518 Сборник задач по дискретной мате-
Г 12 матике, Г. П. Таврило в, А. А. С а-
УДК 519 95 п о и: е н к о. Главная редакция физико-
" ' математической литературы изд-ва
«Паука», М., 1977 г.
Сборник возник как пособие для
практических занятий но курсу дис-
дискретной математики. Он содержит как
упражнения, предназначенные для
первоначального ознакомления с основ-
основными понятиями и фактами дискретной
математики, так и задачи повышенной
трудности, рассчитанные на такого
читателя, который обладает достаточ-
достаточной математической культурой и спе-
специальной подготовкой.
Книга будет полезна студентам
университетов и других вузов, в кото-
которых изучаются дискретная математика
и математическая логика.
Гарий Петрович Гаврилов
Александр Антонович Сапоженко
СБОРНИК ЗЛДА.Ч
ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ
М., 1977 г., 368 стр. о илл.
Редактор Е. Ю. Ходан
Технический редактор В. Н. Конвакова
Корректор Г. В. Подволъская
Сдано в набор 12.07.1976 г. Подписано
к печати 18.02.1977 г. Бумага 84xlO8'/3j- Физ.
печ. л. 11,5. Усл. печ. л. 19,32. Уч.-изд. л. 19,94.
Тираж 27000 зк8. Цена книги Ы коп.
Закав 1393
-3- i * \
L л Р, 790J
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литерат} ры
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
1-я типография издательства «Наука».
199034, Ленинград, В-34, 9-я линий, д. 12.
Отпечатано с готовых матриц в ордена Трудового Красного Знамени
тип. им. Володарского Лениздата. 191023, Ленинград, Фонтанка, 57.
20204-Й46 „ та © Главная редакция
* —gamn—77 ""'' физико-математической литературы
UMlU^)-/7 издательства «Наука», 1977

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава I. Булевы функции, способы их задания и ос-
основные свойства 9
§ 1. Булевы векторы и единичный n-мериый куб . ¦ 9
§ 2. Способы задания булевых функций. Элементар-
Элементарные функции. Формулы. Операция суперпозиции 20
§ 3. Специальные виды формул. Дизъюнктивные и
конъюнктивные нормальные формы. Полиномы 30
§ 4. Минимизация булевых функций ...,.,, 38
§ 5. Существенные и фиктивные переменные , , , , 44
, Г л а в а II. Замкнутые классы и полнота . > t t ¦ « • 50
§ 1. Операция замыкания. Замкнутые классы . . , 50
§ 2. Двойственность и класс самодвойственных фупк»
54
59
62
ции
§ 3. Липеппость и класс липейных функций
§ 4 К фй
§ 4. Классы функций, сохраняющих константы ,
§ 5. Монотонность ч класс монотонных функций .
§ 6. Полнота и замкнутые классы ,,,,,,,,, 71
Глава III. fc-значные логики . . • ¦ ¦ > ¦ > ¦ t « 77
§ 1. Представление функций ft-зпачпых логик фор-
формулами специального вида 77
§ 2. Замкнутые классы &-значной логики 86
§ 3. Исследование систем функций А-значной логики
па полпоту .,.,,, , , , , , , , , , , i 95
Глава IV. Графы и сети .,,.,,, , , , , , , 101
§ 1. Основные понятия теории графов ....,., 101
§ 2. Плапарпость, связность, числовые характерис-
характеристики градов ••.•».• Ш
§ 3. Ориентированные графы . . . ( ¦ » > > > а » 117
§ 4. Деревья и двухполюсные сети .,,,,,,, 124
§ 5. Оценки в теории графов и сетей ........ 137
§ 6. Реализация булевых функций контактными схе-
схемами и формулами . , , , , , , , , . , , t , 148
1* 3

Глава V. Элементы теории кодирования ¦•>•¦• 159
§ 1. Коды с исправлением ошибок ...•!•<•• 159
§ 2. Линейные коды !»•>•» 164
§ 3. Алфавитное кодирование >•••«.•<¦< 168
Глава VI. Конечные автоматы .,,,,,..., 178
§ 1. Детерминированные и ограниченно-детерминиро-
ограниченно-детерминированные функции 178
§ 2. Представление детерминированных функций диа-
диаграммами Мура, каноническими уравнениями,
таблицами и схемами. Операции над детерминиро-
паниыми функциями 190
§ 3. Замкнутые классы и полпота в множествах детер-
детерминированных и ограниченно-детерминирован-
ограниченно-детерминированных функций . , i » » « . • . а , , . , , i 208
Глава VII. Элементы теории алгоритмов 213
§ 1. Машины Тьюринга и операции над ними. Функ-
Функции, вычислимые на машинах Тьюринга . . . 213
§ 2. Классы вычислимых и рекурсивных функций 234
§ 3. Вычислимость и сложность вычислений .... 242
Глава VIII. Элементы комбинаторики . » • » > • > 249
§ 1. Перестановки и сочетания. Свойства биномиаль-
биномиальных коэффициентов 249
§ 2. Формула включений и исключений 259
§ 3. Возвратные последовательности, производящие
функции, рекуррентные соотношения , , , . 263
§ 4. Асимптотические оценки и неравенства ¦ > • • 273
Решения, ответы, указания . ( t • • i • • • • t • « • 281
Литература ••«¦•••••«••< 358
Предметный указатель .•••••••••••<•«« 360
{Указатель обозначений •••••••••¦•«•it 365

ПРЕДИСЛОВИЕ
11 редлагаемый читателю сборник задач задуман как
иосоПие для упражнений по курсу дискретной мате-
математики и предназначен в основном для студентов млад-
младших курсов университетов. Сборник может быть поле-
iion также студентам старших курсов и аспирантам,
специализирующимся в области математической ки-
Гкфпетики. Преподаватели могут использовать эту
книгу для подготовки упражнений и семинарских за-
замятий.
Книга базируется на курсе дискретной математики,
чнтлишемся в течение ряда лет сначала на механико-
матоматическом факультете, а затем на факультете
имчис.лительной математики и кибернетики Москов-
Московского государственного университета.
ОПорник состоит из восьми глав. Первые две главы
носилщены алгебре логики. Раздел «Алгебра логики»
ниллотся основополагающим при изучении дискретной
математики. В лекционном курсе и на практических
шшлтиях на факультете ВМиК МГУ ему отводится
около четверти всего времени. На материале этого раз-
доли учащийся получает первоначальные представле-
iiini о таких понятиях, как дискретная функция, опе-
операция суперпозиции, функционально полная система}
пиакомится с различными способами задания дискрет-
дискретных функций (табличный способ, представление поли-
помими и нормальными формами, геометрическое пред-

И»
По происхождению материал задачника весьма
разнообразен. Значительная часть задач носит «фольк-
«фольклорный» характер. Такие задачи хорошо известны t
специалистам по дискретной математике, однако уста- j
новить авторство задач подобного сорта почти невоз-
невозможно. Основная часть задач была придумана авто- i
рами в процессе ведения упражнений и семинаров, I
приема экзаменов по дискретной математике, а также
во время подготовки данного сборника. Некоторая часть
задач возникла в результате обработки журнальных
статей. Некоторые задачи заимствованы нами из дру-
других руководств. Ряд задач был сообщен нам сотрудни-
сотрудниками кафедры математической кибернетики МГУ и
другими нашими коллегами. Большой запас задач
предоставил в распоряжение авторов О. Б. Л уланов.
Отдельные задачи предложены С. В. Яблонским,
В. Б. Алексеевым, А. А. Евдокимовым, В. К. Леонтье-
Леонтьевым, Ал. А. Марковым. Всем им мы выражаем ис-
искреннюю благодарность.
Авторы весьма признательны С. В. Яблонскому за
внимание к нашей работе над книгой. Его советы и
рекомендации в значительной мере определили струк-
структуру и тематическую направленность сборника.
Авторы глубоко обязаны О. В. Лупанову, прочи-
прочитавшему всю рукопись и уделившему много времени
для обсуждения с авторами ее содержания.
Мы искренне благодарны С. С. Марченкову, весьма
тщательно прочитавшему главу «Элементы теории алго-
алгоритмов», В. И. Левенштейну, прочитавшему главу
«Элементы теории кодирования» и сделавшему ряд
ценных замечаний, а также рецензентам книги
В. В. Глаголеву и Ал. А. Маркову за критические за-
замечания и соображения по улучшению сборника.
,
Г. П. Гаврилое, А. А. Сапоженко

Глава I
БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ,
СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ
И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
§ 1. Булевы векторы и единичный
и-мерный куб ')
Вектор (ах, а2, . . ., ан), координаты которого прини-
принимают значения из множества {0, 1}, называется двоич-
двоичным или булевым вектором (набором). Для краткости
такой вектор будем обозначать через 5я или а. Число п
называется длиной вектора. Множество всех булевых
векторов длины п называется единичным п-мерным ку-
кубом и обозначается через В". Сами векторы а." назы-
называются вершинами куба В". Весом |ая|| или нормой век-
вектора а" назынается число его координат, равных еди-
п
пицо, т. е. || а"|| = 2 а.. Множество всех вершин куба В",
имеющих вес к, будем называть к-м слоем куба В" и
обозначать через В%. Каждому булеву вектору а." можно
сопоставить число v (ая) =
называемое номером
вектора а". Набор а" является, очевидно, двоичным раз-
разложением числа v (ая). Расстоянием (Хэмминга) между
вершинами аир куба В" называется число р(а, р) =
п
и | а<—Р< |> равное числу координат, в которых они
i
|
') Этот параграф является вспомогательным. В дальнейшем
используются лишь задачи 1.1—1.6; 1.11; 1.14; 1.15; 1,31} 1,34;
1.35; 1.44.

различаются. Расстояние Хэмминга является метрикой^
а куб В" — метрическим пространством. Наборы аир
из В" называются соседними, если р(й, р) = 1, и противо-
противоположными, если р(а, р)=тг. Неупорядочзнная пара со-
соседних вершин называется ребром куба. Множество
Bl(S.) — {$: р(й, $J = k) называется сферой, а множество
Snk (а) = {р: р (а, (?) <^ Щ — шаром радиуса к с центром а.
Говорят, что набо]) а" предшествует набору р" (обозна-
(обозначение: а"г^р"), если a. <^fL для всех s = l, n- Если при
Рис. 1.
этом а" =^= р", то говорят, что а" строго предшествует р"
(обозначение: а"<рп). Если имеет место хотя бы одно из
соотношений а"^р" или рп<^а", то а" и р" называются
сравнимыми. В противном случае говорят, что а." и р*
несравнимы. Набор й" непосредственно предшествует
набору р", если а" < р" и р (а", р") = 1. Отношение пред-
предшествования между наборами является отношением час-
частичного порядка в В". На рис. 1 представлены диаграммы
частично упорядоченных множеств В2, В3, В*. Последо-
Последовательность иертин куба {й0, а1( . . ,,dik} называется цепью,
соединяющей 5.0 ца.к (обозначение: [а0, aj), если р(й^_х а.() =
— 1 (г = 1, к). Число к называется длиной цепи[а0, aft].
Цепь {&-о, S.v ..., &ic} является возрастающей, если
( ) {а0,
П
{
<1<*< (г = 1, к). Цепь z вида {а0, а^ ..., &к} назы-
называется циклом длины к, если йо = йЛ. Пусть й = (а1, хЛ, . ..
.... а«) и р = (Эх, Р2, ..., Р„) —векторы из В\ Через
йфр обозначим вектор (ах ф рх, <% ф р2 а„ Ф Р„)>
полученный покоординатным сложением по mod 2 век-
векторов 5 и р. Через & (J р обозначим вектор, г-я коорди-
координата которого равна 0 тогда и только тогда, когда а< =
10

= ^ = 0. Через 5 Г)Р обозначим вектор, г-я координата
которого равна 1 тогда и только тогда, когда а,. = р, = 1.
Через а обозначим вектор (противоположный к а), j-я
координата которого принимает значение 0, если а4 = 1,
и значение 1, если а4 = 0. Если а?{0, 1}, то положим
оа = (аа1, аа2, . . ., ааи). Символом 0 обозначим вектор
@, 0, . . ., 0), а символом I—вектор A, 1, ..., 1).
Множество В%''» -¦• ''* всех наборов (av ..., ая) из В",
у которых <Xij = 3j (/=1, Л), называется гранью куба 6м.
Множестьо /={г1, . .., jft} называется направлением
грани, число Л — рангом грани, а га—Л — размерностью
грани.
1.1. 1) Р1айти число 15/с | наборов ос" веса к.
2) Чему равно число всех вершин куба В"?
1.2. 1) Найти номера наборов A001), @1101), A10010).
2) Найти вектор длины 6, являющийся двоичным
разложенном числа 19.
1.3. Чему равно число наборов а ? В", удовлетворяю-
удовлетворяющих условию 2"~1<v(a)<2"?
1.4. Показать, что для любых а, р, ^ из В" справед-
справедливы соотношения:
1) Р(«, т)<р(&> Р) + р(Р, т);
2) р(й, j) = p(a0p, уфр);
3) Р(а, р) = 1аЦ-||р1-2(апР1;
4) р(й, р) = ||а0р|.
1.5. 1) Найти число иоупорядочепных пар соседних
вершин В".
2) Найти число неупорядоченных нар наборов (ап, р"),
такик, что р(ося, p")==ft.
1.6. Пусть а, р — вершины куба В", p(a, p) = m.
Найти число вершин f, удовлетворяющих условию:
1) P(a, t) + p(t- Р)=р(й- Р);
2) рD, f) = k, p(p, f) = r;
3) р(а, 7)<А, р(р, ?) = г;
4) p(a, f) <A, p(p, t)>r.
1.7. Доказать несовместность следующих систем соот-
соотношений для й, р и J из /?", га ^ 2:
1) р(«, р)>2«/3, р(р, f)>2«/3, p(y,
2) p

4) [|«©РФтИ = О, |5®Pef|| »l.
1.8. Пусть а, р, у — вершины из В". Показать, что:
1) а^р равносильно аПр = б;
2) a|Jp=l равносильно
3) Е
4
(а U 3) П (Р U т) = (« П т) U Р;
7) из S^y вытекает, что аи
8) 5<t равносильно аи(РПт)<(а11р)П Т>
9) E-Пр)и(РПт)и(тПа) = (аиР)П(Рит)П(ти^).
1.9. К'аконо число векторов (a1, a2, . . ., ot12) из SJ2,
таких, чго ^] а(<^т12 для всех т=1, 12?
1.10. Hai'iTii 'iircno ii(>KT<<i>o:t a. m B'k, таких, что между
диумн ('Д|||111'1П1,1.м1г 1соA1)Д1М1атамп существуют но край-
ncii Mi'|)'i r iiyjiciH.ix.
1.11. I) IluKn:iaTi>, 'lTo в /J" существует множество,
cocTDiniuM) и;! ( ", J iioiinpiio HdcpaiiiiitMbix векторов.
2) Показать, чт>) boiko'j подмножество, содержащее не
менее п -\- 2 нскторои, содержит пару несравнимых век-
торов.
1.12. Пусть 0<^/<й:<^гс и ^4(а) — множество всех
векторов из В", сравнимых с а. Найти мощность мно-
множества С:
) (), ?l
1.13. Пусть A (Z. В], а В — множество всех наборов
из В%, сравнимых хотя бы с одним набором из А. До-
I А I .. \В\
1.14. 1) Показать, что в В" существует п I попарно
различных возрастающих цепей длины п.
2) Показать, что число попарно различных возрастаю-
возрастающих цепей длины п, содержащих фиксированную вер-
вершину 5 из Щ, равно к\ (п—ft) 1.
12

1.15*. 1) Показать, что мощность любого подмножества
попарно несравнимых наборов куба В" не превосходит
п \
»/2|Г
2 П
2) Показать, что если подмножество А С В" состоит
из попарно несравнимых наборов и |й||<^& для всякого
й&А, то | Л Kg) при J
1.16. Пусть pv p,v . .., рп — попарно различные про-
простые числа, а N — множество всех чисел, представимых
в виде р^р\* • •. pln, где а{ ? {0, 1}, } = 1, п- Пусть под-
подмножество A (Z N таково, что никакое число а ? Л не яв-
ляется делителем никакого числа Ь?А, отличного от а.
Доказать, что |Л|<([п])-
1.17. Пусть а, р — такие вершины куба В", что а < р,
р(а, p)=fc. Показать, что число наборов f, таких, что
а<Т<Р' Равно 2*.
1.18*. Доказать, что куб В" можно представить в виде
объединения попарно непересекающихся возрастающих
цепей, обладающих следующими свойствами:
1) число цепей длины п — 2к равно ("j—\к^_,),
k = 0, [n/2\, при этом минимальный набор каждой такой
цепи имеет вес к, а максимальный — вес п — к;
2) если а4, aJ+1, a<+2 — три последовательные вершины
возрастающей цепи, имеющей длину п — 2к, то вер-
вершина Р, такая, что af <^ р <Г **+2> Pv^^+i» принадлежит
некоторой цепи длины п — 2к—2.
1.19. Пусть a, p — такие вершины куба В", что
р(а, р) = А, а С (а, р)—множество всех вершин у, для
которых существует цепь [а, р] длины к -\- 2г, содержа-
содержащая эту вершину. Чему равна мощность множества
С(а, р)?
1.20. Множество A<Z.Bn называется полным в В",
если любой вектор р?.в" однозначно восстанавливается
при условии, что для каждого a ? А известно расстоя-
расстояние p(g, p). Полное в В" множество называется базис-
базисным, если для любого вектора а из А множество Л\{а}
не является полным.
1) Показать, что любая возрастающая цепь a0, av ...
¦••> *k-i B В" образует базисное множество.
13

n
2) Показать, что множества В" и 55_х являются пол-
полными в В" при п > 2. Указать такое п > 2, что 5" не
является базисным.
3) При каких пик множество В% не является пол-
полным в В"?
4) Доказать, что всякое базисное множество А в В"
удовлетворяет условию -= ;——г. <Г IA I ^ п.
IOg2 (П -\- 1 ) ^ ^
5) Доказать, что никакая грань размерности п — 2 не
является полным в В" множеством.
6) Показать, что число Тя базисных множеств в В"
J.
1.21. Пусть <р — взаимно однозначное отображение В
на себя. Гозорят, что отображений ср сохраняет расстоя-
расстояние между вершинами, если рB, р) = р(ср(а), ср(р)) для
всех а, р из В". Доказать, что отображение ср сохраняет
расстояние тогда и только тогда, когда оно может быть
получено с помощью:
1) некоторой перестановки координат одновременно
во всех наборах из В";
2) заменой 0 на 1 и 1 на 0 в некоторых координа-
координатах всех векторов.
1.22. Отображение ср множества Б" в себя называется
монотонным, если из v(a)^v(p) вытекает, что v(cp(a))^
^v(cp(p)). Найти число монотонных отображений куба В".
1.23.' Пусть a ???. Множество М% (а) = {7: v(fX
^ v (a), f g ВЦ называется начальным отрезком слоя В%.
Пусть А С В"; обозначим через Z1(A) множество набо-
наборов р ? В'/, для которых существует такое a g А, что р ^ й.
1) Пусть ai?Bl и iv i2, ..., ik A<г1<г2<---
... <^ik^.n) — номэра координат вектора а, равных еди-
единице. Показать, что
In — «Л Л* —*а\ /» —'Л
2) Показать, что если l^k и Л—начальный отре-
отрезок слоя fit, то множество Znt(A) является начальным
отрезком слоя В".
3) Пусть &^В1 и iv i2, ..., ik A < ij.< i2 < ...
... < ik ^«) — номера координат вектора a, равных еди-
единице. Пусть A—Ml (а) и l^.k. Показать, что
;
14

4 *) Пусть l^m^KJ. Доказать, что минимум ве-
величины \Z"k-x(A)\ по всем таким А С В%, что |Л| = т,
достигается на начальном отрезке слоя В\.
5) Пусть 1 ^т^СГ) и ЦА. Доказать, что минимум
величины \Z1(A)\ по всем таким А С В%, что \А\=:т>
достигается на начальном отрезке слоя В\.
6) Пусть а0, av . . ., ап — заданные числа, для кото-
которых существует такое множество А попарно несравни-
несравнимых наборов, что | А ( В1 \ = ак (А = 0, п)- Тогда мини-
минимум величины \Z"(A)\, взятый но всем таким множе-
множествам А, достигается в том случае, когда для любого
i^>l множество Z"(A) является начальным отрезком
слоя В\.
1.24*. Пусть A CZ В" — такое множество наборов, что
не существует наборов а, р, J из А, для которых af)^ = O,
a aUp = ;f. Пусть ak = \Af]Bl\. Показать, что
для любых натуральных к, т, не превосходящих п.
1.25. Множество Г (А) = {а: а. (. В" \ А, р (at, A)=l}
называется границей подмножества А О. В". Пусть 1 ^
^ С Об А
ii <Г h
у
п. Обозначим через А1
12 • . fr
мноя^ество всех тех наборов из А, у которых координата
с номером lj равна о^ (/ = 1, А).
Центром множества А будем называть такой на-
набор, у которого i-я координата равна 0, если | А'и | ^ — | А |,
и равна 1 в противном случае. Обозначим через а'»('» •••> **
н&бор, полученный из а заменой координат с номерами
iv i2,
ik на противоположные.
v 2 k
1) Показать, что для всякого А С. В" существует
Л'С Я", такое, что | А'\ = \А\, \ Г (А1) | = | Г (Л) |, и цен-
центром Л' является вершина 0 = @, 0, ..., 0).
2) Будем говорить, что множество Л С 5' обладает
свойством 1, если для всякого г=1, п из 5?Л; выте-
вытекает, что &* ?Л. Показать, что для всякого Л С .В" су-
существует множество Л' с центром 0, такоэ, что |Л'| =
= | А |, Л' обладает свойством I и | Г (Л') | ^ | Г (Л) |.
3) Будем говорить, что множество А С В" обладает
свойством II, если для любых i, j A^г<[/^и) из

S?/!{•„•> вытекает, что а'^^Л. Показать, что для вся-
всякого А с центром 0, обладающего свойством I, суще-
существует А' с центром в б, обладающее свойствами 1, II
и такое, что | А | = | А' [, | Г (Л') ^ | Г(Л)|. '
4*) Показать, что тш|Г(Л) но всем А СВ", таким,
k-l h
что \,[ t) <С | А | ^ \ (n.j, достигается на множестве j
(=0 i=0
Л = S"k_i @) U Ml (а), где М% (а) — некоторый начальный
отрезок слоя В% (см. задачу 1.23).
1.26. Пусть ср (п) (ср' (п))—максимальная мощность
множества Л С?", такого, что ||аПр||= 1 (соответственно
(|aflp|^l) Для любых двух различных вектороз из А.
Показать, что:
1.27. Пусть F (п, к)—сехмейство подмножеств Л мно-
множества В", таких, что |ар)р ||^ к для любых a, p из А.
Пусть cp(n, k)= max \A\. Доказать следующие
A?F(n, к)
утвернадения:
2
IИ+/С+1Г
= J 2 [
2) Пусть А С F (п, к); тогда \АГ\В1\ + \АП «-i+м | <
3) При Z>^±i равенство
==(м Д°стигается лишь в случае, когда Л П ^я-f+fc-i = 0-
4) ср (и, А) = % ( .) при нечетном n -j- й,
«1+ 2 0при qeTHoM
V 2+»
2 <-2
1.28. Пусть Fr(n) — семейство подмножеств A(ZB"t
таких, что р(а, Р).^2г для любых а, р из А. Пусть
?,(»)= max |Л|.
16

1*) Показать, что максимум |Л| по всем A(*Fr(n)
достигается на множествах вида S" (а) и равен ^, (t).
к=0
2) Для нечетного п и г-
Y~ привести пример мно-
множества A?Fr(n), не являющегося шаром радиуса г, для
которого | А [ = <рг (п).
1.29*. Будем говорить, что подмножество А С В" об-
обладает свойством 1, если любые два вектора из А имеют
общую единичную координату, обладает свойством II,
если для любого д-(?А противоположный вектор & не ле-
лежит в А, и, наконец, обладает свойством 111, если из
й?Л и й^Р ньттокает, что р?Л. Пусть <\>(п) — число
подмножеств А С В", обладающих одновременно свой-
свойствами 1 и И, a f(n) — число подмножеств В С В", обла-
обладающих свойством 111. Показать, что:
1) «ь (п) Ц 2([('r-ll)/2l); 2) Ф (п) < ср2 (п - 1).
1.30. Пуо>ь А С В", R (А) — число таких ребер (а, р),
что &?А, Ё?В"\А. Показать, что I R(A)\^t min {I A I,
2"-И I). |
1.31. Доказать следующие утверждения:
1) Число различных граней фиксированного направ-
направления {iv L2, ,. ., tk) равно 2к.
2) Две различные грани одного направления не пере-
пересекаются.
3) Объединение всех граней куба В", имеющих за-
заданное направление, дает весь куб.
4) Число всех граней ранга к куба В" равно ГУ\ • 2*.
5) Общее число граней куба В" равно 3".
6) Число граней размерности к, содержащих задан-
заданную вершину а, равно (Т\.
7) Число граней размерности к, содержащих вадан-
ную грань размерности /, равно Г" ,J.
8) Число ^-мерных граней, пересехгающихся о задан-
mln(ft О
ной /-мерной гранью куба В", равно
J'O
называется
)•
1.32. Интервалом куба В" называется множество
вида {f: а ^ Ч ^ р}, где а, р — некоторые такие вершины,
17

121ft...
что а^р. Число рE, р) называется размерностью ин-
интервала. Показать, что грань размерности к является
интервалом размерности к.
1.33. Пусть gv g2, gj — грани куба В". Показать, что
из giDg>?=0> ёаГ)?37^0. gsr\gi?::0 вытекает, что
?
(g1/
1.34. Пусть nv п.2, ..,, пе — такие целые неотрица-
8
тельные числа, что 2 2n< ^ 2". Тогда в В" существуют
попарно непересекающиеся грани gv g2, ..., gg1 размер-
размерности которых соответственно равны nv nit . . ., ns.
1.35. Грани g1 и g2 куба В" называются несравнимыми,
если не выполняется ни одно из включений gx С g2,
g-iQgv
1) Показать, что существует множество граней куба В",
( п \/.i — [»/3]\
состоящее из ( ,3 JI „' 1 понарио Несравнимых
граней. !
2) Показать, что мощность всякого множества попарно
несравнимых граней куба В" не превосходит ( п Л X
(п-\пП\\
1.36. Пусть L (п, к)—минимальной чис/ло таких вер-
вершин из В", что в каждой А-мерной грани находится
хотя бы одна из этих вершин. Доказать, что:
1) L(n, 1) = 2"-\-
2) L(n, n— 1) = 2;
3) L(n, 2) < [2"/3J;
4*) m^.L(n, n — 2)^.т-\-2, где т — наименьшее
/ т
целое, для которого
»=0
6) L(n, A)>2rL(r, A).
1.37. Показать, что наборы из В" можно расположить
в последовательность alf а2, ..., a2n, являющуюся циклом.
1.38. Показать, что в В" нет циклов нечетной длины.
1.39. Двоичный вектор (ос0, av ..., oc^-i) будем назы-
называть п-универсалъным, если для всякого вектора (|30, C1; ...
,.., p^j) из 5" существует такой номер к, что р< =
18

1) a:
2) a = @1011),
3) a = @0110),
(s = 0, n — 1), где k@i-=k-\-i (modA^). Выяснить,
является ли вектор а ^-универсальным, если:
:@011), п = 2;
п 2-
п = 2;
4) а = @0011101), п = 3.
1.40. Доказать, что для всякого натурального п су-
существует n-универсальный вектор длины 2" и не суще-
существует n-универсальных векторов длины, меньшей 2".
1.41. Цикл Z куба В" называется 2&-циклом, если
| Z П S%(a) | = 2d -J- 1 для всех 5?Z, т. е. если для лю-
любой вершины а цикла Z множество вершин цикла, на-
находящихся на расстоянии, не превосходящем d (по кубу),
совпадает с множеством вершин, находящихся на рас-
расстоянии, не большем d «вдоль цикла».
J) Пусть 1{п) — максимальная длина 2-цикла о В".
Найти / (п) Для п = 2, 5.
2) Пусть) Z — цикл в В". Показать, что в любой
грани размерности 4 имеется не более восьми вершин
цикла Z.
3*) Показать, что максимальная длина цикла в В" не
превосходит 2"'1, п > 3.
1.42. Пара (а(, а<A), составленная из двух последо-
последовательных вершин цикла Z куба В", называется ребром
цикла. Показать, что в Вь существует цикл длины 32,
любые четыре последовательные ребра которого имеют
попарно различные направления.
1.43. Пусть ai
ап — такие числа, что
(г = 1, п). Показать, что число сумм 2(—^
3< G @> 1}>
—1 )°-а,
i=J, n, удовлетворяющих условию
не превосходит Г "„.).
1.44. Пусть ЛСД", |Л|>2"~1. Показать, что суще-
существует не менее п ребер куба, целиком содержащихся а А.

§ 2 Способы задания булевых функций.
Элементарные функции. Формулы.
Операция суперпозиции
Набор символов переменных (xv x2, ..., хп) будем
обозначать через х" (или х), а множество тех же сим-
символов переменных — через X"- Функция / (х"), опреде-
определенная на множестве В" и принимающая значения из
множества {0, 1}, называется функцией алгебры логики
или булевой функцией. Множество всех булевых функ-
функций от переменных xv х.2, ..., хп будем обозначать
через Р.Л(Х").
Булеву функцию / (х") можно задать таблицей Т (/)
(см. табл. 1). Здесь наборы 3 расположены в порядке
возрастания их номеров. В дальнейшем, предполагая такое
стандартное расположение наборов, будем задавать функ-
функцию / {х") вектором ?2" —(а0, av ..., oc2»-i), B котором
координата а. представляет собой значение функции /{х")
на наборе з с номером i(i = 0, 1,..., 2"—¦ !).
X,
0
0
0
1
*.
0
0
0
1
... о
... о
... 1
... 1
ж»
0
1
0
1
/(*„
/@,
/@,
/@,
/A
ТА
0,.
0,.
о,.
1..
БЛИЦА 1
•. *Я-1. Х„)
.., 0, 0)
.., 0, 1)
... 1, 0)
.., 1,1)
Символом Nj- будем обозначать множество {3: C ? В") &
/() )}
Булева функция / (хп) может быть задана также пря-
прямоугольной таблицей ПА пк (/) (см. табл. 2), в которой
значение / (av з2, ..., зя) функции / помещается на пере-
пересечении «строки» (зр з2, ..., ак) и «столбца» (з4A,
l<
*+2 ») <
Булевы функции, заданные табл. 3, 4, будут счи-
считаться элементарными.
Приведем обозначения и названия этих функций.
1) Функции 0 и 1 называются соответственно тож-
тождественным нулем п тождественной единицей.
20

*.
0
0
1
*2
0
0
1
... 0
... 1
• • • °A
. . . 1
0
0
0
0 . .
0 . .
1 . .
: iz
. "я
I
1
i
/C)
TAB Л
... 1
... 1
... 1
ИЦА 2
xk+l
2) Функция f1 называется тождественной функцией
и обозначается через х.
3) Функция /2 называется отрицанием х, обозна-
обозначается X или ~\х и часто читается «не х».
X
0
1
T А В J]
0
0
0
i
1
1
И Ц А 3
0
1
Л
1
0
X, X,
0 0
0 1
1 0
1 1
/,
0
0
0
1
/,
0
1
1
1
/.
0
1
1
0
ТА В
п
1
0
0
1
1
i
0
1
ЛИЦА 4
tr
1
1
i
0
А
1
0
0
0
4) Функция /3 называется конъюнкцией хг и жа,
обозначается хД xa или x1-xi, или х1х2, или min (xx>
х2) и часто читается «а^ и ж2».
21

5) Функция /4 называется дизъюнкцией х1 и х2, обо-
обозначается .rj V х.2 или хх+х2, или max (xu х2) и часто
читается «хг или х2».
6) Функция /5 называется суммой по модулю 2 хх
и х2, обозначается х-±@х2 и часто читается ах1 плюс х2».
7) Функция /6 называется эквивалентностью хх
и х2, обозначается хх~х2 или хг <-> ж2, или х^=х2 и
часто читается «.Tj эквивалентно х2ъ.
8) Функция /7 называется импликацией х1 и х2,
обозначается хг -> ^2 или хг Z) х2 и часто читается
«a?j имплицирует х2».
9) Функция /8 называется штрихом Шеффера хх
и хг, обозначается хг | х2 и часто читается «не х1 и х2».
10) Функция /9 называется стрелкой Пирса хх и х2,
обозначается хг j x2 и часто читается «не а^ или х2ъ.
Иногда функции 0 и 1 рассматриваются как функции,
зависящие от пустого множества переменных.
Символы ~], &, V. ф, ~ и т. д., участвующие в обо-
обозначениях элементарных функций, называются до-
гическими связками.
Зафиксируем некоторый алфавит переменных X
(конечный или счетно-бесконечный). Пусть Ф =
= {/{"•>, /|п»), ...} — множество функциональных сим-
символов, где верхние индексы указывают местность
(арность) символов. Иногда верхние индексы опуска-
опускаются, но при этом арности функциональных символов
предполагаются известными.
Определение 1. Формулой над множеством
Ф называется всякое (и только такое) выражение вида:
*) fn и fj(x<i> xv ¦ • •> х*«)> гДе fk — нуль-мостный,
a fj — и-местный функциональные символы и xfl, Xi2, ...
...,Xin — переменные из множества X;
2) /m021i. %,¦•¦, %), где /и — s-местный функцио-
функциональный символ и % — либо формула над Ф, либо пере-
переменная из X, i = l, s.
Для акцентирования внимания на том, что в фор-
формуле ЗД используются только переменные из X (или
только функциональные символы из Ф), будем писать ЗД (X)
(соответственно ^([Ф])-
Иногда формулы вида / (х, у) записывают либо как
(xfy), либо как xfy, а формулу / (х) — как (fx) или fx.
При этом символы / называют связками.
22

Обычно в качестве связок употребляются символы из
множества б = {~], &, \/> ©> ~> -*¦» l> U-
Определение 2. Формулой над <3 называется
всякое (и только такое) выражение вида:
1) х — любая переменная из множества X;
2) ПЯ). BI&03), (vIV'S). (VI0Q3), («21-03),
(Я-ч-93), (vl|03), @Ц 03), где % 93 —формулы над 6.
Обычно принимаются следующие соглашения для со-
сокращения записи формул над множеством связок Q:
а) виешниз скобки у формул опускаются;
б) формула ( | *21) записывается в тщде ЭД;
в) формула (1 & 03) записывается в видэ (ЭД • 03) или
ДО);
г) считается, что связка ] сильнее любой двухмест-
двухместной связки из <3;
д) связка & считается сильнее, чем любая из связок
V. Ф. ~. -¦. I- 1-
Эти соглашения позволяют, например, формулу
({~}х) -* ((х&у) V 2)) записать в виде X -* (ху V z).
Употребляется и «смешанная» запись формул, на-
например, ж ©/(г/, г) или xj (х%, 0, zs)\/Xj(i, x2, хя).
Пусть каждому функциональному символу /("«' пз
множества Ф сопоставлена некоторая функция F{: В'ч -*
—*¦ В. Понятие функции ср<у, реализуемой формулой Q1
над множеством Ф, определяется по индукции:
1) если vl = /5и<) (xJt, Xjt, . . ., Xjnt), то для всякого
набора (av <ц, . . ., аЯ(.) значений переменных Xjt, Xjt, ...
..., Xj значение функции ^p<jl Рав1Ю ^A^v av • • •> a«<)l
2) е"сли 01 = /B1!, Ot, ..., 5IJ, где /еФ, 51» =
= %(Ук1> Ук2> •'•-Ук, ) —формула над Ф или перемзи-
ная из X и на всяком наборе (аи, а^, . . ., акв ) значе-
значений переменных ук1, ук2, ..., у. функция ср равна pt
* "^
[к = 1, т), то
?<Л (alP a12> • • •> а1», а*Г а*2» - • •> акек> • • •
• • ¦> «„,!¦ а,„2. ..-. «mJ J = ^ (Pi. • • •¦ Р* Р«)
(здесь F—функция, сопоставленная функциональному
символу /).
Если $1 = ft"'1 {xjt, хи *>«<)• то % °')Означа-
етоя обычно через Ft{xj,, Xjt, ..., Xjn)- Если же
23

Ql = /(BI1, 2l2, ..., 21J, то 9^ обозначается через
f Ока, (г/п. г/12. • • •> vu)> • ¦ •• ^„.Ои- ^ • • •> *О).
Понятие функции f<%, реализуемой формулой 21 «ад
множеством связок 2>, вводится следующим образом:
1) формуле '21 = ж, где ж^Х, сопоставляется тожде-
тождественная функция <р«л (х) = ж;
2) если 21 = ПОЗ) (или 21 = C3 О G), где о G {&, \А
ф, ~, -», |, J}), то <р^=:(р^ (соответственно <рзд =
= <р^ О <pg, где символ О надо понгтмать уже как обо-
обозначение для соотзетствующой элементарной булевой
функции; см. табл. 3, 4).
Пусть {xv хг, . .., хп\—множество тех церемонных,
которые встречаются хотя бы в одной из формул ЭД
или 03. Формулы ЗД и 'ЗЗ называются эквивалентными
(обозначение: 21 = 33 или 21 = 03), если па всяком на-
наборе (а1У ос2, . . ., <хн) значений переменных а^, ж2, ..., хп
значения функций ерэд и <?<%, реализуемых соответственно
формулами 21 и 03, совпадают.
Пусть Ф — множество функциональных символов
(или логических связок), а Р — множество соответ-
соответствующих им функций. Суперпозицией над множеством
Р называется всякая функция F, которую можно реали-
реализовать формулой над множеством Ф.
2.1. Каково число функций в Р2 (X"), принимающих
на противоположных наборах одинаковые значения?
2.2. Найти число функций в Р2 (X"), которые на
любой паре соседних наборов принимают противополож-
противоположные значения.
2.3. Каково число функций в Р2 (X"), принимаю-
принимающих значение 1 менее чем на к наборах из 5я?
2.4. По функциям / (xv x2) и g (x3, ж4), заданным
векторно, построить векторное задание функции h:
1) «, = A011), «, = A001),
h(x2, xz, xj = f(g(x3, xt), x2);
2) a, = A011), ^=A001),
h(&)=f{zv x.2)\/ g{x.A, xj;
3) 4, = A000), «,= @111),
h(x*) — f(xv x2)&g(x3, xt).
2.5. Пусть vx — число, двоичное разложение ко-
которого есть набор (хг, х2), a v2 — число, двоичное раз-
24

ложение которого есть (х3, xt). Пусть ft (я4) — i-й раз-
разряд двоичного разложения числа \vl—v2|, г=1, 2.
Построить прямоугольную таблицу П2 2 функций
А («•) и /2 (ж4).
2.6. 1) Функция / (х3) определяется следующим об-
образом: она равна 1 либо при хг=1, либо если перемен-
переменные х2 и х3 принимают разные значения, а значение
переменной х1 меньше значения переменной х3; в про-
противном случае функция обращается в нуль. Составить
таблицы Т (/) и П1> 2 (/) функции / (х3) и выписать на-
наборы множества Nf.
2) Функция / (ж4) задается так: она равна нулю
только на таких наборах a = (ax, a2, a3' а4),для которых
справедливо неранснство ах-|- а2 ^> а3+2а4. Построить
таблицу Т (/) и выписать наборы множества N. этой
функции.
2.7. Функция f (?") называется симметрической, если
f(xv Х2,..„ Жи) =/(#;,, Xit, ..., Ж<я) При Любой ПОДСТЭ-
/1 2 ... ге\
новко (; i i )*
1) Показать, что если / (ж") — симметрическая функ-
функция, то из равенства || а"|| = || р" | следует равенство
Р
)/(Р)
2) Найти число симмет1>ических функций в Р2 (Xя).
2.8. Пусть fix")—произвольная функция алгебры
логики (га^>1). Сопоставим ей симметрическую функцию
.5 (&, уа г/J, где т = 2л-1: 5 (й) = / (р'!), если
|aB>|| = v(p*). Доказать, что
«Ъ (^i, . . ., %\, Х2, ¦ • ¦, Xv . . ., Х{, . . ., Ж<? . . ., %„_!, %п-у хп)::==
2й-' рае г"~г рае а"-* рае г раза
= / (#j, х2, ..., ж,., ., ., 2;h_j, xn).
2.9. Выяснить, какие из нижеперечисленных выра-
выражений являются формулами над множеством логических
связок {~|, &, V> -*¦}'•
1) х-*у, 5) (х-*(у&Пх)));
2) (х&)-]у; 6) {x&y)~]z;
3) (*-^); 7)(Пя:-8).
4) (г/ - И);
2.10. Выяснить, сколькими способами можно рас-
расставить скобки в выражении А, чтобы всякий раз
25

Ш1.
получалась формула над множеством логических свя-
связок { "| , &., \/,->}, если:
1) А = ~}x-+ylkx; 5"
2) A=x&y&~]~\z\/x; j
3) A=x-+~~]y-^ztk~}x. 1
2.11. Сложностью формулы над множеством логи-
логических связок© назовем число связок в ней. Индукцией
по сложности формулы доказать, что в формуле
1) ненулевой сложности содержится хотя бы одна
пара скобок;
2) число левых скобок равно числу правых;
3) йот дг.ух связок, стоящих рядом;
4) нет двух символов переменных, стоящих рядом.
2.12. Индексом связки в формуле будем называть
разность между числом левых скобок, предшествующих
рассматриваемой связке в данной формуле, и числом
правых скобок, предшествующих этой связке. Дока-
Доказать, что всякая формула ненулевой сложности над
множеством { ~~], &, \/, ->}
1) содержит единственную связку индекса 1;
2) может быть единственным образом представлена
в одном из следующих видов: (П^)» (ЗД&'ЗЗ). С21\/33)>
(ЭД-*^), где 1 и Q3— формулы над множеством {~|,
2.13. Рассмотрим бесскобочную запись формул над
множеством связок { ~], &, \у, ->}, вместо ( ~]х),
(х&у), (x\J у) и {х-+ у) будем писать ~\ х, & ху, V Щ,
-* ху. Например, формула (("] х) -> (у V (ПЮ) будет
иметь вид-> ~1 x\Jy~\z. Доказать, что если каждую
из связок &, V» -*¦ оценить числом +1, каждый символ
переменной — числом —1, а связку ~~| — нулем, то
в бесскобочной записи выражение А будет формулой
тогда и только тогда, когда сумма оценок всех вхожде-
вхождений символов в А равна —1 и в каждом начальном
отрезке выражения А эта сумма неотрицательна.
2.14. Выяснить, является ли выражение А форму-
формулой над множеством Ф, если:
1) л =/«>&«>(*, у), f*{x)), ф = {/B\ g™, <рш};
2) А=)х{^\ Ф = №», <ра)};
3) л=<рA)(/B)а. х)), ф = {/B\ <рA)};
4) A =g™ (9а), Г {х, у, О). Ф = {/(8), gli\ ?а)У,
5) 4 = (9«'(/«>(*, 9С1) (*)))). Ф = {/B). <РA)}.
26

2.15. Найти вектор 5 функции ср> реализуемой фор-
формулой ЭД над множеством Ф—{/{1\ /р), gm}, если
функциональным символам f[l\ f^\ g<2) сопоставлены
булевы функции, определяемые соответственно векто-
векторами A0), A011) и A000):
1) яЯ2> W1'*""(* №<]/))) у);
2) yL = gw(f[1)№)(x, У)), gB)(
3) 31 = Л1)(/^(а:, ?(а) (#>(*, У) Л»
2.16. Построить таблицы функций, реализуемых сле-
следующими формулами (над множеством связок в):
1) (х -> у) © ((У -» г) © (z -• ж));
2) (* v у) V (* • ^") I (* ~ г/);
3) j-*E~(;/©^z));
4) (((х \y)iz)\y)lz.
2.17. Формула над множеством б называется тожде-
тождественно истинной (тождественно ложной), если реали-
реализуемая ею функция равна 1 (соответственно нулю)
на всяком наборе значений переменных. Выяснить,
какие из нижеприводимых формул являются тожде-
тождественно истинными или тождественно ложными:
2) ((* @у)~г)(х-+ yz)\
3) ((*\/Ш(*Ф?))©(*-?
4) ((ж V У) z — ((* ~ z) © ?/)) (ж (уг)).
2.18. Экпипалситны ли формулы ^ и
2) <2I = (л:-{/)-• в, дЗ = а: —(у
3) <а = ((д: © у)-* (а; V у))((д->у)
4) <a = (a;-^y)V((*-^8)y), «23
2.19. Найти все функции, зависящие только от пере-
переменных из множества {х, у) и являющиеся суперпози-
суперпозициями над множеством Р:
1) /> = {в1фая. 1};
2) Р = {в1ваф(в1\/вя)};
3) Р = {/(и1( ия) = A101), ?(ulf и,, И3) =
= A0010110)}').
!) Здесь и и дальнейшем при векторном задании функций
вместо записи 5^=р будет употребляться вапись /» р,
27

2.20. Глубина формулы 51 над множеством Ф (обо-
(обозначение: с1ерф E1)) определяется но индукции:
(I) если 51 — символ переменной или 0-местный функ-
функциональный символ, то Aорф51 = 0;
(II) если <% = fm (%,..., 51Й), где /(ЙNФ> то
Найти формулу 51 над множеством {|}, имеющую
минимальную глубину и реализующую функцию:
1) f = x\/y; 2)f = x®y; 3)f = xy.
2.21. Выяснить, можно ли реализовать функцию /
формулой 51 глубины к над множеством связок S, когда:
I) f = xy, к = 2, S = {\);
) { }
2.22. Доказать, что функцию / нельзя реализовать
формулой над множеством связок S, когда:
I) f = x®y, S = {&};
2)f = x.y, 5 = {^};
3) f = x\/y, S^{~}.
2.23. Можно ли реализовать функцию / формулой
глубины к-\-1 над множеством 5, если она реализуема
формулой глубины к над тем же множеством S?
2.24. Функция / из Р2 реализуема формулой глу-
глубины к над множеством S. Показать, что функция /
может быть реализована над тем же множеством S
некоторой формулой, глубина которой больше к.
При оперировании с функциями алгебры логики
часто бывают полезными следующие эквивалентности
(которые в дальнейшем будут называться основными
жвивалентностями):
х О У = У О х (коммутативность связки О, где сим-
символ О является общим обозначением для связок &, \Д
Ф~ I IV
(я О у) О 2 = х О (у О z) (ассоциативность связки Oi
где О — общее обозначение для &, \/, 0, ~);
xiky = %\J у и x\Jy — X&y (правила де Моргана);
х\у (х &у) = х и х&(х\/ у) = х (правила поглощения);
х\/(х&у)=х\/у их&
28

x & (У V z) — (x & У) V (x & z) (дистрибутивность конъ-
конъюнкции относительно дизъюнкции);
х \J (у & z) = (х V у) & (ж V г) (дистрибутивность дизъ-
дизъюнкции относительно конъюнкции);
з;&((/фг)=(а;&(/)(В(а;&г) (дистрибутивность конъ-
конъюнкции относительно сложения по mod 2);
0 — x&z — x&0 = x(Bx;
\=х\/ % — х\/ \—х~х;
х -^ г/ = ((ж & у) ф х) ф 1.
2.25. П|)оворить, сираиодлины ли следующиз соот-
соотношения:
1) х v (г/ ~ z) = (x v г/) ~ (* V г);
2) а; -^ {у ~ z) = (ж -> у) ~ (ж -»¦ z);
3) a;&(y~z) = (a;&!/)~(x&z);
4) ж-1(у\/г) = (* —У) V(« —г);
5) x-*(y&z) = (x-+y)&(x-* z);
6) жф(г/-^г) = (а;ег/)-*(а;ег);
7) х-*(у —s)=s (*-*•?)-*(*-**).
2.26. Реализовать функцию / (ормулой над мно-
множеством связок S, если:
1)/=*-»у, 5={п, v};
2)f = x\/y, S = {-};
3) f = x~y, S={&, -^};
4)/ = х|у, 5={|}.
2.27. Используя основные эквивалентности, доказать
эквивалентность формул 21 и 03, когда:
) (
2) Ъ=(х
3) 01 = х -* (х & у -* ((х - у) -* у) & г),
<8 = у-*>(*—*).
2.28. Показать, что формула 01 эквивалентна фор-
формуле 'ЗЗ тогда и только тогда, когда тождественно
истинна ровно одна из формул
@1-* 93) —03, 21—С8—1B1—20).
29

2.29. Доказать, что формула 51, содержащая только
связку —, тождественно истинна тогда и только тогда,
когда любая переменная, содержащаяся в формуле 5(,
входит п нее четное число раз.
2.30. Через <?|51| обозначается формула, получаю-
получающаяся из формулы 51 одновременной заменой каждого
вхождения переменной х на формулу (L Если х не вхо-
входит и формулу 51, то (по определению) полагают
1) Доказать, что 51— тождественно истинная формула
тогда и только тогда, когда тождественно истинна фор-
формула Sf/r^251|, где ух н г/2 — какие-либо переменные, не
входящие "в формулу 51.
2) Можно ли в 1) отбросить услозие, что у1 и уа не
входят в формулу 51?
2.31. 1) Пусть функция f(x, у) из Р2 удовлетворяет
соотношению
Доказать, что тогда справедливы следующие эквивалент-
эквивалентности:
а) /(ж, x)=U
б) /(яг, /(г/, *)) = 1;
в) /(/(/(*. У). /(*. г)), /(*, /(г/, z))) = l;
г) /(/(*, у), /(/(*. /(г/. z)). /(*. *))) = i;
Д) /(/(«, /(г/, a)), f(y, fix, z))) = \.
2) Вытекают ли эквивалентности б), в) и г) из д)?
§ 3. Специальные виды формул. Дизъюнктивные
в коиъюнктивные нормальные формы. Полиномы
Формула хЬ & х]' & ... & х"г (формула х*л \J a:J» V ...
...V*#> где' 3*€{0. П. 4^'v x'k = xJ '*6
f {1, 2, . .., n} для всех А;=1, г, называется конъюнк-
конъюнкцией (соответственно дизъюнкцией) над множеством
п'ременных X"—{xv х.г,...,хп). Конъюнкция (дизъ-
(дизъюнкция) называется элементарной (сокращенно э. к.
и э. д. соответственно), если х =^xt при ]-фк. Сим-
Символы & в э. к. будут для краткости опускаться. Выра-
30

жения вида х°ъ будут называться буквами. Число букв
в э. к. (в э. д.) называется рангом э. к. (э. д.). Кон-
Константа 1 будет считаться э. к. нулевого ранга, а пуль —
э. д. нулевого ранга.
Формула вида
?2 = Kx\jK%\J ...\J К, A)
(краткая запись у К Л, где. К. (? = 1, s) — конъюнкции,
называется дизъюнктивной нормальной формой (сокра-
(сокращенно д. н. ф.).
Формула вида
(8 \
краткая запись & D. I, где D{ (? = 'l, s)—дизъюнкции,
называется конъюнктивной нормальной формой (со-
(сокращенно к. н. ф.). Число s называется длиной д. н. ф.
{длиной к. н. ф.). Сумма рангов конъюнкций (дизъюнк-
(дизъюнкций) называется сложностью д. н. ф. {сложностью
к. н. ф,). Дизъюнктивная нормальная форма (конъюнк-
(конъюнктивная нормальная форма) над множеством перемен-
переменных Х"={х1, х2, . . ., х„\ называется совершенной,
если она составлена из попарно различных элементар-
элементарных конъюнкций (элементарных дизъюнкций) ранга п.
Пусть / {?") — булева функция, и пусть 1 ^ ?х <
<С h "С • • > <С ije ^ п- Чсфоз /?¦;,'»• •¦а- '* {?¦") или иногда
через S'a\al'\ya'k' f';j {?") | будом обозначать фугшцню, полу-
полученную нз f {?") подстановкой па места переменных
х(, х., ..., х. соответственно констант з1( а2, . .., зк.
%нкция /*>• '»• •••> '* {?") называется х"лхЬ ... х'.х-компо-
нентой функции / {?") или подфункцией функции / {?").
Подфункция fiuj" ••„¦¦'* {?") называется собственной, если
k=jkn, k=/=0. Подфункции функции / {х") различны, если
они отличаются как функции переменных xv х2, ..., ха.
Пусть I ^ ix < га <С ... <С h ^ п> тогда справедливо
представление
где дизъюнкция берется но всем векторам (з1( а.2, ..., зк)
31

"ШВШ -Л
из Вк. При к = п это представление имеет вид
/ («-) = V *Г4' • • • *„""/ в, <*, • ¦., «v). D)
(•и"» °п)
Представление D) можно записать в виде
/(*¦)= V «?«;•...«;-. E)
Прапая часть формулы E) представляет собой совершен-
совершенную д. п. ф. функции /(?"). Аналогично, справедливы
продстанлсчши
4' V *!' V • • • V
Элементарная конъюнкция называется монотонной,
если она не содержит отрицаний переменных. Формула
P(F) = K1@Ki@...@Kt, (8)
где К4 (i=i, s) — попарно различные монотонные эле-
элементарные конъюнкции над множеством X", называется
полиномом Жегалкина или полиномом по модулю 2.
Наибольший из рангов элементарных конъюнкций,
входящих в полином, называется степенью этого по-
полинома. Число s называется длиной полинома (8).
При s=0 полагаем Р (?я)=0.
3.1. С помощью эквивалентных преобразований при-
привести к д. н. ф. формулу:
1) F=(x1\/xaTj(x1\/xay,
2) F = (fo V *а*Л) (fo V *«) -* WJ V *А) V
з) f=((^ -^ «^ (жЛ e «j) -^ *!««) v «i-
3.2. Представить в виде совершенной д. н. ф.
следующие функции:
1) f (х3) = (xt ® х2)-+х2х3;
2) /(^3) = @1101100),-
3) /(jt')^ A0001110).
3-3. С помощью преобразований вида 4=Л:с V^»
Л . ¦ i — /1 перчЧти от заданной д. н. ф. D(?3) к совер-
I!! п inn, (>c.'in:

2) D {x3) = Х& V «А
3) D{f)=xl\jxlx%\
3.4. С помощью соотношений вида x\/yz=(x\Ji/)(x\/z)
преобразовать д. н. ф. из предыдущей задачи в к. н. ф.
3.5. Построить совершенную к. н. ф. для каждой
из функций задачи 3.3.
3.6. Подсчитать число функций / (х"), для которых
совершенная к. н. ф. является одновременно и д. н. ф.
3.7. Найти длину совершенной д. н. ф. функции
2) /(*") = (*! V*» V .-¦ V*.)(*i V*. V ... V*J;
3) / (?) = (х, v *я V *„) («1V ^ V *3) е
Ф *4 ф *5 © • • • Ф *.•
3.8. Пусть множества Х" = {:г1, ж2 хп} и Fm=:
= {^1» J/2' ¦ • •> Ут) не пересекаются. Пусть совершенные
д. н. ф. функций / (х") и g (pm) имеют соответственно к
й I слагаемых. Найти длину совершенной д. н. ф. сле-
следующих функций:
1) / (х-) & ^ (Л; 2) / (гя) v * (Л; 3) / Г) © е (Л-
3.9. Выразить а^-, Хг- и ^Жд-компоненты функции / {?3)
с помощью д. н. ф. минимальной сложности для:
1) / (х3) = @1101101);
2) / (Я3) = (*!-»«») ФЗД
3) /(х8) = (х^г/3)Ф^
3.10. Среди функций, зависящих от переменных х1
и х2, найти те, которые имеют наибольшее число по-
попарно различных подфункций.
3.11. Подсчитать число булевых функций /(?"),
которые переходят в себя после перестановки ху и хг.
3.12. Две функции f (x"), g(x~n) перестановочно эквива-
эквивалентны, если существует перестановкам чисел 1,..., га,
такая, что /(хх x,) = g(x%a), ..., жя(я)). Найти число
классов перестановочно эквивалентных функций из Р2 (Xя).
3.13*. Функция f,,(xn) определяется рекуррентно сле-
следующими соотношениями:
Л («") = ^Л (хз V xi) V Ч (ХЛ V Ху*д V «АV*»
/я+1 (^+1) = /. (Ж1> % • •., *„) *«i V *й • • • ^А+1 (« > 4).
2 Г. П. Гаврялос, А. А, Сапоженко 33

Для каждой функции из последовательности {/„} найти
число различных подфункций вида /< (хп), i = \,п, з ? {0, 1},
никакие две из которых не являются перестановочно
эквивалентными.
3.14. Доказать, что число различных функций / (if),
для которых данная функция g (?к) является подфунк-
подфункцией, не меньше 22" — B2*— IJ"""* (?<».
3.15. Пусть /<(?") = /•(?") для всякого г A <;*<>).
Доказать, что / (?")— константа.
3.16. Найти число таких функций / (?"), что /?,¦> (?") =
= fi\J (?") для всех 1 <; i < / ^ п.
3.17. Пусть /г (?>') = f (gl (*«), .... gt_t (?»), gi (?"),
S^i E")> ••¦•en (?"))> « > 2, и при всяком i = 1, 2 re
и а ?• {0, 1} выполняется соотношение
Sih (?') | = / (S;gl (?")\, ..., Sigt.x (?% a, SigM (?')!, ...
•••"%„(*") |)'
т. е. что а^-комионеита суперпозиции функций /, gv .. .
• • •. Si-i' gi< guv • • м?„ Равна суперпозиции .^-компонент
функций /, gv ..., g-,._!, gJU gn. Пусть, кромо того,
для всех /, к A ^ /< к^.п) и любых Oj, ак из @, 1}
ж^а^.*-комноиента функции gt {?"") совпадает с
понентой той же самой функции gt(xn), i = l, п. Пока-
Показать, что h(x")—константа.
3.18. Найти число монотонных элементарных конъ-
конъюнкций ранга г над множеством X".
3.19. Найти число полиномов степени г над множе-
множеством переменных X".
3.20. Найти число различных полиномов длины к
над множеством X", обращающихся в нуль на наборах
б и 1. (Полипомы считаются различными, если они
различаются составом э. к.)
Примем следующую нумерацию монотонных элемен-
элементарных конъюнкций над множеством переменных X" =
= {2^, х.2,...,хп). Каждой монотонной э. к. К сопоста-
сопоставим вектор 3(K) = (zv j2, . . ,,ая) из В", в котором о< = 1
тогда и только тогда, когда xt входит в К. Номером э. к.
»
К будем называть число v C (К)) = 2 0,2""'. Константа 1
будет иметь в этой нумерации номер нуль. Таким обра-
34
1

