fefe-
ж. ЛАГРАНЖ

к ЛАС СИКИ
ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
(.1
^—

КЛАССИКИ
ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
МАТЕЛ^АТИКА
*-
МЕХАНИКА
ФИЗИКА
■*-
АСТРОНОМИЯ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
^Москва • ig^o • Ленинград

ЖоЛАГРАН^йС
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
Я
c/iepeSoq с срранцузского
В.С.ГОХМАНА
с/Тоа рвааки,исй и с прилгсганиями
л.глойця некого
и А.И.ЛУРЬЕ
II ил л II и 1-: и г о 1> о i;
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
<Л€осква • /950 •^Л.енитраа

от ИЗДАТЕЛЬСТВА.
Жозеф Луи Лагранж A736—1813) является одним из
наиболее выдающихся деятелей точного естествознания 18 века.
Особенно велики его заслуги в области математики,
аналитической и небесной механики.
Восемнадцатый век явился периодом формирования общей
аналитической механики. К этому времени относится создание
аналитического аппарата теории движения материальных точек,
твердых тел и их систем, а также идеальной жидкости. Этот
процесс формирования аналитической механики протекал под
непосредственным воздействием различных областей
естествознания и запросов быстро развивавшейся техники.
Основополагающее значение для аналитической механики
точки, твердого тела и систем, не подверженных
механическим связям, в 18 веке имели фундаментальные трактаты
^1еонарда Эйлера A707—1783), созданные им в Петербургской
Академии Наук. Аналитическая мех'аника Эйлера имела в своей
основе принцип ускоряющих сил и систему основных понятий
механики Ньютона, творчески переработанную Эйлеро.м при
несомненном плияиии великого русского ученого М. В.
Ломоносова.
Однако аналитическая механика Эйлера удонлетноряла
больше требонанням небесной механики, чем запросам техники.
Техника того времени была более заинтересонана и построении
аналитической статики и динамики систем твердых тел,
подчиненных определенным механическим связям. В разрешении
.Этой задачи Эйлер принял участие своими труда^ш но
аналитическому развитию так назынаемого «петербургского принципа»
.чииамики системы, сформулированного петербургским акаде-
мпко.м Яковом Геррманпом A678—1733) как принппп «еже-
1 VK. Лагранж, т. I

2 от ИЗДАТЕЛЬСТВА
мгновенной» эквивалентности совокупности фактически
приложенных сил и совокупности сил инерции отдельных точек
рассматриваемой материальной системы. Несмотря на все СБое
значение, принцип этот, однако, остался в тени после того, как
Даламбер A717^1783) в своем «Трактате динамики» A743)
выдвинул в качестве основного принципа динамики системы
обобщение принципа Якова Бернулли A654^1705), сводящее условия
движения системы к условию ее равновесия под действием
потерянных сил. Теснейшая связь этого «принципа Даламбера»
с «петербургским принципом» была выявлена впервые лишь
Лагранжем.
Приобретя широкую известность, трактат Даламбера тем
не менее не смог сыграть роли систематической сводки
аппарата аналитической динамики материальных систем, ибо
оказался лишь малоупорядоченным набором примеров на приложение
иринципа равновесия потерянных сил, не содержащим никаких
методически стройных и единообразных приемов составления
дифференциальных уравнений движения материальных систем.
Главной причиной этого было то, что Даламбер не уделил
внимания аналитическому оформлению того принципа статики
системы, сочетание которого с «принципом Даламбера» только
н дает возможность завершить составление упомянутых
уравнений. Первым систе.матическим трактатом по аналитической
механике систем материальных точек, подчиненных механически.м
связям, явился лишь трактат Лаграижа «Аналитическая
механика», вышедший первым изданием в 1788 году. Он сыграл
основополагающую роль для дальнейшего развития той
разновидности аналитической механики, которая опирается
на комбинацию принципа виртуальных перемещений с
принципом Даламбера или с «петербургским принципом» дина.мпки
системы.
Первая часть трактата Лаграижа посвящена изложению
аналитической статики механических систем, подчиненных
гладким, удерживающим связям, причем в осноБу этого изложения
кладется аналитическая запись условия равновесия,
вытекающего из принципа возможных перемещений, и.менуе.мая
Лагранжем «общей формулой статики».
Вторая часть трактата излагает аналитическую динамику
таких же механических систем, иричем в основу вывода системы

от ИЗДАТЕЛЬСТВА 3
дифференциальных уравнений движения я вывода главнейших
первых интегралов этой системы (именуемых Лагранжем
«принципами» или «общими свойствами! движения»,
«относящимися к центру инерции», «к площадям», «к живым силам»
U т. II.) кладется аналитическая запись «общей формулы
динамики», выражающей собою комбинацию принципа Даламбера
(или «петербургского принципа») с принципом возможных
перемещений.
Высокая степень систематичности изложения аналитического
аппарата статики и динамики материальных систем,
достигнутая в «Аналитической механике» Лагранжа, прекрасно
осознавалась ее автором. Следуя стилю рационалистического
механистического мировоззрения, прогрессивного для 18 века,
Лагранж выражал это свое мнение, говоря, что он «предложил
себе свести теорию механики и способ решения относящихся
к ней задач к общим формулам, нростое развертывание которых
дает все уравнения, необходимые для решения любой задачи». Та
же самая мысль выражена и в конце предисловия к первому
изданию 1811 г., где Лагранж говорит, что «методы, которые здесь
излагаются, не требуют ни построений, ни геометрических или
механических рассуждений, но нуждаются исключительно в
алгебраических операциях, подчиненных правильному и
единообразному течению» и что «те, кто любит анализ, увидят с
удовольствием, что механика сделалась его новой ветвью».
Именно эти высказывания Лагранжа и дали повод
буржуазным историка.м науки, в том числе Маху, представить трактат
^[агранжп как демонстрацию «принципа экономии мышления
и науке», как проявление воображаемого желания Лагранжа
вытравить из механики всю ео материальную
естественнонаучную и техническую основу, как проявление якобы бесприн-
дпиного фор.малпзма Лагранжа.
На салюм деле, разумеется, ничего подобного не было.
Советскому читателю, вооруженному марксистско-ленинской
методологией, легко будет усмотреть под внешним
математическим покровом «Аналитической механики» Лагранжа
крепкие стихийно-материалистические стержни. Эти
стержни служат надежным каркасом всей структуры этой книги,
являющейся одним из лучших памятников человеческого гения
той эпохи, когда .механический материализм, будучи мировоз-

4 от ИЗДАТЕЛЬСТВА
зрением революционного в то врзмя «третьего сословия», сыграл
свою прогрессивную роль в борьбе против одряхлевшей
феодально-клерикальной идеологии.
Проявлений стихийно-материалиотичезких, чуждых
беспринципному формализму установок в книге Лагранжа весьма много.
Так, например, не потерявшие своего значения и до нашего
времени исторические введения Лагранжа к статике и
динамике ярко обнаруживают его материалистичеокое
стремление установить сравнительную ценнозть отдельных принципов
механики и их соотвзтствие сущэству практичезких задач,
причем для этой цели избираетзя правильный призм
исторического анализа развития науки в связи с развитием конкретной
тематики ее прикладных задач.
Достаточно вдуматься в ту аргу.ментацню, которую
извлекает из Этих исторических обзоров в пользу избираемой и.м
системы принципов механики Лагранж, чтобы ясно увидеть,
что «общие фор.мулы», к которы.м Лагранж стремится свести
статику и динамику, мыслятся им по существу вовое не как простые
формально-математические записи, создаваемые для «экономии
мышления», но как определенные отражения вполне реальных и
объективно существующих вне человеческого мышления
закономерностей движения материальных тел, в существовании которых
Лагранж не сомневается ни в какой мере. Конечно, Лагранж
не учитывает относительности знаний своего времени и
абсолютизирует эти знания. Однако этот недостаток является
дефектом всего механического материализма 18 века,
отражающим его недиалектичность, но не лишающим его характерных
и здоровых — для того времени — ведущих признаков именно
материалистического мировоззрения.
Обратим, наконец, внимание па самообознование и
доказательство Лагранжем фундаментального для его механики
принципа виртуальных перемещений, который сводится им к
чисто техническому «принципу блоков». Тогда мы увидим,
насколько глубоко было проникновение материалистических
концепций в основу аналитической механики Лагранжа и насколько,
следовательно, ложно клеветническое изображение механики
Лагранжа махистскими фальсификаторами истории науки, как
комбинации формализма с пресловутым принципом экономии
мышления.

от ИЗДАТЕЛЬСТВА 5
Обращаясь к конкретному содержанию статики и динамики
Лагранжа, мы находим большое богатстБО основных форм
условий равновесия и дифференциальных уравнений движения
для многих фундаментальных задач, имеющих определенное
техническое и естественно-научное значение и происхождение.
Среди последних существенную роль б трактате Лагранжа
играют проблемы небесной механики, чао далеко не случайно,
ибо Лагранж явился одним из основоиоложпикоб классической
небесной механики.
Лагранж уделяет также большое внимание проблеме
эффективной трактовки самих задач, проблеме эффективного их
решения. В этом опять проявляется конкретная
материалистичность содержания трактата Лагранжа, его стихийная
направленность на критерий практики.
Видя, что исчерпывающее большинство хоть сколько-нибудь
сложных задач прикладного характера при тогдашнем
состоянии математического анализа не допускает строгого решенпя,
Лагранж предпринимает разработку методов приближенного
решения таких задач и достигает здесь блестящих успехов.
Тем самым такие разделы динамики Лагранжа, как, иа-
иример, посвященный разработке «общего метода приближений,
основанного па нариацпи произвольных постоянных», помимо
своего конкретного значеипя для небесной механики, физики
и техники, имеют также и весьма большое методологическое
значение, ярляясь выражением материалистической
тенденции Лагранжа — не ограничиваться одним только
написанием дифференциальных уравнений, но также и доводить
решение задач механики до результатов, которые могли бы быть
сравнены с наблюдательным и экспериментальным материалом,
т. е. доводить трактовку задач механики до практического
приложения.
Классический труд Лагранжа бесспорно является одним
из важнейших документов и истории развития механики.
Кроме колоссального богатства фактического теоретического
материала, в значительной части не потеряншего сноего
значения и до нашего времени, это сочинение представляет
большой интерес также и в общем методологическо»! плане
борьбы л[атериалпзма с идеализмом в области точного
естествознания.

5 от ИЗДАТЕЛЬСТВА
Кроме отмеченных выше специфических проявлении
механистического упрощенного мировоззрения, типичного для 18 века ,
труд Лагранжа, разумеется, не свободен и от известных
недостатков специального научного характера. Некоторые теоремы
(например — «теорема Лагранжа об устойчивости равновесия
консервативной динамической системы» и т. п.) доказаны в нем
недостаточно строго, некоторые выводы недостаточно ясны или
недостаточно общи (вывод условий равновесия проведен только
для удерживающих связей, а вывод уравнений движения дан
только для удерживающих и не зависящих от времени связей
и т. д.). Дальнейший прогресс аналитической механики в 19 веке
устранил эти недостатки и принес существенные обобщения
системы аналитической механики Лагранжа, причем в этом
прогрессе науки исключительно важную роль сыграли труды
представителей передовой русской школы механики, школы
Остроградского — Чебьш1ева — Ляпунова — Жуковского.
Поэтому изучение «Аналитической механики» Лагранжа
сможет дать советскому читателю также опорный
подготовительный материал для изучения и правильной исторической оценки
тех великих вкладов в аналитическую механику, которыми
мировая наука обязана трудам М. В. Остроградского, О. И. Сомова,
А. М. Ляпунова и других русских ученых.

Жо ЛАГРАНЖ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
cJU.
ом.
СТАТИКА
I, И Н А М И К А

;z^^(>^s^5=S5;^5^
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ [1] *).
Существует уже много трактатов о механике, но
план настоящего трактата является совершенно
новым. Я поставил себе целью свести теорию
механики и методы решения связанных с нею задач
к общим формулам, простое развитие которых дает
все уравнения, необходимые для решения каждой
задачи. Я надеюсь, что способ, каким я постарался
этого достичь, не оставит желать чего-либо лучшего.
Кроме того, эта работа принесет пользу и в другом
отношении: она объединит и представит с одной и той же
точки зрения различные принципы, открытые до сих пор
с целью облегчения решения механических задач,
укажет их связь и взаимную зависимость и даст
возможность судить об их правильности и сфере их
применения.
Я делю эту работу на две части: статику, или
теорию равновесия, и динамику, или теорию
движения; в каждой из этих частей я отдельно
рассматриваю твердые и жидкие тела.
В этой работе совершенно отсутствуют какие бы
то ни было чертежи. Излагаемые мною методы не
требуют ни построений, ни геометрических или
механических рассуждений; они требуют только алгеб-
*) Цифрами в квадратных скобках отмечены примечания
редакторов русского перевода, помещенные в конце тома.
{Прим. ред.)

]Q ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА liO НТОРОМУ ИЗДАНИЮ
раических операции, подчиненных планомерному
и однообразному ходу. Все любящие анализ с
удовольствием убедятся в том, что механии;а становится
новой отраслью анализа, и будут мне благодарны
за то, что этим путем я расширил область его
применения *).
Таков план, который я попытался осуществить
в первом издании настоящего трактата, опублико
ванного в 1788 году. Настоящее издание представляет
собою со многих точек зрения новую работу, выпо.ч-
ненную по тому же, но только расширенному, плану.
Здесь уделено больше внимания изложению
принципов и общих формул и отведено больше места
приложениям, в которых содержится разрешение
основных проблем, относящихся к области механики.
Мы сохранили обычные обозначения
дифференциального исчисления, так как они соответствуют
Системе бесконечно малых величин, принятой в
настоящем трактате. Если дух этой системы хорошо
усвоен и если в точности ее результатов убсдилис]^
с помощью геометрического метода первых и
последних отношений, или с помощью аналитического метода
производных функций, то бесконечно малые величины
можно применять в качестве надежного и удобного
средства для сокращения и упрощения доказательств.
Таким именно образом доказательства древних
сокращаются с помощью метода неделимых.
Укажем теперь главнейшие дополнения, которыми
настоящее издание отличается от предшествующего.
Первый отдел первой части содержит в себе более
полный анализ трех принципов статики с новыми
замечаниями о природе и связи этих принципов; он
заканчивается прямым доказательством принципа
виртуальных скоростей, совершенно независимым от
других двух принципов.
*) Это начало предислоБия Лаграпжа ко второму издани1и
целиком БОСпроизБОДит его предислопие к первому изданию,
которое мы здесь тте приБОДим. (Прим. ред.)

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ ] [
Во втором отделе дано более строгое
доказательство полон^епия, что принцип виртуальных скоростей
для любого числа сил, находящихся в равновесии,
может быть выведен из того случая, когда имеется
только две силы, что приводит этот принцип
непосредственно к принципу рычага; уравнения,
вытекающие из этого принципа, даны в более общем виде, и
указаны условия, необходимые для того, чтобы
какая-либо система сил была эквивалентна другой
системе сил и была в состоянии ее заменить.
В третьем отделе мы выводим более прямым
1гутем формулы мгновенных вращательных движений
II сложения этих движений, а отсюда выводим теорию
моментов и их сложения; мы излагаем здесь мало
известное свойство центра тяжести и даем новое
доказательство максимумов и минимумов, имеющих
место при состоянии равновесия.
Четвертый отдел содержит более общие и более
простые формулы для решения задач, связанных с
лгетодом вариаций; путем сопоставления этих формул
с формулами равновесия тел изменяющейся формы
мы показываем, что задачи, касающиеся равновесия
этих тел, относятся к разряду задач, известных под
{|;).чванием общих изоперпметрпческих задач, и решаются
тем н<е самым путем.
Пятый отдел излагает некоторые новые проблемы
и содержит в себе важные замечания но поводу
некоторых решений, приведенных уже в первом
издании.
В шестом отделе мы прибавили некоторые детали,
касающиеся исторического анализа принципов гидро-
гтатики.
В седьмом отделе мы придали больше строгости и
общности определению деформаций частиц жидкости
и сильно упростили анализ членов, относящихся
н границам массы жидкости; из этих членов мы
вывели теорию действия жидкостей на погруженные
в них твердые тела или па стенки сосудов, в которых
они заключены, а отсюда получили прямое доказа-

12 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
тельство теоремы, что при равновесии твердого тела
с жидкостью силы, действующие на твердое тело,
являются теми же, как если бы жидкость образовала
лишь единую массу с твердым телом. В этом жо
отделе, равно как и в следующем, где трактуется
вопрос о равновесии упругих жидкостей, мы
прибавили несколько случаев применения общих формул
равновесия жидкостей.
Вторая часть настоящей работы, динамика,
получила большее количество добавлений.
В первом отделе мы дали более полный, а в
некоторых частях более точный исторический анализ
принципов динамики.
Второй отдел содержит в себе важное добавление,
в котором указывается, в каких случаях общие
формулы динамики, а следовательно, и уравнения,
получающиеся отсюда для движения системы тел, не
зависят от положения осей координат в пространстве;
отсюда получается возможность путем введения трех
новых произвольных постоянных обобщить решение,
в котором некоторые постоянные были положены
равными нулю.
В третьем отделе уделено больше внимания
свойствам, относящимся к движению центра тяжести
и к площадям, описанным системой тел; мы
прибавили здесь теорию главных осей или равномерного
вращения, выведенную из рассмотрения мгновенных
вращательных движений с помощью анализа,
отличного от того, какой применялся до сих пор; далее,
мы доказываем некоторые новые теоремы о вращении
твердого тела или системы тел — для случая, когда
это вращение происходит вследствие первоначального
толчка.
Четвертый отдел остался почти в том же виде,
как и в первом издании.
Но пятый отдел является совершенно новым; он
содержит в себе теорию вариации произвольных
постоянных, которая послужила темой для трех
мемуаров, напечатанных в Memoires de la premiere

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ ^3
Glasse de I'lnstitut за '1808 г., однако здесь эта теория
изложена более просто и в виде общего
приближенного метода решения всех механических задач — для
случаев, когда имеются возмущающие силы,
величина которых незначительна по сравнению с
главными силами.
Отметим здесь, чтобы указать область, которую
способна охватить эта теория, что функция V,
зависящая от главных сил, может быть функцией только
независимых переменных ^, ф, ф, . . . , а также
времени t, но что не обязательно, чтобы функция,
обозначенная через ti и зависящая от возмущающих сил,
обязательно имела тот же характер. Каковы бы ни
были эти силы, достаточно, разложив их для
каждого тела т системы на три силы X, Y, Z,
направленные по координатам х, у, z в сторону их возрастания,
выразить эти координаты- в функции независимых
переменных ^, ф, ф, . , . , и тогда вместо частных про-
аа да
нзводных ^, ^ ,. . . можно подставить
соответствующие суммы
FT, следовательно, вместо Ati — величину
Нт {ХАх + YAy + ZAz),
где Д обозначает вариацию по отношению к
произвольным П0(
выражением
да
вольным постоянным, так что ^^ можно заменить
дси
Н'^'й+^Р.+Ф
равным образом можно заменить другие частные
производные ti. Этим путем можно достичь того,
')то настоящий метод станет применимым и к
возмущающим билам, выраженным в функции любых
переменных.

14 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Наконец, в шестом отделе, являющемся последнилг
в этом томе и соответствующем первому параграфу
пятой главы предшествующего издания, прибавлены
различные замечания и сверх того решение некоторых
задач о малых колебаниях тол; он заканчивается
теорией колеблющихся струн, которую я дал в первом
томе «Memoires de Tutin» и которую я здесь изложил
более просто и приняв во внимание возражения^
выдвинутые против этой теории Даламбером (d'Alem-
bert) в первом томе его «Opuscules».

СТАТИКА
ooYc^

^^e^=s
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ.
О РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ СТАТИКИ.
Статика — это наука о равновесии сил. Под силой
мы понимаем^ вообще говоря, любую причину,
которая сооблцает или стремится сообщить движение телам,
к которым мы представляем себе ее приложенной;
поэтому силу следует оценивать по величине движения,
которое она вызывает или стремится вызвать. В
состоянии равновесия сила не производит реального
действия; она вызывает лишь простое стремление к
движению; но ее следует всегда измерять по тому
эффекту, какой она вызвала бы, если бы она
действовала при отсутствии каких-либо препятствий. Если
принять в качестве единицы какую-либо силу или же
ее действие, то выражение для любой другой силы
представит собою не что иное, как отношение, т. е.
математическую величину, которая может быть
выражена с помощью чисел или линий; с этой
именно точки зрения и следует в механике
рассматривать силы.
Равновесие получается в результате уничтожения
нескольких сил, которые борются и взаимно сводят
на нет действие, производимое ими друг на друга;
статика имеет своей целью дать законы, согласно
которым происходит это уничтожение. Эти законы
основаны на общих принципах, которые можно свести
2 Ж. Лагранш, т. Т

I g СТАТИКА
К трем: принципу рычага, принципу слоо*сения сил и
принципу виртуальных скоростей,
1. Архимед, единственный из древних, оставивший
нам теорию равновесия в двух своих книгах «De
aequiponderantibus» или «De planorum aequilibriis»,
является автором принципа рычага. Последний, как
это знают все механики, заключается в следующем.
Если прямолинейный рычаг нагрузить с обеих сторон
от точки опоры какими-либо двумя грузами таким
образом, чтобы расстояния этих грузов от точки опоры
были обратно пропорциональны самим грузам, то
рычаг останется в равновесии, а нагрузка на точку его
опоры будет равна сумме обоих грузов. Для случая,
когда грузы равны и находятся на равном расстоянии
от точки опоры, Архимед принимает этот принцип
в качестве очевидной аксиомы механики или, по
меньшей мере, в качестве опытного закона. К этомл^
простому и первичному случаю он сводит случай,
когда на рычаге помещены неравные грузы;
последние, если они соизмеримы между собою, он
представляет себе разделенными на несколько равных частей,
эти части каждого груза он разделяет и помещает их на
соответствующих плечах того же рычага на равных
расстояниях, так что рычаг оказывается
нагруженным большим числом малых равных между собою
грузов, расположенных на равных расстояниях от
Точки опоры. Далее, он обосновывает правильность
этой же теоремы для несоизмеримых грузов,
доказывая посредством метода исчерпания, что мржду
этими грузами не может быть равновесия, если они
не находятся между собою в отношении, обратном их
расстояниям от точки опоры.
Некоторые новые авторы, как Стевин (Stevin) в
своей статике и Галилей (Galilei) в своих «Диалогах»
о движении [^], упростили доказательство Архимеда,
приняв, что грузы, помещенные на рычаге, имеют
форму параллелепипедов, подвешенных горизонтально
в средней своей точке; при этом ширина и высота
обоих параллелепипедов равны, но длины их вдвое

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ СТАТИКИ 19
больше соответствующих противоположных плеч.
Тогда оба параллелепипеда находятся между собой в
обратном отношении к своим плечам и в то же время
они располагаются впритык, так что составляют одно
целое тело, середина которого в точности совпадает
с точкой опоры рычага. Архимед уже раньше
воспользовался подобным методом для определения центра
тяжести фигуры, составленной из двух
параболических поверхностей, а именно — в первом предложении
второй книги о равновесии плоскостей.
Другие авторы, наоборот, полагали, что нашли
ошибки в доказательстве Архимеда и видоизменяли
его различным образом с тем, чтобы придать ему
большую строгость; следует, однако, признать, что,
нарушив простоту этого доказательства, они почти
ничего НС выиграли с точки зрения точности.
Тем не менее из числа авторов, пытавшихся
дополнить доказательство равновесия рычага, данное
Архимедом, следует особо отметить Гюйгенса (Ниу-
ghens), который по этому поводу написал небольшую
работу под заглавием «Demonstratio aequilibrii bilan-
cis» *), напечатанную в 1693 г. в собрании старых Ме-
moires de TAcademie de Sciences.
По мнению Гюйгенса, Архимед молча допускает,
что когда несколько равных грузов помещено на
горизонтальном рычаге на равных друг от друга
расстояниях, то они стремятся вывести рычаг из
горизонтального состояния с одинаковой силой —
независимо от того, находятся ли они все по одну сторону от
точки опоры, или же одни из них находятся на
одной стороне, а другие на другой стороне от точки
опоры. Для того чтобы избежать этого ненадежного
допущения, Гюйгенс распределяет равные части
соизмеримых грузов не так, как это сделал Архимед, т. е. на
одном и том же рычаге по обе стороны от точек, в которых
*) Эта работа Гюйгенса входит в состав его «Сочинений»,
опубликованных сТравезандом (s'Gravesande) в 1724 г. (в
Лионе), т. 1, стр, 282. (Прим. Бертрана.)
2*

20
СТАТИКА
грузы должны были бы висеть целиком, а размещает
их точно таким же образом на двух других
горизонтальных рычагах, которые расположены в конечных точках
рассматриваемого рычага перпендикулярно к
последнему, образуя с ним букву Т. Таким путем
получается горизонтальная плоскость, нагруженная
известным числом равных грузов, которая, очевидно,
находится в равновесии по отношению к линии первого
рычага, так как грузы распределены одинаково и
спмметрично по обе стороны от этой линии. Но
Гюйгенс далее доказывает, что эта плоскость находится
в равновесии и по отношению к прямой линии,
наклонной к линии рычага и пересекающей последнюю
в точке, разделяющей основной рычаг на части, обратно
пропорциональные грузам, которыми он согласно
предположению нагружен,— так как ясно, что при
этих условиях малые грузы располагаются на равных
расстояниях по обе стороны от той же прямой линии.
Отсюда Гюйгенс приходит к выводу, что плоскость,
а следовательно, и рассматриваемый рычаг должны
быть в равновесии в той же точке.
Это доказательство остроумно, но оно не дает
полностью того, чего действительно нехватает в
доказательстве Архимеда.
2. Что прямой горизонтальный рычаг, концы
которого нагружены равными грузами и точка опоры
которого находится посередине, остается в
равновесии, это само по себе очевидно, так как нельзя
усмотреть основания, в силу которого один груз
перетянул бы другой. Не так, однако, обстоит дело с
допущением, что нагрузка на точку опоры равна сумме
обоих грузов. Повидимому, все механики
рассматривали это допущение как результат повседневного
наблюдения, которое учит нас, что тяжесть тела
зависит только от его массы, но ни в какой мере не
зависит от его формы *). Тем не менее эту истину
*) Мне думается, что впервые это положение пытался
доказать Даламбор, однако доказательство, приведенное им в

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ СТАТИКИ 21
можно вывести из первой, если подобно Гюйгенсу
рассмотреть равновесие плоскости по отношению к
прямой линии.
Для этой цели следует только представить себе
треугольную пластинку, которая на обоих концах
своего основания нагружена двумя равными грузами
и в вершине своей нагружена двойным грузом. Эта
пластинка будет, очевидно, в равновесии, если она
будет опираться на прямую линию или на
неподвижную ось, проходящую через середины обеих сторон
треугольника; ибо каждую из этих двух сторон можно
рассматривать в качестве рычага, который на обоих
своих концах нагружен равными грузами и имеет
точку опоры на оси, проходящей через его середину.
По это равновесие можно истолковать и иначе, а
именно, рассматривая само основание треугольника
как рычаг, концы которого нагружены двумя
равными грузами, и пред-ставляя себе поперечный рычаг,
соединяющий вершину треугольника с серединой
основания, так что образуется фигура Т-образного
вида; один конец поперечного рычага нагружен
двойным грузом, расположенным в вершине треугольника,
между тем как второй конец служит точкой опоры
для рычага, образуемого основанием. Совершенно
очевидно, что этот последний рычаг будет находиться
в равновесии на поперечном рычаге, который
поддерживает его посередине, и что, следовательно,
поперечный рычаг будет в равновесии на оси, на которой
треугольник находится в равновесии. Но так как
ось проходит через середину обеих сторон
треугольника, то она обязательно пройдет и через середину
прямой линии, проведенной из вершины
треугольника к середине его основания; таким образом
поперечный рычаг будет иметь свою точку опоры в сред-
Memoires de I'Academie de Sciences за 1769 г., не вполне удо-
илетворительно. Доказательство, данное позднее Фурье в V
}!ыпуске Journal de I'Ecole Polytechnique, является очень
строгим и чрезвычайно остроумным, но оно не выведено им л?,
природы рычага. {Прим. Лагранжа.)

22 СТАТИКА
ней своей точке и, следовательно, будет одинаково
нагружен на обоих концах. Таким образом нагрузка,
которую несет точка опоры рычага, образующего
основание треугольника и нагруженного на обоих
своих концах равными грузами, будет равна
двойному грузу, находящемуся в вершине
треугольника и, следовательно, будет равна сумме обоих
этих грузов.
Если бы вместо треугольника рассмотреть тра-
пeциюJ нагруженную в четырех своих вершинах
четырьмя равными грузами, то тем же путем
можно было бы установить, что два рычага
неравной длины, образующие параллельные стороны
трапеции, действуют на свои точки опоры равными
силами.
3. Если это положение однажды обосновано, то
ясно, что подобно тому, как это сделал Архимед,
можно вместо одного груза, находящегося в
равновесии на рычаге, подвесить два равных, вдвое
меньших, груза на равных расстояниях по обе
стороны от той точки, в которой был помещен
груз. Ведь действие этого груза равно действию
рычага, подвешенного в средней своей точке и
нагруженного на обоих концах двумя равными
грузами, каждый из которых равен половине данного
груза; и ясно, что нет никаких препятствий к тому,
чтобы последний рычаг настолько приблизить к
первому, чтобы он составил его часть. Или, что,
пожалуй, будет еще строже, можно считать, что этот
последний рычаг поддерживается в равновесии силой,
приложенной в его середине и действующей снизу
вверх, причем эта сила равна тому самому весу, обе
половины которого мы себе представляем
помещенными в конечных точках рычага. Если этот рычаг,
находящийся в равновесии, поместить на первом
рычаге, который согласно нашему допущению
находится в равновесии, на своей точке опоры, то общее
равновесие сохранится; если же второй рычаг
поместить на первом таким образом, чтобы середина вто-

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ СТАТИКИ 23
рого рычага совпала с концом плеча первого, то
можно будет считать, что сила, поддерживающая
второй рычаг, приложена к самому грузу, которым
нагружено плечо первого рычага, а так как этот груз
будет поддерживаться упомянутой силой, то он уже
не будет оказывать какого-либо действия на первый
рычаг, и его место займут два равных груза
половинного размера, которые будут находиться по обе
стороны от данного груза на удлиненном плече
первого рычага. Доказанная таким путем суперпозиция
равновесий является в механике столь же
плодотворным принципом, каким в геометрии является
суперпозиция фигур.
4. Таким образом можно считать, что равновесие
прямолинейного горизонтального рычага,
нагруженного двумя грузами, величины которых обратно
пропорциональны их расстояниям от точки опоры,
является строго доказанной истиной. На основе
принципа суперпозиции легко, далее, распространить этот
вывод на любой коленчатый рычаг, точка опоры
KvOToporo находится в вершине угла и на плечи
которого действуют в противоположных
направлениях силы, перпендикулярные к плечам. В самом
деле, прежде всего ясно, что коленчатый
равноплечий рычаг, который может вращаться около своей
вершины, будет поддерживаться в состоянии
равновесия двумя равными силами, приложенными к
концам плеч и направленными перпендикулярно к
последним и, следовательно, стремящимися вращать их
в противоположные стороны. Пусть теперь имеется
прямолинейный неравноплечий рычаг, одно плечо
которого равно плечу коленчатого равноплечего
рычага и нагружено тяжестью, эквивалентной
каждой из равных сил, приложенных к плечам
коленчатого рычага; другое плечо этого рычага имеет
любую длину, и в конечной точке его помещен такой
груз, что рычаг находится в равновесии. Представим
себе, что этот рычаг наложен на равноплечий
коленчатый рычаг таким образом, что точка опоры прямо-

24 СТАТИКА
линейного рычага совпадает с вершиной коленчатого
рычага и первое плечо первого совпадает с каким-
нибудь плечом второго, причем обе силы,
приложенные к совпавшим теперь конечным точкам обоих
рычагов, имеют противоположное направление. Тогда
обе эти силы друг друга взаимно уничтожат и
соответствующие плечи обоих рычагов, на которые эти
силы действуют, потеряют всякое значение. А так
как в результате суперпозиции общее равновесие
не нарушится, то оставихпйся налицо
неравноплечий коленчатый рычаг, в конечных точках
которого приложены перпендикулярно направленные
силы, величины которых обратно пропорциональны
длинам плеч, будет находиться в равновесии,
подобно тому, как это имеет место при прямолинейном
рычаге.
Но силу мы можем себе представить
приложенной в любой точке по ее направлению. Поэтому две
силы, приложенные к каким-либо точкам плоскости,
закрепленной в одной точке, и имеющие любое
направление в этой плоскости, находятся в
равновесии, если величины этих сил обратно
пропорциональны перпендикулярам, опущенным из
неподвижной точки плоскости на направления этих сил, ибо
можно считать, что эти перпендикуляры составляют
коленчатый рычаг, точкой опоры которого является
неподвижная точка плоскости. Это положение
называют принципом моментоз, причем под моментом
понимают произведенпе силы на плечо рычага, на
которое она действует.
Этот общий принцип достаточен для решения
всех задач статики. Он был установлен уже при
первых шагах, какие были сделаны после Архимеда в
теории простых машин, благодаря исследованию
ворота, как об этом можно судить по работе Гвидо
Убальдо (Ubaldo) «Mechanicorum liber», появившейся
в 1577 г. в Пезаро; однако этот автор не сумел
применить его ни к наклонной плоскости, ни к
другим машинам, которые могут быть выведены из

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ СТАТИКИ 25
последней, как, например, клин и винт, для
которых Убальдо дает очень неточную теорию.
5. Отношение силы, удерживающей груз на
наклонной плоскости, к весу этого груза давни уже
составляло проблему, которой были заняты новые
.механики. Стевин реп1ил ее первым, но его penienne
основано на косвенно.м рассуждении, причем
последнее не связано с теорией рычага.
Стевин рассматривает твердое тело в форме
треугольника, стоящех'О на своем горизонтальном
основании, так что обе его стороны образуют две
наклонных плоскости, и допускает, что на обеих сторонах
лтого треугольника лежат четки в виде некоторого
числа равных грузов, нанизанных на равных расстояниях
иа нить, или, лучше сказать, цепь, имеющая
одинаковую толщину на всем своем протяжении; при этом
наверху на сторонах треугольника эта цепь прилегает
вплотную к этим сторонам, нижняя же часть цепи
впсит свободно под (jCHOBanneM треугольника, как
если бы она была прикреплена к обоим концам этого
основания.
Стевин рассуждает следующим образОлМ. Если
предположить, что цепь может свободно
скользить по треугольнику, она все-таки должна
оставаться в покое; ведь если бы она салга собою начала
скользить в каком-нибудь направления, то она
должна была бы и дальше все время продолжать это
скольжение, так как причина движения оставалась
оы все время неизменной, ибо в силу однор(<дности
частей цепи последняя все время висела бы
одинаковым образом на треугольнике, в результате чего
получилось бы постоянное движение, что, однако,
представляется абсурдным.
Таким образом между всеми частями цепи
необходимо должно быть равновесие. Но относительно
части цепи, располо}кенной под основанием
треугольника, можно считать, что она уже сама по себе
находится в равновесии. Следовательно, действие
всех грузов, расположенных на одной стороне тре-

26 СТАТИКА
угольника, должно уравновешиваться действием
грузов, расположенных на другой его стороне; но
сумма первых относится к сумме вторых, как длина
первой стороны к длине второй. Стало быть, для
того чтобы поддержать груз или несколько грузов
на наклонной плоскости, требуется всегда одна и та
же сила, когда общая сумма грузов
пропорциональна длине плоскости, если только высота
последней остается неизменной; но в том случае, когда
плоскость вертикальна, сила равна весу груза;
отсюда следует, что у всякой наклонной плоскости
сила относится к весу груза, как высота
плоскости относится к ее длине.
Я изложил это доказательство Стевина, так как оно
очень остроумно и к тому же мало известно. Далее Сте-
вин выводит из этой теории условие равновесия
между тремя силами, приложенными в одной и той
же точке, и находит, что это равновесие имеет место
в том случае, когда силы параллельны и
пропорциональны трем сторонам какого-либо прямолинейного
треугольника. (См. «Элементы статики» и
«Добавления к статике» Стевина в «Hypomnemata mathema-
tica», напечатанных в Лейдене в 1605 г., а также в
трудах Стевина, переведенных на французский язык
и напечатанных в 1634 г. Эльзевирами.) Следует,
однако, отметить, что хотя эта основная теорема
статики обычно приписывается Стевину, она была
им доказана лишь для того случая, когда
направления двух из этих сил образуют между собой
прямой угол.
Стевин правильно отмечает, что груз, лежащий
на наклонной плоскости и поддерживаемый силой,
направленной параллельно плоскости, находится в
таком же состоянии, как если бы он поддерживался
двумя нитями, из которых одна перпендикулярна, а
другая параллельна плоскости, и с помощью своей
теории наклонной плоскости находит, что отношение
веса груза к силе, параллельной плоскости, равно
отношению гипотенузы к основанию прямоугольного

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ СТАТИКИ 21
треугольника, построенного на плоскости
посредством двух прямых линий, из которых одна идет
вертикально, а другая проведена перпендикулярно к
плоскости. Стевин ограничивается, далее, тем, что
распространяет эту пропорцию на тот случай, когда
нить, удерживающая груз на наклонной плоскости,
составляет с последней косой угол; для этого он
строит аналогичный треугольник с помощью тех же
линий, одной вертикальной и другой —
перпендикулярной к плоскости, и откладывает основание по
направлению нити; однако для того, чтобы
обосновать правильность подобного построения, он должен
был бы доказать, что та же самая пропорция имеет
место при равновесии груза, удерживаемого на
наклонной плоскости силой, направленной косо к этой
плоскости, что, однако, не может быть выведено из
рассмотрения стевиновой воображаемой цепи.
6. В механике Галилея, которая в 1634 г. была
впервые опубликована на французском языке Мер-
сенном (Mersenne), равновесие на наклонной
плоскости сведено к равновесию коленчатого рычага с дву-
лш равными плечами, из которых одно следует себе
представить направленным перпендикулярно к
плоскости и нагруженным тяжестью, положенной на
плоскость, другое же направлено горизонтально и
нагружено тяжестью, эквивалентной той силе, какая
необходима для удержания груза на плоскости.
Равновесие этого коленчатого рычага сводится затем к
равновесию горизонтального рычага; для этой цели
груз, положенный на наклонное плечо, Галилей
рассматривает таким образом, как если бы он был
помещен на горизонтальном плече, образующем
прямолинейный рычаг с горизонтальным плечом
коленчатого рычага. Таким путем он устанавливает, что
отношение тяжести к силе, поддерживающей ее на
наклонной плоскости, обратно отношению обоих
плеч прямого рычага, причем легко доказать, что
эти плечи относятся друг к другу, как высота пло-
ь-ости относится к ее длине.

28 СТАТИКА
Можно сказать, что здесь мы имеем первое
прямое доказательство, которое было дано для
равновесия на наклонной плоскости. Галилей позднее
воспользовался им для того, чтобы строго доказать,
что тяжелые тела, падающие с одной и той же
высоты по плоскостям различного наклона, в конце
пути приобретают одну и ту же скорость; в первом
издании своих «Диалогов» он ограничился лишь том,
что высказал предположение о существовании
подобного равенства.
Галилею было бы легко решить и тот случай,
когда сила, удерживающая груз, направлена косо к
наклонной плоскости; однако этот новый шаг был
сделан только спустя некоторое время Робервалем
(Roberval) в его «Traite de mecanique», напечатанном
в 1636 г. в «Harmonie universelle» Мерсенпа.
7. Роберваль тоже рассматривает груз,
положенный на наклонную плоскость, как если бы он был
укреплен на плече рычага, расположенного
перпендикулярно к плоскости, и силу, которой
поддерживают груз, он считает как бы действующей на то же
плечо, но только в заданном направлении; таким
образом он получает одноплечий рычаг, один конец
которого неподвижно закреплен, а другой находится
под действием двух сил, веса груза и
поддерживающей силы. Он подставляет затем вместо этого
рычага коленчатый рычаг, оба плеча которого идут
перпендикулярно к направлениям соответствующих
сил и который имеет в качестве точки опоры ту же
неподвижную точку, и допускает, что обе силы
приложены к плечам этого рычага с сохранением их
действительного направления; указанным путем он получает
для равновесия условие, заключающееся в том, что
отношение веса груза к силе обратно отношению
обоих плеч коленчатого рычага, другими словами, —
обратно отношению перпендикуляров, опущенных из
неподвижной точки на направления тянгести и силы.
Отсюда Роберваль выводит равновесие груза, под-
л.ерживаемого двумя нитями, образующими между

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ СТАТИКИ 29
собою любой угол; для этой цели он заменяет рычаг,
перпендикулярный к плоскости, нитью, укрепленной
в точке опоры рычага, а силу заменяет другой нитью,
идущей по направлению этой силы. С помощью
различных построений и несколько усложненных ана-
„гогпй он приходит к следующему заключению: если
пз 1;акой-лнбо точки на вертикальной линии,
проходящей через груз, провести линию, параллельную
одной из нитей до пересечения ее со второй нитью,
то стороны полученного треугольника будут
пропорциональны весам и силам, действующим по напра-
^jлeппям этих сторон; как видим, это и есть теорема,
предложенная Стевином.
Я счел необходимым упомянуть об этом
доказательстве Роберваля не только потому, что оно
является первым строгим доказательством, какое.было
дано теореме Стевина, но и потому, что оно
было предано забвению в ставшем ныне редким со-
чпиепии о гармонии, куда обращаться с поисками
iuiKOMy не приходит в голову. Впрочем, я вошел в
рассмотрение изложенной детали, касающейся теории
рычага, лишь с целью доставить удовольствие тем
лицам, которые любят следить за течением мысли в
на}Ч{ах, изучать пути, по которым шли
изобретатели, и устанавливать более короткие пути, по
которым они могли бы пойти.
8. Труды по статике, появившиеся после работы
Роберваля до эпохи открытия закона сложения сил,
не прибавили ничего к этой части механики; в этих
работах мы встречаем лишь хорошо известные
свойства рычага и наклонной плоскости и их применение
ь' другим простым машинам; среди них встречаются
работы, содержащие недостаточно точные
теории, как, например, работа Лами (Lami) о
равновесии твердых тел, в которой дано неверное
отношение веса к силе, поддерживающей его на наклонной
плоскости. Я не говорю здесь также о Декарте
(Descartes), Торричелли (Torricelli) и Валлисе (Wallis),
так как они приняли для равновесия принцип, нахо-

30 СТАТИКА
дящийся В СВЯЗИ С принципом виртуальных скоростей,
но доказате:^ьства этого принципа не дали.
9. Вторыц! основным принципом статики является
принцип сложения сил. Он основан на следующем
предположег^ии: если на тело *) одновременно в
различных направлениях действуют две силы, то эти
силы эквивалентны одной силе, способной сообщить
телу то же самое движение, которое сообщили бы
ему, действ5гя порознь, обе данные силы. Но когда
тело должно одновременно двигаться равномерно по
двум различным направлениям, то оно необходимо
проходит диагональ параллелограмма, стороны
которого оно прошло бы отдельно в результате каждого
из обоих эт^х движений. Отсюда заключают, что две
любые силь(^ действующие вместе на одно и то же
тело, эквивалентны одной силе, представленной по
величине и направлению диагональю
параллелограмма, сто^зоны которого изображают величины и
направления обеих заданных сил. В этом и
заключается принцип, который называется принципом
сложения сил.
Одного Этого принципа **) достаточно для того,
чтобы определить законы равновесия во всех
случаях; ибо есл^ указанным путем все время
последовательно складывать по две все силы, то мы
должны притти ь; одной силе, действие которой должно
быть эквивалентно действию всех сил; следовательно,
в случае Равновесия эта сила должна равняться
нулю, если в системе не имеется неподвижной
точки; если же подобная точка имеется, то направление
этой силы должно проходить через
неподвижную точку, с этим можно встретиться во всех кни-
*) Слово ^<тело» обозначает здесь материальную точку.
(Прим. Eepmfiana.)
**) Это меСто страдает некоторой неточностью: так как две
силы, не лежащие в одной и той же плоскости, не имеют
равнодеиствун^щей, то замечание Лагранжа не может быть
применено, вообще говоря, даже в случае твердой системы.
{Прим. Бертр,ана.)

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ СТАТИКИ 31
гах по статике и в частности в «Nouvelle mecanique»
Вариньона (Varignon), где теория машин выводится
единственно из только что упомянутого принципа.
Совершенно очевидно, что теорема Стевииа о
равновесии трех сил, параллельных и
пропорциональных трем сторонам любого треугольника, является
непосредственным и необходимым следствием
принципа сложения сил или, больше того, она
представляет собою не что иное, как тот же принцип, но
выраженный лишь в иной форме. Однако последний
обладает тем преимуществом, что он основан на
простых и естественных понятиях, между тем как
теорема Стевина основана лишь на соображениях
косвенного характера.
Ю. Как видно из некоторых мест «Механических
проблем» Аристотеля, сложение движений было уже
известно древним. Его применяли главным образом
геометры для описания кривых, например, Архимед —
для спирали, Никомед — для конхоиды и т. д. Среди
ученых нового времени Роберваль вывел из него
остроумный метод проведения касательных к кривым,
которые можно описать с помощью двух движений,
закон которых известен. Однако Галилей является
первым, применившим в механике исследование
сложного движения для определения кривой,
описываемой тяжелым телом под действием силы тяжести
и силы бросания [*].
Во втором предложении четвертого дня своих
«Диалогов» Галилей доказывает, что тело,
движущееся с двумя равномерными скоростями, из которых
одна направлена горизонтально, а другая
вертикально, должно иметь скорость, представленную
гипотенузой треугольника, стороны которого выражают эти
две скорости; но, повидимому, Галилей в то же время
не уяснил себе всей важности этой теоремы для
теории равновесия; в самом деле, в третьем диалоге,
в котором речь идет о движении тяжелых тел по
наклонной плоскости, он вместо того, чтобы
применить принцип сложения движений к непосредствен-

32
СТАТИКА
ному определению относительной тяжести тела,
находящегося на наклонной плоскости [*], производит
это определение, исходя, наоборот, из теории
равновесия на наклонных плоскостях, — на основе
соображений, изложенных им раньше в его работе «Delia
scienza meccanica», в которой он наклонную
плоскость свел к рычагу.
Далее, теория сложных движений встречается в
работах Декарта, Роберваля, Мерсенна, Валлиса
и т. д.; однако до 1687 года, когда появились
«Математические начала» Ньютона и «Projet de la nouvelle
mecanique» Вариньона, еще никто не думал о том,
чтобы при сложении движений поставить на место
движений силы, способные их вызвать, и определить
сложную силу, являющуюся равнодействующей двух
заданных сил, аналогично тому, как определяют
движение, составленное из двух заданных
прямолинейных и равномерных движений.
Во втором дополнении к третьему закону
движения Ньютон в немногих словах показывает, каким
образом законы равновесия могут быть легко
выведены из сложения и разложения сил, если диагональ
параллелограмма принять в качестве силы,
составленной из двух сил, выражаемых его сторонами;
однако более детально этот вопрос был исследован
в работе Вариньона «Nouvelle mecanique», которая
появилась в свет в 1725 году после смерти ее
автора; она содержит в себе полную теорию равновесия
сил в различных машинах, выведенную только из
рассмотрения сложения и разложения сил.
И. Принцип сложения сил дает сразу условия
равновесия трех сил, действующих на одну точку,
между тем как из равновесия рычага их можно было
вывести только с помощью ряда рассуждений. Но с
другой стороны, когда с помощью этого принципа
желают определить равновесие двух
параллельных сил, приложенных к концам
прямолинейного рычага, приходится прибегнуть к
косвенным рассуждениям, подставляя вместо прямолиней-

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ СТАТИКИ 33
ного рычага коленчатый, как это сделали Ньютон и
Даламбер, либо прибавляя две посторонние силы,
которые взаимно друг друга уничтожают, но которые,
будучи сложены с заданными силами, приводят к
тому, что их направления сходятся, либо, наконец,
допуская, что направления сил, будучи продолжены,
встречаются на бесконечно большом расстоянии, и
доказывая, что результирующая сила должна пройти
через точку опоры. Этим методом воспользовался
Вариньон в своей механике. Таким образом, хотя,
строго говоря, оба принципа, рычага и сложения сил,
всегда приводят к одними тем же результатам,
интересно отметить, что наиболее простой случай для
одного из этих принципов становится наиболее
сложным для другого.
12. Можно, однако, установить непосредственную
связь между обоими этими принципами, пользуясь
теоремой, данной Вариньоном в его «Nouvelle шёса-
nique» (раздел 1, лемма XVI), теорему, которая
заключается в следующем: если из какой-либо точки, лежащей в
плоскости параллелограмма, опустить
перпендикуляры на диагональ и на обе стороны, заключающие эту
диагональ, то произведение диагонали на ее
Перпендикуляр равно сумме произведений обеих сторон на
соответствующие им перпендикуляры, если точка
лежит вне параллелограмма, и равно разности этих
произведений, если она лежит внутри
параллелограмма. Вариньон, пользуясь очень простым
построением, показывает, что если построить треугольники,
имеющие своими основаниями диагональ и обе
стороны, а общей своей вершиной заданную точку,
то треугольник, построенный на диагонали, в первом
случае равновелик сумме, а во втором случае —
разности обоих треугольников, построенных на сторонах.
Здесь мы имеем пред собою изящную теорему
геометрии, независимо от ее применения в механике.
Эта теорема осталась бы в силе и доказательство
ее осталось бы тем же, если бы мы на продолжении
3 ж. Лагранж, т. I

34 СТАТИКА
диагонали и сторон избрали в любых люстах отрезки,
равные этим линиям; принимая во внимание, что
каждую силу можно себе представить ирилончепной в
любой точке по ее нанравленпю, мы таким образом
можем притти к общему выводу, что две силы,
представленные по своей величине и направлению двумя
прямыми линиями, лежащими в одной плоскости,
имеют равнодействующую силу, представленную по
своей величине и направлению прямой линией,
которая лежит в той же плоскости и которая, будучи
продолжена, проходит через точку пересечения обеих
прямых. Эта линия обладает toji особенностью, что
если в данной илоскости взять любую точку и из
нее опустить пернендикуляры на эти три линии, про
должив их в случае надобности, то произведение
равнодействующей силы на ее нернендпкуляр
равно сумме или разности соответств}ющих
произведений составляющих сил па их перпендикуляры,
в зависимости от того, взята ли точка, из кото-
poii опущено три перпендикуляра, вне или
внутри прямых линий, изображающих составляющие
силы.
Если допустить, что избранная точка лежит на
направлении равнодействующей, то эта сила пе
входит в уравнение, и тогда имеет место равенство
между обоими нроиаведениялги составляющих сил
на их перпендикуляры; это — случай любого
прямолинейного и коленчатого рычага, в котором точка
опоры является именно той точкой, о которой здесь
идет речь, так как в данном случае действие рав-
нодопствуюп^еп силы уничтожается сопротивлением
опоры.
Упомянутая теорема, предложенная Вариньоном,
является основой почти всех современных сочинеин!!
по статике, где на ней строится общий принцип,
известный под именем принципа моментоз. Большое преп.му-
щество его заключается в том, что сложение и
разложение сил сводятся к дспствиям сложения и
вычитания; благодаря этому, как бы волик'о пи было

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ СТАТИКИ 35
число складываемых сил, легко определяется их
равнодействующая, которая в случае равновесия
должна быть равна нулю.
13. Я отнес период открытия Вариньона ко
времени опубликования его «Projet», хотя в предисловии,
помещенном в начале его «Nouvelle mecanique», он
указывает, что за два года до того он поместил в
llistoire de la republique des lettres статью о
полиспасте, в которой он воспользовался сложными
движениями для определения всего того, что относится
J,- 9Toii лгашине; я должен, однако, отметить, что это
указание неверно. Статья о полиспасте, о которой
идет речь, находится только в Nouvelles de la
republique des lettres за .май 1687 г. под заглавием: «Nou-
ле11е demonstration generale de I'usage de poulies й
mouUe», (Новое общее доказательство применения
блоков.) Автор рассматривает здесь равновесие груза,
укрепленного на веревке, переброшенной через блок,
обе части которой непараллельны. Здесь он
совершенно не применяет принципа сложения сил н даже
не упоминает о нем, а пользуется уже известными
теоремами о грузах, укрепленных на веревках, и
ссылается на работы по статике Парди (Pardis) н
Дешаля (Dechales). Во втором доказательстве он
сводит эту задачу к проблеме рычага, рассматривая
прямую линию, соединяющую обе точки, где веревка
оставляет блок, в качестве рычага, который нагружен
тяжестью, подвешенной на блоке, и концы которого
натягиваются обеи.ми частями веревки,
поддерживающей блок.
Для того чтобы не упустить чего-либо,
относящегося к истории открытия сложения сил, я должен
ЗДРС1, вкратце упомянуть о маленькой работе,
которую в 1687 г. опубликовал Ламн под заглавием:
«Nouvelle maniere de demontrer les principaux theore-
mes des elements des mecaniques». (Новый способ
доказательства основных теорем элементов механики.)
Автор отмечает, что, когда тело испытывает на себе
действие двух сил, заставляющих его двигаться по
3*

36 СТАТИКА
двум различным направлениям, оно необходимо идет
по среднему направлению, так что, в случае, если
бы путь по этому направлению оказался для него
закрытым, оно осталось бы в покое, и обе силы
уравновесили бы друг друга. Среднее же направление он
определяет путем сложения двух движений, которые
приобрело бы тело в первое мгновение под влиянием
каждой из обеих сил, если бы последние действовали
отдельно одна от другой, и таким образом получает
диагональ параллелограмма, стороны которого
составляют пути, которые были бы пройдены в течение
одного и того же времени под действием обеих сил
и которые, следовательно, пропорциональны этмм
силам. Отсюда он тотчас же выводит теорему, что
обе силы относятся друг к другу обратно отношению
синусов углов, которые их направления образуют со
средним направлением, по которому двигалось бы
тело, если бы оно не было задержано какими-либо
препятствиями; эту теорему он применяет к
наклонной плоскости и к рычагу, на концы которого
действуют силы, направления которых образуют
между собою некоторый угол; однако для того
случая, когда направления этих сил параллельны, он
пользуется ненадежными и малоубедительными
соображениями.
Совпадение принципа, примененного Лами, с
принципом Вариньона дало основание автору «Histoire des
ouvrages des savants» (апрель 1688 г.) высказать
предположение, что, повидимому, первый из них
обязан открытием своего принципа второму. Лами
оправдывался против этого обвинения в письме,
которое было опубликовано в Journal des savants от 13
сентября 1688 г. и на которое издатель «Histoire»
ответил в декабре того же года; однако этот спор,
в котором Вариньон не принял участия, не имел
дальнейшего продолжения, и работа Лами, как видно,
была предана забвению.
Однако простота принципа сложения сил и
легкость его применения ко всем проблемам равновесия

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ СТАТИКИ 37
пмели своим результатом то, что все механики
приняли его тотчас же после его открытия; можно
сказать, что он служит основой почти для всех
работ по статике, какие появились с тех пор.
14. Нельзя, однако, не признать, что один лишь
принцип рычага имеет преимущество, заключающееся
в том, что он основан на природе самого равновесия,
рассматриваемого как состояние, независимое от
движения. Сверх того, имеется существенное различие
и том, каким образом на основе этих принципов
измеряются силы, между которыми имеется равно-
Бесие. Если бы не удалось связать этих принципов
по тел1 результатам, к которым они приводят, можно
было бы с полным основанием усомниться,
допустимо ли заменять основной принцип рычага таким
принципом, который получается в результате чуждых
ему рассуждений о сложных движениях.
Действительно, при равновесии рычага силы
представляют собою веса или те могут быть рассматри-
г.аемы как таковые, и сила признается вдвое или
втрое большей только в том смысле, что она
образуется путем соединения двух или трех равных сил,
из которых любая действует совершенно так же,
ьак другая. Но стремление к движению мы
представляем себе одинаковым у каждой силы, какова бы
ИИ была ее интенсивность; между тем в принципе
(ложения сил значение сил определяют по величине
той скорости, которую они сообщили бы телу, буду-
';п к нему приложены, если бы каждой из них была
предоставлена возможность действовать отдельно.
Вероятно, именно это различие в способе введения
понятия силы и удерживало в течение долгого
времени механиков от применения известных законов
сложения движений к теории равновесия,
простейшим случаем которого является равновесие
тяжелых тел.
15. Позднее попытались сделать принцип
сложения сил независимым от рассмотрения движения и
обосновать его исключительно на истинах, которые

38 СТАТИКА
очевидны сами по себе. Впервые Даниил Берпулли *)
(D. Bernoulli) в Комментариях Петербургской
Академии, том I, дал очень остроумное, но пространное
и сложное доказательство параллелограмма сил,
которое затед! было несколько упрощено Дала.мбером
в первом томе его «Opuscules».
Это доказательство основано на следующих двух
положениях: 1) если две силы действуют на одну
и ту же точку по различным направлениям, то они
имеют своей равнодействующей однл' силу, которая
делит на две равные части угол, образуемый
направлениями этих сил, когда эти силы между собою
равны, и равна их сумме, когда упомянутый угол
равен нулю, или же их разности, когда этот угол
равен двум прямым; 2) равные кратные тех же сил,
или же силы, пропорциональные заданным сила.л!.
имеют своей равнодействующей силу, кратную нх
равнодействующей, или пропорциональную этой
равнодействующей, если углы, образуемые силами, в
обоих случаях одни и те же.
Это второе положение очевидно, если силы
рассматривать как величины, которые могут быть
складываемы и вычитаемы.
Что касается первого положения, то его
доказывают, рассматривая движение, которое тело должно
получить под действием двух сил, не находящихся
в равновесии, и которое, будучи по необходимости
единым, может быть приписано одной силе,
действующей на тело по направлению его движения. Таким
образом можно сказать, что это положение не вполне
свободно от рассмотрения движения.
Что касается направления результирующей в
случае равенства обеих сил, то ясно, что не существует
никаких оснований для того, чтобы она была
сильнее наклонена к одной из этих сил, чем к другой;
*) Это же доказательство было воспроизведено и упрощено
Эме (Aime) (Journal de Mathematiques de Liouville, l''^serie, t.
1''^ p. .33.5). (Прим. Бертрана.)

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦППЛХ СТЛТПКН 39
следовательно, она должна делить угол, образуемый
ИХ надравлениями, на две равные части.
Позднее основы этого доказательства выразили
аналитически и придали ему различные, более или менее
простые формы, рассматривая равнодействующую в
качестве функции слагаемых сил и угла, образуемого
их направлениями. (См. второй том Melanges de la
Societe de Turin, Memoires de I'Academie des Sciences
за 17E9 г., шестой том «Opuscules» Даламбера п т. д.)
Следует, однако, признать, что, отделяя такил!
образом принцип сложения сил от принципа сложения
движений, его лишают основных преимуществ,
очевидности и простоты, и превращают его только в вывод
1!3 геометрических или аналитических построений.
16. Перехожу, наконец, к третьему принципу, прин-
цнну виртуальных скоростей. Под виртуальной еко-
/;о"тыо следует понимать скорость, которую тело,
находящееся в равновесии, готово принять в тот момент,
когда равновесие нарушено, т. е. ту скорость, какую
тело фактически получило бы в первое мгновенно
cBoei'o двинчення [^]; и принцип, о котором идет
речь, заключается в том, что силы находятся в рав-
.човесни, ко1да они относятся друг к другу обратно
(угношению их виртуальных скоростей, измеренных
по направлению этих сил.
Уже при поверхностном рассмотрении условий
рапновеспя на рычаге и на других машинах легко
установить тот закон, что груз и сила всегда
находятся между собою в отношении, обратном отношению
пространств, проходимых ими в течение одного и
того же времени. Тем не менее древние, повидимому,
но знали этого закона. Гвидо Убальди является,
вероятно, первым, заметившим этот закон на рычаге
II на движущихся блоках или полиспастах. Галилей
установил его затем на наклонных плоскостях и на
связанных с ними машинах и смотрел на него как
на общее свойство равновесия машин (см. его
работу по механике и схолию ко второму предложению
третьего диалога в Болонском издании 1655 г.).

