	2 в точке АB; 1).
2) Составить уравнения касательных к гиперболе у — — в точках
х
с абсциссами х\ — \ и ^2 = —4 и найти угол между ними. Построить
кривую и касательные.
2565.	1) Составить уравнения касательных к кривой у — 4х — х2
в точках пересечения ее с осью Ох. Построить кривую и касательные
к ней.	3
2) Написать уравнение касательной к графику функции у = —-—
в точке пересечения его с осью абсцисс.
2566.	В каких точках кривой у = 2 + х — х2 касательная к ней:
1)	параллельна оси Ох;
2)	параллельна прямой у = х?
2567.	В какой точке касательная к параболе у — х2\
1)	параллельна оси Ох\
2)	образует с осью Ох угол 45°?
11 В. А. Бачурин

162	Разд. II. Алгебра и начала анализа
2568.	1) Может ли касательная к кубической параболе у = х3 сос-
составить с осью Ох тупой угол? Объяснить, почему.
2) Показать, что касательная к кривой у = хъ + Ъх — 7, проведен-
проведенная в любой ее точке, наклонена к оси абсцисс под острым углом.
2569.	1) Под каким углом кривая у = In ж пересекает ось Ох?
/о
2) Под каким углом синусоида у = — sin3x пересекает ось абс-
абсцисс в начале координат?
2570.	1) Под какими углами пересекаются парабола у = х2 и пря-
мая Зж - у - 2 = 0?	2
2) Какие углы образует парабола у = —- с ее хордой, абсциссы
концов которой равны 2 и 4?
2571.	1) В какой точке параболы у = х2 — 2х + 5 касательная к
ней перпендикулярна биссектрисе I координатного угла?
2) Под какими углами прямая у = 0,5 пересекает кривую у =
= cos ж?
C 3 \
у = - - х - — ) является каса-
тельной к кривой у = 0,5ж4 — х. Вычислить координаты точки касания.
2573.	1) Какие углы образуют кривые 2у = х2 и 2у = 8 — х2 при
взаимном пересечении? (Углы между касательными к этим кривым в
точках их пересечения.)
2) Под каким углом пересекаются парабола у = л/х и гипербола
ху = 1?
2574.	1) Какой угол образуют синусоида и косинусоида при пе-
пересечении?
2) Написать уравнения касательных к кривым у = 2х2 — 5 и у =
= х2 — Зж + 5, проведенных через точку пересечения этих кривых.
2575.	1) На графике функции у = х[х — 4K найти точки, в ко-
которых касательные параллельны оси Ох.
2) Показать, что на кривой у = х3 + х2 + х + 1 нет точек, в которых
касательные параллельны оси абсцисс.
х — 4
2576.	1) Показать, что касательные к кривой у =	 в точках
пересечения ее с осями координат параллельны.	х ~
2) Хорда параболы у = х2 — 2х + 5 соединяет точки с абсциссами
х\ — 1; Х2 = 3. Составить уравнения касательной к кривой, параллель-
параллельной хорде.
2577.	1) В какой точке касательная к кривой у = х2:
а)	перпендикулярна прямой 2х — 6^ + 5 — 0;
б)	образует с прямой у = Зх-у + 1 = 0 угол 45°?
2) В какой точке параболы у — х2 касательная к ней будет парал-
параллельна секущей, проходящей через точки кривой с абсциссами х\ — \
и х2 = 3?

§ 30. Предел и производная функции. Исследование функции	163
2578.	1) Доказать, что касательные к кривым у = ех и у = \пх
образуют с осью Ох только острые углы.
2) Может ли касательная к кривой ху = 1 в какой-либо ее точке
составлять острый угол с осью Ох?
2579.	1) В каких точках касательные к графикам функций у =
= — ех и у = \пх параллельны биссектрисе I координатного угла?
2) В каких точках линии у = х3 + х — 2 касательная к ней парал-
параллельна прямой 4ж — у — 1 = О?
2580.	1) Составить уравнения касательных к линии у — х	в
х
точках пересечения ее с осью абсцисс.
2) Составить уравнение касательной к гиперболе у = 	, про-
х + Ь
ходящей через начало координат.
2581.	1) Прямая у — х является касательной к параболе у —
— х2 + Ъх + с в точке с абсциссой х — 2. Найти бис.
2) При каком соотношении между коэффициентами а, Ъ и с пара-
парабола у — ах2 -\-bx-\-c касается оси Ох?
2582.	1) Может ли угловой коэффициент касательной к синусои-
синусоиде быть равен 3? —2? В каких границах он изменяется?
2) По какому закону изменяется числовая величина углового ко-
коэффициента касательной к синусоиде (на интервале 0 ^ х ^ тг)?
2583.	1) На синусоиде у = 2 sin ж (—тг ^ х ^ тг) установить те ее
участки, где «крутизна кривой» (т.е. \у'\) превышает 1.
2) Доказать, что на кривой у = tg x нет точек, в которых каса-
касательная могла бы составлять с осью Ох тупой угол.
2584.	1) Доказать, что угловой коэффициент касательной к кри-
кривой у = cos ж по абсолютной величине не может быть больше единицы.
2) В какой точке касательная к графику функции у = sin2 x на
интервале 0 < х < — образует с осью Ох наибольший угол? Чему ра-
равен этот угол?
5. Физические прилоснсения производной
2585.	Точка движется прямолинейно по закону s = 6? — t2. В какой
момент времени скорость точки окажется равной нулю?
2586.	Точка движется прямолинейно так, что имеет место соот-
соотношение v2 = 2аж, где v — скорость, х — пройденный путь, а —
постоянная. Найти ускорение движения.
2587.	Зависимость между количеством х вещества, получаемого в
некоторой химической реакции, и временем t выражается уравнением
х = ЛA — е~ы). Вычислить скорость реакции.
2588.	Температура Т тела изменяется в зависимости от времени t
по закону Т = 0,5?2 — 2t. С какой скоростью нагревается это тело в
момент времени t = 5?
11*

164	Разд. II. Алгебра и начала анализа
2589.	Найти скорость v и ускорение а свободно падающего тела,
если зависимость расстояния s от времени t выражается формулой
s = 0,5gt2 -\-vot-\- so, где g = 9,8 м/с2 — ускорение земного тяготения,
a so = s\t=o — значение s при t = 0.
2590.	Дано уравнение прямолинейного движения точки: s = 2t3 +
-\-t2 — 4. Вычислить скорость и ускорение в момент времени t = 4.
2591.	Зенитный снаряд выброшен вертикально вверх с начальной
скоростью а м/с. Закон его движения определяется уравнением х =
.2
= at— У—. На какой высоте ж снаряд будет через t секунд? Вычислить
скорость и ускорение движения. Через сколько секунд снаряд достиг-
достигнет наивысшей точки и на каком расстоянии от Земли?
2592.	Тело с высоты 10 м брошено вертикально вверх с начальной
скоростью 20 м/с. На какой высоте х оно будет через t секунд? Вы-
Вычислить скорость и ускорение движения. Через сколько секунд тело
достигнет наивысшей точки и на какой высоте?
2593.	Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом,
за t секунд поворачивается на угол ср = а + Ы — ct2, где а, 6, с —
положительные постоянные. Вычислить угловую скорость и ускоре-
ускорение вращения. Когда колесо остановится?
2594.	Изменение силы тока J в зависимости от времени t выра-
выражается уравнением J = 2t2 — Ы (J — в амперах, t — в секундах).
Вычислить скорость изменения силы тока в конце 10-й секунды.
6. Исследование функций с помощью производной
2595.	Исследовать на возрастание и убывание функции:
1)	у = х2; 2) у = х3.
2596.	1) Показать, что функция у = х3 + х возрастает при лю-
любых х.
2)	Показать, что функция у = — на интервале — ос < х < 0 убы-
убывает.	х
Найти интервалы возрастания и убывания функций B597-2601).
2597.	1) у = 1 + х2; 2) у = х2-8х + 12.
2598.	1) у = 2х2-4х + Ь; 2) у = х4 -32ж + 40.
2599.	1) у = х3-6х2+4; 2) у = 2х3 -9х2 + 12ж - 15.
2600.	1) y = sinx; 2) y = x + cosx.
2601.	1) y = tgx; 2) y = ctgx.
2602.	1) Показать, что функция у = ех возрастает при любом х.
2) Показать, что функция у = arctgx — х убывает при любом х.
Найти интервалы возрастания и убывания функций B603-2608).
2603.	1I/ = --; 2) у= 1
Зх-2

§ 30. Предел и производная функции. Исследование функции	165
2604.	1) у = -^; 2) у = ^-.
1 + Ж	Х
2605.	1) 2/ = л/ж; 2) у = Vx-x2.
2606.	1) у = е~х; 2) у = х - ех.
2607.	?/ = x-
2608.	1) з/ 1пж; 2) ?/ 1пж
Найти экстремумы функций и построить их графики B609-2628).
2609.	1) у = х2-х; 2) у = х2-
2610.	1) у = -х2-х + 6; 2) у =
2611.	1) у = х3-3х2; 2) у = 1х3-Ах.
з	3
2612.	1) 2/ = — -2ж2 + Зж + 1; 2) у = 9- 24ж + 15ж2 - 2х3.
2613.	1) 2/ = 0,5ж4; 2) у =-OJ
2614.	1) у = х4-8х2 + 2; 2) у = Зж4 -4ж3 -Збж2 + 60.
2615.	1) 2/ = ж5-5ж4 + 5ж3 + 1; 2) у = (х - 1K(х - 2J.
2616.	1) ?/ = | + -; 2) 2/ = -Цг.
2 ж	ж — 2
2617.	1) j/ = i^-; 2) г/ =
2618-
2619.	1)	у=ж-6%+13; 2) » =
2620.	1)	2/ = ^ж2-1; 2) ?/ = 2x-
2621.	1)	у = ху/1-х; 2) ^/ =
2622.	1)	y = x + cos2x @; тг); 2) ^ = si
2623.	1)	2/ = 4x-tgx ("f;f); 2) y = 2x + ctgx (О;тг).
2624.	1)	g/= 1 + 1пж; 2) ?/ = x-ar
2625.	1)	y = xe~xl2] 2) у = е"*2.
2626.	1)	?/ = ж1пж; 2) 2/ = —-
2627.	1) 2/ = lncosx (~f;f); 2) ^ = Vl
2628.	1) 2/ = 2tgx-tg2x; 2) 2/ = 2sinx + cos2x (-тг;тг).

166	Разд. II. Алгебра и начала анализа
Найти наименьшие и наибольшие значения функций на указанных
отрезках B629-2640).
2629.	у = х3, [-1;3]. 2630. ?/ = 8-0,5ж2, [-2; 2].
2631.	2/ = ж2-4ж + 3, [0;3]. 2632. у = 6х2-х3, [-1;6].
2633.	2/ = -ж3 + 9ж2-24ж + 10, [0;3].
2634.	?/ = -Зж4 + 6ж2-1, [-2; 2].
2635.	у = х + 2у/х, [0;4]. 2636. у = \/Ш- ж2, [-6; 8].
2637. 2/ = ^J, [0;4]. 2638. 2/ = -^, [-л/3;л/3].
2639. у = sin 2х- ж, -¦?-; ^ . 2640. у =
7. Текстовые задачи на наименьшие и наибольшие
значения функций
2641.	1) Разложить число 10 на два слагаемых так, чтобы произ-
произведение их было наибольшим.
2) Число 8 разложить на два таких слагаемых, чтобы сумма их
кубов была наименьшей.
2642.	1) Произведение двух положительных чисел равно а. Чему
равны эти числа, когда сумма их является наименьшей?
2) Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему
числом, дает наименьшую сумму?
2643.	1) Решеткой длиной 120 м нужно огородить прилегающую
к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Установить
размеры площадки.
2) Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, впи-
вписанного в полуокружность радиуса г.
2644.	1) В треугольник с основанием а и высотой h вписан прямо-
прямоугольник наименьшей площади. Вычислить площадь прямоугольника.
2) В равносторонний треугольник с периметром Зт вписан пря-
прямоугольник наибольшей площади. Вычислить длины сторон прямо-
прямоугольника.
2645.	1) Из всех прямоугольников данного периметра 2р найти
тот, у которого диагональ наименьшая.
2) Из всех прямоугольников, вписанных в окружность радиуса R,
найти тот, который имеет наибольшую площадь.
2646.	1) Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны
по 10 см. Вычислить ее большее основание в том случае, когда площадь
трапеции является наибольшей.
2) Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного
полукругом. Периметр сечения 18 м. При каком радиусе полукруга
площадь сечения будет наибольшей?

§ 30. Предел и производная функции. Исследование функции	167
2647.	1) Даны точки Л@; 3) и БD;5). На оси Ох найти точ-
точку М так, чтобы расстояние s = AM + MB было наименьшим.
2) На окружности дана точка А. Провести хорду ВС параллель-
параллельно касательной в точке А так, чтобы площадь треугольника ABC
была наибольшей.
2648.	1) Через данную точку ЛA; 4) провести прямую так, чтобы
сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ею на координат-
координатных осях, была наименьшей.
2) Через данную точку М(хо;уо), лежащую в I квадранте, про-
провести прямую так, чтобы она образовала с осями координат треуголь-
треугольник наименьшей площади.
2649.	1) Из всех треугольников, у которых сумма основания и
высоты равна а, найти тот, у которого площадь наибольшая.
2) В окружность радиуса а вписан равнобедренный треугольник.
При каком соотношении сторон треугольник будет иметь наиболь-
наибольшую площадь?
2650.	1) Из квадратного листа стали со стороной а вырезают по
углам одинаковые квадраты и из оставшейся части сваривают пря-
прямоугольную коробку. Какова должна быть сторона вырезаемого квад-
квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим?
2) Установить размеры открытого бассейна с квадратным дном и
объемом 32 м2 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наимень-
наименьшее количество материала.
2651.	1) Открытый чан имеет форму цилиндра. При данном объ-
объеме V каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра,
чтобы его поверхность была наименьшей?
2) Найти соотношение между радиусом R и высотой Н цилиндра,
имеющего при данном объеме наименьшую полную поверхность.
2652.	1) Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который
можно вписать в шар радиуса R.
2) Найти высоту конуса наибольшего объема, который можно впи-
вписать в шар радиуса R.
2653.	Найти высоту прямого кругового конуса наименьшего объ-
объема, описанного вокруг шара радиуса R.
2654.	Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки бе-
берега; с миноносца нужно послать гонца в лагерь, расположенный в
15 км, считая по берегу от ближайшей к миноносцу точки берега. Если
гонец может преодолевать пешком по 5 км/ч, а на лодке по 4 км/ч, то
в каком пункте берега он должен пристать, чтобы попасть в лагерь в
кратчайшее время?
2655.	Прямолинейное движение тела определяется уравнением
у = —х3 + 9х2 — 24ж + 8. Найти максимальную скорость движения
тела (у — в метрах, х — в секундах).

168	Разд. II. Алгебра и начала анализа
2656.	Движение летящего вверх зенитного снаряда определяется
уравнением s = v$t — 0,5g?2. Найти наибольшую высоту подъема сна-
снаряда.
2657.	Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каковы
должны быть его стороны, чтобы объем конуса, образованного вра-
вращением этого треугольника вокруг высоты, опущенной на основание,
был наибольшим?
2658.	Известно, что сопротивление горизонтальной балки на изгиб
пропорционально произведению ширины сечения и квадрата высоты.
Из круглого бревна диаметра d нужно вырезать балку прямоуголь-
прямоугольного сечения так, чтобы сопротивление на изгиб в горизонтальном по-
положении было наибольшим.
§31. Дифференциал функции*)
Найти дифференциалы функций B659-2672).
2659.	1) у = хп; 2) у = х3 -Зж2
,2
2660.	1) y = V)Tx~2; 2) э = Ц-.
2661.	1) r = 2(p-sm2cp; 2) х = \.
ъ
2662.	1) d(sm2t); 2) d(l-cosn).
2663.	1) df^+arctg-Y 2) d(a + lna); 3)
\x	a/
4) d(arcsin-).
V	x)
2664.	y = -^n. 2665. y = ^—. 2666. 2/ =
2667. i/ = arctg-. 2668. у = e~x . 2669. y = xlnx-x.
a
1-х
2670. у = In	. 2671. у = r ctg (/? + cosec ip.
2672.	S = arctge*.
В последующих задачах рекомендуется, как в § 13 Приложения I,
вычислять дифференциалы, не находя предварительно производные
B673-2684).
2673.	2/ = arctgi. 2674. у = (arcsinxM. 2675. у = 2ь^х.
2676. y=\/l + sm2x. 2677. у = х3\пх. 2678. у = ctg6(х3-\-х2).
*) См. Приложение I, § 13 и формулы дифференцирования в сводной
таблице формул.

' 31. Дифференциал функции	169
2679. у = cos2у/х. 2680. у = i/1 + arctgx.
2681. т/= ™cigx	2682. 2/=
2683. 2/ = arccosB^). 2684. 2/ = (l +
2685.	Найти приращение Д?/ и дифференциал dy функции у =
= Ьх + х2 при ж = 2 и Дж = 0,01.
2686.	Сторона квадрата равна 8 см. На сколько увеличится его
площадь, если каждую сторону увеличить на:
а) 1 см; б) 0,5 см; в) 0,1 см?
Найти главную линейную часть приращения площади квадрата и
оценить относительную ошибку (в процентах) при замене приращения
его главной частью.
2687.	На сколько приблизительно увеличится объем шара, если его
радиус R = 15 см удлинить на 2 см?
2688.	С какой относительной точностью нужно измерить радиус
шара, чтобы при вычислении объема шара допустить погрешность не
более 1 %?
2689.	Определить приближенно:
1) площадь кругового кольца; 2) объем сферической оболочки.
Сравнить с их точными значениями.
Найти приближенные значения функций B690-2692).
2690.	2/ = ж3-4ж2 + 5ж + 3 при ж = 1,03.
2691.	f(x) = y/TTx при ж = 0,2.
2692.	f(x)=?h—^- при ж = 0,1.
Найти приближенные значения выражений B693-2696).
2693.	л/ЩЙ. 2694. У8776. 2695. 1пО,9.
2696.	sin29°. Указание. Следует перейти к радианной мере
угла, заменив 1° на -^-, 30° на ^.
180	6
2697.	Зная, что lg200 = 2,30103, найти lg200,4. Сравнить полу-
полученный результат с данными таблицы.
2698.	Объяснить происхождение часто применяющейся в технике
приближенной формулы
з/		b
л/а3 + Ь « а-\	2 ->
За
где |6| есть число, малое по сравнению с \а\.

170
Разд. II. Алгебра и начала анализа
§32. Неопределенный интеграл*)
2699.	В следующих равенствах заполнить пропущенные места по
смыслу:
1) d( ) — 2xdx\ 2) d( ) = x3dx;	3) d( ) =cosxdx;
4) d( ) = —; 5) d( ) = -^-;	6) d( ) =-^.
x	cos ж	1 + ж
Найти затем интегралы: \2xdx, \x3dx и т.д.
Применяя таблицу интегралов, найти следующие интегралы
B700-2726).
2700.	[ yfiUdx. 2701. [ Vx~^dx. 2702. [ ^.
J	J	) х
. \axexdx. 2705. [ -^L
г
2703. [ l$xdx. 2704.
J
2706.
2709.
2711.
2713.
2716.
2718.
2707.
2708.
2gh
X\JX
dx
1 + cos x
2710.
. 2712.
. 2714. l^fidx. 2715
J
3 x 2
„е +ж dx.
3
. [
J
2717.
dx. 2719.
l + cos2a;
2721. lctg2xdx. 2722.
J
COS AX	|	cb*wc*r\ \ i 'Z i
—2	dx. 2720. | tg xdx.
cos ж-sinж
2723
. [
J
2724.
1 + "Jf. 2725. f
жA + ж )	J
2726. (arcsinx + arccosx) dx.
*) См. Приложение I, § 14.

32. Неопределенный интеграл
171
I + ж2
2730
2733
2735
2737
2739.
В задачах 2727-2804 найти интегралы, воспользовавшись обобще-
обобщением формул интегрирования.
2727. \sinxd(sinx). 2728. \tg3xd(tgx). 2729. [
J	J	J
. \(x + lI6dx. 2731. [ dx ,. 2732. [
J V У	J Bж-3M	J
. I %/(8-3xNdx. 2734. [\/8^2^d?.
. [ , m d.r. 2736. \lx\[x^+\dx.
J {/(a + бжJ	J
. | ж л/l-^2 dx. 2738. | x2 \/ж3 + 2 dx.
. 2740.
2741.
Г Fa;
J 2д/3ж
-5) da;
2744
2745.
2747
2749
2751
2754
. \^**-dx. 2748. f
. [ 	dx	2750. [
J (arcsinx) yl-ж2	J
. [
J
r
j
2756. fcos(l-2a;)rfa;. 2757.
. f
J
2746. f cos3*
2752.
cos A + In x)
2755.
cos жд/l + tga;
2753
. [
J
;-^^ dx.
2758. \e*(sme*)dx.	2759. [ ^1+^1. 2760. [
J	J l+ж J
. [ B*-3)*°.	2762. f-^-.
J ж2-Зж + 8	J 2ж-1
2761
2764
2767
. Г J^L. 2765. [
. Г \ldx2. 2768. [
2763.
2766.
Г	Г
2768. tgxdx. 2769. ctgxdx.
J	J

172	Разд. II. Алгебра и начала анализа
J	J	J 1 + COS X
2773. -^-. 2774. U ; dx. 2775.
ж In ж	x
J	J
f	f	f
2776. esin^cosxdx. 2777. a3xdx. 2778. a~xdx.
j	j	j
2779. |e*+1dx. 2780. [e^xdx. 2781. \e~x3x2dx.
j	j	j
2782e ¦ d(f)	—„ Г ^
2800.
2802. |	dx 2. 2803
2804.
f 2ж — л/arcsin
J л/1-ж2
В задачах 2805-2814 найти интегралы, выделив целую часть
подынтегральной дроби.
2805. | -^—dx. 2806. \—!—dx. 2807. \^—dx.
ж+ 4	J 2ж + 1	\ a + bx
2808. | P^dx. 2809. [ Bж-1)</ж 2gl0> [^j^da;
3—ж	J ж—2
2811. I vx:r") dx. 2812. [^^^ж.
I fl + Ж1	I T — 1
^-2—^dx. 2812. -^

' 32. Неопределенный интеграл	173
г 4	г
2813. -?—dx. 2814.
ж + 1
В задачах 2815-2831 найти интегралы, использовав прием раз-
разложения подынтегрального выражения и прием выделения полного
квадрата.
2815
. l-^rr. 2816. l-^rr. 2817. f
J x(x-l)	J x(x + l)	J
(ж + 1)Bж-3)'
Г	dx	Г ж2+1	Г	й
2818. ?	^-	г. 2819. V^^- 282°- -5—"
J (а-ж)F-ж)	J ж2_1	J ж2_7
2821. Г -^——	. 2822. Г —^—. 2823. f —^
2824. f 	^	. 2825. [ ^-^
J (ж — 1) +4	J ж
2826. [ 	^	. 2827. [ —
J ж —ж —2,5	J 4a
Г	Нт
^	^ж _ 2829.
J л/1-Bж + 3J	J
1/1-Bж + 3J	J л/4х -3-х2
2830. I	dx	2831.
л/2-6ж-9ж2
В задачах 2832-2855 найти интегралы, использовав формулы
тригонометрии для преобразования подынтегрального выражения.
2832. \cos2xdx. 2833. \sm2xdx. 2834. | ———.
J	J	J 1-со8ж
. f-^-. 2836. f!
J l + sinx	J 1
2835. f-^-. 2836. f!^?cte. 2837.
J l +	J 1 +
cte. 2837. f
+ cosx	J 1 — sin ж
2838. [ (tg2x + tg4x)dx. 2839.
1 + 81ПЖ COS Ж
2840. I cosx sinSxdx. 2841. I cos2x cosSxdx.
). cosx sinSxdx. 2841.
I. sin2xsin5xtix. 2843.
2844*). [—. 2845. [ 1~8inx dx. 2846. f
cos ж	cos ж
J	J	J
2842. sin2x sinSxdx. 2843. cosx cos2x cosSxdx.
COS Ж
*) Два способа нахождения интеграла ^-^- приведены в § 14 Прило-
Приложения I (см. с. 367-368).

174	Разд. II. Алгебра и начала анализа
с 3 1	г • 3	г
2847. C0S Х . 2848. ^LJ^dx. 2849. -^-.
J sin ж	J л/cosa	J cos x
Г	Г	Г
2850. cos3xdx. 2851. tg4xdx. 2852. sm^xdx.
Г	Г	Г A
2853. sin4xdx. 2854. tg3xdx. 2855. -T^-.
J	J	J sin x
В задачах 2856-2876 найти интегралы, применяя подстановку.
г	г з
2856. 	ж	(подстановка л/х + l = t). 2857. ^ ж -
2858. 	7т dx (подстановка х — 2 = t). 2859.
J (x-2K	K	J
'. l*+^f. 2861.
2863. -^-dx. 2864. |
I ж + 1	I
ж v x + 1
2860. I ifL^Z^L. 2861. I -^. 2862. ' ^
2866
2868
—-j^=^	 (подстановка \/ax + b = t).
J л/аж + 6 + ?тг
f л/ж dx	f
—^z——= (подстановка x = z6). 2867.
j у dj у dj	j
—=.—jj=. 2869.			dx (подстановка х —
Г 2ж i	Г	i
I 6 dx	л	I от
(подстановка ex + t = z4). 2871.
2872.	ax. 2873.	ax. 2874. —-j^=^
Ж In Ж	81ПЖ-СО8Ж	л/^3 ,
J	J	v ^ — *•
Г	5 /	Г I
2875. —s	s-. 2876. w-	dx (подстановка х = 2sin
J (ж2-4J	J V 2~x
§ 33. Определенный интеграл
В задачах 2877-2897 вычислить интегралы.
2	3	тг/2
2877. [ (x2 + ^j)dx. 2878. \ex/3dx. 2879. [
J V	J	J

' 33. Определенный интеграл	175
Л/3	Тг/6
dx
2880. \(x2-ax)dx.	2881. Г xdx 2882. Г
J	J л/4-Ж2	J COS"
0	0	тг/8
tt/2	tt/4	tt/2
2883.
2886
f	9	f 4	f	4
ЫП X LOo Ju UjJu . ?OO*±»	LU. Ju Щи . 4ооЭ»	LOo J
J	J	J
0	0	0
1	2	тг/2
. [vTTxdx. 2887. \e1/x^r. 2888. [ ^Ж .
J	J	x2	J 1 + cosx
0	1	-тг/2
2/тг	-13	9
2889. | sini~. 2890. |	^Ж	2891. |
()
1/тг	2 v V	У	4
тг/2	16
/
. f sinf^-
2892. f sinf^-^old*. 2893.
J	V J
Vx + 9 -y/x
0	о
1	2a
2894. [(еж-1Lеж^. 2895. f 4^ (b>a>0).
J	J 26-ж
о	о
l
2896. \ X2dx 2. 2897. f	da?
о	l ^
В задачах 2898-2913 вычислить	площади фигур, ограниченных
следующими линиями.
2898. у = 4-х2, у = 0. 2899.	у = 3-2х-х2, у = 0.
2900. у = 6х-х2, 2/ = 0. 2901.	2/ = ж3, 2/= 8, ж = 0.
2902. ж2/ = 4, ж = 1, ж = 4, 2/= 0. 2903. 2/ = 1пж, ж = е, 2/= 0.
2904. 4^/ = ж2, ?/2 = 4ж. 2905.	ху = 6,
з
2906. у = х2, у = ^/х~. 2907. ?/ = ж2, 2/ = —.
2908.	7ж2 = 9?/-9, 5ж2 = 9?/-27.
2909.	Вычислить площадь фигуры, заключенной между парабо-
параболой у = — х2 + 4х — 3 и касательными к ней в точках @; —3) и C; 0).
2910.	ж2 + 2/2 = 8, у — х2 (площади обеих частей).
2911.	2/= ^-2, 2/ = ^-- 2912. у = х3, ж = 0, 2/= 1, 2/= 2.
1 + ^
2913. у = ?, У = 2а-?, а>0.

176	Разд. II. Алгебра и начала анализа
2914.	Определить равнодействующую силу от давления воды на
вертикальные прямоугольные ворота шлюза с основанием 8 м и высо-
высотой 6 м. Определить также равнодействующую силу от давления на
нижнюю половину этих ворот.
2915.	Определить равнодействующую силу от давления воды на
вертикальную треугольную площадку с высотой /г, основание кото-
которой а параллельно поверхности воды, а противоположная вершина
находится на поверхности воды.
2916.	Найти центр тяжести полукруга х2 + у2 = а2, отсеченного
осью Ох.
2917.	Найти координаты центра тяжести площади фигуры, огра-
ограниченной линиями у = 4 — х2 и у = 0.
2918.	Вычислить работу, которую нужно затратить на выкачива-
выкачивание воды из цилиндрического бассейна с радиусом основания 0,5 м,
если в начальный момент уровень воды в бассейне равен 2,8 м и на
0,2 м ниже выпускающего воду отверстия в цилиндре.
2919.	Вычислить работу, которую нужно затратить на выкачи-
выкачивание воды из полу шара с радиусом R м.
2920.	За какое время вода, наполняющая цилиндрический сосуд
с площадью основания Si = 420 см2 и высотой Н = 40 см, вытечет
через отверстие на дне площадью S2 = 2 см2?
Указание. Скорость истечения жидкости при уровне ее на вы-
высоте х см определяется по формуле v = fi^/2gx, где /i — коэффи-
коэффициент, зависящий от вязкости жидкости, формы сосуда и отверстия.
Здесь \i — 0,6.

Раздел III
ГЕОМЕТРИЯ. ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 1. Начальные понятия геометрии
1.	От ели длиной в 20 м отрезали два толстых бревна по 6 м и
одно тонкое бревно (подтоварник), длина которого равна - толстого.
Какую часть ели (по длине) составляет оставшаяся (хвостовая) часть
ее (в процентах)?
2.	Построить прямую и отметить на ней три несовпадающих точ-
точки Л, В, С. Сколько различных отрезков и различных лучей (полу-
(полупрямых) определяют на этой прямой отмеченные точки?
3.	Какую длину может иметь отрезок, если концы его соединены
ломаной, звенья которой имеют длины: 3 см, 2 см, 4,5 см?
4.	Отрезок ЛВ не имеет общих точек с прямой а. Как расположе-
расположены точки Л и В относительно прямой а?
5.	В полуплоскости с границей / даны две точки. Пересекает ли
прямую / ломаная, соединяющая эти точки? Выполнить рисунок.
6.	На сколько частей разбивают плоскость две несовпадающие
прямые (рассмотреть различные случаи взаимного расположения пря-
прямых)? Показать эти части на рисунках.
7.	Сколько различных углов определяют две пересекающиеся
прямые?
8.	Построить три луча с общим началом.
Сколько различных углов они определяют?
9.	На прямой / лежат точки М, Л, В, L
(рис. 1).
1)	Суммами каких отрезков являются от-
отрезки ML, AL, MB?	M,
2)	Разностями каких отрезков являются от-
отрезки BL, МА,МВ?
Рассмотреть несколько случаев и записать	Рис. 1
ответ в виде формул.
10.	На плоскости дана окружность с центром в точке О и радиу-
радиусом, равным 3. Как расположены относительно окружности точки
Л, В, С той же плоскости, если расстояния их от точки О равны
соответственно 2, 5, 3?
12 В. А. Бачурин

178	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
11.	Даны прямой угол и угол в 30° с общей вершиной и общей
стороной. Сколько градусов может иметь угол, который:
1) является общим этих углов; 2) объединяет эти углы?
Для каждого случая дать соответствующий рисунок.
12.	Найти на линии железной дороги (имеющей прямолинейную
часть) место для постройки станции, которая была бы одинаково уда-
удалена от пунктов А и В. Рассмотреть различные варианты расположе-
расположения пунктов Л и В относительно железной дороги.
13.	Внутри угла ВАС найти точку М, равноотстоящую от его
сторон и такую, чтобы отрезки МС и С В были равны между собой.
14.	Разделить данный отрезок на 2, 4, 8 равных частей.
15.	По заданным сумме и разности двух отрезков построить эти
отрезки.
16.	Через точку, данную вне угла, провести такую прямую, кото-
которая отсекала бы на сторонах угла равные отрезки, считая от его
вершины.
17.	Внутри угла ABC найти точку М, равноотстоящую от его
сторон и такую, чтобы отрезки МС
и MB были равными.
18. Пересекающиеся прямые тип
образуют четыре полуплоскости. Общая
часть (пересечение) двух полуплоскос-
полуплоскостей показана на рис. 2. Требуется вы-
выполнить еще три рисунка, иллюстри-
иллюстрирующих другие варианты пересечения
Рис. 2	полуплоскостей.
19.	Показать на рисунках общую часть двух пересекающихся
фигур:
1) полуплоскости и круга; 2) двух кругов.
20.	Показать, что треугольник можно получить в результате пре-
пресечения следующих фигур:
а) трех полуплоскостей; б) двух углов;
в) угла и полуплоскости.
§ 2. Начальные понятия геометрии (продолжение)
21.	От точки М отложены на одной прямой и в одном направлении
два отрезка: |M7V| = 100 см и \МР\ = 160 см. Найти расстояние между
серединами этих отрезков.
22.	Отрезок АВ равен 2,8 м. Найти расстояние между серединой
2	4
этого отрезка и точкой, которая делит его в отношении - : —.
3	15

§ 2. Начальные понятия геометрии (продолжение)	179
23.	Отрезок АВ разделен на три части в отношении 2:3:4. Рас-
Расстояние между серединами крайних частей равно 5,4 м. Вычислить
длину АВ.
24.	Отрезок АВ делится точкой С в отношении 5 : 7, а точкой D
в отношении 5 : 11; расстояние между С и D равно 10 м. Вычислить
длину АВ.
25.	Один из двух смежных углов в 1,5 раза больше другого. Найти
эти углы.
26.	Найти угол, который в т раз больше своего смежного угла.
27.	Вычислить величину смежных углов, если - одного из них
о
составляет 0,2 другого.
28.	Отношение двух прилежащих углов равно 7 : 3, а разность их
равна 72°. Являются ли эти углы смежными?
29.	Даны два прилежащих угла: острый и тупой. Прямая,
проведенная через их вершину перпендикулярно их общей стороне,
отклонена от другой стороны острого угла на - d, а от другой стороны
3	'
тупого угла на - d. Найти сумму данных углов и сделать рисунок.
30.	Разделить угол на 4 равновеликих угла.
31.	Через вершину данного угла провести вне этого угла такую
прямую, которая составляла бы равные углы со сторонами угла.
32.	Доказать, что биссектрисы двух смежных углов взаимно пер-
перпендикулярны.
33.	На боковой стороне равнобедренного треугольника построен
равносторонний треугольник; периметр этого второго треугольника
равен 45 м, а периметр первого треугольника 40 м. Вычислить осно-
основание заданного треугольника.
34.	В треугольнике одна сторона равна 1,9 м, а другая 0,7 м.
Вычислить третью сторону, зная, что она выражается целым числом
метров.
35.	В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 м, а
другая 10 м. Какая из них служит основанием?
36.	Доказать, что в равнобедренном треугольнике медианы, прове-
проведенные к боковым сторонам, имеют одинаковую длину.
37.	Периметр треугольника равен 24 см и делится высотой на два
треугольника, периметры которых 14 см и 18 см. Найти высоту этого
треугольника.
38.	Периметр равнобедренного треугольника равен р, а основание
равно а. Боковая сторона этого треугольника наряду с этим является
стороной равностороннего треугольника. Вычислить периметр второго
треугольника.
12*

180	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
39.	Четырехугольник разделен диагональю на два треугольника,
периметры которых равны 25 м и 27 м; периметр четырехугольника
равен 32 м. Найти длину проведенной диагонали.
40.	Три селения — Л, В и С — не лежат на одной прямой. Указать
на чертеже, как провести из Л прямую дорогу между селениями В
и С на равных расстояниях от них.
41.	Построить равнобедренный треугольник:
а)	по основанию и боковой стороне;
б)	по основанию и прилежащему углу;
в)	по боковой стороне и углу при вершине;
г)	по боковой стороне и углу при основании.
42.	Построить прямоугольный треугольник:
а) по двум катетам; б) по катету и гипотенузе;
в) по катету и прилежащему острому углу.
43.	Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и ост-
острому углу.
44.	Через точку, данную внутри угла, провести такую прямую,
которая на сторонах угла отсекает отрезки равной длины от вершины.
45.	Доказать, что в прямоугольном равнобедренном треугольнике
катет больше половины гипотенузы.
46.	Доказать, что любая сторона треугольника меньше его полу-
полупериметра.
47.	Доказать, что медиана треугольника меньше его полупери-
полупериметра.
48.	Доказать, что сумма диагоналей четырехугольника меньше
его периметра, но больше полупериметра.
49.	В треугольнике найти точку, равноудаленную от всех трех
сторон.
50.	В треугольнике найти точку, равноудаленную от всех трех
вершин.
51.	Сколько диагоналей можно провести из одной вершины:
1) пятиугольника; 2) десятиугольника; 3) п-угольника?
52.	Сколько получится треугольников, если провести все диаго-
диагонали из одной вершины:
1) шестиугольника; 2) восьмиугольника; 3) п-угольника?
53.	Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Сколько раз-
различных прямых можно провести через эти точки, беря их попарно?
54.	Сколькими прямыми можно соединить попарно 4 точки, из
которых никакие три не расположены на одной прямой? Тот же воп-
вопрос относительно 5 точек, 20 точек и п точек.
55.	Сколько всего диагоналей можно провести в п-угольнике?

§ 2. Начальные понятия геометрии (продолжение)	181
56.	Сколько сторон имеет многоугольник, если число всех его диа-
диагоналей в т раз больше числа сторон? (т = 0,5; 1; 2; 2,5).
57.	На данной прямой найти точку, одинаково удаленную от двух
данных точек (вне прямой).
58.	На прямой, пересекающей стороны угла, найти точку, одина-
одинаково удаленную от сторон этого угла.
59.	Дан треугольник ЛВС. На биссектрисе угла Л найти точку,
равноудаленную от вершин В и С.
60.	Даны угол и точка М внутри угла. Найти такую точку, кото-
которая была бы одинаково удалена от обеих сторон угла и отстояла бы
от точки М на данное расстояние а.
61.	Две параллельные прямые пересечены третьей прямой. Один
из внутренних односторонних углов в 3 раза больше другого. Вычис-
Вычислить величину всех восьми углов.
62.	Один из внутренних углов, образованных при пересечении
3
двух параллельных прямых третьей, равен 1 - d. Под каким углом его
8
биссектриса пересекает другую параллельную прямую?
63.	Даны два угла с параллельными сторонами; один из них
на 90° больше другого. Какова величина каждого угла?
64.	Даны два угла с перпендикулярными сторонами; один из них
в 4 раза меньше другого. Найти величину каждого угла.
65.	Найти угол при вершине треугольника, если угол между пер-
перпендикулярами к боковым сторонам равен 130°.
66.	В равнобедренном треугольнике угол при основании равен - d.
Найти острый угол между биссектрисами неравных углов.
2
67.	Найти углы треугольника, зная, что один из них составляет -
4	3
другого и - третьего,
о
68.	В треугольнике ЛВС внешний угол при вершине В в три раза
больше угла Л и на 40° больше угла С. Найти углы треугольника.
69.	В равнобедренном треугольнике угол между основанием и
высотой, опущенной на боковую сторону, равен 48°. Найти углы треу-
треугольника.
70.	Биссектриса угла при вершине треугольника составляет с ос-
основанием угол 98° и равна одной из боковых сторон. Вычислить углы
треугольника.
71.	Один из углов треугольника равен 60°; каков острый угол,
образованный биссектрисами двух других углов треугольника?
72.	В треугольнике ЛВС биссектрисы углов пересекаются в точ-
точке М. Найти угол ЛВС, если он составляет половину угла ЛМС.

182	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
73.	Найти величину угла треугольника, если биссектрисы двух
других его углов образуют при пересечении угол 70°.
74.	В равнобедренном треугольнике угол между высотой и боко-
боковой стороной на - d меньше угла при основании. Вычислить углы
треугольника.
2
75.	В прямоугольном треугольнике один из острых углов -d, a
сумма гипотенузы с меньшим катетом 1,8 м. Найти гипотенузу.
76.	В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 45°,
а основание длиннее высоты, опущенной на основание, на 9 см. Вы-
Вычислить основание и высоту.
77.	Углы треугольника относятся, как 1:2:3. Сумма меньшей и
большей сторон равна 7,2 см. Вычислить большую сторону.
78.	В прямоугольном треугольнике угол В равен 30°, катет АС
равен 3,5 см. На какие отрезки делит гипотенузу высота, опущенная
на нее?
79.	Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 5°.
Найти острый угол между гипотенузой и биссектрисой прямого угла.
80.	В треугольнике ABC из вершины С проведены биссектрисы
внутреннего и внешнего углов: первая биссектриса образует со сто-
роной АВ угол — d. Какой угол образует с АВ вторая биссектриса?
81.	Отрезок, соединяющий точку пересечения серединного пер-
перпендикуляра к гипотенузе с катетом и конец другого катета, делит
угол треугольника в отношении 2 : 5 (меньшая часть при гипотенузе).
Найти этот угол.
82.	Найти углы четырехугольника, из которых два относятся, как
4
5 : 7, третий равен их разности, а четвертый меньше третьего на — d.
83.	Доказать, что в прямоугольном треугольнике длина медианы,
проведенной к гипотенузе, составляет половину длины гипотенузы.
84.	Доказать обратную теорему: если длина медианы составляет
половину длины стороны, к которой она проведена, то треугольник
прямоугольный.
85.	Как изменится сумма углов многоугольника, если число его
сторон увеличить на 5?
86.	Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма его внут-
внутренних углов равна:
1) 30d; 2) 48d; 3) 57d?
87.	В каком многоугольнике сумма внутренних углов равна сум-
сумме внешних углов?
88.	Найти число сторон многоугольника, если сумма его внутрен-
внутренних углов в т раз больше суммы внешних углов (т = 1, 2, 3).

§ 3. Параллелограмм и трапеция	183
89.	Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма его внут-
внутренних углов вместе с одним из внешних равна 23d?
90.	Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине равно-
равнобедренного треугольника параллельна основанию.
91.	Доказать, что если из вершины угла треугольника, лежащего
между неравными сторонами, проведены медиана и биссектриса, то
длина медианы больше.
92.	Дан острый угол прямоугольного треугольника; построить дру-
другой острый угол этого треугольника.
93.	Построить треугольник по двум сторонам и медиане, прове-
проведенной к одной из них.
94.	Построить треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной
на третью сторону.
95.	Построить треугольник по двум сторонам и углу, противоле-
противолежащему одной из них.
96.	Через данную точку между двумя данными параллельными
прямыми провести отрезок, равный данному.
97.	Построить прямоугольный треугольник по данным острому
углу и противолежащему катету.
98.	Построить равнобедренный треугольник по углу при вершине
и основанию.
99.	Построить равносторонний треугольник по его высоте.
100.	Построить угол в - d = 30°.
о
§ 3. Параллелограмм и трапеция
101.	Две стороны параллелограмма относятся, как 3:4, а периметр
его равен 2,8 м. Найти стороны.
102.	Стороны параллелограмма равны 8 см и 3 см; биссектрисы
двух углов параллелограмма, прилежащих к большей стороне, делят
противолежащую сторону на три части. Найти каждую из них.
103.	Доказать, что всякий четырехугольник, диагонали которого
взаимно делятся пополам, есть параллелограмм.
104.	Построить параллелограмм, стороны которого даны, если вы-
высота, проведенная из вершины тупого угла, делит противолежащую
сторону пополам.
105.	Построить параллелограмм:
1)	по двум диагоналям, равным 6,0 см и 5,0 см, и одной из сторон,
равной 4,5 см;
2)	по основанию, равному 2,0 см, высоте, равной 1,5 см, и диаго-
диагонали, равной 3,2 см.

в
л
/ \
/ \
/
/ ^
/^
\
\
\f
Е
\
.А
(
^^ /
/
\ /
\ /
V
184	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
106.	Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 дм.
Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две
прямые, параллельные боковым сторонам. Вычислить периметр по-
получившегося параллелограмма.
107.	В параллелограмме угол между высотами, проведенными из
вершины острого угла, равен 1 — d. Вы-
Вычислить углы параллелограмма.
108. Середины Е и F параллель-
параллельных сторон ВС и AD параллелограмма
ABCD соединены прямыми с вершина-
ми D и В (рис. 3). Доказать, что эти
прямые делят диагональ на три равные
части.
109.	Из произвольной точки основания равнобедренного треуголь-
треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Доказать,
что периметр получившегося параллелограмма не зависит от положе-
положения точки и равен сумме боковых сторон треугольника.
110.	В прямоугольнике найти угол между меньшей стороной и
1 ,
диагональю, если он на - а меньше угла между диагоналями, опира-
о
ющегося на ту же сторону.
2
111.	В прямоугольнике диагонали пересекаются под углом -d.
о
Сумма обеих диагоналей и обеих меньших сторон равна 3,6 м. Вычис-
Вычислить длину диагонали.
112.	Дан прямоугольник; перпендикуляр, опущенный из вершины
на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении 3:1. Найти
угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.
113.	В прямоугольный треугольник, каждый катет которого ра-
равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий
угол. Найти периметр прямоугольника.
114.	В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан пря-
прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две
другие — на катетах. Найти стороны прямоугольника, если известно,
что они относятся, как 5 : 2, а гипотенуза треугольника равна 45 см.
115.	Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на
его диагональ, делит ее в отношении 1 : 3. Вычислить длину диагона-
диагонали, если известно, что точка ее пересечения с другой диагональю уда-
удалена от большей стороны на 2 м.
116.	Построить прямоугольник:
1)	по основанию, равному 2,4 см, и диагонали, равной 3,1 см;
2)	по диагонали, равной 4,2 см, и углу между диагоналями, рав-
равному 135°.

§ 3. Параллелограмм и трапеция	185
117.	Найти на данной прямой АВ точку, которая находится на
расстоянии т (= 2 см) от другой данной прямой CD.
118.	Найти точку, находящуюся на равном расстоянии от двух
данных точек и на расстоянии а (= 6 см) от данной прямой.
119.	Внутри данного угла найти точку, находящуюся на расстоя-
расстояниях т (= 1 см) и п (= 2 см) от сторон угла.
120.	Внутри данного угла построен другой, одноименный угол,
стороны которого параллельны сторонам данного и равноотстоят от
них. Доказать, что биссектрисы обоих углов совпадают.
121.	Разделить пополам угол, вершина которого не помещается на
чертеже.
122.	Между сторонами данного острого угла поместить отрезок
данной длины так, чтобы он был перпендикулярен одной стороне
угла.
123.	1) Какие определения можно дать ромбу?
2) Сколькими элементами и какими определяется ромб?
124.	Доказать, что:
1)	всякий параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпен-
перпендикулярны, есть ромб;
2)	всякий параллелограмм, у которого диагональ делит угол по-
пополам, есть ромб.
125.	Сторона ромба образует с его диагоналями углы, разность
3
которых равна — d. Вычислить углы ромба.
126.	Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, отно-
относятся, как 5:4. Найти углы ромба.
127.	Периметр ромба равен 8 см, высота 1 см. Найти тупой угол
ромба.
128.	В ромбе высота и меньшая диагональ, проведенные из одной
вершины, образуют между собой угол 15°. Найти высоту ромба, если
его периметр равен 1 м.
129.	Вычислить периметр ромба, высота которого равна 8 см, а
тупой угол в 5 раз больше острого.
130.	Построить ромб:
1)	по стороне, равной 2,7 см, и диагонали, равной 6,0 см;
2)	по диагонали, равной 5 см, и противолежащему углу, равно-
равному 120°.
131.	Построить квадрат по диагонали, равной 3,8 см.
132.	Из точки пересечения диагоналей ромба опущены перпенди-
перпендикуляры на его стороны. Доказать, что основания этих перпендикуля-
перпендикуляров являются вершинами вписанного прямоугольника.

186	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
133.	В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квад-
квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а другие
две — на катетах. Найти сторону квадрата, если известно, что гипо-
гипотенуза равна 3 м.
134.	Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его служит диаго-
диагональю другого квадрата. Найти сторону последнего.
135.	Доказать, что биссектрисы углов прямоугольника при пере-
пересечении образуют квадрат.
136.	Стороны прямоугольника равны 1 см и 3 см. Вычислить диа-
диагонали четырехугольника, образованного биссектрисами внутренних
углов.
137.	В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне
квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямо-
прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найти стороны этого
прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что
диагональ квадрата равна 12 м.
138.	Стороны треугольника относятся, как 3:4:6. Соединив сере-
середины всех сторон, получим треугольник с периметром в 5,2 м. Найти
стороны данного треугольника.
139.	По разные стороны от данной прямой МN даны две точки Л
и В на расстояниях 10 дм и 4 дм от нее. Найти расстояние середины О
отрезка АВ от данной прямой.
140.	Высота равностороннего треугольника равна 6 дм. Найти
проекцию данной высоты на другую высоту.
141.	Через вершину тупого угла тупоугольного треугольника
проведена вне его прямая; проекции прилежащих к тупому углу сто-
сторон на эту прямую равны 4 см и 2 см. Найти проекции всех медиан
на ту же прямую.
142.	Внутри произвольного угла взята точка М. Провести через
точку М прямую так, чтобы отрезок ее, заключенный между сторо-
сторонами угла, делился в точке М пополам.
143.	Боковая сторона трапеции разделена на 6 частей одинако-
одинаковой длины, и из точек деления проведены к другой боковой стороне
отрезки, параллельные основанию. Вычислить длины этих отрезков,
если основания трапеции равны 10 см и 28 см.
144.	Основания трапеции относятся, как 7 : 3, а их разность рав-
равна 3,2 м. Найти длину средней линии трапеции.
145.	Средняя линия трапеции равна 8 дм и делится диагональю
на два отрезка, разность между которыми 2 дм. Найти основания
трапеции.

§ 3. Параллелограмм и трапеция	187
146.	Найти отношение между параллельными сторонами трапе-
трапеции, в которой средняя линия делится двумя диагоналями на 3 равные
части.
147.	Меньшее основание равнобочной трапеции и боковая сторона
имеют одинаковую длину, а диагональ перпендикулярна боковой сто-
стороне. Найти углы трапеции.
148.	В равнобочной трапеции большее основание равно 2,7 м, бо-
боковая сторона 1 м, угол между ними 60°. Найти меньшее основание.
149.	В равнобочной трапеции острый угол равен 45°, высота ее /г,
средняя линия т. Найти основания.
150.	В равнобочной трапеции высота равна 10 см, а диагонали
взаимно перпендикулярны. Найти среднюю линию.
151.	Прямоугольная трапеция делится диагональю на два тре-
треугольника: равносторонний со стороной а и прямоугольный. Найти
среднюю линию трапеции.
152.	В прямоугольной трапеции меньшее основание равно а,
большая боковая сторона 6, острый угол 60°. Найти среднюю линию.
153.	В равнобочной трапеции диагонали служат биссектрисами
ее острых углов. Доказать, что тупой угол трапеции равен тупому
углу между ее диагоналями.
154.	Построить трапецию:
1)	по двум боковым сторонам, равным 1,5 см и 2 см, и основани-
основаниям, равным 5 см и 2,3 см;
2)	по одному из оснований, равному 4,8 см, высоте, равной 3,2 см,
и двум диагоналям, равным 4,2 см и 5 см.
155.	Построить трапецию:
1)	по четырем сторонам (всегда ли построение возможно?);
2)	по двум основаниям и по двум диагоналям (каково условие воз-
возможности построения?).
156.	Определить вид четырехугольника, вершинами которого слу-
служат середины сторон данного:
1) четырехугольника; 2) параллелограмма;
3)	прямоугольника; 4) ромба; 5) квадрата; 6) трапеции.
157.	На основании равнобедренного треугольника взята точка.
Доказать, что сумма расстояний этой точки от обеих боковых сторон
равна длине высоты, опущенной на боковую сторону.
158.	На продолжении основания равнобедренного треугольника
взята точка. Доказать, что разность расстояний этой точки от боко-
боковых сторон равна длине высоты, опущенной на боковую сторону.
159.	Доказать, что середины сторон выпуклого четырехугольни-
четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

188	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
160.	Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей
трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности.
§ 4. Окружность и круг
161.	На сторонах угла ЛВС, равного 120°, отложены отрезки
\ВА\ = \ВС\ = 4 см. Провести окружность через точки А, В и С и
вычислить длину ее радиуса.
162.	Провести окружность, которая проходит через две данные
точки и центр которой находится на данной прямой.
163.	Построить окружность, проходящую через две данные точ-
точки Л и Б так, чтобы угол между радиусом, проведенным в точку Л,
и хордой АВ был равен 30°.
164.	Наименьшее расстояние данной точки от окружности рав-
равно а, а наибольшее равно Ь. Найти радиус (два случая).
165.	Доказать, что кратчайшее расстояние между двумя окруж-
окружностями, лежащими одна вне другой, есть отрезок линии центров,
заключенный между окружностями.
166.	Из точки, данной на окружности, проведены две хорды; каж-
каждая из них имеет длину, равную радиусу. Найти угол между ними.
167.	В круге даны две взаимно перпендикулярные хорды; каждая
из них делится другой на два отрезка в 3 см и 7 см. Найти расстояние
каждой хорды от центра.
168.	В круге радиуса R даны два взаимно перпендикулярных
диаметра; произвольная точка окружности спроектирована на эти
перпендикуляры. Найти расстояние между проекциями точки.
169.	Концы диаметра удалены от касательной на 1,6 м и на 0,6 м.
Вычислить длину диаметра.
170.	Показать, что середины всех хорд данной длины, проведен-
проведенных в данной окружности, лежат на некоторой другой окружности.
171.	Доказать, что из всех хорд, проходящих через точку Л, взя-
взятую внутри круга, наименьшей будет та, которая перпендикулярна
диаметру, проходящему через А.
172.	Через данную в круге точку провести хорду, которая делится
этой точкой пополам.
173.	В круге проведены две равные параллельные между собой
хорды, расстояние между которыми равно радиусу круга. Найти
острый угол между прямыми, соединяющими концы хорд.
174.	Дана окружность радиуса R = 1 дм; из внешней точки М
к ней проведены две взаимно перпендикулярные касательные МА

' 4- Окруэюность и круг	189
и MB (рис. 4). Между точками касания Л и Б на дуге АВ взята
произвольная точка С, и через нее проведена третья касательная KL,
образующая с касательными МА и MB
треугольник KLM. Найти периметр это-	к М
го треугольника.
175. В прямой угол вписан круг;	С
хорда, соединяющая точки касания, рав-
равна 2 дм. Найти расстояние этой хорды
от центра круга.
176.	Даны две окружности, их об-
общие внутренние касательные взаимно	У
перпендикулярны; хорды, соединяющие
точки касания, равны 3 см и 5 см.	Рис. 4
Вычислить расстояние между центрами.
177.	Даны две окружности радиусов R и г, одна вне другой; к
ним проведены две общие внешние касательные. Найти их длину
(между точками касания), если их продолжения образуют прямой
угол (R> г).
178.	Дан угол в 30°. Построить окружность радиуса 2,5 см, ка-
касающуюся одной стороны этого угла и имеющую центр на другой его
стороне. Вычислить расстояние центра окружности от вершины угла.
179.	Построить окружность, которая касалась бы сторон данного
угла, причем одной из них — в данной точке.
180.	Между двумя параллельными прямыми дана точка; провес-
провести окружность, проходящую через эту точку и касающуюся данных
прямых.
181.	Даны две параллельные прямые и секущая. Провести ок-
окружность, касающуюся всех трех прямых.
182.	Данным радиусом описать окружность, проходящую через
данную точку и касательную к данной прямой.
183.	Даны две окружности — одна внутри другой; через их цент-
центры в большем круге проведен диаметр, который меньшей окруж-
окружностью делится на три части: 5 см, 8 см, 1 см. Найти расстояние
между центрами.
184.	Даны две концентрические окружности; в большей окруж-
окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, касательные
к меньшей; каждая из хорд делится другой на две части: 3 см
и 7 см. Найти радиус меньшей окружности.
185.	Радиусы двух концентрических окружностей относятся,
как 7 : 4, а ширина кольца равна 12 см. Найти радиус меньшей окруж-
окружности.

190	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
186.	Если пересечь две концентрические окружности секущей, то
части секущей, лежащие между окружностями, равны между собой.
Доказать это утверждение.
187.	Три равных окружности радиуса R касаются друг друга
извне. Найти стороны и углы треугольника, вершинами которого
служат точки касания.
188.	Вписать в данную окружность три равные окружности, ко-
которые касались бы попарно между собой и
данной окружности.
189.	В данную окружность, радиус кото-
которой равен 3 дм, вписано шесть равных окруж-
окружностей (рис. 5), из которых каждая касается
данной окружности и двух соседних. Найти их
диаметры.
190.	Вокруг окружности радиуса 1 дм про-
Рис. 5 ведены с наружной стороны шесть равных
окружностей, из которых каждая касается
данной окружности и двух соседних. Найти их радиусы. Сделать
рисунок.
191.	Провести окружность, которая касалась бы двух данных па-
параллельных прямых и окружности, находящейся между ними.
192.	Данным радиусом провести окружность, которая касалась
бы данной прямой и данной окружности.
193.	Провести окружность, которая проходила бы через данную
точку и касалась бы данной окружности в данной точке.
194.	Большее колесо зубчатой передачи имеет 72 зубца. Сколько
градусов окружности колеса занимает один зубец колеса вместе со
впадиной?
195.	Какую часть оборота сделает большее колесо с 72 зубцами,
когда сцепленное с ним меньшее, имеющее 24 зубца, сделает один
полный оборот?
196.	Найти угол между стрелками на часах, когда часы показы-
показывают:
1) 5 ч; 2) 3 ч 25 мин; 3) 4 ч 50 мин.
197.	Угол между двумя радиусами содержит 102°37//. Найти
угол между касательными, проведенными через концы этих радиусов.
198.	Сколько градусов и минут содержит дуга, если радиус, про-
проведенный в конец ее, составляет с хордой угол 37°23'?
199.	Хорда делит окружность в отношении 5:11. Найти величину
вписанных углов, опирающихся на эту хорду.
200.	Окружность разделена в отношении 7:11:6, и точки деле-
деления соединены между собой. Найти углы полученного треугольника.

' 4- Окруэюность и круг	191
201.	Сколько градусов содержит дуга, если перпендикуляр, прове-
проведенный к хорде из ее конца, делит дополнительную (до окружности)
дугу в отношении 5 : 2?
202.	Если в треугольнике медиана составляет половину соответст-
соответствующей стороны, то угол против этой стороны — прямой. Доказать
это с помощью вспомогательной окружности.
203.	Доказать, что всякая трапеция, вписанная в окружность, —
равнобочная.
204.	Угол при вершине равнобедренного тре-
треугольника равен 40°. Одна из боковых сторон
служит диаметром полуокружности, которая де-
делится другими сторонами на три части (рис. 6).
Найти эти части.
205.	Основание равностороннего треуголь-
треугольника служит диаметром окружности. На какие
части делятся стороны треугольника полу-
полуокружностью и полуокружность — сторонами	^" "^
треугольника? Рис. 6
206.	Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с =
= 5 см и высоте, опущенной на гипотенузу, h = 2 см.
207.	Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с =
= 3,5 см и проекции на нее одного из катетов, равной 2,9 см.
208.	Какую линию образуют середины всех хорд, пересекающих-
пересекающихся в одной точке:
1) лежащей на окружности; 2) лежащей внутри нее?
209.	Через точку касания двух окружностей проведена секущая.
Радиусы и касательные, проведенные через концы образовавшихся
хорд, соответственно параллельны. Доказать это утверждение.
210.	Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3 : 5,
проведена касательная. Найти угол между хордой и касательной.
211.	Хорда делит окружность в отношении 11 : 16. Найти угол
между касательными, проведенными из концов этой хорды.
212.	Окружность разделена в отношении 5 : 9 : 10, и через точки
деления проведены касательные. Найти больший угол в полученном
треугольнике.
213.	Найти величину описанного угла, если расстояние (кратчай-
(кратчайшее) от его вершины до окружности равно длине радиуса.
214.	Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2 см;
угол при вершине равен 120°. Найти диаметр описанной окружности.
215.	Острый угол прямоугольного треугольника равен 25°; под
какими углами видны его катеты из центра описанной окружности?

192	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
216.	Построить равнобедренный треугольник по основанию и ра-
радиусу вписанной окружности.
217.	В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится
точкой касания вписанной окружности в отношении 7 : 5 (начиная от
вершины). Найти отношение боковой стороны к основанию.
218.	В прямоугольном равнобедренном треугольнике найти ги-
гипотенузу по его полупериметру р и радиусу г вписанного круга.
219.	Вокруг данной окружности описать равнобедренный пря-
прямоугольный треугольник.
220.	Радиус круга равен 4 см. Гипотенуза описанного прямоу-
прямоугольного треугольника 26 см; найти его периметр.
221.	По двум углам построить треугольник, чтобы данный круг
оказался вписанным в него.
222.	В ромб вписана окружность. На какие четыре части она
делится точками касания сторон, если острый угол ромба равен 37°?
223.	Найти среднюю линию описанной трапеции по ее перимет-
периметру 12 см.
224.	Вокруг окружности описана равнобочная трапеция с уг-
углом 30°. Средняя линия ее равна 1 м. Найти радиус окружности.
225.	Центральный угол сектора равен 60°, а радиус равен R. Най-
Найти радиус окружности, вписанной в этот сектор.
226.	Три стороны описанного четырехугольника относятся (в пос-
последовательном порядке), как 1:2:3. Найти стороны четырехуголь-
четырехугольника, если известно, что его периметр равен 24 м.
227.	Три угла вписанного четырехугольника (в последовательном
порядке) относятся, как 1:2:3. Найти углы четырехугольника.
228.	Найти углы вписанной трапеции, если диагональ ее стяги-
стягивает дугу окружности в 140°.
229.	Две окружности, радиусы которых 4 и 8, пересекаются под
прямым углом. Найти длину их общей касательной. (Углом между
двумя пересекающимися кривыми называется угол, составленный
двумя касательными, проведенным к этим кривым в точке их пере-
пересечения.)
230.	Две вершины квадрата лежат на окружности радиуса /2, а
две другие — на касательной к ней. Найти диагональ квадрата.
Доказать теоремы (о четырех замечательных точках в треуголь-
треугольнике) B31-234).
231.	Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пе-
пересекаются в одной точке. (Эта точка является центром описанной
окружности.)

§ 5. Симметрия фигур и некоторые другие вопросы	193
232.	Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точ-
точке. (Эта точка является центром вписанной окружности.)
233.	Прямые, определяемые высотами треугольника, пересекаются
в одной точке. (Эта точка называется ортоцентром треугольника.)
234.	Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и
делятся в этой точке в отношении 2:1, считая от вершины. (Из физики
известно, что точка пересечения медиан треугольника есть его центр
тяжести; он всегда лежит внутри треугольника.)
§ 5. Симметрия фигур и некоторые другие вопросы
235.	Равны ли две фигуры, симметричные относительно:
1) данной прямой; 2) данной точки?
236.	Задает ли центральную симметрию одна пара точек плос-
плоскости? Как найти в этом случае центр
симметрии?	А	В
237.	Имеет ли центр симметрии:
а) отрезок; б) прямая; в) луч; У
г) пара пересекающихся прямых	D
(рис. 7)?
238.	Концы отрезка АВ являются точками, симметричными отно-
относительно оси /. Как расположен отрезок А В относительно этой оси?
239.	Построить фигуры, симметричные данному равносторонне-
равностороннему треугольнику ABC относительно осей (АВ), (АС), (ВС). Какую
фигуру образует объединение данной и построенных фигур?
240.	Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения
диагоналей прямоугольника, делит прямоугольник на два центрально
симметричных четырехугольника.
241.	Каким построением получаются в параллелограмме цент-
центрально симметричные точки?
242.	На прямой построить два отрезка равной длины. Каким по-
поворотом один из этих отрезков можно совместить с другим?
243.	Найти наименьший угол поворота, при котором совмещают-
совмещаются сами с собой:
1) квадрат; 2) ромб; 3) прямоугольник;
4) правильный пятиугольник.
244.	Сколько различных направлений определяет пучок парал-
параллельных прямых?
245.	В какие фигуры превращаются отрезок, луч, прямая, ок-
окружность, круг, треугольник при параллельном переносе?
13 В. А. Бачурин

194	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
246.	Лучи О А и 0\А\ сонаправлены. Сколько существует парал-
параллельных переносов, при которых луч О А совместится с лучом О\А{1
247.	Какую фигуру образует общая часть (пересечение) следую-
следующих фигур:
а)	отрезка АВ и луча АВ ([АВ] и [АВ));
б)	лучей АВ и В А ([АВ) и [В А));
в)	прямой АВ и луча АВ ((АВ) и [АВ))?
248.	Какую фигуру образует объединение следующих фигур:
1)	луча MN и прямой MN ([MN) и (MN));
2)	луча MN и отрезка MN ([MN) и [MN));
3)	луча АВ, отрезка АВ и прямой АВ ([АВ), [АВ] и (АВ))?
§ 6. Векторы
1. Основные формулы*)
249.	Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Среди лучей
АВ, ВА, BC,CB,CD, DC, AD, DA назвать пары одинаково нап-
направленных и противоположно направленных.
250.	Сколько существует различных параллельных переносов, ко-
которые какую-либо из вершин параллелограмма ABCD переводят:
а)	в смежную вершину;
б)	в одну из вершин этого параллелограмма?
251.	1) Определяется ли вектор заданием:
а) своей длины; б) направления?
Чем задается вектор, отличный от нулевого?
2) Какие векторы называются равными?
252.	Дан параллелограмм ABCD; О — точка пересечения его
диагоналей. Какие пары, составленные из точек А, В, С, D, О, опре-
определяют равные векторы?
253.	Дано: АВ = CD. Что можно сказать о векторах АС и BD?
Замечание. Не забыть рассмотреть случай, когда точки А, В,
С, D лежат на одной прямой.
254.	1) Даны вектор а и точки А, В, С. Построить векторы
АА\, ВВ\, СС\, равные вектору а.
2) Дан вектор АВ . Построить векторы CD, EF, МN, равные век-
вектору {-АВ).
255.	Проверить построение суммы векторов (рис. 8, а—г; см. также
пояснения в ответе).
256.	Проверить построение суммы и разности векторов (рис. 9):
1) а = с + Ь, 2) с — а — Ь, 3) Ь — а — с.
*) Во всех задачах рассматриваются ненулевые векторы.

§ 6. Векторы
195
Рис. 10
257.	Проверить соотношения между векторами в треугольни-
треугольнике Л Б С (рис. 10):
1) А~В = АС + СВ, 2) А~В = СВ-СА, 3) В~С = В~А + АС,
4) АВ = АС-В~С, 5) ВС = АС-АВ, 6) АВ + ВС + СА = 0.
258.	Проверить соотношения между векторами в параллелограм-
параллелограмме ABCD (рис. 11):	^ _
2) СА = -а-Ь, 3) МЛ = --^.
259.	Проверить аналитически (алгебраически) и геометрически
векторные тождества:
1) (о + 6) + (о -6) = 2а; 2) (о+ 6) - (о - 6) = 26.
260.	Проверить	аналитически и геометрически векторные тож-
тождества:
i4 а , 6 а + 6	оЧ ^ , 6 —а 6 + а
1) +	^ +
3) о-
а + b a — b
2	2 '
—>	—>¦ -¦
261.	В ромбе ABC D даны диагонали Л С = а и BD = Ь. Разло-
Разложить по этим двум векторам все векторы, совпадающие со сторонами
ромба: ЛВ; ВС; сЪ; DA.
262.	Каково взаимное расположение векторов, если имеют место
соотношения:
1) \S+b\ = \a-b\; 2)
13*

196	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
3) \a + b\ = \a\-\b\; 4) |а-6| =
263.	Может ли длина вектора а — b быть:
1) меньше; 2) равна; 3) больше суммы длин векторов а и 6?
—у —у —у
264.	Что означает векторное равенство АВ + ВС = АС?
265.	Найти сумму векторов АВ + ВС + С А.
—у —у —у
266.	Доказать, что для векторов АВ, ВС и АС имеет место нера-
неравенство А~С ^ А~В + ВС.
267.	Доказать, что для любых векторов а и b имеет место неравен-
неравенство |а + 6| ^ \а\ + |6|.
268.	Доказать векторным методом, что диагонали параллелограм-
параллелограмма могут быть взаимно перпендикулярны только при равенстве его
сторон.
269.	Доказать, что если четырехугольник ABCD — параллело-
параллелограмм, то АВ = DC .
270.	Каким условием должны быть связаны векторы а и 6, чтобы
вектор а-\-Ь делил угол между ними пополам? (Все три вектора отне-
отнесены к общему началу.)
—У	—У	—У	->
271.	Три вектора АВ = с, ВС — а, С А — b служат сторонами
треугольника. С помощью а, 6, с выразить векторы, совпадающие с
медианами треугольника: AM, BN, СР.
272.	В треугольнике предыдущей задачи выразить все медианы
только через два вектора: а и Ь.
—у
273.	Показать, что при любой выбранной точке О расстояние \АВ\
выражается формулой \АВ\ = \ОВ — О А .
—у
274.	В правильном шестиугольнике ABCDEF известны АВ = а
и ВС — Ь. Выразить через аи b векторы: CD, DE, EF', FA, AD, AE.
—у	—у
275.	В шестиугольнике предыдущей задачи даны: АВ — in, AE — п.
Разложить по этим двум векторам: AC, AD, AE, EF.
—У—У-*	—У
276.	Даны векторы О А = а, ОВ = Ь. Вектор ОС — с — медиана
треугольника ОАВ. Разложить аналитически и геометрически:
1)	вектор с по векторам а и Ь;
2)	вектор а по векторам b и с.
277.	Середины отрезков АВ и CD соединены отрезком МN. До-
Доказать, что MN = 0,5(АС + вЪ).
278.	Каково взаимное расположение векторов, если имеют место
соотношения:

' 6. Векторы	197
1) \a + b\>\a-b\; 2) \a-b\>\a + b\?
279.	Точка В делит дугу окружности АС = 90° в отношении 1:2,
точка О — центр окружности. Разложить вектор ОС = с по векто-
—У	—У	-»
рам О А = а и ОВ — Ь.
280.	Дано:|а| = 13; |6| = 19; \а + Ь\ = 24. Вычислить \а- Ь\.
281.	Дано:|о| = 11; |6| = 23; \а - Ь\ = 30. Вычислить |о + 6|.
282.	Векторы а и b образуют угол ср = 60°, причем \а\ = 5, \Ь\ =
= 8. Вычислить |а + 6| и \а — Ь\.
283.	Векторы а и b образуют угол ц> = 120°, причем \а\ = 3, |6| =
= 5. Вычислить |а + 6| и \а — Ь\.
284.	По данным векторам а и b построить векторы:
1) За; 2) -\b; 3) U+\b; 4) \а-Ы.
285.	Доказать, что сумма векторов, соединяющих центр правиль-
правильного треугольника с его вершинами, равна нулю.
286.	Даны три вектора а, 6, с. Построить векторы:
1) а + 6 + с; 2) а + 6-с; 3) а-Ь-с; 4) а + ^.
287.	Векторы а -\-Ь и а — b перпендикулярны. Доказать, что
\а\ = \Ъ\.
288.	На прямой даны три точки А, В и С. Доказать, что на этой
прямой найдется такая точка М, что МА-\-MB + МС = 0.
289.	Если в треугольнике ABC точка О является точкой пересе-
пересечения медиан, то имеет место равенство О А + ОВ + ОС = 0. Доказать
это утверждение.
290.	Дан параллелограмм ABCD. Доказать, что существует та-
такая точка М, что MA + MB + МС + MD = 0.
291.	Задать векторы АВ, AC, AD . Построить векторы:
1) АС-АВ; 2) аЪ-АС; 3) АВ - аЪ .
—>•
292.	Дан пятиугольник ABCDE. Выразить через векторы АВ,
ВС, CD, DE векторы СА, AD, EC, AE.
—у 2 —^ 1 —^
293.	Пусть ОМ = - ОА-\--ОВ. Показать, что при заданных точ-
ках А и В положение точки М не зависит от выбора точки О.
294.	Известно, что пары точек А, В и А\, В\ расположены сим-
симметрично относительно оси /. Что можно сказать о направлениях
векторов АВ + АХВ\ и АВ - АХВ{1

198
Разд. III. Геометрия. Планиметрия
295.	Какие векторы называются коллинеарными?
296.	При каких значениях числа к векторы а и ка (а ф 0) будут:
а) сонаправлены; б) противоположно направлены?
297.	При каких значениях числа п возможны следующие соотно-
соотношения:
а) \пс\ < |с|; б) \пс\ > |с|; в) \пс\ = \с\,
где с — ненулевой вектор?
298.	Указать, при каких значениях числа к вектор кс-\-с (сф 0):
а)	будет иметь то же направление, что и вектор с;
б)	будет иметь направление, противоположное направлению век-
вектора с;
в)	будет равен нулевому вектору;
г)	будет равен вектору с.
299.	Какой вектор называется единичным (ортом)?
300.	Как выразить (найти) единичный вектор:
1)	сонаправленный вектору а;
2)	противоположно направленный вектору 6?
301.	Каково взаимное расположение векторов а и Ь, если имеют
место соотношения:
«\ -> . ? -> т* ч а 6 9
1) а + о = а — о; I) —г = —\.
Ы \ъ\
302.	Записать в виде xi + yj векторы: О А, ОС, АВ, ВС, OD,
ОЕ (рис. 12), где i и j — единичные век-
векторы: |г| = \j\ = 1. (Встречается и такая
запись: а(х; у).)
303.	По условиям предыдущей за-
задачи выразить векторы:
1)	АЪ, DE, FZ), DC;
2)	ОА + оЪ, О~В + ОС, АВ + В~С,
ОА + О~В + ОС.
304.	На плоскости даны точки
Л@;-2), БD;2), СD;-2). В начале ко-
координат прилож;ены силы О А, ОВ, ОС'.
Выразить силы О А, ОВ, ОС, АВ, ВС через единичные векторы г
и j координатных осей.
305. Среди векторов
У *
5
4
3
2
1
3
О
с
к
Е
D
i 1 2 3 4
Рис.
В
-F
А
[ X
найти единичные и указать, какие из них коллинеарны.

§ 6. Векторы	199
306. 1) Вывести формулы для вычисления длины и направления
вектора:
/	A)
В(х2;у2); B)
cosa = i^-; cos/3 = -^j-;	C)
D)
\лв\	\лв\
2) Вывести формулу
cos2 a + sin2 a = 1.	E)
307.	Вычислить длину и направление вектора а =
308.	На плоскости даны точки ЛC; 3), ?(-3; 3) и С(-3; 0). В на-
чале координат приложены силы О А, О В и ОС. Построить равно-
равнодействующую ОМ, вычислить ее проекции на оси координат и ее
длину | ОМ |.
309.	Один и тот же или различные векторы определяют на ко-
координатной плоскости следующие пары точек:
а)	B;3), C;2) и (-2;3), (-3; 2);
б)	B;3), C;2) и @;0), A;-1)?
310.	Длина вектора а = bi + mj равна 13. Найти т.
311.	Найти единичный вектор (орт):
1)	сонаправленный вектору 6E; 12);
2)	противоположно направленный вектору <?F; 8).
312.	Найти вектор, сонаправленный вектору а(—1;2), так, чтобы
длина его была равна \/Т0.
313.	Найти вектор длины 3, коллинеарный вектору шG; 2).
314.	Найти координаты вектора ш, коллинеарного вектору
пC; —4), если известно, что вектор т образует с положительным
правлением оси Ох тупой угол и \т\ = 10.
315.	Найти вектор, сонаправленный вектору а и имеющий длину,
равную с, с > 0.
316.	Найти вектор, противоположно направленный вектору с =
= 12г + 5j, так, чтобы длина его была равна 12.
317.	Показать, что четырехугольник ABCD с координатами вер-
вершин Л@; 1), БA; 0), СA; 2), ?>B; 1) - параллелограмм.
318.	По трем точкам ЛA; 1), Б(-1;0), G@; 1) найти четвертую
точку D(x; у) при условии АВ = CD .

200	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
319.	Пусть а и 6 — ненулевые и неколлинеарные векторы. Пока-
-> a b	r	r^i\
зать, что вектор с = —^ + -=г направлен по биссектрисе угла (а, о).
а\ \Ь\
320.	1) Параллельный перенос переводит точку @; 0) в точку
(—2; 2). В какие точки переводит этот перенос точки:
а) A;-1); б) (-5;-4)?
2) Параллельный перенос переводит точку C; —5) в точку (—2; 4).
В какие точки переводит он точки:
а) (-3;4); б) @; 0)?
321.	Параллельный перенос переводит начало координат в точку
(—2; —3). В какую фигуру он переводит треугольник ABC с вершина-
вершинами ЛB; 2); ВD;-2); С(-1; -1)?
322.	Вычислить сумму векторов:
1) оA; -2) и 6B; -3); 2) тC; 1) и п(-2; -1).
323.	На плоскости хОу даны точки ЛD;2), ВB;3) и G@; 5) и
построены векторы ОА = а, О В = b и ОС — с. Разложить геометри-
геометрически и аналитически вектор а по векторам 6 и с.
324.	Найти вектор а — 6, если:
1) 5A; 4), 6A; 3); 2) 5A; 5), 6B; 7).
325.	На плоскости хОу построить векторы О А = а = 2г; О В =
= b = Зг + 3j и ОС = с — 2г + 6j. Разложить геометрически и анали-
аналитически вектор <?по векторам а и Ь.
326.	Вычислить длину и направление вектора с = а + 6, если:
1) 5A;-4), 6(-4;8); 2) 5A0; 7), 6B;-2).
327.	Вычислить длину и направление вектора р = т — п, если:
1)	шA5;0), п@;-8); 2) шA; -4), п(-4;8).
328.	Среди векторов оB; -4), 6A; 2), сA; -2), сГ(—2; —4) найти
пары коллинеарных векторов.
329.	Указать, какие векторы предыдущей задачи одинаково нап-
направлены, а какие противоположно направлены. Какие из этих векторов
имеют равные длины?
330.	1) Векторы аA; —1) и 6(—2; т) коллинеарны. Найти т.
2)	Векторы а(п; 1), 6D; п) коллинеарны и одинаково направлены.
Найти п.
331.	Вычислить длину вектора За, если:
1) о(-5;12); 2) а(-6;-8).
332.	Даны векторы аC; 2) и 6@; -1). Найти векторы:
2) d = 4a-b.

§ 6. Векторы	201
333.	Даны векторы аC; 2) и 6@; —1). Вычислить модули векто-
векторов:
1) 4а+ 36; 2) 5а + 106.
Найти неизвестный вектор х из уравнений C34-337).
334.	0,5? = 7о. 335.
336. 2f + 3a-56 = 0. 337. mx-ni+pj=0.
338.	На координатной плоскости даны векторы аA; —2), 6(—1; 7)
и <?C; —1). Разложить вектор р = а + Ь + с по векторам а и с.
339.	Найти числа х и у из векторного равенства B — х)а + Ь =
= у а + (х — 3) 6, где векторы а и 6 не коллинеарны.
340.	Найти число ж, если векторы (х — 1)а + 26 и a-\-xb колли-
коллинеарны, а векторы а и 6 не коллинеарны.
-»	2 -»
341.	Векторы За + жб и A — ж) а	6 сонаправлены. Найти чис-
ло ж, если векторы а и 6 не коллинеарны.
342.	Найти число х из условий: (а + ж6)(а — 6) = 0, векторы а и 6
образуют угол 120° и |6| = 2|а|.
343.	Даны векторы аA; 0), 6A; 1) и с(—1; 0). Найти такие числа х
и у, чтобы имело место векторное равенство с = xa-\-yb.
2. Скалярное произведение двух векторов
Исходя из определения скалярного произведения двух векто-
векторов а и 6:	->
ab = |a||6|cos</?,	A)
проверить равенства C44-349).
344.	гз=0; гг = 1; JJ = 1; (аJ = а2.
345.	аЬ = (х11 + у1])(х2г + у21) = х1х2 + У1У2-	B)
346.	?/??//
347.
348.	(/)/(
349.	(?+/)(?-/) = (?J - (JJ = 1-1 = 0.
350.	Проверить, справедливы ли следующие равенства:
1) а-а = а2; 2) (аJ -а = а3; 3) 5E6) = a2b; 4) аF6) = ab2;
5) (а6J = (аJFJ; 6) E + Ь)E-6) = а2 -б2.
351.	Доказать, что — |a||6| ^ ab ^ |a|H, где векторы а иЬ — нену-
ненулевые. В каких случаях здесь может иметь место знак равенства?

202	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
352.	Доказать, что для любых двух векторов а и 6 имеют место
неравенства	^о о^о	_ ^о
(abJ <С (аЧ2) <С (аJ(ЬJ.
353.	Вывести формулу
1 = cos (а, 6) =	— = —,	—у у .	C)
354.	Если а / 0 и 6 / 0, то какой угол образуют между собой эти
векторы в случаях:
1) а6>0; 2) а6 = 0; 3) ab < 0?
355.	Вывести условие коллинеарности векторов а и 6:
Ь = та, или ^ = ^_.	D)
356.	Вывести условие перпендикулярности векторов а и Ь:
а6 = 0, или axbx + ayby = 0.	E)
357.	Найти угол меж;ду векторами аA; —0,5) и 6A; 2).
358.	Проверить равенства и дать их геометрическое истолкование:
2)
359.	1) Найти число т из условия, что векторы аA; —1) и 6(—2; т)
коллинеарны.
2) При каком значении х векторы а@,2; 3) и 6(ж; —1) перпенди-
перпендикулярны?
360.	Вычислить (ш + пJ, если тип — единичные векторы с уг-
углом 30° между ними.
361.	Вычислить (а-бJ, если |о| = 2v% |6| =4 и (о, 6) = 135°.
362.	Механический смысл скалярного произведения двух векто-
векторов а и b — это работа W, которая производится силой а на пути 6
(или силой 6 на пути a): ab = W. Вычислить, какую работу произво-
производит сила рG; 2), когда точка приложения ее, двигаясь прямолинейно,
перемещается из начала координат в конец вектора <fC; —5,5).
363.	Вычислить координаты вектора Я, коллинеарного вектору
шB; —3), из условия т-п — —26.
364.	Если |о|=3, |6| = 2, (а,6) = 120°, то чему равны:
1)	(а + 6J; 2) (а + 26)Bа-6)?
365.	1) Доказать, что векторы а(т; п) и 6(—п; т) перпендику-
перпендикулярны или равны нулю.
2)	Проверить перпендикулярность векторов p = a(b-c) — c(a-b) и 6.

6. Векторы	203
366.	Вычислить координаты вектора 6, перпендикулярного век-
вектору а(—2; 1), если |6| = д/б.
367.	1) Найти угол между диагоналями параллелограмма, пост-
построенного на векторах а(8; 4) и 6D; 1).
2) Показать, что угол между диагоналями прямоугольника, пост-
построенного на векторах аи 6 (а + 6 и а — 6), определяется формулой
22
а2 + б2
—>•	—>
368. Найти угол между векторами АВ и CD, если Л(-5; 1),
)()()
369.	Точки ЛA; —1) и БC;0) определяют вектор АВ. Найти та-
такой вектор, длина которого равна 13 и который:
—>•
1)	сонаправлен вектору АВ;
2)	перпендикулярен вектору АВ .
370.	Найти тупой угол между равными медианами равнобедрен-
равнобедренного прямоугольного треугольника.
3. Задачи повышенной трудности
371.	Точки М, Л, В прямой / жестко связаны между собой, рас-
расстояния между ними известны: МА = х±; MB = x<i- Пусть в точках А
и В этой прямой приложены силы р\ и р<± перпендикулярно к ней
(рис. 13).
Требуется определить на пря-	I ^
мой / положение точки С прило-	I Pi \	¦ Р2
жения равнодействующей, т.е. вы-	М^ Ау у Ns By/ I
разить расстояние х^ — МС через	XQ С
известные величины pi,fJ, xi, %2-
Рис. 13
372.	Если в плане конструк-
конструкции самолета переднюю и заднюю кромки крыла продолжить до оси
машины, то получим на оси отрезок M7V, который называется средней
аэродинамической хордой самолета и обозначается МN = ?сах-
Пусть прямая / предыдущей задачи является осью самолета.
Положения точек М, Л, TV, В на ней известны. В точку Л проекти-
проектируется середина оси передних колес, в точку В — середина оси зад-
задних колес (точки Л и В — середины точек опоры самолета). Силу р\
покажут весы, подставленные под передними колесами, силу р^ —
весы, подставленные под задними колесами. Итак, нам известны
величины: МА — х\; MB — х^; MN = ?сах; р\; р^. Требуется найти
центровку самолета, т.е. определить положение его центра тяжести,
иначе говоря, найти хо в процентах от ?сах.
373.	Пусть масса двухместного самолета вместе с пилотом и гру-
грузами, которые размещаются, как и во всех самолетах, симметрично

204	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
относительно оси (поэтому центр тяжести самолета находится только
на его оси) равна т кг. Центровка его 30%. Как изменится цент-
центровка машины, если сзади пилота на расстоянии а от него поместить
пассажира с массой п? Центр тяжести пилота совпадает с центром
тяжести самолета и ?сах = Ь.
374.	Как провести центровку самолета, если весы имеются только
в одном экземпляре, а точек опоры самолета три: две точки спереди
и одна точка сзади?
§ 7. Подобие фигур
375.	Стороны треугольника равны 6, 9 и 12 см. Вычислить от-
отрезки, на которые биссектриса треугольника делит сторону, лежащую
против большего угла треугольника.
376.	В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла
делит гипотенузу в отношении 3:2. Найти отношение проекций кате-
катетов на гипотенузу.
377.	Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника де-
делит гипотенузу на отрезки 3 и 4 см. Вычислить длины катетов.
378.	Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Вы-
Вычислить длину радиуса вписанной окружности.
379.	Вычислить длину радиуса окружности, описанной около
треугольника, длины сторон которого 9, 12 и 15 см.
380.	Диаметр полуокружности, равный 30 см, разделен на три
части в отношении 1:2:7. Из точек деления восстановлены перпен-
перпендикуляры до пересечения с полуокружностью. Вычислить длину каж-
каждого перпендикуляра.
381.	Найти длину диаметра окружности, описанной около равно-
равнобедренного треугольника, основание которого 18 см, а высота 12 см.
382.	Касательная равна а, а наибольшая секущая, проведенная
из той же точки вне окружности, равна Ь. Найти радиус окружности.
383.	Построить множество точек, расстояния которых от сторон
данного угла имеют одно и то же отношение т : п.
384.	В равнобедренном треугольнике высота равна 20 см, а ос-
основание относится к боковой стороне, как 4:3. Вычислить радиус
вписанной окружности.
385.	В равнобедренном треугольнике радиус вписанной окружное-
2
ти составляет - высоты, а периметр этого треугольника равен 56 см.
Вычислить длины его сторон.
386.	В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности
делит высоту в отношении 12 : 5, а боковая сторона равна 60 см. Вы-
Вычислить длину основания.

' 1. Подобие фигур	205
387.	В треугольник вписан параллелограмм, угол которого сов-
совпадает с углом треугольника. Стороны треугольника, заключающие
этот угол, равны 20 см и 25 см, а параллельные им стороны парал-
параллелограмма относятся, как 6:5. Найти стороны параллелограмма.
388.	В треугольник, основание которого равно 48 см, а высота
16 см, вписан прямоугольник с отношением сторон 5 : 9, причем боль-
большая сторона лежит на основании треугольника. Найти стороны тре-
треугольника.
389.	Две окружности внешне касаются. Прямая, проведенная че-
через точку касания, образует в окружностях хорды, из которых одна
13
составляет — другой. Найти радиусы, если расстояние между центра-
5
ми равно 36 см.
390.	Наибольшие стороны двух подобных многоугольников рав-
равны 35 м и 14 м, а разность их периметров равна 60 м. Найти периметры.
391.	Катеты относятся, как 5 : 6, а гипотенуза равна 122 см. Найти
отрезки гипотенузы, отсекаемые высотой.
392.	Катеты относятся, как 3 : 7, а высота, проведенная к гипоте-
гипотенузе, равна 42 см. Найти отрезки гипотенузы.
393.	Расстояния от одного конца диаметра до концов параллель-
параллельной ему хорды равны 13 см и 84 см. Найти радиус окружности.
394.	К окружности радиуса 7 см проведены две касательные из
одной точки, удаленной от центра на 25 см. Вычислить расстояние
между точками касания.
395.	Касательная и секущая, проведенные из общей точки к
одной окружности, взаимно перпендикулярны. Касательная рав-
равна 12 м, а внутренняя часть секущей равна 10 м. Найти радиус
окружности.
396.	Найти катеты, если биссектриса прямого угла делит гипоте-
гипотенузу на части в 15 см и 20 см.
397.	Из одной точки проведены к окружности две касательные.
Длина касательной равна 156 см, а расстояние между точками каса-
касания равно 120 см. Найти радиус окружности.
398.	Длины двух параллельных хорд равны 40 см и 48 см, рас-
расстояние между ними равно 22 см. Найти радиус окружности.
399.	Катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 20 см.
Вычислить расстояние от центра вписанной окружности до высоты,
проведенной к гипотенузе.
400.	Сторона треугольника равна 21 см, а две другие стороны
образуют угол 60° и относятся, как 3 : 8. Найти эти стороны.

206	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
401.	Основание треугольника равно 13 см; угол при вершине ра-
равен 60°; сумма боковых сторон равна 22 см. Найти боковые стороны
и высоту.
402.	Из одной точки проведены к окружности секущая и каса-
касательная. Сумма их равна 15 см, а внешний отрезок секущей на 2 см
меньше касательной. Найти секущую и касательную.
403.	В равнобедренном треугольнике основание равно 48 см, а
боковая сторона равна 30 см. Найти радиусы описанной и вписанной
окружностей и расстояние между их центрами.
404.	Даны две стороны треугольника, равные 6 см и 8 см, и угол
между ними, равный 120°. Найти длину биссектрисы этого угла.
405.	В сегмент с дугой в 120° и высотой h вписан прямоугольник,
у которого основание в 4 раза больше высоты. Найти высоту прямо-
прямоугольника.
406.	В равнобедренном треугольнике ABC сторона \АС\ = d;
сторона \ВА\ = \ВС\ = a; AN и СМ — биссектрисы углов А и С.
Вычислить длину отрезка МN.
407.	Построить треугольник, подобный данному, периметр кото-
которого равен данной длине.
408.	Доказать, что если А В и CD — хорды, пересекающиеся в
точке М, то \АМ\ • \МВ\ = \СМ\ • \MD\.
409.	Основания трапеции относятся, как 5 : 9, а одна из боковых
сторон равна 16 см. На сколько надо ее продолжить, чтобы она пере-
пересеклась с продолжением другой боковой стороны?
410.	Прямая, проведенная через вершину ромба вне его, отсекает
на продолжениях двух сторон отрезки р и q. Найти сторону ромба.
411.	В треугольник с основанием а и высотой h вписан квадрат
так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а другие
две — на боковых сторонах. Найти сторону квадрата.
412.	В данный треугольник вписать прямоугольник, у которого
стороны относились бы, как т : п.
413.	В треугольник вписана полуокружность, касающаяся основа-
основания, а диаметр (с концами на боковых сторонах треугольника) парал-
параллелен основанию. Найти радиус, если основание треугольника равно а,
а высота h.
414.	Вычислить длину хорды окружности, если даны радиус г и
расстояние а от одного конца хорды до касательной, проведенной че-
через другой ее конец.
415.	В параллелограмм вписан ромб так, что его стороны па-
параллельны диагоналям параллелограмма. Найти сторону ромба, если
диагонали параллелограмма равны I и т.

' 7. Подобие фигур	207
416.	Радиус сектора круга равен г, а хорда его дуги равна а. Най-
Найти радиус круга, вписанного в этот сектор.
417.	По данной сумме двух отрезков и среднему пропорциональ-
пропорциональному этих отрезков построить отрезки.
418.	Высота ромба делит его сторону на отрезки длиной тип.
Найти диагонали ромба.
419.	Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований
трапеции, проходит через точку пересечения боковых сторон и точку
пересечения ее диагоналей.
420.	Основание равнобедренного треугольника равно 4д/2, а ме-
медиана боковой стороны 5. Найти длину боковых сторон.
421.	Доказать, что в прямоугольном треугольнике ab = с/г, где а
и b — катеты, с — гипотенуза, h — высота, проведенная из вершины
прямого угла.
422.	Разрезав прямоугольник прямой пополам, получили два пря-
прямоугольника, подобных данному. При каком отношении сторон это
возможно?
423.	Доказать, что диаметр окружности, вписанной в равнобоч-
равнобочную трапецию, есть среднее пропорциональное между параллельными
сторонами трапеции.
424.	В равнобедренный треугольник с углом 120° при вершине и
боковой стороной, равной а, вписана окружность. Найти радиус ок-
окружности.
425.	Доказать, что отношение квадратов катетов равно отноше-
отношению их проекций на гипотенузу.
426.	Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см,
а высота относится к основанию, как 3:2. Найти радиус описанной
окружности.
427.	Медиана гипотенузы прямоугольного треугольника равна т
и делит прямой угол в отношении 1:2. Найти стороны треугольника.
428.	Найти острые углы прямоугольного треугольника, если ме-
медиана его гипотенузы делит прямой угол в отношении 1:2.
429.	В равностороннем треугольнике определить сторону по дан-
данной его высоте h.
430.	В ромб, который делится своей диагональю на два равно-
равносторонних треугольника, вписана окружность радиусом в 2 единицы.
Найти сторону ромба.
431.	В равностороннем треугольнике высота меньше стороны
на т. Определить сторону.

208	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
432.	В треугольнике известны длины двух сторон: 6 см и 3 см.
Найти длину третьей стороны, если полусумма высот, опущенных на
данные стороны, равна третьей высоте.
433.	В сегменте хорда равна а, а высота равна h. Найти радиус
окружности.
434.	Боковые стороны равнобочной трапеции при их продолже-
продолжении пересекаются под прямым углом. Найти все стороны трапеции,
если среднее геометрическое высоты и средней линии равно 2д/3 см,
а высота равна 2 см.
435.	Две окружности радиусами R и г внешне касаются. Из
центра одной из них проведена касательная к другой, а из полученной
точки касания — касательная к первой. Вычислить длину последней
касательной.
436.	В окружность с диаметром, равным л/12, вписан правиль-
правильный треугольник. На его высоте, как на стороне, построен другой
правильный треугольник, в который вписана новая окружность. Най-
Найти радиус этой окружности.
437.	В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла
делит гипотенузу в отношении 7 : 9. В каком отношении (считая части
в том же порядке) делит ее высота?
438.	В острый угол, равный 60°, вписаны две окружности, извне
касающиеся друг друга. Радиус меньшей окружности равен г. Найти
радиус большей окружности.
439.	В равнобедренном прямоугольном треугольнике катет ра-
равен а. На какие части делит его биссектриса противолежащего угла?
440.	Окружность касается одного из катетов равнобедренного пря-
прямоугольного треугольника и проходит через вершину противолежаще-
противолежащего острого угла. Найти радиус окружности, если ее центр лежит на
гипотенузе треугольника, а катет треугольника равен а.
441.	В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла де-
делит катет на отрезки тип (т> п). Найти другой катет и гипотенузу.
442.	Диагональ прямоугольной трапеции и ее боковая сторона
равны 4, высота равна 2. Найти длину средней линии.
443.	Радиус окружности г. Найти длину хорды, проведенной из
конца диаметра через середину перпендикулярного к нему радиуса.
гр
444.	В круге радиуса г проведена хорда, равная -. Через один
конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой —
секущая, параллельная касательной. Найти расстояние между ними.
445.	Высота и медиана, выходящие из вершины прямого угла
треугольника, относятся, как 40 : 41. Найти отношение катетов.

' 7. Подобие фигур	209
446.	В правильный треугольник вписана окружность. В отсечен-
отсеченные окружностью части углов треугольника вписаны малые окруж-
окружности. Найти сторону треугольника, если радиус малой окружности
равен г.
447.	Найти стороны равнобочной трапеции по отношению ее ос-
оснований т : п и радиусу вписанного в нее круга г.
448.	В треугольнике основание равно 60 м, высота 12 м и медиана
основания 13 м. Найти боковые стороны.
449.	Общая внешняя касательная двух внешне касающихся ок-
окружностей есть среднее пропорциональное между их диаметрами.
Доказать это утверждение.
450.	Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию,
удален от концов ее боковой стороны на расстояния 3 см и 9 см. Най-
Найти стороны трапеции.
451.	Найти стороны треугольника, зная, что средняя по величине
сторона отличается от каждой из двух других на единицу и что про-
проекция большей стороны на среднюю равна 9 единицам.
452.	В прямоугольный треугольник со сторонами 6 см, 8 см и
10 см вписана окружность. Через центр окружности проведены пря-
прямые, параллельные сторонам треугольника. Найти средние отрезки
сторон треугольника, полученные при пересечении прямых со сторо-
сторонами.
453.	Данной окружности радиуса R касаются две меньших ок-
окружности радиуса г: одна изнутри, другая извне. Дуга между точками
касания содержит 60°. Вычислить расстояние между центрами мень-
меньших окружностей.
454.	В некоторый угол вписана окружность радиуса 5 см. Длина
хорды, соединяющей точки касания, равна 8 см. К окружности прове-
проведены две касательные параллельно хорде до пересечения со сторонами
угла. Найти стороны образовавшейся трапеции.
455.	Найти острый угол ромба, в котором сторона есть среднее
пропорциональное между диагоналями.
456.	Из вершины острого угла ромба опущены два перпендику-
перпендикуляра на продолжения его сторон. Длина каждого перпендикуляра
равна 3, а расстояние между их основаниями 3\/3- Найти диагонали
ромба.
457.	Сравнением отрезков доказать, что среднее арифметическое
двух чисел (неравных) больше их среднего геометрического.
458.	Найти радиус окружности, описанной вокруг равнобочной
трапеции с основаниями 2 и 14 и боковой стороной 10.
14 В. А. Бачурин

210	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
459.	Две хорды а и b продолжены до взаимного пересечения. Най-
Найти их продолжения, если они относятся, как т : п.
460.	В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны д/52
и д/73. Найти гипотенузу треугольника.
461.	Общая хорда двух пересекающихся окружностей продолже-
продолжена, и из точки, взятой на продолжении, проведены к ним касательные.
Доказать равенство их длин.
462.	Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны. Соот-
Соответствующие им стороны равны 6 см и 8 см. Найти третью сторону.
463.	Как далеко видно из вертолета, летящего на высоте 5600 м,
если радиус Земли принять равным 6000 км?
464.	Периметр прямоугольного треугольника равен 60 см. Найти
его стороны, если высота, опущенная на гипотенузу, равна 12 см.
465.	Из одной точки проведены к окружности секущая и каса-
касательная. Секущая равна а, а ее внутренний отрезок больше внешнего
отрезка на длину касательной. Найти касательную.
466.	Внутри равностороннего треугольника взята точка М, отс-
отстоящая от его сторон на расстояния 6, с, d. Найти высоту этого тре-
треугольника.
467.	Радиус окружности равен г, хорда данной дуги равна а. Най-
Найти хорду удвоенной дуги.
468.	К данной окружности проведены две параллельные каса-
касательные и третья касательная, пересекающая их. Доказать, что радиус
есть среднее пропорциональное между отрезками касательной.
469.	В треугольник вписана окружность радиуса 3 см. Найти сто-
стороны треугольника, если одна из них разделена точкой касания на
части, равные 4 см и 3 см.
470.	Радиус г окружности составляет - суммы высоты и основа-
ния равнобедренного вписанного треугольника. Найти высоту.
471.	Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей
трапеции параллельно ее основаниям, пересекает боковые стороны в
точках М и N. Доказать, что |M7V| =	, где а и b — длины осно-
оснований.
472.	При пересечении двух внешне касающихся окружностей ра-
радиусов R и г секущей на ней отделились три равных отрезка. Найти
их длину.
473.	Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см,
а проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см. Найти радиус
окружности, вписанной в этот треугольник.

§ 8. Правильные многоугольники. Длина окруэюности	211
474.	Окружность радиуса г касается прямой MN в точке С и
проходит через точку Л, находящуюся на расстоянии а от М N. Най-
Найти \АС\.
§ 8. Правильные многоугольники
и вычисление длины окружности
Обозначения: п — число сторон правильного многоугольника; ап —
сторона правильного вписанного многоугольника; Ьп — сторона пра-
правильного описанного многоугольника; кп — апофема правильного
вписанного многоугольника; R — радиус описанной окружности; г —
радиус вписанной окружности.
475.	Найти величину угла правильного n-угольника (п = 3; 4; 5;
6; 8; 10; 12; 25).
476.	1) Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каж-
каждый из внутренних углов которого равен 135°? 150°?
2) Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из
внешних углов которого равен 36°? 24°?
477.	Конец валика диаметром в 4 см опилен под квадрат. Най-
Найти наибольший размер, который может иметь сторона квадрата.
478.	Конец винта газовой задвижки имеет правильную трехгран-
трехгранную форму. Какой наибольший размер может иметь каждая грань,
если цилиндрическая часть винта имеет диаметр 2 см?
479.	Вычислить, какой размер отверстия х должен иметь ключ
для правильной шестигранной гайки,
если ширина грани гайки а = 2,5 см.
Величина зазора между гранями
гайки и ключа равна 0,5 мм (рис. 14).
480.	Шаблон для углов гаек име-
имеет угол:
а) 90°; б) 120°; в) 135°.
Найти число сторон гаек.	Рис- 14
481.	Окружность радиуса R разделена в отношении 1:2:3, и
точки деления соединены хордами. Найти периметр получившегося
треугольника.
482.	По данной стороне а построить правильный 8-угольник,
12-угольник.
483.	1) Хорда, перпендикулярная радиусу в его середине, равно-
равновелика стороне правильного вписанного треугольника. Доказать это
утверждение.
2) Показать, что к$ = 0,5аз-
14*

212	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
484.	1) В правильном треугольнике апофема составляет - вы-
1	3
соты и - радиуса описанной окружности. Доказать это утверждение.
2) Разность между радиусами окружностей, описанной вокруг пра-
правильного треугольника и вписанной в него, равна т. Найти сторону
треугольника.
485.	1) Сторона правильного многоугольника равна а; радиус
окружности, описанной вокруг этого многоугольника, равен R. Найти
радиус вписанной окружности.
2) Пусть R — радиус описанной вокруг многоугольника окруж-
окружности, г — радиус вписанной окружности. Найти сторону этого мно-
многоугольника.
486.	В окружность радиуса R = 4 см вписан правильный шести-
шестиугольник. Найти проекции его сторон на каждую диагональ.
487.	Доказать, что:
2)
488.	Доказать, что:
2)
489.	По данному ап — а вычислить R, если п равно:
1) 3; 2) 4; 3) 6; 4) 8; 5) 12.
490.	По данному кп = к вычислить /2, если п равно:
1) 3; 2) 4; 3) 6; 4) 8.
491.	По данному радиусу окружности R и данной стороне ап
правильного вписанного n-угольника вычислить сторону Ьп правиль-
правильного описанного п-угольника.
492.	В окружность вписаны и вокруг нее описаны правильные
n-угольники. Найти отношение сторон этих n-угольников (п = 3;
п = 6).
493.	В окружность радиуса R вписан правильный n-угольник, и
середины его сторон последовательно соединены. Найти сторону но-
нового n-угольника, если п равно:
1) 6; 2) 8.
494.	В правильном 8-угольнике со стороной а соединены середи-
середины четырех сторон, взятых через одну, так что получился квадрат.
Вычислить сторону квадрата.
495.	Построить правильный 8-угольник отсечением углов дан-
данного квадрата.

§ 8. Правильные многоугольники. Длина окруэюности	213
496.	С помощью срезывания углов превратить данный правиль-
правильный треугольник со стороной а в правильный 6-угольник и найти его
сторону.
497.	В окружность радиуса R вписан правильный многоуголь-
многоугольник со стороной ап. Удвоить число сторон этого многоугольника и
доказать, что а2п = \ 2Я2 - 2R \ R2 - ^.
у	V	4
498.	Сторона правильного вписанного в окружность треуголь-
треугольника равна Ь. Найти радиус окружности и сторону вписанного в
окружность квадрата.
499.	В окружность, радиус которой равен 4 дм, вписан правиль-
правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найти ра-
радиус окружности, описанной вокруг квадрата.
500.	В окружность радиуса R вписан правильный треугольник,
в который вписана окружность, а в эту окружность вписан квадрат.
Найти сторону квадрата.
501.	Вокруг правильного треугольника со стороной а описана ок-
окружность; вокруг этой окружности описан квадрат, а вокруг него —
окружность. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.
502.	Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и
служит для одной окружности стороной правильного вписанного тре-
треугольника, а для другой — стороной вписанного квадрата. Вычислить
расстояние между центрами окружностей.
503.	Центры двух пересекающихся окружностей лежат по одну
сторону от их общей хорды, имеющей длину а и стягивающей в одной
окружности дугу в 60°, а в другой — дугу в 30°. Вычислить расстоя-
расстояние между центрами.
504.	Каждая сторона а правильного треугольника разделена на
три части одинаковой длины, и соответственные точки деления (счи-
(считая в одном направлении) соединены между собой, в результате чего
получился новый треугольник. Найти радиус вписанной в него ок-
окружности.
505.	В ромб вписать квадрат, стороны которого параллельны
диагоналям ромба.
506.	Один из двух квадратов со стороной а, наложенных друг на
друга, повернут около центра на 45°. Найти периметр образовавшей-
образовавшейся при этом звезды.
507.	1) Окружность радиуса R разделена на шесть равных по
длине частей, и точки деления соединены хордами через одну. Найти
сторону полученной шестиугольной звезды.

214	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
2) Окружность радиуса R разделена на восемь равных по длине
частей, и точки деления соединены хордами через одну. Найти сто-
сторону восьмиугольной звезды.
508.	Найти отношение между длинами сторон треугольника, если
величины углов его относятся, как 1:2:3.
509.	Середина полуокружности соединена с концами диаметра, и
через середины соединяющих отрезков проведена хорда. Каждый из
боковых отрезков хорды равен с. Найти радиус окружности.
510.	В сегмент с дугой в 120° и высотой h вписан прямоугольник,
у которого основание в 4 раза больше высоты. Найти высоту прямо-
прямоугольника.
511.	На каждой из двух половин отрезка построены, как на диа-
диаметрах, две окружности, и из каждого конца этого отрезка проведены
касательные к окружности, построенной у другого конца. Доказать,
что отрезок, соединяющий точки пересечения касательных, равнове-
равновелик стороне квадрата, вписанного в одну из окружностей.
512.	Расстояние между серединами двух зубцов зубчатого колеса,
имеющего 0,66 м в диаметре, равно 34,5 мм, считая по дуге. Сколько
зубцов имеет колесо?
513.	Шкив имеет в диаметре 1,4 м и делает 80 оборотов в минуту.
Вычислить скорость движения точки, лежащей на окружности шкива.
514.	По данному радиусу R найти длину дуги, содержащей:
1) 45°; 2) 24°30'; 3) 5°14'15".
515.	Найти радиус дуги, если ее длина равна /, а градусная мера:
1) 135°; 2) 10°40'.
В	516. Окружность шкива (рис. 15) имеет
длину 540 мм, ремень касается шкива по
дуге длиной 200 мм. Найти угол а обхвата
шкива ремнем.
517. Радиус железнодорожного закруг-
закругления равен 1200 м; длина дуги равна 450 м.
- 15	Сколько градусов содержит дуга?
518.	Окружность радиуса 2 см разогнута в дугу радиуса 5 см.
Найти получившийся центральный угол.
519.	Дуга радиуса 4 см, измеряющая центральный угол в 120°,
равна длине некоторой окружности. Найти радиус этой окружности.
520.	Окружность радиуса 6 см разогнута в дугу, измеряющую
центральный угол в 300°. Найти радиус дуги.
521.	Найти число градусов дуги, если даны ее радиус R и длина /:
1) R = Ю, / = 45; 2) R = 15, / = 6.

' 9. Площади фигур	215
522.	Сколько градусов и минут в дуге, длина которой равна ра-
радиусу (i=0,3183l)?
523.	По данной хорде а вычислить длину ее дуги, если она со-
содержит:
1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.
524.	По данной длине дуги / найти ее хорду, если дуга содержит:
1)	60°; 2) 90°; 3) 120°.
525.	1) На сколько увеличится длина окружности, если радиус
увеличить на т?
2)	Диаметр экватора на глобусе 0,75 м, диаметр воображаемого
экватора Земли 13 000 км. Если мысленно увеличить длину каждого
экватора на 1 м, то как изменятся радиусы?
526.	Стальная труба со стенками толщиной в 6 мм имеет в се-
сечении внешнюю окружность длиной 22 см. Найти длину внутренней
окружности.
527.	Вычислить длину окружности, если она больше периметра
правильного вписанного шестиугольника на 7 см.
528.	Дуга сегмента содержит 120° и имеет длину /. Вычислить
длину окружности, вписанной в этот сегмент.
529.	Из конца дуги ABC, содержащей 120°, проведены касатель-
касательные до взаимного пересечения в точке Z), и в полученную фигуру
ABCD вписана окружность. Доказать, что длина этой окружности
равна длине дуги ABC.
530.	Найти катеты прямоугольного треугольника, если они отно-
относятся между собой, как 20 : 21, а разность между радиусами описан-
описанной и вписанной окружностей равна 17 см.
§ 9. Площади фигур
531.	Сколько потребуется плиток, имеющих форму правильного
шестиугольника со стороной 8 см, чтобы выстлать пол площадью
4,5 м х 3,8 м? На бой прибавить 5 %.
532.	Можно ли составить паркет из плиток, имеющих форму:
а)	правильных треугольников;
б)	правильных пятиугольников;
в)	правильных шестиугольников?
533.	Найти площадь квадрата по его диагонали /.
534.	Найти площадь квадрата, вписанного в окружность радиу-
радиуса R.

216	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
535.	Вычислить площадь ромба, если его сторона равна а, а ра-
радиус вписанной окружности г.
536.	На сколько увеличится:
а) длина окружности; б) площадь круга,
если радиус окружности R увеличить на 1 см?
537.	В квадрат вписаны 4 окружности, касающиеся друг друга и
сторон квадрата. Доказать, что сумма площадей четырех кругов рав-
равна площади круга, вписанного в квадрат.
538.	Во сколько раз площадь описанного квадрата больше пло-
площади вписанного (в ту же окружность)?
539.	Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые сторо-
стороны. Найти острый угол параллелограмма, если площадь параллело-
параллелограмма равна половине площади прямоугольника.
540.	Начертить квадрат и ромб, периметры которых одинаковы.
Площадь какой из этих фигур больше? Почему?
541.	В прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что одна
из его сторон находится на гипотенузе. Боковые отрезки гипотенузы
равны тип. Найти площадь этого квадрата.
542.	Из каждой вершины данного квадрата проведена в следую-
следующую вершину внутренняя дуга в 120°, и точки пересечения дуг сое-
соединены между собой, отчего получился внутренний квадрат. Найти
отношение площадей квадратов.
543.	Из точки, взятой на гипотенузе, проведены перпендикуляры
к обоим катетам. Найти площадь прямоугольника, отсеченного этими
перпендикулярами, если отрезки катетов при гипотенузе равны тип.
544.	По данным катетам а и b найти высоту, проведенную к ги-
гипотенузе.
545.	Найти площадь равнобедренного прямоугольного треуголь-
треугольника по его гипотенузе с.
546.	Найти площадь равностороннего треугольника:
1) по его стороне а; 2) по его высоте h.
547.	Найти сторону равностороннего треугольника по его пло-
площади Q.
548.	Найти площадь треугольника, стороны которого равны высо-
высотам треугольника предыдущей задачи.
549.	Найти площадь правильного треугольника, вписанного в ок-
окружность радиуса R.
550.	Найти площадь круга, вписанного в треугольник предыду-
предыдущей задачи.
551.	Найти сторону ромба, если его диагонали относятся,
как т : п, а площадь равна Q.

' 9. Площади фигур	217
552.	Из середины основания треугольника проведены прямые,
параллельные боковым сторонам. Доказать, что полученный таким
образом параллелограмм равновелик половине треугольника.
553.	Превратить треугольник в равновеликий ему параллело-
параллелограмм.
554.	На сторонах равностороннего треугольника построены квад-
квадраты, и свободные вершины их соединены. Найти площадь полученно-
полученного шестиугольника, если сторона данного треугольника равна а.
555.	Данный квадрат со стороной а срезан по углам так, что
образовался правильный восьмиугольник. Найти площадь этого вось-
восьмиугольника.
556.	Стороны треугольника 13 см, 14 см, 15 см. Вычислить ради-
радиус окружности, которая имеет центр на средней стороне и касается
двух других сторон.
557.	Площадь трапеции делится диагональю в отношении 3 : 7.
В каком отношении она делится средней линией (начиная от меньше-
меньшего основания)?
558.	Найти площадь равнобочной трапеции, у которой диагонали
взаимно перпендикулярны, а высота равна h.
559.	Найти площадь равнобочной трапеции, если ее диагональ
равна с и образует с большим основанием угол 45°.
560.	В круге радиуса R по одну сторону от центра проведены две
параллельные хорды, стягивающие дуги в 60° и 120°, и концы соеди-
соединены. Найти площадь полученной трапеции.
561.	На сторонах прямоугольника построены вне его равносто-
равносторонние треугольники, и свободные их вершины соединены. Найти
площадь получившегося четырехугольника, если стороны данного
прямоугольника а и Ь.
562.	Вычислить площадь треугольника, если основание равно а,
а углы при основании 30° и 45°.
563.	1) Построить квадрат, равновеликий сумме двух данных
квадратов со сторонами а и b (а = 5 см и b = 12 см).
2) Построить квадрат, площадь которого в три раза больше пло-
площади данного квадрата со стороной а.
564.	1) Найти сторону правильного шестиугольника по его пло-
площади S.
2) Найти площадь круга, вписанного в этот шестиугольник.
565.	По данному радиусу R найти площади правильных вписан-
вписанных восьмиугольника и двенадцатиугольника.
566.	На прямой, проходящей через середины оснований трапеции,
взята точка и соединена со всеми вершинами трапеции. Доказать, что

218	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
треугольники, прилежащие к боковым сторонам трапеции, равнове-
равновелики.
567.	На сторонах прямоугольного треугольника построены квад-
квадраты, и свободные вершины их соединены. Найти площадь полученного
шестиугольника, если катеты данного треугольника равны а и Ь.
568.	Какую часть площади (считая от вершины) отсекает сред-
средняя линия треугольника?
569.	Высота треугольника равна h. На каком расстоянии от вер-
вершины находится параллель к основанию, делящая площадь треуголь-
треугольника пополам?
570.	Какую часть площади одноименных описанных фигур сос-
составляют площади следующих вписанных фигур:
1) правильного треугольника; 2) квадрата;
3) правильного шестиугольника
(вопрос решить, не вычисляя самих площадей).
571.	В параллелограмме соединены, если идти в одном направ-
направлении, середина каждой стороны с концом следующей, в результате
чего получился внутренний параллелограмм. Доказать, что его пло-
1
щадь составляет - площади данного параллелограмма,
о
572.	Как относятся между собой основания такой трапеции, ко-
которая равновелика своему дополнительному треугольнику?
573.	Треугольник и вписанный в него ромб имеют общий угол.
Стороны треугольника, заключающие этот угол, относятся, как т : п.
Найти отношение площади ромба к площади треугольника.
574.	Параллелограмм имеет стороны а = 8сми6 = 4 см. Прев-
Превратить его в равновеликий ему параллелограмм с таким же углом и
основанием 6 = 6 см.
575.	Отношение катетов прямоугольного треугольника рав-
равно 1,05, разность между радиусами описанной и вписанной окруж-
окружностей 1,7 м. Вычислить площадь треугольника.
576.	Вычислить площадь треугольника, если две стороны его
равны 27 см и 29 см, а медиана третьей стороны 26 см.
577.	Найти площадь равнобочной трапеции с основаниями в 10 см
и 26 см и диагоналями, перпендикулярными боковым сторонам.
578.	В равнобочной трапеции, описанной вокруг круга, боковая
сторона а, а угол при основании 30°. Найти ее площадь.
579.	Прямые, параллельные основанию, делят площадь треуголь-
треугольника в отношении 9 : 55 : 161 (от вершины к основанию). В каком
отношении делятся боковые стороны?

' 9. Площади фигур	219
580.	Площадь прямоугольного треугольника разделена пополам
прямой, перпендикулярной гипотенузе. Найти расстояние ее от вер-
вершины меньшего острого угла, если больший катет равен 20 м.
581.	В треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана треть-
третьей стороны 10. Найти третью сторону.
582.	Медианы равнобедренного треугольника равны 15, 15 и 18.
Вычислить площадь треугольника.
583.	Сечение железобетонной сваи имеет вид правильного вось-
восьмиугольника. Наибольшее расстояние между противоположными вер-
вершинами равно 224 мм. Найти площадь сечения.
584.	Построить круг, площадь которого была бы равна:
1) 9 см2; 2) 16 см2
(построение выполнить приближенно).
585.	Доказать, что во всяком треугольнике произведение двух сто-
сторон равно произведению диаметра описанной окружности на высоту,
опущенную на третью сторону.
586.	Площадь треугольника равна S; его периметр равен а -\-b-\-
+ с = 2р. Доказать, что:
S
1)	радиус вписанной окружности г = —;
2)	радиус описанной окружности R = ——.
587.	В окружность радиуса R вписан прямоугольник ABCD. Най-
Найти его площадь, если дуга АВ содержит а градусов, где а равно:
1) 30°; 2) 45°; 3) 60°; 4) 90°.
588.	Найти площадь круга, если площадь вписанного в соответст-
соответствующую окружность квадрата равна F.
589.	Площадь круга и длина его окружности выражаются одним
и тем же числом. Найти радиус и доказать единственность его значе-
значения.
590.	Найти отношение между площадями вписанного и описан-
описанного кругов:
1) для правильного треугольника; 2) для квадрата;
3)	для правильного шестиугольника.
591.	Расстояние между противоположными гранями восьмигран-
восьмигранного стального прута равно 36 мм. Вычислить площадь поперечного
сечения.
592.	Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его
боковую сторону в отношении 5 : 3 (начиная от вершины), а площадь —
на части, разность которых равна 56 см2. Найти площадь треуголь-
треугольника.

220	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
593.	Построить квадрат:
1)	равновеликий разности двух данных квадратов;
2)	равновеликий сумме п данных квадратов.
594.	Доказать, что три медианы треугольника делят его пло-
площадь на шесть равновеликих треугольников.
595.	Какой груз выдерживает пеньковый канат, имеющий 18 см
в окружности, если допускаемая нагрузка равна 10 МПа?
596.	Две трубы с диаметрами в 6 см и 8 см требуется заменить
одной трубой той же пропускной способности. Найти ее диаметр.
597.	Площадь кругового кольца равна S. Радиус большей ок-
окружности равен длине меньшей окружности. Найти радиус последней.
598.	Найти отношение площадей правильного треугольника, квад-
квадрата и правильного шестиугольника, длины сторон которых равны.
599.	Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треуголь-
треугольника с катетами 6 см и 8 см, разбивает его на две части. Найти их
площади.
600.	В кольце, образованном двумя концентрическими окруж-
окружностями, хорда большей окружности, касающаяся меньшей, равна а.
Найти площадь кольца.
601.	Окружности касаются шесть равных ей окружностей, ка-
касающихся также между собой, и полученное соединение семи рав-
равных окружностей охвачено таким концентрическим кольцом, которое
равновелико их сумме. Доказать, что ширина кольца равна радиусу
окружностей.
602.	Радиус сектора равен г, а площадь равна q. Найти величину
центрального угла и дуги, на которую он опирается.
603.	Полуокружность радиуса г разделена на 3 равные части, и
точки деления соединены с одним из концов диаметра. Найти площадь
средней части полукруга.
604.	Площадь круга равна Q. Найти площадь вписанного в ок-
окружность прямоугольника, стороны которого относятся, как т : п.
605.	Найти стороны прямоугольника, вписанного в окружность
радиуса R, если его площадь составляет - площади круга.
606.	Найти площадь между вписанной и описанной окружностя-
окружностями для правильного треугольника с площадью Q.
607.	Два одинаковых полукруга наложены так, что диаметры их
параллельны, а полуокружность одного проходит через центр другого.
Найти площадь общей части полукругов по данному их радиусу R.
608.	В правильном треугольнике со стороной а проведены дуги
через его центр и вершины. Найти площадь полученной розетки.

§ 10. Приложение алгебры к геометрии	221
609.	Найти площадь круга, если известны стороны а, 6, с вписан-
вписанного в окружность треугольника.
610.	Стороны а, 6, с треугольника относятся как 2:3:4. В него
вписан полукруг с диаметром, лежащим на большей стороне. Найти
площадь полукруга.
611.	На сторонах ромба описаны, как на диаметрах, полуокруж-
полуокружности, обращенные внутрь. Диагонали ромба равны а и Ь. Найти пло-
площадь полученной розетки.
612.	В прямоугольном треугольнике высота делит гипотенузу на
отрезки 32 см и 18 см. Вычислить площадь вписанного круга.
§ 10. Приложение алгебры к геометрии*)
613.	Построить треугольник со сторонами у25 л/5? л/7.
614.	Указать измерения следующих выражений, в которых каж-
каждая буква, кроме тг, обозначает длину отрезка:
1) abc; 2) тгг2/*; 3) За
тг ZT
5) —-—; 6) у/р(р-а)(р-Ь)(р-с).
615. Построить отрезки, выражаемые следующими рациональ-
рациональными формулами:
1) ж = 3-а; 2) x = a-(b + 3d); 3) ж = 3с-Bт-п);
л\	^аб кЧ	ah aX	a
4) х = —; 5) x=—d, 6) х=Т;
2	,
7) х = тгг (линию длиной тгг); 8) х — ^—\ 9) х —
st
\ 9) х	.
st	с — а
616.	Построить отрезки, выражаемые следующими формулами:
/ 2,
1) л/Зоб; 2) x = J^-; 3) x = Va2±b2.
617.	Построить квадрат, равновеликий данному равностороннему
треугольнику со стороной а.
618.	Построить круг, площадь которого вдвое больше площади
данного круга с радиусом R.
619.	Площадь данного круга с радиусом R разделить пополам
концентрической окружностью.
620.	Построить квадрат, равновеликий - параллелограмма со сто-
стороной а и опущенной на нее высотой h.
*) См., например, учебник геометрии А. П. Киселева, М.: ФИЗМАТЛИТ,
2004.

222	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
621.	Построить круг, равновеликий кольцу между двумя концент-
концентрическими окружностями с радиусами R и г.
622.	По данному основанию а и прилежащему к нему углу в 30°
построить треугольник, равновеликий данному треугольнику с осно-
основанием b и высотой h.
623.	Разделить данный отрезок а в среднем и крайнем отношении,
т. е. разделить его на две части так, чтобы большая часть была сред-
средним пропорциональным между всем отрезком и его меньшей частью.
624.	На продолжении диаметра окружности радиуса г найти та-
такую точку, чтобы касательная, проведенная из нее к данной окруж-
окружности, была равна диаметру.
625.	Найти большую часть при делении отрезка в среднем и край-
крайнем отношении, если меньшая часть равна Ь.
626.	Если меньшую часть отрезка, разделенного в среднем и край-
крайнем отношении, отложить на большей части, то большая часть также
разделится в среднем и крайнем отношении. Доказать это утверж-
утверждение.
627.	Диаметр разделен в среднем и крайнем отношении перпен-
перпендикуляром, проведенным из точки окружности. Радиус окружности
равен г. Найти длину перпендикуляра.
628.	Если радиус круга разделить в крайнем и среднем отноше-
отношении и, взяв большую часть, описать ею концентрическую с данной
окружность, то площадь данного круга также разделится в среднем
и крайнем отношении, причем большей частью будет кольцо. Дока-
Доказать это утверждение.
629.	Площадь данного треугольника разделить пополам прямой,
параллельной его основанию.
630.	В данный треугольник вписать прямоугольник, основание
которого относилось бы к высоте, как т : п.
631.	В ромб с диагоналями d\ и d^ вписать прямоугольник, сто-
стороны которого были бы параллельны диагоналям ромба, а площадь
была бы равна - площади ромба.
632.	Площадь треугольника разделить пополам прямой, перпен-
перпендикулярной основанию.
§ 11. Решение треугольников. Задачи по планиметрии
с применением тригонометрических функций
Обозначения: а, Ъ и с — длины сторон треугольника; Л, Б и С —
величины противолежащих им углов; S — площадь; 2р — пери-
периметр; R — радиус описанной окружности; г — радиус вписанной

§ 11. Решение треугольников. Задачи по планиметрии	223
окружности; ha, la и та — длины высоты, биссектрисы и медианы,
соответствующих стороне а.
633.	При съемке равномерно поднимающейся улицы длиной 728 м
установлено вертикальное повышение в 37,4 м. Найти угол подъема и
горизонтальную проекцию улицы.
634.	В полдень при высоте Солнца в 28° фабричная труба бро-
бросает тень длиной 76 м. Вычислить высоту трубы.
635.	Ширина каждой ступеньки домовой лестницы равна 25 см.
Какова должна быть высота ступеньки для того, чтобы угол подъема
лестницы был равен 40°?
636.	Две прямые улицы пересекаются под углом 51°50/. Одна из
них на расстоянии 1625 м от места пересечения должна быть соеди-
соединена кратчайшим путем со второй. Найти длину этого кратчайшего
переулка.
637.	По основанию 6 и боковой стороне а равнобедренного тре-
треугольника вычислить угол при основании F = 28,13; а = 17,53).
638.	Угол а, вписанный в окружность, опирается на хорду, длина
которой а сантиметров. Найти радиус окружности.
639.	По сторонам а и 6 прямоугольника определить углы, кото-
которые его диагональ образует со сторонами (а = 75,2 см; b = 63,6 см).
640.	По диаметру Земного шара, равному 12740 км, и по широте
места ер определить длину окружности параллельного круга, соот-
соответствующего этому месту (ip = 57°5/).
В задачах 641-645 решить прямоугольный треугольник по следую-
следующим данным.
641.	Гипотенуза и острый угол:
1) с = 18,2; Л = 32°20'; 2) с = 0,7979; Л = 66°36'.
642.	Катет и острый угол:
1) а = 6,37; Л = 4°35/; 2) 6 = 0,1738; Л = 35°55/.
643.	Катет и острый угол:
1) а = 18,003; В = 43°; 2) 6 = 0,2954; Б = 29°38/.
644.	Гипотенуза и катет:
1) с = 697; а = 528; 2) с = 1710; 6 = 823.
645.	Оба катета:
1) а = 261; 6 = 380; 2) а = 0,09784; 6 = 0,10003.
646.	Решить равнобедренный треугольник, если даны:
1) S = 250; а : 6 = 7 : 4; 2) S = 56; боковая сторона а = 14;
3) 2р = 40,65; угол при основании А = 72°47/.

224	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
647.	Одна из диагоналей параллелограмма равна d и делит его
угол на два угла а и /3. Найти стороны параллелограмма.
648.	В треугольнике даны сторона а и два прилежащих к ней
угла В и С. Найти биссектрисы /а, /& и 1с всех углов треугольника.
649.	Доказать, что площадь параллелограмма равна произведе-
произведению двух смежных сторон его на синус угла между ними.
650.	Доказать, что площадь всякого четырехугольника равна по-
половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
651.	Найти площадь Q прямоугольника по длине его диагонали d
и углу ер между диагоналями.
652.	Основания трапеции а и 6, боковая сторона с, прилежащий к
ней угол а. Найти площадь трапеции.
653.	Найти площадь треугольника по двум углам Л и В и вы-
высоте h ь-
В задачах 654-662 решить косоугольные треугольники с помощью
таблиц тригонометрических функций или калькуляторов по следую-
следующим данным.
654.	Сторона и два угла:
1)	а = 370; В = 86°3'; С = 50°55';
2)	с = 15,948; А = 51°39'; В = 18°19'.
655.	Две стороны и угол между ними:
1)	а = 510; 6 = 317; С = 76°19/;
2)	6 = 40,326; с = 32,114; А = 73°40/.
656.	Две стороны и угол против одной из них:
1)	а = 492; 6 = 354,9; Л = 50°12/;
2)	а = 2579,8; с = 10; Л = 130°22/.
657.	Три стороны:
1)	а = 19; 6 = 34; с = 49;
2)	а = 1,2345; 6 = 2,3456; с = 3,4567.
658.	1) 5 = 501,97; А = 15°29'; Б = 45°12/;
2) ha = 5,3708; В = 115°10'; С = 5°9/.
659.	1) 1а= 0,7587; Б = 98°31'; С = 4°25/;
2) г = 5; Л = 22°37/; Б = 39°18/.
660.	1) a = 23; 6 = 45; R = 25,098;
2) а = 120; 6 = 29; hc = 23,762.
661.	1) а = 6; Б = 8; 5 = 12; 2) 6 = 98; с = 76; тс = 68.
662.	1) /га = 8; Ль = 12; Лс = 18; 2) 6 = 42; с = 28; 1а = 12,809.

§ 11. Решение треугольников. Задачи по планиметрии	225
663.	По данной стороне а правильного вписанного п-угольника
вычислить сторону b правильного описанного п-угольника.
664.	Найти наименьшую диагональ правильного п-угольника, сто-
сторона которого а см.
665.	Вычислить площадь правильного п-угольника, описанного
вокруг окружности радиуса R.
666.	Найти площадь равнобочной трапеции, диагональ которой
равна а и составляет с основаниями угол а.
667.	В круге радиуса R проведены две параллельные хорды, каж-
каждая из которых стягивает дугу в а градусов. Найти ту часть площади
круга, которая заключена между хордами.
668.	Вычислить острый угол ромба, в котором сторона есть сред-
среднее пропорциональное между диагоналями.
669.	Вычислить длину наибольшей диагонали правильного п-уголь-
п-угольника, сторона которого равна а, для двух случаев:
1) п — число четное; 2) п — число нечетное.
670.	Вокруг окружности радиуса г описан ромб с острым уг-
углом а. Вычислить площадь ромба (г = 5; а = 36°47/).
671.	Площадь равнобедренного треугольника равна Q, угол при
вершине /3. Вычислить высоту (Q = 450; /3 = 73°).
672.	Вычислить площадь правильного п-угольника по его сто-
стороне а (п = 12; а = 10 см).
673.	Вычислить площадь правильного п-угольника, вписанного в
окружность радиуса R (п = 12; R = 7).
674.	Сторона правильного 6-угольника равна 84 см; вычислить
сторону равновеликого ему правильного 7-угольника.
675.	Правильные 9-угольник и 10-угольник имеют одинаковые
периметры. Как относятся их площади?
676.	Вычислить площадь сектора, если его радиус равен 8 см, а
радиус вписанной в него окружности равен 2 см.
677.	Хорда длиной а делит круг радиуса R на два сегмента. Найти
площадь меньшего из них (а = 3,5 см; R = 6,2 см).
678.	Полуокружность разделена в отношении 4 : 7, и из точки
деления опущен перпендикуляр на диаметр. Вычислить отрезки диа-
диаметра, если его длина равна 11 см.
679.	В параллелограмме даны острый угол а и расстояния а
и b от точки пересечения диагоналей до неравных сторон. Вычислить
диагонали и площадь параллелограмма.
15 В. А. Бачурин

226	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
680.	Вычислить площадь, заключенную между тремя взаимно ка-
касающимися окружностями, радиусы которых 1 м, 2 м и 3 м.
2
681.	Даны две стороны треугольника b и с и его площадь S = -be.
Найти третью сторону а.
682.	Внутри круга радиуса г = 13 см дана точка М, отстоящая
от центра на 5 см. Через точку М проведена хорда \АВ\ = 25 см.
Вычислить длины отрезков, на которые хорда ЛВ делится точкой М.
683.	В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен а.
Найти отношение радиусов описанной и вписанной окружностей.
684.	Вокруг окружности радиуса R описан равнобедренный тре-
треугольник с углом 120°. Найти его стороны.
685.	Вокруг прямоугольника описана окружность, а вокруг нее —
ромб со стороной а и углом 60°. Найти площадь прямоугольника.
686.	Площадь трапеции равна Q, углы при большем основании а
и р. Найти радиус вписанной окружности.
687.	Вокруг правильного n-угольника со стороной а описана
окружность, и в него вписана окружность. Найти площадь кольца
между этими окружностями и ширину его.
688.	Две касательные к окружности радиуса R образуют угол 2а.
Найти площадь между ними и окружностью.
689.	Ромб с острым углом а и стороной а разделен отрезками,
исходящими из вершины этого острого угла, на три равновеликие
части. Вычислить длину этих отрезков.
690.	Внутри угла 60° расположена точка на расстояниях а и b от
его сторон. Найти расстояние этой точки до вершины данного угла.
691.	Найти площадь треугольника, если даны а и b — длины его
сторон и t — длина биссектрисы угла между этими сторонами.
692.	Высота равнобочной трапеции равна /г, острый угол между
ее диагоналями равен а. Найти среднюю линию трапеции.
693.	Даны площадь прямоугольного треугольника S и острый
угол а. Найти расстояние от точки пересечения медиан до гипоте-
гипотенузы.
694.	В параллелограмме со сторонами а и b и острым углом а
найти тангенсы углов, образуемых его диагональю со сторонами.
695.	Основание равнобедренного треугольника а, угол при вер-
вершине а. Найти биссектрису, проведенную к боковой стороне.
696.	Общая внешняя касательная двух внешне касающихся ок-
окружностей составляет с линией центров угол а. Найти отношение
радиусов этих окружностей.

§ 11. Решение треугольников. Задачи по планиметрии	227
697.	Диагональ прямоугольника равна d и делит угол прямо-
прямоугольника в отношении т : п. Найти периметр прямоугольника.
698.	В равнобедренном треугольнике даны основание а и угол при
основании а. Найти медиану, проведенную к боковой стороне.
699.	Найти отношение периметра трапеции, описанной вокруг
окружности, к длине этой окружности, если углы при большем ос-
основании трапеции равны а и /3.
700.	Площадь равнобедренного треугольника равна S, угол меж-
между высотой, проведенной к боковой стороне, и основанием равен а.
Найти радиус окружности, вписанной в треугольник.
701.	В равнобедренном треугольнике угол между боковыми сто-
сторонами равен а, радиус вписанной окружности г. Найти площадь
треугольника.
702.	Вокруг окружности описана прямоугольная трапеция с
острым углом а. Найти высоту трапеции, если ее периметр равен Р.
703.	В окружность вписан равнобедренный треугольник с уг-
углом а при основании. Найти отношение площадей треугольника и
круга.
704.	В треугольнике даны две стороны а и b и угол а между ни-
ними. Найти биссектрису, проведенную к третьей стороне.
705.	В сегмент, дуга которого равна а, вписан правильный
треугольник с площадью S. Одна его вершина лежит на середине
дуги, а две другие — на хорде. Найти радиус дуги сегмента.
706.	Правильный треугольник пересечен прямой, проходящей че-
через середину одной из его сторон и составляющей с ней угол а.
В каком отношении разделилась площадь треугольника?
707.	Найти отношение площади сектора с данным центральным
углом а к площади вписанного в него круга.
708.	Боковые стороны трапеции равны р и q (р < </), а — большее
основание. Углы при нем относятся, как 2:1. Найти меньшее осно-
основание.
709.	Площадь равнобочной трапеции равна S, острый угол между
ее диагоналями а. Найти высоту трапеции.
710.	Большее основание вписанной в окружность трапеции совпа-
совпадает с диаметром окружности, угол при основании равен а. В каком
отношении точка пересечения диагоналей делит ее высоту?
711.	Окружность радиуса R делится вершинами вписанного в
нее треугольника в отношении 2 : 5 : 17. Найти площадь треугольника.
712.	В сектор радиуса R вписана окружность радиуса г. Найти
периметр сектора.
15*

228	Разд. III. Геометрия. Планиметрия
713.	В остроугольном равнобедренном треугольнике радиус впи-
вписанной окружности г, описанной — R. Найти углы треугольника,
если R = 4г.
714.	В равнобедренном треугольнике угол при основании су, ра-
радиус вписанной окружности г. Найти радиус описанной окружности.
715.	Дуга ЛВ сектора ЛОВ содержит а радиан. Через точку В
и середину С радиуса О А проведена прямая. В каком отношении эта
прямая делит площадь сектора?
716.	Основания равнобочной трапеции а и b (a > 6), острый угол а.
Найти радиус описанной окружности.
717.	В равнобочной трапеции угол при меньшем основании а.
Радиус вписанной окружности г. Найти радиус описанной окруж-
окружности.
718.	Найти острые углы прямоугольного треугольника, если отно-
отношение радиусов описанной и вписанной окружностей равно 5:2.
719.	Во всяком треугольнике разность между суммой квадратов
двух его сторон и произведением этих сторон, умноженным на коси-
косинус угла между ними, есть величина постоянная. Доказать это ут-
утверждение.
720.	Показать, что если в треугольнике отношение суммы сину-
синусов двух углов к сумме их косинусов равно синусу третьего угла, то
треугольник прямоугольный.

