А. Б. Васильева
Н.А.Тихонов

I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
\ УРАВНЕНИЯ
' ИЗДАТЕЛЬСТВО
। ' МОСКОВСКОГО-
УНИВЕРСИТЕТА
J,
А. Б. Васильева,
Н. А. Тихонов
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ДОПУЩЕНО ГОСУДАРСТВЕННЫМ КОМИТЕТОМ СССР
ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ
В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
ВУЗОВ, ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТЯМ
«ФИЗИКА» И «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»
Издательство
Московского университета
1989
ББК 22.161.6
В19
УДК 517
Рецензенты:
кафедра высшей математики
УДН им. Патриса Лумумбы,
првфессор В. А. Треногий
Васильева А. Б., Тихонов Н. А.
В19 Интегральные уравнения. — М.: Изд-во Моск, ун-та*
1989. — 156 с.
ISBN 5—211—00344—6.
Пособие знакомит с понятием интегрального уравнения, теоремой,
существования собственных значений и собственных функций однород-
ного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Рассмотрены
вопросы разложимости по собственным функциям, задача Штурма —
Лиувилля, неоднородные интегральные уравнения Фредгольма второго.
' рода, уравнения типа Вольтерра. Интегральные уравнения Фредголь-
ма первого рода рассматриваются как некорректно поставленная зада-
ча, в связи с чем излагаются основы регуляризирующего алгоритма
А. И. Тихонова. Приводятся некоторые сведения о численных методах
теорий интегральных уравнений. Излагаютея также некоторые вопро-
сы теории интегро-дифференциальных уравнений.
Для студентов вузов, обучающихся по специальностям «Физика» и
«Прикладная математика».
1602070100 (4309000000) —113
В--------------------------81—89	ББК 22.161.6
077 (02) — 89
© Издательство Московского
ISBN 5—211—00344—6	университета, 1989 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...................................................  5
Глава 1. Введение .............................................. 6
§ 1.	Понятие интегрального уравнения. Классификация интег-
ральных уравнений ........................................ 6
§ 2.	Физические примеры ................................   7
§ 3.	Особенности постановок задач для уравнений Фредгольма. 14
Глава 2. Существование и свойства собственных значений и собствен-
ных векторов вполне непрерывного оператора ...................  16
§ 4.	Вполне непрерывные операторы в бесконечномерном евкли-
довом пространстве ...................................... 16
§ 5.	Существование собственных векторов вполне непрерывного
симметричного оператора ................................. 23
§ 6.	Свойства собственных значений и собственных векторов
вполне непрерывного симметричного оператора ............. 27
Глава 3. Однородное уравнение Фредгольма второго рода ......... 31
§ 7.	Собственные функции и собственные значения однородного
уравнения Фредгольма второго рода ....................... 31
§ 8.	©пределение собственных значений и собственных функций
по методу Келлога ....................................... 36
§ 9.	Вырожденные ядра ................................... 41
Г лава 4. Разложение по собственным функциям .................. 46
§ 10.	Теорема Гильберта—Шмидта .......................... 46
§ 11.	Повторные ядра .................;.................. 48
§ 12.	Теорема Мерсера ................................... 52
§ 13.	Ослабление требований на ядро ..................... 55
Глава 5. Краевая задача на собственные значения (задача Штурма—
Лиувилля) ..................................................... 57
§ 14.	Задача о колебаниях струны ........................ 57
§ 15.	Исследование задачи Штурма—Лиувилля путем сведения
к интегральному уравнению Фредгольма второго рода .. 60
Глава 6. Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода ......... 68
§ 16.	Случай симметричного ядра ........................... 68
§ 17.	Случай «малого» X ................................... 75
§ 18.	Теоремы Фредгольма .................................. 84
§ 19.	Резольвента непрерывного несимметричного ядра при
«больших» к ................................................ 93
§ 20.	Уравнение с ядром, зависящим от разности аргументов. 95
Глава 7. Уравнения Вольтерра второго рода ....................... 99
§ 21.	Существование и единственность решения .............. 99
§ 22.	Резольвента для уравнения Вольтерра ................ 102
§ 23.	Уравнение Вольтерра с ядром, зависящим от разности
аргументов ................................................ 105
Глава 8. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода ........ 109
§ 24.	Интегральное уравнение Фредгольма первого рода как
некорректно поставленная задача ........................... 109
§ 25.	Сглаживающий функционал и его свойства ...'......... 113
§ 26.	Построение приближенного решения уравнения Фредголь-
ма первого рода ..........................................  117
3
Глава 9. Численные методы решения интегральных уравнений ...................... 123
§ 27.	Интегральные уравнения второго рода ............................ 123
§ 28.	Интегральные уравнения Фредгольма первого рода ................. 127
Глава 10. Некоторые сведения об интегро-дифференциальных уравне-
ниях ..................................................................... 133
§ 29.	Различные виды интегро-дифференциальных уравнений............... 133
§ 30.	Физические примеры .......................'..................... 134
§ 31.	Интегро-дифференциальные уравнения с интегральным опе-
ратором типа Вольтерра ................................................ 137
§ 32.	Интегро-дифференциальные уравнения с интегральным опе-
ратором типа	Фредгольма .................................... 142
§ 33.	Сингулярно возмущенные интегро-дифференциальные урав-
нения .................................................................. 146
Литература .................................................................... 155
Предметный указатель	.......................................................................................... 157
ПРЕДИСЛОВИЕ
В основу предлагаемого учебного пособия положен лекционный
материал, который в течение ряда лет читается студентам второго
курса физического факультета МГУ.
Пособие знакомит читателя с понятием интегрального уравнения и
классификацией интегральных уравнений. Доказана теврема существо-
вания собственных значений и собственных функций однородного ин-
тегрального уравнения Фредгольма второго рода. Рассмотрены вопро-
сы разложимости по собственным функциям, задача Штурма—Лиувил-
ля, неоднородные интегральные уравнения Фредгольма второго рода,
интегральные уравнения типа Вольтерра, интегральные уравнения
Фредгольма первого рода. Приводятся некоторые сведения о числен-
ных методах теории интегральных уравнений. Указан ряд конкретных
физических задач, приводящйх к интегральным уравнениям.
Пособие ставит одной из своих целей приучить студентов приме-
нять методы функционального анализа при исследовании интеграль-
ных уравнений. Для этого введена глава, в которой излагаются осно-
вы теории вполне непрерывных операторов в бесконечномерном евкли-
довом пространстве. На основе этой теории доказано существование
собственных значений и собственных функций однородного интеграль-
ного уравнения Фредгольма второго рода.
Значительное место отводится уравнению Фредгольма первого ро-
да, которое изучается как некорректно поставленная задача. Излага-
ется основы регуляризирующего алгоритма А. Н. Тихонова.
Содержание предлагаемого пособия расширено по сравнению с чи-
тающимся курсом и освещает ряд вопросов, которые не входят в обя-
зательную программу на физическом факультете. Так, в главе 10 из-
лагаются некоторые сведения об интегро-дифференциальных уравне-
ниях. Некоторые вопросы дополнительного характера включены в виде
отдельных параграфов в соответствующие главы.
При написании настоящего пособия мы стремились к тому, чтобы
материал по возможности легко воспринимался читателем. Поэтому
изложение большей части рассмотренных вопросов проводится для слу-
чая вещественных непрерывных функций и одномерных интегралов.
Авторы не вводят понятия пространства L2, поскольку для строгого
изложения материала при этом требуется интеграл Лебега, с которым
большая часть студентов незнакома.
При изложении стандартных вопросов теории интегральных урав-
нений нами использовались уже имеющиеся учебники и пособия дру-
гих авторов. Все они указаны в списке литературы.
При подготовке рукописи авторы неоднократно консультировались
со своими коллегами В. Б. Гласко, А. В. Гончарским, А. Г. Яголой,
И. А. Шишмаревым и пользуются случаем, чтобы выразить им искрен-
нюю благодарность. Авторы также весьма признательны Н. X. Розо-
ву, который просмотрел рукопись и сделал ряд ценных замечаний.
5
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
§ /
ПОНЯТИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ.
КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Интегральным уравнением называется уравнение, содер-
жащее неизвестную функцию под знаком интеграла. Напри-
мер,
ъ
у(х) = J К(х, s)y(s)ds + f(x)	(1.1)
а
ИЛИ
у(х) = J К(х, s)y(s)ds -ь f(x).	(1.2)
а
Здесь К(х, s) и /(х)— заданные функции, а у(х) — искомое
решение. Функция К(х, s) в приведенных соотношениях на-
зывается ядром интегрального уравнения.
Уравнения (1.1) и (1.2) относятся к линейным интеграль-
ным уравнениям. Встречаются также и нелинейные интег-
ральные уравнения, например,
X
у(х) = j* F(x, s, y(s))<fs + f(x).
a
В настоящем курсе изучаются только линейные интег-
ральные уравнения.
Интегральные уравнения, рассматриваемые в настоящем
курсе, классифицируются следующим образом:
а)	если искомая функция содержится только под знаком
интеграла, то уравнение называется интегральным уравне-
нием первого рода. Такими уравнениями являются
[\(х, s)y(s)ds - f(x)	(1.3)
а
или
s)y(s)ds 2= f(x).	(1.4)
а
6
Соотношения (1.1) и (1.2), в которых искомая функция со-
держится также и вне интегрального слагаемого, называют-
ся уравнениями второго рода;
б)	если пределы интегрирования фиксированы, то интег-
ральное уравнение называется уравнением Фредгольма (слу-
чаи (1.1) и (1.3)). Если же пределы интегрирования перемен-
ны (случаи (1.2) и (1.4)), то интегральное уравнение назы-
вается уравнением Вольтерра.
Формально уравнение Вольтерра можно рассматривать
как частный случай уравнения Фредгольма, полагая, напри-
мер, в (1.2) К(х, §)^0 при Однако физические зада-
чи, приводящие к уравнениям Вольтерра и Фредгольма, а
также свойства решений этих уравнений существенно различ-
им. Поэтому уравнения Вольтерра выделяют в особый тип
уравнений;
в)	уравнения (1.1) — (1.4) называются однородными, если
f(x) = O. В противном случае эти уравнения называются неод-
нородными.
Интегрирование в интегральном уравнении может произ-
водиться как по отрезку прямой, так и по некоторой облас-
ти большей размерности. От этого приведенная выше клас-
сификация не меняется. Пусть, например, задана область
£2 в трехмерном пространстве и функции К(М, Р), f(M), оп-
ределенные при МЕЙ и PgQ. Тогда соотношение
у(Л4)= [а(М, P)y(P)dcP+f(M),
тде dap —элемент области Q, содержащий точку Р, представ-
ляет собой неоднородное уравнение Фредгольма второго
•рода.
§ 2.
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ
Многие задачи математической физики приводят к линей-
ным интегральным уравнениям. Рассмотрим некоторые при-
меры.
1.	К уравнению Вольтерра первого рода приводит зада-
ча определения потенциальной энергии поля, в котором час-
тица совершает колебательное движение, по известной за-
висимости периода колебаний частицы от ее энергии [18].
А именно, пусть частица совершает колебания в поле с по-
тенциальной энергией и{х), которая предполагается четной
функцией, монотонно возрастающей при х>0. Пусть Е—
энергия частицы, a m — ее масса. Тогда в силу закона
сохранения энергии —-—[- и(х) — Е. Интегрируем это урав-
нение, разделяя переменные. Имеем — —	— (Е___а(х)).
dt у m
7
Отсюда / = т/	™_____+ const. Считая и|ж_о = О, по
'	2 ^УЕ — и(х)
лучим следующее выражение для периода колебаний: Т(Е) =
_________ME) dx
= 21Л2m f "------- г, где х0(Е) — корень уравнения и(х) —
о V Е - и(х)
— Е = 0. Переходя под интегралом к переменной du, получим
Е
—— (* Ф(иМи
Т(Е) = 2У2т	,	(1.5)
J V Е — и
о
где Ф(и) = — (м). Пусть функция и(х) неизвестна, но извест-
ии
на зависимость Т(Е) для некоторого интервала значений Е.
Тогда задача определения функции и(х) сводится к решению
интегрального уравнения Вольтерра первого рода (1.5) от-
носительно функции Ф(«). Определив Ф(ц), находим нужную
зависимость и(х) из условий — = — = ——, «(0) —0.
dx dx Ф(и)
du
2.	Уравнения Вольтерра второго рода типичны при опи-
сании физических процессов, связанных с явлениями после-
действия. В этих уравнениях пе-
ременная х обычно обозначает
время. Тогда состояние системы,
характеризуемое функцией у(х),
определяется внешним воздейст-
вием /(х) и зависит от состояния
системы в предшествующие мо-
менты времени. Ядро К(х, s) опи-
сывает величину последействия со-
стояния системы в момент s на со-
стояние системы в момент x^>s.
В качестве примера рассмотрим электрическую цепь, изоб-
раженную на рис. 1. Пусть в катушке индуктивности не
проявляется явление гистерезиса. Тогда поток индукции в
катушке Ф связан с током II соотношением Ф — L • iL. Сог-
ласно известным формулам электродинамики имеем
Рис. 1
Используя закон Кирхгофа Г/? 4- ic + Il = 0, приходим к
следующему дифференциальному уравнению относительно ы:
8
Пусть теперь катушка снабжена магнитным сердечником,,
в котором проявляется гистерезис. Тогда вместо соотноше-
ния Ф = £ • iL нужно использовать более сложное, учиты-
вающее зависимость Ф не только от значения it в момент
t, но и в предшествующие моменты времени (эффект пос-
ледействия). Это видоизмененное соотношение таково:
Ф(0 = £ • iL 4-f	(1.6>
Г.
Здесь M(t — т) — функция, учитывающая влияние значе-
ния Il в момент т на величину Ф в момент t и определяе-
мая обычно эмпирическим способом.
Имеем
t£ = — iR — ic =	— *Си.
Отсюда
и, следовательно,
t	t
Ф(/) =	= ц(/0)р RC dl-
t.	t„
f 5 - -— i (t)
RC ~^—dx =f(u(f0), 0 +
c
t
t.
где
RC -~dl.
J
Подставляя полученное выражение для Ф в уравнение,,
вязы вающее Ф и iL, получим
Ku(t0), t) 4- J - z)iL№ = LiL(f) +
t.
4- J
&
дали окончательно для iL(t) имеем
»7(0 - f K(t - x)f-£(t) dt+f(u(/0), /) ±
тде /((£) = [/<(|) — M(£)]Таким образом, приходим к ин-
тегральному уравнению Вольтерра второго рода.
Нп К уравнению (1.2) сводится также задача Коши для обык-
новенного линейного дифференциального уравнения л-го по-
рядка
ф('” + Р1(х)ф(п-,) + . . . +рп(х)ф = f(x),	7)
ф(а) = О, ф'(а) =0, . . . , ф(п-1)(а) = 0.
Действительно, положим
X
ф(*) ~ (я — 1)1 J У^Х ~ S^~1 ds’	(1,8)
а
тде у(х) — новая неизвестная функция. Дифференцируя вы-
ражение (1.8) п раз, имеем
X
Ф^С*)»,----Г~д; \y(s)(x — s)n~l~k ds (1<А-<л — 1);
(n—1—А)! J
а
ф(”(х) — у(я-).
При этом, очевидно, выполнены условия у(6|(а) = 0 для
•1<ДСП—1- Подставляя найденные выражения для ф<*>(х)
в левую часть уравнения (1.7), получим
У(^) + ^К(х, s)y(s)ds = f(z),	(1.9)
а
>где К(х, s) = Р1(х) + ра(х) ^=Г- + • • • +Рл(*)
Таким образом, задача (1.7) свелась к решению интег-
рального уравнения Вольтерра второго рода (1.9). Опреде-
лив из (1.9) функцию у(х), находим ф(х) согласно (1.8).
3. Уравнения Фредгольма первого рода (1.3) являются
типичными при математической обработке данных экспери-
мента. Задача состоит в следующем. Изучается явление, ха-
рактеристики у(х) которого недоступны для непосредствен-
ного измерения. Можно измерить косвенные проявления про-
цесса — функцию f(x). Для изучаемого явления строится не-
которая теоретическая модель, определяющая функцию
40
tK(x, s). Тогда интересующие нас характеристики могут быть
найдены из интегрального уравнения (1.3).
Приведем примеры конкретных задач подобного типа.
а.	К интегральному уравнению Фредгольма первого ро-
да,. приводят задачи гравиразведки полезных ископаемых
'{26]. Рассмотрим простейший 'случай. Пусть в слое z>ft,
где z — глубина под поверхностью Земли, расположены ис-
точники аномального гравитационного поля, а при 0<z<ft
их нет. Если бы было известно поле при z —h, т. е. на гра-
нице области, в которой расположены источники, то можно
•было бы выявить их структуру. Однако поле вблизи источ-
ников недоступно прямому измерению. Поэтому возникает
задача его определения по данным наблюдений на дневной
поверхности.
Выведем соответствующее уравнение, ограничиваясь ра-
ди краткости двумерной задачей. Обозначим через п(х), где
sc, — горизонтальная координата, потенциал гравитационного
поля при z = h. Тогда потенциал поля и(х, г) в области 0<
где нет источников, является гармонической функ-
цией. Для него справедливы соотношения
Дн = О,
,	. (0<Z<ft, — оо<Д<оо).
и(х, ft) — v(x) v	'
Решение такой задачи дается интегральной формулой
'Пуассона [27]
На поверхности Земли, т. е. при z » О, величина ц(х, 0)
может быть измерена. Обозначим и(х, 0) = f(x). Тогда для
«определения искомой функции п(х) получаем уравнение Фред-
гольма первого рода
£ г
п J (х -	+ k1
—-о©
=№)
б.	К интегральному уравне-
нию Фредгольма первого ро-
да приводит задача восстанов-
ления размытого изображе-
ния. Пусть при фотографиро-
вании объекта его изображе-
ние было сфокусировано не
в плоскости эмульсионного
'Слоя пленки, а на некотором
малом расстоянии ft от него
(рис. 2). Обозначим: (4) —
11
плоскость фотопленки; (В) — плоскость изображения объек-
та; — радиус объектива; f — расстояние от линзы до плос-
кости (В); х и у —координаты в плоскостях (Л) и (В); v(xf.
у) — освещенность в плоскости (А); и(х, у) — освещенность
в плоскости (В); S — поверхность фотокадра. Тогда в рамках
геометрической оптики получаем, что пучок лучей, сходя-
щийся в точку на плоскости (В), в плоскости (Л) равномер-
но осветит круг радиуса г — Rh/f.
Аналитически эта ситуация описывается так: сходящему-
ся в точку с координатами (|, т;) на плоскости (В) светово-
му пучку, несущему единичный световой поток, соответст-
вует освещенность ий(х, у) = 8(я — у — ?]); при этом в плос-
кости (Л) получим освещенность v0(x, у) — А[(а: — £)2 + (у—т;)2].
Здесь 8—дельта-функция, а ^[а] =
О, если а>г2,
—, если г2>а>0.
-г2
От-
сюда распределенной освещенности и(х, у) — ) 8(т—£, у—
s
—	в плоскости (В) соответствует освещенность,
в плоскости (А):
v(x, У) --= [ В[(х — £)2 Ч- (у — vj)aJ«(g, TjJdgdv).
8
Это соотношение является интегральным уравнением
Фредгольма первого рода, определяющим и(т, у) при задан-
ной с(х, у). Измеряя на фотографии значение функции v{x, у)
и решая полученное интегральное уравнение, можно восста-
навливать неразмытое изображение и(х, у). Результаты та-
кой обработки изображения приведены в качестве иллюстра-
ции в §28.
4. К однородным интегральным уравнениям Фредгольма
второго рода (1.1) приводят задачи о собственных колебани-
ях систем, т. е. колебаниях при отсутствии внешней силы. Рас-
смотрим, например, задачу о малых поперечных свободных
колебаниях струны переменной плотности р(х). Пусть концы
струны закреплены. Тогда для поперечных отклонений стру-
ны и(х, t) выполнено:
p(x)utt = А2ихх, и(0, 0 = 0, н(/, 0 = 0-	(1.10)
Поставим задачу определить профиль струны при сво-
бодных гармонических колебаниях, т. е. будем искать реше-
ния вида и(х, 0 = УСО sin <nt. Значения ш, при которых су-
ществует решение такого типа, называются собственными
частотами колебаний струны.
12
Для у(х) из (1.10) получаем задачу
..2
у" = -^.ру, у(0)«0, у(/) = 0.	(1.11)
Аi 2 * *
Рассматривая правую часть уравнения (1.11) как неодно-
родность, записываем решение задачи tl.ll) в форме
Z
УИ = ~ 77 f G(x’ s *)p(s)i (s)ds>
A2 J
0
(1.12)
где G(x, s) — функция Грина [25]. Таким образом, поставлен-
ная задача свелась к определению тех значений ш, при ко-
торых существует нетривиальное решение однородного урав-
нения Фредгольма второго рода (1.12), и нахождению этих
решений.
5. Пусть теперь струна находится под воздействием внеш-
ней нагрузки, меняющейся по гармоническому закону F(x, t) —
= В(х) sin wt, где ш —заданный параметр, В(х)— заданная амп-
литуда. Тогда
р(х)а/< = А7ихх — В(х) sin <о/,
u(0, t) = 0, u(l, i) = 0.
Будем искать решение в виде и(х, /) = y(x)sinw/. Для
функции у(х) получим интегральное уравнение
i
2 л
У(-«)-------"37 G(x> s)p(fi)y(s)ds + /(х),
Л8 .J
о
(113)
I
где f(x) = —^G(x, s)B(s)ds — известная функция. Интеграль-
о
ное уравнение (113) является неоднородным интегральным
уравнением Фредгольма второго рода.
Рассмотрим еще один пример, приводящий к интеграль-
ному уравнению того же типа.
В электростатике, гидростатике и многих других разде-
лах физики стационарные по времени поля в отсутствие ис-
точников описываются уравнением Лапласа. При этом часто
ставится задача определения функции и, удовлетворяющей
соотношениям
( Ьи(М) = 0,
( и|м6Е = ф(УИ)«
M£G,
(114)
13
1 г. cos
R'
где G — область пространства, ограниченная поверхностью-
Е; М— точка, принадлежащая G; <р(7И)— заданная функция;;
и(М) — искомое решение.
В курсах математической физики [1,27] показано, что ре-
шение задачи (1.14) дается выражением
и(М) = [ C°S)^P y(P)dap, M£G,	(1.15>
2 ^MP
где Pfi^; B-mp — расстояние между точками M и Р; dop —
элемент поверхности Е, содержащий точку Р; ФД!Р — угол
между вектором МР и нормалью к поверхности Е, восста-
новленной из точки Р внутрь области G; ч(Р) — некоторая,
функция. Эта функция заранее неизвестна, но может быть
найдена из следующего неоднородного уравнения Фредголь-
ма второго-рода:
v(P)dap + <;(Л4), Л4 6Е.	(1.16>
иг
Таким образом, определение искомой функции и(М) сво-
дится к решению интегрального уравнения (1.16) с после-
дующим использованием выражения (1.15).
§ 3.
ОСОБЕННОСТИ ПОСТАНОВОК ЗАДАЧ
ДЛЯ УРАВНЕНИИ ФРЕДГОЛЬМА
Пример, разобранный в п. 4 предыдущего параграфа, по-
казывает, что в однородном интегральном уравнении Фред-
гольма второго рода может содержаться неизвестный пара-
метр (в (1.12) это параметр со), который выбирается так,,
чтобы однородное уравнение имело нетривиальное решение
(тривиальное решение однородное уравнение Фредгольм®.,
имеет всегда). Поэтому и в общем случае однородное урав-
нение Фредгольма второго рода записывается в виде
ь
у(х) = X J К(х, s) y(s) ds,	(1.17>
а
где к — неизвестный параметр.
Значения параметра X, при которых уравнение (1.17) име-
ет нетривиальное решение, называются собственными значе-
ниями интегрального уравнения (1.17) (или собственными:
значениями ядра К(х, «)), а отвечающие этим значениям X
нетривиальные решения называются собственными функциями
интегрального уравнения (1.17) (собственными функциям»
ядра).
14
Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода так-
же принято записывать с параметром
ь
У(х) « X К(х, s)y(s)d$+f(x),	(1 -18>
а
но здесь X обычно является заданной величиной. Как мы
увидим ниже, если X совпадает с одним из собственных
значений ядра К(х, s), то уравнение (1.18) имеет решение1
не при. любой f(x). Применительно к струне это означает,,
что если частота ш возмущающей гармонической силы
B(x)sin<o/ совпадает с собственной частотой колебаний стру-
ны, то возникает явление резонанса, и решения вида н(х, £)=»
= у(х) sin a>t, вообще говоря, не существует.
Заканчивая вводную часть, отметим, что основные свой-
ства решений интегральных уравнений в одномерном слу-
чае (когда интегрирование производится по отрезку) и е,
многомерном случае (когда в уравнениях фигурируют по-
верхностные или объемные интегралы) одинаковы. В то же-
время одномерный случай проще с точки зрения восприя-
тия материала, поэтому в настоящей книге изучается этот
случай, т. е. уравнения (1.2), (1.4), (1.17), (1.18).
Глава 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ И СВОЙСТВА
СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И
СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ
ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНОГО ОПЕРАТОРА
§ 4.
ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В БЕСКОНЕЧНОМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
1. Евклидово пространство. Для изучения вопроса существо-
вания собственных значений и собственных функций одно-
родного интегрального уравнения Фредгольма второго ро-
да удобно воспользоваться аппаратом функционального ана-
лиза, который мы сейчас изложим.
Будем исходить из понятия бесконечномерного вещест-
венного линейного пространства Н. Понятие линейного про-
странства введено в курсе линейной алгебры (см., напри-
мер [15]). Элементы линейного пространства называются
векторами или точками.
Определение. Линейное пространство Н называется ев-
клидовым, если каждой паре точек у б Н, zf?H сопоставлено
вещественное число, называемое скалярным произведением
векторов у и z (обозначается: (у, z)) так, что выполнены сле-
дующие требования:
1)	(У,	= (z, у);
2)	(У, Zt + z2) = (у, zj + (у, z2);
3)	Оу, z)—\(у, z) (X— любое вещественное число);
4)	(У, ц)^0, причем равенство нулю имеет место в том и
только в том случае, когда у=0.
В дальнейшем под Л будем подразумевать бесконечно-
мерное евклидово пространство.
Определение. Линейное пространство Н называется нормиро-
ванным, если каждому элементу у^Н сопоставлено веществен-
ное число, называемое нормой вектора у (обозначается llt/ll),
так что выполнены следующие требования:
О 111/11 > 0, причем равенство нулю имеет место тогда и
только тогда, когда у=0;
2) 11^11 = 1^1111/11 (X —любое вещественное число);
3) Ни 4-ZIK Ilf/Н+ ы.
Наличие скалярного произведения позволяет ввести норму
вектора у следующим образом [15]:
111/11 = ]/(1/, у).	(2.1)
16
Тем самым евклидово пространство можно рассматривать
как нормированное.
Справедливо следующее неравенство, называемое неравен-
ством Коши—Буняковского (см. [15]):
1(1/, z)| С 111/11 М-	(2.2)
При этом равенство в (2.2) имеет место тогда и только тог-
да, когда у=аг, где а—число.
Убедимся теперь, что евклидово пространство И можно рас-
сматривать как метрическое. Напомним [25], что метрическим
пространством называется пространство, в котором каждой па-
ре элементов у, z поставлено в соответствие число р (у, г),
называемое расстоянием между элементами у и г, так что имеют
место следующие свойства:
1)	р(у, г) ^>0, причем р(у, z) = 0 тогда и только тогда, когда
У = z;
2)	р(у, z) = p(z, у)	(свойство симметрии);
3)	р(у, z) С р(у, «) + р(и, z) (неравенство треугольника).
Чтобы убедиться, что пространство Н может быть сде-
лано метрическим, введем расстояние р(у, z) между элемен-
тами у Р- Н и zpH по формуле
р(У, z) = ||y —z||.
(2-3)
При этом свойства 1) — 3) расстояния легко следуют соот-
ветственно из свойств 1) — 3) нормы. Получим, например,
неравенство треугольника. Действительно,
р(у, z) = \\У — ~|| = ||г/ — и 4- и — z|| < ||у — и|| +.
+ Н« —z|| =р(у, м) + р(«, z).
Рассмотрим бесконечномерное линейное пространство,
элементами которого являются заданные на сегменте [а, Ь]
непрерывные функции, и введем скалярное произведение,
положив
(У, z) J y(x)z(x)dx	(2А)
(в порядке упражнения предлагается проверить самостоя-
тельно, что выполнены свойства 1) — 4) скалярного произве-
дения).
Будем обозначать построенное таким образом бесконеч-
номерное евклидово пространство через h{a, д].
Пользуясь понятием нормы, можно ввести понятие схо-
дящейся последовательности элементов.
Определение. Будем говорить, что последовательность
уп 6 Н сходится к некоторому элементу у^Н, если для Ve > 0
ЯЛ/(е), что при п>N(е) выполнено неравенство \\уп — у||<е.
И
Элемент у называется пределом последовательности уп.
Будем применять обычное обозначение: у — lim уп или
гг—»ОО
Уп~+У-
Лемма 2.1 (о непрерывности нормы). Если уп~+У> то Цуп|| —>
-> НуН-
Доказательство. Воспользуемся неравенством тре-
угольника ||у —z||<||y— х|| + ||х— z||, откуда при z=0 сле-
дует ||у — л|| > ||у|| — И, ||у — х||==||х — у||>Ы — ||у||,т.е-
1||у|| —Н-*||К||у —х||. Полагая теперь х = уп, получим |||у|| —
— ||Уп|1 К Ну — Уп||. откуда сразу последует утверждение
леммы.
2. Линейный оператор в пространстве Н.
Определение. Пусть любому элементу у^Н поставлен в со-
ответствие по определенному закону элемент z^G (G — неко-
торое пространство, вообще говоря, отличное от И). Тогда го-
ворят, что в пространстве Н задан оператор А, и обозначают
z = Ау.
В данной главе мы будем рассматривать операторы, ото-
бражающие элементы пространства II снова в элементы то-
го же пространства II.
Определение:	Оператор А называется линейным, если/
1) А^ + Уъ) = ^У14-4У2;
2) А(ау) = а • Ау (а — вещественное число).
Пусть у(х)ЕЬ[а, ^1- Зададим функцию К(х, I), непрерыв-
ную по совокупности аргументов при a<^x<Ib, a<s^b.
Определим оператор А (т. е. функции y(x)£h[a, Ь\ поставим в
соответствие функцию z(x) 6 h[a, b]) следующим образом:
ь
z(x) = Ay= J K(x, t) y(f) dt.	(2.5)
a
В силу непрерывности K(x, t) функция z(x) действительно при-
надлежит h[a, Ь]. Оператор, определяемый формулой (2.5)р
называется оператором Фредгольма. Оператор Фредгольма,
очевидно, является линейным оператором.
Определение. Вектор у-АО называется собственным векто-
ром оператора А, если имеет место соотношение
Ау ~ Ау,	(2.6)
где А — некоторое вещественное число. Число А называется
собственным значением оператора А, отвечающим собственно-
му вектору у.
Рассмотрим оператор Фредгольма (2.5). Для оператора
Фредгольма соотношение (2.6) имеет вид
ь
j /((я, s)y(s)ds=>Ay(x).
а
18
Сравнивая это с (1.17), мы видим, что величина X, которую
мы определили как собственное значение интегрального урав-
нения Фредгольма (1.17), связана с Л соотношением Х=1/Д.
Имея в виду приложение развиваемой в данной главе теории
операторов к исследованию интегральных уравнений, мы бу-
дем интересоваться отличными от нуля собственными значе-
ниями Л.
Определение. Нормой оператора А (обозначается ||Л||)
называется неотрицательное число, определяемое следующим
образом:
||Л|| = sup ЦЛг/Ц при H1/II = 1-
Если существует ||А||, то оператор называется ограничен-
ным. В противном случае оператор называется неограниченным.
(В этом случае условно говорят, что ||А|| = оо.)
Теорема 2.1. Если К(х, t) является непрерывной по совокуп-
ности аргументов функцией при a^Zx^b,	то оператор
Фредгольма (2.5) является ограниченным в h. [а, Ь] оператором.
Доказательство. Из (2.5) следует, что
Ъ	Ъ Г Ь	П2
lMi/112 = ||z||2 =	z2(x) dx = J Дг J К(х, t)y(t)dt
а	а - О.
Но согласно неравенству Коши—Буняковского
ъ	"| 2	ь	ъ	ь
[ К(х, /)y(t)dt < J №(х, /)dt J y2(/) dt = j‘ №(x, t)dt,
a	J a	a	a
b
так как ||//||2 = j y2(t)dt = 1. Таким образом,
a
b b
[|A//li2 j dx j 7<2(x, t)dl — const.
a a
Отсюда следует (см. [13]) существование sup [|Ду|| при ||j/|| = l,
т. е. ограниченность оператора Фредгольма. Теорема доказа-
на.
Примером неограниченного оператора в h является опера-
тор дифференцирования D. Оператор D определен не на
всем h, а в подпространстве непрерывно дифференцируемых
функций.
Рассмотрим в Л[0, ~] последовательность непрерывно диф-
ференцируемых функций, принадлежащих единичной сфере
(ТЕ	\
т. е. таких, для которых ||yn|j2 = j‘ y2(x)dx = 1 I, а именно
_ о	J
последовательность уп(х) =» 1 / -sinих. Тогда Dyn = — z/n(.r)=
V я	dx
19
= 1/^ — ncosnx и ||Z)z/||J — С - n2cos2 nxdx — ri1—»oo при n—>oo.
'	~	J я
Отсюда следует, что не существует sup ||Ог/|| при ||jz||=l, т. е.
оператор D является неограниченным.
Теорема 2.2. Для ограниченного линейного оператора А и
любого элемента у^Н имеет место неравенство
< цлц • iij/Ц.
(2.7)
Действительно, пусть //¥=0. Тогда y/||j/|| есть единичный
вектор и, следовательно,
/1^-
< 1ИЦ. Преобразуем левую

часть этого неравенства, пользуясь линейностью А. Получим
——-	Ц-^Ц- Умножая полученное неравенство на ||z/||, при-
ходим к (2.7).
Если у=0, то ||г/||=0 и Ау — 0 (см. определение линейного
оператора) и, следовательно, (2.7) также справедливо (обра-
щается в равенство). Теорема доказана.
В дальнейшем в данной главе мы всюду будем считать А
линейным оператором.
3. Непрерывный и вполне непрерывный оператор.
Определение: Оператор А называется непрерывным в точке
у, если для Vs^>0 36(s) такое, что из неравенства ||г/ — z|| < 6(e)
следует неравенство ||Лг/ — Az\\ < е.
Если оператор А непрерывен при Ny^H, то будем говорить,
что оператор является непрерывным в Н или, короче, просто
непрерывным.
Замечание. Это же определение можно в полной ана-
логии с понятием непрерывной функции сформулировать на
языке последовательностей: оператор А называется непрерыв-
ным в точке у, если какова бы ни была последовательность
уп-+у (напомним, что это значит |]г/,г — г/|| —>0), соответствую-
щая последовательность АуЛ имеет пределом Ау (т. е.
|Мг/п —
Теорема 2.3. Ограниченный оператор является непрерывным.
Действительно: ||Лу-Лг||=|]Л(г/—z)]| ч< ||Л|| • ||г/-z|| < s при
|]у- z||< — = 6(г).
11 " ||Л||
Справедливо и обратное утверждение:
Теорема 2.4. Непрерывный оператор является ограниченным.
Доказательство. Допустим противное, т. е. допустим,
что оператор ограниченным не является. Это значит, что су-
ществует последовательность уп такая, что ||j/n|| = 1, а
Mi/nll > п. Тогда
Л^
п
= - 1Муп11>1 и,
п
таким образом,
20
А^-АО
n
>1, в то время как
_ о =1 11^11 -> О,
что
противоречит непрерывности оператора А. Теорема доказана.