40 СТАТИКА
Галилей понимает под моментом веса или
силы, приложенной к машине, усилие, действие,
энергию, импульс (impetus) этой силы, приводящий
машину в движение, так что между двумя силами
существует равновесие, если их моменты для
приведения машины в движение в противоположных
направлениях между собою равны; он доказывает,
что момент всегда пропорционален силе,
помноженной на виртуальную скорость, зависящую от того,
как действует сила.
Подобное же понятие момента было принято
Валлисом в его механике, опубликованной в 1669 г.
Этот автор кладет в основание статики принцип
равенства моментов и из него выводит теорию
равновесия главнейших машин.
В настоящее время под моментом понимают только
произведение силы на расстояние ее направления
от какой-либо точки, или от линии, или от
плоскости, то-есть — на плечо рычага, которым она действует;
но мне представляется, что понятие момента, данное
Галилеем и Валлисом, является более естественным
и более общим, и я не вижу оснований, в силу
которых его оставили и заменили другим,
выражающим значение момента только в определенных
случаях, как, например, при рычаге и т. п.
Декарт аналогичным образом свел всю свою
статику к единому принципу, который по существу
дела совпадает с принципом Галилея, но только
выражен в менее общем виде. Этот принцип
заключается в следующем: для поднятия тяжести на
определенную высоту требуется не больше и не меньше
той силы, какая нужна для того, чтобы большую
тяжесть поднять на высоту, во столько же раз
меньшую, или же меньшую тяжесть поднять на высоту,
во столько же раз большую (см. письмо 73 первого
тома, опубликованного в 1657 г., и «Трактат по
механике» (Traite de mecanique), напечатанный в
посмертных его сочинениях). Отсюда следует, что между
двумя грузами существует равновесие, когда они

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ СТАТИКИ 41
распределены таким образом, что вертикальные
пути, которые они могли бы одновременно пройти,
находятся в обратном отношении к величинам этих
грузов. Однако при применении этого принципа к
различным машинам следует принимать во внимание
лишь пути, проходимые в первое мгновение
движения, которые пропорциональны виртуальным
скоростям; в противном случае мы не получим
действительных законов равновесия.
Но будем ли мы рассматривать принцип
виртуальных скоростей в качестве общего свойства
равновесия, как это делал Галилей, или же вместе
с Декартом и Валлисом примем его в качестве
действительной причины равновесия, следует во всяком
случае признать, что он обладает всей той простотой,
какой можно ожидать от основного принципа; дальше
мы узнаем, в какой мере этот принцип заслуживает
внимания благодаря своей общности.
Торричелли, знаменитый ученик Галилея, является
автором другого принципа, который тоже связан
с принципом виртуальных скоростей. Этот принцип
заключается в том, что если два груза связаны друг
с другом и находятся в таком положении, что их
центр тяжести не может опуститься ниже, то они
в этом положении находятся в равновесии.
Торричелли применил этот принцип только к наклонной
плоскости, но легко убедиться, что он сохраняет
свою силу и для других машин. (См. его работу
«De motu gravium naturaliter descendentium» @
движении тяжелых тел, спускающихся естественным
образом), появившуюся в свет в 1664 г.)
Принципу Торричелли обязан своим
происхождением другой принцип, которым воспользовались для
разрешения с большой легкостью различных
вопросов статики. Этот принцип заключается в
следующем: в системе тяжелых тел, находящихся в
равновесии, центр тяжести занимает наиболее низкое
положение, какое только возможно.
Действительно, из теории максимумов и минимумов известно.

/•) СТАТИКА
ЧТО центр тяжести занимает наиболее низкое
положение, когда дифференциал его снижения равен нулю,
или, что то же самое, когда при бесконечно малом
изменении положения системы этот центр не
поднимается и НС снижается.
17. Принципу виртуальных с1<оростеп может быть
придана следующая весьма общая форма:
Если какая-либо система любого числа тел,
или точек, на камсдую из которых действуют
любые силы, находится в равновесии и если этой
системе сообщить любое малое двимсение, в
результате которого каждая точка пройдет бесконечно
малый путь, представляюгций ее виртуальную
скорость, то сумма сил, помномсенных камсдая
соответственно на путь, проходимый по направлению силы
точкой, к которой она приломсена, будет всегда
равна нулю, если малые пути, проходимые в
направлении сил, считать полож:ительными, а проходимые в
противоположном направлении считать
отрицательными ["].
Насколько мне известно, Иван Борнулли первый
понял указанную большую общность принципа
виртуальных скоростей и его полезность при разрешении
вопросов статпки. Это видно из его письма 1717 г.
на имя Вариньона, которое последний поместил w
начале девятого отдела своей «Nouvelle Mecanique»,—
отдела, целигсом посвященного проводимому на
различных приложениях обоснованию правильности
и применимости данного принципа.
Этот же принцип дал повод для появления
другого принципа, предложенного Мопертюи (Maupertuis)
в 1740 г. в Memolres de rAcademie des Sciences
de Paris, под названием закон покоя, который
позднее был развит н обобщен Эйлером (Euler) в Memoi-
res de TAcademie de Berlin за 1751 г. Наконец,
этот же принцип послужил основанием для
принципа, изложенного Куртивроном (Courtivron) в Мё-
moires de I'Acadcmie des Sciences de Paris, за 1748
и 1749 гг.

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ СТАТИКИ 43
и вообще, мне кажется, можно сказать наперед,
что все общие принципы, которые еще могли бы
оыть открыты в учении о равновесии, представляли
оы собою не что иное, как тот же принцип
виртуальных скоростей, рассматриваемый с ииой точки
зрения и отличающийся от принципа виртуальных
скоростей лишь по своей формулировке.
Однако сам по себе этот принцип является не
только очень простым и весьма общим; он обладает
още и тем драгоценным и только ому присущим пре-
плгуществом перед другими принципами, что оп может
быть выражен в общей формуле, охватывающей все
проблемы, которые могут быть поставлены по
вопросу о равновесии тел. Мы дадим эту формулу в
полном ее объеме; мы даже по}1ытаемся представить ее
в еще более общем виде, в каком ее до сих пор никто
не представлял, и постараемся дать новые применения
этой формулы.
18, Что касается природы принципа виртуальных
(г;оростей, то следует признать, что этот принцип
сам по себе не является настолько очевидным, чтобы
его можно было выдвинуть в качестве начального
принципа; но его можно рассматривать как общее
выражение законов равновесия, выведенных из двух
принципов, которые были нами изложены выше.
Точно так же при обоснованиях, которые приводили
для этого принципа, его всегда, прямо или косвенно,
ставили в связь с указанными принципами. Но в
статике существует еще и другой общий принцип,
независимый от принципов рычага и сложения сил,
хотя механики обычно и относят его к ним, —
который представляется нам естественным основанием
для принципа виртуальных скоростей; его можно
назвать принципом блоков ['].
Если несколько блоков соединено на одном и том
же стержне, то совокупность этих блоков называю!
полиспастом, а сочетание двух полиспастов, одного
неподвижного и другого подвижного, охваченных
плпой и той же веревкой, один конец которой за-

44 СТАТИКА
креплен неподвижно, а другой находится под
действием силы, образует машину, в которой сила
относится к весу груза, висящего на подвижном
полиспасте, как единица относится к числу витков,
которые веревка делает около этого полиспаста; при
этом предполагают, что все витки параллельны, и
отвлекаются от трения и жесткости веревки. Ясно,
что так как веревка по всей своей длине одинаково
натянута, то груз поддерживается столькими силами,
равными силе, натягивающей веревку, сколько
имеется витков, обвивающих подвижной полиспаст, так
как эти витки параллельны и их можно было бы
даже рассматривать как единое целое, если
представить себе, что диаметр блоков бесконечно мал.
Если увеличить число неподвижных и подвижных
полиспастов и охватить их все одной и той же
веревкой, пользуясь при этом различными
неподвижными блоками для изменения направления веревки,
то та же сила, приложенная к подвижному концу
веревки, будет в состоянии поддержать столько
грузов, сколько имеется подвижных полиспастов, и
каждый из этих грузов будет относиться к данной силе,
как число витков полиспаста относится к единице.
Для большей простоты заменим упомянутую выше
силу грузом и перебросим через неподвижный блок
последний виток веревки, поддерживающей тот груз,
который мы принимаем в качестве единицы;
вообразим дальше, что различные подвижные
полиспасты вместо того, чтобы поддерживать грузы,
прикреплены к телам, рассматриваемым в качестве точек,
и размещены таким образом, что они образуют любую
заданную систему. Таким образом один и тот же
груз при посредстве веревки, охватывающей все
полиспасты, будет вызывать различные силы,
действующие на различные точки системы, причем каждая из
этих сил будет действовать по направлению веревок,
обвивающих полиспаст, прикрепленный к
соответствующей точке, и величина ее будет относиться к
тяжести груза, как число витков к единице. Таким

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ СТАТИКИ 45
образом эти силы будут представлены
соответственным числом витков, действующих совместно, чтобы
СВОИМ натяжением вызвать эти силы.
Ясно, что для сохранения равновесия этой
системы, подверженной действию различных сил,
необходимо, чтобы при любом бесконечно малом перемещении
точек системы груз не опускался*). В самом деле,
груз всегда стремится опускаться, поэтому, если
существует такое перемещение системы, которое
позволяет ему опуститься, он необходимо опустится и вызовет
это перемещение системы.
Обозначим через а, C, у, . . . бесконечно малые
отрезки пути, которые под влиянием этого перемещения
проп1ли бы различные точки системы по направлению
действующих на них сил, и через Р, Q, R, . . .
соответствующие числа витков полиспастов, приложенных
к- этим точкам и вызывающих эти силы. Ясно, что
отрезки а, C, у, . . . будут в то же время теми
расстояниями, на которые сблизились бы при этом по-
лвиншые полиспасты с соответствующими им
неподвижными, и что эти сближения привели бы к
уменьшению длины охватывающей их веревки на отрезки
PcL, Q<^, Ry, ... Но так как вся длина веревки
должна оставаться неизменной, то груз снизится на
расстояние Рл -\- Q^ -\- Ry + . . . Таким образом для
того, чтобы между силами, величины которых выра-
,каются числами Р, Q, R, . . ., существовало равно-
нссие, должно иметь место равенство
Poi + Q^ + Ry+ ...=0;
*) ПротиБ ЭТОГО утверждения Лагранжа основательно вы-
диигали пример Бесомой точки, находящейся в равновесии на
наиболее высоко расположенной Бершине кривой линии; оче-
1И1Д1:о, что бесконечно малое перемещение должно было бы
.!аставить ее опуститься, однако это перемещение не
осуществляется. Первое строгое доказательство принципа виртуальных
скоростей принадлежит Фурье (Journal de I'Ecole Polytechnique,
tome II, an. VII). В том же выпуске этого журнала помещено
II доказательство, приведенное здесь выше Лагранжем.
(Прим. Бертрана.)

46
стлтикл
таково аналитическое выражение общего принципа
виртуальных скоростей.
19. Можно было бы подумать, что в том случае,
если бы величина Ра. + ^C -j- R'X + • • • вместо того,
чтобы быть равной нулю, оказалась отрицательной,
то этого условия было бы достаточно для создания
1)авновесия, так как невозможно, чтобы груз сам со-
ooia поднялся. Следует, однако, иметь в виду, что,
какова бы ни была связь между точками заданной
системы, вытекающие из нее отпошеппя между
бесконечно малыми величинами а, C, у,. . . могут быть
выражены только с помощью дифференциальных
уравнений, т. е. с помощью линейных уравнений между
этими величинами. Таким образом среди них
необходимо будет существовать одна или несколько
величин, которые останутся неопределенными и которые
можио будет направить в ту или другую сторону:
поэтому значения всех этих величин всегда будут
такими, что они могут одновременно из.менить своп
знак. Отсюда следует, что если при
определенном перемещении системы значение величины Ра. -f-
-\- ^C -|- Ry + . . . отрицательно, то оно станет
положительным, если величины а, C, у, . . . взять с
обратным знаком; таким образом противоположное
перемещение, которое равным образом возможно, привело
бы к падению груза и к нарушению равновесия.
20. Обратно, можно доказать, что если для всех
возможных бесконечно малых перемещений системы
имеет место уравнение
Яа + <?р + «У + • . • = О,
то система необходимо должна быть в равновесии.
В самом доле, так как при этих перемещениях груз
остается неподвижным, то действующие на систему
силы остаются в своем прежнем состоянии и не
существует уже никаких оснований к тому,
чтобы они скорее вызвали одно или другое из двух
перемещений, при которых величины а, Р, у, . . . имеют

с РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ СТАТИКИ 47
противоположные знаки. Таков случай весов, нахо-
(ящихся в равиовесии, так как нет ликаких
оснований для того, чтобы они скорее наклонились на одну
сторону; чем на другую.
Принцип виртуальных скоростей, доказанный,
laKHii образом, для случая соизмеримых сил,
остается в силе и для случая любых песоизлюри-мых сил,
ибо известно, что всякий закон, который может быть
доказан для соиздшримых величии, равным образом,
путем приведения к абсурду, может быть доказан и
для случая, когда эти величины несоизмеримы.

;2^Ш?е^
ОТДЕЛ второй.
ОБЩАЯ ФОРМУЛА СТАТИКИ
ДЛЯ РАВНОВЕСИЯ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ СИЛ
И МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ЭТОЙ ФОРМУЛЫ.
1. Общий закон равновесия машин заключается
в том, что силы относятся друг к другу обратно
отношению скоростей точек, к которым они
приложены, причем скорости должны измеряться по
направлению этих сил.
В этом законе заключается положение, которое
обычно называют принципом виртуальных скоростей.
Как мы показали в предыдущем отделе, этот
принцип уже давно известен в качестве основного
принципа равновесия, в силу чего его можно
рассматривать как своего рода аксиому механики.
Для того чтобы выразить этот принцип в виде
формулы, допустим, что силы Р, Q, R, . . . ,
действующие по определенным направлениям, взаимно друг
друга уравновешивают. Представим себе, что из
точек, к которым приложены силы, отложены отрезки [*],
равные р, q, г, ... VI расположенные по направлению
этих сил; обозначим вообще через dp, dq, dr, . . .
вариации, или дифференциалы, этих отрезков, поскольку
они могут получиться в результате какого-либо
бесконечно малого изменения положения различных тел
или точек системы.

ОБЩАЯ ФОРМУЛА СТАТИКИ 49
Ясно, что эти дифференциалы выразят величины
путей, которые будут пройдены в одно и то же
мгновение силами Р, Q, R, . . . по своим собственным
направлениям, если допустить, что эти силы стремятся
удлинить соответственно отрезки р, д, г, . . . Таким
образом дифференциалы dp, dg, dr, ■ . . будут
пропорциональны виртуальным скоростям сил Р, Q, R,. . .
и, следовательно, могут быть для простоты
подставлены вместо этих скоростей.
Установив это, рассмотрим сначала только две
силы Р и Q, находящиеся в равновесии. Согласно
закону равновесия двух сил величины Р и Q должны
быть обратно пропорциональны дифференциалам dp,dg;
но легко понять, что равновесия между двумя
силами не будет, если только они не будут расположены
таким образом, что, когда одна из них движется по
собственному своему направлению, другая сила
вынуждена двигаться в сторону, противоположную
своему собственному направлению; отсюда следует,
что дифференциалы dp и dg должны иметь
противоположные знаки; поэтому, если допустить, что обе
силы Р и Q положительны, то для равновесия
получается
-^ = --^ или Pdp + Qdg = 0;
такова общая формула равновесия двух сил.
Рассмотрим теперь равновесие трех сил Р, Q, R,
виртуальные скорости которых представлены
дифференциалами dp, dg, dr. Положим^ = ^'+ Q" и примем,
а это допустимо, что часть Q' силы Q такова *), что
Pdp + Q'dg = 0;
*) Это рассуждение является вполне точным только в том
случае, когда рассматривают определенное перемещение системы.
Если же подобное ограничение не сделано, то -з— может
принять любые возможные значения, и ураБнение Pdp+Q'dq—0
HP может быть удовлетворено никаким определенным
значением Q'. Следовательно, для того чтобы дополнить доказа-
"* VK. Лагрлнж, т. Т

50 СТАТИКА
таким образом сила Р будет находиться в равновесий
с силой Q', и для полного равновесия необходимо,
чтобы другая часть Q" той же силы Q находилась
в равновесии с третьей силой R, что дает нам
уравнение
Q"dq + Rdr = 0;
если это уравнение связать с предыдущим, то в силу
равенства Q' -Ь Q" ^ Q получается следующее
уравнение:
Pdp + Qdg + Rdr = 0.
Если имеется еще четвертая сила S,
виртуальная скорость которой представлена дифференциалом ds,
то можно положить
Q = Q' +Q" и Pdp + Q'dq = О,
а также
R-^R' + R" и Q"dp-\-R'dr = 0.
Таким образом часть Q' силы Q будет находиться в
равновесии с силой Р\ часть R' силы R будет в
равновесии с другой частью Q" силы Q, и для того,
чтобы имело место полное равновесие между силамц
Р, Q, R, S, оставщаяся часть R" силы R должна
находиться в равновесии с последней силой S; таким
образом должно быть
R"dr + Sds = 0.
Если все эти три уравнения соединить в одно, то
получается
Pdp + Qdq + Rdr + S ds = 0.
тельство Лагранжа, его следует применять последовательно
ко всем возможным положениям системы, вводя каждый раз
новые связи, которые помешали бы осуществлению других
nej^ емещений. Впрочем, это обстоятельство отметил и сам Ла-
гранш (Отд. II, пункт 13). {Прим. Бертрана.)

ОБЩАЯ ФОРМУЛА СТАТИКИ 51
И так далее, как бы ни было велико число сил,
находящихся в равновесии.
2. Итак, вообще для равновесия любого числа
сил Р, Q, R направленных по линиям р, д, г, . . .
и приложенных к любой системе тел или точек,
расположенных любым образом, мы имеем уравнение
следующего вида:
Pdp + Qdq + Rdr + . . . = 0.
Это — общая формула статики для равновесия любой
системы сил.
Мы назовем каждый член этой формулы,
например Pdp, моментом силы Р и примем слово момент
в том смысле, какой ему придал Галилей, т. е. как
произведение силы на ее виртуальную скорость;
тогда приведенная выше общая формула статики гласит:
сумма моментов всг.х сил равна нулю.
При применении этой формулы вся трудность
сводится к тому, чтобы определить значения
дифференциалов dp, dq, dr, ... в соответствии с природой
заданной системы.
Рассмотрим теперь систему в двух различных, но
бесконечно близких, положениях и станем искать
наиболее общие выражения для интересующих нас
дифференциалов, введя в них столько неопределенных
величин, сколько имеется произвольных элементов
при изменении положения системы. Полученные
таким образом выражения мы подставим в заданное
уравнение; это уравнение должно иметь силу
независимо от всех неопределенных величин, для того
чтобы равновесие системы вообще существовало и,
кроме того, —во всех направлениях. Приравняем тогда
нулю отдельно сумму членов, в которые входят одни
и те же неопределенные величины, и таким путем
получим столько отдельных уравнений, сколько
имеется этих неопределенных величин; однако нетрудно
убедиться, что их число всегда будет равно числу
неизвестных в положении системы. Таким образом

52 СТАТИКА
с помощью этого метода мы получим столько
уравнений, сколько их требуется для определения
состояния равновесия системы.
Этим именно методом и пользовались все авторы,
применявшие до сих пор принцип виртуальных
скоростей для разрешения проблем статики; однако этот
метод применения указанного принципа зачастую
требует геометрических построений и рассуждений,
благодаря которым решения становятся столь же
длинными, как если бы их искали с помощью
обыкновенных принципов статики; в этом, быть может,
и заключается причина, препятствовавшая
применению этого принципа во всех тех случаях, когда его
следовало бы, казалось, применить благодаря его
простоте и общности.
3. Задачей настоящей работы является сведение
механики к чисто аналитическим операциям, и
формула, которую мы выше нашли, чрезвычайно
приспособлена для выполнения этой задачи. Все дело
сводится только к тому, чтобы выразить аналитически
и в наиболее общем виде значения отрезков
р, д, г, . . ■ , взятых по направлению сил Р, Q, R,. . . ,
ч тогда путем простого дифференцирования
получаются значения виртуальных скоростей dp, dg, dr, ■ ■ ■
Следует при этом только отметить, что в
дифференциальном исчислении во всех тех случаях, когда
несколько величин изменяются одновременно,
допускают, что все они в течение одного и того же
времени увеличиваются на величину своего
дифференциала, и если согласно природе вопроса некоторые
из них должны убывать в то время, как другие
возрастают, то дифференциалам убывающих величин
приписывают знак минус.
Дифференциалы dp, dg, dr, ■ . . , представляющие
виртуальные скорости сил Р, Q, R, . . . , следует,
таким образом, считать положительными или
отрицательными, в зависимости от того, стремятся ли силы
увеличить или уменьшить отрезки р, q, г, . ■ . ,
определяющие их направления. Но так как общая фор-

ОБЩАЯ ФОРМУЛА СТАТИКИ 53
мула равновесия не изменяется при изменении знаков
всех ее членов, можно с одинаковым основанием при-
пять в качестве положительных дифференциалы тех
отрезков, которые увеличиваются или же уменьшаются
одновременно, и в качестве отрицательных
дифференциалы тех отрезков, которые изменяются в
противоположном смысле. Таким образом, если считать силы
положительными величинами, то их моменты Р dp, Q dq, . . .
будут положительными или отрицательными в
зависимости от того, будут ли виртуальные скорости
dp, dq, . . . положительными или отрицательными; а
если мы пожелаем заставить силы действовать в
противоположном направлении, то нам придется только
приписать знак минус тем вел!'чинам, которые
представляют эти силы, или же изменить знак их
«моментов».
Отсюда вытекает основное свойство равновесия,
заключающееся в том, что любая система сил,
находящихся в равновесии, продолжает оставаться в этом
состоянии, когда каждая из этих сил изменяет
направление своего действия на противоположное,—
если только структура этой системы не претерпевает
какого-либо изменения вследствие изменения
направления всех сил.
4. Каковы бы ни были силы, действующие на
заданную систему тел или точек, всегда можно
считать, что они как бы стремятся к некоторым
точкам, расположенным на линиях, по которым они
направлены.
Назовем эти точки центрами сил; можно принять
за отрезки р, q, г, . . . соответствующие расстояния
этих центров от тех точек системы, в которых
приложены силы Р, Q, R, . . . В этом случае ясно, что
данные силы стремятся уменьшить отрезки р, q, г, . ■ ■]
следовательно, их дифференциалам следует сообщить
знак минус но если изменить все знаки, то общая
формула сохранит свой вид
Pdp + Qdq+Rdr^ . ■ ■ =-0.

54 СТАТИКА
Но центры сил могут находиться как вне системы,
так и вн}'три самой системы, составляя часть ее;
по этому признаку различают силы внешние и
внутренние.
В первом случае ясно, что дифференциалы
dp, dq, dr, . . . выражают полные вариации отрезков
р, д, г, ■ ■ ■ , связанные с изменением положения
системы; они являются, следовательно, полными
дифференциалами величин р, д, г, . . . , если
рассматривать в качестве переменных все величины,
относящиеся к положению системы, и в качестве
постоянных — величины, относящиеся к положению
различных центров сил.
Во вторОлМ случае некоторые из тел системы сами
будут центрами сил, действующих на другие тола
системы, а в силу равенства действия и
противодействия эти последние в свою очередь будут
одновременно центрами сил, действующих иа первые.
Рассмотрим два тела*), действующих друг на
друга с некоторой силой Р, причем эта сила может
происходить вследствие притяжения или
отталкивания этих тел, либо вследствие наличия пружины,
находящейся между ними, либо, наконец, может
происходить от какой-нибудь другой причины. Пусть
р—^расстояние между этими двумя телами,
rf/?'—вариация этого расстояния, поскольку она зависит от
изменения положения одного из тел; ясно, что по
отношению к этому телу Prf/?'будет моментом силы Р.
Точно так же, если через dp" обозначить вариацию
того же расстояния р, происходящую вследствие
изменения положения другого тела, то по отношению
к этому второму телу мы будем иметь момент Р dp"
той же силы Р. Следовательно, весь момент,
обязанный своим существованием этой силе, может быть
выражен через Р {dp' -{- dp"). Во ясно, что dp' + dp"
представляет собой полный дифференциал р, который
*) Слово «тело» обозначает здесь, как и раньше,
материальную точку, {Прим. Бертрана.)

ОБЩАЯ ФОРМУЛА СТАТИКИ fM
МЫ обозначаем через dp, так как расстояние р может
изменяться только вследствие смещения обоих этих
тел; таким образом рассматриваемый момент выразится
просто через Р dp. Этот вывод можно распространить
на любое количество тел [*].
5. Отсюда следует, что для получения суммы
моментов всех сил заданной системы, будь то силы
внешние или внутренние, следует рассмотреть в
отдельности каждую из сил, действующих на
различные тела или точки системы, и взять сумму
произведений этих различных сил, помноженных каждая на
дифференциал соответствующего расстояния между
обеими точками каждой силы, а именно, между точкой,
на которую эта сила действует, и точкой, к которой
она стремится^ В этих дифференциалах следует
рассматривать в качестве переменных все величины,
зависящие от положения системы, и в качестве
постоянных — величины, относящиеся к внешним точкам или
центрам, т^ е. эти последние точки следует
рассматривать как постоянные, когда положение системы
подвергается изменению.
Указанная сумма, будучи приравнена нулю, даст
общую формулу статики.
6. Для того чтобы дать аналитическому
выражению этой формулы всю возможную общность, а
также простоту, отнесем положение всех тел или
точек заданной системы, а также положение центров,
к прямоугольным координатам, параллельным трем
неподвижным осям в пространстве.
Мы будем вообще обозначать через х, у, z
координаты тех точек, к которым приложены силы, и
в дальнейшем будем для отличия снабжать их одним
или несколькими штрихами, соответственно
различным точкам системы.
Аналогично через а, 6, с мы будем обозначать
координаты центров сил.
Ясно, что расстояния р, д, г, . ■ ■ между точками
приложения сил и их центрами выразятся вообще с
помощью формулы |/(ж — аJ + (г/ — Ь)^ + (z — с)^ , в

56 СТАТИКА
которой а, Ь, с являются постоянными величинами,
или по крайней мере должны рассматриваться при
изменениях х, у, z как постоянные величины в том
случае, когда они относятся к точкам, лежащим вне
системы, т. е. когда силы являются внешними. Однако
в том случае, когда силы являются внутренними и
они исходят от некоторых тел самой системы, эти
"величины а, Ь, с переходят в х'", у'", z'" и,
следовательно, становятся переменными.
Если, таким образом, имеются выражения конечных
величин р, q, г, , ■ ■ в известных функциях координат
различных тел системы, остается их только обычным
образом продифференцировать, рассматривая эти
координаты как единственно изменяющиеся величины, и
тогда получаются искомые значения дифференциалов
dp, dg, dr, . , . , входящих в общую формулу
равновесия.
7. Хотя мсйкно всегда считать, что силы Р, Q, R, ...
направлены к заданным центрам, но рассмотрение этих
центров выходит за пределы задачи, в которой в
качестве заданных обычно рассматриваются лишь
величина и направление каждой силы. Обратимся поэтому
к более общим методам определения дифференциалов
dp, dq, dr, . . ,
Прежде всего, если предположить,— а это всегда
допустимо,— что сила Р направлена к неподвижному
центру, то мы имеем
р = У{х ~ а)^ ■}- {у -bf + {Z - с)^;
если это выражение продифференцировать, не считая
а, Ь, с переменными, поскольку сила Р является
внешней^ то получим
dp = luf dx + ^ dy + ■^~'' dz.
Но легко видеть, что , , представляют
собовд косинусы углов, образуемых линией р с ли-

ОБЩАЯ ФОРМУЛА СТАТИКИ 57
ПИЯМИ X—а, у — Ь, Z — с. Если вообще через а, р, у
обозначить углы, образуемые направлением силы Р
с осями ж, г/, 2, или с прямыми, параллельными этим
осям, то
X — а V — Ь п Z — с
= cosa, = cosp, =cosy;
р р р '
следовательно,
dp = cos a.dx -{■ cos ^dy -\- cos у dz.
Аналогичным образом могут быть выражены и
другие дифференциалы dq, dr, . . •
Но если та же сила Р будет внутренней силой
и будет действовать на две точки, имеющие
координаты X, у, Z и х', у', z', стремясь их сблизить или
удалить друг от друга, то в выражении для р мы
имеем а = а;', Ь^у', c = z', и, следовательно,
dp = cosa.{dx — dx')+cos р {dy — dy')-\- cosy {dz — dz').
Заметим, прежде всего, относительно углов а, Р, у,
что
cos* а + cos* Р + cos* у = 1;
это очевидно из приведенных выше формул.
Во-вторых, если обозначить через е угол, образуемый
проекцией линии р на плоскость х и у с осью х, то
X — а у — Ъ
= COS е, = sin е.
где п=У{х — а)*-j-(г/ — 6)*; а подставив вместо
х—а, у—b их значения /?cosa, /? cos Р, мы получим
■к = р |/cos* а + cos* Р = /J ]/1 — cos* у = /? sin у;
таким образом
X — а . у — Ь
= Sin у COS е, = sin "С sin е.

58 СТАТИКА
и, следовательно,
cos а = sin Y cos е, cos Р = sin у sin е.
8. Далее, я принимаю во внимание, что поскольку
dp представляет собою малый путь, который тело
или точка приложения силы Р может пройти по
направлению этой силы, то если положить dp = О, эта
точка сможет двигаться только по направлениям,
перпендикулярным к направлению самой силы.
Таким образом dp = 0 представляет собою
дифференциальное уравнение поверхности, по отношению к
которой сила направлена перпендикулярно.
Эта поверхность будет сферой, если величины
а, Ь, с постоянны, но она может быть какой угодно
иной поверхностью, если допустить, что эти
величины являются переменными.
Предположим теперь вообще, что сила Р
действует перпендикулярно к поверхности, выраженной
уравнением
Adx + Bdy-\-Cdz = 0.
Для того чтобы это уравнение совпало с уравнением
{х — a)dx ■{■ {у — Ь) dy -\- {z — с) dz = О,
вытекающим из допущения, что dp = О, остается
только положить
что дает
А X —
С ~ Z-
' а
с '
В _у~Ъ
С Z— с'
x — a = -^{z — c), y — b = -^{z — c);
подставив эти значения в выражение для р, будем
иметь
, _ Adx + Bdy+C dz
Va^ + в^ + С^ '

ОБЩАЯ ФОРМУЛА СТАТИКИ 59
Таким образом, если имеется дифференциальное
уравнение поверхности, к которой сила Р направлена
перпендикулярно, можно получить и выражение для
ее виртуально;] скорости dp.
Мо/кно положить
А dx -\- В dy -\- С dz = dii,
где и—некоторая функция х, у, z; но известно, что
дифференциальное уравнение первого порядка с тремя
переменными выражает поверхность только в том
случае, если оно может быть проинтегрировано или
приведено к интегрируемому виду с помощью
множителя. Тогда с помощью алгоритма частных
дифференциалов можно написать
и выражение для dp принимает следующий вид:
du
dp =
/(£)'+(!
У+Gt)'
Таким образом момент силы Р, перпендикулярной
к поверхности, заданной уравнением du = О, будет
равен
Pdu
с/и \2
/(£)'+(I)"+Gt)
Тем же путем могут быть определены и значения
других дифференциалов dq, dr, . . . , а именно, с
помощью дифференциальных уравнений поверхностей,
по отношению к которым силы Q, R, ... направлены
перпенди кулярно.
9. Но можно обойтись и без рассмотрения
поверхности, к которой сила направлена перпендикулярно;
так как любую величину можно выразить с помощью
линии, то р можно рассматривать как некоторую

60
СТАТИКА
функцию координат, а Р как силу, стремящуюся
изменить значение р. Тогда Р dp тоже будет
виртуальным моментом силы Р; точно так же Q dq, Rdr, . . .
будут моментами сил Q, R, . ■ ■, если их
рассматривать таким образом, как если бы они стремились
изменить значения величин q, г, . . . , о которых мы
предполагаем, что они являются некоторыми
функциями тех же координат. Этот метод рассмотрения
моментов придает общей формуле равновесия гораздо
более широкий смысл, благодаря чему она становится
пригодной для значительно большего числа
приложений *).
10. Если значения дифференциалов dp, dq, dr, . . .
в функции дифференциалов координат
различных тел системы известны, то остаётся только
подставить их в общую формулу:
Pdp-\-Qdq-\-Rdr-\-... = 0,
и затем удовлетворить этому уравнению независимо
от дифференциалов, которые оно содержит.
Таким образом, если рассматриваемая система
является совершенно свободной, так что не
существует никаких заданных соотношений между
координатами различных тел и, следовательно, между
их дифференциалами, следует удовлетворить
приведенному выше уравнению независимо от
дифференциалов и для этого приравнять отдельно нулю
суммы всех членов, которые умножаются на каждый
из этих дифференциалов. Это даст столько уравнений,
*) Если настоящий пункт 9 сопоставить с пунктами 6 и
28 отдела IV, то мы придем к следующему их истолкованию.
Когда силы имеют в качестве суммы своих
виртуальных моментов произведение вида Pdp, где р — некоторая
функция координат, то говорят, что система рассматриваемых
сил эквивалентна некоторой силе Р, стремящейся изменить
величину функции р. Эта формулировка представляется
совершенно условной. В данном случае слову сила придается
смысл, совершенно отклоняющийся от обычного. Впрочем, эта
Лопмулисовка не была принята геометрами. {Прим. Бертрана.)

ОБЩАЯ ФОРМУЛА СТАТИНИ 61
СКОЛЬКО имеется переменных координат и,
следовательно, сколько их необходимо для определения всех
этих переменных и для нахождения с их помощью
положения всей системы в состоянии равновесия.
Но если природа системы такова, что тела при
своих движениях подчинены особым условиям,
следует сначала эти условия выразить с помощью
аналитических уравнений, которые мы назовем
условными уравнениями, что всегда легко выполнить.
Так, например, если некоторые из тел вынуждены
двигаться по заданным линиям или поверхностям,
то мы имеем в качестве уравнений для координат
этих тел заданные уравнения линий или
поверхностей.; если бы два тела были связаны друг с
другом таким образом, что они постоянно должны
находиться друг от друга на одном и том же
расстоянии к, то, очевидно, мы имели бы уравнение
к^ = {х' — x"f -f {у' — y"Y -f (z' — z"f.
Когда условные уравнения найделы, следует с их
помощью в выражениях для dp, dq, dr, . . .
исключить столько дифференциалов, сколько возможно,
так что оставшиеся дифференциалы будут уже
совершенно независимы друг от друга и будут
выражать лишь то, что имеется произвольного при
изменении положения системы. А так как общая
формула равновесия должна сохранить свою силу
независимо от того, каковы бы ни были эти изменения,
следует отдельно приравнять нулю суммы всех
членов, в состав которых входит каждый из
неопределенных дифференциалов; тогда отсюда получится
столько отдельных уравнений, сколько имеется таких
дифференциалов; эти уравнения, будучи затем
соединены с заданными условными уравнениями, будут
содержать в себе все условия, необходимые для
определения состояния равновесия системы, так как
легко понять, что общее число всех этих уравнений
будет всегда равно чирлу различных переменных,
вляющихся координатами всех тел системы, и, еле-

52 СТАТИКА
довательно, что их будет всегда достаточно для
определения каждой из этих переменных.
11. Впрочем, если до сих пор мы все время
определяли положение тел с помощью
прямоугольных координат, то мы это делали потому, что этот
способ имеет известное преимущество простоты и
легкости в вычислениях, но это не значит, что при
применении изложенного выше метода нельзя
пользоваться другими координатами; ясно, что при
изложенном методе нас ничто не заставляет отдавать
предпочтение прямоугольным координатам перед
иными линиями или величинами,
определяющими положения тел." Так, вместо двух
координат X, у можно было бы, если бы обстоятельства
этого потребовали, воспользоваться
радиусом-вектором о = |/а;* — г/* и углом 9, тангенс которого равен
— , что дало бы нам
а; = р coscp,
г/ = рз!П9;
третья координата z могла бы при этом сохранить
свой прежний вид. Но можно было бы также ввести
радиус-вектор р = Y^^ + У* + z* с двумя углами
9 и ф, так что
У
ig'u:
X
1дф =
откуда получается
а; = р cosфcoscp,
у = pcosф sin 9,
Z = psin ф;
точно так же можно воспользоваться другими
какими-либо углами или линиями.
Отметим еще, что, так как при излагаемом нами
методе рассматриваются лишь дифференциалы dx, dy,

Общая формула статики 53
dz, начало координат может быть избрано в любом
месте: этим можно воспользоваться, чтобы упростить
выражения для этих дифференциалов.
Если вместо х тл у подставить pcosq) и psinq), то
мы вообще получим
dx = cos ср rfp — р sin 9 d<f,
dy = sin 9 rfp + p cos 9 do;
HO если положить cp = О, a это значит, что величину
угла 9 мы будем отсчитывать от радиуса р, то мы
получим более простые выражения dx = dp и dy =
= pd(f). Точно так же мы можем поступить в других
аналогичных случаях.
12. Вообще, какова бы ни была система сил,
равновесие которой определяется, и каким бы
образом ни были связаны друг с другом точки
приложения этих сил, всегда можно свести
переменные, определяющие положения этих точек в
пространстве, к небольшому числу независимых
переменных; для этого следует с помощью условных
уравнений, заданных природой системы,
исключить столько переменных, сколько имеется
условий, т. е. выразить все переменные, которых
имеется по три на каждую точку, при помощи
небольшого числа их или при помощи других
переменных, которые, не будучи уже подчинены каким-
либо условиям, остаются независимыми и
неопределенными. Таким образом равновесие должно иметь
место по отношению к каждому из этлх независимых
переменных*), так как последние дают место такому
же числу различных изменений в полон^енни системы.
13. В самом деле, если обозначить через 5, ф, <р, ...
эти независимые переменные и рассматривать р, д, г, ...
*) То-есть необходимо, чтобы коэфициенты вариаций
каждого из этих переменных были порознь равны нулю.
(Прим. Бертрана.)

g^ СТАТИКА
как функции этих переменных, то получится
и условие равновесия Pdp-\-Qdg-\-Rdj--\-... = 0
примет следующий вид:
Так как значения d^, с^ф, rf<p, . - . должны оставаться
неопределенными, то должны существовать отдельно
следующие уравнения:
Число этих уравнений будет равно числу
переменных 5, Ф, Ф, • • • и, следовательно, их будет достаточно
для определения всех этих переменных.
Каждое из этих уравнений, как видим,
представляет собою частный случай равновесия, при котором
виртуальные скорости подчинены определенным
соотношениям: из соединения же всех этих частных
равновесий создается общее равновесие системы.
Можно также отметить, что собственно к этим
частным и определенным случаям применимо в пол-

ОВЩАЯ ФОРМУЛА СТАТИКИ g5
1ЮМ объеме рассуждение первого параграфа
настоящего отдела, и так как в случае двух сил их
равновесие всегда можно свести к равновесию
прямолинейного рычага, плечи которого находятся в
отношении виртуальных скоростей, то можно
этим путем общий принцип виртуальных скоростей
поставить в зависимость только от принципа рычага.
14. Если величина Pdp-^Qdq-\-Rdr-\-... не
будет равна нулю по отношению ко всем
независимым переменным, то силы Р, Q, R, . . . не будут
находиться в равновесии, и тела, находясь под
действием сил, приобретут движения, определяемые
как этими силами, так и взаимодействиями тел [^"].
Предположим, что на тела той же системы
действуют другие силы Р', Q', /?',..., направленные
по линиям р', д', г', . . ., и сообщают им те же
самые движения; тогда эти силы будут
эквивалентны первым и смогут быть во всех случаях
поставлены на их место, так как согласно допущению их
действие в точности такое же. А если эти же силы
/••', Q', R', . . . , сохраняя свою величину, изменят
свои направления и примут направления,
противоположные прежним, то ясно, что они тем же телам
точно так же сообщат движения равные, но
противоположно направленные. Следовательно, если в этом
новом состоянии они будут действовать на тела той
же самой системы одновременно с силами Р, Q,
R, . . ., то тела будут оставаться в покое, так как
движения, сообщаемые им в одном направлении,
будут уничтожаться равными и противоположно
направленными движениями. Таким образом, между
всеми этими силами будет существовать равновесие,
что дает нам уравнение (пункт 2)
Pdp + Qdq + Rdr + ... — P'dp' —
-Q' dg' —R' dr' - . . . = 0;
откуда следует
Pdp + Qdg + Rdr + ...=
= Р' dp' + Q' dg' +R'dr' + ...
" ж. Лагранш, т. I

gg СТАТИКА
Таково условие, необходимое для того, чтобы
силы Р', Q', R', . .., действующие по линиям р', д',
г', . . ., были эквивалентны, силам Р, Q, R, . . . ,
действующим по 71иниям р, д, г, . . . . А так как две
системы сил могут быть совершенно
эквивалентными*) только единственным образом, поскольку
движение тела всегда бывает единым и определенным,
то отсюда следует, что если две системы сил Р, Q,
R, . .. и Р', Q', R', ... таковы, что во всех случаях
и по отношению ко всем независимым переменным
существует уравнение
Pdp -\-Qdg-\-Rdr ^ ...=
= Р' dp' + Q' dg' -i-R'dr' +
то эти две системы эквивалентны и во всех случаях
могут быть подставлены одна вместо другой.
15. Отсюда следует важная теорема статики,
согласно которой две системы сил эквивалентны и
могут быть заменены одна другой в одной и той же
системе тел, связанных между собою каким угодно
образом-, если суммы моментов сил в обеих системах
всегда между собою равны; и обратно, если сумма
моментов сил одной системы всегда равна сумме
моментов сил другой системы, то эти две системы
сил эквивалентны и могут быть подставлены одна
вместо другой в одной и той же системе тел.
Если допустить, что линии р, д, г,... зависят
от линий 5, ф, ?,■■■, то формула
Pdp-\-Qdg + Rdr + . ..
преобразуется, как в пункте 13, в следующую:
Sdl+Yd^^ + Фd<p+ . . .,
*) То-есть две системы, эквивалентные в том смысле, что
Они Создают равновесие с одной и той же третьей системой,
по этому одному признаку могут быть рассматриваемы как
совершенно эквивалентные системы. (Прим. Бертрана.)

в которой
ОБЩАЯ ФОРМУЛА СТАТИКИ 67
^=^lf+^l+^S+-
Таким образом, мы имеем
Pdp + Qdq+ Rdr + . . .= Ed^+ Y d<l>+ Ф df +
Итак, система сил Р, Q, R, . . ., направленных по
линиям р, д, г, . . . , эквивалентна системе S, Ч^,
Ф, . . ., действующих по направлению линий 5, ф,
9, . • . и, значит, может быть заменена последней в
одной и той же системе тел, подверженных
действию этих сил *).
*) Для того чтобы это было так, необходимо выполне.чие
следующего условия: линии 5, ф, ф, • • • должны быть таковы,
чтобы их дифференциалы dZ,, d!^, dt?, . . . выражали
виртуальные скорости точек приложения сил S, Ч', Ф, . . ., т. е. чтобы
ка.кдый из них представлял собою прямоугольную проекцию
перемещения точки на направление силы. См. по этому вопросу
заметку Пуансо (Poinsot), напечатанную в Journal de Liouville
(lerff serie, t. XI, p. 241), которую мы помещаем в конце
настоящего тома. (Прим. Бертрана.)

^сй)о^\^^-^<:;:;>^
ОТДЕЛ третий.
ОБЩИЕ СВОЙСТВА РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ,
ВЫВЕДЕННЫЕ ИЗ ПРЕДЫДУЩЕЙ ФОРМУЛЫ.
1. Рассмотрим теперь систему или какое-нибудь
соединение тел или точек, которые, находясь под
действием каких-либо сил, поддерживают друг друга
в равновесии. Если бы в какое-либо мгновение
действие этих сил перестало уничтожаться, то система
начала бы двигаться; каково бы ни было движение
системы, его всегда можно себе представить
составленным: 1) из поступательного движения, общего
для всех тел, 2) из вращательного движения вокруг
какой-либо точки и 3) из относительных движений
тел, которые изменяют взаимное
расположение и взаимные расстояния тел. Таким образом,
для равновесия необходимо, чтобы тела не могли
получить ни одного из этих различных движений.
Но ясно, что относительные движения зависят от
того, каким образом тела расположены одни
относительно других, следовательно, условия,
необходимые для пресечения этих движений, должны быть
особыми для каждой системы. Поступательные же и
вращательные движения могут не зависеть от формы
системы и могут протекать без изменения
расположения и взаимной связи тел.
Поэтому рассмотрение этих двух видов движения
должно привести к нахождению общих условий или
свойств равновесия. Этим мы теперь и займемся.

ОБЩИЕ СВОЙСТВА РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ 69
§ I, Свойства равновесия свободной системы
по отношению к поступательному движению.
2. Пусть дано некоторое количество тел,
рассматриваемых в качестве точек и расположенных
или связанных между собою каким угодно образом,
и пусть они находятся под действием сил Р, Р',
Р", . . . , расположенных по линиям р, р', р", . . .
Для равновесия этих тел мы имеем (см.
предыдущий отдел) общую формулу
Pdq + P' dp' + P"dp "+...= 0.
Если отнести к прямоугольной системе координат
различные точки, находящиеся под действием сил
Р, Р', . . . , равно как и центры втих сил, подобно
тому как это было сделано в пункте 6 предыдущего
отдела, то мы получим в случае внешних сил
р = У(х — а)^ + {у- Ь)^ + {z- с)^
р' = Vix' - ay + {у' - by + {z' - су .
Но если тела, соответствующие, например,
координатам X, у, Z и X, у, Z, действуют друг на друга
взаимно некоторой силой, которую мы обозначим
через Р, то для взаимного их расстояния, которое мы
назовем р, мы будем иметь
^ = Y{x - хJ + (г/ - yf + (Z -1)\
и, следовательно, в общей формуле следует
прибавить еще член Р dp, получающийся от внутренней
силы Р. Точно так же следует поступать и дальше,
если на одни и те же тела действует несколько сил.
3. Положим, что вполне допустимо,
х'=Х+?„ у'=у + Г1, Z'=Z + ^,
х" = х^1', у'' = у+п', z"=z + K',
х = х + 1, .J=y+^, I=z-\-Z,

70
СТАТИКА
И предположим, что эти значения координат
подставлены в предыдущую формулу.
Так как x,y,z — абсолютные ' координаты тела,
находящегося под действием силы Р, то ясно, что
5, 7), С, 5', У\', С, • • • являются относительпыми
координатами других тел по отношению к данному,
принятому в качестве общего начала координат; в таком
случае взаимное положение тел зависит
исключительно от последних координат и нисколько пе зависит
от первых. Следовательно, если мы предположим,
что система совершенно свободна, т. е. что тела просто
связаны между собою каким-либо образом, но не
задерживаются какими-либо неподвижными опорами,
или внешними препятствиями, то легко понять, что
условия, вытекающие из природы системы, могут
касаться только величин 5, >). ^, ?', f\\ С • • • '
но ни в коем случае не величин х, у, z,
дифференциалы которых остаются, следовательно,
независимыми и неопределенными.
Поэтому после того, как указанные выше
подстановки произведены, следует отдельно приравнять
нулю каждый из членов, содержащих dx, dy, dz, что
даст следующие три уравнения (п. 2):
/> ^Z+/>'^ + Z'" ^"+.-■ + ? ^ + ... = О,
дх ^ дх дх ' ^ дх '
^ ду ^^ ду + ^ ду ^ ■■•^ ^ ду^ '^'
dz ^ dz ^ dz ^ ' ■ ■ ^ ^ dz ^
Прежде всего очевидно, что переменные х, у, z
не входят в выражение для р; поэтому мы имеем
дя ' ду ' dz

ОБЩИЕ СВОЙСТВА РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ 71
Вследствие этого отпадают члены, содержащие
внутренние силы Р,, . .
Далее, мы видим, что значения
др' др' др' др" др" дрч
дх ' ду ' l)z ' 'дх ' 'ду ' 'dz' ' ' ' '
тождественны со значениями
др^ др^ dj/ д^ dj/^ др"
дх' ' ду' ' dz'' ' йж" ' ду" ' dz" ' ' ' '
Если обозначить через а, C, у углы, образуемые
линией р с осями х, у, z или параллельными осями,
а через «.' C', у' — углы, которые линия р' образует
с теми же осями, то в силу указанного выше (п. 7
предыдущего отдела) имеем:
др
~ = COS а,
дх
а также
др' ,
-.= cosa.
-^ = cos в,
ду
др' Q,
-il, = COS 3 ,
ду ^
др
dz
др'
dz'
= COS у.
= COS у'
Вследствие этого приведенные выше уравнения
принимают вид
PCOSX + Р' cos а! + Р" cos а" + . . . = О,
Р cos C + Р' cos C' + Р" cos ,в" + • . . = О,
Р cos у + Р' cos у' + Р" cos у" + . • . = 0.
Эти уравнения должны необходимо иметь место в
случае равновесия свободной системы. Таковы
уравнения, необходимые для того, чтобы
воспрепятствовать поступательному движению.
4. Если силы Р, Р', Р", . . . параллельны, то
а = а' = а" = . . . , C = C' = C" = . . . ,
у = у' = у"=....

72 СТАТИКА
и три указанных выше уравнения сводятся к
одному следующему:
Р^Р' + Р" ^ ... = 0,
которое показывает, что сумма параллельных сил
должна быть равна нулю.
Вообще легко понять, что если Р выражает
полное действие силы Р по ее собственному
направлению, то Pcosx выражает ее относительное действие,
измеренное по направлению оси х, образующей с
направлением силы Р угол а; точно так же Р cos C
и Р cosy представляют собою относительные
действия той же силы, измеренные по направлению
осей г/ и z; сказанное относится и к другим силам
Р', Р\ . . .
Отсюда вытекает следующая теорема статики:
при равновесии, свободной системы сумма сил,
измеренных по направлению трех взаимно
перпендикулярных осей, долмсна быть равна нулю по отношению
к камсдой из этих осей.
§ II. Свойства равновесия по отношению
к вращательному движению.
5. Возьмем теперь — что вполне допустимо —
вместо координат X, у, х', у', х", у", . .. ,х, у, ■. .
соответствующие радиусы векторы р, р', р", . . . , р, . . . и
углы 9, 9', ф", . . . , 9, .. . , образуемые этими
радиусами с осью х; тогда, как мы знаем,
a;=pcos9, i/ = psin9,
и равным образом
х' = р' cos 9', г/' = р' sin 9', . . .
.. . , а; = р cos 9, г/ = р sin 9, • • •
Подставим эти выражения в общую формулу
пункта 2 предыдущего параграфа и положим
?' = 9 + <^, ф" = 9 + <^', • • • , 9 = 9 + <^ • • • ;

ОБЩИЕ СВОЙСТВА РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ 73
ЯСНО, ЧТО ст, ст', . . . , ст,. . . —это углы, образуемые
радиусами р', р", . . . , р, .. . с радиусом р;
следовательно, расстояния тел, как взаимные, так и по
отношению к плоскости ху и к точке, избранной в
качестве начала координат, будут зависеть только от
величин^ р, р', р", . . . , р, . . , , ст, ст', . . . , ст, . . , , z, z',
^ , . . . , ^, . . .
Но если система может свободно вращаться
вокруг этой точки параллельно плоскости ху, т. е.
вокруг оси Z, перпендикулярной к этой плоскости,
то угол ср будет независим от условий системы и,
следовательно, дифференциал df останется
произвольным. Отсюда следует, что члены, связанные с rfcp в
общем уравнении равновесия, должны в общей
своей сумме равняться нулю.
Легко видеть, что все эти члены будут
выражены с помощью N d(p, где
дер дар dtp ' д<р
так что для равновесия получается уравнение iV=0,
Если в выражения для р, р', . . . , р, . ■ • (п. 2)
подставить значения х, у, х', у', . . . , х, у, . . . , и
сверх того положить
a = Rco9,A, 6 = Л sin Л,
а'= Л'cos Л', Ь'= R'smB',. .. ,
то получится
р
р'-
р =
= }/р2.
= 1/р'2-
-Vf-
- 2pR cos(ф -
- 2р'Л cos (ф'
- 2рр cos (ф —
- А) + R^ + {z— cf
- А') + R'^ + {z'-
9)+? + (z—Г)^,
J
c')^

74
СТАТИКА
сюда следует еще вместо 9,9,..., 9, .. .
подставить 9 + <^1 9 + <^'> • • • I 9 + <^, • • •
При выполнении этих подстановок .становится
прежде всего ясным, что величины р, ■. . уже не
содержат угла 9i поэтому ^ = О,. . . ; следовательно,
внутренние силы Р, . . . исчезнут из уравнения и
останутся только внешние силы Р, Р', . . .
Но мы имеем
др _ р Д sin(y —Л) др' _ р^Д^яш(у' —лр
д^~ р ' df ~ р' . • • • .
поэтому величина N приобретает следующий вид:
^ ^ PRp sin (у - А) P'R'p'siai<f'-A')
Р р' -Г • • •
Так как центры сил Р, Р', . . . можно избрать
где угодно по направлению этих сил, то можно
допустить, что эти силы изображаются линиями р, р', . . .,
которые являются прямолинейными расстояниями их
точек приложения от соответствующих центров.
Указанным путем мы получим более простое выражение
N = Rp sin (9 - Л) + R'p' sin (9' ~А') + ...
В этой формуле радиусы Лир, исходящие из
начала координат и образующие между собою угол
9 — А, составляют стороны треугольника, имеющего
основанием проекцию отрезка р на плоскость ху;
следовательно, величина Rp sin (9 — А) выражает
удвоенную площадь этого треугольника; то же
самое можно сказать и о других аналогичных
величинах.
Но так как мы обозначили (п. 3) через у, у', . • .
углы, образуемые направлениями сил Р, Р', ... с
осью Z, или с линиями, параллельными этой оси, то
ясно, что дополнительные к ним углы будут
представлять собою наклонения линий р, р' . . . к пло

ОБЩИЕ СВОЙСТВА РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ 75
КОСТИ ху; следовательно, /?зшу, /?'з1пу', • • • будут
проекциями этих линий. Если из начала координат
опустить на эти проекции перпендикуляры, которые
лмы назовем П, П', . . ., то получится
Лр sin (9 — А) = Пр sin Y,
R'p' sm{<f' — A') = U'p'siny', . . .,
и величина N будет приведена к следующему виду:
N =UPsmy + U'P' sin у' + U"P" sin у" + . . .,
если вместо р, р', р", . . . снова подставить Р, Р',
Р",...
6. Уравнение Л'^ = О даст, таким образом,
следующую теорему:
При равновесии системы, обладающей свободой
вращения около оси и состоящей из тел, действующих
друг на друга каким угодно образом и одновременно
находящихся под действием внешних сил, сумма этих
сил, измеренных параллельно плоскости,
перпендикулярной к оси, и умноженных каждая
соответственно на перпендикуляр, опущенный из оси на
направление силы, спроектированной на ту ж;е плоскость,
долж;на равняться нулю,— если силам, стремящимся
вращать систему в противоположных направлениях,
присвоить противополож;ные знаки.
Обычно эту теорему излагают проще, а именно:
для того чтобы имело место равновесие около какой-
либо оси, моменты сил по отношению к этой оси
долж;ны взаимно уничтож:аться.
В настоящее время в механике под моментом
силы по отношению к какой-либо линии понимают
произведение этой силы, измеренной параллельно
плоскости, перпендикулярной к этой линии, и
умноженной на плечо рычага, где под плечом
подразумевают перпендикуляр, опущенный из этой же линии
на направление силы, отнесенной к той же
плоскости. В самом деле, действие силы, стремящейся

76 СТАТИКА
вращать систему около оси, зависит только от этого
момента, так как если эту силу разложить на две,
из которых одна будет параллельна оси, а другая
будет лежать в плоскости, перпендикулярной к оси,
то, очевидно, только последняя будет в состоянии
вызывать вращение. Поэтому мы данному моменту
присвоим особое название момента относительно оси
вращения.
7. Коэффициент N члена Nd^ (п. 5), как мы
видим, выражает с умму моментов всех сил системы
относительно оси мгновенного вращения d(f. Точно
так же для того, чтобы найти сумму моментов
относительно любой оси, следует только преобразовать
общую формулу
Pdp + P' dp' + P"dp"+ . . .,
представляющую сумму виртуальных моментов всех
сил,— введя в качестве одной из независимых
переменных угол вращения около заданной оси. Тогда
коэффициентом дифференциала этого угла будет
сумма всех моментов относительно этой оси;
настоящий прием может оказаться полезным во многих
случаях.
8. Если система может вращаться в любом
направлении вокруг точки, принятой нами за
начало координат, следует одновременно рассмотреть
мгновенные вращения около трех осей х, у и z, и
тогда мы получим по отношению к каждой из осей
уравнение, вщражающее свойство моментов,
аналогичное тому, какое мы только что нашли. Однако
представляется небесполезным ту же задачу ра-
шить с помощью более простого и более общего
анализа.
Для этой цели пусть, как и в пункте 5,
з; = рсоз9, y = ps'm(f,
х' = р' созф', у' = р' 31П9', . . . ;

ОБЩИЕ СВОЙСТВА Равновесия системы тел 77
если углы ср, 9 , . . . изменить на одну и ту же
разность rfq), то получится
dx =z — у dif, dy = X d(f,
dx' = —y'd^f, dy' = x'd(f, ....
Таковы изменениям, у, x', у', . . ., получающиеся
в результате элеиэнтарнэгл вращения d(f) системы
около оси Z.
Точно так же получаются и изменения у, z, у', z',...,
вызываемые элементарным вращением ^ф около оси
х; для этого следует в приведенных выше формулах
вместо X, у, х', у', . . . взять у, z, у', z', . . . и
вместо d<p взять d<l/, в результате чего получится
dy = —Z с?ф, dz=yd'\i,
dy' = — z'rfij;, dz' = y'd'\i, . . .
Если в последних формулах вместо //, z, у', z', . . .
взять соответственно z, х, z', х', . . . и вместо ^ф
взять d(x), получатся из.менения, происходящие
вследствие элементарного вращения rfw около оси у,
которые составят
dz = —xd(x>, dx = zd(x),
dz' = — x'dw, dx' = z'dw, . . .
Если допустить, что все три вращения
происходят одновременно*), то полные изменения координат
X, у, Z, х', у', z', . . . будут согласно принципам
дифференциального исчисления равны суммам частных
*) В действительности эти три вращения не могут
происходить одновременно, а лишь последовательно. Тем не менее
ото нисколько не мешает тому, чтобы в анализе
рассматривать их как происходящие одновременно; дело в том, что
каждое из них, изменяя бесконечно малое положение тела,
лишь бесконечно мало влияет на смещения, вызываемые
другими вращениями, и видоизменяет движения, обязанные
своим происхождением другим вращениям, лишь на
величину, бесконечно малую по сравнению со своим собственным
значением, {Прим. Бертрана.)

78 СТАТИКА
изменений, вызванных каждым из этих вращений,
так что мы получим следующие полные выражения:
dx ^ zda> — у dvf, dy = X d(f — z t/ф, dz = у d'\i — x d(a,
dx' = z'd(x) — y'dcf, dy' = x'd(f—г'с^ф, dz' =y'd<l/—x'd(x>,
Подставив эти значения в общую формулу
равновесия (п. 2), мы получим только члены,
происходящие от вращений ^ф, doi, rfcp около трех осей х, у и z.
Если система может свободно вращаться во всех
направлениях около точки, являющейся началом
координат, то указанные выше члены должны порознь
равняться нулю.
Но путем дифференцирования мы получим
^ (х — п) dx-f-(у — Ь) йт/ + (z — с) dz
dp'--
Р
(х' — а') dx'-\- (у' — Ъ') dy' + B' — с') dz'
^jj _ (х — х) (dx - dx) + (у ~у) {dy — dy) + I'z — z) {dz — dz)
Таким образом с помощью указанных выше
подстановок мы будем иметь
, {ау — Ьх) d(f -j" {b^ — <!у) d'\i + {ex — az) dw
p_ _ _
7 , {n'y'— b'x') d<f -J- {b'z' — c'y') d<]) + {c'x' — a'z') dco
ap _ — ,
Подставив вместо dr, dy, dz, ■ ■ . аналогичные
выражения z dm— у d<p, x dtp— zd<l/,yd<p— xdiu, . . . , мы
найдем, что dp = 0, dp' = 0, - . . . Отсюда можно
тотчас же сделать вывод, что в результате этих

ОБЩИЕ СВОЙСТВА РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЁЛ 79
подстановок члены Р dp, P'dp\. . ., общего уравнения,
связанные с внутренними силами, исчезнут.
Но мы получим dp = О и в том случае, если
положим а = О, 6 " О, с = О, т. е. если центр силы Р
будет лежать в начале координат; в этом случае
действие данной силы тоже уничтожается.
9. Итаи, отвлекаясь от внутренних сил, если
таковые имеются, а также от всякой силы,
направленной к центру координат, мы получим вообще для
всех сил Р, Р', . - - , направленных по линиям/?, р', . . . ,
следующее уравнение:
Ld<l/+Mdo> + Nd(f = 0,
где положено
J. Р (bz - су) , P'(b'z'~c'y')
^ ^ Р (сх - az) P'(c'x'-a'z')
Р Р' "Г • ■ • '
д, _ Р (ау - Ъх) Р'(а'у'^Ь'х')
Л ~ ^ + ^, + . . . ,
И тогда для всякой системы, способной свободно
вращаться в любом направлении вокруг начала
координат, мы получим следующие три уравнения:
L = 0, М = 0, N = 0,
которые соответствуют уравнению пункта 5,
отнесенному к трем осям координат.
В самом деле, если выразить координаты центров
сил а, Ь, с, а', . . . через углы а, C, у, а', ... ,
образуемые направлениями этих сил с тремя осями
координат, и последовательно положить, как в п. 7
предыдущего отдела,
а = х — pcosa, 6 = г/ — /?cosP, c = z — jocosy.