Раздел IV
ГЕОМЕТРИЯ. СТЕРЕОМЕТРИЯ
§ 1. Начальные понятия
1.	В заданной пространственной прямоугольной системе коор-
координат построить точки по их координатам: ЛC;2;1), БD; —1;0),
G(—5; 0; 0), D@; 0; 4). Какие из этих точек расположены:
1) в плоскости х О у; 2) на оси Ох; 3) на оси Oz?
2.	Найти объединение всех прямых, проходящих через данную
точку пространства параллельно данной плоскости.
3.	Куб с ребром а стоит на плоскости хОу, центр его основания
совпадает с началом координат, боковые ребра лежат в координатных
плоскостях. Найти координаты вершин этого куба.
4.	Найти основания перпендикуляров, опущенных из точ-
точки Л A; 2; 3) на координатные оси и координатные плоскости.
5.	Вычислить расстояния точки МA; 2; —3) от:
1)	координатных плоскостей;
2)	осей координат;
3)	начала координат.
6.	Вычислить координаты точки I октанта по расстояниям ее
от осей координат: dx = 5; dy = Зд/5; dz = 2д/13.
7.	Найти направления лучей ОР и OQ по координатам то-
точек РC; 2; 6) и Q(a;a;a).
8.	Вычислить координаты точек, равноотстоящих от точек @; 0; 1),
@; 1; 0), A; 0; 0) и отстоящих от плоскости yOz на расстояние 2.
9.	На оси Oz найти точку, равноудаленную от точек А(—4; 1; 7)
и ВC;5;-2).
10.	Проверить, что четырехугольник ЛВСD с вершинами в точ-
точках ЛA; 3; 2), Б@; 2; 4), GA; 1; 4), ?>B; 2; 2) является параллелограм-
параллелограммом.
11.	На координатной плоскости yOz найти точку, одинаково уда-
удаленную от трех данных точек: ЛC; 1; 2), ВD; —2; —2) и G@; 5; 1).
12.	Проверить, что середина отрезка с концами в точках А(а; с; —Ь)
и В(—а; d; b) лежит на оси Оу.

230	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
13.	Шаровая поверхность проходит через начало координат и че-
через точки точки ЛD; 0; 0), ВA; 3; 0) и С@; 0; —4). Найти координаты
центра и радиус шара.
14.	Показать, что координатная плоскость хОу делит пополам рас-
расстояние между точками М(а; 6; с) и N(p; q\ — с).
15.	Известны один конец отрезка ЛB; 3; —1) и его середина
GA; 1; 1). Найти другой конец этого отрезка.
16.	Даны две точки М@; — 1; 2) и 7VA;O;3). Найти симметрич-
симметричные им точки Mi (ж; у\ z) и N\(x\\ у\\ z\) относительно координатных
плоскостей.
17.	Найти координаты точек, симметричных точкам М и N пре-
предыдущей задачи относительно начала координат.
18.	Даны точки РC; —1; 2) и Q(a;b;c). Вычислить координаты
точек, симметричных им относительно:
1) координатных плоскостей; 2) осей координат;
3) начала координат.
19.	Найти а, 6, с в формулах параллельного переноса х' = х + а;
у' = у + 6; z' = z + с, если при этом параллельном переносе точка
ЛA; 0; 2) переходит в точку А*B; 1; 0).
20.	Существует ли параллельный перенос, при котором точка А
переходит в точку В, а точка С переходит в точку Z), если:
1)	ЛA;1;0), В@;0;0), C(-2;2;l), D(l; 1; 1);
2)	Д@;1;2), В(-1;0;1), СC;-2;2), DB; -3; 1)?
21.	При параллельном переносе точка ЛB; 1; —1) переходит в точ-
точку Л'A; —1; 0). В какую точку переходит начало координат?
22.	Параллельный перенос переводит точку М@; 1; 2) в точку
7V(—1; 0; 1). В какую фигуру он переводит треугольник ABC с вер-
вершинами ЛC; -2; 2), Б(-1; 1; 0), СB; 0; 3)?
§ 2. Векторы в пространстве
1. Основные формулы
Пусть в пространственной прямоугольной системе координат да-
дана некоторая точка М со своими координатами М(х; у; z); тогда
г = ОМ = (x;y;z), \i\ = \j\ = \к\ = 1. Иногда записывают и так:
M(x]y]z).
—* -* —> -> —>
Непосредственно из рис. 16 следует: ОМ\ = хг\ ОМ^ — yj; OM% =
з, т.е.
г = ОМ = xi + yj+zk,	A)
¦z\

' 2. Векторы в пространстве
231
м4
Рис. 16
Рис. 17
\г\ = | ОМ | = ОМ =
- д/ X ~\ у ~~г~ Z	\ )
Из прямоугольного треугольника ММ\О (угол ММ\О прямой) еле-
X	U	Z
дует: cosa = —; точно так же cos^ = -pr и cos7=-r=r, или
cos a =
ж2 + у2 + z2
cos р =
cos 7 = —7
C)
Если начало и конец вектора не совпадают с началом координат,
; 2/i; zi), B(x2; y2; z2) (рис. 17), то
АВ = ОВ-ОА =
или
/2-2/15
D)
т. е. проекции (координаты) вектора АВ получаются вычитанием из
координат конца вектора координат его начала.
Построим вектор ОМ — АВ (где точка О — начало координат),
тогда ОМ — (х2 — х; у2 — у\\ z2 — zi)n
E)
АВ | = | ОМ | = у (х2 — х\J + (у2 — у\J + (z2 — z\J.
Направляющими косинусами будут
%2 — %1
cos a =
cos 7 =
\АВ\	\АВ\	\АВ\
Из формул C) и F) следует соотношение между направляющими
косинусами вектора:
cos2 a + cos2 /3 + cos2 7 = 1.	G)

232
Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
23. Построить вектор г = ОМ = 2г + 3j + 6&, вычислить его дли-
длину и направление.
z t
kt
iJ
0
/
/
J
A
r/
/
M
6
/ *
Решение (см. рис. 18).
a) |f| = | ОМ | = V22 + 32-
о	о
б)
62 = 7;
3
Рис. 18
М
24. ДаныточкиАA;2;3)иВC;-4;6).
Найти длину и направление вектора АВ
(проверить направление вектора с по-
помощью формулы cos2 a + cos2 /3 + cos2 7 =
Решение.
+ F - 3) к, или АВ = B; -6; 3);
б)
В) 49 + 49 + 49 = 1'
32 = 7;
= --; cos7 = =;
25.	Доказать, что единичный вектор п (|п| = 1), сонаправленный
с ОМ, имеет координаты (cosa; cos/3; cos7).
Доказательство.
По определению, пр^а = |а| • cos (a; b).
Так как \п\ = 1, то прожп = \п\ -cosa = 1 -cosa = cosa. Точно так
же проуП = \Щ -cos/3 = cos/3 и про^п = \n\ -cos7 = cos7. Значения
этих проекций и есть координаты вектора п.
Итак, п = (cos a; cos /3; cos 7) •
26.	Доказать равенство cos2 a + cos2 /3 + cos2 7 = 1 для любого век-
вектора в пространстве.
Доказательство. Пусть г = (х; у; z), тогда
X	п	у	Z
cos a =
cos^ =
у/х2 + у2 + z2
cos 7 =
Отсюда
cos2 a + cos2 /3 + cos2 7 =
¦ + ¦
2 2 2
x +y +z
2 2 22 2 2
х +у +z х +у +z
= 1
27. Вычислить 7, если а = /3 = 60°.
Решение.
cos2 60° + cos2 60° + cos2 7 = 1,
1\2/1\2	о	о	11
2У +V27 +C0S 7 = 1; C0S 7 = 1~2 = 2'
V2

§ 2. Векторы в пространстве	233
71=45°, 72 = 135О.
28.	Даны две координаты вектора: х = 4, у = —12. Вычислить его
третью координату z при условии, что \а\ = 13.
29.	Найти точку М, с которой совпадает конец вектора аC; —1; 4),
если его начало совпадает с точкой МA; 2; —3).
30.	Найти начало вектора а = B; —3; —1), если его конец совпадает
с точкой A; —1; 2).
31.	На какое число нужно умножить ненулевой вектор а, чтобы
получить вектор т, удовлетворяющий следующим условиям:
1) т tt Й и |т| = 5; 2) ш || 5 и |т| = 5;
3)	т ^4- Й и |т| = 6; 4) т = 0.
32.	В треугольнике ABC медианы AAi, BB\, СС\ пересекаются
в точке М. Найти множитель &, если:
1) А?С = кВС; 2) C?B = kC?A] 3) А~М = к
4)	СС! = кС[М; 5) мЪ^кВ^В; 6) MA
33.	Даны четыре точки: ЛB; 7; -3), БA;0;3), С(-3;-4;5),
D(-2; 3; -1). Среди векторов АВ, БС, ZX7, лЪ, ЛС и вЪ найти рав-
равные векторы.
—у
34.	Вектор ОМ составляет с осью Ох угол 45° и с осью Oz —
угол 60°; |ОМ| = 6. Вычислить координаты точки М, если ее коор-
координата z отрицательна.
35.	При каких числовых значениях тип векторы а = —2i + 3j +
+ пк и b = mi — 6j + 2k коллинеарны?
36.	Известны три точки: ЛA; 0; 1), Я(-1; 1; 2), С@; 2; -1). Найти
четвертую точку D(x; у; z) при условии:
1) АВ = сЬ] 2) ЛБ + сЪ = 0.
37.	Построить параллелограмм на векторах OA = i-\-j и ОБ =
= k — 3j] найти векторы, направленные по его диагоналям, и вычис-
вычислить их длины.
38.	Дан вектор аA;2;3). Найти коллинеарный ему вектор с на-
началом в точке ЛA; 1; 1) и концом В на плоскости хОу.
39.	В точке ЛB; 1; -1) приложена сила R, \R\ = 7. Две состав-
составляющие этой силы известны: Р = 2г и Q = —3j. Найти третью сос-
составляющую и направление силы R.
40.	Быстро вращающийся винт (пропеллер) вертолета создает си-
силу тяги, устремляющую его в пространство. Будем условно считать,
что эта сила R направлена под некоторым углом а к горизонту. Если

234	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
разложить силу R на два направления: вдоль линии движения —
силу Р и перпендикулярную к ней — силу Q, то получим векторное
равенство R = P + Q. Первая составляющая сила Р создает поступа-
поступательное движение летящей машины, вторая Q удерживает массу ее
в воздухе. Требуется выразить силы Р и Q через известные величи-
величины R и а.
—У
41.	Вектор ОМ = р составляет с осями координат равные острые
углы. Найти эти углы и построить вектор р, если |р| = 2д/3-
42.	Вычислить координаты вектора а по следующим данным:
|о| = 8, а = 45°, 7 = 60°.
43.	Вычислить координаты единичного вектора, противоположно
направленного вектору АВ, если Л G; 4; —2) и ВA; 2; 1).
—У	—>•
44.	Найти координаты векторов АВ и 7 В А, если ЛC; —1; 2)
иБ(-1;2;1).
45.	Даны три силы: а = 5г + 2j — 7&, 6 = Зг + 6j + 4&, <?= 12г +
+ j + 15&. Найти равнодействующую силу и ее направление.
46.	Дан модуль вектора \а\ = 2 и углы а = 45°, /3 = 60°, j = 120°.
Вычислить длины проекций вектора а на координатные плоскости.
47.	Три силы М, 7V и Р, приложенные к одной точке, имеют
взаимно перпендикулярные направления. Вычислить величину их
равнодействующей R, если известно, что \М\ = 2 Н, \N\ = 10 Н и \Р\ =
= 11 Н.
48.	Дан параллелограмм ABCD. Доказать, что ОА + ОС = ОВ +
+ OD, где О — произвольная точка пространства.
49.	Проверить коллинеарность векторов а = B; —1; 3) и b =
= (—6; —3; —9). Установить, какой из них длиннее другого и во сколько
раз, как они направлены — в одну или в противоположные стороны.
50.	Проверить, что четыре точки ЛC;-1; 2), БA; 2;-1), С(-1; 1;-3),
/)C; —5; 3) служат вершинами трапеции.
51.	При каких тип векторы аC; —2; т) и 6(п; 1; —2) колли-
неарны?
52.	Дано разложение вектора с по базису г, j,к: с — 16г — 15j +
+ 12к. Представить разложение по этому же базису вектора d, па-
параллельного вектору с и противоположного с ним направления, при
условии, что |d| = 75.
53.	Два вектора а = B; —3; 6) и b = (—1; 2; —2) приложены к одной
точке. Вычислить координаты вектора с, направленного по биссект-
биссектрисе угла между векторами а и 6, при условии, что \с\ = Зд/42.

§ 2. Векторы в пространстве	235
54.	Зная одну из вершин треугольника ЛB; —5; 3) и векторы, сов-
—у	—у
падающие с двумя его сторонами: ЛБD; 1; 2) и ВС = C; —2; 5), найти
остальные вершины и вектор С А .
2. Скалярное произведение двух векторов
55.	Исходя из определения скалярного произведения двух векто-
векторов а и Ь:
ab = \a\-\b\ cos (a, b),	A)
проверить равенства:
ij=0; jk = O; ik = 0; и = 1; //=1; kk = 1; (aJ = a2.
56.	Исходя из формулы A) проверить равенство
ab = (x	J
Проверить равенства (раскрыв скобки) E7-60).
57.	2
58.
59.
60.
61. Дополнить формулы и объяснить их смысл:
azbz	^) Ъх _ Ъу _
+ ag + ai.>/*!+? + ?'	^ %
3) аж6ж+? + а^6^ = 0.
62.	Раскрыть скобки в выражениях и объяснить смысл тех ра-
равенств, которые получатся:
1) (а + 6J; 2) (a + 6J + (a-6J.
63.	Можно ли скалярное произведение двух векторов выразить
формулами a6 = |a|-np-6, ab = \Ь\-пр^а?
64.	Векторы а и 6 образуют угол у? = - тг; зная, что |а| = 3; |6| =
= 4, вычислить:
1) аб; 2) (аJ; 3) (бJ; 4) (За - 26)(о + 26).
65.	Какую работу производит сила / = C; — 5; 2), когда ее точ-
точка приложения перемещается из начала координат в конец векто-
ра sB; -5; -7)?
66.	Какую работу производит сила / = C; —2; —5), когда ее точ-
точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения
ЛB; -3; 5) в положение БC; -2; -1)?

236	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
67.	Даны точки А(а; 0; 0), В@; 0; 2а) и С (а; 0; а). Построить век-
векторы ОС и АВ и найти угол между ними.
68.	Найти угол между диагоналями параллелограмма, построен-
построенного на векторах а = 2% + j и b = —2j + &.
69.	Найти угол между биссектрисами углов плоскостей хОу
и yOz.
70.	Найти равнодействующую четырех расположенных в одной
плоскости сил, приложенных к точке О, если величина каждой си-
силы равна 10 Н, а угол между двумя последовательными силами
равен 45°.
71.	При каком значении п данные векторы перпендикулярны:
1) а(п; -2; 1), Ь(п; -п; 1); 2) 2D; 2п; -1), 6(-1; 1; п)?
72.	Даны три последовательные вершины параллелограмма
Л(-3;-2;0), БC;-3;1) и <7E;0;_2). Найти его четвертую вершину D
и угол между векторами АС и BD.
73.	На осях Ox, Oy, Oz отложены равные отрезки а = 4, и на них
построен куб. Пусть М — центр верхней грани, а N — центр правой
боковой грани (параллельной координатной плоскости xOz). Вычис-
Вычислить координаты векторов ОМ и ON и угол между ними.
74.	Даны три точки ЛA;0;1), Б(-1;1;2), С@;2;-1). Найти на
—>	—>•
оси Oz такую точку Z), чтобы векторы А В и CD были перпенди-
перпендикулярны.
75.	Даны вершины четырехугольника ЛA;— 2; 2), БA;4;0),
С(—4; 1; 1) и ?>(-5;-5;3). Доказать, что его диагонали АС и BD
взаимно перпендикулярны.
76.	Зная координаты вершин четырехугольника Л@;2;0),
БA;0;0), GB; 0; 2), Z)(l;2;2), проверить, что он является ромбом.
77.	Даны вершины треугольника А(—1; — 2; 4), В(—4;— 2; 0) и
СC; -2; 1). Найти его угол ABC.
78.	Проекции перемещения движущейся точки на оси координат
равны sx = 2 м, sy = 1 м, sz = —2 м. Проекции действующей силы F
на оси координат равны F^ = 5H, F^=4H, F^=3H. Вычислить ра-
работу W силы F (W = F • s) и угол между силой F и перемещением s.
79.	Векторы а и b образуют угол 60°, а вектор с им перпенди-
перпендикулярен. Найти модуль вектора а-\-b-\-c.
80.	Найти вектор х, коллинеарный вектору аB; 1; — 1) и удовлет-
удовлетворяющий условию ах — 3.

' 3. Прямая и плоскость	237
81.	Единичные векторы а, 6, сообразуют попарно углы 60°. Най-
Найти угол между векторами:
1) а и Ь + с; 2) аи Ь — с.
82.	Найти вектор р, зная, что он перпендикулярен векторам
аB; 3; —1) и 6A; —2; 3) и удовлетворяет условию pBi — j + k) = —6.
83.	Найти угол между векторами а + Ь и 2а — с, если а{— 1; 1;—1),
6B;-1;2),с(-2;1;-3).
84.	Вычислить координаты вектора с, который имеет равные
длины с векторами аA; 1; 0) и 6@; 1; 1) и составляет с ними попарно
равные углы.
85.	Найти проекцию вектора j?D; —3; 2) на луч ОМ, состав-
составляющий с положительными направлениями осей координат равные
острые углы.
86.	Найти координаты вектора q, если: \q\ = 5д/2, первая коорди-
координата его вдвое больше второй и он составляет с базисным вектором к
угол 135°.
87.	Вычислить координаты единичного вектора /, перпендику-
перпендикулярного векторам г + j и j + к.
88.	К вершине куба приложены три силы, равные по абсолютной
величине 1, 2, 3 и направленные по диагоналям граней куба, пересе-
пересекающихся в этой вершине. Найти величину равнодействующей этих
трех сил.
89.	Вычислить координаты вектора р, перпендикулярного векто-
векторам г — j и j — к, если |р| = д/З-
90.	Даны точки Л(-2;3;-4), БC;2;5), C(l;-1;2), DC;2;-4).
Вычислить проекцию вектора АВ на вектор CD .
91.	Вектор т коллинеарен вектору пF; 8; — 7,5), образует тупой
угол с базисным вектором j и имеет длину, равную 50. Найти его
координаты.
92.	Квадрат разделен на три полосы одинаковой ширины и затем
свернут в правильную треугольную призму. Найти угол между дву-
двумя смежными звеньями ломаной, образованной при этом диагональю
квадрата.
§ 3. Прямая и плоскость
93.	Из центра круга проведен перпендикуляр к его плоскости.
Вычислить расстояние от конца этого перпендикуляра до точек ок-
окружности, если длина перпендикуляра равна а, а площадь круга
равна Q.

238	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
94.	Дана плоскость; из некоторой точки пространства проведены
к этой плоскости две наклонные длиной 20 см и 15 см; проекция первой
из них на плоскость равна 16 см; найти проекцию второй наклонной.
95.	Из некоторой точки пространства проведены к данной плос-
плоскости перпендикуляр, равный 6 см, и наклонная длиной 9 см. Найти
проекцию перпендикуляра на наклонную.
96.	Сторона равностороннего треугольника равна 3 см. Вычислить
расстояние от его плоскости до точки, которая отстоит от каждой из
его вершин на 2 см.
97.	Из данной точки проведены к данной плоскости две наклонные,
равные 2 см каждая; угол между ними равен 60°, а угол между их
проекциями — прямой. Найти расстояние данной точки от плоскости.
98.	Из некоторой точки проведены к данной плоскости две на-
наклонные равной длины; угол между ними равен 60°, угол между их
проекциями — прямой. Найти угол между каждой наклонной и ее
проекцией.
99.	В равнобедренном треугольнике основание и высота рав-
равны 4 см. Данная точка находится на расстоянии 6 см от плоскости
треугольника и на одинаковом расстоянии от его вершин. Найти это
расстояние.
100.	Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием b =
= 6 см и боковой стороной а = 5 см. К плоскости треугольника в
центре вписанного в него круга проведен перпендикуляр \ОК\ = 2 см.
Найти расстояние точки К от сторон треугольника и от вершины В.
101.	В треугольнике ABC угол В прямой и катет \ВС\ = а. Из
вершины А проведен к плоскости треугольника перпендикуляр AD
так, что расстояние между точками D и С равно /. Вычислить рас-
расстояние от точки D до катета ВС.
102.	Катеты прямоугольного треугольника ABC равны 15 м
и 20 м. Из вершины прямого угла С проведен к плоскости этого тре-
треугольника перпендикуляр \CD\ = 35 м. Найти расстояние от точки D
до гипотенузы АВ.
103.	Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. Из верши-
вершины большего угла этого треугольника проведен перпендикуляр к его
плоскости длиной в 15 см. Вычислить расстояния от его концов до
большей стороны.
104.	В треугольнике ABC угол С прямой; CD — перпендикуляр
к плоскости этого треугольника. Точка D соединена с А и В. Вычис-
Вычислить площадь треугольника ADB, если дано: \СА\ = 3 дм, \ВС\ = 2 дм
и \CD\ = 1 дм.
105.	В вершине А прямоугольника ABCD проведен к его плос-
плоскости перпендикуляр АК, конец К которого отстоит от других

' 3. Прямая и плоскость	239
вершин на расстояния 6 см, 7 см и 9 см. Вычислить длину этого пер-
перпендикуляра.
106.	Если из вершины угла, лежащего на плоскости, провести
наклонную к плоскости так, чтобы она составляла со сторонами угла
одинаковые углы, то проекция этой наклонной будет служить бис-
биссектрисой данного угла. Доказать это утверждение.
107.	Отрезок длиной 10 см пересекает плоскость; концы его нахо-
находятся на расстояниях 3 см и 2 см от плоскости. Найти угол между
данным отрезком и плоскостью.
108.	Из точки, отстоящей от плоскости на а, проведены две нак-
наклонные, образующие с плоскостью углы 45°, а между собой угол 60°.
Найти расстояние между концами наклонных.
109.	Из точки, отстоящей от плоскости на а, проведены две нак-
наклонные, образующие с плоскостью углы 45° и 30°, а между собой —
прямой угол. Вычислить расстояние между концами наклонных.
110.	Из точки, отстоящей от плоскости на а, проведены две нак-
наклонные под углом 30° к плоскости, причем их проекции составляют
между собой угол 120°. Вычислить расстояние между концами наклон-
наклонных.
111.	В плоскости М находится прямая АВ. Из точки В проведены
по одну сторону плоскости перпендикулярные к АВ прямые ВС
и BD, отклоненные от плоскости М на 50° и 15°. Вычислить угол CBD.
112.	Если в равнобедренном прямоугольном треугольнике один
катет находится на плоскости М, а другой катет образует с ней
угол 45°, то гипотенуза образует с плоскостью М угол 30°. Доказать
это утверждение.
113.	Если наклонная АВ составляет с плоскостью М угол 45°, а
прямая АС, лежащая^в^плоскости М, составляет угол 45° с проекцией
наклонной АВ, то ВАС = 60°. Доказать это утверждение.
114.	Концы данного отрезка, не пересекающего плоскость, удалены
от нее на 30 см и 50 см. На какое расстояние удалена от плоскости
точка, делящая данный отрезок в отношении 3 : 7? (Два случая.)
115.	Правильный треугольник спроектирован на плоскость, вер-
вершины его отстоят от плоскости на расстояния 10 дм, 15 дм и 17 дм.
Найти расстояние его центра от плоскости проекций.
116.	Данный отрезок \АВ\ = а и параллелен плоскости М. Отре-
Отрезок ВА\, соединяющий конец В с проекцией А\ другого конца, состав-
составляет с плоскостью угол 60°. Вычислить |?Mi|.
117.	Пусть \АВ\ — отрезок на плоскости М, равный а, \АС\
и \BD\ — отрезки вне плоскости М, равные Ь, причем отрезок АС
перпендикулярен плоскости М, a BD, будучи перпендикулярен АВ,
составляет с плоскостью М угол 30°. Вычислить |С/}|.

240
Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
118.	Даны плоскость и параллельная ей прямая. Через точку плос-
плоскости провести в ней прямую, параллельную данной прямой.
119.	Провести через данную точку отрезок а так, чтобы его про-
проекция на данную плоскость имела такую же длину, как и сам он.
120.	Из внешней точки А проведен к плоскости М отрезок АВ. Он
разделен точкой С в отношении 3 : 4 (от А к В), и через нее проведен
параллельно плоскости М отрезок \СD\ = 12 см. Через точку D к
плоскости М проведен отрезок ADE. Вычислить расстояние между
точками В и Е.
121.	Пусть ВВС — отрезок, параллельный плоскости М; ABE,
ADF и ACG — прямые, проведенные из внешней точки А к плос-
плоскости М и пересекающие ее в точках Е, F, G. Вычислить расстояние
между точками Е и G, если \ВС\ = a, \AD\ = 6, \DF\ = с.
122.	Пусть АВ и CD — параллельные отрезки, лежащие в двух
пересекающихся плоскостях; АЕ и
DF — перпендикуляры к линии пе-
пересечения плоскостей; \AD\ = 5 см
и \EF\ = 4 см. Найти расстояние
между прямыми А В и CD.
123. Основание AD трапеции
ABCD (рис. 19) находится на плос-
плоскости Р, а основание ВС отстоит
от нее на 5 см. Найти расстояние от
плоскости Р точки М пересечения
диагоналей этой трапеции, если
\AD\:\BC\ = 7:3.
Рис. 19
124.	В параллелограмме ABCD вершины А и D находятся на
плоскости М, а В и С — вне ее. Сторона \AD\ = 10 см, сторона \АВ =
= 15 см, проекции диагоналей АС и BD на плоскость М соответст-
соответственно равны 13,6 см и 10,5 см. Вычислить длину диагоналей.
125.	Через одну из сторон ромба проведена плоскость на расстоя-
расстоянии 4 см от противолежащей стороны. Проекции диагоналей ромба на
эту плоскость равны 8 см и 2 см. Найти проекции сторон.
126.	Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольни-
треугольника ABC проведена плоскость параллельно гипотенузе на расстоянии
1 дм от нее. Проекции катетов на эту плоскость равны 3 дм и 5 дм.
Вычислить проекцию гипотенузы на эту же плоскость.
127.	Пусть АВ и CD — две параллельные прямые, лежащие в
плоскости М на расстоянии 28 см одна от другой; EF — внешняя
прямая, параллельная АВ и удаленная от АВ на 17 см, а от плоскос-
плоскости М на 15 см. Найти расстояние между EF и CD. (Два случая.)
128.	1) Из концов отрезка АВ, параллельного плоскости М,
проведены к ней перпендикуляр АС и наклонная BD _L АВ. Вы-

' 3. Прямая и плоскость
241
числить расстояние |С/}|, если \АВ\ = а, \АС\ = b и \BD =
рис. 20).
2) Пусть АВ — отрезок, парал-
параллельный плоскости М; отрезки \АС\ =
= \BD\ — наклонные к плоскости М,
проведенные перпендикулярно к от-
отрезку АВ и в разных направлениях
от него. Отрезок АВ, равный 2 см,
отстоит от плоскости М на 7 см, а от-
отрезки АС и BD равны 8 см. Вычис-
Вычислить расстояние |CD|.
Рис. 20
129.	Расстояние между двумя параллельными плоскостями рав-
равно 8 дм. Отрезок длиной 10 дм своими концами упирается в эти
плоскости. Вычислить проекции отрезка на каждую плоскость.
130.	Плоскости М и Р параллельны. Из точек А и В плоскос-
плоскости М проведены к плоскости Р наклонные: \АС\ = 37 см и |i?.D| =
= 125 см. Проекция наклонной АС на одну из плоскостей равна 12 см.
Чему равна проекция наклонной BD?
131.	Отрезки двух прямых, заключенные между двумя парал-
параллельными плоскостями, равны 51 см и 53 см, а их проекции на одну
из этих плоскостей относятся, как 6 : 7. Вычислить расстояние между
данными плоскостями.
132.	Между двумя параллельными плоскостями заключены пер-
перпендикуляр длиной 4 м и наклонная длиной 6 м. Расстояния между
их концами в каждой плоскости равны по 3 м. Найти расстояние меж-
между серединами перпендикуляра и наклонной.
133.	Два отрезка, сумма длин которых равна с, упираются своими
концами в две параллельные плоскости: их проекции равны а и Ь.
Найти длины отрезков.
134.	Между двумя параллельными плоскостями Р и Q проведе-
проведены отрезки АС и BD (точки А и В лежат в плоскости Р); \АС\ =
= 13 см; |i?.D| = 15 см; сумма длин проекций АС и BD на одну из
данных плоскостей равна 14 см. Найти длины этих проекций и рас-
расстояние между плоскостями.
135.	Два прямых угла в пространстве расположены так, что сторо-
стороны их соответственно параллельны, одинаково направлены и перпен-
перпендикулярны отрезку, соединяющему их вершины. Длина этого отрезка
равна а. На стороне одного угла отложен от его вершины отрезок 6,
а на непараллельной ей стороне другого угла отложен отрезок с.
Вычислить расстояние между концами этих отрезков.
136.	В предыдущей задаче прямые углы заменить углами в 60° и
взять а = 24, b = 5 и с = 8.
16 В. А. Бачурин

242	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
137.	Вершины равностороннего треугольника со стороной а нахо-
находятся по одну сторону от плоскости М на одинаковом от нее расстоя-
расстоянии d. Из центра треугольника проведен перпендикуляр к его плоскости
длиной h и направленный в сторону, противоположную плоскости М.
Из конца этого перпендикуляра проведены прямые через вершины
треугольника до пересечения с плоскостью М. Найти отрезки этих
прямых между вершинами треугольника и плоскостью М и наиболь-
наибольшие расстояния между их концами.
138.	Двугранный угол равен 45°. На одной грани дана точка на
расстоянии а от другой грани. Найти расстояние этой точки от ребра.
139.	Если равнобедренный прямоугольный треугольник ABC пе-
перегнуть по высоте BD так, чтобы плоскости ABD и СBD образовали
прямой двугранный угол, то линии DA и DC сделаются взаимно
перпендикулярными, а В А и ВС составят угол в 60°. Доказать это
утверждение.
140.	Найти величину двугранного угла, если точка, взятая на од-
одной из граней, отстоит от ребра вдвое дальше, чем от другой грани.
141.	Из точки, взятой внутри двугранного угла, опущен перпенди-
перпендикуляр на ребро; он образует с гранями углы 38°24/ и 71°36'. Вычислить
величину двугранного угла.
142.	Точка, взятая внутри двугранного угла в 60°, удалена от
обеих граней на а. Найти ее расстояние от ребра.
143.	Пусть А и В — точки на ребре прямого двугранного уг-
угла; АС и BD - перпендикуляры к ребру, проведенные в разных
гранях. Вычислить расстояние \CD\, если \АВ\ = 6 см, \АС\ = 3 см
и \BD\ = 2 см.
144.	В предыдущей задаче прямой двугранный угол заменить
углом в 120° и взять:
a) \AB\ = \AC\ = \BD\ = a; б)
145.	Треугольник ABC с прямым углом С опирается катетом АС
на плоскость М, образуя с ней двугранный угол 45°. Катет \АС\ =
= 2 м, а гипотенуза \АВ\ относится к катету |ВС|, как 3:1. Вычислить
расстояние от вершины В до плоскости М.
146.	Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а
плоскости их отклонены на 60°. Общее основание равно 16 см; боковая
сторона одного треугольника равна 17 см, а боковые стороны другого
взаимно перпендикулярны. Вычислить расстояние между вершинами
треугольников.
147.	Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см.
Вычислить расстояние от вершины прямого угла до плоскости, кото-
которая проходит через гипотенузу и составляет угол 30° с плоскостью
треугольника.

' 3. Прямая и плоскость
243
148.	Дан треугольник ABC со сторонами \АВ\ = 9; \ВС\ = 6 и
\АС\ = 5. Через сторону АС проходит плоскость М, составляющая
с плоскостью треугольника угол 45°. Найти расстояние между плос-
плоскостью М и вершиной В.
149.	Прямая АВ параллельна плоскости М и отстоит от нее на а;
через прямую А В проходит плоскость Р, образующая с плоскостью М
угол 45°; в плоскости Р проведена прямая линия под углом 45°
к АВ. Найти ее отрезок между АВ и плоскостью М.
150.	Пусть АВ и CD — параллельные прямые, лежащие в двух
пересекающихся плоскостях, образующих угол 60°. Точки А и D уда-
удалены от линий пересечения плоскостей на 8 см и 6,3 см. Вычислить
расстояние между АВ и CD.
151.	Отрезок АВ упирается свои-
своими концами в грани прямого дву-
двугранного угла PMNQ (рис. 21); кон-
концы отрезка находятся на одинаковых
расстояниях от ребра MN двугран-
двугранного угла. Найти отношение углов,
под которыми отрезок наклонен к
граням.
152.	Через данную точку про-
провести плоскость, перпендикулярную
другой плоскости.
153.	Через данную прямую провести плоскость, перпендикуляр-
перпендикулярную другой плоскости. Сколько таких плоскостей можно провести?
154.	Пусть АВ — прямая пересечения двух взаимно перпендику-
перпендикулярных плоскостей М и Р; \CD\ — отрезок в плоскости М, прове-
проведенный параллельно АВ на расстоянии 60 см от нее; Е — точка в
плоскости Р на расстоянии 91 см от АВ. Вычислить расстояние от Е
до CD.
155.	Отрезок АВ соединяет точки А и В, лежащие в двух взаим-
взаимно перпендикулярных плоскостях. Длины перпендикуляров, опущен-
опущенных из точек А и В на, линию пересечения плоскостей, соответственно
равны а и 6, а расстояние между их основаниями равно с. Вычислить
длину отрезка АВ и длины его проекций на данные плоскости.
156.	Данный отрезок имеет концы на двух взаимно перпендику-
перпендикулярных плоскостях и составляет с одной из них угол 45°, а с другой —
угол 30°; длина этого отрезка равна а. Найти часть линии пересече-
пересечения плоскостей, заключенную между перпендикулярами, опущенными
на нее из концов данного отрезка.
157.	Из общей внешней точки проведены к плоскости две наклон-
наклонные, из которых одна составляет с плоскостью угол 70°, а другая — 15°.
Какой может быть величина угла между этими наклонными?
16*
Рис. 21

244	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
158.	Каждый плоский угол трехгранного угла равен 60°; на одном
из ребер отложен от вершины отрезок в 3 см и из конца его опущен
перпендикуляр на противолежащую грань. Вычислить длину перпен-
перпендикуляра.
159.	В трехгранном угле SABC дано: BSC = 90°, AS В = ASC =
= 60° и \SA\ = а. Требуется:
1)	вычислить расстояние от точки А до плоскости BSC;
2)	доказать, что ребро SA составляет с плоскостью BSC угол 45°.
160.	Если в трехгранном угле один плоский угол BSC — прямой,
а два других угла AS В и AS С равны 60°, то плоскость ВАС, отсе-
отсекающая от ребер три одинаковых отрезка, перпендикулярна плоскости
прямого угла. Доказать это утверждение.
161.	В трехгранном угле два плоских угла по 45°, двугранный
угол между ними — прямой. Найти третий плоский угол.
162.	В трехгранном угле два плоских угла по 45°, третий плоский
угол 60°. Найти двугранный угол, противолежащий третьему плоско-
плоскому углу.
163.	В трехгранном угле два плоских угла по 60°, третий — пря-
прямой. Найти угол между плоскостью прямого угла и противолежащим
ребром.
164.	В трехгранном угле ребра взаимно перпендикулярны. Внут-
Внутри него из вершины проведен отрезок, проекция которого на каждое
из ребер равна 1. Найти его проекции на грани. Сделать рисунок.
165.	В трехгранном угле все плоские углы — прямые. Внутри
него дана точка на расстояниях 1 дм, 2 дм и 2 дм от его граней. Най-
Найти расстояние данной точки от вершины угла.
166.	Отрезок х выходит из вершины трехгранного угла с прямы-
прямыми плоскими углами. Его проекции на ребра 2; 3; 6. Найти \х .
167.	Две прямоугольные трапеции с углом 60° лежат в перпен-
перпендикулярных плоскостях и имеют общее большее основание. Большие
боковые стороны трапеции равны 4 см и 8 см. Каковы расстояния
между вершинами прямых и между вершинами тупых углов трапеций,
если известно, что вершины их острых углов совпадают?
168.	Загруженную бочку массой в 200 кг выкатывают из автома-
автомашины с помощью наклонной доски. Чему равна величина скатываю-
скатывающей силы, если угол ската равен 45°?
169.	Одна из скрещивающихся прямых лежит в плоскости а,
другая — перпендикулярна а. Как расположен их общий перпенди-
перпендикуляр?
170.	Через данную точку провести прямую, параллельную дан-
данной плоскости.

' 3. Прямая и плоскость	245
171.	На плоскости а проведены две параллельные прямые, расстоя-
расстояние между которыми равно т. Точка S находится на расстоянии h от
плоскости а и на одинаковом расстоянии от обеих прямых. Найти это
расстояние.
172.	Сторона правильного треугольника равна 12 см. Точка М
выбрана так, что отрезки, соединяющие М со всеми вершинами тре-
треугольника, образуют с его плоскостью углы по 45°. Найти расстояние
от точки М до вершин и сторон треугольника.
173.	Катет равнобедренного прямоугольного треугольника нак-
наклонен к плоскости а, проходящей через гипотенузу, под углом 30°.
Доказать, что угол между плоскостью а и плоскостью треугольника
равен 45°.
174.	Плоскость содержит вершину квадрата и параллельна его
диагонали. Проекции диагоналей квадрата на эту плоскость относятся,
как 1:2. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью квадрата.
175.	Самолет летит по горизонтальной прямой со скоростью
400 км/ч. В некоторый момент он был виден под углом 65° к плоскости
горизонта, а через 30 с — под углом 39°. На какой высоте летит
самолет?
176.	В трапеции ABCD BAD = 60°. Через основание АВ прове-
проведена плоскость под углом 45° к боковой стороне А В. Найти отношение
площади трапеции к площади ее проекции на эту плоскость.
177.	Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. Дока-
Доказать, что плоскость, отсекающая от ребер одинаковые отрезки, перпен-
перпендикулярна плоскости прямого угла.
178.	Вершины треугольника ABC отстоят от плоскости М на рас-
расстояния hi, hi-, /&з- Найти расстояние центра тяжести треугольника от
плоскости.
179.	Прямые 1,т,п образуют между собой углы по 60°. Пря-
Прямая q образует с прямыми I и т углы по 45°. Найти (qpti).
180.	Два плоских угла в трехгранном угле равны 60°, на их общем
ребре от вершины отложен отрезок в 4 дм. Вычислить его проекцию
на плоскость третьего плоского угла, являющегося прямым.
181.	Доказать, что все прямые, пересекающие данную прямую и
проходящие через данную точку, лежат в одной плоскости.
182.	Доказать, что середины сторон пространственного четырех-
четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
183.	Доказать, что если две плоскости, пересекающиеся на пря-
прямой /, пересекают плоскость М по параллельным прямым, то прямая I
параллельна плоскости М.
184.	Через данную точку провести прямую, параллельную дан-
данной плоскости и пересекающую данную прямую. (Данная прямая не
параллельна данной плоскости.)

246	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
§ 4. Многогранники
185.	В основании прямой призмы лежит равнобочная трапеция,
один из углов которой равен 76°. Найти двугранные углы при
боковых ребрах призмы.
186.	Через диагональ основания куба проведена плоскость. Ка-
Какие сечения куба этой плоскостью могут получаться при вращении ее
вокруг этой диагонали?
187.	В правильной четырехугольной пирамиде провести плоскость
через сторону основания перпендикулярно противоположной боковой
грани. Сторона основания а = 30 см, а высота пирамиды h = 20 см.
Вычислить высоту полученного сечения.
188.	В кубе проведено диагональное сечение. Найти величину
двугранного угла, образованного этим сечением и одной из боковых
граней.
189.	Если в правильной треугольной пирамиде высота равна сто-
стороне основания, то боковые ребра составляют с плоскостью основания
угол 60°. Доказать это утверждение.
190.	По стороне а и боковому ребру b правильной треугольной
призмы найти площадь сечения, проведенного через боковое ребро и
ось призмы.
191.	Доказать, что высота правильной четырехугольной пирами-
пирамиды одинаково наклонена к ее боковым граням.
192.	Каждое ребро правильной четырехугольной пирамиды рав-
равно а. Провести сечение через середины двух смежных сторон основа-
основания и середину высоты и найти его площадь.
193.	Внутри правильной шестиугольной призмы, у которой боко-
боковые грани — квадраты, проведена плоскость через сторону нижнего
основания и противоположную ей сторону верхнего основания. Сто-
Сторона основания равна а. Вычислить площадь полученного сечения.
194.	В правильной четырехугольной призме площадь диагональ-
диагонального сечения равна F. Вычислить боковую поверхность призмы.
195.	В основании прямой призмы лежит равнобочная трапеция,
диагонали которой пересекаются под прямым углом и высота кото-
которой равна h. Диагонали призмы образуют с плоскостью основания
угол 45°. Найти объем призмы.
196.	Основанием пирамиды служит треугольник. Боковые ребра
образуют равные углы с основанием. Определить вид треугольника,
находящегося в основании, если высота пирамиды проходит через
точку, лежащую:
а) внутри этого треугольника; б) вне его;
в) на стороне треугольника.

§ 4- Многогранники	247
197.	В правильной треугольной пирамиде боковые ребра взаимно
перпендикулярны и каждое из них равно а. Найти боковую поверх-
поверхность пирамиды.
198.	Найти полную поверхность правильной шестиугольной пи-
пирамиды, в которой высота равна стороне основания а.
199.	Как изменится объем правильной пирамиды, если сторону
основания ее увеличить в три раза, а высоту ее уменьшить в три раза?
200.	Куб, ребро которого равно а, пересечен плоскостью, прохо-
проходящей через середины трех его ребер, выходящих из одной вершины.
Вычислить объем отсеченной пирамиды.
201.	Ребро куба равно а. Найти боковую поверхность усеченной
пирамиды, отсекаемой от куба двумя плоскостями, одна из которых
проходит через концы трех ребер, выходящих из одной вершины, а
другая — через середины тех же ребер.
202.	Каждое ребро правильной треугольной призмы а = 3 м. Че-
Через сторону основания и середину оси проведена плоскость. Найти
площадь сечения.
203.	Сторона основания правильной четырехугольной призмы
равна 15; высота равна 20. Найти кратчайшее расстояние от стороны
основания до диагонали призмы, не пересекающей ее.
204.	Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 9 см,
а полная поверхность ее равна 144 см2. Найти сторону основания и
боковое ребро.
205.	Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды
равна 4 см, диагональ 5 см. Найти площадь диагонального сечения.
206.	Основания усеченной пирамиды — правильные треугольники
со сторонами а и 6; одно из боковых ребер, равное с, перпендикулярно
плоскости основания. Вычислить боковую поверхность этой усеченной
пирамиды (а = 5; 6 = 3; с = 1).
207.	Сторона основания правильной треугольной призмы равна а,
а боковая поверхность равновелика сумме оснований. Найти объем
призмы.
208.	Грани параллелепипеда— одинаковые ромбы со к стороной а
и острым углом 60°. Вычислить объем параллелепипеда.
209.	Найти объем правильной треугольной пирамиды, у которой
сторона основания равна а, а боковые ребра взаимно перпендику-
перпендикулярны.
210.	Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды а,
а двугранный угол при основании равен 45°. Найти объем пирамиды.
211.	Основанием пирамиды служит прямоугольник, у которого
угол между диагоналями равен 60°, а площадь равна Q; боковые

248	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
ребра образуют с плоскостью основания углы в 45°. Вычислить объем
этой пирамиды.
212.	Одно ребро треугольной пирамиды равно 4; каждое из ос-
остальных равно 3. Вычислить объем пирамиды.
213.	Площадь параллельного сечения пирамиды составляет 0,36
ее основания. В каком отношении сечение делит объем пирамиды?
214.	Центры граней правильного тетраэдра служат вершинами
нового правильного тетраэдра. Найти отношения их поверхностей и
объемов.
215.	Вычислить объем правильной треугольной усеченной пира-
пирамиды, у которой стороны оснований 30 м и 20 м, а боковая поверхность
равновелика сумме оснований.
216.	В усеченной пирамиде сходственные стороны двух оснований
относятся, как т : п. В каком отношении делится ее объем средним
сечением?
217.	Основанием правильной пирамиды служит многоугольник,
сумма внутренних углов которого равна 720°. Определить объем этой
пирамиды, зная, что боковое ребро ее, равное /, составляет с высотой
пирамиды угол 30°.
218.	Ребро правильного октаэдра а = 1 см. Вычислить расстояние
между двумя противоположными вершинами октаэдра (ось октаэдра).
219.	Вычислить объем наклонной треугольной призмы, у которой
площадь одной из боковых граней равна S, а расстояние от плоскости
этой грани до противолежащего ребра равно d.
220.	Ребро куба равно а. Вычислить поверхность вписанного в
него правильного октаэдра. Найти ее отношение к поверхности впи-
вписанного в тот же куб правильного тетраэдра.
221.	Плоский угол при вершине правильной треугольной пира-
пирамиды равен 90°. Найти отношение боковой поверхности пирамиды к
площади ее основания.
222.	В правильный октаэдр вписан куб так, что его вершины на-
находятся на ребрах октаэдра. Ребро октаэдра равно а. Найти ребро
куба.
223.	Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Плос-
Плоскость, проведенная через одну из сторон нижнего основания и про-
противоположную сторону верхнего основания, образует с плоскостью
основания угол 45°. Полученное сечение имеет площадь, равную Q.
Вычислить боковую поверхность параллелепипеда.
224.	Ребро куба равно а. Найти кратчайшее расстояние от диаго-
диагонали до не пересекающего ее ребра.

§ 4- Многогранники	249
225.	Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, если
ее боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45°, а пло-
площадь диагонального сечения равна S.
226.	Квадрат с проведенной в нем диагональю свернут в виде
боковой поверхности правильной четырехугольной призмы, и таким
образом диагональ квадрата обратилась в ломаную линию (неплос-
(неплоскую). Найти угол между ее смежными отрезками.
227.	Основанием пирамиды служит ромб с острым углом 30°. Бо-
Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Вычис-
Вычислить объем и полную поверхность пирамиды, если радиус вписанного
в ромб круга равен г.
228.	В треугольной призме (наклонной) расстояния между боко-
боковыми ребрами 37 см, 13 см и 40 см. Найти расстояние между большей
боковой гранью и противолежащим боковым ребром.
229.	Найти объем правильной шестиугольной призмы, у которой
наибольшая диагональ равна d, а боковые грани — квадраты.
230.	Найти боковую поверхность прямоугольного параллелепипе-
параллелепипеда, если его высота /г, площадь основания Q и площадь диагонального
сечения М.
231.	Основание призмы — квадрат со стороной, равной а. Одна
из боковых граней — также квадрат, другая — ромб с углом 60°.
Вычислить полную поверхность призмы.
232.	Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, а пло-
площади диагональных сечений М и N. Найти боковую поверхность
параллелепипеда.
233.	Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием ко-
которой служит равносторонний треугольник со стороной, равной а,
если боковое ребро призмы также равно а и наклонено к плоскости
основания под углом 60°.
234.	Площадь наибольшего диагонального сечения правильной
шестиугольной призмы равна 1 м2. Найти боковую поверхность
призмы.
235.	Расстояние между непересекающимися диагоналями двух
смежных боковых граней куба равно d. Найти объем куба.
236.	Найти сторону основания правильной четырехугольной пи-
пирамиды по ее высоте h и боковой поверхности Р.
237.	В правильной треугольной призме площадь сечения, проходя-
проходящего через боковое ребро призмы перпендикулярно противолежащей
боковой грани, равна Q. Сторона основания призмы равна а. Найти
полную поверхность призмы.

250	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
238.	Основанием параллелепипеда служит квадрат, одна из вер-
вершин верхнего основания одинаково отстоит от всех вершин нижнего
основания. Сторона основания равна а, боковое ребро равно Ь. Вы-
Вычислить полную поверхность этого параллелепипеда.
239.	Каждое из боковых ребер пирамиды равно Ь. Ее основани-
основанием служит прямоугольный треугольник, катеты которого относятся,
как т : п, а гипотенуза равна с. Вычислить объем пирамиды.
240.	Основанием наклонной призмы служит правильный треу-
треугольник со стороной а; длина бокового ребра равна 6; одно из боко-
боковых ребер образует с прилежащими сторонами основания углы по 45°.
Вычислить боковую поверхность призмы.
241.	В основании пирамиды лежит квадрат. Две боковые грани
ее перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к
нему под углом 45°. Среднее по величине боковое ребро равно /. Найти
объем и полную поверхность пирамиды.
242.	В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так,
что четыре его вершины находятся на боковых ребрах пирамиды, а
остальные четыре — в плоскости ее основания. Найти ребро куба,
если в пирамиде сторона основания равна а, а высота — h.
243.	Найти объем правильной треугольной пирамиды, высота ко-
которой равна /г, а все плоские углы при вершине прямые.
244.	Высота правильной пирамиды разделена на п равных частей
и через точки деления проведены сечения, параллельные основанию.
Площадь основания Q. Найти площади сечений (Q = 400, п = 5).
245.	По стороне основания, равной а, вычислить боковую поверх-
поверхность и объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой диа-
диагональное сечение равновелико основанию.
246.	Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна а. Боковое ребро образует с высотой угол 30°. Построить се-
сечение через вершину основания перпендикулярно противоположному
ребру и найти его площадь.
247.	Боковое ребро правильной треугольной призмы имеет одина-
одинаковую длину с высотой основания, а площадь сечения, проведенного
через это боковое ребро и высоту основания, равна Q. Вычислить
объем призмы.
248.	Найти боковую поверхность правильной шестиугольной пи-
пирамиды, если сторона основания равна а, а боковая грань равновелика
диагональному сечению, проведенному через диаметр основания.
249.	Найти отношение объема правильной шестиугольной пира-
пирамиды к объему правильной треугольной пирамиды при условии, что
стороны оснований этих пирамид имеют одинаковую длину, а их апо-
апофемы в два раза больше сторон основания.

§ 4- Многогранники	251
250.	Центр верхнего основания куба и середины сторон нижнего
основания служат вершинами вписанной в этот куб пирамиды. Найти
ее боковую поверхность по данному ребру куба а.
251.	Найти объем правильной четырехугольной пирамиды со сто-
стороной основания, равной а, и плоскими углами при вершине, равнове-
равновеликими углам наклона боковых ребер к основанию.
252.	Основанием пирамиды служит равносторонний треугольник
со стороной а; одна из боковых граней — также равносторонний треу-
треугольник и перпендикулярна плоскости основания. Вычислить боковую
поверхность пирамиды.
253.	Площадь того сечения куба, которое представляет собой пра-
правильный шестиугольник, равна Q. Найти полную поверхность куба.
254.	В правильной четырехугольной усеченной пирамиде сторона
большего основания а, сторона меньшего Ь. Боковое ребро образует с
основанием угол 45°. Найти боковое ребро.
255.	Куб, ребро которого равно а, срезан по углам плоскостями
так, что от каждой грани остался правильный восьмиугольник. Вычис-
Вычислить объем полученного многогранника.
256.	В правильной четырехугольной усеченной пирамиде площа-
площади оснований Q и q, а боковое ребро составляет с плоскостью нижнего
основания угол 45°. Вычислить площадь диагонального сечения.
257.	Найти отношения объемов правильных тетраэдра и октаэдра,
у которых полные поверхности равновелики.
258.	Пусть Q\ и Q^ — площади оснований некоторой усеченной
пирамиды и М — площадь ее среднего сечения. Доказать, что л/М =
=
2
259.	Вычислить объем правильной усеченной четырехугольной
пирамиды, если сторона большего основания равна а, сторона мень-
меньшего основания равна 6, а острый угол боковой грани равен 60°.
260.	Высота усеченной пирамиды равна /г, а площади основа-
оснований Q и q. На каком расстоянии от верхнего основания находится
параллельное ему сечение, площадь которого есть среднее пропорцио-
пропорциональное между площадями оснований?
261.	Площадь того сечения тетраэдра, которое имеет форму квад-
квадрата, равна т2. Найти поверхность тетраэдра.
262.	В правильной четырехугольной усеченной пирамиде площа-
площади оснований Q и Qi, а боковая поверхность Р. Вычислить площадь
диагонального сечения.
263.	В треугольной усеченной пирамиде через сторону верхнего
основания проведена плоскость параллельно противоположному бо-

252	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
ковому ребру. В каком отношении разделился объем усеченной пира-
пирамиды, если соответственные стороны оснований относятся, как 1 : 2?
264.	Пусть Q и q (Q = 32, q = 2) — площади оснований усеченной
пирамиды. Найти площади параллельных оснований сечений, разби-
разбивающих высоту на три одинаковые части.
265.	Основанием пирамиды служит ромб с диагоналями d\ и d<i-
Высота пирамиды проходит через вершину острого угла ромба. Пло-
Площадь диагонального сечения, проведенного через меньшую диагональ,
равна Q. Вычислить объем пирамиды.
266.	В усеченной пирамиде сходственные стороны оснований от-
относятся, как 3 : 11. В каком отношении ее боковая поверхность делится
средним сечением?
267.	Стороны основания прямоугольного параллелепипеда отно-
относятся, как т : п, а диагональное сечение — квадрат с площадью Q.
Вычислить объем параллелепипеда.
268.	Найти объем прямоугольного параллелепипеда по данным
площадям его граней: Qi, Q2, Оз-
269.	Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, пло-
площадь которого равна Q; площади диагональных сечений равны М
и N. Вычислить объем параллелепипеда.
270.	В правильной шестиугольной призме большее диагональное
сечение равновелико основанию, сторона которого а. Найти ребро
куба, равновеликого этой призме.
271.	Основанием наклонной призмы служит равносторонний тре-
треугольник со стороной а; одна из боковых граней перпендикулярна
плоскости основания и представляет собой ромб, у которого меньшая
диагональ равна с. Вычислить объем призмы.
272.	В наклонной треугольной призме площадь одной из боко-
боковых граней т2, а расстояние ее от противоположного ребра 2а. Чему
равен объем призмы?
273.	По ребру а правильного тетраэдра вычислить его поверх-
поверхность и объем.
274.	В данной правильной шестиугольной пирамиде, имеющей
объем К, боковое ребро вдвое больше стороны основания. Найти сто-
сторону основания и угол наклона бокового ребра к плоскости основания.
275.	Пирамида разделена на три равновеликие части плоскос-
плоскостями, параллельными основанию. В каком отношении разделилась
высота?
276.	По боковому ребру / и сторонам оснований а и b вычислить
объем правильной усеченной пирамиды:
1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.

§ 4- Многогранники	253
277.	Вычислить объем правильной шестиугольной усеченной пи-
пирамиды, если стороны ее оснований а и 6, а боковое ребро составляет
с плоскостью нижнего основания угол 30°.
278.	Площади оснований усеченной пирамиды Q и </, а ее объ-
объем V. Найти объем полной пирамиды.
279.	Правильная четырехугольная усеченная пирамида срезана с
двух противоположных боков двумя плоскостями, проведенными че-
через концы диагонали верхнего основания перпендикулярно этой диа-
диагонали. Вычислить объем оставшейся части усеченной пирамиды, если
ее высота /г, а стороны оснований а и Ь. Сделать чертеж.
280.	Вычислить объем правильного тетраэдра, если радиус ок-
окружности, описанной вокруг его грани, равен R.
281.	Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно /,
а высота — h. Найти объем пирамиды.
282.	Найти объем куба, если расстояние от его диагонали до не
пересекающегося с ней ребра равно d.
283.	Плоскость, проведенная в пирамиде параллельно основанию,
делит ее боковую поверхность на части в отношении 4:5, считая от
вершины. В каком отношении делится этой плоскостью высота?
284.	Диагонали прямого параллелепипеда равны 9 см и \/33 см;
периметр его основания равен 18 см; боковое ребро равно 4 см. Вы-
Вычислить полную поверхность и объем этого параллелепипеда.
285.	Правильная четырехугольная усеченная пирамида разделена
на три части двумя плоскостями, проведенными через две противо-
противоположные стороны меньшего основания перпендикулярно плоскости
большего основания. Найти объем каждой части, если в усеченной пи-
пирамиде высота равна 4 см, а стороны оснований 2 см и 5 см. Сделать
чертеж.
286.	Для шлифовки мелких костяных изделий требуется сделать
из полукотельной стали барабан, имеющий форму правильной шес-
шестиугольной призмы со стороной основания 200 мм и длиной 800 мм.
При работе барабан загружается на 45% его объема. Требуется вы-
вычислить количество стали, необходимое для изготовления пяти таких
барабанов, и массу изделий, шлифуемых одновременно в них, прини-
принимая плотность кости равной 1,2 г/см3.
287.	Основанием прямой призмы служит прямоугольный треу-
треугольник ABC с гипотенузой \АВ\ = с и острым углом 15°. Если бо-
боковые грани С\САА\ и С\С ВВ\ развернуть в одну плоскость и в ней
провести линии С\А и С\В, то они образуют прямой угол. Вычислить
объем и боковую поверхность этой призмы.
288.	В правильной треугольной призме боковое ребро и сторона
основания равны а. Вычислить площадь сечения, проведенного через
сторону основания под углом 60° к плоскости основания.

254
Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
289.	В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны
оснований а и b и высота h. Вычислить объем ее части, заключенной
между боковой гранью и параллельной ей плоскостью, проведенной
через сторону верхнего основания.
290.	В правильной четырехугольной призме сторона основания а,
боковое ребро 4а. Вычислить площадь сечения, проведенного через
диагональ призмы параллельно диагонали основания.
§ 5. Цилиндр и конус
291.	В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсе-
отсекающая от окружности основания дугу в 120°. Длина оси h = 10 см;
ее расстояние от секущей плоскости а = 2 см. Вычислить площадь
сечения.
292.	Площадь основания цилиндра относится к площади осевого
сечения, как тг : 4. Найти угол между диагоналями осевого сечения.
293.	Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра (в осе-
осевом сечении — квадрат) равна а. Найти объем правильной вписанной
в этот цилиндр восьмиугольной призмы.
294.	Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Концы дан-
данного отрезка лежат на окружностях обоих оснований; длина его 10 дм.
Найти его кратчайшее расстояние от оси.
295.	Высота цилиндра 2 м, радиус основания 7 м. В этот цилиндр
наклонно к оси вписан квадрат так, что все вершины его находятся
на окружностях оснований. Найти
сторону квадрата.
296.	Через верхний конец обра-
образующей цилиндра под углом 45° к
ней проведена касательная к цилинд-
цилиндру. Радиус основания цилиндра 1 м,
высота 4 м. Вычислить расстояние
касательной от центра каждого осно-
основания (рис. 22).
297.	Цилиндрический паровой ко-
котел имеет 0,7 м в диаметре; длина его
равна 3,8 м. При его покраске расхо-
рис 22	дуется 400 г краски на 1 м2 поверх-
поверхности котла. Определить, сколько
краски потребуется на покраску внешней поверхности котла (боковая
поверхность и два днища)?
298.	Высота цилиндра на 10 см больше радиуса основания, а пол-
полная поверхность равна 144тг см2. Вычислить радиус основания и высоту.
299.	Цилиндрическая дымовая труба диаметром 65 см имеет
высоту 18 м. Сколько квадратных метров жести нужно для ее изго-

' 5. Цилиндр и конус	255
товления, если на заклепку уходит 10% всего требующегося количест-
количества жести?
300.	Полуцилиндрический свод подвала имеет длину 6 м и диа-
диаметр 5,8 м. Вычислить полную поверхность подвала.
301.	При паровом отоплении низкого давления количество тепло-
теплоты, которое дает 1 м2 поверхности нагрева, принимается равным 550
тепловым единицам в час. Сколько погонных метров труб диаметром
в 34 мм нужно установить в помещении, для отопления которого по
расчетам требуется 4500 единиц теплоты в час?
302.	1) Чему равно отношение боковой поверхности цилиндра к
площади его осевого сечения?
2) Какую высоту должен иметь цилиндр, чтобы его боковая по-
поверхность была в три раза больше площади основания?
303.	Найти полную поверхность равностороннего цилиндра, если
боковая поверхность Р = 50 см2 ( — « 0,32 J.
304.	1) В цилиндре радиус основания г = 2 см, а высота h = 7 см.
Вычислить радиус круга, равновеликого полной поверхности этого
цилиндра.
2) Найти зависимость между высотой цилиндра и радиусом его
основания, если их сумма служит радиусом круга, равновеликого пол-
полной поверхности этого цилиндра.
305.	1) Из круглого листа металла выштампован цилиндричес-
цилиндрический стакан диаметром 25 см и высотой 50 см. Предполагая, что при
штамповке площадь листа не изменилась, вычислить диаметр листа.
2) К цилиндрическому стакану (см. предыдущую задачу) выштам-
пована крышка диаметром 25,2 см и высотой 0,5 см. Найти диаметр
круглого листа, из которого выштампована крышка.
306.	В цилиндре площадь основания равна Q и площадь осевого
сечения М. Найти полную поверхность этого цилиндра.
307.	1) Какая должна быть зависимость между высотой и радиу-
радиусом основания, чтобы боковая поверхность цилиндра была равнове-
равновелика кругу, описанному вокруг его осевого сечения?
2) Такая же задача для полной поверхности.
308.	В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Най-
Найти отношение боковых поверхностей цилиндра и призмы.
309.	В данном цилиндре проведена плоскость, параллельная
основанию, так, что площадь полученного сечения есть среднее про-
пропорциональное между частями боковой поверхности цилиндра. По
известным радиусу основания R и высоте Н цилиндра определить
положение секущей плоскости. (См. ответ.)

256
Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
310.	Найти полную поверхность цилиндра, описанного вокруг ку-
куба с ребром а (вершины куба находятся на окружностях оснований).
311.	Вокруг правильного октаэдра описан цилиндр. Две вершины
октаэдра лежат в центрах оснований цилиндра, а остальные четыре —
на его боковой поверхности. Ребро октаэдра а = 10 см. Найти боко-
боковую поверхность цилиндра.
312.	Отношение площади основания конуса к площади осевого се-
сечения равно тг. Найти угол наклона образующей к основанию.
313.	Высота конуса Н. На каком расстоянии от вершины надо
провести плоскость параллельно основанию, чтобы площадь сечения
была равна половине площади основания?
314.	1) Радиус основания конуса R. Через середину высоты про-
проведена плоскость параллельно основанию. Найти площадь сечения.
2) Радиус основания конуса R. Определить площадь параллельно-
параллельного сечения, делящего высоту конуса в отношении т : п (от вершины
к основанию).
315.	Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найти площадь
сечения, проведенного через вершину, если его расстояние от центра
основания конуса равно 12.
316.	В равностороннем конусе (осевое сечение — правильный треу-
треугольник) радиус основания R. Найти площадь сечения, проведенного
через две образующие, угол между которыми равен 30°.
317.	Высота конуса Н. Угол между высотой и образующей ра-
равен 60°. Найти площадь сечения, проведенного через две взаимно
перпендикулярные образующие.
318.	1) В конусе, у которого высота
равна радиусу основания R, проведена
через вершину плоскость, отсекающая от
окружности основания дугу в 90°. Вы-
Вычислить площадь полученного сечения.
2) Через вершину конуса под углом
45° к основанию проведена плоскость,
отсекающая четверть окружности ос-
основания. Высота конуса равна 10 см.
Определить площадь сечения.
319.	Через середину высоты кону-
конуса проведена прямая параллельно обра-
р ~о	зующей /. Найти длину отрезка прямой,
заключенной внутри конуса.
320. Образующая конуса 13 см, высота 12 см. Конус (см. рис. 23)
пересечен прямой MTV, параллельной основанию; расстояние ее от

' 5. Цилиндр и конус	257
основания равно 6 см, а от высоты 2 см. Найти отрезок этой прямой,
заключенный внутри конуса.
321.	В конусе даны радиус основания R и высота Н. Найти ребро
вписанного в него куба.
322.	В конусе даны радиус основания R и высота Н. В него впи-
вписана правильная треугольная призма, у которой боковые грани — квад-
квадраты. Найти ребро этой призмы.
323.	Конусообразная палатка высотой 3,5 м и диаметром основа-
основания 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины
пошло на палатку?
324.	Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота крыши
равна 2 м, диаметр башни равен 6 м. Сколько листов кровельного
железа потребовалось для покрытия крыши, если лист имеет разме-
размеры 0,7 м х 1,4 м и на швы пошло 10 % требующегося железа?
325.	Поверхность конического шпиля башни равна 250 м , диа-
диаметр основания 9 м. Найти высоту шпиля.
326.	1) Вычислить величину поверхности, полученной вращением
хорды вокруг диаметра, выходящего из ее конца, если диаметр равен
25 см, а хорда равна 20 см.
2) Из точки А на окружности радиуса г = 7 см проведена каса-
касательная \АВ\ = / = 24 см, а из ее конца В — секущая В ОС через
центр. Вычислить величину поверхности, которую описывает отре-
отрезок ВС секущей, вращаясь вокруг касательной.
327.	Равнобедренный треугольник вращается вокруг своей высо-
высоты. Найти стороны этого треугольника, если его периметр равен 30 см,
а полная поверхность тела вращения равна 60тг см2.
328.	Наибольший угол между образующими конуса равен 60°.
Найти отношение боковой поверхности к площади основания конуса.
329.	1) Как относятся между собой площадь основания, боковая
поверхность и полная поверхность в равностороннем конусе?
2) По высоте Н равностороннего конуса найти его полную поверх-
поверхность.
330.	Как относится боковая поверхность равностороннего конуса
к боковой поверхности равностороннего цилиндра, имеющего такую
же высоту?
331.	Найти зависимость между образующей и радиусом основания
конуса, у которого боковая поверхность есть среднее пропорциональ-
пропорциональное между площадью основания и полной поверхностью.
332.	1) Какова должна быть зависимость между образующей ко-
конуса и радиусом основания, чтобы полная поверхность конуса была
равновелика кругу, за радиус которого принята высота конуса?
17 В. А. Бачурин

258	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
2) Какова должна быть зависимость между образующей конуса
и радиусом основания, чтобы полная поверхность была равновелика
кругу, радиус которого равен образующей конуса?
333.	1) Высота конуса равна 4, радиус основания равен 3; боковая
поверхность конуса развернута на плоскость. Найти угол полученного
сектора.
2)	По радиусу основания R и образующей L определить угол
в развертке боковой поверхности конуса. (Рассмотреть особо случай
равностороннего конуса.)
3)	Вычислить угол в развертке боковой поверхности конуса:
а)	если наибольший угол между образующими — прямой;
б)	если образующая составляет с плоскостью основания угол 30°.
334.	1) Полукруг свернут в коническую поверхность. Найти угол
между образующей и высотой конуса.
2) Радиус сектора равен 3 м; его угол 120°. Сектор свернут в ко-
коническую поверхность. Найти радиус основания конуса.
335.	1) Боковая поверхность конуса содержит 80 см2; угол в ее
развертке равен 112°30/. Вычислить площадь основания.
2)	Боковая поверхность конуса равна 10 см2 и развертывается в
сектор с углом в 36°. Вычислить полную поверхность.
3)	Боковой поверхностью конуса служит свернутая четверть кру-
круга. Найти полную поверхность этого конуса, если площадь его осевого
сечения равна М.
336.	Если наибольший угол между образующими конуса равен
120°, то его боковая поверхность равновелика боковой поверхности
цилиндра, имеющего те же самые основания и высоту. Доказать это
утверждение.
337.	В равносторонний конус вписана правильная четырехуголь-
четырехугольная пирамида. Как относятся боковые поверхности конуса и пирамиды?
338.	В данном конусе радиус основания г = 39 см, а высота h =
= 52 см. В него вписан цилиндр такой высоты, что его боковая по-
поверхность равновелика боковой поверхности малого конуса, стоящего
на его верхнем основании. Найти высоту цилиндра.
339.	В конус с высотой Н и образующей L вписан цилиндр, у
которого боковая поверхность в п раз меньше боковой поверхности
конуса. Найти высоту цилиндра (L = 1,5Я, п = 4).
340.	В конус вписан цилиндр, у которого полная поверхность рав-
равновелика боковой поверхности конуса. Наибольший угол между об-
образующими конуса — прямой. Доказать, что расстояние от вершины
конуса до верхнего основания цилиндра составляет половину длины
образующей конуса.
341.	Образующая усеченного конуса равна 2а и наклонена к осно-
основанию под углом 60°. Радиус одного основания вдвое больше радиуса
другого основания. Найти каждый из радиусов.

' 5. Цилиндр и конус	259
342.	Площади оснований усеченного конуса равны 4 кв.ед. и
25 кв. ед. Высота разделена на три части одинаковой длины, и через
точки деления проведены плоскости параллельно основаниям. Найти
площади сечений.
343.	В усеченном конусе площади оснований равны 1 м2 и 49 м2.
Площадь параллельного сечения равна их полусумме. На какие части
это сечение делит высоту?
344.	В усеченном конусе высота h = 10 см, а радиусы оснований
равны 8 см и 18 см. На каком расстоянии от меньшего основания
находится параллельное сечение, площадь которого есть среднее про-
пропорциональное между площадями основания?
345.	Радиусы оснований усеченного конуса равны R и г. Образую-
Образующая наклонена к основанию под углом 60°. Найти боковую поверхность.
346.	Радиусы оснований усеченного конуса и его образующая от-
относятся, как 1:4:5, высота равна 8 см. Найти *§бок-
347.	1) Найти высоту усеченного конуса, если его полная поверх-
поверхность равна 572тг м2, а радиусы оснований равны 6 м и 14 м.
2) В усеченном конусе высота h = 63 дм, образующая / = 65 дм
и боковая поверхность S = 26тг м2. Вычислить радиусы оснований.
348.	Сколько квадратных метров латунного листа потребуется,
чтобы сделать рупор, у которого диаметр одного конца равен 0,43 м,
диаметр другого конца — 0,036 м и образующая равна 1,42 м?
349.	Сколько олифы потребуется для окраски 100 ведер коничес-
конической формы, если диаметры оснований ведра равны 25 см и 30 см,
образующая равна 27,5 см и на 1 м2 требуется 150 г олифы?
350.	В усеченном конусе образующая / = 5 см, а радиусы осно-
оснований равны 1 см и 5 см. Найти радиус цилиндра с такой же высотой и
такой же величиной боковой поверхности.
351.	Вычислить боковую поверхность усеченного конуса, если его
образующая составляет с плоскостью основания угол 30°, а площадь
осевого сечения равна F.
352.	Найти высоту усеченного конуса, если его боковая поверх-
поверхность равновелика сумме оснований, а их радиусы равны R и г.
353.	1) В усеченном конусе даны высота Я, образующая L и бо-
боковая поверхность S. Вычислить площадь осевого сечения.
2) В усеченном конусе вычислить площадь осевого сечения, если
даны площади оснований Q и q и боковая поверхность S.
354.	В усеченном конусе радиусы оснований равны 1 см и 3 см.
Найти образующую, если полная поверхность усеченного конуса равна
площади всего кругового кольца, в часть которого развертывается
боковая поверхность усеченного конуса.
355.	Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два водяных
цилиндра со следующими размерами: ход поршня равен 150 мм,

260	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
диаметр равен 80 мм. Найти часовую производительность насоса, если
известно, что каждый поршень делает 50 рабочих ходов в 1 минуту.
356.	Граната имеет форму цилиндра длиной 3,5 калибра и тол-
толщину стенок 0,125 калибра (калибром называется внутренний диаметр
дула пушки). Вычислить в кубических сантиметрах объем взрывча-
взрывчатого вещества, наполняющего внутреннюю пустоту гранаты полевой
пушки калибра в 76 мм.
357.	В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в пос-
последнюю вписан цилиндр. Найти отношение объемов обоих цилиндров.
358.	Боковая поверхность цилиндра равна S, а длина окружности
основания равна С. Найти объем.
359.	1) Боковая поверхность цилиндра развертывается в квадрат
со стороной а. Найти объем.
2) Высота цилиндра равна //, а в развертке его боковой поверх-
поверхности образующая составляет с диагональю угол 60°. Вычислить
объем.
360.	Прямоугольный лист жести длиной 1,6 м и шириной 0,8 м
можно согнуть в трубку двояким образом: в первом случае длина
трубки будет 1,6 м, во втором — 0,8 м. Найти отношение объемов тру-
трубок и их поверхностей.
361.	Стальной вал длиной 1,40 м и диаметром 0,083 м обта-
обтачивается на токарном станке, причем диаметр его уменьшается на
0,003 м. Сколько теряет он в массе благодаря обточке? Плотность
стали равна 7,4 г/см3.
362.	Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Ра-
Радиус его основания равен 2,5 м, высота равна 4 м, причем цилиндриче-
цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена равна 0,03 г/см3.
Вычислить массу стога.
363.	Высота и образующая конуса относятся, как 4 : 5, а объем
конуса равен 96тг см3. Найти его полную поверхность.
364.	Найти объем конуса по площади основания Q и боковой по-
поверхности S.
365.	1) Как относятся объемы равностороннего конуса и равно-
равностороннего цилиндра, если их полные поверхности равны?
2) Как относятся полные поверхности равностороннего конуса и
равностороннего цилиндра, если их объемы равны?
366.	1) Объем конуса равен V, а радиус основания равен R. Найти
площадь осевого сечения конуса.
2) В конусе площадь основания равна Q и площадь осевого сече-
сечения равна М. Определить объем и боковую поверхность.
367.	На одном основании построены конус и равновеликий ему
цилиндр. Параллельно основанию проведена плоскость через середи-

' 5. Цилиндр и конус	261
ну высоты цилиндра. Как относятся площади полученных сечений
конуса и цилиндра?
368.	Из жести вырезан сектор радиуса 20 см с центральным уг-
углом 250° и свернут в конус. Найти объем конуса.
369.	Прямоугольный треугольник с катетами а и b вращается
вокруг гипотенузы. Найти объем и поверхность полученного тела.
370.	Треугольник со сторонами 10 см, 17 см и 21 см вращается
вокруг большей стороны. Вычислить объем и поверхность получен-
полученного тела.
371.	Треугольник с углом 60°, заключенным между сторонами,
равными 8 см и 15 см, вращается вокруг большей из этих сторон.
Вычислить объем и поверхность тела вращения.
372.	Объемы тел, образуемых вращением какого-нибудь треуголь-
треугольника последовательно вокруг каждой стороны, обратно пропорцио-
пропорциональны этим сторонам. Доказать это утверждение.
373.	Высота усеченного конуса равна 3. Радиус одного основания
вдвое больше другого, а образующая наклонена к основанию под уг-
углом 45°. Найти объем.
374.	Объем усеченного конуса равен 52 см2; площадь одного ос-
основания в 9 раз больше площади другого. Усеченный конус достроен
до полного. Найти объем полного конуса.
375.	Площадь осевого сечения усеченного конуса равна разности
площадей оснований, а радиусы оснований равны R и г. Найти его
объем.
376.	Высота усеченного конуса равна 12 см, площадь среднего
параллельного сечения равна 225тг см2, объем равен 2800тг см3. Вы-
Вычислить радиусы оснований.
377.	Образующая усеченного конуса равна 17 см, площадь осево-
осевого сечения равна 420 см2, площадь среднего сечения равна 196тг см2.
Вычислить объем и боковую поверхность.
378.	Усеченный конус, у которого радиусы оснований равны 4 см
и 22 см, требуется превратить в равновеликий цилиндр такой же вы-
высоты. Найти радиус основания этого цилиндра.
379.	Радиус одного основания усеченного конуса вчетверо больше
радиуса другого. Высота разделена на три части равной длины, и
через точки деления проведены плоскости параллельно основаниям.
В каком отношении разделился объем?
380.	В усеченном конусе радиусы оснований равны R и г, высота
равна h. Из него вырезаны два конуса, у которых основаниями служат
основания данного усеченного конуса, а образующие одного служат
продолжениями образующих другого. Найти объем оставшейся части.

262	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
§ 6. Шар и комбинации геометрических фигур
381.	1) Шар, радиус которого равен 41 дм, пересечен плоскостью
на расстоянии 9 дм от центра. Вычислить площадь сечения.
2) Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная к
нему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к пло-
площади большого круга?
382.	Радиус шара равен 63 см. Точка находится на касательной
плоскости на расстоянии 16 см от точки касания. Найти ее кратчайшее
расстояние от поверхности шара.
383.	Угол между радиусами, проведенными к двум точкам поверх-
поверхности шара, равен 60°, а кратчайшее расстояние между этими точками
по поверхности шара равно 5 см. Вычислить радиус шара f — « 0,32).
384.	Радиус шара равен R. Через конец радиуса проведена плос-
плоскость под углом 60° к нему. Найти площадь сечения.
385.	Дан шар радиуса R. Через одну точку его поверхности про-
проведены две плоскости: первая — касательная к шару, вторая — под
углом 30° к первой. Найти площадь сечения.
386.	1) Радиус Земного шара равен R. Чему равна длина окруж-
окружности параллельного круга, если его широта равна 60°?
2) Город N находится на 60° северной широты. Какой путь опи-
описывает этот пункт в течение одного часа вследствие вращения Земли
вокруг своей оси? Радиус Земли принять равным 6000 км.
387.	На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные рас-
расстояния между ними равны 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара равен 13 см.
Найти расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через
эти три точки.
388.	Диаметр шара равен 25 см. На его поверхности даны точ-
точка Л и окружность, все точки которой удалены (по прямой линии)
от А на 15 см. Найти радиус этой окружности.
389.	Радиус шара равен 15 м. Вне шара дана точка А на рас-
расстоянии 10 м от его поверхности. Найти длину такой окружности на
поверхности шара, все точки которой отстоят от А на 20 м.
390.	Полушар и вписанный в него конус имеют общее основание
и общую высоту; через середину высоты проведена плоскость, па-
параллельная основанию. Доказать, что площадь сечения, заключенная
между боковой поверхностью конуса и поверхностью полушара, рав-
равна половине площади основания.
391.	Тело ограничено двумя концентрическими шаровыми по-
поверхностями (полый шар). Доказать, что его сечение плоскостью,
проходящей через центр, равновелико сечению, касательному к
внутренней шаровой поверхности.

§ 6. Шар и комбинации геометрических фигур	263
392.	Радиусы двух шаров равны 25 дм и 29 дм, а расстояние меж-
между их центрами равно 36 дм. Вычислить длину линии, по которой
пересекаются их поверхности.
393.	Стороны треугольника равны 13 см, 14 см, 15 см. Найти
расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касательного
к сторонам треугольника. Радиус шара равен 5 см.
394.	Диагонали ромба равны 15 см и 20 см. Шаровая поверхность
касается всех сторон его. Радиус шара равен 10 см. Найти расстояние
от его центра до плоскости ромба.
395.	На шар, радиус которого равен 5 дм, наложен ромб так, что
каждая сторона его, равная 6 дм, касается шара. Расстояние от плос-
плоскости ромба до центра шара равно 4 дм. Найти площадь ромба.
396.	Через точку, лежащую на поверхности шара, проведены две
взаимно перпендикулярные плоскости, которые пересекают шар по
кругам радиусов г\ и г^- Найти радиус шара.
397.	Радиус шара равен 7 см. На его поверхности даны две
равные окружности, пересекающиеся по хорде, равной 2 см. Найти
радиус этих окружностей, зная, что плоскости их перпендикулярны.
398.	Две касательные к шару плоскости образуют угол 120°, обра-
обращенный к поверхности шара. Кратчайшее расстояние по поверхности
шара между точками касания равно 70 см. Найти радиус шара.
399.	1) (Устно.) Радиус шара равен 1 м. Найти объем шара.
2) Во сколько раз увеличится объем шара, если радиус его увели-
увеличить в 3 раза? в 4 раза?
400.	Чугунные шары регулятора имеют массу по 10 кг каждый.
Найти диаметр шара. Плотность чугуна равна 7,2 г/см3.
401.	1) Требуется перелить в один шар два чугунных шара с диа-
диаметрами d\ — 25 см и d,2 = 35 см. Найти диаметр нового шара.
2) Радиусы трех шаров равны 3 см, 4 см и 5 см. Найти радиус
шара, объем которого равен сумме их объемов.
402.	Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков диамет-
диаметром 1 см можно отлить из куска? Плотность свинца равна 11,4 г/см3.
403.	(Устно.) 1) Свинцовый шар, диаметр которого равен 20 см,
переливается в шарики с диаметром в 10 раз меньшим. Сколько таких
шариков получится? Какое данное в задаче лишнее?
2) Нужно отлить свинцовый шар с диаметром 3 см. Имеются
свинцовые шарики с диаметром 5 мм. Сколько таких шариков нужно
взять?
404.	Свинцовый шарик, диаметр которого равен 0,012 м, и полый
стеклянный шар диаметром 0,160 м уравновешены на коромысле ве-

264	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
сов, т. е. в воздухе имеют равный вес. Если перенести всю эту систе-
систему под колокол воздушного насоса и выкачать из-под колокола весь
воздух, то какой шар опустится? Как изменятся веса шаров? Этот
прибор в физике называется бароскопом. Удельный вес воздуха ра-
равен 13 Н/м3.
405.	1) Из деревянного цилиндра, в котором высота равна диа-
диаметру основания (равносторонний цилиндр), выточен наибольший
шар. Определить, сколько процентов материала сточено.
2) Из куба выточен наибольший шар. Сколько процентов мате-
материала сточено?
406.	Если радиусы трех шаров относятся как 1:2:3, то объем
большего шара в три раза больше суммы объемов меньших шаров.
Доказать это утверждение.
407.	Внешний диаметр полого шара равен 18 см, толщина стенок
равна 1 см. Найти объем стенок.
408.	Внутренний диаметр чугунного полого шара равен 8 см, а
внешний — 10 см. Вычислить массу шара. Плотность чугуна рав-
равна 7,3 г/см3.
409.	Объем стенок полого шара равен 876тг см3, а толщина сте-
стенок равна 3 см. Найти радиусы его наружной и внутренней поверх-
поверхностей.
410.	В основание равностороннего цилиндра радиуса R вписан
квадрат, и на нем построена правильная четырехугольная пирамида
с равносторонними боковыми гранями. Требуется определить радиус
шара, объем которого равен сумме объемов цилиндра и пирамиды.
411.	Сосуд имеет форму опрокинутого конуса, осевое сечение ко-
которого — равносторонний треугольник. В него брошен железный шар
радиуса R. В сосуд налита вода так, что поверхность воды касается
погруженного в нее шара. На какой высоте будет вода, если вынуть
шар?
412.	Дан шар. Плоскость, перпендикулярная диаметру, делит его
на две части: 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара?
413.	Какую часть объема шара составляет объем сферического
сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?
414.	Высота шарового сегмента составляет 0,4 радиуса шара.
Какую часть составляет объем этого сегмента от объема цилиндра,
имеющего те же основание и высоту?
415.	Два равновеликих шара расположены так, что центр одно-
одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части
шаров к объему целого шара?
416.	Диаметр шара, равный 30 см, служит осью цилиндра, у кото-
которого радиус основания равен 12 см. Найти объем части шара, заклю-
заключенной внутри цилиндра.

§ 6. Шар и комбинации геометрических фигур	265
417.	Радиусы поверхностей двояковыпуклого сферического стек-
стекла равны 10 см и 17 см. Расстояние между их центрами равно 21 см.
Найти объем.
418.	Радиус шарового сектора равен /2, угол в осевом сечении
составляет 120°. Найти объем.
419.	Найти объем шарового сектора, если радиус окружности его
основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.
420.	Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается вокруг
одного из боковых радиусов. Вычислить объем полученного тела.
421.	Полукруг радиуса /2, разделенный двумя радиусами на три
части равной длины, вращается вокруг диаметра. Найти объемы тел,
полученных от вращения каждой части.
422.	Если в сферическом секторе площадь осевого сечения рав-
равна - площади большого круга, то его объем равен - объема шара.
Доказать это утверждение.
423.	В шаре, радиус которого равен 65 см, проведены по одну
сторону центра две параллельные плоскости, отстоящие от центра на
16 см и 25 см. Найти объем части шара, заключенной между ними.
424.	Доказать, что объем тела, полученного при вращении круго-
кругового сегмента с хордой а вокруг диаметра, параллельного этой хорде,
не зависит от величины радиуса круга.
425.	1) (Устно.) Площадь большого круга равна 1 м . Найти по-
поверхность шара.
2)	Кривая поверхность полушара на М больше площади его ос-
основания. Найти площадь основания.
3)	Дан полушар радиуса R. Найти его полную поверхность.
426.	1) Радиус шара равен 5 см. Найти его поверхность (тг ~
«3,1416).
2)	Поверхность шара равна 225тг м2. Найти его объем.
3)	По объему шара V найти его поверхность.
427.	(Устно.) 1) Как изменятся поверхность и объем шара, если
радиус увеличить в 4 раза? в 5 раз?
2)	Поверхности двух шаров относятся, как т : п. Как относятся
их объемы?
3)	Объемы двух шаров относятся, как т : п. Как относятся их
поверхности?
428.	Гипотенуза и катеты служат диаметрами трех шаров. Како-
Какова зависимость между их поверхностями?
429.	В шаре проведены по одну сторону от центра два парал-
параллельных сечения; площади их равны 49тг дм2 и 4тг м2, а расстояние
между ними равно 9 дм. Вычислить поверхность шара.

266	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
430.	Полная поверхность равностороннего конуса равновелика
поверхности шара, построенного на его высоте как на диаметре. До-
Доказать это утверждение.
431.	Если равносторонний конус и полушар имеют общее основа-
основание, то боковая поверхность конуса равновелика сферической поверх-
поверхности полушара, а линия их пересечения вдвое короче окружности
основания. Доказать это утверждение.
432.	Объем шара (в куб. ед.) и его поверхность (в кв. ед.) выра-
выражаются одним и тем же числом. Найти радиус шара.
433.	Кусок металла, имевший сначала форму равностороннего ци-
цилиндра, перелит в форму шара. Как изменилась величина его поверх-
поверхности?
434.	Поверхность тела, образуемого вращением квадрата вокруг
стороны, равновелика поверхности шара, имеющего радиусом сторону
квадрата. Доказать это утверждение.
435.	Радиусы оснований шарового пояса 20 м и 24 м, а радиус
шара 25 м. Найти поверхность шарового пояса. (Два случая.)
436.	По радиусу шара R найти высоту сферического слоя, одно
из оснований которого — большой круг шара и боковая поверхность
которого равновелика сумме оснований.
437.	Высота шарового пояса 7 см, а радиусы оснований 16 см и
33 см. Вычислить поверхность шарового пояса.
438.	По данному радиусу шара R найти высоту сферического
сегмента, у которого боковая поверхность в т раз больше площади
основания (т = 4).
439.	Если полуокружность, разделенная на три части одинако-
одинаковой длины, вращается вокруг своего диаметра, то поверхность, опи-
описанная средней дугой, равновелика сумме поверхностей, описанных
боковыми дугами. Доказать это утверждение.
440.	Круговой сегмент с дугой 120° и площадью Q вращается
вокруг своей высоты. Найти полную поверхность полученного тела.
441.	Боковая поверхность конуса, вписанного в шаровой сегмент,
есть среднее пропорциональное между площадью основания и боко-
боковой поверхностью сегмента. Доказать это утверждение.
442.	1) Радиус шара равен 15 см. Найти часть его поверхности,
видимую из точки, удаленной от центра на 25 см.
2) На каком расстоянии от центра шара радиуса R должна быть
светящаяся точка, чтобы она освещала - его поверхности?
о
443.	Круговой сектор с углом 90° и площадью Q вращается вок-
вокруг среднего радиуса. Найти поверхность полученного тела.

§ 6. Шар и комбинации геометрических фигур	267
444.	Какую часть объема шара составляет объем сферического сек-
сектора, у которого сферическая и коническая поверхности равновелики?
445.	Шар радиуса 10 см цилиндрически просверлен по оси. Диа-
Диаметр отверстия 12 см. Найти полную поверхность тела.
446.	Радиус шара 9 дм. В него вписана правильная четырехуголь-
четырехугольная призма, высота которой 14 дм. Найти сторону основания призмы.
447.	Боковое ребро правильной треугольной призмы 2 м, сторона
основания 3 м. Найти диаметр описанного шара.
448.	Основанием прямой призмы служит треугольник со сторона-
сторонами 6 см, 8 см и 10 см. Высота призмы 24 см. Найти радиус описан-
описанного шара.
449.	Как относятся между собой поверхности трех шаров, если
первая поверхность касается граней куба, вторая касается его ребер
и третья проходит через его вершины?
450.	Вокруг шара описана правильная треугольная призма, а во-
вокруг нее описан шар. Как относятся между собой поверхности этих
шаров?
451.	По ребру а правильного тетраэдра найти радиусы описан-
описанного и вписанного шаров.
452.	Как относятся между собой поверхности трех шаров, если
первая поверхность касается граней правильного тетраэдра, вторая
касается его ребер, а третья проходит через его вершины?
453.	По ребру а правильного октаэдра найти радиусы описанно-
описанного и вписанного шаров.
454.	В данной пирамиде все боковые ребра равны 9 см, а ее вы-
высота 5 см. Найти радиус описанного шара.
455.	В шар вписана правильная четырехугольная пирамида, вы-
высота которой делится центром шара на две части: 4 см и 5 см. Найти
объем пирамиды.
456.	Высота правильной треугольной пирамиды h. Боковые реб-
ребра взаимно перпендикулярны. Найти радиус описанного шара.
457.	Основанием пирамиды служит правильный треугольник,
сторона которого равна 3 дм. Одно из боковых ребер равно 2 дм и
перпендикулярно основанию. Найти радиус описанного шара.
458.	Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной
пирамиды 7 дм и 1 дм. Боковое ребро наклонено к основанию под
углом 45°. Найти радиус описанного шара.
459.	В правильной треугольной усеченной пирамиде высота рав-
равна 17 см; радиусы окружностей, описанных вокруг оснований, равны
5 см и 12 см. Найти радиус описанного шара.

268	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
460.	В шар радиуса R вписан равносторонний цилиндр. На какие
части делят поверхность шара основания цилиндра?
461.	В шар вписан цилиндр, у которого радиус основания отно-
относится к высоте, как т : п. Найти полную поверхность этого цилиндра,
если поверхность шара равна S.
462.	Высота конуса /г, образующая /. Найти радиус описанного
шара.
463.	Радиус шара 5 см. В шар вписан конус, радиус основания
которого 4 см. Вычислить высоту конуса.
464.	Радиус шара 2 м. В него вписан равносторонний конус. Най-
Найти полную поверхность и объем конуса.
465.	Найти отношение объемов равностороннего конуса и вписан-
вписанного в него шара.
466.	В конус, у которого радиус основания г, а образующая /,
вписан шар. Вычислить длину линии, по которой поверхность шара
касается боковой поверхности конуса.
467.	Если вокруг шара описан конус, у которого высота вдвое
больше диаметра шара, то объем и полная поверхность конуса вдвое
больше объема и поверхности шара. Доказать это утверждение.
468.	Вокруг шара радиуса г описан конус с прямым углом при
вершине осевого сечения. Найти полную поверхность конуса.
469.	Высота конуса 20 см, образующая 25 см. Найти радиус впи-
вписанного полушара, основание которого лежит на основании конуса.
470.	Радиусы оснований усеченного конуса 3 м и 4 м; высота 7 м.
Найти радиус описанного шара.
471.	Вокруг шара описан усеченный конус, радиусы оснований
которого г и R. Найти радиус шара.
472.	Вокруг шара описан усеченный конус, у которого образую-
образующая составляет с плоскостью основания угол 45°. Доказать, что его
боковая поверхность вдвое больше поверхности шара.
473.	Радиус сферического сектора /2, дуга в осевом сечении 60°.
Найти радиус вписанного в него шара и длину окружности, по кото-
которой они касаются.
474.	В сферический сектор вписаны два взаимно касающихся
шара, радиусы которых 1 дм и 3 дм. Найти радиус данного сектора.
475.	Полная поверхность данного шарового сегмента в т раз
больше поверхности вписанного в него шара. Найти высоту сегмента,
зная радиус R его сферической поверхности (т = 2).

§ 6. Шар и комбинации геометрических фигур	269
476.	Объем данного шарового сегмента в т раз больше объема
вписанного в него шара. Найти его высоту по радиусу R его сфери-
сферической поверхности (т = 2).
477.	В шаровой сектор с углом 120° в осевом сечении вписан
равносторонний конус. Вершина конуса находится на сферической
поверхности сектора, а основание конуса опирается на коническую
поверхность сектора. Найти отношение объемов конуса и сектора.
478.	Квадрат со стороной а вращается вокруг перпендикуляра к
диагонали, проведенного через ее конец. Найти объем и поверхность
полученного тела.
479.	Равносторонний треугольник вращается вокруг перпендику-
перпендикуляра к стороне, проведенного через ее конец. Как относятся между
собой поверхности, описываемые сторонами треугольника?
480.	Равносторонний треугольник вращается сначала вокруг
стороны, а затем вокруг параллельной ей прямой, проведенной че-
через вершину. Доказать, что во втором случае получаются объем и
поверхность, вдвое большие, чем в первом.
481.	Равносторонний треугольник со стороной а вращается вок-
вокруг внешней оси, которая параллельна стороне и удалена от нее на
расстояние, равное длине апофемы треугольника. Найти объем и по-
поверхность полученного тела.
482.	Одна из сторон а равностороннего треугольника продолже-
продолжена на равную ей длину, и через конец продолжения проведен перпен-
перпендикуляр к нему. Найти объем и поверхность тела, которое получится,
если вращать треугольник вокруг этого перпендикуляра.
483.	По стороне а правильного шестиугольника найти объем и
поверхность тел, образуемых его вращением:
1) вокруг диаметра; 2) вокруг апофемы.
484.	Правильный шестиугольник со стороной а вращается вокруг
внешней оси, которая параллельна стороне и отстоит от нее на длину
апофемы. Найти объем и поверхность полученного тела.
485.	Прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см
вращается вокруг перпендикуляра к гипотенузе, проведенного через
вершину большего острого угла. Найти объем и поверхность тела
вращения.
486.	Объемы, образуемые вращением параллелограмма последо-
последовательно вокруг двух смежных сторон, обратно пропорциональны
этим сторонам. Доказать это утверждение.
487.	Ромб, площадь которого равна Q, вращается вокруг сторо-
стороны. Найти поверхность полученного тела.

270	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
488.	Равнобочная трапеция, у которой острый угол равен 45° и
боковая сторона равновелика меньшему основанию, вращается вок-
вокруг боковой стороны. Зная ее длину а, найти объем и поверхность
тела вращения.
489.	В полукруг радиуса R вписана трапеция так, что ее нижним
основанием служит диаметр, а боковая сторона стягивает дугу в 30°.
Найти объем и поверхность тела, образуемого вращением этой трапе-
трапеции вокруг радиуса, перпендикулярного ее основанию.
490.	Круговой сегмент вращается вокруг параллельного хорде
диаметра. Доказать, что полученный объем равен объему шара с диа-
диаметром, по длине равным хорде сегмента.
491.	Вокруг шара радиуса R описан усеченный конус, объем ко-
которого в т раз больше объема шара. Найти радиусы его оснований.
492.	Поверхность шара, вписанного в данный конус, равновелика
его основанию. Требуется определить:
1)	как относится поверхность этого шара к боковой поверхности
конуса;
2)	какую часть объема конуса составляет объем шара.
493.	Как относится объем конуса, описанного вокруг правильно-
правильного тетраэдра, к объему шара, вписанного в этот тетраэдр?
494.	В равносторонний конус вписан полушар так, что большой
круг полушара находится в плоскости основания конуса. В каком от-
отношении окружность касания делит боковую поверхность полушара
и боковую поверхность конуса?
495.	В равносторонний конус с образующей а вписан шар, а в
него вписан куб. Найти ребро куба.
496.	1) В основание полушара вписан квадрат. Через стороны
квадрата проведены плоскости, перпендикулярные плоскости основа-
основания полушара. Эти плоскости отсекают от полушара четыре сфери-
сферических полусегмента. Оставшаяся часть дает форму свода. Сторона
квадрата а = 6,5 м. Вычислить объем, занимаемый сводом.
2) В основание полушара вписан прямоугольник со сторонами а
и Ь. Через стороны прямоугольника проведены четыре перпендику-
перпендикулярные основанию плоскости, отсекающие от полушара четыре части
(полусегменты). Найти объем оставшейся части.
497.	По сторонам а и b прямоугольника найти объем и поверх-
поверхность тела, образуемого его вращением вокруг перпендикуляра к
диагонали, проведенного через ее конец.
498.	Пусть V\,V2 и Уз — объемы тел, полученных вращением
прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы и катетов. Дока-
1 1,1
зать, что —~ = —~ Н	77.
Vi v? vi

§ 7. Метод координат и векторы в стереометрии	271
499.	В конус вписан ряд шаров, из которых первый касается ос-
основания и боковой поверхности, а каждый следующий — боковой
поверхности и предыдущего шара. Высота конуса равна 8 см, а радиус
основания 6 см. К какому пределу стремится сумма объемов вписан-
вписанных шаров, если число их неограниченно возрастает?
500.	Для данной правильной четырехугольной усеченной пира-
пирамиды построена равновеликая ей правильная четырехугольная призма
так, что центры их оснований совпадают, а боковые ребра взаимно
пересекаются. Стороны оснований усеченной пирамиды 2 м и 11 м.
Требуется:
1)	найти сторону основания призмы;
2)	установить, в каком отношении (считая сверху) делятся боковые
ребра точками их пересечения;
3)	установить, в каком отношении делятся линией пересечения бо-
боковые поверхности.
§ 7. Задачи по стереометрии с применением
метода координат и векторов
501.	Вычислить координаты единичного вектора а, если извест-
известно, что он перпендикулярен векторам 6A; 1; 0) и <?@; 1; 1).
502.	Найти углы, которые образует вектор аF; 2; 9) с координат-
координатными плоскостями.
503.	Найти зависимость между:
1)	вектором р и его проекциями {px]Py]Pz) H& три координатные
оси;
2)	вектором р и его проекциями (pi; p^\ Ръ) на три координатные
плоскости.
504.	В точке ЛB; —1; 5) приложена сила R, \R\ = 11. Зная две
составляющие этой силы X = 7 г и Y = 6j, найти направление и конец
вектора, ее изображающего.
505.	На осях координат отложены от начала координат отрезки,
равные 1; 2; 3; концы этих отрезков соединены прямыми. Вычислить
площадь полученного треугольника.
506.	Вектор задан точками ЛF; 0; 2) и БA; -3; 4). Найти коорди-
координаты точки М(ж; у] 0), принадлежащей этому вектору.
507.	Единичный куб пересечен плоскостью, проходящей через его
центр симметрии. Чему равен объем каждой части куба?
508.	Даны два вектора: аA; 2; —3) и 6C; —1; 5). Найти такой век-
вектор с, который перпендикулярен оси Oz и удовлетворяет условиям
са = — 4 и cb = 9.

272	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
509.	В параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ даны координаты вер-
вершин: ЛC; 7; 1), БE; 4; 2), ?>(8; 4; -1) и Ai(l; 6; 2). Вычислить коорди-
координаты других вершин.
510.	Дан тетраэдр ABCD. Найти сумму векторов:
1) A~B + BD + DC; 2) AB + CD + BC + DA.
511.	В тетраэдре ABCD точки М\ и М^ являются соответствен-
соответственно точками пересечения медиан граней ADB и В DC. Показать, что
векторы М1М2 и АС коллинеарны. Найти отношение длин этих век-
векторов.
512.	Медианы грани ABC тетраэдра О ABC пересекаются в точ-
точке М. Разложить вектор О А по векторам ОВ, ОС, ОМ.
513.	Дан куб ABCDAiBiCiDi. Найти угол между векторами и
угол между прямыми, определяемыми теми же парами точек, что и
векторы:
1) DiAi и CCi; 2) DA и В?В.
514.	Длина каждого ребра тетраэдра ABCD равна а, точки
М, TV, Р являются серединами ребер АВ, AD, DC. Вычислить ска-
скалярные произведения:
1) АСАВ] 2) аЪ-DB; 3) NP • ВА; 4) РМ • РВ.
515.	На координатных плоскостях найти точки, которые вместе
с началом координат служили бы вершинами расположенного в I ок-
октанте правильного тетраэдра с ребрами, равными единице.
516.	Найти направление вектора, перпендикулярного оси Oz и
прямой, проходящей через две точки ЛA; —1; 4) и В(—3; 2; 4).
517.	Даны две вершины треугольника: Л(-4;-1;2) и БC;5;-6).
Найти третью вершину С, зная, что середина стороны АС лежит на
оси Оу, а середина стороны В С — на плоскости xOz.
518.	Отрезок АВ разделен на пять равных частей; известна пер-
первая точка деления СC; —5; 7) и последняя F(—2; 4; —8). Найти коор-
координаты концов отрезка и остальных точек деления.
519.	Дан параллелепипед ABCDA\B\C\D\. Какие из следую-
следующих троек векторов компланарны (т. е. лежат в одной плоскости или
в параллельных плоскостях):
1) ААи ССи ВТВ; 2) АВ, AD, ААг;
3) В?В, ADU DDu 4) AD, AJ3U ССг?
520.	Дан параллелепипед ABCDA\B\C\D\. Доказать, что:
1)	АС = АВ + А1Ъ1; 2) d\ = С?ВХ - АВ;
2)	AC1 + dTa + BD1 = BC1; 4) D?C + ААг + СВ + С?С = D?B .

§ 7. Метод координат и векторы в стереометрии	273
521.	Для каждой плоскости написать общее выражение коорди-
координат произвольного нормального вектора:
1) 2х -у -2^ + 5 = 0; 2) x + 5y-z = 0; 3) Зж -2?/-7 = 0.
522.	Построить плоскости:
1) 2x + y-z + 6 = 0; 2) x-y-z = 0;
3) у-2^ + 8 = 0; 4) 2ж-5 = 0.
523.	Даны точки Mi@; — 1; 3) и М2A;3;5). Написать уравнение
плоскости, проходящей через точку Mi и перпендикулярной векто-
вектору Mi М2 .
524.	Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и
точку Mi B; —4; 3). Построить плоскость.
525.	Построить плоскость 2х — 2у -\- z — 6 = 0 и найти углы ее
нормали с осями координат.
526.	Найти расстояние между параллельными плоскостями 4ж +
+ 32/-5z-8 = 0 и 4ж + 3?/-5;? + 12 = 0.
Указание. Взять на первой плоскости любую точку, напри-
например, B; 0; 0), и найти ее расстояние от другой плоскости.
527.	Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и
составляющей угол 60° с плоскостью у = х.
528.	Найти точки пересечения плоскости 2х — Зу — 4z — 24 = 0 с
осями координат.
529.	Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью 2х —
—	Зу + 6z — 12 = 0 и координатными плоскостями.
530.	На оси Оу найти точку, отстоящую от плоскости х + 2у —
—	2z — 2 = 0 на расстоянии d = 4.
531.	Составить уравнение плоскости, делящей пополам двугран-
двугранный угол между двумя плоскостями: 2х — 14?/ + 6z — 1 = 0, Зж + by —
-5^ + 3 = 0.
532.	Найти координаты точки пересечения плоскости х + 2у +
- 29 = 0 и прямой, проходящей через точки Л@; 1; -1) и БB; 0; 1).
533.	Написать уравнение плоскости, параллельной оси Ох и про-
проходящей через точки Mi@; 1; 3) и М2B; 4; 5), и построить ее.
534.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
МB; — 1; 3) и отсекающей на осях координат равные положительные
отрезки.
535.	Найти угол между плоскостями х — 2у -\-2z — 8 = 0 и х + z —
-6 = 0.
536.	Найти плоскость, проходящую через точку B; 2; —2) и па-
параллельную плоскости х — 2у — 3z = 0.
18 В. А. Бачурин

274	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
537.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точ-
точку (—1; —1; 2) и перпендикулярной плоскостям х — 2у + z — 4 = 0 и
х + 2у -2^ + 4 = 0.
538.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
Mi(—1;—2;0) и М2A; 1; 2) и перпендикулярной плоскости х + 2у +
+ 2^-4 = 0.
539.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
()
540.	Через ось Oz провести плоскость, составляющую с плос-
плоскостью 2х + у — л/bz = 0 угол 60°.
541.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
Mi(—4; 0; 4) и отсекающей на осях Ох и Оу отрезки а = 4 и 6 = 3.
542.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
Mi(l; —3; 5) и отсекающей на осях Оу и Oz вдвое большие отрезки,
чем на оси Ох.
543.	Написать уравнения плоскостей, параллельных плоскости
х — 2у -\-2z — 5 = 0 и удаленных от нее на 2 ед.
544.	Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пе-
пересечения плоскостей 2х — у + 3z — 6 = 0, х -\-2у — z + 3 = 0 и через
точку A;2;4).
§ 8. Задачи по стереометрии с применением
тригонометрических функций
545.	Вычислить угол, под которым диагональ куба наклонена к
его грани.
546.	В правильной треугольной пирамиде сторона основания
равна а, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол а.
Вычислить площадь сечения, проведенного через сторону основания
и середину бокового ребра.
547.	Из двух точек плоскости проведены две параллельные нак-
наклонные AM и BN под углом а к плоскости; прямая M7V, пересекаю-
пересекающая их и перпендикулярная к ним, образует с плоскостью угол /3.
Найти угол между прямой АВ и прямой AM.
548.	Отрезки двух прямых, заключенные между двумя парал-
параллельными плоскостями, относятся, как 2:3, а их углы с плоскостью —
как 2:1. Найти эти углы.
549.	На крыше, имеющей наклон в 20°, проведена прямая MN
под углом 25° к линии наибольшего ската МК (линией наибольшего
ската служит перпендикуляр к горизонтальной линии, проведенной
на плоскости). Найти угол х между MTV и горизонтом.

§ 8. Применение тригонометрических функций в стереометрии 275
550.	Покрытие квадратного здания изображено на плане (рис. 24);
размеры даны в метрах. Верхняя площадка покрытия расположена
на высоте (считая от основания крыши), рав-
равной - ширины здания. Все четыре ската наклоне-
ны под одним и тем же углом к горизонтальной
плоскости. Чему равен угол наклона покрытия?
551.	В правильной четырехугольной пирами-
пирамиде сторона основания и боковое ребро относятся,
как л/3 :у2- Через диагональ основания проведена
плоскость, параллельная боковому ребру. Найти
наклон этой плоскости к основанию.
552.	В правильной четырехугольной призме проведена плоскость
через середину оси и середины двух последовательных сторон основа-
основания. Зная, что сторона основания равна а, а боковое ребро 6, найти:
1)	площадь полученного сечения;
2)	угол между проведенной плоскостью и плоскостью основания.
553.	Основанием прямой четырехугольной призмы служит ромб
с острым углом а. Как надо пересечь эту призму, чтобы в сечении
получить квадрат с вершинами на боковых ребрах?
554.	В треугольной призме каждая сторона основания равна а.
Одна из вершин основания проецируется в центр другого основания.
Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом а. Вы-
Вычислить боковую поверхность призмы.
555.	В правильной треугольной пирамиде сторона основания
равна а и составляет с боковым ребром угол а. Вычислить площадь
сечения, проведенного через боковое ребро и высоту пирамиды.
556.	В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол
при основании равен а. Через ребро этого двугранного угла проведе-
проведена внутри пирамиды плоскость, составляющая с основанием угол /3.
Сторона основания равна а. Вычислить площадь сечения.
557.	Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h.
Двугранный угол при основании а. Вычислить полную поверхность.
558.	В основании пирамиды лежит равнобочная трапеция, диаго-
диагональ которой равна / и составляет с большим основанием угол а. Все
боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под уг-
углом (f. ВЫЧИСЛИТЬ й'полн-
559.	Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а. Из
боковых граней две перпендикулярны основанию, а две другие обра-
образуют с ним угол а. Вычислить 5бОк и Snojin.
18*

276	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
560.	В правильной n-угольной усеченной пирамиде даны высота h
и стороны оснований а и b (a > b). Вычислить ее полную поверхность.
561.	В правильной n-угольной усеченной пирамиде отношение
площадей оснований т2, апофема к, угол между апофемой и высо-
высотой а. Вычислить ее боковую поверхность.
562.	К цилиндру проведена касательная прямая под углом а к
плоскости основания. Вычислить расстояние от центра нижнего ос-
основания до этой прямой, если расстояние от него до точки касания
равно d и радиус основания равен R.
563.	Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно b
и образует с плоскостью основания угол а. В эту пирамиду вписан
равносторонний цилиндр так, что его основание лежит в плоскости
основания пирамиды. Найти высоту цилиндра.
564.	Найти ребро куба, вписанного в конус, образующая которого
равна / и наклонена к плоскости основания под углом а.
565.	Вычислить полную поверхность конуса, если угол между
образующей и плоскостью основания равен а, а площадь осевого
сечения Q.
566.	Образующая усеченного конуса наклонена к его основанию,
имеющему радиус /2, под углом а; радиус другого основания ра-
равен г. Вычислить боковую поверхность усеченного конуса.
567.	В усеченном конусе, радиусы оснований которого равны R
и г, проведена плоскость под углом /3 к основанию. Эта плоскость от-
отсекает от окружности каждого основания дугу а. Вычислить площадь
сечения.
568.	Образующая усеченного конуса составляет с плоскостью его
основания угол а; площади оснований Q и q. Вычислить *§бок-
569.	В параллелепипеде длины трех ребер, выходящих из общей
вершины, равны а, 6, с; ребра а и b взаимно перпендикулярны, а
ребро с образует с каждым из них угол а. Найти объем V парал-
параллелепипеда и угол х между ребром с и плоскостью прямоугольника
(а = 120°).
570.	Железнодорожная насыпь в разрезе представляет собой
равнобочную трапецию. Высота трапеции равна 12 м, верхнее (мень-
(меньшее) основание равно 25 м, острый угол а трапеции определяется
2
равенством tg a = -. Сколько кубометров насыпи приходится на один
погонный метр?
571.	Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, в ко-
которой боковое ребро равно 6, а плоский угол при вершине равен а.
572.	В треугольной пирамиде две боковые грани — равнобедрен-
равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны b и
образуют между собой угол а. Вычислить объем этой пирамиды.

§ 8. Применение тригонометрических функций в стереометрии 277
573.	Найти объем цилиндрической трубки, высота которой Я,
зная, что если через образующую внешней ее поверхности провести
две плоскости, касательные к внутренней поверхности, то они составят
угол а, а хорда, соединяющая точки касания этих плоскостей с внут-
внутренней окружностью основания трубки, равна Ь.
574.	Угол откоса для мелкого песка р = 31°. Куча песка имеет вид
конуса, длина окружности основания которого с = 11 м. Плотность
песка d = 1,6 г/см3. Найти массу этой кучи.
575.	Осевое сечение конуса представляет собой треугольник, угол
при вершине которого а. Радиус окружности,
описанной вокруг этого треугольника, R. Найти	ri
объем конуса.
576.	На рис. 25 изображен продольный раз-
разрез доменной печи. Внутренность доменной печи
состоит из двух усеченных конусов. Верхнее и
нижнее отверстия имеют радиусы г\ и г2; углы
наклона образующих к основанию а и /?; общий
объем V. Найти радиус общего основания кону-
конусов г, а также их высоты h\ и hi Br± = 4,2 м;
2г2 = 4,9 м; а = 86°; /3 = 76°; V = 572,6 м3).	Рис- 25
577.	Радиус Земного шара (приблизительно) равен 6370 км.
Москва находится на 56° северной широты. Найти радиус этого круга
широты.
578.	Радиус Земного шара равен 6370 км. Найти длину тропика
(широта 23°27/) и полярного круга (широта 66°33/).
579.	Сторона основания правильной n-угольной пирамиды рав-
равна а, двугранный угол при основании равен (р. Найти радиус шара,
вписанного в пирамиду.
580.	Найти угол между образующей и плоскостью основания
конуса, если площадь основания, поверхность вписанного шара и бо-
боковая поверхность конуса составляют арифметическую прогрессию.
581.	Найти угол при вершине в осевом сечении конуса, описанного
вокруг четырех равновеликих шаров, расположенных так, что каждый
касается трех других.
582.	Найти радиус шара, описанного вокруг усеченного конуса, в
котором радиусы оснований R и г, а образующая наклонена к плос-
плоскости нижнего основания под углом а.
583.	В конус помещены два шара так, что они касаются друг друга
и поверхности конуса. Отношение радиусов шаров равно т : п. Найти
величину угла при вершине осевого сечения конуса (т : п = 3 : 1).
584.	Найти площадь кривой поверхности сферического сегмента,
если в его осевом сечении дуга равна а, а длина хорды равна а.

278	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
585.	Найти полную поверхность сферического сектора с углом а
при вершине осевого сечения и радиусом R.
586.	В треугольнике даны сторона а и углы В и С. Найти по-
поверхность S и объем V тела, полученного от вращения треугольника
вокруг данной стороны.
587.	Ромб со стороной а и острым углом а вращается вокруг оси,
проходящей через вершину острого угла перпендикулярно его сторо-
стороне. Найти поверхность и объем тела вращения.
588.	Даны углы треугольника ABC. Найти отношение объе-
объемов Va, Vbj Ус тел, полученных от вращения этого треугольника
последовательно вокруг сторон a, b и с.
589.	В прямоугольной трапеции, описанной вокруг круга радиу-
радиуса г, дан острый угол а. Вычислить боковую поверхность тела,
полученного от вращения этой трапеции вокруг меньшей из непарал-
непараллельных сторон.
590.	Вычислить объем V и полную поверхность S тела, образо-
образованного вращением кругового сегмента радиуса R вокруг диаметра,
проходящего через конец его дуги а.
591.	Круговой сегмент, содержащий дугу а и хорду а, вращает-
вращается вокруг диаметра, параллельного хорде. Вычислить поверхность и
объем тела вращения.
592.	В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания
равна а, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол а.
В эту пирамиду вписан куб так, что четыре из его вершин лежат на
апофемах пирамиды. Найти ребро куба.
593.	Правильная треугольная пирамида с ребром основания а и
двугранным углом а при этом ребре пересечена плоскостью, парал-
параллельной основанию, так, что площадь полученного сечения равна
площади боковой поверхности образовавшейся усеченной пирамиды.
Вычислить расстояние секущей плоскости от вершины пирамиды.
594.	Две правильные треугольные пирамиды имеют общую вы-
высоту; вершина каждой пирамиды лежит в центре основания другой;
боковые ребра одной пересекают боковые ребра другой. Боковое реб-
ребро / одной пирамиды образует с высотой угол а, боковое ребро вто-
второй образует с высотой угол /3. Вычислить объем общей части двух
пирамид.
595.	В правильной усеченной четырехугольной пирамиде сторона
большего (нижнего) основания равна а; боковое ребро также равно а
и составляет со стороной нижнего основания угол а. Центр нижнего
основания служит вершиной пирамиды, основание которой совпадает
с верхним основанием данной усеченной пирамиды. Вычислить раз-
разность объемов усеченной и внутренней пирамид.

§ 8. Применение тригонометрических функций в стереометрии 279
596.	В конус с радиусом основания R и углом а между высотой
и образующей вписан шар. Вычислить объем части конуса, располо-
расположенной над шаром.
597.	В конус вписана правильная n-угольная пирамида, плоский
угол при вершине которой равен а. Вычислить площадь боковой по-
поверхности конуса, если радиус его основания г.
598.	Два конуса имеют концентрические основания и общую
высоту h. Разность углов, составляемых образующими с осью, рав-
равна /3, угол наклона образующей внутреннего конуса к плоскости его
основания равен а. Вычислить объем части пространства, заключенной
между поверхностями конусов.
599.	Сторона основания правильной n-угольной пирамиды рав-
равна а, двугранный угол при основании равен ср. Найти радиус шара,
вписанного в пирамиду.
600.	Найти радиус шара, вписанного в правильную п-угольную
пирамиду, сторона основания которой равна а и плоский угол при
вершине равен а.
601.	Высота правильной четырехугольной пирамиды равна Я;
перпендикуляр, опущенный из центра шара, описанного вокруг пи-
пирамиды, на ее боковую грань, образует с высотой угол а. Вычислить
объем шара.
602.	Правильный треугольник, сторона которого а, вращается
вокруг оси, проходящей вне его через конец его стороны под углом а
к этой стороне. Вычислить площадь поверхности тела вращения.
603.	Образующая конуса равна а, расстояние от вершины конуса
до центра вписанного в него шара равно Ь. Найти угол между обра-
образующей и плоскостью основания.
604.	Основанием пирамиды служит прямоугольник. Из боковых
граней две перпендикулярны плоскости основания, а две другие об-
образуют с ней углы а и р. Высота пирамиды равна Н. Вычислить
объем пирамиды.
605.	Площадь основания цилиндра относится к площади его
осевого сечения, как т : п. Найти острый угол между диагоналями
осевого сечения.
606.	Основанием пирамиды служит квадрат ABCD. Ребро DE
перпендикулярно плоскости основания, ребро BE наклонено к ней
под углом /3 и имеет длину /. Вычислить длины остальных боковых
ребер и углы наклона ребер АЕ и СЕ к плоскости основания пира-
пирамиды.
607.	Боковое ребро правильной треугольной призмы и сторона
основания имеют равную длину. Найти угол между стороной осно-
основания и не пересекающей ее диагональю боковой грани.

280	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
608.	В основании пирамиды лежит равнобедренный треуголь-
треугольник; боковые стороны этого основания равны а и образуют угол 120°.
Боковое ребро пирамиды, проходящее через вершину тупого угла,
перпендикулярно плоскости основания, а остальные два наклонены к
ней под углом а. Вычислить площадь сечения пирамиды плоскостью,
которая проходит через наибольшую сторону основания пирамиды и
делит пополам ребро, перпендикулярное основанию.
609.	Найти косинус угла между апофемой и диагональю основа-
основания правильной четырехугольной пирамиды, у которой боковое ребро
и сторона основания имеют равную длину.
610.	В пирамиде с прямоугольным основанием каждое из боковых
ребер равно /, один из плоских углов при вершине равен а, другой
равен р. Вычислить площадь сечения, проходящего через биссект-
биссектрисы углов, равных /3.
611.	Отношение боковой поверхности правильной треугольной
пирамиды к площади ее основания равно к. Найти угол между бо-
боковым ребром и высотой пирамиды.
612.	В параллелепипеде все грани — равновеликие ромбы со
сторонами а и острыми углами а. Вычислить объем этого паралле-
параллелепипеда.
613.	Вокруг шара описан усеченный конус, у которого площадь
одного основания в четыре раза больше площади другого основания.
Найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания.
614.	В основании прямой призмы лежит равнобедренный треу-
треугольник с боковой стороной, равной а, и углом при основании, рав-
равным а. Через основание треугольника, являющегося верхней гранью,
и противоположную вершину нижнего основания проведена плоскость,
образующая с плоскостью основания угол /3. Вычислить боковую
поверхность 5бОк призмы и объем V± отсеченной четырехугольной
пирамиды.
615.	Через сторону нижнего основания куба проведена плоскость,
делящая объем куба в отношении т : п, считая от нижнего основа-
основания. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания.
616.	Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды
равна Я, боковое ребро и диагональ пирамиды наклонены к плоскос-
плоскости ее основания под углами соответственно а и /3. Найти ее боковую
поверхность.
617.	В основании пирамиды лежит равнобедренный прямоуголь-
прямоугольный треугольник с катетом а. Одно из боковых ребер пирамиды пер-
перпендикулярно плоскости основания, а другие два наклонены к ней
под одним и тем же углом а. Плоскость, перпендикулярная основа-
основанию, дает в сечении с пирамидой квадрат. Вычислить его площадь.

§ 8. Применение тригонометрических функций в стереометрии 281
618.	В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при
основании равен а. Боковая поверхность равна S. Найти расстояние
от центра основания до боковой грани.
619.	На двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся пря-
прямых, кратчайшее расстояние между которыми \PQ\ = /г, даны две
точки Л и Б, из которых отрезок PQ виден под углами а и /3. Найти
угол 7 наклона отрезка АВ к отрезку PQ.
620.	Плоский угол при вершине правильной n-угольной пирамиды
равен а. Отрезок прямой, соединяющий центр основания пирамиды с
серединой бокового ребра, равен а. Найти полную поверхность пира-
пирамиды.
621.	Боковая поверхность цилиндра, будучи развернута, представ-
представляет собой прямоугольник, в котором диагональ равна d и составляет
с основанием угол а. Найти объем цилиндра.
622.	Найти центральный угол в осевом сечении шарового сектора,
если его шаровая поверхность равновелика конической.
623.	Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2а, а сумма
длин его высоты и образующей равна т. Найти объем V и полную
поверхность Sn конуса.
624.	Найти отношение объема шарового сегмента к объему всего
шара, если дуга в осевом сечении сегмента соответствует централь-
центральному углу, равному а.
625.	Объем конуса равен V. Его высота разделена на три части
одинаковой длины, и через точки деления проведены плоскости па-
параллельно основанию. Найти объем средней части.
626.	В усеченный конус вписан шар. Сумма диаметров верхнего
и нижнего оснований конуса в пять раз больше радиуса шара. Найти
угол между образующей конуса и плоскостью основания.
627.	Найти объем конуса, если в его основании хорда, равная а,
стягивает дугу су, а высота конуса составляет с образующей угол /3.
628.	Найти угол между образующей конуса и плоскостью основа-
основания, если боковая поверхность конуса равновелика сумме площадей
основания и осевого сечения.
629.	На одном и том же основании построены два конуса (один
внутри другого); угол между высотой и образующей меньшего конуса
равен а, а угол между высотой и образующей большего конуса ра-
равен /3. Разность высот конусов равна h. Найти объем, заключенный
между боковыми поверхностями этих конусов.
630.	Вокруг шара описана прямая призма, основанием которого
служит ромб. Большая диагональ призмы составляет с плоскостью
основания угол, равный а. Найти острый угол ромба.

282	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
631.	Боковая поверхность конуса равна S, а полная поверх-
поверхность — Р. Найти угол между высотой и образующей.
632.	Найти угол между высотой и образующей конуса, боковая
поверхность которого делится на две равновеликие части линией пе-
пересечения ее со сферической поверхностью, имеющей центр в вершине
конуса и радиус, равный высоте конуса.
633.	Конус с высотой Н и углом а между образующей и высотой,
рассечен сферической поверхностью с центром в вершине конуса так,
что объем конуса оказался разделенным пополам. Найти радиус этой
сферы.
634.	В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу
основания конуса. Найти угол между осью конуса и его образующей,
если полная поверхность цилиндра относится к площади основания
конуса, как 3:2.
635.	В прямоугольном параллелепипеде диагональ основания рав-
равна d и составляет угол а со стороной основания. Через эту сторону
и противоположную ей сторону верхнего основания проведена плос-
плоскость, образующая с плоскостью основания угол, равный E. Найти
боковую поверхность параллелепипеда.
636.	Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник,
вписанный в основание конуса. Вершина пирамиды совпадает с вер-
вершиной конуса. Боковые грани пирамиды, содержащие катеты основа-
основания, составляют с плоскостью основания углы, равные а и E. Найти
отношение объема пирамиды к объему конуса.
637.	В треугольнике даны основание а и прилежащие углы а
и 90°+ а. Вычислить объем тела, полученного от вращения этого
треугольника вокруг его высоты.
638.	Из конца диаметра шара проведена хорда так, что поверх-
поверхность, образуемая вращением ее вокруг диаметра, делит объем шара
пополам. Вычислить угол а между хордой и диаметром.
639.	Объем правильной четырехугольной пирамиды равен V.
Угол наклона ее бокового ребра к плоскости основания равен а.
Найти боковое ребро пирамиды.
640.	Разность между образующей конуса и его высотой равна d,
а угол между ними равен а. Найти объем конуса.
641.	Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пи-
пирамиды равен углу между боковым ребром и плоскостью основания.
Найти этот угол.
642.	Найти высоту тетраэдра, объем которого равен V.
643.	Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды в
пять раз больше площади ее основания. Найти плоский угол при вер-
вершине пирамиды.

§ 8. Применение тригонометрических функций в стереометрии 283
644.	Боковое ребро правильной треугольной пирамиды /, а вы-
высота пирамиды h. Вычислить двугранный угол при основании.
645.	Сторона большего основания правильной четырехугольной
усеченной пирамиды равна а. Боковое ребро и диагональ пирамиды
составляют с плоскостью основания углы, равные соответственно а
и р. Найти площадь меньшего основания пирамиды.
646.	В основании прямой призмы лежит прямоугольный треуголь-
треугольник с острым углом а. Диагональ большей боковой грани равна d и
образует с боковым ребром угол /3. Найти объем призмы.
647.	Основанием прямой призмы служит равнобедренный треу-
треугольник, у которого основание равно а и угол при основании равен а.
Найти объем призмы, если ее боковая поверхность равновелика сумме
площадей ее оснований.
648.	Диагонали осевого сечения цилиндра пересекаются под уг-
углом, равным а, обращенным к основанию. Объем цилиндра равен V.
Найти высоту цилиндра.
649.	Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна т.
Двугранный угол при основании равен а. Найти полную поверхность
пирамиды.
650.	Найти острый угол ромба, зная, что объемы тел, получен-
полученных от вращения ромба вокруг его большей диагонали и вокруг его
стороны, равны.
651.	Полная поверхность правильной треугольной пирамиды рав-
равна S. Зная, что угол между боковой гранью и основанием пирамиды
равен а, найти сторону основания пирамиды.
652.	Через диагональ нижнего основания правильной четырех-
четырехугольной призмы и противоположную вершину ее верхнего основа-
основания проведена плоскость. Угол между равными сторонами сечения
равен а. Найти отношение высоты призмы к стороне основания.
653.	Вычислить угол наклона боковой грани правильной пяти-
пятиугольной пирамиды к плоскости основания, если площадь основания
пирамиды равна S, а боковая поверхность равна а.
654.	Плоскость, проведенная параллельно оси цилиндра, делит
окружность основания в отношении т : п. Площадь сечения равна S.
Найти боковую поверхность цилиндра.
655.	Боковые ребра правильной усеченной треугольной пирамиды
наклонены к плоскости основания под углом а. Сторона нижнего
основания равна а, а верхнего b (a > b). Найти объем усеченной пи-
пирамиды.
656.	Боковые ребра правильной треугольной пирамиды попарно
взаимно перпендикулярны. Найти угол между боковой гранью и плос-
плоскостью основания.

284	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
657.	В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник
с углом а при основании. Все боковые ребра наклонены к плоскости
основания под равными углами ip = 90° — а. Площадь сечения, прове-
проведенного через высоту пирамиды и вершину равнобедренного треуголь-
треугольника, лежащего в основании, равна Q. Найти объем пирамиды.
658.	В конус вписана треугольная пирамида, у которой боковые
ребра попарно взаимно перпендикулярны. Найти угол между обра-
образующей конуса и его высотой.
659.	Вычислить объем правильной четырехугольной призмы, если
ее диагональ образует с боковой гранью угол а, а сторона основания
равна Ь.
660.	Найти угол между образующей и высотой конуса, у которого
боковая поверхность есть среднее пропорциональное между площадью
основания и полной поверхностью.
661.	Основанием прямой призмы служит прямоугольный треу-
треугольник с гипотенузой с и острым углом а. Через гипотенузу нижне-
нижнего основания и вершину прямого угла верхнего основания проведена
плоскость, образующая с плоскостью основания угол /3. Вычислить
объем треугольной пирамиды, отсеченной от призмы плоскостью.
662.	Все боковые ребра треугольной пирамиды составляют с плос-
плоскостью основания один и тот же угол, равный одному из острых
углов прямоугольного треугольника, лежащего в основании пирами-
пирамиды. Найти этот угол, если гипотенуза этого треугольника равна с, а
объем пирамиды равен V.
663.	В основании прямой призмы лежит четырехугольник, в ко-
котором два противолежащих угла — прямые. Диагональ основания,
соединяющая вершины непрямых углов, имеет длину / и делит один
из этих углов на части а и E. Площадь сечения, проведенного через
другую диагональ основания перпендикулярно к нему, равна S. Най-
Найти объем призмы.
664.	Сторона ромба равна а, его острый угол равен а. Ромб вра-
вращается вокруг прямой, проходящей через его вершину параллельно
большей диагонали. Найти объем тела вращения.
665.	Объем шара равен V. Найти объем его сектора, у которого
центральный угол в осевом сечении равен а.
666.	Угол между высотой правильной треугольной пирамиды и
боковым ребром равен а [а < — J. В каком отношении делит высоту
пирамиды центр описанного шара?
667.	Сторона основания правильной четырехугольной призмы
равна а. Угол между пересекающимися диагоналями двух смежных
боковых граней равен а. Найти объем призмы.

§ 8. Применение тригонометрических функций в стереометрии 285
668.	Сторона основания треугольной пирамиды равна а, приле-
прилежащие к ней углы основания равны а и /3. Все боковые ребра сос-
составляют с высотой пирамиды один и тот же угол, равный (р. Найти
объем пирамиды.
669.	В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол
при основании равен а. Через его ребро проведена плоскость, сос-
составляющая с основанием угол /3. Сторона основания равна а. Найти
площадь сечения.
670.	Расстояние от центра основания конуса до его образующей
равно d. Угол между образующей и высотой равен а. Найти полную
поверхность конуса.
671.	В правильной четырехугольной пирамиде сторона основа-
основания равна а, а двугранный угол при основании равен а. Через две
противоположные стороны основания пирамиды проведены две плос-
плоскости, пересекающиеся под прямым углом. Вычислить длину отрезка
линии их пересечения, заключенного внутри пирамиды, если известно,
что он пересекает ось пирамиды.
672.	В конус вписан шар, площадь поверхности которого равна
площади основания конуса. Найти косинус угла при вершине в осе-
осевом сечении конуса.
673.	Прямой параллелепипед, имеющий в основании ромб со сто-
стороной а и острым углом а, пересечен плоскостью, проходящей через
вершину угла а и дающей в сечении ромб с острым углом —. Найти
площадь этого сечения.
674.	Основанием прямой призмы служит равнобедренный треу-
треугольник, у которого боковая сторона равна а и угол между боковыми
сторонами равен а. Найти объем призмы, если ее боковая поверх-
поверхность равна S.
675.	Центр шара, вписанного в правильную четырехугольную пи-
пирамиду, делит высоту пирамиды в отношении т : п, считая от верши-
вершины пирамиды. Найти угол между двумя смежными боковыми гранями.
676.	Через вершину конуса под углом ip к основанию проведена
плоскость, отсекающая от окружности основания дугу а; расстояние
плоскости от центра основания равно а. Найти объем конуса.
677.	Шаровой сегмент шара радиуса R имеет полную поверх-
поверхность S. Найти его высоту.
678.	Найти объем тела, полученного при вращении треугольни-
треугольника ABC вокруг стороны АВ, если его площадь S, сторона \АС\ = b
679. В конус вписан шар. Найти объем шара, если образующая
конуса равна / и наклонена к плоскости основания под углом а.

286	Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
680.	В шар радиуса R вписана прямая треугольная призма. Осно-
Основанием призмы служит прямоугольный треугольник с острым уг-
углом а, а ее наибольшая боковая грань является квадратом. Найти
объем призмы.
681.	В усеченный конус вписан шар радиуса г. Образующая кону-
конуса наклонена к основанию под углом а. Найти боковую поверхность
усеченного конуса.
682.	В шар радиуса R вписан усеченный конус, отсекающий от
шара два сегмента с дугами в осевом сечении, равными а и /3. Найти
боковую поверхность усеченного конуса.
683.	В правильную треугольную призму вписан шар. Найти от-
отношение поверхности шара к полной поверхности призмы.
684.	Доказать, что для любой призмы, описанной вокруг сфе-
сферы, отношение площади боковой поверхности к площади основания
равно 4.

Приложение I
КРАТКИЕ СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ПО НЕКОТОРЫМ РАЗДЕЛАМ МАТЕМАТИКИ
§ 1. Функции и их графики
1. Метод координат на прямой. Числовая ось.
Числовые промежутки
Если на плоскости проведена прямая, на ней выбрана начальная
точка О — начало, установлен отрезок для измерения — единица
длины и установлено положительное (вправо) и отрицательное (влево)
направления, то говорят, что задана система координат на прямой.
Тогда любой точке М этой пря-
прямой можно поставить в соответствие	М\ О	Mi
число х, абсолютная величина кото- _з —2 —1 0 1 2 * 3 >
рого показывает расстояние точки М ^
от начала О (влево и вправо от него; ' '
рис.26). Рис26
Эта прямая называется числовой осью (или координатной прямой),
точка О на ней — начало отсчета — называется началом координат.
Число х называется координатой точки М. Точкам Mi и Mi
соответствуют числа —2 и 2,5 — их координаты, что записывается
так: М\(—2), М2B,5). В общем случае пишут и произносят: М(х) —
«точка эм с координатой икс».
Наряду с этим всякому действительному числу можно поставить
в соответствие точку на указанной числовой оси. Например, найдутся
точки на этой оси, соответствующие числам 1; 13; л/2; —0,5.
Способ, позволяющий в заданной системе координат определять
положение точки на прямой с помощью числа, называется методом
координат на прямой.
Говорят, что между множеством действительных чисел и множест-
множеством точек числовой оси имеет место взаимно однозначное соот-
соответствие.
Множество всех точек числовой оси, заключенных между двумя
точками этой оси, называется промежутком. Промежуток вместе с
конечными точками называется отрезком, или сегментом. Отрезок
или сегмент также называют замкнутым, или закрытым промежутком.
Например, ОДЗ (область допустимых значений) буквы х в выра-
выражении л/9 — х2 определяется нестрогими неравенствами — 3 ^ х ^ 3.

