ИЗДАТЕЛЬСТВО
«МИР»

INTUITIONISM
An introduction
A. HEYTING
Professor of Mathematics
University of Amsterdam
19 5 6
NORTH-HOLLAND PUBLISHINQ COMPANY
AMSTERDAM

БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА «МАТЕМАТИКА»
А. ГЕЙТИНГ
ИНТУИЦИОНИЗМ
Введение
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
Б. А. Я Н К О Б А
ПОД РЕДАКЦИЕЙ И С КОММЕНТАРИЯМИ
А. А. МАРКОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИРэ
МОСКВА 1965

УДК 517.12
Книга А. Рейтинга является монографией но основа-
основаниям математики. Вопросы оснований математики (теория
математического доказательства, проблема существования
в математике) рассматриваются в ней с точки зрения
интуиционизма — течения в математике, видным предста-
представителем которого является автор.
Книга написана в форме живой беседы между пред-
представителями различных точек зрения на основания мате-
математики. К этой живой беседе присоединяется и редактор
книги А. А. Марков, представитель не затронутого авто-
автором направления. В своих комментариях редактор не
только вводит нового собеседника, но также стремится
устранить неточности, допущенные автором.
Книга рассчитана на очень широкий круг читателей,
начиная от математиков всех специальностей и кончая
всеми, интересующимися математической логикой и фи-
философскими проблемами естествознания.
Редакция литературы по математическим наукам

ОТ РЕДАКТОРА
Предлагаемая вниманию читателя книга Рейтинга пос-
посвящена систематическому изложению интуиционизма —
направления в математике, возникшего в начале нашего
века благодаря работам Брауэра, Вейля и автора книги.
Хотя взгляды интуиционистов полностью разделяются сей-
сейчас лишь очень немногими математиками, глубоко неправы
те, кто видит в интуиционизме лишь некий «курьез» (ср.
Н. Б у р б а к и, Очерки по истории математики, ИЛ, М., 1963,
53). Дело в том, что многие из этих взглядов были воспри-
восприняты и усвоены математиками конструктивного направле-
направления, не удовлетворенными господствующим в настоящее
время «теоретико-множественным образом мышления». Эти
математики разделяют, в частности, критическое отноше-
отношение интуиционистов к закону исключенного третьего.
Уже поэтому весьма неразумно относить интуицио-
интуиционизм к разряду курьезов. Редактор перевода, будучи сам
представителем конструктивного направления в матема-
математике, видел свою главную задачу в сопоставлении точек
зрения интуиционизма и конструктивизма. Этому сопостав-
сопоставлению посвящено большинство примечаний редактора в
конце книги. В соответствии с непринужденной диалогиче-
диалогической формой изложения автора редактор вводит в своих
комментариях еще одного участника диалога — Кона, из-
излагающего взгляды конструктивистов.
А. Марков

ПРЕДИСЛОВИЕ
С целью избавить читателя от потери времени в бесплод-
бесплодных попытках разрешить предполагаемые загадки, я пре-
предупреждаю его, что действующие лица диалога не являются
ни карикатурами на живущих или живших людей, ни их
двойниками. Это только крючки для развешивания идей
и больше ничего. До известной степени это верно даже
для Инта, выражающего позицию интуиционизма. Для
ясности я заставлял его порою говорить категоричнее,
чем говорил бы я сам, если бы свободно выражал свое соб-
собственное мнение. Дискуссия строго ограничивается интуи-
интуиционизмом; другие концепции математики затрагиваются
лишь постольку, поскольку они включают в себя возраже-
возражения против интуиционизма. Я отклоняю всякий упрек в
неполном представлении других точек зрения.
В ходе изложения оказалось необходимым давать под-
подробные доказательства даже там, где они отличаются от
хорошо известных классических доказательств только не-
небольшими дополнениями, поскольку не существует ника-
никакого удобного способа указать, в какие именно места нужно
вставлять эти дополнения. По мере накопления материала
я постепенно применял все более сжатый стиль, в предпо-
предположении, что у читателя развилось понимание специфиче-
специфически интуиционистских трудностей.
Выражаю искреннюю благодарность всем, кто своим уча-
участием помог совершенствованию этой книги, в частности
д-ру П. Гилмору, проф. Л. Хенкину и В. Тэйту, про-
прочитавшим части рукописи и предложившим многие стилисти-
стилистические поправки, а также И. И. де Ионгу и Ф. ван де Оуде-
ветерингу, которые тщательно просмотрели рукопись.
Де Ионгу книга обязана многими исправлениями и улуч-
улучшениями.
Во многих местах книги читатель найдет старомодные
рассуждения, которым недостает общности и которые бо-
более топорны, чем современные методы. На это имеются
различные причины. Во-первых, мощные методы слишком
часто прибегают к косвенным доказательствам, так что их

почти невозможно ввести в интуиционистскую математи-
математику. Во-вторых, наиболее общие современные теории разви-
развиваются при помощи аксиоматического метода. А этот ме-
метод хорошо работает только в том случае, когда существуют
конкретные теории, из которых при помощи обобщения
можно построить аксиоматическую теорию. Например,
общую топологию можно было развить только после того,
как топология евклидовых пространств до некоторой сте-
степени была уже известна. Фактически почти ни одна часть
интуиционистской математики не исследована настолько
глубоко, чтобы было возможно построение общей аксио-
аксиоматической теории. В частности, в этой книге я должен
был ограничиться наиболее элементарным случаем интег-
интегрирования; когда эта область будет известна лучше, чем
в настоящее время, станет возможным построить аксиомати-
аксиоматическую теорию предмета. Даже в случае алгебры, где ак-
аксиоматизация возможна и в настоящее время, в силу ввод-
вводного характера книги представлялось лучшим иметь дело
с конкретным примером поля действительных чисел.
Возможно, что в некоторых случаях я использовал
устарелые методы, потому что не знаю современных. Одна
из целей этой книги —¦ помочь работающим математикам
разобраться в том, какой из их результатов можно дока-
доказать интуиционистски. Интуиционизм может процветать
только тогда, когда математики, работающие в различных
областях, будут активно интересоваться им и вносить в него
свои вклады. Чтобы построить определенную ветвь интуи-
интуиционистской математики, нужно, во-первых, обладать ос-
основательным знанием соответствующей ветви классической
математики и, во-вторых, из опыта знать, где лежат интуи-
интуиционистские ловушки. В этой книге я стараюсь научить
последнему; я надеюсь, что найдутся читатели, которые
успешнее справятся с деталями теории, чем это удалось
мне, и которые дадут интуиционистскую трактовку других
отделов математики. «Рекомендации читателям» имеют
целью помочь им; в них указаны наиболее важные интуи-
интуиционистские труды в некоторых специальных областях.
Система ссылок построена следующим образом:
«Теор. 2» отсылает к теореме 2 того же раздела;
«Опр. 2» отсылает к определению 2 того же раздела;
«Теор. 2 из 6.2.1» отсылает к теореме 2 из раздела 6. 2. 1.
А. Рейтинг

Действующие лица диалога:
Класс, Форм, Инт, Букв, Прагм, СигнХ) *>
I. ДИСПУТ
Класс. Как дела, господин Инт?'Вы не отправились за
город в такой прекрасный летний день?
Инт. У меня возникло несколько мыслей, и я продумы-
продумывал их в библиотеке.
Класс. Трудолюбивая пчела! Как вы поживаете?
Инт. Неплохо.. Не выпить ли по рюмке?
Класс. Благодарю вас. Бьюсь об заклад, что вы рабо-
работали над своим коньком — отказом от исключенного
третьего и тому подобным. Никак не пойму, почему на ло-
логику следует полагаться где угодно, только не в мате-
математике.
Инт. Мы уже говорили на эту тему. Мысль о том, что
для описания некоторых родов объектов другая логика
может оказаться более подходящей, чем обычная, обсужда-
обсуждалась время от времени и до интуиционизма. Но только
Брауэр первым открыл объект, который действительно
требует иной формы логики. Этот объект — умственное
математическое построение [Брауэр, 1908]. Причина
в том, что в математике мы с самого начала имеем дело
с бесконечным, в то время как обычная логика создана для
рассуждений о конечных совокупностях 2).
Класс. Я знаю, но, по-моему, логика универсальна и
применяется как к бесконечному, так и к конечному.
Инт. Вы должны понять, в чем заключалась програм-
программа Брауэра [Брауэр, 1907]. Она состояла в исследо-
исследовании умственного математического построения как та-
такового, безотносительно к таким вопросам о природе кон-
конструируемых объектов, как вопрос, существуют ли эти
* Комментарии редактора перевода, помеченные цифрами, см.
на стр. 161. — Прим.ред.
9

объекты независимо от нашего знания о них. То, что эта
точка зрения ведет непосредственно к отказу от принципа
исключенного третьего, я могу лучше всего продемонстри-
продемонстрировать на следующем примере.
Сравним два приведенных ниже определения натураль-
натуральных чисел — числа k и числа /.
I. k есть наибольшее простое число, такое, что k— 1
также простое; если же такого числа не существует, то
*= 1.
II. / есть наибольшее простое число, такое, что / — 2
также простое; если же такого числа не существует, то
/= 1.
Классическая математика совсем не принимает во вни-
внимание очевидного различия в характере этих двух опреде-
определений, k может быть вычислено (k = 3), в то время как у
нас нет способа вычисления /, так как неизвестно, конечна
ли последовательность пар так называемых «близнецов»,
т. е. простых чисел вида р и р + 2. Поэтому интуициони-
сты отвергают II как определение натурального числа;
они считают, что число действительно определено только
тогда, когда дан способ его вычисления. Развивая эту
мысль, мы приходим к отказу от принципа исключенного
третьего, ибо если бы последовательность пар «близнецов»
была конечной или бесконечной, то II определяло бы нату-
натуральное число.
Класс. Можно возразить, что состояние нашего знания
о существовании или несуществовании последней пары
«близнецов» зависит от случайных обстоятельств и не имеет
никакого отношения к вопросу математической истинности.
Либо существует бесконечное число пар «близнецов», и
тогда 1=1, либо их число конечно, и тогда / равно наи-
наибольшему из таких простых чисел /, что / и / — 2 образуют
пару «близнецов». В любом постижимом случае / опреде-
определено; какое имеет значение, можем ли мы его действительно
вычислить?
Инт. Ваш аргумент по своей природе является метафи-
метафизическим. Если слово «существовать» не означает «быть
построенным», то оно должно иметь какое-то метафизиче-
метафизическое значение. Задача математики не в том, чтобы иссле-
исследовать это значение и решать, годится ли оно. Мы не воз-
возражаем, если какой-нибудь математик лично придержи-
придерживается импонирующей ему метафизической теории, но
программа Брауэра требует, чтобы мы изучали математику
10

как нечто более простое и непосредственное, чем метафизи-
метафизика. В изучении умственных математических построений
«существовать» должно означать то же самое, что «быть
построенным».
Класс. То есть пока мы не знаем, существует ли
последняя пара «близнецов», II не будет определением на-
натурального числа, но когда эта проблема будет решена, то
II внезапно станет определением. Предположим, что
1 января 1970 года будет доказана бесконечность множества
«близнецов»; тогда с этого момента / = 1. Было ли / = 1
до этой даты или нет? [Менгер, 1930].
Инт. Математическое высказывание утверждает тот
факт, что было выполнено некоторое математическое по-
построение. Ясно, что перед тем, как построение было сдела-
сделано, оно еще не было сделано. Применяя это замечание к
вашему примеру, мы видим, что до 1 января 1970 года
равенство / = 1 еще не было доказано. Но это не то, чтог вы
имеете в виду. Мне кажется, что вам нужно вернуться к
метафизическим понятиям, чтобы сделать ясным смысл
вашего вопроса, т. е. к некоторому миру математических
вещей, существующих независимо от нашего познания, где
/ = 1 — истина в каком-то абсолютном смысле. Но я пов-
повторяю, что математика не должна зависеть от таких поня-
понятий, как эти. В действительности все математики, даже ин-
туиционисты, убеждены, что в каком-то смысле математика
имеет отношение к вечным истинам, но когда пытаешься
уточнить, в каком именно смысле, то оказываешься втяну-
втянутым в хаос метафизических трудностей. Единственный
способ избежать этого заключается в том, чтобы изгнать
эти трудности из математики. Именно это я и имею в виду,
когда говорю, что мы изучаем математические построения,
как таковые, и что классическая логика не годится для
этого изучения 3>.
Класс. Сюда идут наши друзья Форм и Букв.
Коллеги, у нас здесь в высшей степени интересная дискус-
дискуссия об интуиционизме.
Букв. Разве можно говорить о чем-нибудь другом с
добрым старым Интом? Он совершенно поглощен этой
темой.
Инт. Если вас когда-либо поразила красота предмета,
то посвящайте ему свою жизнь!
Форм. Очень хорошо! Только я удивлюсь, какая может
быть красота в такой неопределенной вещи, как интуицио-
П

низм. Ни один из ваших терминов не определен как сле-
следует, у вас нет точных правил вывода. Поэтому никогда
нельзя будет решить, какие из ваших рассуждений пра-
правильны, какие—нет [Карнап, 1934, стр. 41; 1937,
стр. 46], [Дубислав, 1932, стр. 57, 75].
В обыденном разговоре ни одно слово не имеет прочно
закрепленного смысла; всегда остается место для свободной
игры воображения, тем большее, чем абстрактнее понятие.
Поэтому люди недопонимают друг друга, и это же проис-
происходит в неформализованных математических рассужде-
рассуждениях. Единственный способ добиться абсолютной строгости
состоит в том, чтобы очистить математические рассуждения
от всякого смысла и рассматривать их сами по себе, как
последовательности знаков, не обращая внимание на зна-
значение, которое они могут выразить. Тогда возможно сфор-
сформулировать точные правила для выведения новых утверж-
утверждений из утверждений уже известных и избежать неопре-
неопределенности, получающейся из-за многозначности языка.
Инт. Мне кажется, что различие между формалистами
и интуиционистами является главным образом различием
вкуса. Вы также используете осмысленные рассуждения
в той теории, которую Гильберт называет метаматематикой,
но вы ставите себе целью отделить их от чисто формальной
математики и ограничиться поэтому как можно более про-
простыми рассуждениями. Мы же в противоположность этому
заинтересованы не в формальной стороне математики, а
именно в том типе рассуждений, которые применяются в
метаматематике; мы стараемся проследить его до самых
далеких следствий. Это предпочтение проистекает из убеж-
убеждения, что мы здесь имеем дело с одной из самых основных
способностей человеческого разума.
Форм. Если вы не будете ссориться с формализмом, то
и я не буду ссориться с интуиционизмом. Формалисты при-
принадлежат к самой мирной части человечества. Любая тео-
теория может быть формализована и тогда станет предметом
для наших методов. Также и интуиционистскую математи-
математику можно трактовать таким образом, и это будет сделано
[Карнап, 1934, стр. 44; 1937, стр. 51].
Класс. То есть интуиционистскую математику нужно
изучать как часть математики. В математике мы исследуем
следствия данных допущений; интуиционистские допуще-
допущения могут и быть интересными, но у них нет никакого
права на монополию.
12

Инт. Мы и не претендуем на это: мы удовлетворимся,
если вы признаете за нашей концепцией ее правомочность.
Но я должен отвергнуть утверждение, что интуиционизм
исходит из определенных, более или менее произвольных
допущений. Его предмет — конструктивная математиче-
математическая мысль — однозначно определяет его посылки и поме-
помещает его не внутри классической математики, а рядом с
ней. Последняя изучает совсем другой предмет, чем бы он
ни являлся. По этой же причине соглашение между форма-
формализмом и интуиционизмом посредством формализации ин-
интуиционистской математики также является невозможным.
Конечно, верно, что и в интуиционистской математике за-
законченную часть теории можно формализовать. Нужно,
однако, разобраться, в чем смысл такой формализации. Мы
можем рассматривать формальную систему как лингвисти-
лингвистическое выражение математической мысли в некотором спе-
специальном подходящем языке.
Если мы примем эту точку зрения, мы натолкнемся на
препятствие в виде изначальной многозначности языка.
Так как значение слова нельзя фиксировать настолько точ-
точно, чтобы исключить всякую возможность непонимания, мы
никогда не сможем быть математически уверены, что фор-
формальная система правильно выражает наши математические
мысли.
Примем, однако, другую точку зрения. Мы можем рас-
рассматривать формальную систему саму по себе как в высшей
степени простую математическую структуру; объекты ее
(знаки системы) связаны с другими, часто очень сложными
математическими-структурами. Таким образом, формализа-
формализацию можно проводить внутри самой математики, и она ста-
становится мощным математическим орудием. Разумеется,
нельзя быть уверенным, что формальная система полностью
представляет какую-нибудь область математической мыс-
мысли; в любой момент открытие новых методов рассуждения
может заставить нас расширить формальную систему.
Форм. Мы уже несколько лет знакомы с этой ситуацией.
Теорема Геделя о неполноте показала нам, что любая не-
непротиворечивая система, формализующая теорию натураль-
натуральных чисел, может быть непротиворечиво дополнена различ-
различными способами.
Инт. Отличие в том, что интуиционизм развивается не-
независимо от формализации, которая может только идти по
следам математической конструкции.
13

Класс. Больше всего меня изумляет то, что вы оба как
бы начинаете на пустом месте. Мне кажется, что вы строите
воздушные замки. Откуда вы знаете, что ваше рассужде-
рассуждение правильно, если у вас нет под рукой непогрешимого
критерия логики? Вчера я разговаривал с Сигном,
который является релятивистом еще в большей степени,
чем любой из вас. Он так умело выкручивается, что ника-
никакой аргумент не имеет для него силы, и он не приходит ни
к какому твердому заключению. Я боюсь, что такова судь-
судьба всякого, кто отказывается от опоры на логику, т. е. на
здравый смысл.
Сигн. Когда упоминаешь черта, он уже тут как тут.
Вы не говорили обо мне ничего плохого?
Класс. Я упомянул нашу вчерашнюю дискуссию. Се-
Сегодня я сражаюсь с двумя другими проклятыми реляти-
релятивистами.
Сигн. Я с удовольствием помог бы вам, но сначала пос-
послушаем, что говорят ваши оппоненты. Позвольте познако-
познакомить вас с моим другом Прагмом. Ему будет очень инте-
интересно участвовать в этой дискуссии.
Форм. Как поживаете? Вы тоже являетесь философом
науки?
Прагм. Я ненавижу метафизику.
Инт. В таком случае добро пожаловать, собрат!
Форм. Пожалуй, я бы не хотел защищать мою позицию
сейчас, когда наша дискуссия главным образом касается
интуиционизма и ее так легко можно запутать. Но боюсь,
что вы ошибаетесь в отношении интуиционистской логики.
На самом деле она формализована, и многим авторам при-
принадлежат ценные работы в этой области. По-видимому,
интуиционисты ценят логику выше, чем вы думаете, хотя
она и отлична от той, к которой вы привыкли.
Инт. Мне жаль, что я вас разочарую. Логика — не
почва, на которой я стою. Да и как это могло бы быть?
Она в свою очередь нуждалась бы в обосновании, которое
содержало бы гораздо более запутанные и менее прямые
принципы, чем принципы самой математики. Математиче-
Математическое построение должно быть таким непосредственным для
разума и его результат должен быть столь ясным, чтобы
не нуждаться ни в каких обоснованиях. Можно очень хо-
хорошо понимать, является ли рассуждение правильным,
не пользуясь логикой; достаточно ясного научного созна-
сознания. И все же справедливо, что интуиционистская логика
14

была развита. Чтобы показать, ё чем ее значение, позвольте
мне продемонстрировать вам один пример. Пусть А озна-
означает свойство натурального числа быть кратным 8, В —
быть кратным 4, С — быть кратным 2. 8а мы можем запи-
записать как 4Х2а; благодаря этому математическому построе-
построению Р мы видим, что свойство А влечет свойство В или
А -*¦ В. Подобное построение Q показывает, что В —> С.
Употребляя сначала Р, потом Q (суперпозиция Р и Q),
мы получаем 8а = 2 X B X 2а), что доказывает А —> С.
Этот процесс остается пригодным, если вместо А, В, С мы
подставим произвольные свойства. А именно если построе-
построение Р показывает, что А —> В, и построение Q показывает,
что В -»С, то суперпозиция Р и Q показывает, что
Л -» С. Мы получили логическую теорему. Процесс, при
помощи которого она выведена, показывает нам, что она
по существу не отличается от математических теорем; она
только более обща, в том же смысле, как, например, ут-
утверждение «сложение целых чисел коммутативно» носит
более общий характер, чем утверждение «2 + 3 = 3 + 2».
Это самое имеет место и для всякой логической теоремы:
она является не чем иным, как математической теоремой
наивысшей общности; иначе говоря, логика является ча-
частью математики и не может служить для ее обоснования.
По крайней мере такова концепция логики, к которой я
пришел естественным образом; возможно и желательно
развивать иные формы логики для иных целей.
Как раз та математическая логика, которую я только
что описал, и была формализована. Оказалось, что у полу-
получившейся формальной системы имеются своеобразные свой-
свойства, очень интересные в сравнении со свойствами других
систем формальной логики. Этот факт привел к исследова-
исследованиям, о которых упомянул господин Форм; но, как бы они ни
были интересны, их связь с интуиционистской математи-
математикой является очень слабой.
Букв. Я думаю, что все это — воображаемые и искус-
искусственные трудности. Математика — совершенно простая
вещь. Я определяю какие-то знаки и даю правила их ком-
комбинирования, вот и все.
Форм. Но вам понадобятся какие-нибудь способы рас-
рассуждения, чтобы доказать непротиворечивость вашей фор-
формальной системы.
Букв. А зачем мне это нужно доказывать? Не забывайте,
что наши формальные системы построены для приложений
15

и что в общем они оказываются полезными; этот факт было
бы трудно объяснить, если бы каждая формула была в них
выводима. Поэтому у нас есть практическая уверенность
в их непротиворечивости, что достаточно для нашей работы.
Я оспариваю интуиционистское положение, что математика
каким-то образом связана с бесконечным. Я могу написать
знак, скажем а, и назвать его мощностью натурального
ряда. Затем я могу установить правила для манипуляции
с ним в соответствии с правилами, которые господин Класс
использует для этого понятия; но, делая это, я целиком
действую в области конечного. Когда же выступает поня-
понятие бесконечности, то рассуждение становится темным и пу-
путаным. Поэтому все интуиционистские утверждения о бе-
бесконечном кажутся мне в высшей степени неопределенны-
неопределенными, и сомнительно даже, имеет ли такой символ, как 101О'°,
какой-нибудь смысл, а не является просто фигурой на бу-
бумаге, с которой мы поступаем по известным правилам
[Дьедонне, 1949].
Инт. Конечно, ваш крайний финитизм дает максималь-
максимальные гарантии против опасности непонимания, но, по на-
нашему мнению, он влечет за собою такое отрицание понима-
понимания, которое трудно принять. Дети в начальной школе уже
понимают, что такое натуральные числа и принимают факт,
что последовательность натуральных чисел может быть бе-
бесконечно продолжена.
Букв. Им просто внушили, что они это понимают.
Инт. Это не возражение, так как вообще любое сооб-
сообщение посредством языка можно интерпретировать как
внушение. И Евклид в 20-й теореме IX книги, когда он до-
доказывал, что множество простых чисел бесконечно, знал,
о чем говорил. Это элементарное понятие натурального
числа, знакомое каждому мыслящему существу, является
фундаментальным в интуиционистской математике. Мы не
заявляем, что оно обладает определенностью и точностью
в абсолютном смысле: это было бы неосуществимо. Но мы
утверждаем, что оно достаточно ясно для того, чтобы мож-
можно было на нем построить математику.
Букв. Могу возразить, что вы предполагаете не слиш-
слишком мало, как думает господин Класс, а слишком много.
Вы исходите из известных принципов, которые вы без
объяснений считаете интуитивно ясными, и одновременно
отвергаете другие способы рассуждения, не указывая ос-
оснований для этой дискриминации. Например, большин-
16

ству людей принцип исключенного третьего кажется по
меньшей мере столь же очевидным, как принцип полной
индукции. Почему вы отвергаете первый и принимаете
последний? Такой необоснованный выбор первого прин-
принципа придает вашей системе весьма догматический харак-
характер.
Инт. Конечно, интуиционистские утверждения должны
показаться догматическими тем, кто понимает их как ут-
утверждения о фактах, но у них другой смысл. Интуициони-
Интуиционистская математика состоит, как я уже объяснял господину
Классу, в умственных построениях: математическая тео-
теорема выражает чисто эмпирический факт, а именно ус-
успешность некоторого построения. «2 + 2 = 3+ 1» нужно
понимать, как сокращение для утверждения: «Я выполнил
построения, обозначенные посредством «2+2» и «3+1», и
нашел, что они ведут к одному и тому же результату». Те-
Теперь скажите мне, где здесь может встретиться догмати-
догматический элемент? Не в самом умственном построении, что
явствует из его природы как деятельности; и тем более не
в утверждениях по поводу построений, так как они выра-
выражают чисто эмпирические результаты.
Букв. Но ведь вы утверждаете, что эти умственные по-
построения ведут к какому-то роду истины; что они не игра
в солитер, а что в некотором смысле они должны быть ценны-
ценными для человечества — иначе вы поступали бы нехорошо,
досаждая ими другим людям. Именно в этой претензии я и
вижу догматический элемент. Математическая интуиция
вдохновляет вас на объективные и вечные истины; в этом
смысле ваша точка зрения не только догматична, но даже
теологична [Карри, 1951, стр. 6].
Инт. В первую очередь мои математические мысли при-
принадлежат моей индивидуальной интеллектуальной жизни
и ограничены моим личным разумом, как и вообще все мои
мысли. Мы, вообще говоря, убеждены, что у других людей
мысли аналогичны нашим собственным и что они могут
нас понимать, когда мы выражаем наши мысли словами.
Вместе с тем мы знаем, что никогда нельзя быть вполне
уверенным, что нас поняли без ошибок. В этом отношении
математика по сути дела не отличается от других предме-
предметов; если вы считаете математику догматичной по этой
причине, то вы должны называть догматичным любое че-
человеческое рассуждение. Для математической мысли ха-
характерно, что она не выражает истину о внешнем мире, а
связана исключительно с умственными построениями. Мы
17

должны провести границу между простой практикой мате-
математики и ее оценкой. Чтобы строить математические тео-
теории, не нужно никаких философских предпосылок, но цен-
ценность, которую мы приписываем этой деятельности, зави-
зависит от наших философских идей.
Сигн. У вас устарелые взгляды на язык. Тем непостоян-
непостоянным текучим характером, который вы описали, обладают
первобытные языки, причем язык повседневной жизни в
основном еще принадлежит к тому же типу, однако с на-
началом научного мышления начинается формализация язы-
языка. В последние десятилетия семиотики изучали этот про-
процесс. Он еще не кончился, так как постоянно создаются
все более точные языки.
Инт. Если действительно путь науки — формализация
языка, то интуиционистская математика не принадлежит
к науке в этом смысле слова. Скорее, она — естественная
деятельность человека, которая сама по себе, конечно,
может изучаться научными методами. Она действительно
изучалась такими методами, а именно методом формализа-
формализации интуиционистского рассуждения и методом семиотики,
но очевидно, что ни это изучение, ни его результаты не при-
принадлежат к интуиционистской математике. Ясно, что
научное исследование интуиционистской математики ни-
никогда не даст полного и определенного ее описания, так же
как недостижима полная теория других явлений. Как бы
ни были интересны и полезны эти метаинтуиционистские
рассмотрения, их нельзя включить в саму интуиционист-
интуиционистскую математику. Само собой разумеется, что эти замеча-
замечания не касаются описанной мною несколько ранее форма-
формализации внутри самой математики.
Прагм. Позвольте мне подчеркнуть то, что сейчас ска-
сказал господин Сигн. Наука продвигается вперед при помощи
формализации языка; она использует этот метод, потому
что он эффективен. В частности, оказалось, что современ-
современные, полностью формализованные языки являются наи-
наиболее полезными. Идеалом современного ученого является
создание готового для употребления запаса формальных
систем, из которого он для любой теории сможет выбрать
систему, правильно представляющую результаты опыта.
Оценка формальных систем должна производиться по крите-
критерию полезности, а не по неопределенному и произвольному
истолкованию, предпочитаемому в силу догматических и
метафизических оснований.
18

Инт. Мне тоже кажется, что совершенно справедливо
давать оценку математической системы по ее полезности.
Я допускаю, что с этой точки зрения у интуиционизма до
сих пор было мало шансов на успех, так как было бы преж-
преждевременно подчеркивать немногие и слабые признаки того,
что он может принести какую-либо пользу в физике
[Детуш, 1951]; по-моему, у него больше шансов принести
пользу в философии, истории и социальных науках. Дей-
Действительно, с интуиционистской точки зрения математика
является изучением определенных функций человеческого
разума и, как таковая, сродни этим наукам. Однако яв-
является ли польза единственным мерилом ценности? Легко
привести такие сферы деятельности, которые никоим обра-
образом не служат науке и тем не менее не лишены ценности.
Таковы искусство, спорт, развлечения. Мы заявляем, что
у интуиционизма есть ценность такого же рода, которую
трудно описать заранее, но которая ясно ощущается, когда
непосредственно имеешь дело с ним. Вы знаете, как трудна
для философов проблема определения понятия ценности
в искусстве, однако любой образованный человек ощущает
эту ценность. Аналогично обстоит дело и с ценностью ин-
интуиционистской математики.
Форм. Для большинства математиков эту ценность ро-
роковым образом подрывает тот факт, что вы разрушаете наи-
наиболее драгоценные математические результаты; настоящее
обоснование математики должно было бы спасти как можно
больше из ее результатов [Гильберт, 1922]. Это мо-
может быть достигнуто даже конструктивными методами,
так как мыслимы определения конструктивности, отличные
от определения, защищаемого интуиционистами. Ведь даже
немногие существующие сейчас интуиционисты не соглас-
согласны полностью друг с другом относительно определения кон-
конструктивного. Наиболее ярким примером является откло-
отклонение Гриссом понятия отрицания, которое другие интуи-
циовисты считают совершенно ясным [Фрейденталь,
1936А, Грисс, 1946, стр. 24; 1946 А]. С другой стороны,
кажется вероятным, что несколько более либеральная
концепция конструктивного могла бы спасти жизненно
важные части классической математики.
Инт. Поскольку интуиционисты говорят на неформали-
неформализованном языке, можно ожидать, что у них будут неболь-
небольшие расхождения во мнениях. Хотя они проявились скорее
и в более острых формах, чем мы могли предвидеть, они
19

нисколько не вызывают тревогу, ибо все они касаются вто-
второстепенных вопросов и не затрагивают основных идей,
относительно которых имеется полное согласие. Поэтому
в высшей степени неправдоподобно, чтобы более широкая
концепция конструктивности могла получить поддержку
интуиционистов. Что же касается вивисекции над матема-
математикой, в которой вы меня обвиняете, то ее нужно прини-
принимать как неизбежное следствие наших исходных устано-
установок. Ее можно рассматривать так же как удаление нездо-
нездоровых образований, прекрасных по форме, но пустых по
сути. Оно во всяком случае частично компенсируется оча-
очарованием тонких различений и остроумных методов, ко-
которыми интуиционисты обогатили математическую мысль4).
Форм. Наша дискуссия приняла форму дискуссии о
ценностях. Из ваших слов я делаю вывод, что вы готовы
признать ценность других концепций математики, но что
вы настаиваете на ценности вашей концепции. Не так ли?
Инт. Действительно, единственным позитивным ут-
утверждением в основаниях математики, против которого
я выступаю, является утверждение, что классическая мате-
математика имеет ясный смысл. Должен сознаться, что я этого
не понимаю. Но^даже те, кто утверждают, что они пони-
понимают это, могли бы постараться понять и нашу точку зре-
зрения и оценить нашу работу.
Букв. То, что классическая математика не может пре-
претендовать на полную ясность, доказано наличием пара-
парадоксов.
Форм. Конечно, это так, но интуиционистская критика
заходит гораздо дальше, чем необходимо для того, чтобы
избежать парадоксов; господин Инт даже не привел их в
качестве аргумента в пользу своей концепции. Без сомне-
сомнения, для него непротиворечивость является лишь жела-
желательным побочным продуктом интуиционизма.
Сигн. Господин Инт, вы описываете вашу деятельность
как умственные построения, но умственные процессы мож-
можно наблюдать только посредством действий, к которым они
приводят, в вашем случае посредством слов, которые вы
говорите, и формул, которые вы пишите. Не означает ли
это, что единственным способом изучать интуиционизм
является изучение строящейся им формальной системы'
Инт. Когда я смотрю вон на то дерево, я убежден, что
вижу дерево, и нужна немалая тренировка, чтобы заменить
это убеждение знанием того, что в действительности в мой
20

глаз проникают лучи света, что приводит меня к построе-
построению образа дерева. Точно так же, обращаясь к вам, я убеж-
убежден, что излагаю вам свои мнения, но вы, как я вижу, поу-
поучаете меня, что в действительности я произвожу колеба-
колебания воздуха, которые заставляют вас выполнять известные
действия, например производить другие колебания.
В обоих случаях первая точка зрения является естествен-
естественной, вторая же представляет собой теоретическое построе-
построение. Слишком часто забывают, что истинность таких пост-
построений зависит от современного состояния науки и что
слова «в действительности» нужно перевести как «в соот-
соответствии с современными взглядами ученых». Поэтому я
предпочитаю держаться того мнения, что, описывая интуи-
интуиционистскую математику, я сообщаю некоторые мысли
моим слушателям; эти слова нужно понимать не в смысле
какой-то философской системы, а в смысле повседневной
жизни.
Сигн. В таком случае интуиционизм как форма взаимо-
взаимодействия между людьми представляет собою социальное
явление, и его изучение принадлежит истории цивили-
цивилизации.
Инт. Его изучение, но не его практика. Здесь я согласен
с господином Прагмом: primum vivere, deinde philo-
sophati, и, если хотите, мы можем предоставить последнее
другим. Пусть они интересуются тем, как я создавал эти
умственные построения и как их можно интерпретировать
в какой-нибудь философии. Я довольствуюсь, создавая их,
убеждением, что они внесут свой вклад в прояснение чело-
человеческой мысли.
Прагм. Это общая ошибка философов — говорить о ве-
вещах, которые они знают несовершенно, и мы уже готовы
попасть в эту западню! Не может ли господин Инт показать
нам какие-нибудь образцы интуиционистского рассужде-
рассуждения, чтобы мы могли лучше оценить этот предмет.
Инт. Конечно, я готов и даже убежден, что несколько
уроков дадут вам лучшее понимание интуиционизма, чем
продолжительные дискуссии. Прошу тех из вас, кто заин-
заинтересован в моих объяснениях, пройти вместе со мной в мою
классную комнату.

П. АРИФМЕТИКА
2.1. Натуральные числа
Инт. Мы начнем с понятия натуральных чисел 1, 2,3 и т. д.
Оно настолько нам знакомо, что трудно свести его к чему-
нибудь более простому. Все же я попытаюсь в простых
словах описать его смысл. В восприятии любого предмета
МЫ представляем его себе как сущность, отвлекаясь от его
частных свойств. Мы познаем также возможность неогра-
неограниченного повторения этой сущности. Здесь-то и лежит
источник понятия натурального числа [Брауэр, 1907,
стр. 3; 1948, стр. 1237].
Класс. Разве эти соображения не являются по своей
природе метафизическими?
Инт. Они становятся таковыми, если пытаться постро-
построить их теорию, например, решать вопрос, формируем ли
мы понятие сущности, абстрагируясь от действительных
восприятий предметов, или же, наоборот, понятие сущно-
сущности должно наличествовать в нашем уме, чтобы дать нам
возможность воспринимать предмет отдельно от всего
остального мира. Но такие вопросы не имеют ничего об-
общего с математикой. Мы просто констатируем факт, что по-
понятие абстрактной сущности и понятие последовательности
таких сущностей ясны для каждого нормального человече-
человеческого существа, даже для маленьких детей.
Класс. Допустим, мы признали, что вы имеете в своем
распоряжении натуральные числа. Теперь у вас должны
быть какие-то исходные позиции для ваших выводов.
Принимаете ли вы аксиомы Пеано?
Инт. Вы мыслите на языке аксиом и выводов, мы же
мыслим в терминах очевидности — в этом вся разница
между нами. Я не принимаю никаких аксиом, которые я
22

мог бы отбросить, если бы захотел. Понятие натуральных
чисел не появляется у нас как чистое понятие. С самого
начала оно выступает в облачении свойств, которые я могу
выявить простым рассмотрением. Я сейчас покажу вам,
что к этим свойствам относятся и те, которые вы описываете
при помощи аксиом Пеано. Пусть «jV» будет сокраще-
сокращением для выражения «натуральное число». Две первые ак-
аксиомы («1 есть N» и «если х есть N, то и следующее за х
есть jV») могут быть непосредственно усмотрены при вы-
выполнении производящего построения. То же самое приме-
применимо к третьей и четвертой аксиомам («если х и у суть N и
следующее за х равно следующему за у, то х = у»; «следую-
«следующее за любым N не равно 1»). Что же касается так называе-
называемой аксиомы полной индукции, то ее нужно рассматривать
как основную теорему о натуральных числах. Сделаем не-
некоторые предварительные замечания, которые окажутся
полезными при доказательстве этой теоремы.
Построение натурального числа п состоит в последова-
последовательном построении некоторых натуральных чисел, назы-
называемых числами, от 1 до п, символически: 1 —>• п. На
любом шаге построения мы можем остановиться, чтобы иссле-
исследовать, обладает ли полученное на этом шаге число неко-
некоторым определенным свойством. Например, мы можем оп-
определить, встречается ли данное число т, отличное от п,
в ряду 1 -» п. Если встречается, то мы говорим, что т < я;
если не встречается, то мы говорим, что т^> п. Далее,
имеет место теорема: «если т Ф п и т^> п, то п <^ /я».
Ибо если т не встречается в 1 —»¦ п, это значит, что в тот
момент, когда мы завершаем построение п, построение т
еще не закончено; поэтому п встречается в 1 —*¦ т.
Теорема полной индукции допускает доказательство
того же рода. Пусть Е(х) такой предикат над натуральными
числами, что Е(\) истинно и что для любого п Е(п) влечет
Е(п'), где п' — число, следующее за п. Пусть р — любое
натуральное число. Пробегая ряд 1 -»р, мы знаем, что
свойство Е, истинное для 1, сохраняется на любом шаге
построения р; следовательно, имеет место Е(р).
Аналогичные замечания применимы к обычным рекур-
рекурсивным определениям суммы и произведения в области
натуральных чисел. Пробегая 1 —>¦ р, мы видим, что дейст-
действительно а + Р и р-а определены для любых натуральных
чисел аир. Коль скоро мы обладаем основными методами
индукции и рекурсии, построение арифметики натураль-
23

ных чисел не встречает серьезных трудностей, равно как И
построение арифметики целых чисел и даже арифметики
рациональных чисел. Трудности возникают только тогда,
когда приходится рассматривать всю совокупность целых
чисел, как в предпринятой нами во время дискуссии по-
попытке II определить некоторое целое число. Но такие проб-
проблемы не относятся к элементарной арифметике.
Форм. Вы неоднократно говорили о равных натураль-
натуральных числах. Что это означает? Разве не обязательно опре-
определение равенства, основанное, например, на понятии
взаимнооднозначного соответствия?
Инт. Действительно, этот пункт нуждается в некотором
разъяснении. Для этого мне придется даже немного пере-
пересмотреть наше понятие натурального числа. Если бы нату-
натуральное число было только результатом умственного
построения, то оно не продолжало бы существовать после
завершения акта этого построения и было бы невозможно
сравнивать его с другими натуральными числами, пост-
построенными в другое время и в другом месте. Ясно, что мы
не сможем решить эту проблему, если будем придержи-
придерживаться той точки зрения, что математика является чисто
умственной5). В действительности мы фиксируем нату-
натуральное число х средствами материального представления;
с каждым элементом построения х мы связываем, напри-
например, точку на бумаге. Это помогает нам сравнивать при
помощи простого наблюдения натуральные числа, пост-
построенные в различное время •>.
Форм. Но ведь это сводится к применению взаимно-
взаимнооднозначного соответствия!
Инт. Можно сказать и так, если мы осознаем, что про-
процесс сравнения находится на доматематическом уровне.
Математика начинается после того, как выработаны поня-
понятия натуральных чисел и равенства между ними. Конечно,
разделение математики и доматематики искусственно, так
же как и любое расчленение человеческой мысли, но оно
соответствует важному различию в их методах.
Букв. Можно было бы ожидать, что основные понятия
математики будут простыми и ясными, но ваше понятие
натурального числа оказывается довольно сложным.
Инт. Насколько я знаю, психология не открыла атомы
разума. Любое понятие можно анализировать, ничто не-
непостижимо само по себе; объяснение любого понятия за-
зависит от его отношений к другим понятиям. Понятие нату-
24

ралыюго числа не является исключением из этого правила.
Все же оно пригодно для того, чтобы служить одним из
основных понятий математики, главным образом в силу
следующих причин.
1. Оно легко понимается любым человеком, имеющим
минимальное образование.
2. Оно универсально применимо в процессе счета.
3. Оно лежит в основании построения анализа.
Класс. Если не касаться этих философских вопро-
вопросов, то ваше понимание арифметики рациональных чисел
совпадает с нашим.
2.2. Действительные числовые генераторы
2.2.1. Определение; отношение совпадения
Инт. Да,но на следующей станции, на станции действи-
действительных чисел, мы вступаем совсем в другой ландшафт.
Как и в классической математике, так и в интуиционизме,
возможны различные эквивалентные теории действитель-
действительных чисел [Брауэр, 1919 А, стр. 3; Рейтинг, 1935].
Я изложу здесь вкратце теорию канторовского типа, что
полезнее для наших целей.
Предположим, что уже развита теория рациональных
чисел, включающая теорию их упорядочения. Последо-
Последовательность {ап} рациональных чисел называется после-
последовательностью Коши, если для каждого натурального
числа k мы можем найти натуральное число п = n(k), та-
такое, что \ап+р — йп | <С 1/&Для любого натурального числа
р. Это нужно понимать так, что по данному k мы в состоя-
состоянии эффективно определить n(k).
Пример. Последовательность а = {2~п} есть после-
последовательность Коши. Пусть последовательность Ъ ={Ьп}
определена следующим образом: если л-й знак после
запятой в десятичном разложении числа я есть 9 первого
вхождения последовательности 0123456789 в это разложе-
разложение, то Ьп = 1; во всяком другом случае Ъп = Чгп. После-
Последовательность Ъ отличается от а не более чем одним членом;
таким образом, классически Ь является последователь-
последовательностью Коши, но пока мы не знаем, существует ли вхожде-
вхождение последовательности 0123456789 в десятичное разложе-
25

ние я, мы не можем найти такое п, что для любого р имеет
место \Ьп+р ~-Ь„[<Со' следовательно, мы не имеем права
утверждать, что b является последовательностью Коши в
нашем смысле.
Определение 1. Последовательность Коши из рацио-
рациональных чисел называется действительным числовым гене-
генератором (сокращенно ЧГO).
Два ЧГ а = {ап} и b = {&„} тождественны, если
а„ = Ь„ при любом п. Мы выражаем это так: а = Ь. Опре-
Определяемое ниже понятие совпадения является более важным.
Определение 2. Два ЧГ а = {ап} и Ь = {Ьп}
совпадают, если для любого k мы можем найти такое
п — п (k), что | ап+р — 6Л+Р К 1/& для любого р. Это
отношение обозначается посредством а — Ь.
Теорема. Отношение совпадения между ЧГ являет-
является рефлексивным, симметричным и транзитивным. Простое
доказательство общеизвестно.
Замечание. Для данного а = {ап} можно найти
такой b = {bn), что а = Ь и что последовательность {Ьп}
сходится быстро. Например, чтобы получить неравенство
\Ьп+р—^"К"^ для любых пир, достаточно взять
при любом k 8).
Если нам в последующем изложении встретится ЧГ,
обозначенный одной буквой, например v, то он также будет
обозначаться посредством {vn} и под vn будет подразу-
подразумеваться п-я компонента последовательности v.
Поскольку понятие действительного числа предпола-
предполагает основные понятия теории множеств, то я откладываю
до главы III определение действительного числа, как мно-
множества совпадающих ЧГ.
2.2.2. Отношение неравенства между ЧГ
Противоречивость а = b (а это означает, что предпо-
предположение а = b ведет к противоречию), мы будем записы-
записывать в виде а=$=Ь.
Теорема 1. Если a =f= b противоречиво, то а = b
[Брауэр, 1925, стр. 254].
Доказательство. Возьмем такое п, чтобы для
26

каждого р имело место | ап+р — ап |< ^ и | bn+p—bn \ < ^
Далее, предположив, что \ап — 6„|>-?, мы бы имели
| ап+р — Ьп+р I > 4^ для любого р, откуда следовало
бы, чтоафЬ. Поэтому \ап — &„|<-?- и при любом р
| ап+р — Ьп+р | <С ~^ • Так как для каждого k можно найти
такое п, что последнее неравенство справедливо при любом
р, то а = Ь.
Класс. Нам нужно выработать у себя привычку к тому,
что такая теорема вообще нуждается в доказательстве.
Инт. Доказательство невозможности невозможности
какого-нибудь свойства не всегда есть доказательство этого
свойства. Поучительно проиллюстрировать это на сле-
следующем примере [Брауэр, 1925, стр. 252]. Я записываю
десятичное разложение я, а под ним десятичную дробь
р = 0,333..., которую я обрываю в тот момент, когда
последовательность знаков 0123456789 впервые появляется
в разложении я. Если цифра 9 из первого вхождения
0123456789 в я является k-u знаком после запятой, то
-. Теперь предположим, что р не может быть рацио-
р = ?
нальным; тогда равенство р= j- было бы невозможно и
поеледовательность0123456789никогда не появлялась бы вя;
но тогда р=1/з, что тоже невозможно. Предположение, что
р не рационально, привело нас к противоречию. Однако
мы не вправе утверждать, что р рационально, ибо это оз-
означало бы, что мы можем вычислить числитель и знамена-
знаменатель некоторой несократимой дроби -, равной р; а для
этого, очевидно, требуется, чтобы мы могли либо указать
вхождение 0123456789 в я, либо доказать, что такого вхож-
вхождения не существует.
Класс. И вы, конечно, отвергаете мой довод, что р
равно одному из рациональных чисел 1/3; 0,3; 0,33 и т. д.,
хотя мы не знаем, какому из них.
Инт. Совершенно правильно; по-моему, действительное
положение вещей лучше выразить, говоря, что р не может
быть отличным от всех этих чисел.
27