зом, каждый полином Р(х") можно записать в виде
где й^ — э. к. с номером i(i = 0, 2"— 1). Вектор % =
— (Ро' Pi> • • ¦> P2»-i) будем называть вектором коэффициен
тов полинома Р (х").
Метод неопределенных коэффициентов для построе-
построения полинома Жегалкина, реализующего функцгю
/ (хп), состоит в следующем. Рассматривается полип: м
в виде (9) и для каждого 3.?В" составляется уравне-
уравнение / E) = Р (а). Решение этих уравнений дает коэф
ф Р (п
1 фицн
1 J!p
1 ^I? ГЗ 1
пт:.1 п )
> 1 м е р
'/@,
/@,
/A,
/A,
Находим ро
Ху —* X
ттинома /*
. /(«2)=.
0) = l=f
1) = 1 = (S
0) = 0 = р
1)=1=р
= Рг = Рз
хх ф а;^
(Л")
оФ
оФ
оФ
о©
= 1
Pi-
Px-
Px-
Pi-
P(x*) =
Оф P2
0фР2
СП/ г9
Pi = 0.
=p
• 0
• 0
• 1
1
0ФР15
ФРз-
ФРз-
ФРз-
ФРз-
Таким
Ч
0;
0;
0;
1.
образом,
3.21. Методом неопределенных коэффициентов
найти полиномы Жегалкина длн функций:
1) /(Ж2) = A001);
2) /(ж3) = @1101000);
3) /(Л8) =A1111000).
3.22. Введем операцию Т над векторами из В2". Если
в=1 и 2 = (а0, аа), то Г(а) = (а0, ao0aj). Пусть для
каждого 5 ? ?2" вектор Г (а) определен и вектор а из В2П+1
имеет вид a = ф0, $v ..., р^^, у0. Ti» • • •> T2»-i) и иУсть
( Ti T2»-i) = (?o. ei e2»-i).
Тогда T E) = (80> Si, ..., 8a»_lt 80 ф е0, 8Х 0 elf ..., 82»-i Ф
фем). Например, если а = A011), то Г (а) = A101).
Доказать, что вектор Э.^ значений функции / (х") связан
с вектором рр коэффициентоа полинома Р (х"), реализую-
реализующего функцию / {?'), следующим образом: a/=f(pi>)>
р
35

3.23. Для такой функции / (?4), что а/== A0110010
00101101), найти вектор рр коэффициентов полинома
Жегалкина.
Один из способов построения по-
полинома Жегалкина по формуле F состоит в следующем!
сначала строят эквивалентную формулу над множе-
множеством связок {&, — }, затем заменяют везде X на #ф1,
раскрывают скобки, пользуясь дистрибутивным зако-
законом {х@у) z=xz@yz, и приводят подобные члены.
Пример. х-*х2 = х~^—хг{х2@ 1) 0 1=хгх2ф
©^1© 1.
3.24. Построить полиномы для функций:
1) /(» & K
2)
3) () (, 2)V3) К
3.25. Всякую булеву функцию / можно записать
в виде полинома, используя обычные арифметические
операции умножения, сложения и вычитания. Для этого
достаточно выразить / через конъюнкцию и отрицание,
а затем заменить подформулы вида А на 1—А и раскрыть
скобки. Выразить с помощью арифметических опера-
операций следующие функции:
1) /(^
2)
3) /(х3) = A0000001).
3.26. Указать функцию / (х"), у которой длина поли-
полинома в 2" раз превосходит длину ее совершенной д. н. ф.
3.27. Доказать справедливость следующей формулы
р сложения по к переменным:
/(«") =
= 1 x\<xl> ... x%*f (alt я„ ..., ак, хк+1,..., xj.
3.28. Доказать, что:
1) / («-) = ж, (/1 (*») 0 /1 (х")) 0 /J
2) / (Л = (х, V (/J («") ~ П («"))) ~ /1 (*")•
3.29. Показать, что функция / (х"), реализуемая много-
многочленом степени А; ^> 0, обращается в 1 не менее чем на
2*~* векторах из В".
3.30. На скольких наборах из В" обращается в еди-
единицу полином Р (?"):

1) P(x")=xl...xk®xM...xn;
2) P (xn) = \®xl®x1x3@ ...@ xxx2 ...xn.
3.3*. Показать, что для всякого I (I ^ 2") существует
полином Р (?") длины, не большей, чем п, для которого
||
3.32. Доказать, что всякая функция / (?") может быть
s
представлена в виде /(#") = ]$) К{, где Kf (i = l, s) —
элементарные конъюнкции, содержащие не более одного
отрицания переменной, a s^2"~1.
3.33. Показать, что если в совершенной д. н. ф.
знак V везде заменить на знак 0, то получится фор-
формула, эквивалентная исходной. Справедливо ли ана-
аналогичное утверждение для произвольной д. н. ф.?
Производной булевой функции f(x") no совокупности
переменных X(it Х{2, ..., Xik (или булевой разностью) на-
называется функция
«?/(*") =f(xv ...,«<,..., x,k х ) 0
Ф/A. . *,» »*
(При к = \ применяется обозначение А
3.34. Доказать следующие свойства производной:
, d (df(x»)\ d (df($")\
L> dxj\ dx{ J~dx{\ dxj )'
J /
оч д (/ (У) ф g (Д»)) _ df (x«) dg (П
4) ж
(xn)
^ dx( dxt •
6) * =0 тогда и только тогда, когда х( не вхо-
входит явно в полином Жегалкина функции f {?");
37

7) если / (?") — xxg (х2, xs, ..., х„) 0 h {xv x3, ..., xj,
df Ix")
T° ~^T==?(a;2. X3,...,Xn).
3.35. Если g(xv...,xm) и h{xmW .. .,хв) — булевы
функции и 1 <J iy <J m для всех / = 1, к, то:
/ ~a~i Г"== "
^'(gV^) _E
ч\ д (g V Л
§ 4. Минимизация булевых функций
Допустимой конъюнкцией или импликантом функ-
функции / (?") называется такая элементарная конъюнкция
К над множеством переменных {хи х2, . . ., хп}, что
К V / (x")=f (xn). Импликант К функции / называется
простым импликантом, если после отбрасывания любой
буквы из К получается элементарная конъюнкция, не
являющаяся импликантом функции /. Дизъюнкция i
всех простых импликантов функции / называется '
сокращенной д. н. ф. функции /. I
Дизъюнктивная нормальная форма называется; ^
минимальной, если она имеет наименьшее число
букв среди всех эквивалентных ей д. н. ф.; d
кратчайшей, если она имеет наименьшую длину 1
среди всех эквивалентных ей д. н. ф.; |
тупиковой, если отбрасывание любого слагаемого f
или буквы приводит к неэквивалентной д. н. ф.; (
д. н. ф. функции /, если она реализует функцию /. /
Если элементарная конъюнкция К является импли- I
кантом функции/ (х"), то множество Nk таких векторов I
а из В", что К (а) = 1, образует грапь, содержащуюся *
в множестве N.. Эта грань называется интервалом i
функции f (хп), соответствующим импликанту К. Ин-
ткрвал функции /, не содержащийся ни в каком другом
интервале функции /, называется максимальным ин-
интервалом. Максимальные интервалы соответствуют
простым импликантам функции /.
38

I
I
4.1. Из заданного множества элементарных конъюнк-
конъюнкций q/?" выделить простые импликанты функции / (х"),
если:
1) <tf — {xlt хя, ххх2, x2xs), f (х3) = @0101111);
2) сЖ = (х13!2, х2хъ, xv хгх2х3), f(?3) = @1111110);
«) ОН- == \XV ^4' Х2рЯ* •^1^'2'*'3/>
/(ж4) =.A010111001011110).
Метод Блейка получения сокращенной
д. н. ф. из произвольной д. н. ф. состоит в применении
правил обобщенного склеивания хКх \J хК2=хКг V
\/хК2 \у К1К2 и поглощения К1 V К1К2=К1. Подразу-
Подразумевается, что праиила применяются слева направо.
На первом этапе производятся операции обобщенного
склеивания до тех пор, пока это возможно. На втором —
операции поглощения.
Пример. Получить сокращенную д. н. ф. для
В (ха)=х1х2 \/ хгх3 V х2х3.
После первого этапа получим
J?i = ЧХ2 V гА V хгхг V %2хг V хз V xixv
После второго —
t 4.2. С помощью метода Блейка построить сокра-
сокращенную д. н. ф. по заданной д. н. ф. ®fi\
( 1 ^
2) .^ =
3) @) =
Сокращенную д. н. ф. функции / (х"), заданной
в виде к. н. ф., можно получить следующим образом.
Сначала раскрыть скобки, пользуясь законом дистри-
бутивности, затем вычеркнуть из получившейся д. н. ф.
буквы и слагаемые, используя правила хх=0, хх=х,
Пример. Получить сокращенную д. н. ф. для
f(xs) = (x1\/x2)(x1\/x2\Jx3).
После раскрытия скобок имеем
^}1 = хххх V ххх2 \/ х^х% V хгхх V х2х2 V ^г^з-
Применяя указанные выше правила, получим
39

4.3. Построить сокращенную д. н. ф. по заданной
к. н. ф.:
1\ Лг \ / т \ / т\ 1т \ I v \ / f \ If \ / i> \.
) VI V 2 V 3/ V 1 V 2 V 3/ \ 2 V 3/J
2) (х, v х,) (х, v *з V *4) («1V *2 V *з);
3) К V *2 V «з) («1V *ч) (^ V *. V «О-
4.4. Пусть iV^ — множество таких векторов а ? В",
что /(а) = 1, a Iе (f) — длина сокращенной д. н. ф. функ-
функции /. Показать, что Г (/)<А| ЛЧ (I ^,1 + 1).
4.5. Найти длину сокращенной д. н. ф. следующих
функций:
х/ Л1 м7 ^г ^t/ • • • u7 *в1
I \Л1 V •''г V з/ \i V А11 V 3/ Ш ¦'j Ш •''б и? • • • tf •ся>
/ V^l V *2 V 3/ v^l V *l V 3/ ^Л4 м? •''б Ш • • • tO ^n)'
4^ ^ Д^ (X) X \ (x f-й (~й Ж \ \ <
<
4.6. Пусть / {?') такая, что Nf= (а: А; < |а|| < к -f m},
и A;<i<A; + m, аб5}г.
1) Найти число слагаемых сокращенной д. н. ф. функ-
функции /, которые обращаются в единицу на наборе а.
2) Показать, что длина сокращенной д. н. ф. функ-
х I~п\ I'п\(п — к\
ции f(x") равна ^J(, m J.
4.7. Пусть функции / (?") и g (ym) не имеют общих
переменных, К — простой импликант функции /, a L —
простой импликант функции g. Показать, что К & L —
простой импликант функции / & g.
Каждой элементарной конъюнкции над множеством
переменных {хъ х2, . . ., хп) взаимно однозначно со-
соответствует грань куба В", составленная из тех вершин
й, на которых э. к. обращается в единицу. Это позво-
позволяет строить сокращенную д. н. ф., исходя из геометри-
геометрического изображения булевой функции. На кубе В"
отмечаются вершины множества N * функции /. Выпи-
сываются грани, содержащиеся в Nf и не содержа-
содержащиеся в других гранях, составленных из вершин мно-
множества Nf. Каждой из полученных граней сопостав-
сопоставляется простой импликант.
40

Пример. Пусть функция / (х3) задана вектором
5 =A1111000). Требуется найти ее сокращенную д. н. ф.
Решение. Множество N. есть {@00), @01),
@10), @11), A00)}. Грани имеют вид g1={{000), @01),
@10), @11)}, ?, = {@00), A00)}. Грани gx соответствует
э. к. ж1( а грани g2 — х^х\. Сокращенная д. н. ф. есть
гх \J x2x3 (см. рис. 2).
4.8. Построить сокращенную д. н. ф. функции / {5?):
1) /(я*) = A111100001001100);
2) / (?*) = @000001111111101);
3) /E*) = @001101111011011).
4.9. Подсчитать число функций / (?"),
для которых данная элементарная
конъюнкция ранга г является:
1) импликантом;
2) простым импликаитом.
4.10. Пусть ir (/) — число имиликан-
тов ранга г функции / (хп), a sr (/) — число простых им-
пликантов ранга г. Пусть Рп — множество булевых
функций переменных xv х2,..., хп;
011
Показать, что:
/ее»
2) sr (n) =
Для небольших значений п сокращенную д. н. ф.
функции / (?") можно находить с помощью прямоуголь-
прямоугольной таблицы (минимизирующей карты). Например,
пусть функция / (?4) задана с помощью табл. 5. Объеди-
Объединяя клетки, соответствующие единичным значениям
функции /, в максимальные интервалы, как показано
в табл. 5, и сопоставляя им э. к., получим сокращенную
д. н. ф.
v чч V ччч V адл-
41

ТАБЛИЦА 5
0 0
0 1
! !
/ 0
0
0
Ш
0
i /
0
0
i
1
. •
/';
i
t
0
,)
1 i
0
1
0
(/
0
0
0
4.11. Построить сокращенные д. н. ф. для функций,
8аданных следующими таблицами:
1) 2) 3)
\ «3
0 0
0 1
1 i
1 0
0
0
1
0
1
1
0
l
i
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
x, xX
0 0
0 1
l i
1 0
0
0
1
1
0
1
0
l
1
1
i
0
1
1
0
1
1
1
t
0
0
0
1
1
*l ^S \.
0 0
0 1
1 1
1 0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
i
0
1
1
1
0
0
1
1
0
Простой импликант называется ядровым, если уда-
удаление его из сокращенной д. н. ф. приводит к д. н. ф.,
которая не эквивалентна исходной. Для каждого
ядрового импликанта К существует такой набор зна-
значений переменных, который обращает К в единицу,
а остальные слагаемые сокращенной д. н. ф. — в нуль.
Такой набор называется собственным набором ядро-
ядрового импликанта.
4.12. Выделить из сокращенных д. н. ф. ядровые
имшшканты:
42

1) тххя v х,ч V хл V ода V хлхл V г1зд;
2) ж^^з V ^1^3 \/ х3ж4 \/ Х2х^ V ж^^з V «2*4 V «Л?
3) ж2.«, v 4xz V эд V жа V чч V «2^4 V ^л-
4.13. Показать, что число ядровых импликаптов про-
иззолыюй функции / (х") не превосходит 2"'1.
4.14. Найти число ядровых импликантов у функций
из задачи 4.5.
4.15. Найти число булевых функций f {х"), для кото-
которых з. к. хх .. . хг является ядровым импликантом.
4.16. Пусть К, Kv K2 — конъюнкции из сокращен-
сокращенной д. н. ф., а г, rv r2 — ранги этих конъюнкций. Пусть
К V Ki V Кч = Ki V К2- Показать, что r1 + ra>r + 2.
4.17. Построить всо туииконыо д. и. ф. следующих
функций:
1) /(?*) = @1И И10);
2) /(«*) = A110011000010101);
3) /(«*) = @110101111011110).
4.18. Подсчитать число тупиковых и минимальных
д. н. ф. у функций из задачи 4.5.
4.19. Показать, что число тупиковых д. н. ф.
у произвольной булевой функции / (?") не иревосхо-
Дит {)
4.20. Сколько тупиковых д. н. ф. у функции,
имеющей 2"'1 ядровых импликантоп?
4.21. Выяснить, являются ли тупиковыми, крат-
кратчайшими или минимальными следующие д. и. ф.:
1) ?$ = Xlx2\/х2;
2) §) = г3г4 V xAxi V ^Лхз>
3) §) = ххх2 V гд V х2х3хь V Ж2жз-
4.22. Пусть L {}) — сложность минимальной, а I {}) —
длина кратчайшей д. н. ф. функции /. Показать, что
L (/ (?")) ^ nl (/ (?")) для произвольной функции / {х").
4.23. Показать, что I (/ (?"))< 21. L (/ (ЛХ п2"'1
для всякой функции / (х").
4.24. Для скольких функций / (хп) справедливы соот-
соотношения:
2)
43

, 4.25. Привести пример числа к @ < к ^ тг2"), та-
такого, что не существует / (.г"), имеющей минимальную
д. н. ф. сложности к.
4.26. Для функций задачи 4.5 найти сложность
минимальных и длину кратчайших д. н. ф.
4.27. Рассмотрим семейство поисковых функций,
т. е. функций / (хп), для которых существуют числа к
и т, такие, что
Nf—{S.: *<|S|<* + /n}.
1) Каково число ядровых имплпкантов у пояско-
вой функции / (х") при различных к и ml
2) На скольких поясковых функциях / (хп) дости-
достигается максимум числа ядровых импликантов?
4.28. Функция / (х") называется цепной (цикличе-
(циклической), если множество Nj можно расположить в после-
последовательность, являющуюся 2-цепью (соответственно
2-циклом).
1) Найти число тупиковых и минимальных д. н. ф.
цепной функции } (х"), если \Nf]=l.
2) То же для циклической функции / (х"), такой,
что \Nf\=2m (m > 2).
§ 5. Существенные и фиктивные переменные
Переменная xi функции f(xv x2,...,xn) называется
существенной, если найдутся такие наборы аир, что
а = (а1, ..., «<_1, 1, а,.+1, . .., ая), р = (а1, ..., a.f_v О,
а,-+1, ..., а„) и / (а) =т^ /(Р)- В противном случае перемен-
переменная xi называется фиктивной (несущественной) перемен-
переменной функции / (х"). Дне функции / (х") и g (x") назы-
называются равными, если множества их существенных
церемонных совпадают и на любых двух наборах, разли-
различающихся, быть может, только значениями несуществен-
несущественных церемонных, значения функций одинаковы. Пусть
1 ^i^ h^ • • • <Ci'k^n- Будем говорить, что функ-
функция <f(xv ..., х(г.ъ х, xii+1, ..., avi, xtl+i, ..., ?,>-i,
Xtk+1, ..., хп) получается из f (x") путем отождествления
переменных xix, х,-2, ..., х{]с, если <у получается из / путем
подстановки х на места переменных x(l, xi%, ..., xik.
В качество х может быть взята любая переменная, не
принадлежащая множеству Х"/(х^, х^, ..., xik}.
44

5.1. Показать, что утверждение «ж, является суще-
существенной переменной функции / (?")» равносильно каждому
из следующих утверждений:
2) существуют переменные xfl,.,., xik (ij^i, j = 1,
и константы ov ...,ak, такие, что функция /^'•••'^ (
существенно зависит от х..
5.2. Перечислить существенные переменные следую-
следующих функций:
1) / (я8) = (*!->(*! v*i))-**,;
2) /(Ля) = (ж1\/*а)->«а;
3) / («*)=fo v *2 V *a V ?А) *«;
4) / (х3) = & V *а V *3) & V Я, V *з) («i V «а V
5.3. Показать, что хг является фиктивной перемен-
переменной функции / (выразив / формулой, в которую хх не
входит явно):
1) /B) @)(|)
2) / {&) — (((^з -* «,) V *i) («2 — ^i) *А) Ф жз;
3) / (х2) = (К V *г) (*i V «О - («i ~* х&)) Ч-
5.4. Указать фиктивные переменные функции /:
1) / (х9) = A1110000);
2) / (х2) = @0110011);
3) f{&) = @0111100).
5.5. Пусть функция / (х") задана вектором а^ = (а0,
саг, ..., <x2»-i). Доказать, что если хЛ является фиктивной
переменной, то а.. = а2»>-*+< для всех ? из отрезка
[s2"-*+1, Be + 1) 2*-* — 1], * = 0, 2* —1.
5.6. Показать, что если среди переменных функции
f(x"), n^l, имеются фиктивные, то функция прини-
принимает значение 1 на четном числе наборов. Верно ли
обратное утверждение?
5.7. Пусть функция / (?") такова, что \Nf\ = 2m {21 — 1).
Каково максимально возможное число фиктивных пере-
переменных у функции /?
5.8. Опираясь на результаты задач 5.5 и 5.6, вы-
выяснить, от каких переменных функция / зависит су-
существенно.
1) /(х4) = A011100111001010);
2) / (Ж4) = @011110011000011);
45

3) / (Я*) = @111011101110111);
4) /(«*) = @101111100001010).
5.9. Для каждой функции из задачи 5.8 построить
равную ей и зависящую существенно от всех своих
переменных.
5.10. Выяснить, для каких п (п ^ 2) зависят су-
существенно от всех своих переменных следующие функ-
функции:
1) f(^!)=(x1\yX2)@(x2\/xs)®... e(*„_! v*ge
2)/(
3)/(
4) /(
5)/(
f!) = (x1-* x2){x2^.
x*) = (.. .((a^ | x2) J
x ) = (xx —*¦ x2) (x2 —f
x«)=( V
>xj
->
-*
®(x2^
\.'.'.Tx
(% 1 fe
• • • (xn-:
(хг@х
x(xt ..
•''З/ К^З ^ Jj2)\Xj
| (x91 ... | х„) ..
1 -* Xn) (X« ~* <
2 © • • • © Х„ ©
. Xi, \&
...
0);
>-*
i);
V «< а • • • *<[в/2л -* (*1 е *2 е •
5.11. Пусть функции / (хп) и g' (у) существенно
зависят от всех своих переменных, а переменные xv ...
..., хп, yv . .., ут попарно различны. Показать, что функ-
функция f(xv..., xn_v g (yv ..., ym)) существенно зависит
от всех своих переменных.
5.12. Пусть Р° (X") — множество всех функций ал-
алгебры логики, зависящих от переменных xv x2,...,xn
и притом существенно.
1) Перечислить все функции из Р° (X2).
2) Найти число | Ра (X3) |.
3) Показать, что | Рс (Xя) I = 2 (—1)* (l) 22"~k'
4) Показать, что lim 2B| Р° (Xя) | = 1.
5.13. Пусть а, р, у — такие наборы из В", что
й ^ р ^ у, и пусть функция / (х") такова, что / E?) =
= /(у)=?/(р). Показать, что / (х") зависит существенно
не менее чем от двух переменных.
5.14*. Показать, что xi является существенной
переменной функции / тогда и только тогда, когда эта
46

переменная явно входит в сокращенную д. н. ф. функ-
функции /.
5.15. Показать, что х. является существенной пере-
переменной функции / тогда и только тогда, когда х{ явно
входит в полином Жегалкина функции /.
5.16. Пусть -т- LxLl г- = 0 для любого непу-
0 (**, xik< xi)
стого множества {х^, ..., х/к} переменных, отличных
от Xj. Верно ли, что / {?"} фиктивно зависит от Xj?
5.17. Показать, что всякая симметрическая функ-
функция / (хп), отличная от константы, существенно зависит
от всех своих переменных.
5.18. Пусть п nepimniax цепи 5?, рх %-v f»
соединяющей TaKiro иоршины a, j куба В", что р (а, ^)==к,
функция f (хп) изменяет свое значение т раз. Пока-
Показать, что / (х") существенно зависит не менее чем от т
переменных.
5.19. Пусть / (х") существенно зависит не менее чем
от двух неременных. Показать, что существуют три
вершины а, р, f куба В", удовлетворяющие условиям
Р(а, р) = Р(р, ч) = 1, л^ч, /(а)=/(?)^,/(р).
5.20. Пусть / (х") существенно зависит от всех своих
переменных. Доказать, что для любого i (I ^ i ^ п)
найдется такое /, что при некоторой подстановке кон-
констант вместо переменных, отличных от х{ и Xj, полу-
получится функция, существенно зависящая от х{ п х^.
5.21. Доказать, что для всякой функции / (х"),
существенно зависящей от п переменных, найдется
такая переменная xi и такая константа а, что функция
fi(xn) = f(xv ..., xf_v а, xuv ...,х,) сущестиешш за-
зависит от п — 1 переменных.
5.22. Пусть / (х") существенно зависит от всех своих
переменных. Справедливы ли следующие утверждения?
1) Существует такое i, что для всякого j найдутся
константы, подставляя которые в / (?") на места пере-
переменных, отличных от х( и Xj, можно получить функцию,
существенно зависящую от х( и х,.
2) Для любых двух переменных х( и х, существуют
константы, подставляя которые в / (хп) на места пере-
переменных, отличных от х{ и х,, можно получить функцию,
существенно зависящую от х{ и хг
47

5.23. Перечислить функции из Р2 (X2), которые
могут быть получены отождествлением переменных
из следующих функций:
1) /(ж3) = A0010110);
2) / (х3) = A1111101);
3) /(f) = v2VV3VVi;
4) / (х3) = х±х2х3 © х2х3 © х3хг © х2 © 1.
5.24. Показать, что из функции / (х") можно с по-
помощью операции отождествления получить константу
тогда и только тогда, когда / @)=/ A).
5.25. Найти число функций / (х2), из которых ото-
отождествлением переменных нельзя получить функцию,
существенно зависящую от одной переменной.
5.26. Можно ли из симметрической функции / (х")
с помощью операции отождествления получить функ-
функцию, существенно зависящую от всех своих перемен-
переменных и не являющуюся симметрической?
5.27. Пусть а, р, у — три такие вершины из В",
что a<p<f. а /(ж") такая, что / E)=/(f) =^=/(Р).
Показать, что можно отождествить некоторые перемен-
ные функции / так, что в результате получится функ-
функция, существенно зависящая не менее чем от двух и
не более чем от трех переменных.
5.28*. Показать, что у функции / (хп), п ^ 4, реа-
реализуемой полиномом Жегалкина степени не ниже 2,
можно найти две такие переменные, отождествление
которых уменьшает число существенных переменных
на единицу.
5.29. Перечислить все функции / (х3), существенно
зависящие от трех переменных, такие, что отождествле-
отождествление любых двух переменных приводит к функции,
существенно зависящей в точности от одной перемен-
переменной.
5.30. Пусть функция / (х") существенно зависит
от всех своих переменных и \N.\ >2"~1. Показать, что
при отождествлении любых двух ее переменных полу-
получается функция, не равная тождественно нулю.
5.31. Показать, что число функций / (xv x2, ..., хя+1),
из которых путем отождествления переменных можно
получить данную функцию g (xv x.2, ..., хп), ири п -*¦ оо
асимптотически равно «22".
48

5.32. Показать, что если / (хп) фиктивно зависит от
Х(, то отождествление этой переменной с любой другой
приводит к функции, существенно зависящей от тех же
переменных, что и / (хп).
5.33. Пусть я^1 и функции / (х") и g (х") таковы,
что \Nf®g\ = l. Показать, что для всякого ?=1,гапо
меньшей мере одна из функций / или g существенно
зависит от х(.
5.34. Показать, что если I N aj (x»i&/O' is") нечетно,
то функция у, полученная из / (Xя) отождествлением
переменных х{ и
j существенно зависит от п — 1
переменных.
5.35*. Пусть функция / (?") существенно зависит от
п переменных. Пусть vf{3) — число тех вершин р, для
которых / (а) ^= f (8) и р (а, В) = 1. Пусть v(f) = max vf (а).
_ аед"
1) Показать, что ] \jn [^ v (/) ^ п.
2) Указать функции g(xn) и h(x"), такие, что v(g) =
= Jv'«f, v(h) = n.

II(R{x)), система H (R (?)) (J {g{x)\ полнч в Pk, то класс
II (R (х)) является иредполным в Рк.
3.21. Пусть Rf(xn), l^i^s, — «-местные преди-
предикаты, определенные на множестве Ек. Положим R (х") =
= R1 (х*) & ... & Re (хп). Доказать, что р Н (R, (хп)) С
Cflffl (х")).
3.22*. Доказать, что в Рк при к ^ 3 множество
всех замкнутых классов, каждый из которых содержит
конечное чьего попарно неконгруентных функций,
является счетно-бесконечным.
3.23*. Доказать, что каждый замкнутый класс
в Рк имеет не более чем счетное множество предполных
в нем классов.
3.24*. Привести пример замкнутого класса в Рк,
содержащего бесконечно много попарно не конгруентных
функций и не имеющего предполных в нем классов.
3.25*. Выделить базис из полной в Рк системы А.
1) А = {к—1, /0 (х), Д (х), .... ]к_х (х), Х'у, х-*- у};
2) А = {х — 2, Jo (x), max (х, у), х -«- у2, х2 • у};
3) А = {~ж, min (x, у), х- у, х-\- у);
4) Л = {/с—1, х + 2, max (я, у), х-*-у};
5) Л ~{2, jo(x), х-\-уг, х*-*-у, x-yz).
3.26. Доказать, что в любом базисе, выделенном из
системы Россера—Туркетта, обязательно будет со-
содержаться хотя бы одна из функций Ji (х), 1 ^ i ^
^&—2, но не будет констант 0 и к—1.

Глава IV
ГРАФЫ И СЕТИ
§ 1. Основные понятия теории графов х)
Пусть V — конечное непустое множество, X —
некоторый набор пар элементов из V. В наборе X мо-
могут встречаться пары с одинаковыми элементами,
а также одинаковые пары. Множество V и набор X
определяют граф с кратными ребрами и петлями
(или, короче, псевдограф) G=(V, X). Элементы мно-
множества V называются вершинами, а элементы набора
X — ребрами псевдографа. Ребра вида (v, v) (v (« V)
называются петлями. Псевдограф без петель назы-
называется графом с кратными ребрами (или, короче,
мультиграфом). Если в наборе X ни одна пара не встре-
встречается более) одного раза, то мультиграф G—(V, X)
называется графом 2). Если пары в наборе X являются
упорядоченными, то граф называется ориентирован-
ориентированным. Ребра ориентированного графа часто называются
дугами. Если пары в наборе X являются неупорядочен-
неупорядоченными, то граф называется неориентированным графом
или просто графом. Если х=(и, и) — ребро графа,
то вершины и к и называются концами ребра х. Если
вершина v является концом ребра х, то говорят, что
v и х инцидентны. Вершины и и v графа G называются
*) Определения, даваемые ниже, совпадают пли близки
к тем, которые даны в разделе «Графы и сети» книги [10] или
в книге [33].
2) Ниже все определения даются для графов. Как правило,
эти определения очевидным образом переносятся на мультп-
графы п псевдографы. В тех случаях, когда различия в опреде-
определениях существенны, даются определения п для псевдографов.
101

смежными, если существует ребро графа G, соединяю-
соединяющее пин. Два ребра называются смежными, если они
имеют общую вершину. Степенью вершины v называется
число d (v) ребер графа, инцидентных вершине v.
В псевдографе степень вершины v равна общему числу
ребер, инцидентных этой вершине, сложенному с числом
петель, инцидентных ей. Вершина графа, имеющая
степень 0, называется изолированной, а вершина, имею-
имеющая степень 1, — висячей.
Последовательность
v&Vjxp, ... xn^vn (n > 2), A)
в которой чередуются вершины и ребра и при этом для
каждого i = l, п — 1 ребро х{ имеет вид (v(, vi+1), на-
называется маршрутом, соединяющим вершины vlt vn.
Число ребер в маршруте называется длиной маршрута.
Маршрутом длины нуль называется последователь-
последовательность, состоящая из единственной вершины. Маршрут,
в котором все ребра попарно различны, называется
цепью. Маршрут, в котором все вершины попарно раз-
различны, называется простой цепью. 'Маршрут A) на-
называется замкнутым, если v1=^vn. Замкнутый маршрут,
в котором все ребра попарно различны, называется
циклом. Цикл, в котором все вершины, кроме первой и
последней, попарно различны, называется простым
циклом. Граф называется свашщл, если для любых
двух его вершин существует цепь, соединяющая эти
вершины. Расстоянием между вершинами связного
графа называется длина кратчайшей цепи, связываю-
связывающей эти вершины. Диаметром связного графа назы-
называется расстояние между двумя наиболее удаленными
друг от друга вершинами. Диаметр графа G будет
обозначаться через D (G). Подграфом графа G назы-
называется граф, все вершины и ребра которого содержатся
среди вершин и ребер графа G. Подграф называется
собственным, если он отличен от самого графа. Компо-
Компонентой связности графа G называется его связный под-
подграф, не являющийся собственным подграфом никакого
другого связного подграфа графа G. Остовным назы-
называется подграф, содержащий все вершины графа.
Подграфом графа G=(V, X), порожденным подмно-
подмножеством U С! V, называется граф H=(U, Y), множе-
102

ство ребер которого состоит из тех и только тех ребер
графа G, оба конца которых лежат в U. Графы (псевдо-
(псевдографы) G—(V, X) и H=(U, У) изоморфны, если суще-
существуют такие два взаимно однозначных соответствия <pt
V ** U и <|>: X ¦** У, что для всякого ребра х=(и, v)
из X справедливо <|> (?)=(? (и), ср (v)). В случае графов
можно дать следующее определение. Графы G—(V, X)
и H—(U, У) изоморфны, если существует такое взаимно
однозначное отображение cpi V *> U, что (и, v) ? X
тогда и только тогда, когда (<р (и), <? (v)) ? У. Такое
отображение у называется изоморфным. Автоморфиз-
Автоморфизмом называется изоморфное отображение графа на себя.
Под операцией удаления вершины из графа G будет
пониматься операция, заключающаяся в удалении не-
некоторой вершины вместе с инцидентными ей ребрами.
Операция удаления ребра из графа G=(F, X) заключа-
заключается в удалении соответствующей пары из X. При этом,
если не оговорено противное, все вершины сохраняются.
Дополнение G графа G — это граф, в котором две вер-
вершины смежны тогда и тольно тогда, когда они несмежны
в G. Операция подразбиения ребра (и, v) в графе G=
5=(F, X) состоит в удаления из X ребра (и, v), добавле-
добавлении к V новой вершины w и добавлении к Х~\{(и, v)}
двух ребер (u, w) и (w, v). Граф G называется подраз-
подразбиением графа Н, если G может быть получен из Я
путем последовательного применения операции под-
подразбиения ребер. Графы G и Н гомеоморфны, если су-
существуют такие их подразбиения, которые изоморфны.
Пусть G={V, X) и H={U, Y) — два графа. Через
G@H будет обозначаться граф, называемый симметри-
симметрической разностью графов б и Я с множеством вершин
W=V\JU и множеством ребер Z=X@Y, состоящим
из тех и только тех ребер, которые входят ровно в одно
из множеств X или Y. Через GxH будет обозначаться
декартово произведение графов G=(V, X) и H=(U, У),
т. е. граф, вершинами которого являются пары вида
(и, и) (и (« V, и (« U) и в котором вершины (vx, и,)
и (и2, и2) смежны тогда и только тогда, когда смежна
хотя бы одна из пар vlf v2 (в графе G) или щ, щ
(в графе Н). Объединением графов G=(V, X) и Н=
=(U, У) называется граф E=(V \J U, X (J У).
Деревом называется связный граф без циклов. Граф
без циклов называется лесом. Полным называется граф,
103

в котором каждые две различные вершины соединены
ребром. Полный граф с п вершинами обозначается через
Кп. Пустым {вполне несвязным) называется граф без
ребер. Одновершинный граф без ребер называется
тривиальным. Двудольным называется граф, множе-
множество вертган которого можно разбить на два подмно-
подмножества (две доли) Vx и F2 таким образом, что каждое
ребро графа соединяет вершины из разных долей.
Двудольный граф с долями Fj и 72 и множеством ребер
X будет обозначаться через (Vu V2, X). Если каждая
вершина из Vx соединена ребром с каждой вершиной
из V2, то граф называется полным двудольным графом.
Полный двудольный граф (Vu V2, X), такой, что
| Vx | = nv | V21 = n2, обозначается через Kttlt Bj. Граф
называется k-связным, если при удалении любых к—1
его вершин получается связный граф, отличный от
тривиального. Вершина графа, удаление которой уве-
увеличивает число компонент связности, называется раз-
разделяющей или точкой сочленения. Граф называется
регулярным графом степени d, если все его вершины
имеют степень d. Регулярный граф степени 1 называется
паросочетанием. Регулярный граф степени 3 называется
кубическим, k-фактором графа называется его остовный
регулярный подграф степени к. Совершенным паро-
паросочетанием называется 1-фактор. Максимальным паро-
паросочетанием графа G называется паросочетание, содер-
содержащее наибольшее число ребер. Гамилътоновым цик-
циклом графа называется простой цикл, содержащий все
вершины графа. Гамилътоновой цепью называется про-
простая цепь, содержащая все вершины графа. Единич-
Единичным п-мерным кубом называется граф В", вершинами
которого являются булевы векторы длины п, а реб-
ребрами — одномерные грани (см. гл. I, § 1).
1.1. Показать, что для произвольного графа G = (V, X)
справедливо равенство 2\X\
1.2. Пусть ik (G) — число вершин степени к
в графе G. Найти число попарно неизоморфных гра-
графов G, у которых:
1) ц (G) = ц (G) = *4 (G) = 2,ik(G) = 0 при к ф 2, 3, 4;
2) ц (G) = i3 (G) = i4 (G) = 3, ik (G) = 0 при к ф 2, 3, 4.
104

1.3. Показать, что в любом графе, имеющем не
менее двух вершин, найдутся две вершины с одинако-
одинаковыми степенями.
1.4. Доказать, что для любого набора неотрица-
неотрицательных целых чисел (к0, kv ...), такого, что 2^< =
i
—2т, существует псевдограф с т ребрами, имеющий
для каждого i=0, 1, ... в точности к. вершин сте-
степени i.
1.5. Пусть d0 (G) — минимальная из степеней вершин
графа G, имеющего га вершин.
1) Доказать, что если do(G)~^ —^—, то граф связен.
2) Можно ли в предыдущем утверждении заменить
га —1 Г " — *"
~Т~ на L~2~
1.6. Доказать, что всякий замкнутый маршрут
нечетной длины содержит простой цикл. Верно ли ана-
аналогичное утверждение для маршрутов четной длины?
1.7. Показать, что связный граф с га вершинами
содержит не менее п—1 ребер.
1.8. Показать, что в графе с п вершинами и с ком-
компонентами связности число ребер не более -^ (п — с) X
X (га —с + 1).
1.9. Доказать, что всякий нетривиальный связный
граф содержит иершииу, не являющуюся разделяющей.
1.10. Докапать, что п снязном графе любые две
простые цепи максимальной длины имеют но крайней
мере одну общую вершину. Верно ли, что они всегда
имеют общее ребро?
1.11. Доказать, что если из связного графа удалить
произвольное ребро, содержащееся в некотором простом
цикле, то граф останется связным.
1.12. Показать, что если в графе с га вершинами
отсутствуют циклы нечетной длины и число ребер
(п —1\2 ,
превышает (—=— ) » то гРаФ связен.
1.13. Найти число рк (га), при котором любой га-вер-
га-вершинный граф, имеющий рк (га) циклов длины к, связен.
1.14. Пусть графы G и Н изоморфны. Показать, чтоз
1) для каждого d ^ 0 число вершин степени d
в графах G и Н одинаково;
105

2) для каждого I число простых циклов длины I
в графах G и Н одинаково.
1.15. Показать, что условия 1), 2) задачи 1.14 не-
недостаточны для того, чтобы графы G и Н были изо-
изоморфны.
1.16. Среди пар графов, представленных на рис. 3—
6, указать пары изоморфных и пары неизоморфных
графов. Ответ обосновать.
1.17. Пусть графы ОиЯ двухсвязны, имеют шесть
вершин и восемь ребер каждый. Граф G имеет ровно
две вершины степени 2, а граф Н имеет ровно четыре
вершины степени 3. Можно ли утверждать, что графы G
и Н
1) изоморфны; 2) не изоморфны.
1.18. Графы G и Н двухсвязны, имеют шесть вершин
и десять ребер каждый. Одна вершина в каждом из гра-
графов имеет степень d (I «^ d ^ 5), а остальные имеют
степень dx (dt < d). Показать, что графы G и Н изо-
изоморфны.
1.19. Показать, что в графе, не имеющем нетри-
нетривиальных автоморфизмов,
1) расстояние между любыми двумя вершинами сте-
степени 1 больше двух;
2) существует вершина степени 3 или выше.
•1.20. Каково число автоморфизмов графа, являю-
являющегося циклом длины р?
1.21. Построить граф без циклов, не имеющий не-
нетривиальных автоморфизмов и содержащий минимально
возможное число ребер.
1.22. Какое наименьшее число га(га>1) вершин может
быть у графа, не имеющего нетривиальных автоморфиз-
автоморфизмов?
1.23. Пусть в двухсвязном графе с шестью верши-
вершинами и девятью ребрами степени всех вершин одина-
одинаковы, а число простых циклов длины 3 равно двум.
Восстановить граф. Найти число его автоморфизмов.
1.24. Пусть О (v) — множество всех вершин, смеж-
смежных с и, а О' (и)=О (v)\J{v}. Пусть Rn — множество
всех графов Gen вершинами, обладающих следующими
свойствами: для любых двух несмежных вершин и и у
либо О (v)QO (и), либо О (м)С0 (v), а для любых
смежных вершин и is. v либо O'(v)C.O'(u), либо
O'(u)(^O'(v). Доказать следующие утверждения:
106

О) 61
Рис. 3.
а) 61
Рис. 4.
6)
Рис. 5.
ю 61
Рис. 6.

1) В графе G из Rn вершины одной степени или все
попарно смежны, или все попарно несмежны.
2) В графе G из Rn существует хотя бы одна вершина
степени га—1.
3) Если для некоторого d вершины степени d по-
попарно смежны в графе G из Rn, то и вершины степени,
большей, чем d, также попарно смежны.
4) Граф G из Rn однозначно с точностью до изомор-
изоморфизма определяется заданием степеней вершин.
5) Удаление вершины из графа G?Rn приводит
к графу из Rn_v
1.25. Пусть п ^ 2, и пусть задано семейство F (G) =
= {Я1, Н2, . . ., Нп} графов, в котором граф Hi получен
из га-вершинного графа G удалением вершины с номе-
номером i (j = l, га). Отметим, что в графах Н( вершины не
помечены. Доказать, что по семейству F (G) можно
1) найти число ребер графа G;
2) найти для каждого Hf степень той вершины,
удалением которой из G получен граф Н{;
3) определить для произвольного графа L, имеющего
не более п—1 вершин, является ли он подграфом
графа G;
4) определить, является ли граф G связным;
5) восстановить граф G, если он не является связным.
1.26. Пусть D (G) — диаметр графа G, a G — граф,
дополнительный к G. Показать, что D (G) ^ 3, если
граф G несвязен или если D (G) ^ 3.
1.27. Граф G называется самодополнительным, если
графы G и G изоморфны.
1) Найти самодополнительный граф с наименьшим
числом вершин.
2) Показать, что самодополнительный граф связен.
3) Показать, что если G — самодополнительный
граф, то 2 < D (G)< 3.
1.28. Сколько существует попарно неизоморфных
графов с 20 вершинами и 188 ребрами?
1.29. Показать, что если графы G и Н гомео-
морфны, то:
1) для каждого d^=2 число вершин степени d в обоих
графах одинаково;
2) существует взаимно однозначное отображение
множества простых циклов графа G на множество про-
108

стых циклов графа Н, при котором число вершин сте-
степени d в соответствующих циклах одинаково для всех
1.30. Установить, существуют ли в графах, изо-
изображенных на рис. 7, подграфы, гомеоморфные графу G,
1) G=Kt (см. рис. 8, а);
2) G=K5 (см. рис. 8, б);
3) G=K3> з (см. рис. 8, в).}
1.31. Операция надразбиения заключается в замене
двух смежных ребер (и, v) и {v, w), общая вершина v
которых имеет степень 2, одним ребром (и, w). Применяя
д)
X
б)
Рис. 8.
шаг за шагом операцию надразбиения, можно получить
из произвольного графа G, содержащего вершины сте-
степени 2, псевдограф, не содержащий вершин степени 2.
Этот псевдограф будет называться полным надразбие-
нием графа G.
1) Показать, что полное надразбиение графа G
не зависит от того, в каком порядке применялась опера-
операция надразбиения к парам смежных ребер графа G.
2) Показать, что графы G и Н гомеоморфны тогда
и только тогда, когда их полные надразбиения изо-
изоморфны (как псевдографы).
1.32. Доказать, что в графе Петерсена (рис. 7, а)
нет гамильтонова цикла, но в графе, полученном из
109

него удалеппем одпой вершины, имеется гамильтонов
цикл.
1.33. Доказать, что в каждом из графов Кп, Кт я, В"
имеется гамильтонов цикл.
1.34. Пусть п нечетно, Впк —подмножество вершин
куба В", состоящее из вершин веса к. Пусть G — под-
подграф куба В", порожденный множеством 5^
1) Существует ли в графе G совершенное паросоче-
тание?
2) Существует ли в графе G гамильтонов цикл?
1.35. В графе G имеется гамильтонов цикл, а в
графе Н — гамильтонова цепь. Верно ли, что в гра-
графе GXH существует гамильтонов цикл?
1.36. Доказать, что если для любых двух вершин и
и v связного w-вершинного графа выполняется d (м)+
+d (v) ^ я, то граф имеет гамильтонов цикл.
1.37. Показать, что любой граф с п вершинами,
имеющий не менее (п~~ J-f-2 ребер, имеет гамильто-
гамильтонов цикл.
1.38. Показать, что граф, у которого имеются две
несмежные вершины третьей степени, а остальные вер-
вершины имеют степень, не большую, чем 2, не обладает
гамильтоновым циклом.
1.39. 1) Показать, что D (GXH) < D (G)+D (Я).
2) Верно ли, что D (GX#) < max {D (G), D (Я)}?
1.40*. Доказать, что каждый регулярный связный
граф степени 2d представим в виде объединения непере-
непересекающихся 2-факторов.
1.41*. Показать, что граф К2п представим в виде
объединения некоторого 1-фактора и п—1 гамильтоно-
вых циклов.
1.42. Показать, что граф К2п+1 можно представить
в виде объединения п гамильтоновых циклов.
1.43. Показать, что в графе Кп с нумерованными
вершинами имеется -—„ ¦ различных гамильтоновых
циклов.
1.44. Показать, что число различных совершенных
паросочетаний графа К2п с нумерованными вершинами
Bв) I
раВН0 2»пТ'

§ 2. Планарпость, связность, числовые
характеристики графов
Граф называется планарным, если он может быть
нарисован на плоскости так, что дуги кривых, изобра-
изображающие ребра, пересекаются лишь в точках, соответ-
соответствующих вершинам графа; причем в любой точке
пересечения сходятся только дуги, сопоставленные
ребрам, инцидентным именно той вершине, которой
соответствует данная точка. Такая геометрическая фи-
фигура, являющаяся изображением пленарного графа,
называется плоским графом. Внутренней гранью пло-
плоского связного графа называется конечная область
плоскости, ограниченная замкнутым маршрутом и не
содержащая внутри себя ни вершин, ни ребер графа.
Маршрут, ограничивающий грань, называется грани-
границей грани. Часть плоскости, состоящая из точек, не
принадлежащих ни графу и ни одной из его внутрен-
внутренних граней, называется внешней гранью. Для двухсвяз-
двухсвязных плоских графов (мультиграфов), имеющих п вер-
вершин, т ребер и г граней, выполняется формула Эйлера
п—т+г—2. Справедлив следующий критерий планар-
ности.
Теорема (Понтрягип—Куратовский). Граф пла-
нарен тогда и только тогда, когда он не содержит
подграфов, гомеоморфных графам Кь и К3 3 (рис. 8, б, в).
Толщиной графа G называется наименьшее число
t (G) его пленарных подграфов, объединение которых
равно G. Каждому нетривиальному связному плоскому
псевдографу G можно сопоставить двойственный псевдо-
псевдограф G* следующим образом. Внутри каждой грани
псевдографа G выбирается по вершине графа G*. Если
х — ребро графа G, лежащее на границе граней gx и g2,
a vt и v2 — вершины псевдографа G*, взятые в этих
гранях, то вершины vx и ь>2 соединяются ребром в G*.
Плоский псевдограф (граф), изоморфный своему двой-
двойственному псевдографу, называется самодвойственным.
Циклы Zy, Z2, . . ., Zk графа G называются линейно за-
зависимыми, если для некоторых ilt i2, . . ., is A ^
^s h <C h <C • • • <C К ^ ^) выполняется соотношение
Zh Ф zi2 Ф • • • © zi, = °> гДе ° — гРаФ без Ребер,
Z ф Y — симметрическая разность графов Z и Y. В про-
противном случае циклы Zlf Z2, . .., Zk называются линейно
111

независимыми. Наибольшее число Е (G) циклов в сово-
совокупности линейно независимых циклов графа G назы-
называется цикломатическим числом графа G. Раскраска
вершин (ребер) графа называется правильной, если
смежные вершины (ребра) окрашены в разные цвета.
Наименьшее число х(^)> Для которого существует
правильная раскраска вершин графа G, называется
хроматическим числом графа G. Наименьшее число
х' (G), для которого существует правильная раскраска
ребер графа G, называется реберным хроматическим
числом графа G. Подмножество U вершин (ребер) на-
называется покрытием множества вершин (или ребер)
а)
Рис. 9.
графа G, если каждая вершина (каждое ребро) графа
либо совпадает с некоторым элементом множества U,
либо смежна с некоторым элементом из U (соответ-
(соответственно инцидентно некоторому элементу из U). Покры-
Покрытие называется тупиковым, если после отбрасывания
любого элемента оно перестает быть покрытием. Мини-
Минимальная мощность такого подмножества U вершин
графа G, что всякое ребро графа инцидентно хотя бы
одной вершине из U, обозначается через а0 (G) и назы-
называется числом вершинного покрытия. Минимальная
мощность подмножества Y ребер графа G, такого, что
каждая вершина графа инцидентна хотя бы одному
ребру из Y, обозначается через ол (G) и называется
числом реберного покрытия графа G. Множество
вершин (ребер) графа G называется независимым, если
никакие два его элемента несмежны. Через |30 (G) (со-
(соответственно рх (G)) обозначается максимальная мощ-
мощность независимого множества вершин (ребер) графа G.
Число р0 (G) (число Pi (G)) называется вершинным
(реберным) числом независимости графа G. Через oq0 (G)
обозначается минимальная мощность такого подмно-
подмножества вершин U, что каждая вершина графа G, не вхо-
входящая в U, смежна хотя бы с одной вершиной из U.
i
112

2.1. Являются л» плоскими графы, изображенные
на рис. 6, а, б, 7, а, б, в?
2.2. При каких п ^ 2 графы, изображенные на
рис. 9, а, б, являются плоскими?
2.3. Пусть Gn==(Vl, V2, X) — двудольный граф,
V1 = {av а,, .... в.},
V*={bv b2 К),
X- == \XV #2> • • •> Xn< У'l> Учу • • •> Vn> ZV Z2' • • •> Z»}>
где
( = 1, n;
-1> У„ = (а„' W)\
), i = l, ra —2,
Определить, при каких п > 2 граф GB является
плоским.
2.4. 1) Какое минимальное число ребер необходимо
удалить из куба ?4, чтобы полученный граф был пло-
плоским?
2) Какое минимальное число вершин нужно удалить
из 2?4, чтобы полученный граф был плоским?
2.5*. Пусть G — двухсвязный плоский граф, обла-
обладающий не менее чем двумя внутренними гранями.
Доказать, что существует такая простая цепь, принад-
принадлежащая границе внешней грани, удаление которой
приводит к двухсвязному плоскому графу с меньшим
числом граней.
Примечание. При удалении цепи удаляются
все ее ребра и внутренние вершины, а концевые вершины
цепи остаются в графе.
2.6. Используя результат задачи 2.5, доказать
по индукции, что в плоском двухсвязном графе с п вер-
вершинами и т ребрами число внутренних граней равно
т—га+1.
2.7. Доказать индукцией по числу ребер, что цик-
ломатическое число ? (G) псевдографа с п верши-
вершинами, т ребрами и с компонентами связности равно
т—га+с
ИЗ

2.8. Для графов, изображенных на рис. 5, а, 6, а,
7, а, найти дипломатическое число I (G) и выделить
систему из Б (G) линейно независимых циклов.
2.9. Доказать, что в любом планарном графе суще-
существует вершина степени, не большей, чем 5.
2.10. Доказать, что в любом планарном графе,
имеющем не менее четырех вершин, найдутся по мень-
меньшей мере четыре вершины степени не выше 5.
2.11. Доказать, что если у связного планарного
графа с п вершинами и т ребрами каждый простой цикл
содержит не менее к ребер, то т <Г " ~ .
2.12. Плоский связный граф, каждая грань кото-
которого, включая и внешнюю, ограничена циклом длины
три, называется триангуляцией.
Показать, что всякая триангуляция сп^З верши-
вершинами имеет Ъп—6 ребер и 2п—4 граней.
2.13. Пусть t (G) — толщина графа G. Показать, что:
3)
2.14*. Используя формулу Эйлера, доказать, что
графы К3> з и КЛ не являются планарными.
2.15*. Доказать, что из двухсвязного графа с цикло-
матическим числом I (I > 1) путем удаления цепи
можно получить двухсвязный граф с цикломатическим
числом, равным I—1.
2.16. Построить граф, двойственный к графу, изо-
изображенному на рис. 5, а.
2.17. Показать, что псевдограф, двойственный к связ-
связному плоскому графу, является связным и плоским.
2.18. Показать, что цикломатическое число двой-
двойственного графа совпадает с цикломатическим числом
исходного графа.
2.19. Показать, что если G имеет разделяющую
вершину, то и G* имеет разделяющую вершину.
2.20. Показать, что псевдограф G*, двойственный
к трехсвязному плоскому графу G, не имеет петель
и кратных ребер.
НА

2.21. Сколько существует попарно неизоморфных
самодвойственных плоских двухсвязных графов с шестью
вершинами?
2.22. Показать, что не существует шестисвязных
пленарных графов.
2.23. Показать, что граф, двойственный к и-вер-
шинной (п >• 3) триангуляции, является двухсвязным
плоским кубическим графом.
2.24. 1) Показать, что плоский кубический граф,
каждая грань которого имеет не менее пяти вершин,
содержит не менее двенадцати вершин.
2) Показать, что если г{ — число граней плоского
кубического графа, ограниченных i ребрами, то
2 F-<)/•< =12.
2.25. Найти хроматические числа графов, представ-
представленных на рис. 4—8.
2.26. Найти реберные хроматические члсла графов,
представленных на рис. 3—7.
2.27. Найти хроматическое и реберное хроматиче-
хроматическое число
1) графа Кп;
2) графа Кп<п\
3) графа В".
2.28. Сколько существует правильных раскрасок
вершин куба Вп в минимальное число цветов?
2.29. Показать, что реберное хроматическое число
графа Петерсена, представленного на рис. 7, а, равно
четырем, но у любого его подграфа G с восемью верши-
вершинами х' (G) <^ 3. Верно ли неравенство %' (G) ^ 3 для
произвольного собственного подграфа графа Петерсева,
полученного после удаления одной вершины?
2.30. Показать, что для раскраски ребер всякого
кубического псевдографа достаточно четырех цветов.
2.31. Показать, что ребра плоского кубического
графа можно раскрасить в два цвета а и Ъ так, что каж-
каждая вершина будет инцидентна одному ребру цвета а
и двум ребрам цвета Ъ.
2.32. Доказать, что вершины всякого плоского
графа можно правильно окрасить в 6 цветов.
2.33. Доказать индукцией по числу вершин, что
для плоского графа G справедливо неравенство
(б)<5
115

2.34. Построить плоский граф G с минимальным чис-
числом вершин, такой, что ^(G) = 4.
2.35. Вершины графа G пронумерованы в порядке
возрастания их степеней. Доказать, что если к — наи-
наибольшее число, такое, что к ^ d (vk)-\-l, то j (G) ^ к.
2.36. Операция стягивания заключается в удалении
из графа двух его смежных вершин и добавлении новой
вершины, которая смежна с теми из оставшихся вер-
вершин, с которыми была смежна хотя бы одна из удален-
удаленных вершин. Показать, что граф, получающийся в ре-
результате применения операции стягивания к пленар-
пленарному графу, является планарным.
2.37. Пусть I — длина самой длинной простой цепи
в графе G. Показать, что / (G) ^ Z+1.
2.38. Пусть d — максимальная степень вершины
графа G. Показать, что:
)
2)
2.39. Пусть р — наибольшее число, для которого
в графе G существует подграф, изоморфный графу Кр.
Показать, что % (G) ^ р.
2.40. Показать, что для графа Gen вершинами
1) P0(G)-z(G)<»;
2) l{G)-l{G)>n.
2.41. Каково наименьшее п, при котором существует
и-вершинный неплоский граф с неплоским дополнением.
2.42. Найти толщину графа К8.
2.43. Доказать, что для произвольного связного
графа G с в (п > 1) вершинами
2.44. 1) Привести пример, опровергающий следую-
следующее утверждение: всякое вершинное покрытие содержит
минимальное вершинное покрытие.
2) Доказать, что всякое вершинное покрытие содер-
содержит тупиковое вершинное покрытие.
2.45. Найти число тупиковых и минимальных ребер-
реберных покрытий
1) цепи длины т;
2) цикла длины щ
3) графа Петерсена (рис. 7, а).
116

ii.46. Доказать, что для любого графа G справедливы
неравенства ot0 (G) > ^ (G), аг (G) > & (G).
2.47. Доказать, что для любого графа G выполня-
выполняется неравенство а00 (G) ^ а,, (G).
2.48. Доказать или опровергнуть неравенство
ft, (G) < а00 (G).
2.49. Пусть U<Z.V — некоторое подмножество вер-
вершин графа G=(V, X), a v (U) — число тех вершин
v(*V\U, которые несмежны ни с одной вершиной из U.
Пусть
OQV,\V\=k
1) Показать, что а00 (G) ^ ^+vfc (G).
2) Пусть d0 — минимальная из степеней вершин
графа G. Показать, что
3) Показать, что для регулярного графа G степени d,
имеющего п вершин,
2.50. Показать, что если d0 — минимальная из сте-
степеней вершин графа G, то an (G) J> d0.
2.51*. Если G — двудольный граф, а т — число
его ребер, то т ^ а0 (С) • ро (G). Показать, что равенство
достигается лишь для полных двудольных графов.
§ 3. Ориентированные графы
Ориентированный псевдограф D=D (V, X) опреде-
определяется заданием непустого (конечного) множества V
и набора X упорядоченных пар элементов из V. Эле-
Элементы множества V называются вершинами, а элементы
набора X — дугами (или ориентированными ребрами)
ориентированного псевдографа D (V, X). В наборе X
могут встречаться и пары вида (v, v), называемые пет-
петлями, и одинаковые пары, называемые кратными
(или параллельными) дугами. Пары (и, v) и (v, и) счи-
117