Определение. Последовательность уп^Н будем называть
ограниченной, если существует не зависящая от п постоянная
С такая, что ||г/п||<С.
Определение. Последовательность уп^Н будем называть
компактной в И, если из любого бесконечного множества ее
элементов можно выделить подпоследовательность, сходящуюся
к некоторому элементу у G Н.
Определение. Оператор А называется вполне непрерывным в
Н, если, какова бы ни была ограниченная последовательность
векторов уп, соответствующая последовательность Ауп являет-
ся компактной в И.
Теорема 2.5. Вполне непрерывный оператор является огра-
ниченным.
Доказательство. Будем рассуждать от противного.
Пусть оператор А не является ограниченным. Тогда суще-
ствует последовательность уп такая, что ||4/п||=1, а |Иуп||—>о°-
В силу полной непрерывности А из последовательности zn =
— Ауп можно выделить сходящуюся подпоследовательность
z„fe — >z. С одной стороны, ||z„J| — > ||г||, величина которой ограни-
чена. С другой, ||z || —> со, поскольку z„ является подпоследо-
вательностью последовательности Ауп. Полученное противо-
речие доказывает теорему.
Следствие. Вполне непрерывный оператор является непре-
рывным.
Замечание. Утверждение, обратное к теореме 2.4, во-
обще говоря, несправедливо. Рассмотрим в пространстве
h[a, Z?] оператор Ау—\ • у = у. Этот оператор, очевидно,
ограничен, однако вполне непрерывным не является. Рассмот-
рим последовательность уп ограниченную, но некомпактную.
Тогда оператор А оставит ее некомпактной. Например, пусть
21
Допустим, что существует подпоследовательность Ауп^ =
= Упк! сходящаяся в смысле нормы в /i[0, 1], т. е. в среднем
к некоторой непрерывной функции у(х). Имеем тогда для
любого сколь угодно малого фиксированного 6
8
( [Упк(х) — y(x)]*dx-+0.	(2.8)
6
Но
&	Б	й	б
\1Упк~У]*йх = \y*dx-2 \ynkydx+ f y*dx.
6	boo
Здесь, начиная с некоторого достаточно большого k, первое
слагаемое равно 1, а третье как угодно мало вместе с б в
силу ограниченности у(х). Кроме того,
и, следовательно, второе слагаемое тоже как угодно мало.
Таким образом, мы получим противоречие с (2.8).
Теорема 2.6. Если ядро К(х, I) непрерывно при а^х^Ь,
то оператор Фредгольма (2.5) является вполне непре-
рывным.
Доказательство. Имеем
ь
zn = Ауп = § К(х, t)yn(t)dt.
а
В силу неравенства Коши - Буняковского
№(.r, t)dt
У^) dt.
Если ||г/„|| < С, то |zn(x)| < КС b — а , где К = sup |/<(2:, /)|
<ь
(существует в силу непрерывности К(х, t)). Полученное нера-
венство означает, что последовательность zn(x) является рав-
номерно ограниченной на [а, &]. Докажем, что эта последо-
вательность является равностепенно непрерывной. Имеем
ь
z„(*i) — znW = J[K(*i, t)—K(x2, /)] yn(t) dt.
a
22
Следовательно,
Гь
|zn(%i) — zn(x2)| < С |/ [	0 - К(х2, Oi2 dt < е
при |ЛГ(Х1, f)—К(х2, /)| <-----. Последнее неравенство вы-
С(ъ — а)
полнено, в силу непрерывности K(.r, t), при |%|—х2| меньше неко-
торого 6(e). Тем самым равностепенная непрерывность последо-
вательности доказана.
В силу теоремы Ариела [14] из последовательности zn(x)
можно выделить равномерно сходящуюся подпоследователь-
ность 2„ft(x), пределом которой является некоторая непре-
рывная на [а, 6] функция z(x), т. е. элемент пространства
Й[а, 6]. Кроме того, известно [14J, что если z„ft сходится к
z(x) равномерно, то сходится и в среднем, т. е.
ь
f — z(x)]Mx -> 0, или ||z„ft - z|| -> 0.
а
Таким образом, доказано существование элемента
я’б h{a, b] и существование сходящейся к нему подпоследо-
вательности, как требует определение вполне непрерывного
оператора. Теорема доказана.
Определение. Симметричным (или самосопряженным) опе-
ратором называется оператор А, удовлетворяющий условию
(Ay, z) = (y, Az) (VyG//, VzG/l).	(2.9)
Теорема 2.7. Оператор Фредгольма является симметричным,
если К(х, I) = K(t, х).
Действительно,
ь
(у, Az) = I’ у(х)
а
Ь
K(x,t)z(t)dt
ii
b
j K(x, t) y(x) dx
a
b
K(l, x) y(x) dx dt =
a
= (z, Ay),
«что и требуется.
§5.
СУЩЕСТВОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ
ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНОГО СИММЕТРИЧНОГО ОПЕРАТОРА
1. Существование по крайней мере одного собственного век-
тора. Докажем следующую теорему:
23
Теорема 2.8. Всякий симметричный вполне непрерывный
оператор А обладает собственным вектором, которому отвечает
собственное значение А, причем |Л|= ||Л||.
Рассмотрим сначала случай ||Л|| = 0. Это означает, что
||Лг/|| = 0 при любом у, для которого ||yj| = 1. Следовательно,
А у = 0 при любом у. Таким образом, в этом случае любое
у является собственным вектором оператора А, а соответ-
ствующее собственное значение Л = 0. Для случая ||>4|| = 0
утверждение теоремы, таким образом, справедливо. Но этот
случай, как было указано выше, не представляет интереса
для приложений к однородному интегральному уравнению
Фредгольма второго рода.
Проведем теперь доказательство для случая ||Л|| ф 0. Оно
основано на нескольких леммах.
Лемма 2.2. Для всякого симметричного оператора А и лю-
бого единичного вектора е (||<?|| = 1) справедливо неравенство
1Ж|2 < ||Л2е||,	(2.ю>
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда е
является собственным вектором оператора А с собственным
значением Л = ||Ле||2.
Доказательство. Имеем = (Ае, Ае) = (Аге, е)<Х
<J|42e|| |!г|| — ||Л2<?||- Пусть в (2.10) имеет место равенст-
во. Тогда в написанной только что цепочке всюду имеет
место равенство, в частноои, равенство (А2е, е)=||Л2г||  |[е||.
Следовательно (см. замечание относительно перехода нера-
венства Коши—Буняковского в равенство в (2.2)), А2е — Ле,
т. е. вектор е является собственным вектором оператора А*
с собственным значением Л. Имеем тогда в силу равенства
первого и третьего членов цепочки ||Ле||2=(Д2^, е) = (Ле, е)=
= Л-
Обратно, пусть А2е = ||Ле||2. Тогда ||Ле||2=(42е, е)=||Л2е||Х
X ||е|| = ||Л2е||, так как в неравенстве Коши—Буняковского
имеется равенство. Лемма доказана.
Определение. Назовем максимальным вектором оператора А
такой единичный вектор е (||е|| =1), на котором ||Ае|| = ||4||,
г. е. достигается sup IMyll.
llyil-i
Лемма 2.3. Симметричный вполне непрерывный оператор
обладает максимальным вектором.
Доказательство. Обозначим для удобства ||4|| через
М. Рассмотрим единичную сферу, т. е. совокупность векто-
ров ||м|| = 1. Обозначим у == Аи. Так как М = sup ||у||, то най-
Пи||=1
дется последовательность ип такая, что ||{/п||“||Л«п|| —>М при
га—>°о. В силу полной непрерывности оператора А из уп
можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к неко-
торому у dll. Обозначим эту подпоследовательность вновь,
через уп. Тогда в силу леммы 2.1 |[уп|| —> ||у|| и, следователь-
но» IMI = М в силу единственности предела.
24
Положим z =» — . Вектор z является единичным векто-
м
ром: ||z[| = ———==; 1. Докажем, что z является максимальными
вектором, т. е. ||Аz|| =« М. Построим последовательность zn—
= — . При этом будем иметь ||Azn|| =
м
А — = -||А2м„||.
м м" 1
Тогда согласно лемме 2.2 ||Azn|| — — ||А2цп|| > — ||Аып||2 —
м	м
— — |li/n]|a- С другой стороны, согласно теореме 2.2 ||Azn||<;
м
<||А||||zn|| = М — ||Уп|| = ||Уп||- Таким образом, справедливы не-
м
равенства
1ИМ> ||Az„|| < ИМ-	(2.11>
Перейдем в этих неравенствах к пределу при п—>оо.
Тогда уп~*У, zn—>z, ||yn||->М, Azn->Az (в силу непрерыв-
ности оператора А, следующей из полной непрерывности) и
||Azn|| —> ||Az]| (в силу леммы 2.1). В результате из (2.11) по-
лучим, что ||Az|| = М. Лемма доказана.
Лемма 2.4. Максимальный вектор z симметричного операто-
ра А является собственным вектором оператора А2 с собствен-
ным значением М2.
Действительно, М2 ~ ||Az||2 и согласно лемме 2.2 и тео-
реме 2.2 имеем М2 = ||Az||’<; |]A2z|| « ||A(Az)|| < ||А|| ||Az|K
<; l|A||2||z|| = М2. В силу равенства крайних членов етой це-
почки имеем сквозное равенство, так что ||Az||2 = ||A2z||. Сле-
довательно, согласно лемме 2.2 вектор z является собствен-
ным вектором оператора А2 с собственным значением ||Az||2,.
т. е. М2, что и требовалось.
Теперь докажем теорему 2.8. Имеем A2z — M2z, или
(A2 — M2)z — 0, или (А — М)(А + M)z = 0. Пусть вектор « =
= (А 4- M)z =/= 0. Тогда (А — М)и = 0 и Аи — Ми, т. е. и являет-
ся собственным вектором оператора А с собственным зна-
чением М. Если же и = (А M)z = 0, то Az — — Mz и z яв-
ляется собственным вектором оператора А с собственным
значением —М. Теорема доказана.
Замечание. Если оставить только требование симмет-
рии и не требовать полной непрерывности, то оператор А
может и не иметь собственных векторов. Пусть у(х) б h[a,
и Ау — ху. Этот оператор является симметричным:
ь
(Ay, z) = j" ху(х) z(x)dx = (y, Az),
а
2Б>
Однако, очевидно, ни при каком Л = const и у(х) ф 0 не вы-
полнено тождество Ау = Ау, т. е. ху(х) = Ау(х).
2. Существование последовательности собственных векторов.
Мы доказали существование собственного вектора вполне
непрерывного симметричного оператора А. Возникает воп-
рос: имеет ли А другие собственные векторы? Займемся
его выяснением. С этой целью нам удобно будет обозначить
пространство И, в котором было доказано существование
собственного вектора, через Нъ сам собственный вектор—
через уг (его будем считать нормированным, т. е. ЦуЛ = 1),
а соответствующее ему собственное значение — через Лх.
Лемма 2.5. Собственное значение Ai является наибольшим
по модулю среди всех собственных значений оператора А.
Действительно, пусть Л — некоторое собственное значе-
ние оператора А, а у отвечающий ему нормированный соб-
ственный вектор, т. е. Ау = Ау. Тогда ||Ду|| = |Л| • ||у|| = |Л|,
т. е. |Л1| — sup ||Ан|| > |Л|, что и требовалось.
п«11=1
Построим подпространство Нг пространства Нъ элемен-
ты которого выделены условием (у, у^ — 0. Оно называет-
ся подпространством, ортогональным уР
Введенное подпространство Н2 обладает следующими
свойствами:
Г. Н2 является подпространством, инвариантным отно-
сительно оператора А, т. е. если убЩ, то и Ау£Н2.
2°. Н2 является подпространством, замкнутым относи-
тельно предельного перехода, т. е. если уп является по-
следовательностью, сходящейся к уб/Д и уп£Н2, то и у £Н2.
Докажем 1. Действительно,
(Ay, yt) = (у, Ayt) = (у, ДхУ;) = ЛАу, У1) = 0.
Докажем 2. Действительно, (у, у1)=(уп+Ап, У1) = (уп, У1) +
+ (An, yt) = (An, Ух), где А„ = у — уп и ||Д„| =||у-у„||->0 при
ст -> ос. Следовательно, |(у, У1)| = |(АП, yJKI М • ||У1Н=1|Дп||-*О
при п—>оо. Так как (у, ух) от п не зависит, то отсюда вы-
текает, что (у, ух) = 0.
Свойства 1° и 2° позволяют провести в Н2 все те рас-
суждения, которые были проведены в /7X для доказатель-
ства существования собственного вектора. В Ht справедли-
вы леммы 2.2—2.4 и теорема 2.3, а следовательно, имеет
место теорема 2.8. Таким образом, в Л2 существует соб-
ственный вектор у2, ортогональный у у. (у2, yt)=0 и ему от-
вечает собственное значение Л„ наибольшее по модулю
среди всех собственных значений оператора А, отвечающих
собственным векторам из /Д.
Процесс можно продолжить. Построим подпространство
М3, выделяемое условием (у, yj = (у, у2) = 0. Получим, что
существует собственный вектор у3 такой, что (ух, у3) =
26
— (Уи> Уз) = ®- При этом |AX| > |Л2| > |Л3|. Описанный процесс
может быть бесконечным, и тогда существует бесконечная
последовательность собственных векторов у1г уг, ..уп,..
где (Уг, yh)=0 (i=hk) и соответствующая последовательность
собственных значений Ап Ля, . . . , Лп, . . , причем |Л1|>
>|Л2|>. . . >|ЛП|> . .	.
Но может случиться, что процесс оборвется на некото-
ром шаге. Это произойдет, если для некоторого т либо
подпространство Ит пусто, либо в подпространстве Нт
имеет место соотношение Ау — 0 для Ny£Hm. Последнее
означает, что Nyf*Hm является собственным вектором с соб-
ственным значением Л = 0.
Пример. Пусть А представляет собой оператор Фред-
t
тольма Ay = ^xty(t)dt. Тогда для любой функции г/(х) б А[0,1],
о
I
такой, что j/2(x)dx=l, имеем: ||Ду||
6
1 г 1	1
о L о
dx x2l2 dt y2(t)dt =1/9, т. е. ||А||<у. Нетрудно ви-
о
РуП =
'о L о
.деть, что при у = х]А$ выполнено Ау — х (z2)/3t/Z = —и
6	/з
—. Таким образом, ||А||= — и достигает-
3	3
№
ся при у = %УЗ, т. е. у = хУЗ является максимальным век-
тором. А так как	— — (.тр^З), то у = хУЗ является
3
-собственным вектором, которому отвечает собственное зна-
чение Л =1/3. Согласно установленной выше нумерации
функция у = хУ'З является собственным вектором yt.
Построим подпространство //2. Оно состоит из векторов,
•ортогональных вектору хУЗ, т. е. удовлетворяющих уело'
1	i
вию xy(x)dx = 0. Но тогда в //2 имеем: Ау= х ty(t)dt = 0
о	6
при Ny^Hz, т. е. УубЯ2 является собственным вектором
оператора А с собственным значением, равным нулю. Опи-
санный выше процесс обрывается.
$ 6.
СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНОГО
СИММЕТРИЧНОГО ОПЕРАТОРА
1. Структура множества собственных значений и собствен-
ных векторов. В предыдущем параграфе была построена после-
27
довательность собственных векторов и собственных зна-
чений вполне непрерывного симметричного оператора А.
Возникает естественный вопрос: получим ли мы таким об-
разом все собственные значения и собственные векторы дан-
ного оператора?
Пусть вполне непрерывный симметричный оператор А
обладает некоторым множеством собственных значений и
собственных векторов. Можно ли сказать что-нибудь о свой-
ствах этих собственных векторов и собственных значений^
основываясь только на факте их существования? Такие свой-
ства принято называть априорными. Исследование априор-
ных свойств поможет получить положительный ответ на
вопрос, поставленный в начале пункта.
Теорема 2.9. Собственные векторы, отвечающие различным
собственным значениям, ортогональны между собой.
Действительно, пусть Ayt= Агуи Лу2 = АгУ2. Умножим
первое уравнение скалярно на у2, а второе — на уг и выч-
тем одно из другого. Получим (уз, Ау1)—(у1, Ау2)=А1(у2, У1)—
— Л4(уг, Уз) — (ylt у2)(Аз—Аз). В силу симметрии А левая часть
равна нулю. Поэтому (г/п f/i)(Ax—Л2)=0, и так как Лх =# Л.2„
то (У1, Уз) = 0. Теорема доказана.
Теорема 2.10. Имеется не более конечного числа линейно-
независимых собственных векторов, для которых отвечающие
им собственные значения удовлетворяют неравенству |Л| > 6,
где 6 > 0 — любое наперед заданное число.
Доказательство проведем от противного. Пусть имеется
бесконечная последовательность уъ у2, . . . , уп, . . . та-
ких векторов. Отвечающие этим векторам собственные зна-
чения обозначим Ло Аз, . . . , Ап, .... Последователь-
ность уг, уз, . . . , уп, . . . , вообще говоря, не является
ортогональной, т. е. (у,, yh)^=0, если Л,= Ah. Применяя ме-
тод ортогонализации [15], можно заменить систему векто-
ров, отвечающих одному и тому же значению Л, ортого-
нальной системой векторов (сохраняя для новых векторов’
те же обозначения). Тогда последовательность ylt у2, . . . ,
уп, . . . можно считать ортонормированной, т. е. (у,, yh) = Q
(i* k), |П = 1-
Имеем ЦЛг/i — Луй||2 = ||Лгг/; — ДАг/й||2 = (Лу4 — Ayh, Ауг —
— Ayh) — Л? + Л2 >262. С другой стороны, в силу полной
непрерывности оператора А из последовательности Ауп
можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (обо-
значим ее снова Ауп), а всякая сходящаяся последователь-
ность является фундаментальной, т. е. ||Луп—Лул+1П||О для
п>У(е), щ>0. Если выбрать е2<2б2, то получим противо-
речие с написанным выше неравенством, которое, если в
нем положить I =» п, k = n-\-m, имеет вид ||.4i/n — .4г/л+т||2>
> 262. Теорема доказана.
28
Теорема 2.11 (следствие теоремы 2.10). Каждому отличному
ют нуля собственному значению отвечает лишь конечное число
линейно независимых собственных векторов.
Действительно, пусть Л — отличное от нуля собствен-
ное значение. Чтобы получить утверждение данной теоре-
мы, достаточно в предыдущей теореме положить 6 — |Л|/2.
Определение. Рангом собственного значения называется
максимальное число отвечающих ему линейно независимых соб-
ственных векторов.
Пользуясь этим определением, утверждение теоремы
2.11 можно сформулировать так: каждое собственное зна-
чение оператора, отличное от нуля, имеет конечный ранг.
Из теорем 2.9—2.11 можно сделать выводы:
1. Отличные от нуля собственные значения оператора обра-
зуют последовательность, и их можно занумеровать в порядке
убывания модуля, нумеруя каждое собственное значение столь-
ко раз, каков его ранг. Этой последовательности собственных
значений отвечает ортонормированная последовательность ли-
нейно независимых собственных векторов (линейно независи-
мые собственные векторы yit yi+l,  • • , j/z+p, . . • , отве-
чающие A; = A;+i— .	. =Ai+p, вообще говоря, неортого-
нальны, но методом ортогонализации можно построить
столько же ортонормированных собственных векторов).
В дальнейшем будем считать, что система собственных век-
торов уже приведена к ортонормированному виду.
2. Если оператор имеет бесконечное число собственных зна-
чений, то |ЛП|—>0 при п-^-<х>. Действительно, начиная с не-
которого номера, все Лп удовлетворяют неравенству |ЛП|
<6, в противном случае было бы бесконечное число собст-
венных значений, удовлетворяющих неравенству |ЛП| > 6.
Замечание. Собственное значение ранга р>1 можно
нумеровать один раз (как Лл), а отвечающие ему k собст-
венных функций нумеровать двойными индексами: ykl, . . . ,
!У/,р. Такой способ обозначений будет использован в §16.
Пользуясь доказанными свойствами, можно убедиться
в том, что построенная в § 5 последовательность собствен-
ных значений исчерпывает все отличные от нуля собственные
значения оператора А, а любая собственная функция являет-
ся линейной комбинацией тех, которые получены в § 5.
В самом деле, построение § 5 дает следующую цепочку
собственных значений:
|Л1|>|ЛЭ|> . . . >|Aj;_p|= . ... =|Aft|>|Afc+t|> . . .
и соответствующую им последовательность собственных
векторов уъ у2, . . . , у k_p, . . . , yh, yk+v
Допустим, что имеется собственный вектор у (отвечаю-
щий собственному значению Лз^О), линейно независимый
29
от построенных. Тогда для некоторого номера k будет вы-
полнено неравенство |ЛА|>|Л|>С, где C=|A*+i|, если имеют-
ся отличные от нуля собственные значения 0< |Aj| <Z|Л|, и,
С = 0, если собственных значений всего &Д1 и для всех для
них |A,| > |Л|. Вектор у ортогонален тем y{(i= 1, . . . , k),.
для которых Л, А (по теореме 2.9), а также тем из у{ (< =
= 1, . . . , k), для которых А; = А (поскольку все векторы^
отвечающие одному собственному значению, ортонормирова-
ны). Поэтому y£Hk+1. Имеем ||Лу|| — |А|-||у|| = |Л|, в то вре-
мя как sup ||Ду|| = С <Д |А |. Получаем противоречие, которым-
||и|1=1
и завершается доказательство исчерпывающего свойства по-
следовательности § 5.
2. Необходимое и достаточное условие отображения в нуль^
Докажем еще одно свойство собственных векторов, которое
будет использовано в гл. 4.
Теорема 2.12. Для того чтобы вектор у удовлетворял урав-
нению Ау=0, необходимо и достаточно, чтобы вектор у был
ортогонален всем собственным векторам оператора А с отлич-
ными от нуля собственными значениями.
Доказательство. Г (необходимость). Пусть Лу = О-
Докажем, что (у, уд = 0 (i = 1, 2,. . . ). Имеем (у, уО =*
= (у,	\ = — (У, Ауд = — (Ау, уд—0, что и требуется.
I Л/ / Л;	Aj
2° (достаточность). Допустим
2 (достаточность). Допустим противное, т. е. допустим^,
что (у, у») = 0 ({=1, 2, . . . ), а Ау #=0, и значит, ||Ау||=6 #= 0..
Введем единичный вектор яр — -- . Для него ||4яр|| = у— «=
= 6V Рассмотрим все собственные векторы у;, для которых
)Ai|>y. По теореме 2.10 таких собственных векторов ко-
нечное число: уь . . . , У[. Рассмотрим подпространство»
II векторов, ортогональных уъ . . . , yz. Имеем sup ||А«||=
и е н1
||и||=1
= |Л'+1|<у. С другой стороны, ярС7//_|-1 и ||Ляр|| = 6V Полу-
ченное противоречие доказывает утверждение 2°. Теорема
доказана.
Глава 3
ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
ВТОРОГО РОДА
§ 7.
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА ВТОРОГО РОДА
Рассмотрим однородное уравнение Фредгольма второго»
рода
ь
у(х) =\К(х, s)y(s)ds, х£[а, й].	(3.1>
а
Определение. Значение параметра /.	0 и соответствующая
функция у(х)^0, удовлетворяющая уравнению (3.1), называют-
ся собственным значением* и собственной функцией этого ин-
тегрального уравнения, или, другими словами, собственным зна-
чением и собственной функцией ядра К(х, s).
Будем предполагать, что ядро К(х, s) при х, s(- [а, fcj
удовлетворяет следующим условиям:
1°. К(х, s) — вещественная функция.
2е. К(х, s)yto.	(3.2>
3°. К(х, s)—непрерывная функция по совокупности аргу-
ментов.
4,°. К(х, s) — симметричное ядро, т. е. К(х, s) — K(s, х).
В главах 3—4 всюду, за исключением специально огово-
ренных случаев, будем считать эти требования на ядро вы-
полненными.
Свойства собственных значений и собственных функций
Теорема 3.1.	1. Собственные значения ядра К(х, s) вещест-
венны.
2. Нахождение комплексных собственных функций сводится
к нахождению вещественных собственных функций.
Доказательство. Допустим, что Х=р-|-й — собствен-
ное значение ядра К(х, $), а у(х) — соответствующая собст-
венная функция. Для них выполнено соотношение
ь
у(х) — X J К(х, s)y(s) ds.
• Употребляется также термин характеристическое значение (см. [20]).
35
-Учитывая, что К(х, s) вещественно, имеем для комплексно
ь
сопряженных величин у*(х) = k* j К(х, s) y*(s) ds. Пользуясь
а
записанными двумя соотношениями, имеем
b	b	b	ь
j \y(x)\2dx = yy*dx = к* j y(x)dx К(х, s)y*(s)ds,
а	а	а	а
b	b	b	b
f |//(х)|2 dx = j' у*у dx = к j* </*(х) dx ( К(х, s) y(s) ds.
a	a	a	a
Tax как в силу K(s, x) двойные интегралы справа равны
между собой, то деля первое из этих соотношений на к*, а
второе на к и вычитая друг из друга, получим
/1	1  ь.
(Т7“т) I M2dj:==0-
\ Л	Л / •'
\	/а
b
Так как к* Ф к, то отсюда |t/(x)|2dx = О, т. е. !/(х)^0. Это
а
^противоречит предположению о том, что у(х) — собственная
функция ядра К(х, s). Следовательно, v = 0 и к может быть
только действительным числом.
Докажем второе утверждение теоремы. Пусть действи-
тельному собственному значению к соответствует комплекс-
ная собственная функция у(х) = у^х) ф iy2{x), где г/х(х) и у2(х)
ь
вещественны. Тогда имеем у^х) ф iy2(x) — k J К(х, s) fy^s) ф
а
Ф iy»(s)]ds. Разделяя в эюм соотношении вещественную и
“мнимую части, получим
ь	ь
г/1'.т) = к j" Kdx, s) yds} ds, у^х) = к j К(х, s)yt(s)ds.
а	а
Таким образом, нахождение комплексной собственной функ-
ции у(х) сводится к решению уравнения (3.1) для вещест-
венных функций.
Теорема 3.2. Если К(х, s) непрерывно и К(х, s)^0, то нор-
ма оператора Фредгольма отлична от нуля.
Доказательство. Обозначим
ъ
z(x)— J К(х, s) y(s) ds (или z = Ay).
a
-32
Так как К(х, s)^0, то существует точка (xe, s0), в которой
К(х0, sQ)^=0 (пусть для определенности К(х0, s0) >0). Тогда в
силу непрерывности К(х0, «)>0 при s0—6^p<s0 + 6, если 6
достаточно мало.
Возьмем неотрицательную непрерывную функцию и(х),
равную нулю на отрезках [a, s0— 8j и [s0 + б, д], и поло-
жительную в интервале (s0— б, s0+8) (в остальном — произ-
вольную). Тогда
||u||2 = j u2(s) ds = j u2(s)ds> 0.
a	s„-S
Пусть ?/(s) =	. Эта функция обладает нормой, равной
П“Н
единице, и, как и и($), положительна в интервале ($0 — б,
se-f-6) и равна нулю вне его. Тогда
So+S
z(x0) = К(х0, s) y(s) ds = [ А(х0, s)y(s)ds> 0.
a	s2—5
Таким образом, z(.r)^0 и, следовательно ||z|| = ||Д*/|| > 0.
Тогда ||Д||== sup ||4у|| >0, что и требовалось.
Hl/|l=l
Итак, собственные значения интегрального уравнения
(3.1) могут быть только вещественными и достаточно нахо-
дить только вещественные собственные функции. Норма
оператора Фредгольма при выполнении условий (3.2) отлич-
на от нуля. Поэтому к интегральному уравнению (3.1) мы
вправе применять развитую в предыдущей главе теорию.
Уравнение (3.1) можно записать в форме
У -- '>Ау,	(3.3)
ъ
где Ау = j К(х, s)y(s)d.s оператор Фредгольма. Этот опе-
а
ратор при условиях (3.2) является симметричным (теорема
2.7) и вполне непрерывным (теорема 2.6) оператором. Соот-
ношение (3.3) совпадает с уравнением (2.6) при Х= 1/Л. По-
этому результаты § 5, 6 предыдущей главы можно приме-
нительно к уравнению Фредгольма (2.1) сформулировать
следующим образом:
Теорема 3.3.	1. Существует конечная или бесконечная по-
следовательность линейно независимых собственных функций и
соответствующих собственных значений ядра К(х, s).
2. Собственные функции, соответствующие различным соб-
ственным значениям, ортогональны. Ранг любого собственного
33
значения конечен. Всю систему собственных функций можно
ортонормировать, так чтобы были выполнены соотношения
ь	ъ
m(x)dx = 0 (i =А m), J y?(x)dx= 1.
a	a
3. Каково бы ни было L>0, может существовать лишь ко-
нечное число собственных значений, удовлетворяющих неравен-
ству |А| <L. Если все число собственных значений бесконечно
и их расположить в порядке возрастания абсолютной величины
1Х1К	, rno lim |Xn| = ос.
Л—>oo
В дальнейшем будем считать, что система собственных
функций приведена к ортонормированному виду.
Пусть найдены собственная функция ух(х) ядра К(х, з) и
соответствующее собственное значение Х1. Возникает воп-
рос: как найти другие собственные функции?
Теорема 3.4. Если у\(х) — собственная функция ядра К(х, s)
u Ai — соответствующее собственное значение, то ядро
К^(х, з) = К(х, s) —
X.
имеет те же собственные значения и собственные функции, что
и ядро К(х, s), кроме у\ (х) и Хь
Доказательство разобьем на три этапа.
а.	Пусть г/2(ж) и Х2 — собственная функция и собственное
значение ядра /<(2)(а;, з). Покажем, что у2 ортогональна yt.
Обозначим
А^у =	Д(2,(ж, s) y(s)cZs=
К(х, з) —
y(s)ds =
= АУ~
у)
к
Поскольку ядро Km(x, s) симметрично, то оператор Л<2) яв-
ляется симметричным. Учитывая это, а также условие (уи
yt) = l, имеем
(1/1. Уг) = (Уи ^Уг) = ЧА12)У1, Уг) =
=	уЛ =0.
\	А! 7	I
Таким образом, (у1г у2)=0, что и требовалось.
34
У|(Уг. У1) ’
Ау2
X,
б.	Докажем, что yt(x) является собственной функцией
ядра К(х, s). Действительно,
yt — \А™уг = X
Последнее слагаемое равно нулю, поскольку (уи у2) = 0:
Следовательно, = \Ау2, что и требовалось. _
в.	Докажем, что всякая собственная функция у(х) ядра
К(х, s), кроме у/х), является собственной функцией ядра,
К<2)(х, s). Пусть у = \Ау. Рассмотрим равенство
= Ai_ = х_ S1).
Л
Если у(х) совпадает с у^х), а X соответственно с то пра-
вая часть равенства обращается в нуль. Поэтому Л<2)у = 0,,
а это значит, что у(х) не является собственной функцией
ядра K(2)(x, s). Если же у(х) не совпадает с у^х), то (у,
Следовательно, Л(2)у = — и у является собственной функ-
X
цией ядра №2)(х, s).
Следствие. Если ylt . . . , уп — собственные функции ядра
К(х, s), а Хь . .. , Хп — соответствующие собственные значения,,
то ядро
п
K(,l+l)(x, з) =т: К(х, з) - У У1(х)Уг(^)
Z=t
имеет те же собственные функции и собственные значения, что'
и ядро К(х, з), за исключением ух, .	, уп.
Для доказательства следствия достаточно применить
теорему 2.3 п раз, последовательно повышая на единицу
индекс m ядра K(m}(x, з).
Пусть найдены п собственных функций ядра /<(х, s), где'
n> 1. Строим ядро д(п+1)(х, s). Если Д<"+1,(гс, s) 0, то лег-
ко проверить, что для него выполнены все требования
(3.2). Следовательно, существует собственная функция
Уп+1(х) ядра /<<п+й(х, $). Эта функция у„+1(х) будет по дока-
занному являться и собственной функцией ядра s), ор-
тогональной у^х), . . . , уп(х). Таким образом, будут най-
дены уже «4-1 собственных функций. И так далее.
При этом возможны два исхода. Либо процесс будет
продолжаться бесконечно и можно указанным алгоритмом
3&
определить любое нужное число собственных функций, ли-
бо на некотором /n-м шаге получим
K<m+1)(x, s) = К(х,
т
s)	Уг(х)У1(з)
(=1
0.
В этом случае ядро К(х, s) относится к так называемым
вырожденным ядрам, которые изучаются в § 9.
Замечание. Проведенное в настоящем пункте по-
строение последовательности собственных значений и
собственных функций в точности соответствует тому пост-
роению, которое было проделано в абстрактной форме в
гл. 2.
§8.	Ч
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	,
И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПО МЕТОДУ КЕЛЛОГА
Выше было доказано существование собственных функ-
ций у ядра К(х, s), удовлетворяющих требованиям (3.2), но
не указывался метод их конструктивного определения.
Последний вопрос рассматривается в настоящем параграфе.
Собственные функции и собственные значения ядра мо-
гут быть найдены, например, путем последовательных при*
ближений по методу Крллога.
Рассмотрим интегральное уравнение
ь
у(х)— \Ау = \ s) y(s) ds	(3.4)
а
в случае, когда ядро К(х, s) удовлетворяет условиям (3.2).
Покажем, что собственные функции и собственные значе-
ния ядра К(х, s) могут быть найдены путем некоторого ре-
куррентного процесса. Перейдем к описанию этого процес-
са.
1.	Выберем произвольную непрерывную функцию у0(х)
такую, что Ау0 ^0. Определим последовательность функ-
ций уп(х) для п>1 из рекуррентного соотношения
уп = АУп_г>	(З-5)
Обозначим ||г/л||1= Nn- Имеет место соотношение
Nn = (yp, Уд),	(3.6)
где p+q^2n. Действительно, пусть р — пА-т, a q — n — m.
Тогда в силу симметрии оператора А имеем
(УР, lJq) = (АтУп, Уя) = (Уп, АтУ9) = (Уп, Уп) = Н2п-
36
Для нормированных функций <рп = — = !/* из (3.5) полу-
№/>|1 Nn
чаем
Nn.
Tn = Ип-^Фя—р где p.n =я ——	.	(3.7)
** п
2.	Докажем сходимость последовательности р.п. Из фор-
мулы N2n = (yn_i, yn+i) в силу неравенства Коши—Буняков-
скогр получаем	Отсюда -п~- —— или р.п >
Nn	N«4-1
>P«+i>0. Таким образом, последовательность [^ — моно-
тонно невозрастающая и ограничена снизу. Следовательно,
существует предел lim р.п = [л > 0.
Покажем, что р-=/= 0. Для этого соотношение (3.5) умно-
жим на уп, проинтегрируем по х и воспользуемся неравен-
ством Коши—Буняковского. Имеем
6	ь
№п=(Уп, Уп)=(Уп, ЛУп-!^ f yn(x)dx §К(х, s)yn_,(s)ds^
а	а
ъ ь	ь	ъ
<1/ Ц’к2(*. S)dxds	\y\dx j‘z/^_)ds = cy„^n_17
у а а	у	а	а
b b
где С2 = ( К2(х, s) dx ds.
а а
Nn_
Отсюда Nn xCN,I^l ирп= —
Nn
>0. Предельный
пере-
ход при п —» оо дает р.= lim рп> — >0.
п-»оо	С
3.	Убедимся в том, что Nn =/= 0, а следовательно, уп(х)
5^0. Действительно, у0 выбрано так, что yt — Ауо^О. При
этом будет выполнено А'о Д> 0 и Nt > 0. Из неравенства
АаА0>А2 следует N2 =/= 0. Аналогично получаем А3=А0и
так далее. Таким образом, все А\=^0 для п>0.
4.	Докажем, что четные итерации ф2п сходятся в сред-
нем к некоторой функции <р(гс), а нечетные итерации <p2«4-t —
к ?(х).
Функции <рл(х) непрерывны и нормированы на единицу.