Класс. Мне кажется, что трудности возникают благо-
благодаря вашей интерпретации отрицания, которая отличается
от обычной. Для вас высказывание «р не рационально»
означает то же самое, что «предположение рациональности
р ведет к противоречию». Поэтому вы говорите исключи-
исключительно о ложности «de jure», тогда как обычное отрицание
относится к ложности «de facto». Это может служить объяс-
объяснением странного поведения вашего отрицания.
Иит. Я могу присоединиться к этой точке зрения, если
мы согласимся, что в интуиционистской математике только
ложность «de jure» может играть роль; введение ложности
«de facto» противоречило бы принципу конструктивности.
Строго говоря, мы должны хорошо различать исполь-
использование «не» в математике и его использование в повсе-
повседневном языке нематематических рассуждений. В математи-
математических утверждениях не может возникнуть неопределен-
неопределенность; «не» всегда имеет точный смысл. «Суждение р не
является истинным» или «суждение р является ложным» оз-
означает «предполагая истинность р, мы придем к противо-
противоречию». Но если мы говорим, что ранее определенный ЧГ р
не рационален, то это не мыслится как математическое ут-
утверждение, а является просто констатированием факта;
под этим я подразумеваю, что до сих пор еще не было дано
доказательство рациональности р. Так как не всегда легко
увидеть, является ли суждение математическим утвержде-
утверждением или констатированием настоящего состояния нашего
знания, то необходимо быть внимательным при формули-
формулировании такого рода суждений. Там, где есть опасность
впасть в двусмысленность, мы передаем математическое
отрицание при помощи таких выражений, как «невозмож-
«невозможно, чтобы», «ложно, что», «не может быть, что» и т. д., в то
время как фактическое отрицание передается посредством
таких выражений, как «мы не вправе утверждать, что»,
«никто не знает, что» и т. д.
Имеется критерий, при помощи которого мы можем рас-
распознавать математические утверждения как таковые. Каж-
Каждое математическое утверждение можно выразить в форме:
«Я выполнил в уме построение Л». Математическое отри-
отрицание этого утверждения можно выразить как «Я выпол-
выполнил в уме построение В, которое приводит к противоречию
предположение, что можно довести до конца построение
А». И утверждение, и отрицание выражены здесь в одинако-
одинаковой форме. С другой стороны, фактически отрицанием пер-
28

Вого утверждения является: «Я не выполнил в уме пост-
построение А»; это констатирование не имеет формы математи-
математического утверждения.
Прагм. Мне кажется, что вы очень заинтересованы в
таких примерах, как пример числа р. Я нахожу их почти
в каждой вашей работе. Постороннему человеку построе-
построение таких искусственных патологических примеров кажет-
кажется каким-то несерьезным занятием.
Инт. Нам приходится строить такие примеры, чтобы
убеждать других в необходимости доказательства некото-
некоторых предложений. Но было бы неправильно считать их
существенной частью интуиционистской математики, точно
так же, как было бы неправильно полагать, что непрерыв-
непрерывная, нигде не дифференцируемая функция Вейерштрасса
является существенной частью классического дифферен-
дифференциального исчисления9'.
2.2.3. Отношение отделенности между ЧГ
Однако мы уже слишком долго занимались негативным
понятием неравенства; негативные понятия для нас даже
менее важны, чем в классической математике; когда только
возможно, мы заменяем их позитивными понятиями. В слу-
случае неравенства ЧГ мы делаем это с помощью следующего
определения.
Определение 1.ЧГ а и 6 отделены, apfi, если можно
найти такие п и k, что \ап+р — Ьп+Р\ > -г- для любого р
[Брауэр, 1919 А, стр. 3]. Условие а # Ь влечет a=f=b,
но мы не имеем права утверждать обратное. Это можно
показать при помощи примера, еще более утонченного,
чем предыдущий. Поскольку с ним связаны некото-
некоторые тонкие вопросы, я отложу его до одной из следующих
лекций (8.1.1). Надеюсь, и сейчас достаточно ясно, что ус-
условие а 4ф Ь требует большего, чем условие a=f= Ь, по-
поскольку первое из них требует действительного указания
чисел п и k, тогда как для последнего достаточно лишь
доказательство невозможности 10).
Я выведу сейчас основные свойства отношения :}ф.
Теорема 1. Если а # Ь, то bifra.
Теорема 2. Если а :}ф Ь и а = а', то а' # Ь.
Доказательство. Мы можем найти п и k,
такие, что
I ап+Р — Ьп+Р | > 1 / k для любого р.
29

Далее возьмем т, такое, что
\ат+р — a'm+p\<Tk для любого р.
Тогда, если h является наибольшим из га и л, то
К+р-6л+р1>4 для любого Р-
Теорема 3. Если а ф): b невозможно, то а = Ь
[Брауэр, 1925, стр. 254].
Доказательство теор. 1 из 2.2.2 было построено таким
образом, что в нем содержится доказательство и данной,
более сильной, теоремы.
Теорема 4. Если йф?&, то для любого ЧГ с имеет
место а :}ф с или b i#. с.
Доказательство. Так же, как в доказатель-
доказательстве теоремы 2, мы находим k и h, такие, что
A) | cih+p — Ьн+р I j>-г при любом р;
(И) |йл+1—ah+p|<^^r при любом р;
/¦••\ и. и 1 ^ 1'
(ш) ]ол+1 — "л+р1"\8й при л1°б°м р;
(iv) | сл+1 — ch+p | < g^ при любом р.
Тогда в силу (i) при р — 1 имеем \а^\ — Ch+i
1
или |&л+1
В первом случае мы получаем из (ii) и (iv), что
I «л+р — сн+р | > ^ при любом р,
отсюда а ф): с; во втором случае
\bh+p — ch+P\>ц при любом р,
т. е. b ф(: с.
30

2.2.4. Основные операции над ЧГ
Определение!. Если а и b суть ЧГ и являются
последовательностями {ап} и {Ьп} соответственно, то
(i) а + b есть последовательность {ап + Ьп);
(и) ab есть последовательность {anbn};
(ш) — а есть последовательность {— ап}\
(iv) Если a pf. О, то а есть последовательность {сп},
где с„ = от1, если а„ =f= 0 и с„ = 0, если ап = 0.
Теорема 1. Последовательности а + 6, а&, —а и а
суть ЧГ.
Доказательство. Легко доказывается известными
методами, что все определенные последовательности
являются последовательностями Коши.
Замечания. A) Заметим, что аГ1 можно определить
только в том случае, когда а ф(: 0; это условие необходимо
и достаточно для того, чтобы доказать ограниченность пос-
последовательности, определяющей а1).
B) Рациональное число г может быть отождествлено с
последовательностью, каждый член которой есть г. При
помощи этого приема система последовательностей, порож-
порождающих действительные числа, оказывается расширением
системы рациональных чисел. Это замечание было приме-
применено в опр. 1 (iv).
C) Для рациональных чисел не нужно проводить раз-
различие между ф и 4Ф, так как если а =/= Ь, то а — b является
рациональным числом, отличным от 0 и |а — b\ = plq^>^- •
Теорема 2. Если а = а' и Ъ = Ь', то а + b = а' + Ь'
и ab = а'Ь'.
Если а — а', то — а = — а'.
Если а # 0 и а = а', то а'1 = (а').
Доказательство. Докажем только последнее
утверждение. Так как а ф(: 0, мы можем найти п и ;,
такие, что | ап+р | ^> 1// для любого р; в силу теор. 2 из 2.2.3
мы точно так же найдем п' и ;', такие, что \а'п,+р\^> 1//'
для любого р.
31

При любом данном натуральном числе k мы можем
определить / так, чтобы имело место
— а1+р | < щ для любого р.
у с и
из чисел п, п', I, то
1+р | щ
Пусть сГ1 = с и (о') = с> тогда, если т наибольшее
' I
г I — \пт+Р~ат+р\
t-p t-m+p I — —; г——
l«WWl
для любого р.
Отсюда с = с'.
2.2.5. Основные тождества
Для краткости записи основных тождеств я введу по-
понятие рациональной функции.
Определение 1. Рациональная функция f(a,b,c,...)
определяется конечным числом применений четырех основ-
основных операций. Она определяется для таких ЧГ а, Ь, с, . . .,
что всякий раз, когда в ходе вычисления / приходит-
приходится брать обратный ЧГ, сам этот ЧГ отделен от нуля.
Например,
/ (а, Ь) = а'1 (а + Ь'1)'1
определена для таких ЧГ а, Ь, что apf.0, b ф? 0 и а + Ь
Лемма. Если / (а, Ь, с, . . .) является рациональ-
рациональной функцией, а а,Ь, с, . . . —данные ЧГ, на которых /
определена, и
/ (а, Ь,с,...) = х,
то можно найти такое натуральное число п, что
Хп+р == Д Оп+Р, Оп+р, Сп+р, . . .)
для любого р.
Доказательство. Пусть q>t (a, b, с, . . .),
ф2 (а, Ь, с, ...),... — те функции, обратные величины ко-
которых мы должны вычислить в ходе вычисления /. Тогда
Фх (а, Ь, с, . . .) рр 0, и можно найти такой индекс kv
что фх (а„, bnt сп, . • •) ф 0 для п > kx\ таким же образом
з?

найдем &2 > ^i. такое, что <р2 («я, &я, с„, . . .) =f= О для
п^> Ь2нт. д. Если &г — последний из так найденных индек-
индексов, то в силу опр. 1 из 2.2.4 мы получаем, что при п j> kr
имеет место х„ = f (а„, Ь„, с„, . . .).
Теорема 1. Если рациональное тождество имеет
место для рациональных чисел, то оно имеет место также
и для ЧГ, что надо понимать в следующем смысле. Пусть
/ (р, q,r x,y,z,...) и g (р, q,r х, у, z, . . .)
рациональные функции, такие, что / = g, если вместо
р, q, r, ... подставить данные рациональные числа
Ро> <7о> го> • • •> а вместо х, у, z, . . . произвольные
рациональные числа, для которых f и g определены. Тогда
/ (Ро. <7о, г0 а,Ь,с,. . .) =? (р0, <7о, г0 а,Ь,с, . . .)
для любых ЧГ а, Ь, с, . . ., при которых / и g определены.
Доказательство. Пусть
/ (Ро> ?о. г0, . . ., а, Ь, с, . . .) = v
и
Ё (Ро> ?о, г0 а, Ь, с, . . .) = а».
В силу леммы можно найти индекс k, такой, что
/ (Ро> 9о> го> • • •> ап, Ьп, сп, . . .) = vn
и
g (Ро> <7о> го. • • •> ап, Ьп, сп, . . .) = Wn
для п^> k. По предположению ?>„ = и»„; следовательно,
V = W.
Этим сразу доказываются все основные тождества ариф-
арифметики. Мы пополним их следующими теоремами,важными
для анализа.
Теорема 2. ар^Ь влечет а + с рр Ъ + с.
Доказательство. Если | ап+р — bn+p | ^> -^ при
любом р, то | (ап+р + сп+р) — фп+Р + с п+р) | > j при
любом р.
Теорема 3. аф(:0и6#0 влекут ab ф): 0.
33

1 1
Доказательство. Если | ап+р ] > ^ и 16,I+P | ^>-^
при любом р, то
|а„+р6„+р|>^ при любом р.
Теорема 4. ab ^ф 0 влечет а +? 0 и Ь ^ф 0.
Доказательство. Мы можем найти & и п,
такие, что
при любом р; тогда
при любом р.
Теорема 5. а -{- b ^0 влечет, что а ф? 0, или Ь ф? 0.
Доказательство. Пусть а + 6 ф(: 0. По теор. 2
— а + а + 6 4Ф —а> т- е- ^ ^Ф — а- По теор. 4 из 2.2.3
Ъ ф(: 0 или — а ф(: 0. Во втором случае прибавляем а к обоим
членам и применяем теорему 2.
Класс. Классически мы рассматриваем эти теоремы
как негативные свойства и даем для них косвенные дока-
доказательства. Например, если а + с = Ь + с, то а = Ь\
следовательно, из a=j= b следует а + с =jt 6 + с. Но я вижу,
что вам нужны прямые доказательства, потому что вы рас-
рассматриваете позитивное отношение рр вместо негатлвного
отношения =j=.
Инт. Теоремы об отношении ф(: и их доказательства
проще теорем, включающих =j= и =; с последними нужно
обращаться с большой осторожностью, что я проиллюст-
проиллюстрирую на следующем примере.
Пусть ЧГ а и Ь определены следующим образом: если
в первых п десятичных знаках разложения я не встре-
встречается вхождения 0123456789, то ап = Ьп= 2~"; если же
такое вхождение встречается, причем 9 первого такого
вхождения является k-u знаком после запятой, тогда при
нечетном k пусть ап = Чгк и 6„ = 2""> а ПРИ четном k пусть
ап = 2'п и Ьп = 2"*. Ни для а, ни для Ь мы не в состо-
состоянии решить, равны ли они нулю. Но ab = 0! В первом
случае anbn = 2~2п; во втором anbn = 2~к~п', в любом слу-
34

чае \anbn | <С ^т ПРИ п^>т- Следовательно, суждение «если
ab = 0, то а = 0 или 6 = 0» не может быть доказано, пока
существуют нерешенные математические проблемы того же
рода, что и проблема, использованная при построении
примера.
Класс. Однако если ab — 0, то невозможно, чтобы как а,
так и Ь были отличны от нуля.
Инт. Это справедливо, так как a ф 0 и b ф 0 влекут
за собой ab ф 0, ибо я могу доказать следующим образом
этот негативный аналог теоремы 3.
Делаю это в три шага.
(i) Если ab = 0 и a Ф О, то b = 0, так как b ф 0 влекло
бы ab ф 0 (теорема 3), значит, b ф 0 невозможно и 6 = О
(в силу теор. 3 из 2.2.3).
(ii) Если ab — 0 и b ф 0, то а = 0, так как по (i) а ф О
влекло бы 6 = 0.
(ш) Если а фО и b ф 0, то ab фО, так как аЬ — 0
у Ь ф 0 по (ii) влекло бы а = 0.
Форм. Разве мы не могли бы сказать, что из ab = 0
следует, что либо а = 0, либо 6=0, но мы можем и не знать,
какое именно из этих двух соотношений истинно?
Инт. Было бы опасно применять такой неаккуратный
способ выражения в таких тонких вопросах. Мы утверж-
утверждаем суждение только тогда, когда мы можем его доказать;
так мы утверждаем, что а = 0 или 6 = 0 только тогда,
когда мы может доказать одно из этих суждений. Если же
мы утверждаем, что невозможно а Ф 0 и b фО одновре-
одновременно, то мы указываем как раз то, что мы доказали,
и это выражение едва ли более сложно, чем то, которое
предлагаете вы. Если мы используем ваше выражение,
то мы должны всегда помнить, что оно имеет смысл, отлич-
отличный от того, который выражен самими словами.
2.2.6. Отношения порядка между ЧГ
Об отношениях порядка я скажу кратко.
Определение1. Мы пишем а < 6, если можно
найти п и k, такие, что Ьп+Р—ап+р^>-^ при любом р;
о >¦ b означает то же, что b < a.
Теорема 1. Если а #6, то а<^Ь или Ь<^а.
35

Доказательство. Возьмем пик, такие, что
ап+р—Ьп+Р \^> -г- при любом р. Определим теперь т^>п
так, что | ат — ат+р ]< ^ и ] Ьт — Ьт+Р |< ^ при любом р,
1 1
ат — Ьт Ъ>-г-, или Ьт — ат^>-г . В первом случае
К ^ К
а-т+р — Ьт+Р ]> 2ь при любом р, т. е. Ь < а; во втором
случае получаем а
Теорема 2. Если а <^Ь, то а # 6.
Это следует непосредственно из определений.
Теоремы 1 и 2 показывают, что а ф? Ь равносильно
{а<^Ь или а ]>6).
Теорема 3. Если противоречиво, что а <^Ь и про-
противоречиво, что b <^а, то а — Ь.
Доказательство. Мы приводим к противоре-
противоречию предположение, что а ^ф Ь, применив теорему 1; тогда
по теор. 3 из 2.2.3 следует, что а — Ь.
Теорема 4. Если а <^Ь, то для любого ЧГ с имеем
а < с, или с<^Ь.
Доказательство аналогично доказательству
ieop. 4 из 2.2.3.
Теорема 5. Если а < Ь и Ь = с, то а < с.
Доказательство аналогично доказательству
теор. 2 из 2.2.3.
Теорема б. Если a<i ni<c, тоа<с.
Доказательство легко получается из опре-
определения.
Теорема 7. а <^Ь влечет а + с < Ъ + с.
Доказательство как для теор. 2 из 2.2.5.
Теорема 8. Если а ]> 0 и Ь ]> 0, то ab ]> 0.
Доказательство как для теор. 3 из 2.2.5.
Определение 2. Мы пишем а ;?> Ь, если а ^> Ъ
['^возможно, и а <? Ь, если а <^Ь невозможно.
Заметим, что а ;?> Ь не то же, что (а <^Ь или а = Ь).
36

Так, в примере 2.2.2 р 3> у, но мы не знаем, что спра-
справедливо р <С "з" или Р = у •
Теорема 9. Если а <? Ъ и Ъ ^> с, то а ^> с.
Доказательство. Мы можем найти натураль-
натуральные числа k и п, такие, что при любом р имеет место
Ьп+р—сп+р >¦ j и, далее, число 'то^>п, такое, что для
tn ^> tn0 и при любом q
k-<w«i<- и \ьт-ьт+ч\<:^.
Сделаем предположение, что ат — ст<С^ • Тогда
, 1 . , _3_
От J> Cm v ~^ S^ ^m "t" ^^ i
b Ъ-b —-Ъ>а +-Ъ>а +~
при любом q, т. e. b >. а. Ввиду противоречия с условиями
теоремы мы получаем, что ат — ст > ^, am —cm> gr
при любом /п ^> /п0, т. е. что а^> с.
Т е о р е м а 10. Если а~^> b и b <? с, то а^> с.
Доказательство аналогично.
Теорема 11. Если a J> b и 6 ^> с, то а^> с.
Доказательство. Предположим, что а ^> с
тогда а*^> b или 6 ^> с по теор. 4.
2.2.7. Максимум и минимум двух ЧГ
Определение 1. Если а = {ап} и b = {bn}, то
max (a, b) = {max (an, bn)} и min (a, b) = {min (an, bn)}.
Теорема 1. Если а и b суть ЧГ, то с = max (a, 6)
и d = min (a, b) — тоже ЧГ.
Доказательство. Найдем п, такое, что при
любом р
„ , ^ * '»- ». i ^ 1
/1+р
I ап+р ап I
Предположим, что ап > Ь„, так что сп = ап.
37

Тогда Сп+р > ап+р^>ап g- = сп j- и ап+р < а„ + -j
11 1
<а + -?-, так что сп+р<с„ + -^-
Отсюда следует, что последовательность {сп} является
последовательностью Коши.
Теорема 2. max (a, b)<?a. max (а, Ь) <? Ь. max (а, Ь)
= max (b, a), min (а, Ь) имеет аналогичные свойства,
max (a, b) <? min (a, b).
Теорема 3. Если х ^> max (а, Ь), то д; ^> а и х^> Ь.
Обратно, если дс^>аи х^> Ь, тодс^> max (а, 6).
Доказательство. Первая часть теоремы следует
непосредственно из того, что max (a, b) <? а и из теор. 10
из 2.2.6. Чтобы доказать вторую часть, достаточно заме-
заметить, что из хп+р — ап+р > -?- и *п+р — Ьп+Р > -у следует
Хп+р — max (On+pt On+p) ^> —т~ •
Теорема 4.
max (а, Ь, 0) = max (а, 0) max F, 0) + min (a, 0) min (b, 0).
Доказательство. Это равенство легко про-
проверяется для рациональных a, b посредством разбора
случаев в зависимости от знаков а и Ь. Для ЧГ оно следует
из определений ab, max (a, b) и min (a, b).
Теорема 5. max (a, b) + min (a, b) = a -f b.
2.2.8. Абсолютная величина гГ.
Определение. Если а — гГ, то его абсолютная ве-
величина |а|=тах(а, —а) или, что то же самое, если
а = {ап), то \а\ ~ {\ап\}.
Замечание. График функции у = | х \ не является
объединением двух полупрямых; он должен быть дополнен
точками, для которых неизвестно, соответствуют ли они
значению х, большему, меньшему или равному нулю. Это
сделано посредством вышеприведенного определения, опре-
38

деляющего | х | для любого ЧГ х. И вообще, если мы желаем
рассматривать ломаную линию как непрерывную кривую,
мы должны аналогичным способом дополнить ее у каждого
угла.
Теорема 1. Для любых ЧГ а и Ь имеет место
Ь\<\ Ь\
Доказательство. Допустим, что | а \ + \ Ь | <
\а + Ь\\ тогда можно найти п и k, такие, что
|ап+р + Ьплр | — (| ап+р ] + | Ьп+Р |) > -k при любом р;
но это невозможно ни для какого р.
Теорема 2. | а | 161 = | об |.
Теорема 3. I— а[ = |а|. Если а ф? 0, то | a'1 j =
||-1
2.3. Респектабельные действительные числа
Форм. Разрешите мне вернуться к вашему примеру двух
чисел, которые дают в произведении нуль, без того, чтобы
одно из них было нулем. В этом примере и в подобных ему
вы используете такие действительные числа, для которых
не вполне известна их упорядоченность по отношению к
рациональным числам. Нельзя ли избежать этих усложне-
усложнений путем ограничения арифметики такими действитель-
действительными числами, которые полностью локализованы в отно-
отношении рациональных чисел, так сказать, респектабельными
действительными числами?
Инт. Это кажется мудрым предложением, поскольку
большинство действительных чисел, встречающихся в ана-
анализе, респектабельны в вашем смысле. Правда, я не думаю-
что можно этим путем действительно разрешить упомяну,
тые вами трудности, но я не буду вдаваться в этот вопрос,
так как имеются более серьезные возражения. Прежде
чем обсуждать их, я думаю, имеет смысл доказать, что не-
некоторые из важнейших действительных чисел респекта-
респектабельны.
Доказательство для числа е совершенно просто.
00 1
e = 2~?f (частичные суммы ряда дают ЧГ).

Допустим, что е = —.
п 1 °° 1
Полагаем sn = ]>] -%¦ • r" ^ 2 ТГ*
(я +
(n + l
= Sn -
0
CO
1)! 2л
1
I)! n +
f rn.
2
1
/n
-1)! .
k)' 1
¦"(я +
(n-
-(я
1)!
1)!
n+l
я
= n!
J п! г„.
Последнее невозможно, ибо п\гп <[ \1п и не является целым.
Класс. Вы привели хорошо известное доказательство
иррациональности е, но дает ли оно отношение порядка
между е и т/п?
Инт. Для этого нужно обратить последнюю часть до-
доказательства в позитивное утверждение. Замечаем, что
(п + 1)\ <е ~ Sn <
1
Я+1
Так как n! f — sn) является целым, то \n\\e —
> .n + ^j-; следовательно, вы-
• Это дает
m
e —
числяя е с достаточной степенью точности, мы сможем
найти его положение по отношению к т/п.
Так, чтобы доказать респектабельность действи-
действительного числа а, достаточно дать доказательство ирра-
иррациональности а, с одновременной оценкой для степени
иррациональности а, т. е. с указанием арифметической
функции <р (п), такой, что
для любых тип.
a —
я
Чтобы найти оценку иррациональности для алгебраи-
алгебраических чисел [Брауэр, 1920, стр. 960], рассмотрим
два алгебраических числа а и Ъ\ при помощи вычисления,
включающего только операции над рациональными числа-
числами, находим алгебраическое уравнение
/ (х) = Сохп + ...+<:„ = 0
с целыми коэффициентами, такое, что а и b являются его
49

корнями и что его дискриминант d ф О (d — целое).
Здесь d = сТ'г П (Wi —wkf, где wt = a, w2 = 6,
ws, • • • wn — корни уравнения / (х) = 0. Найдем такое
целое Л, что \wt — wk |< Л (t, А: = 1 п); тогда
1а ^1 ^
Беря в качестве Ъ рациональное число, мы найдем оцен-
оценку иррациональности а.
Все это довольно удовлетворительно, но, с другой сто-
стороны, мы не знаем, является ли эйлерова константа С ра-
рациональной, так что при настоящем уровне наших знаний
она не удовлетворяет вашему условию. Еще тяжелее то
обстоятельство, что сумма двух респектабельных чисел
не обязана быть респектабельным числом. Приведу при-
пример. Я задаю ЧГ следующим образом: пишите десятич-
десятичное разложение я и остановитесь после первого вхождения
0123456789 или 9876543210 в это разложение; но если при
этом встретилась вторая последовательность, то измените
последний 0 на 1. И я и с — респектабельные числа.
Для я это было доказано Брауэром [Брауэр, 1920,
стр. 961]; его доказательство показывает, что для любого
рационального г можно найти такое натуральное п, что
|я — г\^> 10"". Вычисляя я с п знаками после запятой,
мы найдем отношение порядка между сиг. Но с — я не
респектабельно (по крайней мере мы этого не знаем), так
как в настоящее время никто не может решить вопрос, рав-
равно ли с — л нулю, больше его или меньше его.
В силу этого, по-видимому, непрактично ограничивать
арифметику респектабельными числами. Поэтому я опу-
опускаю это понятие и возвращаюсь к определению 1 из 2.2.1.
2.4. Пределы последовательностей ЧГ
В целях полноты изложения я сформулирую определе-
определение позитивной сходимости.
Определение 1. Последовательность {ап} ЧГ (пози-
(позитивно) сходится к пределу а, если для любого натурального
числа k можно найти натуральное число п, такое, что для
любого натурального числа р
(О |а-а„+р|<2*.
41

Класс. В таких определениях, как это, важны не слова,
а способ их понимания. Используя оборот «можно найти»,
вы еще раз это подчеркиваете, так как речь идет не о суще-
существовании числа, а о том, что оно должно быть эффектив-
эффективно известным. И еще один вопрос. Почему вы используете
выражение «позитивно сходится»? Разве еще имеется по-
понятие негативной сходимости?
Инт. Действительно, здесь, как и в случае многих дру-
других понятий, наряду с понятием позитивной сходимости,
получающимся, если придать обычному определению кон-
конструктивную форму, существует еще более слабое негатив-
негативное понятие, классически эквивалентное позитивному. Од-
Однако поскольку использование таких негативных понятий
влечет за собой логические трудности, связанные со свой-
свойствами интуиционистского отрицания, я думаю, что лучше
рассмотреть их в главе о логике G.3.2).
Имеет место критерий сходимости Коши. Я предостав-
предоставляю вам дать позитивную формулировку этого критерия
и доказать, что он является необходимым и достаточным
условием сходимости. Интуиционистски доказуемы также
теоремы о сходимости подпоследовательности, о пределе сум-
суммы и произведения двух последовательностей и некоторые
другие. Однако многие классические теоремы уже не
имеют места. В качестве примера я укажу на то, что огра-
ограниченная монотонная последовательность не обязана схо-
сходиться. Простым противоречащим примером является пос-
последовательность {ап}, определенная следующим образом:
ап = 1— 2~", если среди первых п знаков десятичного
разложения л не встречается вхождения 0123456789; ап =
2 — 2~", если такое вхождение имеет место. Никто не
знает, равен ли предел этой последовательности, если он
существует, 1 или 2; поэтому мы не вправе сказать, что та-
такой предел существует как хорошо определенный ЧГ12).
Я не буду останавливаться на определении таких по-
понятий, как верхний предел (наименьшая верхняя грань)
последовательности. Они получаются из обычных опреде-
определений посредством их позитивного истолкования.
Заметим, что а = {ап}, где ап рациональны, влечет, что
lim an = а.
42

III. ПОТОКИ И ВИДЫ
3.1. Потока
3.1.1. Бесконечно продолжающиеся последовательности
До сих пор мы предполагали, что ЧГ определяется за-
законом, который по любому натуральному числу п дает
полное предписание для вычисления гс-го члена последова-
последовательности. Такая точка зрения оправдана при рассмотре-
рассмотрении только изолированных ЧГ, но она становится неудо-
неудовлетворительной в теории континуума как множества
всех ЧГ. Понятие произвольного закона неестественно,
и с ним нельзя иметь дело; оно могло бы оказаться полез-
полезным на базисе какой-нибудь формальной системы, но тогда
оно не приводит к теории, в достаточной мере отвечающей
нашему интуитивному представлению о континууме.
Брауэр первым показал, каким именно образом можно
построить удовлетворительную теорию континуума, не
используя понятия произвольного закона 13).
ЧГ никогда не бывает дан в готовом виде; нам может
быть задана только конечная часть последовательности.
Это приводит нас к мысли, что ЧГ всегда находится в со-
состоянии роста. Понятие закона становления существенно
лишь постольку, поскольку оно гарантирует нам возмож-
возможность неограниченного продолжения последовательности;
значит, мы можем его исключить, постулируя эту самую
возможность [Брауэр, 1919 А, стр. 3; 1920, стр. 956;
1924, стр. 245]. Поэтому под бесконечно продолжаю-
щгйся последовательностью (сокращенно БПП) будет пони-
пониматься в точности то, что выражается этими словами, т. е.
последовательность, которая может быть продолжена до
бесконечности. При этом безразлично, каким образом оп-
определяются члены последовательности, посредством ли
закона, свободным ли выбором, жребием ли или как-ни-
как-нибудь иначе. Конечно, здесь возникает два вопроса: законно
43

ли введение понятия БПП и полезно ли оно? Если данное
понятие достаточно ясно, чтобы его можно было принять
в качестве фундаментального математического понятия, то
на первый вопрос можно ответить утвердительно. Но я
предполагаю, что у вас имеются серьезные сомнения отно-
относительно его ясности.
Форм. Да, у меня имеются сомнения. Принимая это
понятие, вы вводите в математику время и элемент субъек-
субъективности. А они не относятся к математике. Бесконечно
продолжающаяся последовательность продолжается во
времени, и способ, которым она продолжается, зависит от
выбора, т. е. от акта воли выбирающего.
Инт. Я согласен с этим, и все же, если мы просмотрим
доказательства теорем арифметики действительных чисел
в разделах 2.2.4 и 2.2.5, то мы увидим, что они зависят
только от возможности неограниченного продолжения пос-
последовательностей; мы нигде не используем того факта, что
их продолжение производилось по известному правилу;
значит, можно рассматривать их продолжение, не требуя
существования такого правила. Например, в определении
суммы двух ЧГ B.2.4) п-е приближениеа-{-Ь находится сразу
после того, как будут даны п-е приближения а и Ь. Следо-
Следовательно, если а и Ь — бесконечно продолжающиеся пос-
последовательности, то и а + Ь — бесконечно продолжаю-
продолжающаяся последовательность. Чтобы получить понятие БПП.
нам не нужно вводить новые идеи, в частности понятие вы-
выбора; слово «выбор» используется здесь в качестве сокра-
сокращенного обозначения порождения компоненты последова-
последовательности. Идея закона, управляющего образованием по-
последовательности, здесь необязательна и может быть устра-
устранена процессом абстрагирования. По этой причине я про-
прошу вас считать понятие БПП достаточно ясным 14>.
Что касается зависимости БПП от понятия времени и
их субъективности, то здесь необходимо дальнейшее об-
обсуждение. Расширяя определение 1 из 2.2.1, определим
ЧГ, как БПП, которая состоит из рациональных чисел и
является последовательностью Коши. Здесь заслуживает
специального рассмотрения условие быть последователь-
последовательностью Коши. Если числа последовательности выбираются
произвольно, то как мы можем заранее знать, что данная
последовательность будет последовательностью Коши?
Очевидно, нужно ограничить свободу выбора правилом,
которое обеспечивало бы свойство Коши до того, как де-
44

лается выбор, например условием, чтобы при любых п
и р выполнялось неравенство \ап — ап+Р\<^~. Если
БПП подчинена только этому условию, то она автоматиче-
автоматически будет последовательностью Коши.
Точно так же всю теорию ЧГ, изложенную в 2.2 и 2.4,
можно распространить на более широкое определение ЧГ,
приведенное здесь; в соответствии с этим, начиная с дан-
данного момента, мы будем применять это последнее определе-
определение.
Вообще говоря, мы исключим субъективный и времен-
временной аспекты понятия БПП, если договоримся допускать
только такие рассуждения, которые применимы к последо-
последовательности независимо от того, какими окажутся еще не
выбранные ее члены.
Выборы, посредством которых образуется БПП, не обя-
обязательно должны быть абсолютно свободными; их свободу
можно ограничивать различными способами при условии,
что на каждом шагу мы можем решить вопрос, каким ком-
компонентам разрешено появляться при следующем выборе,
а каким нет. Например, условие « | ап — ап+р | < -
при любых п и р» удовлетворяет этому требованию, так как
после выбора ai,..., an мы знаем, какие рациональные
числа допустимы при выборе а„+1, а какие — нет. Брауэр
допускает также, что после некоторого числа выборов
можно свободным решением налагать новые ограничения
на дальнейшие выборы [Брауэр, 1924, стр. 245].
3.1.2. Определение потока
Главная польза понятия БПП заключена в его общности.
Бесконечно продолжающаяся последовательность Коши,
состоящая из рациональных чисел, гораздо лучше пред-
представляет континуум ЧГ, чем последовательность, опреде-
определенная неспециализированным законом; она соответствует'
нашей интуитивной концепции континуума как возмож-
возможности постепенного определения точек. Обобщение этой
идеи приводит к брауэровскому определению потока
[Брауэр, 1918, стр. 3; 1924, стр. 244; 1954, стр. 81.
Поток М определен двумя законами; первый, который
я буду называть законом потока Лм, управляет актами
выбора натуральных чисел, в то время как действие вто-
45

рого или дополнительного закона Тм заключается в том,
что он любой БПП, состоящей из натуральных чисел и об-
образованной по первому закону, сопоставляет последова-
последовательность математических объектов.
Рис. 1.
Удобно ввести следующие термины, касающиеся ко-
конечных последовательностей. Последовательность аь...,
а„, an+i является непосредственной преемницей ai,...,an.
И обратно, alt...,an является непосредственной предшест-
предшественницей ai ап, ап+1.
Определение 1. Закон потока есть правило Л, кото-
которое делит конечные последовательности натуральных чисел
на допустимые и недопустимые при соблюдении следующих
условий:
A) Для любого натурального числа k можно решить
посредством Л, является ли оно членом допустимой одно-
одночленной последовательности.
B) Если последовательность ах а„, an+i, то допустима,
допустима и ее предшественница аъ..., а„.
C) Если дана допустимая последовательность at an,
то Л позволяет нам решать для любого натурального числа
k, является ли последовательность аь..., ап, k допустимой.
D) Для любой допустимой последовательности aly...an
можно найти по крайней мере одно натуральное число
k, такое, что аъ..., an,k — допустимая последовательность.
Таким образом, допустимые последовательности могут
быть представлены как развертывающиеся веерообразно;
см. рис. 1. Нужно только помнить, что из любой вершины
может исходить бесконечное число ребер.
Определение2. Дополнительный закон Тм потока М
сопоставляет любой конечной последовательности, допу-
допустимой согласно закону потока М, некоторый математиче-
математический объект.
46

Форм. Какие же объекты сопоставляет Тм допустимым
последовательностям?
Инт. В теории ЧГ это — рациональные числа; вообще
же они могут быть любыми ранее введенными математиче-
математическими объектами.
Определение 3. БПП {ап}, подчиненная условию, что
при любом п последовательность al,...,an должна быть до-
допустимой согласно закону потока Ам, называется допусти-
допустимой БПП. В таком случае БПП из объектов, которые до-
дополнительный закон сопоставляет последовательностям
аи аъ ch\ •••; а2,..., ап,..., является элементом потока М.
Если элемент b потока является БПП {Ьп}, то мы будем
называть Ьп п-й компонентой Ь.
Определение 4. Два элемента потоков равны, если
при любом п равны их я-е компоненты.
Определение 5. Два потока равны, если для любого
элемента одного из них можно найти равный ему элемент
другого потока.
Легко видеть, что отношение равенства между элемен-
элементами потоков и между потоками удовлетворяет обычным
условиям рефлексивности, симметрии и транзитивности1В).
3.1.3. Примеры потоков
(i) Пусть гг, г2> • • • — перечисление рациональных чи-
чисел.
Км- каждое натуральное число образует допустимую
одночленную последовательность; если alt . . ., ап — до-
допустимая последовательность, то alt . . ., ап, ап+1 являет-
является допустимой последовательностью тогда и только тогда,
КОГДа \Гап~Гап+1\<:2-П.
Тм: допустимой последовательности с^ ап сопос-
сопоставляется рациональное число гпп.
Элементы М суть ЧГ гп1, г^, . . . . По любому ЧГ с
можно найти такое т, входящее в М, что с ~ т; в этом
смысле М представляет собой континуум действительных
чисел.
(п) В примере (i) добавим к Ам условие, чтобы нера-
неравенства 0 < Гап <С 1 выполнялись при любом п. Тогда М
состоит из таких ЧГ х, что О Д> х Д> 1.
47

(iii) В примере (ii) добавим к Ам условие, чтобы при
каждом п ^> 1 выполнялось неравенство
¦ — Гаг
Г а
Тогда М представляет такие ЧГ у, что 0<г/<М.
(iv) Лд*: допустимы все последовательности из нулей и
единиц и только они.
Г м- последовательности аь . . ., ап сопоставляется ра-
рациональное число
М представляет собой поток таких ЧГ, что 0 ~jp> х ~jp> 1,
и что для каждой двоичной дроби -% = 6 можно доказать,
что х 3> Ь или что х <? 6 (такие ЧГ можно назвать двоично
р азвертываемыми).
(v) к Ам примера iv добавляется следующее ограни-
ограничение: если п — нечетное, то ап — 0. М есть поток ЧГ,
похожий на канторовский дисконтинуум.
Ясно, что, варьируя содержащиеся в Ам ограничения,
мы можем определять различные потоки, состоящие из ЧГ.
Замечание по поводу терминологии. В своих ранних пуб-
публикациях Брауэр использовал термин «Menge» для того,
что здесь называется потоком. Позднее он стал избегать
такие термины, как Menge, множество, класс, ансамбль,
которые наводят на близкое к классической теории понима-
понимание множества как совокупности его элементов и ввел тер-
термин поток (голландское spreiding, английское spread,
французское deploiement). Другое понятие, также анало
гичное классическому понятию множества, вводится в еле
дующем разделе под именем «вида». Следуя брауэровско^
терминологии, я использую слово «множество» неформаль
ным образом в разъяснительных параграфах, когда я срав
ниваю интуиционистскую теорию с классической.
3.2. Виды
3.2.1. Определение вида
Для интуициониста имеются два способа определени
Множества: (i) посредством общего способа порождения ег

элементов; это осуществляется в Потоках; (и) посредством
характеристического свойства его элементов; множества
такого рода называются видами.
Определение 1. Видом называется свойство, которым
могут обладать математические объекты [Брауэр, 1918,
стр. 4; 1924, стр. 245; 1952, стр. 142].
Определение 2. После того как вид 5 был определен,
любой математический объект, определенный до 5 или мо-
могущий быть определенным до 5 и удовлетворяющий усло-
условию S, есть член вида S.
3.2.2. Примеры видов
(i) Те ЧГ, которые совпадают с данным ЧГ, образуют
вид (более точно: свойство совпадения с данным ЧГ яв-
является видом; и вообще любое определение вида, данное
в первой форме, нужно переформулировать таким обра-
образом); этот вид называется действительным числом. Если
х — действительное число и ЧГ ? — член х, то мы говорим,
что i представляет х и что ? совпадает с х.
(И) Те БПП, которые равны элементам потока М, обра-
образуют вид — соответствующий потоковид Sm-
(iii) Все действительные числа образуют вид, который
не определен как потоковид. Это (одномерный) континуум
(действительных чисел).
(iv) Компоненты БПП ?, состоящей из натуральных
чисел, образуют вид, который мы для краткости будем
отождествлять с ?.
3.2.3. Тип вида
Класс. Но если вы хотите избежать круговых определе-
определений, разве вы не обязаны ввести иерархию видов, как в
Principia Mathematica?
Инт. Круговые определения исключаются при помощи
требования, чтобы члены 5 были определимы независимо
от определения 5. С конструктивной точки зрения это
условие очевидно. Оно действительно подсказывает нам
упорядочение видов, напоминающее иерархию типов.
БПП и потоковиды называются видами типа нуль. Виды,
члены которых суть виды типа нуль, являются видами
типа один.