80 СТАТИКА
и аналогично для других подобных величин,— то
мы получим
L = Р {у cos Y —Z cos C) -\-Р' {у' cos у' ~ z cos C') + . . . ,
М = Р {z cos а — а; cos у) + Р' {z' cos а — х' cosy') + - - - ,
.'V=P(a;cosP —у cosa)+ Р' (х' cos C'— г/'cos а') + - • -
А так как Pcosol, Pcosy представляют собою
значения силы Р, измеренные по направлениям трех
осей X, у, Z, можно тотчас же увидеть, что xPcos^ —
—уР cos X . . . является моментом по отношению к оси
Z, причем член уР cos х имеет отрицательный знак,
так как сила Pcosx стремится вращать систему по
направлению, противоположному силе Pcos^. Точно
так же zPcosX — xPcosy. . . является моментом
относительно оси у и уР cos у—zPcosP . . . моментом
относительно оси х. Подобные же значения имеют и
остальные аналогичные выражения. Таким образом
приведенные три уравнения Z, = О, М = О, N = О
выражают, что сумма этих моментов относительно
каждой из трех осей равна нулю-
Мы видим также, что коэффициенты L, М, N
мгновенных вращений ^ф, rfw, d<f представляют
собою не что иное, как суммы моментов относительно
осей мгновенных вращений ^ф, rfw, rfcp (п. 7).
10. Можно было бы, пожалуй, усомниться в том,
что вращений около трех осей координат достаточно
для того, чтобы выразить все малые движения,
какие система точек может выполнить вокруг
неподвижной точки без того, чтобы взаимное
расположение этих точек изменилось. Для того чтобы устранить
это сомнение, исследуем все эти движения более
прямым путем.
Проведем прял1ую линию через данную точку,
служащую началом координат х, у, z, и через другую точку
системы, а через эту линию и какую-либо третью точку
системы — плоскость; отнесем к этой линии и к этой
плоскости все прочие точки системы с помощью новых

ОБЩИЕ СВОЙСТВА РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ gl
прямоугольных координат х', у', z , имеющих то же
начало, что и первые координаты х, у, z.
Совершенно ясно, что эти новые координаты зависят
только от взаимного расположения точек системы и,
следовательно, остаются неизменными, когда система
меняет свое положение в пространстве, и что
в этом случае изменяются только первые
координаты.
Известная теория преобразования координат дает
прежде всего нижеследующие соотношения между
тремя первыми и тремя последними координатами:
а; = аж' -f ^у' -f yz'.,
у = а'х' + PV' + y'z',
z = а"х' + PY + т'г'.
Девять коэффициентов а, Р, у, а', • . • зависят
только от взаимного расположения осей обеих
систем координат и должны быть таковы, чтобы
координаты X, у, Z относились к тем же самым точкам,
к которым относятся и координаты х', у', z', и,
следовательно, чтобы выражения
х^ -{■ у^-\- z^ и х'^ -f г/'2 -1- z'2
были тождественны; отсюда получается шесть
условных уравнений
ota + a'^-fa'^^l, ар-f а'р'-f аТ = О,
р2 4.р'2 + р''2 = 1, ay-faY+«Y=0,
у2 + у'2 + у*^ = 1, ру + PY + PY = 0.
Таким образом из числа 9 величин а, Р, у, а', . . .
три величины остаются неопределенными.
В том случае, когда оси х', г/', z' совпадают с
осями X, у, Z, мы имеем
х = х', у^у', Z = 2'
в ж. Лагравж, т. I

82
и, следовательно,
а = 1,
а' = 0,
а" = 0,
СТАТИК
C = 0,
р' = 1,
Г = о,
:а
т = о,
т' = о,
Т''=1.
Если приведенные выше формулы
продифференцировать и затем произвести соответствующие
подстановки, можно получить результат некоторого
бесконечно малого перемещения системы в пространстве
вокруг заданной точки.
Продифференцировав выражения х, у, z на основе
допущения, что х', у', z' — величины постоянные, и
подставив после дифференцирования вместо этих
величин X, у, Z, мы получим
rfa; = а; rfa + г/ rfp -f г dy,
dy = xdd •\-у d^' + z dy',
dz~x da." -f у d^" -f z dy".
Ho приведенные выше шесть условных уравне
ПИЙ, после дифференцирования и после подстановки
найденных только что значений а=1, р= О, у = О, . . . ,
дадут
doi =0, rfp -f da.' = О,
rfp' = 0, dy + da" = 0,
dy" = 0, dy' + rf,e" = 0,
откуда
da' = — rfp, da" = — dy, rfp" = — dy'.
Если эти значения подставить в выражения для
dx, dy, dz, мы получим следующие выражения:
dx = — yda' + zdy,
dy = xdx — zrfp",
dz = — xdy -f yd^",
которые совпадают с выражениями, приведенными
в пункте 8, если положить da' — d<p, dy = dco, rfp"—^ф.

ОБЩИЕ СВОЙСТВА РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ §3
Итак, приведенные формулы для изменений х, у, z
обладают всей той общностью, какая требуется по
условиям задачи, и три уравнения L = О, М = О,
Л' = О, получающиеся в результате исчезновения в
общей формуле равновесия членов, относящихся к ^ф,
d(x>, d<p, являются, таким образом, единственно
необходимыми для удержания системы в
равновесии около заданной точки, если отвлечься от всего
того, что связано с взаимным расположением точек.
Следовательно, если это взаимное расположение
точек остается неизменным, то равновесие
системы зависит только от приведенных выше трех
уравнений.
Даламбер в своих «Исследованиях о предварении
равноденствий» («Recherches sur la precession des
equinoxes») первый открыл законы равновесия
нескольких сил, приложенных к неизменяемой системе
точек. Он пришел к ним очень сложным путем,
пользуясь сложением и разложением сил. Позднее
эти законы были доказаны другими авторами более
простыми путями, однако наши формулы обладают
тем преимуществом, что они непосредственно
приводят к этим законам.
§ 1П. О сложении вращательных движений
вокруг различных осей и моментов
относительно этих осей.
11. Если в системе взять точку, координаты х
у, Z которой пропорциональны ^ф, rfco, rfcp, то
соответствующие дифференциалы dx^ dy, dz будут
равны нулю, как в этом можно убедиться с помощью
формул пункта 8. Эта точка, равно как и все точки,
обладающие этим свойством, останется неподвижной
в течение того мгновения, когда система опишет три
угла с^ф, rfcB, d(f, вращаясь одновременно вокруг осей
X, у, Z. Легко видеть, что все эти точки будут
лежать на прямой линии, проходящей через начало
6*

84
СТАТИКА
координат*), и составляющей с осями х, г/, z такие
углы X, [X, V, что
cos л =
COS [А =
cos V =
Vd-j-2
Vd^2
+ d@2+ d<p2 '
dm
+ dw2 + d<p2 •
d<p
Эта прямая будет мгновенной осью сложного
вращения.
Если воспользоваться углами X, [х, v, введя для
сокращения
dQ = Ydi>^ + da^+d<f,
то мы получим
cfф = d6cosX, d(x> = dQ cos {1, dcp = d6 cos v,
*) Сопоставляя эти выводы с теми, которые были
получены в предыдущем параграфе, мы видим, что любое
бесконечно малое движение твердого тела, имеющего одну
неподвижную точку, может быть рассматриваемо как вращение
вокруг оси. Эта прекрасная теорема обязана своим открытием
Эйлеру, который обосновал ее с помогцью очень простого
геометрического доказательства, Эйлер исследовал этот вопрос и
аналитическим путем. (См. Memoires de rAcademie de Berlin
за 1750 г.) Двадцать пять лет спустя он снова вернулся к этой
теореме в петербургских «Commentarii» за 1775 г, и, из-
ложиБ геометрическое доказательство, относящееся к случаю
конечных движений, признал, что аналитическое
доказательство требует столь пространных исчислений, что он вынужден
от него отказаться. Его мемуар заканчивается следующими
словами: «Конечно, никто не захотел бы взять на себя этой
удивительной работы . . . поэтому указанное замечательное
свойство может дать геометрам прекрасный случай
поупражнять свои силы, занявшись объяснением этого свойства» (стр.
207). В Journal de Liouville (ire g^^ _ ^ y, p. 406) Олинд
Родригес (Rodrigues), воспользовавшись чрезвычайно изящным
способом, дал то доказательство, которого желал Эйлер.
{Прим. Бертрана.)

ОБЩИЕ СВОЙСТВА РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ §5
И общие выражения dx^ dy, dz (п. 8) примут
следующий вид:
dx = (z cos [X — у cos v) rfO, dy = (x cos v — z cos X) rf6,
rfz = {y cosX— a; cos [x)rf6.
Так как квадрат малого участка пути, проходимого
любой точкой, равен dx^ -f dy'^ + dz^, он может быть
выражен через
[(z cos [X — г/ cos vJ -j- (a; cos v — z cos X)^ +
-f (г/ cos X — a; cos [x)^] rfO^ =
= [a;^ -\- y^ -\- z^ — {x cos X + г/ cos y. + z cos v)^] rfe^,
ибо COS^ X + COS^ [X + COS^ V = 1.
Ho легко доказать, что x cos X + у cos у. + z cos v = 0
является уравнением плоскости, проходящей через
начало координат и перпендикулярной к прямой
линии, составляющей с осями х, у, z углы X, [х, v;
следовательно, малый участок пути, описанный любой
точкой этой плоскости, равен dQ У х^ -\- у^ -\- z^, атак
как мгновенная ось вращения перпендикулярна к
той же плоскости, то отсюда следует, что dQ
является углом вращения вокруг этой оси, составленного
из трех частных вращений с^ф, rfw, rfcp вокруг трех
осей координат.
12. Отсюда следует, что любые мгновенные
вращения d<l/, dw, dtp вокруг трех осей, пересекающихся
в одной и той же точке под прямыми углами,
складываются в единое вращение dQ = y^d<\i^ -j- dw^ -j- dtp^
вокруг оси, проходящей через ту же точку
пересечения и образующую с упомянутыми осями углы
X, [А, V, величины которых определяются следующими
формулами: cosX = jq, cos|i.= ^, cosv = ^^.H,
обратно, отсюда следует, что любое заданное вращение
dQ вокруг оси может быть разложено на три частных
вращения, выражающихся через cosXrfO, cos[xrf6,
cosvrf6, вокруг трех осей, взаимно пересекающихся
под прямыми углами в некоторой точке данной оси и
образующих с этой осью углы X, [х, v. Это дает очень

yg СТАТИКА
простое средство для сложения и разложения
мгновенных движений или скоростей вращательных движений.
В самом деле, если взять три других взаимно
перпендикулярных оси, образующих с осью вращения ^ф
углы X', Х", X'", с осью вращения rfw углы [х', [х", [х'"
и с осью вращения d<f углы v', v", v'", то вращение ^ф
может быть разложено на три вращения cos Х'^ф,
cos Х"^ф, cos Х"'^ф, точно так же вращение rfw может
быть разложено на три вращения cos \х' d(x>, cos [x"rfw,
cos [x"'rfw, и вращение rf<p — натри вращения cosw'd(f,
cos у"^9, cos v"'rf(p, причем во всех случаях разложение
происходит по одним и тем же трем осям. Таким
образом, если сложить все вращения, происходящие вокруг
одной и той же оси, и обозначить через dQ\ dQ", dQ'"
полные вращения вокруг трех новых осей, то получится
dQ' = cos X' d<l/-\-cos у.' rfw-|-cosv' df,
dQ" = cos X" с^ф + cos [x" d(x, -\- cos v" df,
dQ'" = cos X" di + cos ■/" rfw + cos v'" df.
13. Итак, вращения ^ф, rfw, d(f) были указанным
выше путем сведены к трем вращениям dQ', dQ", dQ'"
вокруг трех других прямоугольных осей;
следовательно, эти последние при их сложении должны дать
то же вращение dQ, какое получается при сложении
вращений d<l/, dm, d<f. Таким образом мы имеем (п. 11)
dQ^ = de'2 + dQ"^ + dQ'"^ = г/ф2 + rfaJ + d<p^;
a так как последнее равенство должно представлять
собою тождество, то отсюда вытекает, что мы имеем
следующие соотношения:
cos^X' + cos2 X" + cos^X'" = 1,
COS^ [X' -f COS^ ll" + COSV'" = 1,
cos2 v' + cos=v" + cosb'" = 1,
COS X' COS [x' -f- COS X" COS IX," + cos X'" cos (i."'= 0,
COS X' COS v' -f cos X" COS v" -f- COS X'" COS v'" = 0,
COS [x' COS v' -f COS [x" COS v" -f COS [x'" COS v'" = 0,

ОБЩИЕ СВОЙСТВА РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ §7
К которым МОЖНО притти и геометрическим путем.
С помощью этих соотношений можно тотчас же
получить и значения ^ф, rfw, d<f, выраженные через
d%\ db". db'". Для этого следует значения d%', db",
dQ'" последовательно помножить на cosX', cosX",
cos X'"; cos[x', cos [x" и затем сложить. Тогда
получится
с^ф = cos X'dQ' + cos K"db" + cos X"'dQ"',
dec = cos [I'dQ' + cos yi"dQ" + cos ii"'dQ"',
df = rosv'rfG' + cosv"rfe" + cosv"'rfe"'.
14. Далее, если назвать w', w", w'" углы,
образуемые осью сложного движения dQ с осями трех
частных вращений dQ', dQ", dQ'", то аналогично пункту
11 получается
dQ' = cos w'rf6,
dQ" = cos w'We,
dQ'" = co^"'dQ,
и если в приведенных выше (п. 12) выражениях для
dQ', dQ", dQ'" вместо с^ф, rfw, rf<p подставить их
выражения через dQ, указанные в пункте 11, а именно
cosXrfO, cosyidQ, cosvrfO, то сравнение этих различных
выражений для dQ', dQ", dQ'" даст нам, по
разделении на dQ, следующие новые соотношения:
cos w' = cos X cos X' + cos [X cos [x' + cos V cos v',
cos w" = cos X cos X" -f cos [X cos [x" + COS V COS v",
cos u)"'= cosX COS X"'+cos [xcos [x"'+ COS V cos v'",
которые тоже могут быть выведены с помощью
геометрии.
15. Отсюда видно, что сложение и разложение
вращательных движений совершенно аналогично
сложению и разложению прямолинейных движений.

88 СТАТИКА
в самом деле, если на трех осях вращения ^ф,
rfco, rf<p отложить от точки их пересечения три линии,
пропорциональные соответственно ^ф, rfco, dtp, и на
этих трех линиях построить прямоугольный
параллелепипед, то легко видеть, что диагональ этого
параллелепипеда будет осью сложного вращения dQ и
в то же время по своей длине она будет
пропорциональна этому вращению dQ. Отсюда, а также из того
обстоятельства, что вращения вокруг одной и той же
оси складываются или вычитаются друг из друга в
зависимости от того, происходят ли они в одном и
том же направлении, или же в противоположных
направлениях,— следует вообще сделать тот вывод,
что сложение и разложение вращательных движений
происходит совершенно таким же образом и согласно
тем же законам, что и сложение и разложение
прямолинейных движений: для этого следует лишь
вращательные движения заменить прямолинейными
движениями, направленными по осям вращения.
16. Далее, если в формуле пункта 9 Ld^-\-
-\- М da -j- N dtp, содержащей члены общего выражения
Р dp -\- Р' dp' -\- Р" dp" -j- . . . , соответствующие
вращениям (^ф, rfco, d<p, подставить вместо (^ф, doi, dtp
выражения, найденные в пункте 13, то она примет вид:
(L cos 1' + М cos fx' + TV cos v') dQ' +
+ (L cos 1" + M cos [a" + N cos v") dQ" +
+ {L cos X™ -f M cos [i"' -f N cos v"') dQ"'.
Следовательно, согласно пункту 7 коэффициенты
элементарных углов rfO', dQ", dQ'" будут выражать
суммы моментов относительно осей вращения dQ',
dQ", dQ'". Таким образом моменты, равные L, М, N
и относящиеся к трем прямоугольным осям, дадут
моменты
L cos X' + Л/ cos \х' ■\- N cos v',
L cos X" -f Л/ cos [x" + TV cos v",
L cos X'" + Л/ cos [х^Ч- Л^ cos v'"

ОБЩИЕ свойства РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ §9
относительно трех других прямоугольных
осей,образующих с первыми осями соответственно углы X',
[x,v;X,[x,v;X,[x,v.
Геометрическое доказательство этой теоремы
можно найти в VII томе Nova Acta Петербургской
Академии *).
17. Если допустить, что вращения ^ф, dw, d<p
пропорциональны L, М, N, и положить Н =
^УЬ^ -\- М^ -^ N^, то согласно пункту 11 мы имеем
L = ЯcosX, Л/ = Яс08[х, 7У = Ясо8>, и три
найденные нами выше момента сводятся, с помощью
соотношений пункта 14, к следующему простому виду:
Нсо8ы', Нсо8ы", /Tcosw'".
Но ы, ы", ы"—это углы, образуемые осями
вращений dQ', dQ", dQ'" с осью сложного вращения
de. Поэтому, если мы совместим ось вращения
dQ' с осью вращения dQ, мы получим, что ы = О,
а каждый из углов си" и w'" — прямой;
следовательно, момент относительно этой оси будет равен
просто Н, а два других момента относительно осей,
перпендикулярных к первой, будут равны нулю.
Отсюда следует, что моменты, равные L, М, N и
относящиеся к трем прямоугольным осям,
складываются в один момент Я, равный y^L^ -\- М^ -\-N^,
и относящийся к оси, которая составляет с
упомянутыми выше осями углы X, [х, v, для которых
L М N
cosX=„r, cos [X = W , cosv = = .
Таковы известные теоремы, касающиеся сложения
моментов; ясно, что это сложение происходит
согласно тем же правилам, что и сложение
прямолинейных движений. Его можно было бы вывести
*) Это доказательство принадлежит Эйлеру. (Прим.
Бертрана .)

90
СТАТИКА
непосредственно из сложения мгновенных вращений,
подставив моменты вместо вызываемых ими
вращений, подобно тому, как Вариньон подставил силы
вместо прямолинейных движений *).
§ IV. Свойства равновесия по отношению
к центру тяжести.
18. Если допустить, что в формулах пункта 9
все силы Р, Р', Р" действуют по параллельным
направлениям, то получается
а=а' = а"=..., р = C'=^ р" = . . . , у = у' = у" =....;
следовательно, если для краткости положить
Х = Рх + Р'х' + Р"х" + . . . ,
Y =Ру + Р'у' + Р"у" + . .. ,
Z = Pz + P'z' + P"z" + . . . ,
то величины L, Л/, Л'^ принимают следующий вид:
L = У cos у — Z cos р,
М = Z cos а — X cos у,
N = Xcos^ — Y cos а,
и уравнения равновесия сводятся к следующим:
L = О, М=0, 7V = О,
причем третье из них является здесь следствием
первых двух. Но так как мы имеем сверх того
(отдел II, пункт 7) уравнение
cos^ а -j- cos* р -f cos2 у = 1,
*) Эта аналогия недоиустима. Сила, действующая на
твердое тело, способное двигаться вокруг заданной оси, вызывает
вращение, пропорциональное ее моменту; по для двух
различных осей играют роль моменты инерции, поэтому нельзя
подставлять моменты вместо вызываемых ими вращений. (См.
по этому вопросу работу Пуансо, Memoires de I'lnstitut.
t. VII, p. 564.) {Прим. Бертрана.)

ОБЩИЕ СВОЙСТВА РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ 91
МЫ получаем возможность определить с помощью
этих уравнений углы а, р, у; мы находим
cos а =
cosp =
cosy =
V Х^
У Х^
у
+ У'
Z
i + Z"'
i+Z"'
Yx^ -\-Y^-\-z^
Итак, если дано положение тел по отношению к
трем осям, то яля того чтобы вращательное
движение системы было совершенно уничтожено,
необходимо, чтобы система по отношению к направлению
С1гл заняла такое положение, при котором это
направление образовало бы с упомянутыми осями углы а,
р, у, величина которых была определена выше.
19. Если бы величины Z, У, Z оказались
равными нулю, то углы а, Р, у остались бы
неопределенными и положение системы по отношению к
направлению сил могло бы быть совершенно произвольным;
<:>тсюда получается следующая теорема: Если сумма
произведений параллельных сил иа их расстояния от
трех взаимно перпендикулярных плоскостей равна нулю
по отношению к камсдой из этих плоскостей, то
действие этих сил, ст.ремящееся заставить систему
вращаться вокруг общей точки пересеченая упомянутых
плоскостей, уничтомсается.
Известно, что сила тяжести действует по
вертикали и что она пропорциональна массе.
Следовательно, если в системе весомых тел найти такую точку,
чтобы сумма масс, умноженных на их расстояния
от плоскости, проходящей через эту точку, была
равна нулю по отношению к трем взаимно
перпендикулярным плоскостям, то эта точка будет обладать
тем свойством, что сила тяжести не будет в
состоянии вызвать в системе какого-либо вращательного
движения вокруг этой точки. Эта точка, которая

92 СТАТИКА
называется центром тямсести, имеет очень широкое
применение во всей механике.
Для определения этой точки следует лишь найти
ее расстояния от трех заданных взаимно
перпендикулярных плоскостей. Но так как сумма
произведений масс на их расстояния от плоскости, проходящей
через центр тяжести, равна нулю, то сумма
произведений тех же масс на их расстояния от другой
плоскости, параллельной первой, необходимо будет равна
произведению суммы всех масс на расстояние центра
тяжести от той же плоскости; таким образом это
последнее расстояние можно получить, если сумму
произведений масс на соответствующие их расстояния
разделить на сумму этих масс; отсюда получаются
известные формулы для центров тяжести линий,
поверхностей и тел.
20. Есть, однако, одно менее известное свойство
центра тяжести, которое может оказаться полезным
в некоторых случаях, так как оно не связано с
чуждым проблеме рассмотрением плоскостей, и которое
может послужить для определения центра тяжести,
исходя непосредственно из взаимного расположения
тел. Вот в чем это свойство состоит.
Пусть А есть суицма произведений масс, взятых
по две и затем умноженных на квадрат их
взаимного расстояния, деленная на квадрат суммы этих
масс.
Пусть В — сумма произведений отдельных масс
на квадрат их расстояний от какой-либо заданной
точки, деленная на сумму этих масс.
Тогда У^В — А выразит расстояние центра
тяжести всех масс от заданной точки. Так как величина
Л не зависит от выбора этой точки, то, определив
значения В по отношению к трем различным точкам,
избранным по усмотрению в пределах системы или
же вне ее, мы получим расстояния центра тяжести от
этих трех точек и, следовательно, положение его
относительно этих точек. Если бы все тела лежали
в одной и той же плоскости, было бы достаточно

ОБЩИЕ свойства РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ 93
рассмотреть две точки, а если бы они лежали на
некоторой заданной прямой, то было бы достаточно
одной точки.
Если эти точки избрать в самих телах системы,
то положение ее центра тяжести будет задано
исключительно массами и их взаимными расстояниями.
В этом заключается главнейшее преимущество этого
способа определения центра тяжести.
Для доказательства сказанного я возвращаюсь к
выражениям X, У, Z пункта 18 и, введя еще три
произвольных величины /, g, h, составляю три
нижеследующих тождественных равенства, которые легко
проверить:
[Х_(/> + /" + Р"+•••)/]' =
= (/> + Р'+/'" + . •.)[^(а^-/)' +
■\-Р'{х' - if + Р" {х" - f)^ ^ . . .]-РР'{х —x'f —
— РР" {X - X"f - Р'Р" {Х' - Х")^ — ...,
[Y-{P + P'+P"+...)g]^ =
= {P + P'+P" + ...)[P{y-g)^ +
+ Р' {у' - g)^ + P"{y"-gY ■^...]-РР' {у~уУ -
- РР" {у - уУ - Р'Р" {у' -у")-...,
[Z—{P + P'+P"+ ...)/г]г =
= (/>+/"+/'"+...)P(z-A)^ +
+ Р' (z' - /iJ + Р" (z" ~h)^+ ...] ~РР' (z - z'J-
— РР" (z — z")^ — Р'Р" (z' — z")^ -...
Величины P, P', P", . .. представляют собою веса,
или пропорциональные им массы тел, а величины
X, у, Z, х', у', z', х", . .. являются прямоугольными
координатами 8ttix тел. Но мы видели (пункт 19),
что когда начало координат находится в центре
тяжести, то три величины X, Y, Z равны нулю.
Следовательно, если в приведенных выше трех уравне-

94 СТАТИКА
ниях положить X = о, у = о, Z = о, затем их
сложить и ввести для краткости обозначения:
{X
{X'
{X"-
-П' + {у
~ff + (y'-
-/)^ + (/-
/2 + ^,2 4- /г2 = г^
-g)^+{z -hf=(Of,
- gJ + (z' ~ h)^ ^ {i)^
-g)' + {z"^h)' = {2)^,
{X -x')^+{y -i/J + {z -2'J = @,1J^
[x - x"f + (// - уУ + B -2"j2 = @,2J,
(a;' _ xy + U/ - y'f + B' - zy = A,2J,
TO после разделения на (P -\- P' -\- P" -\- . . У,
получится
?■{■?' + ?" + ...
_ PP' @,\f + PP" @,2)" 4- P'P" A,2)'' -j- . . .
(P-bP' + P" + . . .f •
Если приведенные три величины /, g, h принять
в качестве заданных прямоугольных координат
избранной нами точки, то ясно, что г будет
расстоянием этой точки от центра тяжести, который согласно
допущению находится в начале координат; @), A),
B), . . . будут расстояниями весов Р, Р', Р",... от
той же точки и @,1), @,2), A,2), . . . будут
расстояниями между телами или весами Р и Р', Р и Р",
Р' и Р", . .. Таким образом приведенное только что
уравнение примет следующий вид: г^ = В — А, откуда
следует *) г = \/^В — А.
*) По поводу этой теоремы можно еще посмотреть мемуар
Лагранжа Sur une nouvelle propriete du centre de gravite,
напечатанный в т. V Oeuvres de Lagrange, стр. 535, главу III
«Статики» Пуансо, четвертую лекцию Vorlesungen iibec
Dynamik Якоби и, наконец, различные мемуары,
напечатанные в VI и VII томах Bulletin de la Societe mathematique de
France. (Прим. Дарбу.)

ОВиЩЕ СВОИСТВЛ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ 95
§ V. Свойства равновесия, относящиеся к максимуму
и минимуму.
21. Рассмотрим теперь максимумы и минимумы»
которые могут иметь место при равновесии; для этой
цели мы снова возьмем общую формулу
Pdp + Qdq+ Rdr+ ...=0
равновесия между силами Р, Q, R, . . . , которые
направлены по линиям р, д, г приводящим
к центрам этих сил (отд. II, п. 4).
Можно допустить*),что эти силы выражены таким
образом, что величина Pdp -\- Qdq + Rdr -j- • • • является
полным дифференциалом некоторой функции от р, д,
г, ■ ■ .; обозначим последнюю через П, так что мы
имеем
dU = Р dp + Q dg + R dr + . . .
Тогда для случая равновесия мы имеем уравнение
dH = О, которое показывает, что система должна
занимать такое положение, чтобы функция П была,
вообще говоря, максимумом или минимумом [^^]-
Я употребил выражение «вообще говоря», так
как известно, что равенство нулю дифференциала не
всегда указывает на наличие максимума или
минимума, как это хорошо известно из теории кривых.
Указанное выше допущение вообще имеет место,
когда силы Р, Q, R действительно направлены либо
к неподвижным внешним точкам, либо к телам самой
системы и при этом пропорциональны каким-либо
функциям расстояний; в природе наблюдается именно
этот случай.
Итак, при указанном допущении о характере сил
система будет в равновесии, когда функция П будет
*) Лагранж не хотел утверждать, что это всегда так
бывает. Он лишь предупреждает, что излагаемые ниже выводы
относятся к тому случаю, когда это имеет место, (Прим.
Бертрана.)

96
СТАТИКА
максимумом или минимумом; в этом заключается
принцип, предложенный Мопертюи (Maupertuis) под
названием закона покоя.
В системе тяжелых тел, находящейся в
равновесии, силы Р, Q, R,. . ., вызываемые тяжестью, как
известно, пропорциональны массам тел и, следова-
'гельно, постоянны, а линии р, д, г,. . . сходятся
в центре Земли. Поэтому в данном случае мы имеем
ll=Pp+Qq+Rr+...;
так как линии р, д, г, . . . можно признать
параллельными, то величина
П^
Р+ Q+R+...
выразит расстояние центра тяжести всей системы от
центра Земли; следовательно, это расстояние будет
минимумом или максимумом, когда система будет
находиться в равновесии. Так, например, оно является
минимумом в случае цепной линии и максимумом —
в случае большого числа шариков, поддерживающих
друг друга, когда они расположены в виде свода.
Этот принцип известен уже с давних пор.
22. Если теперь мы рассмотрим ту же систему
в движении и если через м', м", и"', . ... обозначим
скорости, а через т', т", т"', . . . соответствующие
массы различных тел, входящих в состав системы,
то принцип, столь хорошо известный под названием
принципа сохранения окавых сил, прямое и общее
доказательство которого будет нами представлено
в «Динамике»,— даст нам следующее уравнение:
/ге'м'г + тпГи"^ + т"'и"'^ -\ = const — 2П.
Так как в состоянии равновесия величина П
бывает минимумом или максимумом, то отсюда следует,
что величина т'и'^ -\- т"и"^ -f т"'и"'^ + • • •,
представляющая собою живую силу всей системы, будет
одновременно максимумом или минимумом. Отсюда

ОБЩИЕ СВОЙСТВА РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ 97
пол}гчается следующий второй принцип статиЕш;
КЗ всех поломсений, последовательно занимаемых
системой, то поломсение, при котором она обладает
наибольшей или. наименьшей мсивой силой, является
одновременно тем поломсением, в которое ее следовало
бы вначале поместить, чтобы 0Ш1 осталась в равновесии.
(См. Momoires de rAcademie des Sciences за 1748
II 1749 гг.*).
23. Мы видели, что функция П бывает минимумом
или .максимумом, когда положение системы таково,
что она находится в равновесии. Докажем теперь,
что когда эта функция является минимумом, то
и этом случае имеет место устойчивое равновесие
в том смысле, что если сначала система находилась
в состоянии равновесия, а затем была немного из
него выведена, то она сама собою стремится вернуться
к этому состоянию, совершая около пего бесконечно
малые колебания,— и что, наоборот, в том случае,
когда та же функция является максимумом, имеет
место неустойчивое равновесие, так что система,
оудучи однажды выведена из этого состояния, может
совершать колебания, которые не будут уже очень
малыми и которые .могут все более и более отклонять
систему от ее первоначального состояния [^*].
Для того чтобы доказать это положение в общем
виде, я принимаю во внимание то обстоятельство,
что каков бы ни был вид системы, ее положение,
т. о. положение различных тел, из которых она
составлена, всегда определяется с помощью
известного числа переменных, и что величина П будет
:!адаиной функцией этих же переменных. Предполо-
и;п.\г, что при положении равновесия упомянутые
переменные равны а, Ь, с, . . ., а при положении, очень
*) Этот принцип был выска.эан, без достаточного, однако,
обоснования, малоизвестным геометром де-Куртивроном (de
''oiiitJvron). В первом издании «Аналитической механики»
• 1аг1>аня^ упомянул его имя; во втором же ияданип он его не
назвал, ограничившись указанием даты мемуара. (Прим.
Бертрана.)
' и;. Лагранш, т. I

98 СТАТИКА
близком к положению равновесия, они равны а + х,
b -\- у, с -\- Z, . ■ •, где X, у, Z, . . . очень малые
величины. Если эти последние значения подставить
в функцию П и разложить ее в ряд по степеням
очень малых величин х, у, z, . . ., то функция П *)
получит следующий вид:
и=> А + Вх + Су + Dz^ -JrFx^+ Gxy +
+ Яг/2 ^Kxz + Lyz + Mz^ +■•■',
где величины А, В, С,,., заданы в виде функций
а, Ь, с, . . . Но в состояний равновесия dVL должно
равняться нулю, каким бы образом мы ни
изменяли положение системы; следовательно,
дифференциал П должен вообще равняться нулю, когда
X, у, Z, . . ■ равны нулю. Таким образом
Б = О, С = О, D = 0,...
Итак, для любого состояния, очень близкого
к состоянию равновесия, получается следующее
выражение для П:
U=^A + Fx^ + 'Gxy + Ну^ + Kxz + Lyz + Mz^ ■}-... ;
поскольку переменные х, у, z, . . ■ очень малы, в
приведенном выражении достаточно принимать во
внимание лишь вторые степени этих переменных.
24. Теперь ясно, что для того чтобы величина П
была минимумом в то время, когда х, у, z, ■ . ■ равны
нулю, необходимо, чтобы функция
Fx^ + Gxy + Ну^ -f Kxz + Lyz + Mz^+ ...,
которую я назову X, была неизменно
положительной, независимо от того, каковы значения
переменных X, у, Z, . . .
*) Лежен-Диригле (Lejeune-Dirichlet) упростил это дока-
.зательство и придал ему ббльшую строгость (См. Crelles,
Journal, т. 32 и Jonrnalde Liouville, 1''* зёг., т. ХП, стр. 474.}
{Прим. Бертрана.)

ОБЩИЕ СВОЙСТВА РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ 99
Но эта функция может быть приведена к
следующему виду:
x = fi^ + g-n^ + лс^ + ...,
если положить
^-^+^+ 2Г + ■■■'
1 = ^ + (^-4гJ7 + ---'
и л,г ^^ L^
4/ 4g
^ = 2+...,
Следовательно, для того чтобы упомянутая
функция была положительной, необходимо, чтобы
коэффициенты f,g,h,... были положительными; в то
же время ясно, что если эти коэффициенты
положительны, то X необходимо будет положительно, так
как величины 5, >), К, • ■ • вещественны, если таковы
же и переменные х, у, z, . . .
Если же, наоборот, величина П должна быть
максимумом в то время, как х, у, z, ■ ■ . равны нулю,
функция X должна быть постоянно отрицательной
iij следовательно, коэффициенты /, g, h,. . . должны
иметь отрицательные значения. И, наоборот, если эти
коэффициенты отрицательны, то отсюда следует, что
:шачение X необходимо будет отрицательным.
25. Итак, если принимать во внимание лишь
вторые степени очень малых величин х, у, z, мы
будем иметь
П = .4 + /5^ + gyf + Л^2_^ . ..
7*

100 СТАТИКА
И уравнение сохранения живых сил (п. 22) примет
следующий вид:
= const — 2А- 2/^2 __ 2^7J — 2/г^2 _ . _
Но в состоянии равновесия мы согласно
допущению имеем
х = 0, у ==0, z = 0, . . .,
я следовательно, также (п. 19)
5 = 0. 7) = о, ^ = 0....
Поэтому, если мы предположим, что выводим систему
из этого состояния, сообщив телам Л/', М", М"', . . .
очень малые скорости V', V", V"', . . . , то необходимо
должно быть и'= F', и" = F", u'" = V"',..., когда
5 = 0, t) = О, ^ = О, . . . Таким образом мы получим
M'V'^ + M"V"^ + M"'V"'^ Н = const — 2А;
ато уравнение послужит для определения
произвольной постоянной.
Итак, приведенное выше уравнение примет
следующий вид:
М'и'^ + М"и"^ + И'"и'" 2^ =
= J/T'2 + Л/'Т + J/"T"'2 -{
на основании которого легко сделать следующие
два заключения:
1) В том случае, когда П мини.чум, и,
следовательно, когда коэффициенты f,g, h, . . . все
положительны, величина
2/5^ + 2g^^ -Ь 2Л^2 -Ь . . . ,
имеющая всегда положительное значение,
необходимо должна быть меньше, или во всяком
случае не может быть больше заданной величины

ОБЩИЕ СВОЙСТВА РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ jQl
^>/'уг _[_ д/"К _[_ М"'У"'^ + . ■ ■ , которая сама по
себе очень мала; следовательно, если эту величину
назвать Т, то для каждой из переменных ^, т], С. . . .
будут существовать следующие пределы:
±f/4 ±1^2!.. +/2V ■■••
между которыми они необходимо будут заключаться.
Отсюда следует, что в данном случае система будет
в состоянии лишь очень мало отклоняться от своего
положения равновесия и сможет выполнять лишь
очень малые колебания с ограниченным размахом.
2) В том случае, когда II максимум, и,
следовательно,когда коэффициенты/, g, Л,... все отрицательны,
величина
имеющая всегда положительное значение, может
возрастать до бесконечности и, следовательно,
система может все больше отклоняться от своего поло-
/Ксния равновесия. По крайней мере приведенное
уравнение позволяет убедиться в том, что в данном
случае ничто не препятствует постоянному
увеличению переменных ^, т), ^, . . .; однако отсюда еще
ис следует, что они действительно должны
увеличиваться; это последнее положение мы докажем в
nieCTOM отделе «Динамики» [i^j.
Если бы все коэффициенты /. е, к, . . . оказались
равными нулю, то, как это нам известно из теории
максимумов и минимумов, для существования
максимума или минимума требуется, чтобы члены третьего
измерения были равны нулю, а члены четвертого'
измерения были все время положительными или
отрицательными [i*]. Пользуясь этим приемом и
можно судить об устойчивости равновесия,
которое имеет место при обращении в нуль членов
первого порядка, если одновременно с ними исчезают
п члены второго порядка.

102 СТАТИКА
26. Впрочем, изложенные выше свойства
максимумов и минимумов, проявляющиеся при равновесии
системы любых сил, являются только
непосредственным следствием доказательства, данного нами в конце
первого отдела для принципа виртуальных скоростей.
В самом деле, пусть р — расстояние между двумя
первыми полиспастами, из которых один неподвижен,
а другой может перемещаться; они соединяются друг
с другом с помощью Р витков веревки, создающих
силу, пропорциональную Р, которую можно выразить
просто через Р, если груз, действующий на веревку,
принять за едяницу; пусть, далее, q — расстояние
между двумя полиспастами, создающими силу Q,
г — расстояние между полиспастами, создающими
силу R,. . . Ясно, что Рр будет длиной участка
веревки, охватывающего оба первых полиспаста;
аналогично Qg, Rr, ... представят собою
соответствующие длины частей веревки, охватывающих
другие полиспасты, так что общая длина веревки,
охватывающей все неподвижные и подвижные
полиспасты, составит Рр -^Qq -^ Rr -j- • • •
К этой длине прибавим еще и длину различных
частей веревки, которые находятся между
неподвижными поворотными блоками, необходимыми для
изменения направления веревки; эту длину мы
обозначим через а. Прибавим сюда еще ту часть
веревки, которая находится между последним
поворотным блоком и грузом, подвешенным на конце
веревки; ее мы обозначим через и; наконец, пусть
I — общая длина веревки, один конец которой
закреплен в некоторой неподвижной точке
пространства, а другой несет на себе груэ. Очевидно, что
мы имеем равенство
l = Pp + Qq + Rr+...+a + ii,
откуда следует
и = I —а — Pp — Qq — Rr—- ■ ■

ОБЩИЕ СВОЙСТВА РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ ЮЗ
Ио если предположить, что силы Р, Q, R, , . .
являются постоянными, т. е. независимыми от
р, q, г, . . . ,— а это всегда допустимо при равновесии,
где мы рассматриваем лишь бесконечно малые
перемещения,— то л'егко видеть*), что величинаРр-^ Qq-}-
-\- Rr 4- • • • будет той самой, которую мы выше, в
пункте 21, обозначили через П; таким образом мы
будем иметь вообще
и = I'—a — П,
где I и а — постоянные величины.
27. Теперь ясно, что так как груз стремится
опуститься как можно ниже, равновесие может
наступить вообще только тогда, когда значение м,
выражающее снижение груза, отсчитываемое от
неподвижного блока, будет максимумом, и,
следовательно, когда значение П будет минимумом; в то
же время ясно, что в данном случае равновесие
будет устойчивым, так как любое незначительное
изменение системы может вызвать лишь поднятие
груза, который, однако, будет стремиться снова
снизиться и вернуть систему в состояние равновесия.
Но мы видели, что для равновесия достаточно
наличия условия dll=0 и, следовательно, ^м=0.
Это условие имеется налицо и в том случае, когда
значение и представляет собою минимум, т. с. когда
*) Подобная замена переменных сил постоянными может,
наоборот, совершенно изменять природу функции П. Так,
например, если рассмотреть притяжение, обратно пропорцио-
нальное расстоянию и равное ■—, то мы будем иметь
\ ^ dp= \ ydp=ii\o^ р;
если же Р заменить постоянной величиной, то после
интегрирования мы будем иметь Рр, что сильно отличается от
полученного выше результата. Можно лишь утверждать, что при тех
значениях переменных, которые соответствуют состоянию
равновесия, обе функции, хотя и сильно между собою
различающиеся, имеют одинаковое изменение. (Прим. Бертрана.)

104
СТАТИКА
груз вместо того, чтобы занимать самое низкое
положение, занимает, наоборот, самое высокое. Легко
видеть, что в данном случае небольшое изменение и
положении системы сможет вызвать лишь снижение
груза, который после этого не будет стремиться вновь
подняться, а будет стремиться еще более спизптьср
и тем самым все более и более удалять системл- от
ее первоначального положения равновесия. Отсюда
следует, что это равновесие совершенно не о}дет
обладать устойчивостью: б}дучи однажды нарушено,
оно не будет стремиться к своему восстановлению.

^f^OT-^ ^^/Д<)Щ?0^5^5^
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ.
БОЛЕЕ ПРОСТОЙ И БОЛЕЕ ОБЩИЙ МЕТОД
ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛЫ РАВНОВЕСИЯ,
ДАННОЙ В ОТДЕЛЕ ВТОРОМ.
1. Писавшие до сих пор о принципе нпртуальных
скоростей больше занимались подтверждением
правильности этого принципа путем сопоставления
результатов, полученных при его помощи, с
результатами, полученными с помощью обычных положений
статики,нежели выявлением той пользы, какую можно
из него извлечь для непосредственного разрешения
задач этой науки. Мы поставим своей задачей
осуществить эту последнюю работу со всей той общностью,
какая ей доступна, и вывести из упомянутого
принципа аналитические формулы, которые содержат
разрешение всех проблем о равновесии тел,— почти
так же, как формулы для подкасательных, для
радиусов кривизны и т. д. содержат опрсделоппо
этих линий для всех кривых.
Метод, изложенный во втором отделе, может
быть применен во всех случаях и, как мы видели,
требует лишь выполнения чисто аналитических
операций; но так как непосредств(;нноо исключение
переменных или нх дифференциалов с помощью
условных уравнений может привести [л очень сложным
вычислениям, мы представим тот же метод в более
простом виде, сведя с помощью некоторого приема
все случаи к случаю совершенно свободной системы.

106 СТАТИКА
§ I. Метод множителей.
2. Пусть
L =. О, Л/ = О, 7V = О, . . .
различные условные уравнения, вытекающие из
природы системы, причем величины L, М, N, . . .
представляют собою конечные функции переменных
X, у, Z, х', у', z , . . . ; дифференцируя эти выражения,
мы получим
dL = 0, dM = 0, dN^O,...;
последние уравнения дают ту связь, которая должна
существовать между дифференциалами тех же
переменных. Вообще с помощью уравнений
dL = 0, dM = 0, dN = 0,...
мы будем выражать условные уравнения между
этими дифференциалами — независимо оттого, будут
ли эти уравнения сами по себе полными
дифференциалами или же нет— при условии, что дифференциалы
будут только линейными.
Но так как эти уравнения должны служить
лишь для исключения в общей формуле равновесия
равного количества дифференциалов, после чего
каждый из коэффициентов оставшихся дифференциалов
должен быть приравнен нулю, то нетрудно, пользуясь
теорией исключения линейных уравнений, доказать,
что тот же результат может быть получен, если
к упомянутой формуле просто прибавить различные
условные уравнения
dL = 0, dM = 0, dN = 0,...,
умножив каждое из них на неопределенный
коэффициент; если затем приравнять нулю сумму всех
членов, которые умножаются на один и тот же
дифференциал, то это даст нам столько частных
уравнений, сколько имеется дифференциалов; из этих

МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛЫ РАВНОВЕСИЯ Ю?
последних уравнений можно будет под конец
исключить неопределенные коэффициенты, на которые были
умножены условные уравнения.
3. Отсюда, таким образом, вытекает следующее
крайне простое правило определения условий
равновесия любой заданной системы.
Берут сумму моментов всех сил, которые должны
находиться в равновесии (отд. II, п. 5), и прибавляют
к ним различные дифференциалы функций, которые
согласно условиям задачи должны равняться нулю,
умножив предварительно кажДый из этих
дифференциалов на неопределенный коэффициент. Полученную
сумму приравнивают нулю и таким образом
получают дифференциальное уравнение, которое
рассматривают как обычное уравнение для максимумов
п минимумов и из которого затем получают столько
частных конечных уравнений, сколько имеется
переменных величин. Если затем эти уравнения путем
исключения освободить от неопределенных
коэффициентов, то они дадут все условия, необходимые для
равновесия.
Таким образом рассматриваемое дифференциальное
уравнение будет иметь следующий вид:
Pdp^Qdq^Rdr-Y . ..
-. . -f X rfL -f [i rfM -f V rfW + . . . = О,
где X, [i, V, . . . представляют собою неопределенные
величины; в дальнейшем мы будем его называть
общим уравнением равновесия.
Это уравнение даст для каждой координаты,
например для координаты х, любого из тел системы
уравнение следующего вида:

108 СТАТИКА
таким образом число этих уравнений будет равно-
числу эсех координат тел. Эти уравнения мы буделг
называть частными уравнениями равновесия.
4i Вся трудность заключается теперь в том, чтобы
из последних уравнений исключить неопределенные-
величины X, ц, v, , . . Правда, этой цели всегда
можно добиться с помощью известных приемов, но
представляется целесообразным в каждом отдельном
случае избрать те приемы, которые могут привести;
к наиболее простым результатам. Окончательные
уравнения будут содержать все условия,
необходимые для предложеняой задачи равновесия, а так
как число этих уравнений будет равно числу всех
координат тел системы за вычетом из него числа
неопределенных величин X, [х, v, . . . , которые
подлежали исключению, и так как сверх того число этих
неопределенных величин как раз равно числу
конечных условных уравнений L = О, 71/ = О, 7V=0, . . . ,-
то отсюда следует, что вышеупомянутые уравнения
совместно с этими последними дадут всегда такое
количество уравнений, которое будет равно числу
координат всех тел системы; следовательно, их
будет достаточно для определения этих координат и
для выяснения положения, какое должно занять
каждое тело, чтобы находиться в равновесии.
5. Замечу теперь, что члены XdL, \idM, ■ .
.общего уравнения равновесия можно тоже рассматривать
как величины, выражающие моменты различных сил,
приложенных к той же системе.
В самом деле, принимая во внимание, что db-
является дифференциальной функцией переменных,
х', у', z', х", у", . . . , служащих координатами
различных тел системы, можно считать, что она составлена
из отдельных частей, которые я обозначу через rfL',.
dL", . . . , так что
dL = dL' + dL" + . . . ,
где dL' содержит лишь члены, в которые входят-

МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛЫ РАВНОВЕСИЯ ЮЭ
dx', dy', dz'; dL" содержит лишь члены, в которые
входят dx", dy", dz", и т. д.
Таким образом член kdL общего уравнения
составлен из членов IdL', IdL", . . . Но если член XdL'
представить в следующем виде:
^ту<ш<т'-
dL
X
/(&'T+(f)"+(f)''
п принять во внимание сказанное в пункте 8 отд. И,
го станет ясно, что эта величина может выражать
мо.меит силы
^/(©■H-(lf)'+
(Г
приложенной к телу, координаты которого суть х ,
у', z', и направленной перпендикулярно к
поверхности, уравнение которой dL' = О, если только в
нем х', у', z' рассматривать как переменные
величины. Точно так же член XdL" может выразить
момент силы
приложенной к телу, имеющему своими
координатами х", у", z", и направленной перпендикулярно к
поверхности, уравнение которой dL" = О, если только
в последнем выражении х", у", z" рассматривать как
переменные величины, и так далее.
Следовательно, вообще член IdL будет
эквивалентен действию различных сил, выраженных с помощью
■у \дх"
2к\^ If ^^^^

110 СТАТИКА
И приложенных соответственно к телам, имеющим,
координаты х', у', z', х", у", z", . . . , причем эти силы
направлены перпендикулярно к различным
поверхностям, выраженным с помощью уравнения dL^O,
если в последнем принять в качестве переменных
сначала х', у\ z', затем ж", у", z" и т. д.
6. Вообще член X dL можно рассматривать как
момент некоторой силы *) X, стремящейся вызвать
изменение значения функции L, а так как dL =
= dL' -\- dL" -)-..., то член X dL выражает моменты
нескольких сил, равных X и стремящихся вызвать
изменение функции L, если принять во внимание
отдельно изменения различных координат х', у', z',
х", у", z", . . . . То же самое относится и к членам
[idM, V dN, . . . (отд. II, п. 9).
Так как в общем уравнении равновесия (п. 3)
предполагается, что силы Р, Q, R, . . . направлены
к центрам, в которых заканчиваются линии р, q,r, . • •
и таким образом стремятся укоротить эти линии, то
следует считать, что и силы X, ц, . . . стремятся
уменьшить значения функций L, М, . . .
7. Отсюда следует, что каждое условное
уравнение эквивалентно одной или нескольким силам,
приложенным к системе по заданным направлениям,
или вообще стремящимся вызвать изменение
значений заданных функций **); таким образом состояние
равновесия системы остается одним и тем же, будем
ли мы принимать в расчет эти силы, или же мы
будем рассматривать условные уравнения.
И, обратно, эти силы могут занять место
условных уравнений, вытекающих из природы заданной
*) См. по этому поводу примечание j; пункту 9 отд. П
(стр. 60). (Прим. Бертрана.)
**) Это важное положение обладает такой же общностью,
как и принцип виртуальных скоростей, а для применения оно-
зачастую бывает даже более удобным. Лагранж вывел его
путем анализа своей формулы равновесия, однако позднее Пуансо-
дал прямое доказательство этого положения, основанное на
элементарных принципах статики. (См. Journal de I'Ecole Poly-
technique, XIII pahier, т. VI.) (Прим. Бертрана.)

МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛЫ РАВНОВЕСИЯ [\1
системы; таким образом, применяя эти силы, можно
рассматривать тела как совершенно свободные и не
подчиненные каким бы то ни было связям. Отсюда
ясен метафизический смысл того, почему введение
в общее уравнение равновесия членов XdL -f iidM-\-...
приводит к возможности в последующем трактовать
это уравнение так, как будто бы все тела системы
были совершенно свободны; в этом и заключается
идея метода, излагаемого в настоящем отделе.
Собственно говоря, рассматриваемые силы
заменяют сопротивления, которые могут испытывать тела
вследствие взаимной их связи или же вследствие
наличия препятствий, которые в силу природы
системы могут противодействовать их движению; больше
того, эти силы представляют собою не что иное, как
самые силы этих сопротивлений, которые должны
быть равны и направлены прямо противоположно
силам давления, развиваемым телами. Как видим,
наш метод дает средство для определения этих сил
и сопротивлений; в этом заключается одно из
немаловажных преимуществ данного метода.
8. В тех случаях, когда силы Р, Q, R, . . . не
находятся в равновесии и их хотят заменить
эквивалентными силами, направления которых даны,
следует к сумме моментов сил Р, Q, R, . . . прибавить
моменты, вытекающие из условных уравнений jL = О,
Af = О, . . . , и тогда получится сумма моментов сил,
эквивалентных силам Р, Q, R, . . . и действию,
оказываемому телами друг на друга в силу условных
уравнений.
Если указанным образом использовать все
условные уравнения, получающиеся из природы
рассматриваемой системы, то можно координаты каждого тела
системы рассматривать как величины независимые;
для каждой из этих координат, например для
координаты X, получается величина следующего вида:
дх ^ дх дх '" дх '^ дх дх

j ] 2 СТАТИКА
которая выражает результирующую силу по
направлению линии х; в случае равновесия эта величина,
как мы видели в пункте 3 *), должна равняться нулю.
§ II. Применение того же метода к формуле
равновесия сплошных тел, все точки которых
находятся под действием каких-либо сил.
9. До сих пор мы рассматривали тела ь^ак точки
и видели, как определяются законы равновесия этих
точек, в каком бы числе последние ни были взяты
и какие бы силы на них ни действовали. Но так как
тело любого объема и любой формы представляет
собою не что иное,как совокупность бесчисленного
множества частей или материальных точек, то ясно, что
путем применения изложенных вынге принципов можно
определить и законы равновесия тел любой формы.
В самом деле, обычный прием разренгения
механических задач, касающихся тел с конечной массой,
заключается в том, что сначала рассматривают лишь
некоторое определенное количество точек,
расположенных друг от друга на конечных расстояниях,
и определяют законы их равновесия или их
движения; затем это исследование распространяют на
неопределенное количество точек; наконец, делают
допущение, что число точек становится бесконечно
большим и что одновременно расстояния между
точками становятся бесконечно малыми, и в формулах,
найденных для конечного числа точек, производят
преобразования и изменения, которых требует
переход от конечного к бесконечному.
Этот прием, как видим, аналогичен тем
геометрическим и аналитическим методам, которые пред-
*) Эта сумма, исчисленная по отношению н тем точкам,
в которых должна быть приложена одна из результирующих,
должна дать составляюнще этой результирующей. Для других
точек ее следует приравнять нулю. Надо отметить, что эта
задача может оказаться невозможной или неопределенной.
(Прим. Бертрана.)

МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛЫ РАВНОВЕСИЯ ИЗ
шествовали исчислению бесконечно малых; и если
это последнее исчисление имеет преимущество,
заключающееся в том, что оно в поразительной степени
облегчает и упрощает разрешение задач, касающих-
(я кривых, то оно обязано своим преилгуществом
только тому обстоятельству, что оно рассматривает
линии в том виде, как они существуют, не
испытывая потребности в том, чтобы сначала рассматривать их
как ломаные, а затем уже как кривые линии. Пример-
JFO такое же преимущество создастся у нас, когда мы
будем трактовать интересующие нас проблемы Д1еха-
1гпки, пользуясь прямыми путями, и будем
рассматривать тела конечной массы прямо как соединения
бесконечно большого числа точек или частиц, из
которых каждая находится под действием заданных
сил. Нет ничего легче, чем видоизменить и
упростить для подобного исследования тот общий метод,
который был нами изложен выше,
10. Необходи.мо, однако, отметить, что
применение этого метода к тела.м конечной массы, все
точки которых находятся под действием каких-либо
сил, естественным образом приводит к двум видам
дифференциалов,которые следует различать. Одни
дифференциалы относятся к различным точкам, из которых
образуется тело; другие совершенно не зависят от
взаимного положения этих точек; они выражают
только те бесконечно малые отрезки пространства,
которые каждая точка может пройти, если допустить,
что положение тела бесконечно мало изменяется.
До сих пор мы рассматривали только дифференциалы
последнего вида и обозначали их обычным
символом A, но так как теперь нам придется иметь дело
одновременно с двумя видами дифференциалов и,
следовательно, необходимо будет ввести еще один новый
символ, то представляется целесообразным старый
I лмвол применять для обозначения дифференциалов
первого вида, которые аналогичны дифференциалам,
рассматриваемым обычно в геометрии, а
дифференциалы второго вида, которые присущи исследуемому
^ ж'. Лаграни;, т. I

lu
СТАТИКА
нами предмету, ооозпачать символол! д,
применяемым в вариационном исчислении, с которым нынешнее
наше исчисление находится в тесной и
необходимой связи.
В силу изложенного соображения мы назовем
вариациями те дифференциалы, которые будут
обозначены символом S, и сохраним иазвапше дифференциалов
для тех величин, которые будут обозначаться с
помощью символа d. Впрочем, те же самые формулы,
какие дают обыкновенные дифференциалы, дадут и
вариации, если только вместо символа d поставить
символ S.
11. Отмечу еще, что данную массу мы не буде.м
рассматривать как собрание бесконечно большого
числа точек, расположенных рядом; следуя духу
исчисления бесконечно малых, представляется более
целесообразным рассматривать ее как составленную
из бесконечно малых элементов, обладающих теми же
измерениями, что и вся масса; таким образом, для
того чтобы получить силы, действующие на каждый
из этих элементов, следует помножить на эти
элементы силы Р, Q, R. . . . , которые согласно
предположению приложены к каждой точке этих элтементов
и которые мы будем рассматривать как силы
ускоряющие, аналогичные силам, подмечающимся
вследствие действия тяжести.
Итак, если мы назовем всю массу тела т, а массу
одного из его элементов dm, то мы по,чучим
выражения Pdm, Qdm Rdm, . . . для сил, действующих
иа элемент dm по направлению линий р, q, г, . . .
Умножив эти силы на соответствующие вариации
8р, 8д, 8г, . . . , мы получим их моменты, сумма
которых для каждого элемента dm выразится с помощью
фор.мулы
(P8p + Q8q^R?ir + ...)dm;
для того чтобы получить сумму моментов всех сил
системы, придется только проинтегрировать пту
формулу по всей заданной массе.

МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛЫ РАВНОВЕСИЯ JJ5
Эти полные интегралы, т. е. интегралы,
относящиеся к объему всей массы, мы будем обозначать с
помощью символа 8, сохраняя обычный символ \ для
обозначения частных или неопределенных интегралов.
12. Итан, для суммы моментов всех сил системы
мы имеем интегральную формулу
S {Р?^р + Q8q + mi- + . . .)dm;
п эта величина должна быть вообще равна нулю при
состоянии равновесия системы.
Так как в зависимости от природы системы между
различными вариациями So, 8д, Sr, . . . ,
относящимися н отдельным точкам массы, обязательно
существуют определенные заданные отношения, то
вариации следует свести к известному числу независимых
II неопределенных вариаций; р если затем члены,
содержащие в качестве множителей эти последние
вариации, приравнять нулю, то мы получим частные
уравнения равновесия. Но так как утот процесс
исключения может оказаться затруднительным, то
представляется целесообразным его избежать,
пользуясь методом множителей, изложенным нами в
предыдущем параграфе.
13. Для применения этого метода к
рассматриваемому нами случаю допустим, что
L = 0, Л/ = 0, ...
представляют собою условные уравнения, которые в
соответствии с природою задачи должны иметь место
но отношению к каждой точке массы. Эти
уравнения мы назовем неопределенными условными
уравнениями.
Величины L, Ы, . . . будут здесь представлять
собою функции конечных координат х, у, z,
соответствующих каждой точке заданной массы, а также пх
дифференциалов любого порядка.
8*

\\Q СТАТИКА
Если ЭТИ уравнения продифференцировать согласно
определению символа S, мы получим следующие
уравнения;
8L = 0, 8М = 0,...
Умножив величины SL, 8М, ... на неопределенные
величины л, [X, ... , возьл1ем полный интеграл,
который, следовательно, будет представлен формулой
S(XSL+[xSM + . ..);
прибавив этот интеграл к интегралу, выведенному
в предыдущем пункте, мы получим общее уравнение
равновесия.
Отметим, что нет необходимости в том, чтобы
8L, ЬМ, . . . были полными вариациями функций
X, у, Z, dx, dy, . . .; достаточно, чтобы SL=0, ЬМ=0,...
были неопределенными условными уравнениями
между вариациями х, у, г, dx, dy, . . . (пункт 2).
Следует, однако, иметь в виду, что помимо сил,
действующих вообще на все точки массы, могут
существовать и такие силы, которые Действуют лишь на
некоторые определенные точки этой массы; обычно
такими точками являются точки, находящиеся на
границах рассматриваемой масзы, т. е. точки,
соответствующие началу и концу интеграла, обозначенного
нами символом 8.
Точно так же для этих точек могут существовать
особые условные уравнения, которые мы назовем
определенными условными уравнениями. Для того
чтобы отличить их от тех уравнений, которые имеют
силу вообще для всего объема массы, мы их выразим
с помощью
А = 0, 5 = 0, 0 = 0, .. .
или, еще лучше, через
S.4 = 0, S5 = О, SC = О, . . . *).
*) Анализ Лагранжа представляется явно неполным; повп-
дпмому, знаменитый автор пмол и виду только такпе тела.

МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛЫ РАВН0ВЕСШ1 117
Далее, мы будем отмечать с помощью одного, двух,
трех II т. д. штрихов все величины, относящиеся к
определенным точкам массы и, в частности, с
помощью одного штриха мы будем отмечать те
величины, которые относятся к началу интеграла,
обозначенного через 8, с помощью двух штрихов — величины,
относящиеся к концу этого интеграла, с помощью
трех или большего числа штрихов — величины,
относящиеся к любым промежуточным точкам.
Таким образом к интегралу
ii(Pnp+ Q8q + R Sr-i- . . .) dm
следует прибавить величину
Р' Нр' + Q'8q' + Н'Пг' + ...
... + P"Sp" + Q"^" + R"?ir" +
а к интегралу
S(XSL + [х8Л/ + . ..)
величину
хЬЛ + <^ЬВ + у86' + . . .
В результате этого общее уравнение равновесия
получит следующий вид:
^{Pbp-\-Qbq-\-Rbr-\-.. .)tlm+^{\8L + yi8M+. . .)+
+ Р' 8р' + Q' 8д' + R' Sr' + ... + Р" Ьр" + Q" Ц" +
+ R"Sr" + \.x8A + ^8B + ySC + ...=0.
14. Так как функции L, М, . . . могут содержать
не только конечные переменные х, у, z, но еще и их
дифференциалы, то вариации SL, 8М, . . . дадут члены.
■элементы которых могут быть расположены в линейном поряд-
че. Так, например, в случае системы трех измерений могут
быть даны условия, относящиеся к каждому элементу
поверхности, о]раничивающей систему, или же любой иной поьерх-
иости, расположенной внутри системы; могут также
существовать другие условия, относящиеся Ко всем точкам некоторых
Л1гний, а не только к определенным изолированным точкам,
влятым на поверхности пли внутри тела. (Прим. Дарбу.)