Оператор А переводит такие функции в последователь-
ность равномерно ограниченных и равностепенно-непрерыв-
ных функций (см. доказательство теоремы 2.6). Поскольку
37
Лф„ , = —, то последовательность — состоит из равномер-
Рп	Рп
но ограниченных и равностепенно-непрерывных функций.
По доказанному — > —. Отсюда следует, что последова-
Нл Н-о
дельность <рп также состоит из равномерно ограниченных
и равностепенно-непрерывных функций.
Таким же свойством обладают в отдельности последо-
вательности четных <р2п и нечетных <р2„+1 итераций.
По теореме Арцеля существует подпоследовательность
<рт последовательности <р2я, равномерно сходящаяся к неко-
торой непрерывной функции <р(х). Из равномерной сходимос-
ти следует сходимость <рт к ср в среднем.
Докажем, что вся последовательность <р2т, а не только
подпоследовательность ®т сходится к ? в среднем. Действи-
тельно, из сходимости <рт следует, что для любого е > О
можно указать номер и0(е) такой, что для любых функций
<р и фШ1 из последовательности фт с номерами т1г т2'^>п0(е)
будет выполнено: A,,,. = ||фт, — Фт2|| < е- Пусть для опреде-
ленности т2 > т1. Убедимся, что для всех четных т и к та-
ких, что	выполнено неравенство ||фт—Фл1|<С
<Д. Этим будет доказана сходимость в среднем всей по-
следовательности ф2я. Действительно, рассмотрим выраже-
ние Jm. k = НФ™ — Фа11- Учитывая, что ||фт|| = ||фй|| = 1, имеем
J2m,k “2 — 2(фт, Ф/Д ИЛИ
2
2 — JI = 2(ф„„ фй) = -Ут ’ Ук}- =--—.	(3.8)
т, к	+h)	NmNk	NmNk
Последнее равенство имеет место в силу (3.6). Заменяя в
(3.8) k на k+2, получим
л/2	л/2
2	И!±?+1	.. ..	’-^+1
1	k+2 _	2 NmNk __	2 х
2-<к	УД+ft Nk+2Nn	Nl+Il
2	2
= ^+1	1
^•+2^+1
так как р.т+й	при m<Zk. Заменяя в (3.8) т на
2
т — 2, имеем
38
2 — J„ 2 b ,	1	<	~7~
ТП—£, к   £	<П ITi—1    £	।	Q)
2 —	Л^_[_£	i^m—2	fVi—1 ^m—2
2
Из (3.9) и (3.10) получаем, что Jm,k+2>Jm_k и Jm_2, k > Jmk.
Увеличивая индекс k до m2 и уменьшая индекс т до тх,
будем иметь ||<рт — <рй|| = 7т> k < 7mi n,t <е, что и требовалось
доказать.
Аналогично устанавливается сходимость в среднем по-
следовательности ф2п+1 к некоторой непрерывной функции
ф(х).
5. Докажем, что из равностепенной непрерывности и схо-
димости в среднем последовательности ф2п следует ее рав-
номерная сходимость к <р(х>.
Рассмотрим разность а>тп(,т)=фт(х)—?nW при четных т, п.
В силу равностепенной непрерывности фт(ж) и <рп(х) для лю-
бого е>0 справедливо неравенство
КпМ — ®mn(x2)| < £ при |хх—х2|<б($)	(3.11)
для всех т, п. Кроме того,
ъ	ъ
J = [ [Ф/л(*) — ^n(x)]2dx < е	(3.12)
а	а
при т, п^>п(г) в силу сходимости последовательности фп(я)
в среднем.
Докажем, что
Kn|<s при т, n>N(e)	(3.13)
для всех хб[а, &]. Отсюда следует справедливость утверж-
дения настоящего пункта.
Выберем произвольное е^>0. Тогда для любого я(Е[а, &]
найдется xk такое, что при |х—хй|-< 6(е/2) справедливо нера-
венство
КпСО — wm„(xft)| < е/2	(3.14)
для всех ггб[а, 6]. Покроем [а, Ь] конечным числом интер-
валов 7а, длина которых равна 6(е/2). Тогда можно утверж-
дать, что для всех достаточно больших т,п>1У(г) и любо-
го 7Д найдется точка xhG/k, в которой
Кп(хй)|<е/2.	(3.15)
39
Действительно, допустим противное. Тогда найдется интер-
вал Ik и такие сколь угодно большие номера т, п, что для
всех х^1к имеет место неравенство |о>т, л(х)| > е/2. Следова-
тельно, для таких т, п имеет место неравенство
J „ = I со2 dx I со2 dx	— Л (—
' тп I тп. J та ^4(2/’
a	Jk
противоречащее (3.12).
Из (3.14) и (3.15) следует, что для любого х £ выполне-
но
Kntol < Кп(х) — ®mn(xft)| + |о>ОТл(хА)| < f + | =8 ПРИ
т, n>N(s.),
т. е. доказано неравенство (3.13).
6. Итак, доказано, что cp2n=^cp. Аналогично доказывается,
что <pin+i=><p. Совершая предельный переход в (3.7) по по-
следовательности с четными и нечетными номерами, полу-
чим
<Р = ц.Л<р, <p = p.A<f>.	(3-16)
Отсюда <р = |л2Л2<р или (р.А + 1)([хЛ — 1)ср = О. Последнее ра-
венство возможно в двух случаях:
а)	(р.Л—1)<р—0, т. е. <р = |хДср. В этом случае у. является
собственным значением уравнения (3.4), а из (3.16) следует,
что ф = ф;
б)	z = (рЛ — 1)<р 7 0. Тогда (рА + l)z == 0, или z= — pAz.
Следовательно, (—р) является собственным значением урав-
нения (3.4). Из (3.16) следует тогда, что z = ?Aq>— ф = ф—ф-
Таким образом, либо Х=р, г/=ф=ф, либо Х=—р, у =ф—Ф
являются собственным значением и собственной функцией
уравнения (3.4).
Замечание. Приведенные рассуждения представляют
собой независимое от результатов гл. 2 доказательство су-
ществования собственного значения и собственной функции
уравнения (3.4), а кроме того, дают возможность эффектив-
ного получения собственного значения и собственной функ-
ции в виде пределов последовательностей.
Пример. Рассмотрим уравнение
У (х) = х J (—ex+s) y(s) ds.	(3.17)
Q
40
Выбираем начальное приближение </,=!. Из рекуррентного
соотношения г/-+1 = Лi/i определяем последующие прибли-
жения:
УМ = [ ( — ex+s)ds = — ех(е — 1),
6
УМ = у (-г+')(-^)(С-1)^ = е-(е—1)	1, . . . ,
6
!/„(x) = (_l)V(e-	j •
Находим lim ---^”1!.. — 2 = |Х|. Строим нормированные
функции qn = Уп = (—1)" -— . Отсюда <р = Нт <р2п =
1Ю	г2-1	П-.ОО
ех	-	= 2ех
=-----= — lim V2n+i — —-<р,	Таким образом, <р — <р «= -
е2— 1	п—<ж, ‘	е2— 1
является собственной функцией интегрального уравнения,
2
(3.17), соответствующей собственному значению X «=----.
§ 9.
ВЫРОЖДЕННЫЕ ЯДРА
Определение. Ядро К(х, s), представимое конечной суммой
вида
K(x,s)=2Q„(x)<o„(s)	(3.18}
л=1
называется вырожденным ядром.
Теорема 3.5. Г. Вырожденное ядро имеет конечное число*
собственных значений.
2°. Если симметричное ядро К(х, s) имеет конечное число>
собственных значений, то оно вырождено.
Доказательство. Докажем 1°.
* В понятие «конечное» число здесь включается также и нуль, т. е. вы-
рожденное ядро, в частности, может вовсе не иметь собственных значений.
Очевидно, в этом случае ядро должно быть несимметричным (см. ниже, при-
мер 3).
41
Рассмотрим уравнение (3.1) с вырожденным ядром. Име-
ем
Ь N	N
И*) = Х j’2 ®n(x)un(s')y(s)ds= X 2 ®п(х)Сп, (3.19)
a n=l	п—1
Ь
где Сп = j an(s)y(s)ds. Подставим у(х) в виде суммы (3.19)
а
в последнее соотношение. Получим
b	Г 7V	Ч	N
Ст= pm(s) X 2 Vn(s)Cn ds : :Х 2 CnPnm, (3.20)
L л=1	J n=i
ь
где Рпт= J Qn(s)(om(s)ds.
а
В результате мы пришли к системе однородных алге-
браических уравнений (3.20) относительно Ст. Нас интере-
сует нетривиальное решение системы (3.20). Последнее воз-
можно, если
det{6nm-XPnm} = 0.	(3.21)
Это соотношение является алгебраическим уравнением А/-й
степени относительно X. Как известно, оно имеет не более
W различных корней. Отсюда следует утверждение п. 1°.
Докажем 2°. Действительно, по теореме 2.11 ранг каж-
дого собственного значения симметричного ядра К(х, s)
конечен. Следовательно, число независимых собственных
функций также конечно. Пусть ylt .	. , уп — совокупность
всех линейно независимых собственных функций, приведен-
ная к ортонормированному виду, а Хь . . . , Хп — соответ-
ствующие собственные значения (некоторые из которых мо-
гут совпадать). Рассмотрим ядро
Н(х, s) = К(х, s) —
п
ydx)’Ji(s)
i = 1
Допустим, что Я/0. Тогда для ядра IJ(x,s) выполнены
все требования (3.2) и у него должна быть собственная
функция уп+[(х). Согласно доказанному выше у„+1(я) орто-
гональна всем У((х) (t —1,	. . , п) и является собственной
функцией ядра К(х, s). Так как по условию ух...........уп —
совокупность всех линейно независимых собственных функ-
п
ций ядра К{х, $), то у„+1(л)= у С^уДх). Учитывая, что
«=1
<У„+1, yz) = 0 (t = l, . . . ,п), получим ||У„+1||2=(Уге+1. У„+1) =
42
(п	\ п
Уп, 2	1 = 2 С‘(Уп+1, Уд = °- соотношение ||у„+1||2=0
/	Z=1
противоречит тому, что у„+1(х)— собственная функция ядра
/<(х, s). Полученное противоречие доказывает, что Щх, s)=0
и, следовательно, ядро К(х, s) является вырожденным.
Замечания. 1. Утверждение Г справедливо как для
симметричных, так и для несимметричных ядер. В послед-
нем случае собственные значения, определяемые из (3.21),
и собственные функции могут, вообще говоря, оказаться
комплексными.
2. В случае вырожденного ядра собственные функции
могут быть определены путем решения системы алгебраи-
ческих уравнений (3.20) (в которой к найдено из (3.21)) с
последующей подстановкой полученных значений Ст и X в
правую часть (3.19).
Пример 1. Требуется определить собственные функции и
собственные значения интегрального уравнения
у(х) = Х [(я — ’) y(s)ds,	(3.22)
b
в котором ядро К(х, s) = х — s — х • 1-1- s— вырожден-
ное и несимметричное. Правая часть (3.22) представляет со-
бой полином первой степени относительно х. Поэтому ре-
шение имеет вид у(х) = ах + Ь. Подставляя это выражение
для у(х) в (3.22), получаем
1
ах b = X у (х— s)(as Ц- b)ds =Х х + b ) —	у)]*
о
Приравнивая коэффициенты при нулевой и первой степенях
х справа и слева в этом соотношении, имеем
(3.23)
Нетривиальное решение этой системы
уравнений существует, если определитель
алгебраических
43
Отсюда X =
± i/12. При этом из (3.23) следует a —by.
. Таким образом получаются два решения:
Xt = I/12, У1(х) =С[/12 + Зх(х - /3)],
Ха = -i/12, yt(x) - С[/12 - 3x(i + /3)],
где С — произвольная постоянная.
Комплексные собственные значения получились в резуль-
тате того, что ядро	s) = х — s не является симметрич-
ным.
Пример 2. Рассмотрим однородное интегральное уравне-
ние
1
у(х) = X (* (x’s2 — 1) y(s) ds.	(3.24)
о
Ядро К(х, s)=x2s2—1 является симметричным и вырожден-
ным.
Ищем решение уравнения (3.24) в виде у(х) = ах3-j-Ь.
Имеем
1
ах* + b — X j' (x2s2 — 1 )(as2 + b}ds.
b
Приравнивая коэффициенты при х3 и х°, получим
1
а = X f s\as2 + b)ds = X -| — \
J	у 5	3 I
о	7
1
Ь = —XJ* (as24-d)ds=X /—— b\.
о	4	7
Нетривиальное решение этой системы алгебраических урав-
нений относительно а и b существует при условии
__L _Л
5	3
-	1 +х
3
9-1-3 |/ 14
Отсюда находим Хх = 	, Х2=
уравнения алгебраической системы
---, а из первого
, о / 1	1 \
следует о «= За-------.
IX 5 1
44
Таким образом получаются две собственные функции,
соответствующие собственным значениям Хх и X,:
/ . .	2	3 \	/21	2	3 \
1/1 —а х* 4--------- , у, =а х* 4------------.
I 3+1/й 5У	З-Уи 5)
1
Значение а можно найти из условия j y?(x)dx= 1.
о
Собственные функции yt и у2 отвечают различным собст-
венным значениям. Проверим ортогональность yi и г/,:
Пример 3. Рассмотрим уравнение
у(х) = X j cos х sin s y(s)ds.	(3.25)
0
Из уравнения (3.25) следует, что у(х) имеет вид г/(х)=Ссозх,
тс
где С = k j sin/]z/(s)ds. Подставляя в последнее соотношение
о
тс
у(х) в указанном виде, . получим С=Х j" sins • С cos s ds = 0.
b
Следовательно, уравнение (4.23) имеет лишь тривиальное ре-
шение при любых значениях X.
Глава 4
РАЗЛОЖЕНИЕ
ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
§ Ю.
ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА
В предыдущей главе было доказано, что существует ор-
тонормированная последовательность собственных функций
однородного интегрального уравнения Фредгольма второго,
рода. Тем самым для любой f(x)£h[a, b] можно построить
ряд Фурье по этим собственным функциям. Возникает воп-
рос: при каких условиях построенный ряд Фурье будет схо-
диться к функции Дх)? Ответ на поставленный вопрос дает
так называемая теорема Гильберта—Шмидта.
Определение. Будем говорить, что непрерывная функция f(x)
представима через ядро К(х, s), если существует непрерыв-
ная на [а, 6] функция h(x) такая, что
ъ
f(x)= j К(х, s)h(s)ds,	(4-1)
а
ИЛИ
f = Ah.	(4.2)
Теорема 4.1 (Теорема Гильберта — Шмидта). Если f(x)
представима через симметричное ядро К.(х, s), то она может
быть разложена в ряд
=	(4.3)
b
где fi= j f(x)yi(x)dx, причем ряд (4.3) сходится на [а, 6] к )(х)
а
абсолютно и равномерно.
Доказательство. Сначала докажем, что в случае не-
вырожденного ядра, т. е. бесконечного множества собствен-
ных значений, ряд в правой части (4.3) сходится абсолютно
и равномерно. Воспользуемся критерием Коши и рассмот-
n-f-tn
рим сумму J] Ifil |j/i(z)|. Выражение для коэффициента
Фурье fi, указанное в теореме, имеет вид Ь == (f, yt). Поэто-
му в силу (3.2)
fi = (Ah,	Ау<)= (h,	(4.4),
46
Тогда
n+m
n-f-m
l/»il
IXil
(4-5)
(последнее звено в этой цепочке неравенств основано на
неравенстве Коши—Буняковского применительно к скаляр-
р
ному произведению вида (a, b) = ai^i в конечномерном
Z-1
линейном пространстве, элементами которого являются сис-
темы чисел alt . .	, ар).
Для дальнейшего заметим, что в силу соотношения
ь
I /С(х, s)yi(s)ds величина  является коэффициентом.
J	'
а
Фурье ядра К(х, s), рассматриваемого как функция s.
Воспользуемся теперь неравенством Бесселя [14] для Я(х)
и К(х, $):
ъ
( /i2(s)ds,
<=i
(4.6}
V?(x)
)2
г=1
b
I K2(x, s)ds.
(4-7)
Из (4.7)
К = sup
a<.x<b
a<s<b
следует
\K(x, s)|), что
(применяем, как и в гл. 2, обозначение
!/?<*)
2
b
\2
i=n	i=n	а
а из (4.6) (в силу необходимости критерия Коши для сходя-
n-f-m
щегося числового ряда слева в (4.6)) следует, что /г? <
g2
—------- при n>N(e), m>Q. Поэтому из (4.5) имеем
№(Ь-а)
n+m
-—е---Kl/b—а— е	при n> 2V(e), т^>0
кУъ-а
47
для всех х(Да, Ь], а это в силу достаточности критерия Ко-
ши означает абсолютную и равномерную на [а, 6] сходи-
мость ряда справа в (4.3) к некоторой функции f (х).
7(*) = 2
~ ,==1
•Функция f(x) непрерывна на [а, Ь] в силу известной теоремы
анализа.
Остается доказать, что f(x) = f(x). Обозначим ы(х)=[(х)—
— f(x). Убедимся, что <« ортогональна ко всем г/;. Действи-
тельно, учитывая доказанную равномерную сходимость ря-
да справа в (4.3) и вытекающую отсюда возможность его
почленного интегрирования [14J, будем иметь (®, yi)=:(ft yi)—
со
— Cf< yi) = fi— 2 Мг/n, yi) — = Следовательно, по
л=»1
теореме 2.12 4® = 0. Далее: ||®||2= («>, w) = (со, f— f) = (и, f) —
— (®, /) = ((о, Ah) — 2	.7i) = (4w, Л) = (0, h) = 0. Следова-
тельно, ||col|=0, а значит, со(.г) - 0, т. е. f(x)—J(x). Теорема до-
казана.
§ П.
ПОВТОРНЫЕ ЯДРА
1. Определение и свойства повторных ядер. Выше мы ввели
оператор Фредгольма А формулой
ь
Ау = ( К(х, s)y(s)ds.	(4.8)
Рассмотрим теперь операторы А2у, . . . , Апу, .... Оказы-
вается, для оператора Апу можно дать интегральное пред-
ставление, аналогичное (4.8):
ь
Апу j Kn(x, s) y(s) ds,	(4.9)
где Kn(x, s)—так называемое повторное ядро порядка п.
Получим выражение для Кп(х, s) через ядро К(х, s), ко-
торое будем называть основным. Обозначим Ау=*г. Имеем
ь
А2у — Аг = /<(х, s) z(.s-) ds
а
I* К(х, s) j K(s, t)y(t)dt ds
ь г ь	b
= J У(1)	[ K(x, s)K(s, t)ds dt = j /C2(x, t)y(t)dt.
a	a	J a
48
Итак, повторное ядро порядка 2 выражается формулой
ь
Кг(х, s) = J К(х, s)dt.	(4.10)
а
Теорема 4.2. Для повторных ядер справедливо соотношение
Кп{х, s) = j К(х, t) s)dt.
а
(4.11)
Доказательство. Формула (4.11) справедлива для
п=2 (см. (4.10)). Допустим, что она справедлива для п =»
= 1, . . . , р- Докажем ее справедливость для п — р-\-\.
Обозначим Ару = г. Имеем
ь
К(х, $)
а
ь
а
b
b
= f y(t) К(х, s)Kp(s, t)ds dt = j Kp+\{x, t)y(t)dt.
а
Таким образом, KP4-i(x, s) выражается формулой
й
КР+Ах, s) = f К(х, t)Kp(t, s)dt
а
и теорема доказана.
Теорема 4.3. Если ядро К(х, s) удовлетворяет условиям
(3.2), то этими же свойствами обладает повторное ядро любого
порядка.
Доказательство. Проверим сначала симметрию К Ах,
s). Имеем
ь	ь
K2(s, х) = J K(s, t) КА, x)dt = \ КА, s)K(x, t)dt = Кг(х, s)<
а	а
Докажем теперь симметрию Кп(х, s), рассуждая по ин-
дукции. Пусть Кп(х, Д, п=2, . . . , р, симметричны. Поль-
зуясь (4.11), имеем
ь
Kp+As, Л)= 1ЖрА> x)dt => J K(s, t)Kp(x, t)dt ==
a	a
Ъ	Ъ
== J K(s, t)dt J K(x, DKp-Al t} dl =
a	a
49
b	ь	b
= J K{x, l)dl J K(S, t) Kp-i(t, l)dt = J K(x, l)Kp(s,
a	a	a
b
= J K(X, s)dl = KP+1(X, s).
a
Доказательство непрерывности и вещественности ядра
Кп{х, s) (также по индукции) сложности не представляет.
Докажем, что /Сп(х, з)^0. Допустим противное. Предпо-
ложим, что Kt(x, з) й 0 для i = 1, . . . , п— 1, а Кп(х, s) = b.
Рассмотрим вначале случай, когда п четно: /г=2/и. Имеем
ъ
Kam(^, s) у(з)йз — Д2ту = Ат(Ату) -
а
= [ кт(х, 0 f Km(t, s)y(s)ds = f j кт(х, s)dt
a	a	a l_ a
Отсюда
s)-^Km(x, s)dt.
y(s)ds.
Полагая в этом равенстве х = s, получим
ь
d(2m(x, х) - §Кгт(х> t)dt.
а
По условию К2т(х, х) — 0 при любых a'G [а, &]. Отсюда име-
ем Кт(х, t)=^0, что противоречит сделанному выше пред-
положению.
Пусть теперь п нечетно: n = 2m+l, Ki(x, s) ф 0 при
а Кп(х, з) = 0. Тогда, очевидно,
ь
Kn+i(x, з) = J К(х, t)Kn(t, s)dt HS 0.
В то же время /i j-l = 2m | 2 есть четный номер, и по дока-
занному Кп+^х, s)^O. Теорема доказана.
2. Разложение повторного ядра по собственным функциям.
Равенство (4.11) говорит о том, что Кп(х, s) как функция х
представима через ядро К(х, s), а роль h(t) играет s)
как функция t. Поэтому по теореме 4.1 для Кп(х, з) спра-
ведливо представление (4.3), которое запишем в виде
Кп(х> з) = 2
1=1
ь
J ад. s)yt(t)dt
а
yt(x).
(4.12)
50
Рассмотрим выражение для коэффициента Фурье, т. е,
ь
выражение J Kn(t, s) У<(0 dt. Имеем Уг =	\ А^Ау^ —
а
Ь
= tfA2yt = . . . = №Anyt. Это означает, что j" Kn{t, s)yi(t)dt=
а
—	. Подставляя в (4.12), приходим к окончательной
форме разложения
КП(Л, s) :: : V
’ о п
i=i К1
(4.13)
Теорема 4.4. При п>2 справедливо разложение (4.13),
причем ряд сходится абсолютно и равномерно по совокупности
аргументов.
Доказательство. Абсолютная сходимость ряда (4.13)
и его равномерная сходимость по каждому аргументу, если
другой аргумент фиксирован, следует из теоремы Гильбер-
та—Шмидта. Чтобы доказать равномерную сходимость по1
совокупности аргументов, воспользуемся критерием Коши.
Имеем
Так как п>2, а |Ч|—>оо, то члены ряда
(4.15)
начиная с достаточно большого номера i мажорируются.'
членами ряда
(4.16)
сходящегося в силу уже доказанного к К2(х> х)- Так как
К2(х,х) является непрерывной функцией, а члены ряда
(4.16) неотрицательны, то в силу теоремы Дини [14] ряд
(4.16) сходится равномерно. Следовательно, мажорируемый
им ряд (4.15) также сходится равномерно. Тогда в силу
5J
необходимости критерия Коши для этого ряда получим,
что для Ve>0 справедливо неравенство

е
для всех х6 [а, £>], если только p)>N(s), т)>0 . Теперь из
(4.14) будем иметь V ДИД1 1уИ8)1 s ПрИ р>/у(е), т>0,
|Х;|"
х€[а, Ь], $Е[а, Ь\, а это значит, что ряд (4.13) сходится
абсолютно и равномерно по совокупности аргументов. Тео-
рема доказана.
§12.
ТЕОРЕМА МЕРСЕРА
Разложение Фурье типа (4.13) можно формально напи-
сать и для самого К(х, s)
К{х, s)х У шде.	(4.17)
;«= 1	1
Но поскольку К(х, s), вообще говоря, не является предста-
вимой через симметричное ядро функцией, то вопрос о
сходимости ряда (4.17) к К (х, s) остается открытым.
Ответ на этот вопрос дает теорема, называемая теоре-
мой Мерсера.
Определение. Ядро К(х, s) называется положительно-опре-
деленным, если все его собственные значения Xt удовлетворяют
неравенству \ > 0.
Теорема 4.5 (теорема Мерсера). Для положительно-опре-
деленного ядра Д(х, s) справедливо равенство (4.17), причем
ряд сходится абсолютно и равномерно по совокупности аргу-
ментов, при х(Да, b], sg[a, Ь].
Доказательство основано на нескольких леммах.
Лемма 4.1. Пусть р(х) — любая непрерывная на [а, Ь] функ-
ция, а К(х, s) — положительно-определенное ядро. Тогда спра-
ведливо неравенство
ь ь
I — J J К(х, s)p(x)p{s)dxds > 0.	(4.18)
а а
b	b
Доказательство. Запишем 1 в виде 1 — ^p(x)dx^K(x,
а	а
b
s)p(s)ds. Величина СК(х, s)p(s)ds является, очевидно, функ-
52
цией, представимой через ядро К(гг, $). Следовательно, по
теореме Гильберта—Шмидта справедливо равенство
Ь	со
|\( х, s)p(s)ds = V 1/М	(4.19)
I	jSSBl	Л*
J	i= 1	1
а
причем ряд сходится абсолютно и равномерно. Умножая
равенство (4.19) на р(х) и интегрируя (справа можно инте-
грировать почленно в силу равномерной сходимости ряда),
получим I -- Y — , где правая часть, очевидно, неотрица-
7~л
тельна. Таким образом, 7>0. Лемма доказана.
Лемма 4.2. Если К(х, s)—положительно-определенное яд-
ро, то К(х, х) ^0 при а<х<Ь.
Доказательство проведем от противного. Пусть
К(х0, жп)<С 0, где а < х0 < Ь. В силу непрерывности К(х, s)
найдется окрестность точки (х0, х0), задаваемая неравенства-
ми х0 — 6 х <1 х04- 6, х0 — 6 s х0 -j- 6, в которой К(х, s) < 0.
Пусть р(х)’— непрерывная функция вида
= | Р<№ > 0	(л'о - 3 < х < хо -I- s)>
(0	(а Д х'"С х0 — о, х0 | б х ДД).
Такая непрерывная функция, очевидно, существует, и^для
нее I — j p{x)dx j К\х, s)p(s)ds < 0, что противоречит ут-
л’о-б	Xq 5
верждению леммы^4.1. Мы доказали, что К(х0, х0)>0 при
хоб(а, Ь). Соотношение /С(х0, х0)>0 остается выполненным
при х0 = а и х0 = b в силу непрерывности функции К(х, х).
Лемма доказана.
Лемма 4.3. Пусть ряд справа b (4.17) сходится равномер-
но относительно одного из переменных (для определенности
относительно s), а другое переменное (для определенности х)
фиксировано. Тогда равенство (4.17) справедливо.
Доказательство. Рассмотрим выражение
j /<(х, s)— 2 yi(x)yi(s} а _	1=1 - 2 J К(х, s) f У{(Х}У^} 'j ds а	\	1	/ Л !/?(х) = К2(Г, х)-22^ + 2 (=1 Ki	i=.	ds = j №(x, s)ds — a b f n	\	2 j / 2	।	_ a \Z=1	‘	/ УЛ )=к^,х) 2^'V- 1	1=1	Az
53
Перейдем теперь к пределу в полученном равенстве
р Г	гл/ х vn	'Ji(x)l/i(s) 1 , г/ , х	•Д У2;(х)
J	К(х, S)	- 2	ds	= Kt(x,	х) —	2 -4-	.
Z7	/-<	’	I	/—1
В силу (4.13) справа получим нуль. Слева же предельный
переход совершим под знаком интеграла (что возможно в
силу равномерной сходимости относительно s [14]). Тогда
получим
Ъ	со	'2
f К(х, s)- V yi(x)!/i(s)- ds -- О,
J	. . Т
откуда следует справедливость равенства (4.17).
°° У?(х)
Лемма 4.4. Ряд Y --------
сходится, причем
2
/=1
У2(х)
к
К(х, х).
(4 20)
Доказательство. В силу следствия теоремы 4.3 вы-
ражение
К<п+'Цх, s) = К(х, «) — 2 i(S)	(4.21)
<=i
представляет собой ядро, имеющее те же собственные зна-
чения, что и К(х, s), за исключением . . . , Хл. Таким
образом, (х, s) также положительно-определенное яд-
ро. Тогда в силу леммы 4.2 имеем K{n+V(x, х) > 0, т. е.
2 -^<К(х, X),
1=1	1
другими словами, частичная сумма ряда в (4.20) ограничена
сверху. Так как члены этого ряда неотрицательны, то он
сходится и выполнено неравенство (4.20). Лемма доказана.
Обратимся теперь непосредственно к доказательству
теоремы Мерсера. Имеем
^|/ Xi V ёп
В силу леммы
/((S, s)<K =
54
= sup | K($, s)|. В силу критерия Коши для сходящегося
ряда слева в (4.20)
У2^ е*
Z-n Xi К
при п> N(x, г), Vp > 0. Таким образом,
|i/iWI 1уi(s)l _
М	°
1 = П
при n>N(x, е), УрД>0, Vs g [а, й], а это означает, что ряд в
(4.17) сходится равномерно относительно s при фиксирован-
ном х. Следовательно, равенство (4.17) обеспечено леммой
4.3.
Остается доказать равномерную сходимость ряда в (4.17)
по совокупности аргументов. В силу равенства (4.17), кото-
рое теперь доказано, в (4.20) также имеем равенство
V ----= К(х, х), а отсюда в силу теоремы Дини [14] де-
i= 1 г
лаем заключение о равномерной сходимости этого ряда от-
носительно х. Дальнейшие рассуждения в точности совпа-
дают с приведенными в теореме 4.4 для доказательства
равномерной сходимости ряда (4.13) по совокупности аргу-
ментов. Теорема доказана.
Замечание. Теорема Мерсера остается справедливой,
если наряду с положительными имеет конечное число от-
рицательных собственных значений. Действительно, в этом
случае, начиная с некоторого номера, собственные значения
X„+i, Хп+2, . . . положительны. Тогда (х, s) (см. (4.21))
является положительно-определенным ядром, и по теоре-
оо
ме Мерсера К<"+|>(а:, s)~ Y	t причем ряд сходится
Xi
,=,^-1 1
.абсолютно и равномерно относительно х и $. Пользуясь те-
перь (4.21), получим то, что требуется.
§ 13.
ОСЛАБЛЕНИЕ ТРЕБОВАНИИ НА ЯДРО
До сих пор мы рассматривали уравнения, в которых яд-
ро предполагалось действительным, непрерывным и сим-
метричным, а х и s были координатами точки на прямой.
•Однако многие задачи математической физики приводят к
уравнениям с ядрами, не обладающими указанными свойст-
вами, а в качестве переменных фигурируют координаты то-
чек пространства (см. §2). Поэтому уточним, какие из на-
ложенных требований существенны, а какие взяты ради
простоты изложения.
55
1.	То, что ядро действительно не является существен-
ным. Часто рассматриваются интегральные уравнения с ком-
плексными ядрами. Ядро х) (* означает комплексно
сопряженную величину) называется эрмитово сопряженным
ядру К(х, s). Если K*(s, х)=К(х, s), то ядро называется
эрмитовым.
Можно развить абстрактную теорию операторов в комп-
лексном линейном пространстве и получить для интеграль-
ных уравнений с эрмитовыми ядрами теорему существова-
ния собственных значений, аналогичную полученной в
гл. 2. Можно также повторить с некоторыми видоизмене-
ниями рассуждения, проведенные в гл. 3 и 4, используя в
качестве скалярного произведения (ф, ф) величину
ь
J ^(x)^*(x)dx, и получить аналогичные результаты. Отличие
а
состоит лишь в том, что разложения в ряды будут со-
держать функции, комплексно сопряженные к собствен-
ным. Например, разложение в ряд для повторного ядра
°° уМ г/п(£)
Km(x, s) имеет вид Кт(х, s) = V -------- . Остальные ре-
п= 1	Лл
зультаты, включая доказательство действительности X, ос-
таются в силе [1].
2.	Все полученные результаты устанавливаются совер-
шенно аналогично в случае, когда в интегральном уравне-
нии интегралы являются многократными, а вместо х н s
фигурируют координаты точек пространства.
3.	Требование непрерывности ядра можно ослабить [1].
А именно результаты, относящиеся к существованию собствен-
ных значений, останутся справедливыми и для полярных ядер,
т. е. ядер, представимых в виде
К(х, s) = Ф(х,5)- ,	(4.22)
|х-«Г
где Ф(х, s) — непрерывная функция, а а — число, меньшее
размерности п пространства х. Например, в одномерном
случае а<1, а в трехмерном (когда х — совокупность коор-
динат точки в трехмерном пространстве) а<^3. Под |х—s| в
последнем случае следует понимать расстояние между точ-
ками X И S.
Если ядро имеет вид (4.22) и а < п/2, то оно называется
слабополярным. Можно показать, что теорема Гильберта-
Шмидта и следствия из нее остаются в силе для слабопо-
лярных эрмитовых ядер.
4.	Требование симметрии или эрмитовости ядра при до-
казательстве существования собственных значений снять
нельзя. У несимметричного ядра может не существовать
собственных значений (см., например, уравнение (3.25)).
Глава 5
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
(ЗАДАЧА ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ)
§ 14.
ЗАДАЧА О КОЛЕБАНИЯХ СТРУНЫ
Чтобы пояснить постановку задачи на собственные зна-
чения, рассмотрим характерный физический пример—задачу
о поперечных колебаниях струны [27]
<>(x)iltt = kuss, О х <Г1, t >0,	(5.1)
ы(0, t) - 0, w(Z, I) =-- 0,	(5.2)
u(x, 0)--u°(x), ut(x, 0) — v°{x).	(5.3)
Считаем плотность материала струны р(х)>0, а и°(х) и н°(х)—
дважды непрерывно дифференцируемыми функциями, рав-
ными нулю при х=0 и х—1. Величина k является парамет-
ром и представляет собой абсолютную величину силы натя-
жения покоящейся струны.
Будем сначала искать частное решение уравнения (5.1),
удовлетворяющее только краевым условиям (5.2). Попы-
таемся найти его в виде и(х, t) — X(x)T(t). Подставляя ре-
шение в таком виде в (5.1), получим ьХТ" — кХ"Т, откуда
—— = . Левая часть этого равенства зависит толь-
kT(t) p(.v)A'(x)
ко от t, а правая- • только от х. Равенство может быть вы-
полнено при всех значениях t и х лишь в случае, когда
обе его части равны константе:
ГУО х-М =
 kT(t)	?(х)Х(х)
где X — некоторая пока неизвестная постоянная. Отсюда
Х"(х) Хр(х)А(х) = 0.	(5.5а)
Из условий (4.2) находим Ar(0)7’(Z) = 0 и X(l)T(t) = 0. По-
скольку нас интересуют нетривиальные решения и T(t) ф 0,
то
Х(0) = 0, X(Z) = 0.	(5.56)
Итак, для функции Х(х) мы получили краевую задачу
(5.5), состоящую из уравнения (5.5а) и условий (5.56). В
57
этой задаче требуется определить значения X, при которых
имеются нетривиальные решения Х(х), а также определить
-сами эти решения. Числа X называются собственными зна-
чениями, а Х(х)— собственными функциями задачи (5.5).
Задача (5.5) является частным случаем так называемой за-
дачи Штурма—Лиувилля, более общая постановка которой
будет рассмотрена в § 15.
Решение уравнения (5.5а), а следовательно, и всей зада-
чи (5.5) не может быть найдено элементарным образом.
Как оказывается, теория интегральных уравнений дает воз-
можность доказать существование решения задачи (5.5) и
установить те свойства собственных значений и собствен-
ных функций, которые позволяют довести решение исход-
ной задачи (5.1)—(5.3) о колебаниях струны до конца. Что-
бы понять, что это за свойства, рассмотрим задачу (5.1)—•
{5.3) в простейшем случае р = const, когда она решается
элементарно.
