Расчет упругих элементов машин и приборов - Пономарев С.Д., Андреева Л.Е.

Author: Пономарев С.Д. Андреева Л.Е.

Tags: общее машиностроение технология машиностроения машиноведение инженерия машиностроение приборостроение издательство машиностроение технологические расчеты

Year: 1980

Similar

Упругие элементы приборов

Теория механизмов и машин. Кинематика, динамика и расчет

Конструирование деталей механических устройств: Справочник

Расчет металлургических машин и механизмов

Text

ад. ПОНОМАРЕВ
RE. АНДРЕЕВА
Расчет
упругих элементов
машин и приборов
БИБЛИОТЕКА
РАСЧЕТЧИКА
Редакционная
коллегия:
лауреат Ленинской премии,
заслуженный деятель науки
и техники РСФСР
д-р техн, наук
проф. С. Д. ПОНОМАРЕВ
(председатель);
д-р техн, наук
проф. Н. А. АЛФУТОВ;
лауреат Ленинской премии
д-р техн, наук
проф. В. Л. БИДЕРМАН;
д-р техн, наук
проф. В. П. КОГАЕВ;
лауреат Ленинской премии,
заслуженный деятель науки
и техники РСФСР
д-р техн, наук
проф. Н. Н. МАЛИНИН;
д-р техн, наук
проф. В. А. СВЕТЛИЦКИЙ
с: Д. ПОНОМАРЕВ
Л. Е. АНДРЕЕВА
Расчет
упругих элементов
машин и приборов
к____________________________________________—________J
МОСКВА «МАШИНОСТРОЕНИЕ» 1980
ББК 34.42
П56
УДК 621-01 : 539.4—62.27(02)
Рецензент д-р техн, наук проф. | Л. Н. Гродко |
Пономарев С. Д., Андреева Л. Е.
П56 Расчет упругих элементов машин и приборов. —М.:
Машиностроение, 1980. — 326 с., ил. — (Б-ка рас-
четчика).
В пер.: 1 р. 40 к.
В книге изложены методы расчетов на прочность и жесткость
упругих элементов машин и приборов, разработанные на основе при-
кладной теории упругости и пластичности; приведены сведения о мате-
риалах для упругих элементов и способах их изготовления; рассмо-
трены расчеты плоских, спиральных заводных, термобиметаллических
пружин; изложены способы расчета винтовых, фасонных и многожиль-
ных пружин, а также тарельчатых и прорезных пружин. Описаны
приемы расчета ленточных, винтовых и кольцевых волнистых шайб;
приведены способы расчетов мембран плоских и гофрированных, силь-
фонов и манометрических трубчатых пружин. Во всех случаях сооб-
щены необходимые справочные данные.
Книга предназначена для инженеров-конструкторов и расчет-
чиков машиностроительных, проектно-конструкторских и научно-ис-
следовательских организаций.
„ 31302-020 „„ „„ ББК 34.42
П038(01)-80 2°'80, 2702000000 6П5.3
© Издательство «Машиностроение», 1980 г.
Посвящается 150-летию Мос-
ковского Высшего техниче-
ского училища им.Н.Э. Бау-
мана (1830—1980 г.)
Предисловие
Упругие элементы машин и приборов, обеспечивая своей
упругостью необходимое натяжение, аккумулируя энергию или
действуя как амортизатор, занимают обычно небольшое место
в узлах конструкций, но всегда являются ответственным звеном
всех механизмов, включающих эти элементы.
Небольшая неточность расчета, неполноценность использо-
ванного материала, недостаточно тщательные термическая обра-
ботка и изготовление, небрежности, допущенные при хранении,
транспортировке и сборке узлов машин или приборов, включа-
ющих в свою конструкцию упругие элементы, — все это снижает
работоспособность упругих элементов, приводит к нарушению
их характеристики, преждевременному выходу из строя, что,
в свою очередь, расстраивает слаженность работы механизмов,
приборов и машин, к нарушению действия автоматических уст-
ройств, к выходу их из строя.
С другой стороны, разумный выбор конструкции упругих
элементов, научно обоснованный и тщательно проведенный их
расчет, подбор наиболее подходящего для данных условий
эксплуатации материала и его термической обработки, использова-
ние современной технологии, бережное отношение к изделиям
при их изготовлении и монтаже могут оказать существенное влия-
ние на надежность создаваемого прибора или механизма, обеспе-
чить стабильность работы конструкции в целом.
Все сказанное и определяет то исключительное внимание,
которое уделяется в машино- и приборостроении упругим эле-
ментам.
Уже к 1927 г. пружинной секцией ассоциации американских
инженеров-механиков была издана библиография, охватывающая
638 наименований научных статей по вопросам, связанным с рас-
четом и изготовлением пружин. В 1946 г. в книге «Новые методы
расчета пружин» издательством «Машгиз» была опубликована
дополнительно аннотированная библиография по расчету, произ-
водству и испытаниям упругих элементов, насчитывающая 379
публикаций, изданных в период с 1928 по 1946 г. В большинстве
научно-технических библиотек Советского Союза имеются карто-
теки по материалам, связанным с расчетом и изготовлением пру-
жин для машин и приборов. Имеется такая картотека и на ка-
федре «Динамика и прочность машин» МВТУ им. Н. Э. Баумана,
охватывающая названия многих сотен статей по этой тематике,
опубликованных в нашей стране и за рубежом за последние 30 лет.
В этот же период было проведено несколько общесоюзных и отрас-
левых конференций по расчетам и изготовлению упругих эле-
ментов. Техника в своем развитии каждый день ставит новые про-
блемы, их решение требует создания новых конструкций, а в про-
цессе их разработки создаются новые разновидности упругих
элементов, расширяется область применения пружин уже сущё^
ствующих видов и к ним предъявляются повышенные требования.
В нашей стране сложились научные школы соответствующего
профиля, например, в МВТУ им. Н. Э. Баумана, а за последние
годы и при Ижевском механическом институте, разрабатывающие
принципиальные вопросы по расчетам на прочность, жесткость,
устойчивость, а также вопросы динамики упругих элементов в раз-
личных условиях их работы.
Авторы публикуемой книги принадлежат к первой из упомя-
нутых научных школ, которая зародилась более 50 лет назад
при кафедре «Сопротивление материалов» МВТУ им. Н. Э. Бау-
мана.
В книгу в основном включены результаты научных исследо-
ваний членов этого научного коллектива, состоящего из выпуск-
ников МВТУ им. Н. Э. Баумана.
Введение, гл. 1, 2, 3, 7 и с 11 по 14 написаны Л. Е. Андреевой,
предисловие, гл. 4, 5, 6, 8, 9 и 10 — С. Д. Пономаревым.
Введение
Упругими элементами называют гибкие детали, основным ра-
бочим свойством которых является способность существенно де-
формироваться под нагрузкой. Как правило, эти деформации
упругие, и после снятия нагрузки элемент восстанавливает свои
размеры.
Геометрическая форма упругих элементов разнообразна и
зависит от назначения и условий применения элемента в машине
или приборе.
Большие осевые перемещения под действием растягивающих
или сжимающих сил могут получать винтовые пружины
(рис. В.1, а). Различную форму могут иметь плоские пружины,
ось которых является плоской кривой (рис. В.1, б, в). К плоским
пружинам можно отнести и широко используемую в различных
приборах и устройствах спиральную пружину (рис. B.I, г).
Винтовые, плоские, спиральные пружины обычно изготовляют
из проволоки или ленты.
Манометрические упругие элементы, нагружаемые при ра-
боте давлением, изготовляют из лент, листов или трубок. К мано-
метрическим упругим элементам относят плоские и гофрирован-
ные мембраны (рис. B.I, б), сильфоны (рис. В.1, е) и манометри-
ческие трубчатые пружины (рис. В.1, ж).
Эти наиболее часто встречающиеся разновидности не охваты-
вают всего многообразия применяемых упругих элементов.
Назначение упругих элементов также весьма разнообразно.
Наиболее ответственную роль выполняют в приборах измеритель-
ные упругие элементы. Так, при измерении давления последнее
воздействует на манометрический упругий элемент, например
на трубчатую пружину, конец которой совершает перемещение,
пропорциональное измеряемому давлению. Это перемещение с по-
мощью передаточного механизма передается стрелке прибора.
В этом случае трубчатая пружина служит для преобразования
давления в перемещение.
В подобных случаях использования упругого элемента его
качество часто определяет класс точности прибора.
Для измерения усилий, моментов используют винтовые и
плоские пружины. Температуру можно измерять с помощью тер-
7
Рис. В.1. Упругие элементы:
а — винтовая пружина; б, в — плоские пружины; г — спиральная плоская
пружина; д — мембрана; е — сильфон; ж — манометрическая трубчатая
пружина
мобиметаллической пружины. При нагреве пружина изгибается,
и об изменении температуры можно судить по величине переме-
щения пружины.
Плоские пружины спиральной формы, винтовые и другие
пружины используют в качестве заводных — аккумуляторов
энергии. Заводные пружины являются основными деталями раз-
личных пружинных двигателей.
Плоские пружины широко применяют в качестве упругих
опор, направляющих, гибких связей и других кинематических
элементов. Использование пружин в этих элементах значительно
снижает трение и исключает зазоры.
Во многих механизмах машин и приборов применяют натяж-
ные пружины разнообразных форм, осуществляющие силовой
контакт между деталями прибора, выбор зазоров в кинематиче-
ской цепи, удержание детали в заданном положении и т. д.
Упругие элементы используют в качестве амортизаторов,
рессор автомобильного и железнодорожного транспорта, во фрик-
ционных и храповых муфтах, в качестве разделителей различных
сред, упругих выводов перемещений и пр.
Основными рабочими характеристиками упругого элемента
являются те, которые определяют его способность деформиро-
ваться под действием нагрузки. К ним относятся упругая характе-
ристика, жесткость и чувствительность.
Упругой характеристикой называют зависимость между пере-
мещением X определенной точки упругого элемента и нагрузкой р.
Характеристика упругого элемента может быть линейной и нели-
нейной: возрастающей (мягкой) или затухающей (жесткой)
(рис. В.2, а).
Отклонение характеристики от линейной оценивается величи-
ной нелинейности, под которой обычно понимают отношение наи-
8
большего отклонения Дтах действительной упругой характе-
ристики от линейной, отнесенное к наибольшему перемещению Хтах
упругого элемента (рис. В.2, б):
n= Ania_x 100%
Л max
Если характеристика упругого элемента линейна, то жест-
кость представляет собой отношение нагрузки к соответствую-
щему перемещению
а чувствительность — отношение перемещения к вызвавшей его
нагрузке
Жесткость и чувствительность упругого элемента с нелинейной
характеристикой меняются в зависимости от прогиба и опреде-
ляются следующим образом:
гг dp л
* = и б =
На рис. В.2, в жесткость пропорциональна tga, а чувстви-
тельность tg р.
Если несколько упругих элементов постоянной жесткости
соединены параллельно (рис. В.З, а), то их прогибы X равны
между собой, а общая нагрузка р равна сумме усилий, восприни-
маемых каждым из упругих элементов:
р = S pi-
/=1
Так как сила pL каждого элемента равна произведению его
жесткости на прогиб X, то из предыдущего выражения получим
Рис. В.2. Характеристики упругого элемента:
д — линейная; б — затухающая; в — возрастающая
9
Рис. В.З. Виды соединений упругих элементов:
а — параллельное; б — последовательное; в — характеристика упругих элементов
при неодновременном включении их в работу
Следовательно, жесткость всей системы будет равна сумме
жесткостей элементов
п
Учитывая, что чувствительность есть величина, обратная
жесткости, получим
6 = —!—
п 1
где 6г — чувствительность г-го элемента; 6 — чувствительность
всей системы.
Аналогично можно показать, что при последовательном соеди-
нении упругих элементов (рис. В.З, б) чувствительность всей
системы также равна сумме чувствительностей элементов
6 = £ б,.
В этом случае жесткость
А
1
п
При неодновременном включении параллельно соединенных
упругих элементов характеристика получается ломаной, и жест-
кость на каждом участке определяется суммой жесткостей всту-
пивших в работу упругих элементов. При увеличении числа вклю-
чаемых элементов характеристика получается затухающей
(рис. В.З, в).
Для упругих чувствительных элементов, выполняющих функ-
ции измерения в приборах, важным критерием качества является
точность, с которой измеряемый параметр преобразуется в пере?
Ю
рис. В.4. Гистерезис упругого элемента
метение или усилие. Эта точность в зна-
чительной мере зависит от сопротивле-
ния материала микропластическим де-
формациям, которые являются причиной
гистерезиса, упругого последействия, ре-
лаксации напряжений, ползучести.
Гистерезис упругого элемента обнаруживается при снятии
упругой характеристики при увеличении нагрузки и при раз-
грузке. Наибольшая разность Г (рис. В.4) между перемещениями,
измеренными при одинаковой нагрузке при прямом и обратном
ходе, отнесенная к наибольшему перемещению Хтах, определяет
величину гистерезиса
Т = 100%.
А щах
Разность между перемещениями при прямом и обратном ходе
зависит также от упругого последействия, которое проявляется
в запаздывании перемещений упругого элемента по отношению
к приложенной нагрузке. Так, например, в результате явления
упругого последействия стрелка прибора после сброса нагрузки
не сразу возвращается на нуль.
Микроползучесть материала упругого элемента приводит к не-
стабильности показаний упругого чувствительного элемента
во времени, к релаксации (ослаблению) напряжений в натяжных
и заводных пружинах и является одной из главных причин метро-
логических погрешностей приборов.
Сопротивление материала микропластическим деформациям
характеризуется пределом упругости. Чем меньше рабочие напря-
жения по сравнению с пределом упругости, тем меньше прояв-
ляются несовершенства упругих свойств материала и, следова-
тельно, тем выше точность измерительного упругого элемента.
Поэтому коэффициент запаса для измерительного упругого эле-
мента определяется как
Оу
п =
о
где оу — предел упругости материала; о — наибольшее рабочее
напряжение в упругом элементе.
В общем случае упругий элемент должен при работе иметь
некоторый коэффициент запаса по отношению к предельному со-
стоянию, когда он полностью или частично теряет свои рабочие
свойства.
11
Коэффициент запаса можно определить как отношение
п = ^9
р
где рпр и р — предельная и рабочая нагрузки на упругий эле-
мент.
Необходимая величина коэффициента запаса обусловливается
требуемой надежностью упругого элемента, условиями и дли-
тельностью его работы, достоверностью данных о механических
свойствах материала, вероятной точностью расчета напряжений
и т. д.
Глава 1
Материалы для упругих элементов
и вопросы их изготовления
§ 1.1. Материалы для упругих элементов
К материалу упругого элемента предъявляют различные тре-
бования в зависимости от назначения упругого элемента и усло-
вий его работы.
Прежде всего материал должен обеспечивать основные рабо-
чие свойства упругого элемента — его упругость и прочность,
и для этого соответствующие механические характеристики ма-
териала— предел .упругости, предел текучести, предел проч-
ности — должны быть достаточно высокими. Как правило, упру-
гие элементы работают в условиях переменных напряжений,
поэтому достаточно высоким должен быть и предел выносливости
материала.
Для измерительных упругих элементов, к которым предъяв-
ляют специальные требования постоянства рабочих характерис-
тик во времени, следует использовать материалы, обладающие
высоким сопротивлением микропластическим деформациям, т. е.
высоким пределом упругости. Чем выше предел упругости, тем
в меньшей мере проявляются такие неупругие эффекты, как гисте-
резис, релаксация, ползучесть и т. п. [4].
При работе упругого элемента в условиях высоких температур
его материал должен быть достаточно термостойким. В тех слу-
чаях, когда упругий элемент соприкасается с агрессивной средой,
он должен иметь достаточную коррозионную стойкость. Иногда
существенно требование высокой или, наоборот, низкой электро-
проводности.
Большинство упругих элементов в процессе изготовления под-
вергается большим пластическим деформациям. Соответственно
материал в исходном состоянии должен обладать высокой пластич-
ностью. Удовлетворить всем многообразным и нередко противо-
речивым требованиям, предъявляемым к материалу упругого
элемента, сложно. Поэтому часто приходится ограничиваться
удовлетворением лишь наиболее важным требованиям.
Качество пружинного сплава определяется его способностью
сопротивляться малым пластическим деформациям, которая ха-
рактеризуется величиной предела упругости. Для повышения уп-
ругих и прочностных свойств материала применяют различные
виды механической и термической обработки.
13
При механической обработке создается деформационный нак-
леп. Однако при этом в материале сохраняются большие остаточ-
ные напряжения, и сопротивление малым пластическим деформа-
циям оказывается невысоким. Поэтому обычно наклеп сопровож-
дается последующей термической обработкой в виде низкотемпера-
турного отжига, в процессе которого остаточные напряжения
снижаются.
* К материалам, упрочняемым главным образом наклепом,
относят латуни — медно-цинковые сплавы. Для упругих элемен-
тов используют латуни марок Л68, Л80, Л90 (ГОСТ 15527—70).
Латуни отличаются высокой пластичностью в мягком состоя-
нии. Так, из латуни Л80 можно формовать сильфоны, изготовле-
ние которых сопровождается большими пластическими деформа-
циями. В то же время упругие свойства латуней невысоки, а ги-
стерезис, последействие, ползучесть значительны. При изготов-
лении латунных упругих элементов могут возникать большие оста-
точные напряжения, и для их уменьшения упругие элементы и по-
луфабрикаты рекомендуется отжигать при температуре t 270° С.
Более высокие упругие свойства по сравнению с латунями
имеют нейзильбер МНЦ 15—20 (ГОСТ 492—73*), кремнемарганце-
вая бронза БрКМцЗ—1 (ГОСТ 18175—78), оловянно-цинковая
бронза БрОЦ4—3 и оловянно-фосфорные бронзы БрОФ6,5—0,4
и БрОФ4—0,25 (ГОСТ 5017—74). Так же как и латуни, эти ма-
териалы немагнитны, хорошо свариваются и паяются. Они стойки
на воздухе, в пресной и морской воде. Эти материалы также
приобретают упругие свойства в результате холодной пластиче-
ской деформации и последующего отжига, и поэтому, хотя проч-
ность их относительно высокая, низкая релаксационная стой-
кость является их существенным недостатком.
Упругие элементы обычно изготовляют из полуфабрикатов
в виде листов, лент, проволоки, трубок. В табл. 1.1 приведены
некоторые механические свойства цветных металлов, получен-
ные при испытании полуфабрикатов.
Углеродистые и легированные стали упрочняют закалкой
с получением структуры мартенсита или пластической деформа-
цией; часто применяют оба вида упрочнения. Термообработка,
которая обычно сочетается с предварительным деформационным
наклепом, повышает прочность и сопротивление малым пласти-
ческим деформациям.
Из сталей, упрочняемых в основном закалкой с получением
мартенсита, изготовляют упругие элементы сравнительно простых
форм, например винтовые или плоские пружины круглого или
прямоугольного сечения. Недостаточная пластичность этих ста-
лей в закаленном состоянии, а также неизбежное коробление
изделия при термической обработке препятствуют изготовлению
упругих элементов сложных форм.
Для изготовления пружин используют высококачественные
углеродистые стали У9А—У12А (ГОСТ 1435—74), стали, легиро-
14
Таблица 1.1
Механические свойства (минимальные значения) цветных металлов, полученные при испытании полуфабриката
Марка сплава ГОСТ или ТУ Полуфабрикат. Размеры, мм Предел прочности ств, МПа Относительное удлинение 6, %
М пт Т ОТ М пт т от
Л 68 ГОСТ 931—70 Листы И ПОЛОСЫ 300 350 440 530 42 20 10
иАГОСТ 2208—75 h= 0,44-12
Л80 ГОСТ 2208—75 Ленты h ~ 0,05 ч- 4-2,0 270 340 400 — 40 15 3
Л80 > ГОСТ 931—70 Листы и полосы h= 0,44-12 270 340 400 — 40 15 3 —
Л90 ГОСТ 931—70 Листы и полосы 240 300 360 — 35 10 3 —
и ГОСТ 2208—75 h= 0,44-12
Л90 ГОСТ 2208—75 Ленты h = 0,05 ч- -ь2,0 240 300 360 — 35 10 3
Л68 ГОСТ 11383—75 Трубки тонкостен- ные d = 1,5ч- 28,0; h = 0,154-0,7 300 — 400 — 38 — 10
МНЦ 15—20 , ГОСТ 5063—73 Полосы h = 0,5ч- -4-10 350 — 550 650 35 — 1 1
МНЦ 15—20 ГОСТ 5187—70* Ленты h = 0,14-2 350 450—550 550—700 700 30 4 2 —
МНЦ 15—20 ГОСТ 5220—78 Проволока d = = 0,14-0,2 350 — 700—1100 — 15 — — —
Проволока d = = 0,254-0,5 350 — 700—1100 — 20 — — —
Проволока d = = 0,64-1,0 350 450 700—1100 — 25 3 3 1,5
Проволока j = = 1,1-ч-5,0 350 450 550 — 30 5 1,5
о
Продолжение табл. 1.1
Марка сплава ГОСТ или ТУ Полуфабрикат. Размеры, мм Предел прочности ав, МПа Относительное удлинение б, %
М пт Т ОТ М пт т ОТ
БрКМцЗ—1 ГОСТ 5222—72* Проволока d = = 0,14-1,0 — — 900 — — — — —
Проволока d = = 1,0-2,6 — — 900 — — — — —
Проволока d ~ = 2,84-4,2 — — 850 — — — 1,0 —
Проволока d = = 4,54-8,0 — — 830 — — — 1,5 2,0 —
Проволока d = = 8,54-10,0 — — 780 — — — —

БрКМцЗ— 1 ГОСТ 4748—70 * Ленты h = 0,054- 4-20 360 480—600 600—800 800 35 10 5 —
БрОФ6,5—0,4 ЦМТУ 08-239—69 Проволока d = = 0,1154-0,49 — — 1000 — — — 1 —
БрОФ6,5—0,4 ТУ48-21-95—72 Проволока d = = 0,24-0,45 — — 900 — — — 0,5 0,5 —
Проволока d = = 0,54-1,2 300 — 900 — 40 — —
0,5
Проволока d = = 1,54-2 300 — 850 — 40 — —

БрОЦ4—3 ГОСТ 1761—70* Полосы и ленты 300 360—550 550 700 38 8 4 —
БрОФ6,5—0,15 ГОСТ 1761—70* Полосы и ленты 300 450—580 580 700 38 10 5
БрОФ4—0,25 ГОСТ 2622—75 Трубки маноме- трические 330 — 500 — 40 — 2 —
П р и м е ч а н и е. М — мягкий, ПТ — полутвердый, Т — твердый, ( ЗТ — особо твердый.
ванные кремнием (60С2, 60С2А), марганцем (65Г), никелем, хро-
мом, ванадием (50ХГА, 50ХФА, 65С2ВА) и т. п. На эти стали раз-
работан ГОСТ 14959—69.
Углеродистые, стали обладают невысокой релаксационной
стойкостью, низкой прокалйваемостью, непригодны для работы
при повышенных температурах.
Легирование повышает прочность и релаксационную стой-
кость стали. Марганцовые стали склонны к хрупкости при пере-
гревах во время закалки; кремнистые стали, как и углеродистые,
обладают небольшой прокалйваемостью, и поэтому из них из-
готовляют пружины малого сечения. Высокими механическими
свойствами, особенно в отношении усталостной прочности, об-
ладают хромомарганцовые, хромованадиевые и хромокремне-
марганцовые стали; их применяют для пружин ответственного
назначения, работающих в условиях переменных напряжений.
Высокой коррозионной стойкостью обладают стали
08Х18Н10Т и 12Х18Н9Т (ГОСТ 5632—72**), применяемые для
изготовления упругих элементов, работающих в агрессивных
средах и при повышенных температурах (до 400° С). Эти стали
немагнитны и хорошо свариваются. В отличие от других сталей
они упрочняются деформационным наклепом.
Для изготовления винтовых и плоских пружин широко при-
меняют высокоуглеродистую стальную пружинную проволоку
(ГОСТ 9389—75) и ленту (ГОСТ 2283—69*). Лента имеет высокую
точность размеров, ее поверхность подвергается шлифованию
и полированию, что повышает усталостную прочность ленты.
Из ленты изготовляют упругио элементы простой формы, напри-
мер некоторые плоские пружины.
Наиболее высокими технологическими и эксплуатационными
свойствами обладают дисперсионно-твердеющие сплавы. В мяг-
ком состоянии эти материалы обладают высокой пластичностью,
поэтому из них можно изготовить упругий элемент любой сложной
формы. Во время термической обработки, которая называется
старением или облагораживанием, происходит дисперсионное
твердение материала, и он приобретает высокие .упругие и проч-
ностные свойства.
Особенностью дисперсионно-твердеющих сплавов является по-
вышенное сопротивление микропластическим деформациям, по-
этому упругие элементы из этих материалов обладают высокой
релаксационной стойкостью.
Дисперсионно-твердеющие сплавы хорошо свариваются и па-
яются, немагнитны, стойки против коррозии во многих средах.
К этим сплавам относятся бериллиевые бронзы БрБ2,
БрБНТ1,9 и БрБНТ1,7 (ГОСТ 18175—78), превосходящие мно-
гие высококачественные стали по прочности и упругим свойствам.
Гистерезис, упругое последействие и ползучесть упругих эле-
ментов из бериллиевой бронзы сравнительно малы. Рабочие тем-
пературы могут достигать 100—150° С.
17
Таблица 1.2
Механические свойства материалов для упругих элементов
Марка материала Временное сопротив- ление ав, МПа Предел текучести %,2’ МПа Предел упругости а0,005’ МПа Предел вы- носливости Q-1, МПа Модуль ' упру- гости Е • 10-*, МПа Отно- ситель- ное удли- нение 6, %
Л68 660—740 520 500 150 11,5 12
Л80 610—680 520 420 154 Н,2 10
МНЦ 15—20 800 600 14 2—4
БрКМцЗ—1 750 420 360 210 11,5 13
БрОФ6,5—0,4 700—800 590—650 11,2 7,5—12
БрОФ4—0,25 600 540 — 248 10 8
У9А, У10А, 750—1200 — — — 20
У ИА, У12А
60С2 1300 1200 — 500 20,5 6
60С2А 1600 ' 1400 — 20 6
65Г 1000 800 — 660 20 8
50ХГА 1300 1200 — 640 20 7
50ХФА 1300 1100 — 520 21 8
65С2ВА 1900 1700 — — 19 5
БрБ2 1350 1280 960 — 13,5 —
36НХТЮ 1200—1300 800—1000 650—750 — 19—20 14—18
36НХТЮ5М 1400—1450 1000—1100 750—850 — 21,1 8—10
36НХТЮ8М 1450—1480 1100—1150 850—950 — 21 6—7
40КХНМ 2500—2700 2300—2500 1700 — 20,5—21 3—5
40КНХМВТЮ 2000—2200 1800—2000 1500—1600 — 22 4—6
Достаточную пластичность в мягком состоянии и высокие
механические свойства после термомеханической обработки (за-
калка + деформирование + старение) имеют дисперсионно-
твердеющие сплавы на железоникельхромовой основе, типичным
представителем которых является сплав 36НХТЮ
(ГОСТ 10994—74*). Эти сплавы по сравнению с бериллиевой брон-
зой имеют более высокую коррозионную и термическую стойкость.
Сплав 36НХТЮ имеет высокий предел упругости, из него из-
готовляют многие упругие элементы сложной формы, работаю-
щие при высоких напряжениях, в агрессивных средах и при
повышенных температурах (до 250° С).
Молибден, добавленный к сплаву 36НХТЮ, повышает его тер-
мостойкость. Чувствительные элементы из сплавов 36НХТЮ5М
и 36НХТЮ8М (ГОСТ 10994—74*) могут быть использованы до
температур 350 и 400° С соответственно. Хорошая коррозионная
и термическая стойкость и высокие упругие свойства этих сплавов
позволяют изготовлять из них чувствительные упругие элементы
точных приборов, предназначенных для работы в условиях повы-
шенных температур и агрессивных сред.
Для упругих элементов простой геометрической формы —
плоских, спиральных винтовых пружин — при особенно высоких
16
требованиях к статической и циклической прочности, коррози-
онной и термической стойкости используют сплавы на кобальто-
хромоникелевой основе марок 40КХНМ, 40КНХМВТЮ
(ГОСТ 10994—74*) [3, 6]. Эти сплавы упрочняют термомеханиче-
ской обработкой, включающей закалку, пластическое деформиро-
вание с высокой степенью обжатия (30—90%) и последующее ста-
рение (отпуск). Упругие элементы из таких сплавов могут рабо-
тать при температурах до 400—550° С.
Основные механические свойства в упрочненном состоянии
некоторых материалов, используемых для изготовления упругих
элементов, приведены в табл. 1.2 [2, 3, 5, 6].
§ 1.2. Вопросы изготовления упругих
элементов
Качество упругого элемента во многом определяется техно-
логическим процессом. Режимы некоторых технологических опе-
раций, таких, например, как механическая или термическая обра-
ботка упругого элемента, оказывают прямое влияние на упругие
и прочностные свойства материала, а следовательно, и на рабочие
характеристики упругого элемента.
Технология изготовления упругих элементов разнообразна
и определяется конструкцией, назначением, материалом упругого
элемента, техническими требованиями, предъявляемыми к его
основным рабочим характеристикам. Часто только повышение
требования к точности и надежности упругого элемента ведет
к существенной перестройке технологического процесса.
Технологии упругих элементов посвящена специальная лите-
ратура [1, 7, 8]. Здесь отметим только те этапы технологического
процесса, которые являются типичными для различных упругих
элементов.
Упругие элементы изготовляют из полуфабриката (листового
материала, тонкостенных трубок, проволоки или лент), который
должен иметь надлежащие механические свойства и достаточно
точно выдержанные размеры для обеспечения требуемого качества
упругих элементов. Трудоемкость технологического процесса
обычно определяется не столько трудностями изготовления уп-
ругого элемента из заготовки, сколько сложностью получения
самой заготовки. Например, получение тонкостенных трубок
с малыми допусками на толщину стенки более трудоемко, чем
последующее изготовление из них чувствительных элементов —
сильфонов или манометрических трубчатых пружин.
Процесс изготовления пружин можно разделить на два ос-
новных этапа: образование формы упругого элемента и придание
ему необходимых рабочих свойств.
Требуемая геометрическая форма упругого элемента создается
штамповкой, вытяжкой, гибкой, навивкой. При проектировании
19
Рис. 1.1. Стабилизация упругого элемента:
а — первые циклы нагружения; б — уменьшение остаточных деформаций при
стабилизации
инструмента для формообразования упругих элементов из мате-
риалов, которые сильно нагартовываются, следует учитывать уп-
ругую отдачу материала.
Термообработка упругих элементов производится в вакуум-
ных печах или в печах с защитной атмосферой во избежание окис-
ления и появления окалины; для предотвращения коробления
тонкостенных элементов их закрепляют в специальных проклад-
ках.
Ответственной операцией процесса изготовления является
соединение деталей упругого элемента друг с другом или с арма-
турой с помощью сварки или пайки. Сварка или пайка не должны
искажать форму упругого элемента и снижать его свойства.
Здесь непригодны такие способы сварки или пайки, которые свя-
заны с длительным нагревом материала до температур структур-
ных превращений. Широко применяют точечную и шовную им-
пульсно-дуговую сварку, когда упругий элемент нагревается
только вблизи самого шва, а также аргонодуговую сварку.
Заключительным этапом изготовления упругого элемента яв-
ляется его стабилизация, которая заключается в пульсационном
нагружении или в длительной выдержке упругого элемента под
статической нагрузкой, на 10—20% превышающей максималь-
ную рабочую.
Как правило, во время стабилизации в наиболее напряжен-
ных местах упругого элемента возникают пластические деформа-
ции. На рис. 1.1, а показано перемещение % некоторой точки
упругого элемента в зависимости от нагрузки р в процессе стаби-
лизации пульсационным нагружением. При снятии нагрузки
после первого нагружения упругий элемент сохранил остаточное
перемещение величиной ДХОсТ1- С увеличением числа N циклов
20
Нагружения прирос! остаточного перемещения Акост уменьшается
(рис. 1.1,6) и после некоторого числа циклов прекращается.
При работе упругого элемента, прошедшего стабилизацию, пла-
стические деформации будут проявляться в меньшей сте-
пени.
Часто для ускорения процесса пластического течения упругий
элемент стабилизируют при повышенных температурах, но они
должны оставаться значительно меньше температур структурных
превращений.
Для измерительных упругих элементов операция стабилиза-
ции обязательна. Натяжные и малоответственные пружины можно
не подвергать стабилизации.
Иногда нагружение пружины за пределами упругих деформа-
ций (заневоливание) проводится для повышения ее несущей спо-
собности (см. § 4.4).
Допуски на геометрические размеры упругих элементов, а
также на режимы технологического процесса должны соответство-
вать полю допусков на рабочие характеристики упругого эле-
мента. Например, жесткость К винтовых цилиндрических пружин,
изготовленных из проволоки диаметром d, связана с модулем уп-
ругости G материала, средним диаметром D пружины и числом i
рабочих витков соотношением
к Gd*
Л 8DH *
Так как в этом случае жесткость зависит от диаметра d проволоки
в четвертой, а от диаметра D пружины в третьей степени, то даже
небольшие отклонения по этим размерам могут вызывать значи-
тельное изменение жесткости [8].
Разброс по упругим характеристикам манометрических чув-
ствительных элементов зависит в большой степени от допуска
на толщину листового материала.
В тех случаях, когда необходим малый допуск на жесткость
упругого элемента, а уменьшать допуски на его геометрические
размеры нецелесообразно, следует при разработке технологиче-
ского процесса предусматривать возможность компенсации от-
клонения одного геометрического размера упругого элемента со-
ответствующим изменением другого. Например, для цилиндри-
ческой винтовой пружины отклонение по диаметру d проволоки
может быть скомпенсировано соответствующим изменением диа-
метра D пружины или числа витков и т. д.
У готового упругого элемента проверяют геометрические
размеры, прочность, упругие свойства, а также в зависимости от
назначения и предъявляемых требований и другие показатели:
ползучесть, гистерезис, виброустойчивость, усталостную проч-
ность, герметичность, частоту собственных колебаний, темпера-
турные погрешности и т. д.
21
Список ЛИТЕРАТУРЫ
1. Исаченков Е. И. Штамповка резиной и жидкостью. М.: Машгиз, 1962.
367 с.
2. Прецизионные сплавы. Справочник/Под. ред. Б. В. Молотилова. М.:
Металлургия, 1974. 447 с.
3. Прецизионные сплавы с особыми свойствами теплового расширения и
упругости. М.: Издательство стандартов, 1972. 152 с.
4. Рахштадт А. Г. Пружинные стали и сплавы. М.: Металлургия, 1971.
496 с.
5. Смирягин А. П., Смирягина Н. А. и Белова А. В. Промышленные цвет-
ные металлы и сплавы. М.: Металлургия, 1974. 488 с.
6. Справочник металлиста. Т. 2. М.: Машиностроение, 1976. 718 с.
7. Ушаков Н. Н. Упругие чувствительные элементы. Справочник. Прибо-
ростроение и средства автоматики; в 5-и томах. Т. 3, кн. 2. М.: Машинострое-
ние, 1964.202—232 с.
8. Фролов Г. Н. Точность изготовления упругих элементов приборов. М.:
Машиностроение, 1966. 176 с.
Глава 2
Плоские пружины
§2.1. Общие сведения
Пружина называется плоской, если ее ось до и после нагру-
жения является плоской кривой. При работе пружина нагру-
жается силами и моментами в плоскости ее оси.
Плоскую пружину можно изготовить практически из любого
пружинного материала (см. табл. 1.1, 1.2). Выбор материала
определяется только назначением и условиями работы пружины.
В качестве полуфабриката для изготовления многих плоских
пружин служит лента из пружинной стали.
Особенностью ленточной плоской пружины является то, что
она податлива на изгиб только в одном направлении — в плоскости
минимальной жесткости и имеет большую жесткость на растяже-
ние и на изгиб в другом направлении. Поэтому плоские пружины
успешно используют в качестве кинематических элементов при-
боров и механизмов [5]: упругих опор и направляющих, гибких
связей и деталей передаточно-множительных механизмов (рис. 2.1).
Упругие опоры и направляющие, изготовленные из плоских пру-
жин, практически не имеют трения и зазоров, не нуждаются в ре-
гулярной смазке и обладают большей надежностью, чем, например,
призматические опоры. Недостаток упругих опор и направляю-
Рис. 2.1.-Плоские пружины в качестве:
а, б — упругих опор; в — упругих направляющих; а — гибких
рвязей в механизмах
23
Рис. 2.2. Контактные пружины
- »щих заключается в ограничен-
т ности величин линейных и
угловых перемещений.
——Г-+-—-ч—।-------------—у] Широко применяют плоские
пружины в различных электро-
контактных устройствах (рис.
2.2). Наиболее распространена
в них самая простая конструктивная форма плоской пружины
в виде прямого консольно закрепленного стержня. Контактные
пластинки должны иметь малое электрическое сопротивление,
поэтому их изготовляют из бронз и латуней (см. табл. 1.2).
Плоские измерительные пружины используют также для
преобразования усилия или перемещения. Геометрическая форма
и размеры измерительных пружин весьма разнообразны. Жест-
кость плоской пружины постоянна в области малых перемещений,
если конструкция крепления и способ приложения нагрузки обес-
печивают постоянство рабочей длины пружины. При необходимости
может быть получена нелинейная характеристика, например при
посадке пружины на лекало или штифты, что приводит к измене-
нию рабочей длины пружины (рис. 2.3, а).
Большие угловые перемещения может получать измеритель-
ная пружина спиральной формы — «волосок» (рис. 2.3, б). Во-
лоски применяют в электроизмерительных приборах, в спусковых
регуляторах часовых механизмов. Во многих приборах волоски
используют как натяжные пружины, предназначенные для вы-
бора зазоров передаточного механизма прибора.
Спиральную форму имеют также заводные пружины, выпол-
няющие роль двигателя.
Метод расчета плоских пружин зависит от величины переме-
щений, которые получает пружина при работе. Если перемещения
малы по сравнению с размерами пружины, то ее рассчитывают
по линейной теории изгиба стержней [4]. Для больших переме-
щений используют нелинейную теорию, наиболее полно разра-
ботанную Е. П. Поповым [1].
Рис. 2.3. Измерительные пружинь}
5)
24
§ 2.2. Расчет плоских пружйй
при малых перемещениях
Соотношение между изгибающим моментом М и изменением
кривизны Дх оси стержня [4] является основной зависимостью
теории изгиба стержней
Ах=4> (2-1)
где В = EJX — изгибная жесткость стержня; Е — модуль уп-
ругости материала; Jx — момент инерции поперечного сечения
относительно нейтральной оси х. Для ленточной пружины, се-
чение которой вытянуто вдоль оси х, вместо модуля упругости Е
следует подставлять
. _ где р — коэффициент Пуассона.
Наибольшее напряжение отах определится как
^тах
М max
где Л4тах — наибольший изгибающий момент; Wx — момент со-
тт 1 Ь№
противления сечения. Для прямоугольного сечения Jx = —&,
bh2
Wx = —g- (b— ширина, h — высота сечения); для круглого се-
чения Jx = ~, Wx = ~ (d — диаметр).
Линейные или угловые перемещения плоской пружины опре-
деляют методами сопротивления материалов.
В качестве примера определим наибольшие напряжения и пере-
мещения конца пружины, нагруженной силой Р (рис. 2.4, а).
Построив эпюру изгибающего момента Мр (рис. 2.4, б), най-
дем наибольший момент в сечении у заделки Л4шах = Ра, тогда
наибольшее напряжение
атах = -^. (2.2)
Чтобы определить прогиб конца, приложим в направлении
искомого перемещения к точке А стержня единичную силу и
построим эпюру Мг от этой силы (рис.
2.4, в, г). Перемножив эпюры Мр и ч
по способу Верещагина, определим $
перемещение
V*~L~Ро
где — площадь эпюры Мр, М1с —
ордината на эпюре Мъ расположен- |
ная под центром тяжести С площади
эпюры Мр. и
Рис. 2.4. Схема к решению примера 1
25
В данном случае = -у- (Ра)а; М1(, = /—следова-
тельно, прогиб в точке А
Если в этом выражении принять I = а, то прогиб
р/3
= (2.3)
В рассмотренном примере геометрия пружины была задана,
а искомыми величинами были перемещение и напряжение. При
проектировании пружины решают обратную задачу. Сначала вы-
бирают материал и в соответствии с условиями работы пружины
назначают допускаемое напряжение (или коэффициент запаса).
Затем из расчета на прочность и дсесткость определяют размеры
пружины. Так, например, ленточную прямую пружину, один ко-
нец которой защемлен, а другой нагружен силой (рис. 2.4 при а =
= /), при проектировании рассчитывают по формулам (2.2) и (2.3)
Р/3 4Р/3
3EJX "" Ebh3 ’
_______Pl __ 6Р/ г ,
^max— Wx “ bh2 < L4>
где b и h — ширина и высота поперечного сечения; [о]—до-
пускаемое напряжение.
Предположим, заданы рабочий прогиб v и рабочая нагрузка Р;
модуль упругости Е и допускаемое напряжение [о] предопреде-
лены свойствами выбранного материала. Приведем последние
формулы к виду
“-мт- <2-5>
Результат решения задачи проектирования не однозначен:
заданным требованиям в отношении жесткости и прочности мо-
гут удовлетворять- пружины разных геометрических размеров.
Окончательный выбор наиболее подходящего варианта упругого
элемента осуществляется в зависимости от других факторов:
габаритных размеров, технологичности, жесткости в боковом
направлении и т. п.
В рассматриваемом случае, задав отношение можно
найти по формуле (2.4) ширину Ь, по формуле (2.5) — высоту h
l 1
сечения, а из соотношения ----длину I.
26
Выбрав новое отношение у-, получим новые геометрические
размеры пружины. Таким образом можно получить несколько
пружин одинаковой прочности и жесткости, из которых следует
выбрать пружину, наиболее подходящую к данной конструкции
прибора.
Размеры пружины, полученные расчетным путем, округляют
в соответствии с сортаментом лент из пружинных сталей.
Пример [7]. Спроектировать консольную ленточную пружину,
которая при наибольшей рабочей нагрузке Р = 10 Н должна
иметь перемещение v = 5 мм. Материал — сталь 60С2А (см.
табл. 1.2), Е = 2-Ю5 МПа, сгт = 1400 МПа.
Решение. Выберем коэффициент запаса пт = 1,75. Тогда
допускаемое напряжение [о] =-^ = = 800 МПа.
Зададимся рядом значений у и по формулам (2.4) и (2.5)
найдем b, ha I. Результаты расчета сведены в следующую таблицу.
Вариант № 1 h 1, мм Ь, мм ht мм b 1г / ь
1 35 53,6 1,72 1,53 1,12 31,2
2 40 46,9 2,56 • 1,17 2,18 18,3
3 45 41,7 3,64 0,926 3,94 11,4
4 50 37,5 5,00 0,750 6,67 7,50
5 55 34,1 6,65 0,620 10,70 5,12
6 60 31,2 8,64 0,521 16,6 3,62
7 65 28,8 11,0 0,444 24,8 2,63
8 70 26,8 13,7 0,383 35,3 1,95
9 75 25,0 16,9 0,333 50,6 1,48
Там же приведены отношения у- и • Полученные варианты
равнопрочных пружин одинаковой жесткости изображены на
рис. 2.5. Можно считать наиболее удачными варианты 4, 5 и 6.
Рис. 2.5. Пружины равнопрочные одинаковой жесткости
27
Округляя толщину h и ширину Ь, пересчитаем длину I и наиболь-
шее напряжение. Результаты сведены в таблицу.
h, мм Ъ, мм мм О, МПа
0,5 9 30,4 810
0,55 8 32,2 798
0,6 7 33,5 799
0,7 5,5 36,1 804
§ 2.3. Расчет плоских пружин
при больших перемещениях
Плоская пружина малого поперечного сечения при изгибе
может получать перемещения, соизмеримые, например, с длиной
пружины. При таких больших перемещениях деформации пру-
жины могут оставаться малыми и упругими, если толщина h
пружины достаточно мала:
е max “ ~2 < еу»
где 8тах — наибольшая деформация в изогнутом стержне; 8у—
деформация, соответствующая пределу упругости материала;
Ах — изменение кривизны оси.
При больших перемещениях в отличие от малых принципы
неизменности начальных размеров и независимости действия сил
неприменимы; направление действия сил и место их приложения
могут существенно изменяться в процессе изгиба.
Общий метод решения задач об упругом изгибе стержня
в больших перемещениях разработан Е. П. Поповым [1]. Даль-
нейшее развитие эта теория получила в работе [2], где дано чис-
ленное решение на ЭВМ задачи о больших перемещениях гибких
стержней. В статье [6] предлагается метод аппроксимации най-
денных Е. П. Поповым нелинейных зависимостей алгебраиче-
скими выражениями. Вопросам статики и динамики гибких стерж-
ней и нитей посвящена фундаментальная работа В. А. Светлиц-
кого [3].
Вывод уравнения упругой линии гибкого стержня. Рассмотрим
стержень, находящийся в условиях так называемого основного
класса, к которому относят системы, имеющие следующие ограни-
чения.
1. Стержень нагружается только по концам сосредоточенными
силами и моментами.
2. Начальная форма стержня представляет собой прямую
или дугу окружности.
3. Жесткость стержня постоянна по длине.
28
Рис. 2.6. Стержни основного класса
На рис. 2.6, а—е приведены примеры стержней основного
класса.
К основному классу можно привести стержень, каждый уча-
сток которого находится в условиях основного класса, если,
например, стержень, нагружен сосредоточенными силами и мо-
ментами J3 промежуточных точках (рис. 2.6, ж, з, к, ж), а также
если начальная кривизна или поперечное сечение стержня изме-
няются ступенчато (рис. 2.6, и, л). При решении задач изгиба
стержней, сводящихся к основному классу, каждый участок рас-
сматривают как отдельный стержень основного класса, а на гра-
ницах участки связывают силовыми и геометрическими условиями.
Таким образом, основной класс, включая те случаи, которые
могут быть сведены к основному классу, весьма обширен и охва-
тывает большинство практических случаев изгиба гибких стержней.
Решение задач изгиба стержней, не сводящихся к основному
классу, дано в работе [1 ]. К ним относятся задачи изгиба стерж-
ней, плавно изменяющейся кривизны или жесткости, или нагружен-
ных распределенными силами. При решении этих задач стержень
разбивают на множество малых участков, каждый из которых
находится в условиях основного класса.
Рассмотрим равновесие первоначально прямого гибкого стерж-
ня постоянной изгибной жесткости В, длиной Z, нагруженного на
концах силами и моментами (рис. 2.7). Поместим начало коорди-
нат в точку О стержня, направив ось х по линии действия силы Р.
Изменение кривизны в произвольной точке стержня
л
ds
29
где £ — угол наклона касательной к оси х; s — дуга, отсчитывае-
мая от точки О.
Изменение кривизны изгибаемого стержня связано также
с моментом и жесткостью известным соотношением (2.1).
Таким образом,
d£ = М
ds В
Изгибающий момент М в произвольной точке стержня (см.
рис. 2.7)
М = Мо — Ру.
Подставив значение М в предыдущую формулу, получим
_ Мо-ру
ds ~ В
Исключим переменную у, дифференцируя последнее выраже-
ние по s и учитывая при этом, что = sin£:
ds2
4-sin^-
Это выражение можно представить в безразмерной форме,
если ввести безразмерный параметр нагрузки
Р-//4 (2.6)
и безразмерную дугу
Х = (2.7)
В результате получим
Это выражение является дифференциальным уравнением изогну-
той оси стержня. Первый интеграл уравнения можно записать
в виде
-g- = 2 j/п —sin*-J-, (2.8)
где D --- постоянная интегриро-
вания.
Выражение (2.8) в безразмер-
ной форме связывает кривизну
Рис. 2.7. Схема к выводу уравнения
упругой линии изогнутого стержня
30
Рис. 2.8. Характерные точки изогнутой оси т.й
/С
-р- в каждой точке упругой линии с вели- V
' * у. Т I
чиной угла £ наклона касательной в этой V
точке к оси х, т. е. к линии действия силы Р. Л
Разным значениям постоянной D coot-
ветствуют различные очертания упругой
линии стержня. Из выражения (2.8) следует,
что постоянная D не может быть меньше ( sin2 — наиболь-
шего значения sin2-j- для данной упругой линии. Если постоян-
ная D = (sin2—, то кривизна упругой линии в той точке,
где sin2 -j- = (sln2_j")Hail6 ’ бУДет 4? — °, т. е. в этом месте
упругая линия имеет точку перегиба. Упругие линии, для которых
постоянная D находится в интервале (sin2-^-)
относятся к перегибным формам.
Если постоянная D >1, то упругая линия не может иметь
точек перегиба, так как в этом случае ни в одной точке упругой оси
стержня кривизна не будет равна нулю в соответствии с уравне-
нием (2.8). Поэтому упругие линии, которые описываются уравне-
нием (2.8) при 1 < D < оо, относятся к бесперегибным формам.
В случае, когда D = 1, упругая линия имеет переходную
форму, лежащую на границе между перегибными и бесперегиб-
ными формами.
Изогнутая ось стержня (рис. 2.8) помимо точек перегиба Т.П.
может иметь и другие характерные точки: точки сжатия Т.С.
и точки растяжения Т.Р. В этих точках внутренние силы приво-
дятся к нормальной силе сжатия или растяжения. Касательная
к упругой линии стержня в точках растяжения или сжатия парал-
лельна линии действия силы. Нормаль, проведенная к упругой
линии в точках сжатия или растяжения, является осью симметрии
для прилегающих участков кривой, а точка перегиба — центром
симметрии.
Следует отметить, что точки растяжения могут быть только на
кривой бесперегибной формы.
Дальнейшее интегрирование уравнения (2.8) производится
различно для перегибных и бесперегибных форм равновесия уп-
ругой линии. При этом форму переходную можно рассматривать
как предельный случай двух предыдущих.
Прежде чем интегрировать уравнение (2.8), произведем сле-
дующую замену:
для перегибных форм (О<1)
D = k2 и sin -j- = k sin ф; (2.9)
31
для бесперегибных форм ф > 1)
= и sin^P=x sini|). (2.9а)
В результате этой замены уравнение (2.8) для перегибных форм
принимает вид
= У1 — k2 sin2 ф.
После интегрирования получим
Z = F (ф) — F (ф0). (2.10)
Аналогично решается уравнение для бесперегибных форм
К = k [F (ф) — F (фо)]. (2.10а)
Здесь
ip
РОЮ = (' -
J V1 —k2 sin2 ф
о
есть эллиптический интеграл первого рода, значения которого
в зависимости от его модуля k и эллиптической амплитуды ф
даются в таблицах эллиптических интегралов.
Модуль k постоянен для данной упругой линии стержня.
С изменением модуля k форма упругой линии будет меняться.
Поскольку 0 < k с 1, то в некоторых случаях модуль удобно
представлять в виде k = sin а, где а — модулярный угол (0 <
< а < 90°).-
Эллиптическая амплитуда ф связана соотношением (2.9)
с углом £ наклона касательной к произвольной точке упругой ли-
нии стержня (см. рис. 2.7) и переменна вдоль его оси. Обозна-
чим фо и фх — эллиптическую амплитуду в начальной 0 и конце-
вой 1 точках стержня. Так как в концевой точке дуга s = /, то
из выражений (2.10) и (2.7) следует, что
Р = F Oh) - F (гр0).
и тогда уравнение (2.10) можно записать в следующем виде:
F (гр) = [F (грх) — F (гр0)] + F (гр0).
Это выражение показывает, что если известны модуль k и эл-
липтические амплитуды ф0 и ф! в начальной и концевой точках
стержня, то можно определить эллиптическую амплитуду ф
в произвольной точке стержня. Далее с помощью выражения (2.9)
можно найти угол £ наклона касательной в произвольной
точке и, следовательно, определить форму упругой линии стержня.
Величины же k, ф0 и ф! можно считать известными, так как по
заданным условиям для конкретного стержня их всегда можно
найти.
32
Рис. 2.9. Форма оси изгибаемого
стержня
Периодические упругие
кривые. Рассмотрим стер-
жень АВ, изгибаемый
силами Р так, как пока-
зано на рис. 2.9, а. Изме-
няя силы Р, получим но-
вые очертания изогну- б)
той оси стержня. АВ
(рис. 2.9, б). Е. П. Попов показал, что упругую линию стержня
АВ можно представить как часть некоторой бесконечной периоди-
ческой кривой, форма которой меняется с увеличением нагрузки.
Упругая линия любого стержня при изгибе его произвольными
силами и моментами, приложенными по концам, оказывается по-
добной какому-то участку одной из периодических кривых.
Если известно решение для всего семейства периодических
упругих кривых, т. е. известны их формы, то для отыскания уп-
ругой линии любого конкретного стержня необходимо лишь найти
тот участок периодической кривой, которому подобна упругая
линия рассматриваемого стержня.
Уравнения семейства периодических упругих кривых были
получены Е. П. Поповым в безразмерных координатах, удобных
для применения условий подобия стержней:
g = и Т) = РХ, (2.Ц)
начало которых помещают в той точке периодической упругой
кривой, где эллиптическая амплитуда ф = 0.
В уравнениях (2.11) х и у—координаты произвольной точки
кривой, I — ее длина. Величина 0 определяется по выражению
(2.6).
Длина % дуги в произвольной точке периодической упругой
кривой, отсчитываемая от начала координат, согласно выра-
жению (2.7)
^ = Р-у-.
Задавшись каким-либо значением модуля k = sin а и меняя
эллиптическую амплитуду ф в пределах от —90° до +<х>, можно
построить периодическую упругую кривую на основании формул
(2.9) и (2.10). Такое построение можно провести для различных
величин модуля k (или модулярного угла а), в результате чего
будет получено семейство периодических упругих кривых
(рис. 2.10).
Бесконечное множество форм периодических упругих кривых
разделяют на девять видов, каждый из которых соответствует опре-
2 П<номарев С. Д., Андреева Л. Е. 33
Рис. 2.10. Периодические упругие кривые
Вид 9a.id=0d
1 А
деленному числовому значению модулярного угла а или опреде*
ленному интервалу значений а.
Виды 1—6 относят к перегибным формам, описываемым уравне-
ниями (2.10); виды 8, 9, 8аи 9а — к бесперегибным, соответству-
ющим уравнению (2.10а).
Точки Л, С, Е и т. д. периодической упругой кривой являются
точками сжатия; точки В, D, F и т. д. — точками перегиба на
кривых перегибного рода и точками растяжения на кривых бес-
перегибного рода. Переходная кривая 7 не имеет ни точек перегиба,
ни точек растяжения.
Все участки (NA, АВ, ВС, CD, DE и т. д.) периодической
кривой имеют одинаковые размеры и форму. Участок АВ назы-
Рис. 2.11. Подобные изогнутые стержни
вают главной ветвью. Все ветви периодической кривой при нало-
жении совмещаются с главной ветвью. Точки разных ветвей,
совпадающие при наложении одной на другую, называют соответ-
ственными точками. Чтобы полностью определить всю периоди-
ческую упругую кривую, достаточно определить главную
ветвь.
Использование периодической упругой кривой для решения
конкретных задач основано на условиях геометрического подо-
бия стержней.
Условия геометрического подобия стержней. Стержни разных
геометрических размеров и нагруженные различными силами
и моментами в результате деформации могут получить геометри-
чески подобные формы упругой линии. Условия геометрического
подобия стержней заключаются в равенстве угловых и пропор-
циональности линейных размеров в соответственных точках:
две кривые а и б (рис. 2.11) подобны, если длины дуг sx и s2 про-
порциональны радиусам кривизны и Т?2 в соответственных точ-
ках (например, точках Вг и В2), а угол между касательными в точ-
ках Вг и С\ одной кривой равен углу между касательными в точ-
ках В2 и С2 другой кривой.
Достаточным условием подобия изогнутых стержней является
равенство в соответственных точках трех так называемых коэффи-
циентов подобия:
1) углового коэффициента подобия, представляющего собой
угол £ между направлением линии действия силы Р, приложен-
ной в начальной точке стержня, и касательной к его оси в рас-
сматриваемой точке (см. рис. 2.7):
2) моментного коэффициента подобия
Урв ’
(2-12)
где М — изгибающий момент в рассматриваемом сечении стержня;
-р---начальная кривизна стержня; В — изгибная жесткость;
2*
35
Рис. 2.12. Схема к примеру определе-
ния коэффициентов подобия
3) силового коэффициента по-
добия, который представляет
собой безразмерный параметр на-
грузки |3 [см. уравнение (2.6) I
Угловой и моментный коэффициенты подобия имеют опреде-
ленные значения в каждой точке упругой линии стержня. Сило-
вой коэффициент подобия не зависит от положения точки на стерж-
не и определяется соотношением (2.6) между силой Р, длиной I
и жесткостью стержня. Угловой и моментный коэффициенты по-
добия в начальной 0 и концевой 1 точках стержня ш£0, о0, (i)b
а также силовой коэффициент подобия |3 называют главными коэф-
фициентами подобия.
По условию задачи можно найти три из пяти главных коэф-
фициентов подобия. Например, для стержня, изображенного на
рис. 2.12, известны сила Р, длина I и жесткость В на изгиб. По
этим данным можно определить следующие главные коэффициенты
подобия:
1) силовой коэффициент подобия по формуле (2.6);
2) моментный коэффициент подобия по выражению (2.12)
со! = 0, так как изгибающий момент в концевой точке 1 равен
нулю и начальная кривизна = 0;
3) в начальной точке 0 известен угол между касательной к оси
стержня и направлением силы Р, поэтому угловой коэффициент
подобия £0 = 90°.
Изогнутая ось стержня основного класса при любых величинах
и соотношениях нагрузок принимает форму, подобную некоторому
участку одной из периодических упругих кривых. При этом каж-
дой точке упругой линии стержня соответствует определенная
точка участка периодической кривой. Индексами 0 и 1 будем от-
мечать точки периодической упругой кривой, соответствующие
начальной и концевой точкам упругой линии стержня.
В соответствии с выражением (2.7) длина участка периодиче-
ской кривой, отображающего упругую линию стержня, равна
силовому коэффициенту подобия
р = — Хо. (2.13)
Угловой коэффициент подобия £ в произвольной точке перио-
дической упругой кривой равен углу наклона касательной в этой
точке к оси
Можно показать, что кривизна в любой точке периодической
упругой кривой равна моментному коэффициенту подобия для
этой ТОЧКИ (0 == .
ак
36
Рис. 2.13. Главши. bcibi, периодической ун-
р\юп кривой и упругие параметры
Диаграммы упругих параметров,
[рафоаналитический способ решения
основан на использовании диаграмм
упругих параметров, которые пред-
ставляют собой выраженные в безраз-
мерной форме линейные и угловые ко-
ординаты и кривизну в каждой точке
периодической упругой кривой. Упру-
гие параметры полностью характери-
зуют периодическую кривую, следова-
тельно, и изогнутую линию любого
конкретного стержня. Используя условия подобия изогнутых
стержней, можно от безразмерных координат (упругих пара-
метров) перейти к размерным координатам нагруженного стержня
и наоборот.
При решении любой задачи о плоском изгибе стержня по из-
вестным данным всегда можно найти некоторые из упругих пара-
метров в начальной и концевой точках изогнутой оси рассматри-
ваемого стержня. По этим параметрам находят отображение уп-
ругой линии стержня на диаграмме упругих параметров, после
чего определяют остальные упругие параметры в любой точке
стержня.
По упругим параметрам с помощью простых формул перехода
можно найти все искомые величины: перемещение, кривизну,
напряжения в любой точке стержня, его упругую характеристику,
потенциальную энергию деформации стержня и т. д.
Упругими параметрами называют безразмерные координаты,
длину дуги, кривизну и угол наклона касательной к оси £ для
произвольной точки главной ветви АВ периодической упругой
кривой (рис. 2.13). При отсчете от начала А главной ветви упру-
гие параметры обозначают т]', X', со' и , а при отсчете от
конца В главной ветви — ц" и X".
Упругие параметры, соответствующие точке В, обозначают
Лоо, ^90, так как в точке В эллиптическая амплитуда ф = 90°.
На основании рис. 2.13 справедливы следующие соотношения:
н £90 — s;
р' П9о — п”; (2-Й)
X = Z90 — X .
Зная упругие параметры, можно легко найти величины Е
Z, со и £ в произвольной точке периодической упругой кривой
на любой ее ветви, а затем с помощью коэффициентов подобия
определить все неизвестные величины. Так, координаты д- и у
37
точки упругого стержня связаны с координатами £ и т] соответст-
вующей точки периодической упругой кривой выражениями
х хо = (? So);
I / ' (2.15)
У - Уч = -у (п - По)-
В этих выражениях силовой коэффициент подобия р, равный
длине дуги отрезка 01 периодической кривой, связан с длиной
стержня, его жесткостью и нагрузкой соотношением (2.6).
Изгибающий момент в произвольной точке стержня может быть
подсчитан на основании выражения (2.12)
^=4(^-4-)’ <216>
а напряжения по формуле о = .
и
В случае необходимости могут быть построены упругая ха-
рактеристика стержня, траектория любой его точки и пр.
Таким образом, если значения упругих параметров найдены,
то с их помощью легко определяют все искомые величины.
Диаграммы упругих параметров представлены на рис. 2.14
[11.
На этих диаграммах в некоторых координатах а—ср * прове-
дены кривые одинаковых значений упругих параметров rf,
%', со', £', g", Т]" и %".
Как показано на рис. 2.10, каждой форме периодической уп-
ругой кривой соответствует определенное значение а. Диаграмма
упругих параметров разделена вертикалью а = 90° на две поло-
вины: слева даны линии упругих параметров для периодических
кривых перегибного рода, справа — для кривых бесперегиб-
ного рода.
Положение точки на главной ветви АВ периодической уп-
ругой кривой определяется величиной ср; в начальной точке А
ср = 0, в конечной точке В ср = 90°.
При решении задачи об изгибе стержня нужно найти на диа-
грамме упругих параметров отображение отрезка периодической
кривой, подобного изогнутой оси стержня. Главная ветвь АВ
периодической кривой (рис. 2.15, а) отображается на диаграмме
упругих параметров вертикалью АВ, а некоторый отрезок 01
периодической кривой — соответствующим отрезком 01 на диа-
грамме (рис. 2.15, б). Если отрезок 0D1 периодической кривой
* Параметр а представляет собой arcsin k, где k — модуль эллиптического
интеграла в уравнении (2.10); <р— табличная эллиптическая амплитуда, свя-
занная с амплитудой выражением i|) = п180° ± <р, причем 0 < <р С 90° и п =
= 0, 1, 2 ... и т. д.
38