\lg СТАТИКА
умноженные на 8а;, By, Bz, 8 dx, 8 dy, . . . , a
указанное только что уравнение, если в нехм подставить
з^начения 8р, 8q, 8г, . . . , SL, SM, . . . , выраженные
через Вх,8у, Sz, Sdx, Bdy, Bdz, . . . , a также
значения Пр', 8р", . . . , Bq', W, . . . , 8.4, 8fi, . . . ,
выраженные через 8a;', 8а;", . . . , By', by", . . . , bdx\ ....
выведенные из особых условий каждой задачи, —
всегда будут иметь вид, аналогичный тем уравнениям,
которые вариационное исчисление дает для
определения максимумов и минимумов неопределенных
интегралов. Следовательно, по отношению к ним останется
только применить известные правила этого
исчисления.
Итак, следует иметь в виду, что символы с? и 8
обозначают два различных, совершенно незайисимых
друг от друга, вида дифференциалов, поэтому в том
случае, когда эти символы встречаются вместе,
должно быть совершенно безразлично, в каком
порядке они стоят: ведь если мы допустим, что
какая-либо величина изменяется двумя различными
способами, то мы всегда получим один и тот же
результат, в каком бы порядке эти изменения ни
происходили. Таким образом bdx представляет собою то
же самое, что с? 8а;, и аналогично 8о!^а; — то же, что
е?^8а;, и так далее. Следовательно, мы можем
всегда по желанию изменить порядок этих символов,
не изменяя 3Hia4eHHH дифференциалов; для нашей
задачи представляется уместным ставить символ d
перед 8 с тем, чтобы данное уравнение содержало
только вариации координат и дифференциалы этих
вариаций.
То же самое следует сказать и об отношении
знаков интогрирования \ или 8 к символу
варьирования 8. ( «волы 8 \ или 88 можно, следовательно,
всегда зам нить символами { 8 или 88.
В этом заключается первый основной принцип
вариационного исчисления._

МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛЫ РАВНОВЕСИЯ \\Q
15. Дифференциалы dSx, dby, d8z, d^Sx, . . . ,
находящиеся под знаком S, могут быть исключены
г полмощью операции, известной под названием инте-
I ])нрования по частям, так как вообще
;QrfSa; = QSa;—f 8х dQ.
[ Q f/2 8x = ad8x — f/Q Ы+ \Sx dm,
n так далее; при этом следует иметь в виду, что
величины, стоящие вне знака (.относятся, конечно,
к верхним пределам интеграла; для того чтобы эти
интегралы сделать полными, следует обязательно
г>ьтчесть те значения этих же величин, стоящих вне
знака интегрирования, которые соответствуют нижним
п])еделам интегрирования, что очевидно следует из
теории интегрирования.
Итак, если мы будем отмечат!. одним штрихом
величины, относящиеся к началу полных интегралов,
обозначенных через S, и двумя штрихами—величины,
относящиеся к концу этих интегралов, мы получим
сл(^дующие формулы преобразования:
S Q(/ 8а; = ft" 8х" — Q' Sa;' — SSa; c/Q,
SQdnx=Q."d8x"—di:i" 8x"—Q'd8x' + dQ' 8x'+^8xd4l,
которые послужат для того, чтобы освободиться от
всех дифференциалов вариаций, которые могут
находиться под знаком S. Это преобразование составляет
второй основной принцип вариационного исчисления.
16. Итак, указанным путем общее уравнение
равновесия будет приведено к следующему виду:
S (S Sa; + S 8г/ -f Т Щ+ Л = О,
где S, S, Т являются функциями от х, у, z и их
дифференциалов, а Л содержит члены, в состав
которых входят вариации 8х', 8у', 8z'; Sx", Sy", . ■ .
II их дифференциалы.

] 20 СТАТИКА
Для того чтобы это уравнение оставалось в силе
независимо от вариаций различных координат,
необходимо: 1) чтобы величины Е, S, Т были равны
нулю по всему объему, на который распространяется
интеграл S, т. е. в любой точке рассматриваемо!]
массы, и 2) чтобы каждый член всл.:чппы Л тоже
был равен нулю.
Неопределенные уравнения
S = О, S = О, Т = О,
вообще говоря, дадут условия, которые должны
существовать между переменными х, у, z, но для
этой цели следует исключить неопределенные
переменные >,,[!,..., которых будет столько же, сколько
будет неопределенных условных уравнений (п. 13)
L = О, М = О, . . .
Отмечу, однако, что число этих уравнений но
должно быть больше трех; так как они являются
неопределенными уравнениями между тремя
переменными X, у, Z и их дифференциалами, то ясно, что если
бы их было больше трех, то у нас было бы больше
уравнений, чем переменных величин; в таком
случае четвертое уравнение было бы необходилмым
следствием первых трех уравнений. Совершенно то же
можно сказать и о других избыточных уравнениях.
Итак, нам никогда пе придется исключать больше
чем три неопределенных величины X, \i, v, так что
мы всегда будем иметь возможность найти значения
этих неопределенных величин в функциях х, у, z.
Однако уравнения, которые будут исчезать благодаря
этим исключениям, будут замещаться самИлМи
условными уравнениями, и таким o6pa30iM мы всегда
получим возможность определить те значения х, у, г,
какие должны иметь место, когда вся система
находится в равновесии.
Правда, условные уравнения L = О, М = О, . .
могут содержать еще н другие переменные и, V, . ■

МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛЫ РАВНОВЕСИЯ 121
и их дифференциалы, которые должны быть
исключены с помощью других уравнений, например,
и = 0, V = 0, . . .;
с этими новыми условными уравнениями можно
будет поступить совершенно так же, как с
уравнениями, вытекающими из природы задачи. А именно,
нам следует лишь, взяв неопределенные
коэффициенты (Т. и, ... , к членам
/,8L + [JiSJ/-f . . . ,
находящимся под знаком интегрирования в общем
уравнении пункта 13, прибавить члены
(т Ш+ и 8F +
и после того, как мы уничтожим все дифференциалы
вариаций 8а;, 8г/, 8z, 8м, 8v, • • • , окончательное
уравнение пункта 13 будет содержать под знаком
интеграла члены,, в состав которых будут входить
вариации 8м, 8г>, ... и которые, следовательно,
должны будут порознь равняться нулю. Таким
образом мы получим столько новых з'равнений,
сколько у нас будет неопределенных величина, и, . . . ,
подлежащих исключению с их помощью. После этого
мы исключим новые переменные и, v, ■ ■ . с помощью
заданных уравнений Z7 = О, F = О, . . . Этот метод
бз^дет всегда полезен, когда в функциях L, М, . . .
будут находиться интегральные величины; в самом
деле, если вместо последних ввести новые
неопределенные величины,то этим путем можно добиться
исчезновения всех знаков интегрирования и тем сильно
облегчить расчет.
17. Что касается других уравнений, получающихся
из различных членов величины Л, находящейся вне
знака интеграла, то они будут представлять собою
частные уравнения, которые должны иметь силу по
отношению к определенным точкам массы и которые
будут сложить главным образом для определения

122 СТАТИКА
произвольных постоянных, могущих содержаться
в выражениях х, у, z, выведенных из предыдущих
уравнений. Для того чтобы использовать эти
уравнения, в них следует поставить найденные з^жо
значения \, \l, . . . , затем исключить неопределенные
величины а, ,3, . . . и присоединить к ним з^словные
уравнения Л = О, /? = О, . . . , которые послужат для
замещения уравнений, исчезнувших в процессе
описанного выше исключения.
18. ^Тлены РЬр, Qbq, . . . , происходящие от
ускоряющих сил Р, Q, . . . , не требуют никакого
приведения, поскольку эти силы действуют по
линиям р, q, . . . , ибо величины р, q, . ■ . являются
только функциями конечных переменных х, у, z.
Иначе обстоит дело в том случае, когда пользуются
силами, действие которых сводится к тому, что они
застав.пяют изменяться заданную функцию (отд. II,
п. 9); в этом случае, если данная функция содержит
дифференциалы, следует для этих членов выполнить
те же приведения, что и для членов X8L . . . ;
при этом всегда получается окончательное
уравнение того же вида. Этот случай имеет место при
рассмотрении упругих тел как твердых, так и
жидких.
^ III. Аналогия между рассматриваемыми проблемами
и проблемами максимума и минимума.
19. Вариационное исчисление не только находит
одинаковое применение в проблемах равновесия
сплошных тел и в проблемах о максимумах и
минимумах интегральных выражений, но оно дает
возможность установить межд^- этими двумя видами
проблем замечательную аналогию, которую мы ниже
и изложим.
Мы начнем с того, что дадим общую формулу
для вариации любой дифференциальной функции
лгпогих переменных.

МЕТОЛ ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛЫ РАВНОВЕСИЯ 123
Известно, что в функциях нескольких
переменных и их дифференциалов порядка выше первого
всегда можно один из первых дифференциалов
принять за постоянную величину, что упрощает
функцию, ниско;1ько но уменьшая ее общности; но тогда
при дифференцировании в смысле символа 8 следует
рассматривать в качестве постоянной и ту
переменную, дифференциал KOTopoii был принят в качестве
постоянной; если же желают сообщить вариации
всем перемодным, следует восстановить изменчивость
дифференциала, который был принят за постоянную.
20. Пусть Ь'—функция от ^, ?/. jf , ^ . • • • .
где dx считается постоянно11 величиной. Если
положить, как в теории фз'нкц!!Й,
dx ■' ds '^ ' rf.r ./>•••>
ТО величина U станет функцией от х, у. х', у', . . . ,
и вариация Ш, если применить обозначение частных
дифференциалов, будет иметь следующий вид:
ьи == ^-- ьх + ^у 8г/ ^ ^^т ^1 + ^.-. ^у + • • •
Теперь, если варьировать все величины,
получится
^ , ^dy Ь dy dy S dx
^ dx dx dx dx
dx ■' dx dx 1 ./ >
¥' = "^f^ ~ У" ь. = '^^^^g^ + У" Ьх,
W"=^'^^^^^=P^-ry'-bx,
dx

j 24 СТАТИКА
Если эти величины подставить п для сокращения
письма положить
S// — у' ^х = 8к
и, следовательно,
8у = 8п + y'Sx,
то мы получим
+ ^y^ " + c*2/' 117 + o'j/" rf^2 +• • ■
Ho если мы продифференцируем величину С/ is смысле
символа d и подставим y'dx вместо dy и y"dx
вместо dy', мы будем иметь
откуда следует
дх ду •' ду' • ' * ' ' d:r '
И далее
rfj- о2/ / d^ "У "«■
Если величина U содержит еще друг^'ю перемсч!-
dz d^z
ную Z и ее производные -у- , -г-„, . . . , то, поло-
dx dx^
dz , dz' „
'^'^^ lix ~ " ' 'dx = 2 > • • • И постз'пая совершенно
так же, как и выше, мы получим следующие члены:
dV J . dV dbv , dV d4v ,
dz ^' ^ dz' dz ^ dz" d.r^ -^ • • • ,
где

МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛЫ РАВНОВЕСИЯ 125
эти члены -МЫ прибавим к приведенному выше зпа
чонию М/, и так далее.
21. Если интегральная функция ^ U dx должна
стать максимумом или минимумом, то согласно
правилам вариационного исчисления следует положить
5 Udx= \ 8(Udx)= \(8Udx+mdx} = 0.
Если сюда подставить значение Ш, заменить 8 dx
через d 8х и путем интегрирования по частям
избавиться от дифференциалов Ьх, 8м, Ьг>, то пол знаком
интеграла останутся только члены вида
(ЕЬх + У Ни + 4'8v)dx.
в которых
Н = dU — dU = О,
~ ^ dx dt/ '^ 'dF^ ду" ■ ■ ■ '
„. __ (Я/^ d_dU d^ dU
■~ dz dx дТ' ' dx'' д:" ' ' '
Эти члены должны равняться нулю, каковы бы
ни были вариации Ъх, Ьу, 8z; но если вместо Ьи
:i bv снова подставить их значения Ьу—у' Ьх, Ьг—z' Ьх,
то в силу равенства S = О рассматриваемые члены
примут следующий вид:
[Г Ьу + W bz—{Yy' + Т/) Щ dx,
отк-уда полз'чается только два уравнения
Г = 0, Т = 0;
третье же уравнение, зависящее от вариации Ьх,
содержится в этих двух уравнениях.
Отсюда мы видим, что можно избавиться от
необходимости сообщать вариацию и переменной х,

126 СТАТККЛ
дифференциал которой в фз'нкции И
предполагался постоянным, так как уравнения,
необходимые для разрешения заданной задачи, вытекают
уже из вариаций других переменных. Это
обстоятельство было уже отмечено при возникновении
вариационного исчисления и оно является необходимьш
следствием этого исчисления.
Но может оказаться полезным рассмотреть
одновременно все вариации по отношению к пределам
интеграла, так как из каждой вариации могут вытечь
особые условия для точек, соответствующих этим
пределам, — как это было показано нами в последней
лекции по исчислению фз'нкций.
22. Интегральная функция, максим^^м или
минимум которой определяется, может содерячать
и другие интегралы; какова бы, однако, она ни
была, ее всегда можно преобразовать таким образом,
чтобы она содержала только конечные переменные
и их дифференциалы и зависела только от одного пли
нескольких условных уравнений между теми же
переменными, которым всегда можно удовлетворить
с помощью метода множителей.
Предположим, например, что U является
функцией от X, у, Z и их дифференциалов и что в то,же
время переменная z зависит от условного
уравнения L=0. Продифференцировав это уравнение в смысле
символа 8, мы получим 8L=0. Теперь нам остается
только помножить это уравнение на неопределенный
коэффициент >., или для однородности — поскольку L
является конечной функцией—на hdx, прибавить
интегральное уравнение \ Х8£^а;=0 к уравнению
максимума или минимума 8 \ Udx = О и затем
рассматривать вариации Ьх, Ьу, bz как независимые. По'
если L рассматривать как функцию х, у, у', у", . . . ,
Z, Z', Z", .... то
bL = —Ьх + ^ by + ^ bz + ^-,Ьу +^bz +...

МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛЫ РАВНОВЕСИЯ
12:
Если подстановки, подобные приведенным выше, мы
сделаем для 8г/', Sz', 8г/'", . . . , то мы получим
ЬЬ =-j— Ьх
ас
ду dz ay' dx oz dx
члены, стоящие под знаком интеграла и н|)оис
текающие из уравнения
\{Wdx^\bLdx) = Q,
примут следз'ющий вид:
{'Е.Ъх + УЫ + '¥ЩAх,
где
'E = 'kdL,
^-[?
7i^
dL
dy' dy'
, d^ fdV dL
(/.,
d rdU , ^
~' d^ '^^d.
dy'
dL
dx,
''dV dL
d^'^^d7'
. I dx.
ITo из условного уравнения L ^ О следует dL=0.
что дает нам Е=0. Точно так же, если мы
приравняем нулю коэффициенты трех вариаций 8а;, 8//, 8z.
мы ползучим только два уравнения
Г = 0, Т = 0,
из которых одно послужит для исключения
неопределенной величины X; хдким образом для разрешения
данной задачи остается только одно уравнение
относительно X, у, Z, которое следует скомбинггровать
с заданным уравнением L = 0.
23. Так как для случая, когда дифференциал dx
считается постоянным
^-^
У dx^ '
dz
dx
Z =
d4
dx'-

128 СТАТИКА
мы видим, что достаточно в функциях и, L, . . .
варьировать переменные г/, z, ... и их дифференциалы;
тогда, применяя вместе с символом 8 обозначение
частных дифференциалов, мы будем иметь
by -^ ' bdy •' ' od^y ^ ' '
Ho если мы желаем одновременно принять во
внимание вариацию х, нам следует только прибавить к
выражению Ш член -j—8а; и вместо 8г/ поставить
л dy л 74 ^ dz ^
hu г^ 8а;, вместо bz поставить hz г-8а;, . . .
■^ dx dx
Указанным путелМ после соответствующих
преобразований мы получИлМ
8/ f/rfa; = / (Г 8г/ + Т 8z + . . .) dx +
-f Г' Ъу -f- Y"d 8.г/ + . . . -f W 8z + Т" rf Sz +
где положено
Г
т
Г"
т
— UL.
S dy
SU
Sd^y'
8U
~ Sz
-'1ту + ''
J SU
Sd^y
- ...,
, SU
6 dz
+ ■
4-rf2
SU
Sd^y • • •
" ' )
SU
Sd4 ^ ••
Sdz Sd^z ^
\j'ii _ SU
S d4

МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛЫ РАВНОВЕСИЯ 129
Для того чтобы учесть и вариацию х, следует
прибавить ВО всех членах— ~~Ъх к Ъу vi —~т~ ^^ к 8z.
24. Таков общий метод разрешения проблем
о максимумах и минимумах неопределенных
интегралов, для которых вариационное исчисление и было
сначала предназначено. Мы видим, что если даже
подвергнуть вариации все переменные, то мы все-
таки получаем число уравнений на единицу меньшее,
чем имеется переменных, но это соответствует
природе вещей, так как в данном случае задача
заключается не в том, чтобы определить индивидуальное
значение каждой из переменных величин, как в
обычных задачах на максимумы и минимумы, а в том,
чтобы найти неопределенные отношения между этими
переменными, благодаря которым образуется их
взаимная функциональная зависимость и они могут быть
выражены с помощью кривых простой или двоякой
кривизны.
25. Применим теперь тот же метод к задачам
механики, допустив для большей простоты, что
выражение
Pdp + Qdq + Rdr+ ...
интегрируемо и что, как и в пункте 21 отд. III, его
интеграл равен П. Тогда мы имеем такн№
Р 8р + Q Ц + R 8г + . . . = 8П,
и общее уравнение равновесия (п. 13) принимает
следующий вид:
8 (8П rfm + X 8L + [J. 8Ж + . ..) = О,
эсли в данном случае отвлечься от условных
уравнений, относящихся к определенным
точкам.
Так как масса dm каждой частицы системы не
должна изменяться в то время, когда изменяется поло-
" »;, Лагранж, т. I

130 СТАТИКА
жение системы, следует*) допустить, что Ь dm = О,
и, следовательно, что 8L = 8dm [i^].
Когда система линейна, мы имеем вообще
dm = и dx, где U — функция, аналогичная
указанной в пункте 20; таким образом мы будем иметь
8L = 8и dx+ U8 dx
и формула bxSL даст под знаком интеграла
следующие члены
C Sx + Г Sm + Т 8v) dx,
в которых (п. 22)
н
г
•F
^ dU
— X ~1—
ах
ах
dz
-i(^n,
'' л '^и-\ d^ f du
dx И ay''J "Г dx^\/"dy"
~ cuV"~dZ)^ Ji^y"!)^
26. Итак, если никаких других условий не
существует, то уравнение, получающееся от членов,
находящихся под знаком 8, имеет следующий вид:
bndm + {^Ьх + Т Ы + 'Vbv)dx = 0;
это уравнение должно выполняться отдельно для
каждой из вариаций Ьх, Ьу, Sz.
Но так как П является функцией от х, у, z, мы
*) Другими словами, первое условие относительно любой
точки системы заключается в том, что масса каждой частицы
остается при всех возможных перемещениях неизменной,
{Прим, Дарбу.)

МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛЫ РАВНОВЕСИЯ ^31
5, 5, dv is ^ ;х dz
8гг = 8г/ — У^^-^ bv^-^z-
f^-^ dm + Edz — Ydij — Ч^ dz)U +
а так как
ах ах
то предыдущее уравнение принимает следующий вид:
/-дП
^^ dm + Г dx^ 8ij -Ь (^ dm + Ydx^ 8z = 0.
Отсюда получаются три уравнения:
-р- dm -\- Edx — Т rfy — W dz = О,
-::— dm -\- Ydx = О,
ду
— dm-^'Vdx^-O.
dz '
Таким образом здесь мы имеем столько же
уравнений, сколько существует неизвестных; в этом
заключается различие между рассматриваемого рода
задачами из области механики и задачами на
максимумы и минимумы.
27. Далее я прежде всего считаю необходимым
отметить, что при исключении неопределенной
величины X приведенные три уравнения сводятся к двум,
и хотя вообще условные уравнения всегда замещают
собою уравнения, выпадающие вследствие
исключения неопределенных величин, однако введенное
здесь условие bdm = О, т. е. условие постоянства dm,
не MOHtCT нам дать особого уравнения для решения
задачи, так как согласно духу дифференциального
исчисления мы всегда можем какой-либо элемент считать
постоянным; ведь, собственно говоря, в данном
случае объектом исчисления являются взаимные
отношения между дифференциалами, а не сами по себе
отдельные дифференциалы. Таким образом эти три
уравнения сведутся к двум, и, как в задачах на
9*

132 СТАТИКА
максимумы и минимумы, они послужат только для
определения природы кривой.
28. Отмечу, далее, что рассматриваемые здесь
проблемы статики можно также свести к простым
проблемам о максимумах и минимумах.
В самом деле, если сложить все три найденных
выше уравнения, помножив предварительно первое
из них на dx, второе на dy, и третье на dz, то в
силу
-^— dx -\—г— dy + ^г— dz = dU,
МЫ получим уравнение
dndm + Erfx2 = 0.
Но мы имеем
Edx ^ Ыи — d-kU = ^ UdX,
и так как dm == Udx, то, разделив на dm, мы
получим dU — dx = 0, откуда следует
Х = П + а,
где а — произвольная постоянная.
Так как 8L = 8 dm, то член Х8 L в уравнении
пункта 25 примет следующий вид:
П 8 dm -(- а 8 dm,
а так как 8 П dm + П 8 dm = 8 (П dm), то это уравнение
напишется следующим образом:
S 8 (П о'те)-f а S 8 rfm = О,
т. о.
8Snrfm + а8 8 dm = 0;
это уравнение необходимо должно иметь место для

МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛЫ РАВНОВЕСИЯ 133
ТОГО, чтобы интегральное выражение Sllrfm стало
максимумом или минимумом среди всех тех значений,
при которых выражение S dm будет иметь одно и то же
значение.
Указанным путем можно, как и в вопросах о
максимумах и минимумах, одну из переменных
рассматривать как величину постоянную по отношению к
вариациям Ь, благодаря чему анализ упрощается. Однако
общий метод обладает тем преимуществом, что он
дает значение коэффициента X, выражающего *) согласно
теории, изложенной в предыдущем отделе, силу, с
какой элемент rfmпротивостоит действию сил P,Q,R, .. . ,
приложенных к системе.
29. Мы допустили для простоты, что имеется
только одно условное выражение; но если бы сверх
того существовало уравнение М = 0, где М —
функция X, у, Z, у , у", .. ., z', z", . .. , следовало бы под
знаком интеграла в уравнении равновесия к члену
X 8L прибавить еще выражение iihM или, точнее, для
однородности [ibMdx; вследствие этого к значениям
Е, Т, *F пункта 25 прибавились бы соответствующие
величины
AМ
дМ d^f дМ_\ , d^f дМГ\ _
дМ d_f дМ_\ d^f AM
Таким образом мы получим три уравнения того
же вида, что и в пункте 26, которые в результате
исключения X и [j. сведутся к одному; но если
к последнему присоединить условное уравнение
*) См. по этому поводу пункт 6 отд. IV и примечание к
пункту 9 отд. II (стр. 60). {Прим. Бертрана.)

134 СТАТИКА
:J/= О, то получается, как и раньше, два уравнения
для трех переменных х, у, z.
Эти три уравнения дают, как и в пункте 28,
З'равнение
(indm 4 Srfa;2^U.
Здесь мы имеем
Idx = — lJd\ + \i.dM\
но уравнение il/ = О дает dM = 0; таким образом,
как и в зпомяпутой выше статье, мы имеем просто
Srfa; = — Z7rfX;
отсюда мы получаем тот же резз'льтат
8 S П dm + а 8 dm = 0.
30. Таким образом проблема равновесия системы
частиц dm, находящихся под действием сил P,Q, R, .. . ,
направленных по линиям р, q, г, . . . и обладающих
тем свойствОлМ, что
Pdp^Qdp + Rdr + ...=dn
сводится просто к задаче обращения интегрального
выражения Sllrfm в максимум или минимум,
причем сверх того должны быть приняты во внимание
особые условия системы; как видим, благодаря этому
все проблемы равновесия попадают в группу проблем
о максимумах и минимумах, известную под названием
изопериметричес/шх проблем.
В случае цепи, если допустить, что ординаты у
направлены вертикально, мы имеем П = gy, где
g — постоянная силы тя?кести. Таким образом в
данном случае выражение S у dm должно быть
максимумом или минимумом среди всех тех, для которых

МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛЫ РАВНОВЕСИЯ j 35
значение Sdm остается неизменным; но J' "^ пред-
О dm
ставляет собою расстояние центра тяжести от
горизонтальной плоскости; следовательно, поскольку вся
масса по предположению дана, это расстояние
должно быть наибольшим или наименьшим, что,
впрочем, известно и без того.
31. До сих пор мы рассматривали только
функции переменных, которые мы считали
независимыми друг от друга; но если рассматривать z
как функцию X и у ш если существует функция U,
зависящая от х, у, z и от частных дифференциалов
Z по X и у, то может возникнуть вопрос об
определении вариации BU — с тем, чтобы принять в расчет
и одновременные вариации х, у, z.
Пусть для простоты
дН
dif-^"-
dz
ду
ох'
<Jx^ ду ' '
дх ду
o^z
дх ду'
Величина U будет тогда функцией х, у, z, z , z,,
i', z,', z,,, . . . , и мы будем иметь
^jj db' , dL- : dU ^ : ^U ^ , ,
дх ' ду ■^ dz ' dz
вся трудность сведется тогда к тому, чтобы найти
значения вариаций 8z', 8z,, 8z", если в частных
дифференциалах Подвергнуть одновременному
варьированию элементы dx и dy.
Для упрощения расчета мы можем допустить, что
вариация 8а; является функцией х, независимой от у,
а вариация 8г/ является функцией у, независимой

136 СТАТИКА
ОТ X. В дальнейшем мы увидим, что это допущение
обладает всей той общностью, какой только можно
пожелать*).
*) Здесь имеется одно положение, которое требует
некоторых пояснений. При переходе с одной поверхности на
другую, бесконечно близко к ней расположенную, можно
наверняка добиться такого соответствия, чтобы в каждой точке
первой поверхности 8х и 8у имели такие значения, какие нам
желательно. Таким образом, если речь идет об исследовании
проблемы максимума или минимума, здесь не возникает
никаких неудобств — даже для условий на границах,— в чем легко
убедиться, если принять, что 8х зависит только от х ш 8у
только от у. Однако дальше (отд. V, п. 44) Лагранж
применяет формулы пунктов 32—34, выведенные на основе
указанного допущения, к случаю, когда 8х и 8у выражают любое
виртуальное перемещение и, следовательно, являются
совершенно произвольными функциями X ш у. Поэтому
представляется небесполезным произвести вычисление, исходя из
предположения, что 8х и 8у являются произвольными.
Положив
8z — z'8x — z,8y = и, A)
мы имеем
du = d 8z — z,d 8x — z,d by — dz'8x — dz,8y. B)
Напишем уравнение в полных дифференциалах
dz = z'dx + z,dy
и продифференцируем ого в смысле 8. Тогда мы будем иметь
8 dz = z'8 dx + z,8 dy + 8z'dx + 8z,dy. C)
Сложим уравнения B) и C) и заметим, что порядок символов
d ш 8 можно изменить, благодаря чему исчезнут члены с d8.
Мы получим
du = 8z'dx + 8z,dy — dz'bx ~ dz,8y. D)
В этом уравнении dx и dy могут принять любые возможные
значения. Допустим сначала, что
■dy = 0;
TOI да мы имеем
ди ,
du= -7г-dx^ dz'-=^z"dx. dz,'^Z/dx'
дх ^ '

МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛЫ РАВНОВЕСИЯ 137
32. Исходя из этого допущения, мы путем
дифференцирования получаем
^ , ^ dz 8 dz dz 8 дх
дх дх дх дх
Ясно, что
Ь dz д 8z 8 дх д 8х ^
дх дх дх дх '
таким образом мы имеем
л , д 8z г д 8х д {8z — z' 8х) dz' ^
дх дх дх дх '
ИЛИ
_d{8z — z'8x—z,8y) Qz'^ dz, ^
дх дх дх "'
я, следовательно, уравнение D) даст нам следующую
формулу:
-£ = 8z' — z"8x ^- Z, Sy, E)
которая даст возможность определить 8z'. Точно так же,
положив dx = О, мы найдем
ди ,
~ду ^ ^^' — ^'^^ — ^"^У- F)
Здесь мы имеем перед собою первые две формулы Лагранжа.
Так как они применяются к произвольной функции, в них
можно поставить z' вместо z. Тогда значение и выразится
через
8z' —z"8x~z'8y.
и формулы E) и F) нам дадут
-^ {8z' — z" Ьх — z, 8у) = §2" — z"'8x ~- z,' 8у.
-к~ (8z' — z"8x — z, 8у) = 8z, — z, 8х — z» 8y,
Для упрощения предыдущих формул можно еще воспользо-

J38 СТАТИКА
Точно так же мы имеем
^(8,_.'8,г-:,82/) dz' <;; , dz' .
в силу ТОГО, ЧТО
ду " " (?з;
1!^ = О п ^ = 0.
ваться уравнениями E) и F); тогда мы получим
(92
(9,r2
2 = 8 "-2"'8з; —z/' St/,
(?з: йу
= 8s/-z/'8j—z,/8j/.
К этим соотношениям можно, очевидно, прибавить еще сл;--
дующее:
ду^ = ^2,, г,/ 8у — Z,,, Sy;
последнее дополнит группу уравнений, выведенных Лагран-
жем на основе принятого им особого допущения п с помощью
дифференцирований, которые представляются правильными,
но которые, быть может, были им недостаточно подробно
объяснены.
Утверждение Лагранжа «в дальнейшем мы увидим, что
ото допущение обладает всей той общностью, какой только
можно пожелать», относится, повидимому, к другой части
вычисления, изложенной в пункте 34 и касающейся вопроса о
вариации элемента поверхности dxdy. Действительно, в том
случае, когда 8х зависит только от одной переменной х, а
8у — от одной переменной у, вариация прямоугольника
вычисляется очень легко: в данном случае упомянутый
прямоугольник преобразуется в другой прямоугольник со
сторонами dx -^ 8 dx ш dy -\- 8 dy и, следовательно, его вариация
получается непосредственно и составляет
/^8 dx 8 dy\
dx 8 dy-j- dy 8 dx = dx dy [ —j— -j- -—,— ) .
Нечисление становится более слон-пым в том случае, когда
8х п 8у зависят одновременно от обеих переменных х ш у.
Но это вычисление произведено полностью для случая трех
переменных в пунктах 12, 13 и 14 отдела VH, к которым
Лагранж несомненно и собирался отослать читателя. {Прим.
Дарбу.)

МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛЫ РАВНОВКСИЯ -139
Дальше мы имеем
itc дх dx ()х
Подставив сюда значение 8z', получаем
d^Sz-z'bx-z,?;y) dV ^^,дЧ, .
bz = -^, + _ Ь^ + _- Ц;
ТОЧНО так же мы имеем
^ , » <?z' dbz' <)z' d^i/
OZ = h —-— = —^ -. -^ .
d7j dy dy dy
Если и здесь подС1'авить значение bz', то в силу
Эг. дг'
равенства -^- = -д— мы получим
_ >P(bz-z'lx-z,by) 04- dz,
дг, ^ ;—-, -\- -'—-- ох -\—г—-- дг/.
' dx dy ilx dy ax dy '^
Аналогично мы находим
d^(bz — zbx — z,by) d4' d^z,
bz„= -^-^ + -_ 8x +^ Ц
и так далее.
33. Итак, если мы положим для сокращения
письма
^ dz ^ dz ^ ^
dx dy ''
И примем во внимание, что
dz dz' dz' Oz. дН' dz" дЧ, _ dz"
~7ix' ^ ~dy' ' luf ~ "dx' ' ~dx^ ~ ~dx ' ~dxF ~ Ify '
аЧ' dz/ d% dz/ o^z' dz,,
дхду dx ' dxdy dy ' dt/- dx

140 СТАТИКА
то мы получим более простые выражения
^ , д8и , dz' ^ dz' ^
дЬи dz, dz,
. „ __ дЧи д^ ^ df_ .
дх^ ' дх ду •^'
д^Ьи dz, dz,
ду
^'"=^ + ^х-^^+1нГ^У'
Подставив эти выражения в 8Z7, введя при этом
вместо 8z выражение
8м + ^ S:c + ^ §2/
дх оу -^
и расположив члены по 8а;, Ьу, Ьи, мы получим
Ы1 — (— 4- — — -L — ^^' 4- ^'^ ^^' л-
\ дх dz дх ' dz' дх ' dz, дх
+ dz" dx ^ sz', дх < ■ ■ ■ I '^■^ >
dU dU^ dz_ , _dU_ dz' dU_ ^ ^
ду dz dy ~'~ dz, ду ' dz, ду
dU_ dz^ dU_ _^ ^ S I
+ dz" dy -^ az, dy ^ ■■ ■) ^y +
, d£_ ^ dU^ dSu dU dSu
"^ dz °" + dz' dx ^ ~d^ '~dy' +
j9I/ d4u dU d4u
^" dz" 1)^ "•" ~^ dxdy + • • •

МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛЫ РАВНОВЕСИЯ 141
fdU_\ Г^и
Обозначим через ( "л" )> ( ~j~ j частные
производные и по отношению к а; и у, найденные в
предположепии, что z—функция этих переменных.
Ясно, что тогда
дх ) дх ^ dz дх dz' dx ' dzj дх '^ ' ' ' '
/аи \ _ dV^ jrU^ dz_ dU^ _(Ы_ dU_ J^
\Jdy J ~ Oy ' <)z Ihj ^ f)z' dy ^ dz, Эу ^ ' ' '
Таким образом полная вариация U сведется к
следующему простому виду:
+ ~д^ дх "•" dz, ду "•" dz" "лГ^ '
du_ д^Ьи аи_ аЧи
' az, дх ду '^ az,, ду^ -Т ■ • ■
34. Если необходИлМо получить максимум или
минимум двоГшого интеграла HHUdxdy, должно
быть выполнено следующее условие:
b^^Udxdy = ^^b(Udxdy) = 0.
Но если произвести вариацию всех величии, то
b{Udxdy) = Wdxdy -f Ub (dxdy).
Здесь следует иметь в виду, что так как dxdy
представляет собою прямоугольник, являющийся
элементом плоскости ху, он сохраняет свою форму
прямоугольника и после варьирования координат х и у на
8х и 8у, если только остаться при принятом
допущении, что 8х совершенно пе зависит от у и Ьу от х.
Таким образом вариация dx dy даст просто dy 8dx -\-
'^ dxbdy; но так как
bdx = dbx--^ dx, bdy = dby =-т^ dy,

142
СТАТИКА
поскольку 8х и 8г/ рассматриваются соответственно
как функции X и у, мы имеем
HUdxdy)=(m + U^-^^+U'^^)dxdy.
Если подставить значения Ш и путем
интегрирования по частям освободиться от дифференциалов
вариаций 8х, 8г/, 8гг, то под двойным знаком j§J>^
останутся следующие члены:
(S8a;+ Y8y + '¥8u)dxdy,
в которых
\ ах у V, "^
О,
с)У \ f дУ
<Ь ) V <>v
о,
dv f'^^-"'\ f'^^''^ f<)'^u"
~r J , a,, I ~r
\dx dyj \ dy"^
при ЭТОМ для сокращения положено
JJ, _ dU jr _ dU
^^ - ih^' '^'-'di;'
^ - dz"' ^-~ rf,:' ^"- dz„ '•••'
и принято, что частные производные, заключенные
в скобки, выражают полные значения этих
производных — в предположении, что z при
дифференцировании рассматривается как функция х ш у.
35. Так как 8н = 8z — ^—8а; — 'л~ ^У> то
выражение под знаком двойного интеграла даст просто
следующее уравнение:

МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ Ч'ОРМУЛЫ РАВНОВЕСИЯ |43
откуда, если отдельно приравнять нулю коэффициенты
при вариациях 8z, 8а;, 8г/, получится только одно
уравнение W = О, как если бы мы варьировали
только одну переменную z.
Итак, мы видим, что в задачах на максимумы и
минимумы, касающихся двойных интегралов, в
которых одна из трех переменных является функцией
двух остальных, получается, строго говоря, только
одно уравнение, которое может быть получено
непосредственно, а именно путем варьирования по 8
только той переменной, которую мы признали
функцией двух других переменных *). Это уравнение
представляет собою уравнение поверхности,
удовлетворяющей данной задаче. Таким именно образом
II было найдено уравнение в частных
дифференциалах минимальной поверхности, причем было
положено и = ]/! + (z'J + (zJ2; из доказанного нами
выше следует, что это уравнение полностью
удовлетворяет условиям задачи, какие бы вариации мы ни
сообщали трем координатам поверхности.
36. Полученные нами выше формулы вариаций
могут быть применены к равновесию системы частиц
dm, расположенных на поверхности и находящихся
под действием любых сил.
Если принять во внимание только неизменяемость
dm, то как и в пункте 25, мы сначала получим
общее уравнение равновесия
^^(8IIdm + X8dm) = 0.
*) А priori ясно, что достаточно варьировать г; ведь,
каковы бы ни были две бесконечно близкие поверхности,
всегда можно перейти с одной на другую, давая z некоторое
приращение, которое находится в надлежащей зависимости
от двух других координат х ш у. Может оказаться более или
менее удобным допустить, что последние имеют в
соответствующих точках одинаковое значение, или же различные
значения, по ясно, что вполне допустимо делать как одно,
так и другое предположение. (Прим. Бертрана.)

144 СТАТИКА
Для значения dm мы будем здесь иметь выражение
вида и dxdy, поэтому (п. 34)
Zdm=^(bU + u'^ + u'-^)dxdy.
Если это выражение, а также выражение для 'bU,
приведенное в пункте 33, подставить в
интегральную формулу SSx8c?m и путем интегрирования по
частям освободиться от дифференциалов вариаций
Ъх, Ьу, Ъи, то под двойным знаком интеграла
останутся лишь следующие члены:
где
{'Rbx + Y^ + 'VU)dxdy,
dz \ дх У \ ду У ^
д^и" \ I дЮ'\ (дЮ.,
/ 9Ю', \
\дхду I
дх^ I \ дх ду j \ ду-
ДЛЯ U', U', U", и\,.. . здесь сохранены
значения, указанные в пункте 34.
Если к этому выражению прибавить еще члены,
получающиеся от интеграла 888Пс?те путем
подстановки значений 8П и dm, т. е.
и вместо 8м подставить его значение 8z—'я~^^—'7Г ^У
(п. 33),—то общее уравнение равновесия под знаком
двойного интеграла будет содержать следующее

МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛЫ РАВНОВЕСИЯ ;[45
лены, расположенные по вариациям 8а;, 8г/, Sz:
гсюда получаются следующие три уравнения;
I дх \ дх у]• дх '
^с? + т = о.
Последнее уравнение дает Т = —U -g—; если это
1ачение подставить в остальные два уравнения, то
осле разделения на U получается
дП дП_ dz f_^\ _о
дх ' dz дх \ дх J '
дП_ ^ _dz_ _ f_^\ _ о
ду '^ dz ду \ ду J ~ '
ервое из этих уравнений дает X = П -f функция у,
горое дает X = П + функция х; отсюда следует
X = П + а,
^е а — постоянная величина. Если эту величину
здставить в общее уравнение равновесия, то послед-
зе примет следующий вид:
Ш[Ь{ПAт) + аЬAт\ =0,
1И
8 SS П rfm + а8 SS dm = 0.
ж. Лагранж, т. I

146 СТАТИКА
Это — уравнение максимума или минимума
двойного интеграла SSllrfm среди всех тех значений его,
при которых значение величины HHdm остается
неизменным.
Таким образом данная проблема механики *)
сводится к простой задаче на максимумы и минимумы,
разрешение которой зависит только от вариации
одной переменной z, являющейся согласно
допущению функцией X и у (п. 35).
Эту теорию можно распространить и на формулы
тройных интегралов и отсюда получить аналогичные
выводы.
*) Лагранж не дает полного определения той
поверхностной системы частиц, к которой он применяет свой анализ.
Если бы речь шла о гибкой и нерастяжимой поверхности, то
остались бы неизменными не только элементы поверхности,
но и линейные элементы. Лагранж не принимает во внимание
неизменяемости линейных элементов, вследствие чего
полученные им J равнения не могут дать полного разрешения
данной задачи. Этот вопрос был в последнее время снова
рассмотрен Лекорню (Lecornn) в мемуаре Sur Tequilibre des
surfaces flexibles et inextensibles (Journal de I'Ecole Poly-
technique, XLVIII Cahier) и Бельтрами (Beltrami). См. мемуар
Sull'equilibrio delle superficie flessibili ed inestensibili (Me-
morie dell'Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna,
4-a s6rie, t. Ill), в котором Бельтрами разрешил этот вопрос,
пользуясь как раз принципом виртуальных скоростей. (Прим.
Дарбу.)

^Ш?е^
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ.
РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ.
Теперь мы покажем применение наших методов
на различных задачах о равновесии тел; по
единообразию и быстроте разрешения этих задач можно
будет судить о том, насколько эти методы
совершеннее тех, какими до сих пор пользовались в
статике.
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
О РАВНОВЕСИИ НЕСКОЛЬКИХ СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ
К одной И ТОП ЖЕ ТОЧКЕ, О СЛОЖЕНИИ
И РАЗЛОЖЕНИИ СИЛ.
1. Допустим, что требуется найти законы
равновесия любого количества сил Р, Q, R,. .. , которые
все приложены к одной и той же точке и
направлены к заданным точкам.
Назовем р, q, г,. .. прямолинейные расстояния
от общей точки приложения этих сил до
соответствующих точек, к которым эти силы направлены;
тогда для суммы моментов этих сил мы получим
выражение
Pdp + Qdq -\-Rdr -\- ...,
которое при состоянии равновесия должно равняться
нулю.
10*

148 СТАТИКА
Пусть X, у, Z — три прямоугольные координаты
точки, к которой приложены все силы; и пусть а,
Ь, с — прямоугольные координаты точки, к которой
направлена сила Р\ /, g, h — координаты точки,
к которой направлена сила Q; I, т, п — координаты
точки, к которой направлена сила R, и так далее
для других точек, — причем все эт1 координаты
отнесены к одним и тем же неподвижным в
пространстве осям. В таком случае мы, очевидно, имеем
р в У{х - af + (у - 6J + (Z - сJ,
q=Y{x-fY-\-{y-gf + {z-h)\
г = ]/(а; - If -f (у~ mf + (z - nf,
и величина Pdp-\-Qdq-\-Rdr-\-... преобразуется в
следующую:
Xdx + Ydy + Zdz,
где
р ^ а ^ ^ г ^^ ^ ■ • ■ '
р д
Y=y^^P+ iLzl<^+yz^^ + ...,
р д ^ г ' ■
Не бесполезно отметить, что в последних
выражениях величины ^~'" , ^~ , ^~'' равны косину-
р Р р ^ ^
сам углов, образуемых линией р, т. е. направлением
силы Р, с осйми X, у ш z; точно так же ^~' ^ У ~ S ^
z-h " '
представляют собою косинусы углов,
образуемых направлением силы Q с теми же осями, и так
далее (отд. II, п. 7).

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 149
§ I. О равновесии тела или точки, находящейся
под действием нескольких сил.
2. На основе сделанных выше предпосылок
допустим сначала, что тело, или точка, к которой
приложены силы Р, Q, R,..., совершенно свободна;
в таком случае между координатами х, у, z не
существует никакого условного уравнения, и величина
X dx -^Y dy -\- Z dz должна равняться нулю
независимо от значений dx, dy, dz (отд. II, п. 10). Отсюда
тотчас же получаются три частных уравнения
Z = 0, У = 0, Z = 0.
Эти уравнения содержат законы равновесия любого
количества сил, сходящихся в одной и той же точке.
3. Если в выражениях для X, У, Z положить
Р = р, Q = q, R = г,. .. , что вполне допустимо, так
как безразлично, к каким точкам по нашему
предположению силы направлены, если только эти точки
лежат на направлениях сил, то получаются
следующие уравнения:
X — а-\-X — /-fa; — / -f ... = О,
y — b + y — g + y~т+ ... = О,
Z — с -\- Z —k -f z — Ai -f ... = 0;
отсюда, если допустить, что вообще число сил
Р, Q, R, . . . равно (Л, следует
X
У
Z =
b + g + m+. . .
c + h + n + . . .
Эти выражения для х, у, z показывают, что точка.

150 СТАТИКА
к которой силы приложены, находится в центре
тяжести точек, к которым эти силы направлены.
Отсюда вытекает теорема Лейбница,
заключающаяся в следующем: если произвольное количество
сил находится в равновесии в какой-либо точке и
если из этой точки провести прямые линии,
представляющие как величину, так и направление
каждой силы, то эта точка является центром тяжести
всех тех точек, в которых эти линии
заканчиваются.
Таким образом, если имеются только четыре силы
и если представить себе пирамиду, четыре вершины
которой находятся в концах прямых линий,
изображающих силы, то между этими четырьмя силами
равновесие будет существовать только в том случае,
если точка, на которую они действуют, будет
центром тяжести пирамиды; в самом деле, из геометрии
известно, что центр тян^ести каждой пирамиды
совпадает с центром тяжести четырех равных по своей
массе тел, помещенных в четырех углах пирамиды.
Последняя теорема принадлежит Робервалю.
4. Предположим теперь, что тело или точка, на
которую действуют силы Р, Q, R не является
совершенно свободной, но вынуждена двигаться по
заданной поверхности или линии; в таком случае
будет существовать одно или два условных
уравнения между координатами х, у, z, которые будут
представлять собою не что иное, как самые
уравнения указанной поверхности или линии.
Пусть L = О является уравнением поверхности,
по которой тело может только скользить; прибавим
к сумме моментов сил X dx-\-Y dy-\-Z dz член 1 dL
(отд. IV, п. 3), и тогда получится общее уравнение
равновесия
Xdx + Y dy + Zdz+\dL = 0,
где X будет величиной неопределенной.

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ ^51
Но так как L является известной функцией х,
у, Z, то путем дифференцирования мы получим
Подставив это выражение в общее уравнение и
приравняв затем отдельно нулю суммы всех членов,
являющихся множителями при каждом из
дифференциалов dx, dy, dz, получим три следующих частных
уравнения равновесия:
Z-fxg-=0, r + xf = 0, Z-fx§=0,
из которых после исключения X получатся
следующие два уравнения:
дх ay ' дх dz ^
содержащие искомые условия равновесия тела,
вынужденного оставаться на заданной поверхности.
5. Если мы применим здесь теорию, изложенную
в пункте 5 отдела IV, то мы придем к выводу, что
поверхность должна оказывать телу сопротивление,
равное
и направленное перпендикулярно к поверхности,
имеющей своим уравнением dL = О, т. е.
перпендикулярно к той самой поверхности, на которой тело
вынуждено оставаться; а так как
то отсюда следует, что давление тела на поверхность
(давление, которое должно быть равно и направлено
прямо противоположно сопротивлению поверхности)
выражается через ]/^Х^ -f У^ -f 2^ и направлено пер-

\^2 СТАТИКА
пендикулярно к той же поверхности. К этому
условию только и сводятся два уравнения, найденные
выше для равновесия тела, в чем легко убедиться,
пользуясь методом сложения сил.
6. Впрочем, в случае единственного тела,
находящегося под действием заданных сил, условия
равновесия могут быть определены еще проще,
а именно, если непосредственно в уравнение
Xdx +Ydy + Zdz = 0
подставить вместо дифференциала dz его значение
дь дЬ
^dx + ^dy
dz
найденное из дифференциального уравнения
заданной поверхности, по которой тело может скользить,
и приравнять нулю коэффициенты дифференциалов
dx и dy, остающихся неопределенными; все это
следует из общего метода, изложенного в пункте 10
отдела II.
Таким образом мы сразу получаем два уравнения
О,
совпадающие с уравнениями, наиденными нами выше.
Аналогично, если тело подчинено тому условию,
что оно должно двигаться по заданной линии,
определяемой с помощью двух дифференциальных
уравнений dy = pdx, dz = qdx, то останется лишь
подставить эти значения dy ш dz в уравнение X dx -\-Y dy -\-
-\- Z dz = 0; после сокращения на dx мы получаем
уравнение
X + Yp + Zq = 0,
[которое и представляет собою уравнение равновесия.
дЬ
X-Z — =
ah
■5F
= 0,
У-
дЬ
7 ^У
dz

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 153
Однако во всех случаях, когда рассматривается
несколько тел, находящихся в равновесии,
изложенный в предыдущем отделе метод неопределенных
коэффициентов всегда имеет преимущество как
с точки зрения легкости, так и с точки зрения
простоты и однородности вычислений.
§ II. О сложении и разложении сил.
7. Тождество
Pdp + Qdq + Rdr + ...=Xdx-\-Y dy -\- Zdz,
установленное в пункте 1, показывает, что система
сил Р, Q, R, . . . , направленных по линиям р, q, г,. .. ,
эквивалентна системе трех сил X,Y, Z, направленных
по линиям X, у, Z (отд. II, п. 15). Таким образом
величины X, Y, Z дают значения сил Р, Q, R, . . . ,
разложенных по трем прямоугольным координатам
X, у, Z ш стремящихся укоротить эти координаты,
подобно силам Р, Q, R, .. . , которые согласно
допущению стремятся укоротить линии р, q, ?•,...
8. Вообще, если какие-либо силы Р, Q, R,, , . ,
направленные по линиям р, q, г,. ■ ., действуют на
одну и ту же точку, можно все эти силы всегда
свести к трем другим, направленным по линиям
?, ф, 9, при условии, что эти три линии не лежат
в одной и той же плоскости. Ввиду того, что трех
линий, расположенных в различных плоскостях,
достаточно для определения положения любой точки
в пространстве, длины линий р, q, г, . . . можно
всегда выразить в функции трех величин 5, ф, 9;
согласно теореме пункта 15 отдела II, силы
Р, Q, R, ■ . ■ будут тогда эквивалентны*) трем силам
S, *F, Ф, значения которых выражаются с помощью
*) Мы уже выше отметили, что эта теорема подлежит
ограничению. Это же замечание применимо и к выводам,
которые здесь делаются из этой теоремы. См. статью Пуансо
в конце настоящего тома. (Прим. Бертрана.)

СТАТИКА
нижеследующих формул:
и которые направлены по линиям 5, ф,9 или же
только по элементам d^, е?ф, йф, если некоторые из этих
линий являются кривыми.
Эти формулы оказываются весьма полезными во
многих случаях; особенно, если речь идет о
разыскании результата действия бесчисленного множества
сил на одну точку, как, например, притяжения точки
телом произвольного вида.
9. Пусть т — масса тела, каждый из элементов
которого dm рассматривается нами как центр силы Р,
которая пропорциональна rfm и некоторой функции /(/>)
расстояния р. Если положить \f{p)dp = F{p), то
, „ дР(р) ,
элемент dm даст в выражении а, член —g^ dm,
интеграл которого по всей массе т будет результатом
притяжения этой массы. Так как это интегрирование
является независимым от дифференцирования по ^,
то указанному интегралу mohjho дать и такой вид:
-k^-HF (p)dm, так что, положив
HF{p)dm^ S,
мы будем иметь
дальше придется только подставить в функцию F (р)
вместо р его значение, выраженное в функции
координат, определяющих положение в пространстве

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 155
каждой отдельной частицы dm, и координаты 5, ф, ф
притягиваемой точки, и затем отдельно произвести
интегрирование по отношению к первым и
дифференцирование по отношению ко вторым.
В том случае, который дает нам природа, мы
1 1
имеем / (/?) = —|-; следовательно, F (р) = , а зна-
VI о dm
чит, 2i= — )Э —.
Р
Пусть а, Ь, с — координаты любой частицы dm
тела; допустив, что плотность этой частицы
выражается некоторой функцией Г координат а, Ь, с, мы
будем иметь
dm = Vdadbdc;
следовательно,
Г da db dc
-s
p
Если X, у, z — координаты притягиваемой точки,
то (п. 1)
р = /(ж _аJ + {y-bf -f {z-cY ;
следовательно,
у, С[ Г da db dc
Г(а; -af + (y-b)^+ (z ^^ '
10. Наиболее простым является тот случай,
когда притягивающее тело представляет собою шар.
В этом случае, если мы положим Г = 1 и поместим
центр шара в начале координат х, у, z
притягиваемой точки, то мы получим
У т
У х^ + у^ + z^
здесь т — объем сферы, который, как известно, равен
tea"
—к- , где а — радиус шара и it—отношение окружности
к диаметру.

J 56 СТАТИКА
Если бы плотность г внутри шара была
переменной, то, рассматривая ее как функцию а, мы имели
бы m = 8 Г с? -^ .
MoHtHo определить значение S еще и в том случае,
когда притягивающее тело представляет собою
эллиптический сфероид, поверхность которого выражается
с помощью формулы
где А, В, С представляют собою полуоси трех
главных сечений и а, 6, с — прямоугольные координаты
точек поверхности, отложенные на осях и имеющие
своим началом общую точку пересечения осей,
являющуюся центром сфероида. Однако общее выражение
величины S зависит от довольно сложного интеграла,
с помощью которого невозможно получить S в виде
функции X, у, Z.
Но если допустить, что сфероид мало отличается
от сферы или же что расстояние притягиваемой точки
от центра сфероида очень гелико по сравнению с его
осями, можно общее значение S выразить с помощью
сходящегося ряда, свободного от всякого
интегрирования. Лаплас в своей «Теории притяжения
сфероидов» («Theorie des attractions des sphdroides») *)
дал очень красивую формулу, с помощью которой
можно последовательно составить все члены ряда;
эта формула в то же время показывает, что
значение —, где m — масса сфероида, зависит
исключительно от В^ — А^ и С^ — Л^, которые
представляют собою квадраты эксцентриситетов двух сечений,
проходящих через одну и ту же полуось А.
Я установил, что, основываясь на этом выводе,
а также пользуясь теоремой, данной мною в Memoi-
*) См. Mecanique celeste, t. И, Livre III, Chap. I et II.
(Прим. Eep.iipuHa.)

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ ^57
res de Berlin за 1792—1793 *), можно упомянутый ряд
получить сразу, а именно, разложив корень
1
Vx^ + у2 + z2 — 2by — 2rz + 62 + с2
по степеням 6 и с и сохранив только члены,
содержащие четные степени бис, преобразовать каждый
из них, например НЬ^"^с^", в
[1-3-5--- Bт —1)] [1-3-5--- Bп —1)]Я(Д' —Л2)"'(С2—Л^)"
5-7-9---Bт + 2га + 3) ™'
где m — объем сфероида, который равен -^-ABC.
Итак, для того чтобы сразу получить ряд,
расположенный по степеням у и z, возьмем
г = V^a;2 -)_ г/2 -I- z2
и затем сначала разложим корень (г^ — 2Ьу — 2cz-f
-f 6^ -f c^) ^ no степеням у ш z; если мы при этом
ограничимся только четными степенями, то мы
получим
г + Т _5_ +
(Г2 + 62 ^ С2) 2 (г2 + 62 + (S.) 2
5-7 6*у* + Шс^^г^+с*г*
+ -п 9 Г • • •
(л2 + 6^ + с2) 2
1
Затем разложим корень (г^ + Ь^ + с^) по
степеням 6^ и с^ и преобразуем эти степени в степени
В^ — А^ и С^—А^ с помощью приведенной выше
формулы. Если для упрощения положить
52 _ ^2 =, е2 С'2 _ ^2 = j2^
*) См. Oeuvres de Lagrange, t. V, p. 645.

158 CTATHIiA
где e и i — эксцентриситеты двух эллипсов,
образованных сечениями, проходящими через полуоси А,
В и А, С, то для S получится ряд следующего
вида:
-m(R + Ty^ + Vz^ + Ху* + Yy^z^ + Zz* + . . .),
в котором
Д = л _ fjtJLi 9 (g* + i*) + Sg't* ,
г 2-5г2 +■ 8.5.7Г" + • • • 1
Т
"^ "~ 2.5г5 4.7г' + • • •'
Мы довели здесь приближение только до четвертого
измерения е и г, но его легко вести как угодно
далеко.
Если бы сфероид был составлен из эллиптических
слоев различной плотности, то, изменяя в
выражении S величины А, В, С, а следовательно, также е
и i, мы получили бы SPrfS в качестве значения S
для этого сфероида.
После того как значение S, таким образом, вы-
ран^ено в функции прямоугольных координат х, у,
Z притягиваемой точки, мы непосредственно путем
5S 5S 5S
дифференцирования получаем силы -^ , -^ , ^ по осям
координат, выражающие полное притяжение
сфероида.
Если вместо координат ж, г/ и s взять радиус-
вектор г и два угла (л и v—такие, что
X = г cos (Л,
у = rsin (isin V,
z = г sin (Л cosv.

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 159
ТО С ПОМОЩЬЮ приведенных ниже трех частных
производных мы получим притяжение сфероида, во-
первых, по направлению радиуса г, соединяющего
притягиваемую точку с центром сфероида, во-вторых,
перпендикулярно к этому радиусу в плоскости,
проходящей через полуось А, и, в-третьих,
перпендикулярно к тому же радиусу в плоскости,
параллельной той, которая проходит через полуоси В и С.
Производные эти следующие: ^, 7 sjl' ТШГ^ лГ'
Эти формулы особенно полезны в теории фигуры Земли.
ГЛАВА ВТОРАЯ.
О РАВНОВЕСИИ НЕСКОЛЬКИХ СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ
К СИСТЕМЕ ТЕЛ, РАССМАТРИВАЕМЫХ В КАЧЕСТВЕ
ТОЧЕК И СВЯЗАННЫХ МЕЖДУ СОБОЮ НИТЯМИ
ИЛИ СТЕРЖНЯМИ.
И. Мы выше видели (п. 7), каким образом силы,
действующие на каждое отдельное тело, каковы бы
они ни были, всегда можно свести к трем силам X, У,
Z, направленным по трем прямоугольным
координатам X, у, Z самого тела и стремящимся укоротить
эти координаты.
Здесь, а также в дальнейшем, мы для простоты
допустим, что все внешние силы, действующие на
одну и ту же точку, сведены к трем силам X, У,
Z. Таким образом сумма моментов этих сил
выразится вообще с помощью следующей формулы:
X dx + Y dy -\-Z dz;
следовательно, общая сумма моментов всех сил
системы выразится с помощью суммы стольких
аналогичных выражений, сколько имеется движущихся
тел или точек; при этом мы будем отмечать одним,
двумя, тремя, . . . штрихами величины, относящиеся

IQQ СТАТИКА
К различным телам, которые мы будем называть
первым, вторым, третьим, . . .
Указанным путем мы получим для суммы
моментов сил, действующих на три или на большее число
тел, следующую величину:
X'dx' + Y'dy' + Z'dz' + X"dx" + Y"dy" +
-f Z^z" -f X"'dx"' + У'йг/'" -f Z"'dz"< + ...
Остается еще найти условные уравнения
L = 0, Л/=0, 7V = 0
вытекающие из природы задачи.
Если имеются L, М, N, . . ■ или же только их
дифференциалы в функции х', у', z', х", . . . , то,
взяв какие-либо неопределенные коэффициенты X,
II, V следует к приведенной выше величине
прибавить члены
XdL+i^dM + ^dN+ . . .
и затем отдельно приравнять нулю члены, в состав
которых входит каждый из дифференциалов dx',
dy', dz', dx", . . . (отд. IV, п. 5).
§ I. О равновесии трех или большего количества
тел, укрепленных на нерастяасимои нити или асе
на нити растяжимой и способной сокращаться.
12. Рассмотрим прежде всего три тела,
укрепленных неподвижно на нерастяжимой нити. Тогда
условия задачи заключаются в том, что расстояние
между первым телом и вторым, а также расстояние
между вторым телом и третьим остаются
неизменными, так как эти расстояния представляют собою
длины соответствующих частей нити, заключенных
между телами.

