И. П. КОРНФЕЛЬД, Я. Г. СИНАЙ, С. В. ФОМИН
ЭРГОДИ4ЕСКАЯ
ТЕОРИЯ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
47
47
51
61
70
74
S3

22.16
К 67
УДК 517
Корнфельд И. П., Синай Я. Г.,
Фомин С. В. Эргодическая теория.—
М.: Наука. Главная редакция физико-
математкческой литературы, 1980.
Эргодическая теория — область ма-
тематики, чрезвычайно интенсивно ¦раз-
вившаяся за последние два десяти-
летия. В книге вначале на базе поня-
тий эргодичности, перемешивания н
спектра иселедуются разнообразные
классы динамических сиетем: сдвиги
на группах, гамидьтоновы системы, не-
которые бильярдные системы, динами-
ческие системы, возникающие в теории
чисел и в теории вероятностей, и др.
Далее излагаются основные конструк-
ции метрической теорки динамических
систем, спектральная теория и теория
аппроксимаций динамических систем
периодическими динамическими систе-
мами.
Для студентов, аспирантов и науч-
ных работников в области математики
и математической физики.
3 —135 45-80 1702050000
J)-80
©Издательство «Наука».
Главная редакция
йизико-математяческоя
литературы, 19Б0
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Список обозначений
ЧАСТЬ I
ЭРГОДИЧНОСТЬ Я ПЕРЕМЕШИВАНИЕ
ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Глава 1. Первоначальные определения эргодическои теории . .
§ I. Определение динамической системы
§ 2. Эргодическая теорема Биркгофа — Хинчлна. Эргодичность
§ 3. Неэргодические системы. Разложение на эргодяческяе ком-
поненты
§ 4. Усреднение в эргодическом случае
§ 5. Интегральный автоморфизм и производкыЙ автоморфизм
§ 6. Слабое перемешивание, перемешивание, кратное перемепт-
вапие
§ 7. Унитарные н изометрические операторы, сопряжонные с ди-
намическими системами
§ 8. Динамические системы иа компактных метрических прост-
ранствах
Глава 2. Гладкие динамические системы на гладких многообразиях
§ 1. Инвариантные меры, совместимые с гладкостью
§ 2. Теорема Лиувнлля и динамические системы классической
механики .....
§ 3, Интегрируемые динамические системы .
Глава 3. Гладкие динамически
§ I. Сдвиги на торах
| 2. Задача Лагравжа
| i. Гомеоморфизмы окружлоств
I ? Теорема Дашкуа .
S о. Пример Арнольда . * -
^рГлТбег? Д"ФФе0М° ^
ие системы иа торах
ов окружности относительно
?-л а в а 4. . Динамические системы алгебраического происхождения
5 1. Сдвиги на компактных топологических группах
§ 2. Косые сдвиги я сложные косые сдвиги на коммутативных
компактных группах . .
§ 3. Эндоморфизмы к автоморфизмы коммутативных компактлых
групп
§ 4. Динамические системы на однородных пространствах груп-
пы SL12, К)
9
9
17
22
.24
26
28
32
42
47
47
51
61
66
86
70
94
94
102
109

Глава 5. Перемадывапи
дывания
-ро™ энского перек
§ з.
М-
5 5.
с выпуклой границей
Глава 7. Динамические системы в теории чисел
§ 1. Равномерное распределение . .
§ 2, Раыномерное распределение дробных долей многочленов
| 3, Равномерное распределение дробных долей показательной
функции
§ 4. аргодические свойства разложений в непрерывные дроби
ц кусочно-монотонных отображений
117
117
119
121
127
131
132
137
142
145
146
149
149
151
Гла
Гла
i a 8. Динамические системы в теории вероятиостей
1. Стационарные случайные процессы и динамические системы
\ 2. Гауссовские динамические системы '.
в а 9. Примеры бесконечномерных динамических систем
1. Идеальный газ
2. Динамические системы и уравнения в частных производ-
ных .
166
166
174
178
178
ЧАСТЬ II
ОСНОВНЫЕ КОНСТРУКЦИИ ЭРГОДИЧЕСКОИ ТЕОРИИ
менты эн
ОСНОВНЫЕ КОНСЦ
Г л а и а 10. Просхейлше общие конструкции и элемен
ной теории динамкческих систем
П осые Произведен
энтропии
>й теории дивамкческиа. uul»,
1. Прямые и косые Произведения динамических ешчеч
2. Метрический изоморфизм косых произведений. Эквивалент-
ность динамических систем в смысле Какутапи
§ 3. Замена врс-монп б потоках
§ 4. Эндоморфизмы п их естееттшиыо расширения ....
§ 5. Лемма Рохлиыа — Халмоша .
§ б. Энтропия
§ 7. Метрический изоморфизм автоморфизмов Берлуллп
§ 8. К-епстечы и точные эндоморфизмы .......
Глава 11. Специальные предстапленпя потоков .....
§ 1. Определение специального потока ... ....
§ 2. Формулировка основной теоремы о специальном представ-
лении потоков и. примеры специальных представлений
§ 3. Доказательство теоремы о специальном представлении .
§ 4. Теорема Рудольфа
ЧАСТЬ III
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Г л л к а 12. Динамические системы с чисто точечным спектром
§ 1. Общие свойства собственных значений и собственных функ-
ций динамических систем
186
192
193
197
199
203
213
233
242
242
245
249
258
§ 2. Дишпшчсские системы с чисто точечным спектром. Случаи
дискретного времени . . 270
§ 3, Динамические системы с чисто точечным спектром. Случаи
непрерывного времени .......•••• 275
Глава 13. Примеры спектрального анализа динамических систем 278
§ 1. Спектр К-автоморфпзмов 278
§ 2. Спектр эргодичесинх автоморфизмов коммутативных ком-
пактных групп ... 280
§ 3. Спектр сложных косых сдвигов на торе и их возмущении 281
I 4. Примеры спектрального анализа автоморфизмов с сингуляр-
пшг спектром 286
§ 5. Спектр К-потоков . . . 290
Глава 14. Спектральный анализ гауссовских динамических систем 293
§ 1. Разложение гильбертова пространства LS(M, @, и-) яа под-
простраттства полинолгов Эрмлта — Ито 293
§ 2. Критерии эргодичности н перемешивания для гауссовских
динамических систем 303
§ 3. Максимальный спектральный тип унитарного оператора, со-
пряженного с гауссовской динамической системой , . . 306
§ 4. Гауссовскяе динамические системы с Простым непрерывным
спектром 307
§ 5. Гауссовскне системы с кояечпо-кратвъш спектром . . . 313
ЧАСТЬ IV
ТЕОРИЯ АППРОКСИМАЦИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Глава 15. Аппроксимации динамических систем 319
§ 1. Определенно и виды аипрокелмаций. Условия эргодичности
и перемешивания 319
§ 2. Аппроксимации ж спектр 324
§ 3. Одно Применение теории аппроксимаций: пример эргодиче-
ского автоморфизма без группового свойства спектра . . 327
§ 4. Аппроксимации потоков 332
Глава 16. Специальные представления и аппроксимации гладиих
динамических систем на двумерном торе 335
§ 1. Специальные представления потоков на торе .... 335
§ 2. Динамнчесгше системы с чисто точечпым спектром на дву-
мерном торе 344
§ 3. Аппроксимации потоков па торе 350
Приложение ..... 357
1 Пространства Лебега л измеримые разбиения 357
2. Необходимые сведения из спектральной теории унитарных
операторов 359
3. Доказательство эргодпчоскои теоремы Биркгофа — Хинчпяа 363
4. Множества КрОЕекера 366
Библиографические примечания 368
Библиография 374
Предметный указатель 381

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эргодичеекая теория — одна из немногих областей математи-
ки, радикально изменившихся за последние два десятилетия. Ес-
ли прежде ее содержание сводилось, за небольшими исключения-
ми, к проблемам усреднения или к общим вопросам категорного
характера, то сейчас эргодическая теория представляет собой '
мощный аппарат для анализа статистических свойств динамиче-
ских систем. Именно по этой причине проблемы эргоднческой
теории интересиы заверь ,.»е ходькр математикам, во и физикам,
биологам, химикам и т. д.
План этой книги возник немногим менее десяти лет назад, но
его реализации растянулась иа весьма долгий срок по разным
причинам. Основная установка, которой мы придерживались с
с&мого начала, сост<1яла в том, чтобы изложить подходы и мето-
ды эргодической теории па возможно большем числе конкретных
примеров. Ввиду этого первая часть книги содержит описание
разнообразных классов динамических систем и их элементарный
анализ на базе основных поннтий эргодичности, перемешивания
и спектра динамической системы. При этом, как и во многих
других случаях, элементарность пе всегда означает простоту.
Вторая часть книги посвящена «абстрактной эргодической
теории». Мы включили в нее конструкции прямых и косых про-
изведений динамических систем, лемму Рохлина — Халмоша, тео-
рию специальных представлений динамических систем с непре-
рывным временем. Значительное место отведено энтропии. Мы
поместили здесь доказательство теоремы Орнстейна об изомор-
физме автоморфизмов Бернулли с одинаковой энтропией, при-
надлежащее Кину и Смородиискому ж носящее более теоретико-
информационный характер, чем первоначальное доказательство
Орнстейна.
До появлении энтропийной теории динамических систем ос-
новным инвариантом динамической системы считался ее спектр.
Проблемы спектральной теории рассматриваются в третьей части.
Вначале приводится принадлежащая фон Нейману теория дина-
мических систем с чисто точечным спектром. Затем мы приводим
разнообразные примеры спектрального анализа динамических си-
стем, как близкие к чисто точечному спектру, так и совсем на
него не похожие. Отдельная глава содержит спектральный анализ
динамических систем, отвечающих гауссовским стационарным
случайным процессам теории вероятностей.
В последней, четвертой, части книги идет речь о теории
аппроксимаций динамических систем периодическими системами
и о применении теории аппроксимаций к анализу динамических
систем, отвечающих гладким векторным полям иа двумерном торе.
Из сказанного видно, что энтропийным методам исследования
классических динамических систем уделено сравнительно мало
внимания. Предполагается, что этим вопросам будет посвящена
отдельная монография.
Книга получилась несколько неоднородной: наряду со сравни-
тельно простыми разделами в ней есть и разделы, содержащие
доказательства глубоких и трудных теорем. По этой причине мы
старались сделать различные части книги как можно более неза-
висимыми друг от друга. . ¦ ' ' ' " "ы:"""
**" Наши точки зрения и взгляды иа проблемы теории динами-
. ческжх систем сложились во многом под влиянием идея и работ
А. Н. Колмогорова, с которых началось бурное развитие
¦*„... .ческой теории- Большое аначеннедан нас^Ш«йгтгтоГб^СлВнпМе
••^•ТЮгречи: и беседы с В. А, Рохлиным. В течение всего периода
работы иад книгой нам помогали многие участники семинара по
^ аргодической теории в МГУ. А. Н. Землякетт участвовал в вдпга-
• саншг глав 5 и 6, в написании ряда разделов книги участвовал
А. М. Степии, С В. И. Оселедцем мы неоднократно обсуждали
различные вопросы спектральной теории. Б. М. Гуревич внима-
тельно прочитал, рукопись и сделал много полезных замечаний.
Мы приносим нашим учителям и коллегам глубокую благодар-
ность за их участие и поддержку.
Эргодическая теория была одной из любимых математических
специальностей Сергея Васильевича Фомина. Благодаря неизмен-
ному оптимизму и доброжелательности совместная работа с Сер-
геем Васильевичем всегда приносила ощущение бодрости и подъ-
ема. Нам горько и больно, что наш соавтор Сергей Васильевич
Фомин скоропостижно скончался в августе 1975 года в разгар
работы над книгой.
Я. Я. Корнфельд, Я. Г. Синай

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
а й?с ь —равенство по определению: одна пз час гей равенства служит
сшредолепием другой.
card (Л) —мощность {число элементов) конечного э-гшнкестиа Л.
%а — индикатор множества А.
C1j4, .4 —замыкание мион;сства А (в топологическом пространстве).
дА — грапица множества А.
(М, ©, A)—пространство М с мерой р., заданной аа о-аягебре <5.
L2(M, ©, ц)—гильбертово пространство комилекснозиачных функций
па М с интегрируемым по мере \i квадратом модуля.
?„ (М, ©, (Д.)— подпространство пространства L2(,1f, <5, ц), состоящее
из функций с пулевым средним.
Я]фЯ2 — прямая сумма подпространств Я t и Н2 гильбер гова прост-
ранств л.
HiGBz — Ортогональное дополнение к подпространству #а в подпро-
странстве #ь
Е1- — ортогональное дополнение к подпространству Я во всем гильбер-
товом пространстве.
Ih-LB2 — подпространства Н\ и Яз ортогональны.
Е {/) — математические ожпдаиив случайной величины /,
Е(/|<50) — условное матиматжческое ожидание случайной величины /
отцосителъно Ст-алгебры @о-
С(М) —пространство непрерывных вещественнозначных функций на то-
по.ип'ическом пространстве М-
С' {М)— пространство г раз непрерывно дифференцируемых вещес-т-
веннозначиых. функций на гладком многообразии М.
Ч А С Т Ь I
ЭРГОДИЧНОСТЬ И ПЕРЕМЕШИВАНИЕ.
ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ГЛАВА 1
ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭРГОДИЧЕСКОИ ТЕОРИИ
§ 1. Определение динамической системы
Эргодическан теория изучает движения в пространствах с ме~
рой. Поэтому вначале остановимся иа понятии пространства с
мерой.
¦. Мы будем считать заданным абстрактное пространство Л/,
точки которого обозначаются буквами #, у, z, ... В дальнейшем
это пространство будет служить фазовым пространством динами-
ческой системы.
Мы предполагаем, что выделена некоторая о-алгебра @ под-
множеств пространства М, па которой определена мера ц. Как
правило, в дальнейшем предполагается, что мера \х является нор-
мированной: \х(М) = 1, и полной, т. е. все подмножества мно-
жеств меры нуль принадлежат @.
Иногда мы будем рассматривать пространства М, в которых
мера |л бесконечна: ji(Af) = °о, однако И можно представить ъ
виде объединепия счетного числа подмножеств конечной меры. Та-
кие пространства называются пространствами с о-конечяой мерой.
Пространства с мерой обычно будут обозначаться (Ж, <5, ц).
Если на М выделена лишь о-алгебра @, а мера \i, возможно, не
задана, то (М, <о) называется измеримым пространством.
Уже сейчас целесообразно привести некоторые примеры про-
странств с мерой, встречающихся в эргодической теории,
Примеры пространств с мерой.
1. М есть компактная топологическая группа с нормирован-
ной мерой Хаара \i. В качестве О"-алтебры @ возьмем пополнение
:бры борелевских множеств пространства М по мере ц. Эту
бру мы-будем называть борелевской (Т-алгеброй.
В частности, М может быть m-мерным тором, М — Тог7" =
S х ¦ - ¦ X S1, иа котором введены естественные циклические
... хт. В этих координатах d\i = dx\ ... dxm.
m-мерпое компактное замкнутое ориентируемое
многообразие класса С°°. Дифференциал меры ц задается в виде

d\x = p(x)dxi...dxni, где x\, ..., xm — допустимая локальная систе-
ма координат, р(х) — бесконечно дифференцируемая фупшшя.
Здесь снова @ — борелевская с-алгебра, т. е. пополнение о-ал-
гебры борелевских множеств до мере jj,.
Конкретизируя этот пример, допустим, что М — то-мерное ком-
пактное риманово многообразие класса С°°. В допустимых локаль-
m
ных координатах метрика имеет вид ds'2 = S ghdxidxj. Диффе-
ренциал меры \lq, порожденной рпмановой метрикой, имеет вид
d\i0 = const УdetWgaWdxi. ..dzm. Часто мы будем рассматривать ме-
ры ц., для которых с?|А = ?(агЫр.о, т. е. меры, заданные плотпостьм
по мере (lo,
3. М — пространство двусторонних или односторонних беско-
нечных последовательностей х = Кх)ч где каждая коордииатл л\
принимает значения из фиксированнЬго конечного или счетного
множества /.
Пространство М можно рассматривать как счетное прямое
произведение пространств, изоморфных /. Дискретная топология
иа / порождает топологию в М, которая, в свою очередь, порож-
дает борелевскую о-алгебру подмножеств М.
С точки зрения теории вероятностей М естественно интерпре-
тировать как пространство реализаций случайного процесса, а ме-
ру jj, на М как распределение вероятностей для такого процесса.
На основании теоремы Колмогорова для задания меры достаточ-
но указать ее значения на всевозможных конечномерных цилин-
драх [х: х^еД, ..., х\т е Ат], где Л\, ..., Аг — произвольные
подмножества /, a i\, ..., ir — произвольные номера коордипат.
4. М — пространство вещественнозначных функций x(s),
— оо < s < оо. Как и в предыдущем примере, мера ц на М опре-
деляется своими значениями на конечномерных цилиндрах
ix: xisO^Ai, . . ., x(sr)^AT}t где А\, .. ., Лг ~ борелевские под-
множества прямой — °° < Si *c.. .< sr *c оо. Сама мера определена
на наименьшей а-алгебре, порожденной такими цилиндрами.
Центральное понятие эргодической теории — понятие авто-
морфизма пространства с мерой.
Определение 1. Автоморфизмом пространства с мерой
Ш, @, ц.) называется взаимнооднозначное отображение Т про-
странства М на себя такое, что для всякого .4 ^ @ множества
ТА, Т~*А принадлежат ® и
Мера ц называется инвариантной мерой автоморфизма Т.
Примеры. 1. М есть яг-мерный тор Тог™ с нормпроваппой
мерой Лебега jj,, и преобразование Т r циклических координатах
^ь ..., хт задается формулой
Т(х\\ ..., Хт) = Ui + aii(mod 1), ..., хт + am(mod 1)),
10
где еы, .. ., си — действительные числа. Ясно, что Т — автомор-
физм (т. е. мера ц. инвариантна). Этот автоморфизм называется
сдвигом на торе. В случае гп = 1 (т. е. M^S1) автоморфизм Т
называется поворотом окружности.
2. М — т-мерное компактное замкнутое ориентируемое много-
образно класса С30, Т — диффеоморфизм класса С™. Если (#i, . ..
..., xm) — допустимые координаты в окрестности точки ccm e M,
(#ь ¦ • -, ут) — допустимые координаты в окрестности точки
Ут = Тхк\ то Г локально задается См-функциями Д, к = 1, 2, ...
..., т:
У\ =fi(x\, ¦--, хт),
Ут —/mU], . . ., Хт).
Если дифференциал меры d\i задается плотностью р > 0 (при-
мер 2), то условие инвариантности меры jj, принимает вид:
det
I пх1
3. В пространстве М двусторонних бесконечных последователь-
ностей (пример 3) можно ввести естественное преобразование
сдвига Т: Тх = х', где Xi = xi+1, — оо<г<схэ. Мера щ инва-
риантная относительно сдвига, называется стационарной (иног-
да — стационарной в узком смысле). Это наименование произо-
шло из теории вероятностей, точнее, из теории стационарных
случайных процессов, с которой эргодичеекая теория весьма тес-
но связана. Условие инвариантности меры ц. записывается в виде
\i({z; xt^b^Ai, ...,xir+ke=AT)) =
Определение 2. Эндоморфизмом пространства М назы-
вается однозначное (ко не обязательно взаимно однозначное) ото-
бражение Т пространства М на себя такое, что для всякого
А е@ множество Т~1А принадлежит ® и
где Т~1А —полный прообраз мнолшетва А.
Примеры. i.M есть единичная окруящооть S1 с ЩЩ&
Лебега. Отождествим М с полуинтервалом Ог?ж<1, s преобра-
зование Т зададим формулой Тх = 2x(mod 1). При таком преоб-
разовании каждый отрезок Дс5] длины меньшей \/2 переходит
в отрезок удвоенной длины, н для каждого отрезка A'^Si су-
ществуют два отрезка иоловппной длины, которые под действи-
ем Т перехват в А'. Отсюда вытекает, что мера Лебега инва-
рпаптна относительно Т.

2. М есть пространство односторонних последовательностей
х = ixj, ь = О, 1, .. .. Преобразование Т есть сдвиг: Тх — х\ где
Xi — л^+1. Условие инвариантности меры jj, принимает вид:
при всех & ^ 0.
Определеипе 3. Пусть {?''} — одпопараметрическая груп-
па автоморфизмов пространства с мерой (Л/, <5, ц), ielR1, т. е.
Г+8(а:) = Г'(Г5г) для любых t, seR1 ц х ^ Л/. Тогда {Г} назы-
вается потоком, если для любой измеримой функции /(а:) на Л/
функция fiT'x) измерима на прямом произведении М X R1.
Условие измеримости, фигурирующее в этом определении,
можно сформулировать также в следующей (эквивалентной) фор-
ме: отображение -ф: М X IR1—>Л/, заданное формулой -фСж, t) =
— Т'х, измеримо.
Определение 4. Пусть {Г(} — однопараметрическая по-
лугруппа эндоморфизмов пространства с мерой (Л?, 6, jj,), * ^ lR+.
т. е. Г'+Лг = Р(Тах) для любых t, seRi, x^M. Тогда {Г'}
называется- полупотоком, если для любой измеримой фупкцни
fix) па ilf функция /(?'*?) измерима на прямом произведении
Д/ X Ri-
В определениях 1—4, введеиы четыре основных объекта, изу-
чаемых в эргодпческой теории: автоморфизм, эндоморфизм, поток
и полупоток на пространстве с мерой. Ниже термином «динами-
ческая система» называется любой из этих объектов. Само прост-
ранство с мерой называется фазовым пространством динамиче-
ской системы.
Циклическая группа (полугруппа), порожденная одним авто-
морфизмом (эндоморфизмом), часто называется динамической си-
стемой с дискретным временем, а поток (полупоток) — динамиче-
ской системой с непрерывным временем.
Иногда рассматриваются преобразования (а также однопара-
метрические группы н полугруппы преобразований) на измери-
мом пространстве {М, @), в котором .мера ц, a priori не задана.
Если для такнх прообразов а пим (групп, полугрупп) выполнены
условия измеримости, содержащиеся в определениях 1—4, то мы
будем их называть измеримыми динамическими системами,
С некоторых случаях оказывается полезным понятие «непре-
рывного потока», чуть более общее, чем введенное выше понятие
потока. Условимся называть два автоморфизма Ttt T%, действую-
щие на пространстве (Ж, @> \ь), совпадающими (modO), если най-
дется такое множество Л/'е@, ц(Л/') = 1, что Т]Х=^Т2Х для всех
х^М',
Определение 5. Семейство автоморфизмов {T'}t t e R1.
пространства с мерой (Му @, ц,) называется непрерывным пото-
12
ком, если для любых ti7 t% s R1 автоморфизмы Т 1 2 и Т 171 2
совпадают (modO).
Примеры. 1. М — m-мсриое компактное замкнутое ориен-
тируемое многообразие класса С", X — векторное поле класса С™
на М. Рассмотрим систему дифференциальных уравнении
?-*(*>
или, в локальных координатах:
A)
Пусть действие автоморфизма Т1, — °о < ? < «^ состоит в том,
что любая точка х^М переходит в точку x{t), являющуюся зна-
чением в момент t решения системы A) с начальным условием
ж@) = х. Выполнение группового соотношения очевидно ввиду
того, что правые части системы A) не зависят от t.
Ясно, что {Г1} является потоком. Условие инвариантности ме-
ры ц. для этого потока дается следующей теоремой.
Теорема Л и у в и л л я. Для того чтобы мера ц с плотно-
стью р класса С™, т. е. мера с дифференциалом d\i = p{x)dxx...
...dxm, была инвариантной относительно {Г'}, необходимо и до-
статочно, чтобы выполнялось равенство V у- {рХ^} — 0.
fc-i k
Доказательство этой теоремы будет дано в § 2 главы 2.
Рассмотрим важный частный случай систем вида A). Пусть
М есть иг-мерыый тор Тог'", и система дифференциальных урав-
нений A) в циклических координатах #i, . .., xm записывается
следующим образом:
?=-,
.... B)
где а], ..., а™ — действительные числа. Инвариантной мерой
соответствующего потока {?''} будет, очевидно, мера Лебега. Дви-
жение на торе, отвечающее системе уравнений B), называется
условно-периодическим движением, а числа cti, ..., а» — часто-
тами этого движения.
2. Пусть М — пространство всех вещественнозиачиых функций
x{s), s ^ 1R1, \Т ] -- однопараметрическая группа сдвигов, т. и.
T'xis) = z(s + L). В М можно ввести топологию, объявив
13

открытыми всевозможные множества вида
Ыя): ui < x(sO < &u - ¦ ., ат < x(sr) < 6Г},
где 5i, ,.., $г, at, ..., «г, Ь\, ..., йг ^ К1. Эта топология порожда-
ет борелевскую о-алгебру @ подмножеств М. Мера д, заданная
на @ и инвариантная относительно группы {Г'}, называется ста-
ционаргюй (или стационарной в узком смысле). Можно проверить,
что {Т1} с инвариантной мерой ц является потоком.
3. Если в предыдущем примере вместо функций x{s), заданных
на К1, рассматривать лишь функции, заданные наК+={$:?^0},
и вместо группы сдвигов (Г') — полугруппу (t ^ 0), то получим
пример полупотока.
Понятие динамической системы столь общее, что для получе-
ния содержательных результатов нужно, как правило, наклады-
вать на систему те тпг тпшге'дополнительные условия. Существу-1
ет, однако, простое, но важное утверждение, справедливое в об-
щем случае — так называемая теорема Пуанкаре о возвращении.
Определение 6. Пусть Т — эндоморфизм пространства
{М, @t \i) и А е@. Точка х^Л называется возвращающейся
(в множество А), если Тпх^А хотя бы при одном п > 0.
Теорема 1 (теорема Пуанкаре о возвращении). Для любо-
го эндоморфизма Т и любого А ^@ почти все (по мере jj,) точки
iei — возвращающиеся.
Доказательство.' Обозначим через Л^ подмножество мно-
жества А, состоящее из всех не возвращающихся в А точек. Тог-
= @, так как N -= j
f\ T п(М\Л)
¦)•
Если
то
все точки вида Тпх ие принадлежат А, п = 1, 2, .. ., и, тем более,
T*x&N, т. е. хФТ-^N. Значит, NuT~nN — 0, ra = i, 2, .... От-
сюда следует, что множества JV, T-1iV, T~2N, ... попарно не пере-
секаются. Действительно, при 0 «S пх ^ m T~llxN П T~n%N —
С"*^)^) = 0. Поэтому
i (ЛГ).
Последнее неравенство может выполняться лишь при \х(Ю = 0.
Теорема доказана.
Из доказанной теоремы вытекает, что иа самом деле почта
все точки х <= А возвращаются в А бесконечно много раз. Дей-
ствительно!, если Т"х Ф А при всех к^ р, то х — иевозвращаю-
щаяся точка для эндоморфизма Тр. По теореме 1 мера множе-
ства таких точек равна 0.
Пользуясь этим замечанием, докажем следующее полезное ут-
верждение.
14
&
Лемма. Если f(x) — положительная измеримая функция на
М, то для почти всех х ^ М справедливо равенство
2/(Л) = °о. C)
Доказательство. Рассмотрим множества Аш = {х«^ М:
fix) > 1/m}, m — i, 2, ... Для любой точки x^Am, возвращаю-
щейся в Am бесконечно много раз, очевидно, справедливо C). Но
таким свойством обладают почти все х е Ат. Ввиду того что
U Ат = М, лемма доказана.
В абстрактной эргодической теории центральной проблемой
является проблема классификации динамических систем. Иногда
полезно Иметь возможность отождествить динамические системы,
. действующие в разных фазовых пространствах. В связи Д.
* ~ вводится следующее определение.
Определение 7. Пусть [Т\\, {Т{} — две динамические
системы, либо обе с дискретным временем, либо обе с непрерыв-
ным временем, действующие в пространствах (ЛГЬ ®ь И-i* и ^2,
©г, Мг) соответственно. Эти системы называются метрически изо-
морфными, если существуют множества Мхе @1; ц^ \Mi) =1 н
Л/jESj, ца [М'ъ) ^1, а также изоморфизм (р: (М±, ©i, |Ai)->
—>-(Af2, ©з. ,Чз) пространств с .мерой, при котором Т^
= срГ^<1>, Tiy-W** - y-t-Tfr** для любых t, х<г> е М[, x
Примеры. 1. Пусть Mi — пространство двусторонне беско-
нечных последовательностей х — (..., у~\, уо, Уи ¦ . •), координа-
ты у} которых равны 0 или 1, а мера д на Mi есть прямое произ-
ведение счетного числа одинаковых мер о па 10, 1): с(@1) =
= о({1)) = 1/2. Автоморфизм Г, — это сдвиг: Tt(..., #_;,, у07
уъ ...) = [.-.,у'-1,у[, у[, ¦-.), где у[=у1+1, — oo<i<oo.
В качество M% возьмем единичный квадрат 0 ^ жь x-t < 1 ?
нормированной мерой Лебега, на котором автоморфизм Т% дей-
ствует по формуле
г, х2) =
'га;, (mod 1), 1 (г2 + 1) (mod 1), если
[-|, 1J.
Этот автоморфизм иногда называют преобразованием пекаря.
Непосредственно проверяется, -что преобразование (р: Mi -*¦ Л/г,
»-1, Во-
•¦) = \2d7bvi'
которое определено и взаимно однозначно всюду на М\ кроме
15

счетного множества точек, осуществляет метрический пзморфизм
автоморфизмов Т1 и Т%.
2. Пусть Mi — пространство односторонних последовательно-
стей х={уо, i/i, ...) с координатами т/,, ратшыип 0 или 1. и мера
jj, — прямое произведение счетного числа одинаковых мер о на
{0; 1>: а({0}) —о(Ш) = 1/2. Эндоморфизм Г[ — односторонний
сдвш: 2*1 (#о, Уи ¦ • •) = (#ь Уз> ¦ ¦ •)• Пусть, далее, эндоморфизм Т2
действует на М% = [0, 1] с нормированной мерой Лебега по фор-
муле Тч.х = 2#(niodl). Легко убедиться, что Т{ п Т2 метрически
изоморфны, причем изоморфизм ср: Л/j -1- M% задастся формулой
Целый класс весьма нетривиальных примеров метрического
изоморфизма будет рассмотрен во второй части книги.
Если какое-либо свойство, числовая характеристика и т. п.,
определяемые для любой динамической системы, одинаковы у
метрически изоморфных систем, то это свойство, число, и т. п.,
называется метрическим инвариантом динамической системы.
R этой главе будут введены понятия эргодичности п перемеши-
вания, которые являются важнейшими .метрическими инвариан-
тами динамической системы.
Обобщения. Определения этого параграфа могут быть
обобщены в двух направлениях. Отмстим, впрочем, что в даипой
книге эти обобщения нам фактически не понадобятся.
1. Пусть G —¦ топологическая группа (или полугруппа) с вы-
делеппой борелевскей о-алгеброй ее подмножеств. Тогда для лю-
бого нространства с мерой М определена естественная с-алгебра
подмножеств прямого произведения М X G.
Определение S. Пространство о мерой М называется
G-пространством, если определено измеримое отображение
<р: GX М -> М со следующими свойствами:
1) при всяком g^G отображение Tg\ M -*- М, определенное
соотношением Т8х = <p(g, x), есть эндоморфизм прострапства М\
2) преобразования Те задают представление группы (полу-
группы) С, т. е. TglTg2 -= TBlg2 цри всех gu g2 ^ G.
Если G — группа, то нз группового свойства вытекает, что
преобразования Tg являются автоморфизмами пространства М.
Группа (нолугрупна) преобразований {Гв}, g ^ G, называется
G-потоком {G-полу потоком) на М.
2. Допустим, чго на М помимо о-атггебры @ имеется какая-
либо дополнительная структура, например М является компакт-
ным метрическим пространством. Тогда всякая мера на М порож-
дает линейный положительный нормированный функционал яа
коммутативном нормированном кольце С{М) непрерывных функ-
ций на Mt а всякий автоморфизм Т порождает автоморфизм коль-
ца С(М), сохраняющий этот функционал.
16
Если взять теперь за исходный объект некоммутативное нор-
мированное кольцо, например некоммутативную С*-алгебру, и ли-
нейный положительный нормированный функционал на ней.
а затем рассматривать автоморфизмы этой С*-алгебры, то мы при-
дем к тому, что называется некоммутативной эргодической тео-
рией. Эта теория важпа для ряда разделов теоретической физики.
В настоящее время она интенсивно развивается.
§ 2. Эргодическая теорема Биркгофа — Хинчина. Эргодичность
Теорема, которая сейчас будет сформулирована, является од-
ной из самых важных в эргодической теории.
Теорема 1. (Яргодичесиая теорема Биркгофа — Хипчина.)
Лусгь (М. <о, и) — пространство с нормированной мерой, и /е
<^L4M, ®, \х). Тогда
для почти каждого (в смысле меры ц.) х^М существуют и рав-
ны пределы
— в случае автоморфизма Т;
для почти каждого х^М существует предел
—- в случае эндоморфизма Т\
для почти каждого х<^М существуют и равны пределы
limf \f(TTx)dT^-hm± J/fr-^dx-liml ^ f^x) di Щ (х)
— в случае потока {Т1};
для почти каждого х е М существует предел
— в случае полупотока {Т1}.
При этом f{Tx) — f(x) или JiT'x) = fix), если только правые
части равенства существуют, ^ KpqM
тема гор. Влад л-^ок^

Пределы, фигурирующие в эргодической теореме Биркгофа —
Хинчина, называются временнйми средними или средними вдоль
траектории {траектория точки х — это множество точек вида Tkx
в случае дискретного времени или Т'х в случае непрерывного
времени).
Если, например, %а(х) — индикатор множества А ^ М, то
п—1
— ^ %Л [Thxj есть среднее число попаданий в множество А тра-
ft=o
ектории точки х за время от 0 до п — 1. Таким образом, эргоди-
ческая теорема Виркгофа — Хинчииа утверждает существование
для почти каждой точки х среднего числа попаданий в любое
измеримое множество А.
Доказательство эргодической теоремы Биркгофа — Хинчина
далеко не тривиально. Его трудно упростить даже в отдельных
частных случаях. В то же время, само по себе, это доказательство
не используется нигде, кроме задач, непосредственно связанных
с установлением существования временных средних. По этой
причине мы не приводим сейчас доказательства теоремы Биркго-
фа — Хипчина, а приведем его в приложении 3.
Определение 1. Измеримая функция g называется инва-
риантной относительно автоморфизма Т (эндоморфизма Т\ потока
{7"); полупотока (Г1)), если при всех iel
g(Tx) = gix) = g(T-'x)
(g(Tx)=gU); g(T'x)=g(x) при всех leP; g(T'x) - gU) при
всех t s R'+ ).*)
Иными словами, инвариантная функция принимает постоянное
значение па всякой траектории динамической системы, т. е. ил-
вариаитпая функция есть функция на траекториях.
Определение 1'. Множество А<^@ называется инвариант-
ным относительно автоморфизма Т (эндоморфизма Т\ потока или
полупотока {Т'}), если его ицднкатор %А есть инвариантная
функция.
В случае автоморфизма Т инвариантность множества А озна-
чает, что ТА = А = Т~1А, в случае эндоморфизма Т или потока
(цолупотока) if) инвариантность А означает, что Т~1А = А или
Т'Л = А при всех *е R1 ( —1(= №+)¦
Определение 2. Измеримая фупкпия g называется инва-
риантной mod 0 относительно автоморфизма Т (эндоморфизма Т;
потока или полупотока <7">), если
*) Если эндоморфизм Т на самом деле является автоморфизмом (т. е.
взаимпо однозначен), то всякая функция, инвариантная относительно Т,
рассматриваемого как эндоморфизм, будет инвариантной также относитель-
но Т, рассматриваемого как автоморфизм, и ооратно. Это же замечание от-
носится и к другим понятиям, которые в дальнейшем будут вводиться как
для автоморфизмов, так и для андоморфизмов (а также для потоков и по-
ЛУНОТОКОН),
(т\~^\Х\~^Т 'ж' почти всюду —в случае автоморфизма;
gUx) = g(x) почти всюду — в случае эндоморфизма;
g(T'x) = g(x) при любом «sR'fRy для почти всех х, за-
висящих, разумеется, от ( — в случае потока (полупотока).
Лемма 1. Если g — инвариантная mod0 функция, то су-
ществует инвариантная функция g, такал, что g = g, почти
всюду.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай дискрет-
ного времени. Положим
U T "'N для автоморфизма,
U T~nN для эндоморфизма.
Тогда
М\А,
= 0, и функция
\g (x) для х(
, 0 для ieJ
искомая.
В случае потока рассмотрим множество
Е = {{х, t) е М X К1: g(x)ybg (T'x)).
Ясно, что v№) = 0, где v = u.Xp, p _ мера Лебега на 05». По
ствТ™ *УюГи^^ептся множество Я = М, уШ-й, н множе-
ГДл?1ч J? 'Р( J = 0 для гЕ*^ ™кие, что для ie M \N
гек \ЛХ выполнено равенство g(x) - giT'x)
ля „„и8™11' Ч™ ДЛЯ ™Nых ^вух точек Х1' ^s*\^, лежащих
иа одной траектории потока {Г1}, выполнено равенство g(x7) =
= *W. Пусть Ъ-Р-х. feeR«. Рассмотри" множество
UN Г»; \ *¦'¦ ЯСИ0' ™ р№.-«-0, и, значит,
-го) U #«,) = <). Поэтому найдется -c<=Rl\((lfXl-tt) U Nx^
-girx,)^g{x2). Опреде-
Т рд S,- Для x = M\N п„лоРжим
1 Т nSiV ТаКОВ0' что T'xsN "Рн всех *• ™ по-
Для остальных x^N возьмем любую точку
jmjv на траектории точки х, н положим g,(x) - g(xt)
о доказанному, значение gdx) ие зависит от выбора х, OW
ция Sl инвариантна, а ее измеримость вытекает из полноты
меры II. а случае полупотока рассуждения аналогичны. Лемма
доказэиа.
<щ™ь^Р™Л?пеНИе 2'- Мноа№с™<> ^е® называется инвари-
антным mod 0 отпосительпо автоморфизма Т (эндоморфизма Г-
потока или полупотока {Г'}), если его индикатор х<1 есть инва!
S™ пГока и^ТоГупГоГотГ ™°«°М«™ Т <»*«»-
мы полутам:
тон-ш

Из леммы 1 следует, что для всякого инвариантного mod О
множества А существует инвариантное множество Л\ такое, что
\i(A AylL)=U*).
Ясно, что если у динамической системы существует инвари-
антное множество Л, 0 < \\,(.А) < 1, то динамическую систему
можно считать действующей независимо на множестве А и его
дополнении М\А = А. Зятем можно найти инвариантные множе-
ства внутри ДиАи рассматривать сии ему иа таких, еще более
мелких подмножествах и т. д. Хотелось бы в результате прийти
к такому разложению фазового пространства на отдельные эле-
менты, внутри которых уже иет нетривиальных инвариантных
множеств. Трудность состоит в том, что окончательное разбиение
может оказаться непрерывным и его элементы имеющими меру 0.
Эта. трудпость преодолевается с помощью теории измеримых раз-
беенин, для применения которой цужаь! некоторые дополни-
тельные предположения о пространстве с мерой, оаметтгм, что
эти предположения заведомо выполняются во всех сколько-
нибудь естественных случаях. Сейчас мы дадим определение
эргодических, или, что то же, неразложимых динамических
систем.
Определение 3. Динамическая система называется эрго-
дической, если для любого инвариантного множества А его мера
ц(Л) равна 0 или 1.
Лемма 2. Если динамическая система эргодична, то всякая
инвариантная функция равна постоянной на множестве полной-
меры.
Доказательство. Если g(x) — инвариантная функция.
то при любом а множество Са= ix' g{x) < а) инвариантно, Следо-
вательно, ц{Са) равно 0 или 1. Лемма доказана.
Пусть Т—г) pro диче екая система. Тогда для любой функции
I^JMM, <3, ц) функция /, фигурирующая в зргодцческоп тео-
реме Биркгофа — Хшгшна, цпвариантпа и, следовательно, ни
лемме 2 равна постоянной дочти всюду. Так кат; \ f (х) djj. —
м
= \ / (ж) ciii, T(i мы получаем, что fix) ~ \ / da почти всюду. Ин-
м ^ м
теграл \ I d\x ecib среднее функции / но пространству М. или
л/
пространственное среднее. Поэтому эргодическую теорему в слу-
чае эргодической днпаиической системы можно сформулировать
так:
для почти каждой точки ,i: «= М временное среднее равно про-
странственному среднему.
Б таком виде эргодическая теорема часто приводится в физи-
ческой литературе.
Пусть / = %а для некоторого Лев. Как уже отмечалось,
"~ Zj X {Т1гх) рашю среднему числу попаданий траектории
юч1Ш х в множество А аа время от 0 до п — 1. И случае эргоди-
ческой системы последнее вьтражетпю стремится при и ->- оо к
п/ v (x) d\i — jj, (/1). Таким образом, в случае эргодической систс-
м
мы траектория почти каждой точки х попадает во всякое мно-
жество полоичцтелыюй меры и, более того, проводит в этом мно-
жестве время, асимптотически пропорциональное мере этого мно-
жества. Описанное свойство называется свойством асимптотиче-
ской равнораспределенности траекторий.
ш**-'';Л'е*М'на В. Если &пшяичёс1гая система с дист1'рёШьШ*%
менем эргодична и цЫ) > 0, то и ( \] Т~пА\ = 1.
Доказательство. Полагаем В = U Т~пА. Тогда T~lB ^
еб и (лСТ1^) = |лE) >|лЫ). Следовательно, индикатор ^в мно-
жеспш Й ппвариантеп mod 0. На основании леммы 1 можно най-
ти инвариантное множество Z?i такое, что и(ЙА/?,) = 0. Из эрго-
дичности следует, чго ц{В\) = 1 и, следовательно, ц{В) — 1, Лем-
ма доказана.
Оту лемму можно переформулировать так; в случае эргодичес-
кой динамической системы с дискретным временем траектории
любого множества полоз/си тельной меры есть все фазовое прост-
*) д — зшн, симметрической разности:
ранство, за исключением множества меры 0.
Если па пространстве Ш, в, ц) задана динамическая система
3\ то могут, вообще говоря, существовать и другие (отличные о v
\i) нормированные меры, определенные на в и инвариаптпые от-
осительно Т. И,ч яргодпческой теоремы Бкркшфа — Хинчи на
можно извлечь некоторую информацию о структуре множества
нвярпашных мер.
Теорема 2. Пусть на измеримом пространстве G1/, в) за-
ана динамическая система Т и две нормированные меры ]\\. \i2.
пределенные на ©, инвариантные относительна Т. Тогда
1) если мера \\\ эргодичиа относительно Т a j[ абсолю
дан
о
еделенные на ©, инвариантные относительна Т. Тогда
1) если мера \\.\ эргодичиа относительно Т, a j[2 абсолютно
непрерывна относительно ц, (ц2 a priori не предполагается .>рго-
дической), то Ui = ц^; *)
2), если обе меры f.ib ц2 эр годичны относительно Т, то либ
Hi = ца, либо [Ji, jj,2 взаимно сингулярны.
Доказательс М
, о
имно сингулярны.
Дство, Мы рассмотртг лить спучай динами-
ческих спстем с дискретным временем. ТТерепесенпо на стуч^и
непрерывного времени не вызывает трудностей.
)
посит
ру
*) Говорят, что мера ц эргодичпа относительно Т. если Т эрюдпчпо от
ительпо \i.

1) Для любого множества
Биркгофа — Хинчина
по эргодаческой теореме
почти всюду по меро jl*i- Поскольку \i2 абсолютно непрерывна от-
носительно iii, то это равенство выполнено также почти всюду
по мере Ц2- По теореме Лебега о переходе к пределу под знаком
интеграла для равномерно ограниченных последовательностей
функций имеем
Г 2
= Hi И)-
Но прн любом и
Поэтому |ii(Л) = ^(А). Ввиду произвольности А утверждение
1) доказано.
2) Предположим, что щ Ф ц,2, т. е. \ц(А) ?= \л2(А) для некото-
рого 4е®. Обозначим
< п-1 Л
= М: Нщ^ 2хд(Л) = 1*Щ * =1, 2.
Б силу эргодической теоремы Биркгофа — Хинчина цДЛ() = 1,
/ = 1, '2. Но, по построению, Л1ПЛ2=0. Следовательно, меры fit
ii ц.2 в.чапмно сингулярны. Теорема доказана,
§ 3. Неэргодичеикие системы. Разложение
па эргоднческие компоненты
Для того чтобы дать представление о неэргодической системе,
рассмотрим пример 1 динамической системы на стр. 13. В этом
примере фазовым пространством служит гладкое компактное мно-
гообразие класса С™, а динамическая система пороя;дена сдвигами
вдоль траекторий системы дифференциальных уравнений
A)
В теории обыкновенных дифферепциальпых уравнений глад-
кая функция hixi, ..., Хт) называется первым интегралом, если
опа сохраняет постоянное значепие вдоль траекторий системы A).
В дифференциальной форме это условие имеет внд
dh -у Oh у „
Ь1 к
Ясно, что всякий первый интеграл h является инвариантной
функцией в смысле определения 2. Таким образом, можно ска-
зать, что инвариантные функции представляют собой измеримые
первые интегралы. Свойство эргодичности означает тем самым,
что у динамической системы нет никаких «первых интегралов»,
задаваемых измеримыми функциями, кроме констант.
Пусть теперь (if, @, ц,, {Т1}) — произвольная динамическая
система, не обязательно эргодпческая. Рассмотрим всевозможные
множества, инвариантные mod 0 относительно {Т1}. Ясно, что пе-
ресечение, а также объединение счетного числа таких множеств
также инвариантно mod 0, Таким образом, совокупность инвари-
антных mod 0 множеств образует о-алгебру инвариантных mod О
множеств <3luv.
Рассмотрим вначале случай, когда о-алгебра @1пт порождарт-
ся счетным числом атомов, т. е. существует последовательность
непересекающихся множеств Ci, C2, ... такая, что Ci^@nv,
p,(Ci)>0? 2^(Ci) = l и каждое множество из а-алгебры @1пг
совпадает с точностью до множества меры 0 с объединением ко-
нечного или счетного числа элементов этой последовательности.
На основании леммы 1 § 2 для веяного d можно найти такое
инвариантное множество с\, что \х (CiAC'i) — 0. Из описания
©|пт ясно, что не существует инвариантного А положительной
мерыт содержащегося внутри некоторого & и такого, что ц (А) <С
¦< [1 (Ci). Следовательно, если рассмотреть Cj как самостоятель-
ное пространство с мерой, с-алгеброй измеримых множеств кото>-
рого служит система множеств вида B(]d, 2?е@,амерой —
функция (J.J (В) = \х (В fl Ci )/\i {Ci), то динамическая система
{Т'}, рассматриваемая только на Cj, эргодичпа. Таким образом,
все пространство М с точностью до множества меры 0 представ-
лено в виде суммы счетного числа подмножеств, на каждом из
которых динамическая система эргодична. Это представление на-
зывается разложением динамической системы {Т1} на эргодичес-
кие компоненты.
Рассмотрим другой частный случай иеэргодической динамиче-
ской системы. Предположим, что пространство с мерой (М, 0, ц.)
есть прямое произведение двух пространств с мерой Ш\, @i, p>0
и (if2i ®2, Ц2). Допустим для определенности, что мы имеем дело
с потоком, и пусть для каждого Xi^Mt задан эргоднческий по-
ток {fij на пространстве М2. Допустим, что |Г* } зависит от xi
измеримым образом в следующем смысле: для любой измеримой
функция fixi, х%) функция f Ы1% Тьх хЛ измерима на прямом
произведении Л^ХЛ/гХК1. Рассмотрим поток {Т*} на простран-
стве М, полагая Т1 (хг, х%) = 1хи Т^хЛ. Ясно, что {Т1} сохраня-
ет меру ц = ^ii X Ц2. Изучим для такого потока а-алгебру ©Inv.
23

Для всякого инвариантного относительно всего потока {Т1}
множества А возьмем его сечения А^ = {х2: {xt. xz) e Л}. Из
определения {Т1} следует, что Ах при всяком х\ есть инвариант-
ное множество относительно {^*J* При тех xi, прц которых AXl
измеримо, ц-эСА^)—О или 1 в силу эргодичности (Тх )• Пусть
В <= ©j есть множество тех #i, где ^(А^) = 1. Тогда |Xi(?) =
— цС4) и для множества А\ = В X Д/2 имеем, очевидно,
1л(ЛДЛ]) = 0. Из определения потока {7'1} вытекает также, что
А\ инвариантно. Таким образом, всякое инвариантное мпижест-
ко A s@1I1T с точностью до множества меры 0 может быть пред-
ставлено в виде 4=fiX Л/2, где йе@]. Иными словами, все
пространство с мерой М разложепо на элементы MXi— {х^\ X М2»
на которых поток (Тг) эргодцчен. Такое разложение так же, как
п выше, естественно назвать разложением на эргодичеспие ком-
поненты. При достаточно общих условиях все пространство мо-
жет быть представлено в виде суммы двух подмножеств, па
первом нз которых разложение цк оргодические компоненты
ЦЫ1ЛЯДИТ так, как описано в нервом примере, а на втором —
тми, как описано во втором примере. Однако мы не будем при-
води 1ь доказательства этого утверждения.
§ 4. Усреднение в эргодическом случае
Как следует из эргодической теоремы Биркгофа — Хинчина,
для эргодической системы Т и любой функции / е LHM, @, у.)
в случае динамической системы с дискретным временем
Умножим левую и правую частп на произвольную функцию g e
, e=-L2(;l/; @, [i). Тогда f{Thx)g{x) e L4M, ©, \i) при всех к. Про-
интегрировав по х, получим
) g {x) dp-^f (х) dp j g (x) dp.
A)
Последнее равепство эквивалентно эргодичности. Б самом де-
ле, из него следует, что для любых двух инвариантных множеств
lim 1 V ( -U{ [Tkx) хл, И dn - J Хлх И Ха2 (г
7г^™ /1-0 JJ jVf
Следовательно, при А\ = Ач получаем р,{А\) = fi.2(^i), т. е.
fiUi) = 0 или 1.
Б частности, если положить / — %At, g ~= %л&> то из B) мы
получим
Я1
lim -1-
^ И-f А) И- <Л)
Можно сказать, что любые два множества ii и i2 в среднем ста-
тистически независимы. Конечно, это очень слабый вид независи-
мости, по в условиях одной эргодичности большего ожидать и
нельзя. На простых примерах (см. далее) это будет хорошо видно.
Для потока {Т1} аналогичным образом
lim-f
_ lim _L ^ йт / (г-тл:) g (ж) d(i - \ /dfi j
Пусть в пространстве с мерой (М, @, ц), где действует эрго-
днческий поток {?"}, задана другая мера )ло, абсолютно непрерыв-
пая относительно меры ц, и плотность -щ^- = Р (%) Ф const. В фи-
зической литературе ц0 называется иногда неравновесным распре-
делением, а р — равновесным распределением. Например, если
динамическая система порождается движением материальных то-
чек (молекул) в выделенном объеме V, то фазшым пространством
служит набор координат и импульсов всех точек. Если считать
систему замкнутой, т. е. фиксировать суммарную энергию всех
частиц, то фазовое пространство часто оказывается компактным.
Как мы увидим далее, в этом случае при естественных предпо-
ложениях существует мера ц, инвариантная относительно дина-
мической системы. Если выделить часть объема Vi и считать, что
в начальный момент все частицы сосредоточепьт в Ft, то множе-
ство всех допустимых координат и импульсов молекул образует
подмножество А фазового пространства. Формула |^о (В) =
= jj. (A f\B)/p (А) задает неравновесное распределение цо.
Имея меру [1ц, построим меры \\,, где jj-ДВ) = \*о(Т Н). Для
любою множества А в силу эргодичности потока {Т1}
t
= Нт4- f dx f
у, (
Таким образом, меры ц( сходятся к ц в среднем. Такая сходи-
мость не исключает того, что в отдельные далекие моменты t ме-
ра pi не похожа на \i. т. е. из одной лишь эргодичности не сле-
дует, что неравновесное ршчгррделение с чеченцем времетш стре-
25

матся к равновесному. Для того чтобы такое стремление имело
место, необходимо, чтобы динамическая система обладала свой-
ствами перемешивания, о которых пойдет речь в § 6.
§ 5. Интегральный автоморфизм н производный автоморфизм
В этом параграфе мы опишем две конструкции, которые поз-
воляют строить по данному автоморфизму новые автоморфизмы.
Пусть Т — автоморфизм пространства с мерой (Я, ®, ц) и Е е @
таково, что ц{Е) > 0, Превратим Е в пространство с нормирован-
ной мерой, взяв в качестве о-алтебры @Е набор подмножеств
А ^ Е, А ^ <3 r положив рвС4) = \iiA)/]i(E).
Введем подмножество Е' с= Е, состоящее из тех х, для кото-
рых Тпх е Е при бесконечно многих положительных и бесконечно
многих отрицательных п. Ясно, что если х ^ Е', то Тпзс е Е' пртт
всех таких га. Из теоремы Пуанкаре о возвращении следует, что
\l(E') = ц(?). Поэтому в дальнейшее считаем, что Е' =Е. На К
теперь определена функция кЕ{х) = шт{и ^ 1: Т"х ^ Е). Эту
функцию естественно назвать временем возвращения в Е.
Лемма 1.
{ U ТпЕ\
Доказательство. Пусть Еп = {х е Е: кЕ(х) = п). Тогда
множества Т'Е„, п = 1, 24 .. ., О ^ i < га попарно не пересекаются
я U TnE^ U П\} Т*Еп. Поэтому
1 г
J и TnE) = }i( U VrEn)- 2 2
= ? щь (Еп) - f А-я (х) dp.
Лемма доказана.
Из леммы следует, что кЕ(х) е ХЧй, ©в, Цв).
Положим ТЕ% = Ткшх)х, х^Е. Ясно, что преобразование Те
взаимно однозначно. Покажем, что ТЕ сохраняет меру р,е- Любо*
А^Е представимо в виде А = И An, где An = AVt{x: kE(x) =
= га). Тогда Г?Л = U У -^п и множества ГМ„, очевидно, не
п
пересекаются. Поэтому
цл (ГЯ4) = 2 ^ (ТпАп) =%цЕ (An) = |хя (А).
71=1 П—1
Следствие. Пусть Т — эргодический автоморфизм, Е ^ М,
ii (Я) > 0. Тогда \kE (x) dpE ==^щ-
26
Действительно, пз эргодичности Т следует, что j U 7*"^) =
= 1 и по лемме 1 2 Wji (En) =¦-- 1. Поэтому
Tll
Доказанное утверждеш1е называется леммой Каца.
Определение 1. Автоморфизм ТЕ пространства с мерой
(Е, ©д, \iE) называется производным автоморфизмом, построенным
по автоморфизму Т и множеству Е.
Пусть Е2 <= Ei. Тогда из определения непосредственно следу-
ет, что ТЕ„ = (TEi)e2.
Опишем теперь «двойственную» конструкцию, а потом изучим
свойства обеих конструкции сразу. Считая задапиым автоморфизм
Т пространства с мерой (М, <3, (д), рассмотрим измеримую цело-
численную положительную функцию fix) ^ L4M, в, д.). Постро-
им при помощи этой функции новое пространство с мерой Mf,
точки которого имеют вид {х, I). где х ^ М, 1 ^ i ^ fix), i — це-
лое, о-алгебра измеримых множеств в Mf строится очевидным об-
разом. Мера )л' определяется равенством
/м
д.тя любого подмножества впда (Л, i), A
Пусть
f {{x, i 4-1). если
Т (х i\ - \
{' } 1GX1), сели г-г1>/(ж).
Непосредственно проверяется, что Г' сохраняет меру иЛ
Определение 2. Автоморфизм Т! пространства Ms назы-
вается интегральным автоморфизмом, построенным по автомор-
физму Т и функции /.
Пространство Ms естественно представлять себе как «башню»,
основанием которой служит пространство М н над точкой жеД/
имеется fix) этажей. Под действием Ts точка ix, i) ^ М1 подни-
мается вертикально вверх на \ этаж, если это возможно, а если
это невозможно, то опускается впиз до 1-го этажа, попадая в
точку {Тх, 1). Пространство М отождествляется с множеством
точек ix, 1).
Из определений 1, 2 легко следует, что исходный автоморфизм
Т является производным автоморфизмом автоморфизма Т}, точ-
нее, Г=(Г')лг. Докажем обратное утверждение: если ¦ ТЕ — про-
изводный автоморфизм автоморфизма Т и U Т Е = М, то Т

представим как интегральный антолшрфмнм, построенный но авто-
морфизму Тк и функции кЕ(х).
В силу замечапяя после доказательства леммы 1, къ(х) ^
— LH.E, @е, [1Е). Далее, если Еа = {х^Е; кЕ(х) = п)ч то каждая
точка х, принадлежащая Т'Еп при некотором U 0^i<n, может
быть записана в виде {Т~'х, t), T~'x s Еп. Это покалывает, что М
представимо как лространстБО К . \\ Т при таком представлении
действует как интегральный автоморфизм,
Теорема 1. 1) Если автоморфизм Т иргодичен, то любой
его производный автоморфизм ТЕ также эр годичен.
2) Если Т! — интегральный автоморфизм, построенный по
автоморфизму Т и функции /, и Т — эреодичен, то Т1 также
оргодичен.
Доказательство. 1) Пусть А — инвариантное множест-
во для ТЕ, uU) > 0. Тогда ( U Т"А)Г\Е—А. . Но из эргодич-
ности Т следует, что [} Т"А - Л/(rnodO). Следова i елыто. А —
= Л/ГШтос10), т. е. A=E{modO).
2) Еслп А—инваридышое мпожрство положительной меры
для Т\ то А П М — инвариантное множество иоложптслъттой меры
для Т. В силу эргодичности Т имеем А П М — Л/(шогЮ). Но тогда,
очевидно, А — AFdnodO). Теорема доказана.
§ 6. Слабое перемешивание, переменггпшнне, крлтлое
перемешивание
Определение 1. Динамическая система Т обладает свой-
ством слабого перемешивания или, проще, слабым перемешива-
нием, если для любых /, g e Т?Ш. @, и)
2 Г (
v.- \fdy. \
м м
m m
в случае автоморфизма;
в случае эндоморфизма
Пш ±
йт -
,]*
в случае потока;
M m
в случае полупотока.
Покажем, что если динамическая система обладает слабым
перемешиванием, то она эргодична. Проведем рассуждение толь-
ко для эндоморфизма, Остальные случаи рассматриваются ана-
логично. Пусть эндоморфизм Т обладает слабым перемешивани-
ем. Возьмем дне функции /, ge J?{M, <3, |л). Тогда
¦к м
(Это вытекает из того, что для любой ограниченной последова-
тельности (г,,) комплексных- чисел условия lim — Zj \ ск | -^-0. и
Игя — ^ | ск |2-^0 эквниалентны.) Поэтому
т) * И ^fl -
Г Г Г
] / С?1 х) S И Ф - \fd\i\g
м if -zu
Как было отмечено в § 4 (см. формулу A) § 4), последнее соот-
ношение эквивалентно эргодичности Т.
Определение 2. Динамическая система обладает свойст-
вом перемешивания или, проще, перемешиванием, если для
29

любых двух функция /, g^L2{M, <©, р)
lim \f{Tnx)g(x)dp = f/(a)dn. \ g (x) dp
в случае автоморфизма*
lim j / (Tnx) g (x) dp _-- f / (x) d^i f g (x) dp
1l^-°° м Ki м
в случае эндоморфизма;
Km f / (T*x) g (x) dp- ^ (x) dp f g (x) dp
*""-! TO M MM
в случае потока;
lim f / (г**) g- (x) dp = f / (x) <fy f g (*) da
в случае ш>д.\ потоки.
Полагая в этих соотношениях / = X г - 8 —)^ » "олучилг, что
в случае перемешивания для любых двух множеств jlj, А% ^ ©
п эндоморфизма или автоморфизма 71
Последнее соотношение означает следующее: еслп взять любое
множество А2 положительной меры, то всякое множество поло-
житсльпой меры А\ при своем движении, начиная с некоторого
момента, все время будет пересекать множество А^ причем мера
той часта А\, которая в момент п попала в Л2, асимптотически
(при га-»-«О пропорциональна мере Аг. Именно это свойство
объясняет происхождение выражения «множество А\ положитель-
ной меры прн своем движении равномерно размешивается но фа-
зовому пространству». В физической литературе употребляется
термин «релаксация» для описания процессов, при которых си-
стема переходит в некое стационарное состояние независимо от
того, в каком состоянии она находилась. Используя этот термин,
можно сказать, что в системах с перемешиванием происходит ре-
лаксация в следующем смысле: если р<у -— произвольная нормиро-
ванная мера, абсолютно непрерывная .относительно меры р, и
рп ¦— сдвиг этой меры под действием Тп (т. е. jxn(-<4) = ро{Т~"А)),
то р„(А) -> р{Л) для любого измеримого в случае системы с нс-
ремешивапием. В самом деле, обозпатшв р (ж) — -щ~- (х), будем
ж меть
\in (А) = f 7д (Тпх) dp0 _- \ Хд (Тпх) р (х) dp -^
i
Тем самым можно сказать, что именно в динамических системах
с перемешиванием всякое неравновесное распределение с тече-
нием времени стремится к равновесному.
Так как из перемешивания очевидным образом вытекает сла-
бое перемешивание, то динамическая система с перемешиванием
эргодична. Мы увидим далее, что существуют эргодические си-
стемы без слабого перемешивания, системы со слабым перемеши-
ванием без перемешивания п системы с перемешиванием (см.,
в частности, главу 14).
Можно ввести понятия, характеризующие «более сильное пе-
ремешивание», чем то, о котором говорилось выше.
Определение 3. Динамическая система обладает свойст-
вом перемешивания кратности г 3^ 1 или, проще, перемешиванием
кратности г, если для любых функций fQ, f\, /й, ..., fT e
3, ц)
lim \fo(x)
ъ) dp «
в случае автоморфизма или эндоморфизма;
) U (Т^+Ч ¦ ... .fr (тЬ+-+%) dp --,
в случае потока или полунотока.
Для измеримых множеств А®, Аи Ат в случае перемеши-
вания кратпости г
Ясно, что обычное перемешивание есть перемешивание крат-
ности 1, а прн г > 1 из перемешивания кратности г вытекает
обычное перемешивание.
Вводимое далее К-переметиваппе хорошо тем, что оно допу-
скает проверку в случае ряда важпых классов динамических си-
стем. Приведем определение для случая автоморфизмов.
Определение 4. Автоморфизм Т обладает ^перемешива-
нием, если для любых множеств Ао, Аи ...,Лев, г > 0,
lim
| ц, (Ао Л Б) - р (Ао) ц E) | = О,
где @™ (,4j . .. Ат)— паименьпхая о-алгебра, порожденная множест-
вами ThAi при к > и, i = i ,..., г.

К-пер смешивание означает, что множество Aq ие зависит от
любых событий, определяемых по достаточно далекой части тра-
ектории множеств At, ?S*1. Легко показать, что из К-перему-
шивания вытекает перемешивание любой кратности г. В то же
время существуют динамические системы, обладающие переме-
шиванием любой кратности, но не обладающие К-перемепговачи-
ем, С понятием К-перемешивания мы вновь встретимся в главе
10 при изучении энтропии динамической системы.
§ 7. Унитарные и изометрические операторы, сопряженные
с динамическими системами
Всякое измеримое отображение Т измеримого пространства
{М, <©) в себя порождает оператор UT, действующий в про-
странстве измеримых комплексных функций на М по формуле
Шг/)Ы =/{Тх). UT называется оператором, сопряженным
с отображением Т.
Более общим образом, для одпопараметрпческоп группы пля
полугруппы (Т1) измеримых преобразований измеримого прост-
ранства (И, <©) можно ввести сопряженную с ней группу или
полугруппу операторов {Ub\ = [Ut4-
Любой оператор UT рассматриваемого вида имеет собственные
функции /^ const с собственным значением 1.
В этом параграфе мы рассмотрим операторы, сопряженные с
динамическими системами.
Лемма 1, 1) Если {Т1} — однопараметрическая группа авто-
морфизмов (пли полугруппа эндоморфизмов) пространства с ме-
рой [М\ @, ц.), то комплексное гильбертово пространство L2{M,
@, (J.) инвариантно относительно сопряженной группы (или полу-
группы) операторов W). В этом случае группа {или полугруппа)
{?/'}, рассматриваемая) на L2(M, ®, \i).. является группой унитар-
ных операторов {или полугруппой изометрических операторов)
пространства L2{M, @, ц).
2) Если {Т1} ~ поток, и гильбертово пространство L2{M, в, \i)
сепарабелъно, то сопряженная группа {U1} непрерывна.
Доказательство. 1) Из ипнариантности меры |л вытека-
ет, что |* \f(T*x) |V[A ¦= j" \f{x) \zdp, для любой функции f&L2(M,
м м
@, и) и любого t^ К1, поэтому пространство L\My @, \х) инвари-
антно относительно {U*}. Далее, для любых /, g^L?{M4 <©, ц)
(Ulf, и*е)ь* = f / (T*x) g {Tlx) dp=\f{x)J№ dn ~ (/, g)L"-, т. е.
-W М
все операторы U1 на L2(M, @, \i) — изометрические.
Если (Т'} ^группа автоморфизмов, то {Uc)~l = U~l, т.е. опе-
раторы U* обратимы и поэтому являются унитарными операто-
рами в L2(M, @, ц).
32
2) Если iT*} — поток, то для любых /, g^L4M7 в, ц) функ-
ция Ъ [t) = {Vх}, g) = j / (Т*х) g{x) dp — измеримая функция от
t, т. е. W) — измеримая группа унитарных операторов. Но в се-
парабелъном гильбертовом пространстве всякая измеримая груп-
па унитарных операторов непрерывна (см. приложение 2). Лем-
ма доказана.
Б дальнейшем операторы, а также группы операторов, сопря-
женные с динамическими системами, будут рассматриваться,
как правило, в пространстве L2{M, @, \i).
Если динамические системы {Т[}, {Т^}, действующие на про-
странствах с мерой Ш\, @i, |j,i), (Л/г, ®2, (^а) соответственно, мет-
рически изоморфны, то вх изоморфизм ф порождает изоморфизм
Vv гильбертовых пространств Ь2Ш\, ©ь Hi) н L4M2, &a, M,
действующий по формуле {Vvf)(x) =/(ф(х)). При этом, если {U{},
{U{}—сопряженные группы унитарных операторов, то ?7з ==
=•- VqU^Vy1. В спектральной теории операторов последнее соот-
ношение называется унитарной эквивалентностью. Таким обра-
зом, если динамические системы метрически изоморфны, то со-
пряженные с ним группы (или полугруппы) унитарных операто-
ров унитарно эквивалентны. (Обратное утверждение, как мы уви-
дгщ позже, неверно.)
Спектральными инвариантами динамической системы назы-
ваются спектральные ипвариапты сопряженной с ней группы
(или полугруппы) {?/'}. Свойства динамической системы, выра-
жающиеся через ее спектральные инварианты, называются спек-
тральными свойствами. В третьей части книги для ряда динами-
ческих систем мы изучим их спектральные свойства.
Пусть Т — автоморфизм пространства с мерой (М, <©, ц,).
Образуем для любого элемента / е L2(M, <3, ц) скалярные произ-
ведения
Ъп = Ъп (Я - (UtI, f), - оо < п < оо.
Последовательность (bj — положительно-определенная. Действи-
тельно, для любого набора комплексных чисел |0 ,-. -, 1« в силу
изометричности UT справедливо неравенство
о
| S buhl' = fs ииУ, | Ьи'т{)
ij0
A)
По теореме Бохнера — Хинчина ibn) представима в виде
Ъп if) ~ ] ехр Bлink) dof (Я), B)
где Of — конечная борелевская мера на единичной
о,E'} = (/, /) = lfb>.
3 и. П. Корвфельд i др.

В случае эндоморфизма Т последовательность Ъп (/) ~= {Urf, f)
определена лишь для п > 0. Для отрицательных п положим Ьп=
= Ь-п. При этом равенство A) сохраняется, и, значит, также име-
ет место представление B).
Пусть теперь {Т') — поток на пространстве (Л/, <3, ц), и гиль-
бертово пространство Ь2Ш, в, |О сепарабельпо. Для любого эле-
мента f^L2{M, <©, jj,) образуем скалярные произведения
В силу леммы 1 b{t) непрерывна. Кроме того, ЬШ — положитель-
но-определепная функция, т. е. для любого набора комплексных
чисел |о, ..., |™ и любого набора действительных чисел t<), ti,..., tm-
C)
D)
о< 2 Ы'Ч = IS l.u'1/. 2 hu'il) = 2 о (u -1^
По теореме Бохнера — Хинчипа b(t) представима в виде
b{t)= \ exv(it%)dC[(X),
где О/ — конечная борелевская мера па R1,
о, (R1) =(/,/)-!/)'.
Меры Ст/, которые появляются в интегралах B), D), называются
спектральными мерами элемента / относительно соответствую-
щей динамической системы (см. приложение 2). Спектральная
теория динамических систем изучает свойства динамических си-
стем, которые можно выразить через свойства мер О/. Такие свой-
ства являются спектральными.
Поясним на двух примерах, какую информацию о динами-
ческой системе можно извлечь ип ее спектральных свойств.
1. Пусть {Т'}—поток, {?/'}—отвечающая ему однонарамет-
рическая группа унитарных операторов. Допустим, что группа
W) имеет собственную функцию fix) с ненулевым собственным
значением, т. е. U f — еш f при некотором а Ф 0. Рассмотрим
множества уровня этой функции Са = {х - fix) = а). Тогда Т Са =
= Слах{1. При t0 = 2я/а получаем Т1°Са = С,- Это означает, что
разбиение пространства М па множества Са представляет собой
«измеримое расслоение» лад окружностью, в котором Св служат
слоями. Прн действии динамической системы эти слои переходят
Друг в друга, и каждый слой через период ?о возвращается па
себя. Прн этом, конечно, возникающее отображение Тг° слоя С„
на себя может не быть тождественным.
2. Пусть Л/— пространство двусторонне бесконечных после-
довательностей со стационарной мерой ц (см. пример 3, стр 11),
Т — сдвиг. С точки зрения теории вероятностей, элемент fix)
U
гильбертова пространства 1?(М, в, ц) есть квадратично ин-
тегрируемый функционал, заданный на реализациях х рас-
сматриваемого стационарного процесса. Из стационарности
вытекает, что набор случайных величин Vh^fyF x) = UThf,
~оо < к < °°, снова образует стационарный случайный процесс.
Можно построить корреляционную функцию этого процесса
&й-1 — Eyhxji= f yh (x) ух (х) dy, {x) и ее спектральное разложение
1
6( --= \ e~21lMdOf(X). Мера О/ зависит от функционала /. Спект-
9
радьная теория динамических систем изучает множество мер ff/,
которые могут возникнуть таким образом.
Следующие ниже теоремы 1, 2, 3 этого параграфа показыва-
ют, что эргодичность, сла'бое перемешивание, перемешивание —
спсктральпые свойства. Мы докажем это для автоморфизмов, так
как в остальных случаях рассуждения аналогичны. Обозначим
через Lf, (Л/, ©, ц) подпрострапстяо гильбертова пространства
L2{M, @, (i), состоящее из функций с нулевым средним: L\ (M, @,
j*)-{/eZ"(Af, ©, fi): f/d,i-O}.
Теорема i. Пусть Т — автоморфизм пространства с мерой
(М, @, и). Следующие условия эквивалентны:
i) Т эргодичен;
ii) любая инвариантная относительно Ut функция) f e L2{,M\
в, и) есть константа (modO);
iii) любая функция f e L2{M, @, ц) такая, что мера а{ сосре-
доточена в точке % = 0, есть константа, (mod 0).
Теорема 2. Пусть Т — автоморфизм пространства с мерой
Ш, в, р). Следующие условия эквивалентны:
i) T обладает слабым перемешиванием;
Ш Vx не имеет собственных функций, отличных от констант
(mod 0J;
iii) для любой функции /eLj(Af, ©, р,)мера о, непрерывна.
Теорема 3. Автоморфизм Т пространства с мерой (М, @, ц)
обладает перемешиванием, если и только если для любой функ-
ции /е L\ (М. @, \i) коэффициенты Фурье {Ьп) спектральной ме-
ры Of стремятся к нулю при \п\ -*¦ <».
При доказательство используются следующие две леммы:
Лемма 2. Функция f^LHM, @, ц) является собственной
функцией оператора UT с собственным значением ехрBяй0) тог-
да и только тогда, когда мера <ь сосредоточена в точке Яо, т. е.
Лемма 3 (лемма Бннера). Пусть а — конечная борелевская
мера на единичной окружности S1 — {К: 0^Я<1}, Ьп =
= j exp {2ninty da, — оо < п < с», ее коэффициенты Фурье, Xj,
о
3* 35

. ¦. — последовательность всех атомов меры о, г е. o
= 1, 2, ..., о(Ш) = 0, если \ ¦* X., и - 1, 2, ...
Доказательство лемм проведем дозже.
Доказательство теоремы 1. Если Т эргодичен, то,
как было доказано в § 2, любая инвариантная относительно Т
измеримая функция есть константа (mod 0). Тем более это вер-
но для f^IsiM, <©, fi). Если же Т же эргодичен, и множество
Я ^ @ инвариантно, 0 < \х(Е) < 1, то его индикатор %S^L2{M,
©, |х) — инвариантная функция, и %е Ф const (mod 0). Поэтому
i ¦<=*" И. Эквивалентность ii "*=*- ill следует из леммы 2. Теорема
доказана.
Доказательство теоремы 2. Пусть Т обладает сла-
бым перемешиванием, но, вопреки нашему утверждению, для UT
нашлась собственная функция / Ф const (mod 0) с собственным
значением Я, \%\ — 1, Ясно, что % Ф 1, так как Т эргодичен. Поэ-
тому элемент f^L2(M, @, \i) ортогонален подпрострапству кон-
стант, и, значит, / е Ь'ц (М, ©, |д). Но тогда
= тг ? I ^* I
что противоречит определению слабого перемешивания. Тем са-
мым доказана импликация i ^ ii. Докажем, что il=^ iii. До-
пустим, что для некоторого элемента f<^L\{M, @, ^спектраль-
ная мера не непрерывпа, т. е. оД{Яо})>0, Xq^SK Тогда норми-
рованная мера Ы^ — Яо), сооредоточопная в точке Хо. абсолютно
непрерывна относительно О/. Поэтому в инвариантном относите-
льно 11т подпространстве L\ (М, @, fi.) найдется элемент g такой,
что аг=б(А, — Яо) (см. приложение 2). Б силу леммы 2, g — соб-
ствепная функция, что дротиворечих ii. Значит, ii =>¦ iii. Оста-
лось доказать, что iii =>¦ i. Возьмем произвольдуго функцию
/е io (ilf, в, (л). Так как ее спектральная мера О/ неирермвиа,
то по лемме 3
llm ±
2 ™ lim !
! 2
Рассмотрим теперь две функции J,
36
(Af, @,
= 0. E)
Легко про-
верить тождество
(f/?/s *)=¦!¦ [(г/? (/ + г), (/ -f в)) +? № (f -ь *s), (/ + ^)) -
- (?/? (/ - *), (/ - «) - г (f/r (/ - ig), (/ - tg))l F)
Функции ^i = (/+g), ^2 = (/-^), Ь = (f + ig), ^4 = </-ig) при-
надлежат ?0 (jlW, ®i ц), значит, для каждой из них справедливо
соотношение, аналогичное E).
Мы воспользуемся следующим простым утверждением, касаю-
щимся числовых последовательностей: для любой ограниченной
последовательности {с„}, п = 0, 1,2, ... комплексных чисел со-
отношение lim— ^ |с^|2 — 0 экеггеалект'ко гол^у, ч^о найдется
п — :о к~ о
множество No натуральных чисел плотности пуль {т. е.
lim ^- card (iV0 П [1, «¦]) = 0) гакое, что lim | с„ ] -= 0.
Из ятого утверждения вытекает, что для функций г|>», 1 < i ^
^ 4, найдутся исключительные множества Nu I ^ i ^ 4, плотнос-
ти нуль такие, что скалярпое произведение {Ut^i, Мч) стремится
к пулю, когда п -з- оо Бне соответствующего исключительного
множества М- Множество N = IJ ^% также имеет плотность нуль,
и если п ->- оо Вне iV, то lim(f/r/, ^) = 0- Снова пользуясь сфор-
мулированным утверждением, получим, что
lim ^21 №.«)!' = 0-
В общем случае, для f, g <= L2(M, EТ ц) положим
|i, i-fgdp,, /0=/-a, g, = g - Ь.
а-Ъ =
Тогда /„, g0 <^ ?o (Af, @, ji) и
№/, ff) = (?^г (/о + «), (?о
-№/„,?„) + f/й
м
Поэтому
Р)
37

при п
°, Аналогично
- \fdn\gdix
>-0 при ге->оо.
(8)
Из G) и (8) вытекает, что У обладает слабым перемешиванием.
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 3. Если Т обладает переме-
шиванием, то для любой функции /о е Ьо (М, ©, и.)
1
lim ] ехр Bя1иЯ.) do/0 (Я) = lim {UtI0, /g) =
= lim С
*=О. (9)
Обратно, если выполнено (9), пользуясь тождеством F) получим»
что Hm (Urfa, g0) = 0 для любых /0, g0 е L\ (Л/, @, ц).
В общем случае для /, g e= Л2(^/, @, Ц-)
(f/x/, г) -- (г/т/о, гв) + f № f gd\L,
м м
где /0 = / - j /d|i, *i = * - J ^Ф; /о, ^o e ij (M, ®, ji). По-
этому lim {Urf, g) ~ I /^[A 1 ^цТ чт0 эквивалентно свойству
11 d
перемешивания. Теорема 3 доказана.
Осталось доказать леммы 2 и 3.
Доказательство леммы 2. Если / — собственная функ-
ция, то равенство
A7?/, /) = ехр Bл
exp BninX) d& (X - К)
проверяется непосредственно, Обратно, если о/ = И/И2 б(Я — А,о)т
то
1
(Urf, f) = j exp BninX,) da, = Ц/|р ехр Bjur10). A0)
0
При re = 1 получаем
т. е. для функций /, С^т/ неравенство Копщ — Буняковского обра-
щается в равенство. Это возможно лишь, если Urf = cf, где с —
комплексное число. В силу A0) с = ехр Bju?,q). Лемма доказана.
38
Доказательство леммы 3. Имеем:
= f ехр BmnXi0) da (?.A)) j ехр Bя*вХ(8)) йо (ЯB)) = '
о о
= f J cvp [2nin (X'u - X(s)) d (а (Я.'1') X о (х(!>)).
0
Поэтому
где ф„ (?.A), ?.'2)) - -^-2 ехр [2Я.А (aA) - Я,'8')]- Функции Ф, рав-
померно ограпичепы: !фп(Я,п), ЯB1I < 1, w=l, 2, ... Кроме того,
1,
если ЛA) =¦=
(И)
Но теореме о переходе к пределу под знаком интеграла длярав-
. дюморно ограниченных последовательностей функций
Hm J_
= [ [ lim
<!>) d (я aA>) X с
Б силу A1) последний интеграл можно распространить не на
весь тор S> X S1, а лишь на ого диагональ D = {(ДA1, ЯB)) : Xil) =
~Х2}. Атомами моры a X о являются лишь точки диагонали
вида (Я„, Я„), га —1 2, .. причем (иХоКЦ,, >.„)) = а2(К);
( \
кроме того, легко убедиться
Отсюда вытекает, что
р (оКЦ,, >.„)) а(К);
( \
, что (а X о") \D\ U ({А„, Л,,}) I ¦= 0.
Лемма доказана.
В терминах изометрических или унитарны
нных с динамическй й
х операторов, со-
трических или унитарных операторов, со-
пряженных с динамической системой, можно доказать утвержде-
ние, аналогичное эргодической теореме Биркгофа — Хинчина. Это

утверждение называется эргодичвской теоремой фон Неймана. В
отличие от теоремы Биркгофа — Хжнчина, речь в ней идет о схо-
димости по норме гильбертова пространства, а не о сходимости
почти всюду. Мы докажем ее для произвольных изометрических
операторов (не обязательно сопряженных с некоторой динами-
ческой системой).
Теорема 4 (эргодическая теорема фон Неймана). Пусть
U — изометрический оператор в {комплексном) гильбертовом
пространстве Я; Нцч — подпространство инвариантных отно-
сительно U векторов /еЯ,т, е. НТ = {/еЯ;Р/-/}; Pv —
оператор ортогонального проектирования нпН1цу.
Тогда
0 для любого
n-*co [| ,, fc=o
Для доказательства понадобится следующая лемма.
Лемма 4. Если U* -— оператор, сопряженный с U, то
Й1ПУ rrinv
Доказательство леммы проведем позже.
Доказательство теоремы 4. Если / е Яут, то
lim — 2 #*/ = / ~'Puf и, значит, теорема верна для таких /.
Пусть,'далее, / имеет вид
/ = Ug—g при некотором g <= Н A2)
(такие / жпогда называют когомолоеичными нулю). Тогда
II4- 2 u"f I = I 4 2
I fe В II п fco
С другой стороны, если / имеет вид A2), то Puf — 0. Действи-
тельно, для любого h e Н'ит
(/. fc) = Wg-g, h) = (Рг, А)-(г, ft) = (Pg, Uh)-ig, h) = 0. A3)
Вначит, /_L#t?T, т. е.
и, стало быть, утверждение теоремы справедливо для всех /
вида A2).
Пусть Gv — подпространство пространства И, натянутое на
векторы вида A2). Так как векторы вида A2) образуют линей-
ное многообразие, то Gv есть замыкание множества таких век-
торов. Для произвольных j^Gv и е >0 найдется вектор /в вида
/, = Vg,—g, такой, что II/—/.II < е. Тогда
± 2 рь/=4- 2 р"/е+4- 2 р* v - «=2?"+2J°.
ft=0 fi0 ft
Таккак Ит12Г1-=0,
^" 2
ft0
I
lim I— ^ f/
II
и, ввиду произвольности е,
Из A3) вытекает, что PL-/ = 0, если f^Gu, т. е. утверждение
теоремы справедливо для всех / ^ Gcr.
Докажем теперь, что Я— /4Г © Go, т. е., что <?? — Вц1,
где Gu— ортогональное дополнение к Gv. Из A3) вытекает, что
Я'отс:Со- Если iefif, то для всех г е И {h, Ug — g) = 0,
т. о. (ft, g) = (ft, f/g) = (U*h, g). Зпачит, (P*A — h, g) = 0 для
всех ges H. Поэтому tr*A — h = 0, le ff'cJ. В силу леммы 4Je
^ff\jv, т. о. 7/i7V 2*^A и требуемое равенство доказано.
Любой вектор |еЯ дредставим теперь в виде / = /i + /2,
/, е tf|T; /, e Gp. Тогда
!im -г 2 f7*/ -lim -f  ^'"/1 +lim 4 2 ^ "/• =
Теорема доказана.
Доказательство леммы 4. Пусть / s я!?т* т. е. ?7/ =
— /. Применив оператор 6"* г; обеим частям равенства и восполь-
зобяшпись тем, что для изометрических операторов ?/*?/= Id*),
получим / = U*ft т. е. /еЯ^'. Обратно, если / ^ #[/#, то
1^7- /II3 - {Uf-f. Uf-f) =1^/||2- (/, ?7/) - A7/, /) +3/Г-
Но Wff ^ \\f\\\
-(/. U*f) = {f. /)-||
¦Лемма ^оказапа,
Эргодическая теорема фоп Пеймапа справедлива также для
одисшараметрических групп (полугрупп) изомеирических опера-
торов. Мы це будем проводить соответствующие доказательства.
/, с-7) = (с/*/- /) - (/, /) -1!/«2, (VL /)
|Г, потому 1167-/И2-0, т. е. /<=Л$7
*) Id — единичный оператор.

§ 8. Динамические системы на компактных метрических
пространствах
Фазовое пространство динамической системы часто бывает
наделено дополнительпой структурой (топологической, алгебраи-
ческой и г1. д.), и динамическая система сохраняет ату структуру.
В этом параграфе мы рассмотрим топологические динамические
системы, т. е. системы, порожденные непрерывными отображе-
ниями Т топологического пространства М в себл.
Чтобы избежать патологий, будем считать, что М — компакт-
ное метрическое пространство. Мы будем, рассматривать меры и,
задагщые па о-алгебре борелевских множеств пространства М,
Такие меры называются борелевскими. В качестве о-алгебры ©
будем брать пополнение о-алгебры бореленс.ких множеств но
соответствующей мере \х. Для непрерывного отображения
Т- М -*¦ М инвариантная мера может быть a priori не заданат
однако справедлива следующая важная
Теорема 1. Для всякого непрерывного отображения Т
компактного метрического пространства М в себя существует
нормированная борелевская мера |л, инвариантная относи-
тельно Т.
Прежде чем докапывать эту теорему, напомним, что нсякои.
борелеБСКой мере |а на М однозначно соответствует положитель-
ный линейный функционал I на пространство С{М): l(f) =
— \ /(z)du. Инвариантным относительно Т мерам отвечают
м
функционалы, инвариантные в том смысле, что
Щх)) =Щ{Тх)). A)
Иногда функционал мы будем обозначать той же буквой, что и
соответстиующую ему меру.
Доказательство теоремы 1. Пусть ц.@) — произ-
вольная нормированная борелевская мера па М (например, со-
средоточенная в одной точке: Ц(о)(/) -1 1 №pW /to,), хе е jl0-
AT
Рассмотрим последовательность мер \хП! п= 1, 2, . . .:
для любой функции f^C{M). Но
Множество нормированных мер на компакте Л1 слабо компактно,
цозюму последовательность i.,\in) имеет котя бы одну предельную
точку. Пусть ц, — одна ия этих предельных точек, и |u.,-<4j —схо-
дящаяся к р, подпоследовательность последоиателыюсти {\inh
Покажем, что мера ц иаваипантна относительно Т. Слабая схо-
дпмость \i,ti> ->¦ \х означает, что
\ /И^ " lim f /(^)^ne B)
i- 2 J / (T
> - 4- 21
при «
J / (Тх)
Переходя к пределу, в силу
| / (х) djx. Теорема доказана.
)V
B) получим, что
причем
м и
Как н в случае динамических систем па общих пространствах
¦с мерой, естественно выделить класс «неразложимых» топологи-
ческих динамических систем. Мы приведем следующие опреде-
ления для случая дискретного времени, точнее, для гомеомор-
физмов. Перенесение их на случай непрерывного времени не
представляет яатруднепий.
Определение 1. Гомеоморфизм Т\ М -*¦ М называется
топологически транзитивным, если для некоторой точки х ^ М ее
траектория {Тпх '¦ — °° < п < <*>} всюду плотна в М.
Следующие важные понятия характеризуют «более сильную»
топологическую неразложимость.
Определение 2. -Гомеоморфизм Т: М -*- М называется
минимальным, если траектория {Тпх: — оо < ^ < оо) любой точ-
ки х ь= М всюду плотна в М.
Определенно 3. Гомеоморфизм Т: М-*- М называется
строго зргодическим, если нормированная инвариантная относи-
тельно Т борелевская мера единственна*).
Свойства минимальности и строгой эргодичности близки в том
смысле, что во многих естественных примерах они встречаются
или не встречаются одновременно (см. § 1 главы 5). Одпако, как
будет в дальнейшем показано, ни одно из них не вытекает из
Другого.
Ясно, что строго яргодичеекпй гомеоморфизм Т эргодпчеп по
¦отношению к своей едппечвенной инвариантной мерс ц. Действи-
тельно, если бы нашлось измеримое инвариантное множество Е,
О< ц(Аг) < 1, то мы могли бы определить нормированную инва-
риантную меру hi:
^ (Л) -- ~ у,{А[\ Е) для всех /IeS,
*) В литературе па английском я.чыкр термин «strict prgo<licity» отппсит-
«я к гомеоморфизмам, которые п минимальны, и строго эргодичпы Строгой
-эргодичности соочаетствует термин ftunique ergoditity*.

Покажем теперь, что для строго эргодических динамических
систем справедлив усиленный вариант эргодической теоремы
Биркгофа — Хинчина (что оправдывает нх название).
Теорема 2. Пусть Т — гомеоморфизм компактного метри-
ческого пространства М и ц, — нормированная инвариантная от-
носительно Т борелевская мера. Следующие утверждения
эквивалентны:
i) Т строго эргодичен;
п) для любой функции /е С{М)
lim J- y.f(Tkx)= [fWdZ-ud) C)
в каждой точке х е
iii) для, любой
функции /<= C(M) временные средние-
~ J* f(Thx) равномерно сходятся к ц,(/).
fc-0
Доказательство основано на следующей лемме:
Лемма 1, Пусть Т — строго эргодический гомеоморфизм,
fi — единственная инвариантная мера, которой отвечает инвари-
антный нормированный положительный линейный функционал
на СШ). Тогда любой {не обязательно положительный) инвари-
антный непрерывный линейный функционал I на С{М) имеет вид'
l(f) - V</), be=ik\ D)
Доказательство леммы проведем позжо.
Доказательство теоремы 2. Пусть Т строго эр-
годичеи- Рассмотрим функции / ^ СШ) вида fix) = g{Tx) — g(x),.
g s C[M) (их называют иногда функциями, когомологичными пу-
лю). Длл гакнх /
UplT И -^ ос. При ЭТОМ
ц f/j = С / (х)
- I g (Tx) d^ - [ g (x) rffi - О,
т. е. lira — 2^| / (Т1эг) -- ц if) и сходимость равномерная.
Функции, когомологи-чтгыр нулю, образуют линейиое многооб-
разие в С{М). Докажем, что замыкание L этого многообразия
в СШ) совпадает с подпространством Со функции 1^С[М) та-
ких, ччо [i(f) = 0. Ясно, что L е= 6'0. Допустим, вопреки пашрму
утверждению, что L Ф Со, т. е. найдется функция /о, |х(/о) = О,
по /о Ф- L. По теореме Хана — Бапаха существует такой непре-
рывный линейный функционал I на пространстве С(М), что
l(f) = 0 для /е^, К/о) = 1. Ясно, что 2 — инвариантный линей-
пын функционал, но он пе может иметь вид D), так как ja(/o) =0,
l(fo) = 1. Противоречие с леммой 4 доказывает, что L = С$.
Пусть теперь f^C0. Для заданного е>0 найдем функцию
U = gATz)— ge{x) такую, что II/—/А(М) < е/2. Получим:
+ I ~ 1 U G*х) - 4- 2 / ( Г'*) I - 2?» + 2<"> + 2<">.
Так как
"У) <е/2,
при /г -
лу произвольности g импликация i =* iii доказана для любой
функции /е^Со, а значит, и для любой функции f^C(M).
Импликация iii=> ii очевидна, поэтому осталось доказать,
что ii=M. Пусть v—любая инвариантная нормированная боре-
левская мера для Т. Из C) по теореме о переходе it пределу
под знаком иптеграла для равномерно ограниченных последова-
тельностей функций вытекает, что для любой / е= С{М)
E)
F)
Из (о) и F) следуег, что v(f) = pij). Теорема доказана.
Доказательство леммы 1. Любому непрерывному
линейному функционалу I на пространстве С{М) можно сопоста-
вить положительный лилейный фуцкцыопал UI (полную вариа-
цию I), причем
а) для функций / е С(М), f > О,
С другой стороны, в силу инвариантности v,
v (/) =v {4- 2 / (т"х)) - f J 2
\l\(J)- sup Z(q>);
G)

б) разность 1\ = \1\—I — также положительный лияеиным
функционал.
Пусть теперь I — непрерывный линейный функционал, инва-
риантный относительно Т. Из G) вытекает, что |?1 тоже инва-
риаптен. Действительно,
| I | (/ (Га:)) - sup I <ф (х)) = sup I (<р (Т~1х)) =
= Slip Uit(a:))
для /Ы ^0, а значит, и для всех f^Ci'M). Так как Т строго
эргодичен, а \1\ — положительный линейный функционал, т. е.
мера, то \1\ = сц, ceR1. Аналогично iL = сцл, е^К1. Поэтому
J = \1\—fj = (с—Cj),n, Лемма доказана.
Приведем другое доказательство импликации i=*-ii в теоре-
ме 2, по использующее теоремы Хана — Банаха.
Для любой точки х^М через 6(J* обозначим дискретную
меру, сосредоточенную в точках Thx, 0^&<;к,6х {{Ткх\) — 1/ге.
Нате утверждение эквивалентно тому, что при любом х ¦= М
меры Ьх -1 при п -*- оо слабо сходятся к п. 'Гак как Л/ — метри-
ческий компакт, то множество нормированные мер на М слабо
компактно. Достаточно установить, что любая предельная точка
последовательности мер 6^ совпадает с ц.
Пусть Ьх при i ->~ °° слабо сходится к нормированной мере V.
Покажем, что v — инвариантная мера для Т. В самом деле,
для меры J*v, определенной равенством
Tv(A) =v(T~]A)t Лее,
Ыо из определения 6ЛП) следуот, что 7*6* ecib мера, сосре-
доточенная в точках Tkx, I =S fe < r + 1, причем мора каждой
точки равна 1/л. Следовательно, pajnocTb (Гб^"-1 — б1-^') сосре-
доточена в точках Т"х, хил каждой из них. принимает значе-
ние, по модулю равное i/n. Иными слонами ТЬ^ — б?"' -*- 0 сла-
бо при п ->- оо, что и требовалось доказать.
Из теоремы 2 вытекает следующее
Следствие, Если гомеоморфизм Т строго эргодичен и ин-
вариантная мера |л такова, что \х(С) > 0 для любого непустого
открытого множества G ^ М, то Т — минимальный гомеомор-
физм.
Доказательство. Пусть (?EJIf- непуст ое открытое
MTioiKeciво. Так как u(G) = sup \i{F), где верхняя граиь берется
по всем замкнутым множествам F ^ G, то найдется замкнутое
46
Fo — G, цСРУ > 0. Множества Fo и М \ G не пересекаются и замк-
нуты, поэтому существует функция }<^СШ), }>0, такая, что
fix) = 1 прн х ^ Fo, f{x) = 0 при х ^ Л/\С Ясно, что j / (ж) dp, —
м
- Для произвольной точки .Го^-^, в силу теоремы 2,
поэтому найдетсн такое п, что fiTnx0) > 0, т. с. Тпха е G. Это
и означает, что траектория точки х0 всюду ллотна, т. е. Т — ми-
нимальный гомеоморфизм.
Теорема 3. Если гомеоморфизм Т минимален, то ц.(С)>0
для любой нормированной инвариантной меры ц, и любого не-
пустого открытого множества G ^ М.
Доказательство. Если и. — произвольная нормирован-
ная ипвариантная мера на Л/, то пайдется точка хо ^ Ж, для
любой окрестности U = Uix0) которой pit?/) > 0. Действительно,
если бы для каждой х ^ М пашлась окрестность, имеющая пуле-
вую меру, то отсюда следовало бы, что ц.(М)=0. Рассмотрим
траекторию точки х$. Так как эта траектория всюду плотна, то
для данного открытого G s М найдется такое п, что Тпх$ ^ G.
Но поскольку Т есть гомеоморфизм, то и образ T''"Uix0) неко-
торой достаточно малой окрестности этой точки содержится в G.
Из инвариантности меры и. получаем, что \iiG) ^ \i(TnU) =^
= \i(U) > 0. Теорема доказана.
ГЛАВА 2
ГЛАДКИЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
НА ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЯХ
§ 1. Инвариантные меры, совместимые с гладкостью
Один из самых важных классов динамических систем состав-
ляют системы, определяемые дифференцируемыми преобразова-
ниями гладких многообразий. Как правило, под многообразием
Мы оудем понимать тге-.мерное ко\шактпое замкнутое ориентируе-
мое многообразие класса С" im ^ 1). Напомним, что хаусдорфо-
во пространство М называется замкнутым m-мериым многообра-
зием, если каждая точка ос ^ М обладает окрестностью U, гомео-
морфтюй открытому шару D в пространстве К™. Коли М ком-
пактно, 10 существует конечная система окрестностей U1: 1^5/^
=^ N, удовлетворяющих этому условию и в сумме покрывающих
все И. Всякая такая система окрестностей Г/, вместе с фиксиро-
ванными отвечающими нм гомеоморфизмами cpj ¦' Vj -»- D, 1 =5 / ^
< N, называется атласом тта М и обозначается {С/, ф. При
помощи гомеоморфизма ср, в окрестности U) естественно вводится
47

система координат: всякой точке х ^ U, относятся евклидовы
координаты ее образа <рДж). М называется многообразием класса
Ст (г = 1, 2, ..., °°), если из того, что х^ Uf П Uh К 1Ф] ^N,
следует, что координаты точки х в ?/,¦ связаны с координатами
точки х в U-, функциями класса Ст.
Зафиксируем на М какой-либо атлас Ш, tp}. Рассмотрим не-
которое гомеоморфное отображение Т многообразия М на себя.
Мы назовем Т диффеоморфизмом класса С многообразия Ж, ес-
ли для всякой точки х^М, х^ Uu координаты точки у = Тх е
s Jjj выражаются формулами
Ук = fh&i > xm), k = 1, 2,..., m,
причем функции fh непрерывно дифференцируемы г раз и
Idf, I]
^-1^0 во всех точках х^М.
Из теоремы о неявной функции следует, что обратное преоб-
разование Г тоже представляет собой диффеоморфизм.
По теореме 1 § 8 главы 1 существует нормированная боре-
левская мера \х на Ж, инвариантпая относительно диффеомор-
физма Т, Б дальнейшем нас будут иптересовать инвариантные
меры, совместимые с гладкостью, или, иначе, гладкие инвариант-
ные меры. Требование гладкости означает, что в каждом атласе
(t/, ф) на М мера \i задается своей плотностью, т. е. для всякой
окрестности Uu входящей в атлас, существует такая положи-
тельная измеримая функция p(z), x ^ Uit что для любого изме-
римого A cz Ui
li{A)^[p(j:)dxl...dxm. A)
А
Запишем условия инвариантности меры вида A) в термипах
ее плотности. Диффеоморфизм Т переводит точку % = {х\, ...
. . ., Хт) в точку у с координатами
JJh
записывается так:
Поэтому равепство \ь{А) =j
j" p (x) dxx... dxm = ) p(y)dy1... d
ТА
§p(x) dXl.. .dxm = |P (гг)°^;;;
откуда, в силу произвольности А, получаем:
B)
почти всюду, а если плотность р{х) непрерывна, то равенство
B) выполняется всюду. Применим это равенство п раз в случав
непрерывной плотности к точкам хш, Тхш, ¦.., Тп~1х10\ образую-
щим периодическую траекторию с периодом п. Мы получим, что
= 1 при х = '.
C)
где /i — функции, определяющие преобразование Т" в некото-
рой окрестности точки ж@!. Ясно, что последнее равенство не за-
висит от выбора системы координат. Поэтому равенство C)
представляет собой необходимое условие существования инва-
риантной относительно Т моры, имеющей непрерывную
плотность.
С помощью этого необходимого условия легко указать неко-
торые случаи, когда существование гладкой инвариантной меры
заведомо невозможно. Например, пусть xi0) — неподвижная точка
преобразования Т. Тогда необходимое условие C) принимает
вид uet
|
1 = 1. Если же хш — притягивающая неподвижная
'' W II
точка, го del ^ <Cl и существование гладкой инвариантной
меры невозможно. Не может быть конечной инвариантной гладкой
меры с положительной плотностью н в том случае, если окрест-
ность какой-либо точки переводится преобразованием Т в свою
собственную часаь.
Эндоморфизмы гладких многообразий. Пусть теперь Т — не-
' которое гладкое (класса С) невырожденное, но уже, вообще
говоря, не взаимно однозначное отображение связного мпогообра-
зия М па себя. Пусть d — степень этого отображеппя. Если
d=J, то отображение взаимно однозпачпо и мы имеем диффео-
морфизм. Если d> 1, то обратное отображение Г многозначно,
а в силу невырожденности Т прообраз каждой точки из М со-
стоит из одного и того яш (равного d) числа точек.
Примеры. 4. Пусть М — единичная окружность S1 с мерой
Лебега р; мы опять реализуем ее как множество {х '- 0 < х < II.
Для натурального г> 1 определим преобразование ТГ\
Trx = r.r(mod 1).
Мера р инвариантна относительно Тг, т. е. Тг — эндоморфизм.
Эргодические свойства этого эндоморфизма тесно связаны со
свойствами разложений чисел в r-ичную дробь.
2. Пусть па отрезке [0, 1] задана гладкая функция fix) та-
кая, что /@) = 0, /A) = m {m — натуральное число, большее
единицы) и j'{x) > 1 при всех х. Рассмотрим преобразование
Тх = f{x)(mod 1). Если для этого преобразования существует
инвариантная мора с плотностью р(х), то эта плотность должна
И. П. Корнфельд и др. 49

удовлетворять уравнению
, Ц.
Потоки на многообразиях. Потоки (т. е. пепрерывные группы
диффеоморфизмов) естественно возникают при рассмотрении век-
торных полей на многообразиях- Как известно, одпим из основ-
ных источников эргодичсскои теории послужило исследование
систем дифференциальных уравнений на многообразиях. Исполь-
зование векторных нолей на многообразиях позволяет получить
инвариантную (относительно выбора g глас а) запись таких систем
Уравнений.
Пусть снова М— т-мернос компактное замкпутое ориенти-
руемое многообразие класса Ст, г > 2. В каждой точке х ^ М
рассмотрим касательное линейное пространство ?ГХ. Простран-
ства &~х образуют касательный пучок STM многообразия М,
Векторным полем класса С% s *Z г — \, па М пазывается се-
чение класса С' касательного пучка 3~Ш. Иначе говоря, задать
векторпое ноле X на М — это значит сопоставить каждой точке
х s М некоторый вектор Хх из касательного пространства &~л.
Под гладкостью векторного поля при этом понимается гладкость
векторной функции X.
Если иа М задан атлас ill, tp), то on естественным образом
порождает соответствующий атлас (И7, т|0 в касательном пучке
$~М. Векторное поле'Х на М при этом записывается в виде яг-
функций
Х1(х1 хт), ...,Хш(хи ..., хт)
класса Сэ.
Компоненты вектора Х(х) в двух атласах (С/, ф) и W, tp')
сняланы следующим образом:
Х'к{т[, ..^х'^^^ХЛх^ ...,ia)^, ft = l m.
i-i l
Всякое векторное ноле X на М порождает на этом многообра-
зии дифференциальный оператор Dj 1-го порядка, который в ло-
кальной системе коордипат записывается в виде
f
ад-v
5/
D)
Так как X — векторное ноле класса С\ s ^ 1, го для дифферен-
циального уравнения, соответствующего этому дифференциаль-
ному оператору, стгравеДливы теоремы существования к един-
ственности для задачи Коши, пли, что то же самое, теоремы су-
ществования п единственности решения системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
^-Xfcfcri, ..,4 ft-l,...,m.
Эту систему уравнений можно рассматривать как определя-
ющую бесконечпо малый сдвиг на М.
Предполагая, что дли каждой начальной точки х е М систе-
ма E) имеет одно и только одно решение, определенное при
всех (е (R1, мы получаем на М одноиараметрическую группу
диффеоморфизмов {Г'}, которая действует так: если х е М, то
Т'х — это точка на выходящей из х интегральной кривой систе-
мы E), отвечающая данному значепию t.
§ 2. Теорема Лиувилля и динамические системь1
классической механики
Для многих динамических систем на гладких многообразиях
можно явно указать вид гладкой инвариантной меры. Это де-
лается с помощью уже упоминавшейся теоремы Лиувилля, дока-
зываемой ниже. По поводу встречающихся далее общих понятий
классической механики и теории гладких многообразий см. кни-
гу В. И. Арнольда «Математические методы классической
механики».
Пусть М — /?г-мерпое компактное замкнутое ориентируемое
многообразие класса С™ и X — векторное поле класса С°° па М.
В локальных координатах {xi, , . ., xm) векторы поля X имеют
где Xk(xh . . ., х,„) s С"Ш), 1 <
дифференциальных уравнений:
. Рассмотрим на М систему
A)
К ней применимы обычные теоремы существования и единствен-
ности решений. Поэтому можно ввести одиопаралгетрическую
группу {Т1} диффеоморфизмов класса Сх многообразия Л/, где
преобразование Tt состоит в сдвиге каждой точки х вдоль опре-
деляемого его решения системы A) на время t.
Возьмем на М какую-либо дифферепциальиую m-форму ш
класса С°°. Эта форма определяет пепрерывный лиш'йныЙ функ-
ционал на пространстве С(М) по формуле
Мы будем рассматривать только иоложтелыше функционалы,
т. g. такие, что ©(/) > 0, если />0. Каждая такая форма опре-
деляет меру \1Ш на М, если положить iiB(/) = о)(/).
Зафиксируем какой-либо а глас на Л/, составлеппый из карт
н <Pi), причем потребуем, чтобы в любой точке x^Ut?\XJj

якобиан detfqtfoqij1! был положителен. Это можно сделать, так
как М — ориептируемое многообразие. Тогда форма (О в каждой
точке области Ut может быть задана неотрицательной плотностью
р{х), являющейся функцией класса С".
Ясно, что для любой формы @ форма ui(, определенная соот-
ношением соД/) = cu(/B7(x)), также будет положительной, причем
меры |Аи п цИ( эквивалентны.
Рассмотрим теперь вопрос о том, когда существует нпвариаш-
пая форма, то есть такая форма <о, для которой (О, = <» при
rcpx i. Если такая форма существует, то ц« будет инвариантной
мерой для группы {Т1}.
Пусть форма to задается плотностью р[х), то есть диффе-
ренциал меры и, = \ха в локальных координатах имеет вид d\x =
= р(хи .. ., xm)dxv , . . dxm.
Теорема 1 (теорема Лиувилля об инвариантной мере).
Для тезе чтобы мера ц, {конечная или ъ-понечная) была инва-
риантной относительно {Т1}, необходимо и достаточно, чтобы вы-
полнялось равенство
Доказательство. Возьмем функцию / <= С*Ш), сосре-
доюченную в некоторой координатной окрестности Uu т. е. та-
кую, что замыкание множества {х^ М: fix) ?= 0} содержится
в ?/;. Найдется такое to > 0, что при всех t, Ui < *o, функция
f{T'x) также Пудет сосредоточена в Ui, Для инвариантности меры
иш необходимо и достаточно, чтобы для всех таких / и to имело
место равенство
f j.pdx1---dxm= \ f(Ttx)-pdx1...dxM
м м
при [(|<^о- Правая часть этого равенства непрерывно диффе-
ренцируема no t. Поэтому оно эквивалентно соотношению
Но учитывая, что /(ж) == 0 при х Ф U,, мы мо;кем записать:
Поскольку последняя цепочка равенств выполнена для любок
функции /, удовлетворяющей указанным выше условиям, из нее
вытекает B). Теорема доказана.
Следствие. Рассмотрим наряду с системой уравнения
A) систему
-^ = w(x,, ...,xm)Xl{xl xm),
ж -w^, ....xm)Xm{xlt ....,a-m),
где w(x) — ноложительпая функция класса С™ па М. Эта си-
стема также определяет некоторую однопараметрическую группу
{Т!) диффеоморфизмов многообразия М. Ясно, что траектории
у {Т1} тс же, что у исходною потока 17"}, а скорость движения
каждой точки х е М под действием {Т'} в w{x) раз больше, чем
под действием {?"}._
Говорят, что {Т1} получается из {Т1} с помощью замены
времени, определяемой функцией w{z).
Допустим, что поток {Т1} имеет гладкую инвариантную меру,
задаваемую плотпостью р{х) <= С", р{х) > 0. Тогда функция
^^~пГ7ж)"^^ является плотностью пивариаптпоя меры для
{Т1}. Действительно,
По теореме Лпувилдя, мера с плотностью р ппвариантна относи*
телыю {Г'}.
Замечание 1. Полезпо взглянуть на теорему Лиувилля
с функциональной точки зрения. Пусть (М, В, ц) есть простран-
ство с мерой. Допустим, что в пространстве L2{M, <©, \х) выде-
лепо всюду плотное подмножество -4, состоящее из ограниченных
(mod 0) функций и ^нмкпутое относительно умножения, и на А
определен оператор дифференцирования D, т. е. такое линейлое-
отображепне множества А в пространство пзд1ерпмы\ функций
на М, что Я(/,/2) - (DU)h + l№h) для любых /,, h^A. Такой
оператор D называется симметрическим, если
f
, = \ fx
A.
В переводе па язык этих понятий теорема Лиувилля означа-
ет, что дифференциальный оператор iD. где D — дифференциро-
вание, определяемое векторпым полем X, является симметриче-
ским, если за ц принять инвариантную меру ци. В случае Сж —
векторных нолей Ш оказывается также и самосопряженным

-оператором, что вытекает из обычных теорем существования и
•единстве ин ости для систем обыкновенных дифференциальных
уравнений. Для бесконечномерных динамических систем или
динамических систем, порождаемых векторным полем с особен-
ностями, доказательство самосопряженности может оказаться
весьма трудным.
Замечание 2. Теорема Лиувилля, как видно из ее дока-
зательства, имеет локальный характер: поскольку векторное поле
X непрерывно, инвариантность меры и, достаточно проверять
только в окрестности любой точки. Ниже мы часто будем этим
пользоваться.
Рассмотрим теперь несколько примеров применения теоремы
Лиунилля.
1. Движение заряженной частицы в стационарном электро-
тиагнитном поле. Движение частицы с массой т и зарядом q в
электромагнитном ноле, задаваемом электрическим полем Е(х)
п магнитным полем В(х), описывается уравнением Лоренца
m^ = q(E + и X В). C)
Если движенце происходит в трехмерном пространстве К3,
то фазовое просграпство шестимерно и полная система уравне-
ний получается, если к уравнению C) еще присоединить
уравнение ^ = г.
Покажем, что мера \х, где d\x — dx\dx2dxzdv\dv2dv^, т. е. мера
-с плотностью р{х) = 1, ипвариантиа. Здесь Xh — vhl k=l, 2, 3,
и Xh = q(Eh -г {и X -B)ft), к = 4, 5, 6. Поэтому
4л дХь ^ д (v х В)ь
Из определения векторного произведения сразу следует, что
это выражение раино нулю. Согласно теореме Лиувилля, полу-
чаем инвариантность меры и,.
2. Задача о магнитных поверхностях. Известно, что разре-
женная плазма в сильном магнитном поле движется, в первом
приближении, вдоль магнитных силовых линий. Поэтому траек-
тории частиц плазмы определяются свойствами этих линий. Воз-
можность применения здесь эргодтпгеской теории вытекает из
уравнений Максвелла. В случае магнитного поля, не зависящего
от времени и описываемого вектором напряженности В = (В\, В2,
Я3), уравнения ыапшпшх силовых линий имеют вид:
^f -_ Bh, к - 1, 2, 3.
Тем самым определяется динамическая система, отвечающая
движению вдоль магпитых силовых линий. Одно на уравнений
Максвелла — divZ? = 0. Это означает, что указанная динамиче-
ская система имеет инвариантную меру щ где du, = dxidxzdxz-
Магнитной поверхностью называется двумерпая поверхность^
состоящая из магнитных силовых линий. Во многих случаях
проблема существования магнитных поверхностей может быть-
сформулирована как проблема эргодичности (точнее, неэргодич-
ности) соответствующей динамической системы.
Например, допустим, что магнитное поле таково, что у него-
имеется магнитпая поверхность S, диффеоморфная тору (торо-
идальные поля). Тогда ясно, что внутренность S состоит из маг-
цнтпых силовых линий. Если динамическая система A) внутри
S эргодичпа, то из этого вытекает отсутствие внутри S других-
магнитиых поверхностей.
3. Гамильтоновы системы. Пусть Q — т-мерное многообразие
класса С™, 0~*Q — некасательный пучок над Q, т. е. пучок диф-
ференциальных 1-форм на Q. Выберем координатную окрестность
U, в которой введены координаты ql, q2, . .., qm. Тогда всякая
1-форма на U задается своими m компонентами pi, р2, . . ., рт.
Невырожденная дифференциальная 2-форма и — dp /\dq =
~ 2 dp{Д^устанавливает на 0~*Q симплсктическую структуру.
Для любой гладкой фупкции IIip, q) па 3~*Q построим систему
дифференциальных уравнений на 0~*Q, которая в перемепных:
q, p имеет вид
^ = дЛ 2±=—— i = 1 2, ...,т. {4}
dZ op- at 0C
Функция // называется гамильтонианом, а система дифференци-
альных уравпепий D) — гамилътоновой системой, порожденной
функцией И. Из вида этой системы и ив теоремы Лиур.илля не-
посредственно вытекает, что функция pip, q) = const является
плотпостью иттвариаптной меры для потока (У), отвечающего-
системе D), Эта мора бесконечна. Заметим теперь, что сама
Н(р, q) является первым интегралом системы D), т. е.
_
_ _ у 'Hl'IIL^ V ';// дН — а
Рассмптрим «поверхность уровня» функции И, т. е. множество-
вида Гс~\{р, у) ; II(p, q)=c). Но многих случаях i.\ окааыиа-
етсн компактом, и Aiepa Лиувилля индуцирует на пей уже ко-
нечную инвариантную мср^. Одни подобный пример рассматри-
вается в следующем пуша с.
4. Геодезические потоки на рнмаиовых многообразиях. Пусть
Q — компактное замкнутое 7га-морное риманпво многообразие
класса С° и М' = 0~Q — касательный пучок над Q. Риманова
55.'