Определение 1. Вид называется видом типа п, если все
его члены имеют тип, меньший чем п. Виды из примеров i,
ii и iv суть виды типа нуль; вид из примера iii — вид типа
один.
3.2.4. Подвиды
Понятие подвида данного вида определить нетрудно.
Я использую символы е=, U» П в их обычном смысле. 5 с: Т
означает, что каждый член 5 является членом Т; S = Т
(S равно Т), если 5 с: Т и Т с: 5. Запись а фБ означает, что а
не может быть членом 5. Если Т есть подвид S, то 5 — Т
есть вид тех элементов S, которые не могут принадлежать
Т.
Если Т с: S, то 5 ' = Г U E — Т) не всегда тождественно
S, ибо S' содержит только те элементы S, для которых
можно решить, принадлежат ли они Т. Например, если
5 — вид действительных чисел, а Г — вид рациональных
чисел, то 5 — Т — вид иррациональных чисел в негатив-
негативном смысле слова. Если неизвестно, является ли данное
действительное число рациональным или нет (такова,
скажем, эйлерова постоянная С), то нельзя сказать, что оно
принадлежит 7*иE — Т).
Оп реде ление 1. Если виды5и Т обладают тем свой-
свойством, что 5 не может содержать элементов, не входящих
в Г, и Г не может содержать элементов, не входящих в S,
то S и Т конгруэнтны [Брауэр, 1924, стр. 246].
Теорема. Если Г —подвид S, то S' = T\J(S — T)
конгруэнтно 5.
Доказательство. Так как S' с: S, то нам достаточно
доказать, что 5 не содержит элементов, не входящих в S'.
Пусть ае5, ноае?5'; тогда афТ, значит, a€ES — Т и
aeS', что противоречит предположению. Следовательно,
если aE5', to at?S' невозможно.
Определение 2. Если TCS и T[j(S — T) равной,
то Т —распознаваемый подвид S, и 5 разбивается на Т
и S — Т [Брауэр, 1924, стр. 247].
Класс. Это сводится к тому, что для каждого эле-
элемента 5 мы можем узнать, принадлежит ли он Т. Ясно, что
50

если Т — распознаваемый подвид 3, то 5 — Т —
распознаваемый подвид 5.
Инт. Позвольте мне привести несколько примеров.
Вид четных натуральных чисел является распознаваемым
подвидом вида N — всех натуральных чисел.
Неизвестно, составляют ли показатели степеней п, при
которых уравнение хп + уп = zn имеет нетривиальные
целые решения, распознаваемый подвид N.
Позднее мы увидим (теор. 2 из 3.4.3), что у континуума
нет других распознаваемых подвидов, кроме него самого
и пустого вида.
3.2.5. Отношение эквивалентности между видами
Как обычно, два вида, между элементами которых
установлено взаимно однозначное соответствие, называются
эквивалентными. Как мы уже заметили в 2.1, построение
натурального числа п состоит в последовательном образо-
образовании чисел от 1 до л; эти числа образуют вид 1—*п. Вид
называется конечным, если при некотором п он эквивален-
эквивалентен 1 -» п.
Определение 1. Вид, эквивалентный виду нату-
натуральных чисел N, называется исчислимо бесконечным.
Определение 2. Вид, содержащий исчислимо беско-
бесконечный подвид, называется бесконечным.
Если вид не может быть конечным, то он таким образом
не обязательно бесконечен.
Определение 3. Вид, эквивалентный распознаваемому
подвиду вида N, называется нумеруемым [Брауэр, 1918,
стр. 7; 1924, стр. 248; Гейтинг, 1929, стр. 51].
Пример. Вид из пар простых близнецов (р, р + 2) яв-
является нумеруемым, хотя неизвестно, конечен он или
бесконечен.
Я не буду касаться теории кардинальных чисел,
которая во многом отличается от классической теории
[Брауэр, 1924] — в частности в том, что два вида не обяза-
обязаны быть сравнимыми по своим кардинальным числам.
Легко дать пример вида, о котором неизвестно, пуст ли он,
конечен ли или же бесконечен.
51

Класс. Таким видом будет вид таких л, что знаки от л-го
до п + 9-го в десятичном разложении я составляют после-
последовательность 0123456789.
Инт. Из теор. 2 из 3.4.3 непосредственно следует,
что континуум не является исчислимо-бесконечным.
3.3. Арифметика действительных чисел
3.3.1. Отношения и операции для действительных
чисел
В 2.2. мы имели дело с арифметикой ЧГ. Вы легко
получите определения равенства и неравенства для дей-
действительных чисел и доказательства основных свойств этих
отношений. Далее, после очевидного определения арифме-
арифметических операций теоремы арифметики действительных
чисел становятся непосредственными следствиями теорем
о ЧГ. Я предоставляю вам проделать эту работу.
3.3.2. Промежутки
Определение 1. Если а и Ь—действительные числа, то
замкнутый промежуток [а, Ь] есть вид таких действитель-
действительных чисел х, что невозможно выполнение пары неравенств
х~^> а а х~^> b и невозможно выполнение пары неравенств
х < а и х <С,Ь.
Замечание. Определение должно быть дано в этой слож-
сложной форме, так как мы можем не знать, какое из чисел а
и Ь является большим.
Теорема 1. Если max (а, Ь) = с, min (а, b)~d, то
[а, Ь] = Id, с].
Доказательство. Мы видели в теор. 3 из 2.2.7, что
^ а и х > Ь) эквивалентно х > с, а это эквивалентно
(^ с и х 5> d); поэтому невозможность (д: > а и х > Ь)
эквивалентна невозможности (х^> с и х > d). Проведя
аналогичное рассуждение с заменой с на d, видим, что
х ?= [а, Ь\ эквивалентно х е= [с, d].
Теорема 2. Если а^>Ь, то [а, Ь] есть вид действи-
действительных чисел х, удовлетворяющих условию (д: <? а и
52

Доказательство. Хотя данное доказательство очень
просто, оно может показаться трудным тем, кто не привык
к применению интуиционистской логики; поэтому я при-
приведу его несколько подробнее. Сначала предположим, что
* <|С а и х^> Ь. Из л: <? а следует, что (д: < а и х < Ь) не-
невозможно; точно так же из х ^> Ъ следует, что (д: > а и
х > Ь) невозможно. Поэтому х е= fa, b].
Теперь предположим, что х ЕЕ Га, Ь], и допустим, что
х <С а. Тогда ввиду а Д> й мы получили бы х <^ й и имели
бы (* < а и х <^Ь), что невозможно по предположению.
Таким образом, х <? а. Аналогично доказывается, что
Следствие. Если max (а, й)=с, min (а, b)=d, то fa, й]
есть вид тех действительных чисел х, для которых х ~^> с
и A:<d.
3.3.3. Канонические ЧГ
Часто бывает удобным представлять действительные
числа посредством ЧГ простой формы. Пусть действитель-
действительное число х задано посредством ЧГ {г„}. Можно найти
k, такое, что | х — rk \ < 2~"~3 и затем определить такое
целое х„, что | г* — хп2'п | < 2"", так что
A) |*-л:п2-п|<^2-п.
Выполняя это для каждого п, мы построим ЧГ {хп2~п},
равный х и обладающий свойством
| хпТп - *n+12-«-11< А 2- + ^ 2"" = i| 2-n;
из этого следует, что
B) |jtnr-W|<2"M.
Определение. ЧГ {Arn2~"}, где хп — целые чис-
числа и где соблюдено условие B), называется каноническим
ЧГ.
Мы доказали следующую теорему:
Теорема 1. Любое действительное число х совпа-
совпадает с некоторым каноническим ЧГ {^„2""}, удовлетво-
удовлетворяющим условию A).
S3

Из доказательства ясно, что в A) множитель -g- можно
заменить на у + е„, где е„ > 0.
3.4. Финитарные потоки (веера)
3.4.1. Определение
Поток М финитарен (есть веер), если закон потока Ам
таков, что допустимо только конечное число одночленных
последовательностей и что для любой допустимой последо-
последовательности av . . ., ап имеется только конечное число
значений k, таких, что alt...,an, k — допустимая по-
поел едовател ьность.
Букв. Скажите, является ли слово «финитарный» новым
словом.
Инт. Его использовал Клини для близкого понятия.
Что же касается «веера», то, хотя я и признаю использо-
использование таких новых слов в математике только в умеренных
дозах, однако понятие финитарного потока — настолько
важное понятие, что удобно иметь для него короткий тер-
термин.
Теорема 1. Каждый замкнутый промежуток кон-
континуума совпадает с некоторым финитарным потоком
[Брауэр, 1919 А, стр. 14; 1924 В, стр. 192].
Доказательство. Пусть даны два действи-
действительных числа а и Ь и пусть max (а, Ь) = си min (a, b) = d\
тогда [а, Ь] = Id, с]. Как в 3.3.3, мы строим канонические
ЧГ {dn2~n} и {с„2~"}, совпадающие с d и с соответствен-
соответственно. Можно предположить, что dn <^ сп, так как при dn > с„
мы имели бы также \d—с„2~"| <! "g" 2~" 1в).
Рассмотрим поток S, состоящий из канонических БПП
{хп2'п}, где х„ удовлетворяет условию
A) 4<*„<с„ 17).
После выбора хп, самое меньшее, одно и, самое боль-
большее, три значения допустимы для хп+1, так что поток 5
финитарен18). Я докажу, что 5 совпадает с [а,Ь]. Из A)
видно, что каждый элемент 5 равен некоторому элементу
Id, с]. И наоборот, если х — элемент Id, с], то можно
построить каноническую БПП {хп2~п}, совпадающую с х.
54

Как раньше, для dn и сп можно достичь того, чтобы соблю-
соблюдались условия dn ^ хп ^ сп, так что х совпадает с одним
из элементов S.
3.4.2. Теорема о веерах
Теорема. Если целочисленная функция <р (б) опре-
определена для каждого элемента б финитарного потока S,
то, исходя из определения функции <р, можно вычислить
такое число N, что ф (б) будет определяться первыми N
компонентами б; т. е. если бх и б2 — такие элементы S,
что первые N компонент Ь1 совпадают с первыми N ком-
компонентами б2, то будем иметь <р Fj) = <р (б2) [Брауэр,
1923, стр. 4; 1924 В, стр. 192; 1926 А, стр" 66; 1952,
стр. 143; 1954, стр. 15].
Доказательство. Пусть Л — закон потока 5
и F — вид допустимых конечных последовательностей,
определяемый Л, к которому еще добавляется пустая по-
последовательность. Пусть К — финитарный поток, состоя-
состоящий из БПП, допустимых по Л. Удобно ввести следующую
терминологию (см. также 3.1.2.).
Последовательность а1г . . ., ап, а„+1, . . ., an+k (k > 1)
является преемницей av . . ., ап; последовательность
av . . ., ап является предшественницей av . . ., ап,
БПП а = йх, . . ., й„, . . . является продолжением ко-
конечной последовательности аг, а2, . . .,ап и av . . ., ап —
началом а. Если а — элемент К, то о является /С-продол-
жением av a2, . . ., ап. Последовательность, входящая
в F, называется также /^-последовательностью.
Если d — элемент К, с которым посредством Ts соотнесен
объект б, то мы полагаем фF) = f(d). Для всех элементов
К определено /. Так как f{d) должно быть вычислимым, то
его значение должно определяться конечным числом ком-
компонент d, т. е. некоторой последовательностью a{d) из F.
Пусть С — вид последовательностей, которые таким обра-
образом соответствуют элементам из К; тогда каждый элемент
К имеет начало a{d) из С. Следовательно, если b — после-
последовательность, входящая в F, то любое /С-rip одолжение Ъ
имеет начало в С; мы выразим это свойство, говоря, что Ь
К-заперта посредством С.

Очевидно, что только посредством доказательства 5R,
основанного на данных теоремы, нам может стать известным
тот факт, что каждая /"-последовательность /С-заперта пос-
посредством С. Эти же данные могут быть двух сортов, а имен-
именно
(i) вид С,
(и) отношения между последовательностью, входящей
в /", и ее непосредственными преемницами в F.
Поэтому 3J, изложенное без сокращений, состоит из
конечного числа выводов, каждый из которых является
либо ^-выводом, либо ^-выводом, где последние опреде-
определяются следующим образом:
5-вывод: если для некоторой /"-последовательности а
любая непосредственная преемница а в F /С-заперта посред-
посредством С, то и а /С-заперта посредством С;
?-вывод: если для некоторой /"-последовательности а
непосредственная предшественница а /С-заперта посредст-
посредством С, то и а /С-заперта посредством С.
Последний вывод SR, доказывающий, что пустая после-
последовательность /С-заперта посредством С, должен быть Щ-
выводом, так что запертость (т. е. /С-запертость посредством
С) для каждой одноэлементной последовательности должна
быть доказана раньше, чем запертость пустой последова-
последовательности. Поэтому если запертость одноэлементной пос-
последовательности доказана при помощи ^-вывода, то она уже
была доказана в 3J, причем первый ее вывод был 3>выво-
дом. Отсюда следует, что можно отбросить все ^-выводы,
доказывающие запертость одноэлементных последователь-
последовательностей. Кроме того, доказательству запертости одноэле-
одноэлементных последовательностей должно предшествовать до-
доказательство запертости ее непосредственных преемниц.
Повторяя ту же самую аргументацию для двухэлементных
последовательностей и т. д., мы докажем индукцией, что
из 3J можно устранить все ^-выводы; таким образом мы
получили новое доказательство ЭГ.
Далее, из 3J' можно опустить любой 3>вывод, который
доказывает запертость какой-нибудь последовательности,
принадлежащей к С или имеющей предшественниц в С
или уже имеющей в ЭГ доказательство запертости. После
всех этих упрощений мы получим доказательство SR.
Первый вывод в SR должен иметь форму «любая непо-
непосредственная ^-преемница /"-последовательности а при-

надлежит С, значит, а /С-заперта посредством С». Такой
вывод мы будем называть примитивным выводом в 9J.
Пусть Со — вид таких элементов из С, которые встречаются
в примитивных выводах в Ш. Каждый непримитивный
вывод в SR имеет форму: «для любой непосредственной
^-преемницы ^-последовательности а уже доказана К-
запертость посредством С, значит, и а /С-заперта посред-
посредством С». Отсюда легко видеть по индукции, что если в 9J
доказано, что а /С-заперта посредством С, то а /С-заперта и
посредством Со. В частности, пустая последовательность
/С-заперта посредством Со.
Число шагов в 91 конечно; каждый шаг является 3>вы-
водом, использующим лишь конечное число предыдущих
^-выводов. Отсюда следует, что количество ^-выводов в
SR конечно. Число элементов Со, встречающихся в прими-
примитивных выводах из 91 конечно, откуда следует, что Со
конечно. Значит, существует конечный максимум N для
длины последовательности в Со. Это доказывает теорему.
Класс. Это замечательно простое доказательство для
теоремы с такими далеко идущими следствиями.
Инт. Это — первоначальное доказательство Брауэра
[Брауэр, 1926 А]; только Брауэр доказывает теорему о
веерах как специальный случай общей теоремы о по-
потоках. Вышеприведенное доказательство получено из брау-
эровского отбором из него всего необходимого для доказа-
доказательства теоремы о веерах.
Форм. Более всего меня поражает в этом доказатель-
доказательстве следующее утверждение: «Очевидно, что только посред-
посредством доказательства SR, основанного на данных теоремы,
нам может стать известным тот факт, что каждая Р-после-
довательность /С-заперта посредством С». Оказывается,
что математический результат доказан посредством мето-
методов, которые на языке формалистов назывались бы метамате-
метаматематическими. В настоящее время использование метаматема-
метаматематики для получения математических результатов не является
новым; простейший его пример — принцип двойственности
в проективной геометрии; важные применения этого метода
к алгебре были недавно сделаны А. Тарским, А. Робинсо-
Робинсоном и Л. Хенкином [см., например, Тарский, 1950;
Хенкин, 1953; Робинсон, 1951]. Однако достойно внима-
внимания, что подобные методы используются интуицио-
67

нистами, которым не нравится строгая формализация и
которые поэтому не могут строить метаматематику в собствен-
собственном смысле слова.
Инт. Это важный вопрос, касающийся природы ин-
интуиционистского доказательства вообще. Вы правы в том,
что нельзя установить различие между математикой и мета-
метаматематикой, не проведя строгой формализации математики.
Чтобы выяснить, в каком отношении доказательство теоре-
теоремы о веерах отличается от других доказательств, нужно
сделать следующее замечание. В" каждой математической
теореме встречается упоминание предыдущих построений.
Возьмем наудачу теор. 2 из 2.2.5: для любых действитель-
действительных чисел а,Ь и с, а^Ь влечет а + ci&b + с. Здесь в по-
посылке а # b делается ссылка не на предположенный факт,
а на предположенное построение натуральных чисел п
и k, удовлетворяющих опр. 1 из 2.2.3. Теорема утверждает,
что из этого построения можно получить натуральные
числа, удовлетворяющие опр. 1 из 2.2.3 с заменой а и Ь
на а + с и b + с. Но почти в каждом случае в доказатель-
доказательстве участвует не само предположенное построение, а толь-
только его результат. Новой чертой доказательства теоремы о
веерах является то, что в него явно вовлечена возможная
форма предположенного построения. Так как мы знаем,
что посылка теоремы всегда состоит в предположении о не-
некотором уже выполненном построении, то мы не можем
возражать против привлечения в качестве орудия доказа-
доказательства рассмотрения возможного способа такого построе-
построения 19).
Применения теоремы о веерах
3.4.3. Непрерывность функций
Наиболее важным приложением теоремы о веерах яв-
является
Теорема 1. Функция f(x), определенная в любой точке
замкнутого промежутка континуума и принимающая в ка-
качестве значений действительные числа, равномерно непре-
непрерывна на этом промежутке [Брауэр, 1923, стр. 5; 1924 В, D;
1926 А, стр. 67; 1954, стр. 17].
Доказательство. В силу теор. 1 из3.4.1 промежуток
[а, Ь] совпадает с некоторым веером S. Каждому элементу ?
из 5 сопоставляется действительное число у = /(?); у сов-

падает с каноническим ЧГ г\ = {г\п2гп}. Для фиксирован-
фиксированного п сопоставим элементу | число т)„; таким путем полу-
получается целочисленная функция, определенная на S; тогда
по теореме о веерах можно найти такое N(n), что при любом
I из S, х\п будет определено первыми ./V компонентами |.
Пусть теперь Х\ и х% — действительные числа из [а, й],
такие, что \хг — х2 | <! 2~N; тогда хх и х2 совпадают с
каноническими ЧГ ?i и |г, у которых первые N компонент
одинаковы 20).Отсюда следует, что г\п одно и то же для |i
и |г, следовательно,
Таким образом, мы доказали, что из \xt—Xa\<C.2~N
следует | /(^) — /(*г)| <!4 2~п- Это значит, что f(x) рав-
рав4
номерно непрерывна на [а, й] 21).
Теорема 2. Если точечный вид является распознавае-
распознаваемым подвидом замкнутого промежутка, то он является либо
пустым видом, либо всем промежутком [Брауэр, 1926 А,
стр. 66]22).
Доказательство. Пусть точечный вид Q является
распознаваемым подвидом промежутка Е. Функция f{x), рав-
равная 1, если х принадлежит Q, и равная 0, если х принадле-
принадлежит Е — Q, определена в каждой точке Е, а потому долж-
должна быть непрерывна на Е; это означает, что она является
константой 23).
Теорема 3. Функция, всюду определенная на замкну-
замкнутом промежутке Е, имеет на нем наименьшую верхнюю и
наибольшую нижнюю границы 24).
Доказательство. Из доказательства теоремы 1 следует,
что для т]„ имеется только конечное число значений; пусть
?л — наименьшее из них. Положим ?„2-" = г„. Легко
видеть, что |г„ — гп+1|<2-м; поэтому lim г„ сущест-
вует и является наибольшей нижней гранью для f{xJS)
Теорема 4. Если функция определена и положительна,
в любой точке замкнутого промежутка Е, то ее наиболь-
наибольшая нижняя грань положительна 26).
Доказательство. Как в доказательстве теоремы 1, каж-
каждому элементу | из 5 сопоставляется канонический ЧГ
59

т1={Яп2~"}; Я > 0. так что для некоторого числа пи име-
имеем т|„, > 0. т — функция от ?; по теореме о веерах
можно найти такое М, что т будет определено первыми М
компонентами ?. Значит, для т имеется только конечное
число значений; пусть пй — наибольшее из них. Тогда
г„„ > 2~п». Кроме того, при любом х имеет место
f(x) ^> Zn, — -5- 2~п; поэтому наибольшая нижняя грань
f(x) положительна.
Замечание. Нельзя утверждать, что/(д:) достигает своей
наибольшей нижней грани в некоторой точке интервала.
Проиллюстрируем это следующим примером:
/(л) = —Зх* + 4сх* + бг8 — 12сх,
где с — действительное число, для которого неизвестно,
равно ли оно нулю, больше или меньше его.
/'(*) = - 12 (* + I) (* - 1) (х - с),
/(- 1) = 3+8с, /A) = 3-8с, /(с) = с4 - 6с2.
Наименьшая верхняя грань f(x) на отрезке [—1,1]
равна 3+8 |с|, но неизвестно, принимает ли f(x) это зна-
значение при х = — 1 или при х = 1 27).
3.4.4. Теорема Больцано — Вейерштрасса
Брауэр исследовал эту теорему [Брауэр, 1952В].
Мы рассмотрим следующий специальный случай.
(A) Для любого ограниченного бесконечного вида дей-
действительных чисел можно найти точку накопления.
Классически это эквивалентно утверждению
(B) Каждый ограниченный вид действительных чисел,
не имеющий точек накопления, конечен.
Определим так последовательность {«„}: если среди пер-
первых п десятичных знаков в разложении я не встречается
последовательность 0123456789, то а„ = 2~"; в противном
случае ап = 1—2~". Вид действительных чисел ап беско-
бесконечен, но никто не знает, какова его точка накопления,
если она существует — 0 или 1. Поэтому сейчас мы не
можем интуиционистски доказать предложение (А).
Что касается (В), то Брауэр показал, что нет надежды
доказать даже более слабое утверждение С, приводимое
ниже. Я изложу его рассуждение в 8.1.3
60

Определение. Вид численно ограничен, если известно
натуральное число п, такое, что S не может содержать
подвидов из п элементов.
Замечание. Каждый конечный вид численно ограни-
ограничен, но обратное не обязано быть верным.
(С) Каждый ограниченный вид действительных чисел
без точки накопления численно ограничен 28).
Несколько ослабленные варианты (А) и (С) верны.
Теорема 1. Пусть Q — ограниченный бесконеч-
бесконечный вид действительных чисел, от и п — натуральные
числа. Тогда существует интервал длины 2~", содержащий
по меньшей мере от элементов из Q.
Доказательство. Пусть h и k — целые числа,
такие, чтоh < kи что Q содержится в интервале (h,k). Пусть
г = (k — h ¦+- 1) 2n+1. Пусть R — подвид Q, содержащий
rm элементов. Для каждого элемента х из R мы определим
целое число лгп+1 так, чтобы соблюдались условия
(*я+1 — 1) 2"" < х < (лгп+1 + 1) 2"" 29). Так как число
интервалов (q — 1J~", (q + 1J~"~1, перекрывающихся
с (A, k), равно г, то по крайней мере один из них содержит
не менее чем от элементов из R.
Теорема 2. Если для ограниченного вида дейст-
действительных чисел Q можно найти при любом действитель-
действительном х такое натуральное число г (лг), что промежуток
(л; — 2"г, х + 2~г) не может содержать двух различных-
элементов из Q, то Q численно ограничен.
Доказательство. Пусть Q содержится в (A, k).
Промежуток (х — 2~г, х + 2~г), где х е [h, k], содержит
промежуток 1{а, г) = (а2~г~1, (а + 2J"г~1), где а — це-
целое число и где i (а, г) содержит х30).
Пусть / — канонический точечный веер, совпадающий
с [h, k]. Так как любому элементу | из J сопоставлены це-
целые г(|) и а(|), то по теореме о веерах можно найти от, та-
такое, что г(|) и а(|) зависят только от первых т выборов в
построении ?. Следовательно, только конечное число (ска-
(скажем, s) различных i(a, r) покрывает [A, k]. В силу того что
никакой i (с, г) не может содержать двух различных эле-
элементов Q, не может существовать подвид Q с s ¦+- 1 эле-
элементами 31).

IV. АЛГЕБРА
4.1. Алгебраические поля
Я не собираюсь давать здесь связного изложения инту-
интуиционистской алгебры [Рейтинг, 1941]; цель следующих
отрывков состоит главным образом в применении теории
действительных чисел, однако их легко переделать для
случая абстрактного алгебраического поля.
4.1.1. Отношение отделенности
В поле нужно вводить деление, а, как мы видели, для
действительных чисел деление возможно только тогда, ког-
когда делитель отделен от 0; отсюда следует, что отношение
отделенности будет существенным для определения поля.
Определение. Симметрическое отношение 4ф между
элементами вида S будем называть отношением отделенно-
отделенности, если оно обладает следующими свойствами (i) — (Hi) (ср.
2.2.3), где а, Ь,... суть элементы S.
(i) Если а 4Ф Ь, то а = Ь невозможно,
(ii) Если а 4ф Ь невозможно, то а = Ь.
(ш) Если а 4ф Ь, то для любого с, входящего в S, а # с
или Ь 4ф с.
4.1.2. Определение поля
Математический вид F называется полем, если он об-
обладает следующими свойствами: R,A1, A2, Ml, M2, МЗ.
R. В F определено отношение отделенности 4Ф-
А1. В F определено коммутативное и ассоциативное сложе-
сложение; F содержит нуль и обратный для каждого из своих
элементов 32).
62

A2. Если а # Ь, то для любого сязРа + с^Ь + с.
Ml. В F определено коммутативное и ассоциативное ум-
умножение, дистрибутивное по отношению к сложению; F
содержит 1 и 1 4? 0.
М2. Если а # 0, то существует обратный ему элемент
аТ1 и а-^О33).
МЗ. Если а # Ь и с # 0, то ас# be.
4.1.3. Свойства отношения отделенности в поле
Теорема 1. а& # 0 влечет а#0 и Ь # 0.
Доказательство. Если ab # 0, то fl#0 или
д6 # а. В первом случае также и а 4Ф 0 и (а&) а # 0,
т. е. Ь # 0. Пусть теперь аб # а, т. е. а F — 1) 4Ф 0. Так
как 1 # 0, то либо Ь # 0, либо 6 — 1 # 0. Если Ь # 0,
то б # 0 и (аЩЬ'1 4? 0, т. е. а 4? 0. Точно так же рас-
рассматриваем случай Ь — 1 # 0.
Теорема 2. Из а + Ь#0 следует, что fl # 0,
или Ь # 0.
Доказательство. Как в теор. 5 из 2.2.5.
Теорема 3. Если аб # cd, то а 4Ф с или ^ # ^'
Доказательство. об — cdtfpO; a (b — d) +
d (a — с) # 0; по теор. 2и 16 — d # 0 или а — с # 0.
Теорема 4. Если / (х1г . . ., хп) — многочлен с коэф-
коэффициентами из F и рг, . . ., рп, <7i> • • •, Qn — такие эле-
элементы F, что / (Рх, . . ., рп) # / (<7i, • • •, <7л), то по мень-
меньшей мере для одного i имеет место pt # qi.
Доказательство. Повторным применением тео-
теоремы 2 мы найдем такой член cxl1 . . . х"п в / (х1г . . ., хп),
что ср^1. . . рапп # cq*1. . . qann. Затем утверждение теоремы
доказывается повторным применением теоремы 3.
Форм. Эта теория алгебраических полей по сущест-
существу является аксиоматической теорией.
Инт. Она иллюстрирует, как можно применять в интуи-
интуиционистской математике аксиоматический метод. Нужно,
однако, помнить, что он совсем не участвует в основаниях
63

Математики; он является Только удобным средством
изложения теории, в которой многие теоремы имеют одну и
ту же сложную систему посылок.
4.2. Линейные уравнения
Теория линейных уравнений очень хорошо иллюстри-
иллюстрирует, каким образом можно уточнять классические теории.
4.2.1. Правило Крамера
Пусть d — определитель коэффициентов в левых частях
системы уравнений
п
A) S atkXk = bt (f = 1 я).
Если d # 0, то можно решить A) по правилу Крамер
dk
xk --g- {k = 1, . . .,n).
Решение единственно в следующем точном смысле:
Теорема 1. Если рх,. . ., р„ такие числа, что для
некоторого г имеет место рг ф? dr/d, то можно найти такое г,
что
Доказательство. Пусть rrttk — алгебраическое
дополнение аи, в d. Мы имеем
п я
S mlr S ЪкРк =- dpr,
/=i k=i
п
S mirbi = dr,
п п п
S tiltr S °/*Р* # S «/Л.
К4

Тогда по теор. 2 из 4.1.3, по меньшей мере для одного
значения i, имеет место
п
mir 2 alkp
что доказывает теорему.
4.2.2. т уравнений с п неизвестными. Случай известного
ранга.
Рассмотрим теперь систему т уравнений с п неизвест-
неизвестными
п
B) U з 2 аахк = bt (i = 1 m).
Чтобы решить эту систему каким-нибудь из обычных
методов, необходимо знать ранг г матрицы А = (alK);
кроме того, должно быть возможно деление на некоторый
минор порядка г. Поэтому мы определяем понятие ранга
более точно.
Определение 1. Матрица А имеет ранг г, если по
меньшей мере один из ее миноров порядка г отделен от 0 в
то время, как все ее миноры порядка г + 1 равны 0. Если
d — минор порядка г и d ^ 0, то d называется главным
минором А.
Определение 2. Характеристический определитель
cs системы уравнений B) получается из главного минора
d матрицы А прибавлением строки, содержащей коэффи-
коэффициенты s-ro уравнения B) и столбца правых частей системы
B).
Для того чтобы система B) имела решение, необходимо
и достаточно, чтобы каждый ее характеристический опре-
определитель был равен 0. Необходимость этого условия можно
установить в более точной форме.
Теорема1. Если некоторый характеристический
определитель cs +): 0, то при любых значениях
Xk = Pk (k = 1, . . ., л) имеется t, такое, что
Lt(plt..., pn) j^bf
65

Доказательство. Предположим, что главным
минором является
аи ... а1г
d =
ап
агг
и что с$ =
! ьг
ап ... asr bs
#0.
Возьмем произвольные значения хг= ръ . . ., хп— рп.
Подставляя xr+i = ргц, ¦ ¦ •» хп = Рп в первые г урав-
уравнений и решая их относительно хи . . .,хг, мы получаем
Хг ==?!,.. ., Хг = <7г,
^s (<7i. • • ¦» <7r, Pr-,1, . ¦ -, Рп) — bs = — cs/d # 0.
Поэтому
?» (Pi. • • •» Pr, P/-+1, • • •, Pn) # ^s>
или по теор. 4 из 4.1.3 по меньшей мере для одного
k(l^k<^r) имеет место pk^qk- В последнем случае
по теореме 1 по меньшей мере для одного / A << / < г)
Lt{pi pr, pr+i, ¦ ¦ ¦ , pnKfrbt.
Если с$ = 0 (s = г + 1, . . ., т), то система B) имеет
решение вида
C) Xk = fk (JCr+i, • • -, Хп) (k = 1, . . ., Г).
Это решение является полным в следующем точном
смысле: если (р1г .... рп) — вектор, такой, что для любого
вектора {qlt . . ., qn), удовлетворяющего C), по меньшей
мере для одного k имеет место Pk V? <7ь то по меньшей
мере для одного i имеет место Li (plt . . ., рп) # Ь,. Дока-
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теор. 1
из 4.2.1.
4.2.3. Случай неизвестного ранга
Если система уравнений B) однородна и имеет ранг г,
то она имеет (п — г)-параметрическое решение, полное
в уточненном смысле слова. Однако если этот ранг не
известен, то может оказаться, что мы не сможем найти
никаких решений, отделенных от нулевого, даже если все
миноры порядка п равны 0. Возьмем, например, уравнение
ах + by = 0,
66

где а и b — такие действительные числа, что неизвестно
ни что а = О, ни что а +? 0, ни что b = О, ни что b +? О,
причем отношение а к6тоже неизвестно. (Пример: а = {ап},
где а„ = 2"", если в первых я знаках десятичного раз-
разложения я не встречается последовательности 0123456789,
и где ап = 2~*, если имеется вхождение такой последова-
последовательности и девятка первого такого вхождения стоит на
k-м месте после запятой; b определяется аналогично с за-
заменой л на е.) Если а :|ф 0 или Ь+^0, то (х — Ь, у = — а)
является решением, отделенным от @, 0); если а = b = 0,
то решением является любая пара чисел, отделенных от 0.
Но ни первое решение не подходит ко второму случаю,
ни второе решение — к первому случаю, и поскольку мы
не знаем, какой случай имеет место, мы не в состоянии дать
решение 34).
4.2.4. Однородные линейные уравнения
Как частный случай теор. 1 из 4.2.1 мы имеем для си-
системы уравнений
D) S aikxk = 0 (i = 1, . . . , т)
следующую теорему.
Теорема 1. Если ранг матрицы А = (a,k) равен п,
то для любых значений иг, . . ., и„, таких, что ик # 0
по меньшей мере для одного k, найдется хотя бы одно i,
такое, что
S alkuk #035).
Верна также и обратная теорема.
Теорема 2. Если для любых ы1( . . ., ип, таких,
что ик р- 0 хотя бы для одного k, отделена от нуля хотя
бы одна из левых частей системы D), то ранг А равен п.
Доказательство ведется индукцией по п. Для одной
неизвестной результат тривиален. Пусть он доказан для
систем уравнений с я — 1 неизвестными. Полагая в D)
хп = 0, мы получаем систему относительно xlt..., xn-lt
удовлетворяющую условию теоремы, поэтому по индуктив-
67

rioMy предположению матрица из первых п — 1 столбцов
А имеет ранг п—1. Пусть, например, определитель d,
образованный первыми п — 1 строками, отделен от 0.
Положим хп = 1 и решим систему из первых п — 1 урав-
уравнений. Результат подставим в другие уравнения D). Левая
часть по крайней мере одного из них, например /-го, будет
отделена от 0. А эта левая часть равна некоторому опреде-
определителю порядка п матрицы А, деленному на d.
43. Линейная зависимость
4.3.1. Определения
Как обычно, я-мерное векторное пространство F" над
F есть вид последовательностей (d an) элементов F.
Мы будем обозначать элементы Fn жирным шрифтом:
а = (аь...,а„). Обычным образом определяются сложение
векторов и умножение вектора на элемент из F. Что касает-
касается понятия линейной зависимости, то его можно определять
двумя способами, а именно в соотношении
A) Kai+ ¦ ¦ ¦ + Kan = 0
можно требовать, либо чтобы коэффициенты X были отделе-
отделены от 0, либо чтобы они не были равны 0; это дает понятие
сильной и слабой зависимости соответственно. Поскольку
первое является намного более важным, термин зависимость
будет обозначать сильную зависимость. Система векторов,
которая не может быть зависимой, называется независимой.
Так же, как и во многих других случаях, кроме негативного
понятия мы можем определить позитивное понятие, класси-
классически ему эквивалентное. Думаю, что теперь вы это сможете
сделать сами.
Форм. Если по меньшей мере один из %i отделен от
0, то
Инт. В этом случае мы называем векторы (взаимно)
свободными.
Теорема 1. Для того чтобы векторы
а, = (аа, . . . , ain)(i = 1,2, . . . ,р)
были свободными, необходимо и достаточно, чтобы их мат-
матрица имела ранг р. Это — непосредственное следствие
теор. 1 и 2 из 4.2.4.
68

4.3.2. Теорема и противоречащий пример
Следующая теорема требует для своей применимости
дополнительного условия.
Теорема 1. Если векторы alf . . ., аг свободны
и векторы Ьц . . ., br+1 свободны, то по крайней мере
один из векторов Ь/ свободен ота1;. . ., ar (т. е. alt. . ., ar, bt
свободны).
Доказательство. Матрица векторов а, имеет
ранг г; можно предположить, что определитель d, образо-
образованный из ее первых г столбцов, отделен от 0. Определим
числа %sk уравнениями
bsi = 2 Kkdki (t = 1, .... г; s = 1, . . ., г + 1)
И ПОЛОЖИМ
г
cs =2 ^а,е (s = 1 г + 1).
к-=\
Поскольку Ъ, свободны, имеется определитель, образо-
образованный из их компонент с индексами }lt . . ., jr+1, который
отделен от 0. Соответствующий определитель, образован-
образованный из cik, равен 0; значит, мы найдем по крайней мере
одну пару индексов t, и, таких, что btu ф): с/„ 36). Образуем
теперь определитель порядка г + 1, добавляя к d столбец
aiu, . ¦ •, aru, ctu и строку ctl, . . ., ctr, ctu. Этот опреде-
определитель равен 0, а так как dis^. 0, то соответствующий опре-
определитель с заменой с на Ь отделен от О37). Это доказывает
теорему.
Класс. Классически условие, чтобы alf . . ., аг были
свободными, является лишним.
Инт. Именно поэтому я и обращаю ваше внимание на
эту теорему; я покажу сейчас на противоречащем примере,
что нет надежды доказать ее для произвольных векторов
аь...,аг. В качестве F возьмем поле действительных
чисел; положим п = 3, г = 2, ai = @, 0, 1), а2 = (a, b, 1),
где а и b суть действительные числа, такие, что ни для а,
ни для b неизвестно, равны ли они 0, а также ничего неиз-
неизвестно о значении alb (см. 4.2.3). Тогда ни для какого из
векторов A,0, 0), @, 1, 0); @, 0, 1) мы не можем утверж-
утверждать, что он свободен от а^ а2.
G9

4.3.3. Системы неизвестного ранга
Если ранг системы уравнений неизвестен, то, вообще
говоря, решение найти нельзя. Все же в некоторых случаях
можно получить негативный результат. В качестве примера
докажем следующую теорему.
Теорема 1. Если каждый определитель порядка п
матрицы А системы уравнений
/г=1
равен 0, то невозможно, чтобы эти уравнения не имели ре-
решения, отделенного от нулевого.
Доказательство. Предположим, что не может
быть решения, отделенного от нулевого; нам надо привести
это предположение к противоречию.
Ранг А не равен п. Если бы он был равен п — 1, то име-
имелось бы решение, отделенное от 0, следовательно, не су-
существует определителей порядка п— 1 матрицы А, отде-
отделенных от 0; все они равны 0. Если бы ранг был равен
п — 2, мы точно таким же способом могли бы получить
противоречие и т. д. После п шагов мы находим, что
все коэффициенты равны 0, но тогда наверняка имеется ре-
решение, отделенное от нуля. Это и есть желаемое противо-
противоречие.

V. ПЛОСКИЕ ТОЧЕЧНЫЕ ВИДЫ
5.1. Общие понятия
Мы изложим здесь теорию плоских точечных видов
[Брауэр, 1919 А]. Аналогичная теория может быть
развита для любого числа измерений п. Для п = 1 она
является теорией видов действительных чисел. Хотя мо-
может показаться утомительным приводить определение всех
основных понятий, включая совпадающие с обычными оп-
определениями, тем не менее это необходимо сделать, потому
что почти для каждого понятия в литературе встречается
несколько определений, эквивалентных классически, но
не интуиционистски.
5. 1. 1. Точечные генераторы и точки
Определение 1. Точечным генератором на плос-
плоскости (сокращенно ТГ) называется упорядоченная пара
(%i, lz) числовых генераторов.
Определение 2. Точкой х на плоскости называется
упорядоченная пара (х1г х2) действительных чисел.
Я предоставляю читателю самому построить определе-
определения совпадения между двумя ТГ, между двумя точками и
между ТГ и точкой.
Теорема 1. Каждый ТГ определяет одну и только
одну точку, с которой он совпадает.
Определение 3. Каноническим ТГ называется упо-
упорядоченная пара канонических ЧГ.
Согласно доказательству теор. 1. из 3.3.3, каждая точка
совпадает с каноническим ТГ.
71

5.1.2. Виды и потоки
Определение 1. ТГ-видом (точечным видом) назы-
называется вид, каждый член которого есть ТГ (точка).
Определение 2. ТГ'-потоком называется поток, каж-
каждый элемент которого есть ТГ38). ТГ-поток называется кано-
каноническим, если каждый его элемент есть канонический ТГ.
Определение 3. Два ТГ-вида совпадают, если каждый
член одного из них совпадает с некоторым членом другого.
Легко формулируются также аналогичные определения
для отношения совпадения между А и В, где как А, так
и В является ТГ-видом, или точечным видом, или ТГ-
потоком.
Теорема 1. Каждый ТГ-вид, или ТГ-поток, определяет
один и только один точечный вид, с которым он совпадает.
Определение 4. Два ТГ-вида геометрически конгру-
конгруэнтны, если ни один из них не может содержать такой член,
который не совпадал бы ни с одним членом другого вида.
Здесь, как и в случае определения 3, нужно сформулиро-
сформулировать аналогичные определения.
5.1.3. Расстояние и топология
Определение 1. Расстоянием \х — у | между дву-
двумя точками х = (xv х2) и у = (у1г у2) называется
max (\x1 — y1\, \х2 — у2\).
Замечание. Можно было бы развить теорию также
и с
в качестве расстояния между х и у. Вышеприведенное
определение избрано ради простоты формул.
Понятия е-окрестности и окрестности точки р можно
ввести обычным путем при помощи понятия расстояния.
Определение 2. Точки х и у отделены одна
от другой (сокращенно х 4ф у), если хх 4ф ух или х2 4ф у%.
72

Теорема 1.
(i) Если р# q, то q # p.
(ii) Если р 3& q невозможно, то р совпадает с q.
(iii) Если р совпадает с q, то р 4Ф q невозможно,
(iv) Если р +(= q и q совпадает с г, то р ф}: г.
(v) Если р # <7> то Для любой точки г имеем р +j: r
или <7 # г-
Все это легко доказывается при использовании свойств
отношения отделенности для действительных чисел B.2.3).
Легко формулируются аналогичные определения для
отношения отделенности между двумя ТГ и между точкой
и ТГ.
Определение 3. Точка р называется точкой
замыкания точечного вида Q, если при любом п можно найти
такую точку qn из Q, что \ р — qn \ <С 2""-
Определение 4. Точка р называется предельной
точкой для точечного вида Q, если при любом п можно
найти две точки qn и гп из Q, такие, что qn # гп,
р-?„|<2-«и|р-гл|<2».
Класс. Верно ли, что точка замыкания Q является либо
точкой Q, либо предельной точкой Q?
Инт. Следующий пример показывает, что эта дизъюнк-
дизъюнкция не обязана иметь место. Определим последователь-
последовательность {ап} следующим образом. Если среди первых п
знаков десятичного разложения л не встречается последо-
последовательности 0123456789, то ап = 2~п; в противном случае
ап = 0. Пусть 5 — вид компонент последовательности
{ап}; 0 является точкой замыкания S, но неизвестно, входит
ли 0 в 5 или же 0 является предельной точкой S.
Определение 5. Замыкание Q точечного вида Q
есть вид точек замыкания Q.
Определение 6. Производный вид от точечного
вида Q есть вид предельных точек Q.
Определение 7. Точечный вид замкнут, если
он совпадает со своим замыканием.
Теорема 2. Замыкание и производный вид точеч-
точечного вида замкнуты.
73

Доказательства просты.
Теорема 3. Всякая предельная точка замыкания Q
принадлежит производному виду от Q.
Доказательство. Пусть р — предельная точка
Q; тогда для любого п можно найти такие точки qn и гп
из Q, что qn # г„, \p — qn\< 2"" и | р — гп |< 2~"-\
Далее, можно найти такое т, что \qn — г„\ ^> 2~т, т^>п
и такие точки qn, г'п из Q, что | <? — цп |< 2"т и | г'а — гJ
<2-т-«. Тогда | qn — г'а \ >2~т~\ так что qn#r'a,
р — q'n | < 2~" и | р — Г1г I <С 2""- Этим доказывается, что
р — предельная точка Q.
5.1.4. Открытые виды, области и областные дополнения
Можно определить открытые точечные виды как точеч-
точечные виды, состоящие только из внутренних точек. Тогда
дополнение к открытому точечному виду будет замкнуто,
но дополнение замкнутого точечного вида не обязательно
будет открытым: для одного измерения точка 0 образует
замкнутый точечный вид; тогда его дополнением является
вид точек, отличных от 0, а открытый вид образуется точ-
точками, отделенными от 0. Это понятие открытого вида вклю-
включает в себя, однако, такие патологические случаи, как сле-
следующий. Пусть S означает квадрат \р — х\ <^ 1, если эйле-
эйлерова константа рациональна, и квадрат \q — х | <^ »
в противном случае, где р и q — различные точки. Чтобы
избежать таких случаев, мы заменим понятие открытого
вида на более конструктивное понятие области [Брауэр,
1918, стр. 8; 1919А, стр. 20]. Это понятие совсем
просто, но точную формулировку его определения можно
будет привести лишь после некоторой подготовки.
В последующем Е будет обозначать либо всю плос-
плоскость, либо прямоугольник с рациональными вершинами
и сторонами, параллельными осям координат. Во вто-
втором случае будут рассматриваться только точки Е, причем
сам Е будет считаться замкнутым точечным видом даже
в том случае, если это не будет особо оговариваться. Пред-
74

полагается, что Е выбрано раз и навсегда и остается фикси-
фиксированным до конца главы.
Определение 1. Элементарное множество прямо-
прямоугольников есть конечное множество прямоугольников с раци-
рациональными вершинами и сторонами, параллельными осям
координат. Не допускаются прямоугольники, выродившие-
выродившиеся в прямолинейный отрезок. Буквы V, W, X, Y, Z будут
всегда обозначать элементарные множества.
Определение 2. Рациональный элементарный домен
V есть вид рациональных точек, лежащих внутри или на
границе по крайней мере одного из прямоугольников V.
Внешним рациональным доменом R*(V) называется вид
рациональных точек, не лежащих внутри R(V) («внутри»
берется относительно вида рациональных точек).
Ясно, что значит выражение «V лежит внутри W». По-
Поскольку встречаются только рациональные точки, не воз-
возникает никаких интуиционистских трудностей.
Определение 3. Элементарный домен аУ есть
то же, что jR (V); внешний элементарный домен <x*V есть
то же, что jR* (V).
Т е о р е м а 1. a*V — Е — aV.
Доказательство, (i) Если р GE«T, то р являет-
является предельной точкой для последовательности рациональ-
рациональных точек в Е — аУ, т. е. рб? — аУ.
(п). Если р ев Е — aV, то для любого п можно найти
точку рп в Е — aV, такую, что \р — рп | <С 2"" и, далее,
рациональную точку qn, такую, что \р„-—qn\ <^2~п'2.
Точка рп содержится в квадрате \qn — х\ <^ 2~п~2; обозна-
обозначим этот квадрат через о. Если бы 0 содержался в V,
то имело бы место рп GE аУ, что ложно. Значит, часть 0
лежит вне V (вспомним, что в этой части доказательства
мы говорим только о рациональных точках). Пусть
гп — рациональная точка из а, лежащая вне V; тогда
Гп (ER* (V) и | рп — г„ |< 2"", так что | р — гп |< 2~\
Последовательность {гп} показывает, что р GE а* V.
Замечание. Если Е прямоугольник, то a*V — aW,
где V и W вместе составляют Е и не имеют общих внут-
внутренних точек. В этом случае мы говорим, что К и If
75

просто покрывают Е. Там, где не нужно бояться двусмыс-
двусмысленности, мы будем иногда опускать а и обозначать эде-
ментарный домен aV через V. Здесь, однако, необходима
известная осторожность, как показывает следующий при-
пример. Пусть V состоит из квадрата с вершинами
@,0), @,1), A,0), A,1), a W — из квадрата с вершина-
вершинами @,1), @,2), A,1), A,2) и пусть X — множество из
двух этих квадратов. Тогда а,Х не то же самое, 4ToaK[JaW,
так как точка (plt p2), где 0 <^Pi<^ 1, но где неизвестно,
имеет ли место р2 ^> 1 или р2 <? 1, принадлежит аХ, но
нельзя сказать, что она принадлежит aV\JaW.
Этот пример одновременно показывает, что формула
Q\JR = Q\JR, вообще говоря, не имеет места.
Определение 4. Областью называется объеди-
объединение последовательности {Vn} элементарных доменов,
таких, что Vп лежит внутри Vn+1 при любом п. (Если Е ¦—
прямоугольник и если часть Я, границы Vn лежит на
границей, то допускается, чтобы А, лежала на границе Vn+1.)
Каждая область является открытым видом; дополнение
каждой области является замкнутым видом. Для многих
целей вместо понятия замкнутого вида удобно использовать
понятие областного дополнения (т. е. дополнения к области).
Замечание об обозначениях. Для обо-
обозначения областей используются буквы А, В, С с индекса-
индексами или без них; для обозначения элементарных множеств
прямоугольников и элементарных доменов •— буквы V, W,
иногда X, Y, Z; для обозначения областных дополнений —
буквы М, N; для обозначения неспециализированных то-
точечных видов — буквы Q, R. Таким образом при исполь-
использовании буквы А предполагается известным, что речь
идет об области. А = {Vn} означает, что последователь-
последовательность {Vn} удовлетворяет условию опр. 4 и что А = \JVn.
п
Теорема 2. Если А = {Vn}, то
Е -А = П (Е - Vm) = П (E-Vn)= П a'^m.
m=l tn=l m—l
Доказательство (i). Если p ge E—А, то р ф Vn
при любом т, так что
П (E-Vn) иреП (Е- Vn).
m=i m=i
76

(ii). Теперь пусть ре П a*Vm. При любом фиксиро-
ванном п имеем р (ЕЕ aVn+i- Пусть d — минимум рас-
расстояния между точками относительных границ Vna Vn+i3i>)-
Можно найти такую рациональную точку q вне Vn+1, что
\р — q\<^-K-d; далее для любой рациональной точки г
из Vn имеет место | р — r\^>-^-dM), так что р^Уп. По-
Поскольку п — произвольно, р не принадлежит ни одному
Vn, т.е. Р(=Е—А.
Эта теорема показывает, что понятие областного допол-
дополнения может считаться конструктивным, несмотря на свою
негативность.
Теорема 3. Если невозможно, чтобы р не принад-
принадлежала Е—А, то р принадлежит Е—А.
Доказательство. Это непосредственно следует
из того факта, что Е —А определено посредством отрица-
отрицания.
Букв. Какую странную логику вы применяете здесь?
Инт. На самом деле я не применяю здесь логики;
я не мог бы этого сделать, потому что я ее еще не развивал.
Но мой довод действительно можно назвать логическим,
поскольку он касается структуры суждения. Я скажу об
этом более подробно.
Пусть р будет сокращением для «р еЛ»; тогда отри-
отрицание ~| р есть «р ев (Е —А)». Вышеприведенная теорема
утверждает, что j j j р влечет ~~] р. Это очевидно, так как
если дано П~П Р> то предположение истинности р ведет
к ~~П Р, а потому к противоречию [см. также 7.1.6.2.E)].
5.1.5. Объединение и пересечение
Теорема 1. Объединение конечной или бесконечной
последовательности областей является областью [Брауэр,
1919 А, стр. 22].
Доказательство. Пусть {Ап} — последователь-
г
ность областей Ап = {Vnk}. Положим Wr ~ \J Vmr; тогда
оо
область В, определенная посредством {Wr} есть (J Ат.
01=1
77