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ IQl
Назовем первое из этих расстояний / и второе g;
тогда мы в качестве условных уравнений имеем
df = 0, dg = 0;
следовательно,
dL = df, dM = dg,
и общее уравнение равновесия рассматриваемых трех
тел будет иметь следующий вид:
X'dx' + Y'dy' + Z'dz' + X"dx" + Y"dy" + Z'dz" +
+ X"'dx"' + y'dy'" + Z'"dz"' + \df + iidg = 0.
Ho легко видеть, что
/ = Viz" - x'f + (/ - y'Y + (z" - z'Y,
g = V(x"' - x")^ + {y- - y"Y + (z'" - z"Y.
Следовательно,путем дифференцирования мы получим
^t_(x"-x') (dx"-dx') + (v"-v') (dy"-dy') + (г"-г') (dz"-dz')
aj J - ,
^ ix"'-x")(dx"'-dx") + (y"'-y")(dy"'-dy'') + (z"'-z'')(dz"'-dz")-^
подставляя эти значения получим девять следующих
уравнений, которые и представляют собою условия
равновесия нити:
-It ^'
Х'-\ ^ / = О,
у"
z"
/
—
/
—
у'
z'
Y'-\' -" = О
Y"+\ У У -^У ^ = 0,
Z'—-k " 7 =0;
Z" + X ^-^ - (X -^-^ = 0;
Х'"-\.^- ^ = 0, У"Ч-(л^ ^ = 0,
Z'" + (X -^-^ - 0;
11 ж. Лаграиж, т. I

162 СТАТИКА
остается только исключить из этих уравнений две
неизвестные величины X и [J.. Это может быть
выполнено различными путями, которые в результате и
дадут для равновесия трех тел, укрепленных на
нити, различные, или же различно выраженные,
уравнения. Мы изберем тот метод, который
представится наиболее простым.
Мы видим, прежде всего, что если первые три
уравнения соответственно прибавить к следующим
трем, а затем к последним трем уравнениям, то
получатся следующие три уравнения, свободные от
неизвестных X и [j.:
X' + Х" + X'" = О,
У + У" + У" = о,
Z' + Z" + Z"' = 0.
Эти уравнения показывают, что суммы всех сил,
параллельных каждой из трех осей координат,
должны быть равны нулю; они представляют собою
случай общих уравнений, найденных в отделе III, § I.
Остается еще найти другие четыре уравнения;
для этой цели, отвлекшись от первых трех
уравнений, я прибавляю средние три уравнения
соответственно к трем последним и получаю
нижеследующие уравнения, в которые уже но входит у.:
X" i-x"' + х """ 7 ^'' = о,
Y" + У" + X
Z" + Z"' + X-
и которые по исключении X дают два следующих
уравнения:
Y" + Y"'-J^,-{X" + X"') = 0,
2"+ ^"' - ^^г (X" + Х"') = 0.
X"
у"
■—
/
1'
у'

у"'
х'"
z"
—
у"
■х"
z"
РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ lg3
Наконец, рассмотрев отдельно три последних
уравнения, содержащих только [j., и исключив эту
величину, мы получаем следующие два уравнения:
X'" = О,
X'" = 0.
X ■■ — X"
Приведенные семь уравнений*) содержат условия,
необходимые для равновесия трех тел; а если их
прибавить к уравнениям, выражающим условие, что
fag представляют собою определенные заданные
величины, то мы получим достаточное число
уравнений для определения положения в пространстве
каждого из тел.
13. Если бы нить, которую мы все еще
представляем себе нерастяжимой, была нагружена четырьмя
телами, которые находились бы под действием
соответствующих сил
X', У, Z'; X", Y", Z\ X'",... ,
направленных по трем осям прямоугольных
координат, то с помощью аналогичных приемов, которые
мне представляется излишним повторять, мы
получили бы девять следующих уравнений для равнове-
*) Нетрудно заметить, что эти семь уравнений являются
в известной мере очевидными а priori и что их можно было
бы написать, не прибегая к принципу виртуальных скоростей.
Но Лагранж не ставит себе целью трактовать каждый
отдельный вопрос наиболее простым путем; он желает лишь
показать, каким образом можно сделать ненужным
специальное рассмотрение каждого отдельного случая и свести
статику к простому механизму исчисления. Впрочем, Лагранж
никогда не утверждал и не собирался утверждать, что
именно таким путем следует подходить к изучению
механики. (Прим. Бертрана.)
11*

164 СТАТИКА
СИЯ этих четырех тел:
у 4- У" + Y"' + yiv = о,
Z' + Z" + Z'" + ZIV = О,
У" + У" + yiv— ^^~^', (Z" + Z"' + ZIV) = о,
2" + Z" + ZIV _ ^^-^^ (X" + X'" + ZIV) == о,
Г'"+yiv - y/,i;" (^"' + ^^v)=о,
Z'"+ZIV _ ^4;;^ (Z'" + ZIV) = о,
x^^—x'"
Теперь легко распространить указанное решение
на какое угодно число тел и даже на случай
цепной линии; однако этот последний случай мы
рассмотрим особо, пользуясь при этом методом,
изложенным в § II предыдущего отдела.
14. Можно было бы получить решение, более
простое в некоторых отношениях, если бы с самого
начала ввести в исчисление неизменяемость
расстояний /, g,. . .
Так, если ограничиться случаем трех тел и
назвать ф, ф' углы, образуемые линиями / и g- с
плоскостью X, у, и ф, ф' — углы, образуемые проекциями
этих линий на ту же плоскость с осью х, то мы
будем иметь
х" — ж' = / cos ф cos ф, х'" — х" = g cos <р' cos ф',
у' — г/' =ж /sinфCosф, у" — у" = §'sinф' созф',
z" — z' ■= f sin ф, z'" — z" '= g sin Ф'.

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ lg5
Подставив значения ж", г/", z", х"\ г/'", z'",
найденные из этих уравнений, в общую формулу
равновесия трех тел
X'dx' + Y'dy' + Z'dz' + X"dx" + У"йг/" + Z"dz" +
+ Z"'rfa;"' + Y"'dy'" + Z"'rfz"' = 0
и варьируя только величины х', у , z', «р, ф', ф, ф',
вариации которых остаются неопределенными, а также
приравняв отдельно нулю величины, умножающиеся
на каждую из этих вариаций, мы получим семь
уравнений
X' -^Х" + X'" = О,
¥' + ¥" + У" = О,
Z' + Z" + Z'" = о,
(Х" + X") sin ф - (У + У') cos ф = О,
Z"'sinф'-r"cosф' = 0,
(Х" + X") cos ф sin ф + (У" + i^'") sin ф sin ф—
— (Z" + Z"') cos ф = О,
Z" cos ф' sin ф' Ч-У" sin <р' sin ф' - Z'" cos ф' = О,
из которых первые пять прямо совпадают с теми
уравнениями, которые были найдены в пункте 12
путем исключения неопределенных величин X и р,
а последние два уравнения легко сводятся к
упомянутым выше, если с помощью четвертого и
пятого Уравнений исключить у" и у'".
Но если с помощью указанного приема мы
быстрее приходим к окончательным уравнениям, то
ЭТО- объясняется тем, что мы прибегаем к
предварительному преобразованию переменных, которое
включает условные уравнения; при
непосредственном же применении уравнений с неопределенными
коэффициентами, как в пункте 12, решение задачи

166 СТАТИКА
СВОДИТСЯ К чистой технике расчета. Сверх того, как
мы сейчас увидим, благодаря этим коэффициентам
мы в данном случае получаем значение сил,
которые должны испытывать стержни / и g- вследствие
сопротивления, оказываемого ими растяжению.
15. Если бы мы пожелали, чтобы первое тело
было закреплено неподвижно, тогда дифференциалы
rfa;', dy\ dz' были бы равны нулю и члены,
связанные с этими дифференциалами, сами собою исчезли бы
в общем уравнении равновесия. Тогда первые три
уравнения пункта 12, а именно:
™ff ™'
X' — -к- - =0,
Z' —л ^ ^ =0,
уже не имели бы места; вследствие этого и
уравнения
X' + X" + X'" = О,
Y' + 7" + Y" = О,
Z' + Z" + Z'" = о
отпали бы, но все остальные уравнения остались бы
без изменения. Как видим, это соответствует
случаю, когда нить неподвижно закреплена в одном из
своих концов.
Если бы нить была закреплена в обоих своих
Концах, тогда мы имели бы не только dx'^szQ,
dy ^0, dz'=0, но сверх того и dx" = 0, dy"' = 0,
dz"'= 0; члены, связанные с этими шестью
дифференциалами в общем уравнении равновесия,
исчезли бы, а следовательно, отпали бы и шесть
связанных с ними частных уравнений.

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ {Q"^
Вообще же, если бы оба конца нити не были
вполне свободны, но были бы прикреплены к двум
точкам, движущимся согласно определенному
заданному закону, то этот закон, вырансенный
аналитически, дал бы одно или несколько уравнений между
дифференциалами dx', dy', dz', относящимися к
первому телу, и дифференциалами dx"', dy'", dz'",
относящимися ко второму телу. Эти уравнения,
помноженные каждое соответственно на новый
неопределенный коэффициент, следовало бы прибавить
к найденному выше общему уравнению равновесия;
или же можно было бы подставить в это общее
уравнение значение одного или нескольких из этих
дифференциалов, полученных из упомянутых
уравнений, и затем приравнять нулю коэффициенты
каждого из оставшихся дифференциалов, как это
было сделано выше (п. 14). Так как здесь не
возникает никаких трудностей, то мы на этом больше
останавливаться не будем.
16. Для того чтобы определить силы,
получающиеся вследствие реакции нити на различные тела,
следует только воспользоваться методом, указанным
для этой цели в предыдущем отделе (п. 5).
Примем в соображение, что в настоящем случае
мы имеем
д£. ._д._(х"-зс') 0x"-dx')+(y"-y') (dv"~dy')+(z"-z') (dz"-dz')
^,, ^ (.х"'-х") (dx^-dx") + W-V") (dy"'-dy") + (г"'-г") (dz"'-dz")
dM—dg= —— ——■ ■ ,
Следовательно:
1) По отношению к первому телу, координаты
которого равны х', у', z', мы имеем
дЬ^ х" — х' дЬ _ у" — у' дЬ

168 СТАТИКА
поэтому
Таким образом первое тело благодаря действию
остальных приобретает силу, равную X, направление
которой перпендикулярно к
поверхности,представленной уравнением dL = d/ ^ О, в котором просто
варьируются х', у', z'; но легко видеть, что эта
поверхность представляет собою не что иное, как сферу,
радиус которой равен / и центр которой имеет
своими координатами х", у", z"; таким образом сила X
будет направлена по радиусу этой сферы, т. е. по
направлению нити, соединяющей первое и второе
тело.
2) То же самое мы имеем по отношению ко
второму телу, координаты которого равны af, у", z"
дЬ х" — х' дЬ у" — у' dL z" — z'
дх" i ' ду" f ' dz" j
поэтому
_ V(x'' - x'Y -b (y" - y')' -b {z" - zy .
i ^ '
отсюда следует, что и второе тело получит силу X,
направленную перпендикулярно к поверхности,
уравнение которой dL=^df ss О, если варьировать ж", у",
z"; эта поверхность опять-таки представляет собою
сферу, радиус которой равен /, но центр имеет
своими координатами х', у', z', т. е. координаты
первого тела; таким образом сила X, действующая на

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ {QQ
второе тело, будет тоже направлена по нити /,
соединяющей это тело с первым.
3) Далее, по отношению ко второму телу, мы
имеем еще
дМ __ х'"— х" дМ у'" — у" дМ _ _ z'" - z"
д7'~~ g ' ду"~ g ' dz"~ ~ g
следовательно.
КС
dx"J ■•" \^dy"J ■•" \W'J —^■
Таким образом второе тело будет испытывать еще
действие силы, равной [j., направление которой
будет перпендикулярно к * поверхности, выраженной
уравнением rfg- = О, в котором варьируются х", у",
z"; эта поверхность будет представлять собою не что
иное, как сферу, радиусом которой является g;
отсюда следует, что сила [j. будет направлена по этому
радиусу, т. е. по линии, соединяющей второе тело
с третьим.
Такие же рассуждения можно применить по
отношению к другим телам и притти к аналогичным
выводам.
17. Ясно, что сила X, вызванная в первом теле
по направлению нити, соединяющей это тело со
следующим, а также сила, равная X, но противоположно
направленная,— действующая на второе тело по
направлению той же нити, не могут быть не чем иным,
как силами, получившимися в результате реакции
нити на оба эти тела, т. е. натяжения, испытываемого
частью нити, содержащейся между первым телом и
вторым, так что коэффициент X выражает величину
этого натяжения. Точно так же коэффициент [i
выражает натяжение части нити, содержащейся между
вторым телом и третьим, и так далее.
Впрочем, при разрешении настоящей задачи мы
молча допускали, что каждая часть нити не только
нерастяжима, но и неспособна сокращаться, так что

170 СТАТИКА
она сохраняет повсюду одну и ту же длину;
следовательно, силы X, [J., . . . выражают натяжения
только тогда, когда они положительны и стремятся
сблизить тела; но если бы они оказались
отрицательными и стремились удалить тела друг от друга, то
они скорее выражали бы те сопротивления, которые
нить должна оказывать телам бпагодаря своей
жесткости или несжимаемости.
18. Для того чтобы подтвердить доказанное нами
выше и одновременно показать новое применение
нашего метода, предположим, что нить, на которой
укреплены тела, упруга по направлению своей
длины и способна удлиняться и укорачиваться, и
допустим, что F, G, . . . представляют собою силы
сокращения соответствующих частей /, g, .. . нити,
содержащихся между первым телом и вторым, между
вторым телом и третьим, и так далее.
На основании сказанного в пункте 9 *) отдела II
ясно, что силы F, G, . . . дадут моменты F df -\-
-\-Gdg-\....
Следовательно, эти моменты надлежит прибавить
к тем, которые получаются вследствие действия
внешних сил и выражаются, как мы видели выше
(п. И), следующей формулой:
X'dx' + Y'dy' + Z'dz' + X"dx" + Y"dy" +
+ Z"dz" + X"'dx"'+ Y"'dy"'+ Z"'dz"'-Jr. . . ,
после чего мы будем иметь общую сумму моментов
системы. Поскольку сверх того не имеется никаких
особых условий, которым должно быть подчинено
расположение тел, мы получим общее уравнение равно-
*) Для исчисления этих моментов было бы лучше отослать
читателя к пункту 4 отдела II; там можно найти
доказательство указанного здесь результата. Что же касается пункта 9,
то Мы уже отметили, что он предполагает применение
видоизмененной терминологии, которая связана с известными
неудобствами. (Прим. Бертрана.)

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 171
весия, приравняв просто рассматриваемую сумму
нулю; следовательно, мы будем иметь
X'dx' + Y'dy' + Z'dz' + X"dx" f Y"dy" + Z"dz" +
+ X"'dx"' + Y"'dy'" + Z"'dz"'+ . . . +
-\-Fdf ^Gdg^ ... = 0.
Подставив сюда найденные выше (п. 12) значения
rf/, rfg-, ... и приравняв нулю суммы членов,
связанных с каждым из дифференциалов dx', dy\ . .. , мы
получим следующие уравнения для равновесия нити
в рассматриваемом случае:
X' —F , =0, Z" + F^-^ —G^ ^=0,
.,11 .,' „" ,,' ,,'" ,,"
y'_fL^=0, y" + i?^-^—G^^=^-О,
^'-/г^—--^-=0, Z" + f?—^- —G^ ^=0,
' g
„'" ,,"
y«'^.G У- ^ = 0,
7'" 7'f
Z'" 4- G -^ = 0;
эти уравнения аналогичны тем, которые были
получены в п. 12 для случая нерастяжимой нити, если
положить X = Jf^, [J. = G, . . .
Отсюда ясно, что величины F, G, . . . , *),
выражающие в настоящем случае силы в нитях.
*) А priori ясно, что это должно быть так, и если Лагранж
не отмечает этого обстоятельства, то это объясняется
соображением, указанным выше (п. 12). В самом деле, понятно, что
если равновесие однажды установилось и нить приняла
известную длину, которая уже больше не изменяется, то
безразлично, была ли эта длина подчинена условию, что она
должна оставаться неизменной, или же нет. (Прим. Бертрана.)

172 СТАТИКА
предполагаемых упругими, являются теми же
величинами, которые мы нашли выше (п. 16) для сил
тех же нитей — в предположении, что они
нерастяжимы.
19. Вернемся еще к случаю нерастяжимой нити,
нагруженной тремя телами, но в то же время
предположим, что среднее тело может перемещаться вдоль
нити; в этом случае условие задачи будет
заключаться в том, что сумма расстояний между первым
телом и вторым и между вторым телом и третьим
остается неизменной; следовательно, если мы эти
расстояния попрежнему назовем / и g, то будем
иметь /4-ё'= const и, следовательно, df -\- dg ^0.
Умножим дифференциальную величину df -j- dg
на неопределенный коэффициент X и прибавим его
к сумме моментов различных сил, которые согласно
допущенлю действуют на тела; это даст нам
следующее общее уравнение равновесия:
X'dx' + Y'dy' + Z'dz' + ХЧх" + Y"dy" + Z"dz" +
+ X'"d3!" + Y"'dy"' + Z'-dT!" + X{df + dg) = 0,
откуда (подставив значения df и dg ш приравняв
нулю сумму членов, в состав которых входит один
и тот же дифференциал dx', dy', . . .), мы получим
следующие уравнения равновесия нити:
Х'-Х ~^ = О,
Х" + х(^-=^ —^ ^) = 0, Х'" + Х- - = 0,
Г+х(^-:^'-^') = 0, Г" + х^" = 0,
Z" + x('l^-^^) = 0, Z"' + x'^=0,

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 173
ИЗ которых придется лишь исключить неизвестную
величину X.
Отсюда ясно, как следует поступать в том
случае, когда имеется большее количество тел, из
которых одни закреплены неподвижно на нити, а другие
могут свободно перемещаться по ней.
§ П. О равновесии трех или большего числа тел,
укрепленных ва негибком и жестком стержне.
20. Предположим теперь, что три тела соединены
между собою с помощью негибкого стержня таким
образом, что они все время должны сохранять
неизменными свои взаимные расстояния; в этом случае
должны иметь место не только равенства df = 0 и
dg = О, но и дифференциал расстояния между первым
телом и третьим, которое мы обозначим через h,
тоже должен быть равен нулю; следовательно, если
взять три неопределенных коэффициента X, [j.,. v, то
получится следующее общее уравнение равновесия:
X'dx' + Y'dy' + Z'dz' + ХЧх" + УЧу" + Z"dz" +
+ X"'dx'" + y'dy"" + Z'"dz'" + Xdf + [^dg + -,dk=>0.
Значения df и dg были уже даны выше; что
касается значения dh, то ясно, что
h = Y{x"' - хУ + (у- - y'f + (z'" - zy
и, следовательно,
,, (ж"'-ж') (dx""- их') + (у'"- V') (<г!У"'-<г!У')+(г"'-г') 1,йг"'-йг')
^^ = А •
Произведя эти подстановки и приравняв нулю
суммы членов, в состав которых входит каждый из
дифференциалов dx', dy', . . . , мы получим следующие

j '74 СТАТИКА
девять частных уравнении:
Х' — Х ^—^ _ V ^^-^ = 0.
f h
7» 7' 7"' 7"
Z +fX—^— +V—^— =0,
у'"-у" , 2/'"-2/'
-W 7" 7'" 7'
+ f^ а Ь ^ h = ^'
ИЗ которых следует исключить три неизвестные
неопределенные величины X, [J., V, в результате чего
для условий равновесия останется только шесть
уравнений.
21. Прежде всего из самого вида этих уравнений
явствует, что если три первых уравнения сложить
соответственно со следующими тремя уравнениями
и затем с последними тремя, то мы тотчас же
получим нижеприведенные трц уравнения, свободные
от X, [J., V,
X' + X" + X'" = 0.,
У + У" + У" = о,
Z' + Z" + Z'" = 0.
Ничего нет легче, чем найти еще три других
уравнения путем исключения X, [j., v; однако для того,
чтобы этого достичь наиболее простым и наиболее

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 175
общим способом, Я ИЗ уравнений предыдущего
пункта сначала вывожу следующие девять
преобразованных уравнений:
Х'у' - Y'y' - X У'^"—/''У" _ V У'^"'-^'У"' = о,
X'z' — Z'x - X -"^ 7 - V ^ '-^ = О,
F'z' _ Z'/ — X ^JL^l. _ ^ "У ^ У" = О,
Х"у" ~ Y"x" + X У" /"У - (X -^ U— = О,
Л z — Z a; + X 3 Ц. = и,
/ g
7',/' „'7" 7"«"' «"'
У "z" - Z'y' + X ^ЛУЛ. _ ^ ^^ ^^^ = 0,
1j"r"' r"«"' u'r'" _r'«"'
Х-г/"" — y's;" + 11^^^ ^-^- + V ^ ^''^ = 0,
»ff V.W T-'V" ?'r'" T-'^'"
л z — z a; + [J. h V ^ = U,
7»»,,'" „"!-'" 7'l/" I/V"
У'/' _ z'-'i/'" + [1 -^^ ^-^ + V ^^ ~^^ - = 0.
Последние, как видим, аналогичны первоначальным
уравнениям и совершенно так же путем простого
сложения дают следующие три уравнения:
Х'у' - Y'x' + Х"у" - Ух" + Х'"у"' - У"'х"' - О,
X'z' - Z'x' + Z"z" — Z"a;" + Z""z"" - Z''x'" = 0,
X z — Z у -\-iz — /j у -\-Yz — Z у =U.
Три найденных выше уравнения показывают, что
сумма сил, параллельных каждой из трех осей
координат, должна равняться нулю, а три найденные
только что уравнения содержат в себе известный
закон моментов (если под моментом понимать
произведение силы на соответствующее ей плечо рычага),
согласно которому сумма моментов всех сил, под
влиянием которых тело стремится вращаться вокруг
каждой из трех осей, должна равняться нулю. Таким
образом приведенные шесть уравнений представляют

176 СТАТИКА
собою лишь частные случаи общих уравнений,
данных в отделе III, § I и II.
22. Если бы первое тело было неподвижно, то
дифференциалы dx', dy', dz были бы нулями и
первые из девяти уравнений пункта 20 отпали бы;
следовательно, в этом случае у нас осталось бы только
шесть уравнений, которые по исключении трех
неизвестных величин X, [J., V свелись бы к трем.
Для того чтобы получить эти три уравнения,
можно воспользоваться тем же приемом, какой был
применен для нахождения трех последних уравнений
в предыдущем пункте; для этого следует повести
дело таким образом, чтобы преобразованные
уравнения уже не содержали неопределенных величин
X и V, которые входят в первые три уравнения и
от которых мы теперь должны отвлечься; а этого
можно достигнуть с помощью следующих
преобразованных уравнений:
X"{y"-y')^Y''{x"-x')-
(у"- у') (х'"- х") - (х"- х') (у"'-у") _^
X"{z"-z')-Z"{x" — x')
_ ^ (z"- z') (х'"- х") - (X"- х') (z'"- z") _ Q^
Y"(z''-z')-Z"iy"-y')-
„ (z"- г') (у"'- у") - (у"- у') (z"'- z")
X'"{y'"-y')-Y'"(x'"-x') +
(у'"- у') (х"'-х") - (X'"- X') (у"'- у»)
X'" {Z" - Z') — Z" (X'"— X') +
(z'"- z') (x'"- x") - (X'"- x') (z"'-z") _ „
i- [1 - _ U,
V" (z"'— z') — Z'" iy'" — y') +
(z'"- z') (y'"- y") - (y'"- y') (z"'- z") _ Q.

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ J77
если мы теперь сложим соответственно три первых
уравнения с тремя последними, то тотчас же
получим нижеследующие три уравнения:
X''{y"-y')-Y"{x"-x')^-
^r'{y"'-y')-Y"'{x'"-x') = 0,
X''{z''-z')-Z"(x"—x') +
+ X"'(z"'-z')-Z"'{x'"-x')^0,
Y"(z"-z')-Z"{y"-y') +
+ Y'"(z"'-z')-Z'"(y"'-y')=0,
которые всегда будут иметь место независимо от
состояния первого тела, так как они не связаны с
уравнениями, относящимися к этому телу. Эти
уравнения, как видим, содержат тот же принцип
моментов, но только по отношению к осям, проходящим
через первое тело.
23. Предположим, что имеется, еще и четвертое
тело, укрепленное на таком же негибком стержне;
пусть его прямоугольные координаты будут ж'^, у^^,
z'^ и силы, параллельные этим координатам, Х^,
В таком случае к сумме моментов сил следует
прибавить величину
X^^dx^^ + yivrf2/iv 4- Zivrfziv.
. Далее, так как расстояния между всеми телами
должны оставаться неизменными, то по условиям
задачи мы имеем не только df = 0, dg = О, dk = О,
как это было в предыдущем случае, но и rfZ = О,
dm = 0, rfAi = О, если через Z, т, п назвать расстояния
четвертого тела от первых трех. Таким образом в
данном случае общее уравнение равновесия будет
таково:
X'dx' + Y'dy' + Z'dz' + X"dx'' + Y"dy'' + Z^z" +
+ X'"dx'" + Y^dy" + Z"'dz"' + Zivrfa;iV4_ yiv^^/iv 4,
+ ZiVrfziV4- Xrf/+ [idg+^dk + (,idl-{-pdm -{-adn = 0.
12 Ж. Лагранж, т. I

178 СТАТИКА
Значения df, dg, dk здесь те же, что и раньше;
что касается значений dl, dm, dn, то ясно, что
/ = /(a;iv_ x'f + (z/tv_ y'f + (ziv_ z')^ ,
n = /(a;iv_ x"')^^ (i/^v_ г/"'J_^ (ziv_ z"'J^
a следовательно,
(:»IV-x-')(d:»IV-d:»'-)+(«IV-«'')(d«IV-dv'-)+(^IV-^'-)(d^IV-d/0
^, (:»IV-x') (d:»IV-d:»0+(«IV-y') (dvIV-dv') + (tIV- г') (Дг^У-Дг')
d,==. ^
dm-
III
dn =
„ (x^'^-x"')(dx^^-dx"')+(v'^^-v"')(dv^'^-dv"')+(г^'^~г"')(dг^^-dг"').
n
Произведя эти подстановки и приравняв нулю суммы
всех членов, в состав которых входит каждый из
дифференциалов dx', dy', . . ., мы получим двенадцать
частных уравнений, из которых первые девять будут
тождественны с уравнениями пункта 20, если к их
первым членам соответственно прибавить следующие
величины:
^IV_x' y^^-v' z^^-z'
— @-2 ^_ —о
x^V
xIV.
I
m
x"
x'"
- p — p
■ a , — a
последние же три уравнения будут следующие:
xiv
XIV ^ (О-i ~ -i-p-i — -i-G:i ^ =0,
yiv + ы ^-—J'- -(- р^ У— -(- а ^ У— = О,
ziV_,' ,IV ,„ .IV .,„
Ziv Ц. (О ^-^- + р ~ + а ^ ~^ = 0.

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 179
24. Так как мы имеем здесь всего двенадцать
уравнений и шесть неопределенных величин X, у.,
V, О), р, а, которые подлежат исключению, то для
условий равновесия у нас останется только шесть
уравнений, как это было раньше в случае трех тел.
Пользуясь методом, аналогичным изложенному в
в пункте 21, мы найдем следующие шесть уравнений,
аналогичных уравнениям, приведенным в упомянутом
пункте:
X' + Х" + Х"' + Х^'^ =0,
у +Y" + У" + yiv = 0,
Z' + Z" +Z" + Ziv = 0,
X'y'-Y'x'+XY-Y"x"+X"'y"'-Y"'x"'+X^'^y^^-Y^^x^^'=0,
X'z'~Z'x'+X''z''-Z"x"+X"'z"'-Z"'x"'+X^'^z^^-Z^^x^y=0,
Y'z'-Z'y'+Y''z"-Z"y"+Y'"z"'-Z'"y'"+Y^^z^y—Z^Vy^''=^0.
Три последних уравнения можно заменить тремя
нижеприведенными уравнениями, которые можно
получить, пользуясь приемом, указанным в пункте 22;
эти уравнения, не будучи связаны с уравнениями,
относящимися к первому телу, имеют то преимущество,
что они всегда сохраняют свою силу — независимо
от состояния указанного тела
Х' (у" - у') - Y" {х" - X') + Х'" {у'" - у') -
— Y'" {х"' — х') + ZIV {у1У — у') — yiv (a;iv _ х') = О,
X" (z" — z')—Z" (х" — х') + X"' (z'" — z!) —
_Z"'(a;'" —ж') + Ziv(ziv_ 2') _ziv(a;iv_a;') = О,
Г iz" -z') — Z"{у"—у') + Y'"{z"' — z') —
_ 2" (/'^/) + yivBiv _ 2') - Ziv (г/iv _ г/') « 0.
25. Отсюда уже видно, как следует поступать
для того, чтобы определить условия равновесия
любого числа тел, укрепленных на негибком стержне
или рычаге. Вообще ясно, что для того, чтобы взаимное
положение тел оставалось неизменным, достаточно,
12*

180 СТАТИКА
чтобы взаимные расстояния между первыми тремя
телами оставались постоянными и чтобы расстояния
каждого из остальных тел от первых трех тоже
оставались неизменными,— так как положение любой
точки всегда определяется расстоянием этой точки
от трех заданных точек. Следовательно, по
отношению к каждому новому телу, которое прибавляется
на рычаге, надо применить те же самые
рассуждения и те же самые операции, какие были применены
в п. 23 по отношению к четвертому телу; каждое из
них даст три новых частных уравнения с тремя
новыми неопределенными величинами, подлежащими
исключению; таким образом окончательные
уравнения всегда будут представлены в таком же
количестве, как и в случае трех тел, и они будут иметь
тот же самый вид, как и уравнения, которые мы нашли
в предыдущем пункте.
Впрочем, ясно, что эти уравнения содержатся в
тех уравнениях, которые были найдены нами в
общем случае в п. 3 и 9 отд. III для равновесия любой
свободной системы тел. В самом деле, так как
вследствие несгибаемости стержня расстояния между телами
не могут изменяться, то отсюда следует, что
равновесие будет иметь место, если будут уничтожены
поступательные и вращательные движения;
следовательно, исходя уже из одних этих соображений,
можно было бы предыдущую задачу разрешить на
основании формул, приведенных в указанных выше
пунктах; нам, однако, показалось в данном случае
небесполезным дать непосредственное решение,
основанное на частных условиях задачи.
§ III. О равновесии трех или большего числа тел,
укрепленных на упругом стержне.
26. Рассмотрим снова случай трех тел,
соединенных между собою стержнем, и предположим сверх
того, что в точке, где находится второе тело,
стержень обладает упругостью — в том смысле, что рассто-

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ Igl
яния ОТ упомянутой ТОЧКИ ДО первой и последней
остаются неизменными, но угол, образуемый линиями
соединения среднего тела с двумя другими телами,
может изменяться и что действие этой упругости
заключается в увеличении указанного угла, а
следовательно, в уменьшении внешнего угла, образуемого
одной из сторон и продолжением другой.
Назовем Е— силу упругости *) и е—внешний угол,
который эта сила стремится уменьшить; момент этой
силы выразится через Е dp (отд. II, п. 9), так что
сумма моментов всех сил системы составит
X'dx' + Y'dy' + Z'dz' + ХЧх" + Y"dy" + Z"dz" +
+ X^dx'" + Y"'dy"' + Z"'dz"' + E de.
Ho условия задачи здесь те же самые, что и в
п. 12; значит, rf/ = О и dg =0; поэтому мы имеем
следующее общее уравнение равновесия:
X'dx' + Y'dy' + Z'dz' + X"dx" + Y"dy" + Z"dz" +
+ X"'dx"' + Y"'dy"' + Z"'dz"' + E de+ Xdf + ^.dg = 0.
Здесь остается только подставить значения de, df,
dg. Значения df и dg остаются теми же, что и в
упомянутом выше пункте.
Для определения значения de заметим, что если
обозначить через h прямолинейное расстояние между
первым телом и третьим, то в треугольнике,
имеющем своими сторонами /, g, h, угол, противолежащий
*) Слово сила употреблено здесь не в обычном своем
значении. Лагранж считает очевидным, что если совокупность
сил, вызванных упругостью, имеет сумму моментов, равную
нулю, когда угол е является неизменным, то эта сумма может
вообще считаться пропорциональной de; он выражает ее тогда
через Ede,T]j,e Е представляет собою силу только в том
случае, если принять условие, указанное в пункте 9 отд. II. См.
примечание к этому пункту (стр. 60). {Прим. Бертрана.)

182 СТАТИКА
стороне л, составит 180° — е; следовательно, на
основании известной теоремы мы имеем
Р + g' — h'
_cose = ' -^ ,
откуда путем дифференцирования можно получить
значение de; но так как согласно условиям задачи
мы имеем
df=0 и dg = 0,
то достаточно варьировать е и Л, в результате чего
получится
hdh
de =-
fg sin e
Если это значение подставить в предыдущее
уравнение, то легко убедиться, что оно получит тот же
вид, что и общее уравнение равновесия в случае,
рассмотренном в пункте 20, если только в последнем
положить v=—■;—-.— . Таким образом и частные
fg sin е '^
уравнения будут в обоих случаях одинаковы — с тем
единственным отличием, что в уравнениях
упомянутого пункта величина v является неопределенной и,
следовательно, подлежит исключению, между тем
как в рассматриваемом здесь случае эта величина
представляется вполне известной *) и исключению
подлежат лишь две неопределенные величины X и [j.;
таким образом в последнем случае остается налицо
одним окончательным уравнением больше, чем в
упомянутом выше случае, т. е. семь окончательных
уравнений вместо шести. Но так как, независимо от
того, является ли величина v известной или нет,
*) Для того чтобы V можно было рассматривать как
известную величину, необходимо, чтобы £■ и е были тоже известными
величинами; однако в действительности этого нет: Е является
неизвестной функцией в и не поддается прямому определению.
(Прим. Бертрана.)

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 183
НИЧТО нам не мешает исключить ее вместе с другими
величинами \ и [i, то ясно, что в настоящем случае
мы имеем те же самые уравнения, какие были
найдены нами в пунктах 21 и 22; а для того, чтобы
получить седьмое уравнение, нам достаточно будет
исключить X из первых трех уравнений, или же [j.
из последних трех, входящих в состав девяти
частных уравнений пункта 20,— и затем вместо v под-
Eh
ставить его значение — -т—-,— .
fg sin е
27. Впрочем, если бы мы в значении de не
пожелали принять df и dg равными нулю, то мы имели
бы выражение следующего вида:
de =— ,-^^ + Adf + Bdg,
где А ш В являются функциями /, g, k, sin е. В этом
случае три члена Е de -\-Х df -\- ii dg общего уравнения
приняли бы следующий вид:
-j~l^dh + {EA + X)df + {ER+y.)dg.
Но так как X и [j. являются двумя неопределенными
величинами, то ясно, что вместо них можно
подставить X — ЕЛ, II — ЕВ, в результате чего упомянутая
величина получает следующий вид:
dh + Xdf -\- II dg,
fg sin е
как если бы f и g в выражении для de были
постоянными величинами.
Если бы с помощью упругих стержней было
связано друг с другом большее количество тел, то
уравнения, необходимые для равновесия этих тел, можно
было бы найти, пользуясь тем же способом. И
вообще наш метод дает всегда с одинаковой легкостью
условия равновесия системы тел, связанных между

184 СТАТИКА
собою любым образом и находящихся под действием
любых внешних сил. Расчет ведется, как видим,
всегда одинаковым способом, что следует признать
одним из главнейших преимуществ этого метода.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ.
О РАВНОВЕСИИ НИТИ, ВСЕ ТОЧКИ КОТОРОЙ
НАХОДЯТСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ КАКИХ-ЛИБО СИЛ,
И КОТОРАЯ РАССМАТРИВАЕТСЯ КАК ГИБКАЯ ИЛИ
НЕГИБКАЯ, ИЛИ УПРУГАЯ, И В ТО ЖЕ ВРЕМЯ-
РАСТЯЖИМАЯ ИЛИ НЕРАСТЯЖИМАЯ.
28. Здесь представляется уместным применить
метод, который мы изложили в § II отдела IV.
Для большей простоты мы будем всегда
предполагать, что все внешние силы, действующие на
каждую точку нити, сведены к трем силам X, У, Z,
направленным по прямоугольным координатам х, у,
Z этой точки. Следовательно, если мы назовем dm
элемент этой нити, который пропорционален
элементу ds кривой линии, умноженному на плотность нити,
то для суммы моментов всех указанных сил по
отношению ко всей длине нити мы получим
следующую интегральную формулу (отд. IV, п. 12):
S (X 8а; + У 8г/ + Z 8z) dm;
а так как величина X Ьх -\-Y Ьу -\- Z, Ьг представляет
собою не что иное, как величину Pdp -\- Qdq -\-
-\- Rdr -\- . . . (и. \), преобразованную для того случая,
когда силы Р, Q, R,. . . таковы, что эта величина
становится интегрируемой, то, обозначив ее
интеграл буквой П, мы получим, как в пункте 25 отдела IV,
X 8а. + У 8г/+ Z 8z = 8П,
и сумма моментов выразится через 88П dm.

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 185
§ I. О равновесии гибкой и нерастяжимой нити.
29. Рассмотрим сначала случай совершенно
гибкой и нерастяжимой нити. Так как элемент ds
кривой, образуемой нитью, выражается через
Ydx^ + dy^ + dz^,
то ввиду условия нерастяжимости нити необходимо,
чтобы ds было постоянной величиной и,
следовательно, чтобы по отношению к каждому элементу нити
имело место следующ;ее неопределенное условное
уравнение: bds = 0. Поэтому, если мы 8 ds умножим на
неопределенную величину X и возьмем полный
интеграл, то мы получим 8X8 ds; если у нас сверх того
никаких условных уравнений не имеется, то мы
получим общ;ее уравнение равновесия, если
приравняем нулю сумму двух интегралов 88П dm и 8x8 ds.
Но так как ds = \^dx^ -\- dy^ -\- dz^, то путем
дифференцирования в смысле 8 мы получим
J. , dx Ь dx -{- dy S dy -{- dz S dz
ds '
следовательно,
8x8rfs =8x^ Srfa; + 8х^8йг/ + 8x J 8rfz;
переменив M на rf8 и проинтегрировав по частям —
с тем, чтобы избавиться от символа d перед 8,—на
основе правил, изложенных в пункте 15 отдела IV,
мы получим следующ;ие преобразованные уравнения:
8х ^ 8rfa; = X" ^ 8а;"-Х' ^, 8а;' - 8rf ^ 8а;,
ds ds ds ds
ds ds ds ds

186 СТАТИКА
Таким образом общее уравнение равновесия
приобретет следующий вид:
^[(Xdm-d'^yx + (Ydm-d'^)by +
+ (zdm-d^-^)bz]-r-
_ X' ^' 8а;'- X' % by' - X' ^С 8г' = 0.
as as ^ ds
30. Сначала положими равными нулю (отд. IV,
п. 16) коэффициенты при Ьх, Ьу, Ы под знаком
интеграла и получим следующие три частных и
неопределенных уравнения:
X dm — d —;— = О,
as
Ydm-d^ =0,
ds '
Z dm — d —Г— = 0:
ds
no исключении неопределенной величины X у нас
останутся два уравнения, которые послужат для
определения кривой, образуемой нитью.
Это исключение очень легко осуществить: для
этого достаточно только проинтегрировать
приведенные уравнения, что даст нам следующие уравнения:
dx
^17
А + '\.Х dm,
% = B+^Ydm,
X
as
. dz
ds
= C+ {Zdm,

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 187
где А, в и с — произвольные постоянные; далее,
после исключения X получится
'^^ Л + 5 Z dm ' '^^ A+\xdm'
ЭТИ уравнения совпадают с известными формулами
цепной линии.
Если бы мы захотели прямс яритти к чисто
дифференциальным уравнениям, не содержащим знака \.
То можно было бы найденные уравнения привести
к следующему виду:
X dm — Xd —т ^ г— dX = О,
ds ds
Ydm—Xd-^ — ^dX = 0,
ds ds
Zdm — Xd-^ ^dX=^0,
ds ds
откуда, после исключения dX, мы получим сначала
следующие два уравнения:
X dy — У dx J -. /^ dy J dx dx , dw "Л
—Z_^ dm =X{ -^ d J ^ -j- d-j^),
ds \ds ds ds ds J
X dz — Zdx J -. f dz J dx dx , dz \
dm = X{ -T- d J -3- d-r ) ■
ds V "* "S "S "* у
Затем, если те же уравнения помножить соответ-
dx dy dz
ственно на -г- , ^, -з- и затем сложить, то в силу
соотношения
dx т dx dy , dy dz , dz 1_ , dx^ -\- dy^ -\- dz^ q
dT'^'dT + 'dl'^'dl + 'dT'^'dl -T°^ d? - ^
мы получим уравнение
dx dy ^Z^^dm^dX;
ds ' ds ' ds ^
В ЭТО последнее уравнение остается только подставить

188 СТАТИКА
последовательно значения X, полученные из двух
предыдущих уравнений.
31. Так как величина Х8 rfs может представлять
собою момент некоторой силы X, стремящейся
уменьшить длину элемента ds (отд. IV, п. 6), то член
SxSrfs общего уравнения равновесия нити (п. 29)
выразит сумму моментов всех сил X, которые мы
можем себе представить действующими на все
элементы нити. В самом деле, благодаря своей нерастя-
жимости каждый элемент противостоит действию
внешних сил, и это сопротивление обычно
рассматривают как активную силу, которую называют натя-
же.нием. Таким образом X представляет собою
натяжение нити.
32. Что касается условия нерастяжимости нити,
которое выражается неизменностью каждого
элемента кривой ds, то его нельзя ввести в
уравнение взамен неопределенной величины X, как это
можно сделать в том случае, когда нить образует
собою многоугольник, — так как согласно природе
дифференциального исчисления абсолютное значение
элементов кривой и вообще всех бесконечно малых
элементов остается неопределенным; однако по тем
же основаниям нет нужды в том, чтобы число
уравнений было равно числу переменных; для
определения линии,будь то линия простой, или
двойной кривизны, достаточно иметь уравнений на единицу
меньше, чем переменных. Таким образом решение,
найденное нами с помощью нашего метода, является
с точки зрения дифференциальных уравнений полным и
требует лишь последующего интегрирования,
которое уже зависит от выражений для сил X, У, Z.
33. Рассмотрим теперь те члены общего уравнения
п. 29, которые не находятся под знаком 8, и допустим
сначала, что нить совершенно свободна. В таком
случае вариации 8а;', 8г/', 8z' и 8а;", Ьу", 82",
соответствующие двум крайним точкам нити, будут
совершенно неопределенными и произвольными;
следовательно, каждый член, в состав которого

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ \gQ
ВХОДЯТ ЭТИ вариации, должен сам по себе быть
равным нулю. Таким образом мы должны иметь Х'=Ои
Х" -— О, т. е. значения X в начале и в конце нити должны
быть равны нулю.Этим условиям можно удовлетворить
при посредстве постоянных величин. Первые три
интегральные уравнения п. 30 дают для первой точки
5.
нити, где величины, выраженные знаком \, равны
нулю,
ds as ds
а ДЛЯ последней точки, где знак \ превращается в S,
= А -\-^Х dm,
X"^ = B + ^Ydm,
>^"^=C + ^Zdm:
поэтому в рассматриваемом случае мы имеем
А = 0, 5 = 0, С = 0
и
^Xdm = 0, ^Ydm=0, ^Zdm = 0.
Эти три уравнения, как видим, соответствуют
уравнениям пункта 12 настоящего отдела.
34. Предположим, во-вторых, что нить закреплена
на одном из своих концов или на обоих концах.
Если нить закреплена на первом своем конце, то
вариации 8х', 8у', 8z' равны нулю, поэтому
достаточно приравнять нулю коэффициенты вариаций
Зж", 8/, 8z", т. е. положить X" = 0.
По тем же основаниям, если второй конец
неподвижен, достаточно положить X' = 0. Если же оба
конца закреплены, то не приходится выполнять
никаких особых условий, так как все вариации 8а;', 8у',
8z', 8х", 8у", 8z" равны нулю.

190 СТАТИКА
35. Предположим, в-третьих, что концы нити
прикреплены к кривым линиям или поверхностям,
по которым они могут свободно скользить. Пусть,
например, будут
dz' = a'dx' + b'dy', dz" = adx" + U'dy"
— дифференциальные уравнения поверхностей, на
которых закреплены первая и последняя точки нити.
Тогда, меняя символ с? на 8, мы получим
bz = а Ьх -\- о Ьу , bz ^= а Ьх -\- о Ьу ;
эти значения следует подставить в рассматриваемые
члены и затем приравнять нулю коэффициенты
вариаций 8а;', 8г/ Зж", 8/.
Вообще, ту часть формулы, которая не находится под
знаком интеграла в общем уравнении равновесия,
можно трактовать таким образом, как если бы она
существовала отдельно и как если бы она представляла
собою уравнение равновесия двух отдельных тел,
укрепленных на концах нити.
36. Предположим, например, что нить прикреплена
обоими своими концами к концам рычага, который
может поворачиваться вокруг некоторой неподвижной
точки. Пусть а, Ь, с будут три прямоугольные
координаты, определяющие в пространстве положение
этой неподвижной точки, т. е. точки опоры рычага;
пусть, дальше, / представляет собою расстояние
между точкой опоры и тем концом рычага, к
которому прикреплен первый конец нити; g — расстояние
между той же точкой опоры и другим концом
рычага, к которому прикреплен второй конец нити;
k — расстояние между обоими концами рычага, а
следовательно, и между обоими концами нити; ясно,
что эти шесть величин а, Ь, с, /, g, h даны самой
природой задачи; вместе с тем легко видеть, что
если х', у', Z представляют собою координаты начала
кривой, образуемой нитью, и х"■, у", z"— координаты

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 101
конца той же самой кривой, то мы имеем
/ =
g =
= V{a~
= V{a~
.x')'^ + {b-
- x"f + {b~
-y'f
-уУ
+ (c-
■ + (c-
-ю^
- zy,
h = Vix" - x'}' + (/ - y')^ + (г" - zr .
A так как величины /, g, k — постоянные, то при
дифференцировании этих трех определенных условных
уравнений в смысле S мы получим
(а — х') 8х' +(Ь — у') Ьу' + (с - z') 8z' = О,
{а -х") W + (Ь —/) 8/ + (с — г") 8/ = О,
{х" - х') {Ъх" - Ъх') + {у" - у') (8/ - Ьу') +
+ (z" - z') (Sz" - 8z') = 0.
Каждое из этих уравнений следует помножить на
неопределенный коэффициент и затем все эти
уравнения прибавить к общему уравнению равновесия. Таким
образом, если взять а, р, у в качестве упомянутых
трех коэффициентов и приравнять нулю коэффициенты
шести вариаций Ъх', Ьу', Ъ%', Ьх", Ъу", Ъг", то мы
получим точно такое же количество частных
определенных уравнений, а именно:
<,(а-х')-у{х"-х')-Х'^=0,
^^Ь-у')-у(у"-у')-\'^=0,
o^(c-z')-yiz''-z')-r ^ = 0,
^(а-х") + у {х" -х') + Х" ^ =0.
^(c-z'')iy{z''-z') + X"^=0.

192 СТАТИКА
Путем исключения а, [3, у приведенные шесть
уравнений сведутся к трем.
Если затем эти три уравнения соединить с
приведенными, выше тремя условными уравнениями, то
мы получим возможность определить положение обоих
концов нити.
Из изложенного ясно, как следует вести расчет
в других подобных случаях.
37. Наконец, если помимо сил, действующих на
каждую точку нити, имеются еще особые силы,
приложенные к обоим концам нити и заданные
величинами Х/У, Z'для первого конца нити и
величинами X", Y", Z" для второго конца, то эти силы
дадут моменты
Х'Ъх + У'Ьу' + Z'bz' + Х'Ъх" + Y"by" + Z"8z";
это выражение следует прибавить к первому члену
общего уравнения равновесия, т. е. к той части его,
которая не находится под знаком интеграла; вследствие
этого упомянутая часть примет следующий вид:
Х"+ rg;') Ьх"^- G"+ rg') 8/+ B"+ Х" g) и" +
+ (^Ч X' %) и'+ (у- x'g.') а,Ч (z'-x'g;) 8.';
с этой частью следует поступать в различных случаях
таким же образом, как это было показано в
предыдущих пунктах.
38. Предположим теперь, что нить, все точки
которой находятся под действием одних и тех же
сил X, Y, Z ш концы которой сверх того находятся
под действием сил X', У, Z', Х", У", Z",—должна
лежать на заданной кривой поверхности, уравнение
которой
dz = р dx -^ q dy,
в что требуется определить фигуру и положение

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 193
этой НИТИ на указанной поверхности, когда нить
находится в равновесии.
Эта задача, которую, вероятно, было бы трудно *)
решить с помощью обычных законов механики,
решается очень легко с помощью нашего метода и наших
формул. В самом деле, из заданного уравнения
поверхности, меняя символ d на 8, мы получаем
Ъг = рЬх -\- q by;
таким образом остается только подставить это
значение дифференциала 8z в члены, стоящие под знаком
интеграла общего уравнения равновесия нити (п. 29)
и затем приравнять нулю отдельно величины, в состав
которые входят вариации Ьх и Ьу. Указанным путем
мы получим два следующих неопределенных
уравнения:
X dm — d ■ ^- -\- p(Zdm — d —^— ) =^ ^>
Ydm-d^ + q{^Zdm-d2^)=0,
которые, будучи соединены с уравнением dz =
^ pdx -\-qdy поверхности и затем путем исключения
освобождены от неопределенной величины X, послужат
для определения формы кривой равновесия нити.
39. Далее, так как мы допустили, что нить всей
своей длиной лежит на указанной поверхности, то
мы и для обеих крайних ее точек имеем
bz' = р'Ьх' + q' Ьу' и 8z" = / Ьх" + q" Ьу".
*) Непонятно, почему Лагранж считал, что эту задачу
трудно разрешить непосредственно. Те уравнения, к которым
он Приходит, просто указывают, что оба натяжения на краях
элемента, будучи соединены с силами, воздействующими на
этот элемент, дают результирующую, направленную нормально
к поверхности. Это условие представляется ясным а priori.
(Прим. Бертрана.)
13 ж. Лагранж, т. I

194 СТАТИКА
Внесем еще эти значения в члены, не стоящие под
знаком интеграла в общем уравнении, или, еще лучше,
в формулу, приведенную в пункте 37, в которой
приняты во внимание и силы Л', У, Z', . . . ; затем
приравняем нулю отдельно величины, в состав
которых входит каждая из четырех оставшихся
вариаций 8х', 8г/', Зж", Ьу"; тогда мы получим четыре
следующих новых определенных уравнения:
r-X'g: + ,'(Z'-X'g) = 0,
A"+x"g;;+/(z"+>/'~)=o,
r'+rg;:+,"(z"+rg)=o,
которым следует удовлетворить при посредстве
постоянных.
40. Однако вместо того, чтобы, как мы это выше
делали, подставить значение 8z, выраженное через
8а; и 8г/ с помощью уравнения 8z — рЬх—дЬу = 0,
можно было бы рассматривать это последнее
уравнение как новое неопределенное условное
уравнение; тогда следовало бы это уравнение помножить
на другой неопределенный коэффициент (л, взять от
него полный интеграл и прибавить к общему
уравнению равновесия (п. 29). В результате этого часть
уравнения, находящаяся под знаком интеграла,
получила бы следующий вид:
S [СХ dm-d"^ - ^р) Ьх+ (у dm-^db^ - у.д) Ьу +
+
Zdrn-d^-^ + ^)bz]^

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 105
И МЫ тотчас же получили бы три следующих
неопределенных уравнения:
Xdm—d~—ii.p = 0,
Zdm — d-^ \-[i =0,
которые, после исключения [i, дали бы те же самые
уравнения, какие мы уже нашли раньше (п. 38).
Однако последние уравнения имеют известное пре-
имущ;ество, так как они одновременно дают
возможность, на основе теории, изложенной в пункте 5
отдела IV, определить давление, оказываемое
каждым элементом нити на поверхность.
В самом деле, из указанной теории легко
вывести, что члены
li{8z — p8x—q Щ,
получающиеся из условного уравнения
8z — р^х— дЬу =0,
могут выражать действие силы, равной ii]/^i-\-p^-\-q^
и приложенной к каждому элементу ds нити по
направлению, перпендикулярному к поверхности,
уравнение которой
8z —р 8а; — дЬу = 0,
Или
dz — р dx — q dy ^0,
т. е. к поверхности, на которой лежит нить. Эта
поверхность благодаря своему сопротивлению
развивает силу (Л у\ -\- р^ -\- q^, которая, следовательно,
13*

196 СТАТИКА
равна и направлена противоположно давлению,
оказываемому на нее нитью (отд. IV, п. 7); таким об-
разом давление каждой точки нити равно ^ ,
или, если подставить значения р, [i.p, [i.q,
полученные из приведенных выше уравнений,
, Л? X dx\2 7 Xdy\2 7 Х57\2
V С^"^-^^; +C^^"^-^^J +(^^"^-^^j
ds
Те же самые рассуждения следует затем
применить к той части общего уравнения, которая
находится вне знака ]§, что приведет к аналогичным
выводам.
41. Если нить, лежащая на заданной
поверхности, находится только под действием сил,
приложенных к ее концам, то Х = 0, У = О, Z = 0 и,
значит, rfX = О (пункт 30); таким образом в данном
случае X равна постоянной величине. Следовательно,
натяжение нити повсюду одно и то же (п. 31), что
совпадает с тем, что нам было известно уже и
раньше. В этом случае общая формула равновесия нити
сведется к уравнению
X^nds + ^ix(8z-p8x-q8y)=0,
первый член которого равен также Х8 S^s, или X 8s.
Таким образом это уравнение выражает, что длина
кривой, образуемой нитью на поверхности,
заданной уравнением dz—pdx—qdy=^0, должна быть
максимумом или минимумом; давление, оказываемое
нитью на каждую точку этой поверхности, будет
тогда равно
/("
ds

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 107
Но известно, что |/(rfg J+(^rfgy+D'J «ьгража-
ет угол смежности кривой, который равен --, где
Р
р — радиус кривизны. Таким образом указанное
выше давление равно —, т. е. оно обратно
пропорционально радиусу кривизны.
§ II. О равновесии гибкой и вместе с тем
поддающейся растяжению и сокращению нити
или поверхности.
42. До сих пор мы предполагали, что нить
нерастяжима; теперь же рассмотрим ее в
предположении, что она подобно пружине способна
растягиваться и сокращаться, и пусть F будет та сила, с
которой каждый элемент кривой, образуемой нитью,
стремится сократиться; тогда, аналогично тому, как
это было в пункте 18 (поставив ds вместо / и
переменив символ d на 8), мы получим момент этой
силы FBds и в качестве суммы моментов всех сил
сокращения, действующих по всей длине нити,
выражение ^ F 8 ds. Этот интеграл ^F8ds следует в
данном случае прибавить к интегралу
^(XSx+Y8y + ZSz)dm,
выражающему сумму моментов всех внешних сил,
действующих на нить (п. 28); приравняв всю сумму
нулю, мы получим общее уравнение равновесия
упругой нити.
Легко видеть, что это уравнение будет иметь
такой же вид, как уравнение, приведенное в пункте
29 для случая нерастяжимой нити, и что при замене
F величиной X эти уравнения станут тождественными.
Таким образом для рассматриваемого теперь случая
мы имеем те же частные уравнения равновесия

198
СТАТИКА
НИТИ, какие были найдены нами в пункте 30; в
последних следует лишь подставить F вместо X. Если
же величину F исключить — подобно тому, как мы
исключали величину X,—то для кривой,
образуемой растян\имой нитью, мы получим два
уравнения, которые будут совершенно тождественны с
уравнениями, имеющими силу для нерастяжимой
нити.
43. Что касается величины F, выражающей
упругость или силу сокращения каждого элемента ds, то
представляется естественным выразить ее с помощью
функции растяжения, испытываемого этим
элементом под действием сил X, У, Z. Таким образом, если
допустить, что da — это первоначальная длина ds,
можно на F смотреть как на заданную функцию
-7- ; но так как согласно природе дифференциального
исчисления абсолютное значение элемента ds остает
ся неопределенным, то и значение F тоже остается
неопределенным и может быть установлено только
с помощью одного из трех уравнений равновесия
пити. Таким образом, хотя в настоящем случае наш
анализ как будто дает одно лишнее уравнение,
однако в действительности он дает только те уравнения,
которые необходимы для определения кривой,
образуемой нитью, а также сопротивления каждого из
ее элементов.
Так как величина X решения, приведенного в
пункте 30, в точности соответствует величине F,
выражающей фактическую силу, с какой каждый
элемент нити натягивается под действием внешних
сил, то отсюда следует, что и величину X можно
рассматривать как выражающую натяжение
нерастяжимой нити. Последнее мы уже установили
а priori в пункте 31.
44^ Применим теперь те же принципы к
определению равновесия поверхности, все элементы dm
которой способны растягиваться и сокращаться.
Элемент поверхности, координаты которого равны

РАЗРЕШЕНИЕ рлаличных ПРОБЛЕМ СТАТИКИ jgg
X, у, Z,—если Z рассматрчвается как функция х и
г/,—выражается с помощью формулы
Поэтому, если обознач!]ть через Jf^*) силу
упругости, с которой Этот элемент стремится
сократиться, то сумма моментов всех эгих сил выразится с
помощью двойного интеграла
Е^ли этот интеграл прибавить к двойному
интегралу [1^]
SS {Xbx + Y by + Z 8z) dm,
в котором dm является элементом поверхности, то
мы получим сумму моментов всех сил, которая при
1)авновесии должна равняться пулю.
Положив, как в пункте 31 отдела IV,
мы получим
dm = U dxdtj и J? - ^j , ^ = ^ !
*) Приведенный способ определения совокупности сил,
развиваемых упругостью в одной точке, представляется
недостаточно обоснованным. Правда, здесь, равно как и раньше
в ряде случаев, Лаграиж употребляет слово сила в таком
смысле, тсоторый отклоняется от обычного; однако ниоткуда
110 следует, чтобы сумма моментов сил, действующих на один
элемент, была пропорциональна сокращению элемента. Мы
можем даже прибавить, что это утверждение неточно.
Пуассон отмети.л это обстоятельство в Memoires de I'lnstitut за
1812 г.; впрочем, предложенное им решение тон;е не обладает
достатспшой общностью: оно предпо.чагает, что силы натянж-
пня прямоугольного элемента направ.чены перпендикулярно
к сторонам этого э.'гемента, а что в общем случае не имеет
-местд, (/7рмж. Бертрана.)

200 СТАТИКА
следовательно (п. 33, 34 отд. IV),
8 (U dx dy)=[bU + U ("-^ + ^fy\ dx dy.
Если эти значения подставить в двойной интеграл
H^F8{Udxdy) и путем интегрирования по частям
избавиться от частных дифференциалов вариаций,
обозначенных через 8, то мы получим
H(u8y + :^nu]Fdx+ S(Ux + ^nu)Fdy +
где
f'x ' ду
И
8м = 8z — z'8a; — z, 8г/(см. указ. пункты).
Простые интегралы по а; и г/ относятся к
границам; в случае, если мы допустим, что края
поверхности закреплены неподвижно, эти интегралы сами
собою исчезают, так как при этих условиях
вариации 8а;, Ьу, 8z во всех точках контура поверхности
равны нулю.
Если члены, стоящие под двойным знаком §,
слодеить с членами двойного интеграла ]§ (X 8а; -f
.+ У 8г/ -f- Z Sz) и dxdy и отдельно приравнять нулю
коэффициенты вариаций 8а;, 8г/, 8z, то мы подучим

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 201
следующие три уравнения *):
zu — v=o.
Первые два уравнения дадут значение силы F,
которую следует подставить в выражение V
третьего уравнения, так что при окончательном анализе
мы получим для определения поверхности
равновесия только одно уравнение в частных производных.
Хотя мы и должны предположить, что сила F
является известной функцией элемента dm
поверхности в ее состоянии сжатия или расширения, она
в действительности не становится от этого менее
неопределенной, так как абсолютный размер
элемента поверхности ие может быть введен в расчет;
таким образом значение F может быть определено
только с Помощью самих условий равновесия: здесь
мы имеем дело со случаем, аналогичным случаю,
рассмотренному в п. 43.
*) Здесь следз'ет отметить, что заключения Лагранжа
оказались бы несостоятельными, если бы допустить, что Sx
является функцией одной только переменной х, а 8у —
функцией одной только переменпой у, как можно было бы
попытаться сделать, вспомнио о предпосылках, на которых
основаны (отд. IV, п. 33, 34) формз'лы, примененные здесь Ла-
гранжем. Действительно, для того чтобы интеграл
SS (А Ьх + BSy + C 8г) dx dy
был равен пулю на основе этих предпосылок, уже
необязательно, чтобы в каиадой точке было А = В = С — О, но
достаточно, чтобы было ^ Ady = О для всех значений
X, ^ В dx = 0 для всех значений у и С = О для всех значений
X и у. Сопоставьте это замечание с примечанием,
относящимся к пункту 31 отд. IV. (Прим. Дарбу.)