структура в Q порождает евклидову структуру в каждой каса-
тельной плоскости $~ч. В координатной окрестности U с координа;
тами д1, ..., qm метрический тензор имеет вид ds2 = 2 Su (Ф dq*^'
Если в касательной плоскости ?7% выбрать базис из векторов,
касательных к координатным осям, проходягцим через q ^ V,
то для любого вектора v=(vl, ..., vm)^ZTq его норма Ml равна
yXg,j(q)vlu3. Через l\gt3{q)i\ обозначим матрицу, обратную к
Рассмотрим кокасательный пучок 0~*Q. Евклидова структура
в 9~q устанавливает естественный изоморфизм между STq и &~q*
Для любого вектора v={vl, ..., vm)^^~q введем координаты
Pi = 2j gij (?) v* и будем рассматривать &~* как множество пар
^ = (?, р), Р = (рь . . ., рт). Тогда |Иа =
= |p||2. Форма ^2idql /\dpi есть симплектическая форма на Q,
уже рассматривавшаяся в предыдущем пункте. Рассмотрим функ-
цию Гамильтона Я (ж) — -уУ &** ^ &*Рз ~ Т И ^ И3 и отвечающий
«и гамияьтопов ппток {71'}. Так как II{х) — первый питеграл, то
¦единичный касательпый пучок М = ix ^0~Q : ИрII = 1} инвариан-
тен относительно действия {Т1}.
Определен не 1. Ограничение {Т1} на М называется
геодезическим потоком на многообразии Q.
Смысл таь'ого назиаиия станет ясен чуть позже. Введем меру
па М, дифференциал которой имеет вид d\i = do(q)d(x>q, где do —
дифференциал меры, порождепноп римаыовой метрш;ой на Q,
da>q — мера Лебега на единичной касательной сфере Sq <= 3~ч,
Точное определение меры ц заключается в следующем. Для лю-
бой непрерывной функции /(/>, q) ее интеграл j fd\a вычисляется
в два приема: вначале фиксируется q, n f рассматривается как
функция на Sq. Ее иптеграл J / (q, p) d(oq(p) есть функция fdq),
q^Q,K \ fd\i-^=- \ /jdcr. Б силу компактности Q мера [д, конечна.
Теорема 2. Геодезический поток |7") сохраняет меру ц.
Доказательство. Пусть D cz M — открытая область с
гладкой границей. 11ерез Dz обозначим область в М' вида Ds —
= {(!7. Р) = (?, ffj) e D, 1 - е < ]р || < 1 + в]. Тогда j dq dp =
=• const ец (D)-|- о (е), где const тте зависит от D. Далее, в силу
теоремы Лиуиилля, | dqdp = \ dqdp. Нетрудно видеть (см.
рис. 1), что
l ?Ц, (
-!- О (8),
- 0, получаем требуемое утверждение. Тео-
откуда, устремляя г -
рема доказана.
Следующая далее теорема проясняет смысл термина «геоде-
зический поток».
Теорема 3. Траекториями геодезического потока (Тг) слу-
жат касательные векторы к геодезическим линиям в Q. Отдель-
ное преобразование {Т1) переводит па-
ру (q0, ро) в пару {qh pt) = Tl{q0, р0),
где для получения qt следует провести
геодезическую через g0 e= Q в направ-
лении рс, и тогда qt отстоит от Уо на
расстояние t {вдоль геодезической),
а вектор р, касается этой геодезической
в qt и направлен так же, как pQ.
Мы будем пользоваться некоторыми определениями и фак-
тами из дифференциальной геометрии. Символами Кристоффеля
m-мерпого риманова многообразия Q с метрическим тензором
ds2 = 2 Sij (?) dqrdqJ называются величины
С помощью символов Кристоффеля записывается дифферен-
циальное уравнение для геодезических линтт на Q:
'- 0,
E)
Здесь (t)i, .. _t у)—координаты в касательной плоскости 3~,
Лроме того, мы будем пользоваться следующим соглашением'
принятым в тензорном анализе: знак суммы явно пе пишется'
но если некоторый индекс встречается в одном выражении дваж-
ды — один раз сверху и один раз снизу — то предполагается
что по нему производится суммирование от 1 до т
Доказательство теоремы 3. Запишем уравнения Га-
d_l_ _ „«. dPi i деы
it -S Р„ -sr = - — —rPkPl.
Переядем к исходным контравариантным переменным v1 = g"p-
-1огда г s ""

Из равенства ghlgin = &п, где й„ — символ Кроыекера, вытекает,
что
^, ^«?52.
^J
¦ря -^ — е^емг
Меняя обозначения индексов, получим
Доказательство. Перное утверждение теоремы очевид-
но. Второе утверл;деине вытекает из того, что при малых t пре-
образование Т* есть композиция параллельного переноса и по-
ворота па угол %{q) + o{t), а каждое из этих преобразований со-
храняет меры ja', ц.
Мы приведем также аналитическое доказательство сохране-
ния меры (а'. Возьмем координатную окрестность U па Q с коор-
динатами q\ q2. Пусть Vli — символы Кристоффеля поверхности
Q. Тогда уравнения дьижения, отвечающие потоку {Т'}, имеюг
вид
vW = —
dq*
где Гй; —символы Кристоффеля. В результате мы приходам к
системе уравпошш E) для геодезических линий. Теорема до-
казана.
5. Обобщения геодезических потоков. \. Пусть Q — компакт-
ная замкнутая двумерпая римапона поверхность класса С™,
М' — касательный пучок пад Q, М — единичный касательный
пучок пад Q. Через л обозначил! естественную проекцию М' на
Q, d\i' = dolq)daq — мера на Al\ d\i = da(q)d(aq — ысра на М,
где do — мера на Q, шгдуцированиая римановой метрикой,
daq(,daq) — мера Лебега па касательной плоскости (единичном
касательно* пучке) б ючкс q. Мера (л. очевидно, конечна.
Зададим па Q проилиольпую С^-функщпо v.(q). \Ъ диффе-
ренциальной [соыстрин лавеетпо. что для любой точки г а =
= (<?d, vо) ^ М' существует едппствениая кривая l^Q такая,
ЧТО
1) в любой точке q^l геодезическая кривизна I равна к(#)*).
2) qo^l и касательный. nL'KTop к I в точке </о совпадает с е-ч».
Определим на М' поток {?"), такой что (^о, ^о) переходит под
действием любою Т в точку (</<, vt), 1"де цг е I отстоит от qo на
расстояние tWvoW (пямерлемое вдоль I), vt — касательный вектор
к I u точке qt, нанранлннпод так' же, как о^.
Теорема А. Поток {Т1} в пространстве М' оставляет М ин-
вариантным и сохраняет меры и/, и,.
*) Напомним определение геодезической кривизны. Пусть I — кривая,
fi (у)--единичный касательный вектор к I в точке ?, «г(?) — единичный
вектор нормали к I в точке q, причем вращение от U^q) к щ(ц) происходит
против часовой стрелки. Возьмем близкие точки q, q' e I и параллельно пе-
ренесем вектор нормали щ{д) в точку q'. Угол между п{{ц') и параллельно
перенесенным щ{$) равен y,{q)dq-ho{dq)^ где dq ^ \\q'— q\\, а к(?)—гео-
дезическая кривизна.
58
Предположим, что коордипаты q', у2 ортохоыальны, т. е. рима-
пова метрика записывается в виде
ds* = a\ (?i, ^) (da1)8 -f
Тогда
da {q\ ?2) == a, (q\ q*, a.2 (q\ q2)
Бледем переменные v1 -- -~, v2 -=- —. Мы покажем, что dp,r =^
^aid?1, <72)«s(gpI, q2)d(j'dq2dv1du2— дифференциал инвариантной
меры, т. е. плотность р = й]я2 удовлетворяет условиям теоремы
Лиувнлля. Имеем
; Заметим, чго в точности то же самое выражение мы получили
1бы в случае обычного геодезического потока, отвечающего к = 0.
Ч Полезно, впрочем, непосредственно убедиться, что последнее вы-
I ражение равно 0. Из выражения
'-• рики имеем
через коэффициенты мет-
Г1 - * 5
Г1 -_Lfi г2 - *
2 2»,e,a' '^2^5
I Подставляя их в последнюю сумму видим, что опа обращает-
ся в 0.
Доказательство инвариантности меры \х, исходя из инкари-
латноеттг меры \х', проводится так же, как в случае обычного
)?.:.ч г кого пг ' =;а. Теорема доказана.

2. Пусть Q—компактное замкнутое m-мерное ргшаново мно-
гообразие класса С™, М — пространство касательных 7?г-репоров
к Q. Это означает, что точкой М служит пара х = (?, г), где
q^Q, а г есть упорядоченный набор т взаимно ортогональных
единичных касательных векторов к Q в точке q, т. е. г =
= (и1, и2, . .., v171), (и', и') = 0 при i Ф /, 11и!11 =! 1. Ясно, что М
является С"-расслоением над Q со слоем R, изоморфным группе
О(п) ортогональных матриц порядка п. Введем на каждом слое
Rq меру G)g, являющуюся мерой Хаара, и превратим М в прост-
рапство с мерой, положив dp, = do{q)d(ag, где da— дифференциал
объема, порожденного римановой метрикой.
Рассмотрим поток \Т'} на М, при котором отдельное преоб-
разование 2"* заключается в параллельном перенесении репера
г==(у1, . . ., vm) вдоль геодезической, выходящей из q в направ-
лении у1, па расстояние ?. Пшок {Тг) сохраняет меру р. Это вы-
текает из того, что параллельное перенесение сохраняет углы
между векторами. Мы не будем нриводшь полного докалатель-
ства это*го утверждения.
6. Сведение гамнльтоновых систем к геодезическим потокам.
Пусть Q — m-мерное многообразие класса С", М' =0~Q — каса-
тельный пучок иад Q. Рассмотрим функцию Лаграпжа вида
переписать
L {q, ^ = |
Здесь I7 — потенциальная энергия, Т = ¦—¦ ^ а
ская эпергия. Предположим, что матрица На^Н положительно-
определеппая. Уравпения дицженця Лагранжа имеют вид (см.
В И А [D
* — кинетиче-
рд р
В. И. Арнольд [3D
d dL
8L
Псрсцдем от функции Лагранша L к функции
Я =" \ 2 ai' (
Фазовым пространством служит теиерь кокасательиыи пучок ^"*^.
Вариационный принцип Мопортнш ~ Лагранжа — Якоби (М.—
Л.— Я.), в применении к рассматриваемой системе состоит в
том, что иа многообразии постоянной энергии H{q, p) *^k = const
траекториями иапюй системы служат экстремали фуякциопала
Пользуясь уравнениями Гамильтопа и инвариантностью функ-
ции Я (законом сохранения энергии), последний интеграл можно
60
f
= ]vrh-Waildqidi1
A
Введем эа Q риыапову метрику ds2 — (k — V (g)) 2 a^dgHql и бу-
дем рассматривать такие многообразия постоянной энергии, что
h— F(g)>0. Принцип M-—Л.—Я. показывает, что араектория-
ыи нашей системы служат геодезические линии в Q, отвечаю-
щие введенной метрике. При этом скорость движения вдоль гео-
дезических равна k—V{q). Это означает, что фазовое простран-
ство пашей системы превратилось в расслоение, базой которого
служит (?, а слой над точкой q представляет собой (иг— 1)-мср-
нуго сферу касательных векторов длины h—V{q). Отобразим
это пространство в единичный касательный пучок к Q, сопоста-
вив каждому касательному вектору единичный касательный век-
тор того же направления. При этом отображении траектории
исходной системы проектируются в геодезические линии на Q,
по скорость движения по ним равна k—V{q). Для получения
геодезического потока остается сделать замену времени при по-
ьгощи функции w = (h— Viq))^1
§ 3. Интегрируемые динамические системы
Среди гладких дипамических систем встречаются примеры,
важные для приложений, в которых фазовое пространство М,
dim М = т, распадается па инвариантные многообразия мень-
шей размерности, диффеоморфвые тору Тог1", г<т, и иа каждом
таком торе движение может быть представлено в подходящей
системе коордипат как условно-периодическое движение (см.
§ 1 главы 1). Если частоты такого движения рациональпо неза-
висимы, то, как будет показано в § 1 следующей главы, оно
-эргодично. Тем самым мы получаем разложение фазового прост-
ранства на эргодические компоненты (см. § 3 главы 1).
Динамические системы, обладающие указанным свойством,
часто называют интегрируемыми. Это название связано с тем,

что дифференциальные уравнения, описывающие такие системы,
оказываются интегрируемыми в квадратурах.
Б этом параграфе мы рассмотрим несколько примеров ин-
тегрируемых систем. Бее они являются гамильтоновыми. Для
гамильтоновых систем их интегрируемость обычно устанавлива-
ется с помощью следующей важной теоремы Лиувилля.
Теорема 1 (теорема Лиувилля об интегрируемых систе-
мах). Пусть {Т1} — гамилътонова система, порождаемая функци-
ей Гамильтона Яо, и фазовое пространство М — симплектическое
многообразие размерности 2т, Пусть на М задан набор из
(m—i) функций П\, Яг, . . ., Нт-Х такой, что система функций
Но, Ну, . . ., Hm-i находится в инволюции, т. е. скобки Пуассона
(//„ Я;)=0, О^ь, /<т-1*).
Рассмотрим совместное множество уровня функций ,//q, H\ ...
- . ., //„_,
Mh-{xe=M: Hh{x)=kh, 0<fc<m-l},
Предположим, что градиенты gradtf^U), O^fe^m.—1, линейна
независимы в каждой точке х е Mh. Тогда Mh инвариантно и
диффеоморфно прямому произведению евклидова пространства
Н" при некотором к ^ m на тор Тогт~\
В координатах (у,, . . ., ук) на К и циклических координатах
(.х\, . .., xm-k) на Тог"'1 уравнения движения па Mh могут быть
записаны в виде
где ci, . . ., ch, Ш|, . .., Ют-ь — постоянные.
Доказательство этой теоремы мы пе приводим, так как оно
имоетсн во многих учебниках (см., например, В. И. Арнольд [3D.
Заметим, что если многообразие Mh, фигурирующее в теоре-
ме Лиувилля, компактно, то оно диффеоморфно тиру Тог"*, и на
этом торе происходит условно-периодическое движение.
В общем случае Mh есть цилиндр с ^-мерными образующими
и im — &)-мерным тором в качестве основания.
Интегрируемые геодезические потоки. Наиболее простые при-
меры интегрируемых геодезических потоков строятся в случаи
поверхностей. Пусть Q — двумерное компактное ориентирован-
ное римапово многообразие класса С°°, М'~$~Q — касательный
пучок над Q, М — единичный касательный пучок, являющийся
*) Если д\ ..., qm, pi pm — канонические координаты иа М, то
скобка Пуассопа двух функций F, Я есть
фазовым пространством геодезического потока (см. предыдущий
параграф). Б рассматриваемом нами случае dimM = 3, а функ-
ция Гамильтона, порождающая геодезический поток, имеет вид
Но = 1Ы12. Предположим, что геодезический поток имеет допол-
нительный независимый первый интеграл Н\. Поверхность уров-
ня Mh = {х = (q, v): Яа(х)^1, II\{x)=h} есть двумерная поверх-
ность (если градиенты gradHG, grad Н\ во всех точках липеёно
независимы), инвариантная относительно геодезического потока.
Векторное поле, индуцированное геодезическим потоком на Mh,
нигде не обращается в нуль. По теореме Пуанкаре его эйлерова
характеристика равна 0, и если Mh ориентируемо, то оно явля-
ется двумерным тором. Таким образом, фазовое пространство
распадается на инвариантные двумерные торы.
Функция Н\ находится в инволюции с Но, что непосредст-
венно вытекает из того, что Ну есть первый интеграл. Поэтому
теорема Лиувилля сразу дает, что геодезический поток пеэргоди-
чеп, а на инвариантных двумерных торах происходит условно-
периодическое движение.
Примеры.
1. Геодезический поток на поверхности вращения. Пусть I —
гладкая замкнутая кривая в К3 с координатами хи хг, z$ и по-
верхность Q получается вращением I около оси х3. Метрика на
Q индуцируется обычной метрикой б К3- Группа симметрии есть
однопараметрическая группа вращений около оси ,г3. Первый
интеграл геодезического потока здесь существует в силу теоре-
мы Петер и называется в дифференциальной геометрии интегра-
лом Клеро. Из сказанного выше следует, что геодезический по-
ток иеэргодичен, а эрг-одическими компонентами служат двумер-
ные торы, па которых поток условно-периодичен.
2, Геодезический поток на поверхности эллипсоида. В слу-
чае эллипсоида вращения фазовое пространство распадается на
инвариантные двумерные торы, ' так как такой эллипсоид есть
поверхность, образованная при вращении эллипса. Б общем слу-
чае, как было показано Якоби, такое разложение также суще-
ствует, хотя и не связано с симметрией.
3. Система точечных вихрей. Пусть zk = pk + iqb, \^Jc^m.
Система т точечных вихрей есть гамильтопова система с га-
мильтонианом вида
Н -= II (pt q) =
кЩ In ( Ч —
h,l fe?4
Коэффициент y.h называется интенсивностью вихря. При данном
m мы имеем гамдлыопову систему с фазовым пространством
IR m. Она имеет 3 очевидных первых интеграла, находящихся в
инволюции:
/i=2 qi, h = 2
h - я.

Если все Xk одного знака, то поверхпость tf = const компактна.
Поэтому подмногообразие, получающееся при фиксации It, /2, /3,
также компактно. Далее, рассматриваемая система имеет еще
один первый интеграл /4 ~^ 2 ил| %ц |2, связанный с инвариант-
ностью системы относительно вращения около фиксированной
точки. Этот интеграл ие находится в инволюции с 1\, 1^- Тем не
менее, при т = 3 мы имеем 6-мерное фазовое пространство и че-
тыре первых интеграла. Фиксация значений всех этих интегралов
определяет, вообще говоря, двумерную ориентируемую поверхность
с невырожденным векторным полем на пей. Как уже говори-
лось, такая поверхпость может быть только тором. Однако те-
перь нельзя утверждать, что индуцированный поток на пем ав-
томатически сводится к условно-периодическому движению.
Свойства таких потоков мы будем изучать позже, в главе 16.
4. Метод (L, Л)-пары. Новый метод нахождения интегри-
руемых гамнльтоновых систем возник совсем недавно и назы-
вается методом (L, Л)-парьх. Суть ею заключается в следующем.
Допустим, что на фазовом пространстве М гладкой динамиче-
ской системы {Т'} даны две функции L(x), Aix) го значениями
в группе комплексных квадратных матриц порядка т. Пусть
при отои
Через ts-B будем обозначать след матрицы В.
Лемма 1. Для" любого целого р>0 функция //P(,r) — trL*
является, первым интегралом системы {Т1}.
Дока^тельство. Мы будем пользоваться равенством
tr В\В2 = U'BuBi для любых матриц ВУВ2. Имеем:
= р tr I? (LA-AL)^p (tr 1VA - lr LV~XAL) = 0.
Лемма доказана.
Если L — эрмжтова матрица, т. е. 1гз = ljlt где ?,-, — матричные
элементы L, то tr Lp при любом р есть вещественная функция.
Так как среди функций ПР только m функционально независи-
мых, то мы получаем с помощью леммы m первых интегралов
системы.
Рассмотрим некоторые применения этого метода. Мы будем
иметь дело с гаштльтоновой системой m точечных частиц в К1,
функция Гамильтона которой имеет вид
где Uigi—q^) — есть потенциал взаимодействия i-ik ж /-ж части-
цы, U{—g) = U(q). Фазовое пространство системы есть Ка".Пред-
€4
положим, чисто формально, что при некоторых гладких при
х Ф О функциях а(хI ?1(.г) матрицы L it А имеют матричные
элементы вида
Pi при i — j,
'•(ii — ъ) ПРИ 1Фп
S4P(?i-ft) ЩИ * = ;,
«' (ft — ft) при ' Ф U
а потенциал ?/(д) = — а2(д) + const, Дополнительно предположим,
что функция а нечетна, a [S четна. Уравпенвя движения
имеют вид
Тогда
ditj (р, д) -2(t"(ft-?») щи ; = /,
«'(« — «) (pi - Pi) при г#/.
С другой стороны, если B^LA— AL, ю матричные элементы
Ьу матрицы В имеют вид
hi (Р,1) =
2 « (И — ft.) а' (д* — ft) — а' (« — gj a (ft, — gs) при j = j,
Из равенства U(?) =—as(g) + const непосредственно следует,
что —тг = Ьц- Остальные равенства --тт^ -— bij, i^=h будут выпол-
нени, если фупкцни а п р будут связаны следующим функцио-
нальным уравнением:
a'(y)a(z) — a(i/)a'(z) = a(i/ + z)[p(j/) — p(z)].
Общее решение этого функционального уравнения выражается
через эллиптические функции. Мы приведем два частных ре-
шения:
1) а (х) = iglx, fi (x) " — ig!x*; при этом V (х) = g*lxl-\-const;
при этом ?/(x)=g2o2/sinhsaa;-f-const.
Другой пример, который исследуется методом (Ь, А)-пары,
есть так называемая цепочка Тода. Гамильтониан цепочки Тода
5 И. Д. Корнфельд в др. 65

из т частиц имеет вид
я- У-!^+ ту е"ш~ц
i=l i=l
В последнем выражении имеется определенная несимметрич-
ность у потенциала взаимодействия крайних частиц с номерами
ism. Можно себе представлять, что па самом деле есть еще
частицы с номерами 0 и (m + i), одна из которых сдвинута в
—°°, а другая — в +°°. Для цепочки Тода также можно постро-
ить (L, А)-пару.
ГЛАВА 3
ГЛАДКИЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ НА ТОРАХ
§ 1. Сдвиги на торах
Значительный интерес с разных точек зропия представляют
диффеоморфизмы и потоки на торах. На первый взгляд может
показаться, что это весьма специальный класс динамических си-
стем. Однако это не так: многие важные динамические системы
оказываются неэргодическпми, и их фазовые пространства рас-
падаются на инвариантные торы (см. § 3 главы 2).
Вначале мы рассмотрим простейший тип диффеоморфизмов
тора — так называемые сдвиги.
Пусть Тог = S1 X S1 X ..- X S1 есть произведение т окруж-
пГраз
ностей. Точку на торе можно задавать или в мультипликатив-
ной запнен, как систему т комплексных чисел U,, . . ., zm),
lz,l=l, lsJfcsJm, или, полагая % = езя'*й B аддитивной запи-
си, как систему т действительных чисел (х^, .. ., хт), рассматри-
ваемых по modi. В этом случае можно считать, что 0=^?й<1,
1 «; к < т.
Пользуясь аддитивной записью, определим на Тог™ преобра-
зование Т: для х = (х\, .. ., xm) ^ Тог
Тх = (zi + aidnodl), xt +aaimoA 1), ..., я„ + am(mod D), (i)
где ai, ..., On — фиксированный набор действительных чисел.
Преобразование Т называется сдвигом на торе, а в одномерном
случае — поворотом окружности. Ясно, что мера Лебега ц па
Tor™, d|i = Ц dxn, инвариантна относительно Т.
Теорема 1. Для эргодичности преобразования Т необхо-
димо и достаточно, чтобы числа 1, сц, ..., am были рационально
m
независимы, т. е. чтобы равенство вида 2 Skak — P>^e P, s* ~~
целые числа, было бы возможно лишь при Si — si =.. ,= sm = 0.
Доказательство. Докажем сначала достаточность. Уста-
новим для этого, что всякая инвариантная (mod 0) относитель-
но Т измеримая функция fix) есть константа (mod 0).
Фукцию / без уменьшения общности иожио считать огра-
ниченной. Действительно, в противном случае полошим ?„(/) =
— {яеТог: |/(г)| <Ю, х„ — индикатор множества Ея. Из ин-
вариантности / вытекает инвариантность функций / ¦ хи Ш =
"=1, 2, ...). Доказав, что }%я = const (mod 0), мы можем полу-
чить тот же результат для / предельным переходом Nr*-°°.
Ограниченную измеримую функцию fix) на Tot™ можно раз-
ложить в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном:
/W=2>,exp[2ji!(s,*)l, B)
m
где х = (г,, ..., xm), s = (sx, ..., sm), (s, x) = У, skxk, а суммиро-
вание распространяется на все наборы целых чисел s =
= («1, •.., sj.
Из инвариантности / получаем с помощью A), B);
/(Тх) ^"Zcехр [2л( (s, х + а)] „
&
= 2jf«eip|2ni(s, a)]eip[2ni(s. ж)] —Цх) =
= 2с ехр [2яг (!, х)] (modO).
В силу единственности коэффициентов Фурье, с, =
— с, ехр [2ni(s, а)], т. е. при каждом s или с, = 0, или
ехр [2juU, a)] = 1, т. с. 2 skah = Р* Р — целое. Но, по условию,
последнее равенство возможпо лишь при s^ —...—¦ я„ — 0. Итак,
среди коэффициентов Фурье лшпь со может быть отличен от
нуля. Это и означает, что fix) = со = const (mod 0).
Докажем теперь необходимость. Пусть существует такой не-
нулевой вектор s = (si, ..., sn) с целочисленными координатами,
m / m '
что ?ishah—p, р — целое. Тогда функция / (х) — ехр 2я< 2 skxk
отлична от константы (mod 0) и инвариантна относительно Т:
f (Тх) =, ехр [ 2Ш 2 s* (xh + а»I =
= ехр 2п* 2 «s«ft ехр 2ш 2 «
V ь-1 / \ *=i
Значит, Т не эргодично. Теорема доказана.
. Приведем теперь другое доказательство эргодичности сдвига.
Предварительно докажем следующую лемму.
5* 67

Лемма 1. Если числа 1, а.\, .. ., о;™ рационально независи-
мы, го преобразование Т минимально, т. е. траектория любой
точки х^ Тог™ всюду плотна на торе.
Доказательство. Воспользуемся следующей теоремой
Кронекера: если 1, щ, .. ., ат рационально независн.мы, то для
любого е>0 и любых действительных х\, ,.,, хт найдутся целое
п и набор целых чисел pi, . .., pm такие, что \паЛ — ph~xk\ < в,
k
Так как последовательность точек {nai(raod 1), ...
. - ., ttam(mod 1): — °° < п < °°} есть траектория точки хо =
= @, 0, . .., 0) е Тог, то теорема Кронекера означает, что эта
траектория всюду плотна на торе. Траектория произвольной точ-
ки х ^ Тог получается из траектория точки xq сдвигом на век-
тор х — xq и, значит, также всюду плотна. Лемма доказана.
Продолжим доказательство эргодичности. Пусть А е © — нп-
варнантпое относительно Т множество, \х{А)>0. Докажем, что
(iU) = 1.
Если, вопреки этому утверждению. ц(А) < 1, то найдется
точка плотности ху е М для множества М\А. Выберем б| > 0
так, чтобы
при всех б, 0<6<6i, где О6(х) — б-окрестпость точки х. Далее,
пусть Х2^М—'ючка плотности множества Л и 62>0 выбрано
О (
mmFi, 62) п выберем
при всех б, 0 < б < 62. Положим 8i
0 < Е2 < ei, так, чтобы
4
Заметим, что поскольку и. — мера Лебега иа Тог™, то мера любой
сферической окрестности ОЛх) зависит от е, но не от х.
Так как траектория точки .г2 всюду плотна в М, то найдется
такое целое п, что O^(Tnx2) с Оч (xL), При этом из D), E) по-
лучаем
Теорема 2. Пусть Т — сдвиг па торе Тог, заданный фор-
мулой A), и числа 1, ай, 1 ^ & ^ т, рационально независимы.
Тогда Т строго эргодичен, т. с. мера Лебега \у на Тог7" — единст-
венная Т-инвариантнам нормированная борелевская мера.
Доказательство. В силу теоремы 2 § 8 главы 1, стро-
гая эргодичность означает, что для любой пепрерывной функции
/ на Тог"
lim-
F)
равномерно для всех % е Тог™. Возьмем произвольное е > 0 я,
пользуясь равномерной непрерывностью /, найдем такое б > О,
что \f(x') — /U")l <е/2 при distU', x")<6. Так как по теоре-
ме 1 сдвиг Т эргодичен, то равенство F) выполнено на некото-
ром множестве А = Тог, \i(A) = 1.
Это множество всюду плотно па Тог™, и зпачит, можно вы-
брать конечную б-сеть ал, . . ., хг^А. Пусть щ выбрано так, что
при всех п > щ
fe-0
)- J /Не
Тог1"
Для любой точки х ^ Тог™ при некотором ъ, 1 < г < г, будет
dist(x, х,) < б. Ясно, что тогда при любом к &\st{Thx, Thxt) < б,
и поэтому
>-1
71-1
-г2Яг**.)- f
что противоречит C). Теорема доказана.
при п ^ По. Теорема доказана.
Приведем другое доказательство строгой эргодичности сдви-
га. Рассуждения будут аналогичны тем, которые использовались
при доказательстве теоремы 2 § 8 главы 1.
Из равенства
exp2ni(s, х + а> — exp 2nHs, х) = [exp2ni(s, а) — 1] exp 2jti(s, x).
где s =(slr .. ..sm), х = {xlt ...,Хы), [s,x) =
что функции /Дг) = ехр 2ягE, а?) при всех
Ш) = ^(^) ~ ?.U). где ^s (х) = exv2nil
Отсюда следует, что любой
is, следует,
имеют вид
тригонометрический многочлен
69

f{x)^"SiCsexp2jii{s,x) такой, что со = 0, также имеет вид:
j(x) = g(Tz) — g(x), geCCTor™). Отсюда, как и в доказательстве
теоремы 2 § 8 главы 1, получаем:
при
Так как к этом случае \ f {x) djj, = 0, то
Тогт
G)
равномерно но х*.
Любую непрерывную функцию на Тог™ можно равномерно
приблизить тригонометрическими многочленами от х\, ..., хт.
Поэтому, рассуждая снова, как в доказательстве теоремы 2
§ 8 гл. 1, получим, что равенство G) справедливо для любой
функции /^ССТог™). Теорема доказала.
Однопараметрические группы сдвигов иа торе. Все сказанное
выше о сдвигах на торе легко переносится на однопараметри-
ческие грушш сдвигов. Каждая такая группа {Г'}, как и от-
дельный сдвиг, задается системой т чисел gej, . . ., am: если х =
= (^i, ..., хт) ^ Тог'", то
mod 1)). (8)
Гх = (
1), х2
Мера Лебега иа торе инвариантна относительно любой такой
группы сдвигов. Движение на торе под действием потока {Т1}
есть, очевидно, условно-периодическое движение (см. § 1 гла-
вы 1). Те же рассуждения, что и проведенные выше для отдель-
ного сдвига, показывают, что поток if), определяемый равенст-
вом (8), эргодичен в том и только том случае, когда числа aL, ...
• ¦ -, «m рационально независимы. Если эта независимость имеет
место, то отвечающий им поток строго эргодичен и мера Лебега
па торе есть единственная мера, инвариантная относительно это-
го потока. При этом для любой непрерывной функции на Тог™
и любого х е Torm выполняется равенство
рим на комплексной ^-плоскости кривую, описываемую уравне-
нием
s (t) = в^8"^* + a2e2Jlia^ + ... + *«.**"*"«'.
Допустим, что гЦ) ни при каких t не обращается в нуль. Тогда
zit) можно представить в виде
z(t)^r(t)e™mt\ A)
где ty(t) — непрерывная функция.
Лагранж поставил следующий вопрос: существует ли предел
и если он существует, то как его найти.
Эту задачу можно, очевидно, интерпретировать так: предста-
вим себе, что на плоскости задан вектор aj, к его концу при-
креплен вектор а2, лежащий в той же плоскости и т. д. Пусть
вектор а\ вращается вокруг своего начала с угловой скоростью
ai, вектор яг вращается вокруг своего начала, т. е. конца fli,
с угловой скоростью ссй и т. д. Тогда гШ есть траектория конца
вектора ат, и вопрос Лагранжа состоит в нахождении скорости
вращения конца вектора ат вокруг начальной точки всей цепи
(т. е. начала вектора а\}.
Ответ очевиден в случае, когда
lfl3l + lesl+...+ laJ<lail; B)
при этом, конечно, w = oci. Бели же неравенство B) пе выпол-
нено, задача становится достаточно сложной. Сам Лагранж ре-
шил ее для случая двух векторов. Мы рассмотрим общин слу-
чай, но не будем приводить полных доказательств, а покажем
связь этой задачи с эргодической теориеж.
Логарифмируя равенство A) получаем, что
и куда
lim-A-
§ 2. Задача Лаграшка
Излагаемая ниже задача была сформулирована Лагранжем
в связи с некоторыми проблемами небесной механики.
Пусть ai, ..., я™ — заданные комплексные числа, т. е. векто-
ры на плоскости, ai, ..., am — действительные числа. Рассмот-
70
-Re?
где [хх ,ж2 , ...,^) — углы, определяющие начальные поло;
>же-
71

ния векторов at, ..., а™, т. е. яь = |аь| е2* А , 1 ^к^ т. Набор
этих углов, определенных по mod 1, можно рассматривать как
точку хш= (х{°\ ..., х'п) на m-мерном торе.
Рассмотрим теперь на торе Тог с коордипатами (Ж], , .., хт)
однопараыетрическую группу сдвигов {Т1}, определяемую векто-
ром (oi, ..., а„). Допустим, что числа аь ..., а„ рационально
независимы, так что соответствующий поток эргодичен.
Определим па торе Тог™ функцию
тегралом F). Имеем
2л \ak
D)
Тогда равенство C) можно переписать так: -зг — /(^ з? )> откуда
Ч
¦ф (t2) — i]? (?х) = \ f(TTxw)d%, и интересующий нас предел запи-
оывается пак
E)
Если бы функция / была пепрерывна, то такой предел сущест-
вовал бы для всех х*-0) ^ Тог7" в соответствии со строгой эргодич-
ностью потока па торе и был бы равен
J j(x)dx1...dxm. F)
тог
Но в пыражешш D) знаменатель может обращаться в нуль.
Условие
представляет собой на самом деле два уравнения относительно
#], • • -, %т (надо приравнять нулю отдельно действительную и
дшимую части этой суммы). Отсюда вытекает, что точки, в ко-
торых выполнено равенство G), образуют на торе многообразие
коразмерности 2. Следовательно, совокупность пересекающих его
траекторий — это многообразие размерности т — 1, а его мера
равна нулю. Таким образом, для «наудачу взятой» траектории
с вероятностью 1 равенство G) не имеет места. Исходя из этих
соображений, допустим, что эргодическая теорема применима,
и заменим в E) интеграл по траектории пространственным ин-
72
* = Re
Za>\
-dx1 ¦¦¦dxm=
Torm
где
f 21
- dxl ... dxm.
Мы должны вычислить WK. Перепишем интеграл в виде по-
вторного, выделив интегрирование по хк. Получаем
w ^
... d?k-idxh+i ... йхш, (8)
где В{) — сумма всех; слагаемых в знаменателе, не зависящих
от хк. Выражение, стоящее под знаком внутреннего интеграла,
можно записать в виде
Когда д:й меняется от 0 до 1, точка 2 — # -ь | ah] e~niXfl описы-
вает на комплексной плоскости окружность. Бели эта окружность
охватывает начало координат, то соответствующий интеграл ра-
вен 1, в противном случае он равен нулю,
Условием того, что окружпость охватывает начало координат,
служит неравенство \В\ < \ah\. Таким образом, в выражении (8)
для Wk под знаком (т — О-мерного интеграла стопт функция,
принимающая лишь два значения: 0 и 1/{2яИак\). Следова-
тельно,
2at\ak
где Р @ — мера множества тех точек па Torm~l, в которых
1я*1 > 151. Поскольку в эргодическом случае относительное вре-
мя пребывания «случайно выбранной» траектории в заданном
измеримом множестве равно мере этого множества, полученный
результат можно интерпретировать так: Wh есть доля тех мо-
ментов времешг, когда вращение вектора ак вносит своп вклад
Замечание. В связи с задачей Лаграпжа (и некоторы-
ми другими задачами подобного типа) возникает следующий
73

вопрос, Во всех наших рассуждениях существенную роль играло
услсвие эргодичности соответствующего потока sa торе, состоя-
щее в рациональной независимости чисел ссь . .., ат- Однако в
реальных задачах эти числа (в случае задачи Лагранжа — уг-
ловые скорости векторов аь ..., ат) известны лишь приближен-
но, а тогда данное условие бессодержательно. Тем пе менее ему
можно дать некоторое истолкование и в этом случае. Теорети-
чески случаи рационально зависимых и независимых ак резко
разделены, по практически между нпми имеется достаточно
плавный переход: пусть o&i, . .., ат рациональны, но равенство
т
2 $как = Р выполняется лишь при весьма больших (целых) sh.
Такой поток, разумеется, не эргодичеп: его траектории — пери-
одические, и любая эргодическая компонента состоит из одной
траектории. Однако каждая из этих траекторий покрывает при
этом весь тор достаточно густо, и для достаточно гладких функ-
ций на нем среднее вдоль траектории мало отличается от сред-
него по всему тору. Таким образом, хотя эргодичность — не-
устойчивое свойство, которое может разрушиться при сколь
угодно малых возмущениях, имеет место устойчивая «прибли-
женная эргодичность».
§ 3. Гомеоморфизмы окружности
В предыдущем параграфе речь шла о простейших динами-
ческих системах — сдвигах на торе Тог™. Сейчас мы изучим бо-
лее общие динамические системы, при этом ряд интересных и
содержательных фактов обнаруживается уже в одномерном слу-
чае, т. е. когда фазовое пространство М есть единичная окруж-
ность S1. В дальнейшем S1 часто будет отождествляться с полу-
интервалом 0 ^ х < 1, где х — циклическая координата па S1.
Рассмотрим сохраняющий ориентацию гомеоморфизм Т ок-
ружности S\ Всякий такой гомеоморфизм можно, очевидно, за-
дать в виде Га; =/Or) (mod 1), 0 < я < 1, где fix) — непрерывная
монотонно возрастающая функция, определенная для всех
х е IR1 и удовлетворяющая условию
/Сж+1) = /Ы + 1. A)
Мы будем говорить, что функция / представляет гомеоморфизм
Т. Если Т — диффеоморфизм, то функция / гладкая. Мы будем
говорить, что Т — диффеоморфизм класса С% если / s CCS1).
Ясно, что если /i, /2 представляют один и тот же гомеомор-
физм, то
/() /U) + fc B)
при всех х е IR1, к — целое число.
Бели функция / представляет гомеоморфизм Г, то Тп (п ™
= 0, ±1, ±2, .. .) представляется функцией /<п), определенной
рекуррентным соотношением
/">(*) =/(/"-"<*)), /«<*)-*, Ям =/(*).
Все функции /<*' обладают теми же свойствами, что и /, т. в.
непрерывны, монотонны и удовлетворяют соотношепию A).
Теорема 1. Для любого сохраняющего ориентацию го-
меоморфизма Т окружности S1 и любой функции fix), представ-
ляющей Т, предел
существует и не зависит от выбора точки »eR'. Число а ра-
ционально тогда и только тогда, когда некоторая ненулевая сте-
пень гомеоморфивма Т имеет неподвижную точку.
Доказательство. В силу B) мы можем, очевидно, рас-
сматривать лишь одну функцию fix), представляющую Т: если
^.П) (х\ 4(П) jx\
It (x) = /i (*) + fc, то lim J—- = lira i—— + k. Допустим спача-
П-К» n n-*-oo
ла, что предел C) существует хотя бы для одной точки х^ и
возьмем любую точку let1. Выберем такое целое число т,
что хо + т«1<11 + д + 1. В силу монотонности функций f">
при любом п имеем f>(xa + т)</""(лО< /'">(io + m+ 1), или,'
в силу A), f'{x0)+ m^f){x)<fMlx<>) + m+l. Отсюда сле-
ДУет. ""о '— ^-.-Опри п->-°°, т. е. если предел C)
существует для одной точки х0, то он существует для всех
#<s U и не зависит от х.
Докажем теперь существовацие предела для некоторой точки
хц. Рассмотрим сначала случай, когда какая-нибудь степень го-
меоморфизма Т, скажем 7*, кФО, имеет неподвижную точку:
Т ха — ха. Так как хе — неподвижная точка и для Т~к, то мы
можем считать, что к > О- Ясно, что fKx0) = хо + г, т — целое
число. Отсюда при любом 1 = 0, ±1, ±2, ... f'h4xt>) = ха + 1г.
Любое целое п запишем в виде n = lk + s, O^s<k. Тогда
' Ik + s "
--г- при
т. е. в рассматриваемом случае предел C) существует и рацио-
нален.
Пусть теперь никакая степень Т не имеет неподвижных то-
чек Зафиксируем произвольное натуральное к. Разность
Г \х) — х в этом случае не может принимать целых значений
ий,
75

и, следовательпо, для всех
A)
при некотором целом г.
Возьмем натуральное число п и прицепим неравенство
к точкам z0 = 0, /тЫ, /*Ы, . .., /(-1)hte0):
E)
F)
Сложив все такие неравенства, получим, что
ш-</<""(яо)<п(г + 1).
Запишем отдельно неравенство, получающееся при п = 1:
г</'"Ы<г+1.
Из E), F) следует, что
п* к |*^ А "
Ввиду произвольности л, Л их можно поменять местами и сло-
жить получающиеся два перавенства:
Отсюда видно, что предел ее = lim
существует при яо = 0,
а значит, и при всех х е IR1.
Остается показать, что если се рационально, то некоторая не-
нулевая степень Т имеет неподвижную точку.
Пусть спорна а = 0. Покажем, что Г имеет неподвижную
точку. Допустим, что такой точки нет. Тогда fix)— хФО для
любого х и поэтому можно считать, что fix) > х для всех дейст-
вительных х. В частпости, f(Q) > 0, а значит, и /fnl@) >¦
> /{n-u@) >.. .> 0 в силу монотонности /. Таким образом,
{/<п|@)} — монотоппо войрастающая последовательность. Кроме
того, /1"Ч0) < 1 для всех п. Действительно, если бы при некото-
ром щ было f{n<>) @) > 1, то /C) @) > /(т?0) A) = /() @) + 1 > 2
и вообще /(ft)@)>&, откуда f(h4)(д)/(кпо)> \!п0,что противо-
речит предположепию а = 0.
Итак, последовательность {/(п) @)) монотонна и ограничена.
Пусть я0 = lim/<n)@). Тогда
/ (х0) = l
) = Hmfn+1)((\) - хо,
т. о. ,г0 определяет па окружпости точку, неподвижную относи-
тельно Т.
Пусть теперь а —любое рациональное, а — г/к. Тогда функ-
ция gix) = fw{x) —r представляет гомеоморфизм Ть\ кроме того,
Поэтому, как было показано выше, существует точка, неподвиж-
ная относительно Тк. Теорема доказана.
Число а, определяемое формулой C), зависит, разумеется,
от функции /, представляющей гомеоморфизм Г: а = aiT, /).
Но если /гСаО =/iU)+ &, то, очевидно, оЛТ, f2)=aiT, fi)-Ь к.
Это позволяет ввести следующее важное определение.
Определение 1. Пусть Т — сохраняющий ориентацию
гомеоморфизм окружности S\ fix) — представляющая его функ-
ция. Число
''" ' (modi), геК',
называется числом вращения гомеоморфизма Г,
Легко убедиться, что число вращения является инвариантом
в следующем смысле. Если Т\, Т$—два сохраняющих ориента-
цию гомеоморфизма окружности S1 и существует непрерывное
отображение q?: Sl -* S1, переводящее Г] в Тч^ т. е. такое, что
ifiTix) = Тщ(х) для всех х е S\ то aiT{) = aiT2).
Среди функций fix), представляющих: гомеоморфизм Т, име-
ется ровно одна такая, что aiT, f) == aiT). В дальнейшем, гово-
ря о функции, представляющей гомеоморфизм, мы будем, как
правило, иметь в виду пменно ее.
Так как всегда 0^а(Г)< 1, то а можно считать точкой ок-
ружности S1. Кроме того, величину aiT) можно рассматривать
как функцию (со значениями к 5') на компактном метрическом
пространстве С всех со.чраияющих ориентацию гомеоморфизмов
окружности с метрикой
dist {Тг,Т9) = sup distGVc, T2r) + sup distGTf1x77T2a:).
Теорема 2. Функция aiT) непрерывна в каоядой точке
TQ^C.
Доказательство. Пусть дано е > 0. Выберем натураль-
ное к > 1/е и целое г так, чтобы
r/k<aiT(t) < (r+ \)/к. G)
Пусть функция /о(л') представляет гомеоморфизм Го, причем
а(Т0) =limfon)(x)/n. Покажем, что для всех жеК1
fih)(x)>x + r. (8)
Действительно, если (8) выполнено для некоторых, но не для
77

всех х, то найдется
, для которого /?*' (ж0) =х„+г. А тогда
для всех z, то
что противоречит G). Есля se/,M(i)<j
а(Та) < т1к. Тем самым (8) доказано.
Аналогично доказывается, что /о" (х) < х + г + 1 для всех х.
Так как/о (я) — х — непрерывная периодическая функции,
то из доказанного вытекает, что при некотором Г| > 0 г + г\ <
< /ок) (^) — а:<г-|-1 — т). В силу непрерывности зависимости Тк
от Т, найдется такое б > 0, что для любого гомеоморфизма Т е С,
удовлетворяющего условию dist(T, Го) < 6, и для некоторой
функции fix), представляющей Т, будет выполнено неравенство
|/*'(*) — /о"(*)|<4, хеО?1. Для таких Г г </A|(г)-ж< г + 1.
Отсюда, повторяя предыдущие рассуждения, выводим, что
„/">(*)
lim'—S_c
Поэтому distCaCD, а.{Тц)) < e. Теорема доказана.
Изучим более подробно структуру гомеоморфизма Т с ирра-
циональным числом вращения а. Рассмотрим для этого, кроме
Т, преобразование Та поворота S1 на угол а: Тах = х 4- aCmod 1).
Теорема 3. 1. Если а иррационально, то существует не-
прерывное отображение ip: Si -+¦ Sl, переводящее Т в поворот Тау
т. е. ч(Тх) = Га(ф(г» Зля всех х е 51.
2. Отображение <р взаимно однозначно {т. е. осуществляет го-
меоморфизм S1 тш себя) тогда и только тогда, когда Т — мини-
мальный гомеоморфизм.
Доказательство. Пусть |i — любая нормированная бо-
релевская мера на S1, инвариантная относительно Т. По теоре-
ме 1 § 8 главы 1 такие меры существуют. Зафиксируем точку
Xq = 0 на S1 и для любого х ^ S1 положим
<p(i) = |i(Iio, x]). (9)
Так как, в силу иррациональности а, Т не имеет периодических
точек, то мера \i непрерывна, и, следовательно, отображение (р
непрерывно. Для любых х\, Х2, хг е S1
|i([ii, x3l) = (|i([ii, х2]) + |i([ij, is]))(modl);
здесь под отрезком [а, Ъ\ в случае Ъ < а мы понимаем [а, Ь] =•
¦= [я, 1) U [О, Ь].
Пользуясь этим, запишем для произвольной точки lej1:
ri]))(modl) =
= (<p(x) + p)(mod 1),
где р —ц([хо, r^ol).
Покажем, что р = о. Пусть/(г), ге R1 — функция, представ-
ляющая Г, 0</(хо)<1. Рассмотрим на О?1 бесконечную иеру
v, совпадающую на каждом отрезке {k, fc + ll, к — целое, с ме-
рой (I, перепесенной на [к, к + 1]. Из инвариантности ц вытека-
ет, что
п = 0, ± 1, ± 2, ...
Поэтому
Пусть mn < f[n}{xo) < mn + 1, mn — целое. Тогда, очевидно,
mn <\-([x0, /{n)U0)]) < и»+ 1. Отсюда
^(mo
а= lim
lim—(modi) =
шоЛ i) _ p (mod 1).
Так как (К ее, р < 1, то первое утверждение теоремы доказано.
2. Если ф — гомеоморфизм, то траектория {Тпх) любой точки
х ^ SL есть прообраз относительно у траектории 1Гаф(ж)}, ко-
торая всюду плотна в SK Поэтому {Тпх} также всюду плотна,
т. е. Т — минимален.
Обратно, если Т минимален, то по теореме 3 § 8 главы 1
мера [Л любого отрезка [хо, х\, х Ф хо, положительна. Из форму-
лы (9) вытекает тогда, что <р{х) — строго возрастающая функ-
ция, т. е. Т взаимно однозначен. Теорема доказана.
Для произвольной точки х$ ^ S1 рассмотрим теперь замкну-
тое множество Р ^Sl всех предельных точек траектории {TnxQ}.
Справедлива следующая теорема.
Тс о ре м а 4. 1. Множество Р не зависит от xo^Sl.
2. Р инвариантно относительно Т.
3. Либо P = S\ либо Р — совершенное нигде не плотное под-
множество S0.
Доказательство основапо на следующей лемме.
Лемма 1. Пусть т, п — целые числа, т Ф щ Д, Д' — две
jeu окружности S\ соединяющие точки Ттх0, Т"х0 (если, на-
пример, T"xq < Тмх0, то А = [Т°х0, Ттхо\, Д' = [Тмх0, 11 U

U [0, Тпхо\). Тогда каждая из этих дуг имеет непустое пересе-
чение с траекторией любой точки x^SK
Доказательство леммы. Рассмотрим, например, дугу
Д. Дуга Д, Т™~ПД, T2im~n>A, . , , примыкают друг i; другу. Кроме
того, сумма Д U Гт"яД U. ..U Г*1т-п)Д при достаточно большом к
покрывает всю окружность 5. Действительно, иначе последова-
тельность чисел /^(т~п>)(а;о), к = 1, 2, ..., где fix) — функция,
представляющая Т, была бы монотонна и ограничена на К1, т. е.
имела бы предел х. Но тогда fim~n){x) = Iim /("*-"> (/<fe(m-"»(,r0)) —
= Hm /(№+!)("-")) (xQ) = x. Отсюда вытекает, что zfmod 1) —
пеподвшкпая точка для Т~п, что невозможно, так как о; ирра-
ционально. Поэтому для любого х е S1 найдется такое 1Ч что
х *= 71'(ж-")д) Т- е> 71-?(m"n)(a;) e Д, Лемма доказана.
Доказательство теоремы 4. 1. Пусть ц, х2 е S1 it
Р, — множество предельных точек траектории {Г"^}, i = i, 2.
Для любой точки х ^ Pi найдется последовательность точек вида
#i — Tnhx1-*-x при к -*- оо. рз СШ1у леммы 1, на кратчайшей дуге
^ ifc+1) Да
р
Д*, соединяющей^ и iifc+
Тогда afp-ь-х. и значит, х
симметрии, Pi — Pi.
2. Пусть zeP, Тогда х =
), шшдетск точка Давида Тт*хг.
Р2. Итак, 1\<=Р2, значит, r силу
Iim 2"Ч'.с0, ж0 е 51.
»^, т. е. Тх, Т~хх
Отсюда Га =
Р. Это и озна-
чает инвариантность Р.
3. Если х ^ Р, то ж = Iim T1"^ для некоторой последоаатель-
ft-»oo
ности nfe ->¦ « целых чисел. Так как, в силу инвариантпостн Р,
Т^Ьх^Р, то х — предельная точка для Р, т. е. ,Р — совершен-
ное множество.
Допустим, что Р не является нигде не плотным. Тогда оно
плотно на некоторой дуге Дс5!, и мы можем считать, что Д
имеет вид А = 1Тпяо, Ттхц]. Но как было показано в доказатель-
стве леммы 1, конечпое число сдвигов относительно Тт~п такой
дуги покрывают всю окружность S1. В силу инвариантности Р
отсюда вытекает, что оно всюду нлотно на 51, а, в силу замкну-
тости, P = Sl. Теорема доказана.
Эта теорема делает корректным следующее определепие.
Определение 2. Пусть Т — гомеоморфизм окружности S1
с иррациональным числом вращения. Множество Р предельных
точек траектории {Тпх) любой точки х ^ S1 называется произ-
водным множеством для Т.
Ясно, что Р = S1 тогда и только тогда, когда Т—минималь-
ный гомеоморфизм (например, едкиг; Тх = х+ aimod 1J).
Пример гомеоморфизма с нигде не плотным производным
множество>т. Отождествим, как обычно, окружность S1 с полу-
80
интервалом 0 < х < 1. Пусть Р с S1 — совершенное нигде не
плотное множество, U«n, bn)} — система его смежных интерва-
лов. Возьмем иррациональное число а и па нспомогательной ок-
ружности Г = {у: 0<у<1) рассмотрим сдвиг Та: Тиу = у +
+ a(modlJ. Обе окружности — Г, S1 — будем считать естествен-
ным образом ориентированными. Установим соответствие между
траекторией относительно Та точки у—О, т. е. множеством ina),
п = 0, ±1, ±2, ... на окружности Г, и множеством интервалов
{(«„, Ьп)}, га = 1, 2, ... на S1. Точки па упорядочим так:
0, ат —а, 2а, —2а, ... A0)
Точке у = 0 поставим в соответствие интервал (oiT bi), который
переобозначим {at0J, 6@)); точке у — а — интервал (g2, bi) =
Л(ап>, Ь[1)). Интервал (о(}, Ь("п), соноставляемьш точке у —
= — а,— это интервал (д„, Ьв) с наименьшим номером п таким,
что интервалы Ut0), bm), (а0), йш), (a(~l), b(""J имеют на ок-
ружности S1 тот же циклический порядок, что и точки 0, а, —а.
на Г.
Пусть первым N точкам последовательности A0) ужо отне-
сены соответствующие интервалы, и {Л'+1)-я точка из A0) ле-
жит ме?кду точками kia и face. Тогда ей сопоставляется тот еще
не занятый интервал с наименьшим номером и, который в цик-
лическом порядке лежит между (e<ftl>, M*1)) и (о(**>, Z>(fta>).
Так как Р совершенно и нигде не плотно, то такой интервал
найдется. Продолжая этот процесс, мы получим требуемое со-
ответствие.
Дополнительные интервалы к мпожеству Р будем теперь счи-
тать занумерованными в виде последовательности {(aGl\ 6Cn))j,
—оо < л < «\ Построим отображение <р: 51 -*- Г следующим об-
разом. Сначала для точек x^{atr>\ ЬЫ)) положим у(х) = п<х.
Затем продолжим ф по монотоппости на всю окружность 51.
Образом, очевидно, будет служить вся окружность Г.
Отсюда вытекает, что ф непрерывно: если монотонпое отобра-
жение <р разрывно в точке Xq, то н образе этого отображения от-
сутствует интервал (ц>(хо — 0), ф{жо + 0)).
Рассмотрим тепер непрерывное пре
Т(а{п) + %(Ьп> ~а>п))) — a(*+1J + Л,{
Этими условиями Т полиостью опредедяется.
Ясно, что Т взаимно-однозначно и монотонно, т. е. с сохра-
нением циклического порядка отображает Sx на сэбя. Как и
раньше, отсюда следует, что Т непрерывно: иначе в образе этого
отображения Т отсутствовал бы некоторый интервал. Значит,
Т — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм.
Построенное выше отображение гр переводит Т в поворот Тау
т. е. ц(,Тх) = Тау{х) для всех х е S1. Поэтому чпело вращения
6 ж. U. Корнфельд н др. 81

у Т — то же, что н у 7V т. е. равно а. Покажем, что Р — произ-
водное множество для Т. Возьмем точку Xq ^ (#@), 6Ш)). Ее тра-
ектория {Тпхо) содержит ровно одну точку в каждом интервале
(й'п), Ьш). Отсюда следует, что Р — множество предельных то-
чек этой траектории, что и требовалось показать.
Теорема 5. 1. Любой гомеоморфизм Т окружности S1 с
иррациональным числом вращения а строго эреодичен.
2. Носителем инвариантной меры jj, для Т является производ-
ное множество Р, т. е. \i(P) = 1 и Р — наименьшее замкнутое
множество меры 1.
Доказательство. 1. Пусть jj,i, {i2 ~~ две нормированные
борелевские меры па 51, инвариантные относительно Т, ц =
^ ^(Fi + M^)* Ясно, что ц также инвариантна. Рассмотрим ото-
бражение <р: jS1 -*- S1, заданное формулой
ф) = \idxo, x])t A1)
где хо s S1 — фиксированная точка, например, x<j = 0.
Как было показано в доказательстве теоремы 3, <р непрерыв-
но и переводит Т в поворот Та. Любая борелевская мера v на S1
del
переходит под действием <р в меру <pv: {<pv)(A) = v(<p~lGl)), где
qr1 (Л)— полный прообраз множества -4^@. Так как инвари-
антные относительно Т меры переходят при этом в меры, инва-
риантпые относительно Г«, а Т„ строго эргодичеп, то tp|*i = tpjj.2 =
= р, где р — мера Лебега на 51.
Пусть @Ф щ <§ — о-алгебра подмпо;кеств S\ являющихся пол-
ными прообразами относительно <р всевозможных борелевскнх
мпожеств. Тогда па множествах А ^@ф меры щ и |j,2 совпадают.
Действительно, если А=<р(Б), В^<5>, то \i\(A) = HiiqTl(B)) =
= ((рщ)(Б)^р(В). Аналогично jj.2C4) = р(В), т. е. \ц(А) = д2(Л).
Пусть теперь Д = (a, b) <^ S1—произвольный интервал. Из фор-
мулы A1) вытекает, что <р(Д) — также некоторый интервал (с, d)
Сбыть может, с = d). Далее, полный прообраз Д' ^ф~Ч<р(Д)) —
также некоторый интервал {а , Ь'), причем Д'эд.
Равенство ф(Д)=ф(Д/) означает, что ф(а) =<р(а') = с, tf{6) =
= ф{бО—d. Отсюда ^(Д'\Д) = й((»', a) U (Ь, &')J = 0. Так кок-
меры iii, |л2 абсолютпо непрерывны относительно jj., то
Hi(A'\A) = [_12(Д'\Д) =0, т. е.
Hi(A')-HiCA), И2СЛ'} = ]л2(Д). A2J
Но Д'
, поэтому
(,{A') = fi2{A'J. A3)
Из A2) и A3) получаем: и^{Л) = иэСА). Так как борелевскэя
мера определяется своими значениями на интервалах, то |Л1 = it-2-
Первое утверждение теоремы доказано.
2. Если Р = S1, то Т — минимальный гомеоморфизм, \x{G) >
> 0 для любого непустого открытого множества G и поэтому
?i _ носитель ц. Пусть Р нигде не плотно, А <= 51 — интервал,
лежащий строго внутри некоторого дополнительного к Р интер-
вала (а, Ь). Возьмем интервал А' такой, что ДсД'с (а, Ь), при-
чем включения строгие, и рассмотрим непрерывную функцию
fix) на S1 такую, что 0 < fix) < 1, fix) = 1 для х е Д, /Ы = 0
для ?^ Д\
В силу строгой эргодичности Т
для любой точки ж е 51. Но из определения множества Р выте-
кает, что траектория любой точки х ^ S1 лишь конечное число
раз попадает в Д', поэтому lim -i ^(Ткх) = 0, т.е. J / (д:) c?ja = 0-
Значит |л(А}< J f{x) dp = 0. Б силу произвольности Д отсюда
si
вытекает, что ц(Р) — 1. Далее, если бы нашлось замкнутое мно-
жество Р' с Р, ц(Р') = 1, Р' Ф Р, то Р[ = П Г"р' было бы нн-
П=—со
вариантным замкнутым множеством, и, стало быть, все предель-
ные точки любой траектории {Гпд:}7 х ^ Pi, содержались бы в
Pi, что противоречит определению Р. Теорема доказана.
§ 4. Теорема Дашкуа
В этом параграфе мы будем изучать сохраняющие ориента-
цию диффеоморфизмы окружпости jS1. К ним, разумеется, от-
носятся все результаты § 3. Более того, эти результаты в случае
диффеоморфизмов допускают существенное уточнение, которо-
му и посвящена доказываемая ниже теорема 1 (теорема Данжуа).
Введем предварительно следующее определение.
Определение 1. Гомеоморфизмы Ти Т2 топологического
пространства М на себя называются топологически эквивалент-
ными, если существует такой гомеоморфизм <р: М -*- М, что
(рГ, = Т2<р.
Теорема 1. Пусть Т — диффеоморфизм окружпости S1 с
иррациональным числом вращения а. Если функиия fix), опре-
деляющая Г, имеет непрерывную производную fix) > 0 с огра-
ниченной вариацией на [0, 1), то Т топологически эквивалентен
повороту Та.
Доказательство основано на следующей лемме.
Лемма 1. Пусть Т — гомеоморфизм S1 с иррациональным
числом вращения a; g{x), x ^ S1 — непрерывная функция на S1
с ограниченной вариацией Var(g); ц — единственная нормиро-
6* 83

ванная инвариантная мера для Т; p/q — несократимая дробь та-
кая, что la — p/q\ *S 1/q2.
Тогда для любого xD <= S1
Доказательство леммы приведен позже.
Доказательство теоремы 1. В силу теоремы 3 § 3,
достаточно доказать, что диффеоморфизм Т мигшмален, т. е. что
ого производное множество ость вся окружность. Допустим,
вопреки пашему утверждению, что Р Ф S1 и До — пскоторый до-
полнительный интервал в Р. Так как множество Р инвариантно
относительно Т, то иптервалы Дл — 7*Д0, & = 0, =fcl, ±2, .. .—
также дополнительные интервалы к Р. Если бы при некотором
кФО было Дь = До, то, в силу сохранения ориентации, концевые
точки интервала До были бы неподвижными для Т", что невоз-
можно при иррациональпом а. Отсюда следует, что Дл1 =?= Дл„
при к\ Ф кг, т. с. все Ah — различные дополнительные интервалы.
Но тогда 2 Р (Aft) ^ 17 гДе Р — мера Лебега,
Й=-оо
Зафиксируем 8о > 0, которое уточним позже. Среди интерва-
лов Aft имеется лишь копечпое число Дш, . . ., AtYJ таких, что
р{Дм) > еор(До). Пусть A(i) = ThiAQ. Тогда при любом
2> max {kt} A)
будет
Далее,
р(ЛДо)<е0р{Д0).
B)
где /<4J — функция, представляющая Г17. Из B) н C) получаем,
что
Но формуле дифференцирования сложной функцнл
п^(
Последнее равенство вьпекает из того, что ~-^ имеет период 1.
Положим g(x) =ln^. Функция g имеет на [0, 1) ограниченную
вариацию Var(g).
Логарифмируя E), получим
Найдем значение \g(z)d\i^a.B силу строгой эргодичности Т
равномерно по ж ^ 51. Нри й>0 было бы -^--*-оо,при а<0 —
-^-"^-и, причем в оооих случаях сходимость равномерная.
Кашдое из этих соотношений противоречит тому, что 1 -V- dx =
s1
= 1, поэтому а = 0.
Для любого а можно найти сколь угодно большое натураль-
ное q такое, что при пекотором р7 взаимно простом с ?, будет
la — p/q[ *S 1/q2. Выберем q так, чтобы выполнялось также A).
Тогда, в силу леммы 1,
S-l
2 Я {T\
<Var(?).
Но неравенство D) озпачает, что
F)
G)
При s0 таких, что In— !>Var(g), F) противоречит G). Теорема
ео
доказана.
Доказательство леммы 1. Мы можем считать, что
xq — 0. Общий случай сводится к этому заменой переменной
х' = х — iEodnod 1). Будем, кроме того, считать, что
0<a-f<i; (8)
противоположное перавенство 0 < — — а < -j рассматривается
аналогичпо.
При /с = 1, 2, .. ., j — 1 возьмом точку т, <s S' такую, что
ц ([0, XfSj = —; при k = q положим а*7 — 1. Обозначим через ДА
иптервал (ж,, i,+ i) и докажем, что
Г*ж„ ^ Дйкшощ), А-^1, 2, ...,?—1. (9)
85

Рассмотрим для этого отображение <р, построенное в теореме 3
§ 3 и переводящее Т в поворот Та. При этом точка Thxq пере-
ходит в Т\х„ = ia (mod 1) а интервал Ак — в интервал Д» =
-(*/?, D + 1)/?).
Из неравенства (8) следует, что 0<ка-kp/q*ik/q2 < i/q,
т е
Так как отображение <р не меняет циклического порядка точек
на окружности, то из A0) вытекает (9). Включение (9J спра-
ведливо и при & = 0, если положить До=[О, \/q\. Заметим, что
так как р, q взаимно просты, то последовательность {Д^тоав)),
0^к < у— 1,— это просто переставленная последовательность
До, Ль ..., Д«-ь Пользуясь этим, получим
!s\(r*4,)-s
|ft=0
\q-\ g~i
2*(r4)-«2
|fc=0 K=Q A
<
Лемма доказана,
sup \g{x)-g(Tkx0)\^YaT(g).
¦дI(p( mod з)
§ 5. Пример Арнольда
Согласно теореме Дапжуа, всякий диффеоморфизм Т окруж-
ности класса С2 с иррациональным числом вращения топологи-
чески эквивалентен повороту. Из доказательства, однако, нельзя
извлечь никакой информации о гладкости связующего гомеомор-
физма ф. Оказывается, он вообще и не обязан быть гладким.
Б этом параграфе приведен соответствующий пример, принад-
лежащий Б. И. Арнольду.
Инвариантная мера ц для Т задается формулой ц([жо, х\) =
= ф(я); х, xq^S1, поэтому если у(х) — гладкая функция, то ме-
ра |j, абсолютно непрерывна относительно меры Лебега р. Мы
покажем, что даже в классе диффеоморфизмов, определяемых
аналитическими функциями, имеются такие, для которых инва-
риантная мера не абсолютно непрерывна.
Идея конструкции состоит в следующем. Диффеоморфизмы с
рациональным числом вращения обладают инвариантной мерой,
сосредоточенной в конечном числе точек — па
86
траектории. Можпо построить последовательность таких диффео-
морфизмов, сходящуюся к преобразованию Т с иррациональным
числом вращения так, что инвариантная мера для Т сохраняет
сингулярный характер, хотя и перестает быть дискретной. Такое
построение требует, чтобы число вращения а(Г), будучи ирра-
циональным, аномально быстро приближалось рациональными
числами.
Построение примера осповано иа нескольких леммах.
Лемма 1. Пусть Т — гомеоморфизм окружности 51, ц —
нормированная инвариантная мера для Т. Пусть, кроме того*
существуют последовательности множеств Gn <= S[ и последова-
тельность натуральных чисел Nn Ы = 1, 2, ...) такие, что
1) limp(GTt)=0, где р — нормированная мера Лебега;
2) П TNn(Sl\Gn)czGn.
Тогда мера ц не абсолютно непрерывна относительно р.
Доказательство. Так как \i инвариантна, то из усло-
вия 2) получаем |л(?'\Сп) ^ n(GJ, т. е. \i(Gn) > 1/2. Отсюда а
из условия 1) вытекает утверждение леммы.
Итак, задача сводится к построению аналитического преоб-
разования окружности с иррациональным числом вращения, об-
ладающего свойствами 1), 2).
Первый шаг состоит в построении вспомогательного преобра-
зования с рациональным числом вращения.
Введем сначала следующие определения.
Определение 1. Пусть р — целое чпело, q — натуральпое.
Гомеоморфизм Т окружности S1, определяемый функцией fix),
называется (р} д)-устойчивым вперед, если для любого хе!1
причем имеются такие х, для которых достигается равенство.
Определение 2. Диффеоморфизм Т окружности S1 на-
зывается вещественно-аналитическим в полосе |Jmz|<S, S > 0,
если функция }(х), определяющая Т, аналнтична в этой полосе.
Пусть Т — (р, 5^"УСТ0Ичивый вперед вещественно-аналитиче-
ский в некоторой окрестности U действительной оси диффео-
морфизм окружности S1, и точки а*о? #1, ..., xq-i ^ 51 образуют
цикл относительно Т, т. е. Тх^\ = хи 1 ^ i =S q — 1, Txq~\ = xq.
Лемма 2. Для любого б > 0 существует (р, д)-устойчивый
вперед вещественно-аналитический в U диффеоморфизм Т, та-
кой, что distG\ Т) < S и (л-q, . . ¦, ^г-i) — единственный цикл дли-
ны q для Т.
Доказательство. Пусть А(х) — аналитическая
функция с периодом 1,
ДЫ =0, Q^izZq-i,
U
периодической
при других
0, 1).
A)

Функцию с такими свойствами можно пайти уже в классе три-
гонометрических полиномов- Положим ),(х) — j{x) + еДЫ, в > О,
где fix) — функция, представляющая Т. Если е < ",'" \{^м\
то /c B) >• 0 для всех jeR1, и, значит, /,(z) представляет не-
который диффеоморфизм Т й, аналитический в V. Кроме того,
при достаточно малых е disttr, 7IJ<6. Зафиксируем одно нз
таких е и положим Т = Те, / = /.- Ток как 1[п)(х) > f"(x) и
№(*1) = х1+р, 0<г<?-1, B)
то Т является (р, д)-устойчивым вперед.
Ясно,
xq-\ образуют цикл относительно Т.
Е
, о, , q\ ру ц оосело
Покажем, что других циклов нет. Еслп х — неподвижпая точка
для Г7, то
/<»>Ы —х +
C)
^ C) вытекает, что а.{Т) «= r/q. С другой стороны, в силу B),
аи) = plq. Ит
О S i
в силу A). точка х совпадает с одной
pq , p , у (
из xt, О =S iiS q — 1. Лемма доказана.
Лемма 3. ?слы гомеоморфизм Т является (р, д)-устойчивым
вперед и имеет единственный цикл (.го, х\, ..., ?,-i) длины q,
то для любого s > 0 множество Ge, представляющее собой е-ок-
рестпоетъ этого цикла, удовлетворяет условию
TN (Sl\Gc) с: ffe
при всех достаточно больших N.
Доказательств Р
жем (х
Рассмотрим один из интервалов, ска-
, на которые точки цикла делят S1. Будем считать,
что х, -с xt и возьмем точку х, х,<х<?,-. Так как
t у , ,
х,, то Т'х е (х,, х,), I =- 1, 2,
, Т'х, ,
. Если / — функция, пред-
й f!)()
,, , ,, , , / фуц, рд
ставляющая Т, то в силу {р, ^-устойчивости вперед f!q)(x) >
> х + lp. Неравенство здесь строгое из-за тою, что х — не точка
цикла. Отсюда вытекает, что точки T'-qx, l~l, 2, ..., образуют
монотонную последовательность на (х,, xt), и поскольку ее пре-
дел должен быть неподвижной точкой для Т'\ то lim Tlqx = х$.
Поэтому при любом s, 0 < s < q,
Возьмем теперь в качестве х последовательно точки хо -f- e,
xi + e, ..., z,-i-f-e. Из сказанного вытекает, что найдутся yVo,
Nh ..., N,-, такие, что TNi (хг + с) е (?,. Ясно, что число
iV = max Ni — искомое. Лемма доказана.
Если гомеоморфизм Т такой, как в лтоГг лемме, то, в силу
непрерывной зависимости Тк от Т, для заданного е > О найдет-
ся такое 6>0, что T'CS'XGj.) ^ G2c для любого!1, distlf, f) =Sd.
Лемма 4. ?ш Т~(р, q)-ycnU4ueuu вперед гомеомор-
физм (р, q — любые) и
го л/)ы достаточно малых Я число вращения а{'1\) больше чем.
а(Т).
Доказательство. Ясво, что a{T)=p/q. Пусть /(я) —
функция, представляющая Т. Тогда Д(г) = fix) + Я представляет
Г!, и так как А'Ч^) >а;+ />. то a<.T,)>p/q. Лемма доказана.
Построим теперь ту последовательность диффеоморфизмов
Т\, ..., ?'„, пределом которой будет искомое преобразование.
В качестве Т\ возьмем диффеоморфизм со следующими свойст-
вами:
1) Т\ вещественно-апалитичен в полосе llms] <1;
2) l/i(z)-z|<l при |Imzl<l, где /i — функция, представ-
ляющая Т\\
3) число вращения а(Г|) — Pi/qi рационально;
4) Г] {pi, f/i)-ycTOH4HB вперед;
5} 7\ имеет единственный цикл длины qi.
Такой диффеоморфизм можно получить из поворота окруж-
ности Тх =¦ х + pjqiimoi I), 0</>i<li, применяя к нему лем-
му 2.
Докажем теперь следующую индуктивную лемму.
Лемма 5. Пусть дано в„ > 0, и для s — 1, 2, ..., л построе-
ны диффеоморфизмы Tt такие, что
In) Г9 аиалитичны в полосе |Тт"! < 1;
2„) |j,<;tl)(z) —/Si;)(z)[<l/2S при |1тг|<1,
функция, представляющая Т[ (/0 (х) ^^ х)\
3J числа вращения а{Т.) —pjq. рациональны, и
Р, Pi
где f.*"-
9,
2 (.-If
4n) ft (ps, qj-устойчив вперед',
5n) T, имеет единственный цикл длины q,.
Тогда существует диффеоморфизм Tn+i, обладающий свойст-
вами ln+i) - 5,,+1) и 6,+i) dist (Г„, Г„+1) < в„.
Доказательство. Рассмотрим семейство преобразова-
нии 7\:
r^-tr.s + l.Xmodl), Я>0.
По теореме 2 § 3 число вращения a(TJ непрерывно зависит от
Я, поэтому для достаточно малого Хо > 0 будет
' Будем считать Яо столь малым, что dist (^i,pi ^n_

I 4*" (z) — /»±l> (z) I < 1/2" при I Im z| < 1, где h0 представляет
Т\й- Далее, в силу леммы 4, aG'^0)>cxG'n)=j3Tl/gTl. Возьмем дробь
р„+1/в„+1, удовлетворяющую условию Pn/7«<Pn+I/gn+i<aG'il))i
и пусть %\ — наибольшее из тех Л < Ао, для которых а (Т%) =
= Pn+Jqn+i- Докажем, что Ti.x (p»+i/*»+i)-устойчив вперед. Дей-
ствительно, если в пекоторой точкеajeR1/['"+1'(з;)<;р„+1, то при
достаточно малыхе>0 /i'+e («)<Pn+i. Последнее неравенство
не может выполняться для всех ж, так как отсюда следовало
бы, что аB\1+в) <Pn+i/?n-j-i. Поэтому в некоторой точке х0 е R1
О W=P«, T- e- «(Ai+s) =Pn+1/4fn+1, вопреки макси-
мальности Я.1. Применяй теперь к Т ^ лемму 2 с достаточно ма-
лым 6, получим диффеоморфизм Г„+1, обладающий свойствами
ln+i)—6n+i). Лемма доказана.
Чтобы закончить индуктивное построение, остается описать
выбор чисел 6„. На n-м шаге возьмем сначала такое е„ > 0, что
р (рп) <Z l/2n+1, где Gn — eft -окрестность единственного цикла
длины qn для Тп. Затем по лемме 3 найдем такое Nn, что
В силу замечания после этой леммы найдется такое бт что для
любого J.dist (Г, Тп)'<26*п, будет TNn(SL\Gn) ^Gn, где Gn — 2е„-
окрестность цикла, н потому p(Gj < 1/2". Полагаем
6j= Sj/2, 5n+1 — min (бп/2, 6*/2)f л = 1, 2, .. -Последовательность
диффеоморфизмов Тп теперь полностью определена. Последова-
тельность представляющих нх функций }п (а также функций
Л /Равномерно сходится в полосе llmzl-cl, н потому пре-
дельная функция / (а также /{~п) аналитична в этой полосе и
удовлетворяет соотношению fix + 1) = fix) + 1. Итак, fix) опре-
деляет аналитический диффеоморфизм Г. Для любого п имеем
- л+" w I <6" 2 (т)*<2
I /(±1) м - /?" о I < 21 /¦
т. е. distG\ 71nX28n и, значит, TNn{Sx\Gn)<~Gn. По леьше 1
инвариантная мера ц для Г не может быть абсолютно непрерыв-
ной. Наконец, число вращения а(Т) иррационально. Действи-
тельно, «(Г) = lim а(Тп) = lim j^n/g11 if при любом re
D)
Но если бы а было несократимой дробью а = p/j, то при всех
п таких, что ?л > г, имели бы -^ "
что противоречит D).
% 6. Эргодичность диффеоморфизмов окружности
относительно меры Лебега
Если инвариантная мера \i для некоторого гомеоморфизма Т
окружности о иррациональным числом вращения эквивалентна
мере Лебега р, то из эргодичности Т относительно \\, вытекает,
что любое ^'-инвариантное множество A s @ имеет лебегову ме-
ру 0 или 1.
Это свойство естествепно называть эргодичностью относитель-
но (не обязательной инвариантной) меры р. Хотя, как показы-
вает пример, построенный в предыдущем параграфе, инвари-
антная мера и может быть сингулярной даже в случае вещест-
ве нно-а пал итического диффеоморфизма, любое достаточно глад-
кое преобразование Т эргодично в указанном смысле относитель-
но меры Лебега.
Теорема 1. Если Т — диффеоморфизм класса С2 окруж-
ности S1 с иррациональным числом вращения а, то любое ин-
- вариантное относительно Т множество Л е @ имеет лебегову ме-
ру 0 или 1.
Доказательство основано на следующей лемме.
Лемма 1. Пусть Т — минимальный гомеоморфизм окружно-
сти S1 с иррациональным числом вращения <х. Для всякой точки
Xq^S1 и любого б > 0 найдутся интервал До = (#о — во, зго + бо),
во < S, и натуральное число N такие, что
N-1 _
1) U rtp^S1;
ft=0
2) каждая точка z^S1 принадлежит не более чем 5 интер-
валам Т^До, 0^k<N.
Доказательство леммы проведем позже.
Доказательство теоремы 1. Пусть рЫ) >0. Тогда
Л имеет точку плотности xo^Sl. Зафиксируем е > 0. По опре-
. делению точки плотности найдем такое 6 > 0, что для любого
интервала Д, удовлетворяющего условиям Xq ^ Д, Дс (х0 — бт
: зго + б), будет р(Л П Д) ^ {1 - е)р{Д) или, иначе, р{В Л Д) <
<ер(Д), где B = Sl\A. Так как в силу теоремы Данжуа, Т мн-
\ нимален, то по лемме 1 найдутся иптервал Д0) До = (#0 — бо,
) «о+ 6о), So < б н число N такие, что
N-l h
и и t\ = su,
2) каждая точка х ^ S1 принадлежит не более, чем 5 интерва-
лам Ah = rftAOl 0 < к < N.
00

Заметим, что из свойства 2) вытекает, что ^ р (Д^) ^ 5,
Возьмем любые две точки ^i, х% ^ До- Пусть функция fw пред-
ставляет диффеоморфизм Т\ По формуле дифференцирования
сложной функции, для любого к, 0 *5 к ^N — 1,
Последнее равенство вытекает из того, что ~ имеет период 1.
Далее,
h-l
- cxpl V ln| 1 — ¦
< exp У L^-
шах
IPS1
min
J "-0
fe-i
const cxp 2j
0
5 const = const. A)
С другой стороны, р (Д;,) — I -^r dx, поэтому найдется точка
jsA, такая, что ^гЙ
получим, что для любого
)' Полагая в A) х\=х, zi=x,
Отсюда
р (В A Д„) =-- р (Т
Д0) = Р (Г* (В Л А,)) =
^-'fe < const ^|
Просуммируем но к от 0 до Л'— 1:
JV-1 Л"-1
PiB)= S р (В A ДьХ const e 2 р(Д») = const e.
В силу произвольности в, p(S) =0. Теорема доказана.
Доказательство леммы 1. Достаточно рассмотреть слу-
чай Т~ Гя, где 7V*; = а; + a(mod I J. Действительно, в общем слу-
чае, по теореме 3 § 3 существует гомеоморфизм ф: Sl ~>- S[ такой,
что <рТ = Гпф. Возьмем точку х0 -= ф (ж0) и чпело бу такое, что
<p((z'a — 8\ rj f 8')) с (г0 - 8, 20-|-S). Пусть для поворота Г„
допазапо, что найдутся интервал До — (х'о — &'„, х'о + б'*,), во <6'>
и число iV' такие, что будут выполнены условия 1), 2J при
Т = Га, ж0 = а-„, б — 6'. Так как ср сохраняет Циклический по-
рядок точек на окружности, ю ли можем положить Ао = ф(До),
Л' — N'.
Итак, будем считать, что Т — Тл. Найдется такая несократи-
мая дробь p/q. что
, l/g<8/2.
B)
Докажем, что утверждения 1), 2) леммы будут выполнены, если
взять
До - (ха - 2/q, xo+2/q),N—q.
Обозпачим через Т поворот на угол p/q:
Так как р, q взаимно просты, то U ?к&о = S1- Далее, из B)
fc=0
вытекает, что ''-ka— kp/q\ ^ k/qs < 1/q, а это означает, что
diSt(T\,T\)<l/q. C)
Поэтому
т. е. ГДо = Г*До. Значит, 'jj' Г*Д„ = 'и' ?USO = S'. Возьмем
ft-o fe^o
теперь точку ieJ1 такую, что lert,, ге^'Д,, 0<Aj,
*!<?• Тогда dist(x, Г'%) < 2/j, dist (x, Ткг\) < 2/?.^ Учи-
тывая C), получим, что dist {x, Thlx0)<;3/q, dist (x, fHx0) <
< 3/y, т. e.
? D)
j Допустим теперь, вопреки нашему утверждению, что $ принад-
I лежит по крайней мере 6 множествам ТкА. Рассмотрим точки

Tkzo при тех к, для которых x^TW. Они входят в число вершин
правильного ^-угольника, вписанного в А11, и так как их по край-
ней мере 6, то найдутся две из них, для которых не выполнено
неравенство D). Лемма доказана.
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО
ПРОИСХОЖДЕНИЯ
Б этой главе будут рассмотрены некоторые классы динамиче-
ских систем алгебраического происхождения. В таких системах
фазовое пространство обладает определенной симметрией, и
действие динамической системы сохраняет эту симметрию.
Мы будем пользоваться теорией характеров коммутативных
компактных групп. Эта теория изложена, например, в книге
Л. С. Понтрягина [1].
§ 1. Сдвиги на компактных топологических, грунпах
Пусть пространство с мерой М (оно же (?) *) есть компактная
топологическая группа (не обязательно коммутативная) с лево-
инвариантной мерой Хаара \i, определенной на борелевской
а-алгебре @. Для любого элемента go^G рассмотрим преобразо-
вание Tg0-. М-э-М, заданное равенством Tgftx = gax. Здесь ум-
ножение g$x понимается как групповая операция па G.
Определение 1. Преобразование TgQ называется левым
групповым сдвигом на G. (Слово «левый» обычно мы будем
опускать.)
Ясно, что Tgu сохраняет меру |л.
В предыдущей главе мы уже встречались с частным случаем
групповых сдвигов — сдвигами на торе Тог.
Лемма 1. Если сдвиг TgQ эргодичен, то группа G коммута-
тивна.
Доказательство. Так как для любого непустого открытого
множества U<=G мера Хаара \i(U)>0, то из эргодичности Tgo
вытекает, что найдется точка хо^М, траектория igo^,,, — оо<С
<Zn<z oolкоторой всюду плотна на М. Поскольку отображение
<р: М-»-М, ф(г) — хх^г— гомеоморфизм, траектория точки аго=е,
где е — единица группы, т. е. сама подгруппа [#?, — оо <; л <; ос},
всюду плотна в Л/,
Если ylt
M,
*) Как правило, мы будем пользоваться буквой G, когда речь будет
идти о групповых свойствах, и буквой Jtf, когда речь будет идти о свойствах
пространства с мерой.
94
= lim
у, -=
= lim
Лемма доказана.
В дальнейшем мы будем рассматривать групповые сдвиги
только на коммутативных группах. Отметим, что фазовое прост-
ранство М — компактное метризуемое пространство, и сдвиги
TgQ — его гомеоморфизмы.
Теорема 1. Следующие условия эквивалентны:
i) сдвиг Тёо зргодичен:
Щ гомеоморфизм Тво минимален;
ш) гомеоморфизм Tga строго эргодичен;
iiiij х^Яо) ^ 1 для любого нетривиального непрерывного харак-
тера '? группы G.
Доказательство. Г. Импликация i) -* ii) была фактиче-
ски доказана при доказательстве леммы 1.
2°. Докажем i)->-iii). В силу теоремы 2 § 8 главы 1, строгая
эргодичность означает, что для любой функции / е С(М)
при всех tef, Возьмем произвольную функцию fsC(M). По
эргодической теореме Биркгофа — Хиичнна найдется точка
Xz e M, для которой
Зафиксируем в > 0 н покажем, что для любой точки
при достаточно больших и будет
М
Е. A)
В силу равномерной непрерывности / можно выбрать такую ок-
рестность V единицы e<sG, что если уи yi^G, y2&Vyi =
= {2jd:z^F}, то \f(yz) ~ f(y,)\ <e/2. Согласно уже доказанной
импликации i) — ii), траектория точки х всюду плотна в M=G,
поэтому
для некоторого по>О точка Гв°ге
Г}. Но тогда прн всех к, О =S A s; и - п0 - 1:

Здесь мы воспользовались коммутативностью группы G. Поэтому
I/ \T"gQ %) — / [Tg^oI < е/2. Для произвольного п > щ по-
лучаем:
-)-42
п-по-1
о
ъ—п ">
г + 2тах|/|^.
Отсюда при достаточно больших п вытекает неравенство AJ. В си-
лу произвольности е импликация i) -*- iii} доказана.
3°. Докажем iii) ->- ii). Это вытекает из теоремы 2 § 8 главы 1
(см. также следствие пз этой теоремы) и из того, что мера Хаара
ц(?7)>0 для любого непустого открытого множества U^G.
i°. Докажем ii) — iiii). Пусть, вопреки нашему утверждению,
x(ffo) ~ 1 ДЛЯ какого-либо нетривиального непрерывного характе-
ра у. Тогда х(й) -- Ы?о)Г = 1 при всех п, т. е. {go,
— оо «< n<Z со] a {g^ G: % (g) —- 1}. Но последнее мпожество в
силу нетривиальности-характера х есть замкнутая подгруппа, не
совпадающая со всей группой G. Следовательно, подгруппа
{^о, — oo<Zn<i оо] ие может быть всюду плотпой. Полученное
противоречие доказывает, что ii) -^ iiii).
5°. Докажем iiii) ->- i). Мы воспользуемся теорией рядов
Фурье па группе G = M. Для каждой функции f<=I?(M, в, и)
можно определить ее коэффициенты Фурье сх — 1 fyd\i, %^ G,
м
где G — группа характеров группы G. Так как G компактна,
то группа 8 счетца, и / (х) — 2 схх (х), причем ряд справа схо-
дится по норме L4M, ®, |i). Рассмотрим унитарный оператор
Ug(t, сопряженный со сдвигом Tg{). Тогда
(PsJ) (х) = 2 с7.иееУ. (х) = 2 схх (go*) = 2 (су.г (ft.)) х W.
т. е. действие оператора Ug0 состоит в умпожеппи коэффициентов
Фурье сх на %(go\ Поэтому для инвариантной (modO) фупкции
/ (т. е. такой, что UgJ — 1) мы получим с, = ejc(gii) при ^всех
X s G. По условию х(Ы ^ 1, если % Ф 1. Следовательно, Д = О
при х "* 1 и fix) = cousUmod0). Теорема доказана.
Замечание. Легко убедиться, что никакой групповой сдвиг
не обладает перемешиванием. Действительно, для любого петри-
виального характера х ^ 1 будет
= J
i = у. (г?) 11 х (*) l^t» =х
и это скалярное произведение пе стремится к нулю при п -*- °°г
так как lz(go)l = 1. В то же время \%(x)dy, — (x, 1) =0.
Пусть теперь {gu — °° < t < оо} — непрерывная однопарамегри-
ческая подгруппа коммутативной компактпой группы G — М. Та-
кая подгруппа порождает поток {Т') на Я, действующий по
формуле
Т'х = г,ж, ж ^ Ж.
Очевидно, что этот поток сохраняет меру Хаара и. Свойства та-
ких потоков аналогичны свойствам отдельных групповых сдвигов.
Теорема 1. Следующие условия эквивалентны:
i) поток {Т1} эргодичен;
ii) однопараметрическая группа гомеоморфизмов {Г1} ми-
нимал7>на-
iii) однопараметрическая группа гомеоморфизмов {Т'} строго
эргодичиа;
iiii) для любого нетривиального характера %^G производная
4
Кроме того, поток {Т*} не обладает перемешиванием.
Доказательство отличается от доказательства теоремы 1 не-
сущестнепиыми деталями, поэтому мы рго не приводим.
Примеры. 1. Обозначил! через S1 едипичпую окружность с
нормированной мерой Лебега, рассматриваемую как коммутатив-
ную группу; {Sl\ —бесконечное число экземпляров таких групп.
Положим М1
Si. м% ~= IT S]- Ясно, что М\ и Я2 нред-
ставляют собой компактные топологические группы в топо-
логии прямого произведения. Любой характер % имеет вид
% — схр 2лг B n>kxh\ 1 где хк — циклическая координата на S\*
0 ^ xh < 1, nk — целые числа, — *> < nh < °°, в сумме 2 пъ%к толь-
ко конечное число отличных от нуля слагаемых (т. е. конечное
число nh ^ 0), причем в первом случае к ** 0, во втором
Для любого действительного о построим поток на М\, M%t
действующий по формуле
Такой поток будет эргодичен тогда и только тогда, когда число а
трансцендептио. Действительно, для характера % = ехр 2я12 nhxh
И. П. Корнфельд и др.