288
Прил. I. Краткие справочные сведения
На числовой оси все значения буквы х, удовлетворяющие написанным
неравенствам, изобразятся отрезком АВ (с кружочками на концах).
Л(-3) О
-3
О
о
-10 1
б
Рис. 27
О
0 1
в
Говорят и пишут также: ОДЗ буквы х в выражении
ся отрезок [—3; 3] (рис. 27, а).
Промежуток без включения его концов называется интервалом,
или открытым промежутком (изображается маленькими окружнос-
окружностями на концах). Например, ОДЗ буквы х в выражении —-^=^ опре-
деляется строгими неравенствами — 1 < х < 1 или интервалом ] —1; 1[,
иначе (-1; 1) (рис. 27, б).
Если один конец присоединяется к промежутку, а другой нет, то
такой промежуток, открытый с одной стороны и закрытый с дру-
другой, называется полуинтервалом, или полуоткрытым промежутком.
Например, ОДЗ буквы х в выражении д/1 — х определяется полуин-
полуинтервалом — оо < х ^ 1 (изображается лучом (—ос; 1]; рис. 27, в).
2. Метод координат на плоскости
Две взаимно перпендикулярные направленные прямые х\х и у\у,
проведенные на плоскости (рис. 28), будем называть осями координат;
прямую х\х — осью абсцисс, пря-
прямую у\у — осью ординат, точку
пересечения осей О — началом
координат.
Получившиеся четыре части плос-
плоскости называют четвертями, или
квадрантами (первая четверть обоз-
обозначается I, вторая четверть — II и
т.д.). Если, кроме того, выбрана
единица измерения, то говорят о
прямоугольной системе координат
на плоскости или, что на плоскос-
плоскости задана прямоугольная система
координат.
В заданной прямоугольной системе координат на плоскости каж-
каждой точке М этой плоскости ставится в соответствие пара чисел х
и у, абсолютные величины которых показывают два расстояния этой
точки от осей координат; от оси ординат у\у — расстояние \х\ и от
оси абсцисс х\х — расстояние \у\.
хх
(-;-)
1
У*
п
0
III
У\
I
X
IV
М(х;
(+
у)
X
Рис. 28

§ 1. Функции и их графики	289
Число х называется абсциссой точки М, число у — ординатой
точки М. Абсцисса и ордината, взятые вместе, называются коорди-
координатами точки М. Пишут и произносят: М(х; у) — «точка эм от икс
игрек». Знаки координат точек четвертей показаны на рис. 28.
Абсциссы всех точек оси у\у равны нулю при любых ординатах;
ординаты всех точек оси х\х равны нулю при любых абсциссах.
Каждой точке на плоскости в заданной прямоугольной системе ко-
координат может быть поставлена в соответствие пара действительных
чисел, и любой паре действительных чисел может быть поставлена в
соответствие единственная точка плоскости.
Способ, позволяющий определять положение точки в заданной пря-
прямоугольной системе координат на плоскости с помощью двух чисел,
называется методом координат на плоскости.
Пример. В какой четверти координатной плоскости расположена
точка Ра*), если
13 5 7 3 8 , 0 5	2	О99
а= 471"' 471"' 471"' 471"' 871"' 771"' ' ' З71"' 71"' ~2'3?г?
Ответ: I; II; III; IV; I; III; IV; IV; IV; IV.
3. Функции и их графики
Примеры.
1.	Площадь квадрата соответствует длине его стороны. Так, ес-
если сторона квадрата х принимает значения 1 см; 2,5 см; 13 см, то
его площадь у будет соответственно равной 1 см2; 6,25 см2; 169 см2.
Каждому числовому значению величины х приводится в соответствие
числовое же значение величины у. Этот закон соответствия — функ-
функция — определяется формулой у = х2.
Факт зависимости изменения переменной у от изменения перемен-
переменной х в общем виде записывают и произносят так: у = f(x) — «игрек
есть эф от икс».
2.	Расписание уроков в школе есть закон соответствия или отоб-
отображения множества дней недели на множество школьных предметов.
Вернемся к первому примеру. Если множество всех сторон х квад-
квадратов обозначим через Е, х Е Е и множество всех соответствующих
площадей у этих квадратов через F, у Е F, то каждому элементу х
множества Е соответствует определенный элемент у множества F.
Элементы х одного множества и соответствующие им элементы у
другого множества могут быть элементами любой природы. В этом
случае соответствие называется отображением множества элемен-
элементов х на множество элементов у.
*) Точка пересечения единичной окружности с лучом, образующим
угол а с положительным направлением оси абсцисс; этот угол отсчитывает-
ся в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки. (Прим. ред.)
19 В. А. Бачурин

290	Прил. I. Краткие справочные сведения
Определение функции. Пусть дано множество Е произволь-
произвольных элементов х. Если каждому элементу х множества Е поставлено
в соответствие число у множества F, то пишут: х —У f(x) = у.
Это соответствие называется функцией. Множество Е называется
множеством аргументов, или областью определения функции. Мно-
Множество F всех значений, которые может принимать у, называется
множеством значений функции, или областью изменения функции;
эти значения функции могут быть и равными между собой.
Следует различать символ / — знак соответствия, называемый
характеристикой функции, и число у, или f(x) — значение функции.
Если функции задаются формулами (аналитически), например:
у = х + 1; у — 2х3; у = хъ — 1; у — у/1 + х, то эти формулы содержат в
себе не только аргумент, числа и знаки действий, но и (в неявном ви-
виде) области определения функций и области изменения этих функций.
3.	Найти область определения функции у = х2 — 1.
Решение. Действия, указанные в правой части равенства, вы-
выполнимы при любом действительном значении ж, поэтому областью
определения функции является все множество действительных чисел,
или интервал — ос < х < ос, или иначе ] — ос;оо[.
\/х -Ь 2
4.	Найти область определения функции у =	—.
х — 6
Решение. На нуль делить нельзя, поэтому число х = 3 не входит
в область определения этой функции; извлекать квадратный корень
из отрицательных чисел также нельзя, поэтому х ^ — 2.
Ответ. — 2 ^ ж < 3; 3<ж<оо, или иначе [—2; 3[ U ]3; оо[.
Функцию можно изображать в виде графика.
Определение. Графиком функции у = f(x) называется мно-
множество точек плоскости, координаты которых связаны соотношением
У = 1(х).
Иначе говоря, это множество точек в прямоугольной системе ко-
координат, абсциссами которых являются допустимые значения аргу-
аргумента х, а ординатами — соответствующие значения функции у.
При построении графиков функций реализуются два принципа
соответствия, принятые в математике.
Первый принцип заключается в том, что любой паре действитель-
действительных чисел ставится в соответствие определенная точка на плоскости
в системе координат (метод координат на плоскости) и, наоборот, вся-
всякой точке на плоскости в заданной системе координат отвечает пара
определенных действительных чисел.
Второй принцип заключается в том, что всякой функции у = f(x)
может быть поставлено в соответствие множество точек на плоскости
в прямоугольной системе координат. Это график функции.
5.	Пусть дана функция у = 2х. Эта функция определена на
всей действительной оси, значение функции известно при любом
числовом значении аргумента.

' 1. Функции и их графики
291
У'
. 6
\5
\4
\з
2
-2-l/
-2
/-3
/-4
/ -5
/
\ 1 2 3 ж
V
\^
\ Ь»
Прежде всего отметим, что график этой функции пройдет через
начало координат, или что начало координат будет принадлежать гра-
графику этой функции, так как координаты начала О@; 0) удовлетворяют
равенству у = 2х: при х = 0 имеем у = 2 • 0 = 0.
Будем придавать х различные значения и вычислять по формуле
у = 2х соответствующие значения у. Получим соответствующие пары
чисел, например: A; 2); B; 4); @,5; 1); (—3; —6).
Согласно первому принципу соответствия (методу координат) каж-
каждая такая пара чисел отображается в точку.
Построив на координатной плоскости точ-
ки Mi(l; 2); М2B; 4); М3@,5; 1); М4(-3; -6)
(рис. 29) и приложив линейку, мы убедим-
убедимся в том, что все построенные точки будут
лежать на одной прямой, проходящей через
начало координат.
Эта прямая и является графиком функ-
функции у = 2х.
Аналогично, функции у = — Зж будет со-
соответствовать график, показанный на том
же рисунке.
В общем случае при любом значении к
графиком функции у = кх является прямая,
проходящая через начало координат. Число к
называют угловым коэффициентом прямой.
При этом:
1)	если к > 0, то прямая у — кх расположена в I и III четвертях,
образуя острый угол с положительным направлением оси абсцисс;
2)	если к < 0, то прямая у — кх расположена во II и IV четвертях,
образуя тупой угол с положительным направлением оси абсцисс;
3)	если к = 0 и х — любое значение аргумента, то у = 0, прямая
совпадает с осью Ох;
4)	если к = 1, то у = х — биссектриса I и III координатных углов;
5)	если к = — 1, то у — —х — биссектриса II и IV координатных
углов.
Мы знаем, что прямая у = кх проходит через начало координат,
поэтому для построения ее достаточно знать любую вторую точку.
Для этого зададим ее абсциссу, например, х — а и получим ее орди-
ординату у = ка. Через две точки О@; 0) и М(а; к а) проводим прямую.
6. Функция вида у = кх + b (к и b — заданные числа) называ-
называется линейной функцией.
Доказывается, что при 6^0 графиком линейной функции у =
= кх + b является прямая, параллельная прямой у = кх, поэтому
график этой функции можно получить сдвигом графика функции
у — кх на величину b вдоль оси ординат.
Прямая у = кх + b через начало координат не проходит, посколь-
поскольку координаты начала О@; 0) ее уравнению не удовлетворяют, 0 /
19*
Рис. 29

(—--О)
292	Прил. I. Краткие справочные сведения
Ф к -0 + 6. Следовательно, эта прямая при к ф 0 отсекает отрезки на
осях координат — пересекает ось Ох в точке А и ось Оу в точке В
(рис. 30).
у f	Точка В принадлежит оси ординат,
поэтому абсцисса ее может быть равной
только нулю (вне оси ординат нет точек
с абсциссами, равными нулю): хв — 0.
Ордината точки В должна быть такой,
чтобы ее значение соответствовало зна-
О	чению абсциссы х = 0 и чтобы при этом
х удовлетворялось уравнение у = кх + 6,
т. е. чтобы имело место равенство у =
= к • 0 + 6, откуда у = Ь. Таким образом,
координатами точки В (общей точки
Рт/Г_ оП	прямой и оси Оу) являются числа 0
иЬ:В@;Ь).
Подобным образом находятся координаты точки А: А ( — —; 0J.
Обычно отрезки у в = Ь и ха — —? отсекаемые графиком прямой
у — кх -\-Ь на осях координат, находят в уме и строят эту прямую по
ее двум точкам А ( — —; 0J и В@; Ь).
3 ад ач и.
1.	Даны две вершины А(—2; 1) и В(—2; —5) квадрата. Найти коор-
координаты двух других его вершин. Сколько решений имеет задача?
Ответ: СD; 1), ?>D; -5), или Ci(-8; I), Di(-8; -5).
2.	Дана функция у = 2х — 1. При каком значении ж значение 2/
равно -19; 205?
Ответ: х\ — -9; х2 = ЮЗ.
3.	Какие из точек ЛE; -3), G@; 0), Б(-5;2,5) принадлежат гра-
графику функции ^/ = 0,5ж?
Ответ: точка С.
4.	При каком условии графики линейных функций у = ах + 6 и
2/ = тж + п параллельны?
Ответ: при а— т.
5.	Найти значение 6, если известно, что график функции у —
— —Ъх + Ъ проходит через точку М(—2; 4).
Ответ: b = —2.
6.	Найти к, если точка А(—7; —12) принадлежит графику функ-
функции ^/ = &ж + 2.
Ответ: к = 2.
7.	Отметить на единичной окружности точки Ра, если
_7Г7ГЗ	7Г	7ГЗ	7Г	ТГ^б	5

§ 2. Алгоритм извлечения квадратного корня	293
8. Вычислить координаты точки Ра единичной окружности, если
7Г7Г	7Г 2	3	7Г7ГО3	7Г
а= 2; 4; "^ ; 3^ 2Щ ; 3; 37Г; 4*" Г
: Pl@;l); Р2 (f ;f); P8(-l;0); F4 (f ;±);
§ 2. Алгоритм извлечения квадратного корня из числа
1. Предварительные пояснения
Пусть дано произвольное положительное число А; тогда можно
указать последовательность арифметических действий, приводящую
к вычислению квадратного корня из данного числа с любой заданной
степенью точности. Эту последовательность действий, которая описы-
описывается ниже, называют алгоритмом извлечения квадратного корня.
Предположим сначала для простоты, что данное число А — мно-
многозначное натуральное, представляющее собой точный квадрат (т. е.
являющееся квадратом натурального числа).
Прежде всего обратим внимание на следующую таблицу:
если	1 ^ А < 100,	то 1 ^ у/~А < 10,
если 100 ^ А < 10000,	то 10 ^ у/~А < 100,
если 10000 ^ А < 1000000, то 100 ^ у/А < 1000 и т. д.
По этой таблице мы можем ответить на вопрос, сколько цифр будет
содержать арифметический квадратный корень из числа А.
Если натуральное число, представляющее собой точный квадрат,
выражается с помощью одной или двух цифр, то квадратный корень
из него будет выражаться одной цифрой.
Например: \/i = 2; лД1 = 9.
Если число выражается с помощью трех или четырех цифр, то
квадратный корень из него будет двузначным числом.
Например: д/Ш = 11; д/9801 = 99.
Если число выражается с помощью пяти или шести цифр, то квад-
квадратный корень из него будет трехзначным числом, и т. д.
Например: у/Ш>п = 112; V978121 = 989.
2. Извлечение квадратного корня из натурального числа,
представляющего собой точный квадрат
Примеры.
1. Найти V7569.
Предполагая, что число 7569 есть точный квадрат, мы можем
утверждать, что л/7569 будет числом двузначным. Обозначим число

294	Прил. I. Краткие справочные сведения
десятков этого двузначного числа буквой х, а число единиц — бук-
буквой у.
Тогда У7569 = 10ж + г/.
По определению корня получим:
7569 = A0ж + уJ, или 7569 = Шх2 + 2 • Юху + у2.
В левой части содержится 75 целых сотен, а в правой их либо х2,
либо больше. Поэтому 75 ^ х2.
Значит, х2 есть точный квадрат, содержащийся в числе 75. Но та-
таких квадратов имеется несколько, а именно: 64, 49, 36 и т. д.
Покажем, что за х надо брать наибольший из этих квадратов.
В самом деле, если бы мы взяли за х2, например, 49, то искомый ко-
корень содержал бы 7 десятков и несколько единиц и, будучи возведен в
квадрат, дал бы число, меньшее 6400, т. е. меньшее точного квадрата,
заключающегося в числе 7569.
Таким образом, число десятков искомого корня равно квадратному
корню из наибольшего точного квадрата, заключающегося в числе
сотен данного числа 7569.
Итак, х = 8.
Теперь равенство
примет вид
7569 = 6400 + 2-10-82/ + у2, или 1169 = 160?/ + у2.
В левой части 116 десятков, а в правой их либо 16?/, либо больше,
чем 16?/. Поэтому
116^162/, или 2/^—, или у ^7.
Значит, у равен или 7, или 6, или 5 и т. д.
Чтобы узнать настоящее значение у, придется последовательно
испытать каждое из этих возможных значений, начиная с наибольшей
цифры 7. В данном примере это испытание показывает, что надо взять
у = 7. Действительно, выражение 2 • 10 • 8у + у2 при у = 7 оказывается
в точности равным числу 1169.
Если бы значение выражения 2 • 10 • 8у + у2 при у — 7 оказалось
больше, чем 1169, то следовало бы испытать цифру 6 и т. д.
Итак, \/7569 = 87.
Сформулируем правило. Чтобы извлечь квадратный корень из мно-
многозначного целого числа, разбивают его справа налево на грани по две
цифры в каждой. В последней (крайней левой) грани может оказаться
либо одна, либо две цифры.
Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень
из наибольшего точного квадрата, содержащегося в первой грани
слева. Чтобы найти вторую цифру корня, из первой грани вычитают
квадрат первой цифры корня и к остатку приписывают следующую
грань. После этого число десятков получившегося остатка делят на

§ 2. Алгоритм извлечения квадратного корня
295
удвоенную первую цифру корня; полученное целое число подвергают
испытанию. Следующие цифры корня находят таким же образом.
Число цифр корня равно числу граней подкоренного числа.
2. Найти л/65593801.
1-й шаг. Число, стоящее под знаком корня, разбиваем на грани по
две цифры справа налево:
л/65'59'38'01.
2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из наибольшего точного
квадрата, содержащегося в первой грани слева:
л/65'59'38'01 = 8.
3-й шаг. Уб5'59'38'01 = 8
64
159 (число 159 назовем первым остатком).
4-й шаг. л/65'59'38'01 = 8
64
16 | 159 (число 16 есть удвоенная найденная цифра 8).
5-й шаг. Делим число десятков первого остатка на 16. Получаем в
целой части нуль. Эту цифру нуль приписываем к числу 16 и умножаем
160 на нуль. Найденную цифру нуль записываем также справа рядом с
цифрой 8:
V65'59'38'01 = 80
64
160
хО
1
0
1
5'
0
5
9
0
93'8
(число 15938 назовем вторым остатком).
6-й шаг. Делим число десятков	7-й шаг.
второго остатка на 160, т. е. на удво-
удвоенное найденное уже число 80. По-
Получаем в целой части цифру 9. Эту
цифру 9 записываем справа рядом
с цифрами 8 и 0:
V65'59'38'01 = 8099.
64
V65'59'38'01 = 809.
64
160
хО
1609
х 9
1
0
1
1
5
0
5
4
1
'9
0
93
48
45
'8
1
70'1
160
хО
1609
х 9
16189
х 9
15
00
15
14
1
1
'9
0
93
48
45
45
'8
1
70'
70'
0
1
1

296
Прил. I. Краткие справочные сведения
3. V6'80'68'81 =
4
46
хб
2 8'0
2 76
520
х 0
5209
х 9
4 6'8
000
468 8'1
468 8 1
0
4. Рекомендуется решить самостоятельно:
V815230215801 = 902901.
Если подкоренное число выражается десятичной дробью, то деле-
деление на грани производится от запятой: для целой части влево, для
дробной вправо. Например,
i/0,000001048576 = i/0,00'00'01'04'85'76 = 0,001024;
1/16417,47628249 = i/l'64'17,47'62'82'49 = 128,1307.
В остальном процесс извлечения корня остается таким же, как и в
случае целых чисел. Проверить ответы в этих двух примерах.
3. Извлечение квадратного корня с точностью до 1
из многозначных чисел,
не являющихся точными квадратами
Примеры.
1
29
х 9
2 8'1
2 6 1
20
Так как 192 < 381, а 202 > 381, то число 19 есть приближенное
значение с точностью до 1 с недостатком, а 20 — с избытком. Очевидно,
что381 = 192 + 20.
2.
/5'1823 = 227.
4
42
х 2
1
1
8
3
3
'8
4
42
12
'3
3
29 4

§ 2. Алгоритм извлечения квадратного корня
297
Число 227 есть приближенное значение с точностью до 1 с недо-
недостатком, а 228 — с избытком, так как 2272 < 51823; 2282 > 51823; имеем
51823 = 2272 +294.
4. Извлечение квадратного корня из целых чисел
с произвольно заданной точностью
Примеры.
1. Найти приближенное значение у/2 с точностью до —.
Имеем
/2-40z /3200 л/3200
40'
Найдем сначала V3200 с точностью до 1:
/32'00 = 56.
25
106
хб
70'0
63 6
64
Легко понять, что значение л/2 с точностью до — таково: с не-
56	57	О
достатком —, а с избытком —-.
40	40
2. Найти приближенное значение у2 с точностью до:
2) Здесь каждый раз мы бу-
будем приписывать к остатку два
нуля. Иначе говоря, мы пред-
предварительно представляем у2 в
Найдем сначала v 20000 с точно-
точностью до единицы:
24
х4
10
9
281
х 1
'0
6
4
2
0
8
'0
1
1 1 9
Значение у2 с точностью до
а с
таково: с недостатком
избытком 	.
100
141
100'
форме *
^2,000000
...
, где после
запятой поставлено четное число
нулей.
л/2 =
1
24
х4
10'
9
281
х 1
2824
х 4
28282
х 2
0
6
40
28
11
11
4142..
0
1
90
29
60
56
3
0
6
40
56
83
'0
4
6 и т. д.

298
Прил. I. Краткие справочные сведения
Примечание. Если в десятичной дроби после запятой имеется
нечетное число десятичных знаков, то следует приписать еще один
десятичный знак, равный нулю, и лишь после этого разбить подкорен-
подкоренное число на грани.
3. 1)
r=V2'57,2570
2)
V2'57,2570 = 16,03..
1
/0^0 = 0,632...
0
26
хб
1 57
1 5 6
320
х 0
3203
х 3
12'5
00 0
12 57'0
9 60 9
123
х 3
1262
х 2
40
36
40'
36
3
2
0
9
10
52
'0
4
2 96 1
Извлечь с точностью до 0,0001:
57 6 и т. д.
! = V0,38'47'20 4) А/у «д/0,42'85'71'42
V0,38'47'20 = 0,6202...
36
V0,42'85'71'42 = 0,6546.
36
122
х2
247
24 4
1240
х 0
12402
х 2
3 2'0
000
3 2 ОО'О
2 4 804
125
х5
1304
х 4
6 8'5
625
6 0 7'1
5 2 16
13086
х 6
8 5 5 4'2
78516
7196
70 26
Ответы даны с недостатком, а с избытком они были бы 0,6203
и 0,6547.
о
В последнем примере мы обратили дробь - в десятичную, вычис-
вычислив восемь десятичных знаков, чтобы образовались четыре грани,
необходимые для нахождения четырех десятичных знаков корня.
4.	Извлечь квадратный корень из чисел:
1)	V288367 с точностью до 0,01;
2)	V2126152 с точностью до 0,01;
3)	^/%Ш> с точностью до 0,001;

' 3. Алгоритм деления многочлена на многочлен	299
4) ^0,0358 с точностью до 0,001.
Ответы: 1) 536,99; 2) 1458,13; 3) 1,690; 4) 0,189.
§ 3. Алгоритм деления многочлена на многочлен
1. Деление многочленов
Примеры.
1. Пусть нам известно, что многочлен хъ + х4 + х3 + 2х2 + Зж + 4
делится на многочлен х2 + х + 1 с остатком. Тогда должно быть спра-
справедливо равенство
хъ + х4 + х3 + 2х2 + Зж + 4 = (ж2 + х + 1) О + Я,	A)
так как делимое равно делителю, умноженному на частое Q, плюс
остаток Я.
Требуется найти такие многочлены Q и /2, чтобы это равенство
оказалось тождеством и чтобы степень остатка — многочлена R была
ниже степени делителя х2 -\- х -\-1.
Если бы мы умели производить деление таких многочленов, то
нашли бы, что Q = х3 + 2 и R = x + 2.
Действительно, при этих значениях Q и R равенство A) обраща-
обращается в тождество, справа получаем точно такой же многочлен, что и
слева:
(х2 + х +1) (х3 + 2) + х + 2 = хъ + х4 + х3 + 2х2 + Зж + 4,
при этом степень многочлена Я = ж + 2 ниже степени делителя х2 +
В общем случае при делении многочлена М степени п относитель-
относительно х на многочлен D степени т относительно х (предполагается,
что n G Л^, т G iV и т ^ п) ищутся такие два многочлена Q степе-
степени / относительно х и R степени к относительно ж, чтобы получалось
тождественное равенство
M = DQ + R	B)
и чтобы имели место соотношения I = п — т, 0 ^ к < т (т.е. чтобы
показатель степени х частного Q был бы равен разности степеней
делимого М и делителя D и чтобы показатель степени х остатка R
был бы не больше показателя степени делителя D).
В том случае, когда остаток R равен нулю, равенство B) принима-
принимает вид М = D Q.
В этом случае говорят, что М делится на D, a Q является частным.
Если остаток R не равен нулю, то говорят, что М не делится на D.
Покажем сначала, как производится деление многочленов методом
неопределенных коэффициентов.
Пусть требуется разделить М(х) = х3 + х + 1 на D(x) = х2 -\-x-\-1.
Здесь D(x) есть многочлен второй степени. Поэтому частное Q(x)
должно быть многочленом степени не выше первой: Q(x) = ax-\-b.

300	Прил. I. Краткие справочные сведения
Остаток R(x) должен быть многочленом степени не выше первой:
R(x) =px + q.
Имеем тождество
х3 + х + 1 = (х2 + х + 1) {ах + Ь) + рх + q.
Неизвестные числа a,b,p,q мы найдем, приравнивая коэффици-
коэффициенты при одинаковых степенях х многочленов, стоящих в левой и
правой частях написанного выше тождества:
а = 1
a+b+p=l
х3
х2
X
х°
Отсюда а = 1, b = — 1, р = 1, q — 2.
Следовательно, частное равно х — 1, а остаток равен х + 2.
Теперь перейдем к изложению другого способа деления многочле-
многочленов, более удобного, который будем называть «делением углом».
Пусть требуется найти частное от деления многочлена х2 — Ъх —
— 2 + 6ж3 на многочлен 2х2 — 1 — х.
Расположив делимое и делитель по убывающим степеням х, вы-
выполним процесс деления сначала без пояснений (наподобие записи при
делении многозначных чисел):
6х3 — Зж2 —
Первый остаток:	4ж2 — 2х — 2
~4х2-2х-2
Второй остаток:	0
Последний (в данном примере второй) остаток оказался равным
нулю, т. е. деление совершилось без остатка и в частном получилось
Зж + 2. Правильность полученного частного можно проверить умноже-
умножением. В самом деле,
+ 4х2-2х-2
Теперь поясним, как производится процесс деления. Мы начали с
того, что высший член делимого разделили на высший член делителя.
Полученный результат приняли за первый член частного. Произве-
Произведение делителя на этот первый член частного вычли из делимого.
Получили первый остаток 4ж — 2х — 2. Высший член первого остатка
разделили снова на высший член делителя. Получили второй член

§ 3. Алгоритм деления многочлена на многочлен	301
частного. Произведение делителя на этот второй член частного вычли
из первого остатка. Получили второй остаток, оказавшийся равным
нулю. На этом процесс деления прекратился.
2.
х4-х3
х-1
+ xz-2x-2
Первый остаток:	х3 — Зж2 + 2
Я	2
х6 -хА
Второй остаток:	—2ж2+2
Третий остаток:	— 2х + 2
Четвертый остаток:	О
4 2
Значит,	—^	= х3 + х2 - 2х - 2.
х — 1
3.
Первый остаток:	х + 1
На этом процесс деления заканчивается, так как степень остатка
ниже степени делителя.
Итак, при делении многочлена ж4 + х3 + х2 + х + 1 на многочлен
х2 -\-x-\-l в частном получается ж2 и в остатке ж + 1.
Правильность полученного частного и остатка можно проверить,
если воспользоваться тем, что делимое равно произведению делителя
на частное, сложенному с остатком.
Действительно, легко видеть, что сумма [х2 + х + 1) х2 + (х + 1)
тождественно равна делимому х4 + х3 + х2 + х + 1.
4.	ж8 Ч-1
хъ-х2
Первый остаток: —хъ + 1
-хъ -х2
Второй остаток:	х2 + 1
Деление прекращается, так как высший член последнего остатка не
делится нацело на высший член делителя.
В частном получилось ж5 — ж2, а в остатке х2 + 1.
Проверка: (х3 + 1)(ж5 - х2) + (х2 + 1) = ж8 + хъ - хъ - х2 + х2 + 1 =
Теперь перейдем к обоснованию уже изложенного выше правила
деления многочленов.

302	Прил. I. Краткие справочные сведения
Пусть требуется разделить друг на друга два многочлена, располо-
расположенных по убывающим степеням х.
Предположим, что искомое частное есть целый относительно х
многочлен (или одночлен) и что этот многочлен также расположен по
убывающим степеням х.
Из умножения многочленов известно, что высший член произведе-
произведения равен произведению высшего члена множимого на высший член
множителя. Значит, первый член частного равен частному от деления
первого члена делимого на первый член делителя. После этого вычтем
из делимого произведение делителя на найденный уже первый член
частного. Результат этого вычитания назовем первым остатком. Если
этот первый остаток окажется равным нулю, то это будет означать, что
частное данных многочленов есть найденный целый одночлен. Если же
этот первый остаток не окажется равным нулю, то он будет представ-
представлять собой произведение делителя на алгебраическую сумму осталь-
остальных, еще не найденных членов частного. Поэтому второй член частного
будет равен частному от деления высшего члена первого остатка на
высший член делителя. Аналогично будем получать и остальные члены
частного, если они имеются.
Деление окажется выполненным нацело, если последний остаток
окажется равным нулю. Если же мы дойдем до такого остатка, кото-
который не равен нулю и степень которого ниже степени делителя, то
это будет означать, что частное от деления первоначально заданных
многочленов не может быть целым многочленом.
В этом случае в результате деления мы получаем только целую
часть частного, а также в определенном виде и остаток.
2. Выделение целой части неправильной
рациональной дроби
Определение. Выражение
+ а\х \а2Х + ... + ап—\х + ап
1 т , , га —1 , i га —2 .	. ,
OqX -\- Ь\Х	-\-О2Х	-\- ... -\- Om
называется рациональной дробью.
Здесь тип — целые положительные числа; ai и bi — любые
действительные числа (ао /0; 6о / 0).
Если п ^ т, то эта дробь называется неправильной, если же
п < т, то она называется правильной. Например,
ж8 + 1	2х + 1
~~ неправильные дроби;
х +1 Зж + 100
ж3 + 1 ж2+ 2	г
—:	, —к	5" — правильные дроби.
ж +1 (ж +1J
Пусть требуется выделить целую часть неправильной рациональной
ж4 _1_ х _|_ \
дроби, например, дроби -^	.
+ + 1

3. Алгоритм деления многочлена на многочлен
303
Разделим многочлен х4
на многочлен х
2	1
х2 -х
—х3 — х2
-х6 -хА-х
Получили частное х2 — х и остаток 2х + 1.
Делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток:
4	1/2	i\/2 \ о 1
Разделив левую и правую части этого тождества на х +ж + 1,
получаем
ж+ж + 1
Выражение х2 — х называется целой частью дроби
;
; вы-
ражение же —
X
есть правильная дробь.
X +Х + 1
Таким образом, неправильная рациональная дробь
4_Li1
ока-
залась представленной в виде суммы многочлена х2 — х и правильной
* 2ж + 1
Дроби -5	.
X +Х + 1
Изложенное преобразование применимо ко всякой неправильной
рациональной дроби.
В курсе высшей математики встречаются задачи, для решения
которых необходима операция выделения целой части неправильной
рациональной дроби.
Примеры. Выделить целые части неправильных рациональных
дробей.
4
х +1
Ответ:
2.
X +1
х3-2
Ответ:
-2
= х2-1 +

304
Прил. I. Краткие справочные сведения
3.
X + 1 — X
Ответ:
4.
ж + 1 — х
Зж-2
х2 — х — 1
з о 2 , 1 ,
= Зх6 -2хА + х- 1+ ¦
-x2 + x + l'
Зж-2
113
43
~9~
12ж4-4ж3
2 , 8 , 43
113
§ 4. Теорема Безу и ее применение
1. Предварительные пояснения
Пусть требуется, например, разделить многочлен х3 + Ъх2 — 6х — 6
на двучлен х — 2. Можно предсказать, что остаток при этом делении
будет равен 10. Проверим это:
2 — 6ж — 6
х3-2х2
х-2
7х — 6х — 6
~7х2 - Ых
10

§ 4- Теорема Безу и ее применение	305
Предсказанный остаток (число 10) был получен следующим обра-
образом.
Рассматривая делитель х — 2, мы видим, что в нем из независимой
переменной х вычитается число 2. Это число 2 мы подставили в дели-
делимое вместо переменной х и получили 10, т. е. как раз остаток.
Действительно, 23 + 5 • 22 -6-2-6 = 8 + 20 - 12 - 6 = 10.
Таким образом, оказалось, что остаток от деления многочлена на
х — 2 равен значению делимого при х = 2.
При делении многочлена х3 + Ьх2 — 6х — 6 на х — 3, подобно пре-
предыдущему примеру, мы подставим в делимое вместо переменной х
число 3 и получим
З3 + 5 • З2 - б3 - 6 = 27 + 45 - 18 - 6 = 48.
(Проверьте это непосредственным делением.)
При делении многочлена ж4 + х — 10 на х + 2, т.е. на ж —(—2),
получим остаток
(-2L + (-2)-10 = 4.
(Проверьте это непосредственным делением.)
При делении многочлена х3 + х2 + х + 1 на х + 1 получим остаток
(Проверьте это непосредственным делением.)
Рассмотренное на примерах правило вычисления остатка от деле-
деления многочлена на двучлен (без нахождения частного), сформулиро-
сформулированное в общем виде, и является теоремой Безу.
2. Формулировка теоремы Безу
При делении многочлена п-й степени относительно х на двучлен
х — а остаток равен значению делимого при х = а. (Буква а может
обозначать любое действительное число.)
Следствие 1. Если многочлен делится без остатка на х — а,
то а является корнем этого многочлена.
Следствие 2. Если а есть корень какого-либо многочлена, то
это условие является достаточным для делимости этого многочле-
многочлена без остатка на х — а.
Эти два следствия можно объединить и выразить следующим об-
образом.
Для делимости многочлена на х — а необходимо и достаточно,
чтобы а было корнем этого многочлена.
3. Применение теоремы Безу
Рассмотрим вопрос о делимости выражений вида ап =Ь Ьп на дву-
двучлены вида а=Ь6 (здесь п — натуральное число).
В выражении ап + Ьп примем а за независимую переменную, a b
за постоянную. Тогда выражение ап ± Ьп будет многочленом n-й сте-
20 В. А. Бачурин

306	Прил. I. Краткие справочные сведения
пени относительно переменной а, расположенным по убывающим
степеням этой переменной.
а)	При делении ап + Ьп на а + b получим остаток
{0 при нечетном п;
2Ьп при четном п.
Значит, ап + Ьп делится без остатка на а + b тогда и только тогда,
когда п — число нечетное.
б)	При делении ап + Ьп на a — b имеем
Значит, ап + Ьп не делится на а — Ь.
в)	При делении ап — Ьп на а-\-Ь имеем
{0 при четном п:
—2Ьп при нечетном п.
Значит, ап — Ьп делится без остатка на а + b тогда и только тогда,
когда п — число четное.
г)	При делении ап — Ьп на а — b получаем
R = bn-bn=O.
Значит, ап — Ьп всегда делится на а — Ь.
Правило Горнера. Правило Горнера позволяет вычислять ко-
коэффициенты частного и остаток при делении многочлена на двучлен
х — а удобным способом.
При делении многочлена
Аохп + Ахх71'1 + А2хп~2 +... + Ап-Хх + Ап
на двучлен х — а в частном получим многочлен степени (п — 1):
а в остатке — некоторое число R.
Согласно свойству деления
= (х - a)(Box71'1 + Вххп~2 +... + Вп_2х + Вп-г) + R.
Раскрыв скобки в правой части этого равенства и объединив чле-
члены с одинаковыми степенями ж, получим тот же многочлен, что и в
левой части.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ж, найдем,
что

' 4- Теорема Безу и ее применение	307
Во = Aq,
Bi-B^a = Аи
В2 -Bid = Л2,
R — Bn-ia = Ап.
Отсюда
В А
Вычисления можно располагать следующим образом.
Коэффициенты делимого: Ло, А±, А2, ..., An-i, An;
коэффициенты частного и остаток: Bq = Aq, B\ = Bqcl + Ai, B<i —
п_ь R = Бп_1
Примеры.
1.	С помощью правила Горнера найти частное и остаток при де-
делении многочлена Зж4 — 2х3 + 5ж2 — х-\-1 на х — 2.
Решение.
3,	-2,	5,	-1,	1
3; 3-2 + (-2)=4; 4-2 + 5 = 13; 13-2 +(-1) = 25; 25-2 + 1 = 51
Неполное частное: Зж3+ 4ж2 + 13ж + 25. Остаток равен 51.
2.	Разделить х5 + 2х3 — ж + 3 на х + 2.
Решение.
1, 0, 2, 0, -1 3
а = -2
1, -2, 6, -12, 23, -43
Неполное частное: х4 — 2х3 + 6ж2 — 12ж + 23. Остаток равен —43.
Пользуясь правилом Горнера, легко найти частное
от деления ап — Ьп на а — Ь.
Отсюда вытекает формула
Аналогично можно получить формулу
a2k+l + b2k+l = {a + b){a2k _a2k-lb+
20*

308	Прил. I. Краткие справочные сведения
§ 5. Комплексные числа
1. Основные понятия и определения
Комплексное число — понятие более общее, чем понятие дейст-
действительного числа. Для его определения сначала введем некоторый
символ г, который называют мнимой единицей. Этому символу при-
приписывается свойство удовлетворять равенству
г2 = -1.	A)
Будем рассматривать выражение вида
z =
где а и b — действительные числа, и называть его комплексным числом.
При этом а называют действительной частью комплексного чис-
числа а + 6г, а Ы — его мнимой частью.
Если а = 0, то говорят, что комплексное число z обращается в чисто
мнимое число 6г; если же 6 = 0, то комплексное число z обращается
в действительное число а. В этом смысле естественно считать, что
комплексные числа включают в себя и действительные, и чисто мни-
мнимые числа.
Из знаков сравнения для комплексных чисел употребляются толь-
только = и /; знаки <, ^, >, ^ не употребляются.
Равенство а + Ы = c + di означает, что а = с и b = d.
Для числа z = а + Ы комплексное число z — a — bi называется соп-
сопряженным.
В дальнейшем важную роль в действиях над комплексными числа-
числами будет играть действительное неотрицательное число
г = vV + &2,	B)
называемое модулем данного комплексного числа.
2. Действия над комплексными числами
Комплексные числа складывают и вычитают по следующим пра-
ВИЛаМ:	(а + &г) + (с + ^) = (а + с) + F + ф;	C)
(a + bi)-(c + di) = (a-c) + (b-d)i;	D)
Примеры.
1. Сложить два комплексных числа и вычесть из первого второе:
2;1=2 + Зг и
Получаем:
При умножении двух комплексных чисел каждый член одного
двучлена умножают на каждый член другого двучлена с учетом того,
что г2 = —1.

' 5. Комплексные числа	309
Таким образом,
z1 • Z2 = (fti -\-b\i){a2 -\-b2i) = ft 1^2 + 61Ш2 -\-a1b2i -\-biib2i =
b2i -\-bib2i2 =
2. Перемножить числа ^i =—2 + 4г и z2 = 5 —Зг.
Решение. По определению имеем:
Заметим, что произведение двух взаимно сопряженных комплекс-
комплексных чисел есть действительное число; в самом деле,
z-z = (a + bi)(a-bi) = [aa - b(-b)] + [a(-b) + ab]i = ft2 + 62. E)
Из сравнения равенств E) и B) заключаем, что произведение двух
взаимно сопряженных комплексных чисел дает квадрат модуля лю-
любого из них.
Сформулированное правило умножения двух комплексных чисел
может быть распространено на случай нескольких комплексных чисел.
При делении числа z\ — а\ + b\i на число Z2 — ft2 + ^2^, при усло-
условии, что ?2/0, применяется следующий несложный прием: делимое z\
и делитель Z2 умножают на число Z2, сопряженное с делителем Z2,
т. е. записывают в виде
? ?^
3	^
Z2 Z2 ' Z2
и производят все необходимые действия:
z _ (
(
,
—	9	9	—	9	9	9	9
a2 "I" ^2	a2 "I" ^2	a2 "I" ^2
Запоминать такую громоздкую формулу нет необходимости, а
нужно помнить только этот прием.
Относительная простота такого способа деления основана на том,
что, как известно, произведение двух комплексных взаимно сопряжен-
сопряженных чисел Z2 • Z2 оказывается действительным числом (равным квад-
квадрату модуля Z2 или Z2)\ кстати, указанный прием называется еще и
перенесением мнимости из знаменателя дроби в числитель.
3. Разделить 2 + 5г на 3 —4г.
~ 2 + 5г B + 5г)C + 4г) F - 20) + (8 +15) г	14 23.
Решение. 3^ = i	%	L = -	^Б	~ = ~Ь + Тьг-
Возведение в степень. Предварительно найдем результаты от
возведения в степень мнимой единицы г, зная, что г2 = —1:

310
Прил. I. Краткие справочные сведения
;
i3 = i2 .% = (-1).% = —ц
4
г5 = %А •% = (+1) -г = г;
= -г;
Мы получаем, таким образом, четыре чередующихся значения:
г; —1; —г; +1.
Заметим еще, что г° считается равным 1.
Теперь легко найдем результаты возведения а + Ы в степень с це-
целым положительным показателем; так,
(а + 6гJ = а2 + 2а6г + 62г2 = (а2 - б2) + 2аЫ,
(а + 6гK = а3 + За2Fг) + ЗаFгJ + FгK = (а3 - Заб2) + (За26 - б3) г.
Извлечение квадратного корня. Положим
л/а + Ы = x + iy.
Тогда а + Ы = (х2 — у2) + 2xyi. Следовательно,
2 2
хА-уА = о,
= 6.
A)
Вопрос сводится к нахождению действительных корней этой сис-
системы. Возведя оба уравнения в квадрат и затем сложив их, получим
(Знак минус перед радикалом отброшен, так как при действи-
действительных значениях х и у выражение х2 + у2 не может быть отри-
отрицательным.) Рассмотрим последнее уравнение совместно с первым
уравнением системы A); складывая их и вычитая, получим
Из второго уравнения системы A) следует, что знаки у х и у
должны быть одинаковы, если b > 0, и различны, если b < 0. Поэтому
/—-7т ,// V'а2 + Ь2 + а	U/a2 + b2-a\	,
и+ы = ±
¦ — г
при b < О,

' 5. Комплексные числа
311
5. уД =
3. Изобраснсение комплексных чисел
точками плоскости
Из определения комплексного числа z — а + Ы следует, что ему
соответствует пара действительных чисел (а; 6). Наоборот, каждой
паре действительных чисел (а; 6) отвечает единственное комплексное
число а-\-Ы. Вместе с тем между парами действительных чисел и
точками плоскости имеет место взаимно однозначное соответствие.
Сопоставляя эти два факта, можно сделать вывод о том, что имеет
место взаимно однозначное соответствие между множеством комп-
комплексных чисел а + Ы и множеством точек (а; 6) в прямоугольной систе-
системе координат на плоскости. Это позволяет комплексные числа а -\-Ы
изображать теми точками плоскости, у которых абсциссой является
число а, а ординатой — число 6. В связи с этим горизонтальную ось,
на которой откладывается действи-
действительная часть а числа а + 6г, назовем	у
действительной осью, а вертикаль-
вертикальную ось, на которой откладывается
его мнимая часть 6, назовем мнимой
осью.
Отметим, что все действительные
числа а (при 6 = 0) изображаются
точками, лежащими на действитель-
действительной оси, а все чисто мнимые числа Ы	zq
(при а = 0) — точками, лежащими на
мнимой оси. Число нуль изображает-	рис 31
ся точкой О.
В качестве иллюстрации к сказанному на рис. 31 построены изоб-
изображения чисел z\ — 2 + Зг; z^ — 1; ?3 = 2г; z± = —4 + г; z§ — —2; zq =
= -3-2г; z7 = -i; z8 = 2-3i.
Два взаимно сопряженных числа изображаются точками, распо-
расположенными симметрично относительно оси Ох (на рис. 31 такими
являются точки z\ и z$).
Z4
4^
0
Z2

312
Прил. I. Краткие справочные сведения
4. Тригонометрическая форма комплексного числа
В прямоугольной системе координат на плоскости построим точ-
точку z, изображающую комплексное число z = a + bi, и соединим ее
отрезком с точкой О (рис. 32).
В каком бы квадранте прямоугольной системы координат на плос-
плоскости эта точка ни лежала, расстоя-
расстояние ее от начала координат равно
модулю г числа z, т.е. г = Vа2 + б2.
Угол (/?, заключенный между отрез-
отрезком Oz и положительным направ-
направлением оси Ох и отсчитываемый в
положительном направлении (т.е.
против часовой стрелки), называется
аргументом числа z. Примем следу-
= arg z
Рис. 32
ющие обозначения: г — \z
(arg — первые три буквы латинского
слова argument — «аргумент»).
Заметим, что г может быть любым неотрицательным числом: по-
положительным, если z ф О, и равным нулю, если z — 0. Условимся
считать, что 0 ^ ср < 2тг.
Из рассмотренного следует, что если раньше мы сопоставляли
комплексному числу пару действительных чисел а и 6, то теперь мы
можем тому же комплексному числу поставить в соответствие новую
пару действительных чисел г и у?; у каждого комплексного числа есть
свои единственные модуль г и аргумент ср (исключение представляет
лишь число нуль: его модуль равен нулю, а аргумент никакого опре-
определенного значения не имеет).
Отметим, что для действительного числа а определение модуля
сводится к определению абсолютной величины этого числа, а для
чисто мнимых чисел Ы получаем, что г = |6|. Полезно также понять
и усвоить, что
arg a =
о,
если
если
а >0,
а < 0;
a,rgbi =
если b > 0,
—, если b < 0.
В каком бы квадранте прямоугольной системы координат на плос-
плоскости точка z ни лежала, из соответствующего треугольника ZOP
(рис. 32) найдем
а = rcoscp; b = rsincp,	A)
так что z = r cos ip + (r sin ip) i.
Полученное соотношение позволяет комплексное число z = а + Ы
написать в следующей тригонометрической форме:
z — г (cos (p-\-i simp).	B)
Если требуется по известным г и ср найти а и 6, то это делается
с помощью формул A). Нужно научиться решать и обратную зада-

' 5. Комплексные числа	313
чу — по известным а и b находить	г и у?. Для этого используем
формулы
а	. Ь
cosy? =—	} siny? =
легко получаемые из того же треугольника ZOP (рис. 32). При этом
для определения у? надо вычислить cosy? и хотя бы знак sin у? (или
наоборот), так как по одному синусу или одному косинусу аргумент
однозначно найти нельзя.	_^
(Комплексное число z = а + bi можно представить, как вектор OZ
(рис. 32) и, например, сумму комплексных чисел геометрически мож-
можно истолковать, как вектор, равный сумме векторов.)
Пример. Привести к тригонометрической форме числа:
а) 6-6г; б) Зг.
Решение, а) Имеем: г = л/б2 + (—бJ = 6л/2, cosю — —— = —— =
V2 .	6	1 \/2	7.	6^ ^
= —, simp =	— = —— =	, откуда ip = — и, следовательно,
2	6v2	v2	2	4
б) г = 3, cosy? = 0, sin у? = 1, у? = —, Зг = 3 f cos —h г sin — J.
Если комплексное число задано в тригонометрической форме B),
то построить его изображение на плоскости можно так: из началь-
начальной точки провести луч под углом ср к положительному направлению
действительной оси и на этом луче от точки О отложить отрезок,
длина которого равна г.
Примечание. Следует напомнить, что тригонометрическая
форма комплексного числа, отличного от нуля, определена однознач-
однозначно в виде z = r(cos у? + г sin у?), где г — положительное число, равное
модулю числа z\ косинус и синус берутся от одного и того же угла у?,
равного аргументу числа z, при этом между косинусом и синусом
стоит знак плюс.
Следующие формы записи комплексных чисел не являются три-
тригонометрическими:
zi = cos — + i sin (тг — — ); z<i — — 2 (cos —h % sin — );
. 7Г , .	7Г	7Г . . 7Г
zs = sin —h г cos —; Z4 = cos — — г sin —.
6	6	4	4
Тригонометрическая форма записи тех же комплексных чисел
такова:
у? . . у?	о / 4тг . . 4тг\
z\ — cos y + % sin I-\ Z2 = 2 I cos—- + zsin—- 1;
тг . . тг	7тг . . 7тг
z3 = cos —h г sin —; 2:4 = cos	h г sin —.
3	3	4	4

314	Прил. I. Краткие справочные сведения
5. Умноснсение комплексных чисел,
заданных в тригонометрической форме.
Формула Муавра
Умножим два комплексных числа z\ = ri(cosy?i + zsiny?i) и z<i =
= r2(cos(/?2 + isiny?2) так5 как мы это делали в п. 2. Тогда получим
z1-z2 = ri-Г2[(cosifi cos</?2 — sin y?i siny?2) + i(sin</?i cos^2 + siny?2 cos</?i)]•
Заметим, что выражения, стоящие в круглых скобках, можно уп-
упростить с помощью известных формул тригонометрии.
Таким образом,
Z1-Z2= rir2(cOs(</?i+</?2)+2Sin(</?i+</?2)).	A)
Доказано следующее правило для перемножения двух комплекс-
комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме: их модули надо
перемножить, а аргументы сложить.
Это правило остается верным для любого количества перемножае-
перемножаемых чисел.
Примеры.
1.	Для чисел z1 = 2 (cos 20° + г sin 20°) и z2 = 3(cos50° + zsin50°)
найти z\ • Z2-
Решение. В соответствии с установленным правилом имеем:
21-22 = 2-3 (cos B0° + 50°) + г sin B0° + 50°)) = 6 (cos 70° + г sin 70°).
Используем теперь равенство A) для возведения произвольного
комплексного числа z = r (cosy? + г sin у?) в натуральную степень п.
Для этого нам придется модуль г этого числа умножить п раз сам
на себя, а аргумент у? сложить сам с собой п раз. Это приведет к ра-
равенству
zn — rn (cos ncp + i sin ncp).	B)
Равенство B) определяет так называемую формулу Муавра. Из
нее следует, что при возведении комплексного числа в любую
натуральную степень его модуль нужно возвести в эту степень, а
аргумент умножить на показатель степени.
2.	Вычислить [3(cos43° + isin43°)]5.
Решение. В соответствии с формулой Муавра B) находим
[3(cos 43° + г sin 43°)]5 = 243(cos 215° + г sin 215°).
Если число 2 задано в форме а + Ы, то для возведения его в сте-
степень с помощью формулы Муавра надо z предварительно привести к
тригонометрической форме.
3.	Вычислить (—1 +гI2.
Решение. Число — 1 + г приводим к тригонометрической форме,
для чего находим г = д/2, ср = —. Следовательно,
1 , • fc( Зтг , . . Зтг\
-1 + г = V2 cos—- + zsin—- .
V 4	4 /

' 5. Комплексные числа	315
Теперь применим формулу Муавра и получим
(-1 + гI2 = (\/2I2(cos97r + isin97r) = -26 = -64,
так как cos9tt = — 1, sin97r = 0.
6. Извлечение корня n-й степени
из комплексного числа
Извлечь корень n-й степени из комплексного числа z — значит
найти такое комплексное число о;, что ип = z.
Пусть требуется извлечь корень n-й степени из z = r(cos a -\-i sin a).
Предположим, что этот корень существует и равен uj = p(cosx +
+ г sin х).
Тогда, по определению,
рп (cos пх + г sin пх) = г (cos a + г sin a).
Если комплексные числа равны, то модули их равны; аргументы или
равны, или отличаются на число, кратное 2тг. Поэтому
рп=Г,	ПХ = СУ + 2&7Г,
где к — некоторое целое число. Отсюда имеем:
пГ- а + 2/гтг
р= уг, х =
и справедлива формула
пГ- ( а + 2/гтг . . а + 2ктг\	7 „	/1А
wk= yrl cos	h^sin	 , keZ.	A)
V	п	п )
Корень степени п любого числа, отличного от нуля, имеет в комп-
комплексной области п различных значений. Все эти корни получаются из
формулы A) при к = 0; 1; 2; 3; ...; (п — 1).
Примеры.
1. Вычислить у— 8 — 8л/Зг.
Решение. Имеем г = у (—8J + (—8л/3) =16; р = 2; cosa =
8	1 .	8л/3 л/3	O/mo _	g.
; sina	=	; а = 240 . 1аким образом,
2
	= —; sina =	=
16 2	16	2
-8-8\/3i = 16
Следовательно,
Отсюда при к = 0; 1; 2; 3 получаем все четыре значения корня:
и0 = 2(cos60° + zsin60°) = 1 + д/Зг;
wi = 2(cos 150° + г sin 150°) = -\/3 + г;
о;2 = 2(cos240° + г sin 240°) = -1 - \/Зг;

316
Прил. I. Краткие справочные сведения
У
Полученным значениям корня из комплексного числа геометричес-
геометрически соответствуют вершины правиль-
правильного многоугольника, вписанного в
окружность, которую описывает ра-
радиус-вектор, исходящий из начала ко-
координат. Длина этого радиуса-вектора
сохраняется постоянной и равна
модулю комплексного числа:
в данном случае р = 2.
Число вершин многоугольника рав-
равно числу корней; в данном случае п = 4.
Порядок следования значений кор-
корня соответствует повороту радиуса-
вектора против часовой стрелки. Угол
гис- °°	поворота между последующими его
2тг
значениями также постоянный и равен —; в данном случае он ра-
равен 90° (рис. 33).	П
2. Вычислить х/—3 + г.
Решение. Имеем г = i/(-3J + l = \/Ш; р= \/l0 « 1,48; cosy? =
3	1 п
= ——; simp = —=. По знакам косинуса и синуса заключаем, что ар-
vlO	vlO
гумент данного комплексного числа (р принадлежит II четверти и равен
(р = arccos (--?=) « 161°40'.
гг	V л/10У
1аким образом,
Следовательно,
^ЗП « l,48[cos E3°30' +1204) + г sin E3°30' +1204)].
При к = 0; 1; 2 получаем все три значения корня:
и)! « lJ48(cosl73°30/ + «sinl73°30/) « -1,477 + 0,168г;
о;2 « I,48(cos293°30/ + isin293°30/) «0,590-1,354г.
Рекомендуется самостоятельно сделать рисунок для этой задачи.
7. Решение уравнений
Одно из важнейших применений комплексных чисел заключается
в следующем. Можно доказать, что любой многочлен n-й степени
P(z) = anzn + an-izn~1 +... + a\z + ao (an / 0) с действительными или

' 5. Комплексные числа	317
комплексными коэффициентами всегда может быть разложен на мно-
множители и тем самым приведен к виду p(z) = an(z — z\)kl(z — Z2)k2...
... (z — zm)krn, где zi, Z2j ..., zm — некоторые различные действитель-
действительные или комплексные числа, a fci, &2, •••, km — натуральные числа,
причем к\ + &2 +... + кп = п. Следовательно, уравнение вида
anzn + an-i zn~x +... + 01 z + a0 = 0
на множестве комплексных чисел всегда разрешимо и имеет п
корней.
При этом если указанное уравнение имеет действительные коэф-
коэффициенты (пг — действительные числа), то его комплексные корни
являются попарными взаимно сопряженными. Будем рассматривать
это уравнение с действительными коэффициентами.
Примеры.
1.	Решить уравнение х3 + Ъх2 + 10ж + 12 = 0.
Решение, х3 + Зж2 + 2х2 + 6х + 4х + 12 = х2(х + 3) + 2х(х + 3) +
+ 4(ж + 3) = (ж + 3)(ж2 + 2ж + 4) = 0.
Ответ: -3; -1±гд/3.
2.	Решить уравнение 2ж4 + ж3 + 4ж2 + х + 2 = 0.
Решение. Bх4 + 4ж2 + 2) + (х3 + ж) = 2(ж2 + IJ + х(х2 + 1) =
Ответ: ±i; 0,25(- 1±гу/ТЕ).
Чтобы по известным корням xi, X2, хз, ..., хп искомого уравнения
составить это уравнение, достаточно записать разложение на множи-
множители его левой части: (х — х\)(х — Х2)(х — хз) ...(х — хп) = 0 и раскрыть
в ней скобки.
3.	Составить уравнение по его корням ^i = 3 — г;ж2 =
Решение, [{х - C - г)][х - C + г)] = (х - ЗJ - г2 = х2 - 6х + 9-
-(-1) = 0.
Ответ: х2 — 6ж + 10 = 0.
4.	Составить уравнение по его корням х\ — 2; х<± — —4; х$ = — 1 —
— ъ л/б; Х4 = — 1 + г л/б.
Решение, (ж - 2)(х + 4) [ж - (-1 - гд/б)] [ж - (-1 - гл/б)] =
Ответ: х4-\-4х3 + 3ж2 — 2ж — 56 = 0.
Рассмотрим уравнения с комплексными коэффициентами.
Корни квадратного уравнения z2 + az + /3 = 0 с комплексными
коэффициентами а и /3 находятся по тем же формулам, что и при
действительных а и /3, т.е. по формулам z = 0,5(—а ± y/D), а вычис-
вычисление л/ZJ = i/a2-4^ показано на с. 315, 316 (наиболее простой прием).

318	Прил. I. Краткие справочные сведения
5. Решить уравнение z2 + C + 2г) z — 7 + 17г = 0.
Решение, г = -0,5C + 2г) ± л/C + 2гJ -4(-7+17г) = -0,5 х
хC + 2г)±^/33-56г = -0,5C + 2г)±G-4г).
Ответ: z\ — 2 — Зг; z^ — — 5 +г.
3 ад ач и.
Решить уравнения A-4).
1. х3-4х2-4х = Б.
2. жз + 8ж2 + 15ж = _18<
3. 16x4 + 4x2 + l = 0.
4. (ж2 + ж + 1)(ж2 + ж + 2) = 12.
Составить уравнения по их корням
5. 1; ±г.
6. 1; 3; ±2г.
Решить уравнения G-10).
7. ^2_з^ + з + г =0.
8# ^2 _ (8 + Зг) 2? Ч-13A + г) = 0.
9. z3-(l + i)z2 + B + i)z-2 = 0.
10. z4 + (г — 3) z3 + D — Зг) z2 + Dг -
Составить уравнения по их корням
11. 2 + г; -2 + г.
12. 13-г; 7 + г.
13. г; -г; г\/2.
14. -1; г; 1 + г.
Ответы.
5; 0,5(-1±\/Зг).
-6; -1±\/2г.
X 4г'
1; -2; 0,5(-1±\/Шг).
E-6).
ж4-4ж3 + 7ж2 = 16ж-12.
1-г; 2-г.
5 + г; 3 + 2г.
1; -г; 2г.
-2J? = 21. 1; -г; 1-г; 1 + г.
A1-14).
^2-2г^-5 = 0.
^2_2о^ + 92 + бг = 0.
z3 - г л/2 ^2 + ^ - г \/2 = 0.
^4-A + г>3 + г^2 + 2^ = 2г.
§ 6. Комбинаторика и бином Ньютона
1. Соединения
Изложение начнем с примера.
Пример. Сколько различных двузначных чисел можно составить
из четырех различных цифр: 1, 2, 3, 4, если в каждом из двузначных
чисел цифры не будут повторяться?
Решение. Составим следующий список:
12, 13, 14; 23, 24, 21; 34, 31, 32; 41, 42, 43.
Мы перебрали все возможные случаи образования двузначных
чисел из данных четырех цифр, исходя из условий задачи.
При этом говорят, что получились размещения из четырех элемен-
элементов по два элемента в каждом.
В этом разделе рассматриваются вычислительные задачи, свя-
связанные, как показывает само название, с комбинациями различных
объектов. При этом такими объектами могут быть цифры (как в рас-

§ 6. Комбинаторика и бином Ньютона	319
смотренном примере), буквы, предметы, станки и т.п., которые будем
называть элементами.
Всевозможные комбинации из каких-либо рассматриваемых од-
однородных элементов, которые могут отличаться друг от друга или
порядком их, или самими элементами, называются соединениями.
Соединения могут быть трех видов: размещения, перестановки и
сочетания.
2. Размещения
Размещениями из п элементов по т называются такие соедине-
соединения, каждое из которых содержит т элементов, взятых из данных п
элементов, и которые отличаются одно от другого или самими эле-
элементами, или их порядком (значит, предполагается, что т ^ п).
Число размещений из п элементов по т в каждом обозначается
символом А™ (читается «число размещений из п элементов по т»).
Это число равно
Апш = п(п - 1)(га - 2)... [п - (т - 1)].
Число всевозможных размещений из п элементов по т равно
произведению т последовательных натуральных чисел, из которых
большее есть п.
В рассмотренном примере соединения представляют собой разме-
размещения, и ответ в нем можно оформить как: А\ = 4 • 3 = 12.
Примеры.
1.	1) ^2 = 5-4 = 20; 2) Л^ = 4-3-2 = 24; 3) А\ = 8-7-6-5 = 1680.
2.	1) А1п = щ 2) А2п = п(п-1); 3) А3п = га (га - 1)(п - 2).
Считается, что А^ = 1.
3.	Сколькими способами могут быть распределены 5 различных
уроков в день из 10 учебных предметов?
Решение. Очевидно, искомых способов столько, сколько разме-
размещений из 10 элементов по 5, т. е. A\Q = 10 • 9 • 8 • 7 • 6 = 30240.
4.	Сколько можно образовать различных трехзначных чисел из
всех цифр, если в этих числах не будет одинаковых цифр?
Решение. Из всех десяти цифр — 0, 1, 2, ..., 9 — можно составить
A\q = 10 • 9 • 8 = 720 размещений по три, но из этого числа следует
исключить число тех размещений из 10 по 3, которые начинаются с
цифры 0 @12; 037; 094;...).
Число таких размещений, очевидно, равно числу размещений из
девяти значащих цифр A, 2, 3, ..., 9) по 2, т. е. Лд = 9-8 = 72.
Следовательно, искомое число равно 720 — 72 = 648.
3. Перестановки
Размещения из п элементов по п (т. е. различающиеся только по-
порядком элементов) называются перестановками.
Число всевозможных перестановок из п элементов обозначается
символом Рп (читается «число перестановок из эн»).

320	Прил. I. Краткие справочные сведения
Так как перестановки из п элементов — это размещения из п эле-
элементов по п, то формула числа перестановок имеет вид
Рп = Апп = п (п - 1) (га - 2)... 3 • 2 • 1 = 1 • 2 • 3... (га - 2) (га - 1) га.
Число всевозможных перестановок из п элементов равно произ-
произведению всех натуральных чисел от 1 до п. Это число обозначается
символом п! (читается «эн факториал»). Следовательно,
Так, 1! = 1; 2! = 1-2 = 2; 3! = 1-2-3 = 6.
Считается, что 0! = 1.
Примеры.
1.	1) Р4 = 4! = 1-2-3-4 = 24; 2) Р5 = 5! = 1-2-3-4-5 = 120.
2.	1) Рп_! = (п-1)! = 1.2.3...(п-2)(п-1);
2) Pli:P9 = (ll!):(9!) = 110.
3.	Сколько девятизначных чисел можно записать девятью знача-
значащими цифрами, если в этих числах не будет одинаковых цифр?
Решение. Девятизначные числа, очевидно, образуют всевозмож-
всевозможные перестановки из девяти элементов, поэтому искомое число равно
Р9 = 9! = 1-2-3...8-9 = 362880.
4.	Сколькими способами можно разместить в один ряд 8 станков
различных фирм?
Решение. Изменения порядка расположения станков различных
фирм в ряду будут перестановками из 8 элементов, поэтому ответом
является число Р8 = 8! = 1-2-3...6-7-8 = 40320.
4. Сочетания
Если из всех размещений, которые можно составить из п элементов
по т, мы отберем только те, которые отличаются одно от другого
по крайней мере одним элементом, то получим соединения, которые
называются сочетаниями и обозначаются С™ (читается «число соче-
сочетаний из эн элементов по эм»).
В частности, если из рассмотренных ранее размещений из четы-
четырех цифр по 2:
12, 13, 14; 21, 23, 24; 31, 32, 34; 41, 42, 43
отберем числа 12, 13, 14, 23, 24, 34 (количество их 6), отличающиеся
по крайней мере одной цифрой, то получим сочетания из четырех
элементов по 2, т. е. С\ — 6.
Таким образом, в данном случае мы имеем число размещений из
четырех элементов по 2: А\ = 12 и число сочетаний из тех же четырех
элементов и также по 2: С\ — 6.
Имеет место соотношение А\ = С\- 2, или А\ = С\- 2!, т.е. А\ =
= ct-p2.

§ 6. Комбинаторика и бином Ньютона	321
Если из четырех букв а, 6, с, d составить размещения и сочетания
по 3 в каждом, то получим соответственно А\ = 24 и С\ — 4 (в самом
деле, имеем: абс, abd, acd, bdc).
Тогда будет иметь место соотношение А\ = С\ -6, или А\ = С f x
х 3-2-1, т.е. Л| = С|-Р3.
Подобное соотношение в общем случае имеет вид
Отсюда следует формула числа сочетаний
Гт = К_ = n(nl)(n2)[n
П	Р
=
Рт	1-2-3...П
Справедливо следующее свойство сочетаний:
Примеры.
С\ — щ С™ = 1; С^ = 1 (по определению).
2) С| = i^| = 4, короче: С\ = С\~* = С\ = ± = ^ = 4, т.е.
С3 = С1 = 4*
%ч ^97 ~з _Ю0-99-98_
4) C|-2C7| = |l|^|-2|^ = 20-20 = 0.
2.	Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из груп-
группы в 10 человек?
Решение. Искомым числом, очевидно, является число всевоз-
^з Ю-9-8 1ОП
можных сочетании из десяти по три, т. е. Gf0 =	= 1^0.
3.	Сколькими способами можно выпустить три поезда из 7 имею-
имеющихся в депо? (Каждый поезд имеет свой номер.)
Решение. Эти соединения являются сочетаниями из 7 элемен-
7 R ^
7 R ^
тов (номеров поездов) по 3, и получаем Cf =	= 35.
X • А ' о
4. Проверить справедливость формул:
i\ лт _	п-	2) Г1171 =
; п (n-m)V } п
2) Г =
(n-m)V } п т\(п-т)\'
5. Формула бинома Ньютона
Двучлен х + а называют также биномом. Формулы сокращенного
умножения позволяют написать сразу квадрат и куб двучлена:
(х + аJ = х2 + 2ах + а2;
(х + аK = х3 + Ъах2 + Ъа2х + а3.
21 В. А. Бачурин

322	Прил. I. Краткие справочные сведения
Нетрудно вычислить, что
(х + аL = хА + 4х3а + 6ж2а + 4ха3 + а4;
(х + аM = хъ + 5ж4а2 + 10ж3а2 + 10ж2а3 + 5жа4 + а5.
Возводить двучлен в более высокую натуральную степень можно
по так называемой формуле бинома Ньютона:
+ах+а
1 • 2	1 • 2 • о
, n(n-l)...[n-(fc-l)] пк„п
¦¦¦+	1-2-3. ..А
ИЛИ
п-как + ...+С1г}ап. A)
Это равенство известно как формула бинома Ньютона, причем мно-
многочлен, стоящий в правой части формулы, называется разложением
бинома. Коэффициенты С^ формулы Ньютона называются биноми-
биномиальными коэффициентами.
Пример, (х + аO = х7 + 7х6а + 21ж5а2 + 35ж4а3 + 35ж3а4 +
26	6 7
6. Некоторые свойства формулы бинома Ньютона
1)	В разложении (х + а)п по формуле A) содержится п + 1 сла-
слагаемых.
2)	В формуле A) показатель степени х убывает от п до 0, а пока-
показатель степени а возрастает от 0 до п. Сумма показателей степени х
и а в любом слагаемом разложения равна п — показателю степени
бинома.
3)	Биномиальные коэффициенты, равноудаленные от начала и
от конца разложения, равны между собой (так как Ск = С™~к).
4)	Биномиальные коэффициенты сначала возрастают, а затем
убывают. Если показатель степени бинома четный, то биномиальный
коэффициент среднего слагаемого разложения наибольший; если же
показатель степени бинома нечетный, то биномиальные коэффициенты
двух средних слагаемых равны между собой и являются наибольшими.
5)	Чтобы записать в общем виде слагаемые в равенстве A), удоб-
удобно (к + 1)-е слагаемое считать к-м членом и обозначать его через Т&.
Тогда	, , ,
Тк = Скхп~как, & = 0,1,2,...,п.	B)
Например, 7q = С^хпа° — первое слагаемое, 7\ = C\xn~xa — вто-
второе слагаемое, Т2 = С^хп~2а2 — третье слагаемое.
Примеры.
1. Найти четвертый член разложения (а1/2 + а3/2I2.
Искомый член разложения находим по формуле B):

1. Определители второго порядка и их прилоэюение
323
2. Найти номер числа разложения (а + а
-2\12
не содержащего а,
т.е. содержащего а в нулевой степени.
По формуле B) находим
гт1 s-tk „12-к(„-2\к rik „12-Зк
1 k = О12а [а ) = С12а
По условию задачи 12 — ЗА: = 0. Следовательно, к = 4. Таким об-
образом, это четвертый член разложения.
A \^
2ж2 Н— ) .
По формуле A) находим
хх
Примечание. Не следует забывать о различии между коэффи-
коэффициентом слагаемого в разложении и биномиальным коэффициентом
того же слагаемого. Например, в примере 4 коэффициент 3-го слага-
слагаемого равен 80, а его биномиальный коэффициент равен С2 = 10.
§ 7. Определители второго порядка и их приложение
1. Определители второго порядка
Решим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Г
-ftl.
— a2bi)x = cib2 — c2
-a2bi)y =
x =
c\b2 — c2b\
aic2 — a2ci
(i)
B)
C)
aib2 — a2bi	aib2 — a2bi
Знаменатель и числитель полученных выражений C) для отыска-
отыскания неизвестных х и у будут часто встречаться в таком виде, и для
них вводятся символические обозначения и специальные названия —
определители (детерминанты) второго порядка:
bi
b2 — a2bi =
cib2 —
oic2-
о>2 b2
Ci 61
с2 b2
tti С
a2 c2
= A;
D)
21*

324
Прил. I. Краткие справочные сведения
Систему B) запишем теперь в виде
а решения системы A) — в виде
х =
t_Ay
Д '
E)
F)
называются дополнительными
Определитель А = 1 i1 , составленный из коэффициентов ai,
a2, 61, 62 при неизвестных, называется определителем системы; опре-
определители Ах = * ,1 и Ау =
определителями.
Заметим, что дополнительные определители Ах и Ау получаются
из определителя системы А заменой коэффициентов при искомом
неизвестном на соответствующие свободные члены (с теми знаками,
которые они имеют в правой части).
Рассмотрим определитель второго порядка
-агЬу.	G)
Числа 01,02,61,62 называются элементами определителя G).
В определителе G) различают первый столбец 1, второй столбец ,1,
а также первую строку а± Ь± и вторую строку п2 62. Общее название
для строк и столбцов — ряды определителя.
Пара чисел ai, 62 образует главную диагональ определителя, а
пара чисел a2, 6i — вторую (побочную) диагональ.
Знаки перед произведениями, входящими в правую часть форму-
формулы G), расставляются по схеме
1	б!
Примеры.
1.
3.
5	2
6	7
3 5
-6 О
= 35-12 = 23; 2.
4 1
-2 6
= 3-0-(-6)-5 = 30; 4.
ь2
= 24 + 2 = 26;
sin ж -cos ж
cos ж sin ж
= 1.
2. Основные свойства определителей второго порядка
1. Величина определителя не изменяется от замены строк столб-
столбцами:

1. Определители второго порядка и их прилоэюение
325
2.	При перестановке двух любых параллельных рядов знак опре-
определителя меняется на противоположный:
CL2 ^2
а\ Ь\
3.	Определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами
равен нулю:
a b
a b
= 0.
4.	Общий множитель элементов ряда можно выносить за знак
определителя:
5.	Если элементы одного ряда пропорциональны элементам дру-
другого ряда, то определитель равен нулю:
= 0.
6. Если к элементам одного ряда прибавить элементы параллель-
параллельного ряда, умноженные на любое число, то величина определителя
не изменяется:	,
Все эти свойства определителя легко проверить, применив фор-
формулы G). (Это рекомендуется проделать самостоятельно.)
3. Решение системы двух линейных уравнений
с помощью определителей
Примеры.
1.
Г7ж-6г/ = 5,
\8х-7у = -
Имеем:
7 -6
Д =
-7
= -10.
=-49 + 48 = -1;
5 -6
Ау =
5
-10
По формулам F) получаем
Ах -95
Х~
-10 -7
= -70-40 = -110.
Ау -110
= -35-60 = -95;
Ответ: х = 95; у = 110.
2. Ж У~

326	Прил. I. Краткие справочные сведения
В этой задаче соответствующие определители можно вычислить
устно:
А = 5 + 6 = 11; Ах = -(-15 - 7) = 22; Ау = 25 - 14 = 11.
Ответ: х = 2; у = 1.
Линейные системы легко решать и без определителей, но они ока-
оказываются весьма полезными при исследовании этих систем.
4. Исследование системы линейных уравнений
с двумя неизвестными и ее графическое истолкование
1. В рассмотренных примерах определитель системы А был от-
отличен от нуля (в первом случае А = — 1, во втором А = 11) и каж-
каждый раз мы получали единственное решение системы. Система имеет
единственное решение, если А ф 0; иначе говоря, если
0, или A\ЬчфачЬ\^ или —ф-^:
О>2 °2
т. е. если коэффициенты при неизвестных х и у не пропорциональны.
Случай, когда определитель системы равен нулю (А = 0), распа-
распадается на два под случая.
2. Пусть А = 0 и какой-нибудь из определителей Ах или Ау при
этом отличен от нуля; пусть для определенности Ах = т ф 0. Иначе
говоря, — = —!- и —!- ф —. Тогда, как показывает первое уравнение
О>2	02	02	С2
системы E), нельзя найти ни одного числа х, которое удовлетворяло
бы этому уравнению, так как при этом оно сводится к невозможному
равенству
0 • х = т ф 0 (слева нуль, справа не нуль).
К такому же выводу мы придем в случае Av = п ф 0 (когда — = —!-
г, \	\	0,2	02
CL2 С2
Итак, если определитель системы А равен нулю, а какой-либо из
определителей Ах или А^ отличен от нуля, то такая система несов-
несовместна, она не имеет решений.
3. Пусть, далее, не только А = 0, но и Ах = Ау = 0. Иначе говоря,
— — -г- — — (^2 / 0). Тогда система E) сведется к виду
О>2 02 С-2
что справедливо при всех значениях х. В этом случае система A)
называется неопределенной. Она имеет бесконечно много решений.
Итог исследования решения системы типа A) следующий:
1) если А ф 0, то система A) имеет единственное решение, опре-
определяемое формулами F);

1. Определители второго порядка и их прилоэюение
327
2)	если А = 0, но по меньшей мере один из определителей Ах
и Ау отличен от нуля, то система A) несовместна и решений не имеет
(можно показать, что если А = 0, а Ах / 0, то и Ау / 0, а при Ау /
/О будет и Аж/0);
3)	если А = Ах = Ау = 0, то система A) неопределенна; она имеет
бесконечно много решений.
С геометрической точки зрения задание системы двух линейных
уравнений с двумя неизвестными можно рассматривать как задание
двух прямых на плоскости.
Мы установили, что существуют три различных вида таких сис-
систем; это полностью согласуется с тем геометрическим фактом, что
две прямые на плоскости могут пересекаться в единственной точке,
они могут быть параллельными, они могут совпадать всеми своими
точками.
Примеры.
1.
Г
A)
B)
2 3
Здесь А = 10 — 9 = 1 (/0), или - / -. Система имеет единственное
о о
решение B; 2), которое можно найти любым способом. Две прямые
пересекаются в точке B; 2) (рис. 34).
У>
0
\аB;2)
V ,
О
Рис. 34
Рис. 35
2.
A)
B)
Здесь А = 0: коэффициенты при неизвестных пропорциональны (см.
7 9 5
свойство 5 определителей), но — = — / -, т.е. Ах /0 и Ау / 0.
Система несовместна. Две прямые параллельны (рис. 35).
3.
Г
A)
B)

328	Прил. I. Краткие справочные сведения
Здесь А = Ах = Ау = 0. Все коэффициенты пропорциональны: - =
3 5	^
= - = —. Система неопределенная и имеет бесконечно много ре-
решений. Второе уравнение приводится к
первому делением на 2. Две прямые сли-
сливаются всеми своими точками (рис. 36).
Когда мы говорим, что этой сис-
системе удовлетворяют бесконечно много
различных пар чисел, то такие пары
®	должны быть не произвольными, а вза-
( Ь-х\
имно зависимыми в виде I х\ у =	I
	> или (х = 5 — 3?/; у). В первом случае,
О	^ х придавая произвольные значения пере-
рис зб	менной ж, получаем значения у (на-
(например, при х = 2 имеем у = 1). Во
втором случае, придавая произвольные значения у, получаем значе-
значения х (например, при у = 0 имеем х = 5).
3 ад ач и.
Решить с помощью определителей системы уравнений A-4).
I fJJu ~T~ ? U — I ,	I
1. <	2. <
Ответ: x = 5; у = — 4. Ответ: х = 0; у —2.
х — Ъу — Х^	( mx— ny = (m — nJ,
4. <
x-2y — 2 (при а/0).	[2ж-?/ = п (при ш / 2n).
4
Ответ: х — —; 2/— 1-	Ответ: х = m; y = 2m — n.
a
5. Пересекаются ли в одной точке прямые:
ж — 'jty — t),
ь ^ у — с/,	aj
Выполнить в обоих случаях построение.
6. Исследовать, является ли система уравнений определенной
(имеет только одно решение), несовместной (не имеет решений), неоп-
неопределенной (имеет бесконечно много решений):
A2x-lly = 2,	ixVb-by = Vb,	(x
\Ux + 13y l;	\Vb b	\
Ответ: 1) система определенная; 2) система не имеет решений;
3) система имеет бесконечно много различных решений вида
7. Исследовать, при каких значениях параметра q система ли-
линейных уравнений является определенной, несовместной, неопреде-

§ 8. Определители третьего порядка. Метод Гаусса
329
ленной, и решить эти системы при тех значениях q, при которых
система определенная:
Г B-q)x
'
Ответ: 1) при q ф 3 система определенная и имеет решение
х = —5, у = 5; при q = 3 система неопределенная;
2) при q ф —4 и q ф & система определенная и имеет решение
1 1	о	,
ж =	-, у =	-; при q = 8 и при </ = — 4 система несовмест-
g — 8	q — 8
ная.
Решить задачи 332-340 раздела II с помощью определителей.
§ 8. Определители третьего порядка и их приложение.
Решение систем линейных уравнений
методом последовательного исключения переменных
(методом Гаусса)
1. Определители третьего порядка
Определителем (детерминантом) третьего порядка называется вы-
выражение
1 h с
Д =
аз Ьз сз
A)
Числа a>i,bi,Ci (ъ = 1, 2, 3) называются элементами определителя;
они расположены в трех его строках и трех столбцах (рядах опреде-
определителя).
Пример. Вычислить	-, ^ «
2	3 4.
3	4 5
Используя формулу A), имеем
Д =
3
4
4
5
-2
2
3
4
5
+ 3
2
3
3
4
= 1 • (-1) - 2 • (-2) + 3 - (-1) = 0.
Определители третьего порядка обладают теми же свойствами,
что и определители второго порядка. Эти свойства доказываются не-
непосредственным вычислением по формуле A).
2. Решение системы трех линейных уравнений
с тремя неизвестными с помощью определителей
Рассмотрим стандартную линейную систему трех уравнений
B)

330
Прил. I. Краткие справочные сведения
свободные члены которых находятся в правых частях. Под решением
системы понимается всякая тройка чисел (x,y,z), удовлетворяющая
этой системе.
Как и в предыдущем пункте, рассмотрим определитель сис-
системы
L h С
аз Ьз сз
C)
а также дополнительные определители
L &1 Ci
^2 ^2 С2
3 Ь3 С
а\ b\ d\
&1 hi di
аз Ьз d3
D)
1 di ci
^2 ^2 C2
a3 d3 с
Как и в случае линейной системы двух уравнений, дополнительные
определители Ах, А^ и Az получаются из определителя системы А
заменой коэффициентов при искомом неизвестном на соответствую-
соответствующие свободные члены (с теми знаками, которые они имеют в правой
части).
Если определитель системы А / 0, то получаем единственное ре-
решение системы B) по формулам
Ay	Az
АДА
(Непосредственно подстановкой можно убедиться, что при А / О
формулы E) дают решение системы B).)
Замечание. Если определитель системы А = 0, то система B)
или несовместна, или имеет бесконечно много решений.
Пример. Решить систему
х = ¦
I:
Имеем
А=
1
2
3
2
3
1
3
1
2
Вычитая из второго столбца удвоенный первый столбец, а из третьего
столбца утроенный первый столбец (дважды применяем свойство 6
определителей), получаем
А =
1	0 0
2	-1 -5
3	-5 -7
= 1
-1 -5
-5 -7
= 7-25 = -18 /0.

§ 8. Определители третьего порядка. Метод Гаусса
331
1
0
0
2
3
1
3
1
2
=
1
2
3
0
3
1
0
1
2
= 1-
з
1
1
2
Для дополнительных определителей находим следующие значения:
= 5
(строки заменили столбцами; второе и третье слагаемые формулы A)
обратились в нуль);
= -1; Az= 2 3 0 =1- o i =-7.
1
2
3
1
0
0
3
1
2
= -!•
2
3
1
2
1
2
3
2
3
1
1
0
0
= 1.
2
3
3
1
Применяя формулу E), получаем решение системы:
- _JL	- _!	- 1_
Х~ 18' У~Т&' *~18"
3 ад ач и.
С помощью определителей решить системы уравнений A-4).
Ответ: х = — 1; 2/ = 0; z — \. Ответ: x = 5; 2/ = 6; 2 = 10.
3.
4.
Гж + 2
< 2
= 6.
Ответ: х — \\ у — — 1; z = 2. Ответ: Система несовместна.
Решить задачи 381, 382, 390 раздела II с помощью определителей.
3. Решение системы линейных уравнений
методом последовательного исключения переменных
{методом Гаусса)
Примеры.
1. Решить систему
Имеем
-2 (x-3y = l,
ж = 1 + 3-13 = 2.
Ответ: х = 2; 2/ = «•

332
Прил. I. Краткие справочные сведения
2. Решить систему
Имеем
' х-\-2у - z = 7,
2x-y + z = 2,
—2|—3
3 12
3 12
' x-\-2y - z = 7,
3 12
-1- - — + -
5 5
Ответ: х — 2\ у — Ъ\ z — \.
3. Решить систему
Имеем
' x -у + 2^-3^ = 0,
—3|—2 (х-у
¦ x-y + 2z-3t = 0,
-y-3z + bt = -5,
-2
-у — 3z -\-bt = —5
X у ~~\~ ZiZ о7/ —
y-z-2t = -5,
3, 5
y-z-2t=-l
35 _ 35
T T
f x -y + 2^-3^ =
/ —^ —2t = —5,
3, 5
^=2'
= 2.
5,3
Ответ: х — \\ у — Ъ\ z — 4; t — 2.

' 9. Абсолютная величина действительного числа
333
Решить этим методом (методом Гаусса) четыре задачи из п. 2 и за-
задачи 381, 390, 393, 401 раздела П.
§ 9. Абсолютная величина действительного числа.
Уравнения и неравенства, содержащие
абсолютную величину действительного числа
Множество действительных чисел есть объединение множества
рациональных чисел и множества иррациональных чисел.
Подмножествами рациональных чисел Q являются: множество
натуральных чисел N = {1; 2; 3; ...}, множество целых неотрица-
неотрицательных чисел Zq = {0; 1; 2; 3; ...}, множество целых чисел Z =
Множество рациональных чисел символически записываются так:
Q = \— meZ; neN].
In	)
С помощью знака включения С соотношения между названными
множествами оформляются в виде:
N CZOCZ CQ.
Соотношения между этими множествами
могут быть показаны схематически с по-
помощью так называемых «кругов Эйлера»
(рис. 37).
Любую непериодическую бесконечную
дробь считают представлением иррациональ-
иррационального числа. Примеры иррациональных чисел:
л/2 = 1,41421...; lg2 = 0,3010...; два замеча-
замечательных числа тг = 3,14159...; е = 2,71828...
Множество R действительных (вещественных) чисел часто назы-
называют числовой прямой, а его элементы (числа) — точками числовой
прямой.
Абсолютная величина действительного числа а обозначается \а\ и
определяется так:	, , _ ^ _ л > 0?
Рис. 37
а = а
если а
\а\ = —а если а < 0.
Словесно это определение можно выразить так: абсолютная вели-
величина неотрицательного числа равна самому этому числу; абсолютная
величина отрицательного числа равна этому числу, взятому с противо-
противоположным знаком.
|2| = 2; |0| = 0; |-3| =-(-3) = 3.
Абсолютная величина всегда положительное число или нуль.
Из определения следует, что для любого а справедливо соотно-
соотношение	. .
а< \а\.

334
Прил. I. Краткие справочные сведения
или К 5;
или 8 = 8.
Отметим некоторые свойства абсолютных величин.
1.	Абсолютная величина алгебраической суммы нескольких дейст-
действительных чисел не больше суммы абсолютных величин слагаемых:
\а + Ь\ ^ М + Н;
-2 + 3| < |-2| + |3|=2 + 3 = 5
|-3-5| = |-3| + |-5|=3 + 5 =
2.	Абсолютная величина разности не меньше разности абсолют-
абсолютных величин уменьшаемого и вычитаемого:
\а-Ь\>\а\-\Ь\;
|(-5)-3| > |-5|-|3| = 5-3 = 2, или 8 > 2;
|7-3| = |7|-|4| = 7-4 = 3, или 3 = 3.
3.	Абсолютная величина произведения равна произведению абсо-
абсолютных величин сомножителей:
\а\.\Ь\.\с\;
|2-(-5)-(-3)| = |2|-|-5|-|-3| = 2-5-3 = 30, или 30 = 30.
4. Абсолютная величина частного равна частному абсолютных ве-
величин делимого и делителя:
\ь\'
(-6)
'
или 3 = 3.
Примеры.
1.
2.
2 — л/2 | =2-л/2.
= -(л/2-л/3)=л/3-л/2.
Решение примеров, содержащих абсолютную величину
Примеры.
1.	Решить уравнение \х\ = 3.
1)	Может быть х > 0, тогда \х\ = х = 3; неотрицательное решение
2)	Может быть ж < 0, тогда \х\ = —ж = 3; отрицательное решение
С геометрической точки зрения на числовой оси отложатся две
точки на расстоянии 3 от нуля влево и вправо: х\ — —3; х<± — 3.
2.	Решить уравнение \х — 3| = 2.
Первый способ.
1)	Может быть х — 3 ^ 0, тогда \х — 3|=ж — 3 = 2 и ж = 5.
2)	Может быть х — 3 < 0, тогда |ж — 3| = —ж + 3 = 2 и х — \.
Ответ: х\ — Ъ и жо = 1.

§ 9. Абсолютная величина действительного числа	335
Второй способ.
1)	х ^ 3, тогда имеем: х — 3 = 2, х = 5;
2)	ж < 3, тогда имеем: —ж + 3 = 2, х — \.
Ответ: х\ — Ъ и ^2 = 1.
Второй способ особенно удобен, когда следует производить ал-
алгебраические действия над абсолютными значениями нескольких
выражений.
3. Решить уравнение \2х - 3| + \х - 3| - \4х - 1| =0.
1 3
Находим корни каждого из трех слагаемых. Они будут: -; -; 3.
1)	Найдем х из уравнения при условии, что х < -. Тогда 2х — 3 < 0;
х — 3 < 0; 4ж — 1 < 0. И мы будем иметь:
3-2ж + 3-ж-1 + 4ж =0; ж =-5.
Теперь проверим, удовлетворяет ли полученный корень х = —5 ус-
условию рассматриваемого случая х < -. Да, —5 < -. После этого мы
заключаем, что число —5 является корнем уравнения.
1	3
2)	При - ^ х ^ - будем иметь:
3-2ж + 3-ж-4ж + 1=0; х = 1.
1	3
Это число 1 неравенствам - ^ х ^ - удовлетворяет, поэтому тоже
является корнем уравнения.
3
3)	При - ^ х ^ 3 будем иметь:
3
Это значение неизвестного неравенствам - ^ х ^ 3 не удовлетво-
удовлетворяет, поэтому корнем уравнения не является.
4) При х > 3 будем иметь:
2ж-3 + ж-3-4ж + 1 =0; х = -5.
Этот корень не удовлетворяет условию х > 3. Однако следует под-
подчеркнуть, что ж = —5 не удовлетворяет только последнему условию
х > 3. Это же число х = — 5 удовлетворяет первому условию ж < - и
поэтому является корнем уравнения.
Ответ: х\ — — 5 и ^2 = 1.
4. Решить уравнение |ж2 — х — 6| = ж + 2.
1) х2 — х — 6 < 0. В этом случае имеем уравнение —х2 + х + 6 =
= ж + 2, или ж2 — 4 = 0, корни которого ^i = 2 и х<± — —2. Теперь
проверим, удовлетворяют ли х\ и х<± условию рассматриваемого
случая.

336
Прил. I. Краткие справочные сведения
Подставим эти значения в левую часть неравенства х2 — х — 6 <
< 0, получаем —4 < 0 и 0 < 0. Первое неравенство справедливо,
второе нет, поэтому лишь число 2 является корнем исходного урав-
уравнения.
2) х2 — х — 6 ^ 0. Получаем уравнение х2 — х — 6 = ж + 2, или
х2 — 2х — 8 = 0, корни которого х\ — 4 и х<± — —2. Так как оба эти
значения х удовлетворяют условию рассматриваемого случая, то и 4
и —2 являются корнями исходного уравнения.
Ответ: —2; 2; 4.
Заметим, что число (—2) мы сначала отбросили, потому что оно не
удовлетворяло первому ограничению 1). А когда мы его снова наш-
нашли, оно условию 2) удовлетворяет и, таким образом, является корнем
исходного уравнения.
5.	Решить неравенство \х2 — 2х — 2\ < 1.
Имеем: 1) х2 - 2х - 2 < 1, тогда х2 - 2х -3 < 0;
2) ж2 - 2ж - 2 > -1, тогда х2 - 2х - 1 > 0.
Решаем первое неравенство х2 — 2х — 3 < 0; х2 — 2х — 3 = 0, корни
трехчлена Х\ — — 1 и х<± — 3. Дискриминант D > 0 и коэффициент
при х2 больше нуля, поэтому искомое множество точек содержится
в интервале — 1 < х < 3.
Второй трехчлен х2 — 2х — 1 > 0 при х < 1 — л/2 и х > 1 + л/2.
Объединяя эти решения, получаем ответ.
Ответ: -К х < 1 - \/2; 1 + \/2<ж<3.
6.	Построить график функции у = 2 • \х — 2\ — 3.
1)	Находим угловую точку гра-
графика: \х - 2| = 0, ж = 2; ЛB; -3); и
рассматриваем данную функцию в
промежутках ]—ос; 2], [2; оо[ (рис. 38).
2)	Для х ^2 2/ = 2B-ж)-3, у =
ж 3) Для ж > 2 2/ = 2(ж-2)-3, 2/ =
4) Строим графики прямых на
соответствующих промежутках.
Контрольные точки: А B; —3),
У
\
D
О
-1
-2
-3
7. Решить уравнение |ж — ж2 — 1| = \2х — 3 + х2\.
Трехчлен х2 — х + 1 больше нуля при всех действительных зна-
значениях ж, поэтому исходное уравнение равносильно такому:
|ж2 + 2ж-3| = х2-х + 1.

§ 9. Абсолютная величина действительного числа	337
Решаем это уравнение.
1)	х2 + 2х — 3 ^ 0 при х ^ 1 и х ^ —3; далее: ж2 + 2ж — 3 = ж2 — ж + 1,
откуда ж = - > 1. Следовательно, ж = - является решением исход-
о	о
ного уравнения.
2)	ж2 + 2ж-3 < О при -3 < х < 1, далее: -ж2 - 2ж + 3 = х2 - х + 1,
откуда х = - (—1 =Ь vTf). Найденные значения ж лежат внутри ин-
интервала ]—3; 1[ и поэтому тоже являются корнями уравнения.
Ответ: х = -; х = - (—1=Ь VT7).
8. Решить неравенство \х2 — 3| -\-2x-\-1 ^ 0.
Неравенство равносильно совокупности двух систем:
123 + 2 + 1 ^0 или
0, или ж2-2ж-4^0.
Решая каждое из этих четырех неравенств, получаем:
Г х ^ -л/3, ж ^ л/3,	J -л/3 < х < л/3,
\/	/	' \/
-л/3 -1 + л/З
-;^--t-^	'—«~~f^- — ^ >
-1-л/З 0 y/s
Рис. 39
1 —л/5
-л/3 0 л/3 1 + л/5
Рис. 40
Из первой системы получаем: х ^ — 1 — л/3 и х ^ л/3; из второй
системы — 1 — л/5 ^ ж < л/3. Последние два промежутка можно объ-
объединить в один х ^ 1 — л/5 (рис. 39 и 40).
Ответ: х ^ — 1 — л/3; ж ^ 1 — л/5.
9. Решить неравенство |ж3 — 1| ^ ж2+ ж +1.
Имеем: |ж3 — 1| = |ж - 1| • \х2 + ж + 1| = \х - 1| • (х2 + ж + 1), ибо
х2-\-х-\-1 > 0 при любых действительных ж. После сокращения по-
получаем \х — 1| ^ 1.
Ответ: 0 ^ х ^ 2.
22 В. А. Бачурин

338
Прил. I. Краткие справочные сведения
10. Решить систему уравнений
Исключая из системы \х — 1
ления у:
получаем уравнение для опреде-
опредеИз последнего уравнения получаем одно решение у = —. Тогда
из второго уравнения исходной системы получаем \х — 1| = -, от-
_ 1 _ 3	2
1~2'Ж2~ 2"
~	1	11	3	11
Ответ: хх = -, ух = —\ х2 = -; 2/2 = у•
3 ад ач и.
Построить графики функций A-4).
II	I	С\	II	•	€\	I О	*? I	у4	п Т
. \у\ = х. 2. |^/| = sinx. 3. 2/ = |3 — х \. 4. ^/ = z|X|.
5. Решить неравенства графически:
-
X
2)
3)
4)
|0,5ж-2|
|2х-2|<
>1;
3.
Решить уравнения F-16).
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
1 1 Q
\х\ — о.
х2-2\х
|Зж-4| =
||аг|+2| =
|ж + 1| +
\х +|ж +
|ж-1|-
\2x-x12-
\x*-Zx-
2ж + 1
\х2 + 2х\
-3 = 0.
2'
2.
ж + 2|=2.
-2|=2.
ж —2| = 1.
-3| = 1.
f3| = 2.
-|3-ж|= ж-4|.
л | 	 | 2
Ответы.
х < 0; ж > 1;
-1 < х < 7;
ж < 2; ж > 6;
Решений нет.
Х\ =3; Х2 = —3.
3	7
1
Решений нет.
3±л/5
Ж1 2 — 	•
'	2
3
2'
л/5-1

§ 9. Абсолютная величина действительного числа
339
Решить неравенства A7-41).
17.	1) \х-2\ < -;
2)	\х-а\ < Ь;
3)	2х + - ^ -;
}	2 2'
5)
6)
18.	1) ж + |ж-3| >5;
9"! 19т — ^1 — 1Чт — 101 ъ
Zi J \LiJu О\ \tJtJb	"\ ^
3)	|ж| + |ж-2| <4;
4)	|аж + 6| ^ а.
Ответы.
a — b < х < а + Ь;
19.	1)
2) |5-2ж| + |Зж
20.	1) ж2-2|ж
2)	х2-6\х
3)	2
4)
21.
2)	З
3)	2
4)	5
_10	_2
ж > 4;
3<ж<5;
-1<х <3;
при а < 0 решений нет;
^п	а+6. .а—Ь
если а > 0, то	^ ж ^	;
а	а
если а = 0 и 6 / 0, то решений нет;
при а = b = 0 ж — любое.
3;	х — любое;
^6
-8^ х
-4; 4^ ж
о.
о;
^; х ^ о;
-3-5л/3.
;
решений нет;
х ^ --; х ^2.
-Ц <ж < -1; ж /-2;
о
-;
4)
23.
х — 5
-;
/5.
^ 1.

340
Прил. I. Краткие справочные сведения
24.
25.
26.	\10x-x2-V
27.	\x2-2x-S\
28.	x2-
29.	\x2
30.	\x2
31.	\x2
32.	\2x
33.	4ж
34.	7-
i
35.
6;
Ответы.
9 + л/501
2.
+ 3.
О
ж -5ж + 6
2
36. \x-
37.
ж" —
38.
39.
40.
41.
-12
ж-3
х > 1 + л/14; -К ж <3.
v. -1 | /о"	^ О /*Т
ж^1 + л/о; ж^—z —V^-
< -3; -3<ж < -2; ж > 0.
2<ж<5.
ж ^ 5; х ^ —0,5.
:^-л/6-1; \/б-1^ж^5.
ж^ -0,5; ж^ 1.
1,5^ж<2.
К ж <3.
х^О.
х>2Ь- 0<ж<1-
ж<3.
0 < х < 1; ж < -1; ж > 1.
§ 10. Метод математической индукции
Для доказательства некоторого утверждения, зависящего от нату-
натурального числа п, часто принимается так называемый метод мате-
математической индукции, который можно рассматривать как некоторую
аксиому.
Смысл этого метода сначала покажем на простейшем примере.
Если утверждение верно для п = 1, то оно верно для п = 1 +1 = 2;
но тогда оно верно и для п = 2 + 1 = 3.

§10. Метод математической индукции	341
Примеры.
1. Доказать формулу
Доказательство. 1) При п = 1 получаем
I3 = (	J , или I3 = I2 => 1 = 1: верное равенство.
2) Пусть при п = к формула A) верна:
Положим п = к + 1. Находим
Следовательно, формула A) верна для любого натурального п.
2. Сумма Sn первых членов геометрической прогрессии с q ф 1
равна	л _ п
Sn = l + q + q2 + ...+qn-1 = ^-.	A)
С помощью формулы A) докажем такое полезное неравенство:
l?"l<rrq^' если \ч\<1-	B)
Доказательство. Так как \q\ < 1, то при любом натуральном к,
(/ -| \ 3 / -j \ 4 -j	-j \
Например, [-1 >(-)=>-> —.) Приме-
Применим это неравенство, учитывая формулу A):
n\q\n = \q\n + \q\n+...+\q\n <
т.е. n\q\n < 	. Разделив обе части этого неравенства на п, прихо-
приходим к неравенству B).
3. Доказать, что сумма первых п (п G N) нечетных чисел равна
квадрату их количества, т. е.
1 + 3 + 5+... +Bп-1) = п2.	A)
Решение. Проверим справедливость данного утверждения при
п = 1. Если п = 1, то 1 = I2. Равенство A) верно.
Допустим, что сумма A) верна при к-ом нечетном числе, т.е. пред-
положим,что

342	Прил. I. Краткие справочные сведения
Докажем, что сумма первых к +1 нечетных чисел равна (к + 1J.
Учитывая формулу B), получаем:
что и требовалось доказать.
4. Доказать, что при любом натуральном п число ап = п3 +
+ Зп2 + Ъп делится на 3.
Решение. Воспользуемся принципом полной математической
индукции.
1.	Если п = 1, ап = I3 + 3 • I2 + 5 • 1 = 9, и потому а\ делится на 3,
т. е. утверждение справедливо при п = 1.
2.	Предположим, что утверждение справедливо при п = к, к ^ 1.
Имеем:	,<? oj2 KJ
где т — целое число.
Проверим утверждение при п = к + 1.
Каждое слагаемое делится на 3, поэтому и их сумма делится на 3,
что и требовалось доказать.
5.	^ ^^
Решение. Вычислим суммы Si] S2] S3; S4- Имеем
1 1-2 2'	2 1-2"'-3 3'
Каждая из рассматриваемых сумм равна дроби, в числителе которой
стоит число слагаемых, а в знаменателе — число, на единицу большее,
чем число слагаемых. Эта закономерность позволяет высказать гипо-
гипотезу, что при любом натуральном п справедливо равенство
Для проверки этой гипотезы воспользуемся методом математической
индукции.
1.	При п = 1 гипотеза верна, так как Si =	= -.
2.	Предположим, что гипотеза верна при п = к, к ^ 1, т. е.
5	^
Используя формулу B), установим, что гипотеза верна и при п =
= & + 1, т.е.

§10. Метод математической индукции	343
1.2^2-3	^А;(А; + 1) (fc + l)(fc + 2) /г+ 2*
В самом деле,
_ч	1	- k \	2
~ k (Jfe + l)(ife + 2) ~ ife + 1
Итак, формула A) верна при любом натуральном п.
6. Найти все натуральные п, для которых справедливо нера-
неравенство	о
2п>п2.	A)
Решение. Рассмотрим это неравенство при п = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Имеем:
г1^2; 22 = 22; 23 < З2; 24 = 42; 25 > 52; 26 > б2.
Из предпоследнего и последнего неравенств следует, что неравенст-
неравенство A) справедливо при п = 5 и п = 6. Предположим, что неравенство
истинно для п = k, k ^ 5, т. е.
2к>к2.	B)
Докажем, что в этом случае справедливо также неравенство 2/е+1 >
> (к + 1J. Имеем
2*+1=2.2* >2к2.	C)
Но при к ^ 5 имеет место неравенство 2к2 > (& + 1J, так как оно
равносильно неравенству к2 — 2к — 1 > 0, или
(А;-1J-2>0,	D)
которое выполняется при любом к ^ 5.
Таким образом, из C) и D) следует, что 2к+1 > (к-\-1J и неравенст-
неравенство 2п > п2 верно при любом натуральном п ^ 5.
Отметим, что гипотезы, возникающие при частных наблюдениях,
не всегда являются правильными. Рассмотрим пример, принадлежа-
принадлежащий Л. Эйлеру.
Будем вычислять значения трехчлена п2 + п + 41 при некоторых
первых натуральных значениях п, получим
^ 43 47 53 61 71 83 97 113
и заметим, что получаемые в результате вычислений числа являют-
являются простыми. Более того, можно непосредственно убедиться, что для
каждого п от 1 до 39 значения многочлена п2 + п + 41 являются прос-
простыми числами. Однако при п = 40 получаем число 1681 = 412, которое
не является простым. Таким образом, гипотеза, которая здесь могла
бы возникнуть, т. е. гипотеза о том, что при каждом п число п2 + п + 41
является простым, оказывается неверной.

344	Прил. I. Краткие справочные сведения
§ 11. Векторное произведение
1. Определение векторного произведения
1. Наряду с умножением двух векторов, приводящим к скаляру
(скалярным произведением), рассмотрим еще один тип умножения
векторов, в результате которого получается вектор. Такое умножение
называется векторным.
Определение. Векторным произведением вектора а на не-
коллинеарный вектор b называется такой третий вектор <?, который
строится по следующему правилу
кс = а-Ь	(рис. 41):
1) векторы а и b приводятся к
общему началу О, и вектор с от-
г кладывается от О перпендикулярно
О
>/
плоскости, содержащей а и 6;
2) длина вектора с численно рав-
/	у	на площади параллелограмма, пост-
а ?	/	роенного на векторах а и 6;
рис 41	3) вектор с направлен в ту сто-
сторону, с которой кратчайшее вращение
от а к b рассматривается совершающимся против часовой стрелки.
Иначе говоря, вектор с относительно векторов а и b направлен так
же, как положительная координатная полуось Oz относительно по-
положительных координатных полуосей Ох и Оу соответственно.
Говорят, что векторы а,Ьис составляют правую тройку.
Векторное произведение обозначается а х b (встречаются и такие
обозначения: [а, 6], [ах Ь]).
Итак,
а х b = с,
если
1)	с А. а и с _1_ 6;
2)	\с\ = \а х b\ = |a||6| -sin (аб) (или sin у?);
3)	а, 6, с составляют правую тройку.
2. Свойства векторного произведения
1. При изменении порядка сомножителей векторное произведение
меняет свой знак на противоположный, сохраняя модуль, т. е.
b х а = — (а х 6).
Иначе говоря, векторное произведение переместительным свойст-
свойством не обладает. Направление вектора b x а противоположно вектору
ах Ь.

§11. Векторное произведение	345
2.	Если а || 6, то а х 6 = 0, в частности а х а = 0.
Это свойство вытекает из того, что в данном случае р = 0° или
(р = 180° и, следовательно, simp = 0.
3.	Скалярный множитель можно выносить за знак векторного
произведения, т. е. если Л — скаляр, то
(Ха х Ь) = (а х ХЬ) = Л(а х 6).
Это свойство непосредственно вытекает из смысла произведения
вектора на скаляр и определения векторного произведения.
4.	Для любых трех векторов а, 6, с справедливо равенство
(а+ 6) х с — (а х с) + (Ь х с),
т. е. векторное произведение обладает распределительным свойством
(доказательство дается в курсе высшей математики для вузов).
Пример.
(а-Ь) х (a + b) = (ax a) + (axb)-(bx a)-(bxb) =
= 0 + (ах6) + (ах6) + 0 = 2(ах6).
Отсюда, в частности, имеем
т. е. площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного
параллелограмма, равна удвоенной площади этого параллелограмма.
3. Векторное произведение в координатной форме
Пусть	^
а = ах -i + cty • j + az -k	(I)
b = bx-i + by -j + bz -k.	B)
Перемножая векторно эти равенства и используя свойства век-
векторного произведения, получим сумму девяти
слагаемых:	к
a + b = axbx(i х г) + axby(i x j) + axbz(i x к) +
+ fty&ж(Jх г) + ауby(jxj)+	Q
+ aybz(j xk) + azbx(kxi) +
+ azby(kxj) + azbz(kxk). C)	Рис.42
Из определения векторного произведения следует, что для ор-
ортов i,j,k (рис. 42) справедлива следующая «таблица умножения»:
г х г = 0; j x j = 0; к х к = 0;
г х j = -(j х г) = к; j хк = -(к х j) = г; kxi = —(г х к) = j.

346
Прил. I. Краткие справочные сведения
Поэтому из формулы C) получаем
b = i(aybz - azby)+ j(azbx - axbz) +k(axby - aybx) =
av
by
az
bz
-*
~ J
ax
bx
az
bz
и
+
ax
bx
ay
by
D)
(с сохранением порядка следования букв х, у, z).
Для удобства запоминания формула D) записывается в виде оп-
определителя третьего порядка:
г j к
axb =
ах ау az
bx by bz
E)
Примеры.
1. Найти ах 6, если а = 2?+з/+4&, b = bi
Решение. Согласно E), имеем
а х b =
г j к
2 3 4
5 1 -1
Коэффициенты при г, j, к таковы:
3 4
1 -1
2 4
5 -1
= 22;
2 3
5 1
= -13,
и потому а х b = —7г + 22j —
Коэффициенты при г, j, к следует вычислять в уме и сразу запи-
записывать результат умножения а х Ь.
2. Найти АВ х АС, если АВ = B; -1; -1) и АС = C; 2; 4).
Решение. Имеем
АВхАС=
г j к
2 -1 -1
3 2 4
3. Найти орт e, перпендикулярный векторам а = E; 7; 1) и
Решение. Искомый орт параллелен вектору с — a xb:
с =
г j к
2 7 1
4 2 1
Отсюда | с | = V81 + 81 + 324 = \/486 = 9 \/б. Поэтому

' 11. Векторное произведение
347
3*. Решить эту же задачу, пользуясь скалярным произведением.
4.	Вычислить векторные произведения следующих пар векторов:
а)	2=A;1;1), 6 = B;0;-1);
б)	?=C;0;-2), f=(l;4;5);
в)	гГ=E; -2; 1), гГ=C;-7;1).
Ответ: а) (—1; 3; —2); б) (8;-17; 12); в) E;-2;-29).
5.	Раскрыть скобки и упростить выражения:
а)	г х (j + k) - j х (i + k) + k x (г + j + k);
б)	Bа + 6) х (с-о)+ F +с) х (о + 6).
Решение. Имеем:
a) ixj + ixk—jxi—jxk + kxi + kxj + kxk =
б)
= a x с.
6.	Почему запись a x b = |a ||6 | sin (a, b) является неверной?
Ответ: слева нет знака абсолютной величины.
7.	Что означают равенства (ни а, ни b не являются нулевыми
векторами):
а) (аб) = 0; б) хху = 0?	Ответ: a) a_L6; б) ж || ^.
8.	Найти площадь треугольника с вершинами ЛA; 1; 0), ВA; 0; 1)
и С@;1;1).
Решение. Площадь S треугольника ABC равна - площади па-
-»¦-)¦ 2
раллелограмма, построенного на векторах АВ и АС.
Используя формулы для проекций направленных отрезков
—у
АВ = (хв-ха; Ув-Уа', zB-zA),
имеем АВ = @; -1; 1); АС = (-1; 0; 1). Отсюда
АВхАС=
1 ->¦ ->¦ 1 /—
Следовательно, S = -\ АВ х АС | = - уЗ.
3 ад ач и.
Раскрыть скобки и упростить выражения A-2).
1.	(a + 6 + c) х c + (a + 6 + c) x 6 +F-с) х а.
2.	2i(
i
0
-1
3
-1
0
1
1
= i
-1
0
1
1
-*
-3
0
-1
1
1
+ k
0
-1
-1
0

348	Прил. I. Краткие справочные сведения
3.	Определить и построить вектор с — а х 6, если
1) о = 3?, b = 2k; 2) a = j+j, b = i-j;
3) a = 2?+3j, & = 3j+2&.
Найти в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на
векторах а и Ь.
4.	Вычислить площадь треугольника с вершинами ЛG;3;4),
ВA;0;6) и GD; 5;-2).
5.	Построить параллелограмм на векторах а = 2j -\- к и b = i -\-2к
и вычислить его площадь S и высоту h.
6.	Построить векторы а = 3& — 2j, 6 = Зг — 2j и c = axb. Вычис-
Вычислить модуль вектора с? и площадь 5д треугольника, построенного на
векторах а и Ь.
7.	Построить треугольник с вершинами ЛA; — 2; 8), Б@;0;4) и
GF; 2; 0). Вычислить его площадь 5д и высоту BD.
8.	Вычислить диагонали и_площадь S параллелограмма, построен-
построенного на векторах а = й — j и b = i+j + k.
9.	Доказать, что Bа+ 6) х (а+ 26) = За х Ь.
10.	Проверить, имеют ли место в векторной алгебре тождества:
1)	(а + 6)х(а-6) = (ахаJ-Fх6J;
2)	(а ± 6) х (а ± b) = (а х аJ ±2а х 6 + (b x бJ;
3)	(ах6J = (аJ-FJ.
11.	Векторное произведение (а + 6)х(а — Ь) преобразовать в
пред пол ожении, что а и b не коллинеарны, и дать геометрическое
толкование полученному результату.
12.	Вычислить скаляр q = (а х бJ + (а6J.
13.	Найти единичный вектор а, параллельный вектору А =
= F; 7;-6).
14.	Найти единичный вектор ё*, перпендикулярный одновременно
вектору а = C; 6; 8) и оси абсцисс.
15.	Зная, что векторы а = (х; 5; —1) и b = C; 1; z) коллинеарны,
вычислить х и z.
16.	В плоскости жО^/ найти вектор j?, перпендикулярный век-
вектору q — E; —3; 4) и имеющий одинаковую с ним длину.
Ответы.
1. 2а х с. 2. 3.
3. ах Ь равно: 1) -б/; 2) -2&; 3) 6?-4/+б?.
Площадь равна: 1) 6; 2) 2; 3) 2\/22.

' 12. Прямая в пространстве
349
4. 24,5. 5. S = л/21 кв. ед.; h = y/%~2.
6. |<?| = 3\/l7; Sa =	кв. ед.
2 л/21
7.
8.
кв. ед.;
-6| = л/5; 5 = \/бкв.ед.
10.	Равенства 1) и 2) неверны, так как ах 6фЬх а. Равенство 3)
справедливо лишь в случае a _L b.
11.	(а + b) х (а — b) = 26 х а. Это тождество означает, что пло-
площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного парал-
параллелограмма, вдвое больше площади основного параллелограмма.
15. ж = 15; z = --.
5
§ 12. Прямая в пространстве
Прямая в пространстве однозначно определяется точкой
Мо(хо] 2/о5 zo) и направлением (т.е. некоторым вектором).
Пусть го = (хо'ч 2/о; ^о) ~~ радиус-вектор точки Mq и S = (/; m; п) —
ненулевой направляющий вектор прямой (длина его произвольна).
Обозначая через г = (ж; у] z) радиус-
вектор произвольной точки М прямой
(текущий радиус-вектор), из векторного
треугольника ОМMq (рис. 43) имеем
—у
—У	->
Так как векторы MqM и S колли-
неарны, то
MqM = tS,	B)
где t — некоторый скаляр (— ос < t < +оо).
Подставляя выражение tS вместо MqM
в уравнение A), получаем векторное уравнение прямой в прост-
пространстве:
r = ro + tS (? —параметр).	C)
Проецируя равенство C) на координатные оси, получим парамет-
параметрические уравнения прямой в пространстве (равносильные уравне-
уравнению C)):
' х = ;
D)
О
Рис. 43
Z = Zq + nt.

350	Прил. I. Краткие справочные сведения
Если из уравнений D) исключить параметр t, то получим так на-
называемые канонические уравнения прямой в пространстве:
(Из D) имеем t = ,Х°; t = -——; t = -——. Левые части этих
V	/	т	п
равенств равны; отсюда получаем E). J
Уравнения E) имеют смысл пропорций, т.е. какие-либо (не более
двух) из чисел /; m; n могут быть нулями.
Система E) содержит два уравнения, например, при п / 0 можно
положить	^^ ?^	у^ ?^
/	п '	т	п
Эти уравнения представляют собой уравнения двух плоскостей, пе-
пересечением которых является данная прямая. Заметим, что первое
уравнение не содержит координаты у, а второе — координаты х.
Следовательно, первая плоскость параллельна оси Оу, а вторая па-
параллельна оси Ож, т.е. эти две плоскости являются плоскостями,
проецирующими прямую соответственно на координатную плос-
плоскость xOz и координатную плоскость yOz.
Числа /, m, n называются направляющими коэффициентами прямой.
Обозначая через а, /3, 7 УГЛЬЬ образованные прямой с координатными
осями, и учитывая, что cos a, cos/3, cos7 являются направляющими
косинусами вектора S, будем иметь
/ = Scosa, m = Scos/3, n = Scos7,	F)
где
5=л//2 + ш2 + п2/0	G)
— длина вектора S. Отсюда получаем:
/	п т	П	о	2 п	2	1
cosa = —; cosp = —; cos7 = -^ и cos a + cos p+cos 7 — 1-
<j	<j	<j
Таким образом, направляющие коэффициенты прямой пропорцио-
пропорциональны соответствующим направляющим косинусам этой прямой.
Уравнения прямой E) можно записать в стандартном виде:
х-хр _ у-ур _ z-zp
cos a cos/3 cos7 '
где cos a, cos/3, cos7 — направляющие косинусы прямой.
Примеры.
1. Уравнения движения ракеты имеют вид
' х = 2t,
где время t дано в секундах, а координаты (х;у; z) движущейся раке-
ракеты — в километрах.

' 12. Прямая в пространстве
351
Какова траектория ракеты? На каком расстоянии будет находиться
ракета М от точки старта О@; 0; 0) через 10 секунд?
Решение. Исключая из данных уравнений время ?, получим
уравнения траектории
х _ у _ z
2 -4 4'
х у z
или — = -2- = -.
1-2 2
Таким образом, траектория ракеты представляет собой прямую,
проходящую через начало координат.
При t = Юс имеем х = 20; у = -40; z — 40 и г = ОМ =
= л/х2 + у2 + г2 = V400 +1600 + 1600 = \/3600 = 60 км.
2. Написать уравнение прямой, проходящей через две несовпа-
несовпадающие точки М0(ж0; 2/о; ^о) и М1(х1; j/i; 21).
Решение. За направляющий вектор прямой можно взять
S = (x1- ж0; 2/i - 2/о; *i - ^о) / б.
Следовательно, на основании E) имеем
ж-ж0 _ у-ур _ z-zq	.gv
3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку MqC;—4; 5)
и параллельной оси Oz.
Решение. Очевидно, имеем
cos а = 0; cos /3 = 0; cos 7 = 1.
Таким образом, в силу E) получаем уравнения искомой прямой
х — 3 _ 2/ + 4 _ г — 5
0
0
1
(9)
равносильное паре уравнений
х — 3 z — 5
— 5
0
или
1 ' О
I	'
О
Направляющий вектор прямой (9) есть /х
S = @; 0; 1), т.е. эта прямая перпендику-
перпендикулярна осям Ох и Оу.
Прямую L в пространстве можно задать также как линию пересе-
пересечения двух плоскостей Р и Pi (рис. 44):
Рис. 44
\ A2
= D2.
A0)
Предполагается, что плоскости не параллельны и не сливаются.
Векторы TVi = (Ai; В\\ С\) и Л^ = (А2; В2; С2) являются нормальными

352	Прил. I. Краткие справочные сведения
векторами этих плоскостей. Направляющий вектор S прямой, очевид-
очевидно, удовлетворяет условиям S _L N± и S _1_ УУ2. Можно положить
4. Определить направляющие косинусы прямой
Решение. Имеем TVi = A;-2; 3), 7V2 = C;-2; 1); тогда
г J k
= N1xN2 =
1 -2 3
3 -2 1
За направляющий вектор прямой можно принять вектор произволь-
произвольной длины, например, So = - S = A; 2; 1) длина его |Sq| = л/б. Отсюда
1	/о 2	1
cos а = —=; cos в = —=; cos 7 = —f= •
л/б	л/б	л/б
5. Написать каноническое уравнение прямой, являющейся линией
пересечения плоскостей
Г
Решение. Зададим какую-либо координату, а две другие найдем
из системы двух линейных уравнений относительно этих двух коор-
координат. Пусть, например, z = 0, тогда исходная система принимает
вид	Г
\
Отсюда х = 0; у = 1.
Таким образом точка Mi@; 1; 0) лежит на данной прямой.
Пусть теперь z = 1, тогда
Г2ж + 32/ = -2,
\х + у = -1.
Отсюда х — —\ и 2/ = 0.
Значит, другой точкой прямой является М2(—1; 0; 1).
Применяя формулу (8), получаем искомые уравнения:
х-0 у-1 z-0	х-0 у-\ z-0
_1_0 0-1 1-0'	-1-1	1
3 ад ач и.
1. Найти следы (точки пересечения) прямых
fx = z + 5,	х-з у-2 z-3
1 ) <	л ^ HZ) 	 — 	 —
J \y = 4:-2z	J 1	2	1
на плоскостях хОу и xOz и построить прямые.
Указание. Положить в уравнениях прямой: z = 0; 2/ = 0.

' 12. Прямая в пространстве	353
2. Уравнения прямой <	написать:
1) в проекциях; 2) в канонической форме.
Найти следы прямой на координатных плоскостях, построить прямую
и ее проекции.
3.	Написать уравнения прямой, проходящей через точку ЛD; 3; 0)
и параллельной вектору р= (—1; 1; 1). Найти след прямой на плоскос-
плоскости yOz и построить прямую.
4.	Построить прямую х = 4, у = 3 и найти ее направляющий
вектор.
5.	Построить прямые
= *• 2) {» = *• , 3) {* = "•
= 2; ; \z = x + l; J \z = y
и определить их направляющие векторы.
6.	Написать уравнения прямой, проходящей через точки А(—1; 2; 3)
и 5B; 6; —2), и найти ее направляющие косинусы.
7.	Построить прямую, проходящую через точки ЛB; —1; 3) и
ВB; 3; 3), и написать ее уравнения.
8.	Написать уравнения траектории точки М(х; у; z), которая,
выйдя из точки ЛD; —3; 1), движется со скоростью v{2; 3; 1}.
9.	Написать параметрические уравнения прямой:
1)	проходящей через точку (—2; 1; — 1) и параллельной вектору
р=A;-2;3);
2)	проходящей через точки ЛC; —1; 4) и ВA; 1; 2).
10.	Написать уравнения прямой, проходящей через точку (а, 6, с):
1) параллельно оси Oz\ 2) перпендикулярно оси Oz.
(x = 2z-l,
11.	Найти угол прямой <	с прямой, проходящей через
[y = -2z + l
начало координат и через точку A; — 1; —1).
12.	Найти угол между прямыми:
( x-y + z-4 = 0,	J
И
Указание. Направляющий вектор каждой прямой можно опре-
определить как векторное произведение нормальных векторов плоскостей,
т.е. S = 7Vix7V2.
X U Z
13. Показать, что прямая — = — = - перпендикулярна прямой
А о X
X = Z+1,
( X = Z+
\y = l-
23 В. А. Бачурин

354	Прил. I. Краткие справочные сведения
14. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (—4; 3; 0)
и параллельной прямой
B + 4
15.	Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точ-
точки B; —3; 4) на ось Oz.
Указание. Искомая прямая проходит еще через точку @;0;4).
х -\-1 у -\- 2
16.	Найти расстояние точки МB; -1; 3) от прямой —-— = ^—— =
1	3	4
5
Указание. Так как Л(-1;-2; 1) — точка на прямой; р — C; 4; 5) —
направляющий вектор прямой, то
j л~л*\ •	\AM\\pxAM\ \pxAM
\p\-\AM\	\Р\
17.	Найти расстояние между параллельными прямыми
х-2 _ у + 1 _ z + З	х-1 _ у-1 _ z + 1
1 ~ 2 ~ 2 И 1 ~ 2 ~ 2 '
18.	Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точ-
точки B; —3; 4) на ось Оу.
Ответы.
1. 1) E;4;0) и G; 0; 2); 2) @;-4; 0) и B;0;2).
2) ^ = ^ = ^-; следы: C; 5; 0); (-2; 0; 5); @; 2; 3).
з- ^г= Ч^= Ь @; 7;4)- 4- ^= @;0; 1}-
5.	1) р — %\ 2) p = i — k; 3) p = j-\-k.
6.	^tl = ^Л^ = i^3; cosq, = 0,3\/2; cos^ = 0,4^/2; cos7 =
3	4	—5
= -0,5\/2.
7.
8. Через t секунд координаты точки М будут равны х =
о . о,	1 , »	ж —4 2/ + 3 ^ — 1
у = -3 + 3?; z = 1 + t, или иначе: —— = ^—— = —-—.
А	о	1
2/ = 1 —2*, 2) ^ 2/ = 1 —*,
= -1 + 3^;	1

§ 13. Дифференциал функции	355
1П ^ х — а y — b z — c	(х =
10.	1) 	=	=	, или иначе
; 0	0	1
оч	х — а у — Ь
2) z = с и 	= -	.
т	п
11.	cosip = —=. 12. cos(/? = —.
V3	26
14. Направляющий вектор р = TV x Ni = г + 3j + 5fc. Уравнение
„ ж + 4 ?/ —3 ^
прямой: -1_ = -§- = -.
ГЗж + 2^/ = 0,	^_	4л/2	Г2ж-^ = 0
15.	У ' 16. 0,ЗУ38. 17. ip. 18.
[ z —4 = 0.	3	12/ + 3 = 0.
§ 13. Дифференциал функции
1. Понятие дифференциала функции
Напомним определение: производной функции у = f(x) в точке хо
называется предел отношения приращения функции к приращению
аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к
/ \хо) = Alim	х'
Аж->-о	Ах
короче
/'Ы=Нт^.	A)
Аж^-0 Ах
Не менее важным является понятие дифференциала функции.
Переменная величина, имеющая предел, может быть представлена
в виде суммы этого предела и бесконечно малой величины, поэтому
B)
где а — бесконечно малая при Ах —> 0, т. е. lim a = 0.
Дж->-0
Умножая равенство B) на А ж, получаем
A f(x0) = f(x0) Ax + a-Ax.	C)
Первое слагаемое правой части равенства C) является произведе-
произведением производной этой функции ff(xo) на приращение аргумента А ж,
это произведение называют дифференциалом функции в точке хо и
обозначают символически
или иначе
dy = y'Ax.	D)
Второе слагаемое формулы C) при бесконечно малом Ах есть про-
произведение бесконечно малых, его называют бесконечно малой высшего
23*

356
Прил. I. Краткие справочные сведения
порядка по сравнению с А ж. (Теория бесконечно малых излагается в
курсе высшей математики для вузов.)
Дифференциал функции зависит от приращения аргумента Ах
линейно (в первой степени) и составляет основную часть прираще-
приращения функции. Поэтому его часто называют главной линейной частью
приращения функции в точке xq в соответствии с приращением ар-
аргумента.
Итак, дифференциал функции у = f(x) равен произведению про-
производной этой функции у' на приращение аргумента Ах.
Примеры.
1. Если у =
то
dy = (
x)fАх = [5ж4 + — ) Ах.
х )
2. Если у — sin х + cos ж2, то dy = (sin2x — 2xsinx2) Ax.
2. Дифференциал аргумента
Если у = f(x) = ж, то dy = dx = xf-Ах = 1-Ах = Ах, откуда
dx = Ах,	E)
т. е. под символом dx (x — аргумент) понимают и приращение аргу-
аргумента, и дифференциал функции, равной аргументу.
В силу этого формулу D) можно записать в таком виде:
dy = yfdx.	F)
Дифференциал функции равен произведению производной этой
функции на дифференциал аргумента.
3. Геометрический смысл дифференциала
Пусть М(х;у) и М'(х + Ах\ у-\-Ау) — две точки графика задан-
заданной функции у = f(x) (рис. 45).
В точке М к кривой проведена ка-
касательная, образующая угол р с по-
положительным направлением оси Ох.
Из точки М' на ось Ох опущен
перпендикуляр М'К, пересекающий
касательную в точке Т. Через точку М
проведена прямая M7V, параллельная
оси Ох. Получился прямоугольный
треугольник M7VT, из которого сле-
дует \NT\ = \MN\-tg <р; но \MN\ = Ах
и tg ф = у', поэтому \NT\ = yfAx = dy.
Таким образом, дифференциал
функции у = f(x) в данной точке х
равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой
точке, когда х получает приращение Ах.
У*
i Ay
M
у \
\
M'
r »
Ax
/
;dy
N
	^.
К
рис 45

13. Дифференциал функции	357
4. Свойства дифференциала
Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.
Формула dy = у' dx верна и в том случае, если х есть функция
новой переменной t и тогда
или иначе: если у = f(u) и и = <р(х), то в соответствии с формулой
дифференцирования сложной функции имеем
dy = y'u-u'x-dx,	G)
короче
dy = y'udu.
Итак, формула дифференциала функции
df(u) = f(u)du	(8)
справедлива как в случае, когда и — независимая переменная, так и
в случае, когда и — функция другой независимой переменной.
Это свойство дифференциала называют его инвариантностью.
Операция нахождения дифференциала функций, как и операция
нахождения производной, называется дифференцированием.
Формулы дифференциалов функций соответствуют формулам про-
производных этих функций, например:
,/ ч 1,1 1 (и\ vdu — udv ,, ч	du
diu-v) = udv + vdu; d[ — ) =	^	; a(arccosn) =
Примеры.
1. Ьсли y = —	, то
ж +3
d-d ( х + 3\ - (^2 + 3) d{x + 3) - {х + 3) d{x2 + 3) _ {3-6x-x2)dx
У~ U2 + 3/~	B + 3J	~ B + 3J
2# л~~^;^/9+ л+з\ — "Л"* ~*v ) — 3A 4:t )dt
5. Приблиснсенное вычисление функций
при малых приращениях аргумента
При достаточно малом приращении аргумента Ах приращение
функции приближенно приравнивают ее дифференциалу (пренебрегая
в формуле C) бесконечно малой второго порядка а- Ах):
Ayxidy, или f(xo + Ax)-f(xo) &ff(x0)Ax,	(9)
и тогда
f(x0 + Ах) « f(x0) + f(x0) Ax.	A0)
Эти формулы используются для приближенных вычислений функ-
функций при малых приращениях аргумента (Ах мало).

358	Прил. I. Краткие справочные сведения
Примеры.
1.	Найти приближенно объем сферического слоя, имеющего внеш-
1
нии диаметр 10 см, а толщину - см.
8	^
Решение. Объем V шара диаметра х есть V = - тгж3. Ясно, что
6
точный объем сферического слоя есть разность А V между объемами
двух шаров с диаметрами 10 см и 9- см. Для получения приближен-
8
ного значения А V мы ограничимся вычислением dV, т. е. вычислением
правой части формулы (9). Имеем
dV = - 7гх2 dx.
Подставляя х = 10 и dx = Ах = —, мы получаем dV ~ 19,63 см2,
8
пренебрегая знаком, обозначающим только то, что V убывает при
убывании х. Точная же величина есть А V « 19,4 см3.
2.	Рассмотрим функцию f(x) = у/х. Пусть аргумент х полу-
получает малое приращение Ах. Вычислим приближенное значение
f(x-\-Ax) = л/х + Ах, применяя формулу A0). Имеем f(x) = у[х\
?п \ л	1 'Ах
j {х)Ах = —	, тогда
A1)
В частности, при п = 3 имеем
3. Найти приближенное значение д/1,006.
Решение. Полагая в соотношении A1) х = 1, Ах = 0,006, полу-
0,006
чаем i/l,006 = i/l+ 0,006 « 1 + ^р = 1,003.
§ 14. Неопределенный интеграл
1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл
Для начала решим такую простейшую задачу. Производная некото-
некоторой (исходной) функции равна sec2 ж. Какова эта некоторая (исходная)
функция?
Легко сообразить, что искомой функцией является выражение
tg х + С, где С — произвольное постоянное число.
Действительно, (tg х + С)' = (tg х)' + С = sec2 х + 0 = sec2 x.
В дифференциальном исчислении находится (отыскивается) произ-
производная данной функции или ее дифференциал. В интегральном исчис-
исчислении решается обратная задача: по заданному дифференциалу или
производной неизвестной функции F(x) отыскивается эта функция.
Иначе говоря, зная дифференциал функции dF(x), равный f(x)dx:
dF(x) = f(x)dx,	A)
или F'(x) = f(x), мы находим эту функцию F(x).

' 14- Неопределенный интеграл
359
В рассмотренной задаче мы знали f(x) = sec2 ж и нашли F(x) =
Определение. Первообразной функцией для данной функ-
функции f(x) на данном промежутке называется такая функция F(x),
у которой дифференциал равен f(x)dx или производная равна f(x)
на рассматриваемом промежутке.
Например, одной из первообразных функций для функции Зж2
будет ж3, поскольку (x3)f = Зж2. Первообразная функция не единст-
единственна, так как (х3-\-1)' = Зж2, (х3— 5)' = Зж2 и т. п., и поэтому функции
х3 + 1, х3 — 5 и т.п. также являются первообразными для функ-
функции Зж2. Данная функция имеет бесчисленное множество первооб-
первообразных.
В рассмотренном примере каждые две первообразные отличались
друг от друга на некоторое постоянное слагаемое. Доказывается, что
это будет иметь место и в общем случае.
Теорема. Если две функции F\(x) и F2(x) являются первооб-
первообразными функции f(x) на некотором промежутке, т.е. F[{x) = f(x)
и F^x) = /(ж), то Fi(x) - F2(x) = С, где С — постоянная величина.
Геометрическая иллюстрация. Если у = F±(x) и Y =
= F2(x) — первообразные одной и той же функции /(ж), то касатель-
касательные к их графикам в точках с
общей абсциссой хо параллель-
параллельны между собой: tg a = F[(x$) =
= ^(жо) — f(xo) (рис. 46). В та-
таком случае расстояние между
этими кривыми, считая вдоль
оси Оу, остается постоянным:
F2(xo) — F\ (хо) = С, т. е. эти кри-
кривые в некотором смысле «па-
«параллельны» друг другу. Графи-
Графики любых двух первообразных
функции f(x) получаются друг
из друга параллельным перено-
переносом вдоль оси Оу.
У-
О
м
F2{x)\
\
ха
\fx(x)
F2{x)
Vi(a:)
X
Рис. 46
Геометрическая совокупность первообразных данной функции f(x)
представляет собой так называемое однопараметрическое семейство
плоских кривых у = F(x) + C (С — параметр).
Если функция F(x) — первообразная для функции /(ж), то фор-
формула
F(x) + C	B)
исчерпывает всю совокупность первообразных для данной функции.
Постоянная С может принимать любое значение, поэтому ее называ-
называют произвольной постоянной.
Введем теперь основное понятие интегрального исчисления — по-
понятие неопределенного интеграла.

360	Прил. I. Краткие справочные сведения
Определение. Совокупность всех первообразных данной не-
непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом от
функции f(x) или от дифференциального выражения f(x)dx и обоз-
обозначается символом f f(x) dx *).
При этом символ называется знаком интеграла, выражение
f{x)dx — подынтегральным выражением, функция f(x) — подын-
подынтегральной функцией, переменная х — переменной интегрирования.
Неопределенный интеграл \f(x)dx является функцией общего
вида, дифференциал которой равен подынтегральному выражению,
т.е. d\ f(x)dx = f(x)dx во всех точках рассматриваемого проме-
промежутка, и мы имеем равенство
\f{x)dx = F{x) + C.	C)
Решенная нами ранее задача теперь может быть оформлена так:
sec2 х dx = tg x + С.
Пример. Пусть f(x) = х2; тогда, как нетрудно видеть, неопре-
неопределенный интеграл этой функции есть
х dx — — + 6.
о
Это легко проверить обратным действием — дифференцированием.
Обратим внимание на то, что под знаком интеграла f пишут
дифференциал искомой первообразной функции, а не производную
(в заданном примере х2dx, а не х2).
2. Основные свойства неопределенного интеграла
1) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подын-
подынтегральному выражению:
d [ f(x) dx = d (F(x) + С) = dF{x) = f(x) dx.
2) Производная от неопределенного интеграла равна подынтег-
подынтегральной функции:
f(x)dx^J ={F(x) + C)' = f(x).
3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функ-
функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:
*) Читается «неопределенный интеграл от эф от икс дэ икс».

' 14- Неопределенный интеграл
361
4)	Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
cf(x)dx = c\ f(x)dx, c^O.
5)	Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от
этих функций:
J
))dx=\ f(x)dx+\ (p(x)dx.
3. Таблица простейших неопределенных интегралов
Пользуясь тем, что интегрирование есть операция, обратная диф-
дифференцированию, нетрудно получить таблицу простейших интегра-
интегралов. Для этого будем исходить из формулы C), которую запишем
таким образом:
Г
если dF(x) = f(x)dx, то f(x)dx = F(x) + C.
j
Обращая формулы дифференцирования, получаем:
^—г) =xmdx
т + 1 J
П. йAпЫ) = — =>	— = 1пЫ + С (при х < 0 и при х > 0).
ж	J ж
III. d(ex) = exdx => \exdx = ex + C.
IV. d(^—) =axdx
Vina/
V.	d(sinx) = cosxdx
VI.	d(— cos ж) = sinxdx
dx
a*dx = -?— + C (o>0, a
In a
= sinx + C.
sin xdx — — cos ж + С.
VII. d(tgx) =
2
COS X
cos ж
dx
VIII. d(-ctgx) = -^-
sin ж
. 2
sin ж
= - ctg ж + G.
IX.
ti(arcsinx) =
(—arccosx) =
= arcsinx
1-ж2
f\ -ж2
= -arccosx +

362	Прил. I. Краткие справочные сведения
d(arctgx) =
v
X.
. lbx
Интегралы, содержащиеся в этой таблице, называют табличными.
(Эта таблица может быть значительно расширена.)
Примеры.
Г	?
2.
3
4. |
4. Независимость вида неопределенного интеграла
от выбора аргумента
В таблице основных интегралов предполагалось, что х есть неза-
независимая переменная. Однако эта таблица полностью сохраняет свой
смысл, если под х понимать любую непрерывно дифференцируемую
функцию от независимой переменной.
Доказывается, что из формулы I f(x)dx = F(x) + C, где х —
независимая переменная, следует формула f f(u)du = F(u) + C, где
и = ip(x) — некоторая непрерывно дифференцируемая функция.
Предполагается, что и производная (р'(х) непрерывна. Это свойство
интеграла, подобно свойству дифференциала, называют его инвари-
инвариантностью.
На основании указанного свойства получаем обобщенную таблицу
простейших интегралов:
т + 1
ит.д.
Здесь и — любая непрерывно дифференцируемая функция от неза-
независимой переменной. Эта таблица является обращением обобщенных
формул дифференцирования (см. п. 4 предыдущего параграфа).
5. Основные методы интегрирования
Основными методами интегрирования являются:
1)	метод непосредственного интегрирования;
2)	метод подстановки;
3)	метод интегрирования по частям.

§ Ц. Неопределенный интеграл	363
Рассмотрим более подробно каждый из этих методов.
1) Непосредственное интегрирование. Этот метод основан на
прямом использовании таблицы интегралов. Здесь могут представ-
представляться следующие случаи:
а)	данный интеграл находится непосредственно как соответствую-
соответствующий табличный интеграл (как в рассмотренных примерах: sec2xdx =
з ^	\	^
= tgx + C; x2dx = — + С и др.);
б)	данный интеграл после элементарных тождественных преоб-
преобразований подынтегральной функции приводится к одному или
нескольким табличным интегралам.
Примеры.
1. Из формулы A) следует
т. е.
Заменяя здесь х на sin ж, получаем
Г . w . ч sin2 ж , ~
sin х a (sin х) =	\-С\
sinxcosxdx= si
Подобным образом находим
-2
I	S1I1 Т
= sin ж ti (sin ж) = —	\-С.
Г 1пж , Г Л ,п ч In х „
	ах — mxdviwx) — —	\-С.
J x	J	^
Применяя формулы V, VI, найдем неопределенные интегралы B-5).
2.	Г cos | rfa: = 2 Г cos|d(|) =2sin|
3.	sin3xtix = - sin3xtiCx) =-
Г	Г
4.	cos (x - I) dx = cos (x - 1) d(x - 1) = sin (x - 1) + C;
5.	sin (a — x) dx = — sin (a — x) d(a — x) = cos (a — x) + C.
Отсюда должна быть понятной важность умения приводить дан-
данное дифференциальное выражение f(x)dx к виду
f(x)dx = g(u)du,
где и есть некоторая функция от х и # — функция более простая для
интегрирования, чем /.
Отметим ряд преобразований дифференциала, полезных для даль-
дальнейшего. Если a, b и п — не равные нулю постоянные, то:

364
Прил. I. Краткие справочные сведения
; 2) dx = - dlax); 3) dx = - d(ax
a	a
4) dx = --d(a-bx); 5) dx = nd( — J; 6) dx = nd( — + b);
О	\ iv /	\ iv	/
7) xdx = \d{x2); 8) xndx = —l— d(xn+1);
2	n -\-1
9)	cos(nx)dx = — cos(nx) d(nx) = — dsin(nx);
10)	sin ( — J dx = nsin ( — J d ( — ) = —ndcos ( — J.
\nJ	\nJ \nJ	\nJ
Пользуясь преобразованиями дифференциалов, найдем неопреде-
неопределенные интегралы F-12).
dx
7.
8. sin2 x cos x dx = sin2 ж d (sin ж) = - sin3 ж + С.
9.
10.
11.
tg жаж =
ж+l
sin ж
cos ж
dx — —
COS Ж
= — In |cosx|
Г dx =±Г dx	Г dKy)
= =Farcsin-
ж
= zbarccos-—r
ж
где \x\ > 1.
12.
В этих примерах, прежде чем использовать тот или иной табличный
интеграл, мы приводили данный интеграл к виду
f((p(x))(pf(x)dx= f(u)du, где и =
tp(x).
Такого рода преобразование подынтегрального выражения назы-
называют подведением под знак дифференциала.
Произвести интегрирование A3-23).
13.
¦dx.
Сначала разделим почленно слагаемые числителя на знаменатель,
а затем возьмем интегралы от каждого слагаемого:

Ц. Неопределенный интеграл
365
J =
= 2 Г x-3/2dx + 3 Г
J	J
-3/2+1
~
-- + 1
2
-5/6+1
-- + 1
6
Короче,
= 2--
14.
а'ж
Прибавляя и вычитая в числителе подынтегральной функции х2
(один из полезных приемов), получаем
f dx Г ж +1 — х j [ dx [ dx I	,	~
—*	ту = —р—о	ах= \ —р - -S	=	arctg ж + С.
J ж4 + ж2 J ж2(ж2 + 1)	J х2 J х2 + 1	х
Найдем три часто встречающихся интеграла.
/	= — Q = arcsin - + С (а > 0).
Д2-*2 J ЛД-(-J	а
(?)
П. f-^4 = -f dJ = -
arctg-
III.
2 2
ж — а
Имеем
1 _	1	_(ж + а)-(ж-а)_1/1_1\
ж2 _ а2 (ж — а)(ж + а) 2а(ж + а)(ж —а) 2а\ж —а х + а)
Тогда
Г с/ж _ J_ Г /_1	1_\ , _ J_ / Г rf(a?-q) _ Г с/(ж + а)\ _
J х2 _ а2 2а J \ж —а х + а)	2а yj ж —а J ж + а у
= — (In \x — а\ — In
-\-С = — In
ACL
+ с.
У оаметим, что здесь и в дальнейшем произвольные постоянные, вхо-
входящие по определению в каждый из слагаемых интегралов, объединяются в
одну произвольную постоянную.