Итак, пусть р = const. Нетрудно видеть, что при Х<0
нетривиального решения задачи (5.5) не существует. Дейст-
вительно, если /.ДО, то Х(х) = Ае~^^рх Д Be^lUpx. Из ус-
ловия Х(0) _ 0 получим В -—А. Условие Х(1) = 0 дает
Х(1) -- 25 sh ]/|Х|р I: _ 0, откуда В А и, следовательно, Х(х)=
= 0. Если же Х^О, то Х(х)=ах \-Ь, А'(0) —Ь=0, X(l) = al- -0.
Следовательно, а-- 0 и Х(х) = 0.
Рассмотрим случай ХД>0. Тогда Х(х) — A cos |//.рхД
В sin |/Хр х. Кривые условия (5.56) дают А(0) Л 0, Х(1) =
= В sin ]УХр I: : 0. Условие 5¥=0, обеспечивающее нетривиаль-
ность Х(х), приводит к требованию sin {Ду/ О, откуда по-
лучим последовательность собственных значений ]/XnpZ = тт
или Хп=:(—\	. Соответствующие собственные функции
V / р
-имеют вид Хпх) Вп sin™ х, где постоянная Вп остается не-
определенной. Заметим, что п 0 дает тривиальное реше-
ние, а отрицательные п дают собственные функции, отли-
чающиеся от полученных только знаком, и новых собствен-
ных функций, линейно независимых от построенных, значе-
ния п < 0 не дают.
Каждому Хл отвечает согласно (5.4) следующее уравнение
для|Г(<) (Т тоже получает тем самым индекс п): T’n-\-k\nTn^
~ 0. Отсюда
T„{t) - Cn cos — at A-Dnsm—at, a = 1 / — .
58
(Заметим, что величина kln имеет смысл квадрата частоты
собственных колебаний струны.) Тем самым мы получаем
последовательность решений уравнения (5.1).
t/n(x, t) =~ Тп Хп = ( Сп cos у at Dn sin ™ ай sin у x
(постоянные CnBn и DnBn вновь обозначим через Cn и Dn).
Попытаемся удовлетворить начальным условиям (5.3),
разыскивая решение уравнения (5.1) в виде
и(х, t) Un(.X, 0— 2 f ^nCOS —Л Т
п=\	Н=1 \
, r-v . Т.П ,\	. Ttn
4-АЛ. sin— at sin — х.
I ] l
(5.6)
Краевые условия (5.2) при этом будут удовлетворены, так
как каждое ип(х, i) им удовлетворяет. Решение задачи
(5.1)—(5.3) в такой форме имеет смысл разложения функ-
ции, описывающей колебания струны, по системе стоячих
волн. Подставляя (5.6) в (5.3), получим
. Т.П
sin— X,
I
ОО
л/ \	КП г\ . ТП
VQ(x) “ 7 А а “ &п sln “ х-
п=1
Написанные равенства представляют собой разложения
и°(х) и и°(х) в ряд Фурье по sinyx. Пользуясь теорией
тригонометрических рядов Фурье [14], можно определить
Сп и Dn
Сп = у J и°(х) sin у xdx,
о
i
у aDn = J* v°(x) sin у xdx.
о
Построение решения задачи (5.1)—(5.3) при р = const закон-
чено.
59
Замечание. Задача о колебаниях струны рассматри-
вается лишь для пояснения постановки задачи Штурма —
Лиувилля. Поэтому здесь и ниже мы пе будем останавли-
ваться на обосновании полученного решения задачи (5.6) в
виде ряда, т. е. исследовать сходимость ряда и возмож-
ность его почленного дифференцирования по х и t, отсылая
интересующихся к [27].
Проанализируем процесс построения решения (5.6). Он
основан, во-первых, на существовании бесконечной после-
довательности положительных значений К и соответствую-
щей последовательности ортогональных между собой собст-
венных функций задачи (5.5); во-вторых, на возможности
разложения начальных условий и°(х) и у°(х) по этим собст-
венным функциям. Если доказать, что отмеченные свойства
задачи (5.5) сохраняются при произвольном р(х)>0, то ре-
шение задачи (5.1) —(5.3) о колебаниях струны может быть
построено тем же методом, что и в случае р = const.
В следующем параграфе мы изучим задачу Штурма —
Лиувилля в более общем виде, чем (5.5), и установим свой-
ства ее собственных значений и собственных функций. Поль-
зуясь этими свойствами, мы в конце § 15 вернемся к задаче
(5.1)—(5.3) и построим ее решение при произвольном р(х);>0.
§ 15.
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ
ПУТЕМ СВЕДЕНИЯ К ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ
ФРЕДГОЛЬМА ВТОРОГО РОДА
1. Сведение к интегральному уравнению. Сформулируем
задачу Штурма—Лиувилля в следующей постановке, охва-
тывающей случай, рассмотренный в § 14:
( Ци] + 1.р(л)и = 0,	(5.7а)
| ц(а)=0	и(Ь)=0.	(5.76)
Здесь X — параметр, a L[u] = — (р(х)—q(x)u. Функция
dx I dx I
р(х) предполагается непрерывно дифференцируемой на [а,4>],
функции q(x), р(х) — непрерывными. Кроме того, будем счи-
тать, что р(х))>0, р(я)>0, q(x)^0.
Определение. Значения параметра X, при которых сущест-
вует нетривиальное решение задачи (5.7), называются собст-
венными значениями задачи Штурма — Лиувилля, а сами не-
тривиальные решения называются собственными функциями
задачи Штурма — Лиувилля.
Замечание. Краевые условия могут иметь и более
сложный вид |25], но мы ограничимся рассмотрением крае-
вых условий (5.76).
60
Лемма 5.1. При р(х)>0 и q(x)^O отличное от константы
решение уравнения Ци]=О не может достигать положительно-
го максимального значения или отрицательного минимального
значения во внутренних точках отрезка [а, &].
Доказательство. Пусть решение уравнения L[u] — О
достигает в некоторой внутренней точке х0 максимального
на [а, Ь] значения и(х0) = М >0. Обозначим через {х} сово-
купность тех точек интервала [а, Ь\, где и(х) = М. Посколь-
ку и(х) -ф const, то найдется точка хъ которая будет являть-
ся внутренней для [а, Ь| и граничной для множества {л}.
Для определенности будем считать, что х0 -^ Xi<^b. В точ-
ках множества (х| выполнено и'(х) — 0. По непрерывности
это соотношение остается справедливым и в точке хг. Да-
лее, в силу непрерывности и'(х) найдется е-полуокрестность
точки A*t такая, что при xt ххг г = х2 Ь имеет место
неравенство 0<'«(х)<7И и выполнено «'(ХаКО. Интегриру-
ем соотношение L[u] = 0 на участке от Xi до х2, учитывая,
что u'(xi) = 0. Получаем о(х2)и'(х2)—	<?(£)и(£)с(£ = 0. Это ра-
Xt
венство невозможно, поскольку р(х2)и'(х2Х 0, a j	>0 ,
Полученное противоречие доказывает, что решение урав-
нения Z[u]=0 не может достигать во внутренних точках по-
ложительного максимального значения. Аналогично доказы-
вается утверждение леммы о минимальном значении.
Замечание. Если решение некоторой задачи не может
достигать максимального значения во внутренних точках об-
ласти, то говорят, что решение задачи удовлетворяет прин-
ципу максимума. В лемме 5.1 доказано, что решение урав-
нения L[u[ — 0 удовлетворяет принципу максимума.
Лемма 5.2. Задача
и(а) = 0, и(Ь) — 0
имеет единственное решение.
Доказательство. Допустим, что существуют два раз-
личных решения и2(х) и и2(х) задачи (5.8). Пусть z(x)=«=Ui(x)—
— и2(х). Функция г(х).^0 удовлетворяет условиям 2(a) —
= г(Ь) = 0. Отсюда следует, что г(х) достигает либо положи-
тельного максимального значения, либо отрицательного ми-
нимального значения (либо и то и другое) на интервале
(а, Ь). Это противоречит лемме 5.1, поскольку L[z\ — 0. Лем-
ма 5.2 доказана.
61
Из леммы 5.2 следует [25], что решение задачи (5.8) пред-
ставимо в виде
ь
и(х) = J G(x, s)f(s)ds,	(5.9)
а
где G(x, з) — функция Грина. При этом G(x, s) . -G(s, х).
Пользуясь (5.9), можно свести задачу (5.7) к следующему
интегральному уравнению (для этого надо перенести Хри в
правую часть и рассматривать как /):
ь
и(х) = —X J G(x, з) p(s) u(s) ds.	(5.Ю)
а
Ядро полученного интегрального уравнения (5.10) несиммет-
рично.
Преобразуем (5.10), умножив левую и правую части на
Кр(*):
___	ь	___ ____ ____
]/р(д) ц(х) = —X j G(x, з)]Лр(х) ]/р(з) ]/p(s) u(s)ds.
а
Полагая теперь
V р(х) м(х) = у(х),
— G(x, з) ]Лр(х) ]/р(з) = К(х, з),	(5.11)
приходим к следующему интегральному уравнению относи-
тельно у(х) с симметричным ядром
у(х) = Х j 7<(х, s)y(s)ds.	(5.12)
а
Интегральное уравнение (5.12), как видно из самого по-
строения, эквивалентно задаче Штурма—Лиувилля (5.7), т. е.
если и(х) и X — собственная функция и собственное значение
задачи (5.7), то у(х) —'l^p(x) и(х) и X являются собственной
функцией и собственным значением интегрального уравнения
(5.12), и наоборот, если у(х) и X — собственная функция и
собственное значение интегрального уравнения (5.12), то
и(х) =	- и X являются собственной функцией и собствен-
KpW
иым значением задачи (5.7).
Определение. Ядро К(х, s) называется замкнутым, если из
ь
равенства Af = j /((z, s)f(s)ds = O следует, что f(x)=Q.
а
Лемма 5.3. Ядро К(х, s) интегрального уравнения (5.12)
является замкнутым.
62
b
Действительно, пусть J/<(х, s)f(s)ds = 0. Обозначим
а
Ь	___
z(x) = J G(x, s) У p(s) f(s) ds.	(5.13>
a
___	b
Из условия леммы имеем — ]/]>(x)z(x) ~ ( К(х, s)f(s)ds=O, т. е.
а
z(x) = 0. С другой стороны, в силу (5.13) функция z(x) удов-
летворяет уравнению Lz — \/pf, а так как г^=0, то и Lz=0,
а значит, ~Ур(х) f(x) = 0. Отсюда следует /(х)н=0. Лемма до-
казана.
Полученные результаты можно сформулировать в виде
следующей теоремы:
Теорема 5.1. Задача Штурма — Лиувилля (5.7) эквивалент-
на интегральному уравнению (5.12) с симметричным замкну-
тым ядром.
2. Свойства собственных значений и собственных функций
задачи Штурма — Лиувилля. Пользуясь интегральным уравне-
нием (5.12), можно изучить свойства собственных значений и
собственных функций задачи Штурма—-Лиувилля (5.7).
Теорема 5.2. Задача Штурма —Лиувилля (5.7) имеет бес-
конечное число (последовательность) собственных значений.
Доказательство. Существование собственных значе-
ний вытекает из теоремы 3.1. Нужно только убедиться, что
их число не может быть конечным. Для этого достаточно
доказать, что замкнутое ядро имеет бесконечно много собст-
венных значений.
Действительно, допустим, что интегральное уравнение
имеет конечное число собственных значений Х1( . . . , ).р и
им отвечают собственные функции уь . . . , ур. Так как
пространство h[a, 5] бесконечномерно, то найдется у(х) ф 0
и такая, что ylt . . . , ур, у линейно независимы. Можно
считать, что у ортогональна всем у}, . . . , у (если нет, то
можно построить такую у(х) методом ортогонализации). Из
того, что (у, у{) = 0 (/=1, . . . , р), следует, что Ау -- 0-
(теорема 2.12), а тогда в силу замкнутости ядра имеем у = 0
и получаем противоречие. Тем самым теорема 5.2 доказана.
Теорема 5.3. Собственные функции задачи Штурма — Лиу-
вилля (5.7), отвечающие различным собственным значениям,,
удовлетворяют соотношению
ъ
щ(х) щ(х) ?(х) dx — 0	(5.14)
а
(т, е., как принято говорить, щ и щ ортогональны с. весом р).
63-
Функции ut(x) могут быть нормированы с весом р(х), т. е.
для них будет выполнено
ь
«2(x)p(.zjdx -1.	(5.15)
а
Действительно, собственные функции у;(х) интегрального
уравнения (5.12), отвечающие различным собственным значе-
ниям, ортогональны между собой (теорема 3.1). Они могут
быть нормированы на единицу. Отсюда, учитывая первое со-
отношение (5.11), получаем (5.14) и (5.15).
Теорема 5.4. Каждое собственное значение задачи Штур-
ма— Лиувилля (5.7) имеет ранг, равный единице.
Допустим, что ранг собственного значения /. больше еди-
ницы. Тогда существуют по крайней мере две линейно не-
зависимые собственные функции ut(x) и п2(х). Из теории ли-
нейных дифференциальных уравнений [25] следует, что лю-
бое решение уравнения (5.7а) является линейной комбина-
цией и/х) и и2(х), поскольку они образуют фундаменталь-
ную систему решений. Получается, что любое решение
уравнения (5.7а) удовлетворяет (как п и1, u2) условию и(а)-_
=0. Это абсурдно, так как заведомо существует решение
(5.7а), удовлетворяющее, например, условиям и(а) = 1, и'(а)*=
>= 1. Теорема доказана.
Теорема 5.5. Для любого справедливо неравенство
Xn> ml ^>0.
р(-<)
Доказательство. Так как 7^[и„] + k^r^xju,, = 0, то
ь	/>
0 = J u„{T[zZn| +l„'>un}dx = [ иДрип)' dx —
а	а
b	ь
— <]u2ndr +	[ pu^dx.
а	а
Отсюда, учитывая (5.15) и применяя интегрирование по
частям, получим
ь
>п = ^qu*dx— [ип(х)р(х)и^х)\
а
Ъ
+ >
а
f ?^un(x)dx>
J р(х)
64
так как [ ] =0, а интеграл, содержащий и'п, положите-
лен. Отсюда согласно теореме о среднем
ъ
а
=	inf ^>0,
₽(•**)	|я. Ь|р(х)
и теорема 5.5 доказана.
Теорема 5.6 (теорема Стеклова). Пусть f(x)—дважды не-
прерывно дифференцируема, причем f(a)—f(b)—O. Тогда
)(х) разлагается в абсолютно и равномерно на [а, Ь] сходящий-
ся ряд по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля
<5.7):
(5.16)
71—1
Ь
где f„, = f(x)?(x)ua(x)dx.
а
Доказательство. Так как f(x)— дважды непрерыв-
но дифференцируема, то />[/'] =—h(x), где й(х) — непрерыв-
ная функция. Кроме того, f(a) — f\b) = 0. Тогда
ь
'l G(.r, s)h(s)ds.
а
___	b ____ _________
Отсюда следует равенство Kp(x) f(x) «= — ^(a-jOOr, s) jTp(s) X
a
b
X '' '' ds - - I s) ds, означающее, что F(x)
1/рШ у
— f(x) у p(x) представима через ядро (см. §10). Следователь-
но, по теореме 4.1 Гильберта—Шмидта F(x) = V Fnyn(x),
ъ
где y,s(x)— собственные функции ядра К(х, s), Fn = F(x)y
а
'>\И,Ххд‘-'.х, причем ряд сходится абсолютно и равномерно.
Отсюда f(x) = V Fn	F^x) (см. 5.11), где
«5? р(х) п=1
== f f (*) KpW Un(x) 
a
b
f(x)p(x)un(x)dx. Мы получили с точ-
65
ностью до обозначений (Fn вместо fn) представление (5.16),
причем доказали абсолютную и равномерную сходимость
этого ряда. Теорема доказана.
Вернемся теперь к задаче (5.1)—(5.3) о колебаниях стру-
ны и, пользуясь доказанными теоремами, доведем до кон-
ца ее решение.
Рассмотрим задачу (5.5). Здесь Х.„, собственные значения,
существуют и образуют последовательность
О Х2	Хп <С • • • •
Им отвечают собственные функции Х^х), . . . , Хп(х), . . .
Так как Хп_>0, то каждому Хп отвечает решение T„(t) урав-
нения Тп + klnTn = 0 вида 7’n(Z)=C)l cos ]Л^Х,1	sin ]Л^ХП Z.
Решение задачи (5.1)—(5.3) по аналогии с (5.6) ищем в
форме
и(х, о =	= 2 cos +
п= 1	/1=1
+ £>nsin Vk^n t).
Из начальных условий (5.3) имеем
ц°(х) = J СМХ)>
71=4
У»(х)=2 кк ад.
тг«=1
Функции и°(х) и v°(x) удовлетворяют условиям теоремы
Стеклова. Поэтому написанные равенства представляют со-
бой разложения типа (5.16) и, следовательно,
i
Сп j и°(х) р(х) Х:,(х) dx,
о
__ /
Vk'Kn D„ = у V>(x) р(х) Хп(х) dx.
о
Тем самым решение и(х, t) задачи (5.1)—(5.3) построено.
Замечание. Мы рассмотрели случай граничных условий
(5.76). Все доказанные теоремы остаются справедливыми и
для так называемых граничных условий второго рода
и’(а) = 0, и'(Ь) = 0.
(5.17)
66
Единственное различие имеет место в отношении теоре-
мы 5.5 при ^(х)=0. Для краевой задачи (5.76) неравенство,
утверждаемое теоремой 5.5, в случае q(r) = 0 имеет вид
Хп>• 0, п = 1, 2, . . . , так как inf = 0. Но для краевых
условий (5.17) наименьшее собственное значение Хх равно
нулю и ему отвечает собственная функция «х = const, в
чем можно убедиться непосредственно. Неравенство Хп _> 0
имеет место начиная с п =2.
Глава 6
НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
ВТОРОГО РОДА
§ 16.
СЛУЧАЙ СИММЕТРИЧНОГО ЯДРА
Рассмотрим неоднородное уравнение Фредгольма второ-
го рода
(>
.!/(*) — к К(х, s)y(s)ds
а
(6.1)
в котором f(x) является вещественной, непрерывной на
[а, 6| функцией, ядро К(х, s) удовлетворяет условию (3.2),
а а — заданное число. Исследуем вопрос существования ре-
шения уравнения (6.1).
Допустим, что решение существует. Положим g(x) =•=
= ?/(:!) — f(x). Обозначая, как и раньше, оператор Фредголь-
ма с ядром К(х, s) через А, имеем из (6.1):
g -- IAij.
(6-2)
Отсюда видно, что g(x) представима через ядро Д(т, s).
Следовательно, по теореме Гильберта—Шмидта функция
g(x) может быть разложена в ряд g(x) — V gmym(x), где
m== 1
ут{х) — собственные функции ядра К<х, s), a gn — (.К, Ут) —
коэффициенты Фурье (если ядро имеет конечное число
собственных функций, то g(.r) представляется соответствен-
но конечной суммой ряда).
Из (6.2) и (4.4) следует, что gm =	~ х,
— X би-t-gm , где	Таким образом, если решение
03
у(.т) существует, то т/(х) = f(.r) 4- Агтг/т(.Д, где gm опре*
т==1
деляется соотношением
g>n-Wm
(6.3)
68
Возможны два случая:
1.	т. е. параметр X не совпадает ни с одним соб-
ственным значением ядра ЯД*, я). В этом случае из (6.3)
получаем gm = и
^/П Л
со
y(x) = f(r) +х22-т^-.	(6.4)
''/Л-
Убедимся, что в случае, когда ядро К(х, s) не вырожде-
но и, следовательно, собственных функций бесконечно мно-
г®, ряд
Л»Дт(Д
(6.5)
сходится равномерно. Действительно, в этом случае со-
гласно теореме 3.1 имеем lim |Хот|=оо. Следовательно, при
т-^оо
достаточно больших т справедливо
1	_2_
1ХШ - Х| 41Х,„| '
(6.6)
В силу теоремы Гильберта—Шмидта
Ъ	СО
2 I К(х, s) f(s) ds =
v	П2»1
f гпУ mCy)
• 2,
причем ряд сходится равномерно и абсолютно. При доста-
точно больших т в силу (6.6) члены функционального ря-
со
да 2 "V  I^WI являются мажорирующими для членов
1>'т1
т = I
ряда (6.5). Следовательно, ряд (6.5) сходится абсолютно и
равномерно.
Мы получили решение в виде (6.4), предположив, что оно
существует. Поэтому нужно проверить, что выражение
(6.4) действительно является решением, т. е. удовлетворя-
ет (6.1). Для этого подставим (6.4) в уравнение (6.1). В
силу равномерной сходимости ряда (6.5) его можно инте-
грировать почленно. Получим
69
оо
(6.7)
что н требовалось проверить. Таким образом доказано,
что решение уравнения (6.1) существует и определяется
выражением (6.4).
Убедимся, что решение единственно. Действительно,
пусть имеются два решения уравнения (6.1) и у(х)— их раз-
ность. Тогда у(х) удовлетворяет однородному уравнению
у =1Ау. По предположению X не совпадает ни с одним
собственным значением ядра К(х, s), а тогда однородное
уравнение имеет лишь тривиальное решение. Отсюда у(х)~
= 0, а значит, решение (6.1) единственно.
Представим у(х), пользуясь (6.7), в виде
оо
fтУт j у2	fтУ т	f
оо
у(^)	^5
ГП»»1
Й	со
+ (’ К(Х, s) f(s) ds + X2 V	.
J	^Xm(Xm-X)
a
b
Подставляя сюда (/, ym) = J f(s')ym(s)ds и переставляя сумми-
a
рование и интегрирование, получим
Перестановка суммирования и интегрирования допустима в
Ч mkxSy „(s'}
силу равномерной сходимости ряда >  т- , следую-
щей из абсолютной и равномерной сходимости ряда
2 !/т(х~)!/т<Д __ s)t доказанной выше (теорема 3.4), и
т=1
(6.6).
79
В результате получаем, что решение уравнения (6.1) да-
ется выражением
г/(х) = f(x) 4- X J R(x, s, l)f(s)ds,	(6.8)
где
oo
W. s, X) = K(.Z, S) + X У	.	(6.9)
,Tl l',n
Если решение интегрального уравнения представимо
формулой типа (6.8), то в этой формуле R(x, s, X) называ-
ется резольвентой ядра К(.т, s). В рассматриваемом случае
резольвента выражается рядом (6.9).
2. Рассмотрим случай X = Хп, т. е. параметр X в уравне-
нии (6.1) равен некоторому собственному значению ядра
/<(.х, s). Пусть уа, . . . , у„ —собственные функции ядра,
соответствующие Хп (ранг Х„ равен р).
Допустим, что решение уравнения (6.1) существует.
Тогда приходим к соотношению (6.3) так же, как в случае 1.
Если хотя бы один из коэффициентов Д. ^0 (г = 1,...,р),
то (6.3) при m -- nt противоречиво, следовательно, пред-
положение о существовании решения с исходного уравне-
ния (6.1) ошибочно.
Пусть все f„. = (f, уп.) — 0 для i = 1, ...,/>. Тогда из
(6.3) получаем, что значения коэффициентов gn. не опреде-
лены, а остальные gm определяются однозначно. Следова-
тельно, если решение существует, то оно имеет вид
Р	со
?/W-/(x) + Усл. + хУ-^4>1	(6.10)
Z=1	m = l
........................................Пр
где Ct — некоторые константы.
Аналогично тому, как это было сделано в случае 1,
можно проверить, что сумма
ОС
у(х). Д(х)+Х
кщ — к
1И = 1
т-л‘...............пр
двух слагаемых правой части (6.10) удовлетворяет неодно-
родному уравнению (6.1). Так как при любых Сг сумма
р
2 удовлетворяет однородному уравнению (6.1), то все
i=\
выражение (6.10) удовлетворяет неоднородному уравнению
(6.1).
71
Нетрудно убедиться, что любое решение уравнения (6.1)
представимо в форме (6.10). Действительно, пусть у(х)—
произвольное решение уравнения (6.1). Тогда разность у(х) —
— У(х) удовлетворяет однородному уравнению (6.1), а любое
решение однородного уравнения является собственной
функцией ядра К(х, s), отвечающей данному значению X, и
следовательно, является линейной комбинацией	-
'	‘'Лд'	н р
_	Р
Отсюда следует, что у(х) - - у( х) 4-2
/=1
Полученные результаты сформулируем в виде теоремы:
Теорема 6.1. Пусть ядро К(х, s) удовлетворяет-требованиям
(3.2). Тогда если Л не совпадает ни с одним собственным зна-
чением ядра К(х, s), то решение интегрального уравнения су-
ществует, единственно и представимо в виде (6.4) или (6.8).
Если 'К = 'Кп, где Хп — некоторое собственное значение ядра-
К(х, s) и функция f (x) ортогональна всем собственным функ-
циям, соответствующим Хп, то решение уравнения (6.1) сущест-
вует, не является единственным и представимо в виде (6.10).
Если же К = 'кп. и f(x) не ортогональна хотя бы одной собст-
венной функции «/„. (х), то решения не существует.
Пример 1. Рассмотрим уравнение
Я
у(х) = X j sin (х 4- s)y(s)ds sinx — cos,г.	(6.11>
о
Исследуем решение при различных X. Из (6.11) следует, что-
я
у(х) — X (sin х cos s + cosx sin s)y(s)ds + sinx — cost =
b
= sin x
X j cos sy(s)ds 4~ 1
b
cos X
1Z
X sin sy(s)ds— 1
b
= A sinx 4- В cosx,
(6.12>
где А и В—некоторые- коэффициенты. Подставляя (6.12) в>
(6.11), имеем
Я
A sin х 4- В cos х — X J sin (х 4- s)[ A sin s 4* В cos s]ds 4-
b
4-sinx — cosx = sinx ,X cosз(Л sin s-\-B cos s)ds4-l 4-
. 0
4~ cos x
— sinx X
X j sin з(Л sins  В cos s)ds— 1
b
72
Приравнивая коэффициенты при sinx и cosx, получаем'
систему алгебраических уравнений
’ а-В1-_ 1,
2
В - Я X- -1.
2
(6.13>
Обратимся к однородному уравнению (6.11). Ему соот-
ветствует однородная система (6.13). Приравнивая в этом-
случае определитель системы уравнений (6.13) нулю, т. е.
полагая
2
О, находим собственные значения.
Х1ф2— ±— . Им соответствуют решение А = ± В однород-
ной системы (6.13) и следующие собственные функции од-
нородного уравнения (6.11): У1,2(х) =--=---. Множитель-
~\/~ тс
—!—выбран из условия нормировки собственных функций
У'т.
Л
на единицу: \ (у^УМх = 1.
о
Вернемся к неоднородному уравнению (6.11).
1.	При X =/= + 2/тс из (6.13) находим А — (1 -p.ir/2)-1, В = —А>
и решение у(х)	Таким образом проиллюстри-
1 +Хтс/2
ровано первое утверждение теоремы 6.1: при Х=а±2/тг ре-
шение уравнения (6.11) существует и единственно.
2.	Пусть X—2/?г. Тогда из (6.13) получаем В = А— 1. При-
этом у(х) = A sinx -f- (Л—l)cosx, где А—произвольная кон-
станта. Таким образом, решение уравнения (6.11) существу-
ет, но не единственно. Собственному значению X! = 2/- яд-
ра К(х, s) = sin(х I s) соответствует собственная функция'
ух(х) = --------. Нетрудно проверить, что выполнено ус-
ловие \ f(x)yl(x)dx - Г (sin ж — cos а) ,чп х хdx — Q. Этим*
о	о	V к
иллюстрируется второе утверждение теоремы 6.1.
3.	Пусть X--— 2/к. Тогда система уравнений (6.13) несов-
местна. Решения у интегрального уравнения (6.11) нет. Соб-
ственному значению Х2 = —2/~ соответствует собственная
73'
«функция Уг(^)- S~~—^°S Х • Легко видеть, что в рассматри-
ваемом случае не выполнено необходимое условие суще-
ствования решения уравнения (6.11), поскольку
( /(.'/(/гСО dx = j (sin х— cos x)	—S°.LX dx ~~ 2 j/ тг ¥= 0.
о	6	7t
Этим иллюстрируется третье утверждение теоремы 6.1.
Пример 2. Рассмотрим интегральное уравнение
1
у(х) Л. ^(14- xs) y(s) ds -|- ах2 ф- bx d.
-!
Исследуем его решение при различных значениях парамет-
ров л, a, b, d.
Сначала найдем собственные функции соответствующего
однородного уравнения. Ищем решение однородного урав-
нения в виде y—Fx-\ D. Подставляя у в такой форме в од-
нородное уравнение, имеем
Fx | D - X Г (1 -|- xs)(Fs + D)ds = — \Fx
_i	3
•Отсюда X1==l/2, y1(x)=D-, X2;--3/2, y2(x)=Fx.
Вернемся к неоднородному уравнению. При Х¥= 1/2 и
X =0=3/2 ищем его решение в виде у ах2-{-С1х-\-С2. Подстав-
ляя у в такой форме в уравнение и приравнивая члены с
одинаковыми степенями х, находим значения CL и С2. По-
лучаем
„ .	36	. 3rf+2Xa
- в.Х“ - --X ------!-- .
3-2Х	3(1—2Х)
При Х---1/2 согласно теореме 6.1 решение существует
лишь при условии
1 1
j [(х)У1(х)йх - - j (ах2 | bx + d) D dx = 0,
।	-i	-i
3
т. e. при a J 3d 0. В этом случае y(x) -ax2-] — bx С, где
'C—произвольная константа.
При л З/2 решение существует лишь при условии

j (ах2 + Ьх d)Fx dx 0,
—1
т, е. при b- О. В этом случае у(х) ала (-Сл—.
-.74
§ 17.
СЛУЧАИ «МАЛОГО» X
Пусть К(х, з) и f(x)— произвольные непрерывные при
ж, sg [а, Ь] функции. Симметрии К(х, s) не требуем. Обозна-
чим sup |/<(х, s)| — К-
а<х<Ь
(ККЬ
1. Теорема существования и единственности. Имеет место
следующая
Теорема 6.2. Если |Х| < —-?— , то решение уравнения
К(а—Ь)
(6.1) существует и единственно. Решение может быть найдено
как, предел равномерно сходящейся последовательности прибли-
жений ffn(x), определяемых рекуррентным соотношением
~	+ /,	(6.14)
где <$о(х)—произвольная непрерывная функция.
Доказательство. Используем принцип сжатых ото-
бражений. Рассмотрим полное .метрическое пространство
•С1а, Ь] непрерывных на [а, функций, где о(ф_, фь) —
— SHP |ф„г(х) — срдх)| (см. [25]).
I«. &I
Рассмотрим оператор
ь
Z Лф X [ К(х, з) ф(з) ds -4- /(х).	(6.15)
а
Если ф(х) непрерывна, то и г(л-) непрерывная функция. Сле-
довательно, оператор L отображает элементы пространства
‘С[а, &] снова в элементы С[а, &]. Кроме того,
ъ
X [ /<(х, $)(фт(Д — Фл(«))^
а
|Афот - ЛфА]
< |Х| K(b - a) sup |фт(х) - фДх)|.
[«. 61
'Отсюда
LVk) - SUP |M>m—ЬфяКар(ф/л, фь),
1«, б.
тде а = |Х|К(Ь—а). Из условий теоремы следует, что а<1
м тем самым оператор L сжимающий.
Таким образом выполнены все условия, при которых
имеет место принцип сжатых отображений. Согласно этому
принципу оператор L имеет единственную неподвижную
точку, которая может быть найдена как предел сходящей-
ся по метрике пространства С[а, &] последовательности
приближений, определяемых соотношением (6.14). Непод-
75
вижная точка оператора L, как видно из (6.15), совпадает
с решением интегрального уравнения (6.1). Следовательно,
решение (6.1) существует и единственно. Наконец, после-
довательность приближений (6.14) сходится равномерно от-
носительно й], поскольку сходимость в метрике про-
странства С\а, Ь\ означает равномерную сходимость.
Замечание. Если ядро К имеет собственные значения,
то	—-—. Действительно, допустим противное. Тогда
К(Ь—а)
п । . 1
при некотором /Л таком, что |Д| < —-----, существует не-
К(Ъ—а)
тривиальное решение уравнения y=AkAy. С другой стороны,.
y(x)=Q очевидно также удовлетворяет этому уравнению.
Тем самым приходим к противоречию с доказанной в тео-
реме 6.2 единственностью решения. Противоречие доказы-
вает справедливость неравенства	—-
К(Ь—а)
2. Резольвента. Построим выражение для резольвенты ядра>
К(х, з) в рассматриваемого случае. Положим <?0=/. Тогда из.
(6.14) имеем
Ф1=М/-|Д,
ф2 :::: М(М/ + /)+/ лМД + аЛ/Д/,
<Рп =2	+
m=i
(6.16>
ъ
Согласно (4.9) справедливо представление An‘f — К,п(х, s) X
а
X f(s)ds, где Кт(х, з) — повторное ядро иорядка гп (считаем
К Ах, s) = K(x, s)).
Имеем последовательность оценок
ь
sup\Km(x, s)|r -sup | \ K(x,	s)d/|<
a
K(b—a) sup |Km_i(x, s)|< . . . <K"'(b—a)m *.
Отсюда ряд	s) равномерно сходится при |X| <_
m—1
—• Это позволяет перейти к пределу при п -> оо в-
К(Ь—а)
76
<(6.16) и поменять местами операции суммирования и инте-
грирования. Получим
сю	со	Ъ
уИ --- f \ 2	= в  2к"' .1 Кп^х’ sV(.s)ds
т = 1	т—1	а
Ъ
f | X R(r, s, l)f(s)ds,	(6.17)
а
г де
со
R(x, s, X) K(z, s) i 2	s)	(6.18)
m ~ 2
— резольвента ядра K(x, «).
Соотношения (6.9) и (6.18) определяют резольвенту соот-
ветственно в случае симметричного ядра и в случае произ-
вольного ядра и „малого11 X. Проверим, что в случае, когда
ядро симметрично, а |Х|<-^-!—, выражения (6.9) и (6.18) эк-
К(Ь-а)
вивалентны.
Действительно, в этом случае согласно (4.13) для т>2
оо
справедливо представление дт(х, з) = > -———, где у^х)—
*» гп
i~! Л/
собственные функции ядра /<(х, з). Подставим Кт (х, s) в этом
виде в (6.18). Учитывая, что |Х| <( —— ---Д Р-д!» имеем
К(1> — </)
= К(х, s) -I-
ею	во	со
+ Х-У'(х)уЛ5) X дг = s) + X
^яадля	ywiwMi	pH	^КНЯ
Z=1	rn—'l	/=1
во
jbsibs K[{ki—Л)
что совпадает с выражением (6.9) для резольвенты, что и
требовалось. Абсолютная и равномерная сходимость полу-
ченного ряда оправдывает проделанную перестановку по-
рядка суммирования по i и т [30].
Итак, доказана следующая
Теорема 6.3. При [Х|	—!—— решение уравнения (6.1)
К(Ь — а)
77
дается формулой (6.17), в которой резольвента R(x, s, к) опре-
деляется как сумма равномерно и абсолютно сходящегося ря-
да (6.18). Если при этом ядро К(х, s) симметрично, то (6.18)
совпадает с (6.9).
Пример. Построить резольвенту для уравнения
у(х) = X [ sin(x— s)y(s)ds | f(x).
О
Имеем
K(xt s) — sin (x— 5); Kz(xt s) = ( sin (x—/) sin (t—s)dl~
0
n
= yj [cos(x+«—2Z)— COS(x— -S‘)]cfZ 3=—у cos(x—s);
0
K3(x, s) — j sin (x — t)
о
— cos (t — s) dt =
у J [sin (x—s) 4- sin (x 4- s—2t)]dt —— у sin(x—s).