Условие эргодичиосш 2 льа
любых целых лЛ, не рав-
ных одновременно нулю, и есть условие трансцендентности
числа о.
2. Пусть Zj>, 1<р<°°—коммутативная группа из р элемен-
тов. Групповую операцию на Zp будем записывать аддитивно.
Пусть, далее, Z(p\ i = 1, 2, 3, ... — бесконечное число экзем-
пляров таких групп, G = М = IIZ»1'. Возьмем произвольный
элемент ? е G, g = {а$, «ieZp*. Покажем, что никакой сдвиг
Те не является в этом случае эргодичсским. В самом деле, най-
дутся номера U, к, h^fa, такие, что «^ = а$2. В таком случае
мпожество [х: zh = zi2} будет нетривиальным ипвариантньш
подмножеством М, поскольку Tgx = ixt + ai).
§ 2. Косые сдвиги и сложные косые сдвиги
на коммутативных компактных группах
Предположим, что пространство с мерой М есть прямое про-
изведение М = М[ XЛ/г, где М\ч Af2 — коммутативные компакт-
ные группы. Тогда М также естественно превращается в комму-
тативную компактную группу, являющуюся прямым произведе-
нием групп Л/i, М2. Мера \\. на М есть нормированная мера Хаара
\i = |Х] X Ц2, где |j,; — мера Хаара на Л/,-, i—1, 2. Групповую опе-
рацию в атом параграфе будем записывать аддитивпо.
Для любой измеримой по Борелю функции tp: Л/, -+¦ М2 и любо-
го go ^ Mi рассмотрим преобразование Т пространства М, имею-
щее вид:
7'Ui, x2) = (x[ + go7 х2 + ф{ж,)). A)
Определение 1. Преобразование Т называется косым
сдвигом па группе М.
Ясно, что косой едьиг сохраняет меру Хаара |х.
Пример 1. М\ = Мй = S1. Тогда М есть двумерный тор
Тог3. Примером косого сдвига на нем служит преобразование видя
T(xi, да) = {х\ + а{шос11), х%+ kxx{\noi\ 1)), B)
где к — целое число, as К1, хи Яг —циклические координаты
па Ми Л/г-
Косой сдвиг, заданный формулой A), может быть не эргоднче-
ским даже если сдвиг TgQ па М эргодичен. Например, еслп
Mi=M2, cp{#i) = go, то Т не эргодичен при любом go- Покажем.
однако, что косой сдвиг B) эргодичеп при иррациопальном а и
любом кФО.
Действительно, если s = is\, S2), /э(^) =/(*,, ?,) {^l, ^2) =
= exp2Hi{s,^,-fs2^2), то /.(Гя) = exp2«teia-/в^Сл;), где 8Cs) =
= (*i + A.?2, 52J. Отсюда следует, что если g(#) — инвариантная
(modO) функция, g е ^2(Л/, @, |i), ^ (ж) = 2c^/s(a:} — ее ряд
98 S
Фурье, то |^а| — |c9-i(S)[. Условие 2|^|в<^°° приводит к тому,
что с, = 0, если s2 ^ 0. Если же s2 = 0, то при s = {slr 0) выполня-
ется равенство cs = са ехр 2л:гя,а. Ввиду иррациональности а,
е. — 0 для всех s, кроме s — @, 0). Значит, gU) = const {mod 0).
В ряде задач возникают несколько более сложные преобразо-
вания, чем косые сдвиги. А именно, пусть М =Mi X ... X Мт
(г>1) есть прямое произведение г коммутативных компактных
групп. Пусть, далее, gQ^Mit фа: Д/\ X ... ХМ, -*- ^/a+i — измери-
мые по Борелю функции, s= 1, 2, ..., г—1. Рассмотрим преобра-
зование Т дространства М, задапное формулой
Определение 2. Преобразование 71 называется сложным
косым сдвизом на группе М.
Ясно, что сложный косой сдвиг сохраняет меру Хаара ц на
Л/. Во многих случаях эргодичность сложного косого сдвига мож-
но установить {как и в рассмотренном выше примере) при помо-
щи рядов Фурье.
Докажем теперь осповную теорему о сложных косых сдвигах.
Заметим предварительно, что преобразование C) является го-
меоморфизмом пространства М, которое рассматривается как ком-
пактное метризуемое пространство.
Теорема 1. Если сложный косой сдвиг C) эргодичен отно-
сительно меры ц, то он строго эргодичен.
Доказательство проведем с помощью индукции по г.
При г=1 мы имеем обычный групповой сдвиг, и его строгая эр-
годичность вытекает из теоремы 1 § 1. Возьмем теперь г > 1 и
допустим, что теорема уже доказана для размерностей, меньших
г. Обозначим Mi = Мх X... X Мг~\, M?. = Mf, u.b (ia — нормирован-
ные меры Хаара па Mi, M2. Рассмотрим автоморфизм Т\ прост-
ранства Л/i:
Тогда Л/ = Л/1 X if2, и автоморфизм Т можно записать в виде
Пуи у2) = {Тхуи 02+ф($п)), D)
где <p(yi) =фг(гь ..., a;r_i), yi^Mt (i=l, 2). Из эргодичности Г
вытекает эргодичность /i, и значит, r силу индуктивного пред-
положения, Т\ строго эргодичеп. _
Заметим, что под действием естественной проекции л: М-*-Ми
?t(yt, У2^"^Уи любая нормированная ипвариантная мера v для
Т перейдет в единственную нормированную инвариантную меру
7»

jj.i для Ти Поэтому утверждение теоремы будет.иытекать из сле-
дующей леммы (в ней мы пишем Mi, Mi вместо М\, М% и соответ-
ствующие о-алгебры обозначаем @i, ©2).
Лемма. Пусть эргодический автоморфизм пространства
M = MiXMu задается формулой D). Тогда любая нормированная
инвариантная борелевская мера v для Т, проектирующаяся при
отображении л', М -*- Mi в меру ц,|, совпадает с мерой ц, — Ц\ X |12-
Доказательство леммы разобьем на отдельные пункты.
1°. Пространство М = Мi X М2 можно разбить на слои
MXl = {x1]xMi, где Xi^Mi. На каждом слое мера v индуцирует
условную меру v(-\x\). Для любого z<=j|f2 через vg(-\xi) обозна-
чим меру на МХ1, определенную при помощи ра-
венства
(здесь K~z~{x2—z;
). Введем меру \\ на @, для которой
Далее, для любого подмножества С е @2» Цг^С) > 0 введем
меру vc на в:
с
Из инвариантности мер у2 следует, что ve также инвариантна от-
носительно Т. Кроме того., vc, как ж vz, проектируется в меру j.tj.
3°, Покажем, что Vc абсолютно непрерывна относительно jx.
Из этого будет вытекать равепство Vc = ц*. Действительно, в силу
эргодичности меры \i, любая нормированная инвариантная мера,
абсолютно непрерывная относительно нее, сопадает с ней (см.
§ 2 главы 1)
§ 2 главы 1).
Для множества А=
мы можем записать:
пользуясь теоремой Фубипи,
Яспо, что vz, как и меры ji, v, проектируются в меру \ii.
2°. Докажем, что при любом z e М2 мера vz инвариантна от-
носительно Т. Пусть
2; %А (х) = Хах Ы X a
— индикатор множества А. Тогда
v, [T~lA) = f Хт^А (a-) dvz - f ju
м м
XAX (^i) Xa, {^3 + Ф (x1))dvz -
%Al (Тгхг) \ %Аа {х2 + ф (хг)) d (vz I хг) dy,! =
ХДх (W f XAa (*a I- V (^1) - г) d (v I ^) d(i! -
Al (T&) %a2 (xt + ф Ы -z)dv =
Г (Л, X (i48 - z))) -= v {.4,x {Az - s)) = v, (A).
Отсюда вытекает инвариантность меры vz.
100
Это означает, что условная мера vc(*!¦?]) имеет влд
vc {-421 гх) - у~ j' v, f^31 x,) dp2 [z),
E)
и для доказательства абсолютной непрерывности vc достаточно
установить, что на любом слое Мх± мера ixc(-lxi) абсолютно не-
прерывна относительно меры Хаара ц.2 (мы пользуемся естест-
венным отождесгвлепием слоя МХг с пространством М%).
Рассмотрим с этой целью прямое произведение М% X Л/2=
8=3 {Bi, 2г): гь Z2^M^) и введем на нем меру tfXfZj, г2) =
= ЙI2 B2) ^(vjjj^i) (z2). Для любого множества А%^М% \i2^A2)—01
будет, очевидно, А.G?) = 0, где Z?=^iX^2. Снова пользуясь тео-
ремой Фубини получпм, что для почти всех но мере jai точек Z\
будет v^j (Ля | Xj) = 0. Из E) теперь получаем vrU2Ia;i)=0. Тем
самым абсолютная непрерывность vc доказана. В силу замечания
в начале этого пункта, имеем: vc = |л при любом С ^ @2j
4°
4°. Выведем отсюда, что v = \i. Если- бы было v ?= \i, то для
множества пололштельпой jAi-меры условий Х\ было бы v{-\xi)?=
^ \i2 (мы снова отождествляем Мхг с Л/2). Так как меры
v(-|;ri), jj,2 — борелевские, то существует счетная система борелев-
ских множеств В = {В{}, Bi e lf2 такая, что все эти меры пол-
ностью определяются своими значениями па множествах Ви Сле-
довательно, найдется номер i, при котором viB^Xy) ?• ц,2(Д) для
< множества положительной р,1-меры условий х\, и мы можем счи-
101

тать, например, что \(Bt\xi)<\Lt(Bi1. Из единственности иеры
Хаара вытекает теперь, что найдется Tafcae С^@2, ]ii№)'>Qf что
Vx(Bt\xi) < \i$(Bi) для всех геСи для множества положительной
Игмеры условий xi. Но тогда, б силу E), vc(Biixi) < ца(^).
С другой стороны, из равенства Vo = (J, следует, что для почти
всех по мере jii условий Х\ должно быть \с(Лх\) =* Иг- Полупевноо
противоречие показывает, что v = ц. Лемма доказана, и вместе с
ией доказана теорема 1.
§ 3. Эндоморфизмы и автоморфизмы коммутативных уг-;
компактных групп Е>
В этом параграфе пространством с мерой вновь будет служить
коммутативная компактная группа М = G с нормированной мерой
Хаара jj,, заданной на борелевской ст-алгебре @. Важную роль
будет играть се группа характеров G. Согласно теореме двойст-
венности Нонтрягина, в рассматриваемом нами случае группа G
счетна.
Определение i. Групповым эндоморфизмом группы G на-
зывается непрерывное отображение G иа себя, перестановочное с
групповой операцией. Если это отображение взаимно однозначно,
то оно называется зрупповым автоморфизмом.
Иными словами, Т—групповой эндоморфизм, если Т отобра-
жает непрерывно G на G и Т(х±у)=-Тх±Ту для всех х, y^G,
Те = е, где е — единицы группы G. Если Т — групповой автомор-
физм, то Т~1 — также групполой автоморфизм. Для группового
эндоморфизма полный прообраз единицы есть подгруппа группы
G. В случае группового автоморфизма эта подгруппа состоит
юлько иа единицы группы.
Для группового эндоморфизма Т введем сопряженное преоб-
разование 2"*, действующее в группе G по формуле:
(Т*у,Нх)*=х,(Тх), X^G. A)
Из этой формулы вытекает, в частности, что Т*% ^ G. Группу
G можно рассматривать как подмножество пространства L2(M,
@, ц), и формула A) показывает, что Т* есть ограничение уни-
тарного оператора UT, сопряженного с Т, на впкариаитпое под-
множество G. Далее, для любых %i, %i e G, x^G имеем
Покажем теперь, что в случае произвольного эндоморфизма
Т ядро гомоморфизма Т* тривиально. Пусть % ^ G таков, что
Т*% = е, где е — единица группы G. Тогда
т. е. Т*(%\ ^Хг) = Т*'& ± Т*х$. Это означает, что Т* также пере-
становочен с групповой операцией в группе G. Однако У* может
не быть групповым эндоморфизмом группы G. так как может
отображать группу G не на всю G. Если Т — автоморфизм, то
{Т~1)* = (Т*)~1, т. е. Т* обратим, и тогда Т* — групповой авто-
морфизм.
102
для любого x^G. Поскольку Т отображает G на G, то Тх пробе-
гает всю группу, и, следовательно, % = е.
Лемма 1. Пусть Т* — гомоморфизм группы G, имеющий три-
виальное ядро. Тогда формула A) определяет групповой эндомор-
физм Т группы G.
Доказательство. Формула %(Тх) = (Т*%)(х) по теореме
двойственности Понтрягина задает групповой гомоморфизм G в
G. Покажем, что этот гомоморфизм отображает G на G. Согласно
той же теореме двойственности Понтрягииа, фактор-группа G/TG
является ядром гомоморфизма Т*, которое, по условию, тривиаль-
но, значит, TG = G. Лемма доказана.
Лемма 2. Формула A) устанавливает взаимно однозначное
соответствие между групповыми эндоморфизмами группы G и, го-
моморфизмами группы G в себя с тривиальным ядром.
Доказательство. Покажем, что если Г, ?= Т2, то Т\фТ%,
В самом деле, найдется ieG, для которого Т\Х Ф Т2х. Но тогда
_найдется /её, для которого %{Tix) Ф-^Т^), т. е. Т^фТ^.
Точно так же показывается, что если Т* Ф Г2 ? то отвечающие
им групповые эндоморфизмы Т} и Т2 не совпадают. Лемма
доказана.
Лемма 3. Всякий групповой эндоморфизм Т сохраняет меру
Хаара и,.
Доказательство. Пусть / (х) — 2 сг% ix) j гДе только ко-
печное число коэффициентов сх отлично от пуля. Тогда
j / (Тх) ф (х) - j 2 нг {Тх) cfu. (x) =
= j 2 сгТ*г {х) ф (х) - S с J Г* х И d(i (*).
Последний интеграл отличен от нуля только при % = %q. Но тогда
Так как рассматриваемые функции плотпы в С{М), то и для лю-
бой непрерывной функции fix) \ f (Тх) й\ь (я) = J / (х) й\ь(х), т. е.
мера ц инвариантна. Лемма доказана.
При помощи лемм 1 и 2 мы построим сейчас несколько при-
меров групповых эндоморфизмов н автоморфизмов коммутатив-
ных групп.
103

Примеры. 1. G есть те-мерпый тор Torm — S1 х • ¦ • X S1.
Группой характеров группы G служит аддитивная группа 2я то-
чек пространства R , имеющих целочисленные координаты. Вся-
кий гомоморфизм Т* группы Zm в себя задается целочислепной
матрицей А* = |йу|| Tj^i- Этот гомоморфизм имеет тривиальное
ядро тогда и только тогда, когда &etA*?=Q, T* будет автоморфиз-
мом группы Zm тогда и только тогда, когда det.4* ~ ± 1.
По лемме 1 гомоморфизму Т* отвечает групповой эндоморфизм
Т тора Тогт, действие которого в циклических координатах
Ж[, ..., хт записывается следующим образом:
Тх = х\ где Xi -- 2 ^y^-(modl), l^i<m.
Патрица А = Ila,jll есть матрица, трапепонироваиная по отноше-
нию к А*, т. е. а^ = а^. Если det Л* = =Ь 1, то det А = ± 1 и 71 —
групповой автоморфизм.
2. G — счетная подгруппа аддитивной группы действительных
чисел. Например, G есть группа (по сложению) рациональных
чисел, группа двоично-рациопальных чисел, т. е. чисел вида р/2\
гдр к, р ~~ целые. Возьмем такое действительное число а, что
u.G s G. Ясно, что преобразование Т*7 действующее по формуле
¦7'*% —«X) X ш ^* есть гомоморфизм группы G. имеющий тривиаль-
ное ядро. По лемме 1 он порождает групповой эндоморфизм
группы характеров G группы G. Если a~'^G, то этот эндомор-
физм будет автоморфизмом.
Из леммы 3 следует, что произвольный групповой эндомор-
физм сохраняет меру Хаара. Сейчас будет получено необходимое
и достаточное условие эргодичности и перемешивания такого
эндоморфизма.
Пусть Т* — сопряженный с групповым эпдоморфизмом Т го-
моморфизм группы характеров G. Построим последовательность
подгрупп iGn = (Т*)"б), п = 0, 1, .. .. Ясно, что Go = G, Gn+i ? Gn,
п = 0, 1. ... и подгруппа G,t состоит из тех элементов, для кото-
рых определен (Т*)~п, Положим G™> = П ^п. Тогда Gc* — под-
группа группы G и ограпичение Т* на Gx есть автоморфизм.
Его ыы также будем обозначать Т*. Если Т — групноной авто-
морфизм, то G — G™ — Gn прп всех п.
Предположим вначале, что Т — групповой автоморфизм, и,
следовательно, Т* также групповой автоморфизм.
Теорема 1. Для эргодичности Т необходимо и достаточно,
чтобы траектория любого ненулевого элемента группы G под дей-
104
ствием Т* была бесконечна. Если это условие выполнено, то Т
обладает также перемешиванием.
Доказательство. Необходимость. Пусть Т эргодичеи.
Если найдется нетривиальный характер %, для которого G'*)"^ = ^
при некотором п, то в силу ортогональности различных характе-
ров функция — (% + Г*х+ •¦ •+ (^*)П~1%) инвариантна отно-
сительно Г и не равна копстаите (modO). Следовательно, Т неэр-
годичен. Тем самым необходимость нашего условия доказана.
Достаточность, Мы докажем сразу, что если выполнено усло-
вие теоремы, то Т обладает перемешиванием. Пусть
где в последних суммах только конечное число слагаемых отлич-
но от пуля. Тогда
V-r/i, h) ^- Zi сг.с%\{1 ) Xi> Li)-
Ч-Ч
Скалярное произведение {{T*)nyj, уд) отлично от нуля только в
том случае, когда (f*)"Xi = Хз- Но так как траектория каждого
нетривиального характера бесконечна, то при достаточно больших
п последнее равенство невозможно. Следовательно, (llrfi, /3) — 0
при достаточно больших п. Поскольку функции рассматриваемо-
го вида всюду плотны в Ll(M, ®, \i), то Iim(f7r/1, /2) =0
для любых двух Д, /2 е L\ (М, ©, ц). Отсюда, очевидно, выте-
кает, что Т обладает перемешиванием. Теорема доказана.
Теорема 2. Групповой эндоморфизм Т эргодичен тогда и
только тогда, когда автоморфизм Т* группы G« удовлетворяет
условию теоремы 1. В этом случае Т обладает также переме-
шиванием.
Доказательство. Необходимость доказывается так же,
как и в теореме 1.
Достаточность. Положим G(m) = Gm\Gm+], лг = О, 1, ... Тогда
Q(m) попарНО ие пересекаются при разпых яг, и
(Г*)"?(т) = G[n+ml B)
при всех лг, пХ). Пусть функции /ь /2 такие же, как в доказа-
тельстве теоремы 1. Представим /2 в впде -
Заметим, что во встре-
где Ат) = 2 42)Х, /гм) = 2
чающихся здесь суммах лшпь конечное число слагаемых отлично
от нуля. В соответствии с C) представим скалярное произведение
105

fn /а)
ции
h. Л) -= 2
При фиксированном m каждый член последней суммы (по тп)
равен нулю, если п достаточно велико. Это непосредственно вы-
текает из B) и ортогональности различных характеров. К по-
следпему слагаемому б D) применимы рассуждения из доказа-
тельства достаточности предыдущей теоремы, и оно также равно
нулю при достаточно больших п. Так как сумма по m в D) со-
держит конечное число ненулевых слагаемых, мы получаем, что
(бгг/[- Л) = 0 при достаточно больших п. Теорема доказана.
Примеры. 1. G = Tor2, Т — групповой автоморфизм, задаю-
щийся матрицей ^=1' JL где а, Ъ, с, d — целые, ad—bc =
— ±1. Тогда автоморфизм Т* задастся матрицей 71* = Г 1.
м '¦> «II
Условие теоремы 1 сводится к тому, что матрица Т* (а значит,
к матрица Т) не имеет собственных значений, являющихся кор-
нями из 1. В двумерном случае это эквивалентно наличию у Т
двух действительных собственных значений с модулем, не рав-
ным 1.
2. G — счетная подгруппа U1, преобразование Т* есть умно-
жение на фиксированный элемент г ^ G. Тогда автоморфизм Т
группы G, отвечающий преобразованию Т*, эргодичен при тФ 1.
Теория характеров позволяет довольно подробно изучить струк-
туру периодических точек групповых автоморфизмов коммутатив-
ных компактных групп. Мы будем предполагать, что групповой
автоморфизм Т эргодичен, и, следовательно, удовлетворяет условию
теоремы 1. Бесконечность каждой орбиты {Т*)пу) при нетриви-
альном х означает, что №*)*%?=% ни при каком пФО. Иными
словами, ядро (Т*)п — I при любом пФО тривиально. Здесь / —
тождественное преобразование. Отсюда на основании леммы 1
следует, что Тп — I является групповым эндоморфизмом и, тем
самым, отображает группу G на себя. Положим Nn = {х^ G\
Т"х = х\. Ясно, что Nn = lx^G: (Тп — 1)х = е) и, следовательно,
является подгруппой группы G. Легко проверить, что cardOVn)
равно числу классов смежности G\((T*)n —J)G.
Рассмотрим последовательность подгрупп {{Т*)п — I)G, n =
= 0, 1, 27 ... Будем называть ее уходящей в бесконечность, если
для любого нетривиального характера % ^ G включение
у е {G1*)" — DG выполняется лишь при конечном числе зиа-
чештй п.
Теорема 3. Если автоморфизм Т эргодичеи и последователь-
ность ({Т*)п — I)G уходит в бесконечность, то для любой функ-
106
Доказательство. Достаточно доказать утверждение тео-
ремы для функций / = j(flj где хо — нетривиальный характер груп-
G, т. с. показать, что
Пусть п таково, что
Для любого характера % е G доложим
F)
Тогда xul — тоже характер. Легко проверить, что х|п) постоянна
на классах смежности по подгруппе Nn и, значит, может рассмат-
риваться как функция на фактор-группе G/Nn- Набор характеров
%(п), отвечающих всевозможным % ^ G, образует полную ортого-
нальную систей1у функций в прострапстве LS(M/Nn, n/Nn), где
цУЛГп — мера Хаара па G/Nn. Из F) вытекает, что характер %0
ортогонален любому характеру вида %Ы) и, значит, J Хо (x)fl(x) ^р-=0
для любой функции f<^L2{Af, ©, ц) постояппой па классах
смежности по Nn. Представим последний интеграл в виде повтор-
ного: сначала проинтегрируем (усредним) по смежному классу,
а затем проинтегрируем по фактор-группе G/Nn. Мы получим
тогда ввиду произвольности /, что ]5 у0 (xz) -= %а {х) 2 Хо (s) = 0
для почти всех х ^ М. Отсюда вытекает E). Теорема доказана.
Следствия ж примеры.
1. Если выполнены условия теоремы 3, то мпожество всех
периодических точек автоморфизма Т всюду плотно. Это показы-
вает, что Т имеет много инвариантных мер, сосредоточенных на
периодических траекториях. Часто у групповых автоморфизмов
есть много и пепрсрывных инвариантных мер, но соответствую-
щие теоремы пе просты.
2. Пусть Т — эргоднческий автоморфизм группы характеров
группы рациональных чисел, сопряженный с умножением на ра-
циональное число г. Тогда (Т*)п — I есть умножение на г" — 1
и является, очевидно, автоморфизмом группы рациональных чи-
сел. Следовательно, card(iVn) = 1 при любом п, и здесь не выпол-
няется утверждение теоремы 3 о равномерном распределении пе-
риодических точек.
107

3. Пусть М есть прямое произведени
групп
Прямая сумма таких групп, Т — групповой автоморфизм сдвига.
Здесь, как легко видеть, имеется равномерное распределение пе-
риодических точек, но утверждение о том, что последовательность
подгрупп (G1*)" — 1)Х является уходящей в бесконечность,
ис просто.
4. Геометрический метод D. Хопфа доказательства эргодично-
сти групповых автоморфизмов тора. Пусть М = Тог — т-мерный
тор, Т — его групповой автоморфизм, задаваемый целочисленной
матрицей А = \\ац\\, detA=±l> Допустим, что среди собственных
знамений матрицы А нет чисел, по модулю равных 1.
Воспользуемся следующим алгебраическим утверждением, ко-
торое непосредственно вытекает нз возможности приведения мат-
рицы А к жордановой нормальной форме. Пространство Кт
можно представить в виде прямой суммы двух подпространств
Е(и\ tfs>; \Rm - &и) 0 &* таких, что
1) АЕ'-и) = А''Е<а} =?<">;
2) AEW=A-W>=EM;
3) существует такая константа ?,, 0<Л<1, что
lUzll ^ Msll для любого s s ?<5|;
Щ-'zll ^ >.Ы для любого г е Eiu\
Пусть т». = dim Ещ т, = dim Е„. Тогда т — теи + т,, ж на торе
Тог можно ввести тец-"мерпую подгруппу сдвигов Е{и) на векторы
пз пространства Е„ и апалогичпую подгруппу ?'(s).
Назовем параллелограммом открытое множество U <=¦ Тог, ко-
торое можно разбить на открытые связные множества U(u> орбит
группы Е[и>, а также па открытые связные множества t7(i| орбит
грутлты ?"CsJ, тгрпчем любые два множества U[u\ Jj\ , входящие
в эти разбиения, пересекаются и притом в единственной точке.
Множества U{u\ Uis) называются расширяющимися (сжимающи-
мися) слоями параллелограмма U.
Обозначим через C/(tl|(^)(f/'sJ(ж)) расширяющийся (сжимающий-
ся) слой, содержащий точку х е JJ. Тогда для любого х ^ U па-
раллелограмм U может быть представлен в виде
если / — непрерывная фупкция на Тог1" и
существует, то существует такой же предел для точки z2 и эти
103
пределы совпадают. Заметим, что ограпичепие меры Хаара (А. па
U может быть записано в виде d\i = d\ilu>d\itl]. Это означает, что
для любой ограниченной измеримой функции / и расширяюще-
гося слоя U^1 (сжимающегося слоя ?7oS)) справедливо равенство
и
и
.Си)
Пусть теперь / — непрерывная функция на Тогт. По эргодичес-
кой теореме Биркгофа — Хипчипа для почти всех х существуют
и равны пределы
± "V
/(Л).
Мы покажем, что на параллелограмме U функция /+Ы почти всю-
ду постоянна. Возьмем две точки Х\, х2 е U. Найдем такие точки
г/i, г/2, лежатдие на одном и том же расширяющемся слое:
и(и)Ы = Uiu)(y2) = U{1\ что у± = U(?i(\ &*>(х?ы= U'bu) П ^Ы.
Предположим, что /4"(i/i). j~(yO, }+(уг\ /^(^2) существуют,
и /+(Ы=7^У1),7+Ы=7-(Ы. Тогда
Нз теоремы Фубини вытекает, что можно выбрать ггодмножество
U' <= с/( (if?/') = (а,(?7) так, что для любых двух точек х\, х2 е G'
ыо!кпо найти г/1, у2, для которых наши предположения будут вы-
полнены. Поэтому f+{x) постоянна почти всюду на U.
Заметим теперь, что тор Тог7" может быть покрыт параллело-
граммами (и, значит, конечным числом параллелограммов). Отсю-
да вытекает, что f+(x) постоянна почти всюду на торе. Так как не-
прерывные функции всюду плотны в L2(M, u,), то любая инва-
риантная относительно Т функция может быть аппроксимиро-
вана функциями вида /¦•", и поэтому постоянна почти всюду. Тем
самым эргодичность Т доказала.
§ 4. Динамические системы иа однородных пространствах
группы SL B, IR)
Группа SL B, IR) вещественных матриц второго порядка
с определителем 1 — простейшая некоммутативная группа, с кото-
рой связаны интересные примеры динамических систем с разно-
образными эргодическими свойствами.
Пространство группы SLB,[R) можно реализовать как ги-
перболоид в R4: если g — Г J e SL B, R)' то ad— be = 1
есть уравнение этого гиперболоида (при этом а, Ь, с, d рассмат-
109

риваготся как координаты в R4). SLB, R) является локально
компактной топологической группой, и даясе группой Ли. Вия
гиперплоскости d = 0 в качестве координат па SL B, R) мож-
но выбрать числа а, Ъ, с. Ila SLB,K) существует двусторонне-
ипвариантная мера Хаара, которая в координатах а, Ь, с запи-
сывается в виде d\i,(g) = rj-.dadbdc. Эта мора бесконечна:
jj,(SLB, R)) == оо, по (Т-копечна.
Рассмотрим дискретную подгруппу Г с= SL B, iR), т. е. та-
кую подгруппу, что для некоторой окрестности V едипицы е
группы SL B, iR) пересечение Г П U = {е>. Предположим, что
def
фактор-прострапство М = FVjSL B, 1R), т. е. пространство ле-
вых классов смежности, имеет конечный объем. Условие конеч-
ности объема М означает, что можно найти такое борелевское
подмножество D<zz SLB, iR) (фундаментальную область), для
которого цСО) < «, 4iD П ч$В = 0 при 7ь 72 е Г, Y' ^ Тг s
Ver
Примером подгруппы Г с подобными свойствами может слу-
жить подгруппа целочисленных матриц f J; а, Ь, с, d —
целые. В этом случае D некомпактно, хотя \i(D) < °°. Существу-
ют примеры подгрупп Г, для которых D компактно.
Мера Хаара ц па SLB. R) опредслеиа с точностью до мно-
жителя, который мы выберем так, чтобы было \l(D) = 1. Отожде-
ствляя D с Л/, мы превращаем М в пространство с мерой, кото-
рую по-прежиему обозначим ц.
Всякая однопарамстрическая подгруппа {gt, — со <;?<; со} cz
cz SL B, R) порождает динамическую систему {7") на М:
Т'х = xgt, х е М. Эта запись корректна, так как левые классы
смежности по подгруппе Г под действием правого сдвига gt пере-
ходят спова в левые классы смежности. Иа правой инвариант-
ности меры Хаара вытекает, что {ТО сохраняет меру ц и, следо-
вательно, является потоком на М. Ниже мы будем обозначать
динамические системы, порожденные однопараметрическимн
подгруппами, так же, как и сами подгруппы.
Приведем несколько важных примеров одпопараметричеекпх
нодгрупп вместе с названиями соответствующих потоков. Смысл
этих названий станет ясен позже, когда мы объясним связь рас-
сматриваемых динамических систем с геометрией Лобачевско1 о.
Примеры.
F ° II
1. gt — || n ^_ j — геодезический поток.
— оридиклические (положительный
2. Ot =
и отрицательный) потоки.
" cos t sin г ||
3. at =
110
,— sin t
j, — циклическпп поток.
Теорема 1. Геодезический поток igi) эргодичеп и обладает
перемешиванием.
Доказательство. Непосредственно проверяется, что
07 gt
A)
при любых s, t. Отметим далее, что пространство М = T\SL B, R)
является многообразием класса С", и векторные ноля на пем, от-
вечающие потокам {gt}, \Ot\, {O(~], также класса С и линейно
независимы в каждой точке х ^ М. Наши последующие рассуж-
дения напоминают приведенное, выше в § 3 доказательство Хоп-
фа эргодичности группового автоморфизма тора. Разобьем эти
рассуждения на отдельные пункты.
1°. Пусть fix}— непрерывная функция с компактным носите-
лем на Л/, т. е. f(x)=O впе некоторого компактного множества.
По эргодпческой теореме Биркгофа — Хинчина, временные
средние
-y- \f{xgu) da,
:)- lim j f (xg.u) du
существуют для почти всех х е М, и для почти всех х имеет ме-
сто равенство f+JU) =f~Kx). Покажем, что если для некоторого х
предел f+>(x)(f~)(x)) существует, то при любом s существует
аналогичный предел для точки xOf и ?+1(х0?) = ?+) (х) (со-
ответсавенно Р~Кх0з) ~ Р~Чх)). Действительно, в сплу A) при
и > 0 запишем:
а при и ^ О
Поэтому, ввиду равномерной непрерывности /
limJf(xO7gu)-f(xgu)] = lim [fixgvOJ^-fix^)] = 0f
и предельные соотношения выполняются равномерно! по я. Сле-
довательпо,
(
lim -I j [/ (xgu) - f (xOtgJ)] du =
t
= lim 4 j [/ (xg-u) - / (xO7g-u)] du = 0. B)
-»C3D ^
111

Зафиксируем х0 е М и для 6i > 0, бг > О, б3 > О достроим снача-
ла гладкую кривую уеа (жо) = \Х(Р^: irl<51}, затем открытую
гладкую двумерную поверхность
и. наконец, открытую окрестность б^.б^бз^о) точки ха:
Из гладкости векторных полей, вытекает, что при достаточпо
малых 6ь 62, б3 поверхности (о"бг,б2 СО) #/" не пересекаются
при разных 5, 1st < б3 и для точки х -= x00~gu0t e U61,G2tG3 (xo)
Числа п и, s служат гладкими координатами в ^.«а,^ ^o)*
При этом, когда %о меняется в компактной части М, то числа
fit, 62, из, удовлетворяющие последггему условию, можно выбрать
не зависящими от xq. Будем считать, что такой выбор уже сделан.
Отметим, что мера и. индуцирует на поверхностях (св1(д3 (#о)) О*
условпые меры (для которых по будем вводить специальных обо-
значений).
Лемма 1. Для почти каждой {по мере ц,) точки Ха е М
поверхность о^.б-з (^о) обладает тем свойством, что для, почти
всех {по условной мере) ее точек у е о^ е3 (^0) выполнено равен-
ство /!+)(г/) =/"->(*/).
Доказательство. Так как множество тех ,геЯ, где
/(+)(#) ?^р-){х) или одно из этих средних по существует, имеет
меру пуль, то утвер?кденио леммы непосредственно вытекает из
теоремы Фубини.
Пользуясь этой леммой, закончим теперь доказательство_эрго-
личности потока {#(}- Для этого достаточно показать, что ft+){x)
постоянна при почти всохя: е С/а^б^вд (#о)*
Обозпачим через V подмножеаво множества ^^.«д,^ (^0)т
состоящее из точек % = za0~gu0*', удовлетворяющих условиям
1) fi+)ix) существует;
2) для у = x0O^~gu ^ °fii.63 (xo) справедливо равенство
Пользуясь гладкостью векторных полей и теоремой Фубини,
лепсо показать, что U — подмножество С^б1гв2,в3 (^о) полной ме-
ры. Для любых двух точек х±, х2 е 1Т, х1 -= х0О^и1О^, х2 =
OVfit
полагая
Уг -
Ч - х^)т
Равенства /(+JUi) = /(+)Ыг /w(z2) =/<+> W, f^^) =f~Kz2)
вытекают из B), равенства /(+)(yi) = ?-'Ы, /<+]Ы = /{-}Ы —
из C), а равенства f~KyO =/l~'(S]), /(~'(#г) ^f"*^) вытекают
из того, что для любых двух точек, лежащих на одной траектории
потока {#*}, временные средние f~] существуют или не сущест-
вуют одновременно, _и, если существуют, то совпадают.
¦ Таким образом, fl+){x) = const(modO) па ^б1,а2,б3 (х0)- Как
ужо говорилось, отсюда вытекает эргодичность {g,}.
2°. Перейдем теперь к доказательству того, что поток {#<}
обладает перемешиванием:. Рассмотрим гильбертово пространство
L2(M7 |x) и введем в нем одиопараметрическпе группы унитарных
операторов [U \, {F+O |F!_), сопрял;енных с потоками{gt}, \Ot\-,
{ОТ) соответственно;
(C/V) (*) - / (xgt), (FL/) И - / (xOf), (Vif) (x) - / (*0Г).
Из A) вытекают перестановочные соотношения:
Введем подпространства
VLU' =
/, р.) : Т7+й = /г при всех t],
?, ц): Vlk = k при всех *}.
D)
Лемма 2-1) Лели векторы f\, f2^L2{M, \i) ортогональны
подпространству Н+, то !im (Ut/1,f2) —0.
(—>+CJO
2) Й'слг* Д, fa^LHM, 11) ортогональны Я_, го lim(c/Vu/а) = 0-
Доказательство. Докажем лишь первое утверждение
леммы, так как второе утверждение доказывается аналогично.
Из эргоджческйй теоремы фон Неймана следует, что для любого
е>0 найдется такое JV=JV(e), что
s> N. Тогда в силу упитарпости ?7'
(p'f-4-l
. П. Корафельд и др.
1
<е /, ¦
e при всех
E)

Но из D) имеем
=4-J л. К'- с/1/,, /,) = 4-j ^
При *->-
но по и
и фиксированном s для всех и, 0 < и < s, равпомер-
m|r+'"""/a-/J|=0. Сл
^ледовательпо,
=0.
F)
Сопоставляя E) и F), получим, что lim] (f/'/i> /a) I ^е1/-г I-
Ввиду произвольности 6 утверждение леммы доказано.
В силу унитарности U1 имеет место соотпошение lE7~*/i, /2) =
= (/1, f/'/г) — (Ulfa, /1)- Из этого замечания и из леммы 2 следует,
что если Н = Н+& #_, то lim (?/*/i> /aJ =- 0 для любых /ь /2,
ортогональных //.
3°. Мы покажем, что каждое из подпространств #+, Н- есть
подпространство констант. Из этого будет вытекать утверждение
о том, что {gt) обладает" перемешиванием. Доказательство прове-
дем лишь для Н+ — для Н- рассуждения аналогичны.
_ [[ cos ф sin ф!]
Лемма 'д. Пусть дФ = |_а1пф С08ф| ^ SL B, К). Тогда для,
всех t > 0 найдутся qpi — <piU), t[ — t^t), ф2 = фг(^), "pw когорыж
^i+= ДФ1?<хДф4. Кроме того, lim tpx (f) =0, limtp2 (*)^-— я/2, ^ (*) —
монотонная функция, t при достаточно больших tt причем
limt^f) = 00.
Доказательство леммы гЗ проведем позже, а сейчас выведем пз
нее требуемое утверждение.
Пусть {А4} — аднопараметричеекая группа унитарных опера-
торов, сопряженная с потопом {а^}: Лф/(^) e/(a:a,), /eL2(ft jx),
— 00 < ф < оо. Тогда нз равенства Vl+h = А имеем ЛФ1^7 1A4>2h =h,
т. е.
Так как
Поэтому
17 ПЛ zk-
—я/2 при
\ = lim
v% - A~
h \\.
G)
(8)
Далее, из того, что ф]@ -*- 0 при t -*- ос, вытекает, что
Шпи~Ф1/г-й|! = О.
Объединяя G), (8) п (9), получим:
lim Q г711Л-"'гА — Л1 = 0.
По эргодической теореме фоп Неймана, в силу эргодичности
lim -i- [ Е/'1^11 'Ы*! =
= const,
(9)
(Ю)
(И)
где сходимость по порме ?2(Л/, ц). Из A0) и A1) следует, что
h = J А~п/2}и1ц. Как уже отмечалось, из этого вытекает, что по-
м
ток {^t) обладает перемешиванием. Теорема доказана.
Доказательство леммы 3. Рассмотрим матрицу dt\
Эта матрица самосопряженная н упимодулярная. Ее собственные
значения }п (t) > 1, Яц (t) = l^1 (t) < 1, и )ч {Ц -> оо при ( -*¦ «
Поэтому можно написать с?( = д^Л^*, где Л( = ^ ^ ^,
ф2 — ф,(()! и непосредственно проверяется, что ццШ =0A//) при
t -> оо. Положим теперь
(9+=Qlfl /^Ь,. A2)
Последпее соотпошшше можно рассматривать как определение
матрицы bt. Покажем, что bt — йф,, при некотором фз = фг^)-
Имеем rf( = Of №)*-- аф1 V^Ai &(&* V^Aj яф1 ^ ^Л^а^1, откуда
yOVf &Fг* V^At — Af? н, следовательно btb* = e. Это озна-
чает, что матрица bt ортогопальна, т. е. bt — дф2. Прямые вычис-
лепия, которых мы не приводим, показывают, что фгШ ~*" —я/2
при t -*- оо. Так как Л, -^ gtl, где ^ = *i(i) = In A,i(f), то A2)
дает искомое представление для матрицы Oj . Лемма доказана.
Замечание, П.3е доказательства теоремы 1 фактически
содержит доказательство следующего утверждения:
Орициклические потоки |О*"К {ОТ) эргодичны.
Поясним теперь связь рассмотренных динамических систем с
геометрией Лобачевского. Плоскость Лобачевского L будем счи-
тать реализованной в виде верхней полуплоскости 1тг>0 ком-
плексной z-плоскости с метрикой ds2 = —j- {dx* + dy2)f где
2 = x + iy.

Группа SLB, R) тесно связана с группой дробно-линейных
преобразований комплексной плоскости с действительными коэф-
фициентами. В самом деле, всякое дробпо-л идейное преобразова-
ние комплексной плоскости, оставляющее верхнюю полуплоскость
неподвижной, имеет вид z~^77X'w д гД
с> ^ ~~ вещественны,
adet
>0. Мы можем всегда считать, что dell
--1. т. е.
eSLB,[R). Далее, две различные матрицы g't g" «
, IR) порождают одно и то же преобразованпе тогда и только
тогда, когда g' = g"l . Отсюда вытекает, что группа движе-
ний плоскости Лобачевского изоморфна Z2\SLB. К), где Z2 —
111 Oil ii-i o|!
подгруппа, состоящая из двух матриц , I . ^ |. С другой
¦стороны, группа движений плоскости Лобачевского естественно
изоморфна множеству единичных касательных векторов тглоскости
Лобачевского. Требуемый изоморфизм вытекает- из того, чго су-
ществует единственное движение плоскости Лобачевского, пере-
водящее фиксированный единичный касательный вектор ha в лю-
бой другой единичный касательный вектор h. В качестве вектора
h0 удобно выбрать единичный вектор с носителем б точке i, на-
правленный вертикально вверх.
Хорошо известно, ^ что всякая поверхность постоянной отри-
цательной крпштзны строится как фактор-пространство плоскости
Лобачеескою L по некоторой дискретной подгруппе группы дви-
жении Г. Из этой конструкции вытекает, что фактор-пространство
неон грунты движений по дискретной подгруппе есть простран-
ство единичных касательных векторов к построенной поверхности.
Теперь уже ясна связь пространства М, рассматриваемого v. этом
параграфе, с пространством единичных касательных векторов к
поверхности постоянной отрицательной кривизны. Из-за фактори-
зации по подгруппе Ж,г любое такое пространство допускает дву-
кратное пакрытпе пространством М (при соответствующей под-
группе Г).
Поясним смысл названий подгруцп группы SL B, U),
встречавшихся в этом параграфе. Подгруппе {gt) отвечает геоде-
зический поток па пространстве единичных касательпых векторов
па поверхности постоянной отрицательной кривизны. Чтобы в этом
убедиться, достаточно рассмотреть движение упомянутого выше
вектора Нц с единпчпой скоростью вдоль определяемой им геоде-
зической, т. е. вдоль мнимой оси. За время t носитель этого век-
тора переместится из точки ъ точку ie'. Такой переход как раз
задается матрицей gt.
Циклическая подгруппа отвечает такому движению, когда еди-
иптгный касательный вектор вращается с постоянной угловой ско-
ростью около своего носителя. Орициклические потоки связаны
116
с замечательными кривыми на плоскости Лобачевского — орици-
клами. На плоскости Лобачевского направленные геодезические
распадаются на пучки геодезических. Внутри одного пучка гео-
дезические сближаются друг с другом с экспоненциальной скоро-
стью. Фактически доказательство Хонфа эргодичности геодезиче-
ского потока использовало существование таких пучков. Орициклы
представляют собой ортогональные траектории таких пучков.
Знаки «+», «—» связаны с тем, происходит ли указанное сближе-
ние при t -*¦ — °° пли при f-^+«\ Действие орициклического по-
токи состоит в том, что единичпый касательный вектор движется
так, что его носитель лежит на орицикле, а направление перпен-
дикулярно к орициклу.
Динамические системы, определенные в этом параграфе, допу-
скают следующее естественное обобщение. Пусть G — локально
компактная группа Ли, Г — дискретная подгруппа, К — компакт-
пая подгруппа группы G. Рассмотрим пространство двусторонних
классов смежпости М = TXG/K. Если yi — право инвариантная
мера Хаара па G, то она индуцирует меру на М. Любая одиопа-
раметряческая подгруппа {gt}, перестаповоппая с К, т. е. g-tKgt =
= К порождает поток на М, действующий по формуле St(DgK) ==
= DggtK и сохраняющий меру ц. Исследование эргодическич
свойств таких потоков может быть проведено достаточпо подроб-
по с помощью теории представлений групп Ли.
ГЛАВА 5
ПЕРЕКЛАДЫВАНИЯ
§ 1. Определенпе перекладываний
Пусть пространство М есть полуинтервал [0,1); \^ (Дь •••
..., ДР) — разбпепие М на г^2 непересекающихся полуинтерва-
лов, занумерованных слева направо; я = (ль . . ., яг) — некоторая
перестановка чисел A, 2, .. ., г),
Определение. Преобразование Т: М ->~ М, являющееся
на каждом из полуинтервалов Д; сдвигом Тщх = х + a,(mod 1)
со своим а„ и такое, что эти полуинтервалы «перекладываются»
в соответствии с перестановкой я (т, е. полуинтервалы ГД,-=
= TctjAj -= Д» примыкают друг к другу в порядке Дяц - ¦ ',Дкг})
называется перекладыванием, отвечающим разбиению % п пере-
становке л.
Ясно, что перекладывания — обратимые преобразования Л/,
сохраняющие меру Лебега р, и числа ссь .... аг однозначно
(mod 1) определяются пярой (ё, я). Еслтт на соседних отрезках
Д„ Avfi (а также Дг, Д,) сдвиги Tai и TCCiJ_1 различны, т. е.
а, Ф a.,-+l(mod 1), то говорят, что Т — перекладывание в точности
г отрезков.
117

Пример 1. При естественном отождествлении полуинтерва-
ла М = [0, 1) с окружностью S1 перекладываниям двух отрезков
отвечают повороты (сдвиги) S1 -> S'. Таким образом, яереклады-
вания можно рассматривать как обобщения групповых сдвигов
окружности.
Пусть Т — перекладывание отрезков Д(; тогда отображение
Т~1 будет перекладыванием отрезков T&i = Аг, а степени Т"
при п ^ 2 — перекладываниями отрезков вида А.ц (] Г^ ft
ПГ~:Ч П ••• П T~nilAin_1. Каждое такое пересечение либо
пусто, либо является полуинтервалом, что легко доказать по индук-
ции. Действительно, Д* П Т'% = Т~1 (Д,- П TAi) = 7' (Д,- П Д'О —
полуинтервал или пустое множество, а
Д«„n г-'Ч П • •. п г-'+'д^ = Aio n г7 (Ч п г-'(чп ...
Множество левых кондов интервалов, перекладываемых посред-
ством Г, обозначим ЫТ). Ясно, что
Ь(Тп) = П\} T~kL{T).
Аналогично для п > 2 преобразование Г~п есть перекладыва-
ние отрезков вида Т (\ П TAh П ... П Г"~1Д^):
Л (Г*71) - 7T"Z, (Г") = U ГЛ? (Г).
Любое перекладывание является кусочно нзометричньш и не-
прерывным спрана в каждой точке х^[0, 1) отображением. По-
этому если точка Xq является неподвижной точкой перекладыва-
ния, то некоторая ее правая полуокрестность и, более того, весь
перекладываемый интервал, содержащий Хо, целиком состоит из
неподвижных точек. Применяя это рассуждение к перекладыва-
ниям Г", п?=0, неподвижные точки которых являются периоди-
ческими для У, получаем следующее: либо перекладывание Т не
имеет периодических точек, либо существует интервал, целиком
состоящих из неподвижных точек некоторой степени Тп пере-
кладывания Т. Очевидно., что во втором случае перекладывание Т
не может быть эргодическим по отношению к мере Лебега на
[0,1), поэтому основной интерес представляет изучение перекла-
дываний, пе имеющих периодических точек; их естественно на-
звать апериодическими.
Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны:
i) перекладывание Т отрезков Д; апериодично;
ii)
... П
при n -*- <
iii) объединение положительных полутраекторий левых кон^
цов di промежутков Д„ т. е. множество
L°°(T)™ U [Т%: ft>Ol - U TkL(T)
i fe-o
всюду плотно в М.
Доказательство. Если перекладывание Т не апериодич-
но, то условия (ii) и (iii) не выполнены, так как тогда существует
интервал, состоящий из периодических точек одного периода. Зяа-
чит, из (ii) или (iii) следует (i). Далее, поскольку полуинтервалы
Дг0 ft ГД^ П • • ¦ П Г"д*д при каждом п образуют разбиение %п
множества М, причем %n+i является измельчением 1-„, а объоди-
пепие левых концов всех этих полуинтервалов совпадает с мпо-
жеством L°°(T), условия (ii) и (Iii) эквивалентны. Наконец, если
не выполнено условие (Hi), то иивариантгос относительно Т от-
крытое множество MXCliL^iT)) (здесь С]Ы) — замыкание А) есть
объединение пекоторых интервалов /а, причем из определения
L°°{T) следует, что Т как-то переставляет эти интервалы (все сте-
пени Т непрерывны на /«). Поскольку интервалов фиксированной
длины конечное число, все интервалы 1а состоят из периодиче-
ских точек, и Т — не апериодичное перекладывание. Значит, из
(О следует (iii). Итак, @ =*¦ (iii) ¦**- (ii) -«=> (i). Теорема доказана.
§ 2. Оценка числа инвариантных мер
В этом параграфе будет доказала следующая теорема.
Теорема 1. Пусть Т — апериодическое перекладывание г
отрезков. Тогда
1) 0,1 я любой инвариантной относительно Т меры \х полуин-
тервал Ж = [0, 1) можно разбить не более чем на г инвариантных
относительно Т подмножеств положительной меры;
2) существует не более г эргодических нормированных инва-
риантных мер для Т *).
Доказательство. Покажем сначала, что яторое утвер-
ждение есть следствие первого. Действительно, если Ui, ..., цр,
р > г — различпые эргодические меры, то, но теореме 2 § 2 гла-
вы 1, найдется р инвариантных множеств Ли ¦ ¦ -, АР таких, что
{1 при I == ] 'V
О для 1ф ' Созьмем ** ~~~р ~^1и' ^'1сра ^ инвари-
антна, и цОи = 1/р > О, К К р.
Докажем теперь первое утверждение. Сначала заметим, что
мера ц, обязательно непрерывна, так как Т апериодично. Пусть
Ut — унитарный оператор в гильбертовом пространстве // =
= ?2(Л?,6, \х), сопряженный с Т: UTf(x)= f{Tx). Рассмотрим инва-
риаптпое подпространство этого оператора: lPnv = {f^H; UTf=ft-
*) См. сиоску на стр. 21.

Если М разбито на к инвариантных относительно Т под-
множеств положительной .меры, то подпространство Hh фупкцнй,
постоянных mod 0 на этиа подмножествах, содержится в Я'пт,
поэтому к = dim IIk ^ dim Я1п\ Для доказательства теоремы до-
статочно теперь проверить, что
dim#lBT^r. (i)
Рассуждепия разобьем на отдельные пункты.
1". Для h^H обозначим через ffik) замкнутое подпростран-
ство пространства Н, натянутое на функции U\h, — оо < к < оо.
Пусть h'nv — ортогональная проекция h на H'av, АХ=А —&lnv,
{hlDy} = H(hlov) — одномерное или нульмерное подпространство,
натянутое на h'BV. Согласно эргодической теореме фон Ыеймана
п—1
— ^ итН—ь-Н1 v по норме в пространстве Я, поэтому Л'пт s
е ПШ. Следовательно, h1- = h ~ hiDV «= H{h) и B{kx) <= H(h). Так
как UT — унитарный оператор, а Лх -L #inv, то Hih1-) -L Я1ПТ,
Hik1-) J- {Д1пт}, Из предыдущих замечаний следует, что Я(А) =
= Hihx) Ф Ш**} (сумма ортогональная), поскольку h = kx + kiay
п ff(A)<=#(AL)e#(Alnr)
(A)#(A)#(A).
2е. Допустим теперь, что нашлось р функций h\, . ,., АР s Я
таких, что Н = 11^) $ . ..© Я(А9) (сулша не обязательно орто-
гональная). Так как Н(h) = Я(А^) ф 1МПт1, где Я (V)lHlnT,
то Я1пт = (Alnv) © -. . ©¦ {upnv! и dim Я1пт < р. Следовательно,
для доказательства соотношения A) достаточно найти г функции
hi, обладающих указанным свойством, что мы сейчас и сделаем.
3°. Пусть hi ¦-= %\г — индикаторы перекладываемых интерва-
лов. Из леммы 1 § 1 и из непрерывности меры \i следует, что
для апериодических перекладываний днпеЁные комбинации инди-
dpf
каторов XtOt *!,..., iw множеств Д^о i(n = Aif> П ТА^ П "* П
(]TmAim (m = 1, 2,...; ih — 1,..., г) всюду плотны в П. Поэто-
му достаточно показать, что всевозможные функции %io,....im
представимы в виде 2 2 C|ftZ7f \ь*, г. е. лежат вЯ(хд,) © ••• ©
Q II (_%аг). Докажем ото утверждение с помощью индукции
по т. При m = 0 утверждение тривиально. Опишем теперь пере-
ход от т к т + 1. Мы имеем
Согласно предположению индукции, функции %ilr...jm+i предста-
вимы в требуемом виде. Будем рассматривать теперь отрезки Л*о
в порядке их следования на интервале М — [0, 1) слева направо:
г0 = 1, 2, ..., г. Заметим, что Ah (] ГД*Я П • • ¦ П ^^„-ц <= Aii*
поэтому множества TAh [\T*Ah (] ... ftTm+1Aim+1 = TAh Wl
являются полуинтервалами; их мы тоже будем рассматривать в
порядке следования, слева направо.
Пусть сначала ia = 1. Возможны следующие 2 случая:
•>) Т\ wisA>; 6i> т\ w. г4'-
Б случае ai) имеем Xi.^ im+1 = ^T1Xii.....im+i, и наше
утверждение вытекает из предположения индукции,
В случае б\) справедливо равенство
где суммирование распространяется на такие наборы \ii,..., im+i)>
что ТА г i = AL. В силу уже рассмотреппого случая ai)
каждое слагаемое в последнем равенстве представимо в нужном
виде, поэтому паше утверждение также доказано.
Допустим теперь, что го = 2. Здесь тоже рассмотрим 2 случая:
) ^^ U Д)
V
В случае аг) имеем
поэтому из доказанного выше и из индуктивного предположения
вытекает наше утверждопие. В случае б2) либо ТА^..,^т+1 [^
П (Дх U Да) = 0, и тогда Xt.ij. im.hl = °". либо
записывается в виде
Хз,^ im
где каждое слагаемое отвечает одному из уже рассмотренных
случаев.
Аналогичные рассуждения проводим для to = 3, 4, . .., г. Итак,
указаны г функций, удовлетворяющих условиям п°2. Тем самым
неравенство A) доказано, а вместе с ним доказана и теорема 1.
Пример 2. Разобьем И иа два полуинтервала и на каждом
из пих рассмотрим перекладывапие двух отрезков, отвечающее
эрг-одическому повороту окружности (см. пример 1). Полученное
преобразование Т является апериодическим перекладыванием че-
тырех отрезков, но оргодитескиы по отношению к мере Лебега.
§ 3. Отсутствие перемешивания
Теорема, которая будет доказана в этом параграфе, показыва-
ет, что переклалывапия обладают довольно слабыми статистиче-
скими свойствами.
121

Теорема 1. Пусть Т— перекладывание^ и \\, — любая ин-
вариантная борелевская мера для Т. Тогда Т не обладает пере-
мешиванием по отношению к мере \\,.
Доказательство основано на двух леммах.
Лемма 1. Пусть в пространстве М с мерой ц., в котором
действует сохраняющее эту меру преобразование Т, построена
последовательность разбиений 1, = [Ai \..., А^ }, t = 1, 2,...
(а\^ — измеримые подмножества Alt для которых u. [A\li f| A\^) =
= 0 при 1Ф1 и ц [ М\ (J Aj® I = 0 1 и указана последователь-
\ . j=i * !
ностъ наборов чисел г/, 1^7^Si, так что выполнены следую-
щие условия:
(i) Si ^ s = const;
(ii) min r^tJ-> oo при i -*• °°;
j
(iii) для любого измеримого множества С cz M
lim ц (с А
4" П С)) j=0.
) j A)
Тогда Т не обладает перемешиванием.
Доказательство. Соотношение A) можпо переписать в
виде
С П (Д
П
= V- (С).
B)
Далее
u[cn и Tri (a?nc) Ud uhr' D° n c)J <
Если Г обладает перемешиванием, то из (i) и (ii) следует, что
верхний предел последнего выражения при s -»- "» не превосходит
5 ¦ ii2(C). Если s • ]д(С) < 1, то это противоречнт B). Лемма до-
казана.
Пусть Т — перекладывание г отрезков, и Ы\ = Ioq, пу) <= М —
произвольный полуинтервал, лежащий в [0, 1). Рассмотрим про-
изводный автоморфизм Ту, построоппый по автоморфизму Т и мно-
жеству Mi (см. § 5 главы 1).
Лемма 2. Преобразование Ту является перекладыванием,
причем число Г[ перекладываемых отрезков не превосходит г+2.
Доказательство. Для каждой из г + 1 точек у = До, а\,
d2, ..., dr, где ds, d%, ..., <2Г — точки разрыва перекладывания Т,
т. с, левые контгы отрезков Ai, Л = 2, 3, ..., г, обозначим че-
122
рез s{y) паимёНЬШбе' нз чисел s>0 таких, что T~s{v)y^ [а0, аО
(если такие s вообще существуют). Точки T~s<-y)y делят полуин-
тервал [а0, ау) на п полуинтервалов A'lt..., АГ1 , где rt < г 4- 2.
Для каждого полуинтервала А* рассмотрим число к{ — наимень-
шее из чисел к>1, для которых ТкА\ (] МхФ0.. Тогда при
1 =5 р «5 h преобразования Тр непрерывпы на Ai и Г^Д! с Л/1(
ибо в противном случае при некотором pt I ^ p ^ kt— 1, попу-
интервал Т А{ содержал бы внутри себя одну из точек у =
= do, ay, d% dr, а тогда s(y) = /?, и точка У^^г/ = T~s{yly лен^а-
ла бы внутри А*, в противоречие с определением полуинтервалов
д^Бспоминая определение производного автоморфизма Гм, = Тк
и функции возвращения кМг (х) = к(х), мы видим, что ft (л:) — Л:(
для a; s Ait а преобразование Ji, совпадающее иа полуинтервале
Ai о Т , является перекладыванием отрезков Д|, ? = 1, 2,..., г4-
Лемма доказана.
Отметим, что приО^р^Л:?—1 множества TpAi—это по-
парно непересекающиеся полуинтервалы. Для лучшего понимания
дальнейшего полезно каждый раз в подобной ситуации представ-
лять себе TpAj прн 1 ^ р < ki — 1 как «ступеньки» («этажи»)
лад Aid Mt.
Доказательство теоремы 1. Заметим сначала, что
¦мы можем считать инвариантную меру \х. непрерывной, а пере-
зеладыпание Т аперподаческим и оргоднческим по отношению к
згере ц. Рассуждения разобьем на отдельные пункты.
1°. В этом пункте мы опишем некоторую вспомогательную
конструкцию, с помощью котором затем построим последователь-
ности разбиений |{ и наборов чисел г/1, удовлетворяющих усло-
' виям леммы 1.
Пусть T?L Tq — апериодическое перекладывание отрезка М =
= [0т 1) = Д!0); через А^, 1 < / < г = г@) обозначим переклады-
ваемые преобразованном То полуинтервалы. Рассмотрим последо-
вательность вложенных полуинтервалов Д10) => ДA) =>... ^Д<?' zd .,.
(пока произвольную); ипдуцированное исходным перекладывани-
ем Т$= Т преобразование полуинтервала А{(> обозначим Т„ от-
вечающую ему функцию возвращения — k!i){x). Согласно лемме 2
преобразование Тг: Аи) -*- ДО1 есть перекладывание некоторых
полуинтервалов Д(/}, 1^ j ^ гA). Пусть для всех х е Aj4) функ-
ция йA)(ж) равна А}'; заметим, что поскольку исходное пере-
кладывание Г апорио;(ично, гA) > 2 (функция А('Чя:) не постоян-
на), и положим fe^(i,= max [fejl) : 1^/^гс '}. Теперь мы одно-
значно определим последовательность {А'?), JJ, взяв для
каждого i ^ 0 отрезок A(i+1J = A^jj.
Перечислим некоторые свойства описанной конструкции.
123

(а) Для любого i ^ 0 и любого #еДA+1> справедливо нера-
венство /ctl+1) (x) ^ frjj,(i). Это вытекает из определения функции
(б) Справедливо строгое неравенство &ijji+u
текает из того, что кь'{х) ^ const.
Это вы-
(в) ?П; = min [kj}: 1 ^ / ^ rw} -*- оо при i -> *>. Это вытекает
из (а) и (б).
(г) diam ДA) -»- 0 при г -> оо. Действительно, в силу леммы Ка-
ца, доказанной в § 5 главы 1, m^diam Д"> < diam Д10' =1. Поэто-
му (г) вытекает из (в).
Перейдем к определению разбиений ^ и чисел г, , удовлетво-
ряющих условиям леммы 1. Для любого i^O и /—1, 2, ..., rt0
рассмотрим индуцированное исходным перекладыванием Т = То
преобразование Ту отрезка Д(/\ Каждое Т1() — перекладывание
^ cz A\l\ ^\
некоторых интервалов А)\' cz Д/% где
Отметим, что по лемме 2 для количества отрезков, перекла-
дываемых преобразованиями Т± и Т^ выполнены неравенства
Очевидно, пртт любом геД/1 функция возвращения Л/ (ж),
отвечающая иерекладывапию Гу, не меньше &@(#), поэтому спра-
ведливо следующее:
(е) если для х е Д$ функция &j (ж) равна к$г\, то к^\~^т
при всех Z, i^l^r^.
Наконец, положим для i ^ 0, 1 ^ / ^ r@, I ^ I ^ /^г)
"¦i" v <>>
Поскольку множество Л/* — U А;\, очевидно, ипвариаптно от-
3,1
посительно преобразования Т, для любой эргодичрекой иттварп-
ажтной относительно Т меры \х либо \х(М\М,) = 0, либо ^(Л/г) = 0.
В первом случае |$ = Ил1* 1^У^гA\ 1^ ^ГУA— разбие-
ние пространства с мерой (М, \i); во втором случае нужно прове-
сти описанную выше конструкцию, взяв в качестве Д@} дополне-
ние М\М{ (оно является инвариантным относительно Т объедине-
нием конечного числа полуинтервалов Af^) , Поскольку Т = Tq —
перекладывание конечного числа полуинтервалов, повторив наше
построение, возможно, несколько раз, мы получим нужное разбие-
ние Hi = {А}}} , причем вспомогательные перекладывания Г(
и TiAJ будут по-прежнему обладать свойствами (а)—(е).
2°. В этом пункте мы покажем, что разбиение ?f и числа г^\
удовлетворяют всем условиям леммы 1; тем самым будет доиаза-
по утверждение теоремы 1.
124
Во-первых, из неравенств (д) следует, что число элементов
A?i разбиений ?, не превышает постоянной s = (г@) 4-2J. Во-
вторых, из определения чисел r})J, из неравенства Се) и из
свойства (в) вытекает, что minr^j-vco при i ->• °°.
Наконец, проверим условие (iii) леммы 1. Пусть С <= М — про-
извольное измеримое множество. Для любого б > 0 рассмотрим
следующие множества:
a.i = U: ^fif, ц(с П Г4^>A-в)ц(дН}.
СГ., = W : х е Г'А^, ц (С Л ГРД^)< «^ (^f) I,
C8.i = [z: ^еГД('),й.иD<-'))<A(сЛ Г'ДН < A-«) (i(AJ(>)|,
(здесь /Б? пробегают зпачепця 1</<г(>), 0<; <*"')¦ Соглас-
но теореме о точках плотности, из непрерывности меры ^ и из
соотношения (г) вытекает, что прн i -* =°
v- (с8,() -»- о, ц (с д се1;,) -* о, ц ((м\С) д Св~;|) ->- о. C>
Даяее, так как TJ'4?C J Г^Д*-4, а эти объединения попар^
р=о
но не пересекаются при разных ;, то
ДГ1) (. (<7 A LI И? D? A С) | ГAf ) =
! — 2?i + Se,i + 2§.ь
, где суммирование производится соответственно по тем индексам
\ h Р, Для которых ТрА15г) содержится в множествах Ct,i, C§~i, С1Л.
| Поскольку 2«,i<p.(C6,i), из C) вытекает, что
Ч.г^о при i-»<*. D;
j Оценим две первые суммы. Заметим, что Т**1 А$ (] ТрА(р = TTjl
"'A^V), поэтому если ТРД^ с: С&л то
СД иГ' D? П С))\ ТрА& < ill ГрД(/\ U TT}1 (ii{*> П
\ П С) | ТРА([>) -f 6 = ц ( ГРД^\ и rTj' D? ПОП TpAf | ГРД^) +б-
= (х (грлг;\ и r^fr^? п с) |грд(/Л + в.
125

Так как U T^'+PAf = T"Af, причем множества т'п +°Ь$
попарно не пересекаются при разных I, а множество С П Т &,
с точностью до б совпадает с Т Aj , то
HVaJ? П с)) =2^И!)(^? П с)) =
(грл$!' п с) = м- (тр\? п с) > A -
Поэтому р- (VaJN LI И'1' (Г'Д)!» П С) | ГД<()) «6. Убывая
предыдущую оценку, мы получаем
E)
откуда следует, что
Перейдем к оценке суммы 2a,i. Перепишем ее в виде
Zr.i = И ([с А ( U Т'п D? П C)J П Ct,tj == м (С П Cji) +
С одной стороны, С П СГ с; (Л/\С) А Сь , п поэтому из C)
выводим
ц(С П C?i)-»-0 при i-»-oo. <6>
Далее, как ж выше,
[. ( у /'? D? П С) I Г^") - и ( у Г# (ТрА$ Л С) | Т-Д'/»),
(>> ,.,
U ?''' (т'А$ П С) с Гр4$ч,
поэтому вторая сумма в формуле для Щг не превосходит б.
126
Ввиду произвольности б > 0 из соотношений D), E), F) полу-
чаем теперь, что
Теорема доказана.
§ 4. Пример минимального, ио не строго
эргодичесяого перекладывания
Перекладжвания не являются, разумеется, гомеоморфизмами
пространства М = [0, 1), однако для них, как и для гомеоморфиз-
мов, можно ввести понятия минимальное! и и строгой эргодич-
пости.
Определение 1. Перекладывание Т: М-*-М называется
минимальным, если траектория й(ж) = (Тпх: — сю < п< °о} лю-
бой точки х ^ М всюду плотна в М.
Определение 2. Перекладывать Т: М -»- М называется
строзо эрдодичесним, если мера Лебега р — единсгвепная норми-
рованная борелевская инвариантная мера.
Приведем критерий минимальности перекладывания.
Теорема 1, Если Т — перекладывание отрезков А\, ..., А,,
г 3^2, причем для i = 2, . . ., г траектория Q(dt) левого конца d,
отрезка А, (т. е. каждого пц за исключением точки d\ = 0) беско-
нечна и эти траектории при разных i не пересекаются, то пере-
кладывание Т минимально.
Доказательство. Iе. Покажем спачала, что Т аперио-
дичпо. В самом деле, в противном случае некоторая степень Т"\
являющаяся перекладыванием отрезков Aj , должна иметь цс-
*лый полуинтервал А^} нснодвижных точек. Для левого конца
d(, этого интервала пмеем T"dQ — do, причем d0 *= Tkd; ддя некото-
рого г, ККги некоторого к. В случае i ^ 2 сразу получаем
противоречие с условием теоремы; с бесконечностью траекторий.
Если do — Thd\, то возможны два случая: 1) T'xd\ = d% для i'^2r
и тогда, как и выше, do => Тк~Ы^ i ^ 2, it d, => ^'W;, в противоре-
чие с бесконечностью траектории O(rfJ; 2) r''d[=di—в этом
случае отрезок Д] остается неподвижным яри перекладывании
ТЛ поэтому одна из точен d-ut i ^ 2, цри преобразовании J перехо-
дит в (?2, Т1"Ю опять-таки противоречит условию теоремы.
2°. Перейдем к доказательству минимальности Г. Пусть
^ое Л/; допустим, чю замыкание Q(xa) траектории точки Xq не
совладает с №. Тогда найдется полупптервял Д|0) = [а, Ъ) с:
с i!/\Q(^n). Рассмотрим перекладывание Т\, индухщролванпое пе-
рекладыванием Т па полуинтервале Д'0) (см, лемму 1 из § 3).
Пусть Д j — перекладываемые преобразованием Т\ отрезки,
. к{х) — функция возвращения, к(.х) = к, при х е А$о) , Положим
127

ftj-1
F = U IJ Th\f\ Множество F является объединением ко-
i к-0
вечного числа непересекающихся полуинтервалов, поэтому его
компоненты связности — это также полуинтервалы F,, общее чис-
ло которых конечно. Обозначим через G объединение левых кон-
цов полуинтервалов F,. По своему определению множество F ин-
вариантно относительно Т, и поэтому для х ^ G либо Тх е G, ли-
бо х — точка разрыва преобразования Т или х = 0, т. е. х = d,,
при .некотором i, l^i^r. Поскольку мвожество^? конечно, а пре-
образование Т апериодично, для % ^ G прн некотором п > О точка
Тпх = di, 1 ^ i eS г, Апалогичпьпг образом для произвольной точ-
ки х е(? либо T~lx^G, либо Г"'ж — точка разрыва переклады-
вания Т, т. е. Т» — dj, 7^2, поэтому при некотором m > 0 точ-
ка T~mx<=dj, /^ 2. Следовательно, для x^G имеем x=*T™dh
Т"х = Tm+nd, = di, где и > 0, то > 0 и О 1, У ^ 2. Поскольку по
условию теоремы при i, / ^ 2 траекторттп точек d; и d, пе пере-
секаются, последнее соотношение может быть выполнено лишь
в случае i = 1, т. е. если d, = d(. Тогда c7j = T~xd\ п то = 1, п = 0.
Следовательно, $ = Tdj = d, = 0 п G — {01, т. е, F = М. Одпако,
по построению, F сг M\Q(xo), поэтому F Ф М. Полученное проти-
воречие показывает, что всегда Q(xq) = М7 х. е. Т — минимальное
перекладывание. Теорема доказана.
Следующая теорема покалывает, что существуют минималь-
ные, но не строго дргодические перекладывания.
Теорема 2. Для любого натурального m существует мини-
мальное перекладывание, имеющее m оргодических нормирован-
ных инвариантных мер.
Доказательство. Мы воспользуемся конструкцией косо-
го сдвига над поворотом окружности (см. § 1 главы 4). Пусть
5' = [0, 1) — единичная окружность с мерой Лебега р, Та — ав-
томорфизм поворота на угол а: Тах = х + a(mod 1). Рассмотрим
группу Zm — {0, 1. ..., ттг — 1} вычетов но модулю m с мерой
Хаара v (равномерным распре делением) п произвольную измери-
мую функцию о: Sl^-'?m-
Зададим автоморфизм Т пространства М~- SlxXm с мерой
ц = р X v формулой
Т(х7к)^(Тах, кВо{х)), x^S1, k^Zm- A)
Здесь Ф — групповая операция в Zm-
Если а (о;) каждое свое значение принимает на объединении
конечного числа полуинтервалов вида [р, f) с 51, то при отожде-
ствлении М с полуинтервалом [0, ш)Л при котором точке (х, к) е М
соответствует точка %Л- к ^[0, т), преобразованию Т будет от-
вечать перекладывание конечного числа отрезков. Воспользуемся
следующей леммой.
Лемма 1. Если преобразование Т вида A), построенное по
функции о(х) и иррациональному числу а, таково, что существует
128
измеримая функция т. 81-*-Ът, принимающая, на любом от-
резке 1$, "(J е ?' каждое из значений k^Xm на множестве
положительной меры и почти всюду удовлетворяющая соотноше-
нию
тG» =тЫ ©oU), B)
то отвечающее Т перекладывание минимально, а Т имеет m
оргодических нормированных инвариантных мер.
Доказательство леммы проведен позже, а сейчас определим
число а и функции о(#), %{х), удовлетворяющие ее условию.
Возьмем любое е > 0. Пусть иррациональное а таково, что для
некоторой последовательности несократимых дробей pj<l» выпол-
нены неравенства
0<а— pn/q,<.Vq+* . 3)
Ясно, что такие а. существуют. Выбирая из последовательности
pjq, подходящую подпоследовательность, можно добиться того,
чтобы
2 4<4-!^ai. 9 = 1,2,... E)
Так как дробь pjqs несократима, то точки jpJqSmod 1), 0 ^/ < ?„
разбивают окружность 5' па qs равных полуинтервалов Д; ~
= lJ>t/9»(modl)« (/+ ^}Ps/?s(modl))- Пусть A'}^[ja.(mod 1),
/а + mqsa,(mod 1)). Из неравенств C), D) вытекает, что Aj сД;,
поэтому полуинтервалы Aj попарно не пересекаются. При каж-
дом s теперь положим
A, при х е [0, mqjx (mod 1)};
@ п
ри остальных х;
к при х е \kqjx (mod 1), {к 4-1} ?,« (mod 1)),
" 0<*<m.
k®i при its [ja+kg,a (modi), /a + (ft + l)?,a(mo <
1))
Пот'алгеи, что ттри всех х ^ Sl выполнено соотнопгепие
t.((i + a)mod 1) ¦=¦ t.(.i) © a.lx). (G)
Для этого достаточно заметить, что возможны лштгт, следующие
случаи:
¦l) x^ и а;,
И. П, Корна'Сльл и
e U

3)i
4) я?еЛГ\ U Aj',
i-o
дл—1
5) z<=M\ U Aj,
j
A'.
В каждом из этих случаев соотношение F) непосредственно про-
веряется.
Далее, рассмотрим последовательности сдвинутых функций.
тЧ1апю о3 * а3 jet
— mo2.cc/niod 1)... и, авалогичпо, т5 = тл \х — 2j niq^a. J mod 1 I,
s = l, 2, ... Из определения ая(х) следует, что функции оЛх) от-
личны от 0 (и равны 1) па примыкающих друг к другу полуин-
тервалах, объединение которых есть полуинтервал [0, 6), где 6 =
~ * ~ П при х^ [0,6),
= 2j {mqba}. Положим о (х) = ?, og (х) = \
{0 при остальных х.
Любая функция т,(#), а следовательно, и любая функция тДх)
отлична от нуля на множестве меры не большей, чем у* {mq«a\ <
<Cm/qg. Значит, все суммы вида 2 т&(х) отличпы от пуля на
множестве меры ие большей, чем
Так как
V 1
; оо, то, по лемме Бореля — Кантелли, ряд
2 тг (х) сходится почти всюду к некоторой измеримой функции.
8=1
Положим т(х)= 2 Тр (ж). Ясно, что для наших о(х) и и(х)
справедливо соотношение B). Проверим теперь выполнение вто-
рого условия леммы 1 для функции т(х). Точки /a(mocl 1),
0 ^ / < Я„ делят окружность ва отрезки, которые имеют вид
Ij'ioc, 7-2Cci. Ha каждом из них функции i,t(x) принимает каждое
значевио k^Zm иа множестве меры не меньшей, чем lqta\* To
же относится и к сдвинутой функции х,(х) иа соответствуютцнх
сдвинутых отрезках. Поскольку при р < $ концы промежутков,
фигурирующих в определении тР(х), а также сдвинутых проме-
жутков для функций тР(#), содержатся среди концов указанных
отрезков, то на каждом из последвих функции тР, р< s, посто-
130
янпы. Следовательно, сумма 2 %л (х) на каждом из указанных
р—1
отрезков любое значение к е Zm принимает на мпожестве меры
ве меньшей {qH<z}. Так icai; т(х)= 2 ТР (^) + 2 т» (х) и вто-
рое слагаемое, в силу E), отлично от нуля на множестве меры
"< Т \Яза]» то т(х) принимает каждое значение па множестве ме-
ры ^-о- {?.?а}-. В силу иррациональности а отрезками вида
i&icc, к-2а\ мошпо аппроксимировать люПои отрезок I(J, у] <= S1.
'Георема доказана.
Доказательство леммы 1. Рассмотрим множества
S* = {(х, т(х) ®kh x^ 51}, 0 < к < m - 1.
Так как из B) следует, что почти всюду
Т(х, т(х) Ф к) = (Г„а:, т(Гаа:) Ф к),
то исе 5Й инвариантны mod 0 относительно Т. При отождествле-
нии Sk с 5i, при котором точке (х, т(х) ® к) соответствует точка
ге5', ограпичеииго преобразования Т на 5Й будет отвечать иово-
рот Та, окружности S1. Ограничения меры Лебега р па каждое из
подмножеств 5ft дают m требуемых мер.
Докажем теперь минимальность Т. Пусть, вопреки нашему
утверждению, Т не минимально. Тогда, как было показано в п. 2
доказательства теоремы 1, найдется инвариантное множество
УФМ, состоящее пз конечного числа полуинтервалов. Хотя бы
при одном к будет p(Sh П F) > 0. Возьмем такое к и заметим, что
p(Sk П (M\F)) > 0. Действительно, из условия леммы вытекает,
что Sk пересекается по множеству положительной меры с каждым
полуинтервалом [{J, <у) X Ш <= Л/, в то время как (M\F) содержит
некоторый полуинтервал. Множество А = Sh П F инвариантно
(modO) относительно Т, и при отождествлении Sh с S1 оно пе-
рейдет в некоторое множество В, инвариантное относительно 7'^,
причем 0 < р(В) < 1. Это противоречит иррациональности а.
Лемма доказана.
ГЛАВА 6
БИЛЬЯРДЫ
В этой главе рассматриваются динамические системы бильярд-
пого типа, то есть динамические системы, отвечающие движению
по инерции материальной точки внутри области с кусочно-глад-
кой границей. Достигнув границы, движущаяся точка отражается
от пее по закону «угол падения равен углу отражения». Помимо
самостоятельного интереса, бильярдные системы замечательны
еще и тем, что естественно возникают в ряде важных физических
задач.
9' 131

§ 1. Построение динамических систем бильярдного типа
Корректное построение динамической системы бильярдного
типа не вполне просто. Это связано с тем, что в естественных слу-
чаях граница области, в которой движется точка, имеет особен-
ности, и ход траектории, попавшей в особую точку границы,
вообще говоря, не определен или, точнее, определен неоднозначно.
Мы приведем сейчас общее определение бильярдных систем в
римановых пространствах с кусочно-гладкой границей. Бильярд-
ные системы можпо рассматривать как обобщение геодезических
потоков.
1°. Фазовое пространство бильярда. Пусть QQ— замкнутое
ршианово многообразен класса С™, возможно, некомпактное. До-
пустим, 'по на Qo задано г функций /ь /г, ..., ]г класса С™. Мно-
жестно Q = {q ^ Qq: f,iq) ^ 0, 1 ^ I ^ г) мы будем называть ком-
пактным римановым многообразием с кусочно-гладкой границей,
если
1) Q компактно;
2) множество fj1 @) не содержит критических точек функции
/г и7 следовательно, является 61ж-нодмногообра;зием коразмерности
1, I s? i ^ г;
3) в точках пересечения q<=ji @) f|/j @) градиенты grad/,,
grad /, линейно независимы.
Примеры. 1) Qo есть евклидово пространство К с коор-
динатами qu .. ., qd; Q — {q ^ Qo: 0 =? q\ < ... < q,i ^ 1);
2) Qo есть ^г-мерпый тор с циклическими координатами (f^
l<i<r l<y<d
d
, р-параметр,
z,<
Тогда граница д? —
мы будем назы-
Положим c"?i =/ГХ@) ПС 1<^<
= U й(?г- . Множества <?§* = d#i\ U
вать регулярными компонентами границы. Каждая регулярная
компонента является открытым ^-подмногообразием коразмерпо-
сти 1. Точки границы д^ [} дфг будем называть регулярными
точками в отличие от остальных точек границы, которые будем
называть особыми.
Пусть 0~ц для q e /i @) есть касательное пространство к Д @)
r точке #. Через п(д) обозначим единичный вектор нормали к ZT4t
направленный внутрь Q. Если q — регулярная точка границы, л>
n(q) — единственный вектор. В особых точках векторов n{q) мо-
жет быть несколько.
Обозпачим через Mq единичный касательный пучок над (?о-
Точки Мо имеют вид х = kg, v), где q^Q, v ^ Sd~l, d = dim Q.
132
Пусть я: Mq -+ Qo — естественная проекция, т. е. n(q, v) = q для
x = (q, v) ^ Ma. Положим M = тс~'(^). Ясно, что если Q — ком-
пактное риманово многообразие с кусочно-гладкой гранипей, то
М^—• многообразие тою же типа. Граница дМ = к~1(дф;
дМЛ = л х ( dQi) — регулярная компонента границы, дМ = \J dAf?
Если dim Q = d, то dim M = 2d — 1.
Для .г е М точка д = я(ж) назьшается носителем х, В Ж име-
ется естественная инволюция, сопоставляющая каждому х ^ /1/
точку х' ^ М с тем же носителем и единичным вектором противо-
положного направления.
Зададим в М меру \i, положив d\\, = dp(q}daq, где dp(q) — эле-
мент объема пц Qo, порожденный римановой метрикой, ш, — мера
Лебега на (d — 1)-мерной сфере S^Hq) =» п~Чх). Эта формула
означает, чю для любого борелевского множества А <— М
\к{Л)= § j
Той же буквой \i обозначим ограничение построенной меры па М.
Вводи постоянный множитель в dco.,, меру ц на М можно сделать
нормированной. В дальнейшем нам понадобится также мера \i\
на дМ, где d\ii(x) = dpl(q)d(i>q\(n(q), x)\, x e dMit dpj^q) — элемент
объема, индуцированного римановой метрикой на dQu
2°. Построение динамической системы бильярдного типа. Рас-
смотрим геодезический поток на пространстве Л/о. Ему отвечает
векторное поле X = {Xix), x ^ Mq}. Здесь Х(х) — касательный
вектор KifoB точке х. Той же буквой X обозпачим ограничение
векторного поля па М. Тогда X определяет движение точки с едв-
ничной скоростью по геодезическим липиям в М. Пусть jV,-^ есть
множество таких внутренних точек х е М, что отрезок геодези-
ческой, проведенный по направлению х, пересекает 0Q в 6Qt П BQ,.
Из определения номпактного риманова многообразия с кусочно-
гладкой границей непосредственно следует, что Niff есть замкну-
тое подмногообразие кораамерпости 1, и поэтому \х( (J -Vt>j| = 0.
Возьмем х е Int M\ U Ni 5 (здесь Int М — это мпожество внут-
ренних точек All. Могут представиться следующие возможности:
i) геодезический луч, проведенный по направлению х, пе пе-
ресекается с границей dQ;
ii) геодезический сегмент некоторой конечной длины $ окан-
чивается в регулярпой точке границы 6Q.
В случае i) рассмотрим движение х вдоль геодезического лу-
ча, т. е. такое же движение, как и в случае геодезического потока.
Б случае ii) обозначим через у касательный вектор, полученный
из х параллельным перенесением вдоль геодезической до коица
сегмента длины s (мы считаем, что s — наименьшее положитель-
ное число, для которого выполняется ii). Отразим у в точке
133

О = Ttiy) по закону «угол падения равен углу отражения», т. е.
построим новый касательный вектор у =У — 2(n(q)t y)niq). Если
(«(?), у) т^ 0, то у' направлен внутрь О, Допустим, что у'ф [} Nц.
зического потока. Если реализуется ii), то мы выпустим по на-
правлению у' геодезический сегмент до следующего пересечения
с грапицей, и т. д. Аналогичное построение можно сделать и в
обратном направлении.
Пусть Мш есть множество таких iel, которые при описан-
ном построении попадают па каком-либо шаге в U ^Kj- Чуть
позже мы покажем, что \i(Nn>) = 0. Рассмотрим M\N{1>. Это мно-
жество может содержать такие г,, для которых описанный процесс
б числу отраженны: за конечное время.
преобразований {Т}, положив для люго х и всякого
, ~ се < i < oot T'x равным касательному вектору, получающе-
муся в результате еднига х вдоль определяемой им траектории иа
расстояние t. В случае, когда ? — момент достижения границы,
полагаем Т1х^ Нш Т1 х. Если у— точка границы дМ и д —
ее носитель, то удобно считать у отождествлепиым с точкой
у' = у — 2(n(q), y)n(q). В этом случае точки lim T*'z, lim Т* z
f-,t+-t) f'-f-o
всегда оказываются отождествленными. Мпожество, получающе-
еся из Мт в результате такого отождествления, мы по-прежнему
обозначаем М',
Определение 1. Группа преобразований {Т'} называется
бильярдом в Q.
Определение 2. Если для почти каждого (в смысле меры
ц.) х е М' имеет место ii), то бильярд {Т'} называется собст-
венным.
В дальпейшем рассматриваются только собственные бильяр-
ды, тт слово «собственный» всюду опускается.
Множество Q иногда называют конфигурационным простран-
ством бильярда, множества ВИда Л{(Т1Х\ — оо<?<оо}M ж^Д/',—
конфигурационными траекториями бильярда.
С бильярдом {Т'} непосредственно связано преобразование Т\
множества М1=^{х^ дМ : (п (q), х) >-0, где q = n{%)}, опреде-
ляемое следующим образом: выпустим из q = nix) по направле-
нию х геодезический сегмент до первого достижения границы ч
отразим касательпый вектор в копце сегмента от границы. Полу-
ченный вектор у и полагаем равным Т\Х. Ясно, что если z при-
надлежит области определения {Т1}, то Т\х = Т1(х)х, где fix) —
длина указанного геодезического сегмента.
134
Допустим, что Т,х е= Mi. Тогда Т\ определено н непрерывно в
некоторой окрестности О с дМ точки х.
Лемма 1. Ограничение преобразования Т\ на О сохраняет
меру hi.
Доказательство. В силу теоремы Лиувидля, геодезичес-
кий поток сохраняет меру dp — dpda (см. § 2 главы 2). Окрест-
nocib О содержится в Bd — 2)-мерпом подмногообразии вида
я"'(/"Ч0)). Для любого CsO интеграл J djij есть поток воктор-
с ^
яого поля X через С. Рассмотрим множество МТ ~\хе i?iVf:
(«(?). ^)<0} и преобразование Tf, переводящее а; е Мх в точ-
ку Ti_x= lim. Г ж, принадлежащую замыканию множества
е-Н-о
Л/Г- Ограничение меры щ на Mi" обозначим pf* Введем также
отображение о: М\ -+¦ Л/], действующее по формуле ал: = л: —
— ?.(n(g), ж}п(д}, ^г = п(ж). При фиксированном q отображение о
есть изометрин. Оно переводит меру [iT в меру ^i- Кроме того,
Ту = oTt. В силу инвариантности меры (л относительно геоде-
зического потока, поток векторного поля сохраняется, т. е.
j diix = J diii, а в силу изометричности а будем иметь
J
Лемма доказана.
\
Из этой леммы Следует, что можпо пайти инвариантное отпо-
сительпо Т\ измеримое подмножество М\ S ЛТ1, и^ {м'Т) = [J., (№{),
на котором преобразование Т\ измеримо, взаимно однозначно и
сохраняет меру \i\. Так как fix) > 0 почти всюду на М[, то в
силу теоремы Пуанкаре о возвращепии (см. также следствие пз
этой теоремы) 2 / {т\х) -*¦ сю Прп п-*¦<*• для почти ъсехх&М[.
Возьмем теперь точку х е Int M и найдем для нее ближайшую
на бильярдной траектории точку х~ ^ дМ, для которой х = Т*х~,
т > 0. Й1ы можем ввести на ЛГ новые координаты, взяв за коор-
динаты точки х число т и координаты точки х~ на границе. Тог-
да d\x = did\x,\. Действительно, d\i^ — элемент объема бесконечно
малой площадки, ортогональной к векторному полю X геодезиче-
ского потока, а т — координата вдоль траектории этого потока.
Лемма 2. ц(#B>> = 0.
Доказательство. Ясно, что если х = ТЛх~ и %<^N{2), то
и все точки х' = Т'х~г 0 ^ t < j(z~), принадлежат множеству Ni2).
Поэтому
135

Но последний интеграл равен нулю, поскольку Ni2} П М\ состоит
из тех точек х, для которых суммы 2 / (^М остаются огра-
ft=Q
ничейными ггрн п -*¦ «. Лемдга доказана.
Лемма 3. n(Nlli) = 0.
Доказательство. Пусть Л> — множество тех х е Д/,,
для которых Jt(Tiar) есть особая точка грапяцы. Тогда Nri> есть
объединение конечного числа подмногообразий коразмерности 1,
и поэтому \i\(N<3>) =^0. Отсюда следует, что если №4' — множе-
ство таких х^М\, что Thx^NC) при некотором &, — °° < А; < <»,
то iaiW14') -=0. Далее, как и выше,
Лемма доказана.
Так как щ W{4>) = 0, то мы иожем считать, что М[ П ^U) = 0-
Пусть теперь Л/ — множество таких х е М} что х~ ^ Л/х. Тогда Ы
инвариантно относительно бильярда {Т*}. Кроме того, ц.(ЛГ) = 1,
Лемма 4. Л/ера j.t инвариантна относительно группы {Т1}.
Доказательство. Возьмем точку x^IntMOM. Как уже
отмечалось, если т и х~ — координаты точки х, то da (ж) =
= drd\i\{x~). Рассмотрим множество С вида С=(т— е, т + е)Х0,
где О — окрестность точки #~ на границе, s > 0. Тогда при доста-
точно малых е и О справедливо равенство ц(С) = 2eu.i@). При
it столь малых, что Т~*С еще не достигло границы, множество Т~'С
будет име-ib вид Т~'С — (т ~ ^ — е, т - i + е) X О. Отсюда
и.(;Г~'С) = 2g(j.i@) = ,а(С), Пусть теперь ^ таково, что ^>т + е
и все точки С за время от — t до 0 имели ровно одно отражение
от границы. Тогда Т~'С есть мпожество, проекция которого на
Л/] есть Т^1О1 а его пересечение с каждым геодезическим сег-
ментом, концы которого лежат на Mi, либо пусто, либо имеет
длину 2е. Поэтому
-'с) - 28JA, (ТГ'О)
^ (О).
Отсюда уже вытекает требуемое утверждение. Лемма доказана.
Замечапие. Построенные в этом параграфе дипамические
системы бильярдного тппа отвечают движению точки с единич-
ной скоростью внутри области Q с кусочно-гладкой границей.
Иногда рассматривают чуть более общие бильярдпьге системы, ког-
да на абсолютную величину скорости не накладывается ограниче-
ний. Такие системы строятся вполне аналогичным способом, толь-
ко вместо единичного касательпого пучка следует рассмотреть
касательное расслоение над Q. Если dim(? = d, то фазовое про-
странешо в этом случае будет 2d-мерным.
133
§ 2. Бильярды в многоугольниках и многогранниках
Пусть Q СГ К — выпуклый многогранник, т. е, множество ви-
да Q= {ge=IRd: /г (?) > 0, i = l, ...,rj, где функции /, /г
линенпы. Множества 1\ — /Г' @) П Q, г = 1, ... , г — это грани
многогранника Q. Граница лшогограннпка есть множество
Г = U Г^. - В каждой впутренпеи
точке q
единичный век-
тор нормали n{q) к границе Г одип и тот же. Будем его обо-
значать п„
Изометрическое отображение о, виедопное в предыдущем пара-
графе, в каждой точке х = (^ v), q^Vt, можно задавать при по-
мощи отображения о(: Sd~l -*¦ Sd'\ действующего по формуле
Oiiv) = v — 2(и,, v)rii. Из элелшытахзной геометрии хорошо извест-
на процедура выпрямления конфигурационных бильярдных тра-
екторий— ломаных п({Т'х: — сю < t < е»})г где х — точка фазо-
вого пространства М бильярда в многограннике Q. Именно, если
такая ломаная имеет вершины на гранах с номерами h, i2, is
то последовательные отражения многогранника Q относительно
этих граней, превращают ломануто в прямую, пересекающую мно-
гогранники (?, <?*,, fjij.ij, 0гг,^,г3--- Здесь Qix ift—результат
отражения Q от граней i\, ..., ik.
Пусть xQ = (qQ, vo) ^ M. Вектор va^Sd~l задаст начальную ско-
рость бильярдной траектории, выходящей из q0. Скорость движе-
ния на отрезке траектории после А>го отражения есть иц =
= (ffih0ik_1...(ri1)''o.
Обозначим через GQ подгруппу группы язомстрий сферы Sd~l,
порожденную изометриями а^ ..., от.
TeopeAta 1. Если Gq — конечная группа^ то бильярд в мно-
гограннике Q не эргодичвн. Более того, каждой орбите естествен-
ного действия группы GQ на Sd~l (т. е. множеству ?2 = fi(vo) =
— {gvo e Sd~im. g e GQ), uq ^ jSd"') отвечает инвариантное относи-
тельно {'T'} множество Аа, состоящее из тех х = (д, и) е Mt для
которых v ^ Q.
Доказательство. Пусть х = (q, v) ^Аа, т. е. и = gGv0,
go ^ GQ. Тогда при любом t е К1 точка {qt, vt) = Tlx ^ Aq.
Действительно, если при переходе от q к qt произошли отраже-
ния от граней с номерами /,, .... ik, то vt =^(gga)vo, где g =
Так как группа GQ конечна, то пандется измеримое множество
С •= Sd~1/GQ, т. е. множество орбит группы Gq, мера которого от-
лнчпа от нуля и единицы. Множество А = \] А& пнвариантпо
относительно {Т1}, и ц(Л)ч*=0 или 1. Теорема доказана.
Наглядно утверждение теоремы означает следующее: если
группа GQ конечпа, то при движении по бильярдным траекториям
аз данного начального направления может получиться только

конечный пабор направлений. В двумерном случае конечность груп-
пы Gq эквивалентна соизмеримости всех углов многоугольника Q
с п. Иногда описанная выше процедура выпрямления траекторий
позволяет исследовать эргодические свойства бильярдов с конеч-
НОЙ ГруПНОЙ Gq ДО КОНЦЭ.
Пример, Бильярд в прямоугольнике.
Пусть (?c:IR2—прямоугольник ABCD. Обозпачим через Slt
$2, <5з1 ^4 симметрии плоскости К2 относительно прямых АВЧ
ВС, CD, DA соответственно, а через Gq — дискретную подгруппу
группы изометрий плоскости, порожденную этими симмстриями.
Очевидно, Q — фундаментальная область группы GQ. Ипыми сло-
вами, образами прямоугольника Q при композициях отражений
Si можпо замостить всю плоскость, причем для каждой точки
?eIR3 существует единственная точка q е Q такая, что q =
~ gty) для некоторой изометрий g^GQ. Процедура выпрямления
траекторий может быть описана в этих терминах так. Если q =
•= qu + vt ~ прямая на плоскости Ы2, то ее образ q = n(qo + vt)
при естественной проекции л: iR" —*- Q есть бильярдная траекто-
рия в Q; обратно, каждая конфигурационная бильярдная траек-
тория в Q получается описанным способом.
Отметим, что композиции 5V>2 и ^Si суть параллельные пе-
реносы па векторы 1АВ и 2AD, которые мы обозначим через т*
и та. Эти переносы являются образующими подгруппы переносов
Gq группы Gq, Далее-, если прямые I и V получаются друг из
друга переносом т е Gq, то соответствующие бильярдные траек-
юрии яШ и tt(l') в Q совпадают, причем верно а обратное: если
jx(l)=n(l'}, то Г = т1, где т g Gy. Следовательно, бильярдные тра-
ектории соответствуют прямолинейным траекториям q = qo + vt
на фактор-простраыстве \R2/Gq, т. е. траекториям условпо-перпо-
дитеского движения на торе Тог2 = (RV^'q- Top Тог3 получает-
ся при отождествлении противоположных сторон прямоугольника
Q, патянутого на векторы 2АВ и 2AD (эти векторы получаются
один иа другого переносами Т[ и та). Q состоит из прямоугольни-
ков Q, О2<2, ОзО, оеОзО- Если рассмотреть условно-периодическое
движение на торе, отвечающее скорости i?e Si1 то эти прямо-
угольпики следует отождествить с прямоугольниками Q X iv), Q X
X ic2v}, Q X io3v}, Q X (o-aOsv) в Q X А'1. Здесь о\ = оА, о2^о^ — со-
ответствующие отражения в пространстве скоростей Sl. При ото-
ждествлении па границе QXS1 в соответствии с этими отраже-
ниями из перечисленных прямоугольников как раз и склеивается
тор, причем указанное условно-периодическое двишепие на нем
есть поток |ТЫ, ипдуцированный потоком {Т') на инвари-
антном подмножестве Аа{т,и построенном в теореме 1. Заметим,
что группа GQ в данном случае состоит из 4 элементов: е = Id, о и
02, ОGз-
138
Таким образом, фазовое пространство бильярда в прямоуголь-
нике разбивается на инвариантные относительно потока {Т') под-
множества Ая, где Q = Q(v) = iv, O\v, О2и, Огоз^. Если O\V Ф v
и с^Ф и, то Ад — тор, причем индуцированный потоком {Т*} по-
ток {Гй}на нем есть однопараметряческая группа сдвигов тора.
Введем на торе Аа циклические координаты <р], фг по напраелв-
ниям образующих переносов тг = т ->, та — т _>. Тогда действие
потока {Tq\ запишется в виде
Та (Фь Фа) = (Ф1 + u>jt (mod 1), ф3 + <*Jt (mod 1)},
где
i7i, у2 — составляющие скорости v вдоль сторон АВ и AD. Если
отношение —¦ — — — иррациональвго, то, как было отмечено
в § 1 главы 3, поток {Та\ зргодичеи. Следовательно, разбиенио
фазового пространства бильярда в прямоугольнике Q иа инвари-
антные торы Аа есть разбиение на эргодические компоненты: для
всех v^S\ за исключением счетного множества, индуцирован-
ный па Аа ноток [Тц\ эргодичеп.
Приведенные рассуждения очевидным образом обобщаются иа
многомерный случай. Для бильярдов в прямоугольном паралле-
лепипеде Q с: Rd эргодическими компонентами будут однопа-
раметрические группы сдвигов (^-мерного тора.
Для произвольных многоугольников, ж тем более для много-
гранников, задача изучепия эргодических свойств отвечающих нм
бильярдов полностью ие решена. Мы приведем лишь Одно ут-
верждение справедливое в общем случае.
Теорема 2. Пусть Q ci [R* — многоугольник. Для любого
q^Q и почти всех по мере Лебега v^S1 замыкание конфигура-
ционной траектории точки x=(q, v) относительно бильярдном
потока {Тч содержит хотя бы одну вершину многоугольника.
Доказательст во. Зафиксируем q s Q п произвольно^
б > 0. Пусть С„, v ^ S1 — конфигурационная траектория точки
х = (q, v). Го — множество вершин многоугольника Q, р — мера
Лебега на S1. Для доказательства теоремы, очевидно, достаточно
показать, что p(Ne) = 0, где Nt = (yeS1: dist(C,t 1'u) > 6).
Ксли, вопреки наше\гу утверждению, рСЛ^в) > 0, то найдется
точка плотности Vq e Л'в. Возьмем любое е>0и рассмотрим точ-
ки y=(q, v0), у' = (g, vq+ъ) фазового пространства бильярда.
Обозначим через С, С их конфигурационные траектории и будем
предполагать, что эти траектории пе пересекаются с Го. Траек-
тории С, С при t > 0 бесконечно много раз пересекают границу
Г многоугольника Q. Пусть qrlt q2, ..., qi, q2, .. - — последова-
139

тельные точки пересечения соответствепно С, С с Г при t>0,
и пусть qh принадлежит стороне Г^ многоугольника, ajje Т.,.
Докажем, что найдется такой номер п, что jn?=h- Действи-
тельно, применив к С, С описанный выше процесс выпрямления
траектории, мы получим из них две различные прямые I, I':
1 = {я + v9t: * е= R1}, I' = {д + {v0 + в)*: * eR1}.
Если бы при каждом к = 1, 2, ... точки ?;,, 9* находились бы
на одной и той же стороне многоугольника, то это означало бы,
что при всех t > 0 справедливо неравенство dist(<7 + vvt, q + (и0 +
+ еЮ < diam Q, что невозможно.
Пусть п — наименьшее число с описаппым выше свойством.
Рассмотрим многоугольник (?„, который получается из Q в резуль-
тате последовательных отражений от сторон Г^т, •¦-,^;и_1- У это-
го мпогоугольника есть по крайпей море одна вершина г, лежащая
внутри угла, образованного лучами q + vat, ^+(r?n + e)^T ( ^ 0.
Проведем окружность S& радиуса б с центром в z. Любой прямой
вида <?+[;?, ^ е R1, пересекающей окружность 5г и лежащей
внутри этого угла, отвечает конфигурационная траектория биль-
ярда, проходящая от верптипы z на расстоянии, не превосходя-
щем б. Значения v^S1, соответствующир таким прямым, образу-
ют некоторый отрезок Д — [ь>о, fo + e]. Из простых геометриче-
ских соображений следует, что р(Л) S^ const бе, const > 0. Отсюда
—-^ \ '., ^ 1 — const 6. Ввиду произвольности е это
противоречит тому, что Уо — точка плотности Ns. Теорема дока-
зана.
Бильярды в многоугольниках Q с конечной группой Go. т. е.
в многоугольшшах, все углы которых соизмеримы с я, тесно слш-
знны с уже рассмотренным классом динамических систем — пере-
кладывашшми отрезков (см. главу 5).
Пусть (?cIR2- выпуклый r-угольнит;, и его внутреияир уг-
лы cci, ..., «г соизмеримы с л. Мы можем считать, что а, имеют
к-
вид at = —я, где w^l и общий наибольший делитель чисел
п, к\, ..., /fr равен 1.
Лемма 1. Группа Gq изоморфна группе симметрии правиль-
ного п-угольника.
Доказательство. Заметим, что композиция симметрии в
пространстве скоростей 51, соответствующих сторонам, заключаю-
щим угол а,-, ость поворот Л2а( окружности S1 на угол 2Л| =
— —1 2я. Значит, для любого набора целых чисел s0, -Si,,.., s. груп-
па Gq содержит поворот на угол а = (stft + si^i + ... + sTkrJnfn.
Но из наших предположений вытекает, чтопайдстся набор ,?о, S\,...
..., 5,, для которого sqU + Sj/iT] + .., + s,kr — 1. Поэтому группа Gq
34Q
содержит поворот й2п/71 и все повороты па углы, кратные 2лУгс.
Кроме того, группа Сч содержит а симметрии относительно oceir
вида Rubi/nl, к = 0, 1, ..., п — 1, где / — любая пз осей симметрии
С], .. ., сг. Указанные преобразования порождают группу симмет-
рии правильного ft-угольника. Лемма доказана.
Зафиксируем теперь направление I на одной из осей симмет-
рии, порождающих GQt и скорости v^S1 будем задавать углом
<р(пшс12д) между направлениями J и у. Дли ф ^ [0, 2л) орбита
скорости и(ф) состоит из 2п скоростей, отвечающих углам Ф^ —
— ± Ф + 2кп/п, к ~ 0, 1, ..., п — 1. Если ф ^ sn/n, где s — делое,
то все углы фь различны. Им соответствуют In г-угольннков
Qt ^Qx \v(<$t)} <^QxS\ Ar^O,1), n — 1, из которых по-
ларпыи ото/Кдествлением п ¦ г пар их сторон получается инвари-
лнтпое множество А^ = Aaivtlt)) потока {Т1}, утгазапиое в теоре-
ме 1. Индуцированный на Л^ поток обозпачим через {Уф!.
Пусть Ль ..., Дпг — отрезки, каждый из которых отвечает од-
ной 1г-з отождествлепных пар сторон многоугольников Qh • Рас-
положим их па прямой один за другим в произвольном порядке
и положим Д = и Aj. Мы можем считать, что А = [0, 1]. Поток
{Гф! ппдуцирует некоторое преобразование Т$: А-*-А. Это преоб-
разование строится но потоку \Т[_] так же, как r предыдущем
параграфе для произвольного бильярдного потока {Т1} строилось
преобразование Т[ на границе фазового прострапства. Преобразо-
вание Гф, очевидно, кусочпо-линейпо. Рассуждая как при доказа-
тельстве леммы 1 § 1, мы получим, что Гф сохраняет меру и,ф на
ГО, 1], имеющую кусочно-постояипую плотность р{х) по мере Ле-
бега: р(х) = |Су(ф9. rat) |, если х принадлежит i-й стороне
многоугольника Qa;; щ— нормаль к этой стороне. Введем на от-
резке [0, 1] новую координату z, положив z(x) «• щСЮ. х]). Тогда
из инвариантности меры и.ф пытекнет, что в метрике dist(z]T s^) =
= [г_1_ — 2а| преобразование Tv и.чометрично. Заметим, наконец, что
если па сторонах многоугольника Q (а значит, и многоугольни-
ков Q?) задать некоторую ориентацию, а затем эту ориентацию
сохранить при переходе к отрезкам At, . .., Д». *, то преобразо-
вание Тч такяш будет сохранять ориентацию.
Итак, Тч есть пзометрнческое кусочно-линейпоо преобразова-
ние отрезка [0, 1], сохраняющее ориентацию, т. е. перекладыва-
ние. Поскольку под действием потока \TW} каждая из г стороп
многоугольника ()? переносится не более чем на г — 1 осталь-
ных сторон, число перекладываемых отрезков не превосходит
n-r-(r-l).
Оргодические свойства потока \Т^\ определяются эргодичо-
скими свойствами перекладывания Т9. В частности, чпело эргоди-
. ческих жомпопепт у потока [Т^] п у автоморфизма Г, одно п
141

то же. Используя результаты главы 5, мы можем теперь доказать
следующую теорему.
Теорема 3. Если у потока [Т%\ нет периодических тра-
екторий, то число эргодических нормированных инвариантных
мер не превосходит nrir — 1).
Доказательств о. Перекладывание Тъ отвечающее потоку
{Tff}, является апериодическим. Действительно, в противном
случае некоторая степень Tw имела бы целый отрезок неподвиж-
ных точек, что означало бы существование у потока {Т^} цело-
го семейства периодических траекторий. Поэтому напте утверж-
дение вытекает из теоремы 1 § 2 главы 5. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь неходпыи многоугольник Q; Го— множест-
во его вершин. Через Го обозначим множество вершин всевозмож-
ных многоугольников, получающихся из Q в результате последо-
вательных отражений от сторон при выпрямлении конфигураци-
онных бнльярдных траекторий, т. е. многоугольников вида g(Q\
Лемма 2. Если поток {7^1 имеет периодические траекто-
рии, то направление v{q>) совпадает с одним из направлений ви-
да АВ, где Л е= Го, В е= f &.
Доказательство. Пусть траектория потока {Т^}, начи-
нающаяся в точке (г?о, у(ф)), периодична с периодом т. Без огрн-
ничепия общности можно считать, что точка до лежит на одной
из сторон А А' многоугольника Q. Применим к соответствующей
конфигурационной траектории процедуру выпрямления с по-
мощью последовательных отражений относительно сторон Q. Тог-
да из периодичности следует, что точка дт — qo + и(ф)т лежит ш*
стороне ВВ' = g(AA') многоугольника g(Q), где g <= GQ — соответ-
ствующая композиция отражепий, причем отрезки q$A и q^B у&ъ-
ны и выпрямлепиая траектория образует равные углы с АА' и
ВВ''. Следовательно, Ацщ-,В — пэраллеграмм, и направление
и(ф), т. е. направление цщх, совпадает с направлением АН.
Следствие. Для всех, кроме счетного числа, направлений
f (ф) ^ S1 поток {Гф} на инвариантном подмножестве Лф имеет
Не более чем пг{г~\) эргодических нормированных инвариант-
ных мер.
Доказательство. Так как группа GQ счетна, то и множе-
ство направлений вида Л5, где А е Го, йе Го, также счетно.
Осталось примепить теорему 3. Следствие доказано.
§ 3. Бильярды в областях с выпуклой границей
В этом параграфе мы рассмотрим бильярды в плоских выпук-
лых областях CdR*, ограниченных гладкими замкнутыми кри-
выми Г = 8Q:
где /еС^(К2), grad f(q)=^O при q^V. Фазовое пространство
М в этом случае трехмерно. Напомним, что оно получается из
множества QXS1 после отождествления пар точек х ={q', v')t
х" = ((?", v") таких, что q' — q" = q s Г, х" = ox' = x' —
— 2{n{q), x')n{q)\ n(q) — единичный вектор нормали к Г в точ-
ке q.
П р им е р. Бильярд в эллипсе.
Пусть Г = Ге — эллипс на плоскости R2 с фокусами в точ-
ках Аи А2: Гс = {?е=К2: dist(v, Ат) + dist<g, Az) =c}, с -const,
При изучении бильярда в эллипсе понадобится хорошо известное
из геометрии фокальное свойство эллипсов и гипербол. Сформули-
руем его в виде следующей леммы.
Лемма 1. i) Для любой точки Р^ГГ отрезки PAf и РА3
образуют равные углы с касательной 1Р к эллипсу в точке Р;
li) то sice самое верно для произвольной точки Р гиперболы //„
с фокусами А\, А?.
Не^ (?<= R2: dist С?, -4t> — dist C<7, Л2) =* с).
Доказательство. Докажем лишь утверждение О, так как
ii) доказывается аналогично. Для любой точки Р'^Р прямой 1Ру
очевидно, справедливо неравенство dist(P', Ai) +distiP', A%) > с.
Следовательно, ломапан А1РА2, где точка Аг симметрична А%
относительно 1р, есть отрезок прямой — отсюда и вытекает ут-
верждение i). Лемма доказана.
Теорема 1 (основтюе свойство бильярда в эллипсе). Пусть
ломаная f=;JPiPs... есть конфигурационная траектория бильяр-
да в области Q, ограниченной эллипсом Гс, причем f не проходит
через фокусы Ai, А2- Тогда либо все отрезки PJ}i+\ касаются од~
кого и того же эллипса Г, софокусного с Ге, либо все P,Pl+i каса-
ются одной и той же гиперболы II с теми же фокусами (во вто-
ром случае точки касания могут лежать не на самих отрезках
PJ\+i, а па их продолжениях).
Доказательств о. Пусть Р\Р, РР% — дня последователь-
ных звена конфигурационной бильярдной траектории. Из леммы 1
следует, что либо оба этих отрезка по пересекают отрезок А\_А-г
между фокусами эллипса, либо оба перссокают его. Рассмотрим
сначала первый случай. Обозначим через Гс>, ГС2 эллипсы с фо-
кусами Ai, А%, касающиеси соответственно отрезков Р\Р, РРч, че-
pe<i D\, Z?2 — точки касания. Покажем, что ГсЛ = ic3i т. е. что
dist(Z>b АО + distCD,, A2) ^ dist(I>2, Л,) + dist(Z>2, Л2).
Пусть В\, В2 — образы фокусов Аи Аг при снмметрвяк относи-
тельно прямых PJ*, РР2 соответствондо. Из фоналыш!О свойства
эллипсов ГС1, ГС2 мы имеем
с, - distCD,, А{) + AisttDu А2) - dist(Z?u В,) + dlsliD,. B2) =
142
f(q)>0}, Г

аналогично cj =distG4.i, 5г). Далее, пз фокального свойства эл-
липса Ге следует, что углы A2Pti\ и А\РВ2 равны. Поскольку,
кроме того, distUi, P) = distE,, Р), distUa, P)=distE2r Р), то
равны и треугольники ЛЕР#[, А{Р1?2. Следовательно, с\ =>
- distU2, Si) = dIstUb Я2) = с2, т. е. ГС1 = 1\ = Г.
Второй случай, когда PiP и PI*i пересекают отрезок А\А% рас-
сматривается аналогично, только вместо эллипсов I'ej* Гс3 следует
взять гиперболы Ihv tic^ Теорема доказана.
Следствие. Бильярд в эллипсе не эргодичен.
Действительно, ваяв любые С[ и с2, 0 < с\ < сг, мы получим,
в силу теоремы 1, что множество Л сг Д/( состоящее из всех точек
х фазового пространства М, для которых конфигурационные тра-
ектории касаются эллипсов (или гипербол) Ге (//J, Ci < с < сг,
будет инвариантным.
Очень важным для приложений оказывается понятие каусти-
ческой кривой.
Определение 1, Гладкая кривая f, лежащая внутри об-
ласти Q с: Ка, наяывается каустикой (или каустической кривой),
если выполнено следующее условие: из того что хотя бы один
отрезок P\Ph+i произвольной конфигурационной траектории
..JP-iPqPi... бильярда в Q касается f, следует, что все остальные
отрезки этой траектории так;ко касаются у.
Доказанная только что теорема 1 покалывает, что в случае эл-
липса существует два семейства каустик: эллипсы Гс и гипербо-
лы //,., софокусные с Г.
Докажем теперь одно общее утверждение, касающееся биль-
ярдов б любой выпуклой области с гладкой границей.
Теорема 2. У бильярда в любой выпуклой области <?с=!Р3,
ограниченной замкнутой кривой Г класса С\ существуют перио-
дические траектории, с любым числом звеньев п 5= 3.
Доказательство. Рассмотрим множество П„ всех замк-
нутых ломаных у, вписанных в Г, с числом звеньев, пе превосхо-
дящим п. Очевидно, П„ в естественной топологии компактно, при-
чем периметр dCy) ломаной f, рассматриваемый как функция па
пространстве П„, непрерывно зависит от у. Следовательно, d(y)
достигает своего максимума па П„. Ломаная 70 e П„ максималь-
ного периметра обязапа иметь ровно п звепьев: в противном слу-
чае ее периметр можно было бы увеличить, заменив произволь-
ное звено Р\р2 ломаной Р}РСР2 с вершиной Ро на дуге между Pi
и Рэ. Покажем, что 7о — конфигурационная траектория бильярда
в Q, т. е. при всех к звенья Ph-\Pk и ЛД+i образуют равные уг-
лы с Г в точке Ph.
Из максимальности периметра ^о следует, что сумма \PPk-i\ +
-\-\PPh+i\ для точек Р на дуге Ph-iPkPh+i кривой Г максимальна
при Р = Pfe. Рассматривая семейство эллипсов
rc = {7€-Ra: distG. Pft.o + dist^, Ph+1) - с}
с фокусами Pfc_i и Р(,+1, выводим отсюда, что Ph является точкой
касания кривой Г с одним из эллипсов этого семейства. Равенст-
во углов, образуемых отрезками Pk-iPh и PhPh+i с касательной
к Г в точке Рь, вытекает из фокального свойства упомянутого
эллипса. Теорема доказана.
§ 4, Система одномерных точечных частиц
Мы приведем в этом параграфе одни пример механической сп-
стемы, исследование которой сводится к бильярдной задаче.
Пусть ка отрезке [0, 1] имеется d^2 материальных точек <7ь
<7г. ¦ - ¦, q<ty массы которых равны ти т2, ..., md, а скорости — v\,
V2, ..., у<1. Допустим, что эти точки свободно движутся на [0, 1],
упруго отражаясь прп столкновениях друг с другом, а также от
концов отрезка. Будем считать, что в начальный момент q\ < Q2 <
< ... < Цл. Так как в процессе движения порядок точек на от-
резке ие меняется, то конфигурационным пространством пашей
механической системы служит, d-мерньтй симплекс Q = [q =-
= (?i . • • •. 4d) е №*'¦ 0^ ffi ^ • • • ^ Яа ^ 1| ¦ Введем в Rd новые
координаты: qi — V^m-i"^!' l^i^d. В этих координатах симп-
лекс (? запишется в виде
Заметим, что новым координатам отвечают и новые скорости
Vi = У тф{. Мы покажем сейчас, что траектория движения частиц
совпадает с конфигурационной траекторией бильярда в симплек-
се Q', которая определяется начальной точкой х = (q\ v'), где
я' =--= (?i- ¦ ¦ •: да), и' = (L'b ¦ ¦ -, ud)- Во впутреппих точках Q' и
траектории бильярда, и траектории механической системы —
прямолинейные, причем в начальный момент скорость движения
задается одним и тем же вектором v'. Поэтому достаточно рас-
смотреть лишь моменты сюлкповепий частиц между собой или
с концами отрезка, которые отвечают попаданию конфигурацион-
ной траектории бильярда на границу Г = dQ. При этом нужно
показать, что закон упругого отражения частиц при столкнове-
ниях приводит к такому отражению конфигурационной траекто-
рии от границы Г, при котором тангенциальная составляющая
скорости сохраняется, а пормальная меняет знак.
Мы рассмотрим лишь случай столкновения двух частиц между
собой (при столкновении с концами отрезка рассуждения еще
проще).
Допустим, что в момент % столкнулись частицы с номерами к
и & + 1. Скорости всех частиц непосредственно перед столкновени-
ем, отвечающие системе координат (q\, ..,, qa), обозначим через
v\, ..., Vd, а скорости после столкновения — через vu .,,, vd. В си-
стеме координат (ylt ..., qd) те ;ко скорости обозпачим соответст-
10 И. П, Кернфсльц « Др. 145

веиио tfi, ..
текает, что
Из закона сохранеиия эпергпи вы-
?. т.е. 2 (vj)8 = 2 ("/)*• Значит,
, 2 , 2 ^?. 2 j 2 (/) ,
J=l J=l f 3=1 }=l
модуль вектора скорости vr = (у1ч . ..,i>d) при отражении сохра-
пяетси. Поэтому достаточно проверить, что сохраняется тангеп-
цнальпая составляющая скорости v\ т. е. проекция вектора v' па
гиперплоскость L с уравнением —js= q'k = —r q'k+i (эта ги-
Vmk Vmk+i
перпл ос кость в старых координатах имеет уравнение qh = qb+\).
Закон сохранения количества движения для нашей системы
d iJ "
2 Ущя'} =-2
J=l 3=1
означает, что 2 '
3=1 J^± J=l J=I
Отсюда вытекает, что сохраняется скалярное произведение векто-
ра f' на вектор е = @, ,.., О, Ут„, l/mh+u 0, ..., 0). Кроме того,
прн столкновении сохраняются скорости всех частиц, кроме &-й
и (& + 1)-й. Это означает, что сохраняется скалярное произведе-
ние вектора v' на векторы е-} — @, .. -,0, 1, 0, .. .,0), / = 1, 2,...
..., к — 1, А + 2, ,.., d. Так как эги векторы е,- вместе с векто-
ром е образуют базис в гиперплоскости L, то сохранение танген-
циальной составляющей скорости v' доказано.
Итак, нашей механической системе действительно отвечает
бильярд в симплексе Q',.
Используя результаты § 2, мы можем теперь получить необ-
ходимое условие эргодичности рассматриваемого движения. Имен-
но, если группа GQ, для симплекса Q' (определение см. в начале
§ 2) конечна, то движение заведомо не эргодичио. В случае двух
материальных точек это условие принимает особенно простой вид:
конечность группы GQ. эквивалентна тому, что величина
arctg ymJiYti соизмерима с л.
§ 5. Газ Лоренца и система абсолютно упругих ефер
В связи с некоторыми проблемами неравновесной статистиче-
ской механики Г. Лоренц ввел динамическую систему, которая
с тех пор называется газом Лоренца. Полное описание этой си-
стемы будет дано в § 1 главы 9, а сейчас мы рассмотрим одно из
ее простейших видоизменений.
Пусть U — компактная область с кусочно-гладкой границей
в пространстве Rdi d S= 1; Ви ..., Br — система непересекающих-
ся d-мерньтх шаров, расположенных внутри V. Рассмотрим об-
ласть Q = U\ U Вх. Бильярд в области Q и называется газом
Лоренца. В приложениях В{ рассматриваются как неподвижные
тяжелые ионы, а движущаяся частица есть классический элскт-
146
рон, отражающийся от иопов и от границы области V. Реально
в области б1 имеется много электронов, но в приближении, отве-
чающем газу Лоренца, их взаимодействием можно пренебречь.
Поэтому в случае компактных областей можно рассматривать дви-
жение одного электрона.
Рассмотрим теперь другую динамвческуэт систему, встречаю-
щуюся в физических задачах — систему абсолютно упругих сфер.
Пусть спова U — компактная область с кусочио-гладкой гра-
ницей в пространстве IRd, d 2s 1. Допустим, что в V имеется г
абсолютно упругих шаров радиуса р и массы 1, которые движутся
равномерно и прямолинейно впутри U и сталкиваются между со-
бой н с границей dU по законам упругого удара. Мы покажем, ч^о
эта динамическая сисчема ивляется системой бильярдного типа
в некоторой области Q с Rdr.
Положение i-vo шара однозначно определяетси координатами
его центра qw, которые обозначим через д\г\ l^i^r, 1^/^d-
Пусть U~ — подмножество множества U, состоящее из всех точек,
которые находятся на расстоянии, пе меньшем, чем р, от границы
dU. Рассмотрим примое произведение U =¦ U~ X V~ X •. • X U cz
г (r — I)
¦ п
Оставшееся множество обозпачим через Q. Ясно, что Q есть об-
ласть в UdT с кусочпо-гладкой границей (или объединение не-
скольких таких областей). Всякому расположению г шаров ра-
диуса р в U естественным образом сопоставляется точка q^ Q.
Поэтому описанное выше движение шаров порождает группу
преобразований множества Q,
Для доказательства того, что эта группа есть бильярд в Q,
достаточно проверить, что отражсыпе движущейся точки q от гра-
ницы dQ происходит так же, как и в случае бильярда. Мы рас-
смотрим лишь те отражения от границы, которые отвечают столк-
новениям двух шаров (в случае столкновения шара с границей
8U рассуждения еще проще).
Допустим, что т шаров в области U пришли при своем движе-
нии в такое положение, что 1,-й и ^-й шары находится в сопри-
косновении, а остальные шары не касаются друг друга и этих ша-
ров. Проведем отрезок hx,i2, соединяющий центры ii-ro и t'a-ro
шара, а также гиперплоскость ?ij,*2, ортогональную этому отрез-
ку н проходящую через его середину. Разложим скорости ii-ro
и i2-ro шаров на две составляющие, одна из которых — тангеи-
лл* .,47

пиальпая—параллельна Liltt2, а другая — нормальная — парал-
лельна Uvi.2- Уакон упругого удара состоит в том, что при столк-
повепии тангенциальные составляющие скоростей ггго и (Vro
шаров сохраняются, а нормальными составляющими эти шары
обмениваются. Скорости остальных шаров в этот момент, разуме-
ется, не меняются.
Рассмотренному расположению шаров отвечает точка д =
= (?<") е<? такая, что 2 (?}Ы - qf^f = Bр)*, 2 {qf-
~~ ?j"J> Bр)* ЛРИ (fc, l)?=(h< h)- Точка q — регулярная точка гра-
ницы 0Q. Введем псвые координаты д^, положив <?/ = Ч)
прп ( ф ,„ t» s{'" = i (^ + ^), 2* = | („"" - ?<Ч
Этпм координатам соответствуют и новые скорости:
Для любого rfr-мерного вектора z с координатами 2 /,
l^.i^. r, \^ j^.d будем обозначать через 2(|) d-мерыый век-
тор, образованный координатами вектора z с верхним индексом
г, ?—1, .... г. Пусть л(«?) — единичный вектор нормали к dQ в
точке д, и (п{д))[Р—новые координаты этого вектора. Ясно, что
( п {q))Ctt -0 при t?=i2t
Заметим, что d-морпый вектор (niq))^^ параллелен отрезку
/ij,!,. соединяющему цеитры г]-го и t2-ro шаров.
Рассмотрим теперь, как изменяются координаты вектора
v = (v)} скорости точки <7 в момент столкновения. Из приведен-
ного выше описания того, как измепяются rf-мерные векторы ско-
ростей шаров при упругом ударе, непосредственно вытекает, что
1) векторы (v)(i) при i^i2 одинаковы до и после столкно-
вения;
2) если представить вектор (у) 2 в виде суммы: fa) z =
= {v}
рд
(у) '2< , где (v)
р
(v) "'
)
)) г
_ t u L,. ортогонален вектору (n(q)y , а
<i')U параллелен (ге((/))('2\ то составляющая (и)^3'1' не ме-
няется при столкновении, а (и) 2'2^ меняется на (и)'*3'2'
1'i8
то из^ i_), 2) следует, что вектор скорости v меняется на
V — 2{n{q)t v)n{q)> т. е. закон отражении тот же, что и в случае
бильярда.
ГЛАВА 7
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
§ 1. Равномерное распределение
Многие проблемы теории чисел формулируются как пробле-
мы, относящиеся к равномерному распределению тех или иных
числовых последовательностей. Напомним, что последователь-
ность х\, хч, ..., 0^хп^1; равномерно распределена на отрезке
Ш, 11, если дли любой функции j^C([Q, U) вьшолнепо соотно-
шение lim — 2^ f (Xh) — \ f {x) dx. Аналогично определяется рав-
""*" ft=i о
померыое распределение на любом отрезке [а, Ь], а < Ъг
В дальнейшем будет полезна
Лемма 1. Следующие утверждения эквивалентны'.
\) последовательность {xj равномерно распределена на [О, 1];
ii) если v»([bi, Ь8)) для любых bu &2, 0^6i<&2^1) есть чис-
яотехк, \^к^п, для которых 6i < aft < &э, то Hm — vn([ 61,6a)) =
Hi) Пш — ^, &xp2nisx/l= 0 при любом целом s Ф 0.
До
кация
члены
казательство. Импликация i) =^ ill) очевидна. Импли-
ill> =*- i) вытекает из того, что тригонометрические много-
плотны в С([0, И). Покажем теперь, что i) =*¦ ii). Пусть
S С A0, 11) имеют вид
1, если bf ^ ж< &а»
-^-[х— (bt — е)], если так@, Ьх — е)< х — Ьь
— ^[я —(&а 4-еI, если ba<5:<minFe + в, 1),
,0 для остальных х,
J1, если Ьх -\- г<С.х^Ъ* — г,
1 ,_
/Г (*) =
&А), если &i^
— (Ь2 — х), если &2 —
0 для остальных ж.