таются одинаковыми лишь в том случае, когда u=v.
Ориентированным мулыпиграфом называется ориенти-
ориентированный псевдограф, не содержащий петель. Если
в ориентированном псевдографе нет ни петель, ни крат-
кратных дуг, то он называется ориентированным графом
(или, короче, орграфом). Направленным графом назы-
называется такой орграф, который не имеет симметричных
пар ориентированных ребер, т. е. множество X не может
содержать одновременно и дугу (и, v), и противоположно
направленную дугу (v, и).
Пусть х=(и, v) — дуга ориентированного псевдо-
псевдографа. Тогда вершина и называется начальной вершиной
(или началом), a v — конечной вершиной (или концом)
дуги х\ в этом случае говорят также, что дуга х исходит
из вершины и и заходит в вершину v. Если вершина v
является началом или концом дуги х, то говорят, что v
и х инцидентны. Полустепенью исхода вершины v
(псевдографа D) называется число дуг псевдографа D,
исходящих из вершины v. Полустепень исхода вер-
вершины v обозначается через od (v) или d+ (v). Анало-
Аналогично, полустепенью захода вершины v (обозначение:
id (v) и d~ (v)) называется число дуг псевдографа, захо-
заходящих в вершину v.
Заменяя каждую упорядоченную пару (и, v) из на-
набора X ориентированного псевдографа D (V, X) неупо-
неупорядоченной парой {и, v}, состоящей из тех же элемен-
элементов и ж v, получаем ассоциированный с D (V, X) псевдо-
псевдограф G=(V, X°).
Ориентированные псевдографы Dx (V1, Хг) и
D* (F2, X2) называются изоморфными, если существуют
два таких взаимно однозначных соответствия <р: V± ** F2
и <J>: Xl <-> Х2, что для всякой дуги х=(и, v) ? X± спра-
справедливо соотношение <|> (х) = (<? (и), <р (v)). Изоморфное
отображение ориентированного псевдографа на себя
называется автоморфизмом псевдографа. Совокупность
всех автоморфизмов ориентированного псевдографа
образует группу относительно операции умножения
(последовательного выполнения) автоморфизмов. Эта
группа называется группой (автоморфизмов) ориенти-
ориентированного псевдографа.
Операции удаления вершины и дуги, а также поня-
понятия подграфа, остовного подграфа и порожденного
подграфа определяются для ориентированных псевдо-
118

графов подобно тому, как это делалось в случае неориен-
неориентированных псевдографов.
При определении ориентированных маршрута, зам-
замкнутого маршрута, цепи, цикла, простой цепи и про-
простого цикла требуется (в отличие от определения со-
соответствующих «неориентированных понятий»), чтобы
последовательность (вершин и дуг) vu хъ v2, х2, ...
. . ., ж„_2, vn_lt xn_v vn (n ^ 2) удовлетворяла условию:
каждая дуга х( A <^ i <^ п—1) имеет вид (v{, vH1),
т. е. вершина v4 является началом дуги х(, а вер-
вершина у,ч1 — концом. Считается, что ориентированный
(ц—у)-маршрут ориентирован от своей первой вер-
вершины и к своей последней вершине v. Длиной маршрута
называется число дуг в нем. Расстоянием р (и, и)
от вершины и до вершины v называется длина кратчай-
кратчайшего (и—1>)-маршрута. Ориентированный маршрут
часто называется путем, а ориентированный простой
цикл — контуром.
Ориентированная простая остовная цепь называется
гамилътоновым путем (гамилътоновой цепью). Гамилъ-
Гамилътоновым контуром называется остовный контур ориен-
ориентированного псевдографа. Если ориентированный псев-
псевдограф содержит гамильтонов контур, то сам псевдограф
тоже называется гамилътоновым.
Говорят, что вершина v ориентированного псевдо-
псевдографа достижима из вершины и, если в псевдографе
существует (и—р)-путь, т. е. путь, исходящий из вер-
вершины и и заходящий в вершину v.
Ориентированный псевдограф называется сильно
связным (или сильным), если любая вершина в нем до-
достижима из всякой другой его вершины. Ориентиро-
Ориентированный псевдограф называется односторонне связным
(или односторонним), если для любых двух вершин
по крайней мере одна достижима из другой. Ориенти-
Ориентированный псевдограф D (V, X) называется слабо связ-
связным (или слабым), если ассоциированный с ним псевдо-
псевдограф (V, Х°) является связным. Если ориентированный
псевдограф не является даже слабо связным, то он на-
вывается несвязным. Тривиальный орграф, состоящий
лишь из одной вершины, считается (по определению)
сильно связным.
Сильной компонентой орграфа D называется любой
его ориентированный подграф, являющийся сильным
119

орграфом и не содержащийся ни в каком другом сильно
связном ориентированном подграфе орграфа D. Ана-
Аналогично, односторонняя компонента представляет собой
максимальный односторонний подграф орграфа D,
а слабая компонента — максимальный слабый подграф.
Понятия сильной, односторонней и слабой компонент
естественным образом обобщаются и на случай ориен-
ориентированного псевдографа.
Пусть T={^ii S2, . . ., Sn} — множество всех силь-
сильных компонент орграфа D. Конденсацией D* орграфа D
называется такой орграф, у которого множеством вер-
вершин является у, а дуга (Sf, Sj) имеется в орграфе D*
тогда и только тогда, когда в орграфе D существует
хотя бы одна дуга, исходящая из некоторой вершины
компоненты S( и заходящая в какую-нибудь вершину
компоненты S,.
Если D=D (V, X) — орграф, то обратный к нему
орграф D' задастся тем жо множеством перший V и та-
таким множеством дуг X', что дуга (и, v) принадлежит X'
тогда и только тогда, когда дуга (и, и) принадле-
принадлежит X.
Вершина v орграфа D называется источником,
если из нее достижима любая другая вершина
орграфа D. Стоком орграфа D называется всякая его
вершина v, являющаяся источником в обратном
(к орграфу D) орграфе D'.
Пусть D — орграф, для которого ассоциированный
с ним граф является деревом. Тогда орграф D назы-
называется растущим деревом, если он имеет источник.
Ориентированный псевдограф называется полным, если
в нем любые две различные вершины соединены хотя бы
одной дугой.
Турниром называется полный направленный
граф.
Пусть D—n-вершинный орграф и его множество
вершин V={vlt v2, . . ., vn}. Матрицей смежности
орграфа D называется (пХп)-матрица А (?) = 11а,..||, у ко-
которой a{J=l, если дуга (vt, Vj) принадлежит орграфу D,
и a{j=0 — в противном случае. Предположим еще, что
множество всех дуг орграфа D тоже упорядочено:
Х=(хг, хг, . . ., хт). Матрицей инцидентности (или
матрицей инциденций) орграфа D называется (пХт)-
120

1)
матрица В (Z?) = 116^11, у которой
1, если вершина vt является концом дуги х,,
—1, если вершина vt является началом дуги х,,
О, если вершина и( не инцидентна дуге х,.
3.1. Опровергнуть утверждение: если полустепени
исхода и захода любой вершины орграфа—положитель-
орграфа—положительные и четные, то для каждой вершины орграфа найдется
контур, содержащий ее.
3.2. Пусть орграф D (V, X) является по крайней
мере слабо связным, V={v1, v2, . . ., vn}, n ^ 2, и
d+ (vj-d- fa) = l, d+ (v2)-d~ K) = -l, d* (»j)=dr (vj
при /=3, . . ., п. Доказать, что тогда в орграфе D су-
существует ориентированная (vt—уг)-цепь, содержащая
все дуги орграфа.
3.3. Доказать, что орграф сильно связен тогда
и только тогда, когда в нем существует ориентированный
остовный цикл.
3.4. Доказать, что слабый орграф является сильно
связным тогда и только тогда, когда в нем существует
ориентированный замкнутый маршрут, содержащий
каждую дугу орграфа хотя бы один раз.
3.5. Пусть орграф D можно представить в виде
объединения некоторых его ориентированных замкну-
замкнутых маршрутов ?>!, D2, . . ., Dk (/c^= 1), удовлетворяю-
удовлетворяющих условию: каждые два соседних маршрута D,
и D +1 A ^ j «^ к—1) имеют хотя бы одпу общую вер-
вершину. Доказать, что тогда орграф D сильно связен.
3.6. Доказать, что в любом турнире существует
гамильтонов путь.
3.7. Доказать, что турнир Т является сильным
орграфом тогда и только тогда, когда Т имеет остовный
контур (т. е. является гамильтоновым турниром).
3.8. Пусть {vv v2, ,.,, vn) — множество вершин тур-
п
нира. Доказать, что 2 (^
.=1 >i
3.9. Пусть у вершины v турнира Т полустепень
исхода пе меньше чем полустепень исхода каждой другой
вершины турнира. Доказать, что расстояние от вер-
вершины v до любой вершины турнира не превосходит 2.
3.10*. Обозначим через S некоторое множество дуг
турнира Т. Дуги множества S называются согласован-
согласованп
—2 (п — ^+ (у.)J*
i

ними, если можно так перенумеровать вершины тур-
турнира Т, что и» принадлежности дуги (vt, vj) множе-
множеству S будет вытекать неравенство i <[ /. Пусть / (п)
есть такое наибольшее целое число, что каждый га-вер-
шинный турнир (п ^ 3) содержит множество S, со-
состоящее из f (п) согласованных дуг. Доказать, что f()^
Г1 р + п
3.11*. Доказать, что число ориентированных цик-
циклов длины 3 в и-вершинном турнире не превосходит
п 2А~ » если п — нечетное,
t (п) = { . , ..
v ' и (и2 — 4)
2,—-, если га — четное.
3.12. Доказать, что группа автоморфизмов любого
турнира имеет нечетный порядок (т. е. состоит из не-
нечётного числа элементов).
3.13. Показать, что в конденсации D* произволь-
произвольного орграфа контуры отсутствуют.
3.14. Доказать, что орграф D является односторон-
односторонним тогда и только тогда, когда его конденсация D*
имеет единственную ориентированную остовную цепь.
3.15. Орграф D (V, X) называется транзитивным,
если из принадлежности дуг (и, v) и (v, w) множеству X
следует принадлежность множеству X дуги (и, w).
Доказать, что конденсация всякого турнира является
транзитивным турниром.
3.16. Бесконтурным орграфом называется орграф,
не содержащий контуров. Доказать, что в бесконтур-
бесконтурном орграфе существует вершина с нулевой полусте-
полустепенью исхода.
3.17. Доказать, что орграф изоморфен своей кон-
конденсации тогда и только тогда, когда он бесконтурный.
3.18. Пусть орграф D — слабо связный, но не одно-
односторонний. Доказать, что в D не существует такой вер-
вершины, удаление которой дает сильный орграф.
3.19. Доказать, что слабый орграф является расту-
растущим деревом тогда и только тогда, когда лишь одна
его вершина имеет нулевую полустепень захода, а полу-
полустепень захода любой из остальных вершин равна 1.
3.20. Пусть Sn — симметрическая группа подстано-
подстановок, действующая на множестве {1, 2, . . ., п], п ^ 2.
122

Рассмотрим произвольную совокупность Т транспози-
транспозиций из группы Sn. Множеству Т сопоставим орграф
D (V, Хт), у которого F={1, 2, . . ., п} и дуга (г, j) при-
принадлежит Хт только в том случае, когда i <[ / и транс-
транспозиция (ij) содержится в множестве Т. Доказать, что
множество Т образует базис в Sn (или, другими сло-
словами, множество Т есть неприводимая система образую-
образующих группы Sn) тогда и только тогда, когда орграф
D (V, Хт) является растущим деревом.
3.21. Доказать, что полный сильно связный орграф
является гамильтоновым.
3.22. Показать, что в полном орграфе существует
источник.
3.23. Убедиться в том, что любой транзитивный
турнир имеет единственный гамильтонов путь.
3.24. Доказать, что в каждом турнире число всех
различных гамильтоновых путей — нечетное.
3.25. Пусть полный сильно связный орграф имеет п
вершин (п ^ 3). Доказать, что, каково бы ни было к
C ^ к <^ п), для всякой вершины орграфа найдется
контур длины к, содержащий эту вершину.
3.26. Пусть D (V, X) — полный сильно связный
орграф, у которого \V\ ^ 4. Показать, что в орграфе D
существуют две различные вершины v± и v2, удовлетво-
удовлетворяющие условию: орграфы D± и ZJ, получающиеся
из орграфа D после удаления вершин иг и v% (соответ-
(соответственно), являются сильно связными.
3.27. Через А4 обозначается q-я степень матрицы
смежности A (D) = \\a(j\\ орграфа D. Доказать, что
(i, j)-u элемент аЭД матрицы А4 равен числу всех (v{—Vj)-
маршрутов длины q (в орграфе D).
3.28. Пусть В — матрица инциденций орграфа
D (V, X). Показать, что подмножество Хг дуг орграфа
D (XjC-X") порождает простой цикл (не обязательно
ориентированный) тогда и только тогда, когда множе-
множество соответствующих этим дугам столбцов (в матрице В)
является линейно зависимым, а всякое его собственное
подмножество таким свойством не обладает.
3.29. Доказать, что определитель всякой квадрат-
квадратной подматрицы матрицы инциденций В (D) орграфа D
равен либо 0, либо +1, либо —1.
3.30. Пусть В — матрица инциденций слабо свяв-
ного n-вершинного орграфа D и матрица Б получена
123

из В вычеркиванием любой (одной) строки. Доказать,
что существует взаимно однозначное соответствие между
различными 1) ориентированными деревьями орграфа D
(рассматриваемыми как ориентированные подграфы
орграфа D) и невырожденными подматрицами порядка
«—1 матрицы В.
3.31. Пусть матрица В — подматрица матрицы
инциденций В слабо связного орграфа D, описанная
в предыдущей задаче. Через Б' обозначается матрица,
транспонированная к матрице Б. Доказать, что число
различных ориентированных деревьев в орграфе D
равно значению определителя матрицы В-В',
§ 4. Деревья и двухполюсные сети
Псевдограф G=(V, X), в котором выделено к вер-
вершин, называемых полюсами, называется к-полюсноп
сетью. Псевдограф G будет называться графом соответ-
соответствующей к-полюсной сети. Сеть Г с множеством полю-
полюсов Р и графом G=(V, X) будет обозначаться через (Р;
V, X). Две ^-полюсные сети изоморфны, если их графы
изоморфны и при этом полюсы одной сети взаимно
однозначно соответствуют полюсам другой. Однополюс-
Однополюсная сеть, граф которой есть дерево, называется корне-
корневым деревом. Единственный полюс такой сети назы-
называется корнем. Плоским корневым деревом называется
изображение графа на плоскости. Это понятие можно
определить по индукции следующим образом. Сеть,
представленная на рис. 10, а, есть плоское корневое
дерево. Если А ж В (см. рис. 10, б) — плоские корневые
деревья, то фигуры С, D, Е (рис. 10, в, г) также являются
х) Здесь считается, что два дерева различны, если они не-
неизоморфные ориентированные деревья с помеченными (зануме-
(занумерованными) вершинами.
124

плоскими корневыми деревьями. Будем считать, что
произвольное плоское корневое дерево изображается
на плоскости с разрезом, представляющим собой полу-
полупрямую, исходящую из корня (см. рис. 10, д). При этом
можно предполагать, что ребра, инцидентные корню,
пронумерованы по часовой стрелке числами 1, . . ., т,
где т — степень корня. Если удалить из такого пло-
плоского корневого дерева ребро с номером i, то получится
граф с двумя компонентами связности. Ту из компонент,
которая не содержит корня, назовем ?-й ветвью исход-
исходного корневого дерева. Корнем ?-й ветви будем считать
вершину, инцидентную i-му ребру (в исходном дереве).
Для произвольного корневого дерева А обозначим
через d0 (А) степень его корня. Плоские корневые де-
деревья А и В называются одинаковыми, если либо d0 (^4) =
=d0 (В)=0, либо d0 (A)=d0 (В)=т >0 и для всякого
t=l, m i-e ветви деревьев А и В — одинаковые. Два
дерева, не являющиеся одинаковыми, называются раз-
различными. Таким образом, деревья D и Е (см. рис. 10, г)
являются различными, если деревья А и В (см. рис. 10,
б) различны. Каждому плоскому корневому дереву Т
с m ребрами можно однозначно сопоставить двоичный
вектор длины 2т, называемый кодом дерева. Дереву
с одним ребром сопоставляется вектор 01. Если де-
деревьям А и В (рис. 10, б) сопоставлены векторы аир
соответственно, то дереву С (рис. 10, в) сопоставляется
вектор 051, а деревьям D и Е (рис. 10, г) — векторы ар
и ра.
В дальнейшем, если не оговорено противное, под
сетью понимается 2-полюсная сеть. Сеть Г ({а, Ь}; V, X)
будет обозначаться кратко через Г (а, Ъ). Подграфом
такой сети будет называться подграф графа (V, X).
Вершина подграфа G сети Г называется граничной,
если она либо является полюсом, либо инцидентна не-
некоторому ребру сети, не принадлежащему подграфу G.
Подграф сети называется отростком, если он обладает
единственной граничной вершиной. Подсетью 2-полюс-
ной сети называется ее подграф, имеющий ровно две
граничные вершины. Эти вершины являются полюсами
подсети. Сеть называется связной, если ее граф является
связным. Тривиальной называется связная сеть (или
подсеть), имеющая одно ребро. Связная сеть называется
сильно связной, если через каждое ребро проходит
125

простая цепь, соединяющая полюсы сети. Сильно связ-
связная сеть называется разложимой, если она обладает
хотя бы одной нетривиальной подсетью. В противном
случае она называется неразложимой. Пусть Г (а, Ь) —
разложимая сеть, G (с, d) — нетривиальная ее подсеть,
a Pj (a, b) — сеть, полученная из Г (а, Ъ) заменой под-
подсети G (с, d) одним ребром (с, d). Тогда в свою очередь
сеть Г (а, Ь) может быть получена подстановкой сети
G (с, d) вместо ребра (с, d) сети Г1 (а, Ь). Таким образом,
разложимая сеть Г (а, Ь) может быть задана указанием
сети 1\ (а, Ь), ребра (с, d) сети 1\ (а, Ь) и сети G (а, Ь).
Такое задание называется разложением сети Г (а, Ь).
Сеть 1\ (а, Ъ) называется внешней, а сеть G (с, d) —
внутренней сетями разложения. Сеть Г (а, Ъ) назы-
называется суперпозицией сетей I\ (a, b) и G (с, d). Сеть,
состоящая из т параллельных ребер, соединяющих
полюсы а, Ь, обозначается через ГР(а, Ь) или, короче, Гр.
Сеть, граф которой есть простая цепь длины т, соеди-
соединяющая полюсы а, Ъ, обозначается через Г'т (а, Ъ) или,
короче, Г'т. Сеть, которая может быть получена из се-
сетей Г| и Г| применением конечного числа операций
подстановки сети вместо ребра, называется параллельно-
последовательной сетью или, короче, я-сетью. Нетри-
Нетривиальная неразложимая сеть Г {а, Ъ), отличная
от Г? (а, Ъ) и Г| (а, Ъ), называется Н-сетъю.
Разложимая сеть называется р-разложимой (соответ-
(соответственно s-разложимой), если некоторая внешняя сеть
разложения имеет вид Г? (соответственно Г*,), т ^ 2.
Если некоторая внешняя сеть разложения сети Г явля-
является //-сетью, то Г называется Н-разложимой. Справед-
Справедливо утверждение о том, что всякая разложимая сеть
является либо р-, либо s-, либо //-разложимой. Кано-
Каноническим р-разложением сети называется р-разложение,
при котором внутренние сети разложения отличны
от сетей вида Г? и сетей, являющихся р-разложимыми.
Аналогично определяется каноническое s-разложение.
Каноническим Н-разложением называется разложение,
внешней сетью которого является //-сеть. Каждой п-
сети Г с т ^ 1 ребрами можно сопоставить плоское
корневое дерево Т (Г) с m висячими вершинами, такое,
что а) каждая вершина дерева Т (Г), отличная от вися-
висячей, помечена символом р или s; б) на каждой цепи,
идущей от корня к висячей вершине, отметки р и s че-
126

редуются; в) вершины, отличные от корня, имеют сте-
степень, не равную 2. Висячие вершины дерева Т (Г)
ве помечены. Дерево Т (Г) определяется по индукции.
Если Г имеет'вид Г? (или Г'т), то Т (Г) есть дерево, корень
которого помечен символом р (соответственно симво-
символом s), а остальные m вершин являются висячими,
смежными с корнем, и не имеют пометок. Если сеть Г
разложима и отлична от сетей указанного вида и внеш-
внешняя сеть разложения имеет вид Г| (или Г?), а внутренние
сети суть Gu G2, . . ., Gk, то дерево Т (Г) строится сле-
следующим образом. Пусть Т (GJ, Т (G2) Т (Gk) —
деревья, соответствующие внутренним сетям разложе-
разложения. Тогда в качестве корня Т (Г) берется вершина
ю
Рис. 11.
степени к, помеченная символом р (соответственно сим-
символом s). Вершины, смежные с корнем, помечаются сим-
символом s (соответственно символом р). Вершины vlt
р«» • • м vh' смежные с корнем, отождествляются с кор-
корнями деревьев Т (G^), T (G2), . . ., Т (Gk). Например,
гс-сети, изображенной на рис. 11, а, соответствует де-
дерево, изображенное на рис. 11, б. Дерево Т (Г) назы-
называется диаграммой канонического разложения и-сети Г.
Отметим, что если внешняя сеть разложения сети Г
имеет вид Г^ (а, Ь), а внутренние сети Gx (а, и1I
G2 (wlt u2), . . ., Gk (uft_1( Ь) подставляются соответственно
вместо ребер (а, их), (ии и2), . .., (uk_lt Ь), то в дереве
Т (Г) вершины vlt v2, . . ., vk, отождествляемые с кор-
корнями плоских корневы:: деревьев Т (Gt), T (G2), . . .
..., Т (Gk), следуют друг за другом слева направо в по-
порядке возрастания номеров. Таким образом, дерево Г(Г'),
изображенное на рис. 12, б, является диаграммой ка-
канонического разложения сети Г' (рис. 12, а), но не
является диаграммой сети Г (см. рис. 11, а).
127

Вершина сети, отличная от полюса, называется
t внутренней. Вершина v зависит от вершины и, если
i всякая простая цепь, соединяющая полюсы и проходя-
I щая через v, проходит и через и. Вершины v и и эквива-
¦ лентны, если v зависит от и и и зависит от v. Вершина v
слабее вершины и, а вершина и сильнее вершины v,
если v зависит от и, по не эквивалентна ей. Вершииа v
называется минимальной, если она ие слабее никакой
другой внутренней вершины сети. Цепью сети в даль-
дальнейшем будет называться простая цепь, соединяющая
Рис. 12.
полюсы сети. Случаи, когда термин «цепь» употреб-
употребляется в ином смысле, будут всякий раз оговари-
оговариваться. Цеиь сети называется кратчайшей, если она
имеет минимально возможную длину. Длиной сети
называется длина ее кратчайшей цепи. Разрезом назы-
называется множество ребер сети, удаление которых разру-
разрушает все цепи. Разрез называется тупиковым, если
никакое его подмножество не является разрезом.
Разрез называется минимальным, если он имеет мини-
минимально возможное число ребер. Число ребор в мини-
минимальном разрезе называется шириной сети.
4.1. Пусть G — граф с п ^ 2 вершинами. Дока-
Доказать эквивалентность следующих утверждений:
1) G — связный граф с п—1 ребрами.
2) G — связный граф, но после удаления любого
ребра становится несвязным.
3) Любая пара различных вершин графа G соединена
единственной цепью.
128

4) G — граф без циклов, но добавление ребра,
соединяющего любые две вершины, приводит к появле-
появлению цикла.
4.2. Доказать, что в любом дереве с п ^ 2 верши-
вершинами имеется не менее двух висячих вершин.
4.3. Доказать, что если в графе G, имеющем не ме-
менее трех вершин, число висячих вершин равно числу
ребер, то G либо не связен, либо является деревом.
4.4. Пусть F (G) = {Hv Н2, ..., Нп} — семейство гра-
графов, в котором граф Я,, получен из re-вершинного графа
G удалением вершины с номером ?(? = 1, п). Вершины
в графах Ht не помечены. Доказать, что:
1) по семейству F (G) можно выяснить, является ли
граф G деревом;
2) если G — дерево, то по F (G) можно однозначпо
(с точностью до изоморфизма) восстановить G.
4.5. Пересечением двух графов G и Н называется
граф Gf]H, все вершины и все ребра которого принадле-
принадлежат как G так и Н. Показать, что непустое пересече-
пересечение двух поддеревьев одного дерева является деревом.
Пусть pe\(v, и) — расстояние между вершинами и, и
в графе G=(V, X). Вершина и0, для которой
тахре(цп, v) = min max pG (и, v),
называется центром графа, а число R (G) = max pc (u0, v)
называется радиусом графа.
4.6. 1) Найти число центров в графе
а) G (см. рис. 6, а);
б) G (см. рис. 6, б);
в) G = K.uHt.
2) Доказать, что в любом дереве имеется не более
двух центров.
4.7. Доказать, что дерево обладает единственным
центром в случае, когда его диаметр есть число четное,
и обладает двумя центрами, когда диаметр есть число
нечетное.
4.8. 1) Пусть D (G) — диаметр, a R (G) — радиус
графа G. Показать, что R (G) < D (G) < 2R (G).
ID (С)Г
2) Показать, что если G — дерево, то R(G) =
2
3) Привести пример графа G, для которого R(G) =
= D(G).
Б Г. П. Гаврилов, А. А. Сапоженко 129

4.9*. Доказать, что дерево однозначно с точностью
до изоморфизма восстанавливается, если заданы по-
попарные расстояния между его висячими вершинами.
4.10. Показать, что в дереве с нечетным диаметром
любые две простые цепи наибольшей длины имеют
хотя бы одпо общее ребро.
4.11. Бесконечным деревом будет называться граф
со счетным множеством вершин, удовлетворяющий
условию: для любых двух вершин и, v графа суще-
существует единственная простая (и—ь>)-цепь, причем длина
зтой цепи — конечная. Доказать, что если степень
каждой вершины бесконечного дерева конечна, то для
всякой вершины существует простая цепь бесконечной
длины, содержащая эту вершину.
4.12. Пусть P={v1, v%, . . .} — бесконечная про-
простая цепь. Пусть G—K2XP. Какова мощность множе-
множества всех остовных деревьев графа G?
Пусть G=(V, X) — мультиграф с множеством вер-
вершин К={ь>1, и2, . . ., vn}, a M (G) = ||a,.^|| — квадратная
матрица порядка п, где
Известно [33], что число попарно различных остовных
деревьев графа равно минору любого из элементов
главной диагонали матрицы М (G).
4.13. Найти число остовных деревьев графов, изо-
изображенных на рнс. 4, а, б, 8, а, б, предварительно
пронумеровав вершины этих графов.
4.14. Каково хроматическое число дерева с п ^ 2
вершинами?
4.15. Верно ли, что если диаметр графа G равен
к (к > 2), то существует остовное дерево, диаметр ко-
которого равен к?
4.16. Доказать, что при га ^ 3 число попарно не-
неизоморфных корневых деревьев с п вершинами не менее
чем в два раза превосходит число попарно неизоморф-
неизоморфных деревьев с п вершинами, не имеющих корня.
4.17. Пусть корневое дерево с п (п ^ 2) висячими
вершинами не имеет вершин степени 2, отличных
1Э0

от корня. Показать, что общее число вершин дерева
не превосходит 2л—1.
4.18. Построить коды плоских корневых деревьев,
изображенных на рис. 13, а, б.
4.19. По заданному коду а построить плоское кор-
корневое дерево.
1) « = @01010011011);
2) « = @100011001101011);
3) а=@001010110011011).
4.20. 1) Выяснить, сколько существует попарно не-
неизоморфных корневых дерегч^еп с, четырьмя ребрами.
2) Сколько существует
попарно различных пло-
плоских корневых деревьев
с четырьмя ребрами?
4.21. Множество векто-
векторов {а,, а2, а3, а4, а5} раз-
разбить на классы эквива-
эквивалентности так, чтобы век-
векторы из одного класса яв- п)
лялись кодами попарно
изоморфных деревьев:
^=@010101101), ^=@100101101),
Я4=@1001010И), *в=@010110101).
4.22. Доказать, что код 2=(aj, a2, . . ., a2n) плоского
корневого дерева с п ребрами удовлетворяет следую-
следующим свойствам:
in
6)
Рпс. 13.
13=@101001011),
2) для любого к A ^ к ^ 2п) справедливо неравен-
к
ство У^ <х{ ^ kj2.
4.23. Показать, что всякий двоичный вектор a
длины 2/г, удовлетворяющий условиям 1) и 2) предыду-
предыдущей задачи, является кодом плоского корневого дерева
с п ребрами.
4.24. 1) Показать, что для числа ф (п) векторов
a?fi2", удовлетворяющих условиям 1), 2) задачи 4.22,
справедливо рекуррентное соотношение
131

2*) Найти аналитическое выражение для ф (п).
4.25. Пусть G — связный плоский граф. Исходя
из некоторой вершины и, принадлежащей внешней
грани, будем обходить эту границу так, чтобы она
оставалась все время справа относительно направления
обхода. В некоторый момент мы вновь придем в исход-
исходную вершину и. Обход будет продолжаться, если
имеются понропдешше ребра, инцидентные вершине и
и принадлежащие границе внешней грани. В противном
случае обход заканчивается.
1) Доказать, что G — дерево тогда и только тогда,
когда при обходе каждое ребро проходятся дважды.
2) Пусть G — дерево с корнем и. В соответствии
с описанным выше обходом дереву G можно сопоставить
двоичный вектор. Последовательно проходя одно ребро
за другим, будем при обходе очередного ребра выписы-
выписывать 0, если ребро проходится в первый раз, и 1, если
ребро проходится во второй раз. Показать, что полу-
полученный таким образом вектор является кодом дерева G.
4.26. Пусть G — граф с п вершинами и т ребрами.
Граф называется сбалансироваппим, если никакой ого
подграф по имеет вершин степени, большей, чем 2т1п.
1) Показать, что дерево при п^> 2 — несбалансиро-
несбалансированный граф.
2) Привести пример сбалансированного графа, у ко-
которого щ = /г -}-3.
4.27. Пусть G — граф, каждому ребру которого
приписан вес — действительное неотрицательное число.
Весом подграфа графа G называется сумма весов ребер
этого подграфа. Минимальным покрывающим деревом
графа G называется его остовное дерево, имеющее
наименьший вес. Доказать, что минимальное покрываю-
покрывающее дерево можно получить с помощью следующего
алгоритма. На первом шаге алгоритма выбирается ребро
наименьшего веса. Затем на очередном шаге выбирается
ребро, имеющее наименьший вес среди всех ребер,
не образующих цикла с ранее выбранными ребрами.
Алгоритм заканчивает работу, если такого ребра
не существует.
4.28. Верно ли, что всякая подсеть сильно связной
сети является сильно связной?
4.29. Пусть в связной сети имеется единственный
отросток с к вершинами, не содержащийся в другом
132

отростке с большим числом вершин. Показать, что до-
достаточно провести к—1 дополнительных ребер, чтобы
сделать сеть сильно связной. Можно ли всегда обойтись
меньшим числом дополнительных ребер?
4.30. Верно ли, что для любых п и т (т ^ п ~^> 3)
существуют разложимые сети с п вершинами и т реб-
ребрами?
4.31. Верно ли, что граф сильно связной сети
является 2-связным?
4.32. Верно ли, что если выбрать в произвольном
2-связном кубр1ческом графе две несмежные вершины
в качестве полюсов,
то получится нераз-
неразложимая сеть?
4.33. Сколько попарно неизоморфных неразложи-
неразложимых сетей можно получить, выбирая в re-мерном кубе
две вершины в качестве полюсов?
4.34. 1) Показать, что если неразложимая сеть
имеет п > 2 норнган и т ребер, то
Зге < 2т-\-2 < п (и—1).
2) Показать, что для любых тип, таких, что
^ 4, существует неразложимая сеть
ln-i,
с п вершинами и т реорами.
4.35. Для сетей, представленных на рис. 14, а, б, в,
1) определить тип разложения;
2) найти внешние сети канонического разложения.
4.36. Пусть Г — сеть, изображенная на рис. 15.
1) Указать все минимальные вершины сети.
2) Разбить все внутренние вершины сети Г на классы,
состоящие из попарно эквивалентных вершин.
3) Проверить, существует ли в этой сети вершина,
которая слабее всех остальных.
133

4.37. Доказать, что для каждой вершины v сильно
связной сети существует цепь, содержащая все вершины,
которые сильнее ее или эквивалентны ей.
4.38. Пусть S (Г) — множество всех таких вер-
вершин v сети Г, которые не являются минимальными.
1) Верно ли, что если Г является //-разложимой
сетью без кратных ребер, то после соединения каждой
вершины v(^S (Г) ребрами с каждым из тех полюсов,
с которым v несмежна, получится неразложимая
сеть?
2) Достаточно ли для получения неразложимой сети
соединить каждую вершину v из S (Г) ровно с одним
из тех полюсов, с которыми v несмежна?
4.39. 1) Показать, что всякая разделяющая вер-
вершина минимальна.
2) Показать, что всякая вершина, смежная с обоими
полюсами, минимальна.
4.40. Пусть все вершины сильно связной сети Г ми-
минимальны.
1) Выяснить, может ли сеть Г быть
а) р-рачложимой;
б) s-разложимон;
в) //-разложимой.
2) Пусть сеть Г является s-разложимон. Показать,
что каждая внутренняя вершина является разделяющей.
3) Пусть сеть Г является //-разложимой. Про-
Проверить, может ли какая-либо из внутренних сетей быть
а) //-сетью;
б) //-разложимой сетью;
в) сетью, отличной от сетей Г? (т "^ 1).
4.41. Пусть сильно связная сеть Г с 8 ребрами
не является ни р-, ни s-разложимой и не имеет под-
подсетей вида Г*, Г'т (т >• 1). Показать, что Г — неразло-
неразложимая сеть.
4.42. Пусть G—(VU V2, X) — связный двудольный
граф, степень каждой вершины которого больше или
равна 2. Показать, что если построить сеть Г (а, Ь),
соединив ребром полюс а с каждой вершиной мно-
множества Vlt а полюс Ъ — с каждой вершиной мно-
множества V2, то эта сеть окажется //-сетью.
4.43. Существует ли р-разложимая сеть, у которой
всякая подсеть, имеющая не менее трех ребер, р-раз-
ложиыа?
134

4.44. Для сетей, изображенных на рис. 16, а, б,
построить диаграммы канонического разложения.
4.45. Построить тс-сети, имеющие диаграммы кано-
канонического разложения, изображенные на рис. 17, а, б.
4.46. Доказать, что если it-сети 1\ и Г2 не изо-
изоморфны, то они имеют различные диаграммы канони-
канонического разложения.
Рис. 16.
4.47. Пусть Л н В — две цепи сети Г (а, Ь), и пусть
вершина и принадлежит цепи Л, но не принадлежит
цепи В, а вершина v принадлежит цепи В, но не при-
принадлежит цепи А. Пусть, далее, [и, v] — простая цепь,
соединяющая и и v, и не пересекающаяся с цепями А
и В нигде, кроме своих концов.
Рис. 17.
1) Доказать, что существуют по крайней мере две
цепи сети Г, вершины которых принадлежат объедине-
объединению цепей А, В и [и, v] и которые содержат цепь [и, v\.
Существуют ли всегда хотя бы три такие цепи?
2) Показать, что если цепи А и В имеют общие
внутренние вершины, но не имеют общих ребер, то су-
существует не менее четырех цепей сети, содержащихся
в объединении цепей А, В и [и, v\, удовлетворяющих
условиям п. 1).
4.48. Доказать эквивалентность следующих двух
определений л-сетш
135

1) Сеть Г (а, Ь) называется я-сетью, если ее ребра
можно ориентировать так, что в каждой простой цепи,
соединяющей полюсы а и Ъ, все ребра направлены
от а к Ъ.
2) ^-сетями являются те и только те сети, которые
получаются следующим индуктивным процессом:
а) Сети Г$ и Г| (рис. 18, а) суть л-сети.
б) Если сети А ж В (рис. 18, б) суть л-сети, то и сети,
представленные на рис. 18, в, являются тс-сетями.
В)
4.49. Показать, что сро/щ всех л-сетей с т (т ^> 4)
ребрами наибольшее число кратчайших цепей имеют
s-разложимые сети.
4.50. 1) Указать вид п-сетей, имеющих максималь-
максимальное число простых цепей, соединяющих полюсы.
2) Указать вид п-сетей, имеющих максимальное
число тупиковых разрезов.
4.51. Пусть ф (т) — максимальное число цепей
я-сети с т ребрами. Показать, что:
1) <рA)=1;
2) «рCп)=3"(п> 1);
3) тC/г+1)=4.3и(я>1);
4) <рC/г+2)=2-ЗиGг> 1).
4.52. Верно ли, что максимальное число простых
цепей среди всех сетей с т ребрами имеют тс-сети?
4.53. Для каждого п ^ 5 указать Я-сеть с п вер-
вершинами, имеющую максимальное число цепей, соеди-
соединяющих полюсы. Подсчитать для каждого к A ^ к < п)
число цепей длины к между полюсами.
4.54. Доказать, что для сети с т ребрами, име-
имеющей длину I и ширину t, справедливо неравенство
136

4.55. Доказать, что в к-сети пересечение любой
простой цепи между полюсами и любого тупикового
сечения содержит ровно одно ребро.
4.56*. Множество цепей сети Г называется опреде-
определяющим для вершины v, если пересечение множеств
внутренних вершин этих цепей есть {v}. Доказать или
опровергнуть следующее утверждение: для того чтобы
сеть без кратных ребер, не являющаяся р-разложимой,
была неразложимой, необходимо и достаточно, чтобы
для любой внутренней вершины существовало опреде-
определяющее множество цепей.
4.57. Доказать следующее утверждение. Для того
чтобы разложимую сеть Г можно было добавлением
ребер сделать неразложимой, необходимо и достаточно,
чтобы Г не имела кратных ребер и обладала по крайней
мере четырьмя вершинами.
4.58. Построить разложимую сеть с наименьшим
числом ребер и числом вершин п (п ^ 4), которую
нельзя сделать неразложимой последовательной заме-
заменой подсетей вида Г| и Г? на ребра.
§ 5. Оценки в теории графов и сетей
Помеченным (или нумерованным) называется такой
граф (орграф, псевдограф и т. д.), вершинам которого
приписаны пометки (номера). Через $п будет обозна-
обозначаться совокупность всех гс-вершинных графов (короче,
и-графов), в каждом из которых вершины пронумеро-
пронумерованы числами 1, 2, . . ., п. Через ^/пт обозначается под-
подмножество всех графов из $п, каждый из которых имеет
ровно т ребер. Граф с п вершинами и т ребрами будет
называться кратко (п, т)-графом. Графы G и Я из $п
считаются различными, если существуют две вершины /
и к, смежные в одном из графов, но не смежные в
другом.
Пусть сря (Р) обозначает число всех графов из $п,
обладающих свойством Р. Говорят, что почти все
п-графы обладают свойством Р, если 1мпрУ~р=:1.
Пусть т~т (п) — целочисленная неотрицательная
функция, а <рк_ т {Р) — число всех графой m $п т,
обладающих свойством Р. Говорят, что почти все
137

(re, m (п))-графы обладают свойством Р, если
Группа автоморфизмов графа G (или, короче, группа
графа G) представляет собой множество всех автомор-
автоморфизмов графа G с обычной операцией умножения
(последовательного выполнения) автоморфизмов.
Группа графа G обозначается через Г (G). Аналогично
определяется группа псевдографа (орграфа и т. д.).
Группа «-вершинного графа обычно отождествляется
с изоморфной ей подгруппой симметрической группы Stt.
Если тс — подстановка, определенная на множестве
из п элементов, то ее можно разложить в произведение
непересекающихся циклов. Пусть jk (тс), 1 ^ к^п,
обозначает число циклов длины к у подстановки тс
в ее разложении па непересекающиеся циклы. Набор
(Л = (Л. hi' • • м 7„), где jk=jk{n), называется вектором
цикловой структуры подстановки тс. Если А — не-
некоторая группа подстановок ге-й степепи, то выражение
tv t, Q = \
называется цикловым индексом группы А и кратко
обозначается через Z (А). Здесь tt, t2, . . ., tn — так
называемые формальные переменные.
Пусть А — группа подстановок, действующая
на множестве М. Элементы bt и 62 из М называются
А-эквивалентными, если существует подстановка к(*А,
переводящая один из этих элементов в другой, т. е.
п(Ь1)--Ь2 или тс {р^ = ъ1ш Множество М разбивается
отпошением А -эквивалентности па непересекающиеся
классы, называемые орбитами. Справедливо следую-
следующее утверждение.
JJ е м м а (Бернсайд). Число орбит N (А) в мно-
множестве М, определяемых группой А, дается равенством
Пусть на множестве Л/, действует группа подстано-
подстановок А, а на множестве Л/2 — группа подстановок В.
Степенная группа ВА состоит из всевозможных элемен-
138

тов вида (п; о), где л? А, а ?В, и действует она на мно-
множестве Mf1 (всех функций, отображающих М1 в М2)
по следующему правилу: (я; a) f (х) = а (/ (л (х))) для
любой функции / (х) из Mf'. Будем предполагать, что
множество М1 конечное, множество М2 — не более
чем счетное и \Мк\"^2 {к=1, 2). Пусть w: M2->
—> {0, 1,2,...} — весовая функция, заданная на мно-
множестве М2 и удовлетворяющая условию: при всяком
?=0, 1, 2, ... мощность с(. подмножества всех элемен-
элементов из М2, имеющих вес i, конечна 1). Производящая
со
функция с (х) = 2 с<а;' называется перечисляющим ря-
дом для фигур. Вес функции f из множества Л/f- опре-
определяется с помощью равенства w(f)— 2 w(/(&))• Если
tw
tew,
группа 5 равна единичной группе ?, действующей
на множестве М2, то вес w (F) орбиты F в множе-
множестве М%*, определяемой группой ЕА, равен весу любой
функции / из орбиты F. Число С( орбит веса 2) i в мно-
множестве М^ является конечным при всяком i ^ 0. Про-
Производящая функция С (х) =
2
»=о
называется перечи-
сляющим рядом для функций (или перечисляющим ря-
рядом для конфигураций). Справедливо следующее утвер-
утверждение.
Теорема (Пойа).
C(x) = Z(A; c(x), c(z2) с(х%
eQe п — число элементов в множестве Мх (степень
группы А) и с (хк) подставляется в цикловой индекс
Z (A; tu t2, . . ., tn) только на места всех вхожде-
вхождений переменной tk (I ^ k ^ п).
5.1. Показать, что:
х) Часто говорят, что ct — число «фигур веса (» (в мно-
множестве Мг).
а) Иногда С( называют числом «понфигураций веса /» в мно-
множестве М^'.
139

5.2. 1) Найти число различных турниров с п верши-
вершинами, пронумерованными числами 1, 2, . . ., п.
2) Найти число ориентированных псевдографов
с п нумерованными вершинами и т дугами.
5.3. 1) Показать, что число графов в <^я, у которых
заданные к вершин являются изолированными, равно
2) Показать, что число графов без изолированных
вершин в <^я равно
3) Показать, что почти все re-графы не имеют изоли-
изолированных вершин.
5.4. Пусть подмножество <^Со?„ состоит из N по-
попарно различных графов. Показать, что число попарно
неизоморфпых графов в $ не меньше чем Nln\.
5.5. Пусть ф (т) — число попарно пеизоморфных
связных графов с т ребрами. Показать, что:
оо.
5.6. Показать, что число попарно неизоморфных
псевдографов, не имеющих изолированных вершин
и обладающих т ребрами, не превосходит (ст)т, где
с — константа, не зависящая от т и к.
5.7. Показать, что число попарно неизоморфных
^-полюсных сетей с т ребрами без петель и без изолиро-
изолированных вернши не превосходит Bт)к(стJт, где с — кон-
константа, не зависящая от т и к.
5.8. Доказать, что число попарно неизоморфних де-
деревьев с т ребрами не превышает числа попарно различ-
различных плоских корневых деревьев с т ребрами.
5.9. 1) Показать, что число попарно различных
плоских корневых деревьев с т ребрами не превосхо-
140

2) Найти асимптотическое поведение числа q (m)
плоских корневых деревьев с т ребрами при т —> со.
5.10. Используя теорему Кэли, утверждающую,
что число попарно различных деревьев с га нумерован-
нумерованными вершинами равно пп~2, показать, что число по-
попарно неизоморфных деревьев с га вершинами не меньше
чем спп~1-ьеп, где
я>со
5.11. Показать, что число попарно различных де-
деревьев с п нумерованными вершинами, у которых вер-
вершина с номером 1 имеет степень к, равной" ~ , Vra— iy-*-i#
5.12. Найти число графов в $п, являющихся ле-
лесами.
5.13*. Показать, что число тех лесов в $п, у кото-
которых заданные вершины j и к принадлежат разним ком-
компонентам связности, равно 2п"~3.
5.14. Пусть <р (га) — число попарно различных кор-
корневых деревьев с га висячими вершинами, таких, что
степень корня равна двум, а степень каждой вершины,
отличной от корня и от висячей вершины, равна трем.
1) Показать, что число <р (п) равно числу способов,
которыми можно расставить скобки в выражении
Ъ± : Ъг '. . . . !. Ъп, чтобы вновь полученное выражение
имело смысл.
2) Показать, что <р (га)=—( п~,).
5.15. 1) Показать, что число попарно неизоморфных
двухполюсных п-сетей с т ребрами не превосходит
удвоенного числа попарно различных плоских корне-
корневых деревьев с т висячими вершинами.
2) Показать, что число попарно неизоморфных
г. о Mm — 2\
тс-сетеи с т ребрами не превосходит 2.1 ).
5.16. Найти число попарно неизоморфных сетей
Г (а, Ь) с га вершинами и т ребрами, обладающих сле-
следующими свойствами:
1) сеть Г (я, Ъ) является s-разложимой;
2) все вершины сети Г (а, Ъ) минимальны.
Примечание. Полюсы а и Ь сети Г (я, Ъ)
считаются неравноправными; первый из них является
входом, а второй выходом сети. При изоморфном отобра-
отображении сети Г на сеть G вход (выход) сети Г должен
соответствовать входу (выходу) сети G.
141

5.17. Пусть Ф (п, т) — число различных формул
над множеством связок {&, \/} и множеством перемен-
переменных {#!, х2, . . ., хп) с т вхождениями символов связок. }
1) Показать, что Ф (га, т) равно числу попарно раз- )
личных корневых деревьев, у которых каждая висячая 1
вершина помечена некоторым символом из множества I
{хг, а-2, . . ., хп), а каждая вершина, отличная от вися- \
чей, помечена одним из символов &, \J.
2) Показать, что Ф {п, т) = —^-ТBтJтпт+1.
1 у ' т 4- 1 \ т j
Примечание. Формулы считаются различ-
различными, если они представляют собой различные слова
в алфавите {&, V> (>)> хп хг, • • ., хп).
5.18. Пусть Ф (га, т, к) — число различных формул
над множеством связок {&, \/, —} и мнон<еством пере-
переменных {хг, х2, . . ., хп] с т вхождениями символов
переменных и к вхождениями символа . Показать, что
5.19. Показать, что число несвязных графов в
не превосходит
5.20. Показать, что число графов в $„>т, имеющих
ровно две компоненты связности, не превосходит
5.21. Показать, что число fc-связных графов в $nitn,
не являющихся (к -j- 1)-связнымн (к^.п — 2), не превос-
превосходит
142

Указание. При к ^ п—2 в графе, но являю-
являющемся (&-|-1)-связньш, существует к вершин, удаление
которых приводит к несвязному графу.
5.22. Показать, что число попарно различных связ-
связных подграфов куба В", порожденных подмножествами
из к вершин, не превосходит 2я Dга)й~1. (Считать, что
вершины куба В" пронумерованы числами от 1 до 2я).
5.23. Показать, что у почти всех га-графов радиус
больше единицы, оценив сверху число графов в $п,
имеющих вершину степени га—1.
Пусть р (G) — некоторый числовой параметр графа G.
Пусть р (п) = 2 w 2 P(G) — среднее значение пара-
метра р, a Dp (га) = 2 V2/ 2j (р(@) — Р(п)У — дисперсия
параметра р. Аналогично можно определить среднее зна-
значение и дисперсию параметров графов из <^я>т. Пусть
6 > О, 8Я @) — доля тех графов G из $п, для которых
р (G) ^0, а Дя F) — доля таких графов G из $п, что
\p(G) — Р{п)\^Ь. Для различных оценок и доказатель-
доказательства свойств почти всех графов часто используются
следующие неравенства (Чебышев):
КФХ-Ф-. A)
А„@)< У . B)
Пусть, например, p(G) — число изолированных вер-
вершин графа G. Требуется показать, что p(G) = O для
почти всех га-графов. Пусть gn(i) — число графов из $п,
у которых вершина с номером i является изолирован-
изолированной. Тогда
Очевидно, что а)A) = \ 2 / для всех i = l, п. Отсюда
р(га) = гс-2~". Полагая в A) 9 = 1/2, получим, что доля
графов G из $п, для которых р (G) ^ 1/2, не превосхо-
143

дит ni Bfl. Ho limn • 2"n+1 = 0. Следовательно, для почти
всех гс-графов p(G)<^\j2, т. е. p(G) — 0.
Пусть теперь р (G) — число ребер в графе G. Пока-
жем, что у почти всех и-графов p(G)=yf J(l -{-&„),
где limeB = 0. Имеем р(п)=2 w 2j P(G) = 2 w X
х 2 Sn{h /), где gn(i, /) = 2V2/ — число графов, уко-
торых пара вершин (i, ]) соединена ребром. Таким об-
образом, р(п)=-^(Т\. Подсчитаем дисперсию:
(p(G)-p(n)f =
Пронумеруем все пары вида (i, /), 1 ^ i <; ^ п,
числами от 1 до ("), и пусть gB(v, (a) — число графов
\^/
G из <^в, у которых пары с номерами v и р. являются
ребрами. Тогда
Ш G)
j/j Р v^y .
¦»=! [i=l v=l
Ho gn(v, p.) = 2^2-' , если v^=p.. Поэтому
Полагая в B) b = \Jnp(n), получим, что доля тех гра-
графов G?$n, для которых р (G) — yQ) \^\ tQ)' не
превосходит 1/тг. Отсюда вытекает, что для почти всех
графов p(G) — -^-(T\{i -\-еп), где Нтеи = 0.
5.24. Пусть р (G) — число пар различных вершин
графа G из <??„, для которых не существует цепи длины,
144

меньшей, чем 3, соединяющей эти вершины. Пусть
р(п) = 2~® 2 p(G).
1) Показать, что Р(п)—^\^){т)" •
2) Показать, что у почти всех ?г-графов отсутствуют
вершины, расстояние между которыми больше двух.
3) Используя результаты задач 5.23 и 5.24, 2), по-
показать, что у почти всех re-графов радиус и диаметр
равны двум.
5.25. Показать, что среднее число гамильтоновых
циклов в графах О из &п равно +1—.
5.26. Найти среднее число циклов длины три в гра-
графах G из J?B m.
5.27*. Используя неравенство Чебышева B), по-
показать, что у почти всех (и, т (ге))-графов, где т (п) =
= [n/ln (re In re)], число изолированных вершин равно
и A — е(ге)), где lime(n) = 0.
в-» со
5.28*. Пусть к — целое и к^-1. Доказать, что
если т. = т (ге) = <р (ге) • п к~х (где <р (п) —*¦ оопри п -» оо),
то почти все (ге, т)-графы содержат полный подграф
о к вершинами.
5.29. Найти среднее число /^-вершинных независи-
независимых множеств в графах G из <^и.
5.30. Пусть к — натуральное число. Подсчитать
среднее число вершин степени к в графах G из
5.31. Пусть р (G) —целочисленный неотрицатель-
неотрицательный параметр, а р (ге) — его среднее значение для
графов G из о^„. Показать, что если limp(n) = 0, то
для почти всех графов p(G) = O.
5.32. Найти цикловой индекс группы автоморфиз-
автоморфизмов графа G.
1) G — цикл длины 4;
Л) b~K2f 3;
3) G=K5—{х}, где х — произвольное ребро гра-
фа Кь.
5.33. Пусть O') = O'i, /2, • • м /„) — произвольное
разбиение числа п., т. е. j-l+2j2+. . .-\-njn=n, где jk —
145

целые неотрицательные числа A ^ к ^ п). Через h (/)
обозначается число всех таких подстановок симме-
симметрической группы Sn, у которых векторы цикловой
структуры совпадают с (/).
1) Доказать, что Л (/) = ——- т
2) Докипать, что
(Л
где сумма берется по всевозможным разбиениям (J)
числа п.
3) Показать, что цикловой индекс Z (Sn) равен
коэффициенту при х" в разложении функции
в ряд по степеням х.
4) Убедиться |! снраиодливостп рекуррентного соотно-
п
шсния Z (Sr) — — 2 tkZ (Sn_k), где (uo определению)
*=i
положено Z E0) = 1.
5.34. Пусть Ап — знакопеременная группа степени
п (т. е. Ап — подгруппа группы Sn (n ^ 2), состоящая
из всех четных подстановок). Доказать, что
; tv —tt (—1Г'д.
5.35. Перечислить все орбиты в множестве вершин
графа G, определяемые группой T(G), если:
1) G = Kia — {х}, где х — произвольное ребро графа
Л. о О)
'2) G = KsXCv
5.36. Пусть на /г-элементном множестве М{ дей-
действует группа А, а на конечном множестве М2 действует
единичная группа Е. Доказать, что число орбит в мно-
146

жестве Mf1, определяемых степенной группой Ел,
задается формулой
п раз
мл, \м.
2 1'
\м0
где правая часть представляет собой результат под-
подстановки числа \М21 в цикловой индекс Z (A; tlt t2,...
. . ., tn) на места всех вхождений переменных
К A < Л < п).
5.37. Пусть на «-элементном множестве М действует
группа Л. Рассмотрим два произвольных г-подмножо-
ства множества М: М^^, . . ., аг}, М2—{Ьи . . ,,br],
1^г^и—1. Они называются А-эквивалентными,
если существует такая подстановка к и группе А,
что г. (ctj) — b{j, где / = 1, . . ., г. Отношение Л-икви-
валентпости разбивает все г-подмножества из М на
классы А-эквивалентных подмножеств. Доказать, что
коэффициент при хг в выражении Z (А; 1+х, 1+х2,
. . ., 1+х") (получающемся из циклового индекса
Z (А; tb t2,.. ., tn) заменой каждого вхождения переменной
tk на 1-\-хк) равен числу классов Л-эквивалентных г-
подмножеств в множестве М.
00
5.38. Пусть 71(х) = 2 Tkxk — производящая функция
для корневых деревьев; здесь Тк означает число
всех попарно пеизоморфных корневых деревьев с к
вершинами, включая корень. Возьмем п произвольных
корневых деревьев (п ^ 1) и корень каждого из них
соединим ребром с попой вершиной v0. Будем считать
вершину v0 (и только ее) корнем нового дерева. Степень
корня v0 равна п. Используя описанную конструкцию
порождения корневых деревьев, доказать, что
в=1
n; Т(х),
) Г(*
5.39. Доказать следующее рекуррентное соотношение:
2 2
Jc=l r | к
«47