366
Прил. I. Краткие справочные сведения
Итак,
dx
х — а
х + а
+ С (а/0).
Рекомендуем вывести самостоятельно формулу
17.
18.
19.
dx
2
а — х
а + х
а — х
+ С
1 . , зч
= - arcsin(a;>i)
, „ 1
+ С = -^
х J-
dx
	 Г d(x-b) _
-25) J (ж-5J-32
2-3
(ж-5)-3
5Г
x-l
ж-2
20.
21.
с.
•+2,^	.2ж + 1~
= arcsin —¦=+¦ + С — arcsin —-=- + G.
/	л/5
X +1
п	4	2,1
• Разделив х на ж +1, получаем
x —	x + arctg ж + С.
о
22.
sin ж
= _ Г A+ctg жI/з ^A+ ctg x) =
J

' 14- Неопределенный интеграл
367
2 х . 2 х
sin-cos-
пХ = 	_	 =
J sinx J 2sin-cos- J
Г cos- ,x\ Г sin- /ж\ г ci(sin-) г
J sin- \2/ J cos- \2/ J sin- J
= ln
. X
sin —
-In
cos-
cos-
= ln
2) Метод подстановки {метод введения новой переменной).
Используя свойство независимости неопределенного интеграла от
выбора аргумента (см. п. 4) и учитывая, что если х = tp(t), то dx =
= cpf(t)dt, получаем формулу замены переменной в неопределенном
интеграле:
Г f{x)dx=\f(ip(t))<p'(t)dt.	A)
Интеграл, стоящий в правой части равенства A), может оказаться
проще интеграла, стоящего в левой части этого равенства, или даже
табличным.
Примеры.
1. ху/х — bdx.
Полагаем у/х — 5 = ?, откуда х = t2 + 5 и dx = 2tdt.
Следовательно,
= \(t2
J
2. I \Ja2-x2dx (o>0).
3
Здесь полезно применить тригонометрическую подстановку х =
= asin?, откуда dx = a cos tdt.
Следовательно,
V а2 — х2 dx — v а2 — a2 sin21 • a cos tdt = a2
cos2 tdt =
^- [ cos2tdBt) = ^-t + ^ s
X	X
Возвращаясь к переменной ж, имеем sin? = — и t — arcsin —. Далее,
а	а
sin 2? = 2 sin t cos t = 2 sin ? л/l-sin2^ = 2-Wl-^-.
V о

368	Прил. I. Краткие справочные сведения
Поэтому окончательно получаем табличный интеграл:
р 			 2
V а2 — х2 dx = — у а2 — х2 -\	arcsin—\-С.	B)
J	2	2	а
xdx
_ Г xdx
-J (,+iJ+J"
Пусть х + - = ?, тогда х — t — - и dx — dt.
Следовательно,
J = \^ = \
4
dt
*	Vo
Этот интеграл можно найти и так:
f xdx _ 1 Г d(x +ж + 1) if	dx	_
J ж2 + ж + 1 ~ 2 J ж2 + ж + 1 2 J (ж + !J + 1_! ~
2
1 , 2ж + ]
~^arctg^r
4. -Э-.
J sin ж
Этот интеграл был найден выше (см. пример 23 на с. 367). Найдем
его с помощью подстановки tg — = t (см. решение задачи 1356 раз-
раздела II).
It х	Idt
Имеем sin ж =	~\ — = arctg?; x = 2arctg?; dx =	~. Тогда
1 + Г 2	i + ^
J	J	А- ~Т~ t	J
(Для интеграла f	 можно применить преобразование cos ж =
3) Метод интегрирования по частям. Пусть и и v — непрерывно
дифференцируемые функции от х. На основании формулы диффе-
дифференциала произведения имеем
d(uv) = и dv + v du;
отсюда
udv = d(uv) — v du.

§ Ц. Неопределенный интеграл	369
Интегрируя, получаем
Г	Г
udv = \ d(uv) — \ v du,
j	j
или окончательно
Г	Г
\ udv = uv — \ vdu.	D)
Это и есть формула интегрирования по частям.
Выведенная формула показывает, что интеграл f и dv приводит-
приводится к интегралу \vdu, который может оказаться более простым, чем
исходный, или даже табличным.
Примеры.
\nxdx.
dx
Полагая здесь и = In ж и dv = dx, получаем du = dlnx = — и
v = х. Следовательно, в силу формулы D) имеем
Г 1 л	1	[ dx ,	, п
In х dx = х In х — \ х • — = х In x — х + С.
I	I	rp
J	J x
2. x cosxdx.
Навыки в том, что принимать за и и что — за dv, вырабатываются
в процессе практики.
Пусть и — х и dv — cos x dx, тогда du — dx и v = f cos x dx = sin x.
Получаем
I
Г
x cos x dx = x sin x — \ sin x dx = x sin x + cos ж + С.
На практике важно научиться применять формулу D), не выписы-
выписывая отдельные выражения для функций и и v.
Г	if	,9ч
3. xaxoXgxdx = - arctgxd(x + 1) =
1 ( 2	Г 2	А
- ^ж	J ^	аГС g У
2	р	2
ж Ч~ 1 1 I о dx х ~~\~ 1 1
=	arctg х	(х +1) —	=	arctg х	х
Проверить правильность нахождения интегралов D-8).
Г	_ !	!
j xcos х x--xsm x + -cos х +
5. ж2 sin 2ж dx = - - ж2 cos 2х + - ж sin 2х + - cos 2ж + С.
J	2	2	4
24 В. А. Бачурин

370	Прил. I. Краткие справочные сведения
Г	rn+1 /	1 \
6.	\ xn\n\x\dx = -	 (\n\x\	— J+C.
J	n + 1 V	n + 1/
7.	arcsin xdx — x arcsin ж + д/l - ж2 + С.
8.
6. Некоторые интегралы
от тригонометрических функций
Примеры.
1. sin2 xdx — - A — cos 2x) dx =
= - d# — - cos2xdBx) = -x- -sin2x +
x
2. cos4 xdx — - A + cos 2жJ dx — - A + 2 cos 2ж + cos2 2ж) йж =
= - dx + - cos 2x dx + - A + cos 4ж) йж =
4 J	z J	8 J
3 1	1
= - x + - sin 2ж Н	sin 4ж + С.
8 4	32
г	г
I	Q	О	loo
3.	sin ж cos xdx=\ sin ж cos
= — A — cos2 ж) cos2 ж d(cos x) =
= — cos2 x d (cos ж) + cos4 x d (cos x) = — cos3 ж + - cos5 ж + С.
J	J	3	5
4.	sin2 ж cos4 x dx = (sin x cos жJ cos2 ж dx =
f /sin2x\2 l + cos2x , 1 Г . 2O /1 , o\j
= ——	dx = - sin^ 2жA + cos 2x) dx =
J V 2 /	2	8 J
= - sin2 2x dx + - sin2 2ж cos 2x dx =
8 J	8 J
= -	dx + -— sin2 2ж d(sin 2x) =
8 J 2	16 J
if, if A , 1 sin32x
4^ +
T77 ж 7ГТ sin 4ж + -— sin3 2x + C.
16 64	48

§ Ц. Неопределенный интеграл	371
5.	sin ж sinSxdx = - (cos4x + cos6x) dx = - sin4x	sin6x + C.
J	2J	8	12
6.	sin mx cos пж dx = - sin (?n + n) ж tix + - sin (m — n) x dx =
	г- sin ((m — n) x) d((m — n)x) =
^ ~~n) J
_ cos (m + n)x cos (m — n)x ~
2{m-\-n)	2(m — n)
24*

П ри ложен ие II
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
И ОБРАЗЦЫ ИХ РЕШЕНИЯ
§ 1. График дробно-линейной функции
(преобразование графика функции у = 1/х)
1. Функция
1
У = -
A)
выражает обратную пропорциональность переменных х и у, причем
ни одна из них не может быть равна нулю. С возрастанием независи-
независимой переменной х значения функции у убывают, и наоборот, с убы-
убыванием величины х величина у возрастает. При этом произведение их
остается неизменным и равно единице: ху = 1.
Если х > О, то и у > 0; если ж < 0, то и у < 0. Следовательно, гра-
график функции A) расположен в I и III координатных углах.
В учебниках по алгебре показывается, как строится этот график,
называемый гиперболой. Воспроизведем этот график (рис. 47).
Покажем еще один прием построения графика функции у = —.
Этот прием можно будет использовать в дальнейшем.	х
У
У
Рис. 47
О
Л
Рис. 48
Все точки биссектрисы угла одинаково удалены от его сторон, в
силу этого абсциссы и ординаты точек биссектрисы I и III координат-
координатных углов равны между собой: у = х. Иначе говоря, график функ-
функции у — х — это биссектриса I и III координатных углов (рис.48).

§ 1. График дробно-линейной функции	373
Ординаты графика функции у — — должны быть обратными ордина-
ординатам графика функции у = х при одинаковых абсциссах.
За исходную точку возьмем точку ЛA; 1) графика функции у =
= х. Эта точка принадлежит и графику функции у = —, поскольку
1	1 х
ее координаты удовлетворяют уравнению у — — :1 = - = 1.
Правее точки А ординаты точек прямой у — х возрастают при
возрастании их абсцисс, а ординаты точек линии у = —, наоборот,
при этом убывают. Например, если ординатами точек ВB; 2); СC; 3);
/}D;4);... прямой у — х являются числа 2; 3; 4;..., то ординатами
соответствующих точек B\\C\\D\... линии у — — будут обратные
111	x
числа -;-;i;...
Точкам БB;2), GC; 3), DD;4),... графика функции у — х будут
соответствовать точки В\ B; -j, Ci (З; -J, Di D; -j, ... графика функ-
функции у = -.
ж
Через построенные точки Л, ??i, Ci, /}]_, ... проводим сплошную
линию.
Левее точки Л при убывании х от единицы значение —, наоборот,
х
возрастает, начиная от единицы. Например, если х принимает зна-
1111	1	^	по , .
чения тг; 77? т? ¦?¦;•••? т0 "" принимает обратные значения 2;3;4;5;...
2 3 4 5	ж	^
(единица обратна самой себе). При х —у 0 (справа) 2/ =	»¦ ос.
х
Другая ветвь этой кривой расположена в III координатном углу
(рис. 47).
Заметим, что две ветви кривой образуют одну кривую — гиперболу.
Встречаются кривые с множеством ветвей, например, тангенсоида.
2. Поставим перед собой задачу построить график функции
по графику функции A).
Эта функция определена на всей числовой оси, кроме точки х = 1.
Справедливо следующее утверждение.
Если построен график Г функции у = /(ж), то график функции
у = f(x + a) получается параллельным переносом графика Г на век-
вектор а (—а; 0).
Перенос производится в положительном направлении оси Ох, если
а < 0, ив отрицательном, если а > 0.
В данном случае а = — 1. Сдвинем график A) вправо на единицу
и получим график функции B).
Рекомендуется предварительно провести вспомогательную прямую
х = 1, параллельную оси Оу. Относительно этой вспомогательной

374
Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
прямой (вертикальной асимптоты) кривая B) будет расположена так
же, как кривая A) относительно оси Оу (рис. 49).
У
—	тш
h
А
\в
\
\ф
X = 1
с-	—
ь
f~
X
Рис. 49
3. Функцию B), в свою очередь, усложним:
1
Рис. 50
У =
х-1
+ 2
C)
и построим график этой новой функции C) по графику функции B).
Для этого воспользуемся следующим утверждением.
Если построен график Г функции у = /(ж), то график функции
у = f(x) + b получается параллельным переносом графика Г на век-
вектор b @; b).
Перенос осуществляется в положительном направлении оси Оу,
если b > 0, и в отрицательном направлении, если b < 0.
В данном случае 6 = 2. Если график B) сдвинем вверх на две
единицы, то и получим график функции C).
Предварительно проведем вспомогательную прямую (горизон-
(горизонтальную асимптоту) у = 2.
График функции C) расположен относительно двух вспомогатель-
вспомогательных прямых (асимптот) х = 1 и у = 2 так же, как исходная кривая
(гипербола) A) относительно осей координат х = 0 (ось Оу) и у = 0
(ось Ох) (рис. 50).
Итак, график функции C) получен из графика функции A) пере-
переносом на вектор f(l; 2).
Если правую часть функции C) приведем к общему знаменателю,
то будем иметь	0 л
АХ X	/ л\
Сопоставляя функцию с ее графиком, необходимо, не торопясь,
продумывать и давать себе отчет о правильности построения гра-
графика; проверять его расположение относительно осей координат и
асимптот. В частности, следует найти координаты точек пересечения
графика с осями координат.
Ось Оу содержит все точки плоскости с абсциссами, равными
нулю. В силу этого точка А пересечения гиперболы с этой осью долж-

§ 1. График дробно-линейной функции	375
на иметь абсциссу, равную нулю (х = 0). Чтобы получить ординату
этой точки, нужно в выражение для функции, т.е. в D), подставить
х = 0, тогда получим ординату точки А: ордината точки А есть зна-
значение функции при х = 0; уА = ух=0 = у@) = —- = 1; Л@; 1).
Ось Ох содержит все точки плоскости с ординатами, равными
нулю, в том числе и общая точка В этой оси и кривой должна иметь
2х — 1
ординату у = 0. Если у в = 0, то из D) получаем 0 = 	—. Дробь
х — 1
равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю при неравном
нулю знаменателе: х ф 1. Приравнивая числитель нулю: 2х — 1 = 0,
получаем х = -. Итак, В f-; 0J.
Все эти рассуждения нужно научиться проводить в уме, а всевоз-
всевозможные вычисления выполнять как можно короче.
Проверим расположение графика, например, правее прямой х = 1,
вблизи нее. Из соотношения D) следует: если х > 1 и ж -^ 1, то числи-
числитель стремится к плюс единице, а знаменатель стремится к нулю,
оставаясь положительным. Вся дробь будет неограниченно расти, ос-
оставаясь положительной. Иначе говоря, если абсциссы точек графика
приближаются к единице справа, то ординаты этих точек будут неог-
неограниченно расти, и график в этом месте будет «вытягиваться» вверх
вдоль прямой (асимптоты) х = 1.
Подобным образом следует дать себе отчет о том, как ведет себя
график левее прямой х = 1, а также вдоль прямой у = 2.
За два шага мы перешли от функции у = — к функции у =	.
X	X X
Этому преобразованию функции соответствовало поступательное
перемещение гиперболы как твердого тела, сначала вдоль оси Ох,
затем вдоль оси Оу. Сама кривая не деформировалась, а только ста-
стала занимать другое расположение в системе координат. Итак, график
2х — 1
функции у =	, хф\ есть гипербола. Обобщением этой функции
является функция у —	-, называемая дробно-линейной функцией,
сх + а
где а, 6, с, d — некоторые действительные числа, удовлетворяющие
условиям с/Ои be — ас1ф0. (Исследование этой функции приводится,
например, в пособии для абитуриентов под редакцией Г. Н. Яковлева,
изд. 1981 г., с. 17.)
График дробно-линейной функции — гипербола.
4. Пусть требуется построить график дробно-линейной функции
Прежде всего заметим, что этот график пройдет через начало коорди-
координат, поскольку если ж = 0, то и у = 0.
Выделим из неправильной дроби целую часть. Заданная функция
примет вид

376
Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
-1.
* 2-х
После этого будем, как и в предыдущем случае, последовательно
2 2
строить графики вспомогательных функций у =	, у =	 и
X	Z — X
уже затем график функции
^~ 2-ж ~ 2-ж'
Искомый график изображен на
рис. 51. График функции у =
х	2
=	 =	1 получается из
2-х 2-х	.
графика функции у —	следую-
—	следующими преобразованиями:
а)	растяжением вдоль оси ор-
ординат в отношении 2 : 1;
б)	переносом на вектор г B; —1).
Можно построить этот график без вспомогательных рисунков. Для
этого следует сначала построить асимптоты х = 2 и у — — 1 на ри-
рисунке, а затем воспользоваться рекомендациями, приведенными при
решении предыдущей задачи.
3 ад ач и.
Построить графики функций A-26).
Рис. 51
х-1
X
1. у =
5. у =
9-У = \х-1
13. у = х2-2х.
16. 2/ = 4 + ж-3
19. у =
2. у =
6. у =
2
х-2
2ж-1
1-ж '
3. У =
7. у =
ж + 3
2 + х — х
10. 2/ =
|Х'|-Г ±
ж2. 17. 2/ =
20. у =
11. 2/ =
2-Зж
1-х
х + 1
- Зх
2-х
12. 1/ = ж2-1.
15. ?/ = ж2-
1
2 *
22. у = -=$.
х
А О. I/ — X — — .
X
24. ?/ =
18. 2/ =
21. 2/ = -B-:
4
+ 2
25. 2/ =
26. 2/ =
если ж < — 1;
если — 1 ^ х ^ 1;
если х > 1.
—, если —оо < ж < 0;
	, если 0 < ж < оо.

§ 2. Уравнения высших степеней	377
§ 2. Уравнения высших степеней
(с целочисленными коэффициентами)
Примеры.
1.	Решить уравнение х3 — Зж2 + х + 1 = 0.
Решение. Число 1 является корнем этого уравнения, поэтому,
применив теорему Безу — разделив левую часть уравнения на (х — 1),
получаем трехчлен х2 — 2х — 1 и уравнение (х — 1)(х2 — 2х — 1) = 0,
равносильное исходному, корнями которого являются числа 1; 1 — л/2;
1 + л/2.
2.	Решить уравнение ж4 + 1 = 0.
Решение. Разлагаем левую часть уравнения на множители прие-
приемом, с которым мы уже встречались (задача 439 раздела II):
= (х2 + л/2 х +1) (х2 - V2x +1).
Задача сводится к решению двух квадратных уравнений:
„	л/2 , л/2 .	л/2,., л	л/2 , л/2 .
Ответ: хх^ = -— ± — г = -—- A Т г); ж3,4 = —- ± —- г =
/2	2	2	2	2	2
3.	Решить уравнение 2ж3 — 5ж2 + 8>х — 3 = 0.
Решение. Делаем подстановку х = —. После очевидных преобра-
преобразований получаем ^/3 — Ъу2 + 16^/ — 12 = 0.
Подбираем целый корень для у; находим у = 1.
Делим левую часть уравнения на у — 1 и получаем уравнение
у2 — Ау + 12 = 0 с корнями у = 2 ± 2 л/2 г.
Окончательно выписываем решения исходного уравнения
4.	Решить уравнение ж4 — 2х3 + 2ж2 — 2ж + 1 = 0.
Решение. Делим уравнение на х2 и группируем его члены:
Полагая у = х -\—, получаем у2 — 2у = 0. Корни этого уравнения:
2/1=0; 2/2 = 2.	х
Находим х из уравнений
Ж	X
Ответ: х\^ = =Ь^; #з,4 = 1 (ж = 1 — двойной корень).

378	Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
5. Решить уравнение
\/2 = 0.	A)
Решение. Положим у2 = а и рассмотрим уравнение с парамет-
Решая его как квадратное уравнение относительно а, имеем а =
= х2-х, а — х2 + х + 1.
Исходное уравнение A) равносильно совокупности двух уравнений:
x2-x = V2 и 2	1 /2
решая их, получаем ответ:
6. Решить уравнение хА — 4ж3 — 10ж2 + 37ж — 14 = 0.
Решение. Многочлен четвертой степени раскладывается в про-
произведение двух квадратных трехчленов (х2 -\-px-\-q) (х2 + Ьх + с).
ж4 - 4ж3 - 10ж2 + 37ж - 14 = (ж2 + рх + <?)(ж2 + 6ж + с).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем
систему уравнений	^ _ _4
I + +
]
Для </ и с возможны следующие целые числа: =Ы, ±2, =Ь7, =Ы4.
Пусть ^ = 1; тогда с = —14. В этом случае второе и третье уравне-
уравнения дают систему	. /> — Ч
откуда для Ь получаем уравнение Ь2 — 376 — 42 = 0, не имеющее целых
корней.
Поэтому целочисленных решений при q = 1 система A) не имеет.
Пусть q = 2; тогда с = —7. В этом случае второе и третье уравне-
уравнения в A) дают систему
Исключая р, получаем для b уравнение
262-376 + 35 = 0,
которое имеет корень 6 = 1, тогда р = — 5.
Первое уравнение системы A) также удовлетворяется при 6 = 1 и
р=-5.
Итак, имеем
хА = 4ж3 - 10ж2 + 37ж - 14 = (ж2 - Ьх + 2) (ж2 + х - 7).

§ 3. Рациональные уравнения	379
Следовательно, данное уравнение эквивалентно совокупности квад-
квадратных уравнений
ж2 - 5ж + 2 = 0; ж2 + ж - 7 = О,
решая которые, получаем корни данного уравнения: 0,5E ± л/17);
0,5 E ±л/29).
§ 3. Рациональные уравнения
Рациональным называется уравнение вида
где Р(х) и Q(#) — алгебраические многочлены.
Решение уравнения A) сводится к решению уравнения Р(х) = 0 и
проверке того, что его корни удовлетворяют условию Q(x) ф 0, т.е.
уравнение A) равносильно системе
(Р(х) = 0,
Примеры.
1. Решить уравнение	-\	^ + ^=0.
ж + 1 ж — 5 2
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
при х ф — 1 и х ф 5.
Корнями уравнения х2 + 2х — 15 = 0, или (ж + 5)(х — 3) = 0 являют-
являются числа —5 и 3, они и будут ответом.
о г>	1 , 1 Зж2-1
2. Решить уравнение 	-Н	- =—^	.
ж + 1ж-1 x2-i
Решение.
—7 + 	7 = ^	 => 	о	 =0 =>
х2-\	х2-\
х = 1 или х = --,
3
Ответ: х = — -.
3. Решить уравнение ж2+(	-) =8.
\х — 1/
Решение. Имеем
+() 2ж8 >
ж — 1 \ж — 1/	ж — 1
^1=8
f2
ж — 1/	ж —1

380	Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
х2
Полагая	 = у, получаем уравнение у2 — 2у = 8, корнями кото-
х — 1
рого являются числа 4 и —2.
Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности
уравнений
х2	х2
Х =4;	^ 2
х-1 '	х-1
решениями которых, а следовательно, и исходного уравнения являются
4. Решить уравнение ж (	) ( х -\	) = 6.
JF	Vx + l/V х + 1)
Решение. Положим и — х	и v = х -\	, тогда
х+1	х + 1
6i " *^ I I " *^ / . i \ О Ж	г
и n + v = x	ЬжН	= (х + 1)-	\-х = Ъ.
х+1	х+1	х+1
Таким образом, и и v удовлетворяют системе уравнений
Г uv = 6,
|n + v = 5,
откуда и\ = 3; vi = 2 или u<i = 2; ^2 = 3. Следовательно, исходное
уравнение равносильно совокупности уравнений
ж+1	х+1
которая равносильна системе
' Ъх-х2 — 2х + 2 или Ъх-х2 = 3ж + 3;
2 - Зж + 2 = 0,	(ж - 2)(ж - 1) = 0,
Х\ — Zi, Х — -L ,
х34: = 1±д/^2 —У недействительные корни.
Решением этой системы, а следовательно, и исходного уравнения
являются числа 2 и 1.
5. Являются ли уравнения
2(ж-10)	2
—^	 — -L И X Л-ОХ ~~\~ 0U — U
равносильными?
Решение. Решим первое уравнение. Освобождаясь от знаме-
знаменателя, т.е. умножая обе части исходного уравнения на выражение
х2 - 13ж + 30, получаем уравнение 2х - 20 = х2 - 13ж + 30, или х2 -
3 = 0, корнями которого являются числа 5 и 10.

§ 4- Иррациональные уравнения	381
В результате проведенного преобразования могли появиться посто-
посторонние корни; поэтому необходимо сделать проверку. Она показывает,
что число 5 является корнем исходного уравнения, а число 10 не явля-
является его корнем.
Уравнение х2 - 15ж + 50 = 0 имеет два решения: х\ — 5 и х2 = 10.
Следовательно, исходные уравнения не являются равносильными.
Второе уравнение является следствием первого, его называют вывод-
выводным уравнением по отношению к первому уравнению.
(\
6. Решить уравнение х2 + Зж + 1 = —~	.
ж +Зж + 2
Решение. Умножим обе части уравнения на х2 + Зж + 2 при х /
= -1иж/-2. Получаем [х2 + 3ж + \)[х2 + Зж + 2) -6 = 0, или
Полагая х2 + Зж + 1 = t, получаем t2 + t — 6 = 0, или (? + 3)(? — 2) = 0.
Переходя от t к ж, получаем (ж2+ 3ж+ 4)(ж2+ 3ж - 1) = 0. Дискрими-
Дискриминант квадратного трехчлена х2 + Зж + 4: Z) = —7 < 0, поэтому этот
трехчлен на множители не разлагается. Дискриминант второго члена
х2 + Зж - 1: D = 13 > 0, поэтому получаем
-З + л/Тз	—3 —л/13
Ж	и Ж
§ 4. Иррациональные уравнения
Уравнения, в которых под знаком корня (радикала) содержится
переменная, называют иррациональными.
Основным методом решения иррациональных уравнений является
метод сведения исходного уравнения к равносильной системе рацио-
рациональных уравнений или совокупности таких систем.
Отметим сначала, что в некоторых случаях можно устно установить,
что рассматриваемое иррациональное уравнение не имеет решения, не
прибегая к преобразованиям.
Примеры.
1. Показать, что следующие уравнения не имеют решений:
Решение. 1) Арифметический корень не может быть отрица-
отрицательным числом, поэтому уравнение решений не имеет.
2) Левая часть исходного уравнения определена при х ^ — -. При
каждом таком х величина у2ж + 3 неотрицательна, а величина у/х + Ъ
положительна. Следовательно, их сумма всегда больше нуля. Поэтому
уравнение решений не имеет.

382	Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
3)	Первый радикал имеет смысл при х ^ 4, второй при х ^ 6.
Поэтому уравнение решений не имеет.
4)	Левый радикал определяется при х ^ — 1; при таких значе-
значениях х он неотрицательный и верно неравенство х — 5 < 0; поэтому
выражение \/х — 5 отрицательно. Левый радикал неотрицательный, а
правый — отрицательный; поэтому уравнение решений не имеет.
5)	Решая систему неравенств
находим ОДЗ уравнения: х ^ 0.
х + У ^ U,
Левая часть не меньше 3, а правая меньше 3. Поэтому уравнение не
имеет решений.
Напомним, что уравнение
f2n(x) = y2n(x), neN,
является, вообще говоря, следствием уравнения f(x) = у(х).
Поэтому, если над иррациональным уравнением производится пре-
преобразование, заключающееся в возведении обеих его частей в четную
степень, то каждый из найденных корней полученного уравнения дол-
должен быть проверен: является ли он решением исходного уравнения
или нет.
2.	Решить уравнения:
а) У1 + Зж = 1-ж; б) У1 + Зж = ж-1.
Решение, а) Возведя обе части уравнения в квадрат и произведя
соответствующие преобразования, получаем уравнение х2 — Ъх = 0,
являющееся следствием исходного уравнения. Корнями его являют-
являются х\ = 0 и Х2 = 5. Проверка показывает, что исходному уравнению
удовлетворяет х\ = 0, второй корень Х2 = 5 исходному уравнению не
удовлетворяет.
Ответ: х = 0.
6)	Следствием исходного уравнения является уравнение х2 —
— Ъх = 0, корнями которого являются х\ — 0; х^ — 5. Исходному
уравнению удовлетворяет число 5. Число х\ — 0 является посторон-
посторонним корнем для исходного уравнения.
Ответ: х = 5.
3.	Решить уравнение \/1 + Зж = х + 1.
Решение. Следствием этого уравнения является уравнение
х — х = 0, корнями которого являются числа 0 и 1 и которые исход-
исходному уравнению удовлетворяют.
Это уравнение служит примером того, что возведение в квадрат
исходного уравнения не всегда приводит к появлению посторонних
корней.
4.	Решить уравнение \Jx — 6 = \/4 — х.
Решение. Возводя в квадрат обе части этого уравнения полу-
получаем ж —6 = 4 —ж; 2х = 10; х = 5. Подстановкой убеждаемся в том,

§ 4- Иррациональные уравнения	383
что число 5 не является корнем данного уравнения. Уравнение не имеет
корней.
5. Решить уравнение л/х2 + Зж — 4 = у/2х + 2.
Решение. Решим систему
<
^2ж + 2 ^ О,
находим ОДо уравнения: ж ^ 1.
После возведения в квадрат исходного уравнения, получаем выводное
уравнение х2 + х — 6 = 0, корнями которого являются #i =2; х<± —
— —3. Проверка показывает, что ответом является только корень
х = 2.
6. Решить уравнение	= л/(9,т. — IK,
/2ж 1
Решение. Решая неравенство 2ж — 1 > 0, находим ОДЗ уравне-
уравнения: х > 0,5.
Умножая обе части исходного уравнения на у/2х — 1 и упрощая его,
получаем уравнение 4ж2 — 7ж + 3 = 0, являющееся следствием исход-
исходного уравнения. Его корни х\ — 1 и х<± — 0,75.
Проверка показывает, что эти корни являются и корнями исходного
уравнения.
Ответ: х\ = 1, х<± — 0,75.
7.	Решить уравнение х — 1 = л^ж2 — ж — 1.
Решение. Чтобы избавиться от радикала, целесообразно данное
уравнение возвести в куб: (х — IK = х2 — х — 1.
Имеем
х3 - Зж2 + Зж - 1 = х2 - х - 1; ж3 - 4ж2 + 4ж = 0;
ж(ж2 - 4ж + 4) = 0; ж(ж - 2J = 0.
Ответ: х\ — 0; ^2,з = 2 (двойной корень).
8.	Решить систему уравнений
Решение. Обозначая yfx = u, ^fy — v, получаем:
u + v = 4,
Далее:
3 3 ( )B-nv + v2) = 28,
откуда и — uv-\-v — 7. Получаем равносильную систему
г u + v = 4,
1 и2 -uv + v2 = 7.

384
Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
Корнями последней системы являются числа и\ = 1; v\ = 3 и
и2 = 3; V2 = 1.
Переходя к переменным х и у, получаем ответ: A; 27); B7; 1).
Задачи для упражнений.
Решить уравнения A-16).
Ответы.
3.
5.
7.
-2; 2.
3.
3.
±3.
Ответы.
8.
0;0,4.
5.
8.
Ответы.
0;-1.
-10; 2.
-12.
±2.
A6; 4), C6;l|).
B7; 1), (-1; -27).
(9; 16), A6; 9).
(81; 16), A6; 81);
§ 5. Показательные и логарифмические уравнения
1. Основные приемы решения
показательных уравнений
1. Приведение обеих частей уравнения к одному основанию.
Примеры.
1. 9х = 27Ж-1; -счэ < х < +оо. (Левая и правая части уравнения
определены при любом х, х е R.) Имеем C2)ж = C3)ж-1, или 32ж =
_ з3ж~3. Так как степени равны, основания их равны и отличны от 1,

' 5. Показательные и логарифмические уравнения
385
то показатели степеней должны быть равными между собой, поэтому
2х = Зж — 3, откуда х = 3.
Ответ: х = 3.
Этот ответ проверяется в уме. Проверка в данном случае не обя-
обязательна, так как здесь не было произведено операций, нарушающих
равносильность исходного и заключительного уравнений.
2. 161/@,25M-*/4 = 2^+Т; -1 ^ х < ос. Имеем
24-B~2)^— =2л/^+Т, или 2^~1 = 2л/^+Т,
откуда — — 1 = \Jx-\-1, тогда ж2 — 8ж + 16 = 16ж + 16, или х2 — 24х = 0.
Получаем х\ — 0 и ^2 = 24.
При проверке корней видно, что корень х\ — 0 исходному уравне-
уравнению не удовлетворяет, а корень х<± — 24 ему удовлетворяет.
Ответ: х = 24.
V о^'5ж+у'5 = л/9^ж~ь. Имеем 33^ж~^ х
^^ж+^^	4ж-12	А,Ьх+7,Ь	4ж-12
х 3 2(ж-!) = 3 х~г , где х € N и ж / 1. Поэтому 3 2(х~г) = 3 ж-х ,
откуда 4,5ж + 7,5 = 8ж - 24.
Ответ: х = 9. (Ответ проверяется легко: 2д/324 • л/^З32 = v^324;
27 = 27.)
3 ад ач и.
Решить уравнения A-8).
1.
3.
5.
7.
8.
52(,
2*2
а/!
22,
22,
,-1) = •
= 0,25
^2 -yW'
•3Ж-5Ж
•52ж =
. 28ж+22
_б04Ж-15
0,1-A02—
Ответы.
3.
10;-2.
2. ж+2/52^з^
Ответы.
= 0,004. 6.
с = 0. 4.
Ответы.
4.
5.
4'
2. Способ разложения на множители.
Примеры.
1. 33ж+1 - 5 • З3*-1 =36; -оо < х < +оо.
Имеем 33ж • З1 - 5 • 33ж • З = 36; 33жC - 5 • З) = 36; 33ж • | = 36;
33ж = 36- = 27; 33ж = 33.
4
Ответ: х = 1.
25 В. А. Бачурин

386
Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
2. \/7^+б-\/49^+2-2ж+5 + 2.@,25)-A+0'5ж) = 0; -ос < х < +ос.
Имеем 7Ж+3 - 7Ж+2 - 2Ж+5 + 2 • 22+ж = 0 (так как 0,25 = i = 2);
2	2	2
7ж+2G-1)-2ж+2(8-2)=0, или
Степени равны, показатели степеней также равны при неравных
основаниях, значит, показатели степеней равны нулю, т.е. х-\-2 = 0,
откуда х = — 2.
Проверка показывает, что найденный корень верный.
Ответ: х = —2.
3 ад ач и.
Решить уравнения A-8).	Ответы.
1. пж-2-1зж-2 + пж-3 + 13ж-3 = о.	з.
2.	5ж-3-5ж-4-2-5ж = 2-Зж-3.	5.
3.	Зж-6-27^ж-3 + Зж = 963.	11.
A \2—ж	// 1 \4—ж
1) +3-3 = 99-^/A) .	6.
5.	@,5I-2ж-@,25I-ж + @,5Kж=48.	3,5.
6.	Л/Зж4-7\/Зж-58 = 162.	66.
_ q	^
3. Способ подстановки.
Примеры.
1.	52ж+1-26-5ж+5 = 0; -оо <х < +оо.
Имеем 5 • 52ж - 26 • 5Ж = 0; пусть Ьх = у, тогда 52ж = у2 и получаем
5^/2 - 26?/ + 5 = 0, ?/i = 5; 2/2 = г, или 5Ж = 5 и 5Ж = -, откуда полу-
чаем ответ: х\ = 1; ^2 = —1.
2.	73ж-5-493ж+3 = 0; -оо < х < +оо.
Обозначим 73ж = у; тогда Ъу2 - 2у - 3 = 0; у —	; у\ — 1;
= _3.	5
а\ 7^ж — 1 ^^ — П т* — И*
о
б) 73ж = —, решений нет, так как согласно свойству показательной
о
функции при а > 0 G > 0) а3х > 0.
Ответ: х = 0.
3 ад ач и.
Решить уравнения A-8).
1. 22ж-4-2ж+1 + 16 = 0.
Ответы.
2.
A
х—3

§ 5. Показательные и логарифмические уравнения	387
Ответы.
3.	2Ж + 2"Ж = -.	±1.
4.	@,1)ж+1 + @,01)ж=0,02.	1.
5.	4^Г2 + 16 = 10-2^112.	3; 11.
6.	38ж+2 - 2 • 35ж+3 = 32ж+5.	- (сократить на 32ж+2).
4. Логарифмирование обеих частей уравнения.
Примеры.
1.	2х = 6; —оо < х < +00.
Логарифмируя данное соотношение, получаем xlg2 = lg6, откуда
х = Ig6 = ^778 _ 2 58
2.	5ж-2^^ = 50, где ж G Zo.
г —2
Имеем 5ж-2^=2-52, или Ьх~2-2^ = 1, или E-2^1^ = 1.
Так как основание E-2ж+11 > 0 при всех х / — 1, то последнее
уравнение равносильно уравнению
Or-2)log2E-2^TT) =0.
Далее:
а)	ж-2 = 0, хх = 2;
б)	108,5+^ = 0, ,2 = -lJ
Ответ: х = 2. Второй корень не годится, поскольку жЕ^о-
3 ад ач и.
Решить уравнения A-8).	Ответы.
2
1-3] = 1ж°+°; х+2 х	х+2	i^'19-
t-f • ^J	| ^J	I ^J		 I	I I	I I	•	f*^ \J • %J ?l tJKJ •
5.	52^+1_7^+1 =52ж + 7ж.	«0,5446.
6.	Зж-23ж-7 = 129-ж.	5.
Г14ж-632/ = 0,	, 1fifi9 ^1О77>|
7- \l7--87i/ = 0.	(^1'662; ^1'277)'
8. 82/ж-2^ж+^/ж + 12 = 0.	^1=3; x2 = 31og62.
25*

388	Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
2. Основные приемы решения
логарифмических уравнений
1. Применение определения логарифма. На основании определе-
определения логарифма решаются задачи, в которых по данному основанию
и числу находится логарифм, по данному логарифму и основанию
отыскивается число и по данному числу и логарифму определяется
основание.
Примеры.
1- log9Qlog3B-log1/2a;)) = -\.
Пусть
F = 2 - log1/2 х = log2 4	^Щ~ = log2 4 + log2 x = log2 Dж).
log2 B)
Должно быть F > О, т.е. Iog2Dx) > 0; 4х > 1; ж > -. При х > -
1	1
получаем: - Iog3(log2Dx)) > 0; Iog2Dx) > 1; 4ж > 2; х > -. Таким
о	А
образом, областью определения данного уравнения является интервал
- < х < оо. Имеем - Iog3(log2Dx)) = 9/2 = -; Iog3(log2Dx)) = 1;
Iog2Dx) = 3; 4ж = 23; х = 2.
Ответ: х = 2.
Проверка не обязательна, поскольку выводные уравнения равно-
равносильны исходному уравнению.
2. Iog4B1og3(l + log2(l + 31og2x))) = i; К х < оо.
Эта задача подобна предыдущей. Имеем
2 log3 (I + log2 A + 3 log2 ж)) =4^2 = VI;
мы должны взять арифметическое значение \/4, т. е. 2. Тогда
)) = I; l + log2(l + 31og2x) = 3;
= 2;
оо, ж / 2.
Зж = 9, ж = 3.
Ответы.
= 1	-VTo.
= 2,5.	1.
Ответ
3. log,
Имеем
(x-lf =
Ответ
3 ад ач
Решить
!• loSv
3. log,
: х = 2.
х2-Бх + 1(
: ж = 3.
и.
уравнения
^а5 = х.
1 _ 2
-10) =2; К
3, ИЛИ —2;
A-8)
Ответы.
10.
729.
а; + 1
2.
4.

§ 5. Показательные и логарифмические уравнения	389
Ответы.
5.
6.
7. log1/y3^TTlog3[2(x2-l)] = 21og3(x-l).	3.
8.
2. Потенцирование. Встречаются логарифмические уравнения, ко-
которые решаются либо непосредственным потенцированием, либо потен-
потенцированием с предварительным преобразованием данного выражения.
Примеры.
Правую часть преобразуем так: хA — lg5) = x(lglO — lg5) = xlg2 =
= \g2x. Тогда получим lgB* + x - 5) = Ig2*, 2ж+ж-5 = 2ж, ж-5 = 0.
Ответ: х = 5.
Ig2x
lD15)
i5
Имеем: ж > 0; 4ж — 15 > 0, ж / 4, или — < ж < оо и ж/4. Общая
15
часть этих двух интервалов: — < ж < оо, ж/4 и является областью оп-
определения данного уравнения. На этом интервале исходное уравнение
равносильно уравнению Ig2x = lgDx — 15J. Отсюда 2х = Dж — 15J.
Корни полученного квадратного уравнения таковы: х\ — - и
25	2
Ж2 = У
Второй корень не годится: он не входит в область определения
данного уравнения.
Ответ: х — -.
3. logax + loga(x + 5) + loga0,02 = 0; 0<a<oc, a/l
и 0<ж<оо, ж/1.
Имеем loga(x(x + 5)-0,02) = 0; 0,02ж(ж + 5) = 1; ж2 + 5ж - 50 = 0;
^! = 5; ^2 = —10. Второй корень не годится.
Ответ: х = 5.
4. lg2 + lgD*-2 + 9) = l + lgB*-2 + l); -ос < х < +оо.
Потенцируя, имеем 2B2^)+9) = 10Bж + 1), или 22^)+9 =
= 5 • 2Ж~2 + 5; 2Ж~2 — у] т/2 — 5т/Ч-4 = 0. Решая последнее уравнение и
используя замену, получаем ответ: х\ = 2; х<± — 4.
3 ад ач и.
Решить уравнения A-8).	Ответы.
1.	lg(x-3K-31g(x-5)=lg27.	6.
2.	log4(x + 2) + log4A0-x) = 2 + log4x.	2.

390
Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
Ответы.
30.
±12.
6; 14.
25 л/3.
8.
0.
3. Логарифмирование.
Примеры.
г x\gx _ 100. о<ж < оо
Логарифмируя данное уравнение (по основанию 10), получаем
\gx -\gx = lg 100 - \gx, или (lgxJ+ lgx - 2 = 0, откуда lg^i =-2 и
Ответ: х\ — 0,01; x2 = 10.
2. ж1^ = Ю1^1; 0 < x < oo.
Как и в предыдущей задаче, имеем
^
2 = —4.
или
lg x-\-Z\gx — 4 = 0, откуда lg^i = 1;
Ответ: хх = 10; x2 = 0,0001.
Предполагается, что (х - 1) > 0, т. e. 1 < ж < ос.
—	л/яН-lJ lg(# — 1) = 0, или x — 1 = 1 и —	y/x-\-1 =
= 0. Из первого уравнения получаем a?i = 2. Из второго уравнения
следует х2 = 3 и жз = — 1. Корень х% = — 1 не годится: он не входит
в область определения данного уравнения.
Ответ: х\ = 2, х2 — 3. Этот ответ легко проверяется устно, что
рекомендуется проделать самостоятельно.
3 ад ач и.
Решить уравнения A-8).
1.
3.
5.
7.
8.
Ответы.
Одж1§ж-2 = 102 Ю00; 0,1.
0д-(я2-5я+8)=Ш). 3;2.
-^
ж-2/3+^ = 100^100.
ж1о§2Ж3-1о§2Ж+3 = ж-1<
2.
4.
6.
Ответы.
1ООж21§ж = ж4 10
x21g2^-l,51g^ = ^/jQ< Ю; 0,1.
V^g^ = 10. 100; 0,01.
Ответы.
100; 10/3.
1;-;16.

§ 5. Показательные и логарифмические уравнения	391
4. Решение некоторых других задач.
Примеры.
1.	\gx-\-\ga = 0.
Приведем три варианта решения. Имеем 0 < ж < ос и 0 < а < ос.
0, ож = 10° = 1; х = -.
2)	lgx + lga = lgl, ax — \\ х — -.
3)	lgx = -lga = lg(a~1); х = а'1 = -.
2.	Зная, что Iog72 = a, найти log1/228.
На основании свойств логарифмов имеем
log1/2 28 = log1/2 4 • 7 = -2 + log1/2 7 =
log7-
3. у 1 + log^ V^-loggX = — 1	(a)
Имеем
Второй множитель должен быть отрицательным, поскольку пер-
первый — положительный: Iog3? < 0, откуда 0 < х < 1.
Первый множитель должен удовлетворять условию 1 + log^ д/27 >
> 0, или log л/27 > — 1, откуда 0 < х < —=. Таким образом, областью
V27	г
определения данного уравнения является интервал 0 < х < ——.
3V3
Решаем это уравнение возведением обеих его частей в квадрат:
A+\оёхЩ\оё1х = 1.	(б)
Заметим, что
поэтому
или B1og3? + 3) Iog3? = 2, или 21og3^ + 31og3x-2 = 0.
Решаем полученное квадратное уравнение:
-3±л/9ТТб -3±5
;
log3 х =
Второй корень Х2 = л/3 является посторонним; он не удовлетворя-
удовлетворяет условию 0 < х < —= и появился при возведении в квадрат данного
V27

392	Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
уравнения (а), в результате чего получилось выводное неравносиль-
неравносильное уравнение (б).
i	 1 / *\
Проверка: у 1 + log1/9 д/27 • log3 - = J1 - - • (-2) = -1.
Ответ: х = -.
у
4. Дано: Ig2 = a; lg 13 = 6; найти Iog53,38.
Имеем
1™ ЧЧЯ-ln- 1322 _ 'ё1^ _ lgl32 + lg2-lgl00 _ а + 2Ь-2
5. 21oga.o + logaa.o + 31oga2a.o = 0, 0 < а < ос.
Область определения этого уравнения состоит из значений х, удов-
удовлетворяющих неравенствам
0 < х < ос, ж/1; хф-] ж/—.
a	a
Преобразуем logaa, a и loga2^ a следующим образом:
\ogaax
a = г
\ogaa2x
Пусть log^ a = t; тогда
или
откуда t\ — — - и ^2 = —2 (при этих значениях t знаменатели дробей
не обращаются в нуль). Значит, \ogxa = —-, откуда х\ — а~4/3, и
log^ а = -2, откуда х2 = —^.
у/а
Ответ: х\ — а
a
fi	I	, 21°gQ,25D-^) , о/ //i	/о
6.	;	 Н	—	— = 1; — б < х < 4; х Ф —2.
IogC + x) logC + x)	'	' ^
Имеем
2log2D-gQ
Iog26-log2D-x) _
log2C + x)
откуда
log2 6 - log2 D-х) = log2 C + ж), или log2 —— = log2 C + x).
Далее,	= 3 + ж, откуда х\ =3; x2 = -2.
4 — ж
В процессе решения уравнения мы освобождались от знаменателя,
поэтому необходима проверка.

§ 5. Показательные и логарифмические уравнения	393
Проверим первый корень:
log6 6 log2 6
Значит, xi=S есть корень исходного уравнения.
Второй корень Х2 = —2 не годится, так как при этом значении
Iog6C + x) = 0, а на нуль делить нельзя. (Как легко видеть, этот ко-
корень появился при освобождении от знаменателя Iog2C + x) в третьем
выводном уравнении.)
Итак, получаем ответ: х = 3.
7.
Имеем 0 < ж < ос; 0 < у < ос. Потенцируя первое уравнение, по-
получаем систему уравнений
( ху = 1,
]	10
Ответ: х\ =3; у\ — -; х<± — -; г/2 = 3.
о f^F\/?F= ^128,	XGN,
1
[	= lg40 —lg(x —2/); x + y > 0, ж-?/ > 0.
Данная система приводится к следующей:
+ 2/ _ 7_
10 ж'
Разделив второе уравнение на первое, получим х — у — —.
Решив систему	/
находим: х\ = 7; у\— 3; х^ — —7; у^ — —3.
Корни Х2 = —7 и у2 = —3 не годятся, так как lg(—10) не существует.
Ответ: х = 7; 2/ = 3.
Указание. Здесь 0<n<oo, n/1, 0<v<oo, v ф\.
1	2
Так как logw v =	, то из первого уравнения следует logv и
= 0, и т. д.
Ответ: и = v = 3.
10.
\% ~ У) = %

394	Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
Преобразуя оба уравнения, имеем
\\og2(x2-y2)=4.
В результате этого преобразования получилась система, равносиль-
равносильная исходной.
Далее получаем
(х-у = 2(-х
\x2-y2 = W.
Отсюда х\ — 5 и у\ — 3; х<± — — 5 и у2 — —3.
Вторые корни Х2 = —5 и у2 = —3 не годятся (см. решение при-
примера 8).
Ответ: х = 5; у = 3.
3 ад ач и.
Решить уравнения A-26).	Ответы.
2 '
3.	22ж-27 = Зж-64.	3.
4.	0,06251/Aо§0'5ж)=0,5.	0,0625.
5.	ж1-1ёж2/з_^^=0.	100; —J=.
л/Тоо	л/То
6.	ж21§ ж-1'51§ж = л/Ю.	10; 0,1.
7.	log2(9-2^) = 3-ж.	3;0.
8.	Зж + @,C)J-ж-@,A))D-ж)/2 = 99.	6.
9.	4\У8Т-12\У36 + 9\УТб = 0.	2.
1	5
10.	log /о -1 Bж — 3) = 2logo 4 + log2 —.	-.
у2	2
2	л 1
3'
1
12'
13. 21кж2-1к2(-ж)=4.	-100.
2
11. log3 x • log9 x • log27 x • log81 ж = -.
15. log^ 2 - log, x + - = 0.
16.	log^ a • loga2	= 1.	x = a, a > 0, a/1.
17.	22ж+22ж-1-3-22ж = 6 + 3 + 1,5 + ...	2.
7г
lg (л/ЗжТТ + 4) -

' 6. Тригонометрические уравнения	395
Ответы.
19. фо%х\/ЬхЛо%ъх = -\.	0,04.
20. y/log004х +1 + y/log02 x + 3 = 1.	25.
21.	Jlxy^x • ^/0Д25 = 4-21/3.	3. (Число-0,2 не
является корнем, поскольку
по определению корня ж Е 7V.)
22.	log3,+7Ex + 3) + log5,+3Cx + 7) = 2.	2.
/1\Я
=Ы
26.
Iog2(x + у) + Iog2(x - у) = 4.
§ 6. Тригонометрические уравнения
1. Простейшие тригонометрические уравнения
Тригонометрическими уравнениями называются такие уравнения,
в которых искомые неизвестные содержатся под знаком тригономет-
тригонометрических функций.
Мы уже решали простейшие тригонометрические уравнения, когда
находили общий вид углов по данному числовому значению тригоно-
тригонометрической функции.
Например, если cos ж = 1, то х = 2&тг, k Е Z.
По существу решение того или другого тригонометрического
уравнения сводится к отысканию общего вида угла по данному или
полученному значению тригонометрической функции.
Следует знать определения тригонометрических функций, пред-
представлять себе их изменение по четвертям и твердо помнить значения
тригонометрических функций часто встречающихся углов: 0; —; —; —;
тг. Зтг Зтг<27г	6 4 3
2 ' 4 ' 7Г' 2 ' 7Г'
Подобно другим изучаемым функциям, тригонометрические функ-
функции следует рассматривать как функции любого числового аргумента
(в области их определения).
Воспроизведем общий вид углов по некоторым часто встречаю-
встречающимся числовым значениям тригонометрических функций:

396	Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
> х — —V 2тгк; sinx = 0 => х — тгк; sinx = —1 => ж =
cosx = 1 => ж = 2тг&; cosx = 0 => ж = — Ч- тгА;; cosx = -1 => х =
тгB& + 1);
tgx = l=>x = — Ч-тгА;; tg ж = 0 => ж = тг&; tg ж = — 1 => ж = — —
ctg ж = 1 => ж = — Ч-тгА;; ctg х = 0 => х = — Ч-тгА;; ctg? = -l=
3
=
4
Это и есть простейшие тригонометрические уравнения и их общие
решения.
Напомним, что здесь и в дальнейшем, если нет иных указаний, под-
подразумевается к G Z\ вместо буквы к может употребляться буква п.
Общий вид простейших тригонометрических уравнений и их ре-
решений:
sinx = a; х = (—1)^ arcsina
cos х = 6; х —
tg x — с; х — arctgc
ctg x — d; x =
где	^ arcsina ^ —, — 1 ^ a ^ 1; 0^ arccos6 ^тг, — 1 ^ 6 ^ 1;	<
7Г
< arctgc < —, —oo < с < +oo; 0 < arcctgd < тг, —oo < d < +oo.
К этим простейшим тригонометрическим уравнениям при помощи
различных преобразований приводятся почти все тригонометрические
уравнения.
Не существует общего метода для решения тригонометрических
уравнений. Применяются различные способы и приемы решения три-
тригонометрических уравнений в зависимости от вида того или иного
уравнения.
Рассмотрим сначала простейшие уравнения, решаемые непосред-
непосредственно (без предварительных преобразований).
Примеры.
2. sinCx-l) = -; Зж — 1 = (-1)^ arcsin -
о	о
1	1 / ^L	.1	1Гк
х = - + - (-1)* arcsin - + —.
3.
4. ctg(x--j=--; х-- = 5

§ 6. Тригонометрические уравнения	397
Мы уже отмечали, что при решении того или иного тригономет-
тригонометрического уравнения (как и любого нетригонометрического) произво-
производят ряд преобразований, в результате которых получают одно или
несколько простейших тригонометрических уравнений, для которых
затем непосредственно находят ответы.
При этом важно проверять равносильность получаемых урав-
уравнений.
В процессе решения надо особо внимательно следить за тем,
чтобы не допустить потери корней или приобретения лишних
корней.
Кроме того, необходимо контролировать, принадлежат ли полу-
получающиеся корни области определения рассматриваемого уравнения.
Если допускаются такие преобразования, в результате которых
получаются выводные уравнения, не равносильные исходным, то обя-
обязательно следует проверить полученные корни.
В заключение нужно отбросить те корни, которые являются част-
частным случаем других корней, если это имеет место.
к _>	. 2 I 1 —cos2x 1Q
5.	Равносильны ли уравнения sin х = - и 	= -:
Да, равносильны, так как левые части этих уравнений тождественно
равны между собой.
3
6.	Равносильны ли уравнения 2 sin ж — 3cosx = 0 и tgx = -?
Да, равносильны: второе уравнение может быть получено из пер-
первого делением на cos ж, при этом cos ж / 0. (Если cos ж = 0, то согласно
первому уравнению sin ж = 0, что невозможно, поскольку cos ж и sin ж
не обращаются одновременно в нуль ни при каком значении аргу-
аргумента х.)
7Г	COS X
7.	Можно ли считать число — корнем уравнения 	 = 0?
2 F JF	l + cos2x
Нельзя, так как числитель и знаменатель левой части уравнения
при х = — одновременно обращаются в нуль.
8. Решить уравнение
sin2 Зж • (sin2 х + 2sin x + 5) — cos2 Зж • (sin2 x + 2sin x + 5) =0.
Решение. Данное уравнение приводится к виду
(sin2 х + 2sinx + 5) cos6ж = 0.
Первый множитель при любом х больше нуля: sin2x
+ 5 > 0. Приравнивая нулю второй множитель, получаем уравнение,
равносильное исходному: cos 6ж = 0; 6 х = — Bк + 1).
Ответ: х = — Bк + 1).
Рассмотрим наиболее распространенные способы решения триго-
тригонометрических уравнений.

398	Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
2. Уравнения, решаемые на основании условий равенства
одноименных тригонометрических функций
а)	sinx = sin^/, тогда х-\-у = тгB& + 1) или х — у =
б)	cosx = cos2/, тогда x + y = 27rk или х — у = 2пк;
в) tgx = tg2/, тогда х-у = тгк; хф — + ттг; у ф — + птг.
Z	Z
Примеры.
Решение. Имеем 5ж + 3ж = тгB& + 1) или 5ж — Зж = 2тг&, откуда
— B& + 1) или ж = 7Г&.
8
Это уравнение можно решить еще и так:
sin5x — sin3x = 0; 2 sin ж-cos 4ж = 0, откуда sinx = 0 или cos4x = 0.
Ответ: х = 7гк или х = — Bк-\-1).
8
2.	ctgx-l
Решение. Полагая sin ж / 0 (или х / /^тг), умножаем данное
уравнение на sin ж.
Имеем
cos х — sin x = 2 sin x • sin 2ж.
Далее, так как 2 sin x- sin 2ж = cosx — cos3x, то уравнение прини-
принимает вид cos ж — sin ж = cos ж — cos3x, или
sinx = cos3x, cos (Ц- -х) = cos3x.
Отсюда получаем Зх ± (^- - х) = 2тг&;
а) 2х = 2пк	, х = 7гк — —; б) 4ж = 2тгА:Н—, х —	\—.
Ответ: х — — к-\—; х = пк	.
3.	sin7x-cosl3x = sinx-cosl9x.
Решение. - (sin20x — sin6x) = - (sin20x — sinl8x); sin6x = sinl8x;
а) 18>х-6х = 2ктг, х = ^; б) 18ж + 6ж = BА; + 1)тг, ж =
6
^; б) 18ж + 6ж BА; + 1)тг, ж
6	24
Ответ: х — —-; х = —-Bк-\-1).
6	24
4. tg (аж + 6) = ctg (ex + с!).
Должны иметь место следующие ограничения:
ах + Ьф—Ьтгт, cx + d ф тгтгг, где
Решение. tg(ax + 6) = tg (^ - (сж + rf)); ax + b= ^--

§ 6. Тригонометрические уравнения	399
7T&-F + d) + -	/
Ответ: х = 	—, если а + с ^ 0. ( Если а + с = 0, то
а + с	V	п
уравнению удовлетворяет любое значение х при b + d= — B/j Ч- 1), а
при Ь-\-Aф — Bk + 1) уравнение не имеет решений.)
3 ад ач и.
Решить уравнения A-7).	Ответы.
. (sin - x — cos - ж) =1 —sin5x.	x\ — — BA; 4-1); X2 =
V 2	2 /	8
2.	g	g
3.	(	)
4.	sinЗж = cos x — sin ж.	ж =	1.
10 5
5.	sin3x-sin5x = sinx-sin7x.	х — —к.
4
6.	sin2x — cos B +ж) = 0.	х\ — - DтгА; + тг — 4);
х2 = - Dтг/г + тг + 4).
7.	tg|-tga; = l.	ж = -|FА±1).
3. Алгебраические уравнения относительно одной
из тригонометрических функций
Примеры.
Решение. Непосредственно находим:
a) sinx = —3, б) sinx = l.
Первое уравнение решений не имеет, из второго получим х = — +
Ответ: х = — A + 4&).
2. 3cos2x + 5sinx-l = 0.
Решение. 3 —3sin2x + 5sinx — 1 = 0; 3sin2x — 5sinx — 2 = 0;
Ответ: х = (—l)fc+1 arcsin - + &тг; второй корень не годится.
о
3. 2tg2x
Решение. 2 sec2 ж — 5 sec ж + 2 = 0, откуда sec ж = 2 и sec ж = -,
1	^
или cos ж = - и cos ж = 2.
Ответ: ж = =Ь— +2тг&.

400	Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
3 ад ач и.
Решить уравнения A-6).	Ответы.
l 0.	х± A)^+ тгк; х2 ^
о	2
2. 2	2	^
3.
tg X + 1 - д/tg X - 1 = 1.
= ±arccos	\-2nk.
x = arctg- +7rk.
4. Метод разложения на множители
Примеры.
0.
Решение. Данное уравнение распадается на два уравнения:
a) l + cosx = 0; б) tg|=O.
Из первого имеем х = тгBА: + 1), из второго находим х = 2тг&. Но
первая серия решений х = тгBА; + 1) не годится, так как эти значения
не принадлежат области определения исходного уравнения (множи-
(множитель tg — не определен).
Ответ: х = 2тг&.
2. 1 — cosx = 2sinx.
о X	X	X	X ( X	х\
Решение. Имеем 2 sin - = 4 sin - • cos -, или sin -1 sin	2 cos - I =
= 0, откуда	2	2 2	2V 2	2У
а)	sin — = 0; — = 7гк; х = 2пк A-й ответ);
rp	rp	rp	/	rp	\	rp
б)	sin	2cos — = 0, или tg — = 2 (cos — / Oj; — = arctg2 + nk,
x = 2arctg2 + 27r& B-й ответ).
3.
Решение. Имеем l + cos8x + sinl0x = 1, тогда cos8x + sinl0x = 0,
GГ \ / 7г\ ( 7г\
	Sxj =0; 2sin\x-\— I • cos(9x	I =0, откуда по-
получаем:
лучаем:
GГ \	7Г
ж + —1=0, х = —— + к7г A-й ответ);
г-\	Iс\ к \ с\	тг , ктг /о „	\
б) cos (9ж- —1=0, ж = т^ + ~^~ B-й ответ).

§ 6. Тригонометрические уравнения	401
4. 2 sin ж-cos 2ж- l + 2cos2x-sinx = 0.
Решение. Имеем 2 cos 2ж • (sin х + 1) - (sin ж + 1) = 0, или
Bcos2х — 1)(sin х + 1) =0, откуда получаем:
а)	2cos2x —1 = 0; 2ж = ±—Ь2&тг; ж = ±—Ь&тг A-й ответ);
б)	sinx + l = 0; sinx = —1; ж =	Ь2&тг B-й ответ).
3 ад ач и.
Решить уравнения A-6).	Ответы.
1.	cos2x — cosx = 0.	xi = — B& + 1); х^ — 2-кк.
2.	2sinx — sin2x = 0.	х = тгк.
3.	3cosf^
V 2
1 / -1 \fc-ui	• 1
ж2 = ^С) /e+1arcsin-
4.	1 + cosx = 2cos —.	x\ — тгB& + 1); Ж2 =
z
5.	1 + cosx — sinx = 0.	x\ — тгBк + 1); x^ —— + 2тгк.
6.	sinx-tg- = 0.	x = 2nk.
5. Уравнения, однородные относительно sin ж
u cos ж, и сводящиеся к ним,
Примеры.
1. asin2x + 6sinx • cosx + ccos2x = 0; a / 0, 6/0, с / 0.
Решение. При а / 0 уравнение равносильно уравнению
atg2x + 6tg ж + с = 0, cosx/0.
Пусть tg х = ?; тогда a?2 + 6? + c = 0, откуда
— b+yb2 — 4ac	—b— yb2 — 4ас
tl =	п	' h =	Та	•
Если Ь2 — 4ас > 0, то имеем два ответа:
Если b2 — 4ac = 0, то t\ — ?2; получаем единый ответ:
х — \
Если b2 — Aac < 0, то решений нет.
2. 3sin2x — 4sinx -cosx + 5cos2x = 2.
Решение. Это уравнение равносильно уравнению
Отсюда sin2x - 4sinx • cosx + 3cos2x = 0. Так как cosx / 0, то
получаем равносильное уравнение tg2x - 4tg x + 3 = 0, откуда tg x =
= 1 и tg х = 3.
Ответ: х = — -\-тгк; х = arctg3 + 7r&.
26 В. А. Бачурин

402
Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
3. 2sin ж -cosx + 5cos2x = 4.
Решение. Как и в предыдущей задаче, имеем
4sin2x — 2sinx -cosx — cos2 ж = 0, или 4tg2x — 2tg ж — 1 = 0.
1±л/5
Отсюда получаем tg х =
Ответ: х\ — arctg
3 ад ач и.
Решить уравнения A-6).
1. 3 sin2 ж = cos2 х.
2.	5sin3x-2cos3x = 0.
3.	\/3sin2x + 3cos2x = 0.
4.	4 sin2 ж + sin ж -cos ж — 3cos2x = 1.
, 7 , л/5-1 , 7
Ьтгя; ^2 = — arctg	Ьтгя.
x = -
Ответы.
7Г
б"
2 = arctg f — - J
5.
6.
= 3.
= 0.
Нет решений.
6. Введение вспомогательного угла
Уравнения вида	,	/1Ч
asmx + bcosx = с	A)
(где а, 6, с — некоторые действительные, не равные нулю числа), как
х
и многие другие уравнения, можно решать подстановкой tg — = z, но
из-за громоздких преобразований подстановка применяется в крайне
редких случаях.
Более простой способ решения таких уравнений основан на введе-
введении вспомогательного угла.
Разделив обе части данного уравнения на л/а2 + 62, получим урав-
уравнение
COS X + ¦
sin ж =
равносильное уравнению A).
а \2 ( Ь
Так как
что
= 1, то существует такой угол
Ъ
= cosy?.
Поэтому данное уравнение можно переписать в виде
с
cos х • sin <p + sin x • cos ip =
или sin
B)
• C)

§ 6. Тригонометрические уравнения
403
Если
шения:
1, или с2
62, то получим следующие ре-
х — —<р -У (—l)k arcsin ¦
где ip определяется из формул B).
Если с2 > а2 + 62, то уравнение A) не имеет решений.
Примеры.
1. \/3 sin Зж - cos Зж = 1.
Решение. Имеем tg — • sin Зж — cos Зж = 1, или sin — • sin Зж — cos Зж х
тгтг	/	тг\	1	^ тг	2
х cos — = cos —, откуда следует cos (Зж + — 1 = — -; ох-У- = =Ь-тг + 2тгА:.
О	О	\	О /	А	О	О
ел	ел
Ответ: х\ 2 = - ък	± - тг.
'3 9 9
А • О S1U «?/ "т" ^t l^US Ju — О .
3	4
Решение. Запишем данное уравнение в виде - sin x -У - cos x = 1
3	4
и введем вспомогательный угол ю: - — coscp; - = simp.
о	о
Так как simp > 0 и cosy? > 0, то в качестве ср можно взять угол
. 4
ip = arcsin -.
Получаем уравнение sin (х + ip) = 1, откуда х -У <р = — + 2&тг, или
х -У arcsin - = — -
о 2
Ответ: х — —У 2ктг — arcsin -.
А	о
3 ад ач и.
Решить уравнения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
sinx + \/3 cos ж =
sin ж — л/3 cos ж =
sin х -У cos х = 1.
3 sin ж-cos ж = 3
2sinx + 3cos? =
A-6).
= 1.
= 2.
4.
»/~vc I у Т* —1— 1
#1
) = 2.
ж = (-
ТГ
2 '
-</?-iY
Ответы.
1 ч ^ тг тг ,
ж = - 7г + 2тгА:.
6
-2тг&; ^2 = 2тг/г.
= 2arctg2 + 27rA;.
Нет решений.
arcsin — Ч- тгА; —
О
о
о
где ср = arctg -.
4
7. Решение некоторых других задач
Примеры.
Решение, sin x A + cos ж) - A + cos x) = cos2 ж; A + cos x) x
х (sin х — 1) = cos2 ж; — A — sin х)A-У cos ж) = A — sin х)A-У sin ж);

404	Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
A — sinx)(l + sin ж + 1 + cos ж) = 0, откуда получаем два уравнения:
1 — sin х = 0 и sinх + cosx + 2 = 0.
а)	sinx = l; ж = —Ь2тг&;
б)	sin ж + cos х = —2. Это уравнение не имеет корней, так как од-
одновременно не могут выполняться равенства sin ж = — 1 и cos ж = — 1.
Ответ: х — —Ь2тг&.
2.	secx = '
Решение. l = 4sinx-(
Это уравнение равносильно данному, так как х не является реше-
решением последнего уравнения при cos ж = 0.
Далее, sin2 ж + cos2 ж = 4sin ж • cos ж + 6cos2 ж, или sin2x-4sinxx
х cos ж — 5 cos2 ж = 0, откуда tg 2х — 4tg х — 5 = 0:
а)	tgx = 5, х = arctg5 + 7r& A-й ответ);
б)	tg ж = — 1, х — — — -\-7гк B-й ответ).
о . 4	4	3 —COS6X
3.	sin ж + cos х —	.
4
Решение. Выделим в левой части полный квадрат:
2 т , _2 ч2 о™2	2	3-
/ • 2 ,	2 \2 г» • 2	2
(sin х + cos х) — 2 sin x • cos x =
ИЛИ	.	о_
l--sin22x =
2 — —	4
1	3 1
Далее, 1	A —cos4x) =	cos6x.
4	4 4
Отсюда cos6x = — cos4x, или cos6x = cos(tt — 4ж).
Из последнего уравнения следует 6х =Ь (тг — 4ж) = 2тг&:
а)	2х = —7т-\-2nk; х\ —	\-7тк A-й ответ);
б)	10ж = тг + 2тг&; Х2 =	I	B-й ответ).
1U о
Если во 2-м ответе брать значения к = 5п — 3, то получатся реше-
решения 1-го ответа, т. е. 1-й ответ есть частный случай 2-го.
Ответ: х = — + —-.
1U о
4. cos3 х + sin3 x = cos 2x.
Решение, (cosx + sinx)(cos2x — cosx • sinx + sin2x) = cos2x — sin2x;
(cos ж + sin x)(l — cos x • sin ж — (cos ж — sin ж)) = О:
6) 1 — (cosx — sinx) — cosж -sinж = 0.
Пусть cos ж — sin x = ?, тогда 1 — 2 cos x • sin x = ?2 и cos ж • sin x =	.
Далее, 1 — t	= 0, или t2 — 2t + 1 = 0, откуда t±^ = 1. Тогда
= 1 и cos ж + — =——; ж + — = ±— + 2тгк.
V 4/ 2 '	4	4
7Г	7Г
Ответ: хл=	Ьтг/ъ: хо ^ 2тг/ъ: х% =	Ь2тг&.
4	2

§ 6. Тригонометрические уравнения	405
5. cos22x + - sin24x + l = sin4x-cos2x + sin2x.
4	1
Решение, cos2 2ж - sin 4x • cos 2x + - sin2 4ж + cos2 ж = 0;
4
2
Полученное уравнение равносильно системе
( cos х = О,
1 cos2x- - sin4x = 0.
Первое уравнение имеет решения х — —Ьтг&, но эти значения х
не удовлетворяют второму уравнению, поэтому исходное уравнение
решений не имеет.
7Г X	7Г	X	7Г
Решение. Пусть — — — = у, тогда — — у = — и х — — — 2у. Сле-
Следовательно,
Пусть tg у = ?; решая уравнение 2?4+?2 — 1 = 0, получаем: t±^ = =^~^~5
корни ^з,4 не являются действительными. Итак, у = zbarctg—- + тгк.
Ответ: х\^ — — T^arctg	Ь2тг&.
7.	g
Решение. sin4x = 2sin2x -cos2x =
cos 2x + sin 2ж 1 + tg 2x
Исходное уравнение принимает вид
U2
Умножаем это уравнение на l + tg22x (l + tg22x > 0) и получаем
уравнение, равносильное исходному:
tg32x - 2tg22x + 3tg 2x - 2 = 0;
(tg 2x - 1) (tg22x - tg 2x + 2) = 0.
а)	tg2x-l = 0; 2x = j + тгк; х = - + ^;
б)	tg22x — tg 2x + 2 = 0; это уравнение не имеет действительных
корней.
Ответ: х = — + -—.
8 2
8. sin4x + 3sin2x = tgx.
Решение. Преобразуем это уравнение следующим образом:
2 sin 2х • cos 2х + 3 • 2 sin х • cos ж = tg x;

406	Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
а • /л 2 1 \ , п • sin ж
4 sin ж • cos ж B cos х — 1) + о sin х cos ж =	,
COS X
и далее:
4 sin ж cos2 ж B cos2 ж- 1) +6 sin ж cos2 ж-sin ж = 0, cos ж / 0;
sin ж D cos2 ж B cos2 ж — 1) + 6cos2x — 1) = 0:
а)	sinx = 0; х = 7гк;
б)	8cos4x + 2cos2x-l = 0;
2	-1±л/ТТ8 -1±3	2	1	2	1
cos ж =	=	; cos ж = - или cos х<± — —.
8	8	4	2
Последние корни не годятся.
Ответ: Ж1 = тг&, Ж2,з = =Ь—Ь2тг&, ?4,5 = =^~ тг + 2тг&.
9. 3sinx + у sin2x + 3cos2x = 5cos ж.
Решение. Рассмотрим три случая.
1)	cos ж = 0, тогда sin ж = =Ы и данное уравнение не удовлетворя-
удовлетворяется. Этот случай не дает решения.
2)	cos ж > 0; пусть tg х = ?, или sin ж = tcosx, тогда имеем
3? cos х + \/{t2 + 3) cos2 x = 5 cos ж,
или
3tcosx + |cosx| v t2 + 3 = 5cosx.	A)
Далее, так как cos ж > 0, то из A) получаем
3? + лЛ2 + 3-5 = 0.	B)
Освобождаясь от радикала и упрощая, имеем
4?2- 15* + 11 = 0.	C)
Это уравнение имеет два корня: t\ = 1 и t2 — —. Однако второй ко-
корень не годится, поскольку он не удовлетворяет уравнению B). Первый
корень t\ — 1 этому уравнению удовлетворяет и мы имеем tg ж = 1,
откуда х — — Ч- /jtt. Но cosx > 0, поэтому решение имеет вид х —
4
3) cos ж < 0, тогда из уравнения A) получаем
D)
Дальнейшие преобразования вновь приводят к уравнению C) с
корнями t\ — 1 и ?2 — ~2~- Однако уравнению D) удовлетворяет только
второй корень *2 — -г- Имеем tg ж = —, откуда х — arctg— + ктг.
4 4 11
Но cos ж < 0, поэтому решение примет вид х = arctg	\- тг + 2ктг =
= arctg у + B& + 1)тг.
Ответ: х\ — — + 2&тг; ^2 = arctg —+ BА: + 1)тг.

6. Тригонометрические уравнения	407
10 ( sin2 (ж + 2/) - ^ sin (ж + 2/) + - = 0,
Решение. Из первого уравнения находим
sin (x + у) = - или sin (x + у) = -.
Следовательно, данная система разбивается на две системы:
1	(	1
2' 2) ч	3'
Решим первую систему.
Из второго уравнения находим у = - х — - и подставляем в первое:
о о
" 2; зж з ~^ } 6
Таким образом, получаем первую серию решений данной системы:
_,_i\kj[_ ,4 3
2 Л ,4fc тг , 4 , 3 Л 4 , ,4fc тг 4,2,
Подобным образом решаем вторую систему и получаем вторую
серию решений данной системы:
3 / iXi, .1 4 3,
2 = - (-1)Л arcsin - + - + - тгА;,
о	3 5 5
2 = ^ (-1)Л arcsin - - - + - ттк.
Многие тригонометрические уравнения допускают несколько спо-
способов решений, причем не всегда можно предвидеть, какой способ
предпочтительней для рассматриваемого уравнения. Следует, одна-
однако, иметь в виду, что различные приемы решения одного и того же
уравнения могут привести к разным по виду ответам, но эти ответы
должны тождественно преобразовываться один в другой.
11. Решить уравнение 2 sin х — 3 cos х = 1.
Решение. 1-й способ.
Выразим функцию синус через косинус, чтобы уравнение содержало
одну функцию:
2(=b\/l-cos2x) = l + 3cosx; 4-4cos2x =
1Q 2 , a on -3±л/9 + 39 -3±л/48
13cos x + ocosx — 3 = 0; cosx =	=	;
lo	lo
, -3±л/48 , o
x = zbarccos	h 2тгп,
или приближенно

408	Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
х « =barccosO,30 + 27rn и х « =Larccos(—0,76) + 2тгп.
Проверим полученные корни:
2sin(±arccos 0,30 + 2тгп) -3cos(±arccos 0,30 + 2тгп) =
= ±2sin (arccos 0,30) - 3cos (arccos 0,30) = ±2 i/l-0,302 - 0,9.
Получаем два значения: «1 и « — 0,28.
Следовательно, уравнению удовлетворяет только корень
-З + л/48 , о
х = arccos	Ь 2тгп.
Аналогично проверяется вторая пара корней.
~ -З + л/48 , о -З-л/48 , о
Ответ: х\ — arccos	—	\-2тгп и ^2 = —arccos	—	Ь 2тгп;
1	1
приближенно Ж1«1,27 + 2тгп и ^2 ~ — 2,43 + 2тгп.
X
2-й способ. Выражаем sin ж и cos ж через tg — = у (см. решение
задачи 1356 раздела II):
1+у	1+у
Ответ: х = 2arctg ( — 1 =Ь л/3) +2тгп; приближенно a?i ~ 1,27 + 2тгп
и ж2~ -2,44 + 2тгп.
3-й способ (приведение к однородному уравнению):
2sin2(|)-3cos2(f)=l;
4 sin — cos	3 cos	sin — = cos —h sin —;
2 2 V 2	2/	2	2'
sin2 —h 2 sin — cos	2 cos2 — = 0.
X	XX
Производим замену: sin — = t • cos —; cos — / 0. Тогда
2 ! + 2?cos21 - 2cos21 = 0, cos2 |(t2+2^-2) = 0; ?2 + 2t - 2 = 0.
t2cos
Продолжение решения совпадает с предыдущим способом.
4-й способ (введение вспомогательного угла).
Пусть - = tg (p ((p = arctgl,5), тогда уравнение примет вид sin ж —
2 1
— tgtp cos ж = -. Далее,
SllKf	1	.	1
sin ж	— cos х = -; sin ж cos <z? — sin <z? cos x — - cos <z?;
cos <p	2	r	r	2
sin(# —<p) = - cosy?; x — ip = (-l)narcsin f- cos(/?J +тгп;

' 6. Тригонометрические уравнения
409
х = y? + (-l)narcsin ( - cosy?) +тгп.
Сравним этот ответ с ответами предыдущих способов решения:
у? = arctgl,5 « 0,983; cosy? « 0,555;
arcsinQ cosy?) = arcsinO,277 « 0,281; ж « 0,983 + (-1)п0,281 + тгп.
При четном п = 2к имеем xi « 0,983 + 0,281 + 2тгк = 1,26 + 2тгк.
При нечетном п = 2к-1 имеем xi « 0,983 - 0,281 + тгBк - 1) « 0,983 -
— 0,281 -3,14 + 2тгА: « -2,44 + 2тг&.
Расхождения на 0,01 в решениях, полученных различными спосо-
способами, объясняются неточностью вычислений.
3 ад ач и.
Решить уравнения A-38).	Ответы.
1. cos х + sin x =
2.
3.
—sinx) = 1 —
— Dп-1); 2птг; — Dn-l).
^Bп + 1);2птг; ?Dn + l).
(ж	ж\2
sin — — cos — j .
5. ctg (-^- + ж) -tg2x = (cos2x - 1) sec2x.
тгп; тгп=Ь —.
6
птг; ^
6.
4 ctg x
1 + ctg ж
7.	ctg4 2ж + cosec4 2ж = 25.
8.	3 + 2sin52x = sir
1
4
10. - (cos bx + cos 7ж) - cos2 2x + sin2 Ъх — 0.
12.	(sin ж + cos жL + (sin x -cos жL + sin 4x = 3.
13.	2cos2x-3\/3 cos ж-sin ж-sin2 ж = -5.
14.	cos 9x - cos 7ж + cos Зж - cos x = 0.
15.	sinx-4sin3x-cosx = 4cos2x -sinж.
16.	4 cos2 ж — 2 sin ж -sin2x = sin4x -sin ж.
17.	cos34x — sin3 ж -sin3x = cos3 ж -cos3x.
18.	cos3ж + cos2ж — 4cos2 — = 0.
П7Г; —+П7Г.
JDn-1).
, 7Г П7Г
12 "'
Решений нет.
П7Г 7Г
19.
= 5.
A:7r-arctg-.
о
ктг
~3~'
тгBп + 1).
JB» + l).

410
Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
2 sin3 x — cos 2x — sin x = 0.
8со84Ж-8со83Ж-<
2(tgf-l)=co8a;
С08бЖ = 28т(^ +
22tgf-coso; _4_
со82A9тг + 3Ж-1) =
28т2Ж-38тЖ-со8
л/3 —tg ж = tg f ^ -
X)S Ж + 1 -
2x\.
-sin —
X ~t~ COS «,
4 sin2 ж — 4 sin x • cos ж + cos2:
sin2 ( —\-x) —sin2
\8 /
E + 2cos2x) sin4x-
5sin2x-4cosx.sin
(sin2x-cosec2xJ-
2tg2x + tg3x = tg
sin3x -cosж -sinx •
. 3 x 3 x
sin - — cos - i
2 2 _ X
cos ж B +sin ж) 8
8 cos ж .j
ctg2f-tg2|
(|-ж)
= 0.
: = 0.
c = 0.
c = 0.
= sinx.
¦1-3 = E + 2cos2a;)co
x + 3 cos:
f(sec2a;
cos3 ж =
20тг
2ctg ж
l + ctg2ж
1 x = 0.
-СО8 2ЖJ =
Q
О
JBn
f B/
Ответы.
+ 1); |Dn-l).
2/^тг; — F A; dz 1).
f DA + 1).
fc + l);±J + ^.
^; JBA + i).
f+2fc7T.
12
1-
(.
ft
о
к-к, arctg- -h/стг.
А:тг; —h/^7r.
arctg- + ^тг.
А:тг; ±— + А:тг.
iJ + fcTT.
Решений нет.
?Bfc + l).
Атг; ^B* + 1).
_l)*+i.JL + *ZL.
Решений нет.
7Г f4fc ^
8
§ 7. Рациональные неравенства
Примеры.
1. Решить неравенство
ж2-8ж + 7
ж-3
Решение. Здесь х / 3 (при х = 3 левая часть не определена).
Будем решать неравенство методом интервалов (см. учебник).

§ 7. Рациональные неравенства
411
Данное неравенство равносильно неравенству
Корнями функции f(x) являются различные действительные чис-
числа: 1, 3, 7.
Отметим их на числовой оси и изучим изменение знака функ-
функции f(x) на полученных четырех интервалах: — ос < ж < 1, 1 < ж < 3,
3 < ж < 7, 7 < ж < ос (рис. 52).
Рис. 52
1.	Если х < 1 (меньше меньшего корня), то все множители отри-
отрицательны. Схематически знаки множителей можно изобразить так:
НИН <0; отсюда /(ж)<0.
П. Если 1 < х < 3, то имеем (+)(-)(-) > 0, f(x) > 0.
III.	Если 3 < х < 7, то имеем (+)(+)(-) < 0, }(х) < 0.
IV.	Если 7 < х < ос, то имеем (+)(+)(+), f(x) > 0.
Эти изменения знака функции схематически изобразим на рис. 52
и получим ответ: 1<ж<3; 7<ж<оо.
2.	Решить неравенство
х-2 2х-3
х + 2 ^ 4ж-Г
Решение. Здесь х ф —2; х
часть и приведем к общему знаменателю:
-. Перенесем все члены в левую
или
^
(a. + 2)Ds-l) ^ '	(я + 2)Dя-1)
Это неравенство равносильно исходному.
Числа х\ — \ и Х2 = 4 являются решениями неравенства. В даль-
дальнейшем, полагая х ф\ и ж / 4, будем решать неравенство
-2
Рис. 53
Строим числовую ось и на ней схему решений (рис. 53).
Ответ: -2 < х < -; 1
х ^ 4.

412	Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
Замечание. Неравенство (х — 2)Dх — 1) ^ Bх — 3)(х + 2) не рав-
равносильно исходному, так как выражение (ж + 2)Dж — 1) может быть и
отрицательным.
Метод интервалов применим для решения рациональных нера-
неравенств и более сложного вида.
Предварительно познакомимся с некоторыми дополнительными
сведениями.
Целой рациональной функцией называется функция вида
f(x) = A0xn + A1xm-1 + A2xn-2 + ...+An-1-x + An,	A)
где А{ — любые действительные числа (Aq / 0), п — любое натураль-
натуральное число. Эту же функцию называют целым многочленом степени п.
Рациональной функцией называется отношение двух рациональных
функций Р(х) и Q(x):
т
с	* р(х)
Будем предполагать, что дробь ; : несократима, числитель и знаме-
г	„ Q(x)
натель не имеют общих корней.
Рациональным неравенством называется неравенство у > 0 или
у < 0, где у — рациональная функция с действительными коэффи-
коэффициентами.
Доказывается, что всякая целая рациональная функция A) с дейст-
действительными коэффициентами может быть разложена на множители в
следующем виде:
Р(х) = Аъ(х-а1)к1...(х-аг)кг • (х2+p1x + q1)h...(x2+psx + qs)ls,
C)
где ai, ..., аг; рь ..., ps; </i, ..., qs — действительные числа; &ь ..., кг;
/i, ..., ls — натуральные числа; все трехчлены х2 + piX + qi не имеют
действительных корней. Числа ai, а2, ..., аг являются всеми действи-
действительными корнями функции Р(х), причем число ki называется крат-
кратностью корня di.
Например, в разложении
Р(х) = х13 + 2х12 - 2х7 - 4ж6 + х + 2 =
рассматриваемая функция имеет один действительный простой ко-
корень —2 и два действительных кратных корня —1 и 1, кратность
каждого из которых равна 2.
Аналогично разложению C) имеем
D)
где &i, ..., bt] ci, ..., се; rfi, ..., de — действительные числа; mi, ..., m^;
ni, ..., ne — натуральные числа; все трехчлены х2 + CiX + di не имеют
действительных корней.

§ 7. Рациональные неравенства	413
Числа bi,...,bt называются действительными полюсами функ-
функции B). Число rrii называется порядком (или кратностью) полюса 6^.
Таким образом, всякое рациональное неравенство может быть пред-
представлено в виде
_ Л0(х - ai)kl.. .(х - аг)кг -(х2 +pix + qi)ll...(x2 +psx + qs)ls ~
У~ ()mi()mB	)niB	)n
E)
Следует заметить, что все трехчлены х2 + piX + qi, x2 + с^х + dk
положительны при всех действительных значениях х: корни всех
этих функций, по пред пол ожению, комплексные, а коэффициенты
при х2 равны 1 (> 0). На такие трехчлены неравенства можно
сокращать.
Если аргумент х изменяется в интервале, граничными точками
которого являются либо два действительных корня функции у, либо
два действительных полюса у, либо один действительный корень и
один полюс у, то у в таком интервале сохраняет соответствующий
знак.
В двух соседних интервалах функция у принимает значения про-
противоположных знаков, если общая граничная точка интервалов яв-
является действительным корнем или полюсом нечетной кратности, в
частности, простым корнем или простым полюсом, когда кратность
равна 1.
Если же общая граничная точка интервалов является корнем или
полюсом четной кратности, то в обоих интервалах функция у имеет
один и тот же знак.
3. Решить неравенство
_ (х2 - х + 1)E - 2х)(х + 5)(ж + 2)(х - IJ Q
У~	(ж-2J(ж + 1K(Ж2 + ж + 1J
Решение. Здесь х / 2; х / —1. Трехчлены (х2 — х + 1) и
[х2 + х + IJ при всех значениях х положительны, поэтому данное не-
неравенство на них можно сократить, и получим неравенство, равно-
равносильное исходному.
Знак (х + IK совпадает со знаком (ж + 1), а поэтому, не нару-
нарушая равносильности неравенства, выражение (ж + 1K можно заменить
на (ж + 1).
Множитель E — 2х) разделим на —2. Это равносильно тому, что
все неравенство разделено на —2; вследствие этого знак неравенства
необходимо поменять на противоположный.
Окончательно получим приведенное неравенство, равносильное ис-
исходному, следующего вида:
У =

414
Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
Корни и полюсы данной функции у расположим в порядке воз-
возрастания: —5; —2; —1; 1; 2; 2,5 и отметим на числовой оси (рис. 54).
-5
-2 -1 О
Рис. 54
2 2,5
В данном случае целесообразно идти слева направо вдоль оси.
(Как правило, следуют в таком порядке.)
При всех х < — 5 имеем у > 0. Далее знаки у функции у будут чередо-
чередоваться при прохождении через простые корни и полюсы, соответственно
х = —5; х = — 2 и х = — 1 (рис. 54).
При прохождении через х = 1 — корень функции у четной крат-
кратности — знак (минус) функции не меняется, и при прохождении через
х = 2 — полюс функции четного порядка — знак (минус) функции также
не меняется. Корень х = 2,5 — простой действительный корень, знак
функции при этом меняется с минуса на плюс.
Итак, окончательный ответ:
-ос < х < 5; -2 < х < -1; 2,5 < х < ос.
Многие неравенства других типов приводятся к рассматриваемым
рациональным неравенствам.
3 ад ач и.
Решить неравенства A-22).	Ответы.
Зж -10ж + 3
2
2.
— оо
1
з;
оо.
3.
4.
1-х
х — 1 х +1 ~
х х — 1
ж — 2 ж — 1 ж
7	9
<
(ж-2)(ж-3) 3-ж
(х + 2)(х2-2х + 1) ^
4 + Зж-ж2
-оо < х < —1; 1 < ж < оо.
-оо < ж < -1; 0 < ж < 0,5; 1 < х < оо.
-\/2<ж<0; К ж < л/2; 2<ж<оо.
-5< х < 1; 2<ж <3.
-оо < ж < -2; -1 < ж < 4.
7.
8.
9. 5
ю.
Зж-2-ж2 7ж-4-Зж2
4
-оо < ж < 1; -
ж-ж-30
1
х — 4ж — 5
— оо < х < —5;
2; 6 < х < оо.
-1 < ж < 5.

8. Иррациональные неравенства
415
Ответы.
11.
<4	+
ж-5	5-ж ж2-25
-оо<Ж<-2;
4
-2 < х < -1,5;
+ 3)(ж2-4)	к . „, . _
-8<ж<-6,5; 0 < ж < 5.
х: 25 3; 4; 5.
(найти целочисленные
решения).
9. о. л. р:
(найти целочисленные	' ' '
решения).
-7 < ж < -4; -4
1,6; 2,5^ ж < оо.
§ 8. Иррациональные неравенства
Основной способ решения иррациональных неравенств заключа-
заключается в том, что, используя соответствующие свойства функций и нера-
неравенств, их сводят или преобразовывают к рациональным неравенствам.
Эти рациональные неравенства или системы неравенств обычно по-
получаются при наложении ограничений на неизвестное и возведении
неравенств в степень.
В некоторых случаях решения неравенств получаются непосредст-
непосредственно из исследования области определения левой и правой частей
(или одной части) заданного неравенства.

416	Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
Примеры.
1.	^/х~> -1.
Левая часть неотрицательна и неравенство справедливо при всех ж,
при которых она имеет смысл, т.е. при х ^ 0. Это и есть решение
данного неравенства.
Ответ: 0 ^ х < ос.
2.	л/х + 2 + ^/х-Б ^ у/Ъ-х.
Область определения левой и правой частей неравенства находится
из неравенств ж + 2 ^ 0, ж - 5 ^ 0, 5 - ж ^ 0, или ж ^ -2, ж ^ 5, ж ^ 5.
Эта система неравенств имеет единственное решение х = 5. В этом
случае какие-либо преобразования исходного неравенства излишни.
Достаточно проверить, удовлетворяется ли оно при х = 5. Непосредст-
Непосредственная проверка показывает, что х = 5 есть решение неравенства.
3. у/(х + 2)(х-3) <х + 7.
Область определения левой части неравенства х ^ —2 или х ^ 3.
Правая часть по смыслу должна быть положительной (так как левая
часть неотрицательна): х + 7 > 0, откуда х > —7.
При этих условиях после возведения в квадрат исходного нера-
неравенства получаем равносильное неравенство
11	9
х2-х-6 < ж2 + 14ж + 49, или 15х > -55; х>-— = -3-.
о	о
Из полученного неравенства выбираем те интервалы значений ж,
которые удовлетворяют неравенствам х ^ — 2, ж^З и х > —7.
2
Ответ: -3 - < ж ^ -2; 3 ^ ж < ос.
2-ж
Указание. Должны быть выполнены условия:
2.
2-х	'
Данное неравенство равносильно системе неравенств
B-хJ
Решение этой системы дает ответ:
1 ^ ^ П-л/153
5. ж2 + \/ж2-Зж + 5>Зж + 7.	A)
Трехчлен х2 — Зж + 5 положителен при всех действительных значе-
значениях ж, поэтому областью определения данного неравенства является
интервал — ос < х < ос.

§ 8. Иррациональные неравенства	4YJ
Исходное неравенство перепишем так:
х2 - Зж - 7 + лЛ2-Зж + 5 > О,
ИЛИ
/
2 - Зж + 5 + V ж2 - Зж + 5 - 12 >0.	B)
Обозначим у/х2 -Зж + 5 = у, у > О, тогда
Вспомогательная функция f(y) имеет два корня у\ — — 4 и у2 = 3.
Неравенство C) имеет место при у < — 4 и при 2/ > 3. Но неравенство
у < — 4 отпадает, поэтому используем только неравенство у > 3. Имеем
Уж2 — Зж + 5 > 3, или х2 — Зж + 5 > 9, или ж2 — Зж — 4 > О, или (х + 1) х
Ответ: —ос < ж < —1; 4 < ж < ос.
Область определения левой части находится из соотношений
1 - 8ж2 ^Оиж^О, откуда 0 < х ^ —— и	— ^ х < 0. В соответст-
2V2	2V2
вии с этим будем рассматривать два случая:
а) 0 < х ^ ——. Так как х > 0, то исходное неравенство равно-
равносильно следующему: 1 — д/1 — 8ж2 < 2ж, или 1 — 2ж < д/1 — 8ж2. Для
рассматриваемых ж обе части неравенства неотрицательны, поэтому
после возведения в квадрат получим равносильное на (О; — нера-
неравенство A-2жJ < 1-8ж2, откуда 12ж2 < 4ж, или Зж < 1 (при х > 0),
или х < -. Значения ж в промежутке 0 < ж < - и будут решениями
исходного неравенства, поскольку этот промежуток является частью
промежутка 0 < х ^ ——.
б)	— < х < 0. При этих значениях х числитель левой час-
2л/2
ти исходного неравенства неотрицателен, поэтому для х < 0 данное
неравенство очевидно. Значит, все х из промежутка	— ^ х < 0
являются решениями данного неравенства.
Ответ:	— ^ х < 0; 0<ж<-.
2V2	3
3 ад ач и.
Решить неравенства A-18).	Ответы.
ос < х ^ 0; 4,5 < х < ос.
— ос <ж^1; 5<ж< ос.

418
Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
1-х
< 1.
ж + 3
л/24-2ж-ж2
< 1.
Ответы.
— оо < ж < —; 1 ^ х < ос.
о
— оо < х < —-.
—5 ^ х < —1; 1 < ж < оо.
-3<ж < 1.
о
-\/2Т< ж < оо.
Нет решения.
-л/13 < ж ^ 1; 2^ж< л/13.
— оо <
— оо < ж
74
^ —2; 5 ^ х < —.
1о
—3; — < х < оо.
4
> 1.
л/7
< 00.
§ 9. Показательные и логарифмические неравенства
При решении показательных и логарифмических неравенств широ-
широко используется понятие области определения показательных и лога-
логарифмических функций, а также общее свойство этих функций — их
монотонность.
Функции у = ах и у = loga х при а > 1 являются монотонно воз-
возрастающими, а при 0 < а < 1 — монотонно убывающими.
При решении показательных и логарифмических неравенств про-
проверка трудно выполнима, поэтому следует избегать неравносильных
преобразований.
Примеры.
1. 5Ж < б6*.
Решение. Областью определения данного неравенства является
вся числовая ось: —оо < х < +оо. При основании а = 5 > 1 меньшему

§ 9. Показательные и логарифмические неравенства	419
значению функции соответствует меньшее значение показателя:
х — 6 < 6х — 1, или Ьх > —5.
Ответ: -1 < х < ос.
,3>
Решение. Исходное неравенство можно записать так:
Левая часть неравенства определена на всей числовой оси, кроме точ-
точки х = 3; —оо < х < оо, х фЪ.
При а = - < 1 мы имеем монотонно убывающую функцию. Поэтому
о
меньшему значению функции соответствует большее значение пока-
показателя.
х -Ь1
Получаем неравенство 	 > 0, равносильное исходному. Решая
его, находим — 1 < х < 3.
3. i/2E* + 24) -
Решение. Область определения неравенства находится из ус-
условия 5Ж — 7 ^ 0 и является интервалом log5 7 ^ ж < оо.
Исходное неравенство равносильно неравенству
+ 24)
Так как обе части этого неравенства неотрицательны, то после
возведения его в квадрат и соответствующих упрощений получаем
равносильное ему на том же интервале неравенство 24 ^ л/Ь2х —49.
На том же интервале обе части этого неравенства неотрицатель-
неотрицательны, и, возводя его в квадрат, снова получаем равносильное исходному
неравенство 52ж ^ 625, откуда — оо < х ^ 2. Учитывая область
определения исходного неравенства Iog57 ^ х < оо, получаем ответ:
4. 4ж2 +
Решение. Обе части неравенства определены при х ^ 0. Имеем
или	Г-
2Bж2 - х - 3) - Bж2 - х - 3) • 3^ < О,
или
2
Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем:
Г 2ж2 - х - 3 > О,	Г 2ж2 - ж - 3 < О,
3
-
Эти два интервала и составляют ответ.
3	о
Из первой системы получаем - < х < — оо, из второй 0 ^ х < Iog32.

420	Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
5.
Решение. Область определения левой части неравенства нахо-
находится из условия \gx ^ 0 и представляет собой множество х ^ 1. При
х = 1 левая часть обращается в нуль, вследствие чего это значение
переменной решением неравенства не является.
Ответ: 1 < х < ос.
6.	Iog2_x(x-S)>5.
Решение. Область определения левой части неравенства нахо-
находится из условий: х — 3 > 0, 2 — ж > 0, 2 — х ф 1. Но неравенства
х — 3 > 0 и х — 2 < 0 не имеют общих решений, поэтому данное
неравенство решений не имеет.
7.	Ig(x2-6x + 18) < 1.
Решение. Левая часть неравенства определена на всей числовой
оси (х Е R), поскольку при любом х справедливо неравенство х2—
-6ж + 18>0, или (ж-3J + 9>0.
Исходное неравенство можно переписать так: lg (х2 — 6х + 18) <
< lg 10. При основании а = 10 > 1 меньшему логарифму соответствует
меньшее число. Получаем равносильное неравенство х2 — 6ж + 18 < 10.
Отсюда (ж-3J < 1, или —1 < ж —3 < 1.
Ответ: 2 < х < 4.
8-
Зж — 1
Решение. Здесь 	^ 1 и х ф 2. Обе части неравенства неот-
неотрицательны, поэтому после возведения их в квадрат получаем равно-
равносильное неравенство
! Зж — 1 1 , Зж — 1 , о Зж — 1 о
1о§2 ^	< !» откуда log2	< log2 2 и	< 2.
А — Ж	Z — Ж	Z — Ж
Таким образом, имеем систему неравенств
Зж-1
2-ж ^ '
Зж-1
2-ж
из которой получаем равносильную систему
4ж - 3
2-ж ' '
ж — 1 Л
ж-2
О
Решая эту систему, находим - ^ ж < 1.
9. т^ + -
+	>1.
lga; I —lgrc
Решение. Должны выполняться условия: ж > 0; ж ф 1; ж / 10.
После соответствующих преобразований получаем следующее рав-
равносильное неравенство:

§ 9. Показательные и логарифмические неравенства
421
Решений нет.
Решение 1 < х < 10.
lgx(l-lgx)
Числитель lg x — lgx + l>0 при любом допустимом значении пе-
переменной х, так как D = 1 — 4 = — 3<0 и а = 1 > 0. Поэтому должно
иметь место неравенство lgx(l — \gx) > 0, или lgx(lgx — 1) < 0.
Из последнего неравенства будем иметь:
( \& г < (\	(О < т < 1
\lgx-l>0;	\lgx>l, x > 10.
Г lgx > 0,	Г ж > 1,
\lgx-l<0;	\lgx<l, ж < 10.
Ответ: 1 < ж < 10.
7 —Зж
10. log^	— log1 /^2\х + 2) > — log^^/2 4.
Решение. Должны выполняться следующие ограничения:
ж + 2>0, 7-Зж>0, или -2<х<\.
Так как — Iog1/V^(
неравенства получаем неравенство
и — log1/24 = 2, то из исходного
— Зж) > 2, или Iog2G — Зж) > 1
(область его определения — оо < х < - ). Решая это неравенство, находим
5	7	5
< —. Учитывая, что —2 < х < -, получаем ответ: —2 < х < -.
о
3 ад ач и.
Решить неравенства A-32).
Ответы.
1. 7х >7.	-1<ж<оо.
3. @,3)ж< 0,027. 3<ж<оо.
5.
7.	1
8.	З
9.	4
10.
- <х
о
оо.
2) > 1.
81.
^320.
ж <24.
Ответы.
2. 3"ж >27.	-оо < х < -3.
4. л/2^-л/3^<36. -оо<ж<4.
6. @,4)ж< B,5L. -4<ж<оо.
Ответы.
— оо < х < —1; 2 < ж < оо.
11.	2-Зж+1-4.3ж-2 > 150.
12.	7ж+2 + 4-7ж-1 <347.
13.
14.
15.	log3x < 2.
16.	log06x^ 1.
17.	log, 13 > log, 11.
3
-оо
-3
^ X
< X
< X
-оо <
3
1
0,6
1
< X
< V
^ Т
<
<
<
00.
00.
00.
X < 1.
< 00.
<
<
<
11.
00.
00.

422	Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
Ответы.
18.	log^@,5) <log^l7.	1<ж<ос.
19.	Iog2(l-x) > -3.	-ос<ж<^.
20.	lgx2^lgEx-4).	1^ж^4.
21.	\gEx + x-20)> x-x\g2.	20<ж<ос.
22.	22ж+1 + 2^21.2-Bж+3).	log2^^x<oo.
/—
23.	21og4x-ilog2(x2-3x + 2) <cos^.	0< ж < ~3
24.	log^(x2-6x + 5) >0.	3-л/5<ж < 1; З + л/5 <ж < ос.
25.	Iog^_2(x2-8x + 15) >0.	4-\/2<ж <3; 4 + \/2 <ж < оо.
^\jm lviw.i /о JU 	 YKJ^Lrn kj — •	\J — JU — X. \/ О ^— JU — *j •
27.	loga.2-log2a.2>log^2.	2/3<ж<оо, но хф\\ \\ \.
2
28.	log05log8^ ~ Ж <0.	3<ж<4; 6<ж<оо.
x — о
30. log,, ^Zl > 0.	i < ж < 1; 1< ж < 2.
7* -I- 1	"
Г	0<,<;
32. 4xlog5x > (ж2 + 3) log5x.	О < ж
§ 10. Тригонометрические неравенства
1. Простейшие тригонометрические неравенства
С простейшими тригонометрическими неравенствами мы позна-
познакомились в начале изучения тригонометрии. Например, мы отмечали,
что если аргумент х изменяется в пределах I четверти @ ^ х ^ — J, то
тригонометрические функции sin ж и cos ж изменяются соответствен-
ту f\
Законы изменения тригонометрических функций при изменении ар-
аргумента х и лежат в основе решения тригонометрических неравенств.
При решении этих неравенств в качестве вспомогательного средст-
средства часто используются графики соответствующих тригонометрических
функций или тригонометрический круг.
Решим сначала простейшие неравенства.
Примеры.
1. sinx > 0.
Решение. Функция sin x положительна в I и II четвертях.
7Г	7Г
Если 0 < х ^ —, то 0 < sinх ^ 1; если — < х < тг, то 1 > sinx > 0.

10. Тригонометрические неравенства
423
Первым интервалом, на котором выполняется данное неравенство,
можно считать интервал 0 < х < тг.
При сдвиге интервала @; тг) влево и вправо на расстояние, крат-
кратное 2тг, получим бесчисленное множество интервалов, на которых
выполнено данное неравенство.
Ответ: 0 + 2&тг < х < тг + 2&тг, k e Z.
2. - <smx < -.
Решение. 1-й способ. Воспользуемся графиком — синусоидой
(рис. 55).
ей
Рис. 55
На графике функции у = sin ж в интервале @; 2тг) отметим точки
.1	.1	1
х\ — arcsin -, Х4 = тг — arcsin -, синус которых равен -, а также точки
тг 3 5	3	1	3
Х2 = — и хз = - тг, синус которых равен -.
6	6	2
Эти четыре точки разбивают весь интервал @; 2тг) на пять проме-
промежутков: @; х\); (#]_; Ж2); (^2; Ж3); (жз; х^)] (х±; 2тг). Исследуя изменение
sin ж на каждом из этих промежутков, мы убеждаемся, что исходное
неравенство - < sin ж < - выполняется в интервалах (х\\ х^) и (жз; х±),
т.е.	3	2
arcsin - < х < — и -тг<ж<тг — arcsin -.
3	6	6	3
Переходя от интервала @; 2тг) ко всей числовой оси и учитывая, что
период синуса равен 2тг, окончательно получаем ответ:
arcsin - + 2&тг < х < —Ь 2&тг;
3	6
-тг + 2&тг < х < тг — arcsin - + 2&тг.
6	3
2-й способ. В интервале 0 < х < — (I четверть) функция sin ж по-
ложительна и возрастает, изменяясь от нуля до единицы: 0 < sin ж < 1.
В интервале — < х < тг (II четверть) эта функция положительна и
убывает, изменяясь от единицы до нуля: 1 > sinx > 0. В промежут-
промежутке (тг; 2тг) синус отрицателен. Следовательно, в промежутке @; 2тг) су-
существуют два интервала, в которых выполняется данное неравенство:
arcsin - < х < arcsin -
о	Z
тг — arcsin - < х < тг — arcsin -.
А	о
Ответ: arcsin - + 2&тг < х < — + 2&тг; - тг + 2ктг < х < тг — arcsin - +
+ 2&тг.	3	6	6	3

424	Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
3.	|tgz|<l.
Решение. За первый интервал, на котором выполняется это не-
7Г	7Г
равенство, можно принять интервал — — < ж < —.
Ответом является множество интервалов:	\- кк < х < —Ь&тг.
4	4
4.	2cos22x-l ^0.
Решение. Известно, что 2cos22x = l + cos4x, поэтому данное не-
неравенство равносильно неравенству cos4x ^ 0, из которого получаем
^	ктг тг . . тг
Ответ: ~^-^^х^^
2. Тригонометрические неравенства,
сводящиеся к квадратным, неравенствам,
или к системам неравенств
Примеры.
1. 2sin2(^-x)-3cos(^ + x)+l >0.
Решение. Так как cos ( — + х) = sin ( — — х), то 2 sin2 ( — — х) —
/х	V4 )	V4 )	V4 )
Положим sin f — — х) —у. Тогда f(y) = 2у2 — 3^ + 1 > 0; здесь D > 0,
а > 0, корни трехчлена ^/i = 1; У2 — -^- Следовательно, f(y) > 0 при
1	^
2/ > 1 и при у < -. Имеем:
a) sin I	ж) > 1; неравенство не имеет решении, так как
^ч . /7Г	\	1	. /	7Г\	1	о , 7Г	7Г
о) sin — — х < - или sin ж —- > — -, откуда 2тгк — — < х —- <
\4 / 2	V 4/ 2	64
< - тг + 2tt/j и окончательно получаем ответ: 2тгк -\	< х < — тг + 2тгА;.
6	12	12
2.
1 + tgx
Решение. При ж = — Bк + 1) и ж = — D& — 1) левая часть нера-
неравенства не определена.
-f-гг пр —I— 2
Решая неравенство, имеем —	< 0.
Г	-2	i + tg^
Система <	не имеет решения.
I tg х ^> 1
Система <	л' имеет решение — 2 < tg х < — 1.
[tgx < -1
Ответ: 7r& + arctg(-2) < ж < —— + тгА;.

§ 10. Тригонометрические неравенства	425
3. Неравенства, решаемые с помощью теорем
слоснсения
Примеры.
1.	cos х cos 2х > sin x sin 2x.
Решение. Применяя формулу cos a cos /3 — sin a sin /3 = cos (a + /3),
получаем cos3x > 0, откуда 2тгк — — < Зж < — + 2тгк.
А	А
Ответ: -пк — — < х < — + - пк.
6	Ь	DO
2.	sinx + \/3 cos ж = 0.
Решение. Разделив обе части неравенства на 2, получаем
1 .	л/3	п	. 7Г .	7Г	п	/	7Г\
- sin х + —- cos х < 0, или sin - sin х + cos - cos x < 0, или cos ж - - <
А	А	0	0	V	О/
< 0, откуда 27гк-\— < х	< - тг + 2тг&.
2	5
Ответ: 2тгк + - тг < х < - тг + 2тг&.
о	о
4. Неравенства, решаемые с использованием формул
удвоения аргумента
Примеры.
sin	cos — J < sin ж.
Решение. Так как sin —\- cos — = 1, а 2 sin — cos — = sin x, то
1 — sin x < sin х, или sin ж > -, откуда получаем ответ: 2-кк-\— < х <
к	2	о
< -7Г + 27Г&.
О
2. sin2x > cos ж.
Решение. Имеем 2 sin ж cos ж > cos ж, или cosxBsinx — 1) > 0.
Данное неравенство равносильно двум системам неравенств:
{cos ж > О,	Г cos х < О,
sin ж > -;	| sin ж < -.
Ответ: 2-кк-\— < х < —Ь2тг&; 2-кк-\	< х < -тг + 2тг&.
6	2	6	2
5. Неравенства, решаемые с использованием, формул
преобразования суммы тригонометрических функций
в произведение и произведения в сумму
Примеры.
1. sinх + cosx < л/2.
Решение. Применяя формулу sin х + cos х = \/2cosf х - jj (см.
задачу 1447 раздела II) и сократив обе части неравенства на д/2,

426	Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
получаем cos (ж	) < 1. Но cos (ж	) < 1 при любых значени-
/ тг\ V 4У	V 47
ях ( х — — I, кроме чисел вида 2тгк.
Ответ: х — любое действительное число, кроме чисел вида — + 2тг&.
2. sinx si
~	„	i	•	• о cos (a ~~ P) —cos
Решение. Применим формулу sin a sin p =
cos2x —cos4x cos2x —cosl2x	,	1O
тогда 	 > 	, откуда cos4x < cosl2x, или
cos4x — cos 12ж < О.
Используя формулы разности косинусов и синуса удвоенного
аргумента, получаем 4sin24x • cos4x < 0. Так как sin24x > 0 при
всех ж, кроме х = —— (при которых sin 4ж обращается в нуль), то
4	о
cos4x < 0, откуда 2тг& + — < 4ж < - тг + 2тгА:. Из этого интервала нужно
Z	Z
исключить значения 4ж = тг + 2тгА:, обращающие в нуль левую часть
полученного неравенства.
^	7Г717Г^	^ТГ,^,^,^,^	^3 . 7Г ,
Ответ: -т^ + "Б"<ж<Т + ^"^5 т + ^"^<ж<о7Г + ^"^-
6. Неравенства, решаемые с использованием формул
1 — cos а = 2 sin2 — и 1 + cosa = 2 cos2 —
Примеры.
1.	cosx + tg x < 1 + sinx.
Решение. Точки вида — B& + 1), к G Z, из рассматриваемого
множества исключаются. Выполним соответствующие очевидные пре-
преобразования:
cos ж — 1 + tg х — sin ж < 0; cos ж — 1 — tg x(cosx — 1) < 0;
(cosx-l)(l-tgx) < 0; (l-cosx)(l-tgx) > 0; 2sin2 ^ A-tg x) > 0.
Так как 2sin2 — ^ 0, то 1 -tgx > 0, или tg ж < 1. Значения ж, при
о Ж
которых 2sin — = 0, следует при этом исключить.
Ответ: пк	< х < —\-ттк, причем х / 2тгп.
2.	cos3 ж cosЗж — sin3 ж sin3x > -.
8
Решение. Запишем это неравенство в следующем виде:
cos х • cos Зж • cos2 x - sin x • sin Зж • sin2 x > -.
о
Так как
cos2x + cos4x	.	. о
smx-sm3x =
2
о l + cos2x . 2 1 —cos2x
coszx =	 и sin x =	.
TO

10. Тригонометрические неравенства	427
(cos2x — cos4x)(l — cos2x) 5
>
4	4	> 8'
Выполнив указанные действия, получаем
x > -;
5	3	1
далее, 2cos4x + 1 + cos4x > -, откуда 3cos4x > -, или cos4x > -;
7Г	7Г
тогда 2-кк	< 4ж < —\-2-кк.
о	о
Ответ: \к~ ^< х < ^ + \к-
7. Неравенства, решаемые с использованием,
метода интервалов
Примеры.
1.	>2.
4sin ж —1
Решение. Здесь х ф —h 2тгА;. Это неравенство равносильно не-
2	"
sin ж —8 sin х п
равенству 	^	> ^*
4sin ж —1
Преобразуем его следующим образом:
8sinx( sinx — - )	sinxfsinx —-)
\^Ц>0 или	1^Ц<0
или
\Ц>0, или	Ц<0.
4(sinx + -) (sinж — -)	(sinx + -) (sinж — -)
Далее можно положить sin ж = у @ ^ \у\ ^ 1) и решать неравенст-
неравенство методом интервалов.
Получим интервалы: - < sin ж < - и —- < sin ж < 0.
1	5	1
Ответ: 2кп + arcsin - < х < — + 2&тг; 2к7т-\--7т < х < тг— arcsin - +
8	о	-	о	8
+ 2кп; 2кп- ^ < х < 2кщ 2Ьг+тг <х < -тг+2/гтг.
6	6
tgV-2 1
Указание. Полож;ить tg х = ^ (^ 0) и решить неравенство
^1
Ответ: кп + — < х < — + k7r: кп - — < х < -— + к7г.
4	3	3	4
8. Неравенства других типов
Примеры.
1. 2sin4x-3sin2x + l > 0.
Решение. Выразив заданные функции через cos2x, получаем
равносильное неравенство cos22x + cos2x > 0, которое, в свою очередь,
равносильно совокупности двух систем неравенств:

428
Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
0,
^
О,
1) Первое неравенство системы (а) справедливо при всех ж, кроме
тех, при которых cos2x = — 1, т.е. при х = — + ктг. Из второго нера-
неравенства системы (а) следует, что
2х < 1
или -^
х < ^г
2) Система (б) несовместна, так как первое неравенство этой систе-
системы не имеет решений. Следовательно, решения системы (а) являются
решениями данного неравенства.
Ответ: — — + ктг < х < — + ктг.
4	4
2. -
4
Решение. Данное неравенство можно записать так:
cos22x) >8cos2x, или	2
7 < 0.
Заменяя cos2x на у @ ^ \у\ ^ 1), получаем квадратное неравенство
2у2 + 13^/ — 7 < 0, выполняющееся при —7 < у < -.
I	2
Итак, —7 < cos2x < -, что, очевидно, равносильно неравенству
1
cos 2 ж < -, поскольку неравенство — 7 < cos 2 ж выполняется при любом х.
Ответ: —\- кп < х <	Ь кп.
6	6
3. \/sin х + ^cos ж > 1.
Решение. Область определения левой части неравенства нахо-
находится из условий sinx^O и cosx^O, т.е. 2ктг ^ х ^ 2ктг + —.
		А
При х = 2&7Г и при ж = 2&7Г + — сумма Vsin x + ^/cosx обращается
в единицу.
> sin2 x и ^/cosx > cos2 x и,
Если же 2к-к < х < 2kix -\—, то
/	> 1.
следовательно, \/sin ж +
Ответ: 2кп < х <
A \ 2sincc	/ 1 \sincc
I -3 I <-2-
т) ^ 2/ (?/ > 0) 5 получим
у1 -Ъу + 2 < 0, откуда (у-1)(у-2) < 0.
Тогда 1 < у < 2. Следовательно, 1 < ( - 1 < 2.
(^ \sincc
-J > 1. Основание показательной функции меньше 1,
поэтому значение функции больше 1 при отрицательных значениях
показателя степени, т.е. при sin ж < 0.

§ 10. Тригонометрические неравенства	429
Х < 2 или 2-2sin* < 2.
Показательная функция при основании, большем 1, — возрас-
возрастающая, поэтому —2 sin ж < 1, или sin ж > —.
Итак, — < sin ж < 0, откуда следует ответ:
7	ТГ
/ ТГ V* I /ТГ *— <У* *—	ТГ I	/ /ТГ V* •	/ ТГ V* 	 	 *— <У* *— / ТГ V*
Zj п гь ~\ п \ JU \ — /1 ~\~ Zj п гь • Zj /I /ъ — \ «/у \ Zj /i Лу •
6	6
Решение. Рассмотрим два случая.
1)	sin ж ^ -. Тогда данное неравенство равносильно следующей
системе неравенств: sin ж ^ - и 5 + 2A — 2 sin2 x) ^ 3B sin x — 1).
Преобразуем второе неравенство так: 5 + 2A — 2 sin2 х) — 3B sin ж — 1) ^
^ 0, откуда получаем 2sin x + 3sinx — 5 ^ 0; далее,
2 sin2 ж + 5 sin x — 2 sin x — 5 =
= sin жB sin ж+ 5) — B sin ж+ 5) = B sin ж+ 5) (sin ж — 1) ^0.
Так как 2 sin х + 5 > 0, то sin ж — 1 ^ 0 и мы имеем sin х ^ - и sin ж ^
^ 1. Это возможно только при sin ж = 1 и, значит, х = —Ь2&тг.
2)	sin ж < -. В этом случае данное неравенство равносильно систе-
1	1
ме: sinx<- и 5 + 2A — 2sin2x) ^ 3 —6sinx, или sinx<- и 2(sinx —2)х
х fsinx + -J ^ 0. Так как sinx —2 < 0 при всех ж, то имеем такую
систему: sin ж < - и sin х ^ —. Отсюда sin ж ^ — и, значит, —тг +
2	2	2	6
6
Ответ: х — —\-2ктг; —тг + 2ктг ^ ж ^	Ь2&тг.
2	6	6
6. Найти область определения функции у =
Решение. Должно выполняться условие lgcosx ^ 0. Но этому
неравенству должно соответствовать неравенство cos х ^ 1, что возмож-
возможно только при cos ж = 1, откуда х = 2ктг.
Ответ: х = 2ктг.
3 ад ач и.
Решить неравенства A-28).
1.	Sinx>-.
2
2.	|sinx|^-.
3.	sinx^—-.
О
<Х
тг
б" ^
ТГ ^ i
Ответы.
5
б71"
тг
х ^ б"
с^ ^ + 2А:тг.

430
Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
4.
5.
а
и.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
2cosx +1 > 0.
COS2 X > - .
1
2
-1 < ctg ж < 2.
sin ж < cos ж .
1 <" 1 to" 7ГТ <" 9
1 <^ |Xg ТГХ ^ Z.
СО82Ж^Ж + 1)>1.
л/3 sec2 ж — 4tg ж < ctg
sin 4x + cos 4ж • ctg 2x >
если 0 < ж < 2тг.
sin3x < sin ж.
2Ьг-
4-тг
5
< Ж <
2&тг--тг <
о
&тг + ^ <
4
2 7
3 18
arcctg2 + &Tr<
тг
-- + &тг
1
4
&	arctg 2
тг
ктг
тг
6" +
тг
2"'
тг
5
С — тг + 2Агтг; 2/^тг -
4
ж <
Ответы.
- 7Г + 2^7Г.
о
-<!
ТГ
18 "
; х <
<х
^ тг
^х
< X
<х
3
4^
"I <
2
"з
v 4
arc
<
<
<
| (
<
3
47
тг +А:тг.
2
+ -ктг.
тг -\- ктг.
тг
4
tg2 + к]
1
4
тг
з"
4Jk + l).
3
с<-тг;
х < 2тг.
г + 2А;тг;
< 2^7Г.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
COS'
1 х • cos Зж + sin3 ж • sin Зж > -.
о
cos3 х • sin Зж + cos Зж • sin3 x < -.
2
g ж — 2 1
^< й-
2
tg х — 1
sin2ж — 2sinx — 1 < 0,
если 0 ^ х < 2тг.
sin ж- -
, тг	, тг
ктг — — < х < ктг -\- —.
Ь	Ь
ктг .к	^ 5тг ктг
»	Т+24 <Ж< 24+1"'
2/^тг — — < х < 2ктг -\- - тг.
6	6
1	ТГ	,	ТГ ,	ТГ	,	ТГ
ктг - — < х < ктг - —: ктг + — < х < ктг +—.
3	4	4	3
0 ^ х < тг - arcsin (l - л/2);
arcsin (l — л/2) < х ^ 2тг.
х ^ 2тг.
< 1, если 0 ^ х ^ 2тг.
11
--
о
cos х — cos ж	> -, arccos -
если 0 ^ х ^ тг.
tg х > cos ж, если 0 ^ х < —.
тг; 0 < х < —.
. л/5-1	тг
arcsin —-— < х < —.

§ 11. Тригонометрические функции в стереометрии
431
23.	| sin re| > ctg ж, если
О < х < 2тг, ж / тг.
24.	| sin re | > | cos ж |, если 0
25.	\/3-4cos2x
26.	sin (cos ж) < 0.
27.	tg2^ |l-2ctg2x
28.	Iog1/2sinx > 1.
< х
Ответы.
л/5-l
arccos —-— < x < тг;
л/5-l
тг + arccos	< x < 2тг.
:2тг. -
-тг<ж<-тг.
4	4
^ —
6
ж < -
7Г	7Г
—Ь&тг;	h&7Г
<
2ктг
х < ^
6
5
2&7Г+-7Г < Ж < 7Г
6
§ 11. Применение тригонометрических функций
в стереометрии
Примеры.
1. В шар радиуса R вписан прямоугольный параллелепипед,
диагональ которого образует с меньшей боковой гранью угол а. Диа-
Диагональ основания образует с большей стороной основания угол /3.
Найти боковую поверхность параллелепипеда.
Решение. На рис. 56 изображен прямоугольный параллелепи-
параллелепипед, вписанный в шар. Точка пересечения диагоналей прямоугольного
параллелепипеда одинаково удалена от
всех его вершин. Отсюда следует, что
центром шара является середина диаго-
диагонали. Диагональ ВС\ меньшей боковой
грани ВВ\С\С служит проекцией диаго-
диагонали BD\ параллелепипеда на эту грань,
так как DiCi _L BBiCiC.
Имеем \ОВ\ = R, D^BCX = а, АВЪ =
= /3. Пусть S — боковая поверхность па-
параллелепипеда. Тогда
S = 2(\AB\ + \AD\)-\AA1\.
Таким образом, следует найти
Рис. 56
\ = \BDX\ cosa = 2Rcosa.
|||
Из прямоугольного треугольника D\BC\
имеем
\АВ\ = |
= \BDX
= 2i?sina;
Из прямоугольного треугольника ABD находим

432
Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
Из прямоугольного треугольника ВС\С находим
\ССх\ =
Подставив значения |i?Ci| и \ВС\ = \AD\ в выражение для |CCi|,
имеем
\AAi\ = \Cd\ = ^4R2cos2 a -4Я2sin2atg2/3 =
=	 \/cos2 a cos2 В - sin2 a sin2 В =	 л/cos (a - /3) cos (a + B).
cos/3 v	cos/3 v
Подставляем найденные выражения для |Ai?|, \AB\ и |AAi| в фор-
формулу боковой поверхности:
S = 2BR sin а + 2R sin a tg /3) • -^ i/cos(« -?) cos(
_ SR sin a
cos/3
п	sin(^+/3)	n ^
Так как 1 + tg /3 = tg — + tg /3 =	^	;	cos — = —, то получаем
4	cos - • cos В	4 2
ответ:	4 н
S=
2. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а. Две
боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания
и образуют между собой тупой
угол /3. Две другие боковые грани
наклонены к плоскости основания
под углом а. Найти боковую по-
поверхность пирамиды.
Решение. Боковые грани
SAB и SBC перпендикулярны
плоскости основания (рис. 57).
Тогда ребро SB _L пл. ABCD
и, следовательно, SB _L ВС и
рис 57	SB _L AB, откуда следует, что
угол ABC — линейный угол дву-
двугранного угла с ребром SB и по условию он равен /3. Грань SAD
составляет с плоскостью основания угол а; для построения его ли-
линейного угла опустим из точки В перпендикуляр В К к стороне AD
и точку К соединим с точкой S. Но В К _L AD по построению,
SK _L AD по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно,
AS К В — линейный угол двугранного угла с ребром AD и по условию
SKB = а. Прямоугольные треугольники SB А и SBC равны, так
как у них катет SB общий, а катеты \АВ\ и \АС\ равны по условию.
Тогда \AS\ = \SC\. Треугольники SAD и SDC равны по трем
сторонам. Имеем

§ 11. Тригонометрические функции в стереометрии
433
0K = a(\SB\ + \SK\).
A)
Из прямоугольного треугольника АВК, где АВК = /3	, полу-
получаем 2
Из прямоугольного треугольника SKB имеем
| п п| 	 I ту г) I 1			¦ д I	I r~t ту I
cos a cos a
Подставляя значения \SB\ и \SK\ в равенство A), получаем ответ:
as'm/3\ _2„=„ ^1 + sina
I • о ±. , asin/?\ 2 • о
ок = а [о, sin p tg а -\	= a sin p -
V	cos a /
2 • o
= a sinp
о 2 • о 2^тг a\
= 2a sinp cos — - — seca.
V 4 2 /
3. Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а; две
боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, а большее
боковое ребро наклонено к основанию под углом р. В пирамиду впи-
вписан прямоугольный параллелепипед с основанием в виде квадрата
так, что четыре вершины его находятся на боковых ребрах пирамиды,
а четыре другие вершины — на осно-
основании пирамиды. Вычислить объем
параллелепипеда, зная, что диагональ
его образует с плоскостью основа-
основания угол а (рис. 58).
Решение. Две боковые грани
параллелепипеда совпадают с боковы-
боковыми гранями пирамиды AS В и С SB,
которые пересекаются по ребру В\В,
перпендикулярному плоскости осно-
основания пирамиды. Вершина основания
параллелепипеда совпадает с верши-
вершиной основания пирамиды — точкой В.
Наклонная SD имеет своей проекци-
проекцией диагональ BD квадрата.
Диагональ ВК основания параллелепипеда является частью диа-
диагонали BD квадрата в основании пирамиды. Четырехугольник BFKE
представляет собой квадрат и \ЕК\ = |i^F|. Тогда
где \ЕК\ = х и
Рис. 58
= у, \ВК\ = ху/2 как диагональ квадрата.
Из АВВгК находим \ВВХ
ККг\ = у
, но \ВВХ\ =
следовательно, у = xV2tga. Треугольники KK\D и BSD подобны,
поскольку КК\ || SB как два перпендикуляра к одной плоскости. Из
подобия треугольников имеем
28 В. А. Бачурин

434
Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
\ККг\ = \КР\
\SB\ \BD\-
Из ASBD находим \SB\; \SB\ = ay/2 tg /3, и далее
Заменяя члены пропорции их выражениями, получаем
xv2tga _ v2(a — x) %	xtga _ а — х
aV2-tg
ал/2
/5
а
откуда
_ atg/3 _ atg /3 • cos a cos /3 _ a sin /3 • cos a <
~ tga-\-tg/3 ~ s'm(a + /3) ~ s'm(a + /3) '
/рг, а л/2 sin /3 • sin a
y = xV2tga =	—
Ответ: 1/пар = ^ 1/ =
а л/2 sin в- sin a -cos a
sin
в^
4. Основанием пирамиды служит треугольник, два угла которого
равны а и /3. Высота пирамиды рав-
равна /г, а боковые ребра ее одинаково
наклонены к плоскости основания под
углом (р. Вычислить объем пирамиды.
Решение. Так как все боковые
ребра пирамиды одинаково наклоне-
ны к плоскости основания, то ее
высота проходит через центр окруж-
ности, описанной вокруг основания
\ пирамиды, — точку О (рис. 59). Из
треугольника QOA имеем
Рис'59
Известно, что сторона треугольника равна диаметру описанной ок-
окружности, умноженному на синус противолежащего угла. Поэтому
\ВС\ = а = 2/2sina = 2/ictg </
\АС\ = b = 2hsinf3 = 2hctg(p-sinf3.
Площадь основания пирамиды:
SOCIi = - ab sin AC В = - • 4/г2 • ctg2(p sin a • sin /3 • sin (тг — (a + /?)) =
= 2/i2ctg2</? • sin a • sin /3 • sin (a + /3).
1	9
Получаем ответ: V = - /iSqch = « ^3ctg2(/? • sin a • sin /3 • sin (a + /3).
о	о
5. В прямой круговой конус вписан шар. Найти полную поверх-
поверхность конуса, если известно, что угол при вершине осевого сечения
конуса равен ip, а площадь большого круга равна А.

§ 11. Тригонометрические функции в стереометрии
435
Решение. На рис. 60 изображено осевое сечение фигуры. Пол-
Полная поверхность конуса SUOJlu = тгг2 + тгг/, где г и I — соответственно
радиус основания конуса и его образующая; по условию, площадь
большого круга 7rR2 = Л, отсюда радиус шара R = \ —.
у 7Г
Определим теперь г и I:
Ш 1
sin —
полн = 7ГГ (Г + 0 = 7ГГ
sin —
2
= 7ГГ
7 2тгг
. С/?
sin —
cos"	—
Заменяя г2 на — ctg2 (——^ ), получаем ответ:
тг	V 4 /
с _
'-'полн —
2/1 cos
4 тг — (
о? . 2 тг — о?
Sln_sln __
6. Прямой параллелепипед, имеющий в основании ромб со сторо-
стороной а и острым углом а, пересечен плоскостью, проходящей через
вершину угла а и дающей в сечении ромб с острым углом —. Вычис-
Вычислить площадь этого сечения.
Решение. На рис. 61 изображен данный параллелепипед
ABCDAiBiCiDi и сечение BNKM, площадь которого необходимо
вычислить. Площадь 5сеч ромба BNKM равна 5сеч = - * \MN\ • \ВК\ =
= 2|MOi| • |i?Oi|. Из треугольника МО\В, где МВО\ — —, находим
|i?Oi| = |MOi| -ctg —. Следовательно,

436	Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
Отрезок АО находим из треугольника АО В, где \АВ\ = а и АВО =
= —. Получаем | АО | = a sin —.
Ответ: Бсеч = 2а2 sin2 — ctg —.
3 ад ач и.
1.	Из центра О правильного треугольника ABC, сторона кото-
которого равна а, проведен перпендикуляр к плоскости треугольника; на
нем взята точка М так, что отрезок |МЛ| = а; затем из М проведен
отрезок МD _L АС. Вычислить угол р между МD и плоскостью тре-
треугольника ABC.
Ответ: «70°32/.
2.	Из двух точек плоскости, удаленных друг от друга на расстоя-
расстояние а, проведены две параллельные наклонные под углом р к плос-
плоскости. Вычислить расстояние между ними, если расстояние между их
проекциями на плоскость равно Ь.
Ответ: у a2 sin2 (p + b2 cos2 (p.
3.	В правильной n-угольной пирамиде высота вдвое меньше сто-
стороны основания. Найти двугранный угол при основании.
^	180°
Ответ: 	.
п
4.	Основанием пирамиды служит правильный треугольник; из трех
граней одна перпендикулярна основанию, а две другие наклонены к
нему под углом а. Под какими углами наклонены к плоскости осно-
основания боковые ребра?
Ответ: tgx = — tga; tgy = -tga.
5.	В правильной четырехугольной призме через середины двух
последовательных сторон основания проведена плоскость, пересека-
пересекающая три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под
углом а. Сторона основания равна а. Вычислить площадь сечения.
Ответ: 	.
8 cos a
6.	В правильной n-угольной пирамиде плоский угол при вершине
равен а. Вычислить двугранные углы при основании (п = 4; а = 60°).
Ответ: arccos ( ctg	tg ^ ) « 54°44/.
7. В правильной четырехугольной пирамиде даны апофема с и
площадь диагонального сечения Р. Вычислить угол х между боко-
боковой гранью и основанием и сторону у основания (с = 5; Р = 15).
arcsin
Ответ: х\ — - arcsin—^— ~ 29°, у± = 2с cos ж « 8,744;
= I f
2 \
с
180° — arcsin ^^) «61°, у2 = 2ccosx « 4,852.
с '

§ 11. Тригонометрические функции в стереометрии	437
8.	Площадь основания правильной пирамиды 168 см2. Боковая
поверхность 200 см2. Найти угол наклона боковых граней к основанию.
Ответ: «32°5Г.
9.	Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым
углом а\ двугранные углы при основании равны ср. Найти Snojin.
Ответ: Snojin = 2а2 sin a cos2 — secy?.
10.	В основании пирамиды лежит равнобочная трапеция, парал-
параллельные стороны которой равны а и b (b > а). Все боковые грани пи-
пирамиды наклонены к плоскости основания под углом а. Найти Snojlii.
Ответ: Snojlii = (a+ 6) \/ft6-cos2 — sec а.
11.	В правильной n-угольной пирамиде сторона основания рав-
равна а; боковое ребро составляет с плоскостью основания угол а. Найти
боковую поверхность.
п па2 [л . 2 180° ~
Ответ: 	5	а/1 — sin 	cos^a.
а • 180	V	П
4sin	cos a v
п
12.	Основанием пирамиды служит прямоугольник. Из боковых
граней две перпендикулярны основанию, а две другие образуют с ним
углы а и /3. Высота пирамиды равна h. Вычислить ее боковую по-
поверхность.
Ответ:	—- cos ——^- cos I - - - cos I - - ^ .
sin a- sin /3	2	V4 2/ V4 2/
13.	В правильной n-угольной усеченной пирамиде даны боковое
ребро с и стороны оснований а и b (a > 6). Найти высоту усеченной
пирамиды.
гл	П> (a~bf	о 180°
Ответ: \ сА —	cosec^
4	п
14.	Радиус основания конуса равен Я, а образующая наклонена к
плоскости основания под углом а. В этом конусе проведена плоскость
через его вершину под углом ср к его высоте. Вычислить площадь
полученного сечения.
/	R	ч2
Ответ: (	1 sin а л/cos (а + ю) cos (a — ip).
\ cos a -cos ipJ	v v	' v	'
15.	Найти угол между образующей и плоскостью основания в ко-
конусе, у которого площадь осевого сечения в 4 раза меньше полной
поверхности.
Ответ: tg ^ = j; a = 2arctg^ « 76° 17'.
16.	Площади нижнего и верхнего оснований усеченного конуса и
его боковая поверхность относятся как т : п : р. Найти угол между
образующей и плоскостью нижнего основания.
^	т — п
Ответ: cosp =	.
Р
17.	В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно пер-
перпендикулярны, а образующая составляет с плоскостью нижнего осно-

438	Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
вания угол а и равна /. Вычислить полную поверхность усеченного
конуса (/ = 12; а = 70°20').
Ответ: Snojin = 2тг/2 sin ( —\-15° J cos (	15° J « 652.
18.	В основании прямого параллелепипеда острый угол равен а,
а стороны равны а и 6; меньшая диагональ параллелепипеда равна
большей диагонали основания. Вычислить объем параллелепипеда.
Ответ: 2ab sinaVab cos a.
19.	Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с
боковой гранью угол а; сторона основания а. Найти объем призмы.
Ответ: —— V'cos 2a.
sin a
20.	Вычислить объем пирамиды, если ее высота равна h, боковые
ребра наклонены к плоскости основания под углом ср и в основании
треугольник с углами а и /3.
Ответ: - /i3ctg2</? sin a sin/3 sin(a + /3).
о
21.	В усеченной правильной четырехугольной пирамиде даны сто-
стороны а и b большего и меньшего оснований и острый угол а боковой
грани. Вычислить объем пирамиды (а = 25,704; b = 15,23; а = бб0^').
3,3	3 2
^	т jr а — о ,	j7— a cos (р ,	~—
Ответ: V = 	\/—cos 2а = 	—W— cos 2a, где sin о? =
6 cos a	6 cos а
= \К\ V «4302,3.
V а
22. В основание равностороннего цилиндра с диаметром основа-
основания, равным образующей, вписан правильный n-угольник, сторона
которого а. Вычислить объем цилиндра.
^	тга3
Ответ:
А • 3 180
4sin
п
23.	Хорда а в основании конуса стягивает дугу а; угол между
высотой конуса и образующей равен /3. Вычислить объем конуса.
^	па ctg /3
Ответ: 	^-.
24sin3f
24.	В усеченном конусе отношение площадей оснований равно 4,
образующая / наклонена к плоскости основания под углом ср. Вычис-
Вычислить объем конуса.
Ответ: - 7r/3sin2(/? cosy?.
6
25.	В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно пер-
перпендикулярны, а образующая составляет с плоскостью большего осно-
основания угол а и равна /. Вычислить объем конуса G = 12; а = 70°20/).
Ответ: ^- /3sinaB -cos2a) « 1181,5.
26.	Вычислить радиус шара, описанного вокруг правильной
n-угольной пирамиды, если сторона основания равна а, а боковое

§ 11. Тригонометрические функции в стереометрии	439
ребро наклонено к плоскости основания под углом а (п = 8; а = 3,5 м;
а = 58°38').
Ответ: 	5	« 5,1 м.
о • 180° . о	'
2sin	sin2a
п
27.	Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым
углом а] двугранные углы при основании равны (р. Найти радиус
шара, вписанного в пирамиду.
Ответ: — sinatg-^.
А	А
28.	В шаре из точки его поверхности проведены три равные хорды
под углом а друг к другу. Найти их длину, если радиус шара R.
Указание. Проведя из общей точки хорд диаметр и обозначив
хорду через ж, выразим расстояние от ее конца до диаметра; оно будет
равно ж sin — cosec —. Проведя полуокружность большего круга, со-
А	о
держащую взятые диаметр и хорду, и соединив конец хорды с другим
концом диаметра, составим уравнение х • VAR2 — х2 = 2R • ж sin— x
х cosec —.
3
~	4л/3 о Г. fir , а\ . 7тг аЛ
Ответ: х = — R ¦ Mm (- + - j sin (- - - j.
Ответ: tg | = W i ± W i - ^-;
29.	Вычислить угол между образующей и плоскостью основания
в конусе, объем которого в т раз больше объема вписанного в него
шара. (Найти наименьшее значение т; вычислить угол, если т = 2-. I
I	I
in = 2; аг « 78°26'; а2 = 60°.
30.	Поперечное сечение, делящее объем конуса пополам, проходит
через центр описанного шара. Найти угол между образующей и плос-
плоскостью основания.
Ответ: sina= Д/-; а « 52°32/.
31.	Вокруг шара описан усеченный конус, боковая поверхность
которого относится к поверхности шара как т : п. Вычислить угол
между образующей и большим основанием (т : п = 2 : 1).
Ответ: sina = A/— (а = 45°).
V т
32.	Объем шара V. Вычислить объем его сектора, у которого
центральный угол в осевом сечении равен а.
Ответ: V -sin2 —.
4
33.	Радиус сферического сектора равен Я, наибольший угол меж-
между радиусами равен а. Вычислить объем и поверхность шара, впи-
вписанного в сектор.
Ответ:
2 .
п 6 7г — ос "> 4 7г — а
6 COS 		COS

440	Прил. II. Дополнительные задачи и образцы их решения
34.	Правильный треугольник со стороной а вращается вокруг оси,
проходящей вне его через конец его стороны под острым углом а к
этой стороне. Найти поверхность тела вращения.
Ответ: 2тга2\/2 -sin (—\-а).
35.	Найти объем и боковую поверхность правильной шестиуголь-
шестиугольной пирамиды по боковому ребру / и диаметру d круга, вписанного в
основание пирамиды.
Ответ: — \/3/2 — d2: — л/12/2 — d2.
6	2
36.	По объему V правильной n-угольной пирамиды и стороне ее
основания а найти угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскос-
плоскости основания.	1ЯПо 1ЯПо
^ . т r . loU . loU
24V sin	tg
Ответ: arctg	^	—.