Пусть далее Х[г>1,ь2) —индикатор [bh Ь2). Тогда
^ /в", и дри любом п 5= 1
42 /г ы<^%^ = 12 х[ь„ь2)ы^
Устремляя тг ->¦ w, получим
Ввиду произвольности i
lim-
lira-
Импликация ii) =*- i) доказывается с помощью равномерной ап-
проксимации любой непрерывной функции конечной суммой ин-
дикаторов полуинтервалов. Лемма доказана.
Введенное выше понятие равномерного раслредслепня допус-
кает естественное обобщение, А именно, пусть Л/ —компактное
метрическое пространство, и, — нормированная борелевская мера
па М, {хп}—последовательность элементов из Л/, тг=1, 2, ....
Определение 1/ Последовательность {#„} ц~ равномерно
распределена на М, если для любой f^C(M)
В ряде случаев можно устанавливать равномерное распреде-
ление с помощью эргодической теории. Допустим, что Т — строго
эргодическнй гомеоморфизм компактного метрического прострап-
ства М, F: M-t-R1 —пепрорывиая функция иа Л/, н последова-
тельность чисел {х„} представима в виде хп = F(T"zq} при неко-
тором zq^M, Через ц обовначим единственную нормированную
борелевскую инвариантную меру для Т. Она с помощью функции
F индуцирует некоторую меру uF на R1: \хЛЛ) = ц({« ^ М\
F{x)^A} для любого борелевского ЛсК1. Яспо, что fXp- сосре-
доточена на отрезке [mr, m"], где m =minF, m" =max/?.
Лемма 2. Последовательность {xn} \iF — равномерно распре-
делена на [m\ rn"].
Доказательство. Пусть g — непрерывная функция на
[m't m"]. Тогда
По j(z)=g(F(z)) — йепрерывная функция па М. По теореме 2
§ 8 главы 1 существует предел
4)) = f
M
Значит, lim — "V g (жA) = i g (x) d\iF, Лемма доказана.
§ 2. Равномерное распределение дробных долей
многочленов
В этом параграфе будет доказана следующая теорема Г. Вейля.
Теорема 1. Пусть Р(х) = аохг + аххг~1 + ... + ат, г > 1 —
многочлен с действительными коэффициентами, у которого хотя
бы один из коэффициентов а„ О =S s ^? г — 1, иррационален. Тогда
последовательность хп~{РЫ)}} п=\, 2, ... равномерно распре-
делена *),
Доказательство разобьем на отдельные пупкты.
1. Пусть вначале по иррационально. Рассмотрим преобразова-
ние Т пространства Кг вида
Tixi, ..., Хт) = (^i + а, #2 + Р21^ь хг + Ръ\%\ + Рз2^2, ¦. •
...,a:, + p2IZi + ... + Pr1r-ixr_iI СО
где а — иррациональное число, /ty, 1 =? / < i =S г,— натуральные
числа. Выиедсм полезную формулу для итераций этого преобра-
зования. Пусть Р = || /?j,| — квадратная матрица порядка г, мат-
ричные элементы которой при г>/ фигурируют а A), а при
i ^ / равны пулю; обозначим через р%] матричные элементы мат-
рппы Р"; тг = О, 1, 2, .. ., 1 < г, ]<,г. Яспо, что р\^J = 0 при
г — / < п — 1. Положим тзкже Тп (о-,, ..., жг) = DП> х}п>)-
Покажем, что при п = 0, 1, 2, ... справедливы равенства
4П) =*!+««, B)
C)
J)
.Tf —
1 „(<7*
pis.
7=1 " g=i
Здрсъ C,i—- биноминальные коэффициенты (как обычно, считаем,
что Сп = 0 при q> n"> 1). Равенство B) очевидно, а равенство
р 7
C) будем доказывать по ипдукции.
*) Здесь фигурные скобки озе
где [j.] — целая часть х.
дробную часть числа: {х}~х —[х],
151

При n = i C) совпадает с A). Ясно, что при любом n > f
можно х\ представить в виде ж1п) = д^+.2 %\п1хг -\- M"J«, гдо
коэффициенты Aj"\ %^ не зависят от ж.
Допустим теперь, что C) доказано для некоторого п, и дока-
жем его для (п+ 1). Из предположения индукции
D)
Положим ЦУ = 0 при 1>1, к'"/ - 1. Из A)
sf+1) = *!"> +2V.*!"',
и поэтому
*!"+1) = *(и + 2 Рг.ДЙ'. (У)
Подставляя в E) выражения для ?»м\ ?4"» из D). получнм
Изменийг во второй сумме порядок суммирования:
l—i i—i—1 l-i
q—l Q^O t=q+i
Воспользовавшись тем, что />Л = 0 при s < д + i, получим
л значит,
" = 2 Oif-fS crVi?-=
pi
Последнее равенство вытекает из того, что Си ~ С| х = Cn+i.
Аналогично доказывается, что
Тем самым формула C) доказана.
152
2. Пусть теперь М есть г-мерный тор Тогр с циклическими
координатами, т. е. Д/— (а; = (#1, ..., хт): 0<х(<1, 1</<г).
Той же буквой Т обозначим преобразование пространства М вида
Гх—Uari + aKmodl), (x2 + p2i^t)Cmod 1),
,.., UT + pria;I + ,..+^.r_1zr-i)(modi)). F)
Тогда результат п. 1 означает, что Тпх — (жГ\ . - .,^J, где
Ж|П) вычисляются по формулам B), C) с той лишь разницей, что
правые части этих формул берутся по mod 1.
Вернемся к многочлепу Р(х) = a$xr + а\хт"х + ... + йг, у ко-
торого а0 иррационально. Докажем теперь, что найдутся такие
натуральные чстсла pilt 1 <;' < i < г, иррациопальпое число а тт
точка х={х\, ..., хт)^М, что для преобразования Г, определен-
ного формулой F), будет Хт"' ={Р(ге)}.
Положим ру = 1 при 1 < / < i < г. Величина ф9 (га) ^= Сп.
0 < ^ < г, рассматривая как функция от п, является многочле-
ном степени q, и функции <p7(w), 0 < 7 < г, образуют баяис в про-
странстве многочленов степени, ие превосходяшей г. Мы можем
написать при любом п:
р (п) = ьосгп -4- г»! с;-1 + ... + ьгс1,
причем bo = rlao п, как и «о, нррацпонально. С другой сторон!>т,
в силу C)
?п) = хг + 2 *( 2 cUt + a s' cS+V!-;' (mod i>.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых щ(п) =Cl в пос-
ледних двух выражениях, получим следующую систему для оп-
ределения ее, Х\у ..., хт:
у Хг + ¦ ¦ ¦ = Ьг.
Здесь многоточием в ^-м уравнении отмечены члены, содержащие
Х\, Х2, . . ., Х,-2, СС E = 2, . . ., Г).
Написанная система треугольная. Из определения р,-? вытека-
ет, что y^Js) = l, и, значит, определитель системы равен 1. Сле-
довательно, искомые Xi, X2, ..., хг, а найдутся, и тогда жг =
= />(w,)(modl)={/Mrc)}.
Заметим теперь, что преобразование Т есть слоячпый косой
сдинг па торе и при иррациональном ее, в силу теоремы 1 § 2

главы 4, Т строго эргодично, Поэтому утверждение о равномерном
распределении последовательности {xnj вытекает из следующей
леммы.
Лемма 1. Пусть Т — строго эргодический гомеоморфизм
т-мерного тора Тог' с инвариантной мерой Лебега, л,: Tor' -* Sx —
естественные проекции, п,{хи -¦-, хт)=^хи l^i^r. Тогда для
любой точки х = (xj, ..., хг) ¦= Тог' и любого i, I ^ i < г, последа-
вательность {xin)) e [0, 1), гЗе ж'1" = лДУ""^), равномерно рас-
пределена.
Доказательство этой леммы полностью повторяет доказатель-
ство леммы 2 § 1 и поэтому приводиться не будет.
3. Рассмотрим общий случай, когда у многочлена Pix) *=
=¦ а$хт + aixr~ l + ... + ат коэффициенты йо, аи •••, Д«-1 рациональ-
ны, а коэффициент a,, s< г, иррационален. Запишем Р(х) =
, д l)cx + alx + ... + a,-lx'^-1, Р2(х) —
«= в»*""* + a.+i^'""" +... + аг. Представим Pi в виде Р^х) =-=
= —• (тохг + '•• 4- ms-i^:r""s'~1), где то, ..., /д,-1, ?— целые,
<7#0. Многочлен Q(x) = qP{(x) имеет целые коэффициенты. Поэ-
тому значение Q(n){mod q) полностью определяется значением
«(mod#}, п = 1, 2, ... Отсюда вытекает, что иа каждом классе
вычетов по mod g дробная доля Р] постоянна. Положим
{P\{n)) = di для n^D]t где D, — ;-и класс вычетов, 0<j<q.
Далее, при любом /, 0</<i?, многочлен Qj(x) = Ptij-У qx) имеет,
каи легко проверить, иррациональный старшнй коэффициент. По-
этому, в силу п°. 2, последовательность {Q^rt)) = {Pz(j + qn)} рав-
номерно распределена при всех /, 0 < / < q.
Теперь уже легко закончить доказательство теоремы. Пусть
f^C(Sl). Продолжим ее периодически на всю действительную
ось. Тогда
5=0 O^ft-<JV—1
Б силу равномерной распределенности последовательности Ps(k),
k^Dj имеем при любом /, 0 ^ / ^ q — 1,
1 1
1
Поэтому Jim 2jv = J /{^) dx. Теорема доказана.
§ 3. Равномерное распределение дробных долей
поназа тельной функции
В этом параграфе будет доказано утверждение, аналогичное
теореме 1 § 2, но относящееся не к многочленам, а к показатель-
ной функции P{z) = и%г. Зафиксируем % > 1 и для любого u e IR1
рассмотрим последовательность х„ = хпЫ) = ики, п = 1, 2, ...
Теорема 1. Для почти всех и. по мере Лебега последователь-
ность {хп(и}} равномерно распределена.
Доказательство основано па следующей лемме, относящейся
к произвольной последовательности {#„), 0 =S xn < 1.
Лемма. Пусть для любого целого s?*0 найдется последова-
тельность номеров n'l1 <i ... <С п{^ <С . -. такая, что
limB(/yB?> = l, A)
Нт^^О, B)
гйе У(п = V^di,»}) = — 2 exp2ius;r,t. Тогда последовательность
{хп) равномерно распределена.
Доказательство. Достаточно проверить выполнение усло-
вия iii) леммы 1 § 1, т. е, доказать, что V^ -у 0 при п -*- °° для
всех s^O. Зафиксируем s^O и будем опускать индекс s у V^*
п^ . Пусть ге таково, что п, < re < nJ+1. Тогда
1 V „..„<,„,•„ LV
exp 2ni
Из A) вытекает, что 6„ -*- 0 и, значит, в силу B), Vn -*¦ 0 при
yi -*¦ со_ Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1. Зафиксируем снова 5=^0
s обозначим, ках? и в лемме 1, ,
Vn = Vn (и) = -1 2 ехр
Тогда для любых а, Ь, — °
(м) = -1
b - Х!I ¦¦)

Поэтому
Но
лв - х' = а* - яй-') + а*-1 - я"-2) +... + aI+l - V) —
^V^U - 1) + ... + Ш - 1) > (к - ла - 1).
Отсюда вытекает, что при к^п
Итак, /
^п < °°- Значит,
— f- const -^-. Поэтому для щ —
ряд
] J VWj (к) j3 <; оо для по'1тн всех и е [a, &J,
и, стало быть, Vnj(u)-*0 для почти всех и*=[ал Ъ\. Так как
nj+\/n3 -*¦ 1, то из леммы 1 следует, что последовательность хп{и)
равномерно распределена для почти всех и <= [а, &]. Ввиду про-
извольности огрезка [a, b] теорема доказана.
§ 4. Эргодические свойства разложеннй
в непрерывные дроби и кусочно-монотонных отображений
1. В различных вопросах теории чисел, анализа, теории веро-
ятностей используется разложение действительных чисел в tju;
называемые негтрерьшные дроби. В этом параграфе методы эрго-
дической теории применяются для изучения метрических свойсш
таких дробей.
Приведем необходимые сведения о непрерывных дробях (см.
А. Я. Хинчпн [1]). Любое действительное число х^@, 1) одно-
значно представляется в виде
1
где аь й2, ... — натуральные числа. Выражение (А) называется
непрерывной дробью и обозначается [alt a^ ...1. (Обычно рас-
сматривают чуть более общие дроби вида ao+Ifli, аэ, ...1, ао —
целое, но они нам не понадобятся.)
Разложение A) конечно, если х радиопально, и бесконечно.
если х иррациопально. В последнем случае [а1, а2, ...] =
= lim [«!, , ari], и предел всегда существует. Копсчная не-
прерывная дробь однозначно записываемся в виде
[а\, ,.., йл] = p/q,
156
где р, q — натуральные и взаимно просты. Дроби pi/qi — tail»
P'J 92 = 1«ь агК ¦ • -i Рч/Чк= laj, .. ., ah\ ири к^п называются под-
ходящими дробями для [fli, п2, ..., дп], 1 *S п ^ °°. Для чпелптелеи
и зиамепателей подходящих дробей выдолдяются следующие ре-
куррентные соотношения:
Ph = «ftjOft-l + Pfc-2,
^i, = akq*-i + 7й-2, к = 1, 2, ...
При этом полагается
Ро = 0, jo_i = l, */o=l, g-i = 0.
Из B) по ипдукдин вытекает, что
рк^21К-*»2, qk^2<-h-l)/2. C>
Справедлива следующая оценка для точности приближения числа
х —[п\, п2, - --J е @, 1) подходящими дробями;
). С4>
2. Подобно тому как разложение действительных чисел в
q-ичаую дробь {q > 1 — целое) связано с преобразованием Tq>
действующим для х ^ @, 1) по формуле Тх = {qx} = qximod 1),
имеется преобразование Т, аналогичным образом связаппое с не-
прерывными дробями. Оно называется преобразованием Гаусса
и задается формулой Тх—И/ж}, же@, 1). Объяспим подробнее
еялзь ме?кду этим преобразованием и разложением в непрерыв-
ную дробь.
Условимся для удобства запись [аи а.% .. J применять для вы-
ражений вида A), где а^ФО — действительные (не обязательно-
натуральный) числа.
Пусть re @, 1). Тогда 1/а;>11
1/х = [1/х] + {\/х) = П/х\ + Тх *).
Отсюда
ж —[oi + Га:], где ai = [l/zl.
Если Гя = 0, то разложение закончено. Если ТхФО, то
МТх = [l/Jd + {1/Тх) = [1/Тх] + Т2х. (Й>
Из E) и F) вытекает, что х=\аи а2 +Т2х1, где ай— [\/Ткх]г
А: = 1, 2. Этот процесс можно продолжать неограниченно, если
только Тх, Т^х, ...Ф0. После re-го шага получим a;=[alf Я2, ...
..., a«-i, an + r"^J, где йй =ак(х) = И/Т1^], й = 1, 2, ..., п. Отсю-
да следует, что
a№)=au.iU), G)
т. е. при изображении чисел х е @, 1) в внде непрерывных дро-
E)
*) Следует различат
прерывную дробь, я обы
э квадратные скобки, обозначаюпгие ПС-
il>, обозначающие целую часть числа.

бой (с натуральными элементами) преобразование Гаусса дейст-
вует как сдвиг: Т([а\, a<i, ...])= [0,2, as, • - ¦!¦
3. Преобразование Гаусса входит в класс так называемых ку-
сочно-мопотопных преобразований интервала. Этот класс вклю-
чает и много других важных для эргодической теории примеров,
поэтому мы перейдем сейчас к нзучепию свойств общих кусочно-
монотонных преобразовапий, а результаты для преобразования
Гаусса (и, стало быть, для непрерывных дробей) получнм затеи
в виде следствия.
Итак, пусть пространство М есть интервал @, 1) с мерой Ле-
бега р; © — о-алгебра борелевских множеств. Фупкция ф(.г),
х е @? 1), пазывастся кусочно-монотонной, если интервал СО, 1)
можно разбить на конечное или счетпое число интервалов Ai,
Л2, ... так, что на каждом А* функция ф строго монотонна (на
некоторых А,- она может быть возрастающей, а на других —
убывающей). Будем считать, что в копневых точках Af функция
<р пе задана.
Если 0<ф(а;)<1, то <р задает измеримое преобразовапие Т,
действующее по формуле Тх-=ц>1х). Преобразовапие Т и все его
степени Т", п^О, определены всюду на Л/, кроме счетного мно-
жества точек. При этом Тпх = ф!п)(х), где ф(п) = ф°ф».. .«ф.
п раз
Такие преобразования Т называются кусочно-монотонными.
Всюду, где пе оговорено противное, мы будем предполагать, что
Т — преобразование класса С3, т. е. что задающая его функция
ф дважды непрерывно дифферепцируома на каждом интервале
Ai. Введем также следующее дополнительное условрш:
i) При любом п = 0, 1, 2, ... интервал @, 1) можно разбить
на конечное или счетное число интервалов M"'i2 in (* ^ *i, •¦*
• .. , iji<°°) так, что
!*а in_ltin
2)
2
3) Aio)-(O, 1); A'/^Ai-
Легко проверить, что i) всегда выполнено в следующих двух
случаях;
ii) число интервалов дч конечно;
ш) ГСД*) — СО, 1), i = l, 2, ...
Теорема 1. Пусть выполнено условие i) и, кроме того,
1) существует такое натуральное s, что
B)
inf inf
sup sup
(8)
(9)
Тогда для преобразования Т существует инвариантная нормиро-
ванная борелевская мера ц., абсолютно непрерывная относительно
меры Лебега р, и такая, что ^z^.K<doo.
Доказательство основано па двух леммах.
Лемма 1. Пусть Т — произвольное кусочно-монотонное пре-
образование интервала @, 1). Если существует такая константа
К>0, что р(,Т~пА)^Кр(А), п=1, 2, ... для любого борелевско-
го мноокества А <= @, 1), то у преобразования Т имеется инва-
риантная нормированная борелевская мера [л, абсолютно непре-
рывная относительно р, и такая, что -т-^К.
Лемма 2. Если преобразование Т удовлетворяет условиям
теоремы 1, то существует такая константа К > 0, что при всех
п = 0, 1, ... выполнено неравенство
A/(q>)i?! sup
\
Доказательство лемм проведем полже.
Доказательство теоремы 1. В силу леммы 1 достаточ-
но показать, что для любого мыолшс-j ва А ^ ©
р(Г-)«Ари), ,_ в-1, 2, ...
Обозначим Л,, tn = r""^f|dv..,v Так как T*Ail,.,.,,n'=A, т.в
A0)
Далее,
поэтому найдется точка
^ ¦ ¦ ,1.——. Для любого
P»>?J
такай, что
dx
(I)
n, в силу леммы 2, теперь
159

получаем
inf
,f
"AT1"!! s"P
Из (iO) теперь следует, что р (Др.,.,
и окончательно
Р И) Р (
i 'я
Теорема доказана.
Доказательство леммы i. Определим
к = 1, 2, ...
равенством
меры и,„,
2iP^'~^)' ^—борелев-
скоо подмножество (О, 1). Тогда -jyt?^K при всех п. Из после-
довательности мер {}хп} можно извлечь подпоследовательность
{\in }, слабо сходящуюся к некоторой пор дш рока иной мере ц.
Ясно, что ]х абсолютно непрерывна относительно р и ~^К
Покажем, что мера и инвариаитпа отно Т Д
доказать р
что мера и, инвариаитпа относительно Т. Достаточно
авенство \i(A) = \х(Т~{А) для любого множества Л,
являющегося объединением конечного числа интервалов. Из сла-
бой сходимости мер вытекает, что для таклх А
Но
ц(Г-М) = 11шA„>G-М).
К(Л)-ц„,(Г-
Устремляя
зана.
получаем, что ц(Л) = ц^-1.,
(Г»-.4) <1.
). Лемма дока-
Замечание. Если в условии леммы 1 заменить перавенство
р(Т~пА) ^Кр(Л) на перавенство ~ р (А)^(>(Т~пА)^.Кр (А),
чо построенная инвариантная мера [х будет эквивалентна мере
Лебега, н ее плотность dji/dp будет удовлетворять неравенству
Доказательство леммы 2. Пусть точки х7 у s Д^ f
Согласно правилу дифференцирования сложной функции
Поэтому
Сп)
~{х)
п
=,ехр Vh
A1)
Так как точки T^z, rAiy, О «S k ^ /г — lt лежат в одном интервале
Д„ то по теореме Лагранжа
t. (i2)
Применим еще раз теорему Лагранжа следующим образом:
A3)
Объединяя A2) и A3), запишем
Подставим теперь это выражение в (И):
<ех
<ехр(С)ехр 2|г\с-Л|,
Последнее неравенство вытекает из (9).
11 а, п. корвфельд ¦ др.
A4)

Правую пасть (i4) оценим с помощью (8):
| Г\ - Т"у\ < i | Г*+"я - r"+'i, |< i | Тмх - Tk+21y | <...
<-пЬгг A5>
Поэтому
Положим Я = exp^C-I-j~i)* Тогда из A4) а A6) получим, что
M(q>) *СК. Лемма доказана.
Теорема 2. Пусть преобразование Т такое же, как в теоре-
ме 1, но вместо условия О выполнено более сильное условие
in); ц — инвариантная относительно Т мера, полученная в тео-
реме 1. Тогда
а) .мера и, эквивалентна мере Лебега р; более того, сущест-
вует такая константа К>0, что — ^-т~ ^^»
б) эндоморфизм Т с инвариантной мерой ц — перемети-
вающий.
Доказательство этой теоремы мы отложим до главы 10: в § 8
этой главы будет доказано более сильное утверждение (теоре-
ма4).
4. Вернемся теперь к изучению непрерывных дробей и пока-
жем прежде всего, что связанное с ними преобразовании Гаусса
удовлетворяет условиям теорем 1, 2.
Итак, пусть фушщин ф(ж), ге@, 1), задана формулой ф(л;) =
= Tx = {i/x). На каждом из интервалов вида Д.,, — (l/(ai +1),
i/ai), a\ = 1, 2, ... функция ф(.г) монотонно уОыкает и взаимно
однозначно отображает ДИ1 на @, 1). Кроме того, у^С2 при
х^Аа±, ai —1, 2
Преобразование Т2 задается функцией ф'2)=ф°ф и опреде-
лено всюду на @, 1), кроме концов интервалов Диг При этом
каждый интервал ДО1 делится на счетное число меньших интер-
валов
f Ч
Любой интервал Да1,аа преобразованием Т взаимно однозначна
162
•отображается иа Да2, и, следовательно, Т2 вяаимно однозначно
отображает ДД( ai иа @, 1). Для преобразования Т3 аналогично
определяются интервалы AQi/,i>-f,3 ==([alf аг, аз+Я, [ai, аг, аз]) и
т. д. Итак, условие iii) тоорс^ы 2 (и, .значит, условие i) теоремы
1 выполнено.
Рассмотрим теперь функцию ф<Э)=ф°ф, задающую преобра-
^ л. > 1 всюду, где -j?-(
для .то @, 1), причем
зованне Г2, п докажем, что ——
лепа. Действительно, ^ ~~1==^
5*9/4, если ?«5 2/3. Но еслп 2/3<я<1, то 0< Гя < 1/2, поэто-
му для любого .г <= @, i)
Вычислим теперь величину С = sup sup L-~—^-L. Так как
1ф"(яI «2/ж3, Iqi'UJI =i/^2, то на интервале (i/(n+i), 1/ге)
Поэтому С = sup-
• =16.
Итак, преобразование Т удовлетворяет всем условиям теоре-
мы 2, т. е. справедлива следующая
Теорема 3. Для преобразования Гаусса Т существует ин-
вариантная мера ц, эквивалентная мере Лебега, и эндоморфизм
Т с мерой р.— перемешивающий.
5. Оказывается — и это было обнаружено еще Гауссом — мож-
но указать явный вид нормированной ннвариаитной меры для
преобразования Т:
Для доказательства инвариантности и, достаточно проверить, что
\к(Т~1Ю = ц(Д) для любого интервала Д = @, ее) <= @, 1). Это
делается при помощи следующей выкладки:
163

= пЬ2 Т
*1
0' *»¦
*-1 cc/U+l) о
Так как в силу теоремы 3 эндсшорфизм Т с инвариантной мерой
fi эргодичен, мы можем записать для него эргодическую теорему
Биркгофа — Хинчина в следующем виде:
fj. вргидичен, мы можем записать длн нег<
Биркгофа — Хинчина в следующем виде:
для любой функции f(x) ^1>Ч0, 1)
-dx
почти всюду (по мере Лебега или по пере |Lt — все равно, так
как они эквивалентны).
Применяя формулу A7) к различным функциям /, можно
легко получить многие важные свойства разложений в непре-
рывные дроби.
Теорема 4. Для почти всех. х«[а,, а2, ...3^@, 1) спра-
евдливы следующие равенства:
(J lim i-(ttl+...+ «„) = °о;
2, Iimv4-....art- ДИ л. _i_ynfi'In3;
здесь д„ — знаменатель п-й подходящей дроби,
Доказательство. 1) Возьмем f(.x)=a\{?), т. е. j(x) — к
для a:e(l/(ft+l), l/ft), 4 — 1, 2 Так как в силу G) в,(.г) =
-п,(Т*-'х), то
Однако /^L40, 1), поэтому мы не можем непосредственно-
применить теорему Биркгофа — Хинчина, Введем «усеченные»
Г/(я), если
функции Ых)^|
сди /(Х)>ДГ) jv = i,2, ...
В силу A7) при любом N
почти всюду.
164
Утверждение 1) теперь следует из того, что | /lY (х) dx -*¦ со
о
ПрИ N -*¦ а>.
2) Возьмем fix) = In a,(x), т. е, fix) = In k для ^^(гпгт"' Т/1
Л = 1, 2, ... В силу A7)
а„ (,) = 1
почти всюду. Отсюда следует утверждение 2).
3) Выведем сначала одну вспомогательную формулу. Пусть
рЛх), дп(х) — числитель и знаменатель п-ii подходящей дробя
для ? = [аи а2, ...Iе @, 1). Тогда
-u^gbr* '«>
Дроби в левой и правой частях A8) несократимые, поэтому, в
частости, рп(х) = gn-i(jfx). Отсюда вытекает, что
Возьмем f(x) =1пх. То1да
-11иу„м=4-2/(Л') +
+ т 2 [ln (Г^) -ln
1
В силу A7) lim —2П = j^J j-^
почти всюду. Проинтег-
165

рируем по частям:
ПГ2 J Г^* dx ~" ~~ Тп~2 „
Для доказательства утверждения 3) теперь достаточно показать,
что j Ип | ^ const. Из C) и D) вытекает, что для любогоге @,1)
Поэтому
11-1
<; V ^- const.
l
р,
ill,
Ti,r
n-k
1
Рк
X
1
— J
P"->
1
Теорема доказана.
ГЛАВА 8
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ i. Стационарные случайные процессы
и динамические системы
Пусть М есть множество всех двусторопне-бесконечных по-
следовательностей х=(..., г/_|, уо, у\, ...), координаты у: ко-
торых суть точки одного и того же измеримого пространства
(Г, %). В М существует естественная о-алгебра @, порожденная
цилиндрическими множествами, т. е. множествами вида
A^{x-*(...,y-ltyoyyly ...)el: ^sCl ...,^sq, A)
где 1 < г < t», ij, . .., ir — целые числа, d, ..., С,еЯ. Пусть
u, — нормированная мера на ©, и <2>— пополнение @ по мере ц.
Тройка (Л/, ЯЗ, [х) в теории вероятностей называется случайным
процессом с дискретным временем, а пространство (У, 21) — про-
странством состояний этого процесса.
Важный класс случайных процессов образуют стационарные
случайные процессы. Условие стационарности состоит в том,
что для любого множества А вида A) мера ц/{х?ЕЛ/: i/i +n ?=
еС1?.. ¦, yir+n s Сг}) ие зависят от к, — °о < п < «.
166
Выразпм это условие иначе. Пусть Т — преобразование сдви-
га на М, т. е. Тх = х\ где x = L.., у_ь у0, у и ...),?' =¦(-.., f/-i,
Уо> #i> • • •) и !/i = !/i+i» — оо <; t <C оо. Тогда, если А есть мно-
жество вида A), то Т А = {х е М: (/i1+n ^ ?\> • ¦ ¦» ^ir+n s Cr}
и условие стационарности принимает вид \х{Т~пА) = \i(A),
— оо < п < оо. Так как мера fx однозначно определяется своими
аначениями на цилиндрических множествах, то стационарность
означает, что преобразование сдвига Т сохраняет меру и., т. е. Т
является автоморфизмом пространства (Л/, @, п.).
Покажем теперь, что произвольный автоморфизм Т' прост-
ранства с мерой (Л/', ©', и.') естественным образом порождает
стационарные случайные процессы. Рассмотрим некоторое раз-
биение | пространства М', т. е. совокупность непересекающихся
измеримых подмножеств, в сумме покрывающих все М'. Будем
считать, что % конечно или счетно, т. е. % = i.C\t ..., Cm), 1<
^ m ^ °=, Ск ^ @ при i ^ ^ ^ т. Возьмем в качестве пространст-
ва состояний множество У — <1, 2, ..., т) и положим М =
= Ц У", Y^ = У> Рассмотрим отображение ф: М' -*- Л/, опре-
деляемое следующим образом: ге-я координата точки ух' равна к
тогда и только тогда, когда iT')nx' ^Ck, i =S! к < m. Отображе-
ние ф измеримо. Оно переводит меру и.' иа Л/' в некоторую
меру \i на М'. \ъ{А) == п,' {ф^), 4е®. а преобразование 7" -— в
сдвиг на М. Из того, что Т' — автоморфизм, вытекает, что слу-
чайный процесс (М, @, п.)—стационарный.
Итак, каждое конечное илп счетное разбиение пространства,
где действует автоморфизм, порождает стационарный случайный
процесс. Одна из- основных задач эргодичсской теории может
быть сформулирована как задача об описании класса стационар-
пых процессов, отвечающих данному автоморфизму.
Определение 1. Разбиение Ь, = (Ci, ..., C,J называется
образующим для автоморфизма Т', если построенное выше отоб-
ражение ф задает изоморфизм (mod 0) пространств М' и М.
Последнее озиачает, что из пространства М' можно выбро-
сить подмножество N', fx'(N') =0, так что любая точка х' е
^ M'\N' однозначно определяется включениями Тпх' ^ С\пЛ
— оо < ге< оо.
Если \ — образующее разбиение, то отвечающий ему авто-
морфизм сдвига Т метрически изоморфен автоморфизму Т'.
Примеры. Автоморфизм Бериулли.
Пусть фазовое пространство (Л/, @, \х) есть прямое произве-
дение: (М,®,ц)= П {Y{n\%{n\^n}), где (Г">, 2t(n), ofn>) =
в(У, й, а) — некоторое пространство с мерой. Мера и. есть

product-мера, порожденная мерой ст, т. е.
ц= ® а.
B)
Определение 2. Антоморфвлм гдпнгя Т с инвариантной
мерой \х, определенной формулой B), называется автоморфизмом
Берпулли с пространством состояний ' Y. %, о). Инвариантные
меры ц, отвечающие автоморфизмам Бернулли, называются бе-р-
нуллиевскнми.
Теорема i. Любой автоморфизм Бернулли эргодичеп и об-
ладает перемешиванием.
Доказательство. Пусть А ^В — инвариантное относи-
тельно Т множество. Для любою е>0 дайдугся натуральное г
и дилпндрпческие множества А{', А\ = Кх ^ М ; у-г ^ С-г. .. .
..., у, еС(^} такие, что ц(ЛД U Л1/') < е. В силу инвариантности Л
при всех и справедливо равенство
uU) = ц(Г-МПЛ) = |и(Г-М(г> П 4<r»J +fint
где Л(г) = у Ар, \6„\ < 2е. Возьмем такое п, что |и| 5= 2г+ 1. Тогда
- U ix е Д/: r/_, s С<Д, ..,уге С?\ у_г+я е ССД .. ., ут+п о С?}
U
и ссе координаты у-т, . -., J/r-, ?/-г+п, -.., ]}т±п различны. Так как
ц есть itnidnct-Mopa, jn \х(Т-ПА^> П Л(г)) = ц(Г-пЛ(г>) • ц(Л(г)) =
= fu(/l'ri)]2 = [ц(Л)]2 + Й, где 18! < е. Окончательно полумаем
](л(Л) — 1[лС4)Р! < -ie. Винду произвольности s, цЫ) = 0 или 1.
Тем самым первое утверждение теоремы доказано.
Докажем втоиое утверждение теоремы. Нояьмем два мно-
жества Аи /lje®. Для произвольного в>0 найдем натуральное
{^ ин а-алгебры ® §l(k] такие, что
Л3 Д А(Р) < к.
C)
г и множества
ji (А, А А{Г) < е.
Так как \х есть product-мера, то при \п\ > 2г+ 1
,л (г-Ч"п<') = с (г-Чг1)-^W") - цW")-(IMr'). D)
Иа C) н D) вытекает, чТ0 при указанных зпачениях п будет
| u (T'nA, Л А3) - и (Л,) -ц (Л,) | < | \i [Т'ПА, П А,) -
- р, (r^V;1 п л2) | +1 |i (r-Mir) n ^) - »i (г"п4г) п л'ят)) I +
т-1 ц (r-Mi" n 4Г') - ix WT>) ¦ ^ (/i^rl)! +
+ I ix Dr)) ¦ И (^2Г)) - (х {А,) ¦ ц (Л2) | < 4е.
Ввиду произвольности & теорема дох^азана.
Автоморфизмы Бернулли представляют собой динамические
системы с наилучшими в определенном смысле свойствами пере-
168
мешпванпя. Эти автоморфизмы играют важную роль в энтро-
пийной теории динамических сисго.м (см. часть II).
2. Автоморфизмы Маркова.
Пусть, как и в предыдущем примере, точки х пространства
Ы имеют вид х = ( //-|, 1/о, у\, ..,), где yt^Yt (Y, %}—нзме-
римое пространство. Стохастическим оператором па пространст-
ве (Г, SC) пазываетсп функция Р{у, С) переменных у е F, Се
ей, обладающая следующими свойствами:
1) Р{у, С) при любом фиксированном pF является норми-
рованной мерой на (F, SC);
2) Р(у, С) при любом фиксированном С ^ 91 является измери-
мой функцией на Г,
Нормированная мера ст на СУ, Ш называется инвариантной
мерой стохастического оператора Р, если для любого С'^Я спра-
ведливо равенство
а (С) = \p(y,Qda(y).
У
Имея стохастический оператор Р и инвариантную нормирован-
ную меру а, мы можем определить меру \х в пространстве М сле-
дующим образом. Сначала для цилиндрических множеств
где — t» < i < °°, г S5 0, Со, ...,
0 i r
Затем по теореме Колмогорова распространим меру и. иа всю a-
алгебру©. Из инвариантности а следует, что мера и. стационарна.
Определение 3. Автоморфизм сдвига Т с инвариантной
мерой и., определенной формулой E), называется автоморфизмом
Маркова. Инвариантные меры ц, отвечающие автоморфизмам
Маркова, называются марковскими мерами.
Эргодические свойства автоморфизмов Маркова могут быть
различными при разных о и Р. Например, нетрудно построить
примеры псэргоднчеекнд: автоморфизмов Маркова. Рассмотрим
более подробно случаи, когда пространство состояний Y — ко-
нечное множество, Y = {е-\, ..., е„,}. В эюм случае всякий сто-
хастический оператор Р однозначно определяется матрицей П с
матричными элементами щ = Р^€ц {е,}), 1 < i, j^m. Здесь {е3)
означает одЕшточечпое множество, состоящее нз одного элемента
s,. Стохастичность Р эквнвалептпа стохастичности матрицы П;
пй ^ 0, 2 П{; = 1. Инвариантную меру а можно отождествить с
m-мерным вектором п = Ыг, ..., лт), jrb=CT({eJ), для которого

Допустим, матрица П такова, что при некотором Ио^5! мат-
рица П ° состоит из строго положительных элементов. Эргодиче-
ская теорема для цепей Маркова утверждает, что в таком слу-
чае инвариантная мера л единственна, и если nffi — матричные
элементы матрицы П", то Jtt = lim Д|"\ к = 1, , т (этот пре-
дел не зависит от х).
Теорема 2, При указанных условиях автоморфизм Марко-
ва эргодичен и обладпвт перемешиванием.
Доказательство. Установим сразу, что автоморфизм
Маркова Т — перемешивающий. Рассуждая так же, как при до-
казательстве перемешивания для автоморфизмов Еернулли, мы
видим, что дело сводится к доказательству свойства перемеши-
вания для двух цилиндрических множеств. Каждое цилиндриче-
ское множество есть объединение конечного числа множеств вида
ei—T> ¦ ¦ "i eir?= Y. Поэтому достаточно доказать соотношение
lim р. (т~пА1 П Аш) = fx (Aj) ¦ ja (Az) F)
для множеств Л|, Л2 вида
А% = [г<= М: у_г = es_r, ...,yT = eir\.
Из определения меры ц следует, что
Если п таково, что Ire! 5= 2г+ 1, то
Поэтому
Тан как прн наших предположениях lim n^j^ — ^j_r, то из
G), (8) вытекает (G). Теорема доказана.
Ясно, что любой автоморфизм Бернулли является также авто-
морфизмом Маркова (при этом Piy, C) = c(C), где а — мера на
пространстве состояний). Покажем теперь, что в условиях тео-
ремы 2 автоморфизм Маркова представим как интегральный ав-
томорфизм над автоморфизмом Берпулли. В теории цепей Мар-
кова такое представление лежит в основе так называемого «ме-
тода Деблина».
Пусть Y~(eu ..., em) — пространство состояний автоморфиз-
ма Маркова Т, Зафиксируем некоторый элемент е = et e У н по-
ложим Е = {х = (... у-1, г/о, Уи - - -) е ¦Л/* Щ = е^- При наших
предположениях \х{Е) > 0. Обозначим через Те производный ав-
томорфизм, постровпный по автоморфизму Т и множеству Е. Дей-
ствие этого автоморфизма можно описать следующим образом.
Возьмем точку х = (..., ?/_), yQ, yit ...) ^Е и отметим все места,
где встречается координата е: ..., г'_2, г_ь 0, ?i, sg, ... (Эта пос-
ледовательность будет бесконечной в обе стороны для почти
всех яё=Ю. Тогда Тжх=^Тнх, н вообще, ТпЕх^Тих, — оо <
¦< п<; оо. Покажем, что ТЕ метрически изоморфен некоторому
автоморфизму Берпулли со счетным пространством состояний YE.
В качестве YB воаьмем множество, состоящее из всевозможных
наборов z вида z — je, ег1, ..., eirj, у которых 1 ==^ г < °°т ^^^
при 1 < s < г, а также иа тривиального набора |е). Любая точ-
ка ? = {уп) фазового пространства автоморфизма Тв однозначно
представила в виде двусторонне-бескопечной последовательности
элементов {zn}, Zr,^YE, а автоморфизм ТЕ действует как сдвиг
па множестве таких последовательностей. Отображение ф, пере-
водящее {#„} в izn), взаимно одпозначпо, н мы покажем, что оно
задает требуемый метрический изоморфизм.
Определим меру Os на пространстве состояний YE равенством
afe((e. еи, ..., e,r})=~nUl-nllia- ... •Яц_1# lf, -n^j. Достаточно дока-
зать, что ннварнантная мера и.Е производного автоморфизма Те
переходит при отображении ф в product-меру, порожденную ме-
рой Ое-
Для любого набора % — \е, е^, ..., ejr\ положим
Из определения марковской меры вытекает, что \АЕ(Аг) =Oe(z).
Взяв конечное число наборов zh = /е, е lkh ..., еЛйД, 1 <1 k ^
L Н *rkj
^ и <С °°, мы получим
ix?. {ач п ггм2, п - • ¦ n ri1"-"^,,,) _
Это равенство показывает, что мера jie, рассматриваемая как
171

мера на множестве бесконечных последовательностей ил YEi яв-
ляется берпуллневской. Значит, автоморфизм Маркова Т метри-
чески изоморфен интегральному автоморфизму пад автоморфиз-
мом Берну л ли.
Мы покажем теперь, как автоморфизмы Маркова появляются
при изучении динамических систем, не имеющих ничего общего
с теорией вероятностей. Пусть фазовое прострапство Ш', @', и/)
есть двумерный тор Тог2 с нормированной мерой Хаара, Т' — его
групповой автоморфизм: Т'(х\, жа) = (ах\ + b^dnod 1), сх\ +
"г cfx2(niodl)), где Л = I J— целочисленная матрица, del A =
~ 1. Предположим, что матрица А имеет два собственных значе-
ния Л[, А^ и J-i> 1, Я2=^1 <С 1, и обозначим отвечающие им
собственные векторы через е\, е2. В начале этого параграфа было
показано, как произвольное конечное или счетное разбиение %
пространства М порождает некоторое отображение <р, переводя-
щее Т в стационарный случайный процесс, или, иначе, в авто-
морфизм сдвига на пространстве (Л/, @, \х). Мы построим такое
конечиое разбпепие тора, для которого соответствующий автомор-
физм сдвига Т оказывается автоморфизмом Маркова с конечным
пространством состояний,
Рассмотрим плоскость [R2 с координатами х\_, х2 и естествен-
ное пакрь'тпе л: R2—*-Тог9. Мы будем также рассматривать зам-
кнутые параллелограммы на плоскости R2. которые отображаются
на Тог2 взаимно однозначно и стороны которых параллельны <?]
t'2. Образы таких параллелограммов под действием я также будем
называть параллелограммами. Стороны параллелограммов, парал-
лельные С], будем называть растягивающимися, а сторопы, па-
раллельные в2 — сжимающимися. Если С — параллелограмм, то
Т'С, (Т')~]С — также параллелограммы. Пересечение двух парал-
лелограммов снова есть параллелограмм.
Для каждого параллелограмма С обозначим через Т{р)(С) (со-
ответственно Г(е'{С)) часть границы С, состоящую нз растяги-
вающихся (соответственно сжимающихся) стороп. Разбиением
М' на параллелограммы назовем такой конечный набор паралле-
лограммов Си •-., С,, что [)Ci — M\ lntCi(] Int С; — 0при гФ].
Для разбиения % = CCi, ..., Ct) положим Гы (?) = ij T{p) (С4),
1=л
Tic)(l)= U Г(е)(С0-Ясно, что Г(рЧ|)(Г(еЧ|)) представляет собой
i=l
конечное множество отрезков, параллельных е1(е2).
Определение 4. Раабиение Ь, называется марковским, ес-
ли T-T^HD = г(р>(ё)г тг^ч:%) = г'=ч|).
Смысл этого определения проясняется доказываемой ниже
леммой 1. Отметим, что отображение ср: M'-+Mt определенное
в начале параграфа, в нашем случае действует следующим об-
разом: п-я координата точки q>(x\, x%) равна к тогда и только
тогда, когда Тп{хи x2)s=lniCk (это отображение определено поч-"
ти всюду на Л/').
Лемма 1. Если % = (Ci, ,.., С) — марковское разбиение, та
отображение ф переводит меру ц,' в марковскую меру ц.
Доказательство. Возьмем любой конечный набор це-
лых чисел См, - •., iJ, 1<ге<оо, l<:ih*^:r при к = 1, 2, ..., п,
и рассмотрим соответствующую последовательность параллелог-
раммов С{г, ..., Сц. Из марковского свойства разбиения ? вытека-
ет, что пересечение С^ПГ'СцЛ ... П (T'f1 C\n есть по-преж-
пему параллелограмм или конечное число параллелограммов, ле-
жащие внутри Cit, причем каждая из сжимающихся сторон этих
нараллелограммов лежит на сжимающейся стороне параллелограм-
ма Cix. Возьмем также произвольный параллелограмм С*ое?.
Под действием G1') он растягивается в направления е%, поэто-
му пересечение (ГО^1 С ^DCij есть один или несколько паралле-
лограммов, у которых растягивающиеся сторопы лежат на растя-
гивающихся сторонах параллелограммаС^.
Отсюда следует, что условная мера u. (B") Cio \ C|J ecu,
отношенне длин растягивающихся стороп параллелограммов
{Т')~ С^пС^ и Cij. Но, в силу сказанного выше, условная
мера
равпа отношению тех же сторон, то есть равна ;л ((?") Сгц( Сгх).
Лемма доказана.
Мы построим теперь для Т' марковское разбиепие % на два
параллелограмма, для которого Г(РЧ|) и Г1с'(|) будут представ-
лять собой два отрезка прямых, идущих в направлении е\, е%
соответственно н содержащих внутри себя точку 0 = @, 0).
Возьмем произвольный отрезок d\, выходящий из 0 в направ-
лении €] (см. рис. 2). Проведем из точки 0 в направлепнн е^ от-
резок <?2 до первого пересечения с d\ (рис. 3). Продолжим di до
пересечения с ^ и полученный отрезок обозначим с?з (см. рис.4).
Наконец, продолжим из от точки 0 в противоположном направ-
d В ный отрезок обозначим
и С2 и для разбиения ? = (Ci, С2) имеем Гф<*4, Гф
= с?2. На рис. 6 изображен один из этих параллелограммов. Из
построения следует, что разбиепие % является марковским. Раз-
биение % может не быть образующим. Для получения образую-
щего марковского разбиения следует рассмотреть параллелограммы,

являющиеся связными компонентами пересечений С*а П Т'С%Х-
Мы не будем этого здесь доказывать.
До сих пор в этом параграфе рассматривалась связь между
динамическими системами н случайными процессами с дискрет-
ным временем. Аналогичная связь существует и в случае непре-
рывного времени. Пусть (Г, Ш — измеримое пространство. Воль-
мем в качестве М пространство всех функций xis)t определенных
Рис. 2.
Рис. Я
ис. 5.
Рис. 6.
для jgR1 и принимающих значения в Y. Через © обозначим
наименьшую а-алгебру, содержащую вое конечномерные цилин-
дры, т. е. множества вида Л = ix(s)^ M: xisO^ С\, . . ., xisr)& С),
где Сц ..., Ст €Е St. sb ..., sr e D51- Тройка (Л/, @, ц), где и — нор-
мированная мера на <g>, называется случайным процессом с не-
прерывным временем (пополнение о-алгебры @ относительно
меры [х обозначается снова буквой @).
В пространстве М действует однопарамет|нтчсс:;ая группа
сдвигов {Г'1, где (T'x)is) =x(s + t), — «> < sn t < ^. Случайный
процесс (Л/, ©, [j,} называется стационарным, если для любого
цилиндра Л справедливо равенство \i(.TA) = \x{A)t — «> < г < со(
т. е. мера ц(Ы«) е Л/; #(s, + г) е Ci? ..., ar(*r + f) s CP)) не зави-
сит от Л Иными словами, в случае стационарного случайного про-
цесса группа {7*'} является потоком. Как и в случае дискретного
времени, можно показать, что всякий иоток порождает класс
стационарных случайных процессов.
§ 2. Гауссовскне динамические системы
Гауссовские распределения вероятностей часто встречаются в
теории вероятностей, статистической физике, квантовой теории
поля. Это объясняется, в частности, тем, что такие распределе-
174
вия вероятностей задаются небольшим числом параметров, ит
следовательно, их легко и просто строить. С гауссовскими рас-
пределениями вероятностей связан интересный н важный класс
динамических систем — гауссовские динамические системы, кото-
рые сейчас будут определены. Предполагается, что читатель зна-
ком со свойствами многомерных гауссовских распределений.
Начнем со случая дискретного времени. Рассмотрим прост-
ранство М двусторонпе-бесконечных последовательностей дейст-
лительных чисел x(s), s — целое, — оо<$<оо. Пусть © — о-ал-
тебра, порожденная цилиндрическими подмножествами простран-
ства М. Через Т обозначим преобразование сдвига в прострапст-
ве М: (Tx)(s) — xi.s + 1). Мера р. на © называется гауссовской,
если совместное распределение любого набора переменных x(s\),
*cis2), ..., xisT) является г-мерпыы гауссовским распределением.
Как известно, такое распределение вероятностей однозначно оп-
ределяется числами
J а: <
i -I, ...
*, 7 =
Если u, — гауссовская мера, то тройка (Л/, @, и.) называется
еауссовским случайным процессом с дискретным временем. Гаус-
¦совская мера и. стационарна (инвариантна относительно Т), если
mis) = m = const, &Ui, s%) *=b(st +1, S2 + t) при любом целом t,
т. е. & (Sj, s2) = 6 @, sa — s:) = 6 (s2 — sx). В дальнейшем бчитаем,
что среднее m = О, так как преобразование (x(s)} -*- ixLs) — m)
переводит произвольную гауссовскую меру и, в гауссовскую меру
v, нулевым средним. Функция Ь (s) —- Е [х (t -\- s) x (t)) (s — целое)
называется корреляционной функцией гауссовской меры. Ясно,
что b (— s) = Е (х {t — s) х (t)) = Е U (s + (t — s)) x{t -\- в)) = b{s).
Кроме того, функция bis) положительно определена и, значит, по
теореме Бохнера — Хинчина, допускает представление
—я
где о — конечная мера на окружности S1. Мера о называется
спектральной мерой гауссовской меры р.. Ясно, что а однозначно
задает меру ц (в предположении та = 0). Так как &(s) = &(— s),
то иСД) = о(— Д) для любого борелевского множества Д с 51.
Определение 1. Преобразование сдвига в прострапстве
Л/, снабженном гауссовской стационарной мерой, называется ав-
томорфизмом Гаусса.
Полезно привести более абстрактное и, вместе с тем, более
инвариантное определение гауссовского автоморфизма.. Пусть
Т — автоморфизм любого пространства с мерой (Л/, @, ц). Веще-
175

ственный элемент ho^L2(M, @, и) назовем гауссовским с нуле-
вым средним, если для любого набора целых чисел п\, «2, ..., пт
случайные величины hn., l^j^r, где кп = и'тка, подчинены
совместному гауссовскому распределению вероятностей с нуле-
вым средним, т. е. для любого набора борелевскнх множеств
Clt С2, • ¦ •» Сг с^ К1 справедливо равенство
у ([к h,h (х) еС, А„г (г) еС,|) =
Здесь p(tA) ttT)) = сопл-ехр|-4-ЮМ)], ' = (*'", ¦•.,«")),
D — матрица, обратная к матрице скалярных произведений
В = II (hn^ hn \ |, const выбирается из условия нормировки.
Определение 1'. Автоморфизм Г называется гауссов-
ским, если пайдстся такой гауссов с кип элемент ka^ L2{Mt @, р.)
с нулевым средним, что наименьшая о-алгебра ®л0 , содержащая
множества вида {х е Д/ ; AnGr) е С), —t» < и < °°( С С К1 —
борелевское множество, совпадает с ©.
В общем случае, если /г0 — гауссовскип элемент, то о-подал-
гебру @л0 естественно назвать гауссовской.
Возвратимся к исходному определению 1.
Пространство Hi . Рассмотрим копечпые линейные комбина-
ции у = 2 йь-? («й) е Л2 (Л/, @, и.), в к вещественны. Из свойств
гауссовского распределения вытекает, что все такие у подуше-
ны гауссовскому распределению вероятностей. Замыкание
d L2i.M, @, \i) множества случайных велпчпн у обозначим II\ri.
Индекс г объясняется тем, что мы рассматриваем пока только
вещественные случайные величины.
Л е м м а 1, 1) Пространство Я[г) есть замкнутое веществен-
ное подпространство гильбертова про а ранет в a L2i.M, @, ц), ин-
вариантное относительно унитарного оператора UT, сопряженного
с автоморфизмом Т\
2) Каждая случайная величина (/еЯ^1 подчинена гауссов-
скому распределению вероятностей;
3) Существует изоморфизм 8|г) вещественного гильбертова
пространства функций ф(А) s /,2E1, о), удовлетворяющих соот-
ношению фШ = ф(—А), и пространства В~[т\ при котором
ут(е<1г)ф) = е«(^Ф).
Доказательство. Первое утверждение леммы очевидно.
Для доказательства второго утверждения заметим, что если пос-
ледовательность случайпых величин у1п) сходится к у по норме
Ь5Ш, @, (*), то отвечающие им функции распределения слабо
176
сходятси, а, следовательно, характеристические функции сходят-
ся равномерно иа каждом конечном отрезке. Но харантеристи-
ческие функции гауссовских распределений могут сходиться
только к таким же характеристическим функциям. Тем самым
второе утверждение леммы доказало.
Сопоставил теперь случайной величине у = 2 аьх (%) функ-
цию Ф (Ц = 2 а&ег h- Ясно, что фШ = фС—%). Кроме того,
Ву~ = \ \ ф (К) |2 do (Ц, что проверяется непосредственно. Тем са-
мым определено взаимно однозначное линейное изометрическое
отображение ^V*' множества тригонометрических полиномов
*рШ, для которых фСЛ) =ф(—А), на множество случайных вели-
чин у. Ясно, что ву* (еаф) = ?/"rGir) (ф)- Продолжив eir) по не-
прерывности, получим требуемый изоморфизм. Лемма доказана.
Через #ic) обозначим прострапство комплекснозначных слу-
чайных величии вида У — ух + ^а> yi^Hli\ Уъ^&Р- Сопоста-
вим элементу у е -ffic функцию <pi(?J + Ьф2(^), где ф; (^) —
= 6i {!/_;), j=l,2, а в/ построено в лемме 1. Соответствую-
щее отображение обозначим 8:с. Справедлива следующая лемма.
Лемма 2. Отображение 0'ic> устанавливает изоморфизм
пространства L2(iS', о) и пространства Н[с\ При этом изомор-
физме Ъ[с)(е^ч>) = иЛг)(<?).
Доказательство. Произволыгую функцию ф s L2(S\ a)
запишем в виде фШ =¦ фД?О + 1ф2СХ), где Фх (К) = — [<р ().) +
(А.) =^-
— Ф(—
Тогда ф,(Х)
(—X),
(—А).
В силу леммы 1 функциям (pi, фЯ отвечают гауссовскне слу-
чайные величины У1ч у* е iff, а в силу линейности в^ функ-
ции ф отвечает случайная величина у е Н^\ Другое утвержде-
ние леммы вытекает непосредавенио из леммы i. Лемма
доказана.
Следствие. Если спектральная мера о не непрерывна, то
автоморфизм Т пезргодичен.
йоказательство. Пусть Ко, —л *S ).q < л, таково, что
_ ... „ ) = о((—%а}) > 0. На основании леммы 1 случайная вели-
чина ух0, для которой [О!?]^,, = ек0, где % (А) = i при Я, = Xq
н 0 нрн остальных ?,, есть ненулевая комплекснозначная случай-
ная величина, вещественная и мнимая часть которой подчинены
нетривиальному двумерному гауссовскому распределению. Тогда
WY1 Uty4 = e%, {Ц = е*Чч (Ц = eiX» [вР]'1^. Отсюда вы-
текает, что 6ттУ>.„ = е "иХц и, следовательно,
Уь<, \ инвариантна (mod 0)
т. е. функция
12 н. п. Корнфельд
UT | Ух,
относительно Т.
177

Поскольку у\й подчинена гауссовскому рас аре делению, то [ У\а \
не есть константа (modO). Следствие доказано.
В главе 14 будет показано, что верно и обратное утвержде-
ние: если мера о непрерывна, то автоморфизм Гаусса эрзодичен.
Там же будет показано, что если. b(s) -*- 0 при s -»- «>, то авто-
морфизм Гаусса обладает перемешиванием.
Перейдем теперь к аналогичным понятиям в случае непрерыв-
ного времени. Пусть М — пространство всех вещественнознач-
ных функций x(s), определенных для s ^ К1. Через © обозиа-
чим наименьшую о-алгебру, содержащую все конечномерные ци-
линдры, т. е. множества вида A = ixi.s) ^M; xisO^Ci, ...
..., x(sT) ^ Сг}, где Ci? ..., Ст — борелевские подмножества пря-
мой, su ...,згеК'. Мера [х на @ называется гауссовской, если
совместное распределение любого конечного набора случайных
Беличий x(sO, ..., x(sr) будет r-мерным гауссовскжм распределе-
нием. Если р. — гауссовская мера, то тройка Ш, @, fi) называ-
ется гауесовским случайным процессом с непрерывным време-
нем. Всякий гауссовскиы процесс задается средними m (s)=Ex(s),
b (s1, s2) =2= E [x (Sj) x (s2)]. Гауссовский процесс будет стацио-
нарным, если mis) — m = const, &Ui, s^) — b(s\ + t, $2 + t) при
любом t, т. e. b (sl7 s2) = b @, sa — sx) = & (sa — Sl). Как и
раньше, можпо считать, что m <= 0. В стационарном случае при
этом условии b(s)= J ei>-3da(X), где ст — четная конечная мера
на 031, которая называется спектральной мерой гауссовского
стационарного процесса. Мера о однозначно определяет меру \ь.
Определение 2. Если [j, — гауссовская стационарная
мера, то однопараметрическая группа сдвигов {Г*} на простран-
стве М называется потоком Гаусса.
Как и в случае дискретного времени, можпо построить про-
странства #\г), Н[с}. Критерии эргодичности и перемешивания
длл иотоков Гаусса аналогичны соответствующим критериям для
автоморфизмов Гаусса.
ГЛАВА 9
ПРИМЕРЫ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 1. Идеальный газ
В этом параграфе мы рассмотрим один из простейших при-
меров бесконечномерных динамических систем — идеальный газ
из бесконечного числа невзаимодействующих частиц. Начнем со
случая, отвечающего движению частиц в евклидовом простран-
стве Rdf d > 1.
Состояние отдельной частицы характеризуется набором ее
координат х = (х\у ..., xd) e [Rd и вектором скорости v = (fi, ...
..., vd) e [Rd, образующими в совокупности точиу U, v) — (#1, . .^
..., 2* vi, ..., vd) е= Rad. Будем обозначать пространство К
скоростей через &? — в отличие от пространства координат Не-
свободное движение частицы описывается системой урав-
нений
dx dv n
nr = v> if-0-
Рассмотрим в К2Й - IRxXlRr одноиараметрическую группу
сдвигов вдоль решений этой системы:
?'(*, v) = (x + vt, v), A)
Из теоремы Лнувилля, доказанной в § 2 главы 2, вытекает,
что всякая и-конечная борелевская мера р на К » имеющая вид
dp = dxfiv)dv, инвариантна относительно (S1).
Чаще всего в статистической механике рассматривается слу-
чай, когда /(с) = const e~niv- v\ § > 0.
Для дальнейшего достаточно предположить лишь, что
y-< oo.
B)
Пусть теперь Y — локально конечное подмножество простран-
ства Wid, т. е. такое счетное подмножество пространства К »
что для любого ограниченного В <= R2rf множество Y П В копеч-
по. Кстествеяно представлять себе Y как пару У = 'л, V), где
X — счетное множество точек igRI а V — есть К« — знач-
пая функция, определеииая на X, Значение v (х) = V (х) е К«
{х s X) интерпретируется как скорость частицы, находящейся
в точке х.
Пространство всех таких подмножеств Y — (X, V) обозначим
через М.
Для ограниченного борелевского множества В сг Ы поло-
жим хя(У) —салНГПД), Г^Л/. Б качестве ст-алгебры © изме-
римых подмножеств пространства М возьмем наименьшую о-ал-
гебру, относительно которой измеримы все функции Хв- Иными
словами, © есть наименьшая о-алгебра, содержащая множества
вида С в, k = {Y е= М : кв{ Y) — ft}, где ? <= R2d — ограниченное
борелевское множество, к S* 0 — целое.
Зададим на © пуассоновскую меру \\,t отвечающую мере р на
К2*1. Это означает, что

а для непересекающихся #i, В2 случайные величины Квх, ква
независимы, т. е. ^(Сд^ Л Св2,л2) = K^i^iM^V^)*0 по-
мощью этого соотношения мера ц однозначно распространяется
на алгебру множеств, порожденную множествами Св, \ и далее,
по теореме Колмогорова, на всю а-алгебру ©. Пополним а-алгеб-
ру @ по мере (х и для ее пополнения сохраним обозначение @.
Определим теперь иа пространстве (Л/, @, (х) ноток {Т1} сле-
дующим образом. Пусть Y = {X, V) = {(zi, t;,), {x2, u2), ...lei.
Для любого (eR1 положим T!Y = {Sf{xu v{), ?'(я2, v2), ...}.*)
Нетрудно убедиться, что преобразование Т1 при любом t пере-
водит локально конечные подмножества в локально конечные:
это сразу следует из того, что ограниченные множества В cz R2d
переходят под действием 5' также в ограничепные.
Поэтому группа преобразований и'} действительно опреде-
лена на М. Можно показать, что мера (х инвариантна относи-
тельно всех преобразований Т'. Мы сделаем это чуть позже в
более общей ситуации.
Построенная таким образом динамическая система (Л/, @, щ
{Г'}) называется d-мерным идеальным газом.
Докажем сейчас одну лемму, которая, хотя и пе будет нсполь-
яоваться в дальнейшем, дает представление о строении прост-
ранства М, Рассмотрим сначала естественную проекцию п, со-
поставляющую любой точке Y&M, Y = {{xi, t^), {x2i vz), ,..}
(т. е. счетному подмножеству пространства R3d ) счетное под-
множество пространства Kf:
n({(xh г;,), (#2, г-'г), . ¦ Л) = {хи хь ...}.
Пространство О таких подмножеств, отвечающих всевозможным
точкам У ^ М, называется конфигурационным пространством
идеального газа. Мера \i при помощи проекции л ипдуцирует
некоторую меру па О, которую обозначим через v. Точки про-
странства О, вообще говоря, не обязаны быть локально конеч-
ными подмножествами fk^; хотя их прообразы отноентельпо я
и являются локально конечньшя в R2d- Однако справедливо
следующее утверждение.
Лемма 1. Если выполнено условие B), то почти все по
мере v точки пространства Q являются локально конечными
подмножествами Кх!
Доказательство, Пусть Е — ограниченное борелевское
подмпожество R^; Qe * с Q — множество таких точек XeQ,
Х=(хи х2, ...), что card(X Л Е) = к, к = 0, 1 °°; СЕ>к=^
= n~l(QE:k). Мы покажем, что у.(СЕ,«) = 0, т. е. что v{QE,«) = 0.
*) Запись (X, F) = {(a:,, t>i), {zt, fa), ...} является несколько вольной,
так как точки (х, v)^(X, V) ни в коем случае нельзя считать упорядочея-
ними. Мы будем пользоваться этой записью лишь тогда, когда это не при-
водит к недоразумениям.
180
Очевидно, что при любом к < «> будет Се.ь = U Свп,^, где
Вп == Ях \v ^ Ri: \v\^n] т. е. Вп — ограниченное подмноже-
ство R2d. Отсюда следует, что
где 1J = j
В силу условия B) р (D) = ] da: J / (у) dw < оо, поэтому так-
же \i(Cgt ь) < °°, и
/ в. \
Но тогда ^1 (Се ж) = ц М\ U Се h 1 = 0- Для завершении дока-
зательства достаточно теперь взять в качестве Е всевозмож-
ные шары ?= ?т = [ж s 1R*; |ж|^га|, т = 1, 2, ... Лемма до-
казана.
определению идеального
, при пе котором
дем называть ограниченными.
г, будем называть ограниченными.
Рассмотрим новое пространство Мг точками которого служат
локально конечные подмножества Ус/?, т. е. такие, что
¦oartKl* П R,) < оо Прц Бсех г. В качестве о-алгебры @ измеримых
множеств возьмем патншыцую а-алгебру. содержащую множе-
ства вида Св, h = iY & jV : card (У П В) = Ы, где B<^R — огра-
& = 0 лое Зададим па @ меру
а Св, h = iY & jV : card (У П В) = Ы, где BR ор
измеримое множество, & =*= 0 целое. Зададим па @ меру
пичонное
[.I, полагая
и для пепйресенаютцихся Бь В%
u (Cjjllhl П Сб2л2) = (i (CB
Пусть теперь {»S"} —^ поток на пространстве (R, Щ., р), т. е. для
любого Л ^ §1 такого, что р(Л) < °°, й любого ? ^ R1 множество
SlA & й и pE(j4) = р(-А), а для любых tlt BеК' выполпево
соотношение S 1+'2 = 5*1 -5**. Допустим, что все преобразова-
ния S' переводят ограниченные мпожества в ограниченные, и,

стало быть, локально конечные множества в локально конечные.
Тогда можно определить одиопараметричесную группу {Т'} пре-
образований пространства М по формуле
Т'({уи jfc, ...»¦= iS'yu S'yb ...}, yt е R.
Покажем, что мера м- инвариантна относительно преобразо-
ваний Г\ Достаточно установить, что \i(T'Cb, 0 ¦= и^в, ь) для
любых Св „ и leK1. Но это вытекает из равенства Т*Св.к =¦
= CS(B fe и инвариантности меры р относительно 5'.
Определение 1. Динамическая система {71') на про-
странстве Ш, @, (х) называется пуассоновской надстройкой над
динамической системой E'}.
Обычный идеальный газ получается как пуассоповская над-
стройка над потоком {?*}, отвечающим свободному движению
частицы в tRd, описываемому уравнениями A).
Обратимся теперь к анализу эргодических свойств пуассо-
иовских надстроек. Для этого введем следующее определение.
Определение 2. Пусть {Т'} есть пуассоновская над-
стройка над {S1}. Мы будем говорить, что траектории системы
{Т%} уходят в бесконечность, если существуют множество Ао е &
н число t(, со следующими свойствами:
1) U 5*^ = K<modO),
2) Л0°°П 5'Л0 = 0 при всех *, \t\ > *0.
Теорема 1. Если траектории, идеального газа уходят в
бесконечность, то поток {Т*} — перемешивающий.
Доказательство. Пусть Ви Вг ^ R — ограниченные-
множества; Св1,к1, Св2,ь2 —два подмножества М; хь %2 — отве-
чающие им индикаторы. Мы покажем, что
\ уЛ {Т Y) х
n(C4.ftiMCB2-"a)' откуда будет следовать утверж-
дение теоремы, поскольку линейные комбинации такнх индикато-
ров всюду плотны в 1?-{М, @, ц). По той же причине мы може\г
считать, что
U S'A,
C)
при некотором т > 0.
Действительно, если положить В\ = В% П \J S Ло, i = 1, 2t.
то множества Bi удовлетворяют условию C) и в силу 1)
Iimp(#i д В}) =0. Поэтому
Т-.0О
Нт И (Св,.», Л Св, ь ) = Hm (l - e-"(BiUJJ0) _ 0.
Но если справедливо включение C), то в силу условия 2) при
182
при таких t
будет 5'В|ПВг
В силу определения меры ц.
= i1 (Cs-Bl,bl) ^ (Св« -О = f (Св
Теорема доказана.
Следствие, d-мерный идеальный газ при- d > 1 — «е/?е-
меишвающая динамическая система.
Доказательство. Покажем, что траектории d-мерного
идеального rasa уходят в бесконечность, т. е. проверим выпол-
нение условий 1), 2) для динамической системы {S')} действую-
щей в !R2d по формуле A). Положим
R' = {(хг, ..., xd, Vl, -. -, vd) e RM: ^ ^0],
ilcuo, что р(Й') = 1, и непосредственно проверяется, что
U SlAa =э Д' - Кроме того, 5'Л0ПЛ0-^, если Ul>2. След-
ствие доказано.
Как было видно из рд р
сматривать функции j({X, V)), зависящие от координат и
рое 1'с-й коне'шого числа молекул, расположенных в ограниченной
части пространства (такие функции всюду плотны в 1?Ш, @, ц.)).
ф /С(Х V)) сановятся зависящими от
зависящими от
пространства (ти фу
При эволюции функции /С(Х, V),) становятся
коирдинат и скоростей молекул на бесконечности и поэтому в
силу свойств инвариантной меры \i оказываются статистически
независимыми от начальных функций /(СХ", V)). В этом н кро-
ется причина справедливости теоремы 2.
Газ Лоренца. Один частный случай описанной выше кон-
струкции идеального газа приводит к хорошо известной в стати-
стической механике модели, называемой газЬм Лоренца. Пусть
d > 1, и пространство Q получается из пространства 1R выбра-
мжества непересекающи
лрнмое пр
нства возьмем фазовое прор
произведение Q X S"~lt где второй сомножитель отвечает

пространству скоростей этой частнцы. В качестве меры р возь-
мем меру dp — dx dm, где ы — мера Лебега на сфере 5d*"'? dx —
мера Лебега на Q. Тогда р — инвариантная мера для динамиче-
ской системы {S1} и идеальный газ, строящийся в этом случае
с помощью описанной выше конструкции, называется газом
Лоренца,
§ 2. Динамические системы и уравнения
в частных производных
Эргодическая теория динамических систем, отвечающих урав-
нениям в частных производных, в настоящее время еще не по-
строена. Имеются лишь отдельные простые примеры и относя-
щиеся к ним результаты частного характера.
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые аспекты пробле-
матики, связанные с классической теорией поля. Пусть D —
ограниченная открытая область в lRrf. Конфигурацией класси-
ческого поля в области D служит функция ф(я), заданная на D
и подчиненная тем или иным граничным условиям. Траектория
поля есть функция двух переменных ф(.г, t), —°° < t < °°; гр<(ху
t)—производная поля по времени в точке х. Уравнения дви-
жения поля обычно вытекают из того нли иного вариационного
принципа. Для получения уравнений движения в гамильтоновой
форме задают гамильтониан поля. В простейшем случае обозна-
чим п(х) = фДг, f), рассмотрим пространство пар (л{х), ф(ж)) —
= (л, ф) и гамильтониан Я вида Я (л, ф) = -^-(я2 -МягадфK) -Ь
+-Р (<р) &r. Здесь Р— «хорошая» функция одного перемен-
ного, например, Р(ф) есть ыпогочлен или РСф) = cos ф, sin tp
и т. п. Слагаемое -х-я,- в подынтегральной функции есть плот-
ность кинетической энергии, а слагаемое -у (grad ф)" + Р (ср) —
плотность потенциальной энергии. Вся подынтегральная функция
называется плотностью гамильтониана. Уравнения движения име-
ют вид
или фи = Дф — Р'(ф). Последнее уравнение есть уравяепие ги-
перболического типа. Если в качестве фазового пространства
рассмотреть пространство пар ф, ф(, для которых справедливы
теоремы существования и едппственности решений уравнения
A), то в таком фазовом пространстве естественно возникает од-
нопараметрическая группа {Т1} сдвигов вдоль решений A). По-
строение нетривиальных инвариантных мер для {Т!}, известное
184
в пастоящее время, к сожалению, основано на явном построении
решений.
Рассмотрим в качестве примера линейный случай, когда
Р{ф) = /пфа. Пусть область D компактна, граничные условия та-
ковы, что оператор Дф + 2шф самосопряжен в L2(D). Возьмем
ортонормпрованную систему собственных функции ф*: Дф* +
Ч- 2тфк = Яйфл, и пусть К < 0. Записывая ф, п в виде ф = 2 сьФ1»
я"^2^ьф^1 мы видим, что уравнения A) заменяются ва бес-
конечную систему одномерных уравнепий:
ch = i
А
Тогда — %ъ.с\ 4- $ — Jh образует полный набор первых инте-
гралов нашей системы. Отсюда следует, что во всем функцио-
нальном пространстве L2{D) поток {Т1} неэргодичен. При фик-
сированном h поток {Г1} сводится к условно-периоддческому
движению ва бесконечномерном торе. Его эргодические свойства
зависят от свойств соизмеримости частот V—Яй.

¦ Ч А С Т Ь II
ОСНОВНЫЕ КОНСТРУКЦИИ ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
В эргодической теории имеется сравнительно немного общих
результатов, относящихся к произвольным динамических систе-
мам и доказываемых с помощью конструкций, проводимых в об-
щих пространствах с мерой. Ряд таких результатов и конструк-
ций собран в этой части.
ГЛАВА 10
ПРОСТЕЙШИЕ ОБЩИЕ КОНСТРУКЦИИ И ЭЛЕМЕНТЫ ЭНТРОПИЙНОЙ
ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 1. Прямые и косые произведения динамических систем
1. Прямые произведения. Рассмотрим пространство с мерой
(М, @, (х)т являющееся прямым произведением двух других
пространств с мерой: Ш, ©, )х) = {М\ X Д/э, @i X @2, M-i X \i2).
Предположим, что в сомножителях действуют динамические ся-
стемы \Ti\, {Tz} либо обе с дискретным временем, лпбо обе с не-
прерывным временем.
Определение 1. Динамическая система {71'}, действую-
щая в пространстве М по формуле Т% (xlfxz) = {Т^, Т^х..), назы-
вается прямым произведением динамических систем {Т{\ и \Т[].
Ясио, что {Т*} сохраняет меру jj, — fiiX ji2. Аналогично опре-
деляется прямое произведение любого конечного или счетного
числа динамических систем.
Примеры. 1. Пусть М есть тор Тог с циклическими ко-
ордипатами xit ..., хпу T — групповой сдвиг, т. е.
Т{хи ..., zJ = U, 4- a^
l)t ..., xm 4- am(mod D).
Тогда Т есть прямое произведение m поворотов окружности.
2. Пусть Ы — М1 X Д/2, автоморфизмы Т\л 7*2 — автоморфизмы
Бернулли (Маркова), действующие на Mlf M2 соответственно.
Тогда Т = Т\ X Т% также ивляется автоморфизмом Бернулли
(Маркова).
Для любого автоморфизма Т обозначим через AjiT) набор
собственных значений унитарного оператора ?/т, сопряженного
с Т.
Теорема 1. Для того чтобы прямое произведение двух
эргодических автоморфизмов Т = 7\ X Т2 было эргодическим,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство АДГО П
Доказательство. Необходимость. Обозначим через ГЛ,
^2. U унитарные операторы, сопряженные с Т\, Г2, Т соответ-
ствеппо. Допустим, что некоторое ?,, "к ^= 1 принадлежит пересе-
чению К,АТ\) П AjtT^). Тогда найдутся нормированные собствен-
ные функции /i, /2, Для которых Uifi^kfx, Uiiz = Xf2. _Из пос-
леднего равенства вытекает, что (^/гК^г) = /2(^2) =Уг112^ в
^=lrlj2{x2). Функция /Cari, хг) = /i(^i)/2{x2), очевидно, является
нормированной, ортогональной к подпространству коистант и
Uf = 17,/, ¦ (/2/2 = Я • X-lfJ2 — f, т. е. fUi, x2) инвариантна
(modO). Это иротнворечит эргодичности Т.
Достаточность. Пусть АЛ{Тг) = №], к = 0, 1, 2 Л* (Га) =
— IVj^I, I = 0,1, 2, ...-, № = 43) = 1. Ортонормированные си-
стемы собственных функций для Vu U2 обозначим {Д1*! и {ft2)\
соответственно. Положим /h ((xlt хг) = /hl> (xt) f\%) (x2). Тогда
UfkA ^ UjfuJ? = WfWPf? = tf'XpVfc.,, т. е. U, г - соб-
ственлая фупкп.ия для U с собствевиым значением А.^1 Xf. Из
условия теоремы вытекает, что A,ftl)?-B1 ф 1 при выполнении хотя
бы одного из перавенств к Ф 0, ? ^ 0. Действительно, в против-
ном случае Я]2) — W)^' = Х^1'. Отсюда следует, что к\2) е Ad (Т±)
(соответствующая собственная функция есть /hl) — ^то проти-
воречит условию.
Покажем теперь, что оператор U не имеет других собствен-
ных значений. Из этого будет вытекать утверждение теоремы,
так как всякая инвариантная (mod 0) функция для Т есть соб-
ственная функция для U с собственпым значением 1.
Введем подпространства Я\с), Я1С) прострапств L2(M\, @i,
]Xi), /ДЛ/г, @2i M-a) соответствекио, состоящие из функций, орто-
гональных всем 1/й°} (соответственно всем {/L2')), Пусть Л(с)
есть зал1ыканне в L2(M, ©, и,) множества функций вида
2'h.hB)" <^i) s'h Ы, где gI' е Я«>, ё%> s Я<", а число коэф-
фициентов с51,,2 конечно. Введем такжо подпространства /Д1 ,
//*,"' пространства Z.2(J/, ©, ц), состоящие жз функпий вица
Al>(a4)g(z,), JE»1", и g'(ii)/i'"W, «' S Я1,4 и, наконец,
одномерные подпространства Яй_,, порожденные функциями /*, i.
Лето видеть, что L1 (М, И, ц) « A) ©S^s i Ф S ^' Ф S #*." ©
е я<с), ж г/я!,11 = я*»", ия',21 = я'Д г7я|с) = я(е), поскольку

подпространства &{с\ H^ инвариантны относительно Uu U%
соответственно. (Здесь через A) обозначено подпространство
констант.)
Покажем теперь, что е подпространствах Я* , Н^, Н^е) пет
собственных функций оператора V. Рассмотрим случай подпрост-
ранства Я'е>; другие случаи проще, и мы на них не будем
останавливаться.
Для всякой функции / = S«jl.j,?5J)(^i)^)(a;a) скалярное
произведение (U"f, /) стремится к нулю, когда п пробегает не-
которое множество плотности 1. Действительно, такое стремле-
¦те к нулю для {V* (гЯ>$>) ^У?> ( {
дри достаточно большом п будем иметь
^ j ( ) { ty
вытекает нз свойств подпространств Н[е\ Я^Р (см. приложе-
ние 2). Поэтому все функции / указанного вида ортогояальпьг
собственным функциям оператора U, а значит, это верно-
для всех / е Нш.
Итак, собственные функции оператора U имеют вид f^f1'?
а среди них только функция f^f^ = const инвариантна отно-
сительно Т. Теорема доказана.
Следствие 1. Если Т\ — слабо перемешивающий^ а Т% —
аргодический автоморфизм, то Т = Т\ X Т2 — эргодический авто-
морфизм.
Следствие 2. Еели Т\ и Т2 — слабо перемешивающие
автоморфизмы, то и Т = Г, X Т2 — слабо пе ремешиеающиИ
автоморфизм.
Это вытекает ие из формулировки теоремы 1, а из ее дока-
зательства. Действительно, вгы показали, что в подпространстве
Н{е] пространства L4M, 0, ц), являющемся ортогональным до-
полнением к ортогональной сумме собственных подпространств
И к, I, собственных функций оператора U яет. В пашем случае это-
означает, что у U вообще ист собственных функций, отличных
от коистант.
Теорема 2. Если Тх и Т2 — перемешивающие автомор-
физмы, то Т = 7*i X 7'г — перемешивающий автоморфизм.
Доказательство. Пусть /eLj (Л/, ©, ji) имеет вид
/ = S c'n,ijjy ixi) Sjz (^a) * гДе только конечное число коэффици-
ентов е;^ отлично от нуля. (Здесь L\(M,®, ц) — ортогональное
дополнение к подпространству констант.) Тогда
при п -* °°. В общем случае, для произвольпой функции /е
е Z/J (jW, ©, р.), ||/|| = 1, н любого е > 0 найдем функцию
f е /^о (^> ®- И)» I /'I = 1j представимую в виде конечной сум-
мы 2^.^(^)^,A8), для которой ||/-/'||<е/4. Тогда
т. е. Wnf, }) -*¦ 0. Теорема доказана.
2. Фантор-система динамической системы. Пусть даны изме-
римые пространства (Ми @i) и {Л/д, @г) на каждом из которых
действует измеримая динамическая система: Т\\ Му-+М1ч Га-
Mi -*¦ М%, и либо обе системы с дискретным временем, либо об»
с непрерывным временем. Допустим, что существует измеримое
отображение <р: М\ -» Л/2, перестановочное с действием динамиче-
ских систем, т, е. уТ[х = Т{ух для любого ieJlfi i любого t.
Отсюда, в частности, следует, что подмножество ц:(М\) простран-
ства Л/s инвариантно относительно {Т\} и для дальнейшего до-
статочно ограничиться случаем, когда ц>Ш\) = М%. Если p-i — ин-
вариантная мера для \Т\\, то мера |Л2, определенная на ®2 фор-
мулой \1г(Л) = Hi(<p~4-A)l, A e @2) будет инвариантной для [Т{\-
Определение 2. Динамическая система {Т2\ на про-
странстве {М2, ©2, р-а) называется фактор-системой динамической
системы \Ti\.
Пример ы. 1. У всякой динамической системы {Г1} есть,
по крайней мере, две фактор-системы: она сама (гр — тождествен-
ное отображение) н «тривиальная» система, когда Л/г состоит из
одпой точки, и отображение <р переводит М\ в эту точку.
2. Пусть У,, Гг —конечные множества, и Мг~ Ш Yi'\
Y[n)^Ylf Л/2= П Y?, Yl-'sV,. Пусть Ти Г2-првобра-
зованпя сдвига на М\ и М2 соответствршю. Всякое отображение
фо множества Y\ на множество Уг продолжается до покоординат-
ного отображения ср пространства М\ па М%. Если при этом на
Yi н Уг заданы нормированные меры О|, аэ соответственно и ф0
переводит О| в ог, то ср переводит бернуллиевскую меру |яь отве-
чающую о,, в бернуллиевскую меру Цг, отвечающую аа, п авто-
морфизмом Бериуллн Т2 (см. главу 8) представляется как фактор-
автоморфизм автоморфизма Бернудли. Т\. Заметим, что если в Л/[
задана такая инвариантная относительно Т\ мера, что Т] является
автоморфизмом Маркова, то Т2, вообще гозоря, не является авто-
морфизмом Маркова.
3. Если М = М1Х.М2 и динамическая система if) на М есть
прямое пронзведепие дипамических систем {Т\} и {Т^Кто каж-
дая из динамических систем {T[\t [Т\] является фактор-системой
динамической системы {Т'}, Достаточно рассмотреть естествен-

ные проекции <р,: М -*¦ Ми Ниже этот пример будет значительно
обобщен.
Теорема 3. Если динамическая система {Т1}
1) эргодична, то любая ее фактор-система эреодична;
2) слабо перемешивающая, то любая ее фактор-система слабо
перемешивающая;
3) перемешивающая, то любая ее фактор-система перемеши-
вающая.
Доказательство. Утверждения 1), 2), 3) доказываются
одинаково, поэтому мы докажем лишь первое из них. Если мпо-
жество ie@2 неварыаитно относительно {Т2\, то ф~ЧЛ) инва-
риантно относительно {т{\. Из эргодичности {7\] получаем, что
\Х2^А} — ц\((р~1(А)) = 0 или 1. Теорема доказана.
3. Косые произведения динамических систем. Описываемая
ниже конструкция значительно обобщает конструкцию прямого
произведения динамических систем и часто встречается в эрго-
дической теории.
Пусть M = (M\XMi, 0] X 02, m X pi) — прямое произведение
пространств с мерой (Ми ®h (j,[) и (Л/и, ®2, Цг). Предположим,
что иа (Ж,, ©ь (*i) определена динамическая система [Т\], сохра-
няющая меру (xi и для каждого х\ е М\ определена динамическая
система \Т\(хг)} на Ш2, ®2, Цг) измеримым образом зависящая
от г, в следующем смысле: для любой измеримой функции
/(a?i, х2) на Л/ функция ' f {т\х^ T\ (xx) ги) измерима на прямом
произведении ТХ М, где Г = К1 в случае динамических систем
с непрерывным временем, Т = % в случае динамических'систем
с дискретным временем. Тогда группа {71'}, заданная формулой
7'' (#!, ;г2) = (У]^, Т{ {#,) г2) есть измеримая динамическая систе-
ма, действующая на М. Покажем, что (Т'} сохраняет меру ц.
Действительно, для любого Ле@, А = А\ X А%, At ^ @( при
i = l, 2 имеем: ^/'хЛ = ХТ-'А] (^i) %т~\Х1) А,^' где ^')—груп-
па унитарных операторов, сопряженная с {Т'У и
Если я
М -|- Mi — естественная проекция, то,( очевидно-,
для всех х<*М. Отсюда следует, что \Т^ является
(Г') М
J t/'zA#i^2 = J ХгГ?Л1 (^)
Отсюда Бьттекает инвариантность меры ц.
Определение 3. Динамическая система {Т'У называется
косым произведением динамических систем Hii и {^(Х!)}. Про-
странство М\ называется базой \\ \Т\\ пазывается динамической-
системой, действующей в базе, а динамические системы {^ai^i)!
называются динамическими системами, действующими в слоях.
Иногда мы будем также говорить, что {Т1} есть косое произ-
ведение над [Ti\-
фактор-системой динамической системы (Г'). Можно показать,
что ври довольно широких условиях всякая эргоднческая дина-
мическая система {7">, имеющая фактор-систему 1Л1. разлага-
ется в косое произведение {Г{1 и динамических систем (Г, (х^ ,
действующих в некотором пространстве с мерой.
Примеры 1 Пусть Г, - автоморфизм пространства с ме-
ло* Ш, Si Hi) и (Ж2, ®2, ц2) - пространство, состоящее из
г(г<~) точек одинаковой меры. Всякое сохраняющее меру пре-
образование пространства М2 представляет собон перестановку.
Таким образом, если Ш, 6, ц> - Ш„ в„ Мл> X Wa, ва, ц2), то
всякое косое произведение в Ж над Г, задается измеримым ото-
бражением пространства Ж, в группу перестановок множества
И3 2ЭЛЩстьГОД/ = 5|Х S1-двумерный тор, Т\ - групповой сдвиг
ва S1 т е T,xi = Zi + «.(mod 1), и №l) Действует по формуле:
rjd.j'u-xj-b/d.Kmodl), где /-измеримая функция на S1.
Косое произведение ТЫ, и) = U,+a(modl). ^+/U.Xmod 1»
часто называют косым сдвигом на торе.
В связи с поиятием косого произведения введем следующее
ОЛР0ДпрТде'леппе ^ ^^ г _ автоморфизм пространства
(М в и)- G —некоторая измеримая группа, Z— аддитивная
группа целых чисел. Коциклом д-.я Г со значениями в группе G
называется измеримое отображение S: MxZ->G удовлет-
воряющее соотношению
Пример. Пусть G = R'- аддитивная группа действитель-
ных чисел. Любая измеримая функция Цх) иа Д? порождает ко-
цикл со значениями в G по формуле
S {х, п) -
¦»)
при
при
при
В качестве группы G можно взять грушу К всех автоморфиз-
мов некоторого пространства с мерой Ufa, ва, (»а). В этой группе
можно ввести топологию с базой открытых множеств вида
1Г- ц (Т-1А АТ71Л)<ч\, Та^Ш, 4о^®!, ч>0. Измеримая
структура в 2К-зто борелевская структура, порожденная такой
топологией. . я. ™ ,
Если 71! — автоморфизм пространства Ши ®ь И-iJ. то всякое
косое произведение автоморфизмов 1\ я fjUi), действующее в
491

Пространстве M*-(MtXM2, ®iX®2, (цХц2), порождает коцикл
для Г| со значениями в группе Ш. Этот коцикл определяется
формулой
S fo, в) = Тг (z,) Тг (ТЛ) •... ¦ Г2 (ZT'zi).
§ 2. Метрический изоморфизм косых произведений.
Эквивалентность динамических систем в смысле Какутаии
1. Пусть М = Mi X М2 — произведение пространств с мерой,
Т\ — автоморфизм пространства М\, ?2(я|), T'ldi), х, е Mi — два
измеримых семейства автоморфизмов пространства М% Построим
косые произведения Г, Т пад Ti, действующие по формулам
Л*1, хг) — (Tixu f,{xi)xi). Ли, xi) = (Tixu Т2Ых2).
Введем коциклы S(xi, w), S(xi, n) со значениями в группе ?И ав-
томорфизмов пространства Л/г, отвечающие 2' Т соответственно
(см. § 1).
Определение 1. Коциклы S(xi, n), S(xu n) называются
когомологичиыми, если найдется такое измеримое семейство
R(zi), xi s Mi, автоморфизмов пространства М2, что
5 (*„ п) =
гГг,) § («!, в) й (zj.
Теорема Х.^Если коциклы S, S когомолошчны, то косые
произведения Т, Т метрически изоморфны.
Доказательство. Пусть <р — автоморфизм пространства
J!f -= Л/i X Jlf2, действующий по формуле ф(зг], я2) = (хи Rixjx*).
1Ъ
пЧ> (хг,х.г)
xX4 S (xlt n) R(,г
хи п) х2) =
Теорема доказана.
Обратное утверждение, вообтце говоря, неверно.
2. Эквивалентность динамических систем по Какутаии. Про-
блема мэтрической классификации динамических систем, т. е.
классификации с точностью до метрического изоморфизма, чрез-
вычайно сложна и вообще вряд ли когда-либо будет разрешена
ввиду многообразия возникающих здесь возможностей. В связи
<¦ этим делались различные попытки ослабить требование изо-
морфизма с тем, чтобы получить более компактную картину.
Одпим нз удачных оказалось принадлежащее С. Какутани
понятие эквивалентности, которое в последнее время оказалось в
центре новых интересных исследований в эргодической теории.
192
Определение 2. Пусть Т\, Т% — эргодические автоморфиз-
мы пространства с мерой (Л/, @, JJ.). Назовем их эквивалентными,
по Какутаии или просто эквивалентными, если найдется та-
кой автоморфизм R произвольного пространства с мерой Ш\, ®ь
III), что каждый из автоморфизмов 7\, Т2 метрически изоморфен
некоторому интегральному автоморфизму, построенному над R.
Теорема 2. Следующие утверждения эквивалентны:
i) T\, Т2 — эквивалентны по Какутани;
п) найдутся такой автоморфизм Т некоторого пространства с
мерой (Mi, ©2, №2) ^ подмножества Z?i,Z?ae@2 такие, что Т^Тч)
метрически изоморфен производному автоморфизму Те\\*е%)-
Доказательство, i) =*" ii). Пусть Т\ и 7*2 реализованы
как интегральные автоморфизмы над Я и r\{x\), ratajj — отвечаю-
щие им функции. Положим т{х\) = шах {г\(хО, ra(?i)}+l и обо-
значим через Т интегральный автоморфизм, построенный над R
прн помощи фупкции г{х\)„ Точки фазового пространства Afa ав-
томорфизма Т имеют вид {хи i), I < i < r(x\), i — целое. Поэтому,
¦взяв Ei = {(xu i): l^i^r,^,)}, Ez^{(xu i): 1 ^i^r2U,)}, no-
лучпм требуемое утверждение.
ii) => i). Предположим вначале, что цС-Ej П Е%) > 0. Положив
Е = Е\ П Е% получим, что Тк есть ироизводный автоморфизм как
автоморфизма Те±, так и автоморфизма ?е2. Следовательно,
Ткг и Тъ% представпмы как интегральные автоморфизмы над ТЕ.
В общем случае заметим, что ТтпЕ и Т%г метрически изо-
морфны при любом п. В силу эргодичности Т найдется такое п,
при котором ц(Е\ П ТпЕ2) > 0, после чего применимы предыду-
щие рассуждения. Теорема доказана.
Теперь можно показать, что определение 2 действительно за-
дает разбиение пространства автоморфизмов на классы эквива-
лентности. Свойства рефлексивности и симметричности очевидцы.
Остается проверить транзитивность. Пусть Т\ эквивалентен Т%,
а Та эквивалентен Т$, Тогда найдется такой автоморфизм Ru
что 7"i и Тч представимы как интегральные автоморфизмы пад
Ль и такой автоморфизм /?2, что Т% и Тъ представимы, как ип-
тегральпыо автоморфизмы иад Hi. Но тогда Hi и R% представи-
мы как производные от 7*2 и, по доказанной теореме, найдется
такой автоморфизм fl3, что Я\ и Rz представимы как иптеграль-
ные автоморфизмы иад R$, В таком случае Т\ как интегральный
над R\ представим как интегральный пад Дз, и аналогично Гг, Тъ
представнмы как интегральные пад Яъ- Следовательно, Т[, Т^ч Та
эквивалеитпы.
§ 3. Замена времени в потоках
Для гладких динамических систем ца гладких многообразиях
2 главы 2 была определена «система, получающаяся из за-
данной с помощью замены времени, определяемой гладкой поло-
13
в 8
даш
13 ,
, П. Корнфельд и др.

жительпой функцией». Там же была приведена формула, выра-
жающая инварнантпую меру для такой системы через инвари-
антную меру исходной динамической системы.
Сейчас мы опишем аналогичную конструкцию для произ-
вольных потоков на пространствах с мерой.
Пусть {Т1} — поток на пространстве Ш, @, ц), и на М задана
функция w{x)<=H{M, ®, ц), w{x)>0. По потоку {Т1} и функ-
ции w мы построим новый поток {Т1}, «получающийся из исход-
ного с помощью замены времени, определяемой функцией w».
Последнее означает, что траектории у потока {Тс} те же, что й
у {Г1}, а «скорость движении» вдоль траектории в точке х^М
у потока iT1} в w{x) раз больше, чем у {Т'}. Перейдем к более-
точному изложению.
Для всякой точки геЯ и любого t> 0 рассмотрим уравне-
ние (с неизвестным и);
( w (Т*х) ds = t. A>
о
Лемма 1. Уравнение A) для почти всех х^М имеет при-
любом t > 0 единственное решение и = ut(x), и > 0.
Доказательство. По эргодической теореме Виркгофа —
Хинчина, предел
существует на некотором инвариантном множестве М' с М
цШ') = 1 и
f w+d\i = f wd\i. B>
А/ к
Покажем, что функция w* почти всюду строго положительна.
Пусть ? = {згеЛГ : w+(x)=0), МХ=М'\Е. Множество Mh опе-
пидыо, инвариантно относительно {?'). Применяя теорему Кирк-
гофа — Хинчина к функции wyiM^, получим
\ w+dy, = \ (wytM1)+ djj, = j wxMjdji — I wd\i. C>
Из B) и C) вытекает равенство ] wdp = \ w+d\i = 0. Ввиду по-
к е
ложительности w это означает, что \i{E) = 0, т. е. \i(M0 = 1*
Для любой точки х<^М], очевидно,
lira Jw(r8i)de=oo.
Поскольку последпии иптеграл является непрерывной н строго
монотонной функцией верхнего предела, найдется единственное
значение и, удовлетворяющее соотношению СП. Лемма доказана.
При ?<0 рассмотрим уравнение
— f w (Т'х) ds - t.
Оно также имеет для почта всех: хеМ единственное решение
u = ut{x), причем и < 0.
Итак, для почти всех х е М определена прн любом t,
—«о < t < °°, функция и = ut{x). Выбрасывая, если нужно, из
пространства М некоторое множество меры нуль, январиантное
относительно {Т'У, мы добьемся того, что ut(x) будет определепа
для всех х.
Ясно, что при фиксированном х ut{x) — строго возрастающая
функция t, и0Ы =0, lim ut{x) = + °°» lim ut (x) = — °°- При
фиксированном t функция и, {х) измерима. Ото вытекает (при
t > 0) из равенства
{х е= М : Щ (
а) =
= Л/:
й>0,
л из измеримости w(T'x) как фупкпии двух переменных xt s.
Непосредственно проиеряется соотношение
w(l (x) + ич {Thx) = utl+t2 (х), х s M, tx,t2^ U1, D)
Определим теперь преобразование Т1 пространства М, полагая
r'z = r"lWz, х<=М.
Форьгула D) показывает, что рассматриваемые для всех
ie R1 преобразования Т1 образуют однопараметрическую груп-
пу: Y'ilT'a = Т<1+Ч ПокажехЧ, что {Г>—измеримая динамиче-
¦екая система иа измеримом прострапстве {М, @).
Введем отображение i|): М X R1 ->¦ Л/ X R1, действующее по
¦формуле i|)U, f) = (л, №(Ы). Это отображение измеримо. Дейст-
вительно, достаточно проверить, что для любого измеримого
множества ДсДГхК1 вида А=СХ(а, b), CeS, его прообраз
ijrM измерим. Это, в свою очередь, вытекает (при a, b > 0) из
равенства
) ds
Возьмем теперь произвольное множество С ^ ©. В силу измери-
мости {Is) множество 4 = l(jr,f)ejMxlRli Tlx^.C\ измеримо.
13* 195

Положим В = \(х, t)e= Л/xR1: JieCI. Тогда B_|(i,f):
Г WeC|=ip~M, откуда вытекает измеримость В и, аиа-
чит, измеримость динамической системы {У).
Введем на (Ж, в) нормированную меру ц, абсолютно непре-
рывную относительно ц., для которой — = г •
a.u I urf.u
Теорема_1. Мера ц инвариантна относительно {?'). 0кь!-
лш словами, {Т'У — поток па пространстве (М, ©, рТ).
Доказательство. Пусть /(х) — измеримая ограниченная
функция на М. Для любого О 0 образуем временное среднее
i i
/. М = -г|/(^) * = -f [tif^x) dx.
» о
Сделаем в последнем интеграле замену переменных в,(г) = у.
Так как в силу A) —~ = ' , получим
Полагая g(x) *=f{x)w{x), мы можем записать:
1 if
о
Так как g^Ll(M, ©, ц) и b,U)-»-oo при j-
днческой теореме Биркгофа — Хипчина продел
E)
то по эрго-
F)
существует почти всюду, н
= f /du
G)
По той же эргодическои теореме почти всюду сущеси
вует предел
- lim -
Из E), F), (8) выи
19В
что lim/, (
t
, почти всюду, т. е.
lim w+ (x) }t (x) = g+ (x) почти всюду. Учитывая G), получим
lim j ш+ (х) ft (x) dy, = fj f {x) dZ, j wdp. (9)
Заменим в последнем соотношении функцию fix) на f{T"x), где
s ^ R1 — произвольно. Тогда будем иметь
f / (Г'а;) ^ц J ^^.
ш м
lim f w+ (x) ft (Г'зг)
A0)
Оттеним разность интегралов в левых частях (9) и A0):
I j w+ (х) ft (f'x) dy. - J w+ (x) U (x) dp <
IM M
I t (
< -L f 5+ (!) f / (?'+'*) dx-{f (TV)
s^ — j w+dy, -f-0 при f->¦ oo,
M
Поэтому правые части (9) и A0) совпадают, и значит,
| f{Tsx) d\i = \ f(x) d\i. Ввиду произвольности / последнее ра-
венство означает инвариаптность меры jj. относительно {Tj. Тео-
рема доказана.
Замечание. Пусть функция wix) такова, что —ei1^,
©, jx). Тогда исходный поток {Т1} получается на {Т'У эаменой
времени, определяемой функцией 1/ш.
Если поток if) эргодичен. то любой поток {Т1}, получающий-
ся из него с номощью замены времени, очевидно, также эргоди-
чен. Свойство перемешивании при замене времени, вообще гово-
ря, не сохраняется.
§ 4. Эндоморфизмы и их естественные расширения
Рассмотрим пространство с мерой (A/Oj ©о, |^о), точки которого
имеют вид х—{уо, уи j/2, - -.), l/i^Y, где У — некоторое изме-
римое прострапство с о-алгеброй SI измеримых множеств. Пред-
положим, что мера jj,0 обладает следующим свойством: \i0 ({x^Ma:
: ^jJ+№eClr..,jfir+neCr))ue зависит от п (ге^О) при произ-
вольных I] U &*0 н любых С\, ..., Сг*=5(. С точки зрения
теории вероятностей мы встречаемся с односторонней стационар-
нон последовательностью У-значных случайных величин. В про-
странстве Мо действует эндоморфизм сдвига Го: Toiyo, ffi, ...) =
3 tyi, i/2, ¦ •.), сохраняющий меру цо.
197

Во многих вопросах естественно расширить пространство Л/о
и перейти к пространству М двусторонне бесконечных последо-
вательностей х =={..., I/-1, 1/о, Уи -••), где jfc^Y, а мера и, опре-
деляется по мере цо:
CT})r
где п таково, что все ik+n^0, k = i, ...t г. Мера ц, очевидно,
инвариантна относительно преобразования сдвига Т в простран-
стве М, действующего по формуле Т (.. ., i/_iT i/Ol у1ч,,,) =
= (..., i/_t, i/0, y1(...), где У1 = Уг+1 при всех t. Эргодические
свойства Т определяются эргодическими свойствами То.
Мы опишем теперь общую конструкцию, позволяющую для
произвольного эндоморфизма Та любого пространства с мерой
Шо, ©о, ^о) построить естественно связанный с иим автоморфизм
Т нового пространства (Л/, @, (х). В случае сдвига эта конструк-
ция сводится к описанной выше.
Точка х пространства М строится как бесконечная последо-
вательность x = ixm, хп), xi2\ ...), где x^^Mq, TQz{i> = хи~"
для всех i > 0. Превратим М в пространство с мерой. В качестве
о-алгебры © возьмем наименьшую о-алгебру, содержащую все
множества вида A =Asc = {x= Ы01, xll\ ,..)sj|f: x{i)^O, где
i>0, Ceg0, Для любого такого А положим ц(А) == \ю(.С). Из
определения следует, что
п
... л сг).
Это равенство задает согласованный набор конечномерных веро-
ятностных распределений, который, по теореме Колмогорова, мо-
жет быть продолжен до нормированной меры ц, определепной на
а-алгебре @.
Зададим преобразовапие Т пространства М формулой Тх =
= {Taxi0\ T(ix1'.. ..) для х={х<т, хш, ...). Это преобразова-
ние обратимо: Т'хх = (х(П, х12>, ...) для x = (xw>, хш, ...). Не-
посредственно проверяется, что мера \i инвариантна относитель-
но Т, т. е. Т является автоморфизмом.
Определение 1. Автоморфизм Т пространства М называ-
ется естественным расширением эндоморфизма То простран-
ства Мс
Связь между эргодическими свойствами То и Т видна из сле-
дующей теоремы.
Теорема 1. i) Автоморфизм Т эргодичен тогда и только
тогда, когда То эргодичен;
Ю А втоморфизм Т перемешивающий тогда и только тогда,
когда Tq перемешивающий.
198
Доказательство. Если С <= Д/о — инвариантное {mod 0)
множество для То, то A=ix = №°\ i°\ - - .)^ М : xiOi eC) бу-
дет, очевидно, инвариантным множеством для Т. Из определения
меры \i следует, что \ii.A) = (xoCCJ. Поэтому если Tq неэргоди-
чен, то Т также неэргодичеи.
Пусть теперь То эргодичеа. Покажем, что и Т эргодичен. По
аргоди ческой теореме фон Неймана для всякой функции
fLi(M @ )
где сходимость по норме в пространстве L'(A/o, ©о, Мо)- Отсюда
непосредственно вытекает, что для любой функции F^Ll(M,
@, (х) вида Fix) = /(х0)), х = (xw, zu>, ...) также будет выпол-
няться соотношение
в смысле сходимости в ?ДА/, @, \i). Но в силу условия ТцХ™ =
= х^1\ i>Q, любую функцию G{xi0\ x{X\ ..., xli)) можно пред-
ставить в виде G(z(Oi, xA), ..., д:1'')=/Сд:@). Поэтому подобные
фуикцин образуют всюду плотное множество в L{(M, @, \i)
и, значит, равенство A) справедливо для любой функции F&
e:Ll(M, @, ^)- Следовательно, Т эргоднчен, н тем самым утверж-
дение i) доказано.
Утверждение ii) доказывается аналогично. А имепно, если
/еЛЧД/о, ®о, Цо), |№о-0и FU)=f(zli)), то
и при п -* аа стремление к нулю левой И правой частей проис-
ходит одновременно. Общий случай опять-таки следует из того,
что рассматриваемое множество функций F всюду плотно в
L4M, ©, ц). Теорема доказана.
§ 5. Лемма Рохлина — Халмоша
Пусть Т — автоморфизм пространства с мерой Ш, ©, ц).
Определевие 1. Точка jef называется периодической
точкой автоморфизма Т, если Т"х = х при некотором целом п =^ 0.
Автоморфизм Т называется апериодическим, если множество его
периодических точек имеет меру нуль.
Следующее утверждение часто используется в зргодической
теории. Оно отпоснтся к автоморфизмам пространств Ле-
бега (см. приложение 1).

