АКАДЕМИЯ НАУК КИРГИЗСКОЙ ССР
Институт физики и математики
М. ИМАНАЛИЕВ
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫХ
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
ИЗДАТЕЛЬСТВО „ИЛИМ
Фрунзе 1S72
УДК 517. 948. 34.
Многие проблемы современной техники и физики, механики и теории
движения гироскопов и гироскопических систем сводятся к изучению тео-
рии дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений с ма-
лым параметром при старшей производной. В монографии излагается тео-
рия этих интегро-дифференциальных уравнений. Систематически показы-
ваются специфические особенности теории интегро-дифференциальных урав-
нений с малым параметром при старшей производной Указаны достаточные
условия, при выполнении которых решение задачи Коши для интегро-диф-
ференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной
ведет себя так же, как решения некоторых дифференциальных уравнений.
Показано, что интегро-дифференциальные уравнения обладают более ши-
рокими свойствами. Изла! ается ряд новых результатов в теории сингуляр-
но-возмущенных интегро-дифференциальных систем. В монографии приве-
ден метод асимптотического разложения решений систем нелинейных ин-
тегро-дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с ма-
лым параметром при старшей производной. Дается метод оценки остаточ-
ного члена с любой степенью точности относительно малого параметра
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Академии наук Киргизской ССР
Ответственный редактор Ю. А Редь
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория дифференциальных и интегро-дифференциальных уравне-
ний с малым параметром при старшей производной является сравнитель-
но малоизученным разделом математического анализа.
Разработанная теория этих уравнений может быть применена для ре-
шения многих практических задач математической физики и теории уп-
равления движением.
В работе излагается метод асимпототического разложения решений
задачи Коши и краевых задач, для интегро-дифференциальных урав-
нений с малым параметром при старшей производной. Работа состоит из
четырех глав. В первой главе исследуется задача Коши для общих интег-
ро-дифференциальных уравнений типа Фредгольма. Во второй главе
излагается дальнейшее развитие'асимптотического метода в случае, ког-
да (Вырожденное интегральное уравнение находится на спектре. В треть-
ей главе в основном рассматривается задача Коши для уравнений типа
Вольтерра, четвертая глава посвящена исследованию краевых задач для
интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра и Фредголь-
ма. В монографии автор стремился показать специфические особенности
теории интегро-дифференциальны» уравнений с малым параметром
при старшей производной. Теория ветвления решений задачи Коши и
краевых задач и теория периодических и почти периодических решений
для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при
производной будут изложены в дальнейших работах автора.
С рукописью настоящей работы ознакомились профессор А. Б. Ва-
сильева, В. Ф. Бутузов, которые сделали автору ряд ценных замечаний.
В подготовке рукописи к изданию приняли участие сотрудники Ин-
ститута физики и математики АН Киргизской ССР П. С. Панков, С. Алек'
сеенко, Ю. А. Ведь, М. Джураев, А. Сейтказиева, Б. Назаркулова,
К. Эшенкулов, Э. Я. Быкова, Н. Герман. Всем перечисленным товарищам
автор (выражает сердечную благодарность.

ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ
В этом параграфе излагаются некоторые сведения о векторах и
матрицах. Столбец из л величин
(1)
где х1э...,хп вещественны или комплексны, мы будем называть
«-мерным или «Х1 столбцевым вектором. Строку из п величин
УМУь-.Ул),	(2)
где yi уп вещественны или комплексны, будем называть «-мер-
ным или «XI вектором строкой.
Под матрицей A = (ajK) типа т%п или, короче, под /лХп-матри-
цей понимается система действительных чисел или функций, записан-
ная в виде следующей прямоугольной таблицы
а11> а12	а1/1
^21 > ^22 •••, &2К f-ч
атъ атг >•••> атк »•••, атп
(3)
Функции о/к—элементы матрицы А, причем первый индекс j пока-
зывает строку, а второй индекс к—номер столбца.
Если аук=0 для всех допустимых / и к (J=l,2,...,m;	1,2,
то матрица А называется нулевой. Сумма и разность двух однотип-
ных матриц A=(ayK) и B—^bj^} определяются формулой
А±В=(аЛ±&Л).	(4)
Под произведением матрицы Д=(гг/А.) на число а понимается
матрица
Аа=аА=(<и1уЛГ).	(5)
Произведение двух однотипных матриц А и В определяется ра-
венством
5
п
dfifiicj .
/,«=-!
Ясно, что сложение матриц кохммутативно и ассоциативно. Умноже.
ние матриц всегда ассоциативно, но не всегда коммутативно.
Если А— квадратная матрица, то под det А будем понимать ее
определитель.
Пусть
«,	(1, если ]=к,
Ъ'к— ] _
I 0, если ]гк,
тогда матрица Еп=Е— (8ук)—единичная матрица.
Единичная матрица Е играет роль единицы при умножении,
например
ЕА—АЕ=А,	(6)
где А—любая квадратная матрица одинакового порядка с Е. Мат-
рица А-1 называется обратной данной матрице А, если А~1А = АА~1 =Е,
где Е—единичная матрица соответствующего порядка. «Х«-матри-
ца А будет неособенной, если
detA=f=O.	(7)
В противном случае матрица А называется особенной. Если А квадрат-
ная матрица и р— натуральное число, то
АР—А'...'А	(8)
р— раз. Если Л—неособенная матрица, то по определению
p>G.	(9)
Пусть Л и В — «Хп матрицы, причем
АВ=ВА.
Тогда для любого натурального числа р справедлива формула
Ньютона
Р
(А + В)Р~ S	КР-ЯВЧ.	(10)
<7=0
Под нормой матрицы А = (а}-К) понимается неотрицательное число
|| Л || , удовлетворяющее следующим условиям:
1)	II Л |1 — 0 тогда и только тогда, когда Л=0;
2)	II аЛ || = | а | || Л ||, где а—любое комплексное число;
3)	II А-]-В || < || Л ||	|| В || , где Л и В— любые матрицы, допу-
скающие сложение;
4)	И АВ || < || А || • II В || , где Л и В— любые матрицы, допус-
кающие умножение.
В дальнейшем в настоящей книге будут использованы следую-
щие нормы:
|| А II —max | ajK | ;
6
|l A || --max Л, | ajK | .
к
i
Для вектора столбца
Xi
Хц
r =
вышеуказанные нормы соответственно принимают вид
II х || = тах | Xj | ,
i
II X || = J} | Xj | .
i
Пусть функции ajK(t) непрерывно дифференцируемы на сегменте
[а,6]. Тогда под производной матричной функции А(/)=(оук(0)
понимается матрица
НА
(И)
Если на сегменте [а;Ь] A^t)—неособенная матрица, а А —ее обрат-
ная матрица, т. е.
А(Г)А-1(/)=£’,
то
[A-V)]'—	(12>
Пусть на сегменте [а;6] матрица А(/) непрерывна. Тогда
t	t
A(s)ds=	(13)
и	0
причем
t	t
|| A(s)ds ||< j II A(s) || ds.	(14>
0	и
Если К—некоторый параметр, а А—nXn-матрица, то det(A—lE)
называется характеристическим многочленом матрицы А. Нули урав-
нения det(A—lJz)=O называются собственными значениями матри-
цы А. Пусть А—«Х^-матрица, Р—лХл-матрица, причем detP=pQ.
Тогда матрица
В=Р-МР	(15)
получается из матрицы А подобным преобразованием. Если матрица А
подобна В, то detA = detB. В настоящей работе будем иметь дело
только с конечномерчыми действительными векторными пространствами.
Пусть
1) x(0=Ui(0-- xn(t)y, 2) у(0=(У1(0,-,Уп(0);
3) K(t,s,x,y) — [Kr{t,s,x,y),Ki(t,s,x,y),...,Kn(/,s,x,y)|;
T
1	I
У K(t,s,x(s),y(s))ds=	ft2(/,s,x,y),.../Gi(/,s,-’c,y)l<7s =
-О	о
1	i	1
= [	J	^Kn(t,s,x yjds | .
о	о	о
Тогда
1
/;(/,х,у,^ K(t,s,x(s),y(s))ds)=fj(t,x1(t),...,xn(t),yl(t),...,yn(t),
b
1 1
jA’1(/,s,x1(s),...Jt„(s),y1(s)>...,y„(s))rfs,.-J/<„(zl,s,x1(s),...yn(s))(Zs).	(16)
о	0
Формулы дифференцирования
Пусгь дана к-мерная вектор-функция Z-мерной переменной
f=f(u),	и=(и1г... ui). С точностью до бесконечно малых
2-го порядка в точке (0,0,...,0) имеем;
1
f(ti)=f(u„	....0)4- J] df{°^-	(17)
z=l
или по координатам
/(«!,....И/)=Й0,.-..0)+2	«<•+..,
I ..л
,	иг
обозначим
ы=0
тогда имеем в векторно-матричной
записи
f(«)=/(0)+
где	—I	— (кХ/) матрица, «—столбцевой /-мерный
ди I dui j j;=l< "К
t=l...I
вектор.
С точностью до бесконечно малых 3-го порядка
l	l I
Sdf(O,. .,0)	, IV V <?8f(0...0)	.
-Чт,- “,+ L -<18’
(=1	i=t h=l
Обозначим fl\h= -	тог-аа имеем
I	I I
fJiuH-----2" jS fJihtiillh+—
i=l	«=1Л=1	/ = !,...,/.
Запишем это выражение в векторной форме. Пусть	/—мер-
ный постоянный вектор. Определим выражение
d2f
ди*
V2
следующим образом:
W \ д ( df
ди2	ди ди
v
Аналогично определяется
--!— тр= J----1 —---n1 I
ди2 ~ ( ди ди2 /]
Тогда формула Тейлора (18) запишется в виде
К«)=Г(О)+ ~~~ «+ 4~й- «’+• ••
'	' ди 2 ди2
(19)
В настоящей работе будем пользоваться формулами (I) —(19).
Глава 1
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ В ТЕОРИИ
СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ТИПА ФРЕДГОЛЬМА С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ
§1.1. Постановка задачи
Рассмотрим систему
уравнений с постоянными
обыкновенных интегро-дифференциальных;
пределами интегрирования вида
О
1
dz	f*
e	I /<,(/,s,tf,z)ds)
o
(1.1.1)
с начальными данными
u(0,e) = 6i;
z(0,e)=6a,
d.1.2)
где e— малый положительный параметр; и, z—n и т—мерные векто-
ры соответственно; Ai(/,s,«,z), X2G>s,u,z)—п и т—мерные векторы;
1 !
JKitt.SyUrfds), a2(t,u,z,^ Kt(t,s,u,z)ds)—п и т мерные
о	и
векторы.
Формально полагая е=0 в системе (1.1.1), получаем более про-
стую систему
1
—	JKi(t,s,v,w)ds);
О
1
0=-aa(t,v,w,	(1.1.3)
О
с начальным условием
о(0)=&i,	(1.1.4)
где 61— п- мерный постоянный вектор.
Нетрудно убедиться, что по[ядск системы (1.1.3) ниже порядка си-
стемы (1.1.1). Поэтому система интегро-дифференциальиых уравне-
ю
ний (1.1.3) называется «вырожденной“по отношению к системе-
(1.1.1),а система (1.1.1)—„возмущенной" по отношению к системе
(1.1.3). Вырожденная система задается меньшим числом начальных
данных, при этом ее решение не может удовлетворить всем допол-
нительным ус говиям, которым удовлетворяет решение возмущен-
ной системы (1.1.1).
В этой работе предполагается, что 1) вырожденное уравнение
(1.1.3) имеет некоторое (вообще говоря, не единственное) непре-
рывное решение	, удовлетворяющее начальному условию.
(1.1.4); 2) векторные функции
^(Z,s,«,z), K2((,s,«,z),
1
aK(/,«,z; j KK(t,s,utz)ds)
о
(№1,2)
имеют непрерывные и ограниченные производные по всем аргумен-
там до требуемого нами порядка в некоторой ограниченной окре-
стности множества точек
1 1
(t,v,w; J K!(t,s,v,w)ds),(t,v,w, J Kzlt^v^ds).
о	о
Теперь поставим вопрос, при каких условиях решение задачи Коши<
(1. 1. 2) п‘рвоначальной системы ингегро-дифференциальных урав-
нений (1. 1. 1) при е->0 сходится к решению задачи Коши v(fi) — b1
„вырожденной" системы (1. 1. 3)? Если имеется сходимость, то с
какой степенью точности относительно параметра е имеет место эта
сходимость? Вообще говоря, может ли решение вырожденной систе-
мы служить асимптотической формулой для решения системы.
(1. 1. 1)? Разумеется, что под асимптотической формулой для ре-
шения [u.z'i задачи Коши u(0) — b1,z(0)-b2 системы U- 1- 1) пони-
мает я такая система функций {cz(/„s)„ b(t,e)}, для которой на сегмен-
те (0,1] разности.
ц(/,е)—а(/,е)	(1.1.5)
z(£,e)-6((,e)	(1.1.6),
малы для всех достаточно малых е, 0<e<sc, где е0—достаточно ма-
лое фиксированное положительное число. Векторные функции л(/,е),
b(t,&) выражаются через решение некоторых более простых уравне-
ний, чем исходное нелинейное интегро-дифферрнциальное уравнение.
Применимость этого процесса для практических целей заключается в
том, что если решение задачи Коши ii(0,s)—bu z(0,e.)=b2 для систе-
мы (1. 1. 1) не представимо через элементарные функции, то век-
тор-функции а,Ь сравнительно проще допускают такое пред-
ставление.
Если в системе (1.1. 1)
Ki(/,s,w,z) = 0, K2(/,s,«,2)s0,	(1. 1- 7)
то получаем систему обыкновенных дифференииа. ьных уравнений с
малым параметром при одной из производных вида
1L

e =g(t,ii,zp).
(1. 1.8)
Теория систем (1. 1. 8) с начальными данными (I. 1. 2) была изу-
чена в работах [281, |29], |30], [47], [52], [60], {66], [217), [255].
Основополагающие результаты в этом направ»ении принадлежат
А. Н. Тихонову и И. С. Градштейну. В 19г>2 г. А. Н. Тихонов по-
лучил наиболее общий результат. Дальнейшее развитие теория си-
стем (1. I. 8) получила в работах А. Б. Васильевой, В. М. Волосова
[281, [52J, [46], [261] и многих других авторов.
Наличие интегральных членов в системе (1. 1. 1) может изме-
нить некоторые качественные свойства решений для систем обыкно-
венных дифференциальных уравнений. Хотя этому вопросу будут по-
священы специальные параграфы настоящей книги, покажем это
явление на следующих примерах.
Пусть на сегменте [0,1] функции A(t), f(t) непрерывны и имеют
непрерывные производные, кроме того, Л(/)>0. Решение задачи
Коши z(\fi)=b*=const для уравнения
ez'-[-A(/)z=/(()	(1. 1.9)
при е->0 стремится к бесконечности. Рассмотрим интегро-дифферен-
циальное уравнение вида
t
ez'+A(/)z-{- j K(t,s)z(s)ds=f(t),
о
(1. 1.10)
где K(t,s) непрерывна в квадрате 0«С — <1 J , K(t,s)=£O.
Решение задачи Коши z(l,e)=d для интегро-дифференциального
уравнения (1. 1. 10) при е-+0 стремится к некоторому предела v0(t)
на полуинтервале (0,11, а в точке t=Q это решение стремится к бес-
конечности (см. доказательство этого утверждения в § 3.6).
О’сюда следует, что« построение асимптотической теории реше-
ний задачи Коши (1. 1. 2) для систем нелинейных интегро-диффе-
ренциальных уравнений (1. 1. 1) представляет собой большой теоре-
тический и практический интерес, не меньший, чем асимптотическая
теория решений задачи Коши систем обыкновенных дифференци-
альных уравнений вида (1. 1. 8).
§ 1. 2; Формальные асимптотические ряды.
Определение некоторых начальных векторов.
Формальное асимптотическое разложение решений задачи Коши $
системы (1. 1. 1) с начальным условием (1. 1. 2) будем искать в
виде ряда
= S[ ^к(0+0л:
«=0
S*;
е
12
00
= У,|щк(0+^4 (4)]s“ ’	(1 • 2.1>
к=0
-де vK (t),wK (t), QK (т), /7(т)— пока неизвестные произвольные n и m-
t	( t \ n ( \
лерные векторы, т= —. Вектор-функции QKI — I и //K I — j на-
зываются функциями типа пограничного слоя. В следующих параг-
рафах будет показано, что существует достаточно малое фиксиро-
ванное положительное число ев такое, что при O<s<eo для векторов
QK (—/7К (— на сегменте [0,1] справедливы неравенства
\ 8 /	\ £ /
at	_
11 (4-1 II v; 11/7к (4) Ч S’
где а и /(—некоторые положительные постоянные. Далее будут оп-
ределены все непрерывные векторы [гл< (/),ВД< (01- Тогда при />0,
формально устремляя к нулю малый параметр е, получаем
Нт	Нт z(t,e)=w0(f),
6->0	е—*0
в то же время при t—C (оо(О), wo(0)J> вообще говоря, не совсем
близко к	Следовательно, в самой начальной точке близость
решений задачи Коши для системы (1. 1. 1) к решению задачи
Коши вырожденного уравнения не имеет места. Графически пока-
жем эту картину. Цля простоты полагаем, что
‘&0(/)=co/zsZ; w0(t)=const.
Из этого графика видим, что в окрестности начальной точки возни-
кает область, в которой решение вырожденного уравнения значи-
тельно отличается от решения задачи Коши исходного уравнения.
Следовательно, решение задачи Коши для вырожденного уравнения
не может служить асимптотической формулой для исходного урав-
нения именно при /=0. Эта область при е—»0 бесконечно сужается
при />0 и называется пограничным слоем. Явление пограничного
слоя является характерной чертой в теории сингулярно-возмущен-
ных дифференциальных и интегро-дифференциальных систем. Пог-
раничные слои возникают из того факта, что решение вырожденной
системы не может удовлетворить всем дополнительным условиям си-
стемы (1. 1. I). Поэтому в окрестности тех точек, в которых заданы
дополнительные условия для исходной системы, возникает область,
сильно отличающая решение вырожденной системы от решения ис-
ходного уравнения.
13
Прежде чем формально подставить ряд (1. 2.1) в систему
(I. 1. 1), определим начальные данные для векторных функций
(О, Qk Пк (т), а для векторов wK (t) начальные данные не за-
даются.
Имеем
00
п(О,е)=&1= У] [Uk (0) -|-Qk (0))е«,
лг=О
со
z(0,s)=fr>- 2(0)+Z7k (ож.	(1. 2. 2)
к=-0
Для простоты дальнейших исследований предполагается, что
Qo(O)=&1—t>o(O)=O.	(1. 2. 3)
Поэтому начальные данные для векторов QK (0) задаются в виде
Qk(OJ— МО)	(1.2.4)
(к— 1,2,3,... .).
Начальные данные для векторов vK (0) задаются специально. Об
этом речь будет идти несколько ниже. Зададим теперь начальные
данные для векторов Пк$).
Определим вектор Z7o(O) из равенства
770(0)=&а—а»о(О).	(1. 2. 5)
Тогда векторы /Л(0) определяются из равенства
/7к(0)=-1М0)-	(1.2.6)
(к= 1,2,3,... .).
Далее, подставляя (1. 2. 3), (1. 2. 4), (1. 2. 5), (1. 2. 6) в равенство
(1. 2. 2), получаем тождество.
§1.3. Методы асимптотического разложения решений
задачи Коши для систем (1. 1. 1)
Теперь формально подставляем ряд (1. 2. 1) в систему (1. 1. 1).
Имеем
14
к=0
оо
е S а/к
к—О
А=0
1	00
J k2g,s, У м«)+
О	Я—О
к=0
(1. 3. 1)
Интегральные члены, входящие в правую часть (1. 3. 1), запишем
в виде
1	00	00
J Ki^t,s, 5]^k(s)4-Qk	(s)-|-/7K	—/</(/,S,
С	к~0	к—0
со	со
У (s)s* У (S)eK
д О	к V
Kf(t,s, У\к(«)е'е;
00
{s)3K)ds=Ht{tfi), (t=l,2).
к=0
(1. 3. 2)
Затем сделаем замену переменной s=^s в первом интеграле этого
выражения. Тогда первый интеграл в (1. 3. 2) принимает вид
1 |е	оо
е J £ A;(/,ve, У (ук	(v))	ек;
О L	кО
У (®к (ve)+/7K(v))e*) —
к=0
оо
—У
к^=0
оо
к=0
dv-f-
1	00	СО
+ Kt(J,S, У | VK(s)sK; У Wk (s)tiK —
О	к—0	к—О
(1. 3. 3)
Далее, совершая ошибку порядка е в верхнем пределе интегриро-
вания последнего интеграла, получаем
1S
00	00
У (^к (vs)+ Qk (*))ек;У (wK (ve)4-
k~0
00	00
4-/7K (v)^*) -^(/,ve; 5? (ve)sK; У U>K (ve)eK) Jrfv-{-
к=0	k=0
1	oo	ac
+ J Ki(t,s, У vK ек; У wk & ) ds, (t = 1,2).
О	к—0	k—0
(1. 3. 4).
Подставляем последовательно в правые части (1. 3. 1) соответствен-
но выражения (1. 3. 2), (1. 3. 4). Тогда правые части систем (1. 3. 1)
принимают вид
1	«о	оо	со
j Ki(t,S, У VK (s)eK; У wK {s)eK)ds Kl(t.se,
0	№=0	к=0	0
OO	CO	OO
У (vK (se)+ QK (S))e«; У](wK (se)4-/7K (s))sK)—Ki(t,ss, У t)K (se)e'e;
к—0	к=0	k=0
У wK(ss>K)
k—0
(1. 3. 5)
Теперь отнимаем и прибавляем в (1. 3. 5) соответственно выражения
оо	00
at ( Z>	^wK(t)eK;HK
к=0	к=0
Тогда правые части (1.3. 1) состоят из двух слагаемых
-	( t, У vk (t)^- V wk	(О (1.3. 6>
к-0	k=Q>
16
00	оо
ai (j' <Z)sK; У Wk №K'Hi j^Gile №
к=0	k=0
(1. 3. 7)
Заменяем t=ve, в выражении (1. 3. 6), получаем
GO	00
a^e, У (те)+ Qk (t) ^e'e; У (WK (те)4-/7к (t) eK,	—
к=0	k=0
	00	00
—1	f те, У гд (тг)е*; У (wK (те)ек,Я/-(те,е) =Gtos (те).	(1. 3. 8) к=0	к=0
Тогда система (1. 3. 1) запишется в виде
00
S V'K (0 +~ ®'к
к—О
00
S1
&У к (t)+-n'K
к—О
(1. 3. 9>
в^С20е(те)+О81(^).
Далее каждое слагаемое правых частей системы (1. 3. 9) в отдель-
ности формально разлагается в ряд Тейлора по целым положитель-
ным степеням малого параметра е. Имеем
GKOe (^ = 0^ (0)+	+	+ _ + Ок08(0)^^+
(1. 3. 10)
где
<W0) = «K (Оа(О)+ Qo(t); wo(0)+/7o(t),ck )—
—ак (0,wo(0); wo(O),cK );	(1. 3. 110)
1
о
G'«06(0)= <w(0a(0)+ Qo('c); а’о(О)+/7о(т),ск )—
—«^(0,^(0),wo(O),cK)]T+fflK„(O,wo(O) + Qo(T);
^о(Р)+71о{х),ск )—аки (O,vo(O),wo(O)A )](г/о(0)т+^(0))+
+	(0,vo(0)+ Р0(т);т0(0)4-Л0(т),ск )—aKZ (0,vo(0),wo(0),cK )] X
17
X(u/o(0)r+w£(0))4-aw(0,«o(0)+Qe(T)^e(0)+/7o(T)A )П^)+
+акг ОШО) + QoW; <o)+Z70(z),Ck) q !(т);	(1. з. 11«)
(/)
<WO)=flK« (О.Ч>(0) + Зо(^);а>в(0)+Ло(т)А )^)+
+aKZ (0,M))+'Qo(t);wo(O)+^o(t),ck ) Qy(t)+
+SK/x)Q0,Q1......Q7-1(t)./70(x),^i(t),...,^/-iW);	(1. 3. lly)
SK/(t,..)—полином степени к относительно т с матричными коэффи-
циентами	Следует отметить, что явные
выражения функций SKj(^,...) являются сложными даже для у=2.
Однако для изучения качественных закономерностей общего асимп-
тотического процесса и оценок эти функции не вызывают больших
затруднений.
Далее разлагаем в ряды Тейлора вектор-функции GKS(/,e) по
>целым и положительным степеням параметра s. Имеем
00 (/)
GK (t,^GK (/,0)+	,	(к=1,2) (1. 3. 12)
/=1
тде
1
GK ((,0)=Цк (t,ve,w0^KK (t,s,v0,w0(s))ds);	(1.3. 12J
о
1
G'K (t,0) = aKU(t,vo,w0^KK (t,s,v0,w0(s))ds)v1(t)-j-
0
I
-j-aKg(t,u0,w0;	'^s,vo,™o(s))</s)w1(O+
0
1 1
+aKgK (1,VO,U!O;	(Z,s,v0,by0)tZs)j[^„(/,s,w0,w())n1(s) +
0	о
1	oo
НЛ9к (^,v0,w0; J KK (t,s,v„,w0)ds) [KK (/,O,vo(O)+ Qe(*));
о	о
18
w0(0)+/7o(.))-^ (^0AfO)A(0))]dv
(1. 3. 12a)
GK Ufi)=aKa(t,v0,w^, yrK (t,s,v0,w0(s)ds)vK (/)+
0
1
+aKZ (t,v0,w0; (t,s,vOiwo(s))ds)wK (/)+
о
1 1
+ aKqK (^o,®o; ^<K	(S) +
0	0
+/t;/AVoh (S)1^SH bKj(t,V0,...Vj_1,WQ,...,'Wj—1{t)),	(1. 3. 12y)
где bKj(t,v0,..	известные n и «-мерные векторы.
Явные выршения этих векторов сложны даже для /=2. Однако для
общих теоретических рассуждений и оценок настоящей асимптоти-
ческой теории нам достаточны общие закономерности разложений
нелинейных функций относительно малого параметра е.
Подставляем теперь (1.3.10) и (1. 3 12) в правые части системы
<1. 3. 9). Тогда правые и левые части системы (1. 3. 9) состоят из
двух степенных рядов по е, один из них содержит только т, а дру-
гой— только t. Отдельно приравниваются коэффициенты при е, со-
держащие т и t. Имеем
1
=й1(/,&о,д-о; ^Ki(/,s,v0,w0(s) ds);
0
I
O = a2(Z,vo,wo; \ Ks(r,s,t/o,Wo(s))ds);
(1. 3. 130
1
-^р-=а1и(Лц>Л<>; j Klats,v^w0)ds)vt{t)-i-a1g(t,...)wl(<t)+
о
1
0
00
+O19i(^’-	l^iu(/»O.l’o+Qo,a’o+/7(v))—ft’1(r,O,vo(O),“’o(O))]dv;
<>
19
^'0(^==^u(t,v0r...)v1(t)+a2z(t1v0, ..>1(0+«г?2(Л-)Х
1
X\[/f2W(^S^o,®oK'i(S)+/<Sz(^S/’o,®'o')K'i(-S’)l^s+
+^s(/,...)\ \K2(i,0,^(0) ф Со(>);«>0(0)+ад-
~ A^(^0,t»o(0),U\0))]4/v;
(1. 3. 132)

^0,®«)^(s)+/<1^(Z,SI7’0,№0)ijyy(s)]i/s4-
+fejy[/,w0,wl(Z),...w/_l; W0,a’1,...O'/_1(/)];
w/?_i(Z) = a2M(Z„..)vy(0+a2i;(^-)®y(0+ai9t(^.../.
1
X ^[A’au(Z,s>o0,a’o)y/(s) + KSz(t,S,V0JW0)Wj(s)jds+
и
+MZ’woA(O..........(1. 3. 13/)
l
где ?/= J Ki(t,s,v^$),w0(s))ds.
о
Системы интегро-дифференциальных уравнений (1. 3. 13J,...,
(1 3. 13/) в дальнейшем называются системами уравнений в ва-
риациях.
Определим теперь функции пограничных слоев из следующих
обыкновенных дифференциальных уравнений. Имеем
4^=0:
^к=ц2(0Х0) ф Q о(т) ;ш(О) + Ло(г),с2(0))
UT
«а(0,ц(0) ;w(0) ;с2(0));
(1. 3. 14х)
e1(O,u(O)+Qo(T)MO)+^o(T),<r1(O))^
—ах (0,ц(0),да(0) /-!(0));
20
mx)+aiz(O,...) Q ,(т)+[о2ДО,о0(0)+
+ Qo(^);^o(0)+77e('t)A(0))-fl2z(0,fo(0);^(0),c2(0))h+
+ [oiu(OA(0) + Qo;by0(0)+/70(-t),c2(0))- а2м(ОА>(О),10о(О),С2(О))]Х
Xlo'clOh-f-t^O)] -Ha2z(O,<yo(O)+ Q o('t);o’o(0)+
+^7o(T)>c2(O)) a2z(0,yo(0) ;t0o(O),cs(O)) ] X
X{t®,o(D)T-|-Wj(O)J>	(!• 3. 14g)1
— й1и(О. ••)^7/-1(’’:)+й1г(0,”-)О j—i 0е)+
+S1/—1(T, Qoi Q !»•••, QJ—2',^e,‘.;I7jf—2(X))i
dfli
fl[T —й2и(0,....)/7у(т:)4-а2г(0,..,) Q/(i) +
(1. 3. 14y)
Таким образом, если бесконечная система векторных функций
,Wj (OL-Jt'XO ,Wj(ty] удовлетворяет соответственно систе-
мам линейных интегро-дифференциальных уравнений (1. 3. 131),
(1. 3. 132),-- а система функций типа пограничных слоев
IQ о,Т7о]Д Qi,/7i],...,[ Qj,rij\—соответственно системам (1.3. 141),...,
О- 3. 14у), то ряды (1. 2. 1) формально обращают систему нелиней-
ных и.-д. у. (1. 1. 1) в тождество и удовлетворяют заданным на-
чальным условиям (1. 1. 2).
В следующих параграфах исследуются свойства членов асимпто-
тического ряда (1. 2. 1).
§ 1. 4. Системы нелинейных обыкновенных дифференциальных
уравнений пограничных слоев
В этом параграфе будут исследованы нелинейные системы обык-
новенных дифференциальных уравнений, называемые уравнениями
типа пограничного слоя.
Рассмотрим задачи Коши Qo(0)=O,/70(0)=f>2—аи(О) для системы
нелинейных автономных обыкновенных дифференциальных урав-
нений вида
rfQo(T) п
ск ’
=a2(°,t>(0)+ Q о(’)МО)+ВД;Са(О))-
—a2(0,u(0),w(0) ,с8(0)).
Первое уравнение этой системы с нулевым начальным условием
21
Qo(O)=O имеет решение Qo(t)=O. Тогда второе уравнение при-
водится к виду
=й2(О^(О);и»(О)+Ло(^с2(О))-а2(ОДО),®(О)^2(О)).	(1. 4. 1)
Правую часть системы (1. 4. 1) путем применения формулы Тейлора
запишем в виде
«2(0,&(0)Х0)+/Л>(т),с2(0))—аа(0,г<0),и>(0),са(0))=’
=а2г(0,п (0),w(0),c2(0))/7 оС0+
/72
+<W0,v(0),w(0)+e77o(t),Cs(0))	,
где
/7»
«2«(0^(0)>®(0)+@77о(^),ск (0))	=
— V ^(0.^(0).^(0) + 0/7о(т)>сг(О))77о;77ел.
—	дПч-дПОк
K,j=l
Тогда система (1. 4. 1) запишется в следующем виде:
-^-=а2г(О^(О)^(О),Сг(О))77о(.)+а2гг(О^(О),10(О) + 0Л2,С,(О))	.
их	2!
(1. 4. 2)
В этом параграфе исследуется асимптотическая устойчивость реше’
ний системы (1. 4. 2) с начальным вектором
/7о(0)=£а-и>(0).	(1. 4. 3)
Здесь рассматривается сильно нелинейный случай, когда интег-
ральные члены не находятся на собственном значении. В случае,
когда интегральные члены находятся на собственном значении, воз-
никают различные явления. Такие проблемы исследуются в следую-
щих главах настоящей книги.
Пусть в некоторой ограниченной области D изменения аргумен-
тов векторов «1 и а2 вещественные части всех корней
=1,2,...,т) алгебраического уравнения
1
detQEm~a2z(t,v0,w0;	K2(^s,&o,^o(s))^):=:O.	(1. 4. 4)
о
отрицательны. Это требование является одним из основных требова-
ний рассматриваемой здесь асимптотической теории. Характерные
особенности, когда некоторые корни X/ имеют положительные ве-
щественные части, будут изучены в следующих главах работы.
Так как вещественные части всех корней Xz(/)(i=l,2,...,/n) урав-
нения (1. 4. 4) отрицательны, то существует положительное посто-
янное число а такое, что на сегменте [0,1] справедливы неравенства
Яее/1Д0<-2а<0.	(1. 4. 5)
22
--одвенствами типа (1. 4. 5) воспользуемся во* многих разделах,
s местах развиваемой здесь теории.
Займемся теперь непосредственным исследованием' экспонен-
иально асимптотической устойчивости решений системы! (1. 4. 2).
С этой целью приведем некоторые сведения из известной? теории!
устойчивости движения по Ляпунову.
Идеи метода А. М. Ляпунова об устойчивости являются уже
классическими. Пусть
1) 7Г0(т) = [77о1(т),...,/70/и('т)];
2) У(/70)=У(/701(г)..77ои(т)),
•;е V(/70)—некоторая дифференцируемая функция переменных
*741....,/70те в некоторой вполне определенной области Д. Функция
1"|77О) дифференцируема в силу системы (1. 4. 2). Ее производная
по аргументу т определяется в виде
xv Vi dV Г	ГР 1
-5T=2j "7То7 *ОПо+а2гг(0Д0),Н0) + епв>С2(0)) - 2^1, (1. 4. 6)
К=1
где Р=а2г(0,€>о(0).дао(0),с2(0)).
Из формулы (1. 4. 6) вытекает, что производная от V по т зависит
от решения системы (1. 4. 2). Эта производная однозначно опреде-
ляется выбором пространственной векторной координаты л0.
Пусть <р(/,£)—решение автономной системы (1. 4. 2). удовлетво-
ряющее начальному условию
Ф(ОЛ) = 5.
Тогда вектор-функция удовлетворяет тождеству
<Р(^<Р($Л))в<К$+*,О-	(1’ 4- 7>
В самом деле, предположим, что
<Pi(0=?(^7J)	(1- 4. 8)
удовлетворяет системе (1. 4. 2), где ?3=<p(s,6), tj—фиксированное
число. Так как <р(/,§) по предположению удовлетворяет системе
(1. 4. 2), то функция
в силу автономности системы (1. 4. 2) также является решением
системы (1. 4. 2).
Так как
<Р1(О)=<р(О, '»])=»],
ф2(0) = <р(«,£)=»],
то решения <pi(/) и ф2(0 имеют общие начальные данные. Поэтому-
в силу единственности решения системы (1. 4. 2) он» совпадают.
Равенство (1. 4. 7) доказано.
Функцию
т
КПо)= S аИпйП<Г	0. 4. 9}
i,j=l
23-
назовем функцией А. М. Ляпунова. Здесь предполагается, что
aij~aji—Действительные числа. Формула (1. 4. 9) является квадра-
тичной формой. Квадратичная форма У(П0) называется положительно
определенной, если при всех По=И=0 справедливо неравенство 1/(По)>О.
Отметим, что для любой положительно определенной квадратичной
формы У(П0) всегда существуют положительные постоянные р и a
такие, что для любого произвольного вектора По справедливы не-
равенства
Р I! По II 3 <Г(П0)<а || По II 2.	(1. 4. 10)
В самом деле, предположим теперь, что произвольный вектор при-
надлежит единичной /и-мерной сфере
и е н =/е2ж28+...+^=1.	(1.4. п)
Сфера (1. 4. 11) является замкнутым ограниченным множеством.
Рассмотрим на сфере (1. 4. 11) значение функции V(^) = V(B1,...,!W),
где она непрерывна. Поэтому в (1.4. 11) эта функция достигает
своего максимального и минимального значений. Пусть
max]/(t)=a,	V^)=12V(B).
Так как все векторы 5 в (1. 4. 11) отличны от нуля, то числа р и a
положительны. Поэтому на сфере (1. 4. И) справедливы неравенства
Н<Ие)<0.	(1. 4. 12)
Пусть Пс—произвольный вектор. Тогда существует число X
такое, что
П0='Л, где Х= || По II .	(1. 4. 13)
Из (1. 4. 9), (1. 4. И) и (1. 4. 13) вытекает справедливость нера-
венств (1. 4. 10).
Рассмотрим укороченную линейную систему
-^2-=£>По(т),	(1. 4. 14)
причем все собственные числа матрицы D имеют отрицательные
действительные части.
Теорема 1. 4. 1. Если все собственные значения матрицы
D имеют отрицательные действительные части, то существует поло-
жительно определенная квадратичная форма ^(По), полная производ-
ная которой в силу системы (1. 4. 14) удовлетворяет неравенству
-^г^-^По)-	0- 4- 15)
где По—— произвольный вектор, ₽— положительное постоянное число,
не зависящее от вектора По.
п
Доказательство. Пусть <р?,£)= У, ^(т)—решение ли-
i=l
нейной системы (1. 4. 14), удовлетворяющее начальному условию
ф(0,8)=1.
24
Тогда в силу условий теоремы существуют положительные по-
стоянные числа а и К такие, что выполнено неравенство
II <р(т,Е) II II В И.	(1- 4. 16)
Построим теперь функцию А. М. Ляпунова в виде
т	со
(<Р^),<Р/(^))^.	(1. 4. 17)
i,/=l	О
Так как функция <р(т,Е) удовлетворяет неравенству (1. 4. 16), то все
несобственные интегралы, стоящие в правой части (1. 4, 17),
сходятся. Следовательно, И(|) является квадратичной формой относи-
тельно вектора С другой стороны, выражение (1. 4. 17) запи-
шется в виде
J || т(тЛ) II 2^ = J и У^дрЯт) II
О	о i=l
т	оо
= S fcv (^);<Р/(’))^.	(1. 4. 18)
i,j=l	О
Так как £=^=0, а подынтегральное выражение из (1. 4. 18) положи-
тельны, то построенная квадратичная форма является положительно
определенной,
ЧО>о.
Вьиислим теперь производную от функции 1/(П0) в силу системы
(1. 4. 14).
С этой целью вычислим производную от V’(?('c,l)). Так как
в силу (1. 4- 7)
<р(м(тЛ))=<р(«+тЛ).
ОО	СО
V(<p(c,B)) = j || a(s,<p(t,E)) || 2ds= j || <?(^+$Л) В 2ds—
О	т
оо
= н <р($Л) и
О
ТО
4- Ц<р(-Л))	=	f II <р(*Л) II *ds
ил	т=0	UT 1
т
=— Il <p(sO II2
25
В силу второго неравенства (1. 4. 10) имеет место неравенство
Следовательно,
Теорема доказана.
Теорема 1. 4. 2. Пусть вещественные части всех собственных
векторов >i,X2,..,km матрицы D имеют отрицательные действительные
части. Тогда существует достаточно малое положительное число
8>0, такое, что при || По(0» || = || b2—wo(O) || <8 при всех />0 для
решения задачи Коши По(О)=Л»2—wo(O) системы (1. 4. 2) справедливо
неравенство
II П0(т,62— wo(0)) || < || &2—МО) II Ке
где К и а — положительные постоянные, не зависящие от b2~wo(0).
Доказательство. Пусть 1) 1/(П0) функция А. М. Ляпунова
для системы (1. 4. 14); 2) система (1. 4. 14) получается из системы
(1. 4. 2) отбрасыванием остаточных нелинейных членов -^-а2г(0, о0(0),
3) 1Л-4.»(П0)—положительно определенная квадра-
тичная форма. Тогда полная производная функции 1Л.4.2 (По) в силу
системы (1. 4. 2) имеет следующий вид:
т	т
S^WW0),®e(0)+
i,/=l	i,j=l
п
+e/70)-^-	<w(0,M0); M0)+e/7e)
1=1
n
<-PV(Z7o)+ J] а/8гг(ОМО),МО)+0/7о)4т- 0- 4- 19>
L/a i	X [
i=l
Так как квадратичная форма V(/70) удовлетворяет неравенствам
(1. 4. 10), то существует достаточно малое положительное число
а такое, что при
V(770)<c	(1. 4. 20)
вектор По не выходит из области А. Вектор-функция о222(0,г/0(0),
Z72
<^о(0)+6/7о.с2(0))	----непрерывная функция. Поэтому она огра-
ничена в эллипсоиде (1. 4. 20). Следовательно, в эллипсоиде
(1. 4. 20) справедливо неравенство
II й2гг(О^(0)М0)+е/7о,С2(О)) -^5- || <К0 || П„ || * <	У(/70),
(1. 4. 21)
26
где /Со~ некоторая положительная постоянная. Отметим, что так как
производные	, входящие в неравенства (1. 4. 19), являются
линейными функциями относительно П01,...,/70/и, то справедливо не-
равенство
1
ТОТ? <K~V2(/7o),	<1- 4- 32)
где Koo— некоторая положительная постоянная.
Рассмотрим выражение
п
а1ггг{0Л(О),шо(О)+еПо) ,	(1. 4. 23)
i=l
на основании неравенств (1. 4. 21), (1. 4. 22), при выполнении
(1. 4. 20) из (1. 4. 23) вытекает неравенство
3_	2
II TVII <2^0. V2 (770)=<zV 2 (По),	(1. 4. 24)
где
Подберем теперь положительное число b так, чтобы выполня-
лись неравенства:
1) с<а, 2) V(770)<c, 3 )^с2-<-|-.	(1. 4. 25)
Тогда из неравенств (1. 4. 19), (1. 4. 25) вытекает неравенство
С----1 у(/7о)=_2а V (По),
(ГС	Z
(1. 4. 26)
где 4а=р.
Пусть II I—внутренняя точка m-мерного эллипсоида 17(!)<с, 2)
<р(тЛ)— решение задачи Коши <р(О,Е)=! для системы (1. 4. 2). Тогда
функция ю(т)=V(<p(c,8)) определена при всех ОО и при
удовлетво ряет неравенству
ю(т)^—2аг£)(т).	(1. 4. 27)
Нетрудно показать, что неравенство (1. 4. 27) выполнено для всех
О0- Следовательно, для всех ОО функция вполне определена.
Тогда из неравенства (1. 4. 27) вытекает неравенство
i»(?)=v(<p(T,i))<v(e)e 2а\
Из этого неравенства на основании (1. 4. 10) вытекает
II <р(тЛ) II а<— IIЕII2 е
для всех векторов I, удовлетворяющих неравенству	Предпо-
27
ложим теперь, что начальный вектор	“’o(O) подбирается на-
столько малым, чтобы выполнялось неравенство
II Е II = II bt-wo(0) ||	.	(1.4. 29)
Тогда из неравенств (1. 4. 10) и (1. 4. 29) вытекает
И V(E) || <с.
Таким образом, если справедливо (1. 4. 29), то при всех т>0 спра-
ведливо неравенство (1. 4. 28). Извлекая квадратный корень из
обеих частей (1. 4. 28), получаем
II <р(*,Е) И = II П0(х,1) || = || П0(х,Ьй—wo(0)) || <Яо || b2- wo(0) || е,
..	-г	(1- 4. 30)
где «0=1/_________Теорема доказана.	'
V и
Формулой или неравенством типа (1. 4. 30) мы будем пользо-
ваться при изучении качественных свойств решений линейных урав-
нений относительно остальных членов fry.aiy], [Q/,77y], / = 1,2,..., асимп-
тотического ряда (1, 2. 1).
§1.5. Исследование структурных особенностей первых линейных
членов асимптотического разложения (1. 2. 1)
В этом параграфе исследуются линейные члены асимптотическо-
го разложения. Ранее была установлена асимптотическая оценка для
решений нелинейного уравнения пограничного слоя в виде
II II В ^2—аи(О) Ц е	, где т=~.	(1. 5. 10)
В этом параграфе будем пользоваться этим неравенством. Рассмот-
рим систему линейных интегро-дифференциальных уравнений
(1. 3. 13). В правой части этой системы имеются слагаемые вида
1	СО
aKqK	(/,$,Ц0($),1Д($))Л?)Х JiKk (/,0,цо(0)+
0	о
+Qo(’);t0o(O)+/7(x))-KA. (/,0а(0),ш0(0))]Л	(1. 5. 1)
соответственно. Несобственные интегралы, входящие в (1. 5. 1),
сходятся. В самом деле, имеют место неравенства
II Кк (ЛО,цо(О);10о(О)+/7в(т))-^ (^,0,^(0);w0(0)) fl <
< II ^(^.0,^(0);wo(O)+0/7o(t)) || || П0(т) || ,	(1. 5. 2)
где О<0<1, Qo('t)=O.
Так как вектор-функция 770(т) удовлетворяет неравенству
(1. 5. 10), а матричная функция А'л.г(/,О,цо(О),10о(О)-|-077()(т)) равно-
28
ерно ограничена для всех векторов П0(х), удовлетворяющих нем-
равенству типа (1. 5. 10), то из (1. 5. 2) вытекают неравенства
II Кк GJW0); и’о(0)+/7о(т))—Кк (Л0,М0),!Д>(0)) || ^Кве,
где
II KK2(t,0,vo(O)-,wo(0)+en0) || <Л\=const.
AiK || ^2—u'o(O) 11 = Ко—const.
Следовательно, для несобственных интегралов в (1. 5. 1) справед-
ливы следующие неравенства
1	СО
II aKqK (^г'оД'о; Кк (t,s,v0(s),w0(s))dsX	|| Kz< (/,О,го(0);шо(0)+
0	о
со
+ /70(т)— Кк (/.О.цдОХо^О)) || dx) !| <AfA0J е dx^
о
-1
^7И/(оа	—с0= const,
где
II aKqK (Л^о.ы'с,.-.) II <ЛТ=соп§/.
Таким образом, правые части системы линейных инте! ро-диффе-
ренциальных уравнений (1. 3. 13g) являются вполне определенными
вектор-функциями Займемся теперь более конкретным исследовани-
ем этой системы. Первое уравнение (1. 3. 13г) является интегро-
дифференциальным уравнением, а второе — неоднородным интеграль-
ным уравнением типа Фредгольма. Для полного решения этой систе-
мы следует задавать начальное условие для вектора vt(t) следующим
способом. Было показано, что Qi(0) =—гДО). Однако для вектора
Qi(0) не было указано начальное условие. Для того, чтобы задавать
начальное условие для Qi(x) или для v^t), рассмотрим первое урав-
нение системы (1. 3. 14д. Это уравнение имеет вид
= й1(0,мО);^о(0)+До(^),с1(0))-а1(ОА(0)м(0),с1(0)).
Правые части этой системы являются известными функциями. Поэто-
му, интегрируя это уравнение в пределах от 0 до т, получаем
т
Qi(x) = Qx(0) + Jlai(0,o0(0);u>0(0)+/7o(T),Cl(0))- ^(0,^(0),w(0),q(0))l<fc.
о
(1. 5. 3)
Зададим теперь начальное условие для вектора Qi(0) в виде
ОО
Qi(0) = - J [й1(0,ц0(0);ьу0(0)+/7о(х),с1(0))—
6
29
(1. 5. 4)
Правая часть выражения (I. 5. 4) является известной функцией.
Кроме того, несобственный интеграл, стоящий в правой части, явля-
ется сходящимся. В самом деле, имеем
II «1(0,Оо(0),®о(0)-Ь/7о(т:);С1(0))—й <
< В a^Ofio^w^Oj+en^Q)) || II/70(т) || <714!^,	(1.5.5)
где
II <2i^(0,fo(0),t£>o(0)+G/7,Ci(0)) || <7И =const;Ml=MK.
Попутно отметим, что из (1. 5. 3) и (1. 5. 4) вытекает равенство
ОО
Qi('c)=— [О1(0л’0(0);<зу0(0)4-/70(5)1с1(0))—г/1(0,<Уо(0),ьУо(0),с1(0))1Л.
(1. 5. 6)
Так как подынтегральное выражение удовлетворяет неравенству
(1. 5. 5), то из последнего неравенства вытекает неравенство
ео
II QiCO II II «i(OA(0);tw0(0)+/70(s);c1(0))-o1(0,Vo(0),™o(0)A(0))l|ds<
г	—as	—1 —ат	—ат
\ ds=Mxa е = ./И3ое ,	(1.5.7)
т
-1
где Л110=7И1а =const.
Равенства (1. 5. 4), (1. 5. 6) и неравенство (1. 5. 7) будут ис-
пользованы для исследований и оценок решений следующих линей*
ных членов асимптотического ряда (1.2. 1).
Таким образом мы полностью определили начальные данные для
вектора t>i(O) системы (1. 3. 132). Из равенства (1. 5. 4) видно, чго
t»i(0) выражается с помощью несобственного сходящегося интег-
рала (1. 5. 4).
Прежде чем рассмотреть вторую систему из (1. 3. 14t), мы
исследуем линейные системы интегро-дифференциальных уравнений
(1. 3 132). С этой целью второе уравнение (1. 3. 138) запишем
в виде
—1
w1(l)=a2z (/,t'e,...){a/0(0-a2u(<,t'o,..-)t'i(0—
1	со
—Й»92(*>Ц).-)^ ^2И(ЛФ1^+а292(Л^о—)1^ №(/,0,^(0 );Цд°) +
о	о
1
+/7o(v))-M^O,v0(0),w0(0))]tZv)	+	.(1.	5.	8)
о
зо
По предположению, на сегменте [0,1] вещественные части всех ха-
рактеристических чисел Xz(/)(/=l,2,...,wi) матрицы a2z(f,v0,u>0;
о
zb,iz'o)ds отрицательны, поэтому
detazzUyVe,...)^
на сегменте [0,1]. Систему линейных матричных уравнений (1. 5. 8)
рассмотрим формально как линейное неоднородное матричное урав-
нение относительно w^t).
Будем говорить, что непрерывное матричное ядро a2z
XK2z(t,s) удовлетворяет условию (S), если однородное матричное ин-
тегральное уравнение
Г —1
\«2z a2gjt,vo,.
о
..) Kzz(t ,s,v0,w0)wL(s)ds
имеет единственное решение wL(t)s=0, т. е. матричное ядро не на-
ходится на спектре. Пусть 1) ядра a2z (t,v0,w0, J K2(t,s,v0.w0)ds)K2z(t,
о
s,v0,w0) на сегменте [0,1] удовлетворяют условию (S); 2)Ri{t,s)—ре-
зольвента этого матричного ядра.
Тогда на основании теорем Фредгольма неоднородное уравнение
>(1. 5. 8) имеет единственное матричное решение
а»»(0=
-1
RiU,s)a2z(s,...)	-
1
\a2gtK2u(t,sl,...)vl(si)dsi}ds+
о
1
о
Пусть
-1
b^2z

(1. 5. 9)
—1
R»^,s)=Ri^,s)a2z (s,---)[^2m(s>---)4-
i
azq2(h — ’) ^8«(^,v)^v)]
0
-1
a2Z (J f'fatqzitf — )	i
—1
2) f(f)=—a2z {w'o(/)4-
00
J «2?2(Л...)[ ^2(/,OA(O),t<yo(O)-i-/7o(v))—
0
r	-1	?
—,™o(0))]rZv}+ \Ri(i,s)atz (—I2/O(s)+ \ a2q2(s,...)X
о	о
31
X [Ш»о(0) A'o(0)+Z7o(v))-Я2(/,0,М0), a/o(0)lrfv|.
Тогда вектор wx(t) запишется в виде
*
И’1(О=—	«2Z (^-.)а»и(Ф1(0+К^)-	(1- 5- 10)
О
Пусть
1)	aiz(/,...)/?2(/,s)+ai91(^...)A’i£t(/,s,i'o,^o)—
- —1
— \Klz{hs,v^)R2{t,s)ds+K^t,s,vQfioo)atz (/,...)aSB(f,...)4-
о
+alqi(t,...)Klu(t,s,vQ,w0)-,
CD
2) f1(/)^a4i(f,...)j[AI„(A0,v#(0),a,0(0)+^o(v))-A1„(^0,v0(0),
О
1
®e(0))]<A4-aizf(/)+ ^alqi(t,...)f{iz(t,s,v0,w0)f(s)ds;
о
—1
S)A(t)=aiu(t,v0,...)-alza2z a2u(t).
Тогда, подставляя (1. 5. 10) в первое уравнение системы линейных
интегро-дифференциальных уравнений (1. 3. 19), получаем
1
-^^A^vM+^H^v^ds+fdQ-	(1- 5. 11)
о
Систему линейных матричных уравнений типа Фредгольма будем ре-
шать методом акад. А. И. Некрасова [226], [205], [15].
Пусть	1
1) £(/)=» ^(trfv^ds+fM)-,	(1. 5. 12)
о
2) ir(/,s)[U7(s,s)=A„]— фундаментальная матрица решений си-
стемы линейных однородных дифференциальных уравнений вида
-^-=A(/)y(f).	(1. 5. 13)
Тогда система линейных интегро-дифференциальных уравнений
(1. 5. 11) приводится к виду
0)^(0)+ ^W(t,s)F(s)ds,	(1. 5. 14i)
о
32
—I
ле W(/,s) = JF(£)W (х^г'ДО)—вполне определенный л-мерный век-
хо. явное выражение которого дается формулой (1. 5. 4).
Подставляя (1. 5. 14t) в систему (1. 5. 12), получаем линейное
ггегральное уравнение
Г г -1
F(t)= \	\ W)W ^F^ds^s+Uty,
о	о
(1. 5. 14а)

1
^H2(/,s) W?(s)t'1(O)tZs.
О
меняя формулу Дирихле в интегральном члене, систему линей-
Аал интегральных уравнений (1. 5. 14а) запишем в виде
1
F(0=
о
(1. 5. 14г)

(sjd’s.
«1
Теория систем линейных интегральных уравнений типа Фредгольма
(1. 5. 143) окончательно разработана самим Фредгольмом и его по-
следователями [2891, [270], [287], [286]. Предположим, что ядро
не находится на спектре. В настоящей главе излагается
асимптотическая теория систем нелинейных интегро-дифференциаль-
ных уравнений, когда ядро в интегральном члене не находится на
собственном значении.
Пусть /?2o(/,s)— резольвента ядра	Тогда решение системы
линейных интегральных уравнений (1. 5. 143) запишется в виде
1
F(t)=fs(f)+ Rzjt^hisjds.
о
(1. 5. 15)
Подставляя (1. 5. 15) в систему (1. 5. 14х>, получаем
решение системы (1. 3. 14) в форме
окончательное
1
W(^0)vx(0)4- J W,s)f8(s)tZs4-
о
t	s
+ W(t,s) ^R2o(s,v)dvds='?i(t)-
о о
(1. 5. 16)
3* 2790
33
Правая часть (1. 5. 16) является непрерывной функцией на сегменте
10,1]. Поэтому она ограничена в этом сегменте. Имеем
t
1|Ф1(^) II < II W)fi(0) II +J II W(t,s) и || ft(s) и ds+
о
(1. 5. 16')
t	I
4- II W(t,s) || j || /?2(s,v) || || f2(v) || dvds^M=const.
о	о
Подставляя (1. 5. 16) в систему (1. 5. 10), получаем явное выраже-
ние для а именно:
1 1
О
Xw№+f(t)=w10(f).	(1. 5. 17)
Правые части (1. 5. 17) являются известными непрерывными функ-
циями на сегменте [О, 11. Поэтому wjt)— известная вполне опреде-
ленная непрерывная функция на сегменте [0, 1]. Имеем
.1
Г	~1
II IK \ II Rt(t,s)<pds) ч <&+ II «и (Л--)«ЗМ(/,...)Х
о
II + II f(t) II <М = const.	(1. 5. 17')
Определение функции П101х). Так как /71О(0)=—WjfO), а
-нуДО) полностью определяется из равенства (1. 5. 17), го начальное
условие для П10(т) задается формулой (1. 5. 17) при 1=0.
Пусть
П10(х)=аяг(0,по(0) ;®о(О) ф-Ло(т),са(0))О1(т) ф- [ааДО,ио(О),
^о(0)+/70(т),с2(0))—М0,п0(0),ау0(0),сг(0))]т4-[а2ц(0,оо(0);
©о(0)+77о(^.са(0))-аам(0,По(0),и0(0),сДО))](и'0(0)т+п1(0))+
+ [a2z(0,fe(0);^(0)4-/7e(T),c2(0))-73z(0,no(0),’jy0(0),c2(0))]X
X[w'o(O)t: 1-10Д0)].	(1. 5. 18)
‘Из изложенного выше следует, что правые части (1. 5. 18) являют-
ся известными функциями. При этом при всех х>0 для вектора
П10{х) справедливо неравенство
II /710(т) || < || aiZ<0,...-) || II Qt(T) || + || a2tz{0,...yno{x) ц ф-
+ II Й2Кг(0,...)Пе(т) И || и'о(0)т4 иДО) h + || пггг(0,...)/7е(т) И X
X II а-'в(0)т+илД0) II ,	(1.5.19)
34
где aitg, а2иг, aizz имеют средние аргументы вида (0,ио(0);ы)0(0)4-
Вк 77о(т),с2(0;)(«= 1,2,3) соответственно 0<©д. <1.
На основании неравенств (1. 5. 1), (1. 5. 7), (1. 5. 16), (1.5. 17)
имеем, что
II 7710(т) || < || ^-№„(0) II (Me “T4-Al(t+I)e “Т)=||&,—
-wo(O) || М(х+2)е,	(1. 5. 20)
где
М—тах\ || а2г(...) || || aitz(0,...) || К; II a2uz(0,...) 8 ,
К II v'e(0) Н ; 11~а2гг(0,...) || К; || и>0(0) |1; II ^(0) || ].
Неравенство (1. 5. 20) запишем в виде
ат	а	а
~ 2~	~ ~2Т	—
II 7710(т) ||	(М(х+2)е	)< II b2—|| Mte , (1.5.20')
где
а
“ ~2 т
7W(t-|-2)c ^Ml==const^.
Последнее неравенство для удобства дальнейших выкладок, совер-
шая некоторые .ошибки**, запишем в виде
II 7710(т) и <714,6?
Общая асимптотическая теория от этой замены не нарушается
(смотрите статьи [28], [29], [30]). С учетом (1. 5. 18) ьторое урав-
нение (1. 3. 14) из § 1. 3. запишется в виде
=-«2г(0,г'0(0);ш0(0)4-/7о(т),с2(0))/71(т)+771э(т). (1. 5. 22)
Начальное условие для этой системы определяется из равенства
(1.2.6) при /==0
77,(0) = —04(0).
Имеем
dih
-J—=«»г(0.г’о(0);®о(0),с2(0))771(т) + a2ZZ(0,vo(0);wo(0)+
+еПо,с2(0))П0(х)П1(х)+П10(х),	(1. 5. 23)
где 0<6><1. Система линейных дифференциальных уравнений
(I. 5. 23) приводится к системе линейных интегральных уравнений,
которая является наиболее удобной для исследования:
Dt	г D(T—8)	~
7?'1(т)=.е w,(0)4-U	[7710(s) + а2гг(0,ц0(0);йУо(0)+©770,с2(0))Х
----------- о
* Здесь и в дальнейшем в оценках указанного типа все постоянные обознача
ются одной буквой.
35
Xno(s)77j(s)]<fc.	(1. 5. 24)
Так как вещественные части всех характеристических чисел X/
<»1,2,...т матрицы D=aaz(0,t»o(0),^o(O);ca(0)) по предположению отри-
цательны, ReeDi<_~ 2а<0, то для фундаментальной матрицы expDt
системы обыкновенных дифференциальных уравнений y'?=Dy прн
всех <>s>0 справедливо неравенство
—а(т—S)
|| expD(x—s) || <Яе	,	(1. 5. 25)
где К— некоторое положительное число.
Систему линейных интегральных уравнений. (1. 5. 24) будем
решать методом последовательных приближений Пусть 771о(т)=О,
D-	г D(t—s)
Пу(т)=е 2^(0) +	l/7i0(s)+
о
+a.zz(O,...)Z7o(s)/7iy_1(s)]ds (j= 1,2,...).
Имеем
||	II <JКМ*е “ Т \ “ ds II //^(т)- 771у_а(т) II <
0
<Л7И®(ф II Пу-1(т)—/71у_а(т) II <тЛГге	|| П1/-1—П1/-а II,
где
Тогда
т
—ат г —-а{т—s) — aS
1) II nv— Пю(0 и <Мое +\Л>	ds=(M0+
о
—ат	—ат
а	а
где 7И0(1 + Кт)е	< М00е
2) II П1а-Пп(т) ||	2’Т; I П1Л.(х)-П]к_1 (т) ||	™
Отсюда вытекает, что при всех построенные последовательные
приближения сходятся абсолютно и равномерно.
Имеем
1	—а
II П1/(г) || < £ || П1г(х)-П|Г_,(т) || <|Ж(кт+1)е “ +
Г=1
—2st	j — 1 j —jar	—ат	—ат
4-т1/И2е	-(-...л М е ]=^Ме [l-f-te 4-....
36
f—1 ]—\ —(f—1)ат	— at —at
M e ]<2Л1е	<7И1в	,
’ie Л1^>2Л1. Следовательно, при всех ^0 для вектора П1(х) спра-
ведливо неравенство
II	ПЛт) || <7Ие а\	О- 5- 26>
~аким образом, первые линейные члены асимптотического разложе-
*- полностью нами исследованы. Следует отметить, что линейные
-..сны асимптотического разложения решаются, сравнительно проще
тем исходное уравнение. Действительно, в этом параграфе полностью
еделены вектор-функции [оДЛ; &У1(^)ЛП1('г); Qit1)]. Таким of ра-
зом, нами доказана следущая
Теорема 1. 5. 1. Если 1) матричная функция
1
-1	г
fliz (t,v0(t),w0(ty, \K2(i,stv0(s),wo(s))ds)Ktz(t,s,v0(s),w0(s))
о
удовлетворяет условию (S); 2) матричное ядро	из (1. 5. 14)
не находится на спектре; 3) вещественные части всех характерис-
тических чисел матрицы
1
«2z(0,t’o(O),«'o(0), jA'8(O,OA(s),wo(s))ds)
о
удовлетворяют неравенствам
ReelA;<_— 2<х<0 (i— 1,2,...,/и),
где а— некоторая положительная постоянная, то задача Коши для
системы линейных ннтегро-дифференциальных уравнений (1. 3. 131)
имеет единственное непрерывное решение, а для задачи Коши си-
стемы обыкновенных дифференциальных уравнений пограничных
слоев (1. 3. 141) при всех т>0 справедливы неравенства
II П/t) Ц Z || Qi(x) ||
где М—const.
§1.6. Исследование вторых линейных членов
асимптотического разложения (1. 2. 1)
В этом параграфе исследуются вторые линейные члены асимпто-
тического разложения. Будут определены вектор-функции [о2(^);
и |Qs(t); П2(т)].
Из общего асимптотического разложения (1. 3. 13) запишем ли-
нейные системы интегро-дифференциальных уравнений относительно
Имеем
37
1
X	«2(s)+^u(^s.-..)^a(s)Hs+^i2(0.
о
1
^1(0=а2и(Л-)®24-Л2г(Л-.>2(0+«298(^. •) ^{К2М(Л«,...)Х
о
Xt'2(s)4-tf2z(^s.-.J®2s(s)]ds4A(f,...),	(1. 6. 1)
где
ОО
М*)~“к<7к <t,v0,w0-,cK (0))j{[KKS(/,O,ue(0);wo(O)4-no(s))-
0
-^s(^.O,»o(O) ^o(0))Js+ [ WMWO W0)+ n0(s))-
-^«(^0,v0(0)^o(0))](®,o(0)s+t'i(0))+[K^(/,0.v0'0);©o(0)+
+^o(s))—Akz(/,0,^(0); ^o(0))](w,0(0)s4-^1(0))}tZs+
l
+aKq (t,V0,W0,CK (0))\[KKUU	(Л®»®о>^о1Х
к	J
0
X^i^CO+Kkzz (/.s^oMHil^+la,^ u(t,v0,w0,cK (0))vx+
fC
1
+ а,(.дкг(/„..>1] J[K,(;„(Z,s,...)‘fi(s)+K,(;z(/>s,...)w1(s)]rfs4-
o
+ttKUU (Л"-)'1,214"2а№й (tf')VlWl^~aKZZ (Si—)U>21 +
oo
+ {aKqiiU(t,...)vl-iraKqiill(t,...)w1(t)] J [K* (/,O,Vo(O),wo(O)4-
0
+По($))~Кк (/,®o(0)^o(0))]rfs.
Запишем теперь явное выражение уравнений пограничных слоев нз
(1. 3. 14/) при /=2. Эти линейные уравнения относительно [Q *(х)»
Па(т)] имеют следующий вид:
-^-=alu(0,..,)n1(T)+alz(0,v0(0)M(0)4-n0(T))Q1(T)+Si(T,Qo,no),
их
S1(x,Qe,no)=[au(0,t-n(O))a’o(0)+no(^)>r1(O))-au(O,Vo(O),w()(O),
G(0))h+ [ai«(0)Vo(0):^o(0)+ne(-t),c1(0))-a1£t(0,vo(0),^o 0),cx(0))] X
Х(о,0(0)т+О1(0))4-[а1г(0,оо(0)^0(0)+П(,'х)х1(0))-а140,оо(0),
^o(0),r2(0))](i2fo(0)t4-^(0));	(1. 6. 3)
38
4?~=a2M(o>-")Qa(x)+^^
где
5a(t,Qo,Q1,n0,n1)=[as/f(0,u0(0);u«o(0)+no(r)A(0))-
—«2«(0,Vo(0),wo(0),ca(0))]T2+[a2ZM(0,®o(0),®o(0)+n(,('t)^2(0))—
—a2fe(0,w0(0)^o(0),c2(0))][w,o(0)T4-v1(0)+Qi(x)]'t+[a2Z2(0,t>0(0),
^о(0)+Пв(т),са(0))—а^г(0,&о(0),адо(0),с2(0))][®У,о(0)т4-г2)1(0)—
—ni(t)]T4-[a2„/(0,®01w0(0)+no('t),C2(0))—a2MH0,f0(0),wo(0),c8(0))]X
X l(^,o(O?wi(O)J'c+ С1(1)] + [а2м(0,и0;ш0+П0(т),с2(0)) —
—a2u(0,v0(0),tt>0(0),ca(0))](v"o(0)T24-f/1(0}'t-|- Q i(x))+ [ааии(0,Фо,г2)0+
+По(*),са(О))—atozXO.Oo^o.^O^no^OJ-t-l-t^CO-l-QiC'OP-l-
H^szzCO.MO^WoCOj+noCtJ.c^O))— a2zz(0,t'o(0),^o(0),Cs(0))J X
Х^'о(О)'4-и1(О)+П1(т)]2-Н2[а2мг(0,Уо(0)м(О)+По(г)А(0))-
—+ Q iWlla'VOh+^iCO)^
-^(-tJJ + fa^XO.vJOJ.WoCOJ + noM.GCO))—a2zz(O,‘yo(O),wo(0),c2(0))]X
Х''[а’'(0)т4-г2)1(0)4-П1(т)1 + [ааг(0,г’0(0),шо(0)4-П)('с),с2(0)) —
—<3taz(0.»o(0), t®o(0),ca(0))] • [ay"p(0) й24-и/,(0) t-H>2(0) -(-ПДт)].
Исследуем теперь системы (1. 6. 1) и (1. 6. 3). Из явного выраже-
ния свободных членов этих систем видно, что свободные члены яв-
ляются сложными. При этом, чем дальше номера асимптотического
ряда, тем сложнее оценить и написать явные выражения свободных
членов уравнений (1. 13. 13у)	параграфа 1. 3- Однако ка-
чественные оценки для любого конечного номера не вызывают
особых затруднений.
Начальное условие для вектора о2(0) выражается через Qa(0) в
виде ®2(0) = —Qa(0) (см 1. 2. 4). Зададим для ОчО) следующее на-
чальное условие:
СО
Q а(°)=—j [«1В(0,о0(0);ш0(0)4-По1(г)А(0))П1(т)-Ь
+aiz(0,...)Q1(T)+S1(x,Qo>ne)l^.	(I. 6. 5)
Так как для векторной функции S1(x,Q0,no) при всех <>0 справед-
ливо неравенство
II SiC^eA) || < || а<г(0,о0,ш0+вП1,с2)П0(т) || т-ь
+ II aiBZ(0,...>no(T) || || ^(ОЬ+иЛО) || + И alzz(O,...)no II II a/o(0h+
+^i(0) II <Л1е aT,
39
а вектор-функция ПДт), Qi(-t) также удовлетворяют таким неравен-
ствам, то несобственный интеграл, стоящий в правой части (1. 6. 5),
сходится и имеет вполне определенное значение. Отсюда следует,
что начальный вектор для системы (1. 6. 1) полностью определен.
Кроме того, непосредственным интегрированием можно убедиться,
что вектор-функция
ОО
Q»(x)=— J [a1£t(0,vo(0),^e(0)4-no(v)c2(0))ni(v)4-au(0,...)X
X
(1. 6. 6)
является решением первой системы (1. 6. 3). Для вектора (1. 6. 6)
справедлива оценка
ОО
Л Q.M II < j I II «1«(0,...) II II rh(v) II + II alz(0,...) II || Qx(v) II +
4-1| Si(v,n0,Q0) ||	,
II Qs(t) II	(1. 6. 7)
Отсюда видно, что при т->оо вектор-функция Q2('c)~>0. Для полного
определения П2(т) требуется конкретно задагать начальные векторы
Па(0) ——и>2(0), а аи2(0) определяется как решение системы (1. 6. 1).
Займемся теперь исследованием системы (1. 6. 1). Нетрудно убе-
диться, что основная структура ранее исследованной системы отно-
сительно [fi,<^'11 точно совпадает с основной структурой системы
(1. 6. 1). Эти системы отличаются друг от друга только правой
частью. Поэтому для полного решения системы (1. 6. 1) применяют-
ся приемы из предыдущего параграфа. Здесь можно предполагать,
что решение системы (1. 6 1) найдено методом параграфа 1. 5.
Пусть вектор-функции
°2(0 = ЧР2|(^
(1. 6. 8)
^2(0 = Т2з(0
удовлетворяют системе (1. 6. 1). Так как П2(0) — — аУ2(0)=—фм(0)
точно определены, то для исследования второго уравнения погра-
ничного слоя (1. 6. 3) имеются вполне определенные предпосылки.
Основная структура системы (1. 6. 3) точно совпадает с основными
структурами системы уравнений пограничных слоев предыдущего
параграфа, а именно: с системой (1. 5. 23). Системы (1. 6. 3) и
(I. 5. 23) отличаются друг от друга только свободными членами.
Основная трудность в (1. 6. 3) встречается только при оценке сво-
бодного члена. Тем не менее он сравнительна проще оценивается
при всех <>0.
•В самом деле,
II S2(S Qo.Qi.n»,ПО II < II a2ttz || || По II т2+ || а2шг || || П, || X
Х( II II *+ II ox II)+ II Q1II + II «2<гг|| Н По || (|| а/01| ''+11^1(0)114-1| П»|| )*+
40
+ II Otutz II ( II 0'0 II *+ II II *+ II Q1II) II По И + И atuz | ( || v"0 II ts+
+ i »'i(0) II II Qi II) II По II + 11 ашиг || |l Пв II ( II c'o(0) II т+ II 0i(O) 11 +
+ II Q i II )8+ II a2zzz || || По II ( II ^+®’1(0)+П1(т) || )*+
+2 ,1 auuzz || || По II ( II 0'° II + II 0i(O) || + 11 Qi h )( И ^'o(O) II x+
+ II u>(0) II + II Пх(т) || )+ И a2ztz II i| По II tX
X( II w'o II *+ II &УйО) II 4-1| )+ || a2ZZ(O,Do;a'o+0no,<?a) || || По || X
—ат
X( II ®"o(0) II tWi(O) II т+ II к>2(0) II + II П1II	.
Следовательно, структура второго уравнения (1. 6. 3.) совпадает со
структурой ранее исследованной системы. Справедлива
Теорема 1. 6. 1. Пусть выполнены условия теоремы (1. 5. 1.)
предыдущего параграфа. Тогда система линейных интегро-дифферен-
циальных уравнений (1. 6. 1.) на сегменте 10,1] имеет единствнное
непрерывное решение, а для систем линейных обыкновенных диф-
ференциальных уравнений пограничного слоя (1. 3. 142)) при <>0
справедливы неравенства
I! Qa(4 II	; || Пг(т) II	.
§1.7. Исследование /?-т?го члена асимптотического разложения
Метод полной математической индукции
После того, как установлены основные закономерности первых
двух членов асимптотического ралложения, переходим к исследова-
нию общего случая.
Предположим теперь, что методом предыдущего параграфа для
любого натурального целого р вектор-функции [t>s(Z),tti3(£)], 1П3(т),
О. з(*)],-..Л®р-г(0.и>-2(0]51 Qp-s(T)> Пр_2(т)1 полностью определены.
Справедлива
Теорема 1. 7. 1. Для любого натурального р решения задачи
Коши для линейных систем интегро-дифренциальных уравнений
(1. 3. 13p-i) и (1. 3. 14р_i) соответственно с начальными данными
где
0,(0)- Qp-dO),
Qp—i(0)=	[°1м(0>”-)Пр—г(т)4-Л1г(0,...) Qp—з(т)4-
6
(1. 7. 1)
удовлетворяют неравенствам
И ®р_г(0 || -CM—const-, || II ^М—const.
И Пр_,(г) ||	“Т; || Qp_2(?) ||	(1- 7. 2)
41
где
М~ const.
В этом параграфе будет доказано, что для любого натурального
р справедливы неравенства типа (1. 7. 2). Пусть р—любое натураль-
ное число. Рассмотрим систему
1
о
1
№'p_a(/)==a2M(/,...)Op_i(/)+a2z(/,...)u)/,_1(/)+a29a(7) ^[K3u(/,s, ,JX
О
X®p-i(s'+K3z(/>s,...>p_1(s)]rfs+5ap_1(Z,D0,...D/,_3(/),u)0,...,azp_2(/)).
(1. 7. 4)
Здесь структуры векторных функций Ькр-.^,ой,...) определяются тем
же способом, что и для соответствующих систем предыдущих па-
раграфов. Начальные данные для этих систем задаются в виде
ор_1(0)=—Qp-i(0), {см. (1. 2. 4)).	(1. 7. 5)
Однако начальное условие (1. 7. 5) пока еще точно не определено.
Для полного определения Qp_i(0) будем рассматривать р—1-уравнение
пограничных слоев из соотношений (1. 3. 14у) при j—p~\.
Имеем
(1. 7. 6)
_^zL=atM(0,...)Q/;_1(-r)+a2z(0,...)np_1(-r)+P1p-1(T)Qo,...,Qp_.1,no,...)-
(1. 7. 7)
Начальное условие для Qp-Jt) задается в виде
со
Qp-i(O)=— j	..)np_3(s)4-alz(0,...) Qp_3(s)+Plp_3(s,...)]ds.
о
(1. 7. 8)
Тогда задача Коши для системы линейных интегро-дифференциаль-
ных уравнений (1. 7. 4) и системы дифференциальных уравнений
пограничного слоя (1. 7. 6) полностью определяется методом пре-
дыдущего параграфа.
Теорема 1. 7. 2. Пусть на сегменте [0,1] для любого натураль-
ного р справедливы неравенства
|| Vp_i(t) || ^M=const; || uy,_t(Z) || ^М—const, (1. 7. 9Д
а для любого имеют место неравенства
42
Н Пр-Дт) || <7Ие ЭТ; |] Qp_^) И	(1- 7. 10>
2з на сегменте [0,1] для всех О0 справедливы соответственно
главенства
II vp(t) II const; || Wp(t) || <^М—const; (1.7. 11}
Н Пр(т) || <7Ие || Qp't) || <7Ие	(1. 7. 12>
Доказательство. Рассмотрим систему линейных интегро-диффе-
тенциальных уравнений (1. 3. 13р). Правая часть этого уравне-
лат—вполне определенная вектор-функция. Начальные данные для
зектора vp(0) зададим в виде
vp(0)^-Qp(0)^~ J[e1„(0,...)np_1(-r)+«lz(0,...)Qp_1(-r)+
о
+Pip(bQi,...,Qp-i(^),n0,...,nr_i(t)]dT.	(1. 7. 13)'
“эгда р-тое уравнение из (1. 3. 13у) полностью определяется мето-
дами предыдущих параграфов.
Пусть
II Vplt) || ^M=const; || wp(t) || ^M=const.
Рассмотрим теперь систему уравнений пограничных слоев.
Имеем
со
QPW=-J[a1u(0,...)np_1(v)+nlz(0,...)Qp_1(v)+SJp(v,...)]^. (1. 7. 14}
Так как вектор- функции Slp(t, Щ-,,Qp-i) соответственно удовлет-
воряют неравенствам типа Ц. 7. 12), то из равенства (1. 7. 14)
вытекает неравенство
II Qp(z) II '^е	, М—const.
Рассмотрим второе уравнение пограничного слоя
^=a2M(0,...)Qp+e2z(0,...)np+S3p(-r,Q1,...np_1(T)).	(1. 7. 15}
Начальное условие для этого уравнения задается в виде
Пр(0)=—а>р(0),
а для вектор-функции 5зр(т,<21,...,Пр_1(т)) при всех ОО справед-
ливо неравенство
II SipKQb.-.np-iCt) II
то для решения задачи Коши Пр(0)=—Шр(0) системы (Т. 7. 15) при;
всех ОО справедливо неравенство
II Пр(т) || ^Ме .
Теорема доказана.
43:
§1.8. Некоторый вспомогательный аппарат
для дальнейшего исследования
В этом параграфе излагаются некоторые известные результаты
из теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым па-
раметром при старших производных. Сначала доказывается сле-
дующая известная лемма Левинсона
Лемма 1. 8. I. Пусть на сегменте (0.1] /пХ/п-матричная функ-
ция D(t) непрерывна, причем вещественные части всех ее характе-
ристических чисел МО *=1,2,.„,;п отрицательны, т. е. существует
положительное постоянное число а такое, что при всех 7=1,2,.,.,/л
на сегменте [0,1] справедливы неравенства
^е//,(/)<-2а<0.	(1. 8. 1)
Тогда на сегменте (0,1] при всех	для фундаментальной
матрицы решений We (/,s;[Ws (s,s) =Ет\ системы линейных диффе-
ренциальных уравнений с малым параметром при старшей производ-
ной вида
*-^- = О(/)у(0	(1.8. 2)
справедливо неравенство
--
(I We (t,s) (| <Ke
при всех где К—некоторая положительная постоянная, не за-
висящая от е.
Доказательство. Пусть выполнено условие настоящей леммы.
Тогда в работе (186] доказано, что при всех	на сегменте
[0,1] справедливо неравенство
I D(7)4(*-s)
I е
(1. 8. 3)
Б
где К—некоторая положительная постоянная. Запишем теперь систе-
му (1. 8. 2) в виде линейных матричных интегральных уравнений
D(Y)(7-s) t DM
~— 1 Г —
Wz (t,s)=e	+—J e	(£)(>)—£)(y)] IT£ (v,s)dv, (1. 8. 4)
s
где у—некоторый параметр, принадлежащий [0,1], где s,te[0,l].
Система (1. 8. 4) будет верной при у—/. Полагая ^—t в системе
<1. 8. 4), получаем
D/)(7—s)	t D(7)
------------------s----------------- I Г	m
WE----------------------------------------------+vV |D(v)-D(/)]V7e (v,s)ds.
s
Из этого равенства на основании неравенства (1. 8. 3) при всех
вытекает неравенство
44
—a(t—s)	t —2a(t—v)
.. ^8(^)1!<Ke S	+“J e e II ^(0 II II Ws (v?) 11
s
П. установкой
—(/-s)
zs(t,s)=e || We (t,s) [|	(1- 8. 5)
оследнее неравенство приводится к виду
t а
к г —г(^)
?е(Л8)’СК+ Е J
S
и r?(v)—D(J) II zE (y,s)dv.
(1. 8. 6>
Пусть при достаточно малом фиксированной е0 0<е<®0 верхняя гра-
т'4а положительной функции zs(t,s) ие превышает постоянного
«тела М, т. е.
max	const.
O<S,Z<1
Тогда из неравенства (1. 8- 6) при всех />s вытекает неравенство
t а
КМ (
7И<К-Ь—“— max \ е	II D(y)—D(t) II d>—
0<s,z<l J
s
max
0<s,/<l
a
II D(v)—D(t) II
(1. 8. 60
-J- max
II D(v)-D(/) || dv
K2M
*е+<^)КМ,
где в силу непрерывности функций на сегменте \t—]/е,/] во вто-
ром интеграле можем полагать, что || D(y) — D(/) || О(е), <о(е)->О
при е-»0.
Подберем е достаточно малым так, чтобы выполнялось не-,
равенство
К7И-77г
----ег
Б
+-(е)<у •
Тогда
7И<2К;
из (1. 8. 5) при всех t^s вытекает, что
45
II we (ts) I! <Ke
Лемма доказана.
Рассмотрим теперь систему линейных неоднородных интегро-
дифференциальных уравнений типа Фредгольма с малым параметром
при одной из производных вида
1
1^и(Л5)а(5)+
о
+W12(/,s)^(s)]rfs+fi(/);
1
е -^-=A2J(0G(Z)+j4s2(^(04-j[//sl(/,s)a(s)+
о
rH^,s)b(s)\ds\-f2(t)	(1.8. 7\
с нулевыми начальными данными а(0)=0; £(0)—0, где
1
^isU)^aiu(t,vn(t);w0(ty, ^Ki(t,s,v0(s),w0(s)yds);
О
Аг-2(0 = «гг(^"-)
(с теми же аргументами, что и функция Ад(£));
1
idnU,s)^alqi(t,v0(t),w0(ty, ^Ki(t,s,v0(s),w0(s))ds)Ktu(i,s,ve,w0)-
О
Hit(t,s)=aiq.{l,v0,..,)Kiz(t,s,v0,w0),
г=1,2; h и fa—известные п и /я-мерные векторы соответственно.
Пусть
1
?к (0=А	(№1,2).	(1. 8. 8)
о
Тогда система линейных интегро-дифференциальных уравнений
(1. 8. 7) формально записывается в виде системы неоднородных
обыкновенных дифференциальных уравнений вида
—An(/)a(/)+Ai2*0^(0 + rPi(0;
(1- 8. 9)
46
э нулевыми начальными данными 4цб)=0, $(0)=б. Справедлива
Лемма 1. 8. 2. Пусть матричные функции
[Vne(M),V21e(M)l С [Vlle(s.s)=£t«,V21s(s,s)=0j
И [Vi2=(/,s),Va3e(/,s)] С lV]2E(S,S)==0,V22e(S,S) = ^ml
сбответственно удовлетворяют системе однородных дифференциаль-
мых уравнений вида
^=A,(W)+41S(W)>
£ ~dT ~A^aW+A^bW-
Тогда вектор-функции
t
a(t)= j [Vlie(/,s)<Pi(s)4-V)2e(Z,s) -J-<p2(s)]ds,
О
t
b(l) = IV2 s(/,s)«i(s) + V22s(Z,s) 4-®2(s)№
0
(1. 8. 10)
удовлетворяют системе линейных неоднородных обыкновенных диф-
ференциальных уравнений (1 8. 9).
Доказательство. Имеем
t
o
dV12e(Z,s)
dt
t
~ ?2(s) ds^ ^H11(Z)Vjk(/t,s)+>l12(Z,s)l<p1(s)cZs+
0
t
+ ^iAi(z)Vj2s(/,s)+A2(^)V22£(^s)1~,?2(sMs+<pi(O;
I	®
0
V2istz,z-)?1(Z‘) + V22e(^)v Ы0+ \[dV2 j;—yi(s)+
s J L
e
t
^^?SL ^2(s)]ds^ G^i(/)V21£(/)S)+^S2(/)V21(M)]X
dt e	j
0
47
t
X<₽i(s)rfs+ ( И21(/)У12е(М)+Л„ЮУ226(/л)]-!-Х
j	e
0
X<p2(s)rfs-Ha(0 ~ .	(1. 8. 11)
Так как Vi2£(/,0=0, V2/l.(Z,/)=0, a VIk(/,/)=^„, V22s(^0 = ^.
то из (1. 8. 11) вытекает, что