здесь п ^ 1 и Тj равно числу всех попарно неизоморф-
неизоморфны х корневых деревьев с / вершинами, считая и корень
00
5.40. Пусть g(?) = 2 Snx" — производящая функция
я=1
со
для графов и l(x) = ^j lnx" — производящая функция
дчя снизиых графов. Коэффициент gn (соответственно ?„)
ранен числу всех попарно неизоморфных тг-вершииных
графом (соответственно связных графов). Доказать, что
g(x) = % Z(Sn; l(x), l(x\...,l(x«)).
и=1
5.41. Пусть на re-элементном множестве Мг действует
группа А и на r-элементном множестве М2 действует
группа В. Найти число орбит в множестве Mf\ опре-
определяемых степенной группой ВА.
1) Л-=Еп, В = ЕГ (т. о. Л—единичная группа сте-
степени п, а В — единичная группа степени г);
2) Л=Е„ B = Sr;
3) A=S.t B = Er;
4*L = 5а, B = S3.
5.42. Пусть t (x) и s (x)—производящие функции для
турниров и сильных турниров соответственно, т. е.
00 СО
t (х) = 2 tnx" и s (х) == S s/", где tn — число всех по-
«=1 в=1
парно неизоморфных турниров с п вершинами, a sn —
число всех попарно неизоморфных сильных турниров
00
с п вершинами. Доказать, что t (х) = 2 s" {x).
§ 6. Реализация булевых функций
контактными схемами и формулами
Сеть Г с А; полюсами, в которой каждое ребро поме-
помечено буквой из алфавита {хг, хг, . . ., хп, хи хг, . . ., хп},
называется к-полюсной контактной схемой, реализующей
булевы функции переменных хих2,. . ., хп, или, короче,
(к, ге>-схемой. <2, ге>-схемы будут называться Х"-схемами.
148

Сеть Г называется сетью контактной схемы. Контакт-
Контактная схема является связной {сильно связной, параллельно-
последовательной и т. д.,) если таковой является ее сеть.
Параллельно-последовательная контактная схема на-
называется кратко п-схемой. Ребра схемы, помеченные
символами переменных или их отрицаний, называются
контактами. Контакт называется замыкающим, если
он помечен символом переменной, и размыкающим,
если он помечен символом отрицания переменной.
Пусть Х^ и Е2 — Две /е-полюсные контактные схемы,
полюсы каждой из которых помечены буквами аг, а2,
. . ., ак. Схемы Ех и 22 называются изоморфными,
если их сети изоморфны и при этом а) соответствующие
ребра помечены одинаково; б) соответствующие полю-
полюсы помечены одинаково. Пусть а и Ъ — дна полюса
контактной схемы И, [а, Ъ\ — некоторая цепь, соединя-
соединяющая а и Ъ, и К[о Ь] — конъюнкция букв, приписанных
ребрам цепи [а, Ь]. Функция fab (х"), определяемая
формулой
j. C)
в которой дизъюнкция берется по всем простым цепям
схемы, соединяющим полюсы а и Ь, называется функ-
функцией проводимости между полюсами а, Ъ схемы Е.
Говорят, что схема 2 реализует функцию g (?"), если
в ней существуют полюсы а и Ъ, такие, что g (xn)=fab (?")•
Контактная схема с А+1 полюсами называется
A, к)-полюсником, если один из ее полюсов выделен
(он будет обозначаться буквой а), а остальные равно-
равноправны между собой (они будут обозначаться через
bf(i = i,k)). Говорят, что функция g{x") реализуется
A, /е)-полюсником, если существует такой полюс
М1 <* <^). что fahi (x")=g {&')¦ В тех случаях,
когда число полюсов схемы не указывается, речь всегда
будет идти о двухполюсных контактных схемах. Две
контактные схемы называются эквивалентными, если
они реализуют одну и ту же булеву функцию. Слож-
Сложностью контактной схемы называется число ее контак-
контактов. Контактная схема, имеющая наименьшую слож-
сложность среди всех эквивалентных ей схем, называется
минимальной. Сложностью булевой функции / 6 классе
контактных схем (обозначение: Lk (/)) называется слож-
149

ность минимальной контактной схемы, реализующей /.
Сложностью булевой функции f в классе п-схем назы-
называется число контактов в минимальной п-схеме, реали-
реализующей / (обозначение: L% (/)). Сложностью булевой
функции f в классе формул над множеством связок
{V. &I —} будет называться число вхождений симво-
символов переменных. Сложность функции / в этом классе
формул обозначается через Lo (/).
Схемой из функциональных элементов называется ори-
ориентированная бесконтурная сеть, полюсы которой де-
делятся на входные и выходные. Входные полюсы поме-
помечаются символами переменных. Выходные полюсы
называются выходами схемы. Каждая вершина, от-
отличная от входного полюса, помечена функциональным
символом (или символом логической связки). При этом
должны выполняться следующие условия: 1° Степень
захода каждого входного полюса равна нулю. 2° Сте-
ионь захода каждой вершины, отличной от входного
полюса, раина числу мест функционального символа
(или снимки), которым ота вершина помечена.
Попятно функции ff, реализуемой в вершине i схемы 2,
определяется следующим образом. Если вершина i
совпадает с пходным полюсом, который помечен сим-
символом ./, то ft—x. Пусть вершина i помечена г-ме-
стшлм функциональным символом <р, и пусть <fi, ...
..., !fr — функции, реализуемые в вершинах, из которых
исходят дуги, заходящие в вершину г. Тогда ft=у (уи . ..
. . ., <Рг)- Говорят, что функция f реализуется схемой 2,
если существует выход схемы, в котором она реали-
реализуется. Схемы из функциональных элементов с одним
выходом, у которых входные полюсы помечены симво-
символами #!,..., хп, а вершины, отличные от входных полю-
полюсов — символами V» &< —! будут называться здесь Хп-
функциоиальпыми схемами. Сложностью схемы из функ-
функциональных элементов называется число ее вершин,
отличных от входных полюсов, ^"-функциональная
схема 2, реализующая функцию /, называется мини-
минимальной, если всякая другая ^''-функциональная
схема, реализующая /, имеет сложность, не меньшую,
чем сложность схемы Е. Под сложностью булевой функ-
функции f в классе схем из функциональных элементов здесь
понимается сложность минимальной Х"-функцио-
налыюй схемы, реализующей функцию /. Сложность
150

функции / в этом классе схем будет обозначаться черев
L(f).
6.1. Пусть / (ж2)=х10х2. Показать, что L(/(?2))=4.
6.2. Показать, что для булевой функции, отличной
от константы, минимальная контактная схема, реали-
реализующая эту функцию, является сильно связной.
6.3. Найти число булевых функций / (х1? х2), реали-
реализуемых контактными схемами сложности 3.
6.4. 1) Показать, что для каждого натурального т
существует минимальная контактная схема слож-
сложности т.
Рис. 19.
2) Показать, что не существует минимальных коп-
тактных схем сложности 4, содержащих только замы-
замыкающие контакты с пометками из множества {xlt x2, х3}.
6.5. Показать, что если т > п-2"'1, то ни одна
из Х"-схем сложности т пе является минимальной.
6.6. Показать, что фупкция / тогда и только тогда
зависит существенно от переменной х, когда в мини-
минимальной схеме, реализующей /, присутствует контакт,
помеченный переменной х или ее отрицанием.
6.7. Для контактных схем, изображенных на
рис. 19, а, б, в, 20, а, б, в, найти функции проводи-
проводимости fab.
6.8. Построить контактные схемы, реализующие
функцию /.
¦1\ у: (хЗ\ (Т \ / г \ / Т \(Г \ / Т V/fV
3) / (xs) = @0011111);
4) /(«») = A1010001);

6.9. Для каждой из функций предыдущей задачи
построить ^-функциональные схемы.
6.10. Для функции / построить контактную схему
сложности не выше L, упростив предварительно фор-
формулу, с помощью которой / задана.
1) (хг V *гжя) ((«! V х2) {х2 V *4) V (хз V %д {%1%гхь V
V*A)). L = -r>
2) (Х{ V Х2) ((xlX.z V ЗД Ч V («2 V *А) (Ж2 V Ч V
V CVa V xv4 V *с) х^ V *\Ч V ^Б^е). L = 5>"
3) ж^л ((.г4 V *А) («в V атлж7) V (жс^7 V Vi«j)&
& {?& V ^^6Ж7) V («1 V *2) («4 V *в) (^5 V Ж7)), ^ = 6.
6.11. Для каждой из функций ^предыдущей зада-
задачи построить схему ,из функциональных элементов
сложности, не превышающей 6, реализующую эту
функцию.
п
6.12. ГТустг, v(a)=2 2'at.—номер набора &. = (av
• ==!
аг,...,аи). lI()cT[K)iiTii иоитактпую схему с не более чем
десятью контактами, реализующую функцию
_ 1, если v(alf a2, ая)< v (a4, a5, a6),
0 и пропитом случае.
6.13. Построить контактную схему, реализующую
функцию / (жв), равную единице тогда и только тогда,
когда (хъ х2, х3) < (ж4, х5, ж6).
6.14. Построить контактную схему, реализующую
сложение двухразрядных двоижных чисел. Точнее,
построить контактную схему с полюсами a, b0, blt b2,
в которой для каждого ?=0,1,2 функция проводи-
проводимости fai>t (?*) равна z{, где z,. ^ {0, 1} и определяется
из раионстпа ^sx —(— 2z2 —|— zit = 2 (xL-\-x2)-{-x2-\-xi.
6.15*. Построить схему из функциональных эле-
элементов, удовлетворяющую следующим условиям.
1° Схема реализует три функции хх, хг, хъ.
2° Вершины, отличные от входных полюсов, поме-
помечены символами V» &> ~~-
3° Имеется не более двух вершин, помеченных симво-
символом отрицания.
6.16. Показать, что ЬФ (/) ^ Lk (/) для любой бу-
булевой функции /, отличной от константы.
152

6.17*. Привести пример функции/ (х3), для которой
Ь, (/) > Lk (/).
Указание. Рассмотреть функцию, реализуе-
реализуемую схемой, изображенной на рис. 19, а.
Пусть двухсвязная двухполюсная контактная схема
2 является плоской (т. е. ее сеть Г (а, Ь) является пло-
плоской) и ее полюсы а и Ъ лежат в одной грани. Проведем
в этой грани ребро (а, Ъ) так, чтобы сеть Г", получен-
полученная из Г добавлением ребра (а, Ъ), осталась плоской.
Выберем в каждой грани сети Г' по одной вершине.
Построим на выбранных вершинах граф G*, двойствен-
двойственный к графу G сети Г'. Каждое отличное от (а, Ь) ребро
графа G* пересекает некоторый контакт схемы 2. По-
Пометим это ребро той буквой, которой помечен пересе-
пересекаемый им контакт. Вершины графа G*, расположенные
в гранях сети Г', разделенных ребром (а, Ь), обозна-
обозначим через а*, Ъ* и назовем полюсами. Удалим ребро
(а*, Ъ*) из G*. В результате получится двухсвязная
схима 2* с полюсами а* и Ъ*. Схема 2* называется
схемой, двойственной к 2.
6.18*. Показать, что схема ?*, двойственная к пло-
плоской двухсвязной схеме 2, реализует булеву функцию,
двойственную к функции, реализуемой схемой 2.
У к а з а в и е. Установить взаимно однозначное
соответствие между цепями схемы 2 и разрезами схе-
схемы 2*.
153

6.19. Построить схемы, двойственные к схемам,
изображенным на рис. 19, а, б, 20, а.
6.20. Доказать, что для всякой булевой функции /
выполняется равенство L% (f)=L% (/*).
6.21. Показать, что если Lk (/) <[7, то Lk(J)=Lh(j).
Контактная схема называется бесповторной, если
из того, что некотороо ребро помечено буквой х или X,
вытекает, что вемкоо другое ребро имеет пометку,
отличную от х и х.
6.22. Показать, что сильно связная бесповторная
коптяктпая схема реализует функцию, существенно
зависящую от всех перемен-
переменных, встречающихся в схеме.
6.23. Показать, что сильно
связная бесповторная схема
минимальна.
6.24. Показать, что если
к минимальной схеме при-
соодинить контакт, помечен-
помеченный новой переменной, так,
чтоГш получилась сильно связная схема, то построен-
построенная схема также Пудет минимальной.
6.2"»*. Пусть / — функция, реализуемая схемой,
указанно» на рис. 21. Доказать, что функция, двой-
двойственная к /, но может быть реализована бесповторной
схемой.
6.26*. Верно ли, что для всех булевых функций /
выполняется соотношение Lk (j)=Llc (/)?
6.27. Пусть fab и fad — функции проводимости трех-
полюснои контактной схемы Z^, a feg и feh — функции
проводимости трехиолюсной контактной схемы S2. Пусть
? — схема с полюсами а и е, полученная из схем ?х
и Е2 ото/кдостплошюм полюса Ь с полюсом g и полюса
d с полюсом е. Верно ли, что схема S реализует функцию
Рис. 21.
6.28. 1) Доказать, что функция / монотонна тогда
и только тогда, когда существует контактная схема,
реализующая / и не содержащая размыкающих кон-
контактов.
2) Верно ли, что минимальная контактная схема,
реализующая монотонную функцию, не содержит раз-
размыкающих контактов?
154

Булева функция / (хп) называется монотонной по
переменной хи если ее можно представить в виде
= ? («2. «з. . • •• ж») V «iA (жя, ж,, ..., ж,).
Функция / (хя) — квазимонотонна по переменной хъ
если она монотонна по Xi или становится монотонной
по х1 после замены хх на хх. Аналогично определяется
монотонность и квазимонотонность по xf (г=й=1).
6.29. Доказать, что функция / (ж") квазимонотонна
по хх тогда и только тогда, когда существует контакт-
контактная схема, реализующая функцию / (?") и не содержа-
содержащая либо замыкающих, либо размыкающих контактов.
6.30. 1) Доказать, что минимальная контактная
схема, реализующая функцию х1®х2, содержит 4 кон-
контакта.
2*) Доказать минимальность схемы, изображенной
на рис. 20, в.
6.31*. Построить минимальную контактную схему
для функции /.
?) f \х ) =
3) /(х') = @001011101111111).
6.32. Показать, что число S (п, т) связных попарно
неизоморфных контактных Х"-схем сложности, не боль-
большей т, но превосходит (спт)т, где с — константа, не
зависящая от п и т.
6.33. Показать, что число Р (п, т) связных попарно
неизоморфных п-схем сложности, не большей т, реа-
реализующих булевы функции переменных xt, x2, ¦ . ., хп,
не превосходит (сп)т, где с — копстанта, не зависящая
от п и т.
Щ 6.34. Показать, что число Ф (п, т) попарно различ-
различных формул сложности т над множеством связок
(Vi &i —) и множеством переменных хи х2, . . ., хп
не превосходит (сп)т, где с — константа, не зависящая
от п и т.
При получении нижних оценок сложности реализа-
реализации различных классов функций схемами и формулами
часто используются так называемые «мощностные со-
соображения». Примером можог служить следующее
утверждение.
155

Пусть S (n, m) — число схем из некоторого класса К,
каждая из которых реализует булеву функцию, зави-
зависящую от переменных хъ х2) . . ., хп, и имеет слож-
сложность, не большую, чем т. Пусть <р (п) — число буле-
булевых функций / (х!1) в некотором множестве 90?. Тогда,
если S (п, т) < <р (п), то в 90? найдется функция/(if),
не реализуемая п классо К схемой сложности, мень-
меньшей или равной т.
6.35. Покапать, что для всякого е > 0 и достаточно
больших п существует самодвойственная / (?"), для
которой одновременно выполняются неравенства:
6.36. Показать, что для всякого е >. О и достаточно
больших я существует функция / (ж"), являющаяся
суперполицией функции tp (^i J/, z)=xy \J z ж такая, что
—)¦
6.37. Пусть /> (n) = max L(f). Показать, что для
всякой самоднойстиепной функции /(ж") справедливо
неравенство L (/ (х11)) <^L (п — 1) -{- 4/г.
6.38. Булева функция F (ym) обладает свойством Un,
если любую булеву функцию / (х") можно получить из
F {ут) посредством подстановки констант и переобо-
переобозначения переменных (допускаются отождествления).
1) Показать, что функция yty2 обладает свой-
свойством U1.
2) Найти функцию с минимально возможным числом
переменных, обладающую свойством U2.
3) Пусть т (п) — минимально возможное число
переменных у функции, обладающей свойством Un.
2"
Показать, что j0, <ni %) ^*т(п)^3 • 2"'1.
6.39. Показать, что существует .^-функцио-
.^-функциональная схема сложности 22"—п, реализующая все
функции, зависящие от переменных xL, . . ., хп.
При построении двухполюсных контактных схем,
реализующих функции алгебры логики, широко ис-
156

пользуется так называемый метод каскадов. Опишем
его. Пусть / (хи х2, . . ., хп), п ^ 2, — функция алгебры
логики, которую нужно реализовать контактной схемой.
Через I2l<(j = l, n — 1) обозначим множество всех таких
функций алгебры логики, каждая из которых зависит
только от переменных х(.г, хш, . . ., хп и может быть
получена из функции / (х") в результате подходящей
подстановки нулей и единиц на места переменных
х1, х2, . . ., xt. Каждому множеству ^ взаимно одно-
однозначно сопоставим множество Vf, элементами которого
являются точки плоскости, называемые вершинами
i-ro ранга. Добавим еще два полюса: входной полюс а
и выходной полюс Ъ. Полюс а является вершиной ну-
нулевого ранга, полюс Ь — псршипой п-tq ранга. Мно-
Множество вершин схемы Е, реализующей функцию / (х"),
и—1
будет совпадать с {a}U{^}UU Vt. Множество контак-
тов схемы ? можно описать так: пусть v. —
произвольная вершина г-го ранга (п—2 ^ i ^ 0), и
пусть ей соответствует функция <р {хм, хш, . . ., хп)
из множества ^ (при ?=0 функция <р совпадает с функ-
функцией/ (ж")). Функции ср @, xi+2, . . ., хп) и ср A, х.+г, . ..
...,хп) принадлежат множеству <2lj.+1 и им отвечают
некоторые вершины i^+1 и v"iJtX соответственно (если
функции ср(О, xi+2,.. .,?„) и срA, xi+2,.. .,хя) равны, то
вершины г/ч1 и i;^'+1 совпадают). Вершина у< соединена
в схеме S контактом ?<+1 с вершиной и[ч1 и контактом
жт с вершиной v"in. Наконец, вершины (п — 1)-го
ранга соединяются с вершиной n-vo ранга (полюсом Ь)
в соответствии со следующим правилом:
1) если вершина v из Vn_x отвечает функции хп,
то она соединяется с полюсом Ъ контактом хп;
2) если вершина v отвечает функции хп, то она соеди-
соединяется с Ъ контактом хп;
3) если вершина v сопоставлена функции, тождест-
тождественно равной единице, то она соединяется с Ъ двумя
параллельными контактами хп и хп;
4) если вершина v сопоставлена тождественному
нулю, то вершина v с полюсом Ъ не соединяется.
6.40. Используя метод каскадов, построить схему,
реализующую функцию /.
1) /(«3) = хАе^;
2) / (г4)=Xlx2 \у ад V #а;
157

3)
4)
5) f(&) = y хх ...ж,.Л+1 ...ж,.
6.41. 1) Показать, что если / (?")#0, то при построе-
построении по методу каскадов контактной схемы, реализую-
реализующей функцию /, можно исключить из всех множеств 1,
фуш.-цшт, тождественно равные нулю.
2) Показать, что контактная схема, получаемая при
таком построении, является сильно связной.
6.42. 1) Пусть функция / (хп), п ^ 2, существенно
зависит от всех своих переменных. Доказать, что схема,
реализующая функцию / и построенная по методу кас-
каскадов, является сильно связной и не содержит парал-
параллельных контактов вида х,, Xj тогда и только тогда,
когда / — линойпая функция.
2) Привести пример иолипейпой функции / (ж"),
п р» 2, существенно зависящей от всех своих перемен-
переменных н такой, что схема, реализующая се п построенная
по методу каскадов, но содержит параллельных контак-
контактов вида Xj, Xj.
6.43. Сираводливо ли следующее утверждение: если
функция / (хп), п р? 2, существенно зависит от всех
своих переменных и контактная схема, реализующая /
и построенная по модифицированному методу каскадов,
указанному в задаче 6.41,1), содержит п контактов,
то f = xi'xl* ... а?к« (где а,?{0, 1})?
6.44. Опровергнуть следующее утверждение: если
функция / такова, что при некотором I множества 01,
и 0lm, используемые в методе каскадов, не содержат
фупкций, тождествеппо равных пулю и единице, но
в каждом из них не менее трех функций, то схема, реа-
реализующая / и построенная по методу каскадов, яв-
является пеплоской г).
6.45. Привести пример функции /, для которой
реализующая ее схема, построенная ро методу каскадов,
является неплоской.
') Имеются в виду схемы без источнипового ребра, т, е.
без дополнительного ребра, соединяющего полюсы,

Г л а в а V
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ
§ 1. Коды с нспрпклснисм ошнГюк
Пусть А и В — два конечных алфавита и R — не-
котороо множество конечных слов в алфавите А.
Однозначное отображение <р множества R в некоторое
множество слов в алфавите В называется кодирова-
кодированием множества R. Образ С множества R при ото-
отображении rf называется кодом множества R. Слова из С
называются кодовыми словами; при этом, если слово w
из R отображается в слово v из С, то v называется кодом
слова w. Слова из R называются сообщениями, алфавит
А — алфавитом сообщений, алфавит В — кодирующим
алфавитом. Если кодирующий алфавит В состоит из
двух букв (в этом случае будем полагать, что В =
= {0, 1}), то кодирование <р и соответствующий код С
называется двоичным. Код называется равномерным
или блочным, если все кодовые слова имеют одинаковую
длину. Блочный двоичный код, в котором каждое
кодовое слово имеет длину п, представляет собой под-
подмножество вершин единичного n-мерного куба. Булева
функция /с (х"), равная единице на множестве С и
нулю вне С, называется характеристической функцией
двоичного блочного кода С. Пусть р (а, р) — обычное
расстояние Хэммййга между вершинами а и р из В",
равное числу координат, в которых аир различаются.
Величина d (C)=min p (а, р), где минимум берется по
всем парам различных вершин, принадлежащих коду
С С В", называется кодовым расстоянием кода С.
Код С С. В" с кодовым расстоянием d будет называться
159

кратко <п,й>-кодом. Максимально возможная мощ-
мощность <?г,й>-кода обозначается через т (n,d),
а <;г, й>~код, мощность которого равна т (п, d), назы-
называется максимальным. Плотно упакованным назы-
называется <п, 2й+1>-код, удовлетворяющий следующему
условию: для всякой вершины а ?\ В" существует ко-
кодовое слово р, для которого р (а, р) ^ d. Блочный двоич-
двоичный код называется эквидистантным, если расстояние
между любыми двумя кодовыми словами одинаковое.
Код С С В" называется равновесным, если всякое
кодовое слово имеет один и тот же вес, т. е. если суще-
существует такое целое к (О ^ к ^ п), что С С В\. Это число
к называется весом равновесного кода. Величина max \C |,
где максимум берется по всем <,п, й>-кодам веса /с,
обозначается через т (п, k, d).
Пусть слова блочного двоичного кода С передаются
по каналу спязи, в котором могут происходить искаже-
искажении передаваемого слона. Передачу по такому каналу
можно рассматривать как некоторые преобразования
передаваемых слов. Лдесь будут рассматриваться только
такие преобразования двоичных слов, которые не ме-
меняют длину слова и состоят и замене некоторых букв
на противоположные, т. е. в замене 0 на 1 и 1 на 0.
Если слово а при передаче преобразовалось в слово р,
отличное от а, то говорят, что в канале произошли
ошибки. Если г-я буква переданного слова й отличается
от i-ш буквы полученного слова р, то говорят, что про-
произошла ошибка в i-м разряде. Если полученное слово
отличается от переданного в t разрядах, то говорят,
что произошло t ошибок. Очевидно, что число ошибок,
имевших место при передаче, равно расстоянию Хэм-
минга между переданным и принятым словами.
Пусть С С В" — двоичный код. Произвольное одно-
однозначное отображение ф множества В" на множество С
называется декодированием. Пусть й?С, a (JT1 (а) — мно-
множество всех таких вершин р из В", что ф(Р) = а. Пусть
S't' (а) — множество всех слов, которые получаются из
кодового слова а в результате нз более чем t ошибок
(очевидно, что 5" (й) есть шар радиуса t с центром а).
Говорят, что код С исправляет t ошибок, если сущест-
существует такоэ декодирование ф, что Sf (а) С ф (а) для каж-
каждого й?.С. Код С обнаруживает t ошибок, ест любое
слово, котороэ можно получить из произвольного кодового
160

сюва а в результате не более t ошибок, отлично от люоот
слова из С \ (а).
1.1. Показать, что код С С В" исправляет t ошибок
тогда и только тогда, когда р (v, w) ^ 2t-\-i для лю-
любых двух различных кодовых слов v и w из С.
1.2. Верно ли, что код С С В", исправляющий t
ошибок, обнаруживает
1) не менее 2t-\-i ошибок;
2) не менее 2t ошибок;
3) не более 2t ошибок?
1.3. Показать, что из всякого подмножества С С В"
можно получить код, обнаруживающий одну ошибку,
удалив из С не более половины вершин.
1.4. Определить, сколько ошибок исправляет и
сколько обнаруживает код с характеристической функ-
функцией /.
1) f(xn)=,Xl@x2@ ... ®хп;
2) f(xn)=x1x2...xn\/xlxu...xt:,
3) f (X ) = XjX2 . . . Х9п V XjX2 . . . #2А1г+1Ж2я+2 * * ' ЖЗя V
V Х\Хг • ' ' Хп^п+А+2 • ' • ХЗп V %& • ' ' %3п>
) / \Х ) ~= Х1ХЪ ' • • Хп-1 Ф Х1Х2 ' ' ' Хп-2Хп © • • •
1.5. Пусть слова двоичного кода С передаются по
каналу связи. При передаче кодового слова может
произойти не более одной ошибки. Для каждого ко-
кодового слова а построить множество тех слов, которые
могут быть получены после передачи Ж по каналу.
1) С= {01100, 00111, 11010, 10001};
2) С= {11110, 10100, 01011, 11001).
Пусть вероятность того, что при передаче по каналу
связи произвольного слова w из В" произойдет ошибка
в г-м разряде, равна р для всех г = 1, п. Пусть С С В" —
некоторый код мощности т, а ф'- В" -* С — декодиро-
декодирование. Величина
называется достоверностью декодирования ф пРи ко~
деС.
.6 Г, П. Гаврилов, А, А. Сапоженко 161

1.6. Показать, что при О < р < 1/2 максимум ве-
величины @ф (р, С) по всевозможным декодированиям при
фиксированном С достигается при условии, что для
каждого w^B" выполняется равенство p(w, ф (w)) =
= min p (w, v).
»ес
1.7. 1) Для кода С из задачи 1.5, 1) построить
декодирование ф с максимальной достоверностью
(?Ф (/?> С). О <С Р <С 1/2, указав для каждого w (+ С
множество (JT1 (ш). Найти max (L A/4, С).
Ф
2) Сколько существует различпых декодирований ф
с максимальной достоверностью при коде С из
задачи 1.5, 1) и 0 < р < 1/2?
1.8. Найти максимально возможную мощность кода
С С Впх обладающего свойством: для любых а и р из
С р (а, р) — четные.
1.9. Сколько существует максимальных <?г, 2>-
кодов?
1.10. Пусть п=3к. Показать, что т (п, 2ге/3)=4.
1.11. Покапать, что мощность плотно упакованного
d
</i, 2«г + 1>колн раина 2"/ 2(")*
»=о
1.12. Существует ли плотно упакованный <п, 3>-код
при « = 147?
1.13. Показать, что при п > 7 не существует плотно
упакованных <п, 7>-кодов.
1.14. Доказать, что код С С В" не является мак-
максимальным, если |С|=3.
1.15. Показать, что если в В" существует плотно
упакованный <ге,3>-код, то существует разбиение
куба Д"н на непересекающиеся сферы радиуса 1.
1.16. Пусть С — плотно упакованный <7г, 2d-\-Yy-
код. Показать, что тогда ( . п. , ) делится без остатка
\« + 1у
Bd + 1\
1.17. Показать, что не существует эквидистантных
<?г, 2^+1>-кодов мощности больше 2.
1.18. Показать, что при четном d существует экви-
эквидистантный код мощности [2n/d].
1.19. Показать, что т (п, d) — неубывающая функ-
функция параметра п.
162

1.20. Показать, что:
1) m(n-\~d, d)^2m(n, d);
2) mBn, d)>(m(rc, d)f;
3) m (n, d) <T 2m (n — 1, d).
n
1.21. Доказать, что m{n, 2t-\- 1) > 2»/2(?)«
1.22. Доказать, что
ство
1.23. Доказать, что при п <[ 2d справедливо неравен-
1.24. Доказать, что
если 2i2 — nBk— d) > 0.
1.25. Показать, что:
1) т(?г, /с, й)<Г?т(л —1, А— 1, d —1)];
3) т(п, /с,
(re— 1. к>
1.26. Пусть 5(ге> ^) — максимальное число вершин
в В", попарные расстояния между которыми не превос-
превосходят d. Доказать, что
т{п, d + i)q(n, d)<2".
1.27. Доказать, что то (и, d)<2H-'i+1.
1.28. Показать, что из всякого множества С С. В",
такого, что | С \ ^ 2d, можно выделить подмножество
D мощности, не меньшей 2~dn|C|, являющееся
(п, й)>-кодом.
163

§ 2. Линейные коды
Выражение вида
Ml © Х2«2 Ф • • • ® М„ (^
где S-i^B", Xv?{0, 1}, i = l,s, называется линейной
комбинацией векторов ах, а2, . . ., а8. Линейная комби-
комбинация A) называется тривиальной, если ХХ = Х2 = . . .=
= Хв=0, и нетривиальной в противном случае. Всякая
линейная комбинация г) векторов из В" является,
очевидно, вектором из В". Векторы йх, а2, . . ., аг
из 5й называются линейно независимыми, если любая
их нетривиальная линейная комбинация отлична от
0=@, 0, . . ., 0). В противном случае говорят, что
векторы ах, a2, . . ., а8 линейно зависимы. Подмно-
Подмножество G С 5" называется группой, если G замкнуто
относительно операции сложения по модулю 2, т. е.
если для любых а, р из G вектор йГЭР принадлежит G.
Из замкнутости A относительно операции © вытекает,
что всякан Jiinioiiiiair комбинация векторов из G также
принадлежит G (и частности, 0 ? G). Таким образом,
всякая группа G в #" является линейным векторным
пространством над полем ^2=<{0, 1}, ©, •>. Наиболь-
Наибольшее число k=k (G), для которого в группе (в линейном
пространстве) G существует к линейно независимых
векторов, называется размерностью G. Совокупность
из к линейно независимых векторов линейного простран-
пространства, имеющего размерность к, называется базисом
этого пространства. Если код G С В" образует группу,
то он называется линейным или групповым. Если ли-
линейный код в В" имеет размерность к, то он называется
(п, к)-кодом. Двоичный линейный код, исправляющий
одну ошибку, называется кодом Хэмминга.
Линейные коды удобно задавать с помощью матриц.
Матрица Я (С), строками которой являются кодовые
слова кода С С В", называется матрицей кода С.
Матрица М (С), составленная из произвольных к
линейно независимых векторов, являющихся кодовыми
') Определение операций сложения векторов по модулю 2
п умножения скаляра на вектор дано в параграфе «Булевы век-
векторы и единичный га-мерный куб».
164

словами («, /с)-кода С, называется порождающей мат-
матрицей кода С. Если Н — произвольная матрица из
нулей и единиц с п столбцами, то множество С (Я)
всех вершин куба В", являющихся линейными комби-
комбинациями строк матрицы Н, называется кодом, порож-
порожденным матрицей Н. Векторы а = (ах, а2, . . ., аю) и
Р = (Р1, |32, . . ., |Зя) называются ортогональными, если
aiPi®a2p2® . . .®аяР„ = О. Множество V (Н) всех век-
векторов из В", ортогональных к каждой из строк матрицы
Н, называется нулевым пространством матрицы Н.
Пусть С — двоичный код, каждое слово которого орто-
ортогонально каждой строке некоторой матрицы Н. Если
С является (га, /с)-кодом, а матрица Н состоит из га—к
линейно независимых строк, то /7 называется прове-
проверочной матрицей кода С. Множество С* нсех векторов,
представимых в виде линейной комбинации строк
проверочной матрицы (га, &)-кода С, называется ко-
кодом, двойственным к коду С. Через g (га, d) будет обо-
обозначаться max \C |, где максимум берется по всем
линейным кодам С С Вп с кодовым расстоянием d.
2.1. Пусть множество С С В" состоит из к линейно
независимых векторов. Показать, что любые две ли-
линейные комбинации векторов множества С, различаю-
различающиеся коэффициентами, представляют собой различные
вершины куба В".
2.2. Показать, что в В" существует система из га
линейно независимых векторов, ко не существует си-
системы из га-|-1 линейно независимых векторов.
2.3. Показать, что число векторов из В", представи-
представимых линейными комбинациями вида A), в которых
s t
2 ^{^.tf не превосходит 2
«=1 <=o
2.4. Показать, что всякий (га,&)-код имеет мощ-
мощность 2к.
2.5. Показать, что в двоичном линейном коде
либо каждый кодовый вектор имеет четный вес, либо
половина кодовых векторов имеет четные веса и по-
половина — нечетные.
2.6. Показать, что число различных базисов в В"
равно
B» — 1) Bя — 2)... Bя — 2"'»)
165

2.7. Показать,
В" равно
BВ —
что число различных (п, /с)-кодов
)BВ — 2) ... Bя — 2*"')
B* —
— 2) ... Bfc — 2*-1)
2.8. Найти число векторов из В", ортогональных
к данному вектору а из В%.
2.9. Показать, что множество всех векторов из
Б", ортогональных к каждой из строк двоичной мат-
матрицы Н размерности кХп, образует линейное простран-
пространство. Всегда ли это пространство имеет размерность
п—к?
2.10. Верно ли что для каждого линейного кода
можно указать матрицу Н, являющуюся
1) порождающей;
2) проверочной?
2.11. По заданной матрице Я указать мощность
т (С (Я)) порожденного ею кода С (Н) и кодовое рас-
расстояние d (С (II)).
/1 0 0 1 О
'—[ 110 0 1
\1 1 1 0 0,
/110 0..
0 110..
0 0 11 ..
2) II
/0 0 1 0 1\
1110 0
0 10 10
41 0 0 1 Ь
3) Н =
0 0 0у
о о о\
0 0 0
.0000
\1 0 0 0
0 1 1
здесь матрица Н имеет размерность пХп;
4) II=(FkP), где 1к — единичная матрица размер-
размерности кхк, а Р — произвольная двоичная матрица
размерпости кХ(п—к), каждая строка которой содер-
содержит по меньшей мере две единицы, к ^ п—log2 (и+1);
5) H—(IbQ), где /5 — единичная матрица, размер-
размерпости 5x5, а
1 1 1 0 1 1 0 0 1 0N
0 1 1 1 1 0 0 1 0 1
110 110 1110
0110011111
1 о i о 1 1 1 о 1/
166

2.12. Пусть V О. В" — пространство, состоящее из
линейных комбинаций строк матрицы Н = AкР), где
1к — единичная матрица размерности кХк, а Р —
матрица из нулей и единиц размерности к\(п—к).
Доказать, что V является нулевым пространством
матрицы G=(PTln_k), где 1п_к—единичная матрица
размерности (п-к)Х(п—к), а Рт — матрица, транспо-
транспонированная к матрице Р.
2.13. Для кода, порожденного матрицей Н из за-
задачи 2.И, 1), построить проверочную матрицу.
2.14. Показать, что если С С В" является {п, к)-
кодом, то двойетвевный к С код является (п, п—к)-
кодом.
2.15. Пусть Ы (С) — матрица (п, /с)-кода С ? В",
не содержащая нулевых столбцов. Показать, что:
1) каждый столбец матрицы Н (С) имеет 2*~' еди-
единиц и столько же нулей;
2) сумма весов строк матрицы Н (С) равна п-2к~1.
2.16. Показать, что кодовое расстояние линейного
кода С С В" равно минимальному из весов его нену-
ненулевых векторов.
2.17. Показать, что кодовое расстояние (п, &)-кода
не превосходит [п2к~1/Bк—1)},
2.18. Показать, что прж n=2d—1 мощность линей-
линейного </г, й>-кода не превосходит 2d.
2.19. 1) Показать, что максимально возможная
мощность g (и, d) линейного <га, й>-кода удовлетворяет
неравенству g (n, d) ^ 2g (га—1, d).
2) Используя результат задачи 2.18, покапать, что
g(n, d)^d-2"-2dv\
2.20. Пусть код С является нулевым пространством
матрицы В. Показать, что кодовое расстояние кода С
т@гда и только тогда не меньше d, когда любая совокуп-
совокупность из d—1 или меньшего числа столбцов матрицы И
является линейно независимой.
2.21. Показать, что если ^д~ j'C^*, то сущест-
вует матрица из нулей и единиц размерности к х п,
в которой любые d — \ столбцов линейно независимы
и", следовательно, существует (п, п—/с)-код с кодовым
расстоянием d или большим, чем d.
167

2.22. Пусть Нк п — матрица размерности кКп, где
fc=]log2 (rc+l)l, в которой столбец с номером i пред-
представляет собой двоичное разложение числа i (i = l, n).
Например, при и=б матрица Н3>6 имеет вид
/О 0 0 1 1 1\
Я= О 11001.
\1 0 1 0 1 О/
1) Показать, что нулевое пространство матрицы
является кодом Хэмминга, т. е. линейным кодом,
исправляющим одну ошибку.
2) Построить код, являющийся нулевым простран-
пространством матрицы Н3й.
3) Сколько ошибок исправляет код, порожденный
матрицей Нк> я?
2.23. Спектром множества С С В" называется век-
вектор s=(s0, su . . ., sn), где sr есть число пар вершин из С,
расстояние между которыми равно г. Показать, что
для всякого (га, /с)-кода С существует (и, /с)-код С",
имеющий тот же спектр и обладающий порождающей
матрицей вида AкР), где /fc—единичная матрица
размерности кхк, а Р — некоторая йатрица из нулей
и единиц размерности к'К {п—к).
2.24. 1) Показать, что g (9, 5)=4.
2) Показать, что т (9, 5) ^ 5.
2.25. Пусть существует (п, /с)-код с кодовым рас-
расстоянием d. Верно ли, что тогда существует (п, Л)-код
с кодовым расстоянием d—1?
§ 3. Алфавитное кодирование
Пусть А — алфавит, тогда А* — множество всех
конечных слов в алфавите А, включая и пустое. Длина
(число букв) слова w обозначается через X (w). Пустое
слово обозначается через Л. Соединение слов wx и w2,
получающееся приписыванием слова w2 справа к слову
wv, обозначается через ш{ш2. Слово wt называется пре-
префиксом слова wxw2, а слово w2 — суффиксом слова wxw2.
Префикс wl (суффикс w2) слова и^од называется соб-
собственным, если одновременно w-^A и w$=f=K. Слово v
называется подсловом слова w, если существуют такие
слова щ и щ, что w=u1vu2.
168

Пусть А = {ах, а2, . . ., ат} — алфавит сообщений,
а В — кодирующий алфавит. Пусть ср — однозначное
отображение букв алфавита А в В*. Кодирование слов
в алфавите А, при котором каждому слову (сообщению)
uiflt^ . .. aik ставится в соответствие слово <р (а,,)<р (а,-,) ...
... ср (dik), называется алфавитным (или побуквенным)
кодированием. Алфавитное кодирование полностью
определяется порождающим его отображением <р и
обозначается через К . Множество {ср (а): а ? А}
называется алфавитным кодом и обозначается через
<р (А). Алфавитное кодирование К и соответствующий
код ср (А) называются однозначно декодируемыми, или
разделимыми, если из каждого равенства вида
<Р («•',) <Р Ю • • • <Р (ачс) — ? («/,) ? (ал) • • • ? (ал)
— между словами в кодирующем алфавите В — сле-
следует, что l=k и it-—-it (t — i,k). Код <р (А) называется
префиксным, если никакое слово из ср (А) не является
началом никакого другого слова из ср (А). Разделимый
алфавитный код ср (А) называется полным, если для
каждого слова w в кодирующем алфавите В справедливо
утверждение: либо w является собственным префиксом
некоторого слова из ср (А), либо некоторое слово из
ср (А) является префиксом (не обязательно собственным)
слова w.
Один из алгоритмов распознавания разделимости
алфавитного кода заключается в следующем. Пусть
<р (A)={wu w2, . . ., wm] — алфавитный код. Пусть 6\ —
множество всех собственных суффиксов кодовых слов,
a S2 — множество всех слов, каждое из которых яв-
ля ется префиксом какого-либо кодового слова. Рас-
Рассмотрим ориентированный мультиграф G^, вершинами
которого являются элементы множества S=(SX П ^гШ
U {Л}. Пусть а и х — две различные вершины из S.
Дуга, ведущая из а в х, в графе G существует тогда и
только тогда, когда существуют кодовое слово w и
последовательность P = Wit, wit, ..., Wik кодовых слов,
такие, что слова w и aWitw^ ... Wikx равны как слова
в кодирующем алфавите. При этом, если а=^=Л, то
последовательность Р может быть пустой. Дуге, веду-
ведущей из а в х, приписывается слово WijVi, ... Wik.
Петли в мультиграфе Gv отсутствуют. Мультиграф G
169

называется графом алфавитного кода <р. Справедлива
следующая
Теорема 1 (Ал. А. Марков). Код <р является раз-
разделимым тогда и только тогда, когда в графе G отсут-
отсутствуют контуры, проходящие через вершину Л.
Пример 1. Пусть ср (А)—{ее, сса, Ьсса, аа, аЬ).
Тогда ?={Л, с, сса, а, Ь}. Граф Ga изображен на
рис. 22, а. В G существует контур, проходящий через
Рис. 22.
вершины Л, а, Ъ. Выписывая слова, приписанные вер-
вершинам и дугам этого контура, находим слово, которое
декодируется двумя способами:
ссаЬсса = {сса) феса) = (ее) (ab) (сса).
Пример 2. Пусть <р (А)={а, аЬ, асЬЬ, ЬЬ, ЬЬасс}.
Тогда S— {Л, Ь, ЬЬ}. В графе G9, показанном на
рис. 22, б, контуры, проходящие через Л, отсутствуют.
Код является разделимым.
Пусть имеется источник сообщений, который слу-
случайным образам последовательно порождает буквы
алфавита А = {а1, а2, • • •, ат]. Предполагается,
что появления букв алфавита А статистически неза-
независимы и подчинены распределению вероятностей Р=
m
= {pv р2 Рт), Pi>0, 2р< = 1- Всякому двоичному
алфавитному коду C = {wv w2, ...,wm} можно сопоста-
сопоставить число
называемое стоимостью кода С при распределении Р.
170

Число i?c (P) равно среднему числу букв кодирующего
алфавита, приходящихся на одну букву алфавита А.
Префиксный код Сп называется оптимальным при рас-
распределении Р, если 3?со(Р) = Ш?с(Р), гдо нижняя
G
грань берется по множеству префиксных двоичных
кодов, состоящих из т слов.
Метод Хаффмена для построения оптимального
кода опирается на следующую теорему.
Т с о р е м а 2. Если С = (wv w2, . . ., wm) — оптималь-
оптимальный двоичный код при распределении Р — {pv pz, . . ., рт)
и Pj = ft + &> причем pt > р2 > ... > Pj. I > Pj >
> 7>. то код С1 = (u?!, w.2
jO, Wj\) является оптимальным
> pj
n
w
w
._v w.a.
,w
при распределении
•Pj-V PjiV • ••> Pm> (lv Яг)-
Код С будет называться расширением оптимального
кода С. Метод Хаффмена состоит в следующем. Пусть
в исходном упорядоченном по невозрастанию списке
вероятностей две последние вероятности рт_х и рт.
Эти вероятности из списка исключаются, а их сумма
вставляется в список таким образом, чтобы в получив-
получившемся новом списке вероятности не возрастали. Эта
процедура повторяется до тех пор, пока не получится
список из двух вероятностей. После получения списка
из двух вероятностей одной из них припнсыпастся
символ 0, а другой — символ 1 (оптимальный код
для двухбуквенного алфавита сообщений при любом
распределении вероятностей). Затем в соответствии
с теоремой строится оптимальный код для трех букв
при соответствующем списке вероятностей и т. д.
до тех пор, пока не получится оптимальный код при
исходном списке вероятностей. Метод Хаффмена иллю-
иллюстрируется таким примером:
?
2
J
4
S
Pi
пг /*о,г
о,г j о,г
0,l\) 02
oA
f
0,4
0,2
fO,6 ^"\
j 04 1 \
/ /
\o/ \tm
\ooi \
i
000
001
[0/0
\0/l
171

При данном распределении вероятностей существуют
и другие оптимальные поды, например,
ч
2
3
Pi
0,4
0,2
0,2
1
Ot
000
'"!¦
00
01
10
4
5
т
Pi
0,1
0,1
Л И JI 1
к-,-
0010
0011
НА Ь
-¦;
110
111
Метод Фано построения кодов, близких к оптималь-
оптимальным, состоит в следующем. Упорядоченный по невоз-
невозрастанию список вероятностей делится на две (после-
(последовательные) части так, чтобы суммы вероятностей,
входящих в эти части, различались как можно меньше.
Каждой букве алфавита сообщений, соответствующей
вероятности из нерпой части, сопоставляется символ 0
(или 1), а остальным буквам — символ 1 (соответ-
(соответственно 0). Дилио точно так же поступают с каждой
из частей, если она содержит но крайней мере две
вероятности. Процесс продолжается до тех пор, пока
весь список не разобьется на части, содержащие по
одной вероятности. Примеры кодов, построенных по
методу Фано, приведены в таблице 6.
3.1. По заданному алфавитному коду ф (А) построить
граф G9 и выяснить, является ли код разделимым.
=z{ab, dc, a, bcadd, ca), A = {i, i = l, 5};
2) ф (^4) = {ddac, dd, eddab, a, eddd, b), A = {i, i =
= 176};
3) <f(A) = {a, ab, aebb, abb, bbacc), A = {i, i = l, 5};
4) cp (A) = {abc, bbc, beb, caa, aebb, cbcb, becabb,
abeaebbb), A = {i, i = \, 8};
5) cp (A) = {abc, abb, bec, ccaa, beabbbec, bbccaaabca,
abeabbabbbeca), A = {i, ? = 1, 7};
6) ф(Л) = {а&, bb, ca, cba, abb, bac, aabc, cabba),
A = {1, г=ТГ8}.
3.2. Пусть числа 1, 2, 4, 17, 98 кодируются своими
двоичными разложениями минимально возможной
172

длины. Например, код единицы есть 1, код двойки
есть 10, код четверки есть 100. Является ли это коди-
кодирование разделимым?
3.3. По заданному неразделимому коду tp (А) =
= {аа, аЬ, ее, сса, Ьсса} и слову w в кодирующем алфа-
алфавите В={а, Ь, с) выяснить, является ли слово w ко-
кодом некоторого сообщения. Если да, то выяснить,
является ли слово w кодом ровно одного сообщения.
1) w^ccabccabccabcc;
2) w =bccaccabccabccacabcca;
3) w = abbccaccabccaabab.
3.4. Пусть tp (A) — алфавитный код, а С? — граф
этого кода. Пусть граф G получен из графа G удале-
удалением всех вершин, являющихся кодовыми словами.
Останется ли в силе теорема 1, если заменить G на G'^i
3.5. Пусть ср (А) —алфавитный код, a G—граф этого
кода. Пусть граф G'9 получен из G удалением всех дуг
с пометками Л, ведущими в вершину Л. Останется ли
в силе теорема 1, если заменить G на G'v?
3.6. Для данного разделимого кода tp (А) построить
префиксный код с тем же набором длин кодовых слов.
1) <рD) = {01, 10, 100, Ш, 011};
2) <р(Л) = {1, 10, 00, 0100};
3) <р(А) = {10, 101, 111, 1011}.
3.7. Пусть ср (А) — алфавитный код мощности т,
в котором сумма длин кодовых слов равна N, а мак-
максимальная из длин кодовых слов равна I. Используя
теорему 1, доказать, что код tp (А) является раздели-
разделимым тогда и только тогда, когда каждое слово в ко-
кодирующем алфавите, имеющее длину не более чем
(I—l)(N—тга+1), либо является кодом ровно одного
слова, составленного из букв алфавита сообщений А,
либо вообще не является кодом никакого слова из А*.
3.8. Пусть к — наименьшая, а I — наибольшая из
длин кодовых слов алфавитного кода tp (A), a N —
сумма длин кодовых слов. Показать, что для установ-
установления разделимости кода tp (А) достаточно проверить
на однозначную декодируемость не более чем Nl/k
слов в кодирующем алфавите.
3.9. Будем считать, что два слова w н v в алфавите
{0, 1} эквивалентны, если существует такое слово и,
173

которое может быть получено как из w, так и из v
с помощью следующих операций, примененных в ко-
конечном числе:
а) вычеркивание подслов вида 10 и 1001;
б) вставка в промежутки между буквами г) слов
вида 10 и 1001.
Эквивалентны ли следующие пары слов w и v:
1) u?=1010101, i;=0101010;
2) ^=10010010, ^=010010010;
3) №=11011010, ?7=01101101?
3.10. Пусть М — множество, состоящее из т не-
непустых слов в алфавите А, имеющем к букв. Показать,
что:
1) в М найдется слово, длина которого не меньше
log, (l+m(*-l));
2) для всякого е > 0 доля тех слов из М, длина ко-
которых меньше чем A—в) log k (I-\-m {к— 1)), не пре-
превосходит (—) т~* при mj>2, к^ 2.
3.11. Пусть в алфавитном двоичном коде С мощности
2я-fl каждое кодовое слово имеет длину, не превы-
превышающую п.
1) Доказать, что код С не является префиксным.
2) Может ли код С быть разделимым?
3.12. Для заданных распределений вероятностей
появления букв построить оптимальные коды по ме-
методу Хаффмена.
1) Р=@,34; 0,18; 0,17; 0,16; 0,15);
2) Р=@,6; 0,1; 0,09; 0,08; 0,07; 0,06);
3) Р = @,4; 0,4; 0,1; 0,03; 0,03; 0,02; 0,02);
4) />=@,3; 0,2; 0,2; 0,1; 0,1; 0,05; 0,05).
3.13. 1) Для распределений вероятностей из пре-
предыдущей задачи построить коды по методу Фано.
2) Привести пример распределения вероятностей,
при котором код, построенный по методу Фано, не
является оптимальным.
3.14. Пусть C—{wu w2, . . ., wn} — оптимальный
двоичный код, отвечающий распределению Р= (pit
Pi, • • •, Рт), Pi > Рг > • • • > Pm- Показать, что:
1) Разрешается также приписывание слов 10 и 1001 слева
и справа к преобразуемому слову.
174

1) x ("><) < X (м^), если р( > ру.
2) Код С является полным.
3) Существует два кодовых слова длипы X (wm),
имеющих одинаковые префиксы длины X (шт) — 1.
3.15. Показать, что если тп не является степенью
двойки, то при любом распределении вероятностей
P = (Pi, р2, . . ., рт) в оптимальном коде найдутся два
слова, имеющих разную длину.
3.16. Опираясь на задачи 3.14, 3.15 и определение
оптимального кода, объяснить, почему нижеследую-
нижеследующие коды не являются оптимальными при заданных
распределениях вероятностей.
1)
Pi
0,6
0,2
0,1
0,1
1С,-
0
10
11
01
Pi
0,6
0,2
0,15
0,05
u>i
1
01
001
0001
1)
Pi
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
w(
000
001
010
011
100
3.17. Найти наименьшее т и такое распределение
вероятностей /> = (р1, р2, • • ¦ , />„,), при которых суще-
существуют оптимальные коды, различающиеся наборами
длин кодовых слов.
3.18. 1) Показать, что максимальная длина кодо-
кодового слова в оптимальном коде мощности т не превос-
превосходит т—1.
2) Показать, что для всякого целого т (т ^ 2)
найдется распределение вероятностей Р = (р1, р2, . . -,рт),
удовлетворяющее j условию: существует оптималь-
оптимальный код, отвечающий распределению Р и такой, что
максимальная длина кодового слова в нем равна т—1.
Bт — 1\
J пол-
полных префиксных двоичных кодов мощности т.
3.20. Код называется почти равномерным, если
длины его кодовых слов различаются не более чем на
единицу. Показать, что для всякого натурального т
175

почти равномерный код является оптимальным при
распределении Р = [— , —,...,—). Верно ли обратное?
\ТП ТПг ТП. J
3.21. 1) Показать (индукцией по тп), что сумма
длин кодовых слов оптимального кода с тп сообщениями
не превосходит -j (m -\- 2) (тп — 1).
2) Показать, что для каждого целого m ^ 2 оценка,
указанная в предыдущей задаче, является достижимой.
3.22. Пусть gx, g2, . . ., gm — произвольные по-
попарно непересекающиеся грани куба В" размерностей
I'd г2, . . ., rm соответственно.
fn
1) Используя очевидное неравенство 2 2Г< ^ 2", по-
казать, что длины Х^), X(w2), ..., X (wm) слов произволь-
произвольного двоичного префиксного кода C = {wv w2, ..., wm)
m
удовлетворяют условию 2 2~х(ю<>^[1.
2) Показать, что для полного префиксного кода спра-
m
всдли1зо равенство 2 2-х'ю<) = 1.
3) Показать, что если 2 2"х* ^ 1, где X, — натураль-
<i
ные числа, г = 1, тп, то существует префиксный код с
длинами слов, равными Xr X2, ...,Xm.
3.23. 1) Верно ли, что в оптимальном двоичном коде
число кодовых слов максимальной длины четно?
2) Верно ли, что это число является степенью двойки?
3.24. Пусть С = {ц?х, w2, ...,wm)—полный префикс-
префиксный двоичный код, и пусть X (w{) ^ X (и;<+1) для всех
г = 1, щ — 1. Показать, что при т^'2 для всех i =
= 1, m — 1 сиранедливо неравенство Х(и;<41)—X(w{)^
<[ log2 m — i.
3.25*. Пусть Lm — наименьшее целое, для кото-
которого существует двоичный префиксный код мощности тп
и суммой длин кодовых слов, равной Lm. Доказать,
что Lm^ тп [log2 m] при тп ^ 2.
3.26. Показать, что длины кодовых слов X(Wj),
X(w2), ..., \(wm) двоичного оптимального кода C = {wv
m
w2, ..., ы7 } подчиняются условию 2 2-х<ю<) =1.
1=1
176

3.27. Пусть Р = (р1, р2, ..., рт)— распределение ве-
вероятностей (р^>0, i = \, m), а 3?(Р) = ШЗ!с(Р), где
с
нижняя грань берется по всем двоичным префиксным
кодам мощности т(т^ 3).
1) Показать, что «S? (/>) > 1.
2) Доказать, что для любого е у> 0 и любого це-
целого тп'^\ существует распределение вероятностей
p=(Pv Рч Pj. такое, что %{Р) < 1 + е.
Метод Шеннона для построения кодов, близких
к оптимальным, состоит в следующем.
m
Пусть P = (pv р2,...,рп), Р,>0,2р( = 1. Р<>
*i
^р<+1, i = l, m—1 —распределение вероятностей появ-
появления букв алфавита сообщений А={а1, а.2,...,ат}.
Тогда букве а( сопоставляется кодовое слово длины
l{ = log— , составленное из первых (после запятой)
1{ цифр разложения числа ?<_1 = 2 Pt B бесконечную
двоичную дробь (с недостатком).
' Например, если Р=@,4; 0,3; 0,3), то код буквы а,
,. есть 00, код а2—ь01, код а3 — 10.
3.28. Построить по методу Шеннона коды для рас-
распределений вероятностей из задач 3.12, 1), 2).
3.29. Указать наименьшее т, при котором суще-
существует распределение вероятностей Р=(ри р2, . . ., рт),
такое, что код, построенный по методу Шеннона для
данного распределения вероятностей, не является оп-
оптимальным.
3.30. Доказать, что код, построенный по методу
Шеннона, является префиксным.
3.31. Пусть «S?*(m) = supinf«S?0 (P), где верхняя грань
р с
берется по всем распределениям P — (pv р2, ..., рт), та-
т
КИМ, ЧТО pt^>0, 1 = 1, т,2Р( = 1'
1) Доказать, что ()^[g2]
2) Доказать, что X* (т) ^ [log2 m] -(- 1.
177

Глава VI
КОНЕЧНЫЕ АВТОМАТЫ
§ 1. Детерминированные и ограниченно-
детерминированные функции
Пусть А — непустой конечный алфавит. Элементы
алфавита называются буквами (или символами). Сло-
Словом в алфавите Л нанимается последовательность,
составленная ни буки алфавита Л. Длина (число букв)
в слове w обозначается через \ (w). Множество всех
слов х'=х A) х B). . . х (s) длины s (s ^ 1) в алфавите
А будет обозначаться через А3. Слово длины 0 {пустое
слово) обозначается символом Л. Через А* обозначается
множество {Л} \J \J А\ а через Аю — множество всех
слов хш=х {\)х B). . ., где х (t) ? A, t=i, 2, . . .
Слова из Аю называются бесконечными словами в алфа-
алфавите А.
Слово w, получающееся приписыванием слова w2
справа к конечному (или пустому) слову и>и называется
соединением слов wl и w2 и обозначается через w^w^
При этом слово wl называется началом (префиксом),
а слово w>2 — окончанием (суффиксом) слова и>.
Пусть А и В — конечные непустые алфавиты. Ото-
Отображение tp: Аш -* Вш называется детерминированной
функцией, или детерминированным оператором (со-
(сокращенно — д. функцией, или д. оператором), если оно
удовлетворяет следующим условиям:
(а) для всякого s ^ 1 s-й символ у (з)-словаг/а)=ср(;?т)
является однозначной функцией первых s символов
х A), х B), . . ., х (s) слова ?°;
178