Теорема 1 (лемма Рохлина—Халмоша). ЕслиТ — апериоди^
ческий автоморфизм пространства Лебега {М, @, \х),то для любых
б > 0 и натурального п найдется такое множество Е е @, что
1) множества Е, ТЕ, ..., /р"~1Е попарно не пересекаются;
2)
и -
1=0
Доказательство. Разобьем наши рассуждения на отдель-
ные пункты.
1°, Для всякого натурального п найдется такое Fn е @»
\ii(Fn) > 0, что множества Fnt TFn, ..., Tn~xFn попарно не пере-
секаютея.
Докажем это утверждение индукцией по п. При п = 1 оно
тривиально. Для перехода от п к п +1 рассмотрим построенное
множество Fn. Покажем, что найдется Fn е ©, ^n <= f n . для
которого p. (Fn д Т1™/^) !> О- Если бы это было не так, то пре-
образование Т" переводило бы любое измеримое А с: Fn в мно-
жество Л' такое, что |i(iAi')=0. Так как М — пространство
Лебега, отсюда следовало бы, что Тп является тождественным
(mod 0) на F» (см. приложение 1), что противоречит апериодич-
ности Т. Положим Fn+1 = Fn\TnFn. Очевидно, что Fn+ly .
TFn+i,.. ., TnFn+1 попарно пе пересекаются и \i{Fn+i)X).
Заметим, что если некоторое множество А^<®, |д(Л)>0, ин-
вариантно относительно Т, то можно построить Fn<=A.
2°. Отождествим любые подмножества F', F" ^@ такие, что
\i{F' л F ") = 0, и будем рассматривать классы эквивалентных
подмножеств. Для построенных в п 1° множеств Fn таких, что
Fn, TFn, ..., T^^Fn попарно не пересекаются, соответствующие
классы эквивалентности также будем обозначать Fn. Введем на
множестве этих классов частичную упорядоченность по вклю-
чению (modO). При этом всякая возрастающая цепочка [F^]
имеет верхнюю грань, а именно, Fп = [) F^- Так как любая ,
строго возрастающая цепочка {F1^), занумерованная транс-
финитными числами, обрывается на счетном трансфините, то мы
можем считать, что а пробегает лишь счетное множество значе-
ний и, значит, Fn^*(. По лемме Цорпа найдется максимальный
элемент, иными словами, найдется такое /"¦пшах е @, что любое
F* е @, для которого \x{TlFn П PFJ *= 0 при 0^i<; <л-1 и
Fn^Ffax\ совпадает (modO) с F(^ai). При этом также
ах) П Г^шах)) =0, 0 < i < / < п - 1.
3°. Пусть ^пГа:(> — множество, построенное в 2" для какого-то
т. Для любого х е f (^ai) положим г (arj = min {г ^ 1 : J"ra: S
е f mIiax)i и покажем, что т < г{г) ^ 2т—1 для почти всех таких х.
Неравенство r(x) > m вытекает из построения F1™* ¦ Пусть
G с F^ax) состоит из тех х, для которых гЫ > 2т. Положим
20U
Тт = р(та*У U ТтС. Тогда ц (Г^„ П Г^м) =0 при 0 ^ i < / ^
^т-1 и, если ц(О>0, то ji(Fm) >n(F(^as)). вопреки мак-
симальности F{mBX)- Поэтому u.(G) = 0.
Положим теперь РЦХ) = \х е F^ax): г (аг) = й). По доказан-
4°. Пусть Jf,= у у T*F S">. Докажем, что Af,=Jlf(mod 0).
Заметим, во-первых, что множество Л/i ннвариаитно. В самом
деле, если жеГВД при i<ft-l, то Уж е Г'+^Г}. Если
Если р,(Л/\Л/|) >¦ 0, то М\М\—множество положительной ме-
ры. В силу замечания в конце 1° в этом случае можно было бы
найти Fn cz М\Ми \iiFj > 0, для которого Fm, TFm, ..., Tm'lFm
попарно не пересекаются. Положив Fm = F(^as> U Fm, приходим
в противоречие с максимальностью f(^aK).
5°. Выберем m таким, чтобы было п/т < в и положим
гт-i .
Е= U U Г^Л11-
Множество ? является искомым. Действительно, из построе-
ния вытекает, что Е, ТЕ, ,.,, Тп~хЕ попарно не пересекаются.
Далее,
nuVe=?tT и TlF^f\
i ft i
где pk = maxU: O
роны, в силу 4°
?Tj * "и1
A—ТЛ 1=0
1, i^ (n—l)(mod «)l. С другой сто-
Д/ (mod 0).
При каждом k, m^ к < 2т — 1 слагаемые, входящие во внут-
реннюю сумму, имеют одинаковую мору и все слагаемые попар-
но не пересекаются. Поэтому

и' и
'.m— 1 A— i
U U
Теорема доказана.
Замечание. Из
!°U rf? = M(mod0).
am-i fvt, \
2 и( и г^««>1
и y'fSx)
построения множества
вытекает, что
0
Усиленная форма леммы ' Рохлина — Халмота. Пусть ? =
(Ci, ..., С,) — конечное разбиение пространства Лебега {М,
[i). Тогда для любых е>0 и натурального п найдется такое
е @, чго ?, У?, ..., Т"~1Е попарно не пересекаются.
U
при
7 = 1,2 г.
Доказательстве этого утверждения мы приводить не будем.
Одно применение леммы Рохлина — Халмоша. Пусть Т —
произвольный автоморфизм пространства Лебега Ш, ©, ц). Рас-
смотрим пространство М' всевозможных двусторонне бесконеч-
ных последовательностей sf = (..., x-i, xQi X\,...), где каждая
координата х>п принимает г значений 1, 2, .... г (г>2)т а также
преобразование сдвига 7" в пространстве М . Возьмем некото-
рую нормированную меру v на М\ инвариантную относительно
Т', и положим
для любых п > 0, 1 *? Аь ..., к„ ^ г.
Теорема 2. Для любыд: е>0 и натурального п найдется
такое разбиение | пространства М па г множеств С\, ,. ., С\-, чго
|ц(СчП Г-1^ П ... Л T~nCbn)-v{kQ,kx *л)|'<8.
Доказательство. Для любых 6 > 0 и натурального N
найдем множество ?s@ такое, что T'EOTJE = 0 при 0
и ц(и
\ i
> 1 — 6. Положим 5 = М\ U
i
По-
\ i0 / ift
строим теперь разбиения |(|), s = 0, 1, ..., TV, множества Е на
подмножестваСр, ---, С(Р3> так, что
jTXEJ^W" П С? П •-- П С{5) = v(k0, k, кя)
при всех ко, к\ kN, I ^ kt^r. Определим искомые множест-
ва С\, ..., Ст равенствами
cio) и тс\1} и ¦.. и г"^ и sif
г.
где В{<^ В и множества Z?i, ,.., Sr образуют произвольное раз-
биение множества В. Имеем теперь
П Г~1СЙ1 П ••• П T~nChJ-v(kot Alf..., ft»)|=«
I* (Cfto П Г^, П • • • П
o П Т-'Сь, П ... П r~nC
П J1^ П - - • П y"nCftn | ГЕ) - v (fc0, ul(...
- v (ftOl Alt..., An)] Ц (Д) < 2B|i
+ 2" I и (c*0 П t1^ n - - • П
Последняя сумма равна пулю, так как при
ливо равенство
]i{Cko П T~YCkl П ¦¦¦ П ^""C
^^ П r'c!i+1) П ... Л
— п справед-
= ТгЬ) »*(с^ n rt'i+1) п ' ¦ •
Поэтому S<2rt/jV + 26 п мы можем выбрать TV и S так, что-
бы последнее выражение было меньше е. Теорема доказана.
§ 6. Энтропия
Каждому автоморфизму Г пространства Лебега (Л/, @, рО
можно сопоставить число А(Г), называемое энтропией автомор-
физма Т. Величипа h{T) при различных Т может принимать
любые значения от 0 до +°о (включая 0 и +«.), причем ЫТ\) =*
= АG12), если автоморфизмы Г[ и Гг метрически изоморфны. Это
означает, что энтропия h(,T) является метрическим инвариантом.
Энтропийная теория динамических систем составляет боль-
шой и важный раздел эргодической теории. Однако в этой книге
203

она будет затронута сравнительно мало. Приведем сейчас необ-
ходимые факты об энтропии разбиений и дадим определение
энтропии автоморфизма.
Пусть ? — конечное разбиегше пространства .M(modO) на
измеримые множества С\, ..., Сг, т. е. U С г = ЛПтосЮ),
Ci П С; = 0 при i Ф j, К i, ; < г < «>.
Определение 1. Энтропией разбиения \ называется число
Если jj.(Ci) = 0, то считаем, что |i(&)ln (i(C,) = 0. Логарифмы
всюду в дальнейшем берутся по основанию е.
Для разбиения ? = CCi, ..,, Ст) через 7'й? обозначим разбие-
ние на множества T"Ch ..., 7*CV D — 0, ±1, ...). Для любого
набора разбиений |<», ; - 1 JV, E(j) = (ci'>,..., d'r) через
?а> V 5СЙ V ¦ • • V i'N) обозначим разбиение, элементами которого
служат всевозможные множества вида C'.J1 П С\" Л • - ¦ П CSJJ',
Простейшие свойства энтропии разбиения.
1°. (X//{?)< In г для любого разбиения % = (Сь ..., Ст).
Левое неравенство очевидно, правое вытекает из того, что
величина Н(%) достигает максимума тогда, когда ji(Ci) = 1/г при
всех i, Ki^r.
2°. Пусть |=(Ci, ..., Сг), г) = (I^i, ..., DT) — два разбиения
пространства М. Тогда
тЪУц)^НA)+тц). A)
Действительно,
Я (i V Л) = - S
In ji (Сi Л ^;) =*
?if\DJ)\n\i(Ci)— 2
tf (I)
- Д] [ .2 й (Ci) и {Dj
B)
•) Чтобы не усложнять обозпачеиий, мм здесь и в некоторых случаях
ниже считаем, что число элементов у разбиений |, i] одинаково. Общвй слу-
чай легко свести к этому.
Применяя неравенство Йепсена для выпуклых функций к
функции fix) = ~xIn а:, 0< ж < 1, получим
- S
и (С() ji (Dj \ d) In ^ (D,-1 CO < ~
C)
Объединяя B) и C), получим требуемое неравенство {1).
Из доказательства видно, что знак равенства в этом нера-
венстве достигается только тогда, когда разбиения | и г\ неза-
висимы, т. е. когда ji(C( П D}) = |UCi) • у.Ф}), 1^1, /<г.
Пусть снова | = (Ci, ..., Cr), -ri = C/?i Dr) — два разбие-
ния пространства М. Мы будем считать, что fxW,) > 0, / =•
= 1, ..., г.
Определение 2, Условкой энтропией разбиения | огко-
сителъно г\ называется число
Я(^И) = - 2|i№j) 51 и (С* | Z?i) In i* (<7i | jDi).
Рассматривая каждое Д как пространство с мерой ja(-|Dj)
в введя разбиение =л; индуцированное разбиением \ на множест-
ва D,, получаем
Простейшие свойства условной энтропии.
1°. Для любых разбиений ?ь ?а, т|
Эти свойства доказываются так же, как свойство 2е энтропии
разбиения. Из доказательства видно, что знак равенства в по-
следнем неравенстве достигается только тогда, когда разбиения
\х и ?г независимы относительно т\, т. е. для каждого элемента
JD ^ т] разбиения C|i)d, C%%)d независимы.
2°. Для любых разбиений ?, rii, т]2
Действительно,
Я(б1тц Vri2) = ff(g Vtj, V 42)-
i V tj2
Знак раненства достигается только тогда, когда
мы относительно tji. Отсюда легко выводится сле
во условной энтропии.
и г|2 независи-
дующее свойст-
205

3°. Если для разбиений |, тц, rja имеет место равенство-
^|т]1 V тJ) =//(^[т),) и ? —такое разбиение, что ? < %*), то
Обобщим теперь понятие условной энтропии следующим об-
разом. Пусть § — конечное разбиение пространства М; 21 — пол-
ная о-подалгебра о-алгебры @. Так как М — пространство Ле-
бега, то а-алгебре 21 отвечает измеримое (но не обязательно ко-
нечное) разбиение т] — т)(ЙС) (см. приложение 1). Разбиение \
индуцирует на любом элементе D ^ ц пекоторое конечное раз-
биение |D. Кроме того, на почти всех элементах D е ц имеются
условные меры jaD. По аналогии с D) введем следующее опре-
деление.
Определение 3. Условной энтропией конечного разбие-
ния относительно измеримого разбиения т\ называется число
= J
Af/fl
Можно показать, что свойства 1°—3° условной энтропии со-
храняются и в этом случае.
Пусть к, I — целые числа, к < I и | — конечное разбиение-
пространства М. Введем разбиения & = Thl V Тк+11 V • - - V Т%
Числа Нп = Н (i«-1), n^ 0, удовлетворяют неравенствам Hn+m ^
^ Нп + Яи. Действительно, Яп+т = Я (&o+ni~1) < Я К) +
+ Я (ln+m~1) = Я» Н-Я (g""*") = Яп + Ят. Следовательно, су-
ществует величина h (Т, |) = lim — i
Имеетсв другое выражение для А(Г, |), содержащее услов-
ную энтропию:
\ 14-1 /
E).
(Условная энтропия в правой части атого равенства понимается
V смысле определения 3.)
Действительно, при любом п
... у
4- Iя ©+я й
••¦ V
"- V
*) Эта запись означает, что каждый элемент разбиения Я есть объе-
динение нескольких элементов разбиения §, т. е. т\ — укрупнение ? (см*
Приложение 1).
Отсюда следует, что
h (Г, I) = lim 4" 2 Я
Й—1
V 5
(=1
F)
Последовательность чисел ап — Н[1 \Т и монотонно убыва-
V 1-1 У
ет в силу 2 , поэтому она имеет предел при «->-«>. Этот предел,
¦очевидно, совпадает с пределом в правой части F). С другой
стороны, по теореме Дуба о сходимости условных математиче-
ских ожиданий,
lim ЯШ V
Я 5 V г"
Тем самым E) доказано.
Определепио 4. Энтропией автоморфизма Т называется
-число h{T) = suph{T, ?), где верхняя грань берется по всем ко-
нечным разбиепиям |.
Из определения непосредственно следует, что h{T) является
метрическим инвариантом. Приведем теорему, которая позволит
во многих случаях вычислять энтропию h(T). Мам понадобится
понятие образующего разбиения, встречавшееся уже в главе 8.
Мы дадим сейчас несколько пное определение, которое в случае
пространств Лебега эквивалентно определению из главы 8.
Определение 5. Разбиение | = (С\, ..., Ст) называется
образующим для автоморфизма Т, если наименьшая полная
я-алгебра, содержащая все множества Tnd, i=i, ..., г, — °о <
< п < °°, совпадает с ©.
Теорема 1. Если автоморфизм Т обладает конечным об-
разующим разбиением л, то h{T) =h(T, ц).
Доказательство. Пусть ?=(С|, ¦.-, Ст)—произвольное
конечное разбиение, и задано 8 >0. Мы покажем, что h(T, |) <
^h(T, t]) + s, откуда, ввиду произвольности ву будет вытекать,
что h{T, l)^h{T, Tj).
При любых m, n > 0 имеем
н{1 vnv ... V тп-Ч)<н{т-тг\ v •-• М тп+тц угу ...
... V Jin~l5)<ff(r"mnV •¦- Vrn+mri)+tfft V ...
... V т^I т~тц V ... V i'"+mTi)<я(г-^ V ¦ • • V тп+тц) +
-+ S я{тк1\т-тп V ... V rn+wti) = н{т~\ v-• • V ^re+mn) +
ft0
+ "S я (i |
V ¦ ¦ • V
1). G)
.Мы покажем, что при достаточно большом m и любых к, л,
207

О < к < л — 1, справедливо неравенство
я (I | r-m~fin V ¦ ¦ • V 7'"+"
Обозначим через rj(m> разбиение Г~тт] \/... , ^_
Я (? | I-m-ftn V - • ¦ V Г"+"-\) < Я (Б | П(т>), поэтому достаточ-
но показать, что #(?lr|(mJ)<B при достаточно больших т.
Так как л — образующее разбиение, то для любого элемента
Ci разбиения | и любого б > 0 при достаточно больших ni най-
дется такое множество Сг, состоящее из элементов разбиения
V', что n(CiACi)-<6. Множества Ci f] Ci при разных ? по-
парно не пересекаются, и ц. MJ \d{\ С Л >• 1 — гб.
\t=i /
Пусть Cj —множество, состоящее из тех элементов D раз-
биения п(т\_для которых \iiCi\D) > 1 - fb. Тогда |i( C'i)>
^fi. (С{) — у^б-В самом деле, если?^с:С
^ У^Ь. Поэтому
i
Теперь имеем
ЯF|71(и)) = - 2
где в Sni суммирование распространяется на те элементы D
разбиения iitm), которые принадлежат множеству U Ci, а в 2|2) —
на остальпые элементы разбиепия r|(m).
Так как u( M\ U Си^гг/бдо |SB1| ^ 2гГб1нг. Что ка-
V i-i /
сается 2A>, то при достаточно малом 6 и D cz С% будет
il
т. е. |2(]>] < е/2. Значит, при достаточно малых S вся сумма
может быть сделапа меньше 6. Возьмем теперь такое т, чтобы
(8) было выполнено. Тогда, разделив обе части неравенства G)
на п и устремив п к бесконечности, получим, что h(T, |) <
*? ЫТ, т]) +е. Теорема доказана.
Примеры вычисления энтропии
1. Энтропия периодического автоморфизма.
Пусть Т — периодический автоморфизм, т. е. существует та-
кое патуральиое ш, что Т™х^х для почти всех х^М. Тогда
для любого конечного разбиения |=.(Ci, ..., Сг) пространства
любого гс >0 число элементов разбиения ?,"~1не превосхо-
дит г, поэтому Я AТ~г) < «г In г, п = 1, 2, ... Отсюда
т. е. h(T) = sup h {T Д) =0.
2. Энтропия поворота окружности.
Пусть 7Vr = ^-t-a(modl), же5'. Б силу Г h{Ta) = 0 при
рациональном а. Если ше а иррационально, то Та является ми-
нимальным гомеоморфизмом окружности. Отсюда непосредствен-
но вытекает, что разбиепие g = (Ci, Сэ), где Ci = [0, 1/2), Сз =
= El/2, 1), является образующим для Та, Кроме того, при лю-
бом п > 0 разбиение ^о есть разбиение 5' на 2» отрезков. Это-
утверждение легко доказать но ипдукцип.
Действительно, при л = 1 оно вытекает из определения |,
а при переходе гс — 1 -* гс к коицевым точкам отрезков, входя-
щих в ?„~\ добавляются ровно 2 точки: Г«@), Г?* A/2). Поэтому
откуда ЫТ.) = ЫТа, V - 0.
Такие же рассуждепия применимы и к сдвигам на торе Тог41»
т>1.
3. Энтропия автоморфизма Бернулли.
Пусть Т — автоморфизм Бернулли с пространством состоя-
ний (У, о), y = (ai а,), о({ая))—pi. К ft«г. Фазовое про-
странство этого автоморфизма есть Ы = Ц У ,У ^У- Разбие-
Бие ? = (Ci, . . ., Сг) пространства М, где Сй = {х = (. .. У-и Уа,.
уи .. ¦) ^ М: уа = ak), очевидно, является образующим. Вычислим
при п '¦> 0 энтропию // (ёо~1):
¦ Phnlnphl— 2 Р*Г-- ¦¦Р
% И„=1
• ¦¦— 2 Р», -• ¦ Ркп1арь — — п 2 Pit ¦
*! й„=1
- и 2 р», S р*3 ••¦ 2 /><¦„ 2 pi,,inpi,1
— n 2
b1
п, П. Корафельд и др.
20»

Отсюда
h (Г) = h (Г, I) = li
л—i
4. Энтропия автоморфизма Маркова.
Пусть фазовое пространство М то же, что и в За, Т — авто-
морфизм Маркова с матрицей перехода П=Нрч11, l^i, j^r и
стацпоцарными вероятностями о={р\, ..., рт). Разбиение | нз
3° является образующим и в этом случае. Аналогично предыду-
щему можно показать, что при п > 1
Отсюда
*) = - (и - 1) Д PiPj In P{j - 2
А
) = lim
ln
Приведем теперь основные свойства энтропии автоморфизма.
Теорема 2.
1) h{Tm) = ЫА(Л, m — г^елое;
2) если 71 = Ti X Г2 — прямое произведение двух автоморфиз-
мов, то h(T) = h{T0 + h{T2);
3) если Т& — производный автоморфизм, построенный по эр-
годическому автоморфизму Т и множеству Е, jiU?) > 0, то
4) еслм Г' — интегральный автоморфизм, построенный по
эргодическому автоморфизму Т и целочисленной функции f e
ееЬЧМ, В, ji), / > 0 то k (Tf) = -г^— А (Г).
Доказательство. Мы докажем лишь первое утвержде-
ние теоремы. Остальные утверждении не будут использоваться
в этой книге. Их доказательства можно найти, например,
в Л. М. Абрамов [И и J. Brown И].
Покажем сначала, что h{T~l) = h(T). Для любого конечного
разбиения % и любого натурального п справедливо тождество
НЦ V Т~Ч V.. .V Т~п+11) - Н{Т«A V T'll V.. .V T~n+il)) =
Отсюда вытекает, что к{Т~\ %) — h(T, l) и
h (Г) = sup А (Г, ?) - sup ft (Г, |) = ft (Г}.
Мы можем теперь считать, что тп > 0. Для конечного разбиения
? положим Т1 = т](т, ?) = % V Г? V.. .V Tm~l\. Тогда при любом
ге>0
Я(т] V I""ri V.. .V Tm"~l)r\) = ЯE V Г| V.. .V Гтп-'|).
Отсюда при
<» получаем h{Tm, r\) = mh{T, I). Зиачнт^
( p(, l) = mvh(Tm, ц(т, I)) = m-sup k [T, i) =
= mh(T). Теорема доказана.
Введем теперь понятие энтропии потока,
Опредолоние 6. Пусть {Г1}—поток на пространстве Ле-
бега (Л/, @, ji). Энтропией потока {Т*} называется число-
Следующая теорема доказывает естественность такого опре-
деления.
Теорема 3. Пусть (Г'} — поток на пространстве Лебега
Ш, ©, |i>- Тогда ЫТ') — \t\UT1) при всех t ее R1.
Доказательство. Так как, в силу первого утверждения
теоремы 2, ЫТ~') =ЫТ'), то можно считать, что t>0. Мм
докажем сначала, что если 0 < и < t, то h (Т1) < — h (Tu).
Пусть m — натуральное число, 6 = 1/т и % — конечное раз-
биение пространства М. Положим
^ 6
""-1)в"
|.
л = i v t^i у гг6"| v • • • V г
Зафиксируем, далее, натуральное п и через
любое натуральное число такое, что nt *^ки < {п ) Д р
¦= 1, 2, .. ., п через г(р) обозначим такое натуральное число, что
Нр)Ьи < pt< W{p) + llfiu. Пользуясь свойствами энтропии раз-
биения, мы можем записать:
=« к{п) обозначим
{п+ \)t. Для р
h{t'i\J .-.V 2")<(iv V
... V ?*"ti) = я (ч V г"ч V ¦ • • V г*"ч) + я {т'1 V ¦ • •
м) (ц V r"ii v • ¦ ¦ V r""riL-
V ¦ • • V rl'(m+"-ll6"E) <
Vr'ti V ••• V гмч)
-1- я (г'| V ¦ • ¦ V т'% 15 V тЧ V
G).
Ho
Возьмем произвольное
то
где
е>0. Так как М - пространство
Ь2Ш, ©, (*' сепарабельпо и.
едовательно, группа
W)
тарных операторов, сопряженная с потоком
{?"}, непрерывна.
Отсюда вытекает, что
lim и (ТСА дД)=0 для любого мпожест-
Поэтому при достаточно малом
6 > 0 будет выполнено
неравенство
Объединяя G) и (8), получим

Так как lim-^-^ = —,то из последнего неравенства вытекает,
что /&(?¦')< -L-h{Tu) +е. В силу произвольности Е, h (Ть) <
^ — h (Г"). Пусть теперь натуральное г таково, что t/r < и.
По теореме 2 h(T') = rh(Tt/r). Но, по доказанному, й(г")<
<iLrfcGlf/r). Значит, К(т1) = ~к(Ти). Теорема доказана.
Пусть теперь Т — автоморфизм Бернулли, § = (Сь ..., С,) —•
образующее разбиение для Т, рассмотренное в л. 3°. Тогда при
п -+- оо имеет место сходимость;
В{\^)/п-^Ь{Т^^Ь{Т). (9)
Следующая важная теорема уточняет характер этой сходимости.
Для любой точки х = (..., r/-i, г/о, уг, . . .) ^ М пусть
С{п){х) \' {L [
Иными словами, Cfn){#) есть тот элемент разбиения ?о~2, который
содержит лг.
Величину // (io ) можно теперь записать в виде
Н (g?-1) = J - In |i (C(n) (ar)) rf|i.
м
Мы покажем, что пе только интеграл от функции fn) (
= In р. {С{п) (х)) стремится при п -*¦ » к ACT, ^) =
(именно это озна
(x) =
h{T)
стре-
()) ремится при п -*¦ » к AC
(именно это означает соотношение О)), но и сама
мится к h(T, |) почти всюду.
Теорема 4. Для почти всех % е М
Шп |^- -f Ш й (С(Ч (I))] = А (Г, 5).
Доказательство. Рассмотрим на Ж функцию /(ж) =¦
¦=/(..., y_i, |/о, yi, ...) — — lu 0A/0). Тогда
2 f /rf|i = — 2
In <J (ah) = -
lnp
Применим к функции Цх) эргодическую теорему Бнркгофа
Хинчпгщ. Тан lvaK автоморфизм Т эргодичен, то
212
h—o л=п h=»
= — In u, (Ctn| (ж)). Теорема доказана.
Так как сходимость пичти всюду влечет сходимость по мере,
то мы приходим к следующему утверждению.
Следствие. Для любого е >¦ 0 обозначим через #g объе-
динение тех элементов С{п) (х) = Ctn e ^ц1, 5ля которых
lim |
- 1.
Это же утверждение иногда удобно формулировать в несколь-
ко ивой форме. При фиксированном е >¦ 0 разобьем множество
всевозможных цилиндров С1"' <= М ддииы п на два класса. В пер-
вый класс войдут Cin>, удовлетворяющие условию A0), а во вто-
рой — остальные. Тогда суммарная мера всех цилиндров длины
п, вошедших во второй класс, стремится к нулю при п -*¦ °°.
Теорема 4 является весьма частным случаем очень важной
общей теоремы, которую мы сейчас сформулируем.
Теорема 5 (теорема Шеннона — Макмиллапа — Брейма-
на). Пусть Т — оргодическип автоморфизм пространства Лебега
(М, ©, и), с, — произвольное конечное разбиение пространства
М. Тогда для почти всех х ^ М
lira |--^
= А(Г,Й,
где С[п){х) есть тот элемент разбиения % V Т% V.. .V Тп~1%, ко-
торый содержит х.
Доказательство этой теоремы приводиться не будет (см., на-
пример, P. Hillingsley EU).
§ 7. Метрический изоморфизм автоморфизмов Бернулли
Проблема метрического изоморфизма автоморфизмов Бернул-
ли — одна из очень старых проблем эргодической теории. Первые
примеры пеизоморфных автоморфизмов Бернулли удалось по-
строить лишь после введения понятия энтропии. Поскольку
энтропия есть метрический инвариант, то проблему изоморфиз-
ма естественно рассматривать лишь для автоморфизмов Бернул-
ли с равной энтропией. В этом параграфе мы дока-
жем, что два автоморфизма Бериулли с равной энтропи-
ей метрически изоморфны, т. е. что энтропия в классе таких ав-
томорфизмов есть полный метрический инвариант. Пусть (Yi, 01)
л (Y2l 02) — два конечных пространства с мерой. Не ограничивая
общности, можно считать, что^1={0,1,.. .,т1—1};рк1>=о1
i-l и Уа=-{0,1, ...,m2-i};p!t3) = o2({M)>0
213

^г — 1. Рассмотрим автоморфизмы Бернулли Т\,Тг, порожда-
емые {Y\, 0*1), (Гг, 02). Их фазовыми пространствами будут соот-
П
ветственно Ма =
$2 *B
«е- ffb —' Т'
Y[n\
63 Уг. Меры ць |Х2 в Ж] и Л/2 будут product-мерами мер Ст], о2
соответственно. Равенство ft(Ti) = ABV в данном случае прини-
маег вид - V/,i1( 1пр<А" =-"Ур^пр!».
Изоморфизм i?>: Жj -*¦ Л/2 можно рассматривать как взаимно
однозначное кодирование, переводящее бесконечную последова-
тельность жш е Л/i, записанную в алфавите Уь в бесконечную'
последовательность жB' е Л/2) записанную в алфавите Y2. При
этом требуется, чтобы мера jii переходила в меру ц,2, а сдвину-
тая последовательность Т\х1и — в сдвинутую последовательность
Т2%B). В теории информации такое кодирование ипогда пазыва-
ют стационарным. Стационарное кодирование ijn, которое мы по-
строим в этом параграфе, будет обладать дополнительным заме-
чательным свойством: для определения значения координаты г/,,3
точки х{2) = (..., y(JJ, у(о\ у\2\ . - -) = ty (#Ш) требуется знание-
лишь конечного числа координат точки x{li. Такое кодированиа
называется финитарным.
Содержание этого параграфа составляет доказательство сле-
дующей теоремы.
Теорема 1. Пусть Т\, Гг — два автоморфизма Бернулли с
конечными пространствами состояний. Если h{T\) = h{T2) -A,
то Т\, Т% метрически изоморфны. Иными, словами, из равенства
h{T\) = h{Ti) вытекает существование стационарного кодиро-
вания.
Доказательство этой теоремы довольно длинное. Мы рассмот-
рим подробно случай т-\ &* 3, т% &* 3, а в конце опишем, как из-
бавиться от этого ограничения.
Изложенне разобьем на отдельные пункты.
1. Начнем с нескольких лемм и вспомогательных конструк-
ций.
Лемма 1. Если mi, т,2^Ъ, то существует вероятностный
вектор (?0, $], ., ., qm-]), m ^ 3, такой, что
- 2 qk in % = h
; Рь2'* для некоторых k, k'.
Доказательство. Упорядочивая, если нужно,jfy* и р^,
мы можем считать, что р@1).>р[1)^ -¦ .^рщ-i, р1а2>^= р\2)^ • • ¦
> р^ и рй;_4 > p!»-i. Положим ft - p(Ql\ qx =» p^-Lft - 1 -
— Зо — ?!• Из свойств функции Я = — ^х^^^к вытекает,
то, по непрерывности, найдется такой вектор Go<?i-?at ¦¦•»?m-i)t
2 5fc = 5з, что Ж go, gi, Ц2-, . • ¦¦, Qm-\) = h. Лемма доказана.
Благодаря этой лемме, в дальнейшем мы можем считать, что
цо крайней мере одна буква в алфавитах Уь Уг имеет одинако-
вую вероятность. Действительно, если теорема 1 будет доказана
в этом частном случае, то достаточно рассмотреть вспомогатель-
ный автоморфизм Берпулли Т с алфавитом (У, о), У={0, 1, ...
..., m — О, dik)) — qk, 0 ^ к ^ тп ~ 1. Тогда, по доказанному,
любой нз автоморфизмов Т\, Т% метрически изоморфен Т и, зна-
чит, Т\ метрически изоморфен 7*2. Будем, для определенности,
считать, что буква с общей вероятностью есть 0, т. е. р(ог) — Ро •
Дальнейшие построения будут более оправданными, если мы
уже сейчас опишем основное свойство будущего кодирования.
Для любой точки ге=Л/,, i = d, 2; х = {.,., j/_i, ^o, У\, ¦¦¦)¦> по-
ложим A'j^i?;: yn = 0) и пазовем слоем, содержащим х, множе-
ство A/V* = {х' е Л/{: Nx' = iVy}. Упомянутое свойство изомор-
физма т(? состоит в следующем: ф будет определен на множестве
М]<=М] меры 1. состоящем из целых слоев, и отдельный слой
в Mi будет отображаться иа соответствующий слой в Мг, т. е.
2. Строки. Введем теперь понятие, которое будет служить
«конечномерной моделью» слоев Мх. Зафиксируем некоторую
возрастающую последовательность натуральных чисел N\ <
< N2 <•. .< NT <-..— явный вид этой последовательности будет
указан позже. Рассмотрим алфавит, состоящий из двух букв:
0 и X («нолик» и «крестик») и конечные последовательности S
букв этого алфавита, начинающиеся и заканчивающиеся нулем,
т. е. имеющие вид
2: 00_^ XX ... х 00 ... О х х -^ X ... X X ._, • X 00 ¦ •. 0
(i)
Пару s — (г, S), состоящую из натурального числа г и последо-
вательности S вида A), назовем строкой ранга г, если
1) h>l, l^t^k,
2) ге,^1, O^t<k,
3) nt<Nr^min(«o, nA), Kt^ft-1.
Последовательность S будем называть конфигурацией стро-
ки s. Заметим, что одна и та же конфигурация 2 может, вообще
говоря, образовывать строки в паре с разными г (строки разных
215

рангов), ж тогда эти строки считаются различными. Ранг строка
будем обозначать рЫ, длиной строки с конфигурацией A) на-
зовем число l{s) = l[ -К. .+ 1к. Будем говорить, что строка s' =
= (г'? ?') есть подстрока строки s = {rt 2), если ее конфигура-
ция имеет вид
2': 00 ... 0 ХХ-..Х 00 ... 0 ... XX... X 00 ... 0
?Ч lt+1 nt+I ц, щ.
при некоторых t, t\ 0 *S t, t' ^ k.
Две подстроки строки s назовем дизъюнктными, если соот-
ветствующие множества U + 1, ..., t'} не пересекаются.
Если *i, ..., s7 — подстроки строки 5, то будем говорить, чта
они образуют разбиение s и писать s = si Ф яг ©. . .® sg, если st
попарно дизъюнктны и объединение соответствующих множеств.
{*+ 1, ..., ?'} есть {1, 2, .... к).
Лемма 2. Любая строка s = (г, 2) ранга г > 1 допускает
единственное разбиение s = $t Ф s2 Ф-. -® 5„ ко подстроки ранга
(г—1).
Доказательство. Если (г — 1) также есть возможный
ранг для конфигурации 2, т. е. (г — 1, 2)—строка ранга (г — 1),.
то можно взять <? = 1, 5i == (г — 1, 2). Если же (г— 1) пе являет-
ся возможным рангом для 2, то множество it: 1 *? ? =ё & — 1Г
tit^Nr-i) непусто и задает разбиение конфигурации 2 на части
Si, ..., 2«, которые являются конфигурациями строк ранга
(г—1). Разбиение единственно, так как s не имеет других под-
строк ранга (г— 1). Лемма доказана.
Построенное в этой лемме разбиение будем называть ранго-
вым разбиением s.
Свяжем теперь введенное понятие строки с точками фазовых
пространств автоморфизмов Т\, Т%. Пусть пространство с мерой"
М есть М\ или Мч и х =={..., y~i, г/о, г/i, .. .) е М, Рассмотрим
некоторую строку s. Мы будем говорить, что строка s встречает-
ся в х на местах п\ п' 4-1, ..., п" (пли на отрезке Д = \п\ п"})t
если
1) после замены всех ненулевых координат у„, п'^п^п",
буквой X последовательность уп-, •••,Sfn' превращается в конфи-
гурацию S строки s;
2) yn._^Q, уп*+1Ф0. -
Обозначим М* = {х ^ М: у0 ^ 0К
Лемма 3. 1) Для почти всех х =(..., у_ь у0, уи ...JsJIf'
существует единственная последовательность строк s^ix), ...
..., sT{x)J ... такая, что p(sr{x)) =r, и зг{х) встречаются в х на
отрезке Дг —[я^п"], w'<0, w">0.
2) Для любой последовательности L\, L%, ¦. ., ?,-, ... -»* °° кд-
туралънъгх чисел можно подобрать числа N\, N2, ¦ •., Л^г, ...,
фигурирующие в определении строки, так, чтобы для почти всех
х е М* неравенство
216
выполнялось при всех достаточно больших г {зависящих, разу-
меется, от х).
Доказательство. 1)В качестве Дг возьмем отрезок меж-
ду первым появлением серии из &*Nr пулей слева от нулевой
координаты точки х (включая саму серию) и первым появлением
такой серии справа от нулевой координаты (тоже включитель-
но). Это, очевидно, можно сделать для почтп всех х. Заменяя
в последовательности iyn}, n ^ Ar ненулевые буквы буквой X,
лолучим конфигурацию искомой строки s,{x).
2) Пусть уже определены числа Ni, . .., А'г и зависящие лишь
от них строки Siix), ..., sr{x) (зг^ЛР) так, что \i{EkX 1/2\
1 ^ к ^ г, где fib — {х ^ М*: l{sk(x}) < Lh). Если теперь менять
число N = Nr+i, то строка sr+i{x) del8) будет, разумеется, за-
висеть от N: sr+l (х) ~ я(Д\ (а:), и lim I (s^+i (x)) = оо для всех
х s M*. Поэтому можно взять такое NT+i, при котором
ц№,+,)^1/2г+|. По индукции, fx(Er)< 1/2г, г—1, 2, ... Так
как 2 И> (^г) < со, то в силу леммы Бореля — Кантелли почти
г=1
все точки х ^ М* принадлежат лить конечному числу Ег. Лем-
ма доказана.
3. Наполнителя. Пусть s — некоторая строка, Y — один из
алфавитов Yi, F2. Множество всевозможных конечных последо-
вательностей (слов) алфавита Y, получающихся из s заменой
каждого вхождения буквы X на произвольную (каждый раз
свою) ненулевую букву из F, назовем наполнителем строки s
по отношению к алфавиту У.
Если длина строки l(s) = I (напомним, что длина строки —
ото количество букв X, входящих в s), то множество всех па-
полнителей s естественно отождествляется с множеством
F (s) = Г""_Х_... X У<0) = (У<0))' = [/ = {{/и .... »,},
У(о)
где У@! = У\{0). Назовем У(о) алфавитом наполнителя. Рассмот-
рим аа алфавите У"" меру ц0: цо({А)) = р»/A —/>о), *е!"ш,
и построим по ней product-меру цох • ¦ ¦ XMj на FW). Эту меру
также будем обозначать (iD. Заметим, что если s — s, ©...® s,,
то прострапство с мерой ^(s) естественно отождествляется с про-
страпством Ц ^(^i)-Введем для дальнейшего обозначения
К = ~ 2 m(W)lnM{4)-
217

4. Классы эквивалентности наполнителей. Для любой стро-
ки s произвольного ранга г мы хотим ввести на множестве F(s)
некоторое отношение эквивалентности ~. Это будет сделано ин-
дукцией по рангу r = p(s). Зафиксируем некоторую последова-
тельность ei>62>.. .> О, ]im ег — 0. Пусть р(я) — 1, lis) = L
i, ..., yt) е F{s) положим
Для
}
Яспо, что /(/) имеет вид {1, 2, ..., к}) *). Грубо говоря, /(/) по-
казывает, при каком к мера JT ji0 (#i) достигает своего типич-
ного значения. Мы будем писать f\ ~ /g, если /(/[) =/(/2) = I
и координаты, стоящие па местах, входящих в /, у /1, /2 совпа-
дают. Очевидно, что введенное отпонтепие действительно явля-
ется отношением эквивалентности. Допустим, что для всех строк
5 ранга <г п любого паполнителя / ^F{s) уже определено мно-
жество Д/)с-A, 2, .,., /{*)} так, что отношение /1-/2, опреде-
ляемое тем, что f(/ii=/(/a) =/, и координаты, стоящие на ме-
стах, входящих в /, у /i, /2 совпадают, является отношеиием
эквивалентности на множество /*4s). Пусть s — строка ранга г„
s^$\®Si®..,®s4 — ранговое разложение s, /=C/i, /2, .. ., /,) =
= {yi ... (/;} >= F(s), где Л s f Cst), 1 ^ г ^ <?. Положим сначала
1(У)= Ua/(/OS{1,2, ...,/}.
Занумеруем элементы дополнения {1, 2, ..., l)\I{f) в возрастаю-
щем порядке: Л] < А2 <.. .< fo. Положим
сти ~ на множестве F{s) можно рассмотреть другое _отношение
эквивалентности: будем писать /, ¦<-»- /а, если /(/i)=/(/2) и ко-
ординаты, стоящие на местах, входящих в /, у f\, /2 совпадают.
Это отношение более грубое, т. е. отвечающие ему классы экви-
валентности являются объединениями —-классов эквивалентно-
сти; в случае г=1 оба отношения по определению совпадают.
Множество -*->—классов эквивалентности будем обозначать Fy
а сами классы эквивалентности — /.
Лемма 4. 1) Пусть г — произвольное натуральное число,
Л I таково, что L з""^1"81)' <;1; если p(s) = г, l{s)=-l и /eF(«),
то цоG)>^)
2) для любого б > 0 и любого г найдется такое 1\~1\{Ь, г),
что если строка s имеет ранг р{$) = г и длину l{s) = I ^ li, то
для всех f ^ F(s), кроме некоторого множества наполнителей,
суммарная цо-мера которых < б, будет
3) для любого 6>0 и любого г найдется такое Is — hib, г),
что если строка s имеет ранг p{s} = r и длину l{s) = l^h, то
для всех f e F{s), кроме некоторого множества наполнителей,
суммарная ца-мера которых <6, будет
card r(f) , 2\ а
Доказательство. 1) Проведем индукцию по г. Если г =
= p(s) = it/{/{*))-{1, 2, ..., d), то
V» (/) = П ио Ш = П йо Ы l-*pL п >
}
И в этом случае очевидно, что отношение /] — /§, состоящее в'
том, что /(/i) = /(/2) = / и координаты, стоящие на местах, вхо-
дящих в /, у /1г /2 совпадают, есть отношение эквивалентности.
Класс эквивалентности, содержащий: наполнитель / = /fs)r
будем обозначать /, а множество классов эквивалентности —
F{s). Для наполнителя f=f(s) те его координаты, которьт
входят в множество Hf), будем называть существенными, ос-
тальные — несущественными. Заметим для дальнейшего, что для
любой строки s ранга г > 1, наряду с отношением эквивалентпо-
1
сли Ц-о ((/j) < —-
, т. g. hf=i.
то иолагаем, по определеипюР
Пусть теперь г > 1 и утверждение доказано для рангов < г. Рас-
смотрим ранговое разложение s = g\® ,.,® s4; Дя4) = ZJT I < i ^ g,
(Г ¦
и запишем / = (Д, .,., /д). Если / (/) = U 7 (/i), то
ентности с объединением
¦) Здесь мы отождествляем класс эквив
полнителей, входящих в него.
**) Если/(/) = {1}, то в приведенных выкладках мы полагаем формально
219

q
Если же / (/) Ф U / (/i) и kd — максимальный элемент
i=l
/(/)\U Ufi), ТО
1=1
---Со
,"»(¦%)
2) Положим ГЫ = |/е№ card /(/) = Ks)l. Если /#
^ F'(s), т. е. card/(/) < /, то, по определению /С/), будет ^0 (/) г^
^—¦ е ° г .Если же f^F'is), то / — /. Поэтому достаточно*
при больших Us) оцепить сверху меру множества {/ ^ F(s):
Со(/)>1Гг ° !¦ В силу следствия из теоремы <i § 6 най-
дется такое Z] = /iF, г), что при Z 5s /i это множество будет иметь
fio-меру < б.
3) Пусть f^Fis), Z(s)>?iF/2, г) и для / выполнено нера-
венство B). В силу п. 2 и^-мера мпожества таких / не меньше,,
d /(/) 2Л
тем 1 — 6/2. Если при этом
card /(/)
-—j-^-
< 1
1 Ixi 01
ег, то
В силу следствия из теоремы 4 § 6 найдется такое h^-hib/Z, г)+
что при I ^ h суммарная мера тех /, для которых выполняется
неравенство C), меньше 6/2. Лемма доказана.
5. Выбор последовательности {Nr). Мы можем теперь уточ-
нить выбор последовательности (Л'г), фигурирующей в определе-
нии строки (см. п. 2). В п. 3 мы ввели понятие паполнителя
f(s) строки s по отношению к алфавиту Y\ или YV Для каждого-
из этих двух алфавитов лемма 4 дает свои числа Z|F, г), 12{д, г),
которые мы будем обозначать соответственно l[1], t^, ti\ t®. Эти
числа зависят от выбранной последовательности {еЛ, по пе от
{ЛМ. Мы будем считать, что для чисел t[} , 1 ^ i, }"^ 2, выполнено-
неравенство —¦ е *' i ¦< 1, фигурирующее в формулировке
утверждения 1 леммы 4.
Зафиксируем теперь произвольную последовательность 6Т > О,
Цт6г=0,и для каждого г выберем Z.r^max {l\^ (br, г)}, 1 *S lr
j ^ 2 так, чтобы
lim Lr (e,..! — er) = oo. D>
По этой последовательности {LT) числа Nr подберем в соответст-
вии с леммой 3. Смысл условия D) станет ясен в п. S.
Множество наполнителей строки s по отношению к алфави-
там Yu У2 будем в дальнейшем обозначать F\{s), /^(s); множест-
во —-классов эквивалентности этих наполнителей—Fiis), ^(s);
множество -«-^-классов эквивалентности — F^is), F2(s).
6. Правильные отображения. Для дальнейшего нам понадо-
бится один комбинаторный факт, близкий к
известной транспортной задаче линейного г\
программирования.
Пусть имеется конечное множество U *=
= Ы\, . .,, ик) пунктов отправления (заводов)
и конечное множество V — {У], ..., v} пунк- „
тов назначения (складов), причем на каж-
дом заводе и е JJ имеется известная мае- ^ис- '•
са рЫ) > 0 продукта, а каждый склад
vе V имеет известную вместимость а(и) >¦ 0. Кроме того, каж-
дому заводу и е \] сопоставлено некоторое подмножество скла-
дов (склады, к которым проложены дороги от завода и), т. е.
задано отображение R: U-+2V*). Как и в теории информации,
отображение R удобно представлять себе в виде набора вееров
{рис. 7). Спрашивается, при каких условиях можно перевезти
всю массу продукта с заводов на склады, пользуясь имеющимися
дорогами. Перевозка естественным образом задается матрицей
llayli, I =S I ^ к, 1 ^ / =S /, где cti3 есть количество продукта, пере-
возимого из ?-го завода на j-й склад. Ясно, что должны выпол-
i
пяться неравенства: 1) ау ^ 0, 2) 2 сс^ = р(щ), l^i^k, 3}
i—з
jt 4) ац = 0, если и}<?Н(щ), Из этих нера-
вепств вытекает, в частности, что если Жи,) есть одноточечное
подмножество: R{uc) ~ (уД, то аь = р(иг) ^ п(у3).
Мы можем рассматривать (?/, р) и (V, о) как два конечных
пространства с мерами, не обязательно нормированными. При
этом очевидное необходимое условие для возможности перевоз-
ки имеет вид: для любого подмножества Л s U должно выпол-
нться неравенство
няться неравенство
pU) ^о(Ш)).
E)
Отображения R: U -*¦ 2V, удовлетворяющие условию {5), мы бу-
дем называть правильными.
Лемма 5. Правильность отображения R является также-
достаточным условием, для возможности перевозки.
Доказательство леммы 5 будет проведено позже.
*) 2V — множество всех подмножеств V.

Множество правильных отображений R: U -*¦ 2V допускает
•естественное частичное упорядочение: /?i =^[Д з, если йДи) s
— fla(w) при всех u^U. Дефектом правильного отображения Я
назовем число п(Ю =-сагёШ?), где ГС/?) ~ множество тех ре
е V, для которых найдутся Ki, us^U, М] =#= м5 такие, что we
^TJCui) П й(иг). Понятие дефекта правильного отображения
очепь важно для дальнейшего. Оно показывает, в какой степени
отображение необратимо.
Лемма 6. Для любого правильного отображения R: U -*¦ 2V
существует правильное отображение Ф =^ R такое, что пСФ) <
<cardt/-l.
Доказательство леммы проведем позже. В дальнегкшем для
правильных отображений мы будем неоднократно строить мп-
нимальпые правильные отображепия в смысле введенного ча-
стичного упорядочения. Лемма 6 фактически утверждает, что
если Ф — минимальное правильное отображение, то л(ф) <
< card U — 1.
Для двух отображений (не обязательно правильных)
Ri' Ux-*-2 \ й2: Uz -*• 2Fa определим отображение Rxy<.R9: игх
X U2->2 2 формулой
Кроме того, для отображения R: U -*- 2V введем сопряженное ото-
бражение R*: V -*¦ 2й следующим образом: для v^V R*{v) есть
множество таких и ^ U', что и е R{u).
Лемма 7. 1) Если Н\, йг — правильные отображения, то
R\ X йг — также правильное;
2) если й: С/ ->- 2V — правильное отображение и меры в про-
странствах U, V нормированные, то й* — также правильное ото-
бражение.
Доказательство. 1) Пусть прн I = 1, 2 набор чисел
«Х;(ц|(). vti}), uw s Ui, v{i) ^ V, определяют перевозку, отвечаю-
щую Rt. Тогда, полагая
получим, как легко убедит!,ся, перевозку, отвечающую Й1 X /?2.
Отсюда вытекает, что Й1ХЙ2 — правильное отображение. '
2) Пусть, вопреки нашему утверждению, oU3) > p{R*(B))
для некоторого подмножества Я с: V, Для любого элемента и е
е U\R*(R), по определению, й П Й(и) = 0, поэтому
R{U\R*{B)) s 7\S. Отсюда а(й(С/\й*С5))) ^ a(F\j5) = 1 -
~n(SXl -р(й*Сй)) = рСС7\й*(й)). Это противоречит правиль-
ности отображения й. Лемма доказапа.
7. Набор правильных отображений, В этом параграфе мы оп-
ределим последовательность правильных отображепий, которая
в пределе приведет к искомому метрическому изоморфизму.
222
| Для всякого г^1и любой строки s ранга p(s) = г мы опре-
| делим правильное отображение Фа, которое при четных г будет
[, отображением Фа: F2 {s) -*- 2 , а при нечетных г — отображе-
\ нием Ф3: ^\ (s) ->¦ 2 . При этом роль масс продуктов и вмести-
мостей складов (см. п. 6) будут играть меры соответствующих
классов эшшвалентносш /i(s), /2Ы.
UocTpoeuue Фа проиедем с помощью индукции по г. Пусть,
вначале s — строка ранга г = 1. Определим отображение-
Rs: ?'1(s)->2falb формулой Rt{f)=F2{s) для любого /^Fi(a)..
Ясно, что й8 — правильное отображение. В качестве Ф, возьмем:
любое из минимальных отображений, Фв =^ R*. Для Ф* выполне-
но в силу леммы 6 неравенство п(Фа) < card iF\(s)) — 1. Отме-
тим, что из утверждения 1) леммы 4 вытекает, что card h\ (s) ^
Пусть теперь s — строка четпого ранга и для любой строки
Si в ее ранговом разложении s = s, © s^ ®. - -® s, уже определено
правильное отображение Фв:_>х (S;)->2 2<ч), 1<(^<д. Положим
7\ {s) = Fz (sj X ... X F^ (s4), /?! (s)_= Ft EX) x ... X Fy{sq) и опре-
делим отображение Rs- ^'2(s)->-2 x формулой
R^ =* (Ф,, x ф,2 x ... x Ф.ч)* = ф.*х х Ф*2 х • ¦ - х ф*г
Так как кашдьш элемент множества F\(s) является объедииеыи-
ем нескольких ~-классов эквивалентности, т. е. объедипением
нескольких элементов мнонюства Fiis), то отображен]те R, мож-
но рассматривать как отображение fls: F^ {$)-*-2 г (чтобы не
усложнять изложение, мы продолжаем это отображение обоана-
чать й,). В силу леммы 7 Я-. — также правильное отображение.
В качестве Фа возьмем минимальное отображение Ф, ^ й**
Фя: 7-'е (s) —*- 2 г .Так как каждый элемент множества F2{s)^ яв-
ляется объединепием нескольких элементов множества F%{s)y
1 то отображение Ф„ можно считать заданным на Fats), т. е.
Ф,: F% (я) -> 2 х , Заметим, что при этом оно, конечно, уже не
обязано быть минимальным.
Пусть, далее, s — строка нечетного ранга г > 1, s = Si $-..
,, ,Ф ^ — се ранговое разложение, и пусть уже определены пра-
вильные отображения <P,t: F% (st) -»- 2 * , 1 <t i < g. Введем, как
в раньше, отображение й, ^ (ФЙ1 х -.-хФ^)* = ФГхХ •.-хФ*д,.
причем будем его рассматривать как отображение й3: ^\ (*)-+-
-^- 2 2 . Затем возьмем минимальное в смысле частичного упоря-
223-

дочепия отображепие Ф,=? Rs и будем его рассматривать как о
С Ф F 2
2
Сражение Ф3: Ft (s) ->¦ 2 2 . Тем самым, по индукции, отображе-
ние Ф, построено для любой строки s. Отметим, что отображе-
ния Фа в процессе построения мы трактовали двояко (областью
определения было либо множество -«^-классов эквивалентности,
либо множество ~клас )
кивалентности,
-классов эквивалентности). В дальнейшем мы
ок б
Либо МПОЖОСТВО . ,,х/. *_, д^шпсишвм
«становимся на первой трактовке, т. е. будем считать, что
Ф :
при нечетных r(s).
при четных г (s).
8. Нам понадобятся два утверждения, касающиеся свойств
отображений Фе. Эти утверждения будут доказаны в леммах 8,
10 (лемма 9 пужна для доказательства леммы 10).
Введем предварительно некоторые обозначения. Пусть s =
— sr — строка ранга г, и точка #<г> е М* (j = 1, 2). Обозначим
через }ЛхA>) наполнитель строки $г, отвечающий, точке ж(!'; че-
jpc3 fr{xil} — класс ~-эквивалентности, содержащий fAx{i)).
Пусть, далее, M,{sr) есть множество тех точек х & М„ для кото-
рых sr(x) = Sr. И, наконец, для четных г обозначим
Edsr) ={x^ ML(sr): /Да;) Ф ГСФаг)}.
Л е м м а 8. Если г четное, 1Г = l{sT) > LT, то
pxlExM) ^ Cl - р,)Д](Л/,(вг)),
где рг > 0 — некоторая последовательность чисел, $Г -*¦ 0 при
Доказательство. Отображение Ф„г определепо ла мно-
" ' ' Оценим сначала card^r2(sr). Пусть ранговое раз-
жестве
лол,епие строки sr имеет вид
Из первого утверждения леммы 4 вытекает, что
card F2 (sr) = JJ card Fz (s1
i-l —x
Так как отображение Ф$г мпнпмальное, то в силу леммы б де-
фект этого отображения
л ^ф^ s= card Г (Ф5г) < eftoA-*r-i)'r.
Из второго утверждения леммы 4 получаем теперь, что
ri" (г (Ф,г)) < е"»с-^-1)'г 1 е-"«>1-е'-)'г + бг ^
F)
Б силу D) рг -*- 0 при г-*- «\ Так как ^'является, очевидно,
условной мерой при условии sr(x) = sT, т. е. при условии х •=
е ;T/i(sr), то F) эквивалентно утверждению леммы. Лемма дока-
зана.
В следующей лемме Му М*, A/(sr), р, будут означать одно из
Л/,, Л/Г, ЛМ*гК f1*; s = l, 2.
Точку х =(..., у~\, г/о, г/1, -..) G Д/* назовем r-хпрошей (хо-
рошей относительно ранга г), если ее пулевая координата у я
является существенной в наполнителе /г (х) = /г (sr (a:)J. Для лю-
бой строки sr обозначим через Gtsr) множество г-хороптих то-
чек х, принадлежащих Af{sr).
Лемма 9. Если lr = l(sr) > Lr, то
>h - б,- j^j B,)ti (M E,)).
Доказательст во. Разобьем M{sr) на два множества:
Л/СО = ^'(sr) \JM"{sr), где Д/'tsr) — множество тех х е M(srO
длн которых
:)) > f 1 - тйт е') '¦-. G)
N'1 Ur) = A/Er)\A/'Cfrl. В силу третьего утверждения леммы 4
\xi.M" {sT)) < 6f. Пусть теперь / — некоторый наполнитель, / е
е F(sr). О5о.шамим Д/(/) = {.г е iW(s,): /rtj-0 = /}. Множество
M(sT) можно представить в виде М {sT) = IJ M (fr), где суммиро-
вание производится по тем /г, для которых выполнено неравен-
ство G). Для доказательства леммы достаточно показать, чго
для любого такого fT будет
,u (G {sr) Л М {fг))
) ,u (Л/ ifr)).
(8)
Mo в свою очередь М {U) = U Л-/<0 (/г), где 1/("С/г) — множество
тех х ^ Л/(/г), у которых нулевая координата имеет помер I
в наполнителе /ГС^>. Так как множества МыС/г) при разных г
получаются друг из друга сдвигом, то
и (л/ш (/,)) = ц (м|2) (/г)) = ... = Ам('г) (/'))¦
Из определения г-хорошцх точек следует, что
вР) П Л/
U
поэтому неравенство С8) сразу следует пз G). Лемма доказала.
15 и. П. Корнфельд и др. 225

Пусть теперь г> 1 четпое, sT-i — некоторая строка ранга
(г—1). Возьмем произвольную точку х("'^. G[2> (.?r_i) и рассмот-
рим ее -*-*¦ -класс эквивалентности ранга г, который обозначим
h(sr), sr^ sr(x(^). При отображсцып Ф^' i\ (sr) -+ 2Fl ' нашему
элементу Ms,.) отвечает некоторое множество Q с: Fj(sT)—клас-
сов эквивалентности.
Рассмотрим теперь точки xll) e; M]{sr), у которых строка sr
расположена на тех же местах, что у точки хB\ и fi(sr{z(l))) ^ Q-
Множество таких точек х{[\ отвечающих всевозможпым точкам
хл2> е Gzisr-i), обозпачим G^Sr-i).
Лемма 10. Если lT-\ ~ /Ur_i) > Lr-u то
Ml
Вг_,)
Доказательство. Наше утверждение непосредственно
вытекает из леммы 9 в результате применения ее к рангу (г—1)
и пространству Mi, а также из правильности отображения Ф-т
9. Доказательство теоремы 1 при т\, Ш2 ^ 3. Для построеппя
требуемого изоморфизма ф мы покажем, как для почти каждой
точки хA) = (..., гД, jff\ У1г). * - ¦) е Л/, пайтн нулевую коор-
динату г/ог точки х{2) = г|:(л:(|)) ^ М%. В случае стационарного коди-
рования эх ого Достаточно для построения всего отображения я|?.
Если у[1] = 0, то полагаем #!f' — 0.
Если у'^^О, т. е. х L)s Alt, то в сплу леммы 3 с вероят-
ностью 1 найдется бесконечная последовательность строк S\{zi[l),
$2(xili), ..., sr(ar<u), ... растущих рангов; p(sr(ar(l))) = r; sr =
*= .s\(xli}) встречается в х{1> на отрезке Л,- =^ [лг, ftr], nr<C0, пг^>
> 0. Рассмотрим отображения Ф^: Р2 ($г) ->¦ 2Fi ''^ г = 2, 4, 6, ...
н классы эквивалентности U =/i(r) ^ F\{s,). Предположпм, что
при некотором ^етном г существует единственный класс эколва-
лентности j2&F2{sr) такой, что /,еФ{г(/г); чуть ниже мы с по-
мощью леммы 8 покажем, что это предположение справедливо
для почти всех ха е Mi-
Рассмотрим далее всевозможные точки х е= Л/г, у которых
строка sr стоит на тех же местах, чк> у х11), и координаты, сюя-
щие на местах, которые входят в /э, фиксированы так же, как
в /2. Предположим, наконец, что при это_м нулевая координата
оказалась фиксированной (т. е. вошла в /г) и равной некоторо-
му к, 0 sS к < т.2 — 1 (чуть ниже мы с помощью леммы 10 по-
кажем, что и это предположение справедливо для почти всех
гA) е М*). В таком случае полагаем у^ = А; и называем точку
xil) точкой ранга, не превосходящего г. Если при рассмотрении
рангов 2,
226
г координата
есть точка ранга ^г, то переходим к следующему четному ран-
гу (г+2) и т. д.
Из построения набора правильных отображений Ф^г вытека-
ет, что зпачепия у*\ определенные для двух различных рангов,
должны совпадать.
11 ерейдем теперь к подробному доказательству и покажем
сначала, что описаппая процедура действительно дает значение
у[2' Для почти всех ^"е!/,. Пусть М\ есть множество таких ¦
точек х<1} е Mi, что Usr(x)) > LT для всех достаточно больших г,
т. е. при г> гоСх11'). По лемме 3, Цо, (Mi) = l^ii^'h)- Для четных
г=2, 4, ... определим также множества М , Е/\ G/ = Mi еле-
дующим образом: Л\г> - ^'еЛ^ го(а:A>)<г]; ?(,г) = U?i^'
где суммирование производится по всем строкам ранга г? a #i(sr)
определено в п.8; G1^ = \j G1(sr_i), гдо суммирование произво-
дится по всем строкам ранга Сг— 1), a G\(sr-i) определено в п. 8.
Ясно, что M-i(^ir)) == A —«»•) \ах{м1), где ссг ~>- 0 при г-»-«».
Далее, из леммы 8 вытекает, что iii{E[r>) > A — рг) [Ч (^*)'
тде р7 -*- 0 при г -»• оо.
Из леммы 10 вытекает, что \хг(G[r)) >A — уг_г) [^ (М?), где
^г -* 0 ПрИ Г -*¦ °°,
Итак, для множества Л[Т) = л!г) П #7' U GiP) имеем fi (л[г)) -»-
-v (j,! (:V/*) при г -»- <», поэтому почти все точки х{^ ^ М* • при-
надлежат хотя бы одному Л|Г).
С другой стороны, если хA|е^г|, то, по построению, ж(П яв-
ляется точкой ранга ^ г, т. с. координата г/02)определяется на
ранге г.
Аналогичное построение проделаем для любой другой коорди-
наты у[п\—°° < п<. °°. В результате почти любой точке- х{1)<^ Мх
ш сопоставим точку t (xfl)) = ж'2' = ( ..., y(i|, y@2>, г/i'2', -. .)еЛ/8.
Множество Mi ^ Д/], где определено if, очевидно, инвариантно от-
носительно сдвига, и, как нетрудно убедиться,
Пусть Л/2 — ty(.M\). Мы хотпм доказать, что ^i?(A/2}= 1. Это
будет сделано в лемме 13, которая, в свою очередь, основана
па леммах 11, J2.
Лемма 11 касается одного свойства отображения if, представ-
ляющего и самостоятельный интерес. Прежде чем ее формули-
ровать, отметим, что пространства Л/i, М2 наделены естественной
структурой компактпого метрического пространства с метрикой-
distU', x")= 1: snp{&: x\ — х'[ при ]г]<Л:}.
15* 227

л
е м м а 11. Преобразование $ непрерывно
т. е, для любой последовате/,
на множестве
существует предел lim x{li'h — хЛ) е М-
пие lim^^i'11, где
льности точек х<1)-ь^М1 такой, что
I, справедливо соотноше-
Док
. Тан
а з а т е л ь с т в о.
найдется такое четное г, что га-.
определяется на ранге
то для любого п,
я координата точки
Но у всех тучек хи
из отображепня
при ,
1
к(п)ч
с достаточно большими поме'
коордипяты, входящие в строку sr(xA)),
рами, т, е.
п отсюда следует, что последователь!!
Л ем
¦виду произвольности
^Ы1'-*) сходится, и
Для всякого к = 0, 1, 2, __. и любого четного г=2, 4
начим теперь через M\J'
доказана.
¦ Л/,
множество тех точек
юторых с номерами i, It'l ^ к, однозначно
тами то (?} ty{(l])
координатами точки хФ =
тнып словами,
Дру
равенства
Лемма 12.
КОО]>-
¦> определяются
входящими в строку sAx12').
если для всякой точкп а
такой, что/™ («¦"¦)=/,¦>(*">), будут
прп It1
; любом
: Л/,,
выполнены
Доказательство. Мы
ivrnx к рассуждения аналогичны. Пус
ограничимся случаем к — 0. При
(г—четное), и нуле
;ть точка х'-
венной в наполнителе /r-i (жт)* Л
жества таких точек стремится
Допустим, что х1ич
кую, что у^фу§
вая координата является сущест-
егко проверить, что мера дшо-
к Ц^Л/Г) ирц г^ о*. ^
Возьмем тогда точьу a:fl)' e Л/, та-
Пусть ,s% —
= v (*"'),
строка ранга г — общая для всех эт
отображении Ф„ : F2 (sT) -
отвечающие точкам
эквивалентности
их точек. Прп
оба класса эквивалентности
?fl , x(Vl, сопоставляются классу
Рассмотрим теперь отображение Ф.,_,- ~р\ (s,_j) -> 2*'(<г-1)
s,-i — строка ранга (г-О—таи
По
;же общая для рассматрив
.По построению системы отображении {Ф}
при этом эле-
должен сопоставляться как эле-
раз-
так п элементу /J--1 э fT1li(x'-iyI которые
личны, так как у„ ф у,} п пулевая координата существенна в /?-i-
Зпачпт, / г_1 е Г (Фвг_1). Из леммы 8 и правильности отображе-
ния O=f_j получаем теперь, что (ij (j1/i\jV/i'0) ^ рг—*- 0 при
г~*-оо. Лемма доказана.
Лемма 13. и,2(ад=1.
Доказательство. Для любого четного г рассмотрим мно-
jkcctbo точек xU)^Ml ранга ^ г. Каждой такой точке xli} со-
поставим тот единственный элемент /,!lG^(s,), для которого
}'г A)еФ(,г(/г!|),.ц затем рассмотрим множество точек /B)е#2,
для которых sr {х('") — sr{x'1}), J[2' (x<2)) — fr2' и строка sr встре-
чается па тех же местах, что н у точки агA).
Множество таких xi2\ отиечающих всевозхгозкным точкам
х'и ранга ^ г, обозначим М{^.
Рассуждая как в доказательстве леммы 12, мы получим, что
и, (л/(аг>) -*- р3 (^*) при г -»- «о. Поэтому почти все точии aru)e Л/3*
принадлежат бесконечному числу лтножеств Л/Зг . Для доказатель-
ства леммы достаточно показать, что любая такая точка хB)
принадлежит М2. Для точки х{2) возьмем сначала такое г\, что
х i= Л/2 ¦ По построению Л/? ( найдется множество положп-
трльной меры Е\ <= Мх таких точек х[1\ что их образ ч|з(жA)), име-
ет на местах, отвечатоттщх /i--i(^Bj)' те же координаты, что ,г|2)
(мы можем считать, что нулевая коордипата находится среди них).
В силу леммы 12 иайдется г, >¦ г2 такое, что Е{1 {\М^'1ф 0.
ж111'1
Е{1) ПМГхЛ- Затем найдем такое
Возьмем точку ж11
что i"_GM2\ и рассмотрим множество положительной меры
Е'2) ^ Л/i таких точек х11), что и.х образ имеет на местах, отвеча-
ющих fl^ (х{1)), те же координаты, что х<2\ По лемме 12 nair-
дется К->г, такое, что?(г| Г) Л/?'2^ 0. Возьмем точку ха)>* е ?(г1 П
П 1ЛГ"а, и т. д.
Таким образом будет построена последовательность точек
хAМ, л:A:'а xll)l?(, ... Так как для любого i у всех точек этой
последовательности с номерами к^ \i\ i-я координата одинакова,
то существует иредел жи> = lim x'1]'h ^ Mv В силу леммы 11,
)fr{xny) = xlZi, т, е. xf!l e М2. Лемма доказана.
Меняя ролями Мх и Л/g, мы таким же способом, но исполь-
зуя набор {Ф?г| для нечетных г, построим отображение qx M% -»-
->-Mi, определенное почти всюду на М2 и имеющее образом поч-
ти вес М\. Из построения непосредственно вытекает, что ф — ijr1,
т. с. if взаимно однозначно.

Для завершенпп доказательства теоремы 1 осталось показать,
что отображение if переводит меру \i{ iia пространстве М\ в ме-
ру (Лд на ^2, иными словами, что для любого измеримого мно-
жества .42*= М2 выполняется равенство p.\(Ai)= ^(А^), где j4i =
Мы можем считать, что А% — цилиндрическое мпожество, т.е.
имеет вяд Аг — Ыг) е Л/3: i/sf = (X;t, •.., ,у^'= «lft|, так как таки-
ми множествами порождается вся п-алгебра пространства М$. Так
как $ перестановочно с преобразованием сдвига, то можно также
счптать, что нулевая координата входит в число координат
((, .. ., U, определяющих цилиндр А2 и уу = аоф0.
Множество j4i = 4j3~'Gl2) разобьем па непересекающиеся под-
множества Аг = IJ А] следующим образом: А[ состоит нз тех
Г—1
точек 1A1еЛ], Для которых координаты с номерами it, ..., ih
точки ty{xil)) обраяовались впервые на ранге г (г—четное).
Для каждой точки /'eAj'1, г = 2, 4, 6, ... рассмотрим
строку S, = sT(xn)). Заметим, что существует единственный эле-
мент / = /T2l(sr) e /7(вг) такой, что? (Sr) е= Ф?г (/). Разобьем ^ на
непересекающиеся подмножества: ^г) = U U А\^г\ где слагае-
7 «у
мое At r соответствует фиксировапяой строке sT и фиксирован-
ному элементу f^Fs(sr). Такпм образом, мы имеем окончатель-
ное разбиение А1 = IJ U LJ Аг г , Таи как if взаимно однозначно,
то написанпое разбненгте ипдудцрует разбиение А^ А» =*
= U U U A2 r . Из правильности отображения Ф.г вытекает, что
для любого слагаемого нашего разбиения будет u.? r \А2 ) ^
<|Л1ГИ, г'), где jii г —условная мера в пространстве Л/(
(/=1, 2) при условии sXx{i))= ar. Равенство р^' = Рп8 влечет, что
оба условия имсют одинаковую меру; \Xi(Mi(sT)) = \i2{M2{$r)).
Отсюда вытекает, что и^СДг) «5 \i\iAi). В силу произвольно-
сти Ач имеет место равенство (Л2СЛ2) — fij(-^i). Теорема дока-
зана.
Замечание 1. Теорема \ была доказана при ограничении
ти т2 > 3. Если же, например, тгц = 2, то лемма 1, на которой
пыли основаны дальнейшие построения, очевидно, не верпа. Од-
нако вместо нее справедлива следующая'
Лемма 1'. Существует вероятностный вектор ?=(<2о, qu *..
..., gm-i) длины ш>3 и целое число k^l такие, что '[i^JVi1' —
4
Доказательство. Возьмем q0 >¦ max {p^', pi11) и выберем
k столь большим, что если qx ^ (р(, /?(,) рг > то <7о ^" <?i "^ 1 и
Ж<?0) 9i, 1 — 5о ~ ?i) < ^. Это возможно, так как </i -*¦ 0 при
/с -*- оо. Дальше рассуждаем так же, как при доказательстве
леммы 1.
Благодаря лемме 1', мы можем считать, что для автоморфиз-
мов Т\, Т2 найдется цилиндрическое множество С вида
О 0 ... О 1 такое, что щСС) = ц2(С).
k pas
Пользуясь этим, можно снова определить строки, наполните-
ли, классы эквивалентности. При этом роль буквы О будет играть
цилиндр С.
Все рассуждения останутся аналогичными, и лить в п. 4
йместо ссылки на теорему 4 § 0 понадобится более общее ут-
верждение — теорема Шеннона — Макмиллапа — Бреймана (тео-
рема 5 § 6).
10. Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 5. Воспользуемся индук-
цией по к — card U. При к = { утверждение очевидно. Допустим,
что оно уже доказано при card U <¦ к. Прн card U = к рассмотрим
два случая;
1) для некоторого множества B<^U, B=f^U,
(9)
Тогда для любого В' с: U \ В будет
р(й)+ рШ')- р(Д U B')< aiRlB U /?'))=>
*= o{R(B))+ o(R{BU B')\ RiB))= a(R(B))+ аШШ')\В{В)).
Учитывая (9), получим, что p[B'Xa{R(B')\R{B)), Отсюда вы-
текает, что отображение
j R (и), если u^z В,
\ Ц (и)\В {В), если и ф В
такаде является правильным. Так как card R < к, то по предпо-
ложению индукции перевозку можно осуществлять отдельно па
В и отдельно на U\B.
2) Для любого В с С/,
R №'-^
Пусть e = min [a (R (В)) — р (В)]. Для каждого и е U возьмем
рациопальное число р'См):
Р С"-) < р' (и) < р (и) -|- о^ГТу '
1 для каждого v^V возьмем рациональное число a'(v):
с (tO > а>) > о-И -

Отображение R будет правильным и для пары пространств
(С/, р'), СУ, о'). Кроме того, ясно, что если можно осуществить
перевозку, отвечающую этой паре пространств, то се можно
осуществить и для исходных пространств Ш, р), {V, с).
Так как одновременное умножение всех величин р'Ск) (u^U),
a'(v) (cgF) не влияет на возможность перевозки и, кроме того,
эти величины рациональные, то мы можем считать нх целыми.
Перевезем теперь единицу продукта из любого uq^U в лю-
бой Vo^R(uq). Другими слонами, положим
o{v) = -
о' (v) — 1,
если
если
если
если
Отображение R, очевидно, останется правильным и для прост-
ранств Ш, р), (V, а).
Описанную операцию мошпо повторять до тех пор, пока бу-
дет встречаться случаи 2). При эгом либо через конечное число
шагов будет перевезен иссь продукт, либо встретится случай 1).
Но в этом случае, как было показано выше, также можно осу-
ществить перевозку. Лемма доказана.
Доказательство леммы 6. Среди отображений Ф та-
ких, что Ф^Д, имеется минимальное и смысле частично]
рядочения. Покажем, что такое Ф является искомым, П
вательность элементов щ, ..., ш^Г
телыю Ф, если найдутся такие vu ...,
и смысле частичного упо-
"(оследо-
иаэовем циклом относи-
е V, что
Е Ф(ц.) П O(uMi),
Докажем, что Ф не имеет циклов. Для этого предположим про-
гивпое п рассмотрим, пользуясь леммой 5, перевозку, отвечаю-
щую отображению Ф. Пусть а(ц, у)—масса продукта, перево-
зимого при этом из и в v. Возьмем малое ? >0 н положим
cze{ui, Vi)~ «(и-,, vt)—e,
аЕ(«, v)= a(u, г?) для остальных w, v.
1^сли псе а(и„ 1'()>0, то при е^ ь0 — min a (uj, i>;) числа aE(u, v)
г
также задают перевозку. Но при е = 8о хотя бы для одного (
будет ctpo (u-i, Vi) — 0. Следовательно, исключая Vi из множества
Ф(и,), мы можем получить правильное отображение Ф'^Ф, что
противоречит минимальности Ф. Лемма доказана.
^32
§ 8. К -системы и точные эндоморфизмы
С понятием энтропии тесно связап важный класс динамиче-
ских систем, обладающих силшыми статистическими свойства-
ми. Фазовое пространство (М, ©, ц) в этом параграфе предпола-
гается пространством Лебега, и мы будем пользоваться некото-
рыми фактами и обозначениями из теории измеримых разбиений
(см. приложение 1). В частности, все равенства и неравенства
между разбиениями понимаются по modO.
Определение 1. Автоморфизм Т называется К -автомор-
физмом^ если существует такая о-нодалгебра измеримых множеств
©ю) <= ^ что
i) Г<3@1 =э @@); ii) \/ Tn®m=<$; iii) Д Г"©*05 - «.
Здесь Т"©'0' — зто а-алгебра множеств вида ТпС, CeS0); Э1 —
тривиальная о-подалгебра, составленная из множеств меры 0 и 1.
Определение 2. Поток {Т'} называется К-потоком, если.
существует такая о-подалгебра измеримых множеств S101 <^ ©,
что
i) 2"®(D)=>et0) при любом «>0;
!Г0) @
ii)
iii)
V
Д
) Д
Если 17"} — К-поток, то любой входящий в него автоморфизм
есть К-автоморфизм. Поскольку М — пространство Лебега, о-ал-
гебре ©|С| отвечает некоторое измеримое разбиение |<с" = ^(@@)).
Оно пазывается К-разбиением.
К-автоморфпзмы и К-потоки называются К-системами.
Примеры. 1) Т — автоморфизм Берпулли с пространством
состояний СУ, 21, v). Введем разбнепие |о фазового пространства
М, элементами которого служат множества
С С{) { =Су у у Je M;
С «
Тогда разбиение |@ — V
тва
Y.
является К-ра^бпением. Это ут-
верждение эквивалентно хорошо известному закону «ноль — один»
Колмогорова. Поитоыу Т является К-автоморфпзмом.
2) Т — перемешивающий автоморфизм Маркова с копечным
пространством состояний У. Из эргодическот! теоремы для цепей
Маркова вытекает, что разбиение 110\ определенное так же, как
в предыдупшт примере, будет и в этом случае К-разбиением.
3) Рассмотрим идеальный газ в Rd, d>l, у которого рас-
пределение вероятностей для скоростей частиц непрерывно в
начале координат. Покажем, что отвечающий ему поток является
К-потоком, построив для него соответствующее К-разбнепие.
Пустъ г/= (.г, и)—набор координат ar=(jC], ..., хЛ) и вектор ско-
рости у=(и1т ,. ., Vi) отдельной частицы. Назовем частицу х
233

отмеченной, если х.\ < 0, v\ > О или j] > О, fi<0. Два бесконеч-
ных набора (Х"\ V<n)={(a:A\ у'1')}, U(a>, V<2')= (U121, vt2>)) из
фазового пространства ЛГ назовем эквивалентными, если в
(Xfl), VO)) и {Х{2\ Vl2>) совпадают координаты и скорости всех
отмененных частиц. Это отношение эквивалентности определяет
разбиение фазового пространства М, которое мы обозначим ^@>.
Нетрудно покакать, что |@' измеримо. Покажем, что оно являет-
ся К-разбненпем.
Пусть %и> =7"t@jf Разбиение ?(П можно также описать с по-
мощью соотношения эквивалентности. Л пмеппо. назовем части-
цу у=(х, v) t-отмеченной, если x\<v\t при vi > 0 или xl>vit
при у,<0. Наборы (Ха\ F[1))= {(.?<", и"')), (Х<2\ V<2') =
— {(.гB), уB))) назовем ?-эквивалентны ми, если у них совладают
координаты и скорости всех t-отмеченпых частиц. Легко видеть,
что элементы разбпешш ?(|) состоят из ^-эквивалентных наборов
(ЛГ, V), Отсюда непосредственно вытекает, что ?(" ^= t<0J при
i>0 п у |() = е, где е — разбиение 1/ па отдельные точки.
t
Покажем, что Д с' ' = v. В самом деле, пусть Е\, ..., Е, —
t
ограниченные связные открытые множества, находящиеся на
положительном расстоянии от гиперплоскости tfi = 0 простран-
ства K2d -^ R?x К?, С — подмножество вида С = {(X, F):
card(X Л ?'[)-= fch ,. „ cardtJ Л ?г) = &.. Тогда б" при достаточно
больших \t\, t < 0, но завпеит от ?U), поскольку при таких t
множсстиа к], ..., Ег не пересекаются с множеством {х\ < /уь
р, < О! U {#1 > tvu У[<0). Отсюда следует, что С не зависит от
разбиения Д ?<f). Так как ипнечпые объединения множеств С
всюду плотны во всей с-алгебре @, то получаем, что ^>(/\ g( )
не завиепт от 6. Но это шшгожно лишь при Л lf ^ v-
Выведем простейшпе следствия из определения К-автомор-
физма.
\. Любой К.-автоморфиз.м обладает перемешиванием.
Пусть Т—К-аитоморфизм. и ^° — его К-разбиешге. Достаточно
установить перемешивание для всех /, gG ЬЦм, Tr<SiG>, ц) при
некотором г, так как такие функции в силу ii) порождают всо
пространство L\ (М, 6, у.). Заметим, что / (Tkx), g ('J'kz) e^
&Ll(M, Tr~h<5<0\ ^щ Поэтому, обозначив через Ph оператор op-
l {6!о) )
тоюпяльного проектирования на
записать:
, 7'г6
jj,)f
ратор op-
можем
I / (Tnx) g (я) dp= \f (x) g (T-nx) dii ^ (/, g{T~nz))Li =
и й
поскольку \\Pr-nf\\
234
0 при п
при
в силу условия ш).
2. Для любого К-автоморфизма Т энтропия h{T)> 0.
Построим конечное нетривиальное разбпение л пространства
Л/, для которого Тц~ ^"п", где ii~ = V Т п.
Пусть ?101—Х-разбиепио для Т и г\\ ^ т\2 ^ .'. — последова-
тельность конечных разбиении, V Tl' — Q°}- Прн каждом t, оче-
видно, Тг\Т
где Г|7
V
1П
Если бы при всех ( было
равенство Tx\i = т|,; то это означало бы, что Г§<0) = |@>, в про-
тиворечие со свойством i). Значит, найдеюп /, при котором вы-
полняется строгое HepaueHCTRo Тт\~ ^> ц$ . Полагая ri = т);, по-
лучим нужное разбиение. Для такого г\ будет h{T, 11 )=
= //Crii7T-Itr)=ff(Til71-1T|)>01 поэтому MD=supM7\ r\)>0.
Для К-НОТОКО13 верны аналогичные утверждения;
1) любой К-поток обладает перемешиванием;
2) энтропия К-потока положительна.
В действительности утверждение о перемешивании и поло-
жительности, энтропии К-автоморфпзмов могут быть значительно
усилены. Это вытекает из теоремы 1, характеризующей основные
свойства К-автоморфпзмои. Ниже через Tdiltrj) обозначается
разбиение Tail A1) = Д \/ Т~**\-
Теорема 1. Следующие i/словия эквивалентны;
i) T является К-автоморфизмом;
ii) Tail(r|)=v для любого конечного разбиения т] простран-
ства Д7, где v — тривиальное разбиение, т. е. v — (Л/,
iii) /г(Г, |)>0 для любого конечного разбиения
словами, любой фактор-аетоморфизм автоморфизма
ложителъную энтропию;
iiii) Т обладает К-перемеишванием (см. определение в
главы 1).
Доказательство. Мы проведем доказательство в предпо-
ложении, что Т обладает конечным образующим разбиением
(см. § 6). Общин случай требует дополнительных рассуждений,
которых мы не приводим.
X) Импликации i =*-и) основана на следующей лемме.
Лемма 1. Пусть \^ ~ измеримое разбиение, Ъ — конечное
разбиение пространства М и ?3^ V Т^-Тпзда TailC^) =^
Доказательство леммы проведем позже. Возьмем в качестве
|! Х-разбиснпе | для Т и положим ?2 = Ц- Тогда "Л ^ V Т ?,
и поэтому, в силу леммы 1, ТаНЦ) ^ TaiKg) =v.
Тем самым i =>- ii) доказано.
235
=^v, иными
Т имеет по-
G

2) Докажем, что ii) => i). Пусть ? — копсчное образующее
разбиение для Т, ? =¦ V T~nt,. Тогда % является /С-разбиенпем.
3) Докажем, что М) **- iii). Пусть Ы71, |)=0 для некоторого
конечного l^v. Тогда П U \/ 7""ftg) = 0, т. е. ?< V Т~%
Огсюда следует, что \/ Z"*s - V T"h\ и \/ Т'!% = \/ Г~*й
A^n ft^l ft=m ft="
при любых m, n^O. Но тогда Л V T~% = \f Т~
что противоречит ii.
4) Докажем, что iii) => ii). Допустим, что TaiUr^^v для не-
ттторого конечного разбиения ц. Возьмем конечное разбиение С»
5 =И= v, такое, что ? ^TaiKn,).
Лемма 2. Для любых конечных разбиений |ь |г справед-
ливо равенство
Н
.2)
/
Доказательство леммы проведем позже. Пользуясь леммой 2
для §j = ?, ?2 = т|, занишом:
U\t, ^r-"?VTail(n)J -А (Г, О-
Тал как ^^TailCri), то левая часть последнего соотношения
равна нулю, т. е. /Н7\ и}=0 в противоречие с iii.
5) Докажем что ii) => i'ni) Пус А А
), где Hi ^ V T~kr[.
Тогда, п
Тогда, пользуясь определением условной меры \х (-| ® (л»)) =
— |i (•] 6'r];! fa:)^, можно записать:
| ц (Ло П S) -
Так как П ® (iin) есть
--= J и (Л 1
тривиальна» о-алгебра, содержащая
лишь множества меры 0 и 1, то по теореме Дуба о сходимости
условных математических ожиданий подынтегральная функция
в пру вой части поеледиего выражения стремится к нулю при
236
дЛя д-почти всех х. Отсюда по теореме Лебега
lim sup | и. (Ло П В) - ii (Ло) н, (В) | = 0,
A)
значит, Т обладает /С-поремепшвшшем.
6) Докажем, что iiii)=>ii). Пусть Ло^ТаШг)) для некоторого
конечного разбиения т). Тогда Ао^®{цп) при любом п. Поэтому,
полагая в С1) Б = Ло, получим, что HmluXd П А) — ц(Л)ц(ЛI = О,
т. е. |а(Л) = 0 или 1. Теорема доказана.
Докажем теперь лемму 2, а затем с ее помощью докажем
лемму 1.
Доказательство леммы 2. Из свойств энтронип
V т'%).
Для доказательства противоположного неравенства заметим, что
дли любого конечного разбиения ц и любого /г >0
Я ( V Т\ \/
= S
Т\
i
Применяя последнее соотношение при r\ = |i V I2, можем напи-
сать:
А G\ 1, V У = ~ н (Vo Th & V Ь) | ;V 'г' Si V Ъ)) <
<^ff(Vj"I(?,V*«) V ?-'?,)<
< -i Я (V '/* (I. V У) =• А (Г. 1, V Ы + *,и
где ?п ^^ 0 при /г -*¦ со. Далее,
| V. Т'1 A, V Ег)) =
V t~l (?, V ?г)) +
* /п—г
= -я v J1 %
V T-%V V
Л 1—"+1
\ц у r'^Vfe)
_±Я V

Пределы левых частей, по доказанному, равны, а каждое сла-
гаемое справа во втором равенстве не меньше соответствующего
слагаемого в первом равенстве. Отсюда следует, что пределы
соответствующих слагаемых справа такл:е равны, т. е.
(V
'™ 4 н (V т%
Для левой части
Лемма доказана.
Доказательство леммы 1. Разберем сначала случа!
конечных |i, %2- Достаточно показать, что для любого конечное
разбиения ц ^ TailC^) справедливо неравенство -
Рассмотрим всевозможные разбиения ? такие, что
Е=< V т%
k-=—n
при некотором п, и покажем, что для таких ?
#(?lTaiK?i)Vri)=//(?lTaiKgi)
Заметим для этою, что справедливо равенство
V
-—?J
= lim -1 Я (V Т'% V Т-%) = ft (Г
Здесь мы воспользовались тем, что
Депствительпо, левую часть D) легко преобразовать к виду
п^, y^iV^l а правую-к ниду пЯ^ V Г^).
В силу леммы 2 последние выражения ровны между собой. Поль-
зуясь свойствами энтропии, запишем:
+ я(
V
v
v
l-n+i
пам^дое слагаемое в правой части второго равенства но меньше
соответствующего слагаемого в правой части первого равенства.
Так как Z V V ^% = V ^ftii* то из D) вытекает, что левые
^асти этих равенств одинаковы. Поэтому соответствующие сла-
гаемые в прапых чнетях равны. В частности,
V т~%У
°, получпм
-'I, V А = и
V
'% v
V Г-'О Vi)<^(?|Tailffii)) =
= lim H [I
V
что дает C). Таи как tj=^ \j Th\u то мы можем аппроксимиро-
вать г| с любой точностью разбиениями % вида B) *). В силу не-
прерывности эитрошш мы можем в C) заменить t, на т]
V ) //(lTil^))
Но это и означает, что ц ^ Tail(|i).
239

Перейдем теперь к общему случаю C|i не обязательно конеч-
но) а рассмотрим последовательность разбиений Q™/^- При
фиксированном т, если ? =< V Т%\"" то по доказанному,
т, если ? =< V Т%\"
Тон как
\/
при всех l
<: ~ V Tail (
то при m
)
где
получим
и раньше, цо непрерывпости заменяем ?
;^а°-«^Уч,.Я(чГЕ,, т. е. ^RTail,!,,. Лемма до^
Аналог теоремы 1 для К-нотоков
1 еоремы.
Те
поток
Док,
вытекает из следующей
орема 2. Если хотя бы один автоморфизм, входящий в
IT1}, есть К-автоморфизм, то {Т1) есть К-поток.
тределение 3. Эндоморфизм Тд называется
пересечение П^« —^q> где 91о — тривиальная о-алгебра, т.
о-алгебра подмножеств * пространства Мо,
или 1.
Теорема 3. ?>.ш эндоморфизм
ся точным, если
имеющих меру О
ii) у 7""в1«) = 3'
iii) Л 7'"®101 =- 9!.
С^имеом™ "-Л™ ™ожес'ва С-0"". С-<* = *:
F.cjih
0„, для которого С„ — f
. Это означает,, что Г®'01
то ГС =
¦ Проверка ii). Заметим, что а-подалгебра Г©'» состоите
множеств вида <*¦=(*'»', *'", ...)^ *'»> ^Со ^ So). По опре-
делению множества такого вида порождают всю а-алгеору <=.
Тем самым ii) доказано.
Проверка iii). При nS>0 подмножества, входящие в а-ал-
гебруV<°\ находятся в изометрическом взаимно-одиозпачном
соответствии с подмножествами из о-алгебры 6„. Отсюда выте-
кает, что равенство Л ®т, = Э!„ эквивалентно равенству f\ T" —
= 31. Теорема доказана.
Важные примеры точных эндоморфизмов имеются в классе
кусочно-монотопных отображений интервала, рассмотренных в
5 4 главы 7. .
Напомним, что кусочно-монотоппьтм отображением i • (и, \) ^
-»@ 1) иазынается отображение, действующее по формуле Ja; —
=-ф(х), если интервал @, 1) можно разбить на коночное или
счетное число интервалов Дь Aj, ... тик, что m каждом Д, функ-
ция ере С2 и строго монотонна. Мы будем пользоваться некото-
рыми обозначениями, введенными в § 4 главы 7. В теореме 1
оюю параграфа было доказано, что при достаточно общих пред-
положениях такие преобразования имеют инвариантную меру,
абсолютно непрерывную относительно меры Лебега.
Теорема 2 того же' параграфа была лишь сформулирована, по
не доказана. Докажем сейчас более сильное утверждение.
Теорема 4. Пусть преобразование Т такое же. как в тео-
реме I | 4 главы 7, 'но вместо условия i) (см. сгр. 158) выполнено
более сильное условие iii); и,— инвариантная относительно I
мера, полученная в упомянутой теореме. Тогда: а) мера |J экви-
валентна мере Лебега р; более того, существует такая константа
б) эндоморфизм Т с инвариантной мерой и — точный.
Доказательство. 1) Мы будем пользоваться обозначения-
ми, введенными в теореме 1 § 4 главы 7. В част пост, дам мно-
жества .4^8 полагаем, как и раньше,^i, in = Т А П Ai,^...,in.
Условие iii) позволяет оттенить меру р (.4i,. ..,,„) снизу. Действи-
тельно, теперь T"Ai1,...,tn — А, поэтому
E)
iL- Дг_1,и пай-
Кроме того, Т" (Д;",'...,!„)= @,1), значит, J
пется точка I = Д^,..,,^ такая, что
р /л(п) ч
В силу

леммы 1 § 4 главы 7 для любого геА
4 ы
— © «"Р
из E) получаем
-(?)
"Утверждение а) следует теперь из замечания после доказательст-
ва леммы 1 § 4 главы 7.
2) Предположим, вопреки утверждению б), что эндоморфизм
Т не точен, т. е. существует множество В, 0 "< р,(У?)< 1, Л Е=
е= Д У у.. Тогда пря любом ге>0 найдется множество Л„еE,
дп«) в М-(#) такое, что 5 = Г~ЯЛЯ. Применяя F) к множествам
ЛПщ получим, что для любого интервала Д;"?...,^, «-=1,2, ...
Далее,
оценку
р(влд'С..,д>|р(в)р(д^..|;п).
неравенства A5) § 4 главы 7 при к — О
' Р(Ч"!...О<Г'"'".
получаем
(8)
Пусть С=@, 1)\#. Тяк как ц(С)>0, то р(С)>0, и для него
найдется точка плотности ,г0, но являющаяся концом какого-либо
интервала Д!"?...,*п. Бочьмем е ^ — р (S) > 0 и найдем такое
б > 0, что для любого интервала Д, р(Д)< б, хц е Д будет
рFгП Д)>A-Е)р(С)р(Д). @)
В силу (8) мы можем взятг. в качестве Д иптервал Д;"'. .j7l. со-
держащий х, при достаточно большем п. Но тогда неравенство
(9) противоречит G). Теорема доказана.
ГЛАВА 11
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОТОКОВ
§ 1. Определение специального потока
В эргодпческой теории существует общий метод, позволяю-
щий сводить многие проблемы, касающиеся динамических си-
стем с непрерывным времепем, и соответствующим проблемам
для динамических систем с дискретным временем. Этот метод
вос^одпт к Пуанкаре, предложившему для изучения поведения
242
траекторий гладкой динамической системы в окрестности замк-
нутой траекторий исследовать «отображение доследования»^
возникающее на трансверсальнон площадке коразмерности 1 к
векторному полю: преобразование состоит в том, что из точки
на площадке выпускается траектория динамической системы до
следующего пересечения с площадкой.
Мы начнем с определения специального потока. Пусть на
пространстве с мерой {М\, @ь p.i), где действует автоморфизм Т,
задана измеримая функция /(#i) > 0, причем J* /djxi = 1. Мера p:t
может быть пе нормированной, а только конечной: yi[(M\)<-<».
Для почти всех xi sl/j до эргодической теореме Бнркгофа —
Хшпина lim — У / (^«i) > ° и тем более 2 / (^i) = °°-
В дальнейшем удобно выбросить ипиариантное множество меры
0, где последнее соотношение не выполняется, и считать, что
Рассмотрим множество M-i =^{(xl.s): ^eM,, O^s^/fa^j^)}
Иногда такое множество называют пространством под фупкцаой
/. Превратим Л/ = М{ в пространство с мерой, взяв в качестве
сг-алгебры измеримых множеств с-алгебру, образованную измери-
мыми подмножествами прямого произведения Д/хК1. . принад-
лежащими М\, и положив для любого такого множества А
)= J j
А
М ds.
Иными словами, у\ есть ограничение па М\ прямого произведе-
ния меры (Д1 и меры Лебега на К1.. Мы можем считать, что
Определение \. Специальным потоком, построенным по
втоморфизму Т и функции /, называется поток {V1), действую-
щий аа Л/, при i > 0 по формуле
где п однозначно находится из перавопств:
а при t<.0, действующий по формулам
V* (хи s) = (хг, s -(- t)y если s -p

если s + t<0; здесь п однозначно определяется из неравенств:
Иногда мы будем говорить, что поток {V1} является специаль-
ным потоком над автоморфизмом Т.
Отождествим точки (х\, /(#i)) u (Txi, 0), Наглядно движение
под действием {V} при t !> 0 можно представлять себе так: точ-
ка (хи s) движется вертикально вверх до точки (xi, j(x{)). Б ре-
зультате отождествления она оказывается в точке {Txi, 0), от-
куда продолжает сво? движение снова вертикально вверх п т. д.
Множество точек (хи 0), а^е.Д/,, ппогда называют базой сне-
цнального потока, а Т ~ базисным автоморфизмом.
Лемма 1. Специальный поток {V) сохраняет меру д.
Доказательство. Пусть t ^ 0 п Л/ ~ Мг X U+ — прямое
произведение пространства с мерой Mi и положительной полу-
прямой К+' Обозначим через д и iV) соответственно меру на
М, являюп1уюся прямым проняведенпем_меры щ и меры Jleoeia
па IR+, н полугруппу преобразований в Л/, действующих по фор-
муле V'{x\, s)={xu s-\-t), t^O. Ясно, что полугруппа W) сох-
раняет меру д.
Полояшм АТО=*М1, Мк=.\(хъ s) : 2 / (^Ч)<5<2 /(?""¦
I i=0 }-о i
A=l, 2, ... Множества Mk попарно не пересекаются п [} Л/А =
¦= Л/". Введем при к ^ 1 отображение ф^.1 АЛ -»- Л/о, действующее
по формуле
Яспот что фл отобрая;ает
а измеримо.
Пок
па Л/о ^- Л/{ взап
аимпо-одпозпачно
Тогда ' a<s<6>- гДе ?^S,, а н Ь - постоянные.
что и требешалост. доказать.
244 .
Теперь для произвольного Л а м\ из определения спепиаль-
го потока следует: V*A — [} cpft ((УМ) ("] А/^), причем, как
§ -^=0 _
|легко видеть, мпожества yh{(V'A)UMk) попарно ие пересекаются.
Поэтому
[г (VU) - Jl ц (<pfc ((У1 А) П Мк)) -
= S il ((P-U) n л?,.) = JI (Ffл) = ii (л) = p. И).
[Аналогичные рассуждения справедливы при t<0. Теорема до-
казана.
§ 2. Формулировка основной теоремы
о специальном представлении потоков
и примеры специальных представлений
Теорема \. Всякий поток {Т1} на пространстве Лебега
{М, @, (х), не имеющий неподвижных точек, метрически изомор-
__ фен некоторому специальному потоку.
Изоморфизм со специальным потоком иногда называется спе-
~ циалъным представлением.
Доказательство этой теоремы мы проведем в следующем
параграфе, а сейчас покажем, что специальные представления
естественно возникают в ряде примеров. Предварительно дока-
жем одну лемму, поясняющую значение величины \ц(М]).
Л с л м а 1. Пусть iV) — эргодическии специальный поток,
построенный по автоморфизму Т ц, функции f. Для любой точки
xgsM = M[ через vt(x) обозначим число таких т, 0 С т < (, при
Тогда lim —vt(jc) = \
для почти всех
Доказательство. Пусть х =(х{, s). Положим g(x) = l/f(xO-
Ясно, что g(x)> 0 почти всюду а \ g d\i — (х, (Мг). Далее, v,(x) не
больше, чем на 2, отличается от величины \ g\V x)du. Поэто-
о
му, в силу эргодичности (У),
lim 4- v, (x) = lim -L f g {Vй x) du=
Ле?.ша доказапл.
^li1 {ML).

Примеры специальных представлений.
1. Пусть М — двумерный тор с циклическими координатами
х2, на котором задана система дифференциальных уравнений
I
Предположим, что /., /2
^- (р/х) + — (р/2) = 0 для
некоторой положительной функции р е С1(М), Тогда, согласно
теореме Лиувилля, однопараметрическая группа {S!} сдвигов
вдоль решений аашсй системы сохраняет меру ц = р dx]dx2t ко-
торую, ие ограничивая общности, можно считать нормированной.
Пусть /i > 0. Положим М] = Цх\., х2) ^ М: #[ = 0) и введем
преобразование Т; Л/i -*¦ Л/, следующим образом. Из каждой
точки х^-Мх выпустим траекторию до первого достижения Ы\\
точку, где эта траектория достигает Ми обозначим через Тх.
Из положительности /] следует, что Т непрерывно.
Введем на Jtf( меру \х\, положив d\ix{xz) = р@, xz)f\(O, x2)dx2.
Покажем, что мера ui инвариантна относительно Т. Для этого
введем новый поток {З1}, получаемый из потока {S1} заменой
времени:
Slx = Slx, где t = \ Г/, (&
Потоп {S1} имеет инвариантную меру ц с плотпостыо_
Система дифференциальных уравнений, отвечающая {5'1, имеет
вид
Яспо, что {S1} переводит меридиан Д/[ — {@,
Ш, х2)) и 540, х2)=Т{0, х2). Поэтому для любого
0 < t < 1 имеем
U
Если /(ж) для
'}
\oz<t j
/ д ) есть время достижения ь
{5'} представим как специальный поток над автоморфизмом Т
с функцией /.
2. Пусть Q cz R —- компактная область с кусочно-гладкой
границей, Л/ — единичпый касательный пучок над ? d?')
бильярд в Q (см. главу 6). Через Л7, обоаначим совокупность
едипичных касательных векторов х, носители которых принадле-
жат границе 0Q, а сами векторы направлены внутрь Q. Через Т
246
обозначим преобразование М^ которое состоит в движении но
траектории бильярда, определяемой вектором х, до первого до-
стижения границы и затем в отражении от границы. Если j{x) —
время до следующего отражения, то бильярд (S1} можно пред-
ставить как специальный поток над автоморфизмом Т с функци-
ей /. В главе 6 было показано, что инвариантная мера для Т
имеет вид d\ii = dp(g)dd>,i(n(g), x)\, где dp — элемент поверхно-
сти &Q, da — элемент объема на Ы—1)-мерной сфере, n{q) —
единичный вектор пормали в точке q ^ &Q.
3. Покажем, как теория специальных потоков может быть
использована для вывода хорошо известной в теории гауссовских
стациопарпых процессов формулы для среднего числа пересече-
ний случайной реализацией заданного уровня. Начнем с поста-
новки задачи.
Пусть А/ — пространство непрерывно дифференцируемых: ве-
фй {) еленных для s ^K1 Вве
А/ прр рр
ществен позначных, фушщий x{s), определенных для s
дем некоторую гауссовспую стационарную меру р. (см.
б юую спектраль
Вве-
ем некоторую гауссовспую сцру 2 гла-
ы 8) и обозначим через о соответствующую спектральную меру
a R1. Мы будем предполагать, что \ №da (%) <Z 00; это условие
гарантирует, что мера ц сосредоточена на М. Так как М состоит
из вещественнозпачных фупкцгш, то мера о четна.
dct л
Рассмотрим случай, когда m (s) = j x{$) d\i (x) = 0- Тогда, как
петрудио проверить, j x' (s) х ($) d\x (х) = 0 при любом s. Произ-
водная ix'(s): — 00 < s < |») также представляет собой стацио-
нарный гауссовскшг процесс й >22Ш
П
спектральной мерой
В 14 б
нарный гауссовскшг процесс со спектральной мерой >.еоШ
Предположим, что мера о непрерывна. В главе 14 будет пока-
оапо, что в этом случае поток сдвигов {S1}, отвечающий гауссов-
сиому стационарному процессу, эргодичеп.
Зафиксируем число а > 0. Для z = {x(s); — 00 < s < °°} через
(^c) обозначим число тех s, 0 ^ s < t, при которых x{s) ~ л.
Теорема 2. С вероятностью 1
1 — v, Ы = — -г е
j х* (s) d\x {х), d, =
Ihlo {h) =
j <*' (s))» chi (x).
Мы по будем проводить полного доказательства этой теоремы,
а покажем только, как дело сводится к специальным потокам.
Пусть Mi — множество тех х е Л/, ддя которых х{0) = а. Для
х ^ М\ через / = fix) обозначим иаименьтее s > 0, ири котором
xis) — а, и введем преобразование Т множества М\, действующее
до формуле Тх = SUx>x. Это позволяет представить поток {?')
как специальный потоп над автоморфизмом Т с функцией /.
247

Согласно лемме 1, Hm — v< (х) = и,, {Мл), и дело сводится к вы-
числению рЛМ\).
Возьмем малое О 0 и построим множество М[ = U S"AIU
состоящее пз тех х е м, которьте пересекают уровень а в полу-
интервале [0, t). Как нетрудно показать, ц (М{) — (ц, (Л/J + о (t).
Введем множество
Можно показать, что Hm—-—\- = \. Но
(-о и(^,)
!) = е Аи \ — е dv +
J 1/2Я(/0 J У 2nd,
2й
У 2nd
Сделаем в иптегралах замену, пололгив и = а 4- ?ш. Проинтегри-
ровав по частям, получим
dw
0 0
По теореме Лебега о предельном переходе под знаком инте-
грала выражение в квадратных скобках при t -*¦ 0 имеет своим
пределом
id,. I [' U(/, , Г 2di i I л 2d(l
Окончательно получаем
ю и требовалось доказать,
§ 3. Доказательство теоремы о специальном представлении
Мы пачнем со следующей общей леммы.
Лемма 1. Для любой функции / ^ 1?{М, S, ц)
¦в смысле сходимости по норме в пространстве L2(M} @, (х).
Доказательство. Функция b{t) = W/, /) — положи-
тельно определенная, и по теореме Бохнера — Хинчипа ее можно
представить в виде
u(f) = ( e^'du (?),
где о — мера на прялтой. Согласно спектральной теории (см.
приложение 2)
¦ —1
,аа(Ц.