0
Очевидно,
V \ 2,n
sin (x — s), a Kim(x, s) =
1 cos (x— s) для m—1, 2, . . . . Получаем R(x, s.
X) = \n~lKn(x, s) = sin (x—s) Г 1 - (у)
\ 4
Хтг\2 , /X:
— X cos (x — s) 1 —
ды, стоящие в квадратных скобках, сходятся и
ют собой геометрические прогрессии. Отсюда
7< i p-
представля-
при |Xj < —
. При
получим
X-
sin (x — s)-— cos (x—s)
R(X, s,\)=--:----------
1+H
78
В данном примере ряд Ъп-'Кп(х, s) сходится при |к|
Л = 1
<Z~f в то время как в теореме 6.3 указана оценка рJ <С
к
.	1	1	~	>11-1
< —------= —. Это говорит о том, что оценка л| << —-------
К(Ь—а) я	А(6-«)
является достаточной, но не является необходимой для
сходимости ряда (6.18).
3.	Обобщение результатов на случай полярных ядер. Напом-
ним, что полярным ядром называется ядро вида
К(х,
lx—s|“
где0<а«<1, а Ф(х, s) — непрерывная функция. Рассмотрим
оператор Фредгольма с полярным ядром
ъ
г(х) = А у = f y(s)ds.
J |X-S|“
Он отображает ограниченные функции у(х) в непрерывные
функции z(x). Действительно, обозначим sup |Ф(х, s)| = II,.
s	акх<Ь
a sup |у(л)| = у0. Тогда
а <х<Ь
Ъ
14*1) — z(-*2)l < ( |Ф(*1. S) — Ф(*2. «)| ~ds +
J	1*2 — «Г
a
ki—s|“
|y(s)|ds< sup |Ф(хъ s) —
a<;s<b
-Ф(хг, s)| 2y°i(&--a)1 Л +	(x^ay-'-lx.-a)'-' --
1 — a	1—a
I Xi—X, \ 1—a '
-I-	- (b-xy-* | 4 -y-Ч -> 0
при ]xx—x2|—>0. Отсюда следует непрерывность функции
s(x).
ъ
Обозначим sup С |К(х, s)|ds -- Р, Тогда
a<x<bJ
а
Ъ
\Ay!-Ayt\ < |У1—у2| J\К(х, s)\ds < P|j/i-y2|.
а
79
Следовательно, оператор z -- кАу -|- f сжимающий, если р.|
Отсюда видно, что теорема 6.2 остается в силе и для
полярных ядер, если условие (>-[ < -77-^------ заменить ус-
К(Ъ — а)
ловием |л|	•
Обратимся к выражению для резольвенты (6.18) в слу-
чае полярного ядра /<(х, .$). Убедимся в том, что повтор-
ные ядра KJx, s) могут иметь особенность лишь до неко-
торого конечного номера п, а ядра более высокого поряд-
ка — непрерывные функции.
Действуем по индукции. Пусть п-е повторное ядро име-
ет вид Кп(х, s) <	, где 0<р< 1, |Ф„(х,	(для
|х-.si3
<п = 1 условия выполнены). Тогда
ъ	ь
Кп+1(Х, «):;= [>(Х, /)/<„(/, S)dt [	(6.19)
J	J lx- |/-sl*
a	a
b
Если a ; P<1, то A'„+i(x, s)^IHIn f-------—-------. Этот
J jx—/|a |t—s|3
a
интеграл, а следовательно, и Kn+i(x, s) — ограниченная ве-
личина при любых х и s.
Если а-{-р>1, то делаем замену переменной £.-s-|-£(x—s).
Обозначаем а1 -- а~- , bx - h~.s. . Тогда из (6.19) полу-
X—S	X — S
чаем	s) = |х — а-]1—“ /Дх, $), где
6,
pix s\ __ x~'s f ф<х »Д(*-»))(М» + Е(* — у) s) df.
k~siJ	и-гдд0
(11
ею
При 7. 3_>1 очевидно |У(.г, s)\<HHnI, где / = Г ------—-------
L11-4,1 ^|3
сходящийся интеграл. При арр=1 выполнено |F(x, s)|<^
bl
I	$)1п!л'—5*|, где g(xt s)—ограниченная
J |1-Ух1М3
(11
I a~1 \
функция. Поскольку 111Z-— О^.г 2 J при z-»0, то |F(x, s)|<
a—t
c\x —- s|2
so
Итак, ядро Кп(х, s) имело особенность О(|х—8| 0). Ядро
Кп+1(х, s) при а+р<1 ограничено, а при а-|~р>1 имеет осо-
бенность более низкого порядка, чем Кп(х, s), а именно в
последнем случае /<n+i(x, s) представимо в виде Kn+i(x, s) =
Ф , ,(х, s)
г-—=1-------, где Фп+1(х, s) — ограниченная функция. По-
(X—s|	2
скольку при повышении индекса повторного ядра на едини-
1—а
цу порядок особенности уоывает не менее чем на ——, то
повторные ядра Кп(х, s), по крайней мере с индексами п >
/ 2.а	, \
>/?„, где па — целая часть числа------1 > —ограничен-
\ “— 1 I
ные функции.
При п^>п0 ядра /Cn4-i(x, s) являются непрерывными функ-
циями. Действительно, выше было показано, что оператор
Фредгольма с полярным ядром переводит ограниченные
функции в непрерывные. Поскольку Кп ограничены, то
/<„+1 АК„ непрерывны при п>п0.
Ряд (6.18) можно разбить на две части. В одну войдет
конечное число слагаемых, которые могут иметь особен-
ность, в другую — бесконечная сумма ограниченных и не-
прерывных повторных ядер: R(x, s, X) R^x, s, Х)-|-У?2(л, s, X),
где
Rt(x, s, X) = 2	8),
л —1
/?2(х, 8, Х)= 2 Лп-'Кп(х,з).
Г1=.10+1
Ограниченные повторные ядра при р|<1/Р связаны соотно-
шением
sup |Х/<„+1(х, s)|
х, s е [а, Ь]
= sup
х. s е i«. ь)
|х t)Kn(t, 8)^| с
а
<|Х|Р sup |/<n(z, s)|< sup	s)|,
x, sG[a. b|	x, sei«, b]
из которого следует равномерная сходимость ряда Т?2. От-
сюда видно, что формулы (6.17), (6.18) остаются в силе и
для полярных ядер при условии |Х|<^ 1/Л*.
4.	Ослабление требований на X. В примере, рассмотренном в
п. 2, была построена резольвеша в виде ряда, который ока-
зался сходящимся при |Х|<2Д, в то время как теорема 6.3
гарантирует сходимость при |Х|< 1/тс. Это наводит на мысль
о том, что требования на X являются в теоремах 6.2 и 6.3
чересчур ограничительными.
В настоящем пункте мы докажем теорему 6.2 при более
слабых ограничениях на X.
81
Пусть К(х, s) и f(x) по-прежнему непрерывные функции’
/" £ '!	j
Обозначим В =	/ I №(*, s)dxds. Заметим, что — >
]/ “ 'а	В
1
~  Имеет место следующая
Теорема 6.4. Утверждение теоремы 6.2 остается в силе при
Х|<1/5.
Доказательство. Выберем произвольную непрерыв-
ную функцию гр0(%). Обозначим ||<р0|| = Со, где норма берется
в пространстве h[a, Ь] (см. § 4), т. е. под || || понимается
величина
ъ
|1//||2 - (1/. у) = [ У2(х) dx.
а
Обозначим С = max
Ml
i—1л|а ’
Со
Рассмотрим последова-
тельность, задаваемую рекуррентным соотношением (6.14):
фл-Н = ХЛфп-1-f.
Пусть фп(х) — непрерывная функция и ||фп|| С. Это име-
ет место при Д---0. Тогда ф,г+|(х) обладает теми же свойст-
вами. Действительно. Непрерывность фп_|_1(.т) очевидна. Для
доказательства того, что ||ф„+1|| С, предварительно оценим
ЦфН-i — /II- Имеем
b / Ъ	у
||фп+1 — /1|2 = IIUcpJl2 = л2 у К(х, s) <pn(s) ds \ 2dx<;
а V. а	/
Ь / b	Ъ	\
X2 И | К2(х, s) ds yp2(s) ds I dx
a \a	a	/
Ъ	b b
--- a2 j ф2(х) ds J №(x, s) dx d s	к2 В 2C2.
a	a a
Отсюда получаем ||фп+1||< Цфл+i — /|| + ||f|l<	+ ll/IK c-
Последнее неравенство выполнено в силу того, что С
Итак, ф„(х) образуют последовательность непрерыв-
ных, ограниченных (равномерно относительно п) по норме
функций.
Из доказательства теоремы 2.6 следует, что оператор А
переводит ограниченную по норме последовательность функ-
ции ф„(х) в последовательность равномерно ограниченных
и равностепенно-непрерывных на [а, Ь] функций zn(x)=Aq>n.
82
Так как f(x) непрерывна на сегменте [а, Ь], то она ограни-
чена на нем и равномерно-непрерывна. Поэтому последова-
тельность <рп+1=ХЛфп \-f—Xzn !-/ также будет равномерно ог-
раниченной и равностепенно-непрерывной.
Итак, последовательность функций фп(х) является равно-
мерно ограниченной и равностепенно-непрерывной. Тогда
по теореме Арцела существует подпоследовательность
фЛ/г(х), равномерно сходящаяся к некоторой непрерывной
функции ф(х). Докажем, что вся последовательность <рп рав-
номерно сходится к <р. Допустим, что это не так. Тогда су-
ществует 8Д>0, подпоследовательность фл^ и такие хл
что \^Пр(хПр) — <р(х„р|>-8. Из последовательности <рл₽ в силу
той же теоремы Арцела можно выделить подпоследова-
тельность, сходящуюся к некоторой непрерывной функции
ф(х). Будем считать <рл такой подпоследовательностью.
Тогда при достаточно большом пт будем иметь |фл (х) —
—ф(х)|<^6/2 для всех 6] и, в частности, |флт(хПт) —
-ф(*лт)| < 5/2. Поэтому|ф(хЛт) — ф(*Лт)| > \чПп1(хПт) — ф(хЛ/л)| —
—|флт(хлт)—ф(хл )| > 8 — 6/2 : 8/2. Отсюда можно заключить,
что sup |ф(х)—ф(х)| > 6/2, т. е. Дх) Дф(х), а следовательно,
Ja, 6]
||ф—ф|| = [Х>0.
Докажем, что фп(х) является фундаментальной последо-
вательностью в смысле сходимости по норме. Действитель-
но,
Ь I Ь	\ 2
||фл+1 — Фп||2 = Н X J	$)(фп(х)—ф^-!^))^ I dx <
а \ а	/
Ъ Ъ	Ъ
X2 j №(х, s) dsdx • j (фп(5)—фл- 1(«))2</»=Х2Д2||фп—
а а	а
- 'Рл-1112 < (Х2Д2)2||фл_! - фп_2||2 < . . . < (Х252)Л||Ф1 -
— Ф0||2 = (X2fi2)”Z)2,
где О||ф1 — Фо1|. Отсюда ||фп+1 — фп|К Q-B)nD. Далее имеем
Цфл4-р Фп|| 1|фл+р флфр-1|| + ||фл+р-1	фп4-р-2|| +
+ . . . + ||Фл+1 - Фп|| <	+ (XB)«+^-2 +
+ , . . +(ХВ)«]<О-в-.
v ’ J	1—xs
83
Из полученного неравенства можно сделать вывод о том,
что для любого е>0 можно указать Мо такое, что ||фп+р —
— <р„|| < е/3, если n^>N0, а р— любое целое число.
Так как Ф„А(х) =>ф(х), a фЛя((*) =*• ф(*)> т0 ПРИ достаточно
больших nk и пт имеем ||ср —	</ е/3, ||ср — <РЛот|| < е/3.
Пусть, кроме того, zzft>/V0 и zzm>ZV0. Тогда ||ф—ф||<||ф—
— Ф«й|| I- ||Фл,£ —	+ ||ФП/Л — Ф„< е> что противоречит соот-
ношению ||ф—ф|| -- [х, при е < [1.
Полученное противоречие доказывает равномерную схо-
димость всей последовательности фп(х) к непрерывной
функции ф(х). Переходя к пределу в (6.14), получаем, что
Ф является решением уравнения (6.1).
Осталось доказать единственность. Пусть ф и ф — два
различных непрерывных решения уравнения (6.1). Тогда
_ Ь I Ь	~	\2
1|ф — ф||2-“ П j s)(cp(s) — ?(«)) ds j dx-'Ц
a \ a	J
b b	b	~
X2j №(x, s) dx ds j (ф(5) — <p(s))2ds<C X252j|<p — ф||.
Поскольку X252<1, получаем ||ф—ф[|_=0 и, следовательно,
теорема доказана.
Вернемся к рассмотренному в п. 2 примеру, в котором
Л 75 К
j j sin2(x— s)dxds =-y. Согласно теореме 6.4 схо-
V 6 “	2
14	1
димость ряда для резольвенты имеет место при |л|^—
9
= —, что совпадает с результатом, полученным в данном
примере непосредственным расчетом.
§ 18.
ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА
Целью этого параграфа является обобщение результа-
тов § 1 на случай произвольного непрерывного ядра.
Интегральные уравнения
У(х) - X J К(х, s) y(s) ds + f(x)
а
(6.20)
84
и
b
z(x) --X* J K*(s, x)z(s)ds -I- g(x)
a
называются союзными, если K*(s, x) — эрмитово сопряжен-
ное по отношению к К(х, s) ядро. При этом сами ядра
К(х, s) и К*($, х) также называют союзными.
Если К(х, .s) и X вещественны, то союзным к уравнению
(6.20) является уравнение
ь
z(x) ~ X J K(s, x)z(s)ds |- g(x).	(6.21)
а
Мы для простоты изложения будем рассматривать слу-
чай вещественных функций /<(х, s), f(x), g(x) и веществен-
ного X. Для комплексных К(х, s) и X могут быть проведе-
ны рассуждения, аналогичные нижеприведенным, и все ре-
зультаты настоящего параграфа остаются справедливыми.
1. Случай вырожденного непрерывного ядра. Вначале рас-
смотрим вопрос разрешимости уравнений (6.20) и (6.21) для
вырожденного ядра, а затем покажем, что все полученные
результаты переносятся также и на невырожденные ядра.
Итак, пусть
К(Х, S) 2 Qm(A>m(S).	(6.22)
m=l
Пусть все функции Qm(x) линейно независимы между со-
бой (этого всегда можно добиться, выразив зависимые функ-
ции через независимые и сократив соответственно число
слагаемых, входящих в сумму (6.22)).
Из (6.20), учитывая (6.22), имеем
у (х) = X J Clm(x) y(s) ds -I- f(x) -
a rn—l
X2 4„(x)C„, ! /(x),	(6.23)
где
(6.24)
a
Умножая (6.23) на о>.;(х) и интегрируя, получим
Ci 2	<6-25>
П1=1
85
где
ь	ь
aim: - шг(*)йт(*Ж di р(х) COj(x) dx. (6.26)
а	а
Интегральное уравнение (6.20) и алгебраическая систе-
ма (6.26) эквивалентны. Действительно, если у(х)— реше-
ние (6.20), то определяемые из (6.2), удовлетворяют
системе уравнений (6.25). Наоборот, пусть С'; определяют-
ся из (6-25). Тогда функция у(х), построенная согласно
(6.23), удовлетворяет уравнению (6.20):
Ъ	п
у(х) — X J Д(х, s)y(s) ds — f(x) X	®МСт —
а	т«=1
Ь п	Г п
-\j‘ 2 ад®т(5) 2 Qds)Ci-\-Ks)
а т=1	]_ z'= 1
ds =
= Х 2 Qm(x)
/П» I
Проделав аналогичные преобразования для решения
z.(x) союзного уравнения (6.21), получаем
п
*(*) = k 2 “mWQm+^W,
m’=»l
(6.27)
где коэффициенты
Qm
b
f Qm(s) z(s) ds
a
удовлетворяют системе
алгебраических уравнений
л
Qi 2 Qm ®mi ’ Ti>
m—1
(6.28)
a
ь
li --- Jg(x)Qi(x)dx.
a
Итак, союзные интегральные уравнения (6.20) и (6.21)
соответственно эквивалентны системам алгебраических
уравнений (6.25) и (6.28) с транспонированными друг отно-
сительно друга главными матрицами. Обозначим через Е
единичную матрицу, через а —матрицу с элементами aim,
звездочкой обозначим транспонирование. Тогда согласно
86
сказанному выше главные определители систем (6.25) и
(6.28), т. е. определители det {Е— Ха} и det{£ — Ха*}, равны.
Обозначим и тот и другой через О(Х).
Корни определителя О(Х) совпадают с собственными зна-
чениями ядра К(х, $). Действительно, пусть X—собствен-
ное значение ядра К(х, з), т. е. при Дх).—О имеется нетри-
виальное решение уравнения (6.20). При этом, как следует
из (6.23) и (6.26), существует нетривиальное решение одно-
родной системы (6.25). Это возможно только тогда, когда
£)(Х)=0. Наоборот, пусть X не является собственным значе-
нием ядра К(х, з). Тогда при f(x) -Q существует лишь три-
виальное решение уравнения (6.20). Следовательно, в силу
(6.24) существует лишь тривиальное решение однородной
системы (6.25), а это возможно только тогда, когда £)(Х)^=0.
Точно так же можно убедиться, что корни £)(Х) совпа-
дают с собственными значениями союзного ядра К(з, х).
Таким образом имеет место
Теорема 6.4- Собственные значения ядер К(х, s) и K(s, х)
совпадают.
Рассмотрим различные случаи.
1.	Пусть X не является собственным значением ядра
К{х, з) или ядра K(s, х). Тогда, по доказанному, Z)(X)=#O.
Следовательно, существует единственное решение систем
(6.25) и (6.28) при любых d, и fj, а значит, существует
единственное решение уравнений (6.20) и (6.21). Тем самым
доказана
Теорема 6.5. Пусть X не является собственным значением яд-
ра К(х, s). Тогда решение интегрального уравнения (6.20) и ре-
шение союзного уравнения (6.21) существуют и единственны
при любых функциях f(x) и g(x).
2.	Пусть X является собственным значением ядра К(х, з),
a f(x)=g(x)-= 0. Тогда £)(Х)_0, дг-0, у4=0. Матрицы одно-
родных систем (6.25) и (6.28) являются транспонированны-
ми друг относительно друга. Следовательно, их ранг оди-
наков и существует равное число линейно независимых ре-
шений однородных алгебраических систем (6.25) и (6.28).
р р	р
Пусть таких решений /. Обозначим их C— {Clt . . , Сп} и
р р	р
Q = (Qx, . . . , Qn} соответственно (/> 1, . . . , /).
р	п	р
Убедимся, что функции j/(r) _=	отвечающие
П1= 1
различным р, линейно независимы между собой. Допустим
i р	i	i
противное. Пусть 2 ^(/(л) = 0, где р^0. Тогда X
р= 1	1	р= i
«	р п	‘ р
X 2	~ 2	2	В СПЛУ линейной неза-
П1= 1	Г?1=1	р=\
87
висимости функций Qm(x) получаем 2 V-p^m — О Для всех
тп — 1, 2, . . . , п. Это противоречит линейной независимос-
ти решений однородной системы (6.25).
р	п	р
Аналогичным образом соотношения z(x) = 2 <.\>m(x)Qn
m=l
определяют I линейно независимых решений однородного
уравнения (6.21). Таким образом, доказана
Теорема 6.6. Если К является собственным значением ядра
К.(х, s), то однородное уравнение (6.20) и союзное с ним одно-
родное уравнение (6.21) имеют одинаковое число линейно не-
зависимых собственных функций.
3.	Пусть X является собственным значением ядра К(х,«)?
a f(x) ф 0. Тогда вопрос разрешимости уравнения (6.20) сво-
дится к вопросу разрешимости неоднородной системы (6.25)
с определителем 7)(Х)=0. Как известно из линейной алгеб-
ры [23], для существования решения в этом случае необ-
ходимо и достаточно, чтобы правая часть системы (6.25),
т. е. d={d1, . . . , dn}, была ортогональна всем решениям
однородной системы с транспонированной матрицей. Та-
кой системой является однородная система (6.28). Отсюда
для существования решения уравнения (6.20) необходимо
и достаточно, чтобы было выполнено 2	= гДе Qm =
rn = 1
b
= j* z(s)Q,n(s)ds, a z(x) — произвольное решение однородного
а
уравнения (6.21). Пользуясь выражением (6.26) для dm, име-
ем
п ь	ь	ь	ь
2 J Kx>m{x)dx J z(s)Qm(s)ds = f f(x) [
m=Ia	a	a	a
2 Qm(.s^m(x)
m=l
b
X z(s)ds dx = j f(x)
a
K(s, x) z(s) ds
dx = p(x)^dx=0.
Полученный результат сформулируем в виде теоремы:
Теорема 6.7. Если X является собственным значением ядра
К(х, s), то для существования решения неоднородного уравне-
ния (6.20) необходимо и достаточно, чтобы функция f(x) была
ортогональна всем собственным функциям союзного ядра K(s,
х), отвечающим тому же X.
Доказанные теоремы 6.5—S.7 называются теоремами
Фредгольма.
88
2. Случай невырожденного непрерывного ядра. Покажем,
что результаты предыдущего пункта могут быть перенесе-
ны и на случай невырожденного ядра.
Пусть К(х, z)— непрерывная при х£[а, й] и sfj[a, Ь}
функция. По теореме Вейерштрасса [19] функция К (г, z) в
этом случае может быть сколь угодно точно приближена
полиномами, т. е. существует такой полином Р(х, z) =
= S ank*nsk, что при x,sQ[a, 6] \К(х, s) — Р(х, з)| < е, где
е > 0 — любое наперед заданное число. Выберем 0 е <
<Z--------. Таким образом, К(х, s) = Р(х, s) -[ Q(x, s), где
|Х|(й-а)
|Q(x, s)|<fe, а Р(х, з)— вырожденное ядро. Интегральное
уравнение (6.20) принимает вид
ь	1>
у(х)— X Q(x, s)y(s)ds =Х Р(х, s)y(s)ds+f(x). (6.29)
а	а
Введем функцию-
ъ
Ф(х) — у(х) — X [ (?(х, s)j/(s) ds.	(6.30)
а
Ядро Q(x, з) таково, что |X||Q|(&—а)< |X|s(6—а) < 1. Тогда по'
теореме 6.1 функция у(х) однозначно выражается через Ф:
ь
у(х) = ф(Л) + х f r(X, х) ф®#,
а
где 7?(х, з, X) — резольвента ядра Q(x, з). Уравнение (6.29)
принимает вид
it
Ф(х) =Х Р
а
Ъ
Ф +х 7?Ф<7£
а
ds + f = X j Т(х, s, Х)Ф(з)</зф)(х),
(6.31)
где
ь
Т(х, s, \)=Р(х, з)фХ [ Р(х, з, X)dl =
а
= 2 ап»хП
Ъ
sk 4- f s, X) dl
a
— вырожденное и непрерывное ядро.
Решение уравнения (6.20) — функция у(х) — взаимно од-
нозначно связано с решением Ф(х) уравнения (6.31). При
этом, как видно из соотношения (6.30), функции у(х) и Ф(х)
89
одновременно либо равны, либо не равны тождественно
нулю. Отсюда нетривиальное решение однородных уравне-
ний (6.20) и (6.31) существует при одних и тех же значе-
ниях X, т. е. X является (или не является) собственным зна-
чением ядер К и Т одновременно.
Мы свели уравнение (6.20) с невырожденным ядром
К(х, s) к уравнению (6.31) с вырожденным ядром Т(х, s, X)
таким образом, что неоднородность f(x) в этих уравнениях
одинакова. Теперь преобразуем союзное уравнение (6.21) к
уравнению с вырожденным ядром, союзным с Т(х, s, X),
сохраняя функцию z(x).
(Этот способ преобразования связан с теоремой 6.7.)
Представим уравнение (6.21) в виде
ь	ь
г(х) — X Q(s, x)z(s)ds = X j P(s, x)z(s) ds g(x).
a	a
Рассматривая правую часть последнего соотношения как
неоднородность, согласно (6.17) получаем
ь	ь ~ Г ь
z(x) = X P(s, x)z(s)ds + g(x) -|- X j R(x, t, X) X j P(s, t)z(s)ds-\-
a	a	L a
+g{t)
b ~
dt j T(x, s, X)z(s) ds -f- gi(x),
a
(6.32)
где R(x, s, \) — резольвента ядра (?(s, x),
gi(x) = g(x) + j* R(x, t, K)g(t)dt,
a
a
b
t(x,s,\)=P(s, X)+ J P(s, t)R(x, t, \)dt.	(6.33)
a
Убедимся в том, что Т(х, s, P)=T(s, х, X). Действитель-
но, пусть Qn(x, s) — повторное ядро для Q(x, s) порядка п,
& Qn(x,s) — повторное ядро того же порядка для Q(s, х).
Тогда из (4.11) следует, что Qn(x, s) = Qn(s, х). Далее сог-
ласно (6.18) имеем
оо
R(x, s, X) = Q(s, х)+ 2 'Kn~'Qn(x> s) =*?(s> x) +
n-2
+ 2 xn_1Qn(s>x) = R(s> X’ >-)
л=2
90
Тогда из (6.33) следует Т(х, s, X) = T(x,s,X), что и требовалось.
Таким образом, союзные интегральные уравнения (6.20)
и (6.21) эквивалентны уравнениям (6.31) и (6.32) с вырожден-
ными союзными ядрами. Параметр Л является или не является
собственным значением ядер К(х, s) и Т(х, s, X) одновременно;
совпадают неоднородности f(x) в (6.20) и (6.31); совпадают
решения однородных уравнений (6.21) и (6.32). Это позволяет
перенести утверждения теорем Фредгольма 6.5—6.7 на случай
невырожденных ядер. А именно:
1.	Если X не является собственным значением ядра
/<(х, s), то (6.31) и (6.32), а следовательно, (6.20) и (6.21)
разрешимы при любых функциях Дх) и g(x).
2.	Пусть X является собственным значением ядра. По-
кажем, что линейно независимым между собой собствен-
ным функциям Фь . . . , Ф/ однородного уравнения (6.31)
соответствуют линейно независимые собственные функции
уъ . . . , у/ однородного уравнения (6.20). Действительно,
допустим противное, пусть Фъ . . . , Ф/ линейно независи-
мы, а для соответствующих ух, . . . , у/ выполнено соот-
i	i
ношение	0, где	Тогда, умножая (6.30)
«=1	<=1
последовательно на С.г (t = l, . . . , I) и суммируя, получим
слева	а справа — нуль. Равенство 5}	Ф;(х) = 0
Z»al	Z = 1
противоречит предположению о независимости Ф,(х).
Однородные союзные уравнения с вырожденным ядром
(6.31) и (6.32) согласно результатам п. 1 имеют равное чис-
ло линейно независимых собственных функций. Следова-
тельно, аналогичным свойством обладают однородные урав-
нения (6.20) и (6.21).
3.	Если X является собственным значением ядра К(х, s),
то для разрешимости (6.31), а следовательно, и (6.20) не-
обходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие орто-
ь
тональности (/, г)= j f(x)z(v)dx = 0, где z(x)— любая собст-
а
венная функция союзного ядра K(s, х), соответствующая
собственному значению X.
Таким образом, результаты п.1 (теоремы 6.5 —6.7) пере-
носятся на случай невырожденных ядер.
Замечание. Из теорем 6.5 и 6.7 следует так называемая
Альтернатива Фредгольма. Либо интегральное уравнение
(6.20) имеет единственное решение при любой функции f(x),
либо существует нетривиальное решение союзного однородного
уравнения.
91
3. Обобщение теорем Фредгольма на случай полярных ядер.
Покажем, что полярное ядро К(х, s) =	может быть
|X-S|“
приближено непрерывным вырожденным ядром Р(х, s), так
что для функции Q(x, s) = К(х, s) — Р(х, s) выполнено
ь
( |Q(x, s)| ds <—, т. е. Q(x, s) является „малым“ полярным
•*	IXI
ядром.
Действительно, рассмотрим ядро S(x, s), определенное
следующим образом:
К(х, з) при |х— з| ?
Ф(х ,5)	.	,
—----- При |х— 8 
7е
S(x, s) =
1
[1 ___а I —а
------	, а Н — sup |Ф(х, з)|. Тогда
4ZZ|X|	а<х<Ъ
J	a<s<b
Ъ	х+т
J |К(х, s) — S(x, s)|ds = j \K(x, s) — S(x, s)|ds
Ядро S(x, s) является непрерывной функцией и, следова-
тельно, может быть приближено полиномом Р(х, з) —
= 2 anbXnsk так, что |S(x, s) — Р(х, s)| <-!-. При этом
n+k<N	|Х|(6 — и)
6
J|£(x, з) — Р(х, s)|ds . В результате получаем
2|Х|
а
ь	ь
j |/<(х, з)—Р(х, s)\ds^ J |Д(х, з)—S(x, s)|ds -j-
а	а
Ъ	.
+ f I5(x, s)-/>(x,s)|ds<^-.
а
Итак, Q(x, з) является „малым“ полярным ядром в том
смысле, как указано выше. Используем результаты п. 3 § 17
о разрешимости уравнений Фредгольма с малым полярным
ядром и представлении решения при помощи резольвенты.
Тогда можно повторить рассуждения п. 2 § 18 и убедить-
ся, что теоремы Фредгольма переносятся на случай поляр-
ных ядер.
92
§ 19.
РЕЗОЛЬВЕНТА НЕПРЕРЫВНОГО
НЕСИММЕТРИЧНОГО ЯДРА ПРИ «БОЛЬШИХ» X
ГВ § 16, 17 настоящей главы было рассмотрено понятие
резольвенты для интегрального уравнения
ь
у(х) = X (' 7<(х, s) y(s) ds 4- f(x)	(6.34)
a
в случае симметричного ядра и в случае „малых" X. Резоль-
вента определялась как функция, при помощи которой
решение уравнения (6.34) дается в виде
ь
у(х) = [(х) 4- k { Rix, s, l)f(s) ds.	(6.35)
а
Было показано, что для произвольного непрерывного ядра
при 1X1 < !— , где М — sup \К(х, s)|, резольвента равна
М(Ь—а}
a - J.y .< b
сумме ряда
R(x, s, Х) = zn-1 Кп(х> s)-
п — \
(6.36)
Остается открытым вопрос: существует ли резольвента
.... 1
несимметричного ядра при X\у>---------, т. е. при таких
М(Ь—а)
X, при которых ряд (6.36), вообще говоря, расходится? По-
кажем, что резольвента существует при любом X, отличном
от собственного значения ядра К(х, s).
Убедимся прежде всего в том, что резольвента в виде
ряда (6.36) при |Х|<-----— удовлетворяет соотношению
М(Ь—а)
Ь
В(х, s, X) =К(Х, 6-)4-Х [ К(Х, |)Ж s, X) dl. (6.37)
а
Для этого в (6.36) заменяем обозначение х на £, умножаем
обе части (6.36) на Х/((х, Е) и интегрируем по Е. Получаем
J К(х, Е) R(i, s, X) di
f К (х, Е) 2 Х"-‘/<„(Е, s) d^ (6.38)
а
П--=1
Меняем порядок суммирования и интегрирования в правой
части (6.38), что можно сделать в силу равномерной схо-
димости ряда. Имеем
93
b	oo	b
\ [ K(x, I) R(l,	2 X" J *(x, £) s)ds =
a	nael a
oo	no	oo
= 2 XnKn+l(r, s)= 2	S}= 2 An“'K„(X, S)-
71=1	д=2	Л--1
— K(x, s) = R(x, s, X) — K(x, s),
что и требовалось проверить.
Пусть ядро К(х, s) непрерывно и Х^=Х;, где Х.;— собствен-
ные значения ядра К(х, s). Рассмотрим соотношение (6.37)
при фиксированном s, считая R функцией х. Согласно до-
казанной выше теореме 6.5 существует единственное реше-
ние интегрального уравнения (6.37). Это решение опреде-
ляет зависимость R от х при фиксированном s. Изменяя
значение s на интервале [а, 6], получаем, что соотношение
(6.37) однозначно определяет некоторую функцию R(x, s, X)
при Х^Х,,	6] и $6 [а, Ь].
Имеет место следующая
Теорема 6.8. Пусть К (х, s) — непрерывное (в общем слу-
чае несимметричное) ядро интегрального уравнения (6.34), а К
не совпадает ни с одним собственным значением этого ядра.
Тогда существует единственное решение уравнения (6.34), ко-
торое может быть представлено в форме (6.35), где резольвен-
та R(x, s, Т) определяется соотношением (6.37).
Доказательство. Существование и единственность ре-
шения уравнения (6.34) в рассматриваемом случае следуют из
теоремы Фредгольма 6.5, а существование и единственность ре-
шения уравнения (6.37) показаны выше. Осталось проверить,
что решение в форме (6.35), где R(x, s, V) определяется из
(6.37), действительно удовлетворяет уравнению (6.34).
Подставим выражение (6.35) в уравнение (6.34) и пере-
несем все слагаемые влево. Получим
а
b
а
b
ь	ь
/(х) + X f R(x, s, >)f(s) ds - X j‘ K(x, s) f(s) +
a
b
4-X j R(s, t,	ds—f(x)=Tk$R(x, s, T)f(s)ds —
a	J
b	b
— X J K(x, s)f(s)ds —X2 j f(s) j R(x, t)R(t, s, \)dt ds =
a
b
_ a
b
= X J f(s) R(x, s, X)—K(X, s) -X J K(x, t)R(t, s, X)dt ds=0.
a L	®
94
Последнее равенство имеет место в силу (6.37). Тем самым
проверено, что решение в форме (6.35) при условии (6.37)
удовлетворяет (6.34), что и требовалось. Теорема доказана.
Таким образом резольвента определена уравнением (6.37)
не только при „малых" X, там, где сходится ряд (6.36), но
и при произвольных X=/=XZ. Для симметричных ядер сущест-
вование резольвенты при следует также из ранее по-
лученного соотношения (6.9).
Пример. Вернемся к интегральному уравнению
у(х) = X j sin (х—s)y(s)ds-]-f(x),	(6.39)
6
рассмотренному в качестве примера в § 17. Там при Гпомо-
щи соотношения (6.36), при ]Х| < 2/тс была найдена резоль-
вента ядра Klx, s) = sin (х—$)
К
sin (х—s)—X — cos (х—s)
R(x, s, X) =------------------ .	(6.40)
/ Tt \ “
Эта функция является аналитической по переменному X
2	•<?*»
всюду кроме' точек к=:н’ —. Согласно доказанному выше
к
R(x, s, X) удовлетворяет соотношению (6.37) внутри круга
равномерной сходимости ряда (6.36), т. е. при |Х|<^2/к. Как
известно [22], при этом аналитическое продолжение R(x, s, X)
на комплексную плоскость также удовлетворяет соотноше-
нию (6.37). Следовательно, выражение (6.40) определяет ре-
зольвенту не только при |Х|<2/к, но и при любых X + +
2	2
±г—. (Нетрудно проверить, что X=±i— являются соб-
ТС	7Z
ственными значениями ядра К(х, s).)
§ 20.
УРАВНЕНИЕ С ЯДРОМ,
ЗАВИСЯЩИМ ОТ РАЗНОСТИ АРГУМЕНТОВ
Многие задачи математической физики приводят к инте-
гральным уравнениям, в которых ядро зависит от разности
аргументов: R(x, s)=R(x—s). При решении таких уравнений
часто бывает целесообразно использовать преобразование
Лапласа или Фурье. В настоящем параграфе изучается слу-
чай, когда ядро зависит от разности аргументов и интегри-
рование производится по бесконечному промежутку.
95
Рассмотрим уравнение
оо
у(х) = X j К(х—s) y(s) ds + f(x).