Рис. 2.14. Диаграммы упругих параметров
в)
Рис. 2.15. Отображение на диаграмме упругих параметров
отрезков периодической упругой кривой
располагается на двух ветвях, то его отображением на диаграмме
будет двойная линия 0D1 (рис. 2.15, в).
На диаграмме упругих параметров легко определяются ото-
бражения характерных точек: точки сжатия располагаются на
оси абсцисс диаграммы (<р = 0), точки перегиба — на левой по-
ловине верхней горизонтали (<р = 90°), а точки растяжения —
на правой половине. Поэтому, если положение характерных точек
на изогнутой линии стержня можно указать заранее, то решение
задачи значительно упрощается.
При определении положения на диаграмме некоторой точки
периодической упругой кривой необходимо выяснить, к какому
роду — перегибному или бесперегибному — относится эта кривая
и затем вычислить значения двух любых упругих параметров
в этой точке. Положение любой другой точки кривой будет опре-
деляться только одним параметром, так как первая точка уже
дала положение вертикали.
Найденное на диаграмме отображение отрезка периодической
упругой кривой позволяет определить для каждой точки стержня
все восемь упругих параметров. Затем, используя условия подо-
бия, можно рассчитать все неизвестные.
Следует отметить, что метод решения Е. П. Попова является
точным. Погрешности, возможные при решении задач, обуслов-
лены только точностью техники вычислений. Например, некоторые
неточности могут возникнуть при отыскании по диаграммам чис-
ловых значений упругих параметров.
Порядок и правила решения задач с помощью диаграмм упру-
гих параметров. При решении задач по методу Е. П. Попова сле-
дует придерживаться определенных правил выбора координат,
43
знаков, отсчета угловых и линейных величин и т. д., чтобы полу-
чить правильное решение.
Оси координат проводят так, чтобы ось х была параллельна
линии действия силы Р, приложенной в начальной точке 0 стержня,
и направлена по этой силе (рис. 2.16, а). Если при изгибе линия
действия силы Р поворачивается, то вместе с ней поворачиваются
и оси координат хОу.
Угол £0 наклона касательной в начальной точке 0 изогнутого
стержня считается положительным, если он отсчитывается от
оси х к касательной против часовой стрелки в правой системе ко-
ординат или по часовой стрелке в левой системе (рис. 2.16, б).
При этом угол £0 берется в интервалах Ос Со < л или 0 35 £0 3s
3» —л, а затем вдоль изогнутой оси угол С меняется непрерывно.
Кривизну принимают положительной, если угол С с уве-
личением дуги s, отсчитываемой от начальной точки 0, увеличи-
вается. Кривизна будет отрицательной, если с увеличением s
угол С уменьшается (рис. 2.16, б).
Изгибающий момент в произвольном сечении стержня счи-
тается положительным, если он увеличивает положительную кри-
визну или уменьшает отрицательную.
Определение ветви периодической упругой кривой, на которой
находится отображение начальной точки -0 стержня, производится
с помощью табл. 2.1.
Для произвольной точки любой ветви периодической упругой
кривой координаты £ и г], длина дуги X, угол наклона С касатель-
ной к оси £ и кривизна со могут быть выражены через упругие пара-
метры т|', X', С', ®', г]" и X" соответственно точки главной
ветви АВ. Например, для точки Т2 (см. рис. 2.13) дуга X может
Рис. 2.16. Схема к определению знаков угла
So и кривизны ----
Ро
44
Таблица 2.1
Определение ветви периодической кривой
Знак кривизны в начальной точке 0 изогнутой оси Угол в начальной точке 0 изогнутой оси Ветвь периодической упругой кривой, на которой расположено отображение точки 0 (см. рис. 2.13)
— >0 Ро — л < £о < 0 0 < + л NA АВ
— < 0 Ро “I- эт £(,/*() 0>£0 >-л ВС CD
быть вычислена как Л = 2X90 + X', координаты С = 2£ээ + С’
и т] = 2т]эо — т]', где Х90, Сэо и т]эо — главные параметры в точке В,
а V, и rf — соответственно главные параметры в точке Т
главной ветви АВ периодической кривой. Такие формулы пере-
хода к упругим параметрам для различных ветвей периодической
кривой даны в табл. 2.2.
При решении задач по методу Е. П. Попова следует прежде
всего выяснить, удовлетворяет ли рассматриваемый стержень
условиям основного класса. Затем нужно наметить примерную
форму изогнутой линии стержня, найти на ней, если это возможно,
характерные точки (перегиба, растяжения или сжатия). Через
начальную точку 0 стержня, которая может быть выбрана на лю-
бом конце стержня, следует провести оси х и у, причем ось х
должна совпадать по направлению с полной силой Р в точке О
стержня.
По условиям задачи всегда можно найти три главных коэф-
фициента подобия или соотношения между ними. Затем с помощью
формул (2.6), (2.12), (2.13) и табл. 2.1 можно определить три уп-
ругих параметра в начальной 0 и концевой 1 точках отрезка пе-
риодической кривой, подобного упругой линии данного стержня.
Для этого предварительно определяют знаки кривизны и угла Со
в начальной точке 0 стержня с тем, чтобы по табл. 2.1 найти ту
ветвь периодической кривой, на которой расположено отображе-
ние точки 0.
По найденным упругим параметрам находят отображения
точек 0 и 1 на диаграмме упругих параметров. Упругие пара-
метры для любой точки отрезка периодической упругой кривой
далее можно легко найти по диаграмме. По формулам перехода,
приведенным в табл. 2.2, находят безразмерные величины £,
Ч» С и со, а по ним с помощью формул (2.15), (2.16) все остальные
неизвестные.
Пример 1. Для стальной пружины, размеры и первоначальная
форма которой указаны на рис. 2.17, а, определить перемещение
45
£ Таблица 2.2
Формулы перехода к упругим параметрам
Кривые Параметры Ветвь периодической упругой кривой (см. рис. 2.13), на которой расположена данная точка
NA АВ ВС CD DE EF
Все 1 = — К + X' 2X90 — X 2X90 + X 4X90 — X 4Л9о + X
в = — В' + г 2^90 — £ 2^90 + £ 4?9э £ 4^ + 1
Перегибных форм П = + п' + п' 211эо - П' 2т1эо - < + п' + Я'
£ = -Г + Г + г ?' ъ -S' + г
<0 = + <>' + «>' — (д' — (д' + to' + (д'
Беспере- гибных форм положительной кривизны Т| = + п' + п' + Т)' + п' + я' + п'
-?' + V 2л-?' 2л + ?' 4л — ?' 4л + ?'
(0 = = + «>' + <о' + to' + м' + to' + (д'
отрицательной кривизны Т) = — п' — п' — п' — п' — п' —п'
z = 2л + Г 2л-?' + -г -(2л-?') - (2л + ?')
(0 = — со' — (д' — (д' — (д' — (д' — (д'
X
Рис. 2.17. Схема к решению примера 1
конца, наибольшие напряжения и форму упругой линии при силе
Р = 1 Н. Оценить погрешность расчета по линейной теории.
Модуль упругости материала Е = 2,1-105 МПа.
Решение. Стержень нагружен только по концам, имеет
постоянные значения изгибной жесткости В и начальной кривизны,
поэтому он принадлежит основному классу.
Выберем начальную точку 0 в заделке, а концевую точку 1 —
на свободном конце и проведем через точку 0 оси х и у, направив
ось х по линии действия силы Р в точке 0. Наметим примерную
форму изогнутой оси пружины (рис. 2.17, б).
Точка 1 является точкой перегиба, поэтому в ней моментный
коэффициент подобия со х = 0. Для начальной точки известен уг-
ловой коэффициент подобия £: касательная к упругой линии в этой
точке составляет 90° к оси х, поэтому £0 = 90°. Кроме того, можно
подсчитать силовой коэффициент подобия 0. Для этого найдем
сначала изгибную жесткость пружины
в = Е = 2,1 • 105 = 2840 Н-мм2.
В соответствии с выражением (2.6) силовой коэффициент подобия
будет равен р = 80 = 1,5.
При принятой левой системе координат кривизна — и угол £0
Ро
в начальной точке 0 положительны (см. рис. 2.16), поэтому ото-
бражение точки 0 упругой линии стержня следует искать в соот-
ветствии с табл. 2.1 на главной ветви АВ периодической упругой
47
кривой (рис. 2.17, в). При этом точка перегиба 1 совпадает с точ-
кой В главной ветви.
По трем главным коэффициентам подобия £0, <в0 и 0 с помощью
табл. 2.2 и соотношений (2.13) и (2.14) находим три упругих пара-
метра:
(01 = 0; [3 = X] — Хо = Хдо — Хо = ^о. £о -= 90 .
По двум упругим параметрам в точке 0 (Со = 90° и Хо = 0 =
= 1,5) находим отображение точки 0 на диаграмме упругих пара-
метров. Так как упругая линия стержня имеет точку перегиба,
то отображение следует искать в левой половине диаграммы.
Точка 0 отображается на диаграмме точкой пересечения кривых
С' = 90° (см. рис. 2.14, б) и V = 1,5 (см. рис. 2.14, а) и имеет
координаты а = 69° и <р = 49°. Отображение точки 1 — точки
перегиба — лежит на пересечении вертикали а = 69° с верхней
горизонталью <р = 90° (рис. 2.17, г).
Затем можно найти все упругие параметры для любой точки
отрезка 01 на диаграмме, а по ним все неизвестные, подлежащие
определению.
Координаты концевой точки 1 стержня в осях х и у можно
найти из выражений (2.15) при х0 = уй = 0:
y _ В1~~Во /. ,, _ Т)1 -Ло /
Л1 — р 4, У1 — р * •
В соответствии с соотношениями (2.14) и табл. 2.2
Bi — Во = Вэо — Во = Во и Т]! — Т]о = Т]о,
следовательно,
Во , т1о ,
Xi = -p-Z и = 1-
По диаграммам (рис. 2.14, в, г) находим упругие параметры
в точке 0-. |о = —0,80 и т]о — 1.21, тогда координаты концевой
точки 1
и
-0,80-80 с
х, = —Не— = — 42,6 мм
1,0
1,21-80 с. г-
У! = —Нт— = 64,5 мм.
1,5
Перемещения точки 1 в горизонтальном и вертикальном на-
правлениях vr = I — у! — 80 — 64,5 = 15,5 мм и vB = —хх =
= 42,6 мм.
Если подсчитать перемещения балки по линейной теории, то
Р13
получим vr = 0 и в соответствии с формулой (2.3) vB = -^- =
1-803
= т Колп" = 60 мм; ошибка линейной теории составляет в этом
случае соответственно 100 и 41%.
48
Напряжение amax возникает в сечении, где изгибающий момент
имеет наибольшее значение Mmax = Ру± = 1 -64,5 = 64,5 Н-мм.
„ Мтах Л4тах-6 64,5-6
Следовательно, напряжение атах = —— = 6 =
= 716 МПа.
По линейной теории
Р1 1 80 6 Qnf, .. о
^тах — w ~ 6 0 З2 —-890 МПа,
что составляет расхождение с результатом точного решения около
24%.
Построим упругую линию стержня. Для этого в соответствии
с выражениями (2.15) определим значения упругих параметров
и rf Для нескольких произвольных точек на отображении 01
стержня на диаграммах. Результаты последующих расчетов све-
дены в таблицу.
Ф° Г П' в'-Во п -по х [мм] у 1мм1
90 —0,22 1,86 —0,80 1,21 —42,6 64,5
85 —0,08 1,73 —0,66 1,08 —35,2 57,6
80 + 0,10 1,56 —0,48 0,91 —25,6 48,5
75 0,26 1,40 —0,32 0,75 —17,1 40,0
70 0,38 1,24 —0,20 0,59 — 10,7 31,5
65 0,47 1,09 —0,11 0,44 —6,86 23,5
60 0,53 0,93 —0,05 0,28 —2,67 14,9
55 0,55 0,80 —0,03 0,15 —1,60 8,0
49 So = °>58 Ло = 0,65 0 0 0 1,1
Упругая линия построена на рис. 2.17, д.
Пример 2. Определить перемещения конца пружины, размеры
которой приведены на рис. 2.17, а, при нагружении ее продоль-
ной силой Р = 1,5 Н.
Решение. Рассматриваемый стержень, как и предыдущий,
находится в рамках основного класса. При нагружении достаточно
большой продольной силой стержень может потерять устойчи-
вость. Критическую силу, при которой происходит потеря устой-
чивости, находят по формуле Эйлера [2.4]
р ___
КР — (V/)2 ‘
При данном закреплении стержня коэффициент v = 2. В преды-
дущем примере была определена жесткость пружины В =
= 2840 Н-мм2.
Следовательно,
р л2 • 2840 . . т_т
КР — (2-80)2 — 1,1 п-
49
Рис. 2.18. Схема к решению примера 2
Указанная в условии сила Р = 1,5 Н > Ркр, поэтому устойчи-
вая форма равновесия стержня будет изогнутой (рис. 2.18, а).
Проведем оси х и у и отметим точки 0 и 1. Точка 1 является
точкой перегиба, точка 0 — точкой сжатия. Касательная к оси
стержня в точке 0 совпадает с осью х. Следовательно, величины
двух главных коэффициентов подобия <о1 = 0 и Со = О-
Силовой • коэффициент подобия находим по формуле (2.6)
В соответствии с принятым правилом знаков (см. рис. 2.16)
в точке 0 кривизна — >0, а Со = О- В этом случае упругая
Ро
линия стержня соответствует главной ветви АВ периодической
упругой кривой (см. табл. 2.1). При этом отображение точки сжа-
тия 0 совпадает с точкой А главной ветви, где упругие пара-
метры = Со = Ло = о, а отображение точки перегиба 1 —
с точкой В.
Упругая линия стержня относится к перегибному роду, по-
этому отрезок 01 отображается на левой половине диаграммы
упругих параметров вертикальным отрезком, начало 0 которого
лежит на нижней горизонтальной линии, где С' = 0, а конец 1 —
на верхней горизонтальной линии, где со' = 0 (рис. 2.18, б).
Положение этого отрезка можно найти с помощью силового коэф-
фициента подобия, который в соответствии с выражением (2.13)
равен длине дуги периодической упругой кривой, отображающей
данный отрезок упругой линии стержня:
Р = Xj — Хо = Xi = 1,84.
По диаграмме (рис. 2.14, а) находим, что упругому пара-
метру Х; = 1,84 соответствует а = 45°. Положение отрезка 01
на диаграмме определено полностью.
50
Для нахождения координат Хх и yt концевой точки 1 стержня
найдем упругие параметры £1 и tjJ по диаграмме (рис. 2.14, в, г):
= 0,85 и т]{ = 1,41. Так как упругие параметры в точке 0
g' = = 0, то формулы (2.15) примут вид
Bi , Th ,
Xi — р /; ух — р I
и
xi = г4т 80 = 37 мм; ух —80 = 61,4 мм.
1,84 1,84
На рис. 2.18, в показана упругая линия стержня при нагрузке
Р = 1,5 Н.
Пример 3. Определить траекторию движения измерительного
стержня, укрепленного на упругой направляющей, которая пред-
ставляет собой две одинаковые плоские пружины. Стержень на-
гружен вертикальной силой Р. Размеры плоских пружин указаны
на рис. 2.19, а; материал — сталь 70, Е = 2,1 • 10® МПа.
Решение. Рассмотрим одну из пружин упругой направляю-
р
щей. Конец 1 пружины нагружен силой -у и изгибающим момен-
том М. При движении измерительного стержня этот конец пере-
Рис. 2.19. Схема к решению примера 3
51
мещается, не поворачиваясь, и упругая линия стержня имеет
вид, показанный на рис. 2.19, б, где отмечена точка перегиба 2.
р
Направим ось х по силе — в точке 0 и ось у, как показано на
рис. 2.19, б. В соответствии с правилами знаков (см. рис. 2.16)
Со > 0 и — > 0, поэтому начальная точка 0 пружины отобра-
Ро
жается на главной ветви АВ периодической упругой кривой
(см. табл. 2.1). Отображение точки перегиба 2 совпадает с точкой
перегиба В периодической упругой кривой, следовательно, ото-
бражение точки 1 попадает на следующую ветвь ВС периодической
кривой (рис. 2.19, в).
Определим главные коэффициенты подобия. В точках 0 и 1
касательные к упругой линии пружины параллельны одна другой
и наклонены под углом С = 45° к оси х. Следовательно, в этих
точках угловые коэффициенты подобия Со = Bi = 45°. В соответ-
ствии с табл. 2.2 упругие параметры в этих точках Со = Со = 45°
и Ci = Ci = 45°. В точке перегиба 2 моментный коэффициент
подобия ю = 0, и эта точка отображается на верхней горизонтали
Ф = 90° левой половины диаграммы упругих параметров. Следо-
вательно, упругой линии пружины соответствует на диаграмме
двойной отрезок 021, причем отображения точек 0 и 1 совпадают и
лежат на кривой С' = 45° (рис. 2.19, г).
Для построения траектории точки 1 нужно определить ее ко-
ординаты xt и уг при различных значениях силы Р, т. е. при раз-
личных значениях силового коэффициента подобия 0. Величины jq
и ух связаны с безразмерными координатами g и г) формулами (2.15),
в которых х0 = у о = 0.
В соответствии с табл. 2.2 величины В и т) в точке 0, расположен-
ной на ветви АВ, и в точке 1, расположенной на ветви ВС, выра-
жаем через упругие параметры Во = В6; Ло = Ло; Bi = 2Вэо —
— BI; Л1 — 2лэ9 — Ль Так как отображения точек Ои 1 на диаграмме
совпадают, то упругие параметры в этих точках равны между
собой: Во = Bi и Ло = Ль Учитывая выражения (2.14), получим
Bi — Во = 2 (Вэо — Во) = 2Во‘> Л1 — Ло = 2ло-
Силовой коэффициент подобия 0 в соответствии с формулами
(2.13) и табл. 2.2 и с учетом = Хо можно представить как
0 = (2Аэо — Х[) — Хо = 2 (Х90 — Хо) = 2Xq.
Тогда формулы (2.15) принимают следующий вид:
„ Во , Ло ,
— —у I, Уг = —^7 I
Ло Ао
При изменении силы Р, а следовательно, и коэффициента
подобия 0 = 2Хо, отображение 021 перемещается по диаграмме
упругих параметров так, что точки 0 и 1 скользят по кривой
С' = 45°, а точка 2 •— по верхней горизонтали <р = 90°
У1 =
(рис. 2.19, г). Отметив на кривой = 45® несколько точек, за-
писываем их координаты ф и а в следующую таблицу.
ф° а° хо ^0 ”о хп мм z/l, мм
60 26 0,58 0,39 0,43 26,9 29,6
55 27 0,67 0,44 0,51 26,4 30,7
50 29 0,78 0,48 0,62 24,6 31,8
45 33 0,91 0,46 0,79 20,2 34,7
40 37 1,04 0,47 0,92 18,1 35,4
35 43 1,20 0,35 1,12 11,7 37,3
30 51 1,40 0,20 1,34 5,7 38,3
25 65 1,86 —0,34 1,64 —7,3 35,2
Затем по диаграмме (см. рис. 2.14, а, в, г) находим упругие
параметры Хо, 1о и т)о- В таблице даны результаты дальнейших
вычислений.
Траектория конца 1 пружины и положения измерительного
стержня показаны на рис. 2.19, д.
Пример 4. Построить упругую характеристику стальной коль-
цевой пружины, размеры и способ нагружения которой указаны
на рис. 2.20, а. Модуль упругости Е = 2-105 МПа.
Решение. Данный стержень может быть сведен к основ-
ному классу, так как кольцо можно разделить на участки (по
Рис. 2.20. Схема к решению примера 4
53
вертикальной оси симметрии), каждый из которых будет нахо-
диться в условиях основного класса.
По условиям симметрии каждая четверть кольца (рис. 2.20, б)
нагружена одинаково. В точке 1 приложены сила -j- и изгибаю-
щий момент Mi (горизонтальная сила равна нулю по условиям
равновесия правой или левой половины кольца).
Для выбранной системы координат касательная к упругой
линии в точке 0 параллельна, а в точке 1 перпендикулярна оси х.
Следовательно, угловые коэффициенты подобия £0 = 0 и =
- 90°.
В соответствии с данными табл. 2.1 точка 0 отражается на
главной ветви АВ периодической упругой кривой, причем по-
скольку точка 0 является точкой сжатия, то отображением ее
будет точка А периодической упругой кривой.
Упругая линия стержня относится к перегибному роду, так
как при нагружении пружины на упругой линии появляется
точка перегиба 2. Поэтому отображение точки / попадет на уча-
сток ВС периодической упругой кривой (рис. 2.20, в). На основа-
нии формул табл. 2.2 упругие параметры в точках 0 и 1 £о = £о =
= 0 и Z\ = ?! = 90°. Таким образом, отрезку 01 на диаграмме
упругих параметров соответствует вертикальный двойной отре-
зок, начало 0 которого находится на нижней горизонтали (£' = 0),
точка перегиба 2 на верхней горизонтали (со' = 0), а конец 1
на кривой £' = 90° (рис. 2.20, г).
В задаче требуется построить характеристику пружины, т. е.
определить зависимость между силой Р и сближением и точек М
и N пружины. Будем задавать силе Р разные значения, меняя этим
величину силового коэффициента подобия 0. Для отрезка 01
пружины силовой коэффициент подобия
(2!7)
где Л = •
При изменении коэффициента 0 отображение 021 будет по-
ступательно перемещаться по диаграмме упругих параметров,
причем точка 1 будет скользить по кривой £' — 90°, точка 0
по нижней, а точка 2 по верхней горизонтали (рис. 2.20, г).
Коэффициент подобия 0 связан с безразмерной дугой % перио-
дической упругой кривой зависимостью (2.13) 0 = —Хо.
Так как точка 0 отображается точкой А периодической упругой
кривой, то Хо = £о = 0- Отображение точки 1 находится на ветви
ВС, поэтому в соответствии с табл. 2.2
М = 2Х;0 -%; = ₽; = 2&W - 11, (2.18)
здесь Хдо и £99 — главные параметры точки В периодической уп-
ругой кривой, где <р = 90%
54
Координата хх по выражению (2.15) с учетом (2.18)
„ £1—/ 2»90~ *1 ,
-V1 = р— I - р
Характеристика пружины может быть записана с помощью
выражения (2.17) в параметрической форме
P = и И = 2(Р-х1),
где изгибная жесткость В = Е = 2- 105 = 50Н>мм2,
а / = —^- Подставив в последние выражения числовые значения,
получим
Р = О,О7О502; v = 2 (24 — хх).
Задаваясь рядом положений отображающих отрезков 021
на диаграммах (см. рис. 2.14, а, в), находим упругие параметры
XI, Хээ, и £ээ, необходимые для решения задачи. Результаты вы-
числений сведены в таблицу.
ф° а0 %; z90 3 Р, н ъ &90 = 2^90 — Х1, мм V, мм
90 45 1,84 1,84 1,84 0,238 0,85 0,85 0,85 17,4 13,2
67 50 1,32 1,92 2,52 0,448 0,74 0,67 0,60 8,98 30,1
59 55 1,17 2,02 2,87 0,580 0,68 0,50 0,32 4,20 39,6
54 60 1,08 2,15 3,22 0,732 0,63 0,27 —0,09 — 1,05 50,1
52 65 1,00 2,30 3,60 0,914 0,60 0 —0,60 —6,29 60,6
49 70 0,97 2,50 4,03 1,14 0,574 —0,3 — 1,17 —10,95 70,0
На рис. 2.20, д построена характеристика пружины и для срав-
нения — прямая, соответствующая решению по линейной тео-
рии.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Попов Е. П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. Л.—М.:
Гостехиздат, 1948. 170 с.
2. Рублевский Н. Т. Числ'енный метод исследования изгиба гибких дета-
лей. В кн.: Цифровое моделирование задач математической физики. Киев: На-
укова думка, 1975. 142 с.
3. Светлицкий В. А. Механика гибких стержней и нитей. М.: Машинострое-
ние, 1978. 222 с.
4. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1979. 560 с.
5. Цейтлин Я. М. Упругие кинематические устройства. М.: Машинострое-
ние, 1972. 296 с.
6. Цукерник Л. М. Приближенный расчет плоских пружин. В кн.: Расчеты
на прочность. М.: Машиностроение, 1976, вып. 17, с. 157—182.
7. Элементы приборных устройств. Курсовое проектирование, Ч. II, М.;
Высшая школа, 1978. 230 с.
Глава 3
Спиральные заводные пружины
§ 3.1. Общие сведения
Спиральные пружины часто используют в приборах в качестве
двигателей. Схема заводной спиральной пружины показана на
рис. 3.1. Внутренний конец пружины закреплен на валике, а на-
ружный крепится к корпусу прибора (рис. 3.1, а) или к барабану
(рис. 3.1, б), внутри которого размещается вся спиральная пру-
жина.
При заводе валик вращается относительно корпуса или бара-
бана, при этом пружина изгибается вокруг валика, и, когда витки
плотно навиваются на валик, процесс завода заканчивается.
В заведенном состоянии пружина обладает некоторым запасом
потенциальной энергии. При спуске пружина способна совершать
определенную работу, вращая барабан или валик.
Заводные спиральные пружины удобно компонуются в при-
боре, надежны в работе, имеют сравнительно небольшую массу,
не боятся динамических нагрузок и широко применяются в при-
борах времени, в механизмах привода диаграммных лент и в дру-
гих приборах. Пружинные двигатели особенно удобны в пере-
носных приборах.
Любой двигатель, в том числе и пружинный, должен создавать
определенный момент на рабочей оси. Момент, развиваемый
спиральной заводной пружиной, пропорционален взаимному углу
поворота концов пружины, поэтому при спуске пружины обычно
используется только часть ее возможных оборотов. Иначе в начале
завода момент будет слишком малым, а в конце завода большой
момент может вызвать перегрузку механизма и нарушение пра-
вильности его работы. Поэтому всегда желательно, чтобы момент,
отдаваемый пружинным двигателем при спуске, оставался по-
стоянным.
Заводные спиральные пружины изготовляют из плоской сталь-
ной ленты. Для мелких пружин с толщиной ленты h <0,14-
4-0,3 мм обычно применяют ленты из сталей У8А—У12А, для пру-
жин крупных размеров при толщине ленты h = 0,3 мм и больше —
ленты из стали 70С2ХА. Пружины, предназначенные для работы
в агрессивной среде или при повышенных температурах, выпол-
няют из дисперсионно-твердеющих сплавов 40КНХМ,
40КНХМВТЮ (см. табл. 1.2).
56
Рис. 3.1. Схема спиральной заводной пру-
жины
При изготовлении пружины
ленту навивают на валик, виток на
виток, и в таком тугозаведенном
состоянии она стабилизируется в те-
чение 2—10 дней. Иногда стабили-
зацию пружины производят при
переменном нагружении, для чего пружине сообщают неко-
торое число циклов нагружения в режиме завод—спуск.
В некоторых случаях для ускорения стабилизации пружину
нагревают.
При первой же навивке на валик пружинная лента пласти-
чески деформируется, и по окончании процесса стабилизации
пружина приобретает форму спирали. Форма спирали, число ее
витков зависят от размеров ленты и заводного валика и в боль-
шой, степени от упругопластических свойств материала ленты.
Значительное влияние на свойства материала, а следовательно,
и на форму спирали оказывает режим термической обработки
ленты.
Момент, развиваемый пружинным двигателем, определяется
деформацией пружины при ее работе, а деформация будет тем
больше, чем больше разница между числом витков пружины
в тугозаведенном и в свободном состоянии. Для расчета пружин-
ного двигателя необходимо знать форму спирали, которую при-
обретает лента в свободном состоянии после стабилизации [1,
3, 4].
§ 3.2. Характеристика спиральной
заводной пружины
Если пружина находится в состоянии чистого изгиба, то ее
характеристика, т. е. зависимость между числом п оборотов ва-
лика и развиваемым пружиной моментом М, линейна, и эту
зависимость можно легко получить из основного уравнения (2.1)
изгиба стержней
,, В® В п
М = -р- = — 2лп,
(3.1)
где I — длина рабочей части пружины; В — EJ — жесткость
bh3
при изгибе; Е — модуль упругости материала; J ---------------
осевой момент инерции поперечного сечения ленты шириной b
и высотой h\ ф — взаимный угол поворота концевых сечений ленты.
Характеристика спиральной свободной заводной пружины (без
барабана) показана на рис. 3.2, а сплошной линией.
57
Рис. 3.2. Характеристика заводной спиральной пружины:
а — без барабана; б — в барабане
58
В конце завода пружины происходит постепенная посадка
витков на валик, рабочая (деформируемая) длина ленты умень-
шается,, что приводит к увеличению жесткости пружины. Поэтому
в конце завода характеристика пружины становится нелинейной
(участок ВС на рис. 3.2, а). Точке В соответствует начало посадку
витков, точке С — тугозаведенное состояние, когда дальнейшая
деформация пружины практически невозможна. Начальная точка
О характеристики соответствует свободному состоянию пружины,
при котором число витков равно fCB. Это число витков можно по-
казать на графике, если представить, что пружина нагружена
некоторым моментом Л40, обратным по знаку моменту на рабочем
участке. Момент Л40 таков, что пружина, разгибаясь под его воз-
действием, развертывается и ее центральный угол становится
равным нулю (точка D на рис. 3.2, а). В этом случае число витков
свободной спирали fCB равно числу оборотов валика. Число вит-
ков тугозаведенной пружины /тна графике определяется отрезком
db, что следует из сопоставления развернутого положения пружины
(точка D) с тугозаведенным (точка В). Нелинейный участок кри-
вой ВС — нерабочий, и пружину можно считать полностью заведен-
ной в положении В, так как на участке ВС, где происходит посадка
витков, число оборотов валика мало по сравнению с рабочим чис-
лом оборотов пра5. В некоторых случаях пружину защищают от
перегрузки при заводе с помощью специальных ограничителей
вращения заводного валика, которые не допускают захода на
нелинейный участок характеристики ВС.
Наибольший 7ИГПах и наименьший Mmln моменты на рабочем
участке АВ определяют с помощью формулы (3.1). Момент 7Итах,
возникающий в полностью заведенной пружине, соответствует
числу оборотов nmax валика, необходимому для перевода пружины
из свободного в тугозаведенное состояние. Максимальное число
оборотов nmax равно разности чисел витков пружины в тугозаве-
денном и свободном состоянии (рис. 3.2, a) nmax = iT — /св. Мини-
мальное число оборотов определяют как
^min = ^тах ^раб — ^св ^раб*
В соответствии с формулой (3.1) с учетом последних выражений
моменты Мщах и Mmin можно представить в виде
EJ
^max — 7 (/т ^*св)>
1 (3.2)
EJ
^min = Gt ^св ^раб)*
Поскольку момент, развиваемый пружинным двигателем, не
должен быть меньше Л4т1п, то при работе начальный участок ОА
характеристики не используется. С этой целью устанавливают
специальные упоры, которые ограничивают деформацию пружины
59
на нерабочем участке характеристики, и поэтому пружина при
спуске не может увеличивать свои габаритные размеры. Именно
для этого в частности используют барабан (см. рис. 3.1, б), к ко-
торому крепится наружный конец пружины. Такая конструкция
позволяет также при необходимости снимать момент не с завод-
ного валика, а с барабана. Это упрощает кинематику прибора,
а двигатель может заводиться без остановки механизма прибора.
Характеристика заводной пружины в барабане показана
на рис. 3.2, б. Точка Oj. соответствует спущенному состоянию,
когда большая часть витков пружины прижата к барабану. При
заводе витки постепенно отходят от барабана, рабочая длина пру-
жины увеличивается и жесткость ее падает (участок ОГА характе-
ристики). На рабочем участке АВ пружина работает всей длиной,
поэтому здесь характеристика линейна. В точке В начинается
посадка витков на валик, как и в рассмотренном случае работы
пружины без барабана.
Если освободить пружину от барабана, то она развернется
и примет положение свободной спирали (точка О характеристики).
Так же как и в предыдущем случае, на рис. 3.2, б можно показать
число витков fCB свободной спирали и число витков iT в тугозаве-
денном состоянии, отсчитывая их, как число оборотов, от точки D,
соответствующей развернутому положению пружины.
Если наложить характеристики, снятые при работе пружины
в барабане и без него, так, чтобы совпали точки О, соответству-
ющие свободному состоянию пружины, то рабочие участки пол-
ностью совместятся. Число пх холостых оборотов, необходимое
для достижения рабочего участка АВ, соответствует для пружины
без барабана отрезку Оа, а для пружины в барабане — отрезку
Ога. В первом случае число холостых оборотов будет значительно
больше.
Поскольку рабочий участок АВ характеристики пружины
в барабане совпадает с рабочим участком для пружины без бара-
бана, то уравнение этого участка по-прежнему описывается фор-
мулой (3.1), а наибольший и наименьший рабочие моменты —
выражениями (3.2).
§ 3.3. Способы крепления концов пружины
При работе пружины ее витки развертываются эксцентрично
(рис. 3.3). В тех местах, где витки соприкасаются, возникает
межвитковое трение, которое увеличивается к концу завода при
посадке витков на валик. Кривые, показанные на рис. 3.2, а и б
сплошными линиями, построены без учета потерь на трение. В дей-
ствительности кривые завода и спуска не совпадают, образуя
петлю, площадь которой соответствует потерям энергии на трение.
Гистерезисные потери материала пружины малы по сравнению
с потерями на межвитковое трение.
60
Рис. 3.3. Эксцентричное расположение витков
Для. уменьшения межвиткового тре- /у
ния необходимо, чтобы витки пружины I))/
перемещались концентрично. Это может
быть достигнуто, если пружина будет л/
находиться в условиях, близких к чи- &
стому изгибу. Реализация чистого изгиба
зависит в основном от конструкции креп-
ления наружного конца пружины. При чи-
стом изгибе крепление должно передавать на пружину только
момент. Идеальным с этой точки зрения было бы крепление,
выполненное по схеме, изображенной на рис. 3.4, а. При таком
креплении невозможен поворот и допускаются линейные пере-
мещения конца пружины. Поскольку в креплении возникает
только изгибающий момент, то пружина находится в условиях
чистого изгиба. При этом конец пружины будет перемещаться
лишь в радиальном направлении.
Однако практическое осуществление такого крепления наруж-
ного конца пружины связано с усложнением конструкции пружин-
ного двигателя и увеличением его габаритов. Так, например,
наружный конец может быть закреплен на планке, свободно пере-
мещающейся в радиальном направлении (рис. 3.4, б). Идеальное
крепление может быть получено также при совместной работе двух
одинаковых пружин, включенных параллельно (рис. 3.4, в) или
последовательно (рис. 3.4, г).
Широкое применение нашли другие способы крепления наруж-
ного конца пружины. Эти способы хотя и не соответствуют иде-
альной схеме, но технологически и конструктивно просты, не
увеличивают габаритов двигателя и надежны в работе.
Часто, особенно для пружин без барабана', применяют одно
из наиболее простых креплений — шарнирное (рис. 3.5, а). Его
осйовной недостаток — эксцентричность витков пружины при
работе. Вследствие возникающего межвиткового трения умень-
шается момент, отдаваемый пружиной при спуске. Однако и при
отсутствии трения момент пружины при шарнирном креплении
Рис. 3.4. Схемы крепления наружного конца заводной пружины, обеспе-
чивающие концентричность витков
61
Рис. 3.5. Схемы креплений наружного конца заводной пру-
жины
конца был бы несколько меньше, чем при идеальном, поскольку
шарнирное крепление не обеспечивает чистого изгиба пружины.
Такой тип крепления применяют в пружинных двигателях бу-
дильников, заводных игрушек и т. п.
В жестком креплении (рис. 3.5, б) реактивные силы меньше,
чем в шарнирном. Поэтому, несмотря на то, что эксцентриситет
витков при работе остается, межвитковое давление, а следова-
тельно, и трение имеют меньшие значения, чем при шарнирном
креплении.
Чаще всего в пружинных двигателях применяют различные
конструктивные варианты упругого крепления, когда наружный
конец пружины может радиально перемещаться при затрудненном
повороте, что приближает это крепление к идеальному. К упру-
гому креплению можно отнести V-образное крепление
(рис. 3.5, в), крепление с промежуточной пластинкой (рис. 3.5, г).
Последний тип крепления наиболее близок к идеальному и об-
условливает практически концентричное распускание витков.
К упругому креплению можно отнести также и крепление
пружины на шарнире с промежуточным штифтом (рис. 3.5, 5)
и крепление с мечевидной накладкой (рис. 3.5, ё). Эти креплений
(особенно последнее) также обеспечивают хорошую работу пру-
жины и отличаются простотой и надежностью конструкции.
На рис. 3.6 представлены кривые при заводе и спуске пружин
с различными креплениями наружного конца, иллюстрирующие
влияние способов крепления на работу заводной пружины.
62
И, Н-ММ
Рис. 3.6. Характеристики заводной пружины с различными крепление
ями наружного конца
Момент при спуске у реальной пружины меньше, чем у иде*
альной, что объясняется несоблюдением условий чистого изгиба
и главным образом потерями на межвитковое трение. Потери на
трение зависят от межвиткового давления и коэффициента трения,
и указать точно величину потерь на трение для каждого типа кре*
пления не представляется возможным. Уменьшение момента ре*
альной пружины может оцениваться коэффициентом качества
пружины, который представляет собой отношение момента Мсп
при спуске данной пружины к моменту М идеально закрепленной
пружины (см. рис. 3.2)
(3.3)
Коэффициент качества опре-
деляется экспериментально, и
его приближенные значения
для пружин с различным креп-
лением наружного конца, ра-
ботающих со смазкой, следу-
ющие [11 (см. таблицу).
Крепление внутреннего
Крепление К
Шарнирное Штифтовое V-образное С промежуточной пластиной С мечевидной на- кладкой 0,65—0,70 0,72—0,78 0,80—0,85 0,90—0,95 0,90—0,95
конца не оказывает такого силь-
ного влияния на работу пружины, как крепление наружного
конца. Конструкция крепления внутреннего конца пружины
63
Рис. 3.7. Крепление внутреннего конца заводной пружины:
at б —• штифтом; в — зубом, отфрезерованным на валике; г, д, е —
отогнутым концом; ж — с помощью подкладок
должна лишь обеспечивать надежную передачу момента от пру-
жины к заводному валику. При неправильной конструкции
крепления увеличивается вероятность поломки внутреннего конца
пружины, так как в этом месте пружина наиболее сильно дефор-
мируется при изготовлении.
Внутренний конец пружины отжигают, и примерно на длине
одного витка ему придают форму, обеспечивающую плотное при-
легание к заводному валику. Во избежание поломки пружины
вследствие концентрации напряжений переход от отожженного
участка к закаленному должен быть постепенным.
Различные конструкции крепления внутреннего конца пру-
жины показаны на рис. 3.7. Выбор того или иного типа крепления
определяется главным образом технологическими требованиями
и надежностью крепления.
§ 3.4. Нормальная заводная пружина
Число оборотов пружинного двигателя при заданных размерах
барабана, заводного валика и сечения ленты зависит от длины
заводной пружины. Если длина пружины мала, то число оборотов
двигателя будет небольшим. С увеличением длины пружины число
оборотов пружинного двигателя возрастает и достигает макси-
мального значения при некотором оптимальном соотношении
между длиной пружины и размерами барабана и валика. При
дальнейшем увеличении длины наружной ленты число оборотов
вновь падает и становится равным нулю, если лента настолько
64
длинна, что пружина сплошь заполняет всю внутреннюю полость
барабана.
Если длина пружины удовлетворяет оптимальному соотноше-
нию, при котором достигается максимальное число оборотов
двигателя, то такую заводную пружину называют нормальной.
Определим длину нормальной пружины. Обозначим 7? и гсп —
радиусы наружного и внутреннего витка в спущенном состоянии,
гт и Го — радиусы наружного и внутреннего витка в тугозаведен-
ном состоянии, h — толщина ленты. Радиусы R и г() определяют
размеры барабана и валика (рис. 3.8).
Число витков в тугозаведенном и спущенном состоянии опре-
деляют по формулам
4 = ^^ и (3.4)
При этом считают, что концевые участки АВ и CD пружины,
не прилегающие к валику при заводе и к барабану при спуске,
малы по сравнению с рабочей длиной пружины.
Полное число оборотов валика при переводе из спущенного
состояния в заведенное
/2 — 4п = "д” (^т Л) ^4“ ^сп)- (3*5)
Из условия равенства объема пружины в спущенном и заведен-
ном состоянии получают соотношение
V = Ibh = nb (г2 — Го) = лЬ (R2 — Гсп), (3.6)
здесь I и b — длина и ширина ленты. .
Из равенства (3.6)
гсп = УR2 - г? + го. (3.7)
Рис 3.8. Нормальная заводная пружина в состоянии:
а — спущенном; б — заведенном
3 Пономарев С. Д., Андреева Л. Е. 65
Тогда на основании выражения (3.5)
п = (гт - г0 — R + ]/~R2 — г'т + Го) •
Полагая размеры барабана, оправки и толщину ленты постоян-
ными, исследуем функцию п = f (гт) на экстремум. Из условия
-^- = 0
drT ______
fT — 2 (З.о)
—*
Таким, образом, особенностью нормальной пружины является
равенство внутреннего радиуса пружины в спущенном состоянии
и наружного в тугозаведенном состоянии гсп = гт (рис. 3.8).
Длина I ленты на основании выражений (3.6) и (3.8)
Число оборотов нормального пружинного двигателя при за-
воде определяется с помощью выражений (3.5), (3.8) и равенства
гт гсп.
п = - (R + го)].
В работе [5 ] разработана методика проектирования пружинных
двигателей, использующая эмпирические зависимости [3].
§ 3.5. Пружинные двигатели с пологой
характеристикой
Для точных часовых механизмов необходим пружинный дви-
гатель с практически постоянным моментом. Чисто конструк-
тивное решение этого вопроса приводит к существенному услож-
нению механизма. Рассмотрим, например, так называемую улитку
(рис. 3.9), которую применяют для выравнивания момента в от-
дельных хронометрах. Улитка, с оси которой снимается момент
заводного двигателя, представляет собой спиральный кулачок,
соединенный цепочкой или гибкой лентой с заводным барабаном.
Завод производится вращением оси улитки, при этом на нее на-
матывается лента. При спуске заводной пружины лента наматы->
вается на барабан.
Момент на барабане, а следовательно, и усилие в ленте при
спуске пружины падают, что компенсируется увеличением плеча —
расстояния от оси улитки до той точки, где лента сходит с улитки.
Поэтому момент на оси улитки может поддерживаться постоянным.
66
Рис. 3.9. Механизм улитки
Спусковой момент может
быть выровнен не только
введением подобных допол-
нительных конструктивных
элементов, но также изме-
нением конструкции заводной
пружины.
Так, уменьшение кривизны пружины в свободном состоянии
при сохранении всех ее остальных размеров приводит к увеличе-
нию момента, поскольку при этом увеличивается число оборотов
валика при переходе из свободного в тугозаведенное состояние
(рис. 3.10).
Большее увеличение спускового момента может быть достиг-
нуто, если в свободном состоянии пружина будет изогнута в обрат-
ную сторону, т. е. будет иметь отрицательную кривизну. Как
показано на рис. 3.10, с уменьшением кривизны свободной пру-
жины при общем увеличении моментов на рабочем участке умень-
Л4СП
шается отношение 3R = —.
Л4СП.
Изготовить пружину, имеющую в свободном состоянии отри-
цательную кривизну по всей длине ленты, невозможно. При изго-
товлении такая пружина сначала навивается на вспомогательную
оправку, получая отрицательную кривизну. При последующей
навивке на заводной валик внутренние витки пружины деформи-
руются так сильно, что в них появляются остаточные деформации.
Отрицательная кривизна сохраняется только у наружных витков,
которые при навивке на заводной валик деформируются меньше,
и поэтому пружина получает S-образную форму (рис. 3.11).
Наружные витки пружины S-образнрй формы при работе
деформируются более интенсивно, чем у обычной спиральной пру-
Рис. 3.10. Зависимость момента заводной пружины от ее формы
в свободном состоянии
3*
67
Рис. 3.11. S-образная пружина
й жины. Число оборотов S-образной пружины при
\\ переводе из свободного в тугозаведенное состоя-
\\ ние будет больше, чем у обычной пружины при
I тех же размерах ленты. Поэтому S-образные пру-
I жины при спуске развивают на рабочем участке
USy большие по величине моменты при более пологой
характеристике.
Более пологую характеристику при увеличении отдаваемого
момента имеет также желобчатая пружина (рис. 3.12, а).
Желобчатая лента более жестка на изгиб, чем плоская. При
некотором критическом значении изгибающего момента желоб-
чатая лента теряет устойчивость: поперечное сечение внезапно
выпрямляется, и желобок на пружине исчезает. Так как момент
инерции прямоугольного сечения меньше, чем желобовидного,
то потеря устойчивости сопровождается падением изгибной же-
сткости ленты. На рис. 3.12,6 представлена характеристика
желобчатой ленты при изгибе.
При выпрямлении сечения в желобчатой ленте возникают
поперечные деформации удлинения в верхней половине и уко-
рочения в нижней (рис. 3.12, в). В точках верхней поверхности
(h — толщина ленты, а — первоначальный радиус
кривизны желобка). Продольные деформации 8Х связаны с дефор-
мацией &у коэффициентом Пуассона ех = —р8^. Поэтому лента
при выпрямлении желобка изменяет свою кривизну в продольном
Рис. 3.12. Желобчатая заводная пружина
68
направлении, как показано на рис. 3.12, в. Чтобы выпрямить
ось ленты, требуется некоторый момент 7И0
М0 = О^ = ОЛ-^-,
где ох — продольное напряжение в точках наружной поверхности.
По закону Гука при двухосном напряженном состоянии
= 1 Jjj.2 (8Х +
Для ленты в плоском состоянии ev О и е» -Д-, следова-
л у 2а
тельно,
Е h
(К.
— р2 2а
EJ 1 bh?
Отсюда момент /Ио р -1 —, где Таким образом,
для создания одной и той же кривизны в закритической области
к желобчатой ленте должен быть приложен изгибающий момент
/Иж, отличающийся от момента 7Ии плоской пружины на вели-
чину Л40:
(a)
<к = Л4П ± Л40,
1
— изгибающий момент, возникающий в по-
у
здесь М„ - у—7г-г
1 р р
перечном сечении первоначально плоской пружины при ее про-
дольном изгибе по дуге радиуса р. Знак минус в этом выражении
соответствует изгибу желобчатой пружины в сторону увеличения
кривизны, возникшей при исчезновении желобка; знак плюс —
изгибу в противоположном направлении (рис. 3.12, в).
Заводную пружину из желобчатой ленты конструируют так,
чтобы она работала в закритической области, т. е. на участке АВ
характеристики (см. рис. 3.12,6). В свободном состоянии ось
такой пружины близка к прямолинейной, и на рабочем участке
она развивает при спуске больший момент, чем обычная спираль-
мсп
ная пружина. При этом уменьшается отношение ЯЛ =—
^min
Особенность желобчатых пружин состоит в том, что при заводе
и спуске лента перемещается в барабане плотным кольцом
(рис. 3.12, г). Прямая лента при чистом изгибе должна получить
постоянную кривизну. Однако в ленте, изогнутой в спираль,
только средний виток будет иметь кривизну, соответствующую
величине приложенного изгибающего момента; наружные витки
имеют меньшую, а внутренние — большую кривизну, и, стремясь
принять кривизну среднего витка, они давят друг на друга. Это
давление и пропорциональное ему межвитковое трение будет
наибольшим в полностью заведенной пружине; по мере спуска
пружины межвитковое трение уменьшается. Такой характер
69
изменения межвиткового трения способствует еще большей поло-
гости кривой спуска, что позволяет получить пружинный двига-
тель с почти нулевой и даже отрицательной на некотором участке
жесткостью (рис. 3.12,5).
Пружины S-образной формы при спуске также перемещаются
плотным кольцом, что увеличивает пологость их характеристики.
Некоторым недостатком пружинных двигателей с S-образными
и желобчатыми пружинами является зависимость кривой спуска
от коэффициента трения, который не остается постоянным при
различных условиях работы и меняется в течение срока службы
двигателя.
Методы расчета S-образных и желобчатых пружин изложены
в работах [2, 67].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гевондян Т. А. Пружинные двигатели. Оборонгиз, 1956, 368 с.
2. Калягина В. И., Ковылин Ю. Я. Влияние параметров некоторых тех-
нологических операций на стабильность S-образных пружин для наручных ча-
сов. Влияние волнистости S-образных пружин на точностные характеристики
часов. Изв. Томского политехнического института, 1975, т. 293.
3. Калягина В. И., Ковылин Ю. Я. Определение числа свободных витков
спиральных заводных пружин для наручных часов. — Изв. Томского политех-
нического института, 1975, т. 263.
4. К расчету спиральных пружин/Н. А. Чернышев, С. Д. Пономарев,
К. К. Лихарев и др. — В кн.: Новые методы расчета пружин. М.: Машгиз,
1946, с. 57—78.
5. Курицкий А. М., Калягина В. И., Ковылин Ю. Я. Инженерный метод
расчета пружинных двигателей наручных часов. — В кн.: Вопросы механики
механизмов/Под ред. Н. П. Тырсы. Томск, 1973.
6. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих
систем. М.: Наука, 1967. 420 с.
Глава 4
Винтовые пружины
§4.1 . Назначение и конструктивные
разновидности
Винтовые пружины [6] применяют во всех отраслях машино-
строения. По своему назначению, конструкции и размерам они
очень разнообразны, однако наиболее часто встречаются цилин-
дрические винтовые пружины, свитые из проволоки (прутков)
круглого поперечного сечения.
Винтовые пружины можно классифицировать в зависимости
от вида воспринимаемой ими нагрузки или по конструктивным
особенностям.
По виду нагружения различают пружины:
1) растяжения, воспринимающие продольно-осевую нагрузку,
растягивающую пружину (рис. 4.1);
2) сжатия, воспринимающие продольно-осевую нагрузку,
сжимающую пружину (рис. 4.2);
3) кручения, воспринимающие нагрузки, сводящиеся к парам
сил, действующим в плоскостях, перпендикулярных оси пружины
(рис. 4.3).
Рабочие чертежи винтовых пружин выполняют по
ГОСТ 2.401—68.
Рис.Д4.2.
Пружины
сжатия
Рис. 4.3. Пружины
кручения
71
При больших нагрузках часто используют составные пру-
жины сжатия и кручения, состоящие из двух-трех, а иногда
даже четырех обычных цилиндрических пружин, размещенных
концентрически одна в другой.
Вид и величина нагрузки определяют' способ крепления
пружин.
Пружины растяжения и кручения имеют на концах специ-
альные прицепы. Пружины сжатия обычно изготовляют с нало-
женными (т. е. поджатыми) концевыми витками, причем торцы
пружины обрабатывают так, чтобы образовалась опорная плос-
кость, строго перпендикулярная оси пружины.
Во избежание искривления при нагружении длинные пру-
жины сжатия устанавливают на оправках или в гильзах.
§ 4.2. Теоретические основы расчета
винтовых цилиндрических пружин
А. Основные геометрические соотношения. Цилиндрическая
винтовая пружина представляет собой брус, ось которого рас-
полагается на поверхности образующего цилиндра по винтовой
линии. В дальнейшем будем называть такого рода брус винтовым
брусом.
Ось этого бруса, образующего винтовую пружину, вполне
определяется тремя независимыми параметрами, за которые
удобно принять:
1) диаметр D образующего цилиндра (средний диаметр пру-
жины;
2) угол подъема а оси винтового бруса (применяют пружины
как левого, так и правого подъема);
3) длину I оси рабочей части винтового бруса (т. е. его основ-
ной части, образующей рабочие витки пружины).
Назовем величины D, а и I основными параметрами пружины.
Все другие геометрические характеристики оси бруса, предста-
вляющего собой цилиндрическую винтовую пружину, могут быть
выражены через эти основные параметры.
Уравнения оси бруса в цилиндрических координатах (рис. 4.4)
D
х = —соэф;
Ось z направлена по оси пружины, ось х проходит через точку
Д, являющуюся началом отсчета длины I (для правой винтовой
линии будем пользоваться правой системой координат xyz, для
левой винтовой линии — левой системой координат). Полярный
угол ф отсчитываем от оси х.
72
Рис. 4.4. Геометрия оси витков цилиндрической
винтовой пружины
Обозначим наибольший угол <pz, тогда <pz = 2л/, где i — число
рабочих витков пружины.
С другой стороны, поскольку nDi = cpz / cos а (см.
рис. 4.4),
Используя зависимость (4.2), можно число рабочих витков
выразить через основные параметры
Шаг оси винтового бруса
h = nD tg а. (4.4)
Длина рабочей части пружины
Н = hi, (4.5)
или Н = / sin а. (4.5а)
При изучении пространственных кривых удобно пользоваться
подвижной ортогональной системой координат (естественных), на-
чало которой располагается в исследуемой точке кривой, а оси на-
правляются по касательной к кривой в сторону возрастания дуги
(единичный вектор оси—орт 7), по главной нормали в направлении
к центру кривизны (орт п) и по бинормали кривой (орт 6). Для
73
правой винтовой линии будем использовать правую систему коор-
динат (рис. 4.4), для левой винтовой линии —левую.
При переходе от данной точки кривой к соседней, предельно
близкой точке этой кривой, естественная система координат (/,
п, Ь) изменяет свою ориентацию в пространстве и поворачивается
как твердое тело вокруг мгновенной оси вращения с некоторой
угловой скоростью со, причем скорость берется по отношению
к проходимому по кривой пути S.
Как известно из дифференциальной геометрии, мгновенная
угловая скорость
со = kt-\- иЬ. (4.6)
Эта зависимость показывает, что вращение около мгновенной
оси можно разложить на вращение вокруг касательной и би-
нормали с условными угловыми скоростями k и х соответственно
(k — кручение кривой в рассматриваемой точке, и — кривизна
кривой в той же точке).
Таким образом, кривизна кривой в данной точке представляет
собой скорость вращения (по отношению к пути, проходимому
по кривой) системы координат (/, /г, Ь) вокруг бинормали b (от t
к п).
Радиус кривизны
р=4” <4-7>
Центр кривизны лежит на главной нормали, определяемой
ортом /г, который для винтовой линии перпендикулярен оси обра’
зующего цилиндра.
Для винтовой линии
2 cos2 а
X — р
Кручение кривой в данной точке представляет собой скорость
вращения (по отношению к пути, проходимому по кривой) системы
координат (/, /г, Ь) вокруг касательной t (от п к Ь).
Для винтовой линии кручение определяют по формуле
k = ..sinA”.., (4.9)
Поскольку в рассматриваемом случае а и D — величины по-
стоянные, то кручение и кривизна также не меняются при
переходе от одной точки винтовой линии к другой.
Поперечные сечения витков пружины, совпадающие с пло-
скостями, определяемыми соответствующими ортами п и Б, обычно
имеют круглую или прямоугольную (квадратную) форму, причем
в последнем случае оси симметрии сечения направлены по нор-
мали и бинормали осн в рассматриваемом сечении.
74
В технических расчетах кривизну витков характеризуют
отношением, называемым индексом пружины
(4Л°)
где а — размер поперечного сечения в направлении нормали
^при круглом поперечном сечении витков
Из-за сложности навивки, резкого повышения напряжений
на внутреннем волокне витков, вследствие их значительной кри-
визны, пружины с индексом с < 4 применяют весьма редко.
Б. Анализ внутренних силовых факторов в поперечных сече-
ниях витков цилиндрической пружины. Во многих практически
встречающихся случаях винтовые пружины бывают нагружены
по концам, причем нагрузка сводится к силам Р, направленным
по оси z пружины, и парам 3R, действующим в торцовых пло-
скостях, перпендикулярных оси z.
Силу Р, растягивающую пружину, и пару 3R, закручивающую
пружину по ходу навивки (т. е. увеличивающую кривизну витка),
будем считать положительными. Сжимающую силу и момент,
раскручивающий пружину, следует вносить в формулы этого
параграфа со знаком минус.
Если пружина подвергается действию указанных нагрузок,
то по условиям осевой симметрии все поперечные сечения витков,
за исключением концевых, равноправны, и для исследования
внутренних сил достаточно рассмотреть одно из сечений.
Воспользуемся методом сечений (рис. 4.5).
Приложим в избранном сечении А нагруженной пружины
внутренние силы и рассмотрим условия равновесия нижней части
ОА пружины.
Используем систему координат /л, пл, ЬА в точке А оси витков.
Заметим, что орт tA совпадает с внешней нормалью попереч-
ного сечения витка. Таким образом, само сечение лежит в пло-
скости пАЬА.
Если касательная к оси витков нагруженной пружины соста-
вляет с горизонтальной плоскостью угол а, то плоскость попереч-
ного сечения витка образует с вертикальной плоскостью V, про-
ходящей через ось z и точку Л, такой же угол (рис. 4.5).
В указанной плоскости V находятся вектор Р осевой силы и
вектор L внешней пары, закручивающей пружину.
Внутренние силы в сечении, уравновешивающие эту нагрузку,
приводятся к равнодействующей силе Р, приложенной в точке А
и направленной снизу вверх, и к паре LА = L + Lp, где вектор Lp,
° PD т г
равный по модулю 2 направлен перпендикулярно плоскости V
(см. рис. 4.5).
Внутренняя сила Р может быть разложена в направлении
осей tA и ЬА.
75
Рис. 4.5. Внутренние силовые факторы в поперечном сечении витка пру-
жины при ее нагружении
о
Составляющая силы Р в направлении оси /л, называемая нор-
мальной силой,
N = Psina. (4.11)
Сила N представляет собой равнодействующую нормальных
сил в поперечном сечении витка площадью F, т. е.
= J dF,
F
где — нормальное напряжение в поперечном сечении витка.
Составляющая силы Р в направлении оси ЬА, называемая
поперечной силой,
Q = Р cos а. (4.12)
Сила Q представляет собой равнодействующую касательных
сил в поперечном сечении и направлена по оси ЬА
Q = j dF,
F
где ntb — составляющая касательных напряжений в поперечном
сечении витка, параллельная оси ЬА.
Вектор ЬА полного момента внутренних сил в поперечном се-
чении также может быть разложен в направлении осей tA и ЬА
(см. рис. 4.5)
Дл •= Lb.
76
Вектор Lt представляет собой вектор крутящего момента Mt
Lt = j [г, т] dF.
F
В векторном произведении, стоящем под знаком интеграла, г —
текущий радиус-вектор, определяющий положение элемента dF
в поперечном сечении витка относительно его центра тяжести;
т — полное касательное напряжение в точке поперечного сечения,
определяемой вектбром г.
В рассматриваемом случае
Lf =
PD
где Mt = 3Dt sin а -|—cos а. (4.13)
Крутящий момент считается положительным, когда он
«вращает» систему координат t, п, b относительно оси tA так, что
ось п переходит в ось b при повороте на 90°.
Вектор Lb представляет собой вектор изгибающего момента
мь = j otnx dF,
F
где nx — текущая координата по оси пА, определяющая положе-
ние элемента dF в поперечном сечении витка относительно оси ЬА.
Таким образом,
Lb = МьЬА.
Здесь
Mb = cos а — sin а. (4.14)
Момент Мь считается положительным, когда он «вращает»
систему координат Z, п, b относительно оси b так, что ось t пере-
хрдит в ось п при повороте на 90°. При Мь > 0 кривизна витков
увеличивается.
Индекс b при М показывает положение нейтральной оси
в сечении (в рассматриваемом случае она совпадает с бинормалью
оси в точке Л, где взято сечение).
Силы N и Q при расчете пружин имеют второстепенное значе-
ние по сравнению с крутящим и изгибающим моментами Mt и Мь.
В. Малые упругие перемещения винтовых цилиндрических
пружин. При нагружении пружины осевыми силами Р и закручи-
вающими парами 3R, приложенными по торцам пружины, послед-
няя, изменяя в процессе деформации свои размеры, по условию
равноправности всех поперечных сечений витков продолжает
оставаться винтовым брусом.
При этом поперечные сечения витков пружины остаются как бы
жестко связанными с естественными осями координат, определя-
емыми ортами п и &, меняющими в процессе деформации свою
77
ориентацию в пространстве, но по-прежнему остающимися ортами
оси витков деформированной пружины.
Поскольку эта ось является винтовой линией, а нормаль
в каждой ее точке, как известно, перпендикулярна оси образу-
ющего цилиндра, то при рассматриваемом характере деформиро-
вания пружины все сечения витков перемещаются поступательно.
Это может быть отчетливо подтверждено экспериментально
(рис. 4.6).
На рис. 4.6, а представлена пружина в недеформированном
состоянии.
К ее виткам припаяны указательные стрелки перпендикулярно
оси пружины.
На рис. 4.6, б представлена пружина в сжатом состоянии.
Видно, что стрелки сблизились, но по-прежнему остались строго
параллельными и перпендикулярными оси пружины, т. е. стрелки
в процессе деформации пружины переместились поступательно,
что и свидетельствует об отсутствии относительного поворота
сечений пружины.
Для того чтобы более отчетливо представить себе процесс де-
формирования витков винтовой пружины растяжения-сжатия,
можно поставить следующий опыт.
На часть витков, например пружины растяжения (рис. 4.7),
следует надеть чехол из резиновой трубки или трубки, сплетенной
из проволоки. Чехол должен прилегать к пружине без какого-
Рис. 4.6. Экспериментальное подтверждение отсутствия относитель-
ного поворота поперечных сечений витков пружины при ее нагру-
жении по торцам осевыми силами:
а — пружина сжатия до нагружения; б — пружина сжатия под нагрузкой
78
Рис. 4.7. Установка для эксперименталь-
ного исследования деформированного со-
стояния витков пружины при наличии
трубчатого чехла на части витков:
а — пружина растяжения до нагружения;
б — то же, пружина под нагрузкой
либо натяга. В одной из радиаль-
ных плоскостей на каждом витке
свободной части пружины и на
витках, покрытых чехлом, следует
закрепить одну над другой ме-
таллические стрелки-указатели,
нормальные к оси пружины (рис.
4.7, а). При нагружении пру-
жины стрелки, установленные
на свободных витках, останутся
строго параллельными и будут
по-прежнему перпендикулярны
оси пружины. Стрелки, установленные на чехле, наклоняются
одна к другой (рис.-4.7, б). Это объясняется тем, что чехол, в основ-
ном свободный от напряжений, получает только геометрическую
крутку в связи со свободным перемещением при увеличении угла
подъема витков пружины.. Однако последние в процессе деформи-
рования, помимо геометрической крутки, получают еще «крутку
физическую» той же величины, но обратную по направлению,
за счет закручивания витков внешним моментом. Поэтому витки
пружины видимого относительного угла поворота не полу-
чают (рис. 4.7, б), поскольку обе крутки «нейтрализуют» одна
Другую.
Ось деформированной пружины определяется новыми основ-
ными параметрами Z), а, /, которые связаны с начальными пара-
метрами Do, а0, /о следующими отношениями:
D = Г>0 + ДГ>;
а = а0 + Ла;
I = lQ + Л/.
(4-15)
Особенно существенное значение имеет изменение угла подъема
витков пружины, что связано с изменением их кривизны и крутки
[см. формулы (4.8), (4.9)1, т. е. с изгибом и кручением витков.
Величину Д/ ввиду ее малости можно во внимание не принимать
и считать ось винтового бруса нерастяжимой, т. е. принимать
М = 0.
Величины ДО и Да являются функциями нагрузки и началь-
ных размеров пружины, а также зависят от упругих свойств
материала.
Для установления этих важных в расчетном отношении функ-
циональных зависимостей целесообразно вначале из чисто гео-
79
метрических соображений установить связь между Д£), Да и изме-
нениями кривизны Дх и кручения \k оси винтового бруса.
Примем, что любое из перемещений является малой величиной
по сравнению с соответствующим ему начальным размером пру-
жины. Тогда, учитывая, что оси симметрии любого поперечного
сечения витков деформированной пружины продолжают совпадать
с ортами пиЬ оси нагруженного винтового бруса [см. формулы
(4.8) и (4.9)1, имеем
А 4 cos a A (cos a) 2cos2aAD , ..
Лх =-----------------------; (4.16)
Л 2 cos а A (sin а) u 2 sin а A (cos а) 2 sin а cos а AD /л i 7\
Л/? -- i - £2 • (4-1П
Учитывая также, что sin2 а + cos2 а = 1, можно составить еще
одно соотношение
sin аД (sin а) + cos а Д (cos а) = 0. (4.18)
Решая совместно уравнения (4.16)—(4.18) относительно
Д (sin а), Д (cos а) и Д£>, получим
Д (sin а) =-----£— Дх-|------(4.19)
л / \ D sin2 а А D sin а А , /А
Д (cos а) = -5----Дх-------5— Д&; (4.20)
v 7 2 cos а 2 ’ v 7
АГх D2cos 2а А D2 sin а А , ..
ДО =-------5—2— Дх------------Д&. (4.21)
2 cos2 а cos а v 7
Известно, что изменение кривизны и крутки винтового бруса
связано с внутренними силовыми факторами, возникающими в его
поперечных сечениях. Поскольку предполагается, что напряжения
не превосходят предела пропорциональности, а винтовой брус,
образующий пружину, при определении перемещений можно
считать брусом малой кривизны, общая длина которого остается
неизменной (Д/ = 0), то
Дх = --------- = (4.22)
р Ро В v '
И
№ = k-k0 = ^, (4.23)
где В = EJb — жесткость бруса при изгибе; Jb — момент инер-
ции сечения относительно бинормали; С — жесткость при кру-
чении.
Значения В и С приведены в табл. 4.1 (в случае прямоуголь-
ного сечения необходимые для вычисления жесткости С значения
вспомогательного коэффициента т) можно найти в табл. 4.2) в за-
висимости от отношения большей стороны сечения к меньшей.
80
Таблица 4.1
Значения вспомогательных характеристик,
необходимых для расчета винтовых пружин на прочность и жесткость
Форма поперечного сечения витка и его расположение относитель- но оси пружины В с Wb
L L ь л 5 а $ 7 t С 1 1 П 7 7>а п а >Ь nd4 Г ~6ГЕ °4 £ 12 to3 ~12~Е Ьа3 с —Е nd* „ “зГ0 0,1416Z4G J g. J §. ob wig. [ to 1 to 1 w nd3 0,208a3 tab'2'
Пр мости от стороны. и м е ч а н отношения и е. Коэффициенты т] и £ приведены в табл. 4.2 в зависи- длины большей стороны прямоугольника к длине меньшей
восполь-
(4.24)
(4.25)
Учитывая, что рассматриваемые перемещения пружины малы
по сравнению с соответствующими им размерами, можно при
вычислении внутренних силовых, факторов в сечениях витков
деформированной пружины [см. формулы (4.13) и (4.14)]
зоваться принципом начальных размеров, т. е. принять
D=DQ-
а — а0.
Соотношения (4.24) и (4.25) можно использовать и
числении значений Д (sin а), Д (cos а) и ДО по формулам (4.19)—
при вы-
81
Т а б л и ц a 4.2
Значения коэффициентов £ и г|
b/а 1 или а/b 1 Г С л
1,0 0,208 0,141
1,5 0,231 0,196
1,75 0,239 0,214
2,0 0,246 0,229
2,5 0,258 0,249
3,0 0,267 0,263
4,0 0,282 0,281
6,0 0,299 0,299
10,0 0,312 0,312
(4.21), в которых Дх и Д/г
в свою очередь могут быть вы-
ражены через Мь и Mt по за-
висимостям (4.22) и (4.23).
Связав, таким образом, из-
менение основных параметров
с нагрузкой, уже легко опреде-
лить изменение и других гео-
метрических характеристик
пружины в связи с ее нагру-
жением. В частности, осевое
перемещение торцов пружины
[см. формулы (4.5а) ]
X = Д// = /0Д (sin а). (4.26)
Угловое перемещение торцов пружины [см. формулу (4.2)]
0 = 2Z0
Л (cos а)
cos а
"ЬГ
дд
(4.27)
Изменение числа рабочих витков из-за углового перемещения
торцов при неизменной длине /0
Л • 9
(4.27a)
Таким образом, полагая ось винтового бруса нерастяжимой
и опираясь на принцип начальных размеров, можно по соотноше-
ниям (4.21), (4.26) и (4.27), используя формулы (4.19)—(4.23),
получить следующие основные линейные зависимости малых
перемещений X, 0 и ДО от нагрузки.
Осевое перемещение торцов пружины
* - +^)+а - («8>
Примечание. Если дополнительно учесть внутренние силовые фак-
торы N и Q, то перемещение X по абсолютной величине возрастает на
nPDoio / sin2a0 cos2a0\ ,, 9q.
~^Г\~ЁГ~ + ~сГ)’ (4’29)
где F — площадь поперечного сечения витка.
Это уточнение практически малосущественно.
Относительный угол поворота торцов пружины
nPD^i0 sina0 , i 1 \ лЭМРо/о / sin2a0 cos2a0\
~ 2 \ С В / + cosa0 \ С + В ) '
(4.30)
82
Таблица 4.3
Формулы для расчета винтовых Цилиндрических пружин растяжения-сжатия
Общий случай
Пружина из проволоки круглого
поперечного сечения диаметром d
nd* nd* nd*E \
B ~ ~M~E’ C = ~32~ G = 64(l + ,i))
лРРд/о / cos2 а0 sin2a0\
4 cos а0 \ С В /
(4.28а)
jiPD^osinao / 1 1 \
2 \ С В /
(4.30а)
AD = — PZ)q sin х
16P£>Qt0 ( 1 _|_ p, COS2 ao)
Ed* cos a0
(4.286)
32iiPDn io sin an
e = и 5 (4.306)
\6PDq sin a0
AD —________-____-
nEd*
x (жг+М (4-316)
\CUb C4q /
Изменение диаметра пружины
^Do t o sin2a0 ( cos2a0\ 1Л on
2cosa0 \ С + В )'
Рассмотрим отдельные частные случаи нагружения.
Формулы для вычисления перемещений пружин растяжения-
сжатия, воспринимающих только продольную силу (Р 4= 0; 3D? =
= 0), приведены в табл. 4.3. Предполагается, что торцы пружины
могут свободно поворачиваться вокруг ее оси.
Сила Р, растягивающая пружину, считается положительной.
Сила, сжимающая пружину, считается отрицательной. В форму-
лах (4.286), (4.306) и (4.316) р — коэффициент Пуассона, вошед-
ший в формулы при замене модуля сдвига G модулем упругости
первого рода Е [то же в формулах (4.28г), (4.30г) и (4.31г) —
табл. 4.4 ].
При растяжении пружина (X > 0), свитая из проволоки круг-
лого сечения, закручивается (0 > 0), т. е. торцы пружины пово-
рачиваются один относительно другого по ходу навивки, и диа-
метр ее уменьшается (AD < 0). Чтобы не дать одному торцу
пружины, нагруженной осевой силой, поворачиваться относи-
тельно другого, к торцам необходимо приложить момент 3D? =
= ЗКо
Жо = — - 4^% - ?-Д'П-22ао ч • (4-32)
и 4 (В sin2a0-|-Ccos2a0) ' ’
83
Поскольку, как правило, В > С, то знак минус в формуле
(4.32) означает, что момент 3D?0 < О, т. е- Для устранения угла
закручивания он должен быть направлен противоположно на-
правлению навивки. Однако у винтовых пружин, свитых из прут-
ков прямоугольного сечения (см. табл. 4.1), когда b > а (лента),
уже при отношении — == 1,7 (при р = 0,28) В С и относи-
тельный угол поворота торцов 0 при осевой нагрузке равен нулю
без приложения момента 3D?0 (®?() = 0).
При отношении сторон >1,7 у ленточной пружины В <С,
и поэтому при растяжении она раскручивается, и для устранения
угла 0 момент 3D?0 должен пружину закручивать (3D?0 > 0).
Для определения осевого перемещения Хо пружины с непово-
рачивающимися торцами достаточно в формуле (4.28) принять
2)? = 2)?о, тогда
kPDqIq
4cosa0 (В sin2a0 + Ccos2xz0) * (4.33)
Если витки имеют круглое поперечное сечение, то
16(1 + ц)Р^о
0 Ed4 cos а0 (1 + р sin2 а0) ’ ' * '
а = — Л/?0 si" 2”°.. (4.32а)
и 4 (1 + р sin2a0) v 7
В практических расчетах цилиндрических пружин растяже-
ния-сжатия с малым углом подъема (а0 < 8-И0°) можно при-
ближенно принять sina0 0, cosa0 1. В этом случае относи-
тельный угол поворота торцов пружины во внимание можно
не принимать (0 0), а осевое перемещение по формулам (4.26)
и (4.19)
% = М Д£, (4.26а)
, nPDnh,
или (4-28в)
Если витки имеют круглое поперечное сечение, то
Х = (4.28г)
Формулы для вычисления перемещений пружин кручения,
нагруженных по торцам только парами (3D? ф 0; Р = 0), при-
ведены в табл. 4.4 (предполагается, что торцы пружины могут
свободно перемещаться в осевом направлении). Пара 3D?, закручи-
вающая пружину по ходу навивки, считается положительной,
пара, закручивающая пружину в противоположном направле-
нии, — отрицательной.
84
Таблица 4.4
Формулы для расчета винтовых цилиндрических пружин кручения
Общий случай Пружина из проволоки круглого поперечного сечения диаметром d ( nd* nd* nd*E \ 64 E- C~ 32- G= 64(1 +u))
n^D[}lQ ! J 1 \ . V 2 \ С В ) Sln (4.28д) _ л5Ш£>0(0 / sin2a0 cos2a0\ ° ~ cos а0 \ С 1 В / (4.30в) / sin2 а» 2U.(2 с" + + (4.31b) 32uW2Dnfnsin an E°; (4.28c) 0 = 64SRD0t0 (l + gsin2«0) Ed* cosa0 v * 7 ДР 32 ^po (1 4-2|i sin2«0) — л Ed1 cosa0 ' (4.31r)
При закручивании пружины, свитой из проволоки круглого
сечения, по ходу навивки (0 > 0) пружина удлиняется (X > 0)
и диаметр ее уменьшается (Д£> < 0). В этом случае осевые линей-
ные перемещения торцов пружины малы. Для того чтобы торцы
пружины, нагруженной моментами 2)?, не перемещались в осевом
направлении, необходимо приложить силу
р______sin 2<Zq (В С) /д
°“ Dq(C sin2 (х0 + Я cos2 а0) ’ k 7
При этом угловое перемещение 0О торцов пружины можно
вычислить по формуле (4.30), приняв Р = Ро. Тогда
q_________________________________
0 (Сsin2 а0 + В cos2 а0) cos а0
(4.35)
Если сечения, пружина свита из проволоки круглого поперечного Ро = — sin 2ст° -у- (4.34а) ° D0(l+gcos2a0) ' ’
и а 64 (1 + И) Wil /д ос \ 0 Ed4cosa0 (1 + pcos2a0) * I • /
В практических расчетах цилиндрических пружин кручения
с малым углом подъема (а0 < 84-10°) можно приближенно при-
нять sina0 0, a cosa0 1. Тогда осевое перемещение торцов
пружин кручения можно во внимание не принимать (X 0)э
а относительный угол поворота торцов будет
в
(4.30д)
85
Рис. 4.8. Ленточная винтовая пружина, на-
груженная по торцам силами и моментами
р
0 W-
А-А
(уделичено)
Если витки имеют круглое попереч-
ное сечение, то
6 = 64^?0<0 • (4.30е)
В инженерной практике формулы,
приведенные в табл. 4.3 и 4.4, а также
формулы (4.22г) и (4.30е) используют
очень часто.
Особое место занимают цилиндриче-
ские ленточные пружины, навитые из
тонких полос (ленты), у которых отно-
шение Ыа велико (/? — ширина полосы;
а — толщина полосы). Ленточная пру-
жина должна рассматриваться как своеобразная цилиндрическая
оболочка с широкими винтовыми прорезями (рис. 4.8). Расчет
таких пружин, нагруженных продольной силой Р и крутящим
моментом 2R, приложенными по торцам, рассмотрен в работе [2].
За положительные нагрузки приняты растягивающая сила и
раскручивающий момент, совпадающие по направлению с соот-
ветствующими им перемещениями.
В случае малых перемещений осевое X и угловое перемещение
0 выражают следующими зависимостями:
X - 6ИР + 612шг;
е - + w (4 36>
гле 6 Зл(1+ц)рз/ 1 _/<[1 — (1 — ^)cos8cx]g . /4 36а)
где ои— cos a j _к ц _И2)со84а] ’
_ ва „ sinа; (4.366)
12 2i Eba3 1 — [1 — (1 — р2) cos4 а] v 7
8 ___ О + I1) Di П + (1 — ЭД cos2 а — Кsin2 а [1 + (1 — И) cos2 •
22 EbcP cos а ( 1—К [1—(1—p2)cos4a] j
(4.36в)
К____J_ ch 2% —cos 2% .
X sh 2% + sin 2/ ’
, 4_________
0 COS ОС । / r\ / л o\
Такие пружины находят применение в приборах для преобра-
зования поступательного движения во вращательное, так как
D0 .
в рассматриваемом случае отношение -у- значительно больше,
чем у винтовых пружин других конструкций.
86
Г. Большие упругие перемещения винтовых цилиндрических
пружин. При больших упругих перемещениях пружины, возни-
кающих при нагружении ее осевыми силами Р и парами 3D?, при-
ложенными в плоскости торцов пружины, как и при малых упру-
гих перемещениях, пружина остается винтовым брусом.
Однако предполагая, что в рассматриваемом случае в процессе
деформации основные параметры пружины претерпевают значи-
тельные изменения, необходимо строго разграничить начальные
и конечные значения основных параметров.
В частности, при вычислении внутренних силовых факторов
следует исходить из тех размеров пружины (£>, а), которые она
имеет в конце процесса нагружения.
Руководствуясь формулами (4.22), (4.23), а также (4.8), (4.9),
(4.13) и (4.14), можно составить следующие зависимости, спра-
ведливые для пружин в области больших перемещений:
2В _ PP-*ina + ЭК cos а; (4.22а)
2С /cos a sin а cos а. sin а„ \ = P£cosa + si„ а (4 23а)
\ is и о /
Осевое перемещение концов пружины
X = (Н — Hq) = lQ (sin а — sin а0). (4.37)
Угловое перемещение торцов
О О/ / COS ОС COS OCq \ /Л OQ\
О = ф(. - ф(0 = 2/0 ------р- ) . (4.38)
Общая теория больших перемещений цилиндрических винто-
вых пружин разработана Н. А. Чернышевым [14].
Рассмотрим случай растяжения (Р > 0) или сжатия (Р < 0)
пружины со свободно поворачивающимися торцами, когда 99? = 0.
Тогда, исключив из формул (4.22а) и (4.23а) диаметр D де-
формированной пружины, можно выразить осевую силу Р в функ-
ции угла подъема а
р , ч cos2a0 В cos a cos tz0 + С sin a sin а0 /л qq\
' Dq 81П а° cos а (В cos2 а + С sin2 а)2 * \ /
Выражения (4.37) и (4.39) устанавливают параметрическую
зависимость между усилием Р и осадкой пружины X, причем пара-
метром здесь является угол подъема а, постепенно изменяющийся
в процессе нагружения пружины.
Задаваясь последовательными значениями угла подъема а,
можно по формулам (4.37) и (4.39) подсчитать силу Р и соответ-
ствующее ей осевое перемещение X концов пружины и построить
87
Рис. 4.9. Уточненные и приближенная линей-
ная характеристики винтовых пружин:
1 — растяжения (а > а0); 2 — приближенная
(а « а0); 3 — сжатия (а < а0)
нелинейную характеристику послед-
ней в координатах X, Р (рис. 4.9).
Для пружин растяжения-сжатия
с неповорачивающимися торцами,
когда относительный угол поворота торцов 0 = 0 с учетом соот-
ношения (4.38),
cos а ___ cos а0
или D = D0^^-. (4.37а)
COS OCq
Исключив из уравнений (4.22а) и (4.23а) момент 2)? и заменив
диаметр D деформированной пружины его значением по формуле
(4.37а), получим
P = i£^!i[C(slna-sinao)_Bsina(1 ~St)] • (4-40)
Зависимость (4.40) совместно с соотношением (4.37) предста-
вляет в параметрической форме характеристику пружины в об-
ласти больших перемещений в случае закрепления торцов (0 =
= 0). Исследования полученных результатов показывают (см.
рис. 4.9), что при больших перемещениях жесткость пружин сжа-
тия в процессе деформации убывает, а жесткость пружин растя-
жения при нагружении несколько увеличивается. Однако пру-
жины растяжения, навиваемые обычно закрытой навивкой (т. е.
так, что витки плотно прилегают один к другому) из проволоки
круглого сечения, имеют очень малый начальный угол подъема,
и поэтому в этом случае при любых практически встречающихся
перемещениях можно довольствоваться результатами, даваемыми
приближенными формулами, полученными в предположении, что
перемещения малы [см. формулы (4.28а) и (4.33а) ].
Для пружин сжатия нарушение линейной зависимости между
силами и перемещениями проявляется более сильно.
Приближенные формулы дают заметную (более 5%) погреш-
ность при начальных углах подъема а0 > 10°, особенно в тех слу-
чаях, когда 5)? = 0, а также когда сечение витка имеет вид вытя-
нутого прямоугольника с длинной стороной,перпендикулярной
оси пружины (а > Ь).
Теория больших перемещений разработана и для пружин
кручения [14], однако этот вопрос имеет малое практическое
значение. Расчет ленточных пружин при больших перемещениях
рассмотрен в работе [2].
88
Д. Напряженное состояние витков цилиндрических пружин.
При нагружении цилиндрической пружины по торцам осевыми
силами и парами, приложенными в плоскостях торцов, витки
пружины работают одновременно на кручение, изгиб и растяже-
ние-сжатие.
Если не принимать во внимание кривизну витков пружины,
то, используя вычисленные в пункте Б значения внутренних
силовых факторов и приняв точность формул, полученных мето-
дами сопротивления материалов, легко определить напряжения
в поперечных сечениях витков 16].
При таком приближенном подходе к решению вопроса нор-
мальные напряжения в поперечных сечениях витков на их вну-
треннем «волокне»
где Wb — осевой момент сопротивления поперечного сечения
витка относительно бинормали b (см. табл. 4.1). Положительные
значения нормальных напряжений соответствуют растяжению,
отрицательные — сжатию.
Касательные напряжения в поперечном сечении витков на
их внутреннем «волокне» вычисляют по формуле
(4-42)
где р — коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения
витка; при круглом поперечном сечении 0 1,3.
Значения Wt также приведены в табл. 4.1. Для прямоугольного
сечения витков значения вспомогательного коэффициента С, необ-
ходимые для вычисления приведены в табл. 4.2.
Моменты Mt и Мь подсчитывают по формулам (4.13) и (4.14)
соответственно, с учетом установленных правил знаков.
Однако витки цилиндрической пружины обычно имеют значи-
тельную кривизну. Это оказывает влияние на закон распределения
внутренних сил в поперечных сечениях витков, а также приводит
к значительному повышению напряжений, достигающему 40%
в точках винтового бруса, ближайших к оси пружины (т. е. на
внутреннем «волокне» витков) по сравнению с напряжениями,
вычисленными по формулам (4.41) и (4.42).
Это обстоятельство и заставило изучить рассмотренный во-
прос более подробно. Фундаментальные исследования напряжен-
ного состояния витков с круглым поперечным сечением проведены
в 1946 г. Н. А. Чернышевым [16].
С помощью методов теории упругости Н. А. Чернышевым были
получены, в частности, формулы (4.43)—(4.46) для вычисления
напряжений в опасных точках на внутреннем волокне витков
круглого поперечного сечения (в точке К на рис. 4.10).
89
Для пружин растяжения (Р> 0) и сжатия (Р< 0) при 9W = 0
напряжения в площадках, проходящих через точку К и нормаль-
ных осям b и t (см. рис. 4.10) соответственно:
h PD .
&ЬР wb ’
рп
a' = ^W; (4-43)
, PD
^tb — 4t — Рр •
где kbPi ktPl kp — коэффициенты, зависящие от угла подъема а
и индекса пружины с. При коэффициенте Пуассона ц = 0,3
= -1"-CT^-os2°c [о,077 + (0,036 + 0,171 cos2 а) -1-] ;
ktP = sin а [0,5 + (0,125 + 0,436 cos2 а) -1- +
+ (0,037 + 0,305 cos2 а) . (4.44)
+ = cosa [0,5 + (0,308+ 0,318 cos2 а) +
+ (0,356 + 0,082 cos2 а) .
На рис. 4.11 сплошной линией показана эпюра распределения
касательных напряжений по диаметру поперечного сечения витка,
построенная по формулам, полученным методом теории упругости.
Для сравнения штриховой линией показана эпюра напряжений,
ненты напряжения в опасной точке
поперечного сечения витка
Рис. 4.11. Эпюры касательных напря-
жений в поперечном сечении витка
пружины растяжения-сжатия малого
индекса при а 0:
1 — точное решение; 2 — решение без уче-
та кривизны витка
90
возникающая в прямом брусе круглого сечения при кручении.
Буква Р в индексе при коэффициентах k указывает, что напряже-
ния по формулам (4.43) вычисляют в витках пружины, нагру-
женной только осевой силой Р (о > 0 соответствует напряжению
растяжения, о < 0 — напряжению сжатия). Значения коэффи-
циентов kbP, ktP, kP приведены в табл. 4.5.
Т а б л и ц а 4.5
Значения коэффициентов kbp, ktp и kp
II kbp при а0 kfp при а0 kp при а0
0 15 30 0 15 30 0 15 30
3 0,000 0,012 0,017 0,000 0,184 0,337 0,757 0,720 0,620
4 0,000 0,008 0,011 0,000 0,168 0,312 0,683 0,652 0,568
6 0,000 0,004 0,007 0,000 0,154 0,290 0,616 0,590 0,519
8 0,000 0,003 0,005 0,000 0,148 0,279 0,584 0,560 0,496
10 0,000 0,002 0,004 0,000 0,144 0,273 0,567 0,546 0,483
Для пружин кручения (при условии, что Р=0) в площадках,
проходящих через точку К и нормальных осям b и t (см. рис. 4.10),
напряжения соответственно
— Ь •
®Ь — %Ьт »
= (4.45)
ь
Ъь — ^bt — Rm *
При коэффициенте Пуассона р = 0,3
= [о, 154 + (0,246 cos2 а -0,096 sin2 а) -Ь] ;
^m = -cosa [1+0,871-^ +
+ (0,032 sin2 а+ 0,642 cos2 а);
+ = sina Г1 +0,635 ^ + 0,163^1 .
Буква т в индексе при коэффициентах k означает, что напря-
жения по формулам (4.45) вычисляют в витках пружины, нагру-
женной только моментом.
Значения коэффициентов kbm, kim, km приведены
в табл. 4.6.
91
Таблица 4.6
Значения коэффициентов kbm, ktm, km
II kbm ПРИ а° при а° km при а°
0 15 30 0 15 30 0 15 30
3 —0,079 —0,069 —0,045 — 1,362 — 1,288 — 1,098 0,000 0,314 0,585
4 —0,054 —0,047 —0,032 — 1,258 — 1,196 — 1,028 0,000 0,300 0,562
6 —0,033 —0,029 —0,020 — 1,163 — 1,112 —0,968 0,000 0,286 0,541
8 —0,023 —0,021 —0,014 — 1,119 —1,073 —0,942 0,000 0,279 0,531
10 —0,018 —0,016 -0,011 — 1,094 — 1,050 —0,926 0,000 0,275 0,524
При закручивании пружины по ходу навивки в формулах
(4.45) следует принимать 9Й > 0, при закручивании в обратном
направлении 3)? < 0.
Зная составляющие напряжений, руководствуясь теорией проч-
ности Мора, легко вычислить эквивалентное напряжение.
В рассматриваемом случае этой теорией следует воспользо-
ваться потому, что рессорно-пружинные стали, вообще говоря,
различно сопротивляются растяжению и сжатию.
Чтобы установить коэффициент запаса пружины по текучести,
достаточно сопоставить эквивалентное напряжение с пределом
текучести материала при растяжении.
Полное исследование напряженного состояния витков может
быть проведено лишь при проверочных расчетах пружин.
При конструировании пружин с малым углом подъема витков,
встречающихся обычно на практике, второстепенные компоненты
напряжения опускают и ведут расчет упрощенно.
1. Пружины растяжения-сжатия рассчитывают по наиболь-
шим касательным напряжениям в поперечных сечениях вит-
ков, принимая а=0;
2. Пружины кручения — по наибольшим нормальным напря-
жениям az в поперечных сечениях витков, принимая а == 0.
Представляет интерес применение винтовых пружин растя-
жения-сжатия, свитых из трубок. Изготовление таких пружин
связано с некоторыми технологическими трудностями, но внедре-
ние их в практику может привести к значительному уменьшению
массы конструкций. У винтовых пружин растяжения-сжатия с ма-
лым углом подъема, свитых из прутков кольцевого сечения с отно-
сительно малой толщиной стенок 6 и нагруженных осевой силой Р,
наибольшие касательные напряжения в поперечных сечениях
витков на внутреннем «волокне» трубки [7 ]
т _ JP- i/WiT3 (4 47)
Тшах — ш/6 V (С-1) ’ 1 J
где d — средний диаметр трубки; D — диаметр винтовой оси
трубки; с = -j- (желательно, чтобы с > 5).
92
Осевое перемещение X трубчатой винтовой пружины растяже-
ния-сжатия
(4.48)
где i — число рабочих витков.
Жесткие винтовые пружины сжатия и кручения, рассчитанные
на большие нагрузки, выполняют иногда с витками прямоуголь-
ного сечения.
Обозначим (см. табл. 4.1) длину стороны прямоугольного
сечения, параллельную бинормали, буквой Ь, а длину стороны,
перпендикулярную оси (параллельную нормали), буквой а.
Законы распределения внутренних сил в поперечном сечении
витков прямоугольного поперечного сечения зависят от угла подъ-
ема а, соотношения длин сторон сечения и индекса пружины,
D
с = —.
а
К настоящему времени точное решение вопроса о напряжен-
ном состоянии витков прямоугольного сечения удалось получить
[3] только для случая, когда угол подъема витков равен нулю.
Однако, учитывая, что у жестких пружин, как правило, угол
подъема витков невелик, полученные результаты могут быть ис-
пользованы в инженерных расчетах.
Как известно, у пружин растяжения (Р > 0) и сжатия (Р <
< 0) при а 0 в поперечных сечениях витков возникают в основ-
ном касательные напряжения.
В рассматриваемом случае наибольшие касательные напряже-
ния, в отличие от чистого кручения прямого бруса прямоуголь-
ного поперечного сечения, в связи с кривизной витка и наличием
поперечной силы возникают, как правило, не в середине N длин-
ной стороны сечения, а на внутреннем «волокне» витка в точке /С
(рис. 4.12)
= (4-49)
Значения коэффициента kp, подсчитанные в предположении,
что коэффициент Пуассона ц. = 0,3, приведены в табл. 4.7 в за-
висимости от соотношения длин сторон сечения и кривизны витков.
Для точки N (см. табл. 4.12), находящейся в середине верхней
или нижней стороны сечения,
= (4-5°)
где коэффициенты k"P в зависимости от соотношения длин сторон
при b а ц. = 0,3 следующие: 1 3 1 2 0,8 г- - i" $1
1 —
kp 5,73 4,06 2,83
Рис. 4.12. Поперечное сечение витка пружины
93
Таблица 4.7
Значения коэффициентов kp
D/a Ыа
1 3 1 2 0,8 1 1,25 1,5 2,0 3,0
4 6,16 4,53 3,47 3,16 2,93 2,78 2,58 2,35
5 5,80 4,28 3,29 3,01 2,80 2,67 2,48 2,25
6 5,55 4,10 3,18 2,90 2,70 2,58 2,40 2,19
7 5,37 3,98 3,09 2,84 2,65 2,52 2,35 2,15
8 5,24 3,83 3,03 2,78 2,60 2,48 2,31 2,10
10 5,06 3,76 2,94 2,70 2,53 2,41 2,76 2,06
От кривизны витков коэффициент k"P не зависит.
Заметим, что приведенные значения коэффициента k"P представ-
ляют интерес потому, что определяемые с их помощью касатель-
ные напряжения в точке N при некоторых соотношениях размеров
сечения и кривизны витка могут превысить напряжения в точке /С.
Сопоставляя значения коэффициентов kP и kP, можно отме-
тить, что в большинстве конструкций опасной точкой является
все же точка Д, лежащая в середине внутренней стороны прямо-
угольного поперечного сечения.
Лишь при малой кривизне витка (при с 6) и малых зна-
чениях отношения < 0,8 для пружин растяжения и сжатия
принятой конструкции это правило нарушается, и напряжения
в точке N оказываются большими, чем в точке Д (в табл. 4.7 эти
случаи выделены полужирной линией).
У пружин кручения с витками (прямоугольного сечения)
малого угла подъема (при а 0) в поперечных сечениях витков
возникают в основном нормальные напряжения.
Наибольшие нормальные напряжения возникают в середине
внутренней стороны сечения (в точке Д на рис. 4.12)
= <4-51>
и/ fr
где Wb — — момент сопротивления изгибу относительно
бинормали (см. табл. 4.1);
94
3(C-1)(C--L)
А = In ^-±4 .
с — 1
(4.51а)
Значения коэффициентов k'm в зависимости от кривизны вит-
ков следующие
с ~ — ... 3 4 5 6 8 10
а
k'm.........1,26 1,20 1,15 1,12 1,09 1,07
§ 4.3. Прикладные вопросы расчета
и конструирования цилиндрических
винтовых пружин растяжения, сжатия
и кручения
А. Материалы; К материалу для пружин предъявляют высокие
требования: после соответствующей термической обработки он дол-
жен обладать устойчивыми во времени упругими свойствами,
значительной прочностью и выносливостью, большим сопротивле-
нием ударным нагрузкам, а также достаточной пластичностью.
При приемке материала для пружин образцы его должны быть
подвергнуты осмотру и испытаниям в соответствии с техническими
условиями. Серьезного внимания заслуживает состояние поверх-
ности заготовок для пружин (проволоки). Она должна быть глад-
кой, без плен, закатов, раковин, штрихов и других дефектов,,
видимых глазом. Недопустимо повреждение поверхности загото-
вок в процессе изготовления пружин. Обезуглероживание их
поверхностного слоя отрицательно сказывается на механических
свойствах и особенно на выносливости пружин (допустимая глу-
бина и степень обезуглероживания заготовок устанавливаются
техническими условиями).
При термической обработке в процессе изготовления пружин,,
которая должна вестись в строгом соответствии с установленным
оптимальным режимом, нельзя допускать заметного обезуглеро-
живания поверхностного слоя витков пружины.
Марки и технические требования на рессорно-пружинную
углеродистую и легированную сталь приведены в ГОСТ 14959—79.
Там же приведены химический состав, режимы, термической обра-
ботки и механические свойства термически обработанных образ-
цов пружинных сталей.
Содержание С, Мп, Si, Cr, Ni, V и W в сталях отдельных марок
в количествах, предусмотренных ГОСТ 14959—79, определяет
эффективность процессов термической обработки и связанное
с этим повышение упругих свойств и прочности пружинных сталей.
95
Легирующие присадки повышают предел упругости пружинной
стали, приближая его к временному сопротивлению. Ванадий
и вольфрам включают в материал для пружин особо ответствен-
ного назначения, а также для пружин, работающих при повышен-
ных температурах.
Пружинную сталь [9] следует выбирать с учетом условий
эксплуатации пружин и их назначения и ответственности. При
этом необходимо принимать во внимание интенсивность и про-
должительность нагружения, способ приложения нагрузки и ее
цикличность во времени, состояние окружающей среды, темпера-
туру и пр.
Установив предполагаемые размеры и форму сечения заготовки
и приступая к выбору марки стали, следует учесть технологи-
ческие свойства избираемого материала в отношении возможности
изготовления пружины и ее термической обработки (закалки), ко-
торая должна обеспечивать полноценную прокаливаемость.
Краткие сведения о свойствах пружинных сталей, используемых
для изготовления пружин, и рекомендации по их практическому
использованию приведены в приложениях 1 и 2 к ГОСТ 13764—68.
Для изготовления пружин, работающих в условиях перемен-
ной влажности, соприкасающихся с водой, паром или кислотами,
и при наличии других условий, способствующих коррозии, при-
меняют сплавы цветных металлов (см. гл. 1).
Полуфабрикатами для изготовления винтовых пружин служат
полосовая сталь и проволока.
Для пружин холодной навивки, изготовляемых из предвари-
тельно подготовленного материала и подвергающихся после на-
вивки только низкотемпературному отпуску, используется угле-
родистая проволока по ГОСТ 9389—75 «Проволока стальная
углеродистая пружинная». По этому стандарту проволока диа-
метром от 0,14 до 8 мм изготовляется нескольких классов, отли-
чающихся механическими свойствами:
первого класса I;
второго класса II и класса ПА, отличающихся повышенной
точностью по размерам;
третьего класса III.
Механические свойства проволоки по ГОСТ 9389—75 приве-
дены в табл. 4.8.
Необходимо отметить, что с уменьшением диаметра проволоки
ее временное сопротивление сильно возрастает.
Б. Основные соображения о выборе допускаемых напряжений.
Одновременно с выбором материала приходится решать вопрос
о допускаемых напряжениях, что является одним из ответствен-
нейших моментов расчета пружин.
При выборе допускаемого напряжения необходимо учитывать:
а) качество материала и вид термообработки;
б) характер нагружения пружин (статический, динамический);
в) условия работы пружин (характер окружающей среды, ее
96
Таблица 4.8
Проволока стальная углеродистая пружинная (по ГОСТ 9389—75)
d, мм Класс I ав, МПа V2> н Класс II ав, МПа ав</2, Н Класс ПА ав, МПа ав</2, Н Класс III ав, МПа н
0,14 2800—3150 55—62 2350—2800 46—55 2250—2700 44—53 1850—2350 36—46
0,15 2800—3150 63—71 2350—2800 53—63 2250—2700 51—61 1850—2350 42—53
0,16 2800—3150 72—81 2350—2800 60—72 2250—2700 58—69 1850—2350 47—60
0,18 2800—3150 91—102 2350—2800 76—91 2250—2700 73—87 1850—2350 60—76
0,20 2750—3100 110—124 2300—2750 92—110 2250—2700 90—108 1800—2300 72—92
0,22 2750—3100 133—150 2300—2750 111—133 2250—2700 109—131 1800—2300 87—111
0,25 2750—3100 172—194 2300—2750 144—172 2250—2700 141 — 169 1800—2300 113—144
0,28 2750—3100 216—243 2300—2750 180—216 2250—2700 176—212 1800—2300 141—180
0,30 2750—3100 248—279 2300—2750 207—248 2250—2700 203—243 1800—2300 162—207
0,32 2700—3050 276—312 2250—2700 230—276 2200—2650 225—271 1750—2250 179—230
0,36 2700—3050 350—395 2250—2700 292—350 2200—2650 285—343 1750—2250 227—292
0,40 2650—3000 424—480 2200—2650 352—424 2200—2650 352—424 1700—2200 272—352
0,45 2650—3000 537—608 2200—2650 446—537 2200—2650 446—537 1700—2200 344—446
0,50 2650—3000 662—750 2200—2650 550—662 2200—2650 550—662 1700—2200 425—550
0,56 2650—3000 831—941 2200—2650 690—831 2200—2650 690—831 1700—2200 533—690
0,60 2650—3000 954—1 080 2200—2650 792—954 2200—2650 792—954 1700—2200 612—792
0,63 2600—2950 1 032—1 171. 2200—2600 873—1 032 2150—2600 853—1 032 1700—2000 675—873
0,70 2600—2950 1 274—1 446 2200—2600 1 078—1 274 2150—2600 1 054—1 274 1700—2200 833—1 078
0,80 2600—2950 1 664—1 888 2150—2600 1 376—1 664 2150—2600 1 376—1 664 1700—2150 1 088—1 376
0,90 2550—2850 2 066—2 309 2100—2550 1 701—2 066 2100—2550 1 701—2 066 1650—2150 1 336—1 741
1,00 2500—2800 2 500—2 800 2100—2500 2 100—2 500 2050—2500 2 050—2 500 1600—2100 1 600—2 100
1,10 2450—2750 2 964—3 327 2050—2450 2 480—2 964 1950—2400 2 359—2 904 1550—2050 1 875—2 480
1,20 2400—2700 3 456—3 888 2000—2400 2 880—3 456 1950—2400 2 808—3 456 1550—2000 2 232—2 880
1,30 2350—2650 3 971—4 478 2000—2350 3 380—3 971 1900—2300 3 211—3 887 1550—2000 2 619—3 380
1,40 2300—2600 4 508—5 096 1950—2300 3 822—4 508 1900—2300 3 724—4 508 1500—1950 2 940—3 822
1,50 2250—2550 5 062—5 737 1900—2250 4 275—5 062 1850—2200 4 162—4 950 1450—1900 3 262—4 275
1,60 2200—2500 5 632—6 400 1900—2200 4 864—5 632 1850—2200 4 736—5 632 1450—1900 3 712—4 864
1,70 2100—2400 6 069—6 936 1800—2100 5 202—6 069 1800—2100 5 202—6 069 1400—1800 4 046—5 202
1,80 2100—2400 6 804—7 776 1800—2100 5 832—6 804 1800—2100 5 832—6 804 1400-1800 4 536—5 832
Продолжение табл. 4.8
d, мм Класс I ов, МПа V2- н Класс 11 <УВ, МПа V!. н Класс ПА ав, МПа oBd2. Н Класс III ав, МПа Пв</2, н
1,90 2050—2350 7 400—8 483 1800—2050 6 498—7 400 1800—2100 6 498—7 581 1400—1800 5 054—6 498
2,00 2050—2300 8 200—9 200 1800—2050 7 200—8 200 1800—2100 7 200—8 400 1400—1800 5 600—7 200
2,10 2000—2250 8 820—9 922 1750—2000 7 717—8 820 1700—2000 7 497—8 820 1400—1750 6 174— 7 717
2,30 1950—2200 10 315—11 638 1700—1950 8 993—10 315 1700—2000 8 993—10 580 1350—1700 7 141—8 993
2,50 1850—2100 11 562—13 125 1650—1900 10 312—11 875 1650—1950 10 312—12 187 1300—1650 8 125—10 312
2,80 1800—2050 14 112—16 072 1650—1900 12 936—14 896 1650—1950 12 936—15 288 1300—1650 10 192—12 936
3,00 1750—2000 15 750—18 000 1650—1900 14 850—17 100 1650—1950 14 850—17 550 1300—1650 И 700—14 850
3,20 1750—2000 17 920—20 480 1550—1800 15 872—18 432 1550—1800 15 872—18 432 1250—1550 12 800—15 872
3,50 1700—1950 20 825—23 887 1550—1800 18 987—22 050 1550—1800 18 987—22 050 1250—1550 15 312—18 987
3,60 1700—1950 22 032—25 272 1550—1800 20 088—23 328 1550—1800 20 088—23 328 1250—1550 16 200—20 088
4,00 1650—1900 26 400—30 400 1500—1750 24 000—28 000 1500—1750 24 000—28 000 1200—1500 19 200—24 000
4,20 1600—1850 28 224—32 634 1450—1700 25 578—29 988 1400—1650 24 696—29 106 1150—1450 20 286—25 578
1550—1800 31 387—36 450 1400—1650 28 350—33 412 1400—1650 28 350—33 412 1150—1400 23 287—28 350
5,00 1500—1750 37 500—43 750 1400—1650 35 000—41 250 1400—1650 35 000—41 250 1150—1400 28 750—35 000
5,60 1450—1700 45 472—53 312 1350—1600 42 336—50 176 1350—1600 42 336—50 176 1100—1350 34 496—42 336
6,00 6,30 6,50 6,70 7,00 7,50 8,00 1450—1700 52 200—61 200 1350—1600 1250—1450 1250—1450 1250—1450 1250—1450 1250—1450 1250—1450 48 600—57 600 49 612—57 550 52 812—61 262 56 112—65 090 61 250—71 050 70 312—81 562 80 000—92 800 1350—1600 48 600—57 600 1100—1350 1050—1250 1050—1250 1050—1250 1050—1250 1050—1250 1050—1250 39 600—48 600 4 1 674—49 612 44 362—52 812 47 134—56 112 51 450—61 250 59 062—70 312 67 200—80 000
Примечав смотрены и внесены и е. Значения для d2aB, используемые при расчете в таблицу дополнительно. ! пружин растяжения и сжатия на прочность, ГОСТом не преду-
коррозионную активность и температуру, истирание и поврежде-
ние поверхности витков в процессе работы и т. д.);
г) степень ответственности пружин (последствия от их поломки,
возможность быстрой замены поврежденных пружин и др.).
Пружины как упругие элементы конструкций могут быть
разбиты на следующие группы:
1. Статического действия (пружины предохранительных уст-
ройств). В этом случае расчет ведут при максимальной нагрузке,
воспринимаемой пружиной, исходя из установленных опытом допу-
скаемых напряжений в зависимости от механических характери-
стик (ат,тт) материала пружины и других отмеченных выше причин.
2. Ограниченно кратного динамического действия (пружины
оружия, операционные пружины в машинах-орудиях и т. д.,
при циклической плавно прилагаемой или импульсивной нагрузке
с кратностью 50 000—100 000 циклов и менее).
Расчет обычно ведут по статическим формулам, применяемым
при статических расчетах, исходя из наибольшего усилия или
деформации пружины с допускаемым напряжением, зависящим
от степени динам'ичности приложения нагрузки, ее пульсации,
желаемой долговечности пружины и т. д.
Значения наибольших касательных напряжений для проволоки
различных классов и марок стали, допускаемых при расчете пру-
жин растяжения и сжатия, приведены в ГОСТ 13764—68.
Во многих случаях пружины статического и ограниченно крат-
ного динамического действия целесообразно заневоливать.
Заневоливанием пружины называют предельное ее нагружение
на длительное время (12—24 ч) при непременном условии, что
в результате этой заключительной технологической операции
пружина получает заметные пластические деформации.
В результате пластического заневоливания в пружине возни-
кают остаточные напряжения [5].
Остаточные напряжения в опасных зонах сечения имеют
направление, противоположное рабочим, что и снижает последние.
Это повышает несущую способность пружин в пределах упругости
и позволяет проектировать их более компактными и легкими.
Степень развития пластических деформаций и продолжитель-
ность заневоливания должны быть определены заранее на основе
механических свойств материала и требований, предъявляемых
к пружине. В ряде случаев для ускорения процесса заневоливание
проводится динамическим способом. После заневоливания никакая
термообработка не допускается.
Пружины, предназначенные для работы под нагрузкой в те-
чение длительного времени и пластически сильно деформируемые
в процессе заневоливания, должны во избежание релаксации на-
ходиться «в неволе» значительное время.
Под релаксацией здесь понимается снижение несущей способ-
ности пружин, что иногда наблюдается у упругих элементов,
длительное время находящихся в деформированном состоянии.
4* 99
Остаточные деформации и искажения характеристик пружин
в условиях длительного нагружения делают пружины со временем
непригодными к действию и приводят к нарушению нормальной
работы тех механизмов, частью которых они являются. Особенно
значительная релаксация наблюдается у пружин, находящихся
по условиям эксплуатации длительное время в деформированном
состоянии, будучи сильно нагретыми (150—450° С).
В последнем случае вместо пластического заневоливания
следует применять термомеханическую обработку, т. е. подвергать
пружины-заготовки, нагретые до температуры предполагаемого
рабочего режима, длительному деформированию при напряже-
ниях, не превышающих номинального предела упругости. Это
позволяет предварительно выбрать возможные остаточные де-
формации в связи с релаксацией и снизить тем самым интенсив-
ность дальнейшего снижения несущей способности пружины в экс-
плуатационных условиях.
При установлении необходимой длины пружин-заготовок, под-
вергающихся заневоливанию или термомеханической обработке,
следует учитывать пластические деформации, которые получают
эти заготовки при указанных технологических операциях.
Пружины, предназначенные для работы в коррозионной среде,
не следует заневоливать, поскольку в этом случае поле остаточных
напряжений нельзя считать устойчивым и заневоливание, как
операция упрочнения, перестает быть эффективным.
3. Многократного и неограниченно кратного действия (клапан-
ные пружины и т. п.) должны рассчитываться на выносливость.
Материал для таких пружин должен выбираться с учетом его
усталостной прочности в тех условиях (температурных, корро-
зионных и др.), в которых предстоит работать пружине.
Пружины, работающие при напряжениях, циклически изменя-
ющихся во времени, целесообразно подвергать дробеструйной
обработке, которая упрочняет материал поверхностных слоев вит-
ков, что в свою очередь резко повышает усталостную прочность.
Как уже отмечалось, пружины кручения рассчитывают по
наибольшим нормальным напряжениям сгтах в поперечных сече-
ниях их витков. В этом случае необходимо, чтобы отах с [о].
Допускаемые напряжения [о] выбирают по следующей при-
мерной зависимости:
[о] 1,25 [т],
где [т]—допускаемое напряжение для пружин растяжения
и сжатия, выполненных из того же материала и работающих
в аналогичных условиях.
Если пружина в соответствии с назначением и сроком службы
механизма, частью которого она является, подвергается опре-
деленному ограниченному числу нагружений, то расчет пружины
на прочность должен быть проведен по допускаемым напряже-
ниям, пониженным с учетом асимметрии рабочего цикла пру-
жины, желаемой ее долговечности и др.
100
Рис. 4.13. Зависимость коэффициентов (р снижения
допускаемого напряжения [т ] от коэффициента асим-
метрии цикла Р = и числа циклов перемен
т^пах
напряжений
На рис. 4.13 приведены в зависимости
от коэффициента асимметрии цикла /? =
= и заданного числа рабочих циклов
Т-тах
перемен напряжений у пружин (тт1п =₽* ттах) ориентировочные
значения коэффициентов <р снижения допускаемого напряже-
ния [т], избираемого для таких же пружин при статическом их
нагружении.
Дополнительные сведения по выбору допускаемых напряжений
приведены в работе [9].
В. Расчет и конструирование цилиндрических винтовых пру-
жин растяжения-сжатия*. Общие сведения. Винтовые
цилиндрические пружины растяжения-сжатия имеют в технике
наибольшее применение как пружины упорные, оттяжные, регу-
ляторные, буферные, рессорные, клапанные и т. д.
При нагружении цилиндрических пружин одними осевыми
силами Р в любом из поперечных сечений витков внутренние
силы приводятся:
к нормальной силе |Af| = Psina; (4.11а)
к поперечной силе IQI = Р cos а; (4.12а)
PD
к крутящему моменту | Л4кр | = -j- cos а; (4.13а)
PD
к изгибающему моменту | Ми | == —sin а, (4.14а)
подсчитываемым по формулам (4.11)—(4.14), если в двух послед-
них из них принять № = 0.
У пружин с малым углом подъема витков, часто встреча-
ющихся на практике (ас 8-е-10°), изгибающий момент Ми и
нормальная сила N несущественны и решающим внутренним
силовым фактором является крутящий момент
Заметим также, что возникающими в опорах моментами,
препятствующими повороту торцов, и дополнительным изгибом
пружины вследствие практически несколько эксцентричного при-
ложения силы Р и несоосности витков в типовых расчетах пре-
небрегают, как малыми и не поддающимися точному учету фак-
торами.
Как уже отмечалось, распределение касательных напряжений
в поперечном сечении витка малого угла подъема тем сильнее
отличается от распределения напряжений в поперечном сечении
* Все расчеты проводятся исходя из принципа начальных размеров, поэтому
в этом разделе принимается, что D = Do, i = iQ и a = a0.
101
прямого бруса, чем больше кривизна витка; причем внутреннее
волокно последнего заметно перегружается.
Учитывая сказанное, необходимо, чтобы индекс пружины был
не менее четырех. Обычно индекс с лежит в пределах 4 < с < 12,
и лишь в редких случаях достигает 20.
В опасной точке сечения
где
Т'тах ^0,
М<р
То=;;~¥7
(4-52)
(4.53)
наибольшее касательное напряжение прямого бруса с таким же
поперечным сечением, что и у витка, при закручивании его па*
рой Мкр; Wt — геометрический фактор, определяемый размерами
и видом сечения (см. табл. 4.1).
Как уже указывалось, коэффициент k больше единицы и зави-
сит от формы сечения, кривизны витка, а также его угла подъ-
ема а.
В первом приближении можно принимать k — 1,2 -t-1,4.
Осевое перемещение торцов пружин при а < 8-*-10° практи-
чески с достаточной степенью точности можно вычислить по фор-
муле