t
dVi{^t,s)
dt
о
~>hi(VZie(M)-A/2(/)V3/(/,s) \<fi{s)ds=<n(t),
где i— ',2. Теорема доказана.
Изучим теперь свойства матричных функций VIA.£(/,s) при е—>0
на сегменте [0,1].
Лемма 1. 8. 3. На сегменте [0,1] при е-»0 для матричных
функций VIKS(/,s) при /^s>0
0 при 1=£к,
Еп п₽и /==к=1>
Ет при к—1=2,
где /,к=1,2. Справедливы неравенства
а	а
II Vne(z,s)|| <Ж(1+<?	); II V21e(z,s) II <Af(l + e	);
а	3
-T(t-s)
II V12e(/,s) || <7И(е+е	); II v22e(/,s) ||	),(1. 8. 12)
где M=const.
Доказательство. Рассмотрим матричную систему линейных
дифференциальных уравнений относительно матриц [VnE(f,s),Vgie(£,$)!:
dvIIe
-^=An(/)Vne(/,s)+A2(Z)V21s(Z,S);
е «^1(0Vik(/,s)+A22(0V216(/,s).	(1- 8. 13)
Подстановкой
V2ie(As) = -A121(^)A31(nVne(^)+Ve (t,s)	(I. 8. 14)
система линейных дифференциальных матричных уравнений (1. 8. 13)
приводится к виду
rfVHs(Z,.s)	-1
-[Au(/)-A12A33 (/)Л21]Уш(/,5)+А,'0Уе (t,s\
48
dYe (t,s)	-1	-1
	ецд82 Д21у-(Л3(0Дм(0)Х
-1
Х(Д11-Д1зАзг Дз1)1У|1е(Л«)-НЛ18(0Уе	(1. 8. 15)
гразования вида (1. 8. 14) вполне закономерны, потому что,
и. предположению, иа сегменте [0,1]
detA22(t)^0.
—I
Так как на сегменте |0,1] матричная функция Ац—А12Аг2 Д21
непрерывна, то система матричных дифференциальных уравнений
dVlle(Z,s)	-1
—Хт- =(AM~A12(t)AM (t)AM)Vi S(t,s)
с ^’u=(s>s)—^nl имеет непрерывный фундаментальный матрицант.
Обозначим этот фундаментальный матрицант через V(t,s) |V(s,s)=
= ЕЛ], причем || V(Z,s) II ^M=const.
Подстановкой
V11B(/,s)=V(/,s)Z(As),
(1, 8. 16)
где Z(t,s)—новая	неизвестная nXn-матрица, матричная система
I. 8. 13) приводится к виду
V + -^-2==^11(Z)V(/,s)Z(/,s)+^12/Z)V(Z,s)ye (Z,s).
ИI	СИ
Отсюда
dZ -1
~dt~ = —V (^)А12(/)У(^,5)Уё (Z,s).	(1. 8. 17)
Так как rfeZV(Z,s)¥=O при всех Z,se]O,l]„ то матричная функция
—1
V (t,s)A12(t)V(t,s) является непрерывной матрицей на сегменте
[0,1]. Поэтому система матричных дифференциальных уравнений
(1. 8. 17) имеет единственное непрерывное матричное решение
Z(Z,s)|Z(s,s)=£‘n], представимое в виде
Z(t,s)=En+
V (v,s)^12(v)V(\s)yt(v,s)rfv.
(I. 8, 18)
s
Подставляя (1. 8. 18) в систему (1. 8. 15), получаем
dye (t,s)	-1	-1
6 —---------=Ai2(t)ys (t,s)-e[(An (t)ASi)'-(A„ (t)Asl(l))X
—1	i _i
Х(ЛЦ Ам-Лз Ai)1V(Z,s)[£„+\V	(v,s)^12(>)V(>,s)y6(v;s)^] +
s
+e<4i2(Z)ye (Z,S).
(1. 8. 19)
4* 2790
49
Пусть Ws (/,s)[Ws (s,s)=£m]~ фундаментальная матрица решений
системы матричных уравнений
•	(М).
at
Тогда на сегменте (0,1], на основании леммы 1. 8. 1, Справедливо
неравенство
-
II We (t,s) || <Ке
лри всех
Введем обозначение
-1	—1	1
Fe(t)= [(Д2> Ш0)'-(4« (t)An(t))(Au-ku Ам А,(*))];
-1
Fie(t,v)==Fs (/)V (v,s)^11(v)V(v,s).	(1. 8. 20)
Тогда система матричных интегро-дифференциальных уравнений
(1. 8. 19) приводится к виду
t
f
В -яГ-^Ам(0У£ (*,$№ \ /71е(Л")Уе(^)^4-
+«Ли(0У8 tt,s)+Fs (/).	(1. 8. 21)
'Систему матричных интегро-дифференциальных уравнений (1. 8. 21)
преобразуем в эквивалентную систему матричных интегральных
уравнений типа Вольтерра
t
-1	г	1
Уе (/,«) = W£ (l,s)A„ (SMai(s)+\W£ (/,y)-l-M12(v)ys (v,s)+
s
(1. 8.22)
s
Из (1. 8. 22) вытекает неравенство
.	t 3
-1	f	1
|| ys (/,$.) || <A22(s)Att(s)+M I Ke	—г(Ь С УЕ (t,s) || ,
I
s
где
maxi II Д12(0 II + II || rfv]<Af=consC
s
Следовательно,
50
-1 ?_(*-«)
II Уе (As) II <Ke	+еЖКа (1-е'	). (1. 8. 23)
'.гсть малый параметр е настолько мал, чтобы при всех t^>s выпол-
окдось неравенство
- 1
0<s(l- е	)<-----~Г.
2Л4а
”згда на сегменте [0,1] при всех f>s из неравенства (1. 8. 23)
истекает неравенство
а
ЦУЕ (t,s) II <2 Кв	•	(1.8.24)
Из (1. 8. 17) вытекает неравенство
II Z(/,s) Ц || V (/,v) || И A„(v) || || V(v,s) И II УЕ (*,s) II
s
-T(^)
<(1-e	)A4„	(1. 8. 25)
где Mi—const на сегменте [0,1] при />s>0. Следовательно, из
tl. 8. 6) и (I. 8. 24), (1. 8. 25) вытекает, что на сегменте |0,1]
ври i>s>0
-
’I Vne(/,s) || < II V;/,s) [| • || Z(t,s) || <ЛМ1-е ).	(1.8. 25')
Из (1. 8. 14) при всех t'^s'^-Q вытекает неравенство
—1
я V2ie(/,s) II < II Л22 (f) II - II Л21(0 II II VIle(/,s) II + и Уг (t,s) I! <
</И,(1-Н?	),	(1. 8. 25")
где Mt—const.
Рассмотрим теперь матричную систему
dVi e(ts)
—--------=^nf/)Vi2E(/,s)+^12(f)V22e(/,s),
6 dt-------= ^n(/)Vi2e(^)+^22(0V228(^).	(1. 8. 26)
Подстановкой
-1 _
У22ё(М = -Л28 (/)Л21(/)У12е(/,з)-|-Уе (/,s)
система уравнении (1. 8. 26) приводится к виду
rfVj2e(/,s)	—1	_
—-г—	»[Ац—AiaA22 |Vj2e(As)+А1а(/)У6 (Cs)>
51
iys (t,s)	_	-1	-1
-----=АИ(ОУЕ (As)-e[(AM А«)'-(АИ A„)X
— 1 _
X(An—AiaAS2 A2i)]Vj2e(/,s)+eAis(Z)yE (As).	(1. 8. 28)
Начальные матрицы для системы матричных дифференциальных
уравнений (1. 8. 28) задаются в виде
V12e(s.s)=0; Уе (s,s)=Em,
Подстановкой типа (1. 8. 16)
V12e(As)=V(As)Z(As)	(1. 8. 29)
первое уравнение системы (1. 8. 28) приводится к виду
dZ(As)	—1	—
—=V (As)Ai8(/)V(As)ye(Z,s).
Отсюда
Z(As) =
t
с -1	__
\V (A',)At2(^)V('',s)y6 (v.s)cfr,
s
(1. 8. 30)
Подставляя (1. 8. 30) во второе уравнение (1. 8. 28) и затем учи’
тывая обозначения (1. 8. 20) и (1. 8. 21), получаем
t
=А,2(/)УЕ (As)4-e ( /?1е(Ау)Уе (*,s)dv+eAia(0ye(As). (1. 8. 31)
at	J
s
Система линейных интегро-дифференциальных уравнений (1. 8- 31)
приводится к системе линейных матричных интегральных уравнений:
УЕ (As)=We (М)+ \W£(/,v)[Ai2(v)yE(v,e)+\ Fie(sp)ye (P,s)41^-
s	s
Имеем
Il Уе (As)
при всех A>s.
Отсюда
a	t a
—	r --(t-v)	_
Ke +AHKe d* li Уе (As) II
£
li yE (/iS)|«Ae +Ma Кг{\-е ) II Уе (As)||<
—1	_ —
<s/Wa К [| (As) |[ +Ke
Б2
1
-----, то из последнего неравенства вытекает
2/Иа К
аеравенство
II уе (t,s) || <М1К«
три всех
Из (1. 8. 30) и (1. 8. 32) следует неравенство
t	а
г -1
\ п V (/,v)Aiz(v)V(v,s) и М^е
S
II 21.;e(/,S) II
t а	а
А	(V—8)	_1
I е	ds—а. Л1е(—е	-f-1)
а
-1
<еМха (14-е	).
Отсюда и нз (I. 8. 29) вытекает при всех неравенство
—1	—-^-(t-s)
II V12£(M II <Af1Sa (14-«	)•	(1.8.33)
Следовательно, из (1. 8. 27) и (1. 8. 33) при всех получаем
неравенство
-1 _
II У22е(М)! < II Аи (0Аа1(/) || II V12e(/,s) || + || Уе (/,s) || <
а.	а	я
-T(Z-8)
<Л1е(14-е	)+М,Ке	<М8(е	4-е),
где Мг—max (М,К.2М).
Из неравенств (1. 8. 25'), (1. 8. 25"), (1. 8. 33) и (1. 8. 34) вы-
текает справедливость теоремы.
Рассмотрим теперь систему линейных интегральных уравнений
(1. 8. 8) —(1. 8. 10). Подставляем (1. 8. 8) соответственно в сис-
тему (1. 8. 10), а затем, применяя формулы Дирихле [181], [2011
в кратном интеграле, после некоторых несложных преобразований,
получаем
1	1	1
Vu(/,v)Vlk(M)^+ j//ja(Av)V2]E(v,s)rfv X
U 8	8
1 1
Xxpi(s)4-^J//„(Cv)-lvi2E(v,e)^+ J//u(/,v)V22g(v^)4-rfv]	}^S;
8	8
53
1 1
?8/0=7а(0+ j{J[ttn(z.v)Vile(v,s)+- 7f31(f,v)V21e(\s)I^?i(s)+
0 s
+	VV12e(*.S)+^2(/.*)V22e(*,s)-7	(1-8.35)
s
Пусть
^/l(^S,e) = ^[^n(t,v)V11£(v,S)+/f/s(Z,v)V2je(v.e)]rfv;
s
1
PZa(/>S>e)=^/yjl(/,v)4-V12e(v,s)+//z2(^)-|-V22e(v,s)J^.	(1. 8. 36)
Тогда из (I. 8. 36) и (1. 8. 35) получаем систему линейных интег-
ральных уравнений вида
1
<Pi(0=7i(0+ ^[Л1Р,«,е)«Г1(5)+Л-а(Л5,Юфа(5)1^	(1- 8- 37)
О
(/==1,2).
Система (1. 8. 37) является системой двух векторных линейных ин-
тегральных уравнений типа Фредгольма. Займемся теперь решением
этой системы.
С этой целью от системы линейных интегральных уравнений
(1. 8. 37) переходим к одной матричной системе
1) ft(M)=
71(0
7*(0
Ри(г,8,е); Р12(Л«л)
<р(0=
' ?i(0
_ <Ра(О
Тогда система линейных интегральных уравнений (1. 8. 37) за-
пишется в виде
1
ф(0=/(0+ P(t.s,e)<?(s)ds.
о
(1. 8. 38)
Системы матричных линейных интегральных уравнений типа
(1. 8. 38) исследовались во многих работах [15], [2521, [253], [255].
Пусть R(t,s,e)— резольвента матричного ядра P(t,s,e). Тогда век-
тор-функция
54
1
<p(O=f(O + j R(t,s,e)f(s)ds	(1. 8. 39)
v
 ^лдественно удовлетворяет системе (1. 8. 38). Разобьем теперь
 —ж-квадратную матричную функцию R(t,s,e) на четыре „ящика":
/?(/Se)^= I ЯнСМл); ^i2(/,S,e) X
\ Rzi(t,s,e);	’
-- /?,к(Л5,е)—матричные функции соответственно видов п\п; пХт;
я п; тХт, 1,к—1,2. Вектор-функция (1. 8. 39) в скалярной форме
мдкшется в виде
1
<?к (f^fK (z) + Jl^i(^s,e)f1(s)+/?K2(/,s,e)f!!(s)]ds.	(1- 8- 4°)
О
осрмулами (1. 8. 39) и (1. 8. 40) воспользуемся в дальнейшем. Из
:«ультатов леммы 1. 8. 3 и тождеств (1. 8. 36), (1. 8 37) вытека-
ЧТО
1
max \[ || RKi(t,s,e.) || -f- || RK2<t,s,t) II ]ds^,M=const. (1. 8. 41)
С</<1 J
0<е<1	0
^равенства (1. 8. 41) применяются в следующем параграфе при
щенке остаточного члена асимптотического разложения (1. 2. 1).
§ 1.	9. Асимптвтичвскив оценки остаточных членов ряда (1. 2. 1)
В этом параграфе устанавливается асимптотическая формула типа
Р	Р
u(t,e)= S vk (*>*+ Sqk (v) eK+/+W)>
«=0	к=0
P	P
*(Ле) =	(0sK+	+	9‘
к=0	k=0
для решений задачи Коши «(O,e)=Z?i и z(O,e)=2>2 системы нелиней-
ных интегро-дифференциальных уравнений (1. 1. 1), где [£(/,e),Tq(/,e)] —
—пока неизвестные п и m-мерные векторы; [vK (t),wK (/)] определя-
ются уравнениями (1.3. 13) параграфа 1. 3; [QK (ч=),/7к (ч:)],—вектор-
функции пограничного слоя, явный вид которых определяется систе-
мой (1. 3. 14) параграфа 1. 3 настоящей главы. Здесь будет пока-
зано, что при достаточно малом значении параметра е для не извест-
ных векторов [£(f,e),Tj(^,e)] справедливы неравенства
II £(Л6) II <^M=const; || Tj(/,e) || ^M=const
на сегменте [0,1J.
жхй)1
Прежде чем подставить (1. 9. 1) в систему (1. 1. 1)—(1. 1. 2),
введем некоторые обозначения, которые понадобятся для краткости
записи в дальнейшем.
Пусть
Р	Р
1) lp= U (0Е“,	2) У>я (/>*,	(1. 9. 2)
к=0	к=0
Р	Р
3) ар^ £ Пк (т)е\	4) bp^ £ Q к (ф*.
к=0	к=0
Тогда подстановкой (1. 9. 1) система нелинейных интегро-днфферен-
циальных уравнений (1. 1. 1) приводится к виду
р	р
р+1	ж-,	К	К — 1	PH
В ЕЧ*,е)4- (z)s +JL 'к (т)е =«ДЦ>4-«р+е
к=0	к=0
1
р+1 р	р+1	Р+1
^р-Ь^р+е v; \Ki(f,s,Ep+-ape В; т\р-\-Ьр-\-ъ 7j)rfs);
О
р+2	уч к \т	к	PH
е ¥(/,е)+ Zaw'x	(Т>Е =a2(t^P+ep+s S;
к—0	«=0
(1. 9. 3)
р+1 р	р+1	р+1
’’114-^р+в	-Г)- I К2(^«Лр+«р+е	«;^р+^р+Е -rfidt).
6
Рассмотрим выражения
&к (^^р+^^рЧ-^р>	(^>s>^p4"flp>Yip*b^p)
о
1
—Кк ('А^рЛ^-Ь ^Кк (t,s^p;vp)ds), (к=1,2).	(1. 9. 4)
о
В этом слагаемом сделаем следующие преобразования. Интегральные
слагаемые вида
I
j* 1Кк(^®Лр4_^р> ’’Зр'Ь^р) Кк(/<$£р>т‘рУ№5
о
заменой переменной s—ve приводятся к виду
56
« | [tfK(^s^p(v8)4-«p(*);Vve)+Mv))~KK(^e^p(ve)XM)lrf’-
и
21.’ее верхний предел интегрирования — для удобства дальнейших
S
счислений заменяется на оэ. Тогда последнее выражение при-
нижает вид
ОО
8	[/<„(/,tfK(^ve,^(ve)^p(ve))]<fr*.
О
вставляем это выражение в (1. 9. 4), получаем
во
ак (t^p+aprflp+bp;s [Л'к (t,^P+ap^y,rlp^)+t>p(v)}-
0
1
—кк (/,ve,£p(ve);^(ve))]ck+ jl<A. (t,s£p,-tip)ds),	(1. 9. 5)
о
ж, отнимая эти векторы соответственно в правых частя < (1. 9. 3),
получаем
р	Р
р+1	V,	VI	К~1
ZJ.]=(e	?(/,е)+ 2Л (0ек)+ 2j Q'k (т>
к—0	к=0
1
р+1	р+1 г	р+1
+Q/»+e twp+l>p+* V, \1К1(МЛр4-Ор+е E(V);
о
оо
р4~1	р
v+^p+e *i(s.e))— Ki(t,s$p+ap-,7ip+bp)]ds+e I lKi(^e,^4-ap;
0
1
Чр-Ь 6p)-Ki(tve,£p,17p)]rfv+
0
оо	1
Ър+bp-fi ( [Ki(/,ve,Sp4-ap;7}p-|-^)-Ki(/,vs^p172p)Wv4- ^К1(Л«Лр,'Чр)ЖО +
0	о
QO
-4-«i(^.Bp+ap;,3p4-^p;eJ[Ki(Z,ve,Ep4-ap;7jp+^p)—K1(f,ve.£p.'»Jp]^+
__________ о
* Следует отметить, что здесь совершается ошибка порядка е. Несобственные ин-
тегралы сходятся.
57
1
о
p 4" 2	к V”! к
L8[-]^e	‘»1'(^е)+е	+2j77K^e =K(VP+
к=<3
к=0
p+1	P+1 p	P+l	P+1'
+flp+e £;73p+^p+e I [K2(/,s,B^4-ap4-s	^;7Jp+^Jp+e	*](5,е)~
6
co
—Ka(^s,Bp+O/»;v+^)]rfs+® j i^t^p+ap-^p-Ybp)—
0
I
—a2(t,lp+ap^pJrbp-,
0
CO	1
8 C[^{t^^p-Vap-^p-Ybp)—M/.ve.Ep.^ldv-f- Смм.^р)^! +
0	0
QO
+oi(t,^p-^-ap','rip+bp-,s [K2(4ve.Sp+«p;^+^p)—
о
1
—Ki(/,vE,5pi7p)]c?v4- ^Кг(Л«ЛрЛр)^8).	(1. 9. 6>
0
Рассмотрим выражения
ОО
Фк (0=«K (^p+ap;v+^;e^ (Кк (t^£p+apWp+6p)—
о
1
—Кк (fp’e.Sp.TjpMdv-l- ^Кк {t,s,ip^p)ds)-aK	(1. 9. 7)
О
оо	1
е [К/с (Л^Лр+вр^р+^р)-^ (^,^Лр,>!р)]^ Р j Кк (t,ssp,rip)ds)=
о	о
58
oo
=ак (T^p(v)+M,)>M't»B)+^(t);sj fK« (^^p+^p+^p)—
0
i
—KK («,ve,Ep,'/Jp)]rfv-f-^KK (te,ve,^,''Jp)*fr)—a/c (те,^,^;
O’
OO
+s^ [Ktf (^,',e,^+ap;v+^)—K« (tvMp,^)]^v+
0
1
+ (те>5еЛрЛр)^) = Фл: (TS)-
0
Далее разлагаем функции фк (те) в ряды Тейлора по степеням
алого параметра в виде:
„ w„)=«o) + «fe+
(р) р р
Фа (0)т е ,
Р>
(р-И)	р+1 р + 1
02 (6те)е т
“V+iji
(1. 9. 8)
где О<0<1, а вектор-функция Ф1(те)
э виде
+ t!»
1 ! ’
разлагается в ряд Тейлора
(р—’)	(Р-1) (р-D
, I Ф1 <°)т S +-
- +	(Р-D!
(Р) Р Р
ф1 (6те)е т
рГ”
*де 0<6<1.
(/)
Напишем явное выражение для фк (0). Имеем
Фк (0)=ак (0,Цо(0),®о(0)+/7о(т),ск (0))-ок (0,Фо(0),а>о(0),ск (0));
1
ск (0)=^к (G,s,v0(s),w0(s))ds;	(1. 9 10i)
О
Ф'к (0)= [лкДО,о0(0)>аз0(0)+ад,^ (0))-ак/(0,цв(0),®о(0),ск (0))]т+
^[акн(0А/0),шо(0)+/7о(т),ск (0))-aKU(O,vt,(O)-,wo(O),cK (0))1(и'о(0)т+
59
+t»i(O))+ [aKZ(0,uo(0);®o(0)+Z7o(T),cK (0))-aKje(0,v0(0);®o(0),cK (0))]X
X (a’,o(O)^+w1(O))+aKn(O>®o(O),®o(O)+Z7o('c),cK (0))Q1(t)+
+в«(0,®о(0)м(0)+Лв(х),ек (0))//^)	(1. 9. 102)
(P-1)
Ф1 (0)=а1и(0,оо(0);ш0(0)4-П0(т);ск (0))Z7/,_1(t)+
+М0,»о(0);шо(0)+По(с);ск (0))Qp-1(^)+P/_1(t,Q
(1. 9. lOi
(p)
Ф» (O)=aaM(O,voiO);®e(O)+no(T);cK (0))Пр(т) + а2Д0,о0(0),
u>o(0)+no,cK (O))Q/,(T)4-P2p(T,Q1,..„Qp_J,no)-.,np-i(‘'));
(p)
ф! (6Z)=aiu(0,vo(0),tt»o(0)+/7o('t),ri(0))np(T)+
-f-aiz(O,vo(O) ;®o(0)+По( т) ,а (0) Qp( t) 4-
+₽<₽(“•e- (4'1.......)•	<'•9- io>>
• \ ©	I a 1	* I C- /	I	*
еде
a
|i	' ) 11	8 • iW=consc
Следовательно, из (1. 9. 10’p) вытекает неравенство
(p)
II Ф1 (60 II < II «1Ы(0,...) II II Пр(0 II 4- V а1х || || Qp(^) || +
а
ft \	——t
+ llPipl-,... I ||<Afie 6 , Mi—const.	(i. 9. 11)
Остаточный член формулы (1 9. 9) оценивается в следующем виде:
(Р) Л Р	Р	„ ... .° ,
Н ** Ц C^1L£_----------------е е .	(1. 9. 12)
Займемся теперь исследованием остаточного члена ряда (1. 9. 8).
Имеем
/ Ы Л I t \	„ ( t\\
Фг (6/)=—\	...
где Ргр+il —, Qil — 1 ,...,Пр [—))—остаточный член при разложе-
нии wi-мерной вектор-функции ф2(л)=ф2(те) в ряд Тейлора по степе-
ням параметра е. Для этого остаточного вектора на сегменте [0,1]
при достаточно малом в справедливо неравенство
60
(p+1)	~т'
IIЪ (6/) II <М е	(1.9.13)
= : зательно, для остаточного члена формулы (1. 9. 8) на сегменте
.а дри достаточно малом е справедливо неравенство
(р+1)	р+1	р+1 “Т*
II Фе W II <ЛП е .	(1.9.14)
Рассмотрим теперь функции
СО
GK G»e) = (bc (^ЛрРЗр;5^ 1^к
О
1
— KK(t^p^p)\dv+^KK(t,s,Zp,-rip)ds).	(1. 9. 15>
О
“заменяя формулу Тейлора, функции GK (/,е) запишем в виде
(р+1)	р+1
(Р) еР , G (/,6е)е
G«	(/,0)+G'K (/,0)в 4-...+ О	+ ------(-zpiji---- ,
(1. 9. 16),
•хе 0<6<1,
1
(^0)=ак (.t,v0,u)e-,	(t,s,v0(s),w0(s))ds; (1.9. 17J
о
1
G'k	^Кк (tls,‘vb(s),wt(s))ds)vl(t)+
о
1
+aKg(t,—)^i(i)+aKqk (t,...) J[A^M(^,s,t'o.££’o)I,i(s)+
o
оо
+ KKz(M,vCl®0№]ds+«,^ IKK (Wc(O),wo(O)+
0
+По(>))—Ku{t, 0,l’o,®c(0))]rfv;
(1. 9. 172>
(P)
G„ (/,0)=охы(/,...)ир(/)+а^(/,..,)^(/),+с^(/,...).х (1.9.17p)>
61
1
X(s)-\-KKZ(t,s,...)wK (s)\ds-}-bp(t,va,...,W(>(t),...'Wp-i(t)).
0
Следует отметить, что на сегменте [0,1] при достаточно малом в
для всех непрерывных [п0(/).а^(/)[,...[®р(/);йУр(/)] справедливы нера-
венства
(р+1)
11	GK (О) II <M=const.	(1. 9. 18)
Прибавляем и отнимаем соответственно в правых частях систе-
мы (Д, 9. 6) векторные функции вида
ОО
ак ЩЬоМр^ j (G^p+apWp+bp)~-KK (t,^p,yip)]dy+
О
1
*Т tt’Sjipt'i *Qp')ds).
о
Тогда система (1. 9. 6) принимает вид
р+1	р+1 г
LK ।' I ~ №к (^Л~Ь^р‘Т® £pQ^"+^,p4~£	((,$Лр"+Лр +
и
Р4 1	р+>
4-8 E;7jp+Ap+e 7j)— Кк (ts^+ap^p+^jcfs-l-
1	00
+ У Кк (t>s,£p,Tip)ds4~s^ [/(к ((,ve1-p+<Ip;7ip+^p)—
о	о
Як (t,^p~\~dp,
oo
Чр+Ьрч^Кк ^ч^Лр+ap-^p+bp)-Кк (t^£psip)}dv)+
о
4-Фк M+G* (Ле).	(1. 9. 19)
Так как вектор-функции (xs) и GK (Z,s) представимы в виде рядов
(1. 9. 8), (1. 9. 9) и (1. 9. 16), а вектор-функции [ty(£),uy(r)| и
(0/(т),П/(х)] (/=0,1,2,...р) удовлетворяют соответственно системе
(1. 3, 13J, (1. 3.132),..., (1 3. 13р) и (1. 3. 141), (1. 3. 14л),...,(1.3. 14р)
то система (1. 9. 19) приводится к виду
1	Р'1	Р+1
= е^Т{«1(/Лр4-ар-ге
62
1
f	Ptl	P + t
1 [^i(t,s,^p+op +s ^ip+bp-ts »])— tp+ap,
P
l
^p+bp)-Ki(t,s£p,vlp)]ds+ ^i(t,s,ip,-np)ds)-~ai(t^p+
0
<ю
+ар-Лр+Ьр-,е J iK^stp Yap^pi-bp) -Ki(t,s^p)}ds-i-
0
oo
+ e j lAi(/,SS,ep+ap;7]p^^)— ^//,se,£p,7!p)]ds+
V
fl	(p)	p
+ [KAt,se£pMp)ds)} +- 'J'1 +GtP+l)
и	Pie
I
04-1)! ’’
d-q __ 1	/Ж	p + i	p
~ dt p+1 {аг№р1 ap +e fylp+bp+e, т'](Ав)А[Л,2(А$Лр+
8	J
0
P+l	P I”1 r	p-|-l
+ «p+e fyl+bp-j-s. 7]; \ {Kt(t,s,zp+ap+t. £(s,e);
0
rp+l	p
6 ^(s+D-^^.^p+ap^p+^pIlds+e \ IA-S(f,s,$p+
0
I
+cp;73p+^p)-’Afi(A-s,Bp;->jp)]rfs + ^^(.i,s^p,rip)ds)—
о
i
~аг((Лр {-ap^p+bp-, ^[A.s(As,Cp t-£p;?Jp+-6p)—
0
1
—A>8(f.s,£p,-«?P)]^+ I
•0
(p+1)	p+1
ф« ^t)t ,JP+,)z/fizA 1
ЯТ -+G.	(f-e<) (7W -w P(Z).
(p + l)!e	V^. A
(1. 9. 20)
63
Рассмотрим теперь выражения в квадратных скобках системы
(1. 9. 20). Разлагаем эти функции по формуле Тейлора до второго
р+1
порядка по степеням параметра е
Имеем
р-4-1	рл~ 1	/*	р 4" 1
ак (ASp+Op+e ^;'*3р+^р+е	7з; \ [Ад- (А$Лр+йр+е
о
р+1
ЪрЛ-Ьр,+^ -ч)—Кк
оо
(t,s£p+apwp+bp)]ds-\-z j [Ак (t,sz^p-\-ap-,
о
ОО
j [Кк (t^p+ap-^p^-bp) -Кк (t,se,tpMp)]ds+
о
1
+	(Ass,^p,7]p)t/s) ак (t^p-^-ap'^p-^-bp,,..) =
О
[Кк (АзеЛр+^р^р-г^р)
оо
=^ки {Лр+ар'-,г1р4~Ьр;е
О
1
Кк (ttS&,£p,iQp)]ds +	i^t^pt^ip^ds^Qs -+
О
р+1	Г
~f~^Kz(K---)7ls	~^~акдк(^1'”) \f^jcu(^s^p~l~^'pjVp~bbp)5-i^-
0
р+1 ~	р+ 1,
4'АЛ-г(А®Лр>'*1р)7з1^® "+ ^кии (A?p+ap+®s
р+1 Г	р+1	р+1
^р+^рЧ-®8 ’ЬиА’д (/,S,£p+tZp-i-6e ^',Щр-УЬр 4-6е	5,
О
Р+1
т1р+^р+®е	'*])“А"к (АхЛр+О'р^р+^р)]^^-
00
"+е (А^еЛр~Ь^р;7Зр_Ь^р^—(Ass,?p,'>jp]6?s+-
о
л	2(рМ)	~	2(р+1)
+ Кк (t,s,Zp,-»ip)ds)e ?+2аКия У’- )^6	+
6
64
2(р+1) ~	г ~
kzz (Л---)7}*6	~i~aicuqK (h— ) 5	4~
О
+ ^z(/.S,.
1
Р~т1 ~	р*
. h]f7se +aKZQli(t,...)ri I (Aa;h(/,...K+
0
2<nn~ r ~	p+1
+аКд2к(1,...)(\[Кки(1,8,1р I~ap+S e|,..)s +
0
2.p+D 2(p+n
4- KKZ (/,s,...)Tj]rfs)2s =e RK	(1.9.21)
этого равенства нетрудно убедиться, что на сегменте [0,1] при
-х II £(ЛС) il ^М—const-, || Tj(/.eA II const, п и m-мерные извест-
i»e вектор-функции RK удовлетворяют условию Липшица по
аезггорным аргументам В.?], а именно:
RK	(/ Ej.Th.e) II <МЛП[ II ё8-^ II + II %-iJi II ], (1. 9. 22)
N(M)~ некоторая положительная постоянная, зависящая только
максимальных размеров векторов 'I В II , II т] II . Неравенства (1. 9. 22)
дотекают из структуры нелинейных членов системы (1. 9. 21).
Подставляем (1. 9. 21) в систему (1. 9. 20). Тогда получаем
=alu(t£p-\-ap, ..')$+«1г(Л^+«р,-Ь-г
1
о
<р) р
р41	Ф1 (Qt)t (р+1)	1
+-е=	р+1 +-Gj (/,6s)	;
/?!е
со
8	=a^th+ap'-,',lp+bp^ j \Кк (t^tp+apWp+bill—
о
1
—RK (/,ve,Ep,7jp)]t/v+(Z,s,Bp;7jp)Js)?(/,e) +
0
1
+-«?z(Z. — h(Z,E)-|~a2q^t,—} j(A+M(Z>S,--)^ +
0
i* 2790
65
р-М
^P+i\bt)tP+X (P+1)	1
+ --------Чж-+С* (pinf П-9- 23>
(P+I)!e	'	’
Прибавляем и отнимаем матричные функции
00
aKU^^pt
О
1
-Кк	(t,s£p;tlp)ds);
о
со
‘^к,г^»^р>13р»е	(J»VB»^p*i*®p»‘*lp~b^p)
О
1
КК (^,vs>^pi7]p)l^v Т (^jS^p^p)^^),
О
а«^к (Л---)>(Л~1,2) соответственно в правых частях системы (1. 9. 23).
Затем слагаемые, содержащие функции пограничных слоев, записы-
ваются в среднем значении. Тогда система (1. 9. 23) приводится
.к виду
GO
=а1и(Л^лР;б [Кк ((,^Лр+ар;г1р+Ьр)—Кк (t^psip)]dv+
о
1	1
4-Сяк (t,s,^p,rtp)dsYzi-alz(t,...)rl(t,z)+algi(t,...)^\Klu(t,Sfip+ap,
,0	о
Удё
73p+^(s)+^‘iz(^A...)7j(s)]rfs+f i(/,...),
СО
alUU.ttl£p~T'®ap''Tip~^'®bp’'e \-Кк
о
1
T]p+^p) —	(I,s£pMp№s)Clp^p(t,z}-]r
О
4'ciuz(A£p+fl7?>7ip~b^’p’-")^P^,e' + aizz(^>-")^ //*1(Ле)4~
66
1
+	(Л... )арт((/,е) + [(Х191И(Л...)О/>+ а1912(/,...)^]уАГ1и(/,
О
р+1
-s.lp+ap;^ b^)$(s,e)4-A'iz(/,s,...)7j]ds+®	/?j(/,5,t],s)4-
(р) Р
,	(6/)/	(р+1)	1
+	р+1 +Gi (ZA) (р+1)| ’
е р\
1
1^7]	Г
о
же
/»(/,...) — а8«и(Л-“)’^рЦЛе)4" a2zzz(^v)^’p7j(Ae)“b aizz(^>••) X
1
' ^>р^(^+)4~ I ^r^gzz(^i---)ap Н“ ®tgaz(^»*”)^p] ^1 Aizz(f’SJ£p-b<2pj')']p~l-^p)£(s)_b
О
P+1
4- ftlz(M^p;7]p)7;(s)]ds4-s	/?з(Л^,е)4-
(p+1)	p+1
4- -----(£^£_+g(2M1)(/>)^t^ -w'p(t),* (1. 9. 24)
(P+I)U
ле O<6<1.
Так как
р	р	at
/М К V	(t\ К ~~
II Др II = 11 2jQ«(r) 6 IK 2j II Qk (т) 11 е
К—1	К=1
р	р	at
1Ы=11ДП« (т Iе II < 2j II п„ (т ) И s <(« 6 II £1—МО) О K+s),
«=1	К=1
где М=const, то
at	at	at
И акии II	» II Q-Kttz	; || ctfczz bp ||	;
at	at
И акдки№-)ap II ^^4® I II aKqi;z(t’-‘-)bp И
* fl*zzz(fi—)>a»zz(*i» ). akq u(4-) берутся в некоторой средней точке относительно
векторов ар и bp	k
67
Этими неравенствами будем пользоваться при решении системы
нелинейных интегро-дифференциальных уравнений (1. 9. 24).
Применим результаты предыдущего параграфа к системе
(1. 9. 24). Пусть
0
+a»?(!(/.-Mkz(U...)’1(s)№, (к=1,2),	(1. 9. 25)
где <рк [/,е] пока считается формально известной функцией. Тогда
система (1. 9. 24) формально приводится к системе линейных диф-
ференциальных уравнений вида
-777— =
е М	(1. 9. 26)
Решение этой системы с нулевыми начальными условиями на осно-
вании результатов предыдущего параграфа запишется в виде
t	j
$(/,г) = [Vi х е(/.«)<Гг (s,$)+V12£(/,s)—Фг(«,е)И«;
О
t
t[V21e(r,s)<?i(s,s) +V22£(^s)-|-q)2(s,e)]rfs.	(1. 9. 27)
1	s
0
Подставляя (1. 9. 27) в (1. 9. 25) и применяя результаты предыду-
щего параграфа, получаем линейную систему интегральных уравне-
ний относшельно вектор-фупкции
в виде
1
в(/,е) = /\ .',.„) + 7Z(/,s,e)-p(s,e)rfs,	(1.9. 28}
О
где
—известная матричная функция, определяемая формулам;,
вида (*) предыдущего параграфа. Пусть /?(/,$,г>— резольвента мат-
ричного ядра	тогда решение системы линейных интеграль-
ных уравнений (1. 9. 28) записывается в виде
1
—	(1. 9. 29)
О
68
Ян(Мл);/?13(М,е)
^2i(/.S,e);/?22(7,s,e)
(L 9. 30)
к же, как и раньше, разобьем матричное ядро /?(r,s,e) на че-
тжре .ящика*:
R(t,s,e) =
- Rik (М.е)—матричные непрерывные функции на сегменте [0,1]
ответственно видов пуп; туп-, тХт; пут. С учетом (1. 9. 30) выра-
жение (1. 9. 29)-записываем в виде
1
О
Xfz(s,t,4fi)]ds;
1
jl/?ii(^S,s)ft(s,?,7},e)4-/?a3(/,s,s)fs(s,£,7},e)]Js.
»
(1. 9. 31)
Подставляем теперь (1. 9. 31) в (1. 9. 27). Тогда получаем нели-
чейное интегральное уравнение относительно неизвестных векторов £
Действительно, имеем
t	1
;(М) = J{Vne(M)I/i(s.Ml,s)-i- J[/?n(s,v,s)fi(v,S,^,s)4-/?12(s,v,3) X
о	о
1
4-V12e(/,s)-7 [/i(s,5,v],e)+ ^(/?2i(s,v,e)/2(v,gJv3,e)
0
t
r	1
•>j(z,e)- \ [V2U(M) ~г1Л(5Л,^л)1-
0
1
+ J[7?ii(s,v,s)/i(v,£,7j,e)4-/?i2(s,v,e)fs(v^,7],e)]Jv+
0
1
+ V22(/,s)—[/2(s,?,7j,s) 4- ^[/?21(s,v,s)f1(v,E,7),e) +
0
+ /?22(s>v.e)/2(v.^73>e)lfl!v]lrfs-	(1- 9- 32)
Из нелинейной системы интегральных уравнений (1. 9. 32) вытекает,
что при /=0 £(0,г)=0, >з(О,е)=О.
Займемся теперь решением системы нелинейных интегральных
уравнений (1. 9. 32). С этой целью проследим структуру вектор-
69
функций fK (t,...). Для векторов ар и Ьр, входящих в структуру век
торов fK (t,...), на основании результатов параграфов 1.4, 1.5, L6, L7,
на сегменте [0,1] вытекают неравенства
р	at	at
fi ар II = У II QK ( И <*Мре Е «е 6 ,
'	I g /
«=1
где	(1. 9. 33.)
Afi=JWp.
р	Р
[ t \ к f t \ \т ( t \ к
II Пк j |[е <|| по (y) И + И ПЦТJs II <
к=0	к— 1
at	at at
< || Ьй—te’o(O) II Ле + eAfje =e [ || Ьй—ш(0) || ЛЧ-еЛД].
Неравенствами (1. 9. 33) пользуемся при доказательстве теоремы
существования решений нелинейных интегральных уравнений
(1. 9. 32).
Пусть на сегменте [0,1 J при достаточно малом в выполняются
неравенства
Шах I И (^Л4~®П!р,...) И > II ^киг (Л.--) И ’ И акгг И >
0<б<1
1
П акдьи И И	°pi73p4_^p й ds'i II акд1гг^1-’\У!^
О
1
X j II KK7(t,s) || ds}^M—const.	(I. 9>. 34)
о
Рассмотрим вектор-функции
t	1
<[»1(/,e)=J{Vne(/,s)[f1(s,0,0,B)4-J[/?11(s,v,e)f1(v,0,0,e)+
0	0
1
+/?i2(S,v,B)f»(v,0,0,8)]]dv-f-V12e(^,s)-J-f8(s,0,0,8)4- ^„(S,v,e)X
0
X/i(v,0,0,e) +/?M(s,v,e)f2(v,0,0,e)rfv}rfs;
(1. 9. 35)
t
4>2(/,s)^{V2le(/>S)[fl(s,O,O,B)4-
0
TO
1
[ fln(s,v)fi(v,O,O,e) +/?12(s,*.e)f 2(v,0,0,e)]dv-f-
1
22e(^.s)fi(s,O,O,e)+ [/?2i(s,*,e)fi(v,0,0,e)4-/?„(v,S,e)fi(v,0,0,e)]dv]ds,
0
A(/,o,o,s)s
(p) p
Ф1 W
p\&p
<p+i)
Gx (/,M
(P-H)l
(p+i)	p+1	(p+1)
J*k как
at	at
(P)	„	Г (p+1)	—T
II Ф1 (M II	; II <J>2	(9/) II	,
i матричные функции [ V/i]e(Z,s),V2iE(/,s)],[l/i2E(/,s);V22e(/,s)J удовлет-
воряют условию леммы предыдущего параграфа, то из равенства
. 9. 35) на сегменте [0,1] при е-»-0 вытекает неравенство/
/	а
II'MMII J{(l+e
о
as
I “ V
г	г е sp
+ \	р+1
J	L е
Р+1 ~ в s
s е
1
е
ds+
а
~ —(*->)
as	«V
~~ ~ Е
1 [е s , f / е чр
Г| р+1	р+1
L е о е
а
р+1 -
v е
Р+\
dv \ds^,M—const,
?де
II Rik (z.s>e) II <Afi=co«s/.
Имеем
max
0<е<1
1E(/,S) II 4- II VI2eU,s) II
0
71
+ II V21(f,s)H + II V22eO,s)-l- II l(H-2Af!)ds<Ala=consf.
(1. 9. 37)
Неравенство (1. 9. 37) игра<т основную роль при решении системы
нелинейных интегральных уравнений (I. 9. 32).
Нетрудно убедиться, что вектор-функции fK(/,?,T?,e) из формулы
(1. 9. 24) при всех || £ || , II II const удовлетворяют условию
«Липшица по векторным аргументам i и 1. В самом деле, имеем
IIII —( II ^кии II II &р I' II ^2 И 4“
"Ь II ^киг \ ll^p'l II Ci И Ч- II ®kzz (Л---) ll II ар II II —"*31 11 4-
+ II°KZZ (Л -) II II ЬР 11 II % - 41 и + ( II аКЧкц II II ар 11 4-
1
+ II II II bP IIII KkuV’S) II и Ss-Sr и 4-
ю
р+1
+ II K/cz^-5*—) I! И ’Is—4l I) 1<?«4-е И RK	(?Л1,т11,е) || .
Из этого неравенства с учетом (1. 9. 22), (1. 9. 33), (1. 9. 34) выте-
кают неравенства
at	at
II fK	'Л^л) г </W{(eAfie е +2 II &а-йУо(0) И Ле * )Х
р4-1
х( и е8-?1 р + и ’h-’k п )i +* мм)( и е2-л н + и ъ-'fh и )=
at	at
е	е	P~i 1
= 7W[sAfie +2 И bz—ш,/(0) || Ке 4-е	Л'(Л1)] || й2—/ц || ,
(1. 9. 38)
тде
п ла-Л1 н = и еа-е* а + и па—ni и.	(1.9.39)
После того как установили необходимые оценки типа (1. 9. 33),
(1. 9. 36), (1. 9. 37), (1. 9. 38), система нелинейных интегральных
уравнений (1. 9. 32) решается методом последовательных приближе-
ний Пикара. За нулевое приближение берем ?ft(^,s)=0; т)0(Ле)—0;
/-тое приближение определяется из соотношений
t	1
£y(f,e)=	+
о	о
4- ftlt(s,v,e)fa(v,gy—1,T}/-!,e)]4Zv]+Vi2e(/,5)~[/2(s,Ey-i,7}y_1,e)4-
72
1
+ y^Ji(s,v,e)/l(v,gy_1^y_1,e)4-/?la(s,v,s)f(v,6y_1,i7y_1,e)]dv}ds;
t	1
= (V2ie(^)l/i(s,S/-i,V“»>e)+ ^/?n(s,v,e)/i(v,?y-i.’)/-i.e) +
0	0
+^i2(s,',,sV\v,y-bV-1’S)]^v F 4’V22e(M)l/«(s»V-b11/-1’e) +
1
+ y^".i(s,v,s)fi *,V-l>n/-l.e)+^n(v,S,e)f«(v3z-1’1V-l’e)ld'’}rfs-
0
(/=1,2,...).	(1. 9. 40)
Пусть
n	m
2) ||	|| -= У max И (7,e) || + У/илх II riK (z.6) II •
0<Л< 1
«=1	K=1
Тогда из (1. 9. 40) и (1. 9. 35) вытекает, что на сегменте [0,11
II hj-(t,S)-h0(t,e) || < || фх(/,е) || + II ’ММ) || ^2Ma=M3=cvnstt
где
^о(М) =(мв»--	~{0,...,0}.
Имеем
1
Ц	|| <Мах [{ || Vne(/,s) || ||	|| +
о
1
+ ^| II ^n(s,v,e) II II /1(«Л7-1Л)—/1(«Лу_,,е) II +
О
+ II ^i2(s,»,e) (I || /»(s,Ay_i,e)-/2(s,fty-2,e) || ]d* +
“Ь II	И lli,e)	a>s)~b
1
+ II /?2i(S,*,8) II II /1(«Лу-1,е)~-/1(8.А/_2,е) || + || /?sa(s,v,e) || X
О
X I! h{s,hj-i^~fa{s,hj-2,s) || ItZvJi/s.	(1. 9. 41)
Следовательно, применяя к этому неравенству ранее установленные
формулы (1. 9. 37), (I. 9. 38), при ]=2 получаем
73
aOt	6at
II MM)—MM) II <М2Л4 [eMte	6 +2 II b2 — ayo(O) || Ke 8 4-
/Н-1
4~e 7V(Af3)| || hi—h0 || ^7W2Af [eAfi4-2 II b2—t®3(0) || K-f-
+eZV(7W3)J || hi~h0 И ,	(1.9.42.>
где 0<6<l.
Подберем теперь малый параметр е так, чтобы выполнялись
неравенства
0<е<______П^-^о(0)_11	(1	.
Тогда на сегменте [0,1] из неравенства (1. 9. 42) вытекает не-
неравенство
И ММ)~ММ) II < II шо(О) II (1 +2MtMK) Ц hi—h0 ||. (I. 9. 44)
Допустим теперь, что отклонение начального условия z(0,&)—b2 от
и»о будет малым. Тогда мы можем подобрать Ь2—wo(0) так, чтобы
выполнялось неравенство
ll^(0)»< 2J+^|K).»	(1.9.45)
Следовательно, на сегменте [0,1] для достаточно малых значений
параметра е выполняется неравенство
II ММ)~ММ) Я <4 11 А^’8>“ММ) 11 • О- 9- 46>
Из неравенства (1. 9. 46) вытекает, что первое приближение не вы-
ходит из области
II ММ) II <2Af3=const
Предположим теперь, что неравенство (1. 9. 46) верно до J—1 и
построенные последовательные приближения	не выходят из
области В hj || <С2Л1а, тогда имеет место неравенство
||	|| < у Р ЛУ-2(М)-^-з(М) II •	(1- 9. 47)
Следовательно, из неравенства (1. 9. 41) вытекает неравенство
a.6t	Oat
II hj(t,e)-	II [еЛГ* +2 || £a-wo(O) II Ke " +
p+1
4-s	2V(2M3)] ||	hj~2(t,e) 11 .
Так как малый параметр ей II Ь2—®'o(O) II удовлетворяют соответ-
ственно неравенствам (1. 9. 43) и (1. 9. 45), то из последнего выте-
кает неравенство
* В случае, когда неравенство (1.9.45) не выполняется, возникают различные яв-
ления. с)тот вопрос освещен в другой работе автора.
74
11	||	(I /iy_i(/,e)—|| .
(1. 9. 48)*
~  “довательно, на сегменте [0,1] построенные последовательные'
^-ближения сходятся абсолютно и равномерно. Имеем
1-1
i ЙД/.е) И =	I < И М/,е)~^о(Ле) II + 11
г0
—ММ!|+—+ II Л/-1(Г,е)—Лу_2(/,е) II <7Из	+|' + ^i+*
+ •••+	^2-Мз-
-.чим образом, построенные последовательные приближения не вы-
дят из области || h(t,s) || <2Ms=co«sA Поэтому система нелиней-
-ых интегральных уравнений (1.9. 32) имеет единственное непрерыв-
ное решение
— Um
j—+CO
Сформулируем теперь основную теорему настоящей главы.
Теорема 1. 9. 1. Пусть 1) вырожденное интегро-дифференци-
1льное уравнение (1. 1. 3) с начальным условием п(0)=/ч имеет не-
которое непрерывное и дифференцируемое решение [n(0;M^)l; 2)
вещественные части всех корней М0>--Лл(^) алгебраического
уравнения
det(lE— аЯг(1^,ш; K2(t,s,v,w)ds))==0
о
удовлетворяют неравенствам
Reelkt<— 2а<0,
де а—некоторое положительное постоянное; 3) матричное ядро-
P(/,s,e) из (1. 8. 38) не находится на спектре.
Тогда для достаточно малых значений начального вектора
^1—Щ)(0) и параметра е, удовлетворяющих неравенствам
°<е< —,	(1.	9.	43)
МЯМ [Afi4-A'(Afs)l	v
II ^г-^о(О) II < ‘2П+2ЛОМТ’	(L	9‘	44)1
где Mt,М,M^M3N(MS),K— некоторые положительные постоянные,
система нелинейных интегро-дифференциальных уравнений (1. 1. 19)
с начальным условием (1. 1. 2) имеет единственное непрерывное ре-
шение, представимое в виде (1. 9. 1), причем, при е-»0 это решение
на полусегменте (0,1] равномерно сходится к решению- еоответст
вующей вырожденной системы (1. 1. 3).
75
Глава //
ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ЗАДАЧИ КОШИ В ТЕОРИИ ИНТЕГРО-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ФРЕДГОЛЬМА
С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ.
СЛУЧАЙ, КОГДА ПРЕДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАХОДЯТСЯ НА СПЕКТРЕ
В этой главе рассматривается асимптотическое поведение реше-
ний задачи Кони для одного скалярного интегро-дифференциальнэго
уравнения с малым параметром при старшей производной. Здесь бу-
дут выявлены характерно новые процессы, свойственные только для
нелинейных интегро-дифференциальных уравнений с малым парамет-
ром при старшей производной
В первых параграфах изучается асимптотическое поведение воз-
мущенных систем, когда предельное линейное уравнение находится
на спектре. В остальных параграфах исследуются свойства интег-
ральных возмущений.
§ 2. 1. Асимптотические методы в случае появления
собственных значений
В этом параграфе на простейшем интегро-дифференциальном урав-
нении с малым параметром при старшей производной излагается
сущность исследуемой теории. Рассмотрим нелинейное интегро-диф-
ференциальное уравнение вида
I
^K(t,s)z(s)ds-[-sf(t,z)
и
(2. 1. 1)
с начальным условием
z(O,e)=/>,
(2. 1. 2)
где P(t}~ непрерывная функция на сегменте [0,1]; K(£,s)—непрерыв-
ная функция по обоим аргументам в квадрате	не-
прерывная функция в области	-oo<z<4-oo j; ).—некоторый
параметр; е— малый положительный параметр. В этом параграфе
всюду предполагается, что P(ty>0. Кроме того, предполагается, что чис-
ло л=Хо является собственным значением ядра P-1(7)K(Z,s), которому
может отвечать, вообще говоря, несколько линейно независимых
собственных функций	Формально полагая е=0, из
(2. 1. 1) получаем
1
P(t)v(t)^K(t,s)>v(t)dt.
о
(2. 1. 3)
76
шейное интегральное уравнение (2, 1. 3) при Х=?о имеет бесчис--
•йслное множество непрерывных решений вида
т
с* (0.
К=1
(2: 1. 4)>
"ле ск— произвольные постоянные. Нелинейная функция имеет
жепрерывные производные в некоторой ограниченной окрестности
множества точек	В дальнейшем будет показано, что задача
_ 1. 1)—(2. 1. 2) имеет единственное решение, которое при е->0
стремится к некоторой линейной комбинации
т
ск Чк ^0»
к=1
в которой ск находятся по определенному правилу.
Предлагаемый здесь метод сначала демонстрируется для наибо-
ее простого случая, когда предельное уравнение (2. 1. 3) имеет
:д.,очараметрическое семейство собственных функций типа
Формальное решение задачи Коши (2. 1. 1) —(2. 1. 2) ищется в
виде ряда
оо	ее
VV4 / t\
_	(*И+ 2ХПК 1-А	(2. 1. 5).
/с=0	к=0
где vK (f),IlK j — пока неизвестные функции, которые опреде-
ляются по специальному правилу. Формально подставляя (2. 1. 5) в
уравнение (2. 1. 1), получаем
со	СО	оо
^'+,^)+2Лг4)+^о[£мл.+
к-= 1	к=0	«=0
оо	1	оо	со
\1 к ( t , (• г VI к V / s \ к'
+ 2^ПЦт)]==Х J 1(<Z>S) Zj (*> + 2иПк (j)e ]^ +
к 0	0	к=0	к=0
со	со
V?	# VI к / 1 \
vk	6)
/с=0	к=0
Слагаемые, стоящие в левой части (2.
6) и содержащее функции
пограничного слоя, записываются в в! де
к
t
е
(2. 1. 7)
«=0
к=о
77
Разлагая функцию P(te) в ряд Тейлора по степеням малого парамет-
ра е, а затем подставляя в (2. 1. 7), получаем
оо	00 («)	к К оо
к=0	к=0	к—О
=Р(0)По(т)+ (Р(0)П1(г)+Р'(0)тПоЬ)]в+ [Р(О)П,(т)+
+Р'(0)^П1(т)+Р’(0)^По(т)]е1+[Р(0)П3(г)+Р'(0)тП2(г) +
+ Р'(0)^ ЩхН- ^®8П0(г)]е«+...+
+ 1Р(0)Пк(т)ЬР'(0ИПк_1(г)+—^_щ_2(х)4-.„+	(2. 1. 8)
(«)
Р (0)т*
к!
к
В + ...
ад
'Прежде чем подставить (2. 1. 8) в уравнение (2. 1. б), сделаем не-
которые преобразования относительно нелинейной функции
стоящей в правой части (2. 1. 6).
Рассмотрим выражение
ф(е) = ЛЛ X Vk + IX ^-fV,
№=0	к=0
ОО	СО	ОО
=7(те; S <те)Е + IX (т)е )~/(те. У vk (те> )•
к=0	«=0	к=0
(2. 1. 9)
Далее функция ф(е) разлагается в ряд Тейлора по целым положи-
тельным степеням параметра е:
оо («) к
ф(е)=Ф(О)+£ЦО>-,	(2. 1. 10)
к=О
тде
ф(0)=f (О а(0)+По(т))-ЛО,о0(0));
ф,(0)=^(0,с’о(0)+-По(г))П1(т) + [Г/(0,п0(0)+П0(г))-
-/А0^о(0)]т+[Л(0,М0) + П0(г))-/ы(0,-П0(0))](О'о(0)г+®1(0));
ф"(0) - fa(O,vo(O) + По(т))П2(т) + [/„(О ,М0)+По(т) )-
-ЛАО,п0(0))]т+2[//ы(0,По(0)+По(^))-/<гг(0,Оо(0))]Х
78
X(®''i(0)TJ-u\(0)t4-v2(0))n1(* *)
(«)
Ф (0) =Лд(Ш0)+П0(г))Пк (t)+SK (ХА(О),...,
г>к_1(О),По(*),...,Пк_1(т)),...
где
Sk(t, vo(0), ... ,vK_ i (0) ,П0(т),. • - Лк-! (т)) ~
известные функции, возникающие из тех же соображений, что
и выше.
Рассмотрим еще функцию
ОО
к
2j^ (Ое )•	(2- 1. 11)
к=0
Разлагаем (2. 1. 11) в ряд Тейлора по степеням параметра е. Имеем
00	К
VI <*)	6
fl(6)=fl(0)+2j« (0)-г,	(2.1.12)
/VI
К=1
где
а(О)=/(/,по(О);
«"(0)-=/„(/,v0(0)®2(0+W^o(0)^2i(0;
(к)
« (0)=/„(Лоо(ОК(П +
+НК
Интегральный член, содержащийся в функциях пограничных слоев
правой части (2. 1. 6), запишем в виде
1	оо	Че	оо
c(e)=kj K(/,S) ]£еКПл 0^ds=Xej K(/,ve) Пк (v)ch^
О	к~0	0	к—О
оо	оо
Г	VI	к
^.е. k K(/,ve) 2je Пк (v)dv*.	(2. 1. 13)
О	/<0
( t \
* Так как функции ГЫ — I являются функциями типа пограничного слоя, то не-
'сооственный интеграл, стоящий в правой части (2.1.13), сходится.
79
Разлагаем теперь функции К(/,*г) в ряды Тейлора по степеням ма-
лого параметра е. Имеем
K(f,ve)=K(*,O)+K'(/,O)ve+
(2. 1. 14)
Подставляем (2. 1. 14) в левые части (2, 1. 13), тогда получаем
ОО 00	(к)	00
О /с=0	/<=0
оо
{K(/>O)no(v)+lK/(/,O)vn<,(v)+K(/)O)n1(v)]E4-
0
+ [K(z£,0)n2fv)4-K'(/,0)vI I1(v)4-K"(/,0) |n(J(0]s2 г (2. 1. 15)
+ [K(/,0>n3(v)+K'(/,0)vnXv)+K"(/,0)~n1(v)+ КД^ n0(v)]£®+
Z!	О!
(«) Л
К (t Oh	к
+ ...4-[К(Л0)Пк (v)+K'(/,O)vnK_1(v)+...+ У’и) По(*)]е +...1Л,
/VI
Далее ряды (2. 1. 8), (2. 1. 10), (2. 1. 12), (2. 1. 15) формально под-
ставляются, соответственно, в правую и левую части уравнения
(2. 1. 6). Тогда получаем
ОО	оо	QQ
V«4-l	Vi	к	к
_е vK (04- >^к (0е +Р(0	(0е 4-^(0)По(т) +
к~0	к—0	к=0
4-[Ро(0)П1(т)4-Р'(0)тП0(т)]5+[Р(0)П2(т)-ьр'(0)тП1(г)4-
+^®1по(т)]ег+... + [р(О)Пк (г) + гР'(0)Пк_1(т)4-...+
(к) к
Р (0)т	«
+-------к\-----По(т)]е +
QO
+1S {K(OO)no(v)4-
0
80
+ [K,(/,0bno(v)+K(/rO)nJ(v)l8+[K(/,0)n2(v)+K/(/,0)n1(vh4-
м2
+^//(^0)2rno(v)>s+.„+[K(Z,0)nK(vHK'(^0)vnK-1(v)+
(«)
К (/,0)vKno(v) , „ . , , . r,.
+ ...Ч------— .-------" --]EK+...|6'v + s[d(0)4-
KI
+ S^^l+4«<0)+ }»)£]•	(2. I- 16)
/с=1	« I
Нетрудно заметить, что правые и левые части (2. 1. 16) состоят из
двух степенных рядов по е. Один из них содержит коэффициенты1 *
только от t, а другой — только от т. Теперь отдельно приравнивают-
ся коэффициенты, содержащие I и т. Тогда получаем
1
/Э(г)оо(/)=Х jK(^,s)v0(s)t/s;	(2. 1. 170>
и
1	со
P(/)u1(/)=k j’K(/,s)v1(s)ds+e(O)+X^K(/,0)n(>(s)tZs-v'<>(Z);, (2. 1. 170*
и	о
1	00
P(t)v2(t)=y. jK(/,s)'»2(s)rfs-|-a,(0)+^ [К(£,0)П1(«)-Ь
и	и
4-K,s(/,0)sno(s)]rfs-v'1(0;	('2. 1. 17,)
1	оо
P(/)v8(O=X J K(/,s)^8(s)ds-f- —-н [К(А0)П2(я)+
0	б
+K's(ZI,0)snJl(s)+K',ss(/,0)4no(s)]t/s-^2(0;	(2. 1. 17,)
<41
1	(к— V	00
Р(/К(Г) =х jK(r,sK(s)ds+ +фк(А0)Пк_1(э)-1-
и	о
(к—-1)	к—1
+ K4/,0)sn^2(s)+...+K(---_-1y0)S	(2. 1. 17к>
6* 2790
81
А для функций пограничных слоев получаем
П'о(т)+Р(0)П0(т)=0;	(2.	1.	180)
Пад+^(О)П1(т) = ф(О)-Р'(О)тПо(т);	(2.	1.	18х)
П\(т)4-Р(0)Па(т)=^(0)-	 (2.	Е	18,)
1 I
(к-1)
П'к(т)+Р(0)Пк(т)=ф	(0) -
« (/)
~Sn/-‘(T)		(2. 1. 18к)
/=1
Предположим теперь, что функции v^t),Пк \ формально удовлет-
У 6 г
воряют соответственно уравнениям (2. 1. 170),...,(2. 1. 180),.,.,
(2-1.18к),.... Тогда ряд (2. 1. 5) формально удовлетворяет уравнению
(2. 1. 1) с точностью до порядка ошибки е. Для исследования
асимптотической закономерности ряда (2. 1. 15) зададим начальные
данные для уравнений (2. 1- 180),...,(2. 1. 18K),.... Имеем
^(0)е«+ ^е«Пк(0).
к—0	к^О
(2’. I. 19)
’Пусть По(О)=Л—vo(O), Пк10) — —'Цк(0)(«= 1,2,...). Тогда последователь-
'ности уравнений (2. 1. 180),—,(2. 1. 18к),... имеют определенные на-
чальные условия, если только vK(t) вполне определяются из соот-
ветствующих уравнений (2. 1. 170),...,(2. 1. 17к),.... Переходим теперь
к исследованию закономерностей каждого слагаемого асимптотичес-
кого ряда (2. 1. 5). Рассмотрим уравнение (2. 1. 180) с начальным
условием По(О) — b—по(0). Это уравнение имеет решение
По(т)=(й-г/о(0))ехр(-Р(0)г).	(2. 1. 20)
Применяя общую теорию Фредгольма [15], [40], 1411, [243] к урав-
нению (2. 1. 170), решение этого уравнения запишем в виде
где с—произвольная постоянная. Тогда (2. 1. 20) запишется в виде
По(т)М*-с<р(О))гхр(-Р(О)т).	(2. 1. 21)
Отсюда вытекает, что функция Пй(т) с заданным начальным услови
ем Ь—с<р(О) полностью не определяется. Для полного определена'
П0(Д подставляем (2. 1. 21) в уравнение (2. 1- 17t). Тогда для v,(r
получаем следующее ингетральное уравнение:
82
1
v1(/)=xJp-1(0K(/,s)v1(s)rfs4-P--1(0If(/.c'P(0+
О
+)К(Л0)Р-1(0)(*-ст(0))-с<р/(ОЬ	(2. 1. 22)
Свободный член уравнения (2. 1. 22) записывается в виде
/x-1(0{/(<,0)+[kK(/,0)/^1(0)T(0)-T,(0+fli(^0)<p(0]c+
+fuu(tfi^) -^^-+6К(/,О)Р-1(О)|.
«41
Пусть
1)	=h(O;
2)	Р-ж(01 /,в(А0)<р(0-“ХК(Л0)Р-1(0)?(О)-?'(О>Л(О;
3)
Тогда уравнение (2. 1- 22) записывается в виде
1
^(/)=Х JP“1(^)K(MA,s)^+A(^)c-|-₽(r,c)+/1(/).	(2. L 23)
о
Так как Х=Х0 является собственным значением ядра P~Y^)K(Z,s)
ранга, равного единице, то неоднородное уравнение (2. 1- 23) име-
ет решение вида
®i(O=<*P(*)+«i(O.	(2. 1. 233
тогда и только тогда, когда
1
J’?(s)[/i(s)+A(s)c+₽(s,c)]ds=O.	(2- 1- 24)
о
Здесь через a^t) обозначено:
1
а1(/)=Д(/)с+₽(/,с)4-/1(/)4- J /?(/,s,k)H(s)c+
о
+P(s,cH-/i(s)]cfs,
где P(i.s,l)— резольвента ядра Р~ЧОК(гл) (об этом см. в книгах
(15], [26), [1901, [253]), 'X/)—собственная функция присоединенного
ядра P—1(s) K(s/).
Уравнение (2. I. 24) является алгебраическим уравнением
относительно неизвестною с.
83
Пусть
1 1 1
1) Jo;s\A(s)tfs=A; 2) J 'Xs)/i(s)^s~ —/В 3)J|(s)P(sx?)dss—P(c).
0	0	0
Тогда нелинейное алгебраическое уравнение (2. 1. 24) запишется
в виде
4c=P(c)+fj.	(2. 1. 25)
В дальнейшем предполагается, что
А =£0.	(2.	1. 25')
Тогда уравнение (2. 1. 25) запишется в виде
c=A-1P(c)4-A-1f1.	(2.	1. 26)
Займемся	теперь	исследованием нелинейного	алгебраического	урав-
нения (2.	1.	26).	Так	как по предположению	функция	/(/,у)	имеет
непрерывные производные, то при | с | ^2 R—const функция Р(с)
удовлетворяет условию Липшица
I Р(с2) —P(ci) | <Л/(Я) | cs-ct | ,
где А'(/?)—постоянная Липшица; | А-1 II /i | </?=const
Теорема 2. 1. 1- Если 1) | Д-1 | <А0=const; 2) A0N(R)<^,
то нелинейное алгебраическое уравнение (2. 1. 26) имеет единст-
венное решение, которое может быть найдено методом последова-
тельных приближений.
Доказательство. В самом деле, пусть
со^0; c„=A-1P(c„_1)+A-1fi(n=l,2,...)-
—последовательные приближения. Имеем
I С1-с0 I < I А-1 II [Р(со)—/J I = I А-1 II Д | <R=const.
Пусть
1) I ск—ск-1 I I -А-1 I N(R) | cK-i—ск_2 I <^-A0N(R) | ск—1—ск—2 |
. 1 _
2 I СК—1 Ск—% I 1
К
2) I Ск I < V ! Cr-c^ I <(1+_1_+...)Я<2/г.
Г=1
Тогда
I ск+1 I I A- I N(R) | ск ск-1 |	| ск—ск—х | .
Следовательно,
к+1
I Ск+1 I 1 cr-cr-i I </?(14-2- + 4 +-+	)<2R'
r=l
84
Таким образом, построенные последовательные прибли/кения сходят-
□I абсолютно и равномерно и не выходят из области 2R- Теорема
жоказана.
Замечание. Если А=0, то возникают другие явления (об
этом будет идти речь в других работах автора).
После нахождения решения системы (2. 1. 24) значение с—са
'вставляется в правую часть уравнения (2- 1. 23). Тогда решение
_авнения (2. 1. 23) запишется в виде
-де
1
a1(/)^A(/)c0+plAc0)+/(Z)4-J/?(/,s,A)[A(s)cu+₽(s,c0)+/(s)]Js;
и
новая произвольная постоянная, которая определяется из разре-
шимости интегрального уравнения относительно v^t). Подставляя
с=с0 в функцию (2. 1- 21), полностью определяем функцию П0(т):
По(т)=(^-сот(0))ехр(-Р(О)т).	(2. 1. 260)
Уравнение для Пх(т) имеет вид
П,1(т)+Р(0)П1(т)-/(0,'Цо(0)+П0(т))-/(0,ЦоГ0))-Р'(0)тП()(т) = А1(т).
7оавая часть этого уравнения—вполне определенная функция. Запи-
шем решение этого уравнения:
С —Р(О)(х—S)
ПДт)— V1(Q)exp(—Р(0)т)+ Ь	Ai(s)Js. (2. 1. 26i)
о
Подставляя (2. 1. 23') в (2. 1. 26J при 1=0, получаем
г -Р(О)(г-s)
^^-(е^СО+а^О)^—P(0)t)+U	Ai(s)</s.	(2. 1- 26')
о
Для определения неизвестного Ci рассмотрим уравнение относитель-
но o2(Z). Имеем
1
У2(0=Х ^P-1(OK(ZI,s)ya(s)fi?s-|-P-1(Z)[/„(0,c0®(/))<p(Z)—
О
-*К(/,о)Р-чомо)-тЧО]М-«'.(а
где	«VOSP-1(O [/u(0^oT(Ofli(0—
СО
—xj [1((/,0){а1(0)ехр—Р(0)(т—v)+
0
85
P -P(O)(V-s)
+ U	AiCs^sJ+K'sO.OJsnoCs)}^-a\(t).	(2. 1. 27)
о
Так как
I АДО | < | f(0,vo(0)+n»(0)-/(0,ve(0)) | + | Р'(0)т | X
—P(O)T
X I По(О I <Ж(т)+ I P'(0) в хПо(О | <М(т+1)е	<
P(0)t
—	—P(0)t* *
<Alie	< Mte
где
Р(0)т
2
M—tnax(N, | P'(0) [ );Л1(-Н-1)е <Af1=cons/,Ma==co«s/,
то несобственные интегралы, входящие в	сходятся, причем
на сегменте [0,1] а'в(0 является вполне определенной непрерывной
и ограниченной функцией.
Уравнение (2. 1. 27) запишется в виде
1
(2. 1- 27')
о
Уравнение (2. 1. 27') имеет непрерывное решение вида
1
ца(О=г8<р(21)-+-Ао(/)с14-а'а(Л+J/?(/,s,O[Ao(s)ci4-a'a(s)]ds (2. 1. 28)
о
тогда и только тогда, когда
1
J Ф (О [ A0(s)ci+a's(s)] ds=О,
о
где сЕ— новая произвольная постоянная, подлежащая определению.
Здесь предпологается, что
1
Ао= ^4(5)Ao(s)t/s^=O,
о
то из этого уравнения однозначно определяется произвольная
постоянная q:
- Р(0)~
* Ранее было сказано, что при оценке выражений вида (та+т+1)е по«
Р(0)т
— Р(0)т	— 2
лучили бы (т2-ут+1)е «СМе	,где К,—const. Эту оценку запишем прос-
-Р(0)т.
то М-е , так как от такого допущения ненарушается общая асимптотическая
теория.
86
1
G=—A-1 ''.>(s)a'.Js)ds=c°l.	(2. I. 29)
0
Теперь (2. I. 29) подставляется в правые части (2. 1- 26') и (2. 1.28).
Ттгда функция П1(т) является вполне определенной функцией, а
приводится к виду
»2(0==с2?(0+«»(0>	(2- 1- 30)
-де
1
a2(Z)=A0(/)c0H-a'2(n-|-J R(t,s,l)lA0(s)c\^a'3(s)]ds.
о
.Тля окончательного определения с2 обратимся к системам (2. 1. 17)
(2. 1- 18). Правая часть уравнения (2. 1. 18) — известная функ-
ция, причем
1 Ш I = 1 Ф'(0)-Р,(0)тп1('С)-	| <кГ₽(0)\
где K=const. Это уравнение имеет решение
р _P(O)(T_S)
П2(т)=—v2(0)exp(—Р(0)т)+ le	<Ms)ds.	(2. 1. 31)
и
Твк как г,2(0)=с2<р(0)4-д2(0), то
р -P(0)Cr-s)
П»(т)=—csexp(—P(O)-r)<p(O)—a2(Q)exp(—Р(0)т)—|— I е	tye(s)cfs.
0
(2- 1. 32)
Подставляем теперь (2. 1. 31) в правые части (2. 1- 17а). Имеем
1
VS(/)=A j*P_J(OK(^S)vs(s)t/s-j-A<)(/ka-J-fi,3o(Or
0
где
ОО
a'30~P-l(t) +Х J [K's(/,0)sn1(s)+ К/'(/,0) -^-ГЦг)-
о
—K(t,0)exp{—P(0)s)<z2(0)]dsj.	(2. 1- 32/)
Из вышеизложенных соображений вытекает, чю a'3(t)—вполне оп-
ределенная известная непрерывная функция на сегменте 10,1]. Урав-
нение (2- 1. 32') имеет непрерывное решение
v3(t)=csf(t)+a'3o(t),
где
87
1
<X0=A#)eM-a'8(/)-|- J/?(^s/)[A(s)c°2+a,30(s)]iZs,
О
тогда и только тогда, когда будет выполнено равенство
j4(s)[A(s)c24-a'80(s)]ds=0.	(2. 1. 33)
.0
Отсюда
1
•с2=—A0-1^(s)a'j(s)rfs.
о
Подставляем это значение с8 в правые части (2. 1. 31) и (2. 1. 32).
Тогда функция пограничного слоя П2(т) определяется полностью,
причем для нее на основании выше приведенных соображений
справедливо, что
—Р(0)т
I П2(т) | <ТИ2с ,
где М2 = const, а о8(0==с8<р'(0+а'з(0 содержит еще одно неизвест-
ное с8, которое определяется из разрешимости уравнений (2. 1. 174)
относительно Продолжая вышеизложенную схему, последова-
тельно находятся все функции	->П8(т),П4(т),.... Пусть р—
любое целое натуральное число. Предположим, что функции
»1(/),...,Ур_^1(0,П8бт),...Пр_1(т) определены полностью. Определим те-
перь функции vp(z), Пр(т). Уравнение (2. 1. 17к) при к—р записы-
вается в виде
1
»р(0=х	(2. 1. 34)
О
где
(р)	00
а'рЩ= + > J[K(/,0)np_1(s)+K4^0)vnp_2(v)+...+
0
(р-1) р— 1
+rDi
В правые части (2. 1. 34) входят функции Пр-1(т),р/7_1(/), которые
имеют соответственно вид
vp—1 (0 = Ср—if (t)~i~ap—i (t) 5
Пр-i (£) =—Ур-1(0)ехр(—Р(0)т)ф-ар_1 (т),
где ар_1(0,ар-1(т)—известные функции, причем при всех т>0
—Р(0)т
| I	, К—const.
«8
Неизвестное определяется нз разрешимости уравнения
1
b(s)a'p{s)ds — 0.
о
Тогда интегральное уравнение (2. 1. 34) имеет однопараметрическое
семейство непрерывных решений вида
М/) = сд'Рр(0+М/)’	(2.1.35)
где Ср— произвольная постоянная подлежащая определению. Для
нахождения ср воспользуемся разрешимостью следующего уравнения
1
t>+i(0=x ^-1(0K(^s>z,+1(s)4Zs-+-Ae(0Cp+a'p+1(0,	(2. i. 36)
о
 .е arp+i(t)~ известная вполне определенная функция иа сегменте
.и.1]. Уравнение (2. I. 36) получается из (2. 1. 17к) и (2. 1. 18к) при
с=/Н-1 вышеизложенными соображениями. Уравнение (2. 1. 36)
имеет непрерывное решение
1
‘7н-1( 0 ~ c'p+i ?	[ Ао(	ds
о
тогда и только тогда, когда
1
^(s)[Ao(s)^4-a'p+1(s)]</s=0.
о
(2. 1. 37)
(2- 1- 38)
Из этого уравнения определяется ср:
1
ср~~~Ao"1 j*6(s)a,p+1(s)c?s=c(,p.
6
Подставляя ср=сор в (2. 1. 35), мы получаем
(0)
vp(t)^cp v(t)+ap(t).
Тем самым полностью определяется функция пограничного слоя
p-того порядка Пр(т).
Таким образом, мы даем алгоритм определения всех членов
асимптотического ряда (2. 1. 5). В следующем параграфе будет дан
способ асимптотической оценки остаточного члена этого ряда с лю-
бой степенью точности относительно малого параметра е.
«а
§ 2. 2. Асимптотические методы оцеиек остаточных
членов ряда (2. 1. 5)
Здесь будет изложен способ оценки остаточных членов таких
задач, когда предельное интегральное уравнение находится на
спектре. Переходим теперь к изложению этого способа.
Подстановкой
Р	Р
u{t,z)= £ vK№+ 2 гЦ4)е“+еР+1^А	(2. 2. 1)
к=0	к=0
где £(/,е)— новая неизвестная функция, уравнение (2. 1. 1) приво-
дится к виду
Р	р	Р
к=0	к=0	к—0
Р	1	Р
4-еР+1р(0Ц/,е)+Р(те) ]£пк(т)е«=Х j K(/,s)
к=0	0	к-0
1	Р	1	Р
K(/,s) £ гЦ-^е'ОЙ-Н J K(/,s)e(s,eWss₽+14-£[/(/. JJvJOX
О	к-0	0	к-0
P
Xe«+ J] Пк
k=0
P	P	P
-Wit, S ^(0®*+ S nK0-^)-f(/,£nK(Oe«)]+
лг=О	k=0	k=0
P
+®/(Л
K—0
(2. 2. 2)
Делаем некоторые преобразования в правых и левых частях (2. 2- 2).
Интеграл, стоящий в правой части и содержащий функции погранич-
ных слоев, запишем в виде
ip	оо	р
X ^К(М) S n^4)eKrfs~X£[ K(Z,se) Sn«(s)e*ds- (2- 2. 3)
О	к=0	0	к=0
Теперь разлагаем в ряд Тейлора l«/,ss) с р+\ первым остаточным
членом, а именно:
90
K(/,se) = /<(^O)+K'(/,O)se+K"(/)O)	+...+
X!
(p)	(p+B pH pH
4- K.epsp+ К-------------’ e----------	(2. 2. 4)
pl	(p—1-1)!
где O<0<1.
Из (2. 2- 3) и (2. 2- 4) вытекает, что
со р	р	1 (р+В
б лг—О	кг=О	О
р	оо
О
V®
+[K(/,0)n8(v)+K'(/,0)vn1(v)+K"(^0) х7По(^)]е®+...+[К(Л0)Х
XI
/р-1) '	(р-1)
Xnp_1(v)-LK'(^0)vnp_8(v)+...4----(р(117)Г---ад]еР-ЧЛ+
1 (p+V	Р
S п/|)л,+
О	к=0
оо
-Не j [K(AO)np(v)4-K\/,0)venp+...+Ap(/,ev)]<ZvSP,	(2. 2. 5).
О
где Ар(/,е>)—известная функция от t, v, е, возникающая при умно-
жении подинтегральных выражений, стоящих в левой части (2. 2- 5).
Функцию P(t) запишем в виде
(Р)
Р(«)=Р(О)+Р-(О),.+	+...+
XI	р *
(р+1)	р+1 р+х
Р (0те)т е
(Р+1)!
где О<0< 1. Имеем Р Р(хе) £	' к=0	да	Р	(р+1)	Р+1 р п^р , .1/!'  + —<	(рЧ-1 )1 --0 9Г
+Р(0)По(т)-ЫР(О)П1('сНР,(0)хПо(т)]е+[Р(0)П2(т)4-
P"10)-ta
+Р,(О)^П1(т)+К Пв(т)]еа+...Ч-[Р(О)Пр(т)+тР'(О)Х
ХПр_1(?)-4--+Р р{0)т П0(т)]еРЧ-Ар+1(г,е),	(2. 2. 7)
Где Ар+1(т,е)— слагаемые (2. 2- 7), содержащие функции погранич-
ных слоев при е, степенью превышающих р+1. Рассмотрим теперь
функцию
Р
ap(t)s) = f(t, 5j^k(0£K)-	(2- 2. 8)
к—0
Как и выше, применяя формулу Тейлора для ap(t,e), получаем
(Р),	(р+1)	г+1
а„ (/,0) a (tte) „Р+
ap(/,£)=flp(/,0)+a7(/,0)e+...+ -^~-i	е ,	(2.2.9)
где 0<6<1,
а p(^0) = fuft,vo(/))v2(^)-|-flzlz(/,vo)/)) •
ар	—Уи(^®о(00р(^))_Ь^р(Л00, — 1°р—1),
известная функция. Из доказанных в § 2. 1
-соображений вытекает, что
(P+V
j ар (/,6е) | <.M=const.
Подобно тому, как и в бесконечном случае, рассмотрим
функцию
Р	Р
фр(те)=/бте-2(М^4-Пк(х)]еК)—2°кСте)е,с). (2. 2. 10)
к=0	к=0
Применяя формулы Тейлора, (2. 2. 10) запишем в виде
(р) р р (р+у р+1 р+1
м»)=м°)+<-'+>>+•+ (0); • + _____________+++— 
р|	(р-fc-l)!
(2. 2. 11)
тде 0<6<1;
Фр(0)=/(0,^о(0)4-По(т))-/(0,Фв(0));
92
’?'p(0)=A(c,Xo(o)+n0(x))ri1(0+[/z(o,^(0)-4-nfl(x))-f/(OA,(0))]x
Xt-bl/B(0,vo(0Hno(x))-/B(0^o(o))](»,o(0h-fi(0));
(0)=/„(0,О0(0)+По(т))Пр(т)+5р(т,ио,...,Ор_1(0);
П0(х),-..,Пр—i(x)).
Нетрудно убедиться, что
(p+i)	р+1 р+1	~P(0Jt p+I p+l
I Фр (6е)т e I	x e ,
где M—некоторая положительная постоянная. Подставляя в правые
и левые части (2. 2. 2) соответственно выражения (2. 2. 5), (2. 2. 7),
(2. 2. 9) и (2- 2. 11), а затем учитывая, что функции [VolO^ifO,—>
со^)],[П0(т).П1(х),...,Пр(т)] соответственно удовлетворяют уравнениям
(2. 1. 17с), (2. 1. 17J; (2. 1. 17J,.(2. 1. 17J и (2 1. 180), (2- 1. 18J,
•••.(2- 1- 18к) предыдущего параграфа, для определения 5(z,e) полу-
чаем нелинейное интегро-дифференциальное уравнение вида
1
^K(t,s)t(ss)ds+
О
(р+1)
I ар (tfl5)
i (p+i) p+i p
[К (7,eS)s V п
.	-+1	ик
О (р+1?!е к==о
zKds+-
(Р+1)	Р+1	р	р
+ ------------------&р(0+	1/(Л X ^(z)eK+ X nJ~V+
(р4~1)!е	к=0	к=о
Р+1	\1	VI / / \
+е E(/,e))-f(/. 2, vK(t^+ 2j nJT	(2, 2. 12),
к=0	k=0
Подстановкой