Теорема 2. Если при некотором п элементарные
домены Vn и Wn имеют общий прямоугольник, то пересече-
пересечение областей А = {Vn} и В = {Wn} есть область.
Доказательство. Пусть X — прямоугольник,
содержащийся как в Vn, так и в Wn. Пусть Vn+Pf\ Wn+P = Yp
для каждого р; тогда последовательность {Yp} определяет
область С, совпадающую с А(~}В.
Теорема 3. Пересечение конечной или бесконечной
последовательности областных дополнений является област-
областным дополнением, а именно:
Доказательство. «Ef|(S — Ля)» означает
п
что при любом п точка х не принадлежит Ап.
vc е= (Е —LMn)» означает, что при любом п точка х
п
не принадлежит Ап. Оба высказывания означают одно
и то же.
Объединение двух областных дополнений не всегда
является областным дополнением; оно даже не обязано
быть замкнутым, как это проиллюстрировано на примере,
приведенном вслед за теор. 1 из 5.1.4. Элементарные домены
V и W, определенные там, являются областными дополне-
дополнениями; точка р, которую я там рассматривал, является
точкой замыкания V[JW.
Так же, как в указанном примере, из К и IF был образо-
образован элементарный домен X, можно любой паре (или конеч-
конечному числу) областных дополнений сопоставить некоторое
ббластное дополнение.
Определение. Если М -= fl a*Vn и N = f]a*Wn,
п п
ТО
M\JN является областным дополнением при условии,
что для некоторого п в УпП^л содержится квадрат.
78

Теорема. Если А и В — области, такие, что Af]B
тоже область (теор. 2), то (Е — A)\J(E — В) =Е —(Af]B).
Доказательство ясно из определений.
5.2. Локализованные точечные виды
5.2.1. Локализованные точечные виды и веера
Определение 1. Расстоянием точки р от то-
точечного вида Q (обозначаемым р(р, Q)) называется наи-
наибольшая нижняя грань расстояний от р до точек из Q.
Поэтому р (р, Q) удовлетворяет следующим условиям:
(i) для любого q из Q имеет место \р — q \ <? р;
(и) для любого натурального п можно найти точку qn
из Q, такую, что | р — qn \ < р + 2~п.
Определение 2. Точечный вид Q локализован
[Брауэр 1919 А, стр. 13], если для любой точки можно
вычислить р (р, Q).
Замечание. Ясно, что р(р, Q) является непре-
непрерывной функцией р; поэтому, если можно вычислить рас-
расстояние от каждой рациональной точки до Q, то Q лока-
локализован.
79

Пример. Пусть ? — квадрате вершинами ( ± 1, ±1)
и пусть А — область, определенная при помощи последо-
последовательности {Vn}, получаемой так: если среди первых п
десятичных знаков после запятой в десятичном разложе-
разложении л не встречается последовательность 0123456789,
то Vn состоит из трех прямоугольников с противополож-
противоположными вершинами
(— 1 + 2"", — 1 + 2~п) и A—2"", — 2"")
(— 1 + 2~", — 2"") и (— 2"", + 2"")
(_ 1 + 2Л + 2"") и A— 2~", 1—2"")
соответственно; в противном случае Vn является квадра-
квадратом с вершинами ± A—2~").
Пусть теперь р — рациональная точка. Либо р ее Е
и тогда р (р, А) = 0, либо р лежит вне Е, тогда р (р, А)
= Р (р, Я).
Поэтому Л локализован. Однако М = Е — А не лока-
локализован, так как р (О, М) = 0, где О — точка @, 0), если
в разложение л не входит последовательность 0123456789,
но р (О, М) = 1 в противном случае.
Т е о р е м а 1. Каждый ограниченный замкнутый и ло-
локализованный точечный вид совпадает с некоторым фи-
финитарным ТГ-потоком (ТГ-веером) [Брауэр, 1919А,
стр. 14].
Доказательство. Пусть Q — ограниченный,
замкнутый и локализованный точечный вид. Для удобства
точки (а2~", Ь2~п), где а и b — целые числа, будем на-
называть узлами п-решетки. При п = 1, 2, 3 ... мы раз-
разделим узлы n-решетки на недопустимые и допустимые
таким образом, чтобы для каждого р, являющегося допу-
допустимым узлом n-решетки, мы бы имели р (р, Q) <^-гг 2~",
а для каждого q, являющегося недопустимым узлом п-ре-
п-решетки, имели бы р (q, Q) ^> 2"". Это можно сделать
в силу теор. 4 из 2.2.6. Если р является допусти-
допустимым узлом n-решетки, то можно найти такую точку q
из Q, что \ р — ч\<^-сг 2Г", а затем такую точку г, являю-
являющуюся узлом (п + 1)-решетки, что \q — г \ < -g- 2"".
80

Имеем р {г, Q) <C~a 2 " \ так что г может быть взята
как допустимый узел (я -J- 1)-решетки и \р — г\ < 2"".
Рассмотрим поток S всех канонических ТГ {рп}, где рп
является допустимым узлом я-решетки. После выбора рп
существует по меньшей мере одна и по большей мере
девять возможностей для выбора допустимого pn+i- Зна-
Значит, S является ТГ-веером. Мы докажем, что S совпадает
с Q.
(i) Если р GE Q, то некоторый канонический ТГ для р
принадлежит S.
(п) Пусть s — точка, которая совпадает с ТГ s0 в S.
Имеем s0 = {рп}, где рп — допустимый узел я-решетки.
I so — Рп | J> 2~" и можно найти такую точку qn из Q,
что | рп — qn\ <С 2~". Следовательно, \s0 — qn | < 2""+1.
Поскольку каждое </„ принадлежит Q, то s0 является точ-
точкой замыкания для Q и входит в него в силу его замкну-
замкнутости41).
Королларий. Пусть q и г — точки ограничен-
ограниченного замкнутого локализованного точечного вида Q, такие,
что \ q — г|< 2~"~3, и пусть s есть середина отрезка qr.
Можно найти такой узел я-решетки рп, что \s — Рп | <С
9-2""-4. Тогда \д — Ра\<± 2-"и|г-рп|<|2-".Отсю-
да следует, что р„ является допустимым узлом я-ре-
я-решетки 42). Мы доказали следующую лемму.
Лемма. Если qu r — точки ограниченного замкнутого
локализованного точечного вида Q, такие, что \q — г \ <^ 2~"~3,
то ТГ-веер S, совпадающий с Q, содержит два элемента,
совпадающие с q и г соответственно и при том такие, что
у них одни и те же первые я компонент р1; р2, . . ., рп.
Теорема 2. Замыкание любого канонического то-
точечного веера совпадает с некоторым локализованным
областным дополнением.
Доказательство. Пусть Я — множество я-х
компонент элементов S; Н является конечным множеством
узлов я-решетки. Вокруг каждой точки множества Я
опишем квадрат со стороной длины 3 •2~" и с центром в этой
81

точке. Пусть Vn — множество этих квадратов. Положим
со
М = П Vn; тогда М является областным дополнением.
Очевидно, что 5 геометрически содержится в М; так как М
замкнуто, то и S геометрически содержится в М. Я докажу
сейчас, что и М геометрически содержится в S.
Пусть q — точка М. Тогда q G.Vn и поэтому можно
найти такую точку рп из Я, что \q— Рл | <С 2~n+1.
Точка рп является компонентой по крайней мере одного
ТГ из 5, скажем компонентой ТГ sn; \sn—р„ | ^> 2~".
Таким образом, для каждого п мы найдем такой ТГ sn из S,
что \q — sn | <С 2~а+2; поэтому q является точкой замыка-
замыкания для S.
Нужно еще доказать, что М локализовано. Пусть
р — какая-нибудь точка плоскости. Положим р (р, Vn) = р„.
Из построения^ и У„+1 очевидно, что р„ ^> р„+1 > р„+
-| 2"". Поэтому существует lim р„ = р0 и р0—рп> 2~".
Я хочу доказать, что р (р, М) = р0, т. е. что
(i) если (/ЕМ, то | р — q \ < р0;
(и) при любом п можно найти такую точку qn в М,
что
I Р ~ Яп |< Ро+ 2"".
Доказательство (i). <7 GE Vn, значит, | <у — р| <f
Рп < Ро — 2" 2" ПРИ любом п, т. е. | ^ — р |< р0.
Доказательство (ii). Мы можем последова-
последовательно найти квадрат а из Vn, такой, что р (р, а) <^ р„ + 2~"i
и точку г из а, такую, что \р — r|<pa+2-2~n. Тогда
I Р ~ г |< Ро + | 2"" «).
Следствие 1. Из двух предшествующих теорем
следует, что каждый ограниченный замкнутый локализо-
локализованный точечный вид совпадает с некоторым областным
дополнением.
Теорема 3. Вещественная функция, определенная
в каждой точке ограниченного замкнутого локализован-
локализованного точечного вида, равномерно непрерывна на нем.
82

Теорема 4. Вещественная функция, определенная
в каждой точке ограниченного замкнутого локализован-
локализованного точечного вида, имеет на нем наименьшею верхнюю
и наибольшую нижнюю грани.
Теорема 5. Если вещественная функция опреде-
определена и положительна в каждой точке ограниченного замк-
замкнутого локализованного точечного вида, то ее наиболь-
наибольшая нижняя грань положительна.
Доказательства этих теорем в точности аналогичны
доказательствам из 3.4.3 и).
5.2.2. Интуиционистская форма теоремы Гейне —
Боре ля
Теорема. Пусть Q — ограниченный замкнутый ло-
локализованный точечный вид. Если каждой точке р из Q
сопоставлена ее окрестность U (р), то можно найти конеч-
конечное множество U (q^, . . ., U (qm) этих окрестностей таким
т
образом, что Q содержится в \J U (q.).
Доказательство. По определению окрестность
U (р) содержит квадрат \ р — х\ < 2~\ гдеh — натураль-
натуральное число, зависящее от р. Пусть S — канонический то-
точечный веер, совпадающий с Q. Если точка р из Q сов-
совпадает с ТГ р' = {р'п} из S, то свяжем h с р'. По теореме
о веерах можно найти максимальное значение h0 для h
такое, что при любом р в U (р) содержится квадрат
\р — х | < 2~н\ Точки (Ло + 1)-решетки, которые являют-
являются компонентами элементов S, можно расположить в ко-
конечную последовательность p'hi+1>l(i = 1, 2, . . ., т0). Для
каждого из значений i можно найти некоторый фиксиро-
фиксированный элемент S, скажем q'., в котором встречается p'h+ll.
Пусть qi — точка из Q, совпадающая с q\ Тогда
Произвольная точка г из Q совпадает с элементом
r = {r'J из S; r^+1 = p'ha+h . при некотором i, откуда
83

I r — P'h,+i,t I <С-о- 2 h* . Отсюда следует неравенство:
| qt — г |< -| Th\ т. е. что r<=U{qt). Это означает, что
^Ыи--- U^(O содержит Q.
Замечание. Брауэр [1926 С, стр. 867] доказал
эту теорему в более общей форме (для так называемых
локализованно-компактных видов) 45).

VI. МЕРА И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
В этой главе Е будет обозначать квадрат \х — 0Ц>-^-
6. 1. Измеримые области и областные допол-
дополнения.
6.1.1. Измеримые области
Определение. Мерой, обозначаемой mV, элемен-
элементарного домена V является его площадь в обычном смысле
слова. Если область А определена последовательностью
{Vn} элементарных доменов и существует lim mVn, то
/i-»-oo
область А измерима и ее мера есть тА = lim тУп
п-*со
[Брауэр, 1919А, стр. 26].
Класс. При таком определении даже не всякая ограни-
ограниченная область будет измеримой.
Инт. Это непосредственно следует из того факта,
что ограниченная монотонная последовательность веще-
вещественных чисел не обязательно сходится.
Следующая теорема имеет менее простое доказатель-
доказательство, чем это можно было бы ожидать.
Теорема1. Если А и В измеримые области иЛ Эй,
то тА <? тВ.
Доказательство основано на следующей лемме.
Лемма 1. Если элементарный домен W содержится
в области А = {Vn}, то можно найти такое т, что W покры-
покрывается Vm.
Доказательство. Каждой точке р из W можно
сопоставить натуральное число h (р), такое, чтор Е: УцР)-
Поскольку W ограничено, замкнуто и локализовано,
то по теор. 1. из 5.2.1 и по теореме о веерах следует, что
85

для значений h (р) имеется максимум т\ каждая точка W
принадлежит Vmie).
Доказательство теоремы 1. Пусть
А = {Vn}, В = {Wn}. Для данного k мы сначала найдем п,
такое, чтотВ — mWn<^ 2~k; затем (с помощью леммы)
найдем т так, чтобы Vm покрывало Wn. Тогда тА ^>
mVm > mWп ^> тВ — 2~к. Так как это имеет место
при любом k, то тА <? тВ ").
Теорема 2. Если область А совпадает с областью В
и если А измерима, то В измерима и тА — тВ 48).
Доказательство. Пусть А = {Vn}, В = {Wn}.
В силу леммы 1 для каждого п имеем mWn < тА.
С другой стороны, поскольку А измерима, то при данном k
можно найти i, такое, что mVt > тА — 2~\ а затем, ис-
используя лемму, найти п, такое, что Wf, покрывает Vi. Имеем
тогда mWh^mA— 2~ . Следовательно, lim mWn = тА.
Теорема 3. Если А и В — измеримые области, то
область С = A [JB измерима и тС J> тА + тВ.
Доказательство легко получается из определений.
6.1.2. Измеримые областные дополнения
Определение!. Если М является областным
дополнением, а именно дополнением к измеримой области
А, то М измеримо и его мера тМ равна 1 — тА.
Теорема 1. Если М1 и М2 являются измеримыми
областными дополнениями, mMt = тъ тМ2 = /п2,
т (М1[)М2) — т, то тх + т2 ~^> 1 + т.
Доказательство. Мх = Е — Av М2 = Е — А>,
УИхПЛ12 = ?-(Л,иЛ2).
В силу теор. 3 из 6.1.1 имеем
т (^iLMa) > тАх + тА2,
1 — т 5> 1 — тх + 1 — /п2,
тх + m2 J> 1 + т.
Теорема 2. [Брауэр, 1919 А, стр. 26]. Всякое
измеримое областное дополнение положительной меры
86

содержит такое локализованное областное дополнение
L, что mL ]> тМ — 2 р, где р — любое заданное нату-
натуральное число.
Доказательство. Имеется последовательность
со
{Vn} элементарных доменов, такая, что М = f) Vn. Из
этой последовательности выберем подпоследовательность
{Wn}, такую, что mWn — тМ <^2~inp при любом ге.
L строится теперь следующим образом. Разделим Е на
квадраты с ребрами длины 2~п. Эти квадраты назовем
х„-квадратами. Из каждого Wn удалим его пересечения
с теми >«!-квадратами, у которых пересечения с if^ имеют
меру, меньшую чем 2 р~3. Остаток обозначим через Wn-
Из каждого Wn удалим его пересечения с теми х2-квадра-
тами, у которых пересечения с W's имеют меру, меньшую
чем 2~р~7, и продолжим этот процесс. Вообще, tt^+1)
(re ^> k) получается из Wn удалением его пересечений
с теми >«?+1-квадратами, у которых мера пересечений
с Wt+i меньше 2~p~ik~3.
Положим
L = Г) Wnn).
В силу теор. 3 из 5.1.5 L является областным дополнением.
Согласно построению mWn — mWn+i <C 2~in~p. Тем более
^ — /яС < 2
4а"р
При переходе от W^+i к W^i1' мера удаленных частей
составляет самое большее 22а+2 • 2~"'m~s = 2~"~гп~1, так что
тфЫ - fflC<2"*"P + 2-p-2a-1<2'p-2a. Отсюда сле-
следует, что существует lim mW^.
Здесь еще нельзя заключить, что lim mW^ = rnL,
потому что WiiTi1' не обязательно лежит строго внутри W^ ¦
Однако при помощи небольшого расширения каждого
из Wn мы легко построим последовательность {Un} таких
элементарных доменов, что Un+1 всегда лежит строго внутри
Uа, что L = Г) Un и что lim mUn = lim mWn.
87

Поэтому L измеримо и mL = lim mW^. Из построе-
построения W^ мы видим, что
Переходя к пределу, получаем
тМ — mL < 2~р.
Остается показать, что L локализовано. Пусть х'— один
из к„-квадратов, имеющих положительное пересечение
с №«"''. Тогда, по вышеприведенному построению, мера
этого пересечения больше или равна 2~"~in+1. Так как
mWW — mW^ < 2-"-in, то т (W<Г+\ ГК) > 2"pn+1 -
_2-р-4« = 2-Р-4п Переходя от ^(Д к и^, Мы удаляем
из к' самое большее площадь в 4 • 2~p~in~3, так что Wa+t1'
имеет часть, общую с к'; следовательно, W^+i^ имеет общую
часть по крайней мере с одним из к„+1 квадратов, входя-
входящих в х''. Продолжая этот процесс, мы найдем последова-
последовательность {qh}, каждый член которой является х„+й квад-
квадратом и такую, что при любом h вид W^+h' имеет общую
часть с qh. Пусть *(ft> — точка из W^^ П Ян- Последова-
Последовательность {*<ft>} сходится к точке х0. Так как л:(/' е= U7^/1
при любом/ > А, то л:0 е Uin+h)- В силу того что это вы-
выполняется при любом h, имеем х0 eeL. Таким образом у каж-
каждого х„-квадрата, имеющего положительное пересечение
с №«"', есть по крайней мере одна общая точка с L.
Пусть Нп — множество х„-квадратов, имеющих поло-
положительное пересечение с W^. L содержится в Нп и вместе
с тем каждый квадрат из Нп имеет по меньшей мере одну
общую точку cL. Поэтому для любой рациональной точки р
имеем р (рНа) >р (pL) > р (р, Нп) + 2""*в).
Этим доказано, что L локализовано.
Королларий. Из данного доказательства следует,
что всякое ограниченное областное дополнение положи-
положительной меры содержит по крайней мере одну точку.
88

Теорема 3. Если измеримое областное дополнение
М содержится в элементарном домене V, то тМ J> mV.
Доказательство. М = f]Wn50)- Допустим, что
тМ^>тУ. Можно найти такое q, что тМ ^> mV + 2' ч>
тогда при любом п имеем mWn > mV + 2~q. Пусть
Un — часть Wn, лежащая вне V. mUn > 2"q. Отрезая
от каждого Un небольшую полоску вдоль границы V, мы
получим Тп- Это можно сделать таким образом, чтобы Tn+i
содержалось внутри Тп и чтобы при любом п имело место
неравенство mTn ^> 2"q. Пусть (~)Тп = N. Тогда N — изме-
измеримое областное дополнение и mN <? 2~q 51). Значит, в силу
последнего короллария Af содержит по крайней мере
одну точку р. Ясно, что р не может принадлежать V, так
что предположение шМ j> mV приводит к противоречию.
6.1.3. Пренебрежимые и почти полные точечные виды.
Определение1. Точечный вид, который можно
включить в измеримую область произвольно малой меры,
называется пренебрежимым.
Определение 2. Точечный вид, который при
любом п содержит в себе областное дополнение с мерой,
большей чем 1 — 2~п, называется почти полным. Если
некоторое свойство выполняется на почти полном виде,
то будем говорить, что оно выполняется почти всюду.
Дополнение к пренебрежимому точечному виду Q почти
полно, так как Q с А влечет Е — А с. Е — Q. Обратное
не всегда справедливо, так как из Е — А с: R следует,
что Е — R с Е — (Е — А), но последний вид не обязан
совпадать с А и мы не знаем, является ли он областью 52).
Теорема 1. Пересечение двух почти полных видов
есть почти полный вид.
Доказательство. Пусть Q и R — почти пол-
полные виды, М и N — областные дополнения с мерой, боль-
большей чем 1 — 2~п, содержащиеся в Q и R соответственно.
Тогда Mf]N с Qf]R. Пусть m(Mf]N) = т. По теор. 1
из 6.1.2.
1 — 2"" + 1—2"" < 1 + т; т > 1—2""+1.

Замечание. Если V — элементарный домен, то
V — областное дополнение и внутренность V есть область
той же меры. Граница V является областным дополнением
и имеет меру 0. Она может быть заключена в измеримую
область А с мерой, меньшей чем Тп , которую можно вы-
выбрать так, чтобы для некоторого s каждая точка, отстоя-
отстоящая от границы менее чем на 2~s, входила в А.
Пусть W — элементарное множество прямоугольников,
которое вместе с V просто покрывает Е. Для произвольной
точки р из Е — А можно решить, аппроксимируя ее с точ-
точностью до 2~s, принадлежит ли она V или W.
Интеграл Брауэра
Я разовью теорию интегрирования для случая функ-
функций, определенных на подвиде Q единичного квадрата Е.
Возможны различные обобщения, но им не место в этом
введении.
€.2. Ограниченные измеримые функции
6.2.1. Определение интеграла
Определение!. Ограниченная функция / (х),
«определенная на подвиде Q вида Е, измерима [Брауэр,
1923, стр. 6], если при любом натуральном п выпол-
выполняются следующие условия:
(i) задана измеримая плоская область Ап с мерой,
меньшей чем 2~";
(ii) E просто покрывается элементарными доменами
Vnh{h = — ln , 1,0, 1,. . .,*„);
(Ill) если Мп = Е — Ап, то
(a) при х е= Vnh[]Mn и h 4= 0 имеем
(h - l)^" > / (х) > (А + 1J-"-\
(b) при х ^Q(~]Vn0(~]Mn имеем
Множество трехмерных промежутков
(/i-l)r'>z> (A+
(А = —/я,..., 0, . . .,kn)
90

будет называться га-й аппроксимирующей полосой для / (х)
/ (х) будет называться измеримой посредством {Vnh} и
{An}.
Определение 2. Интеграл от измеримой функ-
функции /(х) определяется так:
A) \ / (х) dx = \im 2-"'1 S hmVnh 53).
Замечани я. 1. Если предполагать, что An
при всяком га, то это не дает никаких новых ограничений.
оо
В самом деле, если положить U Аи = Вп.х и Wn-i h = Vn »л,
то / (jc) также окажется измеримой посредством {Вп}
и {Wnk}H). Последовательность (Wnk) даст при этом тот
же самый интеграл. Аналогичным образом мы можем
предположить, что границы всех Vnn содержатся в Ап,
ибо если тАп<^2"п— 2~п , то можно включить эти гра-
границы в измеримую область Сп с мерой, меньшей чем 2'"',
и затем использовать An{JCn вместо Ап. Этот способ имеет
то преимущество, что для каждой точки из Е — (An\JCn)
можно определить, к которому из элементарных доменов
Vnh она принадлежит 56).
2. Часто бывает удобным изменить пункт (п) опреде-
определения 1 следующим образом:
(и bis) E просто покрывается элементарными домена-
доменами V'nh каждый У^содержится в одном из Vin"}liJ.
В этом случае в пункт (iii) вместо Vnhf]Mn нужно под-
подставить и П{\ма).
р
Класс. Это — хорошо известное определение интеграла
Лебега.
Инт. Конечно это так, но ведь нужно было выбрать
одно конструктивное определение среди всех классически
возможных. Пусть, например, / (х) определена на ? и имеет
постоянное значение а, где а — действительное число,
. 1 1
для которого не известно, ни что а <^ у , ни что а = -=- ,
ни что а ^> —. В этом случае вид точек, в которых
f W <С т > неизмерим. Я могу сказать это сейчас, хощ
91

еще и не привел общего определения измеримых точеч-
точечных видов. Конечно, то же замечание применимо и к соот-
соотношениям / (х) = -2 и / (х) >¦ -j.
Важное различие состоит в том, что математик-классик
всегда может расширить область определения своей функ-
функции до Е, полагая ее равной 0 в каждой точке, в которой
она не определена. Интуиционистски это недопустимо,
так как относительно некоторых точек может быть неиз-
неизвестно, определена ли в них функция. Брауэровское опре-
определение измеримой функции сформулировано таким обра-
образом, что для любой такой функции мы почти всюду знаем
либо, что она определена, либо что если она определена,
то она меньше чем 2~п< где п может быть взято произвольно.
Точечный вид, на котором / (х) определена, будет назы-
называться доменом f (x).
Теорема 1. Предел A) существует для всякой
измеримой функции / (х).
Доказательство. Пусть / (х) измерима по-
посредством {Vnh} и {Ап}. Предположим, что А„ удовлетво-
удовлетворяют условиям замечания 1.
Пусть р — любое натуральное число, большее чем п,
и пусть Vnhf]VPk = Whk- Будем обозначать Whk посред-
посредством Xhk, если | h2~n~1 — k2~"'11 < 2, и посредством
Yhk, если \h2-n-1 — k2-p-1\>2-n.
Ясно, что
B) 2-р~153 kmVPk — 2-"-xS hmVnh =
k h
= 2 (* 2"p-x — h 2'п'х) mWhk.
A,ft
Из определений следует, что при xeEVnhf}Mn (h фО)
имеем
C) (h - 1J-"-г > / W >(А + D2-1
и что при х <= Vpk[]Mp (k ф 0) имеем
D) (*-1J-"г р\
92

Следовательно, при х е= Whk[\Mn(\Mp имеем
E) | h 2""-1 - k 2-р"х | > 2-" + 2-"-1 < 2"".
Это верно также при h = О, k ф О и при h ф О, k = О,
ибо в первом случае, например, У^П^р ^ Q> так чт0
Wokf\Mp Г\ Мпд. Q,n C) выполняется на Wak[}Mp[}Mn.
При Л = k = 0 E) тривиально.
Каждая точка из УИ„р|УИр принадлежит некоторому Whk;
в силу E) оно не может оказаться Yhk- Значит, Mnf]Mp^
Далее, по теор. 1 из 6.1.2.
т (Мп(]Мр) < 1 — 2~n — 2"р> 1-2-"+1.
ф)
G)
Из
(8)
Значит, m\JXhk > 1—2"1
Поэтому, если \f (х) \<^М,
21*
S
А2-р-1-А2-
B) следует
|2~
"-1 ZkmVpk—2-
то
<BМ + 2)
| mXhk <C 2 /и U -
•»Vnft|<DAf-f
2~n+l 54\
-5J-"-
Применяя критерий Коши из 2.4, видим, что предел A)
существует66).
Теорема 2. Если ограниченная функция / (х) из-
измерима с помощью {Vnh} и {А„}, а также с помощью {Wnk}
и {Вп}, то
(9) lim 2"" ihmVnh = lim 2""
гс-мхэ
Пусть An{JBn = С„ и ? — Сп = Мп. Можно пред-
предположить, что С„ содержит границы Vnh и ИР„*. Положим
Vnh[\ Wnk = ХЛА, если | h - k |< 1 и К„„П ^„fe = Yhk,
если |А — А|^>1. Точка из Yhk не может принадлежать
Мп, так что УИ„ С у Хла. Следовательно, по теор. 3 из
6.1.2
Ч^ т\ I У, т\ I У ^.1 o-n+1 ™i 1Л/ ,^ o-"+J
^> tn\JA.hk- m\JA.hk ^1 -i • i
93

i Tn~x 2 hmVnh — 22 kmVnk | -= 2~h~x | 2 (A — k) mXhk
+ S (A — *) /яП* | < 2'1 B mXhk + 2M 2mYhk)
Это доказывает (9).
6.2.2. Условия измеримости
Теорема 1. Почти всюду определенная ограничен-
ограниченная функция измерима [Б. ван Роотселар, 1954, стр. 7] 68).
Доказательство. По условию / (х) определена
на виде Q и при каждом п вид Q содержит измеримое област-
областное дополнение Мп, такое, что тМп ^> 1 — 2~п~3.
По теор. 2 из 6.1.2 Мп содержит локализованное област-
областное дополнение Ln, такое, что mLn ^> 1 — 2"п'г. Пусть
Ап такова, что Ln ~ E — Ап. Применяя теор. 3 из 5.2.1,
мы видим, что / (х) равномерно непрерывна на Ln, так
что для каждой точки х из Ln можно найти такую окрест-
окрестность Un (х), что | / (х) — f (х')\ <С 2~п'3, если х' лежит
в Un (x)f]Ln. Un (x) содержит элементарный домен Vn (x),
внутри которого лежит х. К Ln можно применить теорему
Гейне — Бореля из 5.2.2, в силу которой имеется конеч-
конечное число доменов Vni {i = 1, . . ., т), покрывающих Ln.
Определим следующим образом непересекающиеся эле-
элементарные домены Wm:
wnl = vnl, wm = vnt - l/ (Уп. П Wnk).
Общая площадь, покрываемая Wni, составляет по
меньшей мере 1 — 2"~2; остающуюся часть Е можно
включить в измеримую область Ап с мерой, меньшей чем
2~п~1. Включим границы Wni в измеримую область Вп
с мерой, меньше чем 2~"~2, и положим Сп = An\JBn\jAn,
так что тСп <С 2"". Тогда / (х) измерима посредством
{Wm} и {Сп} 5в).
Мы покажем сейчас, что, с другой стороны, каждую
измеримую функцию можно пополнить до почти всюду
определенной измеримой функции с тем же самым интег-
интегралом.
94

Определение 1. g (x) называется пополнением
f (x), если удовлетворяются следующие условия:
(i) g {x) почти всюду определена,
(ii) g (x) = f (x) в каждой точке, в которой определены
обе функции,
(iii) / (х) определена в каждой точке, где g (x) =/= 0.
Теорема 2. Если / (х) измерима посредством {Vnh}
и {Ап}, то функция g (х), определенная ниже, является
пополнением / (х).
gn(x) = h2"-1 на Vnhf] (Е- Ап);
g(x) = \imgn(x).
П-+СО
Теорема 3. Если g (x) — пополнение ограничен-
ограниченной измеримой функции / (х), то g (x) измерима и
Теорема 4. Если существует пополнение f(x), то
/ (х) измерима.
Доказательства этих теорем получаются непосредст-
непосредственно из определений. В доказательстве теор. 4 мы исполь-
используем теор. 1, чтобы доказать измеримость пополнения / (х).
Теорема 5. Если f (х) измерима, / (л:) и ^ (х) огра-
ограничены и / {х) = g (x) почти всюду, то g (x) измерима
и \f(x)dx = \g(x)dx.
Доказательство. Пусть / (х) измерима по-
посредством {Vnh} и {Ап} и пусть Вр — область с мерой,
меньшей чем 2~", такая, что / (х) = g (х) на Е — Вп.
Тогда g{x) измерима посредством {Vn,i,} и {An+i\JBn+i}
и утверждение теоремы получается из определения вп).
6.2.3. Суммы и произведения измеримых функций
Теорема 1. Если ограниченные измеримые функ-
функции / (х) и g (x) имеют один и тот же домен Q или опреде-
определены почти всюду, то / (х) + g (x) измерима и
/ (*) dx + \g{x)dx = J (f{x) +g(x)) dx.
95

Доказательство. Пусть /0 (х) и go (х) суть
пополнения / (х) и g (x) соответственно.
Тогда /о (х) + g0 (х) является пополнением f (х) + g (x).
Равенство интегралов легко получается на основе опр. 1
из 6.2.1.
Теорема 2. Если f (х) и g (x) — ограниченные из-
измеримые функции, то функция f(x)-g(x) измерима.
Доказательство. Здесь так же: если /0 (х)
и g0 (x) суть пополнения f (х) и g (x) соответственно, то
fo(x)-go(x) есть пополнение f(x)-g(x).
Замечание. Заметим, что в теор. 2 нет надоб-
надобности предполагать, что f (х) и g (x) имеют тот же самый
домен, как это сделано в теор. 1. Причина в том, что из
/о (*)•?<> М # 0 следует как /0 (х) # 0, так и g0 (x) # О,
в то время как /0 (x)-j-g0 (х) 4ф0 влечет только, что /0 (х) 4Ф О
или go(x)+?O. Домен f(x)-g(x), конечно, является пере-
пересечением доменов f (х) и g (x).
Определение 1. Неотрицательная часть f+ (x)
и неположительная часть f~ (x) функции / (х) определя-
определяются следующим образом:
(x), 0); f (x) =min(fD 0).
f+ (x) и f~(x), очевидно, имеют тот же домен, что f(x) и
Теорема 3. Если / (х) ограничена и измерима, то
/+ (х) и f~ (х) измеримы и
Доказательство. Если /0 (х) — пополнение
/ (х), то max (/0 (х), 0) является пополнением /+ (х); ана-
аналогичный результат имеет место и для f~ (x). Функции
/+ (х) и f~ (x) имеют тот же домен, что / (х), так что мы
можем завершить доказательство, применяя теор. 1.
Теорема 4. Если / (х) ограничена и измерима, то
/ (х) | измерима.
Доказательство !/(*)| = /+(л:) — /- (х).
96

6.2.4. Предельная теорема
Определение!. Последовательность функций
{/« (¦*)} сходится в точке х0, если известно такое число N,
что /„ (х0) определены при п > N и последовательность
f (x0) сходится в обычном смысле.
Т е о р е м а 1. Если функции последовательности
{fn (x)} измеримы и равномерно ограничены и если эта
последовательность почти всюду сходится к / (х), то / (х)
измерима и
\m^fn(x)dx=^f(x)di
Доказательство. Для каждого т можно няйти
такое областное дополнение Мт, что тМт > 1—2 ~1
и что lim /„ (х) существует в каждой точке Мт. Мт ее
П-+СО
держит локализованное областное дополнение Lm с мерой,
большей чем 1—2~т. Для каждой точки х из Lm можно
найти число N (х), такое, что /„ (х) определена при
n>N(x) и что I/(*)-/„(*) |< Г™ при n>N(x).
В силу теор. 1 из 5.2.1 и теоремы о веерах мы можем найти
максимальное значение N (х). Обозначим его через Nt.
Мы видим, что при п^> N1 функция /„ (х) определена
и | / (х) — /„ (х) | -< Тт для каждого х из Lm. В последую-
последующем я буду предполагать, что п > Nv
Lm есть дополнение к области Вт. Пусть /„ (х) измерима
посредством {Vnph} и {Апр}- Полагаем Спт = Anm\JBm,
Кпт=Е — Спт. Имеем тСпт < 2~m+1.
При х е Vnmhf]Кпт имеем |/ (х) — /„ (х) |< 2~т и далее
A) (Л — 1) 2'т~1 — 2"" > /(*) >(Л + 1J^т + 2"т.
Затем мы можем найти такое k, что
B) (k — lJ"m+2 >/(*)>(*+ lJ^m+2.
Здесь
C) |^2~m+a — Л2~т^ | ^ 2"m+1 e2).
Это доказывает, что / (х) измерим посредством {Vnmh}
и {Спт}, где п является функцие от т 63).
97

Из неравенства (8) в доказательстве теор. 1 из 6.2.1.
мы получаем, что
D) \ / (*) dx - 2'm+2 2 kmVnmh < DAf + 5) 2'm+3;
E) | ^ /„ (*) dx - 2-m~x 2 ЛтУ„тЛ | < DЛ* + 5) 2~m.
Из (З) получаем
F) | 2'm+2 2 *теУлтЛ — 2~m~x 2йтУл(пЛ | >
2 | 2 k — 2 /z | m Vnmh 3> 2 S/?jFnm/j^> 2
Из D), E) и F) мы убеждаемся, что
G) \f(x)dx — \ fn (х) dx < C6М + 47) 2'т.
Так как это верно при любом п^> N (яг), то теорема
доказана °4).
6.3. Измеримые точечные висы
6.3.1. Основные понятия
Определение!. Характеристическая функция
/q (x) точечного вида Q определяется следующим образом:
/<з (х) = 1, если х е Q; /о (л:) = 0, если х ф Q в6).
Определение 2. Точечный вид Q измерим, если
/C (jc) измерима; лера Q есть mQ = \fQ(x)dx.
Т е о р е м а 1. Определение 2 эквивалентно следую-
следующему определению: вид Q измерим, если при любом п
можно найти такой элементарный домен Vn и такую изме-
измеримую область Ап, что тАп<^2'п и Qf)(E — Ап) =
Vnr\(E—An). Тогда mQ = Um mVn [Брауэр, 1919А,
/г—>со
стр. 29]. В этом случае мы будем говорить, что Q измерим
посредством {Vn} и {Ап}.
Доказательство. (i) Если /q (x) измерима
посредством {Wnh} и {А,,}, то Q измерим посредством
98

(ii) Если Q измерим посредством {Vn} и {Ап}, то /q (х)
измерима посредством {Wnh} и {Ап}, где Wn%n+1=Vn,
Ww = Е — Vn и остальные Wnh пусты.
Теорема 2. Если Q измерим, то Q\J(E — Q) являет-
является почти полным видом.
Доказательство. Пусть fQ (х) измерима по-
посредством {Wnh} и {Ап}. Для краткости положим
Хп = Wn 2n+1. Предположим, что Ап содержит границы
Хп и Wnu, так что каждая точка из Е —Ап принадлежит
либо Хп, либо Wn0. Пусть Е — Ап = Мп. Тогда Qf]Mn—
ХПМ
Если х €Е Wnof}Mn, то fQ (х) =1= 1. Значит, х $1 Q и
EzE — Q. Следовательно,
Значит,
(Q{J(E- Q))C\Ma = (XnUW^nMn =Mn
6.3.2. Условия измеримости
Теорема 1. Если вид Q измерим, то вид Е — Q
измерим и т (Е— Q) = 1—mQ [Брауэр, 1919 А,
стр. 30].
Доказательство. Как в предыдущем дока-
доказательстве, мы найдем такое Мп, чтобы имело место
Q\J(E — Q) з Мп и тМп > 1—2~". Тогда при любом п
на Мп имеет место равенство /q (х) + / (х) = 1. Сле-
Следовательно, почти всюду /q (x) + fE~Q {x) = 1. Значит,
з (х) dx -
Следствие. Если вид Q измерим, то вид
Е — (Е — Q) измерим и имеет ту же самую меру. Это обстоя-
обстоятельство очень удобно, так как оно часто позволяет нам
пренебрегать в теории меры двойным отрицанием.
99

Теорема 2. Каждый измеримый вид Q содержит
при любом п локализованное областное дополнение Ln
с мерой, большей чем mQ— 2~п.
Доказательство. Пусть Q измерим посред-
посредством {Vn} и {Ап}, пусть, далее, Е — Ап = Мп. Можно
найти такое k = k («) ;> п + 1, что | mVk — mQ | < 2~"~2.
Имеем также тМк <? 1—2~"~2. В силу теор. 1 из 6.1.2
mVk + mMk > 1 + т (A
т (Mkf]Vk) < mVk+ mMk-l>mQ — г""'2
+ 1—2" — 1 = mQ —2"'1.
Областное дополнение Mkf\Vk содержит в себе лока-
локализованное областное дополнение Ln, такое, что mLn ]>
т (Mkf}Vk) — 2~"'х. Таким образом mLn > mQ — 2'".
Так как Mkf]Vk = Qf~)M* d Q, то теорема доказана.
Теорема 3. Для того чтобы точечный вид Q был
почти полным, необходимо и достаточно, чтобы Q был
измерим и имело место равенство mQ = 1.
Доказательство, (i) Условие необходимо, так
как, если Q почти полн, то /q (x) определена почти всюду,
а значит, по теор. 1 из 6.2.2, /q (x) измерима и почти
всюду /q (х) = 1. Следовательно, mQ = 1.
(ii) Условие достаточно в силу предыдущей теоремы.
Теорема 4. Точечный вид Q измерим тогда и толь-
только тогда, когда Q[j(E — Q) почти полный точечный вид.
Доказательство. (i) Условие необходимо
в силу теор. 2 из 6.3.1.
(ii) Условие достаточно. Это доказывается, как пункт
(i) предыдущего доказательства.
Теорема 5. Каждый распознаваемый подвид R
измеримого вида Q измерим.
Доказательство. Q \J (E — Q) с R\j{E — R),
ибо каждый элемент Q принадлежит либо R, либо Е — R
иЕ — Q с: Е — R. Поэтому ввиду того, что вид QU(?'—Q)
почти полн, вид R\J(E — R) также почти полн и вид
R измерим.
100

Следствие. Если вид Q lj (Е — Q) измерим, то
Q также измерим.
Теорема 6. Если виды Q и R измеримы и R Q Q,
то mQ = mi? + m (Q — Я).
Доказательство. Характеристические функ-
функции /q (jc), /« (jc) и /<?_Л (х) определены на почти полном
виде
(QU(E-Q))r\(R\J(E-R))
и на нем /q (х) = /Л (х) + /<?-« (*)• Это и доказывает
теорему.
Теорема 7. Если Q и R — геометрически конгру-
конгруэнтные измеримые точечные виды, то mQ = mR.
Доказательство. Е — Q = Е — R, так что
1 — mQ = 1 —mR.
6.3.3. Объединение и пересечение измеримых точечных
видов
Теорема 1. Если Q и R — измеримые точечные
виды, ToQfl^ и Q\JR также измеримы, m (Q\JR) ^> mQ +
mR и если Q и R не пересекаются, то (QU^)
mQ + mR [Брауэр, 1919А, стр. 32].
Доказательство. /^Пя (х) и /qуя (*) опреде
лены на почти полном виде (Q{J(E— Q))fl(^U(^ — R))
и на этом виде fQ(]R(x) = fQ (x)-fR (x) и /qu«W>
/q (x) + /« (л:); если] Q a R не пересекаются, то
Теорема 2. Если {Qn} — последовательность из-
п
меримых точечных видов, Sn = \J Qh, mn = mSn и су-
со
ществует lim тп = т, то вид 5И = U Qh измерим и
и т5ш = т [Брауэр, 1919А, стр. 33].
Доказательство. По теор. 2 из 6.3.1 можно
найти для любого Qn такую измеримую область В„, что
тВп < 2~н~п и что Qn (J (^ — Qn)^E — Вп. Положим
В = U Вп, тогда тВ < 2 .
101

Определим теперь числа nv n2, ¦ ¦ ¦ так, чтобы соблю-
соблюдались условия т — тПх < 2~Л~2, т — /п„2 < 2~h'z и т. д. 67)
Затем найдем измеримые области Сь С2) . . ., такие, что
mCt < 2"w и Е —Ct^E — E„г+1 — 5„() 68). Положим
C = U^hD=B|JC1. Ясно, что тС < 2~* и mD < 2"Л+1.
Пусть х — точка вида Е — D. Тогда при любом п имеем
х ?Е Е — Вп, так что х ?Е Qn или х ?Е Е — Qn', следова-
следовательно, х 6Е Snt или х ЕЕ ? — Sn,. Если л: GE Sn,, то х GE 5Ш.
Предположим теперь, что л: GE ? — Sn,. Так как
х GE ^ — Ci, то л: не принадлежит 5„2 — ^л^ так что
х GE ? - 5„2.
Аналогично, в силу * ge Е—С2 мы получаем х ^ Е — 5Пз
и т. д. Отсюда следует, что х ?Е Е — 5Ш. Мы доказали,
таким образом, что каждая точка из Е — D принадлежит
So, или Е — 5Ш. Таким образом, /$ш определена на Е — D.
Кроме того, на Е —D имеем lim fSn = fsw- Теперь тео-
п-»юо
рема следует из 6.2.4.
Теорема 3. Если {Qn} — последовательность из-
п
меримых точечных видов, Rn = fl Qh, mRn — mn и су-
со
ществует lim т„ = т, то вид Яш = f] Qh измерим и
= /п [Брауэр, 1919А, стр. 33].
Л=1
Доказательство почти дословно воспроизводит
доказательство предыдущей теоремы.
Теорема 4. Всякая измеримая область или област-
областное дополнение F.1.1 или 6.1.2) является также измери-
измеримым точечным видом (по определению из 6.3.1), и две соот-
соответствующие меры равны [Брауэр, 1919А, стр. 30].
Доказательство. Для области это непосред-
непосредственно следует из теоремы 2; для областного дополнения
это имеет место в силу теор. 1 из 6.3.2.
Теорема 5. Если / (х) ограниченная измеримая
функция, определенная на точечном виде Q, и если
р — любое натуральное число, то можно найти такие
102

непересекающиеся измеримые виды
Qpa (А = — /р, . . ., О, . . ., kp), что 2 mQph =1 и что
h
(А - 1) 2-"-1 </(*)< (А + 1) 2^-" на Qpft (A =f 0),
- 2-"-1 </(*)< 2^ на Qpo П Q.
Доказательство. Пусть / (х) измерима по-
посредством {Vnh} и {Ап}. Положим Мп = Е ¦—Ап и
Nnh = Мп fl Vnh- Упорядочим Nnh (n > р) следующим обра-
образом: Nnh предшествует Nm, если либо п<^т, либо п = /п,
А <^ г. Пусть 7?nft ¦— вид тех точек из Nnh, которые не
принадлежат ни к одному из областных дополнений,
предшествующих Nnh при данном упорядочении. Разделим
теперь следующим образом последовательность Rnh на
частичные последовательности, начинающиеся с Rp<-ip,...
Rp,kp соответственно. Rm принадлежит частичной по-
последовательности, начинающейся с RPh, если А ¦— наи-
наименьшее число, такое, что
A) (А - 1J^ < (i - D2-"-1 < (i + m'1
< (А + \J-р-х .
Пусть QPh ¦— объединение видов последовательности, на-
начинающейся с Rph- Виды Qp,-ip,- ¦ ., Qp,kp обладают тре-
требуемыми свойствами 68).
Замечание. Брауэр [Брауэр, 1923, стр. 9] доказы-
доказывает, что в качестве QPh можно выбрать внешние пре-
предельные виды. Я не ввожу этого понятия.
6.4. Интеграл как мера точечного вида
В последующем изложении будут встречаться как пло-
плоские, так и трехмерные точечные виды. Чтобы избежать
путаницы, трехмерные виды будут обозначаться готиче-
готическими буквами 70).
Теорема 1. Пусть / (х) ограниченная функция,
определенная на подвиде S вида Е. Пусть %1 и ?2 — виды
точек в пространстве с такими координатами (plt p2, р3),
что (Pi, р2) е S и 0 > р3 > / (Pv Рг)для ?j и (/?!, р2) е S
и 0 < р3 < / (pj, p2) для ?2. Тогда (а) / (х) измерима тогда
и толькотогда, когда ?,, и ?2—измеримые трехмерные точеч-
точечные виды; (Ь) если f (x) измерима, то [f (x) dx—mZ1—/п?2.
103