П ри ложен ие III
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Экзаменационные задачи по разделам
1. Арифметика
Вычислением проверить справедливость следующих равенств
A-12).
-I	25 24	3 ^	48 ' 4' _ сто *
L	2-	4
15	7
117g + 63ii-lO7^ 4-^ + 9^ :23i	97
о	zo	4z	zl	Id	So	I _
84	5
1,0905 : 0,025 - 6,84 • 3,07 + 2,38 : 100 _
2,192:6,85 + 48,553-^ + 0,00238
4. (A8,333...) : 15 + (8,66...) -3,5) : A2,33... +8,(857142) -0,3(8)) = 2.
53^:6,4 67,2:18?	7
38,4:3- 17^:2—	n
'9	7 77
2961=79 + 94,4:23,6 65,14-5,94 _
" 131,4: 14,6-6^-Н ' 12,9 + 1,9
131,4: 14,6-6
7 3
8.
33,75-16,1 + --95- + 2-- —
'	' 4 90 3 160
(92,69 : 2,3-1.35,2+ liL + 2H):2iZl
(H-JL). 2,88 + 6,97 -3,8: 3,23	29 '
2,5 + 83: C,98175+ 1):^
i35-5i-.(ii + ^) 4 '
8 42 v 6 12^
(84,63 : 2,1 - - • 35,2 + 2— - 7—) : 7—
-jQ V '	' 8 '	42 48^ 56
35,2 + 2 7) : 7
8 '	42 48^ 56 _
(l4i-3,2:4): A7,25:2,3 + -)-^
V fi	'	/ V '	'	IK/ 8П9
15/ 809

442
Прил. III. Экзаменационные задачи
-i -i
337
)
23'
)
7' _
_ on
// 1 _ 0,0008\ 1 \
^3125	10 ' ' 1250'
A3 J_ - 7— + 2- : 1 —) • 2— - 403,138 : 33,4
V 42 19 6 15' 997J^
1- + 16,175 - @,652 + 7- • 2,34)
8	v	5	'
Найти значения х из выражений A3-16).
— 13 1
E,25-2,75)-0,6
* (?)?
= 1
32'
14.
(x-<?)-? C0-28,2). 4 32
D,07 : ж - 23,01 • 0,06) : 4 + 0,0703 • -
—	з-^
G,3745 : 3,01- li) • 1,02 + 13- —
4	4y	50
1,0905 : 0,025 - 6,84 • 3,07 + 2,38 :ж_
2,192:6,85 + 48,553-^ + 0,00238
5)
96'
i
24

(f • 0,4 +24,15 :x-10f). ±
20' 9 _ 07 X
3'
2. Тоснсдественные преобразования в алгебре
Проверить справедливость равенств A7-36, подразумеваются
арифметические корни).
19.
20.
21.
22.
23.
1
/ж-1/2+ -1/24 J.^
4а-9а х	а-4 + За х ^
2а1/2-За"
¦ + ¦
= 9о.
-2/3

' 1. Экзаменационные задачи по разделам
443
24. х'
2\5
25.
26.
27.
28.
29.
30.
SI- тт
(а-62)л/3-6л/3- \/-8
v
(а-62J +B6 v^J
,-!/2
х1/3
1/2 ,1/24-2
-2х
~1
1
- — а
-3
=о.
32.
33.
_
^Л/^+лЛЙ^З:^
-a/3
a + 6	a6
- б2 За - аб а + b
34.
+ 4
п2-2ж-4
¦ + ¦
35.
о-З
а+ 26
а+ 26
а +а6-3а-36
1
а+ 26'

444	Прил. III. Экзаменационные задачи
6 Ba + 2b а + 36	a2 + 21ab \ a + b
(а2-
а у о-46 2а+ 26 2а2-6а6-862/
3. Планиметрия
37.	В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен а.
Найти отношение радиусов вписанной и описанной окружностей.
38.	Даны стороны треугольника: а = 13, 6 = 14, с = 15. Две из
них (а и 6) служат касательными к окружности, центр которой лежит
на третьей стороне. Вычислить радиус окружности.
39.	Вокруг круга радиуса R описан равнобедренный треугольник
с углом 120°. Найти его стороны.
40.	Вокруг круга радиуса г описана прямоугольная трапеция,
Зг
наименьшая из сторон которой равна —. Найти площадь трапеции.
А
41.	Найти площадь сегмента, если периметр его равен р, а дуга
составляет 120°.
42.	В сектор радиуса R с центральным углом а вписан круг. Най-
Найти его радиус.
43.	Основание AD прямоугольника ABCD, в три раза большее его
высоты ЛБ, точками М и N разделено на три части равной длины.
Найти АМВ + МЮЗ + мЪв.
44.	Найти длину отрезка прямой, параллельной основаниям тра-
трапеции и проходящей через точку пересечения диагоналей, если осно-
основания трапеции равны а и 6.
45.	В равнобочной трапеции даны основания а = 21 см, 6 = 9 см и
высота h = 8 см. Найти радиус описанной окружности.
46.	Две окружности радиусов й = 3 см и г = 1 см касаются внеш-
внешним образом. Найти расстояния от точки касания окружностей до их
общих касательных.
47.	В равнобедренном треугольнике основание равно 16, а боко-
боковая сторона 10. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей и
расстояние между их центрами.
48.	Дан квадрат, две вершины которого лежат лежат на окруж-
окружности радиуса R, а две другие вершины лежат на касательной к этой
окружности. Найти диагональ квадрата.
49.	Из внешней точки проведены к окружности секущая длиной
2
12 см и касательная, длина которой составляет - внутреннего отрезка
секущей. Вычислить длину касательной.

§ 1. Экзаменационные задачи по разделам	445
50.	В прямоугольный треугольник с углом 60° вписан ромб со
стороной, равной 6 см, так, что угол в 60° у них общий и все вершины
ромба лежат на сторонах треугольника. Найти стороны треугольника.
51.	Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного
треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник,
равен 3 см, а меньший катет равен 10 см.
52.	Доказать, что сумма расстояний любой точки, взятой внутри
правильного многоугольника, до всех его сторон есть величина посто-
постоянная.
53.	Перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на
его диагональ, делит эту диагональ на отрезки длиной 6 см и 15 см.
Разность длин сторон параллелограмма равна 7 см. Найти стороны
параллелограмма и его диагонали.
54.	Из точки М, отстоящей от центра окружности на расстоя-
расстояние т, проведены к ней две касательные. Найти радиус окружности,
если расстояние между точками касания равно а (а ^ т).
55.	Вокруг окружности описана равнобочная трапеция, у которой
боковая сторона равна /, одно из оснований равно а. Найти площадь
трапеции.
56.	Расстояния от точки М, взятой внутри треугольника, до сто-
сторон равны х, у, z; соответствующие высоты равны а, 6, с. Доказать,
4. Составление уравнений
57.	В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После
обогащения руды, состоящего в удалении из руды 200 кг примесей,
содержащих в среднем 12,5 % железа, процент содержания железа в
оставшейся руде повысился на 20%. Вычислить количество железа,
содержащегося в руде после ее обогащения.
58.	Сплав из меди и цинка массой а кг при погружении в воду
«потерял» в своей массе b кг. Вычислить количество меди и цинка в
этом сплаве, если известно, что медь «теряет» в воде р% своей массы,
а цинк q%.
59.	Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля а%
и 6%. Сколько нужно взять каждого из сортов, чтобы получить с
тонн стали с содержанием d% никеля?
60.	Хозяйством было заготовлено на зиму а тонн кормов для
скота. Но b голов скота отправили в соседнюю область и вследствие
этого норма кормов на голову скота увеличилась на с тонн. Сколько
тонн кормов предполагалось расходовать на голову скота первона-
первоначально?
61.	Трехзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру
перенести влево (т.е. поместить вначале), то новое число будет на
единицу больше утроенного первоначального числа. Найти это число.

446	Прил. III. Экзаменационные задачи
62.	Несколько человек должны вырыть канаву и могли бы окон-
окончить работу за 24 ч, если бы делали ее все одновременно. Вместо этого
они приступили к работе один за другим через равные промежутки
времени, а затем каждый работал до окончания всей работы. Сколько
времени они рыли канаву, если первый приступивший к работе прора-
проработал в 5 раз больше последнего?
63.	Наняты двое рабочих по разным ставкам. Первый полу-
получил а руб., а второй, работавший меньше первого на п дней, по-
получил с руб. Если бы первый работал столько дней, сколько второй,
а второй — столько, сколько первый, то они получили бы поровну.
Сколько дней работал каждый?
64.	Из котлована, в который каждый час прибывает т м3 воды и
по отводящей трубе вытекает п м3 воды (т > п), два насоса начали
откачивать воду, когда в нем было N м3 воды. Производительность
каждого насоса равна а м3 в час (а > т — п), а стоимость одного часа
работы г руб. Сколько времени до осушения котлована работали оба
насоса одновременно и сколько времени работал один из них, если на
осушение было затрачено R руб.? Указать условия работы с наимень-
наименьшими затратами.
65.	Три трактора разной производительности вспахивают два
поля разной величины. Один третий трактор может вспахать второе
поле на 3 ч быстрее, чем первый вспахивает первое поле, но на два
часа медленнее, чем второй может вспахать первое поле. Первый и
второй тракторы вместе могут вспахать первое поле на 6 ч быстрее,
чем третий вспашет второе поле. За сколько часов третий трактор
вспашет второе поле?
66.	Косцы должны выкосить два луга. Начав с утра косить боль-
большой луг, они после полудня разделились: половина косцов осталась на
первом лугу и к вечеру его докосила, а остальные перешли косить на
второй луг площадью вдвое меньше первого. Сколько было косцов,
если известно, что в течение следующего дня оставшуюся часть рабо-
работы выполнил один косец?
67.	На велогонках два велосипедиста помчались в одном направ-
направлении. Следом за ними, через 10 мин с того же старта, начал путь
третий велосипедист. Сначала он обогнал первого велосипедиста, пос-
после чего находился в пути еще 20 мин, пока догнал второго. На всем
пути каждый велосипедист шел с постоянной скоростью: а км/ч —
первый велосипедист и b км/ч — второй. Найти скорость третьего
велосипедиста.
68.	Три положительных числа составляют геометрическую прог-
прогрессию, произведение первого и третьего членов которой равно 36.
Найти число членов арифметической прогрессии, первый член кото-
которой равен второму члену данной геометрической прогрессии, разность
равна 4 и сумма всех членов равна 510.
69.	Сумма первых трех членов геометрической прогрессии, все
члены которой положительные числа, равна 221. Третий член этой

§ 1. Экзаменационные задачи по разделам	447
прогрессии больше первого на 136. Найти сумму шести членов данной
прогрессии.
70.	Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
равна 6, а сумма ее четырех первых членов равна 5-. Найти первый
член этой прогрессии.
71.	Первый автомат изготовляет деталь на 6 с быстрее второго.
Сколько деталей изготовит каждый автомат за 7 мин, если первый из
них выпускает за это время на 8 деталей больше второго?
72.	По двум окружностям равномерно вращаются две точки. Одна
из них совершает полный оборот на 5 с быстрее, чем другая, и поэто-
поэтому успевает сделать в 1 мин на два оборота больше. Сколько оборотов
в каждую минуту совершает каждая точка?
73.	Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10 %-ным и по-
получили 600 г 15 %-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора
было взято для смеси?
74.	Население страны ежегодно увеличивается на —. Через сколь-
80
ко лет население этой страны удвоится, если темп прироста будет
тем же?
5. Тождественные преобразования
тригонометрических выражений
Проверить справедливость равенств G5-110).
со8Cтг-2а) _ / 5 \	tg 2а + ctg 3/3 _ tg 2a
2(*	) ^ АЖУ 76	I^
77.
z
9
,_„ . « a	a a sin a — 4
78. sin	cos — =	cos a.
2	2	4
9	, 9 ^ cos a — cos
79. ctg2a-ctg2/3 =
sin a-sin
(tg a-\-sec a) (cos a — ctg a) _ 1
oU.	—	 — 1.
(cos a + ctg a) (tg a — sec a)
o^ tga — seca ,	00 1 — 2sin2a 1 — tg a
81. —	=tgaseca. 82. 	=	—.
cos a — ctg a	1 + sin 2a 1 + tga
oo cos4a + l 1 . A	a A , /ЛГО о \ cos4a
83. 	= -sin4a. 84. ctgD5° + 2a)
ctg a-tg a 2	'	ov	' l + sin4a'
85.	cosa(l + seca + tg a)(l-seca + tg a) — 2sin a.
86.	sin2a(l + coseca + ctg a)(l — coseca + ctg a) = sin2a.
1.3
8
88. l + ctg2actga = l
tg a + ctg a	2 ь

448	Прил. III. Экзаменационные задачи
89. sin2 (f+ 2/з) -sin2(|-2/3) = -sina -sin4/3.
1
	5—
l-cosecBa + -7r
on i 1 sec2« 01 tgf"ctgf
90. 1	5— =	. 91. —^	^
(	) 2
92. cos«ct
sin a + tg a — I
no
93.
9 , \ . 2/17	\
t 2a	g (:)(	)
94. /gZa	= cos4a. 95. —^	^	= ctg
tg4a-tg2a	cos (^ тг - 2a)
„„ cos3a + cos4a + cos5a , .	o^
96. —r-	—	^—- =ctg4a. 97.
3 + 4 + 5
ctg a —ctg a
98.	tg2 (a	7Г J —ctg2 (a-\- - к) = 4ctg 2a -cosec2a.
99.	sin^7r-2a^ +2 sin2 ha - | тг^ - 1 = 2 cos a -cos 3a.
_, _ _ sin4a + sin5a + sin6a , r
100.	=tg5a.
cos 4a + cos 5a + cos 6a
101.	3 + 4cos4a + cos8a = 8cos42a.
102.	sin2a + sin4a — sin6a = 4sin3a -sin2a -sina.
103.	l-2sin50o=isecl60°. 104. (cos34°)-1+(tg56°)-1 = ctg28°.
105. ctg i§ 7Г - ctg ^- 7г = 2д/3. Ю6. tg 255° -tg 195° = 2д/3.
Xz	Xz
107. sin Ba + -7г) = ——л/2, если tg a = -.
V	4 /	26	3
108- «XT ¦ 9 = TR' еСЛИ tg a = 0'2-
6 + 7sinza 113
109. 	-^	= —, если tga = 0,2.
3 + 4cos2a 87'	ь
110.	sin a = 0,96, если sin —+ cos— = 1,4.
z	z
6. Задачи по стереометрии
с применением тригонометрических функций
111.	В конусе даны радиус основания R и угол а между образу-
образующей и плоскостью основания. В конус вписана прямая треугольная
призма с равными ребрами так, что ее нижнее основание лежит в
плоскости основания конуса. Вычислить длину ее ребер.
112.	Образующая конуса равна / и наклонена к основанию под
углом а. Найти высоту вписанного в конус равностороннего цилинд-
цилиндра, если нижнее основание цилиндра лежит в плоскости основания
конуса.

§ 1. Экзаменационные задачи по разделам	449
113.	Внутри куба, ребро которого а, помещен конус так, что его
вершина совпадает с одной из вершин куба, а окружность основания
касается трех граней куба, сходящихся в противоположной вершине.
Образующая конуса составляет с его осью угол а. Найти радиус ос-
основания конуса.
114.	В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро рав-
равно b и образует с плоскостью основания угол а. В эту пирамиду
вписан равносторонний цилиндр так, что одна из образующих рас-
расположена на диагонали основания пирамиды, а окружность каждого
основания касается двух смежных боковых граней пирамиды. Найти
радиус основания цилиндра.
115.	Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, опи-
описанного вокруг правильной треугольной усеченной пирамиды, если
острый угол в боковой грани пирамиды равен су, а радиус вписанного
в нее круга равен г.
116.	В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед; большая
сторона его основания а, угол между диагональю параллелепипеда и
его большей боковой гранью /3, а угол между диагональю параллеле-
параллелепипеда и плоскостью его основания равен а. Найти площадь боковой
поверхности цилиндра.
117.	В правильной треугольной пирамиде вершина основания на-
находится на расстоянии b от противоположной боковой грани. Найти
площадь поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду, зная,
что апофема пирамиды наклонена к плоскости основания под углом а
F = 10,16 м; а = 61°16').
118.	Угол между образующей и плоскостью основания конуса ра-
равен а. Объем вписанного в конус шара равен V. Найти объем конуса.
119.	В конус помещены два шара так, что они касаются друг дру-
друга и поверхности конуса. Отношение радиусов этих шаров равно т : п
(т > п). Найти величину угла при вершине осевого сечения конуса.
120.	В правильной четырехугольной пирамиде центры вписанного
и описанного шаров совпадают. Найти двугранный угол при ребре
основания пирамиды.
121.	Основанием пирамиды служит прямоугольник с углом а
между диагоналями, а боковые ребра образуют с плоскостью основа-
основания угол if. Вычислить объем этой пирамиды, если радиус описанного
вокруг нее шара равен R.
122.	Вычислить объем и полную поверхность шарового сектора,
вырезанного из шара радиуса R и имеющего в осевом сечении угол а.
123.	Вокруг шара описана правильная четырехугольная усеченная
пирамида; объем восьмигранника, вершинами которого служат точки
касания поверхности шара с гранями усеченной пирамиды, вчетверо
меньше объема шара. Найти двугранные углы при ребре основания
пирамиды.
29 В. А. Бачурин

450	Прил. III. Экзаменационные задачи
124.	Шар касается боковой поверхности конуса по окружности
основания. Поверхность шара делится при этом на две части, из ко-
которых одна в п раз больше другой. Вычислить угол наклона образую-
образующей конуса к плоскости его основания.
125.	На плоскости основания равностороннего конуса (вне кону-
конуса) дана точка, удаленная от окружности основания на расстояние
радиуса. Через точку проведены к конусу две касательные плоскости.
Найти угол между ними.
126.	В усеченной правильной четырехугольной пирамиде стороны
оснований относятся как т : п (т > п); боковые ребра наклонены к
плоскости большего основания под углом а. В этой пирамиде прове-
проведена плоскость через сторону большего основания и противоположную
ей сторону меньшего основания. Какой угол образует эта плоскость с
большим основанием пирамиды?
127.	Стороны основания треугольной пирамиды равны a, b и с;
каждый двугранный угол при ребрах основания равен а. Вычислить
площадь боковой поверхности и объем пирамиды.
128.	Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник,
боковые стороны которого равны а и угол между ними равен а. Бо-
Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом /3. В этой
пирамиде проведена плоскость через ее высоту и вершину угла а.
Вычислить площадь полученного сечения.
129.	В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания
равна а и боковое ребро наклонено к плоскости основания под уг-
углом а. Из центра основания пирамиды на две смежные боковые гра-
грани опущены перпендикуляры. Найти площадь сечения, образованного
плоскостью, проведенной через два построенных перпендикуляра.
130.	В правильной четырехугольной пирамиде через сторону ос-
основания проведена плоскость, перпендикулярная противоположной
боковой грани. Найти площадь получившегося сечения, если сторона
основания пирамиды равна а и двугранный угол при основании ра-
равен а.
131.	В правильной четырехугольной пирамиде высота равна /г, а
двугранный угол при ребре основания равен а. Вычислить площадь
сечения, образованного плоскостью, проходящей через середину высо-
высоты пирамиды параллельно боковой грани.
132.	В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания
равна а и двугранный угол при ребре основания равен 2а. Вычислить
площадь сечения, которое делит данный двугранный угол пополам.
133.	В правильной n-угольной пирамиде двугранный угол при бо-
боковом ребре равен 2а. Найти двугранный угол при ребре основания.
134.	В правильной треугольной пирамиде сторона основания
равна а и составляет с боковым ребром угол а. Вычислить площадь

1. Экзаменационные задачи по разделам
451
сечения, проведенного через боковое ребро и высоту пирамиды. Поче-
Почему угол а должен быть больше 30°?
135.	В треугольной призме два угла основания равны а и /3, ради-
радиус описанной вокруг основания окружности равен R. Каждое боковое
ребро длины а наклонено к плоскости основания под углом ср. Вычис-
Вычислить объем призмы.
136.	Высота правильной треугольной призмы равна h. Через одно
из ребер основания и противоположную ему вершину другого осно-
основания проведена плоскость. Найти площадь полученной в сечении
фигуры, если угол при взятой вершине призмы равен 2а. Исследо-
Исследовать формулу решения.
137.	От правильной четырехугольной призмы плоскостью, про-
проходящей через диагональ нижнего основания и одну из вершин верх-
верхнего основания, отсечена пирамида с полной поверхностью S. Найти
полную поверхность призмы, если угол при вершине треугольника,
получающегося в сечении, равен а.
138.	Основанием прямой призмы служит ромб с острым углом а.
Как надо пересечь эту призму, чтобы в сечении получился квадрат с
вершинами на боковых ребрах?
139.	В правильной четырехугольной призме проведена плоскость
через середину оси и середины двух последовательных сторон осно-
основания. Сторона основания равна а, а боковое ребро равно Ь. Найти
угол между проведенной плоскостью и основанием.
140.	Через боковое ребро правильной треугольной пирамиды про-
проведена плоскость, делящая объем пирамиды в отношении т : п. На
какие части эта плоскость делит двугранный угол между боковыми
гранями?
7. Функции и их графики
Найти области определения функций A41-178).
141.	у = 3 + ж2 — 2х3 + 4ж5. 142. у —
143. т/ =
У =
150. у =
153. у = \g\x\.
х -Зх +2х
149. y = 3s'mx.
152. у = л/1 — sinж.
155. у = д/logo 1 х.
156. y =
1
158. y = ctg^. 159. 2/ =

452
Прил. III. Экзаменационные задачи
160. у = y/lgcosB7rx). 161. у = у 1 — i/lgsinx.
-1).
162. 2/=,	. 163. у = ^^. 164. ?/= arccos
1 — cos ж
165. у = arcsinDx2
167. i/ =
1-х
166. 2/ = lg(sinx -cosж).
168. у = -- г
169.
172.
= Bх)\. 170. 2/ =
\og2(x-l) ¦
175. j/ =
Iog2(s; +2ж-3)
176. у =
1о82E-2Ж)
179.	|2/| = 1 —ж2. При каких числовых значениях х справедливо
это равенство?
Найти области изменения функций A80-184).
180.	1) y = smx; 2) у = ^—.
181.	1) 2/ = ^^; 2) у = 1-\со8х\.
X — о
182.	1) у = ^^; 2) у = 2 + х-3х2.
183.	1) ^/ = sin х + cos ж; 2) y = l-\-sin x.
184.	1) 2/ = -+cos2|x|; 2) 2/ =	•
Построить графики функций A85-278).
185.	2/ = -Юж-1. 186. 2/ = |ж-1|. 187. 2/ = |ж|-1.
188. ?/ = ж2-ж-6. 189. у = -3а~
190. 2/ = —-
194. у = 1-
197. 1/ = logo
191. 2/ = -=^. 192. у =
х. 195. ?/ = 2ж-2-3.
198. у = |1окод:|.
х + 2
Г^- 193. у= 1
1 — ж	1 — ж
196. ^/ = Iog3?.
199. г/ =
203. у =
201. 2/= (^
204. 2/ =
202. ?/ = ж2
205. у = т^.
\х

§ 1. Экзаменационные задачи по разделам
453
206.	у =
210.	у =
213.	у =
215.	у =
218.	у =
221.	у =
224.	у
227.	у
т^т. 207. у = л/I^T- 208- У = х-\х\. 209. у= Х
х-2'
211. 2/ = |ж3|. 212. 2/ =
214. у = х2 — х~2.
—2
216. 2/ = Л- 21Г- 2/ = 2*-
220. ?/ =
= cos |
219. 2/ = |ж-1|-
222. y = cosx-x. 223. 2/ = si
225. y = \cos\x\\. 226. ^/ =
1 + x
2/ =
231. ^/ = x-si
234. ^/ =
. 229. ^/ =
232. y = o,t
235. y = x-
. 238. 2/ = cosx-secx.
241. 2/ = |2ж-3|.
= 2Ж+3.
= sin ж + ж. 243. у = l — \tg х\. 244. 2/ = sinx + cosecx.
246. 2/= 1-sin* ж. 247. у = ( ^
. 249. 2/ = |lga|. 250. ?/-
¦1. 252. у =
-1. 254. ^/ =
, 0 < a < 1.
255. y =
230.	у-
233.	2/
236.	у-
239.	2/
242.	2/ =
245.	у.
248.	2/ =
251.	у.
253.	2/:
256.	2/:
259.	у-
262.	2/:
264.	у = arcsin(—ж). 265. 2/ = arccos |ж|. 266. у = — 0,5arccosx.
267.
270.
273.
276.
21og2(l-2x)-l. 257. 2/ = |r. 258.2/ = ^.
¦¦-^—. 260. 2/ = -4ж2 + 12ж-5. 261. у = 9 	.
ж2-1	2ж2-8ж-4,5
263. v = larcsind.
268. у =
arcctgж — тг. 271. 2/ =
-. 269. 2/ =
. 272. y = \g\sinx
= lgcosx. 274. 2/ = lg cosx. 275. 2/=
278.
= lg|tgx|. 277. 2/= sin —.
0	^ ж ^ 1;
1	^ X < (X).

454
Прил. III. Экзаменационные задачи
8. Уравнения и неравенства
Решить уравнения B79-294).
291.
293.
OS f — — x]
	12	-
1 + cosx
292.
on
—
16
x\ = —. 294. sin (ttcosx) = cos (тгsin ж).
V О
295. Вычислить sin 18°, зная, что sin36° = cos54°.
Решить системы уравнений B96-299).
_ ^/Ъу-Ах J Ьу _34,
296.
{sin ж + cos ^/ = 1;
тг	299.
ж + у — —.
Какие из чисел больше C00-303)?
300. -^L= и i 301. \/5 + \/б и
-^L= и i 301.
л/195 2
302.
297.
sin ж • sin 2/ = о;
1
cos х • cos у — -.
= 75°
. 303. A + \/5I0° и З100.
Доказать неравенства C04-311).
304. 14- — < 2, если х > 1. 305. a <
х	2
306. ^ + ^2, если р>0,
д р
< 6, если а < Ъ.
0. 307. а + -^2, если a > 0.
а
308. (а + Ь) (- + i) ^ 4, если а > 0, 6 > 0.

§ 1. Экзаменационные задачи по разделам
455
c + \J~ac1 если а > 0, b > О, с > О.
-, если а + Ь = 1.
Решить неравенства C12-333).
^ X . О J. О. X \ Ж
ж. 318. ж2-ЗЫ + 2 <0.
312. х>-. 313. х<-. 314.
X	X
316. х > |д/?|. 317.
3
319. х2-Ъ
321.
323.
-КО. 320. х <
Q
;. 322. ж + ? > V
324. |2ж-3|>1. 325. |4-Зж|^. 326. |ж-3|>-1.
327.
L 328. Х -7х + 6<-1.
3-2ж
332.
330.
333.
331.
ж — 5ж + 6
2-х 2+х
Решить неравенства C34-347).
334. Iog3(l — 4ж) > 1. 335. Iog2(—\
336. 1о^1/чDж2 + ж-8) <-2. 337.
(ж-3)A-2ж)
2.
2.
338. log1/3x>log,3-^. 339. lOg05(x2-1)^-3.
340. Iog1/3|l-3x| < -2. 341. log2(|x-3|-3) < 2.
342. (^ + (^"^3. 343. log,2.1og2,2>logL2.
344. sinx>-. 345. | sin ж | < | cos ж |. 346. | sin ж| + |cosx| > 1.
z
347.	(logsin x 2J < logsinx Dsin3 ж).
348.	При каких значениях а и /3 возможно равенство
sin a + sin /3 = sin (се + /3)?
349.	Показать, что
sin2 a + sin2 b + sin2 с > 2,
где а, 6, с — углы остроугольного треугольника.

456	Прил. III. Экзаменационные задачи
350.	Доказать, что
tg20o-tg40°-tg80° = \/3.
Доказать справедливость неравенств C51-352).
351.	cos(sinx)>0. 352. —	1	— > 2.
log2 тг log,, 2
9. Неравенства с двумя переменными и их системы
Где на координатной плоскости расположены точки, координаты
которых удовлетворяют неравенству C53-354)?
353. (х + у)( - + - ) > 0? 354. (х-у)(---)>0?
\х у)	\х у)
Показать штриховкой множество точек координатной плоскости,
задаваемое системой неравенств C55-356).
(у>х2	(х2 + у2^Ж,
355. <	\	356. <ж2 + ?/2^64,
Найти множество решений системы C57-372).
357. |Ж +2/ f ' 358. \Х +У ^ ' 359. <^2 + 2/2^ '
. ^ -,	, !-4ж-?/ + 3^0,
360. к	361. J
362.
364.

;> 2. Разные задачи из экзаменационных билетов	457
г + «П<0
370. < / ^ ' 371.{х + у^0, 372.
§ 2. Разные задачи из экзаменационных билетов
373.	Вычислить х, если
B,7-0,8)-2- A,6 +154,66: 70,3): 1,9	9 _ ^
E,2 -1,4): 1	B1-1,3): 4,3	* И" 8"
374.	В одном сосуде находятся 12 л п%-ного раствора кислоты, а
в другом — 8 л 771%-ного раствора той же кислоты. Из каждого сосуда
отлили одно и то же количество литров и взятое из первого сосуда
перелили во второй, а взятое из второго — в первый. Какое количество
литров было отлито, если в обоих сосудах оказался раствор кислоты
одной и той же концентрации?
375.	В основании прямой призмы лежит четырехугольник, в ко-
котором два противоположных угла прямые. Диагональ основания, со-
соединяющая вершины непрямых углов, имеет длину I и делит один
из этих углов на части а и /3. Площадь сечения, проведенного через
другую диагональ основания перпендикулярно ему, равна S. Найти
объем призмы и привести формулу к логарифмическому виду.
376.	Упростить выражение
cos2 — + - cos(tt —ж).
А А
377.	Две бригады производили ремонт пути. Каждая из них отре-
отремонтировала по 10 км, несмотря на то что вторая бригада работала на
один день меньше первой. Сколько километров пути в день ремонти-
ремонтировала каждая бригада в отдельности, если обе вместе ремонтировали
4,5 км в день?
378.	Из сосуда с кислотой отлили а л кислоты и долили в сосуд а л
воды. Затем отлили а л смеси, после чего оказалось, что оставшаяся
в сосуде смесь содержит 26 л кислоты. Сколько литров кислоты бы-
было в сосуде первоначально? (Кислота не вступает в реакцию с водой.)
379.	Упростить выражение
•cos (а — /3)
380.	Найти наименьшее числовое значение выражения х2 — 6ж + 34.
381.	Доказать, что tg(a + /3) = 2tg а, если sin a -cos (а + /?) = sin f3.
Выполнить действия C82-385).
382.

458	Прил. III. Экзаменационные задачи
383.
385.	¦ + '
1/4 . 1/8,1	1/4 1/6 , -г	111 1/4 , -, '
а7 + а ' +1 а7 —а7 +1 а ' — а ' +1
386. Решить уравнение (х — натуральное число)
387.	Написать общий вид квадратного уравнения, заведомо имею-
имеющего действительные корни.
388.	Дано:
, 0<a<?, 0</3<J.
Найти sin Ba — /3).
389.	Решить систему уравнений
' а3 + а2х + ay + z = О,
&3 + 62ж + &2/ + 2: = 0,
с3 + с2ж + су + z = 0.
390.	Определить значение ?тг так, чтобы в уравнении
2х2 - Bт +1) х + т2 - 9т + 39 = 0,
один из корней был вдвое больше другого, и решить это уравнение
при найденном значении т.
391.	В арифметической прогрессии третий член равен 35, а пятый
член равен 55. На какое число надо разделить сумму пяти членов
прогрессии, чтобы в частном получилось число, меньшее делителя
на 7, а остаток от деления был бы равен половине частного?
392.	Доказать, что три различных числа не могут одновременно
составлять и арифметическую, и геометрическую прогрессии.
393.	Найти два числа, если известно, что разность между част-
частными от деления первого числа на 3, а второго на 5 равна 6; если
первое число разделить на второе, то в частном получится пятая часть
второго числа, а в остатке 4.
Вычислить выражения C94-395).
394. (9-1/2 + (ЗУЗ)/3) • (9-1/4 - (ЗУЗ)/3).
395.
396. Бригада каменщиков уложила 120 тысяч кирпичей, выполнив
эту работу на 4 дня раньше срока. Какова была норма ежедневной

§ 2. Разные задачи из экзаменационных билетов	459
кладки кирпича и сколько тысяч кирпичей укладывали ежедневно в
действительности, если известно, что бригада за три дня укладывала
на 5 тысяч кирпичей больше, чем полагалось укладывать за 4 дня по
норме?
397.	Найти все решения уравнения
sin 7х + cos2 2х = sin2 2х + sin ж,
/ 7Г 7Г\
лежащие в интервале I — —; — 1.
398.	Исключить t из равенств х = 10COS*, у = 10sin*.
399.	Выразить sin 6° через sin 12°.
400.	Возможно ли равенство х = log2x?
401.	Имеет ли уравнение х3 + 2х = 3 отрицательные корни?
402.	Доказать, что х = 1 — единственный (действительный) ко-
корень уравнения х3 + Зж = 4.
403.	Показать, что уравнение хъ + х4 + 2х3 + 2х2 + х + 1 = 0 имеет
только один корень. Какой?
Решить неравенства D04-408).
V 2ж2 - х - 6
406.	^- < 1.
2Ж-3Ж+
Верно ли, что lg— является решением этого неравенства?
407. 9^-1/2-3^-1lo
Решить уравнения D09-413).
408. л Н:-- < --^.
409. л/l - л/2 sin ж + 2 cos ж = 0.
si
410.
411. v 3 —5cosx —
414. Доказать тождество
tg a + ctg a + cosec2а _
Т ~
sec (--2а)
415. Решить систему уравнений
о . о О
г + уг = -ху,
1
х-у = -ху.

460	Прил. III. Экзаменационные задачи
2ж2-Зж-459
416.	При каких отрицательных значениях х дробь
больше единицы?	ж + 1
§ 3. Образцы билетов с задачами по математике,
предлагавшимися на письменных
вступительных экзаменах в вузах
Вариант 1
417.	Разложить на множители выражение х3 + Ъх2 + Зж — 9.
418.	Решить уравнение С* = 5, где С™ обозначает число соче-
сочетаний из п элементов по т (см. §6 приложения I).
419.	Решить уравнение \og%x + \og^x — log^^ = 0.
420.	Преобразовать в произведение: 1 + sinx — cos2x.
421.	Упростить выражение
n + (n + l) + (n + 2) + (n + 3) + ...+2n
422.	Два каменщика, из которых первый начинает работать на
1,5 дня раньше второго, могут сложить стену за 7 дней, считая с мо-
момента начала работы первого. Если бы каждый выполнил эту работу
отдельно, то первому потребовалось бы на 3 дня больше для выкладки
всей стены, чем второму. За сколько дней каждый из них сложит эту
стену?
423.	Правильная треугольная пирамида со стороной основания
а = 13,92 см рассечена плоскостью, перпендикулярной основанию и
делящей две стороны основания пополам. Вычислить объем отсечен-
отсеченной пирамиды, если двугранный угол при основании ip = 67° 18'.
424.	Решить систему неравенств
Зж-1 13-ж 7х 11(ж + 3)
5	2 > ~3	6 '
Зж + 5 , о , 10-Зж
+ 8+
Вариант 2
425. Упростить выражение
ух
426. Решить уравнение хь - 28ж3 + 27 = 0.

§ 3. Образцы билетов вступительных экзаменов в вузы	461
427. Найти область определения функции
/х + 5
_
У~
428. Решить уравнение
429. Упростить выражение
tig АХ CXi^^ АХ
430.	Из двух сплавов меди процент содержания меди в одном
сплаве был на 40 меньше, чем в другом. В новом сплаве, образованном
из этих двух сплавов, меди оказалось 36%. Вычислить процентное
содержание меди в первом и во втором сплавах, если известно, что
меди в первом сплаве было 6 кг, а во втором — 12 кг.
431.	По данному основанию треугольника а = 5 и двум его
высотам he =4, Л# = 3, проведенным из вершин, прилежащих к
основанию, вычислить две другие стороны треугольника.
432.	Пирамида имеет в основании равнобедренный прямоуголь-
прямоугольный треугольник с катетом а = 18,68 см. Одно из боковых ребер пира-
пирамиды перпендикулярно плоскости основания, а другие два наклонены
к ней под одним и тем же углом а = 46°52/. Плоскость, перпендику-
перпендикулярная основанию, дает в сечении с пирамидой квадрат. Вычислить
площадь этого сечения.
Вариант 3
433. Упростить выражение
а-л/3
и найти его числовое значение при а = 1,125.
434.	Решить уравнение
52,-l+22,_52,+22,+2=0<
435.	Доказать, что при 0° < х < 90° справедливо неравенство
tg ж + ctg х ^ 2.
436.	Найти сторону ромба, если окружность, проведенная через
вершины обоих тупых углов и одного из острых углов, делит боль-
большую диагональ на части 50 и 14.
437.	Некоторое тело, погруженное в воду, теряет в своем весе
столько процентов, сколько килограммов составляет его вес. Каков
его вес, если в погруженном состоянии он равен 24 Н?
438.	Боковое ребро наклонного параллелепипеда образует оди-
одинаковые углы, равные ip, со сторонами основания, представляющего

462	Прил. III. Экзаменационные задачи
собой ромб со стороной а и острым углом а. Вычислить площадь се-
сечения параллелепипеда, проходящего через большую диагональ ромба
и высоту параллелепипеда, если боковая грань его имеет площадь S.
Вариант 4
439. Решить уравнение
_л
440.	Через один из концов хорды окружности проведен диаметр.
Перпендикуляр, опущенный из середины хорды на диаметр, равен 2 см.
Больший отрезок диаметра равен 6 см. Вычислить радиус круга.
441.	Два мотоциклиста выехали одновременно: один из пункта А
в пункт В, другой из пункта В в пункт А. Каждый ехал с постоян-
постоянной скоростью и, приехав в конечный пункт, немедленно поворачивал
обратно. Первый раз они встретились в 40 км от Б, второй раз —
в 20 км от А через 8 ч после первой встречи. Найти расстояние от А
до В и скорости обоих мотоциклов.
442.	Основанием прямой призмы служит неравнобочная тра-
трапеция. Через боковое ребро призмы проведена плоскость, делящая
двугранный угол а при этом ребре в отношении 1:2. Эта плоскость
делит непараллельную грань призмы пополам. Диагональ сечения,
площадь которого Q, образует с основанием призмы угол /3. Найти
объем призмы.
443.	Решить неравенство sin ж — V^cosx > 1.
b	a + b \
^b-a ^Пь1'2)
Вариант 5
444. Упростить выражение
и найти его числовое значение при а = 1 —; b = 0,75.
18
445.	В прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 см
и 4 см, вписан круг. Вычислить расстояния от центра этого круга до
вершин треугольника.
446.	Три положительных числа, составляющие арифметическую
прогрессию, дают в сумме 15. Если к ним прибавить соответствен-
соответственно 1, 4 и 19, то получатся три числа, составляющие геометрическую
прогрессию. Найти эти числа.
447.	В правильную треугольную пирамиду, сторона основания
которой равна а, вписан шар. Боковая грань образует двугранный
угол а с основанием. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через точки касания шара с боковыми гранями пирамиды.
448.	Решить неравенство tg ж + ctg x + 2ctg 2x > 2.

§ 3. Образцы билетов вступительных экзаменов в вузы	463
Вариант 6
449.	Решить уравнение xXgx+1 = ЮООж3.
450.	Сколько градусов содержит дуга, если перпендикуляр, прове-
проведенный к хорде из ее конца, делит дополнительную (до окружности)
дугу в отношении 5 : 2?
451.	При делении некоторого двузначного числа на сумму его
цифр в частном получается 6, а в остатке 2. Если же это число разделить
на произведение его цифр, то в частном получится 5, а в остатке — опять
2. Найти это число.
452.	Найти центральный угол в осевом сечении шарового сектора,
если его сферическая поверхность равновелика конической. В каком от-
отношении наибольшее поперечное сечение делит ось шарового сектора?
453.	Доказать тождество
cosmx — cosnx , (т + п \
	= tg 	х .
smnx — smmx	\ 2 /
Вариант 7
454.	Произвести действия:
(D,625 - — •—):- + B,5 : 1,25) : 6,75) : 1 —
" '18 26^ 4 V '	' У ' / 68
(- - 0,375) : 0,125 + (--—): @,358 - 1,4796 : 13,7)
V2	'	V6 127
455. Решить уравнение
=- (9log25 ж+1 - 9log25 x).
456.	Окружность разделена в отношении 5 : 9 : 10, и через точки
деления проведены касательные. Вычислить больший угол в получен-
полученном треугольнике.
457.	Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2:3,
а другая — в отношении 3 : 7. Сколько ведер нужно взять из каждой
бочки, чтобы составить 12 ведер смеси, в которой спирт и вода были
бы в отношении 3 : 5?
458.	Вокруг шара описана усеченная правильная четырехуголь-
четырехугольная пирамида, в которой стороны большего и меньшего оснований
относятся как т : п. Как наклонены к плоскости большего основания
боковая грань и боковое ребро?
459.	Вычислить i/0,5 +0,5cosBarccos0,75).
Вариант 8
460.	Упростить выражение
— + (у/ах + \/ах2 - 2 1y/aFx^) : —(-
и найти его числовое значение при а = 0,5; х = 6,125.

464	Прил. III. Экзаменационные задачи
461.	В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла
г» 1	г» 6	тт »
делит гипотенузу на части, равные I— м и I— м. Найти катеты.
462.	Найти два числа, сумма которых равна 1244; эти числа станут
равными друг другу, если в конце первого числа приписать цифру 3,
а в конце второго числа отбросить цифру 2.
463.	Сечение, перпендикулярное оси конуса и делящее его объем
пополам, проходит через центр описанного шара. Найти угол между
образующей и плоскостью основания.
464.	Преобразовать в произведение: 3 — 4cos2 ( - тг — х).
465.	Решить систему уравнений
ГЗж-2^ = 144,
Вариант 9
466. Найти число х из пропорции
4lH_40^
84	60
467. Доказать тождество
468.	Из одной точки проведены к данной прямой перпендикуляр
и две наклонные. Вычислить длину перпендикуляра, если наклон-
наклонные равны 41 см и 50 см, а их проекции на данную прямую относятся
как 3:10.
469.	37 кг олова «теряют» в воде 5 кг своей массы, 23 кг свинца
теряют 2 кг. Сплав обоих металлов в 120 кг «теряет» в воде 14 кг.
Сколько в сплаве олова и сколько свинца, если объем сплава равен
сумме объемов компонентов?
470.	Конус и сферический сегмент (меньше полушара) имеют об-
общее основание, а их боковые поверхности взаимно касаются. Найти
угол между образующей и основанием конуса, если боковая поверх-
поверхность конуса в п раз больше боковой поверхности сегмента.
471.	При каких значениях а уравнение х2 — 2ах + а2 = 1 имеет
два различных корня, заключенных в интервале A; 5)?
Вариант 10
472.	Произвести указанные действия:
'928-Ю-2 „Л Cj: 0,625-0,84: 0,8): 0,03
°'8	/ D2-3--3,3:0,03) : —
15

§ 3. Образцы билетов вступительных экзаменов в вузы	465
473.	Производительность станка А в т раз меньше суммарной
производительности станков Б и С, а производительность станка В
в п раз меньше суммарной производительности станков Л и С. Во
сколько раз производительность станка С меньше суммарной произ-
производительности станков А и В?
474.	Диагонали ромба равны 14 дм и 48 дм. Вычислить высоту
ромба.
475.	Основанием пирамиды служит прямоугольник с углом а
между диагоналями, а боковые ребра образуют с плоскостью осно-
основания угол (/?. Вычислить объем этой пирамиды, если радиус описан-
описанного вокруг нее шара равен R.
476.	Решить уравнение cos9x -cos5x = cos7x -cos3x.
477.	При каких значениях т трехчлен 2х2 — 2х + Ьт будет иметь
положительные значения при любых действительных значениях х?
Вариант 11
478.	Упростить выражение
и вычислить при а = 0,4761; b = 12,3201.
479.	Дан параллелограмм, в котором острый угол 60°. Найти от-
отношение длин сторон, если отношение квадратов длин диагоналей
19
параллелограмма равно —.
480.	Автомашина должна была пройти 840 км. В середине пути
она была задержана на 1 ч, и чтобы прибыть вовремя, она должна
была увеличить скорость на 2 км/ч. Сколько времени затратила ав-
автомашина на весь путь?
481.	Найти поверхность шара, описанного вокруг треугольной
пирамиды, стороны основания которой a, b и с, а боковые ребра
наклонены к плоскости основания под углом а.
482.	Доказать тождество
. а . /тг , а\
sin— -sin (— + — )	i
2~ск	2 /Зтг aV ~~ о 8 Ol"
COS — — COS I	 — — )	z
2	^2 2 '
Вариант 12
т -I- 4t -I- 3
483.	Решить неравенство —:	:— > 1.
|ж + 1|
484.	Решить уравнение
30 В. А. Бачурин

466	Прил. III. Экзаменационные задачи
485.	Через одну и ту же точку окружности проведены две хорды,
равные а и Ь. Если соединить их концы, то получится треугольник
площади Q. Вычислить радиус окружности.
486.	Два колеса разных диаметров соединены бесконечным рем-
ремнем. Меньшее из них делает в минуту на 400 оборотов больше второ-
второго. Большее колесо делает 5 оборотов в промежуток времени на 1 с
больший, чем время 5 оборотов меньшего. Сколько оборотов делает
каждое колесо в минуту?
487.	В правильной усеченной четырехугольной пирамиде сторона
большего (нижнего) основания равна а; боковое ребро также равно а
и составляет со стороной нижнего основания угол а. Центр нижнего
основания служит вершиной пирамиды, основание которой совпадает
с верхним основанием данной усеченной пирамиды. Найти разность
объемов усеченной и внутренней пирамид.
488.	Решить уравнение sin ж -sin7x = sin3x -sin5x.
Варианты письменных экзаменов с проверкой на ЭВМ*)
Вариант 1
489.	Вычислить
33,75.16,1 + 2.951 + 2,F)-^
490. Решить уравнение
4	3	12 1
ж + 2 х-2 4-х2 ~ 7'
491.	Найти больший корень уравнения Л/Зж ~7х = -.
492.	Найти меньший корень уравнения
Iog2-21og2x-3 = 0.
493.	Найти наибольшее число, удовлетворяющее неравенству
|ж2-Зж + 1| ^1.
494.	Найти длину промежутка, на котором верно неравенство
495.	Пятый член геометрической прогрессии равен 16, а восьмой
член равен (—128). Найти сумму первых шести членов прогрессии.
496.	Сколько корней уравнения - tg 2х — tg х = 0 лежит на от-
7Г ТГ]	2
Г
Резке [——; —
*) Устные экзамены при этом не предусматриваются.

§ 3. Образцы билетов вступительных экзаменов в вузы	467
497.	В прямоугольный треугольник, площадь которого рав-
равна 6 см2, вписана окружность радиуса 1 см. Найти длину гипотенузы
треугольника.
498.	Объем правильной треугольной пирамиды равен 2,25 см3,
сторона основания равна 3 см. Найти угол наклона бокового ребра
пирамиды к плоскости основания (в градусах).
Вариант 2
499.	Вычислить выражение
? E4?-4,5: 0,1)-(З^+0,666...H,4
2	4
500.	Найти меньший корень уравнения —^	1—^	= 1.
ж +3 ж +7
501.	Решить систему уравнений
и вычислить произведение ху.
502. Найти число В, если оно составляет 32% от числа Л и на 18
больше числа С, составляющего 24% от числа А.
503.	Решить уравнение л/76 + 6ж - х2 = х + 4.
504.	Вычислить координату (абсциссу) середины отрезка, на кото-
котором верно неравенство \х — 2| + |ж + 2| ^4.
505.	Вычислить длину отрезка, на котором верно неравенство
506.	Сумма первого и четвертого членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии равна 9-, а сумма второго и третьего чле-
нов равна 4. Вычислить сумму прогрессии.
„,_ о	logo0,4-logo2,5 -log52
507.	Вычислить выражение , 	riLJ	^— •
log2 5 + log5 2-2
508.	Вычислением показать справедливость равенства выражений:
• опао , ОААО , оого л/2 (sin38° + sin 22°)
sin 390 + cos 300 • tg 225 =	^	5	5-^.
B	cos 37° +sin 37°
Чему равно каждое из них?
509.	Из точки, лежащей на окружности, проведены диаметр и
хорда, угол между которыми равен 90°. Длина дуги, заключенной
между диаметром и хордой, равна 3. Вычислить длину окружности.
510.	Плоский угол при вершине правильной треугольной пира-
пирамиды равен 60°, сторона основания равна 6л/2. Вычислить объем
пирамиды.
30*

468	Прил. III. Экзаменационные задачи
Вариант 3
511. Вычислить выражение
512.	Упростить выражение 	Q^_ о	1	—=— и вычислить его
ЗА7 о	3 + 3^3о2-о3-3^9о
при а = уЗ-2.
513.	Вычислить произведение корней уравнения
1+Ь +	°
514. Решить систему уравнений и вычислить произведение xyz:
3
518. Вычислением показать справедливость равенства выражений:
2/тко , . ,пПо + к~по_ л/2 (sin 34°+sin 26°)
515.	Какое двузначное число на 19 больше суммы квадратов его
цифр и на 44 больше удвоенного произведения его цифр?
516.	Решить уравнение \/9 — х — \/9 + х = 2\/4,5.
517.	Вычислить выражение 31og2
ычислением показать
sin2 405° + sin 480° -tg_	o	o .
в	cos41° + sin41°
Чему равно каждое из них?
519.	В окружность радиуса 10 вписан равнобедренный треуголь-
треугольник, у которого сумма высоты и основания равна диаметру. Вычислить
длину высоты.
520.	Вычислить длину образующей конуса, если его объем V =
= тг куб. единиц, а образующая наклонена к плоскости основания под
углом 30°.
521.	Найти наименьшее число, удовлетворяющее неравенству
522.	Найти длину отрезка, на котором верно неравенство
Bж + 1) ^B-2ж).
523.	Каково наибольшее целое значение ж, входящее в область
определения функции у = lgB + х — ж2)?
524.	Вычислить больший корень уравнения log2 x + log^ 8 — 4 = 0.
525.	Сколько корней уравнения 2sin2—hsin2x = 2 лежит на от-
отрезке 0 ^ х ^ 2тг?

§ 3. Образцы билетов вступительных экзаменов в вузы	469
526. Второй член арифметической прогрессии равен 6, а пятый
член равен (—3). Вычислить число п, если сумма первых п членов
прогрессии равна (—27).
Вариант 4*)
1-й тур B0 задач)
1.	Найти число, 31 % которого составляет 108,5.	Ответ: 350.
2.	Упростить до числового ответа выражение
г	I • 11 - ^^- V	Ответ: -3.
ху;
2х-у 2x2-
3.	Решить уравнение 0,25Cж +2)+4 = Зж.	Ответ: х = 2.
4.	Найти больший корень уравнения Gх + 2) Bх + 1) = 2х2.
Ответ: х = —0,25.
5.	Найти наибольшее целое значение х, удовлетворяющее нера-
неравенству 0,1Bж — 0,125) > х — 5.	Ответ: х = 6.
6.	Вычислить значение у из системы
@,3?/-0,5ж = 1,18;	4
<	Ответ: у = —.
= -3,04.	3
/ о	о
/313 — 312
7.	Вычислить устно W	^	^—•	Ответ: 5.
У 132-122
8.	Вычислить сумму всех двузначных чисел.	Ответ: 4905.
1111	1
+ + + +
9.	Вычислить сумму 2 4 8 T6	V27
Ответ: 2.
10.	Вычислить ж, если
2	1
log ж = - log 32 — -log 64 +log 10.	Ответ: х = 10.
о	о
11.	Найти больший корень уравнения 1000-(ОДI^ = 100ж.
_	_	Ответ: х — \.
-о о	sin260° + sin2(-45°)-l,25	^
12.	Вычислить —::	::—	::	.	Ответ: 0.
1 Z л г О	• Z/ ПГ\О\ I * Z л?г»О
13.	Вычислить
4sin330° • cos (-240°) • tg 120° - 2cos 150° • tg (-315°). Ответ: 0.
14.	Упростить до числового ответа
sin 6a -ctg За — cos6а.	Ответ: 1.
15.	Решить уравнение cosx = 8m2x -cosx. Ответ дать для интер-
интервала 0 < х < 90°.	Ответ: х = 45°.
*) Экспериментальный вариант одного письменного экзамена в два
тура.

470	Прил. III. Экзаменационные задачи
16.	Периметр ромба равен 8 см, высота — 1 см. Найти тупой угол
ромба.	Ответ: 150°.
17.	Из точки окружности проведены две хорды, равные радиусу.
Найти угол между ними.	Ответ: 120°.
18.	Найти среднюю линию описанной вокруг окружности трапе-
трапеции по ее периметру 12 см.	Ответ: 3 см.
19.	Вычислить расстояние точки МA; 2; — 3), заданной в прост-
пространственной системе координат, от координатной оси Ох.
Ответ: \/ТЗ.
20.	Сторона равностороннего треугольника равна 3 см. Вычислить
расстояние от его плоскости до точки, которая отстоит от каждой
из его вершин на 2 см.	Ответ: 1 см.
2-й тур F задач)
1. Вычислить х из равенства
A7,125 + 19,38 : х) -0,2 + 3— : 2—
^Ц- = 6,48.	Ответ: 2,4.
+ 1
4:2 + 2±-1-) : 27,74 + 1
^ 32 27	4 8'	'	9
2.	Двое рабочих должны были за 3 ч сделать по одинаковому
числу деталей. Один из них выполнил задание в указанное время.
Второй за это же время сделал на 11 деталей больше, чем первый, так
как на обработку каждой детали затрачивал на 11 мин меньше, чем
первый. Сколько деталей сделал второй рабочий?	Ответ: 20.
3.	Решить уравнение х + lg(l + 2^) = xlg5 + lg6. Ответ: х — \.
4.	Упростить до числового ответа выражение
sin6 a + cos6 а + 3sin2 a cos2 а.	Ответ: 1.
5.	В прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 см
и 4 см, вписан круг. Вычислить расстояния от центра этого круга
до вершин треугольника. В ответе указать квадрат наименьшего рас-
расстояния.	Ответ: 2 см2.
6.	Шар радиуса \/2 см равновелик прямому конусу, боковая по-
поверхность которого в три раза больше площади основания. Вычислить
высоту конуса.	Ответ: 4 см.
§ 4. Выборочные задачи из экзаменационных билетов,
не являющиеся обязательными для всех абитуриентов
1. Задачи на вычисление пределов
Используя определение предела последовательности, доказать
справедливость равенств E27-529).
527. hm	=5. 528. hm	= 3. 529. hm ^
п->-оо П	п->-оо 6П	п->-оо

§ 4- Выборочные задачи из экзаменационных билетов
471
Вычислить пределы последовательностей, заданных общим чле-
членом E30-531).
530. lim
531. lim
п | \	п—>-оо 2
В задачах 532-537 найти пределы.
532. lim
534. lim
533. lim
(х-1) у/2-х
х2-1 "
535. lim
X	ж->-5 X — 5
536. lim (x-y/x2 + 5x). 537. lim (ж+ 1) sin-.
ж—>-оо v	'	ж—>-оо	Ж
Вычислить пределы и подтвердить или опровергнуть данные выс-
высказывания E38-539).
to- 7т	г4 — Ifi
538. lim ^|^ = 5-lim-	^.
539. lim
- х - ^8 + х
< lim
2. Производная. Применение производной
Вычислить значения производных заданных функций при указан-
указанных значениях независимой переменной E40-543).
540. f(x) = sin4x — cos4x; /M—)=?
541.	f(x) =
542.	f(x) =
543.	f(x) =
/ж - 1 + V ж - 1
г-1; /42) = ?
22ж
Найти производные функций E44-547).
2	1	х
544. ^/ = - arctgх + - arctg	^. 545. ^/= arctg
3	3	1-х
546. у = \п
=. 547.
548. Написать уравнение касательной к графику функции у =
	в точке его пересечения с осью абсцисс.
У =
549. Показать, что касательные, проведенные к графику функции
ж — 4
х-2
в точках его пересечения с осями координат, параллельны.
550. Составить уравнение касательной к линии у = х3 + Зж2 — 5,
перпендикулярной прямой 2х — 6у + 1 = 0.

472	Прил. III. Экзаменационные задачи
551.	Составить уравнение нормали к линии у = — л/х + 2 в точке
ее пересечения с биссектрисой I координатного угла.
552.	Под каким углом к оси Ох наклонена касательная, проведен-
проведенная к кривой у = 2х3 — х в точке пересечения этой кривой с осью Oyl
553.	В какой точке угловой коэффициент касательной к графику
функции у = 2х3 — 2х2 + х — 1 равен 3?
554.	Тело движется по закону s(t) = 2t3 — 3? + 4 (м). Найти его ско-
скорость и ускорение в момент t = 2 сек.
555.	Движения двух тел вдоль одной прямой заданы уравнения-
уравнениями si = М2 + 2 (м), S2 = 3?2 + 4? — 1 (м). Найти скорости движения тел
в те моменты (выраженные в секундах), когда тела «сходятся в одной
точке».
556.	Показать, что функция у = х3 + 4х возрастает на всей чис-
числовой оси.
557.	Доказать, что функция у = х -\	^ возрастает на всей чис-
1 + ж
ловои оси.
558.	Показать, что функция у = 2х3 + Зж2 — 12ж + 1 убывает в
интервале (-2; 1).
559.	Показать, что функция у = arctgx — x убывает при любом
значении х.
560.	Найти экстремум функции у = х2 — 1пA + 2ж).
о
561.	Найти экстремумы функции у = х3 -\— и написать уравне-
х
ние касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х = — 2.
Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных
промежутках E62-565).
562. /(ж) = Зж4 + 4ж3 + 1; х G [-2; 1]. 563. ^ = | + ^;
564. у = ^1 @^ж^4). 565. y = sm2x-x (~-^х^
X ~\ ±	\ А
566.	Прямоугольный лист жести имеет линейные размеры 5 дм х
х 8 дм. В четырех его углах вырезают одинаковые квадраты и де-
делают открытую коробку, загибая края под прямым углом. Какова
наибольшая вместимость полученной коробки?
567.	Какие размеры нужно придать радиусу R и высоте Н от-
открытого цилиндрического бака, чтобы при данном объеме V на его
изготовление пошло наименьшее количество листового металла?
568.	Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который мож-
можно вписать в шар радиуса R.
569.	Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра,
вписанного в полукруг радиуса R.

§ 4- Выборочные задачи из экзаменационных билетов	473
Найти промежутки монотонности, точки экстремума и начертить
эскизы графиков функций E70-575).
570. у = 2х3 + Зх2-1. 571. у = 0,5ж4-4ж2. 572. у = х3-
573. у = 8 + 2х2-х4. 574. у = —*—. 575. у = х
1 + х	х
576.	Дана парабола у — х2. Найти расстояние от этой параболы
до прямой у — х — 4.
577.	Найти промежутки возрастания и убывания, а также точки
х
максимума и минимума функции у =	.
578.	Указать промежутки возрастания и убывания, а также точки
максимума и минимума функции f(x) = хе~3х.
579.	Найти разность между наибольшим и наименьшим значе-
значениями функции у = cos х + - cos 2х	cos Зж.
L	о
580.	Найти модуль разности экстремумов функции у = х3-\-
2
581.	Определить высоту конуса, вписанного в шар радиуса R и
имеющего наибольшую площадь полной поверхности.
582.	Найти три положительных числа, таких, чтобы их произве-
произведение было наибольшим, при условии, что сумма первого и второго
чисел равна а, а сумма первого и третьего чисел равна 2а.
583.	Дана криволинейная трапеция, ограниченная линиями у = О,
х — а (а > 0) и у — х3. Какую часть площади трапеции составляет
площадь треугольника, отсекаемого от данной трапеции касательной
к линии у = х3 в точке х = —?
у	3
584.	Определить высоту конуса, вписанного в шар радиуса R и
имеющего наибольшую площадь боковой поверхности. Чему равна
наибольшая площадь боковой поверхности?
585.	К графику функции у = (х + 1)у/х проведена касательная
в той точке, где угловой коэффициент равен 2, причем касательная
не проходит через начало координат. Найти точки пересечения этой
касательной с координатными осями.
586.	Каков должен быть радиус основания конуса с заданной
площадью боковой поверхности S, чтобы объем конуса был наи-
наибольшим?
587.	На параболе у — х2 взяты две точки с абсциссами х\ — 1,
Х2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке парабо-
параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей?
588.	Точка движется по прямой так, что ее расстояние s от нача-
начала пункта через t единиц времени равно s = -14 — М3 + 16?2. Найти
моменты, в которые:

а2-!
474	Прил. III. Экзаменационные задачи
а)	точка находится в начальном пункте;
б)	ее скорость равна нулю.
589.	При каких значениях х производная функции у = si
+ 10cosx-6x равна нулю?
590.	Найти предел
lim ^
п—»оо
591.	Построить график функции
Г 1 — л/1 — ж2, если ж < 1,
[l + log^^, если ж > 1.
592.	Доказать, что функция f(x) = - х9 — х6 + 2ж3 — Зж2 + 6ж — 1
монотонно возрастает на R.
593.	Найти все значения а, при которых функция f(x) =
х ж3 + (а — 1) ж2 + 2х + 1 возрастает для всех х Е Я.
594.	Пусть х\ w X2 — соответственно точка максимума и точка
минимума функции f(x) = 2х3 — 9ах2 + 12а2х + 1. При каких а спра-
справедливо соотношение х\ — х<{!
595.	При каких значениях х обращается в нуль та из первооб-
первообразных функции f[x) — Trsinvrx + 2x — 4, которая при х — 1 имеет
значение 3?
596.	Каким должен быть угол при вершине равнобедренного
треугольника, вписанного в данную окружность, чтобы его периметр
был наибольшим?
597.	Найти lim 	5	•
ж^-л/2 X — 2х
598.	Боковая поверхность правильной четырехугольной пира-
пирамиды равна а2. Найти наибольший объем этой пирамиды.
599.	Исследовать функцию у = ж4-2ж2 + 5 с помощью производ-
производной и построить ее график.
600.	При каких значениях х касательная к графику функции у =
х + 2
=	 образует угол 135° с положительным направлением оси Ох?
х — 2
Написать уравнения касательных.
601.	Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) =
602.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) =
= 2-33ж-4-32ж+2-Зж на отрезке [-1; 1].
603.	Составить уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой х = —.
6

§ 4- Выборочные задачи из экзаменационных билетов	475
604.	Найти радиус основания цилиндра, имеющего при данном
объеме V наименьшую полную поверхность.
605.	Построить график функции у = хА - 2х2 + 5.
606.	Построить график функции у = х3 - Зж2 + 2.
607.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции у =
= - х3 — 4х на отрезке [0; 2].
о
608.	Пусть f(x) = f1(x) + f2(x), где Д(ж) = 2х - у/9- ж2, /2(ж) =
= logj/gC^2 + ж + 2). Найти область определения функции /(ж), а
также наибольшее и наименьшее значения функции /2 (х) на отрез-
отрезке [3;6].
609.	Функция / задана формулой
,, ч _ |3ж - 4| + 2х2 - 4ж - 1
а)	Найти область определения функции /.
б)	Найти производную функции / в интервале (—ос; 2). Чему рав-
но /'(-4)?	г	3
в)	Имеет ли функция / пределы при х —У - и при х —У —?
г)	При каком значении а функция д, заданная правилом
(ж), если х ф -;
1
а, если х — -,
имеет производную в точке х = - г
610.	В какой точке касательная к линии у = 1пDж — 1) параллель-
параллельна прямой у = х?
611.	Найти скорость изменения функции у = (ж2 + 2х) • х — 1 при
ж = 8.
612.	Найти промежутки монотонности и экстремумы функции
In ж
У =	•
X
613.	Найти экстремумы функции f(x) = —x + cos2x на проме-
жутке
(-14
3. Интеграл. Прилоснсения интеграла
Вычислить интегралы F14-629).
1	-1 л	~13 л
614. \VTTxdx. 615. f 	——7. 616. Г
J	J A1 + 5жГ i
0	—2 2
2тг	7г/2 тг
617. f sin-dx.	618. f sinxcosxtix. 619. fi

476	Прил. III. Экзаменационные задачи
тг/2	27Г/3
620. Г sin22xdx. 621. Г sin (^ -Зам dx.
-7Г	0
2	0,5	1
622. [A + ЗжL^. 623. ^ [4x-^—7)dx. 624. г
о	о
625. I *dx о. 626. Г —^—. 627.
(,4i)	J/2
7г/2	тг/2
628. Г sin4xtix. 629. Г
о	о
Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями
F30-634).
630. у = х3, у = \ и х = 2. 631. у = у/х, у = 2 и ж = 9.
632. ^/ = ж3 и у = у/х. 633. ?/ = ж4 и у = х.
634.	у — — и у = 6 — х.
х
635.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, урав-
уравнения которых у2 = 2х-\-1 и ж — ^/ — 1 = 0.
636.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами у =
= х2 и у = д/ж.
637.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами у =
о	Ж
= xz и у = у.
638.	Найти площади фигур, на которые парабола у2 = 6х делит
круг, ограниченный окружностью х2-\-у2 = 16.
639.	Найти площадь фигуры, заключенной между параболой у =
= — х2 + 4х — 3 и касательными к ней в точках @; —3) и C; 0).
3
640.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = —, пря-
прямыми у = 4, у = 6 и осью ординат.	ж
641.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у = 1 +
3(ж-1)' у 6х'
642.	Найти критические точки функции f(x) = 0,5е2ж + A — а) ех—
— ах + sin2x.
а
643.	Найти все числа а > 0, для которых f B — 4ж + Зж2) с!ж ^ а.
о
= х2
644. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 —
2	2/= 1.

§ 4- Выборочные задачи из экзаменационных билетов	477
645.	Найти площадь фигуры, ограниченной линией у = 0,5ж2 —
— Зж + 4,5 и касательными к ней в точке A; 2): у = 4 — 2х и в точ-
точке D; -J: у = х -3,5.
646.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = sinvrx,
у = 4(х2 -х).
647.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х2 —
и 2/ = ж2-8ж-ё
648.	Найти площадь замкнутой фигуры, ограниченной линиями
у = 0, 2/ = 20-2ж2-6ж.
649.	Вычислить площадь криволинейного треугольника, лежаще-
лежащего в I четверти и ограниченного линиями ху = 4, х = у, у = 2х.
650.	Верно ли, что площадь фигуры, ограниченной линиями у =
_ еж-1? ^/ = 0, ж = 0, ж = 2, меньше 2?
651.	При каких положительных значениях параметра а площадь
фигуры, ограниченной линиями у = cosax, у = 0, ж = —, ж = —,
больше 3:
652.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией у = 1 — х2
и осью Ох.
653.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функ-
|4 — ж2|	, ,
ции у = —-—L и у = 7-\х\.
4
654.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функ-
функций y = 2-\-sinx и y = l-\-cos2x на промежутке [О;тг].
655.	Найти площадь фигуры, ограниченной на отрезке —; —
графиками функций ^/ = sin2x, у = l — sin2x.
656.	Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций
у = 2-х2, у = 1, у = 0.
657.	Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций
у = х2-А, у = А-х.
658.	Найти функцию F(x), если F'(x) = Зж2 + 1 и F(l) = 3, и
построить ее график.
659.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =
и ^/ =	2
660.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми 2/ = х2 и
661.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у = еж, 2/ =
= е~ж, х — \.

478	Прил. III. Экзаменационные задачи
662.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =
663.	Вычислить интеграл f —= dx.
J у/х
О
664.	Вычислить интеграл f \2X — 2~x\dx.
-1
тг/2
665.	Вычислить интеграл f f(x)dx, если f(x) =	:	.
7г/б
4. Векторы. Применение векторов к решению задач
666.	Даны три точки А{2; 1), БC; 1), С(-4;0), являющиеся
вершинами равнобочной трапеции ABCD. Вычислить координаты
точки D, если АВ = k CD .
667.	Даны четыре некомпланарных вектора а, 6, с и gL Вычис-
Вычислить сумму этих векторов, если а + 6 + <?= pd, 6 + ?+ d = g'a.
668.	Даны три некомпланарных вектора а, 6 и <?. Доказать, что
векторы а + 6, 6 + <?, ?—а компланарны.
669.	Даны три некомпланарных вектора а, 6 и <?. Вычислить зна-
значение к, если векторы a + b + kc, b + c + ka, c + a + kb компланарны.
670.	Даны три некомпланарных вектора a, b и с?. Вычислить зна-
значения р и q, при которых векторы pa + qb + c, a + pb + qc коллинеарны.
671.	Даны два отрезка АВ и CD. Точка М е [АВ] и точка N е
G [CZ)] делят соответственно отрезки А В и CD на отрезки, отношение
которых равно к. Выразить вектор МN через векторы АС и BID.
672.	В окружность с центром О вписан треугольник ABC; H —
ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника. Доказать, что
673.	Дан треугольник ABC; H — точка пересечения его высот.
Доказать, что НА • НВ = НВ • НС = НС • НА = к. Выразить к через
стороны треугольника.
674.	Дан прямоугольный треугольник ABC; ВС А = 90°, D —
основание высоты, проведенной из вершины прямого угла. Выразить
вектор CD через векторы С А, СВ и катеты данного треугольника.
675.	К окружности с центром О проведены из точки М две ка-
касательные; А и В — точки касания. Разложить вектор МО по векто-
векторам МА и МБ, если AM В = а.

§ 4- Выборочные задачи из экзаменационных билетов	479
676.	Дан треугольник ABC. Прямая / пересекает прямые ВС,
С А, АВ в точках А\,В\,С\. Доказать, что векторы АВ + А\В\,
ВС + В\С\, СА + С\А\ коллинеарны.
677.	В треугольнике ABC проведена медиана С Со- Прямая /,
параллельная С Со, пересекает прямые ВС, С А и АВ соответственно
в точках Ai, Bi,Ci. Доказать, что AiCi + BiCi = СА-\-СВ.
678.	Вектор с, перпендикулярный векторам а = A; 1; 1) и 6 =
= A; —1;3), образует с осью Oz тупой угол. Найти его координаты,
если известно, что |с| = 3.
679.	Вектор а, у которого первая координата больше второй,
перпендикулярен вектору 6 = A; —3; —1) и образует с осью Oz угол,
равный 135°. Найти его координаты, если известно, что \а\ = 5л/2.
680.	Вектор а, коллинеарный вектору 6 = A2; —16; —15), образу-
образует с осью Oz острый угол. Зная, что \а\ = 100, найти его координаты.
681.	Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенно-
построенного на векторах а = bp + 2q и b = p — 3q, если известно, что |р| = 2л/2,
1^1=3 и (p\q) = j.
682.	Найти косинусы углов, которые образуют с базисными век-
векторами вектор а = 6г — 6j — 3fc.
683.	Векторы а и b — единичные и взаимно перпендикулярные.
Найти угол между суммой и разностью векторов р и <f, где р = 8а+ 46
4 b
684.	Вектор b коллинеарен вектору а = F; 8; —7,5) и образует с
осью Oz острый угол. Зная, что |6| = 50, найти его координаты.
685.	Векторы а и b взаимно перпендикулярны, а^вектор с обра-
образует с каждым из них угол 60°. Зная, что \а\ = 3, |6| = 5 и \с\ = 8,
вычислить скалярное произведение (За — 26) • F + Зс).
686.	Вычислить координаты вершины С равностороннего треу-
треугольника ABC, если ЛA;3), БC; 1).
687.	Даны векторы а = (-1;2;0) и 6 = B;-3;-2). Найти коор-
координаты вектора 2а + - 6.
5. Задачи из разных разделов
688.	Составить уравнение окружности, вписанной в треугольник,
стороны которого лежат на прямых х = 0, у = 0, Зж + 4^/ — 12 = 0.
689.	В окружность х2 + у2 = 169 вписан квадрат ABCD.
Найти координаты вершин В, С и D, если вершина А имеет коор-
координаты E; —12).

480	Прил. III. Экзаменационные задачи
690.	Составить уравнение сферы, проходящей через данную точ-
точку ЛA; —1; 4) и касающуюся координатных плоскостей.
691.	Доказать, что луч СМ, где С — вершина прямого угла треу-
треугольника ABC, a M — центр квадрата, построенного на гипотенузе и
лежащего вне его, есть биссектриса прямого угла С.
692.	При каком значении к касательная к графику функции у =
= кх2 образует с осью Ох угол, равный —, и отсекает от IV четверти
„ 8л/3? 3
треугольник с площадью, равной 	г
о
693.	При каком натуральном п девятый член в разложении
A + 0,1)п является наибольшим?
694.	Найти все значения х из отрезка [—тг; 0], при которых функ-
функция f(x) = esinGr/4-2^) удовлетворяет системе неравенств
695.	Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Какую
длину должны иметь его стороны, чтобы объем тела, образованного
вращением этого треугольника вокруг боковой стороны, был наиболь-
наибольшим?
696.	При каких значениях х из отрезка —;— функция у =
L 2 6 J
= sin х • cos 2х удовлетворяет неравенству у" + у + 2 д/З > 0?
§ 5. Дополнение к разделу «Экзаменационные задачи».
Варианты вступительных экзаменов *)
Вариант 1 **)
1-й тур A6 задач)
1. Найти значение х из выражения
G?I-5H) : ill + A5,9-13Н).?
V 72 96 ^ 24 V '	20 ^ 9 = 27-
(-•0,4 + 24,15:ж-10-)-—	3
М	5' 16
*) В последнее время некоторые вузы (в том числе, например, Мос-
Московская академия нефти и газа им. И. М. Губкина) стали проводить всту-
вступительные экзамены только в письменном виде. В соответствии с этим
в экзаменационные билеты вносится по 8, 12, 16 и даже по 20 задач в
каждом билете.
В данном дополнении и представлены эти варианты.
**) Экспериментальный вариант одного письменного экзамена в два
тура с решением всех задач.

§ 5. Дополнительные варианты билетов	481
Решение.
@>3 + 24>15:х-10,4).1 = 1{[2+(^-|)].Ц + [2 + @,9-0>6б)].|}.
(Делитель равен делимому, деленному на частное (— J, а деление на
дробь заменяем умножением на обратную дробь ( — J J.
о, 1С 1П , 3 16/48 , 37-96-43-72 24 , 16 , 25 8\
24,15 :*-10,1 = ---(- + ^-^5	_ + _ + _._);
Итак, 24,15 : ж = 10,5.
Ответ: х = 2,3.
2.	1) Решить уравнение 241,2ж + 0,4(ж-0,9) = 23,8.
Решение. 241,2ж + 0,4ж -0,36 = 23,8; 241,6ж = 24,16.
Ответ: х = 0,1.
2) Решить уравнение
| ж3 + (ж +1J - [Ш - A - х)} х = 0,8C) х3 +109.
Решение. 0,8C) = А + _L = || = |;
- х3 + ж2 + 2х +1 - Шх + ж - ж2 = JU3 +109;
6	6
х2-\-2х-\-1-111х-\-х-х2 = 109; -108ж = 108.
Ответ: х = —1.
3.	1) Решить уравнение (ж — 3)(ж — 4) = ж — 3.
Решение. Это уравнение не является равносильным уравнению
х — 4 = 1, которое получается при сокращении исходного уравнения на
(х — 3): теряется корень х = 3.
Решать данное уравнение следует так:
ж2-4
Ответ: х\ — 3; ^2 = 5.
2) Решить уравнение
Решение.
2х + 3 _ х2 - 4 _ хBх + 3) - 2(ж2 - 4) _ 2ж2 + Зх - 2х2 + 8 _
2	~~	2х	~	2х	~ '
31 В. А. Бачурин

482	Прил. III. Экзаменационные задачи
Зж + 8 _
2х ~ '
Из условия равенства нулю дроби следует: Зж + 8 = 0; х / 0.
Ответ: х = 2 -.
о
4. При каком положительном значении а уравнение
Зж2-5аж-2а2=0
имеет отрицательное решение?
Решение. Дискриминант данного уравнения равен
D = 25а2 + 24а2 = 49а2, D ^ 0.
Поэтому данное уравнение имеет корни при любом значении а.
1)	Если а = 0, то D = 0 и уравнение имеет вид Зж2 = 0, откуда
ж = 0.
2)	Если а ф 0, то D > 0 и уравнение имеет два корня
5a±7a	a
3
#1,2	тгz7,5 xi ^
23	6	3
Например, при a = 3 исходное уравнение получает вид
Зж2-5-Зж-2-9 = 0; ж2-5ж-6 = 0; (ж + 1)(ж-6) = 0,
один из корней которого х = — 1 отрицательный.
Ответ: При любом a > 0.
5.	Решить неравенство х2 — 4х + 3 < 0.
Решение. Данное неравенство равносильно неравенству (х — 1) х
х (ж — 3) < 0, в котором: либо х — КО и ж- 3>0, откуда ж < 1 и
х > 3, система этих неравенств не имеет смысла; либо х — 1 > 0 и
ж — 3 < 0, тогда ж > 1 и х < 3, откуда следует ответ: 1 < х < 3.
1 — 2ж
6.	Решить уравнение -—:	— = 1.
о \Х 11
Решение. Имеем совокупность систем:
ж-КО,
1 — 2ж
Корнем уравнения 	= 1 является число —3; х\ — —3, которое
4 — ж
условию х — 1 ^ 0 не удовлетворяет. Поэтому первая система сово-
совокупности решений не имеет.
Корнем уравнения 	= 1 является число —, которое условию
2 + х	1	3
х — 1 < 0 удовлетворяет, поэтому число — - является решением вто-
второй системы совокупности.
Ответ: х = --.
о

§ 5. Дополнительные варианты билетов	483
7. Решить неравенство \х — 6| < х2 — 5ж + 9.
Решение. Данное неравенство равносильно системе
Неравенство ж2 — 6ж + 15 > О выполняется при любом х, — ос <
< Ж < +00.
Неравенство ж2 - 4х + 3 > 0, (х - 1)(ж - 3) > 0 выполняется при
х < 1 и ж > 3, отсюда ответ: -ос < ж < 1; 3 < ж < +ос.
8. Вычислить выражение
sin260° + sin2(-45°)-l,25
tg45o-sin2(-30°) + sin260°'
Решение. Последовательно получаем:
'25 = I + j-1-25 _ 0,75 + 0,50-1,25
l-i + 5	1,75-0,25
4 4
_ 1,25-1,25 _ 0 _
9. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии
равна 8. Вычислить сумму первых 11 членов этой прогрессии.
Решение. В арифметической прогрессии с одиннадцатью члена-
членами аз и ад равноотстоят от ее концов. Поэтому аз + ад = а\ + ац.
Следовательно,
Sll	11	n	n 44
Ответ: 44.
10.	Решить уравнение х3 - 2х2 - Их + 12 = 0.
Решение. Свободный член 12 делится без остатка на ±1; ±2; ±3;
±4; ±6; ±12.
При х = 1 левая часть данного уравнения обращается в 1 — 2 — 11 +
+ 12 = 0.
Тогда, согласно следствию из теоремы Безу, многочлен ж3 — 2х2 —
— Их + 12 делится на двучлен х — 1 без остатка и в частном получает-
получается трехчлен 2-ой степени х2 — х — 12, который в свою очередь, имеет
корни х = —3 и х = 4. Таким образом, мы имеем
х3 - 2х2 - Их +12 = (х - 1)(х + 3)(х - 4) = 0.
Ответ: х\ = 1; х<± — —3; х$ = 4.
11.	Решить систему
\ 2/ 2/ — ж?/ = 0.
31*

484	Прил. III. Экзаменационные задачи
Решение. ОДЗ = {ж, у е R}.
Будем иметь последовательно
х =
Ответ: A; 0); B;1).
12. Решить уравнение 7х'1 + 7Х = 2Х+1 + 2х+2 + 2х+3.
Решение. Преобразуем обе части уравнения:
I - 7Ж + 7Ж = 2 • 2Ж + 4 - 2Ж + 8 • 2Ж «- | • 7х = 14 • 2* <?> уТ = 7-2х'.
Следовательно, показатель степени равен нулю, х — 2 = 0, отку-
откуда х = 2.
Ответ: 2.
13.	Решить уравнение (х2 + 6)log2* = (БхIо^х.
Решение. Если равны степени с одинаковыми показателями, то
отсюда можно заключить, что основания равны друг другу или по-
показатели равны нулю при неравных основаниях. Из первого предпо-
предположения находим х2 + 6 = 5ж, или (х — 2) (х — 3) = 0, а из второго —
log2 х = 0, log2 х = log2 1.
Решая эти два уравнения, находим следующие три корня данного
уравнения: х\ =3; х<± — 2; х% — 1.
14.	Найти меньшие корни уравнения sin7x — cos4x = sin ж.
Решение. Запишем это уравнение следующим образом:
sin 7х — sin х = cos 4ж.
Применяя формулу sin ж — sin у = 2 sin——- • cos——- для левой
А	А
части уравнения, получаем 2sin3x cos4x — cos4x = 0, откуда следует
cos4xBsin3x — 1) = 0, или:
0; 2)
п	2n + l
Первое уравнение имеет корни х\ —	тг, второе имеет корни
7ГП / i4r7 7Г	8
Ж2 = Т + (-1) "IS-
Меньшими корнями данного уравнения будут х\ — — и х<± — —,
или иначе xi = 22°30/; ж2 = 10°.
15. Решить неравенство Iog7(x - 1) + Iog7D - х) ^ log7 2.
Решение. Имеем log7[(ж — 1)D — х)\ ^ log72, где предполагается,
что ж-1>0 и 4-ж>0.
Данное неравенство равносильно неравенству D — х)(х — 1) ^ 2,
потому что основание логарифмов больше единицы G > 1).

§ 5. Дополнительные варианты билетов	485
Образуются последовательно равносильные системы неравенств
х)(х-1)^2;	( (х - 2)(х -3) ^ 0;
4-ж > 0;	< ж < 4;
ж-1 > 0;	[ж > 1.
Решая совместно последнюю систему неравенств, получаем ответ:
1 < ж ^2; З^ж < 4.
16. Найти область изменения значений функции у = | sin 1,5тг| х
xlogtgx на интервале [0,25тг; 0,5тг[.
Решение. В данной функции множитель |sin 1,5тг| есть посто-
постоянное число, равное единице: | —(—1)| = 1, от изменения аргумента х
оно не зависит, и в свою очередь всевозможные изменения значения
рассматриваемой функции от этого множителя не зависят.
Будем рассматривать две функции: простую функцию tg x и
сложную функцию \gtgx.
На указанном интервале изменения аргумента х 0,25тг ^ х < 0,5тг
значения функции tg x изменяются по закону двойного неравенства
1 ^ tg х < ос.
В зависимости от этих изменений значений функции tg x зна-
значения функции lgtg х — функции от функции тоже подчиняются
двойному неравенству 0 ^ lgtg ж < оо. Поэтому областью изменения
значений исходной данной функции у = | sin 1,5тг| lgtg ж на указанном
интервале от 0,25тг до 0,5тг значений аргумента х является область:
0^ 1-lgtg ж < оо.
Ответ: 0 ^ у < оо, иначе [0; оо[.
2-й тур A6 задач)
1. Упростить выражение
, J_\ . ( У , х -(x + v\(Ху)-°
H + {x+yKxy}
и вычислить при х = 11,4921 и у = 14,7456.
Решение, х > 0; у > 0; хфу.
У-Уху	г/Л . /	у	х	х + у\ _
у ^ хл/х(л/х-у/у) -Ул/у(л/х + л/у) - (ж2 - у2
y/y	'	у/ху(х-у)
_ х + у ^ у/ху(-х-у) _ х + у у-х _ г-
Vx + y/y' л/ху{х-у) ,/^-\-^ х + у V
i/14,7456 - 1/11,4921 = 3,84 - 3,39 = 0,45.
Ответ: 0,45.
2. Вычислить последний член возрастающей геометрической прог-
прогрессии по сумме первого и последнего ее членов 164 и произведению
второго и предпоследнего ее членов 324.

486	Прил. III. Экзаменационные задачи
Решение. Пусть в рассматриваемой прогрессии а, 6, ..., m, х: a —
первый ее член, b — второй член, т — предпоследний член и х —
последний искомый член прогрессии.
В соответствии с условием данной задачи имеем систему уравнений
а + ж = 164, 6т = 324.
Из свойства геометрической прогрессии — произведение равноот-
равноотстоящих от начала и от конца членов прогрессии равно произведению
крайних ее членов — следует равенство
ах = Ьт.
Из составленных трех соотношений находим х:
_ brn _ 324 _ 324
а	а 164 —ж
Получаем квадратное уравнение
Решая его, получаем два корня: х\ = 2; х<± — 162.
Первый корень х\ — 2 отпадает, потому что если допустить, что
последний ее член равен 2, то первым ее членом должно быть чис-
число 162, что противоречит условию задачи: рассматриваемая прогрес-
прогрессия возрастающая, а не убывающая.
3.	Решить неравенство у/2 — х > х.
Решение. ОДЗ = {х Е Я, х ^ 2}. Если возвести обе части нера-
неравенства в квадрат, то получим
2-х > х2 <?> х2-\-х-2<0 <?> (х-1)(х + 2) < 0.
Значит, — 2 < х < 1.
Однако проверкой легко убедиться, что любое отрицательное чис-
число является решением этого неравенства.
Следовательно, потеряно множество решений: х е] — ос; — 2[.
Решать данное неравенство следует так:
1)	если х < 0, то левая часть неравенства неотрицательна, а пра-
правая — отрицательна: следовательно, неравенство истинно при всех
х < 0;
2)	если х ^ 0, то, возведя обе части неравенства в квадрат, полу-
получим —2 < х < 1 (см. выше) и, учитывая, что х ^ 0, получаем 0 ^ х < 1.
Объединение решений на этих двух промежутках является реше-
решением данного неравенства.
Ответ: х Е] — ос; 1 [.
4.	Решить уравнение \/Бх + 7 — \/Бх — 12 = 1.
Решение. Введем обозначения: \/Ьх + 7 = у; \/Ьх — \2 — z.
Тогда 5ж + 7 = 2/3; 5ж-12 = ^3 и y3-z3 = l9.
Таким образом, данное уравнение свелось к системе уравнений

§ 5. Дополнительные варианты билетов	487
Выразим из первого уравнения системы у, подставим его во вто-
второе уравнение. Получим
°ТКУДа	Гух = 3;
или
f 2/2 = -2;
\z2 = -3.
i=2;
Найдем теперь значения ж:
{5ж + 7 = 33;	Гбж + 7 = (-2K;
5ж-12 = 23; ^ Х~	' \5ж-12 = (-3K; ^ х ~ ~ '
Ответ: х\ — —3; х<± — 4.
5. Поезд должен быть пройти 840 км в определенное время. На
половине пути поезд был задержан на 30 мин и, чтобы прибыть к
месту назначения в срок, увеличил скорость на 2 км/ч. Сколько вре-
времени поезд находился в пути?
Решение. Пусть скорость поезда по расписанию х км/ч. Тогда
первые 420 км он прошел за время 	 ч. Затем он стоял 30 мин =
1	х
= - ч и вторую половину пути прошел с повышенной скоростью, за-
2	420 о 840
тратив	 ч. Всего в пути он находился по норме	 ч.
ж + 2	х
Следовательно,
840 _ 420 420 1 420 420 1
2' ИЛИ ~*Г ж + 2 ~ 2'
окончательно: х2 + 2х — 1680 = 0; х(х + 2) / 0.
Корни уравнения х\ — —42; x<i — 40. Первый корень отпадает. Ско-
ЛП	I	840	О1
рость поезда по расписанию 40 км/ч, время в пути —— = 21 ч.
Ответ: 21 ч.
6.	Доказать тождество 4(cos3 20° + cos3 40°) = 3 д/3 cos 10°.
Доказательство. Имеем:
л( оно l + cos40° , Л(ЛО l + cos80°\
4 (cos 20	hcos40	I =
= 2 (cos 20° + i (cos60° + cos 20°) + cos40° + i (cos 120° + cos40°)^) =
= 2 (J cos20° + | cos40°^) = 2-1 Bcos30° -cos 10°) = 3\/3 cos 10°,
что и требовалось доказать.
7.	Решить уравнение 32ж+4 + 45 • 6Ж - 9 • 22ж+2 = 0.
Решение. ОДЗ = {х G R}. Сделаем преобразования, используя
свойства степени:
34-32ж+45-6ж-9-22.22ж = 0, или 9-32ж +5-2ж Т -4-22ж = 0.

488	Прил. III. Экзаменационные задачи
Разделив обе части уравнения на 22ж, при этом получим уравне-
уравнение, равносильное данному, так как 22х / 0:
»(§Г+»(!)*-<-»¦
(О \ X
- ] = у, получим квадратное уравнение 9у2 + Ъу — 4 =
2/	4
= 0, корнями которого являются у\ = — 1, У2 = - •
Так как ( - ) > 0, то уравнение I - ) = — 1 решений не имеет. Ре-
V2/ з х 4	V2/
шая уравнение 1-1 = -, получим х = —2.
\ 2 / У
Ответ: х = —2.
8. Решить уравнение l + 21og^+25 = log5(x
Решение. ОДЗ = {х е R, х > -2; х / -1}. Используем соотно-
соотношение	^
и обозначим log5(x + 2) = ^/. Тогда исходное уравнение примет вид
1 + - = У, или у2 -у-2 = 0, откуда ?/i = 2, 2/2 = -1-
2; ж + 2 = 25; х = 23.
Iog5(x
9
Ответ: х\ — —; x<i — 23.
5
9. Решить неравенство f - J
х±1
3-х
< 1.
Решение. Левая часть неравенства определена на всей числовой
оси, кроме точки х — 3.
При а = - < 1 мы имеем монотонно убывающую функцию. По-
о
этому меньшему значению функции соответствует большее значение
показателя:	ж+1
ж + 1
Имеем равносильное исходному неравенству 	> 0.
Решая его, получаем ответ: — 1 < х < 3.
10. Решить уравнение log3 (зж2~13ж+28 + -) = log50,2.
Решение. Правая часть равна:
log5 0,2 = log5 I = log5 1 - log5 5 = 0 - 1 = -1.
Поэтому log3 [3х 13ж+28 + -J = -1.
Исходя из определения логарифма, имеем З = Зж	, -,
откуда - = Зж ~13ж+285 или 3~2 = Зж ~13ж+28; приравняв показатели,
5-1 _ ож2-13ж+28 .

§ 5. Дополнительные варианты билетов	489
получим х2 — 13ж + 30 = 0. Корни этого уравнения х\ — 3 и х<± — 10
исходному уравнению удовлетворяют.
Ответ: х\ = 3; х<± — 10.
11. Решить уравнение l + sin2x = (cos3x + sin3xJ.
Решение. Имеем:
или sin6x — sin2x = 0, откуда 2sin2x-cos4x = 0.
Полученное уравнение распадается на два уравнения:
кп
1)	sin2x = 0; 2х = ктг; х — —.
2)	cos4x = 0; 4ж = - BJfc + l); a? = -Bjfc + l).
к
Ответ: х\ = —\ х^ —— BЛ;Ч-1)-
2	8
12.	Решить неравенство - sin2x + - sin22x > cos2x.
4	4
Решение. Данное неравенство можно записать так:
5(l-cos2x) + 2(l-cos22x) > 8cos2x,
2cos2 2x +13cos 2x - 7 < 0.
Заменяя cos2x на у, получим квадратное неравенство 2у2 + 13у —
— 7 < 0, выполняющееся при —7 < у < --
1	2
Итак, —7 < cos2x < -, которое, очевидно, равносильно неравен-
1
ству cos2x < -, ибо неравенство -7 < cos2x
выполняется при любом х.
Ответ: — + кп < х < -— + А:тг.
о	о
13.	В окружность радиуса г вписан равно-
равнобедренный треугольник, у которого сумма вы-
высоты и основания равна диаметру. Определить
высоту.	Рис- 62
Решение. Пусть \ОВ\ = \ОС\ = г и \CD\ = x (см. рис. 62). Тогда
2\BD\ + x = 2r, или
\BD\ = r-\.	A)
Из прямоугольного треугольника OBD получаем:
|ВD|2 = г2 - (г - хJ = 2гх - х2.	B)
/ ж\2
Из уравнений A) и B) исключаем |В/Э|: (r~"^") —2rx — ж2, или
2	2 =0,
6r±i/36r2-20r2 6r±4r	2
ж =	g	= —-—; X! = -r, x2 = 2r.
Ответ: х = - г. Второй корень уравнения не имеет смысла,
о

490	Прил. III. Экзаменационные задачи
14. В полый тонкостенный конус, поставленный основанием вверх
и представляющий в осевом сечении равносторонний треугольник,
положен шар радиуса г, касающийся плоскости основания, и налита
вода, уровень которой касается шара в верхней точке. Определить
высоту воды в конусе после того, как шар будет из него вынут.
Решение*). Если в формуле объема конуса V\ — -7tR2H с во-
о
дой и шаром заменить радиус R и высоту Н их выражениями через
данный радиус г шара, R = гд/З и Н = Зг, то получаем V\ — Зтгг3.
Аналогично, если в формуле объема конуса с водой и без шара V^ =
= -7гR^h заменить R\ его выражением через /г, Ri = —=, то получа-
тг/г3	^3
ем V<i —	. Разность между объемами V± и V^ равна объему шара:
тг/i 5 з
откуда — = -7гг6
Ответ: h — r
15. Решить неравенство:	1	> —.
х — 2 х — 1 х
Решение. Здесь х / 0; х / 1; х / 2. (При этих значениях ж
данная функция не определена.)
После соответствующих тождественных преобразований получаем
неравенство, равносильное исходному:
-2)-(а!-1)(а;-2)	х2-2
> U	> U
х(х - 1){х - 2)	> U ИЛИ х(х - 1){х - 2) > U-
Будем решать это неравенство методом интервалов (смотри учеб-
учебник) и запишем его в общепринятом стандартном виде:
f(x)= (x + y/2)x(x-l)(x-y/2)(x-2) > 0,
в котором функция f(x) представлена разложенной на множители
вида (х — а). Корнями рассматриваемой функции f(x) являются чис-
числа: — д/2; 0; 1; л/2; 2, — пять действительных чисел. Разобьем этими
пятью числами всю числовую ось — оо < х < +оо на шесть интервалов,
расположенных в соответствии с возрастающей последовательностью
корней: -оо < х < -л/2; -л/2 < х < 0; 0 < ж < 1; 1 < х < V2; л/2 <
< х < 2; 2<ж<оо. После этого проследим за изменением знаков
(минус, плюс) функции f(x) при изменении значения аргумента х в
пределах этих шести интервалов.
1. Если х < — л/2 (значения аргумента х меньше наименьшего
корня), то все пять множителей, определяющих функцию /(ж), отри-
отрицательны, что можно символически отметить так: (—)(—)(—)(—)(—)•
*) Учащемуся рекомендуется проиллюстрировать рисунком решение
этой задачи.

' 5. Дополнительные варианты билетов
491
Получилось нечетное число минусов. Следовательно, при х < — у/2
функция f(x) < 0.
2.	Если -у/2 < х < 0, то имеем (+)(-)(-)(-)(-); f(x) > 0.
3.	Если 0 < х < 1, то имеем (+)(+)(-)(-)(-); f(x) < 0.
4.	Если К х < д/2, то имеем (+)(+)(+)(-)(-); f(x) > 0.
5.	Если д/2 < ж < 2, то имеем (+)(+)(+)(+)(-); /(ж) < 0.
6.	Если 2 < х < оо, то имеем (+)(+)(+)(+)(+); f(x) > 0.
-А/
- /2
Рис. 63
В трех интервалах — 2, 4, 6 — исследуемое неравенство подтвержда-
подтверждается, f(x) > 0. Поэтому ответом будут все числа множества ] — д/2; 0[ U
U ]1; л/2[ U ]2; оо[. Решение этой задачи проиллюстрировано на рис. 63.
16. Решить систему неравенств:
У6ж-7
х — х + 1
<о.
Решение. Поскольку ж2 — 5ж + 7 > 0 и х2 — ж + 1 > 0 при лю-
любом ж, то данная система равносильна системе
ИЛИ
xz-6x-
Решением первого неравенства системы является множест-
множество ]—6; 2[, решением второго — множество ] —1; 7[.
+ V-6
\
+ \^
-1
0 2J/ +
/
0
i j
/7
J
Рис. 64
Решением системы является множество ] — 1; 2[ — пересечение мно-
множеств ]-6;2[ и ]-1;7[.
Иллюстрация решения этой задачи дана на рис. 64.

492	Прил. III. Экзаменационные задачи
Вариант 2
1. 1) Найти х из выражения
(f : 0,14) [9,1F)+ 53^] Зё-5^3) _10,
A0,3 -х) -0,55	3,F)-° ^
2) Упростить выражение и вычислить его при х = 17,7241:
\{а + х){х2 + 2ах)-1/2-
2. Решить уравнения:
: + 11)-1=49-|G-Зж);
О
2) Fж2
о 1\ тт » <-	»	4 + Зж 2ж — 1
3.	1) Найти больший корень уравнения 	— =	—.
2) Решить уравнение Пж4 + х3 + 64ж = Зж4 - 8.
4.	Решить неравенство х3 + Зж2 + 2х ^ 0. В ответе представить
отрицательный интервал.
5.	1) Найти меньший корень неравенства у/х + 3 ^ — 5 — 2х.
2) Решить уравнение \/Зж2 — 25ж + 51 = 7 — 2х.
6.	1) Упростить выражение
sin2D5° + х) - sin2C0° - х) - sin 15° • cosA5° + 2x).
2) Вычислить 4seclO°-(cos320° + cos340°).
7.	В арифметической прогрессии пятый член а$ больше третьего
аз в три раза, а их разность а$ — а$ = 8. Вычислить а±.
8.	Решить неравенство (д/2 + 1)Х - 2(л/2 - 1)Ж + К 0.
9.	Найти меньший интервал, на котором выполняется неравенст-
неравенство sinx + \/3 cos ж < 0.
Указание. Обе части неравенства разделить на 2.
10.	1) Решить уравнение log3x + log3(x + l) = 1.
2) Найти наибольшее целое решение неравенства
11.	Найти средний ежегодный прирост населения города, если это
население за два года увеличилось с 150000 до 159135 человек.
12.	1) Найти радиус окружности, описанной вокруг равнобочной
трапеции с основаниями 2 и 14 и боковой стороной 10.
2) Вокруг окружности радиуса 3 описан треугольник. Найти его
стороны, если одна из них разделена точкой касания на части 3 и 4.
13.	Найти меньший корень уравнения
cos 7х + л/3 sin 7х - (sin5x + \/3 cos5x) = 0.

§ 5. Дополнительные варианты билетов	493
14.	Найти область изменения значений функции у = lgsinx на
интервале ]0; 0,5тг].
15.	Найти больший интервал неравенства
16. Вычислить полную поверхность правильной четырехугольной
пирамиды, если плоский угол при ее вершине равен 60°, а радиус ок-
окружности, описанной вокруг основания, равен д/З.
Вариант 3
1. 1) Вычислить выражение
2) Упростить и вычислить при а = 8,25 выражение
D-4а°'5 + а)°'5.A-4а-1)-1.
2.	1) Решить уравнение (х-0,7)(х- 13) =9,1.
2) Решить уравнение 13ж4 -\-х3 + 64ж = 5ж4 — 8.
3.	Решить неравенство (ж + 2)C — х)(х + 9)~1 > 0.
4.	1) Найти действительные корни уравнения
Г х — у = 1;
2) Решить систему уравнений <
[\х\ + у = 2.
5.	Найти х, если известно, что числа —1; ж+ 2; sin (arcsinx), взя-
взятые в указанном порядке, образуют геометрическую прогрессию.
Указание, sin (arcsinx) = ж, причем — 1 ^ х ^ 1.
6.	Вычислить sin2x, если tg ж = — 0,5.
7.	Решить уравнение 5Ж+1 + 5Ж + 5Ж-1 = 155.
8.	Вычислить площадь равнобочной трапеции, у которой высота
равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны.
9.	Решить уравнение |ж2 + ж — 2| = х + 2.
10.	Решить уравнение Vx2 — 4х + л/х — х2 = д/ж.
11.	Вычислить выражение
cos 20° + cos 40° + cos 60° +... + cos 180°.
12.	На площадь 15 дм2 гусеница танка давит массой в 60 кг. Если
масса будет уменьшена на 10 кг, а площадь опоры будет уменьшена
на 5 дм2, то на сколько килограммов будет увеличена удельная наг-
нагрузка — масса, приходящаяся на каждый квадратный дециметр опоры?
13.	Решить неравенство Iog2(^ + 1) > log^+116. Отметить положи-
положительный интервал.

494	Прил. III. Экзаменационные задачи
14.	Решить неравенство sin2 х — 0,2sin2 2х > 0,8cos2x на интерва-
интервале ]0; тг[.
15.	Найти область изменения значений функции f(x) = tg 1,25тг х
х lg | cos х | на интервале тг < х < 1,5тг.
16.	Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами 6
и 7. Высота ее проходит через вершину основания и равна 8. Вычис-
Вычислить радиус сферы, описывающей пирамиду.
Вариант 4
1. 1) Вычислить выражение
2) Упростить до числового значения при а = 27 выражение
2.	Решить уравнения:
3.	Решить уравнение 0,5(ж-0,4)-1+0,4(ж-0,5)-1 = 2.
х — 2 х — 1
4.	Решить уравнение 	-Н	- + 2 = 0.
х — 1 х — 2
5.	Найти наибольшее целое решение неравенства \х — 201(ж — 14) < 0.
6.	Произведение 12-го и 16-го членов геометрической прогрессии
равно 6,2. Вычислить произведение 4-го и 24-го членов этой прогрессии.
7.	Решить неравенство (х2 + 4)(ж + I) ^ 0.
8.	При каком наименьшем целом значении к уравнение
(к - 1) х2 - 2(к +1) х + к - 3 = О
имеет два различных корня?
9.	Решить уравнение \/Ъх2 + 1 + \/х2 + 3 = Убж2 + 10.
10.	Решить неравенство у/(х + 2)(х — 5) + х — 8 < 0.
11.	Предприятие увеличивало объем выпускаемой продукции еже-
ежегодно на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно,
что за два года объем выпускаемой продукции увеличился на 44%.
ж+З
12.	Решить неравенство @,2)^^ ^ 0,04. В ответе запишите наи-
наибольшее целое решение неравенства.
13.	Решить уравнение (хх%хJ - ЮОж3 = 0.
14.	Вычислить выражение sin 17° + cos 253° + ctg 315°.
15.	Какой знак имеет разность sin3 —cos2?
16.	Решить уравнение tg (х + 1) ctg Bх + 1) = 1. В ответе запишите
количество корней уравнения, принадлежащих отрезку [0; 15].

§ 5. Дополнительные варианты билетов	495
17.	Длины оснований трапеции равны 10 и 24, длины боковых
сторон равны 13 и 15. Найти площадь трапеции.
18.	Объем конуса равен 810. Высота конуса разделена на три рав-
равные части, и через точки деления проведены плоскости параллельно
основанию. Найти объем части конуса, находящейся между проведен-
проведенными плоскостями.
19.	Решить неравенство 2sin4x — 3sin2x > costt на интервале
71"	^ 7Г
-2<Ж<2"
20.	Найти интервал изменения значений функции lg|cosx| на ин-
интервале изменения аргумента @,5тг; тг).
Вариант 5
1.	1) Вычислить выражение
@,2 : 0,125 + l| : 2А - рд) ¦ |
(|+0,53)-625-1/4:0,3
2) Упростить выражение
(Ух^ + хпI/п ¦ (хп - ж0'5"I/" ¦ (Хп - I)/"
п-х0'5
и вычислить при х = 14,8225 и п = 3,5.
2.	1) Найти корни многочленов:
а) ж4-2ж3 + ж2; б) ж3-8.
2) Решить уравнения:
а) 7(х2 -0,2ж-0,15) -х = 0; б) М М
2	1
3. Решить неравенство	 < —.
Ах — о х
4.	Вычислить меньший корень уравнения |ж + 2| = 2 — 0,5ж.
5.	1) Решить уравнение (в ответе написать меньший корень):
ж4+ 16+—?—j = —^+8ж2.
(х-2L B-хL
2)	Решить уравнение (х2 + 2х - 5)(ж2 - I) = 3(ж + I).
6.	Решить уравнение у/х + 5 + у/2х + 8 = 7.
7.	Решить показательное уравнение 3 • 22(^-1) — 2^ = 8.
8.	Решить логарифмическое уравнение
9. Решить тригонометрическое уравнение (указать наименьший по
абсолютной величине корень):
+ - sin2x = l + 6cos2x.

496
Прил. III. Экзаменационные задачи
10.	Сумма пяти первых членов геометрической прогрессии рав-
равна 363. Знаменатель прогрессии равен 3. Вычислить первый ее член.
11.	Решить неравенство (х — 1) \/—х2 + х + 6 > 0.
12.	Решить неравенство
9sin2x + sin22x — 4cos2x > 0
на интервале — 0,5тг < х < 0,5тг.
13.	Один сплав состоит из двух металлов, входящих в него в отно-
отношении 1 : 2, а другой сплав содержит те же металлы в отношении 2:3.
Сколько надо взять частей каждого сплава, чтобы получить новый
сплав, содержащий те же металлы в отношении 17 : 27?
14.	Найти область изменения значений функции у = ctg 1,25тг х
х lgtg2x на интервале [0,25тг; 0,5тг[.
15.	В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей 2 см и 4 см.
Найти площадь четырехугольника, зная, что длины отрезков, соеди-
соединяющих середины противоположных сторон, равны.
16.	Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной
пирамиды, если ее высота 9, а апофема — 18.
Вариант 6
1. 1) Найти число, если 2,5 % его равны
(- :5,2 + 3,4-2—) : 1 —
\4 '	' 34^ 16
0,31 -8^-5,61:27^
16
2) Упростить выражение
и вычислить при а = 87,4225.
2. Решить уравнения:
15
2) 4(ж -З)
) {-
ж -4) = 2;
х \2 17
3.	Решить неравенство 	< 2	.
х-1	х-1
4.	Вычислить сумму чисел, удовлетворяющих уравнению
х2 у/1 — х — 4д/1 — х.
5.	Найти наибольшее целое решение неравенства
6.	Сумма 9-го и 16-го членов арифметической прогрессии рав-
равна 12. Найти сумму первых 24 членов прогрессии.
7.	Решить уравнение |— х2 — 4| = — 4х.
8.	Решить уравнение 2Ж+1 - 2х = 16.

§ 5. Дополнительные варианты билетов	497
D9\
— ].
10.	Вычислить sin 5° - sin 95° — 0,5sin 10° Ч-1.
11.	Найти (в градусах) наименьший положительный корень урав-
12.	На трех станках с разной скоростью штампуются детали. Пер-
Первый и третий из них вместе производят деталей в 2 раза больше, чем
второй, а второй и третий вместе — в 3 раза больше, чем первый.
Спрашивается, сколько деталей выпускают первый и второй станки,
когда третий изготавливает 100 деталей.
13.	Решить неравенство 2sin4 ж — 2sin2 ж + 0,5sin2(тг — х) > 1 на
71"	^ 7Г
интервале	< х < —.
14.	Найти область изменения значений функции у = lgsin x на
интервале ]0; тг[.
15.	В равнобедренном треугольнике ABC (AB = ВС) средняя
линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает вписан-
вписанную в треугольник окружность в точках М и N. Найти площадь
треугольника ABC, если MN = 2, cos ABAC = 0,6.
16.	В правильной шестиугольной пирамиде боковая грань состав-
составляет с плоскостью основания угол —. Радиус сферы, вписанной в
о
пирамиду, равен 6. Найти радиус сферы, описанной вокруг пирамиды.
Вариант 7
1. 1) Вычислить выражение
2,88-10,C)
12: B,28: 23,46)'
2) Упростить и вычислить при а = уЗ, у = 1 + л/3 выражение
Зу2-а2/ ' Зу2-у/3ау
2. Решить уравнения:
Х-А Х-А
О D	1 + Ж2	1	,
3.	Решить неравенство 	<	1.
X	X
4.	Число 2 является корнем многочлена х3 — 4ж2 + Зж + 2. Вы-
Вычислить сумму квадратов двух других его корней.
5.	Решить уравнение (ж + 3K - 56 = (х + IK.
6.	Решить уравнение у/1 — 4х — х2 = х-\-1.
7.	Произведение 18-го и 27-го членов геометрической прогрессии
равно 9,4. Найти произведение 9-го и 36-го членов этой прогрессии.
32 В. А. Бачурин

498	Прил. III. Экзаменационные задачи
8.	Свежие грибы содержат 72 % воды, а сухие — 20 % воды. Сколько
сухих грибов получится из 10 кг свежих грибов?
о тт »	г	|2ж —151	i
9.	Найти наибольшее целое решение уравнения	 = —1.
2х — 15
10.	Найти наименьшее целое решение неравенства
q 9^-3,5 ^ 9(ж~3'5)/3
11.	Решить неравенство д/24 — 2х — х2 > х.
12.	Вычислить ——	Iog23.
Iog631
1О о	3cos50°-4sinl40°
13.	Вычислить -
cos 130°
14. Найти (в градусах) наименьший положительный корень урав-
уравнения	пг
15.	Решить неравенство tg - тг -sin4x + ctg 2x -cos4x > cos2tt. В от-
ответе представить наименьший интервал.
16.	Найти область изменения значений функции у = lgcos x на
интервале [0; 0,5тг[ U ]0,5тг; тг].
17.	В треугольнике ABC биссектриса угла А продолжена до пе-
пересечения в точке D с описанной около треугольника окружностью.
Найти длину стороны ВС, если АВ = 27, АС = 12, AD = 30.
18.	Вокруг правильной четырехугольной пирамиды SABCD с
основанием ABCD описан шар. Центр шара делит высоту пирамиды
в отношении 5:1, считая от вершины S. Следует вычислить косинус
плоского угла при вершине пирамиды.
Вариант 8
1. 1) Вычислить выражение
14D,6 + 5:6,25) 7
4-0,125 + -
27-2,4 5 13
4,2	8 ~6~
2) Упростить и вычислить при х = 1,33 выражение
2.	Вычислить число b и второй корень уравнения х2 — Ьх — 0,35,
если первый корень х\ этого уравнения равен 0,5.
3.	Решить уравнения:
lO(*-5)- + 5(*-7)- =2; 2)^ ^ |
4.	Решить систему уравнений

§ 5. Дополнительные варианты билетов	499
5.	Определить значение параметра к, при котором корни уравне-
уравнения х2 + (к — 1) х + 2к — 8 = 0 удовлетворяют условию 2х\ — х<± — —6,
где х\ < Х2-
6.	Решить неравенство	< 0.
ж-4 ж+4
7.	Решить уравнение \/Зж2 — х + х — 1 = 0.
8.	Печь нагревается равномерно. Через 0,5 часа после начала на-
нагрева температура печи была 500° С, а еще через 1 час — 900° С.
Какова была первоначальная температура печи?
9.	В треугольнике ABC сторона АС равна 26, а медианы, прове-
проведенные из вершин А и С, равны соответственно 36 и 15. Найти третью
сторону.
10.	Вычислить cos а, если tga = — 3- и — < а < тг.
11.	Решить уравнение log2 DЖ + 4) = х + log2 BЖ+1 — 3).
12.	Решить уравнение 4 cos ж -cos f — — х) -cos f — + х) =1.
13.	Решить неравенство \х\ < 2ж + 1.
14.	Решить неравенство |sinx| + |cosx| ^ | cos 2тг| на интервале
0 < х < тг. При каком х между левой и правой частями достигается
равенство?
15.	Найти область изменения значений функции ^/ = lg|sinx| на
интервале ]тг; 2тг[.
/з
16. В полу шар радиусом R = \ - вписан куб так, что четыре его
вершины лежат на основании полушара, а другие четыре вершины
расположены на сферической поверхности. Найти объем куба.
Вариант 9
1. 1) Вычислить выражение
1^+0,0C)
= [A1-0,8C)): (8^-7,91F))].
2) Упростить и вычислить при а = 3, 6 = 2 выражение
(a J~a + 6 vb /—г \ А/а + v6 \ / , ч
I—	v ab \ • \—	 I -(а + о).
2.	Решить уравнения:
3.	Решить уравнения:
= 0; 2)
32*

500	Прил. III. Экзаменационные задачи
4. Вычислить значение у из системы
f О,3з/-0,5ж = 1,18;
5.	Решить уравнение 6 + \/ж2 — Зж + 6 = 2х.
6.	Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45 % меди.
Какую массу меди следует добавить к этому куску, чтобы получить
сплав, содержащий 60 % меди?
2^ — 9ж + 7
7.	Решить неравенство 	^	 ^ 1. В ответе запишите наи-
х —1
большее целое число, удовлетворяющее неравенству.
8.	Решить уравнение 4 • 92ж - 3 • 42ж - 4 • 36Ж = 0.
9.	Решить систему уравнений
Г log4 х + log4 у = 1 + log4 9,
\
10.	Вычислить выражение
3-sin290° + 2cos260°-3tg45° + 0,5cos7r.
11.	Решить неравенство (х2 + 4ж + 3) • |1 — х\~г ^ 0.
12.	Решить уравнение \/3(cosx — sin3x) = cos3x — sinx. В ответе
запишите корень уравнения (в градусах), принадлежащий отрезку 0; — .
L У J
13.	Вычислить первый член арифметической прогрессии, если
сумма первых шести ее членов равна 26, а ее разность составляет 25 %
от значения первого члена.
14.	Решить неравенство
sin4ж — sin2x + 0,5sin2Gr — х) > cos —
7Г	7Г
на интервале — — < х < —.
Z	Z
15.	Найти область изменения значений функции у = lg|ctg#| на
интервале ]0; 0,5тг[.
16.	В конус вписан шар, площадь поверхности которого равна
площади основания конуса. Вычислить косинус угла при вершине в
осевом его сечении.
Вариант 10
1. 1) Найти число, если 5 % его равны
2Н-0,84.(б5:2^-А.4±)
25 ' v 9 12 12 35^
7,605:7^+3,086
2) Упростить выражение (а~0'5 - 1)(а - 2а0'5 + 1)~0'5 и вычислите
его значение при а = 0,16.

§ 5. Дополнительные варианты билетов	501
2.	Решить уравнения:
3.	Решить уравнения:
1	1	т — 1 5	Зт
()
4.	Решить неравенство	1	< 0.
ж — 4 ж + 4
5.	Велосипедист проезжает 48 км с грузом на багажнике со ско-
скоростью 32 км/ч, а в обратном направлении (без груза) — 36 км/ч.
Спрашивается, на сколько минут меньше движется велосипедист в
обратном направлении?
6.	Решить уравнение 3|ж -0,75| = х2 + 4,5.
7.	Решить уравнение у/0,7ж2-34 = л/б.
8.	Три целых положительных числа образуют геометрическую
прогрессию. Найдите третий член этой прогрессии, если ее второй член
на 1 больше первого.
9.	Найти целое решение системы
1 ж+ 19 ^ '
U< -17.
10. Найти наибольшее целое решение неравенства
-х) > -25-ж.
11.	Решить уравнение 0,125-42ж = р^
12.	Вычислить 4Ж, если х = Iog25 + log0 25 Ю.
13.	Решить уравнение log0 5(log2x - 1) = —1.
.- .	г»	2тг	5(со82ж — соябж)
14.	Вычислить при х — —— выражение
15.	Решить неравенство cos ж —sin ж < ctg 0,25тг — tg x на интер-
интервале ]—0,5тг; 0,5тг[.
Указание. Преобразуйте данное неравенство так:
cos х — 1 + tg ж — sin ж < 0 => cos х — 1 — tg x(cos х — 1) < 0...
16.	Вычислить выражение 1081g7 • (lg v^To) .
17.	Найти и выразить в градусах наименьший положительный ко-
корень уравнения sin ж — 1 = 0,5 sin 2x — cos ж.
18.	В каких границах изменяются значения функции у = lgtgx
при изменении аргумента в промежутках 0 < х ^ — и — ^ х < — ?
19.	Окружности с радиусами 8 и 3 касаются внутренним образом.
Из центра большей окружности проведена касательная к меньшей
окружности. Найти длину касательной.

502	Прил. III. Экзаменационные задачи
20. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треуголь-
треугольник, один из катетов которого равен 3. Диагональ боковой грани
призмы, проходящей через другой катет, составляет с плоскостью ос-
основания призмы угол 45°. Высота призмы равна 4. Найти площадь
полной поверхности призмы.
Вариант 11
1. 1) Найти число, если 40 % его равны
0,5632-0,4642
2)
3,62-7
Упростить выражение
1 1
1_ж1/з ж~0'5
и вычислить при х = 13,7641.
2.
3.
Решить уравнение
/6B-Зж)
' V 0,03
Решить уравнение ж3 — 7х
,2-2,4 + 2,42
(ж
жA + ^5
0,01-аЛ
0,01 )
-6 = 0.
	1
¦+^2)-1
Я ^ 1 Ч (
Указание. Учесть равенство — 7х = — Зж — 4
4.	Решить уравнение 2Eж4 — 6) = х8 — 3.
3	ж	1
5.	Решить уравнение —^	1—^	= —
9 ж+Зж
6.	Решить уравнения
7.	Один турист вышел из Л в 6 часов, а второй — навстречу ему
из Б в 7 часов. Встретившись в 8 часов, они не останавливаясь про-
продолжили путь. Сколько времени затратил каждый турист на весь путь,
если первый из них пришел в Б на 28 мин позже, чем второй в Л?
8.	Решить неравенство х\х — 4| ^ Зж — 6.
9.	Вычислить выражение sin 18° + cos 12° — cos48°.
10.	Решить неравенство \/4-3~ж -3 < (\/3)Ж-
11.	Найти сумму членов бесконечной геометрической прогрес-
прогрессии 3, -1, -,--,...
12.	Решить уравнение Bsin2 ж — 3sinx) д/tg х = 0.
I
13.	Решить уравнение Iog4B1og3(l + log2(l + 31og2^))) = -.
(г	Q \
tg —-+tg —- ).
Id	Id /

§ 5. Дополнительные варианты билетов	503
15. Решить систему неравенств
В ответе запишите количество целых чисел, удовлетворяющих этой
системе.
16.	Решить уравнение costtx -sin77rx = cos3ttx -sin57rx.
17.	В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 2.
Найти площадь трапеции, если длина боковой стороны равна 10.
18.	В каких границах изменяются значения функции у = lg2sinx
при изменении аргумента от нуля до числа тг?
19.	Решить неравенство 2sin4 ж — 2sin2 ж > cos2(tt — х) на интерва-
7Г	7Г
ле -- <ж < -.
20.	Металлический шар радиусом 5\/2 перелит в конус, площадь
боковой поверхности которого в 3 раза больше площади основания.
Найти высоту конуса.
Вариант 12
1. 1) Найти число, если 7,5 % его равны
0,31-8- -5,61 : 27^
5	2
2) Упростить и вычислить при х = у2 выражение
2.	1) Найти число b и второй корень уравнения х2 — Ьх + b = 0,
если х\ = Ъ.
2) Решить уравнение (х2 -8J +4(ж2 -8) = 5.
3.	Решить уравнения:
о
-9)-1 = (х2-Зх)-1; 2)
4. Решить неравенства:
а) |ж2-2ж-7|^1; б) (ж + 3)(ж2 + 4ж-5) ^ 0.
5.	Числитель дроби на 2 больше ее знаменателя. Если сложить
4
эту дробь с обратной ей дробью, то получится 2—. Найти исходную
дробь.
6.	Вычислить сумму 2sin 15° — 2cos 15° + 2.
7.	Решить уравнение л/х2 — Ъх + 7 = 2х + 3.
8.	Решить неравенство д/2ж — ж2 + х — 1 > 0.

504	Прил. III. Экзаменационные задачи
л	. X
п тз	1-tg2	о ' х
9. Решить уравнение	^ s
^ zsin.
- ctg -	2
10.	Решить уравнение 2х +ж+2 — 8 = 0.
11.	Решить уравнение log2 log2 {Ъх — 1) = 1 + log2 log2 х.
12.	Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4, а длины
непараллельных сторон — 20 и 13. Найти высоту трапеции.
13.	Цех выпускает 2000 станков в год. На сколько станков увели-
увеличится выпуск продукции в год, если производительность труда повы-
повысится на 45 %?
14.	Найти середину промежутка, на котором выполняется нера-
неравенство S^^1 - 6 • 4^/^гт +12 • 2^х^1 <С 8.
Qj,	-^
15.	Решить неравенство log^ —	> 0.
х +1
16.	Найти на первой координатной четверти промежуток, на ко-
котором выполняется неравенство
x	) >0,5|costt|.
17.	Вычислить площадь равнобочной трапеции, в которой длины
оснований равны 2 и 6, а длины боковых сторон равны л/8.
18.	Решить неравенство 5sin2 ж — cos22x > 4cos2x —1 на интерва-
интервале ]—0,5тг; тг[.
19.	Найти область изменения значений функции у = | sin 1,5тг| х
xlg|sinx| на интервале ]тг; 1,5тг[.
20.	Основанием пирамиды служит ромб со стороной, равной 6, и
острым углом 30°. Все двугранные углы при основании равны. Боковая
поверхность пирамиды равна 36. Найти величину (в градусах) двугран-
двугранного угла при основании.
Вариант 13
1. 1) Вычислить х из равенства
A7,125 + 19,38:ж)-0,2 + 3— : 2—
	12 18 —а ля.
1 '
5H_4ii:2 + 2i.l2): 27,74 + 1
32 27	4 8^	'	9
o^ х/	(v^-a)
2) Упростить выражение		tj==	i	 и вычислить его
sat ^	3 + 3V3o2:-a2-3v/9a
значение при а = уЗ — 2.
2. Решить уравнения:
1)	17,3@,2ж + 1)-@,51-0,
2)	^

§ 5. Дополнительные варианты билетов	505
3. Решить уравнения:
) (	) = 0; 2) х8 - 17ж4 + 16 = 0.
4. Решить систему уравнений
у2 -х-Ъ = 0,
у-\ у+1
5.	Решить неравенства
1) ж2 + 2ж + 5^ж + 8; 2) 4A -х)'1
6.	Найти двузначное число, в котором число его десятков на 4
больше числа его единиц, а произведение этого числа на полусумму
его цифр равно 153.
7.	Цех выпускал в день 120 изделий, а потом увеличил выпуск
до 180 изделий (тоже в день). На сколько процентов повысилась про-
производительность труда в цехе?
8.	Решить уравнение у/1 + 4х — х2 = х — 1.
9.	Сумма первых трех членов убывающей геометрической прог-
прогрессии равна (—7), а пятый ее член меньше второго на 14. Вычислить
знаменатель прогрессии.
10.	Вычислить сумму cos 10° + sin40° -2cos50° -cos70°.
11.	Решить неравенство 1 + х + х2>\х3 — 1|.
12.	Решить неравенство \/Ъх + х2 < 4 — х. В ответе дать отрица-
отрицательный интервал.
13.	Решить уравнение cos ж -cos6x + 1 = 0.
14.	Решить уравнение Зж +ж+2 = 27.
15.	Решить уравнение 21og3(x - 2) -\-\og3(x -4J = 0.
16.	Решить систему уравнений
Jtg ж + tg ?/ = 2,
\ cos ж -cos у = 0,5.
17.	Вокруг круга радиусом 2 описана равнобочная трапеция с
площадью 20. Найти стороны трапеции.
18.	Решить неравенство | cos тг| + 3sin х < д/3 — 4cos2 x.
19.	Найти область изменения значений функции у = sinl,57r x
х lgcosx на интервале ]1,5тг; 2тг[.
20.	Стороны оснований правильной треугольной усеченной
пирамиды равны 5 и 3, двугранный угол при ребре большего основания
равен 30°. Найти площадь боковой поверхности усеченной пира-
пирамиды.

506	Прил. III. Экзаменационные задачи
Вариант 14
1.	1) Вычислить выражение
4,5 : [47,375 - 2 А B6,C) - 18 • 0,75)]
17,81:1,37-23,F): —
6
2) Упростить и вычислить при т = 0,78 и п = 0,27 выражение
Bт — п) -\-2п —Зтп 4т —Зтп
2m~1-\-n2	' 2 + тп2
2.	По корням квадратного трехчлена 2х2 + рх + q — числам 1
и 2 — вычислить его дискриминант D.
3.	Решить уравнения:
1)	(ж2-1,1ж + 0,28)-^ = 0; 2) 3(ж -2) + 2(х -З) = 2.
4.	Решить уравнения:
!)(*-!)»-(*-2)» = 7; 2)§5± + §5| = §.
5.	1) Найти наибольшее целое значение ж, удовлетворяющее не-
неравенству 0,1Bж - 0,125) > ж - 5.
2)	Вычислить произведение целых чисел, являющихся решениями
неравенства 2Bж —I) >	-.
х — 6
6.	Решить неравенство \х - 20|(ж - 14) < 0.
7.	Решить уравнение \/8х + 4- \/8х-4 = 2.
Указание. См. решение подобной задачи №4 2-го тура 1-го ва-
варианта.
8.	Решить уравнение 25Ж - 6 • 5Ж + 5 = 0.
9.	Решить уравнение Iog1_a.Da;2 -9ж + 1) = 3.
10.	Найти знаменатель возрастающей геометрической прогрессии,
если разность пятого и первого членов прогрессии в пять раз больше
разности третьего и первого ее членов.
11.	Решить неравенство х~х • л/24 — 2х — х2 < 1.
12.	Вычислить
г\п /о" • Я"	Я"	Я"	Я"	Я"
96 V о sin — • cos — • cos — • cos — • cos —.
48	48	24	12	6
13.	Биссектриса прямого угла треугольника делит его гипотенузу
на отрезки, длина которых 15 и 20. Вычислить площадь треуголь-
треугольника.
14.	Решить уравнение \g(x2 + 2х + 1) = \g2(x + 1) + 1.
15.	Два станка штампуют за минуту 33 детали, причем произво-
производительность одного из них на 20 % выше другого. Сколько деталей за
минуту штампует каждый станок?
16.	Решить неравенство (lg 100) log3(x + 2) ^ Iog3Cx + 10).

§ 5. Дополнительные варианты билетов	507
17.	Решить уравнение 3cos2(x + 0,5тг) + cos2x = л/3 cosx. Ответ
дать для интервала —90° < ж < 90°.
18.	В основании пирамиды лежит треугольник, длины сторон ко-
которого равны 12; 10; 10. Все боковые ребра наклонены к плоскости
основания под углом 45°. Вычислить объем пирамиды.
19.	Решить неравенство sin4x + cos4x • ctg 2х > tg — на интерва-
интервале 0 < х < —.
о
20.	Найти область изменения значений функции у = cos2tt -lgctg x
на интервале [0,25тг; 0,5тг[.
Вариант 15
1. 1) Вычислить выражение
A0:2,F)+7,5:10)(А-0,2C).1 + ^).
2) Упростить и вычислить при а = 0,4761 и b = 12,3201 выражение
2.	Решить уравнения:
1)	0,2(Зж +11) ж - 111 = i (Зж - 7) ж + 42,1F);
о о
2)	9ж4 + 64 = 148ж2 (написать наибольший корень).
3.	Первую треть пути автомобиль проехал со скоростью 40 км/ч,
а оставшуюся часть пути — со скоростью 70 км/ч. Вычислить сред-
среднюю скорость автомобиля за все время движения.
4.	Решить уравнение
3	х _ 2х
х(х2 + 1) х2-1 1-х4'
5.	Решить неравенство (ж +1J[(ж — 3)(ж — 5)] > 0.
6.	Решить уравнение х + у/х + 14 + 12 = 0.
7.	Знаменатель геометрической прогрессии равен 3. Сумма пер-
первых пяти ее членов равна 363. Вычислить первый член прогрессии.
8.	Решить неравенство у/1 — х ^ 	. В ответе написать отри-
отрицательный интервал.
9.	Вычислить площадь круга, окружность которого описана вок-
вокруг правильного треугольника с площадью, равной 9\/3.
10.	Решить уравнение (о,1)-(ж2ж+8) = УЮ000.
11.	Решить уравнение log^+1A5 — Зх) = 2.
12.	Упростить выражение 8sin x -cos2x + cos4x — 1.

508	Прил. III. Экзаменационные задачи
13.	Решить уравнение sin2 ж + 5cos2x — 4cosx = 0. Представить
меньший корень.
14.	Решить неравенство 2cos22х — cos2х ^ sin2ж. Представить
7Г	7Г
наименьший корень на интервале — — < х < —.
3/
15. Решить неравенство (-]
16.	Решить неравенство Iog2(^ —1) < 1.
17.	Вычислить наименьшее целое значение корня неравенства
О X \ \jX ~т~ О.
18.	На сколько сантиметров большая диагональ ромба длиннее
его меньшей диагонали, если стороны ромба имеют длину 5 см, а его
площадь равна 24 см?
19.	Найти область изменения значений функции у = | costt| lg ctg x
на интервале ]тг; 1,25тг].
20.	Вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, площади
граней которого равны 6, 20, 30.
Вариант 16
1.	Вычислить выражение
[E8,2F)-56^): | + 2,A)-0,225]-A,F): 8,75).
2.	Упростить и вычислить при а = 0,060025 выражение
.5/6
а'5
3.	Решить уравнения:
1) 2ж2 = Gж + 2)Bж + 1); 2) ж
4.	Руда содержит 40% примесей, а выплавляемый металл содер-
содержит 4% примесей. Сколько металла получится из 24 тонн руды?
5.	Решить уравнение х4 — 8ж2 + 16 =	т	7.
(х-2L B-хL
6.	Решить уравнение х + \/10ж — х2 — 20 = 4.
7.	Первый член геометрической убывающей прогрессии равен
единице: а± = 1, а сумма ai + a<i в два раза больше суммы а2 + аз-
Вычислить знаменатель прогрессии.
8.	Решить неравенства
(ж1)(;!2) >0; 2)
1)	! >
ж — 3
9. Вычислить радиус вписанной в равнобедренный треугольник
окружности, если боковая сторона треугольника равна 20, а диаметр
описанной окружности равен 25.

§ 5. Дополнительные варианты билетов	509
10.	Решить уравнение 100°'5ж = 0,1 • A0sM.
11.	Решить уравнение Iog4Bs +2) = х.
12.	Упростить выражение sin 140° - 2 cos 50° + sin 80° - cos 70°.
13.	Решить уравнение ctg ж + cosecx = 1.
14.	Решить неравенство \х — 6| < х2 — Ьх + 5. Указать меньший
интервал.
15.	Решить неравенство 2 • Зж+1 - 4 • Зж~2 > 150.
16.	Решить неравенство log0 3(х2 — Ьх + 7) > 0.
17.	Решить неравенство
(sin	cos — J < sinx + lgcos37r
на интервале 0 < х < тг.
18.	Вычислить длину стороны квадрата, две вершины которого
лежат на окружности радиусом д/б, а две другие — на касательной к
этой окружности.
19.	Найти область изменения значений функции у = tg 1,25тг х
xlg|cosx| на интервале [тг;1,5тг[.
20.	В конус вписан шар с радиусом —-=. Вычислить объем данного
конуса, если объем конуса с тем же основанием и с вершиной в центре
вписанного шара равен 3.
Ответы
Вариант 2
1. 1) 8,5; 2)д/ж = 4,21. 2. 1) ж = 1,5; 2) ж = 0,C).
3. 1) х = -1] 2) Ж1= 0,125; х2 = 2. 4. ] - ос; -2]; [-1; 0[.
5. 1) ж = -2,75; 2) х= 3~f^- 6. 1) sin2x; 2) 0,5C-д/17).
7. -4. 8. ]-оо;2]. 9. ]120°; 150°[ *).
10. 1) ж = 0,5(д/13-1); 2) х = 1. 11. 5%.
12. 1) 5\/2; 2) 7; 24; 25. 13. ж = 7°30/. 14. ]-оо;0].
15. [3 + л/5;оо[. 16. 6A +л/3).
Вариант 3
1. 1) 1; 2) 2,5. 2. 1) Ж1 = 0; х2 = 13,7; 2) жх = 0,125; ж2 = 2.
3. ]-oo;9[U [-2;3[. 4. 1) х = л/2; 2) ж = 1,5; 2/= 0,5. 5. -1.
*) В 9-й и далее в 13-й задачах в ответах даются соответственно
меньший интервал и меньший корень. Подобным же образом в тригоно-
тригонометрических уравнениях и неравенствах приводятся ответы и далее без
предварительной оговоренности в текстах задач.

510	Прил. III. Экзаменационные задачи
6.	-0,8. 7. х = 2. 8. 100. 9. хх = -2; х2 = 0; ж3 = 2.
10.	х = 0. 11. -1. 12. На 1кг. 13. ]3;оо[.
14. ]-15°;+15°[. 15. ]0;-оо[. 16. 5,5.
Вариант 4
1.	1) 30; 2) 9.
2.	1) хх = -0,5; х2 = 0,2; ж3 = л/7; 2) xi = -2; ж2 = 0; ж3 = 1.
3.	^1=0,45; ж2 = 0,9. 4. ж = 1,5. 5. х = 13. 6. 6,2.
7.	]-2;1[. 8. 2. 9. xh2 = ±l. 10. ]-оо; -2[ U ]б; 7^ [
11.	20. 12. ж = 3. 13. ж = 100. 14. -1. 15. Плюс. 16. 5.
17. 204. 18. 210. 19. ]-45°;+45°[. 20. ]-оо;0[.
Вариант 5
1.	1) 3; 2) ^ = 1,1.
2.	1) а) х\ — х2 = 1; ж3 = ж4 = 0; б) х = 2;
2) а) Ж1 = -0,3; ж2 = 0,5; х3 = 0; б) xi = 0,7; ж2 = 0,35.
3.	|0;-[. 4. ж = -8. 5. 1) ж =-2; 2) х = 2. 6. ж = 4.
7.	ж = 4. 8. Ж1=3; ж2 = ^3. 9. 45°. 10. 3. 11. ]3;оо[.
12.	]-15°;15°[. 13. 9 и 35 частей. 14. [0;оо[. 15. 4 см2.
16.	1458.
Вариант 6
1.	1) 100; 2) 1.
2.	1) Ж1 = 0; ж2 = 0,3; 2) хх = 3,5; ж2 = 7; 3) ж = 32;
2	1
4) Ж1 = -2; х2 = --; ж3 = --; х4 = 1.
3.	]1;1,5[ U ]2;оо[. 4. -1. 5. ж = 9. 6. 144. 7. ж =-2.
8.	ж = 4. 9. 2. 10. 1. 11. 163°. 12. 60 и 80 деталей.
13.	]-45°;+45°[. 14. ]-оо;0] U [0;-оо[. 15. 6. 16. 13.
Вариант 7
1. 1) 27,24; 2) 3. 2. 1) хх = -0,5; х2 = 0; ж3 = 0,2; 2) ж = 3.
3. ]-1;0[. 4. 6. 5. xi = -5; ж2 = 1. 6. х = 0. 7. 94.
8. 3,5 кг. 9. ж = 7. 10. ж = 4. 11. [-6; 0[ U ]3;4[. 12. 1.
13. 1. 14. ж = 3°. 15. ]0;22°30/[. 16. [0;-оо[ U ]-оо; 0].
17.	31,2. 18. 0,6.
Вариант 8
1. 1) 4-; 2) 2,33. 2. b = -0,2; х2 = -0,7.
4	1
3. 1) Ж1 = 6; х2 = 12; 2) хг = --; ж2 = 1. 4. х = -2; j/ = —.
5. 4. 6. ]-4;4[. 7. ж = 0,5. 8. 300°С. 9. 39. 10. -0,28.