\ * /
где г>р-ц(£,е) удовлетворяет линейному интегральному уравнению
1
Р(0ур+1(Ле) = Х ^K(Z,s)vp+i(s
О
(2. 2. 13).
где
93
(р+1)	1 (р+и . . Р
, ,/Ч_«Р	,ЛК	f+
«р+iK,6)-	, «I j -Н\	р+1s
oJ (Р+1)Ь
(p+V р+1
। 4* (6eV i //\
+  ----- p+f-	р(0,
(р+1)1е
**лг|
к=0
•а функция Пр+i^-^
удовлетворяет уравнению
(2. 2. 14)
уравнение (2. 2. 12) приводится к виду
eV(/,e)+P(C71(/,e) = -P-1(e/)m^+i(t) -»7+1(Ле)+
Р	Р
X ^И4- S П^4-)е'с+е/’+1(^р-и(М)+Пр+1(0+
к—0	к=0
Р
^((,е)))-/(6 }j(M0+n^4) )eKi+eW,0)P-1(0)n/7+1(0)+
«=0
Г	I I \	-р(°)-7
+ \K's(/,s)snp+1 (—Jrfs-ekK(/,l)e	Пр+КО). (2. 2. 15)
о
Так как s(0,e)=0, то начальные данные для функции т](/,е) и Пр+^т)
удобно задавать в виде
73(О,г)=О,
Пр+1(0)=—Vp+i(O,e).	(2. 2. 16)
Уравнение (2. 2. 14) с начальным условием &p+i(O,e) имеет решение
—Р(О)т
Пр+1(т)=-е	»p+i(0,e).	(2. 2. 17)
Для определения ^(Де) нужно решить уравнению (2. 2. 13), ко-
торое имеет непрерывное решение только тогда, когда
1
6(s)P^1(s)a/p_| i(s,s)rfs=^0.	(2. 2. 18)
О
Если выполнено условие (2. 2. 18). то интегральное уравнение
(2. 2. 13) имеет непрерывное однопараметрическое решение вида
94
»p+i(^e)=‘?pri(e)?(O-,-fl:p+i(^e).	(2- 2- 19)
где
1
ар+1(/,е)=р-1(<)алр+1(/,е)+ ^/?(r,s,e)P-1(s)ap+1(s,e)ds,
о
а ср+1(е) — произвольная постоянная, подлежащая определению. Вы-
ражение (2. 2. 17) запишется в виде
— Р(О)т
Пр+1С0=— е	(Ср+1(е)¥(0)+ар+1(0,е».	(2. 2. 20)
Подставляя (2. 2. 19) и (2. 2. 20) в уравнение (2. 2. 15), получаем
1
Hf/,s)=Ap+1f/,7j,e)-|-X^K(Z,s)7i(s,e)rfs,	(2. 2. 21)
о
Ар+1= -Р-(0{ l^'G»e)±P Wnp+1(	-еср+х(е)<р'(0+
1
+ea,p+i(Ae)l+keK(/,O)P-1(O)(Cp+l(e)4>(O)4-ap+1(0e))-|-(K,s(Z,s)sX
0
/ s \	-Р(О)Т
ХПр+i f ds—eXKG,I)е (cp+l(^(Q)+ap+1(0,e))+
Р	Р
±4plfV’ S М0е«4- ^еКп^(-г)+еРг1(^+1(/’е)+пР+1(тИ
к-0	к=0
Р	Р	' \
£ M0^+ I] еКпк^-^-J)j—Е^’+1(^Р4-1(Ле)_1_
к—0	к—0
Р
+пр+1(т))+	^[М0+пк(4)е'с+£/’+1(^+1<?(/)+
к=0
+«p+i(^ >Е))+Пр+1
Р
D-f(t, S 1^(0+гЦ4)15К11-
к=0
Уравнение (2. 2. 21) формально будем рассматривать как линей-
ное неоднородное интегральное уравнение типа Фредгольма [15],
95
{2521, 1253}. Линейное неоднородное интегральное уравнение
(2. 2. 21) имеет решение
1
7i(^£):==^+i(e)'P(O4-Ap+i(M»e)+^(z1s,x)Ap+i(s,v),e)4/s (2. 2. 22)
о
только тогда, когда
1
о
(2. 2. 23)
где Cp+i(e) — произвольная постоянная, совпадающая с прежней
постоянной £p+i(e). Если бы эти постоянные не совпадали, то интег-
ро-дифференциальное уравнение (2. 2. 12) имело бы двупараметри-
ческое семейство решений, что противоречит предположению отно-
сительно существования собственных функций ядра P“’(r)K(/,s).
Определим теперь	из нелинейного алгебраического
уравнения
1	Р
J6(s)P-J(s)[-<P,(s)^K(/,O)P-1(O)?(O)+/K(s, J] vK(s)e*+
0	к=0
Пк
1	р
e^(s)\dscp+i = ^<b(s)p~l(s)fuu(s, ^Ms)s«+
0	к=0
P
+ У nK^jefc-t-esP+1(c/,+i<p(s) + ap+1(s,e)))(Cp+1(p(s)+ap+1(s,e))2X
к=0
X-^-ds, где 0<6<l.
(2. 2. 24)
Уравнение (2. 2. 24) является нелинейным алгебраическим уравне-
нием относительно неизвестной гу^е). Структура этого уравнения
соответствует структуре уравнения (2. 1. 24), рассмотренного в
параграфе 2. 1. По предположению,
1
Ao(e)=j6(s)P-1(s)[-?,(s)+xK(/,0)P-40)T(O)-4-/H(s,...)<P(s)]rfs^0.
О
Следовательно, ранее примененным методом доказывается сущест-
вование единственного решения уравнения (2. 2. 24). Пусть это ре-
шение имеет вид
Cp4-i(e)—C^+iO).
«6
Гсгда левая часть (2. 2. 23) запишется в виде
1
j9(s)p-1(s)eTj,(s,e)rfs + Bptl = 0,	(2. 2. 25)
в
.’де
f	/SA	-”-7
\’t’(s)P-1(s){P/(0s)snpn( “ I +e« p+i(s>e) + ebK(s,l)e X
0
1
 (^+i(O) + ap+i(s,e;)-f-ekK(s,O)P-1fO)t?p+1fO,e)H- j К'Дз.уАГУн ^7^v+
0
p
У [^+nje«+£/'+1(UpH + n/)+1) + eP+^)-/fS,
к— 0
P
У nK^K+^\vp+l+np+l))}}ds.
kO
Интегрируем по частям выражение
1
Тогда
0
получаем
1
E P(n <1-e)-e J ("pfiy ) ^.е)^+^+‘=0-
о
Отсюда
"Toy [ ~BP+i ~r+ j(’w) ^s,e)rfs ‘
о
из (2. 2. 257
(2. 2. 26)
Попутно отметим, что сумма слагаемых, не зависящих от неизвест-
ной функции т((/,е) в выражении Bp+i -р имеет следующий вид:
В'p+i—
С ^(s)
}P(s)
О
«	7 с \	— Р(0)~
P'(eS)jLnp+1 -A-	х
1
X(c°p+i+t?p+i(O,e)) f-XK(s.0)p-I(0)ap+1(0,c)4 ^K's(s^)l	ps.
о
7* 2790
9Z
Это выражение при е->0 равномерно ограничено. В самом деле,
имеем
Р(0).	Р(0)
(t \	—*	t ~~T~t
е .	। a'p+i(t,e) |
Следовательно, используя эти неравенства при оценке Bp+i—, полу-
"чаем, что при е->0
I B'P+i I ^M=const.
Переходим теперь к рассмотрению интегрального уравнения
(2. 2. 22). Интегрируя по частям выражение е J/?(/,s,k)P_1(s)£fr](s,e)
о
•и учитывая, что т)(0,е)=0, получаем
1
е J(/?(/,S^)P“1(s))4(s,e)</s.	(2. 2. 27)
О
Подставляя значение т((!,е) из (2. 2. 26) в (2. 2. 27), получаем
х1
е (/?(£,S,MP-1(s)rf7j(s,e)s₽(Z,l.k)p-41)
о

1
f/ <J»(s) у .	,
+-£	Р(5) ) ^s^ds
о
1
j(^(^s/ )P-1(s))'Yl(s,s)rfs.
О
(2. 2. 28')
'Интегро-дифференциальное уравнение (2. 2. 22) с учетом (2. 2. '28';
запишется в виде
гУ(/,е)--Р(/)73(/,е) = Я1/,т1л1+^+я,	(2. 2. 281
•где
.1	1
(/?//,s,k)iP-l(s))'Tt(s,e)6Zs-|- (/?(Z,s,k) ~кХ
I	I
о	0
X[/(s,£ vK(s>+ £ П^^«+е/’+1(цр+1 + П/,+1) + еР+1т1)-
к=0	k—Q
P	P
-v«(s)^+ S nJ-^bK+e^1(^i+n;+1))lrfs+
к.0	K=f)
l98
О
7j(s,4)rfsi;
J\	/
0
8p^= P'(60#np+1
—Я*,+1(е)<р'(/)—e.a'p+i(t,e)-'KeK(tfi)X
1
XP-40)(cp+1(e)?(0)+ap+1(0,e))+ ^K's(/,s)snp+1^^s-
o
P(Q)
—XeK(/,l)e	6 (f°p+i(e) 4-ар+Х0»е))ф(0-
гнтегро-дифференциальное уравнение (2. 2. 28) приводится к ин-
егральному уравнению
TXz,e)= \ £ 5	— кДм.е)+£р+2(8,е)]<&.	(2. 2. 29)
О
Интегральное уравнение (2. 2. 29) решается методом последова-
тельных приближений.
Пусть
t
. _ Ср(«)
t	।----as
г	J е 1
1) \ е s	—[|//(s,6s) | + | Z?(s,e) ( \ds^M.—const-,
0
2) •»1о(Ле)=о.7гп(Ле)= j e
0
-i»e) + Bp+2(s,e)]ds, (2. 2. 30)
Л=1,2,...— последовательные приближения Пикара. Имеем
I МЛ'Чи6)—I <eAZ I ^11—Tw I ,
где /V— некоторая положительная постоянная. Тогда из (2. 2. ЗЭ)
вытекает, что
С J	1	еД^
I ^г—т]1	| О s	~	N I »)!—7]0	| ds < -т—	| 7]1—т;0 | ,
J	8	*0
О
где Р0=шпР(/) на сегменте [0,1]. Подберем малый параметр е
9Э
р
так, чтобы выполнялись неравенства 0<е<—®— Тогда I "'ll—''io I
2W
^M=const,
Иг I < I ^2—^1 I + 1 Tit~'*io I <A1
Пусть для любого к справедливо неравенство
Тогда
I ^+1-^ I <
eN
Ро
I Г1к—1 "Чк—а I 2 I	11/С—2 I •
-J- I ЛГ(«,%.е)~Я(5,%-л,е) I ds<
р— I	I < -у I ^к—'Чк-х I .
Отсюда следует, что построенные последовательные приближения
сходятся абсолютно и равномерно. Пусть
Имеем
п
I I С
Нт т)и(^>£)—
л~->°о
оГ +••• 'j <2Ab=co«s/.
^6	/
Следовательно, | т](/,е) | ^M=const на сегменте [0, 1). Таким об-
разом, нами доказана следующая теорема.
Теорема 2. 2. 1. Пусть: 1) является собственным зна-
чением ядра	ранга, равного единице, причем собствен-
ная функция <p(s) союзного ядра P~1ls)K(s,Z) при s=l не обращается
в нуль: ^(П=^0; 2) Функции P(Z),K(/,s) на сегменте [0, 1] непрерыв-
ны и имеют непрерывные производные по аргументам t и s соответ-
ственно, причем, Р(/)>0; 3) функция	в области
—оо <£<-роо) непрерывна и имеет непрерывные производные по
1
аргументам t и Z‘, 4)	^'ХОР~1(^)[/К(^,О)?(О~И<(/,О)Р-1(О)—
о
—<p'(f)]flfr=£O; А-/ 0;
5) Уравнение (2. 1. 24) имеет единственное решение. Тогда интегро-
дифференциальное уравнение (2. 1. 1) с начальным условием
(2. 1. 2) имеет единственное непрерывное решение
Р
Z(fa)=	Пк^-~-^1е'С+гР+1[^(Ле)+Пр+1^-4-, ej+Op+1(Z,e)],
к=0
100
-- Че(о.пх ^-^Лч(Ле);П^+1(^,е),1^+1(/,е)] соответственно удовлет-
:яют уравнениям (2. 1. 170), (2. 1. 17Д...,(2. 1. 17^, (2. 1. 180),
- 1. 181),...,(2. 1. 18л), (2. 2. 29), (2. 2. 13), (2. 2. 14), причем
/ t х	-Р<0)^
T.G.e) I <M = consZ, | Пр+1 I —,Б I | <Д4(е)е	, I »р+1(М I <
^М—const
'з з-*0. При этом при е—>0 решение задачи Коши г(0,е)=-^ уравне-
(2. 1. 1) сходится к вполне определенному непрерывному реше-
гю соответствующего вырожденного уравнения.
§ 2, 3. Характерные свойства решений некоторых классов
интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром
при производной
В этом параграфе изучаются некоторые свойства решений зада-
 г Коши интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром
:н старшей производной. Для простоты выкладок рассмотрим наи-
‘ .лее простое интегро-дифференциальное уравнение с малым па-
гметром вида
1	1
С K(/,s)y(s)ds+e (K!(/,s)y2(s)ds	(2. 3. 1)
о	о
с начальным условием
y(0,e)=ft.	(2. 3. 2)
При е=0 получаем вырожденное уравнение
1
P(0&o(0=x^K(/,s)o0(s)<f5.	(2. 3. 2')
о
х эторое является линейным однородным интегральным уравнением
-редгольма. Предполагается, что при д—Хо, как и в § 2. 1, интеграль-
эе уравнение (2. 3. 2) имеет однопараметрическое семейство непре-
рывных решений вида с©(/), где с—произвольная постоянная.
Поставим теперь вопрос: при е->0 решение задачи Коши (2. 3. 2.)
_ля уравнения (2. 3. 1) сходится ли к решению интегрального урав-
нения (2. 3. 2')? Поскольку «вырожденное" интегральное уравнение
<2. 3. 2') имеет бесчисленное множество непрерывных решений вида
=(/), то к какому из них имеет место указанная сходимость? Сна-
чала покажем, что интегро-дифференциальное уравнение (2. 3. 1) с
начальным условием (2. 3. 2) одновременно имеет два непрерывных
решения вида
«(/,s) = G<p(0+n(— We^.e),	(2. 3. 3)
«(Z,e)=-----------------------,	(2. 3. 4)
101
где	I Е(/,е) | <7И=const,
I £i(M) I <JM=const,
Сх и cs— некоторые постоянные. Причем при е->0 на сегменте [0, 1]
решение (2. 3. 4) при е->0 стремится к бесконечности. Второе ре-
шение (2. 3. 4) получается из (2. 3. 1).
Действительно, подстановкой вида
у(/,е) =	(2.3.5)
интегро-дифференциальное уравнение (2. 3. 1) приводится к виду
e|'4-P(0W
I
K(i!,s)ty(s)4fc-b
0
1
Ki(t,s}i>*(s)ds.
о
(2. 3. 6)
Таким образом, исследование простейшего класса нелинейных
интегро-дифференциальных уравнений (2. 3. 1)—(2. 3. 2) представ-
ляет определенный интерес и показывает характерные особенности
интегро-дифференциальных уравнений с малыми параметрами при
старшей производной. Переходим к непосредственному исследованию
поставленных выше задач. Подстановкой (2. 3. 3) уравнение (2.3. 1)
приводится к виду
-£!</(/)—Р'(М*П
4-XK(/,O)(ft-Ci фСОПР-ЧО) 4-
ос	1
4-е ^Р—1K(/,eev)vn(v)cfv4- уК1(/,«)ф5<«)с21+
0	о
1
4- (Ki(f,s)(2c1¥(s)n(—) 4-П8 f—W4-
о
t
4~2е \K!.(/,s)[ct<p(s)4-n I — |)E(s,s)ds4-
I	\ ®	/
о
1 1
4-е8 ^Ki(^)E8(sWs4-*Jk(/,sK(O</s,
о	о
где 0<б<1
П'(^)4-Р(0)П(?)=0
с начальным условием
П(0)=й-с®(0), e(O,e)=€h
Подстановкой
(2. 3. 7>
(2. 3. 8)
(2. 3. 9)
102
’?(^e)=fs<p(O+rii f
\ Б f
Глвнение (2. 3. 6) приводится к виду
1
еф'1(М+Р(0ф1(/,е)=Х ^K(M)<h(s,e)ds-
0
GO
-ХК(/,0)Р-1(0)ф(0)с2+е K's(/,ev)vni(v)iZv—
о
1
-Р'(б/)--п/ — V(Ki^,s^»2<p2(s)ds+
Б 1 Б /	1
о
1
'l +п2(-rfs+2e ( K^.sJX
I \ s / Vs / J
о
1
Хр2?(«)+П1	Ф1( s,e )ds 4- е2 ^Ki(#,s)^2i(s,e)ds—<?2Ч>'(О» (2- 3. 10)
О
*де ПЛ—I удовлетворяет уравнению П'1(т)4-Р(0)П1(т)=0 и началь-
\ Б /
ному условию П1(0)« —с2<р(0).
Уравнение (2. 3. 10) изучается со следующим начальным
условием:
ф(О,е)=е&=С2<р(0)+П1(0)+ефЯО.е).
Отсюда
ЩО^-с^О);
Ф1(0,е)=^.
(2. 3. 11)
Следовательно, из уравнений (2. 3. 7) и (2. 3. 10) видно, что
интегро-дифференциальное уравнение (2. 3. 1) одновременно имеет
два решения с одним и тем же начальным условием (2. 3. 2).
В этом параграфе ограничимся асимптотическими оценками типа
(2. 3. 3) или (2. 3. 4). Изучение асимптотической теории решений,
представимых в виде
Р
y(i,e)=c<?(t)+ У j еК+ fKi(0eK+Ep'1'M^e)’
к=0
или
103
р
у(/,е) =
р
к д41
ек4- >, Ук2(0е 4-е tjJI.s)
к=0
е
где р—любое целое положительное число, vKj(t)—функции,
п / t '
чаемые из уравнения вариации; П^-1 —
t
полу-
— функции типа погранич-
ных слоев, не вызывает особых трудностей. Изучим уравнение
(2. 3. 7).
Как н прежде, произвольная постоянная сь входящая
нение (2. 3. 7), определяется из уравнения
в урав-
1
1
। Ki(s,v)?2(v)dvr31-}-AK(s,0)(ft-cl<p(0))-®'(s)c1 ds-O,
б ()
где <b(s)-- собственная функция союзного ядра P_,(S)K(S>O-
ние (2. 3. 12) является квадратным уравнением относительно
известного
Имеем
(2. 3. 12)
Уравне-
не-
-я+/ а®--|-4с
С1 =----------2--------
(2. 3. 13)
где
1
~ ^ ^|^K(S,O)[T(6)-q>7s)lrfs
О
а=--------Г
1
[ K((s,v)<p2(v)dvds
б о
1
X ^<p(s)K(s,0)Ms
О
с_ -	j ,	,
ijKi(s,v)^2(v)t/vrfs
О
о
В дальнейшем предполагается, что
1 1
А= С	jK(S,v)<p2(v)dWS=#0.
о	о
Если же А=0, то из уравнения (2. 3. 12) вытекает, что
J<|>(s)lXK(s,O)<p(O)4-<p/(s)lrfs=X J<Xs)K(s,0)Ms.
О	О
104
Предполагая
1
В= J$(s)lM(s,0)<p(0)4-<p'(s)]rfs^0,
о
мэжно найти единственное решение уравнения (2. 3. 12). Пусть
1
1) А(/1с1)ен<Р,(/)с1-ХР-1(О)К(/,0)^(0)^ + j>K1(/,s)<P’(s)€Zsc21+XK(tO)^;
0
ОО
2) £(/,с1(е) = ~ — P'(e/)zn[->| +е [к'5(/>ЬПМ<М-
S	IS/	।
о
1
fKl(/,s)[2c1<P(s)nf- Vn2 f—'|
I	IS/	\ S /
J	\ /	\	/
о
1
ds.
КДММ^фОО+П (-|jWs’e)dz+
1
Ре J K^t,^(s)ds.
О
Тогда уравнение (2. 3. 7) запишется в виде
3?'(/,e)+P(/)e(/,e)-A(/,c1)+fl(/,c1,8)+ef(/,e)e)+xjK(Z,s)5(s)ds. (2. 3, 14)
О
Правая часть этого нелинейного интегро-дифференциального урав-
нения содержит постоянный параметр сь значения которого опреде-
ляются из (2. 3. 13). Далонейшее исследование проводится либо в
точке Ci = cu, либо в точке сх=сп. Не изучая отдельно эти точки,
напишем вместо них просто сг, хотя дальнейшее исследование про-
исходит либо в окрестности точки с1Ь либо с18.
Ранее примененным методом § 2. 2 последнее уравнение при-
водится к виду
е£,(Ле)4-Р(0^,е)=Р(Пс1(Б)<Р(/)+А(/,с1)+В(#А,е)+
1
+s/(AS,e)+S Jp(Z)/?(As,XK(S,e)ds4-ep(0R,e(/,lA)P-1(l)E(l,e)+
0
1
4- JP(/)R/(^.s/)P_I(S)[A(s,Ci)4-B(/,C1,e)+e/(S,5,e)]4/S
о
(2. 3. 15
105
при условии
1 1
$р(^ [A(s'C1)+B(s’C1’s)+/(s‘e’e)lds=e РО)^1’6)-6^^))^5’6)^’
о	о
(2. 3. 16)
где Ci(e)—нэвая произвольная постоянная, подлежащая определению.
По предположению (2. 3. 12)
1
JpJlj-ACs.dXs^O,
О
поэтому из уравнения (2. 3. 16) определяется
Ц1’,> жП(4)'Е(5’-),й+ Ж[т^-«)+
о	о
(2. 3. 17)
+ — Я«,М)
е
Подставляя (2 3 17) в (2. 3 15), получаем
^(Лз)+Р(О£(Ле) = Р(7)с1(е)<р(^)+77(/,еЛ),	(2 3. 18>
1де
1
Я(#,еЛ)=А(#,с1)+В(<,с1,е)+/(ле,С1)+^Р(0/?/5(Л«Л)Р-1(5)[А(5,с1)+
0
1
-+-5(s,Ci,-t)f(S,£,e)]ds4-e Jp-1/?(/,sA)P“1('s)£(S,e)C?s+
0
1
+Р(^(^1А)Р-Н1)^)|в^)'ИМ*+
0
1
+
о
Уравнение (2. 3. 18) эквивалентно нелинейному интегральному
уравнению
. -к*	<
$(/,е)=с1(е) С е 4	• ^^®(s)ds+^ е 8	• -|-77(s,e,$)ds.
О	О*
[B(S,e)H-ef(s,$,e)]ds I
J	J
(2. 3. 19)
106
?то уравнение запишем в виде

* 4^
е S ^>'(s)dsc1 4-
о
t
(e	S l-f/(s,.sA)tfs-
I	Б
0
r P(S)
J E ds
—<p(O)G(e)e
(2. 3. 19'>
..-дставляя (2. 3. 19') в правые и левые части (2. 3. 17), получаем
1	t
<p(l)G(e)—-р^~С1(е)е	—<p'tZsG +
0

Ф(О)<р(О)С1
р(0)
f P^(p'(s)dsC1+ ] ^r[Tfi(s-ci’e)+/(s’^e)ps}+
о	о
S
44’-
—<р(О)е °	-С1(г)]</5.
Отсюда
1 1
[ХКЗДР-ЧО) +<p'(s)-2с0 Г
,1 *J(S'	J
о	о
1 1
= 54^H^(s’g,e)“2 f Ki(s’si)[/7(^) 
о	о
s
О
^(vjdvz/s^c^e)^
107
4j e	• —7/(v,B,e)zZv—<p(0)e 0 1 1 4®* . 44- +<p(C)^	4-\ e	<p'(s)dsc!-	Ci(s)+S j Ki(s,v)E®(v)dv |ds-A. 0 1 - fe	— H(s£,e)ds+
0 1	5 ,	P(l)	(7	Ф'(5)	f Ф(1)	Л	P(s)}	J 0	0 _JP(4<fc . f V1 + 0 s — <p(0)e ° Введем обозначения 1 1 1) G1(e)^jA^{_ 2 J K^nj 0	0 о	1	0 s e	4- ^(s)]^.	(2. 3. 21) - f p(^) d -> J e dL Je °	^'{r)dxdN— 0 1
^P(s)
—e°	-<f(0)+e0 , P(D ПЖУГ- + «и)I ₽(s) J L 0 1 2) Ga(s)= (4	<p(0) 4-	| ds- 0 s	S . 47^ v	0 <p(s)ds-<p(C)e	d ( ₽ B(s^ Vs;
108
s
1	J e
3> №)= f	Ce . -L./7(v>j>e)^s. (2. 3. 22')
Tx1/ J \ rvd/ /J	e
О	о
Тогда уравнение (2. 3. 21) запишется в виде
• i./f(v,E,e)rfv+
S
—H(s.l,s)ds+G^,e},	(2. 3. 23)
Е
де
г 1 1
А.+	[>К(5,0)Р-1(0)ф(0)+т'(5)-2со	(2. 3. 24)
о	О
Как и в предыдущем параграфе настоящей главы,"здесь предполага-
ется, что Aj^O. Из (2. 3. 22) следует, что при е->0 Gi(e)—>0. Сле-
довательно, Ai4-Gi(e)^0. Из (2. 3. 23) находится произвольная по-
стоянная ^i(s), которая выражается через
G,s) .Подставляя (2. 3. 23) в уравнение (2. 3.
произвольную функцию
19), получаем
^,8) = (A1+G1(S))-1[G2(e) +О3(е,е)+
—H(v,s,?)tA»4-
t	t
СР(>)	fP(v)dM
JVdv z -J —
Xq> (s)as—<p(O)e	1+ (p	— /7\s,?(s,e),e)JssP[$].
el	S
О
(2. 3. 25)
Таким Образом, получ 1ли нелинейное
носитель110 неизвестной функции
се непрерЫВНЬ1Х функций на сегменте
ищегральное уравнение от.
Уравнение (2. 3. 25) в клас-
[0,1], 0<в<е0, где е0—Д°ста-
10J
точно малое фиксированное ч 1сло, легко решается методом после-
довательных приближений. Явное выражение функции //(£,£,е) дано
в формулах (2. 3. 18) и (2. 3. 14).
Пусть при е—>0 на сегменте [0,1]
1)	I (A1+Gi(e)~1 | [ | Gs(s) | + | G3(0,e) | +
1	s
f Wl
J znZnP(s) J
о	о
s
7" I 8(,,0,s) I
, -J®*	<
C	s 1	Г	\
+ e — | 7/(s,0,s) | ds][ | <p(Z) | +\ e	| <p'(v) |
I	Б	I
о	о
о	Г	8	1
+ I ?(0) | е 1+ \е — | /y(s,0,s) | ds^M —const,
1	Б
О
где
MZ,O,e)=A(Z,c)+B(Z,c,e)-{-
vUv f -j~-B(s,C,e)ds;
ф(1) J P(s) v
о
2)	Sw(Z,e) = P[Ew_1],$o(Z,s)=0—последовательные приближения Пика-
ра. Имеем
I SiKs)~МАе) I const.
Так как
1	—P(O)-J-
I	#(AEi,s) I <2e J | KjfZ.s) I [ I Ciq> I +«• \b—c^\]dsX
О
1
X max | E2—I 4-е2 C | Ki(t,s) | ( | P(f)P-1(s) | 1?81 )ds- max |	| 4-
O<f<l	J	0<t<l
0<е<|	о	O<e<l
1
+Ц( I ^'s(^) I + I R(W) i ) I P(0 II P-S(s) I ds max I Ea-EI I +
J
О	0-^.e^ 1
1 1 1
Ч«>(1ИЙН2Н’|Х
о	о	о
ПО
1
I ccp(v)-ЬП( — J I (/v4-e \ 1 Ki(/,v) | ( I 52 I + I ?i I )<fv]</s]} max | 5»
Vе/ J
о	o<CE<l
-5, 1 <eW max | 52—5i j ,
o<t<l
O<e<l
где
1 1
max[ J |Ki(/,s) II c<p(s)4-n	| ds-H J |Ki(/,s)|( | 52 I + I ?i I )<&+
О	о
1
+ I P(0 I ( I X's(t,s,k) | 4- | R(t,s,\) | ) | P-4s) | ds+
О
+1 w I {V Ш'1 V Ж1,2 $1 Ki(s,v)x
о	о	о
1
X I	I rfv+ J|KiU,v)| ( I 52 | + | 5X | )dv]ds}<W= const
О
при всех |	| <Af; | 52 | <7И, то
I 5,-5, I < | P(5i)-Pi5o) I max | 5,-Л I ,
o</<!
где M—некоторая вполне определенная постоянная.
Малый параметр е подбирается так, что существует достаточно ма-
лое число е0 такое, что при 0<е<ео выполняется неравенство
Тогда
I S2(f,e) I = | Р(5х) | < I 52 -5, I + I 51-50 I <
<2Л1 + еМ27И<7И 1 +
Предположим тепер?, что имеет место неравенство
I	5и~1 |	—л- max | 5И—i 5„—а I •
2 о</<1
Тогда нетрудно показать, что
I 5/,+1 5И ]	|
Р(?и) Р('п—i) I ^s^i max | ?n sn—,
о</С1
о<е<Е0<1
Ш
9 МИХ | in—\ | .
2 о</<1
«Ч<1
Отсюда следует, что построенные последовательные приближения
сходятся абсолютно и равномерно. Пусть lim
/г—»оо
Имеем
п+1
I ^п+1 I < S 1	।	+ 4 +"+
К=1
Следовательно, при достаточно малом е,О<е<	построенные
последовательные приближения не выходят нз области | $ | <^2714=
—const на сегменте 10,1]. Таким образом, нами доказана следующая
Теорема 2. 3. 1. Пусть 1) уравнение (2. 3. 2) при Х=х0
имеет однопараметрическое семейство непрерывных решений сФ(/),
причем, ф(1)=^0, где ф(7) — собстве шая функция союзного ядра
P-1(s)K(s/) и Р(2‘)>0; 2) K'(/,s)— непрерывна и ияеет непрерывные
1	1
производные в квадрате	пшчем^ф(в) K1(s,v)qj?(v)cfv<Zs+O;
о	о
1	1
3)	Ах= f-^r[XK(s,0)P-1(0)<p(0)+/(s)-2clKJ(s,v)№2(v)rf>](7s >0.
J	J
о	о
Тогда 3 1дача Коши (2. 3 2) для нелинейного интегро-дифференци-
ального уравнения (2. 3. 1) одновременно имеет два непрерывных реше-
ния, представимых в виде (2. 3. 3), причем при е-»0 на сегменте
[0,1) они сходятся к в солне определенным двум непрерывным реше-
ниям соответсгвующего линейного вырожденного уравнения (2. 3. 2).
Займемся теперь t зучением уравнения (2. 3. 10). Уравнение ти-
па <2. 3. 12) для определения произвольной постоянной с запишет-
ся в виде
1 1
J"Ki(s,v)¥2(v)rfvcs8-{-kK(s>0)?(0)c2—cjp'(s)
о о
Это уравнение имеет два решения:
1
Ьр(5
о
и; г22---—	— д ~
Пусть
ds=O.
(2. 3. 26)
12. 3. 27)
112
1) At(Z,cs) = l —cp'C/)^—XP-\0)K(/,G)<p(0)ca + ^K1(/,s)tf>2(s)<fccs2];
о
B2(t,C2 s)
I
j —7p,(M/n( [ j+jK's(z,eS)-|-n ds+
О
1
+ G<1(/,s)l2c(P(s)n (--U-П2 I — Yl ds ']
J	\ e /	\ e / I
о
1 1
3) fi(Z,4>i,e)=2cJ K1(/,s)[€7aa>(s)4-n
О	о
1
0(s,e)rfs4-e2 ^Ki(Z,s)621(s,e)ds.
о
Систему (2. 3. 10) можно записать в виде
e’t',j(4s)4'P(0't,t(^>s)=А2(/,са) 4-Sa(Z,ca,e) |-f 1(/,ф1,е) +
1
4-е2 ^Kj(Z,s)'.|i2i(s,e)(/s.
о
В дальнейшем решение задачи Коши <J>i(O,s)=fe для уравнения
(2. 3. 10) изучается в точке с=*с22. Если это решение рассматрива-
ется в точке c2i=0, то из структуры функций Аа(/,са), Bj(Z,ca>6),
/(Л'?.е) вытекает, что
А2(/,0)=0; B2(Z,0,e) = 0,
1
/1(ЛФ1.£)=е jK1(/,s)4i21(s,e)rfs
о
и уравнение (2. 3. 28) приводится к виду
1	I
еФ'1(Ле)+Р(0'Ы/>е)=А K(Z,s)^1(s,e)tZs Ее ГK1(Z,s)E®i(s,e)rfs (2. 3. Г)
о	о
с ф|(0,е) — Ь.
В этом случае получается первоначальное уравнение. Ранее было
показано, что это уравнение имеет два непрерывных решения вида
8* 2790	из
Уйг(Ле)=Фк(Ле)=с°й:<Р(О+Пк

<где Пк [ — I (к — 1,2)—функции типа пограничного слоя: I I •<
<^M=const при е->0 на сегменте [0,1], стремящиеся к с°к q>(f) при
е—*0 на полусегменте (0,1 J.
Переходим теперь к изучению поведения решений задачи
>Коши X—Хо в точке
I
IW,O)-<p'(0)|ds
__ о
<С22—	X
Так как X—Ао ,является собственным значением ядра P~*(/)K(/,s)
ранга, равного единице, то ранее примененным методом (2. 3. 28)
приводится к виду
еф/1(^>е)+Р(^ )фа('О = Р(0а1(е)?(/‘)+Аг(Лса)+Ва(/,С2,е)4-
1
+Л(ЛФ1,е)+ ‘j P(0^(As,X)P-1(s)[Aa(s,c2)+B2(s,c2,e) 4-/i(s/]>1,e)]rfs+
<о
1
+ej[P1(O/?s(M»^1(s)r<p1(s)</s-sP(/)p-1(l)AVAl?-)'h(l^) +
о
+sP(t)P-1(0)/?'s(/,0,X)<M0,S),	(2. 3. 29)
-где <?г(е) — новая произвольная постоянная, если только выполнено
условие
1
J'j^' I Afc(s,<?)4 Ba(s,C,e)-{-/1(s,(]>1>e)]tZs=e	>ej_
О
1
—e^’p’j $i(s,e)rfs.	<2. 3. 30.
о
1
Так как tp(s)P^I(s)A2(s,c)tZs==0, то из (2. 3. 30) вытекает, что
О
Рй [t-b,(sa‘) +
ю	о
114
-J-	^s| •	(2- 3. 31)
Зведем обозначения:
H2(A<p1(/,S),e)=A2(/,C2)+B2(/,C2,e)+/1(Z^1,e) +
I
+ ^P1(0‘R(As/)P-1(0lAs(s,ca)-J-B2(s,ca,e)+/1(s,<p1,e)Hs4-
V
1 1
+sJ(P-1/?(^A)P(0M1(sHs-P(O	s f (p{fr) ?i(s-s)^+
•O	О
1
+ Й—i -^wh-r/»(s^’s)lds ]+&~w's(t,(w р(вь.
J гри E	e	I I
(2. 3. 32)
~огда из (2. 3. 29), (2. 3. 31) и (2. 3. 32) вытекает уравнение
^,1(Ле)+Р(ОФ1(Ае)=Р(Оа1(е)?(О+^(Аф1(^е),е).	(2. 3- 33)
<равнеьиг (2. 3. 33) преобразуем в уравнение
t
с i±,ft
'?1(Лс)=а1(е)ф(О— \ е	cp,(s)£/sa1(e) —
о
t	t
_СР(«)	с*
J——ds	t — J—P(s)ds
°	s	1
—e <f>(0)a1(e) j-1 e	—H2(s,'^(s,e),e)ds. (2.3.34)
I	c о Подставляя (2. 3. 34) в (2. 3. 31), получаем EZi(s)'P(l)—*	tp'(s)ds—e о 1 Cp(s) 1	—J ~T~ds + е	— H2(s ' ^)ds-a- 1	6 о	rfs ?(0;^®i(e) 4 i(e)T(l)—
115
О
где
9(D I J
О
s
[Agts.eja^e) + \
s
I®*
e
1
( J^LF-L B2(s,c2,e)4--|-f1(s,<p1,e) ds
J P(s)
О
(2. 3. 35)
Аз(/,е) =
f	t
-JP(v)rf,	ijP(s)ds
s ,	о
<p'(s)ds—<p(O)e
Подставляя (2. 3. 34)
в первое слагаемое /i(s,9,s), получаем
1
KiV/,s)®8(s)ds4-2ec2 \Ki(/,s)A8(s,s)rfSflti(e)+
<p(s) ^'Hs(v,ol('*,e),$)crvcrs4-2sX
о
Пусть
о
1
41(s,e)cfe+e2 \ Kx^.sJd^ifs.eXs.
(2. 3. 36)
1
PH) ( c
е
t
о
о
1
1
о
е
е
1
о
о
S
е
s
-Я=^
о
1	1
G2(e) = -рцу [A3(l,e)+	~Р(1уя) А8($л)*+2гс2 jM*,s)As(s,e)tfsI;
О	о
°3(s)= ^$‘^F^B2(sa,s)js’
о
(2. 3. 37)
Тогда из (2. 3. 3j), (2. 3. 36) и (2. 3, >7) вытекает, что
116
1 1
К -^l-?/(s)-^K(s,0)p-1(0)<p(0) + 2c2fK1(/)v)T2(v)^]</S4-
J
о	о
.-ь*	, ,
тад} «,(.)= ° 4 н<»,мз,4(1) w)х
о	о
S	»
__f PfvjWv]	_С P(va)^v2
S J i	1	1	V J E ~
| e*	—-	j* [2гг. 'j K\(s,v) c 1 x
О	ООО
1 1
I	Г	' V \	f
X— H2(v1>O1,e)dvi<Zv4-2e \К1(«,>)П1(— | ^(v.eJtZv-f-e'2 \Ki(s,v)X
8	|	I 8 /	I
О	О
X4’(v>s'^v!^s)4 <JS(e)j^z^4[,^1,e].	(2. 3- 38)
Так как по предположению
1 1
дот=С^ I-<P'(s)-kK(s,0)P-1(0)?[0)+2c1 [кЛМ^гМ^О,
J *\S)	J
О	О
то из (2. 3. 38) получаем
cti(e)—(Д00-ф Ог(е))-1Д4[ф1,е].
Подставляя а1(е) в правую часть интегрального уравнения (2. 3. 34),
получаем
Мг!>е) = (-Лоо+02(е))“1^4[9ь8П<Р(С+Л(Ле)1+
-^-H2(s,91,eWs=Pi['|i|,el.
Таким образом, мы получили нелинейное интегральное уравнение
относительно <h(/,e). Это уравнение легко решается методом после-
довательных приближений.
Пусть
t
f P(v)<N
t ~J e
1)	I (-Аоо+'^а!.е))“1-^4[О,е][<р(^)-|-Дз(/,з)1-|-	Ha(s,0,e)ds |
о
— const;
117
2)	в области ₽i{ | ф | <27И;
I Pi[M»ia,eJ—Р1[Ми,е] | <еЛ’ max | ф1а—фх1 | ,
о<е<1
где N— некоторая постоянная;
3)	ф1П(г‘,е) = Р1(^Ф1и-1,е), б1о(/,с)^О (л=1,2,...)
— последовательные приближения Пикара. Тогда
I Фп(Ле)—Фю(Ле) I <7W = cons/;
I ЫЛе)—Ф1х(М) I	max | фц(/,е)—ф10(/,е) | .
о<1<1
О<е<1
Отсюда следует, что при 0<8<2Х" втоРое приближение ф12(/,е)
не выходит из области Rj. Допустим, что для любого натурального
к имеет место неравенство
I Ф|К(Ле)“К-1(ЛС) I <s/v I Ф1к-1 (М—Ф1к-2 (^е) I •
Тогда я-тое приближение не выходит из области /?р В самом деле,
к
I ЫМ I < Z I М>Е)-«.О) I <ж (1+|- +-”2^)<
Г=1
<,2М=const.
Из неравенства (2. 3. 32) вытекает, что построенные последователь-
ные приближения сходятся абсолютно и равномерно, причем пре-
дельная функция не выходит из области Ri- Таким образом,
доказана
Теорема 2. 3- 2. Если: 1) выполнены условия 1), 2) теоремы
2. 3. 1; 2) ЛОо= [-W>0)P-1(0)’P(0)-<P,(s)+
0
1
4-2с2^ Ki(s,v)<p2(v)dv]ds=r= 0, то нелинейное интегро-дифференциальное
О
уравнение (2. 3. 1) с начальным условием (2. 3. 2) имеет реше-
ние вида
С2<р(/)—сП j +еф1(Ле)
уе(/,е) =•---------J,
стремящееся к бесконечности при е-»0. Это решение не сходится к
решению вырожденного уравнения.
Из доказанных выше теорем 2. 3- 1 и 2. 3. 2 вытекают харак-
118
терние особенности задачи Коши для интегро-дифференциальных
уравнений с малыми параметрами при старших производных. Явле-
ние разветвления решений, свойственное для нелинейных интегро-
дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей про-
изводной, встречается при изучении теории краевых задач нелиней-
ных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей
производной.
Выше рассмотренная теория может быть применена для урав-
нения вида
1	1 Р
е/(£)+Р(0у(О=^ J K(/,s)y(s)ds+e У KK(/,s)y'‘ (s)ds
О	0к=2
с начальным условием у(0)=6, где Кк(Л§)— известные непрерывные
функции со своими производными по аргументам t и s. Вышедока-
занные теоремы имеют место даже в том случае, когда ядро
P_1($K(/,s) не находится на спектре или ядро при Х=А0 имеет т
собственных функций <pi(Z),...,a>m(/), а однородное интегральное
уравнение
P(/)<y(Z)=k jK(/,s)n(s)ds
о
имеет /«-параметрическое семейство решений вида
т
V(t)= S
К=1
Отметим, что изложенные выше результаты без труда переносятся’
на произвольную конечномерную систему нелинейных интегро-диффе-
ренциальных уравнений вида (2. 3- 56).
§ 2. 4. Особенности решений задачи Коши
для интегро-дифференциальных уравнении с малыми параметрами
при старшей производной
В этом параграфе излагаются некоторые особенности теории ре-
шений задачи Коши для интегро-дифференциальных уравнений с
малыми параметрами при старшей производной. Рассмотрим п.рог
стейшее уравнение
еу'(0+У(^)=0
с начальным условием
У(1) = ^0.
При е—>0 решение этого уравнения
//—1\
у(/)==е ' е ' ь
стремится только к бесконечности на интервале (0,1). Рассмот рим
теперь интегро-дифференциаль ное уравнение
118*
1
еу'\1,&)+у(1,е)==К	s)y(s,e)ds+/(r)
0
с начальным- условием
y(l,e)=^#=0,
(2. 4. 1)
(2. 4. 2
где в квадрате	функции K(/,s),f(/) непрерывны и имеют не-
прерывные производные по аргументам t и s. Кроме того, Х=Х0 явля-
ется собственным значением ядра K(/,s) ранга, равного единице.
Здесь будет показано, что решение задачи (2. 4. 1), (2. 4. 2)
п<ри е->0 на интервале (0,1) стремится к решению следующего ин-
тегрального уравнения
1
K(/,s)y(s)ds4-/-K(/,0)a_1+f(2£),	(2. 4- 3)
б
где «_1—специальным образом выбранная определенная постоянная-
Отсюда следует, что теория интегро-дифференциальных уравнений с
малым параметром при старшей производной качественно отличается
от соответствующей теории обыкновенных дифференциальных урав-
нений с малым параметром при старшей производной-
Переходим теперь к изложению асимптотической теории ин-
тегро-дифференциальных уравнений (2. 4. 1), (2. 4. 2)- Формальное
решение задачи (2. 4. 1), (2. 4. 2) ищется в виде
(2. 4. 4)
е произвольным начальным условием
у(0..)= 4>-.
где
о(е) = <z_j -|~аое+«ie2+...
я_1,я0,...,«к,...—произвольные постоянные, определяемые
i/ 1 \
Vе/
е
(2. 4. 5)
(2. 4. 6)
из условия
(2. 4- 7)
ОО
У(1,£) = 6=	,
к=(Г
х
е
MD ьпк
Так как П_4 — I , Пк I — I являются функциями типа пограничных
I е /	\ е j
елоев, то при s-»0 Пк^-^-^-*0, П_—*0.	Следовательно, из
2-*. 4 . 7) вытекает, что
ОО
b~v,(\)+	(2.4.7')
к=1
120-
'Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях п t js
метра е, получаем
v0(l)=6
ок(1)=0,	(2. 4. 8)
ггде к=1,2,....
Из (2. 4- 4), (2. 4. 5) и (2. 4. 6) вытекает, что
По(О)=-ц>(О)+ао
П1(0)--=—Pi(0)+Oi
Пк(0)=— гцО)+ак.	(2- 4. 9)
(я=2,3 -)
Ряд (2. 4. 4) формально подставляется в (2. 4. 1). Имеем
е V ^к(/)£К + ±	* у +
к=0	к-=0
оо	оо	1 со
+ J\(')e<t + Пк (v )еК =^k(^s)V]msWs+
к=0	1	0	к=0
1	00
+Цк(Г,з)	У Пк(—	Vds.	(2.4.10)
1	лшл	I	Е	J
О	к=- 1
'Последний интеграл, стоящий в правой части этого выражения, за-
шмсывается в виде
1	оо	оо	оо
k ^K(z.s) У, nK(-|-)eKds K^’ve) У nK(v)e«+Mv. (2- 4. 11)
. О	к=— 1	0	к=— 1
Разлагая в ряд Тейлора функцию /<(/,ve), получаем
00	(к)
(2.4. 12)
дг=О
'Из (2. 4. 11) и (2. 4. 12) вытекает, что
оо оо (к)	оо
О к=0	к——1
121
00
00
=	tf(£0)n_4(v)dv + ^([/C(/)O)no(^)+/C,s(^O)vn-1(v)]^-e+
0	О
00
C
+ \ [/С(/,О)П1(з)+/С"88(ЛО) 21 n_i(s)+/C's(/,O)sno(s)]dss2+...+
Q
00
+ J [/C(A0)nK_1(v)+QK(/,n-i(s)>no(s)>...,n«-2(s))lds^ +...,
0
(2. 4. 13)
где QK(Ml-i(s),n0(s),---,nK-2(s))— известные функции, получаемые из
00	GO
SeKvK ГЛ
Кк (/,0) —J;	/ , nK(s)eK .
КI
к=0	k=—1
Подставляя (2. 4. 11) и (2. 4. 13) в (2. 4. 10), а затем отдельно
приравнивая коэффициенты при в, зависящие от t и получаем
П'-1(т)+П_ 1(т)=0;
П'^НЩтМ;
к=0,1,2,...
1	ОО
г0(/)= k /<(/,s)co(s)ds+)-K(/,O) n_i(s)ds
О	О
(2. 4. 14-0
(2. 4. 14«)
(2. 4. 15.)
1	оо
t>i(O=^(/,sb(s)-H [tf(t,O)no(v) 4-/C,s(/,0)vn_1(v)ldv-t/o(Z), (2. 4. 150
О	о
/<(/,s)cK(s)ds+
ОО
[MC(/,O)n«-*(s)+ QK(/,FL_i(s),..A)]ds—
о