(4.54)
где Z— жесткость пружины [см. формулу (4.28в) ];
Z ——
Л
4С
nD3i 9
(4.55)
i — число рабочих витков.
Значения жесткости пружин Z с витками различного профиля
приведены в табл. 4.9. Вспомогательные коэффициенты, необхо-
димые для вычисления жесткости пружин с витками прямоуголь-
ного поперечного сечения, даны в табл. 4.10.
Уточнение формулы (4.55) в связи с кривизной витков, их
изгибом и влиянием поперечной и нормальной сил при малых
углах подъема практически нецелесообразно, так как принятые
допуски на размеры пружин, на число витков, а также незнание
точной величины модуля сдвига G все равно могут привести к зна-
чительному отклонению (достигающему ±10%) действительного
осевого перемещения от расчетного.
Для того чтобы сила упругости пружины при заданной осадке
достигла в пределах допусков нужной величины, необходимо
установить жесткую систему допусков на все размеры пружины
и при навивке стремиться нейтрализовать влияние на жесткость
пружины отклонений одних размеров соответствующими допуска-
емыми отклонениями других размеров (например, при допуска-
102
Таблица 4.9
f / Формулы для расчета винтовых цилиндрических пружин растяжения-сжатия
Форма поперечного сечения витка То ^max X z = -^~ nD*i
б/ 1 _ 8PD . Т° — nd3 ’ т0 =2,55-^- Л Р — л^3 гт1 • *шах — LTJ, ^max = ИЗ =0,392 , 8PD3i Х “ Gd* ~ Gd ’ Z 7 Gd* ~ 8D3i 1 0,25т;* и = — (j 4
- PD Т° 0,416а3 ’ т0 « 2,4 ° а3 Р max — /7З =0,416-^-[т] . , PDH x= 5’567“g^ = = 2,32-^; Ъ-Р- z 7 - Gai 5,567Z)3z T2 U =0,154 -^-V G

а
ж в а а -S то — £ s3 1 S3 Рmax — "g И .J1 / II *3 <| ш) II II Gs« \D3i ©• 11
a>b = s или Ь>
Обозначения: V — объем, занимаемый рабочими витками пружины; т0 — наибольшее касательное напряжение в попереч- ных сечениях витков в связи с их закручиванием без учета кривизны витков; s — длина наименьшей стороны прямоугольника. Зна- чения Д и ф приведены в табл. 4.10. *
Таблица 4.10
Вспомогательные коэффициенты к формулам табл. 4.9
для расчета пружин растяжения-сжатия с витками прямоугольного сечения
а b -Г- или b а & А Ф а b — ИЛИ & а а А Ф
1,0 2,404 5,567 0,154 3,0 0,625 0,995 0,135
1,5 1,442 2,670 0,136 4,0 0,442 0,698 0,142
1,75 1,195 2,086 0,132 6,0 0,278 0,439 0,151
2,0 2,5 1,016 0,775 1,713 1,256 0,131 0,133 ю,о 0,160 0,252 0,157
емом отклонении размеров проволоки в плюс следует стремиться
навить пружины диаметром, отклоняющимся от номинала в пре-
делах допусков, тоже в- плюс).
Полная потенциальная энергия, накопляемая пружиной,
(4-56)
Расчетные формулы для т0, X и V приведены в табл. 4.9.
Пружины, предназначенные для аккумулирования некоторой
заданной энергии t/0, целесообразно монтировать с предваритель-
ным нагружением Pmln.
Тогда
ц^Лпах + Лпт (4.57)
где
Рmax Рmln .
Z
(4.58)
х — рабочий ход; Ртах — наибольшая нагрузка, воспринимаемая
пружиной.
V Расчет цилиндрических винтовых пру-
жин растяжения-сжатия с витками круг-
лого сечения. Результаты теоретических исследований
напряженного состояния витков круглого поперечного сечения
приведены в § 4.2. Однако при обычно имеющих место малых углах
подъема витков расчет на прочность можно проводить по формуле
можно пользоваться коэффициентом k
(рис. 4.14), зависимость которого от
индекса пружины с следующая.
При с .... 4 5 6 8 10 12
k......... 1,37 1,29 1,24 1,17 1,14 1,11
Рис. 4.14. Зависимость коэффициента k от индекса с
пружины
10!
Приближенно можно считать
6 = 1 + —.
' с
(4.59)
При расчете пружин на прочность следует руководствоваться
формулами
т ____ A PmaxD 8kPmaxD 8/гРтахс . , дЛ\
Tmax - « 21Г, - nd3 “ nd2 < ГП. (4.OU)
где [т] — допускаемое напряжение, которое следует выбирать,
руководствуясь указаниями, изложенными в § 4.3, п. Б. До-
пускаемая нагрузка
Ршах=^[Т]. (4.61)
Осевое перемещение [см. формулу (4.54)]
__ %? тах£>3* 8Р max С3* /д ст
^тах — Qd4 — Gd - (4.62)
Диаметр проволоки [см. формулу (4.60)]
d ъ 1,6 «И ,б]/ (с+1[’т5])Ртах • (4.63)
Средний диаметр пружины
D = cd. (4.64)
По формулам (4.60)—(4.64) расчет удобно вести, задаваясь
допускаемым напряжением [т] и индексом пружины с.
\J Обычно допускаемое напряжение [т] для пружин, свитых
из проволоки диаметром d < 8 мм, задают в зависимости от ее
временного сопротивления ов (см. табл. 4.8), т. е. принимают
[т]=хав, (4.65)
где коэффициент % по ГОСТ 13764—68 меняется в зависимости
от класса проволоки и разряда пружины от 0,3 до 0,6.
В этом случае при расчете вместо формулы (4.63) следует
пользоваться соотношением [см. формулу (4.60) ]
d2ffB= (4.66)
Тогда диаметр проволоки d можно определить по табл. 4.8,
в которой приведены значения произведений d2oB в зависимости
от диаметра проволоки по ГОСТ 9389—75.
Однако можно задаться по ГОСТ 9389—75-диаметром d и уста-
новить по табл. 4.8 соответствующую величину ов, затем по фор-
муле подсчитать параметр
v = kc =
8Р max ’
(4-67)
по которому определить D = d (v — 1,5) [см. формулу (4.64)].
105
Рис. 4.15. Характеристики пружины рас-
тяжения
Конструкция пру-
жин растяжения с вит-
ками круглого сече-
ния. Пружины растяжения
обычно навивают закрытой на-
вивкой, т. е. витки укладывают
вплотную один к другому, при
этом навиваемую проволоку пред-
варительно закручивают или от-
гибают, в результате чего соз-
дается межвитковое давление.
При этом способе навивки пружина оказывается предвари-
тельно растянутой некоторой силой Ро [4].
Связь между нагрузкой и осевым перемещением, т. е. харак-
теристика пружины, навитой с постоянным по длине межвитковым
давлением, представлена на рис. 4.15.
Вначале при приложении растягивающей силы длина пружины
не изменяется, уменьшается лишь межвитковое давление. При
достижении растягивающей силой величины PQ межвитковое да-
вление исчезнет. При дальнейшем увеличении нагрузки пружина
начинает деформироваться, причем ее жесткость совпадает с же-
сткостью такой же пружины, навитой без межвиткового давления.
Пружина, навитая с межвитковым давлением, будет иметь в на-
груженном состоянии меньшую длину, чем обычная пружина.
Это может благоприятно отразиться на габаритных размерах
конструкции в целом.
'Заметим, что вследствие невозможности обеспечения идеально
точного постоянства межвиткового давления по длине пружины
начальный участок ее характеристики при нагрузках, близких
к Ро, может оказаться нелинейным (штриховая линия
на рис. 4.15).
В случае необходимости при навивке пружины можно полу-
чить такой закон распределения межвиткового давления по
длине пружины, при котором последняя будет иметь нелинейную
характеристику нужного вида при условии монотонно уменьша-
ющейся жесткости пружины при ее растяжении. Такие пружины
растяжения применяют в приборах для исправления нелиней-
ности шкал и т. п. [1 ].
Пружины, навитые со значительным начальным натяжением,
в отличие от обычных пружин растяжения при некоторых усло-
виях, в частности при большом индексе пружины с, могут терять
устойчивость формы, выражающуюся во внезапном перекосе
витков [4 ]. Они как бы соскальзывают один относительно другого.
Угол наклона витков на некотором участке пружины резко воз-
растает, и пружина теряет работоспособность.
106
Количественную оценку критического натяжения см. §4.6,
и. Б.
На рис. 4.15 Ртах— наибольшая рабочая нагрузка, соответ-
ствующая напряжению [т], по которой и следует рассчитывать
пружину на прочность; //кон — длина пружины при нагрузке
Ртах*, Pm\v — наименьшая нагрузка (установочная, выбирается
в зависимости от назначения пружины); //нач — длина пружины
при нагрузке Pmin; Рпред (1,05-1,2) Ртах — предельная на-
грузка, при которой напряжения почти достигают предела упру-
гости; дальнейшему растяжению пружины должны препятствовать
специальные упоры; Япрсд — предельная длина пружины, до-
пускаемая при ее регулировании и установке; х — рабочий ход;
s — регулировочный ход; Ро — сила предварительного натяже-
ния; HQ = Hd + z — длина разгруженной пружины; Hd= id —
длина, занятая соприкасающимися витками; z— длина, занима-
емая прицепами.
Длина проволоки, идущей на изготовление пружины,
/п = 4- /г,
п cos а ' 2’
где lz — длина заготовки для прицепов.
Необходимое число рабочих витков
._________X________
^1 (Ртах Р min) ’
где %! — осевое перемещение, создаваемое одним витком.
Полученное расчетом число витков округляют до целого,
если i > 20, или до полувитка, если i < 20.
Способы крепления пружин растяжения весьма разнообразны.
На рис. 4.16 показаны наиболее распространенные типы при-
цепов с отогнутыми крайними витками. Обычно используют верх-
ний вариант; наиболее простым в изготовлении — средний.
Все прицепы, полученные отгибом крайних витков, при на-
гружении пружины сильно деформируются, а в их опасных сече-
ниях развиваются значительные на-
пряжения изгиба, что является сла-
бым местом таких пружин. С этой
точки зрения более совершенным
является прицеп с коническим пе-
реходом (рис. 4.17).
Прицепы, выполненные в виде
отогнутых витков, можно рекомен-
довать для пружин из проволоки
диаметром до 3 мм.
Рис. 4.16. Разновидности прицепов пружин
растяжения, полученные посредством отгиба
крайних витков пружины-
107
Рис. 4.18. Схемы крепления пру-
жин растяжения с помощью за-
кладных прицепов с конической
заделкой
Рис. 4.17. Прицеп с ко-
ническим переходом
Рис. 4.19. Крепление пружины рас-
тяжения с помощью металлических
пластин
Рис. 4.21. Пру-
жины сжатия, снаб-
женные специаль-
ными реверсами
Рис. 4.20. Крепление пружин
растяжения с помощью ввертных
пробок
Рис. 4.22. Винтовая пружина сжа-
тия, свитая из прутка круглого по-
перечного сечения:
а — конструкция; б — эпюра распреде-
ления давления по отшлифованному
опорному витку при осевом нагружении
108
Рис. 4.23. Характеристика пружи-
ны сжатия
На‘ рис. 4.18 показаны
закладные прицепы с кони-
ческой заделкой.
Крепления с помощью
металлических пластинок
(рис. 4.19) применяют для
пружин из проволоки диа-
метром до 4 мм.
Крепления на винтовых
(ввертных) пробках с крюч-
ками показаны на рис. 4.20.
Эта конструкция наиболее
надежна и должна приме-
няться при диаметре проволоки более 4—5 мм (винтовая пробка
захватывает 1,5—2,5 витка).
Рационально взамен пружин растяжения использовать пру-
жины сжатия, снабженные специальными реверсами (рис. 4.21).
Конструкция пружин сжатия с витками
круглого сечения. Пружины сжатия (рис. 4.22, а)
навивают с просветами 60 между витками, что позволяет пружине
давать требуемую осадку.
Зависимость между нагрузкой и осадкой (характеристика
пружины) представлена на рис. 4.23.
Практически вследствие неравномерности шага витков ко-
нечный участок характеристики при нагрузках, близких к Рпред,
может оказаться нелинейным.
На рис. 4.23 обозначено: Ртах — наибольшая рабочая нагрузка
(расчетная), соответствующая напряжению [т ]; при этой нагрузке
длина пружины //кон; Ртш — наименьшая рабочая нагрузка
(установочная), выбираемая в зависимости от назначения пру-
жины; при этой нагрузке установочная длина //нач; Рпред — на-
грузка, сжимающая пружину до соприкосновения витков (в пред-
положении, что характеристика сохраняет линейность); х — рабо-
чий ход.
В связи с неравномерностью шага в пределах допусков для
обеспечения работы пружины по линейной характеристике Ртах
не должно превышать (0,8—0,9) Рпред. Это требование предопре-
деляет зазор 6Р между витками при максимальной рабочей на-
грузке
А = (0,1 -0,2)^-,
где [см. (4.55)]
^пРсд —
^пред
Z
109
Учитывая допуск на диаметр проволоки, зазор 8Р во избежа-
ние соприкосновения витков должен быть не меньше 0,Id.
Для создания надежной опоры торцовые витки пружины-
заготовки поджимают к соседним виткам и шлифуют так, чтобы
на длине 3/4 витка от концов образовалась опорная плоскость,
перпендикулярная оси пружины. Для массивных пружин (см.
рис. 4.22, а) зазор между концами опорных витков и рабочими
витками должен быть равен V4d.
Поджатые витки практически не деформируются, и иногда их
называют «мертвыми». Обычно пружины имеют по 3/4 поджатых
витка на каждом торце. После обработки толщина свободного
конца витка должна составлять х/4 высоты поперечного сечения
витка. Для облегчения шлифования концы заготовок больших
диаметров предварительно оттягивают. Экспериментальные иссле-
дования показали [12], что на хорошо отшлйфованной опорной
плоскости ab (на рис. 4.22, б она. заштрихована) при нагружении
пружины давление возникает только на первой и последней трети
опорного витка, считая от его свободного конца, и оно распре-
деляется на каждой из них по закону, близкому к синусоиде
одинаковой амплитуды (см. эпюры давления на рис. 4.22, б).
В этом случае обеспечивается центральное приложение сжима-
ющей нагрузки, но обработка торцовых поверхностей должна
быть исключительно тщательной.
В противном случае давление распределяется по опорной
плоскости хаотически, что может привести к эксцентричному
приложению сжимающей силы и недопустимому перекосу.
Длина пружины, сжатой до соприкосновения витков,
/^~(*n-0,5)d,
где /п — полное число витков (рабочих и мертвых), выбираемое
кратным 0,5.
Рабочее число витков i = (гп — 1,5).
Длина ненагруженной пружины
Я0 = ^ + ф-^),
где h = d + -рр + Sp — шаг.
ттт 1 еХ. D D
Шаг h обычно находится в пределах -------
Угол подъема витков ненагруженной пружины а =64-9°.
Длина проволоки, используемой для изготовления пружины,
I __ ztDin
п cos а
Пружины сжатия (см. § 4.6, п. А) относительно большой длины
(значительной гибкости в процессе нагружения могут
терять устойчивость (выпучиваться). Поэтому такие пружины
необходимо устанавливать на оправках или монтировать в гиль-
110
зах. При гибкости пружину целесообразно составлять
из отдельных секций с незначительной гибкостью ^-^-<3^
поочередно правого и левого угла подъема. Составляющие пру-
жины соединяют центрирующими кольцами, скользящими по
направляющим, при этом образуются промежуточные опоры,
которые обеспечивают устойчивость пружины и в то же время
устраняют нежелательное трение витков об оправки.
Заметим, что для пружин с малой гибкостью 3 сокра-
щение длины в процессе сжатия сказывается так сильно, что такие
пружины совсем не способны терять устойчивость [13].
Примеры определения размеров пружин растяжения и сжатия,
свитых из проволоки круглого сечения в различной постановке
задачи, приведены в приложении к ГОСТ 13765—68. Основные
параметры пружины указанного вида могут непосредственно под-
бираться по заданным нагрузкам и жесткости, руководствуясь
от ГОСТ 13764—68 до ГОСТ 13773—68, а также и по
ГОСТ 13775—68 и ГОСТ 13776—68.
Технические требования, установленные для винтовых ци-
линдрических пружин сжатия и растяжения из стали круглого
сечения, приведены в ГОСТ 16118—70, где указаны допускаемые
отклонения по всем параметрам пружин, требования к изготовле-
нию, правила приемки, методы контроля, способы маркировки,
упаковки и транспортировки.
Технические требования, предъявляемые к цилиндрическим
пружинам сжатия из стали круглого сечения, применяемым
на тележках в качестве пружин рессорного подвешивания, в под-
весках тяговых электродвигателей, в возвращающих и аморти-
зирующих устройствах тележек и ударно-тяговых приборах по-
движного состава железных дорог, приведены в ГОСТ 1452—69*.
Расчет пружин растяжения-сжатия
свитками квадратного и прямоугольногр
сечения.
Мощные и жесткие пружины конструируют с витками прямо-
угольного (квадратного) сечения.
При необходимости отразить в расчете на прочность влияние
кривизны витков прямоугольного поперечного сечения необхо-
димо не только принять во внимание соотношение длин сторон
сечения, но и учесть расположение сечения относительно оси пру-
жины.
Обозначим, как и ранее, длину стороны прямоугольного сече-
ния, параллельную бинормали оси пружины, через Ь, а длину
стороны, нормальную оси, — через дГ(рис. 4.24).
Пружины с отношением *у<4 и -|->3 применять не ре-
комендуется ввиду трудности их изготовления и перенапряжения
внутренних волокон вследствие большей кривизны последних.
111
Квадрат
1,0
Рис. 4.24. Графики значений коэффициента ф для расчета пружины с вит-
ками прямоугольного сечения
Как уже указывалось, наибольшее касательное напряжение,
как правило, возникает в середине внутренней стороны сечения
(в точке К, рис. 4.24) независимо от соотношения длин сторон,
в то время как при кручении прямого бруса того же профиля
наибольшие напряжения возникают всегда в точках сечения,
лежащих на середине длинных сторон.
Лишь в некоторых случаях, когда а > b и кривизна витка
незначительна, можно ожидать, что максимальные напряжения
возникнут в некоторой точке сечения на участках BN сторон а.
Вероятность последнего предположения тем больше, чем
- Da
больше отношения — и -г-.
а о
Уточненные формулы (4.49) и (4.50), выведенные методами
теории упругости для вычисления наибольших касательных
напряжений в витках прямоугольного поперечного сечения, не
могут быть представлены в замкнутом виде и поэтому приведены
к форме, включающей цифровые коэффициенты, которые частично
сведены в табл. 4.7.
Однако в инженерных расчетах более удобно пользоваться
единой упрощенной формулой
<4'68)
112
Рис. 4.25. Винтовая пружина сжатия из заготовки пря-
моугольного поперечного сечения
Коэффициенты ф для всех практически
встречающихся случаев представлены вспо-
могательными кривыми на рис. 4.24.
Средняя вертикальная линия дает коэффи-
циенты ф для квадратного сечения. Ниж-
ние наклонные прямые, соответствующие
D
отношению — = оо, дают значения ф для
прямого бруса. Левая часть диаграммы отно-
сится к прямоугольным сечениям, располо-
женным длинной стороной, параллельной бинормали, к оси витков
пружины; правая сторона дает значения ф для прямоугольных
сечений, расположенных длинной стороной перпендикулярно оси
пружины. В последнем случае при определенном сочетании длин а
и b наибольшие напряжения возникают на участке BN сторон а.
Это отражается в правой части диаграммы изломом кривых (точки
излома выделены}.
Для всех прочих случаев опасная точка сечения лежит на
середине стороны 6, ближайшей к оси пружины (точка /<).
Осевое (линейное) перемещение торцов А, для цилиндрических
винтовых пружин с прямоугольным (квадратным) сечением витков
можно вычислить по соответствующим формулам, приведенным
в табл. 4.9.
Пружины с прямоугольным сечением витка используют глав-
ным образом как пружины сжатия (рис. 4.25).
Основные конструктивные условия, изложенные выше для
пружин сжатия с витками круглого сечения, относятся и к рас-
сматриваемому случаю. Дополнительно отметим, что длина пре-
дельно сжатой пружины
0,5)6,
где /п — полное число витков.
Длина прутка в заготовке не должна превышать 10—12 м.
Концы заготовок подрезают или оттягивают для облегчения
образования и шлифования концевых (мертвых) витков, концы
которых должны иметь высоту 6/4. Шаг
h = b + + 8Р,
где i (/„ — 1,5) — число рабочих витков.
При выборе минимально допустимого зазора между витками
нагруженной пружины, кроме перечисленных условий примени-
тельно к пружинам сжатия с витками круглого поперечного сече-
ния, следует еще иметь в виду, что при а > b практически трудно
получить при навивке витки со строго прямоугольным (квадрат-
ным) поперечным сечением.
113
Рис. 4.26. Составная (концентрическая) пружина сжа-
тия
При навивке сечение заготовки обычно
несколько искажается, при этом размер
внутренней стороны b возрастает. Это за-
ставляет при проектировании предусмат-
ривать увеличенный зазор бР.
Соображения, высказанные выше по
вопросу устойчивости пружин сжатия
с витками круглого поперечного сечения,
полностью могут быть отнесены и к пру-
жинам сжатия с витками прямоугольного
сечения.
Г. Расчет составных (концентрических)
пружин сжатия. У винтовых пружин, свитых
из .прутков большого диаметра d, пред-
назначенных для удержания значительных
осевых нагрузок (например, для подрессори-
вания вагонов железнодорожного состава),
для уменьшения габаритных размеров конструкции в целом целесо-
образно использовать внутреннюю полость пружины [диаметром
DBH > (4^-8) d], концентрически разместив в ней еще вторую
(третью) пружину (рис. 4.26), воспринимающую часть полной
нагрузки Р. Это позволит сократить и диаметр прутка наружной
пружины. Для устранения сильного закручивания торцовых
опор и перекоса концентрические пружины, размещенные одна
в другой, делают последовательно то правого, то левого угла
подъема.
Между пружинами должен быть сохранен достаточный ра-
диальный зазор 6Г. Опоры следует выполнять так, чтобы обеспе-
чивалось взаимное центрирование пружин.
Полная нагрузка Р равна сумме усилий, воспринимаемых
составляющими пружинами, т. е.
Р = Р1 + Р2 + Рз+...+Рп, (а)
где п — число концентрически размещенных пружин; чаще всего
п = 2, редко п > 3.
Обычно пружины устанавливают, так чтобы осадка всех пру-
жин была одинаковой:
Xi = Л2 — • • • = (б)
Желательно также, чтобы наибольшие напряжения у всех
пружин были равны допускаемому напряжению:
= т2 = • • • = (в)
Предполагается, что все пружины достигают предельного
сжатия почти одновременно, т. е. что
= (г)
114
Для пружин с витками прямоугольного сечения диаметр d за-
меняют размером Ь. Это наивыгоднейший случай с точки зрения
компактности, концентрической пружины.
Из приведенных соотношений можно определить усилия, вос-
принимаемые каждой пружиной в отдельности, и по этим усилиям
рассчитать их.
Для пружин с витками круглого поперечного сечения пере-
численные выше условия (а)—(г) будут выполнены при равных
индексах с у всех соосных пружин.
Действительно, по формулам (4.62) и (4.61)
л пс2Н(1 [т]
~kG 9
откуда с учетом зависимости (4.59)
k с -р 1,5 _ [т]
с2 ~ с3 XG
Следовательно, при равных Hd, [т] и X индекс с у всех пружин
должен быть одинаковым.
При выборе радиального зазора (см. рис. 4.26) необходимо
учитывать допуски как на диаметры пружин, так и на размеры
витков, а также принимать во внимание изменение диаметров
пружин в процессе деформации.
Число п пружин в комплекте выясняется из уравнения (а),
которое можно представить в следующем виде [см. формулу
(4.61)]:
+ (4.69)
Особенно часто применяют комплекты, состоящие из двух
пружин. Если в этом случае витки имеют круглое поперечное
сечение, то при радиальном зазоре (см. рис. 4.26)
получим ___
= = т = = /^ = й’ <4-70)
Uj L/j 12 * * 1
где Р]—сила, воспринимаемая внутренней пружиной; Р2 —
сила, приходящаяся на внешнюю пружину.
Полная сила
Р = Р,+Р2. (4.71)
Соотношение (4.70) вытекает из условий (б), (в) и (г) и формулы
(4.61).
Решая совместно уравнения (4.70) и (4.71), получим
Р _ р и р _ Рср
1 + а2 и r2 — J _|_ а2
Из сказанного выше о законе распределения давления по шли-
фованной поверхности опорных витков пружин сжатия следует,
что для обеспечения более равномерного нагружения опорных
115
деталей надо при монтаже двух соосных пружин устанавливать
одну относительно другой, так чтобы внешние концы опорных вит-
ков, учитывая разное направление свивки, располагались на одном
диаметре (см. рис. 4.26).
Весьма рационально вместо обычных концентрических пружин
сжатия использовать многожильные пружины сжатия, а при
больших нагрузках — прорезные или тарельчатые пружины.
Д. Расчет и конструирование цилиндрических винтовых пру-
жин кручения. Пружины кручения имеют в технике широкое при-
менение (например, в сельскохозяйственных машинах, в старте-
рах автомобилей и т. д.) как пружины прижимные и аккумулиру-
ющие (для возвратного поворота деталей), как упругие звенья
в силовых передачах, и т. д.
При статическом нагружении пружины закручивающей па-
рой 39? в поперечных сечениях витков возникают [см. формулы
(4.14) и (4.13)]:
изгибающий момент
| Ми | = 39? cos а,
(нейтральная ось идет по бинормали в винтовой оси);
крутящий момент | Л4кр| = 39? sin а.
При малых углах подъема (а < 8-ь 10°), которые обычно
и встречаются на практике, Л4кр существенного значения не имеет
и решающим является Л4И Ш?.
Возникающими в опорах силами, препятствующими торцам
-получить осевое перемещение, и дополнительным изгибом оси
пружины при обычном способе нагружения в типовых расчетах
пренебрегают, как малыми и не поддающимися точному учету
факторами.
Распределение нормальных напряжений в поперечном сечении
витка малого угла подъема тем сильнее отличается от распре-
деления напряжений в поперечном сечении (тех же размеров, что
и у витка) прямого бруса, изгибаемого парой 39?, чем больше
кривизна витка, причем внутреннее волокно последнего сильно
перегружается. Поэтому необходимо, чтобы индекс пружины
удовлетворял требованию с 4 (лишь в редких случаях до-
пускают 4 с 3).
В опасной (ближайшей к оси пружины) точке сечения
= [о], (4.72)
где [о ] — допускаемое напряжение.
Последнее следует выбирать, руководствуясь указаниями (см.
§ 4.3, п. Б).
Коэффициент зависит от формы сечения и кривизны витка
(feo > 1).
Значения коэффициента /г0 для пружин кручения с витками
круглого и прямоугольного сечения при малом угле подъема а
представлены на рис. 4.27.
116
Для пружин с витками круглого сечения приближенно
(4.73)
Для витков прямоугольного сечения
fer- («4)
Угловое перемещение 0 торцов пружины при а < 10° прак-
тически с достаточной степенью точности может быть вычислено
по формуле (4.30д), которую можно еще записать так:
0 = (4.75)
где жесткость пружины кручения
Zo = -±- . (4.76)
u nDi v 7
Кривизна витков для жесткости пружин кручения практи-
ческого значения не имеет. Принятые допуски на все размеры
и на число витков, неточное знание величины модуля упругости Е
все равно могут привести к значительному отклонению (достига-
ющему ±Ю%) фактического углового перемещения торцов от
расчетного.
Длинные пружины кручения при нагружении могут терять
устойчивость.
При запасе устойчивости, равном двум,, предельно допусти-
мый угол закручивания всей пружины с малым углом подъема
витков
епРед = 123°±, (4.77)
где i —число витков 16].
Полная потенциальная энергия, накопленная пружиной кру-
чения при деформации,
и = ^~. (4.78)
Основные расчетные формулы для пружин кручения приведены
в табл. 4.И.
Зависимость между закручивающим моментом 9W и углом по-
ворота торцов 0 (характеристика пружины) представлена на
рис. 4.28, где 3Wmax — наибольшая к
рабочая нагрузка (расчетная), соот- °
ветствующая допускаемому напря- z'4
жению [а]; 0кОН — угол закручивания ц
Рис. 4.27. Зависимость коэффициента kQ от ’
индекса с пружины для пружин кручения ,
с витками:
1 — круглого поперечного сечения; 2 — прямо- j д
угольного поперечного сечения J 4 5 6 1 8 9 с
117
Рис. 4.28. Характеристика пру-
жины кручения
при 5D?max; S^min — наимень-
шая рабочая нагрузка (уста-
новочная), выбираемая в за-
висимости от назначения
пружины; 0нач — угол закру-
чивания при 5Stmin; 5)?Пред —
предельная нагрузка почти
на пределе упругости, даль-
нейшему закручиванию дол-
жны препятствовать специ-
альные упоры; 0пред— предельный угол закручивания, соответ-
ствующий Эйпред-
Соотношение между 0пред и 0КОН устанавливается техническими
условиями в зависимости от выбранного допускаемого напря-
жения.
Т а б л и ц а 4.11
Формулы для расчета винтовых цилиндрических пружин кручения
Форма
поперечного
сечения витка
CM3 Jb> см4 Максимально допускаемый момент [о] Wh _ b
*w*'max h K0
Жесткость
, - Е!Ь
° л£>1
Угол поворота
0° одного торца
пружины отно-
сительно друго-
го при нагрузке
Ш^тах
Примечание. I nDi.
118
Рис. 4.29. Виды креплений пружин кручения
В .пружинах, предварительно за-
крученных при установке, энергия,
накопляемая в процессе нагружения,
£70 = ^1П 0, (4.78а)
2
где угол рабочего хода 0 = 0кОН — 0нач.
Пружины кручения обычно нави-
вают с малым углом подъема и с не-
большими просветами между витками
(60 = 0,5 мм). Они отличаются от пружин
растяжения-сжатия видом своих прице-
пов (рис. 4.29). Концы прутка, образующего пружину, отгибают
в сторону, причем получаются прицепы, необходимые для передачи
пружине закручивающего момента. Эти прицепы приходят во
взаимодействие со специальными штырями, с помощью которых
пружина и нагружается. Сами пружины обычно устанавливают
на оправках. При закручивании пружины по ходу навивки ее
длина несколько увеличивается; однако начальные зазоры б0
необходимы, так как от взаимодействия прицепов со штырями
ось пружины несколько искривляется; при этом витки, получив
перекос, могут прийти в соприкосновение, что нежелательно.
Возникающее при этом трение между витками и меж^у витками
и оправкой искажает характеристику пружины (см. штриховую
линию на рис. 4.28) и сокращает срок службы пружины вследствие
износа,
Пружины кручения желательно смазывать.
Длина пружины
7/0 = (d + So) i + го>
где г0 — длина по оси пружины, занимаемая прицепами.
Для пружин с витками прямоугольного сечения в последнюю
формулу вместо d подставляют Ь.
Длина заготовки
7 — । /
1 = cos а + /пР’
где /пр — длина заготовки для прицепов.
Е. Расчет составных (концентрических) пружин кручения.
В тех случаях, когда пружина кручения при тех же габаритных
размерах должна воспринять большой крутящий момент 9W,
можно использовать не одну, а комплект соосных пружин круче-
ния, подобно тому как это было указано применительно к пру-
жинам сжатия (см. § 4.3, п. Г).
Все составляющие пружины должны быть только левого или
только правого подъема, чтобы они одновременно все закручива-
лись или раскручивались.
119
Конструкция опор должна обеспечивать отсутствие относи-
тельного смещения пружин и сохранение необходимых радиаль-
ных зазоров между ними.
Полный момент 2R, воспринимаемый концентрической пру-
жиной, равен сумме моментов, приходящихся на каждую из
составляющих пружин,
эд = эдх + эд2 4---Н эдЛ, (а)
п редко бывает больше двух.
При расчете следует учитывать следующие условия:
совместности перемещений торцов
= ... ^0П; (б)
равнопрочности пружин
= (Т2 = . • • = о„ = [о]; (в)
наивыгоднейшего использования габарита
iidi £*2^2 tv (г)
Из приведенных соотношений можно определить долю внеш-
него момента, приходящуюся на каждую из пружин в отдельности,
и произвести их расчет.
Весьма "рационально вместо обычных концентрических пружин
кручения использовать многожильные пружины кручения (см.
гл. 5, § 4).
§ 4.4. Расчет заневоленных пружин
В целях повышения несущей способности в пределах упру-
гости винтовые пружины часто подвергаются заневоливанию,
т. е. предварительному пластическому деформированию. Это поз-
воляет получить в поперечных сечениях витков поле остаточных
напряжений, снижающих рабочее напряжение и выравнивающих
распределение напряжений в поперечных сечениях витков [5].
В первую очередь это относится к пружинам сжатия.
Расчет таких заневоленных пружин опирается на диаграмму
сдвига (у, т) используемых полуфабрикатов (прутков и прово-
локи) [13].
К сожалению, такие диаграммы трудно найти в справочной
литературе, что является тормозом для внедрения прогрессивного
метода расчета заневоленных пружин.
Оптимальным способом получения диаграммы сдвига является
предварительное пластическое обжатие опытной пружины боль-
шого индекса, изготовленной по принятой технологии из полу-
фабриката, намеченного к использованию для навивки пружин.
120
Рис. 4.30. Вспомогательные построения для по-
лучения диаграммы сдвига (у, т) по характе-
ристике первичного обжатия (X, Р) пружины
сжатия
P,
Bi
с
По полученной в результате такого
обжатия нелинейной характеристике
пружины, построенной (рис. 4.30)
в координатах (X, Р), может быть по-
строена диаграмма сдвига (у, т).
В теории пластичности доказы-
вается, что при закручивании момен-
том Л1кр бруса круглого поперечного
сечения диаметром d наибольшее касательное напряжение, воз-
никающее при этом, связано с удельным углом закручивания 9
зависимостью