— оо
(6.41)
Обозначим символом G класс функций, абсолютно интегри-
руемых на бесконечном участке и разложимых в интеграл
ОО
Фурье. Иными словами, если g(x)QG, то f |f(x)|c/x < оо, on-
---------------------------------------------оо
оо
ределена функция g(w) = eia,xg(x)dx, определен интеграл
e~ia>xg(m)dm и выполнено равенство— e~iu>x j eiM' X
X g(s) ds } dm — g(x). В частности, к классу G относятся ку-
сочно-гладкие, абсолютно интегрируемые на участке
xg(—00, 00) функции [14].
Пусть функции f(x) и /((х). заданные в уравнении (6.41),
принадлежат классу G. Предположим, что существует ре-
шение уравнения (6.41)— функция y(x)(-G. Найдем его, ис-
пользуя преобразование Фурье.
Умножаем (6.41) на е1шх и интегрируем по х. Имеем
оо	оо	оо
уdx — e‘wxf(x)dx — ). е‘шх X
— оо	— оо	оо
К(х—s)y(s)ds Idx.
В силу абсолютной интегрируемости 7<(х) и у(х) можно поме-
нять порядок интегрирования в правой части последнего
равенства [17]. Обозначим у(<о), /(«>) и К(«>) изображения
Фурье соответственно функций у(х), /(.т) и К(х). Получаем
ОО	/ оо	А
у(а>) — /(со) = X j y(s) eia,s )	/<(х — s) dx 1 ds ---
— 00	—co	J
X j y(s) elb>s
ds = X y(<o)7<(co).
Отсюда y(co) = ———. Сделав обратное преобразование
1—Л-А'(о>)
Фурье, находим
со
У(х) = - ( е-^х —dm.	(6.42)
2г. J 1-Х А(ш)
96
Итак, если существует решение уравнения (6.41) из класса
<3, то оно определяется формулой (6.42) и, следовательно,
единственно в рассматриваемом классе функций.
Пусть X, К(х) и f(x) таковы, что соотношение (6.42) оп-
ределяет y(x)£G. Тогда, подставляя эту функцию в (6.41)
и повторив преобразования, проведенные выше, получим
тождество. Это означает, что у(х), определяемая из (6.42)
и принадлежащая классу G, действительно является реше-
нием интегрального уравнения (6.41).
Приведем теперь достаточные условия, при которых со-
отношение (6.42) определяет функцию y(x)(?G:
1) значение параметра X таково, что 1—X. /((со) Д О при
<<> б (—с*0, °°);
2) /(оз) и К(и>) дважды дифференцируемы и абсолютно
интегрируемы вместе с производными до второго порядка
при <об(—ОО, оо).
При выполнении перечисленных условий функция г/(со)^«
— —и две ее производные абсолютно интегрируемы
1 -л- Л'(со)
по «> на бесконечной прямой. В этом случае [14j преобра-
зование (6.42) определяет непрерывную функцию у(х), для
которой справедлива оценка |</(х)| = о^)-2). Следовательно,
функция у(х) абсолютно интегрируема на бесконечной пря-
мой.
Далее, функция у(а) при наложенных на X, /((со) и [(а)
условиях является гладкой, абсолютно интегрируемой
функцией и, следовательно, может быть разложена в ин-
теграл Фурье. Это означает, что определено преобразова-
ние (6.42) и обратное к нему преобразование, т. е. сущест-
ОО	ОО	,
вуют интегралы j" y(x)efa,xdx = ?/(<о) и j е~1ых y(<£>)d(>) — 2ету(х).
Следовательно, функция у(х), определяемая из (6.42), раз-
ложима в интеграл Фурье и у(х) й G.
Пример. Рассмотрим уравнение
г/(х)=Х f£~nl*-4l.y(s)ds+£ '’I*' (<z(>0,	(6.43)
— оо
Производим преобразование Фурье ядра и неоднородности
уравнения
7(ш) z= ? ela>xe~b,x'dx =	,	К(®)	? e’axe-a'x\dx = —— .
а.	Пусть Х<( —. При этом выполнено условие 1—XX
97
ХОД^О для любых действительных со. Соотношение
(6.42) получаем в виде
оо
26
6а4-ы2	,
-----------шо.
2а
1— X------
а2—ш2
(6.44)
Несобственный интеграл (6.44) сходится абсолютно, равно-
мерно по х и определяет непрерывную функцию г/(х). Вы-
числяем интеграл (6-44) при помощи теории вычетов, ис-
пользуя лемму Жордана. При х>0 замыкаем контур ин-
тегрирования дугой в полуплоскости 1т<г><4), при х<0 — ду-
гой в полуплоскости 1т<» ^0. Получаем
у(х) =--------!-----
(Ь* - а2)е 4-	е
аг—2Х<1
l.v|/a’-2Aa
б.	Пусть Х>ц/2. Тогда существует нетривиальное реше-
ние однородного уравнения
//(/)== X (?-ui*-sly($) ds.	(6.45)
— оо
А именно рассмотрим соотношение 1—Х/((и1) = 1—X  2g =
а24-Ш[
= 0. Из него находим оц ==]/2аХ — а2. Нетрудно проверить,
что у(х)=Се-‘^х, где С -произвольная константа, является
решением уравнения (6.45). Действительно, подставляем
эту функцию в (6.45), делим соотноваение на c~iu,iX и пере-
носим слагаемые в одну часть. Имеем
С — X е''^х Г е~"Iх-51 С e~iaiS ds = C 1 — X С e~alx~sl X
оо
1—X J e~aial е-^ da.
— со
X е‘ш^х~^ ds = С
= С [1-X - Д((о,)] =0,
что и требовалось проверить.
Замечание. Из рассмотренного примера видно, что
множество собственных значений уже не является после-
довательностью, а представляет собой полупрямую Х>а/2.
Это характерно для рассматриваемого класса интегральных
уравнений.
Глава 7
УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА ВТОРОГО РОДА
§ 21.
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ
Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра второго
рода
у(х) = /. К(х, s)y(s)ds + /(х),
(7.1)
где /<(х, $) и f(x) — непрерывные функции npiia^s^x 'b.
Теорема 7.1. У равнение (7.1) имеет единственное непрерыв-
ное, решение при любом значении К. Это решение может быть
найдено путем последовательных приближений.
Доказательство. Докажем существование решения.
Для этого рассмотрим последовательность функций, опре-
деляемых рекуррентным соотношением
М1) =kj’/<(x, s)yn(s)ds + ftx),
(7.2)
где yu(x)“-0. Функции очевидно, непрерывны. Пред-
ставим г/„(х) в виде
Уп = Уо+(У1-УоН- • • • -г(у,— Уп-\) = У0+	(Ук~Уь-д-	(7-3)
Обозначим sup \К(х, s)| = М, sup |/(х)| — F. Имеем по-
следовательность оценок:
1.Д - I/ol = |/| < F,
|1/2 —1/11 = Р-11 { К(х, s)f(s)ds | < |Х| М(х — a)F,
\yk+i	| [ K(x, s)(yh(s) - yk^s))dS |<	E.
1 J	I	A!
Члены ряда V (j/ft—y*-i) Мажорируются членами числового
99
ряда F
^Fem-a)_F
k=i k'
Следовательно, no
признаку Вейерштрасса ряд	(^—//a-i), частичная сумма
I
которого присутствует в (7.3), сходится равномерно: f/n(x)=>
=>?/(х), где у(х) — непрерывная на [а, Ь\ функция. Для у(х)
выполнена оценка
|i/(t)K FeH|M(6-n) .	(7.4)
В силу равномерной сходимости {уп(х)} можно перейти
в (7.2) к пределу при п—>оо. Получим соотношение (7.1).
Таким образом, функция у(х) — предел равномерно сходя-
щейся последовательности {г/,Дг)} — является решением урав-
нения (7.1).
Докажем единственность решения уравнения (7.1). Пусть
1/iW и yt(x) — два непрерывных решения уравнения (7.1),
а у(х) —- их разность. Тогда у(х) удовлетворяет однородно-
му уравнению
у{х) =Х j1 К(х, s)y(s)ds.	(7.5)
а
Обозначим sup 1</(.т)| —С. Оценивая мажорантным способом
правую часть (7.5), получим |(Дх)||Х|МС(х —а). Подставляя
эгу оценку в правую часть (7.5), получим новую оценку
|</(х) | < M’C|X|2 (s—a)ds =» м , и та1< далее. Пос-
а
ле й-го шага имеем оценку
|Р(.Т)|<С	.	(7б)
Если ,у(х) £ 0, то найдется ха, при котором у(х9) отлично
от нуля. С другой стороны, для Vs>0 при достаточно
.	z	п WfcM6(b—a)k	с.
больших к выполнено неравенство С -——   <г. Из (7.6)
получаем, что |у(т0)1 <Сs, где е — произвольная сколь угодно
малая величина. Выбрав	получим противоречие.
Следовательно, у(х) = 0 и решение уравнения (7.1) единст-
венно.
100
Замечания. 1. В силу доказанной теоремы однородное
уравнение (7.1) имеет лишь тривиальное решение. Следова-
тельно, однородное уравнение Вольтерра второго рода не
имеет собственных значений.
2. Поскольку собственных значений не существует, то
множитель X в записи уравнения Вольтерра обычно опус-
кают.
Пример. Решить уравнение
у(х) = (х—s)y(s)ds + х2.	(7.7)
о
Найдем решение двумя различными способами.
а.	Продифференцируем уравнение (7.7) дважды. Имеем
у'(х) = ^y(s)ds±2x, у"=у-\-2. Решая получившееся диффе-
6
ренциальное уравнение с учетом условий у(0) = О, у'(0) =* О,
находим у(х) — 2(ch х—1).
б.	Найдем решение путем последовательных приближе-
ний. Выбираем y0(x) — Q. Последующие приближения опреде-
ляем по формуле
у ;+1(.т) = ( (х — s) y„(s) ds + х2.
О
Находим у^х) = х2,
х
y-i(x) = । (х — s)s2ds + х2 = х2 +	,
О
Отсюда */(*)= Нт уп(х) ~ 2 (ch х— 1).
П-*оо
Рассмотрим теперь интегральное уравнение
X
[ К(х, s)y(s)ds= f(x)	(7.8)
а
Вольтерра первого рода. Пусть /<(х, s) и /(х)—непрерывные
функции при	Мы не будем заниматься общей
теорией таких уравнений,заметим только, что при произволь-
ной непрерывной /(«) непрерывного решения у(х) может не
существовать. Действительно, необходимым условием су-
ществования непрерывного решения является, очевидно, ус-
ловие Д0)=О, так как левая часть (7.8) в случае непрерыв-
ного у(х) обращается в нуль при х=0..
101
При некоторых условиях уравнение (7.8) может быть све-
дено к интегральному уравнению Вольтерра второго рода.
Пусть К(х, s) и f\x) дифференцируемы по х и К(х, х) ¥=0
всюду на [a, bj. Тогда, дифференцируя соотношение (7.8),
имеем
у(х)К(х, х)+ К'х(х, s)y(s)ds = f'(x).
6
Деля на К(х, х), приходим к уравнению Вольтерра второго
рода
У(х) = J Р(х, s)y(s)ds + g(x),
а
г,/	\	К'(х, s)	. . Г(х)
где Р(х, s = -	, gx г= .
Л(х,х)
Пример. Получим решение уравнения
f (* + * + 1) ’Л$) ds = х2.
b
Дифференцируя, имеем
г/(х)(2х 4- 1) + y(s)ds = 2х.
6
При этом г/(0)=0.
Полученное уравнение Вольтерра второго рода будем
также решать путем дифференцирования. Получим у'(2.г Д-
4- 1) + Зу = 2, откуда
(_ з_ \
1-(2х-| 1) 1 J.
§ 22.
РЕЗОЛЬВЕНТА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА
Обозначим оператор Вольтерра через В:
By = j К(х, s) y(s) ds.
a
Определим повторное ядро оператора Вольтерра анало-
гично тому, как это было сделано для оператора Фредголь-
ма в гл. 4:
X
Впу = j' Kn(x, s) y(s) ds.
а
(7-9)
102
Проделывая вычисления, аналогичные проведенным в гл. 4,
х	t
В2у = К(х, 0 di K(t, s)y(s)ds —
а	а
= f y(s)ds [ К(х, S)dt= f кг(х, s)ly(s)ds,
as	a
получим выражение для
кг(х, s) = [ К(х, t)K(t, S)dt.
s
Методом индукции нетрудно получить представление
для Кп(х, з), аналогичное (4.11)
Кп(х, з) = j' /<(лг, t)Kn-dt, s)dt.
s
(Предлагается это сделать самим в порядке упражнения.)
Пусть М — sup |/<(г, з)|. Тогда для повторных ядер
справедлива оценка
|Кп(х,*)|<	(7.10)
(л—1)!
Действительно, имеем
|Д(х, s)|< М,
\КМ, s)| < J M2dt=Ml(x-s),
S
\К3(х, з)|< | J /) КМ, 3) dt | < М3 f (t - s)dt =
~	2!
Рассуждая далее по индукции, приходим к (7.10).
В предыдущем параграфе было показано, что решение
у(х) уравнения (7.1) может быть получено как предел по-
следовательности
п—I
Уп - / + 2
103
Используя (7.9), имеем
л-—1 X
Уп(х) = f(x) + 2 у [ Ki(x, s)f(s) ds =
Z=1 a
f(s)ds.
(7.11)
Из оценки (7.10) следует по признаку Вейерштрасса рав-
номерная сходимость ряда
з)
/=1
при любом X, поскольку его члены удовлетворяют неравен-
ству
0-1)!	(<-1)!
IV-'KKx, з)|<
а правая часть этой цепочки неравенств представляет собой
общий член сходящегося ряда.
Обозначим
Л(х, s, X) 2 Ъп~'Кп(х, s).	(7.12)
Л = 1
В силу равномерной сходимости ряда функция R(x, s, X)
является непрерывней при	и любых X. В силу
той же равномерной сходимости можно перейти в (7.11) к
пределу под знаком интеграла. Получим
у(х) = [(х) + X [ R(x, s, X)f(s)ds.
а
(7.13)
Это соотношение представляет собой выражение для реше-
ния уравнения (7.1) через резольвенту R(x, s, 1). Результат
можно сформулировать в виде теоремы:
Теорема 7. 2. Решение уравнения (7.1) представимо в виде
(7.13), где резольвента R(x, s, X), определяемая рядом (7.12),
является непрерывной функцией при	и любом X.
Пример. Построим резольвенту для уравнения (7.7). Имеем
К(х, s) х — s, Кг(х, s) = j (x—t)(t—s) dt =
s
„ ,	.	(x—s)2n+‘
K„(t, s) -- ---------- .
’	(2«+l)!
_ (х-5-р
3!
104
Следовательно,
ю/ n	ч V [	(x—s)]2"+l	shyTC-v-s)
R(x, s, A) = V lKn(x> «)= 2j -k2— -------!~—=--------------
Я V* (2«+l)!	]/x
Таким образом, при Х=1 получаем решение уравнения (7.7)»
у(х) = х2 + 1 J R(x, s, V)s2ds — х2 4-
о
+ j sh (x— s)s2 ds = 2 [ch x—1].
6
§ 23.
УРАВНЕНИЕ ВОЛЬТЕРРА С ЯДРОМ,
ЗАВИСЯЩИМ ОТ РАЗНОСТИ АРГУМЕНТОВ
1. Случай непрерывного ядра. Рассмвтрим уравнение
у(х) ----- К(х— s)y(s)ds + f(x) (0<х<оо).	(7.14),.
6
Пусть К(х) и f(x) — непрерывные функции при х>0, причем
Ко = SUP ЖСОК00» /о - sup |/(х) | < оо. Из (7.4) следует,
0<х<»	0«-'х<со
что для решения у(а) уравнения (7.14) справедлива оценка
(7.15)
При этих условиях для К(х), Дх) и у(х} определено преобразо-
вание Лапласа. Как известно (см. [22]), это преобразование
ставит в соответствие оригиналу — функции действительной
переменной <р(х) — функцию комплексной переменной Ф(/?)>
(которая называется изображением) по правилу Ф(р} =
оо
= j e-pxqfxjdx. Тот факт, что функции <f(x) и Ф(/?) связаны
о
преобразованием Лапласа, будем обозначать символом
Ф(/0 = <р(х).
Пусть Y (/?)== у[х), F(p) = f(x) и L(p)=^K(x). Интеграл,,
входящий в уравнение (7.14), представляет собой свертку
функций /<(х) и у(х). Изображением свертки является произ-
ведение изображений J К(х—s)y(s)ds=± L(p)Y(p). Таким обра-
0
зом, уравнению (7.14) соответствует соотношение между
изображениями Y(p)=L(p)Y(p)-t F(p). Отсюда
У(р)=Л£>_.	(7.16Т
1-Цр)
105
Поскольку функция у(х) удовлетворяет неравенству (7.15),
то функция Y(p) регулярна в полуплоскости Rep>/(o [22].
Следовательно, можно выбрать такое а, что a^>Rept для
всех особых точек р, функции Y(p). Сделав обратное пре-
а 4-/оо
образование Меллина у(х) = — I ерх —dp, находим у(х).
2г=1 J	1— Цр)
a—ioo
Пример. Рассмотрим интегральное уравнение
у(х) = j* sin (х—s)y(s)ds-\- е~х.	(7.17)
6
В данном случае
/’(/j) = Г e~pxe~xdx = —-—, Цр) = (' e~pxsinxdx= —?— .
о	p + 1	<]	p2+l
1
Соотношение (7.16) имеет вид Y(p) = р + 1—— Р +1—.
1	?2(р+>)
/>2+1
Функция Y(p) имеет полюс первого порядка при р = — 1 и
лолюс второго порядка в нуле. Поэтому в качестве а мож-
но выбрать любое положительное число. Замыкаем контур
•интегрирования дугой полуокружности, лежащей слева от
прямой (а—too, a-f-too), и используем лемму Жордана. По-
лучаем решение уравнения (7.17):
У(х)
4-Res ерх
р2+1
р2(р+1)
О = 2е~х -|- х 4-1 
2. Уравнение Вольтерра с ядром вида /<(х, s)=-----.
(x-s)“
а. Рассмотрим интегральное уравнение
X
ds=f(x) (0<а<1)	(7.18)
J (x-sY
о
«(при а = 1/2 уравнение (7.18) называется уравнением Абеля).
Уравнение (7.18) относится к уравнениям типа Вольтерра
(первого рода. Специальный вид ядра позволяет получить
решение уравнения (7.18) эффективным образом.
.10&
Пусть f(x) является непрерывно дифференцируемой функ-
цией. Найдем решение г/(г) в явном виде. Для этого умно-
жим (7.18) на'(/—х)а-1 и проинтегрируем по х. Получим
(7-19)
Заменой переменных x = s-f-(/ — s)s внутренний интеграл в
правой части (7.19) сводится к известному табличному ин-
тегралу
t	1
Г dx	_ f‘ dz ____________ п
J (t — x)1-a (x—s)“	J (1— г)1-aza	sinrax
o
В левой части (7.19) делаем замену переменных x—tz. Тог-
да из (7.19) получаем
J (1
о
—— I y(s)ds.
Sin iza J
О
Дифференцируя последнее равенство по t, находим

б. Аналогичным образом может быть найдено решение
следующего интегрального уравнения Вольтерра второго ро-
да:
У(Х) = f	+ Дх),
о ]/x-s
где f(x) — непрерывно дифференцируемая при х>0 функция.
(7.20)
107
Умножаем (7.20) на (t—х)_'/2 и интегрируем по х. Полу чаем?
Используя (7.20), заменяем первое слагаемое в левой части?
этого равенства на у — f. Дифференцируя полученное соот-
ношение, находим
(t	\
f )•	(7.21)
J Vt-x /
о	/
Из (7.20) имеем условие /ДО) = ДО). Решая уравнение
(7.21) с этим начальным условием, получаем решения исход-
ного уравнения (7.20):
y(t) = f(O)e"' +
f(x)dx
Глава 8
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
ПЕРВОГО РОДА
§ 24.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
ПЕРВОГО РОДА КАК НЕКОРРЕКТНО
ПОСТАВЛЕННАЯ ЗАДАЧА
1. Понятие корректно поставленной задачи. Решение всякой
количественной математической задачи обычно заключается в
нахождении «решения» у по заданным «исходным данным»
/. Запишем это в форме y = R(f), где R — некоторый оператор.
Будем считать у и f элементами метрических пространств YnF
'С расстояниями между элементами py((/i, Уг) и pf(/i, f2).
Определение. Решение у называется устойчивым, если для
.любого 8>0 можно указать такое 6(e) >0, что из неравенства
|г)^б(е) следует ру(у<,, Уг)^^, где и f2 — произволь-
ные элементы F, yj - /?(),) 6 У, у2 = Rift) б •
Определение. Задача y=R(f) называется корректно постав-
ленной на паре метрических пространств (У, F), если выполня-
ются условия:
Iе. Для всякого элемента f^F существует решение у^У.
2°. Решение определяется однозначно.
3°. Решение устойчиво.
Задачи, не удовлетворяющие перечисленным требованиям, назы-
ваются некорректно поставленными.
Замечание. Метрики в пространствах Y и F характе-
ризуют, в каком смысле понимается малое изменение у и f.
От того, каким образом выбрана метрика, может зависеть,
•будет ли решение у устойчиво при изменении f или нет, а
•следовательно, будет ли задача y=R(j) корректна.
В качестве примера рассмотрим задачу определения про-
изводной у(т) от заданной на [а,6] функции f(x): у = —. Бу-
dx
дем измерять близость элементов как в пространстве У, так
и в пространстве F, в метрике равномерного приближения,
т. е.
Py(//i- У»)= sup |ух(х) — г/2(х)|,
[«, Ы
PF(fi, W= sup |Л(х) —f2(x)|.	(8.1)
[«, И
Тогда, очевидно, решение поставленной задачи неустойчи-
во: малому изменению / может соответствовать сколь угод-
но большое изменение у.
109
Теперь сохраним в пространстве Y старую метрику, а
для f введем метрику по-другому. Будем рассматривать /(х)
как элемент пространства непрерывно дифференцируе-
мых на [а, Ь] функций с метрикой р„((п /2) = шах( sup |/у(х)—
’ .	1«.И
—/2(^)|, sup /'(«)!}. Пусть	а	Тогда
[а, Ь]	J	dx	dx
Ру(У1>	fi)- Следовательно, малому изменению f в
метрике Ft соответствует малое изменение у. в метрике Y и
решение поставленной задачи устойчиво.
Таким образом, говоря о корректности или некоррект-
ности математической задачи, мы всегда должны указывать, в
какой метрике измеряются решение и входные данные. В
то же время следует учитывать, что в реальных физичес-
ких задачах выбор метрики не произволен, а определяется
постановкой задачи.
Обратимся снова к рассмотренному выше примеру вы-
числения производной у(х) по функции f(x). Пусть f(x) опре-
деляется из эксперимента. Тогда в результате погрешности
наблюдений будет найдена не „точная** функция /’(.г), а не-
которая приближенная функция fix). Не зная по извест-
ной точности наблюдений обычно можно оценить отклоне-
ние f от f в метрике (8.1) или в метрике p(/i, ft) =
Ij
, но невозможно оценить или предпо-
а
лагать малым отклонение f от / в метрике F}. При этом во-
прос устойчивости у(.т) мы должны решать исходя из (8.1).
Таким образом, выбор метрики определяется содержанием
задачи.
Обратимся к интегральному уравнению Фредгольма вто-
рого рода
у(.т) + X ( /<(.т, $) y(.s) ds = /(.г).	(8.2)
а
Пусть ядро К(х, s) непрерывно, а X не является собствен-
ным значением ядра. Рассмотрим метрические пространства
Y и F непрерывных на [a, функций с расстоянием (8.1).
В гл. 6 было показано, что решение y£Y однозначно опре-
деляется из уравнения (8.2) по функции f(?F. Согласно (6.35)
ъ
у(х) = X J В(х, s, X) f(s) ds 4- /(х),
а
где R(x, s, X) — непрерывная функция. Отсюда видно, что
решение поставленной задачи устойчиво-—малому измене-
нию [(х) соответствует малое изменение у(х) в смысле (8.1).
ПО
=/
Таким образом, задача (8.2) является корректно постав-
ленной.
2. Анализ интегрального уравнения Фредгольма первого рода
с точки зрения корректности задачи. Обратимся к уравнению
ь
J К(х, s) y(s) ds - /(х).	(8.3>
Пусть ядро К(х, s) непрерывно. Будем считать по-прежнему
у и f элементами пространств непрерывных на |я, функ-
ций с метрикой (8.1).
Если ядро K(.r, s) замкнуто (см. § 15), то решение (8.3)
единственно. Приведем некоторые соображения, касающие-
ся существования решения поставленной задачи.
Нетрудно видеть, что непрерывность /(ж), вообще гово-
ря, не гарантирует существование непрерывного решения.
Действительно, пусть функция /(.?) непрерывна, но имеет
разрывы производной при некоторых значениях xQ(a, b), а
ядро /<(х, &•) непрерывно дифференцируемо по х. Тогда при
любой непрерывной у(х) левая часть (8.3) всюду на (а, Ь)
имеет непрерывную производную, в то время как правая
часть имеет непрерывную производную не при всех х. Сле-
довательно, соотношение (8.3) невыполнимо ни при какой
непрерывной функции у(х), т. е. непрерывного решения (8.3)
не существует.
Рассмотрим теперь вопрос о том, при каких необходи-
мых условиях может существовать непрерывное решение
(8.3) в случае, когда К(х, s') удовлетворяет требованиям
(3.2). Из (8.3) следует, что /(.т) является представимой через
ядро функцией. Коэффициенты Фурье fn и уп по системе
собственных функций ядра К(х, s) связаны формулой
= уп (см. § 10). В силу неравенства Бесселя для у(х) схо-
СЮ	сю
дится ряд ^У,,, а следовательно, и ряд 2Wn> т- е- козф-
'2=1	П=1
фициенты fn должны убывать достаточно быстро. Непрерыв-
ность f(x) обеспечивает сходимость ряда f2n, следующую
/1=1
из неравенства Бесселя для f(x), по, вообще говоря, не обес-
оо
печивает сходимость	Следовательно, решение (8.3)
n=i
может существовать не при любой непрерывной функции
оо
f(x), а лишь при такой, для которой сходится ряд	(на*
л=!
помним, ЧТО |ХП|—> оо при П—>оо).
Обратимся к вопросу об устойчивости. Пусть у(х) явля-
ется решением уравнения (8.3). Введем z(x) = у(х) cos сох,
111
•где a— некоторый параметр. Получим уравнение, которому
удовлетворяет г(х) в предположении, что /<(х, s) непрерыв-
но вместе с производной по s. Имеем из (8.3)
ь
К(х, s)[z(s) — cos со s] ds — f(x),
a
откуда
b	b
j K(x, s) z(s)ds = g(x) - f{x) J K(x, s) cos <u sds =
(i	a
l>
r / \ । r,r i , п и .s f	, s i n w s ,
= f(x) +K(x, s--------- —• /< (ж, s) ---------ds.
co	<0
Очевидно, sup \f(x) — g(x)\	, где С — не зависящая от co
[a,	CO
постоянная. Поэтому при достаточно большом со значение
Р;г(Л g)-= sup |/(.т) — g(x)| как угодно мало. В то же время
[«, Ь]
р (у, z)= sup |cos<ua:| = 1, т. е. эта величина малой не явля-
[я.Ы
ется. Отсюда следует важный вывод: решение интеграль-
ного уравнения Фредгольма первого рода неустойчиво от-
носительно возмущения функции f(x). Поэтому уравнение
(8.3) принадлежит к классу некорректно поставленных задач
или, как принято говорить для краткости, является некор-
ректной задачей.
г Это свойство уравнения первого рода создает большие
трудности при практическом использовании таких уравне-
ний, а между тем целый ряд физических процессов описы-
вается именно такими уравнениями (см. [5]; некоторые фи-
зические примеры приведены в гл. 1). Малая погрешность в
задании входных данных может столь сильно изменить ре-
шение, что оно не будет иметь ничего общего с тем физи-
ческим процессом, который описывает уравнение, и даже
может привести к тому, что решение просто не будет су-
ществовать.
Долгое время считалось, что по этой причине интеграль-
ное уравнение Фредгольма первого рода (а также другие не-
корректные задачи, см. |5]) нецелесообразно использовать
для описания физических процессов. Но в последние десяти-
летия этот взгляд коренным образом изменился, и некоррект-
ные задачи стали объектом интенсивного научного исследо-
вания.
С общей теорией некорректно поставленных задач можно
ознакомиться по книге [5], а мы продолжим изучение интег-
рального уравнения Фредгольма первого рода и построим
112
для него так называемый регуляризирующий алгоритм А. Н. Ти-
хонова, позволяющий найти функцию, как угодно близкую
к точному решению уравнения (8.3).
§ 25.
СГЛАЖИВАЮЩИЙ ФУНКЦИОНАЛ
И ЕГО СВОЙСТВА
I. Вывод уравнения экстремалей. Обратимся к уравнению
(8.3). Пусть функции, входящие в это уравнение, являются
непрерывными, причем f(x) определена на интервале х6 [с, d],
у(х) при &], а ядро К(х, s) в прямоугольнике х g [с, dj,
sC:[a, b\. Запишем уравнение (8.3) в виде
Ау -= f,	(8.4)
где Л -- оператор Фредгольма. Рассмотрим функционал
м*[у, /]==ЛГ[у, Л +	(8.5)
где
W. П
( (Ay~f)2dx,
(8.6)
&[i/| = [ [р(ж)(?/)2 + <?(х)?/2Н'-, рИ > о, <?(г) > о. (8.7)
а
Здесь а>0— некоторый параметр, называемый параметром ре-
гуляризации. Функционал (8.7) называется регуляризирующим,
а функционал М“ [у, fl — сглаживающим функционалом.
В дальнейшем будет показано, что в случае, когда в
уравнении (8.3) правая часть задана с погрешностью, в ка-
честве приближенного решения уравнения (8.3) целесообраз-
но выбирать функцию, дающую минимальное значение функ-
ционалу Мх\у, f|, где f—-приближенное значение правой
части (8.3). Поэтому займемся исследованием свойств функ-
ционала Мх[у, f].
Поставим вариационную задачу на экстремум функциона-
ла М*\у, f]. Экстремум будем искать в классе Y функций у(х),
дважды непрерывно дифференцируемых и удовлетворяющих
условиям
у'(а) -.= у'(Ь) = 0.	(8.8)
Пусть у(х) и у(х)4-Ву(.т) — две функции, принадлежащие
Y. Вычислим приращение функционала Мх, отвечающее при-
ращению Зу, т. е. вычислим величину Мх\у^Ъу, f] — Mx[y, f\.
113
Имеем
М*[у + by, /] = j [Д(у I бу) — f]2dx -'-a. j [p(y' 4- бу')2.-)-
C	u
I q(’J + by)2\dx = j [ Ay+ Aby — f]2dx -)- a j' [p(y'	бу')2 4-
<:	a
+ </(£/ I 	= J' (Ay — f)2dx 4- 2 j (Ay — f)Abydx 4-
d	b	b
+ I' (Д 6 y)2 dx + a i \py'2 I - qy2\dx 4- 2a j’ (py’by' +qyby)dx 4-
c	a	a
b
+ j’ fp(8yz)2 + V6.V2| dx.
a
В этом выражении сумма первого и четвертого слагаемых
представляет собой /Й’|у, /]. Перенесем их влево и тогда по-
лучим, что приращение функционала Ма\у-]-Ьу, /]—Л/а[у,
распадается на линейную относительно бу часть (это сумма
второго и пятого слагаемых), называемую вариацией функци-
онала и обозначаемую 6ЛР, и сумму третьего и шестого сла-
гаемых, зависящую от бу нелинейно, которую обозначим
/?[бу] и которая, как нетрудно видеть, при любом Ьу(х) не-
отрицательна:
№[у 4- бу, f\--M7-jy, /| = 6ЛП 4- /?[бу].	(8.9)
Из вариационного исчисления известно, что если у(х) реа-
лизует экстремум функционала Ма, то 6Л7“ == 0, т. е.
а	ъ
j (Ау — [)Abydx 4- (ру'бу'4 qyby)dx = 0.	(8.10)
с	а
Это равенство представляет собой необходимое условие экст-
ремума. Преобразуем первое слагаемое, изменив порядок ин-
тегрирования:
d i>	ъ
I [ (	s')-v(,s')^'s’ — 1w] j b^y^dt^dx —
с a	(i
b	d b
— J' by(bdt ( j К(х, s)K(x, t)y(s)ds ^dx —
a	c a
b	d.	b	b
— 6 y(/) dt I\(x, /)/(.r) dx = f 6 y(t) [ I’ k(s, t) y(s) ds —
a	a	a	a
-l(l)]dt,
114
где
d
K(s, f) = J K(^, s)K(x, i)dx,
<i
f(f)= K(x, t) f(x)dx.
Во втором слагаемом в (8.10) произведем интегрирование
ио частям. Получим
ъ	ь
j' (py'8y'+qy8y)dx= ру'бу^’ + J (<?у-(ру')')6у • dx =
а	а а
Ъ
= )’ (?У — (py')’bydx,
а
так как внеинтегральный член в силу (8.8) обращается в
нуль. Соотношение (8.10) принимает тогда вид
ру(0
U
Ъ ~
J K(s, f)y(s)ds— f(l)+ а
а
ЯУ (РУ') ) \dt=O. (8.11)
щ /
Поскольку §y(t) — произвольная вариация, то в силу основной
леммы вариационного исчисления выражение в { } равно ну-
лю. Получаем уравнение, определяющее экстремали функцио-
нала Ма:
ь
(Х')У'(О) - <7(0 У(0 = 1 f K(s, 1) y(s) ds -1 /(/).
at	a I	a
a
(8.12)
Таким образом, если у(х)СУ осуществляет экстремум
функционала Ма при условиях (8.8), то у удовлетворяет
уравнению (8.12).
2. Исследование уравнения экстремалей. Теорема о мини-
мальном значении сглаживающего функционала. Докажем, что
уравнение (8.12) при краевых условиях (8.8) имеет единствен-
ное решение. Уравнение (8.12) является интегро-дифференци-
альным уравнением. Сведем его к интегральному уравнению
Фредгольма второго рода.
Рассмотрим уравнение
4 (РУ') — (1У = 0	(8-13)
at
при условиях (8.8). Убедимся, что эта задача имеет только
тривиальное решение. Действительно, пусть у(£) имеет поло-
жительное максимальное значение, достигающееся в некото-
рой точке ^0G|a, b|. Тогда у(^)>0, у'(/0) = 0, у"(/0)<0. Учи-
115
тывая, что р(/о)>0, <?(Z0)>0, имеем — (ру') — qy = ру"—цу<Л
dt
при t=t0, что противоречит равенству (8.13). Следовательно,
sup у(/)<0. Аналогично доказывается, что inf y(Z)>0. Отсю-
да следует, что у(/)^0.
В силу доказанного существует функция Грина G(t, £) и
уравнение (8.12) при условиях (8.8) эквивалентно интеграль-
ному уравнению
- /(;) d?,
или
ИО -jm ds -F(t),	(8.14)
a
где
b
T(t, s) 1 C G(z, ?)K(S, №
a.
—некоторое ядро, a
ъ
a I
a
Уравнение (8.14) представляет собой интегральное урав-
нение Фредгольма второго рода. Докажем, что оно имеет
единственное решение. Для этого согласно теореме 6:5 дос-
таточно доказать, что соответствующее однородное уравне-
ние имеет только тривиальное решение. А это эквивалентно
тому, что однородное уравнение (8.12) при условиях (8.8)
имеет только тривиальное решение. Допустим противное,
т. е. что уравнение
ъ
А тАРУ') ~~ У1-)''] — { K(s, t)y(s)ds	(8.15)
\ at	/ J
а
имеет нетривиальное решение y(t). Умножая (8.15) на у(/) и
интегрируя, получим
6	ь
а Г (	У	А-	(ру') — qy2]	dt =	I	y(t)dt I	K(s, t)y(s)'ds. (8.16)
I \	dt	j	J	J
a	a	a
116
Интегрированием по частям преобразуем левую часть к ви-
ь
ду —а [p(y')2+qy2]dt. Правую часть преобразуем, ноль-
а
зуясь выражением (8.11) для K(s, t) и изменяя порядок
интегрирования:
Ъ	Ъ	d	d Ъ
j y(t)dt j y(s)ds K(x, s)K(x, t)dx = dx J K(x, s)y(s)ds X
a	a	с	c a
b	d b
x j K(x, t) y(/) dt = J dx [ J K(x, t) y(t) dt
a	c a
После этих преобразований (8.16) принимает вид
Ъ	d ь
-a j [piy'^+qy2]^— }'<&•[ К(х, i) y(t) dt J2,
u	с a
Так как y(t) -ф 0, то левая часть отрицательна, а правая не-
отрицательна, и мы имеем противоречие, доказывающее,
что задача (8.15), (8.8) имеет только тривиальное решение, а
следовательно, уравнение (8.14) (или задача (8.12), (8.8)) име-
ет единственное решение.