Доказательство (а). Тогда. Пусть %х изме-
измерим посредством {ЭЗщ} и {911Л}. Пусть обозначения выбраны
таким образом, чтобы имело место неравенство ггшХп < 2".
Пусть 911л определяется последовательностью элементар-
элементарных доменов {Um,s}- Выберем iq, такое, что m\\w, iqt>
A— 2'2д-&)тШ1п. Полагая тогда ©ln,? = Uln, ,m— Um./,,
будем иметь
яйВщ, , < 2 ^5/п911л <2-2л-вд-6.
Прямая, проведенная через точку х = (plt р2. 0) парал-
параллельно оси z, пересекает ©щ,, по отрезку или отрезкам
общей длины / (х); пусть Х1п,ч— вид таких точек х, что
/ (х) > 2'3. Имеем тЛ'1„)(,<2"п"'7. Вид Х1Я,, можно
включить в область Сщ,q с мерой, меньшей чем 2~"~<7~2.
оо
Положим Вхп = U СХПу q. Тогда тВщ < 2"", и если
«7=1
х е ^— ^щ, то пересечение прямой, проведенной через х па-
параллельно оси Z, с Щ„ является видом D, таким, что
< 2 2"""м = 2""-3 71). Положим Е — В1п = М1п.
«7=1
Разделим теперь ? на конечное множество элементар-
элементарных доменов Ynh, таких, что если х ЕЕ ^лл, то восстанов-
восстановленный в х перпендикуляр пересекает 331л по отрезку @, s),
удовлетворяющему условию
A) BА — 1) 2""> s >BА + 1) 2-" 72).
Принимая во внимание, во-первых, это условие,
во-вторых, то, что при х ЕЕ Мщ пересечение прямой, про-
проведенной через х параллельно оси Z, с 311л является видом
с мерой, меньшей чем 2'"'3, и, в-третьих, то, что 93т П
(S — 3lln) = ?j П (@ — ^1п). мы видим, что при
х ЕЕ Ynh П Л1щ имеют место неравенства
Для h = 0 эти неравенства имеют место во всех точках»
где / (х) определено и где f (х) <? 0.
Мы доказали, таким образом, что /+ (х) измерима по-
посредством {Ynh} и {В1п}. Точно так же, исходя из ?2, можно
доказать, что измерима /- (х).
104

Поэтому в силу теор. 1 из 6.2.3 / (х) измерима.
Доказательство (а). Только тогда. Пусть
/ (х) измерима посредством {Vnh} и {А„} и пусть ЯВ„ —я-я
аппроксимирующая полоса, Я5Л—трехмерная область точек
(/?!, р2, р3)< таких, что (рх, р2) е Л„ и (?„— вид таких точек
в пространстве, что — 2~" < р3 < 2"". Тогда вид
2>„ = ®„и^и ® л измерим и т©„ < 2~"+2. Вид ©„ легко
можно включить в область §„, такую, что /п^л < 2~п+3.
Рассмотрим конечное множество параллелепипедов Uln, со-
состоящее из таких точек (pv р2, pg), что при некотором h
имеем
(Рх, р2) Е^(/!>0) и 0 > р3 > /«2""-1.
Рассмотрим также множество U2n, состоящее из таких точек
(Pi. Рг< Ps)' что при некотором h имеем
(pi, p2) e Vnh (h < 0) и 0 <? pg <(; /г 2"".
Вид Sj измерим посредством {Uln} и {^л}- Вид ?2 измерим
посредством {U2n} и {^„} 7S).
Доказательство (Ь). Оно сразу получается
посредством предельного перехода в равенстве
s S )
п
В качестве приложения докажем следующую теорему.
Теорема 2. Если / (х) и g (x) — ограниченные изме-
измеримые функции, то max (/ (х), g (х)) и min (/ (х), g (x))
измеримы.
Доказательство. Положим max (/ (x), g (x)) —
h(x), min(/(x), g(x)) = k(x). Пусть %t (F) (i = 1, 2;
F = f, g,h, k) определяются так, как Zlt Z2 B Teop- 1.
Si (ft) = ti (/) U ?i te), ?2 (A) = г2 (/) П ?2 (я).
П ?i te), ?2 (*) = Si (f) и г2 (g).
?,- (/) и ?г (g) измеримы. По теор. 1 из 6.3.3 отсюда следует,
что %i (h) и %t (k) измеримы. Значит, h (x) и k (x) измеримы.
Замечание. Эту теорему можно доказать также
методом пополнения (см. 6.2.2).
105

6.5. Неограниченные функции
6.5.1. Неограниченные измеримые функции
Опр еделение 1. Неотрицательная функция / (х),
определенная на некотором подвиде вида Е, измерима,
если при всяком натуральном k измерима «усеченная функ-
функция» kf (х) = min (/ (х), 2*). Неположительная функция g{x)
измерима, если измерима — g (х). Функция / (х) измерима,
если измеримы /+ (х) и /- (х).
Теорема 1. Функция, определенная почти всюду
на Е, измерима. Это является непосредственным следст-
следствием теор. 1 из 6.2.2.
Теорема 2. Сумма двух неотрицательных измери-
измеримых функций с одним и тем же доменом измерима.
Доказательство, min (/ (x)+g (x), 2*)=min (kf(x)
+ kg (x), 2*), а последняя функция измерима по теор. 2
из 6.4 и теор. 1 из 6.2.3.
Теорема 3. Если / (х) и g (x) — неотрицательные
измеримые функции, то h (х) = max (/ (х), g (x)) и h' (x)
= min (/ (x), g (x)) измеримы.
Доказательство.
kh (х) = min (max (/ (x), g (x)), 2*)
= max (kf (x), kg (x)),
kh' (x) = min (min (/ (*), g (x)), 2k)
= min (kf (x), kg (x)).
Функции в правых частях измеримы по теор. 2 из 6,4.
Замечание. Не доказано, что сумма двух изме-
измеримых функций с одним и тем же доменом измерима. Вряд
ли это доказуемо. Более того, вряд ли доказуемо даже
следующее более слабое предложение.
Если / (х) и g (x) — измеримые функции, такие, что
Q ^> ё (х) ^> f (х)> то f (х) — g (x) измерима. Источник
трудности в том, что разность f (х) — g (x) может быть
малой при больших / (х) и g (x).
То же самое замечание применимо к брауэровскому
определению неограниченных измеримых функций
106

[Брауэр, 1923, стр. 18]. Однако соответствующая теорема
имеет место для суммируемых функций (теор. 2 из 6.5.2,
ниже).
Теорема 4. Если / (х) измерима, то | / (х) | изме-
измерима.
Доказательство. По определению /+ (х) и /- (х)
измеримы; отсюда по теор. 2 получаем требуемый резуль-
результат.
Теорема 5. Если при любом п функция /„ (х)
измерима и почти всюду lim /„ (х) = f (x), то функция
я-кю
/ (х) измерима.
Доказательство, lim /+ (х) =/+ (х); lim /~ (х) =
f- (х). Если / (х) неотрицательна, то lim kfn (x) = kf (x),
п~*-оо
так что kf (x) измерима при любом k 75).
6.5.2. Суммируемые функции
Определение. Измеримая функция / (х) сум-
суммируема, если существует
lim \ kf+ (x) dx + lim \ J- (x) dx 76);
эта сумма есть j / (х) dx.
Теорема 1. Если / (х) суммируема, g (х) — измери-
измерима и почти всюду 0>?(лг)>/ (х), то g(x) суммируема.
Доказательство. Пусть g (x) J> / (x) имеет
место на почти полном точечном виде Q. Неравенство
A) min (g (x), 2k+m) - min (g (x), 2k) >
min (/ (x), 2k+m) - min (/ (*), 2*)
очевидно, для таких точек х из Q, в которых
B) *(*)<2* или g{x)<:2k.
Поэтому, если бы для какого-нибудь х из Q не выпол-
выполнялось A), то х не могло бы удовлетворять B), что являет-
является противоречием.
107

Следовательно, неравенство A) не может быть ложным,
а поэтому оно истинно.
Из A) получаем, что
$ k+mg (х) dx - $ kg (x) dx > $ A+m/ (x) dx-\kf (x) dx.
Следовательно, существует lim \ kg (x) dx.
Теорема 2. Если f (x) и g {x) — суммируемые почти
всюду определенные функции, то f (x) + g (x) суммируема
и
J (/ (х) + g (x)) dx=\f (x)dx+\jg (х) dx.
Для доказательства потребуются следующие три леммы.
Л е м м а 1. Теор. 2 имеет место для неотрицательных
функций / (х) и g (х).
Доказательство. Положим / (х) + g(x) = h (x).
Тогда h (x) измерима по теор. 2 из 6.5.1
*_х / (х) + k-ig (х) > kh (х) > kf (х) + kg (х).
Переходя к пределу, видим, что ^ h (x) dx существует
и равен \jf{x)dx-\-\jg (x) dx.
Лемма 2. Если f (х) и g (x) — почти всюду опреде-
определенные суммируемые функции и 0 ^> g (x) ^J> / (x), то
/ (*) — g (x) суммируема.
Доказательство. Положим ^ / (х) dx — s.
Возьмем любое натуральное п и найдем такое k, что
( )<
Пусть kf (х) измерима посредством {Vph} и {А р}, a kg {x)—
посредством {Wph} и {Вр}. Так как ^ kf (x) dx ^> s, то
для всех р, за исключением, может быть, нескольких
малых значений, которыми можно пренебречь. Можно
108

также предположить, что р > п + 1. Если / =*= 2p+fc+1, то
2A/nVp/<s + l,
mVpl<(s+ 1) 2-*
Включим Vpi в область Ср с мерой, меньшей чем 2~п~1.
Тогда на ? — (Ар \J Ср) имеем / (х) > 2* ").
Положим Ap[jBp[jCp = Dn. Тогда mDn < 2~", и на
? — Dn имеем
о (х) = / (х) -g{x) = kf (х) - *g (х) = *у (х).
Пусть f (х) я g (x) определены на Q. В последующих строч-
строчках П Q нужно добавлять для h = 0 или h' — 0. На
Vphf\(E— Ар) [f\ Q] имеем
На HV П (? - Вр) [flQ] имеем
(А'_!) 2-"-1<^(л:)<(/г'+ 1) Тр \
На КрЛ П Wp.k r\{E—Da)ir\ QJ имеем
(h — h'~ 2) 2""-1 < ау (x) < (A — Л' + 2) 2"".
Следовательно, можно найти такое q, что на последнем
виде
(д-\) 2-"-1О(*)<(<7+1) 2-"-178).
Если U (VPh П ^рл-) = ХП11, где объединение берется по
таким парам h, h', которым соответствует одно и то же
значение q, то vk (x) измерима посредством {Xnq} и {Dn}79).
v (х) поэтому измерима, а значит, и суммируема согласно
теор. 1.
Л е м м а 3. Если / (х) и g (x) почти всюду определен-
определенные неотрицательные суммируемые функции, то / (х) — g(x)
суммируема.
Доказательство. Если f (х) — g (x) = h (x), то
А+ (х) - max (/ (х), g (х)) - g (x),
- Л" (х) - ? (х) - min (/ (х), g (x)).
109

Так как 0 > g (х) > max (/ (*), g (х)) > / (х) + g (д)
и
О > min (/ (х), g (х)) > g (x),
то по теор. 3 из 6.5.1, теор. 1 из 6.5.2, лемме 1 и лемме 2 мы
видим, что h (x) суммируема.
Доказательство теоремы 2.
f(x)+g (х) = (/+ (х) + g+ (х)) - (- /- (х) - g- (х))
суммируема согласно леммам 1 и 3.
Теорема 3. Если / (х) измерима, g (x) — суммируе-
суммируема и | / (х) | < g (x) почти всюду, то / (х) суммируема.
Доказательство. О ~$> F (x) ~$> \ f (x)
О ^> — /~ (х) ^> | / (х) |. Следовательно,
В силу теор. 1 /+ (х) и — /- (х) суммируемы. Так как
/ (х) = /+ (х) — (— /- (х)), то по лемме 3 получаем иско-
искомый результат.
Теорема 4. Если при всяком п функция /„ (х)
суммируема и равномерно lim /„ (х) = f (x), то / (х)
Л->00
суммируема и lim \ /„ (х) dx =\f {x) dx.
Доказательство. Для достаточно больших п
имеем | / (х) — /„ (х) \ < е, значит, по теор. 3 / (х) — fn (x)
суммируема. В силу теор. 2 суммируема и / (х). Второе
утверждение теоремы получается непосредственно.
Теорема 5. Если / (х) суммируема и g (x) ограни-
чена и измерима, то функция h (x) = f (x) g (x) сумми-
суммируема.
Доказательство. Предположим, что \g {)\^
При всяком k функция kf (x) g (x) измерима (теор. 2 из
6.2.3), значит, измерима h (x) (теор. 5 из 6.5.1).
Предположим сначала, что /(;с)<?0 и g(x)<^0. Если
/ (х) суммируема, то s/ (x) также суммируема, так что
нам достаточно рассмотреть случай, когда g (х) < 1. А тог-
тогда легко видеть, что при / ]> k имеем
110

min (fg, 2l) - min (fg, 2k) > min (/, 2') - min (/, 2*).
Отсюда
\ th (x) dx-\kh (x) dx^tf (x) dx-^f (x) dx.
Это доказывает, что h (x) суммируема.
В общем случае имеем
Л+ (х) = Г (х) g+ (ж) + Г (х) g~ (х),
h- (x) = /+ (ж) g- W + /" (*) §+ W,
так что Л+ (д;) и h- (x) суммируемы.
6.5.3. Функции, суммируемые на точечном виде
Определение!. Функция / (я) измерима на
виде G, если измерима функция / (x)fG (x). Функция
/ (я) суммируема на G, если суммируема функция / {x)fa {x).
В этом случае
(x)dx = \f(x)fa(x)dx.
е
Т е о р е м а 1. Измеримая функция измерима на вся-
всяком измеримом виде G. Суммируемая функция суммируема
на всяком измеримом виде G.
Доказательство, (i) Если / (*) ограничена,
то / (*) /о (я) измерима по теор. 2 из 6.2.3.
(и) Если / (х) неограничена, то */ (х) fa (x) измерима в
силу @ для любого k 80).
(ш) По предыдущей теореме / (*) /0 (*) суммируема,
если / (х) суммируема
ь
О п р е д е л е н и е 2. {f(x)dx = [f(x)dx, где G яв-
а G
ляется интервалом (а, Ь).
Теорема 2. Если / (х) суммируема, то равномерно
lim \[ f(x)dx
tixG- -» ¦ >,
G
= 0.
Ill

Доказательство, (i) Если / (х) ограничена,
то
/ (х) dx > (max | / (х) |) tnG.
(И) В общем случае найдем такое k, чтобы имели место
неравенства
При tnG < 2~n'k'2 имеем
*/+ (ж) dx + J G*/- (ж) dx+
G
\ (Г (х) - *f (x)) dx + \ (Г (х) - кГ (х) dx >
G G
2ktnG + 2ktnG + 2~п-* + 2~п'2 < 2'п 81).
Замечание. Ван Роотселар дал другое определе-
определение \/ (х) dx [ван Роотселар, 1954, стр. 62], которое,
G
быть может, общее данного здесь.
6.5.4. Предельные теоремы
Теорема 1. Если последовательность функций
{/« (*)} удовлетворяет следующим условиям:
(i) всякая /„ суммируема,
(и) /„4i (х) < /„ (х) при любом п,
(Ш) почти всюду существует Нт/„ (х) = / (х), (iv)
л->со
существует lim \ fn(x) dx, то / (х) суммируема и
\ / (х) dx = 1 im \ /„ (х) dx.
Е
112

Доказательстве.
lim \ fn (x) dx = lim lim и/„ (x) dx.
Так как u /„ (x) dx не убывает при росте п и k, то можно
изменить порядок предельных переходов. В правой части
получаем
lim \im\kfn(x)dx.
Последовательность {*/„ (х)} удовлетворяет условиям теор. 1
из 6.2.4, так что
1 im \ ufn (x) dx~ \kf{x)dx.
Это доказывает теорему 82).
Класс. А справедлива ли интуиционистски упомя-
упомянутая теорема об изменении порядка предельных пере-
переходов?
Инт. Да, и я предлагаю доказать ее в качестве упраж-
упражнения.
Теорема 2. (Теорема Егорова [Роотселар, 1954,
стр. 10].)
Если функции последовательности {/„} определены на
измеримом виде Q и почти всюду на Q существует
lim /„ (х) = f (x), то при любом m можно найти такой
я-*-оо
измеримый подвид Qm вида Q, что mQ — mQm<^2~m
и что lim /„ (х) = f (x) равномерно на Qm.
Доказательство. Пусть Qo— вид с мерой
nzQ0 = rtiQ, на котором lim /„ (х) = / (х). В качестве Qm
п-ню
мы возьмем измеримое локализованное областное допол-
дополнение с мерой, большей чем tnQ — 2~"\ содержащееся
в Qo (теор. 2 из 6.3.2). Qm совпадает с точечным веером S
(теор. 1 из 5.2.1). Каждому элементу х из S сопоставлено
ИЗ

натуральное число N (х), такое, что | fn (х) — / (х) |<С2~Р
при п^> N (х).
Теорема о веерах говорит нам, что можно найти такое
натуральное число В, что N (х) зависит только от первых В
компонент БПП х. Отсюда следует, что можно вычислить
No — максимум значений N (х). Тогда
I fn (х) — / (*) К Тр при любом га > Wo
и любом х из Qn
im-
6.6. Гильбертово пространство
Я покажу, что почти всюду определенные функции
/(ж) с суммируемым квадратом образуют гильбертово про-
пространство В2.
Вещественное гильбертово пространство можно опреде-
определять различными способами.
Здесь будут упомянуты два следующих определения:
(i) конструктивное определение гильбертова простран-
пространства как вида (позитивно) сходящихся последовательно-
последовательностей действительных чисел, на котором обычным образом
определяется скалярное произведение.
(ii) аксиоматическое определение гильбертова простран-
пространства посредством аксиом фон Неймана [фон Нейман,
1929, стр. 64—66], [Стоун, 1932, стр. 3].
Можно показать, что оба определения будут интуицио-
интуиционистски эквивалентны, если мы следующим образом слегка
изменим систему аксиом.
Для краткости элементы гильбертова пространства Н
будут называться векторами.
Аксиомы Гильбертова пространства.
Аксиомы I группы. Обычные аксиомы для вещест-
вещественного линейного пространства.
Аксиомы II группы. Обычные аксиомы для скаляр-
скалярного произведения, включая
II а. (х, х)<0;
II Ь. Если (х, х) = 0, то х = 0.
(Нулевой элемент пространства Я обозначается через 0.)
114

Отношение отделенности вводится следующим опреде-
определением.
Определение 1. х отделено от О (х ^ 0), если
(х, х) +{: 0. х отделено от у (х 4ф у), если х — у 4Ф 0.
Определение 2. Векторы х1,..., xk называются
взаимно свободными, если для каждого набора вещественных
чисел ai,..., ak, такого, что щ # 0 по меньшей мере при
одном i имеем
Аксиома III. Для каждого k можно найти k взаимно
свободных векторов.
Аксиома IV (сильная форма аксиомы сепарабель-
сепарабельности).
Существует такая последовательность векторов
5 = {еп}, что каждая конечная подпоследовательность 5
свободна и что вид конечных линейных комбинаций векто-
векторов из 5 плотен в Н.
Аксиома V — аксиома полноты в обычной форме.
Замечание. Аксиома III является следствием
аксиомы IV.
Для формулировки объявленной теоремы потребуется
следующее определение.
Определение 3. f(x)ш0 означает, что почти всюду
f(x) = 0. Функции f{x) и g(x) эквивалентны (f(x) ш g(x)),
если f{x) — g(x) « 0.
Вид функций, эквивалентных данной функции, будет
называться метафункцией.
В этом разделе f(x) означает иногда функцию, иногда
метафункцию, в которую входит f(x).
Теорема 1. Вид В2 метафункций f{x) с суммируемым
квадратом, определенных почти всюду, становится гильбер-
гильбертовым пространством, если положить
(/to. g(x)) = ] f(x)g(x)dx.
Доказательство. Из аксиом I, II нуждается в
доказательстве только lib.
Нужно доказать, что (/, /) = 0 влечет / та 0.
Пусть h (х) = Р(х), тогда ф. (х) измерима и \ ф. (х) dx=0-
115

Пусть kh (х) измерима посредством {Vnh) и {Ап}- Пред-
Предположим, что m(U Vnh) > 2~". Положим М„ = U Vnh—An,
h>l /i>l
тогда тМп ^> 0. Определим функцию gx, полагая
g (*)= *А (ж) на Мп и я (ж) = 0 на Е — Мп 83). Имеем
Мы привели, таким образом, к противоречию предпо-
предположение о том, что т (U Vnh) > 2~". Значит,
Л
Включим {JVnh в область 5„ с мерой, меньшей чем 2~п+1\
h>l
положим Cn=An\JBn. mC«<2'"+2. На Е — Сп имеем
/2 (ж) < 2"п. Положим Da = U С*. Имеем mD,( < 2~п+3.
Пусть Nп=Е —Dn. На Л^„ при всяком р имеем /г
со
т. е. f(x)=Q. U Л^А является видом меры 1, на котором
/ (х) =0.
Аксиомы III и IV выполняются. Доказательство этого
факта совпадает с соответствующим классическим дока-
доказательством.
Доказательство аксиомы V (теорема Рис-
са — Фишера).
Я сформулирую ее как следующую теорему.
Теорема 2. Пусть {/„} — последовательность функ-
функций из В2, такая, что \ (/т — /„J dx стремится к 0 при
стремлении т и п к бесконечности; тогда в В2 имеется
функция /, такая, что HmW/ — /„J dx — 0 [Рейтинг,
п~>оо J
1951].
Данное доказательство следует доказательству фон
Неймана.
116

Прежде всего определим такое натуральное Np, чтобы
при т, « > Np имело место неравенство
Для краткости положим gp = |/wp+1 — /wp | и Ар (х) =
min (g'p (x), 1). Методом теор. 5 из 6.3.3 определим не-
непересекающиеся измеримые виды Qph (А = 0, .... s), такие,
что ^ «Qpft — 1 и что имеем
л
(А - D2-"-1 < Ар (х) < (А + \J~р-х на <?рЛ (А ф 0),
- 2"р-1 < hp (х) < 2""-1 на Qp0 П Q.
Полагаем Qpo \J Qpl = i?p> (J QPh = 5P. Имеем:
ft>i
~3P
hldx= \ h\ dx + J A2P dx<2~2p-2mSp,
R s
/пор <^ 2 , тНР J> 1 — 2
Положим fl #р = 7\,. Тогда mTq ^> 1 — 2~q+3. Полагая,
р>я
наконец, jj Tq = Тц, имеем /лТ,, = 1.
Последовательность {/л/р} сходится на То к функции /,
причем на любом Tq сходимость равномерна.
(fm — fNpY dx^>\ (fm — fNpf dx < 8 ПрИ Ш, Np > N (б),
я
(A) [ {fm — f)*dx-3>e при m > N (e).
Желаемый результат получается предельным переходом
при q -* оо. Классически для этого достаточно просто
указать, что левые части (А) при q = 1, 2, . . . образуют
ограниченную монотонную последовательность.
Интуиционистски существование предела приходится
доказывать прямым вычислением. Сначала докажем для
этого следующую лемму.
1.17

Лемма. Если
1) каждая функция последовательности {/„ (х)} из-
измерима;
2) при каждом п существует \/* (х) dx;
3) при п —> со функции fn (x) равномерно стремятся
к / (х), то Z2 (х) суммируема и
Доказательство. По теор. 4 из 6.5.2 / (х),
а значит, и | / (х) | суммируемы.
Пусть е произвольно малое положительное число и
Tl = —;
Можно выбрать такое N, что [ / (х) — /„ (х)\ <^у\ при
п > N. Тогда
| #,(*) — ?п (X) | > 2Т] | fm (X) + U (X
2ti (| / (х) | + л) при т, п^> N.
Далее имеем
Отсюда следует, что существует lim \Д (х) dx = 5. Вы-
берем фиксированное значение п^> N, такое, что
A)
Так же, как выше, находим
Тем более,
\kP(x)-kfi(x)\<2i\()f(x))+rd.
Отсюда
B) \\kp(x)~dx-\kfUx)dx\ <2л \i\f(x)\+
118

По определению 6.5.2 мы можем найти такое К, что
C)
{x)dx~\kpx{x)dx
<,^ при
Из A), B) и C) получаем, что
k!2(x)dx — S <e при
К.
Таким образом, \f2(x)dx = S.
Продолжим теперь доказательство теор. 2. Для сокра-
сокращения положим fsr (х) = Fp (x). Из неравенства Шварца
следует при q ^> р
A)
dx
F*q (x) dx
Y\{Fp{x)-Fq{x)Ydx<2'p.
Поэтому существует 1 im |/ \ Fp (x) dx и, значит, сущест-
вует lim \ Fp (x) dx. Положим lim [ F% (x) dx = S. Неравен-
р р J
ство A) сохраняется, если брать интегралы по произволь-
произвольному Tk. Далее, при г > г0 имеем: \ F*r (x) dx < S + 1;
/
А
Fl(x)dx<VS + \=A;
х) dx — ^ F% (х) dx I < 2Л2~Р при q > р > г„.
Так как Fq (x) при стремлении q к бесконечности равно-
равномерно сходится к / (х) на Tk, то мы можем, согласно лемме,
перейти к пределу:
119

B) | \ F% (x) dx-^f2 (x) dx | > A2-p+1 при p > r0.
С другой стороны, так как тТ0 = 1 и
hm\F2p{x) dx = S, то
0-ЮО J
p-t-CO
C)
(x) dx - S | < 2"-2 при р > гх (я).
По теор. 3 и теор. 2 из 6.5.3 получаем
D) \ F% (x) dx < 2""-2 при k > г2 (я, р).
Если п дано, то мы можем взять такое р, что р
р>Г1(п) иЛ2-^1<2-'22;
тогда, согласно B), C) и D),
^ Z2 (*) dx — S | < 2"" при А > г2 (я).
Значит, lim \ /2 (ж) dx — S или, более явно,
Г
E)
lim Y\m\ ft/2 (ж) dx = S.
Так как \ hp(x)dx—монотонная неубывающая функ-
ция как от k, так и от h, то можно, используя свойство, уже
упомянутое в доказательстве теор. 1 из 6.5.4, переставить
порядок предельных переходов:
5 = lim lim \ ftf (x) dx = lim [ hf (x) dx = [ f* (x) dx.
' k 'a ~n
120

Поскольку существование последнего интеграла дока-
зано, то существует и
\ if{x)-fn(x))*dx.
По теор. 2 из 6.5.3 этот интеграл равен
{f{x)-fn{x)fdx.
Поэтому в силу формулы (А) имеем
\ (/ (х) - U (x)J d* > e при n> N (е).
Так как тТ0 = 1, то теорема доказана.
6.7. Дифференцирование
Я не буду здесь развивать теорию дифференцирования.
Доказательства основных теорем были приспособлены для
интуиционистских целей ван Роотселаром [ван Роотсе-
лар, 1954, стр. 33].

VII. ЛОГИКА
7. /. Исчисление высказываний
Слово «логика» имеет несколько различных значений.
Я не буду пытаться дать определение интуиционистской
логики, подобно тому как я не начал этот курс с определения
математики. Все же полезно сделать некоторые предвари-
предварительные замечания. Наша логика имеет дело только с ма-
математическими предложениями. Мы не будем касаться
вопроса, допускает ли она применения за пределами мате-
математики. Буквы р, ц, г будут использоваться в этой главе
как переменные для математических предложений; готиче-
готические буквы р, q, х будут использоваться как сокращения
для математических предложений. Я не намерен приводить
здесь полное формальное изложение интуиционистской ло-
логики; формальная система, кодифицирующая все извест-
известные к настоящему моменту способы логического вывода в
интуиционистской математике, доступно изложена в книге
Клини [Клини, 1952], где читатель найдет также об-
обзор математических исследований, касающихся этой си-
системы. Сейчас я только привлеку ваше внимание к некото-
некоторым формулам, выражающим интересные способы рассуж-
рассуждения, и покажу, почему эти способы интуитивно ясны в
сфере интуиционистской математики.
Сначала нужно настолько твердо, насколько это воз-
возможно, фиксировать смысл логических связок; я делаю
это, давая необходимые и достаточные условия, при кото-
которых составное выражение может быть утверждаемо.
7.1.1. Истолкование знаков
Конъюнкция Д не представляет трудности. рД q мож-
можно утверждать тогда и только тогда, когда можно утвер-
утверждать как р, так и q.
122

Я уже говорил о дизъюнкции V B.2.5 в конце); р V q
можно утверждать тогда и только тогда, когда можно ут-
утверждать хотя бы одно из высказываний р и q.
Отрицание | является сильным математическим отрица-
отрицанием, которое мы уже обсудили B.2.2). Для большей яс-
ясности вспомним, что математическое высказывание р
всегда требует проведения некоторого математического
построения с некоторыми заданными свойствами, р можно
утверждать, коль скоро это построение выполнено. В этом
случае мы говорим, что построение доказывает высказыва-
высказывание р, и называем его доказательством р. Для кратко-
краткости построение, требуемое высказыванием р, будем обоз-
обозначать тоже буквой р. Тогда ~| р можно утверждать тогда
и только тогда, когда у нас есть построение, приводящее
к противоречию предположение о том, что построение р
выполнено.
Сигн. А' разве не нужно разъяснить понятие противоре-
противоречия?
Инт. Я думаю, что понятие противоречия должно счи-
считаться первоначальным понятием. Его очень трудно свести
к более простым понятиям, но всегда легко распознать про-
противоречие как таковое. Практически мы всегда можем при-
привести его к форме 1 = 2. Рассмотрим в качестве простого
примера высказывание р = Q/2 рационален). Данное
высказывание требует построения таких целых а и Ь, что
а2 = 262. Пользуясь хорошо известными приемами, легко
добиться, чтобы а и Ь были взаимно простыми. С другой
стороны, а четно, так что а2 делится на 4 и 262 тоже делится
на 4. Значит, Ь четно и 2 является общим делителем как а,
так и Ь. Это противоречит взаимной простоте а и Ь. Проти-
Противоречию можно придать следующую форму: наибольший
общий делитель а и Ь есть в одно и то же время 1 и 2.
Некоторые математики, особенно Грисс, выдвинули
возражения против использования противоречия в мате-
математических' рассуждениях. Я рассмотрю эти возраже-
возражения в следующей главе; здесь я принимаю, что понятие
противоречия достаточно ясно и что отрицание, на нем ос-
основанное, можно использовать в математике.
Импликацию р -»<\ можно утверждать тогда и только
тогда, когда мы располагаем таким построением г, которое,
будучи объединено с любым доказывающим р построением
(в предположении, что последнее выполнено), автомати-
автоматически давало бы доказывающее q построение. Другими
123

словами, построение р вместе с построением г образо-
образовывали бы доказательство q.
Почти каждое доказательство из этой книги состоит
в построении какого-нибудь такого г. Одним из первых
примеров (кстати, очень ясным примером) является дока-
доказательство теор. 2 из |2.2.3.
Логическую формулу с пропозициональными перемен-
переменными 85), скажем 31 (р, q. ¦ .), можно утверждать тогда
и только тогда, когда 31 (р, q, . . .) можно утверждать
при произвольных р, q,. . .; т. е. в том случае, если у нас
имеется общий метод, позволяющий при произвольных
р, q, . . . получить построение, требуемое предложением
31 (Р, <\, ¦ ¦ •).
Рассмотрим, например,
31 (р, q) = (рА'Р -*Ч- ^Я)-
9t (p, q) требует такого построения Е, которое из дока-
доказательства С для р и доказательства D для р -* q извле-
извлекало бы доказательство для q. По определению имплика-
импликации Е состоит просто в соединении С и D. Поэтому 31 (р, q)
можно утверждать.
В 2.2.2 я привел критерий для математических предло-
предложений. А именно: каждое математическое предложение
имеет форму: «Я выполнил построение со следующими
свойствами...» Все четыре логические связки сохраняют
эту форму предложения. Удобно при этом понимать слово
«построение» в широком смысле, а именно так, чтобы оно
могло обозначать и общий метод построения. Так оно и
понималось в предыдущем абзаце. Если мы поступим та-
таким образом, а мы так и сделаем, то всякая логическая
формула будет выражать математическое предложение.
7.1.2. Теоремы исчисления предложений
В формулах точки и скобки используются обычным об-
образом. Предполагается, что -> связывает слабее, чем Д и
V- Утверждаемые формулы отмечаются знаком |—.
Хотя основные различия между классической и интуи-
интуиционистской логикой касаются свойств отрицания, эти
логики не совсем совпадают и в формулах без отрицания.
Р ~* <7*V 'Я~>Р является истинной формулой в классической
логике, но не может быть утверждаемо в интуиционист-
интуиционистской логике. Это ясно из определений.
124

В теории отрицания не проходит принцип исключен-
исключенного третьего, р V ~~1 Р требует общего метода для решения
любой проблемы или — более явно—общего метода, кото-
который ло произвольному высказыванию р позволял бы по-
получить либо доказательство р, либо доказательство ~] р.
Так как мы не располагаем таким методом, то мы не в праве
утверждать этот принцип.
Другой формой принципа является ~~| ~~| р—>р. Мы
встретили много примеров высказываний, для которых это
не проходит. Первым из них было«р рационально» из 2.2.2.
Однако
A) |-Р-*~П jo-
Ясно, что из (р) следует невозможность того, что р
невозможно. Я предоставляю вам дать полное описание
общего метода построения, который требуется для фор-
формулы A) сообразно с определениями —» и ~~|.
Другой важной формулой является формула
B) \-P^q--+-~[q-+~\p.
Конечно, нельзя считать истинной обратную формулу
•~~[q ->¦ ~~1 р ¦ -» -р ->¦ q (в качестве противоречащего при-
примера можно взять q = ац^Ь, р = 0=^=6, где а и Ь—дей-
Ь—действительные числа) 86).
Применяя B) дважды, находим
C) ^p^q.^
Подстановкой в A) получаем
D) Ь-Пр
Подставляя ППР вместо q в B) и используя A), полу-
получим
E) Ь-ПППр-Пр-
Из D) и E) следует, что нет надобности рассматривать
более двух последовательных отрицаний.
Из \—р -*p\Jq с помощью B) следует, что |— ~~\(рVq)-
Точно так же получаем \— ~~\ (p\/q) -» ~~1 q, так что
F) \-~ИрУя) - П р/\~] q-
125

Легко видеть, что имеет место и обратная формула
G) \
F) и G) образуют одну из эквивалентностей де Моргана.
Другая справедлива только наполовину:
(8) h-~\pV~\q~*~](pAq)'
Следующий пример показывает, что нельзя утверждать
~~1 (рАФ -* ~~1pVH<7- Пусть р будет предложением аф О,
a q предложением ЬфО, где а и Ь — действительные числа.
Тогда |р означает а = О, и \q означает Ь = 0. В 2.2.5
я доказал, что аЬфО эквивалентно V А^< так что ob — О
эквивалентно "~1 (рД q). Но в этом же параграфе я дал
пример действительных чисел а и Ь, для которых ab — 0,
но неизвестно, ни что а = 0, ни что b = 0
(9) Г-~~П(Р\/~1Р)-
Ибо ~) (р V ~1 р) влекло бы по F) ~~\ р Д ~] ~~] р, что
является противоречием. Из (8) с помощью B) и F) получаем:
(Ю) 1
Имеет место также и обратная формула
(П) ЬН-]рЛНН<7-~П(рЛ<7)-
В самом деле, из приведенного истолкования логических
связок ясно, что \—~~\(р /\д)АР ~*П Я и что поэтому
ЬП(Л)ЛНН~1
(ЛН7
Поэтому, если дано 1 | р Д 1 ) q, то предположение
~~1 (Р Л ч) привело бы к 1 р, что противоречит предполо-
предположенному ~) ~] р.
Легко усмотреть, что
A2) |-ППр\/ПП?-*П(р\/?).
но обратная импликация не проходит в силу нашего ис-
истолкования связки V-
126

7.1.3. Формальная система,
Интуиционистское исчисление предложений было раз-
развито [Гейтинг, 1930] в виде формальной системы с сим-
символами Д, V' -*• I B качестве неопределяемых констант
на основе следующих аксиом:
I
п
III
IV
V
VI
VII
VIII t-(p\/q)
IX h((p^
X
xi
Правилами вывода являются обычные правила вывода
классического исчисления предложений.
Аксиома X может показаться интуитивно неясной. Фак-
Фактически она является дополнительным уточнением опреде-
определения импликации. Вы помните, что р —> ц может утверж-
утверждаться тогда и только тогда, когда у нас есть построение,
которое, будучи объединено с построением р, доказывало
бы q. Предположим теперь, что]— | р, т. е. что мы получили
противоречие, исходя из предположения о выполнимости
построения р. Тогда получение этого противоречия можно
рассматривать в некотором смысле как такое построение,
которое, будучи присоединено к (несуществующему!) по-
построению р, дает доказательство q. Я буду истолковывать
импликацию в этом более широком смысле.
Система интуиционистской логики, в которой —> ис-
истолковывается в узком смысле и в котором соответствен-
соответственно отбрасывается аксиома X, была развита Иогансоном
в его «минимальном исчислении» [Иогансон, 1936].
127

Нужно помнить, что нельзя доказать адекватность
представления интуиционистской теории в какой-нибудь
формальной системе. В истолковании знаков всегда останет-
останется некоторая неопределенность и никогда нельзя будет до-
доказать математически строго, что данная система аксиом
действительно охватывает собою все пригодные методы до-
доказательства.
7.2. Исчисление предикатов
7.2.1. Истолкование кванторов
Пусть у>{х) — предикат от одной переменной х, причем
эта переменная принимает значения из данного математи-
математического вида Q. Тогда |— (V*) V(x) означает, что тр(х) верно
для любого х из Q, другими словами, у нас есть общий ме-
метод построения, который по любому элементу а, выбран-
выбранному из Q, позволяет нам получить построение р(а). В слу-
случае, когда Q является потоко-видом, мы должны быть спо-
способны выполнять построение р(х) для каждой БПП х из
Q; в доказательстве теоремы о веерах мы видели, что дан-
данное истолкование квантора общности является очень силь-
сильным. Квантор существования также будет истолковывать-
истолковываться сильными образом. CX)V(X) будет считаться верным
тогда и только тогда, когда фактически построен элемент
а из Q, для которого истинно р(а).
Введение предикатов с более чем одним аргументом не
представляет трудностей. Формула исчисления преди-
предикатов первой ступени, содержащая пропозициональные и
предикатные переменные, может утверждаться тогда и
только тогда, когда она истинна при любой подстановке
конкретных предложений и предикатов вместо соответ-
соответствующих переменных. Простая формализация интуицио-
интуиционистского исчисления предикатов получается присоедине-
присоединением к интуиционистскому исчислению предложений сим-
символов, аксиом и правил вывода обычного исчисления-пре-
исчисления-предикатов, как это было формулировано Гильбертом и Ак-
керманном [Гильберт и Аккерманн, 1949, стр. 59], см.
также [Гейтинг, 1946]. Я не буду развивать эту фор-
формальную систему. Вместо этого я интуитивными методами
докажу несколько формул.
128

7.2.2. Теоремы исчисления предикатов
Следующие теоремы очевидны.
A) Н (V*)/>(*)-~1(Э*) "!/>(*)•
B) Ь О*)/>(*)-~l(V*)H/>(*)•
Обратные импликации не имеют места. Противоречащие
примеры:
(i) Пусть х пробегает действительные числа и пусть
р (х) означает ах рационально или х иррационально».
(и). Пусть х пробегает рациональные числа и пусть р (х)
означает: «л: равно действительному числу р, определен-
определенному в 2.2.2».
C) b(V*)~l/>(*)-ПО*)/>(*)•
D) НПО*)/>(*)-(У*)Н/>(*)-
E) Ь О*) П/>(*)-П(У*)/>(*)•
Импликация, обратная E), не имеет места. Противоре-
Противоречащий пример.
Пусть х пробегает рациональные числа и пусть р (х)
означает: юс не равно действительному числу р, опреде-
определенному в 2.2.2».
Подстановкой в C) получаем
F) Ь (V*) 11р(х)^-[(эх) Пр (х).
Подстановка в D) дает
G) Ь ~1 О*) ~1 Р (*) - (V*) 1-[р (х).
Применяя формулы C) и E) исчисления предложений
из 7.1.2 к формуле F) данного параграфа, получаем
(8) НПП(У*)ПП/>(*)-ПО*)П/Ф)-
Эта формула может быть ослаблена следующим образом:
(9) Н ~~| П (V*) Р (х) -~~| О*) ~[Р(х)-
(9) и G) дают следующий важный результат:
A0)
Одним из наиболее удивительных свойств интуиционистской
логики является то, что обратная импликация не имеет
места. Это тем более примечательно, что формула исчисле-
129

ния предложений, получаемая из обратной импликации
ограничением области значений х конечным множеством,
истинна. В самом деле, если х принимает только два зна-
значения, то мы получим формулу A1) из 7.1.2. Брауэр [Бра-
уэр, 1924, стр. 256; Гейтинг, 1930 А, стр. 65; Клини, 1952,
стр. 491] дал следующий противоречащий пример.
Пусть поток М определяется законом потока Ам и до-
дополнительным законом Гм, приведенными ниже.
Ам- Первая компонента допустимой последователь-
последовательности может быть 0 или 1. Если ах, . . ., а„ —допусти-
—допустимая последовательность и ап = 0, то an+i может быть 0
или 1; если ап = 1, то ап+1 = 1.
Гм сопоставляетдопустимой последовательности alf..., ап
число ап.
Короче говоря, М состоит из всех БПП, компоненты
которых могут быть 0 или 1, причем за 1 всегда следует
только 1.
Следующий закон 3 приписывает номера некоторым
элементам из М.
3: последовательность, все компоненты которой суть 0,
имеет номер 1. Последовательность, все компоненты кото-
которой суть 1, имеет номер 2. Последовательность, состоящая
из п нулей, за которыми следуют единицы, имеет номер
п + 2.
Пусть х пробегает элементы М и пусть р (х) есть пред-
предложение «S приписывает х некоторый номер». Тогда
(V*) ~~\~~\V(X) верно. Я докажу эквивалентное этому пред-
предложение ^C*) ~\V(*)> приводя к противоречию, чтоЗ
не приписывает никакого номера некоторому элементу
а из М. При этом предположении первая компонента a
не может быть 1, так как иначе S (а) равнялось бы 2, так что
первая компонента а есть 0. Вторая компонента а не может
быть 1, так как тогда 3 (а) равнялось бы 3, значит, и вторая
компонента есть 0. Продолжая таким образом рассуждение,
мы видим, что каждая компонента является нулем. Следо-
Следовательно, S (a) = 1, что противоречит исходному пред-
предположению.
Однако предложение ~~] ~~| (V*)P (x) не имеет места.
Можно даже доказать, что ~~1 (V*)P (*)¦ В самом деле,
предположим, что (V*)P (*)• Тогда по теореме о веерах
мы можем заключить, что 3 (х) должно быть известно
после того, как дано конечное число jV компонент х, это
же противоречит очевидным образом определению 3 87).
130

Класс. Это первый пример классической теоремы, ко-
которая интуиционистски не только не доказуема, но даже
ложна.
Инт. Это расхождение, конечно, обусловлено введением
БПП. В частности, в применении к БПП квантор общности
имеет совсем иной смысл в интуиционистской математике,
чем в классической.
Было выдвинуто предположение [Курода, 1951,
стр. 461], что формула (\/х)~\~]р (*) ~*^^ (V*) Р (*)
всегда истинна, если х пробегает какой-нибудь исчислимо
бесконечный вид. Во всех противоречащих примерах,
которые были приведены, х пробегает вид, не являю-
являющийся исчислимо бесконечным. (Это имеет место и для
приведенного М, хотя М и является счетным с класси-
классической точки зрения!) Однако в данное время не видно
путей доказательства предположения Куроды88).
Из C) и D), применяя B) из 7.1.2, получаем
(И) b~l~]C*)/>(*)-~l(V*) "!/>(*),
A2) Ь П (уде) ~}р(х)-*-]-] (зх) Р (х).
Посредством подстановки в E) получаем
A3) bC*)~l~]/>(*)-~l(V*) "!/>(*)•
Из A3) и A2) получаем
A4) Ь C*) 11Р (*) - ~П C*) Р (*)•
Здесь также не имеет места обратная импликация, но
для A4) этот факт менее удивителен, чем для A0), так как
соответствующая формула исчисления предложений, а имен-
именно ~~]~~\(р\/q)-*1ip\/Hq, также не доказуема.
7.3. Приложения
В некоторых случаях параллельно позитивной теории
можно развивать негативную. В позитивной теории каж-
каждое понятие вводится при помощи позитивного определе-
определения; в соответствующей негативной теории некоторые из
них вводятся при помощи негативных определений, вклю-
включающих двойное отрицание, но таких, что классически
определения соответствующих понятий в обеих теориях
эквивалентны.
131

7.3.1. Отношения порядка на континууме
Определение 1. Если 5—математический вид, а <^ —¦
предикат, определенный на некотором подвиде вида 5x5
и удовлетворяющий приведенным ниже правилам A) — D),
то < называется отношением частичного порядка в виде
5 и 5 называется частично упорядоченным посредством <\
В дальнейшем а > Ъ будет обозначать то же, что Ъ < а
A)
B)
C)
D)
Определение 2. Отношение частичного порядка•< в
виде 6' называется отношением порядка в 5 и 5 называется
упорядоченным посредством <, если удовлетворяется сле-
следующее правило:
Eа)
Отношение < между натуральными или рациональ-
рациональными числами является отношением порядка. Отношение <
между действительными числами, введенное в 2.2.6 и в 3.3,
не является отношением порядка. Это — непосредственное
следствие теор. 2 из 3.4.3.
Вместо Eа) отношение <^ между действительными чис-
числами удовлетворяет нижеприведенным условиям EЬ) и F),
которые следуют из A) — D) и Eа).
Eb) -}(a>b)/\-}(a<b) -^ а = Ь (ср. теор. 3 из 2.2.6),
F) а<&-^(ус)(а<сус<Ь) (СР- теоР- 4 из 2.2.6).
Определение 3. Отношение частичного порядка <^ в
виде 5 называется отношением псевдопорядка и 5 называется
псевдоупорядоченным посредством <, если < удовлетворяют
условиям EЬ) и F).
В дальнейшем знак <; всегда означает отношение псев-
псевдопорядка в виде 5.
Определение 4. а <^Ь означает ~~] (а > Ь)/\~]
(а = Ь).
Теорема 1. ~~}(а <^ Ь) эквивалентно ~~| (а <^ Ь).
132