При обжатии пружины силой Р витки диаметром D закручи-
PD
ваются моментом Л4кр = -у-, а осадка пружины % пропорци-
ональна удельному углу закручивания 0, которой связан с ма-
ксимальным углом сдвига утах зависимостью
Ушах = 0 4 • <4’80)
Таким образом осадка X также пропорциональна углу сдвига
Углах*
Тогда 4 = 4= -t/Tjiax- (4.80а)
V Ушах
и формула (4.79) принимает вид
Ттах = (ЗР + угаах d?max ) • (4.79а)
Располагая диаграммой обжатия (%, Р), легко построить диаг-
рамму сдвига (у, т) следующим образом.
Следует в ряде точек диаграммы (X, Р) Ль Л2 ... провести
касательные (см. рис. 4.30) до пересечения с осью ординат в точ-
ках Вг, В2 ... Горизонтали В1С1, В2С2 ... и т. д. в пересечении
с соответствующими ординатами отсекут отрезки СХЛ1( С2Л2 ...,
« dP dP «г.
определяющие значения л — = -утах . Теперь уже нетрудно
аЛ “Ушах
по формулам (4.80) и (4.79а) построить диаграмму (у, т), учиты-
вая, что
Vmax = Нт' ’ (4-81)
121
поскольку
X = -^-0л£>/,
(4.82)
где i — число витков испытываемой пружины-образца.
Зависимость (4.82) справедлива как в пределах, так и за пре-
делами упругости [11].
Изложим теперь расчет заневоленных цилиндрических винто-
вых пружин сжатия, свитых из прутков круглого сечения.
Как известно, при кручении бруса круглого поперечного сече-
ния последние остаются плоскими, и их радиусы не искривляются
как при упругрм, так и при пластическом деформировании.
Руководствуясь диаграммой сдвига (у, т), выбираем наиболь-
ший сдвиг Уз, который практически целесообразно допустить
в рассматриваемом случае при заневоливании, сохраняя доста-
точный запас
Тпред.
Уз
где Тпред — наибольший угол сдвига, соответствующий моменту
разрушения.
На контуре упругого ядра диаметра d0 (рис. 4.31) касатель-
ные напряжения достигают значения предела текучести при сдвиге
тт, а следовательно, сдвиг в этих точках
Учитывая принятые гипотезы о геометрии деформации, имеем
Уз d
Тт do ’
откуда диаметр упругого ядра
, _ xrd
d° - Gy3 •
(4.83)
-Во избежание образования остаточных деформаций
ленной пружины в процессе ее длительного нагружения
виях эксплуатации и снижения в связи с этим несущей
занево-
в усло-
способ-
ности пружины целесообразно
принимать«^0,5 [10], откуда
Рис. 4.31. Эпюры касательных напряже-
ний в поперечных сечениях витков за-
неволенной пружины:
1 — остаточных в крайнем волокне сечения;
2 — возникающих при первом нагружении;
3 — снимаемых при разгрузке
122
При этом условии наибольшие остаточные напряжения (см.
рис. 4.31) у периферии поперечного сечения витка и на контуре
упругого ядра оказываются практически одинаковыми [10].
Это благоприятно скажется на стабильности во времени, создан-
ного при заневоливании поля остаточных напряжений.
Чем меньше отношение -у- и чем больше времени предстоит
пружине быть под нагрузкой, тем длительнее должно быть за-
неволивание.
Осевое перемещение пружины Х3 при заневоливании, необхо-
димое для получения в сечениях витков нужного сдвига у3, можно
установить по формуле (4.81), откуда
А3 = ?3. (4.84)
При этом осевое усилие
г ?з 1
44 туМу (4.85)
3 о J
где ф = -1-[туЧу. (4.86)
3 о
Действительно, момент внутренних сил в любом из попереч-
ных сечений при заневоливании (рис. 4.31)
Ма = — j тр dF = 2л j тр2 dp,
f о
где р — текущий радиус; г = d/2.
В соответствии с принятыми гипотезами о сохранении при
деформации плоских поперечных сечений и прямолинейности
радиусов в этих сечениях можно заключить, что сдвиги у нарастают
от нуля в центре сечения до у3 по линейному закону, т. е. у/у3 =
= р/г.
Тогда у = у3-Е-, ady = -^-y3dp
И
Г
P3D nd3 If «л
= = — Ty2dy
0
откуда и вытекает зависимость (4.85).
Интеграл, подлежащий вычислению графическим способом,
представляет собой момент инерции относительно оси т заштри-
хованной площади диаграммы сдвига (см. рис. 4.31), ограничен-
ной ординатой при у3 (площадь OAECNO),
123
Практически при заневоливании пружин сжатия сила Р3
приводит витки в плотное соприкосновение. Тогда длину пру-
жины-заготовки следует делать
^заг G*0 — 0,5) d -|~ X..
(4.87)
Остаточная осадка пружины, образующаяся в результате ее
заневоливания в соответствии с законом разгрузки [13],
(4.88)
Длина пружины после заневоливания
//о ^заг ^ост*
Принимая начало координат О диаграммы сдвига (см. рис. 4.31)
за центр, проводим окружность радиусом ON.
Считая, что построенный круг изображает сечение витка,
можно диаграмму сдвига на заштрихованном участке (от О до у3)
рассматривать как эпюру напряжений, возникающих в попереч-
ных сечениях витков пружины при первичном нагружении.
Разгрузку пружины после пластического деформирования
можно представить как нагружение пружины силой Р3, напра-
вленной противоположно действительной нагрузке. При этом
в соответствии с законом разгрузки можно считать, что снимаемые
напряжения т' подчиняются законам теории упругости, т. е.
л d4 Р’
где р — текущий радиус в поперечном сечении витка.
Эпюра вводимых в расчет условных напряжений,
снимаемых при разгрузке, представлена на рис. 4.31
ОЕВ. Наибольшее напряжение т™азхг (
[см. формулы (4.89) и (4.85)]
max P3D _____ 8P3D
разг - “2ГГ ~ '
(4.89)
как бы
прямой
(отрезок NB на рис. 4.31)
(4.90)
Остаточные напряжения (получение их и является целью
процесса заневоливания) определяют как разность напряжений,
возникающих при первом нагружении, и напряжений, снимаемых
при разгрузке.
Эпюра остаточных напряжений представлена на рис. 4.31
ломаной линией ОА'Е'В'. Внутренние силы в любом сечении раз-
груженной пружины взаимно уравновешиваются.
Для вычисления напряжений, возникающих при рабочей на-
грузке, в пружине, подвергавшейся заневоливанию, следует
к номинальным напряжениям
__ 167*0
ТН°М— Р>
124
Рис. 4.32. Эпюра остаточных касательных напряжений
в поперечных сечениях витков разгруженной предвари-
тельно заневоленной пружины и эпюра касательных на-
пряжений в поперечных сечениях витков этой пружины
при рабочей нагрузке
вычисленным по обычной формуле сопротивле-
ния материалов, прибавить остаточные напряже-
ния. Эпюра номинальных напряжений при рабо-
чем нагружении пружины силой Р представлена
на рис. 4.32 линией ОМ. Эпюра истинных напряжений в этом
случае получит вид ломаной линии ОАЕВ, отмеченной на рис. 4.32
штриховкой. Таким образом, в результате заневоливания истин-
ные напряжения в опасной зоне сечения (у периферии) оказы-
ваются значительно меньшими (отрезок NB), чем номинальные
(отрезок NM). На границе упругого ядра напряжение предста-
вляется отрезком Р'А. В реальных условиях в связи с приложе-
нием динамической нагрузки отдельные витки пружины сжатия
могут прийти в соприкосновение. При этом напряжения достигнут
величин, которые они имели при первом обжатии (см. рис. 4.31),
однако дальнейшая перегрузка витков пружин сжатия невоз-
можна, так как витки прижимаются один к другому.
У заневоленных пружин растяжения необходимо ставить
ограничители хода, препятствующие их чрезмерной вытяжке.
Теперь проследим порядок расчета заневоленных пружин
сжатия.
Обычно бывают заданы Ртах и Zmax.
Выбираем марку стали. Для расчета необходимо иметь диаг-
рамму сдвига (у, т) этого материала, которая может быть по-
строена по диаграмме пластического обжатия пружины-образца.
Задаемся |3 = 0,5.
Определим по формуле (4.83)
Тт
=ж
Используя диаграмму сдвига, графически вычисляем вели-
чину Ф, входящую в зависимость (4.85).
Задавшись индексом пружины с = 4-г8, определяем d исходя
из соотношений (4.85):
(491)
г лФа ’ ' '
где а = 2™>щ^о,8 -0,9.
Г 3
Величину а следует подобрать такой, чтобы значение диаметра d,
получаемое по формуле (4.91), точно соответствовало диаметру
проволоки, выбираемому по ГОСТ.
125
Упруго-
пластическая
Рис. 4.33. Схема к расчету заневолен-
ных пружинке учетом кривизны их витков
Коэффициент а =0,8ч-0,9, как
указано в §4.3, п. В, необхо-
димо вводить для обеспечения
работы пружины по линейной
характеристике. Напомним, что
в связи с допуском на неравно-
мерность шага конечный участок
характеристики пружины сжатия перед полной посадкой витков
несколько искривляется.
Зная d, вычисляем диаметр пружины D = cd.
Необходимое число витков [см. формулу (4.28г)]
8РтахО3 ’
Свободная длина пружины-заготовки НЗЛГ по формулам (4.84)
и (4.87)
Язаг = Hd + = (i0 - 0,5) d Н 7з.
Длина ненагруженной готовой пружины
= (4.92)
Эпюры напряжений строятся так, как указывалось выше
(см. рис. 4.31).
Расчет заневоленных пружин растяжения ведут аналогично.
При заневоливании пружин, изготовленных примерно из оди-
накового материала, для работы в последующем соосно (см. §4.3,
п. Г) следует выбирать, как и при проектировании обычных
концентрических пружин, одинаковый индекс и равную степень
пластического обжатия (т. е. одинаковое отношение |3 = dQ/d).
Длина пружин-заготовок должна быть также одинаковой. В этом
случае будут удовлетворяться поставленные выше условия (см.
§4.3, п. Г), т. е. пружины после заневоливания будут иметь
одйГнаковую длину и будут равнопрочны [11 ].
В рассмотренном расчете заневоленных пружин кривизна
витков не учитывалась. Однако кривизна витков при с < 6 до-
вольно сильно сказывается на величине остаточных напряжений.
Она отражается и на процессе развития пластических деформаций
при заневоливании [8].
Граница упругого ядра представляет собой дугу эллипса,
центр которого (рис. 4.33) смещен от центра поперечного сечения
витка в сторону внешнего волокна на некоторое расстояние е.
126
Полуоси этого эллипса
Л(Я + е) , Л(/? + е)
U ;-------тх— И с/ = —х'" =~ 9
1 - А2 К1 - А2
(4.93)
- 2jt7?iTT
где параметр заневоливания А == а значение е см.
^пред
формулу (4.94); =
На рис. 4.33 штриховой линией показаны границы постепенно
развивающейся пластической зоны поперечного сечения витка
по мере увеличения нагрузки при заневоливании.
Пластические деформации возникают на внутреннем волокне
л d
витка при значении параметра Ао^
При достаточно сильном заневоливании, когда параметр за-
л d
неволивания получает значение граница упругого
ядра составит полныйрллипс, касающийся ^контура сечения на
внешнем волокне витка, а при больших^нагрузках (А < AJ
упругое ядро будет уже полностью лежать^внутри сечения и эл-
липс по форме приблизится к кругу (рис. 4.33).
В случае интенсивного заневоливания (Д < AJ при исполь-
зовании схематизированной диаграммы сдвига с линейным упро-
чением (модуль упрочения Gx) [8]
е =-------——г.---ъ?------— г,
G а /
(4.94)'
G—G]
G
где а — большая полуось эллипса; с0 = % + с; r = d/2.
Наибольшее остаточное напряжение, возникающее в попереч-
ном сечении витка на его внутреннем волокне и имеющее напра-
вление, противоположное рабочему напряжению,
(4.95)
где [1 (4.96)
Эти остаточные напряжения и должны учитываться в уточ-
ненном расчете заневоленных пружин. При большой кривизне
витков эти напряжения могут значительно превышать остаточные
напряжения, полученные при расчете, не учитывающем кривизну
витков. При достаточно интенсивном заневоливании, когда упру-
гое ядро полностью лежит внутри поперечного сечения витка,
граница ядра показана на рис. 4.33 сплошной линией. Напря-
жения при рабочей нагрузке с учетом остаточных напряжений
127
по уточненной теории мало отличаются от напряжений, получен-
ных с помощью приближенного расчета, не учитывающего кри-
визну витков [8].
§ 4.5. Изгиб цилиндрических винтовых
пружин
В машиностроении сравнительно редко приходится встречаться
с винтовыми пружинами, специально поставленными в такие
условия работы, при которых пружины изгибаются. Однако изгиб
(искривление оси) пружин возможен вследствие эксцентриситета
осевой нагрузки, а также при наличии моментов, действующих
в плоскостях, проходящих через ось пружины, и сил, перпенди-
кулярных оси пружины, вызванных условиями закрепления.
На рис. 4.34 представлена пружина, изгиб которой явился след-
ствием смещения верхней опорной плоскости В пружины отно-
сительно нижней опорной плоскости А.
А. Определение напряжений в витках круглого поперечного
сечения при чистом изгибе пружины. Рассмотрим пружину
Рис. 4.34. Изгиб вин-
товой пружины сжатия
при смещении верхней
опоры относительно
нижней
Рис. 4.35. Внутрен-
ние силовые факторы
в поперечном сечении
витка винтовой пру-
жины при чистом из-
гибе
128
(рис. 4.35), которая изгибается в плоскости xz моментом ЭД, при-
ложенным к торцу пружины.
В плане на рис. 4.35 момент изображен вектором L. При искри-
влении* оси zz пружины ее витки закручиваются и изгибаются.
Раскладывая вектор L по направлению радиуса и по касатель-
ной к образующему цилиндру оси витков в произвольно взятом
сечении С (под углом 4 к оси х), получим векторы N и Т.
Вектор N представляет собой момент Л4П, изгибающий виток
в касательной плоскости и поворачивающий сечение около оси п,
совпадающей с нормалью оси винтового бруса в рассматриваемом
сечении .л , .. п_ч
Мп = ЭД sin ф. (4.97)
Вектор Т представляет собой момент Л4, действующий в ра-
диальной плоскости, т. е. в плоскости, проходящей через ось zz
пружины,
М = 3R cos 4.
Учитывая угол подъема а витков, раскладываем вектор Т
на составляющие.К и 3 (см. рис. 4.35).
Вектор К перпендикулярен плоскости поперечного сечения
витка и представляет собой крутящий момент
Mt = ЭД cos 4 cos а. (4.98)
Вектор 3 лежит в плоскости поперечного сечения витка и
представляет собой изгибающий момент
Мь = —ЭД cos 4 sin а. (4.99)
Вследствие этого изгиба сечение поворачивается относительно
бинормали b к оси винтового бруса, при этом кривизна витка
уменьшается.
Полный изгибающий момент в сечении витка, взятого под
углом 4 к оси х,
Л4И = ]/ М2п + Ml = ЭД Vsin2 ср + cos2 4 sin2 а-
Полный изгибающий момент, представленный вектором
действует в плоскости, наклонной к оси п под углом |3 (см.
рис. 4.35),
tgB==IM = Jg2iL_
ё 1 | S | sin а
Наибольшие напряжения у витков из круглой проволоки воз-
никают в точках аа у контура поперечного сечения витка в пло-
скости изгибающего момента. Эквивалентное напряжение в этих
точках по теории наибольших касательных напряжений без учета
влияния кривизны витка
оэкв = J/sin2 гр cos2 гр sin2 а -|- cos2 гр cos2 а = 0^~ > (4-100)
где d — диаметр проволоки.
5 Пономарев С. Д.» Андреева Л. Е.
129
Рис. 4.36. Внутренние силовые факторы в по-
перечном сечении витка малого угла подъема
при поперечном изгибе винтовой пружины
Полученные результаты показы-
вают, что в первом приближении все
сечения витков можно считать равно-
опасными.
Б. Определение напряжений при
поперечном изгибе пружин с витками
малого угла подъема круглого попереч-
ного сечения. Рассмотрим пружину,
представленную на рис. 4.36, которая
заделана одним концом и нагружена на
свободном конце поперечной силой Р,
параллельной оси х.
Относительно плоскости, нормаль-
ной оси г пружины, отстоящей от ее
свободного торца на расстоянии в ко-
торую примерно укладывается ось не-
которого витка, изгибающий момент
М - Pg,
а поперечная сила, параллельная оси,
Q = P.
Внутренние силовые факторы в некотором поперечном сечении
рассматриваемого почти плоского витка (а «=* 0) соответственно
(рис. 4.36)
Мп = М sin ф;
Mt — М cos ф;
Л4(, = —-^-sin ф,
(4.101)
где ф — угол между сечением витка и плоскостью хг; D — сред-
ний диаметр пружины.
В частности, в сечении при ф = 0 виток только закручивается
моментом Л4, а в сечении при ф = он только изгибается,
причем
Л4„ = Л4, а = -
В рассматриваемом случае (см. рис. 4.36) для пружины у за-
делки (£ = И) в сечении при ф = 0 нормальное напряжение
130
a = 0, а касательное напряжение в точке этого сечения, ближай-
шей к оси г,
__ Mt __ PH
x‘b — ~ 0,2d3 •
В сечении при ф = -у т = 0.
Полный изгибающий’ момент в этом сечении
Ми = |/<+< = У + (PH)2 .
Нормальное напряжение в точках у периферии сечения в пло-
скости изгибающего момента без учета кривизны витка
Ми _ Р УD* + 4Н*
Ги ~ 0,2d3
Влияние кривизны витка может быть учтено [16].
В. Определение перемещений при изгибе пружин. Для опре-
деления перемещений при изгибе пружины воспользуемся инте-
гралом Мора. Предположим, что при искривлении оси пружины
ее витки в соприкосновение не приходят.
В рассматриваемом случае интеграл Мора выражается сле-
дующим образом:
/ / i
о [ MnMnlds t Г MbMfods [ MtMt^ds
~ J Вп + J Вь + J с
где Мп, Мь и Mt — внутренние силовые факторы в поперечных
сечениях витков от заданной нагрузки; Мп1, МЬ1 и Mtl — вну-
тренние силовые факторы от единичной нагрузки, приложенной
в направлении искомого перемещения; Вп = EJ а и Bb = EJb —
жесткости витка при изгибе относительно осей пи b соответственно
(см. рис. 4.36, б); С — жесткость витка при кручении; I =
= 'c^sa---Длина проволоки пружины (i — число витков); ds =
D dty
= ~—1— длина элемента оси витка.
2 cos а
Задача решается обычными методами, принятыми для кривого
бруса малой кривизны.
Для примера определим угловое перемещение при чистом
изгибе пружины.
Рассмотрим пружину, закрепленную одним концом на винтовой
пробке (см., например, рис. 4.35, а) и нагруженную на свободном
торце моментом 9R, изгибающим пружину в плоскости xz. Вну-
тренние силовые факторы Мп, Mt и Мь в поперечных сечениях
витков пружины определяются формулами (4.97), (4.98) и (4.99)
соответственно.
Определим угол поворота Ф верхнего торца пружины относи-
тельно нижнего, который предполагается заделанным (см.
рис. 4.35).
5*
131
Приложим к верхнему торцу пружины вместо заданного мо-
мента 2)? единичный момент.
Тогда в поперечных сечениях винтового бруса единичные
внутренние силовые факторы определяются формулами (4.97),
(4.98) и (4.99) в предположении, что 2)? = 1. Далее, руковод-
ствуясь формулой (4.102) и полагая, что 4г — целое число для пру-
жин с витками круглого поперечного сечения, получим
а ШШ (2 + Н cos2 a) nDi
V EJb 2Н cos а ’
где Н — длина пружины (см. рис. 4.35) [13].
Определение перемещений при попереч-
ном изгибе пружин с витками малого угла
подъема. Вычислив внутренние силовые факторы от задан-
ных сил и от единичной нагрузки, приложенной в том сечении,
перемещение которого определяется, всегда можно в результате
интегрирования выражений, входящих в зависимость (4.102),
вычислить искомое перемещение.
Однако для пружин малого угла подъема задачу можно свести,
как и при чистом изгибе, к изгибу некоторого прямого приведен-
ного бруса, что значительно упрощает решение.
Рассмотрим этот способ определения перемещений более по-
дробно.
При поперечном изгибе пружины (см., например, рис. 4.36)
в любом из поперечных сечений почти плоского витка (а 0)
внутренние силовые факторы от заданной нагрузки (Мп, Мь
и Mt) могут быть определены по формулам (4.101). В этом случае
изгибающий момент М и поперечная сила Q, входящие в эти фор-
мулы, вычисляют относительно плоскости нормальной оси zz
пружины, в которую примерно укладывается ось рассматрива-
емого витка, обычным методом, применяемым при расчете балок.
В разбираемом примере М = Р£ и Q = Р.
Эти силовые факторы для рассматриваемого почти плоского
витка можно считать величинами постоянными, так же как сило-
вые факторы Л4Х и Qi от единичной силы (Р = 1), приложенной
в направлении искомого перемещения (например, к торцу пру-
жины по оси х).
Прогиб в направлении единичной силы в связи с деформацией
одного почти плоского витка при фиксированной координате £
по формуле (4.102) с учетом зависимости (4.101) [13]
А6'= т (4г+ тг)ММ‘+ •«-«« <4-103)
Заметим, что у винтовых пружин с витками малого угла подъема
поперечная сила Q вызывает изгиб витка относительно бинормали
его сечений, что отражает последнее слагаемое в формуле (4.103).
Определим далее соответствующий прогиб Л6* элемента эквива-
лентного бруса, занимающего по оси г ту же длину h, что и виток
132
(h = Д-, где H — высота пружины, a i — число витков). По-
лагая, что на длине рассматриваемого элемента эквивалентного
бруса изгибающий момент М и поперечная сила Q постоянны
(4.Ю4)
/11
где А — жесткость эквивалентного бруса при изгибе; S — же-
сткость эквивалентного бруса, соответствующая сдвиговой де-
формации при изгибе.
Сопоставляя зависимости (4.103) и (4.104), устанавливаем,
что элемент бруса, имеющий одинаковую с витком пружины про-
тяженность по оси zz и эквивалентный витку по образованию
перемещений, в связи с изгибом должен иметь жесткость изгиба
Д=------(4.105)
и жесткость при сдвиге
__ 8ВЬН
д — лРЧ 9
(4.106)
и
Для пружин с витками круглого поперечного сечения
Л 2EJH Ed*H 5
Я° “ nDi (2 + р) ~ 32 (2 + р) Di 1
с 8EJH Ed*H 1Л 1Пп ч
= = w (4Л06а)
Соотношения (4.105) и (4.106) справедливы для любого из вит-
ков, поэтому для определения перемещений при поперечном
изгибе пружины с витками малого угла подъема ее можно заменить
прямым брусом, длина которого равна высоте пружины Н, а же-
сткости при изгибе и сдвиге равны соответственно А и S [см.
формулы (4.105) и (4.106)].
Перемещения такого бруса при изгибе следует определять
по зависимости
и н
g’_ j ММ± dz । j QQidz
о о
где силовые факторы устанавливают известными приемами, раз-
работанными применительно к прямым брусам. При чистом изгибе
второе слагаемое в зависимости (4.107) отпадает.
Изложенный способ неприменим для пружин со значительным
углом подъема витков, так как в этом случае изгибающий момент
нельзя считать для всех сечений одного витка постоянным, как
это предполагалось при установлении параметров эквивалентного
бруса, заменяющего пружину с витками малого угла подъема.
В то же время предполагается, что при изгибе витки не приходят
в соприкосновение.
(4.107)
133
§ 4.6. Устойчивость винтовых
цилиндрических пружин
А. Устойчивость винтовых пружин сжатия. Как уже отмеча-
лось в § 4.3, пружины сжатия с достаточно большим отношением
длины Но к среднему диаметру D при определенной нагрузке
могут искривляться, т. е. терять устойчивость прямолинейной
формы равновесия (рис. 4.37).
Подобное явление в условиях эксплуатации совершенно не-
допустимо, оно может полностью нарушить работу узла машины,
включающего пружину сжатия, поскольку характеристика пру-
жины полностью искажается и сама пружина, изгибаясь, заметно
перенапрягается, а при недостаточно надежном креплении ее
концов пружина вообще может сдвинуться со своего места. I
Для определения критической нагрузки Ркр, при которой на-
ступает это опасное явление, воспользуемся расчетной схемой
в виде бруса, эквивалентного пружине малого угла подъема [1]
с изгибной жесткостью А [см. формулу (4.105)] и жесткостью
сдвига S [см. формулу (4.106)1. При статическом нагружении
пружины силой до Ркр она сжимается до величины %кр
(рис. 4.38, а), но прямолинейная форма ее оси еще остается устой-
чивой. Однако при нагрузке Ркр возникает новая форма равно-
весия — криволинейная, а прежняя прямолинейная форма стано-
вится неустойчивой. Прогибы 6 (г) устойчивой, слабо искривлен-
ной пружины (см. рис. 4.38, б) в соответствии с формулой
(4.107) [см. рис. 4.38, в]
6’(г) = 6(г)и + 6(г)сД.
Поэтому и вторые производные от функции б (?) по координате z
связаны зависимостью
б"(г) = 6"(^)и + б(г)сД. (4.107а)
Рис. 4.37. Общий вид пружины сжатия, поте-
рявшей устойчивость прямолинейной формы
равновесия
134
Рис. 4.38. Схема к выводу формулы для критической
силы у шарнирно закрепленной пружины сжатия
Поскольку прогибы оси эквивалентного бруса предполагаются
малыми,
6"(г)и = —=
где —----кривизна оси бруса при чистом изгибе.
Изгибающий момент при шарнирном креплении концов бруса
| М | = Рб (г).
Откуда
6; = -^ = -^-; (4.108)
так как прогиб б (г) и кривизна противоположны по знаку
(см. рис. 4.38, б),
б " (г)сд является первой производной от угла поворота оси г,
вызываемого деформациями сдвига б' (г)с„ = -у, поэтому
б"(г)сд = -^^-. (4.109)
Поперечная сила
Q = РО,
где б' — угол поворота сечения эквивалентного бруса.
135
Поскольку при сдвиге поперечные сечения бруса смещаются
в среднем параллельно один другому, то угол ft связан только
с изгибными деформациями, т. е. ft = (г), откуда
Q = (г)и-
Следовательно, учитывая формулу (4.109),
6ед(г) == -& = у би (г)
и в соответствии с формулой (4.108)
бед (z) — • (4.110)
По зависимости (4.107а)
б" (г) - бед (г) -б" (г) = 0
с учетом формул (4.108) и (4.110) получим
б"(г)+4(1+4)6(г) = °- (4Ш)
Обозначая
tO+tW- (4112>
приводим зависимость (4.111) к виду
6"(z) + &2б (г) = 0.
Решение этого дифференциального уравнения общеизвестно:
б (z) = a sin kz -ф b cos kz. (4.113)
Определим постоянные интегрирования а и b из граничных
условий.
Поскольку предполагалось, что концы пружины закреплены
шарнирно, то при z = 0 и при Н = 0 б = 0, где с учетом податли-
вости пружины Н = Но — А.кр.
Тогда из первого условия b = 0, а из второго условия следует,
что a sin kH = 0. Поскольку а =£ 0, так как б ф 0, то, следова-
тельно,
sin kH = 0,
что имеет место при kH = пл, где п — целое число, отличное от
нуля.
Наиболее вероятная форма устойчивости искривленной оси
при шарнирном закреплении (один шарнир неподвижный, а дру-
гой скользящий) — это форма обычной синусоиды, когда п = 1
и б (z)=a sin .
4 П
Итак, зависимость (4.112) с учетом значения при-
нимает вид
P2 + SP-4S-^=0.
(4.112а)
136
Если при исследовании устойчивости монолитного прямого
бруса можно пренебрегать изменением его первоначальной длины
Но от сжимающей осевой силы, то у пружин это изменение К
столь значительно, что сделать этого нельзя. Поэтому жесткости
А и S, зависящие от Н = Но — К [см. формулы (4.105) и (4.106) ],
в уравнении (4.112а) не являются постоянными. Подставляя их
значения в функции от X в формулу (4.112а), а также выражая
силу Р через X (см. § 4.3), получим квадратное уравнение отно-
сительно отношения критической осадки Хкр к первоначальной
длине пружины Но.
В обобщенном виде, охватывающем не только шарнирное, но
и другие случаи закрепления торцов пружины, разрешающее
квадратное уравнение можно представить зависимостью [13]
+ <4Л12б>
+ Вп
Решая это уравнение с учетом, что %кр < Но, получим
77е = > С/И1 ~ " 11 (тг)2| • (4114)
По 2 — С/о^ L V (1 + С/оЛ) \ г/о /
Это выражение полностью совпадает с формулой, выведенной
Н. А. Чернышовым [15] на основе теории бруса двоякой кривизны
с винтовой осью при использовании уравнений Кирхгофа —
Клебша.
Тот же результат получен энергетическим методом в работе [13],
где, в частности, вскрыты и погрешности, полученные во многих
предшествующих работах, посвященных исследованию устой-
чивости цилиндрических винтовых пружин. Теперь формула
(4.114) является общепринятой. Значения т] в различных случаях
закрепления торцовых витков пружины следующие.
Характер закрепления т]
л2
Нижний торец заделан, верхний свободен........ —т—
Оба торцовых витка шарнирно оперты ...................... л2
Нижний виток заделан, верхний шарнирно оперт .... 20,19
Оба торцовых витка заделаны ............................ 4л2
Из формулы (4.114) следует, что потеря устойчивости пружины
возможна только при определенных соотношениях между ее раз-
мерами. А именно, отношение при котором Хкр становится
мнимой величиной, можно назвать предельным
(4г) = • (4.114а)
\ L) / пред г 1 ^!Dn
При-^у->^-^-^ пружина может терять устойчивость,
а при потеря устойчивости невозможна, что
137
связано с относительно большим сокращением длины пружины
в связи с ее сжатием.
' ГГ Но _ / И о \
Для пружин, у которых -Л>(-7т-) ,
и \ D ! пред
^кр
Но
1
2~С/ВЬ ’
т. е. у тех пружин, которые могут терять устойчивость прямо-
линейной формы своей оси, относительная критическая осадка
меньше, чем для пружин с предельным отношением (-^-) ,
когда
/ ^кр \ _ 1
\ Но /пред 2—С!ВЬ
Для устойчивых пружин -^2- > е •
Для пружин, свитых из круглой проволоки,
Вп = Вь = В, а С = -г^—,
1 “Г Г
и при р. = 0,3 зависимость (4.114) принимает вид
-^ = 0,813 1 - ]/1—л-0,696 (4-115)
Для случая т] = 4л2 (заделки по торцам)
При обычных условиях закрепления, как уже отмечалось, учиты-
вая необходимый запас устойчивости, следует считать отношение
-jj- < 3 допустимым.
Б. Определение критического начального напряжения у вин-
товых пружин растяжения, получаемого при навивке. Винтовые
пружины растяжения, навитые из проволоки круглого попереч-
ного сечения с предварительным натягом, могут в определенных
условиях терять устойчивость своей формы и принимать вид,
представленный на рис. 4.39.
У пружины, навитой с достаточно большим натяжением (сред-
ний участок пружины на рис. 4.39), при некоторой силе растяже-
ния Ркр, возможно соскальзывание витков, в связи с чем пружина
теряет цилиндрическую форму, витки попадают в условия изгиба,
характеристика пружины полностью искажается.
Предположим, что пружина нагружена силой Р, меньшей,
чем сила предварительного натяжения Ро, тогда витки остаются
плотно прижатыми один к другому (рис. 4.40, а). Сила Р в про-
цессе нагружения пружины приводит лишь к ослаблению силы
взаимодействия витков; расходятся, как правило, только крайние,
менее прижатые витки (см. рис. 4.39).
138
Рис. 4.39. Общий вид пружины растяже-
ния, навитой с начальным натягом на
среднем участке и потерявшей устойчи-
вость
Рис. 4.40. Схема
к выводу формулы для
критической силы для
пружины растяжения,
навитой с начальным
натягом
При перекосе витков, вызванном случайной причиной
(рис. 4.40, б), сила Р совершает некоторую дополнительную ра-
боту, а витки, изгибаясь при этом в своей плоскости, образующейся
силой Q, накапливают дополнительную потенциальную энергию.
Если последняя при устранении причины, вызвавшей перекос,
при разгрузке не будет в состоянии восстановить первоначаль-
ную форму пружины, то витки останутся перекошенными. Это
значит, что пружина потеряла устойчивость и Р > Ркр.
При наличии зазоров между витками при случайном перекосе
последних зазоры не увеличиваются, растягивающая сила работы
не совершает, поэтому накопившаяся при перекосе дополнитель-
ная потенциальная энергия при устранении причин, приведших
к смещению витков, способна вернуть пружине первоначальную
форму. Поэтому описываемое явление потери устойчивости воз-
можно только у пружин, свитых с предварительным натягом,
обеспечивающим сохранение соприкосновения витков при доста-
точной силе Р.
Возвращаемся к схеме эквивалентного бруса [1];
Тогда в связи с перекосом витков на малый угол Ад (см.
рис. 4.40, б)
О
139
при г = гкр
_ Edi - Е
лР2 лс2
(4.П7)
где S = ^д3.~ [см. формулу (4.106а)], a Q — поперечная сила, воз-
никающая при перекосе витка,
Q = Р№.
При сопоставлении последних зависимостей и достижении силой Р
критического значения Ркр получим
= S = (4.116)
У пружин с межвитковым давлением, когда витки прилегают
один к другому, Н = di, поэтому
= (4.116а)
Целесообразно сравнить, пренебрегая влиянием кривизны
витков, напряжение первоначального натяга [см. формулу (4.53)]
8Р0Р
0 Лб/3
с критическим напряжением
8РкрР
ш/3
Таким образом, потеря устойчивости в связи с предваритель-
ным натяжением опасна для пружин растяжения с большим ин-
дексом с. В этом случае предварительное напряжение т0 крайне
ограничено по величине [1].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андреева Л. Е. Упругие элементы приборов. М.: Машгиз, 1962. 456 с.
2. Бидерман В. Л., Шитиков В. Н. Растяжение и кручение ленточных
цилиндрических пружин при больших перемещениях. — Изв. АН СССР. Ме-
ханика твердого тела, 1970, № 1, с. 137—141.
3. Демидов С. П. Расчет на прочность плоского кривого бруса прямоуголь-
ного поперечного сечения, нагруженного силами, перпендикулярными к пло-
скости кривизны. — В кн.: Расчеты на прочность элементов машиностроитель-
ных конструкций. М.: Машгиз, 1955, вып. 31, с. 126—172 (Тр. МВТУ).
4. Заседателев С. М. Навивка пружин с межвитковым давлением. — В кн.:
Расчеты упругих элементов машин и приборов. М.: Машгиз, 1952, вып. 16,
с. 90—96 (Тр. МВТУ).
5. Малинин Н. Н. Заневоливание цилиндрических и конических пружин.—
В кн.: Новые методы расчета пружин. М.: Машгиз, 1946, с. 10—25.
6. Пономарев С. Д. Расчет и конструкция витых пружин. М.: ОНТИ,
1938, 352 с.
7. Пономарев С. Д. Об одной задаче кручения кривого бруса. — Вестник
инженеров и техников, 1940, № 5, с. 301—304.
8. Пономарев С. Д. Расчет заневоленных пружин с учетом кривизны вит-
ков. — В кн.: Расчеты на прочность. М.: Машгиз, 1962, вып. 8, с. 161 —185.
9. Пономарев С. Д. Пружины и рессоры. Детали машин. М.: Машгиз,
1963. Т. 2/Под ред. Н. С. Ачеркана, с. 701—744.
10. Пономарев С. Д. К обоснованию размеров упругого ядра в заневолен-
ных пружинах. — Изв. вузов. Машиностроение, 1974, № 10, с. 24—27.
140
И. Пономарев С. Д. Оптимальное проектирование соосных винтовых пру-
жин сжатия. — В кн.: Прочность материалов и конструкций. Киев: Наукова
думка, 1975, с. 264—271.
12. Пономарев С. Д., Стукач В. Н. Исследование распределения контакт-
ного давления по торцовому витку пружины сжатия, в связи с расчетом на проч-
ность пружин и их опор. — В кн.: Расчеты на прочность. М.: Машиностроение,
1970, вып. 15, с. 366—378.
13. Расчеты на прочность в машиностроении/Под ред. С. Д. Пономарева.
М.: Машгиз, 1956—1959, т. I—III.
14. Чернышев Н. А. Сжатие и кручение пружин малой жесткости. — В кн.:
Новые методы расчета пружин. М.: Машгиз, 1946, с. 46—56.
15. Чернышев Н. А. Устойчивость пружин сжатия. — В кн.: Новые ме-
тоды расчета пружин. М.: Машгиз, 1946, с. 57—78.
16. Чернышев Н. А. Напряженное состояние и деформация цилиндриче-
ских пружин, свитых из круглого прутка. — В кн.: Динамика и прочность ма-
шин. М.: АН СССР, 1950, с. 7—78.
Глава 5
Многожильные винтовые пружины
§ 5.1. Конструкция, изготовление
и назначение
Многожильные пружины — одна из самых новых конструкций
пружин, применяемых в технике.
Многожильные пружины (рис. 5.1) изготовляют из тросов,
свитых из небольшого числа (п = 2-нб) тонких проволок (жил).
Этот новый тип пружин представляет собой разновидность вин-
товых концентрических пружин весьма рациональной конструк-
ции.
Для изготовления пружин в настоящее время используют глав-
ным образом тросы простой свивки без центральной жилы, со-
стоящие из двух, трех и четырех жил (рис. 5.2, а, б и в) с углами
свивки 6 — 20-^30°. Однако находят применение и тросы другой,
более сложной конструкции, в частности тросы с центральной
жилой (рис. 5.3, а, б), которую обегают 5—6 винтовых жил.
Тросы обычно свивают из высокосортной патентованной угле-
родистой проволоки (С = 0,75-^0,85%) диаметром d = 0,3n-
3,0 мм.
Процессы свивания троса и навивки пружины влияют на ха-
рактеристику последней и должны приниматься во внимание
конструктором.
При снятии троса с навивального станка происходит упругая
отдача и жилы перестают повсеместно плотно прилегать одна
к другой или к центральной жиле; между ними сохраняется
только точечный контакт. При последующих нагружениях троса
растягивающей силой или парой, закручивающей трос по ходу
свивки, плотность контакта между жилами, нарушенная упругой
отдачей, восстанавливается лишь при определенной нагрузке,
с этого момента трос делается более жестким.
Конструкция и технология свивки определяют специфические
особенности многожильных , пружин, которые необходимо иметь
в виду при их проектировании и использовании.
Многожильные пружины изготовляют из тросов, свитых из
относительно тонкой проволоки, которая имеет более высокие
механические свойства, чем проволока той же марки бдльшего
диаметра. Это позволяет принимать более высокие допуска-
емые напряжения и получать большую удельную энергоем-
кость.
142
Рис. 5.1. Многожильные пружины сжатия
Многожильные пружины по сравнению с обычными винтовыми
пружинами тех же габаритных размеров имеют более пологую
характеристику, что позволяет проектировать компактные пру-
жины со значительной податливостью, что обеспечивает более
стабильное усилие в процессе их нагружения. Особенно большой
выигрыш в габаритах и массе получают, применяя заневоленные
многожильные пружины.
В случае повреждения многожильной пружины вначале обычно
выходит из строя одна из жил без нарушения целостности осталь-
ных. Это позволяет обнаружить неисправность пружины до пол-
ного ее разрушения и предотвратить тем самым внезапный отказ
машины в целом.
Рис. 5.3. Тросы с цен-
тральной жилой для
многожильных пружин
143
Рис. 5.2. Тросы без центральной
жилы для многожильных пру-
жин
При проектировании и изготовлении многожильных пружин
можно изменять их силовые характеристики, меняя угол свивки
троса при сохранении других размеров пружин.
Точечные контакты жил троса и возникающее при нагружении
многожильной пружины трение соприкасающихся жил способст-
вует быстрейшему затуханию вибраций витков в тех случаях,
когда их появление вполне вероятно, но нежелательно.
Все сказанное может служить оправданием большей сложности
изготовления многожильных пружин, чем обычных, тем более,
что технология этого процесса систематически совершенствуется,
а качество многожильных пружин улучшается.
По виду нагружения могут быть многожильные пружины:
1) растяжения, которые пока практического применения не
получили;
2) многожильные пружины сжатия;
3) многожильные пружины кручения.ч
Вид нагружения определяет конструкцию пружин и способ
их крепления.
По характеру работы могут быть пружины:
1) статического действия (пружины предохранительных уст-
ройств);
2) ограниченно кратного действия, работающие примерно
5-Ю4—105 циклов. В этих случаях при замене обычных пружин
многожильными можно получать более компактные конструкции.
Применение многожильных пружин при неограниченно кратном
нагружении в качестве клапанных, по-видимому, не является
целесообразным вследствие износа (йстирания) жил.
Для таких условий работы многожильные пружины следует
применять только при необходимости гашения вибраций витков
при жестких требованиях по сокращению габаритных размеров
и массы пружин и при наличии условий, допускающих несложную
и быструю их замену.
Есть основания полагать, что в ближайшее время многожиль-
ные пружины будут применяться во всех отраслях машинострое-
ния в качестве:
1) амортизаторов, воспринимающих толчки и удары;
2) аккумуляторов энергии, предназначенных для приведения
в движение механизмов и отдельных деталей;
3) оттяжных и возвратных пружин с пологой характеристикой;
4) пружин специального назначения в случаях, когда необхо-
димо, чтобы последние в различных диапазонах нагрузки имели
различные жесткости (точные приборы, специальные тормозные
устройства);
5) антирезонансных пружин с большим внутренним трением.
Режим работы и назначение предопределяют конструкцию и
технологию изготовления как многожильных пружин, так и тро-
сов, используемых для навивки пружины.
Подробно расчет многожильных пружин изложен в работе [4].
144
§ 5.2. Геометрия многожильных тросов,
не имеющих центральной жилы
Прежде чем обратиться к подробному анализу работы тросов,
образующих многожильные пружины, и строить теорию расчета
этих пружин на прочность и жесткость, следует изучить гео-
метрические свойства многожильных тросов.
Рассмотрим тросы простой свивки, не имеющие центральной
жилы. Расчет пружин, свитых из тросов с центральной жилой,
приведен в работе [4]. Обозначим 7?0 — радиус образующего ци-
линдра оси винтовой жилы (рис. 5.4, а); 6 — угол свивки, т. е.
угол, образуемый разверткой оси винтовой жилы с осью z троса
(угол свивки является дополнительным углом к углу подъема а
оси винтовой жилы); t — шаг оси жилы.
Радиус R о можно определить при рассмотрении наикратчай-
шего расстояния между осями соседних взаимокасающихся жил,
которое равно диаметру проволоки d.
Расстояние АВ между точками А и В, произвольно взятыми
на осях соседних жил [(v — 1)-й и v-й] (см. рис. 5.4), полярные
радиусы которых ОА1 и ОВЪ в плане составляют угол г|)
ЛВ = ]/(Дг)2 4-(2/?0sin^-)2. (5.1)
Здесь расстояние АВ выражено через длины своих проекций Аг
на вертикальную ось г
Аг = — ~ч0> (5-2)
п 2л 2л \ п т v
где п — число жил, образующих трос,
и на горизонтальную плоскость
(Д1В1) = 2/?ц81п-|. (5.2а)
Как уже указывалось,
4Bmln = d. (5-3)
Руководствуясь этим, определим полярный угол которому
соответствует точка Во оси v-й жилы, ближайшей к точке Л,
лежащей на оси (v-l)-ft жилы.
Воспользуемся условиями
при 1 =0 (5.3а) ^>1 >0. (5.36)
Из условия (5.3а)
145
Рис. 5.4. К исследованию геометрии тросов без центральной жилы
Откуда, учитывая, что для винтовой линии справедливо соотно-
шение 2л/?0 = t tg 6 (см. рис. 5.4, б), можно окончательно полу-
чить тригонометрическое уравнение
4’о +tg26sinif>0 =(5.4)
корнем которого является угол г|)0.
Легко проверить, что неравенство (5.36) при этом удовлетво-
ряется. В табл. 5.1 приведены значения угла гр0 в зависимости от
угла свивки 6 и числа жил п.
146
Таблица 5.1
Значения угла *ф0
п б, °
15 20 25 30 35 40 45
2 180° 180° 180° 180° 180° 180° 180°
3 116° 18' 113° 108° 12' 101° 18' 92° 80° 24' 67° 18'
4 85° 54' 82° 27' 77° 45' 71° 54' 64° 34' 56° 30' 47° 20'
Теперь можно определить радиус /?0 образующего цилиндра
оси винтовой линии.
Действительно, из зависимостей (5.1) и (5.3) следует, что
d2 = (Az0)2 + (2/?0sin^)2.
По уравнениям (5.2) и (5.4)
Аг° = i (v- ” = tg2fi sin Фо = Ro tg6 sin ip0.
Откуда
______________4___________________________d .
^/4 sin2 + tg26 sin2t|’o 2 sin1 + tg26cos2^y-
(5-5)
Уравнения (5.4) и (5.5) позволяют при известных диаметре
проволоки, числе жил и угле свивки определить радиус образую-
щего цилиндра осей жил.
Значения отношения /?0/d приведены в зависимости от угла
свивки б и числа жил п в табл. 5.2.
Таблица 5,2
р
Значения отношения ~ для троса
п б, °
15 20 25 30 35
2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
3 0,583 0,587 0,596 0,608 0,626
4 0,728 0,731 0,751 0,774 0,803
Длина винтовой жилы L связана с длиной троса I соотношением
(см. рис. 5.4, б)
(5.6)
COS О v
147
Рассматривая рис. 5.4, б, можно записать
7?o<p = Lsin6 (5.7)
или
/?о2Ф2 - L2 - I2, (5.8)
где ср — угол, который обегают жилы длиной L вокруг оси z
троса.
Шаг t оси жилы
----(5.9)
ср L sin о v 7
Рассмотрим, как изменяется для жилы определенной длины L
угол ф в зависимости от угла свивки 6. Из формулы (5.7) следует,
что
Установим теперь критический угол свивки, являющийся
предельным для троса длиной L и определяющий своеобразную его
конструкцию. Опираясь на зависимости (5.7а), (5.5) и (5.4),
получим
ср2 = ("у )* sin2 sin2Фо) sin2 б =
= [4sin2jr + ctg2fi (-у- - ’Ро)2] ^не-
критический угол 6кр находят из условия = 0.
После преобразований, при выполнении которых следует
учесть, что найденный в результате дифференцирования множи-
<Л|’о /г 4\
тель при на основании соотношения (5.4) равен нулю, получим
ctg4p=cos(^£). (5.10)
При этом условии уравнение (5.4) принимает вид
(M, + 2sln О)кр = ^-. (5.4а)
Из зависимостей (5.4а) и (5.10) следует, что при п = 2 6кр —
- 50° 36'; при п - 3 6КР - 47° 08'; при п - 4 бкр - 46° 12'.
Это значит, что при образовании троса путем упругопласти-
ческого закручивания пучка параллельных проволок вокруг оси
этого пучка угол свивки, превосходящий 6кр, не может быть по-
лучен. Таким образом, проведенное чисто геометрическое исследо-
вание позволяет предвидеть, что при достижении в процессе
свивки угла 6кр жилы заклиниваются и, если пренебречь их
148
растяжением, попадают в условия, делающие их как бы абсолютно
жесткими.
Чтобы изготовить тросы с углами свивки большими, чем бкр,
необходимо изменить способ навивки, при этом следует восполь-
зоваться оправкой, которая даст возможность начинать навивку
с углом 6 большим, чем 6кР. Указанное обстоятельство позволяет
считать, что трос в обычном его понимании не может иметь угол
свивки 6 больше, чем 6кр. Проволока, завитая на оправке с углом
6 > 6кР, образует пружину.
С конструктивной точки зрения практический интерес пред-
ставляют такие тросы, наружный диаметр О которых по возмож-
ности ограничен. Естественно также, что как только внутренняя
незаполненная область между жилами, составляющими трос, дости-
гает заметных размеров, позволяющих разместить в ней достаточно
массивную центральную жилу, этим следует воспользоваться.
В частности, при свивке пяти жил в образующейся между ними
полости целесообразно разместить шестую центральную жилу
того же диаметра.
'О'
Отношение -у = и, называемое индексом троса, характеризует
его габарит
и = -2J?0-+d. . (5.11)
При конструировании важным критерием для выбора угла
свивки является также отношение радиуса кривизны оси жилы
к ее диаметру
С увеличением угла свивки величина с резко уменьшается.
Как известно, значительная кривизна бруса приводит к пере-
напряжению внутренних волокон при нагружении. Это и является
основным обстоятельством, заставляющим обычно выбирать углы
свивки 6, не превосходящие 30° (в ГОСТ 13774—68 б = 24°).
§ 5.3. Расчет многожильных пружин
сжатия, свитых из тросов, не имеющих
центральной жилы
Витки винтовых пружин сжатия с небольшим углом подъема
PD
в основном закручиваются моментом где Р — осевая
сила, a D — средний диаметр витков пружины.
Приступая к разработке теории расчета многожильных пру-
жин сжатия, необходимо прежде всего разработать теорию кру-
чения многожильных тросов.
149
Рис. 5.5. Характеристика многожиль-
ной пружины
Во избежание расслаивания
троса на отдельные составля-
ющие жилы необходимо, чтобы
внешняя пара 2)?, закручива-
ющая трос, затягивала его,
т. е. действовала в направле-
нии хода свивки.
Для этого ход навивки пру-
жины сжатия умышленно де-
лают противоположным ходу
свивки троса (пружина левой навивки—трос правой свивки и
наоборот), что и обеспечивает при нагружении пружины сжатия
прямое закручивание (затягивание) троса.
Как уже отмечалось, в момент снятия тросов и пружин с нави-
вального станка плотное прилегание одной из жил к другой вслед-
ствие отдачи нарушается, поэтому на первом этапе последующего
прямого закручивания тросов при работе их в многожильных пру-
жинах сжатия составляющие жилы практически деформируются
независимо одна от другой. На этом этапе нагружения каждая
жила ведет себя как самостоятельная винтовая пружина кручения.
Лишь при определенной нагрузке Рк жилы вновь стягиваются
в один плотный жгут и вступают во взаимодействие, вследствие
чего жесткость пружины возрастает и характеристика пружины
получает излом (рис. 5.5).
Однако практика показывает, что в большинстве случаев при
обычно используемых тросах с углами свивки 20° < 6 < 30°
силы Рк превышают нагрузки Рпред, которые сжимают пружины
сжатия, имеющие, как правило, угол подъема витков а < 12°
до соприкосновения витков, т. е. жилы на всем рабочем участке
многожильной пружины сжатия деформируются практически
независимо одна от другой, и характеристика пружины имеет вид,
представленный на рис. 5.5 штриховой линией.
Таким образом, при изучении многожильных пружин сжатия
следует:
рассмотреть расчет многожильных пружин сжатия до возник*
новения плотного контакта между жилами;
исследовать вопрос о вступлении жил в плотное взаимодей-
ствие;
и, наконец', провести расчет многожильных пружин сжатия
после возникновения плотного контакта между жилами.
А. Расчет многожильных пружин сжатия до возникновения
плотного контакта между жилами. На исследуемом этапе нагру-
жения в любом поперечном сечении каждой из п жил, которые при
закручивании троса могут рассматриваться как обыкновенные
пружины кручения, возникают внутренние силы упругости, при-
150
водящие к изгибающему моменту Мр относительно бинормали 0
к оси жилы и к крутящему моменту Л4Х [см. формулы (4.14) и
(4.13)].
Л4Э =-^sin6 = -^sin6; (5.12)
ЛД = — cos 6 = -^-cos6. (5.13)
п 2п ' '
Расчет на прочность может быть выполнен, например, по теории
наибольших касательных напряжений. При учете кривизны жил
следует пользоваться формулами (4.45) и (4.46).
Для вычисления осадки пружины воспользуемся интегралом
Мора. Внутренние силовые факторы Alpi и Л4Х1 от единичной
р
силы — = 1, сжимающей пружину, могут быть получены по
формулам (5.12) и (5.13) соответственно. Тогда осадка пружины X
малого угла подъема (а 0) по формуле Мора
f = рот
J EJa J GJ р 4nGJpc, v 7
0 0
i г\ • т ticU
и окончательно, учитывая, что I nDi и JР = -qh-, получим
1 8PD3i ,г- 1Лх
nGd*l' ’ (5.14а)
где d — диаметр проволоки; i — число рабочих витков.
Коэффициент жесткости троса при независимой работе жил
— (1 + и)CQS д
£ 1 + ц cos2 6
(5.15)
Коэффициенты g' и для тросов с различнымй углами свивки
при коэффициенте Пуассона р = 0,3 приведены на рис. 5.6.
Исследование влияния поперечной силы Q Р на прочность
и жесткость многожильных пружин в рассматриваемых условиях
работы описано в работе [7].
Установлено, что при учете поперечной силы Q расчетные на-
пряжения в опасных точках витков возрастают примерно на 15%;
Рис. 5.7. Зависимость коэффициентов %, Р
и а от угла свивки 6
в поперечных сечениях жил, по-
этому сохраняется благоприятное
поле остаточных напряжений, то,
строго говоря, расчет этих пружин
по номинальным напряжениям, о ко-
торых шла речь, является условным.
Б. Исследование вопроса о вступ-
лении жил в плотное взаимодей-
ствие. Тщательное изучение дефор-
мации тросов в начальной стадии
их нагружения позволило устано-
вить, что жилы, составляющие трос,
неплотно прилегают одна к другой.
Они касаются лишь в отдельных точках. Это объясняется тем,
что при снятии троса с навивального станка вследствие упру-
гой отдачи жилы стремятся получить несколько больший ра-
диус, чем 7?0.
По теории малых упругопластических деформаций и при упро-
щенной диаграмме деформирования с линейным упрочнением
в работе [4 ] выведена приближенная формула, оценивающая коэф-
фициент отдачи
+ гЬтгт' <5-16)
где Ег — модуль упрочнения С 1); оту — условный предел
текучести, подбираемый при схематизации диаграммы.
Коэффициент
X = 2pcos26 — acos2S. (5.17)
Значения коэффициента % приведены на рис. 5.7, там же даны зна-
чения коэффициентов а и [3 в зависимости от угла свивки б.
Неравномерность шага навивки, допуск на диаметр проволоки,
периодические колебания силы натяжения троса и т. д. приводят
к искажению винтообразной формы жил, что накладывает на жилы
добавочные связи; последние стесняют их отдачу, вследствие
чего сохраняются в большем количестве точечные контакты между
жилами.
У многожильных пружин вопрос об отдаче жил осложняется
в еще большей степени.
Это объясняется тем, что трос, преобразуясь в пружину,
получает при навивке на оправку большие пластические дефор-
мации изгиба. В конце процесса изготовления пружины подвер-
гают длительному обжатию, которое обычно сопровождается об-
разованием остаточной осадки у пружин и т. д. При этом относи-
тельное расположение жил, составляющих трос, несколько из-
152
меняется, что приводит к весьма неопределенному распределению
точек взаимного контакта жил по их длине.
Большое число различных факторов, влияющих на плотность
троса, ‘образующего витки многожильных пружин, в значительной
мере осложняет вопрос определения места положения точки
излома /С на характеристике пружины (см. рис. 5.5).
Практически установлено, что при малых углах свивки плот-
ность троса меньше и точка излома характеристики /С удаляется
от начала координат.
У тросов, свитых из тонкой проволоки, излом характеристики
также располагается несколько дальше от начала координат, чем
у тросов из проволоки большего диаметра.
Для оценки положения точки излома К на характеристике
многожильной пружины сжатия (см. рис. 5.5) можно воспользо-
ваться формулой (5.14а), приняв в ней Р = Pk
р __ 2(l+jx)OgGJPnsin6 - я
k~~ D/?0(l + 2ц cos2 6) ’
где D — средний диаметр пружины; Ф = 0,6+-0,7 [13, гл. 4] —
технологический фактор, отражающий сложность процесса изго-
товления троса и пружины из него и учитывающий многочислен-
ные отклонения всех действительных параметров проволоки троса
и пружины от номинальных, принимаемых в расчете.
В. Расчет многожильных пружин сжатия после возникновения
плотного контакта между жилами. Учитывая, что при нагружении
пружины трос, из которого она свита, ведет себя до вступления
жил во взаимодействие и после возникновения контактных сил,
как уже отмечалось, различно, необходимо строго разграничивать
указанные два этапа нагружения.
PD
Отсюда следует, что полный момент 3)? = закручивающий
трос, образующий витки пружины сжатия, должен быть расчле-
нен на две части
Wk = и ЭД - ЭД* = ЭДД = (Р ~2Pk) D .
Поперечной силой Q по-прежнему пренебрегаем.
Момент 3Rk приводит жилы в соприкосновение и плотно при-
жимает одну к другой. При этом в поперечных сечениях каждой
жилы возникает момент внутренних сил 7ИК, который можно
разложить:
на изгибающий момент
M3K=^sin6 (5.12а)
и крутящий момент
MTk = -^cos6. (5 i3a)
153
Затем виток дополнительно нагружается как единое целое
моментом 2ЙД. Этот момент определяет дальнейшую деформацию
жил, силы их взаимодействия и дополнительно возникающие
в поперечных сечениях каждой из жил внутренние силовые фак-
торы. Интенсивность q сил взаимодействия по всей длине винто-
вых линий контакта постоянна. Эти силы направлены по бинор-
мали в каждой точке соприкосновения винтовых линий жил
соответственно.
Допустим, что трос, образующий виток правой свивки, жилы
которого уже находятся в плотном контакте, нагружен дополни-
тельным моментом, создающим прямое закручивание (т. е. затя-
гивающим трос). Рассечем виток плоскостями, каждая из которых
нормальна оси одной из составляющих сил. Все эти сечения про-
ведены при каком-либо определенном значении параметра s
(длину жил s отсчитывают от начального сечения, принятого
за нулевое).
Подлежащие определению внутренние силы, возникающие
в указанных сечениях, приводятся в каждом из них к главному
вектору PAV и главному моменту Мду, где v — номер жилы
(рис. 5.8, а).
Из условия равноправности как жил, так и поперечных се-
чений троса следует, что проекции главного вектора внутренних
сил (Pz, Рп и Рь) и проекции главного момента (Mt, Мп и Мь)
йа направления естественных осей координат tvi nv и bv оси жилы
не зависят ни от величины параметра s, ни от номера жилы v
(см. рис. 5.8, а).
Внешний момент, закручивающий трос, совершенно одинаково
воспринимается каждой из п жил, симметрично расположенных
относительно оси троса, независимо от места вдоль оси троса, т. е.
независимо от параметра s. Выразим теперь закручивающий мо-
мент 2ИД через составляющие внутренних силовых факторов PAV
и Л4ДЛ? в поперечных сечениях жил троса, образующих
виток.
При этом можно еще учесть контактные силы, возникающие
по винтовым линиям касания, с образующим цилиндром ра-
диуса Ро на участках длиной е, освободившихся при отбрасыва-
нии отсекаемой части витка в областях, прилегающих к проведен-
ным сечениям (рис. 5.8, б) [13, гл. 4]. Однако при углах свивки
S < 30°, которые обычно и избирают на практике, контактными
силами на этих малых участках е можно пренебречь.
Тогда сумма проекций на ось z троса, образующего виток, всех
внутренних сил, возникающих в поперечных сечениях жил троса,
при его закручивании можно выразить зависимостью (рис. 5.8, в)
(Pt cos S Ц- Pb sin 5) n == 0 (5.19)
или
Л = —PotgS.
(5.19a)
154
Развертка цилиндрической
поверхности радиуса Rq
в)
Рис. 5.8. Часть троса, отсеченная поперечными сечениями составляющих
жил
Сумма моментов всех внутренних сил относительно оси z
при тех же допущениях, т. е. без учета контактных сил связана
с 2)?д следующим соотношением (см. рис. 5.8, а и в):
[Mt cos 8 + Mb sin б 4* sin 6 — Pb cos 8) /?0] n = 9ЛД. (5.20)
Далее рассмотрим равновесия бесконечно малого элемента
длиной ds изолированной жилы. На рис. 5.9 показан этот выделен-
ный элемент в проекциях на плоскости xz и ху.
155
Рис. 5.9. Проекции элемента жилы, выделенного двумя
бесконечно близкими поперечными сечениями:
а — на плоскость xz, параллельную оси z троса; б — на пло-
скость ху, нормальную оси z троса
В проекции на плоскость ху ось этого элемента образует дугу
радиуса /?0, охватывающую полярный угол Дер, причем
7?0 Дер == ds sin S.
Из уравнения проекции на ось х следует, что Рп = 0. По урав-
нению моментов относительно оси х легко установить также,
что Мп = 0.
156
Сумма моментов всех сил, действующих на выделенный эле-
мент относительно оси у (см. рис. 5.9),
—2Mt sin б sin 4^- + cos S sin 4- Pb cos = 0,
1 2 1 0 2 1 ° 2 sin 6 ’
откуда
Mt — Mb 6pcos 6 =Pb- (5.21)
AO AO
Используя соотношения (5.19a) и (5.21) и исключив из формулы
(5.20) силы Pf и Рь, получим
Mzcos26+ sin 26 = -^ cos б. (5.22)
Теперь свяжем изменение геометрических параметров осей винто-
вых жил, опираясь на предположение о постоянстве радиуса /?0
образующего цилиндра осей винтовых жил при закручивании
троса, как это сделано в работе [1 ].
TZ о sin2 6
Кривизна этих осей % =—„—;
тогда
Дх = ^^А6=^, (5.23)
где В = EJb — жесткость жилы при ее изгибе.
TZ » 1 sin 26
Крутка винтовых осей ;
тогда
Д£ = 22|Д Д6 = ^-, (5.24)
/<о С
где. С — жесткость жилы при ее кручении. Для бруса круглого
сечения C — GJP и отношение = (1 4- ц).
r С (jJ р v ‘
Сопоставляя зависимости (5.23) и (5.24), получим
tg 26 = — —
g Mt В
и окончательно
Mb = Mt (1 + р) tg 26. (5.25)
Точное решение, учитывающее изменение радиуса /?0 в связи с из-
менением угла свивки 6 при закручивании троса, приведено
в работе [4].
Из соотношений (5.22) и (5.25) вытекают формулы, выражаю-
щие, с учетом принятых допущений, основные внутренние силовые
факторы
Д4 __ (1 -р Iх) cos 6 sin 26 _ ЭЛд . /г лг,
6 п (1 + р. sin226) ь п ’ ( •- )
м _ ЯКд cos 6 cos 26 _ ЯКд . 97,
Mt~ п (l + psin226) ' я ’
157
Для вычисления осадки пружины Хд от нагрузки Рд =
= Р — Pk воспользуемся интегралом Мора.
Опираясь на формулы (5.26) и (5.27) и предполагая угол подъ-
ема витков пружины малым, после преобразований окончательно
получим
a 8(p~pk) D3i
д nGd^f
где d — диаметр жил; i — число рабочих витков; коэффициент
жесткости
= 1 + ^siy26 . (5.29)
COS 6 v 1
При S < 30°, как показала практика, эти формулы достаточно
точны.
Значения силовых факторов Pt и Рь при расчетах многожиль-
ных пружин на прочность и жесткость имеют второстепенное зна-
чение. Поэтому этот вопрос в данной работе не рассмотрен.
Подробнее определение всех внутренних силовых, факторов,
величины интенсивности q сил взаимодействия жил и сил трения
между жилами троса, образующими витки пружины при ее нагру-
жении сжимающей силой, приведено в работе [4].
Перейдем далее к выяснению полных внутренних силовых фак-
торов, возникающих в поперечных сечениях жил при нагружении
у пружины силой
По принципу сложения действия сил окончательно получаем:
изгибающий момент
Мв = M$k + Mf, = vB PD 2п ’ (5.30)
где [см. формулы (5.12) и (5.26)]
vB = [-jr sin6 4-vb(l - (5.30а)
и крутящий момент
Л4Т = ""j— = Vq PD ' 2п 9 (5.31)
где VT= [-^cosS +v,(l - Р / J ’ (5.31а)
Полная осадка пружины 8PD3i (5.32) (5.32а)
4nGJpl - где g g, р -г g» ’ nGd*l ’
Значения и определяют по формулам (5.15) и (5.29) со-
ответственно.
158
Трудность применения формул (5.30)—(5.32) заключается
в некоторой неопределенности величины Рд. Выше уже отмеча-
лось, что во многих случаях, особенно при малых углах свивки
Pk > Л1Рёд> т- е- Pk превышает нагрузку, сжимающую пружину
до соприкосновения витков, и все расчеты на прочность и жест-
кость можно вести по формулам (5.12)—(5.14) без учета взаимо-
действия жил. В приложении к ГОСТ 13765—68 избран иной
путь оценки жесткости многожильных пружин, навитых из троса
с углом свивки 6 = 24°. Величину £ подсчитывают по формуле
(5.29), но в расчет без каких-либо пояснений вводят угол 0 < 24°,
что снижает жесткость пружины, при этом ее характеристика
также принимается линейной. Вопрос о подсчете наибольших
номинальных напряжений в опасных точках жил многожильной
пружины сжатия подробно рассмотрен в работе [13, гл. 4]. При
этом учтены все внутренние силовые факторы и кривизна жил,
образующих трос, а напряженное состояние рассмотрено с по-
зиций теории упругости. Однако, поскольку пружины сжатия,
как правило, заневоливают, то номинальные напряжения, как
уже отмечалось, являются условными.
§ 5.4. Расчет многожильных пружин
кручения
К пружинам кручения относят пружины, нагружаемые парами
сил, действующих в плоскостях, перпендикулярных оси пружины
(рис. 5.10).
При закручивании пружины торцовые витки поворачиваются
один относительно другого; это угловое перемещение и представ-
ляет наибольший интерес, так как пружины кручения в инженер-
ной практике служат для автоматического поворота различных
деталей на некоторый угол.
Применяют такие пружины и как аккумуляторы энергии.
Накапливая потенциальную энергию на одном этапе работы,
они отдают ее на следующем этапе.
При нагружении пружины закручивающим моментом 2R витки,
имеющие малый угол подъема (обычно а 5-^8°), работают в ос-
новном в условиях чистого изгиба.
При изгибе троса жилы смещаются
одна относительно другой, в этом случае
они не стремятся стянуться в один плот-
ный жгут, а наоборот, несколько расхо-
дятся, располагаясь в сечении несиммет-
рично относительно оси троса. Таким
образом жилы практически работают не-
зависимо одна от другой, а соприкасаются
Рис. 5.10. Пружины кручения
159
между собой лишь в ряде изолированных точек, расположенных
вдоль жилы с интервалами. Это подтверждается эксперимен-
тально.
У многожильных пружин кручения [характеристика — пря-
мая линия и излом характеристики, свидетельствующий о возник-
новении в процессе нагружения пружины плотного контакта между
жилами, отсутствует.
Учитывая сказанное, легко оценить жесткость многожильной
пружины кручения, рассматривая работу каждой жилы, состав-
ляющей трос, отдельно.
Жила представляет собой обыкновенную винтовую пружину,
и поэтому в рассматриваемом случае следует обратиться к теории
чистого изгиба цилиндрических пружин (см. § 4.5). Тогда угол
закручивания многожильной пружины, свитой из троса без цен-
тральной жилы, в соответствии с формулой (4.103)
0 _ (2 + и sin2 6) nDi zr О0Ч
nEJb 2 cos 6 ’ \ • 1
где Jb — осевой момент инерции поперечного сечения жилы.
Формула (5.33) является основной при расчете пружин кру-
чения, так как при проектировании обычно ставится условие,
чтобы заданному моменту ЭО? соответствовал определенный угол
закручивания 0.
Для оценки напряжений, возникающих при нагружении много-
жильной пружины кручения, необходимо исследовать изгиб
каждой жилы, составляющей трос, отдельно, рассматривая ее
как изолированную цилиндрическую винтовую пружину с углом
Ж
подъема а = 90 — б, нагруженную моментом .
В этом случае в первом приближении наибольшее эквивалент-
ное напряжение для жил можно определить по формуле (4.100).
При желании получить уточненное решение следует учесть
влияние кривизны жилы [8].
Расчет многожильных пружин кручения, свитых из тросов
с центральной жилой, рассмотрен в работе [61.
§ 5.5. Изгиб и устойчивость
многожильных пружин
Все большее применение многожильных пружин в технике,
необходимость в ряде случаев оценки частоты их поперечных коле-,
баний, исследование устойчивости многожильных пружин сжа-
тия, что является особенно важным, и др. заставило изучить из-
гибную жесткость многожильных пружин. Подробное теорети-
ческое и экспериментальное исследование этого вопроса изложено
в работе [5].
160
Как обычно, винтовая пружина малого угла подъема сводится
к эквивалентному прямому брусу, но при этом непременно учиты-
вается не только приведенная изгибная, но и приведенная сдвиго-
вая жесткость. Отсылая интересующихся читателей к упомянутой
работе [5], приведем лишь окончательные результаты, необходи-
мые инженеру-расчетчику. Установлено, что при определении
перемещений в связи с изгибом многожильной пружины, имею-
щей i витков, можно вместо нее рассматривать изгиб эквивалент-
ного бруса длиной Н = hi, где h — шаг пружины.
Приведенная изгибная жесткость Z эквивалентного бруса
длиной h
~ 2nEJhWbb /г
Z==-----др----, (5.34)
где
[2 +4-М1 +cos26)] ; (5.34а)
ГЛ о 1 1
D — средний диаметр пружины; J “ — диаметр жил.
Приведенная сдвиговая жесткость эквивалентного бруса дли-
ной h
о SnEJh cos 6 /г
где
Л л f 1 + Иsin2 ® 4
§^[3 + И(1 + sin2 6)1
(5.35а)
t — шаг оси винтовой жилы.
Величина % отражает число витков жилы на длине одного витка
пружины, равной nD. Формулы (5.34а) и (5.35а) необходимо уточ-
нять в тех случаях, когда на длине одного витка пружины точно
укладываются один или два витка жилы, т. е. когда % =— или
2
% =— [5]. Однако такие случаи встречаются крайне редко.
Таким образом, перемещения многожильной пружины, исполь-
зуя интеграл Мора, можно выразить следующими зависимостями.
Угловое перемещение при приложении единичного момента
е = j (5,зб)
О
и прогиб при приложении единичной силы
W=j МиМ„1(1г +J QQidz ' (5.37)
О о
6 Пономарев С. Д.» Андреева Л. Е.
161
Изгибающие моменты Ми и Л4и1 и поперечные силы Q и опре-
деляют в этом случае как для обычных балок.
Особенно большое значение для многожильных пружин сжа-
тия имеет расчет на устойчивость. Этот вопрос обстоятельно изло-
жен в работах [2, 3].
Установлено, что критическая нагрузка
D EJ Хкр 4ncos6 2К±
кр — ~ ~~ о / i , tgad \ (4/Ci — 1) ’
л(1+Исо82й)^1 + ^5-)
где