(2. 4. 15J
Отсюда следует, что ряд (2. 4. 4) формально удовлетворяет урав-
нению (2. 4. J). Займемся теперь исследованием каждого члена ря-
да (2. 4. 4). Так как из (2. 4. 9) П_1(0)=а_ь то из (2. 4. 14_4) вы-
текает, что
—-т
П_1(т)=е а_1.
122
Тогда интегральное уравнение (2. 4. 150) запишется в виде
1
^(/,s)yn(s)ds+><A’(/,O)a_i+f(/).	(2- 4. 16/
о
Так как ).=Х0 является собственным значением ядра A(»,s) ранга,
равного единице, то интегральное уравнение (2. 4- 16) имеет реше-
ние в том и только в том случае, когда
1
^(s)P^(s,O)a_i+f(s)]ds=O,	(2. 4. 17)’
о
где ф(/)—собственная функция союзного ядра	Решение
(2. 4. 16) запишется в виде
1
eo(/)=ecp(/)+k[/<(/,O)+ j /?(/,s,XK(s,0)t/s]«_i+
0
1
+f(0+
О
где/?(/,s,X)—резольвента ядра	с—произвольная постоянная.
Пусть
>|/<(А0)+ ^R(/,s,k)tf(s,O)ds]sA(M);
о
1
/(/)+ J/?(ts,X)f(s)ds^42(Q).	(2. 4. 18)
о
Тогда
Уо(/)=с<р(/)Ч-Д1(/,к)«-1+Л2(<‘Л).	(2- 4. 19)
Из уравнения (2. 4- 17) определяется произвольная неизвестная
постоянная c_i:
1
U(s)/(s)ds
«-i=—р—--------------=a°_i.
X j4’(s)^s,O)ds
0
1
В дальнейшем предполагается, что ^(O)=kj)j(s)A(s,O)ds^O и ^(1)^=0.
о
123
Эти ограничения являются существенными в рассматриваемой
здесь теории. Так как v0(l)=^. то из последнего уравнения (2. 4. 19)
определяется с в виде
Л1(1Л)а°_3Н-Л2(1Л))а=с0-	(2- 4. 20)
Следовательно,
&о(0=<;о?(^)+Д1(/Л)ао_1+Д2(/,к).	(2. 4. 21)
Так как
Пс(О)=яо—М°)>
то из (2. 4. 140) вытекает, что
По(т) = 0 («о—М°))-
Следовательно, уравнение (2. 4. 150 запишется в виде
1
р,(/)=ку K(t,s)vl(s)ds+\K(t,0)[ao—vo(Q)]+\K's(t,0)a0^J—v'0(t). (2. 4. 22)
О
Это неоднородное интегральное уравнение типа Фредгольма имеет
непрерывное решение
г»1(г)=<'1<р(/)+^91(^Л,«©),	(2. 4. 23)
Bi(t,l,ao)='kK(t,Q)(ao—vo(O'))+\K's(t,O)af>-i—v'o(t)+
1
+Х j R(t,s,l)[K(s,O)(ao—по(О))—n/o(s)+/C/s(s,O)iz°_1]ds,
о
только тогда, когда выполняется условие
1
^Ф(8)1ХК(8,0)оо—(MC(s,0)t>o(0—^K's(s,O)a°-i—n'o(s))]ds=O,
6
Ct—новая произвольная постоянная.
Отсюда определяется <г0:
1
X J<i>(s)(/C(s,O)po(0)+/Cs/(s,0)ao_i+v,o(s)Ms
ао=------2-------------------------------------=а%.	(2. 4. 24)
X J^4>(s)/<(s,0)ds
О
Так как щ(1)=0, а0=а°0, то из (2. 4. 23) определяется произвольная
постоянная се	)
r1=-?-1(l)B(l,X,a«0)sc«1.	(2. 4. 25
Следовательно,
пД0=с°1?(04В(М,аоа-	(2. 4. 26)
124
Рассмотрим уравнение (2. 4. 152). Явное выражение этого урав-
нения имеет следующй вид:
1	То
р8(/)=к С tf(f,s)o2(s)ds+xlj [K(/.0)ni(T)+K's(/,0)Tno(T)+
0	о
+	-----П-^Мт-с/^.	(2. 4. 15'8)
Так как
П1(т)=^	(а-t—fi(O)),
П0(т)=е \а°0—по(О)),
П~ i(^)=e a°-i,
то уравнение (2. 4. 15'2) приводится к виду
1
&2(/)=k K(t,s)v2(s)ds~t-B2(t^),
6
где
B2(t k)=к/С(/ ,o)(ai—W1(O))+IK's(l ,0)(a°o— fo(0)) - [
Это уравнение имеет решение
v2(f)=c2<f(t)+В°2(1,\а^,
где
1
JB02(<?1,k,a1)=Z?s(/,k,fl!i)+ J /?(/,s,k)Z?s(s,k5a1)ds,
0
только тогда, когда
1	1
^(s)fi°2(s,},6Zi)ds - >. ju(s)/((s,O)dsfl) J A- O, (2. 4. 2. <)
0	0
где
1
Di== ^{—k/C(s,O)r1(3)~f-A/</s(s,O)(a%—yo(O))-r ~-^ss(s,0)ao_i—
J
0
Отсюда находится
«i=----------------------------j—----------------=a\,	(2. 4. 28)
k ^'?(s)/<(s,O)ds
о
125
Так как »2(1)=0, то из
u2(l)=0=c2<p(l)+B°1(l,Mei).
определяется с2:
С г=— Т ~г( 1 )#°2( 1 >М°1)=с°2 -
Следовательно,
п2(0=с%(04-В°2(Лк,а01).
Таким образом мы полностью определили функцию п2(/). Предполо-
жим теперь, что полностью определены функции П3(ч:).Пр_2(т)	и
М*)>- ,®p_i(/) где к—произвольное целое число.
Определим теперь функции vp(t), Пр_1(т). Имеем
Пр-1(т) = £ («р-t—Рр-1(0)).
Напишем теперь р-тое уравнение относительно vp(t):
1
®р(^)=^	,\dp—i),
о
рде
ОО
Bp(t,l,ap-l)=lK(l,0)(ap-i-vp^l(0))+	<2р(/,т,П_1(т),...
о
Пр_2(-))<Ь—t»p-i(O;
Qp(M, П_1(т),...,Пр_2(ч:)) — известные функции, причем,
—т
...) | < Ке , где K=const. Следовательно, несобственный
стоящий в правой части (2. 4. 29), сходится. Уравнение
имеет решение
vp(t)=cp<o(t)+В°р(/ ,X)+kK(C0)ap_i,
где
(2. 4. 2 6
I Qp(t»x*
интеграл,
(2. 4. 29)
(2. 3. 30)
В°р(Лк)г=—ХК(СО)Ур-i(0)4- \ Qp(t,T,...)dt—v'p^l(t)+
1	оо	'"’.
ч pg—
4- I/?(f,s,A)[kK(s,O)«p-i—KK(s,0)0p_i(0)4- \ Qp(s,T,...)rfT—tTp_i(s)Jds
о	о
p том и только том случае, когда
Отсюда
		Пр_
«р-1-____________________i
k ^(s)/<(s,O)ds
о
(2. 4. 31)
1,26
где
1	°°
Dp= ( 0(s) kK(s,O)fp-i(O)+ \ Q	ds-
b	о
30), (2. 4. 31) и op(l)=0 вытекает, что
Cp =. _ <p~x( 1) p K(s ,0)a°p-i+B°p(\Л) ]=c°p.
же соображений определяется ap.
ОО
j ty(s)[—t/p(s)+ Qp+1(s,T.n_i(T),..,np_1(T))d'r+k^s,O)np(ohds
<0	0
aP^-----------------------------------------
). I
0
Из (2. 4.
Из тех
1
p-i
(2. 4. 32)
Формулой (2. 4. 32) пользуемся при асимптотической оценке ре-
шений задачи Коши (2. 4. 1), (2. 4 2) относительно малого пара-
метра е с любой степенью точности.
Займемся теперь асимптотической оценкой решений задачи
Коши (2. 4. 1), (2. 4. 2). Пусть р— любое целое положительное
число. Тогда подстановкой
п-‘(4) <,	а	р+1
у(/,е)= ------!_ + У ик(/)е«+ У Пк V И+е ^>е)	(2- 4- 33>
к= 1	«=0
уравнение (2. 4- 1) приводится к виду
д+2 «6 . n'-i('c) \л	ул , чП_1(т)
е ~dt^ е “ + 2j П + ХУДОг 4--------------------------^- +
«=0	«=0
р	р
Y1	V,	к
+ щф'ч 2j +6 ?(Ле)==
«=о	«=о
+1 1 1 1
=ер X f K(t,s%(s,e)ds+ Gc(/,s) У Пк(,_!Л e«ds+ ^(Z,s)X
J	J	£ /	J
о	0	«^=—1	0
p
X У t'K(s)sKds.	(2. 4. 34)
«=0
127
Интегральный член, стоящий в правой части и содержащий функции
пограничных слоев, преобразуем к виду
1	р	1 е	р
^K(/,s) Пк j eKrfs=^e j A7(/,ve) П^Л:
О «=—1	0	«=— 1
со	р
J £ nK(v)e«dv.
О	к=—1
(2. 4. 35)
Здесь в верхнем пределе совершается ошибка малости а порядке е.
Далее, применяя формулы Тейлора к функции /C(/,es), получаем
р (к) к к (р+1)	р+1 р-11
/ф,зе)=/ф,0)+	I	___е____	(2 4 35)
" «1 (/’+1)!
к=0
где 0<6<1.
Имеем
P (к) к к	р
£ ПДт)еК
'	Kl j \	j
k=Q	к——1
+ [/С(Л0)По(г)+/С,(ЛЭ)тП_1(т)]+[/С(/,0)П1(т)+
+K'(t ,0)тПо(?)+K"(t -0) -Н7-П-. (018	,0) П2(т)+
+/<-(Л0)Тп,(г)++(^,п^>+^"^'»;п..(±1.,+...+
Z!	о!
+ [/C(/,O)Hp(T)TQp(/,T),n-1(T),...,nit,_1(T))]S/’+Qp+1(t,T,e,...,
р+1
П-Ят),... По(т),...,Пр(т))е	,	(2. 4. 37)
где Qp(t,t, ..),Qp+i(/,T,...)— известные функции, причем
| Qp(M,.„) |	| Qp+1(^...) | <Ке \
где К—некоторая положительная постоянная.
Подставляя (2. 4. 36) и (2. 4. 37) в (2. 4. 35), получаем
ОО	JP	ОО	ОО
е	V nK(v)s«dv=^ К^ОШ-Д^т+е J [/С(/,О)П(>(т) +
0	«= —1	о	о
со
+/С(/,0)тП_1(т)1б/-+ j И(/,0)П,(т)+^(/,0)тПо(-)4-
0
128
00
+K'\t,Q) J mw + ук(/,о)п2(г)+к”(/,о)тп1(т)4-
0
К"(/,0)^Пп(т) , /<"'(/,О^П _х(т)	3
------21------+ ---------3!------
00
+ j [Л(Л0)Пр(г)+С;,(Лг,П_1(т),...,Пр-1(^)к/-^+1+
0
00 (р+1)	р+1р+1 Р	со
4-е	---L_ У nK(v)eKdv-f-E ( Qp+l(t,i,e.,...)dx.
J (/’4-1)!	J
о	к=-1	0
(2. 4. 38)
Подставляя (2. 4. 38) в правые части (2. 4. 34) и учитывая, что
П»(-)( к=1,2,...,р) удовлетворяют соответственно дифференциальным
•.•равнениям (2. 4. 14п),—,(2. 4. 14р), а функции [oo(/),Vi(t),...,i^(0] —
— соответственно уравнениям (2. 4. 150), (2. 4. 151),...,(2. 4. 15р), от-
носительно £(/,е) получаем интегро-дифференциальное уравнение
1	со
8Й7 + -('’е)=Х ^(^s)s(s?s)ds4- pW-0)nF(T)+Qp(^T....)]dT4-
0	о
оо	р	00
С (Р+D	vP+’p ЧТ	v Р
4-\Л (ЛМ-Агпт ) пк(>)е Л4- Qp+1(CM...)dT-l/(0.
0	«=—1	0
(2. 4. 39)
Так как П/;(т) удовлетворяет p-тому уравнению (2. 4. 14р) и р-тому
начальному условию из (2. 4. 9), то
Пр(т)=е \ap-vp(Q)),	(2. 4. 40)
где ар определяется по формуле (2. 4. 32).
Определим теперь начальное условие для функции В(Лб)-
Так как
Р	Р
У(1 ,e) = £ vK(O,e)s«+ -1ЫА 4- У Пк(/К4-^+1?(0,г) =
к=^0	к=0
Р
= V" + Sn«eK4-6/7+1O'p+i(e),
лг—О
П—1(0)—U—1)
Пк(0)=4-ак- vK(0),
9' 2790
129»
(Л-0,1 2,3,.../?),
-то
^0,е)=ар+1(е),	(2. 4. 41)
где ap+i(s)— неизвестная постоянная.
Так как
П-J —Р	Р	, ,	,
I е I	, уч	V*	/ 1	\	Р+1
у(1,е) = &=--------+ >, VK(l)eK+ 2j Пк(~)е'С+5	^(Ъе).
«=0	к=0
причем П-j I —] ->0, Пк —)->0 при е—>0, и
«оО)^; М1)=о, (к=1,2, .,р)
то
£(1,е)=0.	(2. 4. 42)
Краевыми условиями вида (2. 4. 41) и (2. 4. 42) воспользуемся при
исследовании поведения решений S(/,e) уравнения (2. 4. 39) при
-е->0 на сегменте {0 1].
Пусть
00
1)—1К(/,0)^(0) + Qp(t,’,...)dz- vrp(l)=Dp(t);
0
со (р+1)	р
2>	вд.а.+
0	К— - 1
00
+ Qp+i(/,T,...)rfT;
О
3) f(/,s)=-^+W.O)«p+Op(z)+s^(/,£).
Тогда уравнение (2. 4. 39) запишется в виде
1
^(/,s);(s,e)ds+f(/,e).	(2. 4. 43)
О
Уравнение (2. 4. 43) формально рассмотрим как линейное неодно-
родное интегральное уравнение типа Фредгольма. Так как
является собственным значением ядра K(t,s) ранга, равного единице,
то интегральное уравнене (2. 4 43) имеет непрерывное реше-
ние вида
1
R(/,s,X)f(s,e)ds.	(2. 4 44)
«о
430
где Cp+i(s)~ новая произвольная постоянная, подлежащая определе-
нию, в том и только том случае, когда
1
^<Xs)f(s,s)ds=O. •	(2. 4. 45)
о
Имеем
1
^ф(«) [—e£'(s,e)+W(s$)ap+Dp(s) -]-zRp{s,^]ds=
О
1	1
= s^ <p(s)r(s,eMs-H ^/?р(5,е)4/8=0,	(2. 4- 46)
о	о
где
1	1
X ^(s)/C(s;O)(/sap+ ^(s)Dp(s)ds=O
о	О
в силу уравнения (2. 4. 32).
Из (2. 4. 46) вытекает, что
1	1
</(s)5(s)ds+ ^Rp(s,e)ds—^(O)ap+i(e).	(2. 4. 47)
О	О
Отсюда
1	I
а₽+1(е)=ф-1(0)[ j^z(s)S(s,e)ds+j/?p(s,e)ds],	(2. 4. 48)
О	О
где
1
^(O)=X^K(s,O)i(s)cfs.
о
Исследуем теперь уравнение (2. 4. 44). Имеем
1
eB'(Z,s)+?(As)—б^+1(е)а>(/)+е (/?'s(/,S,X)£(s,e)ds —
О
1
-|/?(/,O,X)d-I(O)^'(s)e(s,e)ds+f1(/,S),	(2- 4. 49)
о
где
1
Ь(/,е)=)Л(/,0)а°р+О/,(/) -\-eRp(Re)+ ^(/,s,X)X
о
1
Х(}Л(/,0)й°р+Ор(8)+г/?р(8,£))^4-г/?(Л0,Х)ф-1(0) ^Rp(s,s)<Zs.
о
131
Пусть
тогда уравнение (2. 4. 49) запишется в наиболее компактном виде:
1
е£'(Ле)+?(Ле)=^ + 1®(^)+е ^H(/,s,k)|(s,e)ds+/i(/,e).	(2.4.50)
О
Преобразуем уравнение (2. 4. 50) в интегральное уравнение
е	е р	е v 7 ।
|(/,e)=e Op+i(e) +^+i®(0 — с/7^ф(0)е	+ \ <?	~X
о
s
X [fi(s,e)+e 7/(s,v,}.)t(v,e)(/v]^s.
О
(2. 4. 51
Так как В(1,е)=0, то из (2. 4. 51) однозначно определяется ср+1,(е), а
именно:
^+1(=Ы?(1)-?(Ф	)-’ к Ор+1(г)+^е	7 [fi(s,e)+
0
1
+e^/7(s,vA)i(v>£M4^sl-	(2- 4- 52)
J
о
Подставляем теперь в правые
(2. 4. 51):
1
«p + l(s)-^’(0) W[e
О
части (2. 4. 48) выражение из
1
—Ts
+(?(«) — t(0)e	)(?(!)-•
е	s
—®(0)е	j-1 е Irfsap+i+o-^OjF^.s],
1де
1 , 1
1	1 --(l-v)
ПЕ,в]= U'(s)(q>(l)-<?(O)e Г1 ®(s) \ е
о	о
H(v,O,X)X
(2. 4. 53
1	« 4-(s->)	1
—17(v>e) + с П(v,a,s)|(a,e)rfa](/vdsH-
8	1
0	0	о
132
1
+'?(0) ylp(s,e)ds.
0
Отсюда определим ap+i(e.):
ар+1(г)=(ф(0) 4- D (е))“ ifqg.s ],
S	1
—	— ~х
+(<p(s) — <p(O)t?	) (<р(1)—ф(О)е
(2. 4. 54)
где
I
D(t)^ J У(8)[е
о
Подставляем (2.
(2. 4. 51). Имеем
4. 54) и (2. 4. 52) в интегральное уравнение
£	1
£	е
)~*е ]ds.
1	t
-т*	—Т
еО,г)=е (ф(0)+П(в))-^[₽,е1+(ф(0-?(0)в )Х
— —	г — 4-(i-s) j
Х(<?(1)~<?(0)е е )~Че Чф(О)+£>(е)ГлЛ^]+V *	— ИМ+
о
1	t i
Г	Г	1
+е\ H(s,v,X)£(v,e)dv]ds] + \	s	—	[fi(s,e)	+
0	О
1
Ч~е^H(s,v,k)g(v,e)dv]ds=H0[/,e,5].	(2- 4. 55)
О
Таким образом, мы получили интегральное уравнение для опреде-
ления E(/,s). Займемся теперь решением интегрального уравне-
ния (2. 4. 55).
Пусть
ЦЛг)-0,
п=1,2,...—
£n(^>s)=H0(/ ,еЛл—i)
— последовательные приближения Пикара- Имеем
I Si(/,e)—10(/,е) | «С I Но(/,е,0) | ^M=const,
I ^G>6)—I < I Н0(/Ля-1,е)—H(z,e„ a,e) | ^Мтах | £я-1(/,г)—
—ея-а(Ле) I ,
где N—некоторая положительная постоянная, не зависящая от е,
явное выражение величины N определяется из структуры (2. 4. 55).
Если
то построенные последовательные приближения сходятся абсолютно
и равномерно:
133
n-+x>
где | E(/,s) | ^2M~const. Таким образом доказана следующая
Теорема 2. 4. 1. Пусть: 1) на сегменте 0<7<1 функция
f(l) непрерывна и имеет непрерывные производные; 2) в квадрате
«0 функция K(t,s) непрерывна и имеет непрерывные произ-
водные по аргументам t и s; число Х=Х0 является собственным зна-
чением этого ядра ранга, равного единице, причем соответствующая
собственная функция <?(£) не обращается в нуль при /=1, т. е-
?(1)=^0, кроме того предполагается, что б(0)=£0, где ф(/)—собственная
функция союзного ядра
Тогда задача Коши (2. 4. 2) для интегро-дифференциального
уравнения (2. 4- 1) имеет единственное решение вида
у(/>£)= ---Ш- + 2 (МО+ПJ^H+eP+1^’e)’
лг=О
причем при е-МЗ на полусегменте (0,1] это решение сходится к
решению интегрального уравнения
1
v(t)=\ Jtf(/,sHs)ds+f(0+W>0)ao-i-
о
Рассмотрим теперь линейное интегро-дифференциальное урав-
нение вида
1
8У'+Р(0у(/)=Х j/<a,s)y(s)ds+f(O	(2. 4. 56>
о
с начальным условием
У(О)=Ь,	(2. 4. 57)
где на сегменте [0,1] Р(/) и f(t)—непрерывные функции, имеющие
непрерывные производные, причем Р(/)>0; в квадрате ОС-^-
функция K(t,s) непрерывна и имеет непрерывные производные по t
и s. Пусть Х=Х0 является собственным значением ядра K(t,s) ранга,
равного единице. Тогда, как и прежде, линейное однородное интег-
ральное уравнение
1
^K(t,s)v(s)ds	(2. 4. 57')
о
имеет однопараметрическое семейство собственных функций Сф(/),
где с—произвольная постоянная.
Особенность рассматриваемой здесь задачи (2. 4. 56), (2. 4. 57)
заключается в том, что при е-^0 решение уравнения (2. 4. 56) с на-
134
чальным условием (2. 4. 57) на полусегменте (0,1], как будет показано
ниже, стремится только к бесконечности.
Решение задачи Коши (2. 4. 57) для интегро-дифференциально-
го уравнения (2. 4. 56) ищется в виде
00	11-1| - |	00
1	УЛ	Xs/ УЛ 7 / \
y(t,e)=— »_!(/)+	-----i----+ Д. Пк I ~ 1е«.	(2. 4- 53)
к«0	лг=О
Подставляя (2. 4. 58) в (2- 4. 56), точно теми же методами, как и
выше, для определения н_1(/),1/Д/),П-1|—],Пк ( — {получаем
nz_i(T)+P(0)n_i(T)=0;	(2. 4. 59-1)
П'о0)+Р(0)По(г>-Р'(О)тП_е);	‘ (2. 4. 590)
П\(т) Ч-Р(О)ПЛг)=Фк(т,П-1(т),... ,Пк-1(т)),
(2. 4. 59к).
где Фк(т:,П_1(т),..,, Пк-1(т))—известные функции типа пограничного^
слоя- Далее определяем функции vK(f) из уравнений
1
P(/)v_i(/)=X ^(/,s)V-i(s)ds;
о
1	со
Р(/)ц0(/)=Х ^(/,s)u0(s)ds+f(/)+X ^(Z,O)n-i(s)ds—
о	о
1
P(t)vK(t) ,s)vK(s)ds...)—v K_i(£),
о
(2. 4. 60-1)
(2. 4. 6Оо).
(2. 4. 60«).
(№1,2,3,...)
где HK(/,...)— известные непрерывные функции. Зададим начальные
данные для функций ПД-с), vK(t). Имеем
П_1(0)=-н_1(0)
По(О)=6—»о(О)	' (2- 3. 61)-
133-
Пк(О)=-^(О)
Из систем (2. 4. 59_f),...,(2. 4. 5Лс) и (2. 4. 60_f), ..,(2. 4. 60к) и
^2. 4- 61) последовательно определяются П-i(t l,v0(/), По[ —
а именно: из (2. 4. 60_i) имеем
где C—i—произвольная	неизвестная постоянная. Из (2. 4. 59—i)
получаем
—Р(0)т	—Р(0)т
П_1(г)=е	П_1(0)= е с-1<?(0).
Рассмотрим теперь уравнение (2. 4- 6Оо), имеющее вид
1
P(0&o(0=K^(^s)»o(sMs+K0+W>O)P-1(O)c-i®(0)—Ciq>'(0-	(2- 4. 62)
о
Для того, чтобы это уравнение было разрешимо, должно выполнять-
ся условие ортогональности
1
t D/S<’lKs)+^(s»O)P~'1(O)c-ifp(O)—C-1<₽'(s)Ms=-O,	(2. 4. 63)
J F(S)
О
где ty(s)—собственная функция союзного ядра. Уравнение (2. 4. 63)
дает возможность определить произвольную постоянную
$р©-,(sl*
c_i=—j--------5-------------------------------(2. 4. 64)
t ш bw.oMojp-Hom'tends
J
0
При этом, как и прежде, предполагается, что
1
k'(s)-X	(2- 4. 65)
о
Тогда v0(t) имеет следующий вид:
су ()=р-i (/) [/ (£)+W.0)P~ W° -1?(0)—c°_i<p'(OJ +
1
+ ^^,s,k)p-1(s)[/(s)+W,0)P-1(0)c°_iq>(0)-coi?'(s)]ds+co<p(^), (2. 4. 66)
О
136
гдз /?(£,s,X)— разрешающее ядро, представляющее собой коэффици-
ент при (к—Хп) в разложении резольвенты ядра K(/,s)P-1(0, — не-
определенная постоянная.
Таким образом,
^o(O=co?(z)+a«>(/\
где «(,(/)—известная функция, определяемая из (2. 4. 66). Мы мо-
жем теперь определить П0(т). Иьг ем
-Р(0)?	г —Р(0)(т—s)
П0(т)~ е	[6—с0®(0)—tfo(0)l—Де	P'(0)sn_i(s)ds~=
о
—P(0)r	r-P(0)(t-s)	—P(O)s
-=е	(b—св<р(О)—an(0))+ \e	P'(O)se c°_rf(O)(2s =
о
—Р(0)-	— Р(О/г	та
=е	(Ь—соф(О)—ао(0))+е	P'(0)c°_i<p(0)-2f •	(2- 4. 67)
(апишем теперь уравнение для определения
1	00
tf(7,s)m(s)ds+X [/<(/,0)no(t)+K's(/,0)sn_i(s)]ds—т'о(О.
о	о
(2. 4. 68)
Условие разрешимости этого уравнения имеет вид
1	оо
f 4?! I k ( lK(s,O)no(s)+^s(s,O)sn_1(s)]rfs-n'o(s)U=o. (2. 4. 69)
J I )	J
о	b
Это уравнение линейно относительно с() и нетрудно видеть, что
коэффициенты при с0 определяется выражением (2. 4. 65). Следо-
вательно, из уравнения (2. 4. 69) определяется произвольная посто-
янная с0. Определив са, можно найти Vi(t') в виде
Ф1(7)=С1<р(0+«1(0>
где «1(0 — известная функция. Ci—новая неизвестная произвольная
постоянная. Продолжая этот процесс, мы можем определить после-
довательно все Пк(т) п vK(t)=cKcp(t)-\-aK(t), причем для ск получается
каждый раз линейное алгебраическое уравнение, разрешимое в силу
(2. 4. 65), где aK(t)— известные функции.
Пусть
к=о	к~0
p+i
+е ^+1(Се),
137
где р—любое целое положительное число, Ее+1(Ле)—новая неиз-
вестная функция. При выполнении условия (2 4. 65) и для достаточ-
но гладких	и можно доказать, что Ерц(М) равномерно
ограничена на сегменте [0,1] при е-»0. Дадим представление о ме-
тоде доказательства этого утверждения. Приведем рассуждения для
случая р=0. Тогда (2. 4. 65) имеет вид
у(^£)=^-^ +vo(*H ----—+П0	<2’ ♦
& \ ]
Докажем, что на сегменте [0, 1] при е~»0
I ?1(Л£) I <Л1—const.
Эта оценка получается из некоторого интегрального уравнения, ко-
торому удовлетворяет £i(£,e), причем доказывается существование и
единственность решения этого интегрального уравнения, а тем са-
мым существование и единственность решения задачи Коши (2. 4- 57)
для уравнения (2. 4. 55). Подставляя (2. 4- 661) в (2. 4 56), получаем,
1
f
е—-------PP(Z)Bi(/,e)=X \^,s)Bi(s,eMs+«(/,e),
C+t	I
о
(2. 4. 67i)
где
‘ n« (v)
а(/,е)=X U(/,s)	~
о
1
ds+ ^'S(*,es)-j-n.-i^ds—
о
__ Н0-Р(0) п (М _ р,,^, 4 п_, С „.о(0,
е	и I 8 /	s	\ е /
Уравнение (2. 4. 671) преобразуем в новое интегро-дифферен-
циальное уравнение, которое имеет удобный вид для исследования.
Пусть
oi(^,s)=P-1(/)[—6 -^-+«(М)1-	(2- 4- б8‘)
Тогда уравнение (2. 4. 671) рассматривается как линейное интеграль-
ное уравнение относительно Bi(£,s)- Это уравнение имеет непре
рывное решение
Ei(/,e)=ai(£,e)4- ^R(f,s,X)ai(s,e)ds4-Ci<p(0>	(2- 4- 69j)
о
где Ct—новая произвольная постоянная, в том и только в том
случае, когда
d(s)ai(s,e)cls=O-	(2- 4- 70)
0
138
Из уравнения (2. 4. 70) определяется произвольная постоянная G.
Имеем
1
^(s)P-1(s)[tz(s,e)—]ds = ®
О
1
+ ^’ll(s)P“1(s)a(s,e)ds=O.	(2. 4. 71)
О
Пусть
1 /C's(/,6s)snof — ) ds 1 r'ss(s,6s)6s*n_i I — jds
—=J+
о	0
p'(6'№	Р"(бф2п_1	-
s2'	s3
Тогда из уравнения (2. 4. 71) и (2. 4- 69) вытекает уравнение
е<1’')= УеУ ‘(s>,)*+	(2-4-72)
J r\s/	J п1/ \ г \й/ /
О	О
Уравнение (2. 4. 691) приводится к виду
ее,1+РЕ1=^1ф(0Р(0+Н(ЛИ.	(2. 4. 73)
где
1
Н(/Л,е)^е jp(O/?'s(f,S,e)£(s,e)ds+eP/?(/,S,X)E(l ,е)+
0
1
+ [Л(£,е)+Р(/) j/?(/,s,X)P-1(s)a(s,e)ds].
О
Уравнение (2. 4. 73) преобразуем к виду
Е/, .	?(0Р(^) /ЛЧ 0	С 5
gi(/,e) = Ci YY(/) — е — J е Ci(q>(s)P(s)),ds+
0
, -1-^
С	s	1
+ \ е	--H(s,5»e)dS-
J	s
(2. 4. 74)
139
Подставляя (2. 4. 74) в правые и левые части (2. 4. 72), получаем
1
_f P(s) .
J—--rfs
о
Ci <р(1) —С1<р(О) е
Ci(P(s)q>(s))'ds+
+ 5е s 4-H(sX=)ds== b^ds+ 5"RsTfi<p/(s)ds+
о	0	0
(P®(v))'dv
ds+
Н( v.E.e )<WS +С1ф(1) -	Л 6(0)<Y
(2. 4. 75)
Отсюда определяется произвольная постоянная Cf(e), а именно:
1
п(г) = (А+Де))-1 { J
О
ds
—H(s,e,s)ds+
f P(v)<Zv
1	1	S J g
+ J-pfs)- b^ds+ J pB-J e V 4~H(v’e>s)<Ms }. (2- 4. 76)
0	0	0
где
о	о
4^ >
0	p s
+ <j:(O)e	4- le	(P(s)?(s))'ds.
140
Подставляя (2. 4. 76) в правую часть (2. 4. 74), получаем линейное
интегральное уравнение относительно £i(/,e). Правую часть этого ин-
тегрального уравнения обозначим через P(£,Ei,e). Тогда это уравне-
ние запишется в виде
51(^,е)=Р(^Л1,е).
Отметим, что Р(£Л1,е) является линейным оператором относительно
Е(£,е). причем
| Р(/,0,е) | <7W=cons/,
I P(*&,e)—P(t^i,e) | <e7V | g2—] ,
где N и M— некоторые положительные постоянные.
Пусть
Ш*)=0; |1п(/,е)=Р(/,е) (я-1,2,...)-
— последовательные приближения Пикара. Тогда
I Sii(/,e)—Ilo(/,e) I
I ^-1(М I <e/V | Bin-i(/,e)— tin-Ate) | .
Отсюда следует, что при 0<е< построенные последователь-
ные приближения сходятся абсолютно и равномерно на сегмен-
те [0,1].
Таким образом, доказана следующая
Теорема 2. 4. 2. Пусть: 1) на сегменте [0,1] функция Р(/)
непрерывна со своей производной до второго порядка; 2) в квадрате
0<f<l, 0<ls<l функция K(t,s) непрерывна со своими производными
до второго порядка; 3) является собственным значением урав-
нения (2. 4. 60—1), которому соответствует однопараметрическое
семейство собственных функций	4) собственная функция ф(г)
союзною I втегрального уравнения для (2. 4. 60_i), соответствующая
удовлетворяет условию ф(1)^=0; 5) имеет место неравенство
Ш[ф,(8)+х^гЛ(,'0>
о
ds^=O.
Тогда при достаточно малых е интегро-дифференциальное урав-
нение (2. 4. 56)—(2. 4. 57) на сегменте [0,1] имеет единственное ре-
шение. представимое в виде (2. 4. 58), где
—Р(0)т
П_1(т)=е	с'-г,
^(О^о'РФ+^оЮ;
—Р(0)т	с - Р(0Мт—S)
П0(г)=е	(6_(o0?(0)_0((0))4- у	>'
о
XP'(O)sn_i(s)ds;
141
c°i, св определяются из уравнений (2. 4. 63) и (2. 4. 69); 5(7,е
является непрерывным решением задачи Коши 5(0)=О уравнения
(2. 4. 67), причем при е-»0 это решение сходится только к беско-
нечности на полусегменте (0,1].
Замечание. Пусть теперь интегральное уравнение (2. 4. 60_i)
имеет т линейно независимых собственных функций <Fi(0,...,q>m(7).
Тогда решение задачи Коши (2. 4. 57) ищется в виде разложений
(2. 4. 58), члены которых определяются из уравнений (2. 4. 59_к),...,
(2. 4. 59к)  и (2. 4. 60-1), (2. 4. 6Оо),.... В этом случае вместо
уравнения (2. 4- 63) следует ввести условия
1
-^)-[f(s)+()K(s,O)p-1(O)<f(O)-(f'(s)C-1]dS=O.
* V5/
0
Это приведет к тому, что вместо (2. 4. 65) появляется требование
отличия от нуля определителя Д=(сгк)=^0 с элементами
I
о
Ограничение (4) предыдущей теоремы заменяется требованием,
чтобы при 7=1 не обращалась в нуль хотя бы одна ф/(1) (7=1,2,
Так как уравнение (2. 4. 60_i) имеет т-параметрическое се-
мейство решений
т
®1(П = 5]с_1к<рк(7),
К—1
а (2- 4- 60„) имеют решении
т
®«(0 =
Л=1
то условие Д^=0 обеспечивает нахождение всех с~1к и Ск/-. Оценка оста-
точного члена производится тем же методом, что и выше.
Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное урав-
нение
еу'(/)-у(/) = О
с начальным условием
у(0)=5^0.
При е—>0 решение
1
—t
y(t)=e£ b
этого уравнения стремится только к бесконечности на полусегменте
(0,1]. Решение иитегро-дифференциального уравнения с малым
параметром при старшей производной
142
ey'—y—l
1
^K(t,s)y(s)ds+f(t)
о
(2. 4. 77)
с тем же начальным условием
у(О,е)=Й^О	(2. 4. 78)
имеет другое свойство. Здесь в квадрате	функция /<(t,s), а
на сегменте [0, 1] функция f(t) непрерывны и имеют непрерывные
производные по аргументам t и s, кроме того, Х=Х0 является соб-
ственным значением ядра — K(t,s) ранга, равного единице. Решение
задачи (2. 4. 77), (2. 4. 78) при е—>0 на полусегменте (0, 1] стремит-
ся к решению следующего интегрального уравнения:
1
—u(Z)—К
s
(2. 4. 78')
где а_1— выбранная специальным образом определенная постоян-
ная. Решение задачи (2. 4. 77), (2- 4- 78), как и прежде, ищется в
виде ряда
\ е )	/ /__1\
У(М =	----L.+	(т,к(0 + пJ -7-1	(2. 4. 79)
к—0
с произвольным начальным условием
у(1,е) =	(2. 4. 80)
где
°(~) — й—1 -г Цо8"Тй1е2'Т^ге3_Ь...-г<2№к|. -
а_1,с0,...ск...— произвольные постоянные, определяемые
из условия
(2. 4. 81)
y(0,s)=fr=^J М0)4-П„
-1
е
е
к—0
Так как П_1|------1,
I е /
граничных слоев, то при
вательнс, из (2. 4. 81),
имеем
Пк^—-—j являются функциями типа по-
е—»0 Пк( П-i^ Следо-
формально совершая ошибку порядка
□О
Ь~ ^ик(0)ек.
к=0
Отсюда получаем
ио<0) = *; vJ0)-=0 (к=1,2,...)
Из (2. 4. 79), (2. 4. 80) вытекает, что
(2. 4- 82)
(2. 4. 83)
143-
Il_i(O)—fl—i;
no(0)=—^о(1)+яо;
Пк(0) = — vK(\)+aK,
(2. 4. 84)
Ряд (2- 4. 79) подставляется в (2. 4. 77). Тогда получаем
с°	«
У г4(0е'-+1+ У П'к ех+ ------------е~~^ +
к==0	к=0
«о	»
VI (t— 1 \	\ 8 /
+ 2j М08* + 2j гЦ—s—|s*---------------------=
к=0	k=0
(2. 4. 85)
1	co	1	co
=X^ 7<(/,s) S»4«)^s+l j	У
О	к=0	0	к=— 1
Последний интеграл, стоящий в правой части этого выражения,
записывается в виде
I	со	0
x^j у	eKdsx\ j ЖП-is 1~1)Х
0	и=1	—=°	,
<2. 4. 86'
СО
X У Пк(т1)ек+1Л1, где^~-=т1.
к=—1
Разлагая в ряд Тейлора функцию Тф/че-р^по е, получаем
со (к)
К(М1&+])=	(2. 4. 87)
“tv 1
к=-0
Из (2. 4. 86) и (2. 4. 87) вытекает, чго
0 со (к)	со	0
С V_L_[y)_XKie« У	[	К(М)Х
j	к!	“	J
—оокг^О	№—1	—»
0
XП—1(т1)б/^1-|- j [/С(/, 1)По(т1)4”^ $(Л 1)Т1П—1(ч)1^т1£т
--ОО
144
о
+	1Ж1)Пк_1(т1) l-QK(t,n_1)...nK_s(x1)Hx1+,	(2. 4 88)
—эо
где QK(/,n_i,...nK—sC^i))“ известные функции, получаемые из произ-
оо (к)	ОО
ведения рядов	У Пк(т1)£'<- Последовательно подстав-
ке-о	к ~0
ляя (2- 4. 86) и (2. 4. 88) в (2. 4. 85), а затем отдельно, приравнивая
коэффициенты при е, зависящие от t и ть получаем
П'-Ич)-П_1(т1)=0;	(2. 4. 89_1)
П'о(т1)-По(ч)=0;	(2. 4. 89О)
П'кСтр—Пк(т1) = 0;
I	О
—vof/)=x j K(t,s)vQ(s)ds^K(t,})	П-1(-Г1)е/тл+/(1);
О	—оо
(2. 4. 89к)
(2 4. 90о)
1	о
—®i(t)=X A'(t,s)t>i(s)ds4-X [К(1,1)Пи(-ч)-| Azs(t,l)tiX
О	-00
Xn_i(Ti)]i/Tj—t/0(t);
(2. 4. 90 t
1	О
—z’«(t)=>< j I<(t,s)uK(s)ds + '>. /ф,1)Пк~-1(-ч)+
0	—oo
+QK(t,--,n_i(T:1),...,k)]dT1—t)'K_i(t).	(2. 4. 90k
Отсюда следует, что ряд (2. 4. 79) формально удовлетворяет уравне-
нию (2. 4. 77). Как и прежде, займемся исследованием каждого
члена ряда (2. 4. 79). Так как из (2. 4. 84) П-фО)—а_ь то из
(2. 4. 89_1) вытекает, что
П-1(Т1)=е <2-1.
Тогда интегральное уравнение (2. 4. 90о) запишется в виде
1
t’o(t) = — A ^(t,s)n0(s)<7s—}Л(М)а-!—f(t).	(2. 4. 90'о>
о
Так как Х==)., является собственным значением ядра — K(t,s)	ранга
145<
равного единице, то интегральное уравнение (2. 4- 90',) имеет реше-
«йе в том и только том случае, когда
1
^(«)[XJC(s4)a-i+/(s}]ds=^O,	(2. 4. 91)
о
где й(з)—собственная функция союзного ядра — AYs.t). Решение
уравнения (2. 4- 9O'ft) запишется в виде
1
D0(t)=cetp(t)—xp<(t,l)+	—
о
1
—f(t)- j/?(t,s,X)f(s)ds,
о
где 7?(t,s2)—резольвента ядра K(t,s), с0—произвольная постоянная.
Введем обозначения:
а
1)-> [K(t,l.)+
о
1
2	) — l/(t)+ ^₽(t,s,A)f(s)«Zs] =AS(U).
о
Тогда
»o(t) = CoV(t)+Ai(t,>4«-i+Ag(t,k).	(2. 4 92)
Из уравнения (2. 4. 91) определяется произвольная неизвестная
постоянная a_t.
1
«-* - фЩ- [*<Ks) f(s)ds~а®-!.
с
В дальнейшем предполагается, что
1
ф(1)^ ^4(s)/C(s,l)ds =^и
О
и
4(0)	ч(0)=5^0.
Так как о0(Г)—Ь, то из (Z. 4. 92) определяются с0 в виде
гс=—ф—1 (0)	A i(t Л) ae_<—A 2(t ,л))=с%.
'Следовательно,
146
4(t) = t°o4’'C)+/1(t>X)ce_i+^2(tIk).
Так как
Пв(0)-ав-ав(1),
то из (2. 4. 89О) вытекает, что
Пв(ч)=е \а0—
Следовательно, уравнение (2. 4. 90j) запишется в виде
1
t’i(t) = — X ^/((t,s)Vt(s)ds—®e(l)l—
О
(2. 4. 93)
Это неоднородное интегральное уравнение (2. 4. 93) типа Фредголь-
ма имеет непрерывное решение
I)1(t)=c1<p(t)+fi1(t,k)e0,	(2. 4. 94)
где
Bi(t,))=- X/C(t,l)(ao~ гв(1))~ K^'s(t,l)«°_x-b
1
R(t,s,k)[K(s,l)(ae-Oo(l))+
o
-H/Csfs.lJaO-i+t/ofsJlds,
€i—новая произвольная постоянная, только тогда, когда выполняется
услозие
1
j4>(s)[-X/<(s,l)ao+W.l)yo(l)-^,s(s,l)ao-1+^e(s)lds=0.	(2. 4. 94')
о
Отсюда определяется а0:
1
+ Vb(s)[—XK(s,l)vJl)+*tf's(s,l)a°_i—o/o(s)]ds
Так как t'i(0)=0, а0=а°0, то из (2. 4. 94) определяется произвольная
постоянная
с1== — (р-1(О)51(ОЛ)ао^с°1.
Следовательно,
yi(t) = -cl1iq>(t)+B(t,XIaoo). (2. 4. 95)
Таким образом, мы полностью определили функцию Di(t). Пред-
положим теперь, чю полностью определены функции П3(т1),..
Пр-8(Т1) и ^(t),...,^-!^), где р - произвольное число.
Определим теперь функции Кр(4),Пр-i(ti). Имеем
147
П^>—i(Ti)—& [cip—i
Напишем теперь р-тое уравнение относительно
1
»p(t)=—Ь jw.sJ^s^s+BpU.X.ap-i),	(2. 4. 90р)
О
где.
О
Bp(tA,Gp_i) = -XK(t,l)(^_1-nA_1(l))- j
-----------------------------------СО
Пр-г^^+ь'^),
где Qp-^t,...)— известные функции, причем,
| Q^i(t,4)...) |
где /(=co«st. Следовательно, несобственный интеграл, стоящий в
правой части (2. 4. 9Ор), схо щтся. У равнение (2. 4. 90p-i) имеет ре-
шение вида
(2. 4. 96)
где
о
fip.^tA)^^,!)^-^!)- j Qp_1(t,T1,...)dT1+
— 00
1
+ u'p_l(t)+ j /?(t,S,))[—k/((s,l)op_i+M<(s,l)ap_i(l)--
0
0
Q(s,Ti,...)dTi]ds,
—co
в тон и только в том случае, когда
1	1	о
<p(s)Bp(s,XMs =	$(s)[—>/C(s,l)op_i— ^Qp_1(s,t1,..)tfc1—fp-i(s))c?s=O.
b	0	— CO
(2. 4. 97)
Отсюда
—) U(s)7C(s,l)rfs
о
где
148
I
о
£)p_i = ф($)Вотр_1($Л)^8, В00р_1(/,к)==—	Qp_i(s,-t,..)dt.
O	—oo
Из (2. 4. 96), (2. 4. 96) и 1^(0)=0 вытекает, что
^=^^,(O)lW,l)«op_i+Bop(O,k)]^°p.
Тогда
ор(/)=й°р<?(г)+В0р(/,к)+>Л(/,1)а0р_1.
Займемся оценкой решений задачи (2. 4- 77), (2. 4. 78) относи-
тельно параметра е. Подстановкой
Р	Р 1
у(/>е)=- ---X-----^-+ yjt'K(Os'l'+ У) ГВЦ - V+s₽s(/,s)
к—0	к—0
(2. 4. 98)
уравнение (2. 4. 77) приводится к виду
р—1	р
£Р+1	yj^)s*+i_
Clt	S ““
к—0	к—О
Р-1	Р
к=0	К—0
1	1	р-1
^гР\ ^K(t,s)Z(s,s)ds+l J K(t,s) у, Пк(~-^^8+
О	О	«==-1
1	р
+х ^(/,s)V0K(S)e«ds.	(2. 4. 99)
О	к=0
Интегральный член, стоящий в правой части и содержащий функции
пограничных слоев, преобразуем к виду
1 р-l	о
(/<(/,»)• У nJ 1-V,‘ds=e ( tf(/,rie+l)X
j	шшял	I £ I	1
0	K= — l	— l|e
p— 1	0	p—1
X У,	Jk(M1E+1) £ Щч)^-	(2. 4. 100)
K=— 1	—co	«=—1
Здесь в нижнем пределе совершается ошибка малости е. Далее, при-
меняя формулу Тейлора к функции ДД/че+О, получаем
149
in ин п . V ^8	,
Л(/,т»е+1) = А(Л1)+ /, -S-J-Y------- +
К;
К=1
(р)
+^—(/Л^6Т1е) т/еР,	(2. 4. 101}
где 0<6<1.
Имеем
р-1 («)	р-1
(	.^)еКт* ] ( ЩпН )=— К(А1)П_1(я) +
\	*v I	f \	I е
«=0	к=-1
+ [^(Л1)П0(т1)+^,1Ь1П-1(т1)1 + [7<(/Л)П1(г1)+
+/(,(tlW»)+ К'^ та1П-1Сч)]е+...+	(2. 4. 102}
+ [К(Л l)np_t(Tt)+Qp-i^.n-b... .rip-jC'i)] е/^-1+
+ Qp(J ;ЧЛ, П0(ч), • • • .Пр-^тО)®,
где	известные функции, причем
| Qp-i^T,...) |	| Qp(/,...) | <eKe\
где К— некоторая положительная постоянная. Подставляя (2. 4. 102}
и (2. 4. 101) в (2. 4. 100), получаем
о	р—1	о
е K(t,^+ Ь) S	J	Л’(М)П-1(т1)(/г1+
— Оо	К=—1	—оо
О
4~® J* 1^(^»иПо(т1У+^Ч^’1)т11Т--1(т1)]^т1Н’'
—СО
О
[Я(М)П1(Т1)+/Г5(М)Т1ПО(Т1)+
Пр-^Л^+е 1 —-с	и 1 )Пр_1(т1)+Qp_1(Z,rbn_1 (ч,.. —оо о (р) 'Ks (ГЛ1е+1)гРеР )	рл	х ©
150
Р	о
X S Пк(тх)е%х+^	(2. 4. 109)
«=—1	—«о
Подставляя (2. 4. 103) в правые часта (2. 4. 99) и учитывая, что
Пк(ч) («= — 1,0,1,2,. .) удовлетворяют соответственно дифференциаль-
ным уравнениям (2. 4. 89-1), ... (2. 4. 89р), а функции [ок(£)]—соот-
ветственно уравнениям (2. 4. 900) ..,(2. 4. 90к), относительно 6(£,е), по-
лучаем интегро-дифференциальное уравнение
1
дь	г
е —-----c(l,e)=X^A'(/,s)B(s,e)ds +
0
0 Р~1
+ Ks (^)i+~~
—00	-Г
О
+	(2. 4. 104>
—ао
Определим теперь начальные данные для функции 1(/,е) следующим
образом. Так как
р	Р—1
у(1,е)=	^(1>к+ Г Пк(0Х+^(1,е)^
к=0	к=—1
Р—1
=-^+£^+е%(<0,	(2.4.105)
«=0
Пк—1(0)—ак—1 vK—i(l),
то
£(1,е)=Яр(е)—Цр(1),
(2. 4. 106)
где Лр(е)— неизвестная. Так как
Р	Р—1
У(0,е)=6= ^]ик(0)е«+ Пк(------------^-Je«-f-e₽2(0,e),
k=Q	к=—I
(2. 4. 107)
/ 1
причем ПК1-----
->0 при е-*0 и no(O)=fe; t»K(0);=0, то В(0,е)=0.
151.
Краевыми условиями вида (2. 4. 106), (2. 4. 107) воспользуемся
для исследования поведения решений £(/,е) уравнения (2. 4. 104) при
«->0 на сегменте [0,1].
Пусть
о	(р)	р— 1
о	£	ГШЛ*.+
--00	к~—1
О
— ю
2)	ee'(Z,s)4-e/?p(f,e).
Тогда уравнение (2. 4. 104) запишется в виде
1
K(t,s)£(s,e)ds—f(t,c).	(2. 4. 108)
О
Так как Х=Х0 является собственным значением ядра —K(t,s) ранга,
равного единице, то интегральное уравнение (2. 4. 108) имеет не-
прерывное решение вида
1
5(/.е)=cp+ps(t)—/?(/,s,X)f(s,e)ds,	(2. 4. 109)
О
где Cp+i(e)—новая произвольная постоянная, подлежащая определе-
нию, в том и только в том случае, когда
1
^<p(s)f(s,e)ds=O.
о
Имеем
I
^(s)[—eB'(s,e)+e/?p(s,e)]tZs=
О
1	1
= е( <}>(s)!;'(s,®Ms+e ^$'(s)#p(s»s)^s=0-	(2- 4. 110)
о	о
В силу уравнения (2. 4. 106) и (2. 4. 107) из (2. 4. НО) вытекает, что
1	1
J-/(s)?(s,c)ds+^/?(s,e)ds-<p(l)[flp(e)-op(l)].	(2. 4. Ill)
О	о
Отсюда
152
1
1
Ор(е)=ф_1(1)[ \ ф'(5>5(8,е)лГ8 4- p(s)/?p(s,e)ds]+®p(l).	(2. 4. 112)
О	О
Исследуем теперь уравнение (2. 4. 109). Имеем
1
^'(Z’£)“^>£)=— Cp+i(e)<p(O+e jr?'s(^S,X)5(s,e)ds—
О
1
-e/<(/,l,X)-p->(l)^'(3X(s.s)ds4-A(^c),	(2. 4. 113)
О
где
1
fi(/,e) = —s/?p(Z,s)4 ^/?(*,S,XH zRp(S,e))ds+
0
1
1-еR(t, 1 ,/) Rf)(s,e)dsb~41)+eR(t, 1 ,Х)*Ур( 1).
О
Пусть
[/?/5(Л8,Х)-А’(Л1Ж-1(1)'/(з)]^Я1(/,8,Х).
Тогда уравнение (2. 4. ИЗ) запишется в наиболее компактном виде
1
5(/,8) = Ср+1ср(04-£	(2. 4. 114)
О
Преобразуем уравнение (2. 4. 114) в ин игральное уравнение
t— 1	1	,
.—_	—(Z—1)
В(/,е)=е Е ар(г)+ср+1'0(1) — ср^(р(\)е	+
t t—s	t 1
с Т~	Г V</—s) 1 rf / ч ,
+j е	c;,+1<p'(s)ds + е £ IMS>S)+
1 1
1
4~е^ //i(s,v,X)B(v,e)dv]ds.	(2. 4. 115)
о
Так как £(0,е)=0, то из (2. 4. 115) однозначно выражаем ср+1(е)
в виде
А 1 s	__L
cp+i=l“ <?(°)+ф(1)е ' + Е T'(s)^s|—’{е	еар(е)-
о
153
1 _J	1
—	6 [fi(s,e)+e j#i(s,v,X)£(v,£)dv]ds}.	(2. 4. 116)
0	0
Значение cp+1 подставляем в правую часть (2. 4. 115), тогда по-
лучаем
~v
Е(/,е)={е	+(ф(0~ <р(1)<?	)[—<р(О)+<р(1)е +
1
С е	е
4- \ е ф (s)ds]~’e	}ар(г)-~
Q
1	1 Is	Is
—(?(0~)([—ф(0)+?(1)е	е <p'(s)67s]-A е е—Ifi(s,e)+
0	о
1
4-8 ^/4i(s,v,X)£(v,e)dv]6Zs4-
0
г 4('-s) 1 с
4- \ е — [fi(s,£)4~£ \ //i(s,v,X)|(v,e)dv]rfs.	(2. 4. 117)
1	б
Введем обозначения
<—1	/—1	1 ! _ s	J
{е £ +(?(^_<р(1)е £)[-<р(0)4-<Р(1)е + Je * /(sjdsj-^ Е|=°(М-
Тогда из (2. 4. 112) и (2. 4. 117) вытекает, что
1 1
ар(е) = ф-1(1) j<p'(s)o(s,e)dsap(e)—ф-^!) U'(s)(<p(s)—
О	о
S—1	Ils	Is
—<р(О)е 6 )ds[—<р(О)4-<р(1)е £4- je £ <F'(s)rfs].—1 е E-|-[fi(s.£)-b
0	о
1
4-£
о
Отсюда
1 1
ар^)=— (!—ф-у!) J ф'(8)о(8,е)&)-1ф-1(1) U'(s)(9(s)—
о	о
154
L 1 L	1_L
—<p(0))[-?(0)4-<p(l)e e+L /(s)iZs]-1 (je £-|-lfi(^)+
0	0
1
4-(s^A)£(v>£)^vHs=^p(£,£)-
0
(2. 4. 118)
Подставля (2. 4. 118) в уравнение (2. 4. 117), получаем линейное
интегральное уравнение относительно ?(/,е). Правую часть последнего*
уравнения обозначим через, Н0(Л^£1> причем
| /7о(ДО,е) | ^.М—const;
I H0(/,B2,£)-H0(^,e) |	|	,
где N—const.
Пусть
e0(M=o,
U^£)=Ho(/,s,E„-i)
— последовательные приближения Пикара. Имеем
I Ei(^.£)~Во(/,е) I <H(^e,0)<Af = cons/;
| Ц/ b)-^^) | < | Н(/Л„_1,8)-Н(/Л„_а,е) j <
<e2V max I g„_x(f,e)—gn_2(Z,e) | .
Если 0<е<~2^-, то построенные последовательные приближения
сходятся абсолютно и равномерно. Пусть
Пт [Ц^)]=5(Ц,
где I Е(Ле) | <2/H=consZ. Таким образом, доказана следующая
Теорема 2. 4. 3. Пусть: 1) на сегменте 0<7<1 функции
f(t), K(t,s), q>(/), i>(l) удовлетворяют условиям теоремы 2. 4- 1.
Тогда задача Коши (2. 4. 78) для интегро-дифференциального
уравнения (2. 4. 77) имеет единственное решение вида
Р	Р—1
y(t>£)=
к=0	к=0
П-1
е« -|- -
г-п
£ / д+1
е-----+ в ?(Л£),
причем при е—»0 на полусегменте (О, 1J это решение сходится к
вполне определенному решению уравнения (2. 4. 78')-
155
Глава HI
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ВОЛЬТЕРРА
С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПР0ИЗВВДН0Й
В настоящей главе изучаются асимптотические оценки решений
задачи Коши для систем обыкновенных интегро-дифференциальных
уравнений с малым параметром при производной вида
du
dx
(3. 1. 1)
е
dx
~f3(x,U,Z,
K2(x,t,u,z)dt)
с начальными данными
M(0,e)=&i,z(0,e)=ts,
где
X
fK(x,u,z, ^KK(x,t,u,z)dt), KK(x,t,u,z),
О
(3. 1. 2)
(к=1,2)
u,z — п и m-мерные векторы соответственно; е— малый положитель-
ный параметр.
Полагая е=0 в системе и.-д. у. (3. 1- 1), получаем „вырож-
денную" систему
X
Ki{x,t^,w)dt),
(3. 1. 3)
X
О— f t(x,v,w, K^xdjVfioydt)
О
с начальным условием вида
=	(3. 1. 4)
В этой главе предполагается, что задача Коши n(0)=6i для си-
стемы и. д. у. (3. 1. 3) имеет некоторое непрерывное и дифференци-
руемое решение [v0(^)> ^0(х)1 на сегменте [0, 1].
v=v0(x,bi),
w=w0{x,b2).
156
В дальнейшем, как и прежде, предполагается, что вектор-функции
KK(x,t,u,z),fK(x,u,z,
X
\^RK{x,t,u,z)dt),
о
(к =1,2)
имеют непрерывные производные по своим аргументам в некоторой
ограниченной окрестности множества точек
X
(x,t,vo,wo),(0,vu(x); U)o(x); j KK(x,s,Wo(s), ^u(s))tZs. (к=-1,2)
О
Кроме того, предполагается, что вещее гзеиные части Reel л,(х)
(/= 1,2,...,/7z) всех корней 1ч(х) алгебраического уравнения
х
df	г
det(kEm------(x,vn,wn, \ 7(s(x,z,t'o(/),K.'(1(/))dO) = O
О
удовлетворяют неравенствам
Reel >./(л)<—2а<0,
где 0<o=consZ.
(3. 1. 6)
§ 3. 1. Метод асимптотического разложения решений задачи Коши
(3. 1. 1)—(3. 1. 2) относительно малого параметра е
Формальное решение системы (3. 1- 1) — (3- 1.2) ищем
в виде ряда
n(x,e)=T»0(x)+eta(x)+-.- + Q0 | — ]+eQi( ]+•••
(3- 1- 7)
z( г ,г)=w0(x)+К0!( х)	. -j- По f ~ \ + е П1 f ~	,
где vu(x),w0(x)— главные члены асимптотики; QK j ,	j
к—0,1,...— функции пограничных слоев,	имеющие	конечные
значения при х-=-0, убывающие i ак ехр --------’ где
определяется согласно (3- 1. 6).
Формально подставляя (3. 1. 7) в систему (3. 1. 1) и полагая
x—&z в членах, содержащих функции пограничною слоя, исходную
систему можем представить в виде
-4—(Ц)(х)-| Cd(x) + ...)H—( 4Co(t)+Qi(T)+- .^=<|>1(хл,е), (3.1.8)
11Л	CL* \	/
(&^о(А) ~Ьs2^'i{x)4-...)Н" —— '^i(x,z,e.),
где
157
 Ф'у(Х Л ,e)=fу(8т,о0(8т)+е-П1(ет)+...+Q0(x) -J- eQt(x) +...,
u>0(8x)+еи?1(ет) -f-... 4- П0(т)+еП1(т) +...,
GO
— £ [—Ay(£T,eS,W0(es) -?SVi(es) +...+Qo(s)+eQ(s)+...,
®o(£s)4-£^i(£s)+...+no(s)+sni(s)+...)—
— Ky(£x ,es ,f0(es) 4" e»i(es)+... ,OJ0(es)+eo>i(es)+...) ]ds+
OO
+£	[^j(eT>8S,V0(es)4-ev1(es) + ...+Q0(s)4-eQ1(s)4-...,
0
^0(ss)+e^1(es)+---+n0(s)4-sn1(s)+...)—
—/(у(ет ,es ,f0(£s) 4- evt(8s)+... ,&y0(£s) 4-K01(es) 4-...) ] ds +
4-8 Ky(e-t,es,a0(es)4 £Oi(£s)4~ • -• M(8s)4-effi>i(es)4-...)ds)~
0
—/у(8т,1>0(ет) 4- ev^ex)-!-... ,йу0(ет) 4-ew1(sx) 4-...,
£ j/9(et’es’vo(£s)+£Vi(£s)4-----,®o(£S)+eu’i(£s)+---Ms4-
0
OO
4e	[Ky(st,es,z<0(es)4-eVi(£s)4- —4-Qo(s)4-eQ1(s)4-—,
0
&y0(es) 4-ea^es) 4-—4-no(s) 4- £Hi(s) 4- • -)—
—Ky(8T,es v0(£s) 4- e»i(£s) 4- • - • .t<M£s) 4- £^i(£s) 4-  • •) ]ds) 4-
4- fj(x,vQ(x) 4- evi(x) 4- • - ,w0(x)+ewt(x) 4-...
Kj{x,t,vb(t)4-efi(/) 4-—,w0(t) 4	4-..-)dt+
CO
4-8 [Ay(A->es,V0(es)4-eV1(es)4--..4-Qo(s)4-eQi(s)4-...,
0
©0(es) 4-eW4(es) 4~ • • - + no(s) 4~еГЪ(8) 4“ • • •) —
—Кy(x,es,u0(es) 4- • • • ,a»o(£s)+^i(es) 4~ • • )]ds).
.158
Теперь разложим функции фу(х,т,в) в ряд ио целым степеням е
«следующего вида
ду(х,т,е)= У] Ач(х) ^- + 2 Вч(т) /=1,3,	(3. 1. 9)
ч— О	«D=0
где
X
Aj0(x)^fj(x,V0(x)^0(x),^j(xJ,v0(t),w0{f))dt) j=A ,2
О
Ay1(x)=fytt(Al7)i>1(x)+f/z(M/)tot(x)+ ^7W^ytt(Afd>i(0+
о
ОО’
+BjZ(M^wi(t')]dt+fJ-pj(Mj) [K/x,0,o0(0)4-Qe(s),
О
a’o(O)+no(s))—Ку(х,0,г>#(0),Ц)о(О))]Л-; /= Г,S'
X
А	^к{х)+fjZ(Mj)wK(x) + Jf7py(M/)]
о
(К)
±Kjz(M°fiwK(i)]dt^Aj (x,v0(x),...vK-i(x),
^ay0(x)_,... ,iC'K_ i(x),Qo,...QK- 1,По,---»Пк_1), / — 1,2
^НХО.Ро(0)+РЖ(0)4П,(т),0)-
-f/O,ve(O)a>o(O),O), /=1,2
fiyl(T)^JP)Q1(T)+/7XHn1(T)+[^(P)-fA(P.)]t +
1/л(Я -f7«(^o)](^o(0)x+^(0))-[fyz(P) -f/z(Po)]Ho(o)T+m(0))+
+i6?,(^)~Gp/po)1x
oc	J
X( j4«X0,0,vo(0)+Q,(s),^o(0)+n0(s))-
o
T
—A'y(O,Q,t>o(O)Iu'0(0))1|ds-b Kj(0,0,vo(0),wo(0\wo(0))ds)—
о
-Ьр/р) [^mMO)+Qo(s)^0(0)+nu(s))-
159
—Ру(0,0,со(0) ,дао(0)) Ids, /= 1,2
(к)
Bj (^о.-Дс-ьПо.-Пк-!)
/=1.2,
где
х
Mj^(x,v0(x),w0(x),p°j{x)), (p°j(x)~ JKj(v,t,v0,u6)dl),
о
M<>j=(x,t,v0(t),w0(t)), P^(O.i,o(O)+Qo(?WO)+njr),())
Po^(O,vo(O),wu(Q),O), (/=1,2).	(3. 1. 10)
Здесь f/z(AIy), fjU(P) ит. д., как обычно, означают производные
функции fj(x,u,z,pj) по СВОИ.М аргументам, вычисленные в точках
(3. 1. 10), например
dfj
(х,и,2^уУ=(л:)г>с>л0,р0/)
(3. 1. 11)
Подставляя разложение (3. 1. 9) в систему (3- 1.8) и отдельно
сравнивая коэффициенты пои одинаковых, степенях е, зависящие от х
и т, получим рекуррентные системы дчя определения членов ряда
(3. 1. 7). Например, для определения функций Qo(-)> По(т), Qi(.x),
П1(т) получаем соотношения
^=0;
^-=f2(0,yo(0)+Qo(T),K>o(0) + no(t),0);
f3. 1. 12о)
4г'=/1(0’г'о{0)+ Q о^)^о(0)+По(т),0)~А(0,уо(0),^0),0);
dn,	(V
M2«(P)Qi(*) +faz(P)W +Ва (T.QoWJW); (3. 1, 120.
где
(О
В (т, 9о(т1>П0(т))=1/зл(Р)—/гх(Ро)]т+
4[f2tt(P)-f«„(Po)]W0>+vi(0))+[fSz(P)-f2z(Po)]X
во
X (u-'o(0)t+^(0))+(Р)-f?p2 М(j [/<2(0,о,МО)+
о
160
+ 0? o(s).*o(0)+no(s))—/C2(0,0,i/o(0),u>o(0))lds+^s(0,0,®o(0),tt>o(0))ds)—
0
QO
^i(°’°>®o(0)+Qo(s).w0(0) + no(s))-K8(0,0^o(0),wo(0))]ds.
В общем случае функции (2к(т),Пк(т)(к>2) определяются из линей-
ных систем дифференциальных уравнений следующих видов:
dQK	(к-D
~	W+f u(P)nK-i(^)+Bi	(t,Q0> ...,
Qk—а»П01...,П(с—з)»
dnK	W
~dT =ftu(P)W+fl2(P)W +Вг (T,Q0,...,QK_i,n0,-,nK-1)
(3- 1.12я>
«=2,3,...
Функции w0(x), wq(x) определяются из вырожденой системы-
уравнений (3. 1. 3), а функции щ(х), а>я(х)(«>1)—- из линейных сис-
тем интегро-дифференциальных уравнений
х
[Я1ц(+
о
+Ktz(Moi)	dt+Л t<K>(x,vo,..., vK_t,w0,... ,wK-i,
(3- 1. 13)
Qo,-.,QK_i,n0,...,nK-i),
0=fzu(M г)Ук(-х)+fаг(А1a)WK(x) -J- fг/?а	а) IK2u(-M°2)vk( 0+
0
(«)
+/<2г(Л/°2M(/) ]d/+А2 (х ,v0(x),... ,vK^i,wot... ,wK. i,
Qo»*-->Qk—1.П0,...,Пк—i)—(3. 14Л)
Таким образом асимптотические ряды (3- 1- 7) формально удов-
летворяют системе (3- 1. 1) и начальному условию
00
v(0,e)^bi= У [yK(0)+Q«(0)]s«;
к=0
(3. 1. 15):
11* 2790	161 -
оо
г(0,е)=62= ^[%(0)4-П«(0)1е\
к—О
'Отсюда
Qo(0)=f>i—уо(0)
QK(0)=— ук(0)	(3- 1. 16к)
—1 о о
По(0)«=^2—а»о(0) :
№1,2,3,...
дипилшиыьные условия (3. 1. iuK; оуДу! исследованы ниЖе.
Рассмотрим систему (3. 1. 120). Из первого уравнения этой си-
стемы получаем, что Q0(T)==^i—по(0)- Так как Q0(T)—функция по-
граничного слоя, то должно быть	-ao(0)=0. Следовательно,
система относительно П0(т) примет вид
4г-==М0,М0)^о(0)+По(т),0).	(3. 1. 17)
Ранее- примененным методом (см, главу 1 § 1. 4.) систему нели-
нейных обыкновенных дифференциальных уравнений (3. 1. 17) запи-
шем в виде
-^-==/2г(0>М0),«-о(0),0)По(х)+^И0,М0)^о(0)+епо(т),0)]пго,
где О<0<1. Эта система рассматривается с начальным условием
По(0)=^2-М0).	(3. 1. 18)
Предполагается, что
М0,М0>о(0),0), -2Г Г22г(0^о(0),®о(0)+епо(т),0)
удовлетворяют всем тем ограничениям, которые были наложены при
доказательстве теоремы 1. 4. 2 главы 1. Таким образом, здесь
предполагается что решение задачи Коши (3. 1. 7) — (3- 1- 8) при
всех удовлетворяет неравенству
—ст
II П0(т) II II 62-®о(0) || е
(3. 1. 19)
где К—некоторая положительная постоянная. Итак, функции нуле-
вого приближения полностью определены.
Теперь определим функции первого приближения. Для этого
рассмотрим систему
162
-^-»/1(0.по(0)дао(0)+По(т),0)-/1(0,‘По(0)^о(0),0),
0,По(т)),	(з. 1. 20)
01
где Ве (т,0,По(т)),/:аи(Р),|:2г(Р) введены соответственно в (31- 13) и
(3- 1. 11). Из первого уравнения системы (3- 1- 20) находим
Qi(t)=Qi(’0)+ Ft(s)ds,
0
где
Fi(s)=fi(0,vo(0),№o(0)+no(s),0)-f1(0,oo(0)>u>o(0),0),'
a Qi(0)— пока неизвестный постоянный вектор. Определим теперь
начальное условие для вектора *ч(0) в виде
ОО
Qi(0)=- F1(s)ds=-v1(0).	(3- 1. 19о)
о
Этот интеграл сходится в силу экспоненциального убывания П0(б),
а вместе с ним и Л(§). С учетом значения Qi(0), Qi(t) запишется
в виде
ОО
QiO)=—J A(s)ds.	(3. 1. 21)
Так как
HFi(t) II = II A(0,M0>o(0)+no(s),0)-
—fi(0i,no(0),w0(0),0) II <7V li По(0 II <A> °T,
где —некоторая постоянная, то из (3. 1. 21) вытекает, что при
всех
II QtfO I!	(3- 1- 21')
где Ki—const.
Подставляя найденное значение Qi(") во второе уравнение си-
стемы (3- 1. 20), получаем
4r-=MP)n.(T)+Ai(T),	(3. 1. 22)
где
со
Д1(т)^2('’(г,0.По(т))-/2а(Р) J Fi(s)ds.	(3. 1. 23)
т
Линейное дифференциальное уравнение (3- 1- 22) рассматривается с
дополнительным начальным условием
П»(0)=-ш,(0),
163
где w i(0) однозначно определяется из следующей системы линейных
интегро-дифференциальных уравнений
О
оо
[^i(-v>0,fo(0)4-Qo(s),
О
®o(0)+no(s))—К1(х,0,г7о(0),®о(0))№;
X
Ш1(Л-)=__^2г(Л12)[^2м(м2)г1(х)+ j hp^K^M^v^tydt-
0
X
— w'0(x)+A2l(x)~	(3. 1. 24)
0
или короче второе уравнение запишется в виде
х	X
ге’1(л)=-Н(л)р1(х)+ j Mi{x,t)Vi(t)dt+ai(x) {- ^K(x,t)wi(t)dt, (3-1. 25)
о	о
где
Н(х)--/2г-уЛТг)/2к(Ж2);
MJxj)^-f-\2(M2lf2p 2(M2)KSu<A^2)-
г( м°2);
adx)=-f-\z{M^A^{x^,T\0}-		(3.1. 26)
ал
Формально рассматривая (3- 1- 25) как интегральное уравнение
относительно ^'i(x) и решая его, получаем
X	X
и'1(л)=Н(х)и1(х)+ j Mi(x,0Mz)^+ci(*)+	+
0	О
t
+	/,s)0i(s)rfs+«t(z)ld/,	(3. 1. 27)
О
где R(x,t)— резольвента ядра K(x,t\, т. е..
164
ео	X
R(x,t) = %Kft+i(x,t)-, Kn+i(x,t)=^Kn(x,s)K(s,t)ds; KM^K(x,i).
n=0	t
После изменения порядка интегрирования (3. 1. 27) можем пред-
ставить в виде
X
и?1(л:)=Н(л)О1(х)4- ^/Ma(x:J)8*i(/)d/-|-ri(x)>	(3. 1. 28)
о
где
х
Ar2(x,0^yW1(x,0+R(z,OH(0+^RU,v)7W(vI/)dv,	(3. 1. 29)
t
X
n(x)sai(x)+ ^R(x,//ai(/)rf/.	(3. 1. 30)
о
Подставляя значение w>i(x) из (3. 1. 28) в первое уравнение системы
(3. 1. 24) и производя некоторые преобразования, получаем
я
-^-=D(x)vi(x)+^K(x,t)vl(t)dt~[-ht(x),	(3. 1. 31)
ил	|
о
где
Dix^fi^M^+f^M^x)-,	(3. 1. 32)
K(x,0^(M1)M2(x>/)-|-flpi(M1)(/<1B(Mo1)H(0+^(Moi))+
т
X
hi(x)= flpi(Mi)^z(M°i)ri(0^+^(Ui(^>0,no)+flz(Mi)ri(x), где
о
(3. 1. 33)
оо
^ri)1(x>0,no)=flpi(M1)Jl^(x,0,yo(0)+Qo(s),ix>o(0)+
о
+n0(s))—Ki(x,0,vo(0),wo(0))]ds.
Известно, что если V(x,s) (V(s,s)=£’i„—единичная матрице порядка
пХп)—матричное решение системы
X
= D(x)Vi(x) 4- ^(z,/)oi(/)df,	(s-параметр)
5
165
то общее решение (3. 1. 31) дается формулой
у(х) = У(х,0)У1(0)+^ V(x,t)hr(t)dt.	(3. 1. 34)
о
Подставляя щ(х) из (3. 1. 34) в (3. 1. 28), имеем
«»*(*)= Ц,(х,0)«1(0)4-^1(х),	(3. 1. 35)
где t>i(0) определено по формуле (3. 1. 19в);
X
Уо(х,0)=е//(х)У(х,О)+ J ТИ2(х,/) V(tfi)dt,	(3. 1. 36)
о
х	t
j V(t,s)hi(s)ds]dt.
о	0
Из (3. 1. 34) и (3. 1. 35) вытекает, что неизвестный вектор оДО)
определяется полностью. Явное выражение этого вектора имеет сле-
дующий вид:
i^i(O)-— -(Уо(О,0) Vi(0) -Ui(O)).
Следовательно, решение системы (3. 1. 22) с дополнительным ус-
ловием /71(0)=—Wi(0) запишется так:
П1(т)=— ex/’{M/’)T}“’i(0)+ yxp{faz(P)(x—s)]&i(s)ds, (3. 1. 37)
0
где Ai(s) определяется из (3. 1. 23).
Из (3. 1- 37) вытекает, что
II ГЩх) II < II expf2z(P)t || fi гао(0) || +yxpfiz(P)(t—s) || Ai(s) || ds <
о
—err	—от	—ат
|| юо(0) || 4-Жоте
где К, Мо, Mr— которые положительные постоянные. Таким обра-
зом, с определением /71(т) функции первого приближения полностью
определены. Допустим, что все функции до (к—1)-го приближения
полностью определены, причем
II Qk-i(t) II
|| /7к_!(т) || <Ке ,
при всех т>0, K=const, nK_i(z),u>K_i(/)— непрерывные векторы на
сегменте 10,1], где к—любое натуральное число.
166
Построим и определим теперь функции я-го приближения QK(X),
Пк(т:), wK(x), vK(x). Для этого рассмотрим систему (3. 1- 12). Из
первого уравнения этой системы находим
Qk(t)=Qk(0)+ J FK(s)ds,	(3. 1. 38)
о
где
(я-J)
F"ЬBi	(t.Qo,..., фк_х,/70,.,.,ПЛ_2) —
вполне известная функция. Из структуры правой части функций
FK(x) вытекает, что
II Рк(х) II <Ке ,
при всех где К—const.
Как и раньше, потребуем, чтобы Qk(°o)=0, т. е.
Со
-M0) = Qk(0)=-J FK(s)ds. (я>2)	(3. 1. 39)
о
В силу (3. 1. 38) из (3. 1. 39) имеем
ОО
QK(T)«- FK(s)ds, (я>2)	(3, 1. 40)
т
Следовательно,
II QK(t) II	,
где Ki—const. С учетом (3- 1. 40) второе уравнение системы
(3. 1. 12к) примет вид
-^-=М^)Пя(т)+Дк(т), я>2	(3. 1. 41)
где
оо
(к)	Г
ДК(*)=Я8 (^Qo......Q«-t(^),n0(x)..nK_t(T))-MP) \FK(s)ds. (3.1.42)
т
Дополнительные условия Пк(0) — —®к(0) для системы (3. 1- 41)
определяются из системы (3. 1. 14к)' (я>2). Из второго уравнения1
системы (3. 1. 14к) находим
х
wK{x)^H(x)vK{x)+^Mi(x,t)vK{t)dt-}-rK(xY (3. 1. 43)
О
где Л12(х,1)— известная функция, явное выражение которой; записано
в (3. 1. 29);
16Г
с -1	(«)
rK(x)=— \ 7?(jc,t)flz (М2)А2 (t,o0(t),...,vK_1(t),tB0(t),
*0
R(x,t) —резольвента ядра K(x,t). Подставляя значение wK(x) в пер-
вое уравнение системы (3. 1. 14'к), после соответствующих выкла-
док получим
X
==Г>(х)Мх)+ ^С(х,0М0^+М*),	(3. 1. 44)
о
1где D(x), /С(х/) определены в (3. 1. 32) и (3. 1. 33);
Г	(«)
hK(x)==	(x,Q0,...,QK_1,n0,...,nK_1).
О
Из сравнения систем (3. 1. 31) и (3. 1. 44) видно, что их однород-
ные части совпадают. Поэтому и фундаментальная матрица V(x,s)
для систем (3. 1- 31) и (3- I. 44) является общей. Отсюда следует,
что общее решение (3. 1. 44) запишется в виде
X
vK(x)=V(x,0)vK(Q)+ ^V(x,t)hK(t)dt,	(3. 1. 46)
О
где
СО
М0)=—Q«(0)=J FK(s)ds,
О
МО дается формулой (3- 1- 45). С учетом (3- 1. 36) из (3. 1- 43),
(3. 1. 44) получаем
Wk(x)=Vo(x,0)vk(0)+M«).	(3. 1.47)
тде
X	t
^к(х)=гДх)+ [7f(x)V(x,/)M0+ (Л4»(х/) V(Cs)ftK(s)rfsldt.
О	и
Из (3- 1. 46) и (3. 1. 47) вытекает, что вектор-функции Мх) и
®\(х) полностью определены и непрерывны на сегменте [0,1]
Решая систему (3. 1. 41) с дополнительным условием Пк(0) =
=.— шк(0), находим
Пк(0==—е %(0)4- le AK(s)ds.	(3. 1. 48)
о
Отсюда при всех <>0
II Пк(т) || с.Ке ,
где К—const.
Таким образом, если известны все функции до (к—1)-го
приближения, то, согласно предыдущему, могут быть построены и
определены все .функции «-го приближения.
468
§ 3. 2 Уравнение относительно остаточного члена
асимптотического разложения
В этом параграфе проводятся оценки остаточного члена асимпто-
тического разложения с любой степенью точности относительно ма-
лого параметра е.
Подстановкой
S/ х \	" । *
(M*) + Qk ( — ])е 4-е Е(х,е)
к—О
SI X \	Р4-1
(о>к(х)4-Пк1 — l)e'f4-e ^(лг.е)
лг=О
(3. 2. 1)
система интегро-дифференциальных уравнений (3. 1. 1) приводится
к виду
р
У	je +&	^'(x,s) = ft(x,Up-]-sP?,
к=0
х
р4*1 р	р4-1	Р4“1
Vp4-e I Ki(x,t,up 4-е 5,Vp4-£ v)df),
о
рл-%	p4-i
8 7,1 аМ*)4-П'к I 7 17 ) ек4-е Ъ'(х,в)=1г(х,ир 4- S £,
к=0
Д-М г	Р4-1	Р4-1
Vp+e V, \ Ki(x,t,Up+e. «.V'p-J-e	(3.2.2)
О
где
р	р	/ \
up^ S(^)+Q«(v))eK;
к=0	к=0
Рассмотрим теперь выражение
X	р
ij{x,Up,Vp,^Kj{x,t,up,Vp)dt)=fj\x, У ^ок(х)4-
•	к=0
Р	с
+QK У] ^«(*)4-Пк^^е^у^(лЛ«р,Кр)-
к=0	О
169
X
-Kj(x,t,ap,bp)]dt+ J К j(x,t,ap,bp)dt)=
0
co
=ff(x,up,Vp,—e J [ Ky(re,se,«p, Vp)—Kj(xs.,se,ap,bp)]ds+
CO	X
4-e^ [Kj(x,se.up,Vp)— Kj(x,se,ap,bp)]ds + ^Kj(x,t,ap,bp)dt)=
0	0
•o
= {fj(x,uP, Vp,e J[Kj(x,ss,up, Vp)~Kj(x,s&,ap,bp)]ds+
0
X	co
4-	^Kj(x,t,ap,bp)dt—e J[tfj(«,se,MpiVp)—Kj(xe,se,ap,bp)]ds)~
О	т
oo
—f j(x^aPt^pje У[^/(•*'>sSi^p,Vp) Kj{x,&s,ap>bp) ]rfs4-
0
X	co
+ Kj(x,t,ap,bp)dt)]+fj(x,ap,bp-,e ^tKj(x,eS,Up,Vp)-
0	0
X
~Kj(x,&s,ap,bp)]ds+ Kj(x,t,ap,bp)dt),	(3. 2. 3)
o
где
p	P
ap=^vK(x)zK, bp= ^wK(x)eK.
k=0	k=0
Выражения, находящиеся под фигурной скобкой, запишем в виде
СО
fy-(Te>zzp(eT),Vp(es);eJ[/(/Te,es,«p(es1)V/,(es))—Kj(xe,se,ap,bp)]ds +
О
•с	со
4-е^ ^-(T:e,vs,api&p)dv—£ j [/С/(те,е8,Ир, Vp)— Kj(xz,zs,ap,bp}]d?,)~~
О	Т
00
-fj(^,ap,bp;e^[Kj(xe,es,upyp)~Kj(xe,es,ap,bp)]ds +
О
170
-j-е j Ay(ie,es,«p,&p)ds)ssAy(T,e).	(3. 2. 4)
О
Функцию разлагаем в ряды Тейлора по целым положитель-
ным степеням параметра е в следующем виде
Р—1 .,	•*	(р) Л Р
VW ч S Aj (t,Ge)e
_ А	(т,0)^+
^1
р	•*	Ф+1)	р+1
Ла('с,е)=Л1(1:,0)+ У]аэ (1,0) — 4—	’	№. 2. 5)
V=l
где 0<6<1
ЛХт,0)МХО,Оо(0)4-Ро(^); а’о(0)+По(1))0)-Л(0,Оо(0)м(0)10)
(*)
АУ (T)0)=fyu(0,...)QK(i)+f^0,...)n(c(i)4-
(*)
+Bj (T,Q0(t),...,Qp_к(т),П0(т),...,П к—i(t))»
(*)
Bj (...)—известные функции, причем
(к)	—°"
II Вр г.Со^)-..,^»-!^),^^),...,^-^)) и	. (3. 2. 6)
В равенстве (3. 1. 12) предыдущего параграфа написано явное вы-
ражение функции Bj (i,Qo,TTo).
Имеем
(р)
| Ai (1,6е) У <А1^е
(р+1)	р+> — гс
II Аг (1,6е) ||< At е .	(3. 2. 7)
Оценками (3- 2. 6) — (3- 2. 7) воспользуемся в дальнейшем. Раз-
лагая в ряд Тейлора вектор-функции
QO
Hj{x,z)=fj(xtap,bp^ \Kj(xfis,up,Vр}—
о
X
—Kj(x,&s,ap,bp)]ds+^Kj(x,t,apJbp)dK	(3. 2. 8)
о
171
получаем
р (ж) к	р+1
. VH; (х.О)е (р+1) е
///(x,s)»//y(x,0)+ 2j - 7<4-//у	(3- 2- 9>
к—1
Где 0<6<1,
х
Ifj(x,O) fj(x,v, w, ^Kjix,ttv,w)dt).
О
(1)
Hj (х,0) =/KU(x,v,...)vi+f кг(х,v,.._)®i(x)4-
X
+ ^fKpK (x,...)[KKU(x,t,v,w)vi+KK2(x,t,v,w)wl]dt +
0
00
+ fy*pK (^...)[^(x,O,o(O)+Qo(s),t0(O)+no)s))-
0
—/’CK(x,0,oo(0),u’o(0))]t?s;
(p)	f
Hj (x,0) = fKU(x,O,...)vK-l-fK2(x,O1...)wK+ укрк(х,...)Х
0
(p)
X lKKu(x,t, ...)vK+KKZ(x,t,...)wK(t)]dt-\-AK (x,oo,...,u»K-i)
(3. 2. 10)
(p)
где AK (x,...)—вполне определенные функции, причем
(р+1)
|| Нк (х,6е) II <M=const
(3. 2. 11)
Система интегро-дифференциальных уравнений (3. 2. 2) с учетом
(3. 2. 4) — (3. 2. 5) и (3. 2. 8) — (3. 2. 9) запишется в виде
Vi г / х \ 1 1 к р+1	/’+*
2j рЛс(х)+О'Л— J— Iе +е V(X,e)=/x(x,«p + s Е(х,е);
к=0
Р+1	с	р	р+1
^р+е ^л); \ ^(х.Ла^+еЕ; Vp+e rfidt)—ft(x,ap, Vp;
О
172
Г	Vi	е
\Kl(x,t,Upyp)dt)+ 2А (т.о)-
I	til
О	к—О
ж=О
(p+V р+1
//,	(*»е
(/Ж)!
(Р) л Р
Лх (т,6е)е
Р!
Sr	(X \ 1 к Р+2	Р+1
обсОф + П'к I — I е -И tf(x,&)=fz(x,up+s 5(Х,е);
k=OL
р+1	г	р+1	Р+1
Vp4-e Ч(х>е)’> \^z(xd,Up+ е 5;Vp+e т](х,&)dt)~fz(x,ир,
О
Г	VI	(к) е
Vp',\Ks(x,t,upyp)dt)+ >| А2 (г,О) ^-+
0	к=О
(р+1)	р+1
А 2	(т,6е)е
(рЖ)!
к=О
(х.О)
К (р+1)	р+1
е Н2 (x,6s) е
к! (/Ж)!
(3. 2. 2')
Учитывая, что функции Qo, Qi,...,Qp,...,n1,.:,np,v0(x),v1(x),...,vp(x),
w0(x),tt>i(jc),...,№„(*) соответственно определяются из системы уравне-
ний (3. 1. 120), (3. 2. 12i),...,(3. 1. 12к),...,(3- 1. 14к) предыдущего
параграфа, из (3. 2.2), (3. 2. 3), (3. 2. 4), (3. 2. 8), (3. 2. 9) полу-
чаем нелинейное интегро-дифференциальное уравнение относитель-
но li(x,e),7j(x,e)] следующего вида:
ле 1 г	р+1	Р+1 г	Z’+l
e L	b
p+1
Vp+e ^1)~Ых,ирУр,
y2(x,t,upyp)dt)] +
0
1 Л ) । 1 fp+1)
е(р+1)!Л* \e’	/+(p+l)l 7/1
z/v; 1	p+1	p+1 f	P~^ 1
e	S.Vp+e Ua(V,«P+e S-Vp+
6	9
173
-4)dt)-f2(x,upNp, ^K2(x,t,up,Vp)dt] 4-
o
(p+Wx \
( e ’ 6 I (p 1-1)	1
+•—(F+ij!—+"*	(xA ’ W
(3. 2. 12)
Систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений (3. 2. 12)
преобразуем к виду
X
^=fiu(x,ap,bp,^K1(x,t,upyp)dt^+fl2(x,...)ri4-
о
х	t
+ ^/1/?! (x,ap,bp; ^K(t,s,up,Vp)ds)[Kla(x,t,...^(t)+K1z(x,t,...)X
0	0
Xv(.t,t.)]dt+gi(x,i,7i,e)+
1 \ e )	(p+i)
e(p+l)l ’+A/1	^’ee);
® ~^~=Ьи(х,ар,Ь0, ^K1(.x,t,upyp)dt^+flz(x,...)r)+
0
X
+	(х,...)[/<1И(х,...)е(О4-/<1Л*.-)73(Ле)1^4-
0
Ai \ s ’ 8 / ,	(xfie)
4-g2(x,e^,e)4-	(^4-1)!	+H* (p+l)l w p{
(3. 2. 14)
Запишем явное выражение векторных функций g/(x,?,v;,e).
После некоторых несложных преобразований эти вектор-функ-
ции запишутся в виде
g7(^,>J,e)se—{Г/им(М*)?’4-//«(Л1*Ь24-
х
+ fjpj (М*) (^Kju(xrt.up,V^+KjAx,t,up, VpW/4-
и
174
/ г	р+1	р+1
4- ~2~\[i<juu(x,',up+^	£,Vp+6e	^+2KjU2(x.t,4p+
О
р+1	р+1	р+1	р+1
4-6е	?>^ip+®s	'/;)?7i +^/’z(x4.wp+fje В, V4p4-6s т0т1а1 X
X
w/й! • nf гц*»р~ t.Of . ГМ*\р/ CfR". <v f ч +4+
 4 — I I	t  -tju-pjX-  /М JI 'JU.\ •••» p> pz' I
0
p+l x	-,. 1
4"^/z(x^,up«Vp)Tjl^+ —2—^^/««(x'^iKpH_Gs	^>Vip+
0
p+i	p+i p+i _
+6e	r^2-[-2KjU2(x,f,Up+6e	, Vp+6s 4)^+
p+1	p-M
+Л/г2(х,ЛПр+ее B,Vp4-0e vj)vj2|dz)+2f/zp^(M*)’»iX
X
X(^/M(-^/,«p,Vp)5+/C/z(x,/,«p,Vp)^I^+-
o
/+1 xc p+1	p+1 e2
4---2" jlAy-MU(^4,«p>4Ge S,Vp4-6e *№4-
o
p+l p+l	p+i
+^JUZ(x,t,Up+^ B,Vp4-6e ^+KJ2Z(x,t,up+^ I,
p+l	r
Vp+^s 707l1]^O)4~[f/«(xwp>Vp>\	(-^>Л«р1 Vp)rf^)
о
x	X
— fju(x >ap,bp,^Kj(x ,t ,Ор,Йр)</^)]?4“(//г(х>ир>^р’^^у(х,^>ар’^' p)^)
0	0
x	x
— fj2(x,ap,bf, \^j{x4,aD,bp)dt)]^+fjP){x,upyp!^Kj{x,t,Up Vp)dl)X
о	0
X j{[^\/u(-*-'^+p,Vp)—Kju{x,t,ap,bp)]^-\-[Kj2{x,t,up,Vp)
0
175
X
—KjAxtt,ap,bp)]^}dt+\fjPj{x,upyp,	Kj{x,t,upN p}dt)—
о
x	x
iKj(x^iap’bp)cit)] [Яум(л,/,йр,&р)Е4-
0	0
+К/2(хЛ,ар,Ьр)^,	(3. 2. 14)
где
p+1 pA- I r
Af* = (x,ttp4-6e B,Vp4- 6e »], V Kj(x,t,up,\Tp)dt-[-
0
. x
P+1 r
4-6e	( \ [KJU(x,t,up,\p)l-YKj2{x,t,tip,\lp)-r}dt+
0
P+1
~2~
г	p+i p+i
\[Kjuu(x,t,up+^ e,Vp+6e ^+2KjUls(x,t,Uo+
0
/>+1	p+1	p+1	^+1
+0e l,Vp+6e Ч)^+Кугг(хЛ,ир+6е. £,Vp+fc rfrfldt)),
0<6<I.
Пусть
IIEII + II -q li <^0=cons/.
Тогда нетрудно показать, что
р+1	~Тх
II g/x3z,Tj2,e)—W < [N(s //0)+Nioe ]X
X( II Mx,£)-ei(x,e) II +- II II )= II h2~h. II ,	(3. 2. 15)
p+1
где Ni,N(e Ho)— некоторые положительные постоянные,
II >2—Wo(O) || <a.
Определим начальные векторы для системы (3. 2. 13). Из (3. 2. 1)
получаем
Р	о
Vi	к р+1
u(o,s)=^= 2j ®«(0)eK+ 2.Q«(0)e +e e(e,e),
tc=o	к—о
WK(0)sK4- 7 ) Пк(0)ек+Е ^(О.е). (3. 2. 16)
к^-о
к~о
176
Так как
QK(0)=—пк(0); Qo(0) = fti-vo(0)
Пк(О)=—w«(0); По(О)=6а—wo(O),
(№=1,2,...,/?)
то из (3. 2. 16) вытекает, что
B(0,s)=0; ч№)=0.	(3. 2. 17}
Таким образом, в этом параграфе получили систему нелинейных
интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра (3- 2. 13) от-
носительно остаточного члена [Е(х,е),7Дх,е)]. Для этих функций
определены начальные данные (3. 2. 17). Остается оценить остаточ-
ные члены. Эти вопросы обсуждаются в следующих параграфах
настоящей главы.
§ 3.	3. Некоторые вспомогательные оценки решений линейных
матричных систем с малым параметром при производной
В этом параграфе рассматриваются матричные линейные систе-
мы интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра с малым,
параметром при старшей производной.
Введем обозначения:
X
1)	д(^)= fiu(x,dp,bp', Кi(x,8 ,ap,bp)fZs);
о
х
2)	-Дl2(x)=fiz(x,ap,bp'	Ki(x,stdp,bp)ds)'t
о
X
3)	f/91 (x,ap,bp, ^Ki(x,s,ap,bp}ds)Kiu{x,s,upyp)=Kn{x,?>)-,
о
X
4)	/ci2(x,s)=f^2 {x,ap,bp, J
о
Рассмотрим теперь систему линейных интегро-дифференциаль-
ных уравнений с малым параметром при старшей производной.
=7i[w,Z]+iZi(x);
dz
е—^-=^2[«,г]4-а2(х)
с начальными векторами «(O,e)=Z?i; z(0,e)=#s,
где
(3. 3. 1)
J2* 2790
177
X
LK(u,z}=AKi(x)u+A,a(x)z+ у/Ск1(х,8)м(8) +
О
+/<K2(-»:,s)2:(s)]rfs; к=1,2
<ак(х)— известные п и m-мерные непрерывные векторы на сегменте
[0,1], Ьк— постоянные я и /я-мерные векторы.
Лемма 3. 3. 1. Пусть пХп, т%т, тХп, пхт матричные
функции
V(Ke(x,s) (*,К=1,2) VZK(s,s)= /0 при 1^к
[ Eik при 1—к,
{где f/к—единичная матрица вида Еп при	а при г=к=2
единичная матрица Ет] удовлетворяют системе матричных интегро-
дифференциальных уравнений
=Д11(х)У(х,8)+А12(х)7(х,8) +
X
^Kii(x,v)y(v,s)+/<i2(x,v)Z(v,s)]ds
s
X
d7	r
=Ai2(x)y(x,s)+A22(^)Z(x,s)4- \[Ku{x,v)y(v,s)-f-
ax	j
4-A'S2(x,v)Z(v,s)]cfv,	(3. 3. 2)
где s—некоторый параметр, se [0,1].
Тогда вектор-функции
X
.«(x,e)=Viis(x,0)&i+Vi2£(x0)&2+ ^[Vil£(x,s)ai(s)-+-YVi2e^,s)a2(s)]ds,
(3. 3. 3)
X
z(x,e) =V2ie(x,0)fci+V22e(*,0)&2+ j [V2i8<x,s)a1(s)4- jV22s(x,s)ris(s)jds
О
удовлетворяют системе интегро-дифференциальных уравнений
(3. 3. 1)
Доказательство- Подставляя (3. 3- 3) в систему (3- 3. 1),
получаем
2	2 х
,	/ ч , VCdVUb(^s)	__
^к“Ьа1(А')+ —j J б/х£к1 Gk(SMS
к=1	к=1о
х 2 х
= LilVue.Vsielfel+ZllV^e.V^l^ +	1 £к—1 ^l'c(x>v)^lKe(v>s)^v +
О К—1 S
178
2	хх
J ^>i4«A)V«i(v,s)rfv+ai(x),
К—l	о s
2	2 x
г V ^V2K(x,s) л ,у [rfV2,f£(x,s)
e 2j ~dx-------»к+«2(х)+е 2j	————- Ms)&=
K~1	«=1 о
2
==£»[Viie,V2iE]fri+£2[Vi2e>V22e]&a+ X
K=1
£K-1
X
^2K(A^)VuE(v.s)tZsH-
o
X
Г	1	1
+ \^2k(x.v) ек—i V#2e(v,s)iiv |+a2(x)"	(3- 3. 4)
о
Так как по предположению матричные функции lVne(z,s); V2ie(^,s)l
(VndSjsJ^^Vsb^sHO) и (Vi2e(T,s);V22e(^s)],(VIge(s,s)=0;V22e(s,s) =
= £’«) удовлетворяют системам матричных интегро-дифференциаль-
ных уравнений (3. 3. 2), то из (3. 3. 4) вытекает справедливость
утверждения леммы.
Лемма 3- 3. 2. Пусть выполнено условие леммы 1- 8. 1
главы I.
Тогда на сегменте [0,1] при е-»0 интегралы
X	X
j II V/Ie(x,s) II ds, j II V('2e(-^,s)-— il ds
О	О
равномерно ограничены.
Доказательство. Рассмотрим систему матричных интегро-
дифференциальных уравнений (3. 3. 2) с начальными матрицами
y(s,s)=£’n; Z(s,s)=0.
Подстановкой
X
Z(x,s)=— Ай3~1(х) | Л21(Л)У(х,«)-|- j (ММЖ«)т
s
+/<22(-*V0Z(v,s)]ds j +a(x,s) ’	(3. 3.5)
где a(x,s)—новая mX ^-матричная неизвестная функция, второе
уравнение системы (3- 3. 2) приводится к виду
е^^-=Д22(х)я(х,8)+е[(Л22-М21(х))'У+/<210(х,х)]4-
Ltf X
(3- 3. 6)
X
-|-е[Д-122(х)Д22У,(х,8)+ j[^2i0(x,v) y(v,s)+/('210(x,v)Z(v,s)]dv],
6’
179
где (4-Ла—1(x)/Czi(x,-v))'=/<'ai0(A:>v); (+А»~Чх)Км(хУ)У~К\ю(х,ъу
Пусть
V(z,s)- (V(s,«)=£•„)-
матричное решение системы
rfy	С
-^-=Ац(х)У+\ Ru(x,v)y(y,s)dv.
S
Тогда первое уравнение системы (3. 3. 2) приводится к виду
X	X
y(x,s)=V(x,s)+ Vfs.v!) Kle(v1.v)Z(v,s)dv-}-
S
(3. 3. 7)
X
+Ai2(vi)Z(vbs) dvi=V(x,s)+ j 7/i(x,vi) Z(x,vt)dvi,
s
где
X
i/l(X,M 1)sV(X,V1)Als>(vi)4-	V(x,v)/Vi2(v.v1)J’v.
'1
Введем обозначения:
X
1) /7<(л,s)=—A£?-1(x)[A2i(a-)V(x.s)+	/<2i(-v,v)V(v,s)ds];
s
X
2) — X22~1A2i[Hi(x,vi)	A22-1(z)A21(x,v)Hi(v,v1)<ZvH-/C22(x,v)l=R(x,vt).
Vl
Тогда матричное уравнение (3- 3. 5) приводится к виду
X
Z(x,s)==a(x,s)+/7n(x.s')+	/?(x.v1)Z(v1,s)rfv1.	(3. 3. 8)
s
Предположим теперь, что Riix^A— резольвента матричного ядра
R(x.Vi). Тогда система матричных уравнений (3. 3. 8) приводит-
ся к виду
X
Z(x,s) = a(x,s) + 7700(x,s)4-	/?1(x,v)a(v,s)dv,	(3. 3, 9)
Л
где
х
Hw(x,s) = Ha(x,s)+	/?i(x,v)/70(v,s)<Zv.
s
180
Имеем
X
1) M)oo(-^i)^
•*i
X
2) V(x,s)+ J Н^х,^)Н00Ма^=Я0(х,8).
s
Тогда из
X
y(*,s)—fl0(x.s) +	Hoo^x,v)a.fy,s)dv	(3. 3. 10)
s
и (3. 3. 9) и (3- 3. 6) вытекает интегро-дифференциальное матричное
уравнение
В	=Л2г(х>а(х,5)+Л1(х,а,е),	(3- 3. 11)
UL
где
X
fu(x,a,t)=s[A°M(x)a(x,s) + ^K°ii(x,v)a(v,s)dv-|-fe()(x,s)],
s
A°22(x)=(Ai2~1Azl(x)YH00f){x,xy,
/C°ii(x,v)^(Aa_1(*M2i(x))'//oo(x,v)+(As2-M!!1(x))Weoo(x)x)4-
X	X
+ K'zto(xSi)Hooo(yi№vi+ ^A'22o(x,vi)/?i(vi,v)^i;
foo(^>s)^-^C2i(-^.v)4"(-^2a—1(x)A2i(-*))X(^s)+(Aaa-1A81)
X
+	[K'gio(-«»'*)/?o(v,s)+/<,Mo(-«»V)^OD(-*:>S)]rfv.
8
Пусть WE (x,s)|U7E (s,s)=fm]—фундаментальная матрица системы
(см. главу 1 § 1. 8.)
в —Лм(х)У.
Тогда система интегро-дифференциальных уравнений (3. 3. 11) при-
водится к системе
х
a(x,s)=-lFE (x,s)AS2-1(s)A22(s)+ ( W* (*,?) — fu(v,a>e)dv. (3. 3- 12)
I	®
s
Так как
max{ Ц A»s(x) || A21-1(s)A22(s) || $ || K°u(x.v) | ; ||fii(x,s) II }^M‘=constt
IM
ft
U (x,s) II </0?
при JC>S, /С=С0П8^, <r.=const, то из (3. 3. 12) вытекает, что при
всех x>s
а	а
— ~(X-S)	(X-S)
|| a(x,s) || ^МКе	4-/Иеа~1(1 — е	) || a(x,s) II <
^МКе	+7Иеа~х || a(x,s) || ,
Откуда
при всех x>s и 0<е<
1
2(/Иа“1)
вытекает, что
а	а
-Y(x-s)	— —(x-s)
II a(x,s) и <2AfKe —Кое , где КВ=2МК.
Следовательно, при всех x>s>0 получаем
1) II У(х.з) || = || Vlle(x,s) || < II R0(x,s) || 4-
X	а.,	.	1
+ J II но(х,у) II Кле	rfv<Af+eM0(tf 4-1), (3. 3. 13)
s
где max { || //oa(x,v) И ; || /(„a-11| }<Af0, |] j?0(x,s) II const.
2) при всех x>s
|| Z(x,s) || < || a(x,s) || 4- II Hoo(xts) |] 4-
X	а	к 1
r	—-4*-*)	p —
+ \ II R(x,vf) || || a(vt,s) || d^Koe	+M+Ra e	dv±<
Cl
<M4-.'Wie,
X	1
r	-y(x-s)
\ [7И4-е/И0(е	4-l)]ds<Af»cons/;
О
где
|| A/0(x,s) || <7Vf=corts/; || К{х,^) || <R0=cons/; jW1=Roa-14-K(
Таким образом, мы показали, что
X
j II Vi18(x,s) || ds<
О
X	X
J II V2b(x,s) || ds< j [M+Mie
о	о
]ds^M—const.
182
Докажем теперь вторую часть настоящей леммы. С этой целью
рассмотрим систему матричных интегро-дифференциальных уравне-
ний (3- 3. 2) с начальным условием
y(s,s)=0; Z(s,s)~Flm.
Система матричных интегро-дифференциальных уравнений (3. 3. 6)
в этом случае записывается в виде
е	=:=^122(^)а(Х,5)-|-е[(Л22—1Дг1)/У(-£>$)] -Ье{Дм—1(я)Х
X
XAtl(x)V'(x,s)+ J[/C,al0(x,v)y(v,s)+K,M0(x>v)Z(v,s)]ds|.	(3. 3. 15).
s
Уравнение (3- 3. 7) им$ет вид
X
У(x,s) = j H1(x,Vi)Z(v1,s)dvt.
s
Уравнение (3. 3- 8) приводится к виду
х
Z(x,s)=a(x,s) 4- R(x.vi)Z(w)rfvi.
s
Отсюда
X
Z(x>s)=a(x,s)+^/?i(x,vi)a(vi,s)dvi.	(3, 3. Щ
s
Следовательно, уравнение (3. 3. 15) запишется в виде
X
е	=^2з(^)а(Л>89+е(Д2а"гД81)Л 7/i(x,vi)[a4~
8
''I
+ ^Ri(vi,va)a^v2l^vi+e^2a^1(^)^2i(-^)(7/i(x,x)[a(x,s)4-
8
X	X
+ Ri(x,Vi)o«/vij + J	-|-
8	8
Xv	Mj
+е^ {7С'а1(*л) j 77i(v,vi)[a4-
8	S	S
I&3
V
4-/C/22(x,v)a(v,s)+^'22(^,’*)Ri(^,'*i)a(v1)s)dv1)}(Zv.	(3. 3. 18)
s
Пусть
X	Vi
max{ || (Л22-М21)' || ( К АЛ || [l+( II Ri(v,,v2) д бЬа]^+
J	j
О	s
X
+ II II {Н1(х,х) Ц xu+j I R1 I d^+
s
X	X	V
+ II R'1(X,V1) II rfv4+ j II K'2io(x,v)I II H	II [1 +
S	S	s
+ II Ri II dv2]dvi4- И K'22o(x>y) II •+
s
j II AY22oCv)Ri(Vi) II rbi]dv}<Al=£WisL
s
Тогда из матричной системы линейных интегро-дифференциальных
уравнений (3. 3. 18) при всех x^s вытекает неравенство
х
И a(x,s) [| < || We (x,s) В + еЛ^
s
1
II (x>v) В ~ ds я a(x,s) II <
а	Ха
~	-S)	Г — — (X—V) 1
+еМК \ е	II a(x,s) || <
а
<^Ке 4-еЛ4/(а—1(1—е 6	) II a(x,s) II <
< Ke	-HM/fc-11| a(x,s) || .
Подберем s настолько малым, чтобы выполнялось неравенство
0<S<2Al^a-v
Тогда из последнего неравенства при всех х^-s вытекает
неравенство
184
— —(x-s)
II a(x,s) II <2Ле
Следовательно, при всех x>s из (3. 3. 17) получаем
X
II V23E(*.s) II = II Z(x,s) || < || a(x,s) И И || Ц a(v1,s)||dv1<
s
— — (x-s)	— —(x-s)
<2Ле	4-е)0-1-	(3- 3. 19)
Из (3. 3. 17) при всех x>s вытекает, что
с	— -~-(^i-s)
II У(х,я) II = II V12e(x,s) II Со-1 \ и II [2Ке	4-
8
a	a
——(X—s)	— —(X—s)
+2KM(e 4-e)ldv1<2^i/(o-1[e4-e	],	(3- 3- 20)
где
Hi—max{ || 7/i(x,v) II ; (14-TH)}.
Из неравенств (3. 3. 19) и (3- 3. 20) на сегменте [0,1] при е->0 вы-
текает, что
X	X	а	а
f	1 С — “	—“r(x“s)
\ II V12e(x,s)— Н ds< \2Ka-i(e	4-Me	4-
о	о
4-е7И) — ds<Mt—const',
е
X	X	а
С	1	Г — “(*-«)	1
\ If	< (е-|-е	) —
о	о
Лемма доказана.
§ 3. 4. Основная теорема об оценках остаточного члена и
сходимости решения задачи Коши полного уравнения к
соответствующему решению задачи Коши „вырожденного" уравнения
В этом параграфе доказывается теорема существования и един-
ственности решений системы нелинейных интегро-дифференциальных
уравнений типа Вольтерра (3- 2. 13), а затем сформулирована общая
'основная теорема. Справедлива
Теорема 3. 4. 1. Пусть матричные функции Vne(x,s),
V2ie(x,s); (Vn6(s,s)=£‘„, V2ie(s,s)=0), Vi2e(x,s), v22e(M;
185
(V12e(S,s) = 0, V22e(s>s) = ^m)-
соответственно удовлетворяют системе
X
s
X 1/С1Ц(х, t,v ,w)y+Kiz(x ,t ,v,w)p]dt,
X
e " j у — fau(x>---)y~i~f»z(x>- -)P "b fsj»a (*»-”)X
cl-A-	1
s
X [KiU(x,-• )y+Ktz(x, - -
где s—некоторый параметр, selO.l]-
Тогда всякое непрерывное решение R,Tj] системы нелинейных
интегральных уравнений
X
^х,е)= J [Viie(x,s)g-1(s^,vi,s)+-|- V12s(x,s)g-2(s>E,7j,e)]ds+
0
+Ft(x,e);
X
iq(x,e)= j lV2iE(x,s)^1(s,^TJ,e)+ -^У22£(-МЫ*Л>^е)]^+^»(х.6)»	(3- 4. 1)
0
где
(И
u rAi k e ’ / , 1	(p+I)
FK(x,e)< VKk(x,s) 1^---------------+7Я=ЖЯ1	(S’6e)1 +
0
+ v V^2e(X’S)
(p+1)/ S
-Л2
(P+1)I
1	(p+1)
(p+l)l (s,0e)—w‘
'p(s) ds
—, 6e
8
(«=1,2)
является таким же решением системы нелинейных интегро-диффе-
ренциальных уравнений (3- 2- 13) и наоборот.
Ранее было доказано, что (см- § 3- 1.) для функций погранич-
ных слоев nK(?),QK(t) при всех справедливы неравенства
ах
II П0(т) II	;
СХ
II Пк(т) II	;
186
GX
II QK(x) II <Koe
где Ke— некоторая положительная постоянная,
0<a=cons/; U b2~w(0) || <8=const (к=\,2,--.,р)
p—любое целое положительное число. Из результатов предыду-
щего параграфа вытекает, что •
X
1) max и Vjjg(x,s) II + -7- II v12s(M И + II V2ie(x,s) II +
0<Е<1 Ч)
+-7 II V22e(^,s) U j ds^A0=const.
2) max { || /ч(х,е) || + II Ft(x,e) || I 0=const-
I	J
0<e<l
Докажем существование единственного, непрерывного и ограни-
ченного при е—>0 решения системы нелинейных интегральных урав-
нений (3. 4. 1) в классе непрерывных и ограниченных при s->0
функций на сегменте [0,1]. Рассмотрим на сегменте [0,1] простран-
ство л+лг-мерных непрерывных и ограниченных при е->0 вектор-
ных функций
Норму в этом пространстве определим по правилу
п	т
fl А(х,е) ц = V max I Мх>е) I + / । тах I MX>E) I •
“	0<х<1
К=1	К=1
Определив расстояние между элементами этого пространства по
правилу
л
II Ла(х,е)—hi(x,e) II = 7 , max | Ека(х,е)—8к1(х,е) | +
0<х<1
«=1
т
+ / , max | 7]к2(х,е)—т)к1(х,е) | ,
к~1
получаем полное метрическое пространство, которое будем обозна-
чать через М.
Правую часть системы нелинейных интегральных уравнений
(3- 4. 1) рассмотрим как некоторый оператор Р[-[, действующий на
векторную функцию h(x,e).
Нетрудно показать, что при достаточно малом е<е0<Д оператор
Р\ • J отображает точку пространства М в точку того же простран-
ства.
187
В самом деле, пусть
|| Л(х,е) || <Ho(e)=j-<J.^±fFo ,
еР
где
lim H0(e)=2F0—const.
£-►0
Покажем теперь, что при
0<е< домно)
9
оператор Р|-] отображает точки пространства М в точки тою же
пространства. В самом деле, учитывая явное выражение векторных
функций gj{x,l,^,&),	из (3- 4. 1) получаем
II P(h) II = II h(x,e) || < max [ || Л(х,е) || + || Fg(x,e) || ] +
0<х<1
0<8<1
X
+ max V [ || VnE(x,s) || ||	|| +-1 || V12e(x,s) II II gt(x,^,e) || +
0<x<lJ	Е
0<е<1 0
+ Й V2ie(M II 11 gi(s,E,-»i,e) II +-|| V22e(^.s) II II g^,ri,e) II ]ds<
овх
p+1	№o	—
<F0+e	Л0Н(Н0)-/-+Я0Д0в
абх
hv -~r
<F0+eP + А0К^е Ho<
о* 4	~ 2 —n°’
где O<0<1-
Таким образом, при достаточно малом 0<е<1 оператор Р[-]
отображает точки пространства М в точки того же пространства.
Покажем теперь, что оператор Р[-] является оператором сжа-
тия. В самом деле,
х
||P[h,]—Р[М || < шах ( ([ || Vu8(x,s)|| Н gi(s,ht,е)—
0<х<1 I J
О
—gi(s,hits) || 4- |) Vi2e(x.s) II *'И	g2(S,hi,e) || ]ds +
X
+ II V2ie(x,s) || И gi(s,hite)— gi(s,hi,e.) || + || V22e (x,s)	|| X
0
188
X II gi(s,ft2,e)—gt(s,hi,e) II ]ds j <
—afix
<еД0/У(Н0) || ft2— hi || -ДОЛ/ *	|| ht—hi If <
<40lN(tf0)e+M8J II hr-lh || .
g	I
Так как 0<e<—т-^.,ггт- и 8< -„г, ,	,  ,
AO1V(HO) 2[1+МД0]
то из последнего неравенства на сегменте [0,1] вытекает, что
II P(h2)-P(hi) || < -1-11 h*~hi 11 •
Следовательно, на основании принципа сжатых отображений, систе-
ма нелинейных интегральных уравнений (3. 4. 1) в классе непре-
рывных и ограниченных при е->0 функций имеет единственное не-
прерывное решение, которое может быть найдено методом последо-
вательных приближений.
В самом деле, пусть Во(х,е)=О; ’ф-.е^О,
х
V(x’e)= ^[Vlle(x,s)gi(s,Ey_1,72/_1,e)4- J-vI2t(x,s)X
о
X
71/(х>е) = j]V2ie(x,s)g-1(s,^_1,^1,e) 4 4V22£(x>s)X
0
Xg‘2(s,By_1,7iy_1,e)]ds+F2(x,e),
/=1,2,-..—последовательные приближения Пикара.
Имеем
II hi(x,s)— h0(x,B) II < II Fi(x,e) II + и Fs(x,e) || <
<CF0=const.
Далее
X
II Ay(x,e)—Ay-i(x,e) || < max K[ || Vlle(x,s) || + — || V12e(x,s) || +
0<х<1 IJ	е
0<е<1 О
G
1	—гх
+ II V2ie(*,s) II + II v22e(x,s) — II ]lefW(H0)+ Ni^e ] X
1	p+1	-т6х
X llft7-i(s,e)—Ay_2(s,e) lids|<[e	N(H0)+8Me И0Х
X II Ay_f hj—21|	——- Ц hj—i—hj—i [| ,
Л4
189
где 0<6<1.
Отсюда следует, что построенные последовательные приближе-
ния сходятся абсолютно и равномерно.
Имеем
/
II Мх’е) II < S И Лк-1(х,е) ||<F0[l + y + ~^ + - +	<
к=1
<2F0<H0.
Следовательно, построенные последовательные приближения не
Выходят из области || h || <Н0.
Таким образом, мы построили решение задачи Коши (3. 1. 2)
системы (3. 1. 1), которое имеет вид
р
/	л I х \ \ к	р+1
«(*+)== 2J +	—I )е +е Е(х,е),
к—0
Р
/	! X \\ к р+1
4*>е) = 2j^W + n^—J )е +е т](х,е).
к=0
Справедлива
Теорема 3. 4. 2. Пусть: 1) вырожденная система (3. 1. 3)
имеет некоторое непрерывное и непрерывно дифференцируемое ре-
шение [v0(x),w0(x)J, причем вектор — функции	имеют не-
прерывные производные в некоторой ограниченной окрестности
множества точек
X
(O,vo(x),wo(x),pj= Kj(x,t,v0,w0)dt); (x,t,v0,w0)
О
соответственно; 2) вещественные части всех характеристических
корней ХДх) р —	алгебраического уравнения
X
detQE—fiz(x,v,w, /C2(x,/,y,w)d/))=0
о *
удовлетворяют неравенствам
Reel Х/(х)<—2з<0,
где а—некоторая положительная постоянная; 3) ммый параметр
е и начальный вектор &а удовлетворяют неравенствам
8
0<е< домно) ;
II Ь2—к’о(0) И <8< 2(1 + двЛ/1)-
Тогда задача Коши (3. 1. 1) — (3. 1. 2) имеет единственное непре-
рывное решение [и(х,в),г(х,в)], представимое в виде
190
VI /	[ х \\ к	р +1
и(х,г) = 2j I Mx) + Q* I V I Is + s £(*>е)>
k=Q
F .	t	X \	. I
(	I X \\ ^ P~t*
z(x,e)= 2 । ( ^кДО+Пк ( —~ j [s +e vj(x,e),
«=0
где IfK(x),wK(x)L QK| —).Пк| —) определяются из рекуррентных
систем (3. 1. 12к), (3. 1. 14к) соответственно, причем на сегменте
[0,1] справедливы неравенства
ах	ох	ах
" п° (т) и 8 ’11 Qk НА" <ке ’ н ПкНЯ и <ке
(к=1,2,...,р)
0<.К=const, || Е(х,е) II Но»const-, II Tj(x,e) || <^Н0=СОЛ8Л
Следовательно, на полусегменте (0,1] при е->0 решение задачи
Коши (3. 1. 1) — (3. I. 2) сходится к решению задачи Коши f(0)=d
соответствующей вырожденной системы.
§ 3.	5. Особенности решений задачи Коши для линейных
интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра
Пусть: 1) А—пХп—постоянная матрица; 2) в квадрате <^1
S
K(t,s)—пХп— непрерывная матричная функция; 3) b—п—мерный по-
стоянный вектор; е—малый положительный параметр; X —некоторый
постоянный параметр.
Рассмотрим систему линейных интегро-дифференциальных урав-
нений с малым параметром при производной
t
dz	С
е =Аг+У. \ K.{t ,s)z(s)ds	(3. 5. 1)
о
с начальным условием z(l)=&. Здесь предполагается, что веществен-
ные части всех характеристических чисел X (/== 1,2,•,«) матрицы А
отрицательны.
Полагая Х=0 в системе (3. 5. 1), получаем обыкновенное диффе-
ренциальное уравнение
dz
е -~^Az	(3. 5- 2)
с начальным условием 2(1) = Ь.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений (3. 5. 2) с
начальным условием z(\)=b имеет решение
191
А(Г- 1)4-
Z(/,e)=e b-
(3- 5. 3>
Так как вещественные части всех характеристических чисел матрицы
А отрицательные, то существуют положительные постоянные а и
К такие, что
а
’ Е
В z(f,e) И	II b II =
а а
—---1 —
е е
= Ке е || b || ->оо
при е->0-
Однако решение интегро-дифференциальной системы (3. 5. 1)
имеет другое свойство. Здесь будет показано, что при е->0 решение
задачи Коши z(l,e)=Z> для интегро-дифференциального уравнения
имеет конечный предел на полусегменте (0,1].
Подстановкой
t
z^,e)»—^-1x^(/,s)z(s,e)ds+E(Ae)
о
(3. 5. 3')
система интегро-дифференциальных уравнений (3. 5. 1) приводится
к виду
t
е	R'z(/,s,k)e(s,e)ds,	(3- 5- 4)
о
где — резольвента матричного ядра —M-1y<(f,s). При этом
уравнение (3. 5. 3') решается относительно Z(/,e) в виде
t
Z(/,e)=E(f,e)-|- ^/?(f,s,X),6(s,s)ds.	(3. 5- 5)
о
Изучим свойства решений систем* (3. 5. 4) и (3. 5. 5). Подстановкой
е(/,е) = —G_l_ + п0(v) +ет^’е)	(3‘ 5‘ 6)
система интегро-дифференциальных уравнений (3. 5. 4) приводится к
виду
И'-’Ф +П'0(т)+е«7/(Ле) = -И-1 +АПв(г)+еЛт|(/:е)-
в	е
—R(AM)n_i (4-) —е₽(ЛМ)П0 (-j-) —
192
T	t	t
— \ R'/(/,s,k)n_i (— |ds—e \R'/(/,sA)n0[ — | ds—e2 \ R'^,e,X)^(s,e)cts.
J	\ E / j	\ e /	J
О	0	0	(3- 5. 7)i
Определим теперь функции пограничных слоев n_i(t) и П0(т) из си-
стемы уравнений
П'-фтЬЛП-фх);
(3- 5- 8)-
П»=ЛПО(Х).
Тогда система (3. 5. 7) приводится к виду
e7j,(s,e)=247j(/1e)+H(/,e,rj)1	(3. 5. 9)
где
R'/(r,S,X)71(S,e)tfS.
Зададим начальные данные для Z(0,e>, Е(О,е) и т;(О,е). Так как
Z(0,e)=^(0,e), то начальное значение для вектора £(/,е) в точке t—Q>
желательно задавать в виде
е(О,е)= —+<?o+eci(e),
е
где С-1, с0, ci(e)— произвольные постоянные;
Имеем
-^-+с0+еп(е)= П~1(0) +По(О)+етХО,е}.
Отсюда
П—1(0) = <7—15 Пе(0)=со; 7j(O;e) = Ci(e).
Из (3. 5. 8) получаем
Ат	Ат
П-1(т)=е с^г, П0(г)=<? с0,
где С-1, с0—произвольные постоянные. Займемся теперь
нием этих постоянных. Имеем
I
(3. 5- 10)
(3- 5- 11)
определе-
Отсюда
Z(l,eWM(l,e)+ R(l,s,K)t(s,T)ds.
О
I
о
R(1,M)
+ПО
+e7j(s,e)
г
13* 2790
193
00
1
®vj(l,e)+ R(l,se,X)[n_i(s)+eno(s)]d$+e ^R(l,s,l)v](s,e)ds=
0	0
OO	00
=e7j(l,e)+ jRd.O.On-^sMs+e J [R(l,0,X)no(v)+R,s(l,0,l)vn_i(v)]dv4-
0	0
00
+ IR^ssG-6ev,)js2n_i(v)+R's(l+6ev,X)no(v)v]dve2+
0
I
+ e^R(l ,s,X)v|(s,e)ds.
0
(3.5-12)
Определим теперь вектор c_i из алгебраического уравнения
R(l,O,))r_1=— Ab,	(3- 5. 13}
а с0—из алгебраического уравнения
ОО
R(l,0,X)co= — A jR's(l,OJ)vn_i(v)dv	(3- 5. 141
О
Тогда из (3. 4. 11), (3. 4 12), (3. 4. 13), (3, 4. 14) вытекает, что
1
ет((1,е)4-е ^R(l,s,XHs,e)ds+B(e)e«=O,	(3.5- 15)
О
где
ОО
В®= [R"ss(l,eev,X)v2n_1(v)+R's(l,6ev,X)yn0(v)Jdv.
О
В дальнейшем предполагается, что de£R(l,O,/)=^-O. Это является
одним из основных ограничений развиваемой здесь асимптотической
теории. Из (3. 5. 9) вытекает, что
А
7((^,е) = е С((е) +
—Hls.e.vjrfs,
s
(3. 5. 16
где Oi(e)—произвольная посте? иная, подлежащая определению Из
(3 5- 15) и (3. 5. 16) вытекает, что
194
—	Г — (1— S) J	Г	—s
ге E Ci(s)4-e U	—H(sA^4~eyR(I,s,l)e	Ci(e)ds+
0	0
1	S A S—v)
+e ^R(l,s,k)^e E (	-^-H(v,e,7j)dvds4-E®B(e)=D.	(3- 5. 17)
0	0
Из уравнения (3. 5. 17) получаем
A A 1	A
— — c ~s
[Ra.OAM-Hl— e )—e +\R,s(l,fe,X)se ds]A(s)=
о
1	A	1	s	A
C	TO—s)	1	r	f	”T'(S—v)	1
= \e —H(s,s,i5)ds+ \R(l,s,X) \e — ^№№ds+
0	0	0
+£(6)е=111[Т|л].	(3. 5. 18)
Так как, по предположению de/(R(l,O,k))5fcO, то из (3. 5. 181 одно-
значно определяется произвольная постоянная
C1(e)=D-1(e)Hih,e],	(3. 5. 19)
где
А А 1	А'
D(e)—[R(1,0,))A—1—R(l,0,k)A-»e e_£E + ^R's(l,Bs,X)se * ds].
oJ
Из структуры матрицы £)(е) вытекает, что
Z)(e)^[R(l)O,).)A-1+D(e)].
Отсюда следует, что матрица D(e) обратима. Подставляя (3. 5. 19) в
систему (3. 5- 16), получаем
A	t А
~t	С	1
v((/,e)=e	4- \е	—Н(х,е^)сгз=Р(/,^е). (3-5.20)
О
Система (3. 5. 20) является системой линейных интегральных урав-
нений относительно '^(/,е). Так как
II P(f,O,c) fl <;М=const-,
Н Р(А^2,е)—P(t,flifi) II ON II ^(Ле)—^1(Ае) II,	(3, 5. 21)
где /V—некоторая положительная постоянная, то система линейных
интегральных уровнений (3. 5. 2С) решается методом последователь-
ных приближений.
Пусть
195
7jo(t,s) = O,	=
(n =1,2, ..)—
(3 5. 22)
последовательные приближения Пикара. Тогда при 0<е< .......
из (3. 5. 22) вытекарт, что
II ^п(Ле)—II ON II	II <
-у- II Vf(^Hta-2(^) ||
Отсюда следует, что построенные последовательные приближения
сходятся абсолютно и равномерно на сегменте [0,1].
Имеем
п
И Чп II < II Чг-1(/,е) || <М А +-Ь + А +. .+ А )<2М.
г— 1
Справедлива
Теорема 3 5. 1. Пусть: 1) Л—«Х«— постоянная матрица, при-
чем вещественные части всех характеристических чисел Xt этой
матрицы отрицательны; 2) на сегменте [0,1]	матричная функ-
ция K(f,s) непрерывна вместе со своими производными до второго
порядка по аргументам / и s, причем cte/R(l,O,x)=/=O, где R(£,s,X)—
резольвента ядра Д-1/<(/,;>)
Тогда на полусегменте (0,1] задача Коши z(l,e)=Z> для системы
линейных интегрс-лифференциальных уравнений (3 5. 1) имеет
единственное непрерывное решение, представимое в виде
Z(/,e) =
t
(t\ с
ФП, I— srt(/,e)+ \R(/,s,a)X
0
причем при е—?0 эта векторная функция сходится к
R(/,0,>)R-1(l,0,>)£.
Рассмотрим теперь случай, koi да
d^R(l,0,X) = 0, det(R'( 1,0,/)) =£0.
(3 5. 23)
вектор-функции
(3. 5. 23')
(3 5 24)
В этом случае решение задачи 5(0,е)= —для системы линейных
интегро-дифференциальных уравнений (3. 5 4) ищется в виде
П—2^—П—if 'j /	\
?(М= ----У е.,2- -I-—-+П0 — )-W/,e),	(3. 5 25)
е	s	\ * /
196
где П_а(~), П_1(т), n0(t), vj(/,e)— неизвестные векторы. Начальное
условие для Е(0) запишется в виде
£(0,е)=	+-^-i-+c0+sd(E),
• * '	Б	»
где с-,, с-i, с0, Ci(e)—постоянные «-мерные векторы, подлежащие
определению.
Подстановкой (3. 5. 25) уравнение (3. 5. 4) приводится к виду
ДГ=Д+ +ВД+.ЧМ,Л + i«L+
+П0(т)+вт3(/>е) 1-ER(/,M) [	+п0(г)+	(3. 5- 26)
+e7j(/,e)
t
—е R\(Z,s,X)
О
+Пе + e4(s>e) j ds.
Определим теперь функции П_а(~), n^i(t), П0(т) из следующих си-
стем обыкновенных дифференциальных уравнений:
П'_а(т)==АП_а(г);
П'_1(г)=ЛП_1(т)—R(0,0,X)H_a(t);	(3. 5. 27)
п'0(т)=ад+л(ф
где
СО
^s-RfO.OAjn-ifr)—(R'f(O,O,X)t— R's(0,0,X)T)n_a— ( R'#(0,0A)n_^(v)dv.
Тогда из (3. 5. 26) относительно вектора ^(Ле) получаем интегро-
дифференциальное уравнение
t
ет;/(/,б)=А'»з(Л8)—eR(/,/»X)iQ(/,e)—е ^R'/(/,s,A)^(s,e)ds+ F(t,e),	(3. 5. 28^
О
где
Г sn-J—)
F(/,e)= - yR'Xf,M-----------_V_U_+R'/(t>s>k)n0 H-)+RWA)-rX
0
где 0<6<l.
do
ХП-i ds— J R,Xt,sS,X)n_2(s)ds,
0
197
На урвйнения (3- 5- 27] последовательно определяются неизвестные
функции IL-sCO, П_4(т], ГТ0(т):
А&	А'с
П_г(т)=е е_^- ГГ„1(т)=е	c—i—tR(0,0,X)b с_»;
Ат
П0(т)—е Са+
r А(т—s)
A(s)ds.
(3. 5. 29)
Определим теперь неизвестные произвольные постоянные c_s, е_х, с0,
CiH. из равенства	*
z(M=^=S(M+ j R(1 ,s,X)£(s,e)ds^ed4-
0
Имеем.
(3. 5. 30)
i
1)	^R(l,s,A)
о
n~a(V)dV
co
=* ( [R(l,M+r(i,01lJes+R"(l,6s,^-^-]n_a(s)ds=
I	z*
6
CO
=Л[1П1,ед®	8(s)]ds=
0
oa
^-n_s(s)ds;	(3. 5. 31)
Aft
1	oo
С	ЛяХ1	/ q \	Г
2)' ta,sOT-*| — I—-f-n0 f — llrfs^ \R(l,ev,X)[n_i(v)+
।	I £? / S	I & /	1
0	0
*
- eo
+еПода=- j [R(1,QA)+R'(W>+
+ “oT R"(l>W)l(n-i(v)+?nft(v)]dv=
Z!
198
As
= eR'(l,0,).)A-2c_i+e \ R'(l,O,k)s(stf(O,O,ty? c2)]ds+
0
co
+ e2R71,0A)A-1Co+'^
0
r A(s—\)
/?'(!,0/)s \e	At(v)dvds4-
0
CO
C	c®
+e2 \ O>W) -^М+еПЖ	(3. 5- 32)
I	J
0
где C<6< 1
Определим теперь произвольные постоянные c_t, c_i, c0 из сле-
дующих алгебраических уравнений:
К'(1,0,1)А-*с~9==Ь-,
Я'(1,0Л)А
Г	As
\ R'(l ,Q,tyssR(O,O,tye c_sds’,
О
00
/?'(1,0,Х)А-Ч=—
о
г A(s—*)
R'(l,O/)s \е Ai(v)dvds.
О
(3. 5- 33)
(3. 5. 34)
(3. 5. 35)
Так как по предположению detR'(l,O,ty=£Q, то из системы (3. 5. 33),
(3. 5. 34), (3. 5. 35) последовательно определяются неизвестные
векторы с_2, с-1, с0. Из (3. 5. 30)—(3. 5. 35) вытекает, что
1	со
т](1,е)+ ^(l,s,kHs,e)ds+J
О	О
(3. 5. 35
Из (3. 5. 28) вытекает, что
Af	t А „ ,
—.	г — (t—S) J
й(е)Ч~ \е	H(s,e,7yds,	(3- 5. 37
о
где
t
H(s,e,Tj)= —e/?(£,f,k)vj(7,e)—е	R//(/,s,A)7j(s,e)ds | .F(Z,s).
О
Из (3. 4. 36) и (3- 4. 37) получаем уравнение для определения G(e):
А 1	As
(RUlAM“4e4j/?W)&!e 6 ds)d(e)=
о
199
1 А(1-з)
Г £ il
\ е “ H(s,e,7])ds—
о	б
1	s A(s—%)
^/?(l,s,X)
о
£
-^-H(v,s,7])tZvds—
оо
Г	бее И
\A^^l[n_g(s)+en_1(s)+62ne(s)]ds=P[4e]. (3. 5. 38)
I	“•
О
^Коэффициенты при векторе п(е) в последнем уравнении представим
в виде
(/?'(! ,0/)Д-2+0(е)),
где
А 1	А
— Г	А2
е +^tf"(W) d
о
а матрица	2 обратима, поэтому из (3. 5. 38) вытекает, что
(3. 5. 39)
Ci(e) = D-1(e)P[Tj,e],
где
П(е)=(/?'(1,0^)Л2+0(е)).
Подставляя (3 5. 39) в систему (3. 5 37), получаем
kt	t	А,
~е~	С	1
»](/, е)—е ZZ>^1(e)Z3[vjre] + \ е	— H(s,e,7t)ds-=G(t,7t,e).
0
(3. 5. 40)
Уравнение (3. 5 40) является линейным неоднородным
1ным уравнением типа Фредгольма, которое может
методом последовательных приближений. Пусть
•*1о(*.е)=О; *1л(Ле)=Ф,*1л-1>е) (л= 1,2,...)—
— последовательные приближения Пикара.
Имеем
интеграль-
быть решено
(3. 5. 41)
(3. 5. 42)
II Vn—Vn-l II <еЛ/ II *1/1-1—II ,
где 7V— некоторая положительная постоянная, не
Отсюда следует, что построенные последовательные приближения
сходятся абсолютно и равномерно- Справедлива
Теорема 3. 5 2 Пусть выполнены условия теоремы (3- 4- 1),
причем de/R(l,0,X)=0, a detR'(l,Q,ty=£Q.
Тогда задача
уравнения (3 4. 1)
ставимое в виде
зависящая от «.
Коши z(l)=b для интегро-дифференциального
имеет единственное непрерывное решение, пред-
П_2
t