§ 5. Дополнительные варианты билетов	511
11.	ж = 2. 12. х = 0. 13. --;оо . 14. ]0;180°[; ж = 90°.
15.	]-оо;0] U [0;-оо[. 16. 1.
Вариант 9
1.	1) 70; 2) 5.
2.	1) xi = -0,8; ж2 = 0,3; х3 = л/7; 2) xi = -4; ж2 = 0; ж3 = 3.
3.	1) Ж1 = -2; ж2 = 1,25; 2) xi = 1; ж2 = -5; ж3>4 =-1±л/б.
4.	г/ = --. 5. ж = 5. 6. 13,5 кг. 7. ж = 8. 8. ж = 0,5.
у 3
9. ж = 2; 2/= 18 или ж = 18; 2/= 2. 10. -1. 11. ]-3;1[.
12.	х = 15°. 13. 2^. 14. ]-45°;+45°[. 15. ]оо;-оо[.
16.	0,28.
Вариант 10
1. 1) 8; 2) 2,5. 2. 1) ж = ^; 2) хх = 0; ж2 = 1.
3.	1) Ж1 = 3; ж2 = 1,5; 2) xi = 0,25; ж2 = 2.
4.	]-оо;-4[ U ]0;4[. 5. На 10 мин. 6. ж = -1,5.
7.	Ж1,2 = =Ы0. 8. 4. 9. ж = -18. 10. ж = 5. 11. ж = 6.
12. ж = 2,5. 13. ж = 8. 14. -5. 15. ]-90°;45°[. 16. 49.
17.	х = 90°. 18. ]-оо;0]; [0;+оо[. 19. 4. 20. 60.
Вариант 11
1. 1) 0,125; 2) -у/х = -3,71. 2. ж = 0,764.
3. Ж1 = -2; ж2 = -1; ж3 = 3. 4. ^i,2 = ±1; хзл = ±л/3.
5.	Ж1 = --; ж2 = 1. 6. 1) ж = 0; 2) ж = -1. 7. 3- ч и 2- ч.
8.	[-2;3] U[6;oo[. 9. 0. 10. ]o;log3(|)]. 11. 4,5.
12. х = ктг. 13. ж = 2. 14. 2. 15. [0; 1[ U [3; 10]; 9.
16. Ж1 = 0; ж2 = ^. 17. 40. 18. ] + оо;0] U [0;+оо[.
8
19. ]-45°;45°[. 20. 20.
Вариант 12
1. 1) 0,45; 2) 3. 2. 1) 6 = 0; х2 = 0; 2) ж1>2 = ±^/3; ж3,4 = ±3.
3.	1) xi = -l,5; ж2 = 1; 2) ж = 7.
4.	1) [-2; 1-л/7] U [1 +л/7; 4]; 2) ]-5; -3] U ]1; оо[.
5. 1 6. 0. 7. Ж1,2=~17^л/^. 8. ]1;2[. 9.
о	о
10. Ж1,2 = 0,5(±л/5 + 1). 11. Ж1,2 = 0,5E±л/2Т). 12. 17,8.
13. На 900 станков. 14. ж = 0,75. 15. ]0,25; 1[ U ]1; 2[.

512	Прил. III. Экзаменационные задачи
16. ]30°;90°[. 17. 8. 18. ]-15°;+15°[. 19. ]-оо;0[.
20. 60°.
Вариант 13
1. 1) 2,4; 2) 0,5. 2. 1) хх = -5; х2 = 3; 2) хх = -14; ж2 = 5.
3.	1) Ж1 = 1; ж2 = 2; ж3 = 0,5; 2) a?i>2 = ±1; ж3,4 = ±2.
4.	ж = 4; ^/ = —3; или х = 4; 2/ = 3.
5.	1) [-0,5A+ л/13); 0,5(-1 + л/13)]; 2) ]—оо; —1[ U ]1; оо[.
6.	51. 7. 50%. 8. ж = 3. 9. 2. 10. 0. 11. ]0;2[.
12. ]-оо;-3]. 13. х = 180°. 14. a?i>2 = 0,5(-1±л/5).
15. Ж1 = 3; ж2 = 3 + \/2. 16. ж = 45°; ?/ = 45о. 17. 2; 8; 5; 5.
18.	]210°;330°[. 19. ]+оо;0]. 20. 8.
Вариант 14
1. 1) 4; 2) 0,5. 2. D = 4.
3.	1) Ж1 = 0,4; ж2 = 0,7; х3 = 0; 2) xi = 5; ж2 = 2,5.
4.	1) #1 = 0; ж2 = 3; 2) xi = 0; ж2 = 3. 5. 1) ж = 6; 2) 2.
6. ]-оо;14[. 7. Ж1,2 = =Ь0,5. 8. хх = 0; ж2 = 1. 9. ж =-3.
10. 2. 11. ]-6;0[ U ]3;4[. 12. 2. 13. 294. 14. х = 9.
15. 15 и 18 деталей. 16. ]-2;3[. 17. х = 30°. 18. 72.
19.	]0°;22,5°[. 20. [0;+оо[.
Вариант 15
^-; 2) V« + 3\/6 = ll,22. 2. 1) ж = 15; 2) ж = 4.
8C
3. 56 км/ч.	4. Ж1,2 = ±\/3. 5. ]-оо;-1] U ]-l;3[ U ]5;оо[.
6. ж = -13. 7. 3. 8. ]-оо;-1[. 9. 12тг. 10. хх = 2; ж2 = 3.
11. х = 2.	12. 0. 13. -60°. 14. х = -22,5°. 15. ]-оо;0[.
16. ]1,5;3[.	17. ж = 1. 18. На 2 см. 19. ]оо;0]. 20. 60.
Вариант 16
1. 1|. 2. 4(^-1) = -3,02.
3. 1) Ж1 = -|; ж2 = -75 2) Ж1 = 1; ж2 =-3. 4. 15 т.
3	4
5. ж = -2. 6. ж = 3. 7. 0,5. 8. 1) ]1; 2[ U ]3; оо[; 2) [-2,5; 2[.
9. 6. 10. ж = -1,5. 11. ж = 1. 12. 0. 13. х = 90°.
14. ]-оо;2-л/5[. 15. ]3;оо[. 16. ]2;3[. 17. ]30°;150°[.
18. -j=. 19. [0;-оо[. 20. 6^.

§ 6. Варианты билетов 2002 г.	513
§ 6. Дополнение к разделу «Экзаменационные задачи».
Варианты билетов 2002 г.
1. Московский государственный университет
им. М. В. Ломоносова
Вариант 1
{механике-математический факультет)
1.	Найдите дроби
tg a tg /3 tg 7	sin a sin /3 sin 7
tg a + tg /3 + tg 7	sin (a + /3 + 7) '
если числа а, /3 и 7 выбраны так, что обе дроби положительны и
одна из них втрое больше другой.
2.	Решите неравенство у/2х — Хл/х — 1 + \fx-\- \/1 — 2ж ^ 0.
3.	Точка М лежит на боковой стороне CD трапеции ABCD.
Известно, что ZBCD = ZCBD = ZABM = arccos- и АВ = 9. Най-
Найдите ВМ.
4.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение	,	, /1Гк о ч о
I'-'K/) J.1 «^ П^ ОТ V	(JLL ) 	 Zi
имеет по крайней мере два корня и произведение всех его корней не
меньше 0,01.
5.	Сфера высекает на ребрах АВ, СВ, AS и CS треугольной пи-
пирамиды SABC равные отрезки KL, 7VM, K\L\ и N\M\ соответственно
(точки К и К\ лежит ближе к Л, чем L и Li, а точки N и N\ лежат
ближе к С, чем М и Mi). Известно, что МMi = 2КК\ и 2/T7V =
= 3LiMb AS В А = /5БС и LKKXNX = 90°. Найдите отношение
объемов пирамид SABC и M\KLMN.
6. При каких ж оба числа	 и —^	 целые?
! + я 7ж -6ж-5
Вариант 2
{механике-математический факультет)
1. Решите неравенство
2. Три сферы, радиусы которых равны соответственно уб, 1 и 1,
попарно касаются друг друга. Через прямую, содержащую центры А
и В второй и третьей сфер, проведена плоскость j так, что центр О
первой сферы удален от этой плоскости на расстояние 1. Найдите
угол между проекциями прямых О А и ОВ на плоскость 7 и сравни-
4
те его с arccos -.
о
33 В. А. Бачурин

514	Прил. III. Экзаменационные задачи
3.	Из пункта А в пункт С выехал с постоянной скоростью вело-
велосипедист. За два километра до промежуточного пункта В он решил,
что необходимо ехать быстрее, и, увеличив скорость в пункте Б, про-
продолжил движение с постоянной скоростью вплоть до пункта С. Прие-
Приехав в С, велосипедист обнаружил, что время движения с каждой из
скоростей было прямо пропорционально соответствующей скорости и
что на первые 18 км пути он затратил времени в полтора раза боль-
больше, чем на последние 18 км. Найдите расстояние между пунктами А
и В, если известно, что расстояние между Aw С равно 75 км.
4.	Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Точка X ле-
лежит на его стороне AD, причем ВХ || CD и С X || В А. Найдите ВС,
если АХ = 1,5 и DX = 6.
5.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
сумма арктангенсов корней уравнения
больше —.
4
6.	Найдите минимальное значение выражения (х + у — zJ при
условии, что числа ж, у и z удовлетворяют одновременно каждому
из неравенств 1 ^ (х + уJ ^ -, 8 ^ (у + zJ ^ 9 и 10 ^ (z + хJ ^ 11.
о
Вариант 3
(факультет вычислительной математики и кибернетики)
1. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскос-
плоскости Оху условиями
2. Решите неравенство
3.	Даны две окружности. Первая из них вписана в треуголь-
треугольник ABC, вторая касается стороны АС и продолжений сторон АВ
и ВС. Известно, что эти окружности касаются друг друга, сумма
кубов их радиусов равна 152, а угол ВАС равен arccos-. Найдите
радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
4.	Найдите tg \x\, если известно, что
5. При каких значениях параметра а система
{sin Bтг\/а2 -х2) = 0,
2-31аж1+32-1аж1 ^ 19
имеет наибольшее число решений?

§ 6. Варианты билетов 2002 г.	515
6. Рассматриваются всевозможные параллелепипеды с четырьмя
ребрами длины 4 и остальными ребрами длины 3, в которые можно
вписать шар. Найдите максимальное значение радиуса такого шара.
Вариант 4
(факультет вычислительной математики и кибернетики)
1. При каких значениях параметра b уравнение
имеет бесконечно много корней?
2.	Решите неравенство
2cos (arcsinх) — sin @,5arccosх) ^ 0.
3.	Дан прямоугольный параллелепипед ABC'DA\B\C\D\, у ко-
которого AD = 6, АВ = 3 и AAi = 2. Найдите угол между прямой АС\
и прямой, проходящей через середины ребер АА\ и В\С\.
4.	Из пункта А в пункт Б в 8 часов утра вышел пешеход. Спустя
два часа из пункта А вслед за пешеходом по той же дороге выехали
велосипедист и мотоциклист. Известно, что скорость мотоциклиста в
три раза больше скорости велосипедиста. Не позднее чем через 15 ми-
минут после своего выезда из пункта А мотоциклист обогнал пешехода и
продолжил путь в пункт В. Велосипедист обогнал пешехода спустя
не менее 45 минут после обгона пешехода мотоциклистом. Пешеход
прибыл в пункт Б в 14 часов того же дня. Найдите время прибытия
мотоциклиста в пункт В.
5.	Решите систему уравнений
д/13 cos х + 98 sin у — д/13 cos x + 28 sin у = 4,
6. Биссектриса угла А треугольника ABC пересекает сторону ВС
в точке D. Окружность радиуса 35, центр которой лежит на пря-
прямой ВС, проходит через точки А и D. Известно, что АВ2 — АС2 =
= 216, а площадь треугольника ABC равна 90\/3- Найдите радиус
окружности, описанной около треугольника ABC.
Вариант 5
(физический факультет)
-, ту	log2Dx-3) 2
1.	Решите уравнение ,	 =	.
Iog3 х 1°§з 2
2.	Решите уравнение cos8x -ctg x + 2sin24x = ctg x.
3.	Решите уравнение 4 + \/ж + 9 = |ж + 5|.
4.	В треугольнике ABC: АВ = 14, ВС = 6, АС = 10. Биссектри-
Биссектрисы ВD и СЕ пересекаются в точке О. Найдите OD.

516	Прил. III. Экзаменационные задачи
5. Решите систему уравнений
>2*log27i/-logli/ = 9.
6.	Окружность проходит через вершину В треугольника ABC,
касается стороны Л С в ее середине D и пересекает стороны А В и ВС
в точках М и N соответственно, АВ : ВС = 3 : 2. Найдите отношение
площади A AMD к площади ADNC.
7.	Для каждого значения а решите неравенство
(х2 + 2х - а2 - 4а - 3)(sin х + 2х) > 0.
8.	В треугольной пирамиде SABC ребро SC перпендикулярно
грани ABC, ZACB - прямой, АС = 1, ВС = 2, SC = -^. Сфера
о
касается плоскостей SCA, SCB и ABC, причем плоскости ABC она
касается в точке, лежащей на отрезке АВ. Найдите:
1)	радиус сферы;
2)	радиус окружности, по которой пересекаются сферы и
грань ASB.
Вариант 6
(физический факультет)
Зл/з
1. Решите уравнение cos Ъх — cos 1Ъх = —— ctg Ъх.
2. Решите неравенство
о — Ах
г. —9.
4	/3\ж
3. Решите неравенство 15 • —*	%¦ > 1 + - .
4 — 3	\4/
4.	Около окружности радиуса 3 описана равнобочная трапеция
ABCD (ВС || AD), площадь которой равна 48. Окружность касается
сторон АВ и CD в точках К и L. Найдите KL.
5.	Три числа, сумма которых равна 28, образуют геометрическую
прогрессию. Если к первому числу прибавить 3, ко второму числу
прибавить 1, а от третьего числа отнять 5, то полученные числа об-
образуют арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.
6.	В пирамиде SBCD каждое ребро равно 3. На ребре SB взята
точка А так, что SA : АВ = 1:2. Найдите радиус сферы, описанной
около пирамиды SACD.
7.	Для каждого значения а решите неравенство
Iog1/9(x2 - 6ж - а2 - 5а + 12) < -1
и найдите, при каких значениях а множество точек х, не являющихся
решениями этого неравенства, представляет собой отрезок числовой
оси, длина которого меньше 2д/3-
8.	В треугольнике KLM отношение радиусов описанной и впи-
вписанной окружностей равно 3. Вписанная окружность касается сторон

§ 6. Варианты билетов 2002 г.	517
AKLM в точках А, В и С. Найдите отношение площади AKLM к
площади А АВС.
Вариант 7
(химический факультет, факультет наук о материалах)
1.	Решите уравнение 41/4 -5-22+1/ж+64 = 0.
2.	Решите систему неравенств
3.	Решите неравенство
logn-,2 E6 - х2 + 10s) «С \ (log3+^ (8 + 3 л/7) + log3+^2) ¦
4.	Решите уравнение
fro 2х -2 #Л 2 , 2о , • 2
I 63 cos	sin — 1 cos x = tg 2x + sin x.
5.	Из точки С проведены две касательные к окружности.
Точки А и В — точки касания. На окружности взята произвольная
точка М, отличная от А и В. Из точки М опущены перпендикуляры
MTV, ME, MD на стороны АВ, ВС, С А соответственно. Найдите
площадь треугольника MNE, если MN = 4, MD = 2 и А АС В = 120°.
6.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
2-х2. 4Ж + sin — + cos — - 2 = а3 - За2 + а + л/2
4	4
имеет единственное решение.
Вариант 8
(факультеты биологический, фундаментальной медицины,
биоинженерии и биоинформатики)
1.	Решите неравенство |ж —2|>2ж + 1.
2.	Решите уравнение sin2 2ж + sin2 Зж = 1.
3.	Длины сторон треугольника АВС равны 4, 6 и 8. Вписанная в
этот треугольник окружность касается его сторон в точках D, Е и F.
Найдите площадь треугольника DEF.
4.	Решите неравенство
log2. \2х\ - 51og2 \2х\ + 2|ж| log2 \2х\ - 4|ж| +6 ^ 0.
5.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
(х2 + 2(а-2)х + а2- 4аJ +
+ (а + 5)(х2 + 2(о - 2) х + а2 - 4а) - а2 + 8а + 2 = 0
имеет:
а) единственное решение; б) ровно два различных решения.

518	Прил. III. Экзаменационные задачи
Вариант 9
1.	Решите неравенство |5 — 7х\ < 2.
2.	Вычислите cos —.
8
3.	Пусть а = л^20 + д/бб. Докажите, что число а3 — 30а целое, и
найдите его.
4.	Решите неравенство log3log4x ^ log9log28x.
5.	Найдите все значения ж, принадлежащие интервалу (—тг; тг) и
являющиеся решениями уравнения
1
л/—2sinx
6.	Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с, а один из
острых углов равен а. В треугольник помещены две окружности
одинакового радиуса, каждая из которых касается одного из катетов,
гипотенузы и другой окружности. Найдите радиусы этих окружностей.
7.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение	о	9
(З1)B16)
Iog10A5a-x)-l
имеет единственное решение.
Вариант 10
(геологический факультет)
х\х\ ~\~ 1
1.	Решите неравенство ——	Ь1 ^ х.
х — 2
2.	Решите систему уравнений
[х + у = ху + 1.
3.	Решите неравенство 32~ж+6-(\/3)
4.	Пункт С расположен между пунктами Л и Б, АС = 2ВС. Из
пунктов С и В одновременно навстречу друг другу вышли два поезда.
Время, затраченное вторым поездом на путь от Б до Л, не менее чем
в 6 раз превосходит время, затраченное первым поездом на путь от С
до В. Третий поезд, скорость которого равна разности скоростей пер-
первых двух, затратил на путь от Л до Б не менее чем в 9 раз больше вре-
времени, которое первый поезд затратил на путь от С до места встречи со
вторым. Чему равно отношение скоростей первого и второго поездов?
5.	Найдите все решения уравнения
|sin2x|+cosx = 0,
принадлежащие отрезку —

§ 6. Варианты билетов 2002 г.	519
6.	В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС прове-
проведены биссектриса CD и прямая DE, перпендикулярная CD (точка Е
лежит на прямой АС). Найдите площадь треугольника ABC, если
СЕ = 4, СЛ = 3.
7.	При каких значениях параметра а периметр плоской фигуры,
заданной на координатной плоскости Оху системой
больше, чем 4 + 2\/2Н—?
8. В кубе ABCDA'B'C'D' с длиной ребра, равной 1, на вертикаль-
вертикальном ребре АА' и на горизонтальном ребре АВ взяты точки М и N
1	3
соответственно, при этом AM = -, Л TV = -. Через точки М и N про-
проведена плоскость, параллельная диагонали АС нижнего основания
куба. Чему равна площадь получившегося сечения?
Вариант 11
{географический факультет)
1.	Решите уравнение \х — 2| =	.
X А
2.	Решите уравнение 	^	= 2.
4sin x-\-s'mx — 3
3.	Квадратное уравнение х2 — брх + q = 0 имеет два различных
корня х\ и Х2- Числа р, х\, Х2, q — четыре последовательных члена
геометрической прогрессии. Найдите х\ и x<i-
4.	Тележка с передними колесами диаметром 30 см и задними
колесами диаметром 40 см движется по прямой дороге, проходящей
через точки А и В. Между точками А и В ровно 100 метров. Точ-
Точка А покрашена. Через точку А проезжают правые колеса тележки и
в точках соприкосновения с ней окрашиваются. В свою очередь, при
каждом соприкосновении с дорогой эти точки оставляют свой след в
виде точек на дороге. Никакие точки на дороге, кроме точки Л, не ок-
окрашивают колеса. Тележка движется от точки Л к точке В. Найдите:
а)	наименьшее расстояние между соседними окрашенными точ-
точками;
б)	количество окрашенных точек на отрезке АВ.
5.	В треугольнике PQR точка Т лежит на стороне PR, ZQTR =
= ZPQR, РТ = 8, TR = 1. Найдите:
а)	сторону QR;
б)	угол QRP, если радиус описанной около треугольника PQT
окружности равен 3\/3.
6.	Решите систему уравнений
<
[у6 =

520	Прил. III. Экзаменационные задачи
Вариант 12
(филологический факультет)
log^6 тг • arcsin —
1.	Решите неравенство ——-.	^-—-= ^ 0.
sin [х — — J • л/х
2.	Окружность радиуса 3 проходит через середины трех сторон
треугольника ABC, в котором углы А и В равны соответственно 60° и
45°. Найдите площадь треугольника.
3.	Решите уравнение
\ /1 + tg2x + л/2 sin (	2х) + л/3 (cos ж — sin ж) =	.
V	V 2	/	ctg х
4.	Положительное число а подобрано так, что меньший корень
уравнения	ч	, 2
JF	ж3 + 2ж = 4ж -4
является одновременно одним из решений неравенства
5ж—4 ^ — ж2+4ж—4
Решите это неравенство.
5.	В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар радиу-
радиуса 6, а боковая грань составляет угол 45° с высотой пирамиды.
а)	Найдите площадь основания пирамиды.
б)	В данную пирамиду вписан второй шар так, что он касается
всех боковых граней и первого шара; затем вписан третий шар, ка-
касающийся всех боковых граней и второго шара, и т. д. Найдите сумму
объемов бесконечной системы вписанных шаров.
6.	Словарь людоеда из племени «Мумбо-Юмбо» составляет 300
слов. Эллочка Щукина легко и свободно обходилась тридцатью. Од-
Однажды людоед начал посещать проповеди миссионера, поэтому его
словарный запас, оставаясь целочисленным, стал увеличиваться на
некоторое число процентов за каждые полгода. Эллочка поступила в
вечернюю школу и каждый месяц стала узнавать целое число новых
слов, равное 50 % от количества слов, которые людоед знал к концу
первого полугодия. Однако через несколько месяцев Эллочка броси-
бросила школу. Какое наибольшее целое число месяцев может проучиться
Эллочка в школе, чтобы словарь людоеда после одного года посещения
проповедей обязательно остался богаче словаря Эллочки?
Вариант 13
(экономический факультет, отделение экономики)
1. Докажите или опровергните следующее утверждение: периметр
ромба с диагоналями 1 и 3 больше длины окружности радиуса 1.
2
/ 2ж\7+11ж~6ж2
2. Решите неравенство A	1	^ 1.
V о /
у-ху-х = 11,
ху2 -х2у = -30.
3. Решите систему уравнений -| _ 2

§ 6. Варианты билетов 2002 г.	521
4.	Бригада рабочих выполняет задание за 42 дня. Если бы в бри-
бригаде было на 4 человека больше и каждый рабочий бригады работал
бы на 1 час в день дольше, то это же задание было бы выполнено не
более чем за 30 дней. При увеличении бригады еще на 6 человек и
рабочего дня еще на 1 час все задание было бы закончено не ранее
чем через 21 день. Определите наименьшую при данных условиях
численность бригады, а также продолжительность рабочего дня.
5.	Решите уравнение
log2 f cos f	xj) -Iog2(cos2x) + log2(sin5x + sinx) = 0.
6.	Найдите все значения а, при которых неравенство
\Jx2 - бах + 10а2 + \/3 + бах - х2 - 10a2 ^
имеет единственное решение.
7. Равные кубы А и ??, имеющие общую вершину, расположены
так, что ребро куба А лежит на диагонали куба Б, а ребро куба В
лежит на диагонали куба А. Найдите объем общей части этих кубов,
если длина их ребер равна 1.
Вариант 14
(факультет психологии)
1.	Решите неравенство \Jx-\-1 > х — 2.
2.	Решите неравенство log^+1(x2 + 3ж - 10) > 2.
х /-|ч2ж-1
3.	Решите уравнение 22 + ( - J =3.
4.	На катете АС прямоугольного треугольника ABC как на диа-
диаметре построена окружность. Она пересекает сторону АВ в точке Е.
На стороне ВС взята точка G так, что отрезок AG пересекает окруж-
окружность в точке F, причем отрезки EF и АС параллельны, ВС — 2GC
и АС = 2д/3. Найдите GF.
5.	Решите уравнение cos6x — 3cos5x + cos4x — 4cosx + 5 = 0.
6.	Решите уравнение
х3 + 7х2 - Их - 6| + \х3 - 12ж2 - Ъх + 3| = 18ж2 -2х- 13.
Вариант 15
(социологический факультет)
1.	Решите уравнение \/Зж + 10 = х + 2.
2.	Решите неравенство

522	Прил. III. Экзаменационные задачи
3.	Определите угол А треугольника между сторонами, равными 2
и 4, если медиана, выходящая из вершины Л, равна у/7.
4.	Куплен товар двух сортов: первого на 1200 руб. и второго на
1500 руб. Товара второго сорта куплено на 10 кг больше, чем первого,
а по цене (за I кг) на 20 руб. меньше. Сколько куплено товара пер-
первого сорта?
5.	В шар радиуса R вписана четырехугольная пирамида с квад-
квадратным основанием. Одно из боковых ребер пирамиды перпендику-
перпендикулярно плоскости основания, а наибольшее боковое ребро образует с
ней угол а. Найдите боковую поверхность пирамиды и вычислите ее
значение при a = arcsinW —, R = y/Y7.
6. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
A + ) +A) + + 3 = 0
имеет по крайней мере один корень, причем все корни являются целы-
целыми числами.
Вариант 16
(Институт стран Азии и Африки)
2х -22~х -3
1.	Решите неравенство 	s	^ 0.
2.	Решите уравнение sin4x + 2sin —- cos — = 0.
z	z
3.	Решите неравенство х у/2 — х ^ х2 — х — 2 — у/2 — х.
4.	Решите неравенство
L2 + log2
i 17
5.	В треугольнике ABC даны длины сторон АВ = 8, ВС = 6 и
биссектриса BD = 6. Найдите длину медианы АЕ.
6.	Решите систему уравнений
{arccos 2у + arcsin Зж = —,
arcsin 2у • arccos Зж =	.
64
Для каждого решения (х; у) определите, какое из чисел больше:
2у-3х или л/2-0,5.
7.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система	, о о
Г2 26||
имеет хотя бы одно решение.

§ 6. Варианты билетов 2002 г.	523
Вариант 17
(факультет государственного управления)
1.	Из деревни в город вышел турист. Первую половину пути он
шел пешком со скоростью 5 км/ч, а затем оставшуюся часть пути ехал
на автобусе. Найдите среднюю скорость движения туриста на всем
маршруте, если скорость автобуса равна 45 км/ч.
2.	Решите уравнение 4Ж-3-2Ж+1/2-8 = 0.
3.	Решите неравенство —5	^3 — х.
9-х2
4.	На окружности радиуса 5, описанной около правильного тре-
треугольника, взята точка D. Известно, что расстояние от точки D до
одной из вершин треугольника равно 9. Найдите сумму расстояний от
точки D до двух других вершин треугольника.
5.	Одна труба наполняет бассейн на 2 часа, а другая — на 4 ча-
часа 30 минут дольше, чем наполняют этот бассейн обе трубы, откры-
открытые одновременно. За сколько часов может наполнить бассейн каждая
труба в отдельности?
6.	Найдите все значения а, при которых система уравнений
имеет ровно три решения.
7. Пять пиратов делят 10 слитков золота. Процедура дележа
устроена так: сначала старший пират предлагает дележ по своему
выбору. Если больше половины пиратов его отвергает, второй по
старшинству пират предлагает новый дележ добычи среди оставших-
оставшихся четырех (старший пират никакого участия в дальнейшем дележе не
принимает). Если новый дележ отвергается большинством голосов, то
предлагавший его пират от дальнейшего участия в дележе устраня-
устраняется, и процедура повторяется для трех пиратов. Как будут распре-
распределены слитки золота, если каждый пират из двух данных дележей
предпочитает тот, в котором его доля больше?
Ответы, решения, указания
Вариант 1
1.	2; -. Указание. Пусть t > 0 — первая дробь, a s > 0 — вто-
11	1
рая. Тогда - =	1, as = tt, где к = 3 или к = -.
t a	3
2.	{0} U -; 1 U 	;+ooj. Указание. После замены а =
= л/х, b = \/Т^2х неравенство примет вид а + b
носильное ему неравенство ab(a + b) ^ 0 решается без труда.

524
Прил. III. Экзаменационные задачи
3. 15. Указание. Треугольники ADB и МСВ подобны, а
ВМ _ 5
~АВ~ 3'
= lg(a + l), g = lgA9 —
t2-2ft + fg
-; — 1. Указан ие.
. Исходное уравнение приводится к виду
= 0 и имеет два различных корня t\ и t<i тогда и только
J	/Q\/Q1Q\
тогда, когда /2 - fg > 0, fg ф 0, т. е. при a G (-1; 0) U B; | J U (^; -^ J.
При этом корни исходного уравнения #i = 10*1 и ^2 = Ю^2 положи-
положительны и различны, а условие х\х% ^ 0,01 равносильно тому, что
( J
М
Рис. 65
5. 32:5. Решение. Сечением сферы плоскостью грани ABS
(рис. 65) является окружность, проходящая через точки К, L, К\
и L\\ отрезки KL и K\L\ — равные хорды этой окружности, поэтому
вписанный в окружность четы-
четырехугольник КЬК\Ь\ являет-
является равнобочной трапецией. Из
этого заключаем, что AL =
= AL\ и А К — АК\. Аналогич-
Аналогично, CN = CTVi, BL = ВМ и
SLi = SM\. Из доказанных
равенств следует, что С В +
+ AS = АВ + CS. Наложим
треугольник SB А на треуголь-
треугольник SBC так, чтобы отрезок
SB остался общим, а луч ВА
наложился на луч ВС (сде-
(сделать это позволяет равенство
углов SB А и SB С). Точку, в которую при наложении попадет
точка Л, обозначим через А\. Равенство С В + A\S = А\В + CS
приведет к равенству CS = A\S + СА\ в случае, если точка А\ попа-
попадет между точками С и В, или к равенству СS = A\S — СА\ в случае,
если точка С попадет между А\ и В. Каждое из этих равенств про-
противоречит неравенству треугольника, поэтому А\ совпадает с С.
Следовательно, ВС — ВА, SA = CS. Итак, треугольники ABC
и ASC равнобедренные. Плоскость, проходящая через точки В и S и
середину ребра АС, содержит два перпендикуляра к АС и поэтому
перпендикулярна АС. Следовательно, SB _L AC.
Так как BL = ВМ, а треугольник ABC равнобедренный, то
LM || АС. Аналогично, KN \\ KiNi || LiMi || АС. Поскольку
ifiTVi _L КХК и KXNX || АС, то Л С _L KXK. Если бы отрезки КХК
и SB не были параллельны, то ребро АС, будучи перпендикуляром
к каждому из них, оказалось бы перпендикулярно плоскости ASB
и, следовательно, ребру АВ. Но это противоречило бы тому, что
треугольник ABC равнобедренный. Поэтому К\К || SB. Отсюда и из
равенства А К = АК\ получаем, что треугольник SAB равнобедренный.

§ 6. Варианты билетов 2002 г.	525
Следовательно, равнобедренным является и треугольник SCB. Тогда
КгК\\ LxLWSB || MiM|| TViTV.
Поэтому точки К, Ki, N и TVi; L, Li, M и Mi образуют два пря-
прямоугольника — KKxNxN и LLiMiM. Отсюда LiL = MXM = 2КХК,
и из подобия треугольников АК\К и AL\L получаем /LL = 2АК, или
Л/С = if L. Аналогично, условие 2/T7V = 3LiMi приводит к равенству
LB = 2Kb. Итак, АК : KL : LB = 1 Л :2.
Отношение площади трапеции KLMN к площади треугольни-
треугольника ABC равно 5 : 16 (треугольники LBM и KBN подобны с коэффи-
2	5
циентом -, поэтому площадь трапеции KLMN составляет - площади
о	У
треугольника KBN, а треугольники KBN и ABC подобны с коэффи-
циентом - и их площади относятся как 9 : 16). Длина перпендикуляра,
опущенного из точки М\ на плоскость ABC, относится к высоте SH
пирамиды SABC, как 1 : 2 (это следует из того, что С Mi : С S =
= AL : АВ). Поэтому отношение объемов пирамид SABC и M\KLMN
равно 32 : 5.
\	\ ^ \	х
6. 1; —-;	—-; — -.	Указание. Пусть у =	, тогда вторая
3	2 4 1 + х
дробь z = —^—	•> и остается выяснить, при каких целых у / 1
2у -6у-1
будет целым число z. Заведомо не годятся значения у, при которых
О <
< 1. Остальные целые значения у следует просто
уу
перебрать.
Вариант 2
1.	@;2].
/2
2.	arccosW-. Решение. Вторая и третья сферы касаются друг
V 3
друга внешним образом, поэтому АВ = 2. Обе сферы могут касаться
первой сферы как внешним, так и внутренним образом. Невозможен
случай, когда одно из этих касаний внешнее, а другое — внутреннее
(тогда центры их лежали бы на одной прямой, из чего следовало
бы, что точка О лежит в плоскости 7? а эт0 противоречит условию
задачи). Значит, возможны два случая: первая сфера либо касается
каждой из двух других внешним образом, либо касается каждой из
них внутренним образом.
В первом случае О А = О В = д/б + 1? а проекции О'А и О' В этих
отрезков на плоскость j равны (из теоремы Пифагора) у6 + 2\/б. Из
теоремы косинусов для треугольника АО'В имеем
cos Z АО'В = J-.
V 3
Во втором случае О А = О В = у/б — 1. Аналогично получаем

526	Прил. III. Экзаменационные задачи
В первом случае угол АО'В острый, а во втором — тупой, при этом
/г"
угол между прямыми О'А и О'В в обоих случаях равен arccos W-. Так
I— I— /—	I—	V ^
/2 /16 /16 4	/2	4
как W- = W—>W— = -, получаем arccos W - < arccos -.
3. 	км. Указание. Пусть АВ = х, a v\ и г>2 — скорости вело-
сипедиста в начале и в конце пути от А до С. Участок АВ велосипе-
диет прошел за время —, В С — за время 	. Поскольку v\ < v2, а
Vi	V2
по условию 	=( —) < 1, то ж < —, т. е. последние 18 км велоси-
75 — ж \V2/	2
педист ехал со скоростью v2. Кроме того, х ^ 2. Если х ^ 18, получаем
ж /2\2 ж	2
уравнение —	= I - ) , а при 2 ^ х ^ 18 — уравнение —	=
75 — ж \о/	75 — ж
4. 3. Решение. Из параллельности отрезков ВХ и CD полу-
получаем равенства ZDCX = ZBXC и ZCDX = ZBXA, а из параллель-
параллельности отрезков СХ и В А — равенства ZBXC = ZXBA и ZBAX =
= ZCXD. Из того, что четырехугольник ABCD вписан в окружность,
следует, что
= 180° = ZBAX + ZABX + ZAXB,
откуда (пользуясь равенством ZABX = ZDCX) заключаем, что
ZBCX = ZAXB. Полученные равенства показывают, что треуголь-
треугольники АВХ, ВХС и XCD попарно подобны друг другу. Тогда
АХ : ВС = ВХ : ХС и ВС : DX = ВХ : ХС, откуда АХ : ВС =
= БС : DX, или БС2 = ЛХ • DX = 9, и ВС = 3.
5. B;+оо). Указание. Данное уравнение при любом а имеет 2
корня х\ и х2. Пусть а = arctg^i, /3 = arctgx2. По условию задачи
должно выполняться неравенство а + /3 > —, что равносильно системе
< + /3>0,
Осталось заметить, что xi-\-X2 = 2a — l, а х±х2 = а — 4, и решить
полученную систему относительно а.
6. — (З + л/8 —л/ТТ) . Решение. Нахождение минимального зна-
значения выражения (ж + 2/— zJ сводится к нахождению минимального
значения выражения
которое совпадает с одним из чисел |±а±6±с|, где а = |3(ж
b = \у + z\ и с = |z + ж|. Из условия задачи получаем

' 6. Варианты билетов 2002 г.	527
' 3 ^ а <С л/12,
л/Ш ^ с ^ л/11.
Так как каждое из чисел а, 6 и с больше 2, но меньше 4, справедливы
неравенства а + 6 — с > 0, 6 + с — а > 0 и с + а — 6 > 0. Поэтому числа
± а ± b ± с| совпадают с одним из чисел а + 6 — с, 6 + с — а, с + а — 6
и а + 6 + с. Следовательно, число |=Ьа=Ь6=Ьс| не меньше меньшего из
минимальных значений выражений а -\- b — с, 6 + с — а, с + а — 6 при
условиях (*).
При выполнении условий (*) минимальное значение выражения
а + b — с равно 3 + л/8 — л/11, минимальное значение выражения b +
+ с — а равно л/8 + л/Ш— л/12? минимальное значение выражения с +
+ а - b равно л/Ш+3 - 3 = л/Ш. Заметив, что 3 + л/8 - л/ГГ < V& + л/Ш -
- \/12, 3 + л/8 - \/ГТ < \/l0, получаем, что число вида \±а±Ь±с\ не
меньше чем 3 + \/8 — \/ГТ. Это значение достигается для решения сис-
системы
Вариант 3
7
1. -. Указание. Исходная система определяет прямоугольную
трапецию с основаниями 5 и 2 и высотой 1.
*•[-?<?]"(*!)•
3.	8. Указание. Докажите, что треугольник ABC равнобед-
равнобедренный, найдите отношение радиусов данных окружностей, а затем
и сами радиусы, после чего найдите АВ и примените теорему синусов
для отыскания радиуса описанной окружности.
7
4.	1; — —. Указание. Уравнение равносильно системе
I sin \х\ ^ 0;
1 5sinx + 3cosx + \/2 = 0.
sin x
Кроме того, tg х\ = ——. Поэтому tg |ж| имеет тот же знак, что
cos ж
и cosx. Возможные значения tg ж найдите из уравнения 23tg2x +
+ 30tgx + 7 = 0, полученное возведением в квадрат уравнения
5sinx + 3cosx = — л/2 и делением на cos2ж (cosж / 0). После этого
найдите и возможные значения tg \x\.
5. [—л/2; — l) U A; л/2]. Указание. Пусть t = з'аж1. Из неравенст-
неравенства системы следует, что \ах\ ^ 2, а из уравнения — что у/а2 — х2 =

528
Прил. III. Экзаменационные задачи
= —, n Е Z, п ^ 0. Произведя замену у = ж2, 6 = а2 ^ 0, получим
систему
Решения на плоскости Oyb
(рис. 66) представляет семейст-
семейство отрезков прямых
О
Рис. 66
Ь = у + —, п = 0, 1,2, ...,
находящихся в заштрихован-
заштрихованной области между осью Ob и
ветвью гиперболы 6 = —. Мак-
симальное количество поло-
положительных решений у соот-
соответствует значениям b из
промежутка A; 2].
6. 1. Указание. Две противоположные грани параллелепипе-
параллелепипеда — ромбы (рис. 67). Пусть г — радиус вписанного шара, h = 2г —
его высота. Запишем объ-
объем параллелепипеда тремя
способами:
V = a2hsina = abhsin/3 =
= abhsinj,
откуда
sin/3 = sin7 = т sina.
о
Для высоты h = AiH
параллелепипеда получим
по теореме Пифагора h =
= л/А^-АН2. Чтобы вы-
вычислить АН, применим тео-
теорему синусов к треугольнику
К AM: АН =	. Отрезок КМ найдите по теореме косинусов из тре-
sirm
угольника КАМ: КМ = Ьл/2 |cos/3| \/l — cos а. Окончательно, после
упрощений получим
h = b\ 1-
2cos /3A — cosa)
sin2
Преобразуем функцию / =
1 2а
2cos /3A —cosa)
. 2
sin a
/ =
cos —
2
к виду
о
4а 4а

' 6. Варианты билетов 2002 г.
529
л ?. 4а (Л а\	о а
Ясно, что / ^ — A	1, причем равенство достигается лишь при cos — =
= —. При а = 3 и 6 = 4 это возможно. Осталось вычислить г = —.
Вариант 4
1. -д/2.
[71
— 1;— U {1}. Указание. Приведите неравенство к виду
/	\
3.	arccos——. Указание. Введите в пространстве прямоуголь-
7V19
ную систему координат, направив оси Ох, Оу и Oz по ребрам AD,AB,
—}	—>
АА\, запишите координаты векторов АС\ и KL, где К и L — соот-
соответственно середины ребер АА\ и В\С\, после чего воспользуйтесь
формулой для скалярного произведения а-Ь — |а||6| cos (a 6).
4.	10 ч 40 мин того же дня.
/1	4 \
5.	±arccos- + 27r&; (-l)narcsin- + тгп , k.n eZ. Указание. Пос-
V	5	' v ;	5 г
ле замены а = \/13 cos х + 98 sin у, 6 = \/13cosx + 28sin^ система при-
приобретает вид
и легко решается: а = 9, 6 = 5, после чего без труда находятся cos ж
и sin у.
6. 7д/3. Решение. Обоз-
Обозначим стороны треугольника,
лежащие против вершин А, В
и С, через а, 6 и с соответствен-
соответственно (рис. 68). Из условия задачи
следует с > 6. Пусть /ВAD —
С
О
Рис. 68
Тогда /Б = /3 — а. Так как с > 6,
то /3 < —. Пусть окружность
радиуса г, центр О которой
лежит на прямой В С, проходит через точки A, D. Точка О лежит
на серединном перпендикуляре к отрезку АВ. Поскольку треуголь-
треугольник OAD — равнобедренный, то /DAO = /3. Из вышесказанного сле-
следует /3 > а, поэтому точка С лежит на прямой ВС между точками D
и О. Тогда /САО = /3 — а. Следовательно, треугольник АВО подобен
треугольнику С АО. Значит,
г + ВР _ г	,^\
г ~r-CD'	^ }
Далее, по свойству биссектрисы треугольника ABC имеем
34 В. А. Бачурин

530
Прил. III. Экзаменационные задачи
CD=
ab
Подставляя эти выражения для BD и CD в (*), получаем
Применяя формулу R = ——, где S — площадь треугольника ABC,
/ 2 _ ,2ч
a R — радиус описанной окружности, находим R =	—-. Теперь,
используя данные из условий задачи, получаем ответ: R = 7\/3-
Вариант 5
1. 3. 2. ^Dn±l), neZ.	3. -9; ~1+о • 4. л/7.
5. A; 27). 6. 4:9.
' (о + 1; 0) U (-о-З; +оо) при а
(а + 1; 0) U @;+оо)	при
@; +счэ)	при
(-о - 3; а + 1) U @; +оо) при
(-о - 3; 0) U (о + 1; +оо) при
Указание. Поскольку знак выражения
-3,
-3<а<-2,
а = -2,
-2<a<-l,
7.
совпадает со зна-
знаком ж, неравенство равносильно такому: х(х — а — 1)(х + а + 3) > 0.
Осталось рассмотреть все возможные случаи расположения точек 0,
а + 1 и —а —3 на числовой оси и применить в каждом из случаев ме-
метод интервалов.
е 2 4л/15
8 ;
Вариант 6
2. (-
3. @;log3/4(i)). 4. |. 5. 4,8,16; 16,8,4. 6.
{(—oo; +oo) при — 3 < a < —2;
(-00; 3-\/a2 + 5a + 6) и C + \Л
ov -5-л/13 ^
2)	< a
8. 6:1.
-3; -2 ^ a <
при a
-5 + л/Тз
; +00)
—3 и a > —2.
Вариант 7
2. A;1). 3. (-4;-3,9] U D; л/17).
. 2тГ?7. 27Г777.	, л1	, „ ,
4. ——; ——, n^7l,m^9l,n,m,leZ. Указание. Уравнение
преобразуется к виду
1. I; I.

' 6. Варианты билетов 2002 г.
531
64 • cos2 — • cos2 x • cos2 2х = 1.
тт	„	„	„	• 2х (	• 2 х / п\
После умножения левой и правой частей на sin — (при sin — ^= 0 ] это
уравнение приводится к виду
С
или
= sin2 —,
cos8x = cos ж.
5. 8. Указание. Точка М
лежит на меньшей из дуг АВ,
так как все перпендикуляры
опущены на стороны треуголь-
треугольника, а не на их продолжения
(рис.69). Из подобия прямо-
прямоугольных треугольников AMD
и BNM	±
Е
также ANM и BEM
(zA=\
2
bM =
AM MN
(\	)	_ - — - _,
MN2 42
откуда ME =	= — = 8. Далее находим угол М треугольни-
треугольника MNE:
ZM = 180° - ZABC = 180° - i A80° - ZC) = 150°
и искомую площадь.
6. @; — C =Ьл/5))- Указание. Положим t = х — 1, b = а3 — За2+а
и приведем уравнение к виду /(?) = 6. Функция / четная, поэтому
если уравнение имеет единственный корень to, то ?о = 0- Отсюда
Ь = /@) = 0. Если t ф 0, то f(t) < /@), так что при 6 = 0 уравнение
действительно имеет ровно один корень.
¦•(
Вариант 8
-оо; |
2. Yjj
n
Z. 3.
15л/15
32
4.	(-ос;-2] U [-l;0) U @; 1] U [2;+оо). Указание. Положив
t = 2|ж|, ^/ = 21og2?, разложите левую часть на множители: (у — 2) х
х (y + t — 3) ^ 0. Далее воспользуйтесь тем, что полученное неравенст-
неравенство равносильно неравенству (t — 4)(? — 2) ^0 (докажите это!).
5.	а) 2 + ^/2; б) (-оо; 2 - д/2) U {1} U B + ^/2; +оо).
Указание. Пусть
у = /(ж) = х2 + 2(о - 2) х + а2 - 4а = (х + а)(ж + а - 4),
0B/) = 2/2 + (а + 5) 2/ - а2 + 8а + 2.
Функция у = /(ж) принимает в точке хь = 2 — а минимальное значе-
значение /B — а) = —4, а остальные свои значения (большие, чем —4) —
по 2 раза. Поэтому исходное уравнение имеет единственный корень
34*

532
Прил. III. Экзаменационные задачи
тогда и только тогда, когда #(—4) = 0, а^ =
—4. Два корня
исходное уравнение может иметь лишь в двух случаях: если оба кор-
корня yi и г/2 уравнения д(у) = 0 удовлетворяют условию у\ < — 4 < у2,
т. е. при #(—4) = 0; если уг = у2> -4.
Вариант 9
1. (|;l). 2. -I^TTf.
3. 70. Указание. Воспользуйтесь формулой (и + vK = и3 +
при и =
Птг
4. A;64]. 5. -±?; -^
Вариант 10
1. (-оо; I] U B;+оо). 2. (l;±). 3. (-со;-2] U B;+оо).
4. 2:1. 5. -SSEI 6. %¦
7. (—оо; 1). Указание. Первое из неравенств системы задает
часть полосы — 1 ^ х ^ 1, ограниченную сверху полуокружностью
у = л/1 — х2. Если a ^ 0, то второму неравенству данной системы
удовлетворяют координаты любой точки плоскости. Следовательно,
искомая плоская фигура — выделенное множество на рис. 70. Эта
Рис. 70
Рис. 71
фигура является неограниченной, ее периметр бесконечен; значит,
любое а ^ 0 является решением задачи. Пусть а > 0. Заметим, что
множество точек координатной плоскости, определяемое неравенст-
неравенством \у\ ^ —\х\, симметрично относительно обеих координатных осей.
Таким образом, искомая фигура — выделенное множество на рис. 71.
Вычисляя периметр этой фигуры, получим

' 6. Варианты билетов 2002 г.
533
Остается решить неравенство Р(а) > РA)- Для этого заметим, что
функция Р(а) при а > О убывающая,
т. е. решения неравенства образуют
интервал 0 < а < 1.
8. —— л/113. Указание. Сече-
288
нием является пятиугольник, пока-
показанный на рис. 72. В этом пятиуголь-
пятиугольнике NP || MQ || AC, GH = МА = -,
МК || QP, MN || KQ. Площадь пя-
пятиугольника равна сумме площадей
равнобедренного треугольника MKQ
и трапеции МNPQ.
Вариант 11
1. 3. 2. (-l)n+1^ + 7rn,neZ.
А
Рис. 72
3.	(—3;9); B; 4). Указание. Из условия задачи следует, что
корни х\ и Х2 данного уравнения удовлетворяют системе х\ — рх2,
х\ — qxi, X\-\-x<i = 6p, X\X<i — q.
4.	а) Ютг; б) 160. Указание. На числовой оси АВ с началом
в точке А окрашенные точки образуют две серии — это точки вида
х = ЗОтгп и х = 40тг&, n,k G N. Подсчитайте количество точек первой
и второй серий, принадлежащих АВ, и вычтите из суммы этих коли-
количеств число точек, принадлежащих пересечению упомянутых серий.
5.	а) 3; б) — zbarccos-. Указание. Из подобия треугольни-
3	6
ков PQR и QTR следует, что QR = VPRTR и что описанная
около треугольника PQT окружность касается в точке Q прямой RQ.
При вычислении угла QRP учтите, что RQ и RP могут находиться
как по одну сторону от прямой О R, так и по разные стороны от нее
(О — центр окружности).
6.	@; 0); (±2; Т2); (±VS; ±V5); (	\	)
всего 9 решений. Указание. Сложив и вычтя уравнения системы,
получим систему
Г (х + у)(х2 - ху + у2 -6) =0,
х2-ху-\-у2 = 6,
2	/2 = 4.
равносильную совокупности из четырех систем:
\х-у = \
^ = 4; [х-у = \

534	Прил. III. Экзаменационные задачи
Последняя из четырех равносильна системе
\2ху = -2.
Вариант 12
2. 9C
3. ^ + тгп, -^ + 2тг&, n,keZ. 4. (-1;0).
4	6
5.	а) 232 + 288\/2; б) 1447ГE^/2 + 7)> Указание. Докажите,
что радиусы шаров образуют геометрическую прогрессию со знаме-
л/2-1
нателем а = —=	.
л/2 + 1
6.	2. Указание. Словарный запас людоеда составит через пол-
полгода 300 (l + тттт:Ь а через год 300 f 1 + ^т:) слов. Месячный прирост
словарного запаса Эллочки 150 A + j^A слов. Из того что все эти чис-
числа должны быть целыми, следует, что р = 10&, где к — натуральное
число. Мы должны найти такое п, при котором неравенство
зооA+шJ>зо+15Ч1+1м)
выполняется для всех р = 10&, к G N. После преобразования получим
fe + 20/g + 90 _ А;	2	J_
5& + 50 ~ 5	У^ + 10 ^ 55
(функция, стоящая справа, — возрастающая). Итак, n ^ 2.
Вариант 13
1. Утверждение справедливо. 2. ~«'4^hi'or
L A J L о ^ /
3.	(-2;3); (-3; 2); (-1; 5); (-5; 1). Указание. Выполните за-
замену и = х — у, v = ху.
4.	20 рабочих, 6 часов.
5.	— + 2тг&; — + 2тг/; — + 2тг?тг; —— + 2тгп, А;, /, ш, n G Z.
6	6	18	18
Указание. Приведите уравнение к виду
= 0.
/з
6. W-. Решение. Пусть f(x) и g(j/) — соответственно левая и
правая части данного неравенства. Перепишем его в краткой форме:
A)

' 6. Варианты билетов 2002 г.
535
Пусть и — х2 — бах + 10а2, тогда левая часть неравенства принимает
вид
Так как при и Е [0; 3] справедливо равенство ip(u) = у?C — гл), то на-
наряду с решением (и; у) неравенство
B)
имеет решение C — и; у). Поэтому необходимым условием единствен-
3
ности решения B) является требование и = 3 — и, или и = -.
В свою очередь, уравнение
и = -
х2 - бах + Юа2 - - = 0,
определяющее зависимость х от данного п, имеет единственное ре-
решение при условии, что дискриминант квадратного трехчлена D =
/"о"
= —4а2 + 6 = 0, т. е. а = +W -. Таким образом, получены необходимые
условия единственности решения неравенства A).
Для исследования достаточности покажем сначала, что
<р(и) 4:
для «е[0;3].
C)
Обозначим р = у/п ^ 0, q = д/3 — и ^ 0- При этом р4 + q4 = 3. Требу-
Требуется найти максимальное значение суммы p + q.
С помощью неравенств 2p2q2 ^p4 + a4, 2pq ^p2-\-q2 оценим
Тогда р + q ^ \/2i, причем равенство достигается при р = q = у -.
V
Отсюда следует искомое неравенство C). Рассмотрим теперь каждое
из найденных значений а.
гг	4/3"
При а = — \ - правая часть исходного неравенства принимает вид
V "
__
V2
поскольку, как нетрудно убедиться,
причем
3
у~Тг
3
у~Тг
л/2
'+*
= —= при
л/2

536
Прил. III. Экзаменационные задачи
[3 3 1
——; —-= правая часть B) принимает значение
д(у) = л/24, то неравенство (р(и) ^ д(у) (а с ним и неравенство A))
имеет более одного решения.
При а = у - выражение д(у) записывается в виде
д(у)=? 24 + 2
о
причем д{у) = д/24 только для у = —. В этом случае неравенство B)
л/2
имеет единственное решение. В силу однозначности выражения х че-
через и при указанном значении параметра а у неравенства A) решение
также единственно.
ел
7. - B — д/З) • Решение. Для того чтобы понять, объем какого
о
тела требуется вычислить в задаче, сначала представим себе фигуру,
которая получается при пересечении двух одинаковых призматичес-
призматических поверхностей (перпендикулярные сечения которых суть квадраты
со стороной 1), положенных на плоскость П в виде косого креста —
так, как показано на рис. 73. Эта фигура образована двумя равными
четырехугольными пирамидами с общим основанием ABCD, все бо-
боковые грани которых наклонены к нему под углом 45°, отрезок NS
перпендикулярен плоскости П, а четырехугольник ABCD — ромб,
лежащий в плоскости, параллельной плоскости П (рис. 74). Острый
угол этого ромба равен углу между ребром куба и его диагональю:
A ABC — la — arccos^.
л/3
Стороны ромба равны длине этой диагонали: д/З-
Рис. 73
Общей частью двух кубов является лишь часть тела, которое сос-
составлено из двух равных четырехугольных пирамид с общим основа-
основанием BEFG (рис. 75, где изображено сечение общей конструкции

' 6. Варианты билетов 2002 г.
537
Рис. 75
Рис. 76
плоскостью, параллельной плоскости П, и рис. 76, где изображено
искомое тело). Это следует из того, что длина отрезка BF меньше
длины отрезка ВО:
BF = !	/
так как
cos a
2 л/3 + 1 ^ 1
cos а =	— > —=.
/	/
> =.
2л/3 л/3
Поскольку катеты прямоугольного треугольника BEF равны BE = 1
и EF = 1-tga =
, а высота интересующей нас пирамиды рав-
равна EF, то искомый объем равен
т/_о 1 л/3-1
1. [_
L
Вариант 14
. 2. A1; +оо). 3. 0. 4. 1.
5.	2тгп, п ? Z. Указание. Уравнение приводится к виду
(cos Ъх - 2) B cos х - 3) = 1, откуда 2 - cos 5ж = 1, 3 - 2 cos х = 1.
6.	2. Указание. Пусть а и b — выражения, стоящие под зна-
знаком модуля. Уравнение переписывается так: |а| + | — Ь\ — а — Ь + с2 = 0,
где с = х — 2, или (|а| — а) + (|6| — 6) + с2 = 0, откуда |а| = а, |6| = 6,
с = 0.
Вариант 15
1. 2. 2. B;|)и(|;3). 3. 60°. 4. 15 кг.
5. 2i?2cosa(\/2sino! + у l + sin2a); 54.

538
Прил. III. Экзаменационные задачи
6. —1; —; —3. Указание. При а = —1 условие выполнено.
При а ф — 1 произведение корней, т. е.
а + 3
= ! + ¦
а+1	а+1
должно быть целым. Должно быть целым также число
а-1
а + 1
= 1-
откуда
= 3.
= 2, или (xi
Вариант 16
1. (-oo;l)U[2;+oo). 2. ^, n G Z. 3. (-оо; -1] U {2}.
о
4. (	; —— — 1) U (л/2 — 1; 15). Указание. Выполните замену
V 16 V2 /
), а затем решите полученное неравенство относитель-
относительл/190
но
,	• первое число больше. Указание. Вы-
6	4 /
полните замену переменной и = arcsin2^/, v = arccos3x, воспользуйтесь
равенством arcsin a + arccos а = —.
7. [—6; 1 — л/13] U [л/13 — 1; 6]. Решение. Если (х,у) -реше-
-решение неравенства данной системы, то (ж, —у),
(—х, у), (—х, —у) также его решения. Таким
образом, множество М точек плоскости
Оху, координаты которых удовлетворяют
неравенству, симметрично относительно
осей Ох и Оу. Пусть х ^ 0, у ^ 0. Тогда
исходное неравенство превращается в нера-
неравенство
Рис. 77	& (х-ЗJ + (у -ЗJ ^ 1,
которое задает круг единичного радиуса с центром в точке C; 3). Все
множество М, состоящее из четырех кругов, изображено на рис. 77.
Равенство системы, которое можно переписать в виде
является уравнением окружности с центром в точке А = @; 1) и ра-
радиусом, равным \а\. Расстояние г\ от точки А до точек ближнего к
ней круга (например, находящегося в первой четверти), принимает
значения

' 6. Варианты билетов 2002 г.
539
З2 + 22 - 1 = \/1з - 1
32 + 22 + 1 = \/ТЗ + 1
а расстояние г^ от точки Л до точек дальнего круга (например, с
центром в C; —3)) изменяется в пределах
У системы решения существуют тогда и только тогда, когда окруж-
окружность имеет непустое пересечение с множеством М. Таким образом,
поскольку \/ТЗ — 1 < 4 < \/ТЗ + 1 < 6, то необходимым и достаточным
условием разрешимости системы является требование \/ТЗ — 1 ^ |а| ^ 6.
Вариант 17
1. 9 км/ч. 2. \.
3. (-оо; -\/17) U [-4; -3) U (-3; 3) U (\/17; 5]. 4. 9.
5.	5 ч и 7 ч 30 мин.
6.	—4; 4; 6. Указание. Если [хо] уо) — решение системы,
то (жо; — уо) — тоже решение. Необходимым условием для нечетности
числа решений является существование решения, для которого уо =
= — уо, т.е. уо = 0. Осталось подставить у = 0 в систему и выяснить,
при каких а количество решений равно трем. Возможные значения а
находим из системы
f (Зж-3)(ж-9
\(х-аJ = 2Б.
_ 9) = О,
Это: -4,4,6, 14.
Теперь перепишем исходную систему:
Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют
первому уравнению, — это четырехугольник ABCD, показанный на
а =
-4
-4
V
(
-ll
У
а
tB /
Ца
А1
А:
D \
= 4
/^
-"^\
4
а
^Х
^\
л-
= 6
J
[С
t%9
а = 14
\
у 14 / ж
/
Рис. 78
рис. 78. Второе уравнение — окружности с центром в точках (а, 0) и
радиусом 5.

540	Прил. III. Экзаменационные задачи
7. (8, 0, 1, 0, 1). Решение. Описание процедуры дележа нач-
начнем со случая, когда число участвующих в нем равно двум. В этом
случае старший пират забирает все золото: половина (он сам) под-
поддерживает его предложение. Таким образом, итог дележа A0,0).
В случае, когда число пиратов равно трем, старший пират пред-
предлагает дележ, дающий 9 слитков ему и 1 слиток младшему (младший,
понимая, что если он поддержит среднего пирата, то в итоге не полу-
получит ничего, вынужден с этим предложением согласиться). Тем самым,
итог дележа (9, 0, 1).
В случае, когда число пиратов равно четырем, старший пират
рассуждает так: «Если мое предложение будет отвергнуто, то три ос-
оставшихся пирата разделят слитки по Правилу (9, 0, 1); следовательно,
я должен предложить такой дележ, который был бы выгоднее хотя бы
одному из них, а мне давал бы наибольшую возможную долю». Един-
Единственное решение этой задачи — дележ (9, 0, 1, 0), в котором старший
пират жертвует лишь одним слитком (в пользу пирата, третьего по
старшинству).
Рассуждая подобным образом в случае пяти пиратов, в итоге по-
получаем ответ: (8, 0, 1, 0, 1).
2. Московский государственный институт
электронной техники (технический университет)
1.	Решите уравнение
2.	Вычислите
3.	Вычислите
л г>	. 7Г + Ж	/ , \ 1
4.	Решите уравнение sin	= cos{7r-\-x) — 1.
5.	Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 34, а катеты
относятся как 8 : 15. Найдите радиус вписанной окружности.
6.	Сколько надо взять 5 %-го и 25 %-го раствора кислоты, чтобы
получить 4 литра 10 %-го раствора?
7.	Решите неравенство -	— ^	—.
\rg	у 4ж	11
8.	Решите неравенство log^ (л/5 — х — х + 1) > 3.
9.	При каких значениях параметра а функция
1 1
является нечетной?
10.	Через сторону CD основания правильной четырехугольной пи-
пирамиды SABCD и центр вписанного в нее шара проведена плоскость.

§ 6. Варианты билетов 2002 г.	541
В каком отношении эта плоскость делит площадь боковой грани SAB,
если боковое ребро пирамиды в 1,5 раза больше стороны основания?
11. Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющих уравнению
6х2у + 4ж2 - Ъху -8ж + 2/ + 3 = 0.
Вариант 2
1.	Найдите область определения функции
у = д/16 - х log3 (х2 - Ъх + 6).
2.	Вычислите ((л/З- л/27J + 7)((л/3+ л/27J -
3.	Найдите первый член арифметической прогрессии, у которой
сумма первого и пятого членов равна 22, а произведение второго и
третьего равно 66.
, тт	^	256тг
4.	На поверхности шара, объем которого равен —-—, расположе-
расположены две окружности радиуса 2д/3, касающиеся друг друга. Найдите
угол между плоскостями, содержащими данные окружности.
- ъ	1	2ж + 511 + Зжп
5.	Решите уравнение log0 г -—	lg	— = 0.
' X ~\~ ?*Х	X "т" I
6.	Решите уравнение sin ж cos5x = sin9x cos3x.
7.	Постройте график функции y = sm\x\— cos (ж—^-
8.	Основание АВ равнобедренного треугольника ABC равно 4д/3?
а медиана /ID равна 2д/7. Построен круг радиуса CD с центром в
вершине С треугольника. Определить отношение площади общей
части треугольника и круга к площади треугольника.
9.	Решите неравенство —= -\—-^=^ > —
VS-x л/2ж + 1 Д/8 + 15Ж-Ж2
10.	В два сосуда налиты различные растворы соли, причем в пер-
первый сосуд налито 5 кг, а во второй — 20 кг. При испарении воды
процентное содержание соли в первом сосуде увеличилось в р раз, а
во втором сосуде — в q раз. О числах р и q известно только, что pq =
= 9. Какое наибольшее количество воды могло испариться из обоих
сосудов вместе?
11.	Найдите наибольшее значение выражения ж + 3^/, если пары
чисел х и у удовлетворяют неравенству х2 -\-ху -\-4у2 ^6.
Ответы
Вариант 1
4тг
1. -1. 2. 2. 3. 0. 4. ±— +4тгп; тг + 2тгп, п е Z. 5. 6.
6. Зли1л. 7. (-оо;^)и{4}и[8 + ^/26;+оо). 8. Г-
9. -1. 10. 10:A + 2л/2). 11. @;-3); (-2;-1).

542	Прил. III. Экзаменационные задачи
Вариант 2
1. (-оо; 2) U C; 16]. 2. 47. 3. 1. 4. 60°. 5. \.
ХГЛ7
2тг
О
-2
Рис. 79
VV7
6. 1 + —; =Ь- + 7гп, neZ. 7. См. рис. 79. 8. тг:3\/3.
4 2	6
9. D; 8). 10. 18- кг. 11. 4.
о
3. Московский государственный
технический университет им. Н. Э. Баумана
Вариант 1
1.	Стоимость проезда возросла на 2,5 рубля за одну поездку, по-
поэтому на выделенную сумму в 234 рубля теперь можно сделать ровно
на 10 поездок меньше. Сколько стоит одна поездка?
2.	Решите уравнение у/1 + sin х = у/Е sin ж.
3.	Решите уравнение Ж1об4(зж) = 3i/iog32!
А D	ж3-27 ^ 2ж + 9
4.	Решите неравенство —^	<	.
х — 9	3
5.	Какую наименьшую площадь может иметь прямоугольный треу-
треугольник, если на его гипотенузе лежит точка М@; 1), а его катеты
лежат на прямых х = — 2 и у = О?
6.	Укажите все значения параметра р, при которых система урав-
уравнений	/
I
\у-р = (х-2J
имеет ровно два различных решения. Найдите эти решения при ука-
указанных р.
7. В прямоугольном параллелепипеде проведена плоскость, ко-
которая проходит через его диагональ, образует углы 45° и 30° со сто-
сторонами основания и параллельна диагонали основания. Чему равна
площадь сферы, описанной около параллелепипеда, если расстояние
от этой плоскости до диагонали основания равно П
Вариант 2
1. Из пункта А в пункт В вышел один пешеход, и с некоторым
опозданием — второй. Когда первый прошел половину пути, второй
прошел 15 км, а когда второй прошел половину пути, первый про-

§ 6. Варианты билетов 2002 г.	543
шел 24 км. В пункт В пешеходы пришли одновременно. Чему равно
расстояние между пунктами А и В?
2.	Найти все корни уравнения
cos9х + л/3 cos6ж + cosЗж = О,
Г7Г 7Г1
принадлежащие промежутку —; — .
3.	Решите уравнение Iog4B0x -34) = 2 + log2(x - 5).
4.	Решите неравенство 3 • 2х + 5 < 21-ж.
5.	Найдите площадь прямоугольника, две стороны которого ле-
лежат на координатных осях, одна из вершин расположена на графике
, 30 4ж
функции у =	—, а диагональ имеет наименьшую возможную
длину.	х
6.	Укажите все значения а, при которых система уравнений
имеет единственное решение. Найдите это решение при каждом а.
7. Найдите площадь сечения правильной треугольной приз-
призмы АВСА\В\С\ плоскостью, проходящей через вершину С и середину
стороны В\С\ основания А\В\С\ и параллельной диагонали АС\ боко-
боковой грани АА\С\С, если расстояние между АС\ и секущей плоскостью
равно 1, а сторона основания призмы равна \/14.
Ответы
Вариант 1
1. 9 руб. 2. (-1)»1 + тгп, neZ. 3. i;3.
6	9
4. (-oc;-3)U@;3)UC;6). 5. 4.
6.	B + yi0-p;10); B + Уб^р;б) при р е (-ос; 2];
D; 10); B; 6) при р = 6; B±у/10-р; 10) при pG F; 10).
7.	22тг/2.
Вариант 2
1.40 км. 2. i;—;—;—. 3.7^ 4. (-ос;-Iog23). 5.6.
6. (Vft2-4a-140; 4) при a G (-ос; -15) U A7; +ос);
(Va2 - 144; 2) при а G [-13; -12) U A2; 15).

544	Прил. III. Экзаменационные задачи
4. Российский государственный педагогический
университет им. А. И. Герцена
Вариант 1
1. Для каждого натурального числа п > 1 определена функция
а) Найдите области определения этих функций.
б) Нарисуйте график функции д(х) = х/	+9.
в) При каких а уравнение \д(х) — 5| = а имеет только два решения?
2.	Решите неравенство
cos f -^ + 10ж 1 > cos 2х cos Зж - sin 2х sin Зж.
3.	В ромб вписана окружность радиуса R. Найдите площадь ром-
ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса описанной
окружности.
4.	Основанием пирамиды служит прямоугольник, площадь кото-
которого равна S. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плос-
плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углами 30° и 60°.
Найдите объем пирамиды.
5.	Рассмотрим следующие свойства числа а:
а) сумма цифр числа а делится на 3; б) а — четное число;
в) остаток от деления числа а на 6 равен 1; г) а делится на 9.
1)	Покажите, что никакое число не обладает одновременно свойст-
свойствами а)-г).
2)	Верно ли, что если число а обладает свойством в), то число
а+ 2 обладает свойством б)?
Вариант 2
1. Для каждого натурального числа п определена функция
f (T\- i п~х
Jn\X) —
а)	Найдите область определения этих функций.
б)	Нарисуйте график функции ^(ж) = |/|(ж) — 1|.
в)	Решите неравенство \og1,y^{<f^{x)y/T+x) >\og1/^{b — x).
2.	Решите уравнение д/З — sin 7х = 2 д/З cos2 2х — cos f	h x).
3.	Найдите радиус окружности, описанной около равнобочной тра-
трапеции с основаниями 2 и 14 и боковой стороной 10.
4.	Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD
со стороной а и острым углом 60°. Ребро АА\ также равно а и образу-

' 6. Варианты билетов 2002 г.
545
ет с ребрами АВ и AD углы 45°. Определите объем параллелепипеда
и площадь его поверхности.
5. Дана функция fa(х) = у/а — х.
а)	Покажите, что при любых различных числах а и b графики
функций fa(x) и fb(x) не пересекаются.
б)	Верно ли, что если а > 6, то область определения функции fa(x)
содержится в области определения функции /&(ж)?
Ответы
Вариант 1
1. а) (—оо; +оо), если п = 2; (-ос; —п - \/п2 -7) U (—
+ \/п2 -7; +оо), если п ^ 3;
б)	см. рис. 80; здесь д(х) =
х е (-оо; -7)U(-l;+oo);
в)	а = 0 или а ^ 2.
2
пег.
3.
тг 2тгп
^ 4.
7тг 2тгп
-7 -4 -1
Рис. 80
3	3
5. 2) Неверно: например, а = 13 обладает свойством в), но а + 2
не является четным.
Вариант 2
1. а) (—2; 1], если п = 1; (-2; 2), если п = 2; (-2; 2) U B; п],
если п ^ 3;
б) см. рис. 81; здесь д{х) =
-1
Зж + 6
в) (-2;|
2. * = ? + ^, *
3. 5л/2. 4. у; а
или ж=
Рис. 81
5. б) Неверно: например, если а = 3 и 6 = 2, то а > Ь, но
(-оо;3]?(-оо;2].
35 В. А. Бачурин

546	Прил. III. Экзаменационные задачи
5. Российский государственный технологический
университет им. К. Э. Циолковского (МАТИ)
Вариант 1
1.	Решите уравнение у/х2 + Их — 9 = y/Sx — 5.
2.	Решите уравнение sin3|x| + л/3 cos3x = л/2.
5ж — 1
3.	Решите неравенство log5log6	— ^ 0.
х -\- о
4.	Отношение суммы первых трех членов геометрической прог-
прогрессии к сумме последних трех членов равно 1 : 5, а отношение суммы
всех ее членов без первых трех к сумме всех членов без последних трех
равно 7:5. Найдите количество членов прогрессии.
5.	При каких значениях параметра а уравнение
у/х + 2а2 (х2 + B - а) х - 2а) = 0
имеет ровно два различных корня?
6.	В трапецию ABCD с острым углом D вписана окружность,
точки касания которой с основанием AD и боковой стороной CD
делят длину окружности на части 1:2. На сторонах AD и CD выб-
выбраны точки Е и Т так, что отрезок ЕТ касается окружности и пер-
перпендикулярен AD. Найдите отношение площадей трапеции ABCD и
треугольника ETD, если АВ = ATE.
Вариант 2
1.	Решите уравнение у/х2 + 2х — 8 = Зж — 8.
2.	Решите уравнение sin (л/ж + л/7 — х) = 0.
3.	Решите неравенство loga,+43 + log2a>+93 ^ 0.
4.	В арифметической прогрессии четное число членов. Разность
между последним и первым членами равна 153, разность между сум-
суммой четных и суммой нечетных членов равна 81, а четвертый член
равен 20. Найдите сумму членов прогрессии.
5.	При каких значениях параметра а уравнение
лЛ + За2 (х2 + 2B - а) х - 8а) = 0
имеет ровно два различных корня?
6.	Окружность вписана в трапецию ABCD с тупым углом В.
Точки ее касания с боковой стороной АВ и основанием ВС делят дли-
длину окружности на части 1:5. Точки Т и N выбраны на сторонах АВ
и ВС так, что ТВ = NB и TN — касательная к окружности. Най-
Найдите отношение площадей трапеции ABCD и треугольника TBN,
если СD в 4л/3 раза больше радиуса окружности.

§ 6. Варианты билетов 2002 г.	547
Ответы
Вариант 1
2. (
3. (-oo;-31)u(J;+oo). 4. 19.
8(Зл/3-2)
к	о 1 ^ / !
5. а = -2;-1^о<--
4.1251. 5. а = -2; —== ^ а < —• 0 < а < -==. 6.
1.4. 2.
6. Российский государственный университет
нефти и газа им. И. М. Губкина
Вариант 1
1. Упростите и вычислите при а = Зд/2
а3 + 8л/8 а3-8л/8
2. Решите уравнение
а + л/8	о-л/8
1	1
л/ТО-9л/То'
3.	Отношение девятого члена геометрической прогрессии к ее шес-
шестому члену равно -. Найдите первый член прогрессии, если ее пятый
член равен 3.
4.	Решите неравенство 0,4|ж — 0,4| ^ х2 + 0,2.
5.	Решите неравенство З^^11 ^ 26^+тт.
D \
343У'
7.	Вычислите sin2 13° + cos 47° cos 73°.
8.	Найдите в градусах наибольший отрицательный корень урав-
НеНИЯ	sin (x + 16°) -sin (x + 4°) = sin6°.
9.	На графике функции
взята точка с абсциссой 8 и в ней проведена касательная к графику.
Прямая, параллельная этой касательной, проходит через начало коор-
координат и пересекает график в двух различных точках М и N. Абсцисса
точки М равна (—4). Найдите абсциссу точки N.
35*

548	Прил. III. Экзаменационные задачи
10.	Найдите произведение корней уравнения x3log27X = Зж2.
11.	ABCD — трапеция, в которой ZDAB = А АВС = -, AC DA =
= а, причем sin a = 0,3. Окружность радиуса 5 касается сторон AD,
АВ, ВС и пересекает сторону CD в точках М и TV, причем М N = 8.
Найдите площадь трапеции.
12.	В правильную треугольную пирамиду SABC с основани-
основанием ABC вписан шар, к нему проведена касательная плоскость, парал-
параллельная грани ASC. Эта плоскость пересекает ребро SB в точке М,
такой, что ВМ : MS = 1,55. Найдите косинус угла между боковой
гранью и плоскостью основания пирамиды SABC.
Вариант 2
1. Упростите и вычислите при а = \/16 + 1
16-
2. Найдите наибольшее целое значение ж, входящее в область оп-
определения фуНКЦИИ	1 /1 _ Q
l
3.	Найдите 19-й член арифметической прогрессии, если известно,
что ее 9-й член равен 22, а разность прогрессии равна 4.
4.	Решите уравнение |ж + 1| = |ж + 7|.
5.	Решите уравнение \/274ж+8 = \/98х+4.
6.	Дано: lgO,2 = 0,301. Вычислите lg8\/lO.
7.	Найдите наименьшее значение функции у = 10 sin ( — sin 10ж J.
8.	Найдите в градусах наименьший положительный корень урав-
уравнения	tgx _ i
9.	Прямая, параллельная оси Ох, пересекает график функции
у = 4д/—х в точке М, а график функции у = —= — в точке N. Най-
у/х
дите наименьшее возможное значение, которое может принимать
длина отрезка МN.
10.	Решите уравнение y/\og~^/%Tx-\og01x = -I.
11.	В треугольнике ABC проведены высоты AM и BN. Найдите
радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если АВ =
= л/5, MN = 1.
12.	Образующая конуса составляет с плоскостью его основания
угол a, cos a = 0,25. В конус вписан шар, через окружность касания
шара и боковой поверхности конуса проведена плоскость. Объем час-
части конуса, лежащей ниже этой плоскости, равен 37. Найдите объем
части конуса, лежащей выше этой плоскости.

§ 6. Варианты билетов 2002 г.	549
Ответы
Вариант 1
1. -24. 2. 11. 3. 48. 4. -0,2. 5. -11. 6. 3. 7. 0,25.
8. -70°. 9. -16. 10. 9. 11. 150. 12. 0,7.
Вариант 2
1. -1. 2. 4. 3. 62. 4. -4. 5. -14. 6. 1,403. 7. -5.
8. 15°. 9. 6. 10. 100. 11. 1,25. 12. 27.
7. Санкт-Петербургский государственный
политехнический университет
Вариант 1
(физико-механический факультет)
Л Х7 а3-а-24 а3 + 6а-7
1. Упростите выражение	.
а — 3	а — 1
2.	Решите уравнение л/х2 — 4ж + 4 = 2 — ж.
3.	Решите неравенство arcsinx >	.
6
4.	Вычислите Iog4_2^ (л/3 - l).
5.	Решите уравнение xlog5 15 = log5D-3^) + x.
6.	Решите уравнение
7.	Найдите область определения функции у = у^З— |log3#|.
8.	Найдите количество различных корней уравнения sinGrx2) =
= — на промежутке [2; 3].
9.	Решите уравнение 2(х2 - 2) = (х2 + х)(\х\ - 1).
10.	Решите неравенство |ж + 3|ж~6 ^ 1.
11.	Второй член убывающей геометрической прогрессии равен 192,
а ее четвертый член равен 48. Сколько членов данной прогрессии
являются двузначными натуральными числами?
12.	Решите неравенство Ъ^/х2 — 4|ж|+4 ^ 2D-ж2).
13.	Найдите третий член арифметической прогрессии, если для
любого натурального числа п справедливо равенство 5п+з — Sn =
= 24п + 39, где Sn — сумма первых п членов прогрессии.
14.	Для скольких натуральных чисел п число 	 лежит в про-
[\ \i	п + 6
-; - ?
15.	Найдите корни уравнения |sinx| + sin \x\ = 0 на промежут-
7Г ЗТГ]

550	Прил. III. Экзаменационные задачи
16.	Решите неравенство (ж + 2)-Зж < (ж + 2)-93~ж.
17.	Диагонали трапеции ABCD делятся в отношении 1 : 4 их
точкой пересечения О. Большее основание трапеции ВС равно 8, а
площадь треугольника ВОС равна 1. Найдите площадь трапеции.
18.	Вычислите площадь поверхности, полученной вращением ром-
ромба, площадь которого равна 4, вокруг своей стороны.
19.	Найдите точки на графике функции у = \х — 5| — 3, ближай-
ближайшие к точке МE; 3).
20.	При каких действительных значениях параметра а уравнение
1-ах2 = 2\ах + 1\
имеет хотя бы один корень на интервале (—; 0)?
Вариант 2
(физико-технический факультет)
1.	Найдите число А > 0, если оно составляет 20 % от 2Л2 - А.
2.	Решите уравнение 	= —~	.
х1 z + 2
3.	Вычислите -—Щ——1 *„. Убедитесь, что это число целое.
log8 27 - log2 27
4.	Решите уравнение Iog5(l + x) = Iog25(l — 2х).
г- n	v^sirm	.	о
5.	Вычислите 	-.	^-, если tg a = 1.
cos (a + —)
6.	Какое число больше: а = sin 17° или b = cos — ?
о
7.	Решите уравнение 2Ж+1 — 23~х = 6.
8.	Найдите /C), если /(log2x) = log4Bx).
9.	Решите уравнение sinЗж + cos 2x = sin x.
10.	Найдите количество целых решений неравенства
\х2-1\^\х2-7\.
11.	Решите уравнение 2(ж + 4J = Vx2 + 8ж +19.
12.	Напишите уравнение касательной к графику у — х2 — 4ж, про-
проходящей через точку МB; —4).
13.	Решите неравенство
14.	Решите неравенство (tg2x + 2)|cosx| ^ 2.
15.	Найдите область определения функции
у = i/tg2x — 1 + V тгж — ж2.
16.	Найдите все пары натуральных чисел (х;у), являющиеся ре-
решениями системы уравнений

' 6. Варианты билетов 2002 г.	551
17.	Отрезок, параллельный основанию трапеции, делит трапецию
на части, площади которых относятся как 3:5. Найдите длину этого
отрезка, если основания трапеции равны 2 и 6.
18.	Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна л/17, пло-
площадь его основания равна 6, а тангенс угла, образованного диагональю
2
параллелепипеда с его основанием, равен —-=. Найдите объем парал-
параллелепипеда.
19.	Найдите множество значений функции у — —^	z^	.
4ж+ж +8
20.	Найдите все положительные значения параметра а, при ко-
которых промежуток [—3; —1] содержится во множестве решений нера-
неравенства	.	. Л 9/	\ 1
\х + а\ < 2az(a-x)~.
Ответы
Вариант 1
1. 2о + 1. 2. |;|. 3. [-|;l]. 4. \. 5. Iog32. 6. 3.
7. [±;Я]. 8.12. 9. ±l;2;i^
10. (-4;-3)U(-3;-2)U[6;+oo). 11. 4. 12. [~2;-|] U [|; 2].
13. 21. 14. 4. 15. {0}и[тг;^]. 16. (-2; 2). 17. Ц.
18. 16тг. 19. A; 1), (9; 1). 20. (f;+oo).
Вариант 2
1. 3. 2. -^. 3. -1. 4. 0. 5. -4. 6. 6>а. 7. 2.
8.2. 9. t + ^tS (-1Г+1? + тгп, n?Z. 10.5. 11. -3;-5.
4 2	6
12. у = -4. 13. (-1;1). 14. 7rn,n?Z. 15. [j; |) U g; ^].
16. A;2). 17. 4; г/24. 18. 12. 19. [-^;
20. (\/3;+оо).

Приложение IV
СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ФОРМУЛ
§ 1. Алгебра и начала анализа
1. Степени и корни
а)п=+ап. 2) (_а)п =
Если а > О и п — натуральное число, то:
-\-ап для п четных,
— ап для п нечетных.
Если а > О, 6 > О, т и п — любые действительные числа, то:
3) ат-ап = ат+п] 4) ат :an = am"n;
5) (ат)п = атп;	6) (а • Ъ)т = ат • Ьт;
^;	)	;
6	ГО при 0<о<1,
9) а-п = —_;	Ю) lim ап = < 1 прио = 1,
^ оо при 1 < а < оо.
Если а>0, 6>0, т, п, к — натуральные числа, то:
И) ЦЪ™ = ат/п
13) </f=|f;
15) л/~^= nV
12) ^6=^-^6;
17)
nVa; 16) n
а при а > 0,
18) а
18) а	=	.
a при a < 0.	am/n
2. Квадратные уравнения
2)
3)
+ Ьх + с = 0;
Здесь а, 6, с, р, q — действительные числа и а/0.

§ 1. Алгебра и начала анализа	553
4)	Формулы Виета:
b	с
х\-\-Х2 = —р =	; х\ -Х2 = q = -•
а	а
5)	Разложение квадратного трехчлена на линейные множители:
2	= (х - xi
3. Прогрессии
1) Общий (n-й) член арифметической прогрессии:
где d — разность прогрессии.
2) Сумма п членов арифметической прогрессии:
_i + ( )
n —	n.
bn	n
3)	Общий (n-й) член геометрической прогрессии:
ип = u1-qn~1,
где q — знаменатель прогрессии.
4)	Сумма п членов геометрической прогрессии:
Если q = 1, то каждый член прогрессии равен и и Sn = пи.
Если q ф 1, то
_ 1д _
— и1 —.	 — и1
1q
1-q	1-q	q-1
5) Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
(при \q\ < 1):
lim Sn = Ul
1-q
4. Логарифмы
Логарифмы, взятые по основанию 10, называются десятичными
(бригговыми), а по основанию е = 2,71828... — натуральными (непе-
(неперовыми) и обозначаются соответственно lg и In. Если за основание
взято любое положительное число, не равное единице, то применяется
символ log: loga TV, a > 1, а / 1.
1)	aloz*b = b, 6>0.
2)	loga ab = 6, b — любое действительное число.
3)	loga bc = с loga 6, b > 0, с — любое действительное число.
4)	loga bc = loga b + loga c, b > 0, c> 0.
5)	loga6c = loga(-6) + loga(-c), 6<0, c<0.
6) loga^ = loga6-logac, 6>0, c>0.

554
Прил. IV. Сводная таблица формул
7) log0^=log0(-6)-log0(-c), 6<0, с<0.
i, Ь>0,с>0,сф1.
8)	io&ab=^i
9)	Iog06-log6o = l, 6>0, Ьф\.
log^
loga с
5. Тригонометрические функции
1. Измерение углов
1) 1 радиан =
57°17'45"; 2) 1° = ^-^ as 0,01745 рад.
7Г	loU
2. Формулы перехода от градусных мер к радианным
и обратного перехода
1)<Р=*; 2)a = fl80,
где if — радианная, а — градусная мера угла.
3. Таблица знаков и некоторых значений
тригонометрических
Название
функции
sin a
cos a
tga
ctga
Четверти
I
+
+
+
+
II
+
-
-
-
Ill
-
-
+
+
IV
-
+
-
-
I
0°
0
1
0
±oo
30°
1
2
л/3
2
л/3
3
л/3
45°
л/2
2
л/2"
2
1
1
60°
л^З
2
1
2
л/3
л^
3
90°
1
0
±оо
0
II
180°
0
-1
0
±оо
III
270°
-1
0
±оо
0
IV
360°
0
1
0
±оо
4. Соотношения между тригонометрическими функциями
одного и того же аргумента
1\ • 2	2 I o\ sin a
1) sin a + cos a = l; 2) 	=tga:
cos a
o4 cos a ,	л\	1	•	-i
3) 	= ctg a: 4) coseca =	, или sin a -coseca = 1;
sin a	sin a
Kv	1	,
5)	seca =	, или cos a -sec a = 1;
cos a
6)	ctg a =	, или tg a • ctg a = 1;
tga
7)	l + tg2a = sec2a; 8) l + ctg2a = cosec2a.

' 1. Алгебра и начала анализа
555
5. Таблица формул приведения
Функция \Угол
sin
cos
tg
ctg
sec
cosec
— sin<^
+ COS<?
-Чч>
-ctg у?
+ sec<^
— cosec (p
90° tol
+ COSCK
zbsina
zbctga
±tga
± cosec a
+ seca
180° tol
zbsina
— cos a
=Ftga
Tctga
— sec a
±cosec a
270° т а
— cos a
=Fsina
zbctga
±tga
=F cosec a
— sec a
360°^ tol
=Fsina
+ cosa
=Ftga
Tctga
+ seca
=F cosec a
6. Формулы сложения и вычитания аргументов
1)	sin (a + /3) = sin a cos/3 +cos a sin/3;
2)	sin (a — /?) = sin a cos/3 — cos a sin/3;
3)	cos(a + /3) = cos a cos/3 - sin a sin/3;
4)	cos (a — /3) = cos a cos/3 +sin a sin/3;
71
; a —c
7. Формулы умножения и деления аргумента
1) sin 2а = 2 sin a cos a; 2) cos 2a = cos2 a — sin a;
3) tg2a =
2tg a
=	^-;
; 4) ctg 2a =
ctg a —1
= -^	;
1-tg'a' ' ~ 2ctga
6) cosa =	2^; 7) tg a =	1^-;
; 5)
i+tg2^'
2tg-
9)
1 — cos a
. a . /1 — cos a
Sm2=±V^—;
1ГкЧ о a 1 + cosa	a . /1 + cosa
10) cos^- =	; cos- = =bA
, о a 1 — cos a
tg 2=TT^;
1 — cos a
12)
;
1-cosa'
ctgf =
1 + cos a
1 — cos a '

556	Прил. IV. Сводная таблица формул
8. Формулы преобразования алгебраических сумм
тригонометрических функций в произведение
и обратных преобразований
1)	sin се + sin /3 = 2 sin ^ "*"H cos	—;
л\ •	> n r» • OL — В	OL-\- В
2)	sin a - sin p = 2 sin ——- cos ——-;
z	z
I/O	/O
3)	cos ce + cos /3 = 2 cos ——- cos ——-;
z	z
4)	cosce — cosp = —2sin	— sin	—;
5)	1 + cosce = 2 cos2 —; 1 — cosce = 2 sin2 —;
6)	since -cos/3 = - (sin (ce
z
7)	cos a • cos /3 = - (cos (a -
8)	sin a • sin /3 = - (cos (a - /3) - cos (a + /3)).
Замечание. Следует иметь в виду, что одна часть тригономет-
тригонометрических формул является верной при всех значениях аргумента;
например, все восемь формул данного пункта. Другая часть формул
применима не при всех значениях аргумента: например, формула 2
из п. 4 (tg се =	) справедлива при всех значениях се, кроме се =
^ V	cos a)
= —\-ктг. Из-за экономии места в данном задачнике приходится об
А
этом только напоминать. В учебниках этот вопрос исчерпывающе ос-
освещается.
9. Обратные тригонометрические функции
Определения:
1)	Если х = sin^/ и —— ^ у ^ —, то у = arcsinx.
Z	Z
2)	Если х = cos у и 0^2/^тг, то у — arccos ж.
3)	Если x = tg2/ и	^ У ^ —j то у — arctg x.
4)	Если х — ctg у и 0^2/^тг, то у — arcctg ж.
Основные тождества:
arcsin х + arccos x — —; arctg x + arcctg x — —.
Выражения одних обратных тригонометрических функций через
другие:
1) arcsin х — arccos \/l-x2 = arctg -
V 1 — Ж2	7Г	/г»	1\
= arcctg —	= — - arccos x @ < х < I).
О?	Z

1. Алгебра и начала анализа	557

2) arccos х = arcsin у 1 — х2 = arctg
= arcctg	=	arcsin x @ < ж < 1).
V 1 — ж2
оч,	1	.	Ж	1	7Г	,
3) arctg ж = arcctg — = arcsin —-^=^ = arccos —^=^ =	arcctg x
x	/^2	/ 2 2
.ч,	,1.1	Ж7Г,
4) arcctg x = arctg — = arcsin —-^^= = arccos —-^=^ =	arctg x
x	^ 2	л/1 + Ж2 2
10. Простейшие тригонометрические уравнения
1) sinx = 0 <^> ж = /^тг; sinx = 1 <^> ж = —Ь 2/^тг; sinx = —1
2) cos ж = 0 <?> ж = — + 2kn; cos ж = 1 о х — 2кп; cos ж =
3) tg х = 0 <?> ж = ктт; tgx = l<^x = j + А:тг; tg x = -
Л\	J.	f\	П , 7	j.	1	П , 7	j.
A_\ рте? ПГ — II <—\ nf* — 	 -i— k*ht • pfor nr* — | ^—\ nr* — 	 _L k*qr* ptpr nf* —
3
— 1 -ФФ- ж = - 7Г + А;тг.
4
6. Комбинаторика
1)	Размещения: Л^1 = n(n — l)(n — 2)...(n — ?тг +1), n^m.
2)	Перестановки: Pn = Л™ = 1 -2 -3...n = n!
A772	/n/'-n 	 Л\(п 	 ^)\ (n 	 '
.	77,	/t/i/t/ л. i \ i о ZjJ...i/(/ i
dj Сочетания: О^'ь = —— = —	—	—
Полезно запомнить следующие соотношения:
*гь
r0 	 fiO 	 1
7. Бином Ньютона
Возведение биномов (двучленов) в степень производят по фор-
формуле бинома Ньютона:
1)	(х + а)п = хп + пах71-1 + П<кП~ ^ а2хп~2 +...
п(п — \)...{п — к-\-1) и n — h	n
-\—	—р	-ах +...+а .
к
2)	(х - а)п = хп- Clax71'1 + C2a2xn~2 - ...

558	Прил. IV. Сводная таблица формул
3) Общий член разложения
k+1 =
8. Формулы дифференцирования
1. (ж)' = 1. 2. (C)' = 0. 3. (w + T7)/ = ift/ + t;/.
4.	(ш;)' = м'-г; + м-г;'. 4*. (Ct;)' = CV.
5.	(uvw)f = uf-v-W+ u-vf-W+ u-v-wf.
f u'
C\f Cv
\) = -\- 7. !, =
8. (uny = n-un-1-ul. 8*. (v^)'=_!=.«'.
2
2 yiA
9. (sinvY = cosv -vf. 10. (cosv)' = -sinv -v'.
i	i
11. (tgv)/=—— = sec2v -v'. 12. (ctgv)/=	— = -cosec2^ -v'.
cos г;	sin v
13.	(secv) =—2~ • v = tg v • sec v • v .
cos г>
i л /	\/	COSV ,	,
14.	(cosecv) =	2~ • ^ = -ctg v -cosecv • v .
sin v
15.	(arcsinv)/ = —	•?/. 16. (arccosv)'=		•?/.
VI-^2	yi-u2
17. (arctgv)/=
o (g)	2
1+v	1+v
19. (log^)^-^.^.^.	19*. (\nu)f = -'Uf.	19**.
lna и	и
20. (ovy = ov-lno-u'. 20*. (ax)r = ax-lna. 20**. (ev)
20***. (еж)/ = еж. 21. (uv)f = Ун"'1-uf+ uv -\nu-vf.
Формулы интегрирования представлены в Приложении 1, § 14, п. 3.
§ 2. Геометрия
1. Треугольники
Обозначения: а, 6, с — длины сторон треугольника; а, /3, j — ве-
величины углов; h — длина высоты; Р, 2р — периметр, R — радиус
описанной окружности.
1)	Два треугольника равны, если:
а) о = оь 6 = &ь 7 = 7ь б) с = сь а = аь Р = Pi;
в) а = ai, 6 = 61, с = ci.
2)	Два треугольника подобны, если:

§ 2. Геометрия
559
а) а =
б) — = —, 7 =
а\ b\
ч a b с
a\ b\ с\
3) Метрические соотношения между элементами прямоугольного
треугольника (рис. 82):
a h 2 , #2
- = ^; а +6 = с
2 _ Л2. ? _ _^.
а
7;
6" г/
Рис. 82
Рис. 83
4)	Метрические соотношения между элементами любого треу-
треугольника:
а2 = Ь2 + с2 — 26с'; а < 90° (квадрат стороны против острого
угла; рис. 83, а);
с2 = а2 + б2; а = 90° (квадрат стороны против прямого угла);
а2 = Ь2 + с2 + 26с'; а > 90° (квадрат стороны против тупого угла;
рис. 83, б).
5)	Длина высоты (/г), длина медианы (т) и длина биссектри-
биссектрисы (/) в треугольниках вычисляются по формулам:
га = - ^p(p-a)(p-b)(p-c), ...;
та = -
1А= 6 + с	, ...
6)	Теорема синусов: 	=	 =	= 2R.
sin a sinp sin 7
7)	Теорема косинусов:
a2 — b2jrc2 -2bccosa,
b2 = а2 + с2 — 2accos/3,
с2 = a2 + b2 -2abcosj.
8)	Теорема тангенсов:
Ь + с
a — b
2	 _
. а
ctg-
а- C
/3-7
2. Окруснсностъ
Обозначения: R — радиус, D — диаметр окружности.
1)	Длина окружности: C = 27rR = 7rD.
г»\ тт	о i	7Г Rfl
2)	Длина дуги в п : / = ^-.

560	Прил. IV. Сводная таблица формул
3. Правильные многоугольники
1) Выражение сторон (ап) правильных многоугольников через
радиус вписанной (г) и описанной (R) окружностей:
а3 = 2глД = ЯлД; а4 = 2г =
о
«6 = -гл/3 = Я.
2) Формула удвоения числа сторон правильного вписанного мно-
многоугольника:
4. Измерение площадей
1) Площади прямоугольника и параллелограмма:
S = а/г,
где а — основание и h — высота названных фигур;
где di и d2 — диагонали названных фигур и р — угол между диаго-
диагоналями;
S = absma,
где b — боковая сторона, а — любой угол параллелограмма.
2)	Площади квадрата и ромба:
S = a2; S = ah; S = ^; S=\d1-d2.
3)	Площадь треугольника:
S = f; S
где а — угол между сторонами бис;
ah	o abc	о 1
S = л/р(р-а)(р-Ь)(р-с); S = pr,
где г — радиус вписанной окруж;ности.
4) Площадь трапеции:
S = ^— -h; S = -di -d2 siny?,
где а и b — основания, ip — любой угол между диагоналями.
5) Площадь описанного многоугольника:
где Рп — периметр, г — радиус вписанной окружности.

§ 2. Геометрия
561
6) Площадь правильного вписанного многоугольника:
о	 Р	С1
где Рп — периметр, а — апофема.
7) Площадь круга:
S =
8) Площадь сектора (рис. 84):
тг/2 а г, 1 | г» п 1г
360
где I =
irRa
180
— длина дуги; I = ip • R — длина дуги; а — градусная
мера центрального угла; ip — радианная мера центрального угла.
9)	b = 2/2sin— — длина хорды; h = 2R • sin2 — — длина стрелки;
, a 2h (	2 ,	,	4
tg — = —- (полезные формулы).
10)	Площадь сегмента (рис. 84):
S =
IR-b(R-h)
5. Многогранники (поверхности и объемы)
Обозначения: Р и Q — периметр и площадь основания многогран-
многогранника; р и q — периметр и площадь верхнего основания усеченной
пирамиды; р\ и q\ — периметр и площадь перпендикулярного сече-
сечения наклонной призмы; а, а± и Я, h — апофемы и высоты правильной
пирамиды и правильной усеченной пирамиды; / — длина ребра наклон-
наклонной призмы; a, b и с — измерения прямоугольного параллелепипеда.
1)	Боковая поверхность прямой призмы:
S = PH.
2)	Боковая поверхность наклонной призмы:
3)	Объем прямой призмы:
V = QH.
4)	Объем наклонной призмы:
V = qi-l; V = QH.
5)	Полные поверхности и объемы параллелепипеда и куба:
пар = 2(а6 + 6с + ас); SKy6a = 6a2; Vnap = abc\ VKy6a
6)	Боковая поверхность правильной пирамиды:
S = \Pa.
36 В. А. Бачурин

562	Прил. IV. Сводная таблица формул
7)	Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды:
8)	Объем пирамиды:
9)	Объем усеченной пирамиды:
= \qh.
6. Цилиндры (поверхности и объемы)
1)	Боковая поверхность цилиндра:
S = 2ttRH.
2)	Полная поверхность цилиндра:
3)	Объем цилиндра:
V = 7rR H.
4)	Объем стенок полого цилиндра:
где г — внутренний радиус.
7. Конус (поверхности и объемы)
1)	Боковая поверхность конуса:
S = irRl,
где / — образующая.
2)	Полная поверхность конуса:
3)	Объем конуса:
1/ = 1тгЯ2Я.
4)	Боковая поверхность усеченного конуса:
S = 7r(R + r)lu
где 1\ — образующая усеченного конуса, г — радиус верхнего осно-
основания.
5)	Полная поверхность усеченного конуса:
6) Объем усеченного конуса:

§ 2. Геометрия
563
8. Шар и его части (поверхности и объемы)
1)	Поверхность шара:
2)	Объем шара:	.	1
~~ з71" ~~ б
3)	Поверхность шарового сегмента и шарового слоя (рис.85 и 86):
D
С
" R
Рис. 85
S = 2тг Rh.
4)	Объем шарового сегмента:
!"i)' или v = i
5)	Объем шарового слоя:
6
6)	Объем шарового сектора:
Рис. 86
где h — высота шарового сегмента.
36*

П риложен ие V
ЛАТИНСКИЙ И ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТЫ
§ 1. Латинский алфавит
А
В
С
D
Е
F
G
Н
I
J
К
L
М
а
b
с
d
е
f
9
h
i
j
к
I
m
a
бэ
цэ
ДЭ
Э
эф
гэ (жэ)
ха (аш)
и
йот (жи)
ка
эль
эм
N
О
Р
Q
R
S
т
и
V
W
X
Y
Z
п
о
р
Я
г
S
t
и
V
W
X
У
Z
эн
О
пэ
ку
эр
эс
тэ
У
вэ
дубль-вэ
икс
игрек
зэт
j 2. Греческий алфавит
А
В
Г
А
Е
Z
Н
0
I
К
Л
м
а
Р
7
5
С
V
i
А
А*
альфа
бета
гамма
дельта
эпсилон
дзета
эта
тэта
йота
каппа
ламбда
ми (мю)
IN V
Е ?
Оо
Птг
¦р)
Е а
Тт
Tv
Ф ф,(р
X х
ф ^
ни уню)
КС И
омикрон
пи
ро
сигма
тау
ипсилон
фи
хи
пси
омега

ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
Раздел I. Арифметика
§ 1. Целые числа и действия над ними
9.	1) 100000; 2) 975603; 3) 24754191; 4) 20004.
10.	1) 41дм2 60 см2; 2) 64 ара; 3) 231°28/48"; 4) 9 сут 13 ч 26 мин.
11.	1) 33; 2) 9; 3) 96; 4) 8; 5) 234; 6) 32.
§ 2. Текстовые задачи с целыми числами
12.	1440; 10080. 13. 40. 14. По 28 км. 15. 16, 24.
16. Через 4 часа. 17. ? 18. 4. 19. 7 часов. 20. 300 стоп.
21.	3 стопы. 22. 84. 23. Через 5 часов. 24. 16; 8. 25. 340.
26.	760 км. 27. Через 10 мин. 28. 720. 29. 4 стопы.
30.	20 галок, 15 берез. 31. 450. 32. 17. 33. 800 м.
34.	144 кг. 35. В 3 раза.
36.	1) Например, 996; 2) например, 4509.
37.	1) Например, 1296; 2) например, 512.
38.	1) Например, 1350; 2) 5262723.
39.	а) Первые два; б) ни одно.
40.	Например: 21 и 63; 55 и ПО; 14 и 21; 72 и 144; 605 и 1210; 7021
и 14042; 294 и 441.
41.	а) Наименьшее общее кратное 3900; дополнительные множи-
множители 25 и 20.
42.	3) 49; 4) 198. 43. 1) В 2 раза; 2) 2520.
44.	1) 2; 1; 7; 2; 2) а) увеличить на 37.
45.	1) а) Увеличится в 5 раз; 2) частное увеличится в три раза
и на две единицы, а остаток будет равен 18.
46.	1) Нулем. 2) На 4998; в 120 раз.
47.	Через 4 оборота, 7 оборотов. 48. 450 и 45. 49. 120 м.
50.	40 подарков; 8 орехов, 6 конфет и 5 пряников.
51.	В 17 ч. 52. 1) 60, 140; 2) 22,13. 53. 1) Hal; 2) на 7.
54.	1) 208, 624, 1040; 2) 368, 12880.
55.	Через 60 мин; 3, 4, 5, 6 кругов.

566	Ответы, решения, указания
§ 3. Обыкновенные и десятичные дроби
62.	1) На 12 частей; 2) 5,10,15; 3) 14,35; 4) в) 6250 м2.
63.	2) а) 0,225; б) 0,6875; в) 0,F); г) 0,@1); д) 0,A23);
е) 1,C7); ж) 2,41F); з) 7,3A08).
64.	2) а) ^; б) 1^; в) 13|; г) ц1; д) 3-У-; е) 17^;
О	10	О	У	ООО	УУ
Ж) 8А; з) 19-^.
; 12' ; 222
65.	1) Решение. Имеем
5 ' ^-99^ = 78 + 24-99 +
12
ee-f- 67-7й- 68-1б-
69. Решение. Обозначим выражение в первых скобках через Л,
928
а во вторых — через В. Последовательно находим: А = ——0,6 =
80
= Ц,6 - 0,6 = 11. Числитель дроби В: 1) 42 • 3 ^ = 42 • 3 + ^ = 161;
2) 3,3:0,03 = 110; 3) A61 + ПО) • 15 = 271 • 15. Знаменатель дроби В:
271-15 271 ~	л о 11 271 oh71
	=	. Окончательно получаем А- В = 11	= 271.
165	11	11
70. 12. 71. 8. 72. 1. 73. |. 74. 2А. 75. 1Ц.
76. 16 км. 77. За 8 дней. 78. 15; 22; 88. 79. На 9 мин.
80. 70. 81. Не изменится. 82. — ц. 83. 1,8 кг.
16
84. На 2 месяца. 85. За 6 дней. 86. 144 км. 87. 60 л.
88. 1-. 89. 450 м3. 90. 14,4 км. 91. В 12 ч 50 мин.
§ 4. Проценты (первая серия задач)
92. 2) 1,5 = 150%. 93. 1) 5,3% = 0,053. 94. 3) 8 руб.
95. 1,23 кг. 96. 1) 240. 97. «510 млн. км2. 100. 45%.
101. 13464 руб. 102. На 55%. 103. 100-|%.
104.	85%-17% = 68%. 105. 360 чел.
106.	80 кг, 120 кг и 180 кг; 40 кг и 100 кг.
107.	Серы 3 кг, селитры 19,5 кг, угля 2,5 кг. 108. 2,6 т.
109.	На 50%. 110. 120 кг. 111. 1) 11,8%; 2) На 12,5%.
112.	33. 113. 200%.

Разд. II. Алгебра и начала анализа	567
114.	1) 30 %0; 72 %0; 200 %0; 825 %0; 1000 %0; 4%0;
2) 50%; 8,5%; 1%; 0,6%; 0,05%.
§ 5. Задачи на кратные пропорции,
пропорциональность величин и другие задачи
115.	1) а) 119:34; в) 25:20:6; 2) 1,25.
116.	1) 2003; 6009; 16024; 24036; 30045; 2) 0,48; 0,8; 1,1.
119.	Указание. Прибавить (или отнять) к обеим частям пропор-
пропорции по 1.
121.	13 ч 20 мин. 122. На 170°. 123. 850 км/ч. 124. 736.
125.	7,5 км; 12 км; 20 км. 126. 8 пароходов; 9 пароходов.
127.	920 станков. 128. 15 оборотов. 129. В 6^ раза.
130.	112 г. 131. Первая бригада. 132. На 161%.
133.	8,2; 8,9; 9,6. 134. 280 м3; 120 м3; 80 м3. 135. 72 и 48.
136.	1440 оборотов. 137. На 44%. 138. 8820; 150150.
139.	На 20%.
140.	Например, 7832- G + 8 + 3 + 2) = 7-1000-7 + 8-100-8 + 3-10-
-3 + 2-2 = 7-999 + 8-99+3-9 + 0.
141.	12,5 га. 142. 62,25 т и 41,5 т. 143. 320 км и 240 км.
144.	Через 1 ч 20 мин. 145. 22,5 км/ч. 146. « 674,55 т.
147.	5. 148. 5. 149. На 85,09%. 150. Через 1^
151. 98,56 т. 152. 0,2 кг. 153. j-. 154. 2,25. 155. 0,5.
156. 8,5.
Раздел II. Алгебра и начала анализа
§1. Предварительные понятия
1.	1) 2п; 2) 5п; 3) 2п + 1 или2п-1; 4) 7п;
5) 2-Зп или 6п, где п — целое число (n Е Z).
2.	1) 10m + n; 2) 100р + <?;
3) 100а + 106 + с, где т, п,р,</, а, 6, с — цифры, отличные от нуля.
3.	1) а) 7-103 + 3-102+8-10 + 4; б) 106 + 2-105+4-103+ 5;
2) а) 32005; б) 7057043.
4.	4) Доказательство. Пусть Ni = а, Л^ = ft + 1, N% = а + 2.
Тогда S = 7Vi + 7V2 + A^3 = ft + ft + l + ft + 2 = 3(a + l). Получили число,
кратное трем. (Здесь a G Z.)

568	Ответы, решения, указания
6) Доказательство. Пусть N = 2п + 1 и М = 2т + 1. Тогда
S = М + TV = 2т + 1 + 2п + 1 = 2т + 2п + 2 = 2(m + n + 1). Получилось
число четное. (Здесь т Е Z и п Е Z.) Или: TV = 2п + 1, М = 2т — 1;
5 = 2т — 1 + 2п + 1 = 2т + 2п = 2(т + п). Опять получили четное
число.
§ 2. Одночлены и многочлены
47. 1) m2-2mn + n2 = (m-nJ. 48. 1) а2 + 6а + 9 = (а + 3J.
49. 1) а4-3а2 + ^
50.	2) Аа2т_ 6 m64n+0(L6	(
51.	2) @,5 + 0,7п2J. 52. 1) (ж + 2J.
65. 3,46ж-6,72/-1^. 56. р-Зрх2. 67. 12,5.
68. —ож-0,801. 69. 0,7ж2 + 18,58ж^/-0,4^/2.
70. -0,7а3-3,78а2 + 1,95а-5,76. 71. 8т3-1. 72. а4-б4.
73. а5 + 65. 74. т6-64. 75. ж8 + ж4 + 1. 76. 16с12-п8.
77. За4 + 1264. 78. 5п7	6
79.	32a5x10 + 5a2xV-%15. 80. а3+ 63+ с3-Забс.
8
81.	a2 + b2-c2-2ab. 82. х2 + 2х + 1-у2. 83. ж6-
84.	4а2ж5 + 4а6ж5 + 62ж5-5а4ж3-а262ж3 + а6ж. 85. 2
86.	а10. 87. 9а6 + 6а56-23а462-8а363 + 16а264.
88.	-(п4ж6 + 4п8ж2). 89. х8 -0,0625?/24.
90.	0,6а6ж22 + 29,97а4ж16 + 75ж4.
91.	За463 + 11а764 - 15а1О65 - 18а1366 + 10а1667.
92. ^26-8ж2. 93. a16?24V	V
8
94. a4z4-a4n. 95. Ъхпуп - - хп~2уп+2 + — хп~^уп^
2	16
96. 49х2п-—х2п-2 + х2п-3-—х2п-4. 97. 2) -—аЬ.
,25	Ь4	2Ь
98. 2) -1^а262с. 99. 2) 1; 4) х2. 100. 0,03а?/2.
6
101. 5а(а + 1J. 102. 0,75а3(ж - 2)п. 103.
104. За(с-1)п. 105. За2 + 4аж + ж2. 106. а3 - 2а2+ 4а + 0,2.

Разд. II. Алгебра и начала анализа
569
107. -6а2-|а63 + 64. 108. 1-2*. 109. 1) о-2; 2) 2о + 1.
110.	1) 4о2-1; 2) l + 4=tL-
о +1
111.	1) а4 + а36 + а262 + а63 + 64; 2) а4 - а36 + а262 - ab3 + 64.
112.	Решение. Расположим делимое и делитель по убывающим
степеням буквы х и разделим «углом» (см. Приложение I, §3):
_6ж4 - 13ах3+13а2х2 -
6х4-9ах3-3а2х2
- 5а4
2х2-Ъах-а2
Ъх2 -
-4ах3+16а2х2 - 13а3х - 5а4
-4ах3+ 6а2х2 + 2а3х
10а2х2-1Ьа3х-Ьа4
О
Ответ: Зж2 — 2ах-\-Ъа2.
113. а2-2а6 + 362. 114. а2-3а6 + 562. 115.
116.	ж + 2	—.
ж + 1
117.	Решение. Поступаем, как и в задаче 112:
+ 3?/2
Ответ:
Зс5
118. 2{х-у)-х. 119. 4с2ж2-5с4 + ^ ^>л-
х -2с х +с
120.
121.
123.
124.
125.
126.
1-Зж-аГ
2п6-1
2ж3-п
122.
За2ж2-4а4-2ж4<
; 2)
10
х +1
г; 2) -1 +
20	40
343 343B -7х)'

570	Ответы, решения, указания
127. 1) -х2+
1-х3'
2) Решение. Снова поступаем, как и в задаче 112:
_2х4
2х4-2х3+6х2
2х2-\-2х-4
2х3-6х2
' 2х3-2х2
-Юж + 12
Ответ:
3) " ' л ' 1
1^O( Lj Jb	Ту	7у~ 5 ^J «^ —Ь \	Ту	5 д) —JU ~\	Ту-
129. 1) 2,5-10 = 25; 2) 2-128 = 256. 130. 2) 1^ = 25.
1 • АЪ
131. 1) хB-х2). 132. 2) (a-b)(a + b)(x-l). 133. 2) (а2 + 1J.
134. 2) (a + bJb. 135. 2) (а - 1J(а +1)(а2+ а +1).
136. 2) ап(а + 1). 137. (— a6 -0,0267V— а6 + 0,0267У
138. (^ab2 + ^c3d4^ . 139. а363B6-3аK.
140. @,2а-1)C6 + 5). 141. оA-о)B + о).
142. ((п2 — 2пх) + хJ. 143. (а + п — р)(а — п + р).
145.	Решение. Имеем
2а2 - а2п + (п - 2)(an - аJ = а2B - п) - B - п)(п - 1Jа2 =
= а2B - п)A - (п - IJ) = а2B - п)Bп - п2) = а2пB - пJ.
146.	Зп2(п-2K. 147. с4Bс2 + 3K. 148. (ж2п+4K.
149. х3(х-1K(х2 + х + 1). 150. 7b(Sa-b).
151. (ху + х)(ху + 3х3у4 — 1). 152. Eж + 2а — 36)Eж — 2а + 36).
153. (х + 2)(х2-х + 2). 154. (х - у/2) (х + лД)(х2 + 2).
155. (а + 6 — с)(а — Ь-\-с). 156. (a-\-b)(a — b)(a2 -\-ab-\-b2).
157. Решение. При раскрытии скобок члены, содержа-
содержащие ж3, у3, z3, взаимно уничтожаются. Оставшиеся восемь членов
разлагаем на множители:

Разд. II. Алгебра и начала анализа	571
Ъх2у + Ъху2 + Ъх2г + Ъхуг + Ъу2 z
2 (х + у) = ...
158.	3(о-6)F-с)(с-о). 159.
160.	(ж+ 1)(ж+ 2)(ж+ 5). 161. ж(ж-3)(ж-
162.	(а2 + 62)(ж2 + ?/2). 163. ;?2(ж-;?)(?/-z)
164.	ж(ж + 2)(ж2 + 2ж + 2). 165. 4ж?/(Зж2 + ?/
166.	Решение. ж4 + 1 = ж4 + 2ж2 + 1 -2ж2 =
= (ж2 +1 + х л/2) (ж2 +1 - ж л/2).
167.	(п + ж)(п-жJ. 168. 9(а + ж)(а2 + аж + ж2).
169.	Зж(ж2-2J(ж2 + 2)(ж4 + 4). 170. (а -п2)(а3 + ап -п3).
171.	(a2 + z2)(a2 + a2z2 + z2)(a2-a2z2 + z2).
172.	(а2ж-2пJ(а2ж + 2п + 1)(а2ж + 2п-1). 173. (x-y2 + z3J.
174.	Bа-ж3)Bа-жKBа + ж). 175. (х + 1)(х2 - х - а).
176.	(ж2 + 1)(ж4-ж2 + 1). 177. (ж2 + 2ж?/ + 2?/22	2
178.	(ж2 + ж + 1)(ж2-ж + 1).
179.	(а2 + (а + 1) B - л/2)) (а2 + (а + 1) B + ^/2)).
180.	(ж2 2	2 2
181.	2(	)(	)
182.	(x2 + xV2 + l)(x2-xV2 + 2). 183. 2; при а = 7.
184. 2; при х = 5. 185. Учетверенное произведение тех же чисел.
§ 3. Алгебраические дроби
При делении (а5 — б5) : (а — 6) или ж5 : A — ж3) (задачи 111 и 127)
имелось в виду, что а / Ь и соответственно ж / 1, поскольку при
этих значениях букв делители обращаются в нуль, а на нуль делить
нельзя. Поэтому во всех дробных выражениях, в том числе и во входя-
входящих в уравнения, следует не забывать о допустимых значениях букв,
входящих в знаменатели. Например, в задаче 213: а / =Ы, в зада-
задаче 216: п/1; п/-1; п/0.
В дальнейшем будут встречаться корни четной степени из бук-
буквенных выражений. Следует напомнить, что в области действитель-
действительных чисел корень четной степени из отрицательного числа не имеет
смысла. Область допустимых значений букв, входящих под знак ра-
радикала с четным показателем, есть такое множество действительных
чисел, при которых подкоренное число не может быть отрицательным.
Например, если имеем л/1 — ж2, то — 1 ^ х ^ 1. Далее в таких оговор-
оговорках нет необходимости.

572	Ответы, решения, указания
199. 4) -. 200. 4) -(а2 + 62). 201. 4) , ,
У	8а4-6а
202. 2) ^^—^-. 203. 4) -^. 204. 4) -^
аЬ
4m2-9mn-28n2
205. 4) и\ "'" . 206. 2)	.
а п р	т(т — 4п )
207. 1) —; 2) 5—^. 208. ,2 ,. 209. -
210. -1. 211. -?—. 212.	213.
ж — 1	п — х
214. ш-1. 215. 3. 216. -——-. 217. ^-^—. 218. 2.
п + 1	а(а — Зп)
2 2
219. Х ~ао. 220. 2ж + 1. 221. ^^. 222. п + 1 + -.
(ж-бJ	2ж	п
з
223. 1--. 224. ^ti. 227. —?	. 228. жп + 5.
ж	ах	Зж +3
229. Л- 230. 1-1. 231. „ оа~Жо .. 232. 1+ 2аЬ
ж4' *"""	а' — eV-2aV	' а2 + б2'
233.
2ж2-Зж + 1*
§ 4. Уравнения первой степени с одной переменной.
Системы уравнений первой степени
и приводящиеся к ним
236.	1) а/0; 2) а = 0; 3) а = b = 0.
237.	1) а/1; 2) а = 1. 238. 1) ох = -2; а2 = 1; 2) а = 2.
239. Да. 240. Да. 241. Да. 242. Нет. 243. Нет.
244. Нет. 246. 2,5. 247. -3.
248.	1) a = ?тг, 6 / п; 2) a = ?n, b = n.
249.	1) ж =	—; 2) нет корней; 3) х — любое число.
250.	ж = 79. 251. 1) х = 0; 2) х = 1; 3) жх = 2; ж2 =-3.
252.	1) Ж1 = -5; ж2 = i; ж3 = -^; 2) ж = 13,5.
253.	1) ж = 5; 2) х1 = -Ъ] х2 = 3. 254. Нет корней.
255. ж — любое число. 256. Нет корней. 257. х = 17.
258.	хх = -1; х2 = 1.
259.	#i =0; ^2 — любое отрицательное число.
260.	#1=0; ж2 = 2. 261. Нет корней.
262. Ж1 = -2,5; ж2 = 0,5. 263. х± = -1; х2 = 4. 264. ж = 1.

Разд. II. Алгебра и начала анализа	573
265. ж = 0,1. 266. х = \. 267. ж = 6,3. 268. х = 10.
о
269. ж = 0,5. 270. х = 2. 271. ж = 1. 272. ж = 0,75.
273. х = 1. 274. ж = 8. 275. х = 0,5A +л/2).
276. ж = 2л/2-3. 277. ж = 0,75. 278. ж = 1 + л/2.
279.	ж = л/2 + 2.
280.	Решение. Приведем данное уравнение к виду — = 0.
2	g
„	6х	2ж + 1 п	6жBж + 1)(Зж1) п тд
Имеем	= 0, или 	—.	-\	 = 0. Из условия
Зж-1	х	'	ж(Зж-1)	J
равенства нулю дроби следует: если жCж — 1) / 0, то 6ж2 — Bх + 1) х
х (Зж — 1) = 0, или —ж + 1 = 0. При полученном значении х = 1 зна-
знаменатель жCж — 1) в нуль не обращается: 1C • 1 — 1) = 2 / 0. Следова-
Следовательно, х = 1 является корнем уравнения.
Ответ: х = 1.
281. х = -2-. 282. ж = 15. 283. ж = 0,1. 284. ж =-0,2.
285. х = -. 287. ж = 0. 288. ж = 1 i
о	о
оог. 1Ч ^	1Л	а о п а —3B —ж) п Зж + а —6
289.	1) Решение. Имеем-	3 = 0, ——^	-=0, —	=
2-х	2-х	2-х
= 0. Если 2 — ж / 0, тоЗж + а — 6 = 0, ж = 	. Знаменатель 2-х
о
g. О6 — а 6 —6 + а а г\
при полученном корне обращается в 2	=	= —. Отсюда
о	о	о
получаем такой ответ: уравнение имеет единственный корень х =
=	, если а ф 0; уравнение не имеет корней, если а = 0;
2)	если а / — 1, то х —	-; если а = — 1, то корней нет;
3)	если а ф 3, то ж = —-—; если а = 3, то корней нет.
290.	ж = 0,25; п/±1.
291.	а ф ±1. Если а ф --, то х = а; если а = --, то ж — любое
действительное число.
292.	а ф 0; 6/0; с / 0. Если аб + бс + ас/0, то х = а + 6 + с;
если аб + бс + ас = 0, то ж — любое действительное число.
293.	ж = а + 6 + с; а / 0; 6/0; с / 0. 294. ж = а4, а/±1.
295.	Если а / -6, то ж = 0,5(а + 6); если а = -6, то корней нет.
296.	Если а = 6, то ж — любое действительное число; при а ф Ь:
если а / — 6, то ж =	г; если а = — 6, то корней нет.
а + о
297.	Если а ф 2п, то ж =	; если а = 2п, то ж — любое дейст-
2п — п
вительное число.
298.	Если а ф Ь, то х = а + 6; если а = 6, то ж — любое действи-
действительное число.

574	Ответы, решения, указания
299.	Если п = 1, то корней нет; если а/0 и п/=Ы, то х —
— а(п + 1); в остальных случаях х — любое действительное число, не
равное нулю.
300.	Если а ф -1 и а / 0, то х = —; если а = -1, то х — любое
А (Л
действительное число; если а = 0, то решений нет.
301.	Если а ф —2п, то х —	; если а = — 2п ф О, то корней нет;
а + 2п
если а = — 2п = 0, то х — любое действительное число, не равное нулю.
302.	Если а ф 2с, то х = —-———; если а = 2с ф 0, то нет корней;
а — 2с
если а = 2с = 0, то ж — любое действительное число, не равное нулю.
303.	42 км. 304. 3060 руб. 305. 4 ч. 306. 3 кг; 5 кг.
307.	Решение. Первый рабочий в один день выполняет — часть
1	п
задания, а второй — часть задания. За х дней оба рабочих выполняют
все задание, принимаемое за единицу. Получаем уравнение —|	= 1,
mn , „v	n m
откуда х =	 (дней).
т + п
308.	4 кг. 309. 20 см3; 25 см3. 310. 144 об/мин. 311. 300 г.
312. 760 г; 300 г. 313. «15800 м3. 314. 29. 315. 2240 км.
316. 150 и 200. 317. 4,5 м; 9 м; 3,5 м; 8 м. 318. 224 м.
319. За 24 сек. 320. «39,3° С. 321. «890 м. 322. 2 л.
323. 40000. 324. -^-%. 325. Ь~ат л. 328. C;2).
a+b	m	v }
329. Нет решений. 330. E9; 369). 331. Нет решений.
332. 3. 333. --. 334. 16. 335. -3-.
о	о
336. Таких значений нет. 337. а е R, а ф 4. 338. а ф -0,2.
339. а = 2,5. 340. а е R. 341. (-1;0). 342. (-2,7; 0,4).
343. E; 4). 344. (-2; 0,6). 345. F; 8). 346. (-^; -|Y
347. C;2). 348. (l,l; |). 349. @;0). 350. (|; А).
351. E; 9). 352. B;3). 353. D; 4). 354. A; 1).
355. E; 10). 356. E;3). 357. @,5; 2,5).
358. ^2^/2-1; 2v^hlY 359. D,5; 1).
360.	Если а ф 6, то х = —1,6; у = 1,92; если а = 6, то решений
бесконечно много.
361.	B;1). 362. @,8; 0,6). 363. B5; 2,5). 364. A; 0,2).
365. A; 6). 366. (8; 5) (ограничиваемся случаем, когда х ф -у).

Разд. II. Алгебра и начала анализа
575
367.
371
372
374
379.
383.
386.
389.
393.
395.
1
Ъу-z
A,32; 3,44). 368. (^;^J. 369. F; 2). 370. A,25; 0,25).
и 373 — единственное решение.
и 375 — бесконечное множество решений.
и 376 — решений не имеют.
Нет. 380. E;3;-2). 381. F; 5; 2). 382. (J; 10; |).
@,64; 0,72; 0,84). 384. (-2;-1,5; 10,5). 385. (9; 6; 7).
(|;-4;2). 387. Ш; ^; ^). 388. F; 4; 5).
B;3;1). 390. B0; 30; 40). 391. B;3;4). 392. (|; |; ^
A2; 24; 36). 394. (g; g; g).
Решение (схематическое). Введем обозначения: -—:— = п;
- v;	= w. Тогда
1
5
u-v-w = - — .
-2
-3
Складывая первое уравнение с третьим и второе также с третьим
и исключая w, получаем:
20 
Далее,
1
То'
1
5'
-3
Ответ: х = 5; 2/ = Ю; z = 20.
396. х = а; y = b; z = c при а / 0, b ф 0, с / 0. 397. C; 2; 1).
опо	а — Ъ	Ъ — с	с — а
398.	x = —-y = —-z = —.
399.	Если афЪ, Ъ ф с, с / а; а / 0, 6/0, с / 0, то ж
d(d-b)(c-d) т _ d(a-d)(d-c), _ d(b-d)(d-a)
а(а-Ь)(с-аУ У ~ Ь(а-Ь)(Ь-с) ' ^ ~ с(Ь-с)(с-о) '
400.	A;3;4;2). 401. A;-1;0;2).

576	Ответы, решения, указания
х
402.	Решение. Пусть — — искомая дробь. Тогда по условию за-
х — 1 1	х 1
дачи имеем 	 = - и 	 = -, откуда Ьх — 5 = у и 4х = у — 1;
у	5 у — 1 4
ж = 6; у = 25.
Ответ: —.
25
403.	8чел.,6дн. 404. 150 м и 60 м. 405. -^кги -^— кг.
406. 24 и 16. 407. 60 км, 40 км и 25 км.
408.	4 лошади и 21 корова.
лпп 252-с	Зс-525	1h_- ^ о_о
409. 	 ч и 	 ч, где 175 < с < 252.
22	55
410.	Решение. Пусть в данном куске латуни х г меди, тогда
цинка A24 —ж) г. Один грамм меди «теряет» в воде — г, а ж г «теря-
10	^ 1
ют» — х г. «Потеря» массы цинка соответственно равна -A24 — х) г.
89	10 1
По условию задачи имеем — ж + - A24 — х) = 15. Отсюда 70ж +
+ 124 • 89 - 89ж = 15 • 7 • 89; 19ж = 124 • 89 - 105 • 89 = 19 • 89; х = 89 г.
Ответ: меди 89 г, цинка 35 г.
411.	1,8 г/см3; 1,2 г/см3. 412. 15 г; 8 г. 413. 15 м/с, 10 м/с.
414. 71. 415. 156. 416. 24 ч; 36 ч. 417. 20 дн; 30 дн; 60 дн.
418. lj ч;3^ ч;7ч. 419. 608.
420.	200, 175, 125 и 100 станков.
421.	Масса первого куска равна 4 кг; второй кусок 900-й пробы;
третий кусок 720-й пробы, его масса равна 8 кг.
+ 1))п2
(п + 1K	(
424.	60°; 40°; 0°; -20°.
§ 5. Извлечение квадратного корня
425.	1) 19; 2) 365. 426. 1) 8099; 2) 250047.
427. 2) 90290046. 428. 1) 8,9; 4) 321,321.
429. 1) 0,001024; 3) 156,0001; 4) 1234,4321.
430-432. Все девять задач рекомендуется решить и проверить
устно.
433.	1) «1,414; 2) «3,606; 4) «99,995.
434.	1) «0,071. 435. 1) «2,769. 436. 2) «264,577.
437. 1) «2,713.

Разд. II. Алгебра и начала анализа	577
§ 6. Квадратные уравнения
438.	а) х\ — — 2 и х2 — — 5; б) х = 0; в) х\ — —\ и ж2 = —6;
г) ни при каких.
2 ,2
439.	К/аж + -^ -Т- + С
442.	1) ax2 + bx = 0; 2) аж2 = 0; 3) аж2 + с = 0.
443.	а = +2. 444. ж =-1; а = -2. 445. ж =-1; m =-4.
446.	q = p-l. 447. а = с; |6| ^ 2о. 448. ai =-2,5; о2 = 1,5.
449.	а = 0,5. 450. о = 1; с = 4. 451. xi = -5; ж2 = 7.
452.	Ж1 = 2,6; ж2 = 1. 455. - < t < +oo. 456. 0. 457. Да.
о
458. Нет. 459. Да. 460. Нет. 461. хх = 0; ж2 = 13,7.
462.	Ж1=0,5Dл/2-2); ж2 = 0,5B-4^/2).
463.	Ж1 = -0,9; ж2 = 1,5. 464. хх = -2; ж2 = 2,4.
465. Ж1 = -14; ж2 = 5. 466. ж =-9. 467. xi = -27; х2 = -1.
468. Ж1 = -3; ж2 = 7. 469. xi = -5; ж2 = 4^. 470. ж = 2.
о
471. 0. 472. ж = 8. 473. xi = -1,5; х2 = 1. 474. ж = 32.
475. ж = 1-. 476. Ж1,2 = =Ь2,16. 477. 0. 478. ж = 3.
479. х = 9. 480. xi = -1; х2 = 7. 481. xi = 1,4; ж2 = 3.
482. ж = 1. 483. ж = 4- 484- ^ = 2^-
16	3
485.	Решение. Дискриминант данного уравнения Зж2 — Ъах —
- 2а2 = 0 равен D = 25а2 + 24а2 = 49а2; D ^ 0, следовательно, уравне-
уравнение имеет корни при любом значении а.
1)	Если а = 0, то D = 0; уравнение имеет единственный корень.
Действительно, при а = 0 данное уравнение принимает вид Зж2 = 0,
откуда х = 0.
2)	Если а ф 0, то D > 0; уравнение имеет два корня, которые
,	5а±7а	а	о
вычисляются по формуле х — —-—, откуда х\ — — — и х2 — 2а.
Ь	6
Ответ: если а = 0, то х\ — 0; если а ф 0, то ж2 = — и жз = 2а.
486.	Если b = —7, то х\ — —3; если Ъ ф —7, то ж2 = — 3 и х% —	.
487.	Ж1 = 2; ж2 = 2(п-1). 488. х1=3-а; ж2 = 3 + а.
489.	Ж1 = 2; ^2 = ^.
490.	Если а ф —1, то a?i = —3, х2 =	; если а = —1, то х = —3.
,П1	л/2 + 1,1	/о , 1 1 лгю	а + 6	а —6
491.	х\ —	—; ж2 = у2 + 1,1. 492. х\ —	-; х2 —	-.
2	а—о	а+о
37 В. А. Бачурин

578	Ответы, решения, указания
1 2
493.	а ф 0. Если а ф =Ы, то х\ — а, х^ —	; если а = =Ы, то
х3 = 0.
494.	Если а ф 0, то х\ — —2а, х<± — За; если а = 0, то корней нет.
495.	Если а ф 6, то х\ — 26 - а, ж2 = 2а - 6; если а = 6, то реше-
решений нет.
496.	Если а2 ф Ь2, то #i = а + 6, х<± — 	-; если а = 6, то жз =
г»	i	n	а + 6
= 2а; если а = —о, то ^4 = 0.
497.	Если а / 0, то #i = 	, х<± — а + 1; если а = 0, то корней
нет.	а
498.	Если а / 0, то х\ — За, ^2 = —2а; если а = 0, то корней нет.
499.	а / 0; 6/0. Если а + 6 = 0, то уравнению удовлетворяет лю-
любое значение ж, кроме х — 0; если а + 6 ф 0, то #i = —а; #2 = — Ь-
500.	?i = \/3 + \/2; ж2 = ^. 501. ж2-4ж + 1 = 0. 502. ±235.
503.	Решение. Искомые числа имеют вид: х; ж + 1; ж+ 2, где
ж G Z. По условию задачи составляем уравнение:
ж(ж + 1)(ж + 2) ж(ж + 1)(ж + 2) ж(ж + 1)(ж + 1) _ 107
х	ж + 1	ж + 2	~~
При ж / 0; ж / —1; х ф -2 получаем: х2 + Зж + 2 + ж2 + 2ж + х2 + ж =
= 107, или Зж2 + 6ж - 105 = 0; х2 + 2ж - 35 = 0, откуда хх = -7; ж2 = 5.
Ответ: —7; —6; —5 или 5; 6; 7.
504.	6 и 8, или 8 и 6. 505. 15. 506. ж2-15ж + 50 = 0.
507.	xj + xl=p2-2q.
508.	а) х\-х\ =
б) х\ + ж| =
97
509.	a) m = -±p 510. g = —16.
511.	((а + 6) ж + (а - 6))((а - 6) х - (а + 6)).
512.	Два различных действительных корня.
513.	Оба отрицательные.
515.	Например: 1) ж2-Зж + 2 = 0; 2)
3) ж2 + 4ж + 4 = 0.
516.	1 —л/2; ж2-2ж-1 = 0. 517. 400 км/ч; 320 км/ч.
518.	5 ч; 7 ч. 519. 14 дней; 11 дней. 520. 5%.
521.	22 участника. 522. Восьмиугольник. 523. 10 л.
524.	32 км/ч. 525. 18 т; 15 т. 526. 8,8 г/см3; 7,8 г/см3.
527.	20 см3; 30 см3. 528. 160 г; 30%. 529. «72 м.
530. 	^—	 м. 531. (a-Vft6j л.

Разд. II. Алгебра и начала анализа
579
коо ~at + Va2t2 + 120 at d , KOO -3v + y/9v + 6sv ,
532.	 км/ч. 533. 	 км/ч.
534. 20 автомашин. 535. 75 км/ч. 536. 7 дней и 12 дней.
537. -. 538. Играли; 12 чел. 539. 	^-—	.
540.	30 км/ч.
541.	- F0а1 + л/3600с?2 + ?2г>2). Указание. Если х — скорость
вестового относительно местности, то относительно движущейся в
том же направлении колонны она равна х — v, а при обратном дви-
движении она равна x-\-v.
§ 7. Степени и радикалы. Обобщение понятия степени
542.	1) 5,83-102; 3) 1,2-1010.
543.	x2 + y4 + z + 2(xy2 + x^fz + y2^rz).
545. -}r(a4-2a3Vb + a2b(l + 2bVb)-2ab3 + b5), a/0, 6/0.
2 з/Г	2 /— 6/7"о о"
с a Vb а у/с vbzc6
a b
4 3
а
547.
549.	15-10; 23-10; 124-10"8; 2000003-10.
550.	m-1, m/1, m / 0.
551.	6Ca2-3a6 + 62)(a-6), a / ±6, a / 0, 6/0.
552.	6. 562. 0, аф±х. 563. y/E, a / 0. 564. m-n.
565. 0,5л/2. 566. 0,7\/l0. 567. 2. 568. 2. 569. 14.
570. 2л/3. 571. Ж
573.
fa -b
575. \8/Jl. 576.
577.
, ?//0. 572. л/З + л/2.
I"^ ту/ашЬп - апЬш, а / 0, 6/0.
578. 1, а/0, 6/0. 579. (^0 , ж / 0, у / 0. 580. ж2'5.
581. ож, а/0, ж/0. 582. ^-З^б2+ 2^6, 6/0.
583.	5tya-9y/a-7tyaP, а/0.
584.	-у/а — 9v^a6 + yfc. Указание. Разложить делимое на мно-
множители.
585.	0,5(ol2-c2), о'/О. 586. A -
37*
/2, n / 0.

580
Ответы, решения, указания
587. Решение. Полагаем 0 < а < 1. Второе слагаемое множи-
множимого можно упростить:
Vi-ii =
а-а2-!
Далее будем последовательно упрощать так:
1 + а	л/1 — а
A + а)-A-а)
' 1 + а — V1 — а V1 + а — V1 — а
л/1 + а + лЛ-а л/l-a2-!
/1 +а-л/1-а
2а
\ - а2 - 1
= -1.
588. Vb-y/a, афЬ, а / 0, 6/0. 589. 3, ж / 0, ж:
590. 2лУаж, а/ж. 591. 0, 2/ / 0, ж/2/, а / 0.
¦140л/6. 595. ^—^, ж = ±1.
592.
596.	а-1, а/0, а/±1. 597. 32. 602. 0, а / 0, а / 6.
603.	1, а/6, а/0, 6/0. 604. 0, а / -6, а / 0, 6/0.
605.	2д/ж, а/ж.
606.	Решение. Имеем
4-Bа6)
3/4
Bа6)
1/2
(лА-л/2б)(а
а(а - 26) - 46(а - 86) - 4862 _
(а-86)(а-26)	~
8а6	а+ 26 8а6-а2-4а6-462 4а6-а2-462
а2_462 а-26	а2
_ (а-26)B6-а) _ 26-а
а2-462
), а/26, а/86.
607. -2.
§ 8. Уравнения высших степеней.
Рациональные уравнения *)
609.	1) ж! = ж2 = 0; ж3,4 = ±3; 2) xi,2 = ±0,5; ж3,4 = ±1.
610.	xi 2 = =Ьа; жз 4 = ±0,5. 611. Ж12 = ±—; жз 4 = ±—•
'	'	'	П	'	777,
ж3,4 = ±(а-6). 613. xi,2
618.
612. Ж1,2 = ±(
614.	Ж1 = ж2 = -3; ,
615.	Ж1 = ^2 = 1; жз = 2; ^4 = 0,5.
616.	Ж1,2 = -1±2\/2; ж3 = -4; ж4
= ±3.
= 0.
*) В этом разделе и в дальнейшем (до § 20) в ответах приводятся толь-
только действительные корни.