202 СТАТИКА
45. Для того чтобы исключить величину F,
подставим в два первых уравнения значение V,
найденное из последнего; тогда эти уравнения примут
след}ющий вид:
\ дх у ох дх
V, (>У J <iy "У
Пусть, как в пункте 28,
Xdx-{-Y dy + Zdz = dU;
тогда, поскольку z считается функцией х и у, мы
имеем
дП „ , „ (?г дП V I V ^^
дх ах ojj ' ду
И приведенные два уравнения, по разделении их на
и, преобразуются к следующему видл^;
дП _dF ^J} _^J^
дх дх ' ду ду ''
нз чего получается просто следующее:
dU == dF,
откуда
F =^\1 + а.
Этот вывод совпадает с выводом пункта 36 отдела
IV. Далее, если П рассматривать как функцию х, у,
Z, то третье уравнение даст
д д
., (Ш _ V и__ _ ^.
dz дх ду^ '
ЭТО и есть уравнение поверхности.
Если поверхность очень мало отличается от
плоскости, так что ордината z очень мала,тогда, отбро-

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 203
СИВ бесконечно малые величины второго порядка,
мы получим
и = и
но
F =и + а,
где а — постоянная величина; следовательно,
уравнение поверхности имеет следующий вид:
(9(П+ гг)-°'^. о1(П+«) —
дИ дх ду ^
dz дх ду
Если предположить, что имеется только сила
тяжести ^, действующая по направлению координаты
Z в сторону ее увеличения, то мы получим П = — gz;
следовательно, отбрасывая вторые измерения z, мы
будем иметь
/(?% d-z
^ yji"- + 'ду^
Это уравнение вообще интегрируемо, по только с
помощью мнимых функций, благодаря которым это
решение становится мало пригодным для
применения [!'].
§ III. О равновесии упругой нити или пластинки.
46. Обратимся снова к случаю нерастяжимой нити,
но вместо того, чтобы принять ее совершенно гибкой,
как мы это делали до сих пор, допустим, что она
yiipyra —в том смысле, что в каждой точке ее имеется
сила, назову ее Е, которая противодействует
изгибанию нити и которая, следовательно, стремится
уменьшить угол смежности *). Если мы этот угол на-
*) Принятое Лагранжем выражение для нечисления
суммы моментов сил упругости неприменимо по отношению к
кривым двойной.кривизны. Это отметил Вине (Binet) в X томе
Journal de I'Ecole Polytochnique. ("м. также момуар Пуассона,
.иходящий в 1I том Correspondance sur I'Ecole Polytechnique.
Эти геометры правильно отмечают, что в выражение суммы

204 СТАТИКА
зовем е, то, как и в пункте 26 (подставив только 8
вместо </), мы получим для момента каждой силы Е
выражение Е Be; следовательно, S^" 8е будет суммой
моментов всех сил упругости, действующих на нить
по всей ее длине, которую надо будет прибавить к
первому члену общего уравнения равновесия,
выведенного для случая нерастяжимой и совершенно
гибкой нити (п. 29).
Вся трудность задачи заключается в том, чтобы
придать интегралу hE 8е подходящий вид; для этого
следует начать с определения значения е. Выше мы
нашли (п. 26)
— cose — „,
2/g
откуда следует
sin^e
4'g' - if + g' - h^)'
Ч'ё
Для того чтобы эти формулы применить к
рассматриваемому случаю, достаточно заметить, что координаты
х', у', z', х", у", z", х'", у", z'", с помощью которых мы
выразили величины /, g, h (п. 12 и 20), здесь
превращаются в X, у, z; x-\-dx, y-\-dy, z-\-dz; x-\-2dx-\-d^x,
у -f 2dy ■\- d^y, z -\- Idz -f e?^z; так что мы имеем
/2 = dx^ -f dy'^ -f rfz2 = rfs2,
gi = (dx -f dH)^ -f {dy + d^yY -f {dz -f dHf =
= dx^ -j- dy^ -|_ rfz^ -f 2 {dx d^x -f dy d^y -f dz d4) +
-f {d^x)^ -f {d^yY -f \dHf =
= ds^ -f 2ds d4 4- {d4Y -f {d^yf -f {dHf,
h^ = [2dx -f d4f -f {2dy -f d^yf ■\- Bdz + d4f =
= 4rfs2 + lidsdh -f {d4Y -f [d^yf + {d^f.
моментов следует ввести член, пропорциональньш вариации
угла между двумя последовательными соприкасающимися
плоскостями. (См. статьк» в конде настоящего тома.) (Прим.
Бертрана),

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 205
Таким образом
/2 _j_ g-2 _ /j2 = _ 2ds^ — 2ds d4
и
ifZgi _ (/2 4- ^2 _ /j2^2 = 4e?s4 _|_ 8ds4^S +
+ ids^ [{d4)^ +.(d^y)^ + {dH)^] — 4 (ds^ + ds d^sf =
= Ыз^ [{d^xf + [d^yY + {d^z)^ — (d4)%
Если отбросить бесконечно малые третьего
порядка, то мы получим
Так как это значение sin^e представляет собой
бесконечно малую величину второго порядка, то отсюда
следует, что sine, а следовательно, и угол е, является
бесконечно малой первого порядка, так что
_ VjdHf + {d^yf + jd^^)^ — (d^sf .
ds '
эта формула представляет собою выражение угла
смежности любой кривой двойной кривьзны: она
находится в соответствии с выражением, приведенным
в пункте 41.
47. Продифференцируем теперь е в смысле 8 для
того, чтобы получить значение 8е. Так как
благодаря условию нерастяжимости нити мы имеем уже
8 rfs = О (п. 29), а следовательно, и с? Srfs = 8 rf^s =0,
то при дифференцировании, о котором идет речь,
можно ds и d^s рассматривать как постоянные
величины. Таким образом мы получим
~ ds V(d^xf + (d^yf + (d^zf — (d4)^'
Подставив это значение в S^'Se и положив для
краткости
/ = ^
ds V(d4)^-\r (d^yf+ (d^zY — (d^s)^

206 СТАТИКА
мы будем иметь
S £" rfe = S МЧ 8 A4 + '^Ы^уЬ d^y + ^ЫЧ 8 d4.
Если с этими выражениями поступить по
правилам, изложенным в п. 15 отд. IV, переменив сначала
символ bd на db и затем проинтегрировав по частям
с тем, чтобы добиться исчезновения символа d перед
8, то мы получИлМ следующие преобразованные
выражения;
S/rf2a; id4== -ir T'dH'dbx — d (l"d4") bx" —
~~ I'd4'йЫ' Ard A'd4')lx'\'^ d'^ [ЫЧ)Ъх,
Sld^y 8 dhj = -f rd^y'dhj" — d (I"dY) W —
— rd^dhj' + d (I'dY)by' + Hd^ {Id^by,
S Id^z od4 = -{- l"d4"dbz' — d {l"d4") bz" —
-^ rd4'dbz' + d{rd4')8z' +Hd^(Id4)bz.
Эти различные члены прибавим к членам,
образующим первую часть общего уравнения равновесия,
указанного в п. 29, и тогда мы получим уравнение
равновесия нерастян^имой и упругой нити.
48. Прежде всего приравняем нулю коэффициенты
вариаций 8а;, 8г/, Sz, находящихся под знаком
интеграла S, и получим три следующих неопределенных
уравнения
Xdm — d~ + rf2 (^JdH) = О,
Y dm~-d^ + d^(Id^y) = 0,
Zdm — d~ + d^ {ЫЧ) = 0,
из которых следует исключить неопределенную
величину X, в результате чего они сведутся к двум
уравнениям, которых будет достаточно для определения
кривой, образуемой питью.

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 207
Первое интегрирование дает
l^~~d (МЧ) = Л + {Х dm,
\f^-d[Idbj)^BJr\ Ydm,
X~-~~d (Id^z) = С + ^ Z dm,
где A, В, С — произвольные постоянные; исключив X,
мы получим
dxd (Id^y) — dyd {ЫЧ) =
=={A-\-{Xdm)dy~~{B-\- ^ У dm) dx,
dxd {IdH) — dzd [ЫЧ) =
= {A + 'ix dm) dz ~~ {С + 'iz dm) dx,
dyd (Id4) — dzd (Id^y) =
= (B + ^Y dm) dz — (C + {z dm) dy;
последнее из этих уравнений содержится уже в
первых двух. Эти уравнения могут быть снова
проинтегрированы, после чего получится
/ (dx d^y — dy d^x) =
= jF -f UA-ir{Xdm)dy—UB+^Y dm) dx,
I [dx d^z —dz d^x) =
= G+UA^[^Xdm)dz+ С (C + С z dm) dx,
I(dyd4~dzd^y) =
= Я + {(B+{Ydm)dz~^iC+'\^Zdm) dy,
де F, G, H — новые постоянные величины.

208
СТАТИКА
Но выше (п. 47) мы полон^или
Е
квадрат знаменателя этого выран^ения равен
ds^ [{d^xf + {d^yf + [dHf] — ds^ (dh)^ =
= (dx^ + dy^ + dz^) [{d4f + {d^yf + [d^zY] —
— (dx d^x + dy d^y + dz d^zf = {dx d^y — dy'dHf +
+ {dx d4 — dz d4f + (dy d^z — dz d^y)^.
Следовательно, если мы сложим квадраты трех
приведенных выше уравнений, то мы получим
следующее уравнение, в которое уже не входят
дифференциалы:
£-2= [jF-j_ UA-{-{Xdm)dy — {[B + '\Ydm) dxf -f
-j_ [G-f С(Л + {Xdm)dz—Uc -\- [^Zdm)dxf +
+ [Я+ CE+ \^Ydm)dz— ^ (C + {Zdm)dxf:
a если два из числа тех же уравнений разделить
одно на другое, то мы получим следующее
уравнение, в которое унче не входит упругость:
dxdH — dzd4_ G + \^(А-\- '\^ X dm)dz—^(С + ^ Zdm) dx
dx d^y — dy d^x ~ } j^ f F ~ "
F ^\(A^\Xdm)dy-\(B+\^Y dm)dx
Эти два уравнения и дают возможность наиболее
просто определить упругую кривую, принимая при
этом во внимание двойную кривизну.
49. Обычно принимают, что упругая сила,
противодействующая изгибанию, обратно
пропорциональна радиусу кривизны. Следовательно, если этот
радиус назвать р, то мы будем иметь Е = —, где К —
Р
постоянный коэффициент.

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИ'ШЫХ Ш'ОГ.ЛЕЫ СТАТИКИ 209
Но, как известно, р =—; следовательно, F ~—-т,
и величина 1, которую мы положили равной —i—„
(п.47), оказывается равной -т-^; таким образолМ она
становится постоянной величиной, если мы предположим,
а это вполне допустимо, что ds является величиной
Постоянной.
Таким образом первые три уравнения (п. 48)
получат следующий вид:
Xdm-d^-^ + K'^^O, Ydm^d'^ + к'^^О,
Zdm — d^ + K~^0.
Если все эти трл уравнения сложить, помно-
dx dy
жив предварительно первое на --^, второе на —р-
dz
И третье на —z-, то в силу соотношения
^d'^л-^d!^+^d^-^^^dC-^^±^^^^^=o,
as ds ds ds ' ds ds 2 V ds^ J
МЫ получим следующее уравнение:
I V л , л/ J \ rr 1 \ dm , Г' dx d*x 4- dy d*y + dz d^z ,
{X dx-^Y dy^Z dz) ^- + A ^-^ii^- = ^^^•
Пусть Г—плотность нити; тогда dm = Yds. Если
приведенное выше уравнение проинтегрировать,
допустив, что ds—постоянная величина, то оно даст
X = '(Т {X dx + Y dy + Z dz) +
+ ^[ d? 231^ —J-
Это значение X выражает натяжение упругой
пластинки, т. е. сопротивление, оказываемое ею сило,
стремящейся ее удлинить аналогично тому, как это
было в п. 31.
14 ж. Лагранж, т. I

210 СТАТИКА
50. Наиболее простым и обычным является тот
случай, когда силы X,Y,Z, которые согласно
допущению действуют на все точки упругой пластинки,
равны нулю и ь'огда кривизна пластинки получается
исключительно в результате действия сил,
приложенных к обоим ее концам. В этом случае
интегральные формулы, приведенные в п. 48, при замене /
К
его значением -гз дают
к ^-' '^^'j/" ^'- = G + Az-Cx,
j^dydH-^d.d^y ^H^Bz-Cy-
однако дальнейшее интегрирование этих уравнений
в общем случае, быть может, и неосуществимо*).
Если искривление пластинки производится лишь
в одной плоскости, то, приняв эту плоскость в
качестве плоскости а; и г/ и положив dy =ds sin (р и
dx =dscosf, мы можем привести первое уравнение,
которое в этом случае является единственно
необходимым, к следз^ющему виду:
d<f
ds
F -|- ^ \ sin (pds — в[ cos ф ds;
это уравнение после дифференцирования дает
-7-~ — А sin ф — В cos (
если последнее умножить на е?ф и проинтегрировать.
*) Это интегрирование было выполнено Вниз, который
исследовал даже уравнения более общего вида; к последним
он пришел, восполнив в общей сумме моментов сил упругости
член, пропорциональный вариации угла между двумя
последовательными соприкасающимися плоскостями (Comptes геп-
(lusde I'Academie des Sciences, 1844, Ire Semestre, p. 1115).
(Прим.. Бертрана.)

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ CTAtllK]! 2j ]
ТО мы получим
^ d(f^ А
отк^^да
ds
ViD + 2А cos ф +'2Й sin ф
и, следовательно,
riD -\- 2А cos ф + 2fi sin ф '
а так как из первого уравнения мы имеем F -{- Ау —
— Вх = -J—, то Получается
у = "^^зГ^ =" 'Z K2I>+2^cos9+25smf .
Таким образом теперь все сводится к тому, чтобы
проинтегрировать выражения для ds и dx. Однако эти
интегрирования связаны со спрямлением
конических сечений. Повидимому, с решением общей
проблемы упругой кривой мы до сих пор дальше не
продвинулись.
51. Рассмотрим теперь члены общего уравнения,
стоящие вне знака S. Члены эти следующие:
h"^~ — d(FdH")] 8х" + rd4"d Ьх"^
+ [Х" g' ~~ d {I"d^y") ] Ъу" + rd^y"d Ъу"+
+ [^" J^--«^(^"^^z")] 8z" + I"d4"dbz"--
— Гх' ~^у — A{ГёЧ')\ Ьх' + I'dH'dbx' --
™ [Х' g; ™ rf (/' dhj)] by' - I'd^y'd Ъу' ~
_ Гх' '^— — d {I'dH')] bz' — I'dH' d 8z';
34*

212 СТАТИКА
исчезновения этих членов следует добиться
независимо от значений Ьх", Ьу", 8z", dbx", . . .
Следовательно: 1) если нить совершенно свободна,
то коэффициенты двенадцати величин 8х", Ъу", 8z", d Ьх",
dby", d 8z", Ьх', by', bz', d Ьх', d by', d bz' должны порознь
равняться нулю.
Но из первых интегральных формул п. 48 видно,
что если интегрирование начать с первой точки нити,
то коэффициенты при Ьх', Ьу', bz' принимают
значения А, В, С, а коэффициенты при Ьх", Ьу", bz"
получают следующий вид:
A+SXdm, B+HYdm, C-fSz dm.
Таким образом в рассматриваемом случае мы должны
иметь
А=0, 5 = 0, С=0
и
SXdm=0, SYdm = 0, SZdm^O.
Далее, мы должны также иметь
I"d4" = О, I"dY=^ О, I"d^z''= О
I'd^' = О, I'dY = О, I'dH' = 0;
последнее должно иметь место для того, чтобы
исчезали члены, связанные с dbx", dby", ...; отсюда
ясно, что вторые интегральные уравнения того же
пункта дадут
F = 0, G = 0, Я = 0
и
S (dy \ X dm — dx \Y dm) = О,
S {dz \ X dm — dx\Z dm) — 0,
S{dz[Y dm — dy^^Z dm) = 0.

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 213
2) Если первый конец нити закреплен, то
Ы = О, %' = О, 8z' =; 0;
следовательно. А, В, С уже не будут равны нулю;
но условие, что коэффициенты 8а;", 8г/", 8z" должны
равняться нулю, дает
A = —HXdm, B = -~HYdm, С = ~S Z dm;
a если сверх того дано и положение касательной в
этом первом конце нити, то мы также имеем
dSx' = 0, dby'= 0, rf8z'=-0;
следовательно, F, G, Н уже не будут нулями; однако
условие, что коэффициенты d Ьх", d Ьу", d bz" должны
равняться нулю, приводит нас к следующим
соотношениям:
jF = S [E + \y dm)dx-{A+ \х dm) dy],
G == S [(С + [zdm)dx~(A + [x dm) dz],
H = S[{C -\- [ Z dm) dy ~ (B + [y dm) dz].
Совершенно таким же образом следует учитывать
состояние второго конца нити.
3) Если бы помимо сил, действующих на все точки
нити, существовали еще особые силы X', Y', Z', X",
Y", Z", приложенные к одному и к другому концам
нити, то к приведенным выше членам следовало бы
только прибавить следующие:
X' 8х' + У 8у' + Z' 8г' + X"Зж" + У" 8г/" + Z" 8z",
а если бы сверх того имелись еще и другие условия,
касающиеся концов нити, то и дальше следовало бы

214 СТАТИКА
всегда поступать точно таким же образом н соглас iio
тем же правилам.
52. Если бы мы пожелали, чтобы нить была
упруга в двух отношениях, как в смысле
растяжимости, так и в смысле гибкости, то нам следовало бы
в общем уравнении вместо члена Ь XrfSs иметь член
i^Fd^s, т. е. просто вместо X поставить F, понимая
под F силу упругости, противодействующую растя-
н<ению нити (п. 42). Однако в этом случае следует
сверх того в выражении для 8е рассматривать ds как
величину переменную; следовательно, к значению 8е,
приведенному в п. 47, надо еще прибавить два
следующих члена."
eSds d'-s8d4
ds е ds^
Тогда к значению S Е^е, указанному в том те пункте,
прибавится
ds е ds'
Но последний член сначала приводится к
следующему виду:
таким образом к значению ^ЕЬе следует прибавить
члены
Е" dV , ^ „ , Е' d4' .^,,ar,Ed''s Ее\^ ,
е" ds"^ ^ е'ds'^ "-^.^ -г^J^^ ^^^2 ^5 у
Последний член этого выражения аналогичен члену
и поэтому может быть так же преобразован;
что касается двух других членов, то в них
следует только вместо d8s подставить его значение
dx d 8х -\- dy d 8п -\- dz d 8z - -
^—2_j ^ снабдив все буквы одним и;^и
двумя штрихами,

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 215
Отсюда легко заключить, что для решения
настоящей задачи мы имеем те же формулы, что и для
случая, когда мы допускаем, что упругая нить
нерастяжима, В этих формулах следует лишь вместо X
Ed^s Ее
поставить F -\- d —-^-^ —-у- , и к членам, стоящим вне
знака |Э, прибавить два члена , r^d 8s — .777172 d^s".
Так как в уравнении кривой величина X должна
оыть исключена, то отсюда следует, что уравнение
З'пругон пластинки будет одним и тем же, независимо
от того, примем ли мы, что она растяжима или же
нет. Но натяжение нпти, выражающееся с помощью
X или с помощью F, когда нить неупруга (п. 43),
увеличится благодаря упругости на величину
, Ер d^s Е ds , , „,
d -V^ , так как е =: — (п, 49).
rfs' р ' р ^ '
§ IV. О равновесии жесткой нити заданной формы.
53. ЗаИмомся теперь случаем иерастяжпмон и
нсгибкоп нити; здесь мы будем пметь для суммы
моментов сил ту же самую интегральную формулу,
что и для случая, упомянутого в п. 28, т. е.
S (Z Sa; -|- ^ ^и + ^ Sz) dm. Далее, условие
нерастяжимости нити даст, как и в указанном выше п^-нкте,
8 rfs = 0; в силу неизгибаемости Ье = О, так как угол
смежности должен остаться постоянным. Однако, как
мы сейчас увидим, этих двух условий еще
недостаточно в том случае, когда кривая имеет двойную
кривизну.
Для того чтобы разрешить вопрос наиболее
просто и наиболее прямым путем, я отмечу, что здесь
все сводится к тому, что различные точки кривой,
образуемой нитью, постоянно сохраняют между
собою одни и те же взаимные расстояния. Поэтому,
если рассмотреть большое количество расположенных

216 СТАТИКА
друг за другом точек, координаты которых
соответственно равны
X, у, Z, а; + Aх, у -{- dy, z -\- dz, х -\- 2dx -\- d^x,
у + 2dy + d^y, z + 2dz + dH
TO ясно, что киадраты расстояний между перион па
отих точек II следз'ющимп выразятся с помощью
величин
г/а;2 + dxf -f dz^,
{2dx + d4y~ + Bdу + d'-yf -f {2dz + dH)\
Cdx + 3d4 + d^xY -f {My + Wy + d^yf +
+ {?,dz + МЧ + dHf, . . .
Для краткости положим
dx^ + dy^ -f dz^ = a,
{d^xf + {dhjY + {dHY =- P,
если приведенные величины развернуть, то они n[)ii-
мут следующпй вид:
а,
4а + 2dy. + р,
9а + 9f/a + 9^ + 3 {d4 -- 2^) -f 3rfp + у.
Но вариации этих величин должны равняться
пулю па всем протян^ении кривой, что дает
следующие неопределенные уравнения:
8а = О,
48а +28rfa + 8р = 0,
98а + 9 8 (/а + 3§р + 38 rf^^ _^ 3 8 rfp + 8у = О,
Но если 8а равно нулю, то и rf8a = 8rfa = 0;
следовательно, 8р = 0. Отсюда получается rf- 8а = 8 d^a = О,
^8р = 8б?р = 0; следовательно, 8у = О и т. ;\.

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 217
Таким образом условные уравнения для
нерастяжимости и несгибаемости нити сведутся к следующим:
8а = 0, 8р = О, 8у = О, т. е. если
продифференцировать и вместо 8rf поставить d8, то мы получим
dxdbx -\- dy d 8у -\- dz d 8z ^= О,
d'x d^ 8х + d^y d^ by + d4 d^ 8z = 0,
d4 d^ 8x + d^y d^ by + d^z d^ bz = 0,
Ясно, что для определения трех вариаций Ьх, Ьу,
bz достаточно трех из этих уравнений; отсюда прежде
всего мон^но заключить, что если мы удовлетворим
первым трем уравнениям, то и все прочие уравнения,
которых можно привести бесчисленное количество,
будут тоже удовлетворены. В этом, как мы увидим
ниже (п. 60) *), можно убедиться и путем расчета.
*) Приведенные уравнения вырансают, что а, р, у во время
перемещения кривой сохраняют одно и то же значение. Это
условие оквивалентво следующим уравнениям;
/■d^xy /d^yy fd^y^
первое из этих уравнений очевидно; второе выражает, что
кривизна рассматриваемой линии является определенной
функцией дуги s; наконец, третье уравнение, в сочетании
с двумя другими, выражает, что вторая кривизна является
определенной функцией s. Если написать условные уравнения
в указанном выше виде, отличающемся от лагранжевского
только введенными нами делителями ds^, ds*, ds^, то
вычисления остаются совершенно теми же, но только множители,
обозначенные дальше через X, [л, v, будут конечными, между
тем как согласно обозначению Лагранжа следует допустить,
что они представляют собою бесконечно малые величины
различных порядков. Было, однако, отмечено, что это последнее
обстоятельство представляет собою отрицательную сторону
способа выражения Лагран».а. В самом деле, если
воспользоваться приемом. cTojjb часто применявшимся Лаграндаем, то

218
СТАТИКА
54. Итак, с помощью нашего метода получается
следующее общее уравнение равновесия:
О = + S (Z 8а; + У 8г/ + Z Sz) dm +
+ Sx((/a;rf8a; + dydby +cZzrfSz) +
+ S [X (d'x d"" Sx + d^i/ d^ 8г/ + d-z d^ i^z) +
+ S V (d'^x d^ Sx + d^u f/3 hj + d4 d^ ?iz),
которое с помощью указанных выше преобразовапн!'!
приводится к таком}' виду:
0= ^'^[Xdm — d (X dx) + rf^ (jj, ^2^) _ ^;л (^ ^з .^^j §д^ ^
+ S [Z rfm — rf (X rfz) + d^[iid^z) - d^ (v rf» z)] 8z +
+
+
+
+
+
+
X" dx" -dill" d^x") + d^ (v" dH")] Ъх" +
\j!' d^x" — d (vV^a;")] d Ъх + v" rf^a;" rf2 g^." _^
X" rfi/" — d ([i" rf^i/") -f rf2 (V rfs^")] 5^" ^
[J." dh/ — d (v" rf»//")] d by" + v" rfS;/" d'^ 8y" +
X"rfz" — d(ii"d4") + rf2(v"d4')] bz" +
[J." rf^z" - d (v" rf^z")] rf bz" + v" rf^z" rf2 8z" _
X' rfa;' — d ([J.' rfV) + rf2 (v' ^Зд.')] §3.' _
jj,' d^jc' — d (v' rf^a;')] d ^x' — v' rf^a;' d^ Ъх -
X' rf// -dill'd^y') + rf2(V J3y')] 8;^' _
[J.' rf^i/' — rf (v' rfs;/')] d h/ — v' d^y' d^ by -
X' dz' ~ d iii'd^z') + d^ (V rfV)] 8z' —
jj,' rf2z' _rf (v' rfsz')] rf Sz' — v' rfV rf28z'.
множители X, [Л, V выразят те силы, которые стремятся
изменить функции а, C, y; в таком случае должно показаться
странным, что эти силы бесконечно малы, и в особенности,
что достаточно чисто алгебраического преобразования д.пя
того, чтобы они приняли конечные значения. Однако эта
особенность станет понятной, если мы примем во внимание, что
обычно коэффициентам X, у., v не присваивают названия сил,
принятого для них только в обычной фигуральной речи Ла-
гранжа. Мы несколько раз указывали, что этого выражения
не следует понимать в буквальном смысле (см. примечание
к п. 9 отд. II, стр. 60). (Прим. Бертрана.)

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 219
55. Приравняв сначала нулю коэффициенты
вариаций 8х, 8)j, Sz под знаком S, мы получим три
следующих неопределенных уравнения:
Xdm — d (xdx) + d^ (iidH) — rf^(yd^^) = 0,
Y dm — d{X dy) + d^ {\l d^y) — d^ (v dhj) = 0,
Zdm — d(Xdz) + d^didH) — d^-^ d^z) = 0,
которые содержат в себе три неопределенные
переменные величины X, [J., V и служат только для
определения этих величин. Таким образом здесь нет
неопределенных уравнений между различными силами
X, Y, Z, которые согласно допущению прилон^епы
ко всем точкам стержня и, следовательно, условия
равновесия будут зависеть только от членов,
находящихся вне знака S. Но так как эти члены
содержат в себе неизвестные величины X, [i, v, то следует
начать с определения этих неизвестных.
Для этого следует приведеипые выше уравнения
проинтегрировать, что легко сделать, и тогда мы
получим три следз'ющих уравнения:
[Xdm — Xdx + d(iid4)—d^{^d^x) = А,
^Ydm — Xdy + d (iid^y)—d^-^d^y) = В,
Izdm—Xdz +d(iid4) —d^^dH) = C,
где A, В, С — три произвольных постоянных.
Исключив теперь X, мы получим три уравнения
dy \ X dm —dx \У dm -\- dy d(iid^x) —
— dxd{\Ld^y)—dyd^{4dH)^dxd^{4 d^y) =Ady — Bdx,
dz\X dm — dx\Z dm -{- dz d(ii d^x) —
— dxd{iLd^z)—dzd^{-^dH) + dxd^4 dH) =Adz — C dX:
dz\Y dm — dy \Z dm -f- dz d{\id^y) —
— - dy d ([J. d^z) —dz d^ (v d^y) + dy d^ (v dH) =Bdz — C dy.

220 СТАТИКА
которые тоже могут быть проинтегрированы, после
чего получается
ij{Xdm~x{Ydm—\^ {Ху — Yx) dm +
+ II (dy d^x — dx d^y) — dyd (v dH) + dxd (v d^y) +
+ V [d^ydH — d4 d^y) =Ay — Bx+ F,
zKXdm — X Kzdm — \ {Xz — Zx)dm -f
+ [J. {dz d^x - dxd^z) — dzd (v d^x) + dxd (v dH) +
+ V [dH d^x — d^x dH) = Az — Cx +G,
z'iYdm — y {Zdm—^(Yz — Zy)dm +
+ II (dz d^y — dy d^z — dzd (v d^y) + dyd (vrf^z) +
+ V {d^zd^y — dhjdH) =Bz — Cy + H;
здесь F, G, H представляют собою новые
произвольные постоянные.
Три последних уравнения послужат для
определения трех величин [j., v и d\, а три первых интеграла
уравнений дадут значения X, d\L, d^\. Этим путем
у нас будут определены все неизвестные величины,
входящие в состав членов, стоящих вне знака S. Для
этого следует в шести найденных нами уравнениях
отметить одним штрихом или двумя все буквы, за
исключением произвольных постоянных, затем в
первом случае положить равными нулю величины,
снабженные знаком \ , считая их отнесенными к первой
точке нити, во втором же случае заменить у этих
величин \ знаком S, с тем, чтобы отнести их к
последней точке нити.
56. На основе изложенного определим теперь
условия, какие могут получиться в результате
уничтожения членов общего уравнения равновесия (п. 54),
стоящих вне знака S.

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 021
Прежде всего, если мы допустим, что стержень
совершенно свободен, то все вариации 8х', 8г/', 8z',
d8x', dby', dbz', d^bx , d^by', d^bz' и Ъх", Ъу",
bz", dbx", . ■. будут неопределенными; следовательно,
каждый из коэффициентов при них надо
приравнять нулю; ясно, что тогда величины Х', \l , V, d\L ,
dV, dW, a также X", у.", v", dii", dV, dW должны
равняться нулю.
Первые три интеграла предыдущего пункта,
будучи отнесены к первой и последней точкам нити, дадут
следующие шесть условий:
Л = 0, 5 = 0, 6' = О,
HXdm^A, HYdm^B, HZdm=C;
Последние три интеграла в свою очередь дадут
следующие шесть уравнений:
Ау' —Вх' +F =0,
Az' — Cx'-G = 0,
Bz' -Су' + Н=0;
y"S Xdm- x"S Ydm — H(Xy— Yx) dm = Ay"— Bx'+F,
z"SXdm — x"HZdm—H(Xz — Zx) dm =Az"- Cx"+G,
z"S Y dm— y"H Zdm — '^(Yz— Zy) dm = Bz"—Cy" + H.
Следовательно,
A=0, 5 = 0, C=^0, F = 0, G = 0, /7 = 0,
a потому
HXdm = 0, S{Xy-Yx)dm=::0,
HYdm = 0, H{Xz — Zx)dm = 0,
HZdm^O, ^ {Yz — Zy)dm = 0.
Таким образом последние шесть уравнений
являются единственно необходимыми для равновесия

222 СТАТИКА
негибкого стерн{ня, если последний не имеет
неподвижной точки. Сказанное совпадает с тем, что мы
установили выше (п. 25); это могло бы быть
выведено и непосредственно из теории, изложенной
в отделе III, что и было нами отмечено в
упомянутом пункте.
57. Теперь предположим, что на стерн^не имеется
одна неподвижная точка, причем этой то'^кой является
первый конец стерн^ня. В таком случае мы будем
иметь
8х' = О, 8/ = О, 8z' = 0;
таким образом члены, в состав которых входят эти
вариации, сами собою исчезнут; следовательно,
достаточно приравнять нулю коэффициенты вариаций
d^x', dby, dbz', d4x!, d4y', d4z', a также
коэффициенты вариаций Ъх", Ъу", bz", d Ъх", d by", . ■ ■
Но легко видеть, что для этого достаточно будет,
как и в предыдущем случае, положить [j.' = О, v' = 0,
dV = О и затем
Х" = 0, [i" = 0, v" = 0,
d^i" = О, rfv" = О, dW = 0.
Тогда мы найдем те же условия, что и в пре-
дыдущехм пункте, по только при этом Л, В, С уже
не будут равны пулю.
Итак, мы будем иметь А :=7^Хdm, В — SY dm,
C^hZdm и дальше
F = Bx' — Ay', G = Cx' — Az', H = Cy' — Bz';
три других уравнения примут тогда следу1ош;ий вид:
— S (Хг/ — Yx) dm = Вх' — Ay ,
— S (Zz — Zx) dm = Cx' — Az',
— S {Jz — Zy)dm = Cy' — Bz',

PA3PEUIKHIIE РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 223
ИЛИ, иначе,
Ь (X)j — Fa;) dm -\- х N Y dm — ^/' S X dm = О,
S (Xz — 7,x) dm + a;' h Z dm — s' S A' dm. = 0,
S {Yz — 7.]i) dm -f ?/' S Z dm — z' S У dm = 0,
или, что то /Ке,
S \Х (у — у') — Y{x — х')] dm = О,
S [Z (Z -- z') — Z[x — х')] dm = О,
S [У B — Z') — Z[y~ у')\ dm, = 0.
Таковы уравнения, единственно необходимые для
равновесия; ясно, что они соответствуют уравнениям,
найденным в пуп1чте 24.
58. Если бы стержень в своей nepBoii точке был
закреплен таким образом, что неподвижной
оставалась бы не только первая точка, но и касательная
в этой точке, тогда мы имели бы не только Ьх = О,
Ц' = О, bz' = О, но и
bdx' = d Ьх =0, bdy' = d Ц' = 0, bdz' ^d bz' = 0;
следовательно, все члены, s состав которых входят
эти величины, сами собою исчезли бы, и нам
оставалось бы лишь добиться исчезновения членов,
в состав Которых входят вариации d^8x', d^by', d^bz'
и Ъх", by", bz", dbx", doy",...
Таким образом в данном случае мы имели бы
только нижеследующие условия:
v' = 0, Х" = 0, [^" = 0, v" = 0,
f/[i." = О, dv" = О, dW = 0;
следовательно, и здесь постоянные .4, В, С будут
иметь значения
.4 = SXdm, В ~Hy dm, С — о Zdm;

224 СТАТИКА
далее, если три последних интеграла пункта 55
применить к последней точке стержня, то они дадут
F =^S(Yx — Xy)dm,
G = h(Zx — Xz) dm,
H = S{Zy — Yz)dm.
A если те тс уравнения применить к первой точке,
то мы будем иметь
li' {dy'dH' —dx'd^y')—d^" {dy'dH' — dx'd^y') =
= Ay'-Bx' + F,
[J.' {dz'dH' ~ dx'd^z') — dV {dz'd^x' — dx'd^z') =
= Az' — Cx' + G,
[J.' {dz'd^y' — dy'd4') — dV {dz'd^y' — dxj'dH') =
= Bz'-Cy' ^H,
откуда, no исключении ]x и rfv', получится
следующее уравнение:
A {y'dz' — z'dy') + В {z'dx' — x'dz') +
-[- С {x'dy' — y'dx') -b F dz' — Gdy' -{- Hdx' ='0.
Таково уравнение, необходимое для того, чтобы
предотвратить вращение стержня вокруг его первой
касательной, которая согласно допущению остается
неподвижной; легко видеть, что в том случае, когда
стержень образует прямую линию, первый член этого
уравнения превращается в нуль.
59. Как на недостаток нашего метода можно было
бы указать на пространность приведенного выше
решения, которое действительно длиннее решения,
данного для гибкой нити; между тем, при
пользовании обычными методами последняя задача
представляется Гораздо более трудной, чем задача о
равновесии жесткого стержня, находящегося под
действием любых сил; происходит это от того, что
при разрешении задачи о гибкой нити приходится
определять путелМ сложения сил форму кривой,

РЛЗРЕИ1ЕНИЬ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 225
какую нить должна принять для того, чтобы
находиться Б равновесии; в случае же стержня эта
кривая бывает задана, и для равновесия требуется
лишь, чтобы моменты сил обратились в нуль. Но
когда мы ставим себе целью при разрешении
всех проблем пользоваться единообразным
приемом и переходить от одной проблемы к другой
последовательно, по мере прибавления новых
условий, то ясно, что случай негибкой нити менее прост,
чем случай гибкой нити, так как несгибаемость
выражается аналитически постоянством взаимных
расстояний между точками ньти. И если в настоя-
ш;ем случае, когда кривая задана заранее, она уже
не является результатом расчета, как в случае
гибкой нити, то это обстоятельство должно быть
отмечено анализом и действительно отмечается тем, что
в трех неопределенных уравнениях относительно x,y,z,
указанных в п. 55, остаются три произвольные
величины X, [L, V, так что эти уравнения могут быть
применены к любой заданной кривой. Таким
образом на указанные уравнения не следует смотреть
ь"ак на бесполезное излишество; кроме того, что они
служат для определения трех неизвестных X, \i, v,
от которых зависят условия равновесия, они
одновременно выражают *) силы, противодействующие
тому, чтобы значения трех функций а, р, у
изменялись под действием сил, приложенных к нити.
Конечно, три неопределенные величины X, [j., v
должны быть заменены тремя условными
уравнениями, выражающими тот факт, что
дифференциальные функции а, р, у следует рассматривать как
заданные. Но так как в силу природы
дифференциального исчисления абсолютное значение
дифференциалов остается неопределенным и задано
может быть только их отношение, то эти три
*) См. примечание к пункту 53 (стр. 217). [Прим.
Бертрана.)
15 ж. л 1гранж, т. I

226 СТАТИКА
условиядолжны бытьэквивалентнымй лишьдвум
уравнениям, со держащим отношения трех величин а, р,у;этих
двух уравнений достаточно для определения кривой.
Действительно, из выпеденного выше (п. 46) ясно,
что угол смежности, образованный двумя
последовательными элементами кривой, равен
К4аC — da?
Т^
где а, р, у сохраняют значения, указанные в пункте 53;
таким образом радиус кривизны выражается чероз
2а К^ _
VCx^ — da?
Следовательно, так как этот радиус предполагается
заданным, то и форма кривой, если она простой
кривизны, дана; если же это—кривая двойной кривизны,
то нетрудно доказать, что вторая кривизна,
происходящая от угла смежности, образуемого двумя
плоскостями, проходящими через два соседних элемента
кривой, зависит от отношения трех величин: а, р, у *).
Таким образом рассматриваемые три условия,
относящиеся к кривой, сводятся к тому, что эта кривая
должна быть задана, как это и предполагается
по условиям задачи **).
Анализ этой задачи можно было бы
распространить и на случв!! поверхности или твердого тела,
*) Вторая кривизна зависит также и от rffi. (Прим. Вер-
трана.)
**) Изложенные выводы показывают, что две кривые
совместимы, если в обепх кривых радиусы первой и второй
кривизны выражаются одними и темп же функциями дуги.
Следовательно, если в обеих кривых радиусы постоянны и
соответственно равны ме.жду собою, то эти кривые идентичны; а так как
всегда можно определить винтовую линию, имеющую
заданные радиусы кривизны, то всякая кривая, у которой
радиусы кривизны постоянны, представляет собою винтовую
линию. Многие геометры дали изящное доказательство Зтой
теоремы. См. две статьи, одну - Пюизё (Puiseux) и вторую
Серро (Scrret) в Journal de Math6rnatiques do Liouville, l"'^'*^
serie, t. VII, p. 65 и t. XVI, p. 193. (Прим. Иертрана.)

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 227
все точки которых находятся под действием любых
сил; но мы покажем, как его можно упростить,
исходя из тех же условных уравнений и определив
заранее с их помощью вид вариаций координат.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.
О РАВНОВЕСИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА КОНЕЧНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ И ЛЮБОЙ ФОРМЫ, ВСЕ ТОЧКИ КОТОРОГО
НАХОДЯТСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЛЮБЫХ СИЛ.
60. Так как условие твердости тела заключается
в том, что все точки его постоянно занимают в нем
одни и те же положения и сохраняют неизменными
взаимные свои расстояния, то между вариациями 8а;,
Si/, 8z мы имеем те же условные уравнения, какие
были найдены в пункте 53; ведь ясно, что если мы
представим себе внутри этого тола какую-либо
кривую, то достаточно, чтобы все точки этой кривой
сохраняли неизменными взаимные свои расстояния,
как бы тело пи двигалось; таким образом с помощью
указанных уравнений можно непосредственно
определить значения интересующих нас вариаций.
С этой целью я обращаю внимание на то
обстоятельство, что если мы перейдем к дифференциалам
второго порядка, то всегда можно один из
дифференциалов первого порядка считать постоянным;
допустим поэтому, что dx—постоянное число; тогда-,
следовательно, d^x = 0, d^x = 0,...; благодаря этому
второе и третье уравнения примут следующий вид:
d^yd4y -f d4 d4z = 0 и d^y d^8y + dH d4z = 0.
Первое из этих уравнений дает сначала d'^Sy =
= —--7^ d^bz, а затем после дифференцирования
15*

228 СТАТИКА
Если это выражение подставить во второе уравнение,
то оно будет делиться на d^z ^— и после
деления получится
d^bz — 4/- d4z = 0;
откуда путем интегрирования получается
d4z = 8L d^y,
где SL — постоянная величина. Имея значение d^z,
мы ползучим
d4y =—ЬЬ d4.
Если мы снова проинтегрируем и дополнительно
г!ведеи постоянные — ЬМ dx, ЬМ dx, то мы будем
иметь
dbz = ЬЬ dy — ЬМ dx, dby = — bLdz + bNdx,
а эти величины, будучи подставлены б первое
условное уравнение, т. е. в
dx d Ьх -\- dy d Ьу -{• dz d bz = О,
приведут его к следующему виду:
dbx= —bNdy + bMdz.
Наконец, после третьего интегрирования и после
введения трех новых постоянных Ы, Ьт, Ьп мы
получим
Ьх=Ы — ybN + zbM,
by = bm + xbN — z8L,
bz = Ьп — хЬМ + уЬЬ.
Легко убедиться в том, что эти выражения
удовлетворяют не только первым трем условным
уравнениям, указанным в пункте 53, но и всем другим,
каких можно было бы найти бесчисленное множество;

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 229
все эти уравнения заключаются в следующем общем
выражении:
d"xd"^x + d"yd4y + d"zd'^8z = 0.
Таковы, следовательно, значения 8а;, 8г/, 8z для
любой системы точек, связанных между собою таким
образом, что они постоянно сохраняют одни и те же
взаимные расстояния; поэтому указанные значения
служат не только для случая любой подвижной
кривой неизменной формы, но и для случая твердого
тела, имеющего какую угодно форму.
Эйлер впервые нашел эти простые и изящные
формы — для того, чтобы выразить вариации
координат всех точек твердого тела, движущегося в
пространстве. Он пришел к ним на основании
соображений, выведенных из дифференциального исчисления,
по отличных от тех, которыми мы воспользовались,
и, как мне кан^ется, менее строгих *). См. в томе
Берлинской академии за 1760 г. мемуар: Decouverte
d'un nouveau principe de mecanique.
61. Так как приведенные выше значения 8а;, 8г/, 8z
уже удовлетворяют условным уравнениям задачи, то
ясно, что остается только подставить их в выражение
S{XSx+Y8y + Z Sz) dm
и добиться того, чтобы оно было равно нулю
независимо от единственно оставшихся неопределенными
величин Ы, 8т, Пп, 8L, SM, Ш.
Но эти величины являются общими для всех
точек тела, поэтому при подстановке их следует
вывести за знак S; тогда, следовательно, мы получим
*) Доказательство Эйлера действительно является менее
прямым, чем доказательство Лагранжа; но мне не удалось
установить точки зрения, исходя из которой Эйлера можно было
бы обвинить в недостаточной строгости его доказательства.
(Прим. Бертрана.)

230 СТАТИКА
следующее общее уравнение равновесия для твердого
тела любой формы
mSXdm+8m^Y ёт+Ы^гdm+ШS(Yx—Xy)dm+
+ ЬМ S {Xz — Zx) dm + 8L S {Zij — Yz) dm = 0,
откуда выводятся особые уравнения равновесия в
соответствии с различными условиями задачи.
62. Во-первых если мы допустим, что тело
совершенно свободно, то все шесть вариаций 8/, 8т,
Ьп, ЬЬ, ЬМ, 87V будут неопределенными, и тогда
следует отдельно приравнять нулю величины, па
которые эти вариации умножаются; это даст нам ужо
известные шесть уравнений
^Xdm^Q, ^Ydm~0, hZdm^O,
8 (Yx — Xy) dm = 0, 8 (Xz — Zx) dm = 0,
S{Zy — Yz)dm = 0.
Во-вторых, если тело имеет одну неподвижную
точку, вокруг которой оно может свободно вращаться
во всех направлениях, то, назвав а, Ь, с координаты
X, у, Z этой точки, мы должны иметь
8а = О, 86 = 0, 8с = 0.
Следовательно,
Ы — ЬШ + сПМ = 0, Пт-сПЬ + аШ = 0,
откуда получается
8l = b8N-c 8Л/, 8m = cSL-aSN, 8к = aSM — Ь 8L.
Подставим эти значения в общее уравнение
предыдущего пункта и, подведя под знак ]§ величины
«, 6, с, явдяющиссп постоянными по отношению к

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 931
различным точкам тела, мы получим следующее
преобразованное уравнение:
+ 8Л- S [Y {JC - а) - X {у - Ь)] dm +
-f ЬМ ^ [X {z-c) — Z [х - а)] dm -f
-f 8L S [2 (// - 6) - У (z -. с)] dm = О,
из которого люичио получить три уравнения, а именпо;
8 [F (х — а) — Jt (г/ - Ь)] dm = О,
S [X (Z — c)—Z(x — а)] dm = О,
^[Z(y-b)-Y{z-c)]dm^O.
В-третьих, если тело имеет две неподвижные точки
и /, g, h представляют собой координаты х, у, z
второй точки, то мы будем Плметь
и = g bN - h ЬМ, bm = hbL — f bN, 8n = fnM — gSL;
сравнив эти значения 8/, Вт, 8/г с приведенными вы-
п1с, мы ползучим
ig — b) m—ih — с) 8М = О, (/ — а) 87V - (Л — с) 8L= О,
(/ ~а)8М -(g- Ь) 8L = 0.
Первые два из этих уравнений дадут
8L = ^ 87V, 8У1/ = 1—^ 87V;
h — с ' h — с
так как эти значения удовлетворяют и третьолгу
ура!П(ению, то отсюда следует, что вариация bN
остается неопределенной.
Если произвести эти подстановки н найденное bf.i-
ше преобразованное уравнение, то мы пол^^чим
[+ (А — с) S \Y (х-а)- X (у - Ь)] dm\
8.V . + (^? - 6) S [X (Z -^ с) -Z(x- а)] dm 1 = 0;
(+(/-«)S[2(y -b)-Y{z-c)]dmj

232 СТАТИКА
таким образом условия равновесия будут заключаться
в следующем единственном уравнении:
+ (k~c)S[Y{x-a)-X{y-b)]dm +
+ {g-b)S[X{z-c)-Z(x~a)]dm +
+ (f-a)^[Z(y-b)-Y (г -с)] dm = 0.
63. Эти уравнения соответствуют тем
уравнениям, которые мы дали раньше в отделе III для
равновесия изолированной системы точек
неизменяемой формы; мы могли бы условия этого равновесия
непосредственно применить к условиям равновесия
твердого тела любой формы, все точки которого
находятся под действием заданных сил. Но мы
сочли небесполезным, в целях демонстрации
плодотворности нашего метода, рассмотреть эту задачу
особо и совершенно не пользуясь решенными
раньше задачами.
Впрочем, если бы две точки тела, ютторые
предполагались неподвижными, в действительности
двигались по заданным линиям или поверхностям,
или же были бы связаны друг с другом каким угодно
образом, то мы тогда имели бы еще одно или
несколько дифференциальных уравнений между
вариациями координат а, Ь, с, /, g, k, соответствующих
этим точкам; подставив вместо этих вариаций их
выражения через 8/, Вт, 8п, SL, SM, SN, на основе
общих формул пункта 60, мы получили бы столько
уравнений между этими последними вариациями,
сколько нужно для того, чтобы с их помощью
определить некоторые из этих вариаций при посредстве
остальных; подставив затем эти значения в общее
уравнение и приравняв нулю каждый из
коэффициентов оставшихся вариаций, мы получили бы все
уравнения, необходимые для равновесия.
Ход вычислений, как видим, остается все время
одним и тем же. Это именно и следует признать одним
13 гдавнейшизс преимуществ данного метода,

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ 233
64. Найденные выше (п. 60) выражения для
вариаций 8а;, 8г/, 8z позволяют видеть, что эти вариации
представляют собою не что иное, как результат
поступательных и вращательных движений, которые
мы особо рассмотрели в отделе III.
Действительно, ясно, что члены 8Z, Ьт, Ьп,
являющиеся общими для всех точек тела, представляют
собою малые пути, пробегаемые телом по
направлениям координат X, у, z при наличии какого-либо
поступательного движения; из формул пункта 8 того
же отдела можно также увидеть, что члены z ЬМ—у 87V,
xbN—z8L, уЬЬ — хЬМ представляют собою малые
пути, проходимые по тем же направлениям каждой
точкой тела вследствие вращательных движений 8L,
8i¥, bN вокруг трех осей х, у, z; эти величины 8L,
ЬМ, 87V соответствуют величинам е?ф, rfw, rf<p упомя-.
нутого выше пункта. Таким образом приведенные
выше выражения можно было бы получить и
непосредственно, исходя только из рассмотрения этих
движений, что, правда, было бы проще, но
представляло бы собою менее прямой путь. Изложенный н<е
выше анализ приводит естественно к этим
выражениям и этим доказывает более прямым путем и в
более общем виде, чем это было сделано в пункте
10 отдела III, что, когда различные точки системы
постоянно сохраняют неизменным свое взаимное
положение, система в любое мгновение может иметь
только поступательное движение в пространстве и
вращательное движение вокруг трех взаимно
перпендикулярных осей [1®].

^54!^:;^±::^5^zl^^'c^s:;^F==S:J^^>^
ОТДЕЛ шестой.
О ПРИНЦИПАХ ГИДРОСТАТИКИ.
Хотя мы не знаем внутреннего строения н^идкостей,
тем не менее мы но меняем сомневаться в том, что
частицы, из которых они состоят, материальны и что
поэтому законы равновесия применимы к жидкостям
в такой же мере, как и к твердым телам.
Действительно, основное свойство жидкостей, и притом—
единственное, отличающее их от твердых тел,
заключается, в том, что все части их уступают малейшей
силе и могут перемещаться друг относительно друга
со всей возможной легкостью, независимо от того,
какая связь и взаимодействие существуют между
этими частями. Так как это свойство может быть
легко выражено математически, то отсюда следует,
что законы равновесия н^пдкостен не требуют особой
теории и представляют собой лишь частный случай
общей теории статики. С этой именно точки зрения
мы и буде.м их рассматривать; но мы полагаем, что
нам следует начать с изложения различных
принципов, которые применялись до сих пор в этой
части статики, которую обычно называют
гидростатикой, с тем, чтобы дополнить анализ принципов
статикп, который мы дали в перво.м отделе.
1. Первыми принципами равновесия жидкостей мы
обязаны еще Архимеду. Его трактат «De insidentibus
humido> в греческом оригинале до нас не дошел;
существовал только .чатинский перевод, довольна

о ПРИНЦИПАХ СЦДРОСТЛТИКП 235
дефектный, составленный Тартальей (Tartalea), пока
Комыандин (Commendin) не занялся его
восстановлением и пояснил его примечаниями; благодаря
стараниям этого ученого комментатора указанный перевод
появился в 1565 году под названием «De iis quae
vehuntur in aqua».
Это произведение, которое можно рассматривать
как одно из наиболее ценных наследий древности,
состоит из двух книг. В первой из них Архихмед
излагает следующие два приппипа, к-оторые он
рассматривает как опытные начала и на которых он
основывает всю свою теорию: 1) природа жидкостей
такова, что менее сн^атые части их выталкиваются
более сжатыми и каждая часть жидкости всегда
сжимается весом соответствующего ей вертикального
столба; 2) все, что выталкивается жидкостью вверх,
всегда выталкивается по вертикальному направлению,
проходящему через центр тян^ести.
Из первого принципа Архимед прен^де всего
заключает, что поверхность жидкости, все части которой
согласно предположению тяготеют к центру Земли,
должна иметь сферическую форму для того, чтобы
жидкость находилась в равновесии. Далее, он
доказывает, что тело, имеющее такой же вес, как равный
ему объем жидкости, долнгно полностью погрузиться
в н^идкость; ибо если представить себе две равные
пирамиды рассматриваемой жидкости, которая согласно
допущению находится в равновесир! по отношению к
центру земли, то та пирамида, в которую тело только
частично погрузилось, производила бы большее
давление на центр земли или вообще на любую сферическую
поверхность, которую мы представили бы себе
описанной около центра. Аналогичным образом он
доказывает, что тела, вес которых меньше веса равного
объема жидкости, могут погрузиться в я,у жидкость
лишь настолько, что погруженная часть их займет
объем жидкости, имеющей вес, равный весу всего
тела. Отсюда он выводит две теоремы гидростатики,
а именно: 1) тела более легкие, чем равный им объем

236 СТАТИКА
жидкости, будучи погружены в эту жидкость,
выталкиваются вверх с силой, равной превышению веса
вытесненной жидкости над весом погруженного тела,
п 2) тела более тяжелые, чем жидкость, теряют
в последней часть своего веса, равную весу
вытесненной жидкости.
Далее Архимед пользуется своим вторым принципом
для того, чтобы установить законы равновесия тел,
плавающих на жидкости. Он доказывает, что каждое
сечение шара, более легкого, чем равный ему объем
жидкости, на которой он плавает, обязательно долнлно
расположиться таким образом, что основание его будет
горизонтально; его доказательство заключается в
следующем: он указывает, что если бы основание
оказалось наклоненным, то вес всего тела, который мы
можем себе представить сосредоточенным в его центре
тяжести, и вертикальное давление н^идкости, которое
мы тоже можем себе представить сконцентрированным
в центре тяжести погруженной части тела,
стремились бы всегда повернуть тело до тех пор, пока его
основание не заняло бы горизонтального положения.
Таковы вопросы, рассматриваемые в первой книге
Архимеда. Во второй книге Архимед, на основе тех
же принципов, дает законы равновесия различных
тел, получающихся от вращения конических сечений
и погруженных в жидкости, обладающие большим
весом, чем эти тела; он рассматривает случаи, когда
эти коноиды могут оставаться в наклонном положении,
случаи, когда они должны сохранять свое отвесное
положение, а также случаи, когда они должны
опрокинуться или же выпрямиться. Эта книга является одним
из прекраснейших памятников гения Архимеда, она
содержит теорию устойчивости плавающих тел, к ко-
торой современные ученые прибавили очень немного.
2. Хотя после всего того, что было установлено
Архимедом, уже не представляло особого труда
определить давление жидкости на дно или на стенки
сосуда, в котором эта жидкость содержится, тем не
менее только Стевип впервые предпринял эти иссле-

в ПРИНЦИПАХ ГИДРОСТАТИКИ 237
дования и открыл гидростатический парадокс,
заключающийся в том, что жидкость MOHteT производить
давление, гораздо большее собственного ее веса.
Гидростатическая теория Стевина помещена в третьем
томе «Hypomnemata mathematica», переведенных
Снеллиусом (Snellius) с голландского языка и изданных
в Лейдене в 1608 году. Доказав, что твердое тело
любой формы, имеющее вес, равный весу воды,
будет в последней находиться в равновесии в любом
положении, так как оно будет всегда занимать
одинаковое место и будет весить столько же, сколько
оно весило бы, если бы оно было составлено из
воды, — Стевин представляет себе наполненный водою
прямоугольный сосуд и легко доказывает, что дно
этого сосуда должно поддерн^ивать всю тяжесть воды,
наполняющей сосуд. После этого Стевин допускает,
что в этот сосуд погрузили любой формы твердое
тело, имеющее вес, равный весу воды; тогда ясно,
что давление останется неизменным. Следовательно,
если твердому телу придать такую форму, что
останется только канал жидкости любой формы, то
давление этого канала на основание сосуда останется тем
же и, следовательно, оно будет равно весу
вертикального столба воды,опирающегося на то же основание. Далее
Стевин указывает, что если допустить, что
упомянутое твердое тело неподвижно закреплено на своем
месте, то это не может вызвать какого-либо изменения
действия воды на основание сосуда; таким образом
давление на дно сосуда всегда равно весу того же
столба воды независимо от того, какова форма сосуда.
После этого Стевин переходит к определению
давления жидкости на вертикальные или наклонные
стенки сосуда. Он делит поверхность стенок е
помощью горизонтальных линий на ряд мелких частей
и показывает, что каждая подобная часть находится
под давлением, большим того, какое испытывала бы
эта часть, если бы она лежала горизонтально на
высоте своего верхнего края, но в то же время
меньшим того, какое она испытывала бы, если бы лежала

238 СТАТИКА
горизонтально на высоте своего нижнего края. Отсюда,
уменьшая величину этих частей и увеличивая их
число до бесконечности, Стевин по способу пределов
доказывает, что давление на плоскую наклонную
стенку равно весу столба, имеющего своим
основанием эту стенку, а высотой — половину высоты сосуда.
Далее он определяет давление па любую часть
наклонно!! плоской стенки и устанавливает, что оно
равно весу столба воды, который образовался бы,
если бы в каждой точке этой части были восставлены
перпендикуляры, равные глубине погружения этих
точек под поверхностью воды. После того как эта
теорема доказана для плоских поверхностей,
расположенных каким угодно образом, ее легко
распространить и на кривые поверхности, и па основании
этого притти к общему выводу, что давление,
производимое весомой жидкостью на любую поверхность,
измеряется весом столба этой жидкости, имеющего
своим основанием эту поверхность (в случае
необходимости ее можно превратить в плоскость), высота
же этого сто.иба для различных точек основания
неодинакова: в каждой точке основания она равна
расстоянию ЭТ011 точки от поверхности жидкости или,
что по существу то же, это давление измеряется всем
столбом жидкости, имеющим своим основанием
поверхность, испытывающую на себе давление, а
высотой — вертикальное расстояние центра тяжести той
н^е поверхности от верхнего уровня жидкости *).
3. Как видим, приведенные выше теории равновесия
и давления жидкостей совершенно не связаны с
общими принципами статики; они основаны лишь на
опытных положениях, выведенных из наблюдений
над особыми свойствами жидкостей. Этот метод
обоснования законов гидростатики, заключающихся в
гом, что из некоторых законов, полученных окспери-
*) По отношению к давлению на кривые поверхности это
положение неверно. Автор по недосмотру не отметил здесь
этого обстоятельства, (Прим. Бертрана.)

о ПРИНЦИПАХ ГИДРОСТАТИКИ 239
ментальным путем, выводят затем все прочие законы,
был воспринят большинством новейших авторов,
благодаря чему гидростатика является дисциплиной,
совершенно отличной и независимой от статики.
Тем не менее представлялось естественным
попытаться связать между собою эти две дисциплины
II подчинить их одному и тому же принципу. Однако
ясно, что из числа различных принципов, которые
могут быть использованы в качестве базы для статики
и которые мы вкратце изложили в первом отделе,
только один принцип виртуальных скоростей может
быть естественно применен к равновесию жидкостей.
И действительно, автор этого принципа—Галилей-—
воспользовался им для обоснования главнейших теорем
статики и гидростатики.
В своем «Discorso intorno alle cose, chc stanno in
sii I'acqua, о che in quella si muovono» («Диалог о
предметах, которые находятся иа воде или которые в
ной движутся») он выводит непосредственно из этого
принципа равновесие воды в сифоне, доказывая,что если
допустить наличие равных высот жидкости в обоих
коленах, то жидкость не будет снижаться в одном колене
и подниматься в другом без того, чтобы моменты в
снижающейся и поднимающейся частях жидкости были
между собою равны. Аналогичным способом Галилей
обосновывает равновесие жидкостей с погруженными
в них твердыми телами. Следует, конечно, признать,
что его доказательства недостаточно строги и, хотя
их пытались дополнить в примечаниях, приложенных
к флорентийскому изданию 1728 г., можно сказать,
что они оставляют желать еще многого. Декарт и
Паскаль (Pascal) тоже применили в гидростатике
принцип виртуальных скоростей; последний особенно
широко использовал этот принцип в своем «Traite de I'equi-
libre des liqueurs («0 равновесии жидкосте!!»), где он
применил его для доказательства основного свойства
жидкостей, заключающегося в том, что любое давление,
приложенное к какой-либо точке их поверхности, пе-
реда|тся равномерно всем другим точкам.

240 СТАТИКА
4. Однако указанные применения принципа
виртуальных скоростей были еще слишком гипотетичными
и, если можно так выразиться, слишком робкими
(laches), чтобы послужить основой для разработки
строгой теории равновесия жидкостей. Но с того
времени указанный принцип был оставлен большинством
авторов, писавших о вопросах гидростатики, и
особенно теми из них, которые поставили себе целью
расширить пределы этой отрасли знания и найти законы
равновесия разнородных жидкостей, все части
которых находятся под действием каких-либо сил; эти
исследования особенно важны потому, что они
находятся в связи с знаменитой проблемой о форме Земли.
Гюйгенс *) принял в своем исследовании в
качестве принципа равновесия положение о
перпендикулярности тяжести к поверхности. Ньютон **) исходил
из принципа равенства весов центральных столбов.
Буге ***) (Bouguer) позднее отметил, что указанные
два принципа зачастую не приводят к одному и тому
же результату, и на основании этого пришел к
выводу, что для равновесия жидкой массы необходимо,
чтобы оба принципа осуществлялись одновременно и
согласованно приводили к той же самой форме
поверхности жидкости. Однако Клеро (Clairaut) ****) дальше
показал, что могут быть и такие случаи, когда
указанная согласованность существует, а равновесия
все-таки нет. Маклорен (Maclaurin) *****) обобщил
принцип Ньютона и выдвинул положение, согласно
которому у жидкой массы, находящейся в равновесии,
каждая частица должна сжиматься одинаково всеми
прямолинейными столбами жидкости, опирающимися
на эту частицу и заканчивающимися на поверхности.
Клеро еще больше обобщил этот принцип, показав, что
*) См. Dissertatio de causa gravitatis, additamentum; Opera
posthuma, t. II, p. 116.
**) Principia, Lib. Ill, propos. 19.
***) Memoires de I'Academie de Sciences, 1734.
****) Theorie de la figure de la Terra, p. 28, 2 Ed., Paris, 1808.
*****) Traite de fluxions, t. II, p. 110. Paris 1749. (Прим.
Бертрана.)