По теореме Лебега о предельном переходе под знаком пптеграла 1
последнее выражение при а -»¦ 0 стремится к нулю. Лемма |
доказала.
а
Следствие. — \ f (Т x)dt при а -*- 0 сходится к fix) \
о
по мере.
Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы ]
о специальном представлении. По существу все доказательство ;
распадается на два независимых утверждения, каждое из кото- ]
рых пмест самостоятельпый интерес. Поэтому мы начнем с фор- 1
мулировкя обоих этих утверждений п относящегося к пил
определения.
Определение 1. Разбиение с, пространства М ыазьша-
стся регулярным разбиением (для потока {?"}), если оно обла- \
дает следующими свойствами:
1) каждый элемент Съ разбиения с, представляет собой полу-
интервал вида {Т*х: О <l s < /}, принадлежащий одной траекто-
рпп потока; х есть левый конец этого полуинтервала, а / — его
длина; предполагается, что представление точки у ^ С5 в виде
у = Т"х при 0 < s < f сдинствеипо;
2) функции F, G, определенные в произвольной точке у =
= ГгбС{) 0 < т < /, соотношениями F{ij) = /, G(y) - т,
измеримы.
Будут доказаиыеледутощие дна утверждения.
Л. Для всякого потока {7" J, не имеющего неподвижных то-
чек, существует инвариантное множество положительной меры,
допускающее регулярное разбиение; при этом F(y) > С при не-
которой постоянной С > 0.
В. Если у потока {Т'} имеется инвариантное множество ме-
ры 1, которое допускает регулярное разбиение, и F{y) > С > 0т
то этот поток метрически изоморфен некоторому специальном у
потоку.
Выведем из Л. и В. утверждение теоремы. Согласно Л. най-
дется инвариантное множество К положительной меры, допуска-
ющее регулярное разбиение. Тогда из В. следует, что ограниче-
ние потока {Т1} на Е метрически изоморфно специальному по-
току. Применим такое же рассуждение к дополнению М\Е и т. д.
Утверждение теоремы получается при помощи трансфинитной
индукции.
Доказательство Л. разобьем иа отдельные пункты.
1°. Рассмотрим множество С а Л/) целиком логкищее на неко-
торой траектории потока {'/''}, т. е. множество точек вида Т*х^
где хо^М, a t пробегает некоторое множество Е <=№}. Будем
обозначать через С1 С (соответственно дС) множество точек вида
Т*х\у, где t пробегает множество Cl E (соответственно дЕ),*)
К Определение 2. Замыканием (соответственно границей)
Гшожества А^М относительно потока (Г'} назовем «кое мно-
жество С1А (соответственно. М) ?то для любого *** и^
=¦ SL/1 П {Т'х- — «= < t< «=}]). г, д
Очевидно, что эти соотношения определяют множества
5А однозначно. ,.,>л „ ,ю^
I Лемма 2. Для любого множества Ае6, ц(Л) > U " лю
\ бого е > 0 найдется А1" е б такое, что
М i Т'
го е > 0 найдется А б тако,
1) при всех х е М множество it:
2) id8AM) =0;
3) ц(Л А Аш)<е.
Доказательство. Положим
) открыто;
'. При любом р, 0<Р<1, л™ достаточно больших в в силу
; леммы 1 ц)
* цЛЛ Л Д„. &) < е.
f Заметим, что при любых х в М и а > 0 функция *„ (т) = К (т; ж) =
^ J_rXAG-'+Tl)d( пепрерывна и даже удовлетворяет условию
| Липшица с копстаптой 2/а. Действительно,
B)
[ U(T'*)dt- j" ХАТ'*
Отсюда следует, что при любых п, ?>, х множество
'х& Anfi) открыто, и, кроме того,
•) Здесь (ЛЕ-вамыкапио Е, SE — граница Е.
Выберем р, 0 < р < 1. так, чтобы множество в правой части
имета u-меру нуль независимо от в, а затем выберем п так,
: чтоТы выполнялось A), и положим А«>-А..» Лемма докаваш,
2°. Пусть множество А ^ б таково, что для него найдется
: «омвит to, при котором 6„ = и, «Л/\ Л) П Т'"А)>О. Существо-
251

вание такого множества вытекает из отсутствия у (Т1) непод-|
вижных точек.
Рассмотрим при а > 0 фуикцпю Фа (#) = ka @; х) ^
~ *сГ 1 ^л (Т*х} dt и положим
(г) > 3/4),
Так как
хак как в силу следствия из леммы 1 q>a(x) при а -*¦ 0 сходиjел |
по мере к Х^Сэ:), то моншо выбрать а столь малым, что J
li((M\A) Д?,)< '/зйо, \х(ЛЛ
Отсюда вытекает, что
м, что
'/А.
П
А ?',)_ц(.1 Д^г) > 0.
Следовательно, па пространства Л/ можно выбросать ипиа-
риантное подмножество Л' так, что ц(ЛЛЛ0 > 0 и для X е Л/W
найдутся сколь угодно большие но модулю положительные и
отрицательные t, при которых Т'х ^ Е. Положим теперь
Е[ --= U Т'Е^ Е\ = U Г'А1,.
( рационально i рэцщныльнй
Докажем, что ?i П ^2 = 0- В самом деле, гтусгь, вопреки
нашему утверждению, существует a:e?i A Кг- Тот да найдут-
ся I] е ?,, Хг^Е2 и числа xi, xs, 0 ^т17 т2 5^-^-а, такие, что
г= Г*1*!, х = Г12^. Отсюда i! = Г"'1*, I, - 7"^'!i.
В силу B)
4 < I Ф- W - % (^) I - I А. (- т,.; I) - А« (- т„; х) | <
Полу
Зде
Полученпое противоречие доказывает наше утверждение.
4°. Покажем, что
[~ U ^, ?*= U ТЕ,.
o<i< а/8 0<'-< i/8
Здесь суммирование распростриняется на все, а не только ра-
циональные зпачения f е [0, а/8].
Проведем рассуждения Для Ех; для Ёг рассуждения те
же. Пусть 2 — Т °х, х&. Еу, 0<@^-^-а. В силу нспрерыв-
252
пости функции h(t)= (^^(Т'х) пайдется такое г^ -> 0, что если
I&1 < ео, то Тех ^ Е\. Выбрав это е так, чтобы r=t — е было
рационалышм, получаем, что z ^ Е\.
5". Для каждой точки х ^ M\N рассмотрим ее траекторию
{Тсх: —оо <zt< о°). Пересечение этой траектории как с ?iT
так п с Е2 образует па neii неограпиченноо открытое множе-
ство, связные компоненты (интервалы) которого имеют, в силу
и. /i°, длину, не мепыпую а/8*). Поэтому для каждой точки
траектории можно указать ближайший, к ней справа, а танже
ближайший к ней слева интервал, принадлежащий объединении*
Е[ Ц E'i-
Теперь мы можем построить множество Л/,, которое будет
как базой нужного специального представления, так и множе-
ством левых концов требуемого регулярного разбиения- А имеа-
но, пусть Л?! — множество точек х ^ М, обладающих следующи-
ми свойствами:
а) х есть правый конец одного из шгтрпвалов, принадле-
жащего Ei\
в) ближайший справа интервал объединении Et \j E2 при-
надлежит ?2-
На каждой траектории, принадлежащрй M\N, пайдется неогра-
пиченпое в обе стороны счетное множество точек, принадлежа-
щих Д/ь причем, как следует из и. 4°, расстояние (вдоль траек-
тории) между любыми длумя такими точками не меньше, чем
а/3.
6°. Для x^Mt\N положим /(a:)=min{/>0: PxeMi). Из
иредыдущего следует, что а/8 ^ f(x) <: w. Пусть
/i - { (х, *¦):
.т </ (т)}.
Отображет-nie tp: М{->- M\N, заданное равенством ф{^, s) ^
= Tsxt устанавливает изаимно-одпозначное сиигиететпие между
Л/i и M\N. Возьмем в качестве разбиения | образ иод действи-
ем ф разбиения Mi на вертикальные отрезки вида С% = {{xQt
s): O^s<.f(xo)} ц для y^M\N, у = ф(х, s), положим F(y) =
= /(^), G{y) = s. Чтобы закончить доказательство утверждения
А., остаеася проверить измеримость функций F и G. При всех
е>0
{У-
U
Т~г{у:
U Г
поэтому достаточно доказать измеримость функции G. Для этого,
*) Здесь мы отождествляем точку Т'х, принадлежащую траектории, с
числом / п, стало Оыть, переносим па траекторию топологию из К .
253

в свою очередь, достаточно доказать измеримость множеств
?(^ ={^gM: jL^G(a:)<?i!}, к = О, 1,...; п = 1, 2,. .. За-
метим, что fij^i = (ЛГ\Л(ОП)) П ТшВ{и\ Поэтому остается
проверить измеримость множеств -Во"'. Так как достаточно рас-
сматривать только большие щ то можно считать, что п > 8/а.
Для таких п условие ге^"' экыивалентпо выполнению сово-
куппости следующих трех условий: 1) хфЕр 2) T~mx&Ei;
3) при некотором целом р > О Т 1Л\ Т2/лх,,.., Тр/пх ф Е[ \] Е-г,
но Т<р+1)/"#е Eq. Тем самым измеримость В(ип> установлена и
утверждение Л. доказано.
Доказательство утверждения Б.
1°. Пусть {Т1} — поток на пространстве М, и I — его регу-
лярное разбиение. Удобно сделать замену времени и ввести но-
вый поток (У), положил при 0 ^ t < 1 для точки х s Л/
где t(x) - [F(#) - G(i)]/F(a:), у = TF<x)~G(x)x. Дальше {Г) про-
должается с помощью группового соотношении: Т 2 = Т'Т2-
Смысл этой замены времени в том, что теперь при движении под
действием потока if) каждая точка х проходит элемент разбие-
ния | за единицу времени.
Нетрудно проверить, что {7"} — измеримый поток. В силу
теоремы 1. § 3 главы 10 он сохраняет меру |л, длн которой
лТ. Г П —1 «
d]xlF (х) . При этом J d)\/F (x) <z oo, так как
Разбгтенпо | останется регулярным разбиением п для потока
{Т{}. Действительно, соответствующие функции F и G имеют
вид
fix) =1, G{x) = G(x)/F(x).
Мы покажем вначале, что поток {2"\ допускает специальное
представление.
2°. Пусть М\ — множество, точками которого являются все-
возможные элементы С% разбиения |. Каждую точку х е М-^
можпо задавать левым концом соответствующего С*. Таким об-
разом, Л/, — upocTpancTRo левых коьцов [элементов ранбиения |.
Естественное отобралшнне М на Л/| обозначим через я.
Превратим М\ в пространство с мерой, взяв а-алгебру @i под-
множеств С <= Л/|, для которых я (С) е ©, и положив \i]{C) =
= ц.Ы~ЧС)) для jiHiuoro С s ©,._Введем преобразоваппе Т про-
странства Л/], положив 74Ct) = Т](С{). Так паи поток {Т1} со-
25i
храняет меру ц, то Т сохраняет меру u,i и является автоморфиз-
мом пространства с мерой i.M{, @i, И-i'- Автоморфизм Т будет
базисным автоморфизмом искомого специального представления.
Положим Л/ш = Л/] X [0, 1] и определим взаимно-одвозпал-
ное отображение $; М -+ М<1) формулой ^(у) = {х, t), где
*/ = Т1х = Т1'1*^, ж — левый конец элемента C-s, содержащего у.
Как всякое взапмно-однозначное отображение, i]) порождает о-ал-
гебру S(|J = ф(@) подмножеств пространства Л/40 и biepy
м,11} — г|;(м,) па @U). При этом на MU) возникает поток 1V'}>
У = ij;?"^1, метрически изоморфный потоку {^'h
Мы покажем, что:
1) о-алгебра @('' совпадает с о-алгеброй ©о измеримых
подмножеств Л/ш рассматриваемого как прямое произведение
измеримых прострапств Л/j и [0, 1);
2) мера (х111 совпадает с прямым произведенпем меры u,i и
меры Лебега на [0, 1).
3° Докажем сначала, что ©i,11 = @A>. Действительно, пусть
множество С е ®l«u имеет вид С -= С, X Д, где С] е ©ь А =
= Ut} f2) — tO, 1) — полуинтервал. Тогда ty~l(C) = {у: п(у) ^ С\т
t\ ^ G{y) < t^i, и поэтому ^"'(С) е @. Отсюда вытекает требуе-
мое включение.
Для докаиательстпа обратного включения рассмотрим вначале
множества В* ^ @ такие, чтп В* П С5 открьпо для каждщо Cs.
Положим B=(ie itf ^ й* П Ct(a:) ^ Ф). Покажем, что В е ©1т
т. е. что множество В — л.~'(Д) принадлежит @. Пусть йцд —
2T111)
Тогда
), В„,» = П-(В„,П); ;с^1.2,...,2"+1-2:
п= 1, 2,...;
t = 0,l 2»-i, n = i,2,...
Г'В*„ЛП Us.U: C(*)>l/2"+1ll U
U \( U rtl Л П Us Л/: С(а:}<1-1/2я+1П,
L \ t рационально / J

в = .' _ и в,.
т. е. Д е в. Отсюда следует, что В е б, и ц,(й) = j!("B).
4 . Сохраняя обозначения п, 3°, положим
т
I Х/1
C)
Тогда Я* = В = С] В*.
Рассмотрим множества B*,t s= 6. Для каждого элемента С,
пересечение В„,>, П С| открыто. Поэтому к множествам й* к мож-
но приметпь рассуждения п. 3°, п мы иолучпм, что B.'jsSl
Формула C) теперь показывает, что .множество if(O) принадле-
жит о-алгебре SJ,1'.
5°. Рассмотрим в Ы о-алгебру Ш! множеств, являющуюся
прообразом прп отображении t|> о-алгебры ®10". Пусть мера v на
Ма> зад.чется_ формулой v — ц, X р, где р — мера Лебега на
tO, 1). Тогда (i(?)=v(Tf(?)) для любого Esf. В самом доле,
это равенство непосредственно проверяется, если г|)(?) = ?,ХД,
где ?i s 6Ь д _ интервал из [0, 1), а такими множествами по-'
рождается о-алгебра Ш.
Отсюда, в частности, вытекает, что о-алгебра Ш! полна отно-
сительно меры и, (см. приложение 1). Из пункта 4 и леммы 2
следует, чю для любого Лее и любою е>0 найдется такое
Аи> е 24, что ц(Л Д Л) < е. Так как М — пространство Лебега
л о-алгебра ЗЯ — полная, то отсюда выводим, что 3I = 5. Кроме
того.^в силу предыдущего замечания v = t|>(jT).
6°. Теперь уже легко закончить доказательство теоремы о спе-
циальном представлении. Отображение if: M-~ Mll\ введенное
в п. 2°, осуществляет не только вааимно-одяозиачп'ое соответ-
ствие между М и Ж, но и метрический изоморфизм потоков
17") и {V}.
Сделаем
на М11
.асы теперь обратную замену времени, т. о. рассмотрим
поток {V), заданный формулами
V"*>'L-(x, 5)= (Га:. 0).
Дальше поток (У) продолжается с помощью группового соотно-
шения: V 1 - =- V *К 2.
256
Поток {F'} сохраняет меру v, заданную формулой dv = diiiX.
Xf(x)dp. Заметим, что v(ATu') = j j ф,/ (ж) dp = jdp|/(аг) dii.x =
О M[
= 1. Так как измеримая замена времепи переводит метрически
и.чоморфные потоки в метрически изоморфные, то поток {F'}
метрически щюморфеи потоку {Т*}. С другой стороны, очевидно,
что (V'} метрически изоморфен специальному потоку, построен-
ному по автоморфизму Т и функции /. Теорема доказана.
Замечание 1. Отметим, что фазовое пространство {Ми
€>i, (Л|) базисного автоморфизма специального представления яв-
ляется пространством Лебега. Действительно, так как Mi =
— Ш1\ — фактор-простраиство пространства Лебега М по разбие-
нию %t то нате утверждение вытекает из измеримости разбиения
§. Измеримость g, в свою очередь, следует из того, что рассмат-
ривая на каждом элементе С% свою меру Лебега р.с, мы получим
каноническую систему условных пер для 1 (см. приложение 1).
Замечание 2. Иногда удобно считать, что функция /(^),
х е М\, которая, паряду с базисным автоморфизмом Т, опреде-
ляет специальное представление потока {У}, ограничена не
только снизу, по и сверху. Покажем, как этого добиться.
Возьмем х^М\ и рассмотрим полуинтервал Их, s): 0^я<
< fix)}, который обозначим для краткости Ш, fix)). Разобьем его
на конечное число полуинтервалов {0, с), [с, 2с), ,,,, {(к—1)е,
кс), [кс7 fix)), где с = inf fix) > 0, а к выбрано так, чтобы длина
I последнего полуинтервала находилась в пределах с <С I -< 2с.
Проделав это для всех х ^ Ми мы получим новое регулярное раз-
биение фазового пространства, которое в силу утверждения В
индуцирует новое специальное представление. Соответствующая
функция Jix) удовлетворяет неравенствам 0 < с < fix) ^ 2с.
Замечание 3* ' Справедливо следующее обобщение тео-
ремы о специальном представлении потоков.
Пусть {Т'\ —поток на пространстве Лебега (Л/, E, \х). Пред^
положим, что для {Т1} существует возрастающая с-подалгебра
<5@) о-алгебры @, т. с. такая, что 7"©@) =" ©t0> при всех />0 и
ф ф @<0>_
Теорема. Для потока {Т1} существует специальное пред-
ставление, построенное по автоморфизму Т\ пространства Лебега
{ЬГ, ©', р.') и функции /, / > const > 0, такое, что
1) автоморфизм 2\ имеет возрастающую а-подалгебру ©о, т- е-
такую, что Т&а ^ ©о и ^iSo Ф ©о;
2) / измерима относительно So;
3) минимальная а-подалгебра в-алгебры ©, содержащая все
множества вида (J Т*С, где С«=©0 и fix)^tt для почти всех
х & С, совпадает с ©ш. Доказательство этой теоремы можно по-
лучить путем модификации доказательства В. А. Рохлина теоре-
мы о специальном представлении потоков (см. Б, А. Рохлин 15]},
17 п. П. Корнфельд и пр. 257

основанного на теории измеримых разбиений. Утверждение, со-
держащееся в сформулированной теореме, понадобится нам лишь,
один раз в § 5 главы 12 при анализе спектра К-потоков.
§ 4. Теорема Рудольфа
Доказанная в § 3 теорема о специальном представлении по-
токов допускает следующее полезное усиление.
Теорема 1. Пусть (Г) — эргодический поток на про-
странстве Лебега (Л/, E, ц) и пусть заданы положительные числа
Pt Чу Р) причем p/q иррационально. Существует специальное пред-
ставление потока {Т1}, определяемое набором Ш, Tr \i, /), где
Т: М -*- М — базисный автоморфизм пространства Лебега М
с инвариантной мерой д, а функция / ¦' М —*-Rl принимает
(modO) лишь 2 значения р, q, причем \i{{x^M: fix) = />}) =
т
Доказательство этой теоремы проведем в два этапа.
Вначале опишем всю конструкцию, опустив при атом некоторые
оценки н технические детали. За-
тем докажем леммы и проведем
рассуждения, заполняющие допу-
щеппые пробелы.
1. В силу основной теоремы
о специальном представлении по-
токов, а также замечания 2 в кон-
це § 3, мы можем считать, что
ноток 17"} уже представлен как
¦Рис- я- специальный поток и этому пред-
ставлению отвечает набор (Л/о, То„
\ia, /о), в котором функция /: Мь -*-!к1 ограничена сверху и спизу:
§< Cq<. fo(x)< Со< w. Мы хотим построить специальное пред-
ставление, имеющее вид, изображенный на рис. 8. Для этого-
следует «перестроить» исходное регулярное разбиение простран-
ства М — Их, s): ?^A/q, 0^$<}о(х)) на вертикальные отрезки
в разбиение на вертикальные отрезки, изображенное на рис. 8,.
в котором длина каждого отрезка равна либо р, либо qt н меры
р- и (/-множеств заданы. Эту перестройку осуществим «методом
последовательных приближений».
На первом шаге возьмем достаточно большое число щ и по.
лемме Рохлина — Халмоша (см. также замечание после со дока-
зательства} найдем такое измеримое мпожество М\ с: М$, что
^,гл,№ Л
U ThMx = M0 (mod 0). Пусть
попа рно не пересекаются
) = inf |fc^I: fiGMj
г Положим /i(-?) = S /о(^ох)> х^.Мх. Поток
"можно теперь представить как специальный поток, построенный
по базисному автоморфизму Т\ = {Та)м,— ироизводному от То
:на множестве Ы\ —и функции f\(x).
Для isJ^i положим I = fiix) н разделим полуинтервалы
Их, s): Q^s<.l) на промежутки /„ =/nU) = UH, sn+i), где
O-=so< Si<..,< sw+i^sw+2 = i. Промежутки 7n(« = 0, lt ..., N)
-имеют длину р или q, а остаток /w+i имеет длину, не превосхо-
дящую q (мы считаем, что p<q). Промежутки длины р (соответ-
ственно q) будем называть /наро межутка ми {^-промежутками).
Для функции /i имеем оценну с\ < /i<«) < С\, где С\ = щса,
С\ «= 2щСо. За счет того что щ велико, мы можем сделать Ci
«коль угодно большим и, благодаря этому, разбиение на проме-
жутки /„ сделать таким, что число Np р-промежутков и число ЛГ„
^-промежу
порции; N
¦сти докааа
промежутке
= Ых) - [5
'тков^ будут находиться приблизительно в нужной про-
„ « рЛ^„ (точные оценки будут приведены во второй ча-
неяьства). Для будущего полезно выделить части Jn
>в /„. Возьмем а= —min(p, q — р) и положим
а) s U
Вл
Проделаем это для всех
U, s):
se U Jn(x)\- Раз-
следует
¦биепае на промежутки 1ч{х) для различны
производить не независимо, а в некотором смысле измеримым
образом. Точнее это будет описано ниже. Множество fit есть
«первое приближение» к множеству {(я, s}: х е М, 0 ^ $ ^ ее}.
¦Опишем теперь индуктивную процедуру.
На i-м шаге процедуры будут определены пространство с ме-
рой Л/,, автоморфизм Ти функция / " -IDT "™- п^л.<:
<fiix)<Ci, множество Bt^^t а так
определено разбиепие полуинтервала L*. ._,.,,,
-Л/"» ,р-промежутков, N4 9"пРо'11ежУтков и остаток длины, не пре-
тящей q. (Конечно, числа I, NP, Nq зависят от х, i, но мы
[ать изложение.) Кроме того,
ц / причем
а также для каждой точки х
Г I {(
I), где
), на
пишем этого, чтобы не загроможд
,
лосле i-ro шага дол
загромождать р
с достаточной точностью выполняться
равенство N, » pJV,. Запишем это в такой форме; пусть р
•буду
rf JV
рA + р) J; потребуем, чтобы для достаточно малых т]
определены ниже) выполнялось неравенство и.;
; - pl < л<-
(i+D-м шаге возьмем достаточно большое п,^ и т»
> 0 (они
*TBO
z M, так,
¦обы
попарно не пересека;(ись и
. Положим
ПуСТ!
+1 {*) =
= Mi+i. Поток {Т*} можно представить как
259

специальный поток, построенный по базисному автоморфизму
2"t+i = (Тг)м{+1 — производному от Г, на множестве Mt+i —
и функции /,+i(a:). Для фиксированного х ^ Mi+\ положим
теперь l^fi+i(x) и рассмотрим полуинтервал Ья=Их, s): 0^
*Zs<l), На нем имеются уже ^-промежутки и ^-промежутки,
построенные на предыдущем, i-м шаге конструкции. Эти ((старые»
промежутки лежат на полуинтервалах [0, /?Ы), ifi(x), /4Ы Ч-
+ fi(TiX)), ..., содержащихся в «новом» полуинтервале [0, I).
Между концом одного из промежутков и пачалом следующего
может быть остаток, не заполненный р- и ^-промежутками. Про-
изведем некоторую перестройку, чтобы ликвидировать эти
остатки.
Предположим, что на предыдущих шагах мы определили пос-
ледовательность 1 = bi > Б2 > . .. > е« > 0, е; < 2~\ Рассмотрим:
фупкцию g(e), е > 0, равную пткнен грапи таких t > 0, что для
любого s ^ t найдутся натуральные к\, &2, для которых 0 < s —
—- к\р — k?q < е„ Так как p/q иррационально, то gie) конечна при
всех е > 0.
Пусть [Zj, 2г] — первый из наших остатков. Ясно, что st =
= /i (х). Возьмем ?i4i так, чтобы 0 < el+i < minB~'~1, sf, р) ir
g(ei+i) 5* q. Если на i-u mare число п, было выбрано достаточпо
больший, то d (нижняя граница ft(x)) будет нампого больше, чем
gie,-n). 3toi сделает возможным следуюшее построение.
Пусть Г[ — последняя из начальных точек р- или д-промеж-ут-
ков такан, что rx^zt— ^ (ei+i)- (Ясно, что г, ^ а — д — g(&ui).)
Пользуясь определением функции g(?.), мы можем теперь зплге-
нпть «старое» разбиепие на р- и g-ггрпмежутки полуинтервала
[rj, Sj) нойым так, чтобы был только один остаток между пос-
ледним нз промежутков и 2i, причем длина остатка не превос-
ходит sl+i. Описапную сейчас перестройку будем пазывать суще-
ственной (в отличие от малого сдвига, который опишем чуть
недже).
Рассмотрим топррь следующий «блок» р- и ^-промежутков —
на полуинтервале [f,(x), ft{x) + f,(T,x)). Пусть [з2, га] — BTopoir
по порндку остаток, получившийся па i-м шаге (это означает, что
полуинтервал [zj, z2) целиком состоит из р- и ^-промежутков).
Отметим, что z3—z1\ = \fi(Tix)\^ei. Сдвинем весь блок р- и
^-промежутков, Лежащих па [zL, z2), влево на величину #i, лик-
видируя зазор между ним и предыдущим блоком и получая более
длинную связпуто строку из р- и ^-промежутков. Пусть г2 — по-
следняя нз начальных течек р- или ^-промежутков этой более
длинной строки такая, что г2< z'2 — g(Bi+i). Мы можем опять
переопределить разбиепие на промежутки полуинтервала [г3, z2),
нолучан связпый блок из р- и g-промежутков и один остаток
между последним из них и z2, причем длина gi остатка пе боль-
ше, чем zu\, Спова сдвинем получившийся блок влево на g% vt.
260
будем продолжать этот процесс до тех пор, пока длина образо-
вавшейся связной строки будет отличаться от I на величину, не
превосходящую 2~Ч, по большую чем 2~Х~Ч.
Большинство промежутков, построенных на предыдущем ша-
ге конструкции, сдвинулись иа величину, пе превосходящую е,4ь
и только небольшая доли их подверглась существенной перестрой-
ке. Поэтому, хотя достигнутая ранее точность г^ аппроксимации
частоты р Появления р- и <?-промежутков и ухудшается, но пе
на много. Для того чтобы эту частоту снова «подправить», остав-
леп последний зазор величины порядка 2~'~11. При этом количе-
ство р- и ^-промежутков на интервале длины 2~'~'? довольпо ве-
лико, что обеспечивается достаточно большим значением п, v u
Число rei+1 должно быть велико еще и для того, чтобы от замены
одного р-, g-промежутка другим относительная частота р- и д-
промежутков изменилась пе больше, чем иа я*+1-
Предположим, что уже построено новое разбиение полуинтер-
вала [0, I) на р~ и ^-промежутки и остаток длины, не провоехо-
дящей д, для всех хе Afi4i и I = fi+iix). Обозначим для простоты,
как и раньше, концы промежутков через 0 = so < si < ... < s^+i <
^ Sn+2 = I. Пусть Bj4i = ((x, s): x ^ Mi+], sn*Z s ^ sn + а при не-
котором n, 0 < n < N], Тогда Si4i есть подмножество простран-
ства Mi+t = {(x, s): x e MHit 0 < s < /,+](#)}. Учитывая, что про-
странства с мерой М% при разпых i естественным образом изо-
морфиы, мы можем рассматривать все ?j как подмножества про-
странства Д/о — М.
Так как на каждом шаге конструкции переход от старого раз-
бпения на р- и ^-промежутки к новому сводится к малому сдвигу
всюду, кроме отпосительпо малой части [0, I), последовательность
множеств Bi, рассматриваемых как подмножества Л/о,
при i ->¦ оо, и предельное множество Б = U П
п=\ i=n
сходится
i (mod 0) обла-
п=\ i=n
дает следующим свойством: почти каждан траектория прово-
дит время а в множестве В, затем время р — а или q — а. в
Мо\В, затем снова время а в В и т. д. Множество нулевой м?ры,
состоящее из траекторий, не обладающих этим свойством, нам
удобно исключить из Д/о и считать, что это свойство выполнено
всюду. Положим М = [(х, s) ^ М0: Tl {x, s) e В при всех ра-
^пональпых t, 0 < t<a);
fix) = iniit > 0: Tlx s M)t x e M.
С помощью доказываемой ниже леммы 1 об измеримости не-
сложно убедиться, что автоморфизм Т, действующий па М по
формуле Тх = ТНх)х, и функция fix) действительно дают искомое
специальпое представление потока {Г1}.
Сделаем лишь замечание о том, как па г-м шаге конструкции
описанную выше перестройку произвести измеримым образом.
261

Пусть g<= @ — сг-подалгеора таких измеримых множеств Л
пространства М0={(х, s): Q<s<f-)(z)}1 что для любой измери-
мой фупкции h: Д/ц-^К1 множество {х е Л/о: (ж, А(.с))еЛ)
является иэ-измеримьш. Предполо;ким, что мы уже показали, что
/?,s $. Покажем, как добиться того, чтобы Дм.1е&.
Множество #,+ i можно разбить на конечное число измеримых
подмножеств Е так, что длипы полуинтервалов Lx = 10, I) и LIr =•
= Ш, Г), где Z = /,4-iU), Г— /i+iU'), близки при любых х, х в
е ? *) и, кроме того, на i-м шаге разбиение полуинтервалов [0,1)
и tO, Z') характеризуются одной л той же последовательностью ви-
да (р, р, qt q, q, r, p, q, .. . ), показывающей порядок расположе-
ния р-промежутков, ^-промежутков н остатков (остатки кодиру-
ются буквой г). Длины соответствующих друг другу остатков на
Lx и Li, могут не совпадать, но также близки. Если перестройку
разбиения интервалов Lx па (i + 1)-м шаге произвести одинаково
для всех х^Е, то, пользуясь доказываемой ниже леммой 1, по-
лучим, что В(+|е§. Аналогичные рассуждения дают В\ ?=¦ 5, по-
этому соотношение 5,е JJ доказано по индукции.
II. Лемма 1. о-алгебра 8^@ обладает следующими свой-
ствами:
1) 5 инвариантна относительно {Т1};
2) если ©о — о-алгебра ц.о — измеримых множеств простран-
ства Д/о, В — а-алгебра борелевских множеств &\, то& =5 @0>< В»
_3) если iegt и .для любого х^М множества [t e РЛ
Т х^ А) и (t ^ R1: Т'х^Л] являются объединениями отрез-
ков, интервалов или полуинтервалов, длины которых ограничены
снизу, то U f'ieg, П Т1А^Ъ (здесь (а, Ь) означает
произвольный отрезок, интервал или полуинтервал).
4) ?c«u. Л гакое же, как в пункте 3), то g(x) = mVd > 0:
Гх^Л}—измеримая функция на Мо.
Доказательство. 1) Пусть /leg. Представим ТА в ви-
де ТХА = U Л„, где
(a:,
Положим Л„ ¦= Т-'ЛП и покажем, что /п ^ S. Возьмем измери-
мую фупкцию if: Ma->-V>. Тогда
п {*¦¦ 2 /»(rW < г w -ь«< 2 /„
*) Точный смысл этому можно будет придать после того, как ва стр. 265
будут определены все константы, нужвые для конструкции.
Так как оба множества в правой части цо-измеримы, то Л
томипая определение специального потока, получим
(х, s) e= An) =
Поэтому множество
{г: (x, g (x)) <= ^n} =
является цо-измериыым, и значит, Т А = U ^1» е S.
2) Пусть Е ? @0 н (а, Ь) — интервал. Тогда
{х: (х, g(x)) sb E X (а, 6)) =- Е П {х: а < g(x) < 6, 0 < g(x
Отсюда следует, что S содержит о-алгебру, порожденную множест-
вами вида Е X (а, Ь), т. е. S ~ ©о ХВ- (
3) Пусть {а, Ь) — интервал. Тогда U^ Т А = (sU ц Г Л-
t рационально
Аналогичное равенство справедливо п для пересечений. В случае
отрезка или полуинтервала добавляем слагаемые, соответствую-
щие концевым точкам.
4) Пусть А такое же, как в пункте 3), а — нижняя грань
дайн промежутков вида ftsR': fisil, « ^ Л1: ГхФАУ. Тог-
Д = |
U
[Т~'"А П М], где
г»
f „+1
да {х: g (*)<c}=
0 = t0 < ti < ?г < ... Лемма доказана.
Лемма 2. Z7i/cru интервал длины l^2(p + q) разбит двумя
способами на N, (соответственно N'p) р-промежутков и N, (соот-
ветственно N'q) q-промежутков, а также остаток, который в обо-
их случаях не превосходит д. Тогда
1 (| Np - N', | +
N'q\). A)
S + Л',) -
Доказательство. Имеем
д = I (nX, - лт>ч) (^vP + .v,) (л*р .+ К)'11 <
IЛ', - If', I + N, | JVP - ЛГ; | ) IN, + Nq)-l(N'p + Л-;)
- jv;i (лг; + K)'x +1 JVp - ^i (-Vp + jv^

Учитывая, что q [Np -{- Nq)^ pNp -f- Q^q^ l/2?, получшл Ш.
Лемма доказана.
Отдельно отметим частный случай леммы 2, когда второе раз-
биение получается из первого заменой одного g-промежутка не-
сколькими р-промсжутками так, чтобы остаток был не больше q,
или одного ^-промежутка ^-промежутком с тем же условием. По-
ложим w [/] + 1 Т
ложим w = lq/p] + 1. Тогда в нашем частном случае
Д ^ Awql~\
B)
Лемма 3. Пусть заданы числа у, р, б: у > 0, 0 < р < \,
0<б<1. Пусть, далее полуинтервал [О, I), I > 2(р ¦+• q), разбит
на Np р-промежутков, Nq q-промежутков и остаток длины не боль-
vie q. Предположим, что полуинтервал [I — 61, I) содержит по
крайней мере [f6l\ + \ р-промежутков и [v5/l + I q-npoмежутков.
Пели т]0 = — рA — р)и
\NP(NP + NJ-1 - р| ^ min(no,
C)
то существует другое разбиение [О, I) па N~p (соотв. iVg) p-(co~
отв. q-) промежутков и остаток длины не больше q, отличающееся
от исходного лишь па [I — 67, I), для которого
IN'p{К + К)'1 - Р|< *ЩГ\ D)
Доказательство. В силу B) замена лишь одного р- или
g-промежутка влечет изменение относительной частоты не более,
чем на Awql~l. Предположим, что избыточную частоту имели
р-п роме жутки, т. е. NP{NP -ЬА1,)'1 > р, п что {[j&l\ +1) р-проме-
жутков на полуинтервале [1—§1, I) заменены па соотнетстнующее
количество ^-промежутков. Тогда новые частоты Лгр, Nq удов-
летворяют неравенствам Лгр^зNp, Nq^Nq, и
Л'„ (Nv + Л',)'1 _ N1 (.У,* л. Л'*)-1 > Np (Np -I- Ж,)'1 -
- Л'^ (JV; + JV,)^1 = Л', (Л'р + N,)-1 (Л-„ - ЛГ;) (JV* + Nq)~l >
Последнее неравенство следует из того, что Np(Nj, + Nq)~J ^ р ~
- Ло 2* Но. Далее, ЧваТвг1 + 1) W + ^J > ^ySl (Np + iV,) >
^%У§р, так как p(JVf +ЛГ?) ^/. В силу C) повая относительная
частота iVp(iVp + ^V*)^p, и, учитывая B), .мы можем заменять
р-иромешутки последовательно один за другим, пока не станет
выполненным неравенство D). Лемма доказана.
Лемма 4. Если полуинтервал [О, I) разбит двумя способами,
как в лемме 2, и эти два разбиения отличаются лишь на конеч-
ном числе отрезков суммарной длины не больше 10, то А < 4wW~1-
Доказательстно. Применяя лемму 1 и учитывая, что
[ NP — N'v i < Zop~\ | Nq — N'q | < loq~\ имеем
r% (wq~x + Г1) <4*W0r\
Лемма доказана.
Теперь мы можем индуктивпо определить параметры конст-
рукции. Напомним, что вначале мы имеем 0 < Со < faix) < Co,
р < q, h» — i)p < q < wp, Г|о = —P(l — Р)- Выберем е, 0<е<
< 1, столь малым, что g(&) > 5, е <р, и положим
е, = 2-'е U>1), Y-VuTjor1. E)
T]i = min(!/i2%, 2~i-2j]0'ip) (i > 1).
Выберем теперь натуральные чпела ui, U2 так, чтобы для
г = ц,/(ц1 +«2) было выполнено неравенство к — р| < 2Т]ь Бу-
дем говорить, что полуинтервал [0, Хо) разбит к в ази-г- периодично,
если в этом разбпеиии сначала следуют и\ ^-промежутков^ затем
щ ^-промежутков, затем снова щ р-промежутков, uj 5-пРомежУт"
ков тт т. д. до тех пор, пока правый конец так определенного
«блока* не превзойдет \о — и^р — u$q. Правее этой точки разбие-
ние может быть произвольным, лишь бы остаток был не больше q.
Для достаточно больших / любой полуинтервал / — [0, %q)
длины Аи} > Лщр 4- ii2q) обладает следующим свойством: числа Л'р
(соответственно Nq) р-промежутков (соответственно д-промешут-
ков) в любом квази-г-периодическом разбиении полуинтерва-
ла / удовлетворяют неравенству
1Л?р(Лгр+Лу-1-р! <тц. F)
Зафиксируем теперь / ^ 2 так, чтобы F) было уже справедливо,
и выберем п\ из следующих условий:
-f u2q) > 2 (р + q);
Число Су — 2п\Са будет верхней грапилей для функции fiix).
При выбранных щ, п% .,,, п, число с,- = П] • П2 ¦ ... п,С{, есть ниж-
няя граница для /,(.r), d — 2п\ • П2 -..-- п,Со — верхняя граница
для fi(x). После этого число и,+ 1 выбираем из условий:
*+1>3.21+лС*, G)
Ci-,i>4w[g(si+2)+glTi-+11) (8)
с^^З-Г^д^1. (9)
Эти условия вместе с E) определяют все константы, нужные для
конструкции.
Отметим, что на 1-м шаге полуинтервалы [О, I), гдо
I = }\(х) 5* с,, разбиваются квази — г — периодически. Поэтому
для этих разбиений справедливо F).
265

Докажем теперь, что на (-и шаге (i = l, 2, ...) разбиение
полуинтервалов [0, ftix)) на jVj, р-промсжутков, Ng ^-промежутков
и остаток, не превосходящий q, можно построить так, чтобы
!#,(#,+ #,Н-Р| <тц. A0)
Так как мы это уже установили для i = 1, предположим, что на-
ше утверждение справедливо для некоторого i, и рассмотрим по-
луинтервал [0, ft+iix)), z ^ Мц.\. Оценим длину 1а той части этого
полуинтервала, на которой происходили существенные перестрой-
ки. На каждом из полуинтервалов [0, f,(x)}, [fiix), ft(x) -h
Л-fi(T.,x}), ..., длина которых > си существенной перестройке
подвергается отрезок длины *? gi&,+ 0 + д. Поэтому, если, как и
рапыпе, обозначить I ~ fl+i(x), будем иметь lo/l<^. (g (si+i) 4- %Iс\.
По лемме 3 новая частота Np (Np -\- iVg) отличается от старой
на величину Д ^ 4w [g (ci+1) + Я\ СГ* ^ Щ- Учитывая (8), получим
I N'p (n'p + N'q)~l — р | < 2i]i = min (я0, 2~i'1J\0yp). Положил! 6 =
=2~'~3. В силу G) по крайней мере треть полуинтервала [I — 61,
I) состоит целиком из полуинтервалов вида
1*2 А №0, 2f<№)). (И)
Обозначим через Мр (соответственно Мч) количество р- {соот-
ветственно q-) промежутке^ содержащихся в объединении таких
полуинтервалов. Из индуктивного предположения A0) вытекает,
MP(MP + Mq)^>rio. A2)
Так как суммарная длина полуинтервалов вида A1) не меньше,
¦и'м 1/3 ¦ 2~г~Ч, и остаток разбиения на каждом таком полуинтер-
вале пе превосходит половины его длины, получим (Мр + MQ)q ^
5? 1/3 • 2~'~Ч. Из (9) и A2) теперь вытекает неравенство Мр >
5s т]о ¦ Уз 2~*~21д~1 — 2*(Ы > [уЫ] + 1. Аналогично доказывается,
что Mq^[*Fl] + 1, Теперь мы мо?кем применить лемму 3 и пе-
ррйти к новому разбиению, содержащему Nv (соответственно
IVq) ^-(соответственно q-) промежутков и отличающемуся от пре-
дыдущего лишь на [I— Ы, I), для которого в силу D), (9) спра-
ведлива оценка: |iVj(iVp 4- Naq)~l — р|< Awql~l ^AwgcT+\ <ili1i-
Это означает, что неравенство A0) справедливо на (? + 1)-м шаге,
тем самым оно доказано для всех г> 1.
Осталось доказать сходимость мпошеств В;. Пусть Di состоит
из тех точек (х, $) е Л/,+[, для которых при некотором п < xt+\(x)
выиолнепо неравенство
Пусть, далее, D\ состоит из тех (х, s)^M(_j.i, для которых
лпбо O^s^g, либо s>fi+i(x) — 2-7j+iU) —Я- Если (х,«) ф
<?Di = D'il)Dl, то множество {Т*(ху в): \t\ < q} состоит лишь
из точек, на которых (( + 1)-е разбиение получается из t-то раз-
биения сдвигом па величину, не превосходящую ец.1-
Рассматривая слои {(х, s): 0 ^ s < fHi(x)i при фпксирован-
пом х и применяя теорему Фубини, получим: \i (Z>0^ l?4eM-i) +
+ 3g]/c(. Из G) вытекает, что с, > 2'с0> а из (8): [#(e1+i) + q\Id <
< 'Д ?У~'т],-. Так как 2 Лг'С со,получаем, что
il
Аналогично из неравенства \х {Di) ^ 2<7е-Г+т 4" 2~* получаем, чт
) < «о.
Кроме того, из E) следует, что
A4)
A5)
Пусть S= U f\ Bi- Из A3), A4), A5) вытекает, что почти
кнждая траектория потока {Т'} обладает следующим свойством:
оша проводит время а в мпожестве 5, затем время р — а или
5 — а в М\В, затем снова время а в В и т. д. Теперь при помощи
стандартных рассуждений можно закопчить доказательство
теоремы.
Пусть Д/=ЬГеЛ/0: Т*х(=В при 0 < t < а). Множество М
будет служить базой искомого специального представления.
Пусть, далее, /(я1) =inf U > 0: Т'х^М), х^М, и преобразо-
вание Г: Л/ -> Л/ действует по формуле Тх = Tlwx. Из леммы 1
вытекает, что разбиение пространства М на отрезки траекторий
между двумя последовательными попаданиями в множество М
является регулярным. Поэтому, как было показано в § 3 (утвер-
ждение В), оно -индуцирует специальное представление потока
{Т1}, построенное по базисному автоморфизму Т и функции fix).
Пользуясь неравенством A0), легко установить, что fix) при-
нимает (mod 0) лишь значения р, q, причем ц({я е М: fix) = pt =
= p\i({x s M: fix) = q))y где ji — ипварпаптная мера автоморфиз-
ма Т. Теорема доказала.
/*
) - S (ei+i) -

-ЧАСТЬ III-
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ГЛАВА 12
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С ЧИСТО ТОЧЕЧНЫМ СПЕКТРОМ
В этой главе изучается важный класс динамических систем —¦
динамические системы с чисто точечным спектром. По поводу ис-
пользуемых лопятнй спектральной теории уннтарпьт.х операторов
см. приложение 2.
§ 1. Общие свойства собственных значений
и собственных функций динамических систем
Спектр унитарных операторов и оддопараметрических групп
унитарных операторов, отвечающих дипамическнм системам, об-
ладает рядом особенностей.
Рассмотрим вначале автоморфизм Т пространства с мерой
(Ж, @, |л). Через А*{Т) обозначим набор собственных зпачений
унитарного оператора U'T, сопряженного с Т. Ясно, что Ad(T) —
подмножество единичной окружности S1 комплексной плоскости.
Теорема 1. Пусть Т эргодичен. Тогда
1) множество Ла(Т) является подгруппой группы Sim,
2) каждое собственное значение имеет кратность i,
3) модуль каждой собственной функции постоянен почти
всюду.
Доказательство. Мы будем доказывать утверждения
теоремы в обратном порядке. Пусть ?„ «= ЛН(Т) п функция Д(#) е
^ L2{M, @< \i) такова, что Uifdx) =* jJ,Tx) = XfAcc) почти всюду и
/^O(modO), Тогда VT\f,Xx)\ = 1Д(Гд:I = l?.l |Д(д:)| = 1ДЫ! почти
всюду, т. е. !Д(#Н—инвариантная (mod 0} функция. Так как Т
эргодичеп, 1Д(.гI = const почти всюду.
Из доказанного утверждения вытекает, что 1/ДСл:) е L2(M,
@, jj,). Если собственному зпачепию %^Ad(T) отвечают две соб-
ственные функции А%), /?}(*),то функция у (л) =/11>(*)(/?>(*)Г1
постоянна по модулю почти всюду, g (Тх) = /J,1' С7*я) (/ха> (Т1^)) * =
~ Vl1*^) (^/iS)(j:))"~I = ^(^) почти всюду. Из эргодичпости Т сле-
дует, что §{х) = const почти всюду, т. е. f2){x) = const/A)(^г) поч-
ти р.ггоду.
Наконец, если Alt Ji2eArf(f). h^i^), Да (ж) — соответ-
ствующее собственные фупкции, то &'т(/х1"Д2)— C'VAj ^г/а2 =я
268
«^Л-Дх-Л,, ит(!чцч) = ит (}ч)/ит {h2) =^Kl-hJK,
т.е. ^'^еЛ^Г), Xjl^1^ Ad (Г). Теорема доказана.
Полезно уже сейчас подчеркнуть осповпуш причину, вызы-
вающую описанные особенности спектра. Дело в том, что опера-
тор 11 т обладает следующим замечательным свойством: если
фупкшш /, g ^ ЬйШ, @, fi) таковы, что их произведение fg e
^ L\M, ©, |х), то UT(fg) = U-rf ¦ UTg- Иными словами, если учесть,
что в гильбертовом пространстве L2{M, @, ц) есть дополнительная
структура, связанная с наличием частичного умножения, то опе-
ратор ит сохраняет эту структуру, т. е. является автоморфизмом
этого своеобразного кольца, называемого часто унитарным коль-
цом.
Рассмотрим теперь эргодический поток {Т1} на пространство
(М. @, |л). Через W') обозначим сопряженную с ним однопара-
метрическую группу унитарных операторов, через Аа({Т1)) — мпо-
жество собственных значений этой группы. Докажем вначале сле-
дующую лемму.
Лемма 1. Если („еК1 таково, что еЛ*°Ф1 для любого
X е XtUT*}), X Ф 0, то автоморфизм Г(° эргодичеп.
Доказательство. Представим ?2Ш, ©, |л) в виде
/уЧЛ/, @, ц) = #<i © ffe, где Ий — подпространство, порожденное
собственными функциями группы Ш*}, Яс — подпространство не-
прерывпого! спектра. Тогда, если / Ф 0 — инвариантная функция
для U'o, т. е. UtQf = f и f = U + fei где /^Я^, /сеЯе, то
f/ °/,у = fa, U "/с == /с- Из последнего равенства вытекает, что
/с = 0. Выберем теперь ортогональный базис {/J, ^eAj({t/'}) в
подпространстве Вй из собственных функций группы {U1}. Разло-
.жим функции /d, U^fd по этому базису:
Из равенства ^7 *°/d = /<* получаем, что е*1^ = С\ при всех Я ^ Af.
В сИоТу условия леммы с* = 0 для 1^0, т. е. / = const. Лемма
доказана,
Теорема 2. Пусть {Тг) ~ эрдодический поток. Тогда
1) множество AjiiT'}) образует подгруппу аддитивной группы
действительных чисел;
2) каждое собственное значение имеет кратность 1;
3} модуль каждой собственной функции постоянен почти
всюду.
Доказательство. На основании леммы 1 найдется та-
кое foi что автоморфизм Т1° будет эргодическим. Так как соб-
ственные функции потока {Т'} являются собственными функция-
ми автоморфизма 7''°, то утверждение 3 вытекает из утвержде-
ния 3 теоремы 1. Оотальпые два утверждения доказываются так
.же, как в теореме 1. Теорема доказана.
269

Пусть Т — эргодический автоморфизм, входящий л поток
{?"}. Тогда отображение, переводящее каждое К е Aj(iT')) в
е ° gA^J0), задает изоморфизм абелевых групп АД [Г]) и
A(f(r(o). Выведем отсюда следующее следствие.
Следствие. Если для эргодического автоморфизма Т
eMlil''geAj(r) при некотором целом д>1, р, q взаимно просты,,
то автоморфизм Т не может быть включен в поток, т. е. не су-
ществует эргодического потока {Т'}, для которого Т был бы
метрически изоморфен Tt(i при некотором t0 e ER1.
Доказательство. Если бы такой поток существовал, то
для некоторого >,е А,({Г», 1^0, мы имели бы eitf* = e2nipI<1.
Но ql^AjdT')), поскольку Aj((T'}) — группа, и ей°й - 1, что
противоречит изоморфизму Аа({Т'}) и Л*(Г). Следствие доказано.
§ 2, Динамические системы с чисто точечным спектром.
Случай дискретного времени
Определение 1. Эргодическпй автоморфизм Т называется
автоморфизмом с чисто точечным спектром, если унитарный опе-
ратор UT имеет полную в //(.17, ©, ц.) систему ортогональных
собственных функций.
В силу теоремы 1 § 1 множество Ad(T) является подгруппой
группы 51.
Теорема 1. Пусть. Л — произвольная счетная подгруппа
группы S1. Тогда существует автоморфизм Т с чисто точечным
спектром, для которого Л — ААТ).
Доказательство основано на использовании некоторых
фактов из теории характеров коммутативных групп (см.
Л. С. Понтрягпн MJ).
Имея подгруппу Л, рассмотрим ее группу характеров lit. На
основании теоремы двойственности Цоптрнгшш ,1/ будет ком-
мутативной компактной группой. Через |i обозначим нормиро-
ванную меру Хаара па №.
Рассмотрим тождественное отображение (вложение) g: Л -*- S'.
Тогда g есть гомоморфизм Л в S1 и поэтому является характе-
ром Л, т. е. точкой пространства Ш. Обозначим через Tg груп-
повой сдвиг па М: Tgx = х + g, x s М. Покажем, что Тg — аито-
морфизм с чисто точечным спектром пространства М с нпварп-
аитной мерой ц. Опять-таки па основании теоремы двойствен^
пости группа характеров группы М изоморфпа Л- Для % ^ Л.
через %j, обозначим характер, отвечающий %. Тогда %\ — функция:
на Л/, \%х\ — 1, и набор функций ^, Х^Л, образует ортонорми-
рованпый базис в L2(M, @, и.). Имеем теперь
Основпьш результатом теории автоморфизмов с чисто точеч*
вым спектром является следующая теорема.
Теорема 2. Пусть Т\, Т% — эргодические автоморфизмы
пространств Лебега (Л/t, ©(, д,), (Д/2} @2, |л2) с чисто точечным
¦спектром, для которых ЛД7\) =Л*(Г2). Тогда Т\ и Г2 метриче-
ски изоморфны.
Доказательство. Пусть Н\ *=L4Mu ®ь И^» ^2—
= L2{M2, ©2, Иа)- Из равенства i\d(ri) — Л^СГг) вытекает, что для
сопряженных с Т\, Тъ упитарных операторов U\, Ui существует
изоморфизм Ф: Е\ -*- Н% гильбертовых пространств Hi, Яг, при
котором 1/2Ф = Ф11Х, и^1Ф = Ф1/Т1- Это утверждение спра-
ведливо для любой пары спектрально эквивалентных автомор-
физмов. В случае автоморфизмов с чисто точечным спектром мы
покажем, что такой изоморфизм Ф может быть порожден неко-
торым изоморфизмом ф пространств с мерой (М^ @if u,i) и
(Д?2, @г, Ма), т. е. Ф действует по формуле
Пусть Д1', Д21 — нормированные собственпые функции для
Uu U2 соответственно, >.<= Л =аЛй(Г1) = Ad (Г2). Тогда А^'Л^ —
-собственная функция оператора #i с собственным значением
Xi -Х,э (см. теорему 1 § 1), и поэтому fx^'f^ — «SJ.Ag'AV.V
I^'ab]^ !• Таким образом, любой базис {Д11, X, г Л] приводит
к появлению функции двух переменных а>Ь1л31 определенной на
ЛХЛ, Аналогично возникает функция двух переменных ai\t,\t
для базиса |Д" 1.
Функции «L, д,„ ац.ц обладают следующими свойствами:
поскольку ;
270
= xdTx) = Хх(х + g) = frixhdg) = Ых),
= X из определения g- Теорема доказала.
Второе свойство вытекает из коммутативпости, а третье — нз ас-
социативности умножения.
Лемма 1. Всякая функция ^.ц, ^ii ^3sA, обладающая
свойствами i — ш, имеет вид
%,4 = 4t.xa-<-< У)
при некоторых dh le^ \di\ = 1.
Доказательство 1. Утверждение леммы можно сформу-
лировать чисто алгебраически как утверждение о тривиальности
271

некоторой группы когомологий. Мы приведем его прямое доказа-
тельство с помощью индукции. Упорядочим каким-либо образом
набор собственных зпачений: Яо=1, Xit Яг, Яз, ... Обозначим
через Л(г) подгруппу группы Л, порожденную всеми At, 0 ^ i < г.
Положим di = 1 и допустим, что для дапного г уже построены
числа dj,, Я^Л!г), такие, что для любых Я[, Я2еЛ{г) выполняется
равенство A).
2, При переходе от" г к г+1 можпо считать, что Я = ЯГ+, е?
^Л(г); в противном случае Л(г+1) = Л{г). Для определепня d\ рас-
смотрим два случая:
а) Яр 0 Л<г) при всех целых р=^= 0; в этом случае положим
б) Я" ^ Л(г> при некоторых целых р^О; пусть в этом случае-
h = mia{p > 1: кр е А{г>). По предположению индукции, d%h
определено. Из A) следует, что для любого р должно быть спра-
ведливо равенство
Перемножив все такие равенства по р от 0 до h— 1, получим1
уравнение для определения d>_:
П«,,г
DГ\ или 4 = ^[Ца ) .
Возьмем в качестве d% -любой из h корней этого уравнения.
Затем (в обоих случаях а) и б)) воспользуемся равенс!
B), чтобы последовательно определить (^, (X р < «>:
При отрицательных р определим d%v из равенства
д. Докажем равеиство
Огранюгимся для простоты случаем р ^ 0 — при р < 0 можно-
рассуждать аналогично. Проведем индукцию по р. Сначала, по-
лагая в условии iii) Яг =Яз = 1Т получим, что а?ь1 = я^д -1Г
т. е. п\ 1 = 1. Отсюда вытекает справедливость равенства D) при
р = 0. Йусть D) доказано для некоторого р. Пользуясь выраже-
"—- /О1 для d^p, получим
р у
пием C)
d.
Ц а^ = Vw П "х-уЛ Vr
Отс:ода следует, что „ля перехода от Р« Р+^
аать равенство а«.+«л- V.A» - V+'Л» '¦"¦'¦¦?) , _
iii): достаточно в Ш) положить Xi = 1, Xs = >¦', ^з-
4. Определим теперь d% для произвольного Н
А .
Гц,
где
", п —целое- Положим
Так как представлепие числа ^ в виде E), вообще говоря, неод-
нозначпо, пеобходимо доказать корректность такого определенчя-
Если наряду с E) имеет место равепство
А = >,» ¦ V1, G>-
где n'sA, m — целое, то, как легко видеть, (т —в} кратно hr
и достаточно рассмотреть случай т — /г = h. В этом случае [х =
-= ц'Х", т. е. dv = а^, l4rf№.dh.
Подставляя это выражение в F), получаем
С другой стороды, из G) вытекает, чт
(9).
Учитывая равенство D), доказательство того, что выражения в-
(8) и (9) совпадают, сводим к доказательству равенства
Но это равенство следует из iii) при Xi =- X", Хг = Я\ Хз = М-'-
5. Пусть теперь \,, ijSiV'*", >,i-=J.»-ni, Х2 = >,«Ц2, Иь (Ие
е=Л">. Имеем dXl = alPiBi.dw,-(i|11, Bц = a^j,Bj-dnldu,. dk,i, =
"V+'.ix^j'^i'+Aii's- Положим П = йцц^цйц1 - Остается до-
казать, что П = а1],1з. По предположению индукции Йи1ц4-й^-
ia = a^i.ua- Поэтому
Учитывая равенство D), получим
Положим в Hi) Xi •=%", Х2 = Х*, Xs — Ц]Ц2:
18 И. П. Корифсльд и др.
273-

Далее, полагая в iii) Xt — Hi,
ч, Яз = Я.', будем иметь
(И)
С помощью A0) и A1) преобразуем П к виду
W
Опять-таки из Ш) при ^i"=X»(is, Я2 = Hi, Х
^ = "iPuj.Hiij = a»i'V Лемма доказана.
Лемма 2. Собственные функции {fj эргодического авто-
морфизма Т, ХеЛл(Г), можно выбрать так, что /^ -/р.2 = /ахл2
вытекает, что
Доказательство. Пусть /I1' — произвольный набор соб-
ственных функций. Тогда найдутся числа я^Лд, ^i, Я2^ Ad (T),
для которых /LV¦ АУ = %,!,'AVij- Из предыдущей леммы мы по-
лучаем, что »j,1,is = dii1».2>dri1<i!i,. Функции />. = rfiA1'удовлет-
воряет условию леммы. Лемма доказана.
Возвращаясь к проблеме метрического изоморфизма автомор-
физмов Г] и 7V, заметим, что для всякого изоморфизма Ф гиль-
бертовых прострапств #i, Яг, перестановочного с унитарными
операторами U\, U2, имеют место- равепства Ф/11* = <^Д3>»
lt\l=»l. Если Ф порождается изоморфизмом ф пространств с ме-
рой (Mi, ®i, цД (Д/а, ®2, ^г), т. е. (Ф/)(г2) — /Цг'яг), г2<=Л/2>
то Ф (#>¦?>) = (А? о ф) (?¦. Ф) - ^Д'Л*' = о.Л<д/&2-
С другой стороны, А?/)." = «йкДл, и поэтому ф(Ш>-??)^
= «ЖУла^-иД®,*,,, °1КУДа получаем
<Л, = ^Ov^M-A- A2)
Оказывается, что верно и обратное утверждение.
Лемма 3. Пусть отображение Ф таково, что при любых hlt
Аэ^Л справедливо равенство A2). Тогда существует изоморфизм
ф пространств Лебега {Mi, @i, p-i), (i/s, @2, М-г), порождающий Ф.
Доказательство, Из A2) вытекает, что
Так как функции (А1'} образуют базис в LHM, ©, ц), то свой-
ство мультипликативности ыошпо распространить на любые ог-
раниченные функции /(l), /t2) e L2(M, @, р.) (ограниченность
нужна для того, чтобы гараптировать включение /|tJ ¦ /l2) ^
sLzGl/, ©, u)):
Пусть, в частности, %А — индикатор множества А, А<^М. Так
как Ха = Хл» то из A3) получим, что [Ф(хаM2 = Ф(ха), т. е^
Ф(Ха) — тоже индикатор некоторого множества В, В с Af, Так
как Ф — изоморфизм гильбертовых пространств, то \i(A)=»\l(B)~
Заметим, что свойством мультипликативности обладает и об-
ратное отображение Ф, которое, стало быть, тоже переводит
индикаторы в ипдикаторы. Таким образом, возникает изоморфизм:
¦ф о-алгебры измеримых множеств пространств Ш\, Si, щ) и.
(Л/г, ©2, ^г), действующий по формуле ^(.Л) =В.
До этого места мы не пользовались тем, что Д/ь М2 — про-
страиства Лебега. Воспользуемся теперь тем, что в пространствах
Лебега (см. приложение 1) всякий изоморфизм сг-алгебр порож-
дается изоморфизмом ф самих пространств. Лемма доказана.
Закончим доказательство теоремы 2. Из леммы 1 следует, что
Положим с?, = d!-^ •(($'))~1. При таком выборе с* будет вы-
полнепо соотношение A2). Следовательно, в силу леммы 3 най-
дется изоморфизм ф пространств с мерой Л/, и М% такой, что-
ц>Т\=Т&$. Теорема доказана.
Следствие. Всякий эргодический автоморфизм простран-
ства Лебега с чисто точечным спектром метрически изоморфен-
групповому сдвигу на группе характеров спектра,
§ 3. Динамические системы с чисто точечным
спектром. Случай иепрерывиого времени
Результаты предыдущего параграфа будут перенесены сейчас
па случай динамических систем с непрерывным временем.
Определение 1. Эргодический поток {7") называется по-
током с чисто точечным спектром, если сопряженная с ним груп-
па унитарных операторов {U*} имеет полную в L2{M, ©, \i) си-
стему ортогональных собствепных функций.
Н силу теоремы 2 § 1 множество АЙ({Г')) является подгруп-
пой аддитивной группы R1.
Теорема 1. Пусть А — произвольная счетная подгруппа
группы IR1. Тогда существует поток (У) с чисто точечным спект-
ром, для которого Л = Лй({Г'}).
Доказательство. Как и в теореме 1 § 2, возьмем в ка-
честве фазового пространства М группу характеров группы Л..
Тогда М по-прежнему будет коммутативпой компактной группой.
Пусть м- — пормированиая. мера Хаара на М. Рассмотрим для
каждого t e ER1 гомоморфизм gt группы Л в S1'. gt (^) — eiM,
Ясно, что gi^'gtz = gii+v Иными словами, igt) есть однонара-
метрическая подгруппу в М, Положим Tlx= x + gt, iel. Ясно,
что {Т1} есть одшшараметрпческая подгруппа сдвигов группы Mt.
сохрапяющая меру и,.
18* 275

Если %t, *s M — характер, отвечающий в силу теоремы двой-
ственности Понтрягина точке Я е Л, то
V\ == 5Ся (г**) = ^ (* + gi) = X, W-Xi igt) = еА'-Х4
по определению gv Так как характеры {^х) образуют полную
¦ортогональную систему в L2(Mf @, д), мы получаем, что Л =
= Ad(iT'}). Теорема доказана.
Докажем теперь основную теорему о потоках с чисто точеч-
ным спектром.
Теорема 2. Пусть {Т{}, [Tl] — эргодические потоки па
. пространствах Лебега {Ми ©ь иД (Д^г, @г, Цг) с чисто точечным,
спектром, для которых \d({T{}) = Ad{\T\\). Тогда [Т[}% [т[\
метрически изоморфны.
С л е л с т в и е. Всякий эргодический поток на пространстве
Лебега с чисто точечным спектром метрически изоморфен потоку,
порожденному групповыми сдвигами вдоль однопараметрической
подгруппы группы характеров спектра.
Доказательство теоремы 2. Обозначим через {Т'У
любой из потоков \т{), \Т\),
1. Пусть fxix) йеЛ({2"})=Л1- собственная функция сопря-
женной группы операторов Ш'}, отвечающая собственному зна-
чению Я. Равенство
Л(Л)=«"ЛИ (О
при каждом t яыполнепо для почти всех х в пространстве
(М, @, \i), но множество тех #, где A) не выполнено, вообще го-
поря, зависит от t.
Пусть Л = {{х, t) ее Л/xIR1: Г/'Д (х)фешК (х)). Очевпдио,
v(/l) = 0, где v =з |л X р, р — мера Лебега па прямой. По теореме
Фубкни можно найти подмпожество /V^M, р.(ЛО—0, и множе-
ства Лгх с: R1, p(JVJ «= 0 {x<^M\N) такие, что дли x<^M\N^
t s K1\7VX справедливо A). Докажем, что если две точки
Х\, X2^M\N лежат на одпой траектории потока [Т }; хъ^ Т axt
при пекотором^еЕК1, то h (^2)— eat°fx(xi)- Рассмотрим мпожество
ffx ^tu=~{t — ta: te ArXjj. Яспо, что р(ЛгГ1— f0) = 0 и, значит,
P((tf*i-*o) №s)=0. Поэтому найдется TeK1\((JV«1-«e) U^«3),
И мы получим: /,, (л:в) -е"и/л (Глг2) = «~ЛтД GT+t^i) = ^"'U X
^ ^A+*о)д (ж^^е*^0/)!. (^i)- Рассуждая дальше как при доказа-
тельстве леммы 1 § 2 главы 1, мы покажем, что фупкцию Д
можно изменить лишь на мнон?естве N так, что равенство A)
будет вьгаолпено для всех i?j|, t e R1. Для измененной функ-
ции сохраним обозначение Д. Так как Я пробегает лишь счет-
ное мпожество значений, мы можем считать, что A) выпол-
нено также для всех % е Л.
2. Как н с случае автоморфизмов, из леммы 1 § 2 вытекает,
что существует такая ортонормировапная система if*}, Я s Л,
собственных функций для
такая, что
B)
Здесь равенство понимается как равенство элементов гиль-
бертова пространства, т, е. почти всюду в пространстве (М} @, [х).
Пусть Е — мпожество тех х ^ М, для которых соотношение B)
выполняется не для всех Xi, Хэ^Л. Из пункта 1 вытекает, что
множество Е иивариаптно, кроме того, |а(?) = 0. Поэтому мы мо-
жем удалить множество Е из М и считать, что соотношение B)
выполнено для всех х, ki, Яг-
3. Формула B) показывает, что на подмножестве М' с М
полной меры функция Д(а:), рассматриваемая как функция Я,
есть характер группы Л. Рассмотрим отображепие 6: il/'-*-G, где
G — группа характеров группы Л, определенное равенством
Q(x) = Д(#), и введем поток {?'} на G, заданный формулой
6''g(Jl)=e*'gU), #(Я)еС, с инвариантной мерой Хаара.
Покажем, что {5*) — эргодический поток с чисто точечным
спектром. То, что спектр iSf) чисто точечпыи, докавывается так
JKP, как и в теореме 1 этого параграфа. Перейдем к доказатель-
ству эргодичности.
Если Х>Х#), g*=G,— характер группы G, отвечающий до тео-
реме двойственности Понтрягина элементу Х&А, то ^Л.Ч(о-> =
= e'uyj.(gi), откуда следу
что элементы группы Л
образуют набор собственных значении, а ущ\ — отвечающие им
обственпьте функции. Но тогда 1 есть простое собственное зна-
чеиие гру
ппы унитарных операторов, сопряженно
о
,й с {5'}. Наше
утверждение доказано
4. Отображепие 9 осуществляет метрический изоморфизм по-
токов {Г) и {?'}.
Покажем вначале, что отображение 8 взаимно однозначно
(mini 0). Для этого достаточно установить, что разбиение % про-
странства Мг на множества уровня всех функции Д является
" (modO). Если бы ото было не
риложение 1) ему
~" При этом все
разбиепием на отдельные точи
отвечала бы
илу измеримости разбиения | (см^ п
нетривиальная о-подалгебра ^'^ г
функции из подпространства, натянутого
измеримы относительно <
функций в L4M, ©.
{/>,} не была бы полной системой
Далее, из A) следует, что SlQ =
пр
и любом t, п зпачит,
8 переводит М' в инвариантное
множество полной меры для по-
{S'}. При этом мера \i переходит в некоторую меру v н,
ашвяриантную относитель
G,
как {5') строго эргодпчен
1 тлавы 4), т. е. единственной нормир1
юваиной борелевской
мерой для него служит мера Хаара, то достаточпо проверить, что
О — борелевское отображепие. Отсюда будет вытекать, что мера
серой Хаара. Рассмотрим открытые подмножества
?(?.*)-М*о)|<е. « — 1,2 п} для
М\ >.i %„ е Л. Так как поток {S1}
v совпадает с мер-
е>0,
277

минимален, то Q{M') всюду плотно в G, и множества В образуют
базу открытых множеств пространства G, Но В (В) ~ П I* е
еЛГ: \hi (*) — Л|(«о) [¦<«)• Ясно, что 6-'(#) измеримо, а по-
тому измеримы прообразы всех борелевскнх множеств, т. е. 8 —
борелевское.
5. Поскольку, ио доказанноагу, каждый из потоков {Til, {т\\
метрически изоморфен {S1}, то они изоыорфпы между собой. Тео-
рема доказана.
ГЛАВА 13
ПРИМЕРЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Под спектром динамической системы понимают спектр уни-
тарного оператора или группы {полугруппы) унитарных опера-
торов, сопряженных с этой системой, на инвариантном подпро-
странстве Lt(M,®,ii) функций с нулевым средшш. Две дина-
мические системы, имеющие одинаковый спектр, называются
спектрально эквивалентными, В этой главе будет вычислен
спектр ряда динамических систем. Необходимые сведепия из
спектральной теории унитарных оператеров изложены в при-
ложении 2.
§ 1. Спектр К-автовюрфизмов
В этом параграфе будет показано, что все К-автоморфп-шы
спектрально эквивалентны и имеют счетнократный лебеговскип
спектр (определение см. в приложении 2). Фазовое пространство
{М, @, ц.) предполагается пространством Лебега, мера \i — непре-
рывной. Мы приведем сначала достаточное условие наличия
счетпократной лебеговской компоненты в спектре автоморфизма.
Опо состоит в наличии у автоморфизма Т возрастающей о-под-
алгебры 6<О)с5, т. е. такой о-алгебры @|0), что г©'0»^©'01,
2"E<0) ф @@)_ Введем следующие обозначения. Пусть 6(tlJ есть
Cf-алгебра 71"©'0'; IIln) ~ H°l)(@f7l)) — гильбертоио простратично
Ц U/, &п\ и). Положим Яп = Я<-' е я1-1).
Теорема 1. Если автоморфизм Т обладает возрастающей
О-подалгеброй @10), то спектр унитарного оператора UT, сопря-
женного с Г, на подпространстве © Нп счетнократный лебс-
говений.
Доказательство основапо на одной общей лемме.
Лемма 1. Гильбертово пространство Н{ = Н{1> В Я10) беско-
нечномерно.
Доказательство леммы проведем позже.
Доказательство теоремы 1. Пусть g\, g% ...— орто-
пормировапный базис r пространстве Я(" в //t0). Тогда функции
27S
Uk ~ U те к, — оо<;п-<оо, 1^/г<оо образуют ортонормиро-
ванпый базис в пространстве ф [Я'7" в Я'"'] = © Нп.
aipn атом Urg^ = g(k+1>. Теорема доказана.
Доказательство леммы 1. Так как #ш Ф Я@) и ЯA> =э
n HlQ\ то найдется функция /еЯ*", для которой Е [| / —
- Е (/1 @@)) |21 ©@>J ФО на множестве С е &*> положительной
меры, где Е(/|©@*)— условное математическое ожидание / по
отношению к сг-алгебре ©@). Положим
фу
<Хс — индикатор мпошества С). Тогда Е(^|®@)) ^0 почти всю-
ду, Е(|#|г|©")—1 для всех условий, принадлежащих С. Мы
можем считать, что пространство #10)СС)с Я@\ состоящее из
функции, сосредоточенных на С, бесконечномерно. Возьмем бес-
онечную систему ортонормированных равномерно ограниченных
фуикцпй ех{х), е2(х), .. .^ Н@>(.С). Покажем, что функции gh(x) =
eh{x)g(x), к~1, 2, ... прицадлежат #i и образуют ортонорми-
рованнуш систему. Включение ^ЫеЯ11) вытекает из того, что
е„(ж}^ЯA), йЫбЯ, leh(z)l ^ const. Далее, для любой огра-
ниченной функции h{x) e Я10>
f ft И М5 Ф = f E [ек(х) g {х)Мх)|©«1 dp =
м м
т. е, gt(z> s Н1" е Я™.
Нах;онец,
j gi (г) giW ^и = j es (г) g (i) е
(} 0 при гф].
Лемма доказана.
Из теоремы вытекает следующее следствие.
Следствие. К-автоморфизмы имеют счетнократный лебе-
говакий спектр.
Доказательство. Если взять в качестве @@) о-подалгеб-
ру, отвечающую К-разбиепию, то, очевидно, подпространство
© Нп(@(OJ) совпадает с L\{M, @, fx). Следствие доказало.
В частности, все автоморфизмы Бернуллн и перемешивающие
автоморфизмы Маркова имеют счетнократыьш лебеговский спектр.

§ 2. Спектр эргодических автоморфизмов
коммутативных компактных групп
В этом параграфе мы покажем, как счетпократный лебегов-
скин спектр воапикает у динамических систем алгебраического
происхождения. Пусть М = G — коммутативная компактная груп-
па, Т: М -*- М — ее непрерывный алгебраический автоморфизм.
Тогда Т является метрическим автоморфизмом пространства
(М, ©, ц), где |л — нормированная мера Хаара на М, © — а-алгеб-
ра борелевских подмножеств М.
Теорема 1. Эргодический автоморфизм Т коммутативной^
компактной группы имеет счетнократный лебеговский спектр.
Доказательство. 1. Пусть G —- группа характеров груп-
пы G. Так как G компактна, то по теореме двойственности Понт-
рягипа группа G счетиа и элементы группы G, рассматриваемые
как функции на Mt образуют ортогональпый базис в простран-
стве lhm, ©, jx).
Унитарный оператор UT оставляет множество G <= L4M, ©, ц>
инвариантным. Действительно, если ^ ^ G, то
т. е. UT% e G. Поэтому U,T индуцирует разбиение G на траекто-
рии (под действием TJT).
2. Покажем, что траектория каждого элемента % ?> 1 бесконеч-
на. Предположим, от противного, что Ut% = %, %?=i- Пусть
Ф = х + г7тХ + --- + г/?~1х- Тогда ц>^ЩМ, ©, ц), *7тФ = ф,
и в силу ортогональности различных характеров, ф Ф const(mod 0),
что цротиворечит эргодичности Т. Из доказанного утверждения
вытекает, что Vt имеет однородный лебеговский спектр.
3. В этом пункте мы докажем, что кратность спектра беско-
нечна, т. е. что G распадается на бесконечное число траекторий.
Допустим, вопреки нашему утверждению, что число траекторий
конечно. Покажем, что я таком случае G содержит нетривиаль-
ную подгруппу с конечным числом образующих, инвариантную
относительно UT и U г1.
Возьмем элемент % ^ G, %*?!. Положим Xn —Uf/rX- Из
i=o
конечности числа траекторий следует, что найдутся целые числа
к, I, 0^к<I такие, что y* и %i принадлежат одной траектории,
т. е. при некотором m будет Ц Ut% = &т JJ Ur% == \\ ^тЪ
Произведя, если нужно, сокращепия, придем к тождеству вида,
JT^rX — 1» гДе Р принимает значения в некотором отрезке
2 30
pP2. Так как аналогичное тождество справедливо и для
Х~\ то подгруппа, порожденная элементами Wry,], Pi<P^Pai
искомая.
4. Итак, мы можем в дальнейшем считать, что G — коммута-
тивная группа с конечным числом образующих. Как известно,
всякая такая группа представляется в виде прямого произведе-
ния конечного числа циклических групп (конечных или беско-
печных). Отсюда следует, что G содержит лишь конечное эле-
ментов конечного порядка. Так как каждан траектория, кроме
единичной, иод действием UT бесконечна, а порядок элемента яв-
ляется инвариантом вдоль траектории, то все элементы G, кро-
ме 1, имеют бесконечный порядок. Значит, все циклические сом-
ножители группы G суть бесконечные циклические группы.
Назовем высотой элемента % е G наибольшее п, при котором
разрешимо уравнение % = ср". В прямом произведении конечного
числа бесконечных циклических групп, как легко видеть, имеют-
ся элементы сколь угодно большой высоты. Но высота также
есть инвариант вдоль траектории, поэтому число траекторий не
может быть конечным. Полученное противоречие доказывает тео-
рему.
Следствие. Так как автоморфизмы с однородным лебегов-
¦спим спектром, очевидно, обладают перемешиванием, то для ав-
томорфизмов коммутативных, компактных групп свойства эрго-
дичности, и перемешивания {как слабого, так и сильного) эвеи-
аалентны.
Замечание. Может сложиться впечатление, что появление
счетнократпого лебеговского спектра у К-автоморфизмов и у эр-
годических автоморфизмов коммутативных компактных групп объ-
ясняется разными причинами. Однако это не так, поскольку, как
показал В. Л. Рохлин [9], всякий эргодический автоморфизм
коммутативной компактной группы является К-автоморфизмом.
§ 3. Спектр сложных косых сдвигов на торе
и их возмущений
i(mod 1), ...
m + pm 1*, +.. ¦+ /V m-i*»-i(mod 1)}-
A)
где ее— иррациональпое число, рУт 1 < / < i ^
Мы будем предполагать, что Рм-м^*! при А =
-целые числа,
1, ?-, ¦ ¦ -,

Пусть Р = llj?yll — квадратная матрица порядка т, матричные-
влементы которой при / < i фигурируют в A), а при / 5s i равны
пулю. Через Q обозначим матрицу Р + Е.
Пусть Нк, 1 *S к sS m,— подпространство гильбертова прост-
ранства L2(M, ©, ц), состоящее из функций вида /(ж1т ,.., хк). Яс-
но, что Hb+\^>Hh и UTHb = #„, /с=1, .... ти, где ?7г— унитар-
ный оператор, сопряженный с Т.
Поэтому UT(Hk+] е я,) — Hk+l e #ft.
Теорема 1. Оператор UT имеет в подпространстве #i чис-
то точечный спектр. В каждом подпространстве Hk+l 6 Hh, к = 1,
2, ..., от—1, оператор UT имеет лебеговский спектр. Спектр Ur
в подпространстве Нт © Я) — счетнократный лебеговский.
Доказательство, Функции еР\х) = exp 2nipxi, р = О, ±1Г
±2, .,, образуют ортогональный базис в подпространстве IJiy.
и каждая из этих функций является собственной для операто-
ра UT:
Отсюда вытекает первое утверждение теоремы.
Для доказательства второго утверждения рассмотрим функ-
ции
m
е, (х) — ехр 2д1 (s, x) = exp 2ni 2 ЗДм
ft—1
где s пробегает всевозможные целочисленпые векторы, s =($[, ...
..., sm). Ясно, что функции еЛх) образуют ортогональный бааяс
в L4M, &, ц) и
=-- exp 2л*«1а-ехр2:т& (Q*s, x) — exp
где Q* — матрица, сопрял;енная с Q.
Поэтому для доказательства теоремы достаточно установить,
что каждый целочисленный вектор s=U], ..., sm)t у которого
хотя бы одпа из координат $2, •. ¦¦, 5™ ие равна нулю, описывает
бесконечную траекторию под действием степеней матрицы Q*
и число таких траекторий бесконечно.
Последнее утверждение вытекает из того, что для целочислен-
ного вектора s, вида s, = (О, I, 0, ..., 0) при любом п справедливо
равенство
UTeS[ = exp2nip21-
легко доказываемое по индукции. Это равенство показывает так-
же, что циклические подпространства, порожденные функциями
es. с разными 1У попарно ортогональны.
Покажем теперь, что равенство (Q*)ns -s не может выпол-
няться ии при каком п, если только у вектора s = (sb ..., sm) хо-
тя бы одна из коордппат s2i ..., sm не равна нулю. Мы можем
282
«читать; что п > 0. Обозначим через ^"' матричные элементы
латряцы (?•*)". Непосредственно проверяется, что
д(у} =5 0 при i > j; 3(ftn^ = 1 прн k = 1, 2, ..., m;
Для коордипат s\, ..., sm вектора s, удовлетворяющего соотно-
шению {Q*)ns ~ s, мы имеем следующую систему пг уравнеиии;
т. е. имеем однородную систему из (т - 1) уравнении
= 0
— 1. • ¦., f»
с неизвестными S2, ..., sm. Так как 7^+1 =7^0,
то последняя система имеет лишь нулевое решение, а это озна-
'idei. что равеистко (Q*)"s = s возможно лишь для векторов ви-
,дй s — (I, 0, ..., 0). Теорема доказана.
Покажем теперь, что в рассмотренном примере спектр обла-
дает определенным свойством устойчивости. Рассмотрим функции
/iiUi)e//b h2(x\, х2)^Нй, ..., hm~\(x\, .... xm-\)^Hm-\ такие,
чго все frfte СЧМ) и
Построим преобразование Th тора Л/, действующее по формуле
T,Axi xj = (я, + ct(modlI ^2-T-p2i^i + fei^i)tmodl), ...
. .., xm + pm\xi +., .-j- pm,n-ix,,l-i + hm-v(xi, ..., xTO_i)(inodl)),
где числа а, рч те же, что и выше. Ясно, что Ть сохраняет меру
Хаара ц., т. е. является автоморфизмом тора М. Обозначим через
V — GгЛ унитарный оператор, сопряженный с Т*. Тогда UHk =
= Нк, к = 1, 2, ,.., т, и поэтому
Теорема 2. Оператор V в подпространстве Н[ им
то точечный спектр. Спектр U в подпространстве lim © ff
кратный лебеговский.
Доказательство основано на следующей лемме.
Н[ имеет чис-
ff счетно-

Лемма 1. Для любых функций /, ge IIk П CJ(M), 1 *? А *?
юбого п
и любого п
Доказательство леммы 1. Но ограничивая общности,
но считать, что к = т. Установим сначала следующие соот-
ени:
мож
ношения:
D)
Для получения C) заметим, что при любом п
Unt = f{..., хт+ *?>_,(*, *,„-,)),
где многоточием отмечены первые (т — 1) аргументов, завися-
щие лишь от координат Х], ..., хт~\* а функция Лш-iG-ffm-] Л
П С2 (Л1). Написанное равенство легко проверяется ипдукцией
по п. Из пего, следует соотношение C).
Формулу D) также докажем индукцией по п. Прп п = 1 и?
определения 2\ имеем
Для перехода от п к (п + 1) подставим в D) "вместо / функ-
Используя C) и E), получим
Тем самым D) доказано.
Положим 2И = п^т.„_, + ^ u'(sT~~thm-1)' Тогда из (/l>
Для оценки /i произведем интегрирование по частям:
Из B) и из перавспства рт,т-\ ^ 1 вытекает, что I2J
где С\ > 0 не зависит от п. Кроме того, иа основании C)
Отсюда
+ max | g | d 2C2 max 1 /] n.
я h имеем непосредственно:
Лемма доказана.
Лемма 2. Спектральный тип любой функции вида -^-,.
г Нь П С2 (Л/)) абсолютно непрерывен.
Утверждение леммы непосредственно вытекает из леммы 1 Н'
из определения абсолютно непрерывного спектра (см. приложе-
ние 2).
Лемма 3. Замыканием в Ь2{М, @, и.) множества функций
вида ~~, f е ЯЙ П С2 (/II), является подпространство Hh © Я4-1»
Доказательство этого утверждения легко получить, рассмат-
ривая разложение в ряд Фурье функций / s IIk П С2{М).
Доказательство теоремы 2. Дискретность спектра
оператора U в подпространстве Hi доказывается так же, как и в
теореме 1. Из лемм 2, 3 вытекает, что максимальный спектраль-
ный тип оператора V в подпространстве Нт 6 //] абсолютно не-
прерывен (относительно меры Лебега). Остается показать, что
этот спектральный тин чисто лебеговский и что кратность era
бесконечна. Для этого рассмотрим произвольную функцию
g ш Нт б Я], а также функцию / = (exp 2nix\)g. Тогда при
285

любом п
U"f = U" (exp 2mx\)U"g => exp [2nin(xi + a)Wng,
(?7*7, f) =exy2nina(U"g, g).
Следовательно, спектральная мера функции / есть спектральная
мера функции g, повернутая на угол ее. Отсюда вытекает, что
максимальный спектральный тип ипвариантен относительно по-
зирота на а и, в силу иррациональности а, является лебеговским.
Для доказательства счетиократности лобеговского спектра
введем подпространства Т\г р, 1 ^ / ^ т, — о° < р <. «^ являю-
щиеся замыканяем множеств функций вида g(#i, . - •
.... xt-0expBnipx,), gesH^i. Тогда 1Л1,_, — П,.„ и П^хЯ,^
при pi^p2- Предыдущее рассуждение показывает, что в каждом
подпространстве П^, 9 спектр лебеговский, а число этих подпро-
странств бесконечно. Теорема доказана.
§ 4. Примеры спектрального анализа автоморфизмов
с сингулярным спектром
Изложенная в предыдущей главе теория динамических систем
с чисто точечным спектром долгое время давала надежду на то,
что структура динамических систем с непрерывным спектром бу-
дет исследоваться похожими средствами. Однако сейчас ясно, что
это не так. В этом параграфе мы приведем два поучительных при-
мера, показывающих, какие новые явления возиикают в случае
систем с непрерывным спектром.
Пример 1. Произведение функций, имеющих непрерывный
спектр, может иметь чисто точечный спектр.
Возьмем в качестве пространства с мерой М прямое произве-
дение S1 X Хи где S1 — единичная окружность, которую мы, как
обычно, отождествляем с полуинтервалом 0 ^ х < 1; Zg — {1,
—1}— группа квадратных корней из единицы, мера jj, на М
есть прямое произведение нормированных мер Хаара на S1 и Zs-
Автоморфизм Т зададим формулой Т(х, з) = (х + «(mod 1),
g{x)z), где x^S\ :e L{, g{x) = 1 при О *S x < 1/2, g(x) = - 1
при 1/2^л;< 1. Через L2(S') обозначим подпространство гиль-
бертова пространства L2(M, ц), состоящее из функций, зависящих
лишь от х. Положим f!=L2{M, ц.) в L2(Sl). Если От — унитар-
ный оператор, сопряжепный с Т, то UTL2(S]) = L2(Sl), UTH = H.
Ясно также, что в подпространстве L2{Sl) оператор Ur имеет чис-
ю точечный спектр. Предположим теперь, что а иррационально.
Мы покажем, что
1) в подпространстве Я оператор UT имеет непрерывный
спектр;
2) если /,^Я,/2еЯи hh^LHM, ц), то /i -hsLHS1);
нпыми словами, произведение двух функций, имеющих не-
прерывный спектр, имеет чисто точечный спектр,
.286
Так как Zj — A, — 1>, то всякая функция /еЯ может быть-
аписана в виде fix, z) = г ¦ h(x), ze?, 4Ы б Ш1). Поэтому
второе утверждение есть следствие первого.
Для доказательства первого утверждения допустим, что
fix, z) = z • h[x) ^ H есть собственная функция оператора UT
с собственным значением X, \Х\ = 1. Тогда
1(х + a)six) ¦= Xfix)
A)
(равенство понимается как равенство элементов гильбертова про-
странства). Из A) следует, что
j(x + а + 1/2;
:множив A) и B), получим
ведем на окружности S1 = Мх инволюцию о, действующую по-
ормуле с(т) = ix+ l/2)(modl). Тогда функцию /, рассматри-
аемую иа Ми как и любую другую фуикпию на М\, можно пред-
В
фор
ваему:

ставить в виде fix) = /+(#)+ /-(#), где f+iax) =f+(x) (такие функ-
ции будем называть четными по отношению к a), f~(ox)я
м —/_(#) (будем называть /_ нечетной по отношению к о).
Функция F, очевидно, четная до отношепию к О. Поэтому
> f+ (х), /_ (х
e^i№) /_ (х).
для
для
ПО, 1/4) U И/2, 3/4),
И1/4, 1/2) U [3/4, 1).
Покажем, что унитарный оператор UT имеет в подпространстве
Ь\{М) непрерывный спектр. Введем для этого подпространства
Uk<=L2(M), состоящие нз функций вида z"/(n), f^L2(M2), к =
= 0, 1, 2. Каждое Нк иивариаитно относительно UT, так как
Uriz'fiu)) = s{u)zkf{T2u) = z" • siu) ¦ f(T2u). Поэтому для доказа-
тельства непрерывности спектра достаточно установить
Так как Цх) ф 0 (mod 0), то либо j+{x) Ф 0 (mod 0), либо /-(ж) •*
#0(modO). Положим <р(я) =/+(а0, 9=Х в первом случае, я
Ц)(х) *= (/-(ж)J, в = 2Л — во втором. В обоих случаях функция
гр(х) — четиая по отношению кои удовлетворяет уравнению
Пусть y(x)=rp(x/2), <D{x)-=FU/2). Тогда ifd) и Ф(х) можно
снова рассматривать как фупкции ва окруяшости S' и
l><* + 2p)=es"'№(J"i>(*). D)
Лемма 1. Пусть для иррационального числа а существует '
последовательность несократимых дробей {/)„/^„} гакил:, чго #»
нечетно и д\ \ рп/дп — ct | -*- 0 при «-*-». Пусть, кроме того,
функция g(x) имеет вид
\%г для a:sI0, 1/2),
S<^=\K для ie[i/2, 1),
где IX] I =-1Я31 =1, Я[^Я2. Гог^а уравнение fix + а) — g(x)f(x)
не имеет измеримых решений /, / ч^ О,
Доказательство леммы приведем позже. Взяв р таким, чтобы
число а = 2^ удовлетворяло условию леммы 1, получим, что D)
не имеет нетривиальных решений. Тем самым непрерывность
спектра доказана.
2°. Рассмотрим пространство М = М%хХ3, где ?3 —
группа корней третьей степени из 1 с пормировянной мерой Ха-
ара. Точки пространства М имеют внд (и, z), где сквМ2, ге23.
Введем автоморфизм Т пространства М, действующий по форму-
ле Т{и, z) = (Уги, s(u)z), где и = (ж, у) е Л/2, х^ Л/ь у ^ 1 или 2,
и s(u) зависит только от координаты х н задается формулой
неразрешимость в измеримых функциях /, 1/1 = 1, уравиения
Продолжим инволюцию о", определенную на Л/\, до инволю-
шш на М2 по формуле а{и) =о(г, .у) = (oU), t/). Тогда s(o«) =
»= s2{a), o2*2 = 2*20. Поэтому из E) вытекает, что
52 (и) f (а (Т2и)) = е2я1Я/ (аа). F)
Разделив E) па F), придем к соотношепию
s(a)g{'f2u,) — »(u),
G)
где g(u) — /(аи)//(и). Полагая п (и) = s (и) ... s (rf*':*), полу-
чим из G)
Рассмотрим последнее соотношение для точек и = (х, i) ^ М>.
Множество таких точек естественным образом отождествляется
с окружностью М\. Обозначим через Т^ преобразование, пе-
реводящее каждую точку и = (х, 1) в точку Tl{x]u. Легко про-
верить, что 2*2<х) есть поворот окружности М\ па угол р,
а функция п(и) имеет вид
если
если
; [0, 1/2),
'-- [1/2, 1).
Поэтому еслп и число {J удовлетиоряет условиям леммы 1, то m
aToii леммы следует, что уравнение (8) не имеет измеримых ре-
шепий. Непрерывность спектра автоморфизма Т доказана.
3°. Докажем, что спектр автоморфизма Т коночпократттый. Это
вытекает из того, что Т можно, очевидно, реализовать как апе-
риодическое перекладывание конечного числа отрезков. В § 2
главы 5 было показано, что любое такое перекладывание имеет
лить конечное число оргодических нормированных инварпапт-
пых мер. Рассуждения, приведенные там для доказательства
этого факта, показывают па салом деле, что спектр апериодиче-
ческнх перекладывании копечнократный.
Остается показать, что спектр автоморфизма Т непростой.
Для этого заметим, что ограничения оператора VT на подпрост-
ранства П{ и И2 уиитарпо эквивалентны. Эквивалентность осуще-
ствляет унитарный оператор Un, сопряженный с инволюцией ст,
которая продолжается на пространство М но формуле а(х, у, z) =
= (а(.х), у, z).
Доказательство леммы 1. Пусть, вопреки утвержде-
нию леммы, измеримая функция /, / Ф 0 является решением на-
шего уравнения. Тогда 1/(л: + ссI = \f{x)\ и, поскольку а ирра-
ционально, I/I = const > 0 почти всюду. Следовательно,
10 ц. п Корлфельд и др. 289

—jj-r— = g(x). Подставим в это равенство вместо х точки х,
я + а, ..., х + (дп — 1)сс и деремно;ки\1 все такие равенства. Мы
получим
Так как х + даа. -+¦ # при к
„а) ТТ rtPf
L = 1J S (х + гес) ^ gn (х).
, то
J kn (х) — 11 da: = const f1 / (х + (/„а) — / (х) | dj: ->¦ О
при га -*¦ оо. Положим теперь gn° (я) = Ц # (? + г -р,,/^). Тагг
как /J^/g» — несократимая дробь, то точьа х-\- г ¦ pn/qn пробегает
все значения вцдц х + k/qn (mod 1), /с — и, 1, ..., qa—i. Отсюда
следует, что
Wn'aI-?4gn/3l+1, если {9вх}<1/2,
lw4-.^/4| сслп {,п..}>1/2.
Поэтому
Из условия леммы следует, что J | gn {х) — g™ (л) \ dx-y 0 прп
о
п -»- «о, Следонательно, Mm J | ^„ B') — 11 dx > О В противоречие
с (У). Лемма доказана.
§ 5. Спектр К-потоков
Б этом параграфе будет доказана теорема, даютпая достаточ-
ное условно наличия счетыократпой лебеговской компонеши
в спектре потоков. В случае К-потоксж эта теорема позволит пол-
ностью вычислить их спектр.
Пусть для потока {7"! на пространстве (Л/, @, р.) существует
возрастающая а-подалгебрц @(!)J о-алгебры @, т. е. такая, что
©<(> = 2-(@@?=)@<0> при «>0 и ©«)#©«»». НВ этого, оче-
видно, следует, что @1 '' Z3 ©^ '^нри люиых /ь f2l f, > f2. Через
290
7/(f' обозначим подпрострапстпо пространства L\{M,^, (а), со-
сюящее из функций, измеримых относительно <S@, Тогда J/ г ^
zd H z при f, > ?2. Пус1ь // — наименьшее подпространство про-
странства L2{M, S, jx), содержащее все #(t|, — oo<;f<;ooi # —
= П -^ ¦ Обозначим через Я подпространство Я 9 Я. Со-
гласно теореме фон Неймана (см. приложение 2) группа унитар-
ных операторов {О"), сопряженная с потоком {'Г'}, имеет в под-
пространстве Н однородный лебегешскии спектр.
Теорема 1. Группа, W} имеет в подпространстве II счет-
нократный лвиеговский спектр.
Доказательство основано па следующей простой лемме.
Лемма 1. Если для некоторого h^L2{M, @, ц.) справедли-
во равенство {U'h, h) = 0 при, всех t, If I ^ const > 0, то в цикли-
ческом подпространстве, порожденном функцией h. группа {U1}
имеет лебеговспий спектр.
Доказательство леммы проведем позже.
Мы будем пользоваться специальными представлениями пото-
ка (Г'}. Согласно ламечавню 3 после доказательства теоремы
о специальном представлении (см. § 3 главы 11), поток {Т'} име-
ет специальное представление, построенное но автоморфизму Т\
пространства Лебега КМ', ©', \х') и функции /, /¦' 5= const > 0, та-
кое, что
1) ав-юыорфиз-м Т-[ имеет возраиающую а-подялгебру ©о,
т. е. Г,@о^@о, и Г1<30^<3о;
2) F измерима относительно о-алгебры ©а!
о) минимальная а-нодалгебра а-алгебры @, содержащая все
мнолсества вида [} ТГС, где С s @0 п F(x) > ti для почти
всех х е С, совпадает с @@). Пользуясь этим специальным пред-
ставлением, мы покажем, что найдется последоиателыюсть функ-
ций {/п), и = 1, 2, ..., /пеД таких, что порождаемые ими цик-
лические подпространства попарно ортогональны и в каждом та-
ком подпространстве группа {U1} имеет лебеговскип спектр. От-
сюда, очевидпо, будет вытекать утверждение теоремы.
Так как 7\©0 ^ ©о, ^i®o ^ ®о, то найдется функция h e
^ L2KM', ©', |л'), измеримая относительно Т1]©^, для которой ус-
ловное математическое ожидание Е (h | @„) ^ Л. на ыножоство
шыюжшельной меры. Пусгь Л е So таково, что на нем Е {(h —
— Е (А | ®0)J1 @0) > 0. Положим
А — Е (А | ®01
гДр У,л " иидикатор ыпозксства А. Нетрудно проверить, что
Е (ф (х) \ @0) = 0 A)
19. 291

почти всюду; Е ( М' f | @„) — I для почти всех х <? А. Возьмем
теперь любую последовательность множеств Лп^@о, п=1, 2, ...
такую, что Ai Г! j!j ~ Ф при i =#= / и положим /«(л", *) =
— ЧЧ*) Х>*„ U) Х[о,т/»1 's)> гДе T^inf/'w. Здесь через (ж, я) обо-
значены точки в фазовом пространстве специального представле-
ния потока {Т1}.
Возьмем произвольное t, \t\ < т/3. Заметим, что (supp ?/'/.) П
Л (supp /л) = ^ при г •?*¦ /, где supp g = {(х, s): g {x, s) ф 0}. Уто
вытекает из того, tjto при t > 0
? <^ 0
0, 2т/3),
, s): хе=ТГ1Аи F{x)-t'^s<F(x)}.
Поэтому при таких t скалярные произведения W/ч /^ = 0> если
Рассмотрим теперь скалярные произведения (#'/*> Л) при"
1/1 > т/3. Мы будем считать, что ?<G. Случай />0 сводится
к- этому благодаря соотношению (?/"'/¦- f? ~ (f<, U'f^) = {U'f,. /,).
Покажем вначале, что все функции UlU измеримы относительно
с-ялгебры @i0). Для этого заметим, что если С = CiX[a, 6], где
^efft. [a, &J = [0, т/3), то ГСе@@). Это вытекает из усло-
вия 3). Так как функция /, может быть аппроксимирована лп-
ненныин комбинациями индикаторов множеств типа С, то VJi
измерима относительно @с0). Запишем теперь по формуле полного
математического ожидания:
((¦"fu /i) - Е (Е (иЧг-Ъ ! ©„»*= Е F'V0 Е Gi I ©.).
Но из A) вытекает, что i?(/J©o) =0. Тем самым (U'fa },)=0 при
иссх t, \i\ 7$ х/3. Теорема доказана.
Доказательство леммы. 1. Положим bit) = (U'k, h).
Но теореме Бохпера — Хинчпна функцию bit) можно предста-
вить в виде Ъ (t) = ег dGh{X), где ол — конечная мера па [R1.
Из того, что bit) фпнитпа, вытекает, что dadX) ™ p(%)dX, где р(л)
может быть продолжепа па всю комплексную плоскость и будет
там целой функцией. Отсюда следует, что при веществеппых ?.
функция р(л) обращается в пуль не более чем в счетном числе
точек. Лемма доказана.
Из теоремы 1 вытекает следующее следствие.
Следствие. ?±-потока имеют счетнократный лебеговский
спектр.
Действительно, в случае К-потоков пространство // совпада-
ет с ЬЦМЧ @, ц).
ГЛАВА 14
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ГЛУССОВСКИХ
ДИПАМ1ТЧКСКИХ СИСТЕМ
Гауссовские динамические системы были введены в § 2 гла-
вы 8. Там же были построены вещественное и комплексное под-
пространства Н\ , Я^е) гильбертова пространства L2(M, ©, ц),
где ц — гауссовская мера на пространстве М, и с их помощью
установлено необходимое условие эргодичности гауссовской дина-
мической системы, заключающееся в непрерывности спектраль-
ной меры о. отвечающей мере \i.
В этой главе будет проведено углубленное изучение спект-
ральных свойств гауссовских динамических систем. Мы ограни-
чимся случаем дискретного времени, т. е. автоморфизмов Гаусса.
На гауссовские системы с непрерывным временем результаты
этой главы переносятся с очевидными изменениями.
Мы будем пользоваться понятиями и обозначениями, ввезен-
ными в § 2 главы 8. В дальнейшем, не оговаривая этого особо,
будем считать спектральную меру а пепрерывноЙ.
§ 1. Разложение гильбертова простраиства L2(M,@, ц)
на подпространства полиномов Эрмита — Ито
Пverb Т — автоморфттзм Гаусса с фазовым пространством
(Л/, @, ц). В этом параграфе мы построим специальное разложе-
ние гильбертова пространства LPiM, @, \i) на подпространства,
инвариантные относительно унптарпого оператора t/r, сопряжен-
ного с автоморфизмом Т. Конструкция этого разложения тесно
связана с теорией полиноиов Эрмита — Ито гауссовских случай-
ных величин. Мы приведем сейчас необходимые сведения о по-
линомах Эрмита — Ито.
Пусть у = fix)—веществрннозиачная случайная величина на
пространстве М, имеющая гауссовское распределение с нулевым
средним, т. е. для любого а, — °° <- о. < =»
»))=y= .f
"du.
где 6— Г pd\i. Тогда все степени ym = fm(x), т = 0, 1, 2, ;;;
м
принадлежат L2iM, ©, ц). Однако при разных тп они, вообще го-
воря, не ортогональны между собой.
Определение \.тп~ым полиномом Эрмита — Ито гауссов-
ской случайной величины у = f\x) называется случайная вели-
чина Hmiy) = ym + ait/ + ... + От, для которой
\Hm(y)ypdli=sO при р =0, 1, 2, ...,т — 1.