Разд. II. Алгебра и начала анализа	581
619. ж4-25ж2 + 144 = 0. 620. (х-
621. (х-а)(х + а)(х-а + 1)(х + а-1). 622. ^—^.
2 2	« —9
623. Ж ~а . 624. Ж1 = -5; ж2 = 1.
х2-1
625. Решение. Пусть ж2 = у, тогда 2/2 - 2B + д/З) 2/ + 8д/3 = 0.
Отсюда
)() 2/i = 2 л/3;
Ответ: #ij2 = ±-^12, #3,4 = =Ь2.
626.	Ж1 = ж2 = 3; ж3,4 = 3±2\/5.
627.	xi = -; ж2 = --; ж3 = -; ж4 = 5. 628. ж = -3.
О	4:	Z
629. Ж1>2 = ±1; ж3,4 = 2л/3±1. 630. х =
631.	Ж1 = -2; ?2 = 0; ж3 = 1.
632.	Решение. Разлагаем левую часть уравнения на множители:
х4 - 2х3 - 8ж2 + 16ж + Зж - 6 = ж3(х - 2) - 8ж(ж - 2) + 3(ж - 2) =
= (ж - 2)(ж3 - 9ж + х + 3) = (ж - 2)(х + 3)(х2 - Зж +1) = 0.
Получили уравнение, равносильное исходному. Отсюда находим че-
четыре корня: х\ = 2; х^ — —3; ж3,4 = 0,5 C =Ь д/б).
633.	Ж1,2 = ±2. 634. ^1 = 24; х2 = -2; ж3 = 1; ж4 = 3.
635. Ж1 = 1; ж2 = 3. 636. Ж1 = -5; ж2 =-1; х3 = 0; ж4 = 8.
637. Ж12 = ±-. 638. xi = 0,5; ж2 3 = ±1; ж45 = ±2\/2.
'а	'	'
639. Ж1,2 = ±2. 640. Ж1,2 = ±3; ж3,4 = ±2; ж5 = 2.
641.	Ж1>2 = ±1; ж3,4 = ±3.
642.	xi=6; ж2 = 8. Указание. Положить 7 - ж = у.
1	2	ж2 — 4ж — 2
643.	Решение. Имеем 	-Н	--1 = 0, или	—	— = 0;
ж + 1 х-2	'	(ж + 1)(ж-2)
тогда х2 — 4х — 2 = 0 при (ж + 1)(х — 2) / 0. Корнями уравнения
х2 - 4х - 2 = 0 являются числа 2 - д/б и 2 + л/б, причем (ж + 1) (ж - 2) /
/ 0. Следовательно, получаем ответ: х\^ — 2±д/б.
644.	Ж1_4 = ±(л/б±1). 645. Ж1_4 =
646. Ж1_4 = ±0,5(\/30=Ь^/2). 647. х±-4 = =Ь0,5E=Ь7).
648. Ж1_4 = ±0,5(\/5±2). 649. xi,2 = ±л/2; ж3,4 = ±
650. Ж1,2 = ±л/3. 651. Ж1,2 = ±2л/3. 652. ^i_4 = ±0,5(\/Ш=Ы).
2	1
653. Ж1 = -2; ж2 = --; ж3 = --; ж4 = 1.

582	Ответы, решения, указания
654.	Xl-4 = ±±
655.	Ж1 = -2; ж2 = 0; ж3,4 = -0,5B±л/бб).
656.	Ж1=0; ж2 = 1. 657. xi = 0,5; х2 = 2.
658.	Ж1 = -2; ж2 = 0. 659. Ж1,2 = ±2; ж3,4 = ±3.
660.	Xi52 = 0,5(—5 =Ь л/13). Указание. Разделить числители и
знаменатели дробей левой части на х (х / 0) и сделать замену аН— = у.
661.	xi=0,5; ж2 = 3,5.
662.	х\ — 3; ж2 = 5; ж3 4 = 9 ± \/бб. Указание. Положить х +
§ 9. Иррациональные уравнения
663.	1) 0,5^ж^2; 2) 0; 3) 3 ^ х < оо; 4) -4 ^ ж < ос.
664.	1) Левая часть данного уравнения при всех допустимых
значениях х положительна, а правая отрицательна.
665.	2) Левая часть данного уравнения при всех допустимых
значениях х больше трех.
666.	Да: корни одни и те же.
667.	Нет: первое уравнение имеет корень 105, второе не имеет
корней.
668.	Да: корни одни и те же.
669.	Нет: корень второго уравнения х = 1 не является корнем
первого уравнения.
670.	Решение. После возведения обеих частей данного уравне-
уравнения л/х2 — 2 = л/х (х > 0) в квадрат получаем квадратное уравнение
х2 - х - 2 = 0, корни которого Х\ — —1; х2 = 2. Первый корень х\ —
= — 1 не годится. Второй корень удовлетворяет исходному уравнению.
Ответ: х = 2.
671.	х = 2. 672. ж = 5. 673. х = 5. 674. хх = 0; ж2 = 0,5.
675. ж = 5. 676. ж = 8. 677. хх = 1; х2 = 7.
678. xi=-i; ж2 = 2. 679. ^i = -2; ж2 = 1. 680. хх = 0; ж2 = 1.
о
681. ж = -1. 682. ж = 2. 683. ж = 0,0625.
684. Ж1 = -1; ж2 = 3. 685. ж = 6. 686. ^i,2 = ±0,5.
687. ж = 0. 688. Ж1=0; ж2 = 1-. 689. ж = 3^.
5	9	4
690. ж = 1. 691. Ж1 = --; ж2 = 3. 692. Ж1>2 = ±3.
693. Решение. Имеем ж2 - 4ж + 20 - 3\/ж2-4ж + 20 - 10 = 0.
Заметим, что трехчлен х2 — 4ж + 20 положителен при любом действи-
действительном х. Пусть \Jх2 — 4ж + 20 = у, у > 0. Тогда уравнение принимает
вид 2/2 — 3^/ — Ю = 0; корнями этого уравнения являются числа у\ —

Разд. II. Алгебра и начала анализа	583
= — 2 и 2/2 = 5. Первый корень не подходит, так как у > 0. Второй
корень дает х2 — 4х + 20 = 25, или х2 — 4х — 5 = 0, откуда х\ — — 1;
ж2 = 5. Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ: Х\ — — 1; #2 = 5.
694. Ж1 = -7; ж2 = 2. 695. a?i>2 = ±10. 696. ж = -0,5.
697. ж = -1 698. ж = 64. 699. ж = 2. 700. х = 1.
о
701. ж = -7. 702. х = 2. 703. ж = 3. 704. ж = -
§ 10. Системы нелинейных уравнений
705. Решение (один из приемов). Имеем систему —\-— = —;
ух о
х + у = 5. Из второго уравнения выражаем у через х и подставляем
его в первое уравнение: у = 5 — х;	1	= —. Далее получим:
о — х х	6
х(Ь-х) ~6'
откуда Ж1 =2; Ж2 = 3. Тогда у\ =3; 2/2 = 2.
Ответ: B;3); C;2).
706. @;0); (-2,4; 48). 707. A7; 10); D;-3). 708. D; 25); B5; 4).
709. (8; 4); D; 8). 710. A; 0,5); (-1;-0,5); @,5; 1); (-0,5;-1).
711. C;0); A;-2). 712. B; 6); A;3). 713. C; 2); B; 1).
714. A;л/2); A;-л/2); B; 1); B;-1). 715. B;-1); (-1;2).
716. A;3); C;1); (-1;-3); (-3;-1). 717. A;9); (9;1).
718. (8; 2); B; 8). 719. C;2); (-3;-2). 720. D; 1); A;4).
721. E; 4); D; 5). 722. A; 81); (81; 1). 723. A21; 12).
724. (ll|;2i); (-ll|;-2i). 725. B; 1); (-2;-1).
726. B; 4); D; 2). 727. D; 1); A;4). 728. C; 2); (-3;-2).
729.	C;1); C;-1).
730.	@;0); (аМ;ЬМ); (-аМ;-ЬМ), где М= /^ - а>0, Ь>0.
/2 2
731. B;1); (-1;-2). 732. E; 2); (-2;-2).
733. Решение. В данной системе у/х + у + у/х — у = 6 и
у/(х + уK(х — уJ = 8 сделаем замену: у/х-\-у = щ у/х — у = v, и ^ 0;
v ^ 0*). Тогда система примет вид u + v = 6 и uv = 8. Решаем эту
систему методом подстановки: v = 6 — щ иF — и) = 8; и2 — 6и + 8 = 0;
*) Рекомендуется самостоятельно рассмотреть случай, когда v < 0.
Ответ: х = 0,5(C + л/ГгJ+ (З-Vrff); у = 0,5(C + л/ГгJ- (З-Vrff) .

584
Ответы, решения, указания
щ =4; U2 = 2; тогда v\ = 2; v^ — 4. Переходя к искомым неизвест-
неизвестным х и у, получим
4 =
\ 2/ =
-30
Ответ: A2; 4); C4;-30).
734.	C0; 6); C5; 1); (-0,5G +л/61); 0,5G + л/бТ));
(-0,5G-л/61); 0,5G-л/61)).
735.	D; 9); (9; 4). 736. C; 1). 737. {-f; -|; -^); B;5;1).
738. A;4;5); (-1;6;7). 739. B;3;4); (-2;-3;-4).
740. B;-4; 5); (-2; 4;-5). 741. C;-4; 2); (-3;4;-2).
742. C;4;5); D;3;5). 743. D;6;3); D;3;6).
744.
2ab
2az
745. 0,16; 0,18.
/4а2 - б2 л/4а2 - б2
746.	Указание. Пусть а и b — катеты, с — гипотенуза. Тогда
по условию a + b = m, и в силу свойства элементов прямоугольного
треугольника ab = ch. Далее, а2 + b2 + 2ab = ш2, или с2+ 2/гс - ш2 =
= 0; тогда с = — /г±\//^2 + га2.
Ответ: с = —h + Vh2 + m2.
747.	7см; 4 см; 7 см; 9 см. 748. 40 см; 15 см.
749. 0,17 м/с; 2 мин. 750. 2 ч 12 мин; 1 ч 50 мин.
751. 12 ч; 12 ч или 10 ч; 15 ч. 752. 8 м/с; 7,2 м/с.
753. 48 км/ч; 40 км/ч. 754. 4 км/ч; 6 км/ч.
755.	10 га, 20 ц; 12 га, 25 ц, или: 8 га, 25 ц; 10 га, 30 ц.
756.	36 км/ч; 30 км/ч. 757. 80 Н; 39 Н.
758. 12 г; 48 г; 1,5 г/см3. 759. 32. 760. 30 км/ч; 24 км/ч.
761.
762.
м/с'
м/с;
м/с, где | < а < d. 763. 35 : 12.
™) мин. 766. 8 ч.
о )
/2а- d	V2a - d
764. 105 км; 135 км; 175 км. 765. (
§ 11. Множество действительных чисел
767. В = {0; 1; 2; 3; 7}. 768. 2 е {0; 2; 5}; 3 ? {0; 2; 5}.
769. {0;1;2}с{0;1;2;3;5}. 770. С = ЛпВ.
771. N = {1; 2; 3; 4; ...} — множество всех натуральных чисел.

Разд. II. Алгебра и начала анализа
585
772.	Множество всех нечетных положительных чисел.
773.	А П В = 0. 774. NcZocZcQcR.
775. Красный, оранжевый, синий, фиолетовый. 776. В С А.
777. Да. 778. а) {15; 20; 25}; б){а;в;г;е}. 779. а) {1; 2; 5; 10}.
780. {90; 45}. 781. а) {9; 10}; б) {7; 8; 9; 10; 11; 12; 13}.
782.	ЛПБ = {6;12}; A U В = {3; 6; 9; 12; 18}.
783.	А П Б = {1;2;3;4;6; 12}; 12.
784.	{14; 21}; {15; 16; 17; 18; 19; 20; 22}.
785.	Множество равнобедренных треугольников.
786.	а) Пересечение — множество четных чисел; объединение —
множество целых чисел;
б) пересечение — множество нечетных чисел; объединение — мно-
множество целых чисел.
787.	Решение. Из условия задачи следует, что делителями
числа а могут быть лишь делители числа 24, т. е. элементы множест-
множества А = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}. С другой стороны, число а должно удов-
удовлетворять неравенству 7 < а < 17. Отсюда получаем ответ: а = 8 или
а = 12.
788.	22 школьника. 789. а) Л-Б = {0;1;2}.
790.	Множество иррациональных чисел.
791.	а) Множество, состоящее из целых отрицательных чисел и нуля;
б) множество, состоящее из одного элемента — нуля: {0}.
792.	10%.
§ 12. Понятие функции. Графики функций
795.	у = 2х.
796.	1) у = 4х;
2) точка МB; 5) не лежит на данной прямой, поскольку ее
координаты B; 5) не удовлетворяют
уравнению у = 4х : 5 / 4 • 2.
802. -1. 803. 2.
805.	1) 6; 2) -1; 3) 0,5; 4) 1,5.
806.	5.
807.	k = b = 1. Указание. Ко-
Координаты точек М и N должны
удовлетворять уравнению у = кх + Ь.
Из системы
О
-4=-5&
Рис.87
найти к и 6, потом построить требуемый график функции у = х
(рис. 87).

586
Ответы, решения, указания
Л(-4;-4)
Рис.
Рис. 89
813. Решение. 1) График A) функции у = х2 — парабола.
В учебниках алгебры показывается, как его строить. Воспроизведем
его (рис. 88).
2)	График B) функции у = (х - IJ — это та же парабола A),
но сдвинутая целиком (без деформации) на единицу по горизонтали
в положительном направлении оси Ох. Ее вершина — 02A; 0), а ось
симметрии — прямая х = 1.
3)	Если график B) функции у = (х — IJ сдвинуть на единицу по
вертикали в отрицательном направлении оси х = 1, то получим гра-
график C) функции у = х2 — 2х = (х — IJ — 1.
4)	Если график A) функции у = х сдвинуть на две единицы в
положительном направлении оси Ох и на четыре единицы в отрица-
отрицательном направлении вдоль оси х = 2, то получим график D) функ-
функции у = х2 - 4х = (х - 2J - 4.
828. Решение. Если точка принадлежит кривой, то ее коор-
координаты должны удовлетворять уравнению этой кривой. Подставив
координаты данной точки МB; 8) в уравнение гиперболы у — —, мы
о т	л а	Х
получаем соотношение 8 = —, откуда т = 16.
1 (л
Уравнение гиперболы имеет вид у — —.
х
Вершиной кривой называется точка пересечения кривой с ее осью
симметрии. В данном случае осью симметрии является биссектриса
I и III координатных углов. Уравнение этой биссектрисы у = х. Ре-
Решая совместно уравнение гиперболы у — — и уравнение биссектри-
биссектрисе
сы у — х, получаем искомые координаты вершин: А(—4; —4); БD;4)
(рис.89).
839. 1) Графиком функции является кривая A), изображенная
на рис. 90.

Разд. II. Алгебра и начала анализа
587
2/А
0
7
MB;l)
/Л
А 2 3\
у = -х
Рис. 90
5-3
2) График функции 2/ =
Рис. 91
строим с помощью графика A)
(пунктирная линия на рис. 91). Через точки ЛA; 0) и БC;0) пересе-
пересечения параболы с осью Ох проводим прямые х = 1; х = 3, которые
будут асимптотами искомого графика. Проводим прямую у = — 1 и
получаем точки С{х\\ —1) и D(x2] — 1) пересечения ее с параболой.
Далее используем прием, изложенный в Приложении 2, § 1. В резуль-
результате получаем кривую B), изображенную на рис. 91 сплошной линией
(три ветви).
§ 13. Прогрессии
1. Арифметическая прогрессия
843. -6. 844. 584,8. 845. а + 6; 9Eа + 4ж).
846. 1; 14B9 + 27<?). 847. 5050; -(п + 1). 848. 2550.
849. 4905. 850. 2п-1; п2. 851. 2n; n(n + l).
852. 7; 11; 15; ...; 31; 35. 853. 1; 5; 9; ...; 21; 25.
854. 2; 4; 6; ...; 24; 26. 855. а;
856. 14; -7; 8. 857. 2; 3 или 14; -3. 858. 8; -3.
859. 10; 2,5; 19. 860. 0; 3 или -12; 4,2. 861. 123300.
862. Указание. По условиям задачи составляем систему урав-
уравнений и решаем ее: а\ + d(m — 1) = n; a\-\- d(n — \)=m\ d — —1; а\ —
-1; ат+п = 0.
Ответ: Sm+n = - (т + п - 1) (т + п).
863.	п2.
864.	Решение. Имеем а± = 1; d = 3; тогда ж = ап = 1 +
, о/ i\ ris с 2ai + d(ra-l) 2 + 3(ra-l)	n n ^
+ 3(п - 1). Формула Sn = —±	 • п дает	 • п = 117,
откуда п = 9.
Ответ: х = 25.

588	Ответы, решения, указания
865. 1. 866. 1**^.. 867.
х + а
868.	b = 	, где a, b и с — три последовательных члена
арифметической прогрессии.
869.	705,6 м. 870. «20 с. 871. 122,5 м. 872. «30 с.
873. 1) 41° С; 2) 2745 м. 874. 3.
875. 5; 7; 9 или -9;-7;-5. 876. 41м. 877. Через 3 ч.
878. Через 6 с. 879. Через 5 мин или через 10 мин.
880. Через 8 с. 881. 1160 м. 882. 1275. 883. 1280.
884. 7; 16; 25. 885. а = -5; d = 3. 886. 8.
889.	Любая арифметическая прогрессия, в которой разность
равна удвоенному первому члену.
890.	15300.
891.	Указание. Воспользоваться формулой I2 + 22 + З2 + 42 +
+... + п2 = i га (п +1) Bга +1).
Ответ: 385 ядер.
2. Геометрическая прогрессия
892.	15; 3. 893. 32^. 894. -4; 76,5. 895. з|;10-^г.
32	8 512
896. 1; 2048. 897. 6. 898. |. 899. 2. 900. 3-^.
о	128
901. 7; 4^. 902. ^ 908. 27; 81. 909. 80; 40; 20; 10.
о4	4
910. V7; >749; >7343; v/240T; v/16807; ^117649. 911. Q = J^-
912. 1;2. 913. 1; 3; 4. 914. -3;-2; 10.
915. 121 и 11—. 916. 96; 48; 24; 12; 6; 3. 917. 24; 12; 6; 3.
16	3
918. 2; 6; 18. 919. 9; 3; 1 или 1; 3; 9. 920. а = 8; q = ±.
921.	7; -28; 112; -448 или -11-; -46-; -186-; -746-.
о	о	о	о
922.	га = 5. 923. 5; 405. 924. 3; 15; 27; ...; 3; 9; 27; ...
925. 12; 16; 20; 25. 926. 2; 8; 32.
927. 1; 5; 9; 13;...; 1; 3; 9; 27; ... 928. 2; 8; 32;... 929. 10.
930.	Решение. Имеем a; aq; aq2; aq3; a — 2; aq — 1; aq2 — 7;
aq3 — 27. Согласно свойству арифметической прогрессии следует:
1) а<72-7 + а-2 = 2а<?-2; 2) aq3 - 27 + aq - 1 = 2а<?2 - 14.
Отсюда: 1) а(<?-1J = 7; 2) а<?(<7 - IJ = 14.
Ответ: q = 2; а = 7.
931.	200.

Разд. II. Алгебра и начала анализа	589
932.	Доказательство. Имеем a; aq; aq2; ...; aqk~x; ...
...;aqn~k;...;aqn~2;aqn~1; к < п. Так как к-й член от начала
равен aqk~x, а к-и член от конца равен aqn~k, то их произведение
равно aqk~x • aqn~k = a2qn~1 — произведению крайних членов, что
и требовалось доказать.
933.	anq<n-^l2. 934. ^/(oi • ап)п. 935. 1) 23-314-\/2; 2) -^-
936. « 12 л. 937. « 10 ч. 938. « 53 мм рт. ст.
3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
939. i 940. 18 или 54. 941. 243 или 486. 942. 9.
А
943. 0,4. 944. 1,28. 945. 7,5. 946. ±0,2.
947. а) \; б) 2(д/2-1); в) 6 + 4^/2; г) 3\/2 + 4.
948. а) 2; б) лД; в) 2. 949. ^р.
о
950. При ж > 0, если а > 0; при ж < 0, если а < 0; если а = 0,
то данная геометрическая прогрессия не является убывающей ни при
каком значении х. Сумма прогрессии S = —-—;—-—г, а Ф ±ж.
4аж(а — х)
951. 12. 952. а) §; б) l|; в) Ц; г) 5^-
nco v 7 ^v , 7 v о 107 v о 809 ч 91	,
953. а) -; б) 1-; в) 2—; г) 3—; д) ——; е)
1001
30' ~' ^90' ~' ~330' 'у 110' ^ 11100' ~' 9000'
957.	Решение. Имеем у 2 у2 у/2л/2... = 1Л • 2* • 2н . 2^... =
= 22 + 4 + 8 + Т6+-. Показатель степени — сумма бесконечно убываю-
убывающей геометрической прогрессии, равная 1.
Ответ: 2.
958.	3^2. 959. |. 960. 3; |; |. 961. ^; 1.
962. 2; i 963. 12; 6; 3;... 964.0,25.
965.	Указание, а) Стороны треугольников равны: а; —;—;—;...;
ПОЭТОМУ вперим = 3 • —^у = 6tt.
2
б) Площади этих треугольников также образуют бесконечно убы-
а2л/3	1
вающую геометрическую прогрессию, в которой а\ = —-—; q — -A-
2 /о	4	4
^ ал/3
Ответ: 	.
о
966.	25 см2. 967. 2тгД2; 4R2. 968. 4аB + л/2); 2а2.
969. а2г/3; 6аB + ^). 970. ^; ^^. 971. А-В.
972' 27П-

590	Ответы, решения, указания
§14. Показательные и логарифмические функции
973. 1) б1/2^2'3; 2) V?< 749; 3) (lY < (if* ;
4) (l^^
/9\3/4	/c;\2/3	/9\-7/8	/Ч\~5/6
974.	a) (I) <l; 6) (|) >l; в) (|) > 1; r)(|) < 1;
д) B,36)° = 1.
975.	a) m > n; 6) m < n; в) m < n; r) 0 < m < 1;
д)	-3 < m < -2; e) m = n = 0.
976.	a) a > 1; 6) a < 1; в) a < 1; r) o = l.
977.	а) -сю < ж < +oc; 6) -oc < x < +oc;
в) -сю < ж < +oo, ж/О; г) 0^ж<оо; д) -ос < ж < +оо, ж / 2;
е)	—оо < ж < +оо; ж) 1 ^ \х\ < ос.
981.	1) 3 = log28; 2) -4 = log3 (^); 3) i=logie2.
982.	1) | = log84; 2) O = log13>7l; 3) -I=log64Q).
983.	1) -1; 2) 4; 3) -3; 4) -0,5; 5) 0,5; 6) -2,5;
7) 3,5; 8) 0.
984.	1) Возрастающая; 2) убывающая.
985.	1) Убывающая; 2) возрастающая. 986. О < х < ос.
987. -ос < х < 0. 988. -ос <ж<0; 0 <х < +ос.
990. 1 < х < ос. 991. -ос<ж<1.
994.	1) х = 10; 2) 0 < х < ос, х ф 1; 3) х = л/Ш; 4) ж = $/
995.	1) 4; 2) 7; 3) 2; 4) |.
996.	1) ж = |; 2) ж = ^; 3) ж = 8-3/3.
997.	1) ж = а26; 2) ж = а1/^/2; 3) ж = 1.
998.	1) ж = 4; 2) х = 4; 3) ж =-2.
999.	1) ж = -3; 2) х = л/2 л/2-3; 3) ж = 2.
1007. Igx = lg5 + 21ga. 1008. lgx = Ig3 + lga - 21g6.
1009.	lgx = lg2 + lg(o + 6)-lgo-lg(o-6).
1010.	lgx = lg7 + lg(a2-62)-lg3-31gc-41gd.
1011.	^К = ^4 + 3^/ + 2^8т- + ^
1012.	^	|
1013.	lgx = |(lgo-lgb). 1014.

Разд. II. Алгебра и начала анализа	591
1015. х = —. 1016. х = {аЪJ'г. 1017. ж = \.
с	b
1023. ж =
4(а-6)
4/15,1/3
Ю25. ж = ^	V-. 1026. ж =
+
1027.	ж = 1,2. 1028. ж = 2\/2. 1029. ж = 10. 1030. ж = 0,02.
1031.	ж = 0,64. 1032. ж = 66,155. 1033. ж = 0,501.
1034.	ж = 0,2046. 1035. х = 0,00787.
лплк	ту	4/0,26758-^/0,4
1046.	Решение, х— '	v
0,006422
1)	\gx = \ (lgO,26758+| lg0,4-lg0,006422);
2)	lgO,26758 = 1,4275,
|lgO,4 = 1,8674;
1,2949;
lg0,006422 = 3,8076;
1,4873.
3)	\gx = i • 1,4873 = 0,3718; x = 2,354.
1047. 4,520. 1048. 0,726. 1049. 2,402. 1050. 1,058.
1051. 31,31. 1052. 1,3553. 1057. -3 < x < +3.
1058. -oo < x < -3; 1,5 < x < oo. 1059. -1 < x < 0.
1060. -оо<ж<оо. 1061. -2<ж<3. 1062. -2 < x < 2.
§ 15. Показательные и логарифмические уравнения
1063.	1)	Ж1 = 2; ж2 = 3, или {2; 3}; 2) {0,5; 1}.
1064.	1)	35; 2) 5.
1065.	1)	{—0,5A + л/Тз); —0,5A —л/13)}; 2) 9. 1066. 1,5.
1067.	4.	1068. 4. 1069. {2;3}. 1070. {1; 2}.
1071. [\;\У Ю72. 3. 1073. {9;C-21og23J}.
1074. 3-2д/2. Ю75. 3. 1076. 1,5. 1077. 0,5. 1078. —.
1079. «-2,09. 1080. 20. 1081. 3. 1082. {10; 10}.

592	Ответы, решения, указания
1083. 0,5. 1084. -. 1085. 64. 1086. 80. 1087. {-9; 9}.
1088. 0,5. 1089. -. 1090. —. 1091. 1. 1092. {100; 1000}.
1093. 13. 1094. 0,001. 1095. 2. 1096. 18.
1097. {0,1; 1000}. 1098. 29. 1099. 5,5. 1100. 10.
1101. «-0,2849. 1102. 2. 1103. «90,4806. 1104. -.
1105. 3. 1106. 19. 1107. 29. 1108. {0,001; 10}.
1109. {Ю-4/3; 100}. 1110. {2;log32-4}. 1111. ^(v^-l)-!
1 — log2 о
1112.	Ж1=4;ж2 = 9. 1113. 100. 1114. {2; 1}. 1115. -1,25.
1116.	2. 1117. 4-л/П. 1118. 7. 1119. 2. 1120. 100.
1121.	2. 1122. {-2; 2}. 1123. {а9; ^}, где а > 0, а/1.
1124.	9. 1125. {2/3;4}. 1126. {2; 16}.
1127.	{0,04; 5^5}. 1128. 9.
1129. Решение. Покажем один из примеров решения. Извест-
Известно, что loga TV = logan Nn. Имеем log16x+ log16x2+ log16x4 = 7, или
Iog16x + 21og16x + 41og16x = 7, откуда 71og16x = 7.
Ответ: 16.
ИЗО. {2-^; 2^}. 1131. {ут^;2}- H32. {^з}. 1133. 3.
1134. B;1). 1135. A00; 10). 1136. A0000; 10).
1137. C;9). 1138. E; 5).
1139. Решение. Имеем
\ log2 х - log2 3 = 4- log2 у.
Область определения системы: х > 0, у > 0. Из первого уравнения
получаем \g(x2 + у2) = lg 100, или х2 + у2 = 100. Из второго имеем
\og2x + \og2y = Iog216 + log23, или ху = 48. Выводная система квад-
ратных уравнений
равносильна исходной системе; решаем ее методом подстанов-
подстановки: 2/ = —; х2 + % = 100; х4 - ЮОх2 + 482 = 0, откуда ^i_4 =
х	х
= ±л/50±^/502-482 = ±\/Ъ{)±л/Ш1, = ±V50±7-2 = ±V50±14,
или х\^2 = =Ь6; Жз,4 = =Ь8. Отрицательные корни не подходят, так как
х > 0 и у > 0. Если х = 6, то у = 8; если ж = 8, то 2/ = 6.
Ответ: F; 8); (8; 6).
1140. D; 16). 1141. {A6; 25); B5; 16)}. 1142. {A0; 4); D; 10)}.
1143. {D; 2); D;-2)}. 1144. C;2). 1145. A7; 9).

Разд. II. Алгебра и начала анализа	593
1146. («2,272; «1,825). 1147. D; 1). 1148. D; 2).
1149. E; 5). 1150. (J; ±). 1151. E; 1). 1152. A; 1).
1153. {(9а; 2а); (а; 18а)}, где а > 0, а/1. 1154. B; 6).
1155. {C;3); (л/3;9)}. 1156. {B;У2); (л/2; 2)}.
1157. {A;8); (8; 1)}. 1158. A; 1).
1159. {(а3/2; а/2); (а/2; а3/2)}. 1160. A;2).
1161.	{A;1);C;9)}.
1162.	1) а) -оо <ж<^иКж<оо; б)^<ж<^; в) ^ < ж < 1;
2) а) -счэ <ж<-1иЗ<ж<ос;
б)-1<ж<1-л/3и1 + л/3<ж<3; вI-л/3^ж^1 + л/3.
1164.27. 1165.^. 1166. «0,3010; «0,6990. 1167. 4C"а)
1168. 1. 1169. 2 + n-4m. 1170. 2-. 1172. 2
§ 16. Проценты (вторая серия задач)
1173.	28,4%; 1790 кг. 1174. 4 млн. руб. 1175. 342 детали.
1176.	На 8000 руб. 1177. На 40%. 1178. На 12%.
1179.	98490 чел. 1180. На 7,1%. 1181. 5000 изделий.
1182.	«28. 1183. На 20%. 1184. 5. 1185. 2 л.
1186.	144900 млн. руб. 1187. «4,5%. 1188. «41,4%.
Sr-p-q-П-
1189. На«5,5%. 1190, 1QQ + p 100jf %¦
-ПСИ
1191 •
ар ЬЯ /100-ач
100 100 V 100 )
	100-а 100-6
100	100
1192.	2) Решение. Пусть А — начальная величина продукции;
тогда 2А = А¦ A^±?)9 ¦ 2i/» = Ш + Р. р = Ю0B1/9 - 1). Обозначим
7V = 21/9; тогда lgTV = ^ lg2 « 0,0335; TV « 1,08; р = 100A,08 - 1) « 8.
Ответ: «8%.
§ 17. Тригонометрические функции
1. Измерение углов и дуг
1193.	a) J; б) J; в) |; г) | тг; д) р е) | тг; ж) 0,9.
1194.	а) 0,8901; б) 0,5009; в) 1,2802; г) 3,7737.
11ПГ тг тг 3 2 7г(п — 2)
38 В. А. Бачурин

594	Ответы, решения, указания
1196.	В левой части равенства опущено наименование «радиан».
1197.	0,6283; 1,0472; 1,4661.
1198.	30°, 30° и 75°; ?, ? и ^. 1199. ? « 1,5708.
6 6 12	2
1200. 1) 1Р15'; 2) —«1,196. 1201. а) -см «1,57 см.
1202.	Решение. Длина окружности радиуса R равна L = 2тг/2.
OL	OL
Длина дуги, содержащей а°, равна I = 2-kR——- = 7rR——.
q/	oo(J	lo(J
Ответ: ttR	лин. ед.
180
1203.	0,85. 1204. 1) 31,25 см; 2) «62,83 см. 1205. 100 см.
1206. 1) 1; 2) 2. 1207. 1) « 720000 град/с; 2) « 4000 рад/с.
1208. 15°; 15'; 15". 1209. 1 ч 12 мин 4 с. 1210. 135°3'10".
1211.	1) Ютг рад/с; 2) «6,28 м/с; 3) 12тг м/с;
4) Решение. Длина окружности радиуса г равна L = 2тгг. Если
точка окружности за t секунд совершает п оборотов, то скорость
о п 2тгп тт 2тгп
вращения этой точки равна v = zvrr — = г	. Но 	 есть угловая
скорость и, поэтому линейная скорость вращения этой точки равна
V = Г 00.
1212.	«200.
2. Тригонометрические функции острых углов
1213.	1) cos20°; 2) sin50°; 3) ctg40°; 4) tg50°. 1214. -1.
1215. 2. 1216. 7-лД. 1217. -i 1218. ^. 1219. 4.
1220. -8. 1221. -«4±2. 1222. -^
2	2
1223. 5~ . 1224. -5. 1225. 15. 1226. (a + 6J.
1227. bV2-a. 1228. 3oB-o). 1229. (a + 6J. 1230. -^^.
1231. a2 + a6 + 62. 1232. 1; д/2; 1. 1233. 0; ^±^; ^.
/-	2л/3 2
1234. ^y^. 1235. 2A-л/2). 1236. -2.
1237. л/3(л/2 + 1). 1238. л/3.
3. Тригонометрические функции углов от 90° до 360°
и отрицательных углов
1239. В I четверти; нет. Исходя из определения всех шести три-
тригонометрических функций, следует утверждать, что все шесть триго-
тригонометрических функций положительны только в I четверти. Все
шесть тригонометрических функций не могут быть отрицательными
ни в какой одной четверти.

Разд. II. Алгебра и начала анализа
595
1240.	Косинус, тангенс, котангенс, секанс в тупоугольном треу-
треугольнике.
1241.	Знак плюс. 1242. От 0 до 2.
1243.	Первое и третье при т = О и п / О, при п = О и т / 0.
1244.	Нет. 1245. 0. 1246. ±ос. 1247. 0. 1248. а2-б2.
1257. 0.
16
1259. 2. 1260. |
1255. ^-^. 1256.
1258. а (\-\-\ly6).
1261. |г(^-3)- 1262- I- 1263- (т1^) • 1264- 8-
51 v ' 7 VI — р/
1265.	-i(l + \/2 + 2\/3).
1266.	Указание. Для III четверти, например, таблица имеет вид
п
ОО
^ sin а
<а,
>ctg
. Зтг
^-1
„ Зтг
^Т
а ^0
-1
-1^
< < 37Г
^ cos а ^ 0
Зтг
\ а —
sec а > —оо
х«
(К
х.
-оо <
^ / Зтг
tg а < оо
cosec а ^ — 1
1267. 4) Решение. Известно, что 1 + ctg2a = cosec2а, откуда
cosec а = ±л/1 + ctg2a; sina = 	 = ±—	:; seca =
coseca	i/l+ctg2a
1 _ _^ \/ctg2c
ctg a
seca
- = ±-
ctg a
tg a =.
6	ctg a
1268. 1) cosa = -; sina = ± —; tg a = ±—-; ctg a = ±-r=;
3	I 3	3	2	^
sec a = -; cosec a = ±——;
*	V5
o\ x 8 , 15 . .15	.8 .17
2)	ctg a = —; tga = —; sina = ± —;	cosa = ± —; seca = ± —;
-j^lO	о	1/	1/	о
cosec a = ± —;
15	у—
3)	ctg a = -3; tga = --; cosec a = ±\/T0; sec a = ±——; sina =
1	3d	6
1
—=:
л/10
3
л/10
1O^O .	a —6	. 2л/а6 ,
1269. sina = 	; cosa = ±	; t
a + 6	a + 6
, 2л/а6	, a + b	a + b
= ±	-; sec a = ±—^; cosec a =
. a — b ,
a = ±—;=: ctg a =
/6
—;=:
2л/а6
о-Ь'
~2л/аб'
38*

596	Ответы, решения, указания
1270. cosa = —	; sin a = =L —; tg a = ±—	; ctg a =
, y/ai-bi
= ± ——	; sec a =
1271.	О < а < |; tg а = 4 — ; ctg а = —; seca = 5—; coseca =
л 2	99	20
= 199; sirm=ioi; cosa = ToT'
3	20
1272.	-7г < а < 2тг; ctg а = -1,05; tg а = — ^г; cosec a =
о	orj	o-j
= -1,45; seca = l—; sina = - —; cos a = —.
1273. sino-cosa. 1274. sec a = - V_l±^s!^. 1275. !!L_zi.
ctg a	2
1276. m2-2 и ш3-3ш.
1287.	Решение. Освобождаемся от иррациональности в каж-
каждом слагаемом левой части, умножая числитель и знаменатель первой
дроби на у/1 + sin а и второй — на \/1 — sin а; получаем
1 + sina I — sin a o
П	i	i	г = 2tS a'
|cosa| |cosa|
если cosa > 0, что и требовалось доказать.
4. Формулы приведения.
Тригонометрические функции произвольного аргумента
1288.	1) cos31°40'; 2) -sin8°21'; 3) -ctg39°18'.
1289.	-sin2a. 1290. 0. 1291. 1. 1293. а) 1; б) 1; в) 0.
1294. 0. 1295. -1. 1296. Например: cos50° =-cos 130°.
1297. 2cosa. 1298. 0. 1299. 0. 1300. ctg a.
1301. -cosa. 1302. 0. 1303. -ctg240°.
1304.	Например: а) sin (a -90°) = -sin (90° - a) = -cos a;
6) cos (a - 180°) = cos A80° - a) = - cos a;
r) tg(a-360°) = -tgC60°-a)=tga.
1305.	1) 15°; 135°; 255°; 2) 300°; 3) 45°; 135°; 4) |; |тг.
1306.	1) (-1)п^ + птг; 2) (-1)"|
1307.	1) (-1)пу + птг; 2) ±^
4
1308. 1) ±^ + 2птг; 2) ±^
о	4
1309. 1) ^ + птг; 2) ^ + птг. 1310. 1) ^ + птг; 2) ^
1311.	1) ^тг + птг; 2) -тг.
1312.	1) (_1)п+1 ^ + ^; 2) ±J	f

Разд. II. Алгебра и начала анализа	597
1313.	1) ~ + |тг; 2) J + n^.
1314.	1) ^тг + ^тг; 2) | + п. 1315.
1316.	1) Bп + 1)тг; 2) -| + 2птг; 3) -| + 2птг; 4Jптг.
1317.	1) 2птг; 2) - + 2птг; - + 2птг; 4) 2птг.
5. Тригонометрические функции суммы
и разности двух углов
1318.	0,2
1319.	а) ^ (л/5+1); ^(УЗ-l); б) ^	^
1321.	Указание. Данное выражение можно записать так:
sin (а + /3 + 7) = sin ((а + /?) + 7), или sin (а + /3 + 7) = sin (а + (/3 + 7)) •
Ответ: sin а • cos /3 • cos 7 + sin /3 • cos a • cos 7 + sin 7 • cos a • cos /3 —
— sin a -sin/3 -sin 7.
1322.	sin3,14«0. 1479. 0,5. 1324. cos/3. 1325. 2.
1326. cos(a-^) 1327. -1. 1328. -sin40°. 1329. ctg-.
cos(a + /3)	4
1338. 1. 1339. tgO,78«tg^ = l. 1340. 0. 1341. 1.
1342. 1. 1343. sin40°.
1351. Доказательство. Имеем
Следовательно, а + C = 45°, так как углы а и /3 — острые (по условию).
6. Тригонометрические функции двойных
и половинных углов
sec2 a	2t§7 !-^27
1354. SGC а2 . 1355.	1	^
2	1^;	^
2-sec a	1 + tg - 1 + tg -
1356. Решение. Например, для sin а и cos а имеем
2smrCOS2	2tg2
0 . a	a
= 2sin--cos- =
cos -+sin - 1 + tg -
2a .2a , ,2a
2 a . 2 a C0S ^"Sm ? 1-tg ?
cosa = cos --sin -=	_ 2a =
^	^ cos —h sin — 1 + tg —
2	2	Ь 2
1357. 1|; A; 2,4. 1358. i л/2; i л/2; 1.

598	Ответы, решения, указания
о
1359.	3sina-4sin3a; 4cos3a -3cosa; 3^а~^ а.
l-3tg2a
1360.	4sina • cos3 a — 4cosa • sin3 a; cos4a — 6cos2 a • sin2 a-\-sin4a.
1361.	Указание. Имеем sin —h cos — = 1 и 2 sin— -cos— =
A	A	A	A
= sin а; отсюда найдем sin — + cos — = =L\/l + sina и sin — — cos — =
= =bv 1 — sin а. С помощью этих равенств для sin— и cos— полу-
А	А
чаем по четыре значения. Однако если перед тем и другим корнем
знак можно будет выбрать, добавив какое-нибудь дополнительное ус-
условие, то задача будет иметь только одно решение.
1362.
tg a
1364. - —. 1365. —. 1366. —. 1367. 4. 1368. -1.
А	А	о
1369. cos 10°. 1370. 1. 1371. 1. 1372. 0,5ctg2a.
1373. tg2D5°-a). 1374. 1. 1375. sin2<x 1376. 2|cosD5°-a)
7. Преобразование произведения
тригонометрических функций в сумму
1S97. ЦД 1398. ^+2. 1399. ^fl. 1400. ^.
4	4	4	2
1401. i 1402. i 1403. cos4a + cos2a.
1404. \ (cos2a -cos8a). 1405. 0,5. 1406. \ (sin6a + sin2a).
А	А
1407.	sin3a. 1408. cos24° + cos 12° + cos8° + cos4°.
1409.	l + cos8a + cos6a + cos2a. 1410. -
1411.	2(cos Ba - 2/3) + cos Ba - 27) + cos B7 - 2/3) +1).
1412.	i(l-cos2a). 1413. - (l-\-cos2a). 1414. -(l-cos2mx).
1415. Ifl + cos—V 1416. 0,75. 1417. 0,25. 1418. cosa.
A \	m )
1419. 0,25. 1420. 1. 1421. - (cos(mx + n) + cos3(mx + n))
1422. -(sin(ax-b)-sin3(ax-b)). 1423. - C + 4cos2a + cos4a).
1424. iC-4cos2a + cos4a). 1425. i(l-cos4a).
8	8
1426. —B cos a -cos ba -cos 3a). 1427. —Bsina-sin5a + sin3a).
1428. ^ B sin A-х) - sin 5A - x) + sin 3A - x)).

Разд. II. Алгебра и начала анализа	599
1429. Решение. Применяя формулу cos2 а = - A + cos 2а), имеем
cos4 Зж • cos2 Ъх — - A + cos 6жJ • - A + cos 10ж) =
^ + cosl2x) A + coslOx) =
2 2	/
= — C + 4cos6x + cosl2x)(l + cosl0x) и т.д.
1
Ответ: — F + cos 2ж + 4 cos 4ж + 8 cos 6ж + 6 cos 10ж + 2 cos 12ж +
о2
+ 4 cos16ж + cos 22ж).
1430. -!-
2
1435. Решение. Преобразуем в суммы произведения крайних и
средних сомножителей:
cos 10° cos30° cos 50° cos 70° = \ (cos80° + cos 60°) • \ (cos80° + cos 20°) =
= - (cos2 80° + cos 80° • cos 20° + \ cos 80° + \ cos 20°) =
4 \	2	2/
= 7 {\ + \ cos 160° + ^ cos 100° + \ cos60° + ^ cos80° +
4\ZZ	Z	li	li
Ho cos 160° = —cos20° и cos 100° = —cos80°. Поэтому выражение в
скобках равно: - + - = -; отсюда cos 10° • cos 30° • cos 50° • cos 70° = - • - =
g	2 4 4	4 4
= —, что и требовалось доказать.
8. Преобразование суммы тригонометрических функций
в произведение
1443. д/1^5- 1444- sin 18°. 1445. 0. 1446. -sin 18°.
1447. \/2cosD5o-a). 1448. у/2 sin (a -45°).
1449. sin(a + /3)-sin(a-/3). 1450. sin (/3 + а) • sin (/3 - а).
1451. 2cos2D5°-|). 1452. -2sin2 (^45° - |). 1453.
V	л/2 sin(a±45°)
1лкл о лл^ V2smD5±a) 1/|К„
1454. -cos2a. 1455.	-. 1456.
1457. 2 sin
1458. Указание. Возьмем арифметические корни:
л/1 + cos a - л/1 - cos a = J2 cos2 ^ - д/2 sin2 ^ =
^P	^||	(f f) ) и Т-Д-
Ответ: =L2sin ( — =Ь — I.
^	v2-cos—	л/2-sin —
1459. -4sin2f-cosa. 1460.	, 2 ¦	1461. , 2 ¦
2	sin D5 --)	sin D5 --)

600	Ответы, решения, указания
1462. _ * 	 1463. si"(«-45°)
V2-sin|.sinD5o-|)'	* cos|cosD5o-|)"
1464. 4 cos а-sin—- -cos —.
1471. Решение. Преобразуем левую часть, обозначив ее через F:
F = sin a + sin /3 + sin 7 = 2 sin a • cos а + 2 sin ^ cos ^.
z	z	^ ^
По условию, а + /3 + 7 = 180°, откуда ^±^ = 90°-| и | = 90°-^y^.
Поэтому	. Q	,	ч
J	. a + p . /nnO 7\	7
sin —^- = sin (^90° - -L J = cos ^
sin ^ = sin (90°	^ J = cos -^-.
Имеем
7 / a
— • cos
2V
= 2 cos — • cos	— + cos	— = 2 cos — • 2 cos — • cos —.
2V2	2 )	2	22
2 )
(У.	в
Итак, sin a + sin f3 + sin 7 = 4cos — -cos^-
z z
1478. Указание. Используя такой же прием, как и в задаче 1471,
сначала получим 2 sin (а + /3) • cos (а - /3) - 2 sin (a + /3) • cos (a — /3).
1480.
1481.
1482.	4sin(a + 30°)-sin(a-30°).
1483.	4cosa • cos (зО° + |) cos (зО° - |
1484.	4sinla • cos (| + 30°) cos (| - 30°).
1485.	4cos2a -sin (зО° + |) sin (^30° - |^.
9. Обратные тригонометрические функции
1486.	1) arctgm + тгп; m G R (любое действительное число), n G Z
(любое целое число);
2)	=barccosm + 27rn; — 1 ^ m ^ 1; n G Z.
3)	(—l)narcsinm + 7rn; — 1 ^ m ^ 1; n G Z.
1487.	1) — = arcsin-; 2) — — = arcsin —— ; 3) — = arccos —-.
6	2	4	у 2 J	4	2
1488.	1) - = arccos0; 2) - j = arctg(-l); 3) 0 = arctg0.
1489.	1) ^ = arcctg\/3; 2) ^ = arcctg^; 3) ж = arcsin0,23.

Разд. II. Алгебра и начала анализа	601
1490. 1) ж = arccos 0,5762; 2) х = arctgO,468.
1493.	1) 0; 2) \- 3) J; 4) тг.
1494.	1) 0; 2) \- 3) -|; 4) -J.
1495.	1) 0; 2) J; 3) -J; 4) J.
1496.	1) ^; 2) |; 3) |тг; 4) |тг. 1497. тг. 1498. ^тг.
1499. -тг. 1500. тг. 1501. 0. 1502. 15тг. 1503. 0.
1504. -тг. 1505. -Ютг. 1506. -0,37. 1507. -.
2	3
1508. -^. 1509. ?. 1510. —. 1511. ?. 1512. —.
5 2 m 6 ?77,
1513. |тг. 1514. 0. 1515. 1. 1516. 0. 1517. ^.
1518. 0,6. 1519. —. 1520. ^ 1521. -. 1522. 2,4.
1523. 4- 1524- —т=- 1525- It- 1526- 77- 152Т- -S-
15	д/5	61	41	29
1528. 1. 1529. \. 1530. Ц. 1531. ос. 1532. ос.
2	85
1533. Решение. Известно, что tg(a +/3) = —		и
tg(arctgx) = ж. Поэтому
2а-6 26-а
_ бл/з ал/3 _ /о 2a2-ab + 2b2-ab _ п:
BаЦBба) V	- 4а6 - аб + 2а2 + 262	'
ab-3
1534. —. 1535. 2mVl-m2. 1536. —. 1537.
49	52
1538.	x.
3	/	3\	3
1539.	=L-. Указание, sin ( к тг + arctg- I = =L sin arctg-.
5	V	4/	4
1540.	Решение, arccos fsin — J = arccos fcos f	JJ =
/ 5тг\ 5
= arccos cos —- = —¦ тг.
(. n\ n	. (. пЛ 5	V 147 14
Или: arccos I sin — )= — — arcsin I sin — 1 = — тг.
1541. ^. 1542. ^. 1543.
о	5
1557. Решение (один из вариантов). При т > 0 и п > 0 имеем
С arctg ттг < — и С
лению арккосинуса,
О < arctgт < — и 0 < arctgп < —. Наряду с этим, согласно опреде-
А	А

602
Ответы, решения, указания
1 — тп
= <тг.
0 ^ arccos
Поэтому общим интервалом для левой и правой части является @; тг).
На интервале @; тг) из равенства синусов не следует равенство дуг,
а из равенства тангенсов следует равенство дуг.
Возьмем тангенсы левой и правой частей данного соотношения и
проверим, окажутся ли одинаковыми результаты. При этом использу-
используем формулы	.	ч
tg(arctgx) = х\
, /	ч sin (arccos ж) д/l — (cos (arccos x)J x/l — x2
tg (arccos ж) = —7	'- =	— =	,
cos (arccos x)	x	x
Итак, получаем
m + n x
1 — тп
1 — тп
1-
A — тп)
т + п
1 — тп
Действительно, тангенс левой части равен тангенсу правой части, а
это и означает, что исходное равенство справедливо.
При т = п > 0 справедливость исходного равенства очевидна.
10. Графики тригонометрических функций
1582. Решение. Исходя из графика функции у = sin ж A),
изображенного на рис. 92 пунктиром, построим график функции у =
= sin х B). Прежде всего отметим, что график функции B) будет
О
-1
тг\
/ 2тг
Зтг\
Рис. 92
расположен в верхней полуплоскости, так как sin х ^ 0 при всех х.
Период функции равен не 2тг, а тг.
Как известно, при возрастании аргумента х от 0 до — ординаты
синусоиды возрастают от нуля до единицы, а квадраты этих ординат
также возрастают от нуля до единицы. Нуль в квадрате равен нулю,
и единица в квадрате равна единице. Однако внутри этого интервала
• 2	тт	. ТГ	Л/2	. о ТГ	1 /Т/Г
sin х < sin ж. Например, sin— = —-, a sin — = -. (Квадрат правиль-
правильной дроби меньше самой дроби.)

Разд. II. Алгебра и начала анализа
603
При возрастании аргумента х от — до тг ординаты синусоиды
убывают от единицы до нуля, а квадраты этих ординат также убыва-
убывают от единицы до нуля. Внутри этого интервала снова sin х < sin ж.
Например, sin-7r = -, a sin2(-7r)=-. График функции у = sin ж
6	2	\о / 4
изображен на рис. 92 сплошной линией.
О	\A) / 2тг \<Т /
-1
Рис. 93
1588. На рис. 93 изображены графики функций у = cos ж A) и
у = sec х B).
11. Тождественные преобразования
тригонометрических выражений
1600. Решение. Данное выражение есть тангенс суммы двух
углов 25° и 20°, т.е. tg 25° +otg 2°°о = tgB5° + 20°) = tg45° = 1.
У	'	l-tg25°-tg20° 6V	} Ъ
sin ol
1635. Решение, cos2a + sin 2a • tg a = cos2a + sin 2a • 	 =
cos 2a • cos a + sin 2a -sin а cos Ba — a) cos а Л „	а ,
= 	 =	 = 	 = 1. При этом а ф
cos a	cos a	cos a
1672. Решение. Используя формулу 2sin2x = 1 — cos2x, нахо-
находим 2 sin2 f45° - ^ j = 1 - cos (90° - a) = 1 - sin а (по формуле приве-
приведения).
1702. Решение.
cos6 a — sin6 a = (cos2 aK — (sin2 aK =
= (cos2 a - sin2 a) • ((cos2 aJ + cos2 a • sin2 a + (sin2 aJ) =
= cos2a(l — cos2 a + cos4 a) = cos2a(l — cos2a(l — cos2 a)) =
= cos2a(l-cos2a-sin2a) = cos2aM - - sin22a J.

604	Ответы, решения, указания
12. Вычислительные задачи
1711.	1) «0,9988; 2) «0,4823; 3) «3438; 4) «23,37;
5) «0,2094; 6) «-0,6169; 7) «-0,0707; 8) «3,7444.
1712.	1) «23°9/; 2) « 63°21'; 3) «69°30'; 4) «8°.
1713.	1) «0,9036; 2) «-0,9825; 3) «-0,6334; 4) «-0,6873.
1714.	1) «1,5580; 2) «2,3843.
1715.	1) «28°13/; 2) « 22°55'; 3) «27°3/.
1716.	1) «0,3420; 2) «1,2514; 3) «0,9397; 4) «-2,7726.
1717.	1) «-0,18093; 2) «-5,7588; 3) «0,3115; 4) «0,8241.
1718.	1) «34°51/; 2) «67°5/; 3) «48°11/.
1719.	1) «22°10/; 2) «9°51'; 3) «20°19/.
1720.	1) «113°35'; «246°25/; 2) «231°4/; «308°56'.
1721.	«0,0010936.
1722.	- ctga = tg(p; х = a -sina -sec</? « 0,009327.
§ 18. Тригонометрические уравнения
1724.	1) х = (-1)п- + тгщ 2) Ж1,2 = ±-
3) х = (-1)п+1^ + тгщ 4) х12 = ±^
о	о
1725.	1) ж = (-1)п+1- + тгп; 2) хх^ = ±- тг + 2тгп;
о	и
3) ж = ^ + тгп; 4) х — — + 7гп.
3	о
1726.	1) х = -- + тгщ 2) ж = -- + тгп; 3) х = 2тгп;
о	и
1727.	1) х = —; 2) Ж1 = -тг + 2тгп; ж2 = -тг;
А	А	А
3) Ж=| + (-1)"|+7ГП.
1728.	1) ж=^+2,5 + ^; 2) х = тгп; 3) Ж1>2 = ±^ + ^.
1729.	1) х = --+тгп; 2) xii2 = ±-+ - + кп.
3	'82
1730.	Решение. Данное уравнение sinx-cos2x = 0 распадается
на два уравнения:
1)	sinx = 0, откуда х = птг;
2)	cos2x = 0, откуда 2ж = —Bп + 1) и ж = —Bп + 1).
Ответ: х\ = п-к\ х2 —— Bп + 1).
1731.	а?1 = ——; Ж2 = т77Г + 7ГП- 1732. х\ — — + тгп; ^2 = — + тгп.
2	6	4	2

Разд. II. Алгебра и начала анализа
605
1733.
1735.
1737.
1739.
1741.
1744.
1746.
1748.
1749.
1751.
1753.
1754.
1755.
1734. х = тгп.
1736. ж = ^
2
—+ —
6 2
1738.
1740.
= 2тгп; ж2 = ^
1742. ж=™. 1743. ж = ^.
= -—+ —. 1745. xi —
6 2
1747. жх = ^ Bп
= ^Bп + 1).
о
—
1U
1750. ж = 2тгп.
1752.
— — Bп + 1); ж2 = тгп.
= -0,5; 2) tgx = -l.
= ^; 2) х = ^; 3) я; =
4) ж = 3sina, a G -^; ^ ;	5) ж = а cos-, - е [0; тг] и а /0, с / 0;
L z z J	ее
6) x = ctga, а
7Г	Т	Ж
1756. ж = —Ьтгп. 1757.	xi = —-тг + тгп; ж2 = ——+тгп.
6	18	о
1758.
-.
о
1759.
= =b^. 1760. tg x =
1761. ж = -
1762. хх = ^тг; ж2
/
1763. ж = arctg 37Г~8 . 1764. rg = arctg(ib
l^
+тгп.
1765. ж = —Ь 2/^тг при а / — + &тг; ж — любое действитель-
действительное число при а = —h /jtt.
1766. ж = тг
1768. ж = |
1770. Ж1,2=
1767. Ж1,2 = ±^
1769. Ж = (-1)»§ + ^.
1771. Ж1 = 2(-l)narcsin|

606
Ответы, решения, указания
1772. Указание. Заданные в уравнении функции выразить
l + COSX	ol —COSX	. 7Г /о	1Ч	/ /о	1Ч
через косинус: 	 = 8	, хФ — (zn + 1) и ж^7гBп + 1).
F	J cosx	1 + cosx' ^ 2 v	;	^ v	;
cosx	+
Затем решить это уравнение.
Ответ: х\^ — ±arccos - + 2птг.
о
1773. Ж1 = ж2 = ^ + ^
8 2
1775.
1777.
1778.
1780.
4=b
1774. ж = ^
4
+2птг. 1776. ж = ^
2 = 2arctg2 + 2
-
8
1782. а) ж = (-1)и|
1783. а) ж = ^
2
.,	. 1
б) ?i =
1779. х = ^
1781. хх = ^
2
б) Х1 = рх2 = ^тг.
= (-l)"arcsin i+птг;
о
^ + 2тгп.
о
7Г
-; х2 = —;
3	2
1784.	а)
1785.	а
1787.	а
1789.	x
1790.	xh
1791.	Ж1
1792.	tg
1794.
13
; х2 = ; ж3 = тг-arcsin-; ж4 =
3	2
,2 = 4тгCп±1); б) нет.
Bп + 1)тг. 1786. а-
1788. х = птг.
0.
= (-l)narcsin
+птг.
1793. ^i = птг; ж2 = --г
4
— -— + тгп; ж2 = — + тгп; ж3 = — + тгп.
4	о	о
1795. tga; = tg a • tg 6 • tg с; аф^
), сф
1796.	х\ — --— +птг; ж2 = -—7Г + П7Г.
12	12
1797.	xi = ^Bn + l); ж2 = 2arctg- + 2птг; а / 0.
1798.	Ж1,2 = птг±-. 1799. ^i,2 = ±2arctg — + 2птг.
1800. Указание. Заменить sin2Ъх — sin2ж произведением.
Ответ: х\ — п-к\ ж2 з = =Ь— + птг.
'	6

Разд. II. Алгебра и начала анализа	607
1801. х1 = —; x2,3 = ±arctg^ + n7r. 1802. ж = ^Dп + 1).
о	А	4
1ОПО о a2 + b2 + 2abcos(p X7
1803. ж = 	^	к— • Указание. Если а + р = (/?, то
sin <^(l + cos у?)
cos (a + /?) = cos </?, откуда cos a • cos /? - sin a • sin /3 = cos y?. Ho sin a = -
и sin /? = —, а также cos a = \ I	^ =
/X2_lJ	a?
лучаем соотношение -5L—	—^	^ = cosy?, из которого
следует ответ.	х	х
1804. Решение. Выразим квадраты синусов через косинусы
11	11	11	3
двойных углов:	 cos 2х + - — - cos4ж + - — - cos 6ж = -; cos 2x +
А А	А А	А А	А
= 0. Сумму крайних членов левой части преобразуем
в произведение: 2cos4x -cos2x + cos4x = 0; cos4xBcos2x +1) = 0.
0; 4ж = -Bn + l); x = -Bn + l).
2	8
2) 2cos2x + l = 0; cos2x = —-; 2x = ±- тг + 2птг; ж = =Ь— + птг.
Ответ: х\ — — Bп + 1); ^2,з = =Ь-г- + птг.
8	'	3
1805.	xi = ^	^
1806.	Ж1 = J(	)
1807.	Ж1 = 2тгп; ж2 = —+ 2тгп.
3	У—
1808.	х — тгп + (—l)narcsin —arcsin -; или х\ — 2тгп —2arctg
.— 5	5	5
Х2 = 2тгп + 2arctg	.
о
1ОЛП	тгп I / 1Ч„ . л/б 1 . 2л/5
1809.	ж =	Ь - ( — 1) arcsin	arcsin	.
3 3	5 3	5
1810.	ж = -0,7452 + тгп.
1811.	х = тгп + (-1)п arcsin -^= + arcsin -JL. 1812. ж = - + —.
л/41	л/41	6 3
1813. ж = птг. 1814. x = i((-l)narcsin(\/3-l)+n7r).
1815.	xi52 = =barccos-
1816.	Ж1=П7Г; Х2 3 = =Ь—+П7Г.
'	о
1817.	ж1 = ^ + птг; ж2,з = ±^ тг + 2птг.
1818.	Ж1 = птг; ж2 = (-1)п+1^ + птг. 1819. х = ^.
1820. х = ^-. 1821. Ж1>2 = =barccos V^~3 +2тгп.

608
Ответы, решения, указания
1822. х
1823. х
1824. х
1825. х
1826. х
1828. х
1830. ж
1832. х
1833. ж
1834. ж
1835. х
1837. ж
1839. х
1841. ж
1843. ж
1845. х
1847. ж
1849 г
1851. ж
1853. х
1854. ж
2
1=5™;
1,2= з 7Г'
1 = | Bг
2птг
1,2 = ™:
= |Bп
1=шг +
1=шг +
7Г /.
= 1Dп
= птг.
1 = Т Dг
4
! = П7Г-
1,2 = ±f
1 = |B«
1 — И 7Г* '
1 = ? + /
= 2А;тг
;Ж2 =
(Зп±1
i + l);
Х2 =
7Г
+ 1).
7Г
^; ж2
7Г
4' 2
+ 1);*
1838.
1840.
i — 1);
7Г
4 '
+ шг;
¦ + 1)тг
2
8
2 ' 4
1827. xi = ^Bn + l); ж2 :
4
'3,4 — тг^- =Ь —. 1829. Xi?2 :
1831. Ж1 = — + -; х2 = -
= птг — arctg3.
= птг-arctg-.
р2 = arctg- + n7r.
;2>3 = — (Зп=Ы). 1836. ж
— П (Л IV — ^ ffi
2 2
. Ж1 = — Dп — 1); Х2 = 71-7Г.
ж2 = птг. 1842. Ж1 = ^;
= arctg5 + n7r. 1844. ж =
жз 4 = =Ь—Ьптг. 1846. ж
6
; ж2 = ^Bп + 1)тг. 1848.
2п + 1 -.окл
гтг; ж2
Хо = -
8
1852. xi = A:7r; x2 = -j-
3 +^ ^ 18'
= |(Зп=Ы).
^ + (-1)п^.
1
= — arctg- + n7r.
Ь3
i + l).
8 "
: — +П7Г.
4
1'2 = ^~± б"'
Х — П7Т —.
7Г
2
1855.	х\ — 2ктг; ж2 = а + 2к7г при а / 2/^тг; если а = 2&тг, то
любое действительное число.
1856.	х = 0. 1957. х = 0. 1858. x =
1859. Ж1,2 = =Ь\/2. 1860. Ж1 =
= \. 1861.
1862. Решение. Возьмем косинус от левой и правой частей дан-
данного уравнения arccos — = 2arctg(x — 1). Получим
А

Разд. II. Алгебра и начала анализа	609
— = cos2 (arctg (ж — 1)) — sin2 (arctg (ж — 1))
(так как cos 2а = cos2 a — sin2 а, где а = arctg (ж — 1)). Используя фор-
формулы
1 + (ж-
ж2 - 2ж + 2 > 0 при любом х; х(х2 - 2х + 2) - 2жB - ж) = 0; х х
х (ж2 — 2ж + 2 — 4 + 2ж) = 0, х(х2 — 2) = 0, откуда получаем корни х\ —
= 0, ж2>з = ±л/2.
Исследуем полученные корни, подставляя их в исходное уравнение.
1) Если х — 0, то слева будем иметь arccosO = —, а справа по-
получим 2arctg(-l) = 2f-jj=-^; ^/-^. Таким образом, первый
корень х\ — 0 исходному уравнению не удовлетворяет, следовательно,
он не является ответом.
не является ответом.
2)	Если х — —у/2, то слева имеем arccos (—— ) = -тг, а справа
получаем 2arctg (—л/2 — 1) < 0 — это дуга во второй отрицательной
четверти. Следовательно, х<± — —у/2 также не является корнем дан-
данного уравнения.
3)	Если х = д/2, то слева имеем arccos — = —, и справа получа-
получаем 2arctg(V2-l) = j.
Окончательно получаем ответ: х = д/2.
_ 1
~~ 2"
_л/3
2 '
~ 5'
1866. х
1869.
1872. х
¦1=0;
, = 0.
7Г
~ I'
2
1870.
1873.
1867. ж =
Х\ = 0; ^2,з
Ж1,2=±^.
л/3
3 '
1863. хх = 0; х2 = \, х3 = -\. 1864. х =
1865.
1868.
1871.
1874. Решение. При х / 1, ж / — 1 приравняем тангенсы рав-
равных дуг слева и справа (используя формулу tg (а — /3) = —	^—т ).
Тогда из данного уравнения arctg	 — arctg	 = arctga получаем
13^	х — 1	х + 1
г —Л т + 1	Х-\-\ — Х-\-\	/ / , -,
	TJ-- = а, откуда —^	= а (ж ^ ±1, поэтому мы сокра-
1 + ^—	ж2-1 + 1
ж 1	2
тили на х2 — 1); — = а. Следовательно, а > 0.
ж
Ответ: х± 2 = ±\ — •
у а
39 В. А. Бачурин

610	Ответы, решения, указания
§19. Неравенства первой степени
и исследование уравнений первой степени
1875.	1) 20 > -10; 2) 18 > 15.
1876.	1) -3>-4; 4) -?ж<-5. 1877. Да. 1878. Да.
1879. Нет. 1880. Нет. 1881. Нет. 1882. Да. 1883. Нет.
1884.	Да.
1885.	1) -ос<ж<6; 2) -2 < х < +ос; 3) -ос < х < ~;
4) -оо < х < -2,8.
1886.	1) Решение. Имеем (х + 1) • 2 - 3 > 0, откуда 2х + 2 > 3,
или 2х > 1; получаем ответ: - < х < +оо;
2) I < х <+оо.
о
1887.	1) -ос<ж<-6; 2) -оо < х < 3.
1888.	За + 46<16-2а. 1889. 2х > -5. 1890. 30 > 6.
1891. -ос<ж<-. 1892. -2<ж<+ос. 1893. -оо < х < 4.
4
1894.	0 (нет решений). 1895. х < 96. 1896. ж > 234.
1897.	ж<4. 1898. х > —. 1899. 6 < ж <+оо.
1900.	0 (система несовместна). 1901. 4 < х < +оо. 1902. 0.
1903.	0. 1904. 9<ж<+ос. 1905. О < х < +оо.
1906.	-оо<ж<10. 1907. 4; 5; 6;... 1908. 3; 4; 5. 1909. Да.
1910. 3 < х < 5. 1911. -оо <х <\ и4<ж< +оо.
1912. -оо <х <- и4<ж< +оо. 1913. 3 < х < 12.
1914.	-2 < ж < 1,6. 1915. -оо <ж<6и6<ж< +оо.
1916.	-оо <ж<5,4и6<ж< +оо.
1917.	1) -1^ж^1; 2) -оо < х < -3 и 3 < х < +оо.
1918.	1) 0; 2) -оо < х < -2 и -2 < х < +оо.
1919.	1) Решение. Данное неравенство |1 - х\ > 1 равносиль-
равносильно неравенствам 1 — х < — 1 и 1 — ж > 1, откуда получаем ответ:
-оо <ж<0и2<ж< +оо;
2) —оо <ж^-1и5^ж< +00.
1920.	-- ^ х < +оо. 1921. -оо <х<-1и-<х< +оо.
2	о
1922. 0. 1923. ^<ж<+оо. 1924. 0. 1925. х = 0,75.
1926. -оо<ж<+оо. 1927. х = 0. 1928. 0.
1929. -оо<ж<+оо. 1930. 0.

Разд. II. Алгебра и начала анализа	611
(\
1931.	-оо < ж ^ -; 4<х < +ос.
1932.	Решение. Искомое двузначное число имеет вид 10а+ 6,
где а — цифра десятков и 6 — цифра единиц. По условию, а = 6 — 2,
или 6 = а + 2. Имеем 10а + а + 2 = 11а + 2. Согласно второму усло-
условию, 21 < Па+ 2 < 38, или 19 < Па < 36. Отсюда ох = 2, а2 = 3 и
61=4, 62 = 5.
Ответ: 24; 35.
1933.	86. 1935. I; |; §; |; §; f.
1940.	1) л/2 + л/3>л/7; 2) л/ГГ - л/2 < л/5 +1;
3) i/8-VT5 = i (л/30-л/2).
1941.	1) 5 < п <+оо; 2) -оо < п < 4 и 6 < п < оо.
1942.	1) -оо < & < 3 и 5 < & < ос;
2) -оо < к < -2л/3; -2^/3<&<^ и ^ < А; < +оо.
о	о
1943.	3) х ф -За; ж ^-6, ж = "F~6).
а)	-оо < а < 0 и -оо <6<6; 0<а<2 и -оо <6<6; 2<а< +оо
и 6 < b < +оо;
б)	-оо <а<0 и 6<6< +оо; 0 < а < 2 и -оо <6<6; 2<а< +оо
и 6 < b < +00;
в)	а = 0 и -оо < b < +00; b = 6 и -оо <а<2; 6 = 6 и 2<а< +оо;
г)а = 2и6 = 6; д)а = 2и -оо < b < 6; а = 2 и 6 < b < +00.
1944.	1) -00 <а<3 и 4<а< +оо;
оо
2) -оо <^<т^ и 3<а< +оо.
1945.	—(n-q). 1946. Через \ (а - 26) дней.
q	a
1947.	Через х = -—V дней; х > 0 при а > р, а > 6; а < р, а < 6.
а — о
1948.	—	 (это расстояние искомой точки от центра меньшей
п — г
окружности).
1949.	28 < т < 30. 1950. 10 < п < 12.
1951.	1) 2 < т < 15; 2) не существует.
1952.	1) —оо < п < —12; 2) не существует.
1953.	1) m = 10; n = 6;
2) т\ = \ и п\ — 2; т2 = —12- и П2 = — 3.
Я	1
1954.	1) а = ^; 2) а! = Оиа2 = -^.
1955.	Единственное решение, если тф — 1 и тф — 5; бесконечное
множество решений, если m = —5; нет решений, если т = — 1.
39*

612	Ответы, решения, указания
1956.	Единственное решение, если m / — 1 и m / -; бесконечное
1	3 1
множество решении, если т = — 1; нет решении, если т = -.
5	3
1957.	Единственное решение, если т / —; нет таких значений т,
о
при которых будет бесконечное множество решений; нет решений,
5
если т = --.
о
1958.	Единственное решение, если т / 1 и т / 2; бесконечное
множество решений, если m = 1; нет решений, если т = 2.
1959.	а) ш =-9; п = 5; б) m =-9; п/5.
1960.	a) ?ni = 5; ni = 24 и 7тг2 = —1; п^ — 0;
б) ?71i=5; П1 / 24 И 7712 = —1; 77,2/0.
2	16m + 14
1ПЛ1 ^	3m + 10m + 7
1961.	Единственное решение х =	^	; 2/ = ^,
га + 8га+ 7	m + 8га + 7
если 771 / — 1 и 771 / —7; бесконечное множество решений, если tti =
= —1; нет решений, если tti = —7.
irk^o т^	п2 — п — 2	2 — п
1962.	Единственное решение х = -^	; у = -^	, если
п -3n + 2	n -Зп + 2
п / 1 и п ф 2; бесконечное множество решений, если п = 2; нет ре-
решений, если п = 1.
1963.	1) Если \х\ = х и а / 2, то х = -^-	^ 2/ =
2-о ' *	2-о
2) Если
3)	Если
4)	Если
5)	Если
6)	Если
i , о 2C +а) 2-2а-а
ж =-ж и а/-2, то ж = —v у; 2/ = —^—	•
2 + а	2 + а
х\ — х и а = 2, то решений нет.
i	о	5	3
х\ — —х и а — 2, то ж = —; у = —.
i	»	2' ^ 2
ж| = ж и а = -2, то ж = -; 2/ = -.
ж| = —ж и а = —2, то решений нет.
2
1гь^,11\т-1 I,	/II	а +2а — 1	1 + а
1964. 1) Если \у\ = у и а/=Ы, то ж =	^	; у —
1
^; у	^
а — 1	1 — а
2)	Если |2/| = —у и а — любое, то ж = 1; 2/ = —1.
3)	Если \у\ = у и а = =Ы, то решений нет.
1ПЛГ ап — bm	а — Ь	,
1965. 	 кг и 	 кг при а > о, п > т.
п—т	п—т
1966.	Решение. Из условия задачи следует, что т > п и
b > а. Пусть второй автомобиль догонит первый через t ч, начиная
с указанного момента. Тогда за эти t ч первый пройдет at км, вто-
второй — Ы км. Разница в пройденных автомобилями расстояниях bt — at
должна быть равна расстоянию между автомобилями в исходный
момент отсчета времени, т. е. т — щ bt — at = т — п. Отсюда получаем
t =	. Искомое расстояние (в километрах) равно
о — а

Разд. II. Алгебра и начала анализа	613
т — п bm — an	, , т — п Ьт — an
s = m + a-	= —:	, или s = n + b-	= —	.
b — a	b — a	b — a	b — a
§ 20. Исследование квадратного трехчлена.
Неравенства второй степени.
Рациональные неравенства
1967.	Данная функция, как и всякая целая рациональная функ-
функция, существует при любом действительном значении аргумента х:
х Е R. Говорят также, что данная функция определена на всей дейст-
действительной оси.
1)	График ее — парабола, которая расположена в верхней полу-
полуплоскости, обращена ветвями вверх, симметрична относительно
прямой х = 4 и касается оси абсцисс в точке Л D; 0).
2)	Функция имеет наименьшее значение, равное нулю: у = 0 при
ж = 4.
3)	а) —оо < х < 4; 6) 4 < х < +оо; в) у = 0 при х = 4.
4)	М@;16).
1968.	1) у = (х-2J.
2)	Данная функция представлена в виде квадрата двучлена без
минуса впереди, а это и показывает, что эта функция не может при-
принимать отрицательных значений.
3)	а) -оо < х < 2; б) 2 < х < оо;
в)	функция имеет наименьшее значение, равное нулю: у = 0 при
х = 2;
г)	у = 0 при х = 2.
4)	Точка пересечения с осью ординат Mi@;4); точка касания с
осью абсцисс М2B; 0).
1970. 1) Имеем у = x2 + px + q= (# +1) ~ (|
Л	2	Л	2
Н—1—?_ Отсюда следует ответ на первый вопрос: D = ——— = О,
или р2 — 4q = 0.
2)	В этом случае парабола у — (х + — J расположена в верхней
полуплоскости, обращена ветвями вверх, симметрична относительно
прямой х — —— (ее оси), пересекает ось ординат в точке Л@; q) и
касается оси абсцисс в точке В f — ^; 0J. Это ее вершина.
3)	Квадратный трехчлен при х = —, имеет наименьшее значе-
p
ние, равное у
I — - 1 =
4) Ординаты параболы у = (х + — ) Н	—, в том числе и ор-
г	I Р\2
дината ее вершины, отличаются от ординат параболы у = 1х + —) на

614
Ответы, решения, указания
величину	при тех же абсциссах. Поэтому координаты вершины
4 9	р
параболы у = х + рх + q следует вычислять по формулам хо = — —
2	^
1971. ?/ = 2х2 - 4х + 2 = 2(ж2 - 2ж +1) = 2(ж - IJ.
1)	а) у = 0 при х = 1; б) —оо < ж < 1; в) 1 < х < +ос.
2)	На рис. 94 изображены графики функций у = 2ж2 A) и у =
= 2ж2-4ж + 2 = 2(ж-1J B).
3)	Обе параболы расположены в верхней полуплоскости, обраще-
обращены ветвями вверх и касаются оси абсцисс. Вторая парабола сдвинута
на единицу вправо относительно первой.
4)	Первая парабола симметрична относительно оси Оу, вторая —
относительно прямой х = 1. Координаты вершин О@; 0), ЛA; 0).
О ДA;0)
Рис. 94
У*
0
-4
"/
х = 1
ж
ЛA;-4)
\у =—2х + 4ж —6
Рис. 95
1974. 1) D = Ь2 - 4ас = 16 - 48 = -32 < 0. Дискриминант — от-
отрицательное число, а это означает, что данный трехчлен не имеет
действительных корней.
2)	у = — 2[х2 — 2х + 3) = —2((х — IJ + 2). Выражение в скобках
положительно, перед скобкой стоит минус, поэтому при любом значе-
значении аргумента х значения функции у < 0.
3)	у = — 4 при х = 1.
4)	—ос < у < — 4 при —ос <ж<1и-4>у> —ос при 1 < х < ос.
5)	График изображен на рис. 95.
6) Жо = -^ = ^1 =
-4ас 16-48
-8
4а
= -4.
Дополнительные сведения
к исследованию квадратного трехчлена
Если функция на некотором интервале убывает (возрастает), при-
принимает наименьшее (наибольшее) значение уо при некотором значе-
значении аргумента xq, затем возрастает (убывает), то такое наименьшее

Разд. II. Алгебра и начала анализа	615
(наибольшее) значение функции называют минимумом (максимумом)
функции на этом интервале при х = хо и обозначают ут\п (утах)-
Функция у = ах2 + Ьх + с — квадратный трехчлен — всегда имеет
либо только минимум, если а > О, либо только максимум, если а < 0.
График квадратного трехчлена — парабола — наглядно иллюстрирует
определение этого понятия.
Минимум и максимум функции в совокупности называют экстре-
экстремумом функции, или экстремальным значением функции.
1977. 2/тах = 4 при х = -1. 1978. ?/тах = 0,25 при ж = 1,5.
1979. 2/min = -0,125 при ж = 1,5. 1980. ^min = -5 при х = -3.
1981. Ж1 = -2; ж2 = 3. 1982. хх = -2; ж2 = 5.
1983.	Ж1 = -2; ж2 = -1; ж3,4 = 0,5C ±л/13).
1984.	xi = -2,4; ж2 = 0; ж3 = 0,4; хА = 2.
1990. -оо <ж<3 и 4<ж< +оо. 1991. 3 < х < 4.
1992.	0 (решений нет).
1993.	-оо < х < 0,25C —л/65); 0,25C + \/б5) < ж < +оо.
1994.	-оо<ж<оо. 1995. 5 - л/14 < ж < 5 +л/14.
1996. -оо<ж<оо. 1997. -5 ^ ж ^ 5. 1998. 0.
1999. -оо<ж<+оо. 2000. -2,5^ж^1. 2001. -оо < х < оо.
2002. 5-\/Т4^ж^З; 7^ж^5 + \/Т4. 2003. -оо < х < +оо.
2004.	1) -2<х < -0,5; -0,5 < ж < 1; 2H<ж<2;2<ж<8.
2005.	-6<ж<2. 2006. -\\<х<\. 2007. 1^<ж<8, хфЪ.
2008.	-оо < х < -4; -2 < ж < 3; 5 < ж < оо.
2009.	-оо < х < -2; -^ < ж < -1; 1 < ж < 5.
4
2010.	-оо < ж < —• ~ < х <: 1. 2011. 1 ^ ж ^ 2.
2012.	-оо < ж ^ 1; 2<х < +оо. 2013. -2<ж<0; 6<ж< +оо.
2014.	-1^ж^2; 3<ж< +оо.
2015.	-оо < ж ^ 1; 2^ж<3; 3<ж< +оо.
2016.	-1^ж^0; 3^ж<4; 4<ж< +оо.
2017.	1 < х < 1,5; 2<х < +оо.
2018.	-оо < х < -2,5; -2,5 < х ^ -1; i ^ ж ^ 3.
2019.	Указание. Данное неравенство равносильно неравенству
^	(ж-ЗКж-12) п

616	Ответы, решения, указания
Знаменатель больше нуля при всех х / —7. Следовательно, числитель
должен быть неотрицательным, что имеет место при х ^ 3 и х ^ 12.
Ответ: -ос < х < -7; -7 < х ^ 3; 12 ^ х < ос.
2020.	-ос < х < -1; ^ < ж < 1.
2021.	-ос < х < -4; -3 < ж < -2,5; -2 < х < -1; 0 < х < ос.
2022.	-ос < х < -2; -1 < ж ^ 0. 2023. - 1 < х ^ 3.
2024. -ос < х < -2; -1 < ж < ос. 2025. -8 < ж ^ 1.
2026. К ж < 6. 2027. -ос < х < -3; -2 < ж < -1.
2028.	-ос < х < -1; -1 < х ^ 2.
2029.	-ос < х < -7; -1 < ж < 0; 0 < ж < 1; 3 < ж < ос.
2030.	-2<ж<ос. 2031. 1,5 ^ х < 2. 2032. К ж < 3.
2033.	-2 < х ^ 1,6; 2 < х < ос. 2034. -ос < х < 3.
2035.	-ос <х < 0; 0 < ж < 1; 1 < ж < ос.
2036.	-ос<ж^-|; 0,5^x^2.
2037.	-ос<ж<-; - < х < ос.
2038.	1) -ос < ж < 3; 3 < ж < +ос; 2) -ос < х < -jj; 2<x< +ос.
2039.	1) К т < +ос; 2) 0 < т < 28;
3) Решение. Всякое неравенство вида ах2 + Ьх + с < 0 спра-
справедливо при любом ж, если а < 0 и б2 — 4ас < 0. В данном случае
неравенство справедливо для любого значения ж, если одновременно
выполняются условия: 5 — т < 0; A — тJ — 2A — т)E — т) < 0. Ре-
Решая эту систему, находим т > 9. Получаем ответ: 9 < т < +оо;
дч _л/55	л/55
2040.	1) га = Ц; 2) mi = 2; гп2 = ^.
2041.	а = 2; 6 = -16; с = 24. 2042. а =-4; 6 = 4; с = 24.
2043. а = 3; 6 =-36; с = 96. 2044. а = 2; 6 = 8; с = 15.
ОП/(С ,	9-2л/57 9 + 2л/57 ^
2045.	а) -ос < т <	—	 и 	—	< т < +ос;
^	9-2л/57	9 + 2л/57 ч 9-2л/57	9 + 2л/57
б) 777-1 — 	 и гп2 — 	5 в) 	 < ТП < 	.
2046.	а) - < т < +ос; б) т=-; в) -ос < ш <-.
24
2047.	а) -ос <ш<0 и — <т < +ос;
^	п	24 \ п	24
б) 777,1 = 0 И 777,2 = —; в) 0 < Ж < —.
2048.	а) 0; б) 0; в) -ос < ттт, < +ос.
2049. — (л/а2Ь2 + 4000a6s =Ь ab) л.
Аи

Разд. II. Алгебра и начала анализа
617
2050.	-^-i
2п
2051.	—
— mn) км/ч;
2ns
у тп(тп + 4s) — ?тгп
т.
2052. |((&-
м,
2053. —
га.
2054.	За i (Bс - b ± а) + i/(« - ^J + 4с(с - 6)) мин.
2055.	-i- (аB± 6) + i/a2F2 + 4) +4а6с) рабочих.
2056.	60 км/ч.
§ 21. Неравенства с двумя переменными и их системы
2057.	а) Да; б) да; в) нет; г) нет.
2058.	а) Решение. Построим на координатной плоскости пря-
прямую у = 2х — 1 (рис. 96). Так как ордината любой точки, лежащей
ниже прямой у = 2х — 1, меньше, чем ордината точки, имеющей такую
же абсциссу, но лежащей на прямой, то множество точек плоскости, рас-
расположенных ниже этой прямой, и будет геометрическим изображением
решений данного неравенства.
2/1
О
-1
О
О
-1
Рис. 96
Рис. 97
1 х
Рис. 98
в) Указание. Данное неравенство х + у — 2^0 записать пред-
предварительно в виде у ^ 2 — х.
2059. а) См. рис. 97. 2060. Нет; да; да; нет.
2061.	а) См. рис. 98.
2062.	а) Множество всех внутренних точек круга единичного ра-
радиуса с центром в начале координат.
2063.	а) Да; в) нет. 2064. Да; нет; нет; нет.
2065. а) Решение. Геометрическим изображением решений сис-
системы неравенств	(
х ^ U,

618
Ответы, решения, указания
О
Рис. 99
Рис. 100
является множество точек I координатного угла, включая точки по-
полуосей Ох и Оу (рис. 99).
2066.	а) См. рис. 100.
2067.	а) Верхняя половина круга с центром в начале координат
(границы полукруга входят в это множество точек).
У
3,5
; 4)
О
О
Рис. 101
Рис. 102
2068. Решение. Геометрическим изображением решений систе-
системы неравенств
является множество точек плоскости треугольника, ограниченного
прямыми у = х\ у = 2ж; у = 4 (рис. 101). Границы треугольника вхо-
входят в это множество точек.
2069.	См. рис. 102.
2070.	а) Луч [ОМ), где точка М принадлежит биссектрисе I ко-
координатного угла.
2071.	а) В I и III четвертях координатной плоскости, включая
и точки осей координат.
2072.	а) Кольцо с центром в начале координат, причем точки
окружностей, ограничивающих это кольцо, входят в заданное мно-
множество.
2073.	Луч [АВ), определяемый второй прямой и содержащий на-
начало координат. А — точка пересечения двух данных прямых.
2074.	Луч, отсекаемый первой прямой на второй и не содержащий
начало координат.

Разд. II. Алгебра и начала анализа	619
2075.	Два вертикальных прямых угла, образованных прямыми
х = 2 и у = 3, один из которых содержит начало координат.
2076.	Угол в верхней полуплоскости, заключенный между бис-
биссектрисами координатных углов.
2077.	Полоса, заключенная между прямыми х = ±8 и окруж-
окружностью, причем точки окружности входят в искомое множество, а
точки прямых не входят.
2078.	Две четверти круга, расположенные в I и III координатных
углах; границы секторов входят в искомое множество.
2079.	Угол. 2080. Полоса.
2081.	Полуплоскость, определяемая вторым неравенством.
2082.	Треугольник с вершинами ЛA;2), Б(-1;0) и СE; -2).
2083.	Треугольник с вершинами Л@; 0), В(-2; 1) и СB; 2).
2084.	Треугольник с вершинами Л(-1; 0), ?@,5; 0) и СB; 3).
2085.	Треугольник с вершинами Л(-1;0), в(-;0) и С(—1;2).
2086.	Шестиугольник с вершинами ЛA; 0), БD; 0), СF; 2), ?>B; 7),
Я@;3), F@;l).
§ 22. Иррациональные неравенства
2087.	1) 1^ж<ос; 2) -ос < х ^ 1; 3) -1 ^ х < 0;
4) -оо < х ^ -л/7, л/7 ^ х < оо.
2088.	1) ^Ll<^l; 2) -1^<1±^;
3) — 5 ^ х < 1. Решение. Неравенство \/ж + 5 < 1 — х равно-
равносильно системе
Из первых двух неравенств системы находим — 5 ^ х < 1. Решая
третье неравенство х + 5 < A — жJ, т.е. ж2 — Зж — 4 > 0, получаем
х < — 1; х > 4. Из совокупности полученных неравенств составляем
ответ: —5 ^ ж < —1, или [—5; —1);
4) 2<ж^6.
2089.	1) -1-\/5<ж^-3, 1^ж<л/5-1;
2) —оо < х < —, 1 < х < оо.
о
2090.	1) -оо <х^ -3, 13 < ж < оо; 2) 1 ^ х ^ 6.
2091.	1) -К х < 15; 2) 1 < ж < ?
2092.	1) -^ <ж^-1, 2^2^ж<3;
о
2) -оо < х < 1. Указание. Положить л/2-х = t (t^O).

620	Ответы, решения, указания
2093.	1)	Кж^З; 2) 2<х
2094.	1)	-1<ж^2; 2) -2 - 2д/б < х < -1, -
2095.	1)	0<ж^1; 2) 0,5(л/13-5) < ж ^ 1.
2096.	1)	-ос<ж^- —, 1^ж<10; 2) 6 < х ^ 8.
2097.	1) -оо < х < 2, ^±_^ < ж < 3; 2) -6 ^ х < О, 3 < х <С 4.
2098.	1) -2 < ж < 1, К х < оо; 2) -К х <С -^, ^ <С х <С 1.
2099.	1) (К ж ^81, 1296<ж<оо;
2) -0,4<ж< -0,2; 124,6 < ж < оо. Указание. Пусть #2 + Ъх =
= ?/ (^ 0) и т. д.
2100.	1) 0^ж<—; 2) 0<ж<4.
У
2101.	1) Решение. Имеем \/25 - х2 + \/ж2 + 7ж > 3. Обе части
заданного неравенства неотрицательны, поэтому оно равносильно
системе
откуда
При 0 ^ х ^ 5 последнее неравенство системы удовлетворяется, по-
поэтому отрезок [0; 5] и является ответом;
2) решений нет.
2102. 1) 1<ж<4; 2) -оо < х < 2л/Ъ -4.
9л/7 1	9	1
2103.	1) 1^ж<^_L; 2) -2<я<-1, -|^ж<|.
2104.	1) 0 < х < ^; 2) ^ < ж < ^, ? < ж < 4.
о	о	2 2
§ 23. Показательные и логарифмические неравенства
2105.	1) Решение. Имеем 4Ж < 2ж+1 + 3, иначе B2)ж < 2х- 2 + 3,
или BЖJ - 2 • 2Ж - 3 < 0. Пусть 2х = у, у > 0; тогда получаем ^/2-
-2^/ - 3 < 0, или (у + 1) • (у - 3) < 0, откуда -К з/ < 3.
Эти неравенства заменим такими: 0 < у < 3, поскольку ^/ > 0.
Итак, 0 < 2х < 3. 2Ж ->> 0 при ж ->> -оо и 2Ж = 3 при х = Iog23.
Ответ: —оо < ж < Iog23, или (—оо; Iog23);
2) -оо < х ^ -2; 3) Iog0>42 < ж < оо; 4) -1 ^ ж ^ ж.
2106.	1) -оо < х ^0,6; 2) -у ^ х <: 1; 3) -^З^ж^УЗ;
4) -оо < ж < 2-log26.

Разд. II. Алгебра и начала анализа	621
2107.	1) Нет решений; 2) 2,5 < х < ос.
2108.	1) -4<ж<0; 2) 7<ж<7-^;
16
3) -оо < х < 1, 4 < х < ос; 4) 0 < х < 1.
2109.	1) 2<ж<3; 2) К ж < 3; 3) -0,5<ж<ос; 4) 0<ж<3.
2110.	1) 1 + У1 + а < х < оо; 2) \/1 + а2 < ж < оо;
3) 1 > х > а; 4) 3 < х < 4, 4 < ж < оо.
2111.	1) 4<ж<6; 2) -оо < х < -2, | <х < оо;
3) 2,5 < х < 3; 4) 6 < х < 7.
2112.	1)	Iog2^^x<oc; 2) К х < оо.
2113.	1)	(Кж^1; 2) -оо<ж<-1.
2114.	1)	0,5^ х ^2; 2) -oc<x<log23.
2115.	1)	-л/7<ж^-л/3, \/3^ж<\/7; 2) -10 ^ ж ^ 5.
2116.	1)	-оо < х < 0, 1 ^ ж < оо; 2) 1 < х < оо.
оо
2117.	1) -5<ж<5; 2) log3 Щ- ^ х < оо.
2118.	1) 0<х<-^-; 2) 0,5^ж<1.
lgl,5
2119.	1) -оо<ж<-1; 2) 2 < х < 3, 3 + 2\/2 < ж < оо.
2120.	1) -оо < ж < 4-л/2, 4 +л/2 < ж < -оо;
2) —оо < х < —0,5, 1 < х < оо. Указание. Этот ответ получа-
получается в результате совместного решения следующих систем неравенств:
2121. 1) -оо
4	23
2)	—- < х < — — • Указание. Решение данного неравенства
о	А А
является объединением решений следующих двух систем:
Г0<Зж + 5 < 1,	ГЗж + 5 > 1,
19ж2 + 8ж + 2 < (Зж + 5J;	\9ж2 + 8ж + 2 > (Зж + 5J.
2122.	1) 0,5<ж<4; 2) К х < 2.
§ 24. Тригонометрические неравенства
2123.	См. задачу 1266.
2126. 1) ^тг + 2тг& <х< ^ + 2тг&; 2) ~ + тг& < х < ?
4	4	2	6
3)	^тг	^|

622
Ответы, решения, указания
(х 1\	л/2
— + -1 <	——. Это	неравенство выпол-
А 4 / А
3 , г» I ж , 1	5 , г» i	Зтг — 1 , .,
няется тогда, когда -тг + 2тгк < — + - < -тг + 2тгк. или —	\- 4/гтг <
57Г-1 ,, 4 2 4	4	2
< ж < —	\-4k7T.
7Г 2
3) 5
О
—
4) тгк - |
—
4) -
о
2) ~ + 2тгк <
< ж < тгк + |.
2) -- + тгк ^ ж ^
х < - -к + 2-кк.
о
j + 2тгк;
Следовательно,
6 '
<2\/3 + 1.
о
4
или
4) 2ктг	— <. х ^ 2/стг* — ix -\-*Lkix ^ x '
2128.
3) 2тг
2129.
3) 2тг
О1 ОГк 1 ^ ^ 	 " _|_/тг?" ttJ^ " <^
aIOUi J_ J «?/ — — ~т~ /I Л< /I /v — ^
2	4
2) Решение. Имеем
sec2 х + B - л/3)
1 + tg2x + B - л/3) tg ж < 2л/3 +1,
tg2x + B - л/3) tg х - 2л/3 < 0.
Пусть tg ж = ^/, тогда ?/2 + B — л/3) У — 2л/3 < 0, откуда находим —2 <
<	у < л/3, или —2 < tg ж < л/3- Итак, получаем ответ: ктг — arctg2 <
<	X < &7Г+ —.
о
2131.	1) 2тгк-- < х <2тг& + —;
6	6
2) — arctgv^ + TT^ ^ х ^ тгк; arctgv^ + Tr^ ^ х <—\-тгк.
2132.	1) ^-	^<ж<-тг + ^- Указание, sin6ж + cos6ж =
2 8	2 8
2nk.
2)
2133.	1)
2134.	1)
2135.	1)
2136.	1) тгк
2137.	1) ^
- < т <
2 ^Х<
2) -
о
тг — arctg4.
2' ;	2
; 2) 0<x
^; 2) ^
3	4
х < ?
2
1).

Разд. II. Алгебра и начала анализа	623
2138.	)
2139.	1) —< ж ^ 1. Решение. ОДЗ переменной х данного не-
неравенства arccosx < arcsinx является отрезок х G [—1; 1] (-1 ^ х ^ 1).
Как известно, значения данных функций определяются неравенст-
неравенствами	тг	.	тг
О ^ arccos ж ^ тг и - — ^ arcsin х ^ —.
Пересечением этих неравенств является отрезок 0; — , что соот-
L А А
ветствует изменению переменной х в пределах х Е [0; 1]. Однако при
х = 0 исходное неравенство не удовлетворяется, поэтому будем искать
значения х на полуинтервале х G @; 1].
На полуинтервале @; — функция косинус положительна и моно-
тонно убывает, поэтому при х G @; 1] исходное неравенство равносильно
неравенству cos (arccosж) > cos (arcsinж). (Знак неравенства исходного
неравенства изменился на противоположный, поскольку меньшей дуге
соответствует большее значение косинуса.) Значит, х > у/1 — х2, что
при х G @; 1] равносильно неравенству 2х2 > 1, из которого находим
решения, входящие в полуинтервал х G @; 1]. (Рекомендуется проил-
проиллюстрировать приведенное решение рисунками.);
2) 1 < х < оо.
;
2140. 1) 2ттк < х < 27Г& + -; -	;
2) 0<я<?.
§ 25. Комплексные числа
2142. 1) Нет; 2) нет. 2143. 1) 3 и 2.
2144.	1) Натуральных; 2) целых; 3) рациональных;
4) натуральных; 5) действительных.
2145.	D = b2-4ac<0. 2146. 1) -5 + 2г; 3)
О1л0 1\ m , о • о\ 3 + Зл/2-2л/3 з + 2л/3-л/б.
2148.	1) 10m + 8m; 2)	1	г.
6	6
2149.	1) Юг; 2) -21; 3) -З + Зг; 4) -21 + 24г.
2150.	1) 3-Ш; 3) 26; 4) 7. 2151. 1) ш2 + п2; 3) (а-ЬJ.
2 2
2152. 1) ab(b-a)-2aby/^bi; 2) а +L6 . 2153. 1) 2г; 4) |.
2154. 1) -Зг; 3) -3 + 2г; 5) 1 —2г. 2155. 1) %.
2156. 3) 1^2)^3 _ 2 + 3^._ 2157> а-6^
у	5	5	у а+Ь а+Ь

624
Ответы, решения, указания
2158.	1) -г; 2) 1; 3) г; 4) -г; 7) -г; 8) -г; 9) г; 10) 1.
2159.	1) 2г; 2) -2г; 3) -5 + 12г; 4) A-4а2)+4аг.
2160. 1) -4. 2161. 1) 0; 2) ?¦- ..
36 18
2163.	Дискриминант D < 0.
2164.	1) г = 3; </? = -; 2) г = 1; </? = --; 3) г = 0,5; </? = -;
4) г = 2; <р = --; 5) г = 0,5; </? = --; 6) г = л/2; Ч> = ~"
(рис. 103).
2165.	B - 30 - B + 30 = -6г
(рис. 104).
2166.	1) 1; 2) 28;
3) -7-24г; 4) 212.
2167.	Два сопряженных комп-
комплексных числа, например, 2 + г
и 2-г:
а)	B + 0 + B-0=4;
в частности, два чисто мнимых
числа, например, 2г и —2г:
Рис. 104	а) 2г-2г = 0;
б)	B0 • (-20=4.
2168.	Например, два комплексных числа 2 —4г и — 2 +г. Их сумма
равна Зг, а произведение равно Юг.
2169.	1. 2170. 1) ж2 + 1 = 0; 3)
У*
3
2
1
О
-1
-2
А
С
Е х
В
F
D
У»
3
0
-3
-6
А
/
\
2 „
ж
Рис. 103
2171. 1) ±2; ±2г; 2) ±?/-; ±гА4/-.
у а у а
2172.
1; 2;
; А/
у а у а
-1±»л/3; 2) -1±»л/3; i;
; 2.
2173. 1) cosO + isinO; cosTr + г sinvr;
о\	7Г . . . 7Г	/ 7Г\ , . . / 7Г\	оЧ о /	5ТГ . . . 5?Г \
2) cos- + г sin-; cos (--J +г sin [~^); 3) 2 (^cos — + г sin — J;
4)
2174.	1) 4 cos	Ьг8ш— ; 2) cos —+ г sin— ;
\3	3/	\4	4/
3) 13fcosfarctg — j + г sin f arctg — JJ; 4) cos f—ttJ + г sin f—vrj.
2175.	1) 2\/3 + 2г; 2) 6. 2176. 1) 4\/2 + 4г\/2; 2) 2 + 2г\/3.
2181. lofcos^ + isin^). 2182. ^У2 + ^У2г. 2183. -\i.
2184. 1) (^ + г\/2)(^-г\/2); 2) B +

Разд. II. Алгебра и начала анализа	625
2185.	1) cos45o + isin45° = ^ + ^i; 2) 2г.
A	А
2186.	1) 107г; 2) -1013г; 3)	^_; 4) -^. 2187. 64г.
2188. -236. 2189. -7728\/2г. 2190. -2. 2191. 6,24 + 0,5г.
2192. 1. 2193. -D,5+ 2л/2). 2194. -0,25г. 2195. -0,25.
2196. -9. 2197. --г. 2198. ^C + г).
8	2	у—
2199. 1) 16 + 16гл/3; 2) -З6. 2200. 1) \-i^-.
А	А
2) Решение. По формуле Муавра: z6 = 64(cos360° + г sin360°) =
64A + г • 0) = 64; в алгебраической форме:
= A + 2г\/3-3K=
2201.	1) -1; 2) 1.
2202.	1) Решение. \/3 + 4г = ±
= =ЬB + г); получили ответ: ±B + г))
2) ±A-2г).
2203.	1) ±—(л/3-г); 2) ±лД(лДЕ +
2204.	1) ±^(л/3-г); 2) ±2A-гл/3).
2205.	1) ±^-=(VU-i); 2) -2; 1±гл/3.
v A
2206.	1) ai = cos45° + г sin45°; а2 = cos 165° + г sin 165°; а3 =
= cos 285° +г sin 285°;
2) ai = cos30° + г sin30°; a2 = cos 120° + г sin 120°; a3 = cos210° +
+ г sin 210°; a4 = cos 300° + г sin 300°.
2207.	1) ai = cos45° + г sin45°; a2 = cos 117° + г sin 117°; a3 =
= cos 189° + г cos 189°; a4 = cos 261° + г sin 261°; аъ = cos 333° + г sin 333°;
2) ai = cos 10° +г sin 10°; ...; a6 = cos310° + г sin310°.
2208.	Решение (в алгебраической и тригонометрической фор-
формах).
2) х = \/l = \/l fcos ——Ьг sin ——). При к = 0 х\ — \\ при & = 1
2тт . . 2тг тг , . . тг -1 + гл/З	7 о
х2 = cos —- + г sin —- = — cos — + г sin — =	; при к = 2 х^ —
о	о	о	о	А
4тт . . 4тг	тг . / . тг\ -1-гл/З
= cos—- + г sin—- = -cos — + г (— sin — 1 =
о	о	о	\	о /
А
40 В. А. Бачурин

626	Ответы, решения, указания
2209.	1)	-1; 0,5A ± г л/3); 2) ±0,5\/2A + г).
2210.	1)	3; 1,5(-1±гл/3); 2) ±1; ±г.
2211.	1)	±B±гл/2); 2) 0,5л/2A±г); -0,5л/2A±г).
2212.	1)	±B-г); ±A + 2г); 2) ±0,5(л/3 + г); ±0,5A-гл/3).
2213.	1)	±1; ±0,5A + гл/3); ±0,5A-гл/3);
оч ,. л/3±г -л/3±г
2) ±г; "^ ~2~"
2214.	1) ±^^
оч	7Г , . 7Г	13?Г , . . 13?Г
2) a?i = cos —Ь г —; ...; Ж4 = cos	Ь г sin	.
8 8	8	8
; ±- (л/2 + л/2 - г л/2 - л/2);
— + zsin — J.
2218. i; 0. 2225. -1-i. 2226. ±5; =Ь5г.
;
а
2228. 1) Все точки окружности с центром в начале координат и
радиусом 1;
2) все точки круга радиуса 1 с центром в начале координат, не
включая точки самой окружности;
z + 1	3) все точки круга, включая точки
окружности радиуса 1;
4)	все точки за пределами окруж-
ности;
5)	все точки кольца между окруж-
О
р ^г	ностями радиусов 1 и 2, причем точки
окружностей в это множество не входят.
2229.	Точка z-\-\ получается из точки z сдвигом на единицу впра-
вправо параллельно действительной оси Ох (рис. 105).
2230.	Точки 1 + 2z расположены на окружности радиуса 2 с
центром в точке A; 0).
§ 26. Комбинаторика и бином Ньютона
2231.	1) Р3 = 1-2-3 = 6; 2) Р4 = 1-2-3-4 = 24.
2233.	1) Л| = 60. 2233. С| = С\ = 10.
2234.	1) 120; 2) 6; 3) 10.

Разд. II. Алгебра и начала анализа	627
2235.	1) 24; 2) 56; 3) 116; 4) 60,5. 2236. 1) |- 2) 720.
2237.	1) 4950; 2) 1431; 3) 330; 4) 13. 2239. Р4 = 24.
2240.	Л|о = 870. 2241. A\Q = 30240. 2242. 59280.
2243.	15120. 2244. 120.
2245.	1) n(n2-l); 2) (т - п)(т - п - 1)(т - п - 2)... (п + 2).
2246.	1) 1-2-3-4...jfc(jfc + l); 2) 1-2-3...2
,	(m + l)m(m-l)...(m-n + 3) , (n-l)(n-2)...(n-k-2)
224Т- 1}	1-2-3...(п-1)	; 3)	1-2-3.. .(Л+ 2)	'
2248. 1)	1; 2) т; 3) 2п; 4) (п-1)п.
2250. 1)	2пBп + 1); 2) (п + 1)(п + 2)...2п; 3) {пщп + 1у
р
решение.
j_
^ ^ - 1.2.з...(к-2)(к-1)к ~ (Jfe-2)!JfeJ
1
получаем ответ:
2251. 6. 2252. 8. 2253. 7. 2254. 10. 2255. 1.
2256. 7. 2257. ж = 12; з/= 5.
2259.	Решение. В перестановках из пяти цифр следует исклю-
исключить случаи, когда нуль окажется впереди, что соответствует пере-
перестановкам из четырех других цифр. Поэтому из данных пяти цифр
можно составить Р5 — Р4 = 5! — 4! = 96 пятизначных чисел.
2260.	3120. 2261. 96; 114; 118. 2262. 126; 70.
2263. Ж1 = -3; ж2 = -12. 2264. 100.
2265. 1) А; 2) 206.	;
4)
2266. 1) 5; 2) 6; 3) 3; 4) 5. 2267. 42. 2268. 12.
2269. 8008. 2270. 42. 2271. 15015. 2272. 2520.
2273. 210. 2274. 1) 55440; 2) 30240. 2275. С^~_кк-
2276. 246480. 2278. х = 5; п = 5. 2279. х = 12; п = 7.
2280. Решение. Разложим данное число на простейшие мно-
множители:
3570
1785
595
119
17
2
3
5
7
17
1
Очевидно, количество четных делителей таково:
C\ + Ci + Cl + Cl + C\ = 1 + 1 + 4 + 6 + 4 = 16.
2282. 14; 5. 2283. Не имеет решений. 2284. 16. 2285. 3640.
40*

628	Ответы, решения, указания
2286. 60. 2287. 64. 2288. 104. 2296. 101376ж5.
2297. Cf6x~4. 2298. -6435ж4?/7/4, 6435ж7/2?/2. 2299. 40.
2300. 36х7у2. 2301. Нет такого члена. 2302. 1856466ж.
2303. С?7. 2304. Нет такого числа. 2305. 5. 2306. 8.
2307. 10. 2308. 35. 2309. 9. 2310. 7. 2311. 10-й.
2312. 84ж. 2313. 120а. 2314. 3. 2315. ±2; ±1.
2316. 1000; 0,1. 2317. 9. 2318. 2.
2319.	1) Юж2; 2) 1; 2730; 25740; 3640; 3) 625; 7000; 1120; 16.
2320.	824. 2321. -11. 2322. 2; 3; 5.
2323.	Решение. Последний член равен
/	\ logo 8
| —L ) = (з-5/3У°ёз8 = Clog38)~5/3 = 8/3 = 23'(/3) = 2
43^9/	V	7	V	7
С другой стороны, этот же последний член равен ±B~1/2)п = ±2~п/2.
Поэтому 2~5 = 2~п/2, отсюда п = 10. Тогда искомый член разложения
будет равен Cr140B1/3NB/2L = yyyj . 22 • 2 = 10 • 3 • 7 = 210.
2324.	п + 1. 2325. 6. 2326. 240.
2328. Решение. Полагая п = 5, по формуле Муавра находим
(cos</? + isin</?M = cos5</? + isin5</?. По формуле бинома Ньютона
(cos ip + г sin (рN = cos5 ip + 5 cos4 у? • г sin ip + 10cos3 ip • i2 sin2 y? +
+10cos2 <p • i3 sin3 ip + Б cos ip • г4 sin4 у? + г5 sin5 y? =
= (cos5 cp — 10 cos3 (/? sin2 ip + 5 cos y? sin4 y?) +
+ i E cos4 (/? sin <p — 10 cos2 y? sin3 ip + sin5 y?).
Левые части полученных разложений равны, следовательно,
равны и правые. Поэтому
cos5</? = cos5</?- 10cos3</?-si2	4
sin5</? = 5cos4(/? -siny? — 10cos2(/? -
§ 27. Теорема Везу и ее прилоснсения
2329. 1) 7; 2) 4; 3) -16^; 4) —Зэ|. 2330. -3.
и	о
2331. Решение. Имеем х2 + х — 2 = (ж + 2)(х — 1). Условие
делимости данного многочлена на трехчлен х2 + х — 2 равносильно
условию делимости этого многочлена на множители (ж+ 2) и (х — 1).
Это означает, что числа (—2) и (+1) должны обратить в нуль данный
многочлен.
Г-8а + 46 + 74 +14 = 0,	Г 2а - 6 = 22,
{ а + 6-37+14 = 0	|
Ответ: 15; 8.

Разд. II. Алгебра и начала анализа	629
2332. 3; 9.
2334.	1) Да; 2) да; 3) нет; 4) нет; 5) нет; 6) нет.
2335.	1) Да; 2) да.
2336.	1) (ж-2J(ж-3); 2) (х - 1J(ж + 1)(х - 2);
3) (ж-1J(ж2 + 4); 4) (ж-2J(ж + 2)(ж-3).
2337.	1; 1; 6. 2338. 1; 2; ±1. 2339. 4; ±2; -1.
2340.	0; 1; 1; 1; -2.
2341.	1) ж3-ж2-4ж + 4 = 0; 2) х3 -Зж3 - 2ж + 6 = 0;
3) ж3-Зж2 + 7ж-5 = 0; 5) х4 -5ж3 + 10ж2 - 10х = -4.
2342.	1) ж3-2ж2 + ж-2 = 0; 2) ж4 -8ж3 + 24ж2 -32ж + 20 = 0;
3) (х-1K(х2
2343.	1 + г; 2±г.
2344.	1) -3; |A±гл/3); 2) |; |(-1±гл/3); 3) ±2; ±1; ±гл/3.
оо/<г i\ _i_V^5 .л/б оч , л/б , . л/б оЧ . 2 . 2
2345.	1) ±-; г- 2) ± —; ±.—; 3) ±—; ±г —.
2346.	1) -1,6; 1; 2) 1; 2; 0,5(-1 ±гл/3).
2347.	1) ±2; ±2г; ±0,5; =Ь0,5г; 2) -2; -7±гл/3; -1; -4±гл/3.
2348.	1) ±2л/2;
2) Указание. Положить A + ЗжI/4 = ^/, тогда ^/2 — 3^/— 4 = 0;
2/1 = —1; 2/2 = 4 и т. д.; получаем ответ: 85.
2349.	3; 3; 3±2\/5. 2350. 0; ±1; ±г\/ТТ.
2351. 2; -4; -1±г\/б. 2352. 1; 0,5(-1±г\/23).
2353. -1; 12; i A1±гл/Ш). 2354. 1; а; 1-о.
2355. -2; -1; 0; -1±гл/41. 2356. =Ь0,5\/3; 3=Ьг\/б.
2357. ±2; ±г. 2358. о = 1.
§ 28. Принцип математической индукции
Во всех формулах п — натуральное произвольное число, п G N.
2359. Доказательство. 1) При п = 1 утверждение справед-
справедливо, так как 1 = I2.
2)	Допустим, что утверждение справедливо при каком-нибудь про-
произвольном натуральном п = А;, т. е. 1 + 3 + 5 + 7 + ... + B& — 1) = к .
3)	Докажем, что формула верна и при п = к + 1: в самом деле,
l + 3 + 5 + 7 + ... + BJk-l) + B(Jk + l)-l) = к2 + Bк + 1) = (& + 1J.
Утверж;дение оказалось справедливым и для п = к-\-\. На основа-
основании аксиомы математической индукции заключаем, что справедлива
формула	1 + 3 + 5 + 7 + ...+Bп-1) = п2.

630	Ответы, решения, указания
2361. Доказательство. 1) При п = 1 утверждение справед-
справедливо, так как
2)	Допустим, что утверждение справедливо при п = к, т. е.
l3 + 23 + 33 + ... + jfe3
3)	Тогда при п = к + 1 имеем
4	V	2	J
Утверждение оказалось верным и для п = к + 1. Следовательно, фор-
формула верна при всяком натуральном п.
2374. Доказательство. 1) Для п = 1 утверждение справед-
справедливо по условию.
2)	Предположим, что ап-\ — 2п~1 + 1, ап = 2П + 1.
3)	Тогда an+i = 3BП + 1) - 2BП + 1) = 2n+1 + 1. Следовательно,
2376.	an = (n-l)d-(n-2).
§ 29. Числовые последовательности и их пределы
2377.	1) 1; 2; 3; 4; ...; 3) 1; 3; 5; 7; ...; 5) ±; 1; 1; 1; ...;
7) i; J; |; |; ...; 9) 5; 7; 9; 11; ...; 11) 1; 0; -1; 0; ...;
12) v^; I; tg-; —; ...
2378.	1) п; 2) 2п-1; 3) 2п; 4) (-1)п+12; 5) -^;
6) (-i)-1-^; 7) -±^-, 8) tg(f-^).
2379.	1) Возрастающая; 2) убывающая; 3) колеблющаяся;
4)	убывающая.
2380.	1) Ограниченная; 2) ограниченная 3) не ограниченная;
4) ограниченная.
0
а\ а,2 аз
Рис. 106
2381. 1) |; |; |; |; 5; ... 2) См. рис. 106.

Разд. II. Алгебра и начала анализа	631
3)	По мере возрастания порядкового номера п данной числовой
г	П + 1
последовательности общий член ее ап = 	 неограниченно растет.
А
Это значит, что для каждого положительного числа А существует п^,
в данном случае по ^ 2Л — 1, такое, что для каждого п > по
_ n + 1 2A-1 + 1 _ Л
Символически этот процесс записывают так:
1.	1.	П + 1
Пт ап = Пт 	= оо,
п—>-оо	п—>-оо 2
где символ оо (не число!) означает процесс неограниченного роста ап.
4)	2002; 20002; 2000002.
2382. Решение. Данную последовательность представим в виде
разности:
2п + 1 ,	*>
Из единицы вычитается правильная положительная дробь
которая убывает от - до 0, когда п пробегает все значения натураль-
2	2
ного ряда чисел от 1 до оо; при п = 1 имеем 	= - и при п —> оо
ел	ATI + О	О
имеем Hm 	 = 0. При этом разность, т.е. числовая последова-
п—»оо . '
2
тельность ап = 1	, также правильная положительная дробь,
2п + 3
которая возрастает от - до 1.
о
1
2
Рис.
3
5
О1
107
5
7
а2
7
9
а3
9
11
а4
11
13
а{
Следовательно, данная числовая последовательность возрастаю-
щая и ограниченная: - ^ ап < 1 при 1 ^ п < оо, п € N (рис. 107).
о
2383. 1) а) п!; б) -; в) ^_У	; г) f!LJ:; д) 5-Зп.
n	n	2п + 1
2384. 1) Предел равен нулю; 2) предела не имеет;
3) предел равен нулю; 4) предел равен единице.
2386. 1) Решение. Предел алгебраической суммы переменных
равен алгебраической сумме пределов слагаемых, поэтому
13 1
Hm (ап - bn) = Hm an- Hm bn = - - - = --;

632	Ответы, решения, указания
2390.	Решение. До перехода к пределу разделим числитель и
знаменатель на п: 	 = 	=-. Если теперь п —У оо, то — —у 0.
8n +1 g_|_ ±	п
Поэтому	п
л.	п	,-11
hm 	= hm	 =-.
n->oo8n + l n->oo8 + i 8
n
2391.	0. 2392. 4. 2393. 2,5. 2394. 0,5. 2395. 0.
2396. -0,75. 2397. 0. 2398. д/З.
§ 30. Исследование функции без применения производной.
Предел функции. Производная функции.
Исследование функции с помощью производной
2399-2402 1). См. «Числовые промежутки» в учебнике и в § 1 При-
Приложения I.
2402.	2) Решение. Имеем (х — 2J ^ 4, откуда х2 — 4х ^ 0, или
х(х — 4) ^ 0. Тогда: или х < 0 и х — 4 > 0, т. е. х < 0 и ж > 4, что
невозможно; или х ^ 0 и х — 4^0, т. е. х ^ 0 и ж ^ 4.
Ответ: 0 ^ х ^ 4.
Эта же задача легко решается методом интервалов или с помощью
графика функции у = (х - 2J.
2403.	1) Решение. Функция определена для всех значений х,
кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в нуль. Имеем
2х — 6 = 0, х = 3. Получаем ответ: —оо <ж<3; 3<ж< оо.
2404.	1) -оо <х^ -2; 4^ ж < оо; 2) -5 ^ ж ^ 2.
2405.	1) 0^ж^4; 2) 5 ^ х < оо.
2406.	1) 0^ж^4; 2) -1 ^ х ^ 2.
2407.	1) -оо < ж < 0; 4 < х < оо; 2) -оо < х ^ -2; 2 ^ ж < оо.
2408.	1) ж = 1; 2 ^ ж < оо; 2) xi = 0; х2 = 1; 3 ^ х < оо.
2409.	1) -З^ж <+оо; ж / 5;
2) Решение. Должно иметь место неравенство	 ^ 0, или
Ах -\- о
(Зж — 2)Bж + 6)^0 и 2ж + 6/0. Отсюда получаем ответ: —оо < ж <
2410.	1) 0 < х < +оо; ж / п, где п = 1; 2; 3; ...;
2)
2411.	1) -оо<ж^0; 2) -1 ^ ж <-0,5; -0,5 < ж ^ 1.
2412.	1) 0^x^0,5; 2) -1,5 ^ ж ^ 2,5.
2413.	1) 2^тг < х < B& + 1)тг; 2) 0 < х < 1; 1 < ж < оо.
2414.	1) -1^ж<1; 2) -i^x^l.
о

Разд. II. Алгебра и начала анализа
633
2415.	1) хфк-к; хф^ + ^-; 2) 7<ж<ос.
о о
2416.	1) -Ь^х < 9, ж/8; 2) 1 ^ х ^ 4.
2417.	1) 1^ж<2; 2) 2 ^ х < 3; 3 < х ^ 4.
2418.	1) -оо < ж < -1; 3 < х < 5; 2) -ос < х ^ 0.
2419.	1) (К 2/^;
2) функция имеет единственное значение у = 0 при х = 1.
2420.	1) М^1; 2) -1<^1.
2421.	1) -лДб^у^лДб; 2) 0 ^ у ^ 2.
2422.	1) 0,75 ^ у < оо; 2) -оо < у ^-2; 2^у <оо.
2423.	1) -0,25^2/^20; 2) К у <С 3.
2424.	1) 0^2/^0,5; 2) -ос < ?/^ Ig3.
2425.	1) Убывает на интервале —оо < х < 0; возрастает на ин-
интервале 0 < х < оо. Этот ответ будем записывать короче: убывает
на (—оо; 0); возрастает на @; оо);
2) возрастает на (—оо; 0); возрастает на @; оо).
2426.	1) Убывает на (—оо; 0); убывает на @; оо);
2) возрастает на (—оо; 0); убывает на @; ос).
2427.	1) Возрастает на (-1; оо) (на -оо < х ^ -1 эта функция
не существует);
2) возрастает на f А:тг— —; ктт + — J.
2428.	1) Возрастает на (-оо; 2); убывает на B; оо);
2) возрастает на (—оо; +оо).
2429.	1) Убывает на (—оо; 0); возрастает на @; оо);
2) убывает на (-оо; 0); возрастает на @; оо).
2430.	1) Возрастает на (&тг—; к7г-\--\; убывает на (&тг + -; &тгН	J;
2) убывает на (—оо; —1); возрастает на (—1; 1); убывает на A; оо).
2431.	1) Четная; 2) ни четная, ни нечетная.
2432.	1) Четная; 2) ни четная, ни нечетная.
2433.	1) Четная; 2) нечетная. 2434. 1) Нечетная; 2) нечетная.
У
2
f = \х\ — х
БB;0)
-1 О
1
;
-1
У'
2
\
1
0
У =
1
= 1
1)
+ vH
i;2)
X
Рис. 108	Рис. 109
2435. 1) См. рис. 108. 2438. 2) См. рис. 109.

634
Ответы, решения, указания
2
0,25
О
МB,5;-0,25)
а
мB,5;0,25)
12 3 4
б
Рис. 110
О
-1
-4
1 2
х — 5ж -
3 4
МB,5;-0,25)
Mi B,5;-4)
У*
6
4
1
0
-1
-
\
1 2
/
к ж
1 1
/
МB
1
2-5жЧ
»
#
Mi B,
4
,5;-0
-б|
5; 4)
л/б
,25)
Рис. 111
-1
/
1^
1
\/2/ = 1-ж2
У = Iog2(l —ж2)
Рис. 112
Рис. 113
2440.	1) См. рис. ПО, а; 2) см. рис. ПО, б.
2441.	1) См. рис. 111, а; 2) см. рис. 111, б.
2446. 1) См. рис. 112. 2454. 1) См. рис. 113.

Разд. II. Алгебра и начала анализа	635
2455.	1) 0; 2) 1.
2456.	1) Решение. По правилу вычисления предела целой ра-
рациональной функции находим: lim (ж3 -\- х — 5) = З3 + 3 — 5 = 25;
2) 13.
2457.	1) -1; 2) -12. 2458. 1) 8; 2) 54.
2459. 1) -3; 2) -6. 2460. 1) -0,6; 2) 3. 2461. 1) 4; 2) 3.
2462. 1) 0,4;
2
оч ^	,. х — 5ж + 6	Л. (х — 2)(ж — 3)	,. х — 2
2) Решение, hm	^		= hm	-^—г—*-	= hm
3_2 1	ж->з Зж -9х	х^з Зж(ж-З)	ж->з Зж
1ГЗ 9'
2463. 1) 0,25; 2) -1. 2464. 1) 1; 2) ~.
Ь
2465. 1) 1; 2) 0,5л/2.
2466.	1) Решение, lim ^-= lim	^sinscoss = \ '^ ~^~ =
= 1 _J_ = 1 _J_ = 1 ^ Sm X X^KCOSX' smxcosx x^ cos x
~2'C0S27r-2'(_iJ-2;
z) — у A.
2467.	1) |; 2) |.
2468.	1) 6;
2) —л/б. Указание. Умножить числитель и знаменатель на соп-
сопряженный знаменателю множитель, т.е. на (л/5 — х + л/б + ж).
2469.	1) --L; 2) -0,5. 2470. 1) |; 2) |.
56	6	6
2471.	1) 3;
2) Решение, lim (х2 — Зж + 7)= lim (ж2A	1—^)) = ( lim x) x
/ 3 7\
х lim (l-? + -L =oc.
^°°\ х х2)
2472.	1) ос; 2) -ос. 2473. 1) 3; 2) 0,5.
2474.	1) 0,4;
2
2) -. Указание. Можно решить двумя способами:
о
а)	разделив числитель и знаменатель на ж в высшей степени,
т. е. на х2;
б)	положив х = —.
а
2475.	1) 4; 2) -2,5.
2476.	1) -2;
2) ос. Указание. Разделить числитель и знаменатель на выс-
высшую степень аргумента х в знаменателе, т.е. на х3.
2477. 1) ^; 2) л/3.

636	Ответы, решения, указания
2478.	1) 1,5. Указание. Умножить и разделить данное выра-
выражение на л/х2 + 3ж + ж;
2) 1,5.
<л л*ъ i\ т->	1- sin4sc ,. Л sin4sc\ л л. sinDsc) л
2479.	1) Решение, hm	= hm 4—— = 4 lim v y =4;
-1	ж->-0 Ж	ж->-0 \ 4ж / ж->-0 Dж)
2480.	1) 1; 2) - 2481. 1) i; 2) 0,5.
4	о
2482.	1) —;
п	п • 2 х	х
1 — cos ж 2sin ~	sin~	ж
2) Решение. Hm	 = Hm	 = Hm T 2 • Hm sin — =
ж->-0 Ж	ж->-0 Ж	ж->-0 _ ж->-0 2
= 1-0 = 0.	2
2483.	1) 0; 2) 0. 2484. 1) ос; 2) 0. 2485. 1) 6; 2) 0,5.
2486. 1) Решение. Пт	= Hm —л	= Hm
^ояесж 1 >о 1 i >о
= Hm л= Hm
—1 ж->-о 1 _ i ж->-о 1 — cos ж
т	т	/г	COS ж
2ж-2 sin-cos-cos ж	l^'~ ж	\
= Hm	2 o ^ 2	= 2 Hm —\ cos — cos ж = 4:
^o	2 sin21	^o^sin| 2	J
2) 0,5m2.
2487. 1) 3; 2) lim V^|sin*1 = ^2
ж^0
2488. 1) Решение, lim		= Hm
x^o / +1 1 ж^о
Ж
U/x + 1 + 1)
,. 8т4ж(л/ж + 1 + 1) л ,. smAx ( ,——г , л, о
= Hm	 = 4 Hm	ых + 1 + 1) = 8;
Ж	ж^-0 4ж
^ч ^	,.	sin ж	,. sin ж (л/1 + ж sin ж + cos ж)
2) Решение. Пт	^ —	= Пт	^	 =
ж^-о л/1 + ж sin ж — cos ж ж^-о A + ж sin ж)— cos ж
„			sin ж
!. sin ж(л/1 + ж sin ж + cos ж) ,. ~^~ / /
= Пт	—ту	 — lim ——	(у
(у	cos ж) =
x-\-xsmx	о?1^ + ч
2489.	1) -1; 2) 3.
2490.	1) Решение. Пусть х + 1 = а, тогда ж = а — 1; если
ж —>¦ — 1, то а —> 0. Следовательно,
,.	ж3 + 1	.. (ж + 1)(ж2-ж + 1)	а , 2 о , о\ о
Пт -—;	-= Пт	^-	 = Пт -—(а -За + 3)=3;
ж>1 sin(aj + l) ж>1 sin(# + l)	a^osina
2) 1.
A \n+5	//	1 \n /	1 \5 \
1 + -) = Hm ff 1 + -) .A + -) 1 =
П/	n^-oo \\	П/ \	n/J
/	1 \n	/	i \5
= Hm A + -) • Hm A + -) =e-l = e;
n^-oo V	П/ n->-oo V	П/
2) e3.

Разд. II. Алгебра и начала анализа
637
2492.	1) е2. Указание. Положить х = 2у; 2) —.
2493.	1) е4; 2) е2.
(х \х 1 . 1	1
	1 = lim 1 х = lim 	^-^ = -;
(ж-1)+4
2) е6.
2495.	1) е/2; 2) е.
2496.	1) е4. Решение, lim (^±i ) = nm (ж 1 +
)
—1 /
4
4
Ч) lim A + 4) lim A + Ч
Ж —1/	ж^-оо V	Ж —1/	ж^-оо V	Ж —1
Пусть теперь ж — 1 = 4а, тогда ж = 4а + 1; если х —у ос, то и
а —у оо.
2497. 1) е . Указание, lim
}	ж^оо
= lim
ю-
= lim A	) . Пусть Зж + 1 = —За, тогда если х —У оо, то
ж->-оо V 6Х + 1/
а —>¦ —оо; Зж = —За — 1, х = —а — -, 2ж = —2а — -;
о	о
2) е.
2498. 1) е;
/ 1 N
2) е10. Решение. Имеем НтA + 2жM/ж = lim 1 + -р-
= Пт H+J_
2499. ж = 0. 2500. ж = -0,5. 2501. х = 1. 2502. ж = ±1.
2503. х = 1. 2504. ж = 2 и х = 4. 2505. ж = 0 (рис. 114).
-1\O
Рис. 114
2506. ж = ^(
2
1
0
I
1
(i;2)
ж
-1
Рис. 115	Рис. 116
2507. x = 0 (рис.115). 2508. x =
2509. ж = 0 (рис.116). 2510. х = 0.
2511.	1) 2ж; 2) —^-; 3) —\; 4) cosx.
2л/ж х
2512.	1) 6ж-5; 2) 2аж + 6. 2513. 1) (ж-2J; 2) (ж2-!J.

638	Ответы, решения, указания
2514.
2515. 1) 3A--^); 2) 35ж4 + -^ - Юх^/х.
V л/ж/	л/х
2516.
1ху/х1 + -^=;
2) Решение, у = (у/а-у/хJ; yf = 2(y/a-у/х) •(-—-=) =——:
/- /-\	V 2 л/ж/ л/ж
х
2517.	1) 2(Зж2 + Зж-1); 2)
2518.	1) --Лт* 2)
(ж-1J	2 л/ж (л/ж+ 1)
2519. 1) ^=-^; 2) 1-4 + ^-
v х1 v х6	п х т
1 xA v х6	п х т х
2520.	1) ^(x-W-x-1'*); 2) ^i
2521.	1) 24(ж2 + ж + 1)Bж3 + Зж2 + 6ж + 1K; 2) 2
/4 + Зж
2522.	'	'	FW"~
oroo i\ Зж + 10ж + 20	D	,	kU/3
2523. 1) 	-——	——. Решение, у = (х - 5I/3 х
15(ж-1J/3(ж2 + 4I6/15
х (х2 + 4/15; j/' = I (ж - 5)/3(ж2 + 4)/15 + (ж - 5I/3 • (~) х
— (ж-5)) =
15	/
5ж2 + 20 - 2ж + Юж
2 — Зж — х	I 1 — х
2524. 1) /'@) = 1; f(l) = 0; /'(-I) = 4; 2) 8,25;
3) /40) = -l;//B) = -J;//(-2) = ~; 4) -90.
2525. 1) l-cosx = 2sin2^; 2) 1-
2526. 1) -ctg2x; 2)
cos2 ж
2527.	1)	^^^, 2^
2 л/ж	sin" ж
2528.	1) 6cos6x; 2) bsm(a-bx).
2529.	1) i(cos^-sin^); 2) 3sec23x - ^cosec2 |.

Разд. II. Алгебра и начала анализа	639
2530. 1) sin2aH	-	; 2) -sin2x
2 V sin ж
2531.	1) ^sin2a;-sin(a;-0 2) 3tg4x.
2532.	1) -cosec6^; 2) 3x2sinBx3).
2533. 1)	; 2)	f^^_
1-8ШЖ	A + 2йтжJ
2534.	1) - v ^^ J; 2) -cos
sin 2ж
ът** t\ cos л/ж I	I n4 a . x лп о л	л
2535.	1) 	j=	^-cos-; 2) --sin	12cos24x -sin4x.
2 л/ж x	x	6 6
2 x	2x
1	/^_i_i\ sec -	cos -	o™
2536.	1) i sec2(^-4 + —pJ=; 2)	j-2---
2	V 2 / ^ / -
2537.	1) а/}11!' 2^ arrsin ^ -1- -T-^
2538.	1) 1 ; 2) 	"j-
yx — x2	\x\yl — x2
2ж3+2ж-1
2539. 1) ^ 2	; 2) ^-^. 2540. 1) 2\/Т^ж2:; 2) arccosx.
1 + ж	ж +ж
2541. 1) 1±^;	2) lnx; 3) -^; 4) J--1 « ^
ж	ж2 In 10 ж ж
огло 1\ 2(ж + 1) оч 1пЖ + л/ж	ОГ/10 -14 , Ж оч	о
2542. 1) ж/ +J; 2) 	—1—. 2543. 1) -tg-; 2) ctgx-cos2x.
1 "i
^п х — п\п х ^ч sin ж
2545. 1) Ц?±1+2^^3:1:+^; 2) хп-1(п\пх+1)+
2546. 1)	^=; 2)
2уж2 —ж	у a2 + x
2547. 1) -^=	^	; 2) —?5-
2548. 1)
/ Ш Г1 Zi ПР	1
2) Решение, у = lnW	:	 = - (In | sin 2ж| — In |1 —
т	,_ 1 /2соз2ж Bсо
огда у - - I s-
_ ctg2ж
1 — 81п2ж '
2549. 1) 2ж1п2 + 2ж; 2) 10ж

640
Ответы, решения, указания
2550.	1) -^ + г^; 2) е*-Д-.
3 2 л/ж	х
2551.	1) ежA + ж); 2) х -2жB + ж1п2).
2552.	1) ех(cosж — sinж); 2) —— (sinж — cosх).
sin ж
2553.
ж/2; 2)
A-е
ж\2 '
2554. 1) --е~х/а] 2)	^^т- 2555. tg5x.
а	(ех — е Х\А
2	2 г-
2556. -si
cos3 ж2 4 <
19 1	1
2557. —2ж tg х2	2 sin —I	7= sec2y^ • ctg2 —= +
—
2558. 4i/(x2 + a2K. Решение. Имеем
2/ = x(x2 + a2K/2 + ^a2x(x2 + a2I/2 + ^a4ln(x +
Тогда
^ = (Ж2 + a2K/2 + 3 ж(ж2 + fl2I/2 ^ 2ж + 3 ft2(x2 + fl2)l/2 +
3 2
3 4
1+-
2ж
^ x + V^2 + a2 V 2V^2 + a2
3 2 ж2 + а2 + ж2 3 4 I
' xA + aA
'xA + aA
2559. Va2-x2. 2560.
+ в2
V	/	2. 2561. k=V2~Vl .
Х2 — Х\
2562.	а) 0; б) -4; в) fci = 2; fc2=4.
2563.	1) (-1;-1); A; 1).
2) Решение. Так как у' — Зж2, то угловой коэффициент каса-
касательной равен у'х=1 = 3. Следовательно, уравнение касательной у — 1 =
= 3(ж — 1), или ^/ = Зж — 2. Уравнение нормали 2/ — 1 = — (ж — 1), или
14	3
+
2564.	1)
2) ^/ = -	^
2565.	1)	2/ = 4ж; 2/ = -4ж + 16; 2) 2/ = ж + 1.
2566.	1)	Q;2i); 2) @;2). 2567. 1) @;0); 2) A; 1).

Разд. II. Алгебра и начала анализа	641
2568.	1) Не может, поскольку у' = Зж2 ^ 0 при любом х.
2569.	1) 45°; 2) 60°.
2570.	1) arctgi и arctg-1-; 2) arctgi « 1P20' и arctg ^ « 7°7'.
7	1о	о	7
2571.	1) Q;y); 2) arctgFyM или 40°54/ и 139°6'.
2572. (§; — §§)• 25ГЗ* ^ aFCtg^ И 180°-arct§^ 2) arctg3.
2574.	1) arctg2\/2«70o30/;
2) в точке (-5; 45): ?/ = -20ж-55; ?/ = -13ж-20.
2575.	1) D;0); A;-27).
2576.	2) Решение. Находим ординаты точек А и В параболы,
которые стягивает хорда: уА = ух=\ = I2 - 2 • 1 + 5 = 4; ув = 2/ж=3 =
= 3—2-3 + 5 = 8. Итак, координаты концов хорды А В вычисле-
вычислены: ЛA;4), БC;8). Угловой коэффициент хорды АВ равен кАВ =
= —	— =	= 2 (см. задачу 2561). (Составлять уравнение хорды
X о X л	О X
в данной задаче нет необходимости.) Абсциссу точки М касания нахо-
находим из условия &кас — у' — кАВ, т.е. 2х — 2 = 2, х = 2. Итак, жм = 2.
Вычисляем ординату точки касания: ?/м = ух=2 = 22 —2-2 + 5 = 5. Точка
касания имеет координаты МB; 5). Составляем уравнение касательной:
2/-5 = 2(ж-2), или 2/ =
2577.	1) а) (-|;2); б) (-1;1) и Q; 1); 2) B; 4).
2578.	2) Не может, поскольку tgcp = у' =	2<^ для
I	х
точки ж, в которой функция у — — определена.
2579.	1) В точке @; 1) для функции ех и в точке A; 0) для
функции In ж;
2) (-1;-4); A;0).
2580.	1) у = 2х-2] у = 2х + 2; 2) х + 2Ьу = 0; х + у = 0.
2581.	1) у = х2 — Зж + 4. Указание. Параметр b находится из
условия у' — 2х + 6 = 4 + 6 = 1, а параметр с — из условия, что B; 2) —
точка касания;
2) 62-4ас = 0.
2582.	1) -1^ к^ 1;
2) По закону косинусоиды, т.е. к = tg a = (sin ж)' = cos ж, где х —
абсцисса точки касания синусоиды. Например, если х = 0, то к =
= tg a = (sina^-o = cosO = 1; если х = —, то к = tga = (sinx)^=7r/4 —
= cos— = —-; если ж = —, то A: = tga = (sinx)^=7r/2 = cos— = 0.
Угловой коэффициент касательной к синусоиде численно равен cos ж
в соответствующих точках касания.
41 В. А. Бачурин

642	Ответы, решения, указания
2583. 1) И < ! и Ц- < \х\ <С тг. 2584. 2) При х = ^; у? = ^.
2585.	Решение. Скорость движения точки в любой момент
времени t равна v = sf = 6 — 2t. Полагая v = О, найдем t: 6 — 2? = О,
? = 3. Скорость движущейся точки равна нулю в конце 3-й секунды.
2586.	2г> —- = 2а —- = 2аг>, отсюда ускорение а = —- = а.
at	at	at
2587.	—- = k(A-x). Указание. Из условий x't = Ake~kt и
х = АA — e~kt) исключить e~kt.
2588.	3 град/с.
2589.	Решение. Дифференцируя уравнение
s = -gt2 + vot + so,	A)
получаем
v = ^=gt + v0.	B)
Дифференцируя уравнение B), получаем а = — = —^ = 9-
dt dt
Примечание. Если ускорение некоторого движения постоянно
и равно д, то скорость выражается равенством B), а расстояние —
равенством A) при условии Vt=o = ^о и st=o = <$о-
2590.	Решение. Дифференцируя уравнение движения точки
s = 2t3 + t2 — 4, получаем скорость движения точки в любой момент
времени t: v = —- = 6t2 + 2t. Вычисляем скорость движения точки в
dt
момент t = 4: Vt=4 = 6 • 4 + 2 • 4 = 104 (м/с). Ускорение движения точки
dv
в любой момент времени t равно а = —- = 12? + 2. Вычисляем уско-
dt
рение движения точки в момент времени t = 4: 0^=4 = 12 • 4 + 2 =
= 50 (м/с2).
ОГП1	с/ж	,	dv	a	a (
2591.	v = —- = а — at; а = — = —а; через t = —; х — — (выс-
dt	dt	g	2g
шая точка).
2592.	Движение тела определяется уравнением х = 10 + 20? —
gt	dx ог. , dv	^	„	dx n , 20
— ^—; v = -— = 2i) — gt; -— — —д. В наивысшей точке —- = 0; t = — «
9ПП	^
«2,04 с; ж = 10+— «30,4 м.
Р 2
2593.	^ = b-2ct; ^ =-2с; ^=—. 2594. 35 А/с.
dt	^2	2с
2595. 1) На интервале — ос < х < 0 функция убывает, на интер-
интервале 0 < х < оо функция возрастает;
2) на (—оо; 0) возрастает; на @; оо) возрастает.
2597. 1) На (—оо; 0) убывает; на @; оо) возрастает;
2) на (—оо; 4) убывает; на D; оо) возрастает. Решение. Нахо-
Находим производную функции у = х2 — 8>х + 12: у' = 2х — 8 = 2(х — 4).