Нетрудно видеть, что это решение реализует минималь-
ное значение функционала Л7а[у, /]. Это непосредственно
следует из (8.9), поскольку б71/а = 0 при у = у(х), а /?[бу]>0
при любом Зг/(х). Полученные результаты сформулируем в
виде теоремы.
Теорема 8.1. Для любой непрерывной функции f(x) сущест-
вует единственная функция у(х) из класса У, на которой реали-
зуется минимальное значение функционала Л/а[у, /|.
§ 26.
ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА
В настоящем параграфе показано, что функция у“(х), ре-
ализующая минимальное значение функционала Ма\у, g],
приближает решение у(х) некорректно поставленной задачи
(8.3) с любой степенью точности, если только функция g(x)
с достаточной степенью точности приближает f(x).
1.	Вспомогательная теорема. Сначала докажем вспомогатель-
ную теорему из функционального анализа.
Пусть имеются два метрических пространства: Y (с эле-
ментами у) и F (с элементами f).
Пусть определен оператор А, который каждому элемен-
ту ставит в соответствие элемент fQF: f — Ау и од-
117
повременно однозначно определен обратный оператор Л-1,
т. е. закон соответствия у = A~lf.
Замечание. Обратный оператор определен, вообще
говоря, не на всем множестве F, а лишь на его части, на
подмножестве F элементы которого определяются по зако-
ну f = Ау, у 6 Y.
Определение. Последовательность y„^Y называется сходя-
щейся в метрике пространства У к некоторому элементу y^Y,
если pyfz/n, У)~^0 при п->-оо.
Определение. Последовательность yn^Y называется компакт-
ной в Y, если из каждого бесконечного подмножества ее элемен-
тов можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к не-
которому элементу y^Y.
Определение. Оператор А, переводящий элемент y^Y в эле-
мент fe^F, называется непрерывным, если какова бы ни была
последовательность уп, сходящаяся в Y к у, соответствующая
последовательность fn = Ayn сходится в F к f=Ay.
Обратим внимание на то, что все эти определения стро-
ятся по типу определений гл. 2.
Теорема 8.2. Пусть в пространстве Y имеется последова-
тельность уп, которой в пространстве F отвечает последователь-
ность fn=Ayn. Пусть fn-+f^F, А является непрерывным опера-
тором, а последовательность уп является компактной. Тогда
Уп-+У = A~{f.
Доказательство проведем от противного. Пусть уп ^у —
— А~1}. Тогда найдется г>0 и такая подпоследователь-
ность у для которой справедливо неравенство
Ру(Уи,? У)>П	(8-17)
в то время как подпоследовательность fn —>f. Но последо-
вательность уп является компактной и поэтому из y„ft мож-
но выбрать еще одну подпоследовательность, сходящуюся
к некоторому у 6 Y. Перенумеруем и обозначим эту подпо-
следовательность через уп- Имеем
Уп->У-	(8-18)
В силу непрерывности оператора А получим тогда fn—Ayn~^
—►Ду = 7, т. = Отсюда в силу однозначности обрат-
ного оператора получим у — у. Тогда (8.18) означает, что
уп -> у, т. е.
Ру(Уп, У)<е/2
при re>./V(e). Но согласно (8.17)
Ру(Уп» У) > с
для Vn (уп является подпоследовательностью y„ft). Получен-
ное противоречие доказывает теорему.
118
2.	Алгоритм построения приближенного решения. Будем счи-
тать, что решение задачи (8.3) существует при некоторой
фиксированной функции f(x), и обозначим его у(я). 51дро
К(х, s) будем считать непрерывным и замкнутым, что обес-
печивает единственность решения,как уже отмечалось в § 24.
Пользуясь теоремой 8.2, построим последовательность
функций, позволяющую получить с любой степенью точ-
ности решение у(х) некорректной задачи (8.3) по прибли-
женно заданной функции f(x).
Приближенное задание функции f(r) будем понимать как
задание последовательности уп(х) непрерывных на [с, d]
d. '
функций, таких, что - - g„(x)]2clx^ б®, где бп—>0—не-
которая числовая последовательность. Таким образом, gn(x)
аппроксимирует f(x) даже не обязательно равномерно, а в
смысле среднего квадратичного.
Алгоритм построения приближенного решения уравнения
(8.3) по заданной последовательности д„(х) состоит в том, что
выбирается некоторая числовая последовательность ап=уб2
где у — не зависящая от п постоянная, и для каждого ап
находится функция улп(х), реализующая минимальное значе-
ние сглаживающего функционала М*п\у, &„]. В § 25 мы обоз-
начали функцию, реализующую минимальное значение сгла-
живающего функционала через у(х), опуская значок а„, хо-
тя фактически у зависит от я.„. Так как теперь мы специ-
ально интересуемся зависимостью у от а, то будем эту за-
висимость указывать верхним индексом, что уже и сдела-
ли, написав уаи(т). Равенство an = ~t№ означает, что параметр
регуляризации ап согласован с точностью 6,г задания gn.
Оказывается, при достаточно большом п функция уап(х)
обеспечивает равномерное приближение к у(х) с произволь-
ной степенью точности, что можно выразить следующей
теоремой:
Теорема 8.3. Пусть у(х)—решение уравнения (8.3). Пусть
gn(x) —последовательность непрерывных функций, являющихся
приближениями для f(x) так, что
d
J [/(%)-£n(x)]2d.Z< 6.2,
С
где 8п—>0 при п—>оо. Пусть функция уап(х) реализует мини-
мальное значение сглаживающего функционала Мап\у, g"™], где
<хп=у62 (у = const не зависит от п.) Тогда для Ve^> 0 найдется
ЛЛ(е) такое, что при п^>П(г) справедливо неравенство
sup |у(т) — у’л(ж)|<е.	(8.19)
[а. Ь)
119
Доказательство. Воспользуемся теоремой 8.2. Рас-
смотрим два конкретных пространства Y и F. В пространст-
ве F, элементами которого являются непрерывные на [с, dj
функции, определим расстояние следующим образом:
/ d
Pj>(fi,	f [Ш-Ж12^. т. е. Ру(/Ь
|/ с
где || -1|— норма, введенная в пространстве h[c, d], рассмот-
ренном в § 4. В пространстве Y, элементами которого так-
же являются непрерывные на [а, 6] функции, ‘расстояние
определим как
Ру(У1> Уг) = sup |yi(x) — г/2(гс)|.
(а.ы
Построим последовательность уМ-т) (или для простоты
записи обозначим ее уп), указанную в формулировке теоре-
мы. Ей отвечает последовательность fn = Ауп. Поскольку
ядро К замкнуто, то отображение последовательности уп на
fn взаимно однозначно. Чтобы сделать заключение о том„
что ру(у, уп)—>0 при п->оо (это означает выполнение (8.19))т
надо согласно теореме 8.2 убедиться, что:
1°. Оператор А является непрерывным в смысле опре-
деления, данного в настоящем параграфе.
2°. fn->f, т. е. pf(/n, /) —> 0.
3°. Последовательность уп компактна.
Убедимся в справедливости 1°. Действительно, пусть по-
следовательность ип сходится к и в метрике пространства
У, т. е. сходится- равномерно. Тогда ип сходится к и и в
среднем. Такую последовательность ип (как было показано
в § 4) оператор Фредгольма А с непрерывным ядром
з) переводит в последовательность Аип, сходящуюся в мет-
рике пространства F к Аи. Это означает непрерывность
оператора А, осуществляющего отображение элементов
метрического пространства У на элементы метрического
пространства F.
Для того чтобы убедиться в справедливости 2° и 3°, до-
кажем два вспомогательных неравенства. Поскольку уп реа-
лизует минимальное значение функционала Мап\у, £п], то
Ма„{уп, gn] < М*п[у, gn],
где у есть решение уравнения (8.3), т. е.
120
Л’[У„, gn] 4- »пЦУп] < Ж gn] 4-	] -
- j (Ду—gnydx + anQ[y] = j* (f — £n)2 dx + an C <
c	c
<62 + «nC < (— an,
V /
где C)> 0 —постоянная, равная Q[y]. Итак,
МУп, gj + anS2[j’n] < “n +cj = anD.
Поскольку оба функционала в левой части не отрицатель-
ны, то каждый из них в отдельности не превосходит посто-
янной, написанной в правой части, и, следовательно,
М\Уп, gn] < °nD,	(8.20)»
Q[yn]<D.	(8.21)
Это и есть требуемые вспомогательные неравенства.
Докажем теперь 2°. Имеем согласно неравенству тре-
угольника
Р7,(Л /») < рДЛ gr>)+ Pr(g»> f n) = [ f (fn—gn)2dx~j +
d	1/2
Первое слагаемое в правой части равно
[ f (Лу„- -g„?dx ]	[ 7V[y„, g J] '' <	VD~n = 6n V^D '
c
согласно (8.18). Второе слагаемое
[ [(gn- № |1/'<8n
С
:огласно условию теоремы 8.3. Поэтому pF(fn, f) 6П(1 4-
4- /yD), откуда следует, что or(fn, /)—>0 при п—>оо, т. е.
Fn-f.
Докажем 3°. Для доказательства компактности после-
цовательности у„(х) нужно убедиться, что из любого беско-
нечного подмножества ее элементов можно выделить рав-
номерно сходящуюся подпоследовательность (сходимость в
К означает равномерную сходимость). Для этого согласно'
121
теореме Арцела [14] достаточно доказать, что любая под-
последовательность уп(х) равномерно ограничена и равно-
степенно-непрерывна.
ъ
Неравенство (8.21) означает, что j [р(у’п)2 + qy„\dx ^D, а
тогда в отдельности
ь
\p(y'n)2dx^ D,
а
Ъ
J qy*dx^D.
а
(8.22)
Так как р(ж)>0 по условию, то pQ — inf р(.т)>0 и, следо-
вательно,	!“ *1
Ь	ь	п
Ро J {yn)2dx < D, т. е. \(у'п)Чх^- =Dt.
а	а
Xi
Рассмотрим уп(х^ — yn(xi) = у'г(я)<£г. Применяя неравенст-
ва
во Коши — Буняковского, получим
|Уп(^) — г/п(*1)| = | j* y'ndx | <
«С / f (>’n)2 dx / ( Idx < |ADi	—H •
у i У i
Отсюда следует, что последовательность yn(.r) равносте-
пенно-непрерывна.
Докажем равномерную ограниченность последователь-
ности у„(.т). Для этого воспользуемся вторым из неравенств
6	D
(8.22). Имеем: fy’(a;)dx< — , где q9 = inf <?(х)>0. Отсюда
<7о	[а, Ь)
найдется точка £пб[а, Ь] такая, что </2,(D^C —----• При
—а)
этом равномерно по х и п. будет выполнено
|Уп(*)К|Уп(М1 +|УпС*) — Уп(£п)1 < 1/	,.Д . • + V Dd.b—а)\
У q0(b—a)
Итак, последовательность уп(х) равномерно ограничена
и равностепенно-непрерывна. В силу теоремы Арцела от-
сюда следует компактность последовательности ун(х). Тем
самым доказано свойство 3°, а вместе с ним и вся теорема
8.3.
Глава 9
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Настоящая глава носит справочный характер и изложе-
ние материала не претендует на обоснование всех утверж-
дений. Это определяется стремлением авторов не загромож-
дать пособие специальными вопросами. Более подробное
изложение затронутых в главе вопросов можно найти в
[2, 6, 8, 10, 16, 21 ].
(9-1)
§ 27.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО РОДА
При численном решении интегральных уравнений второ-
го рода задачу сводят к решению системы алгебраических
уравнений. Рассмотрим основные случаи.
1. Замена ядра вырожденным. Рассмотрим неоднородное
уравнение Фредгольма второго рода
ъ
у(;<) = а [ К(х, s)y(s)ds 4- f(x).
а
Как было показано в гл. 6, в случае вырожденного яд-
ра уравнение (9.1) эквивалентно системе алгебраических
уравнений (6.25). Решая эту систему, находим коэффициен-
ты Сп и из (6.23) — функцию г/(х).
В случае невырожденного ядра можно искать прибли-
женное решение уравнения (9.1), заменяя в (9.1) ядро К(х, з)
на близкое вырожденное ядро К(х, s). В качестве К(х, з)
можно выбрать, например, частичную сумму ряда Фурье
ядра К(х, s) по некоторой системе ортонормированных фун-
кций |фл(ж)[:
N	Ь
К(х, s) = 2 <*,п(^)Фл(г)> где O’n(s) = J К(х, s)q>n(x)dx.
n*=L	а
Если ядро К(х, s) явлчется аналитической функцией s,
то приближенное ядро К(х, s) можно искать в виде отрез-
ка степенного ряда
__	N
К(х, s) = 2 Cn(x)(s — d)n, где d€[a, b\,
Cn(x) = -L — K(x, s) I .
7 n! dsn V ’ |j=d
123
Можно показать, что в случае, когда 1 не совпадает е
собственным значением ядра А(х, s), решение уравнения мо-
жет быть сколь угодно точно приближено решением урав-
нения с ядром К(х, s') при условии достаточно малой разнос-
ти |К(х, s) — К(х, s)|.
Пример. Рассмотрим интегральн ое уравнение
1
у(х) — х sin(xs)y(s)ds cosx.
о
Найдем его приближенное решение, заменив ядро К(х,.
s) = ssin(xs) на близкое вырожденное ядро К(х> s).
а.	В качестве такого вырожденного ядра выберем 7<
s)=sjxs—^-x3s3j. Соответствующее приближенное решение-
обозначим у(1)(х). Имеем
УЙ = J*2 — у *2-s3) U(l)(x)ds +-
о '
cosx.
Ищем yw(x) в виде г/(1)(х) cosx -p ax* 4- bxl. Получаем!
cosx + ax2 4- bxl = is2 6?—-x2s3Vcoss-p
+ cs2 4- bs4) ds 4- cos :r.
Приравнивая слагаемые при x2 и x\ имеем
i
a x= ( s(cos s 4* as2 4- bs*)ds — cos 1 — 1 p sin 1 4-p — ?
J	4 ii
о
b = ( (---s3(cos s p a.s2 4- bsl)ds =
o'
=----- [б — 3 cos 1 — 5 sin 1 4- — 4-
6 L	6	8 I
Решая полученную систему двух алгебраических урав-
нений, находим a=t0,4742,	0,1569. Таким образом г/(1’(х) -=
= cosx 4- 0,4742х2 — 0,1569х‘. Точным решением исходного
интегрального уравнения, как можно непосредственно про-
верить, является функция у(х)=\. На отрезке [0, 1] макси-
мальное отклонение у(1,(х) от у(х) составляет 0,14.
б.	Аппроксимируем ядро /<(х, s) более точно, чем в пер-
вом случае, а именно возьмем ядро Кт(х, s) = х jss—Т2—р
Тогда ищем приближенное решение в виде у<2)(х) =
124
= cosx + ax' + bx* + ex6. Проделав выкладки, аналогичные
вышеприведенным, находим
у„(х) = cosa: + д2-0,5976 — х1-1,41 • 10~2 + х6 • 3,562 • 10-1.
Максимальное отклонение у{Х}(х) от точного решения у(х)
на отрезке [0, 1] составляет величину 0,034, т. е. погреш-
ность вычислений примерно в 5 раз меньше, чем в первом
•случае.
Аналогичным образом можно действовать в задаче на
собственные значения для однородного уравнения (9.1). За-
мена невырожденного ядра К(х, s) на близкое вырожденное
ядро К(х, s) позволяет свести интегральное уравнение к сис-
теме однородных алгебраических уравнений (3.20) с после-
дующим определением собственных значений матрицы /V-го
порядка.
2.	Метод квадратур. Пусть требуется решить уравнение
(9.1). Па сегменте |а, &] вводим сетку с узлами xt(i «= 1, . . ., N)
ь
так, что х0 — a, xN = b. Интеграл \ F(x, s)dx при любом зна-
чении х будем аппроксимировать какой-нибудь квадратурной
формулой — формулой трапеций, Симпсона или формулой
более высокого порядка точности. Получаем
J F(x, s)ds = 2 №(?, хл) + R,	(9.2)
a	n=(J
где — весовые множители, a R— погрешность аппроксима-
ции интеграла суммой. Для формул трапеций и Симпсона сет-
ка выбирается равномерной, ее шаг 1г ~~ х/+1 —xt = В слу-
чае формулы трапеций р0 ==	Р„ — h (п = 1,..., М —1);
яри аппроксимации интеграла по методу Симпсона R— чет-
но, = ₽„ =", рап = А р2п+ 2/г (ц= 1,..., А-1).
ООО
Используя соотношение (9.2) при значениях х — хт (т =
«0,..., N), имеем из (9.1):
У(хт) = к 2 РЛ( хп)у(хп) + Кхт) +	(9.3)
п=*0
Положим в этих уравнениях R = 0. Обозначим К(хт, хп) —
==Kmri, a f(xm) — fm. Рассмотрим систему алгебраических урав-
нений относительно неизвестных ут:
= ^пКщпУп + fm (rn = 0, 1, ..., N).	(9.4)
п=0
125
Эта система представляет собой разностную схему, отве-
чающую уравнению (9.1). Ее решение принимается за числен-
ное решение интегрального уравнения (9.1) в точках » =
Значения ут определяются из (9.4) при помощи какого-ли-
бо метода численного решения системы алгебраических урав-
нений, например метода исключения Гаусса. Величина N вы-
бирается исходя из возможности решения системы уравне-
ний (9.4) на ЭВМ. Обычно приходится ограничиваться не-
большим N, поэтому для получения малой погрешности це-
лесообразно выбирать квадратурные формулы высокого по-
рядка точности, например формулы Гаусса — Кристоффеля.
Для однородного интегрального уравнения (9.1) имеем
разностную схему
N
Ут —	(9.5)
74--0
Из этой системы могут быть определены собственные
значения матрицы	которые являются приближе-
ниями к первым собственным значениям Хг ядра /((ж, s).
Пусть решение уравнения (9.1), а также ядро и неодно-
родность в этом уравнении — достаточно гладкие функции,
и квадратурные формулы имеют порядок аппроксимации O(hp).
Если значение X в (9.1) не является близким к собственным
значениям Xz ядра Д(л', s), то при уменьшении шага сетки h
решение ут системы (9.4) ведет себя устойчиво и будет от-
личаться от точного решения интегрального уравнения в
узлах сетки на величину O(hp).
Если же Xs=X(, то малые изменения схемы или измене-
ние шага h могут привести к существенному изменению ре-
шения, т. е. система (9.4) становится, как принято говорить,
плох® обусловленной.
Методом квадратур можно решать и уравнения Вольтер-
ра второго рода. Будем рассматривать уравнение Вольтер-
ра как уравнение Фредгольма, в котором К(х, s) = 0 при
s^>x. Тогда разностная схема для уравнения Вольтерра
имеет вид
т
ут = 2	+ Г., (™ = 0, 1,..., Л;).	(9.6)
п=0
Поскольку матрица системы (9.6) является треугольной,
то для решения этой системы на ЭВМ путем последователь-
ного определения ут требуется меньший объем вычисле-
ний и соответственно значение N можно выбрать значитель-
но большим, чем в случае уравнения Фредгольма.
3.	Метод последовательных приближений. Для числен-
ного решения интегральных уравнений в ряде случаев це-
126	/
лесообразно применять метод последовательных прибли-
жений. Этот метод может быть легко реализован, если ин-
тегралы заменить квадратурными формулами и определять
значения решения в узлах сетки.
Как видно из изложенного в предшествующих главах,,
метод последовательных приближений может использовать-
ся в следующих случаях:
а.	Решение уравнения Вольтерра
у(х) = j К(х, s)y(s)ds + f(x),
а
как показано в гл. 7, является пределом равномерно схо-
дящейся последовательности приближений, определяемых
соотношением (7.2).
б.	Из § 17 следует, что последовательными приближе-
ниями может быть найдено решение неоднородного уравне-
ния Фредгольма (9.1) при 1И<----!---, где М — supIK^x, s)|.
M(b — а)
в.	В §8 приведен метод последовательных приближений
Келлога для решения задачи на собственные значения и
собственные функции для однородного уравнения Фредголь-
ма второго рода.
§ 28.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
ПЕРВОГО РОДА
Рассмотрим уравнение
ъ
Ay = j К(.т, s)y(s)ds = f(x) (c^x^d)	(9.7)
а
с замкнутым ядром К(х, s). Как было показано в главе 8,
уравнение Фредгольма первого рода является некорректно
поставленной задачей. Малые возмущения функции [(х), не-
избежные, например, при экспериментальном определении
этой функции или даже при округлении чисел в процессе
счета на ЭВМ, могут приводить к существенным измене-
ниям функции у(х) или к тому, что решения уравнения вооб-
ще не существует. В гл. 8 было показано, что в этом слу-
чае следует использовать методы регуляризации. Разобран-
ный в гл. 8 метод регуляризации рекомендует в качестве
приближенного решения использовать функцию уа(х), реали-
зующую минимальное значение сглаживающего функционала
127
d b
Ma[y, Л = [ [ J W. s).'/(s)^ — fW]2 dx +
c a
b
+ «[(/’(s)(y')2(s) + q(s) y\s)) ds.	(9.8)
a
При применении метода регуляризации возникают два
iaonpoca: как выбрать параметр регуляризации а и как на-
ходить у“(х) при заданном а?
1. Определение ух(х) при заданном а. При фиксированном
значении а функция уа(х) может быть определена двумя
способами:
а)	методами минимизации функционала Mz[y, f], напри-
мер методом скорейшего спуска, методом сопряженных гра-
диентов и др. [24];
б)	решением краевой интегро-дифференциальной задачи
>(8.12), определяющей экстремали функционала (9.8).
Замечание. Если на функцию у(х) в задаче (9.7) нак-
ладываются дополнительные ограничения, например требо-
<вание, чтобы у(х) не выходило за пределы определенной об-
ласти, то применяется лишь первый способ.
Задачу (9.8), вообще говоря, приходится решать прибли-
женно с использованием конечно-разностной аппроксимации.
Мы рассмотрим простейший случай p — q~\. Вводим рав-
номерную сетку по ж и по s. Узлы сетки по х: х0 = с, xlt...
. . ., x,v_i, xN = d. Узлы сетки по s: s0 = a, sY, . . . , s^-i,
Шаг сетки по х равен hx = —, шаг сетки по S ра-
вен hs => Тогда функционалу М“ будет соответство-
вать сумма
7W —VTit	+ а 5^' +
П-0 I =•()	J	Ц — О
(9.9)
где To = Lv =	L—1),
— hs (п = 1, . . . , N — 1). Величина М зависит от выбора
уг: М — М (yL, . . . , yL). Минимальное значение М дости-
гается при yt, определяемых из условия
^-=0 (Z 0, 1, . . . , L).	(9.10)
дУ1
128
Для удобства записи введем два числа y-i и y^+i, счи;
m	дм
тая у_1—у0, а г/ь-м = L)l  Тогда, вычисляя производные
из (9.9) и приравнивая их согласно (9.10) нулю, получаем
_ у I ~ V згк1гУг - g, (I = 0, 1, . . . , L),
и" = 0,	- о,	(9.11)
hs
где
^1Г = 2 Тл^П/^7>Г. Я/ = 2 lrlK!nfn
/1=0	п=0
Полученная задача (9.11) представляет собой разностную
схему, соответствующую задаче (8.12), (8.8). Эта схема имеет
порядок аппроксимации 0(11% +hi). Соотношения (9.11) яв-
ляются системой алгебраических уравнений и могут быть
решены, например, методом исключения Гаусса.
2. Выбор параметра регуляризации а. Пусть решается
уравнение (9.7), причем точное значение функции f неиз-
вестно, но задана функция fs(x) и оценка погрешности 8 та-
кие, что Ilfs—ЛК3- а 1|М1>8 (символ || || понимается в
том же смысле, что и в §4). Пусть yl(x) — функция, реали-
зующая минимальное значение сглаживающего функциона-
ла Ма[у, /si при значении параметра реализации а. Если выб-
рать а слишком малым, то в выражении (9.8) влияние регу-
ь
ляризирующего слагаемого aQ[i/| = a j (p(y')2+qy2)ds будет ма-
(I.
лым и решение /Д окажется „сильно разболтанным". Если
же а выбрать чересчур большим, то, наоборот, решение ока-
жется „ з а гл а ж е н н ы м “.
Проиллюстрируем сказанное на примере интегрального
уравнения
j К(х, s)y(s)ds = f(x),	(9.12)
где К(х, s) —------------
V ’ Hi +(х-sp|
ся в задачах гравиметрии
. Ядро подобного типа встречает-
(см. гл. 1).
В работе [11] представлены результаты следующего чис-
ленного эксперимента. Положим у(х) = (1 — х2)2. Тогда из
(9.12) можно вычислить f(x) с заданной степенью точности,
например 8=0,001. Попытаемся теперь, располагая прибли-
129
женнцм значением f(x), восстановить у(х), т. е. решить ин-
тегральное уравнение Фредгольма первого рода.
На рис. 3 представлены результаты расчета, которые по-
лучаются непосредственным применением конечно-разност-
ного метода без регуляризации. Использовалась разностная
схема
п
Xj)yjh = f(Xi) (1=1,. . . , п).	(9.13)
/=1
Сплошная кривая на рисунке представляет собой график
точного решения г/(х) = (1—х2)2. Числа, помеченные возле
вертикальных линии, представляют собой значения yj. вы-
численные из алгебраических уравнений (9.13). Как видно,
эти значения сильно разбросаны и отвечающие им точки да-
же не умещаются в пределах чертежа, что отмечено стрел-
ками. Эти точки не имеют ничего общего с графиком кри-
вой у = (1—ж2)2, которую, как можно заключить, получить
описанным путем не удается.
Рис. 3
Рис. 4
На рис. 4 представлен результат решения той же задачи
с применением4 метода регуляризации. На этом чертеже
сплошная кривая снова означает график решения у = (1 —х2)2.
Кривые I, II, III получены в результате выбора а = 10-1,
а — 10~6 и а — 10~9 соответственно. При этом видно, что кри-
вая II в пределах точности чертежа совпадает с графиком
точного решения. В случае I а оказалось чересчур большим,
а в случае III — чересчур малым.
Чтобы избежать обеих нежелательных крайностей в вы-
боре а, целесообразно использовать так называемый прин-
цип невязки. А именно рассмотрим функцию
130
р(а) = ||Д^-/8112.
(9.14>
которая называется невязкой. Имеет место следующее ут-
верждение: 8(a) при a 0 является монотонно возрастаю-
щей дифференцируемой функцией а. При этом limp(a)<82r
а->0+0
limp(a) = ||f5||2> 62. Следовательно, уравнение р(а) = 82 имеет
а—*-со
единственный корень а ~а(8)^>0. Это значение а и следует
выбирать в качестве регуляризации. (Можно показать, что'
при таком а функция уъ реализует минимум функционала
£2[г/] в классе функций, удовлетворяющих условию \\Ау— /б||
<8).
Итак, рассматриваемый алгоритм регуляризации состоит
в том, что численными методами (например, методом Нью-
тона) ищется корень уравнения р(а) — 82. При этом величина
р(а) при нужных значениях а вычисляется согласно (9.14),
где г/Б — функция, реализующая минимум Ма[у, ft,]. Эта функ-
ция определяется методами, указанными в п. 1.
Во введении, в п. 3 §2, в качестве одного из примеров
задач, приводящих к уравнению Фредгольма первого рода,,
была указана задача восстановления размытого изображения.
В этой задаче требуется определить освещенность и(х, у)
неразмытого изображения по известной освещенности v(x, у)>
размытого. Функции и и v связаны соотношением
9»
Рис. 5
13Г
b d
v(x, y) = J — S)2 +(?/ — T/)2)«(', ri)dtd-T], (9.15)
a c
где F (a) =
' О при a r2,
при 0 <a< r2,
r - const.
В работе [12] уравнение (9.15) решалось с помощью рас-
смотренных выше методов регуляризации. На рис. 5 приве-
дены результаты расчетов. Расплывчатый текст — заданная
функция v(x, у). Ясный текст в середине рисунка — восста-
новленная из (9.15) функция и(х, у).
Глава 10
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ
ОБ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
§ 29.
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Интегро-дифференциальным уравнением называется урав-
нение, содержащее неизвестную функцию как под знаком
интеграла, так и под знаком производной. В качестве прос-
тейших можно привести уравнения
= А(х)у(х) 4- f К(х, s)y(s)ds + f(x),	(10.1)
ах	J
а
= Л(х)у(х) + f К(х, s)y(s)ds + /(ж).	(10.2)
(I
Поскольку уравнения (10.1) и (10.2) содержат производную
—, то требуется задание начального условия
dx
у (а) —у0.	(10.3)
Интегро-дифференциальные уравнения очень разнообраз-
ны. В них могут входить производные более высоких поряд-
ков, например,
Гу = ~ 4. р dJL qy - Г	s)y(s)ds + /(х).	(10.4)
dx2 dx	.1
ь
Тогда в качестве дополнительных условий следует взять
у(а) = у°, у'(а) = у1	(10.5)
(начальная задача) или
У(а) = у°, у(Ь) = у1	(10.6)
(краевая задача). Заметим, что с задачей типа (10.4), (10.6)
мы уже встречались в гл. 8 (см. (8.12)).
Производные могут входить, кроме того, под знак интег-
рала. Могут быть интегро-дифференциальные уравнения с
частными производными, в которых интегрирование ведется,
вообще говоря, по многомерной области.
133
Встречаются уравнения, в которых интегрирование ведет-
ся по одному аргументу искомой функции, а дифференциро-
вание — по другому. Например,
— А(х, t)y(x, 0 4- (’ К(х, t, s)y(s, t)ds + f(x,t).	(10.7)
Ot	J
a
Встречаются также системы интегро-дифференциальных
уравнений и нелинейные уравнения. В рассмотренных ниже
физических примерах мы встретимся и с теми и с другими.
Читателям, желающим получить более полное представ-
ление о видах интегро-дифференциальных уравнений, можно
рекомендовать специальную литературу, указанную, напри-
мерР в [20].
§ 30.
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ
1.	Пусть человек совершает некоторую работу А. Со све-
жими силами он может развить мощность — = где Wo =
= const. Если же человек до этого уже работал, то произ-
водительность его труда меньше вследствие усталости. Эта
усталость определяется как величиной ранее затраченных
усилий, так и временем восстановления сил после предыду-
щей работы. В результате получаем, что производительность
труда определяется уравнением
^ = 1Г0-	(10.8)
at	J ат
о
где f(t — т) характеризует влияние мощности — (-с), затра-
d~
ценной в момент т, на усталость человека в момент t. Ин-
тегрируя по частям последнее слагаемое в соотношении
(10.8) и обозначая /'(g) =» К(1), получаем интегро-дифферен-
циальное уравнение
dA	!•
— - Wo - A(t)f(O) 4- A(t)K(t -	4(0) = 0,
dt	J
0
которое и определяет работу, совершенную человеком к мо-
менту t.
Замечание. Дифференцируя (10.8), можно получить
интегро-дифференциальное уравнение относительно W(l), где
W = —
dt’
134
- f K(t-1)w(№, W) = И'о.
at	J
0
2.	В качестве второго примера рассмотрим задачу из тео-
рии электрических цепей, о которой уже говорилось в п. 2
§2.
Тогда задача была сведена к интегральному уравнению
относительно II-
Убедимся, что эту задачу можно свести к интегро-диф-
ференциальному уравнению относительно и. Действительно,
воспользуемся тем, что Д = —	— Си. Без магнитного сер-
дечника справедливо соотношение — где <b = ^udt, а
и
при наличии магнитного сердечника возникает явление гис-
терезиса и имеет место более сложное соотношение
iL = — -Т | P(t, s)<$>(s)ds,	(10.9)
ia
где функция P(t, s) учитывает влияние значения потока ин-
дукции в момент s на силу тока в момент t и определяется
эмпирическим способом. Учитывая выражение для Ф через
и, получим
iL ~ ± J и(№+ f P(t, s)ds j =
ta	to
“ j H(t, l)u(l)dl, H(t, 0 = ± + / P(t, s)ds.
Ё
Таким образом,
t
CU=~R	U^ = U°>	(10. KJ)
что и требовалось.
Замечание. Соотношение (10.10) можно получить из
(1.6), используя формулу (6.35).
3.	Этот пример относится к области экологии. Рассмот-
рим так называемую модель „хищник — жертва”. Пусть в
некоторой среде обитания сосуществуют два вида живых
организмов. Один из этих видов „жертвы” может неограни-
ченно получать питание из окружающей среды. Обозначим
число особей этого вида Nx(t). Второй вид — „хищники”, чис-
ло которых У2(0 питается только представителями первого
135
вида. Число встреч, кончающихся гибельным исходом для
первого вида, пропорционально NiN2. Отсюда следует, что
за время dt изменение числа Л\ будет dNt =	—	i^2)dt,
где kx характеризует скорость размножения „жертв" в от-
сутствие „хищников".
„Хищники" умирают естественной смертью и их убыль
за время dt выражается величиной — k2N2dt. Что касается
их рождаемости, то она зависит от питания в течение неко-
торого времени Т, предшествующего появлению потомства.
Отсюда
dN2 =
— k2N2(t) -f- e2V2(Z) f NiW(t —
t-T
dt,
где функция f(/— т) характеризует ^влияние количества пи-
щи, съеденной хищником в момент т (это количество пропор-
ционально Л\(т)), на рождаемость в момент t.
В результате получаем, что численность рассматриваемых
популяций удовлетворяет системе нелинейных уравнений
at
~ =	(' N^f(t - W),
at i	J	/
\	t - Г	/
одно из которых является дифференциальным, а другое —
интегро-дифференциальным.
Замечание. Если процесс рассматривается начиная с
некоторого момента t — t0, то нижний предел можно поло-
жить постоянным и равным /0 — Т, а функцию /(/ — -) счи-
тать равной нулю, если t —
Обратим внимание читателей на монографию [9], кото-
рая является одним из классических трудов по математи-
ческим задачам экологии.
4.	К уравнениям „типа (10.7)" относится хорошо извест-
ное в физике так называемое кинетическое уравнение Больц-
мана. Оно имеет значительно более сложную структуру,
но характерным является то, что дифференцирование произ-
водится по одному аргументу, а интегрирование — по дру-
гим. Это уравнение описывает состояние идеального одно-
атомного газа с учетом столкновений частиц.
В случае однородного и изотропного газа и отсутствия
внешних сил оно имеет вид [19]:
=aJ[/« 07К» 0-/(v. 07(vi. 0]|v —Vi|da«dvi.
136
Здесь f(y, t) — плотность распределения частиц газа (т. е..
f(v, tyd^dv^dv3 — это число частиц газа, координаты скорос-
ти которых в момент t заключены в интервале dv1 dv2 dv3);.
v, Vj — скорости частиц газа до столкновения; v', v[— ско-
рости частиц после столкновения; du>— элемент площади в
плоскости, перпендикулярной вектору v — vf, а — некоторый
параметр. Скорости v1; v' связаны с v, Vj законами сохра-
нения энергии и импульса. Связь эта зависит от предпола-
гаемого механизма взаимодействия частиц.