Иными словами, Ит{у1 есть обычный полипом Эрмпта стеие-
ли т от вещественной переменной, в который в качестве аргу-
мента подставлена случайная величина у. Геометрически Нт(у)
представляет собой перпендикуляр, опущенный в LHM, @, \х) из
конца вектора у'а на подпространство, порождеппоб всеми ур,
0^/j<m. Ясно, что Ш™,(у), Нт, (г/))=0 прн т{^7П2, и под-
пространство, натянутое на все Нт{у), т ^ 0 совпадает с под-
пространством пространства L2(M, <?, ц.) функций вида ф(у).
Полипомы Эрмита — Ито (под названием полиномов Вика) часто
встречаются в квантовой теории поля, где они обозначаются ипа-
че; Н„Ху) = :у'":. Это обозначение удобно, и ниже мы будем им
пользоваться.
Рассмотрим теперь любой конечный набор гауссовских слу-
чайных величин (,'!, ..., ym ^ Н{{'.
Определение 2. Полиномом Эрмига — Иго случайных ве-
личин у\, т/2, ¦. -, Ут называется перпендикуляр, онущенпыи и
L?{M, @, и.) пз иопца вектора у\ • у? •... щут на подпространство,
порожденное всевозможными произведениями У\-у-г' • • ¦ *Ур»
р < т, где все г/j s II{P.
Полипом Эрмпта — Ито случайных величин г/;, г/а, .. -, Um
обозначается через :y\jf2-. -If™;. По определению,
1 : УМг ->-Ут'- y'liJi ¦ ¦ - y',,dy = 0 A)
дл<т любых У\,у-г, .. .,ур ^ П[ГК Заметим, что среди векторов yi
ii г/; могут быть совпадающие. Следующая лемма устанавливает
важное свойство полиномов Эрмпта — Иго.
J е мм а 1. Полином Эрмига — Ито :yi.. ¦ ym' совпадает с
перпендикуляром, опущенным из конца вектора у\ • г/э ¦... • у™
}ia подпространство, порожденное всевозможными произведения-
ми у^ l ... -i/j , 1 <S ii, ..., iv <L m. Иными словами, можно
считать, что в интеграле A) случайные величины У\_,--*,уР со-
держатся среди случайных величин yi, ..., t/m.
Доказательство. Обозначим перпендикуляр, о котором
идет речь в формулировке леммы, через :t/i... t/m:. Любую слу-
чайную величину у' е H'ir' можно однозначно записать в виде
По-
у' = 2 снУк + s» где §zyhd\i = Q при всех к,
этому, если у} — 2 c,ftl/ft
то произведение У\ ••¦уР =
= ^jPi(y)Qp-i(z), где Рг —полином степени 2 от переменных
?/ь ¦ ¦ •, I/"'i Qp-i — полином степени р — I от переменных zj, ..., zm.
Для rayccoBcixiix случайных величин ортогональность влечет не-
ваннснмость. В силу независимости Qp-,{z) от всех полиномов от
yi, ..., ym, будем иметь
lio
'- pi (У) dV — ® л0 определению случ;
айыой
Лемма доказана,
ипе. Если у\,
ут попарно ортогональнУ'0
Введем теперь вещо
иное и комплексное поднростра
множества линейны
вигельными и
пространства ?2(Л/, @, Ц>, являющи
х комбинации векторов
комплексными коэффициентами соответст11
ЯСНО, ЧТО Н'т СЯМ И /
каждое из поднространст:
ло Ut- 1л _ frt
Пространства
mi_L.-"™3 при mi ^ m2. j\puMt"
Я1,;1, Н'т инвариантно отно('е
можно построить в случае Р1
юго распределения вероятностей и пространстве
иред|
цая теорема выделяет гауссоиски
м.
случай из остальных.
Предварител
введем вещественное гильбертово rjpoi
1Саиство
состоящее из комплепеноап
ачяых функций
определенных, для
, A^J^Tor'"), симметрии
(т. е. >
ных но своим аргу«
удовлетворяющих соотношению
для которых норма
<р(—X
!<Pi =
| Ф (Ч,
Теорема 1. Для любого т>1 существует излет1'ичесК0е
отображение О^1; (^wJ -*- /4J, такое, что
1) о'^'й' = я<;',
2) ге/>и изоморфизме \^{ ('Й' гор ^ n«Pf-
2) ге/>и изоморфизме \в^{: ЯЛЙ у
ходит в оператор умножения на функцию ехр {2л^.1 + '• -*^ ^-т)!.
Доказательство. Отображение 61" было встроено в § 2
главы 8 (см. таи лемму 2). Рассуждения при m' 1 разобьем на
функций (р(Л), X s Тог"'. ^Действие перестано&и g
•) Окружность S\ как обычно, o™1^1""-'»
[О, 1). Здесь и в дальнейшем в этой главе мы в»»
|J.a; _>.„,) вместо ((-Я ) (mod 1) (- ».,) l
"а,.нУост11 цишем

ю ф имеет вид (gy)(X) — y(gX). Симметризацией функции ф
цем называть функцию S [у] = 2
С,»
Рассмотрим группу Tm = SmXZ2, тле 1,2 = il, —1} —группа
1дратиых корней из единицы. Зададим действие Гт иа торе
fJ" так, что Sm действует прежним образом, а образующий элс-
>г групиы 7,2 есть отражение: (Xi, *.., Xm) — (— ?и, ..., —А.«).
V- множество ? = {А, ^ Тогт: X, +...+ Xm > m/2, Xi > X2 >- - -
--1 ?vm} будет фундаментальной областью для группы Гга в том
с\:е, что om{dD) = О, и для любой точки X е Тог, для которой
Г^ П 5Z> — 0, пересечение Гт(Х) П ?> состоит из одной точки.
Язвительно, за счет перестановки координат точки X =
= ' ..., ?.т) всегда (если только Xi?=Xj при Si*1/) можно до-
би г-[ выполпенпя неравенств Х\ >¦ Хг > ... >¦ Я™. Далее, точку
?ч е, 1) отражение переводит в точку (~%{)(той1) =^ 1 — Xt^
е^О, т. е. в точку, симметричную точке X относительно 1/2;
iw.rj'y за счет действия образующего элемента группы i?2 можно
добн>я выполнения неравенства ?,i + ... + Xm> m/2. Равенство
OmidL^Q вытекает из того, что 3D есть объединение конечного
ЧИ1'"тачперплоскостей па m-мерном торе вида Х{=0 или Xi = X,,
ft а.п-лца каждой такой гиперплоскости равна 0, поскольку ме-
ра а нрерывна_
и- чэеделнм вначале отобрйжеппе 6^ ла некотором под-
множес-ь функций AczQ^K Пусть &h<=S\ Л = 1, ..., m — бо-
релевски множества, такие, что Aff\AJ = 0 при l^i^/^m,
ue Д^ =4fc U {- Ла) н Д= ДхХ ... X Дт с Z3. Полошим %tk Aк) =
— %ь?№хАк{\к) = i[%Ak№k) — %-&ь{К)]- Фиксируем также
набор е = -ь m, ш) gm)f Где 6i принимает значение ±1, и введем
функцию q= л?>
В качестве х возьмем множество функций ф(>.) указанного
ВИпт/л1аЛе^/усть ф(Д> = °^(^ Ф+(А)=Ф(А+), Ф"(Д) =
^Ч«ЧД) —Ф(-Д)]. Заметим, что Ф+(ДА), Ф~(Д„) принадле-
жат лодпростр?гСТВу Я^г) и поэтому являются гауссовскими
случайными величинами. Далее, (Ф+ (Д), Ф~ (Д)) = Г %А+ (к) х
"< Ха-(Ц da (X) = (. Следовательно, Ф+(Д), Ф~(Д) независимы
Положим теперь
B)
Это .. ,
и укааапном виде едл.ственно.
определение корректно, так как представление функции ф
Покажем, что 9(J (9) е ifiH. Из условия Д* П &t = 0 сле-
дует, что различные сомножители в правой части B) ортогональ-
ны, а поэтому и независимы. По тогда, в силу следствия из лем-
мы 1, :в?' (ft): =е',;'(ф), т. е. СЦе1», Далее,
С другой стороны, в силу независимости Ф*(ДЬ) при разпык к
1 ей' (<р) р = IП ф'8" '" (Д.) Г - П || х?Г" МIг = 2" П
II kl II ftl fel
Два последпих соотношения показывают, что 0^' на множестве
А есть изометрическое отображение.
3. Рассмотрим к функций ^еЛ, l^/<ft, носители которых
попарно ые пересекаются, и для любого пабора вещественных
чисел й|, ..., аь положим ср (К) = 2 aJtP; Щ- Через А обозначим
множество полученных таким образом функций. Поскольку пред-
ставление функции (f^i в указанном виде единственно, мы мо-
жем продолжить Q'm по линейности па А, положив 0^' (ф) =
и
— 2 afim {4>j) ¦ Изометричность 9^' сохрапяетси, поскольку но-
3—1
сители фj попарно не пересекаются.
4. Пусть Д'с^Д ls^/sSfc — поиарпо не пересекающиеся т-
мерные прямоугольпики и с„ 1</</с,— набор комплексных чи-
к _
сел. Положим ф (X) = 2 Iе js [х <¦¦*&)] -г cis 1%- гЛ^]1, и пусть
С — множество функций такого вида. Покажем, что А = С.
Яспо, что Л s С Кроме того, поскольку фупкпли из Л и С
инвариантны относительно действия группы Гт, то достаточно
сравнить ограничения этих функции па фундаментальную об-
ласть D. Обозначим через ADl CD пространства ограничений
функций из Л, С па D соответственно. Тогда Са как веществен-
ное линейное пространство порождается функциями вида Фд =
= У.д, фд = »Хд» А = Atx ... х Дт czD. Но для K^D
л.
^ (?.,) п xi; (*¦*)]

Так как А также есть вещественное линейное пространство, то
утверждение докапано.
5. В атом пункте мы покажем, что замыканием множества А
в пространстве Ь2{Тосш, am) служит все Q'm-
Пусть ф (X) е Qm • Для любого е > 0 папдется такая функция
Tih(l)^L4Tof\ oj, -что:
1) qs равна 0 в е-окрестности множества Torm \ D;
2) Пф-Ф,|^ат<8.
Ъ
Далее, найдется набор попарно не пересекающихся т-мерных
прямоугольников Д("' с= D, 1 ^ / < к, и комплексных чисел с}1
j < к, что
Фе (Ц - 2 С,Хд(;-> (к)
Полошим
=- 21 \c}S[x^j)] +^S[x_.(i)]}- Тогда Пер - <ре11 < A + 2т!)е. Из
предыдущего пункта вытекает, что фЕ е А. Наше утверждение
дока j а но.
(j. Так как отображение $т изометрпчпо, то его можно про-
должить на замыкание А, т. е, в силу предыдущего пункта на
все Qw' Докажем, что
Из построения, очевидно, следует, что 6^ {Q(m) ^ П{т . Да-
лее, вещесгвепдая линейная оболочка множества полиномов Эр-
мита — 31то вида J\ (ch*I>(Aft) — скФ(— Ak):> где Ak есть дво-
ичнып полуинтервал вида Apq ^- \p;2q, (p -\- i)/2q]. I ^ q < c»t
0<р<27, всюду плотна вЯ^1. Ил равенства еФ(А) + гф(—Д> *=»
= йФ1 (Л) + Лф-(Д), rt = Re с, Ь = 1ш с вытекает, что эта же ли-
лейная оболочка порождается полиномами Эрмита — Иго вида
: 11 Ф {ku)'-> Поэтому дос!аточдо показать, что каждое 11 =
= :ПФ^(Да): принадлежит 6^ (<??)¦
Каждый двоичпый полуинтервал Др, можно представить как
объединение полуинтервалов Ы,п, если п достаточно велико. Тог-
да П представляется кик сумма полнпомов Эрмита — Ито вида
:11 Ф " ч Pftin)" Это соответствует разбиению m-мерного прямо-
к— J
угольника А ~ JJ Д^ на непересекающиеся m-мерпыо прямо-
угольники Ц Дрь.п- Запишем П в виде П — 2n + S«, где в 2«
происходит суммирование по таким pi, ..., /Jm, что (Д^.п» •¦•
• ¦ -f^Pm >") GCTL на^°Р попарно пепересекающихся полуинтерва-
лов, а Е„ есть сумма по остальным наборам. Для каждого на-
бора (Лрьп, • ¦ ¦, Дрт п) пз 2' гауссовские случайные величины
ф1 (^рА,«) независимы. Поэтому в этом случае
=П Ф± (Ард.п): = П Ф* (А,,,.) =
П x
"'
Тем самым 2„е fl'I^Q1^1). Требуемое утверждение вытекает из
того, что, как мы покажем, [2?|f= EBj2)-^0 при п ->-<».
7. Заметим теперь, что двоичные полуиитервнлы [р72", (р'^
+ D/2"), [р"/2™, (р" + 1)/2") либо не пересекаются, либо
совпадают. Рассмотрим отдельпос слатасмое, входящее в 2Ti-
Занумеруем полуинтервалы, которые в пето входят, в порядке
возрастания р,: Ai<...<Am>. При этом т'<т, поскольку хшя
Оы один полуинтервал входит дважды. Запишем это слагаемое
в внде :П (ф+(Л.)L (ф~(д0)'' - Но лемме 1
=11 (Ф+ (ДО)''' (ф- (ДО)''; = П :(Ф+ (ДО)
iI iI
s;f in) = 2 <п', щ = 2П е[(:
U' i—1
При этом rf —- г^> 1 хотя бы при одном г.
Перейдем теперь непосредственно к оценке B„, Sn). Из
ортогональности полиномов Эрмита — Ито вытекает, что скаляр-
ное произведение двух разных произведений типа П' равпо 0.
Поэтому
[ V (ф" (ДОГ :Г-
< constma (Д;),
Г Г Г
Покажем, что Е|:Ф+(Лг)I {Ф" (Д»)) *
где const™ зависит лишь от т.
Действительно, в силу независимости и гауссовости Ф+(Д)
и Ф~(Д) имеем:
*) В обозначении ;JJO-(/\p nY. подразумевается, что в каждом со-
мпожителе выбран свой знак, и в правой части набор зпаков такой же, как
и в левой части.

Е [:(Ф+ (Д())Г'+ (Ф- (АО)'' :]'= Е [:(Ф+ (Ai))'^: :(Ф" (ДО)'' :]* =¦
= Е [:(Ф+ (ДО)'*:]- Е [:(Ф- (ДО)'1 :}'<
г+ гГ г++гТ
^ const .cr1 (Aj) const __crг (Aj) ^constm(Tг ' (A,).
Это и есть требуемое неравенство. Поэтому
П Е [: (Ф+ (ДОГ (Ф- (ДО)'' :]' < constmam (Д),
1—1
где Д = Ар1<п х . ..• X &рт,п — исходпьш m-мерный прямоугольник,
отвечающий слагаемому из 2W, const™ зависит лишь от т. Та-
ким образом, BП, 2„) ^constmcrm (/)„), где Ол — объединение
прямоугольников Apj.n X • • • xApm,n, пересекающих па /а-мерном
торе гиперплоскости типа X, = Xh Xt — —%s. Так как мера а не-
прерывна, то от-мера каждой из этих гиперплоскостей равна 0.
Поэтому am(Dn)-*- О при п -*¦ °° и иапш утверждение доказано.
8. Остается доказать, что оператор UT переходит при отобра-
жении 6^ в оператор умножения на exp\2ni 2 "^ы- Для этого
покажем, что
k S [exp I2"'
:П
Зафиксируем е, 0< е < 1, Для любого к, 1 < А: < т, построим
случайную величину Де) (г) = 2 «""Ф* (Др n) e -^i'' TaK> что
Д'>| I S> |е, ФР (X) =2 а<р%Й n (Jl). Поло-
I
им Ф. = ГГАе>. Тогда IJ^(sft) — ФЛ< const e и, следова
fi—1 II ki II
тельно, :ГГ х (sh): — :Ф8: |< const e. Но
II к=Л II
ф. = S <'.» • <- ¦ ¦ • • ¦ С» П ф* (Дц,.)-
Разобьем последнюю сумму на две: Б — 2' + 2", Фе = ФЕ +
-}-Ф$, где в 2' останется суммирование только по таким набо-
рам pi, ..., рт, для которых IJ &Pk,n[\dD = 0, а в 2" войдут
остальные слагаемые. Как и в предыдущем пункте, 112 "II -*¦ 0 при
«-*¦». Поэтому при достаточно большом п
< const е. Положим ср<" (%) = <р<«> (Jij, ..., X,
П Я>*'М-
9(Ч (X)
L!|BI
nst s, следовательно,
)<co
-1/-.S [ф«>(ХI
COnst E.
Далее
Разобьем
эту сумму по такому же признаку, что и выше, на две суммы
2', 2", т. е. 2 = 2' + 2", ф(" = (ф'")' + (ф1.11)". Тогда IHqj1")"» =S
=S е при достаточно больших п и поэтому
- 2ni S .
'±,S e
Б силу изометричности
Но по определению 6т
В результате
-i 2 »,).,
const в.
Ввиду произвольности е, формула C) доказана.
.ссмотрим в пространстве Qm* циклическую группу опера-
{У"}, re ^ Z, где для <р GE (?т*
Topoi
Покажем, что подпространство
ипиариаптно относительно
Достаточно,' очевидно," проверить выполнение последнего ра-
cisa. Возьмем / = :
(sB):- Так как
Urf = :
c(«i. + "):.
301

Таким образом, для функции / утверждение справедливо. По-
скольку линейная оболочка, натянутая па такие функции, по-
рождает все f^m, то теорема 1 полностью доказана.
Обозначим теперь через Я(г) пространство всех вещественных
функций f^L2{M, 6, р.).
Теорема 2. Прямая сумма © 2 ^т совпадает с П{г\
Здесь под Н$ понимается одномерное подпространство вещест-
венных констант.
Доказательство. Для любого набора целых чисел
fi,*2, ¦¦ ¦, sP введем вещественное подпространство //^...^ С^ Н(ТК
состоящее из функций вида fixisO, ..., x(sp)) ^L4Mr
@, \х). Поскольку замыкание суммы подпространств Н^p...jSp
Совпадает сН(г), то достаточно показать, что #,4j,..., вр ? © 2 Н'т-
Пусть случайные величины yt = x(st), I ^ i < p, имеют плот-
ность совместного распределения вероятностен вида п [t^ ...
• • •' *р)— ^j expj— у (A Oji где Л — симметрическая ыоложп-
тельно определенная матрица, ? = (fi, ..., tP). Любая фзтшцня
/si/,sa,.. ,чр может быть отождествлена с функцией /(tb ..., ^),
для которой /а(^, ¦ • -, tp) jx (flT ..., tp) dtt.. .dip <Z со. Прн по-
мощи линейной замены переменных мы можем всегда привести
эх к В1тдул(*„ ..., („)=—8е « .
Для любого индикатора %Лг) и любого е>0 найдется полп-
00
ном Pt{t\ для которого ~= f \xA{t) — Pe(t)\*e-t2/*dt<Cs.
Это вытекает, например, из полноты системы обычпых полиномов
Эрмита (от вещественной переменной) в гильбертовом прострап-
стве функций jit), иметощих конечный интеграл квадрата модуля
но мере e~t2^- dt.
Отсюда вытекает, что для любого индикатора Хд C^i» * - •> *р) ==
= И Хд* (fi) найдется полином P*{t\, .,., tp), для которого
я—I
^rz\l*b(t)-p'(t')l*e~1'idt<<!- Ho полином />,«,, ..., *,)
можно, очевидно, записать как сумму произведений полиномов
Эрмита от одной переменной. Так как каждому такому произве-
дению отвечает элемент пространства ф 2j йт, то теорема
т=о
дока за па.
Положим Я?> = rf? + iH%\ Q(? = <№ A- i<?%\ т = 0, 1,...
Тогда #т' — (комплексное) подпространство пространства
L2{M, 6, ц). Ясно, что Нп\ j_ Я^ при т\ ч* /ге2. Определим ото-
бражсиие в^*: ^Й*-*-/^»' следующим образом. Любую функцию
<р ^ 4*mJ запишем в виде
= gr [Ф W - фР1
и положим в(щ (ф) = е(т» («pj + Ш2» (<ps)
ции ф S <3,п ПОЛОЖИМ
^1. Для любой функ-
Теорема 3. Подпространства #mJ инвариантны относитель-
но унитарного оператора UT, сопряженного с автоморфизмом Га-
усса Т. При этом:
комплексных констант.
2) в^1
Я1С) еегь подпространство
2) в^ осуи^яс7' изометрию пространств Qm u #?«.
при которой и$ = 0№Т(ъ№)-1-
Теорема 3 непосредственно вытекает из теорем 1.2.
§ 2. Критерии эргодичности и перемешивания
для гауссовских динамических систем
Б § 2 главы 8 было показано, что необходимым условием
эргодичности гауссовского автоморфизма является непрерывности
спектральной меры о. Сейчас мы покажем, что это условие явля-
ется и достаточным, В этом и следующих параграфах главы 14
мы сохраняем обозначения, введенные в § 1.
Теорема 1. Если спектральная мера а непрерывна, то про-
странство собственных функций унитарного оператора UT, сопря-
женного с автоморфизмом Гаусса Т, состоит из констант (modO),
Иными словами автоморфизм Т зргодичеп и обладает слабым пе-
ремешиванием.
303

Доказательство. Пусть /е 1?Ш, ®, ц) — собственная
функция оператора UT, т. е. Urf = ea°/. Мы можем представить
f в виде / = 2 /m, /» s #i?, (/„,, ЛО ¦= 0 прв в., ^ п»г. Так
как / — собствеиная функция, а пространства Н^ инвариантны
относительно U7y то все /™ — также собственные функции с тем
же собственным значением е tft т. е. Urfm = e*A°/m* Пусть
Фт = (вт*)^- По теореме 3 §. 1 при m^i будем иметь
2Л1П 2 Я,ь
ЙЛ1П H Aft
т. е. е ft=1 фт ss= ^"^'cpm, где равенство понимается как равен-
ство элементов пространства Q{m' Поэтому
Отсюда вытекает, что фт(Яь ..., Я«)=0 почти всюду вне множе-
ства Ялв —Ifo^ ...>?-„,): ^aJri2J-A = ei>L<>l. Б силу непрерывности
меры а мера ат множества DXtl равна 0. Следовательно, при ?п> 1
фм ="= 0 почти всюду по мере ат. Иными словами,. / = /0. Теорема
доказана.
Столь же просто найтя теперь необходимые н достаточные
условия перемешивания.
Теорема 2. Для того чтобы гауссовский автоморфизм Т
был перемешивающим^ необходимо и достаточно, чтобы последо-
вательность Ь(n) = J eintnkdo (k) стремилась к пулю при \п\ -*¦ «>.
Доказательство. Необходимость условия очевидна, по-
скольку b{n) = (Ut/, /), где f(x)=x(O). Докажем его доста-
точность.
Заметим, что соотношение Цш (?/?/, /) ->- 0, где /
^о(Л/ @ |л) достатон
Цш (?/?/, /) ->- 0, где / s
о(Л/, @, |л), достаточно установить для некоторого множества F
функций /, всюду плотного в Lq(M, ©, д). В самом деле, тогда для
любой функции /г ?p(AfT 0, р), I/I — 1 и яюбого е >0 най-
дется функция /' s F, f'/' — /II < е/3 и число «о(е) такое, что
304
4U"f, /')! < е/3 при всех п, \п\ > щ,(е). При таких п
1Ш, /) | = | (Р? (/ - f), /) + (?/?/', /-/') + (С?/'. /О I<
<|гт?(/-Я| + 1/-/'1 + 1иял'/'I<в.
Следовательно, lim (f/r/, /) -»-0.
Возьмем в качество множества F множество функтщй вида
N
2 /т, где /т е Д^'. Б силу ортогональности ЯЙ' при разных
т и их инвариантности относительно Ut I Ut 2 /m, 2 /m I =
= 2 {Urfm, fni)' Поэтому достаточно рассмотреть случай j = fm.
Пусть фт = (вСж0~Ж/«- Тогда по теореме 3 § 1
^i1" | <р„ A) |' dcr (
Обозначим через a(m) меру
с*а*...*сг (* — свертка). Мы имеем
m раз
Шт, /и) - j *2™ap (a) «W"> (a),
тде p(a)—условное математическое ожидание 1фт(М12 при усло-
вии 2 Xk = а. Так как фт е (?Й\ то j p (a) da(m) (a) < оо. За-
метим теперь, что j e2Jlinado(m) (a) = bm {n) -+ Опри \п\ -*- оо в си.
лу условия теоремы. Поэтому требуемое утверждение вытекает
из следующей обобщенной леммы Римана — Лебега.
Обобщенная лемма Римана — Лебега. Пусть дана
конечная мера vq на окружности, коэффициенты Фурье которой
\ e2JU" dv0 (%) стремятся к нулю при \п\ -*-оо. Тогда для любой
конечной меры v, абсолютно непрерывной относительно vo с плот-
ностью Р(Ь)=з?Г)» коэффициенты Фурье j emtKnp(ty dv0 (>.)
стремятся к нулю при \п\ -^оо.
Доказательство. Рассуждая, как и при доказательстве
теоремы 2, покажем, что достаточно доказать лемму для какого-
либо всюду плотного в пространстве Ll(Sly vo) множества плот-
ностей р{%). В качестве такого множества можно взять множе-
ство плотностей вида р {X) =2 afeX*ft (*-), где Хдь— индикатор
какого-либо интервала.
Достаточно вообще рассмотреть случай рШ = хЛХ), Найдем
последовательность тригонометрических полипомов РЛХ), для ко-
20 п. П, Корнфелг-л и др. 305

торых j | Рт (Ц — Х4 Щ [ dv0 (X)
j esnin>-p
- 0
при г ->• оо. Для каждого
Рг имеем, очевидио, j esnin>-pr (я.) dv0 (Я)->-0 при |г|-»-оо. Сле-
довательно, j ^"^хд (A.) dv0 (%) —»- 0 при \п\-*~<х>. Лемма доказана.
Если а абсолютно непрерывна, то в силу обычной леммы Рп-
мана — Лебега, bin) -*- 0 при \п\ -*-оо и, следовательно, в этом
случае автоморфизм Гаусса Т ~ перемешивающий. Существуют
сингулярные меры, для которых Ып) -*- 0. Б то же время можно
построить непрерывные сингулярные меры, для которых Ып) не
стремится к 0 при 1л| -*- оо Это показывает, что существуют ав-
томорфизмы Гаусса, обладающие слабым перемешиванием, но не
перемешивающие.
§ 3. Максимальный спектральный тип унитарного оператора,
сопряженного с гауссовскои динамической системой
Мы воспользуемся сейчас построенным в § 1 разложением
гильбертова пространства Ь*{М, @, |л) на подпространства #т
полиномов Эрмита — Ито для изучения спектральных свойств
гауссовских динамических систем. Напомним следующие обозна-
чения: от = ахах ... Xtr, а'7И'=о" * а • ... * а, где а — спект-
m раз тп раз
ральпая мера, отвечающая гауссовскои мере \i.
Лемма 1. Максимальный спектральный тип унитарного one-
ротора Ut, сопряженного с автоморфизмом Гаусса .Т, в подпро-
странстве /Г(т равен аы>.
Доказательство. Пусть функция / е Нт\ а Ф = (бт1) /-
Тогда при любом п
(Uxf, /) = (V"<P, <р) - j ехр Bпш 2 h) | Ф (>-!, ¦ • - ,К) I2 dff« = .
= j exp Bnina) p (a) da<m> (a),
где p(a)—условное математическое ожидание !ф(^,)|2 при усло-
вии ^] %k = а. Отсюда следует, что спектральная мера элемен-
та / абсолютно непрерывна относительно a(m). Для функции
/ = 9?и)A) эта мера, очевидно, равна a(m). Лемма доказана.
Теорема 1. Максимальный спектральный тип оператора UT
равен типу меры е° = 6 + a + aB'/21 + o(8)/3! + ..., где 6 — норми-
рованная мера, сосредоточенная в точке Х = 0.
Доказательство. Спектральный тип 5 реализуется па
подпространстве констаит. Поэтому утверждение теоремы выте-
кает из инвариантности подпространств Щ? и из леммы 1. Тео-
рема доказана.
30R
Для любой меры а на S[ мера е" * еа эквивалентна мере е".
Если бы у меры е" можпо было бы выделнть естественный носи*
тель Л, то это свойство означало бы, что Л + Л = Л, где Л + Л —
арифметическая сул!ма множества Л с самим собой. Поскольку
для гауссовских Динамических систем спектральная мера а сим-
метрична, то е° также симметрична, и потому — Л = Л. Иными
словами, носитель Л до лжей был бы быть подгруппой группы S1.
Однако в общем случае естественного понятия носителя меры
не существует, и тот факт, что максимальный спектральный тип
гауссовскои динамической системы есть е", следует рассматри-
вать как аналог группового свойства спектра, доказашюго в гла-
ве 12 для динамических систем с чисто точечным спектром.
Теорема 2. Если- спектральная мера а абсолютно непре-
рывна относительно меры Лебега, то в подпространстве L\ (M, @t
(J.) унитарный оператор UT, сопряженный с автоморфизмом Га-
усса Т, имеет счетнократный лебееовский спектр.
Доказательство основано на следующей лемие.
Лемма 2. Если мера а на S1 абсолютно непрерывна относи-
тельно меры Лебега, то найдется такое натуральное пг, что мера
о(т) эквивалентна мере Лебега.
Доказательство леммы 2. Пусть р{Х) — плотность ме-
ры а по мере Лебега, т. е. ^р = р {X},p{ty e L1 {S\ d%). Тогда
плотность меры аB) =а * о равна р% (к) = J р (к — |) р (?) d%. Не-
трудно проверить, что р2(Х) — непрерывная функция. Кроме то-
го, она четна, т. е. p2i— Я) =рг(Я), так как р(Я) — четная функ-
ция. Отсюда непосредственно вытекает, что функция р4 Ш —
= П d^ =\ р3 {к — Ь) р% (|) а% положительн
рестности Д точки "к = 0. Но тогда р8 {У.) = —^—
на в окрестности Д + Д = 2А и т. д. При некотором к будет, оче-
видно, 2АД=Э51, Следовательно, мера a(m>, где тп = 2Ь, эквивалент-
на мере Лебега. Лемма доказана.
' Из этой леммы и из теоремы 1 вытекает, что максимальный
спектральный тип оператора Ut в подпространстве ?0(Л/, ©, ц),
т. е. тип сг -f- crB'/2! + ст'3)/3! -\- ... — лебеговскип, а фупкция
кратности ni%) почти всюду раона +оо. Теорема доказана.
§ 4. Гауссовские динамические системы
с простым непрерывным спектром
В этом параграфе будет построен некоторый класс гауссов-
ских динамических систем, имеющих простой непрерывный
спектр.
Пусть Л — борелевское подмножество окружности S1 без ра-
циональных соотношений. Это означает, что равенство вида
20* 307
некоторой ок-
положитель-

n{ki +... + n^Xh = 0, где hj ^ Л, щ — целые числа, 1 =^ / =^ к и сло-
жение понимается по mod 1, возможно лишь если ni =...
... = лЛ —0.
Известно, что существуют совершенные множества без рацио-
нальных соотношений (доказательство более сильпого утвержде-
ния см. в приложении 4).
Теорема 1. Автоморфизм Гаусса Т, спектральная мера о
которого непрерывна и сосредоточена на множестве AU (—Л),
еде Л — множество без рациональных соотношений, имеет про-
стой непрерывный спектр.
Доказательство. Положим Ло = (О), Л] = Л U (—Л), As =
= A] +Ai, Am = Ai + ... -)- Л^под сложением множеств понима-
тп раз
ется взятие арифметической: суммы множеств, т. е. Ат= {%] + ...
..-+Я,™: Xj^Au i^j^m)). Тогда Ami П.Ата = 0 при тх^т2,
поскольку в противном случае мы имели бы нетривиальное соот-
ношение между точками множества
Л? :>.;+...+ V^ К + - • • 4- >-т2,
которое, в свою очередь, влечет нетривиальное соотношение меж-
ду точками Л, что невозможно.
Из доказанного вытекает, что максимальные спектральные
типы унитарного оператора UT в пространствах Н$, являющиеся
свертками а1т>, взаимно сингулярны при разных т, поскольку
мера о(т) сосредоточена на множестве Ат.
Покажем теперь, что кратность спектрального типа а(т| в под-
пространстве Ящ1 равна 1. Для этого заметим, что мера ат со-
средоючена па m-кратном произведении AjXAjX •-• xAt. По-
т раз
этому при изоморфизме 8т1 мы можем рассматривать только
симметричные функции ф(Х|, ..., %т), сосредоточенные на
А1х ... х At. Но каждую такую функцию можно записать в
т раз
виде ф(?-1, ..., Хт) =if(Xi + ... +Ju,). Это вытекает из того, что
для любого JieS1 уравнение X = Х\ +... + km либо имеет ml ре-
шети (Я], ..., X,m), Aj^Ai, отличающихся друг от друга переста-
новкой (если X ^ Ai +... 4-Л[), либо не имеет ни одного реше-
ния. Тем самым доказано, что пространство Я„ изоморфно про-
странству функций if(>,i +.¦ .+Хт) =--ф(Х), сосредоточенных на
Aj -h .. • + At н интегрируемых с квадратом по мере о("*\ а опе-
т раз
ратор Г7Г при этом изоморфизме переходит в оператор умножения
на ехр2л&. Это означает, что Н$ есть циклическое подпро-
странство для UT и atm)—максимальный спектральный тнп в
этом пространстве. Теорема доказана.
Следующая теорема является в некотором смысле обратной
к теореме 1. В ней будет доказано, что если на множество Л на-
ложить несколько более жесткое условие, чем условие отсутствия
рациональных соотношений, то всякий эргодический автомор-
физм, спектрально эквивалентный автоморфизму Т из теоремы 1,
на самом деле ему метрически изоморфен, т. е. является гаус-
совским автоморфизмом. Это показывает, что динамические си-
стемы с непрерывным спектром рассматриваемого вида близки
по своим сврйствам к динамическим системам с чисто точечным
спектром (множество Л хоть и континуально, но настолько бед-
ное, что сохраняет ряд свойств счетных множеств). Перейдем
теперь к точным формулировкам.
Определение I. Замкнутое подмножество Л окружности
S1 называется множеством Кронекера, если для любого непре-
рывного отображения ф: Л -*• S1 найдется последовательность це-
лых чисел пш такая, что
тах]фШ — exp2iuA,ras|-v0 при $^>- ос.
Нетрудно проверить, что всякое множество Кронекера явля-
ется множеством без рациональных соотношений. Действитель-
но, в противном случае из соотношения 2 п^ = О, Л^Л, мы
получили бы, что при любом целом п справедливо соотиошоняе
ехр Bя4п2 nAi) = П ехР {2ШпХ3п^ = 1,
т. е. П<р(«Аз) = 1 для любого непрерывного отображения (р: Л-»-
-*¦ S\ что, очевидно, неверно.
Если Л — конечное множество, то оно будет множеством Кро-
некера в том и только в том случае, когда Оно есть множество
без рациональных соотношений. Доказательство существования
совершенных множеств Кронекера см. в приложении 4.
Теорема 2. Пусть Т — эргодический автоморфизм простран-
ства Лебега (М, @, \х) и а— симметричная мера на S1, сосредо-
точенная на множестве Л+(—Л), где А — множество Кронекера.
Если максимальный спектральный тип оператора UT есть е" и
функция кратности равна 1, го Т метрически изоморфен автомор-
физму Гаусса со спектральной мерой а.
Доказательство. Утверждение теоремы будет вытекать
из более общего утверждения, которое мы сформулируем также
в виде теоремы.
Теорема 2\ Пусть Т — эргодический автоморфизм про-
странства Лебега (М, @, \i) и. вещественнозпачная функция foe
sL2(M, 2>, |а), такова, что ее спектральная мера о непрерывна и,
сосредоточена на множестве Ai=AU(—Л), где А — множество
Кронекера. Тогда случайные величины U^h = hn образуют га-
уссовспий стационарный случайный процесс со спектральной ме-
рой а.
309

Доказательство теоремы 2', Пусть координата % па
окружпости 51 меняется в пределах —л ^ X < л, а сложение по-
нимается по mod 2л. Разобьем полуокружность (О К X < я! на
полуинтервалы Д, = t^j-i, A,j), I ^ / =S m <oo, 0 = Aq <Xi < ...
..,<%т = л, причем %]&Ai. Через Е{А), AczS1, обозначил се-
мейство проекционных операторов, отвечающее UT, и положим
у3 = Ф(Д^ = E{kj)k, 1 =S j' =S т. Кроме того, мы можем считать,
что Л = (О К X < л).
Для произвольного набора целых чисел fe=Ufci, «,., um) рас-
смотрим случайный вектор у(к) = {Vh^-yu Uh^y2, ..., U^ijm).
Докажем, что распределение вектора yw не зависит от к.
Пусть ф(Х) = exp {ikjk) для А, ^ At П Д^, 1 < / ^ т. Функция
ф(Л) непрерывна па мпожестве Л. Поэтому найдется последова-
тельность целых чисел {nj такая, что lim exp (inqX) «= ф (X)
g-*co
равномерно па Л. Следовательно, J Upyj — UTqyj f = j I Ф {ty —
— exp (inq'h) |3 da (X) -v 0
при
Иными словами,
lim (Ufiyu ирУъ .. ., Upym) = y(li) в смысле сходимости в
1?{Ы, ©, ц). Так как Т — автоморфизм пространства М, то век-
торы слева имеют распределение, не зависящее от q и совпадаю-
щее с распределением вектора y = (yit #2, --., у»). Поскольку
при сходимости случайных величин L2(M4 ©, ц) отвечающие им
распределения слабо сходятся, мы получаем, что распределений
вектора y(h> совпадает с распределением вектора у.
Покажем теперь, что для произвольного набора борелевскик
подмножеств комплексной плоскости В*=(В\, В^ ,,., Вт) выпол-
няется равенство
Доказательство проведем С помощью индукции.
Пусть для любого fe<m показано, что \х{А\ П Ai П ... П Ak) =
*=}i{Ai) • \l(A2) ¦... • \1(Аъ), где А} = {х: y^Bj). Тогда из дока-
занного выше утверждения следует, что мера \i{A\ П А% П ...
... П Ак Л l^'Ai+i) не зависит от г. По эргодической теореме Бирк-
гофа — Хинчина
Следовательно,
что и требовалось показать.
31Q
Для любого л, — п^Х<л, положим &% = [—л, X) и ух —
= Е (ДО Л. = Ф (Дц,)« Последнее равенство определяет комплекс-
позначный случайный процесс, стохастически непрерывный в си-
лу непрерывности меры а. Так как Л нигде не плотно, то A)
означает, что i/я есть процесс с независимыми приращениями.
Структура процессов с независимыми приращениями доста-
точно хорошо изучена (см. Дж. Дуб [1]). Грубо говоря, каждый
такой процесс складывается из непрерывной компоненты, кото-
рая всегда является гауссовской, и из независимой от нее скач-
кообразной компоненты, которая распределена ло закону Пуас-
сона пли по закону, являющемуся композицией законов Пуассо-
на, Мы покажем, что в нашем случае скачкообразная часть
отсутствует. Это вытекает из того, что скачкообразная часть про-
цесса должна отвечать собственным функциям оператора UT.
Б эргодическом случае собственные значения простые и пе зави-
сят (modO) от реализаций у*.. Но это противоречит стохастиче-
ской непрерывности У\.
Перейдем теперь к более строгому доказательству. Рассмот-
рим пространство С<() комплекснозначных функций у\, опреде-
ленных иа [0, л), непрерывных слева и имеющих пределы спра-
ва, т. в. lim у%- = уи \\ m у%- = уг.+о существует. На этом,
пространстве можно ввести естественную топологию, так назы-
ваемую «топологию Скорохода», п порождаемую ею с-алгебру
©|с) борелевских множеств. Отображение х •-•¦ уАх) определяет
меру на а-алгебре, порожденной цилиндрическими ыпожествани
в пространстве всех функций ух(х). Обозначим эту меру снова
через \i. Цилиндрические множества и вся с-алгебра, пооождае-
мая ими, содержатся в @icJ. Мы воспользуемся следующим ут-
верждением (см. И. И. Гпхман, А. Б. Скороход [1]).
Для любого стохастически непрерывного процесса с незави-
симыми приращениями ух меру \i можно продолжить и притом
единственным образом на всю с-алгебру @<Е>. Отображение
х i-> у->Хх) сопоставляет почти каждому х элемент простран-
ства С{1).
Покажем теперь, что в нашем случае для почти каждого х
выполнено соотношение
Для любого Д -= [Я.', X") = [0, л) положим
У а - Их- - »v, К-\ {V + ">¦"), h = V - V,
Fa={x: I j,4 (Tx) - e-%4 (x) \ > IIя),

Тогда в силу неравенства Чебышева
С (Fa) < Ц1 |»д {Тх) - «'V (*) ЦЧм
= И1 j I е°- - еа" Р da (К) < гд • ° (Д),
А
Пусть !„, 1 sjp<oo,— разб]
луинтервалы длины л2~р, и
Я„= U U (
не полуинтервала [0, л) на по-
UGa), n=l,2, ...
Имеем:
S 2
< 2 21-*  о (А) < 2о ([- я, я)) -2"".
Так как 211 Ч^п) *< °° * то по лемиге Бореля — Кантелли почти
каждая точка х принадлежит лишь конечному числу множеств
Еп. Поэтому для почти каждого х и любого Х^ [О, я), обозначив
через Д,(А) элемент разбиения ?,, содержащий X, получим:
Ит | (/Др(М {Тх) - е*уА<р
+ 1™ Ца> | УдрA> | < Дт Uiipdi) = 0.
Для почти каждого х как у>.(х), так и уь(Тх) непрерывны слева
и имеют пределы справа при любом }.. Поэтому из последнего
соотношения вытекает, что для любого Л
ум (Тх) - ук (Тх) = еа Ш+о (i) - У1 (х)].
Теперь мы можем закончить доказательство теоремы. Для
любых е>0 и Де[0, я) через /Vir. обозначим число тех Хе^А,
где 1у»-ю(^) — !^Ы1 >е. Случайная величина NA,.(x) измерима
ц конечна с вероятностью 1, а по доказанному N&t,(Tx) =A^. ,(ж)
для почти всех д\ В силу эргодичности Т получаем, что N&i t(x)
постоянна почти всюду. Из пелочисленности iV4il и стохастиче-
ской непрерывности у^ заключаем, что при достаточно малых А
величина Nut(x)—0 почти всюду. Так как Na,, аддитивна по А,
то для почти каждого х при любом Д справедливо равенство
JV«, ,(х) — 0. Устремляя в ->¦ 0, получаем, что для почти каждого
х величина Ns, ,(х) = 0 при всех Д и е. Следовательно, функция
312
Ух(х) с вероятностью 1 непрерывна по к. "Утверждение теоремы 2
вытекает теперь из следующей известной теоремы (см. Дж.
Дуб Ш).
Если стохастически непрерывный процесс с независимыми
приращениями имеет с вероятностью 1 непрерывные реализации,
то он гауссовский.
Итак, ytXx) — гауссовский процесс, следовательно, случайные
л
величины Unh = J еги dyx = j етХд,Ф (К) образуют гауссовский
стационарный процесс. Теорема 1' доиазана.
Закончим теперь доказательство теоремы 2. Возьмем элемент
А, спектральная мера которого равна о. На основании теоремы 2'
последовательность 1#тй, —ос<;п<оо} образует гауссовский
стационарный процесс. Из теоремы 1 следует, что в под-
пространстве, натянутом на всевозможные произведения
U^.lh-U^?h-..: -U^h, спектр оператора UT простой и макси-
мальный спектральный тип равен е". Но это подпространство со-
впадает со всем L4M, @, ц). Теорема 2 доказана.
§ 5. Гауссовскне системы с конечнократным спектром
Б этом параграфе мы подробно изучим функцию кратности
для унитарного оператора UT, сопряженного с автоморфизмом
Гаусса Т. Естественно начать с ее анализа в одном пространстве
#??. При атом дело сводится к следующей задаче спектрального
анализа. Рассматривается гильбертово пространство симметриче-
ских функций фС^ь ••.! ^т), где kj^S1, с интегрируемым .квадра-
том по мере ст, н унитарный оператор Vi ф {).и ..., ^m)i-*-
о р т,
f 2ni 2 ^j j
<P (Vi ¦ ¦ •»
Оператор V унитарно эквива-
лентен ограничению оператора UT па инвариантное подпростран-
ство I?m, поэтому в силу леммы 1 § 3 максимальный спектраль-
ный тпп оператора V равен о<Ъ1). Задача состоит в нахождении
функции кратности пп{Х) оператора V.
Мы будем пользоваться представлением меры от в виде от =
= o(m|vm(-la). Здесь для почти каждого а по мере aim) мера
•Vm(-lct) — это симметричная мера на (т — 1)-ыерпом торе
Тога = {(Xj, ... Дт) s Tor: Xt 4- --• 4- Кп = «1;сложеиие, как
обычно, понимается по mod 1. Написанное равенство для ме-
ры ат означает, что для любой ограпнченнон измеримой функции
/а, ?w)
Длн почти каждого а по мере offfl), если мера vm(-let) дискретна,
то она сосредоточена в р-т\ точках, />>1—целое или /? = «>.

При р>1 обозначим через А'™} множество таких a^S\ что
нерп vm(-lce) сосредоточена на множестве Na из р ¦ ml точек,
не пересекающемся ии с одной диагональю Xi = kj, 1Ф). Пусть
далее А^ = 5'1\ U А{™\ через Ср' обозначим ограничение ие-
p=i
ры а{т) на множество А(™\ р = 1, 2, ..., оо.
Теорема 1. Функция кратности пт(Х) равна р иа множе-
стве Ар .
Доказательство. Будем считать, что координаты kj,
J==l, ..., м, на торе Тог меняются в пределах 0^Х><1. Фун-
даментальной областью для группы Sm (с точностью до грани-
цы) служит множество D = {(A.i, ..., %m)\ Х\ >ta>... >km).
Пусть Na = NauD, 0<а<1. Множество Л/L при почти всех
aeip"" (п0 мере a('al) состоит из р точек, и No. есть симметри-
зация JVa.
Будем сначала считать, что р< ао. Введем на торо Тог ко-
ординаты a —Xi + ,., + Х„, и pi, ..., ?L-i, являющиеся линейными
координатами на каждом торе Тог™ = {(Хг, ..., km): Ях + .. . -h
+ Л™ = а). Это можно сделать, так как расслоение тора Тог™
на торы Тог™'1 является прямым произведением. Через Е1™*
обозначим множество таких к = (Ai, ..., km) s D, для которых
Мы воспользуемся следующим фактом из теории меры: су-
ществуют такие измеримые множества D\t ..., Dp с: ?)? что:
1) c,,,lD()>0, l^iK
2) Dt{]Ds^0 при
(
D)
4) для каждого а^А%} иересеченпе JDi[\Tora l состоит из
одпой точки, прнпадлежаптей множеству Na.
Рассмотрим подпространства IIt, I =S i < р, пространства Q(?\
состоящие из симметрических фупкцнй, сосредоточенных на мпо-
жестиах ?f?\ получающихся в результате симметризации ?>f.
Полошим D<g> = U Z??. Так как Df попарно не пересекаются, то
i=I
р
IIi попарно Ортогональны, а из 3) следует, что ф^ ffj есть под-
i=i
пространство пространства Qm, состоящее из функций, сосре-
доточенных на симметризации ?"р .Каждую функцию из подпро-
странства Hh lKi*Cp, можно записать б виде ф(Х], ..., >„„,) —
= *|з(А,1 +.. .+ Ят) = 1р(оь). Поэтому оператор UT в каждом Ht
унитарпо изоморфен оператору умножения на exp 2nia в про-
странстве функций ф(а) на D с интегрируемым по мере a^m>
квадратом модуля. Для р<-°° теорема доказана.
31 \
Если р = °°, то при сколь угодпо больших N справедливо
JV
включение й» zd U Oj, где множества Й( обладают прежними
i=i
Свойствами. Отсюда следует, что пт{%) ^ N для X е -4« , Ввиду
произвольности N теорема доказана.
Определение 1. Мера а принадлежит классу D, если
<j(m)UtM))=0 при всех m>i.
Мера, сосредоточенная на множестве без рациональных соот-
ношений, принадлежит, очевидно, к классу D. Если о—мера
класса D, то для почти каждого % по мере а{п> уравнение
X = Х\ + •>. + %m имеет конечное число решений. Неточность это-
го высказывания в том, что мы не имеем естественного понятия
носителя меры и поэтому не можем сказать, к какому множеству
принадлежат к,. Для мер класса D функция кратности спектра
оператора Ut в каждом подпространстве Hlm почти всюду ко-
нечна. Гауссовские автоморфизмы, для которых мера а принад-
лежит классу D, являются наиболее близкими к автоморфизмам
с дискретным спектром.
Теорема 2. Пусть п(к) — функция кратности унитарного
оператора Ur, отвечающего эргодическому автоморфизму Гаусса
Т. Тогда либо п{\) = \ для почти всех к по мере максимального
спектрального типа, либо функция п(к) неограниченна.
Доказательство. Пусть a — спектральная мера автомор-
физма Т. Если а{т) {Л'^) >• 0 хотя бы для одного т, то утверж-
дение теоремы, очевидно, выполнено. Если с(тП) (.Др™*) ~ 0 при
всех р>1 и всех т>1, то утверждение теоремы также выпол-
нено. Остается рассмотреть случай, когда сг "*' [А™) >• 0 при
некоторых т, р, т S* 1, />> 1. Мы покажем, что при этом предпо-
ложении функция кратности оператора UT) рассматриваемого на
подпространстве Н^т, принимает значения, не меньшие чем р2,
на множестве положительной меры. Более точно, мы построим
р ортогональных циклических подпространств в пространстве
1[(т, имеющих одинаковый спектральный тип, и с их помощью
построим р2 ортогональных циклических подпространств в про-
странстве #гт, также имеющих одинаковый спектральный тип.
Рассуждения удобно разбить иа отдельные пункты.
1. Пусть А — подмножество тора Тог7". Назовем крестом Сг(Л)
множества А множество таких X=(kif ..., km) ^ Tor™, для кото-
рых найдется хотя бы одно ?=(К], ..., XJi^A такое, что Xi = ki
хотя бы для одного t, I < i < та. Симметризованным крестом
Сг(а)С4) множества А назовем симметризацию СгС4), т. е. мно-
жество орбит симметрической группы 5™, проходящих че-
рез Сг(<4). Будем считать, что каждая координата Xj меняется в
пределах 0^^<1. Фундаментальной областью группы Sm (с точ-
ностью до границы) служит множество D = {{ki, ..., Xm) ^Tot™:
>> >К)
315

Мы построим 2р попарно не пересекающихся измеримых мно-
еств SpcD « = 1,2; 1<А<,р, таких, что:
?!2|
1) Cr(s|(?*1))n?!2|=0, Kfc, l<p;
2) найдутся измеримые множества Си
я то
для которых
(т
при всех
i, о1** (d) >-О,
|а)>сопр1>0
| а) > con st >• О
3) найдутся измеримые подмножества C
^cCS) ст(т|(^2)>0. для которых ут
для любого а е С\ и любого A, j =S k =? р, и vm
для любого ее е С2 и любого A, i^hKp,
Здесь Vmt-lcc)—условная мера, индуцируемая мерой аш на
торе Тог™ = {(Я1( ..., Хт) е= Тогт: ^ + ... + 1т = а}.
2. В этом пункте мы выведем из существования множеств
/?а*' требуемое утверждение о кратности спектра.
Пусть Ха ' — индикатор множества ^^ (] ?t- Рассмотрим
циклические подпространства Нк h порожденные функциями
Хм = 5Bт| [и1» (?.lf ..., М XS2) (С-ь .. -Л™)]. 1 < *. К Р.
Мы покажем, что носители функций х». t попарно не пересекают-
ся, откуда будет вытекать ортогональность Я* t при разных па-
рах (к, /).
Предположим, вопреки тому, что нам нужно, что носители Хц
н Хы имеют непустое пересечение. Это значит, jtto найдутся точ-
(j-i, ..., >.rm) e St2) такие, что если X= (X,j, ...,?-m, Я1, ...Дт).
Я, = (X1, ..., Ят, ?lf ..., Xm), то координаты точки Х можно так
переставить, что получится X. Эта перестановка должпа перестав*
лять между собой по отдельности X* и "к^ так как в противном
случае В~} пересекалось бы с Сг(8|(#=а)). Но такая перестанов-
ка должна быть тождественной, поскольку все (^, ...ДД
{%!, ...,Хт), (Я1? .,.,Кт), (Хх, ..., Хт) лежат в фундаментальной
области. Так как выполнено хотя бы одно из неравенств кФк,
1*^1, то ХфХ. Тем самым ортогональность различных
Нк. i доказана.
Исследуем теперь спектральный тип ps_, каждой из функций;
X», (. В силу предыдущего этот спектральный тип подчинен типу
меры а1Ы) и плотность р (а)
316
—^ (а)
равна условному мате-
матическому ожиданию 1^ il3 при условии, что фиксиро-
ваиа сумма а = 2 ^j. Далее, ул , ^ 0, и поэтому это услов-
ное математическое ожидание ограничено снизу величиной
co (| t>*> ГI) б ой измеримой
фу
е математи
nst Е (| Xht>Xi*> ГIа)* Для любой ограниченной измеримой.
ункции / ^ 0 на S' имеем
I / («) Е Ш11)' (xi!1)! I«]
" (а) = П /(>.,+
> const j f I / (а,+а,) daim> (a,) doim) (a,). A)
Заметим, теперь, что мера
р (Д) - [ f ХЛ (
m> (ец)
абсолютно непрерывна относительно меры a<im) и ие равна
нулю. Иными словами, найдется подмножество Дос S1, где-
меры aBin) и р эквивалентны. Это вместе с A) означает, что
спектральный тип каждой из функций %к< ( подчиняет тип огра-
ничения меры оBт> иа множество До. Следовательно, функция
кратности на До не меньше, чем рг.
3. В этом пункте мы построим требуемую систему множеств
Введем иа торе Тог координаты а = Х\ + ... + %т и ?i, ...
..., 6т-ь являющиеся линейными координатами на каждом торе
Тог"~а == {(>>!, - - - Дт): Х,г + ... 4- Хт = а}. Построим после-
довательность разбиений |„ тора Тог'", где элемент каждого ?л
имеет вид
С[пХ »„_, - ((a, plt ..., fL-O: л
Этн разбиения, измельчаясь, сходятся к разбиению на отдель-
ные точки. При достаточно большом п найдутся такие ka н
к\1\ 1</<го-1, ! = 1, ...,р, что С*"'», <ц = D и
ат(С»л*") s(IL1)/'ImfC*»)>e("
не зависящая от ft, ьло= I
Положим В\1> — С "'([) <
"о.ft, • ¦¦¦'ят
¦-¦¦
— постоянная,
Тогт: /с„/2" < S h < (fco + 1) /2"Ь
и рассмотрим множества Сг"' (Si")-
31Т

При п ->- оо сумма мер множеств Cr s* (l?i1J) стремится к 0 в
силу непрерывности меры а. Поэтому найдутся такие ка и р на-
боров к\1) й?>_1, 1^г<р,чтоЛ0 _<_,, ncrts|(sS1)) = 0,
Пусть теперь ^'^UTor™, Q<2) = UToi?~\ где суммиро-
вание происходит по таким ее, что vmEi1' a)>8^, vm(S[3||a)>-
>-?о в первом и втором случае соответственно. Множества
р р
доказана.
являются искомыми. Теорема
Ч А С Т Ь IV-
ТЕОРИЯ АППРОКСИМАЦИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
ГЛАВА 15
АППРОКСИМАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В конструктивной теории функций изучается связь между
свойствами функций и скоростью их аппроксимации функциями
из того или иного фиксированного заранее класса. Аналогичным
образом в эргоднческой теории можно научать зависимость раз-
личных свойств динамической системы от скорости ее аппрокси-
мации периодическими динамическими системами, которые с раз-
лык точек зрения являются простейшими. Мы увидим, что мно-
гие свойства динамических систем тесно связаны с характером
их аппроксимации.
§ 1. Определение н виды аппроксимаций.
Условии эргодичности и перемешивания
Пусть Т — автоморфизм пространства Лебега Ш, @, \х). Мы
будем рассматривать последовательности
конечных разбиений
{|,.} пространства М и автоморфизмов {Тл\ такие, что Тп сохра-
няет разбиение %п. (Автоморфизм Тл сохраняет разбиение |п, ес-
ли он переводит каждый элемент разбиения |„ в элемент того же
разбиения.) Элементы разбиения |„ обозначаются через С™\
. Через ©(?„) обозначается о-алгебра подмножеств нро-
Л/, состоящих (mod 0) из элементов разбиения |„. За-
есть разбиение М на отдельные точ-
найдется последовательность
-* oq. Так
страпства
лись
е при п-*- °°, где е
)зыачает, что для любого
таких, что
) -»- 0 при п
как число элеме
штов разбиения ?„ конечно^ то траектория каж-
С i" конечна, т. е. при некотором
;п) = С\П1. Для дальнейшего несущественно, как
точки внутри СТ', ио удобно считать, чт
в», будет
реставляет т
для любой точки
Тт?х = за
Чепез рп обозначим порядок Т„, т. е.
1 Tfn^;
д
наименьшее натуральное число, при котором Tn d.
Определение 1. Пусть /(пI0. Автоморфизм Т простран-
ства (М, ©, \х) допускает аппроксимацию первого рода периодиче-
скими преобразованиями (а.п.п. I) со скоростью /(и), если най-
31*

дутся последовательность разбиений %„ -*¦ е и последовательность
автоморфизмов Тщ сохраняющих ?„, такие, что
1, 2, ...
Если же для последовательностей {?„}, {Г»}, где Тя есть периоди-
ческий автоморфизм порядка рп, выполнены пераведства
с1? л г»с?>) < / (рв),
2
1=1
1,2,...
л иТп^-11т в сильной топологии операторов в L4M, 0, ц), то
Т допускает аппроксимацию второго рода периодическими преоб-
разованиями (а.п.п, II) со скоростью /(п).
Еслн автоморфизм Т допускает а.п,п. I, и Тп циклически пе-
реставляет элементы |„, то Т допускает циклическую а.п.п. со
скоростью /(/г).
Непосредственно из определения вытекает следующая лемма.
Лемма 1. Для любого Е^& и любого натурального s
ц (ГЕ Д ТпЕ) < 2 AT (TIE) Д Тгп+1Е).
Доказательство. В силу неравенства треугольника и ин-
вариантности меры
ft (TSE А КЕ) < ц (№ Д Г-^Я) +
4
¦Лемма доказана.
Лемма Рохлина — Халмоша, доказанная в § 4 главы 10, пока-
зывает, что всякий автоморфизм можно аппроксимировать перио-
дическими. Ясно, что чем быстрее автоморфизм Т аппроксими-
руется периодическими, тем хуже его статистические свойства,
т. е. свойства перемешивания и эргодичности. С другой стороны,
достаточно хорошая циклическая аппроксимация, как мы уви-
дим, гарантирует эргодичность автоморфизма. Приведем ряд точ-
ных утверждений о связи эргодичности, перемешивания и спект-
ра со скоростью аппроксимации.
Теорема 1. Всякий автоморфизм Т допускает а.п.п. I со
скоростью /(/г) = а„/1п и, где ап — произвольная монотонная пос-
ледовательность действительных чисел, стремящаяся к бес-
конечности.
Доказательство. Теорему достаточно доказать для апе-
риодического Т. Общий случай сводится к этому с помощью раз-
ложения на периодическую и апериодические части.
320
На основании леммы Рохлина — Халмоша для любого п вай-
яется множество Ап е @ такое, что ГМ» попаряо не пересекают-.
ся пра 0* 4* л — 1 и ц( U Г*Л„) i> 1 — 1/п.Определим ап-
U-o /
проксимирующий периодический автоморфизм Т. соотношением
Тх,
^,
если
, если
если
IE
IS
IE
U '
r-
гЧ
и
ft—0
Построим теперь требуемую последовательность конечных
разбиений ?п. Вначале, начиная с достаточно больших п, возьиен
произвольную последовательность конечных разбиений t>., t>,-*• в
при п ->- °°, где число Jt, элементов разбиения г)„ настолько вели-
ко, что Jt»>81nJt., и удовлетворяет неравенствам 2'&кп<
< min (а„, п). Пусть S. — разбиение, одним элементом которого
служит М\Ап, а остальные ииеют вид An П Сгв П Т Сгг П • • •
... !)T~n+lCrn_t, где Cr(, 0<i<n —1, пробегают всевозможные
элементы разбиения t\n. Тогда Г»Е» при 0 < р < л — 1 есть
Разбиение, которое разбивает Т'А„ так же, как Е» разбивает А„
и является вырожденным на ЛЛГМ», т. е. Л^\ГМ» есть элемент
разбиевня Т\„. Кроме того, па каждом Т'А. разбиение 5» явля-
п-\
ется измельчением ц„. Разбиение V Т t* совпада
5, ва
каждом ГМп, 0 < р ^ п — 1, и М\ U Т"А„ есть элемент этого
разбиения. Положим окончательно |п = V Т t,n. Тогда на мно-
И—1
жестве Л/\ U Т Ап разбиение S» есть измельчение разбиевия
•Пп. Ясно, что |» ->¦ е при п -<• ™. Равенство Т„\* => |„ вытекает
непосредственно из определения Г».
Число д, элементов разбиения 5» не превосходит в силу
построения величины пк* +1. Поэтому, пользуясь неравенством
л<2°-1<А;-1, получим
Отсюда l/Bn) < In kjia g». Имеем окончательно
2
1=1
Теорема доказана.
31 И. П. корифелья н
(m\\J 1*А„)
< 4/п < 8 In *„/1п д
321

Теорема 2. Если автоморфизм Т допускает циклическую
аппроксимацию со скоростью /(я) =* 8/и, 8^2, го число различ-
ных его инвариантных множеств положительной меры не превос-
ходит 8/2. Иными словами, число эргодических компонент авто-
морфизма Т не превосходит 6/2.
Доказательство. Предположим, вопреки утверждению
теоремы, что можпо найти т>9/2 непересекающихся множеств
®, fiU,)>0,
таких, что TAt**At и U Л» =
i
i=l
= M(modO). Приведем это допущение к противоречию.
Пусть а = min u (А$ и б — фиксированное число, 0 < б < 1.
KUm
В силу условия |п -*• вг при достаточно большом п найдутся мно-
жества А(Гп) & © (|п) такие, что
A)
Отсюда непосредственно следует, что для каждого г найдется;
элемент Сг*° = С*™' разбиения \п, С^ с: А"\ для которого
Действительно, в противном случае мы получили бы, что
< A - в) |» {Лп)) < р. (Аг) A - «) A + 6) = |> (Л,) A - 6»),
т. в. ц^!."' Д Л,)>6г'A (Л,)>82а, что противоречит A).
Положим С = Ciw). Так как автоморфизм Тп циклическтг
переставляет элементы раабиения %п, то найдутся такие "числа
к„ 1<У«т, что 0<!d<h<...<:km<g,, Г*'С = С™ н (г„
га, ...,гт) есть перестановка чисел A, 2, .... т). Обозначи»
*m+i ¦= Зп и 4Гт+1 = Alt будем иметь
(г^СП 4^X16)/
Отсюда вытекает, что для 1 = 1, .... m
С другой стороны, учитывая, что АГ. аивариантны относительно
Г, получим из B)
Поэтому
>2ц{{Tkl+t'ki{T"JC)\ti"^ {fi
Полагая теперь в
иметь
(ri'c) n ii j - ^ (
>2(A -в)/9„ -
лемме 1 s = к^+1 — к^, Е = ТпС, будем
(rfc) л 4,,)]>
- 46),V C)
С
Сложим эти неравенства для всех /—1,
... Тогда в силу C)
и поэтому т < 6/B— 46). Ввиду произвольности 5. теорема
доказана.
Следствие. Если автоморфизм Т допускает циклическую
а.п.п. со скоростью Q/n, 9 < 4, го 7" эргодичен.
Теорема 3. Если автоморфизм Т допускает а.п.п. II со ско-
ростью 9/п, где Q <2, то Т не обладает перемешиванием.
Доказательство. Можно считать, что Umpn = oo, no
скольку в противном случае из условия ^тп-^^г следует, что
Т периодичен.
Допустим, что Т — перемешивающий автоморфизм. Для про-
извольного целого к &* 2 возьмем множества A,-, (t(Ar) <ci/A,
1<г<*, АГх[\Агг=0 при Г! ^г^ и U A, = M(modO). В слу-
чае перемешивания должно бить цт 2 ц(т"пАг{
п-юа г=1
21* 323

Фиксируем произвольное о" > 0. При достаточно больших п
найдутся множества Af' е ® (|„) такие, что ц (-4, д Л(гп)) < 8/*,
1<г<4. Тогда
J; (• (Vm, д лг) < r21« (^"ч д грп)) +
Ясво, что 0 * Si = 2з < 8. Далее, на осповавин леммы 1
2, < 2 ц (г'М"' л dp) = 2II (*"Vi"> д r'"cin)) <:
< 2 V ii (г (rict>) д г„ (ric',">)) -
= V 2 ц (г (Пс1,"») д г» (ficin)))-
Так как Г„' действует как перестановка элементов разбяеия»
?*, то все внутренние суммы прв рааных / равны между еобой,.
н поэтому
2, < Р» 2 |i (ГС', Д Т„С<Г) < 9.
Возвращаясь к D), мы будем импть
к
Г2
2 f1 (гР"Л' Д -*г) > 1 - 6- 8/2.
Следовательно,
A
2 Ц (^"Л П А,) =
Левая часть при п -*¦ «> стремится к 1//е. Ввиду произвольногтп>
А а б и условия 6 < 2 получаем противоречие. Теорема доказана.
• § 2. Аппроксимации и спеитр
' Из характера аппроксимации данного автоморфизма периоди-
ческими можно во многих случаях извлечь определенную инфор-
мацию о спектре автоморфизма. 6 этом параграфе будет доказа-
на общая теорема о связи между аппроксимациями и кратностью
спектре.
Теорема \. Если автоморфизм Т допускает циклическую
й.п.п. со скоростью /(л) = 8/п, в < 2 — 2//л, m ^ 2, то функция.
п{%) кратности спектра оператора UT не превосходит (ш—1):
Доказательство основано на следующей общей лемме из спект-
ральной теории унитарных операторов.
324
Лемма \. Пусть U — унитарный оператор в сепарабелъном
гильбертовом пространстве /7, о — мера максимального спектраль-
ного типа для Ui п(\) — функция кратности U. Если n(X) > m на
множестве EczS{, o(#)>0, го найдутся m ортогональных нор-
мированных векторов hll\ .... ft*™» таких, что для любого цикли-
ческого относительно U подпространства Н' <=Н и любых тп век-
торов одинаковой длины g{ti g{m>^H't Pg(l)D—o, i^i<m,
справедливо неравенство
Доказательство. Согласно основной теореме о каношгче- '
сном виде унитарного оператора (см. приложение 2) пространство
Н можно разложнть в непрерывную прямую сумму Н =*
•= ] Ф Rxdo (К) гильбертовых пространств Нх, ^s «У1» по мере о,
s1
причем
1) nOO-dimff,;
2) всякое циклическое относительно U подпространство Н'
имеет вид И' — J ф ffido(X). где Д^.<= Я», и dim Н[. <1 для
si
J
si
почти всех X по мере а.
Пусть Х&Е и ej,11, ...
Н,. Положим fe(i)- (С
— первые го векторов базиса в
¦.«•*ie-wAe дая
Ясно, чтоЛА<"П-1, (А">, Л'») = 0
если
»,?вд,
при f ^= /.
Через е\ обозначим нормированный вектор нз Яь, если
dim Я>,' = 1и 0 в остальных случаях. Для произвольных g1" s И'
ll?«il _ а, имеем
|((I>('))|
2 lA(i) - J4> m A + a') - 2 2 I (A'". ?"») I-
si f-i
Запишем каждый вектор gm в виде
Aw = eL'W, Itf'l-lri."!^ Тогда
^i", leS1}, где

На основании неравенства Коши — Буняковского
Б силу неравенства Бесселя второй множитель в подынтеграль-
ной функции не превосходит 1. Поэтому
Окончательно получаем
SII ^ - ?"Т
A + <•") - 2a /
Лемма доказана.
Доказательство теоремы. В силу следствия из тео-
ремы 2 § 1 автоморфиам-Г эргодичен и, не уменьшая общности,
можно считать, т;то инвариантная мера \х непрерывна.
Пусть кратность спектра оператора UT на множестве положи-
тельной меры максимального спектрального типа не меньше, чем
\п. Выберем векторы /ьш, ..,, him> такими же, как в предыдущей
лемме и зафиксируем б > 0. Из условия ?„ ->- s следует, что при
достаточно большом п найдутся функции h^,..., /t'^e Ьг (М, ®,
М-), \Ъ$\ = 1' измеримые относительно a-алгебры @(sn), и такие,
что иA>-А»}1<6, l<i<m.
Возьмем такое п и для произвольного элемента С рязГшешш
Сп ПОЛОЖИМ Я* = П Г"*(ГиС). ЯСНО, ЧТО
gnl
2) ц (Si) > u (С) - -f 2 II (ГГ^С Д TV'C) > (l - -f) ^
Функции Ап , пользуясь цикличностью Г,,, запишем в виде
fc'»0 W = 2 Oc GU). Заметим, что 1 = | ft'»41* = — 2 I »"* !*¦
Пусть Bncz.Bn — произвольное множество, для которого
= A J* ) ¦»"¦ Рассмотрим циклическое подпространство
Я', порожденное функцией %в„. Положим
Тогда
Кроме того,
I
в 1 _ 9 V 11«> |« _ в
к=о *" 1-0
Поэтому \hfn — г'"|< /9/2 + 6, а на основании леммы 1
m (/972 + &у > 21 л«> - г"> р > 2II *к" - sl" Г -
i=i i=i
- .2 1Й'' - ftli)|2>m A + 1-6/2-2 /Г=т1/ /S) - шв.
Ввиду произвольности 8
или 2-9< /2 /2~^"В.1//т, /т< /2/B-9),
т<2/B-в), 9>2-2/т,
что противоречит условию. Теорема доказана. л
§ 3. Одно применение теории аппроксимацнй:
пример эргодического автоморфизма без группового
свойстве спектра
С помощью теории аппроксимации можно построить нримеры
автоморфизмов с неожиданными спектральными свойствами.
В этом параграфе мы обсудим вопрос о так называемом группо-
вой свойстве спектра эргодических автоморфизмов.
«27

Согласно теореме 1 § 1 главы 12 для эргодических автомор-
физмов Т точечный спектр А*(Т) есть подгруппа группы 5', т. е.
1) если ХвЛЛЯ, то Лг1 елЛГ),
2) если Jii, Я2^Лй(Л, то A,iMeA,(r).
Это свойство спектра, которое называется групповым свойством,
можно сформулировать иначе, так что в новой формулировке оно
в принципе может относиться не только к точечному спектру.
А именно, пусть Т — автоморфизм пространства с мерой (М, ®,
д), UT — сопряженный с ним унитарный оператор и р — макси-
мальный спектральный тип UT.
Рассмотрим следующие два свойства типа р:
1") тип р симметричен; это означает, что для любой меры о
типа р мера о' на S', определяемая равенством о'(С) = о(—С),
где — С= йе5': — MmodD^C}, также принадлежит типу р
(здесь мы снова отождествляем ?' с полуинтервалом 0 *? Х< 1);
2') р»р = р; прв этом под типом р*р понимается тип мер,
представимых в виде сверток мер типа р.
Дли дискретных типов свойства 1'), 2") эквивалентны соот-
ветственно свойствам 1), 2). Из 2') вытекает, что если р под-
чиняет некоторый тип, абсолютно непрерывный относительно
меры Лебега, то р подчиняет тип меры Лебега. И действительно,
но всех примерах, которые были разобраны до сих пор, абсо-
лютно непрерывный тип всегда оказывался лебеговским. Далее,
свойства 1'), 2') выполняются для гауссовских динамических
систем (см. § 3 главы 14)..
Проверим, что 1') выполнено для любого автоморфизма. Дей-
ствительно, пусть / е &2ffl, ®, и.) имеет спектральную меру о, т, е.
1
(?/?/, О = J / (Т"х) fix) dp. (х) = J е"""Ыс (X).
о
Тогда
(UtJ, 7) = J f(T"x) f (i) df. (x) = I f (Гх) Щ d[i (x) =
ia (X) =
(- X)
о о
где Aj'(X)-=*j(-?i).
Это показывает, что множество спектральных мер а симмет-
рично, т. е. вместе с каждой мерой о в атом множестве содер-
жится мера а'. Тем самым 1') доказано.
Покажем теперь, что 2') в общим случае неверно.
Пример эргодичесиого ввтонорфиама со смешанным спектром,
не удовлетворяющего 2'). Пусть простравство о мерой Ш, ®, р)
есть прямое произведение М = ?хх^, где S1 —единичная ок-
ружность с мерой Лебега р, отождествляемая с полуантервалом
0^х<1, а Ze = A, — 1} — группа квадратных корней из едн-
виды с нормированной мерой Хаара, Точки пространства Ы запи-
сываются в виде U, у), jeS1, у —±1. Веяная функции /^
eL2(Jtf, ®, ц) имеет вид /(х, у) = fiix) + yfM). Ясно, что (/i,
yfz) = 0. Поэтому предыдущее равенство означает, что L2(M, ®,
A) = Я+«Д- где H* = {fix, yh fix, 1)=/U, -1) почти всюду),
Я- = {/(х, у): /(х, 1) = — f(x, —1) почти всюду), т. е. Я+ есть
подпространство функции вида fix), а Н~ есть подпространство
функций вида yf(x).
Пусть Т — поворот окружности S1 иа некоторый угол а, т. е.
Тх = :r + a(mod 1)
f—1, если xs= @, р),
"(ДН 1, еслихе№,1).
Рассмотрим автоморфизм S пространства М, действующий по
формуле Six, у) — (Га;, w(x)y). Я«но, что S есть косое произве-
дение, построенное по автоморфизму Т и функции w. Автомор-
физм S, очевидно, можно реализовать также как перекладывание.
Пространства Я+, Я~ инвариантны относительно V!я, н Uv
в пространстве Я+ имеет чисто точечный спектр.
Лемма 1. Пусть числа а, р удовлетворяют условиям:
1) а иррационально и существует последовательность несок-
ратимых дробей kn/mn таких, что lim m^. \ Arn/mn — а | =0;
2) существует постоянная с, 0<с<1, при которой для всех
целых г \г/пг„ — $\ > с/т,,.
Тогда оператор UB имеет в Н~ непрерывный спектр.
Лемма 2. Предположим, что автоморфизм Т допускает цик-
лическую а. п. п. со скоростью fin), п/(л) -* 0 при п-*-°° и {&,},
{Тп\ — соответствующие последовательности разбиений и аппрок-
симирующих автоморфизмов. Пусть, кроме того, для каждого п
существует множество В„, состоящее из dn элементов разбиения
?„, dn нечетно, и р([0, $)AB*) = oil/qn), где qn —число влемен-
тов разбиения |„.
Тогда lim I U4nj 4-/1 = 0 для всех |еЯ",
Лемма 3. Пусть о — нормированная борелевская мера на
S1 такая, что J e do (X) -*—1 5ля некоторой последователь-
ности qn —*¦ <». Тогда меры с и о * а езаимно сингулярны.
Леммы 1—3 докажем поаже. Выберем числа а, ? обладаю-
щими свойствами 1), 2) леммы 1. Предположим Дополнительно,
что найдутся последовательности несократимых дробей *->'»*
{IJqJ такие, что 1п нечетны и
Нетрудно проверить, что такие пары чисел at ^ существуют.
Условия леммы 2 окажутся выполненными, если взять в начестве
329

En разбиение [0, i) на полуинтервалы Ci"' = [(i — 1)/?„, i!qn), К
*S^*S9ii> а в качестве Г„ — автоморфизм Т„х = I +
-f-ji (mod 1), и положить В. — [0, г«/?„).
Из леммы 1 вытекает, что оператор U/, имеет в Я" непрерыв-
ный спектр. Возьмем нормированный вектор / s H~, спектраль-
ная мера а которого принадлежит максимальному спектральному,
типу Us в Н~. Тогда из леммы 2
o (I) = (U, /)-* -(/,/) =
О
а из леммы 3 следует, что а*о сингулярна по отношению к о.
Пусть v+ — максимальный спектральный тип Us в ff*, ко-
торый будет, очевидно, дискретным, и v~ — максимальный спект-
ральный тип Ua в Я", который по лемме 1 непрерывен. Тогда
v+ + v- _ максимальный спектральный тип UB в L4M, ©, р.), и
(v+ 4- v~)*(v+ + v~) — у+ + v+»0 + а*а. Это тип не может сов-
падать с v+ 4- а, поскольку а*а сингулярна по отношепию к о,
что и требовалось показать.
Доказательство леммы 1, Бслн вектор f=yg<=H~—
собственный для Ub с собственным значением Х} то для почти
всех х выполнено равенство ygix + a)w(x) = kyg(x). Положим
v>\{x) = Mw{x))~l. Тогда почти всюду g(x + а) *» wx{_x)g{x)t
Отсюда следует, что функция I #"(#)! инвариантна (mod 0) относи-
тельно Т. Поскольку я иррационально, то Т эргодичеп, н
\g(x)\ == const почти всюду. Будем считать, что lgWI=l почти
ксюду. Тогда мы можем записать: g{x + a)/g(x) = Wi(x). Под-
ставим в последнее равенство вместо х точки х + га, 0 ^ г < тл,
и перемножим полученные равенства: '
Так как х + тпа стремится к х при п
= JI»in)<*)-<
A)
При Л -*- оо.
Пусть ?<»> (x) = if и,, (х + r h. \ p _ Гл/Ип.
с<е„<1- Г~° "
имеет вн„П° УСЛ№ИЮ С < 8" < » ~ ^Легко проверить, что „-,<«<
И/1 ^Xj =
если {
если {?„х}>0П|
где Xi ?¦ Х,2. Ипыми словами, w[n) (x) принимает два значения,
отношение которых равно Я2/Я1 Ф 1, и каждое значение принима-
ется на множестве меры, большей const > 0? т. е. j win) — 11 ^const.
Пусть Еп = (х: и}{?\х)фю^ {х)\. Из условия леммы следует,
что рСЕп) -+• 0 при и -+ «». Следовательно, lim [ ц? "' — 11 ^
^const>0, что противоречит A). Лемма доказана.
Доказательство леммы 2. Достаточно доказать ут-
верждение леммы для всюду плотного множества функций / е Н~.
будем поэтому, в частности, считать, что 1/1 *? С Через Нп обо-
значим подпространство пространства Я", состоящее из функций
вида ygix), где g постоянна mod 0 на каждом элементе разбие-
ния \ъ. Для любой функции / через fn обозначимте ортогональ-
ную проекцию на Ни- Если 1/1 < С, то, очевидно, 1/„1 *S С,
При любом и имеем
II иЬ + 1\<\иЬ- и^й + II и ЧЛ„ + /„I4-1/ - /»].
Из условия ?„ -*¦ е следует, что первое и последнее слагаемые
стремятся к 0 нрн п —у- °о.
Пусть /nU, у) = gn(x)y. Тогда ,
UFfn = >
*"х) П » (Г^) у.
Положим ?„ = "и (ГС(,П) д Г„С'1П)), G» = "и Г"%„, F» -»
= U Т~' ([О, Р) Д Д„), где С1"' — элементы разбиения 1„,
i
?
Если x^Sl\Gn, то gn(T'"x) = gn(x). Если jeS'Vf,, то иэ
цикличности аппроксимации вытекает, что число тех /, 0 ^ / ^
*S gn — 1, где T'nze[0, р), равно в точности dn, т. е. числу
элементов разбиения ?„, входящих в й„. Поэтому для
х е S'\lFn U G.)
П » (Г^) = П «- (Пх) = (- 1)"" = - 1.
i-0 J=0
Следовательно, если {х, у) s M\((Fn 1J Gn) x Z2), то Ся"/» =— /г..
Далее, p(FJ sS ?„р([0, p)iB.) — 0 при re -* <», p(G.X
^ ^пр(Яп) -»- 0 при л -^ оо по условию. Поэтому
|| V"ih + in f = f I Ul"h + fn ГйЦ < 4Сгр {F„ U
О
при п
о. Лемма доказана.
331

Доказательство леммы 3. Из условия леммы сле-
дует, что при в~» J«w1<l"Vrf(o«a)- J«""*"\to(l)l-»-t
Можно считать, что
'\to(X) + l|<2-"
!!•
перейдя, если нужно, к подпоследовательности.
Положим
п = [кт(О,
1< V2), В„ =
ТТ
Т 4гГчв"
Re A-е ")>0
""'4
Кромв тог°.
при всех
Поэтому
а при Я <
, очевидно,
ReJ(!
- f Re A + еЮ") do (X) > f He A + «"***) do (X) > о B.).
Следовательно, c(An) > 1 — 1/2", в •=- 1, 2, ... Ан
чим что (о»)(В)>1 1/2"
о, c(n) > 1 1/2, в •=- 1, 2
что (о»а)(В„)>1 — 1/2", п —1, 2
U П An, В
А=1 п=»Ь fc*=l n=*ft
(o*o)(S) — 1. Лемма доказана
П В», получим
алогично полу-
Положив Л =
= 0, oU)-=l,
§ 4. Аппроксимации потоков
Определения различных видов аппроксимации данного авто-
морфизма периодическими, приведенные в § 1, естественным об-
разои переносятся на случай потоков.
Определение 1. Пусть g(w) \ 0 при и -*- ». Поток {Т1}
на простраистве Лебега (Мч ®, ц) допускает annpo^cujfat^uw ле-
риодинескими преобразованиями со скоростью g, если можно ука-
зать такие последовательности действительных чисел <„, разбие-
ний %п пространства № на ff« измеримых множеств CV1* с М и
автоморфизмов 5„, что
) 1„;
2M4.-6.;
 Д Snci">) < g Ы
4) если р„ — порядок автоморфизма Sn (как перестановка
иножеств С',), то рпи ¦» =» при л -*¦¦».
Если дополнительно
5) S. циклически переставляет множества С?', то поток (Г*)
Попускает циклическую аппроксимацию со скоростью g.
Результаты § 1 переносятся без труда на случай потоков. Мы
пе будем приводить соответствующих формулировок, а докажем
две теоремы о свяви между аппроксимациями и спектром пото-
ков в такой форме, в которой эти теоремы нам понадобятся
в главе 16.
Теорема 1. Если поток {Т') допускает циклическую ап-
проксимацию со скоростью g(u) = o(l/u), то в пространстве
СШ, ®, (О имеет место сильная сходимость операторов U ™ "->-
-г-*-^, где Е — тождественный оператор в L1(Ml ®, ц).
Доказательство. Достаточно доказать, что при п —¦ «в
*7 *"'»/ — /1 —«- 0 для ограниченных f^LHM, ®, и). Пусть
1/1 ^ С. Обозначим через Н„ подпространство функций из L4M,
^, ц), постоянных на элементах разбиения 1„. Если /„ — проек-
ция элемента / s 1?{М, ®, ц) на Д., то II/ — /.1 < в для любого
6 > 0 при в > По(в). При таких я запишем: '
Яс
Чф» (Г'"Ч)-/„(*) I +1/„(*)-/(*) I = 2! + 2а + 2,.
Ясно, что 2i = Sj < 6. Для оценки & заметим, что /»(я) =»
¦=/.№*), поэтому 2,-|/, (r""S)-/,(«!:*) L Далее, еслн
ф Еп = и [Г'"'"С"Г>
В силу леммы 1 § 1
S 1» (ГV*> Д ^„С1,"'
) - /,E?г)|< 2С при всех хеМ,
Окончательно, Ц^""'"/ -/'|<28 +
2cK9n?(9n)->-0 при и-»-». Теорема доказана.
Следствие 1. Если поток {Т') допускает циклическую
аппроксимацию со скоростью gi-U) = o(l/it), то он не обладает
.перемешиванием-
333
Учитывая, что |/„
получим

Действительно, если бы IT'} обладал перемешиванием, то для
любой функдви /е1в(Л/,Й,A) было бы Wf, /)-*-0 при
t -*¦ <». С другой стороны, если / ^ 0, то в силу теоремы 1
(Ulf, /)-»¦(/, /)^0. Это противоречие доказывает требуемое-
утверждение-
Следствие 2. Если поток {Т1) допускает циклическую
аппроксимацию со скоростью g(u) = o(i/u), то максимальный
спектральный тип группы, унитарных операторов №) сингулярен
относительно меры Лебега.
Действительно, в противном случае нашлась бы функция
f^L2{M, @, A), /^0, спектральный тип а* которой абсолютно
непрерывен, т. е.
, (U'f,f)= ] eili-da,^ ]
do.
Так как преобразование Фурье функции из L1 (IR1, dX) стремится
н нулю на бесиоцечности, то (Ulf, /) -*¦ 0, что противоречит тео-
реме 1.
Теорема 2. Если поток {Т') допускает циклическую аппрок-
симацию со скоростью g{u) = o(u~2)r то спектр сопряженной
{U} простой.
ру ур рр {}
Доказательство^ Пусть х„(я) —
Я
Я„ ¦— п
индикатор множества
М
дпространство пространства 1?{М, @, ц), состоящее
рр рр {, @, ц), состоящее
нз функций, постоянных на элементах разбиения |„. Из 1) ело-
дует, что dist(/, HJ -* 0 при
для любой функции / <
Через Нп обозначим циклическое подпростраиство, порож-
денное функцией х>ч т- е- замыкание множества векторов вида
2сь^ *Z"- По определению группа W) имеет в Нп простой
спектр.
Покажем,
1/1 < С.
то diet (/, Я„)-*0
@, pj. Достаточно
при «-»-«> для любой фупк-
эассмотреть ограниченные
Для любого е > 0 при достаточно больших я в силу циклич-
ности аппроксимации можпо найти/п S #„, /„ = 2 «**'Xn (Su^x)
такую, что ||/ — /п||<8. Мы можем считать, что
= 0,1
334
9„_1. Положим
Тогда
| -Г > III х. (tf.) - хп (г~в"г) 1 <
< с *
Кроме того,
S и. (sn (siri"») л т'" (sici">)) <
10
л г'
где бп -*¦ 0 прн п -»- «>. Следовательно, ] /я — /я I
=СУГ6^~»-О при п-*-оо, т. е. dist(/, Я^)->-0 при п-^ «». Из ос-
новной теоремы о каноническом виде унитарных операторов (см.
приложение 2) вытекает, что если группа Ш') имеет простой
спектр в каждом из подпространств Нп и dist(/, .Дм)-»-0 при
и ->- оо для всех f^L2(M, @, (t), то группа {?/^'} имеет простой
спектр во всем L\M, @, ц,). Теорема доказана.
Собирая вместе утверждение теоремы 2 и следствия 1, 2 иа
теоремы 1, получим следующее утверждение.
Теорема 3. Если поток {Т1} допускает циклическую an-
проксимацию со скоростью g(u) = o(u~2), то он не обладает пе-
ремешиванием, спектр сопряженной с ним группы {?/') — про-
стой и максимальный спектральный тип этой группы сингулярен
¦относительно меры Лебега.
ГЛАВА 16
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ
ГЛАДКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ДВУМЕРНОМ ТОРЕ
§ 1. Специальные представления потоков на торе
Пусть пространство М есть двумерный тор Tor2 = IR2/Za с
циклическими координатами (ц, v) и мерой Лебега tfti dv. Рас-
смотрим на пеы систему дифференциальных уравнений
4F = M",v)> ^~B(u,v) A)
с правыми частями класса Сг, г > 2. Эта система удовлетворяет
335

условиям теоремы существования и единственности, н поэтому
можно ввести однопараметрическую группу {Т') сдвигов вдоль е&
решений.
В этой параграфе мы натаем изучение эргодических свойств,
возникающих таким способом потоков IT'}. Мы будем предпола-
гать, что поток {Т'} обладает абсолютно непрерывной инвари-
антной мерой ц с плотностью РЫ, v) <= С5(Тогг), Р(и, v) > 0.
Согласно теореме Лиувилля (см. § 2 главы 2)
Предположим также, что Лг+ В2 > 0, т. е. что у системы A) нет
неподвижных точек.
' Положим \ *= j J PA du dv,' %^ = j j PS du dv. Ясно, что Хх U.2>
Tor» Tor*
есть средняя скорость движения по оси u(v). Эргодическае свой-
ства потока {Т*} тесно связаны со свойствами числа 'К*жХ\/Х2.
Лемма 1. Если X рационально или хотя бы одно из чисел
Х\, ^2 равно нулю, то поток \Т1} не эргодичен.
Доказательство. Мы можем рассмотреть систему урав-
нений A) не на торв Tora = Ra/Zs, а на плоскости Ка, продол-
жив функции А(и, v), ВЫ, v) на всю плоскость по периодично-
сти. Плотность инвариантной меры РЫ, v) также будем считать
периодической функцией на Ra с периодом 1 iio и, V. Тогда BУ
означает, что найдется функция ff(u, v) такая, что ^— = РАГ
дН по d rrfnt, „\ дЯ du . дЯ dv
— ~-РВ, и, следовательно, ^- Й{Т (u,v)) = -^ ж + -^ -% =
¦=0, т. е. Я есть первый интеграл для системы уравнений A) па
плоскости. Функция Я не обязана быть периодической, но так как
jj-, -JJ- — периодические функции, то Н имеет ввд Щи, и) =
= С|« + c2i7 + Ни, и), где Ми, г) — уже периодическая с перио-
дом 1 по и, 17. Константы С], cs можно вычислить явно:
ct = И (и + 1, v) — Н(и, и) =
C)
Н(и, v + 1) - H(u, v) = - JlpBdudv=-
Итак, ВЫ, и) = Х\и — Х2" + Ми, v). Если Xi=ap, Хг =
¦= а^, где р, ц — целые, а ^ 0, то функция Ф(и, у) =
= ехр [2л!а"'Я(и, »)] имеет период 1 по u, i> и, следовательно, мо-
жет рассматриваться как однозначная функция на торе Тог2, инва-
риантная относительно {Т1}. Кроме того, ясно, что Ф(и, р) Ф
^ const Если ровно одно из-чисел Xi, Xi равно нулю, напоимег»
ЗЗв
нулю, например
%i — 0, Xi ч* 0, то инвариантной будет функция Ф (и, ») ="
¦=» expf^ Я (u, v)\ ф const. Если \,—Xa—Q, то Щи, v)—Mu, в)?*
^fcconst — ннварнантная функция на торе. Лемма доказана.
Будем теперь предполагать, что X = Xi/Xj иррационально. В
этом случае мы докажем следующую теорему.
Теорема 1. Если X иррационально, то поток {ТЧ метричес-
ки изоморфен специальному потоку, построенному по автомор-
физму Т\ поборота окружности S* на некоторый иррациональный
, п, р, q — целые.
вид а = "^ It",
и функции F: S1-*^,
угол а,- г;
Мы начнем доказательство теоремы с доказательства трех
лемм, представлиющих и самостоятельный интерес.
Лемма 2. На торе Тог2 существует замкнутая несамопере-
секающаяся кривая Г класса С', которая ни в овнов точке не ка-
сается траекторий системы A).
Доказательство. Наряду с системой A) рассмотрим на
торе систему уравненнй
траектории которой в каждой точке ортогональны траектории»*
системы A). Если у системы E) есть замкнутая интегральная
кривая, то ваше утверждение доказано: достаточно сгладить та-
кую кривую до кривой класса С". В противном случае череэ
произвольную точку а^Тог2 проведем интегральную кривую
Q = iT'a: -«.<(<00} системы E). Положим аа = Тяа, л=*
*— 1, 2, ... Последовательность {ап) имеет предельную точку с е
^Тог2, и мы можем считать, переходя, если нужно, к подпосле-
довательности, что Нщ an = с.
Из теоремы о существовании решений для систем дифферен-
циальных уравнений типа E) и гладкой зависимости решений от
начальных данных вытекает, что найдется такая окрестность
О(с) с Тог2 точки с что
1) каждая дуга anan+i траектории Q имеет точки вне О(с);
2) векторы векторного поля, отвечающие системе E), в любых
двух точках окрестности 0{с) отличаются но направлению яа
угол, не превосходящий я/8.
Рассмотрим отрезок L = [си c2l c О(.с) со средней точкой с-
такой, что направление вектора cic2 составляет угол л/4 с нап-
равлением векторного поля E) в точке с. Для всех достаточно-
больших п найдется дуга anbn кривой Q, апЬп<=-О{с) такая, что
fc.ei (движение по этой дуге от ап и Ь„, возможно, соответству-
ет не увеличению, а уменьшению параметра ? на Q). Мы може&е
22 и, П. Корнфельд я др.
ззт

считать, что такая дуга существует для всех и = 1, 2,... В силу
свойства 1) окрестности О(с) все точки F|, 62,... геометрически
различны н lini Ьп — с. Определим теперь два натуральных числа
п\, /*2t щ > п% так, чтобы точка 6^ лежала между с и &п3 на от-
резке L.
Пусть &о — точка первого пересечепня дуги ЬП1Ьп2 кривой Q с
полуинтервалом {ЬП1, &nj с; L (возможно, Ьо =.&П1). Дуга Ь«й&0
кривой Q и отрезок [ЬОт &na] cz L образуют простую замкнутую
кривую Г с: Тог3, В каждой точке кривой Г кроме Ьо, Ъ„.2 сущест-
вует кривизна, непрерывно зависящая от точки. В точках bQ, Ьп%
существуют «левая» и «правая» касательные, причем касатель-
ные со стороны кривой Q соответствуют направлению векторного
поля E), т. е. образуют угол я/2 с направлением векторного
поля A), а касательные со стороны отрезка [60, 6Пз], в силу
свойства 2) окрестности О(с), образуют угол, не превосходящий
л/4 + л/8 = Зл/8, с направлением векторного поля E), т. е. угол,
больший я/8, с направлением векторного поля A). Так как на
отрезке [&0, 6„2] направление векторного доля A) меняется не
более, чем на л/8, то, сглаживая вблнзн точек Ьо, Ьп кривую Г,
получим требуемую кривую Г. Лемма доказана.
Построенную в этой лемме кривую Г будем называть кривой
Зигеля для системы дифференциальпых уравнений A).
Пусть теперь Г — произвольная гладкая замкнутая кривая на
торе Tor2 = R2/Z2 и Г — кривая па плоскости IR , являющаяся
накрытием Г. Мы можем считать координаты на плоскости выб-
ранными так, что некоторой точке ре Г соответствует начало
координат иа R2. Одному обходу вдоль Г от точки р в фиксиро-
ванном направлении соответствует на Т переход от точки (О, О)
в некоторую точку (р, q), причем, в силу замкнутости Г, числа
р, q — целые. Кривым Г, гомотопным пулю, соответствует пара
р = о, д = 0.
Лемма 3. Пусть Г — гладкая замкнутая несамопересекаю-
щаяся кривая на торе Тог2, не гомотопная нулю. Тогда числа р,
q взаимно просты.
Доказательство. Предположим противное, т. е. что р =
= km, q^kn, где /г, m, n — целые, А>1. Рассмотрим бесконеч-
ную кривую Г на IRa, накрывающую Г. Она делит плоскость на
две области D\ и Ог. Пусть Fi — кривая, полученная из Г сдви-
гом на вектор (т, л). При накрытии R8—»-Тога кривая Fi также
переходит в Г. Кривые Г н Г, не пересекаются, так как иначе у
Г была бы точка самопересечения. Поэтому Fi целиком лежит
в одной из областей Di, D2» например в Du Тогда кривая Га, полу-
ченная иа Ti сдвигом на вектор (т, п), также лежит в D\. Ана-
логично в D\ лежат кривые Гз» F4 и т. д. Но кривая Fft проходит
через точку (р, q) е= Г, т. е. Г П 1\ Ф 0. Полученное противоре-
чие доказывает лемму.
Заметим теперь, что кривая Зигеля Г для системы A) не мо-
жет быть гомотопна нулю. Действительно, в противном случае
у любого ее прообраза на плоскости IR2 индекс векторного поля
на этом прообразе был бы отличен от нуля. Но тогда внутри этой
кривой должна была бы находится точка, в которой векторное
поле обращается в нуль, а таких точек, но предположению, нет.
Лемма 4 (о возвращении). Пусть V — кривая Зигеля для
системы A). Тогда для любой точки ре Г найдется такое числа
t > 0, что Т'р е= Г.
Доказательство. Предположим противное. Пусть точ-
Г о Т ^ Г t > 0 Отсюда учитывая то
р
с q0 o= T Qp, t0 > 0.
Определим индуктивно последовательность точек q\, 52
..., qt, ... ^ L следующим образом: если точка 7,-1A > 1)
определена, -го q{ есть точка первою пересечения положительной
полутраектории {Г'д.-i: ?>0) с отрезком L. Очевидно, что такие
точки qt Существуют, и Qi = Т гдп, где U t °° при i -*¦ °°.
Докажем, что точки qt на отрезке L расположены в порядко
возрастания их ноыерои, а именно, 7*е [17, tfi-i-fj ^ ~ 1» 2; ...
Учитывая, что lini^i =9,для этого достаточно показать, что при
любом п>0 иа отрезке [</„, qn+\1 нет точек вида qh, fc^O. Пусть
С — простая замкнутая кривая, состоящая из отрезка kg», gm+j*=
е L и дуги траектории точки р от qn до gn+i, которую обозначим
о н делят тор
1A > 1) уже-
<?ц9= l<7W+ Р
дятся при к < п.
Р
ДЯТСЯ при ft; -~ /*.
Рассмотрим теперь траекторию {T'q) точки q и докажем, что
она не замкнута. Если бы опа Оыла замкнутой кривой С\ то не-
пересекающиеся криьые С и Г разделили бы тор иа две области
22*
33»

Так как никакая траектория потока не пересекает С, а на F
поле всюду направлено в одну сторону, например в сторону об-
ласти D,, то при всех t > 0 область Г'О, строго содержалась бы
в области Dit что противоречит сохранению меры d\i*~Pdudvt
Р>0. Итак, траектория (Г1?) не эанквута. Поэтому найдется
точка г е Тог2 — предельная точка положительной полутраек-
-тории {T'q: t>0).
Проведен малый отрезок N с серединой в точке г, трансвер-
«альный к векторному полю A). Аналогично предыдущему опре-
делим точки 7*1, Гг, ..., где П — Т 'q —/-я точка пересечения поло-
жительной полутраектории точки q с отрезком N. Как и раньше,
замечаем, что I'm г, = гн точки ri, r$, ... расположены на отрез-
ке JV в порядке возрастания номеров.
Так как q, — q, то при / = 1, 2, 3, ... мы можем для достаточ-
но больших i определить числа Вц > 0 так, что Т ч ($ri) e /V,
ton &ц = Sj, Iim Г**' (g() = г,, / — i, 2, 3, ... Зафиксируем такое
большое к, что точка г2 лежит на отрезке N между г'*'*(й|) и
З^'*'(S*)- Отсюда следует, что точка Г*" (?„) лежит между
У Atl (?л) н rft'3(9fc) при веек достаточно больших п. Но
ПрН достаточно больших п будет sn, 2 + 'n >* $*, 1 + tkf sn> 2 + *« >
> s*, 3 + h, поэтому точки пересечении положительной полутраек-
тории {T'gQ: t>0) с отрезком /V расположены не в порядке
возрастания номеров, что противоречит предыдущим рассуждени-
ям. Это противоречие доказывает лемму.
Из леммы 4 вытекает следующее следствие.
Следствие. Любая траектория потока {Т1} пересекает кри-
яую Зигеля Г.
Доказательство, Пусть Ы' sM — инвариантное относи-
тельно {У1} множество, состоящее из тех траекторий, которые
пересекают Г. Каждой точке р^Г, в силу леммы 4 можно со-
поставить число /(р}>0 такое, что Тпр){р) есть точка первого
возвращения полутраектории {Т^р: «>0} ва Г. Ясно, что f(.p)
непрерывно зависит от р. Поэтому любую точку q e M' можно
представить в виде q — Т'р, где реГ, О *S $ ^ f(p).
Пары (pt s) взаимно однозначно и взаимно непрерывно со-
ответствуют точкам q ^ М', ¦ если считать отождествленными па-
ры вида Хр, ftp)) и (Г'<»Чр), 0).
Отсюда вытекает, что множество М* замкнуто и гомеоморф-
жо двумерному тору. Но любое такое множество на торе М сов-
падает с самим тором. Следствие доказано,
-340
Переидем теперь к доказательству теоремы 1.
Доказательство разобьем на отдельные пункты.
1. Параметризуем кривую Зигеля Г для системы B) при
помощи параметра х, пропорционального длине дуги, отсчиты-
ваемой от некоторой точки ро^Гв фиксированием направлении,
и нормированного так, чтобы х менялся в промежутке [0, 11.
Введем функцию /(х), 0 ^ х ^ 1,
где точка р е Г соответствует значению параметра х.
В силу леммы 4 fix) конечна при всех х, 0 < х ^ 1. Так как
/@) = /A), функцию / можно рассматривать как непрерывную
функцию на окружности S1«{а:: 0^*<11- Из С5-гладкости
кривой Г и С5-гладкости траекторий системы A) вытекает, что
j&CKS1).
2. Пусть Д: 51 -*¦ Sl — диффеоморфизм класса С5 окружности
S1, действующий по формуле Rx ** х\ где х, х — значения па-
раметра, соответствующие точкам р, р'еГ и р'***Т!<х>р. Рас-
смотрим множество M*={iz, s^S'XR1: 0^s</(i}>, у кото-
рого отождествлены точки вида Or, fix)) и l/fo, 0). Тогда Af_ro-
меоморфио двухмерному тору. Между точками множества М в
тора Тог2 •={(», i>): O^w, v<. 1} в силу следствия из леммы 4
¦существует естественное взаимно однозначное соответствие, при
котором (a:, s) переходит в T'pt где р — точка кривой Г, отвечаю-
щей значению параметра х. На Ы и на Тог2 имеется структура
гладкого многообразия класса С5, и из С5-гладкости кривой Г щ
функций А, В следует, что указанное соответствие есть ^-диф-
феоморфизм. Действие потока iT') перейдет при этом в дейст-
вие специального потока {7">, построенного по диффеоморфизму
R окружности S1 и функции fix), а плотность инвариантной
меры РЫ, V) перейдет в некоторую функцию РСя, s)eCB(Af),
причем мера d\i = P(x, s)dx ds инвариантна относительно {Т*}.
3. Сделаем С5-гладкую замену времена в потоке {Т1} так,
чтобы каждая точка хо = (а:о, 0) G Ы пробегала отрезок {(ю, s):
O^s^/Uo)} за вреня 1. Иными словами, введем новый поток
<Т1} на пространстве М, траекторян которого совпадают с траек-
ториями {Т'}, а скорость движения в точке (я, s) определяется
некоторой положительной функцией Н(х, $)^С5Ш) такой, что
»(¦¦>
лк>^оМ ^оs
I k (х s\ О| что такая функция h су-
ществует. Кроме того, нз трансверсальности кривой Г вытекает»
что fix) &* const > 0, и поэтому мы можем дополнительно потре-
бовать, чтобы h(x, $)> const >0. По теореме Лиувнлля поток

имеет инвариантную меру
dx ds. Так как
г, ' '.¦ dx ds <Z oo, мы будем, не ограничивая общно-
и
сгн, считать меру ц нормированной.
Определим теперь инвариантную меру v для диффеоморфиз-
ма R окружности iSJ. Пусть л: М -*• S1 — естественная проекция»
т. е. л(д% sy**>x. Длн любого борелевскОго множества E^S1 по-
ложим
Я
Л (х, а)
dxds.
Инвариантность меры v относительно R вытекает нз инвариант-
ностй меры ц относительно потока G1'}.
Введем функцию. у= ф(;с) =v(Wt a;]), x^S{, Из определения
меры v вытекает, что <р е С5. Можно считать, что у является но-
вой координатой точки x&S1. Покажем, что преобразование R
перейдет в этой координате в преобразование Т\ поворота окруж-
ности на некоторый угол ct: Тху = y + a(mod 1). Действительно,
если qrl(y)=z <p-l(Ty) = R{x) то Т&ИО /?U)J) ([0
R@)) + v(lR@), flU)})-±v([O, i?@>l)+vUO, x])^y±v{l0,
R@)]). Наше утверждение доказано, причем a = ±v([0, R(O)i).
Рассмотрим теперь функцию F(y)*= fiyKy)). Ясно, что F^
^C5(Sl), н исходный поток {Т'\ метрически изоморфен специаль-
ному потоку, построенному по автоморфизму Т\ поворота ок-
ружности на угол а и функции F.
4. Осталось установить связь между углом поворота а и чис-
лом Я = А,)/Я,2- Это будет сделано следующим способом.
С одной стороны, мы докажем, что для исходной системы
уравнений A) существует С5-гладкая замена переменных "'—
= $>! (и, v), и' =г|>2 {". v), после которой траектории системы A) (при
переходе от тора RVZ2 к плоскости R2) станут прямьшл лини-
ями
и' = av' + const. F)
С другой стороны, найдется другая С5-гладкая замена перемен-
ных и," = \|>i («, ь-), v' = г|?2 (", v)t досле которой траектории ста-
нут прямыми
»" — Xv" + const, G)
где А = я -, где т, и, р, q — целью, detu I = 1. При этом
одна нз координатных осей в координатах Си', v') и (и", у")
будет общей, например г|?1 (u, v) = i^ (и, и), и общим будет начало
342
координат. Отсюда будет следовать, что прн переходе от коорди-
нат (u\ v') к координатам (u", v") семейство' прямых F) пе-
рейдет в семейство прямых G). Из этого, в свою очередь, мы
выведем, что a, = =fc A.
5. Перейдем теперь к описанию соответствующих замен пе-
ремепных.
а) Сопоставим сначала точке q e Тог2 координаты (9, т),
0^9, т < 1 по следующему правилу. Координату т определим
равенством т = inf it &* 0: T~*q е Г). Для определения координа-
ты В рассмотрим точку р = T~*q еГи положим 9 = у + ctxCmod 1),
где У — координата точки р, введенная в пункте 3. По построе-
нию любая траектория потока {Т1} будет иметь вид 9 — ат¦=
= const.
б) Введем теперь для точки д^Тог2 координаты (|, т), 0^^,
т < 1, причем координата т остается прежней.
Для построения координаты % нам придется сначала «про-
должить» координату т с тора Тог2 на накрывающую пло-
скость К3.
Пусть (р, д) — пара чисел, задающая гомотопический тип
кривой Знгеля Г, и Г — накрывающая ее кривая на R2- В силу
леммы 3, мы можем найти такую пару целых чисел ш, п, что
1- Параллелограмм П на R2, натянутый на векторы
detl™ |
(m, n) и (р, q)t порождает всю целочисленную решетку. Отсюда
следует, что мы можем определить на П вещественнозначную
функцию т(ы, v) класса Сь такую, что
Затем мы можем продолжить т(ц, v) на всю плоскость так, что-
бы были выполнены равенства
т(в + р, v+q) — т(и, и) = 0.
Рассмотрнм теперь функцию Я(ц, v), введенную в доказательст-
ве леммы 1. Из C), D) вытекает, что
def
Н (u-\-m,v-\- n) — H{u,v) =* ткг — пкг = Сь
del (9)
Я (и + /», v + g) - Я {«, у) = рАх — ?А» - С,.
Положим |{и,и) = — ^т(и,у) -\--~Н(и} v). Учитывая (8), (9),
будем иметь
?(н + т, v + n)- %(u, v) = 0, %(u + p,v+q)- \{ач v) = 1,
а так как параллелограмм П порождает всю целочисленную ре-
343

шетку, то ? = ?(а, tOCmod i) можно рассматривать как функцию
на торе.
Дли доказательства того, что пара (?, т) служит координата-
ми точки t/еТог2, достаточно поиазать, что функция Жи, v)
принимает разные значении на развых траекториях потока if'i
<иа плоскости).
Действительно, если бы нашлись две траектории с одинако-
вым значением Н, то мы могли бы в силу следствия из леммы 4
соединить их отрезном кривой Г. По теореме Ролля нашлась
бы точка р е Г, в которой производная функция Я по направле-
нию Г равна нулю. Так как dH/dtmsQy а Г — трансверсальная
кривая, то точка р должна быть неподвижной точкой для систе-
мы A), что противоречит условию. Итак, пара (|, т) служит ко-
ординатами точки q ^ Тог2. За счет изменении ? на константу
можно добиться, чтобы начало координат было тем же, что и »
координатах @, т). Так как Я—первый интеграл, то траекто-
риями системы A) в координатах (|, т) будут прямые | — ?т«^
^ const, где I = — СХ1С% —
¦¦ Заметим, что
— Р\ + ?Я2 — Р% + q
*ч_-, yi-*«i; ;и-
Для Окончания доказательства достаточно показать, что а =
= ± А,. Рассмотрим для этого преобразование координат на торе,
переводящее координаты @, т) в координаты (|, т) и являющееся
композицией двух описанных нами преобразований координат.
Прн этом преобразовании семейство прямых 9 — ост = const пе-
рейдет в семейство прямых | —Ят = const, ось т = 0 перейдет
(как множество) в себя, и начало координат останется на месте.
Поэтому любая точка вида в = feet, т=0 (к целое) перейдет в
точку вида | — kX, т = 0. Из иррациональности X теперь вытека-
ет, что ось т *= 0 преобразуется в себя линейно. Поэтому, учи-
тывая, что координаты циклические, т. е. рассматриваются по
mod 1, на оси т = 0 имеет место равенство | = ± 9. Так как топ-
ка 9 = а, т = 0 соответствует точке |=1, т = 0, то а^^Х. Те-
орема доказана.
§ 2. Динамические системы с чисто точечным
спектром на двумерном торе
Теорема, доказанная в предыдущем параграфе, позволяет изу-
чить спектральные свойства потоков {Т*} на двумерном торе
Тог2, заданных уравнениями вида
Мы сохраняем сделанные в § 1 предположения об отсутствии
неподвижных точек у потока {Т*} и о существовании абсолютно
344
непрерывной инвариантной меры с плотностью Р(щ v) s СЧТог8).
Оказывается, что спектральные свойства потока {У} тесно
связаны с арифметическими свойствами числа Л. = J j PA du dv X
[^]
Теорема 1. Пусть X таково, что
\X — p/q\> const/?1, const > 0
A)
яри всех целых р, q, q "*= 0. Тогда
1) поток {7") метрически изоморфен специальному потоку,
построенному по автоморфизму Т\ поворота окружности S1 на
некоторый угол а и постоянной функции, причем а то же, что
в теореме 1 § 1;
2) группа унитарных операторов W), сопряженная с пото-
ком {71'}, имеет чисто точечный спектр, состоящий из чисел вида
const(fc + u), —"><А, Z<«>, A, I — целые.
Доиаэательство. В силу теоремы \ § 1 мы можем счи-
тать, что (Г'} является специальным потоком, построенным по
автоморфизму Т\ и функции /d)sC5(S'), /Ы > const > 0. По-
этому достаточно доиазать следующие два утверждения: •
А. Пусть существует функция g&C(Sl), нвляющаися реше-
нием уравнения
где Р = j / (x) dx. Тогда выполнены утверждения 1), 2) теоремы 1.
о
В. В предположениях теоремы 1 решение g^CiS1) уравне-
дия B) существует.
Смысл уравнения B) ясен: это уравнение длн такой кривой
G0«(U, gU)))cAf, C)
что траектория каждой ее точки возвращается на нее за одно и
то же время ?. Здесь Ы — фазовое пространство специального
потока: M*=*{(zt s): xeSl7 0^s<f{x)}. Из этого замечания
легко следует утверждение А в случае, если выполнено включе-
ние C), т. е. 0 ^ glx) < fix). В общем случае последнее неравен-
ство может не выполняться, и мы покажем, как обойтн эту труд-
ность.
Доказательство утверждении А разобьем на отдельные пункты.
1. Рассмотрим полосу П — {(я, s): 0^а:^1, —<»<л<од} н
непересекающиеся множества ГЦ s П, — *> < га < °°, га — целое:
i 2/(*+*»)]; п>0,
s<- "j[/(*-*«)}; n<o.
345
1
(д:,
A,

Из условия /Ы > const > 0 вытекает, что П = U П„. Про-
странетво М, в котором действует поток (Т'\, совпадает с По.
Определим отображение %: П -*¦ М следующим образом: если
г = U, s) e П„, то
Две точки S] = (#1, Si), Z2 *= (ая, S2) е П будем считать эквива-
лентными и писать z\ ~ гг, если %(z\)= Х^й).
Рассмотрим пространство М, точками которого являются
классы эквивалентных точек из П. Будем обозначать через (ж,«)
класс эквивалентности, содержащий точку (х, &). Введем в про^
странетво М меру ji, положив fi(%~lA)^}i{A)i где А^М — из-
меримое множество, а ц — инвариантная мера для специального
потока {Т1}. Действие потока {Т*} также естественным образом
переносится в М: Т (ху я) => % [Т %(х,fl)J.Легко проверить,что
справедлива формула
ТЧх, ») = (*,«+«)
н что мера р инвариантна относительно (Т1).
2. Рассмотрим в полосе П график Go функции g(x)'. Go^iix,
f(i)),O^ar<l} в положим G=x"'<Go). Докажем, что G= U G™,
где Gm-=(U, fd)+m); 0^г<1. Это равенство непосредствен-
но получается из отношения эквивалентности, которое в свою
очередь вытекает из уравнения B):
(х, g(x) + mp) ~ (.х + a, gU + а + (та - Dp), D)
где х ^ 51, — оо < m < оо, /я — целое.
Выведем формулу D). Пусть (i, g(i) + mp)e П„, и, для оп-
ределенности, п > 0; случай п < 0 разбирается аналогично. Тогда
В силу B)
Из E) и F) вытекает, что
Д
E)
F)
в>1 и
-/((д: + a) -
a) + (m- 1 )? <0,
если n = 0. Это означает, что (.х + а, ^(г + а) + (пг-1)ре
Поэтому
X (* + a, g {x + a) + (m - 1) ft = {x + a + (л - 1) a,
С другой сторопы,
Б силу С6) правые части двух последних равенств одинаковы,
поэтому формула D) доказана.
3. Так как множество G состоит из целых классов эквива-
лентности, то его можно рассматривать как подмножество прост-
ранства itf. Обозначим это подмножество через G.
Рассмотрим разбиение % пространства М, каждый элемент
которого является полуинтервалом траектории потоками от одно-
го попадания в множество G включительно до следующего — не
включительно. Легко убедиться, что разбиение \ является регуляр-
ным разбиением для потока \Тг\ (см. § 3 главы 11). Это разбие-
ние, как было показано в § 3 главы 11, индуцирует специальное
представление потока {^'1, а стало быть, и метрически изоморф-
ного ему потока [Т1\. Пусть Тц— базисный автоморфизм спе-
циального представления. Тогда, используя формулу (G) при
m = I, получим ¦
Т1 (х, g (х)) = (х, g (x) +P) = (i+«,g(*+ «))•
Поэтому Т i можно отождествить с автоморфизмом Т\, действую-
щим на графике Go функции g{z) по формуле
>,U, g(x)) — {z+a, g(x + a)).
Этот автоморфизм, в свою очередь, метрически изоморфен авто-
морфизму 2V Так как ограничивающая функция специального
пред ста влення, по построению, тождественно равна $, то утверж-
дение 1) теоремы 1 доказано.
4. Утверждение 2} непосредственно вытекает из утверждения
1). Действительно, поток {Т1} мы теперь можем отождествить с
потоком, заданным на торе Тог2 системой дифференциальных
347

уравнений
dt :
т. е. действующим по формуле
ГЧи, u)- p, ai/p).
Собственными функциями группы унитарных операторов Ш'),
сопряженной с этим потоком, являются экспоненты q>*, i(b, р) =
= exp[2jii(to + Ju)J, — °°<А, !<«>, A, J — целые. При этом
Значит, спектр группы (С) состоит из чисел вида^|,,|=—5-(/t-rfa).
Так как a
И\ +Л
Щ + (ftp + Ы)п- О)
|=±*> вытекает, что любое число
«
— целые, может быть представлено в виде G). Тем самым ут-
верждение доказано подлостью.
В дальнейшем нам понадобиться одна простая лемма. Будем
называть числа X, удовлетворяющие условию A) теоремы 1,
плохо аппроксимируемыми.
Лейка 1. Если X плохо аппроксимируемо то а = т "
¦- ' — рх+q'
где m, в, p, q — целые, detl " I = ± 1 также плохо аппрокси-
мируемо.
Доказательство леммы проведем позже.
Доказательство утверждения В. Разложим функ-
цию / в ряд Фурье:
" ' " I, (8)
@)
в будем искать решение g также в виде ряда Фурье
?(г)= _S gnexpBnmz).
Из (9) следует, что
?(* + «)= 2, г„ехр[2п(п (г + «)] =
= nS_ г» ехр Bк1тз) ехр Bл!пд:).
Замечая, что коэффициент /о —f>, перепишем с помощью (8), (9)„
A0) уравнение B) в виде
S [/» -gn + gn ехр Bп(паI ехр I2ntnx) ¦¦ 0,
откуда
f
Таи как решение g определено с точностью до константы, коэф-
фициент go произволен. Поснольиу /eCHS1), то l/.l ^const/n5.
С другой стороны, в силу леммы 1 (па) > const п~ъ (фигурные-
скобки означают дробную часть). Значит,
11 - ехр Bяша) I - 11 - ехр Bn?{noJ) I > consti • в.
Итак, |?„! ^ constj/n2, поэтому ряд S gn ехр [2я1пх) =. g (i)-
сходится в каждой точке и представляет непрерывную функцию..
Утверждение В доказано.
Осталось доказать лемму 1. Доказательство проведем от про-
тивного. Пусть а не является плохо аппроксимируемым. Будем'
для краткости говорить, что а хорошо аппроксимируемо. Число*
Я выражается через а дробно-лииейно: К== iqa~n){m — pa)..
Поэтому
?.\ ^рд,— Р" г дра — д
д = spa — i/m qpa — дт
,
Ясно, что вместе с а хорошо аппроксимируемым является и число-
Ч » qpa — qm. Покажем, что тогда 1/^ также хорошо аппроксими-
руемо. Действительно, найдется такая последовательность дробей;
pjq,, что | у — ph/qk | = ejqi, e. -» 0. Отсюда I yqh — ph | =» eklq",.
11/TP —
l = IIP»
По формуле A1) pVq = (pn—qm)/i — l, поэтому Х хорошо ап-
проксимируемо. Полученное противоречие доказывает лемму.
Теорема доказана.
В заключение покажем, что потоки на торе, рассмотренные-
в этом параграфе, представляют собой в некотором смысле «ти-
пичный случай». А именно, для почти всех чисел X выполнено-
условие A) теоремы 1.
Справедливо даже более сильное утверждение. Назовем число*
X нормально приближаемым рациональными числами, если най-
дутся такие константы О 0, е > 0, что 1Я — p/q\ > C/q2*' яри
всех целых р, д, q ?° 0.
Лемма 2. Нормально приближаемые числа на отрезке [0i lh
образуют множество N лебеговской меры 1.
340

Доказа
тво. Зафиксируем е, Си положим
с
фру %
,11: min|a — p/q\<C/qz+e\. Множество А\с есть
¦объединение интервалов длины 2С/д2+' с центром в точках p/q,
1 < р < д и полуинтервалов длины С/д2*' около точек 0 и 1. По-
этому p{A'qC)^.2C/qu% где р — мера Лебега, и, значит,
(,( П Аед'с) = 0. Так как Л" с: [0, lj \ П П А\с. то рШ) = 1.
Лемма доказана.
§ 3. Аппроксимации потоков на торе
Мы продолжим- изучение потоков па двумерном торе, задан-
ных дифференциальными уравнениями впда
? = *<».»). ? = я <„.„).
В этом параграфе будет рассмотрен случай, когда число
X = J J PAdudv\ \ J РВ^ы^и] ' хорошо аппроксимируется ра-
циональными числами (здесь, как и раньше, Р — плотность ян-
вариаптпой меры).
В силу теоремы 1 § 1 вместо потока на торе мы можем рас-
сматривать специальный поток \Т'}, построенный по автоморфиз-
му 2"i поворота окружности 51 на некоторый угол се, н функции
F^C5E1). Фазовое пространство потока {Т*} обозначается, как
всегда, через (Ж, ©, \х). Чпсло а. имеет вид а — . ¦ ¦. и по лем-
ме 1 § 2 является хорошо аппроксимируемым, если X хорошо
-аппроксимируемо.
Теорема 1. Если, для числа а найдется последовательность
несократимых дробей pjqn такая, что г„ — qtt \ a — pn/qn | -* 0
¦при п -*¦ «о( то поток {Т1} допускает циклическую аппроксимацию
со скоростью gin) = о(и~2).
1
Доказательство. 1°. Положим {J — j F(x)dx. Возьмем
о
последовательность натуральных чисел imn}, ш„ ! °°. В дальней-
me*& imn} будет подчинена пекоторым условиям. Пока мы пред-
положим лишь, что бл = р/тт, < min F (х).
Зафиксируем достаточно большое п и предположим для опреде-
ленности, что а > pjqn. Случай а < pjq» разбирается аналогич-
но. Пусть An=U = (x, s)t=M: 0^x<c~ {$*«}, 0<s<6nJ.
Из условия теоремы и из предположения а> pjq« следует, что
{aqn} = о (д,73), н потому ц(Ля) > 0.
350
Положим Qn = qaTna н покажем, что при к = 0, 1, ..., Qa — 2
множества Т пАп попарно не пересекаютсн. Достаточно, оче-
видно, установить, что Ап р Th*nAn - 0, Q<k<Qn-2. Возь-
мем точку z = (x, s) s An. По определению специального потока»
где r(t) — неубывающая целочисленная функция, зависящая, ко-
нечно, и от х. Пусть 7=7(г) = minU: t > 6„, Tz e 4„). Покажем,
что г — КО > ?™.
Ясно, что г 5г 1. Рассмотрим полуинтервалы
Из неравенств
, + к (а — /?„/}„) -
вытекает, что До с; Д?1, и поэтому полуинтервалы Д,, 0 ^ А ^
«!?» —1, попарно не пересекаются. Если бы_выполнялось нера-
венство г < qnj то первая координата точки Т г принадлежала бы
полуинтервалу Д„ г > 1. Поскольку Дг П До — 0, то в этом случав
2'*г^Д0, что противоречит определению числа t. Следователь-
но, г ^ qn.
Воспользуемся теперь следующей леммой.
Лемма I. Пусть Р е C5(S') и
при некоторых постоянных Ci, Ci.
Доказательство леммы проведем позже.
Положим 2„ = S (Рп. ?п)- Так как вторая координата точки
T'z равна нулю, то
Но ?»р = (?.6n, UI < 6., и из условия теоремы 2„ = о {
Потребуем теперь, чтобы было выполнено неравенство <
В таком случае 6„> 1/giJ и, следовательно, 2. < в. при больших
в, В итоге Г> С»6. - 6. - 8. - @. - 2)в„.