и
Л1 — -------------,
2 + Мт2б + 4^-(2+И)
(1+HCOS2 6)2(1 +^-)2 '
[4 + р (1 + cos2 6)] Г2 + и Sin26 + 4-g- (2 +
L л X
(5.386)
(5.38в)
Но — длина ненагруженной пружины.
Коэффициент т) отражает условия закрепления пружины в слу-
чае, когда оба торца пружины закреплены шарнирно т) = зт;
один торец заделан, другой закреплен шарнирно т) = 20,19;
оба торца заделаны г] = 4л2.
Если выполняется условие

(5.39)
потеря устойчивости многожильной пружины сжатия невозможна.
Приняв в формулах (5.38), (5.39) 6 = 0 и п — 1, после преобра-
зований можно получить известные формулы для расчета на устой-
чивость обычных винтовых пружин [2].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Д. Баландин П. П. Расчет пружин из витой проволоки. — Вестник инже-
неров и техников, 1940, № 10, с. 577—582.
2. Оленев В. А. Устойчивость многожильных пружин сжатия. — Изв.
вузов. Машиностроение, 1977, № 1, с. 36—44.
3. Оленев В. А. Приближенный способ определения критической нагрузки
для многожильных пружин сжатия. — Изв. вузов. Машиностроение, 1977,
№ 9, с. 9—14.
162
4. Пономарев С. Д. Жесткость и прочность многожильных пружин сжатия.—
В кн.: Динамика и прочность пружин. М.: Изд-во АН СССР, 1950, с. 79—128.
5. Пономарев С. Д., Оленев В. А. Изгиб многожильных пружин. — В кн.:
Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1976, вып. 17, с. 56—75.
6. Пономарев С. Д. Оптимальное проектирование многожильных пружин
кручения, свитых из тросов с центральной жилой. — В кн.: Расчеты на проч-
ность. М.: Машиностроение, 1977, вып. 18, с. 239—245.
7. Пономарев С. Д., Оленев В. А. Исследование влияния поперечной силы
на прочность и жесткость многожильных пружин сжатия. — В кн.: Динамика,
прочность и долговечность деталей машин. Ижевск: Ижевский механический
институт, 1977, вып. II, с. 5—17.
8. Чернышев Н. А. Напряженное состояние и деформация цилиндриче-
ских пружин, свитых из круглого прутка. — В кн.: Динамика и прочность ма-
шин. М.: Изд-во АН СССР, 1950, с. 7—78.
6*
Глава 6
Фасонные витые пружины
§ 6.1. Основные виды фасонных пружин
Конструктивные соображения, стремление сократить габарит-
ные размеры, необходимость обеспечить требуемую частоту соб-
ственных колебаний упругой системы, получить пружины с не-
линейной характеристикой приводят к применению так называе-
мых фасонных пружин, работающих преимущественно как пру-
жины сжатия.
Конические, параболоидные, призматические и другие витые
пружины получили свое название в зависимости от вида поверх-
ности, на которой располагается ось их витков (рис. 6.1). Однако
форма пружины не определяется полностью видом образующей
поверхности, так как на этой поверхности ось витков в различных
своих частях может иметь различные углы подъема.
Для фасонных пружин дополнительным условием, определяю-
щим их форму, удобно принять проекцию оси витков на опорную
плоскость пружины. Из числа этих пружин наиболее часто исполь-
зуются конические и параболоидные пружины, проекции ко-
торых в плане имеют вид архимедовой (реже логарифмической)
спирали.
Пружины, свитые по архимедовой спирали, имеют в плане
между проекциями витков независимо от их радиуса равные про-
светы. Такие конструкции пружин отличаются большей компакт-
ностью.
Ось витков призматических пружин чаще всего располагается
на призме, имеющей в плане вид прямоугольника со скругленными
углами. Встречаются пружины и с витками, ось которых в плане
имеет другое очертание (трапециевидное, овальное и др.) (см.
§ 6.6).
Уравнения образующей, проекции оси витков в плане и изме-
нения угла подъема оси витков по их длине полностью определяют
геометрию фасонной пружины.
Пружина определяется также формой и размерами поперечного
сечения витков.
Обычно витки имеют круглое поперечное сечение. Однако теле-
скопические пружины (рис. 6.2), воспринимающие большие на-
грузки (буферные пружины), навиваются из полосовой стали пря-
моугольного сечения с большим отношением длин сторон.
164
Рис. 6.1. Разновидности фа-
сонных пружин
Рис. 6.2. Телескопическая
пружина
Особенностью фасонных пружин (рис. 6.3, а) является то, что
при их нагружении наибольшие деформации, а следовательно, и
изменение угла подъема имеют место у витков большого радиуса.
Это может привести последние в соприкосновение с опорной по-
верхностью или друг с другом (посадка витков), вследствие чего
они фактически выключаются из работы, поскольку их дальней-
шее деформирование сильно стеснено; остальные витки продол-
жают деформироваться и перемещаться свободно (рис. 6.3, б).
При специально подобранных углах подъема в соответствии с ви-
дом спирали в плане можно получить посадку, начиная с витков
малого диаметра.
При наличии посадки витков жесткость пружины в процессе
деформации постепенно возрастает, ее характеристика представ-
лена на рис. 6.3, в,
У конических пружин образующей поверхностью является ко-
ническая поверхность. Различают два основных типа конических
Рис. 6.3. Посадка витков фасонной пружины:
а — недеформированной; б — деформированной с посаженными друг на друга
витками; в — характеристика, отражающая наличие посадки витков
165
пружин: с постоянным углом подъема а (рис. 6.4) и с постоянным
шагом h (рис. 6.5).
Конические пружины с постоянным углом подъема (рис. 6.4, а).
Развертка оси витков пружины представляет собой прямую ли-
нию (рис. 6.4, б). Принимая за начало координат вершину В
конуса с углом раскрытия гр и направляя ось z по оси пружины
вниз, устанавливаем, что центр произвольного сечения X витка,
ордината которого z, отстоит от оси пружины на расстояние
166
r = ztg^-. С другой стороны, z = stga, где s — длина дуги
спирали (рис. 6.4, б), отсчитываемая от начала координат В
до рассматриваемого сечения К.
Тогда
r = stgatg-|-
или s = Аг и ds = A dr,
где 4 = ctgactg^|-.
В полярной системе координат длина элемента дуги спирали
ds = V (г dcp)2 + (dr)2,
откуда
г = /Л2 - 1
r dtp
После интегрирования
ф
где С — произвольная постоянная.
Таким образом, у конической пружины с постоянным углом
подъема проекция оси витков в плане имеет вид логарифмической
спирали.
Полярный угол ср условимся отсчитывать от наименьшего
радиуса пружины г1? тогда постоянная интегрирования С опреде-
лится из условия, что при ср = 0 г = Гр Откуда С = rv
При ср = 2л/ (i — число витков) радиус г достигает значения
2Л 4
г2 = Г1е
откуда
1 1 1 г2
-т= = -т—- In — = т.
А2 — 1 2ni ri
Уравнение спирали в плане примет вид г = г^е”1®.
Величина А2 во много раз больше единицы, поэтому принимаем
m^~A> т- е-
Свободная высота пружины
^о = (/'2 -/'i)ctg-|'-
Шаг пружины h меняется в зависимости от угла ср:
h = r1em<P (е2ят — 1) ctg2L.
167
Полная длина дуги спирали S в плане от ср = 0 до ср = 2л i
(от гх до г2)
Г2
S = j A dr = А (г2 — гх).
Гх
Длина проволоки OD, образующей рабочие витки пружины,
cos а
Конические пружины с постоянным шагом (рис. 6.5, а). Радиус
спирали у пружин этой конструкции при увеличении полярного
угла ср на 2л возрастает на постоянную величину h tg -у (i|) —
угол раскрытия образующего конуса). Следовательно,
г = с + ^—<р.
Примем, что при ср = 0 г = гх. Тогда С = гх. При <р = 2ni
г = г2. С учетом этого условия
h tg -у- г г
- _ f2 —fl __ i
2п 2ш
И
Г = Г! + /Ср.
Таким образом, в плане проекция конической пружины с по-
стоянным шагом представляет собой архимедову спираль.
Развертка конической пружины с постоянным шагом [2] при
условии малости угла подъема приближенно представляет собой
квадратную параболу (рис. 6.5, б). Наименьший угол подъема
имеет место при г = г2, наибольший угол при г = rv Наибольший
угол подъема, как правило, не превышает 6—8°.
Полная длина дуги архимедовой спирали в плане на участке
от ср = 0 до ср = 2л/ (от до г2)
S (r2 + rj ni.
Длина проволоки OZ), образующей рабочие витки пружины,
cos аср
Параболоидные пружины (рис. 6.6, а). Широкое распростра-
нение получили фасонные пружины, проекция оси витков которых
имеет вид архимедовой спирали:
Г = Гг + /ср,
где / = ‘Чд/1> а Угол подъема витков а постоянен (рис. 6.6, б).
168
a
Образующей поверхностью таких пружин является парабо-
лоид вращения.
Действительно, dz = ds tg а = г dq> tga,
где dcp = -^. Тогда dz = tga.
Координата z (рис. 6.6, б) центра поперечного сечения витка
при угле ср, отсчитываемого от г = rlt
Тогда г2 = 2t ctg a z + г2.
Таким образом, уравнение, связывающее координаты г и z,
есть уравнение параболы, вершина которой лежит при
zB =----£|-tga, т. е. выше витка с радиусом гг (рис. 6.6, а).
Шаг h исследуемой пружины переменный и подсчитывается
по формуле
h = 2л (г + л/) tgа.
С возрастанием радиуса г шаг h соответственно увеличивается.
Полная длина дуги архимедовой спирали S (г2 + ^Т)
в плане определяется так же, как для конической пружины с по-
стоянным шагом. Длина проволоки OZ), образующей рабочие
1 5
витки пружины, / =-------.
r J cos а
169
§ 6.2. Расчет фасонных пружин
на прочность
Фасонные пружины сжатия рассчитываются на прочность по
формулам (4.60) или (4.68) для витых цилиндрических пружин
растяжения-сжатия, в которые вместо D следует вносить 2грасч
(ri < граСч < гг)- Радиус наибольшего свободного витка грасч
есть радиус наибольшего витка из числа тех, которые при расчет-
ной нагрузке еще не сели на опорную поверхность или на сосед-
ние витки.
Если посадка витков еще не началась, т. е. Р с Рн. п» то
^расч ? 2-
Если посадка началась (Р Рн. п), т0 ^расч == гпос == f (Р),
где Рн.п —осевая нагрузка, при которой начинается посадка
витков; гпос — радиус элемента витка, который садится при рас-
сматриваемой нагрузке Р; таким образом этот радиус зависит
от величины этой нагрузки.
Значения гпос для рассмотренных выше пружин основных ти-
пов приведены в табл. 6.2.
Входящие в формулы (4.60) и (4.68) коэффициенты k и ф оп-
ределяются в рассматриваемом случае кривизной витка в расчет-
ном сечении при грасч, т. е. индексом срасч = 2гРасл (или 2г^а—.
При проверочном расчете на прочность следует, помимо вы-
числения напряжения витков наибольшего радиуса, проверить
напряжения и у витков с наибольшей кривизной, используя те же
формулы (4.60) и (4.68).
В этом случае в эти формулы вместо D вносится значение 2гх,
а коэффициенты k и ф определяются индексом q = ^или
Во избежание перенапряжения внутренних волокон витков
меньшего диаметра их индекс сг не должен быть менее трех.
При желании более рационального использования материала
фасонные пружины можно навивать из заготовок переменного
сечения, меняющегося в соответствии с радиусом витка. Практи-
чески в этом случае удобно использовать полосовую сталь пере-
менной ширины Ь ^-^->1).
§ 6.3. Жесткость фасонных пружин
основных типов
Угол подъема витков фасонных пружин обычных конструкций
незначителен, поэтому можно принять, что при нагружении пру-
жины осевой силой Р внутренние силы в сечениях витков приво-
дятся только к крутящему моменту
(6.1)
170
Для определения осевого перемещения удобно использовать
интеграл Мора.
Прикладывая единичную осевую силу, получим
MKP’i~l г.
(6.1а)
Тогда
/
[ Л1крЛ4кр1 ds
J С
о
где С — жесткость витков при кручении (для проволоки круг-
лого сечения С = GJP). Учитывая медленный рост радиуса спи-
рали в проекции пружины, можно принять, что ds rdq>.
Легко заметить, что в рассматриваемом приближенном решении
осевое перемещение торцов пружины не зависит от угла подъема
витков и в основном определяется проекцией оси витков на плос-
кость, перпендикулярную оси пружины, т. е. функцией г — f (<р).
Для пружин, проекция которых имеет вид архимедовой спи-
рали, г = гг + /ср; следовательно, dcp = -^, где t — •
Тогда, предполагая, что посадка витков еще не началась (Р <
< Рн.п), имеем
f MKPMKplds _ f Prsdr _ P(rl-rft
aPx — J C J tc 41C
о r.
Или, заменяя t его значением, получаем
nP(r2 + ri) +
'арх — 2С
(6.2а)
Для пружин, проекция которых в плане имеет вид логарифми-
ческой спирали, г = /•1е'пч>, поэтому
I dr 1 , Cg
dm =------—, где m=-s-г In —.
1 mr1em4> гх
При условии, ЧТО Р < Рн. п,
Л _ f МкрМкрх ds _ г Pr2 dr _ Р(г% — г?)
лог ~ J С ~ J тС ЗтС
О
(6.3)
Фасонные пружины имеют большую жесткость, чем цилиндри-
ческая пружина, имеющая диаметр D = 2г2, и свита из заготовки
такой же длины и того же профиля, что и пружины фасонные,
Т. е. А/лог ^арх < ^цил*
Фасонные пружины при нагрузках Р < Рн.п (до посадки вит-
ков) имеют прямолинейную характеристику, поэтому потенциаль-
171
Таблица 6.1
Формулы для расчета конических и параболоидных пружин Р < Рн. п
Форма поперечного сечения витка Напряжение То Жесткость параболоидных и конических пружин с постоянным шагом (Л = const) -4- Жесткость кониче- ских пружин с по- стоянным углом наклона витков (а = const) -4 Потенциальная энергия параболоидных и кониче- ских пружин с постоян- ным шагом (h = const) и Потенциальная энергия конических пружин с по- стоянным углом наклона витков (a = const) и
'/X 16Рг2 nd3 5 1 РГг 0,1 d3 Gd* 16i (r2 + ^i) (r2 + r 1) 0,294Gmd4 (л) ГДеОТ~ 2л/ о G Ч. \ ^2 / J 12 вУ[‘ +
«а 1 L1 В П Р'г 0,208а3 4,8-^f- а3 ~ Ga* ~ 11,13/ (r2+rj (far*) 0,423Gma4 0,077^- V Г1 + 1 G L v2' J Тп Г 0,0513-А V 1 1 + <‘)СУ]
L а iwnwfidu чэу л' 1 1 1 . 2Рг2 6 аз Ga* 2Ai (r2 + ^i) ('2 + ri) 3x\Gma3b т2 +Ш+(ЛЛ
Примечания: 1. V — объем, занимаемый рабочими витками пружины; г2 — наибольший, гг — наименьший радиусы рабо- чей части витков пружины. 2. т0 — наибольшее касательное напряжение в поперечном сечении витка при г — г2 без учета его кривизны. 3. Значения коэффициентов g, Л 1 ф приведены в табл. 4.10 в зависимости от отношения ——. Коэффициенты £ и Т] приведены в табл. 4.2.
ная энергия U, накопляемая этими пружинами в процессе дефор-
мации при нагрузках Р < РН<П)
£/ = 4^- (6-4)
Формулы для расчета конических и параболоидных пружин с вит-
ками различного поперечного сечения при нагрузках Р с Рн> п
приведены в табл. 6.1.
При Р > Рн.п все рассматриваемые пружины имеют криволи-
нейную характеристику с монотонно увеличивающейся жестко-
стью, и формулы (6.2) и (6.3), а также формулы табл. 6.1 не могут
быть использованы. Следует руководствоваться формулами, при-
веденными в табл. 6.2.
§ 6.4. Теория посадки витков витых
пружин
Посадка витков цилиндрической пружины сжатия с точно вы-
полненным постоянным углом подъема а происходит при полном
сжатии пружины одновременно во всех витках. Характеристика
такой пружины линейная. Моменту полного сжатия пружины со-
ответствует резкий излом характеристики (рис. 6.7, а).
Рис. 6.7. Витые пружины и их ха-
рактеристики:
а — цилиндрическая винтовая пружина
сжатия; б — коническая пружина;
в — фасонная пружина, состоящая из
конической и цилиндрической частей
173
Витки фасонных пружин, как уже указывалось, садятся по-
степенно, и характеристика такой пружины с момента посадки
витков становится нелинейной.
На рис. 6.7, бив приведены проекции и характеристики со-
ответственно конической пружины и фасонной пружины, состоя-
щей из цилиндрической и конической частей. На характеристике
фасонной пружины первый ее излом в точке А соответствует пол-
ной посадке витков цилиндрической части пружины. После этого
характеристика остается еще линейной (участок АВ), но пружина
имеет уже большую жесткость.
Точка В соответствует началу посадки витков в конической
части пружины, когда характеристика становится криволиней-
ной. При завершении посадки всех витков криволинейный уча-
сток характеристики в точке С переходит в прямую линию, па-
раллельную оси Р (рис. 6.7, в). В зависимости от шага цилиндри-
ческой и конической частей пружины точка А излома характе-
ристики может смещаться на диаграмме в ту или другую сторону.
Общая теория расчета пружин с учетом посадки витков была
разработана Е. П. Поповым [3].
Изложим основные положения этой теории, рассматривая
витые пружины малого угла подъема. В этом случае полярный
радиус спирали в плане можно принять равным радиусу кривизны
витков и считать, что при сжатии пружины радиальными пере-
мещениями точек оси витков можно пренебречь, т. е. что элементы
пружины получают перемещения только вдоль ее оси. Эти допу-
щения равноценны предположению, что форма спирали в плане
в процессе сжатия пружины не изменяется.
Примем также, что витки, севшие на опорную поверхность или
на прилежащие витки, полностью теряют при дальнейшем нагру-
жении способность деформироваться. Таким образом, процесс
деформирования витков заканчивается в момент их посадки.
Вид спирали в плане задается следующим уравнением, спра-
ведливым для любого момента процесса нагружения:
г == г (ср) при Zi < г с г2-
Уравнение меридионального сечения образующей поверхности
нагруженной фасонной пружины определяется функцией z =
= z (г), зависящей от величины осевой нагрузки.
Форма ненагруженной пружины задается уравнением
г0 = г0 (г).
Координату z в цилиндрической системе координат удобно
отсчитывать от плоскости опорного витка меньшего радиуса гА
(рис. 6.8).
Полярный угол ф также отсчитывается от этого радиуса. Пре-
делы его изменения 0 с ф < 2л/, где i — число рабочих витков.
Координата /0 может изменяться от нуля до свободной высоты
пружины HQ (0 < z0 < Но).
174
Рис. 6.8. Фасонная пружина, отнесенная к цилин-
дрической системе координат
Обозначим осадку пружины, соответ-
ствующую началу посадки при нагрузке
Рн.п, через Хн. п- Нагрузку и осадку при
полной посадке всех витков обозначим
соответственно Рк. п и ХКфП. Радиус витка
гпос, где в данный момент процесса нагру-
жения происходит посадка, зависит от
величины нагрузки гпос = f (Р).
Встречаются следующие основные
случаи посадок витков.
1. Прямой монотонный процесс, когда
витки начинают садиться с наибольшего
радиуса, а затем постепенно происходит
посадка всех витков вплоть до наимень-
шего (при Р = Рн.п, гпос = г2\ при
Р = ^К.п, ^пос ~ РъР
2. Обратный монотонный процесс, когда посадка витков начи-
нается с наименьшего радиуса и процесс посадки также монотонно
охватывает все витки вплоть до наибольшего (при Р = Рн<гг,
Гпос = при Р = Рк.п, Гпос = Гх).
Первый процесс в отличие от второго в практике встречается
в подавляющем большинстве случаев, например прямой монотон-
ный процесс посадки наблюдается у пружин конических и пара-
болоидных., проекция которых в плане имеет форму архимедовой
спирали.
При г2 — гх > di (или г2 — ri > витки, начиная с боль-
шего, монотонно ёадятся на опорную плоскость, а при г2 — гх <
< di (или г2 — гх < ш) —друг на друга. Возникновение обрат-
ного процесса посадки возможно лишь в случае, когда витки
малого радиуса имеют особенно малый угол подъема (в этом случае
эти витки садятся в первую очередь).
Возможны также случаи возникновения и немонотонных про-
цессов посадки, например, когда сначала садятся промежуточные
витки, а затем крайние. Так ведут себя некоторые конструкции
конических пружин с постоянным углом подъема витков, проек-
ция которых в плане имеет форму логарифмической спирали
(см. рис. 6.4). Подробное исследование этих вопросов приведено
в работе [3].
При прямом монотонном процессе посадки, если шаг / спирали
в плане во всех сечениях больше диаметра проволоки, т. е. / =
= г (ф + 2л) — г (ф) > d, то возможна посадка витков на опор-
ную поверхность в форме любой поверхности вращения, соосной
с пружиной.
При этом опорная поверхность называется посадочной. Когда
/ < d, витки садятся друг на друга.
175
Рис. 6.9. К теории посадки витков
* фасонных пружин
Образующую АпВп (рис. 6.9) посадочной поверхности фасон-
ной пружины удобно представить уравнением
Л = Л (И,
приняв при прямом процессе посадки за начало отсчета ординат
точку 02. В этом случае справедливы соотношения г] (rj = 0;
т] (г2) = Нт, где Нт — высота полностью посаженной фасонной
пружины.
При посадке витков друг на друга за кривую г] (г) следует
принять ось витков предельно сжатой фасонной пружины, т. е.
кривую АпВп на рис. 6.10.
В этом случае аналитическое выражение функции rj (r) можно
установить из следующих соображений.
При возрастании полярного угла ф на Дер ось витка, севшего
на соседний виток, продвинется
вдоль по образующей посадочной
поверхности на расстояние
(рис. 6.11)
дб = А дф,
где d—диаметр проволоки.
Рис. 6.11. К выводу уравнения т] = т] (г)
образующей посадочной поверхности
в случае посадки витков фасонной пру-
жины друг на друга
176
Приращению дуги А б соответствует смещение Ат] вдоль оси т],
равное
„ kW-М -= Ал
Тогда
iK/-)=j[K(^r)2(4r)2-1 Дг]- (6-5а)
Производная входящая в уравнение (6.5а),определяется
формой спирали в плане.
Для цилиндрической пружины с переменным углом подъема
витков функция т] должна быть представлена в зависимости от
полярного угла ф и шага полностью сжатой пружины, равного
диаметру проволоки.
В этом случае
т1 = -^-<р- (6-56)
Для фасонной пружины при t > d возможен случай посадки
витков на опорную плоскость, тогда т] = 0.
Рассмотрим некоторый элемент ds витка фасонной пружины.
Учитывая малость угла подъема витков и медленный рост радиуса
спирали в проекции пружины, можно принять, что ds — rdq.
При нагружении пружины некоторой силой Р начальный угол
подъема а0 элемента ds витка уменьшается на
Да = #- = — (6.6)
as г аф х
где dX — часть осевого перемещения X торцов пружины вследствие
деформации рассматриваемого элемента витка.
Согласно формуле Мора
откуда по (6.6)
Ла = . (6.6а)
С
В соответствии с предложением Е. П. Попова введем вспомога-
тельную функцию
W-TT- <6-7>
Тогда осадку А можно выразить следующим образом:
dK = Pl (г) dr. (6.8)
177
1
Чем больше величина при заданном значении г, тем меньше
осадка определяемая участком витка ds. Таким образом,
характеризует жесткость участка витка ds, расположенного на
радиусе г.
Начальный угол подъема витков а0 может быть определен
из уравнения меридионального сечения образующей поверхности
ненагруженной пружины z0 (г) следующим образом:
dzQ __ dz0 1 dr
ds dr r dy
(6-9)
Исключая из соотношений (6.7)
и (6.9) производную ,
имеем
„_________1 г2 dzQ
0 “ g (г) С dr
(6.10)
Угол подъема того же элемента витка при его совпадении с по-
садочной поверхностью
ап =41^4-41= 1 ZiA. (6.11)
п ds rd<f dr %(r) С dr v ’
С другой стороны, при посадке ап = а0 — Аа (6.12). Согласно
(6.6), (6.10) и (6.11) при г = гпос
что справедливо при Рн,п < Р < Рк.п.
Введем функцию £ О') = го О') —Л О'), (6-14), названную
Е. П. Поповым посадочной функцией, которая меняется в преде-
лах от (r)i = 0 до £ (г2) = Но — Нт.
При использовании этой функции выражение (6.13) принимает
вид
4,1 . f-^-]r=r =Л (6.15)
5 (Гпос) L dr J г ГПОС
Уравнение (6.15) является основным уравнением теории по-
садки витков. Оно устанавливает зависимость между усилием Р
и радиусом гпос, на котором в данный момент происходит посадка
витков.
Из определения прямого монотонного процесса посадки сле-
дует, что Рн.п = Р (г2), а Рк.п = Р (ад), где функция Р (г) пред-
ставлена зависимостью (6.15).
При постепенном увеличении нагрузки (dP > 0) расстояние
от оси пружины до места посадки (радиуса посадки) убывает,
поэтому монотонность прямого процесса посадки определяется
условием
Г—L_ <<о
dr ~ dr L l(r)t dr J
(6.16)
178
Кроме того (рис. 6.9),
d(z0 —
dr
(6-17)
Только при соблюдении условий (6.16) и (6.17), установленных
из чисто геометрических соображений, возможен прямой моно-
тонный процесс посадки.
Почти у всех практически применяемых конструкций фасон-
ных пружин наблюдается прямой процесс посадки, так как боль-
шей частью принятые наиболее конструктивные геометрические
параметры этих пружин удовлетворяют условиям (6.16) и (6.17).
Поскольку для цилиндрических пружин с переменным углом
подъема витков за независимое переменное принимают полярный
угол ф, то все аналитические зависимости, определяющие процесс
посадки, принимают другой вид, а именно:
Да =
dz0 _ dz0 2 .
0 ds dtp D ’
d
“n — nD ’
(6.66)
(6.10a)
(6.11a)
В момент посадки, как и в случае фасонных пружин, соблю-
дается условие (6.12), откуда
/ dz0 \ d _ PD9 (R .
dtp /ф=фпос 2л — 8С • (о.1<эа)
Это и есть условие посадки для цилиндрических пружин,
устанавливающее связь между силой Р и координатой <рпос точки,
в которой происходит посадка витков при рассматриваемой на-
грузке. Угол <р отсчитывается от точки, в которой заканчивается
посадка. Поэтому по формуле (6.13а) силы
в начале посадки
, 8С Г/ dzp \
н.н— Ds d(f )^2п.
d
2л
(6.136)
при полном сжатии пружины
n _ 8С Г / d?o \ __ d 1
к-п — D9 |Д dtp /ф=о 2л J •
(6.1 Зв)
Для обеспечения монотонного процесса посадки на геометри-
ческие параметры цилиндрической пружины переменного шага
должны быть наложены следующие ограничения.

PD2 .
4С ’
179
1. Наименьший угол подъема а0 у крайнего витка, где начи-
нается посадка (при ср = 2ш), должен быть больше ап, откуда
следует, что
(6.17а)
\ аср /ф=2л1 2л v '
2. Угол подъема проволоки пружины от сечения, в котором
заканчивается посадка (при ф = 0), должен монотонно умень-
шаться, т. е. необходимо соблюдать условие
<°-
аср /ф=о
(6.16а)
§ 6.5. Построение характеристики
фасонной пружины
Под характеристикой пружины понимают зависимость ее
осадки % от осевой силы Р. Осадка может быть определена интег-
рированием выражения (6.8) по радиусу г в пределах рабочих
витков.
До наступления посадки витков осадка пружины
г2
К = Р far) dr; (6.18)
Г1
ее жесткость
г-—- (б-19)
Г1
— величина постоянная.
В начале посадки
= (6.20)
где Рн, п определяется из уравнения посадки (6.15). При прямом
процессе посадки PHt п = Р (г2).
При дальнейшем увеличении нагрузки и наличии посадки ра-
бочими витками являются лишь витки, радиус которых при пря-
мом процессе лежит в пределах от гг до г110с. Для получения пол-
ного осевого перемещения необходимо учесть еще осадку уже
посаженных витков. Тогда для прямого процесса при Рн. п с Р с
с Рк.п (рис. 6.9)
гпос
Х = Р J ^(r)dr + [/f0-г0(гпос)]-[Нт-Т)(гпос)], (6.21)
180
где г (гпос) — Г) (гПОс) = $ (Гпос) и Н — Нт = $ (г2). Поэтому
А = Р j g(r)dr + Ur2)-Urnoc). (6.21а)
Выражение (6.21а) совместно с уравнением посадки (6.15)
определяет в параметрической форме характеристику пружины на
нелинейном участке.
Если исключить из (6.15) и (6.21а) параметр гпос (радиус по-
садки), то полученное уравнение определит криволинейный уча-
сток характеристики фасонной пружины.
Жесткость Z пружины, работающей в условиях посадки витков,
находим из (6.21а)
У dp
. L ~~ dk •
Дифференцируя уравнение (6.21а), имеем
гпос
>= I <6-22>
Первое слагаемое правой части уравнения (6.21а) продифферен-
гпос
цировано как произведение двух функций: Р и j ^(f)dr.
г.
Второе слагаемое в правой части уравнения (6.21а) — величина
постоянная.
Из зависимости (6.22), учитывая основное уравнение посадки
(6.15), получим
j l(r)dr
rt
Таким образом, в начале посадки при гпос — жесткость сов-
падает с жесткостью свободно сжимаемой пружины (6.19), и по-
этому характеристика пружины в момент начала посадки витков
не имеет излома.
В конце посадки при гПОс — Z = оо, и характеристика пру-
жины касается прямой (см. рис. 6.7, б, в), параллельной оси со
шкалой нагрузок Р.
Для цилиндрической пружины с переменным углом подъема
витков до начала посадки витков (О < Р < Рн.п) согласно фор-
муле (4.28в) осевое перемещение
2Ui
о
nPDsi
4С
181
Таблица 6.2
Формулы для расчета конических и параболоидных пружин с витками круглого
Определяемые величины Параболоидная пружина Коническая пружи
(r2 — ft) > id (г2 — гО < id (г2 — rd > id
Сила, при кото- рой начинается посадка витков РН. п = сн0 ™ ('•8 + Г1)'2 Рн.п = —TV X шг2 V ( Нт Л V2 + Г! 2г2 ) р . сн» 2nir\
Сила, при кото- рой вся пружина сжимается до пре- дела р _ п РК- П “ «2 X о “ я + <? II а о — to >3= X р — ^н- п Fk- п ” и3
Осадка пружи- ны под действием силы Р (0 < Р < Рн, п) _Pm(r22 + r*) (r2+,'i) 2С
Осадка, соответ- ствующая началу посадки витков (при Р = Рн.п) Хн. п — X X (1+n2) ff0 ^Н. П — Р«. пш‘(г2 + г?)Х __ X (г2 + г1) 2С А-н. п = 0,25 х х (1+«2)х X (1 +п)Я0
Осадка под дей- ствием силы Р (Рн.П Р Рк,п) 1 — п2 \ Р Рн.П / Для малых п Х«0,5 X На X II А » ю о Э. О 3 | сл 7 । ° 2° 1 ® г. а " -’1' i з Да to to X . X 1 X й АА — о • Чз| I I ьэ 3 -г, ? 1 । 22 a I со тЗ =3 1 о * X —х X
Наибольший крутящий момент при Рн. п < Р < < Рк. П (для под- счета напряжений) и значение гпрс Мкр = Г2 V Рн. пР} г —г Af п ' ПОС — '2 у —рГ~ Мкр « г2 V Р1Р-, г 1/Л 'ПОС '2 у р о мкр=г2/Рн.пР2; з / р г —г 1/ ^н-п Г ПОС — Г2 у р
Вид пружины в плане А 1 (Г2 Г1) Архимедова спираль г = гг -| — (р
Обозначения: Но — свободная высота пружины; г2 — наибольший радиус витков пружины; i — число рабочих витков; d — диаметр проволоки; С = G./ нины смены посадки.
182
поперечного сечения
на при h =*const Коническая пружина приа0 = const
(г2 — rj < id ri > гпг Г1 (г2 — - п) > > id = гт (г2 — — Г1) < < id f2 гт
Рн. п = С(Н0-Нт) 2ШГ2 СНпт н. п 2 / \ r2 (г2-г1) _ Ст [ Но н*п ri hj—г-i -V r \2ntnr2 /
□ 1! а»?° я II 1 « ьа| = Ст На _ т/ /_£_Д2 _ ! К'П г2 Lr2-ri Г \2nmrJ

Хи, п — 0,25 X Х(1 +«2)(1 + п)Х X (На-Нт) _ 1 (1—п3) и Ан.п- 3 “о г — ^н-п /'г3 — г3\ н- п - ЗтС V2 "
X "g I с. ex, * К « и L । ю 1 - сч _L о / 1! X X оо"4 >> 1 1 II "Ь 7 “|_ Ъ? X Я 1 — 2 Z-—X а “ II 1 7) ь= «| - ls>"> 7 ^1^11 1 tT? о i » X со
Мкр =г2 ^н.пР2; r -г У Рч.п 'ПОС — ' 2 у р Мкр — ^2 V Рн. пР> г —г 1/ Ри,п ' ПОС — ' 2 у р — Мкр « г2 К РгР; Г ~г 1/А 'ПОС ' 2 у р
Логарифмическая спираль г = г1е/Пф
рабочей части витков пружины при Р < Рн п; rt — наименьший радиус рабочей части 1п-^- d п--7Г;Н^- /("<)2 (Гг Г1,2; т “ 2лГ : - 2лт (i + лт) РадНус 'Ра’
183
После начала посадки по аналогии с формулой (6.21) [см.
также зависимость (6.7) ] осевое перемещение
^ = ^Фпос+ [Яо-МфПОс)-(»--^г)<ф (6.24)
где (i — — число севших витков.
Угол ср отсчитывается от точки, в которой заканчивается по-
садка.
Выражение (6.24) совместно с (6.13а) дает уравнение характе-
ристики цилиндрической пружины при наличии посадки витков.
Пример. Выведем уравнение характеристики параболоидной пружины
(см. рис. 6.6) при посадке витков на опорную плоскость.
Это возможно при условии, что (г2 — ri) > di.
Для рассматриваемой пружины уравнение спирали в плане
Г = где t = r2g~/1 .
Уравнение образующей
г» = —2T^tga0.
До начала посадки (О С Р < Рн. п) осевое перемещение связано с нагруз-
кой уравнением (6.2а).
Рассмотрим процесс посадки. Используя формулы (6.7) и (6.14), запишем
вспомогательные функции
ё 1 } С dr Ct
И г2 _г2
C(r)=Zo(r) = -!-5r^tg а0
[т] (г) = 0, так как пружина садится на опорную плоскость]. Исследуем эти соот-
ношения.
Имеем
d'Q г 4- Л
— = —tgao>O
И
JLF '
dr L £ (г) dr J г3
Знаки равенств, справедливые при любых значениях радиуса г, показы’
вают, что имеет место монотонный процесс посадки витков [см. зависимости (6.17)
и (6.16)].
Уравнение посадки (6.15) в рассматриваемом случае принимает вид
Р==________сн±
"Zrnoc (г2
(6.15а)
Посадка витков начинается при нагрузке
СН„
Pil-п (г2 + Г])
184
и заканчивается при
> _ СН о___________Рн. п
К-П“ шг?(г2 + Г1) “ "2
где
п = .
Г2
В процессе посадки расчетный радиус [см. формулу (6.15а)]
Грасч - Гпос - у шР(^+г2)
Осадка X по формуле (6.21а)
2 2
7 ? /Л Л\ । и Г<2 ~~Гпос
z “ 40 * пос 1/ + я° г2 — г\ •
Подставляя в последнюю зависимость значение гПос, после преобразования
получим уравнение характеристики пружины при Рн. п < Р < Л<. п следующего
вида:

2(1 — п2)“
Формула (6.2а) и последняя зависимость позволяют построить характери-
стику пружины от .начала нагружения до полной посадки витков.
Подобным образом задача может быть решена как при посадке витков на
любую поверхность вращения г) (г), так и при посадке витков друг на друга
(при г2 — ri< di).
Все необходимые данные для расчета конических и параболоид-
ных пружин с учетом посадки их витков приведены в табл. 6.2.
§ 6.6. Проектирование витых пружин
по заданной характеристике
При проектировании пружин приборов и некоторых автомати-
ческих устройств бывает необходимо создать пружину, упругая
характеристика которой удовлетворяла бы заданному уравнению
Р = Р (X). (6.25)
Предполагается, что заданное уравнение (6.25) является моно-
тонно возрастающей функцией.
Естественно, что подобная задача не имеет единственного ре-
шения. Руководствуясь конструктивными и технологическими со-
ображениями, можно, например, произвольно выбрать форму по-
садочной поверхности и вид проекции пружины в плане или ве-
личину угла подъема витков, чтобы затем определить форму
образующей у оправки
zo=zo(r), (6.26)
при которой в установленных условиях пружина будет иметь нуж-
ную характеристику. Подробное рассмотрение различных вариан-
тов подобной задачи приведено в работах Е. П. Попова [31.
Пример. Рассмотрим часто встречающийся случай, когда посадка происхо-
дит на опорную поверхность г] (г) = 0 и пружина имеет постоянный шаг (А =
= const).
185
В этом случае (см. рис. 6.5)
*о
#оФ
2ш
(6.27)
Для прямого процесса посадки в соответствии с (6.21а) и (6.23)
= (6.28)
Эта зависимость при условии посадки на опорную плоскость и h = const при-
нимает вид
(6.28а)
пружины
(6.29)
(6.29а)
в плане.
Руководствуясь заданным уравнением (6.25) характеристики, осадка X и
в левой части соотношения (6.28а) могут быть выражены через соответствующую
им нагрузку Р. Это позволит связать нагрузку с полярным углом срПос, коорди-
нирующим точку посадки, т. е. установить зависимость Р (<рПос)-
С другой стороны, согласно формулам (6.13), (6.7) и (6.27) для
с постоянным шагом имеем
р______1 / dzQ \ __ С / dz0 \ _ ИqC
ё (гпос) \ dr /г=гпос г^ос \ dtp /Ф=ФПос 2зпГдОС
или
3 Н0С
пос 2niP 9
где Р = Р (tpnoc).
Выражение (6.29а), представляющее собой уравнение спирали
совместно с уравнением (6.27) дает в параметрическом виде (при параметре ср =
— Фпос) зависимость z0 = z0 (г). Таким образом, форма фасонной пружины оп-
ределена.
Аналогичным способом могут быть решены и другие подобные задачи [3].
Рассмотрим конкретный пример из области приборостроения.
Требуется спроектировать пружину равночастотного амортизатора. В этом
случае частота собственных колебаний нагруженной пружины не должна за-
висеть от присоединенной массы. Теория равночастотных амортизаторов под-
робно разработана Ю. И. Иориш [1].
Изложим основные моменты этого расчета.
Как известно, круговая частота to собственных колебаний системы с одной
степенью свободы
где Z — жесткость упругого основания; т — масса присоединенного груза
весом Р.
Требование равночастотности при малых амплитудах можно выразить соот-
ношением
2 Z
со2 == — = const,
т
откуда
7 dP tfP
dk - g
и
Хсо2
Р=Ае & . (6.31)
186
При присоединении к пружине прибора наименьшей массы
g
X =3^,
где — осадка пружины при нагрузке Рг.
В интервале нагрузок 0 < Р < Рг характеристика пружины
нейной. Ее
жесткость Zr — . Тогда, поскольку
т mi
имеем
1 ~ £
1 <02
остается ли-
(6.32)
Теперь можно определить постоянную интегрирования Л
Р1 = Ле « = Ле,
откуда
А
поэтому
р=р1е'' g (6.33)
Форму пружины z0 = zQ (г) определяем, предполагая, что посадка витков
происходит на опорную поверхность, при этом характеристика пружины должна
удовлетворять уравнению (6.33).
Допустим, что по технологическим соображениям шаг пружины h = const,
тогда по выражениям] (6.28а) и (6.33), учитывая, что -туг =-------гт—Г" >
аР I _ 11
<о2Р1е'' g '
имеем
g 1п 1 g _________ \ __ П ______ ТГ .__ тг фпос
<о2 Pi х (О2 “х Р dP ~ н° н<> 2m •
(О2
. По формулам (6.28), (6.34) и (6.29)
2о = = Ни - \ In 4- = н»-------In •
и и 2ш и со2 Рг и со2 2шг3Р!
При г = rx, Zq = 0, откуда по формуле (6.35)
Н ___ £ In
~ (О2 2Л1Г??! •
Подставляя в зависимость (6.35) вместо первого слагаемого в
части выражение (6.36), получаем уравнение образующей
г° 1п
(6.34)
(6.35)
(6.36)
правой его
(6.37)
Экспериментальное изучение малых колебаний пружин, навитых с постоян-
ным шагом на оправку, построенную в соответствии с уравнением (6.37), подтвер-
дило правильность полученного решения.
187
§ 6.7. Графический метод проектирования
пружин по заданной характеристике
с монотонно возрастающей жесткостью
В тех случаях, когда характеристика пружины задана графи-
ком или таблицей, удобно пользоваться графическим методом про-
ектирования пружины, также разработанным Е. П. Поповым [3].
Допустим, что характеристика пружины представлена графи-
чески в виде кривой 012 (рис. 6.12, а).
Заметим, что может быть задана любая криволинейная характе-
ристика, подчиняющаяся следующим требованиям
1 ^>0-
ь dX2 =^и’
9 ( \ _ ^н. п .
\ dP / Р-Рц. П Рн.П
3‘ (dp)^K.n = 0
(предполагаем, что значения усилия Рн, п и РКфП, а также соот-
ветствующие им осадки Хн,п и Хк, п заданы).
Из требования 1) следует, что жесткость пружины должна
удовлетворять условию
Примем, что вид спирали в плане г = г (ср), а также началь-
ный гх и конечный г2 радиусы выбраны из конструктивных сообра-
жений. Диаметр проволоки d определяется из условий прочности.
Рис. 6.12. Графические построения при проектировании фасонных
пружин с монотонно возрастающей жесткостью, по заданной нелиней-
ной характеристике
188
Построим теперь графически образующую оправки для на-
вивки требуемой пружины.
Порядок построения. Если в произвольной точке D
(рис. 6.L2, а) заданной характеристики 012 провести касатель-
ную DE к кривой 012, а затем восстановить перпендикуляр EF
к оси X, то отрезок (DF) = Р
Кроме того, отрезок (LF) = (KL) — (KD) + (DF), т. е.
(LF) = ^.n-X + P-^- = ?(rnoc),
так как по уравнению (6.28)
Ь-Р^=Цг2)-М,
а С (^*2) ^*к. п-
Таким образом, отрезок (LF) представляет собой в масштабе
величину £ в зависимости от силы PD.
Повторяя указанные построения для ряда точек D, произвольно
взятых на заданной характеристике 012, и получая последовательно
указанным выше способом точки F, можно построить кривую PF2,
абсциссы которой в координатах (£, Р) (начало координат О')
выражают в масштабе длин значения так называемой посадочной
функции
С = I (Р).
Установим теперь функциональную зависимость £ = £ (г).
Для решения поставленной задачи предварительно строится
вспомогательная функция у = у (г) (кривая АВ на рис. 6.12, б)
r/=p(r)dr, (6.38)
где £ (г) определяется уравнением (6.7). При вычислении интег-
рала следует исходить из выбранного вида спирали в плане пру-
жины.
Из уравнений (6.22) и (6.15) следует, что
i/ = p(r)dr==-^.
С другой стороны, из рис. 6.12, а видно, что
dK _ и
~dP~~ ~Р~'
Значения и в масштабе длин определяются горизонтальными
отрезками (FD), заключенными между кривой С = С (Р) (кривая
PF2) и заданной характеристикой (кривая 01Р\
189
Отложив по оси у в соответствующем масштабе установленные
отношения -у (рис. 6.12, б), находим по кривой АВ величину
радиусов г, соответствующих исходным значениям и, а следова-
тельно, и £.
Отложив теперь вниз от оси г (рис. 6.12, б) соответствующие
значения £, замеренные на рис. 6.12, а, получим кривую АС,
представляющую функцию £ (г).
Учитывая, что
*о (/•) —*](') = £ (г),
легко построить функцию г0 (г), если известно т] (г).
В частности, при посадке на опорную поверхность т] (г) = 0,
и кривая АС непосредственно выражает г0 = z0 (г), т. е. сразу
определяет вид пружины с нужной характеристикой. Построив
огибающую к сечениям витков и учитывая упругую отдачу при
навивке, строим образующую ab оправки (рис. 6.12, б). Еще проще
спроектировать по заданной характеристике, удовлетворяющей
указанным выше условиям, специальную цилиндрическую пру-
жину переменного угла подъема.
Дифференцируя уравнение (6.24) и учитывая зависимость
(6.13а), получаем
__ 8С й
фпос — £)3 др -
Используем посадочную функцию £ = £ (Р), которая устанав-
ливается графически так же, как это было указано выше
(рис. 6.12, а)*, находим ряд значений и, позволяющих предста-
вить српос в следующем виде:
8С и
Фпос “ "рз ~р~ •
Учитывая, что посадочная поверхность для цилиндрической
пружины представляется уравнением (6.56), в соответствии с фор-
мулой (6.14)
г0(фпос) = Ш + ^^
Последнее уравнение позволяет построить развертку оси вит-
ков проектируемой цилиндрической пружины. Все необходимые
величины £ (Р), Р и и определяются графиком (рис. 6.12, а).
Диаметры пружины и проволоки выбираются из конструктивных
соображений и условий прочности.
§ 6.8. Проектирование конструкции с убывающей
жесткостью, составленной из пружин
Для получения пружин с монотонно убывающей жесткостью на
начальном участке характеристики можно воспользоваться кон-
струкцией, состоящей из двух спаренных, достаточно сильно за-
190
a)
Рис. 6.13. Система пружин с жесткостью, убывающей на начальном ее участке:
а — конструкция этой системы пружин; б — характеристика этой системы пружин;
в — графическое построение характеристики
тянутых пружин, одна из которых, например, цилиндрическая»
а другая — фасонная с посаженными на опорную поверхность
витками (рис. 6.13, а) [3].
По мере увеличения нагрузки Р, приложенной к стягивающему
штоку, сжимающему цилиндрическую пружину, фасонная пру-
жина будет разгружаться и характеристика системы в целом полу-
чит вид, представленный на рис. 6.13, б.
Построение этошхарактеристики можно произвести графически.
Линейная и нелинейная характеристики пристраиваются друг
к другу, как показано на рис. 6.13, в. Горизонталь АВ соответ-
ствует начальному натяжению пружин, равному силе Q. Задаваясь
перемещением X штока, откладываем от точек А и В влево соответ-
ственно отрезки АС и В/С, представляющие X в принятом масштабе
для линейных величин. При этом воздействие на шток со стороны
фасонной пружины уменьшится, а со стороны цилиндрической —
возрастет.
Выполняя построение, показанное на рис. 6.13, в стрелками,
определяем отрезок MN, величина которого в масштабе сил даст
нагрузку Р, соответствующую выбранному перемещению X.
Повторяя построение многократно, получим возможность по
ряду найденных значений Р и X построить характеристику
(рис. 6.13, б) системы пружин (рис. 6.13, а) с монотонно убываю-
щей жесткостью на начальном участке характеристики.
Проведя на рис. 6.13, в вертикальную линию JH снизу вверх
через точку J перехода характеристики фасонной пружины от пря-
мой к криволинейной ее части, устанавливаем отрезок рав-
ный НВ. Отложив от точки А влево (отрезок АТ) и выполнив
построения, указанные стрелками TS, SF и JE, устанавливаем
отрезок EF, который в масштабе сил определит величину Pv
При этой нагрузке витки фасонной пружины отойдут от опорной
поверхности и характеристика системы при дальнейшем ее нагру-
жении станет уже линейной.
191
Объединяя две фасонные пружины, можно получить характе-
ристику с точками перегиба или с промежуточным линейным уча-
стком. В этих случаях построение целесообразно также вести гра-
фически указанным выше способом.
§ 6.9. Расчет призматических пружин
сжатия
Призматические витые пружины (см. рис. 6.1) отличаются от
обычных цилиндрических винтовых формой витков и навиваются
из проволоки круглого поперечного сечения.
В пружинах с витками некруглой формы материал находится
в значительно более тяжелых условиях работы, чем в винтовых
цилиндрических пружинах. Поэтому призматические пружины,
используемые как пружины сжатия, применяются только в случае
острой необходимости, обусловленной габаритными размерами
места установки и другими конструктивными соображениями.
Призматические пружины во избежание искажения их формы
в процессе деформации необходимо монтировать в направляющих
стаканах или на оправках.
Рассмотрим расчет призматических пружин сжатия на проч-
ность и жесткость. В любом поперечном сечении А витка (рис. 6.14)
внутренние силы приводятся к равнодействующей Р и моменту
М = PRA в плоскости V (Р — осевая нагрузка, воспринимаемая
пружиной; RA — радиус-вектор, определяющий положение центра
сечения Л).
Плоскость поперечного
сечения
Рис. 6.14. К определению внутренних силовых факторов в поперечном
сечении витка призматической пружины
192
Вектор La полного момента может быть разложен по каса-
тельной ТА к контуру витка в плане и по нормали пА оси витка
в рассматриваемом сечении.
Составляющий момент по нормали, имеющей орт пл,
= МппА,
где
Mn = PRA cos 6Л.
Составляющий момент по касательной, орт которой Тл,
Lt = — МтТА,
где Мт = PRА sin 6Л.
Здесь 6А — угол, образованный радиусом-вектором RA в точке А
с касательной ТА в этой точке к контуру витка пружины в плане
(рис. 6.14).
Момент Мп изгибает виток в вертикальной плоскости Т,
касательной к оси витка в точке А. Момент Мт действует в вер-
тикальной плоскости W, проходящей через нормаль пл.
Поперечное сечение витка (плоскость N, также проходящая
через нормаль пА) составляет с плоскостью W действия момента Мт
уго^ а.
Разложим вектор LTi как и в случае обычных цилиндрических
пружин (см. гл. 4), по осям tA и ЬА и определим крутящий момент
Lt и момент Lb. изгибающий виток в соприкасающейся плоскости:
Lt = cos а = — 7И?Л,
где Mt = PR a sin бл cos а
и Lb = LT sin а = МьЬА,
где Mb= PR a sin 6Л sin а.
Таким образом, в любом поперечном сечении призматической
пружины сжатия внутренние силы приводятся к равнодейству-
ющей Р, которая в расчетах пружин на прочность и жесткость
во внимание не принимается, и к моменту, дающему при разло-
жении изгибающий момент в касательной плоскости (нейтральная
ось п),
Mrt = PPcos6, (6.39)
изгибающий момент в соприкасающейся плоскости (нейтраль-
ная ось Ь)
Mb = PR sin 6 sin а (6.39а)
и крутящий момент
Mt = PR sin 6 cos a, (6.396)
где —радиус-вектор, определяющий расстояние от оси пру-
жины до сечения; угол 6 определяется контуром витка в плане,
a a — углом подъема витков.
7 Пономарев С. Д.» Андреева Л. Е. 193
Обращаемся к расчету призматических пружин на прочность.
Поскольку эти пружины навиваются из проволоки круглого по-
перечного сечения, легко установить расчетный момент. Руковод-
ствуясь, например, теорией наибольших касательных напряжений,
Мрасч - /Л12п + М| + Л1?. (6.40)
При расчете на прочность необходимо предварительно уста-
новить положение опасного сечения, т. е. найти сечение, в котором
7Ирасч является наибольшим, и подсчитать величину последнего.
Расчетная формула имеет вид
дднаиб
о9кв=-^<М, (6.41)
где [а ]—допускаемое напряжение.
Для определения осевого перемещения X торцов призмати-
ческой пружины при ее сжатии воспользуемся интегралом Мора
1 Г MnMnids , f MbMblds . f MtMuds
“ J EJn “T J EJb Л GJ ,
l I I
r i Jn л . / Hl
где Jn = Jb =-£4- cm , I = -qs—---------длина проволоки пру-
жины; П — периметр контура витка в плане; а — угол подъема
витков; i — число рабочих витков.
Выражение для внутренних силовых факторов от единичной
нагрузки легко получить из зависимостей (6.39), (6.39а) и (6.396),
полагая в них Р = 1. Тогда получим
Мп1 = R cos 6;
Л461 = R sin 6 sin а; (6.42)
Mtl = R sin 6 cos а.
После соответствующих подстановок и ряда преобразований
осевое перемещение % торцов пружины в общем виде может быть
выражено следующим образом:
i
. Г 32Pcos2a . 64Psin2al [ п2„.„2с, ,
Х = [ Gd* +-------EdT~ J J R Sin 6 ds +
0
I
-+ J Я2 cos2 6 ds. (6.43)
0
При вычислении интегралов, входящих в зависимость (6.43),
следует иметь в виду, что радиус-вектор R и угол 6 от сечения
к сечению меняются.
Пример. Определим осевое перемещение X торцов у призматической пружины
с контуром витка в плане в виде прямоугольника со скругленными углами
(рис. 6.15).
Этот контур определяется тремя линейными размерами a, b и г (рис. 6.15).
194
Рис. 6.15. Ось витка призматической
пружины в плане
В этом случае на прямоугольных
участках а контура
R cos 6 = х,
где х — меняется от 0 до а,
R sin 6 = b+ г;
на прямолинейных участках b контура
R cos 6 = у,
где у меняется от 0 до Ь\
R sin 6 = а + г;
на закруглениях радиуса г
/? cos 6 = a sin хр — b cos хр;
R sin 6 = г + b sin хр + a cos хр,
где полярный угол хр меняется от 0 до .
Таблица 6.3
Формулы для расчета призматических пружин
Форма сечения
оправки
Осевое перемещение X
« /31 з\ । ^Piac (а + с)
х=^77(а3+с3)+ - gjp
ODi 9 Pi
* = lmS + п3 + * + с31 + -ГТ- х
OJC J fi VJ J p
X [a2 (& + <?) + Л2 (m + «)]
A = 1263 4-1,5£2p (2p - sin 2p)J +
oC J л
+ [P2 (₽P - 2k sin p) + a*b +
+ 0,5fc2p(P +0,5 sin 2P)]
Примечание. Сила P перпендикулярна плоскости чертежа в точке О. i
7*
195
Используя указанные подстановки и выполняя интегрирование, получим
a 64Picosa , 128Pisinatga , 256Р/ ч
Х = Xi —Gd*--------+ **----------Ё¥ " + <6-43а)
где
Xi = г3 + — ar2 + — br2 + 0,5a2r + 0,5Z>2r + abr + — a2b + — ab2\
л 1 л * ‘л 1 л 1 л
(6.44)
— a2f abr ! 1 ь*г \ а3 45^
%2 л Н 4 Н 1 Зл 1 1 Зл ‘
При а = 0 зависимость (6.43а) заметно упрощается и может
непосредственно использоваться для определения осадки пру-
жин % рассматриваемого вида при малом угле подъема витков.
Из выведенных формул легко получить также выражения для
осадки пружин с витками других очертаний, встречающихся
в инженерной практике (табл. 6.3).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иориш Ю. И. Виброметрия. М. Машгиз, 1963, 771 с.
2. Пономарев С. Д. Расчет и конструкция витых пружин. М. ОНТИ, 1938.
350 с*
3. Попов Е. П. Методы проектирования витых пружин с криволинейной
характеристикой. — В кн.: Динамика и прочность пружин. М., АН СССР, 1950,
с. 129—187.
Глава 7
Термобиметаллические пружины
§ 7.1. Применение и свойства
термобиметаллов'
Если сварить две полосы из материалов с разными коэффи-
циентами линейного расширения, то при нагреве эта двухслойная
(биметаллическая) пружина будет изгибаться (рис. 7.1). Получен-
ный упругий элемент, который называется термобиметаллической
пружиной, служит для преобразования температуры в перемеще-
ние. Слой термобиметалла, обладающий большим коэффициентом
линейного расширения, называется активным в отличие от инерт-
ного слоя с меньшим коэффициентом линейного расширения. При
нагреве биметаллическая полоса изгибается в сторону инертного
компонента.
Простота конструкции, надежность в работе, невысокая сто-
имость обеспечили широкое применение термобиметаллических
элементов в различных приборах и устройствах [1, 3, 5].
Термобиметаллическая пружина часто используется, напри-
мер, как чувствительный элемент термометра. Для повышения
чувствительности термобиметаллическому элементу термометра
обычно придается спиральная или винтовая форма, которая обес-
печивает достаточную длину элемента при его небольших габарит*
ных размерах.
Применение термобиметаллов не ограничивается задачей изме-
рейия температур. Часто они используются для измерения дру-
гих параметров, преобразуемых в температуру. Например, для
измерения силы и мощности тока используются биметаллические
амперметры и ваттметры.
Весьма широкое применение получили биметаллы в качестве
температурных компенсаторов самых различных приборов. Так,
в некоторых манометрических приборах с изменением температуры
меняется чувствительность прибора вследствие
изменения модуля упругости материала мано- '/л to ,
метрического упругого элемента. В этом случае ||
одним из наиболее простых средств умень- а)
шения температурных погрешностей является t>io
термобиметаллическая компенсация [2].
Рис. 7.1. Биметаллическая пружина:
а — при нормальной температуре; б — при нагреве
б)
197
Рис. 7.2. Термобиметаллический компенсатор тем-
пературной погрешности манометрического упру-
Г0Г0 элемента
Например, с помощью биметаллической
пружины, входящей в состав кинематиче-
ск°й цепи механизма (рис. 7.2), при изме-
нении температуры можно должным обра-
зом изменить передаточное отношение.
Одним из наиболее известных и давних случаев применения
термобиметаллов является температурная компенсация в спуско-
вом регуляторе «баланс — спираль» часовых механизмов. Баланс
выполняется биметаллическим и разрезным так, что при изменении
температуры момент инерции баланса изменяется пропорци-
онально жесткости волоска, и частота колебаний системы остается
постоянной.
Однако более широко, чем в чисто измерительных целях,
термобиметаллические пружины используются в различных ре-
лейных устройствах, предназначенных главным образом для за-
щиты электрических цепей и аппаратов от перегрева, а также
в элементах простейших регуляторов температуры. Биметалли-
ческие защитные реле и регуляторы температуры широко исполь-
зуются и в бытовых аппаратах (холодильники, утюги, стиральные
машины), и в промышленных системах (реле защиты электро-
двигателей, регуляторы температуры в электропечах небольшой
мощности). На рис. 7.3 представлена схема биметаллического
реле, реагирующего на изменение окружающей температуры.
Биметаллическая пластинка 1 нажимает на контактную пру-
жину 2, разрывая контакт между пружиной 2 и винтом 3. Поло-
жением этого винта устанавливается температура срабатывания
реле.
Биметаллические пластинки могут быть использованы не
только в релейных устройствах, управляющих электрическими
цепями, но и для непосредственного управления регулирующими
органами, например дроссельными заслонками трубопроводов.
В этих случаях применяются достаточно мощные биметаллические
пластинки.
Нагрев термобиметалла осуществляется либо путем тепло-
обмена между элементом и окружающей средой, либо при про-
хождении электрического тока, и тогда термобиметалл является
элементом сопротивления. В последнем случае целесообразно
выбирать материалы слоев термобиметалла с большим электро-
сопротивлением. Если же
термобиметалл должен
реагировать на изменение
Рис. 7.3. Биметаллическое реле
198
температуры окружающей среды, а влияние тока на его тем-
пературу нежелательно, то иногда между активным и пассив-
ным компонентами располагают промежуточный слой с высо-
кой электропроводностью.
ГМатериалы слоев термобиметалла должны обладать большой
разницей между коэффициентами линейного расширения для
обеспечения достаточной чувствительности. Если термобиметалл
является измерительным упругим элементом, то для получения
линейной характеристики термобиметалла желательно, чтобы
коэффициенты линейного расширения его компонентов не изме-
нялись с изменением температуры или же изменялись одинаково.
Материал термобиметалла должен иметь высокий предел упру-
гости, чтобы при работе в нем не возникали остаточные деформа-
ции. С другой стороны, желательна высокая пластичность мате-
риала, позволяющая прокатывать биметаллические полосы до
малых толщин и изготавливать элементы требуемой формы. Ком-
поненты биметалла должны хорошо свариваться или спаиваться.
Если биметалл работает в условиях высоких температур, то
материал его должен быть достаточно термостойким.
Сплавы на медной основе имеют большой коэффициент линей-
його расширения, но могут применяться в качестве активного
компонента только в небольшом интервале температур, главным
образом в устройствах, предназначенных для измерения или
компенсации температуры воздуха, окружающего прибор.
Высокими упругими свойствами обладает биметалл, состоящий
из^инвара 36Н и хромоникелевых сталей. Малый коэффициент
линейного расширения инвара обеспечивает достаточную чув-
ствительность таких биметаллов, а высокая прочность и хорошая
термостойкость позволяют использовать их при высоких напряже-
ниях и повышенных температурах (до 200—400° С).
Физико-механические свойства основных марок термобиметал-
лов даны в ГОСТ 10533—63.
Методы расчета термобиметаллов изложены в работах 14—6].
§ 7.2. Расчет термобиметаллических
пружин при нагреве
Рассмотрим элемент, выделенный двумя поперечными сече-
ниями из узкой биметаллической пружины (рис. 7.4), свободной
от внешних силовых нагрузок.
Обозначим а1? Ег и h2i а2, Е2 соответственно толщину,
коэффициент линейного расширения и модуль упругости актив-
ного и пассивного слоев биметалла.
Деформацию 8 произвольного слоя биметалла при нагреве
можно представить как сумму температурной 8Z и упругой
деформаций
8 = е, 4- е,у. (7.1)
199
нии у от слоя спая,
Рис/7.4. Элемент биметалла£до и после
нагр*ева
При изменении температуры
на величину t биметалличе-
ская полоса искривляется, се-
чения элемента, оставаясь пло-
скими, поворачиваются' отно-
сительно друг друга на угол и полное относительное удли-
нение 8 произвольного волокна АВ, находящегося на расстоя-
в = 8о + У = ео + У
(7.2)
где е0 — деформация слоя спая, а Ах = ----------изменение его
кривизны.
Упругая деформация ъу волокна определяется в соответствии
с выражениями (7.1) и (7.2)
= е0 + у Ах — ez.
Температурная деформация ее = at, тогда
&у — ео + У Ах — а£
Напряжения, связанные законом Гука с упругими деформа-
циями,
<tz = Ei (s0 4- г/ Ах — atf), (7.3)
причем для активного слоя i = 1 (0 < у < /ц);
для инертного i = 2 (—h2 < у < 0).
Величины е0 и Ах найдем из условий равенства нулю нормаль-
ной силы и изгибающего момента в поперечном сечении термо-
биметалла, подверженного только тепловому воздействию,
JV = J CTidF-f- j a2d£ = 0;
Fi Ft
M — j c^y dF -|- j o2y dF = 0,
f. f2
здесь площади F± = bhx и F2 = bh2, b — ширина пружины.
В результате интегрирования получим следующие два урав-
нения:
Eiht (е0 ф- hj. Ах — а^ — E2h.2 е0 ф- -у h2 Ах ф- а2/) = 0;
(7-4)
E\hi ^ео -j- hi Ах — а^ — £2/i2 (во----^-h2 Ах — а2(^ = 0,
200
откуда, исключая 80, получим выражение, определяющее изме-
нение кривизны термобиметалла при нагреве:
6 («! — а2) ‘
Ах =
(Е^-Е^У
E^E^h-jJi^ (hi -|- А2)
+-4(Ai + A2)
(7.5)
Знаменатель этого выражения будет минимальным, если
Etf = E2h2 или А- = V42- • (7.6)
п2 г £1
В этом случае термобиметалл будет иметь наибольшую чувстви-
тельность. Термобиметалл, удовлетворяющий условию (7.6), на-
зывается нормальным. В соответствии с выражениями (7.5) и (7.6)
изменение кривизны для нормального биметалла
Дх = -у- (ах - а2) , (7.7)
где h = h± + h2 — толщина биметалла.
Зная изменение Ах кривизны, можно определить перемещение
биметалла с помощью интеграла Мора
А, = J = J AxMxds.
I I
Здесь M.r— изгибающий момент от единичной нагрузки, при-
ложенной в направлении искомого перемещения; I — длина би-
металла.
С учетом выражения (7.7)
X = 4 (ах - а2) 4- J ds. (7.8)
Определим прогиб конца термобиметалла (рис. 7.5) при его
нагреве на f С, если его материал и размеры известны.
Приложим к концу биметалла единичную силу. Изгибающий
момент Л4Х в произвольном сечении будет Л4Х — 1г. Тогда со-
гласно выражению (7.8) прогиб конца биметалла
i
Ь =4(«1-«2)-Н — а2)4"-Г- (7-9>
О
Рис. 7.5. К определе-
нию прогиба термо-
биметалла
Рис. 7.6. Температурные напряже-
ния в биметалле
201
Напряжения, возникающие в биметаллическом элементе при
его нагреве, связаны с упругой деформацией формулой (7.3),
т. е.
о = Егу = Е (е0 + у Ах —а/). (7-Ю)
Изменение кривизны при нагреве нормального биметалла
определяется выражением (7.7). С учетом первого уравнения (7.4)
и выражения (7.7) для изменения кривизны Ах, а также соотно-
шения (7.6) для нормального биметалла деформация слоя спая
при нагреве биметалла
е0 = (аЛ + а2/гх) -Т-.
Подставляя значения изменения кривизны Дх (7.7) и относи-
тельного удлинения 80 слоя спая в выражение (7.10), получим зна-
чения температурных напряжений в биметаллическом элементе
<?! = £1 -j- (ах — а2) (4- у - ;
t /3 \ (7-П)
<?2 = Дг — (“г — “г) (-2" */ + ) •
Наибольшие температурные напряжения возникают в точках,
расположенных вблизи слоя спая, где у = 0 (рис. 7.6):
O'lmax = — El («1 — а2) t -у-;
^2max = Е2 (ах а2) t .
§ 7.3. Расчет биметаллической пружины
при изгибе внешними силами
Рассмотрим чистый изгиб внешними моментами М пружины
из нормального термобиметалла в условиях постоянной темпера-
туры. По-прежнему будем считать справедливой гипотезу плоских
сечений.
Предположим, что нейтральный слой смещен на величину е
по отношению к слою спая (рис. 7.7). Тогда относительная де-
формация волокна АВ, отстоящего
от слоя спая на расстоянии у,
е, = = (у + е)
где Дх = — кривизна нейтраль-
ного слоя.
Рис. 7.7. Элемент биметаллической пружины,
находящейся в условиях чистого изгиба
202
На основании закона’ Гука напряжения в слоях биметалла
az •-= Е^у + е) Ьк(1=- 1,2). (7.12)
Положение нейтрального слоя определяется из условия ра-
венства нулю нормальной силы N в поперечном сечении
ht О
N = J а1 dF + j о2 dF = О,
О — h2
откуда
* Ei (/г? + 2ей1) + Е2 (— hl + 2eh2) = О
ИЛИ £1 _ ^2 ~ 2g^2
£2 /11 4- 2eh j
Так как для нормального термобиметалла справедливо условие
Е h~
(7.6) -=А=-4, то, следовательно, г = 0. Это значит, что
£2 h\
нейтральный слой при изгибе нормального термобиметалла внеш-
ними силами совпадает со слоем спая.
** Изгибающий момент в сечении
о