о ПРИНЦИПАХ ГИДРОСТАТИКИ 241
равновесие жидкой массы требует, чтобы силы,
приложенные ко всем частям жидкости, заключенным в
любой трубке, заканчивающейся на поверхности или же
замкнутой, взаимно уничтожались. Наконец, он
впервые вывел из этого принципа истинные основные
законы равновесия жидкой массы, все части которой
находятся под действием каких-либо сил, и нашел
уравнения в частных дифференциалах, с помощью
которых можно выразить эти законы. Это открытие
придало гидростатике совершенно иной вид и
превратило ее в новую науку.
5. Принцип Клеро является естественным
следствием принципа равенства давления по всем
направлениям, и из последнего можно непосредственно
вывести те уравнения, которые получаются из
принципа равновесия жидких трубок. В самом деле, если
давление рассматривать как силу, которая действует
на каждую частицу и которая может быть выражена
с помощью функции координат, определяющих место
частицы в жидкости, то разность сил давлений,
испытываемых частицей с двух противоположных и
параллельных сторон, дает силу, которая стремится двигать
частицу перпендикулярно к этим сторонам и которая
должна быть уничтожена ускоряющими силами,
приложенными к этой частице. Таким образом, если все
эти силы отнести к трем взаимно перпендикулярным
координатам и представить себе, что жидкая масса
разделена на маленькие прямоугольные
параллелепипеды, имеющие своими сторонами элементы этих
координат, то мы тотчас же получим три уравнения
в частных производных между давлением и
заданными ускоряющими силами; эти уравнения и служат
для определения самого давления, а также
отношения, которое должно существовать между этими
силами. Этот простой способ нахождения общих
законов гидростатики ведет свое начало от Эйлера (Мё-
moires de Berlin за 1755); в настоящее время этот
способ принят почти во всех руководствах по этой
отрасли науки.
16 ж. Лагранж, т. 1

242 СТАТИКА
6. Принцип равенства давления по всем
направлениям является, таким образом, до настоящего
времени основой равновесия жидкостей, и следует
признать, что этот принцип заключает в себе наиболее
простое и наиболее общее свойство, установленное
опытом в жидкостях, находящихся в состоянии
равновесия. Однако является ли знание этого свойства
совершенно необходимым при исследовании законов
равновесия жидкостей? Нельзя ли эти законы вывести
непосредственно из самой природы жидкостей,
рассматривая последние как собрания молекул, сильно
разобщенных, независимых друг от друга и
способных совершенно свободно двигаться во всех
направлениях? Это я и попытаюсь сделать в следующем
отделе, пользуясь при этом только принципом
равновесия, который я до сих пор применял лишь к
твердым телам; эта часть моей работы даст не только
одно из наиболее прекрасных применений
упомянутого принципа, но и послужит для упрощения в
некоторых отношениях самой теории гидростатики.
Известно, что жидкости вообще распадаются на
два вида: на жидкости несжимаемые, части которых
могут изменять свою форму, но не изменяют своего
объема, и на жидкости сжимаемые или упругие,
части которых способны изменять одновременно как
свою форму, так и свой объем, причем они всегда
стремятся расшириться с известной силой, которую
обычно принимают пропорциональной некоторой
функции плотности.
Вода, ртуть и т. д. принадлежат к первому виду;
воздух, пары кипящей воды и т. д. принадлежат ко
второму виду.
Мы рассмотрим сначала равновесие несжимаемых
жидкостей, а затем равновесие жидкостей
сжимаемых и упругих.

pe^^gf^v^ ""^^^^^SF^
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ.
О РАВНОВЕСИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ.
1. Пусть имеется масса жидкости т, все точки
которой находятся под действием тяжести или каких-
либо сил Р, Q, R, . . . , направленных по линиям
р, q, г, . . . ; тогда для суммы моментов всех этих
сил, если воспользоваться обозначениями пункта 12
отдела IV, мы получим следующее интегральное
выражение:
^{Pbp + Qbq + Rbr ■{...) dm,
которое вообще должно равняться нулю, чтобы
жидкость могла находиться в равновесии.
§ I. О равновесии жидкости в очень узкой трубке.
2. Допустим сначала, что жидкость заключена в
бесконечно тонком канале или трубке заданной формы,
и вообразим себе, что жидкость разделена на
бесконечно малые слои или части, высота которых пусть
будет ds, а поперечное сечение со; тогда можно
положить dm = W ds, так как сечение трубки w согласно
допущению бесконечно мало, а ds представляет собою
элемент кривой, образуемой трубкой. Теперь
представим себе, что жидкость получает небольщое
движение и бесконечно мало изменяет свое положение
в трубке, причем bs представляет собою небольшое
16*

244 СТАТИКА
пространство, проходимое по трубке слоем или
частицей dm; тогда ясно, что w bs выразит количество
жидкости, которое одновременно пройдет через
каждое из сечений w трубки. Но в силу несжимаемости
жидкости это количество должно быть повсюду
одинаковым; следовательно, если положить w Ss = а, то
а будет постоянной по всей линии трубки. Таким
образом мы будем иметь w = -^ , а следовательно,
dm =-^ ; стало быть, формула, выражающая сумму
моментов сил, если постоянную а вынести за знак
интеграла, получит следующий вид:
Так как Ьр, 8q, 8г, ... являются вариациями
лини11 р, д, г, . . . , соответствующими вариации Ss, то
ясно, что эти вариации должны находиться между
собою в таких же отношениях, как дифференциалы
dp, dq, dr, . . . , ибо форма трубки задана; поэтому
мы будем иметь
Ьр dp bq dq Sr dr
'bF ^ ~ds ' Is ~ ~ds' ' ~Si"^~rfs''""'
благодаря этому приведенная выше формула получит
следующий вид:
(x.^{Pdp + Qdq + Rdr+ ...),
где дифференциалы с?/?, dq, dr, ... относятся к кривой
линии трубки, а знак S указывает па то, что
интеграл берется по всему протяжению трубки.
Следовательно, если приведенную величину
приравнять нулю, то у нас получится уравнение
^(Pdp + Qdq + Rdr+...) = 0,
которое содержит в себе общий закон равновесия
жидкости, заключенной в трубку любой формы.

о РАВНОВЕСИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ 245
3. Пусть помимо сил Р, Q, R, . . . , действующих
на каждую точку жидкости, на одном из концов
трубки имеется еще и внешняя сила П',
действующая на поверхность жидкости при посредстве
поршня и перпендикулярно к стенкам сосуда; тогда
обозначим через Ss' малый путь, проходимый тем
слоем жидкости, который согласно допущению сжат
силой П', в то время как другие слои проходят
отличные от него пути Ss; в таком случае к сумме
моментов сил Р, Q, R, ... следует прибавить момент силы
IT, который выразится через ll'Ss'. Но если мы
назовем со' сечение трубки в том месте, где действует
сила П', то со' bs' выразит количество жидкости,
проходящей через сечение со', в то время как через
любое другое сечение со проходит количество
жидкости со bs.
Но несжимаемость жидкости требует, чтобы эти
количества были повсюду одинаковы; следовательно,
аналогично тому, как мы приняли coSs = а, мы будем
также иметь со' Ss' = а, откуда вытекает Ss' = —г-
Таким образом общая сумма моментов сил,
действующих на жидкость, выразится с помощью следующей
формулы:
0,^^ + ^[Р dp + Q dq + Rdr + . . .)\,
и уравнение равновесия будет иметь следующий вид:
^- + '^{Pdp + Qdq + Rdr+ ...) = 0.
4. Ясно, что в состоянии равновесия сила П'
должна быть уравновешена давлением жидкости на
поршень, поперечное сечение которого равно со',
откуда следует, что это давление будет равно —П'
и, значит, будет равно
oi'^{Pdp + Qdq + Rdr + . . .).

246 СТАТИКА
Таким образом вообще давление жидкости на
каждую точку поршня выразится с помощью
интегрального выражения
^{Pdp+ Qdq + Rdr+ .. .),
причем этот интеграл должен быть взят по всей
длине трубки. Давление останется тем же, если вместо
подвижного поршня мы представим себе
неподвижное дно, запирающее трубку с одной стороны.
5. Если на другом конце трубки имеется другая
сила П", которая тоже действует при посредстве
поршня, то, обозначив через со" поперечное сечение
канала в этом месте, мы аналогично прежнему
получим для равновесия жидкости следующее уравнение:
^ + ^ + ^{Pdp + Qdq + Rdr+ ...) = 0.
6. Следовательно, в том случае, когда жидкость
подвергается сжатию только со стороны двух
внешних сил П' и П", приложенных к поверхностям со'
и со", для равновесия требуется, чтобы существовало
1Г П"
равенство —^ -\ tf = 0; отсюда ясно, что силы ГГ и П"
должны иметь противоположные направления и в то
же время должны быть обратно пропорциональны
поверхностям со' и со", на которые они действуют; это
последнее положение принимают обычно в качестве
опытного принципа или, по меньшей мере, в
качестве следствия, вытекающего из принципа равенства
давления по всем направлениям, в котором, по
мнению большинства авторов по гидростатике, и
заключается природа жидкостей.
7. Знание законов равновесия жидкости,
заключенной в очень узкую трубку любой формы, может
привести к познанию законов равновесия любой массы
жидкости, заключенной в какой-либо сосуд или же
не заключенной в него.
В самом деле, если жидкая масса находится в
равновесии, и мы представим себе какой-нибудь пере-

о РАВНОВЕСИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ 247
секающий ее канал, то ясно, что жидкость,
содержащаяся в этом канале, будет и сама находиться в
равновесии, т. е. независимо от остальной жидкости.
Следовательно, для равновесия этого канала, если
отвлечься от внешних сил, мы будем иметь (п. 2)
^(Pdp+Qdq + Rdr+...)^0.
Так как форма канала должна быть
неопределенной, то приведенное уравнение должно быть
независимым от этой формы; отсюда можно тотчас же притти
к выводу, как это сделал Клеро в своей «Theorie de
la figure de la Terre», что величина P dp-\-Q dq-\-
-\- R dr -\-. . . должна быть полным дифференциалом.
Но к этому заключению можно притти и с помош,ью
анализа, причем одновременно можно установить
отношения, какие должны суш;ествовать между
величинами Р, Q, R, . . . С этой целью достаточно только
варьировать интеграл
^{Pdp + Qdq + Rdr+ ...)
по методу вариаций и положить его вариацию
равной нулю.
8. Обозначим вообще через Т значение интеграла
H{Pdp + Qdq + Rdr+ .. .),
взятого по всей длине канала; тогда необходимо, чтобы
ST = 0.
Но путем дифференцирования мы получим
W = 8^{Pdp+Qdq + Rdr + ...) =
= ^8{Pdp+Qdq + Rdr+...) =
=^^{P8dp + Q8dq + R8dr+ ...+
+ 8Pdp + 8Q dq + 8Rdr+ .. .).

248 СТАТИКА
Поставив dS вместо М и освободившись затем
путем интегрирования по частям от двойного символа
db, мы получим
W = P8p + Q8q + R8r+ . ..+
+ S {8Р dp — dP8p + 8Q dq — dQ8q +
+ 8Rdr — dR8r+.. .);
здесь члены, стоящие вне знака S, относятся к
пределам интеграла, выраженного с помош;ью этого знака,
и, следовательно, соответствуют концам канала;
таким образом, если мы предположим, что эти концы
неподвижны, то соответствуюш;ие им вариации 8р,
Bq, Sr, .. . будут равны нулю и рассматриваемые
члены сами собою исчезнут.
Далее, так как величины Р, Q, R, . . . , выражаю-
ш;ие силы, являются функциями р, q,r, . . . , или же
всегда могут быть рассматриваемы как их функции,
то ясно, что та часть ST, которая имеет перед собою
знак S, не поддается дальнейшему преобразованию;
следовательно, для того чтобы вообш;е имело место
ST = О, необходимо, чтобы упомянутая часть сама
по себе равнялась нулю и, значит, чтобы для каждой
точки жидкости имело место тождество
8Pdp—dP8p+8Qdq—dQ8q+bRdr — dR8r+. .. = 0.
Если выражения сил Р, ^, i?, ... рассматривать как
некоторые функции р, q,r,. . . , то согласно обш;е-
принятому обозначению мы будем иметь
а также
5. г, дР ^ , ^Р ■i , дР ^ ,
8P = ^8p + ^8q+^8r + ...;
аналогичные выражения мы будем иметь и для
других дифференциалов. Если эти выражения подставить
в приведенное выше уравнение и расположить члены

о РАВНОВЕСИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ 249
В определенном порядке, то оно примет
следующий вид:
+
это уравнение должно быть в силе независимо от
дифференциалов dp, dq, dr, . . . ; Ьр, 8q, Sr, . . .
Следовательно, если между переменными/?, 5',/",...
не существует никаких заданных отношений, надо
положить в отдельности
5i>_6Q_„ ^_^_п ?!5__^_о
дд др ' дг др ^ дг dq > • • •
Приведенные уравнения представляют собою
известные условные уравнения для интегрируемости
выражения
Pdp + Qdg + Rdr+ .. .
9. Когда линии p,q,r,..., как в
рассматриваемом случае, относятся к одной и той же точке
пространства, они могут зависеть только от трех
координат этой точки, а силы Р, Q,R, .. . могут быть
всегда сведены к трем силам, действующим по
направлениям координат (отд. V, п. 7). Таким образом,
если р, q, г принять в качестве этих координат, будь то
координаты прямоугольные или какие-либо иные*),
а P,Q, R, . . . принять в качестве сил, действуюших
на каждую частицу жидкости по направлению тех
*) Это утверждение не вполне верно. Если силы Р, Q, R
обозначают составляющие, параллельные трем косоугольным
осям коордиилт, а p,q,r — координаты относительно тех же
осей, то сумма виртуальных моментов не равна Р dp + Q dq +
+ Rdr и приведенные выше соображения не могут быть
применены к этому случаю. (Прим Бертрана.)

250 СТАТИКА
же координат, то величины Р, B, Д, рассматриваемые
как функции р, q, г, должны удовлетворять
следующим трем уравнениям:
dP__dQ^_^ 9^_dR_Q ^_^_,n
dq dp ' dr dp ' dr dq
Таковы условия, необходимые для того, чтобы масса
жидкости могла находиться в равновесии, когда па
все ее точки действуют силы P,Q,R.
Впрочем, до сих пор мы отвлекались от
плотности жидкости, или точнее, мы считали ее
постоянной и равной единице; однако, если бы мы пожелали
допустить, что плотность является переменной, то,
обозначив через Г плотность какой-либо частицы
dm, мы имели бы (п. 2) dm = Tti)ds, и величины
Р, Q, R,. .. следовало бы помножить на Г. Таким
образом для равновесия жидкостей с переменной
плотностью мы получили бы те же законы, что и
для жидкостей с постоянной плотностью, причем
нам пришлось бы только помножить различные силы
на плотность той точки, на которую они действуют,
т. е. нам пришлось бы вместо P,Q, R, . . . написать
rP,rQ, ГН,...
§ II. Вывод общих законов равновесия
несжимаемых жидкостей из свойств частиц,
их составляющих.
10. Выведем теперь законы равновесия несжимаемых
жидкостей непосредственно из нашей общей формулы,
рассматривая этот вид жидкостей, как составленный
из большого количества частиц, способных
перемещаться во всех направлениях, причем эти частицы
могут изменять свою форму, но без изменения
объема.
Предположим для простоты, что все силы,
действующие на частицы жидкости, сведены к трем
силам, выражающимся через Z, У, Z и направленным

о РАВНОВЕСИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ 251
ПО Ьсям x,y,z прямоугольной системы координат,
т. е. стремящимся укоротить эти координаты. В главе
I отдела V мы дали общие формулы этого
преобразования.
Если мы обозначим через dm массу любой
частицы, то для суммы моментов сил Z, У, Z мы будем
иметь интегральную формулу
^{Xbx + Yby-irZbz)dm;
объем частицы может быть выражен через dxdydz,
а так как Г обозначает плотность, то ясно, что мы
будем иметь
dm = Г dx dy dz;
следовательно, знак интегрирования S будет
одновременно относиться к трем переменным х, у, z.
Сверх того, следует принять во внимание
условное уравнение, вытекающее из несжимаемости
жидкости. Если допустить, что это уравнение
выражается через L = О, то его следует продифференцировать
в смысле S,помножить на неопределенный коэффициент
X и проинтегрировать, в результате чего получится
выражение SxSL, которое и должно быть
прибавлено к приведенному выше выражению.
Если при этом не имеется ни внешних сил,
которые действовали бы на поверхность жидкости, ни
особых условий для этой поверхности, то в качестве
общего уравнения равновесия мы получим просто
(отд. IV, п. 13)
H{X8x + Y8y + Z8z)dm+^ XSL = 0.
Интегралы здесь следует брать по всей массе
жидкости.
И. Условие несжимаемости заключается в том,
что объем каждой частицы остается неизменным;
следовательно, если мы этот объем выразим через
dxdydz, то в качестве условного уравнения лпл

252 СТАТИКА
получим dxdydz = const. Таким образом мы будем
иметь
L = dzdydz — const, 8L = S {dz dy dz).
Можно было бы подумать, что для получения
вариации В (dxdydz) достаточно просто
продифференцировать dxdydz в смысле S; в действительности,
однако, здесь следует остановиться на одном
соображении, без которого вычисление оказалось бы
недостаточно строгим. Величина dxdydz выражает объем
частицы лишь в том случае, когда мы допускаем,
что эта частица имеет форму прямоугольного
параллелепипеда, стороны которого параллельны осям х,
у, Z. Такое допущение, конечно, вполне приемлемо,
так как мы можем себе представить, что жидкость
разделена на бесконечно малые элементы любой
формы. Таким образом Ь {dxdydz) должно выразить
ту вариацию, которую испытывает этот объем, когда
частица бесконечно мало изменяет свое положение
и координаты ее х,у, z превращаются в х -j- 8х, у -j- Ьу,
Z + Sz; ясно, что если при этом изменении частица
сохраняет форму прямоугольного параллелепипеда,
то мы будем иметь
S {dx dy dz) = dy dz8dx -\- dx dzbdy -\- dx dy S dz.
Согласно принципам вариационного исчисления
можно вместо bdx, bdy, bdz взять dbx, dby, dbz, но
следует иметь в виду, что вариации Ъх, Ьу, Sz можно
рассматривать как неопределенные и бесконечно
малые функции X, у, Z для того, чтобы d Ьх выразило
вариацию стороны dx прямоугольной частицы dx dy dz;
но эта сторона образуется вследствие увеличения
координаты X на dx, в то время как другие две
координаты г/ и Z не изменяются, поэтому при
дифференцировании Ьх следует считать переменной
только X. Таким образом согласно обозначению,
принятому для частных дифференциалов, в данном случае
следует вместо простого выражения d Ьх писать -^— dx\

о РАВНОВЕСИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ 253
ПО тем же соображениям вместо d 8у и d8z следует
д Sy , dSz , т г '
писать -^ ау и -^ dz. 1аким образом, если исходить
из допущения, что после вариации частица dxdydz
сохраняет свою прямоугольную форму, то мы будем
иметь
b(dxdydz)^dxdydz{~^-\-^-^-\-^-^.
То же самое выражение мы получили бы и в
том случае, если бы мы допустили, что после
вариации частица dx dy dz превращается в
параллелепипед, углы которого бесконечно мало отличаются
от прямого угла. В самом деле, из геометрии
известно, что если а, Ь, с представляют собою три стороны
параллелепипеда, образующие телесный угол, аа,р,
Y — три угла, образуемых этими сторонами, то объем
параллелепипеда выражается следующей формулой:
аЬс |/A — cos^a — cos^p — cos^y -f 2 cos a cos P cos y) •
Ho при варьировании стороны переходят в
•*<<+t> *0+t> K'^'U
a косинусы углов а,р,у становятся бесконечно
малыми; следовательно, если вместо а,Ь,с подставить
эти выражения и пренебречь бесконечно малыми
величинами порядка выше первого, то для вариации
dxdydz получится то же самое выражение, какое
мы нашли выше.
Хотя упомянутое допущение является законным,
мы все-таки не примем его без доказательства, дабы
наши формулы не оставляли ничего желать с точки
зрения точности. Поэтому мы определим вариацию
dxdydz, пользуясь строгим методом, принимая
одновременно во внимание изменение положения и длины
каждой из сторон прямоугольного параллелепипеда;
при этом мы сделаем лишь одно допущение,
являющееся для бесконечно малых величин вполне пра-

254 СТАТИКА
вильным, а именно, что упомянутые стороны
останутся прямолинейными.
12. Для упрощения этого исследования мы начнем
с того, что рассмотрим лишь одну из сторон
параллелепипеда, например, сторону dxdy, четыре вершины
которой соответствуют следуюш;им четырем системам
значений координат:
X, У, Z, A)
X + dx, у, Z, B)
X, г/ + dy, Z, C)
X + dx, у + dy, z. D)
Предположим, что координаты х, у, z первой
системы перейдут в х -\-Ьх, у -\- Ьу, z -\- bz т будем
смотреть на вариации Ьх, Ьу, bz как на бесконечно
малые функции х, у, z; постепенно увеличивая х, у
на их дифференциалы dx, dy, мы определим, во что
будут одновременно превраш;аться координаты трех
других систем. Указанным путем, отмечая различные
системы теми же цифрами, мы получим
х+Ьх, у+Ьу, z+8z, A)
x+dx+bx+^-^-Ux, у + Ьу+^-ffdx, z + bz+^dx, B)
x + Sx+^-^dy, y+dy+by+^-^dy,z+bz + ^-^dy, C)
dSx , , dSx
X + dx + bx i- -g^ dx + -g:^ dy,"^
y + dy + by + '-^dx+'^dy,\
D)
Так как эти системы координат соответствуют
четырем вершинам нового четырехугольника, в который
превратился прямоугольник с?а; с?г/, то ясно, что
стороны этого четырехугольника мы можем получить,
извлекши квадратный корень из суммы квадратов
разностей координат двух вершин, прилежащих к соот-

о РАВНОВЕСИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ 255
ветствующей стороне. Отмечая линию, соединяющую
какие-нибудь две вершины, путем комбинации двух
чисел, соответствующих этим углам, мы таким
образом получим
A,2) =
A.3) =
C.4) =
= dx\/ (\ +
-*/С^
= dx.\/ (^1 +
дх J
У+С
дх )
+т
'+t)"
+Ш'
+С*)'
+ Ш'-
+(М
,2,4,..,/(^L(l + t)' + (^)'
отсюда видно, что противоположные стороны A,2),
C,4) между собою равны; точно так же равны между
собою стороны A,3), B,4); таким образом
рассматриваемый четырехугольник представляет собою
параллелограмм, смежные стороны которого A,2), A,3),
если под знаком корня пренебречь бесконечно
малыми величинами второго порядка по сравнению
с величинами первого порядка, равны
A,2) = ..A + ^-^), A.3) = .,A + ^^).
13. Что касается угла, заключенного между этими
двумя сторонами, то его можно определить с помощью
диагонали B,3), которая может быть тоже получена
путем извлечения квадратного корня из суммы
квадратов разности координат, соответствующих
системам B) и C); указанным путем мы получим
(^,3)-1/ (doc+—dx - —dv j+(dv + — dy - д^ d;cj-Ь( - d;c - — dv j .
Если искомый угол назовем а, то треугольник,
образованный тремя сторонами A,2), A,3), B,3), даст
A,2)^-К1,3)^-.B,3)^
cosa=i 2 A,2) X A,3)

256 СТАТИКА
Подставив в это выражение найденные выше
значения A,2), A,3), B,3), перечеркнув те члены, которые
взаимно уничтожаются, и отбросив бесконечно малые
величины второго и более высоких порядков, мы
получим
отсюда ясно, что угол а отличается от прямого угла
лишь на бесконечно малую величину, так как
косинус его бесконечно мал.
14. Если мы применим тот же анализ к двум
другим сторонам dz dz, dy dz прямоугольного
параллелепипеда dx dy dz, TO найдем, что и эти
стороны тоже превращаются в параллелограммы; таким
образом и три другие противоположные им стороны
Topte превращаются в параллелограммы, как это легко
доказать с помощью геометрии. Следовательно, новое
тело будет представлять собою параллелепипед,
стороны которого, образующие один телесный угол,
составляют
■'<1+^). •^K'+t)' К'+'-^У-
если назвать а, р, у углы, заключающиеся между
этими сторонами, то мы будем иметь
cos а =
cosp =
cosy =
д Sx
ду
dSx
'дГ
dSy
dz
+
+
+
dSy
дх '
dbz
дх '
dbz .
ду '
на этом основании можно притти к заключению, что
с помощью данной нами выше (п. 11) формулы
вариация прямоугольного параллелепипеда dx dy dz
выражается вполне строго.

о РАВНОВЕСИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ 257
15. Отсюда также видно, что если бы вариации 8х,
8у, Sz были соответственно функциями только одной
из переменных х, у, z, то мы имели бы в точности
cos а = О, cos р = О, cosY = 0.
Таким образом прямоугольный параллелепипед
dx dy dz и после вариации сохранил бы свою
прямоугольную форму. Но так как изменение формы
параллелепипеда только бесконечно мало и нисколько
не влияет на значение его объема, то отсюда следует,
что, нисколько не уменьшая общности выводов,
можно допустить, что вариации 8х, 8у, Sz являются
просто функциями соответственно х, у и z, как мы
это сделали в пункте 31 отдела IV [^^].
16. Имея таким образом верное значение S (dx dy dz),
мы можем его применить для SL, и тогда мы получим
Подставим теперь это значение в общее уравнение
пункта 10 и одновременно заменим dm его значением
Tdxdydz, тогда мы получим уравнение
S[r(ZSa; + ySy + ZSz) +
Здесь остается только освободиться от двойного
символа d8, пользуясь тем методом, который был
изложен в § II отдела IV.
17. Расомотрим сначала величину
8х -^dxdydz,
где знак S обозначает тройной интеграл по х, у, z;
так как дифференциал Sa; относится только к
вариации X, то ясно, что для того, чтобы освободиться
от него, достаточно только учесть интегрирование
17 ж. Лагранж, т. I

258 СТАТИКА
по х\ поэтому дадим сначала указанной величине
следующий вид:
дЬх
HdydzHx -к- dx.
дх
а затем преобразуем простой интеграл
S X ^ da; в X"Ьх" - )Лх' -Н^^8хdx;
ах дх
здесь величины, обозначенные одним штрихом,
относятся к началу интегрирования, а обозначенные двумя
штрихами — к точке, в которой интегрирование
заканчивается, в соответствии со способом обозначения,
принятым в указанном выше месте. Таким образом
рассматриваемая величина преобразуется в
следующую:
S dy dz (X" Sa;"—X'Sa;') — S dy dz S ~- bx dx,
или, что то же, в
S (X" Ьх" — X' Ьх') dydz—H^bx dx dy dz.
Таким же образом и по тем же основаниям величины
-г— dxdy dz и S''
преобразуются в следующие:
S X -тт— dxdy dz и S X —^ dx dy dz
S {Гby" - -К'by')dx dz—^p- by dx dy dz
S (X'Sz"— X' bz')dx dy — ^^bzdx dy dz

о РАВНОВЕСИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ 259
После подстановки этих величин мы получим
следующее общее уравнение для равновесия жидкой
массы:
+ S (X"Sa;"—X'Sa;') dydz + H (X'Sy" — X'S/) dx dz +
+ Sik"8z''->:8z')dxdy=0
здесь остается только приравнять отдельно нулю
коэффициенты неопределенных вариаций 8х, 8у, 8z
(отд. IV, п. 16) [20].
18, Итак, прежде всего мы получим следующие
три уравнения:
ТХ- 1^ = О, ГУ - f^ = о, TZ~^ = 0,
ах ду dz
которые должны иметь место во всех точках
жидкой массы.
Далее, если жидкость со всех сторон свободна,
то вариации Ьх', Ьу', Sz', Ьх", Ьу", bz", относящиеся
к точкам поверхности жидкости, тоже будут
неопределенными и, следовательно, надо будет еще
приравнять отдельно нулю их коэффициенты, что даст Х'=0,
Х''=0, т. е. вообше Х=0 для всех точек поверхности
жидкости; это уравнение послужит для определения
формы этой поверхности.
То же самое будет, если жидкость заключена
в сосуд, — для той части ее поверхности, где сосуд
открыт; что же касается той части жидкости,
которая прилегает к стенкам сосуда, то между
вариациями Ьх', Ьу', bz', Ьх", Ьу", bz" должны существовать
некоторые отношения, обусловливаемые формой этих
стенок, так как жидкость может перемещаться только
вдоль стенок; дальше мы докажем, что какова бы ни
была форма стенок, члены, содержащие в себе
рассматриваемые величины вариации, сами по себе
всегда будут равны нулю, так что никаких условий
17*

260 СТАТИКА
относительно этой части поверхности жидкости
существовать не будет.
19. Три уравнения, установленных нами для
условий равновесия жидкости, дают
1^ = rZ, 1^ = ГУ, ^ = TZ;
а так как
то мы будем иметь
d-k = V{Xdx + Ydij^Z dz);
следовательно, величина
T{Xdx + Ydy + Zdz)
должна быть полным дифференциалом по х, у, z;
в одном этом условии содержатся законы равновесия
жидкостей.
Если из тех же уравнений исключить величину X,
то мы получим следующие уравнения:
дГХ _дГУ
ду дх '
дТХ _ dTZ
dz дх '
dTY _ dVZ
dz ду
находящиеся в полном соответствии с уравнениями
пункта 9.
Таким образом приведенные условия необходимы
для того, чтобы жидкая масса могла быть в
равновесии, находясь под действием сил X, У, Z, Если
они осуществляются благодаря природе этих сил, то
создается полная уверенность, что равновесие
возможно, и тогда остается только найти ту форму,
какую должна принять жидкая масса, чтобы
находиться в равновесии, т. е. уравнение наружной
поверхности жидкости.
В предыдущем пункте мы уже видели, что в
каждой точке этой поверхности мы должны иметь Х=0.

о РАВНОВЕСИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ 261
Но так как dX = Г (X dx -\- Y dy -\- Z dz), то путем
интегрирования мы получим
■к = \Т {X dx + Y dy + Z dz) + const;
следовательно, уравнение внешней поверхности будет
\Т{Х dx +Y dy + Z dz) = К,
где К — произвольная постоярная; это уравнение
будет всегда состоять из конечных членов, так как
согласно допущению величина Т{Хdx-\-Уdy ■\-Zdz)
является полным дифференциалом.
20. Величина X dx -\-Y dy -\- Z dz всегда сама собою
является полным дифференциалом, если силы X, Y, Z
являются результатом одного или нескольких
притяжений, пропорциональных каким-либо функциям
расстояний от центров, так как согласно пункту 1
отдела V
Xdx + Ydy + Zdz = Pdp + Qdq + Rdr-j
Обозначив эту величину через dH, мы получим
dX=T dH; следовательно, для того чтобы dX было
полным дифференциалом, требуется, чтобы Г была
функцией П. Отсюда вытекает, что и X = ^ Г dU
должна быть функцией П.
Таким образом в данном случае, имеющем место в
природе, мы имеем для формы поверхности уравнение
функция и = К,
т. е. П равно постоянно11 величине; это уравнение
тождественно с тем, какое имело бы место, если бы
плотность жидкости была постоянной. Далее, так
как П на поверхности является постоянной
величиной, а Г является функцией. П, то отсюда следует,
что во всех точках внешней поверхности жидкой
массы, находящейся в равновесии, плотность Г должна
быть одна и та же.

262 СТАТИКА
Внутри жидкости плотность может изменяться
каким угодно образом, оставаясь, однако, все время
функцией П; следовательно, она должна быть постоянной
повсюду, где значение П постоянно. Таким образом
П = Л является общим уравнением слоя равной
плотности, если Л — постоянная величина. Путем
дифференцирования мы, таким образом, получаем в качестве
общего уравнения для этих поверхностей
d П = О или Xdx + Ydy + Z dz = 0.
Легко видеть, что это уравнение представляет собою
уравнение поверхностей, к которым
перпендикулярна равнодействующая сил X,Y, Z и которые Клеро
называет поверхностями уровня. Отсюда следует, что
в каждом слое, образованном двумя бесконечно
близкими поверхностями уровня, плотность должна быть
повсюду одинаковой.
Этот закон должен был бы иметь место на Земле
и на планетах, если допустить, что
первоначально эти тела были жидкими и при отвердевании
сохрани гги ту форму, которую они приняли под
влиянием взаимного притяжения своих частей в
сочетании с центробежной силой.
21. Что касается величины X, значение которой мы
выше определили, то будет уместно отметить, что
член SxSL общего уравнения пункта 10 выражает
сумму моментов тех сил X, которые стремятся
уменьшить значение функции L (отд. IV, п. 7). Так как
bL = b{dxdydz) (п. И), можно, следовательно,
сказать, что сила X*) стремится сжать каждую частицу
жидкости dx dy dz; таким образом эта сила
представляет собою не что иное, как давление,
испытываемое равномерно со всех сторон частицей жидкости.
*) Это заключение правильно, хотя доказательство его не
вполне удовлетворительно. Мы уже неоднократно отмечали,
что X нельзя рассматривать как силу, если только не
условиться о распространительном толковании обычного значения
слова сила. (Прим. Бертрана.)

о РАВНОВЕСИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ 263
которому она противодействует благодаря своей
несжимаемости.
Таким образом вообще для давления на каждую
точку жидкой массы мы имеем выражение
а так как для равновесия жидкости необходимо, чтобы
величина, стоящая под знаком интеграла, была
интегрируема, то отсюда следует, что давление может быть
всегда выражено с помощью конечной функции
координат той частицы, которая испытывает это давление.
Таково основное положение теории жидкости, данное
Эйлером *).
22. Для того чтобы показать применение
уравнения П = const, найденного нами для поверхности
жидкой массы в состоянии равновесия (п. 20),
рассмотрим случай равновесия океана в предположении, что
последний покрывает всю Землю, которую мы представим
себе в виде твердого тела эллиптической формы, мало
отличающегося от шара; при этом мы предположим,
что каждая частица океана притягивается
одновременно всеми частицами Земли и океана и в то же
время находится под действием центробежной силы,
возникающей вследствие равномерного вращения
Земли вокруг ее оси.
В данном случае представляется возможным
применить те формулы, которые были даны нами в
пункте 10 отдела V. Мы обозначили через S значение
функции П для случая, когда силы являются
результатом притяжения всех частиц тела заданной формы,
и дали выражение S для того случая, когда
притяжение обратно пропорционально квадрату расстояния
и когда притягивающее тело представляет собою
эллиптический сфероид, мало отличающийся от сферы.
Если сохранить обозначения, примененные в
указанном пункте, и ограничиться только членами, содер-
*) Memoires de 1'Academie de Berlin, 1755. (Прим.
Бертрана.)

264 СТАТИКА
жащими вторые степени эксцентриситетов е и i, то мы
получим
V г 2.5 г^ ^-Ьг^
где X, xj, Z — прямоугольные координаты
притягиваемой ТОЧКИ, г = \fx^ -\- у'^ -\- z^ есть расстояние от этой
ТОЧКИ до центра сфероида, а т — масса сфероида,
равная -г-ABC, где А, В, С — полуоси сфероида.
Если через Г обозначим плотность сфероида,
который мы примем однородным, то приведенное
выражение S надо будет помножить на Г; если же мы
допустим, что данный сфероид содержит в себе в
качестве ядра другой сфероид, имеющий иную
плотность, чем первый, то к приведенной выше
величине надо будет только прибавить значение S для
этого нового сфероида, помноженное на разность
плотностей. Таким образом, отмечая штрихом величины,
относящиеся к внутреннему сфероиду, и допуская,
что его плотность равна Г + Г', мы для общего зна-
ения S получим
7- + 2-57-3
,, Г те^ + Г'т'е'2 , „Г mi^ + Г' тЧ'^ „
— -J о к 5 У — -J -oV-s Z -
2.5 г'' " 2-Ъг^
23. Допустим, что точка, притягиваемая
сфероидом, одновременно находится под действием трех сил,
выраженных через fx, gy и hz, которые направлены
по координатам х, у, z и стремятся последние
удлинить; тогда — fxdx,—gy dy и —hzdz представят
моменты этих сил, а к величине S придется прибавить
/ж2 gy^ hz^ ^
члены—-^ 2 2~ ' ^ тогда мы будем иметь
значение П, получающееся в результате действия всех
сил, приложенных к одной и той же точке. Таким

G РАВНОВЕСИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ 265
образом уравнение равновесия будет иметь
следующий вид:
S-^-fi±4-±^= const.
24. Для того чтобы эти формулы применить к
рассматриваемой задаче, допустим теперь, что внешним
сфероидом является океан, плотность которого рдв-
на Г, а внутренним ядром — земля, имеюш;ая
плотность Г + Г'; притягиваемую точку поместим на
поверхности океана, заставив координаты указанной
точки X, у, Z совпасть с координатами а,Ь, с внешней
поверхности сфероида. В таком случае для
равновесия этой поверхности должно суш,ествовать уравнение
Ym-\-Vrri _ Г m (е^ -Ь i^) -Ь У'т' (е'^ -Ь г'^) /ж'
г 2-.57-3 +~2" +
■^\J> —2:575—+т> +
+ К^ 2757^ + Т j ^ = '^""^t-
Это уравнение, в котором г = У^х"^ + У^ + z^, дает
форму упомянутой поверхности; но формулы, данные
нами в пункте 10 отдела V, предполагают, что эта
поверхность выражена с помош;ью уравнения
II- л. У" л. ^ ^ \
_42 "Г ;gj -г (J2
где X, у, Z поставлены вместо а, Ь, с; следовательно,
последние два уравнения должны совпасть.
Определим из последнего уравнения значение г,
выраженное через у и z; для этого в формулу
/•2 = а;^ 4- у^ -f z^ подставим вместо х"^ его значение
42;/2 ^2.2
Л^—'-— -^ ; подставив еще вместо Б^ д £г
значения А"^ + е^, А"^ -\- i^ (см. упомянутый выше пункт),
мы получим

266 СТАТИКА
откуда, отбросив степени е и i выше е* и i^,
которых мы здесь не будем принимать во внимание,
получим
г А 2А^ ■
Подставим теперь это значение—, а также
значение ж*, в первое уравнение и отбросим члены, в
состав которых входят е*, г*, е*г*, . . . ; тогда мы
получим
Гт + Г т' Тт{е' + г') + Г' т' {е'^ + г") /Л»
А 2-5^3 + ~2~ +
Г о Г те^ + Г' wV" g /Л^ (Гт + Г' т') е^ „2 ,
"^ [ 2-5^5 "f" 2 2^2 2Лб J^ "^
"^ [ 2.5Л5 + 2 2С2 2^5 J^ ^
= const
Для ТОГО чтобы это уравнение тождественно удовлет-
ворялось, необходимо, чтобы коэффициенты
переменных у* и z^ были нулями, что даст нам два
следующих уравнения:
ЗГ' mV BТт + 5Г т')е^ j; fA^ _ г.
ЗГ т'Г' BГ т + 5Г'т') г^ А _ i^ = О
2-5^5 2.5^5 +2 2С2 ~
Эти уравнения послужат для определения
эксцентриситетов е и г эллиптической поверхности океана.
25. Как известно, центробежная сила
пропорциональна расстоянию рассматриваемой точки от оси
вращения и квадрату угловой скорости вращения.
Следовательно, если в качестве оси вращения взять
ось 2.4, которая является и осью координат х, и
через f обозначить центробежную силу на расстоянии А
от оси, то для центробежной силы в какой-либо

о РАВНОВЕСИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ 267
точке сфероида мы получим выражение -j- , где
А
и = Уу^ -\- Z*. Эта сила, направленная по линии и и
iu du
стремящаяся ее удлинить, дает момент ^—, ин-
iu^ i{y^ + z^)
теграл которого — д-^-, или иначе —^—■ ,
должен быть прибавлен к величине S, если мы желаем
принять во внимание и центробежную силу. Таким
образом, положив в приведенных выше двух уравне-
f f
ниях / = 0, ^=-2", h— —г , мы получим условие
равновесия океана в результате взаимного
притяжения всех частиц океана и Земли и действия
центробежной силы, вызываемой вращением Земли.
Так как обе постоянные g и h между собою
равны, то приведенные уравнения показывают, что в
случае равенства эксцентриситетов е' и г" Земли мы
получим и равенство двух эксцентриситетов
поверхности океана. Следовательно, если Земля
представляет собою сфероид вращения, то и океан имеет ту же
форму, и два рассматриваемых уравнения дадут
значения двух эксцентриситетов е и i, которые будут
отличны от эксцентриситетов е' и V Земли.
26. Впрочем, приведенное выше решение
представляется точным только до величин е*, i^, е'*, г'*. Если
бы при определении величин S и г мы пожелали
принять во внимание и члены, содержащие более
высокие степени указанных величин, то уравнению
2, 2_-i—; ^ const
вообще уже нельзя было бы удовлетворить для
поверхности равновесия; отсюда следует заключить,
что, строго говоря, эта поверхность не имеет формы
эллиптического сфероида.
Я утверждаю вообще, что в случае однородного
сфероида, не имеющего внутреннего ядра с иной
плотностью, притяжения, действующие на какую-либо

268 СТАТИКА
точку поверхности, будучи разложены по трем осям
координат X, у, z, выражаются точно с помощью
формул
тЬх, тМу, mNz,
где L, М, N—функции А, В, С, данные
определенными интегралами; отсюда для S получается
следующее точное выражение:
S = ^- (Z.a;2 + Му^ + TVz^).
1ак как уравнение равновесия i ^^-^-j—-= const
имеет такой же вид, как и уравнение сфероида
Х^ «2 ^2
-зх + ^ + 7^2"" — 1> 1'° ^ помощью произвольной
постоянной их можно сделать тождественными при
следующих двух условиях:
тМ — i А^
тЬ ~ В^ '
mN — i
mL
А^
~ С2
ИЗ последующих уравнений следует, что В = С, так
как величина М является такой же функцией *) от
В, С, как jV от с, В; таким образом эти уравнения
сводятся к единственному уравнению, которое
служит для определения отношения А к В.
Этот случай является до настоящего времени
единственным, для которого было найдено
строгое решение, принадлежащее Маклорену, Таким
образом вопрос о форме Земли, рассматриваемый
с физической точки зрения, строго разрешен только
при наличии предпосылки, что земля представляет
собою жидкий и однородный сфероид. В последнем
*) При более детальном исследовании этих уравнений
выясняется, что они допускают иное решение и что им может
удовлетворить эллипсоид с тремя неравными осями. Это
обстоятельство было отмечено Якоби (Jacobi); данный вопрос
был разработан Лиувиллем (Liouville) (Journal de I'Ecole
Polytechnique, t. XIII). См. примечание в конце настоящего
тома. {Прим. Бертрана.)

о РАВНОВЕСИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ 269
случае оба найденных выше (п. 24) приближенных
уравнения, если положить
Г = 1, Г = 0, g = h = -L а e = i,
дают следующее уравнение:
Сравним центробежную силу с силой тяжести,
принятой за единицу; так как последняя с точностью
до величины е^ равна -г^ , то остается только поло-
яг
Л»
т ,
жить —j^ = 1, и мы получим
2е' _ . _ ^ Д' - ЛУ
откуда следует
4-/' +
5f^
2
TJ f 1 ^ В 231
Но I = qgg , следовательно, приблизительно -j = qgn >
как это уже известно с давнего времени.
§ III. О равновесии свободной жидкой массы
с покрываемым ею твердым телом.
27. Частные условия равновесия жидкости, в
которую погружено твердое тело или которая окружает
твердое тело, если все точки жидкости и твердого
тела находятся под действием каких-либо сил,
зависят от тех членов общего уравнения (п. 17), которые
относятся к пределам и которые содержат только
двойные интегралы.
Эти члены дают следующее уравнение на границах:
S X" {Ъх" dy dz -f by" dx dz -f Sz" dx dy) —
— S X' {bx' dy dz -f by' dx dz -f Sz' dx dy) = 0,

270 СТАТИКА
которое должно удовлетворяться во всех тех точках,
где жидкость соприкасается с твердым телом.
28. Рассмотрим сначала случай жидкой массы,
внешняя поверхность которой свободна и которая
окружает твердое неподпижное ядро любой формы.
Примем начало координат в какой-нибудь точке
внутри ядра; пусть величины, отмеченные одним
штрихом, относятся к поверхности ядра, а
отмеченные двумя штрихами — к внешней поверхности
жидкости. Таким образом прежде всего для всех точек
последней поверхности мы будем иметь уравнение
Х" = О, которое, как мы уже видели выше (п, 19),
дает для формы этой поверхности следующее
уравнение:
St{X dx + Ydy + Z dz) = К.
Таким образом остается только удовлетворить
уравнению
S X' {8х' dy dz -f Sy' dx dz + Sz' dx dy) = 0,
все члены которого относятся к поверхности ядра.
29. Так как интегрирование этих членов
распространяется на координаты, дифференциалы которых
входят в выражение элементов поверхности dxdy,
dxdz, dy dz, то следует начать с того, чтобы эти
элементы привести к одному и тому же виду; этого
можно достичь, отнеся их к элементу той
поверхности, которой они соответствуют.
Обозначим через ds^ элемент поверхности, соот-
ветствуюш;ий элементу dx dy плоскости ху, и назовем
у' угол, образуемый касательной плоскостью с той
же плоскостью ху; в силу известного свойства
плоскостей мы будем иметь dxdy = ds^cosY't поэтому
интеграл S X' 8z' dx dy перейдет в S X' cos y' 8z ds^, причем
последний интеграл должен быть распространен на
все точки поверхности жидкости.
Точно так же, если da^ представляет собою
элемент поверхности, соответствующий элементу dxdz
плоскости XZ, и если мы назовем р' угол, образуемый

о РАВНОВЕСИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ 271
касательной плоскостью с той же плоскостью xz, то
мы получим c?a;c?z = с?о* COS р', и интеграл ^Х' 8y'dxdz
превратится в S X'cos р'S;/'с?о*, который тоже должен
быть распространен на всю поверхность жидкости.
30. Обращаю теперь внимание на то обстоятельство,
что, хотя два элемента поверхности ds^ и da^ могут
быть не равными между собою, тем не менее — ввиду
того, что оба интеграла, в состав которых входят эти
элементы, относятся к одной и той же поверхности,—
нам ничто не мешает применить в обоих интегралах
один и тот же элемент, ибо в силу природы
дифференциального исчисления абсолютное значение
элементов является произвольным и совершенно не
влияет на значение интеграла. Таким образом мы
можем интеграл 8 X' cos р' 8у' da^ заменить интегралом
S X' cos р' 8у' ds^.
По тем же соображениям интеграл S X' 8х' dy dz
может быть представлен в виде S X'cos а'Sa;'c?s^, если
через а' назвать угол, образуемый касательной
плоскостью с плоскостью ху.
Сверх того, ясно, что элементы dx, dy, dz всегда
можно взять такими, чтобы они удовлетворяли сле-
дуюш;им условиям:
dx dy = cos y' ds^, dx dz = cos p' ds^, dy dz = cos a' ds^,
которые дают
dx = dsy
dy = dsy
dz = dsl/
r cos Y
Благодаря указанным преобразованиям граничное
уравнение в конце концов примет следуюш;ий вид:
S X' (cos а' 8х' + cos р' 8у' + cos у' Sz') ds^ = 0;
cos р'
cos y'
COS а'
cos а'
cos
cos р'
cos а'
cos
y'
r

V A^
V A^
+ B^
В
с
+ C2*
+ с'
272 СТАТИКА
этот интеграл должен быть взя^ по всей поверхности
соприкасания жидкости с ядром.
31. Допустим, что форма рассматриваемой
поверхности выражается с помощью дифференциального
уравнения
Adz' +В dy' + Cdz' = 0.
Если назвать а', р', у' углы, образуемые
касательной плоскостью с плоскостями ху, XZ и yz, то на
основании теории поверхностей мы получим
А
cosa =
cos р'
COSY = ^ ■
Va^ + £2 + с»
Поэтому граничное уравнение, приведенное в
предыдущем пункте, примет следующий вид:
^h'^+dK±^^]ds^ = 0.
L Va^ + в^ + с^ J
Так как эта поверхность является заданной как по
своей форме, так и по положению, то между
вариациями 8х', 8у', Sz' координат частиц, прилегающих к
этой поверхности, должно существовать отношение,
зависящее от уравнения этой поверхности. Мы
допустили, что это уравнение имеет следующий вид:
Adxf + В dy' + Cdz' = О,
поэтому мы обязательно будем также иметь
А8х' +В8у' + C8z' = 0;
этим удовлетворяется приведенное в предыдущем
пункте уравнение на границах, причем не
получается никакого нового уравнения.

о РАВНОВЕСИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ 273
32. Пусть р' — линия, перпендикулярная к по-
верз^ности в точке, которой соответствуют вариации
Ъх', Sy', Sz', причем эта линия заканчивается в
некоторой неподвижной точке. Так как «.' — это угол,
образуемый касательной плоскостью с плоскостью yz,
то он будет также углом, образуемым
перпендикуляром р' к этой плоскости с осью X, которая
перпендикулярна к плоскости yz. Тйчно так же р'
будет угол, образуемый указанным выше
перпендикуляром t осью у, и у' — угол между тем же
перпендикуляром и осью z. Поэтому, каковы бы ни
были вариации 8х', 8у', Sz', мы на основании пункта
7 отдела П, заменив знак d знаком S, получим
8р' = cos а' 8х' + cos р' 8у' + cos у' Sz',
и уравнение пункта 30, относящееся к поверхности
жидкости, может быть приведено к следующему
виду:
S X' S/ ds^ = 0.
Легко видеть, что каждый элемент X'ds^8p' этого
интеграла выражает момент силы X' ds^, приложенной
к элементу ds^ поверхности и направленной по
перпендикуляру р' к этой поверхности; таким
образом интеграл 8х 8р'ds^ представляет собою сумму
моментов всех сил К', приложенных к каждой
точке поверхности и действующих по напр^авлению,
перпендикуд^ярному к этой поверхности.
Эта сила, равная У, очевидно, представляет собою
давление, которое жидкость производит на
поверхность ядра и которое уничтожается сопротивлением
этого ядра. Но вообще все. члены уравнения для
границ, относящиеся к поверхности жидкости,
могут бнть представлены в виде SxS/?c?s*, независимо
от того, свободна ли эта поверхность или нет,
причем ясно, -что во всех тех точках, где неверхность
свободна, давление X должно равняться нулю.
Последний вывод мы уже раньше получили иным
путем (п. 18).
18 ж. Лагранж, т. I

274 СТАТИКА
33. Егли бы ядро, покрытое жидкостью, обладало
подвижностью, то вариации 8х, 8у, Sz следовало бы
увеличить на те вариации, которые связаны с
изменением положения ядра.
Для того чтобы отличить одни вариации от других,
мы будем обозначать через Sx, Sy, Sz вариации,
происходящие только вследствие смещения
частиц жидкости по отношению к ядру, которое мы
принимаем неподвижным, а через S^, St), 8^ —
вариации, связанные со смещением ядра. Последние
выражаются с помощью следующих формул, данных
нами в пункте 60 отдела V,
S^= 8l + zUI -уШ,
8т, = 8т — г 8L + х Ш,
8П= Ьп + уЬЬ—хЬМ.
Таким образом в общем уравнении пункта 17 следует
вместо Ьх, Ьу, Sz подставить Sx + S^, Sy-f St), Sz + SJ^,
a затем приравнять нулю все члены, в состав
которых войдут вариации Sx, Sy, Sz, а также и те члены,
в состав которых войдут новые вариации SZ, Sm, S/г,
SZ/, ЬМ, SjV; эти последние вариации можно вывести
из под знака S, так как они одинаковы для всех
частиц жидкости.
Мы видим прежде всего, что введение вариаци!!
S^, St), ьх, не вызывает никакого изменения в
уравнениях, которые должны иметь место для всех
точек жидкости и которые получаются из членов,
стоящих под знаком тройного интеграла; в самом деле,
если приравнять нулю входящие в состав этих членов
коэффициенты вариаций Sx, Sy, Sz, то одновременно
исчезнут и вариации S^, St), S^. Отсюда следует, что
общие законы равновесия, содержащиеся в формулах
пункта 19, не зависят как от состояния, так и от
формы ядра.
34. Остается еще рассмотреть уравнение на гра-
тщах, которое в пункте 30 мы привели к следую-

о РАВНОВЕСИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ 275
щему виду:
S X' (cos а 8х' + cos р 8у' + cos у Sz') ds^ = 0.
Если в последнее вместо 8х', 8у', Sz' подставить
значения Sx' + 8Е,', Sy' -f St')', Sz' -f SC, снабженные
одним штрихом для того, чтобы указать, что они
относятся к поверхности жидкости, соприкасающе1'1ся
с ядром, то оно примет следующий вид;
S X' (cos а Sx' + cos р Sy' + cos у Sz') ds^ +
+ S X' (cos a S^' + cos [b St)' + cos у SC) ds^ = 0.
Та часть этого уравнения, которая содержит
вариации Sx', Sy', Sz', сама по себе равна нулю, как
это было показано в пункте 31. Следовательно, и
другая часть левой стороны уравнения тоже должна
равняться нулю. Подставим в нее значения S^', St)', SC
п затем приравняем пулю отдельно величины,
умножающиеся на 81, 8т, 8п, 8L, 8М, 8N; тогда мы
получим следующие шесть уравнеии!!:
Sx' cos а ds^ = О, Sx' cos р ds^ = О, Sx' cos у ds^ = О,
Sx' iy' cos у — z cos P) ds^ = 0,
Sx' (z' COS a. ~ x' cos y) ds^ = 0,
Sx' (x' cos p — y' cos a"* ds^ — 0.
Таковы уравнения, необходимые для полного
равновесия жидкости и твердого тела.
Эти уравнения соответствуют уравнениям пункта
62 отдела V, если в последних вместо dm подставить
ds^ и вместо X, Y, Z подставить X'cosa, X'cosp,
X'cosy. Действительно, если X' представляет собою
силу давления, действующую на поверхность ядра
перпендикулярно к последнему, то X'cosa, X'cosp,
x'cosy представляют собою силы, вызываемые силой
X' по направлениям координат х, у, z; следовательно,
для равновесия твердого тела требуется, чтобы на
каждую точку его поверхности действовали как раз
эти силы.
18*

276 СТАТИКА
35. Однако в том случае, когда жидкость
поддерживается каким-либо твердым телом заданной формы
и оба они находятся под действием любых сил,
решение данной задачи получается проще, если
обратиться непосредственно к основному уравнению
пункта 16 и прямо в него подставить вместо 8х, 8у,
8z их полные значения
Sx + S?, Sy -f St), Sz -f К (п. 33).
Вариации 8x, 8y, Sz, будучи независимыми от
других вариаций 81, 8т, . . ., приведут к уравнению,
аналогичному уравнению пункта 17, и для равновесия
жидкости дадут те же результаты, какие были
получены для случая, когда твердое тело было принято
неподвижным.
Что касается других вариаций S^, St), S^, то
прежде всего легко показать, что они нисколько не
повлияют на значения мастных производных -^—,
-г^, -^, так как вариации SZ, Ът, Ьп, ЬЬ, ЬМ, 8N
мы представляем себе независимыми от х, у, z.
Таким образом достаточно в формулу
S {Х8х + Y8y + Z8z) Г dx dy dz
подставить S^, St), 8^ вместо 8x, 8y, 8z и приравнять
нулю отдельно величины, умножающиеся на каждл'ю
из шести вариаций 81, 8т, 8п, 8L, ЬМ, ЬМ, выведя
их предварительно из-под знака S. Легко видеть, что
таким путем мы получим те же самые уравнения,
какие нами были найдены в отделе V (глава IV) для
равновесия твердого тела, каждая частица которого
dm — здесь она выражена через Г dx dy dz — находится
под действием каких-либо сил X, Y, 7у, таким
образом для равновесия жидкости, находящейся над
подвижным твердым ядром, мы получаем такие же
уравнения, какие мы имели бы, если бы жидкость
превратилась в твердое тело.

о РАВНОВЕСИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ 277
36. Из приведенных выше двух методов
рассмотрения вариаций следует, что давление жидкости на
поверхность ядра эквивалентно действию всех сил,
приложенных к каждой частице жидкости, если
предположить, что жидкость рассматривается как твердое
тело и что ядро увеличилось на всю массу
отвердевшей жидкости.
Вв1^у важности этой теоремы статики мы считаем
необходимым показать более прямой путь, каким она
может быть выведена из наших формул.
Вся задача сводится к тому, чтобы доказать, что
уравнение
H{XSl + YSii + ZST^)rdx dy dz ■■= О
дает те же результаты, что и уравнение для границ
Sx' {^dy dz -Ь bt\dx dz -{■ 8t'dx dy) = 0.
Согласно условиям равновесия жидкости мы имеем
а так какл значения S^, Syj, S^ (п. 33) независимы
соответственно от х, у, z, то мы имеем также
Следовательно, первое уравнение превратится в
Первый член под знаком интеграла может быть
нроинтегрирован iio х, второй по г/ и третий по z;
следовательно, если выполнить эти частные
интегрирования, то аналогично пункту 17 мы отсюда
получим уравнение для границ
Sx" {ЫЧу dz + Ву\Чх dz +Sf dx dy) —
•^ Sx' {Sl'dy dz + Sri'dx dz + SK'dx dy) = 0.

278 СТАТИКА
Но мы имеем (п. 23) X" = О, так как согласно
допущению внешняя поверхность жидкости свободна;
таким образом остается только уравнение
Sx' {b^dy dz + 8f]'dz dz + bXJdx dy) = 0.
Итак, оба указанных выше уравнения приводят к
одному и тому же результату.
37. По отношению к вариациям, зависящим от
перемещения ядра, жидкость, покрывающую это ядро,
можно рассматривать таким образом, как если бы она
составляла единую твердую массу с ядром; поэтому
в том случае, когда все точки ядра тоже находятся
под действием каких-либо сил, остается только учесть
эти силы подобно силам, действующим на частицы
жидкости, и применить к равновесию массы,
составленной из жидкости и твердого тела, как если бы
она образовала единое сплошное твердое тело, те
решения, которые были даны в главе IV отдела V.
§ IV. О равновесии несжимаемых жидкостей,
содержащихся в сосудах.
38. Общее уравнение на границах, указанное в
пункте 27, должно выполняться для всех точек
стенок сосуда, в котором содержится жидкость.
Представим это уравнение в следующем виде:
S (X"Sa;" — X'Sa;') dydx-\-'^ {ГЦ" - X'Sy') dz dz +
+ S (X"Sz" — X'Sz') dz dy= 0,
и рассмотрим сначала член S (X"Sz" — X'Sz') dzdy; здесь
Sz" и Sz' представляют собою вариации координаты z,
которая принадлежит двум точкам поверхности
жидкости, соответствующим одинаковым
координатам Z и у.
Ясно, что вариации Sz" стремятся заставить
частицы поверхности уйти из жидкой массы, а вариации
Sz', если и те и другие считать положительными,
стремятся Заставить частицы с противоположной по-

о РАВНОВЕСИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ 279
верхности войти в жидкую массу; следовательно,
если вариацию второго вида снабдить знаком минус,
то вариации Sz" и — Sz' будут одинаково стремиться
удалить частицы поверхности из жидкой массы; в
таком случае двойной интеграл
выразит сумму всех величин XSz dx dy,
соответствующих всем точкам поверхности жидкости, в
которых согласно допущению вариации Sz обладают
одной и той же тенденцией к выходу из массы
жидкости наружу. При наличии этого условия мы можем
приведенному выше интегралу дать следующий более
простой вид S X Sz с?а; dy.
Аналогичным путем и при тех же условиях мы
можем два других двойных интеграла
S [ГВу" — X'Sy') dxdz и ^ (X'Sx" - X'Sx') dy dz
привести к следующему виду: ^xbydx dz, Sx 8х dy dz.
Итак, рассматриваемое уравнение на границах
может быть представлено в таком виде:
S X Sz с?а; с?г/ + S X Sy с?а; c?z + S X Sz с?г/ dx = О,
которое, на основании анализа пункта 33, может быть
приведено к следующему:
S X (cos а • Sa; + cos р • Sy + cos у • Sz) ds^ = 0;
в этом уравнении а, р, у представляют собою углы,
которые образует с тремя плоскостями yz, xz и ху
касательная плоскость к поверхности, проведенная в
точке, соответствующей координатам х, у, z.
Интегрирование этого уравнения распространяется на всю
поверхность жидкости, а все вариации 8а;, Ьу, Sz
следует считать направленными из внутренних частей
жидкой массы наружу.
39. В тех точках, где поверхность свободна,
вариации Sa;, by, Sz остаются неопределенными; поэтому

280 СТАТИКА
уравнение может быть удовлетворено только при
том условии, если мы положим X = О, откуда мы
получим форму упомянутой поверхности, как мы это
видели в пункте 18.
Во всех других точках поверхности, где жидкость
соприкасается со стенками сосуда, мы, отмечая
одним штрихом величины, относящиеся к этим точкам
поверхности, получим для стенок сосуда те же
уравнения, какие мы получили раньше (п. 30) для
поверхности ядра, покрытого жидкостью.
Следовательно, и все те выводы, какие были сделаны из этого
уравнения, начиная с упомянутого выше пункта и
до конца предшествующего параграфа, могу* быть
применены к стенкам сосуда, в котором содержится
жидкость, независимо от того, какова его форма,
неподвижен ли он или же он поддерживается в
равновесии давлением жидкости и влиянием внешних
ГИЛ, действующих на него в любых направлениях.