(б) если у слов $f и xf префиксы длины s(s^l)
совпадают, то совпадают также префиксы длины s
у слов yf = y(xf) и г/™ ==ср (.??).
Через Фа, в будет обозначаться множество всех д.
функций вида ср : Аш -» Вш.
Если А — А1ХА2Х...ХАП и B = BLxB2X .. -ХВт,
то отображение ср : Аю —» Вш индуцирует т функций
f( = f{ (Xv X2, . .., Хп), i = 1, 2, ..., m, каждая из кото-
которых зависит от п неременных, причем переменная X ¦
пробегает множество A™ (j = i, 2,...,n). Эти функции
определяются так. Пусть хш = х A) хB) ... хA)...—
слово из Аю и ут = ср (хт) = i/A)i/ B)... у (/)... Тогда
Можно постунать наоборот — исходя из функций ff,
строить отображение ср.
Понятие д. функции от п аргументов возникает
естественным образом при рассмотрении д. функций
вида г- (Л,ХА2X ... X AS -* В».
Переменная Хх функции f(Xv Х2, . .., Хя): (А^ X
X А2 X .. • X An)w -» Вш называется существенной, если най-
найдутся два набора (?», ??,,...,?») и (xmvi, х^, ..., ж»)
8на1эний переменных Х1( Х2, . .., Хя, отличающиеся
только первой компонентой и такие, что <р(а™,, а^,, ...
..., ?™)=7^ср(ж7г, *2м • ¦ •> *!?i)- ^СЛИ чоременнал Х1 не
является существенной, то она называется фиктивной,
(или несущественной). Аналогично определяется суще-
существенность и фиктивность любой другой переменной Xv
от которой зависит данная функция.
Говорят, что функция <р (Хх, Х2, . . ., Х„) за-
зависит существенно (несущественно) от переменной
X/ A ^ i ^ ;г)' если эта переменная является суще-
существенной (соответственно фиктивной) переменной функ-
функции ср.
Если А есть множество всех векторов длины п
с элементами из Ек, & В — множество всех векторов
длины т с элементами из Et, то вместо Фа, и будет
применяться обозначение Ф?;™. При n~m — i верхние
индексы у Ф1к') будут опускаться; если к = 1, то внизу
будем писать только один индекс: Ф>'>т,
179

Иногда бывает удобно считать, что д. функция ц>
из Фа, в реализуется некоторым дискретным устрой-
устройством (автоматом) QL, работающим в дискретные
моменты времени t—l, 2, . . . На вход этого устройства
в каждый момент t подается сигнал х (t), а на выходе
появляется сигнал у (t) (рис. 23). Слова хш называют
входными, слова уф — выходными, А называют вход-
входным, В — выходным алфавитами автомата *21 . Если
А =А1ХА2Х. . .ХАП и В=В1ХВгХ- ¦ -ХВт, то можно
считать, что автомат <21<р реали-
реализует т детерминированных функ-
XltJ
jit)
ций, каждая из которых зависит
от п переменных.
Любые две функции <рх и <ра
Рис. 23. из Фа, в называются различимыми,
если существует входное слово х?,
нерпраГттииаомо:) ими в разные выходные слова, т. е.
<Pi(;i;»O/-=liPa(;l7"")- Поли жо равенство <?1(хю) = <?2(хт)
IIUIIOJIIIHI'TOH П|)|| НСЯКОМ ВХОДНОМ СЛОВО Хш, ТО epi И ср2
iiii:)i>iimii()T(wi .жвиштешшилми, или неразличимыми д.
функцпнми.
Пусть (р(<A>/1|Л и $?Фа,в- Если существует такое
слоно xl?_A\ что ср(х1хю) = ср (ж«) у (жш)х) для любого
слона ж'" ^ Лш, то оператор ф называется остаточным
оператором оператора <р, порожденным словом х%, и обо-
обозначается через ср?». Множество (?(ср, ж*) всех остаточ-
остаточных операторов оператора <р, эквивалентных оператору
«р^я, образует класс эквивалентности, называемый со-
состоянием оператора ср, содержащим остаточный опе-
оператор ср..,. Состояние, содержащее оператор ср, назы-
называется началыилм. Если ф ? (? (tp, rcg), то будем говорить,
что оператор ф реализуется состоянием Q (ср, жй) опера-
оператора ср. Оператор tp называется ограниченно-детерми-
ограниченно-детерминированным (сокращенно — о.-д. оператором, или
о.-д. функцией), если он имеет конечное число попарно
различных состояний. Число различных состояний
о.-д. функции называется ее весом. Если множество
попарно различных состояний оператора tp — беско-
бесконечное, то будем считать, что вес оператора tp равен оо.
') Здесь через tp(^g) обозначен префикс длины s выходного
слова f Щхш).
180

Череп <ЪА я обозначим множество всех функций из Ф|,я,
являющихся о.-д. функциями.
При рассмотрении д. функций удобно пользоваться
графическим изображением их в виде бесконечных ин-
информативных деревьев. Пусть А — алфавит из п букв.
4§рез DA обозначим бесконечное ориентированное
корневое дерево, удовлетворяющее условиям:
(а) полустепень исхода каждой вершины, включая и
корень, равна п;
(б) полустепень захода корня равна 0, а всякой
другой вершины — 1;
(в) каждой дуге дерева Da приписана некоторая
буква алфавита А, причем разным лугам, исходящим
Рис. 24.
Рис. 25.
из одной и той же вершины дерева (в частности, из
корня), приписаны разные буквы. Корень дерева будем
считать вершиной нулевого ранга; если вершина v яв-
является кондом дуги, исходящей из нершины г-го ранга
(i ^ 0), то v называется вершиной (i-\-l)-ao ранга.
Дугой )-го яруса (j ^ 1) называется дуга, исходящая
из вершины (/—1)-го ранга. Всякой бесконечной ориен-
ориентированной цепи в деревеDA соответствует слово из Аш.
На рис. 24 изображен фрагмент дерева Da, А — {0, 1),
состоящий из трех первых ярусов этого дерева (мы
предполагаем здесь и в дальнейшем, что символу 0
соответствует левая дуга, исходящая из вершины,
а символу 1 — правая); жирными дугами выделена
цепь, соответствующая слову 101.
Нагруженное дерево Da,в получается из дерева Da
путем приписывания каждой дуге некоторой буквы
из алфавита В. Всякой ориентированной бесконечной
цепи в дереве Da,в отвечает слово из Вш, составленное
из букв, приписанных дугам этой цепи. Поэтому можно
181

считать, что нагруженное дерево Da, в задает (реали-
(реализует) отображение tp: Аш -> В, являющееся д. функ-
функцией. На рис. 25 изображен фрагмент некоторого на-
нагруженного дерева Da,b, где А —{0, 1} и В= {О, 1, 2};
д. функция, соответствующая этому дерезу, перера-
перерабатывает, например, слово 1010 в слово 2012. ь
Пусть Da, n — нагруженное дерево, реализующее
д. функцию ср. Остаточному оператору ??s(s^ty
оператора tp отвечает поддерево Da,b(?s0), растущее
из такой вершины v (xs0) s-ro ранга, в которой оканчи-
оканчивается цепь, исходящая из корня и содержащая
ровно s дуг, причем этой цепи в i-м ярусе принадле-
принадлежит дуга, помеченная буквой х0 (i) ? A.
Если остаточные операторы <p.,t и ср.8г эквивалентны,.
то соответствующие им вершины v (ж?>) и v (х??) и рас-
растущие из этих вершин поддеревья также называются
эквивалентными. Вес дерева, реализующего д. функ-
функцию, равен весу этой функции, а следовательно, мак-
максимальному числу попарно неэквивалентных вершин
(или поддеревьев) данного дерева.
1.1. Выяснить, является ли д. функцией отображе-
отображение <р: {0, 1Г->{0, 1}ш.
l(\2 ($C(
;
2) ср(хш) = 10100100010... 010 ... 010 при любом
в раз
входном слове х";
3) <р (х A) х B) х C).-. .) = х (l)a: B) х A) х B) х C) . . .,
т. е. у A)=х A), г/ B)=а; B) и у @=а: («-2) при « > 3;
4) <р (г A) i B) . . .)=0 х A+х B))х A+х C)). . .,
т. е. у A)=0, у {t)=x A+х @) при г > 2.
1.2. Является ли детерминированной функция
у: {0, 1 }т -> {0, 1 }ш, заданная следующим словесным
описанием?
1) Слово хт=.х A) а; B) ... перерабатывается в слово
0ш = 000 ... 0.. ., если существует такое t, что х (t) = 0;
в противном случае ер(?ш) = 1ш= 111 ... 1 ...
2) s-я буква г/ (s) в слове ym=tp (ж*) равна 0, если при
некотором t ^ s выполняется неравенство х (t) <
<? (f-f-l)-f-a; (?+2); в противном случае у (s) = l.
182

3) s-я буква у (s) в слове г/ю=ср (^") равна 0, если
существует t ^ s, такое, что х (t) ^ т (s); в противном
случае г/ (s) = l.
4) г/A)=0 и при s^2 число нулей в префиксе
у A) г/ B). . . y(s) слова уш—<? (хш) на единицу больше
числа нулей в слове х (l)zB). . . х (s).
Каждому слову х*°=х A)х B). . .х (t). . . из {0, If
соответствует некоторое число v (if) из отрезка
[О, 1], двоичное разложение которого имеет вид
О, х A) х B). . . х (t). . . Если а ? [0, 1), то его двоич-
двоичное разложение1) 0, а^. . . аг . . порождает слово
<а>=х A) х B). . . х (t) . . ., где х {t)=at (I > 1).
1.3. Выяснить, является ли детерминированной функ-
функция ср:{0, 1}™— {0, 1}ш.
2, т(Г) = (!з);
1.4. Является ли детерминированной функция <р (Xv
X,,..., Х„) :{0, 1Гх{0, 1ГХ...Х{О, 1Г->{0, 1}ш?
я раз
1Ш, если v (ж^) ^ v E%),
0ш в ином случае;
??, если v (х?) v №») < 1 '2,
2) ф (я?, » = {
71 ¦" ' fj в ином случае;
[ Г, если
} т\ 1' 2' j^ | ?о> в ином случае;
Ч V IJ/i I У l^o //> CL<J1»J
0е0 в ином случае.
1.5. Приводимые ниже частичные функции ср : {О, 1}ш-*
-» {0, 1}ш не определены только на слове (Г = 00.. .0...
Выяснить, какие из этих функций можно доопределить
до детерминированных, а какие — нельзя.
х) Если а = р/2п (п > 1), то рассматривается такоо двоич-
двоичное разложение; которое содержит бесконечно много нулей.
183

г 1, в
"<*>={ 0 в
( х", если rs каждом префиксе слона хш
1) ср(,гш) = -! число нулей но меньше числа единиц,
[ 1т 13 ином случае;
Г 0, если 3s ((s < t) & (х (s) = 1)),
I 1 в ином случае;
1, если для некоторого s^< в префиксе х {\)х B)...
... х (s) число нулей больше числа единиц,
x(t) в ином случае;
4) <р(?°) = у{\)уB)...уA)...,гд.е
1, если ч(хA)хB) ...x(t)OO ... О ...)<1/2,
ином случае.
1.6. 1) Опровергнуть следующее утверждение: если
функция <f(Xv Х.2): @, 1}шХ{0,1}"-* {0, 1}" существенно
зависит от iiopCMiMiuoH Xt и при всяком (фиксированном)
слоно ж?(<{(), 1}т ср (X1F ж") — д. функция, то и сама
функция <р(Х{, X.,) япляется детерминированной.
2*) Пусть функция ср (Xv X,): @, 1}шх (О, 1}ш — (О, 1}Ш
удовлетворяет условию: каконы бы ни были слова х" и
хт, из (О, 1}Ш, функции <f(Xv x%) и ср(х™, Х2) — детерми-
детерминированные. Является ли тогда детерминированной и
функция ср (Хр Х2)?
1.7. Для функции ym = <p(xm), принадлежащей мно-
множеству Ф2, построить фрагмент нагруженного дерева,
содержащий s первых ярусов.
1) г/A) = 1 и y(t) = x(t — 1) при t~^2, s = 3;
2) г/ A) = 0 и y(t)=x(f)®y(t — 1) при
1.8. По заданной функции ср (хш) ^ Ф2 изобразить
в нагруженном дереве цепь, соответствующую префиксу
Xs входного слова хш, и написать префикс у* выходного
слова г/10.
1) ср (ж10) = 10100100010... (т. е. y(t) = \ лишь для
*=(У» *=2, 3, ...), ?7==
184

2) ф(Г) = /^рУ (а) ж7 = 1111101, (б) Ж7 = 1010110;
1, если х A) + «B) + ... +х (t) > */2,
3) и и) = \ _,
I U в ином случае,
(а) ж10 = 0101010110, (б) г10 = 1100101110.
1.9. Нагруженное дерево, соответствующее некото-
некоторой функции ср (хш) ? Ф2, имеет следующий вид: левой
дуге, исходящей из корня, приписан 0, правой — 1}
если v — вершина i-ro ранга (i ^ 1) и дуге г-го яруса,
заходящей в вершину v, приписан символ о ? {0, 1},
то левой дуге, исходящей из у, приписан тот же символ
о, а правой дуге — символ а (отрицание о).
1) Верно ли, что для этой функции s-n буква вы-
выходного слова f/m=<? (xm) находится из соотношения;
(а) уA) = х A), y(s) = x(s—\)®x(s) при s > 2;
(б) y(i)=x(l), yB)=x(l)@xB),y(s) = x(s — 2)@
®x(s) upn s>3;
(в) г/ (s) = жA) 0 ж B) 0 ... 0 ж (s)?
2) Найти вес функции <р-
1.10. Эквивалентны ли остаточные операторы <f~s и
<??г д. функции ср ? Ф2?
1) <р (хш) = 10100100010 ... (т. е. у (t) = 1 только для
< = (з). ' = 2. 3, ...). *з =
2) ср(Г) = ^, ag=10, «? = 00101,•
3) ср (Г) =
.. и
( 0, если хA) + хB)-{ +x(t)<t/2,
у (t) = < .
' I 1 в ином случае,
«g = 10, «« = 010110.
1.11. Выяснить, является ли срх остаточным операто-
оператором функции ср ? Ф2.
|y() .
^ \y(t)=y{t-l), «>2;
185

2) r.
3) Г-
y(l) = y(t-\), <>2,
j/(l) = O,
у @ = 0 ('-*). *>2;
;/ (!) = (),
;у (*) = z (/) . ж (/ - 1) V т (t) • х (t — \), * > 2,
1.12. Выяснить, является ли функция
функцией, и найти ее вес.
о.-д.
3)
4)
1),
—3),
2^—1).
2,
5)
г/2 @ =«, @
!/i(l) = l.
0 *! @-^A — 1) ф
x.2{t)-y2(t-\), ^>
*> 2,
1.13. Пусть D4jB — нагруженноэ дерево, реализую-
реализующее 'о.-д функцию <р : Ат -> 5Ш. Каждой вершине дерева
Z)^ в припишем число, равноз весу поддерева, расту-
растущего из нее. Получим новое дерево Da, в-
186

1) Для всякого r^l привести пример такой о.-д.
функции <р> чтобы каждая вершина в дереве Da, в, со-
соответствующем функции <р, была помечена числом г.
2) Для всякого г ^ 2 привести пример такой о.-д.
функции ф, чтобы при /=0, 1, . . ., г—1 каждая вер-
вершина /-го ранга в дереве Da, в, соответствующем функ-
функции <р> была помечена числом г—/\
1.14. 1) Доказать, что дерево Da,в, построенное
в соответствии с условием задачи 1.13, обладает сле-
следующим свойством: последовательность чисел v (ух),
v (v2), . . ., приписанных вершинам ориентированной
цепи vu (vu v2), v2, (v2, v3), vs, . . . (конечной или беско-
бесконечной), является монотонно певозрастающей и, в слу-
случае бесконечной цепи, эта последовательность стабили-
стабилизируется.
2) Показать, что любой остаточный оператор функ-
функции <р ? Фа, в имеет вес, не превосходящий веса функ-
функции <р-
1.15. Дерево, реализующее функцию <ро (хю) ? Ф2,
имеет следующий вид: символ 1 приписан только тем
дугам, которые принадлежат ориентированной цепи,
исходящей из корня и соответствующей входному слову
10100100010 ... (здесь x{t) — \ лишь для ^ = B). * =
= 2, 3, . . .); остальным дугам приписан символ 0. До-
Доказать, что функции <Ро имеет бесконечный вес и, следова-
следовательно, не является ограниченио-детермшшропанной.
1.16. Для каждого г^2 построить пример такой
о.-д. функции веса г, которая удоплстворяст условию:
в реализующем эту функцию нагруженном дереве сим-
символ 1 приписан только дугам некоторой одной беско-
бесконечной ориентированной цепи Z, исходящей из корня;
остальным дугам (не принадлежащим цени Z) приписаг!
символ 0.
Слово xw ? Аш называется квазипериодическим, если
существуют такие целые числа щ и Т, что п0 ~^ 1,
Т ^ 1 и х (п-\-Т)~х (п) при п ^ щ. При этом префикс
х A) х B)... х (п0—1) слова хт называется предпериодом,
числогао—1 —длиной предпериода, слово х (п0) х («0+1). ..
. . . х (по+Т—1) — периодом слова х°, а число Т —
длиной периода. Такое квазипериодическое слово удобно
записывать в виде
х(\)хB) ...х(по-1)[х(п0)х(по+1) ...х(по + Г~1)Г<
187

1.17. 1) Доказать, что если функция <р?Фл,в,
то всякое квазипериодическое слово из Аш преобра-
преобразуется функцией <р в квазипериодическое слово из Вт.
2) Показать, не выходя за пределы множества Ф2,
что утверждение, обратное к сформулированному
в 1), неверно.
Указание. См. задачу 1.15.
1.18. Опровергнуть следующее утверждение: если
д. функция ?(*!, Ха):{0, 1ГХ{0, 1}ш-{0, 1}ш суще-
ственно зависит от переменной Хг и при всяком (фикси-
(фиксированном) слове XjG@i 1}1" <р(^11^)—о.-д. функция,
то функция tp (Xv X2) также является ограниченно-детер-
ограниченно-детерминированной.
1.19. Пусть все вершины нагруженного дерева раз-
разбиты обычным образом на классы эквивалентности.
Доказать, что, каков бы ни был класс эквивалентности,
в нем существует некоторая вершина v, удовлетворяю-
удовлетворяющая условию: все вершины в ориентированной цепи,
исходящей и и корня дерева и оканчивающейся в вер-
вершине и, попарно по эквивалентны.
1.20. 1) Доказать, что для каждой вершины нагру-
нагруженного дсрсиа, имеющего вес г, найдется эквивалент-
эквивалентная ой вершина ранга не выше г—1.
2) Можно ли в предыдущей задаче заменить г—1
на г—2, если г ^> 2?
Пусть f1 (xv х2, .. ., жя), /2 (xv х2, ..., хп), ..., fm(xv
х2, ..., х„) — функции вида ЕкхЕкХ-..ХЕк -* Ег где
п раз
ft и / не меньше 2. Оператор <рЛ. Л fm из ®1\Г назы~
вается оператором, порожденным функциями fv /2, ...,/„,
если для всякого 1
\)i @ = /< (xi (О» Х2 @» • • •> хп (*))> »= !' 2> • • •> т-
1.21. Покпзать, что оператор из Ф?> J является порожден-
порожденным (некоторой функцией вида EkX.EkX • • • XEk ->E,)
п раз
тогда и только тогда, когда его вес равен 1.
1.22. Выяснить, является ли порожденным оператор
<р ? Щ 2, задаваемый следующими соотношениями:
188

1.23. Частичный оператор <р : @, 1}ш-> (О, 1}Ш задан
только на входных словах 0ш и 1Ш. Доопределить его
так, чтобы получился оператор с минимально возмож-
возможным весом.
1) <р@и) = О1О1[1ООГ, «р (Iм) = 11 [ЮГ;
2) ^(б") = 01 [01 If, <р(Г) = 1010010001000010...
(т. е. y(t) = \ только для 1 = Г], i =2, 3, ...J.
1.24. 1) Доказать, что если |Л|>1 и \В\^>1, то
мощность мргожества Фл, в равна с (мощности конти-
континуума).
2) Найти мощность множества '1'л, в в тех случаях,
когда либо | А | = 1, либо | В \ = 1.
1.25. Слона xf и х^ из Лт называются s-экоивалент-
ными (обозначение: xf ~ 5%), если равны их префиксы
длины s (s^3=l). Отношение ~ является отношением
эквивалентности и разбивает множество Аш на классы
К . (s) s-эквивалентных слов.
1) Какова мощность каждого класса К . (s) (s — фикси-
фиксированное число)?
2) Сколько существует различных классов К j (s)
(при фиксированном s)?
3) Сколько существует различных классов Kj{(s-\-t)
в каждом классе К . (s) (здесь I ^? 1)?
4) Доказать, что отображение f : Лт—* В"' является
Д. функцией тогда и только тогда, когда для всякого а\,> 1
и любых слон х'° и ж'2°, принадлежащих множеству А,
соотношение xf — х'° влечет соотношение <р (xf) ~ <p (xf).
1.26. 1) Доказать, что если |Z?|^>2, то множество
Ф^, д — счетно-бесконечное.
2) Чему равна мощность множества Фа в, если
1?
1.27. Пусть Da,b — нагруженное дерево, реализую-
реализующее о.-д. функцию у : Ат -» В* веса г. Изменим выход-
выходной символ у какой-либо дуги /-го яруса дерева Da, в
(считаем, что \В\~^2). Получим дерево D'a, в, реали-
реализующее некоторую (новую) о.-д. функцию у>' веса г'.
1) Показать, что 1^г'^г-(-/.
2) Привести пример такой о.-д. функции <р, па кото-
которой достигается верхняя оценка, т. е. г' = г -j- /•
189

? 2. Представление детерминированных функций
диаграммами Мура, каноническими уравнениями,
таблицами и схемами. Операции
над детерминированными функциями
Пусть Q = {Qo, Qv . .., Qw.i) — множество всех со-
состояний функции <р из Фл,в- Сопоставим функции <р
орграф Г^:
1) множеством вершин орграфа Г^ является мно-
множество Еи = @, \,...,w — 1}, причем считается, что
вершина / соответствует состоянию Qy,
2) если ср(" и ер'-" —остаточные операторы функции ер,
реализуемые соответственно состояниями Q( и Qj (при-
(причем ср(У) является также остаточным оператором онера-
тора ср'", соответствующим префиксу xl = a, и ср(" (ажш) =
= 6(р(-7) (?ш)), то в орграфе Г имезтея дуга (г, /) и ей
приписывается выражение а (Ь);
3) дуга (i, }') существует в Г только при выполне-
выполнении условий н. 2).
Вершина из Г?, соотввтетнующ.чя начальному со-
состоянию функции ер, обычно отмечается звездочкой.
Пусть из в?рш1мш i в вершину / идут т дуг, кото-
которым приписаны выражения Оцф^, а2(Ь2), . . ., ат Fт)
(здесь обязательно ар ф aq при p^=q, но некоторые или
все из символов bs могут совпадать друг с другом);
тогда будем соединять i с / только одной дугой (i, f)
и будем приписывать ей все выражения ар(Ьр), р = \, т-
Орграф Г^ называется диаграммой Мура функции f.
С Гт мг)жно связать две функции:
а) F: AxQ -» В — функция выходов,
б) G: AxQ ->Q — функция переходов.
Функции F и G по Г9 определяются так: по паре
(а, ]) находим вершину / и такую дугу, исходящую
из /', которой приписан входной символ а (пусть эта
дуга имеет вид (/, г)); значением функции F на паре (а, /)
является выходной символ, приписанный дуге (/, г)
и стоящий в скобках за символом а; значение функции
G на паре (а, /) совпадает с г, т. е. равно «номеру» того
состояния, которое «является концом» дуги (/, г).
Система уравнений
y(t) = F(x{t), q(t-\)),
g(l)=G(x(t), q(t-\)), A)
190 \

где х (I) 6 А, у @ б В, q(t) ? Q (t=l, 2, . . .) и
q0 ? Q, называется каноническими уравнениями опе-
оператора (р с начальным условием q0.
С помощью диаграммы Мура и канонических урав-
уравнений можно задавать и такие детерминированные
операторы, которые не являются ограниченно-детер-
ограниченно-детерминированными. Множество вершин орграфа Г , со-
соответствующего такому д. оператору, совпадает с на-
натуральным рядом 7V={0, 1, 2, . . .}.
Если <р — ограниченно-детерминированный опера-
оператор, то функции F (x (t), q (?—1)) и G (x (t), q (t—i))
(см. систему A)) и аргументы, от которых зависят
эти функции, принимают коночное число значений;
поэтому возможно табличное задание о.-д. оператора <р
с помощью так называемой канонической таблицы.
ТА Б Л И ЦА 7
.со
¦
а
.0-,
\
У @
•
-3@
G(a, /)
Вместо канонических уравнений A) бывает удобно
рассматривать такие канонические уравнения, в кото-
которых функции выходов и переходов являются функ-
функциями ft-значной логики Рк (к ~^ 2). Для получения
соответствующего представления оператора rf алфавиты
А, В и Q кодируются векторами, координаты которых
принадлежат множеству^ (к ^ 2). Если <р — о.-д. опе-
оператор и n=]logk\A\[, m=]\ogk\B\[, r=]logk\Q\[,
то для кодирования букв из алфавитов А, В и Q до-
достаточно взять векторы (с координатами, принадлежа-
принадлежащими Ек), имеющие длины га, т н г соответственно х).
Если д. оператор ? не является о.-д. оператором, то
г = оо.
191

Система A) преобразуется тогда в следующую:
у, (I) = F1 {xx (*), ...,x, (*), q, (t - 1),..., gr (t - 1)),
ym @ =
9l @ =
(*i @. •••.*. W.
fo (o, ...,*. @.
).•••. g, (*-1)).
). • • ¦. gr (* -1)), B)
В дальнейшем используется также «векторная запись»
систем, аналогичных системе B). При такой записи
система B) выглядит следующим образом:
q(r) (t) = G-(r) (ж(и) («), g(r) (< — 1)),
C)
Функции F( и С?, в системе B) являются, вообще
говоря, частичными, т. е. не всюду определенными.
Обычно их доопределяют так, чтобы правые части урав-
уравнений в B) имели по возможности более простой вид.
Каноническая таблица, задающая о.-д. оператор tp,
соответствующий системе B), имеет т-\-п-\-2г столб-
столбцов и кп+г строк.
Уравнения системы B) называются каноническими
уравнениями в скалярной форме, а уравнения из системы
A) — каноническими уравнениями в векторной форме.
Можно считать, что система B) определяет оператор
из множества Ф?- т.
Пусть д. оператор <? задан системой B) и каждая
и;) функции F( и Gt — всюду определенная функция
Лхшачной логики Pk {k ^ 2). Будем рассматривать
оператор ср как элемент множества Ф?-т. Схема 2
оператора <р определяется следующим образом: 2
представляет собой сеть, полюсам которой приписаны
символы входных и выходных переменных, а некото-
некоторым вершинам, отличным от полюсов, приписаны сим-
волы каких-то д. операторов (из множества |J \J Ф|'8
\ 8=1 S'=l
Схему оператора tp из Ф?- т будем изображать в виде
').
/
192

прямоугольника (рис. 26) с п входными и т выходными
каналами. Входные каналы изображаются в виде стре-
стрелок, исходящих из входных полюсов, а выходные —
в виде стрелок, заходящих в выходные полюсы. По-
Полюсы изображаются в виде кружочков. Если т=1,
то схему 2 оператора <р иногда будем изображать в виде
треугольника (рис. 27) с п входными и одним выход-
выходным полюсами.
Считаем, что в каждый момент времени ?=1,2,...
на j-й вход х{ «.поступает» входной символ х( (t) ? Ek,
а на /-м выходе у, «выдается* (реализуется) значение
(t)F fo (t)(*) (tl)(t1))
у, (t)=
=Fj
(t)
(р
х„ (*), Ql (t-l)
qr (t-1)).
Говорят, что выход у j зависит с запаздыванием, от входа
Х,о-
Х
Ут
Рис. 26.
Рис. 27.
xt, если функция Fj (x(n) (t), qin (t — 1)) не зависит
существенно от переменной xt(t).
Понятие зависимости с запаздыванием можно ввести
иначе. Рассмотрим, например, случай д. функции вида
<р (Хи Х2, . . ., Хп): АгхА2Х- • -ХАп -> В и опреде-
определим зависимость с запаздыванием от переменной Хг.
Функция <р зависит с запаздыванием от Xv если нри
любых входных словах Я%, ?%,..., х% (?у?Аш., }=\,п)
s-я буква выходного слова ^ш=ср(^°, х%, ..., х%) одно-
однозначно определяется s первыми символами слов х%, ...
. ..,ж™ и s — 1 первыми символами слова xf.
Пусть д. функция <р задана системой B) и 2^ — схема
этой функции. Определим три операции над функцией
<р и схемой 2 .
1) Операция Ох — отождествление двух или боль-
большего числа входных переменных в функции <р и отожде-
отождествление в схеме 2^ соответствующих этим переменным
входных полюсов. Отождествленные полюсы рассматри-
рассматриваются как один полюс новой схемы. На рис. 28 по-
показана схема ?ф, которая иолучена из ? отождествле-
отождествлением полюсов хх и хг.
1 Г. П. Гаврилов, А. А. Сапожеико
193

2) Операция Ог — удаление некоторой выходной пере-
переменной у у у функции <р (что эквивалентно выбрасыва-
выбрасыванию из системы B) уравнения у .(t) = Fj (xln) (t),
q<n(t — l))) и удаление из схемы Б? выходного канала
и полюса, соответствующих выходной переменной у^
хг х3
ПЫ
A
F7!
Ит
Ут
Рис. 28.
(см. рис. 29, на котором изображена схема Б^, полу-
получающаяся из И посла удаления выходного канала и
полюса j/j).
3 а м о ч п н и с. Если то=1, то, удаляя перемен-
переменную I/, (единственную выходную переменную), полу-
получаем автомат без выхода.
Ут
Рис. 29.
3) Операция О3 — введение обратной связи по одной
входной и одной выходной переменным. Пусть в ка-
качестве входной переменной взята переменная х(, а в ка-
качестве выходной — у у Операцию О3 можно применять
(к функции <р и схеме Е^,) лить в ^том случае, когда
выход у, зависит с запаздыванием от входа х(. Канони-
Канонические уравнения для новой функции ф получаются
исключением из системы B) уравнения у} (t)=Fj (as"" (t),
194

q{r) (t—1)) и заменой переменной xt (t) в каждой функ-
функции Fq (q^=j) и Gt на функцию F'j {xx{t), . . ., х(_х (t),
х1л1 (t), . . ., х„ (t), qt (t—1), . . ., qr (*—1)), получаю-
получающуюся из функции Fj (х(ю (t), qln (t—1)) отбрасыванием
несущественной переменной xt (t). Начальные условия
остаются прежними. Схема Бф получается из схемы Ef
в результате отождествления выхода у^ с входом xt\
при этом отождествленные полюсы объявляются вну-
внутренней вершиной схемы L.. На рис. 30 показана схема
2ф, которая получена из Е введением обратной связи
по переменным х1 и yv
Zip I
X, Хг
й-
У< Hi
Xn
\
I
If.
Of
5
Xn
"I
»
• Ут
Рис. 30,
Замечание 1. Если я=1, то, вводя обратную
связь по переменпой хг (и любой выходной переменной),
получаем автомат без входа.
Замечание 2. Применяя перечисленные выше
операции, удобно указывать в скобках (за обозначе-
обозначениями этих операций) те каналы (полюсы и перемен-
переменные), к которым операции применяются. Например,
Ох (xv xs), О2 (j/5), О3 (х10, j/2).
Определим еще две операции над д. функциями.
4) Операция О4 — операция объединения двух (или
большего числа) функций. Пусть tpx ? Ф?п "ь и <р2 ^ Ф|"> т».
Будем предполагать, что эти функции имеют в качестве
входных переменных х[, х'2, ..., х'п% и a;'j, x, ..., х"„г со-
соответственно, а в качестве выходных—у[, у'2,...,у'т, и
у", у, . .., f/m2. Считаем, что все эти переменные попарно
различны. Пусть Е?1 и Е?з — схемы функций <рх и <р2
соответственно. Тогда схема Е. функции ф, равной
объединению функций <рх и <р2, будет выглядеть так,
195

как показано на рис. 31; при этом выходными (вход-
(входными) полюсами схемы Б. являются все выходные
(входные) полюсы исходных схем Б?1 и Б9а. Система
канонических уравнений (и начальных условий) функции ф
получается простым объе-
объединением соответствующих
систем функций <рх и <ра
(при этом, естественно,
предполагается, что множе-
х,
"$""$ -f-.T."}"
р
. ¦ ^ . ¦ ^ . . ства Qa) и (?B) всех со-
—У~~~| б~~~8~J стояний функций <рх и <р2
У/ Л», Л" n Утг не пересекаются).
5) Операция S — опера-
Рис. 31. ция суперпозиции. Пусть
ТхбФд.в и <р26фв,с- Су-
Суперпозицией <рх (<р2) операто-
операторов <р2 и <рх называется такой оператор ф ^ Фд; с, что ф^) =
= <Pi (<р2(хш)) при любом входном слове ж10 из Лт. Пусть
операторы <р46Ф*"т< (* = 1» 2) и им отвечают схемы
Е? и ?<р3 (считаем, что входные и выходные переменные
xi К.
-t-^-r-
I
Рис. 32.
и состояния функций <рх и <р2 такие же, как в преды-
предыдущем абзаце). Тогда можно рассматривать «иную»
суперпозицию этих операторов: отождествим, например,
входной полюс х'[ схемы Ъъ с выходным полюсом у|+1
схемы Б?1, полюс х\ — с полюсом у)+а и т. д., наконец,
196

полюс x"mi-i — с полюсом y'mi; получим схему Бф (рис. 32),
у которой: а) входными полюсами будут все входные
полюсы схемы S?1 и входные полюсы схемы S9i, не
участвовавшие в указанной выше процедуре отожде-
отождествления; б) выходными полюсами являются все выход-
выходные полюсы схемы Б92 и те выходные полюсы схемы
Sip,, которые не были отождествлены ни с одним вход-
входным полюсом схемы STi. Отождествленные полюсы
объявляются внутренними вершинами схемы Б.. Схема
Б. называется суперпозицией схем Б^ и S(fi (но пере-
переменным х'\ — у'1П, х\ — у'1+г x"mi-i — y'm). Если опе-
оператор <рх задается системой
Ут, (t) = F'ni (x[ (t), ...,*;, (t), q[(t — i)
....^(«-l)),
q[ (t) = G[ (x[ (t), .... *;, @, q[(t-i),
r, @) = ?,'„,..., ?;, (O) = ?or,,
а опорато|) cp2 — системой
у; @ = F[ {x[ A), .... x\t (t), q'[ (t-1), ...
14')
<?; (о = g\ {x'[ (t) *;, (t), q[ (t -1),... D")
9';@ = c;t(*;
q\(t-
197

то оператору ф, реализуемому схемой 1>ф, соответствует
такая система:
У[ (t)=f[ (х[ (о,...,»;, (о, <?; (* -1),.. .
= F'l(x\(t),
@=*7 (^+i.
*».-'+i @.
У"т, (t) = F"m2 (F',+v ••-, F'mi, X"mi-M (t),
@ = G\
F«.. *»,-/+! @. •
9r (f) = G'rt (F'i+i, ..., F'mi, xm^i+1 (t),
Q[(O)=q'oi 9r,@) = ?or,, ?!@) =
где F} = F;(x; @ x'n, (t),q[ (t - 1), ..., ?, (i - 1)),
+ l
Элементом единичной задержки (в множестве Ф4)
называется о.-д. оператор <р„ задаваемый системой
F)
@ (*)
[
1 g@) = 0.
198

Пример. Оператор <р из Ф2 задан с помощью
диаграммы Мура, изображенной на рис. 33. Канониче-
Каноническая таблица (см. табл. 8), канонические уравнения
и начальное условие для него выглядят так:
ТАБЛИЦА 8
*«)
0
0
1
1
q (I - 1)
0
1
0
1
vm
i
0
0
0
««)
1
1
1
0
q(t)=X(t)\Jq(t-l),
q@)=0.
G)
На рис. 34 изображена схема, реализующая этот опера-
оператор и построенная с использованием элемента единич-
единичной задержки и оператора из Ф|'\ порожденного
Рис. 33.
стрелкой Пирса х \ у. Здесь оператор, порожденный
стрелкой Пирса, реализуется схемой
199

а элемент единичной задержки — схемой
Известно, что всякий о.-д. оператор из Ф^> m может
быть реализован схемой над таким множеством, которое
содержит: 1) схемы, реализующие элемент единичной
вадержки; 2) схемы, реализующие операторы, порож-
порожденные функциями из некоторой полной в Рк системы.
Другими словами, множество о.-д. операторов, состоя-
состоящее из элемента <ра и операторов, порожденных функ-
функциями из некоторой полной в Рк системы, образует
полную в U &?>m систему относительно операций Ov
Ov 03) Ot Vs.
Замечание. В дальнейшем, говоря о построе-
построении схемы какого-либо о.-д. оператора ср над некоторым
заданным множеством М о.-д. операторов, мы будем
понимать ото слодующим образом: схема Е? оператора <р
строится с использованием только одновыходных схем,
реализующих операторы из множества М (при этом
разрешается применять лишь операции Ог, O.z, О3, Ол
и S, если нет других указаний).
2.1. Построить диаграмму Мура, каноническую таб-
таблицу и канонические уравнения для функции <р ? Ф2.
yBt)=xBt)®yBt-l),
2) ?(*"): \y(t)=x(t-l)@x(t),
yCt-2)=x{3t-2),
yCt — l)=xCt~2),
3) <p
4) <p(«w) =
2.2. Доопределив некоторым образом частичный
оператор <р: {0, 1 }ш -¦ {0, 1 }ш, причем так, чтобы по-
получился о.-д. оператор, построить для нового опера-
оператора диаграмму Мура, каноническую таблицу и ка-
канонические уравнения.
200

1) <р([011010я = [01иг, ?(O[in =
2) <р(бш) = 1ш, ?(l[0f) = [10f;
3) <p(l[10f) = [01f, <p([001f) =
4) <p: {
2.3. Найти вес о.-д. оператора <р из Ф2, заданного
каноническими уравнениями.
y(t) = x (t) • q1 it - l)V* @ •?„(*-1),
. 9i(*)=at@-9i(«-l)V*@-92(*-l).
1) -
2) «p:
j/ (t) =x (t) ф ?1 (f - 1) ф g2 (* -1),
q1(t)=x(t)~q1(t-l),
q2 (t) = (x (l) -*дЛ*- 1)) - «@ • Ях (
- 1),
3) <f задается каноническими уравнениями из пре-
предыдущей задачи, но с измененными начальными усло-
условиями: в1@) = 0, ?я@) = 1;
j/ @ = (x(t) -*qt(t — 1)) - 9i (*— 1).
91 @ = 9i С — 1) — (* @ — Q* {t - 1)),
92 @ = 92 P — l)-»*(').
4)
2.4. Пусть Dj.«; Xv Xt,...,Xn; Yv YV...,YJ
обозначает множество всех функций из <f>J'm, у кото-
которых входными неременными являются переменные Xv
Х2, ..., Х„, а выходными — Yv Y2, ..., Ym. Показать,
что в множестве (?>»• m; Xlt Х2, ..., Хя, Yv Y2, ...,YJ
число функций веса w не больше чем (w • к)""*".
2.5. Пусть оператор <р из Ф^>m задан системой B)
и функции Gv Ga,...,Gr связаны соотношением Gt ф
ф G2 ф ... ©Gr = 0. Показать, что вес оператора ср
не превосходит 21".
201

2.6. Реализовать оператор <pG&?'m схемой над мно-
множеством, состоящим из элемента единичной задержки и
оператора, порожденного штрихом Шеффера.
2) <p:
3) <p (i
q1(t)—x(t)-*q2(t — l),
9i@) = 0, ?я@)=1;
10A1 Of, если жш = бт,
1Ш в ином случае;
НО)
4) оператор <р задается диаграммой Мура, изобра-
изображенной на рис. 35;
5) ср:
@ = Gi («-
2.7. По схеме оператора <р ^ Ф"'m построить кано-
каноб
По схеме оператора <р ^ Ф"'р
нические уравнения, каноническую таблицу и диаграмму
Мура.
1) см. рис. 36, а; 2) см. рис. 36,6; 3) см. рис. 36, в.
2.8. Для суперпозиции ^ = <pj(<p2) операторов <р2 и fx
из Ф2 построить канонические уравнения, диаграмму
Мура и зхему Б.. Схема Е. должна быть построена
202

над множеством, состоящим из элемента единичной за-
задержки и операторов, порожденных импликацией х-* у
и отрицанием х.
ql(t)=q1(t-l)-*x1(t),
y2(t)=x2(t)®q2(t—l),
1A)
Рис. 37.
оператор <р2 задается диаграммой Мура, изображенной
на рис. 37;
Т.
¦/(!) = !.
203

4)
2.9. Построить канонические уравнения и диа-
диаграмму Мура о.-д. оператора, получающегося из опе-
оператора ср введением обратной связи по переменным хг, yv
У2 (t) = х2 (t) V («! (*) -+q(t — 1)),
1) ср:
2) г. ¦
2.10. Найти пос о.-д. оператора, получающегося из
о.-д. опора гора ср введением обратной связи но перемен-
переменим м .т.., у2.
) )l)
q A) = X2 (I) - (Xl (t) • X3 (t) -* (X, (t) -*q(t- 1))),
1) Г-
2)
2.11. Пусть оператор <j> получается из оператора <р
с помощью операции Ог (отождествление входных пере-
переменных).
1) Привести пример такой пары операторов (риф,
для которой справедливо неравенство: вес оператора ср
больше веса оператора ф.
2) Возможно ли, чтобы вес оператора f был меньше
веса оператора ф?
2.12. Пусть ср — о.-д. оператор веса гиф — опера-
оператор веса г', получающийся из ср введением обратной
связи по некоторой паре переменных. Верно ли, что
всегда
1) г>г'; 2) г=г'; 3) г < г'?
204

2.13. Пусть о.-д. операторы <рг и ф2 имеют веса гх
и г2 соответственно. Чему равен вес оператора ф, полу-
получающегося из <рх и ф2 с помощью операции Oi (объедине-
(объединения)?
2.14. О.-д. операторы <pi и ф2 имеют веса, равные rt
и г2 соответственно. Может ли вес суперпозиции <рг (ф2)
быть
1) больше гг; 4) больше /уг2;
2) больше г2; 5) меньше гх;
3) больше ^4-^; 6) меньше га?
2.15. Найти вес суперпозиции фх (ф2), если:
1) операторы <рг и <р2 задаются диаграммами Мура,
изображенными на рис. 38, а, б;
а '
6)
Рис. 38.
an
0
Рис. 39.
2) операторы <рх и <р2 задаются диаграммами Мура,
изображенными на рис. 39, а, б;
3)
?<(*)=*«(')-*?«С-1).
* = 1. 2.
Оператор <р из Ф^, в называется автоном?1ым (констант-
(константным, оператором без входа), если при любом входном
слове ?ш ? Лш значение оиератора ф на хш равно одному
и тому же (выходному) слову из В°.
205

2.16. Является ли автономным оператор
2)
)
<7@) =
3)
4)
2/B*) =
1С
COS-;;- i
2.17. Пусть <р — автономный оператор веса г (г< оо).
1) Показать, что выходное слово оператора <р
является квазипериодическим.
2) Доказать, что сумма длин периода и предпериода
выходного слова оператора у не превосходит г.
2.18. 1) Над множеством
построить такую схему Е , которая содержит ровно
четыре элемента из М и реализует какой-либо автоном-
автономный оператор ср из Ф2-
2) Можно ли построить (над множеством М) схему
2 , реализующую некоторый автономный оператор <р
из Ф2 и содержащую менее четырех элементов?
Операцию Оь — операцию разветвления (некото-
(некоторого выхода о.-д. функции) можно определить так.
Пусть ср — оператор из $?•т и 2^ — реализующая
его схема. В результате применения операции Оъ к вы-
выходу у ¦ функции <р получается оператор ty, реализуемый
такой схемой 2., у которой вместо одного канала
(и полюса) i/у появятся несколько «одинаково работаю-
работающих» каналов j/W, . . ., у^ (s ^ 2), каждый из кото-
которых реализует ту же функцию, что и у} в схеме 2?.
206

2.19. 1) Какие изменения надо внести в систему
канонических уравнений и начальных условий, задаю-
задающую функцию ср, чтобы получить соответствующую си-
систему для функции ф, являющейся результатом приме-
применения операции Оъ к выходу у} функции ср?
2) Можно ли, используя операции Ох—Оь и S,
построить над множеством М (см. задачу 2.18) такую
схему 29, которая содержала бы не более трех элемен-
элементов и реализовала автономный оператор ^ из Ф2?
2.20. Пусть оператор ф получеп из ср^Ф^ в ре-
результате применения операции Оъ к некоторому выходу
оператора ср. Показать, что оператор ф можно реализо-
реализовать над множеством {ср} (т. е. используя несколько
экземпляров оператора ср) с помощью операции О,, Ог
и О4.
2.21. Операторы срх и <р2 из Ф2 имеют веса, равные 2,
и задаются следующими каноническими уравнениями:
@,(9 = *¦#(*#(<). <7# С-*)).
<?<¦¦ qt(t) = Gt(xt(t), gt(t-i)),i = l,2,
(
причем Gx (a;, 5)=G2 (a;, q). Известно, что если в диа-
диаграмме Мура оператора срг заменить нули, приписанные
дугам, на единицы, а единицы — на нули, то получится
диаграмма Мура оператора <р2. Доказать, что если вы-
выходные значения операторов <рх и ср2 совпадают на некото-
некотором префиксе длины 2 (т. е. (рх (oi^) — ^ (°1°г) "Ри не~
которых о17 о2), то эти операторы тождественно равны.
2.22. Подсчитать число всех таких о.-д. функций
в Ф2, которые удовлетворяют следующим условиям:
а) функция зависит от входной переменной X; б) вес
функции равен трем; в) в диаграмме Мура, задающей
функцию, полустепень захода каждой вершины одна
и та же и равна полустепени исхода.
2.23. Для каждого г ^ 2 привести пример такого
оператора <р из Ф2> чтобы вес суперпозиции ср (ср) был
равен г. Можно ли это сделать для неавтономных опера-
операторов?
2.24. Вес функции ср?Ф2 равен г, а вес суперпози-
суперпозиции ср (ср) равен 2г. Верно ли, что вес суперпозиции
<р (ср (ср)) равен Зг?
207

§ 3. Замкнутые классы и полнота
в множествах детерминированных j
и ограниченно-детерминированных функций 1
Пусть М — некоторое множество д. функций (или i
о.-д. функций) и б — какая-либо совокупность опера-
операций, не выводящих за пределы множества всех д. функ-
функций (или о.-д. функций). Другими словами, если сг? 0, \
то, применяя а к произвольным (или допустимым) д.
(или о.-д.) функциям, мы получаем снова д. (или о.-д.)
функции. Замыканием \М\д множества М относительно \
совокупности операций б называется множество всех д. f
(или о.-д.) функций, которые могут быть получены j
из функций множества М с помощью операций из 0,
причем операции можно применять любое конечное
число раз. Обычно считают, что [М\о"^М. В дальней-
дальнейшем мы почти всегда будем предполагать, что это вклю-
включение выполняется (в противном случае будут делаться
специальные оговорки). Операция получения множе-
множества \М\г> и:> М называется операцией замыкания. ,,
Множоспк) М пазыпаотен (функционально) замкнутым }
классом относительно совокупности операций б, если
\M\fj~M. Пусть М — замкнутый относительна сово- !
кушшети операций 0 класс д. (или о.-д.) функций. !
Подмножество <#" из М называется (функционально) \
полной системой в М относительно совокупности опе-
операций 0, если \^\о=М. Множество 3* д. (или о.-д.)
функций называется неприводимой системой относи-
относительно совокупности операций 6, если, каково бы
ни было собственное подмножество <#" из <#э, [e^'UcleF]®
(включение строгое!). Базисом замкнутого класса М
относительно совокупности операций 6 называется вся-
всякая полная и неприводимая система из М. Множе-
Множество М', содержащееся в замкнутом классе М, назы-
называется предполным классом в М, если оно не является
полной системой в М, но при всякой функции <р ? М\М'
выполняется равенство [М' \J {^}]^=М.
Замечание 1. В дальнейшем, когда ясно, отно-
относительно какой совокупности б рассматриваются замы-
замыкание, полные системы, базисы и т. д., слова «относи-
«относительно совокупности операций 0ъ будут опускаться,
Замечание 2. Обычно в качестве б мы будем
брать множество {Ои О2, О3, 6>4, S}, состоящее из опера-
операций, описанных в § 2 данной главы.
208

Как указывалось в § 2, множество о.-д. функций,
содержащее элемент единичной задержки ср3 и опера-
операторы, порожденные функциями из некоторой полной
в Рк (к ^ 2) системы, образует полную систему в мно-
00 00
жестве U U Ф?'м относительно операций Ov 02, 03,
и=0 »в=0
04и5 (т. е. в множестве всех к-значных о.-д. функций).
00 00
Оказывается, что в множестве \J \J Ф'рт (к~^2)
и=0 >и=0
существуют базисы относительно {Ov 02, Os, 6>4, S},
состоящие из одной функции. Примером такого базиса
является множество {%(XV Х2, Х3, ф8(-Х'4))}, где сра —
элемент единичной задержки из <!>,,., а ср0— оператор
из Ф*к<!, порожденный функцией max (x1 • xi -j- х.г A — я4),
х3) -\-1 (сумма, разность и произведение но mod/с).
Всюду в данном параграфе мы будем применять
символ Фш (соответственно Ф1к)) для обозначения мно-
множества всех А:-значных о.-д. (соответственно д.) функ-
функций, включая и функции без входов, или без выходов,
или без входов и без выходов, т. е.
*,*,= U U Н'т (и Ф(*,= U U Ф?")-
п=0 т=0
я=0 т=0
3.1. Является ли множество М замкнутым классом
относительно совокупности операций 61
1) М состоит из нсех /с-значпых о.-д. функций, не
имеющих выходом, а также из всех таких функций ср,
со да
принадлежащих U U Ф*'"'. которые «сохраняют 0ш»,
т. е. ср @ш, . 0ш) = @ш, ..., 0ш); 0 =^ {^з> Of,' ^}-
п раз т раз
2) М состоит из всех таких ft-значных о.-д. функций,
да ^
которые принадлежат множеству U Ф\'т и имеют вес,
>п=0
кратный A;; 0={S}.
3) М состоит из всех А;-зяачных д. функций, принад-
со со
лежащих множеству \J \J Ф%< т и имеющих четный или
бесконечный вес; 6 = {OV Ov Oit Оь}.
4) /tf= U U (Фг>1В\.Фг>1В); 0 = {О3, S}.
n=0 m=0
209

3.2. 1) Пусть <р, — элемент единичной задержки из
множества Ф2 и 0 = {О3, Оъ, S). Доказать, что класс [ср,]^
содержит лишь функции, тождественно равные 0 (т. е. опе-
операторы, на каждом выходе которых «выдается» слово 0ш),
и функции, имеющие четный вес.
2) Привести пример функции из Ф2, имеющей четный
вес и не принадлежащей классу [ср,]^, описанному в за-
дачо 3.2, 1).
3.3. Пусть cpoC^i' Х2)— оператор из ФB)> порожден-
порожденный штрихом Шеффера х11 х2, а ср3 — элемент единич-
единичной задержки из Ф2. Доказать, что оператор <е(?ш) =
= <A/3)> из Ф2 не принадлежит классу [<р0, cpjgr, если
0 = {S}.
3.4. На вход о.-д. оператора ср ^ Ф2 подается периоди-
периодическое слово хю периода 3. Найти максимальный период
выходного слова (максимум берется по всем входным
периодическим словам периода 3).
= (x(t)@q1(t-i)).ga(t-l),
q1(l)=--x(t).ql(t-i)-q2(t~i)\/x(t)-q2(t-l),
2)
3.5. Пусть <p — о.-д. функция веса г, принадлежащая
множеству <&а,в-
1) Показать, что если входное слово xw является квази-
периодическпм с периодом Т, то выходное слово <р(?щ)
также является квазипериодическим и его период не пре-
превосходит числа г • Т.
2) Оценить сверху Длину преднериода выходного
слова ср (хш), если известно, что длина предпериода слова ос"
равна р.
3.6. Пусть функции ср„, ср8 и ср такие же, как в за-
задаче 3.3. Существует ли некоторое s^ 1, удовлетворяю-
удовлетворяющее условию <р (fl (X)) ? [ср0, ?а>, где 0 — {S)i (Здесь
41 {X) = сра (ср, (.. .ср„(Х)...)) — суперпозиция s «штук»
функций ср8.)
210

Если / (х") ? Рк, то через <р/(ая) (Х1г..., Х„) будем обо-
обозначать о.-д. оператор (из &?•*), порожденный функ-
функцией f(x").
3.7. Являются ли полными в Ф(к) относительно сово-
совокупности операций {Ov O2, O3, Ov S) следующие си-
системы о.-д. функций?
1) {?»„(*„ *,)(*!. Х2), ?,(Х)}, ft>2;
2) {^.*,(*!• Х2), fx^(Xv Х2), <?^Х1(?ЛХ), Хг),
<?=i(X)> ?=(/с-2) (Х)}> &>3 (здесь ?^.(Х) —о.-д. опера-
оператор, порожденный функцией из Рк, тождественно рав-
равной j);
3) {<?Х+1(Х), <Р. (?.(*)). ?^y(T.W, Х2)}.
3.8. Из системы $", полной и <1\А) относительно сово-
совокупности операций {Ov О2, 03, Ov S), выделить хотя бы
один базис.
1) & = {чЛХ), ?^(Х), 9ш{Х), ^.Xi(Xv Х2),
2) ^ = {?.
3) ^ = {
3.9*. Существует ли в Ф,2) базис относительно сово-
совокупности операций {Ov О2, Оа, Ov S), содержащий пять
функций?
3.10*. Доказать, что в Ф(к) любой замкнутый класс,
отличный от всего множества Ф1А.,, расширяется до пред-
полного класса1).
3.11*. Используя задачи 3.8, 1) и 3.10, показать,
что в ФB, существует не менее 4 преднолных классов.
3.12. Пусть =ра^Ф2- Перечислить все классы, пред-
полные в [<ра]{о о S) относительно совокупности опера-
операций {Оъ, S).
3.13. Пусть <рж = <?х (X) — о.-д. оператор из Фш,
порожденный функцией х. Доказать, что, каков бы ни
был замкнутый класс1) М из Ф1к], всегда выполняется
равенство [M(J{-fx}] = M\J{<?x} (здесь, как обычно, вместе
х) Замкнутость и предполнота берутся относительно сово-
совокупности операций {Оь Оа, Оа, О4, 5 }.
211

с функцией берутся и все равные, и все конгруентные
ей функции).
3.14. Существует ли функция, которая принадлежит
каждому преднолному в Фш классу?
3.15. Можно ли представить множество Ф(к) в виде
8
объединения U M( (s ^ 2) попарно непересекающихся
1=1
вамкнутыхх) в Ф(Ю классов?
3.16*. Доказать, что в Фш мощность множества всех
вамкнутых классов континуальна.
3.17. Какова мощность множества всех замкнутых
в Ф(к) классов1), имеющих конечные полные системы?
3.18*. Доказать, что в Фш мощность множества всех
замкнутых*) классов равна 2е (мощность гиперконти-
гиперконтинуума).
3.19*. Найти мощность множества всех замкнутых
в Ф(к} классов*), обладающих конечными базисами.
3.20. Опровергнуть следующие утверждения:
1) мпожостпо tf> , образует предполный класс в Ф1к);
2) н мпожостпо Ф(к) существует функция, образую-
образующая соиместио с множестмом Ф(к) полную в Ф(к) систему.
3.21. Пусть Мо—множество, состоящее из всех
&-значиых д. функций, не имеющих выходов, а также
00 00
из всех таких функций <р, принадлежащих \J U Ф%<т,
которые принимают значение 0 при t= 1, т. е. ср (xf, ...
...,*?) = ($? yl) и Vj(i) = O при / = ТГт.
1) Является ли Л/о предполным в Ф^, классом?
2) Образует ли предполный класс в Ф.,.. пересечение
3.22. 1) Является ли предполным классом в Ф(А) мно-
множество U U 4>2'm?
я=0 »1=0
2) Образует ли предполный в Фш класс множество
U U ф*>т?
в=0 т=0
См. сноску на стр. 211,

Глава VII
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ
§ 1. Машины Тьюринга и операции над ними.
Функции, вычислимые на машинах Тьюринга
Машина Тьюринга представляет собой (абстрактное)
устройство, состоящее из ленты, управляющего устрой-
устройства и считывающей головки.
Лента разбита на ячейки. Во всякой ячейке в каждый
(дискретный) момент времени находится в точности один
символ из внешнего алфавита А — {а0, аи . . ., aB_i},
п ^ 2. Некоторый символ алфавита А называется
пустым, а любая ячейка, содержащая в данный момент
пустой символ, называется пустой ячейкой (в этот мо-
момент). В качестве пустого символа обычно используют О
(нуль). Лента предполагается потенциально неограни-
неограниченной в обе стороны *).
Управляющее устройство в каждый момент времени
находится в некотором состоянии qjy принадлежащем
множеству Q={q0, дг, • . ., <7r_iJ, г ^ 1. Множество Q
называется внутренним алфавитом (или множеством
внутренних состояний). Иногда из Q выделяются
непересекающиеся подмножества Q^ и Qo начальных
и заключительных состояний соответственно.
Замечание. В дальнейшем, если не будет ого-
оговариваться противное, мы считаем, что \Q | ^ 2, и в ка-
качестве начального берем только одно состояние д1# За-
Заключительным, как правило, будет состояние q0.
]) Это следует понимать так: в каждый момент времени
лепта коночиа (содержит конечное число ячеек), но «размеры»
ленты (число ячеек на ней) можно (при необходимости) увели-
увеличивать.
213