М = b j с^у dy + j <32y dy = -у- Ли (£ifti + ^2).
-0 —h, J
отсюда
_ зм 1
~ b Е$ + Е$ ‘
(7-13)
При определении перемещений биметаллической пружины
ее удобно заменить эквивалентной полоской тех же размеров,
но с некоторым так называемым приведенным модулем упругости,
одинаковым для обоих слоев {см. гл. 12 11]}. Изменение кри-
визны этой полоски
Ах = -#. (7.14)
£3 J
Здесь Е — приведенный модуль упругости материала эквивалент-
„ j bh.3
нои пружины, a J = ---осевой момент инерции ее сечения.
Приведенный модуль упругости Е определяется из условия
равенства изменения кривизны у эквивалентной и биметалли-
ческой пружин, нагруженных одинаковыми моментами М. При-
равнивая правые части выражений (7.13) и (7.14) и учитывая
соотношение (7.6) для нормального биметалла, получим
р 4£i£2
(7.15)
Задача определения перемещений биметаллической пружины
под действием внешних сил приводится к задаче нахождения
перемещений в эквивалентной однородной пружине.
203
Если биметаллическая пружина одновременно нагревается
и нагружается внешними силами, то действие температуры удобно
заменить эквивалентным изгибающим моментом Mt, величина
которого находится из равенства изменений кривизны пружины
под действием температуры и под действием момента М(. В соот-
ветствии с выражениями (7.7) и (7.14)
3 , . t Mt
2 h ~ EJ ’
откуда Mt = (ах — а2) -у- EJ. (7.16)
Здесь EJ — изгибная жесткость эквивалентного стержня, а при-
веденный модуль упругости Е определяется выражением (7.15).
Напряжения в биметаллической пружине, возникающие при
внешнем силовом воздействии, определяются выражениями (7.12).
Для нормальной термобиметаллической пружины нейтраль-
ный слой совпадает со слоем спая, т. е. г — 0. Тогда выражения
(7.12) принимают вид
сгх = £х«/ Дх (0 < у < /ix);
о2 == Егу Дх (—h2 < у < 0).
Изменение кривизны при изгибе биметаллической пружины
моментом Л1 определяется по формуле (7.13). Учитывая соотно-
шение (7.6) дчя нормального термобиметалла, получим
ЗМу . __ ЗМу
1 bh^h ’ 2 bh%h
На рис. 7.8 показан характер распределения деформаций 8
и напряжений о при изгибе биметаллической нормальной пру-
жины внешними силами. Наибольшие напряжения возникают
в крайних волокнах при у = hr и у = —/г2:
СТ1п,ах==ЖГ’ a2tnax ~bhh^- °
Если биметалл находится при одновременном воздействии
температурной и силовой нагрузки, то полные напряжения можно
определить путем алгебраического суммирования температурных
напряжений и напряжений при изгибе внешними силами.
Пример. Определить напряжения в нормальной термобиметаллической пру-
жине при нагреве на t = 60° С. Компоненты термобиметалла — инвар 36Н,
латунь Л90, разность коэффициентов линейного расширения ах — а2 = 16,5 X
X 10"6 1/° С, модули упругости Ег = 1,Ы05МП?; Е2 = 1,5-10бМПа. Размеры
пружины: I = 30 мм; h = 0,2 мм; b = 3 мм (рис. 7.9).
Решение. Определим реакцию X из условия К/ц = где прогиб точки А
свободной пружины при нагреве в соответствии с (7.9)
3 t I2
^At = -j- (01-02) -у-у’ (7.18)
204
Рис. 7.8. Напряжения при изгибе биме-
таллической пружины внешними силами
Рис. 7.9. К определению напряжений
а прогиб пружины под действием силы X в соответствии с (2.3)
(7.19)
Z = х/3
Ах ^EJ *
Приведенный модуль упругости из формулы (7.15)
Е = = 4-1.1-ЮМ 5-10* 105
(Kfi + Kfa)2 (К1.Ы05 + К1,5-106)2
г bh9 3 (0,2)» „ „Ло .
момент инерции сечения J = -у^- = —у^ — = 0,002 ММ4.
Приравнивая выражения (7.18) и (7.19), получаем
v 9 / ч t EJ 9 1Л б 60 1,27* 105-0,002 u
Х = — (“1 -^) — — = 16’5-10 e 0J---------30------=0-094 н-
Отношение толщин компонентов биметалла по формуле (7.6)
hi _ 1/ Е2 _ -1/ 1,5* 105
h2 У Ег V 1,1-105
= 1,17,
и из условия hr + h2 = h = 0,2 мм = 0,108 мм и h2 = 0,092 мм.
Температурные напряжения в поперечном сечении пружины в соответствии
с формулой (7.11)
<71/ == («! - а2) (А у - О.Юв) = 544 (1,5у - 0,108) (0 < у < ft,);
(— h-rr'yrQ).
а2/ =742 (1,5//4- 0,092)
Рис. 7.10. Эпюры напряжений
205
При изгибе силой X опасным является сечение в заделке, где изгибающий
момент М= XI = 0,094-30 = 2,82 Н-мм. Наибольшие изгибные напряжения
по формулам (7.17)
, _ ЗЛ4 3-2,82 _ 1QO мп
1И"' bhhr ~ 3 0.2 0,108 ~ 130 МПа,
„ 3 2,82
2И — 3 0,2 0,092 — 153 мпа
(знак минус соответствует напряжениям сжатия в верхнем слое биметалла).
Эпюры напряжений о/, ои и суммарных напряжений о даны на рис. 7.10.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Агейкин Д. И., Костина Е. Н., Кузнецова Н. Н. Датчики контроля и
регулирования. М., Машиностроение, 1965. 928 с.
2. Боднер В. А. Авиационные приборы. М.: Машиностроение, 1969, 467 с.
3. Воробьев А. И., Кацнельсон О. Г. Термобиметалл и его применение в при-
боростроении и автоматике. М.—Л. Госэнергоиздат, 1951. 126 с.
4. Григолюк Э. И. Тонкиё биметаллические оболочки и пластины. — Ин-
женерный сборник, АН СССР, 1953, т. XVII, с. 119—148.
5. Кашпар Ф. Термобиметаллы в электротехнике. М.—Л., Госэнергоиздат,
1961. 448 с.
6. Королев В. И. Тонкие двухслойные пластинки и оболочки. — Инженер-
ный сборник, АН СССР, 1955, т. XXII, с. 98—110.
Глава 8
Кольцевые волнистые шайбы
§ 8.1. Конструкция. Расчет волнистых
шайб до начала их посадки
на опорную плоскость
В современной технике кольцевые волнистые шайбы (рис. 8.1)
получают все большее применение и выпускаются самых различ-
ных размеров. Пружинящие шайбы представляют собой полого-
гофрированные кольца прямоугольного поперечного сечения;
штампуются из тонкой холоднокатаной стальной ленты (сталь
65Г) толщиной б .= 0,34-0,5 мм и после термообработки подвер-
гаются заневоливанию.
Волнистые шайбы, предназначенные для работы в специфи-
ческих условиях, могут изготовляться и из бронзовой ленты.
Ширина прямоугольного сечения колец b ориентировочно равна
(5—10) 6 при внешнем диаметре Ри = (104-18) b, поэтому они
могут рассматриваться как кривые брусья малой кривизны.
Высота готовых шайб, имеющих п = 3-4-4 полных синусоидаль-
ных волн, составляет h = (14-2) b.
Кольцевые волнистые шайбы, компактные по габаритам и
простые в изготовлении, служат надежным упругим элементом,
обеспечивающим нужный натяг в различных узлах конструкций.
Представляется, что достаточно достоверной расчетной схемой
для кольцевой волнистой пружины является плоское кольцо,
нагруженное в местах контакта с опорными плоскостями силами,
нормальными плоскости кольца, в предположении заделки опор-
ных сечений АА, ВВ, СС ... (рис. 8.2, а), за которыми сохраняется
при сжатии шайбы лишь свобода для поступательного движения
в радиальном направлении. В связи с этим контактные силы
в любом из опорных сечений при их приведении к оси кольца
сводятся не только к силе —, где Р — полная нагрузка, воспри-
нимаемая шайбой, но и к дополнительному моменту т, препят-
ствующему повороту сечения в соответствующей радиальной
плоскости (рис. 8.2, б).
Средний радиус R кольца, представляющего собой разверну-
тую на плоскость волнистую шайбу, несколько больше ее среднего
радиуса г (рис. 8.2, а); при расчете этим можно пренебречь.*8,
Расчетная схема, представленная на рис. 8.2, б, является
несколько приближенной, но при значительных нагрузках, т. е.
207
Рис. 8.1. Общий вид кольцевых вол-
нистых шайб
в сильно деформированном сос-
тоянии, волнистая шайба дейст-
вительно развертывается почти
в плоское кольцо, а расчет кон-
струкций на прочность по раз-
мерам в деформированном со-
стоянии, как известно, является
более точным, чем расчет по
начальным размерам.
Некоторые сомнения могут
возникнуть при расчете по
этой схеме прогиба % волнистой
шайбы, поскольку в рассмат-
риваемом случае имеют место
относительно большие перемещения. Однако эксперимен-
тально полученные упругие характеристики воллистых шайб
(рис. 8.3) до начала посадки гофра на плоскость практически
линейны, что позволяет считать перемещения на этом этапе
нагружения малыми.
208
Рис. 8.3. Характеристики
волнистой шайбы:
при
нии; <- А — А — А <-
грузке; -------- по
расчетной схеме
нагруже-
при раз-
избранной
Расчет кольца в рас-
сматриваемых условиях
нагружения приводится
при расчете прорезных
пружин (см. гл. 10).
Расчет по принятой
схеме показывает, что
в сечениях кольца (рис.
8.1, 6) возникают изги-
бающие и крутящие мо-
менты. Их значения
определяются после
раскрытия статической
неопределимости. Кру-
тящие моменты по ве-
личине оказываются
меньше изгибающих, но одновременно с последними достигают
наибольших значений в опорных сечениях, где поэтому напря-
жения максимальны 1,1].
Используя вычисленные значения внутренних силовых фак-
торов и применяя интеграл Мора, можно подсчитать осадку X
гофрированной шайбы при ее сжатии. Теоретически построенная
упругая характеристика гофрированной шайбы, т. е. зависимость
ее осадки от нагрузки, на начальном этапе нагружения (до начала
посадки гофра на опорные плоскости) подтверждается экспери-
ментально.
Однако все рабочие формулы, полученные по рассмотренной
расчетной схеме, достаточно сложны, и расчет по ним требует
довольно много труда и времени. Это заставляет обратиться
к более простой, хотя на первый взгляд и более грубой, расчетной
схеме. В этом случае полуволна шайбы, ось которой представлена
на рис. 8.2, в, перекрывающая участок ST и имеющая в развертке
длину I рассматривается как прямая двухопорная балка
Р
длиной /, нагруженная в середине пролета силой —.
Расчет прост и достаточно точен. Наибольшие напряжения
изгиба возникают, как и у кольца, в сечении, расположенном под
точкой приложения силы
Л4ГХ = -%- = . (8.1)
4п 4п2 ' '
209
Уменьшение К высоты волнистой шайбы оценивается как двой-
ной прогиб в середине пролета рассматриваемой балки, т. е.
i 9 Я3 _ Prfr* я
Л “ 2 48/гВ ~ 24/г4В ’ (8’2)
где В — жесткость сечения кольца, при его изгибе из своей пло-
D 663
скости В = Е.
Сопоставляя результаты двух методов расчета, можно отме-
тить, что в первом случае более правильно отражено напряженное
состояние волнистой шайбы при ее деформации. В процессе сжа-
тия шайба действительно испытывает одновременно изгиб и кру-
чение, в то время как во втором методе расчета учитывается только
один изгиб. Однако можно показать, что последний оказывается
несколько завышенным, в связи с чем наибольшие эквивалентные
напряжения в опасных точках шайбы в обоих расчетах практи-
чески совпадают. Кроме того, расчет на прочность рассматрива-
емых упругих элементов по номинальным напряжениям является
условным, так как волнистые кольцевые пружины подвергаются
пластическому обжатию (заневоливанию).
Что касается жесткости шайбы, подсчитываемой по первому
и второму методам расчета, то в обоих случаях получается почти
один и тот же результат. В связи с этим расчет волнистых шайб
целесообразно вести по второй расчетной схеме. Этот подход
достаточно хорошо отражает их поведение при сжатии, и в то же
время он более простой. Поэтому его и следует рекомендовать для
инженерной практики.
Таким образом, осадку волнистой шайбы % до начала посадки
гофра на опорную плоскость можно определить по формуле (8.2),
которая достаточно хорошо подтверждается экспериментом
(рис. 8.3). На начальном участке характеристика волнистой пру-
жины действительно практически линейна. Заметное искривление
наблюдается лишь с момента начала посадки гофра на опорные
плоскости.
§ 8.2. Исследование посадки волнистой
шайбы на опорную плоскость
Примем приближенно, что волна гофра является дугой окруж-
ности, поэтому легко определить ее радиус
где / = h — 6 — максимально возможная осадка гофрированной
шайбы (см. рис. 8.2, б).
210
Начало посадки наступает в сечении наибольшего Ми при
силе Рн. п, которая определяется из условия
откуда
. л1Шах ,
1 __ _ Рн.п/
р В 4пВ ’
D — 16^
н*п р/ л3г3
(8.4)
(8-5)
2
Осадка шайбы по формулам (8.2) и (8.5) составит % п = -т- f.
О
При нагрузке Р > Ри>п, когда гофр на участках длиной s
с каждой стороны от вершины волны О (рис. 8.2, в) уже сел на
опорную плоскость, сближение опорных плоскостей по принятой
упрощенной схеме будет
где сила Р связана с длиной s зависимостью
Откуда
1 Ми ? \ 2
р В 2пВ
(8-7)
р________4пВ
р/ (1 — т) ’
(8-8)
где ----------коэффициент посадки гофра на плоскость; 2s —
участок дуги, пришедшей в соприкосновение с опорной плоскостью
на длине полуволны I (см. рис. 8.2, в).
Первое слагаемое формулы (8.6) выражает свободное посту-
пательное движение сечений гофра до их прихода в соприкоснове-
ние с опорной плоскостью на участке s. Второе слагаемое опре-
деляет сближение опорных плоскостей, вызванное поворотом
сечений в месте посадки сечений гофра из наклонного до перпен-
дикулярного положения к опорной плоскости. Третье слага-
емое — это перемещение в связи с изгибом еще не осевшей части
гофра (балки).
После преобразования формулы (8.6) получим
+ <8-9>
2
В начале посадки, когда т = О, X = Хн. п = -g- f (см. выше).
В конце посадки tn = 1, X = Хпред = /, а Рпрсд = оо.
Исключая из формул (8.8) и (8.9) коэффициент посадки /п,
получаем уравнение характеристики волнистой шайбы, связы-
вающей нагрузку и перемещение на последнем участке деформиро-
211
Вайия шайбы от начала ее посадки, когда Р = Рн,п, до полного
СПЛЮЩИВаНИЯ ПрИ Р = Рпред,
. 2 , Г 3 8n2fi2 ] 2 , Г 3 /’н.п
Л —' 3 ' L 2 р2/2ра J - з / I 2 2?2
(8.10)
Теоретическая характеристика хорошо согласуется с экспери-
ментальной (рис. 8.3), где приведены результаты испытаний вол-
нистой пружины следующих размеров: г = 24 мм; b = 3,5 мм;
б = 0,5 мм; h = 5 мм; п = 3. Принято, что Е — 2* 105 МПа.
Однако рассчитывать на идеальное совпадение теории с прак-
тикой в условиях посадки вряд ли возможно. Ничтожно малые
зазоры, теоретически еще сохраняющиеся между опорными пло-
скостями и гранями сложным образом деформированной шайбы
при нагрузках, близких к предельным, частично перекрываются.
Это связано с наличием допусков на все размеры шайбы и не-
достаточно качественным ее изготовлением. Этим же объясняется
также некоторый разброс точек в криволинейной части характе-
ристики при повторных нагружениях, что связано и с неста-
бильностью сил трения, возникающих на поверхности соприкос-
новения шайбы с опорными плоскостями при ее сплющивании.
Силами трения объясняется небольшая петля гистерезиса, наблю-
даемая в процессе нагружения и разгрузки шайбы (рис. 8.3).
§ 8.3. Расчет волнистых шайб в связи
с их пластическим обжатием
Переходя к расчету волнистых шайб на прочность, заметим,
что коэффициент запаса прочности ч у заневоленных шайб следует
определять не по напряжениям, а путем сравнивания предельной
относительной линейной деформации термообработанной пружин-
ной ленты 8Пред 2,54-3,0% с максимальной деформацией fmax >
> 8Т, возникающей при первой развертке волнистой шайбы-
6
заготовки на плоскость етах = -=— в связи с ее заневоливанием
фо
—----наибольшая кривизна гофра шайбы-заготовки^ .
Коэффициент запаса
енред
П = -----•
ьгпах
В рассматриваемом случае предполагается, что кривизна гофра
у шайбы-заготовки постоянна. Используя формулу (8.3), имеем
2n26F ат
егпах — Л2Г2 — £
(8.Н)
212
(8.12)
(F — предельно возможный прогиб шайбы-заготовки при занево-
ливании путем полного ее обжатия). Тогда
р _ f । л Pt
' “Г" 2п2б Е 9
где Л — пластическая осадка шайбы-заготовки при заневолива-
нии; v > 1 — коэффициент степени заневоливания (v = -^p- =
2,0 н- 2,5, где t — высота упругого слоя в прямоугольном
сечении шайбы толщиной б).
Таким образом, высота шайбы-заготовки Н = F + б, а ра-
диус ее гофра
(8.13)
2emax 2v8t 2v(Jt
[3 ] по диаграмме пластически деформируемого
упрочнения с пределом текучести от в изогнутом
Из работы
материала без
за предел упругости брусе прямоугольного поперечного сечения
шириной b и толщиной б изгибающий момент
(Ут&б2
—4~
1 14’
3 е2
max -J
При разгрузке и выходе шайбы из плоскости кривизна обра-
зующегося гофра готовой шайбы
1 _ <н
р в
Откуда по формулам (8.14) и (8.15)
£б
ЛЛзан _ Qt^2
Ми — 4
<8-I4>
(8.15)
(8.16)
Р =
Максимально возможная осадка готовой волнистой шайбы
£ й X <Н.
(8.17)
высота готовой волнистой шайбы с учетом зависимостей (8.3)
и (8.16)
/l = ^S'4L(3--т) + 6- (8.18)
4п2о Е \ V2 / 1 \ /
Пластическая осадка шайбы при заневоливании по формулам
(8.12) и (8.17)
(8.19)
где Н — высота шайбы-заготовки.
213
Принимая для термообработанной ленты из стали 65Г предел
текучести ат = 1000 МПа и выбирая коэффициент степени за-
неволивания v = 2,5, что соответствует коэффициенту запаса
прочности т] = 2,0-ь2,4, по формуле (8.19) для испытанной вол-
нистой шайбы (рис. 8.3) получаем Д = 3,4 мм. Это вполне согла-
суется с практикой заневоливания этих шайб. Высота гофриро-
ванной шайбы в этом случае по формуле (8.18) h = 5 мм, а полная
высота шайбы-заготовки Н — 8,4 мм.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Биргер И. А. Расчет кольцевых изгибных пружин. — В кн.: Расчеты
на прочность. М., Машгиз, 1961, вып. 7, с. ПО—121.
2. Пономарев С. Д. Расчет кольцевых волнистых шайб — Известия вузов.
Машиностроение, 1971, № 5, с. 5—11.
3. Расчеты на прочность в машиностроении/Под ред. С. Д. Пономарева.
М., Машгиз, 1958, т. II, 518 с.
Глава 9
•Тарельчатые пружины
§ 9.1. Конструкция, изготовление
и назначение тарельчатых пружин
Тарельчатые пружины (рис. 9.1) штампуются из листовой стали
в форме оболочки, имеющей вид усеченного конуса (угол подъема
9= 2-6°; ^2,Оч-3,о).
В ГОСТ 3057—79 включены тарельчатые пружины диаметром
D = 28-г-ЗОО мм из листовой стали толщиной s= 14-20 мм,
с габаритной высотой конуса /г0 = 0,64-9,0 мм. Наибольшая
сжимающая рабочая нагрузка, воспринимаемая этими пружинами,
достигает 52-104 Н. Сжимающие усилия Р, распределенные равно-
мерно по периметрам кромок (наружной и внутренней), изгибают
стенки оболочки и уменьшают угол подъема 0. Осадка одной та-
релки не должна превышать при этом 0,8/, где / — высота вну-
треннего конуса (см. рис. 9.1), так как при большой осадке же-
сткости тарелки резко возрастает в связи с отгибом ее внутренней
кромкь внутрь и переносом в связи с этим сжимающего усилия Р
на больший диаметр [1]. Для получения нужного осевого пере-
мещения упругий элемент составляется из ряда секций, каждая
из которых образуется двумя тарелками, соприкасающимися
наружными кромками. Секции монтируются в гильзе или на общей
центрирующей оправке (рис. 9.2, а).
Отдельные секции взаимодействуют, соприкасаясь внутрен-
ними кромками. Образуемые таким образом весьма жесткие кон-
струкции предназначаются для восприятия больших усилий и
используются главным образом как мощные буферные пружины
во всякого рода амортизаторах.
Для большего гашения энергии ударов, воспринимаемых пру-
жинами, между тарелками можно устанавливать шайбы диаме-
тром £)ш > D (рис. 9.2, б). В этом случае жесткость конструкции
еще несколько возрастает за счет сил трения, развивающихся на
внешних кромках тарелок при их скольжении по шайбам. При
наличии особо больших нагрузок пружины можно устанавливать
пакетами, вкладывая конус в конус так, чтобы верхняя тарелка
своей внутренней поверхностью ложилась на наружную поверх-
ность нижней тарелки (рис. 9.2, в). При этом рабочая нагрузка
может быть увеличена примерно пропорционально числу пружин
в пакете.
215
Тарельчатые пружины изготовляются из листовой стали
марки 60С2А по ГОСТ 14959—69 или других равноценных по меха-
ническим свойствам марок.
Листы стали должны иметь чистую поверхность. Пружины
из листов толщиной до 6 мм штампуются в холодном состоянии.
В этом случае листы предварительно получают неполный отжиг.
Пружины из листов толщиной более 6 мм штампуются в горячем
виде.
Предварительно из листов вырезают полосы-заготовки, из
которых вырубают шайбы; последние выгибают на специальных
штампах.
Пружины, подвергнутые термообработке, должны иметь одно-
родную мелкозернистую структуру и твердость HRC = 44-ь50.
Поверхность пружины очищают от окалины и заусенцев травле-
нием, пескоструйным аппаратом и обработкой на наждачных
кругах. Острые углы кромок закругляют радиусом 0,1s.
Периметры опорных кромок пружин повышенной точности
шлифуют наждачными кругами. Ширина опорных плоскостей
пружин в зависимости от наружного диаметра приведена
в ГОСТ 3057—79.
Заключительной технологической операцией изготовления же-
стких тарельчатых пружин является их нагружение до полного
сплющивания, при котором они получают, как правило, некото-
рую пластическую осадку; в этом состоянии их выдерживают
определенное время. Эта операция называется заневоливанием,
которое повышает несущую способность тарельчатых пружин
в пределах упругости, если при эксплуатации сохраняется нор-
мальная температура. Никакая термообработка после пласти-
Рис. 9.2. Комплект тарельчатых пружин, установленных
соответственно:
а — последовательно; б — последовательно с промежуточными
шайбами; в — параллельно последовательно (пакетами)
216
ческого обжатия не допускается. Если при обжатии возникают
пластические деформации, то высота пружины-заготовки должна
быть несколько больше высоты пружины по чертежу.
При приемке пружины подвергают внешнему осмотру и про-
веряют по размерам. Допуски на размеры тарельчатых пружин
приведены в ГОСТ 3057—54. Там же указаны технические усло-
вия приемки и испытаний тарельчатых пружин.
§ 9.2. Расчет тарельчатых пружин
Тарельчатая пружина представляет собой малоподъемную
коническую оболочку, которая при деформировании получает
большие перемещения.
Расчет тарельчатых пружин в такой строгой постановке задачи
был разработан В. И. Феодосьевым [3]. Однако для конструкций
пружин, встречающихся в практике, с отношением диаметров
m = у < 3 можно довольствоваться более простым приближен-
ным методом расиста, опирающимся на предположение о недефор-
мируемости меридионального сечения диска. Ниже излагается
именно этот приближенный метод.
Рассмотрим тарельчатую пружину (рис. 9.3, а), нагруженную
силой Р (силу Р будем считать положительной в том случае,
когда она стремится уменьшить угол 0).
Рис. 9.3. Схемамиоворота жест-
кого меридионального сечения
тарелки
Рис. 9.4. К расчету тарельчатых
пружин:
а — определение радиального переме-
щения б точки А; б — определение мо-
мента сил, действующих на выделен-
ный элемент тарелки
217
Примем, что меридиональное сечение пружины в процессе де-
формации не искривляется, а лишь поворачивается как жесткое
целое около неподвижной точки О. Это предположение оправды-
D
вается тем лучше, чем меньше отношение т =-£ и больше тол-
щина диска s.
Допустим, что под нагрузкой Р меридиональное сечение пру-
жины, не изменяя в соответствии с принятой гипотезой своей
формы, повернулось на угол а около некоторой точки О, находя-
щейся на расстоянии с от оси пружины (рис. 9.3, а).
Выберем вспомогательную систему координат ху с началом
координат в точке О (ось х направим параллельно образующей
конических поверхностей тарелки). При повороте сечения на
угол а (рис. 9.3, а) некоторая точка А с координатами х, у, кото-
рые остаются неизменными, приблизится к оси пружины на вели-
чину 6 (рис. 9.4, а):
б = [х cos (6 — а) — у sin (6 — а)] — [xcosG — z/ sin 6] =
= х [cos (9 — а) — cos 0] — у [sin (9 — а) — sin 0] =
= 2x sin sin 4 + 2y cos sin 4.
2 2 ’ 2 2
Из-за малости углов 0 и а можно принять, что
бха (е — 4) + уа.
Относительная линейная деформация в окружном направле-
нии в точке Л^на расстоянии р от оси диска (рис. 9.4, б)
8/ = — = ~-------V-г (У-1 )
1 р (с — X COS 0 + у sin 0) (с — х) v ’
Относительные линейные деформации в направлении осей х
и у в соответствии с принятой гипотезой о неизменности мериди-
онального сечения во внимание не принимаются. Рассматривая
тело пружины как кольцевой брус {см. гл. 8 [3]}, нормальные
напряжения в меридиональном сечении в соответствии с законом
Гука
Gt = Ezt = — Еа-----^4^-------. (9.2)
Из условия равновесия полутарелки, нагруженной вертикаль-
ными силами, очевидно, что равнодействующая всех внутренних
сил в меридиональном сечении равна нулю, т. е.
j ot dF = 0. (9.3)
F
Это условие позволяет определить величину с.
218
Действительно, подставим в зависимость (9.3) выражение
для напряжения (9.2) и выполним интегрирование.
Полагая по-прежнему приближенно, что sin 0 0 и cos 0
1, имеем
= s(e-^-) (/?-r) + cs(e-^-) 1п4 = 0-
Откуда
/?— г D — d
с =---— =----.
(9.4)
где D = 2R и d = 2г — наружный и внутренний диаметры пру-
жины.
Разлагая In -у при — > 1 в ряд, можно показать, что точка
поворота О лежит несколько ближе к оси пружины, чем центр
тяжести Н меридионального сечения тарелки (рис. 9.3, а). Двумя
меридиональными (по условию симметрии—главными) сечениями,
образующими угол d<p, выражен элемент тарелки abvw
(рис. 9.3, б).
Сумма моментов всех сил, действующих на выделенный эле-
мент abvw относительно оси 00 (рис. 9.3, б), дает (рис. 9.4, б)
= — 2 J ^‘T'[xSin(0 — a) + yc°s(e — a)]dF,
F
или, учитывая малость углов 0 и а, имеем
F
Подставляя в последнюю зависимость выражение (9.2) для
напряжения oz, получаем
+ -L
с-' / а \
р (Г)_d\ f I * \ 2* ) +
4л = Еа J dX ) V (с-х)----------[Х (0 - “) +
c—R 1 s
откуда, выполняя интегрирование, имеем
pin4-c(D-<i) + ^ +
+4 in 4}- <9-5>
219
После подстановки в последнее выражение с по формуле (9.4)
получим
(D-d)* -|
4b» +
d
(9.5а)
2/
Заменяя 0 и а выражениями и
2Хх
туг—соответственно,
(D—d).
где f — начальная высота внутреннего конуса, а Хх — осадка
одной тарелки, имеем

Г 1 (D + d)____1_-| , D_
2 (D—d) ln_D_ "Г 12 d
d
(9.56)
Числовой проверкой можно установить, что при -& < 4
1 D-\-d 1 1 . D
2 D—d , D ~ 12 1П d ’
П “Г
поэтому
p=4 -(S^ln 4 w (f - 4)+s2] • (9-6>
По формуле (9.6) легко подсчитать величину нагрузки, необ-
ходимую для получения той или иной осадки Хх.
Решение обратной задачи, т. е. определение величины осадки
пружины по заданной нагрузке, приводит к значительно большим
вычислительным трудностям, так как требует решения кубиче-
ского уравнения. В этом случае практически удобно предвари-
тельно построить характеристику пружины, т. е. начертить в ко-
ординатах (Хх, Р) график, представляющий связь осадки Хх и
усилия Р по формуле (9.6); необходимые величины определяют
по этому графику.
Характеристики, построенные по уравнению (9.6), предста-
влены на рис. 9.5. Их вид в сильной степени зависит от толщины
тарелки s.
Проследим изменение осадки Хх по виду характеристики
пружины.
Вид характеристики тарельчатой пружины, т. е. ее жесткость,
г
в сильной степени зависит от отношения z = ~, где f — полная
высота внутреннего конуса.
220
Рис. 9.5. Характеристики тарельчатых пружин
При z < V 2 осадка жесткой тарельчатой пружины с увели-
чением нагрузки Р монотонно возрастает. В этом случае харак-
теристика представлена на рис. 9.5 кривой ON.
При z > К2 осадка с увеличением нагрузки монотонно растет
только до известной ее величины Ра (рис. 9.5). При этой нагрузке
тарелка уже заметно теряет свою конусность.
Как следует из рис. 9.5, в рассматриваемом случае перемеще-
ния, превышающие %0, соответствуют нагрузкам меньшим, чем Ра.
При X > А.а на характеристике пружины появляется участок
с отрицательной производной, который можно назвать участком
отрицательной жесткости. В этом случае характеристика тарель-
чатой пружины представлена на рис. 9.5 точками О, а, с, е, f.
От точки а к точке е происходит внезапное увеличение перемеще-
ния %. Имеет место скачок на величину ае, после чего с увеличе-
нием нагрузки прогибы продолжают монотонно расти. Характе-
ристика пружины при разгрузке представлена на рис. 9.5 точ-
ками f, е, с, a, k, О, при этом на участке ck опять имеется скачок
в уменьшении перемещений.
У гибких тарельчатых пружин при условии, что z > 2]f 2,
характеристика, построенная по формуле (9.6), имеет вид, пред-
ставленный на рис. 9.5 линией OABCDEF, причем деформирован-
ное состояние пружины на участке характеристики АВС является
неустойчивым. Это проявляется во внезапном скачкообразном
росте осадки при возрастании нагрузки больше РА.
Осадка стремительно возрастает на значительную величину,
изображенную в масштабе на рис. 9.5 отрезком АЕ. Происходит
выщелкивание. Пружина получает обратную конусность и вновь
221
Рис. 9.6. Эпюры напряжений по
периметру меридионального сече-
ния предельно сжатой упругоде-
формированной тарелки
способна нести нагрузку.
При дальнейшем увеличении
нагрузки прогиб пружины
будет опять возрастать моно-
тонно, чему соответствует
ветвь характеристики EF.
При разгрузке и уменьше-
нии силы Р до нуля осадка
убывает лишь до величины
OD, и разгруженная пружина остается в выщелкнутом поло-
жении.
Чтобы вернуть ее в исходное состояние, направление нагрузки
Р следует изменить на обратное, что на графике (рис. 9.5) отра-
зится переходом кривой FD в область отрицательных ординат
(кривая DC),
Когда эта новая «отрицательная» нагрузка достигнет некото-
рой величины Рс, деформированное состояние тарельчатой пру-
жины станет вновь неустойчивым и опять произойдет скачок, при
котором перемещение внезапно уменьшится на величину СК-
После этого скачка в перемещении пружина принимает вид перво-
начального усеченного конуса. Однако, находясь под нагрузкой
«отрицательного направления», высота конуса будет несколько
большей, чем заданная. При уменьшении нагрузки Р до нуля
тарелка вернется к своим исходным размерам (участок характе-
ристики КО).
Гибкие тарельчатые пружины находят применение в автома-
тических устройствах, связанных с внезапным включением или
выключением систем.
В общем машиностроении обычно используют тарельчатые
пружины, у которых z У2.
Для жестких тарелок первым слагаемым в квадратных скобках
формулы (9.6) можно пренебречь.
Напряжение oz в меридиональном сечении диска пружины
определяется по формуле (9.2). Выражая в ней углы а и 0, учиты-
вая их малость, через осадку тарелки и начальную высоту
внутреннего конуса f соответственно, как это уже делалось выше,
имеем
Г (2/—Xi)x у И
(D-d) [. (D — d) (с — х) ' (с — х) \
(9.7)
На рис. 9.6 представлены эпюры изменения напряжений по
контуру меридионального сечения диска (Хх = f). Наибольшее
по абсолютной величине напряжение (напряжение сжатия) воз-
222
никает в верхней точке 1 внутренней кромки (при х = с —
Это напряжение
I ”,.... I - - 1) (? - тгН т V] <9Л>
По толщине внутренней кромки тарельчатой пружины напря-
жения изменяются по линейному закону. Наибольшие напряжения
растяжения возникают в нижней точке' 2 внутренней кромки
(при х = с — и
Из сказанного следует, что предусмотренное ГОСТ 3057—79
скругление острых углов у кромок диска является весьма раци-
ональным, так как этим устраняются зоны, в которых возникают
пики напряжений. Для тарельчатых пружин значения напряже-
ний, получаемые по формуле (9.7), практически условны. Это
объясняется тем, * что, как уже указывалось, все тарельчатые
пружины, как правило, подвергаются пластическому обжатию.
В связи с этим создается поле остаточных напряжений, име-
ющих в опасных точках А и В направление, противоположное
направлению напряжений, возникающих при рабочей нагрузке.
Таким образом, благодаря обжатию истинные напряжения за-
метно меньше напряжений, получаемых по формуле (9.7). При ее
применении в расчет приходится вносить условные допускаемые
напряжения, значительно превышающие предел текучести,
а иногда и предел прочности используемой^стали. Однако такого
рода расчет по условным напряжениям вряд ли может быть реко-
мендован.
Для установления величины истинных’напряжений*необходимо
изучить остаточные напряжения, возникающие в связи с пласти-
ческим обжатием пружины. Теоретическое исследование этого
вопроса впервые проведено В. И. Феодосьевым [3]. Однако расчет
пластического обжатия тарельчатых пружин представляет собой
достаточно сложную задачу, поэтому в инженерной практике
обычно ограничиваются подбором тарельчатых пружин непо-
средственно по рабочей нагрузке Р, руководствуясь при этом за-
ранее разработанными и экспериментально апробированными
таблицами, одна из которых имеется в ГОСТ 3057—54. В упомя-
нутых материалах указана также и упругая осадка (например,
= 0,8/), которую способна дать одна тарельчатая пружина при
рабочей нагрузке. *
Руководствуясь заданной величиной требуемой полной'осадки,
можно установить число тарельчатых пружин, обеспечивающих
совместно необходимую жесткость упругого элемента в целом.
223
§ 9.3. Расчет заневоленных тарельчатых
пружин
Как уже отмечалось, конечной операцией изготовления тарель-
чатых пружин является, как правило, их обжатие до полного
сплющивания. При этом в наиболее напряженных зонах тарелок
обычно возникают пластические деформации, а при разгрузке
в меридиональных сечениях тарелок сохраняются остаточные
напряжения, имеющие в опасных зонах сечения напряжения,
противоположные напряжениям, возникающим при нагружении.
При достаточной продолжительности процесса пластического об-
жатия обеспечивается стабильность благоприятного распределе-
ния остаточных напряжений. В результате заневоливания несу-
щая способность тарельчатых пружин в пределах упругости воз-
растает, высота тарелок при этом несколько уменьшается. Иссле-
дованию этих вопросов посвящена работа [2].
Поскольку гипотезу о недеформируемости меридионального
сечения жестких тарелок можно считать справедливой не только
в пределах упругости, что использовалось выше, но и при пла-
стическом деформировании, то формула (9.1) может быть приме-
нена и при исследовании процесса заневоливания. При полном
сплющивании тарелки, когда а = 0, и возникли пластические де-
формации, окружные линейные деформации, в соответствии с фор-
мулой (9.1), равны
(9.8)
где сп — расстояние от точки поворота жесткого меридионального
сечения Ог до оси тарелки (рис. 9.7). Точка Ог принимается за
начало координат. Величина сп при возникновении пластических
деформаций, вообще говоря, неизвестна. Она определяется из
условия отсутствия нормальной силы N в меридиональном сече-
нии [см. (9.3)]. Можно предвидеть, что при наличии пластических
Рис. 9.7. Нормальные напряжения в меридиональном сечении та-
релки в положении предельного пластического обжатия

224
деформаций сп > с, имеющего место при упругом деформировании
[см. (9.4)]. Действительно, при охвате всего сечения пластич-
ностью в предположении идеальной пластичности материала
условие-Хо = 0 выполняется, когда точка поворота сечения О
совпадает с центром тяжести меридионального сечения Н, т. е.
Поэтому с0 > сп > с [см. (9.4) ]. В первом приближении можно
принять, что значение с„ равно среднеарифметической величине,
определяемой краевыми значениями, с последующей проверкой
и уточнением сп, когда это окажется необходимым, т. е. величина W
будет заметно отличаться от нуля.
Зависимость (9.8) в координатах х и у представляет собой
(рис. 9.7) уравнение пучка прямых с полюсом в некоторой точке К,
„ сп0
координаты которой хк = сп и у = — -у-.
Параметром, определяющим направление лучей, проходящих
через точку К, служит е(. Нейтральная линия, соответствующая
значению параметра et = 0, имеет угловой коэффициент k =
g
=-----—. Нейтральная линия проходит через точку Ог Лучи,
пересекающие меридиональное сечение выше нейтральной линии,
соответствуют деформациям сжатия 8Z < 0, а ниже ее — деформа-
циям растяжения 8Z > 0. При желании уточнить решение и при-
близить величину Nq к нулю нейтральную линию следует не-
сколько сместить в соответствующую сторону, параллельно самой
себе, поскольку угол между нейтральной линией и осью х должен
0 о
сохранить значение Это приведет к изменению положения
точки поворота сечения Ог и позволит установить более точное
значение сп.
Чтобы оценить величину деформаций и напряжений в различ-
ных точках меридионального сечения, воспользуемся графоанали-
тическим способом [2], который является приближенным, но,
как показала экспериментальная проверка, вполне приемлем для
практического использования.
Проведем вспомогательную масштабную ось 88, параллельную
оси пружины и удаленную от нее, например, на расстояние, рав-
ное 2сн (см. рис. 9.7); каждому значению 8, на оси 88 будет соответ-
ствовать определенная точка. Точка пересечения масштабной
оси 88 с нейтральной линией (е, = 0) обозначена О2. Координаты
этой точки 0
л*2 = сп, у% = сп.
Координаты точки А’ пересечения с осью ее луча КА', соответ-
ствующего определенной деформации ez, будут хА — —с„,
формуле (9.8) „ .
8 Пономарев С. .Д, Андреева Л. Е.
и по
(9-9)
225
Отсюда следует, что длина отрезка О2А' выражает величину
г 2сп
деформации 8Z, умноженную на величину —до-
полученное соответствие позволяет установить 8Z, присущую
точкам того или иного луча; например, деформация в точке 1
0 11 и 2&-1
21 , разделенной на величину—^, и т. д.
Для определения распределения нормальных окружных на-
тяжений oz по сечению необходимо знать характеристики мате-
риала пружины при растяжении и сжатии. Тарельчатые пружины
обычно изготовляются из листовой рессорной стали 60С2А.
Характеристики такой стали следующие: при растяжении
диаграмма О2г, при сжатии — O2d (рис. 9.7).
При построении этих характеристик за начало координат
выбрана точка О2, а за ось ординат 88. Ось абсцисс отложена
влево от оси 88. По оси 88 откладываются деформации, умноженные
на Напряжения,.соответствующие деформации ez, отклады-
ваются в произвольно выбранном масштабе. Учитывая, что каж-
дый луч является геометрическим местом точек, равных ez, не
представляет труда установить величину напряжений в любой
точке поперечного сечения 1—2—3—4 и др. Это позволяет по-
строить эпюры напряжений по контуру меридионального сечения
пружины (рис. 9.8). Напряжения на контуре е—1—4—q — напря-
жения сжатия (oz < 0), на контуре е—2—3—q — напряжения
растяжения (oz > 0).
Площади эпюр напряжений на рис. 9.8 имеют следующие
обозначения:
на стороне 1—4 контура поперечного сечения . . . .
на участке 4—q стороны контура 3—4..............Q2
» » 1—е » » 1—2...............Q3
» » q—3 » » 3—4 . . . • . . . . Q4
на стороне 2—3 контура поперечного сечения . . . . Q5
на участке е—2 сторона контура 1—2..............Q6
Расстояние от центра пучка К до точки В пересечения продолже-
ния стороны контура 1—4 с осью тарелки (рис. 9.8) обозначим
I < s, равнодействующую внутренних сил сжатия в сечении —Nd,
равнодействующую внутренних сил растяжения —Nz, площадь
поперечного сечения — F. Нормальная сила в осевом сечении
N = Nz — Nd по условию (3.9) должна равняться нулю. Это
условие и определяет положение нейтральной линии. Однако,
поскольку положение начала координат Ох (точки поворота се-
чения) неизвестно, а также неизвестна аналитическая зависи-
мость ct = f (ez), то установить параметры, определяющие ней-
тральную линию, аналитически оказывается очень сложным.
В качестве первого приближения нейтральная линия прово-
дится так, как это было указано выше. Затем вычисляется вели-
чина нормальной силы в сечении. Если она окажется примерно
226
Рис. 9.8. Определение силы Ро при предельном упругопластическом
обжатии тарелки
равной нулю (Nz ж | Nd \ ж 0), то положение нейтральной линии
выбрано достаточно правильно.
Рассмотрим элементарную площадку AF сечения (на рис. 9.8
она заштрихована), ограниченную смежными лучами, выходя-
щими из точки /<. На данной элементарной площадке напряжение
в среднем можно принять постоянным.
Значение элементарной внутренней силы, возникающей на
этой площадке,
Д/Vj = ot &F = ot ml-------пг^ . (9.10)
В скобках зависимости (9.10) стоит разность площадей двух
элементарных треугольников, основаниями которых являются
отрезки тип (рис. 9.8), лежащие на контуре сечения (на сто-
ронах 1—4 и 1—2 соответственно).
Выражение (9.10) можно записать также в следующем виде:
ДМ/ = -i- (ох/--g- ®3г, (9.11)
где сдх — элементарная площадка эпюры напряжений,' соответ-
ствующая отрезку т стороны 1—4 контура сечения.
8* 227
Аналогично со3 — элементарная площадка эпюры напряжений,
соответствующая отрезку п стороны 1—2 контура сечения.
। Следовательно, с помощью выражения (9.11) и других таким же
образом составленных зависимостей для остальных элементарных
площадок, интегрирование по площади сечения, предусмотренное
уравнением (9.3), можно заменить интегрированием по контуру
этого сечения и выразить силы Nd и Nz через площади эпюр напря-
жений й и размеры./? = -у, г = 4, I и s, указанные на рис. 9.8.
Действительно, равнодействующая Nd внутренних сил сжатия
с учетом масштабов может быть вычислена по формуле
Аналогично с площадями на контуре q—3—2—е растянутой
зоны с учетом масштабов имеем
Л/г = й4-^ + й62г±_йв^_. (9,13)
Таким образом, чтобы найти равнодействующие Nd и Nz,
достаточно вычислить площади эпюр напряжений, построенных
по контуру меридионального сечения тарельчатой пружины. Так
как положение нейтральной линии было принято произвольно,
то вычисленные по формулам (9.12) и (9.13) значения равнодей-
ствующих нормальных сжимающих сил | Nd | и растягивающих
сил Nz, вообще говоря, не будут равны друг другу.
В случае значительного расхождения их величин следует сме-
стить нейтральную линию, как это было указано выше.
После уточнения положения нейтральной линии следует опре-
делить возникающий при обжатии момент внутренних сил. Учи-
тывая, что внутренние силы приводятся к чистой паре, вычислим
их момент из условия равновесия элементарного элемента abvw
(рис. 9.8, б) относительно оси КК, которая проходит через
точку К, перпендикулярную к плоскости чертежа в этой точке
(рис. 9.8, а).
Для этого найдем значения соответствующего элементарного
момента ДМ, создаваемого внутренней силой, возникающей на
уже рассмотренной площадке AF меридионального сечения [см.
(9.10)]. Учитывая наклон рассматриваемого меридионального
сечения к оси КК на угол ^90° — ,
= cos (90° - , (9.14)
где t — расстояние от точки К до средней линии площадки со3;
I — расстояние ВК (рис. 9.8, а).
В скобках зависимости (9.14) стоит разность моментов площа-
дей относительно точки К двух элементарных треугольников,
основаниями которых являются отрезки тип, лежащие на кон-
туре меридионального сечения.
228
Зависимость (9.14) можно записать в следующем виде:
\м = — (03r -L) .
Аналогично находим моменты для всех элементарных площа-
док наклонных меридиональных сечений, выделяющих элементар-
ный элемент abvw (рис. 9.8, б).
Из условия равновесия элемента тарелки abvw, учитывая
момент от внешних сил, приходящихся на этот элемент и равный
PQ (D — d) dtp
~ ’ окончательно получаем,
-Po(Vd) = (+ Qi 4+Q*4 -Н+
+ Q4^4 + Q5(^_Qe-£-/e), (9.15)
где Ро — сила в конце обжатия; /2, ^з> 4 — расстояния от
горизонтальной оси, проходящей через точку /С, до центров тя-
жести соответствующих площадей й2, й3, й4, Йв эпюр напряжений
на контуре меридионального сечения.
Таким образом, для определения момента внутренних сил
относительно точки К необходимо вычислить площадь йэпюр
напряжений и расстояния, определяющие положение центров
тяжести указанных эпюр относительно горизонтальной оси, про-
ходящей через точку К (рис. 9.8, а).
По зависимости (9.15) легко может быть определена сила Ро.
Остаточная осадка пружины после пластического обжатия
^ост == fo ^е>
где /о — высота внутреннего конуса до обжатия (см. рис. 9.3, а).
Величина вычисляется по закону разгрузки (9.6), исходя
из усилия обжатия Ро, что определяет собой высоту внутреннего
конуса обжатой тарелки.
Удобнее это, как уже отмечалось, сделать графически, исполь-
зуя характеристику пружины, построенную по формуле (9.6)
(см. рис. 9.5).
Определим теперь остаточные напряжения, возникающие в ма-
териале пружины после заневоливания.
Разгрузочные напряжения в соответствии с законом разгрузки
определяются на основании зависимости (9.7), в которую вместо /
подставляется высота причем ^! = К-
Тогда
2£Хе Г Хех . у ]
Разг — (D — d) L(O — d) (с — х) + (с —х) J ’ '
где с определяется по зависимости (9.4).
Остаточные напряжения в любой точке сечения
^ост разг*
229
Рис. 9.9. Остаточные напряжения в меридиональном сечении
заневоленной тарельчатой пружины
где az ост — остаточные напряжения; — напряжения, возника-
ющие при обжатии.
Значения остаточных напряжений в точках контура сечения
(рис. 9.9) могут быть получены вычитанием эпюр разгрузочных
напряжений (рис. 9.6) из эпюр напряжений при обжатии (рис. 9.8).
Эпюры остаточных напряжений, возникающих в результате за-
неволивания, на рис. 9.9 отмечены штриховкой.
При повторном нагружении предварительно заневоленной
пружины нагрузкой меньше, чем сила обжатия (Р < Ро), за счет
остаточных напряжений происходит выгодное перераспределе-
ние напряжений в меридиональном сечении тарелки. Это приводит
к повышению несущей способности пружины в пределах упру-
гости.
Как известно, при расчете пластически обжатых (заневолен-
ных) тарельчатых пружин по номинальным напряжениям часто
выбирают допускаемые напряжения, иногда превосходящие даже
предел прочности материала. Очевидно, что в этом случае расчет
является чисто условным, поскольку поле действительных напря-
жений у заневоленной пружины является совершенно иным. При
этом напряжения в сравнении с упругим решением распреде-
ляются по сечению значительно более равномерно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пономарев С. Д. Жесткость тарельчатых пружин при упругом обжа-
тии. — В кн.: Расчеты на прочность. М., Машгиз, 1960, вып. 5, с. 3—14.
2. Соколов С. В. Расчет заневоленных тарельчатых пружин. — Вестник
машиностроения, 1957, № 7, с. 3—7.
3. Феодосьев В. И. Расчет пружин Бельвилля. — В кн.: Новые методы рас-
чета пружин. М., Машгиз, 1946, с. 83—102.
Глава 10
Прорезные пружины
§ 10.1. Расчет на прочность и жесткость
прорезных пружин
Прорезные пружины (рис. 10.1) изготовляются из цилиндри-
ческих стальных труб фрезерованием сквозных прорезей. Они
как бы состоят из плоских колец, соединенных симметрично сме-
щенными перемычками. Эти пружины имеют по торцам винтовую
резьбу, с помощью которой и закрепляются. Они могут служить
как пружинами сжатия, так и пружинами растяжения и находят
применение, в частности, в точных приборах различного вида,
поскольку при осевом нагружении их торцы, в отличие от винтовых
пружин растяжения-сжатия, перемещаются строго поступательно,
что для точных приборов весьма существенно.
Прорезные пружины относятся к классу жестких пружин.
Изложим их расчет, следуя работе {см. гл. 8 [1]}.
Предполагая, что короткие массивные перемычки, связыва-
ющие кольца между собой, являются абсолютно жесткими, можно
для одного из деформируемых колец пружины сжатия избрать
расчетную схему, представленную на
рис. 10.2. В местах, где располо-
жены отброшенные связывающие
перемычки, ширина которых не учи-
Р
тывается, приложены силы — и не-
которые моменты т, подлежащие
Рис. 10.1. Общий вид прорез-
ной пружины
Рис. 10.2. Расчетная схема прорезной пру-
жины
231
о
Рис. 10.3. Осевая линия части кольца akc с приложенными
к этой части кольца усилиями
вычислению. Здесь п — число прорезей по окружности; каждой
О
из них соответствует центральный угол а Осевая сила Р,
сжимающая пружину, равномерно распределяется между пере-
мычками. £
Осевая линия части кольца akc, соответствующая одной про-
рези, с приложенными к этой части кольца усилиями предста-
влена на рис. 10.3.
В концевых сечениях рассматриваемого плоского элемента
кольца могут возникать изгибающие моменты Л4И относительно
центральной оси поперечного сечения кольца, лежащей в его
плоскости, и крутящие моменты 7ИК, представленные на рис. 10.3
векторами так, что, глядя с их концов, видно, что моменты на-
правлены против часовой стрелки.
Крутящие моменты в концевых равноправных сечениях а и с
обозначены соответственно и Мск, причем
I мак\ = I Мск I = . (10.1)
Изгибающие моменты в сечениях а и с из условия симметрии
также равны между собой, т. е. | Л4„ | = ] Aljj | = | Ми |.
Используя условие равновесия, т. е. равенство нулю моментов
относительно оси х, направленной по- хорде ас дуги оси кольца
радиуса 7? (рис. 10.3), и, учитывая соотношение (10.1), получим
1 — cos — т — 2МИ sin 4- т cos = 0.
Откуда
= (10-2)
232
В произвольном сечении <р (рис. 10.3) изгибающие и крутящие
моменты соответственно при Ос у будут
Л4и(<р)=-^-(1 — X) (tg-^cos<p — sincp) ; (10.3)
МК(<Р) = -§Г (tg -^-sinff + cosrp) - 1] , (10.4)
nm
ГДе % ~ ~PR ’
Используя условие, что угол поворота сечения промежуточной
перемычки k относительно крайних сечений а и с равен нулю,
и руководствуясь общим методом раскрытия плоскопростран-
ственных статически неопределимых рам, можно установить, что
v sin -2- (1 + tg2
% = 1----------------, (10.5)
(v-l)tg-^ + (v+l)-J-^l+tg2 -£-)
где v = В — жесткость поперечного сечения кольца при из-
гибе относительно оси, параллельной плоскости кольца; С —
жесткость поперечного сечения кольца при кручении.
При а = л (две прорези)
Х=1-----------------------• (10-5а>
(v-l) + ^(v + D
Изгибающий и крутящие моменты достигают наибольшей вели-
чины в сечениях, граничащих с перемычками, т. е. при <р = 0
, Здесь
. ™.(| -z)ty ; (10.3а)
По этим значениям моментов и следует вести расчет на прочность.
Используя интеграл Мора, можно определить относительное
осевое перемещение % торцов пружины, состоящей из i колец:
X = x-^t, (10.6)
пВ v '
где безразмерный коэффициент
x = v[^-(l-z)tg^j. (Ю.7)
233
При а = л (две прорези)
"л 2v
X = V -д---------------------
(v-l) + -f-(v+l)
Значения коэффициентов %, v и х, используемые в расчете при
п = 2, приведены в табл. 10.1.
(10.7а)
§ 10.2. Сопоставление прочности
и жесткости прорезных
и винтовых пружин
Для оценки особенностей прорезных пружин сравним их по-
ведение под нагрузкой с поведением цилиндрических винтовых
пружин тех же габаритов, свитых из прутка с той же площадью
поперечного сечения, что и у прорезной пружины.
Воспользуемся числовым примером, приведенным в работе
{см. гл. 8 [1 ]}.
Таблица 10. 1
Коэффициенты v, % ц х для кольца прямоугольного сечения при а — л
(сторона поперечного сечения b параллельна плоскости кольца)
Коэффициент а Ь
0 0,10 0,25 0,50 0,66 1 1,5 2 10
V 0,65 0,69 0,77 0,95 1,10 1,54 2,49 3,80 69,0
X 0,42 0,41 0,40 0,37 0,35 0,32 0,29 0,27 0,24
X 0,133 0,135 0,140 0,146 0,151 0,161 0,174 0,188 0,622
Примечание. Принято, что -уг- = 2 (1 -f- ц) = 2,6.
Рассмотрим сначала числовой пример, относящийся к про-
резной пружине с двумя прорезями в каждой секции (п = 2).
Размеры сечения кольца а = b = 5 мм, средний радиус кольца
А? = 22,5 мм, допускаемое напряжение [о] = 400 Н/мм2. Опре-
делим допускаемую нагрузку на пружину и соответствующую ей
осадку. Наибольший изгибающий и крутящий моменты по форму-
лам (10.3а) и (10.4а) при а = л (см. табл. 10.1)
|M™ax| = JT’(1 = -0,32) = 3,8Р Н-мм;
| Мках | = х = 0,32 = 1,8Р Н-мм.
Значение % по табл. 10.1 при -у = 1 равно 0,32.
234
Наибольшие напряжения изгиба и кручения
о_^ = ±^£. = 0,183РД;
<ах _ 1,8Р _ н
“ 0,208ft3 - 0,208-5s мм2 •
Пользуясь так называемой «теорией энергоформоизменения»,
вычислим допускаемую нагрузку
[a]
400-Д-
р = — = “м = 1830 Н.
/0,1832 + 3-0.0692 0,219 1/мм2
Осадку кольца определим по формуле (10.6).
Принимая по табл. 10.1 н = 0,161и£ = 2-105Н/мм2, получим
для одного кольца по формуле (10.6)
. Л ]С. 1830-22,58-12 Л ]С
*1 = 0,161 2.2.10>,54 = о,16 мм.
Допускаемая нагрузка для винтовой пружины квадратного
сечения
D , , kb3 400 0,208-53 oc- u
? = [T1- = W^ = 267 H-
Осадка в связи с деформацией одного витка винтовой пружины
при модуле сдвига 0,76-105 Н/мм2
, 2nPRs 2л-267-22,58 о 0
С ~ 0,141 -54-0,76- 105 -" 2,8 ММ‘
Из расчета видно, что цилиндрическая прорезная пружина
при тех же габаритных размерах и той же напряженности обладает
существенно большей грузоподъемностью, чем винтовая пружина,
но осадка прорезной пружины значительно меньше. (В рассмот-
ренном примере = 17,5). Цилиндрические прорезные пру-
жины принадлежит к числу жестких пружин. Расчет толсто-
стенных прорезных пружин рассмотрен в работе [1 ].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Князева В. А. Исследование напряженного и деформированного состоя-
ния толстостенных прорезных пружин. — В кн.: Расчеты на прочность. М.,
Машиностроение, 1977, вып. 18, с. 246—256.
Глава 11
Плоские мембраны
§ 11.1. Общие сведения
Плоской мембраной называется пластинка обычно круглой
формы, способная деформироваться под действием нагрузки.
Плоская мембрана относится к манометрическим упругим элемен-
там, поскольку ее рабочей нагрузкой, как правило, является
гидростатическое давление.
Во многих манометрических приборах мембраны служат для
преобразования давления в перемещение или в усилие. С помощью
мембран можно измерять давления от нескольких миллиметров
водяного столба до сотен атмосфер.
Мембраны используются не только как чувствительные эле-
менты приборов, но и как разделители двух сред, гибкие уплотни-
тели при передаче перемещений из области давления или вакуума
и т. д. Если мембрана является чувствительным элементом при-
бора высокого класса точности, то для ее изготовления применяют
высококачественные пружинные материалы, например диспер-
сионно-твердеющие. Эти материалы имеют высокое сопротивление
микропластическим деформациям, что обеспечивает минимальные
погрешности упругого элемента, связанные с несовершенством
упругих свойств материала, такие, как гистерезис, упругое после-
действие, микроползучесть (см. гл. 1).
При требовании минимальной жесткости или высокой корро-
зионной стойкости мембраны изготавливают из неметаллических
материалов: пластмасс, например фторопласта-3 (ГОСТ 13744—76)
и фторопласта-4 (ГОСТ 10007—72), резины, кварца. В некоторых
случаях для повышения прочности неметаллический материал
армируется тканью из капроновых или металлических нитей.
Если мембрана достаточно тонка, она может получать большие
прогибы при упругой деформации материала. При этом упругая
характеристика мембраны w = f (р) становится нелинейной.
Рассмотрим поведение плоской мембраны, закрепленной по
контуру (рис. 11.1), при увеличении давления р.
В начале нагружения, когда прогибы w малы (^ < h, где h —
толщина), мембрана работает на изгиб. Срединная плоскость,
равноотстоящая от поверхностей мембраны, почти не удлиняется.
В области малых перемещений мембрана имеет упругую харак-
теристику, близкую к линейной, и для ее расчета можно восполь-
236
Рис. 11.1. Характеристика плоской мембраны и возникающие в ней на-
пряжения
зоваться линейной теорией изгиба круглых пластинок {см.
гл. 2 [4]}.
При последующем увеличении нагрузки прогибы мембраны
становятся соизмеримы с толщиной. Срединная поверхность
удлиняется и помимо напряжений изгиба сги в материале мембраны
появляются напряжения растяжения о0, соизмеримые с изгиб-
ными. На рис. 11.1 показано распределение этих напряжений по
толщине мембраны в радиальном (оги, аг0) и окружном (о/и, а/0)
направлениях. Напряжения о0, равномерно распределенные по
толщине материала, называются мембранными напряжениями.
При растяжении мембраны ее сопротивление внешней нагрузке
возрастает, прогибы мембраны при этом увеличиваются медленнее,
чем нагрузка, и упругая характеристика становится затухающей.
Расчет мембраны в области больших перемещений должен быть
основан на нелинейной теории, учитывающей как изгиб, так и
растяжение мембраны в срединной поверхности.
Дальнейшее увеличение прогибов происходит в основном в ре*
зультате растяжения мембраны. В этом случае расчет можно
производить по теории абсолютно гибкой мембраны без учета
жесткости на изгиб.
§ 11.2. Расчет прогибов и напряжений
в плоской мембране в области
малых перемещений
Плоская мембрана, измеряющая давление, может быть пред-
ставлена как круглая пластинка радиуса /?, толщиной /г, за-
щемленная по контуру и нагруженная давлением р (рис. 11.2, а).
237
Рис. 11.2. Внутренние усилия в пластинке:
а — пластинка под давлением; б — центральная часть пластинки
Ограничивая пока задачу областью малых перемещений, будем
считать, что пластинка работает только на изгиб, а растяжение
срединной плоскости отсутствует.
На основании уравнений равновесия и совместности деформа-
ций, а также закона Гука для двухосного напряженного состояния
может быть получено дифференциальное уравнение круглой пла-
стинки в области малых перемещений {см. гл. 2 [4 Ц
Здесь Ф — угол поворота нормали к срединной поверхности;
г — текущий радиус; D — цилиндрическая жесткость, определя-
емая выражением
° ° 12 0-^, (11.2)
Поперечная сила Q находится из условия равновесия централь-
ной части пластинки (рис. 11.2,6), т. е. Q2nr = рлг2, откуда
Q = f •
Интегрируя уравнение (11.1), получим
^ = ^+4- + ^. (П.З)
Постоянные интегрирования Сх и С2 находятся из граничных
условий. В центре пластинки (г = 0) и у заделки (г = R) угол
поворота О- = 0, отсюда С2 = 0 и Сг = — .
Подставляя С\ и С2 в решение (11.3), получим
® = ' (1L4)
Как и в теории изгиба стержней, прогиб w пластинки связан
с углом поворота Ф нормали соотношением
а dw
238
откуда прогиб
w = С3 + J dr.
Подставляя сюда угол $ и интегрируя, получим
Постоянная С3 определится из того условия, что у заделки (г =
= R) прогиб w = 0. Отсюда С3 — Тогда уравнение упру-
гой поверхности плоской мембраны при малых перемещениях
примет вид
С11-5)
Прогиб ш0 центра мембраны (г = 0)
(11.6)
Подставляя цилиндрическую жесткость D (11.2), получим из вы-
ражения (11.6) при |ix = 0,3
_________16 — 5 86 (11 71
£А4 ""3(1 -р) h — h '
Уравнение (11.7) в безразмерной форме выражает упругую
характеристику плоской мембраны, нагруженной давлением р,
в области малых прогибов. Эта характеристика линейна.
Изгибающие моменты в радиальном и окружном направлениях
связаны с углом поворота $ выражениями
+ м,^(± + ,£).
По величине моментов могут быть подсчитаны изгибные напря-
жения
, 6МГ . , 6Л4/
°ги ~ Л2 ’ °7н ~ ± д2 >
где знаки плюс или минус соответствуют точкам верхней или ниж-
ней поверхности мембраны (рис. 11.2, а).
На рис. 11.3 представлены эпюры напряжений в верхних слоях
пластинки (г = + , а также напряженное состояние точек L
и М (рис. 11.3, в). Эквивалентное напряжение оЭкв в этих точках
можно определить, пользуясь какой-либо из теорий прочности.
Например., по теории энергии формоизменения для плоского на-
пряженного состояния
^экв = "|/"4" 0^2 —
где стг и а3 — главные напряжения.
239
Рис. 11.3. Напряжения
в круглой пластинке при
малых перемещениях:
а — окружные и радиаль-
ные CFf напряжения; б — эпюра
напряжений и of вдоль радиу-
са; в — напряженное состояние
в центре и на^краю пластинки
S)
Наибольшее напряжение возникает в точке М у заделки
мембраны, где стги=-|-^-; о/и = цоги. Для этой точки
стэкв = У1 - Р- + Рч2> и при р = 0,3 о5кв 0,666 .
Величину допускаемого давления можно определить из усло-
вия
аэКв = 0,666^<[о], (11.8)
где [о ] — допускаемое напряжение. Отсюда допускаемое давление
Рдоп == U5 [о]. (11.9)
В области малых перемещений напряжения в пластинке свя-
заны с прогибом линейно. Величину допускаемого прогиба можно
найти, исключая из выражений (11.9) и (11.7) давление р, т. е.
(^о)доп = 0,256 [о] .
При расчетах некоторых манометрических приборов нужно
знать изменение объема внутренней полости упругого элемента.
Определим его для плоской мембраны в области малых перемеще-
ний. Объем элементарного
кольца (рис. 11.4)
dV = 2nrdrw.
Рис. 11.4. К определению объема
240
Объем' V между начальной плоскостью мембраны и ее упругой
поверхностью
R
V = 2л J wr dr.
о
I Используя выражение (11.5) для прогиба w, после интегриро-
вания получим
V = 4" я/?2^0.
о
Пример. Определить коэффициент запаса пластинки, защемленной по кон-
туру и нагруженной давлением р = 4 МПа. Размеры пластинки R = 15 мм,
h= 1 мм. Материал — сплав 36НХТЮ, Е = 2,1-105 МПа, предел упругости
Оу = 700 МПа.
Какие размеры будет иметь пластинка при увеличении коэффициента запаса
вдвое, но при том же прогибе?
Решение. Наибольшее эквивалентное напряжение в точках наружного
контура по формуле (11.8)
0,666 4 152 ЛАЛ ,дгг
о'экв = 0,666-гт- =-----------= 600 МПа.
п* I2
Следовательно, коэффициент запаса
Оу 700
п = —— = -^ = 1,17.
^экв 600
Прогиб пластинки в соответствии с выражением (11.7)
PR* 4154 Л1ГЯ
5,86£7i3 - 5,86-2,1 ЮМ3 °-164 мм-
Wq =
Чтобы коэффициент запаса увеличился вдвое (до п = 2,34), требуется изме-
нить рабочий радиус и толщину пластинки при сохранении прежней жесткости.
Обозначим искомые радиус и толщину пластинки 7?х и Лх. Для увеличения коэф-
фициента запаса эквивалентное напряжение должно быть вдвое снижено
оэкв = 0,666 —— = 300 МПа.
/I2
Прогиб пластинки (мм) должен остаться прежним
pR\
Wa —--------тг- =0,164 мм.
5,86£7if
Подставляя численные значения р — 4 МПа и Е = 2,1-105 МПа, из двух
У?2 h3 1
последних выражений получим —ту-~ 112,6 и -57- = 0,198-10"4 —. Решая
/if Al ММ
их совместно, получим Rr = 42,4 мм и hx — 4 мм. Таким образом, по сравнению
с прежними размерами рабочий радиус пластинки должен быть увеличен
в 2,82 раза, а толщина в 4 раза.
Расчет пластинки с жестким центром радиуса г0, нагружен-
ной давлением (рис. 11.5, а), может быть также произведен с по-
мощью уравнения (11.1). Постоянные интегрирования Сх и С2
241
Рис. 11.5. Пластинка с жестким центром, нагруженная:
а — давлением; б — сосредоточенной силой в центре
в этом случае имеют другие значения в соответствии с новыми
граничными условиями:
Ог=0 = 0 и = 0. (11.10)
В остальном решение проводится аналогично изложенному
и приводит к следующим результатам. Перемещение жесткого
центра мембраны определяется уравнением
w0 = Ap-^-. (11.11)
Здесь коэффициент А. зависит от отношения с рабочего радиуса R
R
к радиусу г0 жесткого центра, т. е. с = —, и
д 3(1 — р2) с4 —1 — 4с2 Inc m 19.
лр— • (11.12)
Радиальные напряжения в точках у поверхности на наружном
и внутреннем контурах
°ГВ = стгн = ± ВР
EhwQ
где
4 С2(С2__1)
°р “ 1 — |Л2 с4 — 1 — 4с2 In с '
Окружные напряжения в этих точках определяются как oz =
= раг.
В области малых перемещений так же просто может быть ре-
шена и задача о расчете плоской мембраны, нагруженной сосредо-
точенной в центре силой Q (рис. 11.5,6). В дифференциальном
уравнении (11.1) поперечная сила в этом случае Qr = -~^.
Если мембрана имеет-жесткий центр, то, как и в случае дей-
ствия давления, граничные условия выражаются зависимостями
(11.10). Производя интегрирование уравнения (11.1), получим
перемещение жесткого центра мембраны
где
ч Eh3
. 3(1 — р2) Г с2 — 1 in2 с 1
— л L 4с2 с2 — 1 J
(11.13)
(П14)
242
Наибольшие напряжения в точках наружного и внутреннего
контуров определяются выражениями
<7, = ±В0
, D Ehw0
и % = ±BQb_!L.
Здесь коэффициенты
2 са (с2 _ 1 _ 2 In с) .
QH— 1— р.2 (с2 — 1 )2 — 4с2 1П2 с ’
О _ 2 С2(2с2 Inc —С2+ 1)
1 — р.2 (С2_ 1)2 _ 4С2 1П2С •
§ 11.3. Перестановочное усилие
и эффективная площадь
Важными рабочими параметрами мембраны как манометри-
ческого упругого элемента являются ее эффективная площадь
и перестановочное усилие.
Деформируясь под действием рабочей нагрузки, упругий
элемент обычно встречает сопротивление со стороны механизма
прибора в виде, например, сил трения, противодействия различ-
ных пружин механизма и др. В этом случае правильность работы
прибора будет во многом определяться способностью упругого
элемента преодолевать это сопротивление. Такое свойство упру-
гого элемента удобно оценивать величиной перестановочного
(тягового) усилия, с которым упругий элемент будет воздейство-
вать на препятствие, ограничивающее его перемещение.
Величина перестановочной силы зависит от рабочей нагрузки,
размеров упругого элемента и расположения упора. С увеличе-
нием расстояния между упором и упругим элементом величина
перестановочной силы уменьшается. Если это расстояние так ве-
лико, что при работе элемент не достает до упора, то перестано-
вочная сила будет равна нулю.
В тех приборах, где манометрический упругий элемент служит
для преобразования давления в перемещение, он должен развивать
перестановочную силу, превышающую силу сопротивления меха-
низма прибора.
В других случаях манометрические упругие элементы исполь-
зуются для преобразования давления не в перемещение, а в про-
порциональное давлению усилие. В таких условиях работают,
например, чувствительные элементы приборов, построенных по
принципу силовой компенсации. В этом случае основной рабочей
характеристикой манометрического элемента, определяющей ка-
чество прибора, будет зависимость между давлением и тяговым
усилием.
243
Рис. 11.6. К определению эффективной площади
р
р* Рр
11 И* IН I н
ZJkV
Способность манометрического эле-
мента развивать перестановочную силу
удобно характеризовать тяговой силой
Q
—, соответствующей единице давления.
Так как эта тяговая сила имеет размер-
ность площади, то принято представлять
ее в виде так называемой эффективной
площади.
р + &р Поясним понятие эффективной площади
,//л I I I И Н Н I на примере мембраны (рис. 11.6). Предполо-
жим, что мембрана ложится на упор при
давлении р, имея при этом прогиб w (рис.
11.6). Для того чтобы определить ее эффек-
тивную площадь при этом прогибе, мыс-
ленно уберем упор и увеличим давление на малую величину Др.
Прогиб мембраны увеличится на Aw. Приложив с противоположной
стороны сосредоточенную в центре силу AQ, вернем центр мембраны
к прогибу w. Тогда эффективная площадь при данном прогибе
упругого элемента может быть определена как отношение при-
ращения перестановочного усилия к соответствующему прираще-
нию давления
F —
Гэф — Др •
Переходя к пределу, получим
г dQ
эф~ dp ’
Величина эффективной площади зависит от размеров мано-
метрического упругого элемента и характера его деформаций под
нагрузкой. Если элемент имеет упругую характеристику, близкую
к линейной по давлению, то его эффективная площадь практически
остается постоянной на всем участке рабочего хода. В этом случае
ее можно определять как отношение конечного приращения силы
к соответствующему приращению давления при условии постоян-
ства прогиба, причем величина приращения силы может быть
любой в пределах линейного участка упругой характеристики.
Полагая в области малых перемещений упругую характери-
стику плоской мембраны линейной, получим с учетом
и (11.13)
(1111)
Р __ Q _____ Г>2
^эф'~ р ~ Ао К ’
где коэффициенты Ар и AQ определяются формулами (11.12)
и (11.14). Кривая на рис. 11.7 показывает зависимость относи-
244
Рис, 11.7. Начальная относительная эф-
фективная площадь /о
тельной начальной эффективной
площади /о = от безраз-
мерного радиуса жесткого центра
Ро = ^.
Следует иметь в виду, что
приведенное выше выражение для
РЭф и рис. 11.7 дают лишь на-
чальное значение эффективной пло-
щади, когда давление и прогибы мембраны сколь угодно малы.
С увеличением нагрузки упругая характеристика плоской мемб-
раны отклоняется от линейной, и ее эффективная площадь ме-
няется.
§ 11.4. Плоская мембрана в области
больших перемещений
Дифференциальные уравнения плоской мембраны при больших
прогибах имеют вид [6]
б/2ф । 4ф ф _ fl2.
Р dp2 dp р 2 (11.15)
d2d , dd а Г ЕЧ. , о, I PR 21
р d^ + d^-*7 =
Безразмерная функция ф связана с растягивающей силой Т
выражением