Доказательство. В силу A) имеем а •< b —¦>
а<6, так что ~~] (а <6) -» ~] (а <6) (B) из 7.1.2).
Чтобы доказать обратное, заметим, что а < Ь/\ ~\(а •< 6)
означает то же самое, что ~~] (а >&)ЛИ(а <С ^)ЛП(а = ^)»
а это противоречит EЬ). Поэтому а < 6Д~~|(я < 6) не-
невозможно; следовательно, ~\{а <^Ь) -» ~~] (а
Теорема 2. а <^Ь эквивалентно ] ] (а
Доказательство. В силу определения D) и фор-
формул F), G) из 7.1 2 а < Ь эквивалентно ~~] (а > 6 V а=&)>
так что НИ (а <6) -" а <Ь Щ из 7.1.2)].
В силу теоремы 1
-|(а < 6) -  (а < *). так что И~1 (а < Ь) - ТЛ (а<6)
[B) из 7.1.2] -»а<6.
А так как в силу теор. 1
6) то
(A), B) из 7.1.2).
Теорема 3. Отношение <[ удовлетворяет условиям
A)-D), EЬ).
Доказательство. A) следует из опр. 4 и теор. 1
B) следует из B) для<в силу C) из 7.1.2 и теор. 2.
В самом деле,
C) рассматривается аналогично B).
D) для ¦< следует из D) для •< с помощью формул A1)
C) из 7.1.2 и теор. 2.
EЬ) следует из теор. 1 и EЬ) для<\
В случае континуума отношение <^ не удовлетворяет
условию F) (см. 8.1.1)89). Вместо этого удовлетворяется сле-
следующее условие:
Eс) -Ма<Ь)Л1(а = Ь)-*а>Ь.
Теорема 4. Если <^ является отношением псевдопо-
псевдопорядка в виде S, то отношение •<, ему соответствующее
(опр. 4), удовлетворяет условию Eс).
Доказательство непосредственно получается из
теор. 1 и опр. 4.
133

Определение 5. Отношение частичного порядка
в виде S, удовлетворяющее условиям A) — DЬ), Eс),
называется отношением виртуального порядка в 5 и S
называется виртуально упорядоченным посредством, него
[Брауэр, 1925 А, стр. 453].
Теоремы 3 и 4 можно теперь выразить следующим
образом. Если < есть отношение псевдопорядка в виде
S, то <, определенное с помощьюопр. 4, является отноше-
отношением виртуального порядка в 5.
Замечание об обозначениях. Мои обозначения
отличны от обозначений Брауэра.
Привожу словарик:
обозначения этой книги: <С <К <С
обозначения Брауэра: <° > <
Причина изменения обозначений в том, что для ана-
анализа наиболее важным является отношение псевдопорядка
между действительными числами, а потому его следует
обозначать наиболее простым знаком. Кроме того, в обозна-
обозначениях Брауэра имеется опасность смешения а > Ъ
и (а^> b\Jа = Ь). Последнее отношение я обозначаю по-
посредством а > Ь.
В соответствии с опр. 5 отношение виртуального по-
порядка удовлетворяет следующим условиям:
A)
B) а=6ДКс
C) a<b /\b = с
D) а<6Д6<с
Eb)
Eс)
Теорема 5. Если ¦< является отношением виртуаль-
виртуального порядка в виде S, то
(а < Ь) - а < Ь и
Доказательство. Из A) и Eс) получаем, что
а<^Ь эквивалентно ~~] (а ^> Ь) Д ~] (а = Ь), а последнее
в силу F), G) из 7.1.2. эквивалентно ~](а^>Ь\/ а = Ь).
Поэтому в силу E) из 7.1.2. ~~]  (а < Ь) ->• а < Ь.
134

Из A) и формул B), A) из 7.1.2 мы выводим, что
а = Ъ -»• ~~| (а < 6). Аналогично а = 6 -> ~~| (а > 6). По-
Поэтому, используя EЬ) и формулы F), G) из 7.1.2, видим,
что а = Ь эквивалентно ~\{а <^Ь\/ а~^>Ь). Это доказы-
доказывает, что ~~] ~~| (а = Ь) -* а = Ь.
Определение 6. Пусть <[ является отношением
частичного порядка в виде S и пусть 2 вид таких формул
а = Ь или а <^Ь, которые истинны для элементов а, Ь
из S. Отношение <[ называется непродолжимым, если
выполняются следующие условия: для любых х, у е= S,
таких, что | (х <^ у) невыводимо из 2 посредством при-
применения A) — D), имеет место ^<i/g2; аналогично
для любых х, у е= S, таких, что | (х = у) невыводимо
из 2 посредством применения A) — D), имеет место
2
Теорема 6. Всякое отношение виртуального по-
порядка непродолжимо [Брауэр, 1927].
Доказательство. Если* > ye 2, то~| (х
можно вывести из 2 посредством применения A); поэтому
если —| (х < у) невыводимо из 2 посредством примене-
применения A) — D), то | (х~^> у е=2) и аналогично ~~] (jt=|/G2).
Поэтому в силу Eс) 1<уе2.
Доказательство для = аналогично.
Теорема 7. Всякое непродолжимое отношение час-
частичного порядка есть отношение виртуального порядка
[Брауэр, 1927].
7.3.2. Негативная теория сходимости
Определение 1 из 2.4 может быть сформулиро-
сформулировано следующим образом:
Последовательность {а„} действительных чисел пози-
позитивно сходится к пределу а, если
135

В качестве соответствующего негативного определения
выбираем следующее:
Определение 1. Последовательность {ап} нега-
негативно сходится к пределу а (~ lim an = а), если
B) (V*)-nC«)(VP)(|a-an+,|<2-*)
[Дейкман, 1952].
Критерий сходимости Коши есть
C) (\/k)Cn)(\/p)(\an+p-an[<2-k).
Определение 2. Последовательность {ап} не ко-
колеблется, если
D) (V*) ~~П C«) Ш (! ап+р - ап | < 2-*).
Хорошо известно, что если последовательность {ап}
удовлетворяет C), то можно найти такое действительное
число а, что A) будет истинно. Как показывает приводи-
приводимый ниже пример (И), такого соотношения нет между D)
и B).
Примеры, (i) а„ = 1, если n-й знак десятичного
разложения я является девяткой из первого вхождения
последовательности 0123456789 в это разложение (такое
значение п, если оно существует, будем называть номером
последовательности), в противном случае ап — 0. Чтобы
доказать, что эта последовательность удовлетворяет усло-
условию B) при а = 0, я замечу сначала, что B) эквивалентно
E) П C*) (V«) ~1 (VP) (I а - ап+р \ < 2"*).
Предположим, что мы нашли такое k0, что
(а) (У«)-](УР)(|а„+Р|<2-*°).
Предположим, далее, что последовательность 0123456789
входит в десятичное разложение л и s номер последова-
последовательности.
Тогда
(Р) (VP) (as+P = 0),
так что
.+/>!< 2"**).
136

Поэтому (а) не может быть истинным. Итак, мы установили
следующее.
Если (а) истинно, то 0123456789 не входит в десятичное
разложение я. Однако тогда (\/п) (ап = 0) и (а) ложно.
Таким образом, (а) ведет к противоречию и E) доказано.
Ясно, однако, что мы не можем утверждать, что последо-
последовательность {ап} позитивно сходится.
(и) ап = 0, если в первых п знаках после запятой деся-
десятичного разложения я встречается вхождение 0123456789;
ап = 1 в противном случае. Последовательность {ап}
не колеблется — доказательство аналогично доказатель-
доказательству в примере (i). Однако нельзя утверждать, что она
негативно сходится, так как неизвестно, чему равен предел,
если он существует, 0 или 1.
Теорема 1. Всякая негативно сходящаяся после-
последовательность не колеблется.
Доказательство. Введем для краткости сле-
следующие обозначения:
C«)(VP)(Ian+P — an\<2~k) посредством 31 (k) и
C") (VP) (I ап+р — а | < 2~k) посредством 95 (k, a).
Тогда: 95 (k + l,a)-+%(k),
-]-] 35(^+1, а) -*-ПХ(к),
(V&) НИ »(k, а) -
(За) №) -Г] 95 (ft, a)
Это и доказывает теорему.
Теорема 2. Если "lim an = a, ~\im bn = b, то
"lim (ап + Ьп) = а + Ь.
Доказательство. Положим а„ + Ъп = с„ и
а + Ь = с. Для краткости будем обозначать
(Зя)(VP)(Iап+Р — а\<2"*) посредством 31 (ft),
(Зп)(У/р)(\Ьп+р — &|<2"*) посредством в (ft),
C") (VP) (I Am, — с|<2"fe+1) посредством 6 (ft).
137

Тогда St (k) Д 25 (k) —• 6 (fc), поэтому
~~П * (*) Л НИ » (*) - И П С (*)
(применение A1) и C) из 7.1.2).
(v*) ~~П «(*) Л (V*) ПН в (*) -
Это доказывает теорему.
Теорема 3. Если "lim ап = а и ~Нт ап = Ь, то
Ь
Доказательство. Из "lim an — b следует, что
"lim (—ап) = — Ъ. Поэтому по теор. 2 имеем "lim с„ =
а — Ь, где каждое сп = 0.
(V*) ~1~1 C") (V/>) (I a - 61< 2"*),
а = 6.
Следующая теорема не имеет параллели в позитивной
теории.
Теорема 4. Всякая ограниченная монотонная по-
последовательность действительных чисел не колеблется.
Пусть для последовательности {ап}
1) (Vn)(aB<Af),
2) (V«)(an+i<a«)-
Нужно доказать, что
C) (V*) Т~10") (VP) («»+Р - а. < 2"*),
т. е. что
D) ~] Ck) (V«) "I (VP) (а„+Р - а„ < 2'*).
Предположим, что у нас есть такое kt, что
E) (у«) "| (VP) (an+p -an< 2~k%
Достаточно получить противоречие, исходя из A), B)
133

и E). Тогда из ~~] (з/>) (ап+Р — ап > 2"*1) следует, что
(у/?) (а„+р — ап <^2~ '), так что из E) выводится
F) (ул) ~П (ЗР) («п+л — а„ > 2"*1).
Теорема будет доказана, если мы получим противоречие
из A), B) и F).
Как частный случай F) имеем
Предположим, что у нас есть такое plt что aPl — аг^> 2"*1;
тогда в силу F) имеем ~"]~] (зО (аг — aPl > 2"*1) и далее
~\~\Cг)(аг — аг>2-2-к1~1). Итак, исходя из A), B) и
F), мы доказали:
Используя правила C) и E) исчисления предложений из
7.1.2, мы заключаем из G) и (8), что
(9)
Повторяя это рассуждение h — 1 раз, мы находим
A0) ППC5)(«5-а1>Л2-*'-1).
Возьмем теперь h = Г _~_"х | + 1; находим
A1)
что противоречит A).
Замечание. Легко доказать, что вместо A) доста-
достаточно взять условие ~~\~~\ (ЗМ) (yn) (an <^ M).
7.3.3. Негативное истолкование классического
анализа
Гёдель впервые доказал [Гёдель, 1932], что клас-
классическое исчисление предложений и классическая ариф-
арифметика могут быть развиты как части соответствующих
интуиционистских систем. Для доказательства таких тео-
теорем необходима формализация нужных частей интуицио-
J39

нистской математики. Замечания, сделанные мною отно-
относительно интуиционистского исчисления предложений,
применимы к любой формальной системе, которая пост-
построена с целью представления интуиционистской матема-
математической теории: никогда нельзя строго доказать, что такая
система адекватна. Однако для исчисления предложений,
исчисления предикатов и для элементарной арифметики
были построены формальные системы, в которых каждая
формула при правильном истолковании выражает тео-
теорему интуиционистской математики. Эти системы подробно
описаны в книге Клини [Клини, 1952, стр. 492]90).
Он оформляет их так, что, присоединяя к каждой из
них аксиому ~~\ | р ->р, мы получаем соответствующую
классическую систему.
Клини доказывает различные варианты теоремы Гёделя.
Ниже приведены три из них.
Определение 1. р + q означает ~~| (~]p/\~~]q)-
PD? означает ~| (р Д ~~| q),
(Vх) Р (х) означает ~~| (у/х) ~~| р (х).
В силу A1) и A2) из 7.2.2 последнее эквивалентно
~~П (Э*) Р W-
Теорема 1. Для исчисления предложений с Д в
качестве конъюнкции, + в качестве дизъюнкции, 3 в качест-
качестве импликации и ~~| в качестве отрицания всякая клас-
классически доказуемая формула верна интуиционистски.
Теорема 2. Для теоретико-числовой формальной
системы (элементарной арифметики) с Д в качестве конъ-
конъюнкции,-^ в качестве дизъюнкции,3 или -» в качестве им-
импликации, ] в качестве отрицания и (V) в качестве
квантора существования всякая классически доказуемая
формула верна интуиционистски.
Теорема 3. Для исчисления предикатов с Д в качест-
качестве конъюнкции, + в качестве дизьюнкции, 3 или —>• в ка-
качестве импликации и (V) в качестве квантора существо-
существования всякая классически доказуемая формула становит-
становится верной интуиционистски после замены всякой встре-
встречающейся элементарной формулы р на | | р.
140

Замечание. Для исчисления высказываний за-
замена р на ~|~| р не является обязательной в силу того,
что П ~| р ID р, т. е. "]("]"] рД ~| р) истинная фор-
формула. В теоретико-числовой системе к этой замене можно
также не прибегать, так как элементарные формулы имеют
форму а — b или а^> Ь, где а и b натуральные числа,
а потому истинно ~]~\ (а = Ь) -»а=1>и | | (а ^> ?>) -¦
— а>6.
Эти теор мы доказывают непротиворечивость класси-
классических систем относительно соответствующих интуицио-
интуиционистских систем.
Я применю теперь эти теоремы к арифметике действи-
действительных чисел. ЧГ был определен как последовательность
Коши, состоящая из рациональных чисел. Для примене-
применения теоремы 2 нужно подставить в определение последо-
последовательности Коши (V*) вместо C*)> так что мы получим
определение неколеблющейся последовательности.
Определение 2. Слабым действительным число-
числовым генератором [СЧГ) будем называть неколеблющуюся
последовательность рациональных чисел.
Определение совпадения для ЧГ имело следующий вид:
если а = {ап} и b = {bn}, то а — b означает, что
(V*) C«) (Vp) (I ап+Р - bn+P I < 2-*).
Определение 3. СЧГ а = {ап} и 6 = {Ьп} сов-
совпадают в слабом смысле (а = Ь), если
(yk) (Vn) (VP) (I an+p - bn+p I < 2'k).
Определение 4. Слабое действительное число есть
вид СЧГ, совпадающих в слабом смысле с данным СЧГ.
Определение отношения порядка для ЧГ формулиро-
формулировалось следующим образом: a j> b означало, что
C*) (Э«) (VP) (<W - bn+p > 2~k).
Определение 5. Для СЧГ а — {ап} и b = фп); а
больше Ъ в слабом смысле (а^>Ь), если
(VA) (Vn) (VP) (an+P - Ьп+Р > 2'*).
141

Это эквивалентно двойному отрицанию а^> Ь, так как
по A1) и A2) из 7.2.2 мы легко получаем, что "~]~] C*) Р (х)
эквивалентно ~~| ~] fax) ~\ ~~]р (х).
Как следствие теоремы 2 получается
Теорема 4. Пусть 5 — система, которая получается из
теоретико-числовой формальной системы присоединением к
ней свободных переменных для действительных чисел и отно-
отношений = и ^> для них же. Пусть Т теорема классической
арифметики, формализуемая в S. Пусть 7" теорема, полу-
получаемая из Т замещением V на +, fax) на (Vx), переменных
для действительных чисел — переменными для слабых
действительных чисел, = на = ,^> на ^>. Тогда Т интуи-
интуиционистски истинно 91).
Чтобы распространить теорему 4 на анализ, необходимо
распространить теорему 2 или теорему 3 на исчисление
предикатов более высоких порядков или на какие-нибудь
другие исчисления, в которых можно формализовать ос-
основную часть классического анализа. Возможно, что та-
таким путем можно доказать непротиворечивость анализа
относительно интуиционистской математики.

VIII. СПОРНЫЕ ВОПРОСЫ
8.1. Бесконечно продолжающиеся последова-
последовательности, зависящие от решения проблем
8.1.1. Метод
Начиная с 1948 г. Брауэр опубликовал несколько ста-
статей (многие из них на голландском языке), в которых он
дает противоречащие примеры для некоторых классиче-
классических теорем [Брауэр, 1948, стр. 1246; 1948А; 1948В;
1949; 1949А; 1950; 1950А; 1951; 1952В; 1954В;
1954 С]. Все эти примеры основаны на принципе, который
он изложил в докладе на 10-мМеждународном философском
конгрессе (Амстердам, 1948). Я проиллюстрирую этот
принцип посредством следующих определений.
Будем говорить, что математическое предложение р
испытано, если доказано либо ~~] р, либо ~~] "^ р. Пусть
р — некоторое неиспытанное предложение (например, «пос-
«последовательность 0123456789 входит в десятичное разложение
я»). Теперь я следующим образом определю ЧГ а = {а„}.
Пока р не испытано, я выбираю ап =2~п, если же р испы-
испытано между выбором ат и выбором am.fi, то я выбираю
+q = 2~т ДЛЯ ЛЮбоГО q.
Сигн. Это не звучит как математическое определение.
Разве можно считать хорошо определенной последова-
последовательность рациональных чисел, если ее компоненты зави-
зависят от такого материального факта, как существование к
данному моменту доказательства некоторого математиче-
математического высказывания?
Инт. Я согласен с этим возражением; и я, конечно, сом-
сомневаюсь^ можно ли посоветовать вводить такие определения
в математику. Как я подчеркнул раньше, словесное опре-
определение не может быть абсолютно свободным от двусмыслен-
143

ности; теперь мы видим, что определение БПП оставляет
нам некоторый простор. В таких случаях мы свободны ре-
решить, какое истолкование нужно принять.
Форм. Как заметил ван Данциг [ван Данциг, 1949],
определение Брауэра и рассуждения, которые он основы-
основывает на этом определении, могут быть полностью оправда-
оправданы с формальной точки зрения.
Инт. Метод ван Данцига (как указывает он сам) проли-
проливает свет на данный вопрос с точки зрения его интуициони-
интуиционистского понимания. Я попытаюсь вкратце охарактеризо-
охарактеризовать его точку зрения.
Пусть со/ (г = 1,2,.. .) при каждом i является ко-
конечным множеством математических выводов. Последо-
Последовательность {©/} будет обозначаться посредством Q.
п
Положим ап = (J и,-. Пусть р — математическое пред-
ложение. ЧГ а зависит от Q; a(Q) = {ап (Q)}. Если ап
не содержит вывода ни для |р, ни для | |р, то ап (Q) = 2~".
Если ат содержит вывод ~| р, или вывод ~] П Р и от — наи-
наименьшее из п, таких, что ап обладает этим свойством, то
ап (Q) = 2~т. В такой форме определение а звучит более
математически. Однако остается вопрос, может ли оно
служить целям Брауэра.
Брауэр хотел показать, что может иметь место a =f= О,
в то время как а # 0 будет оставаться недоказанным (это
и есть пример, обещанный мною в 2.2.3). Действительно,
если мы предположим, что а = 0, то ни ~~1 Р> ни ~1 ~1 Р
недоказуемы, значит, | | р и | | | р вместе истинны,
что невозможно. Поэтому a =f= 092). С другой стороны,
а ф): 0 означало бы возможность нахождения такого q,
что а > 2~q. Отсюда следовало бы, что р испытывается
до выбора aq. Это же можно знать только тогда, когда р
действительно испытано. Заметим, что а 4? 0 не ведет
к противоречию, ибо тогда мы имели бы а = 0.
Очевидно, Брауэр предполагает, что ему неизвестно
заранее, какие выводы будут делаться; если бы был при-
принят обязательный для всего населения земного шара закон,
запрещающий делать какие бы то ни было математические
выводы, то его доказательство для a=f=0 не проходило
бы 9S>.
В варианте ван Данцига получается следующий резуль-
результат. При данном п утверждение «а = 0, каковы бы ни были
144

юл+1, wn+2, . . .», ложно. Если аф?О, то известно такое q,
что в oq встречается либо доказательство | р, либо до-
доказательство ~~1~1 Р-
Сигн. Таким образом, в терминологии ван Данцига
мы не получаем такого действительного числа а, что a ф О,
в то время как а ф): 0 недоказано.
Инт. Да, это так. Лично я предпочитаю терминологию
ван Данцига, избегающую некоторой двусмысленности
слов Брауэра. Ван Данциг тонко анализирует определе-
определение Брауэра и вводит много уточнений, которые вы можете
найти в его статье. По-моему, не очень важно, выражаем
ли мы результат словами Брауэра или ван Данцига, если
мы понимаем, что при этом подразумевается. И не важно
также, называем ли мы его математическим результатом.
Во всяком случае, он показывает, что было бы глупо (foolish)
искать доказательство эквивалентности отношений ф и ~\f
для действительных чисел 94).
Класс. Я был в этом убежден, начиная с 2.2.3.
Инт. Пример Брауэра вскрывает одну из подсознатель-
подсознательных причин, обусловивших это ваше убеждение.
На основании примера Брауэра можно также доказать,
что виртуальный порядок континуума не является псев-
псевдопорядком (см. 7.3.1).
Позвольте мне повторить этот пример. Пусть р— неис-
неиспытанное предложение. Определим ЧГ а = {ап} следую-
следующим образом. Если р еще не испытано, выбираем ап = 2~п,
но если р испытывается между выбором ат и выбором ат+1,
то выбираем ат+д = 2~т при любом q. Теперь следующим
образом определим с={сп}- Если р еще не испытано, то
выбираем сп = 2~п, если же р испытывается между вы-
выбором ат и выбором ат+1, причем т четно, то при каж-
каждом q выбираем cm+q = 2~т; если же, наконец, р испыты-
испытывается между выбором ат и выбором ат+1, причем т нечет-
нечетно, то при каждом г, большем чем т, продолжаем выби-
выбирать сг — 2~г.
Если с ф): 0, то с = а; значит, из а ^> с следует с = 0.
Если с> 0, то сф 0. Таким образом, ш^> с или с j> 0»
влекло бы «с— 0 или сфО», откуда следовало бы «р не
будет испытано непосредственно после четного числа вы-
выборов для а, или невозможно, что р не будет испытано не-
непосредственно после четного числа выборов для а». Но пока
145

р не будет испытано, мы ничего не сможем знать о числе
выборов для а, после которых р, может быть, будет ис-
испытано. Хотя а> 0 95), нельзя утверждать ни а^>с, ни
с > 0, а потому условие F) из 7.3.1 не выполняется.
8.1.2. Противоречивость классической арифметики
вещественных чисел
Начиная с этого места, я буду пользоваться терминоло-
терминологией Брауэра, уже разъясненной в той степени, что если
вы захотите, то сами сможете заменить ее другой термино-
терминологией.
Теоремы этого раздела сильнее теорем предыдущего
раздела в том отношении, что они выражают собою проти-
противоречивость некоторых классических результатов.
Теорема 1. Противоречиво, что для любого дейст-
действительного числа а из а Ф О следует а +? 0.
Доказательство. Пусть J —финитарный поток,
совпадающий с промежутком 10, 1] (теор. 1 из 3.4.1). Мы
одновременно будем определять элемент / из J и ЧГ
a(f) = {an (/)} следующим образом. Если gEzJ, то пусть р(/)
означает высказывание «f рационально». При каждом л
число /„ выбирается между выбором ап (/) и выбором
an+i (/)• Если р (/) еще не испытано, то мы выбираем
ап (/) = 2~". Если р (/) испытывается между выбором ат
и выбором ат+1, то мы выбираем ат+ч = 2~т при любом q.
Как и в предыдущем примере, при любом / имеет место
а (/) фО 96). Предположим, что при всяком / имеет место
а (/) :(ф 0. Тогда для всякого / можно найти такое
натуральное число г (/), что р (/) испытывается перед
выбором аг+1 (/), т. е. перед выбором fr+1. По теореме
о веерах можно найти максимальное значение s для г (/);
следовательно, р (/) при каждом / испытывается перед
выбором Д+1. Пусть теперь / обозначает БПП, на которую
после выбора Д не накладывается никаких других ограни-
ограничений, кроме ограничений, содержащихся в определении /.
Ясно, что мы можем продолжать / таким способом, чтобы /
стало рациональным или иррациональным в зависимости
от нашего желания. Следовательно, противоречиво, что
р (/) проверяется перед выбором /т.
Поэтому истинны оба суждения: (V/) (а (/) =f= 0) и
~1 (V/) (а (/) 4- °)> гДе / пробегает Л
146

Форм. Очевидно, что при таких формальных обозначе-
обозначениях нужно понимать кванторы в расширенном смысле
в соответствии с брауэровским расширением понятия
БПП.
Инт. Из данного доказательства вытекает также про-
противоречивость того, что при любом действительном а из
а Ф 0 и а <? 0 следует а > 0 (или в терминологии 7.3.1,
что из а > 0 следует а > 0).
Чтобы доказать противоречивость классической элемен-
элементарной арифметики, Брауэр доказывает следующее обоб-
обобщение теор. 1.
Теорема 2. Противоречиво, что при любом дейст-
действительном а из а Ф 0 следует а ^> 0\/а <? 0.
Доказательство. Пусть опять J обозначает
финитарный поток, совпадающий с [0, 1], / произвольный
элемент J и р (/) — высказывание «/ рационально». Мы
определим / и ЧГ Ь (/) = {Ьп (/)} следующим образом.
При каждом п число /„ выбирается между выбором Ъп (/)
и выбором Ьп+1 (/). Если р (/) еще не испытано, то выбираем
Ьп (/) = (—1)"". Если между выбором bm(f) и выбором
Ьщ-и (/) высказывание р (/) было испытано и оказалось, что
/ иррационально, то мы выбираем bm+q (/) = 2~п при вся-
всяком q. Если же, наконец, р (/) было испытано и оказалось,
что / неиррационально, то при всяком q выбираем
bm+q (/) = — 2~т. Как и раньше, Ь (/) ф 0 97). Предполо-
Предположим, что для любого / из J или Ъ (/) ^> 0, или Ь (/) <? 0.
Если / иррационально, то Ъ (/) > 0. Поэтому если
Ь (/) ^> 0, то / не может быть иррационально.
Если / неиррационально, то Ь (/) ¦< 0. Поэтому, если
b (/) <t 0, то / иррационально (B) и E) из 7.1.2). Таким
образом, [0, 1] разбивается на подвид иррациональных
чисел и подвид неиррациональных чисел. А это противо-
противоречит теор. 2 из 3.4.3.
Следствие. Противоречиво, что для каждого дей-
действительного х имеем х ^> 0 или х<^0 98).
Теорема 3. Противоречиво, что уравнение
ах + Ь = 0, где а Ф 0 и Ь ф 0 всегда имеет решение.
Доказательство. Пусть с действительное число
и с Ф 0. Положим а = с+2\с\, Ь = с—2\с\. Тогда
147

a =f= 0 и b =f= 0. Пусть xx — решение уравнения ax + b = 0-
Если c^> 0, то a = — 3b. Значит, bCx1 — 1) = 0 и
хг = V3. Если с < 0, то b = —За, т. е. а (хх — 3) = 0
и JT[ = 3. Поэтому если д^ =f= V3, то с^> 0, а если *j =?= 3,
то с <? 0. Так как всегда * =f= V3, или х =f= 3, то имеем
с Д> 0 или с <? 0. Значит, если бы ах + b = 0 при каж-
каждом с =f= 0 имело решение, то из с =/= 0 следовало бы, что
с ^> 0 или с <? 0. А это противоречит теор. 2.
Следствие. В евклидовой геометрии плоскости
противоречиво, что любые две несовпадающие непарал-
непараллельные прямые пересекаются. В самом деле, если a =f= 0
и b Ф 0, ad действительное число, отделенное от нуля,
то ах + dy = b есть уравнение прямой, не совпадающей
с осью Ох и не параллельной ей. Если бы все такие прямые
пересекали ось Ох, то при а ф 0 и b =f= 0 уравнение ах = b
всегда имело бы решение ").
8.1.3. Пример, касающийся теоремы Больцано — Вейер-
штрасса
Эта теорема обсуждалась в 3.4.4. Вот одна из ее фор-
формулировок:
(С) Всякий ограниченный вид действительных чисел
без точки накопления численно ограничен.
Пусть р — некоторое еще не испытанное высказывание.
Образуем следующим образом БПП рациональных чисел
{Ьп}. Пока р еще не испытано, выбираем Ьп = 2~п. Если
р испытывается между выбором Ьт и выбором Ьт+1, то
выбираем Ьт+Р = 2~т при любом р. Пусть 5 — вид ком-
компонент Ьп этой последовательности. Предположим, что с
точка накопления 5. Ясно, что с <? 0. Однако справедливо
также, что с ^> 0. В самом деле, из с ^> 0 следовала бы
конечность 5. Поэтому с = 0, т. е. р никогда не может
быть испытано, что противоречиво 10°). Поэтому у 5 нет
точки накопления. С другой стороны, будь вид 5 численно
ограниченным, мы знали бы такое натуральное т, что р
испытывалось бы до выбора Ьт+1. Ясно, что последнее не
имеет места, а потому нет никакой надежды найти интуи-
интуиционистское доказательство для (С) 101) [Брауэр, 1952В].
14S

8.2. Математика без отрицания
Грисс выдвинул серьезные возражения против исполь-
использования отрицания в математике [Фрейденталь, 1936 А;
Гейтинг, 1936; Грисс, 1946, стр. 24 и стр. 64; 1948; 1948 А].
Соглашаясь полностью с основными идеями Брауэра о при-
природе математики, Грисс, считает, что всякое математиче-
математическое понятие имеет своим началом некоторое актуально
выполнимое математическое построение. Если построение
невозможно, то понятие не может быть ясным.
Брауэр допускает теоремы вроде следующей: «Не мо-
может существовать квадратного круга». Мы можем дока-
доказать эту теорему, приводя к противоречию утверждение,
что мы построили круг, являющийся также квадратом.
Согласно Гриссу, это предположение не имеет ясного смыс-
смысла, так как оно никогда не сможет быть реализовано. Дру-
Другими словами, если квадратный круг не существует, то как
можем мы иметь ясное представление о том, каким он был
бы, если бы существовал? Грисс поэтому отвергает исполь-
использование отрицания как математического понятия.
Во многих случаях доказательство негативной теоремы
подсказывает ее позитивную форму. Например, в доказа-
доказательстве несуществования квадратного круга мы встре-
встречаем примерно следующее утверждение.
«Если 5 квадрат и Р — любая точка, то на границе 5
можно найти такие точки Q и R, что PQ ^ф Pi?'».
Для Грисса данное позитивное утверждение выражает
действительное содержание негативной теоремы. Конечно,
в большинстве случаев одна негативная теорема допускает
несколько позитивных переводов. Грисс попытался пе-
перестроить интуиционистскую математику, не исполь-
используя отрицания, и достиг в этом направлении некото-
некоторых замечательных результатов [Грисс, 1946 А; 1950;
19511.
В арифметике целых и рациональных чисел отрицание
существенным образом не используется, a =f= b в ней озна-
означает то же самое, что а^> Ъ \J a <^b, a в этом выражении
отрицания нет. В этих лекциях первым встретившимся
нам негативным понятием было понятие неравенства между
действительными числами a =f= b. Грисс не может считать
это понятие хорошо определенным; вместо него он исполь-
использует позитивно определенное отношение ар^Ь. Однако сре-
среди основных свойств отношения ф): имеется следующее
149

а 4Ф b -* a = b. Вместо этого свойства у Грисса фигури-
фигурирует следующая теорема.
Теорема. Если а и b — такие действительные числа,
что любое действительное число с, отделенное от а, отделе-
отделено и от Ь, то а = Ь.
Для этой теоремы нелегко дать доказательство, не ис-
использующее отрицаний. Гриссу удалось это сделать толь-
только посредством применения теоремы о веерах.
Пусть а и b удовлетворяют условиям теоремы. Мы можем
предположить, что а и b определены посредством канони-
канонических ЧГ а = {ап2~п} и b = {bn2~n}, таких, что
| а — апТп |< 2"", \Ь — ЬпТа\<Тп. При данном зна-
значении п либо Ьп <[ ап, либо Ьп = ап, либо Ьп > ап. Сначала
предположим, что Ьп ^> ап. Рассмотрим промежуток
i = [(ап — 1J~", (Ьп — 1J""] и построим, как в теор. 1
из 3.4.1, финитарный поток Sly совпадающий с i. Пусть
с = {cm2'm} является элементом St. Тогда с<^Ь, так что
в силу предположения имеем с ^ а. Это означает, что
Ck) (am) (VP) (I cm+P - ат+р | Тт'р > Т\
Тогда тем более
C*) (VP) (I ck+P - ak+p \2-k-p > 2~k).
Поэтому каждому элементу с из 5 можно сопоставить
такое натуральное число k, что выполняется условие
A) (VP)(k*+P-a,+pI2-*-p>2-*).
По теореме о веерах мы можем найти такое г, что k вычис-
вычисляется после выбора первых г компонент с. Тогда k прини-
принимает лишь конечное число значений и мы можем найти
k0 = max k так, чтобы
B) | с*. - а*. | 2-*'> 2"*'
имело место для любого с из 5, т. е. для любого узла Ск,2~к°
&0-решетки, принадлежащего i.
Имеем ако2 k° >(а„ — 1J " Более того, в силу B)
а*,2~ * отлично от любого узла &0-Решетки, принадлежа-
150

щего / (для рациональных чисел отличность является по-
позитивным понятием!). Поэтому а*,2~** > ф„ — 1J"".
Но имеем также ako2~k' < (яп + 1J"", так что Ь„ < а„-\- 2
Мы предположили, что Ь„ > ап, поэтому Ьп — ап + 1.
Аналогично если Ьп < ап, то Ьп = ап — 1. Мы доказали,
что для каждого п имеет место \Ь„ — ап | ^ 1. Поэтому
Ь = а.
В теории потоков и видов не может быть определен пу-
пустой вид. Вид, как это было объяснено в 3.2.1, задается
свойством математических объектов, но такое свойство
может иметь ясный смысл только после того, как мы по-
построили объект с этим свойством. Ввиду этого требования
пересечение двух видов определимо только тогда, когда
оно содержит по крайней мере один элемент. Например,
мы можем говорить о виде алгебраических полей и о виде
шестиэлементных видов, но не об их пересечении. Отно-
Отношение различия между видами определяется по индукции
следующим образом. Два вида различны, если в одном из
них содержится элемент, отличный от любого элемента
другого вида.
В силу ряда причин логику математики, не использую-
использующей отрицания, трудно формализовать. Прежде всего нет
никакого исчисления предложений, так как имеют смысл
только истинные предложения. Далее нужно принимать
во внимание ограничения при применении конъюнкций
пропозициональных функций (видов). Попытки формали-
формализации предпринимались Гриссом [Грисс, 1949 А; 1950 А],
Гилмором [Гилмор, 1953] и Вредендейном [Вредендейн,
1953].

БИБЛИОГРАФИЯ
Данная библиография включает: 1) работы, упомянутые в тексте,
2) другие важные книги н статьи, относящиеся к интуиционизму. Почти
полную библиографию по интуиционизму, доходящую до 1951 г., мож-
можно найтн в работе [Гейтннг, 1955].
Белннфанте(ВеПпГап1еМ. I.)
1931. Die Hardy-Lit tlewoodsche Umkehrung des Abelschen Stetig-
keitssatzes in der intuitionistichen Mathematik, Proc. Akad. Amster-
Amsterdam, 34, 401—412.
1941. Elemente der intuitionistischen Funktionentheorie, Proc. Akad.
Amsterdam, 44, 173—185, 276—285, 420—425, 563—567, 711—717.
Б е т (B e t h E. W.)
1947. Semantical considerations on intuitionistic mathematics, Proc.
Akad. Amsterdam, 50, 1246—1251; Indagationes math., 9, 572—577.
1948. Wijsbegeerte der wiskunde, 2ed., Antwerpen—Nijmegen, 1948.
1955. Les fondaments logiques des mathematiques, 2 ed., Paris —
Louvain, 1955.
Б р а у э р (В г о u w e r L. E. I.)
1907. Over de grondslagen der wiskunde, Thesis, Amsterdam, 1907.
1908. De onbetrouwbaarheid der logische principes, Tijdschrift voor
wijsbegeerte, 2; перепечатано в работе [Брауэр, 1919].
1912. Intuitionisme en formalisme, Groningen, 1912; английский
перевод: [Брауэр, 1913].
1913. Intuitionism and formalism, Bull. Amer. Math. Soc., 20, 81 —
96.
1918. Begrundung der Mengenlehre unabhangig vom logischen Satz
vom ausgeschlossenen Dritten, Teil I, Verhandelingen Akad. Amsterdam*.
12, № 5.
1919. Wiskunde, waarheid, werkelijkheid, Groningen, 1919.
152

1919A. Begriindung der Mengenlehre unabhangig vom logischen
Satz vom ausgeschlossenen Dritten, Teil II, Verhandelingen Akad. Amster-
Amsterdam, 12, № 7.
1919B. Intuitionistische Mengenlehre, Jahresbericht deutsch. Math,
Ver., 28, 203—208; Proc. Akad. Amsterdam, 23, 949—954.
1920. Besitzt jede reelle Zahl eine Dezimalbruchentwicklung? Proc.
Akad. Amsterdam, 23, 955—965.
1923. Begriindung der Funktionenlehre unabhangig vom logischen
Satz vom ausgeschlossenen Dritten, Verhandelingen Akad. Wet. Amster-
Amsterdam, 13, № 2.
1924. Zur Begriindung der intuitionistischen Mathematik, I, Mat-
hematische Annalen, 93, 244—258.
1924A. Ober die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Drit-
Dritten, in der Mathematik, insbesondere in der Funktionentheorie, /. reine-
angew. Math. (Crelle), 154, 1—8.
1924B Beweis, dass jede voile Funktion gleichmassig stetig ist,
Proc. Akad. Amsterdam, 27, 189—194.
1924C. Intuitionistische Erganzung des Fundamentalsatzes der
Algebra, Proc. Akad. Amsterdam, 27, 631—634.
1924D. Bemerkungen zum Beweise der gleichmassigen Stetigkei
voller Funnktionen. Proc. Akad. Amsterdam, 27, 644—646.
1925. Intuitionistische Zerlegung mathematischer Grundbegriffe,
Jahresbericht deutsch. Math. Ver., 33, 251—256.
1925A. Zur Begriindung der intuitionistischen Mathematik, II,
Math Annalen, 95, 453—473.
1925B. Intuitionistischer Beweis des Jordanschen Kurvensatzes,
Proc. Acad. Amsterdam, 28, 503—506.
1926. Zur Begrundung der intuitionistischen Mathematik, III, Math.
Annalen, 96, 451—489.
1926A. tJber Definitionsbereiche von Funktionen, Math. Annalen,
97, 60—76.
1926B. Intuitionistische Einfuhrung des Dimensionsbegriffes, Proc.
Akad. Amsterdam, 29, 855—864.
1926C. Die intuitionistische Form des Heine — Borelschen Theorems,
Proc. Akad. Amsterdam, 29, 866—868.
1927. Virtuelle Ordnung und unerweiterbare Ordnung, /. Reine
angew. Math (Crelle), 157, 255—258.
1927A. Intuitionistische Betrachtungen uber den Formalismus,
Proc. Akad. Amsterdam, 31, 374—379; Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss.
Berlin, 48—52.
1928. Die Struktur des Kontinuums, Vienna, 1928.
1929. Mathematik, Wissenschaft und Sprachex Monatshefte Math.
Phys., 36, 153—164.
153

1933. Weten, Willen, Spreken. Euclides, 9, 177—193.
1942. Zum freien werden von Mengen und Funktionen, Proc. Akad.
Amsterdam, 45, 322—323; Indagationes math., 4, 107—108.
1942A. Die reprasentierende Menge der stetigen Funktionen des Ein-
heitskontinuums, Proc. Akad. Amsterdam, 45, 443; Indagationes math.,
4, 154.
1947. Richtlijnen der intuitionistische wiskunde, Proc. Akad. Am-
Amsterdam, 50, 339; Indagationes math., 9, 197.
1948. Consciousness, philosophy and mathematics, Proc. X Intern.
Congress Philosophy, Amsterdam, 1948, 1235—1249.
1948A. Essentieel negatieve eigenschappen, Proc. Akad. Amster-
Amsterdam, 51, 963—965; Indagationes math., 10, 322—324.
1948B. Opmerkingen over het beginsel van het uitgelosten derde
en over negatieve asserties, Proc. Akad. Amsterdam, 51, 1239—1244;
Indagationes math., 10, 383—388.
1949. De non-aequivalentie van de constructieve en de nagatieve
orderelat.e in het continuum, Proc. Akad. Amsterdam, 52, 122—125;
Indagationes math., 11, 37—40.
1949A. Contradictoriteit der elementaire meetkunde, Proc. Akad.
Amsterdam, 52, 315—316; Indagationes math., 11, 89—90.
1950. Remarques sur la notion d'ordre, Comptes rendus Akad. Sci.
Paris, 230, 263—265.
1950A. Sur la possibility d'ordonner le continu, Comptes rendus
Akad. Sci. Paris, 230, 349—350.
1951. On order in the continuum and the relation of truth to non-
contradictority, Proc. Akad. Amsterdam, Ser. A, 54, 357—359; Indaga-
Indagationes math., 13, 357—359.
1952. Historical background, principles and methods of intuitionism,
South-African J. Sci., 49, 139—146.
1952A. An intuitionist correction of the fixed-point theorem on the
sphere, Proc. Royal Soc. London, A, 213, 1—2.
1952B. Over accumulatiekernen van oneindige kernsoorten, Proc.
Akad. Amsterdam., Ser. A, 55, 439—442; Indagationes math., 14, 439—
442.
1954. Points and spaces, Canadian J. math., 6, 1—17.
1954A. Ordnungswechsel in Bezug auf eine coupierbare geschlos-
sene stetige Kurwe, Proc. Akad. Amsterdam, Ser. A, 57, 112—114; In-
Indagationes Math., 16, 112—114.
1954B. Intuitionistische differentieerbarheid, Proc. Akad. Amster-
Amsterdam, Ser. A, 57, 201—204; Indagationes math., 16, 201—204.
1954C. An example of contradictority in classical theory of functions,
Proc. Akad. Amsterdam.h Ser. A, 57, 204—206; Indagationes math., 16,
2Q4—206.
154

Брауэр иде Л о о р (В г о u w e r L. E. J., de Loor В.)
1924. Intuitionistischer Beweis des Fundamenalsatzes der Algebra,
Proc. Akad. Amsterdam, 27, 186—188.
Бурбаки (Bourbaki N.)
1948. L'Architecture des mathematiques, Cahiers du Sud, 1948.
[Русский перевод: Бурбаки Н., Архитектура математики, Мате-
Математическое просвещение A960), вып. 5, 99—112; Бурбаки Н., Очерки
по истории математики, М., 1963, 245—259].-
1949. Foundations of mathematics for the working mathematician,
/. Symbolic Logic, 14, 1—8.
В е й л ь (W e у 1 H.)
1919. tJber die neue Grundlagenkrise der Mathematik, Math.
Zeitschr., 10, 39—79.
1924. Randbemerkungen zu Hauptproblemen der Mathematik, Math.
Zeitschr., 20, 131—150.
Вредеидейи (Vredenduin P. G. S.)
1953. The logic of negationless mathematics, Compositio math., 11,
204—277.
Гёдель (G б d e 1 K.)
1932. Zur intuitionistischen Arithmetik und Zahlentheorie, Ergeb-
nisse eines math. Kolloquiums (Wien), Heft 4, 34—38.
1932 A. Eine Interpretation des intuitionistischen Aussagenkalkuls,
Ergebnisse eines math. Kolloquiums (Wien), Heft 4, 39—40.
Гейтинг (Heyting A.)
1925. Intuitionistische axiomatiek der projectieve meetkunde, The-
Thesis, Amsterdam, Groningen, 1925.
1927. Die Theorie der linearen Gleichungen in einer Zahlenspezies
mit nichtkommutativer Multiplikation, Math. Annalen, 98, 465—490.
1927. Zur intuitionistischen Axiomatik der projektiven Geometrie,
Math. Annalen, 98, 491—538.
1929. De telbaarheidspraedicaten van Prof Brouwer, Nieuw Archif
voor wiskunde B), 16, 47—58.
1930. Die formalen Regeln der intuitionistischen Logic, Sitzungsber.
preuss. Akad. Wiss. Berlin A930), 42—56.
1930A. Die formalen Regeln der intuitionistischen Mathematik,
Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss. Berlin A930), 57—71, 158—169.
1934. Mathematische Grundlagenforschung. Intuitionismus. Beweis-
theorie, Ergebnisse der Math, und ihrer Grenzgebiete, Berlin, 1934. [Рус-
[Русский перевод: Гейтинг А., Обзор исследований, по основаниям мате-
математики, М.—Л., ОНТИ, 1936.]
155

1935. Intuitionistische wiskunde, Mathematica В (Leiden) 4, 72—
82, 123—136; 5, 62—80, 105—112; 7, 129—141.
1936. Bemerkungen zu dem Aufsatz von Herrn Freudenthal «Zur
intuitionistischen Deutung logischer Formeln», Compositio math., 4,
117—118.
1941. Unfersuchungen fiber intuitionistische Algebra, Verhandelin-
gen, Akad. Amsterdam, 1. sectie 18, № 2.
1946. On weakened quantification, J. Symbolic Logic, 11, 119—121.
1950. Espace de Hilbert et intuitionnisme, Les methodes formelles
en axiomatique. Colloques interationaux du C. N. R. S., Paris, 1953,
59—63.
1951. Note on the Riesz—Fischer theorem, Proc. Akad. Amsterdam,
Ser. A, 54, 35—40; Indagationes math., 13, 35—40.
1952. Logique et intuitionnisme, Actes du 2e collique intern, de
logique math., Paris, 1954, 75—82.
1953. Sur la theorie intuitionniste de la mesure, Bull. Soc. math.
Belg., 6, 70—78.
1955. Les fondaments des mathematiques. Intuitionnisme. Theorie
de la demonstration, Paris — Louvain, 1955.
Гилмор (Gilmore P.).
1953. The effect of Griss'criticism of the intuitionistic logic on dedu-
deductive theories formalised within the intuitionistic logic, Proc. Akad.
Amsterdam, Ser. A, 56, 162—187; Indagationes math., 15, 162—187.
Гильберт (Hilbert D.)
1922. Neubegrundung der Mathematik, Abhandl. mat. Seminar Ham-
Hamburg Univers., 1, 157—177.
Гильберт и Аккерман (Hilbert D., Ak]ker-
m a n n W.)
1949. Grundzuge der theoretischen Logik, 3 Aufl. Berlin — Gotti-
ngen—Heidelberg, 1949. [Русский перевод 2-го издания: Гильбер тД.,
Аккерман В., Основы теоретической логики, М., 1947.]
ГливенкоВ. И.
1928. Sur la logique de M. Brouwer, Bull. Acad. Sci. Belg. A928),
225—228.
1929 Sur quelques points de la logique de M. Brouwer, Bull. Akad.
Sci. Belg. A929), 183—188.
Г р и с с (G r i ss G. F. C.)
1944. Negatieloze intuitionistische wiskunde, Verslagen Akad. Am-
Amsterdam, 53, 261—268.
1946. Idealistische Filosofie. Een humanistische levensen wereld-
b_eschouwing, Arnhem, 1946.
156.