\ е
2
П—1
£
е
е
ЬП0
£
е
200
_	/ S \	„	/ s \
t	Па I — j	П—i I — I /	\	.
_	16/	I £ /	/ s \
+ {/?(t,s,X) ----~ ------------Г—“+П0 V +e7l(s>s) Ps> (3- 5- 43)
1 '	7 I	6	6	\	/	I
0
причем при е—>0 на полуинтервале (0,1] это решение
вполне определенному пределу.
Случай, когда
(Р)
Ж?/Я(1,0,Х)=0; det/?'(l,O,X)=O;...;deffl (1,0/)=0,
(р+1)
detR (l,0,k)=#0.
Здесь задача Коши В(О,е)= —Ц- для системы (3. 5- 4) ищется
p~v 1
е
сходится к
(3. 5. 44)
a
в виде
t
6
п_р
еР
П-(р—1)
£
е
S
....т+1
6
+E7J(/>S),
(3. 5. 45)
где
(p-j!) +Ec_p+E2c_(p_i) +sPc_i+E/’+1c0+sP+Me);
c_(p+l),...,co,ci(e)—произвольные постоянные векторы, которые оп-
ределяются вышедоказанными методами. В этом случае решение
задачи Коши Z(l)=&#=0 для системы (3- 4- 1) запишется в виде
о П-к I — 1
Z(/,e)= S ------Ц-----+^(t,B) +
к=р+1 S
t
j £(t,s,X)
О
к=р+1
После установления формул (3. 5- 43), (3, 5- 45), (3. 5, 46) вывод
общей асимптотической формулы вида
0 П-к (— I N	N
\ е / । VI V! /t \ к N-H
Z(/,e)= 2j ---------к-----+ 2ju«(t)e'c + 2j Пк(т)е +е
к=р-\-\ S	к=0	к—1
где N—любое целое положительное число, для системы линейных
20!
интегро-дифференциальных уравнений (3- 5. 1) не вызывает особых
затруднений.
§ 3. 6. Исследование решений задачи Коши для обших линейных
сиотем интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра
о малым параметром при производной
В этом параграфе исследуется задача Коши для системы линей-
ных интегро-дифференциальных уравнений более общего вида
t
~А1(0и'ЬА2(0г'Ь^ ^[Kn(/,s)«(s)+Kit(/,s)z(s)]ds=£i[e,z], (3. 6. 1)
о
t
dz	Г
е =Ai(0«+Aa(0z+^ \IK2i(ts)M(s)+/C2J(Z,s)z(s)]ds=£a[U,z]
О
с начальными данными
z(l)=&8,	(3. 6. 2)
где bi и b3— постоянные п\т-мерные векторы, на сегменте [0,11
>!,«(/)(/,к = 1,2)— непрерывные вместе со своими производными матрич-
ные функции, соответственно видов пХп; п\т; тХп", тут; ве-
щественные части всех корней h(t),	уравнения
detQEm—Л22(0)=0
удовлетворяют неравенствам
—2а<0, (Z=l,2,...,m)
где а—некоторая положительная постоянная; KlK(t,s) — непрерывные
вместе со своими производными пХп; пХт\ т\п; тХ^-матрич-
ные функции на сегменте [0,11; е—малый положительный параметр;
X—некоторый параметр, (/,к=1,2).
Формальное асимптотическое решение задачи Коши (3. 6. 2)
для системы (3- 6. 1) будем искать в виде
ОО	оо
»(М)= J]
к=0	к—0
к=0	к=0
где ик,ге>к,Рк,Пк,П_1(т) пока неизвестные векторы. Формально подстав-
ляем (3. 6- 3) в систему (3- 6 2), получаем
к—0	к= 0
Li[vK,WK ]е* +
202
Правые части (3- 6. 4) приведем к удобной форме для исследования.
Введем обозначения:
оо
1) ^yz[QK,nK]s" =<ЫМ+^М,	(3. 6. 5)
к=0
G=1.2),
где
оо
da(t,e)= {[i4n(i:e)QK(i:)+>li2(Te)nK(T)j —
к=0
оо
—Хе [ [/CZi('re,se)Q(C(s)+/CJ-2('re,se)nK(s)]ds}e'c;
2)
где
00 со
dia(t,e)=eX ^{KI-1(t,se)QK(s)+/CZa(t>se)nK(s)]e*ds;
О к=0
(i=L2)
t
- Лз(1)П_1(т)+х\ K/2(t,s)n_i[-----I ds = —Oii(T,e)+aZa(t,e),
I	\ £ / I ®
0
oo
о/1(т,е)=Л/а(те)П_1(г)—Xe JCZa(te,se)n_i(s)ds,
T
OO
oi2(t,e)^X /Qa(t,se)n_i(s)ds.
0
Тогда (3. 6. 4) принимает вид
(3. 6. 6)
к—0	к=0	к—0
+rfii(T,e)+rfI2(t,e)+ —ац(т,е)4- а»2(Л0;
Е
203
co
VI *+l
^и>'к(1)в
^^П'к_1(т)е =^Аа[ВД16'' +<M're)+
к=0	«=0
+d»>(t,e)+ — aji(M+°2i(t.e).
(3. 6. 7)
Далее вектор-функции dzi(t,e) и di2(t,e), а£1(т,е) и az-s(t,e) разлагаются в
ряды Тейлора по степеням малого параметра е,
Имеем
ОО z	К
И Е
<Ы,е)=^я(1,0)+ VdZa (t,0)
к=--1
(3, 6. 8)
где
d/2(t,0)=0,
ОО
d'M=l J [Kll(t,O)Qo(s)+/CZ8(t,O)no(s)]ds,
о
СО
d"<a(t,O)=X j (KzJ(t,0)Qi(s)+/C!2(t,0)n1(s)]ds+
о
оо
+> [•K,zi(t,0)sQ0(s)+K/i2(t,0)sno(s)]ds;
о
(к)
da (t,0) = X
СО
[7C/I(t,O)QK_1(s)+KZ2(t,O)nK_1(s) +
о
+FK/(t,s,Q0(s)>...,nK_i(s)]ds,
где FKi(t,s,Q0(s),...,nK—i(s)) —известные векторные функции. Вектвр-
функция dZi(T,e) также разлагается в ряд Тейлора
К=1
(3. 6. 9)
где
^)=^ц(О)Ро(т)+Л/г(0)По(т);
dt. (т)=^/1(O)Q1(T)+A8(O)n1(t)+A,/i(O)tQo(T)+
204
oo
+Л'18(0)гПо(т)-к \ |/Czl(0,0)Qo(s)+Kft(0,0)n0(s)]ds;
(к)	(к)
du (т)=Л/а(0)Рк(т)+Л/2(0)П^) Щ
(к)
Оц (t.Qo.—.П«-1(т))— известные вектор-функции- Разлагаем теперь в
ряды Тейлора вектор-функции cZi(",e)
ОО	К
\1 (к) е
°/i(v) = 3ii(T)+ 2j (т) -ТГ>	<3- 6- 10)
/V!
«1
где
<’л(’)=А-8(0)П-1(х);
оо
<-1(^)=хЛ'/,(0)П_1(т)-к KZ2(0,0)n_i(s)ds;
оо
<’"л(^)=’2Л"/1(0)П-1(т)-к [K,Z2(0,0)T+/<,ia(0,0)s]n_1(s)ds>
т
(к) к (к)
аи (т)=т Ац (0)П_1(т)—OiK(T,ri-ifc)),
0/к(т,П_1(т))— известные функции. Имеем
где
ОО	к
(^) *
Mte) = ci«(t,O)+ 2j°rt (ЛО) -~т-,
ЛГ^=1
оо
°гг(ЪО)-=Х /Ci2(t,0)FI-i(s)ds;
о
(3 6. 11)
ОО
o'/a(t,0)=k /C/Z2(t,O)sn-i(s)ds
о
(к)	Г («) к
(t,O) = X \Ki2 (ЛО) s n_i(s)ds
о
205
Подставляя (3. 6. 8), (3. 6. 9), (3. 6. 10), (3- 5-11) в правые части
(3 6 7), а затем отдельно приравнивая коэффициенты при е, содер-
жащие t и т, получаем
t/0(t)=L1 [и0 ,&у0 ]+c12(t,0);
О=12[ио,^о]+а2»(1,О);	(3. 6. 120)
u,1(t)=£i[&i,&yi]+a,i2(t,0) Ч^нО.О);
u/o(t)=Z2[t4,K>il+c'22(t,O)+d'22(t,O)	(3. 6. 12i)
(*)	1	(к)	1
#K(t)=Zi[uK)te»J+a12 (t,0)~^- + dlt (t,0)-^-
(K-l)	1	1	(к-1)
1>и)«—i]4“°22	(1,0) д.[ T d22	(t,0);
(3. 6. 12»)
Для функций пограничных слоев получаем
р'о(т)=Л12(О)П-1(т);
П'_1(т)=Л22(0)П_1(т);	(3. б. 130)
Q,i(T)=Ai(0)Q0(^)+A2(0)n0(T)+oz11(T);
П,о(т)=Л81(О)Со(т)+Л22(О)По(т)+-^</а1(т);	(3. 6. 131)
Q'iW=^n(0)QlW+^ia(0)ni(T)+ -J-a"ii(T)+
(2)
+012 ('с,<2о>РьПо,П1);
n,2(T)=X21(0)Q2(^)+A2(0)n2w+y'2i(o) 4г+
(2)
+ G2 (T,Q0,Qi,n0,ni);	(3. 6. 13а)
(к)	(к)
Q\O)=Ai(0)QK-i(T)+A2(0)n,<_i(T)+Gi (T,Q0,...)+aii (0);
(«)	(к)
п'«(т)=л21(0)рк_1(т)+л22(0)пк_1(т)+	(3. 6. км
гС1
Таким образом, ряды (3 6 3) формально удовлетворяют системе
(3. 6 2) Займемся изучением начальных условий дчя рядов (3. 6. 3)-
Зададим начальные данные в точке t=0 следующим образом:
ОО	оо
й(0,е)=	= S +«(°И Qk(0)]b ;	(3. 6. 14)
к=0	к=0
206
ОО	ОО
z(0,e) = У] М0)+Пк(0)]еК +
к=—1	к=0
где «к,с»—произвольные «Х^-мерные постоянные векторы, подле-
жащие определению- Из (3- 6- 14) получаем
QK(0)=«K—vK(0), (к=0,1,2,...)
П_1(0)=с_1
Пк(О) =ск—wK(0), (к=0,1,2,...)-	(3. 5. 15)
Из условий ы(1,е)=&1 и z(l,s)=ft2 вытекает что
(3. 6- 16)
Так как функции QK^-j-
являются функциями
пограничных слоев, то при достаточно малом е QJ - - ] ->0,Пк
\ £ /
->0(к=1,2). Следовательно, из (3- б- 16) получаем
типа
п0(П=61, ик(1)=0,
(к=1,2,...).
®о(1)=^а> ИУк(1)=О.
(3- 6. 17)
Займемся теперь исследованием решений систем (3. 6- 12у) и (3 6 13у)
(/=0,1,...) и определением произвольных постоянных c_i,ci, .,e0,ai...
Из второго уравнения (3 6- 130) получаем
А2г(0)т
П_1(т)==е	с_!.
Тогда
Г	A22(0)s	г A22(0)s
Qo(T)==Qo(^)+ \ A2(0)e	c__l(is=a0— ио(О) + \Д2(0)е	c_ids.
0	о
Начальное условие для и0(^) зададим в виде
Имеем
°0
с А22(0)5
uo(O)=+ao-|- \ A2e	c_irfs=a0—Л12Л-1агс_1.
б
(3. 6. 18)
207
8
Г	Аза (O)s	А2,(0)т
QoC1)^— \Аге dsc-i=A12A~1Mc^1e
Подставляем теперь это значение Пф") в уравнение (3- 6- 12п).
Имеем
v о~'Ь^С1з(1,0)Л_~12Э(0)с_j,
(3. в. 19>
0— L 2 [ffl >W01 ~Ь	122(0)f-l.
Пусть: 1) V(t,s)(V(s,s)=.£'„) удовлетворяет системе интегро-дифферен-
циальных уравнений
t
= Ai(t)y + Ki2(t,s)y(s)ds;
s
2)	V(t,v)Aa(v)+ \V(t,s)K12(s,v)ds=H(t,v):
t
3)	Hi(t^)=-4-Wt)GMt)H(t,*) + ( /C2t(t,s)H(s,v)ds)—
-^-12«(Ma2(t)s);
t
4)	Ha(t)=4al(t)V(t,0)+ ^2i(t,s)V(s,v)dv; Hs(t)=
o
i	is
=—^-12a(t)Aal(t) V(t,s)ds/.KB(t ,0)Л_1а2(0)—X~1aa(t) j j Ki 1ft ,s)V(s,v)dvds.
0	0 0
Тогда интегро-дифференциальное уравнение (3- 6. 19) приводится
к виду
t	t
u0(t)=V(t,0)o0(0)+ ( H(t,v>0(v)dv+ ^V(t,s)/<ii(s>O)X-1aa(O)dsc_1,
о	о
t
ie>o(t) = H2(t)t'o(O)+Ha(t)C-i+ j Hi(t,v)®o(v)dv-
0
(3. 6. 20)
Пусть: 1) /?(t,v)~ резольвента ядра Hi(t,v);
2)	V(t,O)+JH(t,v)Ha(>)dv=H4(t);
о
208
t	t
3)	H(t,v)Hs(v)dv+ (v(t,s)/<ii(s,O)A-1M(O)ds=He(t)r
О	о
t	t
4)	H,(t) + J/?(t,v)Ha(v)dv=H6(t); H8(t)+J/?(t,v)H8(v)dv=H7(t).
о	d
Тогда интегральное уравнение (3 6 20) имеет решение в виде
Пусть
^(t)=H4(t)&o(OH адс-ь
w.(t)=H.(t)®o(O)+H7(t)c_1.
1) Н=
Н4(1); Н8(1)
Н.(1); Н7(1)
(3. 6. 21)
(3. 6. 22)
2) Л-=бИН/0, 3) ( j =b.
Тогда
( и»(0) \ =н-1&= 1 I HnHi2 (bi \
\ С—1 /	A I Н21Н22 \&2 /
где
Н—1 = I Н11Н12 I
I Н21Н22
Следовательно
»8(0)=
(3. 6. 23)
С— 1---д- [Н21&1+Н22&2] =С*—I.
Из (3 6 18)
вектор а0;
и (3 6 23) однозначно определяется неизвестный
«о=и*о(О)+A12A~122c*-i.
(3. 6. 24)
Таким образом, полностью определены неизвестные a0,uo(0),c_i. Пе-
реходим теперь к изучению систем интегро-дифференциальных
уравнений (3. 6 12) и (3 6 13) Начнем с (3 6 13j). Правые части
этой системы—известные функции. Имеем
т:
Qi(') = Qi(0)+ [AI1(O)Qo(s)+Ai2(O)no(s)+c,ii(O)]ds.
о
Так как Qi(0)=«i—&i(0), то, задавая дополнительное условие для
&i(0) в виде
ОО
гч(О)= [Ai1(0)Qo(s)+A18(0)no(s)+c,i1(0)]ds4-a1,
о
14* 2790
получаем, что
’оо
Qi(*)=- I^H(0)Q0(s)+^i2(0)no(s)+a11(0)]rfs.
Из структуры правой части этого равенства вытекает, что
II Qi(") II
где К~ некоторая положительная постоянная- Имеем
П0(х)=е	(го-®о(0))+ 'je 21' Ki(O)+Ai(0)Qo(s)]ds.
о
В этом равенстве неизвестными являются произвольные постоянные
Co.^ofO), которые определяются из (3- 6- 21) Рассмотрим теперь
уравнение (3- 6- 124). Имеем
(3. 6. 25)
0=7.2[У1,Ш1] “рР/С22(1,0)Л
где
СО	д	S А (
Zi(t)=X {Kii(t,O)Qo(s)+7G2(t,O)[e 22S-№0(0)+	* V2i(0) +
0	о
+A2(O)Qo(v))]dv)ds4- ai2(t,0);
со	S ,
С	' A22S	Г А2г($-v)
\ {K2i(t,O)Qo(s)+K2S(t,O)[e	®o(O)+ \e (</ai(0)4-
0	0
+^32(O)Qo(v))dv)}dS+a'21(t,O)-3y'o(t).
Неоднородное ннтегро-дифференциальное уравнение (3. 6- 25) реша-
ется точно так же, как и уравтение (3 2- 19). Решение уравнения
(3- 6- 25) имеет следующий вид:
fi(t)=H4(t)i71(0)+H6(t)f0+A t(t);
(2. 6. 26)
ie»1ft)=He(t)»i(O)+ H7(t)c0+^2(t),
где A^t)—известные функции, не зависящие от неизвестных векто-
ров ч(0) и с0- Так как ^(1)=0, ащ(1)~0, то из системы
H4(l)t>i(O)+H6(l)co = -A(l),
(3. 6. 27)
H6(1)vi(O)4-H7(I)co=- A(l)
однозначно определяются произвольные постоянные гч(О), с0.
Пусть у*1(0) и с0* яваяются решением системы (3- 6- 27)- Тогда
неизвестная произвольная постоянная ci определяется по фор муле
210
OO
ai=v*i(O) — J [Ai(0)Q6(s)+A2(0)no(s)+Gz(6)]ds=C1*.
о
Таким образом, мы полностью определили векторы «1М(0),
co,te>i(O) и тем самым — все неизвестные Qi(t), По(~), ®i(t), t0i(t) системы
(3- 6. 13i) и (3- 6- 12i). Предположим, что для любого натурального
р определены все неизвесгные Qp(~), Пр_1(т), op(t), oyp(t), ар, &р(0),
ср, Wp(O).
Рассмотрим теперь систему уравнений.
(р) . (р)-
Q/p_1(T)=XII(0)Qp_1(T;+Ai2(0)np_1(r) 4-оц 4-G! (T,...);	(3. 6. 28)
(р)	(р+1)
n'pC^^AifOJQp+iC^+AssWnp+it^-f-qei+Gs (т,...).
Из первого уравнения получаем
г	(?) ч (р)
QpW=Qp(0)4- y/WOmp-iW+G! (s,...)+on (0)№.
о
Так как
Qp(0)=ap—ур(0),
то, задавая
г	(?)	(р)
®р(°)= \ [^i»(0)np_i(s)+o1I (0)4-Gi (s,...)]ds+«p,
О
для определения Qp+i(0) получаем
с	(р)	(р)
Qp+iW=- \ [AsRnp-tfsHoii (O)+Gi (s,...)]ds.
Подставляя это выражение вэ второе уравнение (3- 6- 28), получаем
уравнение для определения Пр(т):
AjaCO)^	Г А2е(0)(т-4)
Пр(т)=е	(Ср—и)р(О))—e(s)ds, (3. 6. 29)
о
где
(?)	(р+0
e(-c)sA21(0)Qp+1(T) +а21 (0)+G2	(т,.„).
Уравнение (3- 6- 12p+i) запишется в виде
»,p+i(t)=Ai[,fp+i,te>p+iH-a12	(t,0)+XA12(t,0)A-1S2(9)Cp+/ip+i(t);
O-A2[up+i,®p+d+a22	(t,0)+X/<22(t,0)A-122(0)cp+fap+i(t),	(3. 6. 30)
где	/гр+1(0— известные, вполне определенные функции- Ранее
211
примененным методом решение системы (3 6 30) с начальным уело*
вием ир+1(0) получаем » вида
(t)Op+1(0)+H6(t)fp+A ip+i(t),
+4 О.=He(t)»p+1(0)—|—Н 7(t)c р+А2р+ i(t),
где AKp+i/t)— известные «Хи-мерные векторы. Из условий ^+1(1)=0;
i0p.|_i(l)=O получаем"
H4l)op+4Q)4-H6(l)cp=-Api !(1),
Нв(1)Ор+1(0)+Н7(1)Ср=—Л2р 1(1).
Так как det I ) Х0, то из последней системы полностью оп-
Не Н7 )
ределяются’ неизвестные произвольные постоянные ®р+1(0),ср и ар.
Займем©» теперь оценкой остаточного члена данного асимптоти-
ческого разложения
Подстановкой
j.
е
к р+1
+е B(t,e),
Z(t,&) =
р-Н
+е v((t,e)
система линейных интегро-дифференциальных уравнений (3 6.
приводится к виду
212
+^22(0
if
+* /<22(t,s) 4’n-j(v)8fe+
0
Введем обозначения:
P
1) Х^Юн.ГЦе*
к=0
(*=1,2)
где
P ,	P+1
K> eK	6
^Др(т>е)~d/ip(x) +	Ь4,1р(т,е0)*
к=\
(3. 6. 32)
(3. 6- 33)
o<e<i.
(«)
Здесь diipl'O, ^jip (т) определяются так же, как <из равенства (3- 6- 8),
до р -го порядка включительно, a dfip^efj)—-вполне определенные
функции, причем
(₽+1) Г"
№ d,-ip li <Же
где /С, а—некоторые положительные постоянные- dBp(t,e)—также оп-
ределяются из (3- 6- 8), причем
’VI И
<M»e)« Vrf&p (t,o)
к=0
е , /+1 4,р (W
«!
(3- 6- 34)
где О<0<1, dfBp(t,O) определяются так же, жакэд (в- 6. 8).
(р+1)
4/ip (t»6e)—вполне определенная функция, здричем
(Н-О
1М/2р (t,6e) | ^M«=COnst-
Имеем
t
2) ——- Г Л/Э(1)П-i('t) Н~Х	?С/в(1,б)П—if ’—4s Ieh 7‘4S(ip('’:>'s) 4_0Z2p(t,s)>
о	'
где
<, «	‘	(,+и
011р(т>е):=04т(т)+ > .’Д’5)—тг-+ в	(">^)’г^СТТГ’	\3- 6- 35
i=l
Ж--Ч (к)	(рЧ-1)	1
°/8p(t,e)=°Mp(t,0)+ J^o/Ep (t,0)(3‘ 6’ 36)
(p+i)	(p+i)^1
где Ofip (x,6e), algp (t,Be)—известные функции, причем
213
—at
(P+I)	e (P+D
II в/ip (skill <.Ke , II o/tg (t,Ge) ||</l/=const-
После этого выражение (3- 6- 32) запишется в виде
к=о
р~Н	1
+ е Е7 =dnp(t,s)+dtSp(t,e)+ е oiip('c.s)+°iip(t,e)+
к=1
к
Ii[vK,aiK]e +
р+1.
+ £ils ,т/]е ' ;
\1	K+1 VI / t \ к р+2 \Ч	к
+е -r[=2^Lz[vK,wK}& +
к=0	(с-——1	к=0
1	р+1
+<i^p(Se)+d2Sfc(t>3) +~a21(T,e)+ca;i(t,e)+Ls[E,vne I (3‘ 6’ 37)
Из (£6. 34), (3. 6- 3§), (3- 6. 36), (3- 6- 37) и (3- 6- 12;), (3. 6- 13y)
(/ = Q>/<J подучаем
(3 6- 38)
e =Z.»|6,4]+Fa(t,S),
где
(p+l)/ t „ \
di4> P /	(p+l)	1 t (P+D t
FiM^a----------' +	(t,k) (д,+1)| e -°h	( e
(P+l)	1 .
4-CTfe (t,k) ^+‘1)1 ’
вД ^+!)
dsip e, >aaJ	(t,6s)
^(U)^	+	(p+I)!	+
(p+l)l
(p+l)
°2Й_
(^+1У
—sa'p(t)-
Пусть [ifp-ioft^hWp+ioft^)] удовлетворяет системе
^Zp4 io(^+)=:^4!^p+iai®p+1ol4“Fia(t,0)y4 1га£р41+Fi(t,s);
0—balp+io, t®p+ie]4_F(t,0)y4—122^p+i“l_F2(t,e)-
214
Тогда решение этой системы, как и выше, запишется в виде
fp+io(t»^=H4(t)vp+i(O,E)4-H6(t)Cp+Aip+i(t,e);
a’p+io(t»e)=Hett)t/p+i(O,E)+H7(t)Cp+A2p+i(t,e).
Оценка остаточных членов является одним из трудных вопросов
исследуемой здесь теории- Рассмотрим теперь систему матричных
интегро-дифференциальных уравнений вида
=Zi[y(t,O);Z(t,O)l,
(3- 6- 39)
с начальными матрицами У(0,0)=£'я; Z(0,0)=0-
Пусть [Vno(t,O); V2io(t,O)I(Vno(O,O)=£'n)—решение системы матрич-
ных уравнений
-ф°-=£1[Ун0,Уг10],
О— LalVzio’^21о]-
Решение этого матричного интегро-дифференциального уравнения
ищется точно так же, как и при решении системы (3- 6- 120) при
с_г^0.
Следовательно, из (3- 6- 21) получаем, что
Vllo(t,O)=H4(t),
Vaio(t,O)=Ho(t).	(3- 6- 40)
Подстановкой
y(t,s)=Vno(t,O)4-eV11Os(t,O),
(3- 6- 401)
Z(t.s)=V2io(t,O)+eV2iOe (t,O)+n (4~)
система матричных интегро-дифференциальных уравнений (3- 6- 39)
приводится к виду
—dT~ =Z-1IV11°e(t’0); V210c(t,0)I + f1(t,e);
е ^°L_ = UVnos (t,0);V210e (t,0)H MtA	(3. 6. 41}
где
t
fi(t,e)=Ala(t) -J- По (-M + J Ai2(/,s) “~П
t	\ ъ J	1	©	\ c /
0
t
—n0(—)+f Mts) — ds>
S \	£ / j	» C \	© ]
0
215
по(т)—матричное решение системы
П'о(т)=Л22(О)пи(т)>	(3. 6. 42)
с начальной матрицей
По(О)=—-V2io(O,O)
Рассмотрим теперь систему матричных интегро-дифференциальных
уравнений (3- 6- 39) с начальными матрицами
У(0,0)=0: Z(0,0)=£m.
Пусть [Vigo(t,O), V22o(t,O)](Vi2o(O,O)=O) удовлетворяет системе
матричных интегро-дифференциальных уравнений
—=L 11 Vi2o(t,O) ;V22o(t,O)] +Ai2(t,0)A~12e(0),
O=£a[V18o(t,O);V22o(t,O)]+/<Si(t>O)A-1M(O)-
Ранее примененным методом записываем решение этого матричного
уравнения в виде
Vi2o(t,O)=H6(t),
v180(t,0)=HT(t).
Это выражение легко получается из решения системы (3. 6- 19)-
Подстановкой
V(t,O)=Vlto(t,O)+eV12Oe(t,O)>
Z(t,O)=VMo(t,O)+nto (v)+eV220s(t>0)	<3- 6- 42')
система матричных уравнений (3- 6 39) приводится к виду
dVigOe
—^=£1[V120e(t,O);V2io£(t,0)]-t-a1(t;e):
(3 6- 43)
£ ~'dt	==r«IV120e(t,0); V220e(t,0)l +«,(t,e),
где
t
i __ / t \ Г	1 — ! s \
fli(t,e)=Ai2(t)~- n10	\	“Поо1—— Ids;
0
t
<j2(t>s)=A/2a(6t)—Поо(—j-|- A22(t,s) —-Поо(— j ds,
6	\6/l	8	\ © /
0
П00(т) удолетворяет системе
П'во(т)=Ам(О)Поо(т)
с начальной матрицей П00(0)=Д»г—V22o(O,O)-
516
Системы матричных интегро-дифференциальных уравнений
(3. 6. 41) (3. 6. 43) применяются при оценке остаточных членов ряда
(3. 6. 3). Исследуем матричную систему (3. 6. 41) На основании
ранее доказанной леммы (3. 3. 1) настоящей главы система (3. 6. 41)
имеет матричное решение вида
t
VnosltO)- j[Vno£(t,s)A(s)+V12oe(t.s) Ц- Us)\ds,
о
t
V210e(t,0)= j lVa1oe(t,s)/i(s)+Va2Oe(t,s) 4- /,(s)]ds,	(3. 6. 44)
о
на сегменте [0,1] при e->0 эти матричные функции равномерно ог-
раничены
t
II V/10e (t.0) II II V/Юе M II II A(s>e) II + II V/20S (t,«) II 4 11 ^(S>s) 11
0
^M—consi, (/=1,2)-
Аналогично изучается матричная система (3. 6. 43). Имеем
t
II Vj2oe (t,®) II < II Vtl(fe(t,s) II II ai(s,e) II +
0
+ 4 II V«20s (t.s) II II o»(s,e) II ]ds<2W=6Wist (/=1,2).
Переходим теперь к непосредственному изучению системы (3- 6- 38).
На основании леммы (3. 3- 1) решение системы линейных интегро-
дифференциальных уравнений (3. 6- 38) записывается в виде
t
(t,0)e(0,e)+V12e(t>OM0,e)+ J [Vlle(t,5)Л(5,в)+
0
+Vi2s(t,s) 4F«(M)]ds;
t
<s)=V2lE(t,0)£(0,8)+V22e(t,0)7!(0,*)+ J [V2le(t,s)/?1(s,e) +
0
+v22e(t,s) 4-F»(s>®)]ds. где vzya(t,s)	(3. 6. 45)
(/,/«=1,2)—матричное решение системы (3. 6. 39).
Имеем
217
VHe(t,O)=Vxio(t.O)+eViis(t,O); Z= 1,2-
VZ2£(t,0)=V/2o(t,O)+eVZ28(t, О)+Пое(—) 5
Viio(t,O)=H4(£); V8io(t,O)=He(t);
Vi20(t,0)=H5(t); V?20(t,0)=H7(t).	(3. 6- 46)
Так как £(l,0)=0; ?;(1,0)=0, то из (3- 6. 45) определяются неизвест-
ные произвольные векторы Е(О,е) и т,(0,е).
[H4(l)+eVi 10s (1 >О)]Е(О,е) + [H6(l) +eVi20e (1,О)+По	^H(0,e)=oi;
[Н6(1)+е V210e(l>0)+ По Ж0,е;+[Н7(1) + eV^Oe (ЬО) +
+ ГГв0 (~|-)М0,е)=а2,
где
1
а;= [V£1E(1,5)Л(5,е)+V/2e(l,s)-уFt(s,e)\ds, Z= 1,2.
о
Так как
, Н.(1) Н.(1) \
I Н.(1) Н,(1) I
матричные функции V/ioe,V,-2oE равномерно ограничены, то при
достаточно малом е
/H4(l)+eV110e(l,0);	Н6(1) + eV120e (1,0) Ш(
rfet I	.	/1 \ j О'
уН6(1)+еУ2Юе (1,О)+По(4-); Н’СО + еУйое (М +пЦт) J
Следовательно, система линейных матричных алгебраических урав-
нений (3- 6. 47) имеет единственное решение, ограниченное при е->0.
Таким образом, доказана
Теорема 3- 6. 1. Пусть 1) bK^=Q —постоянные /1Х»1-мерные
векторы; 2) на сегменте [0,1] матричные функции AJK(t), /CZK(t,s) не-
прерывны вместе со своими производными, причем вещественные
части всех корней ^i(t),K2(t),.-.,Xm(t) уравнения
de{('hEm—A22(t))=0
удовлетворяют неравенствам
Reel ^/(t)<—2а,
где а— некоторая положительная постоянная,
3)	Н^1); Нб(1) 'j ^0.
к Н6(1); Н7(1)) Г
218
Тогда на сегменте [0,1] система линейных интегро-дифференциаль-
ных уравнений (3- 6- 1) с начальными данными (3. 6. 2) имеет
единственное решение:
«(t,e)= у* [UK(t)+QK )]е + е E(t,e),
/ t \ к А-Н
Z(t,e)= у М)+П« ^)]е +е тД,е),
к=—1
причем || E(t,e) || <7W=co«st; || ^(t,e) || <7W=co«st; это решение при
е->0 сходится к вполне определенному решению уравнения
1//о(и^-11[Уо^о]+Л'1г(ЬО)Л-12а(О)	[Н2Л+Н22£2];
0=Z2[£,o#,oH- Аг4(1>0)Л—12а(0)-д-[Н21/>1Н~Н22/>а ]
на полусегменте (0, 1].
Замечание- Случай, когда itetH=O, в данной работе не
рассматривается. Исследование этого случая не вызывает затру д-
нений.
§ 3. 7. Теория линейных систем интегро-дифференциальных
уравнений типа Вольтерра с малым параметром при производной
с интегральными начальными данными.
Особенность интегральных начальных данных
В этом параграфе изучается общая асимптотическая теория ли-
нейных систем интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра
с интегральными начальными условиями вида
1
z(O,e)=k^Ki(s)z(s,e)ds+£,	(3- 7- 1)
О
где b—постоянный «-мерный вектор, Ki(t)—на сегменте [0,1] «Хи-
непрерывная вместе со своими производными матрица, причем
detKi(l)=^O, X—некоторый постоянный параметр.
Рассмотрим систему
I
гг'=^z+X^K(t,s)z(s,e)ds,
о
(3- 7- 2)
где А— «хя-постоянная матрица и «х«-матричная функция /C(t,s)
удовлетворяют тем же ограничениям, что и в предыдущем па-
раграфе-
Формальное решение задачи (3- 7. 1), (3. 7- 2} будем искать
в виде
219
(3, 7- 3)
где П-i, Пк(т)—пока неизвестные л-мерные векторы-
Формально подставляя ряд (3. 7. 3) в систему (3- 7. 2), получаем
ад.'+
к = 0	к=—1
+>- \ /<(l+w,l+ev)n-j(v)dv -f-
VT к
K(l-He,l+ev) Xn*fr)g (3 7 4)
«=0
Разлагаем теперь в ряд Тейлора «Хи-матричную функцию
ХЛ/ д д \к К(1,1)е
X(l+»,l+»)=X(l.l)+^’-3r+'-*) ~4г~
К=1
(3- 7- 5)
Подставляя (3- 7. 5) в (3- 7- 4), а затем приравнивая коэффици-
енты при одинаковых степенях параметра е, получаем систему
уравнений для определения неизвестных векторов П-ift), ЩФ
П'_1(т)=ДП_1(т);
(3- 7- 6-1)
П'о(х)=ЛПо(т)+Х Яа.ПП-лМ^;
—оо
(3- 7- 60)
т	т
П'1(т)=ЛП1(т)+к ( (т -^-+v^k(l,l)n_,(v)d>+k ( K(l,l)n0(v)dv,
J \ t'l	/	1
—«)	-00
П'2(т)=ЛП1(т)+к
т:
д д
^+^)ЛГ(1,1)П_1М+
+?<(1,1)П^)+ (	^)к(1Л)По«1 dv
П'к(т)=ЛПк(т)+ J +v-^-)KK(l,l)n_1(v)+
---------------00
+FK(t>M,n_1,...,nK_ i)]dv;
(3 7- 6,)
(3- 7- 6«)
220
где 7?к(т,м,П-1,По,---,Пк-1)—вполне определенные «-мерные векторы.
Таким образом, показано, что ряд (3. 7- 3) формально удовлет-
воряет системе (3- 7- 2). Как и прежде, система линейных интегро-
дифференциальных уравнений (3- 7. 2) изучается сначала с другим
дополнительным начальным условием
Z(l,e) =
с(е)
е
(3. 7- 7)
Тогда из (3. 7- 3) и (3- 7- 7) вытекает, что
П_1(О)=с_1,
Пк(0)=ск,	(3. 7- 8)
(к=0, 1, 2,...), где с-ь ск—неизвестные «-мерные векторы- Эти
векторы определяются из дополнительных условий (3- 7- 1)- Имеем
Ат	Ат
П_1(т)=е П_1(0) = е с^,	(3- 7- У-i)
,	т .	S
Ат г А(т—s) г
П0(т)=е <70+Х \е \ К(1,1)П_i(v)Jvds;
О	—оо
(3- 7- 90)
.	V
Ат	А(т—s) г
Пк(т)=те ск+1 \е \
О	—оо
’4+^ГК(1’1)п-^)+
+ /7к(тл,П-1,-. ,ПК_1)	d'ids.
(3. 7. 9К)
Подставляем теперь ряд (3. 7. 3) в начальное условие (3- 7- 1):
1
z(O,e)=^+X J K^s)
О
к
Is dszzb~\- X
О
( Kt(l +
оо
V4 /б+1
+ev) Пк(^)е dv.	(3. 7- 10)
к=—1
Разлагаем матричную функцию Ki(l+e>) в ряд Тейлора
00 , , к к
/Ci(l+ev)=K1(l)+ ^^(1)22-.	(3-7.11)
к=0
221
Из (3- 7- 10) и (3. 7- 11) вытекает, что
о
г(О,е)=Л+Х j
------------ОО
СО	к	К	со
V(«)	м	е	VI	М-1
Ki (1)—1~] JjIW* <fr=
к=0	к=—1
О	О
=W j /С1(1)П_1(*)Л+Х	[/C1(l)n0(v)+/C'1(l)vn_1(v)ldve+
—оо	•—оо
О
+k [/C1(l)n1(v)+/C'i(l)vn0(v)+ /C"1(l)™^]dves+...
--оо
О
...+>•	[^(ПП^+Л^ЛоМ.-.П»-!^))^ +...,	(3. 7. 12)
—оо
где Ac(v,...)— известные вполне определенные функции. Определим
теперь неизвестные произвольные постоянные векторы r_i, с0, сь-,
ск из следующих алгебраических уравнений:
о
*+Х J K1(l)n_1(v)dv=O;	(3- 7- 13-i)
--оо
о
[КЯППоМ+К'ЯПуП-^иу^О; (3. 7. 130)
О
Г	Vs
\ [^(Dnuvj+K'HDvnoW+^'^i)—
1
—оо
О
[^i(l)nK(v)+^K(v,no,...,nK-i(v))]dv==O;
---оо
(3. 7. 131)
(з. 7. 13к)
Из этих систем последовательно определяются неизвестные
вольные векторы с_ь с0, Ci,---,cK.
Имеем
произ-

с_1^т=1&+к/(1(1)Д-1с_1=0.
Отсюда
222
c^—k-iAKrW-b-
Из (3. 7- 132) определяем c0:
О
co=—J /СИ^П-х^.
—OO
Из (3- 7- 133) вытекает, что сх
О
Г
г1=-Х-М/<1-1(1) \ [K,1(l)n(,(v)+K"i(l)-97n_1(v)]dv.
1	£ I
--оо
Из (3- 7. 13к) определяются ск (к—2,3,—):

о
--оо
Таким образом, мы полностью нашли все произвольные постоянные,
так что ряд (3- 7. 3) формально удовлетворяет системе (3- 7. 2) и на-
чальному условию (3- 7- 1)- Займемся теперь оценкой остаточных
членов ряда (3- 7- 3)- Подстановкой
(3- 7- 14)
где 5(t,e)—новый неизвестный n-мерный вектор, система линейных
интегро-дифференциальных уравнений (3- 7- 2) приводится к виду
Р+1 г
е е
-----^(t,e)-kU(t,s)«(s,e)ds J+ П'~1(Т) + ^П'к(т)/=
п	к=0
р	О	р
VI к Г	VI / s—1 \ к
+А 2^Пк(ф +Х \ /C(l+eT,l+ev) nJ -у- je ds.
к=0	к=—1
(3. 7. 15)
Применяя формулу Тейлора для функции /Ql+ет, 1-J-ev),получаем
Р	к
/C(l+xS,l+ev) = /C(l,l)+ У( т -4г-+* -f— Y	4-
\ c/L	OS I Zvl
223
/>-} 1 /Н-1
+(’4-+v4H i+n^d+^+M,	(3.7.16)
где 0<8<1.
Подставляя (3- 7. 16) в систему (3- 7- 15), а затем учитывая,
что вектор-функции П__1(т),П0(т),...,Пр(т) удовлетворяют системам
(3- 7- 6_i), (3- 7- 60),—,(3- 7- 6К), для определения остаточного век-
тора B(t,e) получаем интегро-дифференциальное уравнение
t
е—^-=^(t,e)+k^(t,sK(s,e)ds4-H(t,s),	(3- 7- 17)
О
где
Г/ д , д \Р+1 •
-^^-х
о
р	t
Х/С(1+(/-1)б, ^(s-ijojVnJ—)ds+ (fp+1(t,s,n_i.np-bEjds,
1	* ' oJ
/ s_| \	.
где Fp+1 j t,s,n_i I—-—)>•)—вполне определенный известный n
мерный вектор- Из (3 7- 17) видно, что
II Л(1,е) || <7И=const при е—>0
t
\ ||/Vs,e)- — ||ds^Mt=const
1	е
0
на сегменте [0.1]-
Пусть
t
8(t,e)=— Л-’l	/C(t,s)S(s,e)ds+Tj(t,e),
О
(3- 7- 18)
где vj(t,e)—новый неизвестный вектор- Тогда, рассматривая систему
(3- 7. 18) как линейное неоднородное уравнение, записываем ее ре-
шение в виде
Е(1,е) = тД,е)+
t
^/?(t,s,X)^($,e)ds,
О
(3- 7- 19)
где 7?(t,s,X)—резольвента матричного ядра —А~s).
Подставляя (3- 7- 19) в систему (3- 7- 17), получаем
224
t
eYl'(t.£)=:^(^e)—e^(t.t,>-)Yl(t,£)—/?/i(t)s,>-)^(s,e)ds+/(t,i)^^'(t,^,e). (3 7. 20)
0
Система (3- 7. 20) является наиболее удобной системой для иссле-
дования- Систему линейных интегро-дифференциальных уравнений
(3- 7. 20) преобразуем в систему линейных интегральных урав-
нений вида
А(*~—1)	t Mt—s)
Tj(t,e)==c Е Tj(l,e)+ Е	(3- 7- 21)
1
Переходим теперь к изучению начальных условий для неиз-
вестного вектора £(t,e). Имеем
z(l,e)=	= _£=1_+Го4-ЕС1+е2с2+...+ер+1ср+1(е)=
П_1(0)	д+1
= ——-+По(0)+еП1(0)+-4^Пр(0)+Е	£(1,4
Так как n_i(0)=c_j; Г1»(О)=со; ПЛ=ск, то
£(1 >«)=Cp+ifc).
где к=\,2,—,р. Из (3- 7. 19) получаем, что
1
тД>Е)==ср+1(е)—7?(l,s,7h(s,e)ds.	(3- 7- 22)
0
Имеем
„ I 1 \
П—)	/	1 \ I 1 \	/	1 \
2(0,е)= --------- + П0 [---г)+еГ14-----Г’) + ”’+е/’ПР\---
, , г , П~1( ~Ч
+ е т1(0,е)=1& + 1 \ j ------------------+ Пв —— J+
0
4-еП,(—Ц+...+ePnJ	+
р+1| 4-8	1 Рассмотрим интеграл 15* 8790	\е.)	ь\ е / S T/(s,e)+ ^A?(s,v,k)T|(v,e)(/v |ds-	(3- 7- 23) 0 225
ю
В=ь+). J ^1(l+ev)In_1(v)+ene(v)+-+ePnp(v)Jdv=
---------00
0
—co
(P+D
Ki
p+l p+l
(l+-0ev)v s
“(P+l)!
p , i
Sk+1
e HK(v)dv.
K=—1
(2. 7- 24)
Так как произвольные векторы c—lt с0,- -,cp удовлетворяют соответ-
ственно системам (3- 7- 13—х), (3 7. 130),-.-,(3- 7. 13р), то из (3- 7- 24)
'вытекает,' что
1	(p+l) Р Р
с Р 0+м». V /+‘ад+лр+1(,,.) ]Л.Г2,
J L	к-— 1
—СО
•где Лр(м,е)— вполне определенная вектор-функция- Из (3- 7- 23)
-получаем
1	S
Tj(0,e)=B+-X^/Cj(s)[7;(s,e)+- jz?(s,v,k)^(v,e)dv]ds-	(3- 7- 25)
О	О
Из (3- 7- 21) получаем, что
А	0 —As	1	A(s—1)
е Чм)+ 6 -4F(M1e)dS=B+-k J Ki{s)[e е Tj(1>e) +
1	О
s	A	s A(s—v)
Г	—(*—!)	Г ----;--- 1
+ \/?(s,v,k)e	тД,е)<М- V —F^,rl,e)d»+
Л	1
s	м А(\—vi)
+ ^R(s,v,l)^e S —Ffvb^.eJdvjdvlds.
О	1
Отсюда
1	s	A(v—1)	_ А_
[/C1(l)4-1+-J/C1(s)	R(s,^,X)e	£ dvds+e " +~
0	о
г	Av
\ F\( l + 6ve)vg dv]7j(|,e) = D(s)r1(l,e)=iR(^,e),
(3- 7- 26)
226
где
1	As	1	s A(s—\)
RM=~ L~ E_23.F(S,7J>e)dS+ _Lb(.h-x^Ki(s) J je e- x
0	0	1
s
X —F(M,e)ds+ j
D
tf(s,v,X)
ds-
F^iM^dVidv
Так как 4е1К1(Г)=£0, а остальные матричные слагаемые при коэф-
фициенте v/l,=) в левой части (3- 7- 26)— малые величины, то из
(3. 7. 26) получаем
т](1 ,е)— D-’(e)^[v|,e],
(8- 7. 27)
где D(e)—обратимая матрица-
Подставляя (3- 7- 27) в (3- 7- 21), получаем линейную систему
интегральных уравнений
А(Л-1)	t K(t~s)
r,(t,e)=e e	E ^F(s,7],e)dssP(73,8stJ. (3-7-28)
1
Из структуры интегральных уравнений (3- 7- 28) вытекает, что эти
уравнения являются линейными матричными интегральными уравне-
ниями с вырожденными ядрами- Имеем
1) || P(O,e,t) |] <^М=const при е—>0 на сегменте 10,1],
2) || P(^,e,t)-P(rd,e,t) II < I X I Ке	|| D-*(e) II N || т1а-711 Ц +
+7V | X | в || rj2—та ||,
где A/=const; K=const; а—некоторая положительная постоянная-
Подберем теперь малый положительный параметр е так, чтобы вы-
полнялись неравенства
0<е< || D~*(e) II ;
11D 1(е)||< 2/V|X|(/OM) ’
t3. 7- 29)
Тогда система интегральных уравнений (3- 7- 28) решается методом
последовательных приближений. Пусть
п=1,2,-., гй(и)^0	(3- 7- 30)
— последовательные приближения Пикара. Имеем
II '’in-i II < II	II •
Отсюда следует, что построенные последовательные приближения
сходятся абсолютно и равномерно-
227
Теорема 3- 8- !• Пусть! 1) А—~пХп—постоянная матрица,
причем вещественные части всех характеристических чисел
Xz(j=l,2,этой матрицы положительны; 2) Ki(t)—пХп— непре-
рывная матрица со своими производными до требуемого порядка,
причем справедливы неравенства (3. 7. 29); 3) K(t,s)—непрерывная
матричная функция на сегменте (0,1] с своими частными производ-
ными по t и s до требуемого порядка. Тогда задача Коши (3. 7. 1)
для системы (3- 7. 2) имеет единственное решение, представимое в
виде (3. 7- 14). Это решение при е->0 стремится к нулю на полу-
сегменте (0,11-
Замечание 1. При доказательстве теоремы 3. 7- 1 мы пред-
полагаем, что малый параметр е и начальная матрица ДК1-1(1) удов-
летворяют неравенствам (3. 7-’ 29). В противном случае при решении
интегрального уравнения (3. 7. 28) появляются собственные значения
и собственные функции. Тогда, как известно, линейное интегральное
уравнение (3- 7. 28) либо не имеет решения, либо имеет бесчислен-
ное множество решений, зависящих от некоторых постоянных пара-
метров, которые определяются специальными способами.
Замечание 2 Интегральные возмущения дифференциальных
уравнений с малым параметром при старшей производной имеют
ряд специфических особенностей. В этом параграфе мы рассмотрели
случай, когда начальное условие z(G)=b получает интегральное
возмущение X Ki(s)z(s,e)ds. В этом случае, как это было показано
0
выше, когда вещественные части всех характеристических чисел
матрицы А положительны, решение задачи Коши для систем ин-
тегро-дифференциальных уравнений имеет вполне определенный пре-
дел. Рассмотрим дифференциальное уравнение
ez'=Az	(3. 7- 30)
с начальным условием г(0)=6=И=0; если вещественные части всех
характеристических чисел матрицы А положительны, то решение
этого уравнения при е->0 сходятся только к бесконечности.
Рассмотрим случай, когда дифференциальное уравнение (3. 7. 30)
возмущаемся интегральным оператором типа Фредгольма вида
1
X ^K(i,s)z(s)dsf	(3. 7. 31)
о
т. е. уравнение (3< 7. 30) переходит в уравнение
1
e.z'=Az+^ ^K(t,s)2(s)ds,
б
а начальное условие z(O)=b не изменяется. Здесь будет показано,
что система линейных интегро-дифференциальных уравнений (3.7 31)
с начальным условием z(0,e)=& при е->0 имеет определенный предел
на полусегменте [0,1). Пусть X не является собственным значением
ядра’ —
Подстановкой
228
1
z(t,e)= ^/?(t,S,X)£(s,e)Js+E(t,e),
0
(3 7. 32)
где /?(t,s,k)— резольвента матричного неоднородного интегрального
уравнения
z(t,e)==e(t,e)+^/l“1 * * *K(t,s);(s,e)c!s,	(3- 7. 33)
О
?(t,e)—произвольный «-мерный вектор, система интегро-дифференци-
альных уравнений (3. 7. 31) приводится к виду
I
er(t,s)=^(t,e)—e/?(t,t,X)?(t,e)—е ^'(t.s/^s.e)^.	(3- 7- 34)
О
Решение системы (3. 7. 34) ищется в виде
П-‘(—)
E(t,e)= ---* е е  +по +еяМ. (3- 7- 35)
где П-1(т) удовлетворяет уравнению
(3- 7. 36)
а П0(т) определяется из системы
П'Л(г)=ЛП0(т)+/?(1,Ь^)П_1(т).	(3. 7. 37)
Вектор-функция v;(t,e) определяется из системы
evl,(l>e)==^'5(t»e)4'fj(t,7l,s)>	(3 7- 38)
где
F(tjbe)=—K'(t6,l+0t)(t— 1)П_! (+eJ?(t,U)n0 (—)+
\	®	/	\ S /
1
+ j/?'/(t,S,k)
о
П—/— А )+еПй(-^-
Xs/ Xs
4s—e/?(t,t,X)v](t,B)—
1
—s ^K'<(t»sAh)(s.<)ds
о
Зададим произвольные начальные данные для вектора $(t,e) в виде
^О.^—^+Се+вС-^),
229
где c_t с0, Ci(e)—‘произвольные п мерные векторы. Отсюда
Пв(О)=Го; ^(1,е)=г,(е).
В точке t=0 получим
где
Имеем
1
8
+ет)(О,е)->е^(О,е),
° \ ~1->0 При е->0-
1
z(O,e)=^= j/?(l,s,X)
о
1-1
1
е
(3. 7. 39)
Рассмотрим интегральный член этого выражения, содержащий функ-
ции пограничных слоев, и запишем его в следующем виде;
о
J /?(1,Ц-ем,к)[П—i(v)+en0(v)]dv=
О	О
J ^(O,lA)[n-i(v)+en.(v)]dv+e	/?'s(0,l,k)v[n_1(v)+eno(v)]dv+
0
* Г	v2
+еа \	gj-in-xM+n.OJeJdv,
(3- 7. 40)
где 0<й<1.
Подставляем (3. 7. 40) в ристему (3. 7. 34), а затем определяем
проиввшинне постоянные c-i, с» из системы алгебраических
уравнедлй
о
о	о
7?'s(0,l,k)vn_i(v)dv.
--G©	--«•
(3. 7- 41)
Так как из уравнений (3. 7. Зв) и (3. 7- 37) вытекает, что
At	Ат г ,
П-1(т)=е с-г, n0(t)=e c0 + U
А(т—s)
/?(lj,k)n_x(s)ds,
230
то из (3. 7. 41) окончательно определяются произвольные постояв-
ные c-ь с0:
c_1=AR-4O,l,X)b;
о
Co=AR-i(O,l,X) J R's(O,l,*)vn_i(v)dv.	(3- 7- 42)
--00
Из (3. 7. 36) для определения ej(s) получаем
1
Tj(O,е)+ ^R(l,s,X)71(s.e)ds+T(e)=0,	(3- 7. 43)
О
где
о	о
Г	Г	v®
7(е>е® \ R's(O,lA)vno(v)dv +е2 \ R"sS(l,l + 6ev,k) -^-х^+ВДе]^.
--00	 00
Из (3. 7. 38) получаем
A(f—1)	t A(t—s)
7](t,e)=e £ *1(1,е)+	6 -i-F(s,fi,e)ds. <3’ 7’ 44>’
1
Подставляя (3. 7. 44) в систему (3. 7. 43), получаем
_А 0 _ As	О
7" е 8 ^(1,е)+ je 6 -^г F(s,4,e)ds= RCl.lAJA-^ ij(l,e)tfv4-
1	оо
+е
R'(0,l+6s,X)A_1e tfv7j(l,e)+
1	s A(v—1)
+ ^R(l,S,k)je 6	lg/7(v),e)tf'«!s4—^-т(е)=О,
0	1
(3- 7- 45>
где 0<6<l.
Из (3. 7. 45) вытекает, что
А
(е *-j-+R(0.1/M~1 + e
Av
R^O.l+es.kJA-^e th)iq(l,6)=
1 A ‘
\e -^F(s,-q,e)ds—
0
23F
1	s A(v—1)
— tR(l,s/)(e 6	-4- Flweydvds---I-Y(e)=Ri|n,eJ.	(3- 7- 46)
II®	®
0	1
Так как de/R(0,l,X)4~1=#0, то из (3. 7. 46) однозначно определяется
произвольная постоянная
iQ(l,s)=c1(&)=£)i-1(s)R1[7i,e],	(3. 7. 47)
где
_ А	О
Di(e)=-3- е 6 +R(0,1,Х)Л—14-e R^O.l+es.X^v/dv.
—со
Подставляя (3. 7. 47) в систему (3. 7. 44), получаем линейное
интегральное уравнение
А(<—1)	t А(/—s)
»jG,e)=e	6	0i-1(8)Rih>elS -yF(s,T),e)ds=P[^Kj,e].
1
(3- 7- 48)
Это интегральное уравнение легко решается методом последователь-
ных приближений. Предполагается, что
^=P[t,7i„_1,e], т^.еХ), п=1,2,...	(3. 7. 49)
Нетрудно показать, что
II PR,0,e] II </И=С0Л8<; II Р(т12,е)—Р(та,е) || </V(e) Иа—|| ;
И ~Чк 'Чк—1 11 <N(e) II 'fyc—i tQk— 8 II ,
где N— некоторая положительная постоянная, при N(e)< -g- постро-
енные последовательные приближения сходятся абсолютно н рав-
номерно. Справедлива
Теорема 3. 4. 2. Пусть: 1) вещественные части всех харак-
теристических чисел матрицы А положительны; 2) пХ«-матрнчная
функция K(t,s) непрерывна и имеет непрерывные производные до
второго порядка по t и s, причем
rfe/R(0,l,X)A—х¥=0,
где R(/,s,X)—матричная резольвента ядра— A-VC^.s); 3) число Х=Х0
не является собственным значением этого ядра; 4) || II
<Ме) II т; II +М, 1де JA=const, /V(e)< -1- .
Тогда система линейных интегро-дифференциальных уравнений
(3. 7. 31) с начальным условием г(0,е)=& имеем единственное ре-
щение, представимое в виде
П i( ——1
11-11 е I	[ f_j \	с
z(t,s)= —х е -/-+n0(-7~)+e,*1^’e)+\R(^s’x)x
О
232
S—1
s
+tiq(s,e) ids.
(3- 7. 50)
которое при e->0 сходится к вектор-функции
Е(МЛ)Д-Х
на полусегменте [0,1) Последняя функция является решением систе-
мы линейных интегральных уравнений
1
КД-1( K(t,s)v9(s)dsJr'kK(t,\)A~1-	(3. 7. 51)
Замечание. В случае, когда detWfi, 1,л)=0, решение системы
линейных интегро-дифференциальных уравнений (3. 7. 31) с началь-
ным вектором z(O,e)=Z> ищется в виде
t
2(М)=	+ JL±+n0+^+^R(Uk)x
o
2-i + По +enq ds.
e	\ s I
§ 3. 8. Общая асимптотическая теория систем нелинейных
иитогро-диффереициальных уравнений типа Вольтерра с линейными
интегральными начальными условиями о малым параметром
при производной
В этом параграфе рассматривается обшая теория нелинейных
систем интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра с ма-
лым параметром при производной
Здесь излагаются специфические особенности интегральных на-
чальных условий для систем нелинейных интегро-дифференциальных
уравнений типа Вольтерра с малым параметром при старшей произ-
водной.
Для простоты изложения изучается одна система нелинейных
интегро-дифференциальных уравнений
t
dz	Г
е	\K({’s)z(s)ds)
о
с начальным условием
1
z(0,e) =&+k^(s)z(s,e)ds,
0
(3. 8. 1)
(3. 8, 2)
где Ь— постоянный «-мерный вектор; q(t)— непрерывная вместе со
своими производными, матричная функция на сегменте [0,1]
233
K(t,s) — известная «Х^-матричная функция;	известный п-
мерный вектор, где
t
q= K(t,s)z(s)ds.
О
Формально полагая е=0, из (3. 8 1) получаем вырожденную-
систему
t
^K(t,s)vo(s)ds)=O.	(3- 8. 3)'
J
о
В дальнейшем предполагается, что вырожденная система (3. 8. 3)
имеет некоторое непрерывное решение v0=v0(t), имеющее непре-
рывные производные до требуемого порядка. Ранее задача (3. 8. 2)
изучалась во многих статьях [80], [81], [82], [86] —[90]. Однако там
предполагалось, что вещественные части всех корней h(t), ka(i),
•••Лл(0 алгебраического уравнения
t
det(KE—f};(t,‘V0; K(t,s)vo(s)ds)=0
0
отрицательны. В этом параграфе ие предполагается отрицательность
вещественных частей всех МО.МО.-ЛХО- Среди функций
k1(/),...,k„(/) могут быть как положительные, так и отрицательные.
Здесь для простоты выкладок предполагается, что вещественные
части всех	положительны.
Известно, что при изучении систем нелинейных интегро-дифф-
ренциальных и дифференциальных уравнений с малым параметром
при старшей производной существенную роль играет знак вещест-
венных частей Хг(/). Сначала дадим общую теорию асимптического
разложения решений задачи (3. 8. 1) (3. 8. 2), а затем перейдем к
оценке остаточных членов этого разложения. Формальное асимптоти-
ческое решение (3. 8. 1), (3. 8. 2) будем искать в виде
ОО	00
z(M =	С3 8’ 4>
к=0	к=0
Формально подставляем ряд (3. 8. 4) в начальное условие (3.8.2).
00	со	1	00
^Ок(0)ек+ Пк (-----ек=64-к q(s) ^oK(s)eK+
к=0	к О	0	к=0
к—О
dsc=^b+
234
1	co	0	co
+Х J q(s) У t>R(s)eKds-|-к j g(ue+l) ^Пк(’)е'Л.	(3- 8- 5)
О	к=0	—оо	к—О
Так как функции Пк е j являются функциями типа погранично-
го слоя, то при 1=0 и е—>0
G
__] \ -----------
£-0,	к=о,1,2,...	(3-8.6)
где о и К—некоторые положительные постоянные числа. Неравен-
ствами вида (3. 8. 6) будем пользоваться в дальнейшем при изло-
жении основной теории настоящего параграфа.
Постоянный вектор b подберем так, чтобы
1
Л=&о(0)— q(s)v0(s)ds.	(3- 8. 7)
О
Это равенство имеет существенную роль при разложении решений
задачи Коши (3. 8. 1)—(3. 8. 2) в ряды относительно парамет-
ра е. Разлагаем теперь в ряд Тейлора функцию д(1+те) в виде
т2₽«	(к) 1ке*
9(^+1)=<7(1)4У(1>+<7''(1)-2^- +•••+<? (1) — +-	(3- 8- 8)
Подставляем (3. 8. 8) в правые части (3. 8. 5), а затем приравнива-
ем коэффициенты при одинаковых степенях параметра s, получаем
1
®o(O)=k ^(s)n0(s)ds+A,	(3. 8- 90)
О
О	1
»1(O)=MD J По(*)<Ы-к ^<7(s)z?x(s)<is,	(3- 8- 9у)
—со	О
О	1
‘»к(0)=к<7(1) Пк-К^И^+Нл+к ^(s)nK(s)ds,
—со	О
(3. 8. 9К)
где Нк— вполне определенные «-мерные векторы. Далее формально
подставляется ряд (3. 8. 4) в систему (3. 8. 1). Имеем
со ,	со
Sk+1
е ^(О + ХпЧ^ФФ+фОО.	(3.8.10)
к=0	к=0
235
где
Ф(«)=КЛ X vK(t)^ + V Пк(ф«; £ J K{t,s)v^ds+
к~ 0	к-0	к—О О
со т
+« S J /С(1 + те,1 + еу)Пк(^)—
к—0 —оо
оо	со t
-K.t, S vK(t)eK- Jj ^t,s)vK(s)e'ds)
k=0	K=0 0
co	eo t
4>(^f(t, eKcK(O; j K(t,s)vK(s)dszK).
к—0	k=^ 1 0
Разлагаем теперь вектор-функцию <p(e) в ряды Тейлора по степенжм
параметра s.
Имеем
<р(е)=<р(О)+<р'(О)«+ф"(О) J+-+ - Д'* +	(3 8. 11)
где
t
<Р(О)=/(Лц>; K(t,s)v0(s)ds);
О
t	t
^(/,s)o0(s)ds)bi1(^)4-f9(/f,t/0(oA/((f,s)v0(s)ds)X
о	о
t
X ^/,s)Di($)ds;
0
(к)
t
^K(t,s)v0(s)ds)vK(t)+fq(t,...) X
0
t
X ^(/,s)nK(s)ds+^K(/,t?0,...),
о
где AK(t,v0>...)~ вполне определенные «-мерные векторы. Вектор ф(е)
заменой г=те+1 записывается в виде
236
к-=0
00	со l-j-'
^Пк(т)е«;	(
к~0	к~0
K(14-TS,l+ev)nK(v)cbi)—
к-О
к=0
к=О J
—oo
оо 1 -(-те
K(14-te,s)uK(s)eKtfs]).
0
Далее этот вектор разлагается в ряды Тейлора по степеням малого
параметра е
к!
к=0
(3. 8. 12)
где
1
Ф(0)=/(1,ро(1)+По(т); A(l,s)v0(s)ds)-
0
1
—Шл>о(1); J K(i,s)v0(s)ds);
О
1
А(1)+n0;^/C(l ,s)t>0(s)rfs)ni(s)-+
о
1	1
+17/(1 А(1)+По(т) ;U(1 ,s)v0(s)ds)—ft(\,г0(1);^( > ,s)r0(s)ds)]t+ [fu(l ,v0(l)+
0	0
+ПЛ«Л~ Ы1Л\>(1)>а0Ж0(1М^(1)1 +
+f7(l,»(D+n0,Oo) \ K(l,v)n0(v)dv
1
Ф(*'(О) - fu( 1 ,t’0(l)+По(’); ^(1 ,s)c0(s)ds)nK(s)+
о
+ Вк(т,П0....).
237
где
a0=^K(l$r0(s)ds;
J
о
5к(т>П0, --)— известные «-мерные векторы типа пограничного слоя.
Подставляя (3. 8. 11) и (3. 8. 12) в правые части (3. 8. 10), а затем
отдельно приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е,
содержащих t и т, получаем
П'о(х)=ф(О);	(3. 8. 130)
П'1(т)=ф'(0),	(3. 8. 13х)
ад= ^-ф(к,(о).
КЛ
а для vK(t) получаем
t
/о(Л^о(О;	/<(^s)^o(s)ds)=O,
0
(3. 8. 13к)
(3- 8. 140)
t	t	t
^K(t,s)v0(s)ds)v1(t) + ^ fq(t,v0, j W,v)v0(v)dv)X
0	0	0
x /C(^s^j(s)ds—г/о(/)=0
(3. 8. 14,)
t
^fq(t,v0,...)K(t,s)vK(s)ds+
0
Ч-ДХЛт'ог-Э-О.
(3- 8- 14K)
Таким образом, ряд (3. 8. 4) формально удовлетворяет системе ин-
тегро-дифференциальных уравнений (3. 8 1).
Переходим теперь к изучению основных членов ряда (3. 8. 4).
Из (3. 8. 14,) вытекает, что v^t) удовлетворяет линейной неоднород-
ной системе интегральных уравнений типа Вольтерра
t
о
(3- 8. 14,)
Пусть R(/,s)—резольвента непрерывного на сегменте [0,1] мат-
ричного ядра
Тогда на сегменте [0,1] непрерывная вектор-функция
238
t
о
удовлетворяет системе (3. 8. 14x). Вообще «-ая система (3. 8. 14к)
имеет единственное непрерывное решение вида
t
vK(t)=-~tu-1AK(t,v0,.-)~^R(t,s)f'uAK(s„..)ds=v°K(t)
О
(к=2,3....)-	(3- 8. 14\)
Таким образом, каждое уравнение (3. 8. 14к) сравнительно
проще решается известными методами математического анализа.
Займемся теперь исследованием начальных условий (3. 8. 5) —
—(3. 8. 7).
Зададим дополнительное начальное условие в виде
ОО
/< 0
где ск— произвольные «-мерные векторы. Из (*) и (3. 8. 4) выте-
кает, что
ОО	00
21Пк(0)+^(1)К.
к=0	к=0
Отсюда, приравнивая
таметра е, получаем
коэффициенты при одинаковых степенях па-
По(О) с0 Wo(l),
Пк(0) ск vK( I)