ф = -2^-.
т Eh
Цилиндрическая жесткость D определяется формулой (11.2);
р == ----безразмерный текущий радиус.
Из уравнений (11.15) можно получить дифференциальное урав-
нение (11.1) круглой пластинки при малых прогибах, если функ-
цию ф растягивающего усилия считать равной нулю.
Уравнения (11.15) нелинейны относительно неизвестных ft
и ф. Получить точное аналитическое решение этих уравнений
в замкнутой форме не удается. Поэтому решение уравнений
(11.15) проводится каким-либо приближенным методом 13—6]
или точным численным методом с помощью ЭВМ [2, 4, 5].
Ниже прилагаются результаты численного решения этой за-
дачи по методике, разработанной в работе [1].
Для плоской мембраны, защемленной по наружному контуру
и нагруженной давлением р, результаты численного решения
245
Рис. Ц.8. Безразмерные величины
прогиба ку, напряжения ст и объема v
в зависимости от параметра дав-
ления р
представлены в виде графи-
ков на рис. 11.8. Здесь
— ОУп
--------относительный про-
гиб в центре мембраны; без-
размерный параметр дав-
ления
P-g; (и 16)
относительное эквивалентное
напряжение в опасной точке
относительный объем между начальной и упругой поверхностью
мембраны
v = (Н.18)
На рис. 11.8 даны результаты численного решения для мемб-
раны без жесткого центра; на рис. 11.9, 11.10 — для мембран с же-
стким центром. На графиках
жесткого центра. Рис. 11.9,
11.10 соответствуют случаю,
когда мембрана совершает
свободный ход под действием
давления р.
Пример. Определить прогиб, из-
менение объема и коэффициент за-
паса плоской мембраны без жест-
кого центра при заданном рабочем
давлении р = 0,04 МПа. Мате-
риал мембраны — сплав 36НХТЮ,
модуль упругости Е = 2,1* 105 МПа;
предел упругости сту = 700 МПа;
рабочий радиус мембраны R —
— 100 мм; толщина мембраны
h = 0,4 мм.
Решение. Для того чтобы
определить при больших или при
малых перемещениях работает •
Рис. 11.9. Семейство упругих ха-
рактеристик w = f (р)
246
Рис. 11.1U. Семейство безразмерных напряжений = f (р)
Р
мембрана, подсчитаем сначала ее прогиб по формуле (11.7), полученной на
основе линейной теории:
pR* _ 0,04-100* _nQ
- 5,86Eft8 5,86-2,1 • 105-0,48 ~50,8 мм‘
Поскольку ку0 h, следует уточнить решение по нелинейной теории. Для
этого воспользуемся графиком на рис. 11.8. Безразмерный параметр давления
- pR* 0,04-100*
р ~ Eh* ~ 2,1-105-0,4* -
По рис. 11.8 найдем при р= 744 относительный прогиб w = — 5,75.
Отсюда прогиб 10о = 5,75/г = 5,75-0,4 = 2,3 мм.
Параметру давления р = 744 соответствуют относительный объем v = 2,7
и безразмерное эквивалентное напряжение в опасной точке о = 130 (рис. 11.8).
Тогда объем И между упругой поверхностью и начальной плоскостью
можно определить по формуле (11.18)
V = vn,R*h = 2,7• 3,14 1002 0,4 = 33 900 мм3.
Наибольшее эквивалентное напряжение находим по выражению (11.17), т. е.
- Eh* 1Q_ 2,Ы05-0,42 Ло7 мп
Оэкв = а = 130-------------------------------= 437 МПа.
Коэффициент запаса п, определяемый сопоставлением рабочих напряжений
с пределом упругости материала, будет
Пример 2. Мембрана размерами R = 125 мм и h = 0,5 мм нагружена дав-
лением р ~ 0,02 МПа. Материал — бериллиевая бронза БрБ2; Е = 1,35- 105МПа;
предел упругости сгу = 960 МПа.
247
Определить радиус жесткого центра г0, если начальная эффективная пло-
щадь мембраны Еэф0= 3,14-104 мм2, а также найти прогиб центра и коэффициент
запаса мембраны. Решение. Относительная эффективная площадь г ГэФо 3,14 10^ /о л/?2 3,14 125а -0,64-
По рис. 11.7 находим соответствующий /0 = 0,64 безразмерный радиус
жесткого центра Ро=-тг=О,6. Следовательно, радиус жесткого центра А г0 — 0,6-125= 75 мм.
Безразмерный параметр давления - pR* 0,02-1254 _ол Р Eh* 1,35-10s 0,5* ~580'
По графикам на рис. 11.9 и 11.10 при р = 580 и р0 = 0,6 находим w =
= 2,6 и = 0,19. Отсюда прогиб ку0 = 2,6Л = 2,6-0,5= 1,3 мм.
Р
Безразмерное напряжение 5= 0,19р = 0,19-580= ПО. По формуле (11.17)
подсчитаем эквивалентное напряжение в опасной точке оэкв = 240 МПа.
Коэффициент запаса
„„ °у 9S0 4
оэкв “ 240 “
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андреева Л. Е. Численное решение задачи о больших прогибах гофри-
рованной мембраны. — Механика твердого тела, 1967, № 3, с. 83—89.
2. Валишвили Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.:
Машиностроение, 1976. 278 с.
3. Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956.
419 с.
4. Корнишин М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболо-
чек и методы их решения. М.: Наука, 1964. 192 с.
5. Феодосьев В. И. Об одном способе решения нелинейных задач устой-
чивости деформируемых систем. — Прикладная математика и механика. 1963,
т. XXVII, Вып. 2, с. 265—275.
6. Феодосьев В. И. Упругие элементы точного приборостроения. М.: Обо-
ронгиз, 1949. 344 с.
Глава 12
•Гофрированные мембраны
§ 12.1. Общие сведения
Гофрированная мембрана (рис. 12.1) отличается от плоской
наличием концентрических волн. Свойства гофрированной мемб-
раны во многом зависят от ее профиля — образующей срединной
поверхности. В зависимости от формы профиля упругая характе-
ристика мембраны w0 = f (р) может быть линейной, затухающей
или возрастающей по давлению. В этом отношении гофрированные
мембраны имеют преимущество перед другими типами мано-
метрических упругих элементов (сильфонов, трубчатых пружин),
упругие характеристики которых близки к линейным. С помощью
гофрированных мембран можно решать задачи измерения величин,
нелинейно связанных с давлением (например, расхода жидкости
или газа, проходящего по трубопроводу, воздушной скорости
полета самолета, высоты его подъема и пр.). Для этого упругая
характеристика мембраны должна быть линейной по измеряемому
параметру.
На рис. 12.2 показаны наиболее часто встречающиеся профили
гофрированных мембран.
Мембраны мелкого пильчатого профиля (рис. 12.2, а) просты
в изготовлении, устойчивы к небольшим перегрузкам и широко
применяются в приборах, где требуется затухающая по давлению
упругая характеристика чувствительного элемента (расходо-
меры, высотомеры, указатели скорости). Изготовление мембран
глубокого пильчатого профиля (рис. 12.2, б) встречает некоторые
трудности вследствие возможности появления разрывов на вер-
шинах и впадинах, где имеет место концентрация напряжений.
Поэтому мембраны с глубокой гофрировкой обычно имеют трапеце-
идальный или синусоидальный профиль (рис. 12.2, в, г).
Изготовление мембраны синусоидального или другого профиля
плавных очертаний требует более сложного инструмента, однако
такие профили предпочитают другим при изготовлении мембран
из толстого материала.
Тонкая плоская мембрана с небольшими тороидальными гоф-
рами (рис. 12.2, д) весьма чувствительна и находит применение
при измерении низких давлений, например в вариометрах. После
посадки мембраны на плоскость она способна выдержать значи-
тельные односторонние (с выпуклой стороны гофров) перегрузки.
249
Рис. 12.1. Гофрированная мембрана
Иногда профиль мембраны выполняется переменным по глу-
бине (рис. 12.2, ё). Это может улучшить рабочие характеристики
мембраны и в некоторых случаях упрощает конструкцию упоров,
применяемых при перегрузках.
Упругая характеристика мембраны существенно зависит от
глубины волн и толщины материала. При одной и той же толщине
материала жесткость мембраны в большей степени зависит от
глубины гофров: с ее увеличением жесткость мембраны быстро
возрастает.
На рис. 12.3, а показано влияние глубины Н на упругую
характеристику мембраны с небольшим числом п глубоких гоф-
ров, на рис. 12.3, б — то же, для мембраны с мелкой частой гоф-
рировкой. В первом случае с увеличением глубины волн мембрана
становится более жесткой, а упругая характеристика более линей-
ной, во втором — увеличение глубины гофров также вызывает
уменьшение прогибов, но только на начальном участке упругой
характеристики, с увеличением нагрузки влияние глубины ока-
зывается обратным.
Таким образом, в зависимости от конфигурации мембраны
и величины нагрузки увеличение глубины волн может привести
либо к уменьшению, либо к увеличению прогибов. Однако в любом
случае начальная жесткость мембраны с ростом глубины гофров
увеличивается, а упругая характеристика имеет меньшую нели-
нейность.
Сильно влияет на упругую характеристику гофрированной
мембраны и толщина й, особенно в области малых толщин
(рис. 12.3, в). Изменение же числа волн, формы профиля при усло-
вии сохранения глубины гофров мало меняет упругую характери-
стику гофрированной мембраны.
Рис. 12.2. Профили гофрированных мембран
250
W0,MM
4
7
I
1
Wo, мм
Рис. 12.3. Влияние глубины гофри-
ровки на характеристику мембран:
а — с небольшим числом глубоких
волн (/? = 32 мм, п — 4, h = 0,14 мм);
б — с мелкой частой гофрировкой
(R = 48 мм, п = 6, h = 0,10 мм); в—
различных толщин (D = 80 мм, Н —
= 0,8 мм, п = 16)
В некоторых случаях при изготовлении мембраны ей придают
сферическую или коническую форму (рис. 12.4). Наличие выпук-
лости может в большей степени изменить упругую характеристику
мембраны. При подаче давления с выпуклой стороны жесткость
мембраны падает и упругая характеристика становится возраста-
ющей на начальном участке. Это тем заметнее, чем больше началь-
ная выпуклость, о которой можно судить по высоте А. При доста-
точно большой величине А мем- п п
брана будет изменять свои про-
гиб скачком — «хлопать». Та-
кие «хлопающие» мембраны
применяют в сигнальных
устройствах.
Одиночные мембраны, за-
крепленные по буртику в кор-
пусе (рис. 12.5, а), применя-
ются сравнительно редко. Для
надежного закрепления оди-
ночной мембраны ее прихо-
дится затягивать, при _ этом
Рис. 12.4. Выпуклые мембраны:
а — коническая; б — сферическая; в —
упругая характеристика
251
Рис. 12.5. Конструкции мембранных чувствительных элементов:
а — одиночная мембрана, закрепленная в корпусе; б — мембранная коробка;
в — грибковая мембранная коробка; г — складывающаяся мембранная ко-
робка
в корпусе могут возникнуть значительные усилия. В неко-
торых случаях мембрану крепят к жесткому основанию пай-
кой или сваркой (рис. 12.5, а). Такой способ крепления осво-
бождает корпус от усилий при затяжке, но при пайке или сварке
материалы мембраны и основания прогреваются неравномерно,
и возникающие при этом температурные напряжения могут иска-
зить геометрию чувствительной мембраны, а следовательно, и ее
упругую характеристику. Температурные напряжения будут
меньше, если у материалов основания и мембраны одинаковые
коэффициенты теплового расширения.
Конструкция мембранного узла значительно упрощается, если
две одинаковые мембраны соединены по буртику, образуя мембран-
ную коробку (рис. 12.5, б). У коробки по сравнению с одиночной
мембраной ход вдвое больше. Кроме того, установка мембранной
коробки в прибор значительно проще, чем одиночной мембраны.
К одной из мембран прикрепляют жесткий центр, а к другой —
штуцер, который служит для подвода во внутреннюю полость
коробки измеряемого давления и одновременно для крепления
коробки в корпусе прибора.
«Складывающиеся» мембранные коробки (рис. 12.5, в, г) могут
выдерживать большие перегрузки наружным давлением. Чтобы
обеспечить идеальное прилегание мембран друг к другу при пере-
грузках, обе мембраны обычно формуются вместе на одном
штампе.
252
Рис. 12.6. Схемы изготовления гофрированных мембран:
а — рифление; б — термообработка в прокладках
При ‘измерении абсолютного давления (ма-
нометрами абсолютного давления, барометрами,
высотомерами и др.) внутри коробки создается
вакуум. Такие коробки называются анероид-
ными в отличие от манометрических, внут-
ренняя полость которых соединена с измеря-
емым давлением.
Для того чтобы увеличить перемещение,
можно несколько коробок соединить последо-
вательно.
Для изготовления мембран используется
тонколистовой материал. Из листов вырубают
кружки, которые служат заготовкой для мем-
бран.
Рифление мембран производится между жесткими пуансоном
и матрицей (рис. 12.6, а). Для предотвращения коробления мем-
бран и искажения профиля термообработка мембран проводится
в специальных прокладках (рис. 12.6, б).
Высокие упругие свойства обеспечивает мембранам берил-
лиевая бронза БрБ2, никельтитановые бронзы БрБНТ 1,9,
БрБНТ 1,7 (ГОСТ 18175—78).
Для мембран, соприкасающихся с различными средами, ши-
роко используются дисперсионно-твердеющие сплавы 36НХТЮ,
36НХТЮ5М, 36НХТЮ8М (ГОСТ 5632—72**), которые обладают
хорошей коррозионной стойкостью и достаточно высокими упру-
гими свойствами. Мембраны из этих сплавов могут работать при
температурах до 250, 350 и 400° С соответственно.
§ 12.2. Расчет упругой характеристики
гофрированной мембраны
приближенным методом
При расчете грфрированную мембрану можно рассматривать
как конструктивно-ортотропную пластинку, что позволяет полу-
чить материал для расчета мембран в наиболее простой аналити-
ческой форме.
Если вырезать из гофрированной мембраны (рис. 12.7, а)
элемент конечных размеров (рис. 12.7, б), то при изгибе и растя-
жении этого элемента в радиальном направлении его жесткость
окажется существенно меньше, чем при изгибе или растяжении
в окружном направлении. Это позволяет выбрать расчетную схему
гофрированной мембраны в виде плоской анизотропной мембраны.
Упругие коэффициенты анизотропного материала определяют
из равенства жесткостей на растяжение и на изгиб анизотропной
253
Рис. 12.7. К выбору расчетной схемы
гофрированной мембраны:
а — геометрия и нагружение мем-
браны; б — элемент мембраны
в оалиальном и
пластинки соответствующим
жестко стям гофр ированной
мембраны. При этом толщину
анизотропной мембраны при-
нимают равной толщине гофри-
рованной мембраны.
Обозначим через £г0 и £/0
упругие коэффициенты, харак-
теризующие жесткость мате-
риала анизотропной мембраны
окружном направлениях; Еги и
£/и — упругие коэффициенты, характеризующие изгибную жест-
кость анизотропной мембраны в тех же направлениях.
Жесткость на растяжение в радиальном направлении гофриро-
ванной мембраны значительно меньше, чем жесткость плоской
изотропной мембраны, а жесткость при изгибе в том же направле-
нии отличается незначительно. Поэтому £г0 < Еги. Точно так же
и в окружном направлении упругие коэффициенты, связанные
с изгибом и растяжением, будут различными, т. е. £/0 < £/и.
Таким образом, материал эквивалентной плоской мембраны
должен обладать двойной анизотропией: в одном и том же напра-
влении модули упругости материала при растяжении и изгибе
должны быть различными.
Модули упругости анизотропного материала эквивалентной
мембраны можно представить в виде
£,о — а ’ Е„ — kt$E\ Еги — , ,
«го яги
Etn = kinE,
(12-1)
где коэффициенты >1. Их можно определить, приравняв
жесткости полосок, одинаковым образом выделенных из гофриро-
ванной и из плоской анизотропной мембран.
Определим модуль упругости Ег0 при растяжении в радиаль-
ном направлении. Для этого вырежем вдоль радиуса гофрирован-
ной и анизотропной мембран полоски и приравняем их удлинения
под действием одинаковых сил Q (рис. 12.8, а).
Удлинение бл-в гофрированной полоски можно найти с по-
мощью интеграла Мора
S S
= [ 2» ds _|_ \*№±dS.
j С1 J иг
о о
254
' a)
Рис. 12.8. К определению Коэффициентов анизотропии:
а, б — элементы гофрированной и плоской анизотропной мембран,
вырезанные соответственно в радиальном и окружном направле-
ниях; в — сечение волны
Здесь / = —---момент инерции поперечного сечения полоски
шириной b; F = bh — площадь поперечного сечения; h — тол-
щина стенки; Е—модуль упругости материала гофрированной
мембраны; S —длина гофрированной полоски АВ, равная длине
дуги одной волны профиля мембраны.
Второй интеграл, учитывающий деформации, растяжения, бу-
дет тем меньше по сравнению с первым, чем глубже гофрировка.
При пологой гофрировке второй интеграл становится соизмеримым
с первым, поэтому его необходимо учитывать.
Изгибающие моменты и нормальные силы от заданной и еди-
ничной нагрузок следующие:
Мр = Qy; Mj. = ly; Np — Q cos 0; = 1 cos 0.
Тогда
s s
6Л~5 = -Я- f t/2 ds + -S₽- [ cos2 0 ds,
El J 1 EF J ’
о 0
где 0 — угол наклона касательной в произвольной точке.
Для каждого вида профиля гофрировки эти интегралы легко
вычислить аналитически или графически.
255
Удлинение анизотропной полоски длиной I и площадью по-
перечного сечения F = Ыг, растягиваемой силами Q, с учетом
соотношения (12.1) равно
ЯА-В__ 01 ____
~~ Er0F ~ EF •
Приравняв правые части двух последних выражений, найдем
коэффициент kr0
s s
kr<> = \у2ds+-т fcos20ds>
О о
где I — длина волны профиля гофрированной мембраны.
Коэффициент krQ характеризует жесткость на растяжение
в радиальном направлении и показывает, во сколько раз умень-
шается жесткость прямой полоски, если на ней нанести волны
гофрировки.
Приравняв удлинение полосок, вырезанных в окружном на-
правлении (рис. 12.8, б), получим коэффициент kt^ характери-
зующий жесткость на растяжение в этом направлении:
Рассматривая изгиб этих же полосок, определим коэффициенты
£ги и характеризующие изгибные жесткости в радиальном и
в окружном направлениях.
Для гофрированной полоски, вырезанной в радиальном на-
правлении (см. рис. 12.8, а), взаимный угол поворота сечений Л и В
IM-5 = а для плоской анизотропной
АЛ-В УМ______УМкгп
= EI •
Из равенства правых частей этих выражений следует, что
k -А
Приравняв взаимные углы поворота концевых сечений поло-
сок, вырезанных в окружном направлении (см. рис. 12.8, б),
можно показать, что коэффициент, определяющий изгибную жест-
кость в окружном направлении, равен
k — —
где Гг — момент инерции поперечного сечения гофрированной
lh3
полоски относительно радиуса г; 1Г = -------момент инерции
сечения плоской полосы.
256
Момент инерции бесконечно малого элемента сечения гофри-
рованной полоски относительно оси г (рис. 12.8, в) равен
dl'r = dFy2 + dlv cos2 9 = y2h ds + —jy- cos2 9.
s s
f № c
Следовательно, Гг = h I y2 ds + I cos2 9 ds.
о 0
Тогда коэффициент
Jf 5 s
^« = -/7 =-§i Jy2ds + -j- J cos29ds.
Г 0,0
Из полученных выражений следует, что найденные коэффициенты
попарно равны
= ^ги ^1’ ^г0 — ^7 и == ^2>
где
^=4’ <12-2>
rk2 = -f- =-^-J^ds + -l- j cos2 9 ds. (12.3)
r о 0
Отметим, что коэффициенты kx и k2 зависят только от геомет-
рии профиля гофрированной мембраны и ее толщины, причем коэф-
фициент kr немного больше единицы. Коэффициент k2, равный
отношению моментов инерции осевого сечения гофрированной
и плоской мембран относительно радиуса, быстро возрастает
с увеличением глубины гофрировки и может быть значительно
больше единицы.
Определим геометрические коэффициенты и k2 для мембран
с профилями наиболее распространенных типов.
Трапецеидальный профиль. Для этого профиля длина дуги
одной волны (табл. 12.1)
Следовательно, по формуле (12.2) коэффициент
Ь =J1 = ______£.21
1 I COS 0О "Т" I
Значения переменных у и 9 по участкам профиля будут
у = ssin90; 9 = 90 (О < s « ----’
Н . Q ex I S а \
У — ”2” > 9 — 0 (д < S < .
1/г9 Пономарев С. Д.» Андреева Л. Е. 257
Таблица 12.1
Коэффициенты k± и k2
Профиль
Пильчатый
Подставим эти значения в формулу (12.3)
k - 442
h4
S______а_
4 2
sin20o j s2ds
О
4 2
S
4 2 4
cos20o J ds 4- j ds
0 Sa
4 2
После
преобразований, учитывая, что -—tg0O = Я,
получим
Г 1 —
h Г . 6a , /. 2a\ ~ , 2a
cose0 -1-—J+(!- —)cos0o4- i •
Пильчатый профиль. Выражения коэффициентов можно полу-
чить из предыдущих формул, рассматривая пильчатый профиль
258
как частный случай трапецеидального, когда а = 0. Таким обра-
зом,
, А?2 = "То-Л--1- COS 0л.
1 cos 0О * h2 cos 0О 0
Синусоидальный профиль. Уравнение линии профиля у =
Я . 2лх
= -sin —.
Дифференцируя его,
Учитывая, что cosO =
лН
I X
= — ---- и гх = 9 л. —, приводим выражения (12.2) и
"I / . . / лН \2 *
dy а Нл 2лх
получим = tg 9 = —— cos ——.
- * — и введя обозначения а =
Ktg^-I-I
(12.3) для коэффициентов kr и k2 к виду
ъ 2 р .
+ ^F.,
л л
2 2
где Ео == [ V1 — zz2 sin2 a da и Fo = ( ,г. — полные
QJ J И 1—a2 sin2 а
эллиптические интегралы I и II рода.
Пологий синусоидальный профиль. Если глубина Н значи-
тельно меньше длины волны I (по крайней мере то
в уравнениях (12.2) и (12.3) можно положить cos 0 = 1. В этом
случае выражения коэффициентов значительно упрощаются: k± =
= 1; ^ = 4^+1-
Формулы для коэффициентов kx и k2 сведены в табл. 12.1.
Определив приведенные коэффициенты анизотропии, перейдем
к решению задачи о больших перемещениях плоской анизотроп-
ной мембраны, которой в соответствии с выбранной расчетной
схемой заменяется мембрана гофрированная.
Уравнения больших прогибов плоской анизотропной мембраны
имеют вид [1 ]
Л , „2± = J_A2.
dp2 dp Р 2 ’ (12.4)
d*& , dti , # Г . . a . 1 n 21
259
где Ф — угол поворота нормали. Функция радиального усилия Тг
ф =— , а р =— безразмерный радиус мембраны.
Цилиндрическая жесткость /)=————,
где £ и ц — упругие постоянные материала.
Безразмерный параметр а связан с геометрическими коэффи-
циентами kx и k2 следующим образом:
а2 = kxk2. (12.5)
Коэффициенты и k2 определяются выражениями (12.2)
и (12.3).
Если гофры на мембране отсутствуют, то коэффициенты при-
ведения k1 = k2 = 1, следовательно, по выражению (12.5) а = 1,
и уравнения (12.4) совпадут с известными уравнениями плоской
изотропной мембраны в больших перемещениях (11.15).
Нелинейные уравнения (12.4) легко решить каким-либо чис-
ленным методом, но при этом не будут получены формулы для рас-
чета гофрированных мембран в простейшей аналитической форме.
Весьма простое решение обеспечивается применением метода
«наложения» [1 ].
Основная идея метода наложения заключается в том, что со-
противление мембраны внешней нагрузке рассматривается как
сумма сопротивлений изгибу и растяжению. Сопротивление мем-
браны изгибу определяется по линейной, теории, а сопротивление
растяжению — из расчета абсолютно гибкой мембраны. Искомое
решение при произвольном прогибе определяется «наложением»
этих двух решений, т. е. приравниванием суммы сопротивлений
мембраны на изгиб и на растяжение внешней нагрузке:
Р = Ри + Рр>
- pR* л ~
где Р = -^4 —безразмерный параметр давления; /?и характери-
зует сопротивление мембраны изгибу, а рр-—сопротивление
растяжению.
Предположим, что упругая характеристика гофрированной
мембраны описывается кубическим уравнением
р = а^ + ^, (12.6)
где линейный член соответствует сопротивлению эквивалентной
анизотропной мембраны изгибу и может быть найден из решения
линейной задачи. Кубический член характеризует сопротивление
мембраны растяжению, для его определения нужно рассмотреть
задачу об абсолютно гибкой анизотропной мембране.
Уравнения мембраны при малых прогибах и абсолютно гибкой
мембраны можно получить как предельные случаи из дифферен-
260
циальных уравнений (12.4) плоской анизотропной мембраны в боль-
ших перемещениях.
Проведем решение для мембраны, защемленной по наружному
контуру/ без жесткого центра, постоянной глубины гофров (см.
рис. 12.7, а). Полагая при малых прогибах функцию растя-
гивающего усилия ф = О, получим из системы (12.4) линейное
уравнение плоской анизотропной мембраны
d2O , dO 2 О а 2
Р ТТ 4 "3----а — = АПР2,
r dp2 1 dp р ’
A pR3kl
где лр = — параметр нагрузки.
Решение этого линейного уравнения запишем в виде
= Ч (cip“ + ^1р-“ + •
Постоянные интегрирования сх и dj. определяют из следую-
щих граничных условий: в центре (р = 0) и на контуре (р = 1)
угол поворота ft = 0. Отсюда сх = ~д _2а2 и dL = 0.
Подставляя постоянные сх и dx в предыдущее выражение для ft,
получим угол поворота
е = -9Т^(Р3-Р“). (12-7)
где а — параметр, зависящий от формы профиля в соответствии
с выражением (12.5).
Угол ft поворота нормали к срединной плоскости пластинки
является производной вертикального прогиба w по радиусу г:
ft = ^.
dr
Тогда относительный прогиб центра мембраны, защемленной
по наружному контуру, определится как
о
^-=Jftdp. (12.8)
1
Подставляя сюда угол поворота из формулы (12.7), получим
ту часть давления, которая определяет сопротивление мембраны
изгибу,
/ pR* \ _ 2 (3 + а) (1 + а) /19 п\
зЦ1-£) h ‘ ( }
Кубический член характеристики (12.6) соответствует сопро-
тивлению мембраны растяжению, которое имеет место при весьма
больших прогибах. В этом случае поведение гофрированной мем-
браны может быть описано уравнениями абсолютно гибкой анизо-
9 Пономарев С. Д., Андреева Л. Е. 261
тропной пластинки, которые получатся из системы (12.4), если
положить в ней изгибную жесткость D = О,
d^ dq, 2 ф _ ф.
Р dp2 f dp p ~ 2 ’
. ‘ H (12.10)
Ф^ = pop\
где pQ = ~2^hk---параметр нагрузки.
Уравнения (12.10) решаем методом Бубнова—Галеркина, зада-
ваясь законом угла поворота
# = Ср, (12.11)
что соответствует форме упругой поверхности, близкой к сфери-
ческой.
Подставив Ф из (12.11) в первое уравнение системы (12.10),
после интегрирования получим
Ф = -т + аР“ + М • (12.12)
Постоянная интегрирования b — 0, так как в центре мембраны
(р = 0) растягивающее усилие имеет конечное значение (ip оо).
Постоянная а зависит от способа закрепления мембраны по на-
ружному контуру. Если радиальное смещение невозможно, то на
контуре окружная деформация ez = 0. Величина е, связана с уси-
лиями Тг и Tt законом Гука ez = — (Tt — pTr).
Граничное условие ez|p=1 = 0, выраженное в безразмерных
величинах, имеет вид ф — р у'|р_1 ~ 0-
Из этого равенства находим постоянную а =-
Подставим угол поворота Ф (12.11) и функцию ф (12.12) во
второе уравнение (12.10), умножим его на р в соответствии с ме-
тодом Бубнова—Галеркина и проинтегрируем в пределах измене-
ния р, т. е. от 0 до 1. В результате получим
С8 Г_1________3 —р ] Ро
9—a2 L 6 (а — р.) (а + 3) J 2
Постоянную С можно выразить через прогиб w0 центра мем^
браны с помощью выражений (12.8), (12.11)
о о
а>о = J ®dr = CR | pdp = —
R 1
откуда C =------.
A
262
Используя последние соотношения, находим кубический член
характеристики (12.6)
/ PR* \_____Г 1 _______ ___3 ц______"I Wq
\ Eh* )р~ 9-а2 L 6 (а + 3) (а —- р,) J Я3 *
Суммируя выражения (12.9) и (12.13) в соответствии с методом
наложения, получим уравнение упругой характеристики гофри-
рованной мембраны [11
. (12.14)
Eh* h 1 /i3 ’ v 7
где
2 (3 4-а) (1 + а) . h __ 32^ TJ________3 - р 1
’ a2-9L6 (а + 3)(а-ц) J *
(12.15)
9*
263
Рис. 12.10. Мембранный чувствительный
элемент и его упругая характеристика
Коэффициенты а и b мембраны
можно непосредственно опреде-
лять по графикам, построенным
по выражениям (12.15), на
рис. 12.9, в зависимости от отно-
. Н ,
сительнои глубины — гофри-
ровки и угла наклона 90 для
пильчатого профиля или в зависи-
мости от относительного пара-
77
метра — для синусоидального
профиля (Н — глубина, I— длина волны, h —толщина материала).
Расположение кривых и b = b (-у-) указывает
на то, что основными факторами, определяющими форму упругой
характеристики мембраны, являются глубина волн Н и толщина
материала А, так как коэффициенты а и b зависят главным обра-
зом от параметра -у-. Форма профиля и число волн (длина волны I
или угол наклона 90) при неизменной глубине Н влияют на уп-
ругую характеристику значительно меньше.
Формула (12.14) получена для мембраны без жесткого центра.
Изменив соответствующим образом граничные условия, можно
построить аналогичное решение для мембраны с жестким цен-
тром [1 ]. Анализ результатов этого решения показывает, что для
мембран с мелкими волнами < 4 н- б) жесткий центр относи-
тельного радиуса р0 = < 0,2 -н 0,3 почти не оказывает влия-
ния на характеристику мембраны. Для мембран глубокого про-
филя 5s 8 н- ю) жесткий центр слабо влияет на характе-
ристику при ро < 0,4 4-0,5. В этих случаях при расчете можно
пользоваться формулой (12.14).
Пример. Построим характеристику манометрической коробки, состоящей
из двух одинаковых мембран пильчатого профиля. Размеры мембран указаны
на рис. 12.10. Материал — бериллиевая бронза, модуль упругости Е =
= 1,315-105 МПа.
30 7 7
Определим длину волны I = -— = —Цт------ = 9,9 и угол 00 (Рис- 12.9)
tl и
Н Н ' 02
как 0О = arctg -у- ~ 6°. По графику рис. 12.9 находим при — = ~
= 8,16 и 0О = 6° коэффициенты а = 69 и Ь = 0,073.
Подставив коэффициенты а и b и числовые данные мембраны в формулу (12.14),
получим уравнение ее характеристики
Eh
(ah2w0 + bw%) = 0,00977иуо + 0,000661^.
264
На рис. 12.10 приведены расчетная характеристика (с учетом того, что про-
гиб коробки в 2 раза больше прогиба одной мембраны) и характеристика, полу-
ченная в результате испытаний. Они расположены весьма близко друг к другу.
§ 12.3. Результаты численного решения
Численное решение задач расчета гофрированных мембран
получено на основе методики, описанной в работе [2]. При этом
не накладывается никаких ограничений на форму профиля,
кроме того, что мембрана должна быть оболочкой вращения.
На рис. 12.11 сопоставлен расчет и эксперимент по упругим
характеристикам гофрированных мембран различной геометри-
ческой формы, изготовленных из бериллиевой бронзы БрБНТ 1,9.
Расхождение между результатами расчета на ЭВМ (сплошные ли-
нии) и экспериментом (точки) невелико.
На рис. 12.12 дано семейство упругих характеристик w =
= f (р) мембран синусоидального профиля (здесь w = р —
pR* \ v
полУченное численным методом. Характеристики мем-
Рис. 12.11. Расчетные (—) и экспериментальные (• •) характеристики
265
Рис. 12.12. Семейство упругих
характеристик
266
бран при малой глубине волн являются затухающими. С увеличе-
нием относительной глубины — начальная жесткость мембран
растет. При -^-=10-^14 кривые w = f (р) имеют перегибную
форму. Затем характеристики монотонно возрастают, приближаясь
„ Н
к линейным с ростом отношения — .
Таким образом, меняя только один параметр — глубину гофри-
ровки, можно получить мембраны, сильно отличающиеся по жест-
кости и форме упругой характеристики.
Рассмотрим распределение напряжений в мембране с относи-
тельной глубиной гофров (-^- = 18^, нагруженной давлением
(рис. 12.13).
Окружные мембранные напряжения о/0 достигают экстремаль-
ных значений в точках вершин и впадин гофров, причем в рас-
Рис. 12.14. Напряжения
в мембране с мелкой гофрировкой
267
Рис. 12.15. Графики эквивалентных напряжений:
а----^-= 6; б-----^-=18
h h.
сматриваемом случае эти напряжения положительны в вершинах
и отрицательны во впадинах. Частота функции <т/0 равна частоте
гофрировки.
Меридиональные мембранные напряжения ог0 на порядок
меньше окружных о<0.
Изгибные меридиональные напряжения <тги меняются вдоль
профиля с частотой, вдвое превышающей частоту гофрировки.
Изгибные напряжения в окружном направлении <т/и приблизи-
тельно в 3 раза меньше меридиональных напряжений 6ГИ
(рис. 12.13).
Напряжения, показанные на рис. 12.13, отнесены к давле-
нию р. Штриховая линия соответствует линейному решению,
сплошная — нелинейному при р = 0,42 МПа. Для жесткой мем-
268
брани = 18) с характеристикой, близкой к линейной, эти
решения различаются мало.
Для мембраны с относительной глубиной гофрировки = 6
нелинейность проявляется при меньших прогибах, чем у мембраны
с параметром -^-=18 (см. рис. 12.12). При этом существенно
меняется характер распределения напряжений, что связано с растя-
жением гофров в области больших перемещений мембраны. Осо-
бенно сильно меняется вид эпюры меридиональных изгибных на-
пряжений оги (рис. 12.14).
Рассмотрим эпюры эквивалентных напряжений для мембран
с параметрами -^- = 6 и -^-=^18 в точках наружной (оэкв. н)
R=90
269
R=90
Рис. 12.17. Распределение функций перемещений и напряжений
. / Н 1- \
в мембранах ( “jp = 12 > в условиях силовой компенсации
и внутренней (аЭкв. в) поверхностей (рис. 12.15). Пунктирная
линия соответствует линейному решению, сплошная — нелиней-
ному при давлении р = Др/, где Др = 0‘,07 МПа, / = 6. Экви-
валентные напряжения вычислялись с помощью энергетической
теории. На рис. 12.15 даны отношения эквивалентных напряже-
ний к давлению р.
Для мембраны с характеристикой, близкой к линейной
= 18^, результаты линейного и нелинейного решений близко
совпали (рис. 12.15, б). Положение опасной точки, где оЭкв
достигает наибольшего значения (отмечено точкой на эпюре),
при изменении нагрузки не меняется. В данном случае опасная
270
точка находится вблизи вершины крайней волны на наружной
поверхности мембраны.
Для мембраны с большой нелинейностью (-у- = б) эпюра -^2-
существенно меняется с ростом давления, приобретая более равно-
мерный характер в области больших перемещений (рис. 12.15, а).
Положение опасной точки зависит от нагрузки. В начале нагру-
жения опасная точка располагается у заделки на наружной по-
верхности мембраны. С ростом давления опасная точка скачкооб-
разно смещается. В рассматриваемом случае при j = 6 опасная
точка оказалась на внутренней поверхности впадины между второй
и третьей волнами гофрировки.
При нагружении мембраны силой Q наиболее напряженными
оказываются не краевые волны, как в случае действия давления
(см. рис. 12.15), а центральные. На рис. 12.16 даны эпюры напря-
жений, полученные линейным решением (штриховые линии) и
нелинейным (сплошные линии) для мембраны глубокой гофри-
ровки ^-у-= 18^. . Как и при нагружении давлением, частота
окружных мембранных напряжений at0 совпадает с частотой гоф-
рировки, а изгибные меридиональные оги имеют частоту вдвое
большую.
В условиях силовой компенсации, когда мембрана одновре-
менно нагружается силой Q и давлением р так, что жесткий
центр не перемещается, наиболее напряженными оказываются
центральная и краевая волны. Опасная точка в данном случае
(-у = 12^ находится на вершине центральной волны
(рис. 12.17).
Форма упругой поверхности представлена кривыми -у—-
и ф, где датах — наибольший прогиб, ф — функция угла нормали.
Экспериментальное исследование напряжений в гофрированной
мембране при нагружении давлением р, силой Q, а также в усло-
виях силовой компенсации дало результаты, хорошо совпадаю-
щие с расчетными [2, 31.
§ 12.4. Расчет гофрированных мембран,
нагруженных давлением,
с помощью номограмм
На основании изложенного в работе [2] численного решения
получен графический материал, значительно облегчающий ин-
женерные расчеты гофрированных мембран. Семейства упругих
характеристик w = f (р), построенные в безразмерных координа-
тах
— ю0 — pR*
w = и P = lih*’
(12.16)
271
Рис. 12.18. Семейство упругих характеристик мембран
с переменной глубиной гофров (а = 1,2)
охватывают мембраны самых различных рабочих диаметров и
толщин, выполненные из разных материалов. В качестве примера
на рис. 12.18 дано семейство упругих характеристик w = f (р)
для трехволновых мембран с переменной глубиной гофров. Не-
равномерность глубины профиля характеризуется коэффициентом
а = #8 ~~ , где Hlt Н2 и Н3 — глубины гофров. На семействе кри-
п 2
вых (рис. 12.18) Н — глубина средней волны Н2 = Н. Сплошные
линии соответствуют нагружению давлением с верхней стороны
мембраны, штриховые — с нижней стороны. ,
Угол наклона касательной к упругой характеристике w =
~ f (р) в начале координат соответствует безразмерной начальной
жесткости равной в соответствии с выражениями (12.16)
W
(12.17)
w Е \h / wQ
Эта жесткость не зависит от знака давления и определяется из
линейного решения. Для каждого семейства упругих характери-
стик безразмерная начальная жесткость зависит только от пара-
Н
метра -у-.
272
На рис. 12.19 построены семейства безразмерных эквивалент-
ных напряжений о = в опасной точке мембраны при
положительном и отрицательном давлении (см. рис. 12.18). Тан-
генс угла наклона касательной к кривой о = f (р) в начале ко-
ординат равен
£ = РэктЛ2
р pR2
(12.18)
Эта величина, определяемая из линейного решения задачи, также
Н
зависит только от параметра
Кривые
W
ная площадь
а также относительная начальная эффектив-
р
^эФо
(12.19)
в зависимости от глубины гофров даны на рис. 12.20 для
мембран равномерного (а = 0) и неравномерного (a 0) про-
филей.
Номограмма, представленная на рис. 12.20, построена на oc-z
нове линейного решения и поэтому отражает поведение мембран
с упругими характеристиками, близкими к линейным. С увеличе-
Рис. 12.19. Безразмерные напряжения о в опасной точке мембраны
(а= 1,2)
273
Рис. 12.20. Номограмма для расчета мембран с постоянной (а = 0)
и переменной (а 4= 0) вдоль радиуса глубиной гофров
пнем прогиба проявляется нелинейность в зависимостях прогиба,
напряжений и эффективной площади от нагрузки. Уточнение этих
величин может быть произведено по графикам рис. 12.18, 12.19,
где представлены результаты нелинейного решения.
Нелинейность упругой характеристики у =—------------ 100%,
^°max
где А — наибольшая разность прогибов между прямой, соединяю-
щей начало координат с конечной точкой рабочего участка харак-
теристики, и нелинейной характеристикой (см. рис. В 2, б). Кри-
вые нелинейности, представленные на рис. 12.21 и 12.22, могут
использоваться при расчете и проектировании мембран; нелиней-
274
ность y > 0 соответствует возрастающей упругой характеристике,
у < 0 — затухающей.
Приведенный здесь графический материал можно использо-
вать при решении «прямой» задачи, когда размеры мембраны за-
даны и требуется определить ее рабочие характеристики. В этом
случае по кривым рис. 12.20 для данного параметра опреде-
-1000 -800 ~600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 р
Рис. 12.21. График нелинейности у = f (р) для мембран пе-
риодического профиля (а = 0)
275
Рис. 12.22. График нелинейности у = f (р) для мембран с пе-
ременной глубиной гофрировки (а = 1,2)
ляют величины и Затем из формул (12.16)—(12.18) на-
W р
ходят прогиб w0 и наибольшее эквивалентное напряжение оэкв.
Пример. Определить прогиб, эффективную площадь, коэффициент запаса
и нелинейность характеристики мембраны равномерного синусоидального про-
филя (см. рис. 12.12). Материал — бериллиевая бронза БрБНТ 1,9, модуль
упругости Е= 1,315- Ю5 МПа, предел упругости оу = 960 МПа. Мембрана
276
нагружена положительным давлением р= 0,16 МПа. Размеры мембраны: R =
= 25 мм, Н = 1 мм, h = 0,2 мм.
Сравнить рабочие характеристики для мембраны равномерного и неравно-
мерного профиля (см. рис. 12.18), приняв одинаковыми размеры R, h и Н2~ Н.
Коэффициент неравномерности глубины профиля принимаем равным а= 1,2.
Решение. Сначала рассчитаем мембрану равномерного профиля. По
Н 1
относительной глубине q о ~ находим по кривым рис. 12.20 при а = 0
безразмерные величины: жесткость -4=- = 48, напряжение -?-= 0,23 и эффек-
ту р
тивную площадь /0 = 0,417.
С помощью формул (12.17)—(12.19) находим перемещение центра
pR / R\3w 0,16-25 / 25 \з 1 t о.
W°~ E\h) р ~ 1,315-105 ( 0,2 / 48 “ ’2 ММ’
наибольшее эквивалентное напряжение *
<умв=р (4)2 = 0’16 0,23 (‘ё')2 =574 МПа
и эффективную площадь
^эФо = fo^R2 = 0,417-3,14-252 = 818 мм2.
ГЛ аУ 960 1 С7
Определим коэффициент запаса и = —3— — = 1,67.
°экв
Найдем нелинейность упругой характеристики. Для этого подсчитаем пара-
метр давления р по выражению (12.16)
0,16-25* _
р Eh* 1,315 105-0,24
__ н
По графику на рис. 12.21 при р = 297 и — = 5 находим нелинейность харак-
теристики у ж —2%.
При расчете мембраны неравномерного профиля следует пользоваться кри-
выми а = 1,2 на рис. 12.20 и графиком нелинейности на рис. 12.22. Проведя
аналогичные вычисления, получим — 1,34 мм, оэкв = 424 МПа, Лэф0 =
= 602 мм2, у = —4% , п — 2,26.
В данном случае мембрана с неравномерной гофрировкой имеет преимуще-
ство по сравнению с мембраной постоянной глубины гофрировки в отношении
чувствительности и прочности.
Таким образом, с помощью номограммы (рис. 12.20) решение
«прямой» задачи осуществляется достаточно'просто. Теперь рас-
смотрим задачу «обратную», когда по заданным требованиям под-
бирается геометрия упругого элемента, т. е. задачу проектиро-
вания.
Методика проектирования чувствительного элемента во мно-
гом определяется заданными техническими требованиями. Од-
ним и тем же требованиям в отношении жесткости и нелинейности
характеристики могут удовлетворить чувствительные упругие
277
элементы различной геометрии. Среди них оптимальным будет
вариант с наименьшими рабочими напряжениями, так как умень-
шение напряжений ведет к увеличению коэффициента запаса,
точности и надежности упругого элемента вследствие уменьшения
вместе с напряжениями упругих несовершенств материала: ги-
стерезиса, микроползучести, релаксации.
Очевидно, создание единой методики проектирования мембран-
ных чувствительных элементов, пригодной для всех вариантов тех-
нических заданий, не представляется возможным. Ниже мы огра-
ничимся вопросами проектирования чувствительных элементов
с упругой характеристикой, близкой к линейной.
Методика проектирования мембран с существенно нелинейной
характеристикой дана в работе [2].
В § 12.1 было показано, что форма волны гофрировки, число
волн оказывают второстепенное влияние на рабочие характе-
ристики мембраны. Основными геометрическими параметрами сле-
дует считать рабочий радиус, толщину материала, глубину гоф-
рировки. Существенное влияние на упругую характеристику мо-
жет оказывать неравномерность глубины волн, начальная выпук-
лость (коническая, сферическая), а также геометрия краевого
гофра. Второстепенные геометрические параметры можно назна-
чать из конструктивных или технологических соображений. Ос-
новные геометрические параметры следует определить в процессе
проектирования. Обычно бывают заданы рабочее давление р,
соответствующий ему прогиб wQ, рабочий радиус /?. Материал
мембраны выбирают, исходя из условий работы мембраны, следо-
вательно, модуль упругости Е также можно считать известным.
Во многих случаях указывается допускаемая нелинейность у
характеристики.
При решении этой задачи целесообразно выбрать ряд значе-
ний параметра глубины у ис помощью номограммы (рис. 12.20)
• определить соответствующие значения безразмерной начальной
жесткости -=т-. На основании выражения (12.17) вычисляют тол-
пу
з /---~"р7
щину /1=1/ каждой мембраны с выбранным пара-
У р L
метром Таким образом получают размеры мембран в несколь-
ких вариантах. При* этом мембраны имеют одинаковые габарит-
ные размеры 7? и одинаковую жесткость Напряжения в мем-
бранах определяют с помощью номограммы на рис. 12.20_и фор-
мулы (12.18), а нелинейность — по графикам у = f (р) (см.
рис. 12.22). По этим данным из полученных вариантов следует
выбрать тот, который в большей степени соответствует заданным
требованиям.
278
§ 12.5. Расчет мембран в условиях
силовой компенсации
Упругий элемент в приборе, построенном по схеме силовой
компенсации, осуществляет преобразование давления р в усилие Q,
при этом перемещение точки приложения силы практически равно
нулю.
Развиваемая упругим элементом сила Q связана с давлением р
через эффективную площадь Гэф (§ 11.3): Q = pF3$. В этом слу-
чае точность преобразования во многом определяется свойствами
эффективной площади, которая зависит от геометрии чувствитель-
ного элемента, его жесткости, условий нагружения и может ме-
няться при работе прибора.
Для определения изменения эффективной площади мембраны
в условиях силовой компенсации численным методом мембрана рас-
сматривается как оболочка, осесимметрично нагруженная силой Q
и давлением р. При заданном давлении р сила Q находится из
условия равенства нулю перемещения жесткого центра. Эф-
фективная площадь определяется как
Относительное изменение эффективной площади характе-
ризует погрешность преобразования давления в усилие и опреде-
ляется как
л, „ 100%.
^эфо
(12.20)
где ГЭф — текущее значение эффективной площади при давлении р;
F3^—начальное значение эффективной площади при давлении р—>0.
На рис. 12.23 даны семейства кривых относительной эффектив-
ной площади f = мембран трапецеидального и пильчатого
профилей, закрепленных по наружному контуру, с жестким цен-
тром радиуса г0 = 0,27? в зависимости от параметра давления
р = Для мембран с неглубокой гофрировкой (-у < б)
эффективная площадь значительно меняется с изменением давле-
ния. Для мембран с относительной глубиной — > 6 эффектив-
ная площадь меняется меньше, и характер ее изменения стано-
вится близким к линейному.
Эффективная площадь существенно зависит от знака нагрузки.
При нагружении мембраны положительным давлением эффектив-
ная площадь меняется меньше, чем при нагружении отрицатель-
ным. С увеличением отношения -у- эта разница уменьшается.
При этом с ростом положительного давления эффективная пло-
щадь возрастает, с ростом отрицательного — падает.
Графики на рис. 12.23 могут быть использованы для расчета
эффективной площади мембраны, находящейся в условиях сило-
279
f nhl- н в
п L 7 Чо
== >12 '/4
12- 10- *6 • 4
8- 0,39- ! 0,37- h 2 1
0 35- о>п /?
п И- h г0, *] a t
2- и,дО 0 31 -
\>0
0,29 0 27-