5.	Интегро-дифференциальные уравнения, встречающие-
ся в физике, весьма разнообразны. Объектом интенсивного'
изучения в настоящее время является так называемое урав-
нение Уизема [29]
tit + иих + К{х — у)иу(у, t)dy = O,	(10.11}
— 30
описывающее распространение нелинейных волн в диспер-
гирующих и диссипативных средах. Ядро /С(а) в этом урав-
нении имеет особенность при а—>0.
Это уравнение было предложено Уиземом для изучения
поверхностных волн на мелкой воде. При этом функция
u(x, t) описывает свободную поверхность жидкости.
Различные частные случаи уравнения (10.11) применяют-
ся также в гидродинамике неизотермической плазмы без
столкновений и при изучении так называемых стратифици-
рованных (слоистых) сред.
§ 31.
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ ТИПА ВОЛЬТЕРРА
1.	Линейное уравнение. Рассмотрим сначала интегро-диф-
ференциальное уравнение (10.1) с начальным условием (10.3}
= А(х)у(х) + J /<(т, s)//(s)<7s + /(х), у(а) = у°.	(10.12}
(Г
Предположим, что Л(х) и }(х) непрерывны при
/<(.г, .?) непрерывно при
Задачу (10.12) можно свести к интегральному уравнению-
типа Вольтерра, рассмотренному в гл. 7. Действительно,,
решая (10.12) как дифференциальное уравнение с неодно-
родностью
!‘К(х, s)y(s)ds + /(.г),
137
получим
jAtnJdn х JЛ(-п)й-л г £
у(х) = у°еа + J / J К&, s') у (s)ds dl +
a	La	J
!• с
e"

(10.13)
Меняя во втором слагаемом порядок интегрирования, бу-
дем иметь
X
1/(х) = У К(ж, s)y(s)ds + f(.r),
а
(10.14)
где f(x) есть сумма первого и третьего слагаемого в (10.13), а
X
к	fAt-nldn
К(х, s') = j K(g, s)e~ dl.
Уравнение (10.14) относится, очевидно, к классу (7.1).
Применяя теорему 7.1, делаем вывод, что решение задачи
(10.12) существует и единственно на отрезке
2.	Нелинейные уравнения. Пусть задана система уравнений
вида
= fi(x, у1г . . . , у„, J Ki(x, s, yL(s), . . . , yn(s))ds,...
а
• f Кр(х, s, y^s), . . . ,yn(s))ds),	(10.15)
a
i — 1, . . . , n, 1 p n
при начальных условиях
=	(10.16)
Здесь f i(x, У!,..., уп, z„ ..., zp) и Kt(x, s, yit..., yn) —
заданные функции своих аргументов.
Приведенная в п. 2 предыдущего параграфа система урав-
нений, описывающая модель „хищник — жертва", принадле-
жит этому классу.
Метод последовательных приближений, которым мы поль-
зовались в гл. 7, может быть развит и применен к исследо-
ванию вопроса существования решения нелинейной задачи
(10.15), (10.16). Изложенный ниже способ доказательства
138
представляет собой обобщение схемы, описанной в [25] для
нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Мы здесь рассмотрим случай п = р = 1. Исследование об-
щего случая р^=\, п^=\ принципиальных осложнений не
представляет.
. Итак, имеем задачу
X
= Я-'+ У(*)> I* М(х, y(s))ds),	(10.17)
ах	J
У(хп) = У0-
Справедлива
Теорема 10.1. Пусть в области R — {хо<ЯЯ*о + a, |j/ —
— jy°| b,	функция K(x, s, у) непрерывна по со-
вокупности аргументов и удовлетворяет условию Липшица по у
я, У) — К(х, s, у)КА0|У —У1
((х, s, у) е R, (х, s, у) е R, L — одна и та же постоянная для
любой пары точек из R), а функция Л(х, у, г) непрерывна по
совокупности аргументов в D = {.т0 х хо 4- а, \у — г/°| Ь,
|z| Ка}, где К = sup|K|, и удовлетворяет условию Липшица
к
по у и г
1^(х, у, z) — f(x, у, z)|	— у\ 4-bjlz —z|
((х, у, z)^D, (х, у, z) е D, и —одни и те же постоянные
для любой пары точек из D).
Тогда при 0 <7 х —	— m>n ~=г} > где F — S^P |Я
существует единственное решение задачи (10.17).
Доказательство. Перейдем от задачи (10.17) к интег-
ральному уравнению
у(*) = Уи + [ЯС У(0, [ЯС s, y{s))ds)dt (10.18)
ха	х0
и построим последовательность приближений
(0)
У = У0,
У(х) = у° +y(t),	y(s))ds)dt. (10.19)
Методом индукции нетрудно доказать непрерывность функ-
(п-Н)	(п+1)
ций у(х) и неравенство |у — у°| ^6.
139
(ft+1) (ft)
Оценим у — у. Имеем
х	t
(ft+l) (*) р <k p	(k)
\y(x) — y(x)\ = ||.f(G 1/(0. K(t, 5> y(sY)ds) —
V	J
•^0	•'fl
(/г-1) p	(/г-1)
— F(G У(С), K(t, s, y(s))ds)]di <
(ft) (ft-D
Ц\у — y\ + L2 J \K(t,
(ft)	(ft-и
s, .//GO) — K(G s> y(s))lds
(ft) (ft-i) /• (ft) (ft-i)
Ml*/ —'/Ц-ДА \y(s)--y(s)\ds\dt.
(10.20)
Из (10.19) имеем
(1)	(0)	—
\У — U\ C G(;c —x0).
Предположим, что для /г > 1 выполнено
(ft) (ft-l) _	(г— v)ft
\у(х) -у(х)\	р-,	(10.21)
где L = Lt + L0L2a. Тогда из (10.20) получим
+ FLtL9Lk-1	< FU-' ^~'Yn),J+1- (L, + ULoa) =
0	(* + 2)!	'	(/г-j- 1)!	1	“ 0
= FLK
t. e. оценка (10.21) справедлива для номера, на единицу
большего.
Итак, неравенство (10.21) справедливо для любого k. От-
(ft;
сюда следует равномерная сходимость ряда с членами у(.г) —
140
(4-1)	(4)
— у(х) и равномерная сходимость последовательности у(х)
при х — x0^h к некоторой непрерывной функции у(х), так
как
(4) к (т)	(m—i)
У(х) = 2 (у№ — 2/W) + у"-
П»«1
Предельный переход при п—»со в равенстве (10.19) дает
соотношение (10.18).
Отсюда следует дифференцируемость у(х) и обращение в
тождество уравнения (10.17).
Доказательство единственности можно провести также
одним из традиционных способов. Предположим, что имеют-
ся два решения у^х) и у2(х) задачи (10.17). Тогда г = г/i —  у2
удовлетворяет неравенству (которое получается так же, как
неравенство (10.20))
|г|< f + L0L2 j' |z(s)|rfs)d/, z(x0) = 0.
(10.22)
Пусть z == max|z| при 0^x—x0<Z/i. Так как г y'= 0, то
z 0. Рассмотрим промежуток 0 «Сх — х0 3 = Л/2. Из (10.22)
следует, что на этом промежутке либо г = 0, либо справед-
ливо неравенство
2	(^-1 + 70L2a)z8 = Lz8,
т. е. 1<(А6=1/2, что является противоречием. Следова-
тельно, г(х) = 0 при х — х0<8. Тогда в неравенстве (10.22)
можно заменить х0 на х0 + 8 и, повторив рассуждения, по-
лучить, что z(x) = 0 при х<^х0-|-28. Продолжая процесс, че-
рез конечное число шагов получим, что z(x) -0 при х0<С
Теорема доказана.
Замечание. В отличие от линейного случая, разобран-
ного в п. 1, утверждение теоремы 10.1 носит локальный ха-
рактер, т. е. существование решения гарантируется не на
всем заданном промежутке	изменения х, а на
некотором достаточно малом отрезке х0 х<Д0 + h.
Точку xi — xo + h, У1 = у(х0 + h) можно принять за новую
начальную точку и применить описанные выше построения
к задаче
Л‘1	X
=> f(x, у(х), ( К(х, s, y(s))ds -ь Г К(х, s, y(s))ds),
dx	;)	J
•'о	Л’]
y(^i) = 2/i-	(10.23)
141
Тем самым можно доказать существование решения за-
дачи на некотором отрезке [хъ х2], х2 = xt -f- hv
Решение у(х) задачи (10.23) можно рассматривать как
продолжение решения у(х) задачи (10.17) на отрезок [хь х2].
Продолжая шаг за шагом описанные рассуждения, мож-
но „довести" график решения у(х) до границы заданной об-
ласти х0<^х«^х0 + а, |у-— г/0| Р Ь.
§ 32.
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ ТИПА ФРЕДГОЛЬМА
Обратимся сначала к задаче (10.2), (10.3). Сведем эту за-
дачу к интегральному уравнению, пользуясь способом, уже
применявшимся в п. 1 предыдущего параграфа. Рассматривая
(10.2) как дифференциальное уравнение с неоднородностью
ъ
s)y(s)ds f(x), получим
а
х ('A(-n)dfl b	х / х, ,
<,(*) = р уВД, *«»)* +
а	а
х ул(-г))<ы	)А(п)<й)
+	f(l)dt, + y<>ea.	(10.24)
а
Меняя порядок интегрирования в первом слагаемом, бу-
дем иметь
ь
у(х) = [ К(Х, s)y(s)ds.+ Hx),	(10.25)
а
где Дл) — сумма двух последних слагаемых в (10.24), а
X
К(х, s) = je’	s)ds.
а
Таким образом, задача (10.2), (10.3) свелась к линейному
интегральному уравнению типа Фредгольма (10.25), ядро ко-
торого, вообще говоря, несимметрично, даже если К(х, s)
симметрично. Для этого уравнения справедлива теория, раз-
витая в § 18.
Точно так же, если существует функция Грина G(x, |)
оператора Ly при условиях (10.6), то задача (10.4), (10.6)
сводится к интегральному уравнению вида (10.25), где
ь
7(х) = J G(x, |)/(?)^ + у(х)
142
(у(х) — решение однородного уравнения Ly = 0 при усло-
виях (10.6)), а
ъ
К(х, = s)G{x, l}dl.
а
Именно таким приемом мы пользовались в §25.
Рассмотрим теперь уравнение (10.7). Зададим начальное
условие
у{х, 0) = Ф(х)	(10.26)
(подчеркнем, что в отличие от (10.3) здесь начальное зна-
чение является функцией х).
Способ, примененный выше к уравнениям (10.1) и (10.2)^
в данном случае приводит к интегральному уравнению с
двойным интегралом
? д „ _
у(х, t) = dt J /<(х, s, t, ^y(s, t)ds + f(x, 1),	(10.27)
/« a
t	t
fA(x,	-nJdTi
где /(x, t) — Ф(х)е*9	+ j ex f(x,
6
t
Ja(x, -ntd-n
K(x, s, t, t) = K(x, s, t)ex
Интегральные уравнения вида (10.27) нами не рассматри-
вались, однако для них можно провести рассуждения, ана-
логичные приведенным в §21. При этом получим, что ре-
шение (10.27) существует, единственно и может быть най-
дено путем последовательных приближений.
Можно выделить случай, когда решение задачи (10.7),
(10.26) удается построить в виде разложения по собствен-
ным функциям ядра. Пусть A — A(t), К — К(х, s) = К($, х),
t = f(x), т. е. уравнение имеет вид
,	ъ
= A(t)y (х, t) + J К(х, s)y(s, t)ds + f(x).	(10.28)
a
Будем строить решение задачи (10.28), (10.26) при
О^З^Т7. Представим у(х, t) в виде
У(х, t) = g(x, t) + y(x, f),	(10,29)
где у(х, t) удовлетворяет соотношениям:
« A(t)y(x, t) 4- f(x), у{Х„ 0) «=» Ф(Х)
143
и, следовательно,
i	t
|il(v))dvi	f f A(n)dn
y(x, t) = Ф(х)е° 4- f(x) } e~ dr.	(10.30)
b
T огда
b
= *4(Hg(x, l) + ( K(x, s)g(s, t)ds+p(x, t),	(10.31)
dt	J
(I
g(x, 0) = 0.
Здесь
b	.
p{x, i) = j K(x, s)y(s, t)ds.
<1
Функцию g(x, t) будем искать в виде
g(.r, /) = 2 gn(t)yn(x),	(10.32)
где Уп(х) — собственные функции ядра К(х, s). Подставляя
(10.32) в (10.31), приравнивая слагаемые при у,г(х), получим
= A(t)gn(T) + ^ +	£,.(0) = 0,	(10.33)
ui	кп	лп
где yn(t) — коэффициент Фурье функции у(х, t), т. е. yn(t) =
ь
= У(х> t)yn(x)dx. В отличие от (6.3) для gu(t) получилось
обыкновенное дифференциальное уравнение, решение кото-
рого имеет вид
t (.4(r,)d n +  „
(10.з4)
6
Для yn{t) из (10.39) имеем
t	t
yn(t) = y(x, t)yn(x)dx — Ф,/1	4- fn j e! dr,
a	0
где Фп, f„ — коэффициенты Фурье функций Ф(х) и f(x). Пос-
кольку при t Т
( '
|ет | < Clt I j e' dr I < C2,
Ct
144
где С[ и Сг — некоторые константы, то max |yn(/)| "ССХ|ФП| 4-
t
+ Cs\fn\. Так как |Х„|—> оо при п—>оо, то экспоненты, стоя-
щие под знаком интеграла в (10.34), равномерно ограничены
no t и п. Из (10.34) получаем оценку для gn(t):
max\gn(t)\ -^(С^ф,,; +С,|М).
I
(10.35)
В силу этой оценки ряд (10.32) мажорируется рядом
2 ^(С1|ФЛ-С2|М)-|ул(х)|,	(10.36)
п=1 п
представляющим собой сумму двух рядов, равномерная схо-
димость каждого из которых доказывается так же, как в
теореме Гильберта — Шмидта в §10. Поэтому ряд (10.32) схо-
дится равномерно относительно х и t и g {х, () является не-
прерывной функцией х и t.
Для того чтобы обосновать проведенные выше преобразо-
вания, необходимо убедиться в существовании непрерывной
„ dg
производной — и в возможности ее вычисления почленным
дифференцированием ряда (10.32). /Для этого надо убедить-
ся в равномерной сходимости ряда
оо
(Ю.37)
П = 1
Из (10.33) видно, что d-~ имеет такую же оценку (10.35)
(может быть, лишь с другой константой С). Поэтому ряд
(10.37) также равномерно сходится. Тем самым функция
g{x, Z), определяемая рядом (10.32), является решением за-
дачи (10.31), а следовательно, у(х, t) является решением за-
дачи (10.28), (10.26). Таким образом, справедлива
Теорема 10.2. Решение задачи (10.28), (10.26) дается фор-
мулой (10.29), в которой функция y(x,t) определяется из (10.30),
а функция g(x, t) представляется рядом Фурье (10.32) по соб-
ственным функциям уп(х) ядра К(х, s). Коэффициенты gn(t)
определяются формулой (10.34), в которой yn(t) есть коэф-
фициент Фурье функции у(х, I), а Х„ — собственное значе-
ние ядра К(х, $), отвечающее собственной функции уп(х).
Полученное решение является единственным, поскольку
задача (10.26), (10.28) является частным случаем задачи (10.7),
(10.26), а решение последней, как было указано выше,
единственно.
145
§ зз.
СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Нередко в интегро-дифференциальное уравнение входит в
качестве множителя при производных малый параметр р.
Если формально положить = 0, то либо порядок уравне-
ния понижается, либо оно вообще не содержит производных
и становится интегральным. Такие системы называются син-
гулярно возмущенными системами.
Ставится следующий вопрос: если параметр р достаточ-
но мал, будет ли решение системы с параметром р близко
к решению системы, которая получается из исходной, если
положить р = 0? Такая система, как правило, проще исход-
ной и поэтому ответ на поставленный вопрос (если этот от-
вет положительный) существенно облегчает исследование ис-
ходной системы.
Примером сингулярно возмущенного интегро-дифферен-
циального уравнения является уравнение (10.10) в случае ма-
лой емкости. Уравнение (8.12) также является сингулярно
возмущенным, поскольку параметр а считается малым.
В настоящем параграфе мы рассмотрим поставленный воп-
рос для простейших случаев. Более обстоятельные сведения
содержатся в [7]. Основы теории сингулярных возмущений
для дифференциальных уравнений изложены в учебнике [25].
Пусть задано интегро-дифференциальное уравнение
!i = А(х)у(х) + С K(r, s)y(s)ds + 7(х),	(10.38)
dx	J
а
в котором Д(х)=т^0 («<;*<;6), р>0 является малым па-
раметром. Неизвестная функция у фактически является функ-
цией двух переменных: х и у, т. е. у — у(х, у). Поставим на-
чальное условие
у(а, р) = у°.	(10.39)
Положив в (10.38) формально р = 0, получим интеграль-
ное уравнение
0 = А(х)у(х) + f К(х, s)y(s)ds + /(х).	(10.40)
а
Будет ли решение у(х, р) задачи (10.38), (10.39) при р -* 0
стремиться к решению уравнения (10.40), которое мы обоз-
начим через у0(х). Согласно терминологии теории сингуляр-
ных возмущений уравнение (10.40) называется вырожденной
задачей.
Мы докажем, что так же, как и для дифференциальных
уравнений (см. [25]), ответ на этот вопрос является положи-
146
тельным, если выполнено некоторое условие устойчивости,
которое в данном случае имеет вид
Л(х)<^0,	(10.41)
При этом условии предельный переход у(х, р)—>у0(х)
имеет место при	и не является равномерным. Для
построения асимптотической формулы, которая дает равно-
мерное приближение к у(х, р), нужно к решению вырож-
денной системы у0(х) прибавить так называемую погранич-
ную функцию По. Определим ее дифференциальным уравне-
нием
^:=Л(а)1Г0	(10.42)
rf?	\ р /
при условии
= / — У0(а).
Выражение для 1Г0 может быть выписано явно, а именно
Л(О)
n0 = [y0-y0(a)]^(W = [!/0-y0(a)]e	11	(10.43)
Докажем следующую теорему:
Теорема 10.3. При достаточно малых. р<С!го для решения
у(х, р) задачи (10.38), (10.39) на сегменте ах^х^Ь справедливо
представление
У(х, р) = у0(х) -Ь По 4- R^x, р),
(10.44)
где |/?]| Ср (С — не зависящая от р постоянная.)
Доказательство. Подставим у(х, р), выраженное в ви-
де (10.44), в (10.38) и (10.39). Свойства Rt пока неизвестны,
так что тем самым мы просто перешли к новой неизвестной
функции /?!- Будем иметь
Р	+ Р^ = А(х)(у0 + По + RJ +
ах ас, ах
+ Р<(х, s)[y0(s) 4- llo(s, р) 4- Д1(5, p)]d«4-/(x).
а
Учитывая определение у0 и По, получим для Ri уравне-
ние
Р = 4(х)/?1(х, р)4- \К(х, s)Rt(s, p)ds 4-
ах	J
+ Ж р),	(10.45)
где F(x, р) = | А(х) - Л(0)]ГГ0 4- f К(х, s)IT, ds - р .
у	\ Р / dx
147
Пользуясь (10.43), для F(x, р) нетрудно получить при
и достаточно малых р<[р0 оценку
№, р)| <C11S	(10.46)
где (^ — некоторая не зависящая от р постоянная. Началь-
ное условие для Rlf очевидно, следующее:
R^a, р) = 0.	(10.47)
Из (10.45), (10.47), интегрируя уравнение (10.45) как диф-
X
ференциальное с неоднородностью [(. . . )ds 4- F, имеем
а
X — р(п)<7->1	5
р) = j 5 d| - j /<(§, s)/?i(.s rids 4-
a	~ a
x — n)<in ।
+	~F& ridl
a
Изменяя в первом слагаемом порядок интегрирования,
получим
/?1(х, р) = j A’Cv, s, p)/?i(s, rids + F(x, p),
(I
I ?	1 r
x — ]3(7i)d7i	x — J
где^=[/5	~F(|, rids-
J	tx	;	p
Пользуясь тем, что X(.v)^ — p = const<0 в силу (10.41),
и оценкой (10.46), нетрудно получить неравенства
|К(лс, S, р)| </< = const, \F(x, р)| <Сар.
Отсюда оценка |/?i| <^Ср получается точно таким же
способом, как в [25, с. 202].	_
Доказанная теорема говорит о том, что выражение у0(х) 4-
+ Щ	является асимптотической формулой для ре-
шения у(х, р) задачи (10.38), (10.39) с остаточным членом
Rt(x, р) = О(р). Можно получить более точную асимптоти-
ческую формулу с остаточным членом RK(x, р) = O(pfe). Мы
увидим, что наличие интеграла в уравнении несколько ви-
доизменяет алгоритм, описанный в [25].
Будем искать у(х, р) в виде формального ряда
У„(Д +	+ • • • + По(|) + рПД!) 4-...	=	(10.48)
\ И /
148
где г/((х) называются регулярными членами, а II, — погранич-
ными членами. Ряд (10.48) нужно подставить в (10.38), (10.39)
и приравнять члены с одинаковыми степенями р. При под-
становке в (10.38) надо приравнивать отдельно члены, за-
висящие от х и отдельно — члены, зависящие от g. Имеем
[dx dx	J di, di
+ . . ,] + Л(а4-!1|)[П0(|)	4- .. .] +
+ f К(х, s)[y0(s) + р^($) + . . . ]ds +
+ С К(х, s) |И0	+ рЩ	.
J L к г /	\ р /
ds. (10.49)
Прежде чем проводить операцию приравнивания членов с
одинаковыми степенями р, преобразуем последнее слагаемое
в правой части, перейдя к переменной интегрирования =
— (з — а)/р и записав его в виде суммы двух интегралов
f+f (I = (х- а)/р):
0 со
р J К(х, а + jxvj)[II0(Trj) + рПДт)) 4- . . . ]d7) +
6
Е.
+ И f К(а 4- рЕ, а 4- рт))[П0(т]) 4- рП^т]) 4- . . . ]cfy =
К{х, а)П0(т])с(7| 4- J /<(а, a)TT0(-/])d-/]
со
Е	5
4- [ /((а, а) НКт))^ 4- J [К’х(а, а)* 4- /<'(а, аЖ^т;
со	оо
= - р К(х, a) y—.yW- 4- К(а, a) y4.~ rj^ ел(0*
Л(а)	А(а)
+ i4. ••]+...
После подстановки полученного выражения в (10.49) мож-
но приравнять члены с одинаковыми степенями р. Прирав-
нивание членов, содержащих р°, дает уравнения для у0 и 110,
149
которые уже были выписаны ранее (см. (10.40) и (10.42)), а
приравнивание членов, содержащих [г, приводит к уравне-
ниям для у! и Щ:
—	X	—
= Д(х)^ + (' К(х, s)Mds - К(Х, a) ya~'Jfa\
ах	J	Д(а)
я
—1 = Л(а)И, + КМ Уа-^а1еА(аП.	(10.50)
di	А(а)
Первое из этих уравнений является интегральным, а вто-
рое— дифференциальным, и поэтому второе уравнение (10.50)
надо снабдить начальным условием. Это начальное условие
мы получим, подставляя (10.48) в (10.39),
Уо(а) + ^(а) 4- . . . + 1Г0(0) + 44(0) + . . • = У0-
Приравнивая члены, содержащие р-0, получим условие
И0(0) — у° — у0(0), которое уже было использовано при пост-
роении Но, а приравнивая члены, содержащие р, имеем
140) = - М.	(10.51)
Из (10.50) видно, что уг(х) является решением интеграль-
(dun	—
—----величина известная, поскольку у0
dx
найдено), а Щ является решением дифференциального
уравнения при начальном условии (10.51). Выражение для
Щ можно найти, как и выражение для По, в явной форме.
Подобным иге образом можно построить следующие чле-
ны разложения (10.48) и доказать теорему о том, что
к _
|у(х, р)-£р4л + П{)|<Ср*+1 (а<х<6).	(10.52)
/=Г
Пусть теперь в (10.38) верхний предел постоянный:
ь
р — А(х)у{х) 4- J К(х, s)y(s)ds + /(х),	(10.53)
а
у(а, р) = у0,	(10.54)
и вырожденное уравнение является уравнением Фредгольма
ь
0 — А(х)у(х) + j /<(х, s)y(s)ds + f(x).	(10.55)
а
150
Будем предполагать, что выполнено условие устойчивос-
ти (10.41) и что однородное уравнение, соответствующее
(10.45), имеет только тривиальное решение, т. е. само урав-
нение (10 45) имеет единственное решение у0(х).
Заметим без доказательства, что в данном случае также
справедливо утверждение, аналогичное теореме 10.3, и более
общее неравенство (10.52), но алгоритм построения асимпто-
тики несколько изменится. Форма разложения (10.48) и соот-
ношения (10.49) (с заменой в верхнем пределе х на Ь) сох-
раняются. Последнее слагаемое в (10.49) имеет вид
ь/р
Н J К(х, а + м)[П0(-/]) 4- рЩ?]) + . . . ]<Ь]=
оо	b/р.	Г оо
= р j" ( . . . )dvt -j- i* f ( ... )dri = p f K(x, «)П0(т])^ +
6	о©	.6
ь/Р
+ \K(a, а)П0(т))<7т)
ОО
(10.56)
В отличие от случая интеграла с верхним пределом х,
второе слагаемое в группе членов с множителем р равно
ь
W	о , ч Л(''’ р
р С К(а, а)П0(7])</7] рК(л, а) ----е ,	(10.57)
J	д(а)
т. е. оказывается экспоненциально малым. Поскольку целью
всего построения является получение асимптотики с оста-
точным членом порядка некоторой степени р (см. (10.52)),
то величины типа (10.57) при построении можно отбрасы-
вать (привносимые ими невязки будут много меньше сте-
пенных по р невязок, которые дают остальные члены).
Таким образом, член р[ . . . ] в разложении (10.56)
вообще не содержит экспоненты Как оказывается, тем
же свойством обладают и следующие члены разложения
(10.56). Поэтому последнее слагаемое (10.47) учитывается
только при построении регулярных членов. Итак, имеем
_ ь
А{х)у0{х) + К(х, s)y0(s)ds + f(x),
а
Д(д)П0, П0|г=0 = у° — у0(а)-,	(10.58)
А(х)У1(х) + (' К(х, S)7h(s)ds	К(х, а)
J	dx	А(а)
151
dt
Мы познакомились с простейшим случаем уравнения
(10.53), когда вырожденное уравнение (10.55) имеет единст-
венное решение. Возникает естественный вопрос: какова бу-
дет асимптотика решения задачи (10.53), (10.54), если К — 1
является собственным значением ядра Д'(х> z)/A(x) и таким
образом вырожденное уравнение (10.55) либо имеет беско-
нечное множество решений, либо ни одного?
Не имея здесь возможности рассмотреть детально все
эти вопросы, отсылаем читателя к специальной литературе
[7], а здесь ограничиваемся рассмотрением некоторых при-
меров.
Примеры. 1. Найти решение уравнения
1
1*у' = — У(х) + [ sy(s)ds 4-1, y|x=o = У0 (10.59)
о
и исследовать его при р.-*0.
X
Дифференцируя, имеем у-у" =— у', откуда у^С^е 4-С2.
В качестве дополнительных условий для определения
Си С2 будем использовать начальное условие (10.59) и на-
чальное условие, получаемое из уравнения (10.59) и имею-
X
С	"7
щее вид pj/'U-o = — У° 4- sy(s)ds 4- 1. Подставляя у = Сге 4-
о
4- С2 в эти условия, получим два уравнения для определе-
ния С15 С2, найдя которые, получим окончательное выраже-
ние для у
(у° — 2)е г
у(х, р-) =--------------_i_	_ i_---------Ь
1 4" 2[л(е 1 4* Ре ‘ -“Iх)
_4_	_ 1.
f 2 -|-2[лу°(<? 1 + це И —р.)
•	i 1	•
1 + 2р(е 1 4“ Iх « 1 — Р)
(10.60)
152
Найдем теперь из (10.58) у0(х) и По. Имеем у0(х) =
С sy0(s)ds 4- 1, откуда у0(х) = 2. Имеем также ^- = —По,
о	х	d*
По(0) = г/° —2, откуда П0 = (у° —2)е 1\
Нетрудно усмотреть из вида точного решения (10.60),.
что у(х, у) = у0(х) + По | —) 4- <?(fi), т. е. для данного уравне»
\ р- /
ния (10.59) с оператором типа Фредгольма теорема 10.3, ока-
зывается справедливой.
На данном примере можно убедиться в важности усло-
вия устойчивости (10.41), которое здесь выполнено. Но ес-
ли бы при у(х) справа в (10.59) был коэффициент 4- 1, т. е..
было Л(х)>0, то в решении появилась бы растущая экспо-
нента и представление (10.44) потеряло бы смысл.
2. Решить уравнение
г
НУ' = — У(х) 4- 3 [ xsy(s)ds, у|х~о = У° (10.61)
о
и исследовать решение при р*-+0.
X
Имеем ну' = — У 4-	0 = 3 sy(s)ds. Отсюда у = Се 4-
о
4- Р* —
Постоянные С и 0 определяются из уравнений у0 — С —
с ~ 7
— 0у, 0 = 3 j s(Ce +	— 8y)ds
b
и для них получаются выражения С = у0 4- О(|х2), Р = O(y)i
Следовательно, решение задачи (10.61) имеет вид
X
!Л
У(х, и) = [*/° + О(на)]^	4- О(н).
При [х-» 0 у(х, р.) имеет пределом yosO. Это одно из
решений вырожденного уравнения (которое имеет семейство’
решений у = Сх, так как X = 3 является собственным значе-
нием ядра К(х, s) = xs).
3. Видоизменим уравнение (10.61), сделав его неодно-
родным:
I
га' = — У(х) 4- з f xsy(s)ds 4- 1, у I х=о = У°.
6
153»
Тогда у = Се И 4-£х + (1— у-Р),
причем
Л
у° — С + 1 —• р.р, [3 =» 3 s(Ce И 4- Ps + 1 — p.s)rfs,
о
откуда С='у° + О(р), Р — —	и решение имеет вид
Iх
X
у(х, р) = [у° + O(tx)]e и + -+Q(^--)- х + О(р«).
н
При [х —> 0 это решение имеет полюс по р. (второе сла-
гаемое). Это связано с тем, что в данном случае вырожден-
ное уравнение не имеет решения, поскольку „1“ неортого-
нальна собственной функции х.
ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
1.	Владимиров В. С. Уравнения математической физики. 4-е изд.—
М: Наука, 1981.
2.	Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.
3.	Краснов М. П. Интегральные уравнения. Введение в теорию. —
М.: Наука, 1975.
4.	С м и р и о в В. И. Курс высшей математики. Т. 4. 6-е изд. — М.:
Наука, 1974.
5.	Т и х о н о в А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных
.задач. 2-е изд. .— М.: Наука, 1979.
Дополнительная и цитированная литература
6.	Березин И. С., Жидков Н. И. Методы вычислений. Т. 2. 2-е
изд. — М.: Физматгиз, 1962.
7.	Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения
решений сингулярно возмущенных уравнений. — М.: Наука, 1973.
8.	В е р л а н ь А. Ф., Сизиков В. С. Интегральные уравнения: мето-
ды, алгоритмы, программы: справочное пособие. — Киев, Наукова думка,
1986.
9.	Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование.—
М.: Наука, 1976.
10.	Гав урин М. К. Лекции по методам вычислений. — М.: Наука,
1971.
11.	Гласко В. Б., 3 а и к и и П. Н. О программе регуляризиругощего
алгоритма для уравнения Фредгольма первого рода // Вычислительная ма-
тематика и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1966.
12.	Гончарский А. В. Обратные задачи оптики//Вести. Моск, ун-та.
Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернетика. 1986. М? 3. С. 59—76.
13.	Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа.
Ч. 1, 4-е изд. — М.: Наука, 1982.
14.	Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. 2,
-2-е изд. — М.: Наука, 1980.
15.	Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. 3-е изд. — М.:
Наука, 1984.
16.	Крылов В. И., Бобков В. В.. Монастырский П. И. Интег-
ральные уравнения, некорректные задачи и улучшение сходимости. —
Минск, Наука и техника, 1984.
17.	Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 2. 3-е изд. —-
М.: Высшая школа, 1981.
18.	Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. 2-е изд. — М.: Физ?
матгиз, 1965/
19.	Математическая энциклопедия. Т. 1. — М.: Советская энциклопедия,
1977.
20.	Математическая энциклопедия. Т. 2. — М.: Советская энциклопедия,
1979.
21.	Михлин С. Г., Смолицкий X. Л. Приближенные методы реше-
ния дифференциальных и интегральных уравнений. — М.: Наука, 1965.
22.	Свешников А. Г.. Тихонов А. Н. Теория функций комплексной
(переменной, 4-е изд. — М.: Наука, 1979.
155
23.	С м и р н о в В. И. Курс высшей математики. Т. 3. Ч. I, 10 е изд. —
М.: Наука, 1974.
24.	С у х а р е в А. Г., Тимохов А. В., Федоров В. В. Курс методов»
оптимизации. — М.: Наука, 1986.
25.	Т и х о и о в А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Диф-
ференциальные уравнения. 2-е изд. — М.: Наука, 1985.
26.	Тихонов А. Н., Гласко В. Б. Применение метода регуляризации
в нелинейных задачах//Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1965. Т. 5,
№ 3. С. 463 — 473.
27.	Т и х о н о в А. Н., С а м а р с к и й А. А. Уравнения математической
физики. 5-е изд. — М.: Наука, 1977.
28.	Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980.
29.	У из ем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. '
30.	Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. Т. 2. 10-е изд. — М.: Наука, 1970.
31.	Шилов Г. Е. Математический анализ, специальный, курс.. 2-е
изд. — М.: Физматгиз, 1961.
предметный указатель
Альтернатива Фредгольма 91
Гильберта — Шмидта теорема 46, 65, 68, 69, 145
Келлога метод 36
Компактная последовательность 21, 118, 121
Корректно и некорректно поставленная задача 106
Коши — Буняковского неравенство 17, 47
Мерсера теорема 52
Норма оператора 19
—	функции (вектора) 16
Однородное уравнение 7, 31
Оператор вполне непрерывный 21
—	непрерывный 2.0, 118
—	ограниченный 19
—	симметричный (самосопряженный) 23
—	Фредгольма 18, 32
Ортонормировапная система собственных функций (векторов) 29, 34
Представимая через ядро функция 46
Првстранство метрическое 17, 106, 117
— нормированное 16
Ранг собственного значения 29, 64
Разложение ядра по собственным функциям 50, 52
Регуляризации метод (алгоритм) 113, 119, 127
— параметр 113, 128, 129
Резольвента 71, 76, 93, 102
Сглаживающий функционал 113, 115
Собственное значение 14, 31, 33
— функция (вектор) 14, 31, 33
Стеклова теорема 65
Уравнение интегральное Абеля 106
—	Вольтерра 1-го рода 7, 101
—	Вольтерра 2-го рода 7, 8, 99
>	— Фредгольма 1-го рода 7, 11, 106
—	Фредгольма 2-го рода 7, 12, 31, 68, ПО
Уравнение интегро-дифференциальное 115, 133
—	типа Вольтерра 137
—	типа Фредгольма 142
—	сингулярно возмущенное 146
•Фредгольма теоремы 84, 88
Штурма—Лиувилля задача 37, 60
‘Ядро интегрального уравнения 6
—	вырожденное 41
—	зависящее от разности аргументов 95, 105
—	замкнутое 62, 111
—	повторное 48
—	положительно определенное 52
—	полярное 56, 79
—	слабо-полярное 56
—	союзное 85
—	эрмитово 56
—	эрмитово-сопряженное 56
157
Учебное издание
Васильева Аделаида Борисовна,
Тихонов Николай Андреевич
И НТЕГРЛЛЫ1Ы Е : !-’Д EJ!-ГНИЯ
Зав. редакцией
Н. М. Глазкова
Редактор
Р. Д. Солод
X у дож еств е н н ы й р ед г к 7 op
Ю. М. Добрянская
Технический редактор
В. В. Макарова
Корректоры
В. П. Кададинская,
Л. Л. Костылева