к==1,2,3,...
Уравнение (3. 8. 13) записывается в виде
'	П2
П'оЬ)=Ы1А(1);«о)По(^)+/ии(1Я(1)+еПо,ао)-^°- ,	(3- 8- 15)
где 0<6<1. Это обыкновенное дифференциальное уравнение при-
водится к системе нелинейных интегральных уравнений
^А(Т 5)Ы1,^(1)4-6П0(8),о0) -^-ds	(3. 8. 16)
о
Подставляя (3. 8. 16) в начальное условие (3. 8. 9j), получаем
239
О т
С г А(т-—S)
»1(О)=М(1)Д-1(св—г'0(1))+М(1) \ К
—со О
1
ГГ2 (s'!	Г
X ----£—dsdx. + X\q(s)vi(s)ds.	(3. 8- 17)
о
Отсюда определяется произвольный постоянный вектор с0
О т
f r A(t-s)	n20(s)
с0—Ак }q 1[q0 i	/««(Iv)	2! dsdt], (3- 8- 18)
—со о
где
1
7о(О)=г?1(О)+^(1)Л-1ро(1) — j qtsWsjds.
О
Подставляя (3. 8. 18) в систему (3. 8. 17), получаем
От
Ат	г г А(т—s)
П0(т)=е Л}-1^!)!^ + \ \е fuu( 1 ,г/0(1)+
—со О
П>	с А(т—s)
+епо>«о) J2T'^] + у /UU(1)+
о
п2 м
+en0(s),a0) Ц<^=Л(т,П0).	(3. 8. 19)
Пусть
—Ат
е n0(T)=Q0(x).
Тогда из (3. 8. 19) вытекает, что
О т
г г А(т—s)	Ат
9о(т)=Дк-1<7-1Р7о+ \ U Лш(1А)(1)+ее Q0(s),o0)X
—со О
2s А	т
е	Г А(т—s)	As
---^<^dsch] + \e /ЫК(1А(1)+^ Q0(s),a0)X
о
2As
X	ds.	(3. 8. 190
Пусть	множество непрерывных и ограниченных векторных
функций /i=(Qoi)QO2(‘r)>- ->Qort('!:)}- Норму в этом пространстве опреде-
лим по правилу
240
п
II || = || Q0(t) || = V sup | Qok(t) I .
— oo<t<0
Определив расстояние между элементами этого пространства ио
правилу
оо
p(h2,hi)= У] sup | Q2ox(-t)—QW-O | ,
— со<т<0
получаем полное метрическое пространство. Правую часть системы
(2. 8. 19) рассмотрим как некоторый оператор Р[-1, действующий в
пространстве М
Пусть в пространстве М[—оо,0)
Ат
1)	P/UWD+te Q,a0) || <N=consf,	(3.8.19,)
Q={Qoi> >Qonl==Qo>
Ат	Q\
2)	II	Q2,a0)—2!
At	Q2i
Ql^o) 21 "
1| Q,(t)-Qi(t)) II [(|| Q2II + II Qi II )+ II Qi II (3- 8. 19s)
3)	II Ak^q-^tylo II <8=- const-, || A)-1^1 || <a0;
4)	/(’Ма-Ч+^ХА^ .
где К и а— положительные постоянные, получаемые из очевидного
неравенства
Ат	ат
II е ||	.
Покажем теперь, что оператор Р[-] отображает точки шара
II Qo II <1-/V=2S
в точки того же шара. Имеем
О О
Г Г а(т—S)
II PlQol II < II ^-^(1) II 4+ \ \Ке II fMM(l,o0(D+
--00 т
As Ke II О2 II
Q,a0) II	dsdT] +
г а(т—s)	As	2as || Q2 ||
+№\e II fMM(X0U)+e£ Q.ao) II e —2—
16* 2790
241
<8+/«Wrt._+K--‘A,'|p.=
I	2*	£t J
=H-^ps<4+8=p-
Следовательно, оператор P[-] отображает точки шара || Q0(t) ||
<1—У1—28 в точки того же шара.
Покажем теперь, что оператор Р[ - ] является оператором сжа-
тия. Имеем
о о
f с	а(т—s)	As
Р№Л)К«о \ и2е [ II М1,о0(1) +6е Q2,g0)||X
--00 т
2as Q*2(s)—Q3l(s)	As
Хе || --------2!----II + Н/ыы(Мо(1) +8е Qa,«0)—
As	2As Q«
—fuu(l’V0(l) Me Qi,«0) II • II e —2~ || ]dscfc+
0
+кАе{ [II f„„(l,^0(l)+6e Q2,«0|R
||Q\(s)— Q*i(s) ||	As
X 	2|- -----+ llfMM(U(l)+te Qb«o)-
As	2«S II o2i(s) II
—/UM(l^o(1)+6e Qi.«o)'M ---------2l~lds^
КЦ-2.Р .
a | 2f 2
•P(^2,A1)
Л1 ------------- r —-
= 2"[(1 -z 1 - 28)2+ 2(1— v 1- 28)]<
Р(А2Л1)< -1- P(fta>*i)
Следовательно, оператор P[-J является оператором сжатия. Поэтому
система нелинейных интегральных уравнений (2 8. 9) имеет един-
ственное непрерывное решение, которое может быть найдено ме-
тодом последовательных приближений
Теорема 3. 8. 1. Пусть: 1) в пространстве 7И(—сс^О] вектор-
функции fuu( 1 ,о0( 1) + бе Q, о0) —g— удовлетворяют неравенствам
(3. 8. 19г) и (3. 8. 193); 2) 71i<—•
242
Тогда нелинейное интегральное уравнение (3. 8- 19) при 'всех
имеет единственное непрерывное и ограниченное решение,
представимое в виде
At
гц-Н'аде .	Ф 8-
причем
Ат	Ат
II П0(т) || <р || Q0(t)e || < || Q0(x) || || е || <
at
Начиная с (3. 8. 131) системы уравнений пограничных слоев являют-
ся линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
Имеем
П/1(т)=71П1(т)+1В1(т),	(3- 8. 13,)
где
В1(т)=[^А1,е0(1)+П0(т);с0)—У1(1,с0(!),а0)1т+
т
+4(1^о(1)+П0(т),а0) 5 Mtv)n0(v)dv.
Из (3- 8. 131) имеем
т
Ат	г А(т—s)
П1(т)=е П1(0)+ U Bi(s)ds~
о
==е (ci—гд(О))+je	Bi(s)ds-	(3-8.21)
о
Подставляя (3. 8. 21) в начальное условие (3. 8- 9а), получаем
(3- 8- 22)
где
1	о
Di=o2(0)—X j<7(s)os(s)ds— Jy<(1)TH0(T)cfT—
О	—со
О а	т д
—>^(1)	(—П1(0)+Bi(s)ds)dx.
--00	О
Из этой системы линейных алгебраических уравнений опреде-
ляется произвольный неизвестный вектор Ci:
Ci^A-^ODisc0!.
Найденный вектор ci=c°i подставляется в (3. 8. I). Из структуры
243
_	вт
вектора jBi(t) вытекает, что II В1(т) ц при всех "<0, K=const.
Тогда из (3. 8. 21) при всех "<+) вытекает, что
• т
ат	Г а(т—s)	ат
Л ПК?) j| <№	II с0!—^1(0) II +№ е ds <	,
о
где Кл^ const.
Продолжая только что изложенный процесс, мы можем опреде-
лить все Пу(т).
Имеем
т
Ат	г А(т—s)
Пк(т)=е Пк(0)+ U BK(s)ds.	(3- 8 23)
о
Из структуры функций Вк(т) вытекет, что при всех
II ВД II <Кке .
где Кк== const.
Тогда из (3. 8. 3) и (3. 8. 9) получаем
° +А
>^(1)Л-1ск=ок(0)—Нк—МО	[—е ок(0)—
— 00
с А(т—S)
\е BK(s)ds]dt=DK-
О
Отсюда
cK--=A)^q-\\)DK=c\.
Таким образом, для любого к мы полностью определили все чле-
ны ряда (3 8 '4).
Пусть
Р
zp= ек[ик(Л+Пк^—
к~0	'
Тогда подстановкой
р+1
tt(M)=Zp+e £(М	(3- 8 24)
Система (3. 8. 1) приводится к виду
dzD р+2	p+i г	р+1
e“dA‘+‘e dF=W>2p+e ^>0; И(М)(2р+е	£(s,e))ds)-~
О
t	t
—f(Ozp^A'(Cs)2'p(s)ds))+ [f(Azp, ^K(t,s)zp(s)ds) —
0	0
244
t	t
^K(t,s)ap{s)ds}]+ f{t,ap,^(f,s)Gp(s)ds),
0	0
(3. 8. 25)
где
Пусть
о
1) фр(е)^Г(тг+1,гр(те+1);е
— 00
tf(re+1 ,se+ l)^n«(v)'BMv)+
к=0
4/(т:е+1,Ор(те+1);
1+те
K(-e+l,s)ap(s)ds),
О
/
2) <pp(e)=f(Cap;^K(t,s)Gp(s)ds).
О
(3. 8. 26)
Тогда, применяя формулу Тейлора для вектора фр(е), получаем
Р k) (р+0	Р+1
Мч-М»+ 2-41- + i~fr+i)i •	<3' 8' 27>
к—1
где
('Ч
Фр(О),фр(О), (»=1,2,...,р)
определяются соответствующими правыми частями (3 8- 12). Сле-
довательно, при всех для вектора остаточного члена,
(р+О
ф (бе) получается оценка
(р+!) _	ат p-M
II ф (бе) II
где К— некоторая положительная постоянная-
Разлагая <рр(е) в ряд Тейлора, получаем,
еР
ФР(е)=<?р(0)+<р'р(О)е+. - - Ч-fo -
(р+О р+1	(р+2)	р+2
+ ?	। Ф (°£)е
(г+1)!	(Г+2)!	’
(Г)
где 0<6<1, где ч>р(О),<р'р(О),. ,фр (0) определяются точно, так же
как и правые части (3. 8- 11), причем
245
(P+2)
II? (0e) П </И=const
на сегменте [ОД] при £.->0-
ГТодставляя (3. 8. 26) и (3. 8. 27) в правую часть (3. 8- 24), а
затем учитывая,, что ок(0> П^) соответственно удовлетворяют систе-
мам (3. & 1Э0]—(3. 8. 13+1, (3. 8. 141)—(3. 8. 14р), для определения
неизвестного вектора получаем нелинейное интегро-дифферен-
циальное уравнение
t
a ~ =МЦ: K(As)zp(s)dsX(t,e)4-
•о
t	t
~Hq(t>zp'i J/<(t,S>8p(s)t/s)jK(t,s)?(s,e)ds+At,$,s);
a	a
(3. 8. 28)
p+1	p+1 p+lf
Л(Ш)=а f„8(t.o0+6s g;6e U(t,s)e(s,e)ds)S2(t,e)+
0

t
^K(t,sfi(s,e)ds+
0
0
+	—Hf«(t,zp; V ft(t,s)zp(s)ds)—
о
t
j K(t,s)Zp(s)ds)ie(t,e)+
0
t	t	t
+[/9(tZp; ^(t;s)zp(sjds)—^,ар; ^(t,s)2p(s)ds)] j/((t,s)g(s,e)ds.
0	0	о
Вектор.*функция 71(t,G,₽) удовлетворяет условию Липшица по вектор-
ному аргументу 8 при всех
II 5 II </?0=const,
II Д(1,е8,е)-Д([Л1,е) и <e)v || £2-Е11| +Ке Е	|| Ss—Si «,
246
где 7V(R0),M(ci*,...,cn*)—некоторые положительные постоянные. Под-
ставляя (3. 8. 24) в начальное условие, получаем
о	р	1
г	'VI к+* С	p-t-1
+Х \ <7(1+те) XJnK(T)e	ffc+X I </(t)l;(t,8)dte
—эо	к-0	О
(3- 8. 29)
Теперь разлагаем матрицу ^(1+ет) в ряд Тейлора
РР ,	„	p+lp+l
(р) т е (р+1)	т е
<7(1+те)=?(1)+/(1)-:е+...+9 (1)~^“ +q (1+М -	,
(3. 8. 30)
где 0<6<1-
Подставляя (3. 8. 30) в систему (3. 8- 29), а затем учитывая
(3. 8. 90), (3. 8. 91),...,(3. 8. 9^) и Пк^-р-)->0 при е->0, для опре-
деления $(0,е) получаем
1
g(0,e)=k ^да.еХЙ+^ОЛ-^+оСе),	(3. 8. 31)
О
где
° , .	р+1 Р
г (р+1)	х VI
0(е)=Нр+1(е)+е q (1+6те)Пк(т)ек+,
—оо	к=0
Нр+1(®)— вполне определенный n-мерный вектор, причем при е—>0
И Нр+1(е) || </M=const.
Рассмотрим теперь систему линейных неоднородных интегро-
дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей
производной вида
t
е =At)y+ j/G(t,s)y(s)+f(t),	(3. 8- 32)
о
где
1	t
^(t)= fu^,vp\ ^i(t,s)zp(s)ds); ^l(t,s)=/9(t,t)jB;^^(t,s)2'j^(s)ds).
О	о
Подстановкой
24?
t
y(t)=—A-^t)	/Ci(t,s)y(s)ds+E(t,s);
0
i
y(t)=£(t,e)+ ^R(t,s)£(s,e)ds,
0
(3. 8. 33)
где R(t,s)—резольвента матричного ядра—E(t,s)— новый
неизвестный n-мерный вектор, система неоднородных интегро-диф-
ференциальных уравнений (3. 8. 22) приводится к виду
е -^-=At)5(t,e)+F(t,5,e),
(3. 8. 34)
где
t
F(t,e,e)=eR(t,t)e(t;e)+^R^(t,s)5(s,e)ds+f(t).
О
Пусть Wie(t,s)[IFie(s,s)=£y—фундаментальная матрица решений*
системы
Так как вещественные части всех характеристических чисел X^t)
матрицы ?l(t) положительны, то существуют положительные по-
стоянные К и а такие, что
a(t—s)
II Wie(t,s) ||
при всех t>s, где Reel\>a.=const, а>0. Использование этого
утверждения показывает, что всякое непрерывное решение системы
линейных интегро-дифференциальных уравнений (3. 8. 34) является
таким же решением системы линейных интегральных уравнений
t
Ш.е)=^е	(t,s) -^F(s,e,e№
1
(3. 8. 35)
и наоборот. Рассмотрим теперь матрицу
IFe (М)=^е (ОИ^-Ч!).
(3. 8. 36)
Эта матричная функция удовлетворяет матричному уравнению
(t,l)
dt
A(t)We (t,l).
(3- 8. 37)
Подстановкой
248
A(f-l)
WE (t,l)=e	£	+eWE1(t,l),
(3. 8. 38)
где 5Fel(l,l)=0, матричное уравнение (3. 8. 37) приводится к виду
AU-I)
dW£1(t,l)	t—1 л
е —^-=лдае1ал)+л'а+б(1-1))	*
Отсюда
A(s-l)
t	—I—
Wei(t,l)= JwE (t,s)±^(l+6(s-l))(^e ds. (3-8.39}
1
Следовательно
A , .
t	-j-(s-l)
II Wel(t,1) II < ( II W£ (t,s) II -L II Л'(1 +6(s-l)	|| ds<
при e—>0 на сегменте [0,1].
Используя (3. 8. 38), систему линейных интегральных уравнений
(3. 8. 35) записываем в виде
А
*)	t
£(t,e)=[e	+eWsJ(t,l)]^l,s)+^ WG (t,e)-l-F(s,E,e)ds.	(3-8.40)
1
Пусть
(p+0
1) ap(t)=—p(t)+ “ (p+iyj">
(д+l)	(p+2)
2) 3 (t c)-*	(6s) . + 5L—
^Ол)- (p+1)I + (c+2)( ,
Тогда, на основании формул (3. 8. 33), (3- 8. 35) и (3. 8. 40), нели-
нейное интегро-дифференциальное уравнение (3. 8. 28) приводится к
системе нелинейных интегральных уравнений вида
А, ,
—У-1)	t
Е(М)=[е	+eWEi(t,1)16(1,e) + (wE (t,s) Д [B(s,e,B)+ap(s)+^(s,e)]ds.
1	(3- 8. 41)
Так как
A ,
We (s,v)=e	+eW£i(s,v),
TO
249
A ,
t
1
где
4-('-i) t -r^}
₽p+i(t,e)=— A~le	а'р(О— ^[e a р(*)+\УЕ1(1л)ар(у)]<Ь.
1
Нелинейное интегральное уравнение (3. 8- 41) теперь запишется
в виде
4<'-d	t
5(t,B)= [е	+eWsi(t, 1)15(1,е)+^WE (t,s) J-B(s£e)ds+
1
t
+4-1ayt)+₽p+i(t,e)+^WE (t,s) -L Pp+i(s,e)rfS .	(3- 8. 42)
1
Из (3. 8. 31) и (3. 8. 42) определяем произвольный вектор 5(1,в).
Имеем
А
о
[е +bWe1(0,1)]5(1,b)+ jjw. (0,s)~B(s,^ds~
1
°	°	Av
-.4-1a'jB(0)+₽p+1(0)e)+ ^WE (0,v)-~- №№ = leX g(l+*e)e " d? +
1	-«О
1	1 S
4-X ^<7(v)eWEi(v,l)dv]!;(l,e)+k^	q(s)	^WE	(s,v)-^-B(v,5,e)dvds+
0	0	1
1	1	V
+k ^7(v)/~1a,p(v)dv-|-}^	<7(^)1 ₽p+i(^,e)+	jwe	(v,s)-^-pp(s,e)dsJdv4-
0	0	1
+М1М-1Ср+ф),	(3. 8. 43)
Определим теперь произвольную постоянную ср из уравнения
1
Хд(1)Л“1с/)=—	Ла'р(О)	(3. 8. 44)
О
Пусть
250
A
6 1	Г	Av
£)(е)=[е	_2_+We1(0,1)+X \ (/(H-frce/w dv+
—00
1
+X^(v)We (v,Ddv+MlM-4-
0
Тогда из уравнений (3. 8. 43) и (3. 8. 44) вытекает, что
E(l,e)=D-1(e)
1
~(we
1	Е
о
1 s	О
—X ( q(s) (W6 (s.v)-^a 5(v,5,e)dvds—pp+1(O,s) —1Ге(0,5) —
0	0	1
&
1
+ X q(y) ₽p+1(v,e)+
0
(we
1 ®
1
-^-dv|=P(E,s).
(3. 8. 45)
При всех И E11 <ZR0=const вектор R(£,e) удовлетворяет условию
Липшица по векторному аргументу 5 с некоторой постоянной N.
В самом деле
as
1 -V
_	_	(Г	1 Г
If	II < II D~4z) II ] \	? Ne +
0
°(s—1)
+ № Е ЩсЛ-А*)] X
1	s	а ,
Г	С	—(s—v)	j p+i
X II £2-51 II ds+ | X | \ || q(s) || \f(e ^г[№	+
0	1
°(у-1)
+Ni(Ci*,...,cn*)/Ce Jdvds
а
р+1 -1	1	—Г
<£)0{№ a K+KNifa*,...,^*) -р-«	+
251
+Ma-1[KM^a-1+N1(c1 cn*)K^\e e + 1)J} || €t II ,
где
|| D-’(e) II <De; II q(t) || <+I=const.
Подставляя это выражение в (3. 8- 42), получаем нелинейное интег-
ральное уравнение вида
А , ,	t
—(t-1)	Г	j
£(t,e) = [O	+eWei(t,!)]₽(£,е)+ \ WE (t,s)—£(s,M)ds+
1
t
+X~1ayt)+₽p+1(t>e)+jjwe (t,s) ±pp(s,s)ds=H(t,e,e). (3. 8. 46)
1
Займемся теперь исследованием нелинейного интегро-дифференци-
ального уравнения (3. 8. 46). Из (3. 8. 27) и (3. 8. 28) вытекает, что
II Pp(t,e) ||
(р+0 й X
II Ф (6е) II
(р+1)!
(р+2)
II Ф (ве) || в
(р+2)!	<
<Л++
Р+1 е
К((-1) е
р+1
Е
Где М—const-,
Следовательно, интеграл
из (3. 8- 45) равномерно ограничен на сегменте [0,1] при е-»0. В
самом деле
1
II q(s) ||
о
8
II W£ (s.v)	₽p(v,e) ||rivds<Al
1
1 S	a(s—v)
§Ke 8 -^-lMe+
0 1
p+1	g(v—1)
----e £ ]dvds<MK[a-‘M+
n(y—1)
1	P+2 e
+	-----dv]<Mi=const
о Б
1	s
о	1
252
при е—>0- Интеграл
Г	1	г 1	8
\ II ф) II II — Vp-r .(v,8) II dv <M [ II А-ге II II a'p(s) II +
о	о
s А , ч
Г	—(S—v) I
+ \ [ || е Е — II II a'p(v) II + II eW61(s,v) II II ap(v) II dv]ds<
1
la,	S	a
Г	1 C	t(s—v) 1
<MMi \ [Ke Т’! Мг\	—+M8M]dv]ds<M4=const,
о	1
где
II a'p(t) II <M=co«st; || ap(t) || <M=const,
II q(f) || €JM=- const, || 1Ре1(8л) II ;CMs=const-
Так как n H(t,O,s) || <M=corast при e-»0 на сегменте [0,1], то для
всех || В ||	= const из (3 8- 46) вытекает неравенство
a(t— О
II H(t,B2>8)-H(t,Bi,e) II <eN || B2-B1 II + Nrf * II II , (*)
где 7Vi=Ni(c0*,...,Cp*), Ni=const-
Подберем e настолько малым, чтобы выполнялось неравенство
0<s<Ni.
Следовательно, для всех
Ni(c0 *,-./>*)< 2(N+1)
из неравенства (*) вытекает неравенство
II H(t,BS,8)-H(t,Bl,8) II < -у II II •	(3- 8- 47)
Пусть £о=О; f„(t,e)=H(/,B„_i,e) (п=1,2,3,последовательные при-
ближения Пикара- Тогда из неравенства (3- 8- 47) вытекает, что
II '•n-i II 9 II ^л—1 ел—t II»
п
II || < V || ^(t.eb^tt.e) || <Af(l+ Д- + 4r + -K2Mo = Ro-
^яяял	£
к= 1
Таким образом, доказано, что построенные последовательные
приближения сходятся абсолютно и равномерно;
253
причем
lim E„(t.e)=?(t,e),
П—*<х>
II £(t>e) II <2M=R0=const.
Теорема 3- 8. 2- Пусть: 1) вырожденная система нелиней-
ных интегральных уравнений (3. 8- 3) имеет некоторое непрерывное
решение z?0=€>0(t), которое обладает непрерывными производными
достаточно высокого порядка по t; 2) вещественные части всех
корней > алгебраического уравнения
t
def (1Еп—f~(t,v0(t);	s)c'o(s;ds))=O
О
положительны; 3) на сегменте {0,1] п%п матричная функция q(t)
непрерывна вместе со своими производными достаточно высокого
порядка, причем
=£0.
1
Тогда задача Коши (3. 8- 1)—(3. 8- 2) при b=— X j <7(t)f0(t)d/+vo(O)
о
имеет единственное непрерывное решение, представимое в виде
Р
z(t,e)=c0(t)+ ^K(t>*+
к=0
Р
,	V	г» (	t-1 \
+	п«	1	еК+е ^>е)>
к—0	'	'
причем t’oO),--и П0(т),...,Пр(т) определяются соответственно из
систем уравнений (3. 8. 14О),--,(3- 8. 14с), (3. 8- 130),...,(3. 8. 13Д а
вектор-функция £(/,е)—из систем нелинейных интегро-дифференци-
альных уравнений (3- 8. 46), где
«(<—1)
||<Кс	;
I е j
II B(t,e) || <M=const.
Решение задачи Коши (3- 8- 2) для системы (3- 8. 1) при е->0 схо-
дится равномерно к решению соответствующего вырожденного
уравнения на полусегменте [0,1)-
254
ГЛАВА IV
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ У АВНЕНИЙ
С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ
В этой главе рассматривается поведение решений при е->0 нели-
нейных краевых задач
ВДО), «(1), г(О), г(1))=0 (/=1,2)	(4-1)
для системы
du
Ц[и,г]=^. + Т1[и,г]==г11(х,и,г);
dz
.12[и,?1=е^+'Га[и,г] =efa(x,U,z),	(4-2)
где
X
TK[u,z] =AKl(x)u(x)+AKa(x)z(x)+ [ KKi(xd)u(t)+f(KS(x,t)z^)]d/
о
(к =1,2)
fi, Ri, u, fa, Ra, z — n и /и-мерные векторы, [Дц(х); Ли(х,£)1; Mi2(-*),
Ai2(^/)1; |Л21(дс); ЯмС^)!; M22W; ^22(z,z)]— заданные матричные функ-
ции соответственно видов пХл; гаХ/и; /иХ«; /«Х/«; е — малый
положительный параметр.
Формально полагая е=0 в системе (4.2), получаем .вырожденную"
систему
Li[v,w] =0,
Г2[г?,и»]=0.	(4 3)
Зададим начальные условия для системы (4.3):
I _ =f(0),	(4-4)
pc=O
где г?(0) — пока неизвестный «-мерный вектор. Этот вектор будет
определен несколько ниже с использованием нелинейных краевых
условий (4.1). Предполагается, что „вырожденная* система интегро-
дифференциальных уравнений (4-3) имеет единственное непрерывное
решение вида
255
где
v(x)= Wu(x,O)v(P)-,
w(x)= U7al(x,0)t>(0\
(45)
WKi(*,s)l Wzn(s)s)=£'„; VT2i(s,s)=— ^-i(s)421(s)l
(«=1,2) при x>s>0 — матричное решение линейной . интегро-диф-
ференциальной системы (4.3).
В дальнейшем предполагается, что на сегменте [0,1] известные
матричные функции AjK(x,t), KJK(x,t)(j,K=l,2) непрерывны и имеют
непрерывные производные до требуемого порядка соответственно по
аргументам х и t. Вещественные части всех корней Х/х) (/=1,2,—,/л)
уравнения
de/(X22(x)+X£m)=0
удовлетворяет неравенствам
Рее1Цх)<—2а<0,	(4-6)
где а — некоторая положительная постоянная. Отсюда следует, что
б/е/Л22(л) /-0 на сегменте [0,1].
Векторные функции fK(x,u,z) непрерывны и имеют непрерывные
производные по аргументам (х, и, z) в некоторой ограниченной окре-
стности множества точек. Отметим, что асимптотическая теория
систем нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных
уравнений с общими краевыми условиями типа (4.1) изучалась в ра-
ботах [28], [80], [81], [115], [139]. В данной монографии дается
способ асимптотической оценки решений краевой задачи (4.1) — (4.2)
относительно малого параметра е.
§ 4.1. Метод формального асимптотического разложения
Формальное решение задачи (4.1) — (4.2) будем искать в виде
ряда
ОО
«(х,е)=^^ (<jk1x) + Qk^y^e'‘ >
к=0
(4-1-1)
оо
z(x,e)=^^ Мх)+Пк^-^е*-
к=0
Формально подставив (4.1.1) в систему (4.2), получаем
ОО	(	ОО
fK(x)+QK кО 00 =е[к х,	Mx)+Q« (’Г)) 256	^К(х)+Пк(у^е* J = кО 00 ек,	йУк(х)+Пк^^е« у к=0 (4.1-2)
Интегральные члены вида
(к =1,2)
+^2(х,опк (v)je* )Л
заменой /=ss в (4.1.2) запишем в виде
где
т 00 00
Ж’
0 0т
Введем обозначения:
00
1)
at(x,z)=^fK х,
ОО
я:—О
2)	УДг,е)=-Л,1(те)у\з4г)в« -Л/^te)
к—0
tZs~l~
оо
17* 2780
2Б7
Далее разлагая вектор-функции ак(х,е), <Fk(t,e) по формуле Тейлора
по степеням параметра е, получаем
o.(w)=j^W;	<«-з>
г=0	г=0
(к=1,2).
где
«к(л,0)=0;
(1)
«к (х,0)- fK(x,vQ,w^—
/TKi(x,OyQ0(c)l ^к2(х,0)По(г) d-
(2)	Г	<• г
ак (х,0)=2 fKU{x,v,w}v^KZ{x,v,w}w^— Кн(хД)^(т)+
о
+Х' „(*,OhQoft)+K 9(х,0)П1(г)+^ (х.ОгПоМ ,
tc\t	к2	к21
ак(Г | (х,0)=2fKU(x,v,w,)vr+2fKZ(x,v,w)wr+yKi(x,щ,...
далее
(0)
(*Д)=-Лк1(0)О^)-Ля2(О)По(т);
=wJ1) (so)—aki(O)Qi(t)- ^K1(0)TQo(T)-nK2(O)ni(r)— диоУ'ВДН-
+ [MO,u(O)+Qo(tMO)+По(’))—/к(0,г'(0),и)(0))] +
60
4-j ^ifO.OJQoW+^GcafO.OjnoC'1)
Ф,/ )(t,0)=—AKi(G)Qr(?)—Ак2(0)Пг+0<c/(T,Qo>-   ,Qr-4,no>--~ ,nr_i),
где 'iKi(y,^,- -)> ^k/(t,Qo» -) — известные n и m-мерные непрерывные
векторные функции (к=1,2; z=l,2,...), возникающие при разложении
векторов ак(х,е), Ч’к(-,е) в ряды Тейлора по степеням параметра е.
Подставляем (4.1 3) в систему (4.1.2). После этого левые и правые
части полученного уравнения можно представить в виде суммы двух
рядов по степеням г (в одном из которых коэффициенты зависят от
т, а в другом — от х). Приравнивая отдельно коэффициенты, завися-
щие от t, и коэффициенты, зависящие от х, при одинаковых степенях
е, для функций Q,
; vK(x), wK(x) получаем системы
’ Щ е
Е
258
линейных уравнений. А именно для определений ,[ак(т), Пк(т)1 полу-
чаются системы
Д&=0;
ат
-^-=-Л12(0)П0(т)-Д21(0К?о(т);	(4.1.40)
^gL=-Au(O)Qo(T)-A12(O)nc(T);
^-=-A22(O)ni(T)-A,1(O)Qi(T)-A'a2(O)Tno(T)-A/21(O)TQ0(t)+
+ [ЫО.МОН Qo(t),®o(0)+no(T))-f2(0,D(0),w(0))]+
ОО
+ J А21(0,0)Ро(т)+А22(0,0)По(') рт,
т
(4-1.4,)
-^=~A11(O)QK_1(T)-A2(O)nK_1(T) + 0ZK(tJQe(T)(...,
Qk—г(т) > Ц), • • •, П«—2(т));
-~=-A2(O)nK(t)-A21(°)QK(T)+03i(T,Qo(T),...,
ат
Qk_4(t), П0(т),. ., Пя-1(т))-	(414к)
Функции ®0(х)] определяются из системы (4.3), а для (»i(x);
u>i(x)]k= 1,2,... получаются системы
Л [гд®1] -=fi(x,v,w) — (
О
Ки(^0№0(т)+Кй(х,0)По(т) JdT;
Оо
Г2|г'1,к>1]=f2(x»v,sy) — A2i(y,0)Qo('i)+/C22(x,0)no(T)ldT—зу'0(х).	(4-1-51)
о
Функции [ек(х), юк(х)] к>2 определяются из линейных систем интег-
ро-дифференциальных уравнений
dvK
2^+^i[^>®Kl=fia(x,f,ffi’X-i+fiz(x,f,K>)u)K_i+7iK(x,v0,-..,aK_2,w0,...,wK_2);
Л^к.о’к!=f2U(x)a,w)oK_i+f22(x,o,w)®K_1+Y2K(x,a0,:..,rK_2,mKi.a)-- w ,Л_1
(4.1.5K)
f x\ I X \
Так как QK ( “1, ГЦ— I к=0,1,... являются функциями типа пог-
259
раничного слоя, то в окрестности то iei< х=1 вектор-функции
для малых значений е сравнимы с expf— , при-
/ 1 \
чем при s—»0, exp I е I —>0. Учитывая эго обстоятельство, из
асимптотического ряда (4.1.1) получаем
(4.1.6)
Подставляем в краевые условия (4.1) вместо u(l,s), г(1,в) их значения
из (4.1.6). Тогда
ffi)K(l)sK
к=0
= 0.
Разлзгая выражение А’у(г) в ряд Тейлора по целым положительным
степеням параметра е, получаем
Р",(0)в2
ад=^(0)+/?70)е+	—+-..=0,
Приравнивая нулю коэффициенты при в в этом разложении, получим
Я/(Мо)=О	(4.1.70)
/?'. т№(Э) TQi(O))+/?'. (W)+/?'	(М0)Х
/и<0)	/«(*)	/г(°)
Х(ад(0)+П1(0)) + /?'. „ (МоМ1)=0.	(4.1.70
1г(ч
/?//«Г0)(М°.)(?(0)+<3к(0,) + ^	M(0)(M°)X
XW0)+nK(0))+/< (MoM(l)+V(K)(Do.................
1^(4	/
fK_i'(O),&yo(O),.-, u>K-j(0))=0,	0-l-7K)
где Mo=(no(0)+Qo(0); п0(1); ьуй(0)+По(0); ®o(!))-
260
Зададим начальные данные для уравнений, определяющих функ-
ции пограничного слоя
Qo(0)=0; По(О)=йо-®о(О);	(4-1.8J
ГЦО)=£К-шк(0); №1,2,...	(4.1.8к)
где Ьк — пока неизвестные /«-мерные постоянные векторы. Начальные
данные для векторов QK(0) задаются несколько ниже.
Рассмотрим систему (4.1.40). Из первого уравнения этой системы
Получаем, что Qo(t)=O. Тогда система относительно По(~) имеет вид
-^-=_Д2._(О)По(т).	(4.1.9)
Пополнительные условия для системы (4-1.9) определяются из
краевых условий (4.1.80). Так как Qo(O)=O; По(О)==6о—wo(O), а п0(1),
ю0(1) выражаются через ио(О) с помощью решений вырожденной сис-
темы, то система (4 1.7С) запишется в виде
/+7(+(0); 1Ги(1,0)^(0); Ьо-, 1Гм(1,0Ч(0))=0.
Разлагая функцию /?°у в ряд Тейлора по аргументам +(0), Ьо, получаем
/?°.(0,0,0,0)+Я0'	(0,0,0,0)по(0)+ A0' (0,0,0,0)W11(I,04(0)+
/«(0)	/и(1)
R0' (о,о,о,о4+я0' (о,о,о,о)№21(1,о4(О)+
jz(O)	/2(1)
п	п	т
К=1	К=1	К=1
+1ЕЬ(1) ^У*°'(Ч(0): бг?°(1)’ ей°’ е™°(1))=0’ (4л-1о)
К=1
где 0<6<1 (/ = 1,2).
В дальнейшем предполагается, что определитель
’R0'	(0,...)+/?°' (0,..-)lF11(l,0)+/?0' (0,...)1Г21(1,0);А0/	(0,-)
д== | 1«<0)	1И(1)	12(1)	12(0)
Ь0' (0,...)+/?»'	(0,..-)1Гн(1,0)+/?0' (0,...)^и(1,0);/?0'	(0,...)
2н(0)	2«(1)	22(1)	22(0)
линейной части системы (4.1.10) отличен от нуля. Кроме того, пред-
полагается, что А??(0,0,0,0)=0 (/=1,2), то (4-1.10) Имеет единственное
решение при малых о0(о) и Ьо. Пусть vo(O)—v°o- b0~b°0- По(0)=А"0—
— IFii(0,0)uoo. Тогда вектор-функции П0(т),у0(х),<зу0(л:) с известными
начальными условиями определяются полностью.
Из (4.1-9) вытекает, что
Ип0(т) ЦхЛоЛ
(4.1.12)
2G1
где а>0 и /Со — постоянные. Определим теперь постоянные неизве-
стные векторы t»i(O), ЩО). С этой целью рассмотрим системы относи-
тельно Qi(t) и П1(0). Подставляя значения Qo(~), По(~) в систему (4.1.4),
получаем
dQi
—г==_Л12(О)По(т),
-rfT—А2(0)П1(т)-л21(0)С1(т)-А'г2(0)тП0(т)+
СО
+ {МО,^(О)>ио(О)+По(г))-/а(О,г;о(О)^о(о))]+ JwO,O)no(t)dr. (4.1.13)
Из первого уравнения системы (4.1.13) находим
Р1(тНШФ4^А.(О)По(т)Ж.
о
01(0) подбираем так, чтобы при т->со Qi(ca)=0, т. е.
СО
Qi(0)=^ Л1а(О)По(т)<7т,
тогда
со
Ох(^Л12(0)По(т)^.
т
Используя (4.1.12), для Qi(x) нетрудно получить следующую оценку:
1!qi(t> ||</Сое
Подставляя найденное значение Qi(~) во второе уравнение системы
(4.1.13), получаем
ДП*
-^-=-Лаа(0)П1(т)-Ьа1(т),	(4.1.14)
где
«1(3= - Л81(0)<Ш- Л'и(0)тПа(т)+1)2(0^0(0),Ш0(0)+ ПО(Т))-
со
-fB(0,v0(0),wo(O))l+\ Кяг(0,О)По(т)Л.
Дополнительное условие для системы (4.1.14) определяется из систе-
мы (4.1.7). В системе (4.1.7) неизвестными являются щ(0), bit так как
vi(l), ад(0) и ffiii(l) выражаются через Wi(0). Из системы (4.1.6) находим
векторы [fi(x), tt’iWl в виде
Pi(x)= 1Г11(х,0)У1(0)+г1(л),
2G2
Wi(x)=W2i(x,0)w1(0)+g'i(x),	(4.1.15)
где rt(x) и gi(x) — известные n- и m-мерные векторы.
Подставляя значения l&i(l),ayi(O),wi(l)], выраженные через гц(О), в
систему (4.1.7), получаем системы относительно оДО) и bi. Так как
А=Л0, то из системы (4 1.71) однозначно определяются Vi(0),bi. Пусть
решение системы (4.1.71) имеет вид Pi(0)=fi; bi^b^t. Следовательно,
для П1(-с) получаем
II ГП(") || < Кое
Предположим теперь, что для достаточно большого к вектор-функции
[ук_1(л), wK_!(x)], [QK_i(T),nK_i(T)] определены однозначно. Определим
теперь вектор-функции lQ«6),n«(t)l, |t>K(%),wK(x)J.
Для этого рассмотрим систему (4.1 4). Из первого уравнения
этой системы находим
Q^)=Q«(O) - у A i(0)QK_i(T)+А»(0)Пя-1(т) +
О
“Ь Ф1к(т, Qo,..., QK—s ) По,..., П«—а ("))] dt.
Неизвестные векторы QK(0) зададим таким образом, чтобы при t-*co
Q«(co)=0, т. е.
00
Ок(О) = [Ai(0)Q«—1(т)4*Аа(0)Пя~1(т:)+Ф1к(т>О0,...,Ск-а,П0,...,Пя—2(т))4т.
О
Тогда
Qk(t)—[Ai(0)Qx—i(t)4~A2(O)n«-i(T)-f-0iK(T,Qo,...,QK_2,По,...,Пя—а(т)]4/т.
(4.1-16)
Следовательно,
11<М1
Подставляя найденное значение Q^(t) во второе уравнение систе-
мы (4.1.14к), получаем
dnK	—
— =-Ли(О)Пк(т)+ф2К(т,ро,. .,Q«_i,n0,.,„n«_i),	(4.1-17)
где Ф2к(т„..) — известные /n-мерные вектор-функции. Дополнительные
условия для системы (4.1.17) определяются из системы (4.1.8К). Пусть
система (4.1.6К) имеет решение вида
ок(а-)=ICn(x,0)t’K(0)4rr«(x),
wK(x)=W а1(х,0>к(0)+gK(x),	(4.1 • 18)
263
где rK(x),gK(x) — известные непрерывные соответственно п- и т-мер *
ные вектор-функции.
Неизвестные векторы ок(1), wK(0) и wK(l) выражаются через ок(0).
Подставляя (4.1.18) в систему (1.1.7), получаем систему относительно
МО) и Ьк. Определитель этой системы А^О, поэтому однозначно
определяются ок(0) и Ь°к. Пусть
%(0)=гАс: 6К=Л°К.
Следовательно, из системы (4.1.16), (4.1-17), (4.1.18) однозначно нахо-
дим функции
[QK(T)»nK(T)J; [yK(x),wK(x)].
Для функций [QK(-J, Пк(т)1 (к>1) имеют место неравенства
—ат
§ 4.2. Оценка остаточного члена асимптотического разложения (4.1.1)
Для оценки асимптотического ряда любой степени точности
относительно параметра е решение кра вой задачи (4.1)—(4.2) будем
искать в виде
(У \ \
— j W +e^+1g(x,e),
(4-2.1)
Z(x,e) =
В этом параграфе будет доказано, что на сегменте [0,1] при е->0
] 5(х,е) (^/<=cwzs/; 'ivjfx.e)const.
Для простоты рассмотрим случай, когда р=\. Для любого натураль-
ного р справедливость асимптотического разложения вида (4 2.1)
доказывается аналогично. Итак ищем решение системы (4.1) и (4.2) в
виде
/ х \
K(x,e)=O0(x)+Qj — 1+е8(х,е);
(4-2,2)
г(х,е)=1У0(х)+П0[ — I +ет;(х,е),
где вектор-функции [п0(х),ш0(х)]
деляются из системы (4.1.3) и системы
систему (4.1.2), получаем
/ х \
’ у
(4.1.4).
полностью опре-
Подставляя (4.2.2) в
264
X
5/(х,е)1Л11(х)«(л-,е) |-/442(х)7|(х,е) +j f/Cn(^,/)l(/,ej|+/(i2(%/)rj(/>e)]cf/ —
О
=gi(x,e)+ [f 1(х,г>0(х)+е?(х,е),
X \ \"
е I) ’
W0(x)+По ( - в- I + ет)(х,е)) -/Дх,У0(х) ,w0(x)+По
е7/(х,е)+Л21(х)£(х,е)+Л2а(х)7з(х,е)+ у Кц(х,/)£(/, е)|-К22(х,	—
О
/	( X
=gz(x,£)+[f2 х,&0(х)+е£(х,б),и»0(х)+П01 —
~рет((х,е)
-/г
х,Уо(х),шо(х)+По
(4.2.3)
где
gi(x,e) = — Аг(х)—По
X
е
о
Lo
О
х
g»(x,e) = —Лл22(0х) — nof—ЬУ'оМ- ^гг(х^) -7-Х
Q \ & I	1	£
о
ХП0 ^+^2(^о(х)>шо(л) + По
Подставляем (4.2.2) в краевые условия (4.1)- Полученное выражение
разлагаем в ряд Тейлора по неизвестным векторам [£(0,е), £(1,е), vj(O,e),
»)(1,е)]. Ограничимся только первым членом. Так как г>0(0), По(О)
определяются из системы (4.1.70), (4.1.80), то для определения 1(0,е) и
т;(0,е) получаем систему уравнений
R' (МоЖО,е)+Я' (M0)5(l,e)+/?' (Мо)т1(О,е)+2?' (М0Ь(1,е) =
jii(O)	ja(l)	j«(0)	/z(l)
=e7?y(ee(0,e), ее(1,е)Ж0,е), 0^(1,e),e),
(4.2.4)
где 0<6<1,
0 = 1,2),
М.М^ОМЧдаЛ+ЩО)^!)).
265
Определитель системы (4.1.70) по предположению в достаточно малой
окрестности точки (0,0,0,0) отличен от нуля. По предположению оо(0),
По(О) являются малыми величинами, поэтому определитель системы
(4.2.4) в окрестности точки (c’0(°)>t’o(l)»i&o’wo(l)) отличен от нуля
Справедлива
Лемма 4.2.1. Пусть матричные функции
WKie (x>s) (к,1=1,2) при х>$>0
1Fk/e(s,s) =
1 при К=1
0 при к=/=1
удовлетворяют системе
X
Ai1(x)y(x)+Als(x)'[(x)+ ([/<11(х,/)у(/)+/(и(л-,/)7(^)]Л=-0,
ал	I
s
X
^+Аи(х)у(х) + X12(x)x(x)+^[/<21(x,/)y(/)+A\1(x,/)7(/)]d/=0.
я
Тогда всякое непрерывное решение системы интегро-дифферен-
циальных уравнений (4.2.3) является таким же решением системы
интегральных уравнений
t(x,s)= ТГ11е (x,0)E(0,s)+	0)^(0,е)+ЭД 1Гц. (x,s)X
о
X [fi(s,Vo(s)+^(s,e),&yo(s)+no^Yj+e^(s,e))—/1(5Ло(5)+
+П0 -- )+gi(M 1+ П71ае (x,s) -i-Ifa(S,p0(S)+eE(S,e),w0(S)+
+e'/j(s,e))—/2(s,0o(s),u)o(s)+ П
X
rfl(x,e)= Wale (x,0)G(0,e)+ W'gge (x,0)^(0,e)+ ЭД^е (X,s)X
0
X	(~J+e>](s,e))—/1(5^о(5)>шо(5)+
+П0^) )+gi(s,e)]+TFI2e (x,s) -^-lfi(s,v0(s)+^(s,e),
W0(s)+n0 (-^-Ue^e))-/2(s,n0(s)+ri0 f-|-))+g‘a(s,e)J Ids (4.2.5)-
\ c f	\ ® I	I
266
и обратно.
Лемма 4-2.2. Пусть выполнено условие леммы (4.2.1).
Тогда при е->0 интегралы
—W.„ (х,$)
ds (j = 1,2)
равномерно ограничены на сегменте (0,1].
Доказательство этой леммы изложено в параграфе (3-3) главы 3-
Систему нелинейных интегральных уравнений (4.2-5) будем решать
методом последовательных приближений. Пусть
X
gy(x,e)=F1(x,e)+U711Е (x,s)[fi(s,Oo(s)+e/-i(s,e)e;
0
ffi'0(s)+/70
— I +ei]y_i(s, e))~fi(s,v0(s),w0(s)+ne
1	/ s \
+ 1Р.2г (x,s)— [f2(s,v0(s)+eSy_1(s,e); w0(s)+770l — j+e7]y_i(s,e))—
—f2(s,v0(s),w0(s) 4-Z70
X
'П7(л:,е)=/7а(х,е)+J*^W21s (x,s)[h(s,a0(s)+s$y_i(s,e),
0
/ s \	/ s \ ]i
w0(s)+n0 | — +e7Jy_1(s,e))—fi(s,v0(s)tw0(s)+n0 — )J +
\ E I	\ & / j|
+ irne (x,s) -^-[A(s,y0(s)+e^._1(s,e),&y0(s)+/70
/ C \ I I
+evj7_1(s,e))—fa(s,v0(s),w0(s)+n0 I — j) ds, (/=1,2,-..)
(4-2.6)
Ео(х,б)=0; v]o(x,e)=O, — последовательные приближения Пикара,
F (x,e)=W	(x,0)S(0,e)+W	(х,0)т](0,е)+
к	к1е
(x,e)£i(s,e)+W „ (x,s) —g2(s,e)]ds,
к2е e
к=1,2.
Имеем
267
X
(x,s)
H----, (*,8)
e к2г
ds^A=const,
Fi(x,e) + Рг(х,е)
<//= const.
В дальнейшем предполагается, что в области
Р 0<х<1;
и
<2Я;
z <2//
вектор-функции fK(x,u,z) непрерывны и удовлетворяют условию Лип-
шица по аргументам миге некоторой постоянной N. Докажем
теперь, что система нелинейных интегральных уравнений (4-2-5) имеет
единственное непрерывное решение, не выходящее из области Р и
зависящее от двух произвольных постоянных векторов В(О,е) и ^(О.е).
Для первого приближения справедлива оценка
Ь1—£0 + ^1—<,H=cofist.
Имеем

=	+' ^—^-11
О
1
W <x’s> V
f	e
1 И d<+\ W2le(x,S) |+|4-^22Е<Х’5)
0
<еДМ
gy_i(x,e)—Sy_2(x,e) ! + Hy-i(x,e)—>]y_a(x,8)	=
ll 1	IJ
= e/.^'/ly_i(x,e)—Йу_2(х,е) | .
2АЛ ’ T0
ht—h.-.
I
Следовательно на сегменте [0,1] при достаточно малом е построенные
последовательные приближения сходятся абсолютно и равномерно.
Покажем теперь, что построенные последовательные приближения не
выходят из области Р. Имеем
/iK(x,e)
к
I
• /ly(x,e)—йу_,(х,е)
/=1
1+ —F
268
<^2H= const-
Отсюда следует, что для любого натурального к последовательные
приближения не выходят из области Р-
Пусть
lim hj(x,e)=h(x,s),
где
А(х,е)^[£(х,е),т((л,е)],
обращает систему (4-2-э) в тождество- Тогда при е->0 на сегменте
10,1]
! И
,A(x,s) <2Н= const-
Следовательно, система нелинейных интегральных уравнений (4-2.5)
имеет единственное непреротвное решение, не выходящее из области
Р и зависящее о. двух произвольных векторов !?(0,е),д(0,е)|.
Определим теперь эти векторы из системы нелинейных алгебраи-
ческих уравнений (4 2 4). Подставляя [Цх,е),т)(х,е)] в систему (4-2.4),
получаем
R (Mo)+R' (M0)W (1,0)+Я (2И0)№ (1,0)
/«(0)	/И(1) Не	/>(1)	21s
£(0,s)+
R' (M0)W (1,0) + /?'	(7И0)+/?' (Mo)№ (1,е)
/и(1)	12е	jz(0)	jz(l) 22е
где
X ^(0 ,е) == /?у(ЦО ,е) ,tj(O , е), е),
(4 2 7)
е), т](0, S),e)^e/?y(6E(0,e), 6$(1,0);
6*1(1 .е),6/](0,е))+ау(е),
1
о/Е)=/?' (7И0) С{ W (1 ,s)[A(s,T>0(s)+eE(s,£),
J«(l) J /1s
о
(с \	/ S \
— +er4(s.c))-f1(s,o0(s),ffi0(s)+770 ( —- )+^i(s,e)J +
Е /	\ Ь 1
1	/ S \
+ W (1,8)— l/2(s,r0(s)+e«(s,e),to0(s) Ь/70 ( — 1 + e-'Xs.e))—
/2е	6	\	/
—f2(s,o0(s),®0(s)+770
С \	)
— Ь+ЯгМ ds,
/=1,2.
В области Pt( || Л(0,с) || <277) вектор-функция /?(/i(0,s),e) удовле, воряет
условию Липшица по второму аргументу /i(0,e) с некоторой постоян-
ной N(2H)
2W
Следовательно, для достаточно малых значений параметра в
система нелинейных алгебраических уравнений (4-2 8) имеет единст-
венное решение
ft(0,e)=/i°(0,e),
не выходящее из области Pi- Доказана следующая
Теорема 4-1- Пусть: 1) [o0(x),w0(х)] — непрерывное решение
вырожденной системы (4 3); 2) вещественные части всех характерис-
тических чисел Х/х) (4=1,2,-..,т) уравнения
det (Л°а2(х)+ХЕт) О
удовлетворяют неравенствам
Reel Xf(x) =—2а <0;
3) в области
Р0<х<1,
<2/7,
z <2Д
п
и
вектор-функции fK(x,u,z), /?K(«(0),«(l),z(0),z(l)) непрерывны и имеют
непрерывные производные в некоторой ограниченной окрестности
множества точек x,o(x),w(x),o(0),o(l),na(0),u(l) соответственно; 4) Д =#0.
Тогда на сегменте [0,1] краевая задача (4-1), (4-2) имеет единст-
венное непрерывное решение, представимое в виде (4 2 2). Причем на
сегменте [0,1] при е->0 для вектор-функций || £(х,е) ||, II zj(x,e) |]
справедливы неравенства
II £(* е) II, II II <^M=consi.
Кроме того, при s->0 на полусегменте (0,1] решение краевой задачи (4-1)
(4. 2) сходится к вполне определенному решению соответствующей
вырожденной задачи-
§ 4.3. Асимптотика решения краевой задачи, когда пограничный слой
появляется на обоих концах промежутка
Рассмотрим систему
X
о
(4-3-1)
х
dz	С
е =--f2(x,u,Z, \K2(x,t,u,z)dt)
о
с краевыми условиями вида
и(0)=и°,
az(0)+₽z(l)=z°,	(4 3-2)
где и, f, Ri—/г-мерные, г1; f2, —т~ мерные векторы, в — малый по-
ложительный параметр, а — диагональная матрица, первые /^-диаго-
нальных элементов которой единицы, а остальные /п—/^-элементов—
270
ули, ₽ — диагональная матрица, у которой первые mi-элементов —
нули, а остальные т —элементов — единицы- Иными словами, на
левом конце отрезка [0,1] заданы ffli компонент, а на правом—m—mt
компонент вектора z-
Формально полагая е=0 в системе (4-3-17, получаем вырожденную
систему
X
^=fi(x,v0,w0, ^Ki{x,t,v0,w0)dt);
ОТ
X
O=f2(x,vo,wo, ^Kz(x,t,v0,w0)dt)	(4-3-3)
0
с дополнительным условием
го(О)=«».	(4-3-4)
Вырожденная система (4-2-3), (4-2-4) имеет некоторое непрерыв-
ное решение {v0(x),ra0(x)}.
В достаточно малой окрестности множества точек (x,v0,w0,p°j)
n(x,t,v0,w0), где
X
P°j= ^Kj(x,t,v0,w0)dt,
0
вектор-функции fj(x,u,z,pj) и Kj(x,t,u.,z),
X
Pj= ^Kj(x,t,u,z)dt
0
соответственно имеют непрерывные частные производные по всем
своим аргументам.
На [0,1] существует непрерывная и непрерывно дифференцируе-
мая не особая действительная матрица Р(х), такая, что
Р-1 -~-(x,vn,w0.p°.2)P(x)^
В(х) 0\
0 C(x)J’
(4 3-5)
где В(х) — матрица порядка mtXmt, имеющая собственные значения
только с отрицательными действительными частями, а С(х) —матрица
порядка (т—т^Х\т—ту), имеющая собственные значения только с
положительными действительными частями-
Рассмотрим краевую задачу тД0)=о, £(со)=0 для системы
=^o7i+^(7i^):
|=С0£+ЭД.	(LO
CL v
271
где Во — постоянная miX^-матрица такая, что вещественные части
всех ее характеристических чисел м,..., ).т, удовлетворяют неравен-
ствам
ReeD^—2а<0,
а Со —постоянная (т—rni)X(m—тХ) матрица такая, что вещественные
части всех ее характеристических чисел	\т удовлетворяют нера-
венствам
Ree[kt> 28>O, /=Z4(4-1т-
Будем говорить, что R и S обладают свойством (/Yo), если
1) Я(0,0) — 5(0,0)=0,
2)
+ Е—Е
ДЛЯ || 7] II , II 7j ||, || Е || , || Е || <Т, где 8-»0 при у->0-
Задача (£i) эквивалентна системе интегральных уравнений
т
Вот Г В0(т—v)
т](т)=£ а+ \ е R(vi£)dy,
о
ео
Г C0(v-T)
1 е S(ri,t)dv.
•с
(4-3.6)
Пусть р>0 произвольно мало и а>0 таково, что
a+p<minimum-
Тогда, как известно [153], для норм матриц ехр{Вох} и ехр{С0~'
справедливы неравенства
BDt
е
—(8+н)т
(4-3 7»
где Ко — некоторая положительная постоянная.
Применим метод последовательных приближений к системе интег-
ральных уравнений (4 3-6). Пусть 7j(o)(T,«)=B(o)(-c,a)=O — нулевое при-
ближение, /7'приближение определим по формуле
т
Вот Г В0(т- -v)
а+ \ е #(%-!)
о
272
ео
(* Co(v—t)
E(p)- I c 5(“»j(p_i) ,E(p~i) )dv. p 1,2,—
T
Выберем у в условиях (/70) столь малым, чтобы имело место нера-
венство а<р./4/С0, и пусть || а || удовлетворяет условию
II а || =
Т
2К0
=То-
Тогда, используя неравенства (4-3-7), получаем
II '‘Qcp+i) ~~ Yii^)
KJ|
2р
т>0,
llS(p+1)-E(₽)|| <^Р-е а\ т>0-
Отсюда заключаем, что существует решение системы (4-3-6), удовлет-
воряющее оценке
>;(т,а)
—в
ЕМ) |
<2Л0 I а
(4-3-8)
При 0<т<оо, II а и <70-
Единственность решения доказывается
Методом последовательных приближений
существование решения задачи
обычным способом [315J.
аналогично доказывается

5?=C0$+3(1j,$)+S(t),
т](0)=0, Е(оо)=0, а —постоянный вектор, где R и S удовлетворяют
условиям (77п) и являются нелинейными функциями щ и В, а г(т) и
s(t) —функции, удовлетворяющие условию

г т)
s(t)
K0—cvnst.
(4-3-.9)
Задача (£2) эквивалентна следующей интегральной системе
-В»т Г Bflz—м)
<z+	(^(Е,7))-)- /'G))dv,
о
Со(т:—V)
е (5(£,т,)4-8(у))б/у.
18* 2790
273
Из (4.8.7) и (4-3-9) следуют оценки
Вор—V)
е гач
О
sdv
Для нулевого и первого приближений имеем
£(1)(т)~^(0)(т)

где Ко — некоторая постоянная- Разности 8р+1=С(р+1)— Др+] =
“’(р 10 ~'71/л> удовлетворяют неравенствам
Др+1 <8^0
)/	| i\
(jAP|+ 8Р j
о
оо
8р+1
(||4Р, +