Это неравенство показывает, что Ап (] "I пАп « 0 прв к —¦
— О, 1, ...,<?.- 2.
2°. Заметим, что если s > й„ — 2. для точки 2 ¦= (ж, «), го
J(z) > (9,- 1N». Поэтому
V- U» П Г(в"~1L
< 2„/<?„р\ A)
-Оценим теперь снизу меру ц(Л,ПГ " "An). Пусть Е„ =• Ап \
\Г****Д„ F» = {(г, s) s /1„: 0 < s < 2„ или с,-2.=С»<6„>. Ясно,
•что ц№„) ^ 22„/д,р. Если г — (*, s) e Еп\Р„, то запишем сначала:
), Где
F (т + &а).Посколь-
ку s<8. <TninF(a;), то ГТ"<Чг = (х + д„а, 5). В силу леммы 1
10.6. - т.Ы1 =- I ?„§ - т.(д:I «2„. Следовательно, rQ"S"s = (г +
Так иак Г0"""* ^ Л„ = Д„ X @, 6„), а *+
т0 * + ?.а^До. Это означает, что
7na, s + (?„6„ - т„
ФА ~ T>i 0е) е №.
Е„\Р„ = [г
= А„: ?Г-2{
ort = Д?- a — :
. Поэтому
.и значит,
I — Ti з- о
B)
3". В этом пункте мы построим требуемые разбнеиия ?., авто-
¦морфизмы 5„ н числа ?„, фигурирующие в определении цикличес-
кой аппроксимации.
Элементы С\™\ 0 <; I < 9» — 1 разбиения 1. определим следу-
ющим образом. Положим сначала Cinl = Т пАп длн t = 0, 1, ...
...,Qn-2; CiK-i = Г(впL"/1п\/1„. Для получении Ci добавим
к й"' часть множества Jlf \ U Ci"' так, чтобы мера злеиента
-С?' стала равной 1/Q*.
Автоморфизм Я. зададим формулой
о для остальннх г <s Jlf доопределим S. произвольно, лишь бы
сохранились свойства 2) и 5) я определении циклической аппрок-
симации. Ясно, чта это можно сделать. Имеем теперь
Р|* ц (rV,n) д sn
i-o
¦ + 2ц (r(Q"~'>S, П Ап) + ц (Л„ д TQAAn) - 2ц, + 2ц» + ц,.
Учитывая, что множества Т
но не пересекаются, запашем:
Ц, < 1 -
Так как ц(^п) = -п-6п(?п' —
, к = 0,1, ...,Сп — 2, попар-
, то в силу A)
= 1 - -j- ?»
^ = г!
C)
Величина цг оценена в A), а из B) следует, что
Объединяя неравенства A), C), D) и оценку для 2„, получим
Уточним теперь выбор последовательности (п.). Мы потребу*
ем, чтобы наряду с неравенством пгп-<^/р, которое уже фигу-
рировало раньше, были справедливы следующие соотношения: ,
Тогда будем иметь
4°. Остается показать, что |„ -*- е. Пространство Jtf топологи-
чески представляет собой торъ. Введем на нем невырожденную
метрику р класса С3 и через diam А будем обозначать диаметр
множества A cr Mг вычисляемый с помощью этой метрики.
Покажем вначале, что max diam(r^ nA^)->-0upn n -*¦ °°.
Пусть Sj = (х1ч
23 н. П. Корофел
г[ = (хх, 0), z2 = (а:а,
0)

Тогда
р (r*e-,1; г"Ч) <? р {тк\, т>\'п) + р (г%*, т"\) +
+ р (Тк\1 Т>\) < 28 + р (ГИЧ /Ч).
Из формулы для действия специального потока вытекает, что
при 0 ^ к < Qn ~- 2
Поэтому требуемое утверждение вытекает нз следующей леммы.
Лемма 2. Если F eCHjS1}, го «рм иррациональном а
/а) - f (a;2 + /а)]
Доказательство леммы прснедем чуть позже. Положим
Вп = U Т пАп, Ясно, что у.(В„) -*-1 при п -»- «о Из доказанного
fc=o
утверждения вытекает, что
max diam (Ci"J П 5m) ->- 0 при п ->- оо.
о<«<оп—1
Лемма 3. пусть М — компактное топологическое пространст-
во, \х — нормированная борелевская мера на М1 Bncz M — последо-
вательность борелевских множеств, %п = \Cin>}, 1<^ i^ gn, ~ по-
следовательность конечных разбиений. Тогда если (i(Sn) -*¦ 1.
max diam (Ci П Вп) -»- 0 при « -*- °°, го |„ ^ е.
Ссылка на лемму 3 завершает доказательство теоремы. Таким
образом, остается доказать леммы 1—3.
Доказательство леммы 1.
ПустьF(x)=^FmexpBntm&), Fq{x)= 2 Fmenp{2siimx).
Поскольку F^C5, то IFJ <constm-5, \F{z)~Fq{x)\ <cvnslq~\
const g~3. С другой стороны,
не меньше, чем !/(?, a \mv\ <0,l^r"'. Следовательно,
.2
Положим а = p/g + v. По условию Ivl < 0t\q~7. Далее, ma. =
= nipq~l + mv. Расстояние от mp/g до ближайшего целого числа
= !expBmmv) — II < const ¦ mv = const!met — mpq~x\ <
^ const q\a — p/ql.
Поэтому
9%F{x + ka) - ф < 'S ^(Д? + A») - '2 F
const ?~3 + const g21 a — p/g | 2 1
Доказательство леммы 2. Очевидно, что
Положим
) =F'U). Тогда
2 If (*i + /о) - f (i, + /»)] = f 2 Ф (I + ja) dl.
В силу строгой эргодичности поворота окружности на ирра-
диональный угол а, — ^ ф (ж -f- /а) -*- \ ф (?) й^ = 0 при га-»-оо
1=0
/о)
• ft, где En-
равномерно по х. Иными словами,
-»-0 при п->оо. Для любого е >0 найдем такое п(&), что |ет«1<:
< е при п > п(е).
Пусть g>"fe)"»l^l. Тогда цри r>n(e)
2l^(xx + /a)-f t^ + y^Kr-Srl^-^K — sr<e.
3=0 ?
При г ^ п(е) имеем
Доказательство леммы 3. Пусть А ^ М — борелевское
множество, хАх) — его индикатор. Для заданного е>0 найдем
сначала непрерывную функцию fix) па М такую, что \ \ %а (х) —
м
— / (х) | d[i < 6/2. Функция / ограниченна: I/I =S С.

Пользуясь равномерной непрерывностью / найдем б = б(е) > О
такое, что sup |/(^i)— /(*2) I <е/4, где р — метрика на М.
р(«х)<»
ПРИЛОЖЕНИЯ
Возьмем теперь столь .большое и, что ц(М\В
max diam (ci"'П Вп) < 8. В каждом из множеств С™,
п
выберем произвольную точку %F ^ С/1 и определим функцию
jnix), измеримую относительно разбиения ?„ равенством /п(я) —
= /№') для leC1,. Тогда
J |/-7.|<гц = Л + Л-
\я„
Яспо, что /г<тах|/-7„|-ц(М\Вп)<2С^т. =-?-•
Кроме того,
А =2 ] 1/-7»|й|1<-|-2^(С(">ПВп)<е/4.
q 'пя„
Поэтому J |/—7я|йц<в/2. Определим теперь функцию fjx),
также измеримую относительно \п, следующим образом: если
^= ~2~ ^ ^'*'"'^» то полагаем
/«Ы=0, если же |*DП С\п))> -^(сГО. то полагаем /ftU) =
= 1. Легко проверить, что при каждом i, I ^ i ^ #„, будет
Поэтому J|/-/.|d(i<f|/-
-7,
е/2, и, значит,
J1xa(*)-)
| ха W - / W I d|i + J | / W-
Функция /n есть индикатор некоторого множества Л „ е
е в(|„), для которого, очевидно, справедливо неравенство
\t{AAAa) < е. Ввиду произвольности е лемма доказана.
Следствие. Объединяя утверждение этой теоремы с ут-
верждениями теоремы 3 § 4 главы 15 и теоремы 1 § 2 главы 16,
полу/чаем, что при любом иррациональном X поток (Т1) пе обла-
дает перемешиванием, спектр сопряженной с ним группы Ш'\
простой и максимальный спектральпый тип сингулярен относи-
тельно меры Лебега.
L ЙРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА И ИЗМЕРИМЫЕ РАЗБИЕНИЯ
1°. Мы приведем здесь основные факты, касающиеся пространств Ле-
бега н их измеримых разбиений. Доказательства можно найти, например,
в статье В. А. Рохянна [3]. Начнем с нескольких вспомогательных оп-
ределений.
Пусть (М, ©, ц.) — пространство с нормированной мерой. Множества
А е © называются измеримыми. Мера ц предполагается полной, Это озна-
чает, что для любого множества А ^ ©, [t(A) = 0, все его подмножества
В а А также измеримы. Для любого семейства измеримых множеств {Ва}
через f({BB}) обозначим борелевское тело множеств, порожденное все-
ми В««). '
Определение 1. Счетная система измеримых множеств о =
= [Вг, ie/j называется базисом пространства Mt если i) для всякого Ле©
найдется такое множество CeF(B), что С=>А, ц,(С\4)=О, ii) для любой
пары точен х(, хае М, ххФ щ, существует такое ie/, что либо ху еBt,
Хг ф В{, либо Хг е Ви Х\ ^Bi.
Введем теперь понятие полноты пространства М отвосительно базиса
В = (ВЛ. Пусть в,=±1 и в[е$ =Biy если е. = 1, В^ =Л/\В{, если е{ =
= —1, Любому вабору чисел {е;, ie/) сопоставим пересечение П в\ К
В силу ii), всякое такое пересечение содержит не болееодной точки.
Определение 2. Пространство (М, ©, цЛ называется полным отно-
сительно базиса Б, если все пересечения П б/ непусты.
Определение 3. Пространство (М, ©, [О называется полным
(modO) относительно базиса В, если М можно вклютитть_ в_качестве под-
множества Меры i в некоторое пространство с мерой (М, ©, [i), полнее
относлтельво такого своего базиса В= [Bt, i e /], что Bi П М = Bf для
всех Ig/,
Оказывается, что пространство, полное (mod 0) относительно одного
своею базиса, является также полным (mod 0) относительно любого друго-
го базиса.
Следующее определение является основным.
Определенве 4. Пространство (Af, в, ц), полное (modO) относи-
тельно некоторого своего базиса, называется пространством Лебега.
Смысл приведенного определения состоит в следующем. С одной сто-
роны, понятие пространства Лебега настолько широкое, что охватывает
*) То есть наимевыпую о-алтебру, содержащую все Ва. Мы ие упот-
ребили в тенсте термин «о-алгебра», так каи обычно встречающиеся в этой
книге сг-алтебры вместе с любым, множеством содержат также все множест-
ва, совпадающие с ивм (modO), a F({SO}) яе обладает этим свойством.
357

практически все важные для приложений пространства с мерой. В част-
пости, любое полное сепарабельное метрическое пространство, в котором
мера определена на а-алгебре, порожденной открытыми множествами (боре-
левсяой ff-алгебре), является пространством Лебега. Прямое произведение
конечного или счетного числа пространств Лебега* также является прост-
ранством Лебега,
С другой стороны, пространства Лебега обладают многими хорошими
свойствами, которые в общем случае не имеют места. Упомянем об одном
яз них. Всякий автоморфизм Т пространства с мерой (М, ©, ц) индуцирует
некоторое отображение (изоморфизм) S а-алгебры © па себя, действующее
по формуле S(A)=TAt A e ©. Для пространства Лебега справедливо и об-
ратпое утверждение: всякий изоморфизм о-алгебры измеримых множеств
порождается указанным способом некоторым автоморфизмом самого про-
странства. В дальнейшем в этом приложении будем считать, что (М, ©, ц) —
пространство Лебега.
2". Разбиением пространства {Му ©, \i) называется венная совокупное!»
I = {С} непустых непересекающихся измеримых подмножеств С, такая, что
LJ С = М. Если U C=M(modG), то Е зазывается разбиением (moHQ).
Говоря о разбиениях и об операциях над ними, часто имеют в виду раз-
биения {mod 0), явно об этом не упомипая. Естественным образом опре-
деляются перавенства между разбиениями: ? ^ г\ (| не мельче г\), если
каждый элемент С% е \ есть объединение некоторого числа злемевтов &^х\.
Записи \ = *], % ~? г\ употребляются и тогда, когда они справедливы
(modO), Множества Л^@, являющиеся объедипенкямя элементов СЕе?,
называются измеримыми, относительно ? (^-множествами).
Основную роль при изучении пространств Лебега играет понятие из-
меримого разбиения.
Определение 5. Разбиение | называется измеримым, если суще-
ствует такая счетная система множеств В«={В{, ie/}, измеримых отно-
сительно ?, что для любых d, С2 е ? найдется (е/, при котором либо
С, а В„ С2 <? Bi, либо С2 aBt, С, <? Вг.
Справедливо следующее утверждение: фактор-пространство пространст-
ва Лебега по измеримому разбиению |, т. е. пространство Jtf/?, точками ио-
торого служат элементы С\ разбиения %, является также пространством
Лебега.
Если (?а) — некоторая система измеримых разбиений, то их произведе-
нием ?= V |в называется измеримое разбиение ?, которое однозначно
определяется следующими свойствами: i) t^
^'^. ^а при всех а а %' измеримо, то |' ^= ?.
Пересечением »1 = Л §а называется измер
при любом а; п) если
ое разбиение i\, которое
при любом а;
однозначно определяется следующимв свойствами: i)
ii) если г\'х/ |а при всех а и г\ измеримо, то tj'^t]
3°. Существует естественное взаимно-одяозначное соответствие между
измеримыми: разбиениями ? пространства Лебега (Mt ©, \i) и полными
о-нодалгебрами о-алгебры ©, т. е. такими а-алгебрами SM сг @, что мера щ
рассматриваемая на Ш,— полная. Имевно, сопоставим разбиению | полную
п-алгебру ®(^} сг S, состоящую из множеств Лей, совпадающих (mod 0)
с одним из множеств, измеримых относительно |. Оказывается, что всякая
полная о-алгебра Ш а © имеет вид Ш = ©(|) при некотором ? = |{ЗЯ)
и соответствие Ш-+% (Щ взаи^ко-одиозпачно. Операциям над разбие-
ниями отвечают операции над соответствующими а-подалгебрами. А именно,
если (ija) — система измеримых разбиений, то
Здесь Л © (|а) = П ® (?а) — теоретики множественное пересечение о-алгебр,
1
а V в {^a) —пересечепве всех о-алгебр, каждая из которых содержит псе
4°. Основное свойство измеримых разбиений заключается в том, что
элементы Се^ таких разбиений сами могут быть превращены в прост-
ранства с мерами [ic, причем этн Меры играют роль условных вероятностей.
Определение 6. Канонической системой условных мер, принадле-
жащих разбиению ?, называется система мер {м*с}, С&%, обладающая
следующимв свойствами:
i) цс определена в
ства С;
ii) пространство (С, ©с, ц,с) есть пространство Лебега;
ш) для любого А е © мвошество Л П С иринвдлежвт
ив свойствами:
определена ва некоторой о-алгебре ©с подмножеств множе-
iij пространство (С, ©с, цс) есть пространство Лебега;
Ш) для любого 4е6 мвожество А (\С иривадлежвт ®с при почти
зх С е М{%, функция [кс(А П С) иамерима на М/% и
все
Всякое измеримое разбиение обладает канонической системой условных
мер. Эта система единственна (mod 0) в том смысле, что любая другая си-
стема {М'с! совпадает с ней для дочти всех С е М/%. Обратво, если некото-
рое разбиение обладает кавовическоя системой условных мер, то оно
измерено,
2. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
УНИТАРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
ны
Uh = Xh. При этом h называется с
собственным нзачепием К. Иногда, чтобы подчеркнуть
дем обозначать этот вектор через Л Поскольку А(
/7ги
1ЯЗЬ \ И К МЫ бу-
l=i, т. е. |М = 1-
называется даскрет-
Набор собственных значений Ad('t7) ._.г
пым (точечным) спектром этого оператора. Если Д.], ^sAdfP), Xt
(ta,, Аяч)^О. Наименьшее замкнутое подпространство, порождение*
ое всеми
ta, обозначается
обозначается чере;
охарактеризованы
ауем пределы
у
через Hd(U). Ортогональное дополнение к нему tfQffrf(?0
ез Яс(?/). Подпространства Яд(Г7) н Hc[V) могут быть
чисто «эргодическвх» терминах. А именно, обра-
Тогда ЯДС/) состоит из тех векторов ft, для которых т(А)-=]]й1|г, a HC{V)
состият вз тех векторов ft, для которых m(h)'=0.
Для произвольного ЛеЯ рассмотрим последовательность Ьп (h)-=
= {Unh, h), —оо<;п<оо. Эта последовательность положительно определен-
ная: 2efcicA26fci-*s (^=B4^^' S^**)^0 для любой коиечной ц°-
следовательвости {ск}. Поэтому по теореме Бохнера — Хинчняа найдется
(еданетвенная) мера Oh ва окружности S1 такая,что 6n(ft)=\esp 2am^daft(X,).
Эта мера называется спектральной мерой: вектора А. Если ft^^j, ДоеАДР),
то Стл — мера, сосредоточенная в точке V Более общим образом, для лю-
бого h^Ha (U) отвечающая ему мера ол дискретна. Наоборот, для любого
359

&t() мера 0a непрерывна. Эти свойства также могут быть приняты аа
определения Hj{U) и He{U).
Для любого вектора АеЯ рассмотрим последовательность векторов
Unh, —?»<в<«э, и подпространство C(k), являющееся замыканием мно-
жества конечных линейных комбинаций ^CjJU^h. Ясно, что C(h) есть на-
именьшее ааиккутое подпространство, содержащее вектор А и инвариантное
относительно V. Подпространство С(к) называется циклический подпрост-
ранством, порожденным вектором h. Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пространство C(h) может быть изоморфно отображено
на гильбертово пространство ^{Sl, ©, 0л), где @ — борелевская а-алгебра
подмножеств окружности, так, что действие оператора U переходит в умно-
жение на expZniX. Если tp&L'(S\ €S, Oh) соответствует вектору hC(h
при указанном изоморфизме, то мераО^ абсолютно непрерывна отн
Оц и ?- - = | ф | . Длл вектора
(А) равенство C{ht)^C{h) имеет
место тогда и только тогда, когда |ф(Л)| >• 0 почти всюду по мере ОЧ.
Из этой теоремы вытекает, что множество векторов hu для которых
C(Ai) = C(h), отвечает множеству конечных мер, эквивалентных мере оч.
Класс эквивалентных конечных мер будем называть спектральным типом.
Пользуясь этим термином, можно сказать, что каждое циклическое под-
пространство C(k) характеризуется своим спектральным типом.
Спектральный тип называется абсолютно непрерывным (по отношению
к мере Лебега), если мера <Тл абсолютно непрерывна. Если мера О/, экви-
валентна мере Лебега, то спектральный тип называется лебеговским. Из те-
оремы 1 вытекает, что в случае лебеговского типа в пространстве C(h) най-
дется вектор A|i, для которого oft^ есть мера Лебега. В таком случае (^"А,,
?Л»А,)=О прк пфт к векторы Р"Л(, — соо<оо, образуют ортогональный
базис в подпространстве C(h). Это показывает, что лебеговский спектраль-
ный тви является в k определенном смысле противоположным дяскретному
спектральному ткну," т. е. спектральному ткпу дискретной меры. Если а*
сингулярна по отношению н мере Лебега, то ее спектральный ткн назы-
вается сингулярным,
Если спектральный тип некоторого циклического подпространства яв-
ляется дискретным (непрерывным, лебеговским и т. п.), то иногда говорят,
что в спектре оператора U имеется дискретная (непрерывная, лебеговская
ц т. п.) компонента. Если в спектре оператора U имеется как непрерывная,
так и дискретная компонента, то говорят, что U имеет смешанный спектр.
С помощью понятия спентрального типа можно сформулировать основ-
ную теорему о каноническом виде унитарного оператора. Мы приведем две
эквивалентные ее формулировки.
Основная теорема о каноническом виде унитарного оператора.
Первая формулировка. Для любого унитарного оператора V можно най-
ти такую последовательность векторов А() i = 1, 2, ..., что
1) С (A.) _l G (k.) при 1Ф1, Я="|С(^;
2) °А|+1<%. *=1.2...И *)
3) для любой последовательности векторов kit i = 1, 2 удовлетворя-
ющей условиям 1), 2), а г я? ah при i = 1, 2,...
ki
Вторая формулировка. Для любого унитарного оператора U и любого
п = 1, 2, .у.,;00 можно найти борвлевское подмножество Аа окружности. S1
*) Запись о' в? о" Для двух мер о', сг* означает, что мера о' абсолют-
но непрерывна относительно меры о"; запись о'яйсг* означает, что "' -*""
и последовательность > векторов An fte Я, ft = l, 2,..., и
п = оо) такие, что
1) АП1Г)Ап^=0 при »l4tnl( \JAn = S,
А-=1, 2,... пр
2)
при
3) ahnh = ahnl =0-*"' при i^k,t^n и 1Г"чд-\
Для любой другой последовательности Ап ^, удовлетеор-
речисленным условиям, справедливо соотношение
ющей
Спектральный тип меры oft , фигурирующей в первой формулировке
основной теоремы, называется максимальным спектральным типом опера-
тора U. Спектральная мера любого элемента h ^ Н абсолютно непрерывна
относительно мер максимального спектрального типа. Функция п(Х), опре-
деленная на S1 равенством п[К) =п, есля К^Ап (см. вторую формулиров-
ку), называется функцией кратности, а спектральный ТИП меры 0<п) назы-
вается спектральным типом кратности п.
Если все пространство Н является циклическим подпространством для
некоторого вектора АеЯ, та говорят, что оператор U амеет простой спектр.
Если а[п)=0 при п>щ (оо<°°), то говорят, что U имеет кокечно-кратнып
спектр. Если существует такое п^ что ст(п1 = О при пфщ, то говорят, что
оператор U имеет однородный спектр кратности и0. В частности, при по=°°
мы кмеем однородный счетпократный спектр. Если о* °' эквивалектна мере
Лебега на о1, то говорят об однородном лебеговском спектре. В этом случае
можно выбрать последовательность hn ft так, что векторы ^^п^ — °° <
-с^рв^оо, 1^/г^пй при п.0<;оо и 1^ k<oo прк 710=°°, образуют ортогональ-
яый базис в Я, При щ = со мы имеем счетнократный лебеговский спектр.
Существование последовательности векторов hit Аг, . -. такой, что f/pA,-,
СС ( 1, 2, ... образуют ортогональный базис в пространстве Я,
одородного лебеговского
1 операторов.
является необходимым и достаточным условием однородного лебеговского
спектра. Число векторов этой последовательности равно кратностк спектра.
Последовательность спектральных типов мер о^, фигурирующих в
первой формулировке основной теоремы, образует систему унитарных ин-
вариантов оператора U. Аналогичным образом систему унитарных инвари-
антов образуют максимальный спектральный тип и функция кратности.
Каждая из этих систем является полной в том смысле, что два унитарных
оператора U,, U2, имеющих одинаковые системы унитарных инвариантов,
унитарно эквивалентны, т. е. найдется такой унитарный оператор У, что
Приведем одпо важное следствие из основной теоремы о каноническом
виде унитарного оператора. Формулировка этого следствия использует по-
нятие непрерывной прямой суммы гильбертовых пространств (см.
М. А. Наймарк, С. В. Фомин [1]).
Пусть- if—унитарный оператор в гильбертовом пространстве В, Про-
странство U можно разложить в непрерывную, прямую сумму Н =
= 1 ф H^da (X) по_ мере о максимального спектрального типа так, что
1) функция кратности n[X)-=dimff\;
2) всякое циклическое относительно V подпространство Я' имеет вид
Я' = j ф HfjdO (К), где 3^ — подпространство пространства Н^, dim Я^^О
цлц 1 для почти всех X по мере о.
2°. Описанные выше понятия непосредственно переносятся на случай
непрерывного времени, т. е. на однопараметричеекие группы унитарных
361

Если {(/'}, — oo<t<oo, —непрерывная однопар а метрическая группа
унитарных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве //, то мно-
жество Лй ({(/'}) состоит из тех К ^ D? , для которых найдется такой век-
тор h\^Hy что U А^ = е А^. Наименьшее замкнутое подпространство, со-
держащее все hx, обозначается через П^ {{U*}); Яс {{и1}) = Я в Ud ({&}).
Циклическое подпространство, отвечающее вектору Аей, есть замыкание
множества всевозможных конечных линейных комбинаций 2 с$ ^" Как
и выше, это подпространство обозначается через С (к). Спектральная мера
Ой определяется ара помощи соотношения.
(U\h)= J ,
Мера o-ft в атом случае определена на борслевской о-алгебре © прямой R1'.
Справедлив аналог теоремы 1, в котором фигурирует изоморфизм меж-
ду подпространством C(h) и гильбертовым пространством L2(KI,@, ол),
переводящий действие V* в умножение на eul. Основная теорема о кашти-
ческом виде унитарного оператора переносится на рассматриваемый слу-
чай с очевидными изменениями.
3°. Мы сформулируем к докажем сейчас важную теорему фон Неймана,
дающую условия для того, чтобы группа унитарных опора торов {U'} име-
ла однородный лебеговскнй спектр.
Теорема 2. Следующие условия эквивалентны;
1) группа {U1} имеет однородный лебеговский спектр;
2) найдется подпространство Я™ пространства И такое, что
1) и*ВЮ=*В<п> при (>0;
ii) наименьшее замкнутое подпространство, содержащее все и*№°\
—c°<t<oo1 совпадает с Я;
ш) П и*Нш= @|; '
3) существует непрерывная однопараметриче
. тная с группой {U'} еле
) ущ
пых операторов
соотношением
:кая группа (V'} унитар-
'ующим коммутационным
(здесь е-'9' означает оператор умножения на е~*а1).
Доказательство. 1°. Докажем, что 1)^-2). Возьмем векторы h,,
h2, ... ей максимального спектрального типа такие, что их циклические
подпрострапства C(hf) попарно ортогональны и © С (h^ = Я.Пусть Я<°> —
подпространство, порожденное векторами вида l/'h, при всех t г? О,
i-= 1, 2, ... Непосредственно проверяется, что условия i), ii), iii) в этом
случае выполнены.
2". Докажем, что 2) => 3). Пусть Ер — оператор ортогональпого про-
ектирования на подпространство ?7уЯ<°), — °о<р<оо. Тогда {Ер} —спек-
тральное семейство проекционных операторов. Нетрудпо проверить, что
EpV = UtEv-t при всех р, t.
Образуем Однопараметрическую группу унитарных операторов {Vs],
уч = J eip4dEp. Для любого элемента h e Я мы имеем
У'иЧ= j -{*'*Ер (U'h) = J №d (EpU*h) = J е^Ы (VlEp_th) =
т. е. 3) доказано.
362
3°. Докажем, что 3) ^- 1. Пусть АеЯ — вектор, спектральная мера а*
которого по отношению к группе ((/'} есть мера максимального спектраль-
ного типа. Заметим, что спектральная мера вектора Vah no отношению
к группе {(/'} получается из спектральной меры Оц сдвигом на s. Отсюда
вытекает, что все сдвигк меры Oh абсолютно непрерывны относительно
Oh. Хорошо известно, что это возможно только в том случае, когда at, эк-
вивалентна мере Лебега.
Пусть п(\) —функция кратности для группы (U'}. Допустим, что
п{\)^ п0 на множестве положительной меры максимального спектрально-
го типа. Это значит, что мера о * °' ф 0 (для группы {U1)). Возьмем век-
торы hn (fe, fc=sl, 2, ...»»0 и отвечающие им ортогональные циклические
подпространстваC(hn Л (по отношению к {tff}), для которых ohn ,1^0 ¦
Пусть мера о^ °' сосредоточена па множестве Ап . Тогда циклические под-
пространства c(vshn А, 4=1,2, .-.,поу ортогональны, ах спектральные
меры получаются в результате сдвига па я меры о* °К Это означает, что
меры о , к ^1,2, ...,11ц, сосредоточены па множестве Аи -\- s, т. е.
no,k
для любого s имеем п{к) ^щ для почти всех А. е ^-4n -\- s\. Ввиду про-
извольности s получаем, что п{\)^ пв цочти всюду на № . Следовательно,
функция п(Я) есть константа (modO). Теорема доказана.
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ
БИРКГОФА - ХИНЧИНА
Формулировка этой теоремы приведена в § 2 главы 1. Мы проведем
доказательство лишь для эндоморфизмов.
В основе доказательства лежит важная лемма, называемая иногда мак-
симальной эргодической теоремой. Введем сначала некоторые обозначе-
ния. Пусть «„(*) = »«(*,/)= 2 f{Tkz), яеЛ/, л—1,2, ..., *0(*)« О
к^О »
Пусть, далее, А = A(f) = {x(=M; sup $п {х) > 0|.
Лемма J. j /(х)ф^О.
А
Доказательство леммы проведем позже, а сейчас выведем из нее эр-
годическую теорему.
Для любых рациональных а, Ь, а •< Ь положим
х ^ М; 1Ш — sn{x) < fl <Ь < lim — sn [x) \.
Очевидно, что Еа, ь s© и для доказательства существования предела
lim —- $п (х) достаточно показать, что ji(?Oi ь) = 0 при любых а, Ь. Зафик-
сируем я, Ь, положим Е = Еа,ь и рассмотрим функцию
Г/(з:)-Ь для х&Е,
? 1 0 для хфЕ.
Применяя к пей лемму 1, получим
и)
863.

где A{g) = \xmM: sup -$- sn (x; g
I nw n / l ;
Ясно, что Л(?)э#. Из инвариантностк множества Е вытекает, что »„(*;
g) == 0 пре хфЕ^ т. е. Л(?)е?. Значкт, Л{§)=?, и мы можем перепи-
сать A) в виде
С
B)
Аналогично, рассматривая функцию
,, , (¦ — /(*) Для хе=Е,
е{Х)={ 0 для х*Е,
получим
(Е). C)
Из B) и C) вытекает, что ц (Е) = 0. Итак, почти всюду существует пре-
дел /[r)=|lta^n(i;/).
Т
Так как при любой л
-1 2 I/O1**) I ф- Г |
. м
то f ш V (М, ®, II). Осталось доказать равенство
J / i(i= J / ф.
мм _
Рассмотрим множество СвфЬ — (х^ЛГ; а < f(x) < 6). Как и ракыпв,
с помощью лемиы 1 пояуч^ы
Кроме того, очевидно,
Отсюда
I co,s с„,ь
Зафиксируем натуральное q и рассмотрим всевозможные пары а, &
вида а = р/2«, Ъ = (р +1)/2«; р = 0, ±1, ±2, ... Мы можем считать, не
ограничивая общности, что
ц({х: f{x)
= р.({х: f{x) = ?/2"}} - 0.
Тогда
< 2 i"f^?f)-?-
Прк д-»-«> получится, что
Те°Рд"акТзТт е л ь с т в о л е м м ы 1. Прк любом * > О
Зафиксируем п ^ 1 и возьмем максимум по ft = 0, 1, ..., п — I от
обеих частей этого равенства. Сначала для левой частк запишем:
max s. (Тх) = max (О, / (Тх) / (Тх) + / (Гах) + ...+ / (Тпх))^
- max (/ (*), / (i) + / (Тх), ...,./ (х) + / (Г^) + .-. + / (Гп*)) - / (я).
Для Правой части запншеи;
), /(i) + / (Til
) /(Г*)
Поэтому, обозначая
On(i)=mai@;sI(i) sn(i)),
Ф^(») = max (г1 (i), ..., 5„ (х)),
получим на D) Ф*+1 (I) — /(!) = Ф„ (Г«). Отсюда / (*) = Ф*+г (i) —
—Ф„ (Гх) > Ф* (х) — Ф„ (Гг). Пусть Д. = !г е М: Фп (а:) > 0). Тогда
j / (г) rf|i > j oj (i) dn - j Ф„ (Г*) dp-
А„ А„ Лп
Но для iEi> имеет место равенство Фп {х) =Фп(аг),а для хфА% — ра-
венство Фп (я) = 0. Поэтому
j Ф* (I) Ф = j Ф„
Кроме того, кз кеотрицателькостя Ф„
Ф„ (I)
f Фл
м
Охгончательно получаем
j / (I) <*ц > j Ф„ (х) dp - j Ф„
м м

Последнее равенство следует из того, что Т сохраняет меру ц. Устремим
теперь »->оо. Множество Ап будет, очевидно, стремиться к А в том смыс-
ле, что ]л(Л„А-4)->-0. Поэтому при га-*-«э получим требуемое неравенство.
Лемма доказана.
4 МНОЖЕСТВА КРОНЕКЕРА
Пусть Sl= {z: |z| = 1} — единичная окружность. Sl
тативной компактной группой относите
дой точке г = е'х s S1 сопоставим
является комму-
умножения. Каж-
.„„„... ^ аргумент К из полуинтер-
вала [—л, я). Непрерывные характеры группы 51 имеют вид х«(г) =
= Хп(е1Ь)= ein\ —оо<п<оо, «— целое. Группа характеров X группы S1,
очевидно, изоморфна аддитивном группе Ж, целых чисел.
Определенно. Множество К cS] называется множеством Кроне-
кера, если дли любого непрерывного отображения ф: К -+¦ S1 найдется та-
тая последовательность {пг}, г = 1, 2, ... целых чисел, что
sup | (р (г) — ^„^ (г) | -+ 0 при г -+ оо.
Приведенпое определение можно естественным образом распространить
на произвольные коммутативпые компактные группы.
Мы пркведем сейчас пример совершенного множества Кронекера. на
окружности S1. Построение примера разобьем на отдельные пункты.
1°. Пусть EaSitE= (гь .. „ zm}, где z} = е **', 1 ^ ; < т — конеч-
ное множество без рациональных соотношений, т. е. такое, что равенство
^ г-а- = 0 (mod 2л), ri рацвопальны, позмошно лишь прк г,—гй = ... г™ =
=0. Докажем, что Е — множество Кронекера.
Пусть отображение ф: E~-*-Si задано формулой ф(г>) = h>j, где
w- = e J", I ^ j ^ т. Рассмотрим автоморфизм Т сдвига m-мерного тора
Тогт = 5'Х .-- Х^1, действующий в цпкличесних координатах (А.,,..., лт)
но формуле Г(Х] Лт) = (Xj+a^raodZn), ..., ^m+anl(mod 2л)). Б силу
теоремы 1 § 1 главы 4, автоморфизм Г минимален. Значит, в частности, най-
дется такая последовательность {п,} целых чисел, что Т гх — у, где х —
точка с координатами %i = ... = i.m = 0, у — точка с координатами Я, =
= Pi, ¦ ¦ -1 ^т = Р™. Это означает, что справедливы равенства lim в1 1 J ='
— Ф. (е1вг), ; = 1, ..., т, т. с. Е — множество Кронекера.
2°. Для любого г = 0, 1, ... мы построим:
а) набор открытых множеств K^CS1, 1<;<2Г, такой, что diam К1р<
< "jr. A(jr> ft ^'Г1 = 0 при i ^ /;
б) набор точек хФ = *
Я^г), \ < i < 2Г;
в) конечное множество /"<г)с:Х характеров группы 51 так, что будут
выполнены следующие условия:
1) для любой последовательности точеж tzu ....
такой характер е ^ ^ ', что
кайдется
2) для любого характера % s Flri справедливо неравенство
Построение будим проводить по индукции. При г = 0 возьмем в качестве
К[о) любую дугу окружности и выберем на ней точку 4°* ~е * так, что А,^
несоизмеримо с л. Из соображений номпантности найдется конечное мно-
жество Р.@) cz Xt для которого условие 1) будет выполнено прк г = 0. Ус-
ловне 2) тривиально при г = о.
Пусть построение уже проведено для всех чисел меньшкх г, проведем
его для г. Пусть W$j-u Wa — непересекающиеся открытые подмножества
множества Kf~l)i*Cj^F~l . Из пункта 1 вытекает, что найдотса последо-
вательность точек z*-rl e Wjt 1</?^2г, образующая множество Кроиеке-
ра. Из соображений компактности кайдется конечное множество F<r> с X
для которого будет выполнено 1). В качестве /fj возьмем столь малую
окрестность точки Zj1, что для нее будет выполнено 2). Тем самым построе-
ние проведено цри всех г,
3°. Положим К = П U К*Р- Ясно, что К — совершенное множество.
Пусть ф: К-> S1 — непрерывное отображение. При достаточно большом г„
можно продолжить отображение Ф на множество К^ °' — U Kj "' так, что
продолженное отображение останется непрерывным. В частности, будет
определено значение Ф (г*/1) ПРК Г Э> Га, 1 ^ / ^ 2Г.
Возьмем е > 0 к выберем такое г, г $= г0, г > 3/е, что
|DI
J", i<j<!'. Найдем характер X =" ™г S'W' для кото
Так кап \l.W-%{/p)\<Vr прн .?»", 1<;<2Г, то | Ф (z)
—y\z) | < е при всех z s К{р, 1 < / 5^ 2Г, и значит, при всех z s К, Ввид
произвольности 8 это означает, что К. — множество Кропекера.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ПРИМЕЧАНИЯ
. Одной пв первых книг на зргодичес
фии Э. Хопфа (Е. Hopf [1]). Упомянем также
Дж. фон Неймана (J. von Neumann [1]) и ее про
моша и Дж. фок Неймана (P. Halmos, J. von Neu
о зос В А Р
Глава 1. Одной пв первых книг на зргодичесной теории была моногра-
Э Хопфа (Е Hopf [1]) Упомянем также основополагающую работу
должение — работу П. Хал-
Д ф (. , eumann [1]). Большой обзор
по зргодическоп теории принадлежит В. А. Рохлину [5]. Другими известны-
ми нам монографиями общего характера по эргодической теорик являются
книги П. Халмоша (P. Halmos [4]), К. Якобса (К. Jacobs [1]), П, Биллкнг-
спея (P. Billingsley [1]) п более позднВ И А А А
(V. I. Arnold, A A
на (J. Brown [1]),
са (P. Walters [1
(W P [1])
моша (P. Halmos [4]), К. Якобса (К. Jacobs [1]), П, Биллкнг-
lingsley [1]) п более поздние—В. И. Арнольда п А. Авеца
, A. Avez [Ш, Н. Фридмана (N. Priedmatt [ll), Дш. Брау-
[1]), Я. Г. Синая [9] н Я. Г. Синая (J. G. Sinai [1]), П- Уолтер-
( rs [1]). Из более специальных книг отметим книга В. Перри
(W. Parry [1]), М. Смородинского (М. Smorodinsky [1]), Д. Ористейна
(D. Omstein [2]), П. Шилдса (P. Shields [1]). Ниже приводится библиогра-
ф б й нй
(. Omstein [2]), П. Шилдса (P. Shields [1]). Ниже приводится
фический список работ, в той или кной степени связанных с текстом.
Этот список никак не претендует на полноту. Большую библиографию ра-
бот по эргодической теории можно найти в обзорах А. М. Вершика
А Юзвинского [1] А Б К Я Г С А М Сё [1]
бо
рдической теории можно най рх рка
нСА. Юзвинского [1] к А. Б. Катка, Я. Г. Саная и А. М. Стёпина [1].
Пространства с мерой, рассматриваемые в этой книге, являются про-
странствами Лебега. Теория таких пространств построена в статье
В. А. Рохлина [3]. О соотношении между понятиями измеримого потока
и пепрерывкого потока см. В. А. Рохлин [5], А. М. Вершик [3], Г. Маруяма
(G. Maruyama [2]). Первые доказательства эргоднческой теоремы Биркго-
фа—Хкнчина см. в работах Г. Ввркгофа (G, Birkhoff [2]), А. Я. Хиичина
(A. J. Kbinchin [1]), А. Н. Колмогорова [1]. Приведенное в приложении 3
наиболее короткое доказательство этой теоремы принадлежит А. Гарсиа
(A. Garsia [1]).
Соотношения между инвариантными и инвариантными (mod 0) функ-
циями впервые подробно обсуждались в работе Дж. фон Пеймака (J. von
Neumann [1]). По доводу общей теории разложения произвольной дкнами-
ческой системы на эргодические компопенты см. Дж. фон Лейман (J. von
Neumann [1]) н В. А. Рохлин [4]. Производные автоморфизмы впервые
появились в работе С. Какутани (S. Kakutani [1]). Лемма 1 § 5 принадле-
жит М. Кацу (М. Кае [1]). Понятие перемешивания восходят к Дш. Гиббсу
{J. Gibbs [I]). По поводу слабого перемешивания см. Э. Хопф (Е. НорГ
[1]). Определение кратного перемешивания было дано В. А. Рохлиным [6].
д-перемепшвэпие тесно связано с понятном АГ-системы, введенным
A. Н. Колмогоровым в работе [3], где такие скстемы были названы квази-
регулярными.
Группы унитарных операторов, сопряженные с динамическими систе-
мами, были введены в работе Б. Купмана (В. Коортавп [1]). Лемму Вй-
нера см. в N. Wiener [1]. Эргодическую теорему фои Неймана см. в J. von
Neumann [2]. Теорема 1 § 8 есть классическая теорема Боголюбова — Кры-
лова (см. N. N. Bogoluboff, N. М. Kriloff [1]).
Глава % Доказательство теоремы Лиувкддя см., например, в книге
B. И. Аркольда [3]. Ряд вопросов, относящихен к теории гамильтоновых
систем, см. в книге Ю. Мозера (Ju. Мовег [1]). Обобщения геодезических
потоков, описанные в п. 5 § 2, рассматривались в работе В. И. Арнольда 12].
Сведение гампльтоковых систем к геодезическим потокам проводится так
же, как в статье Д. В.' Аносова и Я. Г. Скиая [1]. Теорему Лиувилля, иаса-
ющуюся интегрируемых гампльтоновых систем, см. в книге В. И. Арнольда
[3]. Многочисленные примеры интегрируемых геодезических потонов на
римановых поверхностях см. в книге В, Ф. Кагана [1].
Система точечных вкхрей были предметом многочисленных исследова-
ний. Система трех вихрей подробно изучалась в работе Б. А, Новикова [1].
Недавно интересные результаты для системы четырех вихрей былк полу-
чены С. Зяглиным и для системы любого числа вихрей К. М. Ханиным.
Метод (L, 4)-пары, или метод интегрирования динамических скстем
с помощью обратной задачи теорки рассеяния — чрезвычайно широкое в
интенсивно развивающееся направление в теории динамических систем.
Впервые этот метод был праыенек к нахождению решений уравнения
Кортевега — Де-Фриза в работе М. Крускала к других (С. Ganider, J, Green,
М. Kruskal, R. Miura [1]). Собственно метод {L, Л)-пары был введен в ра-
боте П. Лакса (P. Lax [1]). Важные результаты принадлежат здесь
В. Е. Захарову, Ф. Калоджеро, С. В. Манакову, С. П. Новикову, Л. Д. Фад-
дееву, А. Б. Шабату и др. Исследование цепочка Тода этим методом было
проведено С. В. Манаковым [1] и X. Флашной (Н. Flashka [1], [21). Инте-
грируемые системы одномерных частиц с парным взаимодействием были
обнаружены Ю. Мозером (Ju. Moser [2]) и Ф. Калоджеро (F. Calogero [i]).
Глава 3. Сдвиги па торе рассматривались в работе Г. Вейля (Н. Weyl
[1]) в связи с проблемой равномерного распределения дробиых долей раз-
личных функций. По поводу задачи Лаграижа см. Г. Вейль (Н. Weyl [2])
в Б. Иессен и Г. Торнхаве (В. lessen, H. Tornehave [1]). Понятие числа
вращения для гомеоморфизма окружности было введено А- Пуанкаре
(A. Poincare И]). В работах А. Пуанкаре (A. Poincare [1]) и А. Данжуа
(A. Denjoy [I]) была построена топологическая классифккация диффеомор-
фкзмов окружности.
Пример гомеоморфизма с нигде не плотным производным множеством
принадлежат А. Дапжуа (A. Denjoy [1]).
Теорему Данжуа см. в А, Данжуа (A. Den joy [11). Наше изложение
этой теоремы близко К работе М. Эрмапа (М, Herman [1]). Пример Арноль-
да см. в работе В. И. Арнольда [1]. Теорема 1 § 6 принадлежит М. Эрмаку
(М. Herman [1]) и А. Б. Катку, доказательство которого приведено в тексте.
Глава 4. Лемма 1 § 1 принадлежит А. М. Стеиипу. Сдвиги на коммутатив-
ных группах рассматривал Дж. фон Нейман (J. von Neumann [1]), который
вывел условия их эргодичности. Теорема 1 § 2 о строгой эргодичности ко-
сых сдвигов па торе принадлежит Г. Фюрстенбергу (II, Furstenberg [l]).
Эндоморфизмы и автоморфизмы коммутативных компактных групп с эрго-
дической точки зрения рассматривались впервые в работах П. Халмоша
(P. Halmos [1]) и В. А. Рохлина [6]. Теорема о равномерном распределении
периодических траекторий представляет собой вариант общей теоремы
о равномерном распределении периодических траекторий для так называе-
мых гиперболических динамических систем (сы. Р. Боузк (R. Bowen [I])).
Геометрический метод Хопфа доказательства эргодичности см. в статье
Е. Hopf [2], цосвшцеипой геодезическим потокам на многообразиях отри-
цательной кривизны.
Общая конструкция динамических систем яа однородных пространствах
групп Ли была введена в работе И. М. Гельфанда и С. В. Фомина [I], где
с помощью методов теории бесконечномерных представлений групп Ли
был найден спектр геодеаических потоков на поверхностях постоянной
отрицательной крнвкзны, В этой же работе впервые была найдена евнзь,
таких геодезических потоков с однопараметрическнми подгруппами груп-
пы SLB,K). Исследование эргодичности н церемешивапкя геодезических
потоков по существу следует работе Э. Хоцфа (Е. Нор! [2]) см. также F. Ма-
utnec [1], L, Anslander, L. Green, F. Hahn [1].
24 и. П. Корвфельд и др. 369

Глава 5. Теорема 1 § 1 принадлежит М. Ккпу (М. Кеане A1) и
А. Н. Землякову. Результаты § 2 принадлежат В. И. Оселедцу. Теорема
1 § 3 принадлежит А. Б. Катку (см. А. Б. Каток, Я. Г. Синай, А. М. Сте-
пин [1], глава 4). Пример § 4 принадлежит Е. А. Сатаеву [1]^ Аиалбгичный
пример построен Кейнсом и Ньютопом (см. Н. Keynes, D. Newton [1]) и
М. Кииом (см. М. Кеане [2]). Первый пример минимальной, но не строго
иргодичеекок динамической системы принадлежит А. А. Маркову и приве-
ден в книге В. В. Немыцкого и В. В. Степанова [1]. Исследованию эргодич-
ности некоторого класса перекладываний посвящекы работы М. Кнна и
Г. Рози, а также В. А. Чулаевского [1].
Глава 6. Системы бильярдного типа изучались уже Ж. Адамаром fl]
и Г. Бкркгофом (G. Birkhoff [1]). Аккуратное построение бильярдных си-
стем, изложенное в § 1, проводится, насколько нам известно, впервые.
Теорема 2 § 2 принадлежит К. Болдригики, М. Кину и Ф. Мариеттк
(С. Boldrigini, M. Keane, F. Marchetti fl]). По поводу бильярда в эллипсе
см. кингу Г. Биркгофа (G. Birkhoff [I]), который при этом ссылается на
Лейбница. Теорема 2 § 3 принадлежит Г. Биркгофу. Существование мно-
жества положительной меры, состоящего ез каусткк, в фазовом простран-
стве бильярда в выпуклой области, дотгазано в работе В. Ф. Лазуткина [1].
Газ Лоренца был введен в работе Г. Лоренца (Н. Lorentz fl]) к с тег
пор интенсивно изучается в связи со многими проблемами статистической
механики. Упомянем по этому поводу интересный обзор Е. Хауге (Е. Наи-
ge [1]). Сведение системы абсолютно упругих сфер к системе бильярдного
типа появилось впервые, насколько нам известно, в книге Н. С. Крыло-
ва [1].
1—3 принадлежат Г. Вейлю (см. II. Weil [1]).
не щ yi\J- -ПИВАЛ иу ыа примени ним
см, в работе А. Г. Постникова [i].
По поводу разложения действительных чисел в непрерывные дроби и
метрических свойств непрерывных дробей см. кнкгу А. Я. Хипчина A].
Теорема 3 § 4. по существу, впервые была доказана в работе Р. О. Кузьми-
на [1], где была также получена оценка скорости перемешивания для пре-
образования Гаусса. Вывод различных свойств непрерывных дробей с ис-
пользованием эргодической теоремы имеется в монографии II. Бкллингслея
(см. P. Billingsley [1]). Более общий класс разложений действительных
чисел чем разложение в непрерывные дроби, рассматривался А. Ренье
(см. А. Реньк [11).
Эргодические свойства кусочно монотонных преобразований интервала
изучались целым рядом авторов. Теорема о существовании абсолютно не-
прерывной инвариантной меры для таких преобразований была доказана
А. А. Косятсииым к Е. А. Сандлером [1], а также Л. Ласотой и И. Йорком
(см. A. Lasota, J. Yorkc [1]). Наши доказательство теоремы 1 § 4 следует,
в основном, работе Р. Адлера (R. Adler [1]).
Глава 8. Насколько нам известно, на связь эргоднческой теории с тео-
рией стационарных случайных процессов теории вероятностей неоднократ-
но указывал А. Н. Колмогоров еще в тридцатые годы. Доказательство эрго-
дичности автоморфизмов Берпулли и автоморфизмов Маркова по существу
есть вариант знаменитого «закона 0—1» А. Н. Колмогорова, установлен-
ного длд последовательности независимых случайных величин в книге [5].
Сами термины «автоморфизм Вернулли* «автоморфизм Маркова» возникли
при появлении энтропийной теории динамических систем (см. часть II
и обзор В, А. Рохлина [8]). Непосредственно связь теории стационарных
случайных процессов с эргодической теорией основана на понятии обра-
зующего разбиения. Б. А. Рохлин [8] показал, что всякий апериодический
370
автоморфизм имеет счетное образующее разбиение, т. е. изоморфен (mod О)
стационарному случайному процессу со счетным числом состояний.
В. Кригер доказал, что автоморфизмы с конечной энтропией имеют конеч-
ное образующее разбиение (см. W. Krieger [1]).
Изоморфизм между групповыми автоморфизмами тора а автоморфизма-
ми Маркова был установлен в работе Р. Адлера и Б. Вейсса (см. R. Adlcr,
В. Weiss [1]). Понятие марковского разбиения для так иааываемых ги-
перболических систем было введено в работах Я. Г. Сииая [7], [81 п
Р. Боуэна (см, R. Bowen [2]).
Эргодичность и перемешивание гауссовскнх динамических систем изу-
чались впервые в работах С. В. Фомина [1} и Г. Маруямы (см. G. Магиуа-
т[1])
Глава 9, Динамические системы, отвечающие движению бесконечного
числа невзаимодействующих частиц, изучались в теории вероятностей, где
рассматривался более общий случай, когда чаетипы могут совершать поми-
мо механического и чисто случайпое движение (см. по этому поводу книгу
Дуба (J. Doob [1]) и статьи Т. Харриса (Т. Е. Harris [1]), Р. Л. Добрупш-
на [1]). Более тонкое исследование эргоднческих свойств идеального газа
е RJ см. в статье К. Л. Волковысского и Я. Г. Сипая [11.
Общая концепция пуасооновекой надстройки над произвольной дина-
мической системой принадлежит М. Айзенмапу, Ш. Голдттейпу а
Дж. Либовицу (см. М, Aiseuman, S. Goldstein, J. Leibowitz fl]). Газ Лоренца
был введен в работе Г. Лоренца (см. Lorentz [1]) и с тех пор является
одной из самых популярных моделей в неравновесной статистической
механике.
Глава 10. Косые произведения динамических систем были введены в
работе Г. Авдзаи (Anzai [1]). Понятие эквивалентности динамических си-
стем по Какутанн (см. S. Kakutani [1]) тесно связано с понятиями произ-
водного и интегрального автоморфизмов. В последнее время вновь возрос
интерес к этому понятию (см. обзор Б. Вейсса (В. Weiss [1]) а также ра-
боты Фельдмана (J. Feldman [1]) и А, Б. Катка [3]).
Свойства динамических систем при замене времени изучались
М. И. Грабарем fl], [2], Р. Чаконом (В. Chacon [I]), H. Фридманом и
Д- Орнстейном (N. Friedman, D, Ornsteia [1]), А. В. Кочергиньш [11 и
другими авторами.
Естественные расширения эндоморфизмов были введены В. А. Рохли-
ным [7]. Теорема 1 § 5 принадлежит В. А. Рохлину [5] и П. Халмогяу
(P. Hahnos [3]). По поводу усиленной формы леммы Рохлина — Халмоша
см. работу Ж.— П. Тувнно (J.— P. Thouvenot fl]).
Понятие энтропии динамической системы появилось в работах
А. Н. Колмогорова [3], [4], положивших начало энтропийной теории дина-
мических систем. Изложенный в книге вариант определения энтропии
гм. в работе Я. Г, Синая [1]. Общая энтропийная теория динамических
систем излагается в обзорной статье В. А. Рохлина [8], монография
II Биллингслея (Р.~ Billingsley [1]), Я. Г- Синая [9], М. Смородинского
СМ. Smorodinsky [11). Утверждения 3) и 4) теоремы 2 § 6 принадлежат
Л. М. Абрамову [1]. Простое доказательство этих утверждений см. в книге
Дж. Брауна (J, Brown [1]). Теорема 3 § 6 также принадлежит Л. М. Абра-
мову [2]. Приведенное в тексте доказательство было предложено
М. С. Пинскером. Теорема 4 § 6 является весьма частным случаем общей
теоремы 1Пеннона-Макмнллапа — Бреймааа (см. К. Shannon fl], В. McMil-
lan [1], L. Breimar. [11).
Теорема 1 § 7 принадлежит Д. Орнстейну (D. Ornstein [1]). Эта ваш-
пая теорема дэрт окончательное решение проблемы изоморфизма для авто-
морфизмов Бернулли. Первый нетривиальный пример метрического , авто-
морфигша автоморфизмов Бернулли был построен Л. Д, Мсщалкнньш fl].
Другие примеры см. в работах Дж. Блюма и Д. Хапсопа (J. Bium, D. Han-
eon [1]), А, II. Лившица [1]. Я. Г. Синаем [5] был получен результат, кото-
24*
371

рый, в частности, означает, что любые две автоморфизма Бернуллв с оди-
наковой энтропией слабо изоморфны, т. е. каждый из них метрически
изоморфен кеноторому фактор-автоморфизму другого.
Д. Орнстейн построил глубокую и тонкую теорию, позволившую ксспвг
довать Проблему изоморфизма и для более широкого класса динамических
систем. Теория Д. Орнстейна вместе с ее применениями изложена в его
монографии D. Ornstein [2].
Приводимое нами доказательство теоремы 1 § 7 принадлежит М. Кику
и М. Смородиновому (М. Keane, M. Smorodinsky fl]). Конструкция Кина —
Смородинского не только дает новое доказательство теоремы Д. Ористейиа,
но приводит к построению финитарного изоморфизма автоморфизмов Бер-
нулли с одинаковой энтропией.
К-системы были введены А. Н. Колмогоровым в работе [3], где они
были названы квазирегулирными. В этой же работе были указаны неко-
торые их свойства. Ряд относящихся сюда результатов имеется также в
работах В. Л. Рохлвна [TL [8]. Пркмер 3 § 8 см. в работе К. Л. Волковыс-
ского и Я. Г. Сивая [1]. Теорема 1 § 8 есть частный случаи более общих
результатов В. А. Рохлика и Я. Г. Синая fl]; см. ташке обзор В. А. Рох-
лина [8]. Теорема 2 § 8 была доказана Д. Рудольфом (D. Rudolph [1]) для
потоков с конечной энтропией. Доказательство в общем случае имеется
в работах Б. М. Гуревича [1] и Ф. Влаишара {F. Blanshard [1]).
Точные эндоморфизмы были введены В. А. Рохлиным [7]. Теорема 4
§ 8 есть некоторое обобщение результатов В. А. Рохлина (см. также
R. Adler [1]).
Глава 11. Первое доказательство теорем» о специальном представлении
потоков см. в работах.В. Амброза (W. Ambrose [1]), В. Амброза н С. Каку-
тани (W. Amhrose, S. Kakutani [1]). Другое доказательство, основанное на
теории измеримых разбиений пространств Лебега, кмеется в обзорной
статье В. А. Рохлина [5], В примере 3 § 2 мы выводим прк помощи теории
специальных представлений известную формулу Раиса из теории гауссов-
ских стационарных процессов, доказанную в наиболее общем виде
Е. В. Булинской [1]. Теорема 1 |4 в чуть более слабой форме была дока-
зана Д. Рудольфом (D. Rudolph til)- Приведенное в тексте доказательство
следует в основном работе У. Кренгелн (U. Krengel [1]).
Глава 12. Теория дкнамкческих систем с чисто точечным спектром
— п„, л. тт„;:. /т тн ""*), ИзлОЖвНИЯ ЭТОЙ
обзорной статье
была построена Дж. фон Нейманом (J. von Neumann [1]), Изложения этой
теории см. в книге П. Халмоша (P. Hahnos [4]) к
В. А. Рохлина [5].
Глава 13. Теорема о счетнократнои лебеговскои спектре К-автоморфиз-
мов принадлежит А. Н. Колмогорову f3]. По поводу теоремы 1 § 2 см. кни-
гу П. Халмоша (P. Halmos [4]). В. А. Рохлин [9] доказал, что всяккй
эргодкческнй автоморфизм коммутативной компактной группы является
К-автоморфизмом. Теорема 2 5 3 доказана А. Г. Куптннренко fl]. Резуль-
таты § 4 принадлежат В. И. Оселедцу [1], результаты § 5 принадлежат
Я. Г. Сипаю [2]. Спектральные свойства общих динамических систем кзу-
чались В. М. Алексеевым [1],
Глава 14. Разложение гильбертова пространства ка подпространства
полиномов Эрмита —Ито было построено в работах К. Ито (К. Ito fl], f2]).
В этих же работах для ряда случаев был проведен спектральный акалнз
гауссовских динамических систем. В работе С. В. Фомина [1] исследова-
лнсь свойства спектральных типов. Теорема 1 § 4 в качестве гипотезы
неоднократно высказывалась А. Н. Колмогоровым я была доказана в рабо-
те И. В. Гиреанова [1]. В этой же работе имеется еще ряд примеров гаус-
совских динамических систем с различными спектральными свойствамк.
Теорема 2 § 4 при дополнительном ограничении была доказана в работе
Я. Г. Сикан [4]. Доказательство в полном объеме принадлежит К. Фоняшу
372
и Ш. Стратиле (С. Foias, S. Stratila [1]). Результаты § 5 принадлежат
И. В, Гирсанову [1]. В работах А. М. Вершина [1], [2] доказано, что все
гауссовские системы со счетнократным лебеговсккм спектром метрически
изоморфны. Совершенные множества без рациональных соотношений впер-
вые строились Дж. фон Нейманом. По поводу множеств Кроиекера см. кни-
гу У. Рудина {W. Rudin [I]).'
Глава 15. Аппроксимации автоморфизмов пространств с мерой перио-
дическими автоморфизмами впервые встречались в работах П. Халмоша
(P. Halmos [31) н В. А. Рохлкна [21. Приведенные в § 1 общие определения
аппронсимации принадлежат А. Б. Катку [11 к А. М. Степину [11. Эти
определении были несколько обобщены и усовершенствованы Т. Шварп-
бауэром (см. Т. Schwartzbauer [1]). Другой подход к изучению аппрокси-
маций автоморфизмов периодкческкми был предложен А. М. Вершикоы [41.
Проблемы теории аппроксимаций рассматривались в обзоре А. Б. Катка и
А. М. Степина [1]. Результаты § 2 к § 3 принадлежат А. М. Степину [21.
Теорема 2 § 4 является перенесением на случай потоков соответствующей
теоремы В. И. Оселедца (см. А. Б. Каток [2]).
Глава 16. По поводу теоремы 1 § 1 см. работу А. Н. Колмогорова [2].
Лемма 2 § 1 принадлежит К. Зкгелю (С. Siegel [1]). Наше изложение в § 1
близко к книге Ш. Штернберга {S. Sternherg [1]). Результаты § 2 принад-
лежат А.,Н. Колмогорову. Наше нзложекне близко к изложению в книге
Я. Г. Снная [9]. Теорема 1 § 3 принадлежит А. Б. Катку [2],

БИБЛИОГРАФИЯ
Абрамов Л. М. [1] Энтропия производного автоморфизма.— ДАН СССР,
1959, 128, J6 4, е. 647—650.
[2] Об энтропии потока.—ДАН СССР, 1959, 128, № 5, с. 873—876.
Адамар Ж. [1] Неевклидова геометрия в теории автоморфных функции.
(Пер. с франц.).— М.: Гостехвздат, 1951.
Алексеев В. М. [1] Существование ограниченной функция максималь-
ного спектрального типа.— Вестник Московского ун-та, 1958, № 5,
С 13—15.
Аносов Д. В. и Синай Я. Г. [11 Некоторые гладкие эргодическне
системы. УМН т, 22, № 5, 1967, с. 107-172.
Арнольд В. И. [1] Малые знаменатели I. Об отображениях окружности
на себя,— Нзв. АН СССР, сер. мат., 1961, т. 25, № 1, с. 21—86.
[2] Несколько замечаний о потоках лкнейных элементов я реперов.—
ДАН СССР, 1961, т. 138, N 2, с. 255-257.
[3] Математические методы классической мехакакк.— М,: Наука, 1974.
Б у л и н с к а я Е. В. [1] О среднем числе пересечений некоторого уровня
стационарпым гауссовскнм процессом.— Теория перояти. и ее приме-
нения, 1961, т. 6, вып. 4, с. 474—478.
Be р шик А. М. [1] К теории нормальных дккамяческих систем,—ДАН
СССР, 1962, т. 144, № 1, с. 9—12.
[2] О спектральном я метркческом изоморфизме некоторых нормальных
динамических систем.— ДАН СССР, 1962, т. 144, № 2, с. 255—257.
[3] Измеримая реализация непрерывных групп автоморфизмов унитар-
ного кольца.—Изв. АН СССР, сер. мат., 1965, т. 29, № 1, с. 127—136.
[4] Четыре определения шкалы автоморфизма.— Функц. анализ и его
прил., 1973, т. № 3, с. 1—17,
В ершик А. М., Юэвинский С. А. [11 Динамические системы с ип-
варкантной мерой.— В сборнике «Итоги науква, Математический ана-
лиз, 1967, с. 133-187. Изд-во ВИНИТИ, 1969.
В о л ко в ые с к п и К, Л., С и н а й Я, Г. [1] Эргодическне свойства идеаль-
ного газа с бесконечным чяслом степеней свободы.— Фупкц. апализ
и его приложения, 1971, 5, с. 19—21.
Гельфапд И. М., Фомнн СБ. [11 Геодезические потоки на много-
образиях постоянной отрицательной кривизпы.— УМН, 1952, 47, № i,
с. 118—137.
Гирсанов И. В. [11 О спектрах динамических систем, порождаемых
гауссовскимн стационарными процессами.— ДАН СССР, 1958, 119, № 5,
с. 851—853,
Гихман И. И., Скороход А, В. [1] Теория случайных процессов,
т. 1,— М,: Наука, 1971.
Грабарь М. И. [11 О замене времени в динамических системах.— ДАН
СССР, 1966, 169, № 2, с. 250—252.
[2] О замене времени в динамических системах.— ДАН СССР, 1966, 169,
Л": 3, с. 431-433,
Гуревич Б. М. [11 Совершенные разбиения для эргодическнх потоков,—¦¦
Фупкц. апализ и его применении, 1977, т. II, вып. 3, с. 20—23.
374
Д о б р у ш в н P. JI. [11 О законе Пуассона для распределения частец в
пространстве,— Укр. матем. ж., 1956, 8, № 2, с. 127—134.
Каган В. Ф. [1] Основы теории поверхностей, том I. ОШЗ,— М.: Гостех-
издат, 1947
Каток А. Б. [I] Энтропия и аппроксимации динамических екстем пе-
риодическими преобразованиями — Функц. анализ 1967 I № 1,
с. 75—85.
[2] Спектральные свойства динамических систем с интегральным инва-
риантом на торе.—Функц. анализ, 1967, I, № 4, с. 46—56.
[3] Замеаа времени, монотонная эквивалентность и стандартные дина-
мические системы.- ДАН CCCPl, 1ЭТ5. 223, № 4, с. 789-792.
Каток А. В., Степи н А. М. [11 Аппроксимации в эргоднческой тео-
ркн.— УМН. 1967, т. 22, вып. 5, с. 81—106.
Каток А. В., Синай Я. Г., С т е и и н А. М. [11 Теория динамических
систем и общих групп преобразований с инвариантной мерой.— В сбор-
нике «Итоги иаукн», Математический анализ, том 3, с. 129—262. Из-
дательство ВИНИТИ, 1975.
Колмогоров А. II. [11 Упрощенное доказательство эргодической тео-
ремы Биркгофа — Хинчина.— УМН, 1938, № 5, с. 52—56.
[2] О данамичееккх системах с интегральным инвариантом на торе.—
ДАН СССР, 1953, т. 93, № 5, с. 763^766.
[3] Новый метрический инвар кант транзитных динамических систем и
автоморфизмов пространств Лебега.— ДАН СССР, 1958, 119, J*fi 5,
с. 861-864.
[4] Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте авто-
морфизмов.— ДАН СССР, 1959, 124. № 4. с. 754-755.
[5] Основные понятия теории вероятностей.— М.: Наука, 1974.
К о с я к и п А. А., С а н д л е р Е. А. [1] Эргодические свойства одного клас-
са кусочпо-гладких преобразований отрезка.— Изв. ВУЗов, Математи-
ка, 1972, Л; 3, с. 32—40.
К о ч е р г и н А. В. [11 Замена времени в потоках н перемешивание.—
Ивв АН СССР. Сер. мат., 1973, 37, J* 6. с. 1275-1298.
Крылов Н С. [1] Работы по обоснованию статистической фкзики,—
Изд-во АН СССР 1950.
Кузьмин Р. О. [1] Об одной задаче Гаусса-ДАН (А). 1928, с. 375—
380.
Кушнирепип А. Г. [11 Сиектрэлт.ные свойства некоторых динамиче-
ских систем со степенным разбегаиием.— Вестн. Моск. ун-та, Мат. мех,,
1974, М 1, с. 101-108.
Лазуткин В. Ф. \1] Существование каустик для бильярдной задачи
в выпуклой области.— Изв. АН СССР, Сер. мат., 1973, т. 37, JVs 1,
с. 186-216.
Лившиц А. II. [11 К проблеме изоморфизма схем Борнуллк,—Теорки
вероятп и ее применения, 1974, т. 19, № 2, с. 409—418.
Маваков С. В. [11 О полной интегрируемости н стохастизации в ди-
скретных динамических системах.—ЖЭТФ, 1974, 67, № 2, с. 543—
555.
Мешали ия Л. Д. Н] Один случай изоморфизма схем Бериулли.—ДАН
СССР, 1959, 128, № 1, с. 41^14.
II а и ч а р т; М. А., Фомин С. В. [11 Непрерывные прямые суммы гиль-
бертовых пространств.—УМН, 1952, т. 7,. М 1, с. 118—137.
П е мы цк аи В. В., Степанов ВВ. [11 Качественная теория диффе-
ревцвалышх уравнений.— М.— Л.: Гостехиздат, 1947.
Новиков Е. А. [11 Дипамнка и статистика системы вяхрей.—ЖЭТФ,
1975, т. 68, № 5, с. 1868-1882.
Оселедец В. И. [11 О спектре эргоднческих автоморфизмов,— ДАН
СССР, 190Й, т. 168. № 5, с. 1П09—1011.
П н в с к е р М. С. [11 Динамические системы с вполне положительной
и пудовой энтропией.-ДАН СССР, I960, 133, № 5, с. 1025—1026.
II о п т р я г и п Л. С. [11 Непрерывные группы.— М.: Наука, 1973.
375

Лостнинов А. Г. [1] Эргодкческие вопросы теорке сравненпй н теории
диофантовых приближений.— Труды Математического института име-
ни В. А. Стеклова, 1966, т. 82, с. 3—Ш.
Рохлин В. А. [1] Унитарные кольца.—ДАН СССР, 1948, т, 59, № 4,
с. 643—646. ,,,¦*,
[2] Общее сохраняющее меру преобразование есть перемешивание —
ДАН СССР, 1948, т. 60, № 3, 349—351.
[3], Об основных понятиях теоркн меры,— Мат. сборник, 1949, т. 67, № 1,
с. 107—150. '
[4] О разложении динамической системы на транзвтнвные компонен-
ты.— Мат. сборник, 1949, т. 67, № 2, с. 235—249.
[5] Избранные вопросы метрической теории динамических систем —
УМН, 1949, т. 30, № 2, с. 57-128.
[6] Об эндоморфизмах компактных коммутативных групп,— Изв.
АН СССР, сер. мат., 1949, т. 13, с. 323-340.
[7] Точные эндоморфизмы пространств Лебега.—Изв. АН СССР, сер. мат,
1961, т. 25, с. 499-530.
[8] Лекции по энтропкйиой теории преобразовалкй с кквариантиой ме-
рой, УМН, 1967, т. 22, № 5, 3—56.
[9] Метрические свойства эндоморфизмов компактных коммутативных.
групп,—Изв. АН СССР, сор. мат., 1964, т. 28, .№ 4, с. 867—874.
Рохлин В. А., Синай Я. Г. [1] Построепке к свойства инвариантных
измеримых разбиений.—ДАН ССОР, 1961, т. 141, № 5, с. 1038—1041.
Сатаев Е. А. [1] О числе кнвариадтных мер у потоков на ориентируе-
мых поверхностях.— Изв. АН СССР, сер. матем., 1975, 39, № 4, с. 860—
878.
Синай Я. Г. [1] О понятии энтропии динамкческой системы.— ДАН
. СССР, 1959, т. 124, № 4, с. 768-771.
[2] Динамические системы со счетнонратным лебеговским спектром. I —
Иав. АН СССР, сер. мат., 1961, т. 25, № 6, с. 899—924.
[3] О свойствах спектров динамических скстем.— ДАН СССР, 1963, т. 150,
№6, с, 1235—1237.
[4] О спектральных мер"ах высших порядков эргоднческих стационарных
процессов.— Теория вероятн. и ее применения 1963 8 Л* 4 с 463—
469.
[51 О слабом кзоморфизме преобразований с инвариантной мерой — Мат
сб., 1964, 63, № 1, с 23-42 "
[6] Несколько замечаний о спектральных свойствах эргодических дпка-
шгческих систем.— УМН, 1963, т. 18, Л! 5, с. 41—54.
[7] Марковские разбиения и У-диффеоморфазмы.— Функц анализ и его
прил., 1968, 2, К 1, с. 64-89.
[8] Построение марковских разбиений,— Функц. аналкз к его прнл. 1968
2, № 3, с. 70—80.
[9] Введение в эргодкческую теорию.— Ереван: Изд-во Ереванского ун-та,
Степин А. М. [i] Спектр и аппроксимация метрических автоморфизмов
периодическими преобразованиями.— Фупкц. анализ 1967 1 № 2
с. 77-80.
[2] О связи аппроксимативных и спектральных свойств метрических
автоморфизмов,— Мат. заметки, 1973, 13, № 3, с. 403—409.
Фомин С. В. [1] Нормальные динамические системы,— Укр. мат. ж
т. 2, М 2, 1950, с. 25—47.
X и н ч к н А. Я. fl] Цепные дроби.— М.: Наука, 1978.
Чулаевский В. А. [1] Циклические аппроксимации перекладывании
отрезков.— УМН, 1979, т. 34, к 2, с. 215—216.
A d 1 е г В. [1] F-expantions revisited.— Lecture Notes in Math., 1973,
N 318, p, 1—5.
A d I e г К, Weiss В. [1] Entropy a complete metric invariant for auto-
morphisms of the torus,—Proc. Nat. Acad. Sci. USA 1967 v. 57 N 6
p. 1573-1576. ....
376
Aisenman M., Goldstein S., Leibowitz I. [11 Ergodic proper-
ties of Infinite Systems.—Lecture Notes in Physics, 1975, v. 38, p. 112—
143.
Ambrose W. f 11 Representation of ergodic flows.— Ann. of Math., 1941,
v. 42, p. 728-739. ,
Ambrose W. Kakutani S, [1] Structure and continuity of measurable
flows — Duke Math. J., 1942, v. 9, p. 25-42.
A n z a i H [1] Ergodic skew product transformations on the torus.— Osaka
Math. Journ., 1951, v. 3, N 1, p. 83—99.
Arnold V I., Ave« A. [11 Prohlemes ergodiques de% mecamque classi-,
que.— Paris Gauthier — Villars; 1967.
Auslander L., Green L., Hahn F. [11 Flows on homogeneous spa-
ces.— Princeton, New Jersey: Princeton University, 1963. Русский пере-
вод: Потоки па однородных пространствах.— М.: Мер, 1966.
Billingsley P. [1] Ergodic Theory and Information.—New York —
London — Sydney, John Wiley and Sons, Inc., 1965. Русский перевод:
Эргодическая теория и кнформация.— М.: Мир, 1969.
Birkhoff G. D. [1] Dynamical Systems —New York, 1927. Русский пе-
ревод: Динамические системы.— М.— Л.: ОГИЗ, 1941.
[2] Proof of the ergodic theorem.—Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 1931,
v. 17, p. 656-660. .....
Blanchard F [1] Partition extremales de flots dentropie шпше.—
Z Wahrscheinlichkeitstheorie 1976, Т. 36, N 2, S. 129—138.
Blum I Hanson D. [1] On the isomorphism problem for Bernoulli
schemes.—Bull. Amer. Math. Soc, 1963, v. 63 p. 221-223.
Bogoluboff N. N, Kriloff N. M. [1] La theorie generate de la me-
sure dans son application h Fetwde des systems dymamiques de la meca-
niqne non-Iineare.—Ann. of Math., 1937, v. 38, p. 65—113.
Boldrigini C, Keane M., Marchetti F. [1] Billiards in poly-
gons-Ann, of Probability, 1978, v. 6, N 4, p. 532-540.
В о w e n R. Periodic points and measures for axiom A diffeomorphisms.—
Transactions of the American Mathematical Society, 1971, v. 154,
[2] Markov partitions for axiom A diffeomorphisms.— Amer. I. Math., 1970,
v. 92, N 3, p. 725-747.
Breiman L. [11 The individual ergodic theorem of information theory.—
Ann Math. Stat., 1957, v. 28, p. 809—811 (поправка: Ann. Math. Stat.,
I960, v. 21, p. 809—810).
Brown J. R [1] Ergodic Theory and Topological Dynamics.— New York,
San Francisco, London: Academic Press, 1976.
Calogero F. [1] Exactly solvable one — dim many body problem.— Roma,
Chacon'PRPI[l]'change ol velocity in flows.—I. Math, and Mech^ 1966,
v. 16, N 5, p. 417-431. . ,
D e n ] о v A. [11 Sur les courhes definies per les equations differentielles a
la surface du tore.—J. Math. Pures et Appl. 1932, v. 11. p. 333—375.
Dooh I. [1] Stochastic Processes.—New York, Wiley, 1953. Русский пере-
вод: Вероятностные процессы.— М.: ИЛ, 1956.
Feld man I. [1] New K-automorphisms and a problem of KakTitani.—
Isr. J. Math., 1976, v. 24, N 1, p. 16—38.
Flashka H. jl] Toda Lattice L-Phys. Rev., 1974, B9, p. 1924-1925.
[2] Toda Lattice II-Progress Theor. Phys., 1974, v. 51, p. 703-716.
Foias С Stratila S. [1] Ensembles de Kroneker dans la theorie ergo-
diaue'—C B. Acad. Sci., 1967, v. 267, 20, p. A166 — A168.
Friedman N. [1] Introduction to Ergodic Theory.—Princeton, New Jer-
sey Van Noslrand — Reinhold, 1970.
Friedman N.. Оrnstein D. [11 Ergodic transformations induced mi-
xing transformations.—Adv. Math., 1973, v. 10, N 1, p. 147—163.
Furstenberg H. [1] Strict Ergodicity and Transformation of the To-
rus.-Amer. J. Math. 1961, v. 63, N 4, p. 573—601.

Garnder С., Green I., Krnskal M., Miura R.— [1] A method
for solving the Korteveg — de Vries equation.— Phys. Rev. Letters 1967
v. 19, p. 1095-1097.
Garaia A. M. [1] A simple proof of Eherhard Hopfs maximal ergodic
theorem.—Journ. Math, and Mech., 1965, v. 14, N 3, p. 381—382.
Gibhs J. [1] Elementary Principles in Statistical Mechanics.—New Ha-
ven, Yale University Press, 1902. Русский перевод: Г и б б с Д ж. В.
Оеновпые принципы статистической механики.— М.: Гостехтеориздат,
1946.
Halm os P. [1] On automorphisms of compact groups,— BuIL Amer. Math.
Soc, 1943, v. 49, p. 619-624.
[2] In general a measure — preserving transformation is not mixing —
Ann. Math., 1944, v. 45, p. 776—782.
[3] Approximation theories for measure — preserving transformations.
Trans. Amer. Math. Soc 1944, v. 55, N 1, p. 1—18.
[4] Lectures on Ergodic Theory.—Tokyo, 1953. Русский перевод: Лекции
по эргодической теории,— М.: ИЛ, 1959.
Halmos P., Neumann J. von [1] Operator methods in classical mecha-
nics; II.—Ann. Math., 1942, v. 43, p. 332—250.
Harris T. [1] Diffusion with «Collisions» between particles.—Journal of
Applied Prob., 1965, v. 2, N 2, p. 323—338.
Hauge E. [1] What One Can Learn from Lorentz Models.—Lecture Notes
in Physics, 1974, v. 31, p. 337—367.
Herman M. [1] Sur la conjugation differentiable des diffeomorphismes du
cercle a des rotations.— Pub]. Math., Paris: 1979, v. 49, p. 5—233.
Hopf E. [1] Ergodentheorie.—Berlin, 1937. Русский перевод см в УМН
1949, т. 4, выц. 1, с. 113-182.
[2] Stalistik der geodatischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativor
Kriimmucg.—Leipzig: Ber. Verhandl. Sa'chs Akad. Wiss. 1939 B. 91,
S. 261—304. Русский перевод см. в УМП, 1949, т. 4, вып. 2, с. 129—170
Но К. [1] Multiple Wiener integral:—J. Math. Soc. Japan, 1951 v 3.
p. 157-169. -
[2] Complex Multiple Wiener integral.—Japan J. Math., 1952 A953), v. 22,
p. 63—86.
Jacobs K. [1] Neure Methoden and Ergebnisse der Ergodentheorie.— Ber-
lin—Gottingen—Heidelberg, Springer, 1960.
J e s s e n В., Т о г n e h a v e II. [1 ] Mean motions and almost periodic
functions.— Acta Mathematica, 1945, v. 77, p. 137—279.
Kac M. [1] On the notion of recurrence in discrete stochastic processes —
Bull. Amer. Math. Soc. 1947, v. 53, p. 10042-1010.
К a k u t a n i S. fl] Induced measure — preserving transformations — Proc
Imp. Acad. Tokyo. 1943, v. 19. p. 635—641.
Keane M. [11 Interval Exchange Transformations.—Math. Z., 1975, v. 141,
p. 25—31.
[2] Nom:nrffodie interval exchange transformations.—Israel Journ. of Math.,
1977, v. 2f>, N 2, p. 188-196.
Keane M., Smorodinsky M. f 11 Bernoulli schemes of the same entro-
py are finitarily isomorphic—Ann. Math., 1979, v. 109, N 2, p. 397-
Key nes H., Kfwton D. fl] A «minimal» non-nniquely ergodic interval
exchange transformation.—Math. Z.. 1976, v. 148, № 2, p. 101—Ю5.
К h I n с h i n A. J a. [1] Zur Birckhoffs Losung des Ergodenprobiem —
Math. Ann., 1932. S. 485-448.
Roopman В. О. [1] Hamiltonian systems and transformations in Hil-
bert space.—Proc. Nat Acad. Sci. USA, 1931, v. 17, N 5, p. 315—318.
Kreoge] U. [1] Oa Rudolh's representation of aperiodic flows,— Ann.
Inst. Pofncare 1976 G7), B12, N 4, p. 319—338.
Krieger w. [1] On entropy and generators of measure — preserving trans-
formations.—Trans. Amer. Matb. Soc, 1970 v. 119, N 2 p. 453—
464.
1
Lax P. [11 Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary wa-
ves.— Communications in Pure and Applied Mathematics, 1968, v. 21,
p. 467—490.
Lasota A., Yorke J. [1] On the existence of invariant measures for
piece wise monotonic transformations.— Trans. Amer. Math. Soc, 1973,
v. 186, p. 481-488.
Lorentz H. [1] The motion of electrons in metallic hodies.— Proc. Amst»
Acad.. 1905, v. 7, pp. 438, 585, 604.
Maruyama G. [1] The Harmonic Analysis of Stationary Stochastic Pro-
cesses.— Mem. Fac. Sci. Kyusyu University, ser. A, 1948, v. 4, N 1.
p. 45—105.
[2] Transformations of flows.-J. Math. Soc. Japan, 1966, v. 18, N 3,
p. 303-330.
Mautner F. [1] Geodesic flows on symmetric Riemann Spaces.— Ann. of
Math., 1957, v. 65, N 5, p. 416—431.
Me Mill an B. [1] The basic theorems of information theory.—Aim. Math.
Stat., 1953, v. 24, p. 196-219.
Mo ser J n. [l] Lectures on Hamiltonian Systems.—New York: Courant
Institute of Mathematical Science, 1968. Русский перевод: Mosep,
Лекции о гамнльтоновых системах. М.: Мнр, 1973.
[2] Throe Integrable Hamiltonian Systems Connected with Isospectral Defor-
mations.— Adv. in Math., 1975, v. 16, N 2, p. 197—220.
Neumann J. von. [1] Zur Operatorenmethode in der Klassicbcn Mechanik,
Ann. Math.. 1932, T. 33. S. 587-642.
[2] Proof of the quasiergodic hypothesis.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1932,
v. 18, p. 70—82.
Orn stein D. [1] Bernoulli shifts with tho same entropy are isomorphic.—
Advances Math., 1970, v. 4, N 3, p. 337—352.
[2] Ergodic Theory, Randomness, and Dynamical Systems.— New Haven
and London, Yale University Press, 1974. Русский перевод: Эргодиче-
ская теория, случайность и динамические системы. Серия: Матема-
тика. Новое в зарубежной науке.— М.: Мир, 1978.
Parry W. fl] Entropy and Generators in Ergodic Theory,—New Haven,
Lecture Notes, Yale University, 1966.
Poincaro H. [1] Memoire sur les courhes definie par une equation dif-
ferentielle I, H, III IV J. Math. Pures Appl., v. 7, S. 3, 1881, p. 375—
422; v. 8, s. 3, 188, p. 251-286; v. 1, s. 4, 1995, p. 167-244; v. 2, 3. 4,
1886, p. 151—217. Русский перевод: О кривых, определяемых диффе-
ренциальными уравнениями.— М.—Л , Гостехиздат, 1947.
R ё d у i A. fl] Representations of real ишпЬегэ and their properties.— Acta
Math. Sci. Hunger., 1957. v. 8, p. 477—493.
Rudin W. [1] Fourier Analysis on Groups.— New — York, 1902.
Rudolph D. [1] A two-valued step-coding for ergodic flows.—Proceed.
of the Intern. Conference on Dynamic Systems in Math. Phys., Rennes,
Sept 14-21, 1975.
Schwartzhauer T. [i] A general method for approximating measure
preserving transformations.— Proc. Amer. Math. Soc, 1970, v. 24, N 3,
p. 643—643.
Shannon С [11 A mathematical theory of communication.—Bell System
Technical Journal. 1948, v. 27. p. 379-423, p. 623—656.
Shields P. fl] The theory of Bernoulli Shifts.—Chicago: University of
Chicago Press.
Siege] С [1] Note on differential ecruations on the torus,—Ann. Math.,
1945, v. 46, N 3, p. 423-428.
Sinai J a. G. [1] Theory of dynamical systems Part I. Ergodic theory.—
Warsaw University Press, 1969.
Smorodinsky M. fl] Ergodic Theory, Entropy.— Berlin — Heidelberg,
New York, Lecture Notes in Mathematics. 214, 1971.
Stern berg S h. [1] Celestial Mechanics. Parts I, II.—New York, Amster-
dam ,W. A. Benjamin, Inc., 1969.
379

Th опте not J. P. [1] Quelques propriety des systems dynamiques qui se-
decomposent en un produit de dem systems dont I'un est un schema de
Bernoulli.-Isr. I. Math., 1975, y. 21, N 2-3, p. 177-207.
Walters P. [1] Ergodic Theory. Introductory Lectures.—Springer, Ber.
ln>, Lecture Notes in Mathematics, N 458, 1975.
Weiss B. [1] Equivalence of Measure Preserving Transformations (Pre-
print).
We у I H. [1] Ober der Gleichverteilung von Zahlen mod. 1.—Math Ann
v. 77, 1916, p. 313—352.
[2] Mean Motion I, II.— Amer. J. of Math., 1938 v. 60, p 889 896- 1939
v. 61, p. 143—148. '
Wiener N. Г1] Generalized Harmonic Analysis.—Acta Math., 1930 v 55
p. 117-258.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм 10
i— апериодический 199
— Бервудли 167
— Гаусса 175
— групповой 102
— интегральный 27
— Маркова 169
— производный 27
— с чисто точечным спектром 270
К-автоморфвзм 233
Аппроксимация второго рода перио-
дическими преобразованиями 320
— первого рода перподичеснпмж
преобразованиями 319
— циклическая Э20
Атлас 47
Базис пространства с мерой 357
Бильярды 137
— в многогранниках 137
— в многоугольниках 137
— & областях с выпуклой границей
142
Газ идеальный 178
— Лоренца 146
Гамильтониан 55
Гомеоморфизм минимальный 43
— окружности 74
— строго эргодкческпй 43
— топологически транзитивный 43
Граница множества относительно па-
тока 251
Группа компактная топологическая
9
— одпопараметрическап унитарных
операторов 32
— симметрии правильного п-уголь-
ника 140
Групповое свойство спектра 327
Движение условно-периодическое 13
Динамическая система 12
— — гауссовская 174
— — измеримая 12
интегрируемая 61
Динамическая система с дискретным
временем 12
с непрерывным временем 12
— — с чисто точечным спектром 270
— — эргодическая 20
Динамические системы метрически
изоморфные 15
Диффеоморфизм И
— вещественно-аналитический 87
Дробь непрерывная 156
Задача Лаграпжа 70
— о магнитных поверхностях 54
— транспортная линейного програм-
мирования 221
Замыкание множества относительно
потока 251
Изоморфизм метрический 15
Инвариант метрический 16
— спектральный 33
Кольцо унитарное 269
Координаты циклические 9
Коцикл 191
Коциклы когомологичные 192
Кривая Зигеля 338
Лемма Бореля — Каителлк 130
— Внпера 35
— Каца 27
— Римана — Лебега обобщенная 305
— Рохлина — Халмоша 199
— Цорпа 200
Мера бернуллиевская 168
— борелевская 42
— инвариантная 10 р
— марковская 169
— нормированная 9
— полная 9
—, совместная с гладкостью 47
— спектральная 34
— стационарная 11
— о-конечная 9
— Хаара 9
Многообразие 10

Многообразно линейное 44
— рнмаково 10
— с кусочно-гладкой границей 132
Множество ипвариаитпое 18
—, — mod 0 19
— Кронекера 309
— производное 80
Метод {?, ^)-пары 64
Надстройка пуассоновская 182
Наполнитель 217
Недрерывкая прямая сумма гильбер-
товых пространств 325
Область фундаментальная 110
Оператор изометрический 32
— унитарный 32
Отображение правильное 221
Перокладывапяе 117
— апериодическое 118
Перемешивание 29
— слабое 28
— кратное 31
Поворот окружности 11
Подпространство циклическое 308
Поле векторное 50
Полином Эрмита — Ито 293
Полупоток 12
Попл едов ател ыгость п олоЖител ьно-
определенная 33
Поток 12
— геодезический 55
— непрерывный 12
— орициклическнй 110
— циклпческиЙ НО
К-поток 233
Представление потока специальное
242
Преобразование Гаусса 157
— пекаря 15
Принцип вариаггаонпый Мопертюи —
Лагранжа — Якоби 60
Произведопие динамических систем
косое 190
— прямое 186
Пространство измеримое 9
— компактное метрическое 42
— Лебега 199
— одпородпое 109
— последовательностей 10
— с мерой 9
— состоянии 166
— фазовое динамической системы 12
Процесс случайный с дискретным
временем 1б6
с непрерывным временем 166
стационарный 166
— — стохастически пелрерьганый
313
382
Пучок касательный 55
— кокасательный 55, 56
Разбпение пзмеримое 206
— марковское 172
— образующее 167
— ранговое 216
— регулярное 250
К-разбиепне 233
Разложение на эргодические компо-
ненты 23
Распределение неравновесное 25
— равновесное 25
— равномерное 149
Расширение естественной эндомор-
физма 198
Сдвиг косой на группе 98
— па коммутативной компактной
группе 94
— на торе 11
— сложный косой на группе 99
Символ Кристоффеля 57
Система абсолютпо упругих сфер 145
— гамильтонопа 55
— одномерных точечных частно 145
— точечных вихрей 63
— условпых мер капоническая 257
Скобка Пуассона 62
Спектр абсолютно непрерывный 285
— автоморфизмов коммутативных
компактных групп 280
— К-автоморфизмов 278
— копечкократный 287"
— К-потоков 290
— лебеговегеин 291
— однородный 281
— простой 307
— сингулярный 286
— сложных косых сдвигов па торе
281
— смешанный 328
— счеткок ратный л^беговский 278
— чисто точечпый 270
Среднее временное 17
— пространственное 20
Тело множеств борелевское 357
Теорема Биркгофа — Хипчипа эрго-
дическая 17
— Бохнера — Хянчдиа 33
— Веяля 151
— Дапжуа 83
— Лиувилля об инвариантпой мере
52
¦ об интегрируемых системах 62
— основная о каноническом виде
унитарного оператора 325
— — о специальном представлении
245
— Пуанкаре о возвращении 14
_ Рудольфа 258
— Шенпоиа — Макмшшапа — Брей
мана 213
Тин спектральный 328
абсолютно непрерывный 360
— дискретный 328
¦ лебеговский 360
. максимальный 307
— _ сингулярный 360
Топология Скорохода 311
Траектория 18
Точна возвращающаяся 14
—¦ неподвижная 75
— особая 132
— периодическая 106
¦— регулярная 132
Фактор-система 189
Форма дифференциальная 51
функция инвариантная 18
—, — mod 0 18
—, когомологичная пулю 40
Функция кратности 313
¦— кусочпо-мопотопная 158
Характер группы 94
Цепочка Тода 65
Частоты условно-периодического
движения 13
Число вращения 77
Эквивалентность ао Какутапн 193
— унитарная 33
Эндоморфизм 11
групповой 102
— точный 240
Эптропия 203
— автоморфизма 207
Бернуллп 209
Маркова 210
— потока 211
— разбиения 204
— условная 205

Многооб]
— римаЕ
— с кус
Мно.кест
—, — т<
— Кроце
— произ
Метод A
Над строг
Наполни1
Нсиреры.
ТО ВЫ!
Область i
Оператор
— унита
Отображ!
Переклад
— аперл«
Перемет
— слабое
— кратш
Поворот i
Подпрост
Поле век1
Полипом
Полупото
Последов,
onpeflej
Поток 12
— геодез
— непре]:
— орици]
—- ЦЕКЛи1
К-ттоток а
Представ.
242
Преобраз.
— пекар*
Принцип
Лагран:
Произведи
косое 1
Простран
— компа]
— Лебеге
— однорс
— поелев
— с мерс
— состоя
— фазовс
Процесс
времен!
— — С Г
¦ ста.
— — CTI
313
382
Исаак Павлович Корнфелъд
Яков Григорьевич Синай
Сергей Васильевич Фомин
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
М.. 1980 г., 384 стр с илл.
Редактор В. В. Абгарян
:еический редактор В. В. Кондакова
Корректор Я. В. Румянцева '
но в вабор 03.03.80. Подписано к печати 17.10 SO.
661. Бумага 60x9QVic тип, Ш2, Обыкновенная гар-
ура. Высокая печать. Условн. „печ. п. Zk. Уч.-изц.
5,43, Тираж 6000 экз. Заказ № 66. Цена книги 2 р. 80 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва. В-71, Ленинский проспект, 14
4-я тип. изд-ва «Нау
S30O77, Новосибирск. 77, ул. Станисла