Считывающая (или печатающая) головка переме-
перемещается вдоль ленты так, что в каждый момент времени
она обозревает ровно одну ячейку ленты. Головка
может считывать содержимое обозреваемой ячейки
и записывать в нее (печатать в ней) вместо обозревае-
обозреваемого символа некоторый новый символ из внешнего
алфавита. «Засылаемый» в ячейку символ может,
в частности, совпадать с тем, который обозревался
(в данный момент).
В процессе работы управляющее устройство в зави-
зависимости от состояния, в котором оно находится, и сим-
символа, обозреваемого головкой, изменяет свое (внутрен-
(внутреннее) состояние (может остаться в прежнем состоянии),
выдает головке приказ напечатать в обозреваемой
ячейке определенный символ из внешнего алфавита и
«приказывает» головке либо остаться на месте, либо
сдвинуться на одну ячейку влево, либо сдвинуться
на одну ячейку вправо.
Работа управляющего устройства характеризуется
тремя функциями:
G: Q X А -* Q,
F: QxA-*A,
D-.QXA-*{S, L, Щ.
Функция G называется функцией переходов, функ-
функция F — функцией выходов и D — функцией движения
(головки). Символы S, L и R обозначают соответственно
отсутствие движения головки, сдвиг головки на одну
ячейку влево и сдвиг на ячейку вправо.
Функции G, F и D можно задать списком пятерок
вида
qiaJG(qi, aj)F(qv aj) D (q{, aj) A)
или, короче, qia-jqfjufjdfj. Эти пятерки называются ко-
командами. Функции G, F и D являются, вообще говоря,
частичными (не всюду определенными). Это значит,
что не для всякой пары (q(, uj) определена соответствую-
соответствующая пятерка вида A). Список всех пятерок, определяю-
определяющих работу машины Тьюринга, называется программой
этой машины. Программу машины часто задают в виде
таблицы (см. табл. 9).
214

ТАБЛИЦА 9
a0
an-\
<h • • •
. . . 4ij
Q<
• • 1r-,
. . .
f
I/.
Если в программе машины для пары (q(, aj) пятерка
вида A) отсутствует, то в таблице на пересечении
троки uj и столбца q( ставится прочерк.
Работу машины Тьюринга бывает удобно описывать
на «языке конфигураций».
Пусть в момент времени t самая левая непустая
ячейка Сх ленты содержит символ ajt, а самая правая
непустая ячейка С, (s ^ 2) содержит символ aJs (между
ячейками С1 и С, находятся s—2 ячеек). В этом случае
будем говорить, что в момент t на ленте записано
слово Р = ajflj2 ... ajp ... aJe, где ajp — символ, содер-
жащийся в момент t в ячейке С
). IlpHS=l,
т. е. когда на ленте только один непустой символ,
P^zuj^. Пусть в этот момент времени управляющее
устройство находится в состоянии д{ и головка обозре-
обозревает символ ujt слова Р A*^ 2). Тогда слово
называется конфигурацией машины (в данный момент t).
При 1 = 1 конфигурация имеет вид 9<а.л- • 'aJa' Если
в момент t головка обозревает пустую ячейку, находя-
находящуюся слева (или справа) от слова Р, и между этой
ячейкой и первой (соответственно последней) ячейкой
слова Р расположено v ^ 0 пустых ячеек, то конфигу-
конфигурацией машины в момент t называется слово
QA • • • Ао/, ...aJt C)
» + 1 рае
(соответственно слово ajt ... ujfA ... Л^Л), где че-
i раз
рез Л обозначен пустой символ алфавита А. Если в мо-
215

мент t лента пуста, т. е. на ней записано пустое слово,
состоящее лишь из пустых символов внешнего алфавита,
то конфигурацией машины в момент t будет слово д^Л.
Пусть в момент t конфигурация машины имеет!
вид B) и в программе машины содержится команда
тогда при dij^L в следующий момент времени конфигу-
конфигурацией машины будет слово:
а) q^Aatjfij, ... aJt, если 1 = 1;
б) bjfijfitjfih •' • аЛ> если I = 2.'
в) аА ... an-Aij^i^ii^i^ • • ¦ «/«> если 1 > 2-
Случаи, когда d(j =R или dij =S, или конфигура-
конфигурация машины соответствует головке, находящейся вне
слова Р (как в слове C)), или слово Р — пустое, опи-
описываются аналогично.
Если в программе машины нет пятерки вида A)
для пары (q(, aj ) или «повое» состояние q(j является
заключительным, то машина прекращает работу, а «ре-
«результирующая» конфигурация называется заключитель-
заключительной. Конфигурация, соответствующая началу работы
машины, называется начальной.
Пусть в некоторый момент времени конфигурация
машины была К, а в следующий момент — К'. Тогда
конфигурация К' называется непосредственно выводи-
выводимой из К (обозначение: К\^=К'). Если Кг — начальная
конфигурация, то последовательность Ки К2, . . ., Кт,
где К{\=К4+1 при 1 ^ i ^ т—1, называется тъюринго-
вым вычислением. При этом говорят, что конфигурация
Кт выводима из конфигурации Кг, и пишут Kt]—Кт.
Если Кт является к тому же заключительной конфигу-
конфигурацией, то говорят, что Кт заключительно выводима
из Ки и применяют запись: К^-гКт.
Пусть машина Тьюринга Т начинает работать в не-
некоторый (начальный) момент времени. Слово, записан-
записанное в этот момент на ленте, называется исходным,
или начальным. Чтобы машина Т действительно начала
работать, необходимо поместить считывающую головку
против какой-либо ячейки на ленте и указать, в каком
состоянии машина Т находится в начальный момент.
Если Рг — исходное слово, то машина Т, начав ра-
работу «на слове» Pv либо остановится через определен-
216

ное число шагов, либо никогда не остановится. В пер-
первом случав говорят, что машина Т применима к слову Рх
и результатом применения машины Т к слову Рг
является слово Р, соответствующее заключительной
конфигурации (обозначение: Р—Т (Рх)). Во втором слу-
случае говорят, что машина Т не применима к слову Р1#
В дальнейшем мы будем предполагать, если не ого-
оговаривается противное, что 1) исходное слово — непу-
непустое, 2) в начальный момент головка находится против
самой левой непустой ячейки на ленте и 3) машина
начинает работу, находясь в состоянии <?i-
Зоной работы машины Т {на слове Рх) называется
множество всех ячеек, которые за время работы машины
хотя бы один раз обозреваются головкой.
Часто будет использоваться обозначение [Р]т для
слов вида PP. . .Р (т раз); если Р=а — слово длины 1,
то вместо аа. . .а (т раз) и [а\т будем писать ат.
Через W будем обозначать произвольное конечное
слово во внешнем алфавите машины Тьюринга (в част-
частности, пустое, т. е. состоящее из пустых символов
внешнего алфавита).
При описании работы машины Тьюринга «на языке
конфигураций» будут использоваться выражения, ана-
аналогичные такому:
х ^ 1 и у ^ 1. Приведенное выражение надо понимать
так: машина «стирает» слово Iх и останавливается
на первой букве слова W; если же W — пустое слово,
то «останов» происходит на втором 0 (нуле) после слова 1У.
Машины Тьюринга 7\ и Т% называются эквивалент-
эквивалентными (в алфавите А), если для всякого входного слова Р
(в алфавите А) выполняется соотношение Т1 {Р)с=сТг (Р),
означающее следующее: Тх (Р) и Т2 (Р) определены или
не определены одновременно *), и если они определены,
то 7\ (Р) = Тг (Р). Символ с^ называется знаком услов-
условного равенства.
Пусть машины 7\ и Т2 имеют соответственно про-
программы Пх и /72. Предположим, что внутренние алфа-
алфавиты этих машин не пересекаются и что q[ — некоторое
1) Т (Р) определено (не определено), если машпна Т при-
применима (не применима) к слову Р.
217

заключительное состояние машины 7\, a q'2 — какое-
либо начальное состояние машины Т2. Заменим всюду
в программе Пг состояние д[ на состояние q'2 и получен-
полученную программу объединим с программой /72. Новая
программа П определяет машину Т, называемую ком-
композицией машин Тг и Т2 (по паре состояний (q[, q'2))
и обозначаемую через ТгОТ2 или ТгТ2 (более подробно:
Т=Т G\, Т2, (q[, q'2))). Внешний алфавит компози-
композиции Т1Тг является объединением внешних алфавитов
машин Т1 и Тг.
Пусть q' — некоторое заключительное состояние
машины Т, a q" — какое-либо состояние машины Т,
не являющееся заключительным. Заменим всюду в про-
программе П машины Т символ q' на д"'. Получим про-
программу П', определяющую машину Т' (q', q"). Ма-
Машина Т' называется итерацией машины Т (по паре
состояний (q', q")).
Пусть машины Тьюринга 7\, Тг и Тя задаются про-
программами Пъ П2 и П9 соответственно. Предполагаем,
что внутренние алфавиты этих машин попарно не пере-
сскиютсл. Пусть q\ и q"x — какие-либо различные
заключительные состояния машины 7\. Заменим всюду
в программе Пг состояние q[ некоторым начальным со-
состоянием q'2 машины Г2, а состояние д" — некоторым
начальным состоянием q'3 машины Т3. Затем новую
программу объединим с программами Пг и П3. Получим
прггра\гму П, задающую машину Тьюринга Т =
= T(Tv(g'v q'2), T2, (q"v q's), Ть). Эта машина называется
разветвлением машин Т2 и Т3, управляемым машиной 7\.
При задании сложных машин Тьюринга часто при-
применяют так называемую операторную запись алгоритма,
которая представляет собой строку, состоящую из сим-
символов магаии, символов перехода Гвида ~]Гп/~)' а также
символов а и <о, служащих для обозначения соответ-
соответственно начала и окончания работы алгоритма. В опе-
операторной записи (некоторого алгоритма) выражение
Tt '-^2- Tj ... Тт ¦2~—' Тп обозначает разветвление ма-
машин Т ¦ и Тп, управляемое машиной Т{, причем заклю-
заключительное состояние q{0 машины Т{ заменяется началь-
начальным состоянием qnl машины Тп, а всякое другое заклю-
заключительное состояние машины Т\ заменяется начальным
218

состоянием машины Tj (одним и тем же!). Если ма-
машина Тi имеет одно заключительное состояние, то сим-
символы | д40 и дп11 служат для обозначения безусловного
перехода. Там, где не могут возникнуть недоразумения,
символы qi0 и qnl опускаются.
Пример. Операторная схема
описывает следующий «процесс вычисления». Начинает
работу машина Т2. Если она закапчивает работу в со-
состоянии q20, то начинает работать машина Тх, а по окон-
окончании работы машины 7\ вновь «выполняет работу»
машина Т2. Если же машина Т2 останавливается в не-
некотором заключительном состоянии, отличном от q20,
то «работу продолжает» машина Т3. Если Т3 приходит
в заключительное состояние q30, то начинает работу
машина 7\; если же Т3 заканчивает работу в некотором
заключительном состоянии, отличном от q30, то «работу
продолжает» машина Г4. Если машина Г4 когда-либо
остановится, то процесс вычисления на этом заканчи-
заканчивается.
Пусть а = (а1( а2,. .., ая), п~^1, — произвольный набор
целых неотрицательных чисел. Слово 1я«+101"«+10 ... 01a«+1
называется основным машинным кодом (или просто кодом)
набора 5. (в алфавите @, 1}) и обозначается А (а). В част-
частности, слово la+1 является основным машинным кодом
числа а.
В дальнейшем рассматриваются в основном лишь
частичные числовые функции. Функция/ (xlf хг, . . ., хп),
п ^ 1, называется частичной числовой функцией, если
переменные xt принимают значения из натурального
ряда N={0, 1, 2, . . ., т, . . .} и в том случае, когда
на наборе а=(а1, о^, . . ., а„) функция / определена,
/(*)€#•
Частичная числовая функция называется вычисли-
вычислимой (по Тьюрингу), если существует машина Тью-
Тьюринга Тt, обладающая следующими свойствами:
а) если / (S.) определено, то Tf (k (S.)) = к (/ (а));
б) если / (а) не определено, то либо Тf (к (а)) не яв-
является кодом никакого числа из N, либо машина Тf не
применима к слову А (а).
219

Замечание. В дальнейшем предполагаем, что
в начальный момент головка машины обозревает самую
левую единицу слова А; (а). Известно, что это ограниче-
ограничение не сужает класса вычислимых функций.
Если функция / вычислима по Тьюрингу с помощью
машины Тf, то мы будем говорить, что машина Тf вы-
вычисляет функцию /.
1.1. Выяснить, применима ли машина Тьюринга Т,
задаваемая программой П, к слову Р. Если применима,
то найти результат применения машины Т к слову Р.
Предполагается, что qx — начальное состояние, q0 —
заключительное и в начальный момент головка машины
обозревает самую левую единицу на ленте.
1) II:
2) II:
3) II:
а) Р=13021а,
q,UlJH ") "
Qy\qj)R
q.,Oq.JL a) P=1*O1,
gilga15 6) P = 13O12,
Л в) Р = 18.
a)
6)
в)
qflqJR
q2iqalL
1.2. Построить в алфавите {0, 1) машину Тьюринга,
обладающую следующим свойством (в качестве пустого
символа берется 0):
1) машина применима к любому непустому слову
в алфавите {0, 1};
2) машина не применима ни к какому слову в алфа-
алфавите {0, 1}, и зона работы па каждом слове — беско-
бесконечная;
220

3) машина не применима ни к какому слову в алфа-
алфавите {0, 1}, и зона работы на любом слове ограничена
одним и тем же числом ячеек, не зависящим от выбран-
выбранного слова;
4) машина применима к словам вида Is" (п ^ 1)
и не применима ни к одному из слов вида 1ЗП+", где
а=1, 2 и «> 1;
5) машина применима к словам вида l'Ol", где
а]>1, и не применима к словам 11р, если ol=?B
(а>1 и р>1).
1.3. По заданной машине Тьюринга Т и начальной
конфигурации Кх найти заключительную конфигурацию
(#0 — заключительное состояние).
1) Т:
0
1
qoiS
9i0R
«>
qfiR
q%\L
0
1
9i
4i\R
<h
qu\L
g3OR
qiiL
qfiR
a) tf1==lV'Ol, б) K1 = iq1\i.
2) Т:
a) K1 = iq1it, б) ЛГ1 = 511301, в) K1 = ivq1-i-.
1.4. Построить в алфавите {0, 1} машину Тьюринга,
переводящую конфигурацию Кг в конфигурацию Ка.
!)*! =
2) Кг =
3) К1 =
4) Кг-
221
Ko=lmqo0l"

1.5. 1) Показать, что для всякой машины Тьюринга
существует эквивалентная ей машина, программа кото-
которой не содержит символа S.
2) Показать, что по всякой машине Тьюринга можно
построить эквивалентную ей машину, в программе ко-
которой не содержатся заключительные состояния.
1.6. Программа машины Тьюринга Т имеет вид
0
1
2
3
qJR
QiiL
qi2L
—
ft
q3\R
?20J?
?азя
Из
qt2L
q2\R
gt2R
g3QR
«i
g23R
q3iR
—
q?L
(пустой символ — 0, начальное состояние — q^).
1) Показать, что, начиная работу с пустой ленты,
машина Т за. t (п) шагов построит слово вида Рп=
—110102103. . ЛОЧ (п — произвольное целое положи-
положительное число), причем в любой момент времени t ^ t (n)
(для п ^ 3) головка машины будет находиться правее
слова Р„_2-
2) Построить машину, обладающую таким же свой-
свойством и имеющую в качестве внешнего алфавита мно-
множество {0, 1}.
3) Доказать, что если в программе машины Тью-
Тьюринга не встречается символ L (но могут встречаться,
естественно, символы S и R), то эта машина, начиная
работу с пустой ленты, не может построить сколь угодно
длинный префикс слова 1101021031. . .00и+11. . .
1.7. Показать, что для всякой машины Тьюринга Т
(в алфавите А) существует счетное количество эквива-
эквивалентных ей машин Тъ Тг, . . ., Тт, ... (в алфавите А),
отличающихся друг от друга своими программами.
1.8. Пусть А~{а0, %,..., а„_1} — некоторый алфа-
алфавит, содержащий не менее двух букв. Закодируем его
буквы следующим образом: кодом символа ai явля-
222

ется слово 10<+11 в алфавите {0, 1}. В соответствии
с этим кодированием код произвольного слова
P—aiflit. . .uit (s ^ 1) в алфавите А будет иметь вид
10*1+1110**+11 ... 10'«+11. Доказать, qTO, какова бы
ни была машина Тьюринга Т с внешним алфавитом А,
существует машина Тьюринга То с внешним алфави-
алфавитом {0, 1}, удовлетворяющая условию: при любом
слове Р (в алфавите А) машина То применима к коду
этого слова тогда и только тогда, когда машина Т при-
применима к слову Р, причем, если Т (Р) определено,
то код слова Т (Р) совпадает со словом, являющимся
результатом применения машины То к коду слова Р.
1.9. Построить композицию ТгТ2 машин Тью-
Тьюринга Тг и Г2 (по паре состояний (q10, q21)) и пайти ре-
вультат применения композиции ТгТг к слову Р (дгп —
заключительное состояние машины Г2).
0
1
9n
^R
Г8:
0
i
9>i
qi2lR
9»
а) Р = 1*0*1», б)
2) Гх:
0
1
«11
grlo0Z,
вц!Д
Па
qla0R
?1»1Д
«и
ЯпОП
QifiR
0
1
<ь
qi2i L
q2ilL
9м
qu0R
q21QL
а) Р = 14021»012, б) Р = 120101».
3) fx:
0
1
?ц1Д
9и
дгп1Д
9м
—
т •
0
1
?аа0?
q,i30L
q2iiL
q20QR
q^\L
a)
223

1.10. Найти результат применения итерации ма-
машины Т (по паре состояний (q0, q()) к слову Р (заключи-
(заключительными состояниями являются q0 и q'o).
0
1
«>
qoOS
Q20R
qfiS
qs0R
<2з
q5OS
Ql0R
QilR
—
Яь
q'olL
—
1) i = \, T:
a) P = 13*, 6) P==l3*+i, в) Р =
2) i = \, T:
0
1
9оОЛ
9„0Л
9оОЛ
qj)R
<h
q№
9,1 Д
<?00Д
9.1 й
a) P = 1", 6) P = 1**+1, ж > 1.
3) i = 3, Г:
0
1
2
—
—
9а1Л
9з
Qi0R
—
—
941Л
—
«5
ff.0u
—
9оОЛ
9о1Л
(x
1.11. Найти результат применения машины T = T(TV
(Я[»' <7>i). Tv {q"m, q3l), T3) к слову P (^ — заключитель-
заключительное состояние машины T2, a q3fj — заключительное со-
состояние машины Т3).
22А

0
1
Г,
0
1
ч»
«го1 •!>
?2,ол
т •
0
1
,..
932^
—
а) Р = 101s, б) Р — 1301.
2) 7\:
0
1
Чп
«7,г(Ш
9..1-И
9..
Л:
0
1
Чп
?22<».
0
1
9л
9з20Л
б)
* з-
1-'(J1 (х > 1),
1г(I01«'(I* (л: > 1, I/ > 1, г ^ 1).
1.12. Используя машины 7\, Г2, Т3, '1\ и Tj, по-
построить операторную схему алгоритма "Л (здесь q10,
5io' ?2o. 7зп. Ям и 5оо — заключительные состояния со-
соответствующих машин).
0
1
Чп
rh20R
g'wOR
gin0R
gnlS
1 2-
0
1
7г20Я
9211 Л
?221Д
72,,05
8 Г. П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
225

0
1
Чя,
«fail Л
4sv
—
Л:
0
1
9..
qn\L
ч„
gi30L
qt,\L
94оОЛ
?43*?
0
1
QioiS
)
2) Я
3) 21 >)
Замечание. Если ж=О, то 1* считается пустым
словом.
1.13. По операторной схеме алгоритма 21 и описа-
описанию машин, входящих в схему алгоритма, построить
программу машины и найти результат применения
машины, задаваемой этой схемой, к слову Р.
1 2l J7'i
0
1
2
<Jn
9ioOi
gn2R
—
T •
0
1
2
«.,
?23«-R
—
—
g20lL
?231Л
—
Г.:
0
l
2
—
9зз
?зо1Д
P = l*01* (ж > 1, у > 1).
(Начальные состояния машин — qlv q2l и дп, а заклю-
заключительные — д10, дгда, 9зо и ?ад-)
2) QI = aJZ'1Z'al?gB7'8J2spJa),
2 12 1
0
1
9„
—
,12ол
9»
?13ол
а.
—
9l00L
0
1
921
9и
9»
226

0
1
gai0L
9з1
qaa0R
qsi\L
9»
—
{x
1).
(Начальные состояния машин — qlu q2l и g^n а заклю-
заключительные — 2ю> fa. <7om <7зо и ?.',„.)
1.14. Построить машину Тьюринга, вычисляющую
функцию /.
f 0, если х = 0,
|^ 1, если х ^ 1;
1, если х=1,
О, если х>2,
не определено, 0
1) / (х) = sg х =
если х =
3) / (ж) = 4- = т, если ж = 2т или
х = 2те -\-1,
т>0;
4) /(ar,
5) /(ar,
6) /(ж,
о,
х — у,
если
если
Замечание. Здесь (и в дальнейшем) при «ана-
«аналитическом» задании числовых функций часто исполь-
используются широко известные «элементарные» функции
(из математического анализа). При этом «аналитически»
веданная функция считается определенной только на та-
таких целочисленных наборах значений переменных (при-
(принадлежащих натуральному ряду N), на которых опреде-
определены и принимают целые неотрицательные значения
все «элементарные» функции, входящие в данное «фор-
«формульное задание» определяемой функции. Например,
функция
определена лишь тогда,
когда -| целое
227

неотрицательное число и
3 — ——целое
положитель-
ное число, и
—целое неотрицательное число.
3-f
Говорят, что машина Тьюринга Т правильно вычис-
вычисляет функцию f (?"), если:
1) в том случае, когда / (аи) определено, Т (к (а")) =
=& (/ (а")) и головка машины в заключительной кон-
конфигурации обозревает левую единицу кода к (/ (ая));
2) в случае, когда / (а.71) не определено, машина Т,
начиная работу с левой единицы кода к (ая), не оста-
останавливается.
1.15. Доказать, что для всякой вычислимой функ-
функции существует машина Тьюринга, правильно вычис-
вычисляющая эту функцию.
1.16. Построить машину Тьюринга, правильно вы-
вычисляющую функцию /.
!) /(х) =f_— 1; 4) f(x, y) = x-\-y;
2) / (х) = sg х — 1 — sg x; 5) f (x, и) — -^^—.
1.17. По программе машины Тьюринга Т написать
аналитическое выражение для функций / (х) и / (х, у),
вычисляемых машиной Т. (Всюду в качестве началь-
начального состояния берется qu а в качестве заключитель-
заключительного — q0.)
1) Т:
0
1
q2lL
Яг
qoOR
q2\L
2) Т:
0
1
«,
?20Л
g,iR
Я,
9з
940?
<?30Я
?<
goOR
3) Г:
0
1
?2од
?2ол
9>
q3OR
qx\R
9з
9о15
9<
в.1Л
9в1Л
—
g8OL
98
ge0?,
981L
ъ
giOR
228

1.18. Какие одноместные функции вычисляются
всеми такими машинами Тьюринга (в алфавите {0, 1}),
программы которых содержат лишь по одной ко-
команде?
1.19. Справедливо ли утверждение: две различные
вычислимые функции Д (ж) и /2 (х") можно вычислить
на одной машине Тьюринга тогда и только тогда,
когда т^п?
1.20. Пусть М — счетное множество каких-то вы-
вычислимых функций и Т (М) — такое минимально воз-
возможное множество машин Тьюринга, что для всякой
функции / из М существует машина в множестве Т (М),
вычисляющая функцию /.
1) Показать, что если для некоторого в^1 в мно-
множестве М существует бесконечное подмножество, со-
состоящее из /г-местных функций, то в Т (М) найдется
машина со сколь угодно большим числом состояний
(т. е. для всякого 10 ^ 1 можно указать в Т (М) машину
с числом состояний, большим /0).
2) Каково необходимое и достаточное условие ко-
конечности множества Т (МI
1.21. Построить операторную схему машины Тью-
Тьюринга, вычисляющей функцию /; в качестве элемен-
элементарных операторов используйте машины Т( (г=4, 5, 6,
7, 8). В задачах 1) и 2) сначала постройте операторную
схему, используя только машины 1\, Т2, Тя, а затем
каждую из машин 7\, Г2, Т3 предстаньте операторной
схемой, использующей машины Г4, Г„ . . ., Тн. Началь-
Начальными состояниями в рассматриваемых здесь машинах
являются qlv <721, ..., д81, а заключительными — q10,
0
1
5*1
qi00B
0
1
«51
7боО?
т •
0
1
?6005
229

T7:
0
1
ttl
q,oOS
qnlL
T •
1 8-
0
1
(mod 2),
0
1
<2n
gnlR
9юОД
0
1
?220L
g230l
Qil0L
—
0
1
9si
?эоО?
2) /(х) =
К-
X+Ih- 101
при
/2: , 1^от1О^211
здесь ж>0, г/>0,
при г>0;
4)
) )
Расстояние между двумя ячейками С и С" ленты
равно увеличенному на единицу числу ячеек, располо-
расположенных между С и С". В частности, соседние ячейки
ленты находятся друг от друга на расстоянии 1. Пусть
I — целое положительное число. Подмножество всех
таких ячеек ленты, каждые две из которых расположены
друг от друга на расстоянии, кратном /, называется
решеткой с шагом I. Таким образом, ленту можно рас-
рассматривать как объединение I решеток с шагом I.
230

Пусть RU) — решетка с шагом I. Две ячейки этой ре-
щетки будем называть соседними, если расстояние
между ними (рассматриваемое относительно всей ленты)
равно I. Говорят, что слово Р=аг а2 . . . ат записано
на решетке R(l), если:
1) символ аг записан в некоторой ячейке Сх этой ре-
решетки;
2) символ а2 записан в ячейке С2, которая является
соседней к Сх на решетке R([) и расположена справа
от ячейки Clt и т. д.
т) символ ат записан в ячейке Ст, отстоящей
от ячейки Сх на расстоянии (т—1)-/ и расположенной
справа от г) Cv
Будем говорить, что машина Тьюринга Тг модели-
моделирует машину Тьюринга Т на решетке R(l) (с шагом I),
если, каково бы ни было слово Р (в алфавите А), выпол-
выполняется следующее условие: пусть на решетке R(n за-
записано слово Р и в начальный момент времени головка
машины Т1 обозревает самую левую букву слова Р;
машина 7\ останавливается тогда и только тогда, когда
машина Т применима н слову Р\ при этом, если Т (Р)
определено, то после окончания работы машины Тх
на решетке Л(/) будет записано слово Т (Р).
1.22. На решетке с шагом I смоделировать работу
машины Т, вычисляющей функцию /.
2) f(x, У) = *-^, 1 = 3;
3) f{x, y)=x + y, 1 = 3.
1.23. Показать, что для любой машины Тьюринга Т
и всякого целого I ^ 2 существует машина 7", модели-
моделирующая машину Т на решетке с шагом I.
Будем называть 1-кратным кодом набора а" = (а1,
а2, ..., ая) слово в алфавите @, 1}, имеющее вид
( ^ )
1.24. 1) Доказать, что машину, преобразующую основ-
основной код набора а" в /-кратный код этого набора (I ^ 2),
х) Считаем, что вне ячеек Clt С2, • • •, Ст на решетке R{[}
расположены лишь пустые символы внешнего алфавита.
231

можно задать следующей операторной схемой^
1 i 2 ^20
где:
а) Т± имеет начальное состояние qlv заключитель-
заключительно6—9ю и
д111+101''1+10 ... 0Г"+1 \-г д10Г'+1021'Ч+1ОГ!1+1О ...
б) Т2 имеет начальное состояние q21 и два заключи-
заключительных СОСТОЯНИЯ — ^20 И ^20 и
„ i*+iq2j«v+i+1qj«<+>+io .. 01a?1+10'+1l'(ai41Hil/(°'2+1'0i ...
ь- д;01хо2
+1) 0' ... 0г1г(а'+2-ж' при
ОГя+1Оги1'@<'+1)Ог . о
2) По словесному описанию машин Т3, Г4, . . ., Тп
построить их программы.
Тя — машина, начав работу с последней единицы
массива из единиц, «сдвигает» его на одну ячейку влево
(не изменяя «остального содержимого» ленты1)); го-
головка останавливается на первой единице «перенесен-
«перенесенного» массива;
Г4 — при заданном I ^ 1 головка машины, начав
работу с произвольной ячейки, содержащей единицу,
движется вправо до тех пор, пока не пройдет массив
из I -\- 1 нулей; головка останавливается в первой ячейке
за этим массивом, напечатав в ней 1;
Тъ — при заданном I ^ 1 головка машины, начав
работу с какой-то ячейки и двигаясь вправо, ставит
подряд I единиц и останавливается на последней из них;
х) Иными словами, считаем, что ни одной «новой» единицы
не появилось и изменения в исходном куске ленты коснулись
только указанного массива.
232

T6 — машина начинает работу с самой левой непу-
непустой ячейки; при заданном I ^ 1 «отыскивается» первый
слева массив иэ Z+1 нулей и головка останавливается
на последнем из этих нулей («содержимое исходного
куска ленты» не меняется);
Г, — начав работу с самой левой непустой ячейки,
машина отыскивает единицу, примыкающую с левой
стороны к первому слева массиву из трех нулей,
«окаймленному» единицами; головка останавливается
на найденной единице («содержимое исходного куска
ленты» не меняется);
Г8 — в исходной ячейке печатается 0 и головка,
сдвинувшись на одну ячейку влево, останавливается;
Т9 — головка сдвигается на две ячейки вправо
от «начальной» ячейки, и машина останавливается
в состоянии qw, если новая ячейка содержит символ О,
и в состоянии q'9,t, если в «новой» ячейке — 1 (содержи-
(содержимое ленты остается прежним);
Г10 — головка передвигается на одну ячейку влево
(после чего машина останавливается; на ленте никаких
изменений не происходит);
Тп — головка, начав двигаться вправо от какой-то
«начальной» ячейки, «находит» первую (при таком пе-
перемещении) единицу и, сделав еще один шаг, останав-
останавливается на ячейке, расположенной справа от «найден-
«найденной» единицы *) (содержимое ленты не меняется).
3) Взяв в качестве исходных машины Ts, Tit . . .,
Тп, построить операторную схему для машин Т1 и Т2
и для машины, преобразующей основной код набора
в /-кратный.
1.25. Построить операторную схему машины Тью-
Тьюринга, преобразующей Z-кратный код набора &." в основ-
основной код этого набора. В качестве исходных машин,
соответствующих элементарным операторам, исполь-
используйте машины Г4, Ть, . . ., Т8 из задачи 1.21 и еще такие
три машины:
7\ — при заданном I ^ 1 головка машины, двигаясь
вправо от какой-либо пустой ячейки, находит первый
(при таком перемещении головки) массив, содержащий
не менее I единиц, затем в этом массиве стирает первые
х) Если в «начальной» ячейке записана единица, то головка
останавливается на соседней справа ячейке.
233

I единиц и останавливается на ячейке, в которой была
последняя стертая единица («остальное содержимое»
ленты не меняется);
Т2 — головка из «начального положения» сдви-
сдвигается влево на I ячеек (I задано), после чего машина
останавливается на 1-й ячейке; содержимое ленты
при этом не меняется;
Т3 — работает аналогично машине Т2, но «сдвиг»
происходит вправо.
Решетчатым кодом набора 5."—(а1, а2, . . ., а„) на-
называется слово в алфавите {0, 1}, записанное на ге ре-
решетках с шагом ге, причем так, что на первой решетке
записано слово l"i+1, на второй — слово 1**+1 и т. д.,
на ге-й — слово 1"я+1; начала слов на решетках должны
быть согласованы, т. е. самая левая единица на первой
решетке непосредственно предшествует (на ленте) самой
левой единице на второй решетке, а эта единица не-
непосредственно предшествует самой левой единице
на третьей решетко и т. д.
1.26. 1) Построить операторную схему машины Тью-
Тьюринга, преобразующей основной код набора ая в решет-
решетчатый код этого набора. В качестве исходных машин,
соответствующих элементарным операторам, исполь-
используйте машины Tit Тъ, . . ., Та из задачи 1.21 и еще две
машины:
Т1 — головка из «начального положения» сдвигается
на ге ячеек вправо, после чего машина останавливается
(на ге-й ячейке); содержимое ленты при этом не меняется;
Т2 — работает аналогично машине Tlt но головка
передвигается влево.
2) Используя те же машины, что и в предыдущей
задаче, построить операторную схему машины Тью-
Тьюринга, преобразующей решетчатый код набора а."
в основной код этого набора.
§ 2. Классы вычислимых и рекурсивных функций
Функции, рассматриваемые в этом параграфе, яв-
являются частичными числовыми функциями.
Функция F (xv ...,xn) = f (g1 (xv .. .,х„), ...,gm(xv...
..., хп)) называется суперпозицией функций f и gv ..., gm
и обозначается через S (Jm';g[tt), .. .,^я))- При этом функ-
функция F определена на наборе 3." и F(ап) =f(gl(S."), ...
234

. ••,?,„(*")) ТОгДа и только тогда, когда каждая функция
g((i ^ i ^ т) определена на наборе д." и, кроме того,
функция / определена на наборе (^(а"), .. .,gm (ан)).
Пусть g (xv . . ., ?„_!) и Л (xv ..., xn_v xn, хпП) ~ какие-
либо две функции, причем п ^ 2. Определим третью
функцию / (xv .. ., xn_v xn) с помощью следующей схемы:
!,..., жи_х, 0) =
A)
= h(x1,..., xn_lt у, f(xv..., x_v у)), у > 0.
Схема A) называется схемой примитивной рекурсии для
функции / (хп) по переменным хп и атя+1 и задает прими-
примитивно рекурсивное описание функции f Eя) с помощью
функций g и h. Говорят также, что функция f получена
из функций g и h с помощью операции примитивной
рекурсии по переменным х„ и хя+1. В этом случае исполь-
используют такое обозначение: f=R (g, h) (и указывают от-
отдельно, по каким переменным ведется рекурсия).
При задании примитивно рекурсивного описания
функции / (х), зависящей от одной переменной, схема
примитивной рекурсии имеет вид
B)
где а — константа (число из натурального ряда TV =
= {0, 1, 2, ...}).
Пусть / (xv ..., xn_v xn), n^l, — некоторая функция.
Определим функцию g(xv ..., xn_v xn) следующим обра-
образом: пусть й = (<xv . . ., аи_1, ая)—произвольный набор
целых неотрицательных чисел; рассмотрим уравнение
/(«1, •¦•.
C)
а) если уравнение C) имеет решение у0 ? /V и при
всех у ? TV, таких, что 0<г/<у0, функция / (alt.. .,*n_v у)
определена и ее значения отличны от ая, то полагаем
б) если уравнение C) не имеет решений в целых
неотрицательных числах, то считаем, что g(S.) не опре-
определено;
в) если у0 — наименьшее целое неотрицательное реше-
решение уравнения C) и при некотором jLf JV и меньшем
235

уа значение / (av ..., atl_1, г/^не определено, то полагаем:
g (а.) не определено.
О функции g(xn), построенной указанным способом
из функции / (х"), говорят, что она получена из функции
f(xv . . ., xn_v хю) с помощью операции минимизации по
переменной хп (или короче: с помощью минимизации
по хп). В этом случае используются следующие обозна-
обозначения: g = Mf или g(xv) = MXn{}{xn)), или g (?")=¦
= Pg if ixl > Xn-V У) — х„)> ИЛИ 8 (*") = Р*п (/ (Л)-
Замечание. Операции примитивной рекурсии и
минимизации можно применять по любым переменным,
входящихм в функции f,gah (но всегда нужно указы-
указывать, по каким переменным эти операции проводятся).
Простейшими будем называть в дальнейшем сле-
следующие функции:
а) s (x)=x-\-i — функция следования;
б) о (х)=0 — нулевая функция;
в) 1*т (ж, хя)=хт A < т < п; п=1, 2, . . .) —
селекторная функция, или функция выбора аргумента.
Класс Кщ) всех примитивно рекурсивных функций
продета ил я or собой множество всех функций, которые
могут быть получены из простейших функций с помощью
операций суперпозиции и примитивной рекурсии.
Классом Кчр всех частично рекурсивных функций
называется множество всех функций, которые могут
быть получены из простейших функций с помощью
операций суперпозиции, примитивной рекурсии и ми-
минимизации.
Замечание. При определении классов К„9 и
Кчр предполагается, что при построении каждой кон-
конкретной функции соответствующие операции приме-
применяются не более чем конечное число раз (некоторые
или все операции могут вообще но применяться).
Класс А'ор всех обще рекурсивных функций представ-
представляет собой множество всох всюду определенных ча-
частично рекурсивных функций.
Нетрудно показать, что K4J)ZDK09 (включение стро-
строгое!). Справедливо также и следующее строгое включе-
включение: KopZ)Knr
Через Кв будем обозначать класс всех частичных
числовых функций, вычислимых на машинах Тьюринга.
236

Справедливо следующее утверждение: классы ЛГ^, и
Кв совпадают.
Теорема (Р. Робинсон). Все одноместные при-
примитивно рекурсивные функции, и только они, могут
быть получены из функций яг-}-1 и sg(a:-!-[\/;r]2)
с помощью конечнократного применения следующих трех
операций:
а) абсолютная разность — / (х) = |/х (x)—f2 (x) |;
б) композиция — / (x)=f1 (f2 (х));
( /@) 0
в) итерация —
2.1. Применить операцию примитивной рекурсии
к функциям g (хг) и h (xv x2, хя) по переменным х2 и хя.
Функцию / (xv x«) = R (g, h) записать в «аналитической»
форме.
А \ A (Т \ ' 1* И /о" f >у* \ ¦ ¦¦¦' I* I „ 'У1 ¦
/ б V 1/ 1* V 1' 2* 3/ 1 Т^ 3»
0\ ct (<г* \ т h (ф ф ф \ ф | „ ,
3) g(x1) = 2xi, h(xv х2, ж3)=ж^ (полагаем 0°=1);
Гч\ rf (/уш \ щ^^ /И /} (м ф ГУ» \ — ( ф | Л \ Off I А | Д \
) г> V 1/ " 1) V 1' 2' 3/ * V 3 Г / & \ Г Q / *
2.2. Доказать примитивную рекурсивность фурш-
ции / (хп).
2) / (xi) = 3 ';
3) f(xv х2, х3) — х\хг Q хя (сумма по модулю 2).
2.3. Доказать справедливость соотношения f = R(g, h).
\\ f (x X ^ :г~нг; F'OSL (Х X \
xv если х2 = О,
остаток от деления хх на х2, если х2 ^> 0;
ft (Ф \ —— О Pi (V V Т \ 1т I \ \ с(Т Т v^ \ ',
О \ a/ ' V X' ^' о/ \ о I / О I ?, \
рекурсия ведется но переменным а^, ж3.
~l
^j, если х2 = 0,
[целая часть от деления хх на хг, если ж2^>0;
^(ж2) = 0, Л^!, х2, ха)= ^
= хз + sg | xt + 1 — (ха + 1) х21 + "^ ж2,
рекурсия ведется по переменным Zj, x3.
237

3) f{xl) = x1-*-[y/x1]i
_
g = 0, h(xv x2)=xa + sg((xa-{-l)i-*-(
2.4. Показать, что если функции g (у), <рх (ж), <р2(ж)
и уд (ж) примитивно рекурсивны, то функция
! (ж), если g (г/) < а,
/(*, У) =
ср.2(т), если a
ъ(х), если g(y)>b,
где 0 ^ а ^ 6, также иримитивно рекурсивна]).
2.5. Пусть giG/), g-2 (ж) и g3(x, у)—примитивно ре-
рекурсивные функции. Доказать, что тогда иримитивно
рекурсивна и / (х, у), определяемая следующей схемой:
/(О, v)=
=^3(ж, у)
(здесь .г ^ 0 и г/ ^ 0).
2.6. Пусть функции g(xv..., xn_v х„), h1(xv...
..., xH_v xn) и h2(xv ..., а;^!, жя), ге>1, примитивно
рекурсивны. Доказать, что тогда примитивно рекурсивны
и следующие функции:
/ (xv ...,
<=0
«„_!, i);
2)
= П? («1» • • •. *»-i. 0;
4)
5) / (xv ..., xn_v xn)= 2 8 (*i» • • •> ж«-1. 0
г) Условия, наложенные на функцию g (у), надо понимать
так: рассматриваются все такие значения у, при которых функ-
функция g (у) удовлетворяет указанному соотношению.
238

(здесь, как обычно, считается, что если верхний предел
суммирования меньше нижнего, то сумма равна 0);
6) / (xlt..., x_v хп) =
g
• - x
«-v
(в том случае, когда верхний предел у произведения
меньше нижнего, произведение полагается равным 1).
2.7. Применить операцию минимизации к функ-
функции / по переменной х4. Результирующую функцию
представить в «аналитической» форме.
2)/(*0
3) f(xv
4) f(xv
5) f(xv
6) f(xv z2
2.8. Применив операцию минимизации к подходя-
подходящей примитивно рекурсивной функции, доказать, что
функция / является частично рекурсивной.
1) / fo) = 2 - av 3) / (xv хг) = xt- 2x2;
= I*(xv x2), i = 2;
= х1 — х.2, i = l, 2;
= x1 — — , i=\, 2;
i=l, 2.
2.9. Верно ли утверждение: если хотя би одна из
частично рекурсивных функций g и h но является
всюду определенной, то f—R(g, h)^K01>?
2.10. 1) Можно ли с помощью однократного при-
применения операции минимизации ко всюду определен-
определенной функции получить нигде неопределенную функцию?
2) Привести пример примитивно рекурсивной функ-
функции, из которой двукратным применением операции
минимизации можно получить нигде неопределенную
функцию.
2.11. Доказать вычислимость следующих функций:
f(x, у,
2) f(x, у, z) = (-^T
23»

3) f(x, y, z) = 4^'-
2.12. Каковы мощности классов /sfIIp, ЛГор, K4f и Кв?
Функция f (х, у), определяемая схемой
= т(*, 1),
т(*, ?(* + !, г/)),
где з; ^ 0 и у ^ 0, обычно называется функцией Аккер-
мана.
2.13. Показать, что функция Аккермана удовлетво-
удовлетворяет следующим условиям:
а) tp (х, у) > г/ при любых жиг/;
б) ср (ж, г/) строго монотонна по обеим переменным;
в) tp (х+1, у) ^ if (x, у+1) при любых х ж у.
2.14. Используя задачу 2.13 и теорему Р. Робин-
Робинсона (о том, что система {а; -[--1, sg(x — \\Jxlj2)} полна
относительно операций композиции, итерации и абсо-
абсолютной разности и классе всех одноместных примитивно
рекурсивных функций), доказать, что, какова бы ни
была одноместная примитивно рекурсивная функция
/ (у), найдется такое х, для которого / (у) <[ ср (х, у) при
любом значении переменной у.
2.15. Показать, что функция Аккермана общере-
курсивна, но не примитивно рекурсивна.
2.16*. Обозначим через KW и KW соответственно
множества всех одноместных примитивно рекурсивных
и всех одноместных общерекурсивных функций. Дока-
Доказать, что система KW \J {x -\- у) полна относительно опе-
операции суперпозиции в классе Кщ, а система K$\J
U {х 4- у) — и классе К0{>.
2.17. Пусть машина Тьюринга Т вычисляет функ-
функцию /j (х) ? Kot\K,ip. Верно ли всегда, что функция
/2 (х, у), вычислимая на этой же машине, не принадле-
принадлежит А',ф?
2.18. 1) Пусть машины Тьюринга 7\ и Т2 вычис-
вычисляют примитивно рекурсивные функции f1 (x) и /2 (х)
соответственно. Верно ли всегда, что композиция ТгТг
также вычисляет некоторую примитивно рекурсивную
240

функцию / (#)? А если машины Т1 и Т2 правильно
вычисляют функции f1 и /2?
2) Пусть машина Т вычисляет примитивно рекур-
рекурсивную функцию / (х). Всегда ли справедливо утвержде-
утверждение: если итерация машины Т вычисляет некоторую
всюду определенную функцию g (х), то эта функция
обязательно примитивно рекурсивна?
2.19. Справедливы ли следующие соотношения?
1 2 11
) ^(
2) Р,,
5) ft, №])€„
2.20*. Пусть функции f1 (х) и /2 (х) принадлежат мно-
множеству ^op \ЛГ пр. Могут ли быть верными следующие
утверждения?
1) л (и (х)) е ^„р. но
но
3) Л И + /, (*) б ^ИР. но U (х) + 2/2 (х
2.21*. Пусть f (х)?КОр\Кар. Всегда ли
следующее соотношение?
справедливо
4)
2.22. 1) У функции / (х, у) из KOf обе перемен-
переменные — существенные. Предположим, что цж/ (х, у) и
f*y/ 0е» У) — всюду определенные функции. Может ли
хотя бы одна из этих двух функций зависеть существенно
только от одной переменной?
2) Функция / (х, у) б КОр имеет одну фиктивную
переменную. Могут ли быть у функции \xj (x, у) суще-
существенными обе переменные, если предположить допол-
дополнительно, что она общерекурсивная функция?
2.23. Сформулировать условие, необходимое и до-
достаточное для того, чтобы функция fix/ {x) была нигде
неопределенной.
2.24. 1) Каково необходимое и достаточное условие
выполнимости соотношения pj (х) ? ЛГор?
241

2) Может ли хотя бы одна из функций pxf (х, у) или
tV О*. У) быть общерекурсивной, если / (х, y)^K4f\KOB?
2.25*. Пусть / (х) ? К09 \ Квр. Может ли быть вер-
верным соотношение pj (х) ? Кщ?
2.26. Известно, что / (x)^KOf и что / Bх+1)=/ (х)
и / Bж)=/ (я+1) при всех а; ^ 0. Верно ли, что
(?
/()е„
2.27. Выяснить, полна ли система KOf\Kuv относи-
относительно операции суперпозиции в классе ЛГор?
2.28. Образует ли множество М полную систему
относительно совокупности операций Q в классе /С,р?
1) М = КЛ,\КЩ, 6 = {R, (x}.
2) M = K4S\KOV, 0 = {S).
3) Л# = ЛГор\ЛГцр, € = {S, pi}.
4)М = ЛГпр) ^ = Ы.
2.29. Пусть общерекурсивная функция / (я) та-
такова, что / GV) = {/ (x) : x?N} является бесконечным
собственным подмножеством множества N. Будет ли
при этом условии выполняться равенство:
и {/(*)}]=*#.
где К$ и К$ — соответственно множества всех одно-
одноместных частично рекурсивных и всех одноместных
общерекурсивных функций и замыкание берется от-
относительно операций суперпозиции и минимизации.
§ 3. Вычислимость и сложность вычислений
Частичная функция F (х0, хъ . . . , хп) называется
универсальной для семейства $ re-местных функций,
если выполнены следующие два условия:
а) для каждого i (i=0, I, . . .) re-местная функция
F (i, xx, . . . , хп) принадлежит <??;
б) для каждой функции / (жц . . . , хп) из $ суще-
существует такое число i, что для всех значений перемен-
переменных хи . . . , хп
F{i, xv..., xn) = f(x1 хп).
Число i называется номером функции f (xj, . . . , хп),
а полученная таким образом нумерация функций се-
242

мейства $ называется нумерацией, отвечающей уни-
универсальной функции F (х0, Яц . . . , хп). Обратно, если
задана нумерация системы $, т. е. если задано какое-
нибудь отображение <р: i -> /,. натурального ряда на <??,
то функция F (х0, хг, . . . , хп), определенная формулой
Т (х0, xv ..., Жд) = /хо (х1У ..., хп),
является универсальной для $. Каждой примитивно
(частично) рекурсивной функции / (хи . . . , хп) можно
сопоставить терм, отражающий способ выражения
функции / {xlt . . . , хп) через функции /» (ж1( . . . , хп)=
=хт, s (х)=х+1 и о (х)=0 с помощью операций супер-
суперпозиции, примитивной рекурсии (и минимизации).
Пронумеровав все термы, можно получить нумерацию
всех примитивно (частично) рекурсивных фупкций.
Нумерации такого сорта принято называть геделев-
скими J). В дальнейшем мы будем считать, что зафикси-
зафиксирована некоторая геделевская нумерация. Частично
рекурсивная га-местная функция, имеющая номер х
в этой нумерации, будет обозначаться через ср(.и>. Верх-
Верхний индекс будет опускаться, если не имеется других
указаний на число переменных функции срС_и).
Справедливы следующие утверждения.
Теорема 1 (о функции, универсальной для
совокупности всех re-местных примитивно рекурсивных
функций). Класс всех примитивно рекурсивных п-ме-
п-местных функций имеет общерекурсивную универсальную
функцию.
Эта универсальная функция (соответствующая вы-
выбранной геделевской нумерации) будет обозначаться
через D (х0, хг, . . . , хп).
Теорема 2 (об универсальной функции). Суще-
Существует частично рекурсивная функция U (х0, хх, . . . , хя),
универсальная для совокупности всех п-местных частично
рекурсивных функций.
Понятие универсальной функции часто используется
для проведения доказательств с помощью так называе-
называемой «диагонализации». Примером может служить сле-
следующее доказательство существования общерекурсив-
х) Формальное определение геделевской нумерации можно
найти в книге А. И. Мальцева «Алгоритмы и рекурсивные функ-
функции»,
243

ной функции, не являющейся примитивно рекурсивной.
Пусть D (х0, х^ — универсальная функция для класса
одноместных примитивно рекурсивных функций. Из п. а)
определения универсальной функции следует, что
D \xo,x^j всюду определена. Рассмотрим g (x)~
= D (х,х)-{-1. Функция g (x) не является примитивно ре-
рекурсивной. В самом деле, если бы g (x) была примитивно
рекурсивной, то для некоторого j и для всех х выпол-
выполнялось бы равенство D (j, x)=g (x). Но при x=j это
равенство обращается в противоречивое соотношение
Важную роль играет так называемая (s—т—п)-
теорема, принадлежащая Клини.
Теорема 3. Для любых т, п ^ 1 существует
примитивно рекурсивная функция s^m?i^> такая, что
для всяких х, уъ . . . , ут
Ч{хпЛп) (Л. • • м Ут, «!, • • -, *«) = <р<& у Vm) (zv . .., zn).
Пусть Т — машина Тьюринга, а К — некоторая
конфигурация. Временная сложность процесса вычисле-
вычисления tr (К) определяется как число шагов, которые
сделает машина Т при переходе от К к заключительной
конфигурации, если Т применима к К. Функция tf (К)
не определена, если Т не применима к К. Зоной про-
процесса вычисления называется минимальная часть ленты,
содержащая все ячейки ленты, входящие хотя бы в одну
конфигурацию, встречающуюся в процессе вычисления.
Емкостная сложность sy (К) определяется как длина
зоны процесса вычисления с начальной конфигурацией
К, если Т применима к конфигурации К. Функция
Si (К) не определена, если Т не применима к К. Через
юу (К) обозначается число изменений направления дви-
движения головки, а через г? (К) — максимальное число
прохождений головки через границу между двумя со-
соседними ячейками зоны в процессе вычисления (макси-
(максимум берется по всем парам соседних ячеек). Функции
шу (К) и гт {К) не определены, если Т не применима
к К. Если в качестве конфигурации К берется началь-
начальная конфигурация для слова Р, то функции сложности
обозначаются соответственно через tf (P), sj> (Р), <% (Р)
и гт (Р). Если qi — некоторая функция сложности, то
qr (n)= max qT(P).
244

3.1. Доказать, что функция, универсальная для
одноместных примитивно рекурсивных функций
а) принимает все значения;
б) принимает каждое значение бесконечное число
раз.
3.2. Показать, что в геделевской нумерации каж-
каждая одноместная примитивно рекурсивная функция
имеет счетное число номеров.
3.3. Доказать, что не существует частично рекур-
рекурсивной универсальной функции для семейства всех
«-местных общерекурсивных функций.
3.4. Доказать, что существуют частичные числовые
функции, не являющиеся частично рекурсивными. Дать
два доказательства, одно из которых основано на
сравнении мощностей множества частично рекурсивных
функций и множества всех частичных числовых функ-
функций, а другое — на «диагонализации».
3.5. Привести пример частичной числовой функции,
принимающей ровно одно значение и не являющейся
частично рекурсивной.
3.6. Доказать, что функция / не является частично
рекурсивной.
если значение <рх (у) определено,
в противном случае.
если <рх (х) определено,
в противном случае.
о\ f/ \9х(у)> осли <?я (и) определено,
у / \ » о} | On nrwtTrinuAM случае.
z)_. - если fx(y) = z'
' ' п в нротив«ом случае.
[1, если существует у, при котором
5) f(z, у, z)=\ 9x(y) = z,
'¦О в противном случае.
3.7. Выяснить, является ли функция / частично ре-
рекурсивной.
если <рж (х) — 1,
О в противном случае.
„. , . (не определено, если <?х{х) определено,
' ' 11 в противном случае.
245

(I, если единица принадлежит множеству
3) / (х) = | значений функции <fx,
{0 в противном случае.
11, если (рж является примитивно рекурсив-
4) /(ж) = | ной,
10 в противном случае.
{1, если в десятичном разложении числа тг
имеется бесконечное число нулей,
0 в противном случае.
3.8. Пусть и (х0, хъ . . . , хп) — частично рекурсив-
рекурсивная функция, универсальная для некоторого непустого
подмножества М общерекурсивных функций, такого
что K0V\M бесконечно. Путем «диагонализации» ука-
указать счетное множество общерекурсивных функций, не
принадлежащих М.
3.9. Показать, что если функция / (х) частично ре-
рекурсивна, то и всякая функция, отличающаяся от / (х)
на конечном множестве значений аргумента, является
частично рекурсивной.
3.10. Пусть U (х, у) — функция, универсальная для
множества всех одноместных частично рекурсивных
функций. Доказать, что функция f (x)=U (x, x)-\-i
не имеет рекурсивных доопределений (иными словами,
всякая всюду определенная функция, совпадающая
с / (х) везде, где / (х) определена, а в остальном произ-
произвольная, не является частично рекурсивной).
3.11. Пусть частично рекурсивная функция / (х)
такова, что функция h (x), определяемая условием)
{0 в тех точках, где / (х) определена,
' I 1 в точках, где / (х) не определена,
рекурсивна. Показать, что функция / (х) имеет рекур-
рекурсивное доопределение.
3.12. Привести пример двоичной последовательно-
последовательности а0, alt . . . , ап, . . . , которая порождается под-
подходящим автономным детерминированным оператором
и удовлетворяет следующему условию: функция / (х),
определяемая при всяком п ^ 0 равенством / (и)= а,,,
не является общерекурсивной.
3.13. 1) Показать, что если последовательность . olq,
а1( . . . , ая, . . . , является выходной для некоторого
246

автономного о.-д. оператора, то функция / (х), задавае-
задаваемая при всяком п ^ О соотношением / (и)= о^, является
общерекурсивной.
2) Всегда ли такая функция является примитивно
рекурсивной?
3.14. Построить пример бесконечной двоичной по-
последовательности а= ад, cci, . . . , ая, . . . , удовлетво-
удовлетворяющей следующим условиям:
1) не существует автономного о.-д. оператора, для
которого а является выходной последовательностью;
2) существует машина Тьюринга, которая, начиная
работу на пустой ленте, строит последовательность а;
при этом для каждого п существует такой момент вре-
времени to = to (п)> что Для всякого t ^ t0 головка машины
не посещает ячейки лепты, расположенные левее той,
в которой записан символ <хп.
3.15. Привести пример преобразования конечных
слов, которое может быть совершено подходящей ма-
машиной Тьюринга, но не может быть совершено ни-
никаким детерминированным оператором.
3.16. Для заданной функции / построить машину
Тьюринга Т, правильно вычисляющую /, с верхней
оценкой для ее временнбй функции сложности и оце-
оценить сверху остальные функции сложности. Входныи
данные заданы в унарной форме. Внешний алфавит
^ = {0, 1}.
1) f(x, у) = х-\-у, tT(n)^cn;
2) / (х) = 2х, tT (п)
3) f(x) = \x-y\, iT
5) f(x) = ]log2x[, tT(n)^cn*.
3.17. Построить машину Тьюринга Т, осуществляю-
осуществляющую перевод унарной записи числа в двоичную с задан-
заданными ограничениями на функции сложности: tr (n) ^
^ схпг, Sf (п) ~ и, wT (п) <; с2 п, rT (n) ^ с3п, где
cv c%, с3 — некоторые константы.
3.18. Построить такую машину Тьюринга Т, осуще-
осуществляющую перевод из двоичной записи в унарную, что
tT (п) < Cln2n, sT (п) ~ с2п+2", сог (п) < с.Ап2\ rt (л)< с4гс2я,
где cv с2, с3, с4 — некоторые константы.
247

3.19. Построить машину Тьюринга Т с входным ад-
фавитом А из m букв, преобразующую слово Р в слово
Р*Р, где символ * не входит в Р, и такую, что tT(n)^
<cxre2, sT(re) <;с2ге, u^(re)<c3re, rT(re)<c4re.
3.20. 1) Построить машину Т, распознающую линей-
линейность *) произвольной булевой функции / (х"). Функция
/ (Ж") задается двоичным вектором а/ длины N = 2". Вход-
Входной алфавит машины есть А = {0, 1, Л}. Функции ?т(Л0
и sT (/V) должны удовлетворять неравенствам tT (N) ^
<Cl/V2, sr(/V)<c2iV.
2) Построить машину Т, распознающую самодвой-
самодвойственность произвольной булевой функции / (х"), и такую,
что tT (N) < q/V2, sT (N) < c2iV.
3) Построить машину Т, распознающую монотонность
произвольной булевой функции / (хп) и такую, что tT (N) ^
<Cl/V2, sr(N)^c2N.
3.21. Показать, что для любой машины Тьюринга Т
и любого слона Р
1)М/'КМР).
2) Сущостнует константа с, такая, что ?у (Р) ^ с"тт.
3.22. Пусть sT(n)^>n-\-c при любом п. Доказать,
что для любого сх ^ с существует машина Т7!, такая, что
для всякого слова Р выполняется равенство Т (Р) =
= Тг (Р) и при этом sT (re) ^ sT (re) — Cj.
*) Машина, распознающая некоторое свойство входного
слова, имеет два заключительных состояния q'o и <$. Машина
должна останавливаться в состоянии д'п, если свойство выпол-
выполнено, п в состоянии <7о> если свойство не выполнено.

РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ
ГЛАВА I
1.1. 1)U); 2) 2я. 1.2. 1) 9, 13, 50; 2) @10011). 1.3. U_j )•
1.5. 1) «2я-1; 2)Q2»-'. 1.6. 1) 2>»; 2) l) k + m-r k-rn+r )l
\ 2 I V 2 /
1.9. Указание. Показать, что чиоло ф (п) векторов а
таких, что 2<Li а< ^ т№ Для всех m = 1, 2и, удовлетворяет
рекуррентному соотношению ф (й) = ^j"_, Ф С — 1) Ф (га — ')>
ф @) = ф A) = 1. Используя это соотношение, найти, что
фF) = 132.
1.10. ,
1.11. 1) Указание. Рассмотреть слой б|и/2]; 2) У к а-
вание. Среда и + 2 наборов из В" всегда найдутся два на-
набора одного веса.
1.12.
1.13. Полагая. чтоО < J<fc < и, подсчитаем число р (и, к,
нар (S, р) таких, что а?А, р^В. С одной стороны, р(п,к, I)--
1) При а, ие являющихся целыми, ( ) алесь полагается
равный 0.
281

= I л 1 (fc _ i) • a c ДРУГОЙ — P ("• ft> *) < I B I (;) • Используя
fn\(n-l\ (n\(k\
тождество I, IK _ jl = U 1,1, получаем требуемое неравен-
неравенство. В случае i > А: имеем тот же результат.
1.14. \) Возрастающая цепь длины п содержит в каждом
слое по одной вершине. Выбрать вершину в слое В\ можно
п способами. После того, как вершина цепи, лежащая в В",
выбрана, вершину цепи, лежащую во втором слое, можно вы-
выбрать п — 1 способами и т. д.
1.15. 1) Пусть А—множество попарно несравнимых на-
наборов из В", и пусть А( = А[]В", a Z (а)—множество возра-
возрастающих цепей длины п, содержащих вершину 5. Имеем
я
Отсюда | А | < f \п12\) ' ^ Указание. При i < к < п/2 спра-
справедливо t \ (п — () I > к I (п — А:) 1
1.16. Указание. Каждому числу вида Pi'p? ... Ря" со-
сопоставим вектор (otj, a2, .... ая) из В". Тогда множеству А
будет соответствовать множество А'С.В", состоящее из по-
попарно несравнимых наборов. Применяя результат задачи
1.15, 1), получим утверждение.
1.17. Пусть г1? г2, ..., 1^ — номера тех координат, в кото-
которых аир различаются. Всякий вектор y такой, что 5 ^ ^ ^ р,
может быть получен из а заменой в некоторых из перечис-
перечисленных координат 0 на 1. Число способов произвести такую
замену равно 2к.
1.18. Для В1 разбиение состоит из единственной цепи
Z = {@, 1)}. Для В2 в качестве цепей разбиения можно
взять 2, = {A, 0)} и Z2={@0), @1), A1)}. Свойства 1Q и 2°
выполнены для этих разбиений. Предположим, что утвержде-
утверждение доказано для кубов размерности < ге, и докажем его
для Вя+1. В силу предположения существует разбиение гра-
граней Z?^+1'"+1 и /?я+1. я+1 на цепи, удовлетворяющее условиям
1° и 2°. Разбиения в Z?g+l>"+l и B«+1. «+1 можно выбрать изо-
морфиыми, т. е. такими, что цепь Z0={a1, й2 а,} тогда
и только тогда припадлелшт разбиению куба Sg+1> "+1, когда
282

цепь Z1 = {a'l, 5J, .... а',}, полученная из Zo заменой в каждом
наборе а( из Zo нуля в (»+1)-й координате на единицу, при-
принадлежит разбиению грани В^+1> я+1. Пусть ZO={51, ait ...
.... а,} и Zl = {d[, 5j а^} — две такие изоморфные цепи
из разбиений грапей Btf1' "+1 и Bf+1> H+1. Построим две новые
цепи Z0={alt cijj, ..., a,, u't) и 21 = {а[, а'2, ...,5^_,}. Цепь Zo
получена из Zo присоединением вершины S^gZ,, а цепь 2Х
получена из 2, отбрасыванием вершины a't. Поступим так
о каждой парой изоморфных цепей. Получим разбиение
куба Bn+l на непересекающиеся цени. Выполнение условий
1° и 2° легко проверяется.
1.20. 2) Покажем, что слой ZJJ—полное множество при
п > 2. Пусть а< — вектор из В\, у которого 1-я координата
равна единице. Пусть заданы расстояния р E^, р) = г,-, i = 1, п.
Покажем, как восстановить р. Если ||p|] = fc>0, то, очевидно,
r^g {к — 1, к -\- 1}. Пусть max rrf > 2, и пусть .4 (р) = li : r^ =
= mia г Л. Тогда i-я координата вектора р равна единице,
если i 6 Л (р), и равна нулю в противном случае. Если max ry =
= 1, то р = 0. При п = 5 слой Sf не является базисным мно-
множеством, поскольку множество {@0001), @0010), @0100),
@1000)} является полным. 3) При п четном и к = п/2, при
любом п>1 и к =0, п. 4) Пусть Л = {5^ ..., 5^}—полная
система. Рассмотрим систему равенств р (а(, $) = r{, i = i, к-
Очевидно, что г,- ? {0, 1,..., п), 1 = 1, к. Каждый набор (гп г2,...
.... гк), при котором система имеет решение, однозначно опре-
определяет некоторый вектор р?Вл. Отсюда вытекает, что (п -\- 1)* <
«S 2". Указание. Верхняя оценка для числа векторов в ба-
висной системе может быть получена из того, что система
уравнений р (а{, р)=т\, 1 = 1, к, может быть сведена к обыч-
обычной линейной системе. При к^> п некоторые уравнения этой
системы выражаются в виде линейной комбинации через
остальные. Такие уравнения, а следовательно, и соответствую-
соответствующие им векторы можно удалить.
1.21. Достаточность. Перестановка координат всех
векторов из В", а также инвертирование координат i,, B, ...
.... ik всех векторов из В" не меняет взаимных расстояний
между вершинами. Необходимость. Пусть ^ — отображе-
отображение куба В" на себя такое, что для любых 5, р справедливо
Р(?E). ?(Р))==р(а> Р)- Рассмотрим множество D = B%\JB1,
283

являющееся полным в В" (см. предыдущую задачу). Пусть
<р (D) = {tp E), 9 Ei), ...,?(«„)} — образ множества D, а а( — век-
вектор из В™, у которого i-я координата равна единице. Поло-
Положим р; = 9 @)©? (*<), ' = Г~»- Имеем || р^ || = р @, Р<)=р(<р(О)©
09@), 9 @) ©?(<*<)) = Р (9@). 9 (<*<)) = Р@, 5<) = 1. Пусть
/(О— номер той координаты вектора р^, которая равна еди-
единице, 1 = 1, п. Тогда отображение л: i-> j (i) есть переста-
перестановка на множестве {1,2,..., п). Для произвольного 5= (aj,...
..., а„) из В" положим л E) = (аяA), ..., ая(Я)). Покажем, что
для всякого 7 6 Ви справедливо 9G) =п G ©9 @)). Тем самым
необходимость будет доказана. В самом деле, р (? G), f @)) =
= рG- 0), р(?G). 9(Й,-)) = РG- 5.0- С другой стороны,
р (it G ©9@)). 9@)) = рG. 0). Р (л G ©9@)), 9(а<)) = РG. «*)•
Очевидно, множество y(D) является полным в В", как и Z).
Отсюда вытекает, что 9G) и лG©^р@)) совпадают.
1.22. ( 2._,). ^
1.23. 1) Для п = 1 и й = 0, 1 утверждение справедливо.
(Мы молагпом, 11Т"(^) —" 1!РИ !1СВХ Л = 0, 1, . . .). Пусть
упкфждони» дикнаамо дли размерностей, меньших или рав-
равных п — 1, и дли всех к==0, 1, ... . Пусть 5=(о], ..., ап),
и пусть 5' = (aJ Од_х) = (а2, ..., ая). Если а!=0, то, оче-
очевидно,
/и — 1 — (й- 1)\ /и — i,
* )+-+( 1 )ЕсЛИ
и —«Л
1 )
= 1. ТО
. .. +( . J . 2) ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ fc И 5(;#? ЧИСЛО (J.J. E) =
= | М\ (а) | будем называть номером набора 5 в слое В\. Пусть
5?В% — вектор, единичные координаты которого есть i1,...,ik,
1 < '1 "С • • • "С 'fc < п- Тогда в силу предыдущего (j.ft E) =
(п — i{\ In — ik\
= 1 + 1 д. )+...+! j ). Пусть далее набор р g B^ по-
получен из й заменой последних к — I единичных координат на
нули. Покажем, что 2J (М% E)) = Mf (p) ила. что то же самое,
что Z1 (М% E)) = {7: (j., G) < Hf (p)}. Покажем сначала, что
для всякого 7 6^? такого, что fxf G) <С t1/ (P), существует набор
284

такой, что 7 <[ ^ и !** Ф) ^ (**("). Выберем в качестве 8
набор, полученный из 7 заменой последних к — I нулевых ко~
ординат на единицы. Требуется показать, что рк (8") < рк E).
Если (j.4 (?) > jj.ft E), то существует такое t, что а,-=8,. при
i <] t, at = 0, 8^ = 1. Рассматривая наборы 5' и 8"', получен-
полученные из й и § соответственно заменой последних к — I единич-
единичных координат на нули, имеем ;j.; (а') < (j.; (В'), 5' = р, ;j.; (8"') <
< (j.; G). Получаем противоречие с неравенством ц, (р) > jj., G).
Аналогично можно показать, что для всякого 76^" такого,
что (J-; G) > (J-; (Р) не существует набора Ь(~М%(а) такого, что
7<1 3) Вытекает из 1) и 2). 4). Пусть А С В% и А не яв-
является начальным отрезком слоя В%. Укажем способ построе-
построения такого множества F CZ В%, что |F| = |j4|, 2aefvE)<;
< 2аелу EЬ I ^?-i (^") I ^ I ^l-i (-^I- ^ем самым утверждение
будет доказано. Обозначим через К (а) множество номеров
единичных координат набора 5. Пусть &(• В%\ А ир?Л — те
наборы, на которых достигается min | К C) \ К (*) |, где мини-
минимум берется по всем парам C, t) таким, что 3? В%\А, t?A,
v(8)<v(t). Пусть М=КE)\Кф), N = К (р) \ К E). Оче-
Очевидно, Mf]N =0, \M\ = \N\. Для произвольных 3, х из Вп
обозначим через 3 \ х набор вида 3 © Cfix), и пусть а'=5\р,
р' = р\а. Ясно, что ч (а') < v (p'). Положим
0 = {7:7бЛ- 5'П7 = 0, Р'<7! (f\ P') U 5' 6 <4},
p)U5', 760),
Очевидно, что FCBg, | F | = | А | и 2vE)<2vE), 110-
скольку v (G\P')U5'X'' G) Для всех 7б°- Остается дока-
доказать, что | Z\-i (F) | < | Z%^ (A) \. Ограничимся указанием.
Сначала следует показать, что если &? Z%_t [F) \ Zg_x (A), то
8Г)Р'=О и 5'<з. Затем показать, что набор ? = C\S')|Jp'
содержится в Z%_l(A)\Z%-i(F). 5) Указание. Провести
индукцию по к — I. 6) Пусть к — максимальное целое, при
котором ак > 0. Тогда при I = к — 1 утверждение сводится
к пункту 4). При проведении индуктивного шага (индукция
ведется по к — I) положим А(— Af\B», A'( — A(~) I |J BjM и за-
заметим, что
Ясно, что
min \Z»t(C)\< min | Z] (С) |.
B?C\-m CQBj,\C\>m
285

В силу индуктивного предположения min| Z1+1(A'I+1) | дости-
достигается в случае, когда каждое Z^(A), i^>l-\-l, является на-
начальным отрезком слоя Щ. Но тогда в силу 2) множество
Zfu (А'щ) является начальным отрезком. Тогда выбором Лт
множество Z^(A) = Znl+l(A'l+1)\JAl^1 можно сделать началь-
начальным отрезком слоя Щ. Отсюда и вытекает утверждение.
1.24. Для каждого 1 = 0, п пусть At = Af)Bj. Число
t(n, m, к) пар (а, р) таких, что а(.Ат, рГM = О, pGB*(JSm+*-
Из условия вытекает, чтор(?Л. С одной стороны, t (п, т, к) =
= ат\ k ). с ДРУГОЙ стороны, t (п, т, к) < Ц^ + k) — ат+к) X
(т + к\ Г(п\ \{п — к\
\k) /V т ) и вытекает утвер-
утверждение.
1.25. 1) Пусть 5 — центр множества А; тогда Л' = {5©р,
р?Л} является искомым множеством. 2) Можно считать
в селу 1), что 0 является центром А. Для построения А'
достаточно для каждого ( = 1, га заменить каждый набор й
из /4(, для которого 5*(| А, набором 5*. 3) Указание. Пусть
А С. В" имеет центр 0 и обладает свойством 1°. Пусть 5*> / —
преобразование, состоящее в том, что для каждого a?A*>J
такого, что а1' 3 (?Л, набор 5 заменяется на а*> J, Упорядочим
пары (I, j) такие, что 1 < *</ < п, следующим образом:
A, и), A, и-1) A, 2), B, и),
B, и_1), ..., B, 3) (и-1, га).
Применив к А последовательно все преобразования 5'» i, на-
начиная с (i, /) = A, п) и кончая (I, ]) = (п — 1, п), получим
искомое А'. 4) Пусть ЛСВ" удовлетворяет условиям задачи.
Тогда можно считать, что 0 является центром А и А удовле-
удовлетворяет свойствам 1°, 2°. Если для всякого а?А ||5|<fc, то
утверждение верно, так как в силу свойства 2° для каждого i
множество Л< = ЛР1В™ является начальным отрезком слоя BJ.
Пусть существует а?А такое, что ||5||>ft. Пусть s — наиболь-
наибольшее число, для которого А, не пусто, a t — наименьшее число
такое, что А{фВ$. Пусть 5 — набор с наибольшим номером
в Л,, а р — набор с наименьшим номером в В$\А(. Пусть
В = (А \{5})(J(P}- Для доказательства утверждения достаточно
показать, что | Г (А) | > | Г (В) |. Пусть N (*) = {y : •} ?Г (А),
1 6 Г(Л\{5})} и УУ(р) = G:т6Г(В). 7бГ(В\{р})}. Ясно,
что Г(В)==(Г(Л)иЛГ(р)и{а})\(ЛГE)у{р})- Таким образом,
нужно показать, что | N (а) | > | N ф) |. Пусть S ^ В" —
286

произвольный набор, обозначим через д (?) число tx — 1, где
ix — наименьший номер единичной координаты набора Ь. Тогда
| iV E) I == g (а), | N (р) | = g (p). Пусть т ? Щ — набор, получен-
полученный из а заменой последних s — t единичных координат на
нули. Тогда д (а) > д (т). Но из -v G) > v (р)^следует, что д (?) >
> q ф). Отсюда и вытекает утверждение.
1.26. 2) В качестве А такого, что |Л|=2"~1, можно взять
любую (п — 1)-мерную грань, содержащую I, а при нечетном га
можно взять множество {5: Ц5Ц > (п-\- 1)/2}. С другой стороны,
если |Л|>2"~1, то в Л найдутся два противоположных на-
набора, пересечение которых есть 0.
1.27. 1) Указание. Рассмотреть множество j5: |]5||>
1.28. 1) Диалогично 1.25. 2) А = {5: agB", || 51| — четное}.
1.31. 1) Каждой грани В*''" jj" '* направления /= {Ij, . ..
.... ik} можно взаимно однозначно сопоставить ее код — вектор
(in •••i7n) с координатами ^{(:{0, 1, —}, i = l, n, такой, что
•\{ =а„ ...I Т»ь.==а*> а в остальных координатах стоят прочерки.
Заполнить фиксированные к мест нулями и единицами можно 2*
способами. 4) Искомое число равно числу векторов (fj, ..., fn)
с к координатами из множества {0, 1} и п — к прочерками.
Выбрать к мест ив п для вначащих символов, т. е. для 0 и 1,
можно (,J способами, заполнить фиксированные к мест ну-
нулями и единицами можно 2к способами. 6) Код fc-мерпой грани,
содержащей заданную вершину (ах, ..., а„), можно задать,
расставив к прочерков вместо некоторых к координат вектора
(оц ..., а„). 8) Пересечение двух граней есть грань. Выбрать
грань размерности / в грани размерности I можно (,-J2'~^ спо-
способами. Тем самым в коде грани размерности к уже зафикси-
зафиксированы I координат. Среди остальных п—I координат необхо-
необходимо расставить к — / прочерков. Это иожно сделать (д, _ А
способами.
1.33. Пусть Yn us, Ь "-* К°ДЫ граней gu gv g3 соответственно.
Две грани не пересекаются тогда и только тогда, когда суще-
существует координата, в которой коды этих rpam-й имеют значащие
символы, причем эти символы противоположны. Если же грани
gx, g2 пересекаются, то код их пересечения содержит значащие

символы в тех координатах, где хотя бы один из кодов ^i» ъ
имеет значащую координату, причем значащие координаты кода ;
пересечения совпадают с соответствующими координатами хотя ,\
бы одного из кодов 7ц 1г- Если S — код пересечения гра- |
ней gt и g2 и грань g3 не имеет общих вершин с этим пересечением, |
то найдется i такое, что i-в координаты векторов В и 73 являются ^
значащими и не совпадают. Но тогда i-я координата вектора ?3 не ,|
совпадает со значащей i-й координатой одного из векторов ^i j
или %. Это означает, что соответствующие грани не пересекаются. |
Противоречие. ;
1.34. Задача легко сводится к случаю, когда 2^2"' =2". '{
Проведем доказательство для этого случая индукцией по п. '<
Для и = 0, 1 утверждение, очевидно, справедливо. Переход ]
п->п+1. Пусть min n(^l. Положим n't = ri{ — 1. Тогда
п'( — неотрицательные числа и 2'=1 2я* == 2". По индуктивному
предположению существует разбиение каждой из граней
дв+1, iHi и ди+1, »+1 Ку5а В"+1 на грани размерностей п{ п'а.
Выберем эти разбиения одинаковыми, т. е. такими, что для
каждого ( = 1, s объединение граней размерности п\ образует
грань gf размерности п(. Получим нужное разбиение. Если
min и,==0, то пусть т — число тех i, для которых ге< = 0.
Из условия 2,*=i 2"' = 2И+1 вытекает, что т — четно. Рассмо-
Рассмотрим новую совокупность п[, п'2, ..., n's_m/2, полученную из
прежней путем замены т нулей на т/2 единиц. Построим,
как в предыдущем случае, разбиение куба Вв+1 на грани,
а затем некоторые т/2 граней размерности 1 разобьем на т
граней размерности 0.
1.36. 1) Верхняя оценка. Указание. Рассмотреть
N = {а: а?Ви, ||а|| — четное}. Нижняя оценка. Пусть N СВ",
\ N \ <?, 2"-*. Существует (см. 131, 134) разбиение куба Вп на
непересекающиеся грани размерности 1. Число граней в таком
разбиении равно 2п~1. Отсюда следует, что хотя бы одна из
граней не содержит вершин из JV. 3). Указание. Рассмо-
Рассмотреть /V = {5: а?В», ||51| = 0 (mod 3)} или Nl = {a: a?Bn,
v (а) = 3 (mod 4)}. 4) Нижняя оценка. Заметим, что для
того чтобы вершина 5=(aj ап) содержалась в (» — 2)-мер-
иой грани с кодом ^ = (Ti. •••. In) (CM- решение задачи 1.31),
имеющим значащие координаты в разрядах i и /, нужно, чтобы
ai = T<. aj = tj- Пусть /V С В", | ./V | = т, — множество такое, что
в каждой (п — 2)-мерной грани содержится вершина а из TV.
288

Рассмотрим двоичную матрицу М, строками которой являются
векторы из iV. Из предыдущего замечания вытекает, что для
каждой пары чисел (i, /), 1 < i < / < п, и любой пары (о, т),
в, т?{0, 1}, должна найтись строка а = (а1 а„) такая, что
<И=а, aj=*x. Отсюда вытекает, что любые два столбца мат-
матрицы М попарно несравнимы. Число попарно несравнимых
/ т \
двоичных наборов длины т не превосходит I, ,01 I. Отсюда
(. ,2|J>n. Верхняя оценка. Пусть т — наименьшее
целое такое, что ( т )> п. Построим двоичную матрицу М
\[m/2]J
С п строками и тга попарно несравнимыми столбцами. Добавим
к матрице М строки 0 и I. Тогда полученная совокупность
векторов-строк будет «протыкающей» для множества всех
(п — 2)-мерных граней куба В".
1.37. Для я = 1, 2 утверждение очевидно. Пусть а,, 52, ...
..., й2я является циклом в В", Пусть ро, где $?Вп, og{0, 1),
обозначает вектор длины п + 1, первые п координат которого со-
совпадают с соответствующими координатами набора р, а (п -+- 1)-я
координата равна о. Тогда последовательность 5,0, я20, ...
..., а2я0, й2„1, ..., аа1, oijl является циклом в Bn+1, содер-
содержащим все его вершины.
1.39. 1) Да. 2) Нет. 3) Да. 4) Да.
1.43. Указание. Заметить, что если наборы а = (оь.. .,си) и
я я ,
5 = (о;, .. ..о;,) сравнимы, тоолиа иа сумм ^ (—1)"'а4, ^ (- 1) 'а(
больше единицы но абсолютном величине.
§ 2
>.\. 22" (га > 1). гл. 1\п> 1). 2.8. Ст+С>т+ ...-)- С*-»,
где т — 2" (п > 1, к 2* 1). l"i'. 2) 2 (п s> 1). г. 10. I) 5 спосо-
способами. 2) 9 способами.
'i.i'i. I) Базис индукции. Если сложность формулы равна
единице (над множеством связок М = { 1, &, V. -*¦)), то эта
формула имеет один из следующих видов: ( ~] х), (х&у), (х V У),
(х-* у) (с точностью до обозначения переменных). Ионтому
утверждение очевидно для формул сложности 1 Индуктивный
шаг Пусть утверждение справедливо для всех формул (над
множеством связок М), имеющих сложность, не превосходящую
числа / (I > \). Возьмем произвольную формулу ~21 (над М),
Ю I'. П. Гаврилов, А. А. Сапоженко 289

сложность которой равна 1 + 1. Будем считать, для определен-
определенности, что $1 = C3 V ?) (остальные случаи рассматриваются
аналогичным образом). Очевидно, что связка \/, стоящая
между формулами 33 и ?, имеет индекс, равный 1. Далее,
если связка в формуле 33 (или ?), рассматриваемая как
связка формулы 33 (соответственно, ?), имеет индекс больше,
чем 1, то в формуле '•Л индекс этой связки уменьшиться не
может. Если же связка в 33 (или ?) имеет индекс, равный 1,
то в формуле 1 ее индекс будет равен 2 (индекс увеличи-
увеличивается потому, что в формуле 1 перед подформулой 33 есть
левая скобка).
2.15. 3) @ 1 0 0). 2.18. 3) 21~33. 2.19. 2) Д (х, у) = 0,
/,(*, у) = х, h(x,y) = y, h(x,y) = x@y. 2.20. 1) «x\y)l
| (*!»))• 2) ((х\у)\((х\х)Цу\у))). 2.21. 1) ((x\y)\(x\y)).
2) {(x V (x ViO)~0). 3) Нельзя.
2.22. 2) Функция, реализуемая формулой над множеством
{->}, принимает значение 1 не менее чем на половине набо-
наборов значений аргументов. Этому условию функция ху не удов-
удовлетворяет.
2.23. Вообще говоря, нельзя. Пример: 5= {~| }, функция ?
но реалиауемп над 5 формулой чотной глубшш.
2.24. Ксли над множеством S реализуются чолько констант-
константные функции, то утверждение очевидно. Пусть над S реализу-
реализуема некоторая функция / (x")^iconst. Отождествляя в функции
/ (хп) и в реализующей ее формуле все переменные, получаем
функцию 9 (х) (и соответствующую ей формулу 21 (х)). Надо рас-
рассмотреть следующие три случая: а) ? (х) — константа, б) у (х)=
=х и в) 9 (х)=х. Получив (в случаях а) и в)) формулу, реа-
реализующую функцию х (и имеющую глубину не меньше 1), мы
сможем строить для каждой конкретной функции, реализуемой
формулой над 5, формулу сколь угодно большой глубины.
Пусть ? (ж)=0. Тогда найдется набор а=(а1, а2,. . ., а„), на ко-
котором функция / равна 1. Заменим все х^ соответствующие а,.= 1.
на х, а остальные х{ — на (р (я)=0. Получим функцию <\> (х)=х
Если же (р [х)-—Л, то аналогичным способом получаем функ-
функцию X.
2.26. 2) ху у=(х-*у) -+у. 3) х~у — (х-*у)& (у->х).
2.30. 2) Вообще говоря, нельзя. Пример: <И = у2 -* х — фор-
формула, не являющаяся тождественно истинной; однако формула
S* 1^.У151 | = 0а-> (i/i -» Vi) — тождественно истинная.
2.31. 1) Если предположить, что / @, 0)=0, то, беря х—
= j,=z=0, имеем / (/ @, / @, 0)), / (/ @, 0), / @, 0)))=/ (/ @, 0),
/ @,0))=0, что противоречит условию задачи. Итак, / @,0)=1
290

Полагая затем / @, 1)=0, имеем (при x=y=z~0) f (f @, / @, 0)),
/ (/ (О, 0), / (О, 0)))=/ (/ (О, 1), / A, 1))=/ @, / A, 1)) и, в силу уо-
ловия задачи, должно выполняться соотношение / A, 1)=0.
Но, рассматривая затем ж—0, y=z=l, видим, что / (/ @, / A,1)),
f (/ @,1), / @, 1)))=/ (/ @, 0), / @,v0))=0, а это противоречит ус-
условию задачи. Таким образом, / @, 1)=1. Наконец, предполо-
предположим, что / A, 1)=0. Полагая х=у=0 и г=1, получаем
/ (/ @. / @, 1)), / U @,0), / @, 1)))=/ (/ @, 1), / A, 1))=/ A, 0).
Принимая во внимание условие 8адачи, имеем / A, 0)=1. Но
тогда / (/ A, / A, 1)), f (/ A, 1), / A, 1)))=/ (/ A, 0), / @, 0))=
=/ A, 1)=0 — что противоречит условию задачи. Следовательно,
и / A, 1)=1. Итак, / @, 0)=/ @,1)=/ A,1)=1. Значит,
/ (х, у)=х -> у или / (х, j/)=l. Далее эквивалентности а)—д)
проверяются непосредственно (например, с использованием ос-
основных эквивалентностеи). 2) Пот, но пмтпкшот. Достаточно рас-
рассмотреть функцию / (г. г/)=т — v
§ 3
3.6. 2я. 3.7. 1) 2я-1; 2) 2" — 2; 3) 2"-1. 3.8. 1) к. I; 2)
+ I- 2я — к- I; 3) кBт~1) + 1Bп — к). 3.9.2) /J (?s)
х%хж.
нечетао
¦ СУ
• (
fl\3 (х») = хг.
3.19. &-2?
3.11.
2C/4b2".
если к — четно 3.23.
3.12. 12. 3.16. 4.
3.20. 0, если к
A101111011100111),
3.26. f (х«) = х,?ь ...?„.
3.29. Указание. Заметит!,, что при & = 1 многочлен
обращается в единицу на 2я наборах. Используя формулу
разложения, провести доказательство индукцией по к.
3.30. 1) 2п'к + 2к — \; 2) -j Bп — (— 1)я).
3.31. Для л = 1 утверждение очевидно. Индуктивный пере-
переход от п — 1 к п. Если I < 2"'1, то по индуктивному предпо-
предположению существует полином Р (х"'1) длины <п — 1, для
которого I NP | = I. Тогда полином хпР (хп~1) обращается в 1
в I вершинах куба В". Если 2я*1 < I ^ 2й, то рассмотрим
полином Р (х"'1), обращающийся в единицу на 2"—I вер-
вершинах куба б". Тогда полином х„Р (хп~1)@1 является
искомым.
10*
291

I*
4.4. У каз а ние. Пусть К = х\* .,. г°в, L = x\* ... х\" ж
K*L есть э. к., полученная ив ЛГ вычеркиванием тех букв х?,
для которых а{ ^ ?i- Заметить, что каждый импликаат функ-
функции / (хп) можно представить в виде K°L, где К в L — под-
подходящие э. к. из совершенной д. н. ф. функции /(Жп), быть
может совпадающие.
4.5. 1) 2»-1; 2) 2"-1; 3) 3.2"-"; 4) 2"-2; 5) к + (п — к) X
4.6.1) П(
4.8. 2) «xa;2is\/ г1^а V xi?t V a;ji4 \/
4.9. 1) 22"-'г""; 2) г2"-2"""" У ( '*">' »'>-'>2"~г
<=о
4.11. 1) х%х3 \у х1х1 \у хгх3 \/ :
4.12. 1) ?А, ^з:,, Зда^,
4.13. Указан и е. Показать, что никакие два собственных
набора диух рамлачнмх ндровмх импликацтов не являются
соседними, и ио11оЛ1.зо|1мг1. тот факт, что множество N CZ Вп,
такое чти | <V | ';¦ 2", ncei-да содержит ребро (см. 1.44).
4.14. 1) 2"м; 2) 2"-*; 3) 0; 4) 2В~2; 5) к.
4.15. 2''"-""-r(l-(l-2--J'i~r).
4.18. 1) 1; 2) б2"""; 3) б2""'; 4) 1.
4.20. Одна. Показать, что все простые импликанты яв-
являются ядровыми.
4.23. Указание. Провести индукцию по п, используя
разложение C) функции по переменным.
4.24. 1) У двух функций. 2) У 2Я+1 функций.
_4.25. Например, fc = n2"—1.
4.27. 1) 0, если к ф 0, fc-fm<n; ( ), если fc = 0;
О
если к -+- т = п. 2) На даух при четном и и на четырех
при нечетном п.
§5
5.2. 1) ж8; 2) ib х2; 3) з:4; 4) хх. 5.4. 1) х2, х3; 2) z,, is;
3) ха. 5.7. т. 5.8. 1) ги г2, х3, г4; 2) Я], г2, х3; 3) it, г4;
4) *!, ж„ г4.
292

5.10. 1) n > 3; 2) ни при каком п; 3) п > 3; 4) »ри чет-
четных п; 5) при гс = 4А— 2, fc = l, 2, ...
5.12. 2) | J»| (AT») | = 218.
5.13. Указание. Из условия задачи вывести, что суще-
существуют наборы а', р', f такие, что р (а', р') = р(р', <j') = l.
Пусть а' и р' различаются в i-u, а р' и 7' — в /-м равряде.
Тогда переменные х{ и ж^- являются существенными.
5.14. Указание. Достаточно показать, что если х(
или ?{ входит в некоторый простой импликант К функции /,
то х{ — существенная переменная. Вычеркивание х\ иг
К приводит к э. к. К', не являющейся импликантом.
Отсюда вытекает существование набора а =(<*], . . ., я,_], о,
а(+1, . . ., а„) такого, что АГ'(а) = 1, но / (а) = 0. В то же
время /E') = !, поскольку йГ(а') = 1. Отсюда и вытекает
существенность xt.
5.15. Указание. Если xt иходит янно » полином Р (хп),
то последний можно записать в виде x{Q@R, где Q и R —
полиномы, не зависящие от г( н Q=?0. Пусть набор а=»
= (alt . . ., а(_х, а,-+1, . . ., а„) Такой, ЧТО @(а) = 1; тогда
Р(ч< • ¦ •. a»-i. xi, a.4i' ¦ • •> аи) = xt ® R (s)- Утверждение
вытекает теперь ив задачи 5.1, 1).
5.16. Неверно. Указание. Рассмотреть / (хп) =ж хх ©
© *2 © . • • © *„.
5.17. Указание. Пусть / (хп) удовлетворяет условию.
Тогда существует такое целое i (i < i < п), что для любых а, р
таких, что а?В", P6 5?_i> /(«)т^/(р). Утвернадение вытекает
теперь из того, что для всякого i в B"_1\JB" имеются ребра
любого из i направлений.
5.18. Указание. См. 5.13.
5.19. Если/(ЖИ) выражается полиномом степени больше
единицы, то без ограничения общности ее можно представить
в виде х&Р^® Х1Рг@ xtPt® РА, где Р, ф 0 и Р„ Р2, Рш, Pt
аависят от переменных х3, .. .,х„. Пусть 5=(а3,. . .,аи) —такой
набор, что Pj(a) = l. Тогда компонента fl^"]'a"n(xn) имеет вид
x1x2@\ix1 © Х3х2 © Xt и, следовательно, эта компонента суще-
существенно зависит от г, и х2. Отсюда вытекает, что искомые
три набора найдутся в грани В"; 3' „'" ". Если / (Жя) выражается
полиномом первой степени и существенно зависит от xt и z,,
то для всякого набора (as, . . ., aB) любые три вершины
в грани В"'^1"^" являются искомыми
293

5.21. Предположим противное. Без ограничения общности
можно считать, что среди всех компонент вида f* (хя) наи-
наибольшее число существенных переменных имеет компонента
/} (хя). Тогда предположение эквивалентно тому, что f\ (хп)
фиктивно зависит от некоторой переменной, например от хг,
т. е. f\ =/h2 =/io2- Поскольку х, — существенная перемен-
переменная, то выполнено хотя бы одно из соотношений /}'о2 =? /о'и2>
п'\гФ /oi2- Пусть, например, А\г ф il] 2- Тогда функция
существенно зависит от х, и от всех существенных пере-
переменных подфункции f\\l = f]. Это противоречит тому, что /J
имеет максимальное число существенных переменных.
5.22. 1) Верно. Вытекает из предыдущей задачи. 2) Не-
Неверно. Указание. Рассмотреть / (х3) = х,х3 V хгх3 и пере-
переменные хх, г2.
5.23. 1) ?,, х2; 2) 1; 3) xlt х2; 4) x2^xlt х, ~ х2, 1.
5.25. 6. 5.26. Можно. Указание. Рассмотреть функцию
*lXjX, V ТЛТ2ТА \/ JTtXtXt V T2TaXv
5.27. Помори координат набором «, A, i можно разбить на
следующим четмрн группы:
Пусть /<5) = /(-7) =з, /:(р)=з. Тогда, если / @) =
:/A)=<з, то полагаем х{ = х, если if^iLMai Х»==У> если
Если /@)=<з, /(l)=s, то полагаем х^гггх при
( = 0 при i^Ait Х( = 2 при i6-^jU^4- Если / @) = 5,
то полагаем х,¦= х при ig^U^g, xi = y при 1'6Л3. х» = г
при '6^4- Существенная зависимость полученных функций
вытекает из задачи 5.13.
5.29. хх@хг® ... ©х„©0, а (• {0, 1} при л > 2; лг"ч|> V
при п = 2.
5.30. Функция, полученная из / Bм) отождествлением пере-
переменных х,-, ху, имеет вид xj\\ -' \/ x,/J'o-'. Из условия вытекает,
что по меньшей мере одна из [компонент f\\ •', /'б1' не равна
тождественно нулю.
5.33. Указание. По меньшей мере одна из функций /, g
обращается в единицу на нечетном числе наборов.
5.34. Указание. См. 5.30.

ГЛАВА II
§ 1
1.2. Нет, не вытекает. Можно положить (по определению)
для любого множества М из Р„ (в том числе и пустого) [М]=Р2,
т. е. ввести такую операцию замыкания. Тогда соотношения
1)—3) из задачи 1.1 будут, очевидно, выполняться, а соотноше-
соотношение 4) выполняться не будет.
1.3. 1) Да. 2) Нет. 3) Нет. 4) Да 5) Да. 6) Нет. 7) Нет.
1.4. 1) {1}. 2) {(), 1, *!, *!>. 3) {*,, X, \JX2, X, \/*2 V*3>.
4) A, Xj, x,~z2, х1@хг@х3}.
1.5. Пусть / (xn) — функция из замкнутого класса, суще-
существенно зависящая от всех своих переменных (л > 2). Тогда
функция
/i (Vi, У*, . . .. У„. Ч •*"«) =
= f(f(Vi. Уг Уп)^ Ч *п)
существенно зависит от всех 2л—1 переменных (здесь {уг, у2,. . .
• ч Уп) П {*2i- ¦ ч хп}—0)- Затем в функцию /, на место
переменной ^ можно подставить функцию / (z^ z2,. ., 2В) и полу-
получить функцию, существенно зависящую от Зл—2 переменных
м т. д.
1.6. [Oj, [lj, [xj, |0, 1], |0, xj, Ц, xj, 1*. *J, [0, 1, *], [0, l,x, S).
1.7. 1) Да. 2) Нет, не исегда. ,4) Нот, н ¦ всегда (исключе-
вием являются только все Р., и его дополненw — пустой зам-
замкнутый класс 0).
1.8. 3) (х-* у)-*у= х \/у, ? = х@х@х. 4) Ив второй
функции с помощью отождествления всех переменных получа-
получается отрицание. 5) т (х, у, 0)=х#, х° © 0=Я.
1.9. 1) К1 С, ЛГ2, но может быть и строгое включение:
АГХ С ^2- 2) /fj g АГ2; например, при Мх = {ху, х} и Д/2 ^ {х}
имеем /С! = [х^, а ЛГ2 = Р2\[г]. 5) См. 1.9, 2).
1.10. 2) Ж1 = [х, 01, Мг = ]х, 1]. 3) Л/, = 1*. 0|, Л/, = [0|.
5) См. 1.10. 2).
1.11. 1) {(), ?}. 2) {1, х©у}. 3) {х\у У, х • у ¦ z). 4) {х©1,
т (х, (/, г)}, так как х@ у @z = m (т (х, у, г), m (х, у, г),
m (*, #, z)) и в замкнутом классе [т(х, у, z)\ любая функция,
зависящая существенно от одного аргумента, равна тожде-
тождественной функции.
1.12. Пусть М — предполный класс (в Р2). Это значит, что
\М\ Ф Pt, но при всякой функции f(-P.,\M имеем \M\J{f}\ =
295

3.10. Как следует из задачи 3.9, 1), данная система порож-
порождает множество Sk. Используя функцию г+/о (х), нетрудно по-
построить любую функцию, выпускающую ровно одно значение
(из Ек). После этого, предполагая, что имеются все фупкции,
выпускающие не более ( зпачений A < ( < к—2), нужно про-
продемонстрировать, как можно построить произвольную функ-
функцию из Р^", выпускающую г-J-l значений. Пусть g (х) — про-
произвольная функция, выпускающая только одно значение. Тогда
существуют роино два значения аргумента — е^ и еи на которых
значения фупкции g (х) равны, т. е. g (eo)=? («j). Элементы из
множества Ек\{еи, ег} обозначим через ег, е3,. . ., ек_1. Возьмем
две функции gx (x) и ?2 (х) из множества Sk : gx [er)=r, r=0, 1,. . .
. ¦ ., k-i; gi (s)=g (e,h s=i, 2,. . ., *_1, a g2 @)=« б Ек\ё (Ek).
Обозначим функцию x-j-/0 (x) через ha (x). Имеем g (x)=
~g% (K (8i (*)))• Берем теперь произвольную функцию g' {x),
выпускающую г'-f 1 значений A ^ i < к—2). Пусть одно из этих
значений — е'о. Предположим, что g' (bo)—g' (b^. Рассмотрим
фупкцию fL (x), совпадающую с g' (x) всюду, кроме x=ba, a
/i (bo)=e'o. Очевидно, что функция / (х) у нас уже построена
(по индуктивному предположению). Пусть а^,. . ., а, — все
разные значения, принимаемые функцией g' (х) (здесь s=
= к—i—1 > 1), и ?'Л\{а11. . ., а,}=К, е[ е\). Возьмем
функцию /, (х), имеющую следующий вид:
(х, если х Ф е'о,
g' (Ьо), если х = е'о.
Легко вияеть, что функция /2 (х) выпускает только одно значе-
значение, а значит, ее мы умеем строить. Имеем g' (x)=f2 (/х (х)).
3.14. 1) «(*)=—*. 2) «(«)= —х. 3) в(х)=х—1.
3.15. Это утвержяение противоречит тому, что в Рк число
предполных классов не больше чем 2к (см. задачи 2.17 и 3.11).
3.16./(а;,у)=х3у—ху2-\-ху—х2—х—у—1 —функция Шеффера,
а/ (х> у)-\-х € Т ({1 })• Для доказательства того, что [/ (х, у)]~Р3,
достаточно построить три функции: х+1, x-f-/0 (х) и x-j-/0 (x) —
—ix (х) — и воспользоваться теоремами С. Пикар и Е. Слупецкого.
Пусть <р (в)=/ (х, х), тогяа <р (<р (х)) = х+1, g (x)=/ (х, х+1)=
=х+1о (*), / (g (*), « (г))=г2-71 (*), * (х2-/! (*)) s 1, 1 (х, 1) =
=х+/0 (.х)—/i (х).
3.18. Ни при каких значениях к > 3.
3.22. Это множество не более чем счетно. В то же
время существует счетно-бесконечное множество {К„} замкну-
замкнутых классов, каждый из которых содержит конечное число
318

попарно неконгруентных функций: /Ся=[/Я(ж1, х„,. . ., х„)],
п=2, 3,. . ., где /„ (аг,, х2,. . ., xn)—j\ (i^/, (х2) /2 (х3). . . /2 (*„).
3.24. Таким классом является, например, класс К=
= [/2 (xlt х2), /3 («!, лг2, х3), -..,/„ (xlt х2). . ., х„),. . .], где
/¦ (Ла. *а,- • •. ^»)=/i (*i//2 (*j)/2 (*з)- - • h (*«)•
3.25. 1) B = {k — 1, /0(х), я — у}. В самом деле,
[?]:э{0, 1 *-2, *-1}, /ь-1 (*) = /,((*-i)-^ х),
/*-2 (*) = /о ((* - 2) -- х) - /к., (х), 7-fc_2 (х) = /0 ((ft _ 3) -»- *) J-
-^/0((*_ 2)-«-*), ...
Далее, любую функцию g (x) из fjj.1' можно построить так. Сна-
Сначала строим функцию g0 (х) = ((((* — 1) — /о (х)) — /о (х)) — ...
• • • ~ /о (х))> гДе /о (г) вычитается из к — 1 такое число раз г0,
чтобы g0 @) = g @), т. е. го = к— I — g @). Затем из g0 (x) вы-
вычитаем Гх = к — 1—g(l) раз функцию jl (x) и т. д. В част-
частности, можно построить х. Для доказательства полноты си-
системы В остается вспомнить, что min (х, у) = х-^- (х —у),
max (х, у) = ~min (~x, ~у) и что система {?, max (х, у)}
полна в Рк. Далее, очевидно, что функцию х — у па В уда-
удалить нельзя (ибо тогда останутся только функции, существенно
зависящие не более чем от одной переменной). Заметим еще,
что {/,(*), 1-у}сГ({0, 1}), а<*-1,*-*.у}СГ({0,*-1}).
3) {~х, min (х, у), х + у}. Полезно учесть, что {~х,
min(x, y)}cT({0, ft — I}), (~i, i + j}Ci и {min (*, у),
х + у}СТ ({0}). 5) {/0 (аг), х-)-у2}. Здесь стоит иметь в виду,
что /о (/о (я)) + (/о (х)J = 1 и чт0 х + V2 можно использовать
для построения всех одноместных функций (с помощью /0 (х),
ii(x)t • • ч /fc-i (я))—почти так же, как использовалась в за-
задаче 1.9 функция х-\-у.
ГЛАВА IV
§ 1
1.1. Вытекает из подсчета пар вида (i>, х), где v ? V, х ? X,
v и х инцидентны.
1.2.2) Ни одного. 1.3. Индукция по числу ребер.
1.5.1) Пусть О (v) — множество вершин, смежных с v,
а О' (v)={v} U О (v). По условию \О' (v)\ > (n+l)/2 и
|F\0' (v)\ < (n—1)/2. Отсюда вытекает, что каждая вершина из
V\C (v) смежна с некоторой вершиной из О' (v), следовательно,
граф связен. 2) При четном п нельзя, при печетпом — можно.
319

1.10. Пусть [и, и], [w, t] —две цепи максимальной дчины,
не имеющие общих вершин в G. Граф G связен. Следовательно,
существует цепь Z, соединяющая, например, вершины v и w.
Пусть р, — последняя вершина цепи [v, и], встречающаяся на
пути от v к w вдоль цепи Z, а ш, — первая вершина цепи [w, t],
встречающаяся па этом пути после \\. Вершина i\ vis цепи [v, и]
делит ее на две части: [v, Vf\ и [vx, и]. Пусть цепь [и, и±] не короче,
чем [uj, u]. Аналогично, вершина wx делит цепь [w, t] на две
части. Пусть [w, u>J не короче, чем [ш,, t]. Тогда цепь [v, v^,
wlt w] длиннее каждой из цепей [v, и] и [w, t]. Противоречие.
1.18. У к а з а н и е. Рассмотреть дополнения графов G
и И. 1.20. 2р. 1.22. Шесть.
1.24. 1) Пусть v, и, w — три вершины одинаковой степени
некоторого графа G из Rtt. Предположим, что ими смежны,
a v и w не смежны. Для вершин и и w справедливо хотя бы одно
из включений О (к) С О (w) или О (и) С О (и). Отсюда и из
равенства \О (и)\=\О (w)\ вытекает, что О (и)=О (w), и, следо-
следовательно, v ? О (и>). Рассмотрим теперь пару v и w. По доказан-
доказанному v и и> смежны. Но включение О' (v) ? О' (w) не имеет места,
так как u g О' (v)\O (w). Неверно также и О' (w) d О' (v),
так как \О' (w)\—\O' (v)\. Получаем противоречие.
1.26. 1) Число ребер графа G равно сумме чисел ребер гра-
графов Ht, деленной на п—1. 2) Вытекает из 1). 1.28. Два.
1.34. 1) Существует. 2) Не существует. 1.35. Верно
1.39. 2) Неверно.
§ 2
2.5. Пусть G — плоский двухсвязный граф не менее чем
с двумя внутренними гранями. Если существует внутренняя
грань, отделенная от внешней грани единственной простой цепью
то, удаляя эту цепь, получим двухсвязный граф (доказать это
утверждение). Пусть такой грани не существует. Тогда всякая
внутренняя грань, имеющая общую цепь с внешней гранью, имеет
с ней еще хотя бы одну общую вершину, но лежащую на этой
цепи. Покажем, что этот случай невозможен. Пронумеруем все
внутренние грани. Связные куски границы внешней грани,
принадлежащие одновременно внутренней грани с номером I,
пометим индексом i. Тогда найдутся такие индексы I, /, которые
встречаются при обходе границы внешней грани в порядке
i, j, i, ). Обозначим соответствующие куски границы через Тп,
1'yi' Г<2! Гу2- Выберем па этих кусках по одной точке плоскости:
320

«!, Ьх, а2, Ъ%. Тогда точки аг и а., можно соединить кривой, все
точки которой, за исключением ах и а.,, являются внутренними
точками грани с номером/, а точки 6Х и % можно соединить кри-
кривой, внутренняя часть которой лежит в грани с номером I. Кри-
Кривые пересекаются в некоторой точке d, которая, таким образом,
оказывается внутренней точкой двух различных граней. Полу-
Получили противоречие.
2.9. Пусть G — двухсвязный планарный граф, a G' — его
плоская реализация. Пусть п — число вершин, т — число ре-
ребер, г — число граней графа G' (включая и внешнюю). В силу
задачи 2.6 имеем r=m—n-f-2. Число пар вида (i>, х), где v —
вершина, инцидентная ребру х, равно 2т. С другой стороны,
это число равно сумме степеней вершин графа. Поскольку каж-
каждая степень по условию не меньше чем 6, то 1т > 6п, т. е.
т > Зге. Граница каждой грани имеет не менее трех ребер,
а каждое ребро принадлежит границе пе более двух граней.
Отсюда Зг < 2т. Нетрудно убедиться, что система г=т—п+2,
т > Зге, Зг < 2т несовместна.
2.14. Предположим, что граф Кь является планарным.
Пусть К'ь — его плоская реализация. Тогда число г граней графа
К'ь равно г=т—п+2, где т — число ребер, п — число вершин.
Аналогично тому, как в задаче 2.9, имеем Зг < 2т. Отсюда
т < Зл—6. Но т=10, п=5. Получили противоречие. При до-
доказательстве попланарности графа К36 заметить, что каждый
его цикл содержит не менее четырех ребер, и, предположив, что
Ka 8 планарный, воспользоваться 2.11.
2.22. Каждая вершина шестисвязного графа имеет степень
не меньше 6 (см. 2.9).
2.27. 3) х (Вя)=2, х' (В")=п.
2.28. Две.
2.45. 1) Пусть -с (т) — число тупиковых покрытий цепи
длины т. Тогда т (ш)== t (m—2)+ х (m—3), t A)= t B)= т C).
Решение рекуррентных соотношений такого вида см. в § 3
гл. VIII.
2,49. 1) чк (G) равно среднему числу вершин, не смежных
с вершинами подмножества U С V мощпости к. Следовательно,
существует такое подмножество ?/„, \U0\=k, что v (?/0) < чк (G).
Если W — множество вершин, не смежных с вершинами из Uo,
то W U Ua — вершинное покрытие мощности, не превосходящей
fc-J-^ (G). 2) Пусть е (v, в)=1, если вершины р и и не смежны, и
е (v, u)=0, если v и и смежны. Щсть Sk (v) — количество под-
мвдмкеств U Q, V, составленных из к вершин, ни одна из
321

которых не смежна о v, a d (v) — степень вершины v. Тогда
Отсюда
§3
3.2. Доказательство можно провести индукцией по числу
вершин орграфа. На индуктивном шаге полезно удалить из
орграфа одну из вершин i\ или и2.
3.5. Применить индукцию по числу к.
3.8. Утверждение можно доказать индукцией по числу
вершин в турнире.
3.10. Неравенство очевидно при п=1. Пусть оно справед-
справедливо для таких п, что 1 < п < т. Рассмотрим турнир Т с m-\-i
вершинами. Так как во всяком турнире с m-J-1 вершинами ровно
Cm+i ДУГ' то найдется вершина v0 с полустепенью исхода
> t(m+l)/2]. Удалив из Т вершину v0, получаем турнир Т',
который имеет m вершин и содержит множество S, состоящее
не менее чем из / (т) согласованных дуг. Дуги, исходящие из
ис, и дуги, принадлежащие S, согласованы. Воспользовавшись
индуктивным предположением, имеем
3.12. Всякая группа четного порядка содержит хотя бы один
элемент, обратный к самому себе и отличный от единичного эле-
элемента группы. Если бы группа турнира Т была четной, то в ней
нашелся бы элемент а, удовлетворяющий указанному выше свой-
свойству. Так как а — не единичный элемент, то существуют две
вершины v1 и i>2 такие, что a (t\)=v.i и а (vi)=v1. Пусть Т содер-
содержит дугу (i»j, d2). Тогда дуга (a (vt), а (г2)) тоже должна была бы
принадлежать Т. Получили противоречие.
3.15. Доказательство можно провести индукцией по числу
сильных компонент турнира. Если в конденсации либо только
одна вершина, либо две вершины, то она является транзитивным
орграфом по определению.
3.19. Применить индукцию по числу вершин в орграфе.
На индуктивном шаге надо удалить одну из вершин с нулевой
322

полустепенью исхода, устаповив предварительно существование
такой вершины в даппом орграфе.
3.21. Доказательство можно осуществить индукцией по
числу вершин орграфа,
3.25. Применить индукцию по длине контура.
3.29. Доказательство можно провести индукцией по ио-
рядку определителя.
§4
4.2. Исходя из произвольной вершины дерева, будем строить
цепь, присоединяя на каждом шаге по одной новой вершине,
пока это возможно. В тот момент, когда этого сделать нельзя,
концевые вершины цепи окажутся висячими вершинами дерева.
Процесс построения цепи обрывается в силу конечности множе-
множества вершин и отсутствия циклов в дереве.
4.4.1) В силу задачи 1.26 по системе F (G) можно восста-
восстановить число ребер графа С и его связность.
4.9. Можно провести индукцию по величине радиуса дерева.
4.12. Мощность — континуальная. 4.14. 2. 4.23. Провести
доказательство индукцией по длине вектора. 4.28. Верно.
4.30. Верно. 4.31. Вообще говоря, неверно. 4.32. Вообще
говоря, неверно. 4.33. л—1.
4.34. Неразложимая сеть не имеет параллельных ребер и
ве является р-разложимой. Отсюда m< (g) — 1. В неразложимой
сети каждая внутренняя вершина имеет степень не ниже '6,
а полюсы — не ниже 2 при п > 2.
4.40. 1) а), б), в). Может. 3) а), б) Не может. 4.43. Рас-
Рассмотреть Г?, т > 3. 4.52. Неверно.
§ 5
5.2. 1) Т~2'. 2) ( \. 5.3. 2) Использовать формулу «вклю-
чений и исключений». 5.5. 1) Использовать то, что в связном
графе 1я<( и го > в —1. 2) В связном графе о го ребрами
не более т -\~ 1 вершин. Число пар неодинаковых вершин,
/m + l\ /I J
таким образом, не больше I 1. Отсюда ф (т)
* 2 '
Далее применяется формула Стирлинга.
323

5.6. Отмстить, что число вершин в графе не превосходит
2т. Далее — аналогично задаче 5.5, 2).
5.7. См. 5.5, 2) л 5.6.
5.9. 1) Код дерева с т ребрами есть двоичный вектор
длшш 1т с т единичными координатами. 2) См. 4.24.
5.10. Использовать 5.4 и формулу Стирлинга. 5.14. См.
VIII. 3.18 и VIII. 3.19.
5.16. Сеть Г (а, Ъ), обладающая свойствами I и II, является
результатом подстановки сетей типа Г?, &==], m-f-1, вместо
ребер сети Г^ (а, Ъ). Число таких сетей равно числу разме-
размещений т предметов по п — 1 ящикам так, чтобы ни один из
ящиков не был пустым, и равно
U-2J-
5.17. 2) Использовать 5.14.
5.19. Если граф не связен, то множество его вершин можно
разбить на две доли такие, что не существует ребер, соединяю-
соединяющих вершины разных долей. Одна из долей имеет число вершин,
заключенное в пределах от 1 до [п/2]. Граф с нумерованными вер-
вершинами полностью определяется выбором робер. Число ребер,
которые запрещено при :>том выбирать, равно к (п—к), где к —
число воршип и одной иа долей.
5.22. Всякий подграф куба В" полностью определяется
заданием множества вершин. Множество вершин связного nog-
графа определяется заданием некоторого его остова (дерева,
содержащего все вершины). Чтобы задать дерево, являющееся
подграфом куба В", можно выбрать какую-либо вершину куба,
принадлежащую дереву (имеется не более 2я способов), дерево
с к вершинами (не более 4* способов). Для каждого ребра де-
дерева указать направление его как ребра куба В" можно не более
чем п способами. Отсюда и вытекает оценка.
• G)<
5.26. Г .: . 5.29
5.31. Пусть 8 (в) — доля тех графов, у которых p(G) > 1.
В силу неравенства A) имеем: 8 (n) < j5 (в)-* 0 при в->оо.
Отсюда и вытекает результат.
5.32. 2) Z (Г (Я2 ,), tu tit tt, tt, tt) =
— TUT <** + 'a) W + 3M» + 2t«>-
324