Кйк и выше, при а<р/4К0 имеем
—ат 1
—ат 1
Отсюда следуют оценки
(4 3-10)
Этими результатами будем пользоваться при построении асимптотики
решения краевой задачи (4 3-1), (4-3-2)-
Решение краевой задачи (4 3 1), (4-3-2) ищем в виде
ОО
<°>/х \	n>/x—1 X
дх,е)= V Ых)+Пк *	>«.
(4 3 11)
274
X I ш
<М(Х \	<°>
Здесь {г0(х),йУ0(л)1 — решение вырожденной Системы; QK I—I, Пк
wfx___1
—функции пограничного слоя в окрестности точки я—0, a QJ ———
пт/х-1\	,
Пк I—-—I — функции пограничного слоя в окрестности точки -х=1.
Подставляя ряд (4-3-11) в (4 31), получаем
оо
к—0
-+Q/
е
-V = А(х,Г(л,®)+
8 /
+Q(D	+/7W
СО
d	(0>/х\ 1	(n/v—1 \ 1 1
5- wK(x) + Пк (±) 1+ПК 1 6«+>=fs(x,И(х,е) +
cZa	\Е / Е	\ Е / Е I
к=0
+Q<°>(-) +Qd) (^211),Г(х,е)+П(0>(-) +ПМ
\£ /	\	6	/	/	\	8 /
где
,	f°Ux\ W[x~ W(x\ (1
Искомые вектор-функции QK — ,QK ------------ , Пк - , Пк
\s /	\ е / \е I
(к=0,1) являются функциями типа пограничного слоя.
В дальнейшем доказывается, что для этих функций при всех
те^0, справедливы неравенства •
(АГ Ь	—ат* 'j (1)
Q« fa) • ||q« fa)
(°) II	—атп || (О II <iti
Пк fa)	, Лк fa) ,
(4-3.130)
__1
где	, т0==-; К и в — некоторые
Следовательно, в точке х=1
положительные постоянные-
а в точке x=Q
О
3
^/(е 6 —>0 при е—>0,
г 1 и t-*
(4.3.13)
_о
6—о
при е-»0,
(4-3-14)
Оценками вида (4-3-13) и (4 314) будем пользоваться при построении
общих асимптотических разложений и оценок краевой задачи (4-3-1),
(4-3-2) Систему (4 312) с учетом неравенств (4-3-13) и (4 3-14) преоб-
разуем к виду
ОО
со	ОО
V?	d \1 <°>	к~~1 d О) к— 1
7 । v'K(x)eK +	Zj Q*	fa)£	2- Q*	(т‘)£
к0	к=0	ю=&
^4ifa ,е)+Bifa,e)+С ifai.e);
оо	оо	со
Sd \Л (°)	d VI (1)
w'K(x)£«+i + П« (то)£	Пк (т‘)е
«.-О	к=€	к=0
—^sfa^+H^j.e)-)- С2(х,е),	(4-3-15)
где
(0>	(О)
^(V>=M^o-V(eTO(£)+Q fa),U7fa0,£)+n fa),
т
e^yfa0,£$0,V(^
0
276
V(es0,e), W'(es01e))]ds0 +	y(et0.es0JV(es0 .e),
0
W(es0,e))*0)—//(evV(ev),W(®Ye)>e jl^'W
0
(0)	(0)
V(et0,e)+ Q (s0),V(es0,e)+n (s0))—K^0,ese,V(tS„,e),
50
W(ES0,e))lds0+e ^j(e'te,ss0,V(ese,e),W(es0,e))<fSo);
0
(1)	(О ч
By(i:1,&)=fy(l beT1,V(r|-eTi,s)+Q (ti),W(l+eti,e)+n (*i),
f	(I)	(0
s \	-}-eSi,V(H-ESi,e)-|-Q (/>i),W(l 4-е$1,е)-ЬП (si))
OO
1
—K/l+6^,1+651,V(l+eSi,e),W(l+e*i,8))jdsi4- J Ay(l+^i,t,
0
I+exi
V(t,e),W(t,e))dt)-fXl+eT1,V(l+eT1,e),W(14-£T1,e),E [tf/l+exi,
0
t,V(t,e),W(t,e))dt);
do
Cy(x,e)=f (x, V(x,e), W(x,e),e J'f/c)fx,ese, V(s5,e)"+
0
(0)	(0)
+ Q ($),W($e,e) ЫТ (s))—Kjf(x,eS,e),V(eS,e),W(es,e))]ds4-
x
+ VXt.eJ.W'Xt.eJdt).
0
Далее формально вектор-функции Лу(*0,е),5у(т1е),Су(х,е) разлагаем в
ряды Тейлора по целым положительным степеням параметра е.
>V(To«e):=4/o(To)+?1y,('co)e+^y*('to)eS+-"	<4-	3'	161)
В/т1>е)=ВЛ(т1)+Ву1(г1)е4-5Дт1)е’+...	(4-	3.	16,)
С/(х,е) = Су0(х)-ЬСу1(х)е4-Су2(х)е2+--,	(4-	3.	163)
277
(0)	(0)
A/b(To)=WWO)+Qo hh(0)+no (?о),о)~
-Л'(О^(0)^0(0),О); /=1,2.
(0) (0)	(0) (0)	(0)
^}ч(то)=fjui^o )Qi (To) +fjz№> )П1 (za)~\~ijpJ Mfl )X
p	(0)	(0}
X( \ lK/0,0,MJj+Qo (SoMfO)+no (so))-*/O,O,vo(O),wo(O))]ds+
00
(0)	 (0)	(0)	 (0)
+^x(M0 )-f/x(M00))r0+(fy„(M0 )-f/u(Mao ))(v'o(O)+
(0)	(0)	(0)
+«i(O»+(fyz(Mo	)-
00»
(0) Г	(0)
-f/p/M00))(H^-(0,0,v(0)+Q0(so),^(0)+no (s))-
o
To
-^•(0,a,e0(OJ,®0(0))]ds0+ ^(0,0,Ц,(0), ^0(0))&0);
0
7-1,2
(0) (0)	(0) CO) (0)
Д/«(То)—^/u(^0 )Qk ('Co) + /jZ(Mo )Пк ('Co)“l'®JK (T0’Qb»”4
(0)	(0)	(0)
QK_i (т0),П0 (тД-Л-^о)); (/=1,2; №2,3,...)
(0)	’	(0)	(0)	(0)
(Mo )=(0,v0(O)+Q0 K),wo(O)+no (?o),O), (Moo)=(O,^(O),wo(O),O),
(0)	(0)	(0)	(0)
где ®y<>(T0,Q0 ,...,Q/^1(T0),...,nK_i(T ))— известные n- и m- мерные век-
(0)	(0)
тор'функции. Так как 0k , Пк функции типа пограничного слоя,
(0)	(0)
удовлетворяющие неравенствам (4- 3- 130), то для Фук(т0,ф0
Пк-1(т0)) справедливы следующие неравенства:
(0)	—5ГСв
II фХто-—) II <а<?	(а1'с'ео+а2т0к-1>--,а;к-1то+йк),
где ai,...,aK-~ некоторые положительные постоянные- Имеем
(1)	(О с
ВУо(^Г./(1Л>(1)+Ч) (^),®о(1)+По (ti),\/Cy(l,t,v0(t),
278
1
fy(l ,VO( 1),№O(1), jKy(l ,t,v0(t),we(t))dt;
(1) (1) (1) (1) (1) (1)
fyfaHj«(M, )Qi fa)+/y^M0 )П1 ('чШуЖ) )Z/x(Moe))Ti +
, (») (О	(1)	(1)
+№(Mo )-/y«(Moe))fa^(I))+v1(l))+(Z/JMe )-f^M00))X
(1)	(I) c '
OO
®oft))+M’-t A(t)>^o(t))^(t)+^/z(l ,t,v0(t),u>0(t))X
(1)
X a>i(t)] dt+Kj( 1,1 ,ve( 1) ,w0( 1 )fa+iJP/Мо ) X
c	(1)	(1)
X \ [7<y(l,l,v0(l)+Q0 fa),aJe(l)+FIe fa))-
OO
- tfy(l,l,rJl),u>0(l)]dS1,
(I) (1)	(0) (1)	(1)
Bj^)=fju(M0 )QK fa)+ fyz(M0 )ПК (я)+Фл fa,Q0,-
(1) (i)	(i)
QK-i,n0 ,...,ПК_1) (/=1,2; №2,3,-.),
(1)	(1)	(1) r
Mo =(l,v0(l)+Q0 (Ti),i0o(l)+ По (Tt), Uxi,/,o0,w0)dt),
0
(1)	r
Moo
0
(I)	(1)
Так как функции QK (ti),nK fa) являются функциями типа погранич-
ного слоя, удовлетворяющие неравенствам типа (4. 3. 130), то для
(1)
вектор-функции Фу» fa,.. ) в дальнейшем доказываются следующие
неравенства:
(1)
II Ф» fa.-) II <Кое (*0T't1+A1TJ«-i+...+V1t1+/’K),
где #0А,—А и Ко— некоторые положительные постоянные.
Имеем
279
X
Cj0(x)=fj(x,v0(x),w0(x), ^tf/x,t,r0(t),u>e(t))dt); /=1,2;
0
OO
Г	(0)
CX^^TlfbWiJ+f^ytMy) \ [/C/x,O,vo(O)+Qo (so),t»e(0)+
o
(0)
+П0 (so))-/Vy(x,O,we(O),tt.«o(0))]<Zso, /=1,2
Cj^x)=Tj[vK,wK] 4- CjK(x,v0,...,wK-i)
(/==1,2; k=2,3,-.)
Здесь T/tfettk]—интегральный оператор вида
Tj[vK,wK] =fju(Mj)vK(x)+/уг(Му) wK(x)+
X
+ ^y(My)[MM«y)Mt)+^(M>K(t)]dt.	(4. 3. 17
0
Формально подставляя (4. 3- 16i), (4. 3. 16») и (4- 3- 16») в
(4. 3- 15), а затем сравнивая отдельно коэффициенты при одинако-
вых степенях е, зависящие от х, t0 и tit получаем рекуррентные
(г)/х—г \	(г)[х—г \
системы уравнений для определения функций QK I—“—I, Пк I ~—I
г=0,1; vK(x), a.’«(x).
Системы нулевого и первого приближения для функций погра-
ничного слоя имеют соответственно следующий вид:
яп	(0)	(0)
-^-=W0,v.(0/+Q. (тв),^(0)+П. М.0),	(4. 3. 180)
(1)
=0;
tlTj
dn(1)	(1>	(1) С
4^=Ml,ve(l)+Qe	(^)AK»(l,t,Tre(t),u>0(t))dt);	(4. з. 19.1
uTj	J
о
(0)
^-=/^,to(O)+Qo (то),№о(О)+По (^),O)-f2(O,no(O),®o(O),O);
280
dn, <°) <°>	<°)	<°)	<°> (0)
^-=ММ0 А (г0)+ММ0 )П0 (г0)+Фи(г0А ,по), (4. з. 18J
тде
(0)	(0) (0)	(0) г	(0)
Ф« М, По )=f9p9(M0 ) к [K,(O,0,uo(O)+Qo (so),^.(O)+
ОО
(0)	(0)	(0)
+ по (so))-/(9(O,O,t/()(O)^o(O))ldso+(f9^(Me )-MMeo ))г0+
(0)	(0)	(0)	(0)
+<ММ0 )-f9£z(MoO))(tot/o(O)+t/1(0))+(f9z(Mo )-f9z(M00))X
X(vz/o(O)+u>i(0))+
(0)	(0) г	(0)	(0)
) 'ftpt(^OO X \ [^9(0/ХЦ)(0) + Q0 (So)>M,o(O)4~no (6))
о
^0
-^(ОДШ^))]^ ^^(O.O^CO),^^))^.,;	(4. 3- 20)
0
do	(’)	(I> c
^- = М1,€/о(1)+Оо (тДтМП+По (TX), Ul(l,t^0(t),№0(t))dt)-
0^1	J
0
1
-fi( 1 ,v0( 1 )M( 1), ^i( 1 ,t^(t),№0(t))dt;
0
dn W <’>	(1> A (1>
)Qt K)+f9z(M0 )П9 (-ь)+Ф21 b,Q0 П. ), (4. 3- 19i)
где
(1)	(1) (1)	(0	?	(1)
Ф91 (Ti,Q o> По )=f9p2(M0 ) \ [/C9(l»l>^0(1)^" Qo (81)>г;г,оП)4“
(i)	(0)	(i)
+n0 (Si))-K9(l,l,®o(l),4(l)l^i+(f»F9(Mo )-/гр9(М00 )X
1
x (tf9( I.i.foa WDK+ J H9xd^o(t)^o(t))-^a(l,t^e(t),
0
By0(t))Pi(t)+K9z(l ,t,D0(t),u>0(t))u>1(t)]dt+
281
(0)	(0)	(0)	(0)
4~(^2х(М0 )__fsx(M()() ))t14-(f1£Z(M0 ) fia(M00 )) X
(’) (О
x(^'0(i)+t4i))+(fiz(M0 н^адмоон^п)- (4. з. 2i)
(г)	(r)
Функции Qi (тг),Пк (v) (r=0»l) определяются из системы
d 0?	<r)	(r) (r)	И
—fa— =fiu(Mo ) i+fiz(M0 )Пк—1(тг)4-Ф1>к_i(tr, Qo,-.
(г)	(г)	(г)
Qk— 2>П0 ,...,Пк_2),
(г)
О') <г)	<г)
)Q« (v)+MM0 )П« (v)+®w(v.Qo -,Q«-i.n0
OSl у
(4- 3. 22«)
(г=0,1; к=2,3)
Здесь для краткости системы относительно погранслоя в точках х=0
и х=1 записаны в виде одной системы. Легко видеть, что при г=0
имеем системы относительно функции левого погранслоя, а при
г=1—правого погранслоя.
Теперь выпишем системы, определяющие функции [пк(х),
ик(х)1 к—1,2- Для них имеем линейную систему интегро-диффе-
ренциальных уравнений
du
ЛиыМ+G1K(x,v0,  • •	- - ,^-1);
(4- 3- 23)
О— 7\[t)K,EJK] +G2K(x,-n0,...,oK_1,w0,...,t£)K_1),
где оператор Tj[vK,wK] /=1,2 введен в (4- 3- 17), а 61к(х, ..) и
GtK(x,-..) к=1,2— известные вектор-функции соответственно видов
«XI, mXl. Таким образом, ряды вида (4. 3. И) формально удов-
летворяют системе нелинейных интегро-дифференциальиых уравне-
ний (4.8. 1). Чтобы из системы (4-318), (4. 3. 19), (4. 3. 20) и (4. 3. 23)
(r)f х—г \
г=0,1; к—1,2,--. последовательно определить функции QK I —~— 1>
(г) / х__Г \
Пк I —-—I /"=0,1, рк(х), wK(x), к=1,2,... необходимо задавать на-
чальные условия. Они определяются следующим образом. Так как
(1)/х-1 \	(1)/х—1 \
QK I—-—I Пк I—е~ I пренебрежимо малы на левом конце, а
(oy* \ 7
Пк (т-) принебрежимо малы на правом конце, то, полагая х=0 и
х=1, из асимпторического разложения (4. 3. 11) получим
(0)	(0)
и(0,е)^0(0)+е^(0)+--+Q0 (OJ+eQ! (0)+-
282
(0)	(0)
z(O,e)~®o(O)+ e^(0)+. ..+П0 (0)+еП1 (0) + -.
(1) П)
z(l,S)^wo(O)+e№1(O)+...+no (0)+еП1 (0) + -
Подставляя значения u(0,e), z(0,e) и z(l,e) в краевые условия
(4. 3. 2), получаем
(0)	(0)
t’o(0)+ev1(0)+...+ Qo (0)+eQi (0)+...^и°
(0)	(0)
а(к’о(О)+ею1(О)+---+По (0)+еП1 (0)4~--) +
(1)	0)
+₽(и’о(1)+в101(1)+...+По (0)+еП1 (О)+-..)~го.	(4. 3. 24)
В (4. 3. 24) приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
параметра е, получаем соотношения, дающие дополнительные усло-
вия для определения коэффициентов разложения (4. 3. И)- Имеем
(0)
о0(0)=и°— Qo (0);
(0)
»К(0) = —	(°)> «=1,2
(4- 3. 250)
(4. 3- 25J
(0)	(1)
«К(0)+По (О))+₽(^о(1)+По (0))=zft;	(4. 3. 260)
(0)	(1)
Фо(о)+пк (0))+₽М1)+п; (о))=о, к=1,2...
Введем некоторые вспомогательные определения.
Рассмотрим систему
4r'=f(o’^(o)>“,°(o)+rT(T)’o)’
(4. 3- 26)
(4. 3. 27)
где П(т)—т- вектор, /(О,уо(О),гио(О)+П(т),О)—вектор-функция, имею-
щая непрерывные частные производные по компонентам вектора П(т)
в некоторой области Dn-
Пусть П=П0=0-- особая точка системы (4. 3. 27) такая, что
По(т)оОя.
Определение 4. 2. 1. Множество М+ точек П%е£)п называ-
ется устойчивым начальным многообразием, если каждое решение
, (0)
системы (4. 3. 27) П(т;)=П(П00,т) с начальными данными П(О)=По ,
оставаясь в области Dn, стремится к особой точке П=П0 при т—>со,
а для любого заданного е>0 найдется такое достаточно большое
т0>0, что имеет место оценка
II П(П°0,?)-П0 || <т]
для и всех П°оеМ+.
283
Множество, обладающее таким же свойством, но при т->— <ю,
обозначим через М_.
Переходим к построению функций пограничных слоев. Рассмот-
рим систему
<4 U’
=fi(O,M))+Qo ft, W0)+ П0(т0) ,0).	(4. 3. 180)
(0)
Из первого уравнения этой системы находим, что Qo (т.) = Ьо.
(0)	(0)
Так как при т0—»°о должно быть (оо)=0, то Qe (’0)^0. Под-
АО
ставляя найденное значение Qo (т0) во второе уравнение системы
(4. 3. 180), получаем
(0)
<1П	(°)
~^-=U^o(O),wo(O) + По Ю,0),	(4. 3. 28)
Дополнительное условие для этой системы имеет вид
(°)
аП0	(4- 3- 29)
Обозначим через Мо+ mi-мерное устойчивое начальное многообразие
для системы (4. 3. 28).
(0)
Для полного определения вектора По (т0) недостаточно условия
(4- 3. 29), потому что в начальной точке задан только /Д1 компонент
(0)	(0)	1
вектора По (те). Остальные компоненты вектора По (т0)
(0)
задавать так, чтобы при т0->°о вектор По	Это обеспечивает-
(0)
ся, если весь вектор Л, (тв)
„ надо
То=О
принадлежит устойчивому началь-
то=О
ному многообразию М+о седловой точки покоя П°о('со)=О системы
(4. 3. 28). Таким образом, недостающие т—mt— условий для опре-
(0)	(0) I
деления По (*0) формулируем в виде требования рП0 (х0)	=0.
I то~*°°
В локальной окрестности начала координат докажем существо-
вание решения системы (4. 3 28). Разлагая правую часть системы
(0)
(4. 3. 28) в ряд по степеням По (т0) с остаточным членом второго
порядка, имеем
dr\	А>)	(®)
^-=МО,»в(О),и>0(О),О)По (ro)+f2z»(0,^f0),№o(O) + 6ПО (М,0)Х
284
(0)
Х|П0 (т0)]2, о<6<1	(4- з. 283
Пусть
nX)-p(j).	(4.3.30)
где Р—ту т — постоянная матрица, обладающая свойством 3) на-
стоящего параграфа. Тогда подстановкой (4. 3. 30) систему (4. 3. 28)
приводим к виду
(4. 3. 31)
с дополнительным условием
7)(0,<г)=а, £(0,«) = 0,	(4. 3. 32)
где а— некоторый постоянный вектор, принадлежащий к устойчи-
вому многообразию М+-
Функции R и 5 определяются из векторного равенства
( S ) = Р"^2(О’С'о(О)’М’о(°Н С/>( I )’0)(Р(т)/’
векторы R и S обладают свойством (Но).
Таким образом мы пришли к задаче (Z.1), для которой было до-
казано существование единственного решения т;(т0,д),с(т0,а). Это ре-
шение при малых || я И <т0 представляет собой многообразие реше-
ний дифференциальной системы (4. 3. 31), непрерывно зависящих от
mi параметров компонента вектора [ах,...,ат1) и стремящихся к
нулю при т0—>оо .
Из формул (4. 3. 29) и (4. 3. 30) вытекает связь между век-
торами а и
aD ( е/п° X )=«(^°-№о(О)).	(4. з. 33)
\ S(O,a) /
Из этой системы определяется вектор а.
Таким образом, система (4. 3. 28О) имеет единственное непре-
рывное решение, удовлетворяющее неравенству
(0)	—ат
П По (т0) II </<ое	,
(4. 3. 34)
где Ко— некоторая постоянная, о>0.
Аналогичным образом доказывается существование и единст-
венность решения системы
0)
d^L
285
ЛЬ*	(’)	0) г
=/(1,^(1)+Qo (ч),®0(1)+По (4),y<2(l,AtUtWt))dt).
о
(4. 3- 35)
Эта система решается с дополнительным условием
<0
РПО (0)=₽(z°—w0(l)).
Из первого уравнения системы (4. 3. 35) находим Qo (ъ)=Ь1. Так
О)	(1)
как при ч-»00 Qo (-ci) должна убывать, то заключаем, что Qo (xi)~
=b=0. При этом второе уравнение системы (4 3. 35) запишет-
ся в виде
-§-=М1^(1).№0(1)+П?(^))-	<4. 3. 36)
(от—От1)-мерное устойчивое начальное многообразие системы
(4. 3. 36) обозначим через М_о.
ОТ —OTt
(1)
По (*1)
чтобы
В начальной точке ч=0 равенством (4. 3. 36) задается только
(’)
компонент вектора По (ч) Остальные компоненты вектора
(0)
зададим так, чтобы при ч-> —00 вектор По (ч)-*0 т. е.
Т1=0
(1)
вектор По (ч)
принадлежал устойчивому начальному
Tj—О
(1)
многообразию Мд- седловой точки покоя По (ч)=О системы (4. 3.36).
Теперь,
(’)
аП0 (ч)
добавляя к условиям (4. 3. 35) еще и условия
т_э._оо==0, теми же методами, что и выше, докажем су-
ществование и единственность решения системы (4. 3. 36), удовлет-
воряющего оценке
(0)	ОТ!
II По (ч) || < Кое , ч<0,
(4. 3. 37)
где Ко—некоторая постоянная.
(0)	(0)	(1)	(1)
Таким образом, функции Qo (т0),П0 (t0);Q0 (Т1),ПО (ч) нулевого
приближения полностью определены. Рассмотрим систему (4- 3. 18).
Предварительно подставив сюда найденные значения Qo (т0),П0 (t0),
получаем
<’>> («>
^-=,,(0л(0)>0(0|+п„ (т„),о)-мо,»0(0)м(о).о);
атп
яП(0)	(0) (0)	(0) (0)	(0)	(0)
^-=А«(М0 )Qi W+ЦМ, )ГЪ (то)+Ф21Го.О,По М. (4. 3 38)
28G
Из первого уравнения системы (4. 3. 38) находим
(0)	(0)	}°
01 (Л>)=--Ч> (0)4- \ Hx(so)ds0,
о
где
(0)	(0)
Hi(so)=f1(0,i’0+Qo ,Ч+ПО (O))-fx(O,c-o(O),wo(O),O),
(0)
a Qo (0)—неизвестный постоянный вектор. Этот вектор подбираем таким
(0)	(0)
образом, чтобы (т0)->0 при т0->оо. Затем вектор Qi (0) задаем в
виде
.	со
(0)	г
Qi (0)=~ \Hx(s0)ds0.
о
Здесь интеграл сходится в силу экспоненциального убывания Hx(s0).
Следовательно
(0)
СО
\ Hj(s0)<fc0.
(4- 3 39)
’о
(0)
Подставляя <т0) во второе уравнение системы (4-
ЙП1
~ =ммо )П1 (^О)+Д1(то),
3.
38), имеем
(4. 3. 40)
где
(0)	(0)	(0) г
Ai(To)=®2i (.^-о»О,ГТо (то)) г ftw(M0 A Hi(s0)ds0-
ОО
Система
(4. 3. 40) решается с дополнительным условием
(°)
аП1 (0)=—aWx(0).
(4. 3. 41)
(4. 3. 42)
Условий (4. 3. 42) недостаточно для полного определения вектора
(°) ч	(0)	1
П1 (т0) Недостающие компоненты вектора Пх (t0) I задаем так,
| тв=0
чтобы начальный вектор принадлежал устойчивому многообразию
точки покоя системы (4- 3- 40)- Это условие записывается в виде
(0)	।
₽Пх (т0)
=0.
Систему (4. 3 40) запишем в виде
287
^-=f2z(O,t'e(O),®()(O))O)n?))(To)+/lz8(0>t;()(O)+
(0)	(0)«	(0)
+6П0 ("#), 0)По С^Пх (т0)+Д1(г0), о<6<1-	(4. 3. 407
Делая в системе (4. 30 40') замену
(°)	I 7] \
П1 (т0) = ^)’
получаем систему вида
^==В07;+Е(7]Л)+г(г0);
^-=C0E+S(71,E)+S(t0),
где
ZR \	(0)	(0)	/
( S )=^-1^(0^0(0),№0(0)+6П0 (то).0)(Пв (г))«р (j J .
/гк) \	(1)	(2)	(1) (2)
к/ )=А3-1(Д1 (т0),Д1 (%)),Д1=(Д1 А).
\дко/ /
Дополняя ее краевым условием
т;(0,а)=0, S(°o,a)=0,
мы приходим к линейной задаче. В силу линейности задачи малость
ч	(0>
Н ^(0) II не требуется. Таким образом, вектор П1 (т:0) полностью оп-
ределен и для него справедлива оценка
(0)	— сто
II Ш (т0) || </<ое ,
(4. 3 43)
/<#— некоторая постоянная, с>0-
Запишем систему (4. 3. 19), предварительно подставив туда
(1) О)
найденные значения Qo ("1),П0 (т4):
4—	+Лх) A/ci(i,t,t'0(t),^0(t)Mt)—
(l k-l	I
0
1
-шамо, $ /<i(i,t,o0(t),№0(t))dt),
0
яп!0 d) (’>	(i) (i)	<’)	(1> (1>
)Qx W+МЧ )П1 (тх)+Ф8х (TX,QO ,П0 ),
(4- 3- 44)
288
-2с Фц("1,Ч0 ,П0 ) введена по формуле (4. 3. 21).
Так как правая часть первого уравнения этой системы есть из-
вестная функция, то сразу находим
(1)
Qi(ti)—Qi
’1
(0)+ ^Hi(si)dsi,
о
-де
_	(1) г
Н1(51)гА(1,п0(П,®0(1)+П0 (S1),ИДШ^(t))dt—
О
Из условия
I
-fi(l А(1),ш0 (l).^i(l ,tA(t),w0(t))dt).
о
(О
убывания Qi (Т1) при
со имеем
О)
Qi (0)=-
--00
Hi(si)dSi-
О
Тогда
(J)
Qi (Т1)=
Ji
i Hi(si)dsi.
(4. 3- 45)
—оо
(1)
значения Qi (Ti) во второе уравнение системы
Подставляя
относительно Th '(-ч) имеем систему
(4- 3. 44),
где
(1П1	(°) W ~
=Az(M0 )П± (гО + Д^),
~	(1)	(1)	(I) с‘_
Ai(Ti)= Ф21 (Ti.O.Ho (-i))+f2u(M0 ) \ Hi($i)dsi.
(4. 3. 46)
(4- 3- 47)
Дополнительным условием для системы (4. 3- 46) служит
(1)
pili (0)=—₽Wi(l).
(4- 3- 48)
(1)
Для полного определения вектора П1 (ч) этих условий недостаточ-
(1)
но. Надо задавать еще mt компонент вектора П, (ti) Эти не-
достающие условия сформулируем в виде требования
19* 2193
289
(4- 3. 49)
с
(1)
®П1 (’1)
-tj—> — оо
помощью замены
(О
П1 (Ti) = P
( 4(Ti) \
\ 5(ч) )
задача (4- 3- 46), (4- 3- 48), (4- 3- 49) приводится к линейной задаче -
Поэтому существует решение системы (4- 3- 46), удовлетворяющее
оценке
(0)	ОТ*
II nt (п) ||	, Т1<0.
(1)
Таким образом векюры Qi уч),Ы1 1ч) полностью
Рассмотрим систему относительно t»i(x), Ш1(л), которая в развернутом
жиде записывается так:
X
=/iU(M1)®1(x)+fiz(Mi>1(^) + ^/iP1(M1)[K1H(M°1)o1(tl+7<lz(M01)X
о
00
H-K'i(t)dt+j
О
(0)
[/G(x,0,o0(0),roo(0)+ По (s0))—KJ*,О,то(О),w0(0))]dso;
O=fs,,(M2W)+f2z(M2Mx)|-J/2p2(M2)(/<2u(Mo2}z/1(t)+K2z(M0t)X
0
eo
Xwi(f)]rft+j
0
(0)
[Кг(х,0,у0(0),що(0)+По (s0))—/<2(x,O,uo(O),®yo(O))]dso,
(4- 3. 50)
(0)	(0)	(1)	(1)
где вместо Qo (so),no (s0),Q0 (si),no ($i) подставлены их значения,
найденные выше-
Второе уравнение системы (4. 3 50) перепишем в виде
X
и\(х) = ^/C(x,t)Wi(tMt+<7i(x),
о
(4. 3- 51»
где
^x,t)=f-12z(M2)f2p2(M2)^z(M°2),	(4- 2. 52
X
Г-f2H(M2)T»f(v)~ (f2p2(M2)^M(M°2)^(t)dt-
GjC	1
0
290
г	(°)
\[Ка(х,0,^о(0),шо(0)+По (s0))-/<a(x,0,^(0),a4)(0))lJso.	(4- 3. 53)
о
Решая линейное интегральное уравнение (4- 3- 51), находим
х
Wi(x)=9i(x) + ^R(x,t)</i(t)dt,
о
(4. 3. 54)
где R(xt)-- резольвента ядра К (x,t). Подставляя ®i(x) в первое
уравнение системы (4- 3- 50), после некоторых преобразований
имеем
X
=Л(х)ц4(х)+ j N(x,t>i(t)<ft4-/h(x),
0
(4- 3. 55)
где Л(х), N(x,t)—известные «Хя-матрицы, ^(х)—известная вектор-
ная функция размерности «XI- Уравнение (4- 3. 55) решается с
дополнительным условием
(0)
^1(0)= — Qi (0) —
оэ
Hi(s0)ds0.
о
(4. 3. 56)
Пусть V(x,s)(V(s,s) = Еп—пХп- единичная матрица)— матричные
решения уравнения
х
~-=A(x)vi+- ( N(x,tX(t)tft,
ах	1
s
где s— некоторый параметр- Тогда
х
t»i(x)=V(x,0)Vi(0)+	V(x,t)MtH
о
представляет решение уравнения (4- 3 55), удовлетворяющее допол-
нительному условию (4- 3- 56). Подставляя найденное значение vi(x)
в (4- 3- 54), окончательно находим Wi(x). Таким образом, функции
первого приближения полностью определены. Следует отметить, что
это решение зависит от одного произвольного т2- мерного вектора,
принадлежащего устойчивому многообразию М+ системы (4. 3- 50).
Пусть функции до к—1-го приближения определены, тогда пол-
,	R) (е)
ностью определяем и функции к-го приближения QK (те),Пк (те), е—
=0,1; Vk^’w^x^' В с-ом деле, рассмотрим систему относительно
Чс (т0) и Пк (т0):
291
dQK <°) (°>	(°) (°)
~~ ==A«(M0 )QK-i(x0H/lz(M0 ^(-ч) +
(0)	(0)	(0)	(0)	(0)
+ ®1,K-1 ("o’Qo , - /?«-8.П0	K—2)
ип(0)	(°) (°)	(°)
^f2o(M0 )QK (т0)+/2г(М0)П«(г0)+
(0)	(0)	(0)	(0)
+ $sk(t0,Q0,- ><?«- Л	«=2,3,	(4- з. 22к)
Из первого уравнения этой системы находим
(0)	(0)	?
QK (т0) — Q«(0) + \HK(s0)tfs0,
(0) (0)
(0)	(0)	(0)
Hk(s0)=/ih(M0 )QK_i(s0)+/iz(M0 )llK_i(S0) |-Ф1,к—i(s0,Q0 ,..-,QK._2,...,nK_2).
'№)	(0)
Постоянный вектор QK (0) подбираем так чтобы при QK (т0)->0, т. е.
при этом
Qk (\))= \ HK(so)6fS0-
(4- 3. 57)
Подставляя найденное значение Q.< it0) во второе уравнение систе-
мы (4 3. 22), имеем
(0) (0)
d'o
=М(ма )пк (т0)-ад>
(4- 3- 58)
(0)	(0)	(0)	(0)	(0)
МтоН ®2К (ТоЛ>	> Qk— 1, По
. (0) г
\ HKis0 ds0
(4. 3. 59)
(0)
Для определения векторов Пк (г0) надо задавать дополнительное
условие- Из (4- 8- 26к-) имеем
292
(4 3. 60)
(0)
«II» (0)=—aa>*(0).
(0)
Учитывая (4. 3- 60), задаем mi компонент вектора аПк (0), а осталь-
(0)
ные компоненты задаются так, чтобы вектор Пк (0) принадлежал ус-
тойчивому многообразию точки покоя системы (4. 8- 58)- Это требова-
ние записывается так:
полностью-
погранич-
Таким образом, дополнительное условие для системы (4- 3. 58) пол-
(0)
ностью задано, тем самым вектор Пк (т0) определяется
Теперь рассмотрим систему относительно правого
ного слоя
0) 0)	(О <0
)QK_t	jlVi fr)+
(0)	(1)	(1)	(1)	(0)
4~Ф1>К—l(Tl.Qo >---,Qk—2> По ,---,Пк~2),
яп 0) (О (П 0)
=A«(M0 )QK (T1)+f2z(M0 )nK (tt)+
(I)	(1)	(1) (1)	0)
+ фа«(т1>4) >	1,П0 ,---,Пк—i)-
(4 з. 22x)
Из первого уравнения этой системы находим
0)	(1) г—
QK (т<)=-<Зк(0)+\Нк(5№,
о
где
_	(I) (А (’) О)
HX(S1)=A«(MO JQk-j+AxCMo )nx_t+
(1)	(1)	(I)	(1)	(I)
+ф«,к-1 (si»Qo а, По ,---,П«_а)-
(1)
Из условия убывания вектора QK (~i) на -«? получаем
(1)	7°° —
Qx (0)=~ \ ЩяМя-
о
Тогда
(О
HK(s)ds-
(4- 3- 61)
293
(4. 3. 22),
(4. 3. 62)
Подставляя (4- 3- 61) во второе уравнение системы
имеем
дг/ П) (О ~
-^=f»z(M0 )пк Ы+Д^),
где
~ (1) (1) (1) (1) (1)
Дк(ч) = ®2к (Ti>Q0 ,-А-1,П0 ,-,Пк_1)+
(’)
+WM. )
) Hk(S1)zZS1
(4. 3. 63)
Для этой системы из <4. 3- 26) задаются дополнительные условия
(О
₽ПК (0)=—раф).
(4. 3- 64)
(О
Но это только (т—piB) компонент вектора Пк (0)- Остальные компо-
ненты задаем в следующем виде:
аП„ (ii)
Последнее условие означает, что начальный вектор Пк (0) лежит на
устойчивом начальном многообразии точки покоя системы (4- 3. 62).
Таким образом, вектор П« (if) полностью определяется. Определим
функции [Цк(х).шк(х)]. Для этого рассмотрим систему (4- 3. 23). В
правую часть этой системы подставим найденные значения функций
(е)	(е)
Pi(x),aiz(x),Qz (1е),П/ (те),е=0,1; z<«. Тогда
х
Au(Mt w;+/lz(MfMx)+	+
0
+/<iz(M°1>K(t))dt+OtK(x),
X
0=/е«(Мг)ок(х)4-/=,2(М4)и»к(х) + jf2P2(M2)[K2K(M02)wK0)+
0
+K2«(M02)wK(t)]zft+G2K(A:),
(4- 3- 23'K)
где Gjk(k) j~\,2‘, k=2,3,...—известные непрерывные функции- Сис-
тема (4. 3- 23'к) решается таким же образом, как и система (4. 3. 50).
Из второго уравнения системы (4- 3. 23\) находим
х
‘WK(x)=qK(x)+ j R(x:,t)?K(t)dt,	(4- 3. 65)
0
294
де R(x,t)—резольвента ядра K(x,t), введенного в (4. 3- 32). Подстав-
чя vK(x) в первое уравнение системы (4- 3. 23 'к) после некоторых
эеобразований получаем линейное интегро-дифференциальное
,равнение
X
-£~ =Л(х)<ук(х)+ j N(x,t)^(t)f/t+ft«(x),
О
(4. 3- 66)
-де матричные функции А(х) и N(x,t) те же самые, что и в уравне-
нии (4- 3- 55), hK(x)— известная функция.
Система (4. 3- 66) решается с дополнительным условием
СО
о«(0)= HK(s0)ds0.
О
Так как V(x,0)— фундаментальная матрица однородной системы,
соответствующей (4- 3. 66), то общее решение ' этой системы
имеет вид
X
vK(x)=V(xt0)vK(0)+ ^V(x,t)hK(t)dt.	(4. 3- 67)
О
Подставляя значение %(%) из (4. 3- 67) в (4- 3. 65), находим шк(х).
Следовательно, функции vK(x), wK(x) полностью определены. Таким
образом, из рекуррентных систем (4 3 180), (4. 3- 190) и (4. 3 23к)
(к=0,1,2,...) можно последовательно определить члены ряда (4. 3. 11)
до любого номера к включительно
Из самого построения функций пограничного слоя следует
Лемма 4. 3- 1- Функции пограничного слоя соответственно
удовлетворяют неравенствам
Z4-.1
(Z)	(Z)	(-1) от,
II (^z) II, II Пк (^z) II
ДЛЯ
0<т0<оо,
оо,
Ко— некоторая постоянная, о>0.
§ 4. 4. Оценка остаточного члена в асимптотическом
ряде (4. 3. 11)
Решение краевой задачи (4. 3- 1), (4. 3. 2) ищем в виде
р+1
и(х,е)=Ир(х,е)+е Е(л,е);
pH
2(x,e)=2p(x,e)+e vj(x,e)v	(4- 4- 1)
где
295.
р
, . V/	(°) / X \	(1)/Х—1 \\
2j^)+Qk	+	ё~)/ ’
кв
zp(x,e) =
(0)
ик(х)+ Пл
a Qk — j , Пк —-—J > (/=0,1; к=0,1,--.р)— функции погранич-
ного слоя, определенные в §4-2; 5(x,e),vj(x,e)—искомые соот-
ветственно п и /zz-мерные векторы, р~ любое целое положительное
число.
Подставляя (4. 4. 1) в (4. 3- 1), получаем
Р
V
dx
к=0
Р
к
е +
к=0
(0)	.
dQK К~1
dr0
к=0
Р+1
+е
dt
dx
p+i p+i г p+i
=fi(x,«(x,e)+e 5,Zp(JC,E)+e 7), \Ki(x,t,ZZp+е Е,
0
Р+1
zp+e vjdt),
Р	р (0) р (1)
V dw* K+I , V к  V dHK к , ^+2 f/
2j dx е + 2j йтв * + 2j e +e dx
k=0	к=0	k=0
p+1	p+i r	p+1	p+i
Up+e i,Zp+e 4 \ K3(x,t,Up+e. %,£р.ц+е Kjldt). (4- 4- 2)
0
Рассмотрим выражение
г	(0)
f\[Kj(x,i,iip,Zp) Kj(x,[,(ip~+Qp ,
(0) r	(0)	(0)
^p+np )]dt+\[Ky(x,t,ap+Qp,/>p+np )—Kj{x,t,ap,bp)]dt+-
o
X	oo
г	(1)	(1) г (°)
+ \ b(j(x,t,(ip,bp)di) f	,bp-^~ Пр , \ [/(y(x,t,a+Qp,
0	0
S96
(0)	f
/’р+Пр)—Kj(x,\.,ap,bp)]di+\[Kj[x,\.,Up,Zp)—
о
(0)	(0) г
-Kj(x,t,ap+Qp ,bp+np )]Л+ \Kj(x,t,ap,bp)dt),
о
где
(4. 4. 3)
Р	Р
ар(х,6)= ^vK(x)eK, <bp(x,e)=^ U)K(x)eK,
к=0	к=0
0), ч X? J1)/ X—1 \	(1) ул Ш/Х —1 \
Qp (Х,е)=	(Т~ И П/ (*>еН X Пк — 1е“.
к=0	к—О
„ . (1)/	1
Сделав замену х=ет0 и пренебрегая слагаемыми Qp I----------------“I и
(0)/	1 \
П I--------- I > выражение (4. 4 3) запишем в виде
(0)	(0)
fXe^^HeTo.e)+QP (ето>е).^ето’е)+п/> (ето>е)>
Г	(1)	(0)
“е \ [K/£Ws.flp(es’e)+Q/> <е8»е).£д(£5,е) + Пр (es,e)) —
"Ч)
оо
—Kj(5t0,sS,ap(es,&),bp(es,e))]ds+&	lK/eT0,es,ap(es,e) + Qp(eS,e)+
0
(°)	Г
+Ьр(б«,е)4-Пр )—ft/eT0,es,ap(es^)^;/6S,e))Ms+s \К/(ет0,
О
ОО
ts,ap(es,e),bp(eS,B))ds) —f^г0,а^0,е)Ьр(гт0„г) [К;(ет0,е5,
О
v J0)	<0>
«p(es,e)+ Qp (es,e),Z?p(es,e)+np ^s,e.))—Kj(ez0,es,ap(es,e),bp(es,e))]ds+
297
(4. 4- 3')
+е /’T/eT0,es,flp(es,e),dp(es,e))ds).
О
Разложим теперь вектор-функции +у(т0,е) в ряды Тейлора по сте-
пеням е
Р—1 , . к (Р)
лс..«)=л('.,о)+ л е.,о) 1;-+	у
К=1
VI (к) ек
^а('го>е)=/:'в(то>О)+ Zj (то>°) Т)
к=\
(Р+0
k_±o>)/+1 -12
(р+1)!	1/1,2
(4. 4.4)
где 0<6<1; Fy(to,O) определяются из рекуррентных соотношений
(р+1)
(4- 3. 161). Особенно следует отметить остаточный член F2 (ТОА)»
для которого справедлива оценка
(р)	—
II Л (т0Л) II (а0^+...+ар\
(р+1)	_ —ат р+1 р
II Fа (т0’^£) Il	(®ото +^2^0 +••+^Ло+^р+1)»
где а0, ae,...,a„,a„+i—некоторые постоянные
Пусть
l)a=max{ai,...,ap^l}, К0=Ка,
—"о p+l Р	— <гс0 р+1
2) е (т0 +т0+...+т0+1)^Д1е т0
3) KiKa=K=const-
Тогда для вектор-функции Fj (t0,Oe) справедливы оценки
(р)	—=Т0 р
II F1 (т0Л) II < Ке т0 ;
(4. 4- 5)
(р+1)	—ат (р+1)
II Ft (т0Л) II т0
Оценкой (4. 4. 5) воспользуемся в дальнейшем-
Рассмотрим теперь выражение
Gj(x,ap(x,e.)+Qp (х,е),Ьр(х,е)+Пр (х,е),	(Ky(x,t,«p(t,e),
О
(0)	(0)
Zp(t,e))~Kj(x,t,ap(t,e.)+ % »Mt>6)+np )ldt+
298
00	X
Г	(°)	(°)	Г
\ lKj(x,t,ap+Qp ,Ьр+Пр )—Kj(x,t,ap,bp)]dt+\f(j(x,t,ap,bp)dt)~
О	о
г	г	(0)	(0)
—fj(x,ap,bp,\Kj(x,t,ap,bp)dt+\ [Kj(x,t,ap+Qp ,Ьр+Пр )—
О	о
— Kj(x,t,ap,bp)]dt) (/=1,2).	(4- 4. 6>)
х— 1
Введем новую переменную ?i=—“—, х=1+ет1. Тогда формула
(4. 4- 6) запишется в виде
G;(t1,ej^/y(l+eT:i,ap(l+eT:1,e)+Qp (1+e'ti,e),/?p(14-8Ti,e) +
+Пр (Ц-е^ьв),в I 1Ку(1+бТ1,1+е51,о:р(1 + BS,6j+Qp (1 +esi,e),/>(H-esi,e)-4-
+Пр (l+esi,s))—KXH-BT1,H-BSi,ap(H-es1,e)^p(H-8S1,e)]dsi+
l+ei!
+ Kj(H-e4,t>flp(6/,)dt)-fy(l + ei>a/,(l+eT1,e),/>/,(l+eT1,e),
0
l+e-tt
J K/l+exbt.flp.^t),/ =1,2.	(4- 4. 6j)
0
Далее разлагая (4. 4. 6t) в ряды Тейлора по целым положительным
степеням параметра е, получаем
G1(t1,b)=G1(t1,O)+	G
к=1	' Р'
(4. 4- 7)
р	(р+1)
VI	&К । G« (ti Be) p+l
G2(t1,b)=G8(4,0)+ 2jG2 (ть°)~7Т+ (n+l)i "e ’ /=1’2
(K)
где 0<6<l, a G/ (t!,0)(«=1,. .,p) точно совпадают с соотв тствующи-
(р+1) „	е
ми членами ряда (4. 3. 6). Для Gj Сч,6е) имеем оценки
(р)	®Т1 Р
II Gt (tj.Bb) || ti,
299
(p+M	СТ! p+1
II Gs (ч,6е) || t! ,	(4. 4# g)
где Д'—некоторая постоянная-
Рассмотрим функции
оо
, f	(°)
Dj(x,e)==f(x,ap(x,e),Gp(x,e.),s \ [Ky(x,es,ap(ES,e)+Q (es,e),
О
(0)
bp(es,e)+/7p (es,e))—Kj(x,es,ap(es,e),bp(es,e))]ds-}-
x
+ (K/(x,t,a/,(t.e),/>p(t,e))dt), /=1,2.	(4. 4- 9)
0
Разлагая эту функцию в ряд Тейлора по степеням е, имеем
Р , .	(Р+>)	, ,
DJ(x,l)=DJ(x,0)+ £ d/V.O) 4+-У,„/п^)	• /=1Д <* -».1О)
ЙГ=1
где 0<6<1.
X
Dj(x,O) = fj(x,vo,wo,^Kj(x,t,vo,wo)dl),
о
(1)	г	(0)	(0)
Dj ^Tj\vM+tjp\lKjixfi,v0(Q)+Q0 (s),u>o(O)+/7o (s))-
o
—K(x,O,uo(O),wo(O))]ds, /=1,2.
(к)
a D; (x,0) (к=1,...,р) точно совпадает с соответствующими членами
(р+1)
ряда (4- 3. 6), Dj (х,6е)(/= 1,2)—вполне определенные векторы,
причем при всех вполне определенных и непрерывных vK(x),wK(x)
(к=1,2,...,р) справедливы неравенства
(р+1)
II Dj (х,6е) || </С0=const.	(4.4-11)
Рассмотрим систему (4- 4- 2)- Прибавляя и отнимая функцию
х
fj(x,up,zp, ^Kj[x,\.,tip,zp)di)
о
в правой части системы (4- 4- 2), преобразуем ее к виду, состояще-
му из слагаемых типа (4- 4- 3), (4- 4- 6) и (4- 4- 9)- Затем правую
зоо
часть полученной системы раскладываем в ряд Тейлора по степеням
е с остаточным членом (р-Н)-го иорядка. Далее, учитывая, что
(0)	(0)	(1)	(1)
вектор-функции (QK (х),Пк (~0)},(QK ('i),/7i (Т1)}.{ук(х),одс(х)} удов-
летворяют соответственно системам уравнений (4. 3- 180), (4. 3- 190)
(4. 3. 181), (4.3. 191), (4- 3. 23к) и (4- 3- 23) (/=0,1;	для
определения функций {$(л,е),-/((л,е)( получаем систему нелинейных
интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра вида
dE 1	р-<-1	р+1 г	р+1
-^+r[AU«p+«	&р+£	Tp\[/<i(x,t,«p+e	6,
о
X
р+1	Г
г^Т-е	fi(x,up,zp, \7Ci(x,t,Wp,zp)dt)]+-
о
.	1	(Р)/ X
(Р+-1)!	( е
(р+1)
£
d-r, 1	P+1 p+l г	P+1
8	=-ypj-[f2(x,Kp+-e |,Zp+e 7],\[/(3(x,t,«p+e
e	0
P 1-1
X
^)dt)—f2(x,up,zp,^K.t(x,t,Up,Zp}dt)]— w'p(x)+
о
______1	(p+1)/ x , \	(p4 l)/x—1 „ \	(p+l)
+	)| [/*2	J+Ga ё ’6£y+A!	(x,6e)]. (4.4- 12)
Применяя формулу Тейлора для выражений, стоящих в квад-
ратных скобках в системе (4- 4 12), получаем
р+1	р+1 г	р+1	р+1
fj(x,up+e. l,Zp+e -n,\Kj(x,t,up+E t,Zp+s ''iMt)—
0
x	x
r	p + l	Г
—fj{x№p.,zp, \Kj{xX,up,zp)di)^=e.	{fju{x^p>Zp<
о	о
x
t,«p»2p)dt)$+" fjz (х^Мр^р, ^/^y(^c,t,np,Zy;)dt)'i'?+
о
x	x
+"fjp^x,upyZpi ^/Cy(x,t,w^7,£p)dt) ^[/’C/^(x,t,Wp,Zp,)£+-
0	0
301
+ /С/2(х,1,Ир,гр)7)]Л)+Ку(лЛ,7),8), 7=1,2	(4. 4. 13)
где
1 2(р+1)	_	_ г
= у® ( fju*2+f yza7ia+ fjzrf+fjp'j \^ju(x,l,
О
2(p+l) *
e f -	p+1	P+1
Up,zp)t]]dt~]--21--\ lKju(x’t,ap+te t,Zp+Oe ?])£ +
О
__.	p+i p+i __________________	p+i
+ 2/C/az(x,t,«p+-6e	£,Zp+0e	7])^+- /C/z2(x,t,«p+-6s E,
P+1	—	_ C
Zp4~68	Vj)v]2]rft)a+-2[ T/uz^7j+- fjupj B(\l^/uC*:,t,Wp,Zp)£(f,s)+-
0
2(p+l) x
£ Г	P*h *
+-/<yz(x,t,Hp,Zp)vi(t,e)]rft+- --—----\[Д/иа(х,1,«+6е	6,
О
p+1	p+i p+i
£p+6e	7])%-|-2/Суи2(хД,ир+-6е i,zp+Ge 7j)bj+-
P+1	P+1
+-KyzS(x,t,«p+6e t,Zp+te 7])v!2(t,E)Idt)+-
X
~b fjipj 71(
o
2(p+l) x
e f —	'	P+1	P+1
+- —2i-------\t ^<ju!(-’c,t>wp_b	^,2!p+-6e 7j)S+-
0
____	p+1	p+1
+ 2^MZ(x,t,«p+-6e B,zp4-0S 7]);7]+-/CjZ2(x,t,
p+1	p+1
ир+-6е %,Zp+f)8	7])v]2]dt)
0<0<1, /=1,2.	(4. 4. 14)
Здесь 7jU2,..-,7fZp., /=1,2, означают, что аргумент берется в некото-
рой средней точке между
X
(x,up,zp,<y\j(x,t,up.zp\dt')
О
и
302
р+1	р+1 г	р+1 г
{.X,ZZp~|~£	?,2^г£	7j, \
о	о
Р+1 X
е f	Р+1
ир>2;р)ьЧ_^С]г(^Л>ир>2'р)711^И_	2|	\ l^jMa(-’(->t>Wp-|-6e В,
О
р+1	р+1	р+1
г-р+бе -*l)S+2/<jUZ(X,t,Kp+6e	5,Zp-f-6e	т])&]+
р+1 p+i
+^jz2(x,t«p+6s E,Zp+Ge Vjjv^jdt)).
Далее прибавляя и отнимая функции вида
X	X
Fju(-!<'i^P>^p>^Д](-^Л^р>^р)^1)^(-^1£)> fjz(x,Яр,Ьр,^К}(х,1,й-р,Ьр)с11у1](х,в)
О	О
И
X	X
fjpj(-x,(ip,bp, ^/Cj(x,t,fZp,/>p)dt) • [A’JU(*,t,ap,/’p)B+
о	о
+^z(x,t,ap,/?p)7]]dt,
выражение, стоящее в фигурных скобках (4 4 13), запишем в виде
Р+1
е
х
О
X
+f]z(x,ap,bp, ^ДДхЛ,ар,6р)Л7](х,е)+
о
X	X
+/jpj(JC>«P>/;p,J /<j(x,t,Gp,fep)dt) ^JiZ(x,t,ap/p)e(t,e)+
0	о
X
A'JZ(^сД,<2р,/?р)-/Д1 ,S)Jr/t I [fju(X,Up,Zp, ^/Cj(x,t,wp,zp)tft)—
0
X
~~fiu(x>^p^bp, ^^Cj(-v,t,Gp ^p)cft)]E(x,s)~l~[fjZ(x,zzp,zp,
0
303
X
X
j ^j(x,t,Up,Zp)dt) fJZ(x,(ip,bp, ^/Cj(-V,t,<ip,ip)tft)]7](x,e) -f-
0	0
X	X
Aj(x,t,Wp,Zp)<it) {[/CJU(x,t,Mp,Zp)—
о	о
^jn(^'>t’Op,/,p)]H_ [^Cjz(X,t,/Zp,Zp) ^jz(X,t,Gp,^p)]Tj]iZt4“
X	X
^jpj^i^p’^p, (x,t,Up,£p)dt) fjpj(^>^p->^p> ^Fj(x,t,ep,Ap)tft] X
о	0
x
X ^[Kju(x,t,ap,/?p)e+/<'JZ(%>t,ap)7i](ft|, /=1,2.	(4. 4. 15)
о
На основании преобразований .(4 4. 5) система (4 4 12) запишет-
ся в виде
-^-=Au(Mi)B+Az(M1)7i+j/1pi(M1)[/<lu(M1)e+^z(M1)7i]dt+
0
+lAu(Mi)-Au(M1)ie(x,e)+[Az(M1)-flz(M1)]7i(x,e)+
X
+AP1(Mi) ^{И1ы(мо)-^ы(мо)]1+ [^iz(M0)-^z(M0)]7iMt+
о
х
+ IfipJMi) -fipJMO] j [K1«(M0)E+/Clz(M0)TJldt+R1(x,e,71,e) +
0
,	1	(p)/ X D \	(p)/x— 1 . \	(p+l)	.. . ...
+ —(Fl . 6eJ+Oi	6s)+£)*	(*»)’	(4‘ 4- 16)
e ==f^(^+fiz(^+ ^2P2(M2)[WM0)l+FSz(M0h]dt+
o
+1Ммг)-/ац(м2)]е(х,е)-м/82(м2)-/2г(м2)мх,е)+
+f2p2(M2) ^K2„(M0)-FlH(Me)lB+[K2z(Me)-F2z(M0)h]rft+
0
304
X
+ lfsp2(M2)-f2p2(M2)] ^2П(М0)5+^2(М0)7]]Л+К2(хЛ,7|,е) +
0
,	1	(р+D/ X n \	(p+1)/x- 1 . \	(p+1)
+ 7Ян)! и» (k~ee;+G« ^“T"’68 )+D« (^)]-^p(A
где
X	X
М]=(х,ир,2р,	MJ=(x,ap,Z>p,^j(x,t,ap,Z>p)dt),
0	0
M0=(x,t,Mp,dp), M0=(x,i,ap,bp).
Имеют место неравенства
X
1) И fju(Mj) fju(Mj) || = II ./jnC^i^pi^p, ^j(x,t,Mp,Zp)ctt)
0
X	ax a(x— 1)
—fju(x>ap,bp’ ^Kj(xA,ap,bp)dt || <K(e e +e E -be);
о
X
2) II fjz(Mj) fjz(Mj) II = II f lz(.X’Up,Zp, ^^](-’СЛ>^р»2'р/Л)
0
X	—ax	a(x—1)
fjz(x’ap>bpj ^K^x,t,ap,bp)dt) ||	-j-e ~b£);
о
II /jPj(M) ./jpj(Mj) II — II fjPj(x,«p,Zp,^/Cj(x,t,Hp,Zp)ift)
0
X	—ax	a(x—1)
-/jpj^.«p^p^j(x,t,a/7d/„)dt) || E ‘ 4-e);
0
x
4) II fJPj (Mj)
0
{[ II Kjw(M0)-tfjw(M)] 11+[ II tfjz(M0)-
X
-tfjz(M0)l И }dt+ II [fjp/Mj) - fiPj(Mj)] || II tfja(M0) II +
20* 2790
305
>(х—1)
+ II Xjz(M0) II ]dt II <K(e £ + e 6 4-e),
где некоторая положительная постоянная, зависящая от произ-
вольных /zzi и яг2-мерных векторов, входящих в устойчивое много-
образие систем уравнений пограничных слоев- Точная граница этой
постоянной будет показана несколько ниже-
Займемся теперь исследованием системы (4- 4- 16). Подста-
новкой
т1'Х,е)=-/-1^М2)/2и(М2)В+т(х,е).	(4. 4. 17)
система (4- 4- 16) приводится к виду
х
Г
—= //tX,e)g-f- \[/<1l(A-,t)S + /(12(x,t)-r|dt + /lll(X-,S)§ +
0
X
+Aa(x,e)Y-|-f [ Лц(хД)В+ А\ч(хД)7]бЙ+
0
+ Ri(X,?,T,e)+^p(x,e);
x
Ну	с
e dx=^M^l+ \[^ai(x,t)f+/C82(x,t)Tldt+^2i(x,e)g4-
0
X
+ A2(x,eh-|- ^1 K2i'-X,t)^4-AC22(x,t)i]dt-f-
0
+ R2(x,s,i,e)+B (x,e),	(4. 4. 18)
где
H(x^=flw(Mi) - ftz(Mi)f-12z(M2)f2n(M2),
Kji(x,t)=fpj(Alj)lKjU(M0) K^z(N\0)f~ 12z(Ma)f2u(M2)], /=1,2
Ki2(x,t) =/1р/Мр^2(М0), /=1,2.
Ai(x^=[fiU(MJ-)--fjZ(Mj)l-[/jz(Mj)-fjZ(Mj)]-1f2z(M2)/2w(Ma);
1=1,2.
Др<х,е) =fJz(Mj)-/jz(AAj); /= 1,2-
М*Л)=/Ц(М1){ [Kjn(M0) -tfj«(M0)l- Kjz(M0)-
-^jz(M0)]/-12z(M2)f2u(M2)}4-[fjpj(Mj)-/j/,i(Mj)]^jw(M0)-
-^2(М0)/-!г2( Мг)Л„(М2) ]; j = 1,2.
306
Kj2(xJ)=/JPi(Mp[^z(M0)—Kjz(M0)]+[/:3Pj(»4j>—
X^z(Me); /=1,2.
'R1(x,e,T1e)sR1>,S,-r12z(M2)bM(M^+,TJB),
л / ч 1	(P)/ x _ \ Шх—Ч B \	(P-H)
Ap(x,e)= —------- ( Fl ( —- Be J _|-G ( -Г-, J+Pi (X»)
R8(x,e>T,£)=Ra(x>e,-f-2z(Ms)+b«(Ma)B+T,£)+
+/1Z(M1)T+e(f-%z(M2)A,(M2))l +е/-\2(М8)/лн(Мг) X
X
X (H(x,e)H/u(Mi)T+ ^[Kii(x,t)E+Ki8(x,t)Tldt+
0
x
+А1(х,е)Е+Л12(х,е)у+ Ки(х№+К1г(хЛУ{]Л1+
+R!(x,e - r12Z(M2)/2a(M2)l+Y ,e)},
Bp'x,^
_1_	<р+Ы_х_
(p+V)T [F*	^e’
\ (₽+0/«—1	\ ,
Be JIG I’T”’ J +
(p I-1)
+02	(x,6e)j—u),p(x)+ef-1Sz(M3)/2u(M2)Ap(x,e).
Очевидно, что непрерывные матричные функции Aik(x,з),КJK(x,в),i,к =
= 1,2 и Ар(х,е), 5р(х,е) (где р — целое положительное число) на ос-
новании оценок (4- 4- 5)’, (4- 4. 8), (4. 4- 11) и (4- 4. 17) на сегменте
(О, 1) удовлетворяют неравенствам
—ах а(х— 1)
II Лк(х,е) || <Л(е +е £ ),
—ах	а(х—1)
II К[л(х,в) ||	+е ),
—ах	с(х—-1)
~~Т~( X \р+1	~/х-1 V+1
II Вр(х,г) II <К[€ g J 4-е	+е1,
—ах	а(х—1)
—~/х\Р ~T~fX—l\P. ,
II ЛрМ || <К[е ( Tj+e (jT-j +е1, <4- 5- 19>
где K=consi, К>0. Пусть на сегменте [0,1] существует непрерывно
дифференцируемая не вырожденная матрица Р(х).
307
где
Подстановкой
Т(л,8)=Р(х)
ш(х,е)
Д(л,е)
о>(х,е)=-(и>1,-..,и>ОТ1),Д (v.s)^(Aj......Д^), (»ii4 /П8=/п)
система интегро-дифференциальных уравнений (4- 4. 18) приводится
к виду
X
CIX	I	у 4*1 I
0
Ч-Дц(х,е)1+.Л12(х,е)/э(х
a>(x,e)
Д(х,е)
x
Ь [^n(x,t)£+
о
~	/ <e(t,e) A —	{ u>(x,e) A
+K12(x,t)P(t)( Д(м' jidt+Rdx.e./V)^ д(хе) ) л)+Лр(х,е),
(4. 4- 20)
/ \
I dx I	/ (u(A',s) A	/ w(x,e) A
•	=',-,w.fe(wp(x)( a(M )-.^Wp'W () +
\ dx /
x
+ P“1(x)\[^1(x.t)E+^2(x,t)P(t'. f )]dt+
J	\ A(t,e) /
0
/ w(x,e.) \ ,
+ P-1U)/l21(x,e)=+P-1(x)422(».£)P(x)	' +
\	J j
X
-4 P~\X) \ 1К21(Л-Д)Н ^22(A-,t)P(t)	/ ]rft +
J	\ Aft, 8) /
G
+ P(x)R2(x,?/V)(	)^) + P~1(x)Bp(x,e).
Так как, по предположению, тХт- матричная функция Р(х) удов-
летворяет пункту 3) условия (Л), т. е-
Р	( В^Г( Q )
С/ \ -X j '
матрица такая, что вещественные части всех корней ^i,- -Jmi(x)
характеристического уравнения
dct(>^mt-B(x))=0
удовлетворяют неравенствам
308
Ree/kf(x)<—2s<0.
C(x)—m2+mz матрица такая, что вещественные части .всех корней
Pi(x),...,p.pl2(x) характеристического уравнения
№№т,- ОД)=О
удовлетворяют неравенствам
ReeZjii(x) >Sa>0,
где а—некоторое положительное число, Ет1 и fOTg—единичные мат-
рицы соответственно видов	т2>'т2.
Запишем теперь систему линейных интегро-дифференциальных
уравнений (4- 4- 20) в следующем виде
X
~ =Н(х,е)Е+ (l№ii(x,t)g(t,e)+№la(v,t>(t,s)4-
сХл	1
D
+№13(х,0Д(1,е)]Л+Л0ц(х,е)Е+Л012(^8)и,+^°лз(х,е)А +
X
+ ^[№ii(x,t)H-№12(^.t)a’+№ia(xst)A]^+51(«,£,w,n,®)+4(x,e)>
о
х
€	=B(x)w(x,e) -I- ^№81(x,t)8+ra2(x,tH+^°23^,t)Aldt+
о
+Л021(х,е)В+Л028(х,в>+Л*23(х,^)Д+
х
+ J	Л Н+
о
(1)
+ Х2(х,5,®,Д,е)4-Вр (х,в);
х
db.	Г
е —-=C(x)A(x,e)-i-\[/(oei(x,t)S+№s2(x,t)ao+7<%s(x,t) A]dt+
иЛ	||
о
х
4-Л081(х,е)$+Л0з2(х,е)и)+Л0зз(^,8)Д+^[№з1(*Л)£+^082(*Л)£|У+
0
~	(2)
+К03з(*Д)Д]Л+£3(хЛ,ш,Д ,е) +Вр (ХЛ),	(4. 4- 21)
где
К\1М=Ки(х,1), А>а(х^Аи(х,б), Р{х)=^Р1,Р^,
зо.ч
К°Й(*Л)=*М*Л)Р1(1), /c°13(x,t)=^2(x,t)p2(t),
Л012(х,е)^А2(л,е)Р1(х), Л°1з(х,е)^Л18(х,е)Р2(х)>
ЗДИШ), №i2(x,t)=/G2(x,t)Pi(t),
ад \ =
^иС^Л) /
M’aifx.e)'
W°3i(x,s);
/C«’13(x,t)=^s(x,t)Pa(t)
—	( w(x.s)
Si(x,5MA,e)sRi(*,5,PW( ' .
' 4i^A5jS)
( } 2 ’ ’ U(*.t)№t).
М°2а(х,е)А°аз(*л)'
'‘Лз2(л,е)Л°зз(х,е)
, e),
'Wi«2(x,t)P(t),
})
^=p-\x)AM(x,^P(x)
=P-\x)K^xS)P(Dr
\ S2(jc,B,W,A,e)
дЛ’*.) ) •)-•₽-*<•*№'«( ”(*’*’).
/ (V Л

-р-\л)Вр(х,е)-
(4- 4. 22)
Ц/Мл,в) H <K(e
—at
II ЗД) II <К(ё
Очевждно, что непрерывные матричные функции А°1к(х,г), K°/K(x,t)
K°pt(x,t) (i,«= 1,2,3) на сегменте [0,1] удовлетворяют неравенствам
1)
+е ), i,K= 1,2,3
е ), /,к=1,2,3
—st	a(Z—1)
II K°iK(x,t) || <K(e 6 +e £ ), i,K= 1,2,3
где К—некоторая положительная постоянная, зависящая от нормы
начальных векторов для функций	Пк^	(к==0,1,2,---,р).
Эти начальные векторы по определению принадлежат к устойчивым
многообразиям М+ и М~-
Функции Sl(x,^,w,A,e),'J= 1,2,3 обладают свойствами:
1) S,(x,0,0,0,e)=0,
310
(2) (2) (2)	(1) (1) (1)
2) II Sz(x,$ ,w ,A, e)—Sf(x,E, w, A, e) II
(2)	(1)	(2)	(1)	(2)	(1) ’
<8{ II e -E 11 + || w -w || + || Д -А II I (4. 4. 23)
(2) О) (2)	(1)	(2)	(1)
при II £ II , II S II ,11 w ||, || w II , II A || , || A || О, где p—малое
положительное число Установим теперь дополнительные условия
для системы ;4 4. 21) Из (4. 4 1) и (4- 3. 2) имеем
„ Vi	(°)	(’)/	1 \	Р+1
u(O)=no=2j(^(c)+Q« (O)+Qk (—г;>*+8 W)~
к=0
0
S(0) к p+1
(M0)+QK (0))e +e g(O,e).
k=0
Так как
vo(0)=u°,
OO
(I) г
M0)=- Q« (0)= \H„(s)ds,
0
то l(0,e)=0. Из второго краевого условия (4. 3 2) для (4. 4- I)
имеем
(°) ОУ 1 \	Р+1
“( 7 (®'к(0) +ПК (0)+Пк (—гРе"+е	71(°’е))+
к—0
VI	(0) / 1 \	(1)	р+1
+₽( 2j (®«(—1)+/7к (— )+Пк (0))e«+e	71(l,e))=z«.
к=0
Ранее было показано, что
(°)
1)	a(tyo(0)+77o (0))=az°;
(1)
2)	₽(^0(1)+Л0 (0))=₽z°;
(0)	(О
3)	а(»к(0)+Пк (0))=0, ₽Н(1)+/7К (0))=0
(0) ч
причем, при определении вектора /70 (0) остальные т2-компоненты
вектора z° должны принадлежать устойчивому многообразию Мо+
системы нелинейных уравнений (4 3 8), а при определении вектора
(’)
/70 остальные тг- компоненты вектора z° должны принадлежать
устойчивому многообразию Мо- системы (4 3 26), тогда
311
av](0,e) -f- р?;( 1 ,е)=0-
Подстановкой
(4. 4. 23')
W(X,e)= — B-1^) I K°21(x,t)$+Koa2(x,t) w-f-
0
+K°a8(x,t)A]A+ w(x, e),
X
A(x,e) = — c~\x) [ K31( x,t)£+К°8а(х,1)и;+
0
4*K°33(x,t)A]dt4"Ao(^>e)-
Система интегро-дифференциальных уравнений (4. 4. 21)
которых преобразований приводится к виду
=Н(х,е)е+ ^К00п(хЛ)НК00»(хЛ)№4-К0018(хЛ)Д’]Л+
о
+Д011(х.е)54-Д°1а(х,е)'К>+Д013(х,8)^+
(4. 4. 24)
после не-
+ у K00Ji(x,t)HK00li(x,t>4-K00ls(x,t)A]dt+ S1(x,E,«U,e)+
о
+Др(х,е),
X
г^®В(х)и + ^К00а1(хД)54-К00аа(хЛ)№4-Квоаз(хЛ)Г1Л+
dx ' J
о
+А(М^Л°и(л,е)Д+
X
r ~	~	~__________ (1)
+ \lK0021(x,t)S + К00га(хЛ>+К00а8(хД) AjdH- St(x,l,w, Л,г)+Вр (X,e),
0
e §L=C(x)A+\[K,,%i(x,t)$+K"08a(x1t)w +K°°33(x,t)A]dt+
dx	J
0
4-Лв31(л,е)?+Л088(х,е)®4-Л038(л,е)Д4-
r~	~	~__________ (2)
+ \[К0031(М)НК0()зг(хЛ)ш4-К0()33(лЛ)Д]Л + S3 (x,l,w, Ь,е)+Вр (x,e),
(4- 4- 25)
312
где K°M*,t), K00/K(x,t), 1,к~ 1,2,3— известные матричные функции,
удовлетворяющие тем же неравенствам (4- 4- 22).
Обозначим соответственно через Ve (x,s), We (x,s) фундаменталь-
ные матрицы систем
dw — d A v*
•^=В(х)и,
и через O(x,s)— матричное решение системы
х
=^Н(х,е)£4- jK0011(^,t)?(t,e)dt,
где s—некоторый параметр, se[O,lJ- Тогда для норм матриц Ve (x,s),
We (x,s) и ®(x,s), в силу лемм из § 1 настоящей главы, справедли-
вы оценки
—а(х—s)
II Ve (*,s) II <Кое £	; (0<s<x<l)
—c(s—л)
II we (x,s) II <Koe 6	; (0<x<s<l)
II ®(x,s) || <K0; (0<x,s<l)	(4. 4. 26)
где Ko—некоторая постоянная, a>0—const. Систему интегро-диффе-
ренциальных уравнений (4. 4- 25) преобразуем к системе нелиней-
ных интегральных уравнений
X	t
5(х,е)= (Ф(ХД){ J [K001i(V)®+K0018(t,v)A]dv+X°u(t,e)S-|-
0	О
t
+X°ia(t,e)m+^°13(t,e) А + JI K0011(t,v)?+K0018(t,v)®+ K0013(t,v)A ]dv+
0
A,e)-Mp(t,e) J di,
x	t
(x,O)wo(O,e)+ (vs (x,t)4~{ jlK^t^+K00^,#!-
0	0
+ K00a8(t,v) AlJv4-^°21(t,e)$+^08i(t,e)^+^°23 (t,e) A-|-
t
+ ^[K00ai(t,v)e+K002.(t,v)©+ K00a8(t,v)Aldt +
0
313
~___________ (1) )
+ S2 (W, Д,е) 4-Bp (t,i) \dt-
1	t
A(X,£)=r£ (x,l)A(l,e)H-^	U.o-^ { ^°°si(^v)$+
x	О
+№°ss(/,v)m +^°33(/,v)A )^+Л%1(',е)Е+Дозг(А«) w +
t
+Л°33 (Z.e) Д + /С0031(О)Н- Л'0031(/лН+^(1%3(/л) А1Л+
0
~	__	(5)	)
Ч-53 ( ^, 5, Д,е)-|-Вр (Ле) | dt,	(4. 4- 27)
где ш(0,е) и Д(1,е)—произвольные mt и /тга-мерные постоянные
векторы.
Пусть М— пространство всех непрерывных (»4~wh+ma) — мерных
векторных функций
ft(^,e) = {?i(x,s),...,5n(x,e),®1(x,s)„..,Smi(x,e),A1(x,e),...,A^s(x,e) }
на сегменте [0,1]. Норму в этом пространстве определим по правилу
п	mi
II Л(х,е) И = У max | £к(х,е) | + У max | а>к(х,е)1 +
0<х<1	0<х<1
к=1	к=\
т3
-ф У । max | Дк(х,е) | .
0<х< 1
/с=1
Определив расстояние между элементами этого пространства в
виде
h
II h2(x,e)—hi(x,e) || = У max | ?2к(л-,е)—^Дх.е) | -ф
0<х<1
/^=1
JW1	/Па
+ V max | w2K(x,e)—оАДх.е) | + V max | Д2Дх,е)—Д^х.е) | ,
±Т0<х<1
получаем полное метрическое пространство [145]. [208], [216]-
Правую часть системы нелинейных интегральных уравне-
ний (4- 4- 27) рассмотрим как воздействие некоторого опера-
тора /-’[-] на векторную функцию Л(х,е\ Нетрудно видеть, что при
достаточно малом е и К оператор Р[-] отображает точки простран-
ства М в точки того же пространства. В самом деле, пусть
314
1) max { \
0<x<l I J
1 (1)
[ II Ф(х,0 II II Лр(/,е) II 4- II Ve (X,0 II -7 Ц Bp (Ae) II +
0<Е<1	6
(2)	)
+ fl Ws (x,t) II II Bo (M II ]Л4-СО( II ve (x,0) a + || rs (x.l) I! ) </?,
R=cons/;
2) II u>(O,e) II =
kk0
3)	0<e< Af2(//o)+7Vs(//o)+M(//o) ’
__ox	a(x—-2)
e	e
—e
—q(x+1)
s ,
4)	0<K<
o(l—x)	c(x—l)
4-2ae
(L_^) )+9o-i(e
8
OX
e
где
2ox
------e
e
5)	II h(x,e) 8 <У/0”= const,
Нетрудно убедиться, что при е->0
lim H^-AR—const
е—>0
Покажем теперь, что оператор ^[/i] отображает
М в точки того же пространства. Имеем
х	t
И P(h) || </?+ max I || Ф(х,0 || К[ || Л0012
0<x^lJ	IJ
0<е<10	0
3
+- II №°13(Av) 8 ]<Ы/0+ II Л°1к(/,е
К=1
точки пространства
t з	2(р+1) Р+1
(У и №°ix(r,v) И 8----------------] dtv
X
+ max ( || I/E (x,t) ||
0<х<1 J v
0<е<1 0
[ II II +
1
2K0 ;
0 —