Разд. II. Алгебра и начала анализа	643
Приравниваем ее нулю: 2(х — 4) = 0, получаем х = 4. При ж = 4:
2/'D) = 0, ?/D) = -4. При х < 4: у' = 2 х
х (ж — 4) < 0 — функция убывает. При
х > 4: у' — 2(х - 4) > 0 — функция возрас-
возрастает (рис. 117).
2598.	1) На (-ос; 1) убывает; на A; ос)
возрастает;
2) на (-ос; 2) убывает; на B; ос) воз-
возрастает.
2599.	1) На (—ос; 0) возрастает; на
@; 4) убывает; на D; ос) возрастает;	ис'
2) на (—ос; 1) возрастает; на A; 2) убывает; на B; ос) возрастает.
У>
0
-2
-4
2\
\

4!
\jL
Л(
/6 X
1
/
4;-4)
2600.	1) На (~ + 2кп; ? + 2for) возрастает; на (^
убывает;
2) монотонно возрастает на (—ос; ос).
2601.	1) На (	Ь&тг;—Ь&тг) возрастает;
2) на (&тг; (& + 1)тг) убывает.
2602.	2) Решение. Находим производную функции у = arctgx —
о	о
1	1 — 1 — X	X
—	х: у' =	т; — 1 =	~— =	~. Мы видим, что у' при лю-
1 + ж2	1 + ж2	1 + ж2
бом х меньше нуля, а это и означает убывание этой функции на всей
действительной оси.
2603.	1) На (—ос; 0) возрастает; на @; ос) возрастает;
2) на (— ос; -1 убывает; на f-; ooj убывает.
2604.	1) На (-ос; 0) возрастает; на @; ос) убывает;
2) на (-ос; 0) возрастает; на @; ос) возрастает.
2605.	1) На [0; ос) возрастает;
2) на [0; 0,5) возрастает; на @,5; 1) убывает.
2606.	1) На (-ос; ос) убывает;
2) на (—ос; 0) возрастает; на @; ос) убывает.
2607.	На @;^) убывает; на (^-;-^-) возрастает; на (-^;2тг)
убывает.
2608.	1) На @; ос) возрастает;
2) на @; 1) возрастает; на A; ос) убывает.
2609.	1) ут-ш = ?/@,5) = -0,25. (Условная запись 2/@,5) вмес-
вместо 2/ж=о,5«) Решение. Находим у' = 2х — 1. Далее, 2х — 1 = 0, х —
—	-. Итак, у'\-\ =0. Оцениваем знак производной в окрестности
2	\2/	^	^	/ 1\
критического значения х = -: если х<-,тоу' = 2[х	) <0; если
1	/ 1\	V 2/
х > -, Toyf = 2lx--)>0. Таким образом, производная равна нулю
41*

644
Ответы, решения, указания
при х = - (необходимое условие экстремума), а ее знак изменяется с
2	2	1
минуса на плюс соответственно при х < - и при х > - (достаточное
условие минимума). Отсюда следует ответ (рис. 118);
2) l/min
о
У
1
1
(I 1>
V2' 4'
Рис. 118
^-1)
/о: !ДC;1)
13	ж
= f!-2a;2 + 3a; + l
Рис. 119
2610.	1) утах = у(-0,5)=6,25; 2) ymin = у(-1) = 4.
2611.	1) утах = у(О) = О; у™,, = 1/B) =-4;
2) 2/тах = 2/(-2) = у; 2/min = 2/B) = -у.
2612.	1) утах = уA) = |; 2/min = 2/C) = 1 (рис. 119);
2) 2/min = 2/A) = ; 2/тах = 2/D) = 25.
2613.	1) |/min = i/@)=0; 2) !
2614.	1) |/тах = |/@) = 2; i/min
2) 2/min = у(-2) = -4; j/max = j/@) = 60; 2/min = 2/C) = -149.
2615.	1) ymax = y(l) = 2; 2/min = 2/C) = -26; 2) j/min = yB) = 0.
2616. 1) ymax = y(-2) = -2; ymin =
= 2/B) = 2;
2) 2/max = 2/@) = 0; 2/min = 2/D) = 8
(рис. 120). Указание. Найти про-
производную функции
-2
2Л
2
z7
/
О
д
-2
Г
V
/
Ль
2
\
Ж =
х2
Л D; 8)
/
= 2
* ж-2'
ж(ж — 4)
=0;
= 4.
Рис. 120
2617.
При х ф 2 знаменатель [х — 2J > О,
поэтому знак производной совпадает
со знаком числителя ж (ж —4). Далее
оценить изменение знака производной
в окрестности критических значений
х\ — 0 и х2 = 4 аргумента х.
2/тах=2/(-1)=2; 2) 2/тах =2/B) =0,5.

Разд. II. Алгебра и начала анализа
645
2618.	1) ут1п = у(-2) = ~; 2/тах
2) 2/тах = 2/(-3) = -4,5; 2/min = 2/C) =4,5.
2619.	1) 2/тах = 2/A) = ; 2/min = 2/E) = 4;
2) 2/тах = 2/() = 2; 2/min = 2/A) = 0.
2620. 1) 2/min = 2/@) = -1; 2) 2/тах = 2/@) = 0 — так называемая
точка возврата; 2/min = 2/A) = ~1- Если 2/ = 0, то х\ — 0 и ж2 = 3-
(рис. 121).
У»
0
1
J
-1 J
L 2
4A;-1)
^ X
Рис. 121	Рис. 122
2621.	1) 2/max = y(O,5) = 0,25л/2; 2) ymax = y{-\) = 1.
2622.	1) ymax = у (Z-) = Z- + ^ и 1,1; ymin = J/ f—) и 0,4;
; ymax ^ Vl2/ 12 2	' ' У	^ V 12 /	' '
2) Утах = У (J) = ^ ~ f ^ О'34? ^mi" = ^ (" J) W -°'34"
2623.	1) утах = y(^) = ^ = -л/3 « 2,45; 2/min = У (Ц) =
= л/3-^«-2,45;
О
2) ymin = У (J) = f +1 » 2,57; утах =
2624.	1) j/max = 1/A) = 1;
2) ymin = 1/@,5) = | - f « -0,28; утах = у(-0,5) и 0,28.
2625.	1) 2/тах = 2/B) = -|;
2) 2/тах = 2/@) = 1 (кривая Гаусса; рис. 122).
2626.	1) t/min = y (i) = -i; 2) утах = у(е) = i и 0,4.
2627.	1) Утах = у@) = 0;
2) J/min = уBА;тг) = 0; утах = у(B/г + 1) тг) = \/2. В точках мини-
минимума у' не существует (угловые точки).
2628.	1) утах = у (-j + kw) = 1; при х = у + кж — разрывы;
2) Утах = У (f) = !>5; Ут1п = У (f) = ^ Утах = У ("^) = 1M'

646
Ответы, решения, указания
2629*). т = -1 при х = -1; М = 27 при х = 3.
2630.	т = 6 при ж = ±2; М = 8 при х = 0.
2631.	т = -1 при ж = 2; М = 3 при х = 0.
2632.	т = 0 при ж = 0 и при ж = 6; М = 32 при х = 4.
2633.	т = -10 при ж = 2; М = 10 при х = 0.
2634.	т = -25 при ж = ±2; М = 2 при ж = ±1.
2635.	т = 0 при ж = 0; М = 8 при х = 4.
2636.	т = 6 при ж = 8; М = 10 при х = 0.
2637.	т = -1 при ж = 0; М = 0,6 при ж = 4.
2638.	Решение. Дифференцируя функцию у =
—оо <
< сю, получаем 2/' =
-. Далее, 2/' = 0, т.е. 1 - х2 = 0, #i =
( + Т
= — 1; Х2 = 1. Вычисляем значение функции при критических значени-
значениях х\ — -1 и х2 = 1 и на концах отрезка [—л/3; л/3]: 2/(—л/3) = ~^~5
2/(—1) = — -; 2/A) = -; 2/(\/3) = —р. Отсюда легко получаем ответ:
т = -0,5 при х = —1; М = 0,5 при х — \.
2639. т =	при
= —; М = — при ж =	.
при ж = —.
2640.	т — нет; М =
2641.	1) 5 и 5. Указание. Пусть одно из слагаемых равно х;
тогда другое слагаемое равно 10 — х. Обозначив произведение этих
слагаемых через у, имеем у = жA0 — ж), или у = 10ж — х2. Далее нуж-
нужно исследовать эту функцию на экстремум;
2) 4 и 4.
2642.	1)	у/а и у/а; 2) 1.
2643.	1)	30 мх 60 м; 2) 0,8Дд/5 и 0,5Я\/5.
2644.	1)	0,25а/г; 2) 0,25ш\/3 и 0,5т.
2645.	1)	Квадрат со стороной 0,5р; 2) квадрат со стороной Rл/2.
2646. 1) Решение. Проведем высо-
высоту ВН трапеции (рис. 123). Пусть \АН\ = ж,
тогда \ВН\ = V100-х2 и у = Sabcd =
Далее,
yf =
10
АХН
Рис. 123
2V100-X2 л/ЮО-ж2
у' = 0 при #i = —10 и Х2 = 5. По смыслу задачи х ^ 0 и функ-
функция ^/ определена при ж ^ 10. Поэтому будем искать наибольшее
*) Здесь и далее через т и М обозначены соответственно наименьшее
и наибольшее значения функции.

Разд. II. Алгебра и начала анализа
647
значение функции на отрезке 0 ^ х ^ 10. Так как у@) = 100, у{Ъ) =
= 75л/3 и уA0) = 0, то 2/тах на отрезке [0; 10] равно 75л/3 при ж = 5;
при этом \AD\ = 10 + 2ж = 20 см;
2) -i*-«2,5.
У 7Г + Г
2647.	1) ж = 1,5;
2) расстояние хорды от точки А должно быть равно - диаметра
окружности.
2648.	1) Отрезки на осях х = 3 и у = 6;
2) прямая отсекает на осях координат отрезки 2жо и 2уо.
2649.	1) Основание и высота треугольника равны 0,5а;
2) равносторонний треугольник со стороной ад/3.
2650.	1) ?; 2) 4мх4мх2м.
I—
2651.	1) Радиус основания равен высоте: г — h— Ц —;
2) H = 2R.
2652.	1) ^^; 2) -R. 2653. 4R. 2654. В 3 км от лагеря.
о о
2
2655. 3 м/с. 2656. ^.
2657.	Боковая сторона равна 0,6р; основание равно 0,8р.
2658.	Стороны прямоугольника равны
2659.
2660.
dy=
2661.	1) dr = 4sin2y>dy>; 2)
2662.	1) sin2*cfa; 2)
олло ^	a dx	o4
2663- !) —2, 2 , 2ч: 2)
x (a +x )
dx
и
о	о
§31. Дифференциал функции
nxn-1dx] 2) dy = 3(x-lJdx.
2) ds = gtdt.
o4 1 . y?
; 3) -osinf
4) -
2664.
2665.
2666.
о
2668. -2же"ж dx. 2669.
2671. _
2672. -
sin
1 + е
2667.
2670.

648	Ответы, решения, указания
2674. 5(агС!|^Ж. 2675.
l-x2	cos х
2676. smxcosxdx_ 2677.
V l + sin2x
2678. -
2679. -2cos д/? sin y/x-^=. 2680.
2A +ж2) i/l + arctgx
l-22x
2684. Bxarctgx-l)dx. 2685. Д2/= 0,0090001; dj/ = 0,009.
2686.	a) dy = 16, A^~dy% = 5,88%;
6) dj/ = 8, A^~^% = 3,03%; в) d2/ = l,6, Ay~dy % = 0,62%.
Ay	'Ay
2687.	Ha 565 см3.
2688.	Радиус нужно измерить с погрешностью не более - %.
2689.	1) S = irR2; AS к dS = 2тгRdR;
2) V = -ttR3, AV&dV = 4<KR2dR.
о
2690.	5. 2691. 1,1. 2692. 0,93. 2693. 2,02. 2694. 2,96.
2695. -0,1. 2696. 0,485.
§ 32. Неопределенный интеграл
2700. -\/^з + С. 2701. —	+ С. 2702. С--.
3	п + т	х
2703. «0,4343 -10ж + С. 2704. /°^ +С. 2705.
1 + 1па
2706. А/^+С. 2707. «4,1ж°'83 + С. 2708. п-п2
V 9
2709. |ж2у^ + ж + С. 2710. С^
|жу^ + ж + С. 2710. С^е
о	Зж уж
2711. C-lQx-W + lbx^-Wlx1'™. 2712. z-21n|z| - i + C.
2
2713.	_+с_ 2714> ^+ж^+
З/	2	7	13
2715. ^v^-^v^+C. 2716. -^arcsinx + C.
2717. Зж-^f + С. 2718. i
lnl,5	2
2719. C-ctgx-tgx. 2720. tgx-ж + С. 2721. C-ctgx-ж

Разд. II. Алгебра и начала анализа
649
2722.
2724.
2727.
2730.
2733.
2735.
2737.
2739.
2742.
2745.
2748.
2750.
2753.
2755.
2757.
2758.
2761.
2763.
2765.
2767.
2770.
2772.
2774.
2775.
2778.
х - sin х + С. 2723. arctga;--
х
ln|aj| + 2arctga; + C. 2725. tgx + C. 2726. -х + С.
2728.
2729.
16
2731. С
8Bж-3)
4
2732.
°
-А (8-За:I1/8. 2734. с _ лЛ8 ~ 2а!K .
Зт
. 2743. i
4
2746. С- | cos5ж. 2747. |
С. 2749. С
2(arcsinx)
.
. 2751.
2754. ж cos a - \ si
2752.
C-icosBx-3). 2756. С - \ sinA -2x).
-tgBx--\+C, или i (tg 4ж -sec4x) + C
C-cos(e^). 2759.
2760. In |arcsinx
2762. - In \2x -
2764. ^1п(ж
2766. 1п(еж +
2768. C-ln
2769.
C-iln|cos3x|. 2771. - In | sin Bж + 1)| + C
). 2773.
— + C, если ш / -1 и 1п|1пж| + С, если т = —1.
2776.
2777.
1-Зж
Зх
31па
+ С.
^—. 2779. С - ^-
In а	3
2780. 0,5еж +С.

650
Ответы, решения, указания
2781.
2784.
2786.
2788.
2790.
2792.
2794.
2796.
2798.
2800.
2802.
2803.
2804.
2806.
2808.
2810.
2812.
2814.
2816.
2818.
2820.
2822.
2824.
С--е~х3. 2782. arcsin ^ +С. 2783. i arcsin 5ж +С.
i	+ C. 2785. arcsin ^ +С.
А
—— arctg —-x + C. 2787. - arcsin —- + С.
3V2	3	3	2
2789. i arcsin — + С.
A	CL
1	3	1
L arctg —+ С. 2791. i arcsin хА + С.
2793.
2795.
-^е2ж+Зеж+ж
А
ТТЪЧ. arcsinx-\/l-^2 + C.
2799. arcsinx + \/l-?2 + C.
1
2801. arcsin x +
С.
'1-х2
С — 2 л/1 — ж2
- 9ж2 + (arccos ЗжK). 2805. ж-41п
2813. С- i х4- \х3 - \х2 -ж-
	х + arctgx + С. 2815. In
о
In
+ С. 2817. -
о
2ж-3
Ь-а
In
Ъ — х
1
12 Г
х-Ъ
х-2
2х-
3
2ж + 3
+ С. 2819.
2821. -
х-2
ж + 5
х-1
х + 1
+ С. 2823.
2л/б
In
л/2 + жл/З
л/2-жл/З
\ arctg ?-A + С. 2825. -J=
л/2

Разд. II. Алгебра и начала анализа
651
2826.
2828.
2830.
2832.
2835.
2837.
2839.
2841.
2843.
2844.
2846.
2848.
2850.
2852.
2853.
2855.
2856.
2857.
- arcsinBx + 3
oX
2827. I
2829. arcsin(x - 2) + C.
- arcsin
3	3
\-C. 2831. - arcsin
3
OX ~\~ -L
tg(f ~l
C-ctg|.
2836-
2838. \
2840. C- i
— sin5a; + - sina; +
10	2
-
8
2842. - sin3a;- — si
6	14
In
COS" X
- sin4x + - sin6x)
2845. ln(l + sinx)-
- In I cos x +C. 2847.
sin ж 3sin3x
2 л/cos a
V 5
2849.
. з	1
. sin x j^i	\_
sinx	VC.	2851. -1
о	о
О	1
С — cos x + - cos3 ж — cos5
3 1
8Ж
32
2854. -1
о	-i
С — ctg ж — ctg3x — ctg5x.
о	о
2865. -

652	Ответы, решения, указания
. 2874. С-^Va3 - хЦ2а
2875.
^ хА-\
2876. 2 arcsin л [% - л/2х -х2 + С.
§ 33. Определенный интеграл
2877. Решение. Имеем
2
f 2 , М i	/1 3
о	2
2878. 3(е-1). 2879. -^тг. 2880. ~. 2881. 1.
2882. _^LJ:. 2883. -. 2884. izillH. 2885. —тт.
,2	о	^	1о
2886. - (л/8 - 1). 2887. е-у/ё. 2888. 2.
Т
2/7г
2889.	Решение. sin	^ = — sin — а — = cos—
J	Ж xz	J	X \Х/	X 1/тг
7Г	,	1/тг	1/тг
= COS	C0S7T = 1.
2890.	-5(v^l6-l). 2891. l\. 2892. -cos^0. 2893. 12.
о	7Г
2894. 0,2(е-1M. 2895. 31п —Ь—. 2896. i 2897. -.
о — а	4	2
2898. Решение. Искомая площадь выражается интегралом
(сделайте рисунок):
2
о
2899. 10-. 2900. 36. 2901. 12. 2902. 81п2. 2903. 1.
о

Разд. II. Алгебра и начала анализа
653
2904. ^. 2905. 17,5 = 61п6. 2906. \.
о	о
1
2907. Решение. Графики парабол у = х2 и у = - х3 пересека-
о
ются в двух точках: О@; 0) и ЛC;9). Искомая площадь выражается
интегралом: 3
2908. Решение. Запишем уравнения парабол в виде у = - х2 +1
к	У
и у = - ж2 + 3 и построим эти параболы (рис. 124). Для нахождения
у
точек их пересечения решим систему
откуда х\ — — 3, #2 = 3. Так как фигу-
фигура симметрична относительно оси Оу,
то найдем половину ее площади, взяв
пределы интегрирования от 0 до 3, и ре-
результат удвоим.
Искомая площадь будет равна раз-
разности между площадями криволинейных
трапеций OBQD и OAQD.
Первая трапеция сверху ограничена параболой у = -ж2 + 3, сни-
у
зу — осью Ох, с боков — прямыми х = 0 и х = 3; вторая трапеция
сверху ограничена параболой у = - х2 +1, снизу и с боков — теми же
У
прямыми: у = 0; х = 0; х = 3. Поэтому
-3 Л@;1) 3
I
Рис. 124
=1 (!*•
= (E + 9) - 0) - (G + 3) - 0) = 14 - 10 = 4.
В связи с тем, что оба интеграла имеют одни и те же пределы 0
и 3 и эти интегралы вычисляются непосредственно («просто», без
специальных преобразований подынтегральных функций), искомую
площадь можно выразить одним интегралом:
Ответ: S = 2Si = 8 кв. ед.

654
Ответы, решения, указания
2909. - 2910.
4
2911. ?-±
2912. Решение. В этой задаче целесообразно принять перемен-
переменную у за аргумент, а х — за функцию (рис. 125).
Вместо у = х3 будем писать х = у1/3. Искомая площадь равна
2
Sbmnc = | y1/3dy = \ у
= \ B4/3 - I4/3) = \ B^2-1) кв. ед.
2/А
2
dy
С
в
О
Рис. 125
—¦¦I—
2a
0
	 i
У\<
	,-Д;
м
ф
У
с*
dx
\У2
2а ж
Рис. 126
2913. Решение. Решая совместно уравнения данных парабол
х2	х2
у = — и у = 2а	, найдем координаты точек их пересечения. Ко-
Координатами этих точек являются А(—2а; а) и СBа; а). Фигура сим-
симметрична относительно оси Оу. На рис. 126 изображена ее правая
половина. За пределы интегрирования возьмем 0 и 2а, а затем резуль-
результаты удвоим.
Как и в задаче 2908, искомую площадь выразим одним интегралом:
2а	2а
s=2 ] (B» - й - йd1 B« - й) "*=2B« - г
2914. 1411200 Н, на нижнюю половину 1058400 Н.
а
2{ y-dx
2915. ^-. 2916. хс = 0; j,c =	-2
*	0,5тга
4 4
о
2917. жс = 0; ус =	= ^. 2918. 10876тг Дж.
2 j/da;
о

Разд. III. Геометрия. Планиметрия	655
2919. 2450тгЯ4 Дж. 2920. t= [ 	Sl d*	= 100 с.
I 0fiS2\/2gx
о
Раздел III. Геометрия. Планиметрия
§ 1. Начальные понятия геометрии
I.	20%. 2. Три различных отрезка и шесть различных лучей.
3.	Не больше 9,5 см.
4.	Точки А и В лежат в одной из полуплоскостей.
5.	Такая ломаная может:
а) не пересекать границу; б) пересекать границу.
6.	На три различные части, если данные две прямые не пересе-
пересекаются; на четыре различные части, если эти прямые пересекаются.
7.	При пересечении двух прямых образуются 4 луча. Каждая
пара этих лучей определяет два угла. Всего таких углов будет 12
(считая и развернутые углы).
8.	6 углов.
9.	1) ML = MA + AB + BL = MB + BL = MA + AL,...;
2) BL = ML-MB = AL-AB,...
10.	Точки А, В, С расположены соответственно внутри окруж-
окружности, вне окружности, на окружности.
II.	1) 90° или 120°; 2) 30° или 0°.
15. Указание. Если / — сумма искомых отрезков, а о? — их
разность, то меньший из искомых отрезков будет равен 	.
§ 2. Начальные понятия геометрии (продолжение)
21. 30 см. 22. 60 см. 23. 8,1 м.
\АС\ 5
24. Решение. По условию задачи \——\ = - (рис.127). Составля-
\ВС\ 7
\АС\	5	\АС\ 5 ^
ем производную пропорцию , ' ' , = -^р^; или ^^ = —. Отсюда
A	D С	В
Рис. 127
\АС\ = ^ \АВ\. Точно так же \AD\ = А \АВ\. Тогда \CD\ = \AC\-\AD\ =
= f\CD\ = f-10 = 96 (м).
-180°. 27
т +
25. 72° и 108°. 26. ^--180°. 27. 67°30/ и 112°30'.
+ 1

656
Ответы, решения, указания
34. 2 м. 35. 10 м. 37. 4 см.
28. Да. 29. l^d. 33. Юм.
38. 1,5(р-о). 39. 10 м.
40. Дорога должна проходить через середину отрезка ВС.
46. Доказательство. В любом треугольнике длина одной
стороны меньше суммы длин двух других сторон: \а\ < \Ь\ + \с\. При-
Прибавив по \а\ к левой и правой частям этого неравенства, получим 2\а\ <
< 161+ с|+ а\. Отсюда \а\ <
, что и требовалось доказать.
51. 2; 7; n-3. 52. 4; 6; n-2. 53. 3.
54.	6; 10; 190; 0,5n(n-l).
55.	Решение. Из одной вершины можно провести (п — 3) диаго-
диагоналей; из п вершин — (п — 3)п диагоналей. При этом одну и ту же
диагональ мы фиксируем дважды: с одного конца и с другого. Поэтому
их будет вдвое меньше, т. е. 0,5(п — 3) п диагоналей.
56.	2т + 3; D; 5; 7; 8). 61. 4 угла по 45° и 4 угла по 135°.
11
62. — d. 63. 135°; 45°
64. 36°; 144°. 65. 50° или 130°.
66. ^fd. 67. 48°; 72°; 60°. 68. 40°
18
70. 82°; 32°; 66°. 71. 60°. 72. 60°.
60°; 80°.
73. 40°.
69. 42°; 42°
4 4
74. -d: -d
96°.
6 ,
75. 1,2 м.
79. 50°
76. 18 см и 9 см.
81. 70°.
80.11
77. 4,8 см. 78. 1,75 см; 5,25 см.
На —А —А —А
В
83. Доказательство. Из середины D гипотенузы АВ опустим
перпендикуляр DE на катет АС (рис. 128). Этот перпендикуляр DE
будет параллелен катету ВС (два перпендикуляра к одной прямой
параллельны), и точка Е будет делить АС пополам (по теореме Фа-
леса). Следовательно, отрезок DE в треу-
треугольнике ACD будет высотой и медианой,
что, в свою очередь, означает, что треу-
треугольник ACD равнобедренный, т. е. \СD\ =
= \AD\, или \CD\ = - \АВ\, что и требова-
требовалось доказать.
85.	Увеличится на 10d.
86.	17; 26; невозможно.
87.	В четырехугольнике.
88.	2т + 2 D,6,8).
89. Решение. Пусть внешний угол многоугольника есть а, тог-
тогда 2d(n — 2) + а = 23d. Это соотношение может иметь смысл, только
если а выражается целым числом d. Но ни 2d, ни 3d и т.д. состав-
составлять внешний угол многоугольника не могут. Остается допустить, что
а = d. Тогда 2d(n - 2) + d = 23d; In = 26.
Ответ: п = 13.
E
Рис. 128
С

Разд. III. Геометрия. Планиметрия
657
92. Указание. Через вершину данного угла провести перпенди-
перпендикуляр к одной из его сторон. Этот перпендикуляр образует искомый
угол с другой стороной.
100.	Указание. На произвольном расстоянии \а\ от стороны
угла провести параллельную ей прямую и раствором циркуля в 2\а\
сделать на ней засечку, считая от вершины данного угла.
§ 3. Параллелограмм и трапеция
101.	0,6 м; 0,8 м. 102. 3 см; 2 см; 3 см. 106. 10 дм.
ют. A,;1JL,
110. -,
111. 1,2 м.
112. Решение. Пусть х — искомый угол (рис. 129), тогда, по
условию,
Диагонали прямоугольника равны
и делятся пополам при пересе-
пересечении. Следовательно, треуголь-
треугольник AMD равнобедренный: /3 = j.
С другой стороны, а = j, как уг-
углы, дополняющие угол ABD до
прямого. Отсюда а = /3. Это озна-
1
Рис. 129
чает, что угол а составляет - d. Тогда искомый угол х равен - d,
т.е. 45°.
113. 12 см. 114. 25 см и 10 см или 18,75 см и 7,5 см.
115. 8 м. 125. —dul — d. 126. 80° и 100°. 127. 150°.
128. 12,5 см. 129. 64 см. 130. 1) Задача не имеет решения.
133. 1 м. 134. 2 м. 136. 2 см. 137. 4 м и 8 м.
138.	2,4 м; 3,2 м; 4,8 м.
139.	3 дм. Указание. Провести через В прямую параллель-
параллельно МN и опустить на нее перпендикуляры из Л и О.
140.	3 дм. 141. 4 см; 5 см; 1 см.
142.	Указание. Соединить вершину угла А с точкой М. Продол-
Продолжить этот отрезок на такую же длину до точки В. Если построенный
таким образом отрезок АВ принять за диагональ параллелограмма,
то другая диагональ будет являться искомым отрезком.
143.	13 см; 16 см; 19 см; 22 см; 25 см. Указание. Сначала
доказать (вспомогательным построением), что длины параллельных
отрезков возрастают равномерно.
144.	4 м. 145. 6 дм и 10 дм. 146. 1:2.
147. |<*и l\d.
148. 1,7 м.
42 В. А. Бачурин
149. m-h] m + h. 150. 10см.
151. ?<

658	Ответы, решения, указания
152. а -\—.
4
155.	1) Построение возможно лишь в том случае, когда разность
оснований трапеции меньше суммы двух боковых сторон и больше их
разности. Указание. Сначала построить треугольник, у которого
боковые стороны равны боковым сторонам трапеции, а основание
равно разности оснований трапеции.
2) Задача имеет решение лишь при условии, что сумма осно-
оснований трапеции меньше суммы диагоналей и больше их разности.
Указание. Построить треугольник, у которого боковые стороны
равны диагоналям трапеции, а основание равно сумме ее оснований.
156.	1) и 2) параллелограмм; 3) ромб; 4) прямоугольник;
5) квадрат; 6) параллелограмм.
157. Доказательство. Расстояния
данной точки М основания АВ от боковых
сторон АС и ВС треугольника ABC выража-
выражаются длинами перпендикуляров ME и MF,
проведенными из этой точки к сторонам АС
и ВС (рис. 130).
Проведем высоту BD, она параллель-
параллельна ME: два перпендикуляра BD и ME к
AM	В одной прямой АС параллельны. Далее про-
рис ^30	ведем прямую ML параллельно боковой сто-
стороне АС. Из построения следует: \МЕ\ = \LD\
и |Mi^| = |5L|. Последнее равенство отрезков вытекает из равенства
прямоугольных треугольников BML и BMF. Отсюда |?/М| + |М^| =
= \DL\ + \BL\ = \BD\, что и требовалось доказать.
§ 4. Окруснсностъ и круг
161. 4 см. 164. ^^. 166. 120°. 167. 2 см. 168. R.
169.	2,2 м. 173. 60°. 174. 2 дм. 175. 1дм. 176. 8 см.
177.	R-г. 178. 5см.
179.	Указание. Центр окружности лежит на биссектрисе угла.
183.	2 см. 184. 2 см. 185. 16 см. 187. R и 60°.
188.	Указание. Разделить круг на три равных сектора и в каж-
каждый из них вписать по окружности.
189.	2 дм. 190. 1дм. 194. 5°. 195. -.
196. 1) 150°; 2) 47°30/; 3) 155°. 197. 77°59/23//.
198. 105°14'. 199. 123°45' и 56°15'. 200. 52°30'; 82°30' и 45°.
201. 108°. 204. 40°; 40° и 100°.
205. Стороны треугольника делятся пополам, полуокружность —
на три дуги по 60°.

Разд. III. Геометрия. Планиметрия
659
208. Окружность, диаметром которой служит отрезок, соединяю-
соединяющий центр данной окружности с данной точкой.
210. 67°30'. 211. 33°20'. 212. 105°
215.	50° и 130°.
216.	Построение. Данным радиу-
радиусом R опишем окружность, чтобы она
касалась данного основания АВ в его
середине С (рис. 131). Из концов А и В
основания сделаем засечки на окруж-
окружности в точках Е и F отрезком, равным
половине основания. Через А и Е, а
также и через В и F проведем прямые
до их взаимного пересечения в точке D.
Полученный треугольник ABD и явля-
является искомым.
217.	6:5. 218. р-г. 220. 60см.
213. 60°. 214. 4 см.
С г
Рис. 131
В
218. p-r.
221.	Указание. На касательной к данной окружности, как на
стороне, построить данные углы и провести касательные, параллель-
параллельные двум другим сторонам.
222.	143°; 37°; 143° и 37°. 223. Зсм. 224. 25 см.
226. 3 м; 6 м; 9 м; 6 м. 227. 45°; 90°; 135°; 90°. 228. 70°
229. 8. 230. 1,6Я\/2.
225. -R.
110°.
§ 5. Симметрия фигур и некоторые другие вопросы
235.	Равны.
236.	Одна пара соответствующих точек А и А\ задает централь-
центральную симметрию, так как по ним можно построить центр симметрии.
Центр симметрии — середина отрезка АА\ (если А\ не совпадает
с А) или точка А (если А\ совпадает с А).
237.	Центром симметрии отрезка является его середина. Любая
точка прямой является ее центром симметрии. Луч не имеет центра
симметрии. Центром симметрии пары пересекающихся прямых явля-
является точка их пересечения.
238.	Отрезок АВ перпендикулярен оси и делится ею пополам.
241.	В любом параллелограмме центрально-симметричные точки
получаются при пересечении всякой прямой, проходящей через точку
пересечения диагоналей, с противоположными сторонами этого па-
параллелограмма (выполнить рисунок).
242.	Обозначим данные отрезки через АВ и AiBi. Центром по-
поворота служит середина наименьшего (или наибольшего) из отрезков
AAi, ВАх, BBi, ABi. Угол поворота равен 180°.
243.	1) 90°; 2) 180°; 3) 180°; 4) 72°.
42*

660	Ответы, решения, указания
244.	Пучок параллельных прямых определяет два направления.
245.	При параллельном переносе отрезок превращается в равный
отрезок, луч — в луч, прямая — в прямую, окружность — в равную
окружность, круг — в равный круг, треугольник — в равный треу-
треугольник.
246.	Один, на расстояние |OOi| в направлении луча ОО\.
247.	1) Отрезок АВ ([АВ]); 2) отрезок АВ ([АВ]);
3) луч АВ ([АВ)).
248.	1) Прямую M7V; 2) луч MN ([M7V));
3) прямую АВ ((АВ)).
§ 6. Векторы
249.	Одинаково направленные лучи: АВ и DC, ВС и AD, CD
и В A, DA и СВ. Противоположно направленные лучи: АВ и CD,
ВС и DA, DC и В A, AD и СВ.
250.	а) Два возможных параллельных переноса;
б) четыре возможных параллельных переноса.
251.	1) а) Нет; б) нет. Ненулевой вектор а задается его длиной
и направлением (оба условия обязательны!).
2) Векторы называются равными, если они одинаково направ-
направлены и имеют одинаковую длину.
252.	Точки Л, В и D, С; точки Б, С и Л, D; точки Б, Л и С, D;
точки С, В и D, А; точки А, О и О, С; точки С, О и О, А; точ-
точки Б, О и О, D; точки ?>, О и О, В.
253.	АС = вЪ.
255. Следует заметить: в векторной алгебре длина суммарного
вектора может быть не только меньше суммы длин векторов слагае-
слагаемых, но и меньше длины любого из них.
261. АВ = -(а- 6); ВС = - (о + 6); CD = - (Ь - о); DA =
1	_,	2	2	2
262. Решение. 1) a _L 6. Каждую часть равенства можно ис-
истолковать как длину диагоналей параллелограмма, построенного на
данных векторах а и 6, отнесенных к одному началу. Длины диагона-
диагоналей могут быть равными только в таком параллелограмме, который
является прямоугольником, т.е. параллелограммом с прямыми угла-
углами. Отсюда заключаем, что данное соотношение |а + 6| = \а — Ь\ есть
условие перпендикулярности векторов а и 6;
2) а = k2b. В соответствии с равенством |а + 6| = \а\ + |6| парал-
параллелограмм или треугольник на данных векторах а и b построить
нельзя, так как это равносильно абсурдному утверждению: длина
одной стороны треугольника равна сумме длин двух других сторон.

Разд. III. Геометрия. Планиметрия	661
Длина суммы двух векторов может быть равной сумме длин слагае-
слагаемых векторов только в том случае, когда эти векторы коллинеарны и
направлены в одну сторону;
3) и 4) векторы коллинеарны и противоположно направлены:
a = -k2b.
263.	1) Да, а и b — любые неколлинеарные векторы либо одина-
одинаково направленные ненулевые;
2)	да, а и b противоположно направлены или хотя бы один из них
нулевой вектор;
3)	нет.
264.	Замыкающий вектор равен сумме составляющих векторов.
265.	0.
270.	\а\ = |6|. Указание. Вспомнить, в каком параллелограмме
диагонали его делят углы при вершинах пополам.
271.	АМ = с + \а=\{с-Ъ); BN = 5+\b = \{П - с); СР =
_> л	л _>	А	А	А	А
272.	АМ = -(ь+\а\ BN = a + \b; CP=\(b-a).
\	А /	А	А
—у
273.	Указание. Пусть точка О отлична от А и В: тогда АВ =
—»¦—)¦	—>¦
= ОВ — ОА, откуда и следует равенство указанных расстояний \АВ\
и\ОВ-ОА\.
ТТА. CD = b-a] DE = -a; EF = -6; FA = a-b] AD = 26;
AE = 2b-a.
—>	1	—>	—)•	1
275. ЛС=^(Зш + п); AD = m + n; AF=±(n-m);
276.	c = 0,5(a + 6); a = 2c-b.
278.	1) Угол между а и b острый; 2) угол между а и b тупой.
279.	с = 2Ь-а-лД. 280. |о-6| = 22. 281. |
282.	|о + 6| = л/Ш, |о-6| = 7. 283. |о + 6|
284. Указание. Построить ромб, приняв центр данного треу-
треугольника и две его любые вершины за три вершины ромба.
292. СА =^-АС^= -(AB + BJJ); AD =jCb+_BC + CD] EC =
= -CE = -(CD + DE); АЕ = AB + BC + CD + DE.
294.	Вектор AB + AiBi параллелен оси /. Вектор АВ - А\В\
перпендикулярен оси /.
295.	Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на
одной прямой или на параллельных прямых.
296.	а) &>0; б) к <0. 297. а) |п|<1; б) |п|>1; в) |п| = 1.
298. a) Jk>-1; б) к < -1; в) к = -1; г) jfc = 0.

662	Ответы, решения, указания
299. Вектор называется единичным, если абсолютная величина
(длина) его равна единице.
зоо. 1) 4т; 2) —t-
1*1	|6|
301.	1) Векторы а и b коллинеарны;
2) векторы а и b коллинеарны и одинаково направлены.
—>•
302.	Решение. Координата вектора О А равна 4, поэтому этот
вектор может быть получен умножением единичного вектора (орта) г
направления вектора О А на его координату 4, т.е. О А = г • \ОА =
= г -4 = 4г. Аналогично получаем ОС = j • \ОС\ = 5j; Л Б = \ОС\ =
= 5j; БG = — \ОА\ = —4г. Координатами точки D являются 3 и 2.
Компонентами (составляющими) вектора OD будут Зг и 2j, отсюда
О D = Зг + 2j. Аналогично получаем ОЕ = 2г + 4j.
303.	1) Ъ ?	^fe	?
2) 7?+2j; 4?+10j; -4?+5j; 8?+10J.
304.	OA = -2j; ОБ = 4?+ 2j; OO = U- 2j; ЛБ = 4?+ 4j;
= -4/.
305.	Единичные векторы а, ?, ti, e; векторы a, ё* коллинеарны.
307.	la =5; cosa = -, cos^ = -.
о	о
308.	OM = -3?+6j; | OM | =3\/5.
309.	а) Различные векторы; б) один и тот же вектор.
310.	m = 12. 311. ё-i (А; 1|); ёа (_|; _|). 312. (-у/2;
313. ±3^PG?+2j). 314. (-6; 8). 315. -^-а.
316. -—A2Н-5/). 318. ?)(-2;0).
320.	1) а) (-1;1); б) (-7;-2); 2) а) (-8; 13); б) (-5; 9).
321.	В треугольник с вершинами в точках @; —1); B; —5); (—3; —4).
322.	1) a + 6 = 3?-5j; 2) т + п = г. 323. а = 26-0,8с.
324. 1) @;1); 2) (-1;-2). 325. с = 2Ь-2а.
326.	1) |с| = 5; cosa = -^, cos^ = ^;
12	5
2) |с| = 13; cosa = —, cos^ = —.
327.	1) |^| = 17; cosa = ^, cos^ = A;
2) |p| = 13
328. а и с; 6 и d*.

Разд. III. Геометрия. Планиметрия	663
329.	Векторы а и с одинаково направлены; векторы bud проти-
противоположно направлены; \а\ = |d|; |6| = |с|.
330.	1) т = 2; 2) п = 2. 331. 1) 39; 2) 30.
332. 1) с(-6;-8); 2) <ГA2;7). 333. 1) 10; 2) 15.
334. х = Ш. 335. х = \а. 336. х = \(ЬЪ-Ы).
337. x = — (nj-pj). 338. р = 2с-3а. 339. ж = 4; у = -2.
m
340. ж = Зилиж = -2. 341. ж = -1. 342. ж = 0,4.
343. х = —1; ?/ = 0. 350. Равенства 1), 2), 4), 6) справедливы.
351. — \а\ • \Ь\ = аб, если векторы а и b коллинеарны и противо-
противоположно направлены; ab = \а\ • |6|, если векторы сонаправлены.
354. 1) Острый; 2) прямой; 3) тупой. 357. 90°.
358.	1) Теорема косинусов;
2) свойство диагоналей параллелограмма.
359.	1) ш = 2; 2) х = 15. 360. 2 + лД. 361. 40.
362. 10 единиц работы. 363. (-4; 6). 364. 1) 7; 2) 1.
366. ±A;2). 367. 1) arccos —. 368. 45°.
369.	1) p=i^B?+J); 2) p = ^
370.	arccos (—-г)-
371.	Решение. Согласно законам механики, момент суммарной
массы тел относительно некоторой точки равен сумме моментов сла-
слагаемых масс относительно той же точки (см. рис. 13): (р± + Р2) %о =
Р1Х1+Р2Х2
= Pix1+p2x2, откуда хо =	.
Pi +P2
100	+
373. Решение. Пусть |M7V| = ?сах = 6; С — точка центра тяжес-
тяжести самолета с пилотом и грузом; D — точка, в которой сосредоточена
масса пассажира; Е — искомая точ-
точка (рис. 132). Имеем \МЕ\ = ж0, м	с Е D	N
\МС\ = *i = А 6; \MD\ = х2 = А х	JcT^1
х b + а. Приравнивая момент сум-	рис ^32
марной массы т + п относительно
точки М сумме моментов масс тип относительно той же точки,
получим	3
3
-\-пх2 = т- — b + n (ttt
откуда
J	_ 3m
Х°~ 10(m + n)

664
Ответы, решения, указания
Таким образом, центровка самолета в процентах от средней аэроди-
аэродинамической хорды ?сах составит
\МЕ\ _ х0 _ 10 3m6 + nC6 + lQg) ^
\MN\ ~~b ~~b	m + n
374.	Под все опоры самолета устанавливаются подмостки по уров-
уровню, затем вместо подмостков подставляются по очереди весы, не нару-
нарушая установленного положения самолета по уровню.
§ 7. Подобие фигур
375.	7,2 см; 4,8 см. Указание. Применить теорему о свойстве
биссектрисы внутреннего угла треугольника.
376.	9 : 4. 377. 4,2 см; 5,6 см. 378. 2 см. 379. 7,5 см.
380. 9смий 13,8 см. 381. 18,75 см. 382.
26
384. 8 см.
385. 16 см; 20 см; 20 см. 386. 50 см. 387. 10 см и 12 см.
388. 10 см и 18 см. 389. 10 см и 26 см. 390. 100 м и 40 м.
391. 50 см и 72 см. 392. 18 см и 98 см. 393. 42,5 см.
394.	13,44 см. Указание. Соединить точки касания и провес-
провести к ним радиусы, далее использовать свойство: в прямоугольном
треугольнике произведение катетов равно произведению гипотенузы
и высоты, опущенной на нее, т. е. а-b = с • hc.
395.	13 м. 396. 21 см и 28 см. 397. 65 см.
398.	25 см. Указание. Ввести вспомогательное неизвестное —
расстояние от центра до одной из хорд.
399.	1см. 400. 9 см и 24 см. 401. 7 см и 15 см; « 6,9 см.
402. 9 см и 6 см или 12,5 см и 2,5 см. 403. 25 см, 8 см, 15 см.
404. 4 см. 405. 0,6Л.
Решение. Из подобия данного треугольника ABC и
\MN\
отсеченного BMN (рис. 133) следует ' ' =
=	. Согласно свойству биссектрисы внут-
\BN\ a
реннего угла треугольника, имеем -——- = —.
Составим производную пропорцию
\BN\ _ a
\BN\
406.
где \BN\
а „
-. Тогда
\CN\
\CN\ = \ВС\. Получаем
\ВС\
a + d'
Рис. 133
\MN\
~d~
\MN\ =
ad
407. Указание. Воспользоваться теоремой о свойстве парал-
параллельных прямых, пересекающих стороны угла.

Разд. III. Геометрия. Планиметрия
665
409. На 20 см. 410. Jpq. 411. -^-. 413. -^—. 414. у/2аг.
v	a + h	a + 2h
415. JO!-. 416. -^-.
l + m	2r + a
417. Построение. Пусть m-\-n = \AB\; h2 = mn (рис. 134).
Строим полукруг с диаметром ЛВ. Проводим хорду CD, параллель-
параллельную диаметру ЛВ на расстоянии h от него. Перпендикуляры DE'
и CF, опущенные на ЛВ, делят этот диаметр на искомые отрезки:
\АЕ\ = т и \ВЕ\ = п, или \AF\ = m и \BF\ = n.
h
A F	О
Рис. 134
Е В
418. л/2Bт + п)(т + п) и у/2п(т + п). 420. 6.
421.	Указание. Рассмотреть подобие треугольников: данного и
одного из отсеченных перпендикуляром, опущенным из вершины пря-
прямого угла на гипотенузу.
422.	а:Ь = л/2«1,4. 424. ал/^ .
2B + л/3)
425.	Указание. Из подобия треугольников: а2 = с- ас; Ъ2 — с- Ьс.
426.	-VTOcm. 427. ш; тД 2т. 428. 60° и 30°.
о
2/гл/З
429.
433.
a+4hz
8/г
430. -л/3. 431. 2шB + \/3). 432. 4см.
. 434. 4 см; 8 см; 2\/2см; 2л/2 см. 435. \
49
436. 0,75. 437. -^. 438. Зг. 439. a(\/2-l) иоB-л/2).
81
440. оB-л/2). 441.
и m
442. 3\/3.
443. 0,8г\/5. 444. ^.	445. 4:5. 446. 6г\/3.
8
..^ ^ 2mr	2nr r
441. Основания , и	} боковая сторона
л/mn л/тп
448. 37 м и \/769« 27,7 м.
450. 3,6л/Ш см; 1,2л/Ш см; 1,8л/Ш см; Зл/Ш см. 451. 13; 14; 15.
452. - см; - см; — см. 453. \ЛЯ2 + Зг2.
Z	о	О
454.	5 см; 12,5 см; 5 см; 20 см.
455.	Решение. Пусть \ЛВ\ = |Ж7| = \AD\ = |CD| = а; \ЛС\ =
= ?7г (рис.135). По условию, а2 = 1т. Проведем высоту

666
Ответы, решения, указания
ромба BE. Тогда из подобия треугольников BDE и CDO следует
BD\ \DC\	т	2а ~	, D „. lm а2 а
=	°СЮа |ВВ|
\ВЕ\ \0С\	\ВЕ\ I
прямоугольном треугольнике ВСЕ катет BE равен половине гипоте-
гипотенузы — стороны а = \ВС\ ромба; следовательно, ВСЕ = 30°.
456. 6 и 2л/3. 458. 5л/2.
459.	тх и пх, где х = —^	j. Указание. Воспользоваться
п — т
теоремой: произведения секущих, проведенных к окружности из одной
и той же внешней точки, на их внешние части равны между собой.
460.	10. 462. 2л/5см. 463. 270 км. 464. 15 см; 20 см; 25 см.
465. ?. 466. b + c + d. 467. -V4r2-a2.
2	г
2	лм л/3
469. 7 см; 24 см; 25 см. 470. -г. 472. -^ VURr - R2 - г2.
о	6
473. 5 см. 474. у/2аг.
§ 8. Правильные многоугольники
и вычисление длины окружности
475.	60°; 90°; 108°; 120°; 135°; 144°; 150°; 165°36'.
476.	1) 8; 12; 2) 10; 15. 477. 2^/2 «2,8 см. 478. л/3«1,7см.
479. «4,4 см. 480. 4; 6; 8. 481. (З + л/З) R « 4,73Я.
484. 2) 2mV3. 485. 1) r = -V4R2-a2; 2) о =!
486. 2 см; 4 см; 2л/3 см; 0.
489. 1) ^-^; 2) ^-^; 3) а; 4) -лА + 2\/2; 5) а^
2k л/3
2) A:
490.	1) 2
491.	/»„=
492.	ап:Ьп = г:К; а3 : i
493.	1) ^;
498.
3)
= 1 : 2;
0,866.
6л/б
499. 2л/бдм. 500.
3 ' 3
502. -C±л/3). 503. а. 504. -.
501.
ал/б
505.	Указание. Провести биссектрисы углов между диагоналя-
диагоналями ромба до пересечения со сторонами ромба. Точки пересечения и
будут являться вершинами искомого квадрата.
506.	8аB-л/2). 507. 1) ^^; 2) (Ry/2-l).

Разд. III. Геометрия. Планиметрия
667
508. 1:^/3:2^1:1,7:2. 509. с(л/3 + 1). 510. ±h.
о
511.	Доказательство. Из подобия треугольников BOD и
BCN (рис. 136) следует
\вр\ = \вс\
\ОР\ \CN\'
Но \ОР\ = г; \ВС\ = 2г;
= i/CrJ-r2 = 2гл/2. Поэтому
9г*л/9 9 . г»	г» г» л/9
Тогда отрезок |M7V| = г л/2, что
и требовалось доказать.
512.	60. 513. «5,9 м/с. 514. 1) ^; 2)
515. 1) —; 2) —. 516. 133°20'. 517.
Зтг	8тг
14400
518. 144°. 519. 1^см. 520. 7,2 см.
о
522. «57°18/.
521. *=™?; 1) ™1; 2) ^.
7Г	7Г
тгал/2 1 1П	оА 2тгал/3 1 О1
--;—«1,11а;	3) —-—«1,21а.
ttR '
523.	1) ^« 1,05а; 2)
524.	1) ^«0,95/; 2) ^^«0,90/; 3)
525.	1) На 2тгш;
9
5 0,83/.
1
2) оба радиуса увеличатся на одну и ту же величину — «0,16 м.
526. 182 мм. 527. 50тг « 157 см. 528. -I. 530. 40 см и 42 см.
4
§ 9. Площади фигур
531. 1080. 532. а) Да; б) нет; в) да (сообразить, почему).
533. 1-. 534. 2R2. 535. 2аг.
А
536. а) 2тг (см); б) тгBЯ +1) (см2). 538. В два раза.
539. 30°. 541. тп. 542. 1:3. 543. тп. 544.
аЪ
545. 4- 546. 1) ^а2; 2) ^
548. -I
4
554. а2
549.
4
555.
550.
551.
2тп
556. 6 см. Указание. Биссектриса среднего угла данного треу-
треугольника разбивает его на два треугольника с одинаковой высотой,

668
Ответы, решения, указания
равной искомому радиусу. Сумму площадей полученных треугольни-
треугольников приравнять площади всего данного треугольника, выраженную по
формуле Герона.
557. Решение. Пусть \АВ\ = а; \СD\ = 6; \EF\ = I (рис. 137)
и Sadc : Sabc = 3:7. Тогда - = -. Имеем х = Sefcd '• Sabfe =
а 7
b + l a + l b + l TT . a + b
:. Но / = 	, поэтому
Рис. 137
2	2
558. /г2. 559. у. 560. ^-.	561. i (а
562. ^Ll а2 «0,183а2. 564.	1) 1л/25л/3; 2) ^
4	об
565. 2лДЯ2; ЗЯ2. 567. 2(а
572.
570. 1) 1; 2) 1; 3) 5.
568. i 569. Л — .
573. Решение. Имеем	= —, CD — высота данного треу-
Л О	77*
гольника ABC (рис. 138). Проведем биссектрису AF угла Л: точка F
пересечения этой биссектрисы AF со стороной АВ является второй
вершиной вписанного ромба AMFN. Пусть Si = \АМ\ • \DE\ и S2 =
= - IABI • I CD I. Согласно свойству биссектрисы внутреннего угла треу-
2
гольника и свойству параллельных прямых, пересекающих стороны
угла, имеем	т _ \AB\ _ \BF\ _ \ВМ\ _ \DE\
п \АС\ \CF\ \AM\ \СЕ\'
Составим производные пропорции:
\DE\ _ m<	\DE\
п
т
\СЕ\ n' \CE\ + \DE
\ВМ\ _ т, \ВМ\ + \АМ\ _
\АМ\ ~ п '	\АМ\ ~
т + п
или
\DE\_
т
\CD\
т + п
или
\АВ\ _ т + п
\АМ\ ~ п '

Разд. III. Геометрия. Планиметрия
669
Поэтому
_g \AM\
п
т
т+п т+п
2тп
{т + пJ
S2	\AB\ \CD\
575. 8,4 m2. 576. 270 —2
579. 3:5:7. 580. 10\/2« 14,14 м. 581. 30. 582. 144кв.ед.
583. «355 см2.
смл. 577. 216 см2. 578. —.
585. Доказательство. Дан треу-
треугольник ABC, и вокруг него описана ок-
окружность (рис. 139; рекомендуем сделать
другие варианты рисунков). Из вершины В
проведем диаметр BD и точку D соединим
с вершиной С данного треугольника. Из по-
подобия прямоугольных треугольников В DC
и АСЕ следует
\BD\ = \АС\
\ВС\ \СЕ\'
Рис. 139
Отсюда \АС\ • \ВС\ = \BD\ • \СЕ\, что и требовалось доказать.
586.	2) Указание. Воспользоваться результатом задачи 585.
587.	1) R2; 2) R2y/2; 3) Я2\/3; 4) 2R2. 588. Ц-.
589. г = 2. 590. 1) 1:4; 2) 1 : 2; 3) 3 : 4. 591. «10,7 см2.
592. 256 см2. 595. «26 кН. 596. 10 см. 597.
598. \/3:4:6\/3. 599. 8,64см2 и 15,36см2.
2	-,
600. —. 602. 360°-Дг. 603. -тгг2. 604.
4	nrz	6
607. ^-Dтг-3л/3). 608. уBтг-3\/3).
609. тг	—, где S — площадь треугольника.
611. -
S
7гDтг2-1)'
4Qmn
тг(т +п )
606. Ф
Q.
3 , о	27 о
ИЛИ —7Т0 , ИЛИ 	7ГС .
40 ' 640
16SZ
6Ю. — тга2
612.	тг (дм2).
§ 10. Приложение алгебры к геометрии
613.	Указание. Пусть требуется построить отрезок у/т,
где т — натуральное число. Строим отрезок, равный т + 1, и
принимаем его за диаметр полуокружности. Тогда перпендикуляр
к диаметру, восстановленный из общей точки отрезков т и 1 до
пересечения с окружностью, и будет искомым отрезком.

670	Ответы, решения, указания
615. Указание. 4) Строим отрезок у = — как четвертый про-
пропорциональный по отношению к данным трем а, 6, с. Затем строим
искомый отрезок х = - у.
о	2
8) Сначала строим отрезок у = —, используя прием предыдущей
задачи. Затем повторяем такой же прием для построения отрезка
РУ _ pq2
х — — .
S	St
617.	Сторона квадрата х = у	у
618.	Радиус искомого круга х = R\/2.
R л/2
619.	Радиус концентрической окружности х = —-—.
i		"
/3
620.	Сторона квадрата х — \ - ah.
V
621.	Указание. Пусть х — радиус искомого круга. Тогда по
условию тгж2 = тг(/22 — г2); отсюда х = ^J(R — r)(R + r). Отрезок
д/(Д — r)(R + г) строим методом, указанным в задаче 613. Искомый
радиус х = VR2 — г2.
622.	Высота искомого треугольника равна —.
*оо тг-	а(л/5-1)	а	аC-л/5)
623.	Большая часть ж = —	-; меньшая часть а — х = —	-.
624.	Искомое расстояние точки от центра х = гд/б.
625.	| (л/5 + 1). 627. 2п
629.	Расстояние искомой прямой от вершины треугольника
/гл/2
630.	Сторона прямоугольника, параллельная высоте треуголь-
bhn	,	,
ника, у = 	, где о — основание и а — высота треугольника.
bn + mh
,О1 ^	diC±V3)
631.	Стороны прямоугольника х — ———	 и у =	.
0	о
632.	Расстояние искомого перпендикуляра от вершины меньше-
1	Ьт	,
го угла при основании треугольника х = \ —-, где о — основание
V
треугольника, m — проекция боковой стороны, прилежащей к этому
углу, на основание.
§ 11. Решение треугольников. Задачи по планиметрии
с применением тригонометрических функций
633.	«2°57/; «727 м. 634. «40 м. 635. «21см.
а
636. «1278 м. 637. «36°39'. 638. . .
2 sin a
639. « 40°13/ и « 49°47/. 640. « 21750 км.

Разд. III. Геометрия. Планиметрия	671
641.	1) Решение. В = 90°-32°20/ = 57°40/; а = 18,2•sin32°20/ «
« 18,2 • 0,5349 « 9,74; b = 18,2 • cos32°20/ « 18,2 • 0,8450 « 15,40; S «
«0,5-9,74-15,4«75,00;
2) a «0,7323; b «0,3168; В = 23°24/; S « 0,1160.
642.	1) b «79,46; с «79,715; Б = 88°25/; S « 253,08;
2) a «0,1259; с «0,2146; В = 54°5/; S « 0,0109.
643.	1) b «16,788; с « 24,616; A = 47°; S « 151,12;
2) a «0,6158; с «0,6830; A = 64°22/; S « 0,0910.
644.	1) 6 «455; Л«49°15/; Б«40°45/; S« 120120;
2) a «1499,2; Л«61°14'; В « 28°46/; 5 « 616910.
645.	1) с «461; Л«34°29/; В « 55°31'; 5 « 49590;
2) с «0,1399; Л«44°22/; Б«45°38/; S«0,0049.
646.	1) Л«73°24/; ^«ЗЗ0^'; а « 30,219; b « 17,267;
2) ?i«34°51/; /Li«72°35/; bx «8,385 или В2 « Мб0^; Л2«17°26';
62« 26,715;
3)Б«34°26/; a = p : 2cos2y « 15,682; 6 « 9,2864; S = (|) х
xtg/l«69,55.
647.	-г!
а sin G	, _ a sin В	. _	а sin В sin С
sin(- + C)	sinE + -)	sin (Б + С) cos —
2
„Г1 ci siny? „ro a + 6 .	„ro	hb-s'mB
651. 	-. 652.	с-sina. 653.	^
2	2
654.	1) 6 «541; с «421; Л«43°2/; S « 77700;
2) a «13,311; b « 5,337; С«110°2'; S « 33,372.
655.	1) с «533; Л«68°23'; ВъЗЬ°18'; S«78540;
2) a «43,922; Б « 61°46'; С«44°34/; S « 621,4.
656.	1) Решение, а) sinB =	; lgsinB = lg6 + lgsinA — lga.
а
lg6 = lg 354,9 = 2,25501
lg sin Л = lgsin50°12/ = 1,8855
-lga = -lg 492,0 = 3,3080
lg sin Б = 1,7436
lg 492,0 = 2,6920
-lg 492,0 = 3,3080
б)	С = 180° - (Л + В) « 180° - 83°51' « 96°9';
в)	с=^——; lgc = lga + lg sinC-lgsin/L
sin /l

672
Ответы, решения, указания
lga = lg492,0 = 2,6920
lg sin C = lg sin 96°9' = 1,9975
-lg sin A = -lgsin50°12/ = 0,1145
lgc = 2,8040
с «636,8;
lg sin 96°9' = lg sin 83°51' = 1,9975
lg sin 50°12' = 1,8855
-lg sin 50°12/ = 0,1145
r) S = ^absinC; igS « Ig246 + Ig355 + Igsin83°51/ « 2,3909 +
+ 2,5502 + 1,9975 « 4,9386; S « 86864. Итак, В « 33°39'; С « 96°9';
c« 636,8; S« 86864;
2) 6 «2573,4; Б«49°28'; С « 10'; 5 « 9804,4.
657.	1) Л«16°26'; Б«30°24'; С«113°10'; S « 235,56;
2) Л«10°51'; Б«20°56'; С«148°13'; 5^0,7626.
658.	1) С«119°31'; а «20,865; 6 «55,293; с «68,04;
2) Л«59°4Г; с «5,9344; b « 59,92; а « 57,154; 5 « 153,48.
659.	1) Л «77°4х; с « 0,5227; 6 « 6,7127; а «6,6154; S « 1,7099;
2) С«118°4'; а «17; 6 « 28; с « 39; 5 « 210.
660.	1) Л « 27°16/; ?i « 63°42/; d « 89°2'; а « 50,189; 5Х «
« 517,43 или А « 27°16/; В2 « 116°18'; С2 « 36°26'; с2 « 29,807;
S2« 307,3.
661.	1) d « 30°; Вх « 103°4'; Лх « 46°56/; а « 4,1063 или
С2«150°; Б2«17°12/; А2 « 12°48'; с2« 13,533.
662.	1) Л«127°10/; Б«32°5/; С«20°45/; а «33,882; b «22,588;
с « 15,059; S«135,53. Указание. Из известных соотношений S =
= - aha = - bhb = - с/гс следует aha = 6/г^ = c/ic, откуда
а _ b _ с
— — — — —.
ha hb hc
Это равенство показывает, что искомый треугольник ABC подобен
треугольнику А'В'С со сторонами
/ 1 и 1
а = 7Г' b =7Г'
с =
Следовательно, углы треугольника ABC равны
углам треугольника А'В'С, которые находятся по
сторонам а', Ь', с';
2) А « 135°11'; В « 27°7'; С « 17°42/; а «
« 64,933; 5 = 414,47.
663. Решение. Пусть \АВ\ = а и |С?>| = 6 (рис. 140). Тогда
180° 180°
\АВ\ = а = 2/^sin	; |С/)| = 6 = 2/2tg	. Из первого соотноше-
Рис. 140

Разд. III. Геометрия. Планиметрия	673
ния находим выражение для R: R = 	-. Подставляя его во
о . 180
2 sin
второе соотношение, получаем	п
х 180°
atg	180°
6 = 2	^_ = a sec
п
664. 2a-cos—. 665. nRHg —
n	n
2
666. a2sina-cosa =-^-sin2a. 667. Я2 (тг (l - -^-Л + sinaY
668. 30°. 669. 1) 2R = acosec—; 2) --cosec —.
n	2	n
670. 4r2coseca«167. 671. WQctg | « 24,66.
V
672. Ina2ctg^; 1119,6 см2. 673. In#2sin^; 147.
674. «71 см. 675. S9 :SiO = 10ctg20° : 9ctg 18° « 0,9919.
676.	«21,7495 см2.
677.	—(a — sin а), где a = 2arcsin—-; 0,59 см2.
2	2/t
678.	«3,2152 см и «7,7848 см.
679.	Va2 +	^2 4a6
sin a sin а
680. 6- (jTT + ^a) «0,46425 (м2), где a = arcsinO,6.
681. a = W62 + c2-^6c или а =
682. 16 см и 9 см. 683. - =
r	sin a
684.	2Д(у
685. ^^. 686. - ' ^S1™sm'
16	2
• " + /3
sin	-cos
2
687. Q = —; d=-tg—.
688. /^2(ctg a- ^ + ^-), если a — градусная мера угла, или
V	А 18C/
R2 (ctg a - ^ + a J , если a — радианная мера угла.
689. -
о
690. Решение. Дано: А = 60°; |М?>| = а; \МВ\ = Ъ. Требуется
вычислить |ЛМ|. Из несложного соответствующего построения (см.
43 В. А. Бачурин

674
Ответы, решения, указания
а
Рис. 142
рис. 141) следует: \АЕ\ = actg60° =
1огда
-^; \DE\ = \MC\ = b~
V о	V о
693. -VSsin2a. 694.
a — b cos a' b — a cos a
697.
698. Решение. Дано: |ЛС| = |БС|; |ЛБ| = a; A = В = а;
\BD\ = |С/)| (рис. 142). Требуется найти |^4?)|. Из прямоугольного
Из
треугольника ВСЕ следует \ВС\ =
2 cos a
треугольника ABD по теореме косинусов имеем
. Тогда BD
a
4 cos a
I л п|2	2
\AD\Z = az
	5	2-	cos a = — H	^—
16 cos2 a 4 cos a	2 16 cos2 a
Ответ: \AD\ = j л/9+ tg2a.
699.
701.
. . a + C a — C
4 sin	cos
	2	2_
Trsina -sin/3
700. л/Б
;^. 702.
Psina
4cos (— — —)
V4 2 '

Разд. IV. Геометрия. Стереометрия	675
2sin2a -sin2 a _ 2a6cos^
^ 704^	705^ ^.
тг	а + Ь	2 sin2 -
2acos4 (^-)
sin a	Trsin2-
709. Jstg-. 710. -cos2a. 711. —.
sinи arccos
714.
717.
OL
sin 2a
л/l + sin2
. 2
sin a
К
715.
a
r.
sir
2a-
718
\a
sin a '
. sin Л
-; sin
5
4 4
/a2 + 62 + 2a6cos2a
2sin2a
4
5*
Раздел IV. Геометрия. Стереометрия
§ 1. Начальные понятия
2. Плоскость, параллельная данной плоскости.
о /ал/2 п \ /п алД \ ( алД п \ /п ал/2 \ ,
3-(—;°;а/ р5~2~5а) (	2";0;а) @;	^-;«J (это коор-
координаты вершин верхней грани; для нижней грани координата z везде
равна 0).
4.	A; 0; 0); @;2;0); @;0;3); A; 2; 0); A; 0; 3); @;2;3).
5.	Расстояние от плоскости хОу равно 3, от плоскости xOz рав-
равно 2, от плоскости yOz равно 1; расстояния от осей Ox, Oy, Oz со-
соответственно равны л/13, \/Т0, л/5; расстояние от начала координат
равно л/14.
6.	МF;4;3).
о	су	п	/~К
7.	cosa = -; cos/3 =-; cos7==; cosai = cos/?i = COS71 = ± —.
8.	B; 2; 2); (-2;-2;-2). 11. M@;l;-2).
13. B; 1; — 2); r = 3. Указание. Найти центр шара как точку,
равноудаленную от указанных четырех точек.
15.	В@;-1;3).
16.	Симметричные относительно координатной плоскости хОу:
17.	@;1;-2);(-1;0;-3).
18.	Симметричные относительно начала координат: (—3; 1; —2);
(-а; -6; -с).
19.	о = 1; 6 = 1; с = -2.
20.	1) Не существует; 2) существует. 21. (—1; —2; 1).
22. В треугольник с вершинами B; -3; 1), (-2; 0; -1), A; —1; 2).
43*

676	Ответы, решения, указания
§ 2. Векторы в пространстве
28. г = ±3. 29. 7VD; 1; 1). 30. (-1; 2; 3).
15	6
31.	1) __• 2)	—• 3)	—• 4) 0.
32.	1) 0,5; 2) -1; 3) 2; 4) -3; 5) -|; 6) -|.
33.	Равных векторов нет. 34. М(Зл/2; 3; -3).
35. m = 4;n = -l. 36. 1) ?>i(-2;3;0); 2) D2B; 1;-2).
37. 0GA; -2; 1); | ОС \ = л/Е; АВ = (-1; 4; 1); \АВ\ =Зл/2.
(о 1 \	о	^	f\
-;-;0). 39. =Ь6А:; cosa = -;cos^ = —;cos7 = =b--
3' 3' )	'	7' р 7' ; 7
40.	Р = Rcosa; Q = R-sina.
41.	cosa = cos^ = cos7 = ^;p=B;2;2). 42. Dл/2;±4;4).
43. (f;f;-f). 44. (-4;3;-l);B8;-21;7).
45.	RB0; 9; 12); cosa = 0,80; cos/3 = 0,36; COS7 = 0,48.
46.	л/3; V^; л/2 на координатные плоскости соответственно х
)z, yOz.
47.	15 Н. 49. 6 = -За. 51. ш = 4;п = -1,5.
52. Решение.
Iе!	л /it
= -^| A6?- 5j + 12fc) = -3A6?- 15j+ 12k) = -48?+45j- 36^.
53. (-3; 15; 12). 54. БF; -4; 5), С(9; -6; 10); СЛ(-7; 1; -7).
63. Да. 64. 1) -6; 2) 9; 3) 16; 4) -61. 65. 17.
66.	Решение. Механический смысл скалярного произведения
двух векторов а и b есть работа W, которая производится силой а
на пути b (или силой b на пути а). Координаты вектора АВ таковы:
АВ = (хв — %А] У в — у а] %в — za), или АВ = A; 1; —6). Искомая работа
W = /• АВ = 3 • 1 - 2 • 1 - 5(-6) = 31.
67.	cos</? = —L «0,316; (/?«71О35/. 68. 90°. 69. 60°.
V10
70.	|Д| = ^(а + 6 + с + а7J = Юл/4 + 2^/2 « 25,3 (Н).
71.	1) п = -1; 2) п = 4. 72. ?>(-1; 1; 1); у? = 120°.
73. ОМB;2;4); OA^B;4;2);cos^ = ^. 74. ?>@;0;1). 77. 45°.

Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
677
78. 78,4 Дж; cosy? =
4л/2
ИГ'
79.
= У1; 2) ip = 90°.
80. A; 0,5;-0,5). 81. 1)	^
82. (-3;3;3). 83. 60°. 84. A; 0; 1) или (-±; |; -1).
85. Решение. Из условия следует, что вектор г произвольной
длины, направленный вдоль луча ОМ, должен иметь положительные
и равные координаты: f(q; q; q), q > 0. Тогда
пр-р =
86.
\p\\f\
87. ±(^; -^; ^). 88.5.
89. ±A;1;1). 90. -6-. 91. (-24;-32; 30).
92. cosy? = -0,25.
§ 3. Прямая и плоскость
У-. 94. 9 см. 95. 4 см. 96. 1см. 97. у/2 см.
93.
98. 45°. 99. 6,5 см. 100. 2,5 см; \КВ\ = у/ШЩ« 3,2 (см).
101. у/р-а2. 102. 37 см. 103. 8 см и 17 см. 104. 3,5 дм2.
105. 2 см. 107. 30°. 108. а у/2.
109. о л/6. 110. За. 111. 35° или 115°.
113. Доказательство. Пусть \АВ\ =
= а, тогда из рис. 143 следует АВВ\ — 45°,
= 45° (так как В\С _L ЛБ1). Следова-
ау/2
тельно,
(из треугольника АВВ\)\
ал/2
Рис. 143
(из треугольника ABiC); \AC\ = а и |5С| = а (из прямоугольных
треугольников АВ\С и ВВ\С соответственно). Треугольник ABC —
равносторонний, откуда ВАС = 60°.
114. 36 см или 44 см. 115. 14 дм. 116. 2а. 117. у/а2
а(Ь + с
120. 28 см. 121.
122. 3 см. 123. 3,5 см.
124. 19 см и 17 см. 125. 5 см и 3 см. 126. 6 дм.
127. 25 см или 39 см. 128. 1) Ус2-62 + а2; 2) 8 см.
129. 6 дм. 130. 120 см. 131. 45 см. 132. 2 м.

678
Ответы, решения, указания
134. 5 см; 9 см; 12 см.
а — b + с b + с — а
n()O
142. 2а. 143. 7 см. 144. а) 2а; б) 4. 145. 5 дм.
146. 13 см. 147. 3,36 см. 148. 4. 149. 2а. 150. 7,3 см.
151. 1:1.
153. Или одну, или бесконечное множество плоскостей.
2 + 62 + с2; \/а2Тс2;
156. 0,5а.
157. 55°^ х ^95°. 158. д/б см.
154. 109 см. 155.
а,
¦---
3
----
х ^
6
з р
159. 1)
161. 60°. 162. 90°.
163. 45°. 164. лД. 165. Здм.
166. Решение. Непосредственно из
рис. 144 следует х2 = \ОМ\2 = |O7V|2 +
6	N
Рис 144	+ 62 + 32=49; х = 7.
167. 2\/15см;8см. 168. « 1400 Н. 169. Лежит в плоскости а.
171. 0,5\/4/i2 + m2. 172. 9,80 см и 2\/15«7,75 см. 174. 60°.
175. «4,3км или «2 км. 176. \/3:1. 178. ^ (hi + /г2 + /*з).
179. 90°. 180. 2^/2 дм.
§ 4. Многогранники
185.	76° и 104°.
186.	Равнобедренный треугольник; равнобедренная трапеция; пря-
прямоугольник.
2ah	~л .	tec лт -*™ абуЗ ^^л 5а V2
187.
= 24 см. 188. 45°. 190.
192.
2	16
193. За2. 194. 2\/2F. 195. /г3\/2.
196.	а) Остроугольный; б) тупоугольный; в) прямоугольный.
197.	1,5а2. 198. «4,38а2. 199. Объем увеличится в три раза.
з	п
Q
200. у-. 201. ^
48	8
202. 6,928 м2. 203. 12.
204. 6 см и 3 см или 4 см и 7 см. 205. 12 см2. 206. 16.
207. -U3. 208. 0,5а3\/2. 209. ^а3\/2. 210. 0,75а3.
8	24
211. Qv^. 212. \/ТТкуб. ед. 213. 27:98. 214. 1:9; 1:27.

Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
679
215. 1900 м3. 216.
2
7т
7п
2 *
218. ал/2 = л/2 см. 219. ^. 220. a2\/2; 2:1. 221. л/3:1.
222. оB-л/2). 223. 2Q\/2. 224. -^. 225. ¦
226. 120°. 227. -r3\/3; 24r2. 228. 12 см. 229.
Юл/5
230. 2
233. jja3
237. ^
/
231. а
234. Зм2. 235.
232.
236. л/-
238. Решение. Пусть
\AF\ = \DF\ = \CF\ = \BF\ = b
(рис. 145). Непосредственно из рисунка
~2~
следует
/V2
244. —; —^; —;...;
248. За2.
258. Доказательство. Пусть а и b — стороны верхнего и
о
нижнего оснований, m — сторона среднего сечения. Тогда Цу = —~
2	/7Г~	/7Г"	m
Q2	О	Л/^1	a	V^2	О ^
и —— = —т; или .	 = — и .	 = —. Сложим эти равенства:
М т1	у/м т VM ™

680
Ответы, решения, указания
>1 + лЛ?2 _ q + 6 _ 2т
у/М	т	т
Отсюда \/М = —	^-^	, что и требов
эвалось доказать.
259. ^(а3-Ь3). 260. ZV4 • 261. 4ш2УЗ.
262. Решение. Пусть а и b — соответственно стороны нижнего
и верхнего оснований пирамиды (рис.146). Тогда Q = a2; Qi = b2;
Р = 4 .
|LM|; |ЛС|2 = 2а2 = 2Q; I^TVl2 = 2Qb Из треугольни-
треугольника К LM следует
Р2
(а-ЬJ _ P2-(a2-b2J _ P2-(Q-QiJ
а + ЬJ
Искомая площадь сечения равна
VP2-(Q-QiJ
Ответ: 1± V'Р2 - (Q - QiJ.
263. 3:4.
= 18.
266. 5:9. 267.
—=	=-.
то +n
274. у ^; 60°. 275. 1 : {у/2- l) : (^3-
270. 1,5а.
271. -Uc\/12a2-3c2. 272. am2 куб. ед. 273. а2\/3; ^-^.
8	12
/от/	_	_ _
i 50: 13: 9.
276. 1) ^(a2 + a6 + 62)i/3/2-(a-6J. 277. 0,5(а3-63).
278. VQvQ	279. обЛ. 280. ^ Я3. 281. ^j-h(l2-h2).
282. 2\/2d3. 283. 2:1. 284. 104 см2; 64 см3.
285. 28 см3 (средняя часть); 12 см3. 286. 5,84 м2; 224 кг.
287. —; — B + д/б). 288. -^ а2. 289. -6/г(а + 6). 290. За2.

Разд. IV. Геометрия. Стереометрия	681
§ 5. Цилиндр и конус
291.	40\/3«70 (см2). 292. 90°. 293. ^а3. 294. Здм.
295.	Юм. 296. 1 м и 3 м. 297. «3,65 кг.
298.	4 см и 14 см. 299. «40 м2. 300. «116 м2.
301.	«77 м. 302. 1) тг; 2) Я = ^ Д. 303. ^Р = 75см2.
Z	Z
304. 1) 6 см; 2) H = R. 305. 1) 75 см; 2) «26,2 см.
306. 7TM + 2Q. 307. 1) H = 2RB±V3); 2) Я = 2ДB + л/б).
308.	тг:3.
309.	Расстояние секущей плоскости от плоскости основания рав-
равно - (Я=Ь\/Я2 — R2); должно быть Я ^ R.
310.	тга2(\/2 + 1). 311. 2тга2«628 (см2). 312. 45°.
313. ^«0,7Н. 314. 1) \irR2; 2)	irR2 ¦ m' 9.
2 4	(m + n)
315. 500 кв. ед. 316. Я2. 317. 2Я2.
318. 1) ^у_Ё; 2) 100\/2« 141,4 (см2).	319. |/. 320. Зсм.
321. яд>/2 322. яд^ 323. «25,3 м2.
Я Я/2	Я Я/З
324. «38 листов. 325. «17,1м.
326. 1) 240тг см2; 2) 286,72тг м2. 327. 11 см; 11 см; 8 см.
328. 2:1. 329. 1) 1 : 2 : 3; 2) тгЯ2. 330. 2:3.
331.	Радиус основания равен большей части образующей, разде-
разделенной в среднем и крайнем отношении.
332.	1) Образующая равна диаметру основания (равносторонний
конус);
2) радиус основания равен большей части образующей, разделен-
разделенной в среднем и крайнем отношении.
333.	1) 216°; 2) 360° • —; в случае равностороннего конуса 180°;
2. 9\ 11 .„2. оч 7гМл/15
3) а) «255°; б) «312°.
334. 1) 30°; 2) 1м. 335. 1) 25 см2; 2) 11см2; 3)
337. тг:\/7«1,2. 338. 20 см.
339. — (пН ± Vn2H2 - 2nHL); -Н] -Н.
2п v	' 4 4
(пН ± VnH 2nHL); Н]
2п v	' 4 4
340. Доказательство. В осевом сечении фигуры введем обо-
обозначения: \SO\ = h; \AS\ = /. Тогда \АО\ = h. Далее, 5бок кон = ^hl;
Зполн.цил. = 2тг\ОС\2 + 2^ • \ОС\ • \СЕ\ = 2тг(\ОС\2 + \ОС\ • \СЕ\) (см.

682
Ответы, решения, указания
#/45'
К \F
Л
COD
Рис. 147
В
Рис. 148
рис. 147). Но \ОС\ = \КЕ\ = \KS\] \СЕ\ = h - \KS\. Поэтому
^полн.цил. = 2тг[|А^|2 + \KS\(h - \KS\)] = 2тгА • \KS\. По условию,
тгЫ = 2тг/г • \KS\. Отсюда / = 2\KS\, что и требовалось доказать.
341. а и 2а. 342. 9 кв. ед. и 16 кв. ед.
343. 1 : 2, считая от большего основания. 344. 4 см.
345. 2тг(Я2-г2). 346. 100см2.
347. 1) 15 м; 2) 28 дм и 12 дм. 348. « 1,04 м2. 349. « 4,3 кг.
350. 5 см. 351. 2ttF. 352.
SH
2Rr
R + r'
353. 1) ——. Решение. Пусть ABCD — осевое сечение дан-
ного усеченного конуса (рис. 148), где Н = \DE\ — его высота и L =
i/ini * тд |ЛБ| + |СЯ| „
= |Л1/| — образующая. Искомая площадь равна х =	—	 • п.
2) 1
354.
357. 4:1. 358.
360.
363.
,45 (см). 355. «4500 л. 356. «630 см3.
SC
4тг
359.
^; 2)
4тг 7
Vi : V2 = 1 : 2; S± : S2 = 1 : 1. 361. « 4,0 кг. 362. « 1,6 т.
96тг см2 « 300 см2. 364. -Я= \/S2-Q2.
365.
366.
1)
367. 25:36.
368. «2,9 дм3. 369.
370.
371.
373.
448тг см3 « 1,4 дм3; 216тг см2 « 6,8 дм2.
240тг см3 «0,75 дм3; 84тг\/3 см2 « 4,6 дм2.
63тг«200 (куб. ед.). 374. 54 см3. 375. ^тг2(Я3-г3).
о

Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
683
376. 10 см и 20 см. 377. 3020тг см3; 476 см2. 378. 14 см.
379. 7:19:37. 380. \
§ 6. Шар и комбинации геометрических фигур
381. 1) 16тг«50(м2); 2) 3:4. 382. 2 см. 383. «4,8 см.
384. -ttR2. 385. -ttR2. 386. 1) тгЯ; 2) «785 км.
387. 12 см. 388. 12 см. 389. 24тг « 75 м. 392. 4тг м.
393. Зсм. 394. 8 см. 395. 36 дм2. 396. i/r2 + r2. 397. 5 см.
398. «67 см. 399. 1) -тг«4,2(м3); 2) в 27 раз; в 64 раза.
о
400. «14 см. 401. 1) «39 см; 2) 6 см. 402. «168.
403.	1) 1000; 20 см; 2) 216.
404.	Прибавка в весе у свинцового шара равна 0,000012 Н, у стек-
стеклянного — 0,028 Н. Следовательно, опустится стеклянный шар.
405.	1) 33^%; 2) «47,6%. 407. «2148 см3.
о
408. 1866 г «1,9 кг. 409. 10 см и 7 см. 410.
411. Я^15«2,5Я. 412. 45тг см3 и 243тг см3. 413. 0,028.
414. —. 415. 5:16. 416. 3528тг см3. 417. «640 см3.
418. -ttR3. 419. 112,5тгдм3. 420. - B - д/з) ttR3.
о	о
421. -ttR3; -ttR3; -ttR3. 423. 34182тг см3 « 107 дм3.
о	о	о
424.	Указание. В выражение объема тела V = -па3 не входит
радиус круга. Следовательно, величина объема тела вращения не за-
зависит от радиуса круга.
425.	1) 4 м2; 2) М; 3) ЗтгЯ2.
426.	1) «314,16 см2; 2) 562,5тг м3; 3) д^ЗбтгК2.
427.	1) Увеличится в 16 раз и в 64 раза; в 25 раз и в 125 раз.
2) Vm3 : Vri3; 3) \/т2 : д/п2'.
428.	Большая поверхность равновелика сумме двух других.
429.	25тгм2. 432. 3. 433. 5Ш : 5Ц = ^18 : 3 « 0,87.
435. 400тг м2 или ПООтг м2. 436. (д/3-1)й.
437. 910тгсм2«29 дм2. 438. 2- —
1;3д. 440. 21-Q
2	4тг-3л/3
442. 1) 180тгсм2; 2) ЗЯ. 443. 2D- д/2) Q « 5,2Q. 444. -.

684
Ответы, решения, указания
445.
449.
453.
456.
460.
462.
466.
470.
475.
478.
482.
483.
484.
512тг см2 «16 дм2. 446. 8 дм. 447. 4 м. 448. 13 см.
1:2:3. 450. 1:5. 451. — а; — а. 452. 1:3:9.
I—	i—	4	\L
— а «0,7а; —а «0,4а. 454. 8,1см. 455. 54 см3.
2	6
1,5/г. 457. 2 дм. 458. 5 дм. 459. 13 см.
2. 461.
4m +n
!—. 463. 8 см или 2 см. 464. 9тг м2; Зтг м3. 465. 9:4.
468.
тгг2 «44r2. 469. 12 см.
л/3
5 м. 471. л/Rr. 473. - R; — тгЯ«1,8Я. 474. 9 дм.
о о
4Д , 4
ш + 1' 3
476.
6Д 3
ш + 2' 2
477. 9:64.
тга3\/2; 4тга2\/2. 479. 1:2:3. 481. ^тга3; 2тга2\/3.
-тга3\/3; 9тга2.
4
1) тга3; 2тга2\/3; 2) — тга3\/3; 3,5тга2.
9тга3; 12тга2\/3.
3400тг см3 « 11 дм3; 1440тг см2 « 45 дм2. 487. 4ttQ.
,2
492. 1) 3:5; 2) ^. 493. 8:1.
8
494. Решение. Напомним, что конус называется равносторонним,
если в его осевом сечении получается рав-
равносторонний треугольник.
Изобразим осевое сечение фигуры
(рис. 149).
1) Пусть \ЛО\ = \ВО\ = R. Тогда
Б
^^ -«. 4J	-Ж- \j	-М- \j m
2	2 '
\EOi[_ 3R _ 3.
R ~ 2 2R ~ 4'
\EOi\_=\ES\_
\Л0\ \AS\'
3 ,,
О
Рис. 149
Боковая поверхность данного равностороннего конуса ASB равна

Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
685
Боковая поверхность отсеченного конуса SEF равна
Тогда боковая поверхность усеченного конуса ABFE равна
S3 = Si - S2 = 2ttR2 - - ttR2 = - ttR2.
8	8
Следовательно, боковая поверхность данного конуса окружностью ка-
касания разделится в отношении
2) Пусть \ОЕ\ = \ОС\ = г, тогда h = \О1С\ = \ОХО\ = -, так как
Поверхность полушара S = 2тгг2; сегментная поверхность полуша-
полушара Si = 2тгг/г = 2тгг - = тгг2. Следовательно, поверхность полушара
той же линией разделится пополам.
495.	-а.
3 з
496.	1) 1^-E-2л/2) «160 м3;
2) ?Cа2*
497.	irabVcL2 + ^2; 2тг(а + 6) \/^2 -
499. 	«115 см-5.
500. 1) 7 м; 2) 5:4; 3) в призме 5 : 4; в усеченной пирамиде 5 : 8.
§ 7. Задачи по стереометрии
с применением метода координат и векторов
501. (-L;--L;-L) ИЛИ (-
3 л/3 л/3^
/11 1\
г к а з а н и е. Восполь-
зоваться тем, что для взаимно перпендикулярных векторов скалярное
произведение равно нулю.
2л/Т0	Зл/Тз
502. cosy?i = ——; cos^2=-7^—; cos</?3 =
л/85
503. 1)
2) p
11
i = 2p> (рис.150).
|^гл ^	^	п	6	.6
504.	cos а = —; cosp = —; cos7 = =Ьт-г
; 0; ±6); ?i(9; 5; 11); Б2(9; 5; -1).
505.	3,5 кв. ед. 506. х = ^; 2/ = -|.
508. B;-3;0).
Рис. 150
507. 0,5 куб. ед.

Ответы, решения, указания
509. Решение. Нам нужно найти координаты вершин парал-
параллелепипеда С(х3;у3; z3), В1(х2; yf2; zr2), Ci(xf3; yf3; z3), D1(xf4; y'A] z'A)
(рис. 151). Обозначим точку пересечения диагоналей основания па-
параллелепипеда через N(xN; yN; zN), а точку
пересечения диагоналей параллелепипеда —
через М(х0; у0; z0).
1. Так как N есть середина BD, то
5 + 8 „ г	4 + 4 ,
В
Рис. 151
Далее, так как N есть середина АС, то
—-— = хм = 6,5; —-— = ум = 4; —-— =
Z	A	A
= zn = 0,5, откуда жз = 10; у3 = 1; ^з = 0. Мы нашли СA0; 1; 0).
2. Так как М есть середина СЛЬ то ж0 = —-— = 5,5; у0 = —— =
= 3,5; z0 =
0 + 2
= 1. Итак, центр симметрии — точка М пересечения
всех диагоналей параллелепипеда найдена: МE,5; 3,5; 1).
3. Так как М есть середина ACi, то	 = хо = 5,5; 	— =
I /	2	2
= уо = 3,5; —-^ = 2;0 = 1; откуда ж3 = 8; 2/3 = 0; 4 = 1- ^ы наш-
нашли Ci(8; 0; 1). Координаты вершин В\ и D\ вычисляются еще проще.
510. 1) АС] 2) 0. 511. 1:3.
512. ОА = -ОВ-ОС+ЗОЪ. 513. 1) 90°; 2) 90°.
514. 1) 0,5а2; 2) -0,5а2; 3) -0,25а2; 4) 0,75а2.
516.	cos a = -; cos/3 = -; cos 7 = 0. Указание. Вычислить
5	5 __>.	4	3
направляющие косинусы вектора АВ: cos а' = — -; cos/3' = -; cos 7' =
о	о
= 0; направляющие косинусы оси Oz (или вектора z@; 0; 1)): cos a" =
= cosfi" = 0; СО877/ = 1. Если обозначить через а, /3, j углы,
образованные искомым вектором с осями координат, то вследствие
условий перпендикулярности их косинусы удовлетворяют двум усло-
4	3
виям: —cosa +- cos/З = 0 и 1-cos7 = 0.
о	о
517.	СD;-5;-2).
518.	А(—; —8; 12J; В ( — —; 7; —13J и другие точки деления:
519. 1) Компланарны; 2) не компланарны; 3) компланарны;
4) не компланарны.

Разд. IV. Геометрия. Стереометрия	687
521. 1) BЛ;-Л;-2Л); 2) (Л; 5Л;-Л); 3) (ЗА;-2А;0), где Л -
любое число.
523.	x + 4y-2z = 2.
524.	Решение. Уравнение плоскости, содержащей ось Oz, имеет
вид Ах + By = 0. Эта же плоскость должна содержать и данную
точку MiB;4;3), поэтому имеем 2Л + 4Б = 0, А = -2В. Тогда
у = 0, или 2х-у = 0.
525.	cosa = -; cos/3 = --; COS7 = -] а ъ 48°11/; 0 « 131°49';
7«70°32/.	3	3	3
526.	2д/2. 527. y = ±z. 528. A2; 0; 0), @; —8; 0), @;0;-6).
529. 8 куб. ед. 530. @; 7; 0) или @; -5; 0).
531. 8ж - 4у - 4z + 5 = 0 или 4ж + 24у + 4z + 7 = 0. Ука-
Указание. Пусть точка M(x;y;z) принадлежит искомой плоскости,
тогда ее расстояние до первой плоскости равно d\ —
и расстояние этой же точки М до второй плоское-
=
i	оХ ~\~ oil oZ ~\~ О -ш-г	ii	iii	г»	-1
ти равно п2 =	^1=	. По условию \а\ = |«21? или 2>х — 1
л/59
+ 62; — 1 = =Ь2(Зж + 5^/ — 5z + 3). Существуют две такие плоскости.
532.	F; 4; 5). 533. 2^-3^ + 7 = 0. 534.
535.	45°. 536. x-2y-3z = 4:. 537.
538.	2x-2y-\-z = 2. 539. 2ж-?/ + ^ = 5.
540.	Зх-у = 0 или ж + 3?/ = 0. 541. | + ^ +
542. | + | + | = 1. 543. ж-22/ + 2^ = 11 и ж-
544. ж-8
§ 8. Задачи по стереометрии
с применением тригонометрических функций
2
545. «35°16'. 546. -^i/4 + tg2a. 547. arctg^-^.
4л/3	sin/3
548.	«82°49/ и «41°25/.
549.	sinx = sin20ocos25°; ж « 18О3'28" « 18°. 550. «39°48'.
ЬлД
551. 30°. 552. 1) ?-aVa2 + 2b2; 2) arctg-
4	а
553. Секущая плоскость параллельна большей диагонали основа-
основания и составляет с плоскостью основания угол ip, такой, что cosy? =
а
554. ^

Ответы, решения, указания
555. -rsecawsin a + - sin a-- . 556. аА
4	V ^ 6^ ^ 6^
557. 4/г2-ctg а-ctg ^. 558. I2 -sin2а -cos2 ^ -secy?.
559. а c
Sln
71" °Л 2 /о	а
~^j5 а V2cos-
560.
561. n
m — 1
sina-tg
180°
562. v/^2sin2a + ti2cos2a. Указание. Пусть (рис. 152): О —
центр основания цилиндра, А — точка касания, В — точка пересече-
пересечения касательной прямой с плоскостью основания, С — нижний конец
образующей, проходящей через Л, OD — перпендикуляр из точки О
Рис. 152
Рис. 153
на касательную АВ. Тогда ABC = а, \ОА\ = d и |ОС| = Я. Соединив
также С и D, получим в треугольнике О DC при вершине С прямой
угол: ОСТ) = 90°.
bs'm2a
эоо.
„ПА lsma-V2 , .	.2
564. —=	 = / sin a • sin (
л/2 + tga
где
определяется из равенст-
ва
?г=г
565. Решение. Пусть \AS\ = I (рис. 153). Тогда h = \OS\ = / х
na;
*9Полн =
\
xsina; r = IAOI = l-cosa; Q = --2-r • h =-l2sin2a; I2 = . ~; ;
2	2	sin 2a
— 7Г
= тг/ cos	a + тг/ cos a = тг/ A + cos a) cos a =
2Q	а	4ttQcos —cos a
	-^— • 2 COS	— • COS a = 	т	ту	?7V :
sm2a	2	2cosaBsin-cos-)
566.
!-о
567.
(R2 -r2)s'ma
2cos/3 '
568.

Разд. IV. Геометрия. Стереометрия
689
569. V = abc^/-cos2a; smx = У-cos2a (x = 45°). 570. 516 м3.
572. — sin —
Ь A
573.
Н
С c/tg Ю к а	+'**+' TtR . Q	OL	2 j-.o . 2	9^
° ^ 5,4 т. 575. —— sin a-ctg - = - тгЯ • sin a • cosz -.
24тг
576. г = *IJL
4sin —
2	2
3,43 m; fti = (r-n)tga
tga + tg/3
: 19,02 m; h2 = (r- r2) tg /3 « 3,93 м.
577. « 3562 км. 578. « 36720 км; « 15930 км.
579. ^ tg ^ ctg —. 580. « 70°32/. 581. sin ^ = ^; a « 70°32/.
582.
sin 2a
KO/J тга2 2 a KOK 7r^2sin^
584. ——sec2-. 585.
4	4
583. sin ^ =
2
; 60°.
cos
2—2-, где tg<p = J2tg-.
sin В -sin G -cos- (В — С)
2
586. S =
587. 87ra2-cos2—; 27ra3sina -cos2 —.
sin В sin С
588.
; 27rasina cos
z	z
: Vc = cosec Л : cosec Б : cosec C.
589. -?^cos2D5o-^Y
sin a	^	*'
590. S=87rtf2sin2%os22; V = |тгЯ3sin42 591.
A	4	о	4
О
Рис. 154
592. Решение. Пусть \АВ\ = |БС| = \CD\ = \AD\ = a, OAS = a
(рис. 154, а); тогда \AC\ = aV2; \OS\ = \AO\ tg a = ^tga. Пусть
ребро куба равно ж, тогда |M7V| = ж л/2 и ' J = ' J (рис. 154, 5);
44 В. А. Бачурин

690
Ответы, решения, указания
a aV2tga	I	2tg a
—- =	—s	; - = —г^-2
; aV2tga-2x =
х =
_ av2tga _ av2si
а л/2 sir
2(tga
2(sina + cosa) 2(sina + sin A + a))
a v2 sin a
593.
12 cos |
594.
/— Я Я	2
v3/ cos a sin
Я Я	2
cos a sin a-sin/
595. faWf-,/=Б5ПЙ. 596. f?- .tg»(j - f) sin^J - f).
597.
2 . 180°
7ГГ Sin
598. -Trfe3 »y»^)si"
3 sin a-sin (a —
.„„ a , 180°
599. 2CtS —
600. Решение. На рис. 155, a изображена n-я часть пирамиды;
\АВ\ = а — сторона основания пирамиды, \SO±\ — высота пирамиды,
~ASB = a] \CS\ - апофема, \OD\ =
= |OOi| — х — искомый радиус ша-
шара. На рис. 155, б изображен разрез
этой фигуры. Имеем \CS\ = — ctg —;
= о tp.18O^.
- 2 г. .p-
n
>180°
Рис. 155
Из подобия треугольников CSO\ и
следует
s2--
|СО]
180
180°
— _
a • ctg |
2x
2Uvctg 2"ctg—-ж]
180°
— _
2ctg|
a у ctg^- -
180°
о
- 2ж
Отсюда легко находим искомый радиус шара:

Разд. IV. Геометрия. Стереометрия	691
а ^ 180'
¦ = тт ctg
и А
sin
V <n	9 /
. /180° , а\
sin
601. ^-(l + 2ctg2aK. 602.
о
603. 2arctg-. 604. \ Я3 ctg a ctg C. 605. 2arctg —.
а	о			тгп
Г . 2л
606.	|Z}#| = /sin/3; |Aff| = ICffl = l\	п Р] (р = arctg U/2 tg /3).
V 2	v	y
607.	arccos — . 608. _^_5_. 609. —.
4	4cosa	6
Л-«гч #9 • <^ / а +/3 а —в г*-*-* 1 \/к^ — \
610. г sin — W cos——^- cos——-. 611. arcctg-^—	.
А у	А	А	А
л-*^ лг г» ч • ск / • За . а „_| _	1
612. К = 2аsin — л/sin-—sin—. 613. arccos-.
Z у	Z	Z	o
614.	#бок = 4а2 cos2 — sin а tgyS; V\ — —- sin 2а sin a tg /3.
А	о
615.	arctg -^-. 616. 2Я2ctg^v/2 + ctg2^. 617.
618. ^^VS\/3cosa. 619. tg7=
4?Га Sin— Sinf— + — )	/73ГПЧ П/Ч1ПП/ 1
620. 	2 ^ 2—2Ll.	621. ^_^_^!^< 622. 4arctg^.
sin-	4тг 2
n
о о	2 • 2 /7Г CK\
17_ 7rm3sin2acosa c	_ 7rm sin а cos (- - - j
• V — 	g~~CK	' *^п "~ 	Tot	•
24 cos —	2 cos —
2	2
(l — cos —) B +cos—)	7 1
624.	2—	2-.	625. — K. 626. 2arctg-.
4	27 2
627. 	тт^- 628.
629. t «/	 ^sinasinX 63Qe 2arcsin(tg a).
3(ctg/3-ctga)	3i2(/3)	V '
631. arcsin^^. 632. 45°. 633. ^ з
634. arctg i. 635. 2d2 V2 sin fa + j) sin a tg ^.
636. 2ctfa'ctgf . 637. ^
B	2)	6
cos2a
638. cosa= A4/-; »«32°46/. 639. 3
2	V sin 2a cos a
44*

692
Ответы, решения, указания
640.
643.
646.
649.
652.
655.
657.
660.
663.
666.
668.
641. 2arcsin
642. 2 з/Х.
2arctg —. 644. arctg
5
645.
2 . 2/
a sin [a — i
„47. ?
!. 648.
л /77 9 9<^ лкл 1 л^-*	1 2 S COS а
4v3mzcosa cosz —. 650.	arccos-. 651. 	^ w	-—.
2 9	cos| V V^
л/2 cos a „ro 5	^r. nS
	t^. 653. arccos — .	654. 	^—.
— (a3 — 63)tga. 656. arccos —.
m + n
arcsin
л/5-l
^2a. 658. arcsin —. 659.
3	sin<
661. ^c3sin22atg/3. 662. arcsin-
). 664.
fYlcV
- S • I cos (a - f
cos 2a : 1, считая от основания. 667.
a2sin2a
a ctg (p sina sin /3 66Q a sin acos/3 67Q
)	sin (a + /3)
/o • /	К \
v2asin(a —-)	7
V	4 '	лэ^л	'
671. a(l-ctga) =
674.
sin a
2 sin (- —-)sina
M 2^
I	7
4У 672. i-. 673. 2a2 sin2 ? ctg ^.
8 cos -
-arccos — . 676.
m
677.
680.
683.
2-^. 678.
7Г
R3s'm2a
2тг
681.
4тгг2
. 2 *
sin a
3
682.
679.
3sin2y? cosy? cos2 —
л /3 3 , 3 ск
4тг/ cos atg —
cos-
9л/3*
Приложение III. Экзаменационные задачи
13. ж = 5. 14. ж = 0,05. 15. ж = 100. 16. ж = 2,3.
26. Решение. Здесь х / 0; а / 0. Имеем
2/3 . 2/3 2/3 \~3 1 	 -2 2 2
	jy^	 - — \/(а2 + ж2J = —- — - — = -1.
f I °	/	П.	Т.	П.	П.

Прил. III. Экзаменационные задачи
693
36. Решение. Здесь а / О, 6/0, а / ±6, а/46. Имеем
а а1/2+61/2 ^ 4
а1/461/4 +а
2(а-46)(а
6 4а2 - Uab- 862
а" 2(а-46)(а
_ а 6 2(а-46)Bа
~ а + 6 о 2(а-46)(а
а 6 2а + 6 _ а
+ 6 о а + 6 ~ а(а
а + 6
В
Рис. 156
Рис. 157
37. Решение. Пусть \АО\ = |СО| = R и |DOi| = г; ACD = |
(рис. 156). Выразим через радиусы R и г сторону /ID треугольни-
треугольников Л?Ю и
= \AO\'SinAOD = Rsma; \AD\ = г х ctg [^ - j}.
Следовательно, R • sin а = г • ctg (j - j J. Отсюда получаем ответ:
— = sin a •
К
38. 6^ см. 39.
4Bтг + 3л/3J
42.
Rsin —
2
l + sin|
¦2V3). 40. Ц-.
;. ^. 44.
45.
8
46. ? см. 47. §; ^; 5. 48. ^
2	о о	5
49. 6 см.
50. 9см;9\/3см; 18 см. 51. 7,25 см.
53. 10 см; 17 см; 21 см; \/337 см. 54.
55.	/ д/п{21 — а).
56.	Доказательство. Соединим данную точку М с верши-
вершинами А, В, С треугольника (рис. 157). Площадь треугольника ABC

694	Ответы, решения, указания
равна сумме площадей треугольников АВМ, АСМ, ВСМ: 2S =
z; но
Поэтому 2S = —х + —-у-\	z, откуда - + f + - = 1.
a	b	с	a b с
57.	Решение. Обозначим через х кг количество железа в 500 кг
руды. При удалении 200 кг примесей было удалено чистого железа
12 5
200 • -—у- = 25 кг. В 300 кг руды, таким образом, стало чистого желе-
железа (х — 25) кг. Составляем уравнение:
ж-25 х _ 20	ж-25 х _
зоо 500 ~ Too или з I ~
Умножаем все члены уравнения на 15: 5ж — 125 — Зж = 300; 2ж = 425;
х = 212,5 кг. Следовательно, после обогащения стало чистого железа
ж-25 = 212,5-25 = 187,5 кг.
го aq -1006 1006 -ар о
58.	—	; 	-. Задача имеет решение, если:
q-p	q-p
1) aq > 1006 > ар при q > р; 2) ар > 1006 > aq при </ < р.
59.	cF~d> т; с(^-а) т. 60.
т; ^ т. 60.	_ Q1 ш
о — а	о — а	26
62. 40 часов. 63. !!л/"'; -р^-= (о > с).
V а — v с v а — ус
^. ^^ ^ гЯ — R[a — (m — п)]	^
64. Оба насоса работали 	j-	Ц^	— ч; один насос работал
R[2a - (т - п)] - 2rN „	г(т-п)
—	^	 ч. Ьсли все время работал один насос, то К\ =
гут — п)
rN	2rN
; если оба насоса, то R2 =	-,	г. Легко видеть, что
a — (m — n)	2a — (m — n
R2 < R\] кроме того, чем меньше величины г, TV и разность (т — п)
и чем больше величина а, тем стоимость работ R будет меньше.
65. За 12 ч. 66. 8 чел. 67. i (а + 36 + л/а2 - Юаб + 962) км/ч.
68. 15. 69. 6188. 70. 3. 71. 28 и 20 деталей. 72. 4 и 6.
73. 150 г и 450 г. 74. Через 	^	« 56 лет.
Ig81 — lg80
2/sirm	ал/3
11
2sin(- + aV	" 2 + tga'	' л/2 + ctga
6-sin—-cos a	Ял/Чтгт2	ir
114. 	^_		115. °va*v ^ 116
v 2 cos (— + — j	3sin a
4тгЬ2 -cos2 —
117	2^^i/j/jo,,2 110
117. —	. ^ ~ 144,d м . lie. 	^—~
119. 2arcsin^-A 120. « 65°33'. 121. - #3sin32</? -tgy? -sina.

Прил. III. Экзаменационные задачи	695
122. ^fi3sin2«;7r7?2sin«/2tg«+1\	123. ~62°22'.
о	4	А \	А /
124. 2arctg-^. 125. «82°49/. 126.	arctg (—- д/2 tg a).
л/n	\т + п )
COS OL	О
периметр основания).
hp_a){p_b){p_c)tga (р_полу.
О
128. ^tg/J. 129. ^^. 130. aWa. 131.
4	2
tg/J. 129.	. 130. aWa. 131.
4	2	16sina
100 a sin 2a -cos a
132. 	^	• 133.
a sin 2a -cos a	.	cos a
133
«in" Чл/	• 180
sin ба	sin
134. a
л/8т(«30)8т(
4cosa v v	7 v
135. 2aR2 sin a • sin C • sin (a-\-C) sin (p.
4 (sin — + л/2 cos a)
2
137
137
+ a)-sinC0°-a)'	' sin| + cos| + л
138. Плоскостью, пересекающей боковые ребра при вершинах ту-
тупых углов основания, параллельно его большей диагонали, так чтобы
двугранный угол с плоскостью основания был равен arccos ftg — J.
bPi	i
-юг*	j. b^Pi л АГ. sina m
139.	arctg	. 140. 	- = —.
a	sinp n
141.	Как и всякая целая рациональная функция, эта функция оп-
определена на всей действительной оси: — ос < х < ос, иначе (—ос; ос).
142.	[2Ьг;BА; + 1Oг]. 143. (-2;0]. 144. (-1; 1).
145.	[-4;-3]U[3;4]. 146. R, ж/0;1;2.
147.	(-ос;-1)и(-1;ос). 148. (-ос;-1) U (-1; ос).
149.	(-ос; ос). 150. (-ос; 0) U @; ос). 151. х = - + 2тгк.
152.	(-ос; ос). 153. (-ос; 0) U @; ос). 154. Bктг; Bк-\-1)тг).
155.	@;1]. 156. (-оо;^]. 157. [-1; 0) U @; ос).
158.	хф±х^-. 159. (-ос;-1]и[1;ос). 160. х = к, keZ.
161.	Решение. Должно иметь место неравенство lg sin x ^ 0. Но
|	1; поэтому множество значений аргумента ж, при которых
данная функция определена, есть х = — D& + 1).
162. хф2Ы. 163. @; ос), кроме хе Z. 164. (-ос;-1] U [3; ос).
165. [-1;-|]и[0;|]. 166. (J+ 2Атг; |тг+ 2Атг).
167. A;2]. 168. F;ос), хф1. 169. |ж \х е
170. (-4; 4) U D; 5]. 171. (-оо;-2) U [-i; оо).

696
Ответы, решения, указания
172. (-оо; 0) U @; 2] U [3; ос). 173. [B&тгJ; B& + 1Jтг2], k е Zo.
174. A;2)UB;4]. 175. (-оо; -1-л/б) U (-1-д/5; -3) U [2; оо).
176. B;3)UC;9]. 177. [1; 2) U B; 2,5). 178. [-8;-3) U (-3; 0).
179.	Решение. Так как \у\ ^ 0, то 1-х2^ 0, или (х — 1)(х + 1) ^
^ 0, откуда — 1 ^ х ^ 1.
Ответ: [—1; 1].
180.	1) [-1;1]; 2) @;1].
181.	1) Решение. Разрешим данное выражение относитель-
относительно ж: х — —	; откуда у / 1; ответ: (—оо; 1) U A; оо);
2) [0;1].
«,.!)[-!= 1]= Ч (-»;!]¦
183. 1) Приведем одно из решений. Преобразуем данную функ-
функцию следующим образом:
[ cosx + sinx)/2(cosx cos ^+ sin х sin^ ) fl cos
cosx + sinx)\2(cosx cos ^+ sin х
2	2	J	\	4
sin^ ) —\fl cos (ж- ^ ).
4/	V 4/
Так как -1 ^ cos (x — j) ^ 1, то — л/2 ^ 2/ ^ V^; ответ: [—л/2; л/2];
2) [l;2].
184. 1) (-00; 00); 2) [i;ll. 186. См. рис. 158.
L о J
О
-1
Рис. 158
-1X0/1
-1
Рис. 159
У
-2/
/
У =
1-х
х = 1
у = -1
Рис. 160	Рис. 161
187. См. рис. 159. 192. См. рис. 160. 193. См. рис. 161.
jy — 1
-2
У'
2
У
/
0
у-
1 X = 1
г
1
ж + 2
1 Ж
1
1

Прил. III. Экзаменационные задачи
697
О
О
у =
У = log3 х
1 3
Рис. 162
Рис. 164
Л
Рис. 163
У*
0
-2
1
i;-2)
5;0)
—-
2
.—	¦—
ж
Рис. 165
196. См. рис. 162. 197. См. рис. 163. 203. См. рис. 164.
204. См. рис. 165.
215. Решение. В учебнике показано, как строить графики функ-
ций у = 2х A) и у = ( — 1 = 2 х B). Воспроизведем их (пунктирные
линии на рис. 166). Если теперь при одних и тех же значениях абсцисс
из ординат графика A) вычесть ординаты графика B), то получим
у-Х
/
' \f+.
>//•=
0
17=
= 2Ж
	>
Ж
Рис. 166
график функции у = 2х — 2~х. Если же сложить ординаты графи-
графиков A) и B) при одних и тех же значениях абсцисс, то получим график
функции у = 2х + 2~х (рис. 166).

698
Ответы, решения, указания
У*
J
0
_ 1
У — ~~2~
у '
X
V'
--<
О
X
Рис. 167
Рис. 168
216. См. рис. 167. 217. См. рис. 168.
229. Решение. Сначала построим графики функций у = х A)
и у = sin ж B) (пунктирные линии на рис. 169). Затем при одних и тех
же значениях абсцисс сложим ординаты графиков A) и B). Получим
график функции у = х + sin x.
О
= х
у = sin ж
)
тгч^_-- 2тг 3ti
Рис. 169
®'
,''
7Г
У - - - "У
/ V
\щ
2тг
у = ж sin ж
Зтг
\ 2/ = sin ж
Рис. 170
235. Решение. После умножения ординат графиков функций
у = х A) и у = sin ж B) при одних и тех же значениях абсцисс получим
график функции y = xsinx (рис. 170).

Прил. III. Экзаменационные задачи
699
237. График состоит из отдельных точек оси Ох с абсциссами
^ + 2&тг, где & = 0;±1;±2;...
А
у = х
DD;0,25)
О хБA;0,5)
Рис. 171
257. Решение. Строим вспомогательные графики (рис. 171):
у — х A) и у — 2х B); затем ординаты графика A) делим на орди-
ординаты графика B) при одних и тех же значениях абсцисс и получаем
х
график функции у = —.
А
273. Решение. Построим график функции у = lgcosx по гра-
графику функции у = cos ж (рис. 172). Сначала строим косинусоиду, а
у = lgcosx
у = lgcosx
Рис. 172
затем через точки ее пересечения с осью Ох проводим вспомогатель-
вспомогательные прямые, параллельные оси Оу. При х = 0 косинус равен единице:
cos 0 = 1, а логарифм единицы есть нуль: lg cos 0 = 0. Если аргумент х
возрастает от 0 до —, то косинус убывает до нуля. Тогда логарифм
косинуса будет отрицательным, а по абсолютному значению будет
возрастать. Иначе говоря, если 0 ^ х < —, то 0 ^ lgcosx > — ос.
А
График функции у = lgcosx изображен на рис. 172 сплошной ли-
линией.

700
Ответы, решения, указания
Рис. 173
278.	График состоит из частей графиков трех разных функций
(рис. 173).
279.	х\ — 5. При решении получается второй корень х<± — 165,
являющийся посторонним.
280.	х\ — 2. При решении получается второй корень х<± — —1, яв-
являющийся посторонним.
281.	Решение (один из приемов). Здесь х ^ 0. Преобразуем
правую часть следующим образом:
\[х —
Отсюда у/ж(\/бж~+Т+\/2ж~+Т) =4ж;
что в совокупности с исходным урав-
уравдает 2\/2ж + 1 = Зу^, откуда
2) \/6ж + 1 + л/2х + 1 = 4y
нением \/6ж + 1 - л/2х + 1 =
+ 4 = 9ж, Х2 = 4.
Необходима проверка. Оба полученных корня исходному уравне-
уравнению удовлетворяют.
Ответ: х\ =0, х<± — 4.
282. Указание. Преобразовать уравнение так:
6ж2
- \Ъх +12 - — + -% = 0; 6 (ж2 + ДЛ - 13 f х + i) +12 = 0.
ж ж2	V ж2/	V х)
Положить х Л— — У-> тогда х2 -\—^ = у2 — 2 и т. д.
3	2
Ответ: х\ — ц х^ — —Ц х$ = -\ х/^ — -.
2	о
283.	Указание. Положить х2 + 4х + 5 = у.
Ответ: х\^ — — 2 =Ьл/б; ^з,4 = — 2=Ь\/2^.
284.	ж = 2.
285.	Решение. Здесь х > 0; ж / 1. Имеем
= 4;
(\fx) °S^ Ж =4; BжJ = 4; ^i = —1; #2 = 1- Однако х\ и ^2 не вхо-

Прил. III. Экзаменационные задачи	701
дят в область определения данного уравнения. Следовательно, оно
не имеет решений.
286. х\ — —2; #2 = 2. Указание. Преобразовать первое слагае-
слагаемое так:
(^ ]
V л/2 + л/З	/
287. ж = ^B& + 1). 288. жх = а/2; ж2 = а/3, где а > 0, а ф 1.
289. Ж1 = 0,001; ж2 = 0,1. 290. х1 = Ц--\; ж2 = ^ + ^-1.
291. Ж1 = 2тгА:; ж2 = ^ DJk + l). 292. ж = ^±1тг.
293.	* = ±f + ^.
294.	Решение. Переходим в левой части к косинусу:
cos [ — — тг cos ж J = cos (тг sin х).
Согласно условию равенства косинусов, имеем	7rcosx = =b7rx
х sinx + 27rn, откуда	^
sin х + cos x = - - 2n;	A)
sin ж — cos ж = 2n — -.	B)
z
Решаем уравнение A): sin ж + sin f — — ж j = - — 2n, откуда
^.тг	/ тг\ 1 —4n	/ тг\ 1 —4n
2 sin — • cos [x - — = —-— или cos [x - — =	^r-
4	V 4/	2	V 4/ 2V2
Должно иметь место неравенство —1 ^ 	— ^ 1, что возможно
только при п = 0. Итак,
cos (х- ^ ) = ——; х\ 2 = ^iarccos—— + 2тгА:.
V 4/ 2л/2	' 4	4
Решая уравнение B), получаем еще два ответа:
ж3 = — -arcsin—¦—h 2тгА;; ж4 = — +arcsin —- + тгBА: + 1).
295.	sin 18° =	. Указание. Вместо sin36° = cos54° за-
записать
2 sin 18° cos 18° = cos 36° cos 18° - sin 36° sin 18°,
или
2sin 18° cos 18°A + sin 18°) = A -2sin2 18°) cos 18°.
Сокращая на cos 18°, получаем квадратное уравнение относитель-
относительно sin 18°.
80	12	16	20
296.	*! = -, !,! = -; х2 = у, y2 = Y.
297.	Решение. Преобразуем первое уравнение:
1 — cos2x I —cos2^/ _ 3
2 + 2 = 4'

702	Ответы, решения, указания
откуда cos2x + cos2?/ = -; или cos (х + у) • cos (х - у) = -. Тогда
I	2	4
cos75° • cos(x — у) = -;
/ \	 1 	 1 	 cos 15° _ cos 15° _ 1 -о
СО8{Х-У) - 4cog75O - ^—^ - 4sinl5ocogl5o - ^—-S -СО8 1Й .
Исходная система примет вид
Отсюда получаем ответ:
Xl = j(ik + 1), yi=jO-6k); x2 = j(Qk + l), у2=-A-Щ.
4	b	b	4
298. Решение. Из второго уравнения выражаем у через х:
у —	х и, подставляя в первое уравнение, имеем
sinх + cos (	х)=1. или 2sinx = l.
Отсюда sinx = -; x = (—l)n — + тгп;
2	6
7Г	/"	7Г
— ~т~ ^7Г /С j	I »*^ 2 —	7Г "т" 7ГI .Z /С ~т~ _L ),
6	J	О
\	О
У1 = \~Х1 = ^ ~2?г^	I ^2 = 1" ~ Ж2 = "Г — тгBАг + 1).
Получили две серии решений данной системы.
299.	Решение. Складывая и вычитая данные уравнения, полу-
получаем систему	(	.,
cos х cos у + sin x sin у — - + а,
1
cos x cos 2/ — sin x sin 2/ =	a,
откуда cos (ж — 2/) = - + a, cos (ж + у) =	a.
Накладываем ограничения на а так, чтобы выполнялись соотно-
соотношения:	^	^	11
— 1 ^ —hft^l, — 1 ^	a^l, откуда	< а < -.
\2 \,	\2 \,	^	2^^2
При этом условии имеем
х — у — zbarccos f^ + ft) +2тгп,
х + у = zbarccos f - — aj +2тг&.
Полученная система распадается на четыре алгебраические системы,
решение которых не представляет затруднений.
300.	-Д= > -. 301. д/5 + л/б > л/21.
л/195 2
302. Решение. Здесь имеются в виду арифметические корни.
Возведем оба числа в квадрат: (л/5 + л/З) =8 + 2\/Т^;

Прил. III. Экзаменационные задачи
703
= 8 + 2 д/12. Квадрат первого числа больше квадрата второго числа. Так
как каждое из данных чисел больше единицы, то д/б + л/З > л/б + л/2.
303. A + У5IО°>3100.
307. Доказательство. В известном неравенстве (х-у)^О,
или х2 + у2 ^ 2ху положим х — а и у = 1; тогда а2 + 1 ^ 2а.
Отсюда аН— ^2, что и требовалось доказать.
а
312. (-l;0)U(l;oc). 313. (-ос;-1) U @; 1). 314. @; 1).
315. (-oc;0)U(l;oc). 316. A;ос). 317. (-ос; ос).
318. A; 2) U (-2; -1). 319. (^"/^ ~5 + ^ U A; 4).
320. (-ос;1). 321.
322.	[-1; =Ц^2
323.	Указание.
+ \х — 1| < |Зж + 2|, и т. д.
Ответ: (—ос; —2) U @; ос).
324.	(-ос; 1) U B; ос). 325. Ц; 5]. 326. (-ос; ос). 327. (-1;3].
L о A J
328. (—1; 1) U A; 2,5). 329. (-±; |) U B; ос). 330. (^-ос; |).
331. B; 3) U (8; ос). 332. (-ос;-2) U B; ос).
333. Решение (методом интервалов, см. учебник).
Так как множитель [х2 — х + 1) > 0 при всех ж, то на него мож-
можно сократить неравенство. Знак множителя B + хK совпадает со
знаком B +ж), поэтому, не нарушая неравенство, заменим B + хK
на B +ж). Двучлен A — 2х) разделим на —2, вследствие чего знак
неравенства изменится на противоположный. Наконец, множители
знаменателя перенесем в числитель, и после этого получим следую-
следующее приведенное неравенство:
Это неравенство равносильно исходному. Корни функции f(x) тако-
таковы: —2; -; д/2; 3 (рис. 174). Если х < —2, то f(x) > 0, поскольку все
-2
Рис. 174
четыре множителя будут отрицательными: (—)(—)(—)(—)• Далее,
вследствие того, что все корни функции f(x) действительны и раз-

704	Ответы, решения, указания
личны, ее знаки будут чередоваться при прохождении аргумента х в
положительном направлении через корни. Это чередование в данном
случае легко установить непосредственно, исследуя множители, на
которые разложена функция f(x).
Ответ: (-ос; -2) U @,5; л/2) U C; ос).
334. (-ос;-0,5). 335. @; 1,5).
336.	(-ос;-1(У273 + 1))и(^(У273-1);ос). 337. (^;
338.	@; 1) U (л/3; 9). 339. [-3;-1) U A; 3].
340.	(-ос; -|) U (у; ос). 341. (-4; 0) U F; 10).
342.	@;ос). 343. B/3; 0,5) U @,5; 1) U A; ос).
344. E + 2&тг;| 7Г + 2&Л 345. (-^
V о	о	/	V 4
346. Я, ж/^. 347.
348.	Равенство возможно, если либо а = 2&тг, либо /3 = 2&тг,
либо а-\-C = 2&7Г.
349.	Решение.
• 2 , • 2 и i ' 2	1 —COS 2а 1 —COS 26 1	2
sin а + sin 6 +sin c=	1	hi —cos с =
o cos2a + cos26	2 о	/ , n / L\	2/ / , n\
= 2	cos с = 2 — cos (a + o) cos (a — b) — cos (тг— (a + b)) =
= 2 - cos (a + 6) cos (a - b) - cos2 (a + 6) =
= 2 -cos (a + 6) (cos (a -6) + cos (a + 6)) =
= 2 — cos (тг — с) • 2 cos a • cos 6 = 2 + 2 cos a • cos 6 • cos с
Ho 2 cos a-cos 6-cose > 0 (поскольку а, 6, с — острые углы). Поэтому
sin2 a + sin2 6 + sin2 с > 2.
353.	Решение. Запишем данное неравенство в виде	— > 0,
ху
откуда следует:
1) х>0 и у>0; 2) х <0 и у <0.
Ответ: все внутренние точки I и III четвертей координатной
плоскости.
354.	Все внутренние точки II и IV четвертей координатной плос-
плоскости.
355.	Все точки верхней полуплоскости, ограниченные параболами
у = х2 и у = 9 — х2. Граничные точки области входят в это множество
точек.
356.	Все точки II и IV четвертей координатной плоскости, огра-
ограниченные концентрическими окружностями и координатными осями.
Граничные точки этих фигур входят в это множество точек.

Прил. III. Экзаменационные задачи
705
357*). Полукруг.
358.	Пересечение внешней области круга и полуплоскости.
359.	Кольцо, ограниченное концентрическими окружностями.
360.	Параболический сегмент. 361. Параболический сегмент.
362.	Часть плоскости, ограниченная параболами.
363.	См. рис. 175. 364. См. рис. 176.
У>
х — у = 0
<5Г- 2у = 0 1
Рис.
	2V
ш
U \
175
1)
	>
X
-1)
2
/
/-2s
/
—т '
^ж + 2/ + 2
Рис. 176
/-1 = 0
= 0
365.	Параллелограмм с вершинами М(-1;0), МC;-4), МC;0),
(-1;4).
366.	Параллелограмм с вершинами М(-3;-1), МA;3), МD;3),
()
367.	Трапеция с вершинами М@;-1), М(-6;5), МB; 1), МB;-2).
368.	Трапеция.
369.	Выпуклый четырехугольнике вершинами М(—1;0), М(— 1; 1),
МC;5)им|о).
370.	Выпуклый четырехугольник. 371. Сектор.
372. Часть круга между прямыми. 373. 1-. 374. 4,8 л.
1
375. -Slcos(a-f3). 376. 0,5. 377. 2 км и 2,5 км.
378.
383. 1. 384. -115. 385.
379. tga. 380. 25. 382. -
4 . 386. ж = 4.
387. а
389.	х — — (а
390.	10
= 0. 388. 0.
; у = ab + ac + bc; z — —abc.
= Ч\ 7
*) Граничные точки всех фигур в задачах 357-372 входят в искомые
множества точек.
45 В. А. Бачурин

706	Ответы, решения, указания
391. 17. 393. 24; 10. 394. |5 395. л/2 + л/б.
81
396. 10 тысяч и 15 тысяч. 397. xi = --; х2 = -; х3 = - — .
8	8	18
398. \g2x + \g2y = l. 399. -^1-л/Г-sin2 12°. 400. Нет.
401. Нет. 403. х = 1. 404. 2 < ж ^ 3. 405. -oo<x^log2
406. log2/33 < ж < log2/32. Поскольку 1,55 < 10, получаем
Значит, lg — = — 5lg2 > log2/32, т.е. lg — не является решением.
407. Iog3(log27) < х < 1. 408. К х
409.	Указание. Уравнение равносильно системе
Г 1 — л/2 sin ж = 4 cos2 ж,
\ cos ж ^ 0.
Ответ: х — —-—h 2/гтг.
4
410.	х\ — — arccos —- -\-2k7r; х2 = arccos —	тг + 2птг.
о	9
411. х = ±^ + 2ктг. 412. ж = ^FА;±1). 413. х = -3.
415.	Ж1 =0; ух = 0; ж2 = 4; ?/2 = 2; ж3 = -2; ?/3 = -4.
416.	-оо<ж<-20. 417. (ж-1)(ж + 3J. 418. х = 5.
, 7Г	7Г
Ж + —	Ж — -	о
419. х = 1. 420. 4sinx-sin	^--cos	^-. 421. -.
2 з 2	2
422. За 14 дней и 11 дней. 423. ^-^ « 50,36 см2.
128
424. 2 < х < 10. 425. ^.
426. Действительные корни #i = 1; х2 = 3. 427. -5 ^ х < 9; ж / 8.
428. ж = 10. 429. -i sin8x. 430. 20% и 60%. 431. 3 и 4.
2
432. _ 2а	=- те 129,1см2. 433. а2 + 3 = 4^. 434. х = 1.
(^t + lJ	64
436. 40. 437. 60 Н или 40 Н.
438. -r^x/sin[^ + (p) •sinl^-^). 439. x = 8. 440. 5см.
sin— -sin
simp У V2 rJ	V 2,
r v	2ск
441. 100 км; 10 км/ч и 15 км/ч. 442. 2Q3/2-Vctg7	-.
443. - + 2тгк < а < -7т-\-2ттк. 444. Ь-а = - — .
2	6	36
445. ^/2см; ^/5см; ^/Шсм. 446. 2; 5; 8. 447. o2-A/3-si

Прил. III. Экзаменационные задачи	707
448. irk <х < - + 7Г&. 449. хх = 1000; х2 = 0,1. 450. 108°.
451.	32.
452.	4arctg-; 2 : 3 (от сферической поверхности к вершине).
454. ^. 455. Ж1 = 1; ж2 = 5. 456. 105°.
.„^ л о .ко т — п , о \f2mn
457. 9 ведер и 3 ведра. 458. cosa =	; tg p =	.
Ш + П	171 — П
459. -. 460. 7^=1^5. 461. Зми4м. 462. 12 и 1232.
463. sina = —-=. 464. 4cos (—h^jcosf	х).
У2	V 6 У V 6 У
465. х = 2;у = 4. 466. х = 1. 468. 40 см. 469. 74 кг и 46 кг.
470. 2arctgW —I. 471. 2 < а < 4. 472. 271.
у п
473. В ШП~1 раз. 474. 13,44 дм.
m + n + 2 F	' "
475. - Я3-sin32(/?-tg (/?-sina. 476. ж = —.
477. ш>0,1. 478. д/о + 3л/б = 11,22. 479. 3:2. 480. 30 ч.
,О1 на b с
481. 	2	5 гДе Р ~~ полупериметр основания.
4 sin Bа)р(р — а)(р — Ь)(р — с)
483. -оо < х < -4; -1 < х < ос. 484. ж = 2.
485.	— ya2 + 62=F2 л/а2Ь2 -4Q2. При Q > — решений нет. При
Q < — — два решения: верхний знак, если угол между хордами ост-
рыи; нижний, если этот угол тупой. При Q = — — одно решение,
хорды взаимно перпендикулярны.
486.	200 об/мин; 600 об/мин. 487. \ a3 sin2 ^ V~ cos2а.
488. х = —. 489. 3,1. 490. х = 5. 491. х = 5.
492.	ж = 0,5. 493. ж = 3. 494. 4. 495. -21.
496.	1. 497. 5 см. 498. 45°. 499. 1. 500. х = -1.
501.	ж = ±4; 2/ = ±3; ^ = 12. 502. 72. 503. ж = 5.
504.	ж = -1. 505. 2. 506. 13,5. 507. -1. 508. 1.
509. 27. 510. 72. 511. 1. 512. —I— = 0,5. 513. -1,5.
v3 — а
514. х = 2; 2/ = 1; z = 1; xyz = 2. 515. 72. 516. х = -9.
517. 2. 518. 1. 519. 4. 520. 2. 521. ж = 0. 522. 2.
523. 1. 524. ж = 8. 525. 3. 526. 9. 530. 0. 531. 0.
532. 0. 533. i. 534. 0. 535. i. 536. -2,5. 537. 4.
45*

708	Ответы, решения, указания
7 94
538. Ложное: ^/^. 539. Истинное: -6 < 0. 540. 1.
541. —. 542. 39. 543. 31n2. 544. 1-^. 545. --
1 —|~ х
546.	1	547. -cos2x. 548. з/ = ж + 1.
лД2-1
550. Зж + ?/ + 6 = 0. 551. 2ж-г/-1 = 0. 552. —.
4
553. A;0) или (--;- — ). 554. 21м/с; 24 м/с2.
555. vi = 8 м/с; v2 = 10 м/с и ^i = 24 м/с; v2 = 22 м/с.
560.	ж = 0,5 — точка минимума, ^/min = 0,25 — In2.
561.	х = 1 — точка максимума, 2/тах = 4; х = — 1 — точка мини-
минимума, 2/min = — 4; 2/= 11,25ж +13.
562.	2/тах = 17; 2/min = 0. 563. Ут1п = 1; ?/тах = 2,125.
564. 2/тах = -; Ут1п = -1. 565. ?/тах = -; 2/min = --.
5	2	2
566.18дм3. 567. H = R= А3/-. 568.
У 7Г
569.
и	.
о	о
570.	х = — 1 — точка максимума, х = 0 — точка минимума; воз-
возрастает на (—оо; —1) и на @; ос), убывает на (—1; 0).
571.	х = =Ь2 — точки минимума, х = 0 — точка максимума; воз-
возрастает на (-2; 0) и на B; оо), убывает на (-оо; -2) и на @; 2).
572.	х = 0 — точка максимума, х = 2 — точка минимума; возрас-
возрастает на (-оо; 0) и на B; оо), убывает на @; 2).
573.	х = =Ы — точки максимума, х = 0 — точка минимума; воз-
возрастает на (—оо; —1) и на @; 1), убывает на (—1; 0) и на A; оо).
574.	х = 0 — точка максимума; возрастает на (—оо;0), убывает
на @; оо).
8/1
575. х = а - — точка минимума; убывает на (—оо; 0) и на
0;А/- , возрастает на м/«;оо).
576. 15,/I.
577.	Точка минимума х — е, точек максимума нет; промежутки
убывания @; 1) и A; е); промежуток возрастания (е; +оо).
578.	Точка максимума х = -, точек минимума нет; промежуток
возрастания f — оо; -J, промежуток убывания f-;ooj.
579.	2-. 580. 8л/2. 581.	/^
4
. 580. 8л/2. 581.	/
4	16

Прил. III. Экзаменационные задачи	709
585.(о;±)«(-|;о).
*,.
587. B,4). 588. а) ^ = 0; t2 = 8; б) ^ = 0; t2 = 4; ?3 = 8.
589. x = (-lr+1- + 7rk. 590. -.
v y 6	2
592.	Доказательство. f'(x) = 6[ж8+ х2A - х3) + A - ж)] =
= 6[ж5(ж3- 1) + ж (ж - 1) + 1]. Из первой записи видно, что f'(x) > О
при х ^ 1, из второй — что f'(x) > О при х > 1.
593.	(-oo;-3]U[l;+oo). 594. 2. 595. 2. 596. -. 597. 0.
з	3
598. — л/12.
18
600.	При х\ — О (касательная 2/ = —ж — 1) и х^ — 4 (касательная
601.	Промежутки возрастания (—ос; —1) и A; +оо); промежуток
убывания (—1; 1).
602.	max f(x) = /A) = 24, mm /(ж) = /@) = 0.
603.	у = лДх-
608.	[-3;-2) U A;3]; тах/2(ж) = /2C) = Iog1/310; тт/2(ж) =
= /2F) = log1/340.	[3'61	[3'61
609.	a) (-oo;-|)u(-|;i)u(i;+oo);
13	1
в) lim f(x) = -2-; при x ->• — - предела нет;	г) —2-.
ж->>1/2 2 2	2
610. Вточке (т;1п4У 611. 224.
612.	Функция возрастает на @; е) и убывает на (е; +оо); у(е) =
= - — максимум.
^io м( 5тг\ 5тг л/З	? ( тг \ тг , л/З
613.	г	=	— минимум, г	=	— макси-
мум	Л и) 12 2	'П 12; 12 2
614.	-(л/8-1). 615. —. 616. -5(\У1б-1). 617. 2.
618. i 619. J. 620. ^-. 621. 0. 622. 1120,4.
2	2	4
623. 0,51n|. 624. 3(V^~1). 625. ^. 626. 2. 627. 1.

710	Ответы, решения, указания
628. ^. 629. |. 630. Ц-. 631. %. 632. А 633. А
16	о	4	о	12	10
634. 12 —51п5. 635. —. 636. i. 637. 2-.
о	о	4
638. -D7T + V3) и -(87T-V3). 639. - 640. 31n^.
0	о	4	А
1	Яр
641.	-In—.
642.	При a Е @; +оо) критическая точка х = In а, при а ? @; +оо)
критических точек нет.
643.	Решение. По формуле Ньютона-Лейбница
а
B - 4ж + Зж2) dx = Bх-2х2 + х3)\а0=2а- 2а2 + а3.
_	Bа — 2а2 + а3 ^ а,
оадача свелась к решению системы неравенств
которая равносильна системе
Ответ: а = 1.
Bа-2а
<
Г(а-1J^0,	^а>°'
<
644. 2-л. 645. |. 646. - + |. 647. ^. 648. 114^.
4	8	тг 3	2	о
649. 21п2. 650. Нет: S = e-i«2,34. 651. а < \. 652. ^
е	6	3
7Г
653. 32. 654. Г (B + si	2	|
о
655. л/3--- 656. i^zl. 657. ^. 658.
О	О	О
659. 9. 660. -|. 661. e + i-2. 662. 13^. 663. 6.
664. —3—. 665. 1. 666. D(-l,4;-5,2). 667. 0.
669. Jki = l; Jk2 = -2. 670. p = q = l.
671.	^	^^
AC +
1 + k	1 + k
673. A; = -4Я2 cos Л cos Б cos С, где cos A = -^- F2 + с2 - а2),
cos? = -^(c2 + a2 - 62), cosC = -i- (a2 + 62 - с2), Я - радиус
описанной окружности.
674.
\CA\Z + \CB\Z	2cos |
678. (д/6;-^;-^). 679. D;3;-5). 680. (-48; 64; 60).
681. |о + 6| = 15; |о-6| = л/593. 682. 5;_?;_Ё. 683. arccos^.
7 7 7	bo

Прил. III. Экзаменационные задачи	711
684. (-24;-32; 30). 685. -62.
686. CiB-a/3;2-a/3); С2B + д/З; 2 + \/3). 687. (-1; ^;-l).
688. (ж - IJ + (у - IJ = 1. 689. БA2; 5), С(-5; 12), ?>A2; -5).
690. 0r-3J + Q/ + 3J + (z-3J = 9. 692. 4-
Id
693. Указание. Девятый член Тд является наибольшим тогда
ГТ1	ГТ1
и только тогда, когда — ^1 и —^ ^ 1. Достаточность этого условия
Т	(Т	— k \
вытекает из того, что функция к —У fe+1 убывает ( fe+1 = —	 ).
Тк	\ Тк 10(k + l)J
Ответ: 98 < п < 109.
*nK	с	1 + л/Т7	7-л/17
695.	Боковая сторона равна 	р, основание равно 	р.
г*гы*	Г71" 7тг\ /8тг 7тг] л.	1 / . о . ч
696.	—; — 1UI—;— . Указание, у = - (sin3x — smx).

Учебное издание
БЛЧУРИН Виктор Андреевич
ЗАДАЧИ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ
И НАЧАЛАМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Редактор B.C. Лролович
Оригинал-макет: Л.К. Попкова
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 30.12.04.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 44,5. Уч.-изд. л. 49,0. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ОАО «Ивановская областная типография»
153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6.
E-mail: 091-018@adminet.ivanovo.ru
ISBN 5-9221-0563-9
9 785922' 105637