0,25
-W -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 р
а)
Рис. 12.23. Кривые f = f (р) для мембран:
а — трапецеидального профиля; б — пильчатого профиля
280
вой компенсации, если известны ее геометрия, материал и диапа-
зон нагружения. Подсчитав по этим данным относительную глу-
бину и параметр давления находим по рис. 12.23
относительную величину /, а затем и эффективную площадь как
^эф = fnR2. Графики позволяют определить эффективную пло-
щадь при любой величине рабочего давления.
Помимо эффективной площади, которая для мембран, находя-
щихся в условиях силовой компенсации, является важнейшим па-
раметром, при расчете этих мембран определяют также наиболь-
шее эквивалентное напряжение и жесткость мембраны. Для оп-
ределения этих величин может быть использована номограмма
(рис. 12.24), полученная численным решением. Здесь представлены
кривые начальной относительной эффективной площади /0 (12.19),
безразмерной величины начальной жесткости по силе Q
K = (12.21)
и напряжения в опасной точке (12.18) в зависимости от относи-
Р
тельной глубины -у для мембран синусоидального профиля
с тремя волнами, жестко закрепленных по наружному контуру
при относительном радиусе жесткого центра р0 = = 0,2.
к
Здесь Aq ••= ~---жесткость- по силе; пир — соответственно
безразмерные параметры напряжения и давления, определяемые
по формулам (12.16) и (12.18).
Следует отметить, что с увеличением давления изменяется
не только эффективная площадь, но и жесткость зависимость
между напряжениями и давлением становится нелинейной. Кри-
вые, приведенные на рис. 12.24, соответствуют линейному реше-
нию, и поэтому точность расчета по этой номограмме будет тем
выше, чем меньше нелинейность характеристики упругого эле-
мента.
Пример. Определить рабочие характеристики мембраны синусоидального
трехволновоГо профиля. Размеры мембраны: R = 30 мм, г0 = 0,2/?, Н — 0,64 мм,
h — 0,08 мм. Материал — бронза БрБНТ 1,9, модуль упругости Е — 1,315 X
X 105 МПа, предел упругости Оу== 960 МПа. Мембрана нагружена положитель-
ным давлением р — 0,01 МПа (см. рис. 12.24). Требуется определить начальное
значение эффективной площади Гэф0, начальную жесткость Ко и коэффициент
~ * Н 0,64 о
запаса пу. Определим относительную глубину -у — = 8 и по рис. 12.24
найдем величины fQ= 0,428, К = 137 и -^-=0,0934.
Р
Определим начальные значения:
эффективной площади (12.19)
Гэф0 = /0л/?2 = 0,428-3,14-302 = 1210 мм2,
281
Рис. 12.24. Номограмма для расчета мембран в условиях
силовой' компенсации
жесткости (12.21)
„ т Eh,3 137-1,315-106-0.033 ,л ле и/ .
-ф- ------------------------=10,25 Н/мм,
Наибольшего напряжения (12.18)
a pR3 _ 0,0934-0,01-30а
- h* ~
коэффициента запаса rty
<?экв---
—»— -131 мп’-
СТу 960 —7 4
<Ъкв 131
аУ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андреева Л. Е. Упругие элементы приборов. М.: Машгиз, 1962. 455 с.
2. Андреева Л. Е., Богданова Л. Е. Методы проектирования мембранных
упругих элементов. М.: ЦНИИТЭИ, 1972. 38 с.
3. Андреева Л. Е., Жибарева И. Н. Определение напряжений в гофри-
рованных мембранах. — Приборы и системы управления, 1967, № 3, с. 6—9.
Глава 13
Сильфоны
§ 13.1. Общие сведения
Сильфон (рис. 13.1) —это манометрический упругий элемент,
широко используемый в различных областях техники. Он представ-
ляет собой тонкостенную, гофрированную в окружном направле-
нии трубку, способную давать значительные перемещения под
действием давления, осевой или поперечной силы и изгибающего
момента. При осесимметричном нагружении сильфона его характе-
ристика близка к. линейной, а эффективная площадь практически
постоянна.
Сильфоны, изготовленные из тонкостенных однослойных тру-
бок, называются бесшовными (рис. 13.1, а). В некоторых случаях,
например для увеличения прочности или для защиты от агрессив-
ных сред, сильфоны изготавливаются многослойными.
Сварные сильфоны (рис. 13.1, б) свариваются из штампован-
ных кольцевых мембран. Сварные сильфоны можно изготовить
с более глубокими гофрами, поэтому они могут быть менее жест-
кими, чем бесшовные сильфоны. В некоторых случаях применения
важно, что сварные сильфоны можно сконструировать таким об-
разом, что они способны выдержать большие перегрузки давле-
нием, подобно «складывающимся» мембранным чувствительным
элементам (рис. 12.5, г).
Сильфоны используются в качестве чувствительных элементов
приборов для преобразования в перемещение или в усилие раз-
личных измеряемых параметров: давления, температуры, уровня,
расхода и т. д.
Сильфоны могут развивать значительные перестановочные
усилия, что обеспечивает малый порог чувствительности приборов
и позволяет использовать их в качестве элементов силовых приво-
дов. Они также служат в различных приборах компенсаторами
теплового расширения жидкости, что объясняется их высокой
податливостью и способностью [значительно изменять объем.
Возможность получения сильфонов, обладающих малой осевой
и изгибной жесткостью, позволяет успешно применять их в ка-
честве разделителей сред, а также упругих выводов осевых и уг-
ловых перемещений. Сильфоны широко применяют и как компен-
саторы теплового расширения трубопроводов, элементы гидравли-
ческих дистанционных передач. В последнем случае используется
283
Рис. 13.1. Сильфоны:
а — бесшовный; б — сварной
свойство сильфонов значительно
изменять объем.
Исходной заготовкой для
получения металлических бес-
шовных сильфонов является
тонкостенная трубка, изготов-
ление которой при малых допусках на толщину связано со зна-
чительными технологическими трудностями.
При формовании гофров трубка закрепляется в зажимах спе-
циального гидроформовочного станка (рис. 13.2, а). На опреде-
ленном расстоянии друг от друга вдоль трубки устанавливаются
разъемные матрицы. В трубку под давлением подается жидкость,
под действием которого стенка трубки выпучивается в промежут-
ках между матрицами. Затем заготовку сжимают в осевом направ-
лении. При этом матрицы складываются, а заготовка принимает
форму сильфона (рис. 13.2, б).
Для крупносерийного производства сильфонов различных
типоразмеров созданы переналаживаемые полуавтоматические
станки и установки, а для массового выпуска сильфонов для при-
боров холодильной техники создано комплексно-автоматизирован-
ное производство.
Измерительные сильфоны изготавливаются в основном из
дисперсионно-твердеющих сплавов 36НХТЮ, БрБ2, из нержа-
веющих сталей 12Х18Н9Т и 08Х18Н10Т и полутомпака Л80.
На бесшовные измерительные сильфоны разработан
ГОСТ 21482—76.
Трудности производства тонкостенных бесшовных трубок вы-
сокой точности — одна из причин появления сварных ^сильфо-
нов (см. § 13.3). При изготовлении сварных сильфонов заготовку
не приходится подвергать значительным пластическим деформа-
циям, поскольку она состоит из отдельно отштампованных$коль-
цевых мембран. На сварные сильфоны разработан ГОСТ 21754—76.
Рис. 13.2. Схема гидравлического формования бесшов-
ного сильфона
284
§ 13.2. Расчет бесшовных сильфонов
Расчетную схему сильфона можно представить в виде оболочки
вращения переменной толщины, состоящей из торообразных уча-
стков, сопряженных с коническими (рис. 13.3).
Наиболее простая расчетная схема для определения осевой
жесткости сильфона основана на теории изгиба кольцевых пла-
стин (см. гл. 11.2). Сильфон 'представляют как набор кольце-
вых пластин, жестко соединенных друг с другом по наружному и
внутреннему контурам [3].
Прогиб каждой пластинки может быть определен с помощью
формулы (11.13), а перемещение w сильфона, равное сумме про-
гибов всех пластин, будет в 2п раз больше (п — число рабочих
гофров сильфона). Тогда жесткость сильфона при нагружении
силой
О3-1)
где А о — коэффициент, зависящий от параметра относительной
О
глубины гофра k =-55й-; в формуле (11.14) с = k.
Ав
Область применения этого метода ограничена, так как расче-
том не учитывается деформация закругленных участков.
Более точная зависимость для определения жесткости гидро-
формованных сильфонов получена энергетическим путем )см.
гл. 11 [6 ]}. Решая задачу в первом приближении по методу Ритца,
В. И. Феодосьев получил следующую формулу для расчета жест-
кости сильфона под действием осевой силы:
71(1 — р.2)

(13.2)
Здесь А 0, Alt А 2, В — коэффициенты, зависящие от геометрии
сильфона и определяемые по графикам (рис. 13.4), где k и т —
безразмерные параметры сильфона
(см. рис. 13.3):
Радиусы закругления волн
приняты одинаковыми: гн =
ho — толщина стенки трубки-за-
готовки. Отметим, что при рас-
чете размеры сильфона должны
определяться по среднему контуру
осевого сечения.
Рис. 13.3. Бесшовный сильфон
285
В отличие от (13.1) формула (13.2) учитывает деформации то-
ровых участков и угол уплотнения гофров а, который можно вы-
разить через параметры сильфона (см. рис. 13.3) по формуле
fit = 4гв—Z
2 ($н Кв — 2гв)
Поскольку приближенные методы расчета дают значительно
большую погрешность при определении напряжений, чем при рас-
четах на жесткость, для оценки напряжений в сильфоне обра-
тимся к результатам точного решения этой задачи численным ме-
тодом [1].
Распределение напряжений в полуволне гофра сильфона
(7?в = 3,2 мм; Е — 2,1 • 105 МПа) при свободном ходе под дей-
ствием давления показано на рис. 13.5, а. Определяющими яв-
ляются меридиональные изгибные напряжения о1и. Окружные
изгибные напряжения сг2и распределяются аналогично, но ве-
личина их примерно в 3 раза меньше. В экстремальных сечениях
справедливо соотношение о2и = ро1и (И — коэффициент Пуас-
сона). Наибольшие напряжения о1и и о2и возникают в торовых
участках.
Мембранные меридиональные напряжения сг10 малы во всех
точках; окружные напряжения сг20, как правило, достигают наи-
больших значений в экстремальных сечениях гофра.
Эти закономерности справедливы не только при свободном
ходе, но и в большинстве других схем осесимметричного нагруже-
ния сильфона, например при нагружении сильфона внутренним
давлением р и сосредоточенной силой Q. В этом случае максималь-
ные меридиональные напряжения также возникают в тороидаль-
ных участках (рис. 13.5, б).
286
Для оценки коэффициента запаса следует определить эквива-
лентные напряжения в опасной точке сильфона
«Ъкв = j/'oi + 02 — 0102, (13.3)
где Oj, о2 — главные напряжения в точках внутренней и наруж-
ной поверхности:
о?/н = о(0±о/и (i = 1, 2). (13.4)
Как правило, наиболее напряженным местом является вер-
шина или впадина гофра. Если при нагружении внутренним дав-
лением р и сжимающей силой Q сильфон растягивается, то опас-
ная точка находится на внутренней поверхности вершины гофра.
При сжатии сильфона опасная точка, как правило, находится
на наружной поверхности впадины. Одновременная смена знака Q
и р не изменяет положения опасной точки.
В большинстве случаев применения сильфонов перемещение
дна сильфона бывает ограничено жестким или упругим упором.
При этом помимо давления р сильфон нагружается осевой силой Q.
Связь между силой Q и давлением р осуществляется через эффек-
Рис. 13.5. Эпюры напряжений в сильфоне:
а — нагружение давлением р = 0,1 МПа; б — нагружение давлением р и силой Q =
= ~2~ ррэф
287
тивную площадь которая является одним из основных пара-
метров сильфона.
Рассмотрим методы расчета эффективной площади.
Самой популярной в инженерной практике является эмпири-
ческая формула, согласно которой эффективную площадь опреде-
ляют по среднему радиусу
Гэф = л7?“р, (13.5)
В большинстве работ, посвященных расчетам сильфона, его
рассматривают как элемент с линейной упругой характеристикой
й соответственно решение проводят в линейной постановке. В ре-
зультате этого решения эффективная площадь может быть опреде-
лена как
^эф = ^> (13.6)
где Ко — жесткость при нагружении силой; Кр — жесткость
при нагружении давлением.
Используя расчетную схему сильфона в виде кольцевых пла-
стин, в соответствии с выражениями (11.11) и (11.13) получим
Рэф = А-/?|, (13.7)
где А и Ао — коэффициенты, определяемые выражениями
(11.12) и (11.14).
Формула (13.7) дает расхождение с эмпирической (13.5) не
более чем на 10%. Эти выражения не могут учитывать влияние
всех геометрических особенностей гофра на величину эффектив-
ной площади.
Расчет сильфона численным методом позволяет получить точ-
ное значение эффективной площади F3(b и установить зависимость
между Гэф и параметрами гофрировки k = -^-, т = -~- и 6 =
= -ф- [1]. Здесь гв = гн — радиусы торовых участков гофров.
Ав
Результаты этого решения представлены на рис. 13.6, где через f0
обозначена относительная начальная эффективная площадь
f ГЭФ
/°- nR* •
Начальное значение эффективной площади соответствует сколь
угодно малому давлению. С ростом нагрузки эффективная пло-
щадь несколько изменяется вследствие свойственной сильфону
геометрической нелинейности. Решение этой нелинейной задачи
численным методом дано в работах [1, 2].
288
Рис. 13.6. График изменения начальной относительной эф-
фективной площади:
а - k = 1,4; б - k = 1,8
При численном решении задачи об определении напряженно-
деформированного состояния бесшовных сильфонов исходят из
уравнений тонкостенных оболочек вращения.
На основе описанного в работе 11] метода при помощи ЭВМ
можно с заданной точностью рассчитать упругие напряжения и
перемещения бесшовного однослойного сильфона любого профиля
при различных схемах нагружения. Результаты таких расчетов
представлены ниже в виде номограмм, по которым легко опреде-
лять напряжения и жесткость сильфона, если известны его гео-
289
Рис. 13.7. Номограммы для расчета сильфонов (k= 1,4, г = /?в, р — О,
w =)= 0)
метрические размеры. Кроме того, номограммы помогают находить
оптимальное решение, если поставлена задача проектирования
сильфона.
Номограммы для расчета бесшовных однослойных сильфонов
приведены на рис. 13.7—13.14. Они построены для сильфонов
с различными параметрами глубины гофров относитель-
ной толщины 6 = -^- и радиуса закругления т =
для двух основных случаев нагружения.
1. Сйльфон растянут или сжат осевой силой (условие свобод-
ного хода: w + 0, р — 0);
290
2. Сильфон нагружен давлением при неподвижных горцах
(условие силовой компенсации: w = 0, р + 0).
При более сложной схеме нагружения напряжения могут быть
определены по номограммам на основании принципа независимости
действия сил, который применим при решении/линейных^задач.
Например, если сильфон совершает ход w до упора под действием
давления р > pQ(po — давление при посадке на уппо), то сум-
марное напряжение определится как
(13.8)
ф “j“
где <sw — напряжение при свободном ходе w, ар — напряжение
291
Рис. 13.9. Номограмма для расчета сильфонов
(k = 1,4, г = /?в, р ==f= 0, w ~ 0)
Рис. 13.10. Номограмма для расчета сильфонов
(k = 1,4, г = Р =h 0, w ~ 0)
Рис. 13.11. Номограмма для расчета сильфонов (й = 1,8,
r= RB, р = 0, w=f= 0)
Рие. 13.14. Номограмма для расчета сильфонов (k = 1,8,
г = /?н, р 0, а/ = 0)
Номограммы охватывают сильфоны, у которых вершины и
впадины гофров соединены плоскими участками (а = 0, см.
рис. 13.3) и радиусы тороидальных участков одинаковы (гв =
== гя = -5- > где t — шаг волны сильфона) .
Экспериментальные исследования [1] показывают, что харак-
тер изменения толщины стенки вдоль профиля сильфона опреде-
ляется технологией его изготовления. При построении номограмм
принята функция толщины h = T)/i0, где относительная толщина ц
определяется следующим рядом:
п
т) — S а( cos ins.
(13.9)
Здесь безразмерная дуга s = -у- (s — текущая дуга, — длина
полуволны сильфона); h0 — толщина стенки трубки-заготовки.
Коэффициенты az определяются аппроксимацией любого задан-
ного закона изменения толщины выражением (13.9) [1]. При по-
строении номограмм принято:
00 = 0,8581; о1 = 0,0633; 02 = 0,0038;
о3 = 0,0041; а4 = —0,0007; о6 = 0,0031.
Номограммы получены на основе линейного решения дифферен-
циальных уравнений тонкостенной оболочки вращения [1 ] и не
отражают геометрической и физической нелинейности в поведении
сильфона. Более полные сведения о свойствах сильфона с учетом
геометрической нелинейности даны в работе [11.
Излагаемые результаты решения справедливы лишь в области
упругих деформаций, пока ошах « ау, где ау — предел упругости
материала. Расчет сильфонов за пределами упругих^деформаций
приведен в работе [4].
На рис. 13.7—13.14 даны графики
безразмерной жесткости
т .
безразмерных напряжений при свободном ходе
- _ awRln
°w ~~ Ehow
и при условии силовой компенсации
а
р Р^а
(13.10)
(13.11)
(13.12)
в точках г = /?н и г = 7?в, т. е. в экстремальных сечениях силь-
фона в зависимости от геометрических параметров k, т, 6.
295
На номограммах не отображены мембранные меридиональные
напряжения о]0, поскольку они на порядок меньше изгибных
напряжений (см. рис. 13.5). Кроме того, напряжение о10 в экстре-
мальных сечениях можно легко определить из условия равновесия
„ _ pnr2 + Q
10 2nrh
(13.13)
При определении а]0 в вершине или во впадине нужно в выраже-
ние (13.13) подставить соответственно г = RH или r — Rs, а
также толщину h, которую в любом месте профиля можно найти
с помощью выражения (13.9). Осевая растягивающая сила Q
находится в общем случае по формуле
Q = KQw - рРзф,
где — жесткость сильфона, нагруженного осевой силой-; р —
внутреннее давление.
Окружные изгибные напряжения, которые в экстремальных
сечениях можно определить согласно зависимости
о2и = |ло1и, (13.14)
где р — коэффициент Пуассона, на номограммах не указаны.
На номограммах даны кривые меридиональных изгибных на-
пряжений о1и, которые, как показано выше, являются определяю-
щими, и кривые окружных мембранных напряжений о20.
Если размеры сильфона известны, то с помощью номограмм
можно легко провести поверочный расчет однослойного сильфона.
По входным величинам k, т, 6 отыскивают положение точки,
отображающей параметры данного сильфона на номограмме.
По формулам (13.11) — (13.14) подсчитывают напряжения о1и,
о2и и а20 и главные напряжения в меридиональном (Oj) и окруж-
ном (о2) направлениях.
Знаки составляющих напряжений в зависимости от положения
точки (Л, В, С, D на рис. 13.15) и от схемы нагружения указаны
в табл. 13.1. Принято следующее правило знаков: перемещение w
и сила Q положительны при растяжении сильфона; давление,
нагружающее сильфон изнутри, также считается положительным.
Следует обратить внимание на то, что при р > 0 и w = 0 напря-
жения во всех четырех точках сильфона отрицательны. Соответ-
ствующие графики безразмерных напряжений (о20)р на номограм-
мах располагаются почти целиком в отрицательной области, имея
в то же время небольшие положительные участки при достаточно
большом значении параметра толщины 6:
ПРИ & = 1,4 6 > 0,014. В этом случае знак
--------------(аго)р следует определять непосредственно по
п)ус номограмме с учетом того, что она соответ-
((Г ствует внутреннему давлению (р> 0).
Рис. 13.15. Опасные точки сильфона
296
Таблица 13.1
Знаки напряжений
Напря- жения Знаки напряжений в точках Нагрузка
А в с D Давление Ход
— + — + Р>0 (внутрен- нее) w = 0
а10 — — + +
Q20 — — — —
Оди; ^2 и + — — + Р = 0 w > 0 (растя- жение)
аю + + + +
^23 + + — —
По главным напряжениям подсчитывают эквивалентные напря-
жения (13.3) и находят положение опасной точки, где аэкв =
= (Оэкв)тах- По сгэкв оценивают коэффициент запаса.
Пример 1. Определить жесткость и наибольшее эквивалентное напряжение
в сильфоне при растяжении силой Q на w — 3 мм. Размеры сильфона: =
= 27?н ~ 35,4 мм; = 27?в = 25,2 мм; h0 = 0,126 мм; гИ~ гв= 0,57 мм;
п=5; материал — сплав 36НХТЮ, Е = 2,1 • 105 МПа.
Напомним, что при расчете сильфона все размеры должны быть взяты по
средней линии профиля.
Решение. Определим безразмерные параметры
' RB 12,6 -1,4’ °- RB ” 12,6 U’1 ’
'П = -7Г = 'ТЙГ = О,О45‘
По этим величинам находим по номограмме рис. 13.7 значения относи-
тельных напряжений (о1и)оу и (о2о)оу во впадине (г = 7?в) и по номограмме на
рис. 13.8 в вершине (г = 7?н)-
г = Ев (о!и)[0 =11,87; (с^2о)оу == 2,65;
г = /?н (^1и)о) = 11,6; (ог2о)щ; = 2,22.
Точки наружного закругления (г = 7?н) менее нагружены и в дальнейшем
не рассматриваются.
По формуле (13.11) подсчитаем меридиональные и окружные напряжения:
при г = Ев а1и = 600 МПа, сг20 = 134 МПа.
Окружное изгибное напряжение при г = Ев о^и — 0,3-600 = 180 МПа.
Знаки составляющих напряжений в точках А и В впадины определим по
табл. 13.1 при w > 0 и по формуле (13.4) вычислим главные напряжения. При
этом напряжение о10 можно не учитывать, так как а10 <
10 Пономарев С. Д.» Андреева Л. Е.
297
Для точки А
ох « (У1и =600 МПа;
о2 ==: ^20 “1“ ^2и — 164 -|- 180 = 314 МПа.
Для точки В
ах « — а1и = —600 МПа;
о2 = ^20 — а2и = 134 — 180 = —46 МПа.
По зависимости (13.3) определим эквивалентное напряжение
а^кв = К(600)2 4- (314)а — 600-314 = 520 МПа;
ofKB = 624 МПа.
Более опасной оказалась точка В (см. рис. 13.15), и (о’экв)тах = 624 МПа.
Жесткость сильфона может быть определена по номограмме на рис. 13.7. По
штриховой линии, характеризующей относительную жесткость, найдем /Cq =
— 19,5 и, пользуясь зависимостью (13.10), определим жесткость сильфона
к nEh^0 19,5-3,14.2,1.1040,126)3
= =---------(W5-------------= 16,42 Н/ММ‘
Пример 2. Под действием внутреннего давления р — 5 МПа сильфон совер-
шает ход w = 2,5 мм и садится на упор. Определить коэффициент запаса по те-
кучести пт. Размеры сильфона: DB = 11,52 мм; DB = 6,4 мм; h0 = 0,192 мм;
п — 15; гн = гв = 0,5 мм; Е= 1,35* 10б МПа; от = 1200 МПа.
Решение. Пользуясь принципом независимости действия сил, по ме-
тодике, изложенной выше, определим главные напряжения отдельно при ходе
w = 2,5 мм под действием силы Q и при действии давления р = 5 МПа и w = 0.
Знаки напряжений выберем в соответствии с направлением нагрузки по табл. 13.1.
Затем определим суммарные главные напряжения для заданных условий нагру-
жения.
Входные параметры:
Ъ 1 R. т
7Г=т1=0’156: б = ^==-ТГ- = 0’06-
Ав OjZ Ав
Значения относительных напряжений aw (при ходе и/), найденные по номо-
грамме рис. 13.11 и 13.12, и значения напряжений ор при действии давления,
найденные по номограмме рис. 13.13 и 13.14, а также величины напряжений о1и
и о20, вычисленные по формулам (13.11) и (13.12), указаны в следующей таблице.
Точка д д о о. о. § w = 2,5 мм р =» 5 МПа
а1и’ МПа ^20» МПа а1и* МПа СТ 2 0»И МПа!
Г = RB 4,36 1,65 0,092 —0,0152 568 215 414 68
г = RH 3,71 1,12 0,082 —0,0063 483 146 369 28
Дальнейшие вычисления проводим для точек A, Bt С и D (рис. 13.15), уста-
навливая знаки напряжений по табл. 13.1 для случая р> 0, 0. Опреде-
лим суммарные напряжения о1и и о2о по формуле (13.8), окружные изгибные
напряжения а2И — по выражению (13.14), главные напряжения и ог2 — по
298
формуле (13.4), эквивалентное оЭкв — пользуясь зависимостью (13.3). Резуль-
таты расчетов приведены в следующей таблице.
Точка (а1и)оу (а1и)р а1и П2И (a2o)t0 (П20)р 020 02 аэкв
А 568 —414 154 46,2 215 —68 147 154 193 177
В —568 414 —154 —46,2 215 —68 147 —154 101 223
С —483 —369 —852 —256 —146 —28 —174 —852 —430 738
D 483 369 852 256 —146 —28 —174 852 82 814
Примечание. Величины напряжений даны в МПа.
Опасной оказалась точка D, где оба напряжения (а1и)ш и (<Ущ)р положительны.
Коэффициент запаса
п СТт 1200 - 1 17
(°экв)шах 814
Технические требования, которым должен удовлетворять про-
ектируемый сильфон, могут быть различными в зависимости от
назначения сильфона. Соответственно по-разному должна строи-
иться и методика проектирования.
Для измерительных сильфонов основным, как правило, яв-
ляется требование заданной жесткости и прочности. Геометриче-
ская форма сильфона определяется рядом параметров. Поэтому
одним и тем же требованиям в отношении жесткости могут удов-
летворять сильфоны различных геометрических размеров. В этих
сильфонах будут возникать различные по величине напряжения.
Вариант с наименьшими рабочими напряжениями во многих слу-
чаях можно рассматривать как оптимальный. Уменьшение на-
пряжений не только повышает коэффициент запаса сильфона,
но также снижает влияние упругих несовершенств материала,
проявляющихся в виде гистерезиса, последействия, ползучести,
и, следовательно, увеличивает точность и надежность сильфона.
По приведенным выше номограммам можно спроектировать
сильфон по заданной жесткости и допускаемым напряжениям.
Однако в зависимости от назначения сильфона проектирование
в большинстве случаев должно ‘сопровождаться некоторыми до-
полнительными расчетами, например расчетом эффективной пло-
щади, критического давления, циклической прочности и др. Эти
и другие вопросы расчета сильфона изложены в работах [1, 2].
§ 13.3. Расчет сварных сильфонов
Сварные сильфоны изготовляют путем штамповки мембран
из листового материала с последующей их сваркой по внутрен-
нему и наружному контурам. Мембраны для сварных сильфонов
могут иметь самую разнообразную конфигурацию (рис. 13.16).
10* 299
Рис. 13.16. Типы сварных сильфонов
Сварные сильфоны можно разделить на две основные группы:
сильфоны «симметричного профиля» (рис. 13.16, а—з) и сильфоны
со «складывающимися гофрами» (рис. 13.16, и—м). Последние
обычно работают в условиях сжатия и способны выдерживать
большие перегрузки наружным давлением.
При изготовлении сварных сильфонов материал не претерпе-
вает таких больших пластических деформаций, как при формова-
нии бесшовных сильфонов, поэтому выбор материала для сварных
сильфонов ограничен в гораздо меньшей степени. Для изготовле-
ния сварных сильфонов применяют нержавеющие стали, сплавы
на основе хрома и никеля, титановые сплавы.
Для сварных сильфонов обычно применяют листы толщиной
0,05—1 мм. В отличие от бесшовных сильфонов соотношение на-
ружного /?н и внутреннего радиусов сварного сильфона и число
гофров могут быть любыми. Сварные сильфоны возможно изготовить
с очень малым шагом, который в сжатом состоянии у «складываю-
щихся» сильфонов может доходить до размера, равного двойной
толщине листа.
Сварной сильфон, как тонкостенную оболочку вращения можно
рассчитать по методике, изложенной в работе [1]. Представление
результатов решения в виде номограмм позволяет разработать
инженерную методику расчета сварных сильфонов.
300
В работе [1] даны результаты численного решения для силь-
фонов трех типов: I — мембраны сильфона имеют большой пло-
ский участок (рис. 13.16, tz); II—сильфон состоит из пологих
конусных мембран (рис. 13.16, б); III — мембраны имеют синусо-
идальный профиль (рис. 13.16, в).
Самыми мягкими из этих сильфонов являются сильфоны типа I.
Мембраны таких сильфонов работают в основном на изгиб. При
нанесении на плоскую мембрану волн жесткость ее возрастает тем
больше, чем больше глубина волн, поэтому сильфоны типа III
имеют большую жесткость, чем сильфоны типа I.
Расчеты показали, что для рассматриваемых типов сварных
сильфонов основными геометрическими параметрами, существенно
Л Rh
влияющими на их жесткость, оказываются отношение к =
и относительная глубина волн -у.
Как и для мембран, рассмотренных в § 12.1, с ростом глубины
Н
волн — начальная жесткость сильфона возрастает, а его упругая
характеристика становится более линейной (см. рис. 12.3, а).
На нелинейность характеристики сильно влияет отношение k =
Rn »
= -~-,с увеличением которого нелинейность характеристики воз-
растает. Естественно, что нелинейность характеристики у также
увеличивается с ростом давления.
Рассмотрим закономерности распределения напряжений вдоль
профиля сильфона III типа (рис. 13.16, в) для двух случаев на-
гружения: сильфон растянут осевой силой (р = 0; w 4= 0) и силь-
фон нагружен давлением и осевой силой при неподвижных тор-
цах (условие силовой компенсации, т. е. р 4= 0, w = 0). Соот-
ветственно напряжения отмечены индексами w и р.
Для сварных сильфонов типа III, состоящих из мембран сину-
соидального профиля, окружные мембранные напряжения а2о
имеют периодический характер и изменяются с частотой, равной
частоте волн гофрировки. Наибольшие напряжения возникают
в вершинах и впадинах средних гофров мембраны. Изгибные на-
пряжения а1и изменяются с частотой, вдвое большей частоты волн
профиля (рис. 13.17).
Графики эквивалентных напряжений, определенных по энерге-
тической теории (13.3), показаны на рис. 13.17, в, е. Здесь ан и пв —
эквивалентные напряжения в точках наружной и внутренней по-
верхностей. Напряжения возрастают вблизи контуров сильфона.
Это обстоятельство приводит к необходимости в общем случае
нагружения оценивать напряжения в точках наружного и вну-
треннего контуров сварного сильфона.
Если требуется рассчитать или спроектировать сварной силь-
фон с малой нелинейностью упругой характеристики (у < 5%),
то можно воспользоваться линейным решением задачи. На осно-
301
Рис. 13.17. Распределение относительных напряжений по профилю полу-
чу
волны сильфона типа III при k = 3, — = 10:
а, б — составляющие напряжения; в — эквивалентные напряжения при растяже
нии сильфона силой; г, д — составляющие напряжения; е — эквивалентные напря-
жения при работе сильфона в условиях силовой компенсации {w — 0)
вании этого решения с помощью ЭВМ рассчитываются относитель-
ные величины жесткости сильфона меридиональных изгиб-
ных а1и и мембранных окружных напряжений а2о и эффективной
площади /0. По этим данным построены номограммы для сварных
сильфонов I, II [1], III (рис. 13.18—13.21).
Безразмерная жесткость
где Kq — начальная жесткость сильфона при р —* 0; п — число
мембран сварного сильфона.
302
Рис. 13.18. Номограмма для определения KQ и о1н при р = 1
* сильфонах типа III. Нижняя шкала k для
р = 1
Рис. 13.20. Номограмма для определения о1И при р = р0.
Нижняя шкала k для (а1И)к>
Напряжения а определены в точках наружного (р = 1) и
внутреннего (р = р0) контуров, поскольку именно эти точки мо-
гут быть опасными (здесь р = -^-, г — текущий радиус мем-
браны).
На номограммах даны напряжения для двух случаев нагруже-
ния: сильфон совершает свободный ход w под действием осевой
силы (w 4= 0; р = 0) и сильфон находится в условиях силовой
компенсации (w = 0; р + 0). Соответствующие безразмерные на-
пряжения aw и Ор связаны с размерными напряжениями выра-
жениями
®pP fob ’ (13.16)
304
Анализ закономерностей распределения напряжений по про-
филю сварного сильфона показал, что определяющими напряже-
ниями, как и для бесшовного сильфона, являются изгибные ме-
ридиональные напряжения о1и. Напряжения изгиба в окружном
направлении о2и в опасных точках примерно в 3 раза меньше, чем
меридиональные (13.14).
Окружные мембранные напряжения о20 обычно несколько
меньше изгибных о1и, а радиальные мембранные напряжения
о10 на порядок меньше и в расчете их можно не учитывать.
Знак напряжений о1и, о2и, °2о зависит от условий нагружения
и устанавливается для сильфонов рассматриваемых типов так же,
как и для бесшовных сильфонов, согласно табл. 13.1 (с. 297)
и рис. 13.15.
Рис, 13,21. Номограмма для определения о20 ПРИ Р = Ро
305
Для определения коэффициента запаса сильфона подсчиты-
вается эквивалентное напряжение (13.3)
<?экв == 4" а2 — ^1^2,
где ori и о2 — главные напряжения; в меридиональном направле-
нии 04 а1и; в окружном направлении а2 а2о + <?2и-
Так же как и для бесшовных сильфонов, одним из основных
параметров сварных сильфонов является величина эффективной
площади. Начальное (при р —* 0) значение эффективной площади
F эф
(13.17)
для сильфонов рассматриваемых конфигураций определяется чис-
ленным методом и также приводится на номограммах. С помощью
номограмм (рис. 13.18—13.21) можно рассчитывать и проектиро-
вать сварные сильфоны, если нелинейность упругой характе-
ристики у < 5%. Значения параметра давления р5 при нелиней-
ности у = 5% даны в табл. 13.2. Знак минус соответствует нагру-
жению сильфона наружным давлением, знак плюс — внутренним.
и -
Номограммы построены при р5, где р^-^г.
Таблица 13.2
Относительное давление ръ при нелинейности характеристики
у = 5% для сильфонов типа III
н h k = 1,2 k =* 1,3 k = 1,4 k = = 1,5 k === e 1,6 к = = 1,8 k = 2,0 k = = 2,5 k = - 3,0
2 —4 550 +4 250 —1320 + 1190 —610 4-525 —360 4-295 —238 +200 -143 4-113 —105 4-85 —71 4-54 —59 4-43
4 —5 350 +4 600 —1777 4-1440 —940 4-730 -627 4-465 —482 4-350 —370 +260 —310 4-220 —285 + 199 —280 4-198
6 —6 750 + 5 400 —2630 4-1970 —1610 4-1140 —1220 4-850 —1010 +720 —970 4-650 —900 4-640 —920 +680 —880 4-780
8 —8 800 +6 650 —4075 +3900 —2900 4-1950 -2475 + 1625 —2350 4-1575 —2225 4-1550 —2175 4-1675 —1985 4-2065 —1900 4-2400
10 —11 800 +8 650 —6400 4-4338 —5125 +3375 —4613 4-3080 —4570 4-3180 —4470 4-3550 —4225 4-4080 —3775 4-4685 —1750 4-4900
Пример. Рассчитать напряжения в сварном сильфоне типа III, состоящем
из 30 мембран с наружными радиусами 7?н = 15 мм, внутренними 7?в = 7,1 мм,
толщиной /г=0,1 мм, глубиной гофров Н= 1 мм. Материал сильфона —
сплав 36НХТЮ, модуль упругости которого Е— 2,Ь 10б МПа, предел теку-
306
чести = 1000 МПа. Сильфон нагружен давлением р — 0,13 МПа, его ХОД
до упора w = 5 мм.
Р е ш е’н и е. Подсчитаем следующие величины:
2,11: «
RB 7,1 h
- PRu 0,13-154
P~ Eh4 ~ 2,l-105-0,l4
1 - 10;
0,1
= 314.
В табл. 13.2 этим значениям К и — соответствует ръ « 4000. Поскольку р <
< р5, нелинейность у < 5% использоваться номограммами можно.
По графику рис. 13.18—13.21 находим относительные изгибные напряжения
от хода (п1И)и> и давления (<у1И)д, а также относительные мембранные напряже-
ния (cF2o)tiy и (п20)р для внутреннего (р = р0) и наружного (р = 1) контуров свар-
ного сильфона:
(СГ1и)ил (^го)р (°1и)йУ (СГ2о)р
при р = р0.............. 0,0750 0,0294 23,5 —9,88
при р — 1 ................... 0,0675 0,01585 21,5 —4,72
Затем следует вычислить напряжения <ур от давления р = 0,13 МПа и на-
пряжения (Jw при свободном ходе w — 5 мм по формулам (13.16). Знаки этих
напряжений устанавливаем в соответствии с табл. 13.1 (с. 297). Результаты рас-
чета приведены в следующей таблице.
Напряжения А В С D
(О!и)и; 365 —365 —335 335
(^1и)р —220 220 — 198 198
Qi « О1и 145 — 145 —533 533
°2И 43,5 —43,5 — 160 160
(°2о)к> —153 — 153 77 77
(^2о)р 86 86 46 46
0*20 —67 —67 123 123
О2 —23,5 —110,5 —37 283
С^экв 158 131 514 460
Примечание. Величины напряжений даны в МПа.
Далее по формулам (13.8), (13.14) находим суммарные изгибные напряже-
ния о1И, g2H и суммарные мембранные напряжения о20 для точек А, В, С и D
сильфона (рис. 13.15). Для этих же точек вычисляем наибольшие эквивалент-
ные напряжения. В данном случае опасная точка С находится на внешней по-
верхности наружного контура сильфона, и наибольшие эквивалентные напря-
жения при давлении р = 0,13 МПа и ходе w — 5 мм равны оэкв == 514 МПа.
При проектировании прежде всего выбираем материал в соот-
ветствии с требованиями, предъявляемыми к сильфону. Величина
наружного радиуса сильфона /?н обусловлена габаритными раз-
мерами или требуемой величиной эффективной площади F3$.
При заданных величинах наружного радиуса RH и эффектив-
ной площади ГЭф определяем относительную эффективную пло-
307
Щадь /0 и по номограмме (рис. 13.18) находим значения отноше-
ния k, относительной глубины -у- и относительной жесткости KQ.
Выбрав число мембран п сварного сильфона, по формуле (13.15)
определяем толщину
„„-./SSL
V пЕКц
Поскольку невозможно сразу назначить оптимальное число
мембран п, целесообразно вести одновременно проектирование
нескольких сильфонов, задавшись рядом значений п. Для каждого
сильфона определяются напряжения в опасной точке. Таким об-
разом, получают ряд сильфонов, имеющих заданные наружный
радиус, эффективную площадь, а также жесткость и состоящих
из разного числа мембран с различным уровнем напряжений.
Окончательный выбор сильфона проводится, исходя из конкрет-
ных технических требований [1].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андреева Л. Е., Беседа А. И., Богданова Ю. А. и др. Сильфоны.
Расчет и проектирование. М.: Машиностроение, 1975. 156 с.
2. Андреева Л. Е., Горячева Л. Н., Петровский В. В. О расчете сильфо-
нов, работающих в приборах силовой компенсации. — Приборы и системы уп-
равления, 1972, № 7, с. 33—35.
3. Королев В. И. Расчет сильфонов. — Вестник МГУ, 1954, № 9, с. 81—90.
4. Сервисен С. В., Когаев В. П., Шнейдерович Р. М. Несущая способность
и расчеты деталей машин на прочность. М.: Машиностроение, 1975. 488 с.
Глава 14
Манометрические трубчатые
пружины
§ 14.1. Общие сведения
Манометрическая пружина представляет собой тонкостенную
трубку вытянутого поперечного сечения. Центральная ось трубки
обычно является дугой окружности. Меньшая ось сечения распо-
лагается в плоскости центральной оси пружины (рис. 14.1). Под
действием гидростатического давления пружина деформируется и
ее конец получает.перемещение X. В показывающих манометрах
это перемещение передается на стрелку прибора через передаточ-
ный механизм, который можно компактно разместить в централь-
ной части прибора, ограниченной пружиной.
Манометрические трубчатые пружины используются не только
в манометрах, но и в термометрах, вакуумметрах, уровнемерах,
расходомерах и других манометрических приборах.
На рис. 14.2 показаны различные конструкции манометриче-
ских трубчатых пружин. Наиболее распространенной является
одновитковая трубчатая пружина с центральным углом оси 200—
270° (рис. 14.2, а). Многовитковые винтовые и спиральные пру-
жины (рис. 14.2, б, в) имеют большую чувствительность по сравне-
нию с одновитковыми. Манометрические трубчатые пружины
имеют сравнительно низкую частоту собственных колебаний, что
ограничивает их применение в условиях пульсирующих давлений
и вибраций. Манометрические пружины замкнутой формы
(рис. 14.3) обладают более высокими вибрационными свойствами
[4].
Поперечные сечения трубчатых пружин могут быть плоско-
овальными (рис. 14.4, а), эллиптическими (рис. 14.4, б), D-образ-
ными (рис. 14.4, в), ромбовидными (рис. 14.4, г). Пружины эл-
липтического и ромбовидного сечения имеют высокую чувстви-
тельность. Пружины D-образного (сегментообразного) сечения
имеют меньшую чувствительность, но более технологичны.
В тех приборах, где упругий элемент должен обладать мини-
мальным начальным объемом (например, в манометрических термо-
метрах), используются трубки с плоскокруговым сечением
(рис. 14.4, д).
Пружины с сечением в форме восьмерки (рис. 14.4, ё) более
прочны и применяются для измерения повышенных давлений.
Обычно манометрические трубчатые пружины изготавливаются
309
Рис 14 1. Манометрическая пружииа
Рис 14.2. Манометрические трубчатые пру-
жины:
а — одновитковая, б — винтовая, в — спиральная
Рис. 14.3. Манометрические^ пру-
жины замкнутых форм
Рис. 14.4. Поперечные сечения трубча-
тых пружин
Рис. 14.5. Навивка трубчатой пру-
жины
Рис. 14.6. Сварные труб-
чатые пружины
310
из цельнотянутых профилированных трубок, получаемых волоче-
нием и прокаткой на роликах. Профиль трубки-заготовки должен
соответствовать форме поперечного сечения пружины. Для пред-
отвращения искажения поперечного сечения применяется способ
навивки с металлическим сердечником (так называемой «шпа-
гой») (рис. 14.5). При вращении валика трубка, прижимаемая
к валику роликом, изгибается по дуге круга и при этом стяги-
вается с сердечника.
Изготовление цельнотянутой трубки-заготовки для тонко-
стенных манометрических пружин технологически трудно. Вы-
тяжка тонкостенных трубок при малых допусках на толщину
производится на сложном оборудовании при большом числе пере-
ходов с промежуточными отжигами.
Иногда трубку-заготовку получают сваркой из листового ма-
териала (рис. 14.6). Разброс характеристик пружин одной пар-
тии при этом может быть снижен, поскольку листовой материал
можно получить с более узкими допусками по толщине по сравне-
нию с допусками на цельнотянутые трубки.
§ 14.2. Расчет манометрической
трубчатой пружины приближенным
методом
В большинстве работ {[2, 3], см. также гл. 11 [6]}, посвя-
щенных расчетам трубчатой пружины, она рассматривается как
тонкостенный стержень, размеры поперечного сечения которого
малы по сравнению с радиусом кривизны оси пружины.
Применив к решению этой задачи метод Ритца, В. И. Фео-
досьев получил хорошо совпадающие с экспериментом результаты
в простой инженерной форме {см. гл. 11 [6]}.
Прежде чем перейти к изложению результатов этого решения,
определим деформации, возникающие в пружине при ее нагруже-
нии давлением. На рис. 14.7, а изображена манометрическая од-
новитковая пружина и ее сечение, симметричное относительно
осей х и у. Здесь R — радиус кривизны центральной оси; у —
центральный угол рабочей части пружины; а и b — большая и
малая полуоси среднего контура поперечного сечения пружины;
h — толщина стенки трубки.
Один конец пружины закрепляется в неподвижном штуцере,
а другой соединяется с механизмом прибора. Под действием дав-
ления пружина разгибается, и ее свободный конец совершает
ход %.
При подаче давления во внутреннюю полость средний контур
поперечного сечения пружины деформируется, стремясь к форме
окружности. Если бы поперечные сечения пружины не поворачи-
вались, то произвольное волокно АВ элемента пружины, выде-
ленного двумя близкими поперечными сечениями, перешло бы
311
Рис. 14.7. К определению деформации манометрической
пружины:
а — пружина; б — элемент пружины; в — поперечное сечение
пружины и эпюра продольных деформаций г — равновесие
замкнутой части пружины
в положение A'D (рис. 14.7, б). При этом радиус волокна АВ
увеличится с 7? + у до R + У + w, где w — проекция переме-
щения точки А поперечного сечения на ось у (рис. 14.7, в). Во-
локно АВ удлинилось бы на величину отрезка CD.
В действительности продольные волокна стремятся сохранить
свои первоначальные размеры, вследствие этого поперечные се-
чения пружины повернутся и волокно АВ займет положение А'В'.
Кривизна оси пружины уменьшится, и конец пружины получит
перемещение %.
Таким образом, причиной изменения кривизны оси пружины
является искривление контура поперечного сечения под действием
давления. Для пружины круглого сечения перемещение
Чем больше вытянуто сечение, тем выше чувствительность пру-
жины.
Отметим, что изгибающий (момент в поперечном сечении пру-
жины, нагруженной давлением, равен нулю. Это следует из ус-
ловия равновесия замкнутой части пружины, отсеченной по не-
которому поперечному сечению (рис. 14.7, г).
Деформация волокна АВ (рис. 14.7, б)
СВ' _ CB—DB’ _ w dQ — (у + w) d®
81 ~ АВ ~ АВ ~ (R + y)dQ
312
Для большинства манометрических пружин радиус кривизны
значительно больше размера малой полуоси b сечения, поэтому
и у < R- Полагая также перемещение w < у, получим
Поскольку все участки манометрической пружины находятся
в одинаковых условиях (кроме узких областей вблизи мест креп-
ления), относительный угол поворота элемента будет равен
Ду
относительному углу поворота концевого сечения пружины
(рис. 14.7, а), т. е.
__ Ду
dQ ~
Поэтому выражение
представить в виде
для продольной деформации 8Х можно
Ду
W — и--L
Y
R
Распределение продольных деформаций 8Х имеет в общем слу-
чае знакопеременный характер, показанный на рис. 14.7, в.
Продольные напряжения ах, возникающие при работе пружины
Бурдона* распределены по сечению примерно по такому же за-
кону, как и деформации 8Х. Поскольку изгибающий момент Л4Х
равен нулю, то напряжения 04 в поперечном сечении пружины
самоуравновешены.
Кроме продольных деформаций 8Х в манометрической пружине
возникают поперечные деформации, связанные с изгибом стенки
пружины в поперечном направлении.
Равновесное положение манометрической пружины, нагружен-
ной давлением, соответствует минимуму полной потенциальной
энергии, которая равна сумме потенциальной энергии деформаций
и энергии положения внешних сил.
Величину потенциальной энергии деформаций можно выразить
через искривление контура поперечного сечения пружины и от-
носительный угол поворота поперечного сечения, который ха-
рактеризует изменение кривизны центральной оси.
Энергия положения внешних сил определяется произведением
давления на изменение объема внутренней полости пружины,
которое в свою очередь также зависит от величины искривления
контура поперечного сечения.
В решении |см. гл. 11 [6]} принято, что поперечное сечение
манометрической пружины деформируется по тому же закону,
что и контур прямолинейной трубки, находящейся под действием
внутреннего давления.
313
X2 *
Решение приводит к выражению, определяющему относитель-
ный угол поворота конца пружины под действием давления,
__ Р Д-Р А 6а\_ « /14П
7 — р Е bh \ а? ) Р+х2 '
Rh
Здесь х = ----главный параметр пружины, размеры R, а, b
и h указаны на рис. 14.7, а.
Для пружин эллиптического и плоскоовального сечения чис-
ловые значения коэффициентов аир даны в зависимости от соот-
ношения полуосей сечения -у- в табл. 14.1.
Относительный угол характеризует изменение кривизны
оси пружины и линейное перемещение ее конца. Перемещение
конца пружины в радиальном направлении
Xr = ALfl(l-cos?), (14.2)
в направлении касательной к оси пружины
*/ = у- #(У -sin у). (14.3)
Полное перемещение (рис. 14.8) определится как
% = + ЯГ, (14.4)
где коэффициент
Г = /(1 - cos у)2 + (у - sin у)2. (14.5)
Важной характеристикой манометрической пружины является
величина перестановочных или тяговых усилий, которые разви-
вает пружина под действием давления, когда перемещение ее конца
встречает сопротивление со стороны механизма прибора.
Если конец манометрической пружины закрепить неподвижно
и подать в пружину давление, то кривизна центральной оси пру-
жины не изменится, а момент, с которым она будет воздействовать
на заделку, будет равен величине тягового момента.
Поскольку тяговый момент вызывает такое же изменение кри-
визны оси пружины, что и давление, то он
л может быть найден на основании равенства
// JX ZJ______________________L\ =/J______.
j ।_________ \ Ri R / p \ Ri R / mt
Рис. 14.8. К определению перемещений конца трубчатой
пружины
314
Таблица 14.1
Коэффициенты а, (3, £ и g
Форма поперечного сечения Коэф- фициент а b
1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Плоско-
овальная а 0,637 0,594 0,548 0,480 0,437 0,408 0,388 0,372 0,360 0,350 0,343
1 - ₽ 0,096 0,110 0,115 0,121 0,121 0,121 0,121 0,120 0,119 0,119 0,118
j ' j £ 0,0833 0,0848 0,0815 0,0743 0,0690 0,0652 0,0624 0,0602 0,0585 0,0571 0,0560
1 2d > 1 0,811 0,713 0,652 0,591 0,552 0,524 0,504 0,488 0,476 10,467 0,459
Эллиптическая а 0,750 0,636 0,566 0,493 0,452 0,430 0,416 0,406 0,400 0,395 0,390
Р 0,083 0,062 0,053 0,045 0,044 0,043 0,042 0,042 0,042 0,042 0,042
£ 0,0982 0,0775 0,0662 0,0565 0,0515 0,0480 0,0465. 0,0460 0,0455 0,0450 0,0445
2а
£ 0,833 0,662 0,584 0,499 0,459 0,439 0,429 0,423 0,416 0,410 0,404
Рис. 14.9. К определению тяговой силы при ограничении
перемещения в одном направлении
Здесь ---------— изменение кривизны центральной оси
пружины под действием давления р, а -----------—то же,
X Aj. л /мт
под действием внешнего момента Л1Т. Из этого условия можно
найти выражейие для тягового момента
Мт = 24pRab (1 (14.6)
Значения коэффициентов £ и £ зависят от формы поперечного
сечения и указываются в табл. 14.1.
Если конец пружины может поворачиваться и перемещаться
в направлении оси 2, а перемещение в направлении оси 1 невоз-
можно (рис. 14.9, а), то под действием давления пружина будет
развивать тяговую силу направленную по оси 1 (рис. 14.9, б).
Величину тяговой силы Qr на конце пружины в радиальном
направлении (рис. 14.9, в) можно найти из равенства радиального
перемещения от действия давления р перемещению в этом же
направлении от действия силы Qr, т. е.
I ^rp I — I Kq |-
В результате
(14.7)
Аналогично можно вычислить тяговую силу Qz, которую будет
развивать пружина, если невозможно ее линейное перемещение
по касательной к оси пружины. Тяговая сила
= (14-8)
Коэффициенты Гг и зависят от величины центрального
угла у пружины и определяются следующими выражениями:
р _ 48(1—cosy) . р =___________48 (-у — sin -у)_
г у — sin у cos у ’ 1 ~~ Зу — 4 sin у 4- sin у cos у
316
§ 14.3. Расчет толстостенных
манометрических пружин сильно
вытянутого плоскоовального сечения
Приведенные в § 14.2 расчетные формулы были получены для
тонкостенных манометрических пружин, у которых толщина
стенки h значительно меньше малой полуоси сечения Ь. Однако
для многих манометрических пружин это условие не выпол-
няется, и тогда при выводе расчетных зависимостей необходимо
учитывать соизмеримость толщины h с полуосью Ь. При решении
задачи методом Ритца учет соизмеримости h и Ь дан в ра-
боте [5].
Для пружин сильно вытянутого плоскоовального сечения
(рис. 14.10, а) расчетная схема пружины может быть выбрана
в виде двух цилиндрических оболочек, соединенных жестко по
краям [см. гл. 11 [6]}. При этом деформации закругленных уча-
стков не учитываются. Это допущение вносит некоторую погреш-
ность в расчет, тем меньшую, чем более вытянуто сечение. Решение
этой задачи, проводимое энергетическим методом или по теории
цилиндрических оболочек, приводит к почти одинаковым резуль-
татам. Приведем здесь расчетные формулы, полученные
В. И. Феодосьевым в работе {см. гл. 11 [6]}.
Относительное изменение центрального угла манометрической
пружины определяется по фор-
муле
Ду 1 — р2 Я2 1 — х
у ~ р Е bh , h2 ’
Х + -12^
Здесь коэффициент
sh2 са + sin 2 са
са (shca-chca + sin ca-wsca) ’
где а — большая полуось, а па-
раметр
Величину % можно также
определять по графику, приве-
денному на рис. 14.10, б.
Рис. 14.10. К расчету толстостенных
пружин:
а — поперечное сечение; б — график
изменения коэффициента %
317
Для определения линейных перемещений конца манометриче-
ской пружины можно воспользоваться геометрическими соотно-
шениями (14.2)—(14.4), полученными в § 14.2.
Вывод формул для тягового момента и тяговых сил толсто-
стенных пружин производится таким же путем, как и для тонко-
стенных. Для толстостенных пружин тяговый момент
Л4Т — 4pRab(l — %).
Перестановочные усилия в радиальном и окружном направле-
ниях связаны с тяговым моментом Мт выражениями (14.7) и (14.8).
§ 14.4. Расчет манометрических
трубчатых пружин с помощью номограмм
Рассматривая манометрическую пружину как тонкостенную
осесимметричную оболочку вращения, незамкнутую в окружном
направлении, можно получить ее решение численным методом на
ЭВМ [I].
Результаты этого решения для пружин плоскоовального се-
чения различных геометрических соотношений представлены в виде
номограмм. На рис. 14.11 дана номограмма для пружин относи-
D
тельного радиуса — = 6 в зависимости от отношения полуосей
сечения и относительной толщины —. По оси ординат отло-
жены безразмерные величины податливости
Г
р(1-р) ’
наибольших эквивалентных напряжений
~, (^экв)тах
“ Р
и тягового момента
(14.9)
(14.10)
(14J1)
Здесь k = —- — относительное изменение кривизны оси пру-
„Ду
жины. Перемещение конца пружины связано с величиной —
геометрическими соотношениями (14.2)—(14.4). По величине тя-
гового момента Мт можно определить тяговые усилия Q с помощью
формул (14.7) и (14.8).
Если размеры пружины известны, то с помощью номограммы
можно легко^провести поверочный расчет трубчатой пружины
плоскоовальной формы поперечного сечения.
318
a]— в условиях свободного хода; б — в условии силовой компенсации
со
со
Пример. Определить перемещение, тяговый момент и коэффициент запаса
пружины плоскоовального сечения, нагруженной давлением р — 0,5 МПа.
Расчеты провести для двух случаев нагружения пружины: при свободном ходе
и в условиях силовой компенсации. Материал — сплав 36НХТЮ, модуль упру-
гости Е = 2- 10б МПа, предел упругости оу = 700 МПа. Размеры пружины
(см. рис. 14.7, а): у = 270°, R = 48 мм, а — 8 мм, b = 2 мм, h = 0,288 мм.
Решение. Определим относительные размеры
« «.t; » « 4; — = = 0.036.
а 8 b 2 а 8
По этим данным находим по номограмме на рис. 14.11, а безразмерные
величины напряжения о = 610 и чувствительности k — 12-103, соответствую-
щие свободному ходу пружины под действием давления.
По формулам (14.10) и (14.9) определим наибольшее эквивалентное напря-
жение и относительный угол поворота
аэкв = ор = 610-0,5 = 305 МПа;
k = ~Н2) = 0,0273.
Т Е
Линейное перемещение конца пружины связано с угловым перемещением
геометрической зависимостью (14.4)
%=-^- RX,
У
где при у = 270° в соответствии с формулой (14.5) коэффициент Г = 5,8. Под-
ставляя числовые значения, получим
X = 0,0273-48-5,8 = 7,6 мм.
Коэффициент запаса п = —= 2,3.
Оэкв оОо
Если пружина находится в условиях силовой компенсации, то расчет про-
водится с помощью номограммы на рис. 14.11, б. При -|-= 4 и= 0,036
находим о = 205 и М = 0,0182. Отсюда оЭкв = 205-0,5 = 103 МПа и тяговый
момент (14.11) Мт = MpR3 = 0,0182-0,5-483 = 1006 Н-мм.
Коэффициент запаса пружины в условиях силовой компенсации существенно
хг 700 с о
выше, чем при свободном ходе, п = -^-г- = 6,8.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андреева Л. Е., Богданова Ю. А. Расчет манометрической трубчатой
пружины как незамкнутой оболочки вращения. — В кн.: Динамика и проч-
ность машин. МВТУ, 1980, с. 50—62.
2. Афонин В. Г., Шумский М. П. Практический расчет манометрических
пружин с плоскоовальным сечением методом Ритца во втором приближении. —
Изв. вузов. Приборостроение, 1973, т. XVI, № 4, с. 88—92.
3. Васильев Б. Н. Напряженно-деформированное состояние манометриче-
ской трубки. — Известия АН. Механика, 1965, № 4, с. 139—144.
4. Герасимов В. К., Тыжнов Г. И. Трубчатые пружины замкнутого кон-
тура. — Приборы и системы управления, 1973, № 1, с. 44—47.
5. , Шумский М. П. Расчет манометрических пружин. — Изв. вузов. При-
боростроение. 1964, т. VII, № 5, с. 373—374.
Приложение
Механические свойства сильфонов однослойных измерительных металлических
(ГОСТ 21482—76)
Т'эф, СМ2 D, мм Zzq, Н/мм при Ао, мм 6тах, ММ при Ло, ММ Лпах> МПа при Ло, мм
0,08 0,12 0,16 0,20 0,25 0,08 0,12 0,16 0,20 0,25 0,08 0,12 0,16 0,20 0,25
Из полу томпака Л80
0,63 11 69 230 — 1050 — 0,11 0,08 — 0,04 — 1,55 3,2 — 7,80 —
1,00 14 36 120 — 640 — 0,20 0,12 — 0,08 — 0,72 1,4 — 5,00 —
1,25 16 26 92 — 390 — 0,28 0,18 — 0,11 — 0,51 1,00 — 3,20 —
1,60 18 24 90 — 330 — 0,33 0,20 — 0,13 — 0,44 0,90 — 2,70 —
2,00 20 17 57 — 230 — 0,43 0,27 — 0,16 — 0,32 0,63 — 1,80 —
Продолжение приложения
ГЭф, СМ2 Z), мм kot Н/мм при Ло, мм 6тах, мм при Ло, мм Ртах, МПа при Ло, мм
0,08 0,12 0,16 0,20 0,25 0,08 0,12 0,16 0,20 0,25 0,08 0,12 0,16 0,20 0,25
2,50 22 21 59 — 330 — 0,44 0,27 — 0,17 — 0,33 0,66 — 1,95 —
3,15 25 — 50 105 190 395 — 0,36 0,28 0,22 0,17 — 0,54 0,90 1,40 2,30
4,0 28 — 41 84 175 315 — 0,45 0,36 0,28 0,22 — 0,41 0,71 1,20 1,75
5,0 30 — 29 99 205 340 — 0,45 0,36 0,28 0,22 — 0,44 0,77 1,35 1,95
6,3 34 — 34 61 162 255 — 0,60 0,50 0,38 0,30 — 0,32 0,64 0,99 1,40
8,0 38 — 30 69 142 275 — 0,66 0,55 0,42 • 0,33 — 0,29 0,57 0,88 1,35
10,0 42 — — 60 93 182 — — 0,68 0,54 0,42 — — 0,47 0,67 1,05
12,5 48 — — 36 69 145 — — 0,95 0,73 0,56 — — 0,31 0,48 0,75
16,0 55 — — 28 52 104 — — 1,20 0,92 0,72. — — 0,22 0,34 0,53
20,0 60 — — 32 — 125 — — 1,20 — 0,73 — — 0,23 — 0,56
25,0 65 — — 33 — 128 — — 1,30 — 0,80 — — 0,22 — 0,52
31,5 75 — — 20 — 79 — — 1,70 — 1,35 — — 0,13 — 0,31
40,0 85 — — 19 — 69 — — 1,85 — 1,40 — — 0,11 — 0,27
63,0 105 — — 14 — 52 — — 2,00 — 2,00 — — 0,08 — 0,18
100 130 — — — — 44 — — — — 2,35 — — — — 0,13
160 160 — — — — 39 — — — — 2,35 — — 0,10
Из коррозионностойких сталей 12Х18Н10Т и 08Х18Н10Т
0,63 И 112 420 — 1700 — 0,12 0,09 — 0,05 — 2,40 5,00 — 12,00 —
1,00 14 55 220 — 930 — 0,22 0,14 — 0,09^ — 1,10 2,20 — 7,80 —
1,25 16 46 160 — 650 — 0,30 0,20 — 0,13 — 0,80 1,70 — 5,10 —
Продолжение приложения
Гэф> СМ2 £>, мм ko, Н/мм при Ао, мм ^тах> мм при h0, мм Pmax, МПа при Ло, мм
0,08 0,12 0,16 0,20 0,25 0,08 0,12 0,16 0,20 0,25 0,08 0,12 0,16 0,20 0,25
1,60 18 41 150 — 640 — 0,37 0,23 — 0,14 — 0,70 1,50 — 4,40 —
2,00 20 39 95 — 420 — 0,49 0,31 — 0,18 — 0,50 1,00 — 2,90 —
2,50 22 30 ПО — 530 — 0,50 0,32 — ’ 0,19 — 0,53 1,10 —• 3,10 —
3,15 25 — 80 185 370 700 — 0,40 0,32 0,25 0,19 — 0,85 1,50 2,30 3,50
4,00 28 — 64 150 300 550 — 0,51 0,41 0,31 0,24 — 0,65 1,40 1,95 2,70
5,00 30 — 59 170 320 600 — 0,51 0,42 0,32 0,25 — 0,69 1,30 2,10 3,00
6,30 34 — 55 105 225 430 — 0,68 0,57 0,44 0,34 — 0,50 1,00 1,55 2,20
8,0 38 — 42 120 210 470 — 0,75 0,63 0,48 0,38 — 0,46 0,90 1,35 2,15
10,0 42 — — 105 160 320 — — 0,77 0,62 0,48 — — 0,75 1,05 1,65
12,5 48 — — 66 120 160 — — 1,08 0,83 0,63 — — 0,49 0,75 1,15
16,0 55 — — 44 90 180 — — 1,35 1,04 0,82 — — 0,35 0,54 0,84
20,0 60 — — 48 — 225 — — 1,37 — 0,83 — — 0,37 — 0,88
25,0 65 — — 45 — 215 — — 1,50 — 0,91 — — 0,34 — 0,82
31,5 75 — — 27 — 139 — — 1,72 — 1,36 — — 0,21 — 0,49
40,0 85 — — 33 — 123 — — 1,85 — 1,60 — — 0,18 — 0,42
63,0 105 — — 25 — 92 — — 2,00 — 2,00 — — 0,12 — 0,28
100 130 — •— — — 77 — — — — 2,35 — — — — 0,21
160 160 — — — — 69 — — — — 2,35 — — — — 0,16
Обозначения: Гэф — эффективная площадь; D — наружный гофра; hQ — толщина трубки — заготовки; 6тах — максимальный рабочий u Ртах — максимальное рабочее давление (внутреннее или наружное). диаметр; kq хол (сжатие — жесткость по силе одного или растяжение) одного гофра;
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..................................................... : 5
Введение............................................................ 7
Глава 1. Материалы для упругих элементов и вопросы их изготовле-
ния................................................................ 13
§ 1.1. Материалы для упругих элементов......................... 13
§ 1.2. Вопросы изготовления упругих элементов.................. 19
Список литературы.................................................. 22
Г л а в а 2. Плоские пружины....................................... 23
§ 2.1. Общие сведения.......................................... 23
§ 2.2. Расчет плоских пружин при малых перемещениях......... 25
§ 2.3. Расчет плоских пружин при больших перемещениях....... 28
Список литературы.................................................. 55
Глава 3. Спиральные заводные пружины............................... 56
§ 3.1. Общие сведения.......................................... 56
§ 3.2. Характеристика спиральной заводной пружины.............. 57
§ 3.3. Способы крепления концов пружины........................ 60
§ 3.4. Нормальная заводная пружина............................. 64
§ 3.5. Пружинные двигатели с пологой характеристикой........... 66
Список литературы.................................................. 70
Глава 4. Винтовые пружины.......................................... 71
§ 4.1. Назначение и конструктивные разновидности............... 71
§ 4.2. Теоретические основы расчета винтовых цилиндрических
пружин........................................................ 72
§ 4.3. Прикладные вопросы расчета и конструирования цилиндри-
ческих винтовых пружин растяжения, сжатия и кручения 95
§ 4.4. Расчет заневоленных пружин............................. 120
§4.5. Изгиб цилиндрических винтовых пружин................... 128
§ 4.6. Устойчивость винтовых цилиндрических пружин............ 134
Список литературы................................................. 140
Глава 5. Многожильные винтовые пружины............................ 142
§ 5.1. Конструкция, изготовление и назначение................. 142
§ 5.2. Геометрия многожильных тросов, не имеющих центральной
жилы......................................................... 145
§ 5.3. Расчет многожильных пружин сжатия, свитых из тросов, не
имеющих центральной жилы..................................... 149
§ 5.4. Расчет многожильных пружин кручения.................... 159
§ 5.5. Изгиб и устойчивость многожильных пружин............... 160
Список литературы................................................. 162
324
Глава 6. Фасонные витые пружины .................................... 164
§ 6.1. Основные виды фасонных пружин............................ 164
§ 6.2. Расчет фасонных пружин на прочность...................... 170
§ 6.3. ‘Жесткость фасонных пружин основных типов................ 170
§ 6.4. Теория посадки витков витых пружин ...................... 173
§6.5. Построение характеристики фасонной пружины............... 180
§ 6.6. Проектирование витых пружин по заданной характеристике 185
§ 6.7. Графический метод проектирования пружин по заданной ха-
рактеристике с монотонно возрастающей жесткостью. . . 188
§ 6.8. Проектирование конструкции с убывающей жесткостью,
составленной из пружин......................................... 190
§ 6.9. Расчет призматических пружин сжатия...................... 192
Список литературы................................................... 196
Глава 7. Термобиметаллические пружины............................... 197
§ 7.1. Применение и свойства термобиметаллов ................... 197
§ 7.2. Расчет термобиметаллических пружин при нагреве......... 199
§ 7.3. Расчет биметаллической пружины при изгибе внешними силами 202
Список литературы................................................... 206
Глава 8. Кольцевые волнистые шайбы.................................. 207
§ 8.1. Конструкция. Расчет волнистых шайб до начала их посадки
на опорную’плоскость........................................... 207
§ 8.2. Исследование посадки волнистой шайбы на опорную пло-
скость ........................................................ 210
§ 8.3. Расчет волнистых шайб в связи с их пластическим обжатием 212
Список литературы................................................... 214
Глава 9. Тарельчатые пружины........................................ 215
§ 9.1. Конструкция, изготовление и назначение тарельчатых пружин 215
§ 9.2. Расчет тарельчатых пружин ............................... 217
§ 9.3. Расчет заневоленных тарельчатых пружин................ 224
Список литературы................................................... 230
Глава 10. Прорезные пружины......................................... 231
§ 10.1. Расчет на прочность и жесткость прорезных пружин. . . 231
§ 10.2. Сопоставление прочности и жесткости прорезных и винто-
вых пружин ................................................... 234
Список литературы................................................... 235
Глава 11. Плоские мембраны.......................................... 236
§ 11.1. Общие сведения......................................... 236
§ 11.2. Расчет прогибов и напряжений в плоской мембране в об-
ласти малых перемещений....................................... 237
§ 11.3. Перестановочное усилие и эффективная площадь......... 243
§ 11.4. Плоская мембрана в области больших перемещений. . . . 245
Список литературы................................................... 248
Глава 12. Гофрированные мембраны ................................... 249
§ 12.1. Общие сведения....................................... 249
§ 12.2. Расчет упругой характеристики гофрированной мембраны
приближенным методом.......................................... 253
§ 12.3. Результаты численного решения.......................... 265
§ 12.4. Расчет гофрированных мембран, нагруженных давлением,
с помощью номограмм........................................... 271
§ 12.5. Расчет мембран в условиях силовой компенсации.......... 279
Список литературы................................................... 282
325
Глава 13. Сильфоны................................................. 283
§ 13.1. Общие сведения......................................... 283
§ 13.2. Расчеты бесшовных сильфонов............................ 285
§ 13.3. Расчет сварных сильфонов............................... 299
Список литературы................................................ 308
Глава 14. Манометрические трубчатые пружины........................ 309
§ 14.1. Общие сведения......................................... 309
§ 14.2. Расчет манометрической трубчатой пружины приближен-
ным методом.................................................... 311
§ 14.3. Расчет толстостенных манометрических пружин сильно вытя-
нутого плоскоовального сечения.......................... 317
§ 14.4. Расчет манометрических трубчатых пружин с помощью
номограмм.................................................... 318
Список литературы.................................................. 320
ИБ № 2583
Сергей Дмитриевич Пономарев,
Лидия Евгеньевна Андреева
РАСЧЕТ УПРУГИХ
ЭЛЕМЕНТОВ МАШИН
И ПРИБОРОВ
Редакторы: Л. П. Рыжова, Т. Ъ, Леденева
Технический редактор В. И. Орешкина
Художественный редактор С. С. Водчиц
Корректоры: А. А. Снастина,
Л. В. Асташенок
Сдано в набор 28.01.80. Подписано в печать
80.06.80. Т-11538. Формат 60x90Vle.
Бумага типографская № 2. Гарнитура лите-
ратурная. Печать высокая. Усл. печ. л. 20,5.
Уч.-изд. л. 20,6. Тираж 11 000 экз. Заказ 26.
Цена 1 р. 40 к.
Издательство «Машиностроение», 107076,
Москва, Б-76, Стромынский пер., 4
Ленинградская типография № 6 ордена
Трудового Красного Знамени Ленинград-
ского объединения «Техническая книга»
им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли.
193144, Ленинград, ул. Моисеенко, 10.