2
E
—e
315
+ II KOO„(/,V) li + II Л?°23(/л) II jtfr. ff0+
+( И Л°21(Ле) I! + В Л°22(/,б) II + II A°2S(/,e) II )//(,+
t
+ II /С00и(А*) II + Я К0022(Ь) II + П tf00,3(*,v) и ]//orfv+
0
2(p+D
P+1	1
M(e Яо)-^- dt+
1	t
+ max [ || We (x,t) I) -L ( G || №°31(^,v) II +
J	e ( J
0<e<l x	0
+ II Я°°31(М) II + И A0033(M И ]//0Л + ( II A°31(t,e) II +
t
+ II Л°32(/,е) 11 + II A°33(/,e) II )/70+^ [ к tf0031(t,v)+
0
~	~	2(p+l)	P+1	№ )
+ II A,003S(t,v) || + II Я°°зз(1л) II	Af3(e	Ho)~2^|
X t a_	c(\—1)	a	a(t— 1)
<^{[^ lK2 E\e 6 )dv+3K(e~ e +-e £ )+
о	0
*	Ф—1)	2(p+l)	p+1
+K ( 3(e	+e E )dv]H04-  -----------------------------^)\df+R+
1	jL	I
0
о	0
~0>l	1)	2(p+l)	p+1
+3K^(£ E +e °	E-------------^pt+
0
c(t—x)	t ov	(d—1)	at	a(t—1)
E 3K^(e E +e E )^+3K(e s+e e ) +
t pv	a(\—1)	p+1 p+l
+ 3kG«T e 4-e E )rfvX + ~——°Nj(l _^oLl rft<
I	I	JI
0
< KK0[
29e
a«
316
ax
)H0+
+ ^+4N,(H0)+N,(H0)4-N3(H0)№ +/?< но + е£Н%+ л==н
Отсюда следует, что оператор Р|-] отображает точки пространства
М в точки того же пространства.
Покажем теперь что оператор Р[ • ] есть оператор сжатия. В
самом деле,
х	t
II Р[Л2] -P{h,A || <	|| Ф(хД) || { ^[К°°12(М II + II K0018(t,v) || ld»+
0	о
t
+ II A°„(U) II + II A°12(t,e) II + II A°l3(t,9 II I II K00n(t,v) II +
о
+ II K00l3(t,v) II ]^4-*М II Ла II , ||ЛХ II )}Л+
+ (j II Ve (x,t) II -Г { II K003i(t,v) II +
О	о
+ II K0022(t,v) II + и K0023(t,v) II ]dv+ II A°21(U) || + || A'M(U) || +
t
4- II A°2S(t,e) II 4- J I II K0021(t,v) II -г II K0022(t,v) II +
0
4- II K0033(t,v) II ]dv+eA2( II ft. II, II Й! II )}dt4-
i	. t
4- II (*,t) || ~ { JIII K0031(t,v) Il 4- II K0081(t,v) || -b
x	0
+ II K0033(t,v) II ]d>4- II H31(t,e) II + II A°32(t,e) II + II AMU) II 4-
t
4- J [ II K°MM) II 4- II K0032(t,v) || + || K°Mt,v) || i^+
0
317
+еМ( II Й2 II, II hi ||	II h2(x,*)—hi(xS) II •
Так как по предположению постоянное положительное число К зави-
сит от произвольных начальных векторов, входящих в устойчивые
многообразия Л1+ и М~ систем дифференциальных уравнений пог-
раничных слоев (4- 3. 18), (4- 3. 35), (4. 3- 39), (4- 3- 40), (4- 3. 23)
(см. § 1. 3.), то число К подберем так, чтобы выполнялось нера-
венство
ох	о(х—2)
£	Е
/«1/2гС0[1-|-2»з	1о_1е-рЗ(2с)—— е -ф
о( 1—X)	п(х—1)	_ o(X-pl)
4-2о<? е - Ц-— ) Т-Эа-1^	— е 4-
__ GX
। 2&х л е	1	t
I	“	£	<*-ч	*1
Из неравенства (*, *,*,*) вытекает неравенство
II	P[hi} —Р[Л1] II	II h2—ht ||.
Следовательно, оператор Р[-] является оператором сжатия- Поэтому,
на основании принципа сжатых отображений, система нелинейных
интегральных уравнений (4- 4. 27) имеет единственное непрерывное
решение, зависящее от двух произвольных векторов. Это решение
находится методом последовательных приближений. Пусть
£/V) = j Ф(хЛ)
о
t
{ J[K0012(t,v)^_1(v)+K0013(t,v)Aj_1(><)]^ +
0
+A°1J(t,e)^_1(t)+-^°12(t,^j-i(t)+Л°1з(1,е) Aj-iO-b
t
-ф [K00u(t^)ej_1(v)4-K0012 (t,v) ®H1(v)+K0013(t,v) Aj-iCv)]^ +
0
+ <$1 (t,	1,	1, Aj—1,е)-ф Ap(t,e)
dt;
x	t
^(XjE)==lze (A',0 )w(0.9+ Jiz£ (x,t) — { JlK°%1(t,v)f]_1(v)+
0	0
+K00ai(t,v>j-i(>)+K00S3(t,v) AJ_1(v)Mv+A°21eJ_1+A02smh-1+
t
+^%3(t,E)Aj-1+^i<0021(t v)£j-‘+ K“K(t,»)4-i+K“23(t,v)AH +
0
318
Aj(x,e)=W£ (х,1 )Д(1,е) +
(t,s)
t	1
w£ (x.t) ^[K00ai(t,v)eJ_1+
0
+K0032(t>v)wj_1 + K0033(t,v)A7_il^+A081(t,e)ej_1 +
t	+A°3a(/,e)aij_i+A033(t1e) Aj_i+
+ J[K3i(t,v)ej_1(v) + K«032(t>v)^-i(v)+K0033(t,v)A;_1(v)lrfv+
0
~	(2)	1
+ S3(t, Sj—j,	+	(t,E) |dt,
5o(t,e)=0; ffi>o(t,e)=O; Ao(t,e)^0, /=1,2,...
— последовательные приближения Пикара-
Так как
о	/ii(x,e) = U1].(...,enj,a)ljwmij, дц AWfj},
II Л1—h0 || </?=const.
Имеем
ax g(x—2)
® s
||ft;(x,e)-ftj_1(x,e) II <KK0[l+29a-2e+lla-1e-|-3(2a)-1(e ~e +
g(1—x)	g(x— 1)	— o(x';l)
£	(1--x) | . Л 1/ e	6
+ 2 ex	—~------I +9° x(£	—e	+
GX
£
, 2°x
+ -Г" e )] n Aj-1—Alj-a II •
Так как постоянное число К удовлетворяет неравенству (*,*,*,*), то
из последнею неравенства вытекает неравенство
l|Aj(^,e)-/lj-i(x,e) II	II /lj-i(x,e)—/lj_2(x,e) И .
Отсюда следует, что
II ^2 hi ||	II hs—h21|
II fti-Vi a <
Следовательно, построенные последовательные приближения схо-
дятся абсолютно и равномерно. Пусть
Ц Л(х,е) || <7/0=const.
Покажем теперь, что эти приближения не выходят из области
II h(x,s) II <A70=const.
Имеем
319
II А/Х.е) || < У j Ц hr(x,e)~hr-i(x,e) || <
r^l
+	+-+ -^-)<2R<H0.
Отсюда следует, что
й hs(x,e) || </У0
при всех /—>оо. Отметим, что из неравенства (*,*,*,*) вытекает, что
начальные неизвестные векторы, входящие в устойчивые многообра-
зия М+ и М~ систем уравнений пограничных слоев, должны быть
малыми величинами-
Произвольные векторы w(0,e) и Д(1,е) определяются из крае-
вых условий
ац(О,в) = О, ₽Tj(l,e) = O-	(4- 4. 28)
Из первого равенства (4- 4. 28), с учетом соответствующих преоб-
разований (4- 4. 17), (4- 4- 19), имеем
-а/,2-’(0,«р(0,е),&р(0,е),0)Аы(0,ар(0,Е),^(0,е),0)5(0,е)+«Т(О,е)-=
T«W-«₽(O)(	) 0.
(4. 4. 29)
Разобьем теперь матрицу Р(0) на четыре ,ящика":
Р(0)= (
Р11 Р12
Р 21 Рц
где Р1К(/,к=1,2)—постоянные матрицы соответственно размерностей
^iX/Wi;	тгХтг, msXme; т^т^т-
Тогда система (4- 4- 29) запишется в виде
а(Рпш(0,е)+ Р12Д(0,е))=0,
отсюда а>(0,е)=—р-111Р12Д(0,е). Из второго условия (4. 4. 28)
получаем
1
--Н1 ,ар(1 ,е)Л/1 ,е)К.( 1 ,i,ap,bp)dt) X
о
1
Xfiu(l,ap>bp, ^Kj(l,t,flp,Z>p)rZt)5(l,e)-j-
0
320
W( 1 ,e)—
1
0
+h(U)=-fr\zM(i,e)+ PAD
i
A (1 ,e)—C~1( 1 [Al 2i( 1 ,t)B +
0
4~Afi2(l,t)aa+Al13(l ,t)A \dt
+ Al22(l,tH+2M23(l,t)A]dt
1 ,e)+Р22Д( 1 ,e) = ₽ {f-W • )f 2«(' )B( 1 >E)+
1
+B~r( 1)	,t)E+TM12( 1 ,t)A+M13(l/>]Л+
0
1
+C-r(l) ^[7M21(l,t)H^22(l,t)A+ Af2S(l,t>]dt j
о
Следовательно,_
1
+₽ | B-^l) ^IAIUE+A112A+M13w]rft+
0
1
+C-1(l)^[Afsl(l,t)e+Al22(l,t)A+2M23(l,t) Й<й}-
0
(4. 4. 30)
Пусть вектор-функции {Z,w, А} систему
(4- 4. 27) обращают в тождество. Тогда
интегральных уравнений
1
®(1,е)=1/£ (1,0>о+
6
t
(1	j ^K^ia.vjg+K^ct^) ®+
0
+K0023(t,v)A]r7v+^0;il(t>s)E+A022(t,8> + A°23(t,e)A4-
21* 2790
321
t
г ~	~	~	~	(1) I
+ \[K00!!1(t,v)B+	+ S,(t,...)+£p (t,8) rft;
о
i	t
1(0,^117 (О,1)До(1,е)+	(0,t)— { ^K0031(t,v)5ФК°°32(^>+
0	0
4 K0033(t,v)A1^4-A03i(t,e)i-rA032(t>e>+A°33(t!e)A +
t
r ~	~	~	~	(2)
+ \[K003, (t.v)l+K003a(tJv)^+K0033(t,v)a]^+S3(t> -)+Bp (t,e)}<ft.
О
Следовательно, из последнего тождества вытекает, что если зада-
ны произвольные векторы ш(0,е)==w0, Д(1,е)=д0, то определяются
ВеКТОрЫ (йУ(1 ,е),Д(О,£)} -
Предположим теперь, что заданы векторы {со(0,е),Д(0,е)}. Из
равенства (4- 4- 30) определяется вектор Д(1,е), а из тождества
1	t
(1 ,О)До+^ГЕ (O,t)~^[Ko«sl(t,^+
о	о
+Kw,2(t,v)t0 +K°°33(t,v)A]dv+ A°31(t,e);+A03i(t,e>+A%3(t,e)A +
r ~	~	~________ (2)	1
+ \[K003J(t,v)S+ K0032(t,v)№-bKM33(t,v)Al^+S8(a№,A,e) +BP (t,e)kft
0
определяется вектор щ(0л).
Из этих соображений следует, что между векторами {ш(0,е);
Д(1,е)} и (ау(1,е), Д(0,е)} существует взаимно однозначное соответст-
вие- Таким образом нами доказана следующая
Теорема 4. 4 1- Пусть: 1) вырожденная система (4- 3. 1)
имеет некоторое непрерывно-дифференцируемое решение (и(х),ш(х)};
2) существует невырождающаяся дифференцируемая матрица Р(х)
такая, что
P~1(*)faz(*,t,,a’,
с	I В(х) О
\ K2(x,t,‘P,to)dt)P(x) =Ц0
о
где В(х) —матрица порядка m^nii, имеющая собственные значения
только с отрицательными действител! ными частями; С(х)—матрица
порядка (т—имеющая собственные значения только
с положительными действительными частями; 3) для произвольных
векторов, входящих в систему уравнений пограничных слоев
(4- 3- 180), (4 3 35),  ,(4- 3 22к), (4 3 62), справедливо нера-
венство
322
ПХ
о'*—2)
0<K< 1/2 K0[l+29a-ae+llG-1e4-3(2a)-1(e
о(1—X)	с(Х—1)
е	(1—*)	6
+ 2ге	—- - +9а-\е
Е	Е
-е +
р(х-М)
£
—е	-И
2аХ
---- £
ОХ
Е
Тогда краевая задача (4. 3. 1), /4- 3. 2) при
°<&< |7К0К+М(г0)+Ч(г0)+ Wo) J
имеет единственное непрерывное решение, представимое в виде
VI/	(°) / х \	0)/w—1 \\	Р+*
«(x.s) = 2^ (»«(*) + Q« I ~)+Qk (I) еК+е ё(Х,е)’
/ \ //
Z(x,e)
(0)
шк(х)4-Пк
0)
-\-Пк
р+1
еК4~е т](я,Е)»
(0/х—I \	(0/ х—I \
где Q* V~—I, Пк {—Z—) (/=0,1)— функции пограничного слоя,
причем
ах
(О)/* \	- Т
llQ4Tjll<Ke ;
ох
(0)(х\ -Т
II Пк{-) U <Ке ;
о(х—1)
(l)/x —1 \	---в’ '
и q< ii<Ke ;
о(х-!)
(i)/jc—1 \	—;—
II Пк	— J || <Ке ;
К—некоторая постоянная, а>0, а функции (£(х,е),7|(х,е)| при е->0
на сегменте [0,1] равномерно ограничены
II 5(х,е) || , || vj(x,s) || <^K=co/zst.
Следовательно, при е->0 на интервале (0,1) решение краевой задачи
(4. 3. 1), (4. 3. 2) сходится равномерно к решению задачи Коши
соответствующей вырожденной системы.
323
§ 4.5. Асимптотика решений краевой задачи для нелинейных
мнтегре-дифференциальных уравнений второго перядка с малым
параметром при старшей преизведной
В этом параграфе рассматривается интегро-дифференциальное
уравнение
е?у"(х)—Р2(*)у(я)=Х ^K(x,t)y(t)rft+ef(x,y)	(4. 5- 1)
о
с краевыми условиями
у(0)=0, у(1)=0.	(4. 5. 2)
Здесь Р(х) непрерывная функция на сегменте 10,1}, причем Р(х)>0;
K(x,t) непрерывна в квадрате	f(x,y) непрерывна и опре-
делена в области
/?{0<х<1, —оо<у<оо}.
Формально полагая Е=0, из (4. 5. 1) получаем
1
Р2(х)а(х)=Х K(x,t)u(t)fZt.	(4. 5. 3)
О
Пусть при Х=Х0 уравнение (4- 5. 3) имеет бесчисленное множество
непрерывных решений вида
СО
v(x)==^Ck?k(x),	(4. 5. 4)
К=1
где Ск—некоторые произвольные постоянные параметры. Так как по
предположению вырожденное уравнение и^еет бесчисленное мно-
жество непрерывных решений вида (4- 5- 4), то возникает вопрос,
к. кова структура решений краевой задачи (4- 5. 1), (4. 5. 2)? Имеет
ли краев; я задала (4- 5 1), (4. 5- 2) единственное непрерывное ре-
шение? Если имеет, то сходится ли это решение к решению соот-
ветствующей вырожденной системы при е-»0- В дальнейшем, не
оговаривая особо, предполагаем, что известные функции P(x),K(x,t),
f(x,y), входящие в уравнение (4 5- 1), имеют непрерывные произ-
водные до требуемого порядка по аргументам х, t, у в некоторой
ограниченной окрестности множества точек х, t, v соответственно.
Отметим, что малое нелинейное слагаемое ef(x,y) в задаче
(4- 5. 1), (4- 5- 2) является существенным в рассматриваемой теории.
Отметим, что задача Коши у(0)=уо для уравнений вида
1
гу’+Р(х)у=у ^K(*,t)y(t)dt-Hf(x,y)
о
(4 5- 5)
рассматривалась в работе [142].
324
Случай когда f(x,y)~0 рассматривался в работе [37). Здесь
устанавливается асимптотическая оценка решений задачи (4. 5. I)
(4- 5- 2) с любой степенью точности относительно малого параметра
е. Асимптотика имеет степенной характер.
Формальное решение задачи (4. 5. 1), (4. 5. 2) будем искать
в виде
ОО	СЮ
y(x,e)=v(x,)+Y М*)£"+	<4‘ 5- 6>
к \	кО	'
\	/1 __X \
— \,ПА—-—I, с„(л)—произвольные функции.
ловия у(0) = 0, у(1)=0 выполняются, когда
Q«(0)—МО); /7«(0)=-МП;
Q^-l^QK(co)=0; /7к(±)=/7к(а>)=0.*
Краевые ус-
(4- 5. 7)
Для произвольных функций ®п(х), не задаются дополнительные
данные- Формально подставляя (4. 5. 6) в (4- 5- 7), получаем
со	СО	ОО
№=0	tf -0	АГ--О
оо
—p2(x)i	м*?* ь
к=0
к=0
00
со
К=0
СО
1	оо
=Л S K(x,t) Y
о	к=0
«.(»)"+ У <ь(-9 •+ У". (V
к=0
•О	ОО	00
+е/ (х> Ym*)£k+ ^(~г)	»	(4-5-8)
к=0	к~0	к~0
X -1
где и0(х)=1>(х). Обозначая через т=—,	, делаем необходи-
мые преобразования в некоторых слагаемых выражения (4- 5- 8).
Имеем
оо	-со	оо
1) Р2(мУ Qk(-)eK= 2p2(%)^V<Wk=-
Л=0
<!)
* Здесь соеершается ошибка порядка е.
325
(2) тв	(I)
+ Pa (0)2TQoN+Pa (0)TQ1(T)+^(0)9s(T)}e»+...+
CO
4" J^«K(T>Qo»- •> Qk—l(~))e/t-
k=3
(4. 5. 9)
co.	' CO.	(«)
^4.	1^0
oo
V4	(!)
X П^£Я^(^По(ч) + [Р’(0)П1(т)-Р« (О)т1Ро(т1)]е+
«О
0) Л <*)	V
+1Ра(1)Л2(^)4	(1) ~2! -ПА^Р3 (1)х.]е4+ ЪЬк^М^, ••
лг=3
/7«-i(^i))£K,	(I 5. 10)
где ax(t,Qo.- ->QK-t.),MTi>^0» -Л-!)—известные функции. Рассмот-
рим интеграл
со
= е j {K(A,l)no(v)+lK(X,l)P1(v)-K'/(x,l)vP0(v)]e+
QO
+ 2^(^1Л0,...,П«-1)И^,	(4. 5. 11)
tf=2
где функция Н1К x,l,770,...,77K_t) получается как коэффициент при
оо-
разложении фунции V K(A-,l—ev)/7K(v)e'c е ряд Тейлора по целым
АС=О
положительным степеням параметра е. Аналогично
00	1	00 оо
S ^k(^/)qk (4~) eK<zt^£ у;
к~00
326
co
= e {K(x,0)Q0(T) + [K'(r,0)T:Qo(T)+K(X,0) Ql(t)]e +
0
00
+ У МЛ*. Qo.--j Qk-iCO)6*}^
k=2
(4. 5- 12)
где //0K(x,Qo, . ,QK-i)— известные функции- Отметим,
любого натурального №=0,1,2,..- функции <2к(^),Пк:(хх)
неравенствам
I Q«(^) I <Ке а\ | ПК(Ч) | <Ке" ’ ‘
что если для
удовлетворяют
где а и К—некоторые положительные постоянные, то из структуры
функций 7/0K(x,Q0,...),/7i„(x,/70,...),«(t,...), b^,...) вытекает, что
—ат	—ат*
I н1к 1 , | ак | <Ке , | Н.к | , | Ьк | <Ке
(*)
Следовательно, несобственные интегралы, входящие в равенства
(4. 5. 11), (4- 5- 12), имеют смысл, если только подинтегральные
функции, входящие в (4. 5-11) и (4. 5- 12), удовлетворяют неравенствам
вида (*).
Введем обозначения
ОС
а) Д(е)=Дте, '^^.‘VK(Te)+QK^)+nK(T1)yK)--
к О
00
—/(те,^^(Ук(те)+/7к(т1))е«).
к~О
(4- 5- 13)
Разлагая функцию Д(Е) в ряд Тейлора, получаем
Д(е) = Д(О)+
До (к)
ул (0) tK
К—1
(4- 5- 14)
где
AO)=/(0,t<(0)+Qo(t)+Z7(T1))-/(O,v(O)l-77o(Tl));
Л'(0)=Г«(0Д0)4 Qo(T)+no(T1))QI(c)+[f'JC(O1®(O)+ Q 0CO+
+/70(T1))-/\(0,v(0)+/7o(TX))h+[ru(O,n(O)+Qo(r)+/7o(T1))_
-ГмадО)+/7о(т1))][цЧОМ ^(0)+Л1(т1)1;
(«)
a (0)=fM'(0,o(0)+ q0(t)h ад^Лтнад,...),
327
£)в(т,...) — известные функции;
СО
6) в(в)=(Д1-есь
к~0
00
—f(l—тхе,	ик(1— т1е)е'с)|.
к=0
(4. 5 15)
Разлагая функцию В(е) в ряд Тейлора, получаем
где
£(е) = В(О)+
(4. 5. 16)
В'(0) - f\( 1 ,и( 1)+/70(т1))/71(т1)+[(Г х( 1 ,v(l)) -
(к)
Здесь /?к(т1,.-,/7к_1(т1))—известные функции;
СО
в) G(x,e) = f(x, У^к(х)е").	(4. 5. 17)
к=0
Разлагая функции С(х,е) в ряд Тейлора по целым
степеням в, получаем
где
со (Л)
G(x,e)=G(x,O)+^ ~Г^)еК,
к=1
G(x,O)—f(x,o(x));
положительным
(4. 5- 18)
G'(x,O)=f u(x,v(x))v!(x);
(к)
G (х,0)=f <*>B(x,u(x)) vK(x)+МДх а ... ,vK_j (х)).
Здесь MK(x,v(x),...,uK_i(x))— известные функции. Далее формально
328
подставляем (4. 5. 9), (4. 5. 10), (4. 5- 11), (4. 5- 12), (4. 5. 14),
(4. 5. 16), (4. 5- 17), (4- 5. 18) в равенство (3. 5- 8), а затем при-
равнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра в, од-
нозначно определяем неизвестные функции ^к,0к,Пх. А именно,
функции Qk(t) определяются из следующих уравнений:
Q"o(t)-P2(O)Qo(O=O;	(4. 5. 190
(1)
Q"i(t)-P2(0)	(0hQ0(O+W(0)+ Qo(O +
+П0(т1))-1(0,п(0)+По(т1));	(4. 5. 19a)
(2) t2	(1) л
Q"2(0-P2(0)Q2(t)=P (0) 2|Ч(т)+Ра (0)zQ1(0+
(4.5. 19s)
+fu(O,u(O)+Qo(T)+Po(x1))Q1(T)+A(x,...)
Q"k(t)-P3(0)Qk(t)=Dk(t,...,Qk-i(^))+^k(A-)
с краевыми условиями
Q(0)=—vK(0), Q«(4~)
=QK(oo )=0.
Фун кции	определяются из уравнений
по"(^)-р2(1)ад=о.
(о
Р,,1(^1)-Р2(1)П1(т1) —Р2 (1)т1П0(т1) +
+f(iXD+n0(T1))-f(i,v(i))
(4- 5.19к)
(4. 5. 71)
(4. 5. 200
(4. 5. 200
П'^гО-Р’ЧПР^О^^С^пПоС^О.-.Рк-ич))-
—^а(1,и(1) + П0('С1))Пк-1(т1) + 7?к('г1>...),
с краевыми условиями
Пк(0)=— v«(l),
П^-^-]~Пк(со)=о.
(4. 5. 200
(4- 5- 70
‘Определим неизвестные функции vK(x) из следующих соотношений'
1	оо
—^К(-хДК(0Л4-). ^К(х,1)П0(т1М'с1+
0	о
00
-H^KC^OJQ^d г4-f (x,v(x));
о
(4- 5- 210
323
1
00
—Pe(x)v3(x)—к K(x,t)Ug(t)tft+X (K'<(x,O)'t1Qo(T)+
О	о
00
4-К(*,О)<21(тМт+Х [Щж.ППЛ'ч) —
о
—К'/(хД)чП0(ч)Ич—f,u(x,v(x))ti1(x)— v"U).
(4. 5- 21,)
1	oo
—P\x)vK(x)=\	K(x,tK(t)dt+k ^[K(x,O;Qk_1(t)+.
о	0
00
+//oX_1(x,Q0,...IQ^1)]^+kj‘K(xJ)nK_1(TJ)^1K_1(x>n0,...,
0
00
rU-iMd^ + fa (x,u(x))tiK(x)—u"K_s(x)-	(4. 5- 21K)
Таким образом, ряд (4. 5. 3) формально удовлетворяет системе
(4. 5- 1)—(4. 5. 2). Займемся определением конкретных видов
функции QK,nK,tk (к=0,1,...). С этой целью рассмотрим уравнение
(4. 5. 10) с краевым условием
Q0(0)=-o(0); Qo (l-)=Q0(co)=0.
Функция
—Р(О)т
Qo(') = — и(°)е
является решением этой краевой задачи. Функция
-Р(0)ч
ПО(Ч)=-Ц(1)С
удовлетворяет краевому условию
По(О)=-г>(1). П0(со) =
и уравнению (4. 5. 20J.
Уравнение (4. 5. 21J запишется в виде
1
у1(-*) = — P_*(x)K(x,t)u1(tMt+kP~2(x)
о
. /C(x,O)c(p(O) 1	.	.
Н------+P*(x)f(x,c?(x)).
В дальнейшем для простоты предполагается, что ядро
P~2(x)/C(x,t) имеет собственное значение Х=Х0 с рангом, равным
единице. Пусть: 1) <р(х)—собственная функция ядра K(x,t)P~s(t);
2) предполагается, что
К(х,1)сУ(1) ,
Р(1)	+
330
Д»= ^(S)P~2(S)	+-(~ ^-+fu(s,O)T(s) ds-фо.
Так как по предположению ядро Р~2(x)K(-x,t) имеет собственное
значение Х=Х0 с рангом, равным единице, то уравнение (4. 5- 210
имеет непрерывное решение в том и только в том случае, когда
О
1
=— j ’b(s)p-2(s)f(s,c<p(s))ds=
О
1
j (p(s)P-2(s)[f(s,0) +
0
1
+f «(s.0)?(sk+f"tt«(s,M) 2f ds>
где 0<6<1.
Тогда
Г	Г	"1
С = Д-1 \<р($)Р~2($)	1($,0)+<"иц($,6с<р)^- ds
I	*
(4. 5- 22)
о
Уравнение (4. 5- 22) является нелинейным алгебраическим уравне-
нием относительно с. В дальнейшем предполагается, что нелинейное
алгебраическое уравнение (4. 5. 22) имеет единственное решение.
Из общей теории нелинейных интегральных уравнений вытекает,
что уравнение (4. 5. 22) имеет непрерывное решение вида
Vi(x)=Ci<p(x)4-ai(x),	(4. 5. 21)
где Я1(л)—вполне определенная известная функция, ct—новый не-
известный параметр, подлежащий определению- Если в дальнейшем
встречаются неравенства вида
а	а
—~ ПР
I tKe | <СМ(е хк)е
а
— -TJ-T	—at
то всюду заменяем (е тк)^Кое  При таком допущении общая
асимптотическая теория не нарушается.
Функция
—Р(0)т
Q1(T)=— И1(0)е	(4- 5- 24)
где
Т	S
f —Р(0)(т—s)(" P(0)(s—V) (1)
Q*i(x) = \e	\е	[(Р2 (0)vQo(v) + f(0,P(0)+
0	оо
331
±Qo(v)+n(T1))-f(01y(O)+n0(T1))]dvrfs,
удовлетворяет уравнению (4. 5.19,) и краевому условию
Q1(0)=—^(0), Q1(—)^Q1(oo)=0-
| fMO+Qo^+no^J-KO^O + n,,^)) | <
-Р(0)т	—Р(0)т
<7V | Q0(t) | <Afc0 | <p(0) | e ^ce
to
, _ .	,	—P(0)t r — P(0)(t—s) r P(0)(s-v)
I Qi(t) I =C I P1(O) I £ +Ko Iе	\ e X
0	oo
—Р(0)ч	-Р(0)т
X I e dvds [ <( I vx(0) | 4- K)e -	(4. 5- 25)
Функция
-P(1)T!
П1(т1)=-ц1(1)е	+ 17*^),
где
f -P(l)b-s)rS P(l)(s-v)r (1)
П*1(тг)= U	\e	Ip* (l)vn0(v)+
0	00
+ f(lXl)+n0(v))-f(l,v(l)) dvds
удовлетворяет уравнению (4. 5. 20,), причем из этого равенства
вытекает неравенство
~Р(1)Т!
I Пм(тх) | <Кое > Ко=const-
Уравнение (4. 5. 21,) запишем в виде
1
V2(x)=k ^Р-8(х)К(хЛМ0А-Хс,Р-8(х) ^р(^(0)
о
+₽>(-«),	(4. 5- 26)
где
оо
Wx)=XP-2(x) [K,Kx,0)TQ0(T)-K,<(x,l)zino(t1)IdT-
0
оо
-p"(x)-P-2(x)fo(x,v(^))+ai(x)+x[ K(*,O)Q1*(r)tfc+
332
QO
+Х^К(х,1)П*1(т1)Л1.
О
Из разрешимости линейного неоднородного интегрального уравне-
ния (4. 5. 26) вытекает, что
1
<?i= Д-1 ^P(s,...)<&•
О
Следовательно, непрерывная функция vt(x) определяется полностью.
Из уравнения (4- 5. 26) определяется функция v2(x) в виде
®2(х)=с2<р(х)+а2(х),
где а2(х)—известная функция, <?3—новая произвольная постоянная,
которая определяется из разрешимости уравнения (4. 5. 203) отно-
сительно цэ(х). Применяя этот способ дчя любого натурального к,
определим функции vK,QK,llK, где
цк(х) = <?к<р(х)+ак(х).
Здесь ак(х)—вполне определенная функция, ск— новая неизвестная,
подлежащая определению.
Пусть неравенства вида
- P(1)tj	- P(0)t
I ПК(Т1) | <Ке , | Qk(t) I
справедливы для любого натурального к при всех ограниченных
I М°) | , I ок(1) | . Тогда нетрудно показать, что из равенств
—P(I)xi р -P(1)(T-S)r P(1)(S—v)
1) Пк + 1(?1)=—^ + 1(1)е	+ \е \е X
О	оо
X[₽K+i(s,...)+fK(l,t»(l)+n0(v))nK(v)+₽K(T,...)]dvds;
-Р(0)т г — P(0)(-r-s)r P(0)(s-v)
2) QK+i(^) = — £Wi(0)e	4-\e	\e X
0	0
X[aK i(s,...)fK(O,...)QK(v)+/K(v,.--)]dvds
для любого непрерывного ограниченного vK+1(x) вытекают не-
равенства
-Р(1)т,	-Р(0)т
I Пк+1(’Г1 ) | <Ке ; | QK+i(t) I	;
Pic+i(x) определяется из разрешимости уравнения
1
Цк+1(х) = — X jV-2(x)K(x,t)aK+1(t)rft+P~2(x) —X	—
6
333
Ск+ Р«+(Х,.„),
ХК(х,1)ф(1) ,
---------------------^р-+Г«(^,с(х))<?(х)
где
оо
Рк + 1(^>"')==^‘	[^ок(^»Х«'',>^к)4-'^1к(Л'»1:>Г1к)^'С-|-
0
+cK(x,v,... ,vK(x)) - v”K^ (X).
Напишеи явное выражение ск в виде
1
ск=А-1 ^(s)P~2(s)₽K+i(s,...)ds	(4. 5. 28)
О
для любого натурального к-
(I X \
—ё—)’
(JC X
— j для любого к.
Ряд (4- 5- 6) при достаточно малом 0<е<ео<3 является расхо-
дящимся рядом. Поэтому займемся асимпоти ческой оценкой
этого ряда.
Ограничимся случаем п—р, т. е.
Р+1
eK-f-6 Tj(x,e),
(4. 5- 29)
где 7](х,е)— неизвестная функция. Здесь будет показано, что на сег-
менте [0,1] при е—>0
| т](х,е) | <^K0=const-
Подстановкой (4. 5- 29) в уравнение (4. 5. 1)—(4. 5. 2) получаем
1	оо
=X^K(x,t)7j(t,e)dt+X jK(x,l)np(^)6fr+
0	0
GO
+Х К(х,0)0р(т)й?т—Ги(х,и(х))цр(х)+Л(х,е),	(4. 5. 30)
о
334
p+l
Ч-s
2(p + l)	P+l P
p_______(°(+>) x_____Vo (-V
(P-f-1)! p+l	e Г
£ K=O
"(p + i)	P+l	P + i
p (l-6(l-x)) (-1)	(1-x)
(р-H)!	P+l
x 2
k=O
oo	p4-l p
s'	K=o
—pr (p+i)	(1_/)р+1^А /1—t \
+kS \k, (хд-м^^Ы^
0	’ K^°
-v"p_j(x)4-ke j'[K,(^O)TQp_1(T)+„. + JS^’PL TPQo(T) dz-
0
QO
->e j [К<(х,1).Пр_1+...+(-1)/’-^^/п0
0
Рассмотрим однородную часть уравнения (4. 5- 30):
er"(x)—P2(x)tq(x)—О-
Решение уравнения (4- 5. 31) ищем в
виде
(4. 5- 31)
т;(х)= с^х)е
+ct(x)e°
(4. 5. 32)
где <?i(x) и с2(х)— неизвестные функции. Потребуем выполнения сле-
дующих условий:
-j»- Р» (4- 5. 33)
с\(х)е +с'2(х)е	-= 0.-
Из равенств (4. 5. 31), (4. 5. 32), (4. 5. 33) найдем
333
где А и В—произвольные постоянные. Производные от частных ре-
шений rit имеют вид
#1(^л)==
- 4vp(*) +0(е)
Vs(*.®) = I ~~V.P(x)+ 0(e)
(4. 5- 35)
Функция Грина для этих линейно независимых решений
в виде
G(x,s,s)=
I	У.(х)Уг(§)
е2 y'i(s)y2(s)—y/2(s)y1(s)
J,	Уа(л-).У^)
е2 y,i(s)y2(s)-y'2(s)y1(s)
0<x<s
S<X<1
строится
(4- 4- 36)
где Уь У2 удовлетворяют следующим краевым условиям:
У1(л-)=-»il(x)ri1(0)—v/Xhi (0);
У2(л:)-та(хН(1)-7;г(х)га(1).	(4. 5- 37)
Отсюда для 0<x<s получаем
S
-yjp(s)rfs
X
е _________
G(x,s,e)= — 2e/P(7jP(s)
S
y-fp(s)rfs
в
Х(1_е	)+0(е)
а для	получаем
X
-Uws
о
(1-* )Х
(4. 5. 38)
~4JlWs
е s
G(x,s,e)— -^-тр==
336
s
4 J p(s)rfs
X(l-f 0	)+O(e)l-	(4- 5. 39)
Уравнение (4. 5. 30) запишем в виде
1
vj(x,E)='^Р-2(xjK(x,t)v](t,e)dt+P_'2(x)[24(x,7],e)—
0
1
— ет]" 4-Х^K(x,l )np(v)dv+f'K(x,w(x)]t>p(x)+
0
1
+Х ^K(x,O)Qp(T)<h.	(4. 5- 40)
О
Решение этого уравнения запишем в виде
1
7](х,е)=Ср<р(х)+ ^/7(x,t,X)P-2(t)[E2r//—/1(t,Tq,e)—
0
—a(t)Cp]tft—P2(x)[e2'<i"—A(x,iq,e) + o(x)Cp],	(4- 5. 41)
где
При этом выполняются условия
1
^(s)P_’2(s)[eV/—АМ,е)—a($)CpMs=0-	(4. 5- 42>
О
Отсюда
1
cz?==A-i[e2(p(i)p-i(i)7j'(i)_E2(p(0)p-2(0)V(0)-e2^P-2]s,,T1(s,e)ds— I
О
1
— ^<Xs)P_2(s)A(s,Tj,e)ds],	(4- 5. 43)
о
где
1
Д== □fUfsMs.	(4- 5. 44)
(S)
О
Из (4. 5- 41) имеем
Ззт
22* 2790
е2^ —P2W'*i=^(x,vi,e),	(4- 5- 45)
где
1
F(x,T),e)=рг(х)<р(х)—zz(x) 4-P2(x) Jx
о
XP-,(t)a(t)dt]4-P2(x)[s2f/(x,0/)₽-2(0)V(0)-
1
-e2p-2(l)H(x,W(l)+e2 j(H(xA>4P2(t))/Si(t,eMt-|-
0
1
+ jH(X,tA)P-2(tM(t/»i,e)dt]— Л(х,т1,е).	(4. 5. 46)
о
Уравнение (4. 5. 45) с помощью функции Грина сводится к интег-
ральному уравнению вида
1
71(*,е)= Jc(x,s,e)F(s,7],e)ds.	(4. 5. 47)
О
В (4. 5. 47), полагая поочередно х=0, х=1, получаем систему для
определения V(0), V(l), т. е.
1
G(O,s,e)F(s,^,e)rfs=tq(O,s)=О,
О
1
Jc(l,SIe)f’(s,7])e)t/s=7;(l,e) = O.	(4- 5- 48)
О
Отсюда
7!'(°.е)=	, V(l,e)=	(4. 5- 49)
где Д>],Д1(0,^),д2(0,7;) имеют следующий вид:
1 1
=J G(O,S,e)^(s)rfs jG(l,s,e)fe2(5)f/s—
О	о
1 1
— G(l,s,e)^i(s)ds ^G(0,s,s)fe2(s)rfs;
О	о
1 1
Ai(G,>i)= G(O,s,e)Z»(s,v|)ds ^G(l,s,e)&2(s)cfs—
о	о
338
1
— \ G(l,s,e)&(s,'»l)<is ^G{O,s,e)bi(s)ds;
О	О
1	1
^я(Сл)= G(O,s,e)fel(s)t/s	G(l,s,e)&(s,v])ds—
О	О
1	1
— G(l,s,s)Z71(s)ds ^G(O,s,s)fc(s,'>3)ds.
О	О
Здесь
(4. .5. 50)
i1(s) = A-1<p(l)P-2 * *(l)g'(s)-P2(s)P-2(l)H(s,l,X),
MS)=P2(s)P-2(0)H(s,0,X)—A-^(O)P-a(0)^(s).
1 1
b(s,Tl)=* [е2 [<pP~2(s)l"ig(s,e)ds+ ^$(s)P~2(s)X
О	О
1
XA(sw)ds]g(s)-P2(s)[e2 J(H(s^X)p-2(t))" тДе)<Й +
О
1
+ ^H(s,t,X)P~2(t)i4(t,7j,e)dt] + ^(S.vj.e );
о
1
g(s)=P2(s)<p(s)— c(s)+P2(s) ^H(s,t,X)P~2(t)a(t)dt.
0
Докажем, что Ду, /0. Из (4. 5. 50), подставляя значения G(O,s,£),
G(l,s,e), получаем
1 о
д = {-—_____
.) 2е/P(O)P(S)
Хо
1
X S
X b(s)ds{ е 
j2e|/P(1)P(s)
О
2 f
— — J P(x)rfx
О
(l-e
1
)+О(е)
2s
— fP(x)rfx
0
)(!-* )+
339
+0(e) &2(s)rfsX
1
4Jp(x)dx
x0 о
e
'2eVp(ijp(5"
0
)(l-e	)+0(e)
s
bi(s)dsX
s	1
P —(1— e
J 2eV P(O)P(S) [ *
X t2(s)cfs =
s	1
C!L^_________»	____L,b ,sy
J	2/P.0)P>fs) “	' ,<S)
Xo
s
0
—fe2(s))t/e
(1-e	)[(l-e	)+0(e)]62(s) de
2/P(l)P3(s)
о
s	1
У [ P(x)dx	- 4 J P(x)dx
/(l-g °	+O(B))(l-g	°	) de
J	2/P(0)P3(s)
Xq
1
4Jp(x)rfx
Xo	s
I	^a(s)—^i(s)	de
J 2/P(l)P3(s)“
о
Здесь &i(s)^fe2(s) и каждый интеграл — есть величина, отличная от
нуля, поэтому ^0. Следовательно, ?i'(0,e),7j'(1 ,е) имеют единствен-
ное решение.
Из равенств (4. 5. 17), (4. 5. 49), (4. 5. 50) получаем, что
&0
1
7j(x,e)= ^6(х,8,е){Д~1[ф(1)Р-2(1 W(l)~ е2ф(0)Р~2(О)тДО) —
О
1	1
—e*^['.pP2]"7j(t,e)*ft— ^Ф(8)Р~2(8)Л(8,^,е)с?8]£(8) 4-
0	о
4-P2(s)[e2H(x,0,X)p-2(0h,(0,s)—=2Р-2(1)Н(.г,1Л)Х
Xtf(l,e)4-e2 I (ЬЦхЛ/)Р	4-
1
4- jH(s,t,X)p-2(t)X(t,T],e)dt] —Л(s,Tj,e)}ds.
О
(4. 5. 51)
Уравнение (4. 5. 51) является нелинейным интегральным уравнением
относительно т)(х,е). Докажем существование решения этого уравне-
ния. Пусть О являемся пространством всех непрерывных функций
на сегменте [0,1]. Норму в этом пространстве определим следующим
образом:
И || =тах | т](х,е) | ,	(4. 5. 52).
а расстояние между элементами
II ,»Ь—II =тах | Tj2(x,e)—^(х.е) | .
Правую часть равенства (4. 5. 51) рассмотрим как некоторый опера-
тор £[•], действующий на функцию тфх.е). При достаточно малом
е—>0 оператор Д[-] отображает точки пространства G в точки того
же пространства. Теперь пэкажем, что оператор Д]-] является опе-
ратором сжатия. Из (4. 5. 51).
1 1
II Д^2] —ДИД || < J|G(x,s,e)A-42g(s)|J 1 [фР-2]" I х
о	о
1	1
Хтах | (%—тд) I dtds4-| G(x,s,e)^(s)A-11 | ф(«)р—®(s) | тах\ | Л(8,и]2,е)—
о	о
1	1
-Л(8,тл.е) I jcftds G(x,s,e)P~2(s)e2 | | (H(x,U)P~2(t))/' I X
о	о
341
1 1
Xmax —Tji) | d\.ds + J| G(x,s,e)P~2(s) |	H(x,t/)P~®(t) |max(| A(t,7)2,e)—
о	о
1
—| )dtds+j | O(x,s,e) |/nax( | Л(8,т)2,е)—Afs.Tjj.e) | )Js. (4. 5- 53)
0
Из неравенств (4. 5- 53) имеем
1 1
1)^| G(x,s,e)Jg'(s)etA-11 j | [<pP 2J" | max | (tj2—TjJ | dtJs<eM j | ;
0	0
1	1
2)	| G(x,s,e) A^/J*| -Ij(s)P 2(s) | max[ | A(s,'n^s)~ A(s,Tj1,e) | ]dstfs<
0	0
I T)2—7)! | ;
1 1
3)	I G(x,s,e) P-2(s)e21 | (H(x,t,X)P-2(t))"< | max\ (t;2—t^) |
0	0
<eN3 j T)2—ifjt | ;
1 1
4)	I G(x,s,e)p :'(s) I I H(s,tA)P-2(t) I max\ | ^(t,Tj2,e)—
0	0
—Л(1,7]„е) I ]cftds<eN4 I 7)2—7)! I ;
1
5)	| G(x,s,e) | niax\ | ^(s,Tj2,e)— /1(s,-/)i,e) | JtZs<eNs | t)2—rJt |.
0
Из нераве ictb (4. 5- 52), (4. 5. 53) получаем
I Ц7)2]-£[7)4 || <e(N!+N2+N3 + N4+N6) | Tja—| .
1
Следовательно, при е< Ni + Na-pNg	опеРатоР М>] явля-
ется оператором сжатия. Поэтому, на основании принципа сжатых
отображений, интегральное уравнение (4. 5- 51) имеет единственное
непрерывное ограниченное решение. Это решение находится методом
последовательных приближений. Таким образом доказана
Теорема 4. 5- 1- Если: 1) f(x,y), P(x),7<(x,/)—непрерывные
функции и имеют непрерывные производные до требуемого по-
рядка; 2) вырожденное уравнение (4. 5. 3) имеет бесчислен-
342
ное множество непрерывных и непрерывно
тений вида (4. 5- 4);
3) j pfe)a(s)ds*0’
О
дифференцируемых ре-
тогда краевая задача
(4. 5. 1)—(4. 5. 2) имеет единственное непрерывное решение,
представимое в виде (4. 5.29); при е-»0 это решение сходится к ре-
шению соответствующего вырожденного уравнения (4. 5. 3).
ЛИТЕРАТУРА
1.	Ан о со в Д. В. О предельных циклах систем дифференциальных уравнений е
малым параметром при старших производных. Матем. сб., 50, № 3, 1960, 299—334.
2.	Б а з ь А. И., 3 е л ь д о в и ч Я. Б., Пе р е л о мо в А. М. Рассеяние, реакции и
распады в нерелятивистской механике. М„ «Наука», 1966.
3.	Б е р н ш т е й н Н. С. Об уравнениях вариационного исчисления. Собрание сочи-
нений, т. 3., Изд-во АН СССР, 1960, 191—210.
4.	В i г k h о f f G. D. On the asymptotic characher in the solutions of certain linear
differential equations, containing a parameter. Trans Amer. Math. Roc., 9, 1908, 219—231.
5.	Биркгоф Г. «Гидродинамика», M., ИЛ, 1963.
6.	Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической
физике. Львов, Изд-во АН УССР, 1945.
7.	Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в
теории нелинейных колебаний. М., Физматгиз, 1963.
8.	Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Метод интегральных много-
образий в нелинейной механике. Труды международного симпозиума по нелинейным ко-
лебаниям, т. I, Киев, Изд-во АН УССР, 1963, 93—254.
9.	Brillouin L. Remargues sier la mecaniqul ondulatairl. J. Phys. Radium, 7,
1926, 353—368.
10.	Д e Б p e й н H. Г. Асимптотические методы в анализе. М., ИЛ, 1961.
11	Benney D. J. A non linear theory for oscillations in a parallel flow. J. Fluid
merit, 10, 1961, 2.
12.	Бриш H. И. О краевых задачах для уравнения ey"=f(x, у, у') при малых
е. ДАН СССР, 1954, № 3, 429—432.
13.	Б р и ш Н. И. О первой краевой задаче для линейного уравнения четвертого
порядка с малым параметром при старшей производной. Уч. зап. Минского гос. пед.
ин-та, 1965, Ns 5, 3—13.
14.	Б о р и с о в а С. Ю. Асимптотическое представление решения задачи Коши для
интегродифференциального уравнения с малым параметром при старших производных
в случае нерегулярного ядра. «Укр. матем. журн.», 1965, № 2, 19—28.
15.	Быков Я. В. О некоторых задачах теории интегро-дифференциальных урав-
нений. Фрунзе, 1957.
16.	Б ы к о в Я- В., И м а н а л и е в М. И. О периодических, почти периодических
и ограниченных решениях одного класса интегро-дифференциальных уравнений с малым
параметром при производной Сб.: Исследования по интегро-дифференциальным урав-
неяиям в Киргизии, вып. 2, фруизе, 1962, 3—20.
17.	Быков Я. В., И м а н а л и е в М.. О периодических решениях интегро-диффе-
ренциальиых уравнений. Исследования по иитегро-дифференциальным уравнениям в
Киргизии, вып. 1, 1961.
v 18. Бутузов В. Ф. К вопросу об асимптотике решений интегро-дифференциаль-
ных уравнений с малым параметром при производной. ДУ, т. 2, Ns 3, 1966.
\19. Бутузов В. Ф. Асимптотика решения одной задачи для нелинейного интегро-
дифференциального уравнения с малым параметром при производной. ДУ, т. 4, № 3,
1968, 419—507.
• 20. Бутузов В. Ф. Асимптотика решения некоторых задач для интегро-диффе-
ренциальных уравнений с малым параметром при производных. Автореф. канд. дисс.
М, 1966.
21.	В а з о в В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференци-
альных уравнений. М., «Мир», 1968.
22.	Wasow W.. A turning point problem for a system of two linear differential
equations. J. Math. Phys., 38, 1960, 257—278.
23.	W asow W. Turning point problem for systems of linear equations. I. The
formal theory, Comm. Purl. Appl. Math., 14, 1961, 657—673.
24.	Wa sow W. Turning point problems for systems of linear differential equations,
П. The analytic theory, Comm. Purl., Appl., Math., 15, 1962, 173—187.
25.	W a s о w W. On the convergence of approximate method of M. J. Lighthiel. J.
Rational Meeh, and Analysis, 4, 1955, 751—763.
26.	ВанДайк M. Методы возмущений в механике жидкости. М, «Мир », 1967.
27.	В а с и л ь е в а А. Б., З’и м и н А. Б. Асимптотика решений некоторых классов
344
дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Вестник
ЛУГУ, 1964, № 4. 21—29.
28.	Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории обыкновенны®: диффе-
ренциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных. «Журн. вы-
числ. матем. и матем. физики», 3; № 4, 1963, 611—642.
29.	В а с и л ь е в а А. Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных
нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производ-
ных. УМН, XVIII, вып. 3(Ш), 1963, 15—86.
30.	В а с и л ь е в а А. Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных. Автореф.
докт. дисс. М., 1961.
31.	Васильева А. Б. О дифференциальных уравнениях, содержащих малые па-
раметры. Матем. сб., 31(73); 3, 1952; 587—644.
32.	Васильева А. Б. Асимптотика решений некоторых краевых задач для ква-
зилинейных уравнений с малым параметром при старшей производной. ДАН СССР, 123,
№ 4, 1959, 583—586.
33.	Васильева А. Б. Асимптотика решения некоторых краевых задач для урав-
нений с малым параметром при старшей производной. ДАН СССР, 135, № 6, 1960,
1303—1306.
34.	Васильева А. Б. Построение равномерного приближения к решению систе-
ма дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Ма-
тем. сб., 50(92) :1, 1960, 43—58.
35.	Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотика решения интегро-диффе-
ренциального уравнения с малым параметром при производной. В сб.: Вычислительная
математика и математическая физика. Численные методы решения дифференциальных
и интетральных уравнений и квадратурные формулы, 1964, 183—191.
36.	В а с и л ь е в В. В. Решение линейных обобщенных интегро-дифференциальных
уравнений. ПММ, XV, 1951.
37.	Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Некоторые задачи на собственные зна-
чения для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей
производной. ДУ, т. 1, № 9, 1965, 1190—1203.
38.	Васильева А. Б., И м а н а л и е в М. И. Асимптотика решения задачи Ко-
ши для интегро-дифференциального уравнения с малым параметром при производной.
Сибирский матем. журнал, 7, № 1, 1966, 61—69.
39.	Васильева А. Б., Багирова Н. X., И м а и а л и е в М. И. К вопросу об
асимптотическом решении задач и оптимального управления. Дифференциальные уравне-
ния, т. 3, № 11, 1967.
40.	Васильева А. Б., Т о п ч и е в В. А. Асимптотические формулы для реше-
ния краевой задачи для уравнения второго порядка с малым параметром при старшей
производной. ДАН СССР, 135, № 5, 1960, 1035—1037.
41.	Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операто-
ров. М„ Гостсхиздат, 1956.
42.	Веку а Н. П. Линейные интегро-дифференциальные уравнения с малыми пара-
метрами при старших производных. В сб.: «Проблемы механики сплошной среды». М.,
Изд-во АН СССР, 1961.
43.	В е к у а Н. П. Системы линейных интегро-диференциальных уравнений с ма-
лым параметром. Сообщения АН Грузинской ССР, т. XXVI, № 3, 1961.
44.	Век у а Н. П. О некоторых иыегро-дифференциальных уравнениях с малым
параметром. Сообщения АН Грузинской ССР, т. XXXVI, № 3, 1964.
45.	В и ш и к М. И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциаль-
ных уравнений. Тр. Моск, матем. об-ва, 1 (1952).
46.	В и ш и к М. И., Л ю с т е р н и к Л. А. Асимптотическое поведение решений ли-
нейных дифференциальных уравнений с большими или быстро меняющимися коэффици-
ентами и граничными условиями. УМН, XV, вып. 4 (94), 1960, 27—95.
47.	В и ш и к М. И., Л ю с т е р н и к Л. А. Регулярное вырождение н пограничный
слой. УМН, 12, вып 5(77), 1957, 3—112.
48.	В п ш и к М. И., Л ю стер н п к Л. А. Решение некоторых задач о возмущении
в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных диффеоенциальных уравне-
ний. УМН, XV, вып. 3(93), 1960, 3—80.
49.	В и ш и к М. И., Л ю с т е р н и к Л. А. О начальном скачке для нелинейных
дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. ДАН СССР, т. 132, Xs 6,
1960, 1242—1246.
50.	В и ш и к М. И., Л ю с т е р н и к Л. А Об асимптотике решения краевых задач
для квазилинейных дифференциальных уравнений. ДАН СССР, т. 121, № 6, 1953,
778—781.
51.	W 1 п t п е г A Asymptotic integration constant. Amer. J. Math., 68, 1946. 553—559.
52.	Волосов В. M. К теории нелинейных дифференциальных уравнений. Матем.
сб, 31, № 3, 1952, 645—674.
53.	Волосов В. М. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных
уравнений. УМН, XVII, вып. 6(108), 1962, 3—126.
.345
54	Волосов В М Метод усреднения и некоторые задачи теории нелинейных
колебаний Автореф докт дисс Институт математики АН УССР, Киев, 1961.
55	Волосов В М К вопросу о дифференциальных уравнениях с малым парамет-
ром при старшей производной ДАН СССР, 73 № 5, 1950, 873—876
56.	Волосов В М Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка
е малым параметром при старшей производной Матем сб, 30(72), 1952, 245—270
57	ВолосовВ М К теории нелинейных дифференциальных уравнений высших
порядков с малым параметром при старшей производной Матем сб, 31(73), Xs 3,
1952 645—674
58	CherryT М Uniform asymptotic formular for functions with transition points.
Trans Amer Math Soc , 68, 1950,224—257
59	Гейзенберг В Введение в единую полевую теорию элементарных частиц.
М, «Мир», 1968
60	Гр адштейн И С Дифференциальные уравнения с малым множителем при
производных и теооня устойчивости .Ляпунова ДАН СССР, 65, № 6 1949 789—792
61	ГрадштейнИС О поведении решений системы линейных дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами, вырождающихся в пределе Изв АН
СССР серия матем 13 № 3, 1949 253—280
62	ГрадштейнИ С Применение теории устойчивости А М Ляпунова к теории
дифференциальных уравнений с малыми множителями при производных Матем сб,
32(74), № 2, 1953
63	Градштейн И С, РыжикИ М Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений М, 1963, 899—910 1078—1080
64	ДалецкийЮ Л, Крейн М Г Устойчивость решений дифференциальных
уравнений в Банаховом пространстве М, «Наука», IS^O
65	Демидович Б П Лекции по теории математической устойчивости М, 1967.
66	Дородницын А А Асимптотическое решение уравнения Ван дер Поля.
Прикладная математика и механика II, 1947, 313—328
67.	Дородницын А А Асимптотические законы распределения собственных
значении для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка
УМН VII, вып 6(52), 1952 3—96
68	Евграфов М А Асимптотические оценки и целые функции М, Физмат-
гиз, 1962
69	Евграфов М А, Федорюк М В Асимптотика решений уравнения
w"(z)—p(z, Z) w(z)=0 при X -»• co в комплексной плоскости z УМН, XXI,
вып 1 (127), 1966, 3—50
70.	Е р у г и н Н П Первый метод Ляпунова Механика в СССР за 50 лет М,
«Наука» 1968 67—86
71	HaberS, Levinson N A boundary value problem for a singularly purtur-
bed differential equation Proc Amer Math Soc 1955, 6 866—872
72	HarrisW A A boundary \ alue problem for a singularly perturbed system of
nonlinear differential equations Interm Sympes, Nonlinear mech, Academie Press, New-
York 1963, 489—495
73	HedingJ Quat J Mech and Appl Math, 15 1962 215—244
74	JeffreysH Proc Lond Math , Soc , 23, Xs 2, 1923, 428—436
75	FridrichsK О Asymptotic phenemena in mathematical physis Bull Amer.
Math Soc, 51, 1955 485—504
76	ЗадиракаК В О нелокальном интегральном многообразии нерегулярно
возмущенной дифференциальной системы «Украинский матем журн », 17, 1965 47—63
77	ЗадиракаК В Об интегральном многообразии системы дифференциаль-
ных уравнений содержащей малый параметр ДАН СССР, 115 Xs 4. 1957, 646—649
78.	ЗадиракаК В Исследование нерегулярно возмущенных дифференциаль-
ных систем методом интегральных многообразий Автореф докт дисс Киев Изд во АН
УССР, 1965
79	ЗиминА Б Решения уравнений с малым параметром при старшей производ-
ной, сингулярные по малому параметру в некоторых точках Автореф канд дисс,
М, 1968
80	ЗиминА Б Задача Коши для линейного уравнения второго порядка с малым
параметром вырождающегося в уравнение с особыми точками ДУ, т 5 Ns 9, 1969
1583—1593
81	Зимин А. Б О некоторых задачах для квазилинейных уравнений, содержа-
щих малый параметр при старшей производной ДУ, т 5 Xs 2, 1969 357—370
82	Иманалиев М И О поведении решений обобщенной краевой задачи для
нелинейного интегро дифференциального уравнения с малым параметром при старшей
производной Изв АН Киргиз ССР вып 4, 1957
83	Иманалиев М И О поведении решений последовательности нелинейных и
линейных интегро дифференциальных уравнений типа Вольтерра с малым параметром
при старшей производной Изв АН Киргиз ССР, вып 4 1957
84	Иманалиев М И О поведении положительных решений одного класса не-
346
линейной краевой задачи для интегро дифференциальных уравнений с малым парамет-
ром при старшей производной Изв АН Киргиз ССР, т 1, вын 3, 1959
85	И м а и а л и е в М И О задаче Коши для одного класса нелинейных интегро-
диффереициальных уравнений с малым параметром при старшей производной Изв.
АН Киргиз ССР, т I, вып 3, 1959
86.	И м аналиев М И Об одной обобщенной краевой задаче нелинейного
интегро дифференциально! о уравнения с малым параметром при старшей производ-
ной Изв АН Киргиз ССР, т I, 1959
87	И м а на лиев М И О поведении решений интегро дифференциальных урав-
нений с малым параметром при старшей производной Автореф канд. дисс М, 1956
88	ИманалневМИ О поведении решении одного класса нелинейной краевой
задачи для интегро дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей про
изводной Изв АН Киргиз ССР, вып 6, 1958
89	И м аналиев М И О дифференцировании решений одного класса нелиней-
ной краевой задачи Изв АН Киргиз ССР, т I, вып 3, серия естеств и техн наук, 1958
90	И м ан ал иев М И О поведении решений одного класса интегро дифферен-
циальных уравнений переноса лучистой энершн .Материалы 9 и научн конф проср •
препод состава физмата, КГУ, Фрунзе, 1960
91.	И м а н а л и е в М И Об иитегро дифференциальном уравнении с запаздываю-
щим аргументом с малым параметром при старшей производной Материалы 9-и научн.
конф проф -препод состава физмата КГУ, Фрунзе, 1960
92	ИманалиевМ И. О поведении решений задачи Коши для счетной системы
нелинейных интегро дифференциальных уравнений в частных производных с малым
параметром при старшей производной Материалы 9-й научн конф проф препод соста-
ва физмата, КГУ, Фрунзе, 1960
93	ИманалиевМ И О задаче Коши для одного класса нелинейных интегро-
дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной Материа-
лы 8-й научн конф проф препод состава физмата, КГУ, Фрунзе, 1959
94	ИманалиевМ И О поведении положительных решений одного класса не-
линейных краевых задач Материалы 8 и научи. проф-препод состава физмата, К1У,
Фрунзе, 1959
95	ИманалиевМ И О нечетных периодических решениях для уравнений
четвертого порядка Материалы 8 й иаучн конф проф препод состава физмата, КГУ,
Фрунзе, 1959
96	ИманалиевМ И О периодических решениях сингулярно возмущенных не-
линейных систем интегро-дифференциальных уравнении Материалы 10 й научн конф
проф-препод состава физмата, КГУ, Фрунзе, 1961
97	ИманалиевМ И О поведении решений системы сиигулярно-возмущениых
интегро дифференциальных уравнений Материалы 10-й научн конф проф -препод,
состава физмата, КГУ, Фрунзе, 1961.
98	ИманалиевМ И О периодических решениях иитегро-дифференциальных
уравнений с малым параметром при производной В сб Исследования по интегро-диф-
ференциальным уравнениям в Киргизии, вып 1, 1961
99	ИманалиевМ И О периодических решениях интегро-дифференциальных
уравнений В сб Исследования по интегро дифференциальным уравнениям в Киргизии,
вып 1, 1961
100 ИманалиевМ И. О периодических решениях нелинейных систем интегро-
дифференциальных уравнений с малым параметром В сб Исследования по интегро-
дифференциальным уравнениям в Киргизии, вып 1, 1961
01.ИманалиевМ И О поведении решений интегро-дифференциальных уравне-
ний с малым параметром при старшей производной Тезисы докт науч юбилейной сес-
сии, посвящ 40-летию Октябрьской революции, серия физ -матем наук, Фрунзе, 1957.
102 И м а н а л и е в М. И. О поведении решений систем иитегро-дифференциаль-
ных уравнений с малым параметром при производной В сб Исследования по интегро-
дифференциальным уравнениям в Киргизии, вып, 2, Фрунзе, 1962
103. ИманалиевМ И О решениях одного класса систем интегро-диффереици-
альных уравнений с малым параметром при производной Материалы 11-й научн конф.
проф препод состава физмата, КГУ, Фр\нзе, 1963
104	Им ан ал иев М. И О системах нелинейных интегро-дифференциальных
уравнений типа Вольтерра с малым параметром при некоторых производных Материа-
лы 11 й научн конф проф -препод состава физмата, КГУ, Фрунзе, 1963
105.	ИманалиевМ И Об интегро-дифференииальных уравнениях с малым па
раметром при старшей производной Материалы VII научн конф кафедры высшей ма-
тем Фрунзенского политехи ин та, Фрунзе, 1963
106.	ИманалиевМ. И О поведении решений интегро-дифференциальных урав-
нений типа Вольтерра с малым параметром при старшей производной Материалы VII
научн конф кафедры высшей матем Фрунзенского политехи ин та, Фрунзе, 1963.
107.	ИманалиевМ И. Асимптотические оценки решений краевых задач для
347
системы интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при производной.
Материалы XII научи, конф, проф.-препод, состава физмата, секция матем., КГУ,
Фрунзе, 1964.
108.	Имаиалиев М. И. О некоторых вопросах теории нелинейных интегро-диф-
ференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Тр. 2-й рес-
публ. конф, по матем. и механ., Алма-Ата, 1962.
109.	И м а н а л и е в М. И. Асимптотические оценки периодических решений систем'
сингулярно-возмущенных уравнений с запаздыванием. Тезисы докл. IX научн. конф.
Фрунзенского политехи, ин-та, 1962.
НО. Иманалиев М. И. Асимптотические оценки почти периодических, ограни-
ченных, периодических решений систем интегро-дифференциальных уравнений с малым
параметром при старшей производной. Сб. трудов кафедры теоретич. физики КГУ,
вып. II, Фрунзе, 1963.
111	. Иманалиев М. И. Асимптотические оценки решений задачи Коши для сио
тем интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при производной. Док-
лады Ill Сибирской конференции по матем. и механ., Томск, 1964.
112	. Иманалиев М. И. Асимптотические методы в теории нелинейных систем
иитегро-диффереициальных уравнений с малыми параметрами при старших производ-
ных. Автореф. докт. дисс., Фрунзе, 1964.
113	. Иманалиев М. И. Асимптотическая теория сингулярно-возмущенных нас-
ледственных систем. Известия АН Киргизской ССР, № 1, 1971.
114	. Иманалиев М. И. Асимптотические методы в теории нелинейных наследст-
венных систем. Международный симпозиум по теории механики сплошных сред и родст-
венным проблемам анализа. Тбилиси. 1971.
115	. И м а н а л и е в М. И., Н и г а м а е в а Н. М. Асимптотические оценки решений
интегро-дифференциальных уравнений в частных произвол « .,х с малым параметром. В
сб.: Исследования по интегро-дифференциальным уравнс v р Киргизии, вып. 6, 1969.
116	. Иманалиев М. И., РаманкуловС. '* «готические оценки решений
нелинейных интегро-дифференциальных уравнений со г  ми малыми параметрами при
старших производных. В сб.: Исследования по интегро дифференциальным уравнениям
в Киргизии, вып. 5, 1968.
117	. И маналиев М. И., Р ам аикулов С., Сула й манов К-, Хайров А.
Об устойчивости решений линейных интегро-дифференциальных уравнений с синусои-
дальными коэффициентами с запаздыванием. Материалы 1 Межвузовской научно-теоре-
тич. конф, научно-педагогических работников и аспирантов ВУЗов Киргиз. ССР, 1964.
118	. Иманалиев М. И., Сейтказиева А. К теории линейных наследствен-
ных систем с периодическим запаздыванием. Материалы III Всесоюзн. межвузовской
конф, по теории и методам расчета нелинейных электрических цепей и систем. Ташкент,
1967.
119	. Иманалиев М. И., Сул а Аманов К. О начальном скачке для систем
линейных интегро-диффереициальных уравнений. В сб.: Исследования по интегро-днффе-
ренциальным уравнениям в Киргизии, вып. 6, 1969.
120	. Иманалиев АГ И., Та за беков Р. Метод усреднения в теории нелиней-
ных систем иитегро-дифференцнальных уравнений, не разрешенных относительно произ-
водной. В сб.: Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии,
вып. 7, Фрунзе, нзд-во «Илим», 1970.
121	. Иманалиев М. И., Ту кеше в О. О периодических решениях сиигулярно-
возмущенпых линейных наследственных уравнений. Материалы XIII научн. конф, проф.-
препод. состава физмата, секция матем.. КГУ Фрунзе, 1965.
122	. Иманалиев М. И., Т у к е ш е в О., Р а м а н к у л о в С. Об асимптотике ре-
шений нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра со многими
параметрами при старших производных. В сб.: Исследования по интегро-дифференциаль-
ным уравнениям в Киргизии, вып. 5, 1968.
123	. Иманалиев М. И., Шамгунов Ш. Д. Проникание в сжимаемую жид-
кость тела, ограниченного малоискривленной бесконечной цилиндрической поверхностью
Изв. АН Киргиз. ССР, вып. 5. 1967.
124	. Иманалиев М. И., Какишов К- К теории оптимальных систем с пос-
ледействием. ПММ, вып. 3, 1964.
125	. Иманалиев М. И., Какишов К- Асимптотические оценки решений линей-
ных интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производ-
ной. Докл III Сибирской конференции по матем и механ., Томск, 1964.
126	. Иманалиев М. И., Какишов К. Асимптотические методы в теории
сингулярно-возмущенных наследственных систем. Тезисы докладов V Межвузовской
конференции по нелинейным колебаниям, Киев, 1969.
127	. Иманалиев М. И., Какишов К- Об одной оптимальной задаче с после-
действием. Тр Киргиз, гос. ун-та, серия матем. наук. вып. 5, 1968.
128	. Иманалиев М. И., Какишов К-, Э шеи к улов К. Об асимптотике ре
шений сингулярно-возмущенных нагруженных систем с последействием. Л'.атериалы 1
Всесоюзн. межвузовской конференции по теории и приложениям дифференциальных
уравнений с отклоняющимся аргументом, Черновцы, 1968.
348
129	ИмаиалиевМ И, Кенжеев Б, Сейтказиева А К теории нелиней-
ных разностных систем с возмущением Материалы 1 Всесоюзн межвузовской конф по
теории и приложениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом
Черновцы, 1965
130	ИмаиалиевМ И , К а к и ш о в К Асимптотические методы в теории перио-
дических решений сингулярно-возмущенных наследственных систем в критическом слу
чае. Труды V Международной конференции по нелинейным колебаниям, Киев, 25 авг —
— 4 сент 1969 г.
131	Иманалиев М И Алымкулов К Асимптотические методы в теории
ветвления периодических решений сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных
уравнений Известия АН Киргизской ССР, № 3, 1972, «Итам», Фрунзе
132	. ИмаиалиевМ. И,ШамгуновШ Д Удар тупым телом вращения по по
верхности сжимаемой жидкости Всесоюзный симпозиум по распространению упругих и
упруго пластических волн Тезисы докладов, Кишинев 1968
133	ИмаиалиевМ И, Быкова Л Я О построении решений одного класса
систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом Материалы 2 ой
Юбилейной межвузовской научной конференции по математике и механике, посвяшен
ной 20 летию Киргизского Государственного Университета, 1971 г, Фрунзе, стр 134—136
134	ИмаиалиевМ И.Дуйшеев Э Асимптотические методы в теории син-
гулярных интегро дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей про-
изводной и их приложения к задачам струйного течения Там же, 130—133
135	ИмаиалиевМ И, КакишовК Особенность решения задачи Коши для
интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной,
когда вырожденное уравнение находится на спектре Там же, 146—149
136	ИмаиалиевМ И, Таз абеков Р Асимптотические решения дифферен-
циальных уравнений, не разрешенных относительно производной Там же, 149—152
137	Иманалиев М И, Н аз а р кул о в а Б, П а нков П С Асимптотические
методы в теории телеграфных уравнений с большой скоростью Там же, 195—197
138	Иманалиев МИ,Д ж ураевМ.ПаиковП С Об одной обратной за
даче для интегро дифференциальных уравнений типа Барбашина Там же, 96—98
139	ИмаиалиевМ И, Дж у р ае в М Об одной оценке решения интегро-диф-
ференциального уравнения Там же, 178—182.
140	Иманалиев М. И, Джураев М Асимптотические оценки решений па
раметрических инвариантных систем Теория инвариантности и теория чувствительности
автоматических систем, АН СССР и АН Украинской ССР, Киев, 1971
141	Иманалиев М И, Панков П С Исследование уравнения x'(t) =
=f(t, x(l),x(ta)) в случае, когда а>1 Материалы Томской конференции по матема
тике и механике, 1970.
142	ИмаиалиевМ И, КакишовК Асимптотические оценки решений нели-
нейных краевых задач для системы линейных интегро-дифференциальных уравнении с
матым параметром при производной Материалы Томской конференции по математике и
механике, 1970
143	ИманалиевМИ.ПанковМ С Sur Les Solutions communes aux equations
differentialles operatoneles et differentialles oidinaires Sematne de discussions sur les
equations differentielles et fonctionnelles non linwes, Marseille, 14—18, Semtembre 1970
144	ИмаиалиевМ И.ВедьЮ А Интегральные возмущения в теории устой
чивости дифференциальных уравнений Тезисы докладов 4 ой Казахской межвузовской
научной конференции по математике и механике, ч 1, математика, Алма-Ата, 1971.
145	И м а нал и ев М И, Нигам аева Н М О периодических решениях интег»
ро-дифференциального уравнения в частных производных с запаздывающим аргументом
Материалы II Всесоюзн межвуз конф по теории и приложениям дифференциальных
уравнений с отклоняющимся аргументом, Черновцы, 1968
146	ИмаиалиевМ. И, Востров В К Проблемы прогноза для дифференци-
альных х равнений п го порядка с постоянными коэффициентами В сб • Исследование
по интегро дифференциальным уравнениям в Киргизии, вып 6 1969
147	Иманалиев М И, Востров В К, Джураев М Применение метода
Ньютона к решению одного класса обратных задач для уравнений параболического ти-
па Изв АН Киргиз ССР № 3 1968
148	Иманалиев М И, Джураев М. Проблемы прогноза с запаздыванием
Четвертая научн конф физ -мат и естеств наук, секция матем М , 1958
149	Иманалиев М. И, Джураев М Проблемы прогноза для нелинейных
систем интегро дифференциальных уравнений В сб Исследования по интегро диффе-
ренциальным уравнениям в Киргизии, вып 6 1969
150	Иманалиев М И, Донская НВ Асимптотические методы разложения
решений линейных интегро дифференциальных уравнений с запаздыванием Материалы
II Всесоюзн конф по теории и приложениям дифференциальных уравнений с отклоняю-
щимся аргументом, Черновцы, 1968
151	ИмаиалиевМ И, Донская Н В Об асимптотическом решении одного
класса линейных интегро дифференциальных уравнений е отклоняющимся аргументом.
349
В сб Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии, вып 7, 1970
152	ИманалиевМ. И БелобровВ Н Об одном классе линейных однород-
ных интегро дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производ-
ных В сб Исследования по интегро дифференциальным уравнениям в Киргизии,
вып 4, 1967
153	. И ма нал и ев М И, Белобров В И, ТукешевО Об асимптотике
решений нелинейных систем интегро дифференциальных уравнений с малым параметром
при одной из производных на бесконечной полуоси Материалы XIII научн конф проф-
препод состава физмата секция матем , Киргиз гос ун т, 1965
154	ИманалиевМ И, В остр ов В К К вопросу определения ядер ползуче-
сти и релаксации в задачах линейной теории ползучести Всесоюзн совещание по ме-
ханике горных пород и горному давлению Тезисы докладов, Новосибирск, 1968
155	. ИманалиевМ И, Востров В К Определение ядер ползучести в за-
дачах теории ползучести Изв АН Киргиз ССР, вып 2, 1968
156	И м а на л иев М И, Востров В К Применение L проблемы моментов к
вопросу ядер ползучести Третий Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной ме-
ханике, М, 1968
157	ИманалиевМ И Асимптотические оценки ограниченных и почти периоди-
ческих решений сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений Докл III Си-
бирской конференции по матем и механ, Томск 1964
158	Им аналиев М.И О поведении решений последовательности нелинейных
интегро дифференциальных уравнении типа Вольтерра с малым параметром при стар-
шей производной В сб Исследования по математическому анализу и механике в Узб.
ССР Ташкент, 1960
159	Иманалиев М И Об асимптотике решений краевой задачи. Тр 1 Казах-
ской межвузовской науч конф по матем и механ , Алма Ата, 1965
160	Какишов К. Асимптотические оценки решений краевых задач для нелиней-
ных интегро дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производ-
ной, когда вырожденное уравнение находится на спектре В сб Исследования по ин-
тегро дифференциальным уравнениям в Киргизии, вып 4, Фрунзе
161	К ам е н о м о ст с к а я С О Первая краевая задача для уравнений элепти-
ческого типа с малым параметром при старших производных Изв АН СССР, серия ма-
тем, 19, 1955, 345—360
162	. Камке Э Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
М, 1966
164	. Канторович Л В Функциональный анализ и прикладная математика,
УМН, 3, 6(28), 1948, 89—185
165	Канторович Л В, Акилов Г П Функциональный анализ в нормиро-
ванных пространствах М, Физматп’з, 1959
166	Касымов К А О задаче с начальным скачком для нелинейных систем диф-
ференциальных уравнений, содержащих малые параметры ДАН СССР, Ns 2, т 179,
1968 275—278
</167 Касымов К А Асимптотика решений задачи с начальными скачками для
нелинейных систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших
производных Изв АН Казах ССР, серия физ -матем , Ns 5, Алма Ата, 1969, 68—70
V 168 Касымов К А. Асимптотика решения задачи с начальным скачком для не-
линейных систем интегро дифференциальных уравнений, содержащих малый параметп
при старшей производной Изв АН Казах ССР, серия физ -матем, Ns 5 Алма-Ата,
1968, 69—72
169	Касымов К А О начальном скачке для однородных дифференциальных не-
линейных уравнений, содержащих малый параметр Сборник статей Алма-Ата, «Наука»,
1967 84—87
170	Касымов К. А Асимптотика решений задачи с начальными скачками для
нелинейных систем интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром Изв.
АН Казах ССР, серия физ -матем Ns 5, 1969
171	КванталианиК И Интегро дифференциальные уравнения типа Вольтер-
ра с малыми параметрами при старших пооизводных Сообщения АН Груз ССР, 26.
Ns 3, 1961, 265—272
172	Кванталианй К. И Некоторые задачи для интегро-дифференциальных
уравнений с малым параметром при старших производных Автореф канд дисс,
Тбилиси, 1963
173	Код дин г тон Э А, Левинсон Н Теория обыкновенных дифференци-
альных уравнений М, ИЛ, 1958
174	. Коп сон Э Асимптотические разложения М, «Мир», 1966
175	Kramers Н A Wellnwechanik und halbzahhge Quantiserung. Z Physik, 39,
1926, 828—840
176	Красносельский M. А Топологические методы в теории нелинейных
интегральных уравнений М, Гостехиздат, 1956
177	Кратцер А, Франц В Транцендентиые функции М., ИЛ, 1963 289—297.
350
178	Коноплицкая Д Н Асимптотическое решение задачи Коши с началь-
ным скачком для дифференциальных уравнений с малым параметром при производной.
«Украинский матем жури» т 19, Кв 5, 1967
179	К р е й н С Г Линейные дифференциальные уравнения в банаховом простран-
стве М «Наука», 1967
180	Круская М Адиабатические инварианты М., ИЛ, 1962
181	КрыловН М, Боголюбов Н Н. Введение в нелинейную механику
Изд-во АН УССР, 1937
182	ЛадыженскаяО А Математические вопросы динамики вязкой несжи-
маемой жидкости М, Физматгиз, 1961
183	. Ла ды женская О А.СолонниковВ А , У р а л ьцев а Н И Ли-
нейные и квазилинейные уравнения параболического типа М, «Наука», 1967
184	ЛебедевН Н Специальные функции и их приложения М , 1953
185	Levin I I. Singular perturbations of nonlinear systems of differential equati-
ons related to conditional stability, Dieke math gair, vol, 23, N 4, 1956
186	L e v i n I I The asymptotic behavior of the stable initial manifolds of system
of nonlinear differential equations Trans Amer Math Soc Vol 85, N 2 1957, 357—368
187	. Levinson N A A boundary value problems for a smgulary perturbed diffe-
lential equation Duke math gour, vol 25, N 2 1958, 331—342
188	Левшец С Геометрическая теория дифференциальных уравнений М.,
ИЛ, 1961
189	Langer R Е The asymptotic solutions of ordinary linear differential equati-
ons of the second order, with special refeience to a turning point Amer Math, Soc, 67,
1949 461—490
190	Langer R E. Turning points in linear asymptotic theory Bol Sos Math.
Meeh, 5 1960, 1—12
191	Л о в и т У Интегральные уравнения М., Гостехиздат, 1957
192	ЛеонтовичМ А , Ф о к В А. Решение задачи о распространении электро-
магнитных волн вцочь поверхности земли по методу параболического уравнения В сб
Исследования по распространению радиоволн, вып II, М —Л, Изд во АН СССР. 1948
193	ЛомовС А Об одном методе регуляризации сингулярных возмущений.
ДАН СССР 177, № 6, 1967, 1274—1276
194	ЛомовС А. Асимптотическое поведение решений уравнений, предельные
решения которых разпывны Докл научн техн конф по итогам иахчн -исслед работ за
1966—1967 гг , секция матем М , 1967, 133—145
195	Ломов С. А Построение асимптотических решении некоторых задач с па-
раметрами Изв АН СССР, серия матем, 32 1968, 884—913
196	ЛомовС А Равномерное асимптотическое разложение одной задачи с
точкой поворота Докп н-т конф по итогам научн исслед работ за 1968—1969 гг,
секция матем , М , 1969 42—50
197	ЛомовС А Асимптотическое решение параболической задачи с парамет-
ром Докт н т конф по итогам научн исслед работ за 1968—1969 гг, секция матем,
М, 1969, 51—54
198	. Ломов С А Приближенное решение некоторых уравнений с параметрами.
ДУ, т 5, № 7, 1969, 1193—1206
199	ЛомовС А Обобщение теории Фукса на неаналитический случай Матем.
сб, 65 К» 4, 1964, 498—511
200	ЛомовС А. Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифферен-
циальных уравнений второго порядка Тр МЭИ, вып 42, математика, 1962
201	ЛомовС А Степенной пограничный слой в задачах с малыми параметрами.
ДАН СССР 148 № 3, 1963 516—519
202	Ломов С. А Регуляризация сингулярных возмущений Докл научн техн
конф МЭИ, секция матем М 1965, 129—133
203	ЛомовС А Степенной пограничный спой в задачах с сингулярным возму-
щенгем Изв АН СССР серия матем М , 30, 1966, 525—572
204	ЛюстерникЛ А Соболев В И Элементы функционального анализа.
М, 1965
205	Линь Цзун Чи. Асимптотика решений задачи Коши в случае когда пре-
дельное уравнение имеет особенность ДАН СССР, 157, № 3, 1964, 522—525
205	Лыкова О Б Об исследовании одного класса нелинейных дифференциаль
ных уравнений в гильбертовом пространстве «Украинский матем журн», т 19, № 3,
1967 112—117
207	ЛадыженскаяО А.УральцеваН. И Линейные и квазилинейные
уравнения эллиптического типа М, «Наука», 1964.
208	Маслов В. П Квазиклассическая асимптотика решений некоторых задач ма-
тематической физики 1 «Жури вычислительной математики и матем физики», вып 4,
1961 638—663
209	МасловВ П Квазиклассическая асимптотика решений некоторых задач ма-
тематической физики «Журн вычислительной математики и матем физики», вып 1.
1961, 113—128.
351.
210	Маслов В П. Теория возмущений и асимптотические методы МГУ, 1965.
211	МатвеевН М Дифференциальные уравнения. М, 1963, 217—223
212	Mas sera J, Schaffer J. Linear differential equation and function
-spaces, Academic press, New York and London, 1966 (русский перевод Мир, 1969)
213	Митропольский Ю А Проблемы асимптотической теории нестационар-
ных колебаний М, «Наука», 1964
214	МитропольскийЮ А Об исследовании интегрального многообразия для
системы нелинейных уравнений, близких к уравнениям с переменными коэффициентами
в гильбертовом пространстве УМЖ, 16, 3, 1964.
215	. Митропольский Ю А Лекции по методу усреднения в нелинейной ме-
ханике «Паукова думка», Киев, 1966
216	Митропольский Ю А Нестационарные процессы в нелинейных колеба-
тельных системах Изд-во АН УССР, 1955
21/	Ми т р о пол ь с к и и Ю А, Л ы ко в а О Б Об интегральном многообразии
нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих медленные и быстрые движе-
ния «Украинский матем жури », т 16, № 2, 1964, 157—163
218	Мизес Р. Математическая теория течения сжимаемой жидкости М,
ИЛ 1961
л1 ч щен ко Е Ф, Ион i рягин Л С Вывод некоторых асимптотических
оценок для решении дифференциальных уравнений с малым параметром при производ-
ных Изв АП СССР, серия матем , 23, 1959, 634—660
220	Мищенко Е Ф Асимптотические вычисления периодических решений си-
стем пнф(Н'ч'нциалЫ1ых уравнений, содержащих малые параметры при производных
Изв АН ГЛА.Р, серия матем , 21, 1957, 627—654
221	. f и тонко Е Ф, Понтрягин Л С Периодические решения систем днф
ференциальных уравнений, близкие к разрывным ДАН СССР, 102 № 5, 1955 889—891
222	Моисеев Н Н Асимптотические представления решении линейных диффе
ренциальных уравнений в случае кратных элементарных делителей характеристического
уравнения ДАН СССР, 170, № 4 1966, 780—782
223	Моисеев Н Н, Румянцев В В. Динамика тела с полостями, содержа-
щими жидкость М, «Наука», 1965
224	МоисеевН Н Асимптотические методы нелинейной механики. М. «Нау-
ка», 1969
225	Мюитц Г Интегральные уравнения, т 1, М ОНТИ, 1934
226	. Некрасов А И Об одном классе линейных иитегро-днфференциальных
уравгенчй ЦАГИ вып 190, 1934
227	N о а 111 о n Р. Developpements asymptotiques dans les equations deffereutial
1es hneares a parametre Variable Memoires soc sci de Liege, 3, 11, 1912
228	НемыцкийВ В Теоремы существования и единственности для нелинейных
интегральных равнений Матем сб , 42 3, 1934
229	ОлейникО А Об уравнениях эллиптического типа с малым параметром
при старших производных Матем сб, 31, № 1, 1952, 104—117
230	ОлейникО А Математические задачи теории пограничного слоя УМН,
XXIII вып 3(141), 1968, 3—65
231	ОлейникО А, Ж и ж и на А И О краевой задаче для уравнения
ey" = f(t, v, у7) при малых е Матем сб, 31(73), 3 1952 709—717
232	Персидский К П К теории устойчивости интегралов системы дифферен-
циальных уравнений, ч II, Иов физ-матем о ва при Казанском унте, т 11, серия 3,
1938 29—^5
233	Понтрягин Л С Обыкновенные дифференциальные уравнения М, Физ-
матгиз 1961
234	Понтрягин Л С Асимптотические поведения решений систем дифферен-
циальных уравнений с малым параметром при высших производных Изв АН СССР, се-
рия матем , 21, 1957, 605—626
235	Привалов И. И Интегральные уравнения ОНТИ, М —Л , 1937
236	Петровский И Г Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений М, «Наука» 1964
237	Пугачев В С Об асимптотических представлениях интегралов систем
обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих параметр Матем сб, 15(57),
М, 1944 13—54
238	. РапопортИ М О некоторых асимптотических методах в теории диф
ференциальных уравнений Киев, Изд во АН УССР 1954
239	Poincare Н Acta Math, 8, 1886 295—344
240	Perron О Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen Math Z, 32, 1930,
703—728
241	РожковВ И Асимптотика решений уравнений нейтрального тит с малым
запаздыванием Тр семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся
аргументом, т 2, М , 1963, 208—222
242	РожковВ И Об асимптотике решений уравнений нейтрального типа с малым
352
запаздыванием В сб Численные методы решения дифференциальных и интегральных
уравнений и квадратурные формулы М, «Наука», 1964, 161—175
243	Рожков В. И Асимптотические формулы по малому запаздыванию для
решения уравнения нейтрального типа с двумя запаздываниями М, «Наука», 1964,
176—182
244	Рожков В И Уравнения нейтрального типа с переменным малым запазды-
ванием ДУ, т 2 № 3, М, 1966, 407—416
245	Розовский М И Интегро дифференциальные уравнения н проблема уче-
та влияния фактора времени на расчетах механических, электромагнитных и тепловых
процессов Изв Днепропетровского горного ин та XXI, 1952
246	Румянцев В В Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движе
иия Механика в СССР за 50 лет М, «Наука», 1968 7—66
217	Sibuya V Asympiotic solutions of mtial value problems of ordinary diffe-
rential equations with a small parameter m the derivative. Arch Rational Meeh Analysis,
1 14, 1963, 304—311 15, 1964, 27—262
248	Флетто Л, Левинсон H Периодические решения сингулярно-возмущен
ных систем Математика, 2 2 (1958), 61—68
249	Соболеве Л Некоторые применения функционального анализа в матема-
тической физике Новосибирск, 1962
250	Соколова А, Лоскутов Ю М, Тернов И М Квантовая механика
М, Изд во Мни ва просвещ РСФСР, 1962
251	Стокер Дж Дж Волны на воде М, ИЛ 1959
252	Срубщик Л С ЮдовичВИО применении метода Ньютона в зада-
чах асимптотического интегрирования нелинейных уравнений Тезисы докладов межву
зовской конф по применению методов функционального анализа к решению нелиней-
ных задач, Баку, 1965, 103
253	Смирнов В И Курс высшей математики тт III, IV М Физматгиз 1958
254	СмирновН С Введение в теории нелинейных интегральных уравнений М.—
Л, ОНТИ, 1936
255	Соболевский П Е Об уравнениях второго порядка с малым параметром
при старшей производной УЧН 19 6 М , 1964, 217—219
256	Соболеве Л Уравнения математической физики М, 1968
257	Сулайманов К, Иманалиев М И Краевые задачи для систем ин-
Teipo дифференциальных уравнений с начальным скачком В сб Исследования по ин-
тегро дифференциальным уравнениям в Киргизии, вып 6 Фрунзе, «Илим» 1969
258	Тихонова И О зависимости решений дифференциальных уравнений от
малого параметра Матем сб, 22(64), М 1948, 193—204
259	Тихонов АН Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые
параметры при производных Матем сб, 31(73), 1952, 575—586
260	Тихонова Н О системах дифференциальных уравнений, содержащих па-
раметры Матем сб 27(69) М 1950 147—156
261	ТоллминВ 50 лет исследования пограничного слоя, их развитие и проблема-
тика проблема пограничного слоя и вопросы теплопередачи М—Л, Госэнергоиздаг,
1960
262	Takahashi Т Bull Earthquake Res Inst, 33, 1955, 287—296
263	TakahashiT Bull Earthquake Res Inst 35, 1957,297—308
264	TurritinH Z Solvable related equations pertaining to turning point prob-
lems Asymptotic Solutions of Differential equations and Their Applications, ed С H
Wiley New Уогк 27—52
265	T e м п л ь Дж Линеаризация и делинеаризация. Международный математи-
ческий конгресс в Эдинбурге М, Физматгиз, 1962
266	Тамаркин Я Д О некоторых общих задачах теории обыкновенных линей-
ных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды
267	TrijitzinskyW J Theory of linear differential equations containing a pa-
rameter Acta Math, 44 1936, 1—50
268	Тихонов АН Самарский А. А Уравнения математической физики
M, ГИТ! Л, 1953
260	Трико ми Ф Дифференциальные уравнения М ИЛ 1962
270	ТреногинВ А Линейные уравнения в пространстве Банаха с малым пара
метром Материалы VI межвузовской физ мат конф Дальнего Востока Дифференци-
альные и интегральные уравнения т III, 1967, 211—216
271	_ Треногин В А Тер Кр нкор о в А М Существование н асимптотика
решений типа «уединенной волны» для одного класса нелинейных эллиптических урав-
нений Матем сб , 62 № 3 1963 М, 264—274
272	ТреногинВ А Асимптотика и существование решений задачи Коши р
дифферепциа 1ЫЮ1 о уравнения первого порядка с малым параметром в банаховом прост-
ранстве ДАН СССР, 152, № 1, 1963, 63—66
353
273	ТреиогииВ А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстер
ника-Вншнка, УМН, т. XXV, вып. 4 (154), 1970.
274	. Тупчнев В. А. Асимптотика решения краевой задачи дли системы диффе-
ренциальных уравнений первого порядка с малым параметром при производной. ДАН
СССР, 143, Кв 6, 1962, 1296—1299.
275	. Тупчиев В. А. Об угловых решениях краевых задач с малым параметром
при производной в системе уравнений первого порядка. Вестник МГУ, серия матем. и
механ , Кв 3, 1963, 17—23.
276	. Тупчиев В. А. Краевые задачи дли систем обыкновенных нелинейных диф-
ференциальных уравнений с малым параметром. Автореф. канд. днсс., М., 1963.
277	. Тупчнев В.А. К задаче о распаде произвольного разрыва для системы
двух квазилинейных уравнении первого порядка. «Журн. вычисл. матем. и матем. фи-
зики», Кв 5, 1964, 817—825.
278	. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа, т.т. I, II, М.,
Фнзматгнз, 1963.
279	. Федорюк М. В. Асимптотические методы в теории одномерных сингулярных
дифференциальных операторов. Тр. Московского матем. об-ва, 15, 1966, 296—395.
280	. Ф е щ е и к о С. Ф. Об асимптотическом поведении интегралов линейных обык-
новенных дифференциальных уравнений, содержащих параметр. ДАН УССР, I,
1949, 11—16.
281	. Фещенко С. Ф., Ш к и л ь Н. И., Николаенко Л. Асимптотические ме-
тоды в теории линейных дифференциальных уравнений. Киев, «Наукова думка», 1966.
282	. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.
М., «Мир», 1968.
283	. Фридрихе К- О., Хайерс Д. Г. Существование уединенных волн, теория
поверхностных волн. М„ ИЛ, 1959.
284	F г i d г i с h s К. О. Asymptotic phenomena in mathematical physics. Bull.
Amer. Math Soc., 51, 1955, 485—504.
285	. Z w a n n A. Dissert.., Utrecht, 1929.
286	. Y u-W hy Tschen. Uber das Verhalten der liner Folge von Differentialglei —
chunsproblemes, welche in Zimes ausarten, compositio Mathematica. V. 2, 1935, 378—401.
287	. X а я с и T. Нелинейные колебания в физических системах. М., «Мир», 1968.
288	. Хедди и г Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). М.,
«Мир», 1965.
289	. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М., «Мир». 1966.
290	. Volterra V. Lecons sur les equations integrates et les equations-dilfe-
rentiales. Paris, 1913.
291	. Volterra V. Theorie ol Functionates and Integrates and Integro-diilferential
eguations, London, 1931.
292	. Цянь-Сюэ-Сэнь. Метод Пуанкаре-Лайтхнлла-Го. Проблемы механики,
вып 2, М„ ИЛ, 1959.
293	. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновен-
ных дифференциальных уравнений М., «Мир», 1964.
294	Чудов Л. А. О некоторых недостатках классической теории пограничного
слоя Численные методы в газовой динамике. Сб работ вычислит, центра МГУ, вып II,
1963, 98—109.
295	Ш т о к а л о И. 3. О виде решений некоторых классов линейных дифференци-
альных уравнений с переменными коэффициентами. УМЖ, 4, 1952.
296	Шт ок ал о И 3. Линейные дифференциальные уравнения с переменными ко-
эффициентами. Киев, Изд-во АН УССР, 1960.
297	. Ш л н х т н н Г. Г. Теория пограничного слоя. М., ИЛ, 1956.
298	. ЭльсгопьцЛ. Э. Дифференциальные уравнения и варнациониое исчисление^
ДО., «Наука», 1965.
299	. Эр дейн А. Асимптотические разложения. М.„ Физматгнз, 196£.
ОГЛАВЛЕНИЕ	стр.
Предисловие ....................................................  3
Векторы н матрицы...............................................  5
Глава 1
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ КОШИ В ТЕОРИИ
СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
ТИПА ФРЕДГОЛЬМА С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 1. 1. Постановка задачи.........................................Ю
§1.2. Формальные асимптотические ряды. Определение некоторых начальных
лекторов .	.	......................................................12
§ 1. 3. Методы асимптотического разложения решений задачи Коши для
•систем (1. 1. 1)	.	.	..............................................14
§ 1.4. Системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений
пограничных слоев....................................................21
§ 1. 5. Исследование структурных особенностей первых линейных членов
асимптотического разложения (1. 2. 1)................................28
§ 1.6. Исследование вторых линейных членов асимптотического разложения
(1. 2. 1)	.........................................................37
§ 1. 7. Исследование P-того члена асимптотического разложения. Метод пол-
ной математической индукции..........................................41
§ 1.8. Некоторый вспомогательный аппарат для дальнейшего исследования .	44
§ 1.9. Асимптотические оценки остаточных членов ряда (1. 2. 1)	.	.	.	55
Глава Л
ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ЗАДАЧИ КОШИ В ТЕОРИИ
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ТИПА ФРЕДГОЛЬМА
С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ
-СЛУЧАИ, КОГДА ПРЕДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАХОДЯТСЯ НА СПЕКТРЕ
§ 2. 1. Асимптотические методы в случае появления собственных значений .	76
§ 2. 2. Асимптотические методы оценок остаточных членов ряда (2. 1. 5)	.	90
§ 2. 3. Характерные свойства решений некоторых классов ннтегро^нф-
-ференциальных уравнений с малым параметром при производной .	.	.	.101
§ 2.4. Особенности решений задачи Коши для ннтегро-днффереициальных
уравнений с малыми параметрами при старшей производной	.	.	.	.119
Глава III
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ТИПА ВОЛЬТЕРРА
С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 3. 1. Метод асимптотического разложения решений задачи Коши (3. 1. 1) —
(3. 1. 2) относительно малого параметра е...........................157
§ 3. 2. Уравнение относительно остаточного члена асимптотического раз-
ложения	.	.	...	................................169
§ 3. 3. Некоторые вспомогательные оценки решений линейных матричных сис-
тем с малым параметром при производной..............................177
§ 3. 4. Основная теорема об оценках остаточного члена н сходимости реше-
ния задачи Коши полного уравнения к соответствующему решению задачи Ко-
ши «вырожденного» уравнения	.	.	-	........................185
§ 3 5 Особенности решении задачи Коши дчя линейных интегро дифференци-
альных уравнений типа Вольтерра	19Т
§ 3 6 Исследование решений задачи Коши для общих линейных систем иь
тегро дифференциальных уравнений типа Вольтерра с малым параметром при
производной	.	.	202
§37 Теория линейных систем интегро-дифференциальных уравнений типа
Вольтерра с малым параметром при производной с интегральными начальными
данными Особенность интегральных начальных данных	.	219
§ 3 8 Общая асимптотическая теория систем нелинейных интегро дифферен-
циальных уравнений типа Вольтерра с линейными интегральными начальными
условиями с малым параметром при производной	....	233
Глава IV
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ
ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИИ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ
§41 Метод формального асимптотического разложения .	.	,	2>.
§ 4 2 Оценка остаточного члена асимптотического разложения (4 1 1)	264
§ 4 3 Асимптотика решения краевой задачи, когда пограничный слой появля-
ется на обоих концах промежутка	270
§ 4 4 Оценка остаточного члена в асимптотическом ряде (4 3. 11)	295
§ 4 5 Асимптотика решений краевой задачи для нелинейных интегро диффе
реицнальных уравнений второго порядка с малым параметром при старшей про-
изводной	......................................................324
ЛИТЕРАТУРА	344
Мурзабек Иманалиевич Иманалиев
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ
ИНТЕГРО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Редактор издательства И В. Вожейко
Обложка художника В Ф Роека
Техническим редактор Э К Гаврина
Сдано в набор 4/1 1972 г Подписано в печать 6/IV 1972 г Формат бумаги
70X108416 Ьумага типографская № 1 Объем 22,25 п п Уч изд 31,8 л
Тираж 1000 экз Заказ 2790 Д—01116 Цена 2 руб 33 коп
Издательство Академии наук Киргизской ССР
г Фрунзе, ул. XXII парпсъезда, 265а
Типография Академии наук Киргизской ССР
г Фрунзе, ул Пушкина, 144