1946A. Negationless intuitionstic mathematics, I, Proc. Akad-
Amsterdam, 49, 1127—1133; Indagationes math., 8, 675—681.
1948. Over de negatie. Feestbundel, aangeboden aan H. J. Pos, Ams-
Amsterdam, 1948.
1948A. Mathematiques, mystique et philosophie, Melanges philo-
sophiques. Bibliotheque du X Congres intern, de philosophie, Amster-
Amsterdam.
1949. Logique des mathematiques intuitionnistes sans negations,
Comptes rendus Akad. Sci. Paris, 227, 946—947.
1950. Negationless intuitionistic mathematics, II, Proc. Akad. Ams-
Amsterdam, 53, 456—463; Indagationes math., 12, 108—115.
1950A. The logic of negationless intuitionistic mathematics, Proc.
Akad. Amsterdam, Ser. A, 54, 41—49; Indagationes math., 13, 41—49.
1951. Negationless intuitionistic mathematics, III, IV, Proc. Akad.
Amsterdam, Ser. A, 54, 193—200, 452—471; Indagationes math., 13, 193—
200, 452—471.
1955. La mathematique intuitioniste sans negation, Nieuw Archief
voor wiskunde, 3, 134—142.
Данциг ван (van DantzigD.)
1942. On the affirmative content of Peano's theorem on differential
equations, Proc. Akad. Amsterdam., 45, 367—373; Indagationes math.,
4, 140—146.
1942A. A remark and a problem concerning the intuitionistic form
of Cantor's intersection theorem, Proc. Akad. Amsterdam, 45, 374—375;
Indagationes math., 4, 147—148.
1947. On the principles of intuitionistic and affirmative mathematics
Proc. Akad. Amsterdam, 50, 918—929, 1092—1103; Indagationes math.,
9, 429—440, 506—517.
1949. Comments on Brouwer's theorem on essentially-negative pre-
predicates, Proc. Akad. Amsterdam, 52, 949—957; Indagationes math., 11,
347—355.
Д е й к м а н (D i j k m a n J. G.)
1948. Recherche de la convergence negative dans les mathematiques
intuitionnistes, Proc. Akad. Amsterdam, 51, 681—692; Indagationes
math., 10, 232—243.
1952. Convergentie en divergentie in de intuitionistische wiskunde,
Thesis, Amsterdam, 1952.
Детуш (Destouches J.-L.)
1951. Sur la mecanique classique et l'intuitionnisme, Proc. Akad.
Amsterdam, Ser. A, 54, 74—79; Indagationes math., 13, 74—79.
*57

Дубислав (Dubislav W.)
1932. Die Philosophie der Mathematik in der Gegenwart, Berlin,
1932.
Дьедонне (DieudonneJ.)
1949. L'axiomatique dans les mathematiques modernes, Congres in-
intern, de philosophie des sciences, Paris,1949 (Actualites- scientifiques et
industrielles, 1137, Paris, 1951).
Иогаисои (Johanssohnl.)
1936. Der Minimalkalkul, ein reduzierter intuitionistischer Formalis-
mus, Compositio math., 4, 119—136.
Ионг де (de Jonghl. I.)
1948. Restricted forms of intuitionistic mathematics, Proc. X intern,
congress philosophy, Amsterdam, 1948, 744—748.
Карнап (Carnap R.)
1934. Logische Syntax der Sprache, Wien, 1934.
1937. The logical syntax of language, London, 1937.
Кар ри (Cur г у Н. В.)
1951. Outlines of a formalist phylosophy of mathematics, Amsterdam,
1951.
К л ннн (Kl eene S. C.)
1952. Introduction to metamathematics, Amsterdam—Groningen—
New York, 1952 [Русский перевод: К л и и и С. К., Введение в метама-
метаматематику, М., 1957.]
Колмогоров А. Н.
1932. Zur Deutung der intuitionistischen Logik, Math. Zeitschrift,
35, 58—65.
Корпут ваи дер (van der CorputJ. G.)
1946. On the fundamental theorem of algebra, Proc. Akad. Amsterdam,
49, 722—732, 878—886, 985—994; Indagationes math., 8, 430—440,
549—557, 605—614.
Курода (Kuroda S.)
1951. Intuitionistische Untersuchungen der formalistischen Logik,
Nagoya math. J., 2, 35—47.
158

Лоор д е (d e LoorB.)
1925. Die hoofstelling van die algebra van intuisionistiese standpunt,
Thesis, Amsterdam, 1925.
Маннури (MannouryQ.)
1947. Les fondsments psycholinguistiques des mathematiques, Neu-
chatel, 1947.
Менгер (Menger K.)
1930. Der Intuitionismus, Blatter deutsch. Philosophie, 4, 311—
325.
Нейман фон (von NeumannJ.)
1929. Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionalopera-
toren, Math. Annalen, 102, 49—131.
Робинсон (Robinson A.)
1951. On the metamathematics of algebra, Amsterdam, 1951.
Роотселар ван (van RootselaarB.)
1952. Un probleme deM. Dijkman, Proc. Akad. Amsterdam, Ser. A.'
5, 405—407; Indagationes math., 14, 405—407.
1954. Generalization of the Brouwer integral, Thesis, Amsterdam,
1954.
1955. On the mapping of spreads. Proc. Akad. Amsterdam, Ser. A,
58, 557—563; Indagationes math., 17, 557—563.
1955 A. Generating schemes for full mappings, Proc. Akad. Amster-
Amsterdam, Ser. A, 58, 646—649; Indagationes math., 17, 646—649.
Стоун (S t о n e M. H.)
1932. Linear transformations in Hilbert space, New York, 1932.
Тарский (Tarski A.)
1950. Some notions and methods on the borderline of algebra and
metamathematics, Proc. intern. Congress. Math. 1950, Cambridge, Mass.,
705—720.
Фрейденталь (Freudenthal H.)
1936. Zum intuitionistische Raumbegriff, Compositio math., 4, 82—
111.
Хенкин (Henkin L.)
1953. Some interconnections between modern algebra and mathema-
mathematical logic, Trans. Amer. Math. Soc, 74, 410—427.
159

РЕКОМЕНДАЦИИ ЧИТАТЕЛЯМ
Теория множеств: Брауэр, 1924, 1925А, 1926, 1942, 1942А.
Топология: Брауэр, 1925В, 1926С, 1952А, 1952В, 1954А; Фрей-
деиталь, 1936.
Функции действительной переменной: Брауэр, 1923, 1926А; ван
Данциг, 1942; ван Роотселар, 1954.
Функции комплексной переменной: Белинфанте, 1941.
Алгебра: Гейтинг, 1927, 1941.
Основная теорема алгебры: Брауэр и де Лоор, 1924; де Лоор, 1925;
Брауэр, 1924С; Вейль, 1924; ван дер Кррпут, 1946.

КОММЕНТАРИИ
1. (К стр. 9.) «Фор м», «Инт», «П р а г м» и «С и г н» (в подлиннике
«Sign») означают «формалист», «интуиционист», «прагматист» и «сигни-
фицист». «Кла с с» есть представитель «классической» математики. Редак-
Редакция затрудняется объяснить смысл имени «Букв» (в подлиннике «Let-
«Letter»). В дальнейших наших комментариях часто выступает еще один
участник спора «Кон» — представитель конструктивного направления
в математике.
2. (Кстр. 9.) Кон. Здравствуйте, дорогие коллеги! Слышу, чтогоспо-
дин Инт излагает здесь свое credo. Он совершенно прав в том, что матема-
математические построения требуют особой логики. Однако я не могу согла-
согласиться с тем, что математика с самого начала имеет дело с «бесконечным».
«Бесконечное» вводится в математику через абстракции. Применяются
абстракция потенциальной осуществимости и абстракция актуальной
бесконечности. Суть последней мне не ясна, а первая состоит в отвле-
отвлечении от практических границ наших конструктивных возможностей,
обусловленных ограниченностью имеющихся в нашем распоряжении
пространства, времени и материалов. Умственные построения, о кото-
которых говорил сейчас господин Инт, потенциально осуществимы. В качестве
прообразов они имеют практически осуществимые материальные по-
построения. Рассмотрение потенциально осуществимых построений требует
особой логики — конструктивной математической логики.
3. (Кстр. И.) К он. Моя точка зрения на формулировку II чуть-чуть
отличается от точки зрения господина Ин та. По-моему, вовсе не для вся-
всякого определения должен обязательно иметься объект, подпадающий под
это определение. Иногда построение такого объекта может составлять
проблему, и, пока эта проблема не будет решена, мы не вправе будем
утверждать, что такой объект существует. Именно такой проблемный
характер имеет определение II числа /. В настоящее время не указано,
т. е. не построено число /, характеризуемое этим определением. Ука-
161

зано оно будет лишь тогда, когда будет решена проблема близнецов,
и лишь тогда мы вправе будем сказать, что число / существует.
Что касается до «вечности» математических истин, то полагаю, что
этот вопрос не только «метафизический», но и праздный. А существо-
существование в математике — это потенциальная осуществимость построения.
4. (Кстр. 20.) Кон. Мне кажется, что господин И н т несколько не-
недооценивает свой интуиционизм. Прежде всего, разве можно так отделять
«гуманитарные»науки от наук «естественных»? Разве человек с его«умст-
венными построениями» не есть часть природы? Ведь умственные построе-
построения, такие, например, как построения все больших и больших нату-
натуральных чисел, обычно являются сллтками с построений материальных,
осуществляемых в окружающей нас действительности. Материальными
прообразами таких построений являются построения все больших и боль-
больших домов, все более сложных машин и т. п. С другой стороны, умст-
умственные построения оказываются часто проектами построений матери-
материальных. Сложнейшие алгорифмы ос}Ш,ествляются сначала как умст-
умственные построения, а потом в наш век кибернетики воплощаются в ра-
работе электронных машин, похожих во многих отношениях на мозг че-
человека. Таким образом, исследование умственных построений отнюдь
не является делом, интересующим одни только гуманитарные
науки.
Хочу еще сказать, что я не принадлежу к тому «большинству мате-
математиков», о котором говорил господин Форм и для которого ценность
интуиционистской математики «роковым образом» (как страшно!) подры-
подрывается тем обстоятельством, что интуиционизм уничтожает «наиболее
драгоценные» математические результаты, которые надлежит «спасать».
Что спасать и почему спасать? По-видимому, над какими-то «драгоцен-
«драгоценными результатами» нависла опасность. Того и гляди выяснится, что
они лишены содержания и что все попытки их разумного истолкования
обречены на неуспех. Но тогда что же в них драгоценного и «жизненно
важного»? И уже совсем странной кажется мне идея господина Форма
о «несколько более либеральной концепции конструктивного», специаль-
специально выдумываемой для их спасения. Впрочем, пусть он себе выдумы-
выдумывает эту концепцию. На то он и Форм.
б. (К стр. 24.) Кон. Меня очень радуют эти ваши слова.
G. (К стр. 24.) Кон. По существу мы теперь приходим к понятию
натурального числа, принятому в конструктивной математике: нату-
натуральное число — это слово в алфавите |, т. е. ряд вертикальных штри-
штрихов [А. А. Марков, 1954]. Различие только в том, что у нас палочки,
а у вас точки.
162

7 (К стр. 26.) Кон. Мне непонятно, какие объекты вы называете
«последовательностями рациональных чисел». Подозреваю, что вы имеете
в виду нечто совсем неконструктивное вроде тех актуально бесконечных
«объектов», о которых любит говорить господин Класс. Если это так,
то наши пути здесь расходятся, так как я считаю возможным разговари-
разговаривать лишь о конструктивных объектах. Когда я говорю о последова-
последовательности рациональных чисел, то подразумеваю под этим алгорифм,
перерабатывающий всякое натуральное число в некоторое рациональ-
рациональное число [Марков, 1962]. Такие алгорифмы являются конструк-
конструктивными объектами, что дает возможность рассматривать конструктив-
конструктивные функции действительной переменной как алгорифмы, перерабаты-
перерабатывающие конструктивные действительные числа в конструктивные дей-
действительные числа.
8. (К стр. 26.) Здесь допущена неточность. При условии что n(k)
не убывает с ростом k, действительно можно положить bk = ctn,ky
Вообще же можно положить
m(k) = max(n(l), nB), ..., nBk) ), bk = am(k).
В самом деле, тогда tn(k) не убывает с ростом k, и мы имеем при всяких
k, p и q:
I am(k)+q ~~ am(k) I ^ I am(k)+q ~ anBk)l + I amlk) ~ anBk) I
/111
^ 2k ^ 2k '
, i/ 1
I am(k)+q~am(k) <<1~'
I b — bk 13= I am(k+p) — am(k) l< ~? ¦
9. (К стр. 29.) Кон. Ваши примеры очень милы и остроумны.
Каждый из них основан на некоторой в настоящее время нерешенной
проблеме. Вы, очевидно, убеждены в том, что, как только используемая
вами проблема будет так или иначе решена (что вполне может случить-
случиться), вы тут же изобретете другой пример того же рода, основанный на
другой нерешенной проблеме.
Давайте, однако, немножко пофантазируем. Представим себе, что
некий гениальный математик изобрел единый'общий метод («алгорифм»),
позволяющий решить любую единичную математическую задачу, т. е.
дать правильный ответ «да» или «нет» на любой математический вопрос,
требующий такого ответа. Ведь тогда вы не смогли бы построить ни
одного нужного вам примера и вам, по-видимому, ничего не-оставалось
бы,как во всем соглашаться сгосподином Классом. А вы, по-видимому,
считаете себя застрахованным от этой мрачной перспективы. Конечно, вы
163

знаете, что Чёрч доказал неразрешимость проблемы разрешения [Чёрч,
1936] и что в настоящее время доказана неразрешимость ряда куда бо-
более скромных «массовых» математических проблем. Но ведь все эти
результаты основаны на том или ином уточнении понятия алгорифма
(«единого общего метода»), например на понятии рекурсивной функции,
и на предположении об адекватности этого уточнения, например на те-
тезисе Чёрча, утверждающем, что «рекурсивность» равносильна «вычис-
«вычислимости». Ясно, что без копания в понятии алгорифма никакое дока-
доказательство невозможности разрешающего алгорифма не пройдет. Если
вы не хотите признать тезис Чёрча или что-нибудь в этом роде, то вы
вынуждены будете согласиться с тем, что все ваши расхождения с госпо-
господином Классом зависят от состояния наших знаний в настоящий мо-
момент. Все ваши антиклассическне высказывания придется тогда рас-
рассматривать как истины «de facto», а не «de jure». Устраивает ли это вас?
С другой стороны, если бы вы признали тезис Чёрча и современ-
современную теорию алгорифмов, то это, по-видимому, означало бы существен-
существенную перестройку вашего математического мировоззрения, переход от
интуиционизма к конструктивному пониманию математики.
10. (К стр. 29.) Кон. По-моему, это отнюдь не «достаточно ясно».
Ведь может оказаться, что всякое доказательство невозможности ра-
равенства а — b будет давать искомые пик. Впрочем, вы ведь собираетесь
впоследствии привести более веские доводы. Поэтому отложим этот
спор.
11. (К стр. 31.) Условие а ДО достаточно, но не необходимо для
ограниченности последовательности, определяющей сг1, как показыва-
показывает пример последовательности {ап), где ап — 0 при всяком п.
12. (К стр. 42.) Кон. В настоящее время никто действительно не
знает, чему равен предел построенной вами последовательности. Можно,
однако, привести к противоречию предположение о том, что такого пре-
предела не существует. В самом деле, в этом случае 2 не является пределом
данной последовательности. Отсюда следует, что в десятичном разло-
разложении п не встречается ряд цифр 0123456789. Но тогда ап = 1—2"п
при всяком п и 1 есть предел нашей последовательности вопреки пред-
предположению. Это рассуждение, очевидно, приводит к противоречию
и более слабое предположение о том, что ни 1, ни 2 не являются преде-
пределами рассматриваемой последовательности. Конечно, все это отнюдь не
значит, что мы доказали существование предела этой последователь-
последовательности. Для этого нам следовало бы указать способ вычисления такого
предела с любой точностью, чего мы в настоящее время не умеем делать.
Иначе, обстоит дело с ограниченными монотонными последователь-
последовательностями в конструктивном анализе, основанном на понятии конструк-
конструктивного действительного числа. Здесь удалось построить возрастающую
164

ограниченную последовательность рациональных чисел, не сходящуюся
ни к какому пределу [Шпекер, 1949]. Этот результат не зависит от
того, что мы умеем делать и что мы знаем в настоящее время.
13. (К стр. 43.) Кон. Странно слышать, что с понятием «произ-
«произвольного закона», дающего «полное предписание для вычисления л-го
члена последовательности», т. е., по существу, с понятием алгорифма,
перерабатывающего натуральные числа в рациональные, нельзя иметь
дело. Современная теория алгорифмов не боится иметь дело с этим по
нятием. Эта теория не основана ни на какой особой «формальной систе-
системе», а лишь на том или ином уточнении понятия алгорифма. Таких
уточнений было предложено несколько, но все они оказались, по суще-
существу, равносильными.
Что же касается соответствия нашему интуитивному представле-
представлению о континууме, то это представление столь смутно, что едва ли мож-
можно всерьез спорить о том, какая теория более ему соответствует. Мне
представляются куда более существенными, с одной стороны, конструк-
конструктивность теории,т.е.возможность ее построения без привлечения абстрак-
абстракции актуальной бесконечности, с другой — пригодность теории для
обслуживания естествознания и техники.
14. (К стр. 44.) Кон. Никак не могу считать это понятие ясным.
Прежде всего словосочетание «бесконечно продолжающаяся последо-
последовательность» само по себе ровно ничего не выражает. Для того чтобы
оно начало что-то выражать, надо так или иначе разъяснить его смысл.
Вы говорите, что это «последовательность, которая может быть про-
продолжена до бесконечности». Но раз только «может быть продолжена»,
то это, по-видимому, просто конечная последовательность. Ведь как
будто всякая конечная последовательность может быть продолжена
как угодно далеко (а это, наверно, и значит «до бесконечности»). Таким
образом, неясность остается и после вашего пояснения. Я подозреваю,
что вам самим понятие БПП не кажется таким уж ясным [Гейтинг,
1955].
Впрочем, господин Класс, вероятно, по-своему «понимает», что та-
такое БПП. Он скажет нам, что это—произвольное множество упорядо-
упорядоченных пар, удовлетворяющее следующим условиям.
1. Первый член всякой пары, принадлежащей рассматриваемому
множеству, есть натуральное число.
2. Для всякого натурального числа п в множестве имеется един-
единственная пара с первым членом п.
Под я-й компонентой БПП а господин Класс будет понимать
второй член принадлежащей а паре с первым членом п.
Я тоже хочу по-своему истолковать понятие БПП. Вопреки вашим
замечаниям о «свободном выборе» и «метании жребия» я предлагаю по-
165

нимать под БПП алгорифм, применимый ко всякому натуральному
числу, n-й компонентой БПП 2( я предлагаю называть тот объект, в ко-
который алгорифм 2( перерабатывает п.
Не могу не пожалеть того человека, которого вы собираетесь за-
заставлять делать столько «свободных выборов» или «метаний жребия».
Мое понимание БПП гуманнее, так как алгорифм может выполняться
по мере надобности машиной. А главное — мое понимание конструк-
конструктивно. Ведь понятие алгорифма может быть стандартизовано, что дает
возможность кодирования алгорифмов, записи их посредством «слов»
в фиксированном алфавите. Алгорифмы тем самым становятся конструк-
конструктивными объектами. К ним можно применять другие алгорифмы, что
имеет большое значение в конструктивном анализе.
Ваши же БПП не суть конструктивные объекты, и я не умею с ними
обращаться.
16. (К стр. 47.) Кон. Предлагаю следующие конструктивные
варианты только что данных определений.
Определение 1. Законом потока называется алгорифм 51, удов--
летворяющий следующим условиям.
A) 21 применим ко всякому натуральному числу.
B) Если 2( аннулирует (т. е. перерабатывает в пустое слово) какую-
нибудь последовательность натуральных чисел а^ ап, ап+1, то
51 аннулирует и ее предшественницу аг ап.
C) Если % аннулирует последовательность натуральных чисел
аъ . . ., ап, то 21 применим ко всякой ее преемнице at ап, k.
D) Если 51 аннулирует последовательность натуральных чисел
а1 ап, то можно найти хотя бы одно натуральное число k, такое,
что 21 аннулирует последовательность аг ап<^-
Определение Г. Последовательности натуральных чисел
% ап, аннулируемые законом потока 21, называются допусти-
допустимыми последовательностями, закона потока %.
Определение 2. Пусть 51 — закон потока. Законом, допол-
дополнительным к %, называется алгорифм, применимый ко всякой допусти-
допустимой последовательности этого закона потока.
Определение 2'. Потоком называется пара алгорифмов,
первый из которых есть некоторый закон потока, а второй — некото
рый дополнительный к нему закон.
Определение 3. Алгорифм ? допустим по закону потока %
если он применим ко всякому натуральному числу, и при любом п
последовательность <? A) ? (я) есть допустимая последователь-
последовательность 2(.
166

Определение 3'. Если пара <3(, 55> есть поток и алгорифм (Г
допустим по 2(, то алгорифм, перерабатывающий всякое натуральное
число п в Ъ ((? A) ?(")), есть элемент потока <2(, 55>.
Определение 4. Элементы !J) и (? двух потоков равны, если
ф (я) = (? (га) при всяком натуральном п.
Определение 5. Два потока равны, если любой элемент
одного из них есть элемент другого.
16. (К стр. 54.) Для тех п, для которых dn^>cn, мы могли бы
заменить dn в ЧГ {dn2~n} на сп, достигая этим соблюдения условия
dnKcn. В самом деле, для таких п имеем: d > с„2~"—-§-2~",
о
так как d > dn2~« - А 2""; d < с„2-" + А 2"", так как d > с
О О
и с < с„ 2"" + А 2~"; следовательно, | d - с„2"" | < А 2~п.
8 8
17. (К стр. 54.) Поток S строится следующим образом. Закон
потока Л$ выделяет в качестве допустимых те последовательности целых
чисел xlt . . ., xk, которые удовлетворяют условиям A) при 1 ^ п <^ k
и условиям каноничности 3.3.3 B) при 1 < п <С k. Дополнительный
закон Г5 сопоставляет каждой допустимой последовательности xt, ..., xk
рациональное число xk2~k. Мы здесь несколько отошли от первона-
первоначального определения потока, согласно которому закон потока должен
иметь дело с последовательностями натуральных чисел. Это обобщение,
очевидно, не является существенным, поскольку с помощью нумерации
целых чисел рассмотрение таких более общих потоков естественным
образом сводится к рассмотрению потоков в первоначальном смысле.
18. (К стр. 54.) Это усматривается следующим образом.
Выбор хп+1 ограничен лишь условием 3.3.3B) и условием
Первое может быть переписано в виде
(*) 2дг„- 1 < дг„+1 < 2дг„ + 1.
Таким образом, целое число лгпх1 должно лишь быть таким, что
max (dn+1, 2xn — 1) < хп+1 < min (с„+1, 2хп + 1).
Ввиду того что эти границы для хп+1 суть целые числа, для возможности
выбора лгп+1 достаточно, чтобы соблюдалось неравенство
(**) max (dn+r 2xn — 1) < min (с„41, 2хп + 1).
167

Это неравенство соблюдается. В самом деле, мы уже позаботились
о соблюдении условия dn+1 < сп+г Ввиду каноничности ЧГ {dn2~n},
имеем
что следует из 3.3.3 B), написанного для этого ЧГ. С другой стороны,
при выборе хп было соблюдено условие dn <J xn. Следовательно,
dn+1 <^ 2*„+1- Аналогично усматриваем, что 2хп — 1 ^ сп+1. Наконец,
имеем 2хп — 1 < 2хп + 1. Таким образом, неравенство (**) соблюдено.
Следовательно, имеется хотя бы одно допустимое значение для Дг„+1.
Что таких значений имеется не более трех, видно из условия (*).
19. (К стр. 58.) Кон. По-моему, все дело в том, как ссылаться
на возможные способы установления «данных теоремы». Для того
чтобы такая ссылка была убедительной, надо произвести глубокий ана-
анализ наших логических средств, показывающий, что действительно
иных способов, кроме принятых во внимание ^"-выводов и ^-выводов,
у нас нет. Ничего такого вами не сделано. Да и возможно ли это вообще
при рассуждениях о столь туманных материях, как БПП в вашем по-
понимании этого термина? Ввиду этого все ваше доказательство теоремы о
веерах кажется мне совершенно неубедительным и легковесным. Не-
Немудрено, что оно понравилось господину Классу.
Естественно возникает вопрос, как обстоит дело с теоремой о веерах
при конструктивном понимании потоков и БПП, изложенном мною
перед этим (см. примечания 13 и 14). На этот вопрос можно дать совер-
совершенно определенный ответ. При таком понимании эту «теорему» можно
опровергнуть на примере. Мы воспользуемся прн изложении этого при-
примера некоторыми результатами И. Д. Заславского [Заславский,
1962].
В цитированной работе он определяет понятие регулярной последо-
последовательности («кортежа») чисел 0 и 1 (речь пока идет о конечных после-
последовательностях). Это делается так, что имеют место следующие леммы.
Лемма 1. Имеется алгорифм, распознающий регулярность после-
допательности, т. е. применимый ко всякой последовательности целых
неотрицательных чисел и аннулирующий ее тогда и только тогда, ког-
когда она есть регулярная последовательность (нулей и единиц).
Лемма 2. Для любого натурального числа п может быть указана
гс-членная регулярная последовательность.
Лемма 3. Предшественница а\ ап всякой регулярной последо-
последоап^.г регулярна.
168

Лемма 4. Каков бы ни был алгорифм 36, перерабатывающий всякое
натуральное число в натуральное число, можно указать такое натураль-
натуральное число т, что последовательность
не будет регулярной.
Построим теперь алгорифм % таким образом, чтобы он был при-
применим ко всякой последовательности натуральных чисел а± ап
и чтобы он аннулировал такую последовательность тогда и только
тогда, когда имеется натуральное число р ^ п, такое, что последова-
последовательность аъ . . ., ар регулярна и что ас= 2 при р < i <; п. Иными
словами, 5( должен среди конечных последовательностей целых неот-
неотрицательных чисел распознавать последовательности, получаемые
нз регулярных приписыванием справа двоек (число которых может,
в частности, равняться нулю). Нетрудно видеть, что такой алгорифм
может быть построен.
Алгорифм 91, очевидно, удовлетворяет условиям A), C) и D) опре-
определения закона потока. В силу леммы 3 он удовлетворяет и условию
B) этого определения. Таким образом, 31 есть закон потока.
Пусть 55 есть алгорифм, перерабатывающий всякую последователь-
последовательность неотрицательных целых чисел в последний член этой последо-
последовательности.
53 является законом, дополнительным к 9{. Пара алгорифмов
<%, 55> является потоком и, очевидно, веером. Согласно определению
элементов потока 3', всякий элемент потока <М, 55> допустим по 5(,
и, обратно, всякий алгорифм, допустимый по 2(, есть элемент потока
<2(, 55>.
Рассмотрим произвольный элемент ЭЕ потока <2(, 55>. Он допустим
по 91, т. е. является алгорифмом, применимым ко всякому натураль-
натуральному числу н таким, что при всяком натуральном т последователь-
последовательность
(•) 3f(l).. .,ЗЕ(ш)
аннулируется алгорифмом %, т. е. получается из регулярной последо-
последовательности приписыванием справа двоек (число которых может рав-
равняться нулю). Число т может быть здесь выбрано согласно лемме 4 таким
образом, что последовательность (*) не будет регулярной. Тогда эта
последовательность будет содержать двойки. Мы видим, таким обра-
образом, что для всякого элемента X потока <%, 55> может быть указано
натуральное число t, такое, что 36 (i) = 2. Тем самым на этом потоке
определяется целочисленная функция ср, такая, что ее значением для
элемента X потока <91, 55> является наименьшее натуральное число i,
такое, что X (I) = 2.
169

Возьмем теперь произвольное натуральное число N. Согласно
лемме 2, может быть указана регулярная последовательность
Построим алгорифмы Ж и Ч) таким образом, что
Ж @ = i
w \2 при N < t";
fa,- при 1 <; i < N + 1,
\2 при7У + 1 <;.
Нетрудно видеть, что Ж и Ч) суть элементы потока <2(, &>. Имеем
(**) Ж (<) = ?) @ при 1 < i < TV
и вместе с темф (Ж) = TV -f- 1, тогда какф (Ч)) = N + 2. Таким образом,
при любом натуральном ./V могут быть указаны такие элементы потока
Ж и Ч), что будут соблюдены условия (**), тогда как ф (Ж) фц> D))t
Это противоречит конструктивно понятой теореме о веерах.
Заметьте, что функция от алгорифма ф определена законно, т. е.
так, что ее можно рассматривать как функцию от БПП: для двух алго-
алгорифмов Ж и Ч), таких, что Ж (i) =4) (i) при всяком i значения функции ф
совпадают.
20. (К стр. 59.) В самом деле, пусть | xt— x2 \<C2~N~B. Положим
х = Xl ~)~ *2 . Построим для х каноническую последовательность
{?(2-"»}, такую, что | х — ?<2~т |< — 2'т при всяком т. (См. за-
16
мечание в конце 3.3.3.) Имеем
\ л х ? 1 *\ ^ \1 1, ?]
и потому при m^N имеем
xt — ^(.тJ~т j ^ _9_ 2-"t ^_ 2"-* ^ JL2".
Поэтому при построении канонических последовательностей
и {E,^mJ"m} для чисел хх и х2 можно положить ?Aт) = ?^т) = ?(от*
(т «5 ЛО.
21. (К стр. 59.) Кон. В конструктивном анализе предложение,
совпадающее по формулировке с теоремой 1, опровергается на при-
примере. Более того, И. Д. Заславским построена конструктивная функ-
функция действительной переменной, определенная на замкнутом интерва-
170

ле [О, 1], которая не только не является равномерно непрерывной
но даже не ограничена [Заславский, 1962]. Однако в конструк-
конструктивном анализе доказана непрерывность всякой конструктивной функ-
функции действительной переменной в каждой точке, где она определена
[Марков, 1958; Цейтин, 1962].
22. (К стр. 59.) Кон. Такая теорема имеет место и в конструк-
конструктивном анализе [А. А. Марков, 1954].
23. (К стр. 59.) Пользуясь тем, что функция / даже равномерно
непрерывна, можно следующим образом доказать, что она постоянна.
Возьмем б > 0 так, чтобы неравенство | / (л-) — / (у) | < 1 соблюдалось
для любых двух точек рассматриваемого интервала, таких, что
| х — у | <^ 6. Так как / принимает лишь значения 0 и 1, будем иметь
/ (х) = f (у), коль скоро \х — у | < 6. Фиксируем точку х0 рассматри-
рассматриваемого интервала. Для любой точки х этого интервала строим ряд
точек хх хп, такой, что | хг — xt_t | < б @ </¦<«) и что хп = х.
Имеем / (хг) = / (х?_г) @ < I < п), откуда f (х) = f (x0).
24. (К стр. 59.) Кон. Так звучащее предложение опровергается
на примере в конструктивном анализе [Заславский, 1962].
25. (К стр. 59.) гп является п-й компонентой канонической после-
последовательности для одного из значений функции f. Обозначим через
уп+1(п + 1)-ю компоненту этой последовательности. гп+1 является
(п -)- 1)-й компонентой канонической последовательности для одного
из значений функции /. Обозначим через уп п-ю компоненту этой по-
последовательности. Имеем
<2-"-1,
Ввиду минимальности zn и zn+1 имеем
Следовательно,
и потому | гп — zn+1 | < 2~п х. Отсюда следует, далее, что | 2— гп \ <^2~п
при всяком п.
Пусть {ип} — одна из рассматриваемых канонических последо-
последовательностей для значений функции /. Ввиду минимальности гп имеем
171

гп ^ ип при всяком п и потому г ^ и. Таким образом, г — нижняя
грань значений функции /.
С другой стороны, гп является л-й компонентой канонической по-
последовательности для некоторого значения у функции f. Поэтому
| г — у\ < -2-2"", и, следовательно, \у — г ]< -2- 2~". Таким обра-
8 8
зом, функция / принимает значения, сколь угодно близкие к г. Следо-
Следовательно, г — наибольшая нижняя грань для / (дг).
26. (К стр. 59.) Кон. Так звучащее предложение опровергается
на примерах в конструктивном анализе. Прежде всего у положитель-
положительной (конструктивной) функции может вообще ие быть наибольшей ниж-
нижней грани [Заславский, 1962]. А затем даже если положительная
функция равномерно непрерывна, то и тогда ее наибольшая ииж.ияя
грань может равняться нулю. Однако равномерно непрерывная кон-
конструктивная функция всегда имеет наибольшую нижнюю и наимень-
наименьшую верхнюю грани (см. там же).
27. (К стр. 60.) Кон. О построенной вами функции / вы, однако,
ие можете утверждать, что она не достигает своей наименьшей нижней
грани в промежутке [—1,1]. А вот в конструктивном анализе строится
функция, равномерно непрерывная в этом промежутке и не достигаю-
достигающая в нем своей наименьшей нижней грани [Заславский, 1962].
28. (К стр. 61.) В конструктивном анализе предложения (А), (В) и (Q
опровергаются иа примере вида компонент шпекеровой последователь,
ности [см. комментарий 12] рациональных чисел. Этот вид ограничен-
бесконечен и не имеет точки накопления, чего нельзя сказать о виде,
приводимом в вашем примере.
29. (К стр. 61.) См. 3.3.3.
30. (К стр. 61.) Число а можно взять здесь как xrJ__x—1, где
хг^?~г~х — (г+1)-я компонента канонической последовательности
для х.
31. (К стр. 61.) Кон. В конструктивном анализе предложение,
совпадающее по формулировке с теоремой 2, опровергается иа примере
следующим образом. Согласно И. Д. Заславскому [Заславский, 1962]
строится система замкнутых промежутков Et j (i = 0, 1, 2,...;
/= 1 k-) со следующими свойствами:
О)*о= 1;
B) ?,>0 A = 0. 1, ...);
C) Еол= [0, 1];
172

4) каждый из промежутков ?,-+1-/ (/= 1 ^+1) содержится
внутри одного из промежутков Et A;
E) промежутки Et y. и Et h, где j=f=h, не имеют общих точек;
F) концы каждого промежутка E.f суть рациональные числа;
G) для всякого конструктивного действительного числа х могут
быть указаны натуральное число i и рациональные числа а и Ь, такие,
что а < х < b и что промежуток [а, Ь] не имеет общих точек нн с одним
промежутком Е; ] (j' = 1 kt).
Пусть Q есть вид левых концов промежутков Et j (i = 0, 1, 2, . . . ;
/= 1, . . ., k%).
В силу B) и D) Q бесконечен. В силу A), C) и D) QC [0, 1] и,
значит, Q ограничен.
Пусть х — конструктивное действительное число. Построим нату-
натуральное / и рациональные числа а и Ь, согласно G), таким образом, что
X будет лежать внутри промежутка [а, Ь] и что этот промежуток не
будет иметь общих точек нн содним из промежутков Е{ j(j= 1. • • •, k^).
В силу D) [а, Ь] не имеет общих точек ни с одним из промежутков
Ehj (Л > i, / = 1 kf). Поэтому общими точками вида Q и про-
промежутка [а, Ь] могут быть лишь левые концы промежутков Eh-, где
h <C '• Ввиду F) все эти точки могут быть перечислены. Они образуют ко-
конечный список без повторений: сх ст. Положим
d = min I cr — с |.
i<r<s<m
Пусть {дгл} — каноническая последовательность для х. Тогда
1 1
Имеются натуральные числа k и р, такие, что a -f- т <С xp+q<^b— Т"
при всяком натуральном q. Найдем натуральное число г таким образом,
чтобы соблюдалось условие
Имеем:
1
< х - 2~г,
173

Таким образом, промежуток [x—2 r, x-{-2 r] содержится внутри
промежутка [а, Ь\ и потому может иметь с видом Q разве лишь общие
точки с\ ст. Промежуток [х — 2~r, x + 2~г] имеет, однако, длину
2~г+1, меньшую, чем d, и потому не может содержать более одной
точки сг
Этим мы показали, что для всякого конструктивного действитель-
действительного числа х может быть найдено такое натуральное число г(х), что
промежуток [х — 2~~r, x г}- 2~г\ не сможет содержать двух различных
членов вида Q. Вместе с тем этот вид ограничен и бесконечен.
32. (К стр. 62.) Обратным для элемента а здесь называется такой
элемент Ь, что а + Ъ = 0.
33. (К стр. 63.) Здесь элементом, обратным дляэлемента а, назы-
называется такой элемент с, что а-с= 1.
34. (К стр. 67.) Кон. В вашем примере мы в настоящее время
не умеем указывать решение уравнения ах + by = 0, отделенное от
нулевого. А я могу доказать, что невозможен алгорифм, указывающий
для всякой пары конструктивных действительных чисел а и b решение
этого уравнения, отделенное от нулевого. Этот факт я выражаю так:
«неверно, что всякое уравнение ах-]- by = 0, где а и b — конструктив-
конструктивные действительные числа, имеет решение, отделенное от нулевого».
35. (К стр. 67.) Эта теорема не есть «частный случай» теор. 1 из
4.2.1, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Однако
теор. 1 из 4.2.4 легко выводится из теор. 1 из 4.2А.
36. (К стр. 69.) Мы применяем здесь теор. 4 из 4.1.3.
37. (К стр. 69) Здесь следует принять во внимание, что, как вид-
видно из определения векторов cs> имеют i/есто равенства bS[— csi(i = 1,
...r;s=l, ... г+1).
38. (К стр. 72.) Здесь автор отождествляет упорядоченные пары
последовательностей с последовательностями упорядоченных пар.
174

39. (К стр. 77.) Относительная граница подвида S вида Е может
быть определена как вид тех точек р вида Е, для которых при всяком
натуральном « могут быть указаны точки qn и г„, такие, что
|р-?„ К*"". |р-г„|<2-"и что qn?S, a rn?E-S. В рас-
рассматриваемом случае элементарного домена V его относительная граница
есть замыкание результата вычитания пересечения границ V и Е из
границы V.
40. (К стр. 77.) Это следует из того, что \q — г \^з> d, тогда как
{p-qK-^d.
41. (К стр. 81.) Приведенное в тексте доказательство теоремы 1
не убедительно [переквалификация точки г в допустимый узел; от-
отсутствие доказательства предложения (i)]. Мы предлагаем здесь неко-
некоторое дополнение к этому доказательству.
Докажем прежде всего, что среди любых различных пяти узлов
ръ . . ., ръ «-решетки найдутся два узла ph и р , такие, что
( ph — Pj | > 2~"+1. В самом деле, пусть р; — (а,-2~", Ь-2~п), где
at и bt — целые числа. Невозможно, чтобы среди чисел %, . . ., аъ
было не более двух различных и среди чисел Ьь . . ., Ь5 тоже было
не более двух различных. Если бы это было так, то имелось бы не более
четырех различных точек (ah2~n,b.2~n), а ведь пять различных точек pt
содержится среди точек (ah2~n, Ъргп). Если имеются три различных
числа ctt; то пусть ah означает наименьшее из а(, а,—наибольшее из а(; ес-
если же имеется не более двух различных aL, то пусть наименьшее из bt,
б; — наибольшее из br Согласно только что доказанному, имеем
| ah — ay | > 2 или | bh — bj | > 2. В обоих случаях имеем
\ph — pt | > 2~"+1, что и требовалось.
Проведем теперь для всякого натурального числа п конструктивную
классификацию узлов «-решетки на допустимые и недопустимые, как
в тексте: имеем р (р, Q) < -g- 2~", коль скоро узел р «-решетки допу-
допустим, и р (p,Q) ]>2~", коль скоро он недопустим. (В дальнейшем эта
классификация изменяться не будет) Покажем, что для всякой точки q
вида Q и для всякого натурального п может быть указан допустимый
узел р «-решетки, удовлетворяющий условию \р — q |< -g- 2~n,
В самом деле, пусть q= (q\ q") 6E Q, и пусть « — натуральное
число. Пусть р' означает «-й член канонической последовательности
для q', р" — «-й член канонической последовательности для q". Пусть
Pi =(р',Р")- Имеем \р' - q' |< j- 2~п, | р" - q" \ < у 2~п и для
некоторых целых чисел а и 6 имеем р' = а2~п, р" = Ь2~п. Поэтому рх
175

есть такой узел «-решетки, что \р1 — q | < -g- 2 ". Выясним, допустим
ли этот узел, что возможно ввиду конструктивности нашей классифи-
классификации узлов. Если р1 допустим, то построение закончено. Пусть рг
недопустим.
Тогда р (pv q) > 2"" и потому \ рг — q\ > 2~п~1. Поэтому
имеется рациональное число е > 0, такое, что |pt — q | > (у + ej2~"
Мы можем теперь повторить построение предыдущего абзаца е заменой
5 /1 \
коэффициента -<г на коэффициент 1"о"+ е 1. Это дает нам такой узел рг
«-решетки, что \р2 — q l< (tj- + в) 2~" < | рх — q \ . Если р2 допу-
допустим, то наше построение закончено. В противном случае продолжаем
его дальше аналогичным образом.
Процесс последовательного построения узлов pt «-решетки, таких,
что |pm — q\ < |p,- — q | <-g-2~", должен, однако, закончиться
не позже чем на четвертом шагу. В самом деле, если бы нам пришлось
сделать и пятый шаг, то мы получили бы пять попарно различных
узлов Pi, . . ¦, Рь «-решетки, таких, что \pt —q | < -g- 2"". Для любых
5 „
Л и / мы имели бы \ph — р7-|<-^-2 , а с другой стороны, должны
были бы иметься Л и /, такие, что \ph — Pj { > 2~n+1.
Закончиться указанный процесс может, однако, лишь на таком
допустимом узле pk (k ^ 4) «-решетки, что \pk — q | ¦< -g- 2~". Следо-
Следовательно, может быть найден такой допустимый узел р «-решетки, что
р - я I <х 2~п-
Теперь легко осуществляется намеченное в начале авторского дока-
доказательства построение допустимого узла г (« + 1)-решетки по данному
допустимому узлу р «-решетки. При этом не требуется никаких пере-
переопределений допустимости, нарушающих ход доказательства.
В самом деле, пусть р — допустимый узел «-решетки. Имеем
Р (P. Q) < "§¦ 2~". Поэтому может быть найдена такая точка q EzQ,
что \ р — q \ < -g- 2"". Для этой точки может быть, согласно доказан-
доказанному, построен такой допустимый узел г («+ 1)-решетки, что
|<7-г|<4 2-". Имеем | р - г |< -[§- Тп < Г".
Дальнейшее можно теперь провести, как в тексте. В частности,
для доказательства предложения (i) надо лишь при всяком натураль-
176

ном « брать в качестве р„ такой допустимый узел n-решетки, что
42. (К стр. 81 ) Из неравенств | q — рп |< -g- 2~" и | г — рп |<
-g-2~" отнюдь не следует, что р„ — допустимый узел «-решетки.
Поэтому данный «королларий» и последующую лемму нельзя считать
доказанными Мы докажем их сейчас в несколько ослабленной фор-
формулировке, заменяя — « — 3 в показателях на — « — 4
Королларий Для любых точек q и г ограниченного замкну-
замкнутого локализованного вида Q, таких, что \q—r|<2~"~4, можно
найти такой допустимый узел рп «-решетки, что | q — р„ | < тт 2~"
и | г - р„ |< -J- 2-" .
В предыдущем комментарии мы указывали построение такого до-
допустимого узла р «-решетки, что \р — <? | <С "g" 2~". Нетрудно, однако,
видеть, что это построение дословно проходит с заменой коэффициен-
5 1
та ~о любым рациональным числом, большим чем -^ . Таким образом,
может быть найден допустимый узел рп «-решетки, такой, что | q — р„ |<
9 9 5
-jg- Tn. Так как -jg- 2~" + 2~" = у 2~", то оба неравенства:
I 9 — Р„ I < ~g 2"" и | г — рп | < -g- 2"n будут при этом соблюдены.
Последующая лемма с заменой в ней — « — 3 на — « — 4 теперь
непосредственно получается В этой лемме S означает ТГ-веер,
построенный, как указано в доказательстве теор 1.
43. (К стр. 82) Последнее рассуждение ничего не доказывает.
Доказать предложение (и) можно следующим образом.
Находим рациональную точку г из Vn+i таким образом, чтобы соблю-
соблюдалось условие
что возможно по определению рп+2 Точка г принадлежит одному из
квадратов с длинами сторон 3-2"" 2 и с центрами в («+ 2)-х компонен.
тах элементов потока S. Пусть р„+2 есть центр этого квадрата Имеем
\г — ргг+2 | Д>3-2~" ргг+2 есть (« + 2)-я компонента некоторого ТГ
qn из S Имеем |р„+2 — qn \ Д> 2~п~2 и по доказанному qn 6E М. При-
177