5.33. 1) Возьмем произвольную перестановку ага2. . .ап чй-
сел множества {1, 2, , п} и расставим в ней скобки так, чтобы по-
получилась подстановка с цикловой структурой (j)=(j1, /21. . ., /„);
при этом сначала будут идти /х циклов длины 1, затем /а
циклов длины 2 и т. д. (т. е. подстановка будет иметь следующий
вид: (аг) (а2) ... (a^.J {ajl+\ajl+i) • • •)• Предположим теперь, что из
двух различных перестановок элементов множества {1, 2,. . ., в}
построены по описанному выше способу две подстановки nt и
nj с цикловой структурой (/). Спрашивается, когда % совпадает
с it2? Совпадение может быть по двум причипам: A) одинаковые
циклы в подстановках % и я2 стоят на разных местах, B) циклы
хотя и равны (как циклы подстановки), но при указанном выше
построении они начинаются с разных элементов (например,
A23) и B31)). Первая причина приводит к повторению одной и
«
той же подстановки JJ ]к 1 раз, а вторая — к повторению
и
JJ kJk раз, причем эти причины действуют независимо друг
*=i
от друга. 4) Доказательство можно провести индукцией по л с
использованием соотношений из пунктов 1) и 2) данной
вадачи.
5.34. Полезно воспользоваться следующим очевидным фак-
фактом: цикл является четной подстановкой тогда и только тогда,
когда его длина нечетная.
5.36. Следует из перечислительной теоремы Пойа.
5.37. Проинтерпретировать подходящим образом коэффи-
коэффициенты бинома l-f-х и воспользоваться перечислительной тео-
теоремой Пойа.
5.40. Каждому графу сопоставить набор связных графов —
набор всех его компонент связности. Затем применить пере-
перечислительную теорему Пойа.
5.42. Всякий турнир однозначно определяется своей кон-
конденсацией (с нумерованными вершинами) и набором сильных
компонент. Нумерация вершин нужна только для сопоставления
им соответствующих сильных компонент турнира.
§ 6
6.3. Четырнадцать. 6.4. См. 6.2. 6.6. Вытекает из того, что
всякая функция / Bя) имеет д. н. ф. сложности не выше п2п~1.
и.16. См. 6.15.
325

6.20. Вытекает из того, что сложность схемы, двойственной
к данной, равна сложности исходной схемы, и из 6.18.
6.21. Если схема содержит не более семи контактов, то ее
так можно нарисовать на плоскости, что добавление ребра между
полюсами оставляет ее плоской. Следовательно, существует
двойственная к ней схема. Замена в последней всех контактов
вида х" на ж" приводит к схеме, реализующей отрицание той
функции, которая реализуется исходной схемой.
6.22. Выберем произвольный контакт бесповторной схемы,
реализующей булеву функцию /, и рассмотрим цепь, проходящую
через этот контакт. Можно так зафиксировать значения перемен-
переменных, отличных от тех, что входят в выбранную цепь, что все
контакты, не входящие в цепь, окажутся разомкнутыми. Полу-
Полученная схема реализует э. к., зависящую от выбранной перемен-
переменной. Таким образом, оказывается, что некоторая компонента
функции /, а значит и сама /, существенно зависит от выбранной
переменной.
6.25. Схема 2, указанная на рис. 21, имеет среди своих се-
сечений множества {х, у}, {г, w}, {х, г, v, z) и {х, w, t, и). Тогда,
если существует бесповторная схема 2lf реализующая функцию
/*, то в ней имеются цепи с ироводимостями ху, rw, xrvz, xwtu.
Без ограничения общности можно считать, что контакт х при-
мыкаот к полюсу а сети 2Х. Тогда к этому полюсу примыкает
также или контакт г, или контакт ш. В первом случае в ^ не
существует цепи xrvz, а во втором — цепи xwtu.
6.26, Неверно. Воспользоваться тем, что / (%,. . ., х„)=
=/• (xlv . ., хя), и результатом задачи 6.25.
ГЛАВА V
§1
1.1. Пусть р (v, w) < 2f для некоторых v и ш из С. Тогда
Sf (v)r\S" (u>)\Ф 0- Следовательно, любое отображение
<|*: Вп-*С такое, что S" (и) С, ф (и) для всякого »fcC, неодно-
вначно.
1.2. 1) Вообще говоря, неверно. 2) Верно. 3) Вообще
говоря, неверно.
1.3. Множества С„ = {а?С, [|о| четно} и C1 = {afC, ||5||
нечетно} являются кодами, обнаруживающими одну ошибку.
Хотя бы одно из них содержит не менее половины слов из С.
1.4. 1) Обнаруживает одну и исправляет 0 ошибок. 2) Обна-
Обнаруживает п-1 а исправляет \{п — 1)/2] ошибок.
326

1.7. 2) 16. 1.8. 2». 1.9. 2. 1.12. Не существует.
1.13. Пусть для некоторого »>7 существует плотно упа-
упакованный <», 3>-код. Тогда в силу 1.11 для этого п число
1 является степенью двойки. Следовательно, для некото-
рого к выполняется равенство (п + 1) (я2 — п — 6) = 3 • 2*. Тогда
либо « + 1 является степенью двойки, либо п -+-1 имеет вид
3 • 2Г для некоторого натурального г. Если п + 1=2г, то
п% — п -\- 6 = 3 • 2к~г. Подставляя в последнее равенство п =
=2Г — 1, имеем 2%г~3 — 3 • 2Г~3 + 1 = 3 • 2к~г-3. При г > 3 левая
часть есть нечетное число, превышающее 3, а справа — либо
четное число, либо 3. Аналогично рассматривается второй
случай.
1.14. Пусть вершины 5 = (ах, . . ., а„), р = (Зь . . ., (Зя),
7=G1, .. ., 7Я) образуют <п, dy-коц. Без ограничения общ-
общности 5=0 и р E, p)=d. Положим An = {i: p< = a, ^< = т},
а, т^ {0, 1}. Рассмотрим вершину 8 такую, что 8^ = 0 при
1?Аи, 8< = 1 при i$Au. Имеем р E, S) =| §|| = | ЛО1(_М1Ои
P 8 P 5
1.16. Бев ограничения общности считаем, что Of С. Для
каждого 5? 5|+1 существует и притом единственная вершина
7^С такая, что р E, 7) < <*• Поскольку вес всякого ненулевого
кодового слова не меньше 2d -\-1, то 7 f S"rf+1- Пусть 4 CJ) =
= {5: ae^+1, рE, 7) = <*}. Тогда U Atf)=B»d+1 и для
?
любых 71. 7а из Cf]B"d+1 имеем Л (
1.17. Кодовое расстояние всякого эквидистантного кода,
имеющего мощность, большую, чем 2, четно.
1.20. 1) В каждой из граней B^f'1^ •••'* и В^*'^ •—d
построим коды Со и Сг мощности т (п, d). Тогда C0\JC1 есть
<»-f-rf, <^>-код мощности 2т (п, d). 3) Указание. Если С
есть <п, <^>-код в В", то для каждой (п — 1)-мерной грани g
множество Cf\g является <п — 1, <2>-кодом.
1.23. Пусть n<2rf и С — произвольный <п, <^>-код мощ-
мощности т > 2. Составим матрицу М, строками которой являются
кодовые слова. Пусть R — сумма попарных расстояний между
(неупорядоченными) парами кодовых слов. С одной стороны,
(т\ п
)d. С другой стороны, Я = 2 к{(т—к(), где ht —
327

число единиц в t-м столбце матрицы М. Поскольку h {т — h) <g
т1 m(m — i) m% Ы
< "У • т0 2 d ** п ~ * ОтсюДа т < '2d _ „ •
1.25. 3) Пусть С — максимальный <», ft, <*>-код. Тогда
множество С( = {5: 5? G, 0^ = 0} является <» — 1, А;, rf^-кодом.
Число пар вида (*, р) таких, что 1 < t < n, p(*Cj, не превос-
превосходит п max | С( | < п • т (п — 1, ft, d). С другой стороны,
каждый вектор 5 ? С порождает п — А: таких пар. Отсюда
(п — к) т (и, &, rf) < пт (п — 1, ft, d).
1.26. Пусть 5 65й, С С В», и пусть Са = {т;: ? = «©Э, НС}.
Тогда, если С является <», <^>-кодом и р E, р) < rf, то
Са(~)С|=0. В самом деле, пусть 1(^Сйу 1(^С^ и §' = 8©р,
f = ч@а. Тогда р_G, 8) = p(a©f,p©8') = lia©f ©Р©8']| =
= | E © р) © A' © §') || =И= 0, так как в противной случав 5©р =
= f ©§' и, следовательно, р E, р) = р (f, S'). Но р E, р)<<2,
a f (т'. ^') > <*i поскольку f, S'fC. Отсюда и вытекает утвер-
утверждение.
1.27. Вытекает из 1.26 с учетом того, что в любой (d—i)-
мерной грани куба В" попарные расстояния между вершинами
не превосходят d—1, а число вершин равно %л~х.
§ 2
2.2. Линейно независимой системой является, например,
В\. Если s векторов из В" линейно независимы, то все их комби-
комбинации вида A) представляют собой попарно различные векторы.
Если бы нашлось подмножество, состоящее из п+l линейно не-
независимых векторов, то имели бы равенство \В"\=2п+1.
2.4. Вытекает из того, что (п, ?)-код является ft-мерным
подпространством В", т. е. максимальное число линейно неза-
независимых векторов в нем равно к и всякая линейная комбинация
кодовых векторов принадлежит коду.
2.5. Если в коде существует вектор нечетного веса, то по-
половина кодовых слов имеет нечетный вес, а другая половина —
четный. В противном случае все векторы имеют четный вое.
Первое утверждение вытекает из того, что число линейных ком-
комбинаций, в которые входит заданный вектор нечетного веса,
равно числу тех комбинаций, в которых он отсутствует. Все
комбинации разбиваются на пары, в которых ровно одна имеет
нечетный вес.
2.6. Выбрать ненулевой вектор в В" можно2я—1 способами.
Если выбраны i линейно независимых векторов, то соответствую-
328

щее подпространство имеет 2 векторов. Всякий воктор из до-
дополнения к этому подпространству составляет с i выбраниыми
векторами линейпо независимое множество, а всякий вектор из
подпространства выражается линейной комбинацией выбранных
векторов. Таким образом, выбрать (г+1 )-й вектор можно 2я—2*
способами.
2.7. См. 2.6. 2.8. 2". 2.10. Ворно.
2.11. 1) т (С (Я))=8, d (С (Я))=2; 5) т (С (Я))=32,
d {С (Я))=7.
2.14. Порождающую матрицу М (С) (», &)-кода С можно
привести к виду (/*Р) путем замены строк их линейными комбина-
комбинациями и перестановки столбцов. Если вектор 5 ортогонален
каждой строке матрицы М {С), то вектор р, полученный из 5
соответствующей перестановкой координат, ортогонален каждой
строке матрицы М (С), и обратно. Одна из порождающих матриц
кода С*, двойственного к коду С, порожденному матрицей
GfcP), имеет вид (/>т/,,_^), т. е. С* является (», п — &)-кодом. От-
Отсюда вытекает, что и код С*, двойственный к С, является (п,п—к)-
кодом.
2.15. Аналогично 2.5.
2.16. Очевидно, что кодовое расстояние d не меньше мини-
минимального веса кодового вектора. Если р E, р) < d для неко-
некоторых кодовых слов а, р, то, поскольку а © р также является
кодовым вектором и р (б, а © р) < d, приходим к противоречию
с условием.
2.17. Вытекает из 2.15 и 2.16.
2.18. Число единиц в матрице кода С равно -j \ С \ п;
о другой стороны, это число не меньше <*(|С| — 1).
2.20. Пусть 5=(о1,. . ., а„) — вектор веса d, ортогональный
к матрице Я. Обозначим 1-й столбец матрицы Я через h{. Из ор-
ортогональности 5 к каждой строке матрицы Я вытекает, что
*
^ a<ftJ=0. Отсюда вытекает соотношение линейной зависимости
между теми столбцами ht, которые входят в линейную комбина-
комбинацию. Следовательно, каждому а веса d из нулевого пространства
матрицы Я соответствует совокупность d линейно зависимых
столбцов этой матрицы. Таким образом, если каждые d—1 столб-
столбцов матрицы Я линейно независимы, то минимальный вес кодо-
кодового вектора не меньше d, и обратно, если существует множество
из г)—1 линейно зависимых строк, то существует вектор веса
меньше d в ортогональном подпрострапстве.
329

2.21. Следствие 2.20.
2.24. 1) Из 2.18 вытекает, что g (9, 5) ^ 10. Нетрудно по-
построить линейный <9, 5>-код мощности 4. Отсюда g (9, 5) (j
6 {4, 8 }. Предположим, что С — линейный <9, 5>-код мощности 8.
Тогда четыре кодовых вектора имеют нечетный вес. Никакие
два из этих четырех не лежат вне В%. Но среди трех векторов из
В% всегда существуют два, расстояние между которыми не
больше 4.
§3
3.4. Рассмотреть код {а, ааЪЪ, ЪЪ).
3.8. См. 3.7.
ЗЛО. Число слов длины, меньшей чем I, в Л-буквенном ал-
2i-i & 1
к* = . , . Отсюда, если А:' — 1<тга(А—1),
то в М существует слово длины, не меньшей \ogk(i-\-m (к—1)).
3.11. 1) Провести доказательство индукцией по п. 2) Для
всякого разделимого кода существует префиксный код с тем же
набором длин кодовых слов (см. [10], раздел 5).
3.18. 1) Провести доказательство индукцией по т.
3.19. Вытокаот из 3.18.
3.22. 1) Пусть С= {u>lt. . ., wm} — двоичный префиксный
код и максимальная длина кодового слова равна п. Пусть ш=
=ах. . . аХ(ю) — слово из С. Пусть 7=(Ти- • •» Тм) — вектор,
в котором ~{{= а{, i = 1, X (ш), а в остальных координатах стоят
прочерки. Тогда вектор % является кодом (»—X (ш))-мерной
грани куба В. Из префиксности кода вытекает, что грани, со-
соответствующие различным кодовым словам, не пересекаются.
т
Отсюда 2 2""**10/' < 2я. 2) Из полноты кода вытекает, что для
каждого 5 f В" существует кодовое слово w, являющееся пре-
префиксом 5. Это означает, что набор а содержится в грани, соот-
соответствующей слову w. Из префиксности кода вытекает, что грани,
соответствующие различным кодовым словам, не пересекаются.
Таким образом, совокупность граней, соответствующих словам
полного префиксного кода, задают разбиение куба В" на непе-
непересекающиеся грани. Отсюда вытекает равенство. 3) Доказатель-
Доказательство аналогично 1.1.34.
3.23. 1) Верно. Утверждение вытекает из того, что вся-
всякий оптимальный код является полным префиксным кодом.
3.24. Индукция по т.
830

3.25. Префиксный код с длинами кодовых слов Xlt ..., Хот
существует тогда и только тогда, когда 2jli 2~х< < 1 (см. 3.22).
Отсюда Lffl = mm2 Xf, где минимум берется по всем сово-
«=1
купностям {>.] Хт} натуральных чисел, удовлетворяющих
т т
условию 2 2~х' < 1- Минимум 2 *•< достигается на таких
совокупностях {X.J, .... Хот), что \Х{ — Ху|<1, 1 < I, ) < т.
В самом деле, если существуют такие Xt, \j, что Х{ — Ху > 2,
то после замены Х.^ на X.,- — 1 и Ху на Ху -\- 1 величина 2 ^<
2~Х'
не изменяется, а условие 2 2~Х' ^ 1 остается выполненным.
Пусть {Хх, ..., Хт}—совокупность чисел такая, что Х^ = Х
при i = l, т — г, Xj = X + l при m — r<^i^m, X — целое.
т
Тогда 2 *¦• == "•*• + г> а условие принимает вид 7га2"х — гг*''*1 < 1.
Из условия вытекает, что X > (log2 то) — 1, и, следовательно,
т
2 Х^ > т [log2 тп].
<=1
3.27. 1) Для т» = 3, полагая, что рх > рг > Рз>0> имеем
L(P) = Pi+2ps + 2p,= l 4-pjj + p, > 1. Далее утверждение
вытекает из того, что при операции расширения стоимость
кода не уменьшается. 2) Для заданных е > 0 и т > 2 рас-
/ 8 8 \
смотреть распределение Р = П —8, т ^ , . . ., т_ ^ ], где
] loga m [ •
ГЛАВА VI
§1
1.1. 1) Не является, так как выходной сигнал в момент
времени t зависит от входного сигнала в следующий момент вре-
времени. 3) Является.
1.2. 3) Не является. 4) Является.
1.3. 2) Является. 3) Является. 5) Является: выход в мо-
ыент времени t равен отрицанию вхояа в этот же момент времени.
1.4. 2) Не является. 4) Не является.
331

1.5. 1) Доопределить до детерминированной функции
нельзя. 2) Функция у допускает доопределение до детермини-
детерминированной функции. 4) Доопределение возможно.
1.6. 1) Достаточно рассмотреть функцию
/1Ш, если ЛГа = От,
1.9. 2) Вес функции f равен 2. 1.10. 1) Эквивалентны.
2) Не эквивалентны. 1.11. 2) Является. Например, <f1=<f~,
при« = 1 их'= 0. 3) Не является. 1.12.1) Является. Вес равен4.
3) Является. Вес равен 7. 1.13. 2) Если г=3, то в качестве под-
подходящей функции можно взять f (жш)=<3/4>.
1.16. При г=3 в качестве такой функции можно взять
_ |у A) = хA).
f ' Ъ (t) = (* (t) ®x(t-i))y(t- 1), t > 2.
1.18. См. указание к задаче 1.6, 1).
1.20. 2) Для получения ответа достаточно рассмотреть функ-
функцию
j(*»)—00*B)*C)...*@...
1.22. Является порожденным оператором.
1.24. 2) Если | А | = 1 и | В | > 2, то | Фл в | = с. Если | В | =.
-1 и | А\>1,т \ФЛ>В\ = 1.
1.25. 1) Если \ А | > 1, то каждый класс К у (s) имеет мощ-
мощность с. 2) Число различных классов равно | А |'.
1.26. 2) Если |Я| = 1 и \А |>1, то |Ф4>Я| = 1.
§2
2.1. 4) Канонические уравнения имеют следующий вид:
*(*)—(*WV *(*))*(*-1).
9@ —(*(*)V * (9) *(*-!).
входной сигнал г (О можно опустить, так как функция f зависит
от него несущественно.
2.2. 1) Оператор можно доопределить так, что получится
о.-д. оператор веса 4, описываемый такими капоническими урав-
уравнениями:
у @ = ? (t) <h (t - 1) q% (t - 1) © ?1 (t - 1) © ?a (t - 1),
(t) (ut (t - 1) V& С - 1» © ?i (* - i) © ?2 (* - 1).
332

2.3. 4) Вес оператора равен 3 (состояния, отвечающие па-
парам (glt g2)=(l, 0) и (ft, g2)=(l, 1), можно отождествить).
2.4. Каждой функции веса w (из указанного множества
о.-д. функций) соответствует каноническая таблица, содержащая
и+1 «входных» столбцов (включается также столбец, описываю-
описывающий состояние функции) и m-j-1 «выходных» столбцов (здесь тоже
учитывается функция переходов). «Входных» наборов в этой
таблице w№. На «выходе» в таблице должны быть какие-то на-
наборы из множества, содержащего wW* элементов («выходных»
наборов). Для получения требуемой верхней оценки надо счи-
считать, что каждому «входному» набору можно сопоставить любой
«выходной» набор.
2.8. 3) Канонические уравнения оператора <р имеют вид
<7@) = 0,
т. е. оператор с|/ — автономный.
2.9. 1) Канонические уравнения оператора, полученного
из оператора f введением обратной связи по переменным х2 и
ylt выглядят так:
2.10. 1) Вес оператора равен 2.
2.11. 1) В качестве у можно взять следующий о.-д. опе-
оператор:
Я (t) = х, (*) © *,
2.14. 1) и 2) Рассмотреть оператор f3 (<p3). 5) Полезно ис-
исследовать оператор fa^^o)' гДе f=o — оператор, порожденный
констаптой 0.
2.15. 3) Вес суперпозиции равен 4. 2.16. 2) Оператор —
автономный. 3) Оператор не является автономным. 2.19. 2) Та-
Такая схема существует.
2.22. Изобразите сначала всевозможные трехвершинные
орграфы с нумерованными вершинами, удовлетворяющие ус-
условию в) и такие, что полустепень исхода каждой вершины в них
равна 2. В качестве номеров для вершин орграфов можно взять
333

цифры О, 1, 2. Вершину, помеченную цифрой 0, удобно считать
начальной. Затем надо «нагрузить» всевозможными допустимыми
способами дуги каждого из построенных орграфов — так, чтобы
получались диаграммы Мура каких-то о.-д. операторов.
§ 3
3.1. 1) М — замкнутый класс. 2) Множество М не является
вамкнутым классом.
3.3. Индукцией по числу задержек можно показать, что
любой оператор ф из [ср„, <pjff) имеющий один вход, преобразу-
преобразует слово 0ш либо в слово вида у (i)...y (»„) [0]ш, либо в слово
вида у (i) у (п0) [1]ш, где п0 — длина предпериода (зависящая
от выбора оператора ф).
3.7. 1) Система не полна. 2) и 3) Системы — полные.
3.8. 2) {*(*), ?Мх)(Х), т„«,(^х. Щ-
3.10. Доказательство этого утверждения можно провести
так. Пусть М — замкнутый класс в Ф(Л), отличный от всего
множества Ф(?). Предположим, что М — непредиолпмй класс,
и рассмотрим соиокушюст1> исех таких подмножеств М' из
<Ь(к)\М, которые удоилетпоряют условию: \M\JM']e Ф Ф,д.г
Эта совокупность не пуста. Выберем в ней какую-либо макси-
максимальную цепь (по включению), существование которой можно
установить либо с помощью аксиомы Цермело, либо, учитывая
счетность множества Ф(?), — непосредственно (упорядочив по
типу натурального ряда множество Ф(Л.)\Д/). Объединение
всех множеств выбранной максимальной цепи обозначим через
Мо. Тогда M{JM0— предполный класс в Ф(^). При доказатель-
доказательстве существенно используется тот факт, что в множестве Фш
существует конечная полная система относительно совокупно-
совокупности операций & = {Olt O2, O3, 04, S}.
3.13. Этот факт можно доказать почти так же, как уста-
устанавливалась справедливость аналогичного утверждения в ал-
алгебре логики (см. задачу II.1.16).
3.14. Да, существует (см. задачу 3.13 и II.1.25). 3.15. Ср.
с задачей II.1.17.
3.16. При к > 3 утверждение непосредственно следует из
соответствующего результата в Рк. В общем случае (при к > 2)
можно использовать подмножества автономных операторов.
3.17. Счетная. 3.19. Эта мощность — континуальная.
3.20. Полезно использовать шощностные соображения» —
сравнить мощности соответствующих множеств.
334
1

ГЛАВА VII
§ 1
1.1. 1) а) Т (/»)=130а1а. б) Машина Т не применима
к слову 13013. в) Т (/>)=10 [Olpl.
1.2. 4) Программа одной из возможных машин имеет вид
0
1
qoOS
g2iR
qfiS
qaiR
ft
q3OS
qilR
1.3. 2) а) 120а1?001; в) [10]20g0la.
1.4. 3) Одна из машин Тьюринга, переводящая конфигура-
конфигурацию К1 в Ко, задается следующей программой:
giOq2OR
q2OqalR qbiq6iL
qt0qb0L
1.5. 1) Можно поступить так: в программе машины Тьюрин-
Тьюринга заменить каждую команду вида qtaqj$S (где о и [) принад-
принадлежат внешнему алфавиту Л) на |.4| + 1 команд: q{aq'JiR,
q'f\qf\L (f пробегает весь алфавит A); q'j — новое состояние
(для каждого состояния qj — свое).
1.7. Для построения машины Тт достаточно добавить т до-
дополнительных (новых) состояний q[, ..., q'm и «пополнить» про-
программу машины Т, например, такими командами: q\aq[aSt ...
..., q'maq'^iS, где а — какой-то фиксированный символ из внеш-
внешнего алфавита.
1.9. 1) а) Композиция TtT2 к слову 130а1и не применима,
б) TtT% применима к слову 1*01, и результат применения есть
101031а.
1.10. 1) а) Указанная итерация к словам вида Is* (к > 1)
не применима, б) Не применима она и к словам вида i3k+1 (к >
> 1). в) Итерация применима к любому слову вида l*ft+a (ft > 1),
и в результате получается слово 1.
1.11. 1) а) Г(/>) = 10*1. б) Т(Р) = 1ЧI.
335

1.14. 3) Одна из возможных машин Тьюринга:
qfiqgOR qfiqf.lL
R qfiqfiR
R qtlqtlL
1.16. 3) Вот одна из возможных машин:
L q»iqt0R
1.17. 1) }(x)=x+l, fix, y)=x+y+2.
1.18. Если считать, как обычно, что машины начинают ра-
работать в состоянии ?i и в начальный момент обозревается самая
левая единица кода числа х, то указанные в условии задачи ма-
машины могут вычислять только одну из следующих трех функций:
х, x—i и нигде не определенную функцию.
1.19. Да, ото утверждение истипно.
1.20. 1) При фиксированном (конечном!) множестве состоя-
состояний существует только конечное число попарно неэквивалент-
неэквивалентных машин Тьюринга (с заданным внешним алфавитом). 2) Суще-
Существует такое I, что, каково бы ни было п > i, подмножество
всех п-местных функций в М содержит не более чем I элементов.
§ 2
2.1. 2) Xi+xz-sgxv
2.2. 1) Можно доказать сначала примитивную рекурсив-
ность функций Хг—хг и z2, а затем применить операцию супер-
суперпозиции. «Прямое доказательство» примитивной рекурсивности
функции g (ж)=1я выглядит так:
g @) = 0,
g (х + 1) — Л, (х, g (х)) — Is + 2х + 1,
т. в.
К (х, у + 1) = s (Л, (х, у)) — B* + у + 1) + 1;
ззв

т. е.
(
1
Л2(*. 0)=2,
Л2 (х, у + 1) = s (Л2 (х, у)) = (у + 2) + 1.
2.5. / (х, у) = sg ж • #, (у) + j?a (х j- 1) . sg х ¦ щу -f
+ #з(*—1. y — i) -sgx
2.7. 2) [aXi([x1/2J)=2xi. 4) fiXi (xt -=- xt) = (xt + xt) sg x
2.8. 4) /(*„ «^«.«.(l^-x,).
2.9. Нет, неверно. 2.10. 1) Нельзя. 2) 1-fsgz. 2.12. Все
эти классы счетно-бесконечные. 2.17. Нет, неверно: функция
/2 (х, у) может бьиь даже тождественно равна 0. 2.18. 1) Нет,
неверно. 2.19. 3) Справедливо. 4) Справедливо.
2.20. 1) Да, может быть верным. 2) Это утверждение ложно
при всякой функции /j из Кор\Кпр. 3) Утверждение спра-
справедливо для некоторых функций /, и /а из множества
2.21. 1) Нет, не всегда. 2) Это включение ложно при вся-
всякой функции f{x) из KOf\Knr 3) Да, соотношение справед-
справедливо для любой функции / (х) из Kov\Kap.
2.24. 2) Да, может. Пример. / (х, у) = х — у. 2.26. Да,
верно.
§3
3.1. а) Вытекает из того, что в Япр существует функция,
принимающая все значения.
3.2. Всякой примитивно рекурсивной функцив можно со-
сопоставить бесконечное множество термов, отражающих способ
получения функции из простейших функций.
3.3. Если существует частично рекурсивная универсальная
функция F (х0, Хц. . ., хк), то она всюду определена. Тогда функ-
функция F (xv xL, хг,. . ., х„)+1 общерекурсивна и имеет некоторый
номер у в нумерации, отвечающей универсальной функции
/гся+1). Но тогда р (у> j,v . >; у)=р ({,? Vi_ . м „)+i.
3.6. Провести доказательство методом «диагоиализации».
3.7. 1)—4) Нет. 5) Да. 3.8. Аналогично 3.3.
3.11. Рассмотреть функцию
f f(x), если Л(х)=0,
g(X> { 1, если А(х) = 1.
32 г- П. Гаврилов, А. А. Сапоженко 337

3.12. Рассмотреть последовательность <х0, «j,. . ., такую,
чтоа,= 1, если f,- (i) определено, <г(=0, если ?< (г) не определено,
«-0, 1,. . .
3.13. Для всякого автономного конечного автомата его
выходная последовательность является квазипериодвческой.
3.15. Например, инвертирование слова. j
3.21. 2) Вытекает, из того, что существует не более с
различных конфигураций длины ST (P) для некоторого с, за-
зависящего от алфавита состояний и внешнего алфавита машины Т.
Если какая-то конфигурация повторяется, то машина Т работает
бесконечное время.
ГЛАВА VIII
1.1. 1) Каждый из членов перестановки с повторениями
может быть выбран независимо от других п способами. Поэтому
Р (n, r)=nr. 2) Первый из члеиов (п, г)-перестановки можно вы-
выбрать п способами. Если г элементов уже выбраны, то (*+1)-й
элемент можно выбрать п—1 способами. Применяя несколько
раз правило произведения, получим Р (п, г)=(п)г, п > г.
3) Достаточно заметить, что из каждого (п, г)-сочетаиия путем
г! перестановок его члепов можно получить г! различных (п, г)-
перестановок и каждая (п, г)-перестановка может быть получена
таким путем. 4) Каждому (п, г)-сочетанию А с повторениями, со-
составленному ив элементов множества U= {alf . . ., а„}, поставим
в соответствие вектор 5 (А) длины га+г---1 иа г вулен и п—1 еди-
единиц, такой, что число нулей, находящихся ыежау (t—1)-й и
i-й единицами, равно числу элементов а,, входшцих в сочета-
сочетание А, i = 2, п — 1, а число нулей, стоящих перед первой едини-
единицей (после (п—1)-й единицы), равно числу элементов а, (соот-
(соответственно элемептов а„). входящих я сочетание А. Это соот-
соответствие между сочетаниями и векторами взаимно однозначно.
С другой стороны, число векторов с п—i единицами и г нулями
равно числу (п—1)-элементных подмножеств (n+г—1)-элемент-
ного множества. Это число равно I л _ ^
1.2. 1)*»; 2) *,*,...*.; 3) ("У 1.3. 1) 2т»; 2) Bт)я.
1.4. Для каждого п > 1 понадобится п • 10"~1 цифр для каждой от-
отличной от нуля цифры и (л — 1) • 10я нулей. 1.5. 2^+*3"~^"* — 1.
338

1.6. 1) 147; 2) 126; 3) 300 + 300 • 299 + 300 • 299 ¦ 298 =
= 26820300, если имена различаются, и 300-f 300a-f 3003, если
имена не обязательно различны.
¦•'• 00-
1.8. 1) A -{-а^) A +а2) ... A +аг). Каждому делителю pj1...
..•Р<г» 0 < 3,- < <*<, i = l, г, можно сопоставить вектор (З,, ...
...,рг); 2) 2Г; 3) JJ . _ . Раскрыв скобки в выражении
k=i Pk
A + Pi + • • • + Pail) • ¦ ¦ (l + Pr + • • • + P*rr)> убедиться, что каж-
каждый делитель присутствует в сумме ровно один раз.
1.10. 1) I ). Число способов равно числу двоичных
векторов длипы п-{-к—1 с п единицами и к— 1 нулями. Соответ-
Соответствие устанавливается так: каждой сумме сопоставляется век-
вектор, такой, что первое слагаемое в сумме равно числу единиц,
стоящих перед первым нулем в векторе, второе слагаемое —
числу единиц, стоящих между первым и вторым нулями, и т.д.
2) ( ь _ 1) • Поместим к едивиц в промежутки между нулями, по
одной едипице в каждый промежуток (места левее первого нуля
и правее последнего тоже считаются промежутками). Остальные
п—к единиц распределяются произвольно. Задача свелась к пре-
предыдущей.
)'011-8адачу uo> 2):
2I Т^ ] — 1, свести задачу к 1.10, 1); 3I ), свести задачу
к 1.10, 1).
1.13. 1) к !; 2) (*) • к !; 3) (п)к (т)к; 4) <">* (">*
1.14. 1) 4(n-4); 2) 4(n-l)n; 3) 24n(n-l); 4) 4 (%
5L»(»-4); 6LnDn~4]; 7) 6 . 4' . „ ^ ~ !j.
12* 339

ЛИТЕРАТУРА1)
1. Автоматы, сб. статей под ред. К. Э. Шеннона и Дж. Мак-
карти, М., ИЛ, 1956.
2. А л ф е р о в а 3. В., Теория алгоритмов, М., «Статистика»,
1973 (VII).
3. Арбиб М., Мозг, машина и математика, М., «Наука»,
1968 (VI, VII).
4. Б е р ж К., Теория графов и ее применение, М., ИЛ, 1962
5. Берлекэмп Э., Алгебраическая теория кодирования,
М., «Мир», 1971 (V).
6. Виленкин Н. Я., Комбинаторика, М., «Наука», 1969
(VIII).
7. Гил л А., Введение в теорию конечпых автоматов, М.,
«Наука», 1966 (VI).
8. Г и н д и к и н С. Г., Алгебра логики в задачах, М., «Наука»,
1972 (I—IV, VI, VII).
9. Глушков В. М., Синтез цифровых автоматов, М., Физ-
матгиз, 1962 (VI).
10. Дискретная математика и математические вопросы киберне-
кибернетики, т. I, M., «Наука», 1974 (I—V).
11. 3 а х а р о в а Е. Ю., Критерий полноты систем функций
из Рк, Сб. Проблемы кибернетики, вып. 18, М., «Наука»,
1967, 5-10 (III).
12. Захарова Е. Ю., Яблонский С. В., О некоторых
свойствах существенных функций из Рк, Сб. Проблемы ки-
кибернетики, вып. 12, М., «Наука», 1964, 247—252 (III).
13. Зыков А. А., Теория конечных графов, т. I, Новосибирск,
«Наука», 1969 (IV).
14. К е м е н и Дж., С н е л л Дж., Томпсон Дж., Введе-
Введение в конечную математику, М., «Мир», 1965 (IV, VIII).
15. К о б р и н с к п й Н. Е., Т р а х т е н б р о т Б. А., Вве-
Введение в теорию конечных автоматов, М., Физматгиз, 1962 (VI).
16. К о ф м а н А., Введение в прикладную комбинаторику,
М., «Наука», 1975 (IV, VIII).
') Римские цифры, стоящие после названия, указывают
главы задачника, при работе над которыми эта литература мо-
может оказаться полезной.
358

17. Лавров И. А., М а к с и м о в а Л. Л., Задачи по теории
множеств, математической логике и тоории алгоритмов, М.,
«Наука», 1975.A, II, VII).
18. Л е о н т ь е в В. К., Задачи по вычислительным системам
(ч. III. Дискретный анализ), МФТИ, 1975 (V, VIII).
19. Л у п а н о в О. В., О синтезе некоторых классов управляю-
управляющих систем, Сб. Проблемы кибернетики, вып. 10, М., Физ-
матгиз, 1963, 63—97 (I, IV).
20. Мальцев А. И., Алгоритмы и рекурсивные функции,
М., «Наука», 1965 (VII).
21. Марков Ал. А., Нерекуррентное кодирование, Сб. Проб-
Проблемы кибернетики, вып. 8, М., Физматгиз, 1962, 169—186
22. Мендельсон Э., Введение в математическую логику,
М., «Наука», 1971 (I, VII).
23. Минский М., Вычисления и автоматы, М., «Мир», 1971
(VI, VII).
24. М о щ е н с к и й В. А., Лекции по математической логике,
Минск, Изд-во БГУ, 1973 (I, II, VII).
25. О р е О., Теория графов, М., «Наука», 1968 (IV).
26. Питерсон У., Коды, исправляющие ошибки, М.,
«Мир», 1964 (V).
""ордан Д:
М., ИЛ, 1963 (IV, VIII).
27. Риордан Дж., Введение в комбинаторный анализ,
28. Роджерс X., Теория рекурсивных функций и эффектив-
эффективная вычислимость, М., «Мир», 1972 (VII).
29. Р ы б н и к о в К. А., Введение в комбинаторный анализ,
М., Изд-во МГУ, 1972 (IV, VIII).
30. Трахтенброт Б. А., Алгоритмы и вычислительные
автоматы, М., «Советское радио», 1974 (VI, VIII).
31. Трахтенброт Б. А., Барздинь Я. М., Конечные
автоматы, М., «Наука», 1970 (VI).
32. Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее при-
приложение, т. 1, М., «Мир», 1967 (VIII).
33. X а р а р и Ф., Теория графов, М., «Мир» 1973 (IV).
34. Холл М., Комбинаторика, М., «Мир», 1970 (IV, VIII).
35. Яблонский СВ., Функциональные построения в к-
значной логике, Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова,
т. 51, М., Изд-во АН СССР, 1958, 5—142 (I—IV).
36. Я б л о н с к и й С. В., Г а в р и л о в Г. П., К у д р я в-
ц е в В. Б., Функции алгебры логики и классы Поста, М.,
«Наука», 1966 A, II).
1

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автомат 180
— без входа 195
выхода 194
Автоморфизм графа 103
— псевдографа 118
Алфавит автомата входной 180
— — выходной 180
— машины Тьюринга внешний 213
— — — внутренний 213
— переменных 22
Арность функционального символа
22
Асимптотическое равенство функ-
функций 273
Базис замкнутого класса 50, 208
— — — простой 72
— линейного пространства 164
Биномиальный коэффициент 250
Буква 30
— (символ) алфавита 178
Булева разность 37
Вектор булев 9
— булевой функции 20
— двоичный 9
— коэффициентов полинома 35
— предшествующий 10
— цикловой структуры подста-
подстановки 138
Векторы несравнимые 10
— ортогональные 165
— противоположные 10
— соседние 9
— сраинимые 10
Вершина нисячая 102
—, достижимая из другой вершины
119
— изолированная 102
— конечная 118
— куПа 9
— начальная 118
— разделяющая 105
— сети внутренняя 128
— — минимальная 128
— i-ro ранга 181
Вершины сети эквивалентные 128
— смежные 102
Вес вектора 9
— дерева 1S1
Вес о.-д. функции 180
— орбиты 139
— равновесного кода 160
— функции 139
Ветвь корневого дерева 125
Внешняя сеть разложения 126
Внутренняя сеть разложения 128
Временнйя сложность процесса вы-
вычисления 244
Вторая форма ft-значной функции
79
Выборка неупорядоченная 249
— объема г 249
— упорядоченная 249
Выход д. функции, зависящий
с запаздыванием от входа 193
Глубина формулы 28
Гомеоморфизм графов 103
Грань плоского графа 111
— — — внешняя 111
— n-мерного куба 11
Граф 101
— алфавитного кода 170
— вполне несвязный 104
— двудольный 105
полный 105
— кубический 105
— направленный 118
— неориентированный 101
— нумерованный 137
— ориентированный 118
— пленарный 111
— плоский 111
— полный 103
— помеченный 137
— пустой 104
— регулярный 105
— с кратными ребрами 101
— — — — и петлями 101
— связный 102
— тривиальный 105
— ft-связный 105
Графы изоморфные 103
— почти все 137
— различные 137
Группа автоморфизмов графа 138
— — ориентированного псевдо-
псевдографа 118
— графа 138
•— степенная 138
3G0

Декартово произгчдение графов 103
Дерево 103
— бесконечное информативное 181
— корневое 124
— нагруженное 181
— плоское корневое 124
— растущее 120
—, реализующее отображение (д.
функцию) 182
Деревья одинаковые 125
Детерминированная функция 178
— —, зависящая с запаздыванием
от переменной 193
— — от п аргументов 179
Детерминированные функции раз-
различимые 180
— — эквивалентные (неразличи-
(неразличимые) 180
Детерминированный оператор 178
автономный 205
— — без выхода 205
константный 205
Диагонализация 243
Диаграмма канонического разло-
разложения it-сети 127
— Мура 190
Диаметр графа 102
Дизъюнктивная нормальная форма
(д. н. ф.) 31
кратчайшая 38
— — — минимальная 38
совершенная 31
сокращенная 38
— — — тупиковая 38
Дизъюнкция 22
— над множеством переменных 30
— элементарная 30
Дискретное устройство, реализую-
реализующее д. функцию 180
Длина вектора 9
— д. н. ф. 31
— к. н. ф. 31
— маршрута 102
— периода 187
— предпериода 187
— сети 128
— слова 168, 178
— цепи 10
Дополнение графа 103
Достоверность декодирования 161
Дуга 101
—, заходящая в вершину 118
—, исходящая из вершины 118
— орграфа 117
— i-ro яруса 181
Дуги кратные (параллельные) 117
Емкостная ¦ сложность 244
Замыкание множества 50
Знак условного равенства 217
Зона процесса вычисления 244
— работы машины Тьюринга 217
Иаоморфные ориентированные псев-
псевдографы 118
Импликант 38
— простой 38
Импликант ядровый 42
Импликация 22, 78
Индекс связки в формуле 26
Интервал булевой функции 38
— максимальный 38
Инцидентность вершины и дуги 118
— — — ребра 101
Источник орграфа 120
Итерация машины Тьюринга 218
Каноническая таблица о.-д. опе-
оператора 191
Канонические уравнения в вектор-
векторной форме 192
— — — скалярной форме 192
д. оператора 191
Класс вычислимых функций 236
— общерекурсивных функций 236
— предполиый 50, 208
— примитивно рекурсивных функ-
функций 236
— самодвойственных булевых функ-
функций 55
— сохранения множества 87
предиката 87
— — разбиения 88
— функций, монотонных относи-
относительно р 92
— функционально замкнутый 50,
208
— частично рекурсивных функ-
функций 236
— А-эквивалентиых подмножеств
147
Код 159
— алфавитный 169
— блочный 159
— групповой 164
— двоичный 159
—, двойственный к данному 165
— дерева 125
—, исправляющий ( ошибок 160
— линейный 164
¦— максимальный 160
•— множества 160
— набора основной машинный 219
1— — решетчатый 234
(-кратный 231
—, обнаруживающий ( ошибок 160
— однозначно декодируемый 169
— оптимальный 171
— плотно упакованный 160
— полный 169
•—, порожденный матрицей 165
— префиксный 169
— равновесный 160
— равномерный 159
— разделимый 169
— слова 159
— Хзмминга 104
— эквидистантный 160
Кодирование 159
— алфавитное 169
Кодовое расстояние 159
Команда в машине Тьюринга 214
Композиция машин Тьюринга 218
Компонента односторонняя 120
— связности графа 102
— сильная 119
— слабая 120
361

Конденсация орграфа 120
Константы в ft-значной логике 77
Контакт замыкающий 149
— размыкающий 149
Контактная схема ft-полюсная 148
Контур 119
— гамильтонов 119
Конфигурация, выводимая из дру-
другой конфигурации 216
>— заключительная 216
|—, заключительно выводимая из
другой конфигурации 216
!— машины Тьюринга 215
— начальная 216
Конъюнктивная нормальная форма
31
Конъюнкция 21
¦— допустимая 38
¦— монотонная 32
— над множеством переменных 30
— элементарная 30
Критерий полноты в алгебре ло-
логики 71
•— Саломаа 95
— Слупецкого 95
— Яблонского 95
Куб единичный п-мерный 9
Многочлен по модулю ft 79
— характеристический 263
Множество, двойственное к дан-
данному множеству 55, 94
*—, замкнутое относительно сово-
совокупности операций 208
— самодвойственное 55
— функциональных символов 22
Мультиграф 101
— ориентированный 117
Набор 9
—, предшествующий набору S 10
—, соседний с а 10
•—, строго предшествующий на-
набору 5 10
Наборы несравнимые 10
— сравнимые 10
—, — относительно р 91
Направление грани 11
Наследственная система функции
72
Номер вектора 9
Норма вектора 9
Нулевое пространство матрицы 165
Нумерация гёделевская 243
Лемма Бернсайда 138
— о нелинейной функции 59
— — немонотонной функции 65
— — несамодвойственной функ-
функции 55
Лента машины Тьюринга 213
Лес 103
Линейная комбинация векторов 164
Линейно независимая система век-
векторов 164
Линейное векторное пространство
164
Логическая связка 22
Максимум ж и у 78
Маршрут 102
— замкнутый 102
— ориентированный 119
— — замкнутый 119
Матрица инцидеяций (инцидентно-
(инцидентности) 122
— кода 164
— — порождающая 165
— — проверочная 165
— смежности 122
Машина Тьюринга 213
— —, вычисляющая функцию /
220
.— —, моделирующая работу дру-
другой машины Тьюринга на решетке
231
— —, не применимая к слову Р
217
— —, правильно вычисляющая
функцию / 220
, применимая к слову Р 217
Медиана 52
Метод каскадов 157
— неопределенных коэффициен-
коэффициентов 35
Минимум ж и у 78
Объединение графов 103
Ограниченно-детерминированная
функция 180
Ограниченно-детерминированный
оператор 180
Оператор детерминированный 178
—, порожденный совокупностью
функций 188
•—, реализуемый данным состоя-
состоянием 180
Операторная запись алгоритма 218
Операция введения обратной связи
— замыкания 50, 208
— минимизации 236
— объединения д. функций 195
— отождествления переменных 44
— уд. функции и отожде-
отождествления полюсов в схеме 193
— примитивной рекурсии 235
— разветвления 206
— суперпозиции для д. функций
196
— удаления выхода у д. функции
и выходного канала и полюса
у схемы 194
Орбита 138
Орграф 118
— бесконтурный 122
— несвязный 119
— односторонний (односторонне
связный) 119
— сильный (сильно связный) 119
— слабый (слабо связный) 119
— транзитивный 119
— тривиальный 122
Основные эквивалентности 28
Остаточный оператор, порожден-
порожденный словом 180
Отрицание Лукасевича 77
— Поста 77
— х 21
362

Отросток сети 125
Ошибка в канале связи 1С0
Паросочетание 105
— максимальное 105
— совершенное 105
Первая форма ft-значной функция
79
Переменная существенная 44
— фиктивная 44
Перестановка без повторений 249
— с повторениями 249
Перечисляющий ряд для фигур
1 GO
функций (конфигураций)
139
Период слова 187
Петля 117
Подграф 102
— оетовный 102
—, порожденный подмножеством
вершин 102
— сети 125
— собственный 102
Подразбиение ребра 103
Подсеть 125
Подслово 168
Подфункция 31
— собственная 31
Покрытие множества вершин 112
— тупиковое 112
Полином Жегалкина (по модулю 2)
32
Полинома длина 32
— степень 32
Полиномиальный коэффициент 250
Полустепень захода 118
— исхода 1.18
Полюс 124
Порожденный о.-д. оператор 188
Последовательность возвратнан 263
Предикат вполне рефлексивный 89
симметричный 89
— сильный 99
— центральный 89
— п-местный 87
Предпериод слова 187
Префикс (начало) слова 168, 178
Примитивно рекурсивное описание
функции 235
Принцип двойственности 55
Произведение по модулю ft 78
Производная булевой функции 37
Псевдограф 101
—, ассоциированный с ориентиро-
ориентированным псевдографом 118
— гамильтонов 119
—, двойственный к данному 111
— ориентированный 117
полный 120
— самодвойственный 111
Пустая ячейка на ленте 213
Пустое слово 168
Пустой символ алфавита 213
Путь 119
— гамильтонов 119
Равные булевы функции 44
Разветвление машин Тьюринга 218
Разложение сети 126
<— — каноническое 128
Размерность грани 11
— линейного пространства 184
Разность по модулю ft 78
Разрез 128
— минимальный 123
— сети тупиковый 128
Ранг грани 11
•— дизъюнкции 31
•— конъюнкции 31
Расстояние между вершинами графа
102
* ориентированного псев-
псевдографа 119
»— — двумя ячейками ленты 230
— Хэммннга 9
Расширение оптимального кода 171
Ребро графа 101
— источниковое 158
»— куба 10
•— ориентированное 117
— псевдографа 101
Решетка с шагом I 230
Сеть 124
— контактной схемы 146
»- неразложимая 126
¦— параллельно-последовательная
126
¦— разложимая 126
*- связная 125
•— сильно связная 125
1— тривиальная 125
1— Н-разложимая 126
<— fc-полюсная 124
I— р-разложимая 126
— «-разложимая 126
Симметрическая разность графов
103
Симметричная пара дуг 118
Система неприводимая 50
•— Поста 95
1— Россера—Туркетта 95
•— функционально полная 50, 208
Слово бесконечное 178
i— в некотором алфавите 178
г— входное 180
•— выходное 180
•—, записанное на решетке 23)
1— квазипериодическое 187
*— начальное (исходное) 216
i— пустое 178
Сложность булевой функции 149,
150
5— д. н. ф. (к. н. ф.) 31
— схемы 149, 150
— формулы 26
Слой n-мерного куба 9
Собственный набор ядрового имп-
ликанта 42
Соединение слов 168, 178
Соседние ячейки ленты 230
Состояние д. оператора 180
!— заключительное 213
i— машины Тьюринга 213
— начальное 213
Сочетание без повторений 249
— с повторениями 249
Степень вершины графа 102
363

Стоимость кода 171
Сток орграфа 120
Стрелка Пирса 22
Сумма по модулю 2 22
h 78
Суперпозиция над множеством
функций 24
— сетей 126
— схем 197
— функций 234
Суффикс (окончание) слова 168,
178
Существенная неременная д. функ-
функции 179
Сфера в n-мерном кубе 10
Схема 148
— бесповторная 154
¦—, двойственная к данной схеме
153
*— из функциональных элементов
150
«— минимальная 150
»— оператора 192
<— примитивной рекурсии 235
»—, реализующая булеву функ-
функцию 148
— Хя-функциональная 150
Считывающая (печатающая) го-
головка машины Тьюринга 213
Теорема Пойа 139
— Поста 71
— Р. Робинсона 237
— С. Пикар 90
Тождественная единица 20
Тождественный нуль 20
Толщина графа 111
Точка сочленения 105
Турнир 120
Тьюрингово вычисление 216
Удаление вершины 103
— ребра 103
Универсальная частично рекурсив-
рекурсивная функция 242
Управляющее устройство машины
Тьюринга 213
Усеченная разность 78
Функция булева, двойственная
к данной функции 54
линейная 59
— — монотонная 65
— — нелинейная 59
— — самодвойственная 55
— — симметрическая 25
— —, сохраняющая константу 62
— — элементарная 20
— Вебба 78
— выбора аргумента 236
— выходов 190, 214
—, вычислимая по Тьюрингу 219
— голосования 52
— движения головки 214
—, двойственная к / относительно
s (ж) 85
—, квазилинейная относительно
функции 9 84
— линейная 91
1—, монотонная относительно р 92
—, — по переменной ас,- 155
— неприводимая 72
— нулевая 236
— переходов 190, 214
—, представимая многочленом по
модулю h 79
— проводимости 149
— производящая 265
— — экспоненциальная 265
—, простая относительно замкну-
замкнутого класса 72
— простейшая 230
—, реализуемая схемой 149, 150
—, — формулой над множеством
связок 24
<—, — — — — функциональных
символов 23
—, самодвойственная относительно
s (х) 85
— селекторная 236
— следования 236
—, сохраняющая множество 87
—, — предикат 87
—, — разбиение 88
— существенная 95
— тождественная 21
— Шеффера 71, 82
— ft-значной логики 77
— — — элементарная 77
Фиктивная (несущественная) пере-
переменная д. функции 179
Формула включений и исключений
259
—, двойственная к данной 56
— над множеством связок 23
<— — — функциональных симво-
символов 22
*— Стирлинга 273
— тождественно истинная 27
¦— — ложная 27
— Эйлера 111
Формулы эквивалентные 24
Фрагмент дерева 181
Функции конгруентные 50, 93
Функция Аккермана 240
•— алгебры логики 20
>— булева 20
364
Характеристическая функция вто-
второго рода числа i 78
— .— числа i 78
Центр предиката 89
Цепь в графе 102
— — n-мерном кубе 10
— — — — возрастающая 10
— гамильтонова 105, 119
— замкнутая 102
— простая 102
— сети 128
— — кратчайшая 128
—, соединяющая вершины 10, 102
Цикл в графе 102
простой 102
— — n-мерном кубе 10

Цикл гамильтонов 105
— длины ft в В" 10
— подстановки 86
Циклическая подстановка (цикл)
86
Цикловой индекс группы 138
Циклы графа линейно зависимые
111
— — — независимые 111
Число першинного покрытия 112
— независимости 112
— реберного покрытии 112
— реберное хроматическое 112
— хроматическое 112
— дипломатическое 112
Шар в n-мерном кубе 10
Ширина сети 128
Штрих Шеффера 22
Эквивалентность 22
Эквивалентные машины Тьюринга
217
— поддерепья 182
Элемент единичной задержки 198
А-эквивалентные подмножества 147
— элементы множества 138
fc-фактор 105
п-факториал 250
<ft, п>-схема 148
<п, ?>-код 160
(п, й)-код 164
A, Л)-полюсник 149
ж^1. . . XjjJ-компонента
функции 31
Хя-схема 148
к-сеть 126
и-схема 149
булевой
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
А», В* 168, 178
А (О, В (О 265
A (D), В (D) 120
А8, А<° 178
а™ 217
В4 138
В", В» 9
В$ («) 10
IT. . . . IT_ ll
С 159
С* 165
С (Я) 165
С (п, г) 250
С (п, г), Сг„ 250
С (х), с (х) 139
CSk 90, 95
D, G, F, L, S, R 214
D*. D' 120
°Л< ОЛ> в 181
D (G) 102
ОЛ, В (Ц) 182
Dp (n) 143
D (ъ, ж,, . .., ж») 243
d (С) 159
4) (С) Ю5
d (r) 102
d+ («), tf- («) 118
В 31
Э/ (х«)
e(xh-xi, x'k)
37
E (t) 265
Efc 77
i?(n"(«(B) @, g(r)«-O) 192
/ E«) 20
Л (ж„ ж2, . . ., х„) 54
/С (*") 159
t'(x) (ж„ х„ ..., *„) 85
G 101
G* 111
Gf 169
G ф Я 103
G X Я 103
G П Я 129
G(n, X) 276
В (п, d) 165
-D) 192
137
Я (Я (х„ ж2 ж,,)) 87
Я (Я„ (ж, у)) 92
Нк, п 163
А<у (ж) 96
*, (ж, V, 2) 52
365

I*m (*") 236
Id (s) 118
ir (/). ir (n) 41
J,- (x) 74
<jk (*) 138
U) 133
h (x) 78
К 33
n' и,, я2
К, ф 1С, ф ... ф К, 32
к-П), КИ) 240
лир ор
Кчр 236, 242
Я» 169
X 31
L 59
Z- (/) 43, 151
L (? (х, у)) 91
I* (/) 149
Ьф (/), I, (/) 150
' (/) 43
г" (/> 40
ДГ (Р) 177
SS* (m) 177
М 65
Д/я 50, 65
М (Л-") 50
М* 55
М (р) 92
М/ 233
МХп U (?")) 236
М (С) 164
га (n, d), m (n, ft, rf) 160
т (х, у, г) 52
N (А) 138
iVj 38
N/ 20
Лт, JVm 260
N («,-, «<Jfc) 259
О, 193
О„ О3 194
О, 195
О5 206
О (г), (У (») 107
О (ф (х)), о (ф (х)) 273
е 2os
Р, (Xя) 20
Р (хи) 32, 35
Рп 41
Рс (X») 46
р\1> 80, 90, 95
Р (n, r), P (п, г) 249
V (G), j! (n) 143
Q 213
(?. (р, С) 161
С? (<р, xg) 180
g^ 213
9(r'@ 192
«i»4 192
9y (n) 244
Я (G) 129
Я(„ 230
Яр (X, у) 91
Я (g, Л) 234
ry (К), гт (Р) 244
S 55, 196
Sk 90, 259
S$(°0 10
234
30
8 (x) 236
sr (/), Sr (") 41
31
T (<f) 87
T (<?, s) 89
Г, 219
Ti О Г2, ITj
Г (/) 20
T (Г) 126
<(G) 111
<j (JC) 244
tT{P) 244
244
62
218
366

С (Л) 88 П*, „_* </) 20
V (<Г„ S2, ..., в,) 88
V (х„, х,, .,., х„) 243 р (а_ jj 9
р (и, ») 119
F (Я) 165 рв (и, о) 129
»ft (ж, У) 78
2 153
Z» 20 S«p 192
?, х» 20 »5 11
S* 178
* 21, 77 ф O9
х . у (mod ft) 73 **. в т
х + у (mod ft) 78 **• **, / 179
х (О 178 *"¦ т, Ф". J» 179
<Р« (Я). ?я, »¦ (Я) 137
i/""'@ 192 */„/, /m183
9<"> 243
Z (А) 138 if., 180
ISM ^fflI78
2 (A; t,, *,, ..., *,) 138 * (^-' Х» • •" *»> 179
«, Р, а" 9
S" < р» 10 X (G), X' (G) 112
«я < |я Ю
"ФИО cdj(JC), ">2-(P) 244
«U МО
\VU И*-
«2» 20 Я? 180
««(G), «, (G), a» (G) 112 21(ЛГ) 22
21 [Ф] 22
ft(G), P,(G) 112
9? (/ (х»)) 72
Г (G) 138
Г (а, Ь) 125
ТР Г' 126 °(Я) 238
т- т 1Л 0,1 Н
Г^(о, 6), Г^(о, 6) 126 || 5» И 9
Г*1Ю VKC1
<=1
А 168, 215 »
X (и;) 168, 178 & Di 31
i, «>...., «я-i, V) = жв) 236 71
Ё JC< 32, 37
» (а") 9 «-1
183 [М] 50
367

" if!"
~ж 77
(V,, V,, X)
(я)я. (°)я, h
<а> 183
[Ь], ]6[ 253
{Ь} 254
(П\ (
\г)- \т„г,
(п)г 249
Ш 249
2п!!, Bп —
ш-
rest (х„ я.)
104
267
п
1, •• •>
1I1 273
237
SgX, !
[Р]"*,
Li
й '
~ 21,
с 217
X 273
<, <
е ю.
и ю
п и
-],&,
d
dxl'
+ ,-
— 78,
mln,
Hi Ь
sgsc
[о:
9U
ft
273
9
29
V,
227
|m 217
218
-», +, 121
д
( .
227
. b-
78
: 78
216