нимая во внимание, что р„+2^>Ро> получаем, наконец,
\Р-Яп\>\Р-Г\+\Г- Рп+2 I + I Рп+2 - Чп I.
I Р - <7„ К Ро + 2-"'3 + 3.2-"-3 + Тп~г
< Ро + 2-я,
что и требовалось дока1ать.
44. (К стр. 83.) Кон. Предложения, совпадающие по формули-
формулировкам с теор. 3, 4 и 5, опровергаются в конструктивном анализе
на примерах [Заславский, 1962].
45. (К стр. 84.) Кон. В конструктивном анализе «теоргча Гей-
Гейне—Бореля» опровергается на примера [Заславский, 1962].
46. (К стр.86) Кон. В конструктивном анализе предложение^
совпадающее по формулировке с леммой 1, может быть опровергнуто
на примере. Однако конструктивно доказуемо следующее видоизмене-
видоизменение леммы 1.
Л е м м а Г. Если элементарный домен W содержится в области
А = {Vп} и существует lim mVп, то mW J-lim mVn. [Cp Заслав-
Заславский и Цейтнн, 1962.]
Этой леммы достаточно для доказательства теор 1.
47. (К стр. 80 ) К о н. Вот конструктивное доказательство теор.
1. Пусть А = {Vп], В = {Wn} и существуют тА = lim Vп и тВ =
lim Wn. Для данного k няходим п, такое, что тВ — tnWn<C 2~ft;
в силу леммы Г имеем rnWn > тА. Следовательно, тВ < тА + 2~*и;
так как это верно для любого k, имеем тВ Д> тА
48. (К стр. 8о) Кон. Вторая часть ватги теор 2 непосредст-
непосредственно следует из теор 1, а с первой частью я согласиться не могу
ввиду осуществимости так называемых сингулярных покрытий
[Заславский и Цейтин, 1962]. Мне думается, однако, что опре-
определения меры и измеримости области следует несколько изменить,
формулируя их так область А измерима, если она совпадает с неко-
некоторой областью, определяемой последовательностью элементарных
доменов {V'п}, для которой последовательность чи'-ел {mVn) сходится;
число ц есть мера области А, если имеется последовательность элементар-
элементарных доменов {Vп}, определяющая область, совпадающую с А, и такая,
что lim mV n= p. При таких определениях первая часть вашей теор. 2
станет тривиальной, а вторая сможет быть трактована как теорема
единственности меры области.
173

49. К стр. 88.) Последние соотношения не доказаны, и мы пока
даже не знаем, что выражение р (р, L) имеет смысл. Закончить дока-
доказательство можно следующим образом. Пусть р — произвольная точка-
Так как L cz Нп, то р (р, Нп) ^> | р — q | для всякой точки q вида L.
Так как всякий содержащийся в Яп хп-квадрат имеет общую точку
с L, то имеется точка qn вида L, такая, что
(*) ! Р - Я п\ > Р (Р. Нп) + 2"".
Для этой точки и для любого натурального числа k имеем
р (р, Hn+k) > I р — <7„ |, откуда р (р, Hn+k) > р (р, Я„) + 2"" для лю-
любых натуральных чисел п и А. С другой стороны, имеем, как нетрудно
видеть, Нп+1 С Нп для любого натурального числа п. Следовательно
Hn+k ? Ип и р (р, Я„) > р (р, Нп+к). Таким образом, | р (р, Я„) —
р (р, Hn+k) | ^> 2^" и последовательность чисел р (р, Яп) сходится.
Пусть I = lim р (р, Яп). Переходя к пределу в соотношении р (р, Яп)^>
|р — с? | (<7 6=^), получаем Z ^> | р — <7 | (q EiL). Ввиду того что
последовательность {р (р, Нп)} неубывающая, имеем р {р, Нп) ^> I.
Соотношение (*) дает поэтому
где qn G= L. Мы видим, что Z есть наибольшая нижняя грань чисел
|р — (? I, где с7 пробегает/., т.е. что / = р (р, L). Таким образом,
р (р, Z.) может быть вычислено для любой точки р, т. е. вид/, локализо-
локализован, что и требовалось доказать.
50. (К стр. 89.) Элементарные домены Wn мы определяем здесь
следующим образом. М = Е —А, где А есть область Пусть А опре-
определяется последовательностью элементарных доменов {Vn}, где Уп
при всяком п лежит внутри Vп+ . Полагаем Wп = а Vп.
со
Согласно теор. 2 из 5.1.4, имеем М = f) U^n. Нетрудно видеть,
что при всяком п Wn+1 лежит внутри Wn и что lim mWn = тЛ4
51. (К стр. 89.) Об измеримости N следует позаботиться при отре-
отрезании полосок.
52. (К стр. 89.) Под «обратным предложением» здесь понимается
след>ющее предложение «дополнение к почти полному виду есть пре-
небрежимый вид».
53. (К стр. 91,) Это определение интеграла непригодно, как по-
показывает следующий пример.
179

Пусть Q = Е и функция / тождественно равна нулю в Е. Пусть
при всяком п имеем 1п = 0, kn = 23"+3; пусть Л„ есть внутренность
квадрата с противоположными вершинами (—2"", — 2"") и
B"", 2""); Кгс,*,, есть квадрат с противоположными вершинами
(_ 2~п-\ -2-"~2) и B-"-г, 2-"-г); К„о = Е - Vn_ kn и пусть ^п> h
есть пустой вид при 0 </!<?„. Нетрудно видеть, что условия (i),
(ii) и (iii) выполнены. Вместе с тем имеем при всяком п
2-n-i
откуда, согласно определению интеграла A),
что не вяжется ни с какими нашими представлениями об интеграле.
Кроме того, модифицируя в этом примере kn, мы могли бы получить и
\ Odx = N
Е
при любом натуральном N вопреки нижеследующей теор. 2. Теор. 1
тоже легко опровергается при определении A).
Мы предлагаем следующее изменение определений измеримости
и интеграла: вместо 1п и kn в условии (ii) и в равенстве A).определяю-
A).определяющем интеграл, пишется выражение С2", где С — натуральное число
(не зависящее от п). Это обязывает нас внести соответствующие изме-
изменения в формулировки и доказательства последующих теорем.
54. (К стр. 91.) К сожалению, так определенные элементарные
домены Wr ,,, где п фиксировано, вообще говоря, не покрывают Е.
Чтобы соблюсти условие (ii) (с заменой V на W), можно определить эле-
элементарные домены Wn h равенствами
' _ w пои С2п <** h ^C C2*1
«+1, 2ft ПРИ "= ^ '
Тогда, однако, возникают трудности с условием (iii), связанные с точ-
точками домена Wn h, о которых неизвестно, ни что они принадлежат
Vn+i. ih-v ни что они принадлежат Frj+1 2h. (См. следующий коммен-
комментарий.)
180

55. (К стр. 91.) Трудности, о которых говорилось в предыдущем
комментарии, при этом устраняются. Таким образом, осуществление
условия Л„+1 С Ап (п = 1,2,...) достижимо в два этапа: сначала мы
так изменяем Ап, чтобы каждое А п содержало границы всех Vп ft, затем
переходим от Ап и Vп h к Вп и Wn h согласно равенствам (*) (см. пре-
предыдущий комментарий) и равенствам
56. К стр. 93.) Вместо F) имеем
F') 2 | k 2~p~l — h 2~n~l \mYhk<. С2Г"*1;
h, k
вместо (8) получаем
(8') | 2-P-1 2 kmVpk _ 2-«-i S hmVnh \ < BC + 1) 2-".
57. (К стр У4.) Вместо этого получаем
I 2-"-1 S hmVnk ~ 2"" S *'П^П* I < 2"" (S 'n^W
C2"+1 2 «VhftX 2-" + C2-"+1 = BC+ 1) 2"".
58. (К стр. 94.) Кон. В конструктивном анализе предложе-
предложение, совпадающее по формулировке с теор. 1, опровергается на
примере [Заславский и Цейтин, 1962].
59. (К стр. 94.) Не видно, почему последнее предложение верно.
Завершить доказательство теор 1 (в интуиционистском анализе)
можно следующим образом.
Пусть Vп , = Vn (xt), где xt GLn (i = 1, .... m). При каждом >
находим целое число hc, такое, что
A)
Для каждого (' и для всякой точки х &fn / П Ln имеем
{h, - 1) 2-"-1 < f (x) < (ht + 1) 2-"-1.
Пусть натуральное число М является верхней гранью для |/(jr)|
и пусть С = 2М + 2. В силу A) имеем \ht \ < С2" (( = 1, . . ., т)г
181

Положим
U Wn,i при — C2"</i<C2",
' п, h —
Е — U Wп , при h = С2
_ /-•о"
Тогда, как легко убедиться, функция f измерима посредством {Тп hj
и {С„}.
СО. (К стр. 95.) Вместо этого неубедительного рассуждения пред-
предлагаем следующее доказательство.
Пусть / измерима посредством {Vп h) и {Ап}. Имеем 2~п — тАп ^> О
при всяком п. Так как / (х) = g (х) почти всюду, то при всяком п может
быть указана область Вп, такая, что / (х) = g (х) на Е — Вп и что
тВп < 2'" — тАп-Тогда g измерима посредством {Vп h) и {Ап U Вп},
Равенство интегралов очевидно.
61. (К стр. 97.) Кон. В конструктивном анализе предложение,
совпадающее по формулировке с теор. 1, опровергается на примере
[Заславский и Цейтин, 1962]
62. (К стр 97.) Происхождение этого неравенства непонятно.
63. (К стр. 97.) Этот вывод совершенно необоснован.
64. (К стр. 98.) Доказательство неубедительно не только ввиду
ссылки на теорему о веерах (см. предыдущий комментарий). При-
Приведем здесь поэтому исправленное интуиционистское доказательство
теор. 1.
Для всякого т можно найти такое областное дополнение Mmi
что тМт > 1 — 2~т~3 и что lim /л (х) = / (х) в каждой точке вида
п—»оо
Мт; Мт содержит локализованное областное дополнение Lm, такое,
что mLm > 1—2~т~2. Для каждой точки х ? Lm можно найти натураль-
натуральное число /V (х), такое, что /„ (х) определено при п >/V (x) и что тогда
|/ (х) — /л (х) | <[ 2~т~я. В силу теор. 1 из 5.2.1 и теоремы о веерах,
можно найти наибольшее значение /V (х) прил-?Е1т.
Обозначим наибольшее значение/V (х) черезЛ^ и фиксируем п>Лг1.
При х ? Lm имеем
A) l/W-/nW|<2^m-3.
Функция fn измерима. Пусть она измерима посредством {Vp h}
и {А }, где область А содержит при всяком р границы всех Vp h. Что
182

касается пределов изменения индекса А, то пусть |А | ^ BМ + 2) ?р,
где натуральное число М является общей верхней гранью абсолютных
величин значений всех функций fk. (Нетрудно видеть, что постоянная С
в определении измеримости функции g всегда может быть взята равной
2/И + 2, где М — натуральное число, являющееся верхней гранью
для \g(x)\.) Пусть Lm= E — Вт, где В т — область,
B) ^т. h ~ Vтлъ, 4h-2 U ^m+2. 4h-l U Vт+2, 4h U ^m+2, 4h+l
(|А| <BAJ + 2Jт),
где всякое f7m+2 ^ с | А: | > BЛ1 + 2) 2т+2 рассматривается как обозна-
обозначение для пустого вида.
В описанном построении т было произвольным натуральным чис-
числом. Область Ст и система элементарных доменов {Wm h) (| h | ^
BЛ1 + 2) 2т) могут быть таким образом построены для любого на-
натурального числа т. Покажем, что {Wm /,} и {Ст} измеряют /.
Так как {Vр h} и {Ар) измеряют /л, то тАт+2 < 2~т~2. Так как
т!т > 1 - 2-т-г, то тВт < 2-т и тСт < г" < 2"т. Таким обра-
образом, для {Wm h} и {Ст} выполнено (i).
Соблюдение (ii) вытекает из того, что Vm+% k (| k | < BЛ1 + 2Jт+г)
образуют простое покрытие ?, а в правых частях равенств B) каж-
каждое такое Vm+2 к встречается ровно один раз.
Пусть теперь хg Wm h П ^m Тогда *е?- ^m+2. и так как
Лт+2 содержит границы всех Vm+2 ^, то х принадлежит одному из
элементарных доменов Vт+2 ?> где
C) 4Л —2<*<4А-)-1.
Кроме того, л- 6Е ? — Вт, т. е. л- 6Е Im, в силу чего имеет место A).
Так как л- g Vm^2^ ft fl (E -Лш2) и /„ W определено, то
D) (Л- I)г-'3>/„ м >(* + и 2-т-3.
Из A), C) и D) следует, что
(h - I) 2-"' ! > / (д-) > (А + 1) 2-т~\
Таким образом, соблюдено и условие (Ш)
Этим доказано, что / измерима посредством {Wm h) и {Cm>.
183

Из неравенства (8') в доказательстве теор. 1 из 6.2.1 [см. коммен-
комментарий 56] получаем путем перехода к пределу
E) | J fn (х) dx - 2-^ 5Wm+*. k | >(Ш + 5) 2-m,
F) \]f (x) dx - 2"m %hm Wmh\y> (AM + 5) 2 '".
В силу B) имеем
Отсюда
G) | 2'm'3 2 km Vm+2, k - 2-m-^ ^ hmWm h \ < 2~m-2.
В силу E), F) и G) имеем
(x) dx - ^fn (x) dx | < (iOM + 13) г"»
что верно при всяком п ^Л^!. Следовательно,
lira \ fn (x) dx=\f (x) dx,
что и оставалось доказать.
65. (К стр. 98.) Кон. Не знаю, чем это определение лучше
определения натурального числа / в начале нашей дискуссии
(см. стр. 23—24, 162).В обоих случаях не указывается,как находить или
строить определяемый предмет — в данном случае значение «функции» f q
в точке х. Эта ваша функция, вообще говоря, не конструктивна, т. е.
отсутствует алгорифм, вычисляющий ее значение в любой точке, где
вы хотите его определить. Вы скажете, что функция f q определена вами
не во всякой точке квадрата Е, а лишь в точках вида Q (J (Е — Q),
который может не совпадать с Е. Но невозможен алгорифм, вычисляю-
вычисляющий fq (x) во всякой точке этого вида, если только вид Q не пуст и не
совпадает с Е\
Поэтому ваше определение характеристической функции точечного
вида не удовлетворяет меня. Не нравятся мне и основанные на этом
определении дальнейшие определения — измеримости и меры точеч-
точечного вида. Но, по-видимому, можно исправить дело, превратив вашу
нижеследующую теорему 1 в определения этих вещей.
66. (К стр. 99.) Доказательство теор. 2 удобнее проводить,
пользуясь теор. 1. Роль Хп будет тогда играть Vп. Доказательство,
184

Приведенное в тексте, не убедительно, так как возможны непустые
Wn, 2"+1-i и Wn, 2"+1-i-
67. (К стр. 102.) Числа ni мы берем так, чтобы соблюдались усло-
условия п(<п(+1.
68. (К стр. 102.) Мы пользуемся здесь теор. 6 и 2 из 6.3.2.
69. (К стр. 103.) Из этого доказательства видно, что и здесь в ка-
качестве k и 1„ может быть взято число С2Р, где С — фиксированное для
данной функции натуральное число.
70. (К стр. 103.) В частности, © в доказательстве нижеследующей
теор. 1 означает, по-видимому, трехмерный вид точек (х', х", г),
таких, что (*', х") 6Е Е и что \г\^М, гдеМ — верхняя грань рассма-
рассматриваемой там функции /. В этом доказательстве предполагается, что
все фигурирующие там трехмерные точечные виды содержатся в ©,
71. (К стр. 104.) Здесь автор, по-видимому, забывает об элементар-
элементарном домене %intitt содержащемся в ЭД1|П. Ввиду этого неравенство
mD <^2~п~3 нельзя считать доказанным.
72. (К стр. 104.) Разделить таким образом Е, вообще говоря, не
будет возможно. Мы предлагаем вести доказательство следующим
образом.
Пусть 2л. измерим посредством {SSj „} и {21Х п}, где обозначения
выбраны так, что mSA) п < 2~2"~7. Пусть Щ п определяется после-
последовательностью элементарных домеиов {?(х п s}. Для всякого на-
натурального q выберем iq, такое, что тШ1п1 >A — 2~2Ч~О) mSJj „.
Лолагая Ш$1 %п< q = 91Х _ л_ /?+i — 5Jln/(?, будем иметь
тФь „,,< г'1»-»^ „ < 2-2"-2?-12.
Для любого трехмерного вида ЭЕ и любой точки х = (х', х")
на плоскости условимся обозначать через Зс [х] вид чисел z, таких,
что (х1, х", z)Gl. Виды Шъ п q [x] и Slj,,!,/, I^] состоят из конеч-
конечного числа промежутков. Обозначим через Х1 п q вид тех точек
х, для которых m3Blt n q[x]^ 2~n'q~i; через Х1п — вид тех точек х,
для которых т%1п^[х]>2'п'*. Имеем тХх л> q < г-"-9,
тХх „ <С 2~"~3, Вид Xj л можно включить в область Сх Л| ?
с мерой меньшей, чем 2~n~q~1; вид Х± п—^в область С1 „ с мерой
меньшей, чем 2~"~а. Положим
Bi.n = ci.nU U cuniq.
185

Тогда mBlt n < г"", и если к е Е - Ву й, то т\ „ [х] < 2-«-4 +
оо
2 2""? = 2~". Положим М1а = Е — В1>Гп .
?=1
Элементарный домен ЯЗ^ „ представляет собой замыкание некото-
некоторого трехмерного рационального элементарного домена. Последний
Же есть вид рациональных точек, принадлежащих некоторым параллеле-
параллелепипедам Ч5„ k (k = 1, ...,/¦) с рациональными вершинами и с ребрами,
параллельными координатным осям Проекцией каждого паралле-
параллелепипеда 5MП ? является некоторый содержащийся в Е прямоугольник
Рп k с рациональными вершинами. Продолжая все стороны всех пря-
прямоугольников Рп k до пересечения с границей Е, получим некоторое
разбиение квадрата Е на прямоугольники Qn i(l = 1, .... Q, обла-
обладающее тем свойством, что всякий раз, когда какой-нибудь прямоуголь-
ник<2П) ;имеет внутреннюю точку в каком-нибудь РпА, имеем Qn> t c:Pnf,.
Прямоугольники Qn г просто нокрьвают Е.
Для всякой точки xv лежащей внутри Qn [f имеем, очевидно,
®1, п М = Ж1. п\Яп,1^ гДе Яп,1~петР прямоугольника Qnл. Заме-
Заметим также, что, как явствует из определения вида %х, равенство
A) т%х [дг] = /+ (дг)
имеет место в точке х 6Е Е, коль скоро известно одно из двух: либо, что
/+ (дг) определено; либо, что имеется точка гб^ [дг]. Я^ n[qn ;] явля-
является, очевидно, объединением конечного числа промежутков с рацио-
рациональными концами (/ = 1, . . ., /); /лЯ^ п [qn t] является поэтому ра-
рациональным числом. Для каждого / найдем целое число h = h (I)
таким образом, чтобы соблюдались условия
B) BА - 1J-"-2< m»lt „ [<?„,,] < BЛ + 1) г""'2.
Положим
ft (()=ft
При всяком /A</<0 имеем S3j n [?„;] С [— М, М], так
как $51п С ©; отсюда
тЖг. п [*п,/] < 2Л1. B/г @ - 1) 2-" < 2М, h @< (Л1 + 1) 2"+2.
С другой стороны, тЗЗ^ „ [qnj] > 0, откуда h (/) > 0. Таким образом,
Отсюда следует, что каждое Qnl фигурирует в правой части одного
из равенств C). Ясно, что Qn[ встречается лишь в одном из этих ра-
186

венств. Следовательно, элементарные домены Yn h просто покрывают
квадрат Е.
Построим теперь область Fn таким образом, чтобы она содер-
содержала границы всех Qn t и чтобы соблюдалось условие mFn <^2'"'1.
Положим
Gn = Fn U В1п.
Покажем, что функция /+ измерима посредством {Ynh} и {Gn}.
Так как mBl n < 2~"~1 и mFn < 2'"'1, то имеем Gn < 2~п. Таким
образом, условие (i) выполнено для последовательности {<3„}, Условие
(И), как мы видели, тоже выполнено для {Yn ft}.
Пусть теперь х е Ynh П Кп, где Кп = Ё — Gn. Имеем х е В, п
и г ? Fn. Поэтому
D) «И1>п
и х точка удалена от границ прямоугольников Qn t. С другой сто-
стороны, в силу D)
Поэтому может быть найдено /, такое, что х €Е QKi [ и что h (/) = Л.
Точка л- лежит внутри Qn_; и потому ^хп [х] = S3X „ [qnj]- Отсюда
в силу B)
E) BА — 1J-"-2 < т93г_ „ [г] < BА + \J~п-2.
В силу D) имеем далее:
BА- 1J-«-2_2-«-з <mSGi n [Х] -«(^^ „ [х] П «1р „ [Jfj,
BА - 1J-"-2 - 2-"-3 < /n(SG1>n - («ь „ П «!, „)) [Jf].
Так как внд 2+i измерим посредством {S3j n} и Шг_ „}, то имеем
«1.» - («г.» П «Х.П) = »j.» П (® - *!,„) = 5Ei П № - «i. „) =
Таким образом,
F) BА - 1J-"-2 - г-" < m (Ix - (?i fl «»,„)) UI.
Так как m S3j n [x] > 0, то в силу E) имеем Л ^=0. Если НфО, то Л >О,
и в силу F) имеем
Согласно теор. 2 из 6.3,2 и королларию к теор. 2 из 6.1.2, может быть
найдена точка 2? (Si•— (S^iD^i.n)) М- Имеем 2?Ji [*]. Поэтому
вид Zi [x] измерим и имеет место равенство A). Кроме того, имеем
т (Si - (SEifl*!,,,)) M >™Zi [x],
187

и, следовательно, в силу F) и A)
G) B/1 — 1J-" — 2-"-3 </+(*).
С другой стороны, имеем
ш (Ь - (^ П Я1>я)) М = ™ Ъ М - т (ЬП«1,») 1*1.
откуда
m (Si - EЬП*11Я)) W < /+ W ~ 2-"-3.
Следовательно,
/+ (*) > m (SB, „ - (»linn «lirt)) [г] + 2-"-3
> mSB1>nW+2-"-3
(8) >BA+ lJ-"-a+ 2""-3.
Из неравенств G) н (8) вытекает, что
(А - 1J""-! < /+ (*) < (А + 1) 2""-1.
Те же неравенства мы аналогнчным образом получаем н при А = О,
предполагая, что /+ (х) определено. Таким образом, соблюдено условие
(Hi). Следовательно, функция /+ измерима посредством {Yn h} и {Gn}.
Далее доказательство измеримостн функции /ведется, как в тексте,
начиная со слов «Точно так же, исходя из 3^» (стр. 104).
73. (К стр. 105.) Эта часть доказательства теор. 1 из 6.4 также
требует исправлений. Мы предлагаем определить Я5„ как вид точек
(pi. Рг. Ра), таких, что (рх, р2) €Е Ап и что |р31 J> М, где М — верхняя
грань |/(*)|(см. комментарий 70); ?„ — как вид точек (ръ р2, рз),
таких, что (рх, р2) е Я и что | Рз1<С2~". Определяя затем ?>„, как в тексте,
будем иметь тЪп < BМ + 3J"". gn может быть построено как
область, содержащая ?)„ и такая, что mgn < BЛ1 + 3J~"+1. И1/г мо-
может быть определено как вид тех точек (pv p2, Рз), для которых имеется
Л>0, такое, что (pv p2) S Vn>ft и что 0 > р3 > (А — ^г"";
U2 „ — как вид тех точек (рх, р2, рз), для которых имеется Л < 0,
такое, что (pv р2) е К и что 0<?р3 <t (А + 1J"""г. При таком построе-
построении видов gn, Ux п и 112 „ читатель сможет доказать равенства
Кп П (S - 8„) = Si П (S- SJ и U2>n n (S - 8„) = S2 П Ш-8„
н выделить из последовательностей {^ п} и {§„} подпоследователь-
подпоследовательности, измеряющие 3^, а из последовательностей (й2п) и {§„} — под-
подпоследовательности, измеряющие S^.
188

74. (К стр. 105.) У иас, согласно предыдущему комментарию, по-
получается вместо этого равенства равенство
тПьп - mll2n = 2""-1 2 hmVnth - 2—» ? mVn,H +
h ft>0
дающее в пределе требуемый результат.
75. (К стр. 107.) Приведем более подробное изложение этого дока-
доказательства.
Из того, что
A) llm/„ (х) = / (х),
я-мо
следует, что
и отсюда, что
B) Hmt (О (х) = *(/+) (x)
при любом натуральном &. Ввиду измеримости функций /„ функции
f], (n= 1, 2, . . .) измеримы и при любом натуральном k функции
k(fn) (n= 1.2,...) измеримы и ограничены в совокупности. Так
как равенство B), как и равенство A), имеет место почти всюду, то
функция fc(/+) измерима согласно теор. 1 из 6.2.4. Следовательно,
функция /+ измерима. Аналогично доказывается измеримость функции
/~. Следовательно, функция / измерима.
76. (К стр. 107.) Под [f~ (дг) здесь и в дальнейшем подразумевается
max (/" (дг), — 21), что равно — Д— /") (дг).
77. (К стр. 109.) Неизвестно, откуда автор получает последнее
неравенство. Можно, однако, заменить последние фразы следующим
текстом.
Индекс h в системе Wp,hi подчинен условию | h \ ^ С2Р,
где С — независимое от р натуральное число. Выберем р таким обра-
образом, чтобы это натуральное число (кроме двух вышеприведенных) удов-
удовлетворяло условию 2p+k'n'1 >С+ 1. При h ф 0 и х е Vphf]{E — Ap)
имеем 0 Д> kf (дг) 3> (Л + 1) 2~р, откуда h >—1. Следовательно,
виды Vphf](E—Ap), где h <— 1, пусты, т.е. имеем Fpftc? —
{Е—Ар) при h <—1. Согласно следствию теор. 1 из 6.3.2,
J89

имеем поэтому
С другой стороны,
2 Лм 2
h<—I h<—1
Следовательно,
2
h<-
Полагая
;
будем иметь
2 « ^.h ~ 2 mVP.h-
h h>l h>/
Отсюда, принимая во внимание, что
mJVi + 2 mVP,h < 1.
h>l
получаем
Пользуясь далее оценкой левой части этого неравенства через s,
третьим условием, наложенным на р, и условием (s + 1J"* < 2~"~2>
получаем
Поэтому можно включить вид U Vph в область Ср с мерой меньшей»
чем 2-"-1.
При ^?? — (ЛриСр) находим Л, такое, что x?EVphh<^l,
так как л'^ Q ^p h" Если при этом определено ^/ (^) [т. е. определено
f (x)], то имеем
причем (Л+ l)<2p+ft+1. Таким образом, имеем тогда kf (x) < 2*,
и потому
(•) kf(*) = f(*)-
Этим мы доказали, что равенство (*) имеет место во всякой точке х
вида Е— (Ap\JCp), в которой определена правая часть этого равенства.
J90

78. (К стр. 109.) В качестве q может быть, например, взято целое
число
[(Л — А'— 2J-р+п] + 1,
где квадратные скобки означают взятие целой части.
79. (К стр. 109.) Если Л в системе {Vp h} подчинено условию
IА [ < С2Р, а А' в системе {WpM>} — условию | А' | < С'2Р (С и С —
натуральные числа, независимые от р), то q в системе {Хп q) можно
подчинить условию ] q | ^ Сп, где
С" = С + С + 1
(см. предыдущий комментарий).
80. (К стр. 111.) Вместе с тем, как нетрудно видеть, kf (x)-fG (х) =
min/ (x)fG(x), 2* во всякой точке х, в которой хотя бы одна часть
этого равенства определена. Следовательно, функция / (х) fG (x) из-
измерима.
81. (К стр. 112.) Пункт (п) этого доказательства содержит погреш-
погрешности, которые читатель легко обнаружит и исправит (см. комментарий
76).
82. (К стр. ИЗ ) Приведенное доказательство годится лишь для
неотрицательных функций /л .
83. (К стр. 116.) Кон. Мне не нравится ваша функция g (см. ком-
комментарий 65). Нельзя ли обойтись без нее?
84. (К стр. 117.) Здесь р — произвольное натуральное число. Числа
Np берутся так, чтобы они образовывали возрастающую последова-
последовательность.
85. (К стр. 124.) Так называются переменные для математических
предложений.
86. (К стр. 125.) Кон. Ваш пример неудачей, так как есть осно-
основания признавать формулу а ф Ь -> а Д Ъ (Шанин, 1958, 1962).
Я с вами, однако, вполне согласен в том, что формулу ~~\q -* ~~\р—> •
•р -> q нельзя считать истинной. В самом деле, с ее «помощью» можно
было бы из вашей истинной формулы D) (стр. 125) получить заве-
заведомо непригодную формулу ~~|~~|р -* р-
87. (К стр. 130.) Кон. В конструктивной математической ло-
логике импликация
(*) (Чх)-\~Ь> (х) ->-ГК?*) Р М
191

весьма просто опровергается на примере. Строится неразрешимый
предикат q от одной переменной, пробегающей натуральный ряд, т. е.
такой предикат q, что невозможен алгорифм, распознающий для
любого натурального числа л, верно ли q (л). Современная теория алго-
алгорифмов дает разнообразные способы построения таких предикатов.
Например, q (л) может выражать применимость надлежащим образом
построенного алгорифма к числу п. После того как q построен, берем
в качестве р (х) предикат q (jf)V ~~\ Я (¦*")• Левая часть импликации (*)
верна прн подстановке р (х) вместо р (х) в силу вашей формулы (9) из
7.1.2, с которой я, разумеется, согласен. С другой стороны, предложение
(\х) р (х), т. е. (ух) (q (лг)\/П Я (¦*))> согласно конструктивному
пониманию общих предложений, выражает осуществимость алгорифма,
применимого к любому натуральному числу п н распознающего, верно
ли q (я). А такой алгорифм как раз не осуществим. Следовательно,
предложение (\х) р (х) ложно, т. е. верно ~~| (\х) р (х) н ложно
 П (\х) р (х). Вот мы н опровергли формулу (*). При этом мы не
прибегали к вашей теореме о веерах. [Ср. Клини, 1945.]
88. (К стр. 131.) Кон. Ввиду только что сказанного мною пред-
предположение Куролы кажется мне очень странным. Оно во всяком случае
совершенно не согласуется с моим пониманием логических связок.
Ведь опровержение формулы (ух) ~~\ П р(х) -* n~~i(Vx)p(x) проведено
нами в самом «исчислимо бесконечном» виде — в натуральном ряде.
89. (К стр. 133.) К о н. Но ведь главу 8, содержащую раздел 8. 1.1»
вы сами озаглавили «Спорные вопросы» («Controversial subjects»),
90. (К стр. 140). См. стр. 434 русского перевода.
91. (К стр.142.) К сожалению, система S описана автором недоста-
недостаточно ясно, из-за чего теорема 4 оказывается непонятной.
92. (К стр. 144.) Кон. Это мне совсем непонятно. Если уж пошло
на то, чтобы рассматривать «числовой генератор» а, то из равенства
а = 0 следует лишь, что ни предложение ~~\ р, ни предложение |' ] р
никогда не будут доказаны. Но это вовсе не будет означать, что они
недоказуемы. Вполне мыслимо, что одно из этих предложений даже
довольно легко доказуемо, однако человечество всегда будет находить
дела более важные, чем поиски доказательства этого предложения.
Я поэтому не могу считать обоснованным неравенство а ф 0.
Впрочем, я здесь вышел за пределы своей области. Ведь «числовой
генератор» а, определенный вами, никоим образом не является кон-
конструктивным объектом. Поэтому я, собственно говоря, ничего вообще
не должен был бы говорить о нем. Считайте, пожалуйста, мои высказы-
высказывания о ЧГ а смелой вылазкой конструктивиста на неконструктивную
территорию.
192

93. (К стр. 144.) Кон. Вот как выгодно бывает отсутствие инфор-
информации!
94. (Кстр. 145.) Кон. Ваши неудачные попытки опровергнуть им-
импликацию а ф 0 -> аДО лишь укрепили меня в моем глупом убежде-
убеждении, что она истинна.
95. (К стр. 146.) Кон. Почему а^>0, это Аллах ведает!
96. (К стр. 146.) К о и. По-видимому, вы хотите сказать, что нера-
неравенство а(/) ф 0 доказывается аналогично тому, как в предыдущем
рассуждении доказывалась формула а^> 0. Оба эти доказательства мне
совершенно непонятны. Я хочу, наоборот, доказать, что, согласно ва-
вашему определению, a(f) = 0. В самом деле, в момент, когда опреде-
определяется an+1(f), нам известны лишь /г-, где i <^ п. Прочие ft выбираются
после определения an+1(f). Имея же лишь fl с i < n, мы не можем су-
судить о том, иррационально ли Д т. е. испытывать p(J). Это предложение,
таким образом, не испытано в момент определения ann(f), в силу чего
an+i(/) = 2"". Так как это верно при всяком п, то а(/) = 0.
97. (К стр. 147.) Кон. Наоборот, я могу доказать, что Ьф — 0
(см. предыдущий комментарий). Ваше доказательство, таким образом,
неубедительно.
98. (К стр.147.) Кон. Так формулируемое предложение имеет
место и в конструктивном анализе [Шанин, 1962].
99. (К стр. 148.) Не совсем понятно, что автор понимает здесь под
«евклидовой геометрией плоскости».
100. (К стр. 148.) Кон. Не понимаю, почему вы считаете, что при
с = 0 предложение р никогда не может быть испытано. По-моему,
все, что можно сказать в этом случае, это что предложение р никогда
не будет испытано, а это совсем другое дело. Это нисколько не «проти-
«противоречиво».
101. (К стр. 148.) Кон. Как я уже имел удовольствие отметить (см.
комментарий 30), в конструктивном анализе опровергается на примере
не только предложение, совпадающее по формулировке с (С), но и более
слабое предложение, совпадающее по формулировке с вашей теор. 2
из 3.4.4. При этом не привлекаются никакие доследовательности,
связанные с ходом развития математики.

БИБЛИОГРАФИЯ К КОММЕНТАРИЯМ
reftTHHr(HeytingA.)
1955. Some remarks on intuitionism. Constructivlty in mathematics
Proceedings of the colloquium held at Amsterdam, 1957, 69—71.
Заславский И. Д.
1962. Некоторые свойства конструктивных вещественных чисел и кон-
конструктивных функций. Труды математического института им. В. А.
Стеклова, LXVII, Проблемы конструктивного направления в матема-
математике, 2, М.— Л., 385—457.
Заславский И. Д., Ц е й т и н Г. С.
О сингулярных покрытиях и связанных с ними свойствах конструк-
конструктивных функций. Труды математического института им. В. А. Стек-
лова, LXVII, Проблемы конструктивного направления в математике,
2, М.— Л., 458—502.
К л и н и (К 1 е е пе S.)
1945. On the interpretation of intuitionistic number theory, Journal
of Symbolic logics, 10, 109—124.
M a p к о в А. А.
1954. О непрерывности конструктивных функций, Успехи матем.
наук, IX, 3 F1), 226—230.
1958. О конструктивных функциях. Труды математического ин-
института им. В. А. Стеклова, LII, Проблемы конструктивного направ-
направления в математике, I, M.— Л., 317—348.
1962. О конструктивной математике. Труды математического ин-
института им. В. А. Стеклова, LXVII, Проблемы конструктивного
направления в математике, 2, М.— Л., 8—14.
194

Ц е й т и н Г. С.
1962. Алгорифмические операторы в конструктивных метрических
пространствах. Труды математического института им. В. А. Стек-
лова, LXVII, Проблемы конструктивного направления в математике,
2, М.— Л., 295—360.
Ч ё р ч (С h u r с h А.)
1936. A note on the Entscheidungsproblem, Journal of Symbolic
logics, 1, 101—102.
Шанин Н. A.
1958. О конструктивном понимании математических суждений.
Труды математического института им. В. А. Стеклова, LII, Проб-
Проблемы конструктивного направления в математике, 1, М.— Л., 226—
312.
1962. Конструктивные вещественные числа и конструктивные
функциональные пространства. Труды математического института
им. В. А. Стеклова, LXVII, Проблемы конструктивного направления
в математике, 2, М.— Л., 15—294.
Шпекер (SpeckerE.)
1949. Nicht Konstruktiv Beweisbare Satze der Analysis. Journal of
Symbolic logics, 14, 145—158.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная величина 38
Аппроксимирующая полоса 91
Бесконечно продолжающаяся по-
последовательность (БПП) 43
Бесконечный вид 51
Больцано — Вейерштрасса теоре-
теорема 60, 148
Больше в слабом смысле 142
БПП (Бесконечно продолжающая-
продолжающаяся последовательность) 43
Веер 54
Вектор 114
Вид 49
Вида член 49
Виртуального порядка отношение
134
Внешний элементарный домен 75
Гейне — Бореля теорема 83
Геометрическая конгруэнтность 72
Главный минор 65
Двоичная развертываемость 48
Действительное число 49
респектабельное 39
Действительный числовой генера-
генератор 26
Дизъюнкция 123
Домен внешний элементарный 75
— рациональный 75
— функции 92
— элементарный 75
Дополнительная последователь-
последовательность 46
Дополнительный закон 46
Допустимый узел решетки 80
Зависимость 68
— сильная 68
— слабая 68
Закон потока 46
Замкнутый промежуток 52
— точечный вид 73
Замыкание 73
Запертость 55
Измеримая область 85
— ограниченная функция 90
— функция 106
Измеримое областное дополнение
86
Измеримый вид 98
Импликация 123
Интеграл 91, 107, 111
Испытанное предложение 143
Исчислимо-бесконечный вид 51
Канонический ТГ-поток 72
— точечный генератор 72
— числовой генератор 53
196

Компонента 47
Конгруэнтность геометрическая
72
Конгруэнтные виды 50
Конечный вид 51
Континуум 49
Конъюнкция 122
Коши последовательность 25, 45
Открытый вид 74
Отношение виртуального порядка
134
— отделенное™ 22
— порядка 35, 132
— псевдопорядка 132
— частичного порядка 132
Отрицание 123
Локализованный точечный вид 79
Максимум 37
Мера областного дополнения 86
— точечного вида 98
— элементарного домена области
85
Метафункция 115
Минимальное исчисление 127
Минимум 37
Множество (Menge) 48
Натуральное число 22
Начало 55
Негативная сходимость 136
Недопустимая последовательность
46
Недопустимый узел решетки 80
Независимость 68
Неколеблющаяся последователь-
последовательность 136
Неотрицательная часть 96
Неположительная часть 96
Непосредственная предшествен-
предшественница 46
— преемница 46
Непродолжимое отношение 135
Неравенство точечных генерато-
генераторов 26
Нумеруемый вид 51
Областное дополнение 76
измеримое 86
Область 76
— измеримая 85
Обратный элемент 62, 63
Определенность в Гильбертовой
пространстве 115
¦ ¦ поле 62
— точек 73
— числовых генераторов 29
Пеано аксиома 22
Подвид 50
— распознаваемый 50
Позитивная сходимость 42
Поле 62
Пополнение 95
Поток 45, 46,
— ТГ 72
— финитарный 54
Потока элемент 47
Потоко-вид 49
Почти всюду 89
Почти полный 89
Предел 42
Предельная точка 73
Представляет 49
Предшественница 55
— непосредственная 46
Преемница 55
— непосредственная 46
Пренебрежимый вид 89
Продолжение 55
Производный вид 73
Промежуток, замкнутый 52
Противоречие 123
Псевдопорядка отношение 132
Равенство видов 50
— натуральных чисел 24
— потоков 47
— элементов потока 47
Разбивается 50
Ранг 65
Расстояние между точками 72
— — точкой и точечным видом
79
Рациональная функция 32
Рациональный домен 75
— элементарный домен 75
Респектабельное действительное
число 39
Рисса — Фишера теорема 116
197

Свободные векторы 68
— — в гильбертовом простран-
пространстве 115
Сильная зависимость 68
Слабая зависимость 68
Слабое действительное число 141
Слабый числовой генератор 141
Совпадение в слабом смысле 141
— действительных чисел с чис-
числовыми генераторами 49
— ТГ-видов 72
— числовых генераторов 26
Суммируемость 107, 111
Сходимость негативная 136
— позитивная 42
— последовательности функций
97
ТГ (точечный генератор) 71
ТГ-вид 72
ТГ-поток 72
Теорема о веерах 55
Тип 50
Торжественные числовые генера-
генераторы 26
Точечный вид 72
— генератор 71
— — канонический 72
Точечных генераторов поток (ТГ-
поток) 72
Точка 71
— замыкания 73
Узел решетки 80
Усеченная функция 106
Финитарный поток 54
Функции измеримые 106
— ограниченные измеримые 90
— рациональные 32
— усеченные 106
— характеристические 98
Характеристическая функция 98
Характеристический определи-
определитель 65
Частичного порядка отношение
132
Численная ограниченность 61
Числовой генератор действитель-
действительный 26
— — канонический 53
— — слабый действительный
141
Число действительное 49
— натуральное 22
— слабое действительное 141
Член вида 49
Эквивалентные виды 51
— функции 115
Элементарное множество прямо-
прямоугольников 75
Элементарный внешний домен 75
— домен 75
Элемент потока 47

ОГЛАВЛЕНИЕ
Отредактора 5
Предисловие 7
I. Диспут 9
П. Арифметика 22
2.1. Натуральные числа 22
2.2. Действительные числовые генераторы 25
2.3. Респектабельные действительные числа 39
2.4. Пределы последовательности ЧГ 41
III. Потоки и виды 43
3.1. Потоки 43
3.2. Виды 48
3.3. Арифметика действительных чисел 52
3.4. Финитарные потоки (веера) 54
IV. Алгебра 62
4.1. Алгебраические поля 62
4.2. Линейные уравнения 64
4.3. Линейная зависимость 68
V. Плоские точечные виды 71
5.1. Общие понятия 71
5.2. Локализованные точечные виды 79
VI. Мера и интегрирование 85
6.1. Измеримые области и областные дополнения .... 85
6.2. Ограниченные измеримые функции 90
6.3. Измеримые точечные виды 98
6.4. Интеграл как мера точечного вида 103
199

ё.5. Неограниченные функции 106
6.6. Гильбертово пространство 114
6.7. Дифференцирование 121
VII. Логика 122
7.1. Исчисление высказываний 122
7.2. Исчисление предикатов 128
7.3. Приложения 131
VIII. Спорные вопросы 143
8.1. Бесконечно продолжающиеся последовательности,
зависящие от решения проблем 143
8.2. Математика без отрицания 149
Библиография . 152
Комментарии 161
Библиография к комментариям * 194
А. Гейтинг
ИНТУИЦИОНИЗМ
Редактор Я. И. Щербиновскай
Художник Я. А. Усачев
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор А. Г. Резоухова
Корректор О. К- Румянцева
Сдано в производство 3/VIII 1964 г. Подписано к печати 2/III 1965 Г,
Бумага 84хЮ87зг=3,10 бум. л. 10,25 печ. л. Уч.-изд. л. 9,42.
Изд. № 1/1668. Цена 66 к. Зак. 1030
Темплан 1964 г. изд-ва «Мир» пор. № 23
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
2-я тип. издательства «Наука». Москва

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стр.
31
38
38
46
64
90
97
175
176
177
177
178
Строка
17 св.
9 сн.
8 сн.
16 сн.
11 св.
1 сн.
12 св.
15 сн.
12 сн.
2 св.
2 сн.
15 сн.
Напечатано
а-11).
гГ
гГ
, то допустима,
Крамер
— In
2-1
б/
р — ч\
Р-Рп\
|Г-Р„+2|>ЗХ
тА + 2~* и;
Следует читать
a-i И).
ЧГ
ЧГ
допустима, то
Крамера
-In
2-m-l
Ь1
\Р-Рп\
к-Р„+21>зх
тА + 2~к; и

БИБЛИОТЕКА
СБОРНИКА
МАТЕМАТИКА
Вышли из печати
МИКУСИНСКИЙ Я, СИКОРСКИЙ Р, Элементарная
теория обобщенных функций. Вып. I, II
ХЕРМАНДЕР Л, К теории общих дифференциальных опе-
операторов в частных производных.
ХАЛМОШ П Р, Лекции по эргодической теории.
КАПЛАНСКИЙ И, Введение в дифференциальную алгебру.
КАРЛЕМАН Т, Математические задачи кинетической тео-
теории газов.
ХЕЙМАНВ К, Многолистные функции.
НОМИДЗУ К, Группы Ли и дифференциальная геометрия.
С У Д 3 У К И М, Строение группы и строение структуры ее под-
подгрупп.
РУТИСХАУЗЕР Г, Алгоритм частных и разностей.
И Т О К , Вероятностные процессы. Вып I, II
ГРЕНАНДЕР У, Случайные процессы и статистические вы-
выводы.
ГОРДИНГ Л, Задача Коши для гиперболических уравнений.
ГУДСТЕЙН Р Л, Математическая логика.
Д Э И М М , Нормированные линейные пространства.
ГРОТЕНДИК А, О некоторых вопросах гомологической
алгебры.
АЛЬФОРС Л, БЕРС Л, Пространства римановых поверх-
поверхностей и квазиконформные отображения.
Л Е Р Е Ж , Дифференциальное и интегральное исчисления иа
комплексном аналитическом многообразии.
МАНДЕЛЬБРОЙТ С, Теоремы замкнутости и теоремы
композиции.
АГМОН С.ДУГЛИС А, НИРЕНБЕРГ Л, Оценки
решений эллиптических уравнений вблизи границы.
Теория алгебр Ли. Топология групп Ли.
ХАНТ Дж А, Марковские процессы и потенциалы.
ХЕРМАНДЕР Л, Оценки для операторов, инвариантных
относительно сдвига.
ВАН ХАО, МАК-НОТОН Р, Аксиоматические системы
теории множеств.
ХОЛЛ М , Комбинаторный анализ.