^^^/Тэ^еТ*^*.^
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ.
о РАВНОВЕСИИ СЖИМАЕМЫХ
И УПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ.
1. Пусть, как и в пункте 10 предыдуш;его отдела,
X, Y, Z, — силы, действующие на каждую точку
жидкой массы, отнесенные к осям координат х, у, z
и стремящиех;я уменьшить эти координаты; тогда
прежде всего
%{Xbx^Yby + Z bz) dm
будет суммой моментов этих сил.
У упругих Жидкостей суш.ествует еще одна
внутренняя сила, которую называют упругостью и
которая стремится их расширить или увеличить их
объем. Итак, пусть s — упругость какой-ниб^удь
частицы dm; согласно пункту 9 отдела II, у этой силы,
стремящейся увеличить объем dx dy dz упомянутой
частицы, будет, или можно себе представить
существующей, в качестве момента величина — tb{dxdydz).
Выражение момента этой силы я сопровождаю
Здесь знаком минус, так как в данном случае сила
стремится увеличить переменную величину rfxrfy c?z,
fi то время как силы X, Y, Z стремятся уменьшить
"переменные х, у, z. Следовательно, сумма моментов,
получающихся вследствие упругости всей жидкой
waccti, выразится через —SeS(c?a; dy dz).

282 СТАТИКА
Таким образом общая сумма моментов сил, jxeii-
ствующих на жидкость, составит
^{Х8х +Y8y + Z Sz) dm — SsS (dz dy dz);
так как здесь не имеется никаких частных условий,
которые должны были бы быть выполнены, то общее
уравнение равновесия получится, если мы эту сумму
просто приравняем нулю.
2. Итак, для равновесия упругих жидкостей
получается уравнение такого же вида, какое мы нашли
в предыдущем отделе (п. 10) для равновесия
несжимаемых жидкостей, так как в последнем (п. И)
SL == S [dx dy dz),
благодаря чему член Sx 8L, получающийся из
условия несжимаемости, совершенно аналогичен члену
SsS {dx dy dz), получающемуся из момента
упругих сил.
Отсюда следует, что формулы, выведенные для
равновесия несжимаемых жидкостей,
непосредственно и без всяких ограничений могут быть
применены и к равновесию упругих жидкостей, если
только коэффициент ). просто заменить
коэффициентом — е, т.е. если допустить, что величина X,
обозначающая давление у несжимаемых жидкостей,
будучи взята с отрицательным знаком, выражает
и силу упругости каждого элемента упругой
жидкости.
3. Упругость S зависит от плотности и
температуры каждой частицы жидкости, и ее следует
рассматривать как известную функцию обеих этих
величин; но плотность каждой отдельной частицы
неизвестна, так как она зависит от отношения
массы dm частицы к ее объему dx dy dz, и
дифференциальное исчисление не в состоянии определить этого
отношения, зависящего от числа элементарных частиц,

о РАВНОВЕСИИ СЖИМАЕМЫХ И УПРУГИХ ЖИДКОСТВИ 283
заключенных в дифференциальном элементе dx dy dz
жидкой массы.
Поэтому значение упругости можно установить
лишь а posteriori — с помощью тех сил, которые
поддерживают жидкость в равновесии; следовательно,
значение s надлежит определить тем же путем, каким
было определено в пункте 19 предыдущего отдела
значение X.
4. Поставив — s вместо X, мы на основании
упомянутого пункта получим уравнения
^ + rz =0,
f + ry = o,
-1^ + rz = о,
которые дают
de + T{Xdx+Ydy + Zdz)=0
и, следовательно,
e = ~HT{Xdz + Ydy + Z dz) + const.
Таким образом величина Г(Х dx + Ydy + Z dz)
должна быть полным дифференциалом для равновесия
жидкостей как упругих, так и несжимаемых.
Отсюда можно, как и в п. 20 предыдущего
отдела, сделать вывод, что если величина X dx -{- Ydy -\- Z dz
сама по себе является полным дифференциалом, то
плотность Г должна быть одинаковой на каждой
поверхности уровня.
5. Если через 0 обозначить температуру,
существующую в каждом месте жидкости, то для воздуха
обычно принимают, что s пропорционально Г6, если
отвлечься от других причин, как, например, пары,
электричество, которые могут повлиять на ее
упругость.

284 СТАТИКА
Подставим в уравнение
ds + T{Xdx + Ydy + Zdz) = 0
вместо Г его значение -^; тогда оно Примет
следующий вид:
т
de X dx + ydy + Zdz _ ^
~r ft — U.
e
Так как теплота вызывается,местными причинами,
то величина 6 является заданной функцией х, у, z;
следовательно, для того чтобы могло существовать
приведенное выше уравнение, необходимо, чтобы
величина
Xdx + ydy + Zdz
е
была полным дифференциалом.
6. Поэтому в естественных условиях, когда
Xdz + Ydy + Zdz = dU
(отд. 7, п. 20), 6 должно быть функцией П;
следовательно, если с?П = О, той с?6=0; отсюда следует,
что на каждой поверхности уровня, к которой
силы тяжести направлены перпендикулярно, теплота
должна быть повсюду постоянной, в противном
случае атмосфера не могла бы находиться в состоянии
равновесия. Следовательно, для того чтобы воздух
мог оставаться в покое, необходимо, чтобы на всей
поверхности земли температура была одинаковой и
чтобц при подъеме в атмосфере она изменялась
только При переходе от одной поверхности уровня до
другой.
7. Что касается уравнения для границ
поверхности жидкости, то если к нему применить
преобразование пункта 32 предыдущего отдела, то оно примет
следующий вид:

о РАВНОВЕСИИ СЖИМАЕМЫХ И УПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ 285
в этом виде оно становится само собою очевидным,
так как на поверхности приходится рассматривать
только силу упругости S, действующую по линии /?,
перпендикулярной к этой поверхности; в том случае,
когда жидкость находится в сосуде, вариации 8р
равны нулю, и приведенное уравнение само собою
выполняется; если же часть поверхности свободна,
то упругость S должна равняться нулю; в противном
случае жидкость, которую ничто не сдерживало бы,
должна была бы рассеяться.
8. В атмосфере упругость s пропорциональна
барометрической высоте, которую мы обозначим через h.
Пусть Z — сила тяжести. Выберем ординату z
перпендикулярно к поверхности земли и направим ее
снизу вверх; тогда уравнение, приведенное в пункте 5,
примет следующий вид:
dh , Zdz r\
после интегрирования это уравнение, если
барометрическую высоту принять равной Я при z = О, дает
.Zdz
т
ь.^ = $
причем предполагается, что интеграл начинается в той
точке, где z = 0.
Отсюда мы видим, что логарифм отношения
барометрических высот, строго говоря, имеет величину,
rZdz
пропорциональную значению интеграла х—о"".
взятого между высотами соответствующих двух станции
наблюдения; кроме того, отсюда видно, что для
определения разности высот этих станций следует
допустить, что известен закон, связывающий
температуру 9 с высотой Z.
9. Как известно, тяжесть убывает обратно
пропорционально квадрату расстояния от центра земли.
Следовательно, если мы примем г в качестве радиуса'

286 СТАТИКА
земли и предположим, что z представляет собою
взятую по вертикали высоту станции над
поверхностью земли, то мы получим
g
Z
1 + .р^
где g — сила тяжести на поверхности земли; отсюда
следует
Zdz^g —, ^-.-2- = g dx.
1 + 7
если положить
г
так что получится
Н с dx
т ■
, я с dx
теперь вся трудность сводится к тому, чтобы
получить 6 в функции X.
10. Если допустить, что 6 постоянна и если для
краткости принять
тв „
— = Л,
g
то мы получим
а; = Z log-|-= Z (log я - log Л),
откуда с помощью формулы
X
Z =
г
мы определим значение z.
Если мы пренебрежем членом —, который для
не очень больших высот z всегда представляет собою
незначительную величину, то мы получим просто
z = х\ это дает нам обычное правило измерения
высот с помощью барометра.

о РАВНОВЕСИИ СЖИМАЕМЫХ И УПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ 287
Коэффициент к должен быть определен путем
наблюдения. Делюк (Deluc) установил, что для
постоянной температуры 16°,75 по термометру Реомюра
этот коэффициент равен 10 000, если расчет
производить с помощью обыкновенных логарифмов, а высоту
измерять в туазах. Для других температур он
увеличивал или уменьшал указанный коэффициент на
одну 215-ю его часть на каждый градус выше
или ниже 16°,75, а для температур, изменяющихся
от одной станции до другой, он брал просто
среднюю, арифметическую между температурами
этих станций. Позднее приведенное выше правило
было улучшено на основании более точных данных
II на основании новых поправок, внесенных в
коэффициент К.
И. Впрочем, когда в качестве одинаковой
температуры берут среднюю арифметическую между
крайними температурами воздушного столба, то при этом
предполагают, что температура убывает в
арифметической прогрессии. Для того чтобы посмотреть, что
дает такое предположение, примем 6 = вA — nz),
или, для простоты расчета, лучше 6 = вA — /гж), где
в — температура для того случая, когда а; = 0. Если
это значение подставить в формулу -g- ,
проинтегрировать и затем вместо п подставить его значение,
найденное из предыдущего уравнения, то мы
получим
f" fite _ log в —log 6 _
^ е ~^' в —е ~
— ?_ /''I _ L±} 4- T + Tt + fi _ л .
■~ 'к \ 2к "т" 3*2 • • V'
здесь принято, что в = А;-|-7', е = А;-|-/ иА
представляет собою некоторую постоянную температуру,
а 7", ^ являются показаниями термометра,
отсчитанными от этой температуры.

288 СТАТИКА
При указанных условиях, если положить
тк „
и ограничиться приближением только до вторых
степеней Т т t, формула пункта 9 даст
Первые два члена этой формулы соответствуют
правилу Делюка, третий же член почти всегда является
неощутимым.

ДИНАМИКА
«>эУс--

12-5-4

^(IX^^z^ir^^jjsK
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ.
О РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ ДИНАМИКИ.
Динамика — это наука об ускоряющих и
замедляющих силах и о переменных движениях, которые
они должны вызывать. Эта наука целиком обязана
своим развитием новейшим ученым, и Галилей является
тем лицом, которое заложило первые ее основы. До
него силы, действующие на тела, рассматривали только
в состоянии равновесия, и хотя ускоренное падение
твердых тел и криволинейное движение брошенных тел
не могли приписать какой-либо иной причине, кроме
постоянного действия тяжести, тем не менее никому
до Галилея не удалось определить законов этих
повседневных явлений — несмотря на то, что причину
их столь проста. Галилей первый сделал этот важный
шаг и этим открыл новый и необозримый путь для
прогресса механики. Его открытие было изложено
и развито в работе, озаглавленной: «Беседы и
математические доказательства, касающиеся двух новых
наук» (Discorsi е dimonstrazioni matematiche intorno
а due nuove scienze), появившейся впервые в Лейдене
в 1638 г.*). Однако у современников эта работа не
доставила Галилею столько славы, сколько открытия,
произведенные им на небе; в настоящее же время она
составляет наиболее надежную и существенную часть славы
этого великого человека.
*) Имеется русский перевод: Галилео Галилей,
Сочинения, том I, ГТТИ, М. — Л,, 1934 г. {Прим. ред.)
19*

292 ДИНАМИКА
Открытие спутников Юпитера, фаз Венеры,
солнечных пятен и т. д. потребовало лишь наличия
телескопа и известного трудолюбия, по нужен был
необыкновенный гений, чтобы открыть законы природы в
таких явлениях, которые всегда пребывали перед глазами,
но объяснение которых тем не менее всегда ускользало
от изысканий философов.
Гюйгенс (Huyghens), которого сама судьба как
будто предназначила для усовершенствования и
дополнения большинства открытий Галилея, прибавил
к теории ускоренного движения весомых тел теорию
движения маятника и теорию центробежных сил*)
и таким образом подготовил почву для великого
открытия всемирного тяготения. В руках Ньютона ме-.
ханика превратилась в новую науку; его «Principia
mathematica», появившиеся впервые в 1687 г.,
составили эпоху этого превраш;ения.
Наконец, открытие исчисления бесконечно малых
дало математикам возможность свести законы движения
тел к аналитическим уравнениям; после этого
исследование сил и вызываемых ими движений явилось
главнейшим предметом их работ.
Я поставил себе здесь целью предоставить в
распоряжение математиков новое средство для облегчения
подобного рода исследований; однако будет
небесполезно сначала изложить те принципы, которые лежат
в основании динамики, и показать последовательное
развитие тех идей, которые больше всего способствова-
*) Галилей определенно имел представление о
центробежной силе: в одном из своих диалогов он ясно говорит,
что вращение Земли должно было бы вызвать в телах
появление видимой вертикальной скорости, направленной снизу
вверх, если бы их не удерживала сила тяжести. Но
Галилей впадает в ошибку, когда к этому прибавляет, что силы
тяжести, какой бы малой она нам ни представлялась, всегда
достаточно для того, чтобы воспрепятствовать подобному
движению. Мне кажется, однако, что несмотря на эту грубую
ошибку, указанное место «Диалогов» содержит в себе первую
мысль о великом открытии Гюйгенса. См. Dialogo sopro le
due massimi sistemi del mondo. .. стр. 185 и след.
{флорентийское издание 1710 г.) (Прим. Бертрана.)

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ ДИНАМИКИ 293
ли расширению и усовершенствованию этой отрасли
Знания.
1. Теория неравномерных движений и ускоряющих
сил, вызывающих эти движения, основана на
следующих общих законах: каждое движение, сообщенное
телу, является по своей природе равномерным и
прямолинейным; различные движейия, сообщенные
одновременно или последовательно одному и тому же телу,
складываются таким образом, что в каждое данное
мгновение тело находится в той самой точке
пространства, в которой оно должно было бы очутиться в
результате сочетания этих движений, если бы каждое из них в
действительности существовало отдельно в теле. В этих-
то двух законах и содержатся известные принципы силы
инерции и сложного движения [^i]. Галилей первый
открыл оба эти принципа и вывел из них законы
движения брошенных тел, складывая наклонное движение,
являющееся результатом сообщенного телу импульса,
с падением по вертикали, вызываемым действием силы
тяжести.
Что касается законов ускоренного движения
тяжелых тел, то они естественно выводятся из
рассмотрения постояйного и равномерного действия тяжести,
под влиянием которой тела в равные мгновения
получают равные приращения скорости по одному и тому же
направлению; поэтому вся скорость, приобретенная
телом к концу какого-либо промежутка времени, должна
быть пропорциональна этому промежутку. Отсюда яснЪ,
что указанное постоянное отношение скоростей ко
времени со своей стороны должно быть пропорционально
величине силы, развиваемой тяжестью для приведения
тела в движение; таким образом при движении по
Наклонным плоскостям это отношение не должно быть
пропорционально абсолютной силе тяжести, как при
движении по вертикали, но должно быть
пропорционально относительной силе, которая зависит от наклона
плоскости и определяется по законам статики; это дает
нам легкий способ сопоставления движений тел,
спускающихся по плоскостям различного наклона.

294
ДИНАМИКА
Однако Галилей, повидимому, не этим путем открыл
законы падения тяжелых тел. Он, наоборот, начал
с того, что установил понятие о равномерно ускоренном
движении, при котором скорости возрастают
пропорционально временам: отсюда он геометрическим путем
вывел основные свойства этого вида движения и в
особенности закон нарастания пути пропорционально
квадрату времени; затем он с помощью опыта убедился,
что этот закон действительно имеет место при движении
тел, падающих по вертикали или по плоскостям любого
наклона. Однако для того чтобы получить возможность
сравнить движения по плоскостям с различным
наклоном, он вынужден был предварительно допустить
необоснованное положение, что скорости, приобретенные
в результате опускания с равных вертикальных высот,
всегда между собою равны; и лишь незадолго до смерти
и после издания своих «Диалогов» он нашел
доказательство этого положения путем рассмотрения
относительного действия тяжести на наклонных плоскостях; это
доказательство было затем включено в последующие
издания упомянутой работы Галилея.
2. Таким образом постоянное отношение, которое
при равномерно ускоренных движениях должно
существовать между скоростями и временами или между
путями и квадратами времен, может быть принято
в качестве меры ускоряющей силы, действующей
непрерывно на тело; действительно, эта сила может быть
измерена только по тому действию, которое она вызывает
в теле и которое проявляется в сообщенных скоростях
или в путях, пройденных за данные промежутки
времени.
Итак, для подобной оценки сил достаточно
рассмотреть движение, вызванное в течение любого конечного
или бесконечно малого времени, если только мы
считаем силу постоянной в течение этого времени.
Каковы бы ни были движение тела и закон его ускорения,
но согласно природе дифференциального исчисления
мы можем признать постоянным действие каждой
ускоряющей силы в течение бесконечно малого времени;

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ ДИНАМИКИ 295
таким образом всегда можно определить величину силы,
действующей на тело в любое мгновение, если
вызванную в это мгновение скорость сравнить с
продолжительностью этого мгновения или же если путь, пройденный
телом в течение этого мгновения под влиянием силы,
сравнить с квадратом продолжительности этого
мгновения; при этом нет нужды в том, чтобы указанный путь
фактически был пройден телом: достаточно, чтобы можно
было себе представить, что он был пройден при
некотором сложном движении, ибо согласно второму из
приведенных выше принципов движения действие силы
в обоих случаях одинаково.
Указанным выше путем Гюйгенс открыл, что
центробежные силы тел, приводимых в движение по
окружностям с постоянными скоростями, относятся между
собою, как квадраты скоростей, деленные на радиусы
кругов; этим же путем он получил возможность
сравнить центробежные силы с силой тяжести на
поверхности земли, как об этом можно судить по оставленным
им доказательствам своих теорем о центробежных
силах, опубликованным в 1673 г. в конце сочинения
«Horologium oscillatorium» (Часы с маятником).
Гюйгенс сочетал указанную теорию центробежных
сил с теорией разверток, автором которой тоже был
он; эта П9следняя теория сводит каждую бесконечно
малую часть любой кривой к круговым дугам, что
легко дает возможность распространить теорию
центробежных сил на все кривые линии. Однако только
Ньютону привелось сделать этот новый шаг и дополнить
учение о неравномерных движениях и об
ускоряющих силах, способных их вызывать. В настоящее время
это учение сводится лишь к нескольким очень простым
дифференциальным формулам; однако сам Ньютон
постоянно пользовался геометрическим методом,
упрощенным благодаря рассмотрению первых и последних
отношений; если же в отдельных случаях он и
прибегал к аналитическому исчислению, то он пользовался
при этом только методом рядов, который следует
отличать от дифференциального метода, хотя, правда,

296 ДИНАМИКА
оба эти метода могут быть легко сближены и сведены
к одному и тому же принципу.
Почти все математики, трактовавшие теорию уско-
ряюш;их сил после Ньютона, ограничивались тем, что
обобш;али данные им теоремы и переводили их в
дифференциальную форму. Отсюда берут свое начало
различные формулы для центральных сил, которые
встречаются в многочисленных работах по механике, —
формулы, которыми, однако, теперь почти не
пользуются, так как они применимы только к такого
рода кривым, которые мы можем себе представить
описанными под влиянием единственной силы,
стремящейся к некоторому центру, и так как в настоящее время
существуют общие формулы для определения движений,
вызванных любыми силами.
3. Если допустить, что движение тела и силы,
вызывающие это движение, разложены по трем взаимно
перпендикулярным направлениям, то можно отдельно
рассмотреть движения и силы по отношению к
каждому из этих трех направлений. Ибо в силу взаимной
перпендикулярности этих направлений ясно, что
каждое из этих частичных движений можно
рассматривать как независимое от двух других движений и что
каждое из них может претерпеть изменение только
со стороны той силы, которая действует по направлению
этого движения; отсюда можно заключить, что каждое
из этих трех движений в отдельности должно следовать
законам прямолинейных движений, ускоренных или
замедленных под влиянием заданных сил. Но при
прямолинейном движении действие ускоряющей силы
состоит только в том, что она изменяет скорость тела;
поэтому данная сила должна измеряться отношением
между приращением или убылью скорости в течение
некоторого мгновения и продолжительностью этого
мгновения, т. е. дифференциалом скорости, разделенным
на дифференциал времени; а так как сама скорость при
неравномерных движениях измеряется дифференциалом
пути, разделенным на дифференциал времени, то отсюда
следует, что рассматриваемая сила измеряется вторым

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ ДИНАМИКИ £97
дифференциалом пути, разделенным на квадрат первого
дифференциала времени, который при этом
рассматривается как постоянная величина. Таким образом второй
дифференциал пути,который тело проходит или согласно
нашему представлению может пройти по каждому
из трех взаимно перпендикулярных направлений,
разделенный на квадрат постоянного дифференциала
времени, выразит ускоряюш;ую силу, действуюш;ую на
тело в этом именно направлении, и, следовательно,
бз'дет равен действительной силе, которая согласно
нашему допуш;ению действует в данном направлении.
В этом и заключается столь хорошо известный принцип
ускоряюш;их сил.
Нет необходимости в том, чтобы три направления,
к которым относят мгновенное движение тела, были
совершенно неподвижными; достаточно, чтобы они
оставались таковыми в течение рассматриваемого мгновения.
Таким образом при движениях по кривой линии можно
каждое мгновение избирать эти направления, причем
одно из них по касательной, а другие два по линиям,
перпендикулярным к кривой. Тогда ускоряюш;ая сила,
действуюш;ая по касательной и носяш;ая название
тангенциальной силы, полностью пойдет на изменение
абсолютной скорости тела и будет выражена с по-
мош;ью элемента'этой скорости, разделенного на
элемент времени.
Нормальные же силы изменяют только направление
движения и зависят от кривизны линии, описываемой
телом. Если нормальные силы свести к одной, то
направление этой сложной силы будет лежать в плоскости
кривизны и самая сила будет выражена квадратом
скорости, разделенным на радиус кривизны, ибо
каждое мгновение тело можно рассматривать как бы
движущимся по соответствующему кругу кривизны.
Этим путем были найдены известные формулы для
сил тангенциальных и нормальных, которыми
пользуются уже с давних пор для разрешения проблем
движения тел, находящихся под действием заданных
сил. Появившаяся, в 1736 г. «Механика» Эйлера,

298 ДИНАМИКА
которую следует признать первой большой работой, в
которой к учению о движении был применен анализ, вся
еще построена на этих формулах; однако после этого
их почти оставили, так как был найден более простой
способ выражения действия ускоряющих сил на
движение тела.
Последний заключается в том, что движение тела
и действующие на него силы относят к некоторым
неподвижным в пространстве направлениям. Если для
определения места тела в пространстве принять три
прямоугольные координаты, имеющие указанные
направления, то, очевидно, изменения этих координат
выразят пути, пройденные телом по направлениям этих
координат; следовательно, их вторые дифференциалы,
разделенные на квадрат постоянного дифференциала
времени, выразят ускоряющие силы, которые должны
действовать по направлению этих координат. Таким
образом, если эти выражения приравнять выражениям
сил, заданных условиями задачи, мы получим три
аналогичных уравнения, которые и послужат для
определения всех обстоятельств рассматриваемого
движения. Этот прием составления уравнений движения
тела, находящегося под действием каких-либо сил,
путем сведения этого движения к прямолинейным
движениям, следует благодаря его простоте
предпочесть всем другим приемам; поэтому он должен был бы
возникнуть раньше других, однако в действительности,
повидимому, только Маклорен (Maclaurin) впервые
применил его в своем сочинении «О.флюксиях»,
появившемся в свет на английском языке в 1742 г. В
настоящее время он является общепринятым.
4. Итак, с помощью изложенных выше принципов
можно определить законы движения свободного
тела, находящегося под действием любых сил, если
только мы будем рассматривать это тело как точку.
Эти принципы можно применить и к исследованию
движения нескольких тел, взаимно притягивающих
друг друга согласно некоторому закону, являющемуся-
известной функцией расстояний между рассматривае-

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ ДИНАМИКИ £99
мыми телами; наконец, нетрудно распространить их
и на движения в сопротивляющихся средах, а также
на такие движения, которые происходят по заданным
кривым поверхностям, ибо сопротивление среды
представляет собою не что иное, как силу, действующую
в направлении, противоположном той силе, которая
поддерживает движение, а когда тело вынуждено
двигаться по заданной поверхности, то необходимо
существует сила, перпендикулярная к поверхности,
удерживающая его на ней; неизвестное значение этой силы
может быть определено на основании условий,
вытекающих из природы самой поверхности.
Однако в том случае, когда исследуют движения
многих тел, действующих друг на друга путем
удара или давления, будь то непосредственно, как
при обычном ударе, или же при посредстве нитей или
несгибаемых рычагов, к которым они прикреплены,
или же вообще каким-либо иным образом, то этого рода
задача принадлежит к проблемам более высокого
порядка, которая не может быть разрешена с помощью
приведенных выше положений. Дело в том, что в этом
случае силы, действующие на тело, неизвестны и их
следует определить на основании действия, которое
тела должны оказывать одно на другое в соответствии
с их взаимным положением. Таким образом здесь
необходимо привлечь на помощь еще один принцип,
который служит для определения силы тел,
находящихся в движении, в соответствии с их массой и
скоростью.
5. Этот принцип заключается с следующем: для
гого чтобы данной массе сообщить определенную
скорость в каком-либо направлении — будет ли эта масса
находиться в покое или в движении — требуется сила,
шачение*) которой пропорционально произведению
*) Под аначением силы здесь следует понимать произведе-
ше силы на время ее действия, или более обще, — интеграл
фоизведения элемента времени на интенсивность силы. Сло-
10 сила взято Лагранжем в том же смысле, в каком его при-

300 ДИНАМИКА
массы на скорость и направление которой одинаково
с направлением этой скорости. Это произведение массы
какого-либо тела на его скорость обычно называют
количеством двимсения данного тела, так как оно
действительно представляет собою сумму движений всех
материальных частей тела. Таким образом, силы
измеряются количествами движения, которые они
способны вызвать, и, наоборот, количество движений тела
представляет собою меру силы, какую тело способно
проявить по отношению к какому-либо препятствию
и которую называют ударом (percussion). Отсюда
следует, что если два неупругих тела в прямо
противоположных направлениях сталкиваются с равными
количествами движения, то их силы должны взаимно
друг друга уравновесить и уничтожить; следовательно,
в данном случае тела должны остановиться и затем
пребывать в покое. Если же удар происходит при
посредстве рычага, то для уничтожения движения тел
необходимо, чтобы их силы следовали известному
закону равновесия рычага.
Повидимому, Декарт первый осознал изложенный
нами выше принцип, но, применяя его к удару тел,
он допустил ошибку, полагая, что всегда должно
сохраняться одно и ' то же количество абсолютного
движения *).
менил Декарт, когда он писал Мерсенну (Mersenne): «Я
говорил о силе, служащей для поднятия груза и имеющей два
намерения, а не о силе, служащей для поддержания любой
точки, имеющей только одно измерение» (сочинения Декарта в
издании Cousin, т. VI, стр. 329). Понятно, какую путаницу
должно было вызвать это двойное значение слова сила (force).
К счастью, математики отвергли эту терминологию: в
настоящее время пол силой (force) понимают только у.илие (effort),
которое может быть вьфажено в килограммах. {Прим.
Бертрана.)
*) Ни в одном из многочисленных сочинений Декарта мы
ие находим ясно1 о и понятного изложения этого принципа.
Что же касается применений, то допуще11Ные им ошибки
гораздо серьезнее той, которую отметил здесь Лагранж. В числе
других ошибочных положений он утверждает, что одно тело,
ударившись о другое, пе в состоянии сообщить ему движения.

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ ДИНАМИКИ 301
Собственно говоря, первым лицом, имевшим ясное
представление об этом принципе и успешно
применившим его для открытия законов передачи движения
твердых или упругих тел, является Валлис (Wallis), как
об этом можно судить по Transactions philosophical за
1669 г. и по третьей части его сочинения «De motu»,
изданного в 1671 г. Подобно тому, как произведение
массы на скорость выражает конечную силу тела,
находяш;егося в движении, так произведение массы
на ускоряюш;ую силу, которая, как мы видели,
определяется отношением элемента скорости к элементу
времени, выражает элементарную или возникаюш;ую
силу, и если это произведение рассматривать как меру
того усилия, которое тело может проявить благодаря
своей элементарной скорости, которую оно получило
или стремится получить, то оно дает то, что называют
давлением; если же его рассматривать как меру силы,
необходимой для того, чтобы сообш;ить эту скорость, то
в этом случае оно -представляет собою то, что
называют движущей силой. Итак, силы давления или
движущие силы уничтожаются или же находятся в
равновесии, если они равны друг другу и направлены
прямо противоположно или же если, будучи приложены
к какой-нибудь машине, они следуют законам
равновесия этой машины [^^].
6. Если тела связаны друг с другом таким образом,
что они не могут свободно следовать полученным ими
импульсам или приложенным к ним ускоряющим
силам, то эти тела необходимо развивают одно на
другое непрерывные давления, изменяющие их движения
и затрудняющие тем самым определение этих движений.
Первой и наиболее простой задачей этого рода,
какой занимались геометры, была задача о центре
колебания. Эта задача пользовалась большой известностью
если оно не обладает массой, большей его массы; во всех
других случаях ударяющееся тело отразится, а тело,
получающее удар, останется без движения. (Там же, т. IX, стр. 195.)
{Прим. Бертрана.)

302 ДИНАМИКА
н начале последнего столетия и даже с середины пре-
дыдуш;его, благодаря усилиям и попыткам, сделанным
крупнейшими геометрами для разрешения этой
задачи. Так как главным образом этим попыткам мы
обязаны огромными успехами, сделанными с того времени
динамикой, я считаю необходимым дать здесь краткий
исторический очерк этих попыток для того, чтобы
показать, по каким ступеням поднималась эта отрасль знания
до того совершенства, какого, повидимому, она достигла
в последнее время.
Первые следы исследований о центре колебания мы
находим в письмах Декарта. Из них видно, что Мер-
сенн предложил математикам определить размер, какой
должно иметь тело любой .формы для того, чтобы,
будучи подвешено в одной точке, оно совершало свои
колебания в такое же время, в какое их совершает нить
заданной длины, нагруженная в одном конце eдинct-
венным грузом. Декарт отмечает, что эта задача
находится в некоторой связи с задачей о центре тяжести и что
совершенно так же, как у тяжелого свободно падаюш;его
тела имеется центр тяжести, вокруг которого силы
тяжести всех частей этого тела находятся в равновесии,
так что этот центр падает таким же образом, как если
бы самого тела не было или оно было бы сосредоточено
в этом центре,— так и у тяжелых тел, враш;ающихся
вокруг неподвижной оси, должен существовать центр,
который он называет центром качания (centre
d'agitation); вокруг этой точки силы качания всех частей
тела взаимно друг друга уравновешивают, так что
этот центр, будучи свободен от действия указанных
сил, может приводиться в движение таким образом,
как если бы остальные части этого тела были
уничтожены или же сконцентрированы в этом самом центре.
Следовательно, все тела, у которых упомянутый центр
одинаково удален от оси враш;ения, должны
совершать свои колебания в одинаковое время.
На основе изложенного определения центра качания
Декарт дает общий метод нахождения этого центра в
телах любой формы. Этот метод заключается в отыска-

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ ДИНАМИКИ 303
НИИ центра тяжести сил качания всех частей тела,
причем эти силы измеряются призведениями масс на
скорости, которые в данном случае пропорциональны
расстояниям от оси вращения, и делается допущение,
что части тела проектируются на плоскость,
проходящую через его центр тяжести и через ось вращения,
таким образом, что они сохраняют свои расстояния от
этой оси.
Это решение Декарта стало предметом. полемики
между ним и Робервалем. Последний утверждал, что
указанное решение имеет силу только в том случае,
если все части тела фактически лежат или могут быть
рассматриваемы как лежащие в плоскости, проходящей
через ось вращения; во всех же других случаях следует
рассматривать только движения, происходящие
перпендикулярно к плоскости, проведенной через ось
вращения и через центр тяжести тела, причем каждую
частицу следует отнести к той точке, в которой
указанная плоскость пересекается направлением движения
этой частицы, — направлением, которое всегда
перпендикулярно к плоскости, проходящей через данную
частицу и через ось вращения. Легко, однако,
доказать, что моменты сил по отношению к оси вращения,
измеренные этим способом, всегда равны моментам сил,
измеренным по методу Декарта*).
С большим основанием Роберваль утверждал, что
Декарт нашел не что иное, как центр удара (percussion),
вокруг которого удары (chocs) или моменты ударов
(percussion) равны, и что для нахождения действитель-
*) Это замечание доказывает, что возражение Роберваля
не было обоснованным; но он имел достаточное основание
утверждать, что правило Декарта неверно в том случае,
когда речь идет не о плоской фигуре, вращающейся вокруг оси,
расположенной в плоскости этой фигуры. Следует даже
прибавить, что Роберваль указал, не приводя, однако,
доказательств, точное положение центра колебания кругового
сектора, вращающегося вокруг перпендикуляра к его
плоскости, проведенного через центр сектора. См. замечания
Роберваля по поводу письма Декарта (Oeuvres de Descartes, t. IX,
p. 521, издание Cousin). {Прим. Бертрана.)

304 ДИНАМИКА
ного центра колебания тяжелого маятника следует
также принимать во внимание действие тяжести, под
влиянием которой маятник движется. Однако
подобного рода исследование было не под силу механике
того времени *), и математики продолжали молча
допускать, что центр удара совпадает с центром
колебания, и Гюйгенс был первым, кто рассматривал
этот последний центр в его действительном значении;
он .также полагал, что эту проблему Следует считать
совершенно новой**) и, не будучи в состоянии
разрешить ее с помош;ью известных законов движения,
придумал новый, но косвенный принцип, который
затем получил широкую известность под названием
принципа сохранения мсивых сил.
7. Нить, рассматриваемая как несгибаемая линия,
лишенная тяжести и массы и закрепленная одштм
концом в неподвижной точке, а на другом нагруженная
небольшим грузом, который можно себе представить
сведенным в точку, образует то, что называют простым
маятником; закон колебаний этого маятника зависит
исключительно от его длины, т, е. от расстояния между
грузом и точкой подвеса. Но если на этой нити, на раз-
*) Извеотпо, что центр колебаний не отличается от центра
удара. Из отзыва Лагранжа должно как будто следовать, что
правило Декарта верно, хотя оно недостаточно точно
обосновано. Однако легко убедиться в том, что это не так и что это
правило ведет к неверным результатам во всех тех случаях,
когда маятник не приводится к плоской фигуре,
вращающейся вокруг оси, расположенной в его плоскости. (Прим,
Бертрана.)
**) Гюйгенс в начале четвертой части своего сочинения,
наоборот, вспоминает, что задача о центре колебания была
когда-то предложена ему, а также и другим математикам
Мерсенном, но в то время он, Гюйгенс, был еще почти ребенком
и не мог найти удовлетворительного решения. Говоря о Де-
карте;^ он прибавляет: <• Выдающиеся люди, как Декарт (Carte-
sius), Фабрий (Fabrius) и другие, полагавшие, что разрешили
эту проблему, совершенно не справились с ней, если не
считать немногих более легких вопросов, для которых, однако,
как мне кажется, они не дали какого-либо удовлетворительного
доказательства», (oeuvres d'Huygens, t, I, p. 118; издание
s'Gravesande, Lyon 1724). {При.п, Бертрана.)

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ ДИНАМИКИ 305
личных расстояниях от точки ее подвеса, укрепить
еще один или несколько грузов, то мы тогда получим
сложный маятник, движение которого должно дать
в известном смысле нечто среднее между движениями
различных простых маятников, какие получились бы,
если бы каждый из указанных грузов был подвешен
на отдельной нити. В самом деле, с одной стороны, сила
тяжести стремится заставить все грузы опускаться
одинаково в одно и то же время, а с другой стороны,
несгибаемость нити заставляет их именно в это самое
время описывать неравные дуги, пропорциональные
их расстояниям от точки подвеса; таким образом между
этими грузами должен иметь место некоторый вид
компенсации и распределения их движений, так что
грузы, находящиеся ближе всего к точке подвеса,
ускоряют колебания более далеких, а последние,
наоборот, замедляют колебания первых. Таким образом
на нити должна существовать такого рода точка, что
если в ней укрепить тело, то движение последнего
не будет ни ускор^1Ться ни замедляться остальными
грузами, и движение будет совершенно таким же, как
если бы только одно это тело было подвешено на нити.
Эта точка и будет истинным центром колебания
сложного маятника; подобный центр должен находиться
и в каждом твердом теле, колеблющемся около
горизонтальной оси, какую бы форму это тело' ни имело.
Гюйгенс увидел, что этот центр не может быть
определен строго математически, если неизвестен закон,
согласно которому различные грузы сложного
маятника взаимно изменяют те движения, которые сила
тяжести стремится им сообщить в каждое мгновение;
однако вместо того чтобы вывести этот закон из
основных положений механики, он ограничился применением
косвенного положения, которое заключается в
следующем: если несколько грузов, прикрепленных любым
образом к маятнику, опускаются исключительно
под действием тяжести и если представить себе, что
в некоторый момент они освобождены и отделены друг
от друга, то каждый из них под влиянием полученной
20 ж. Лагранж, т. I

J(J(j ДИНЛОТИПА
ИМ при падении скорости сможет подняться на такую
высоту, что общий центр их тяжести достигнет той же
самой высоты, с какой он перед этим опустился. Правда,
Гюйгенс не установил этого положения непосредственно,
а вывел его из двух гипотез, которые, по его мнению,
следовало допустить в качестве постулатов механики.
Одна из этих гипотез заключается в том, что центр
тяжести системы тяжелых тел никогда не может
подняться на высоту, большую той, с которой он упал,
как бы мы ни изменяли взаимное расположение тел,
ибо в противном случае стало бы возможным
непрерывное движение; вторая гипотеза заключается в том,
что сложный маятник всегда сам собою способен
подняться на такую же высоту, с какой он свободно
опустился. Сверх того, Гюйгенс отмечает, что это же
положение имеет место при движении тяжелых тел, связанных
между собою каким угодно образом, а также при
движении жидких тел.
Трудно угадать, что навело Гюйгенса на мысль
об указанном положении, но можно подозревать,
что он был приведен к нему теоремой, доказанной
Галилеем для падения тяжелых тел: падают ли они
по вертикали или же по наклонным плоскостям, они
всегда приобретают такие скорости, которые в состоянии
их поднять на ту же высоту, с которой они упали.
Эта теорема, будучи обобщена и применена к центру
тяжести системы тяжелых тел, и дает упомянутый
принцип Гюйгенса.
Но как бы там ни было, из этого положения
получается уравнение между вертикальной высотой, с
которой центр тяжести системы падал в течение некоторого
времени, и различными вертикальными высотами, на
которые Входящие в систему тела могут подняться с
достигнутыми ими скоростями и которые согласно
теоремам Галилея относятся между собою, как
квадраты этих скоростей. Но у маятника, колеблющегося
вокруг горизонтальной оси, скорости различных точек
пропорциональны их расстояниям от оси;
следовательно, уравнение можно свести только к двум неиз-

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ ДИНАМИКИ 307
вестным величинам, из которых одна представляет
собою расстояние, на какое за определенное время
снижается центр тяжести маятника, другая же
величина представляет собою высоту, на которую может
подняться заданная точка под влиянием скорости,
приобретенной благодаря падению. В центре колебания
обе эти высоты должны быть равны, так как свободные
тела всегда в состоянии подняться на ту же высоту,
с какой они упали. Уравнение и показывает, что это
равенство может иметь место только в точке, лежащей
на линии, перпендикулярной к оси вращения и
проходящей через центр тяжести маятника; эта точка
удалена от упомянутой оси на такую величину, которая
получается, если сумму произведений всех масс,
составляющих маятник, на квадраты их расстояний от оси
разделить на сумму этих масс, помноженных на
расстояние центра тяжести маятника от той же оси. Эта
величина и выразит длину простого маятника, движение
которого будет одинаково с движением сложного маятника.
Гюйгенс изложил приведенную выше теорию в своей
работе «Horologium oscillatorium», где он привел также
большое количество остроумных применений этой
теории. Последняя не оставляла бы желать ничего лучшего,
если бы она не была основана на сомнительном
положении; оставалось еще доказать правильность этого
положения, чтобы сделать теорию неуязвимой для
каких бы то ни было возражений.
Против теории Гюйгенса были высказаны в 1681 г.
в Journal des Savants de Paris некоторые слабые
возражения, на которые Гюйгенс дал поверхностный и мало
удовлетворительный ответ. Но эта полемика привлекла
к себе внимание Якова Бернулли (Jacques Bernoulli)
и побудила его более углубленно исследовать теорию
Гюйгенса и свести ее к основным положениям динамики.
Бернулли рассматривает сначала два равных груза,
подвешенных на прямой несгибающейся линии и
указывает, что скорость, какую первый груз, т. е. груз,
расположенный ближе к точке подвеса, приобретает,
двигаясь по определенной дуге, должна быть меньше
20*

308 ДИНАМИКА
той скорости, какую он приобрел бы, если бы он
свободно описал эту дугу, и что в то же время скорость,
которую приобретает второй груз, должна быть больше
той скорости, какую он приобрел бы, если бы он
свободно описывал эту дугу. Таким образом скорость,
теряемая первым грузом, передается второму, а так
как эта передача происходит при помощи рычага,
способного двигаться около неподвижной точки, то она
должна следовать закону равновесия сил,
приложенных к этому рычагу, так что потеря первого груза
в скорости относится к выигрышу второго обратно
отношению соответствующих плеч рычага, т. е.
расстояний от точки подвеса. Отсюда, а также из того
обстоятельства, что фактические скорости обоих грузов должны
быть прямо пропорциональны указанным
расстояниям, можно легко определить эти скорости, а
следовательно, и движение маятника.
8. Таков был первый шаг, который был сделан
по пути к прямому разрешению этой знаменитой
задачи. Мысль о том, чтобы отнести к рычагу те силы,
которые получаются из приобретенных или потерянных
грузами скоростей, является очень тонкой и дает ключ
к правильной теории; но Яков Бернулли допустил
ошибку, рассматривая скорости, приобретенные в
течение некоторого конечного времени; было бы
правильнее рассматривать элементарные скорости, достигнутые
в течение одного мгновения, и сравнить их с теми
скоростями, которые стремятся сообщить силы тяжести
в течение того же самого мгновения. Это и сделал позднее
Лопиталь (L'Hopital) в работе,опубликованной в Journal
de Rotterdam за 1690 г. Он представляет себе два
каких-либо груза, подвешенных на несгибающейся нити,
образующей сложный маятник, и устанавливает
равновесие между количествами движения, потерянными
и приобретенными этими грузами в некоторое
мгновение, т. е. между разностями количеств движения,
фактически полученных этими грузами в указанное
мгновение, и тех количеств движения, которые им
стремится сообщить сила тяжести. Этим путем он определяет

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ ДИНАМИКИ 309
отношение мгновенного ускорения каждого груза к
ускорению, которое ему стремится сообщить одна лишь
сила тяжести, и находит центр колебания, определяя
ту точку маятника, для которой оба эти ускорения
равны. Затем он распространяет свою теорию на большее
количество грузов, при этом, однако, первые грузы
он всякий раз рассматривает как бы соединенными
в их центре колебания; однако этот прием не является
уже достаточно прямым и не может быть принят без
доказательства *).
Изложенный выше анализ побудил Якова Бернулли
вернуться к этому вопросу, в результате чего он и дал
первое прямое и строгое решение задачи о центрах
колебания, решение, которое заслуживает тем большего
внимания математиков, что оно содержит в себе зерно
известного принципа динамики, ставшего столь
плодотворным в руках Даламбера.
Бернулли рассматривает движения, сообщаемые в
каждое мгновение силой тяжести телам, из которых-
состоит маятник; так как эти тела вследствие
существующей между ними связи не могут выполнять
указанных движений, то он представляет себе движение,
которое они должны получить, как бы составленным из тех,
которые им сообщаются, и из других движений, которые
к ним прибавляются или вычитаются и которые должны
друг друга уравновесить, в результате чего маятник
должен сохранить равновесие. Таким образом данная
задача св.щится к принципам статики и не требует
ничего кроме помощи анализа. Этим путем Яков Бернулли
вывел общие формулы для центров колебания тел
любой формы, показал их соответствие с положением
Гюйгенса и доказал тождественность центров колебания с
центрами удара. Это решение было дано Бернулли в
основных чертах в 1691 г. в Лейпцигских Acta erudito-
rum; но в полном виде оно было изложено только в
1703 г. в Memoires de I'Academie des Sciences de Paris.
*) Можно даже прибавить, что этот метод приводит к
неточным результатам, {Прим. Бертрана).

310 ДИНАМИКА
9. Для того чтобы не упустить ничего относящегося
к истории задачи о центре колебания, я должен указать
еще на одно ее решение, которое было дано позднее
Иваном Бернулли в тех же Мемуарах и которое почти
одновременно с ним было опубликовано Тейлором
(Taylor) в его работе <<Methodus incrementorum»
(Метод приращений) что дало повод к оживленной полемике
между этими двумя математиками. Как ни остроумна
была идея, на которой было основано это новое
решение,— она заключается в том, что сложный маятник
приводится сразу к простому путем замены различных
грузов другими грузами, сосредоточенными в одной и
той же точке, причем их фиктивные массы и тяжести
подобраны таким образом, что их угловые ускорения и
моменты по отношению к оси вращения остаются
соответственно равными прежним, а общая тяжесть
объединенных грузов равна их истинной тяжести,— тем не
менее следует признать, что эта идея не была ни столь
естественной, ни столь ясной, как идея о равновесии
между приобретенными и потерянными количествами
движения.
В вышедшей в 1716 г. «Phoronomia» Эрмана (Herman)
мы находим еще один метод разрешения той же задачи,
основанный на другом принципе, который заключается
в следующем: движущие силы, под влиянием которых
должны находиться грузы, образующие маятник, чтобы
иметь возможность двигаться совместно, эквивалентны
тем силам, которые получаются под действием тяжести;
таким образом первые, если направить их в
противоположную сторону, должны находиться в равновесии
с последними [^^].
Последний принцип по существу представляет собою
не что иное, как принцип Якова Бернулли, но только
представленный в менее простом виде: пользуясь
принципами статики, нетрудно вывести один из них из
другого. Позднее Эйлер его обобщил и применил к
определению колебаний гибких тел; соответствующая
работа его была напечатана в 1740 г. в VII томе старых
петербургских комментариев.

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ ДИНАМИКИ 311
Было бы слишком долго излагать другие проблемы
динамики, при разрешении которых геометры
упражняли свое остроумие после проблемы о центре
колебания и до того времени, когда разрешение подобных
проблем было сведено к твердо установленным правилам.
Указанные задачи, которые ставили себе Бернулли,
Клеро, Эйлер, можно найти рассеянными в первых
томах петербургских и берлинских мемуаров, в па|:)иж-
ских мемуарах (за годы 1736 и 1742), в сочинениях
Ивана Бернулли и в «Opuscules» Эйлера. Эти задачи
состоят в определении движения многих тел, тяже-
.'1ЫХ или лишенны.< тяжести, которые толкают или
тянут друг друга с помощью нитей или
несгибаемых рычагов, к которым они неподвижно
прикреплены или вдоль которых они могут свободно
скользить и которые, после сообщения им каких-либо
импульсов, предоставляются затем самим себе или
принуждаются двигаться по заданным кривым линиям
или поверхностям.
При разрешении этих задач почти всегда
пользовались принципом Гюйгенса; но так как этот принцип
дает только одно уравнение, то другие уравнения
старались получить путем рассмотрения неизвестных сил,
с которыми согласно допущению тела должны тол-
Е<ать или тянуть друг друга и которые принимали
в качестве упругих сил, действующих одинаково в
противоположных направлениях. При введении этих
сил можно было уже совершенно не принимать во
внимание взаимной связи между телами и представлялось
возможным использовать законы движения свободных
тел; далее, условия, которые в соответствии с природой
задачи должны были иметь место между движениями
различных тел, служили для определения неизвестных
сил, которые вводились в вычисления. Однако при
разрешении всякой задачи требовалась всегда
особая ловкость для определения всех сил, которые
в данном случае должны быть приняты во внимание.
Это и придавало указанным задачам большую
привлекательность и побуждало математиков к соревнованию.

312 ДИНАМИКА
10. Появившееся в 1743 г, сочинение Даламбера
«Traits de Dynamique» положило конец всем подобного
рода вызовам ученых; в нем предложен прямой и общий
метод, с помощью которого можно разрешить, или во
всяком случае выразить в виде уравнений, все проблемы
механики, какие только можно себе представить. Этот
метод приводит все законы движения тел к законам
их равновесия и таким образом сводит динамику к
статике. Мы уже отметили выше, что принцип, примененный
Яковом Бернулли при определении центра колебания,
обладал тем преимуществом, что он поставил это
определение в зависимость от условий равновесия рычага;
однако только Даламбер подошел к этому принципу
с более общей точки зрения и придал ему всю ту простоту
и плодотворность, на которые он был способен.
Если нескольким телам сообщить движения, которые
они вынуждены изменить вследствие наличия
взаимодействия между ними, то ясно, что эти движения можно
рассматривать, как составленные из тех движений,
которые тела фактически получают, и из других
движений, которые уничтожаются; отсюда следует, что
эти последние должны быть такими, что если бы тела
находились исключительно под их действием, то они
бы взаимно друг друга уравновесили.
Таков принцип, который был изложен Даламбером
в его «Traite de Dynamique» и который он удачно
применил при разрешении многих проблем и в
особенности при разрешении задачи о предварении
равноденствий [2*]. Правда, этот принцип не дает
непосредственно уравнений, необходимых для разрешения
проблем динамики, но он показывает, каким образом эти
уравнения могут быть выведены из условий
равновесия. Таким образом, если этот принцип сочетать с
обычными принципами равновесия рычага или сложения
сил, то всегда можно найти уравнения каждой проблемы;
однако трудность определения тех сил, которые должны
уничтожиться, равно как и законов равновесия этих
сил, делает зачастую применение этого принципа
неудобным и утомительным, а решение, которое при этом

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ ДИНАМИКИ 313
получается, почти всегда сложнее тех решений, какие
могут быть получены путем применения менее простых
и менее прямых принципов, как в этом можно убедиться
из второй части «Traite de Dynamique» Даламбера *).
И. Если бы мы пожелали избежать тех разложений
движений, которых требует указанный выше принцил,
то необходимо было бы только наперед установить
равновесие между силами и вызванными ими движениями,
которые, однако, следовало бы взять направленными
противоположно. В самом деле, если мы представим
себе, что каждому телу мы сообщаем в противоположном
направлении то движение, которое оно должно получить,
то ясно, что система будет приведена в положение покоя;
следовательно, эти последние движения должны
уничтожить те движения, которые тела получили бы и
которые они выполняли бы при отсутствии
взаимодействия между ними; таким образом должно существовать
равновесие между всеми этими движениями или между
силами, которые способны их вызвать.
Этот способ сведения законов динамики к законам
статики в действительности является менее прямым,
чем способ, вытекающий из принципа Даламбера,
но зато он приводит к большей простоте в
применениях; он представляет собою возврат к методу Эрмана
и Эйлера, который применил его при разрешении многих
проблем механики. В некоторых курсах механики его
можно встретить под названием принципа Даламбера.
12. В первой части настоящей работы мы свели всю
статику к единой общей формуле, даюш,ей законы
равновесия любой системы тел, находящихся под
действием каких угодно сил. Таким образом можно и всю
динамику свести к одной общей формуле; в самом деле,
для того чтобы применить формулу равновесия сискемы
теп к ее движению, достаточно ввести силы, которые
*) Эти решения еще больше усложняются благодаря тому
обстоятельству, что автор, как он сам об этом предупреждает
(§ 94), систематически избегает принимать at, или элементы
времени, в качестве постоянных величин. {Прим. Лагранока )

314 ДИНАМИКА
получаются вследствие изменений движения каждого
тела и которые должны быть уничтожены. Развитие
этой формулы, если при этом принять во внимание
условия, зависящие от природы системы, даст все
уравнения, необходимые для определения движения
каждого тела; после этого останется только эти уравнения
проинтегрировать, что является уже задачей анализа.
13. Одно из преимуществ, которое получается
при использовании формулы, о которой идет речь,
заключается в том, что она непосредственно приводит к
общим уравнениям, в которых содержатся принципы или
теоремы, известные под названием принципов
сохранения живых сил, сохранения движения центра тяжести,
сохранения моментов вращения, или принципа
площадей, и принципа наименьшего действия. Однако все
эти принципы следует рассматривать скорее как общие
выводы из законов динамики, чем как первоначальные
принципы этой науки, но так как при разрешении задач'
их зачастую все-таки принимают в качестве основных
положений, то мы считаем необходимым здесь на них
остановиться и указать, в чем они заключаются и каким
авторам они обязаны своим происхождением, дабы не
допустить существенного пробела в настоящем
предварительном изложении принципов динамики.
14. Первый из приведенных четырех принципов,
а именно принцип сохранения живых сил, был открыт
Гюйгенсом, однако в форме, несколько отличной от
той, какую ему придают в настоящее время; об этом
мы уже упомянули выше в связи с проблемой
определения центров колебания. Это положение, поскольку
оно было применено для решения указанной задачи,
сводится к равенству между снижением и повышением
ценв'ра тяжести множества тяжелых тел, которые
падают, будучи соединены вместе, и затем поднимаются
отдельно, причем каждое из них поднимается вверх
с той скоростью, какую оно приобрело при падении.
Но согласно известным свойствам центра тяжести путь,
пройденный центром в каком-либо направлении,
выражается отношением суммы произведений массы каж-

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ ДИНАМИКИ 315
дого тела па путь, пройденный им в том же
направлении, к сумме этих масс. С другой стороны, согласно
теоремам Галилея вертикальный путь, пройденный
тяжелым телом, пропорционален квадрату скорости,
которую тело приобрело при свободном падении и с
которой оно может снова подняться на ту же высоту.
Таким образом принцип Гюйгенса сводится к тому,
что при движении тяжелых тел сумма произведений
масс на квадраты скоростей в любое мгновение имеет
одно и то же значение независимо от того, движутся
ли тела, будучи каким-либо образом связаны друг
с другом, или же они свободно пробегают те же
вертикальные пути. Это отметил в нескольких словах и сам
Гюйгенс в маленькой работе, касающейся методов
Якова Бернулли и Лопиталя, примененных ими для
определения центров колебания.
До сих пор этот принцип рассматривался только в
качестве простой теоремы механики; однако после того как
Иван Бернулли принял предложенное Лейбницем
различие между мертвыми силами, или силами давления, не
вызывающими реального движения, и живыми силами,
при которых имеет место движение, а также его
предложение измерять последнего рода силы произведением
масс на квадраты скоростей, рассматриваемый
принцип стал следствием теории живых сил и общего закона
природы, согласно которому сумма живых сил
нескольких тел остается неизменной, в то время как эти тела
действуют друга на друга с помощью одних только
сил давления, и равной той живой силе, которая
получается в результате действия активных сил,
приводящих тела в движение. Поэтому он дал указанному
принципу название принципа сохранения живых сил
и успешно применил его при разрешении некоторых
задач, которые до тех пор еще не были решены и
которые представлялось трудным довести до конца с
помощью прямых методов.
Впоследствии Даниил Бернулли расширил этот
принцип и вывел из него законы движения жидких
тел, заключенных в сосуды; до него эта проблема

316 ДИНАМИКА
всегда исследовалась довольно поверхностно и
произвольно. Наконец, в Memoires de Berlin за 1748 г. он
обобщил этот принцип, показав, как его можно
применить к движению тел, находящихся под действием
произвольных сил взаимного притяжения, или
притягиваемых к неподвижным центрам силами,
пропорциональными любым функциям расстояний.
Принцип живых сил обладает тем большим
преимуществом, что он непосредственно дает конечное
уравнение между скоростями тел и переменными величинами,
определяющими их положение в пространстве; таким
образом в том случае, когда согласно природе задачи
все эти переменные могут быть сведены к одной
переменной, этого одного уравнения оказывается
достаточно для полного разрешения задачи; такой именно
случай мы имеем в проблеме о центрах колебания.
При этом вообще принцип сохранения живых сил всегда
дает первый интеграл различных дифференциальных
уравнений каждой задачи, что во многих случаях
представляет большую выгоду.
15. Второй принцип был выдвинут Ньютоном,
который в начале своих «Principle» доказывает, что
состояние покоя или движения центра тяжести нескольких
тел нисколько не изменяется вследствие взаимного
действия этих тел, в чем бы последнее ни заключалось;
таким образом центр тяжести тел, действующих друг
на друга каким угодно образом, будь то при посредстве
нитей или рычага, или в силу законов притяжения,
если только не имеется какого-либо внешнего действия
или препятствия, всегда остается в покое или же
движется равномерно и прямолинейно.
Позднее Даламбер значительно расширил этот
принцип, показав, что когда тела находятся под действием
постоянных ускоряющих сил, причем все они направлены
по параллельным линиям, или по линиям, сходящимся
в одной точке, и действуют пропорционально
расстоянию, то центр тяжести должен описывать ту же кривую,
как если бы тела были свободны; можно еще добавить,
что движение этой точки вообще остается таким же,

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ ДИНАМИКИ 317
как если бы все силы тел, каковы бы они ни былиг
были приложены к этой точке с сохранением за каждой
силой ее направления.
Ясно, что этот принцип служит для определения
движения центра тяжести независимо от
соответствующих движений тел и что он таким образом всегда может
дать три конечных уравнения между координатами
тел и временем, которые будут интегралами
дифференциальных уравнений задачи *).
16. Третий принцип имеет гораздо меньшую
давность, чем первые два; повидимому, он был открыт
одновременно, но в различных видах, Эйлером,
Даниилом Бернулли и Дарси (Н'Агсу). Согласно формулировке
первых двух этот принцип заключается в том, что
при движении нескольких тел вокруг неподвижного
центра сумма произведений массы каждого тела на
его скорость вращения вокруг центра и на расстояние
его от того же центра является всегда независимой
от взаимного действия, которое тела могут производить
друг на друга, и должна всегда оставаться неизменной,
если не имеется какого-либо внешнего действия или
препятствия. Даниил Бернулли изложил этот принцип
в первом томе Memoires del' Academie de Berlin,
вышедшем в 1746 г., а Эйлер опубликовал его в том же году в
первом томе своих «Opuscules». Оба они пришли к этому
принципу при разрешении одной и той же задачи,
а именно при определении движения нескольких тел,
заключенных в трубу заданной формы, могущей вра-
щatьcя только вокруг одной точки, или вокруг
неподвижного центра.
Принцип Дарси в том виде, как он его изложил
в мемуаре, представленном Парижской Академии наук
в 1752 г., заключается в том, что сумма произведений
массы каждого тела на площадь, описываемую его
радиусом-вектором вокруг неподвижной точки, причем
*) Следует, однако, ввести ограничение, заключающееся и
том, что силы, действующие на эти тела, не зависят от их
неизвестного положения. {Прим. Бертрана.)

318 ДИНАМИКА
для всех тел эта площадь берется в одной и той же
плоскости проекций, всегда пропорциональна времени.
Как видим, этот принцип представляет собой обобщение
прекрасной теоремы Ньютона о площадях, описанных
под действием известных центростремительных сил.
Однако для того, чтобы установить аналогию или,
еще больше, тождественность этого принципа с
принципом Эйлера и Даниила Бернулли, следует только
принять во внимание, что скорость вращения
выражается с помощью элемента дуги круга, разделенной
на элемент времени, и что первый из этих элементов,
умноженный на расстояние от центра, дает площадь,
описанную вокруг этого центра; отсюда видно, что
этотпоследний принцип представляет собой не что иное,
как дифференциальное выражение принципа Дарси»
Позднее Дарси представил свой принцип в форме,
более приближающейся к изложенному выше принципу!
он заключается в том, что сумма произведений масС
на скорости и на перпендикуляры, опущенные из
центра на направления движения тел, есть величина
постоянная.
С этой точки зрения он создал отсюда даже
некоторый вид метафизического принципа, который он назвал
сохранением действия, с тем, чтобы противопоставить
его или, даже больше, заменить им принцип
наименьшего количества действия, как будто бы неопределенные
и произвольные наименования составляли сущность
законов природы и с помощью какого-то скрытого
свойства были способны простые выводы из известных
законов механики возвести до степени конечных причин.
Как бы то ни было, но рассматриваемый принцип
имеет место вообще для каждой системы тел,
действующих друг на друга любым образом, например,
при помощи нитей, несгибаемых линий, законов
притяжения и т. д. и находящихся под действием некоторых
сил, направленных к неподвижному центру,
независимо от того, будет ли система совершенно свободна
или же она будет вынуждена двигаться вокруг того
же центра. Сумма произведений масс на площади,

о РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ ДИНАМИКИ 319
описанные вокруг этого центра и спроектированные
на какую-либо плостсость, всегда пропорциональна
времени; таким образом, если мы отнесем эти площади
к трем взаимно перпендикулярным плоскостям, то
мы получим три дифференциальных уравнения первого
порядка между временем л координатами кривых линий,
описанных телами; в этих уравнениях собственно
и заключается природа изложенного выше принципа.
17. Перехожу, наконец, к четвертому принципу,
который я называю принципом наименьшего действия —
по аналогии с тем, который был дан под этим же
названием Мопертюи й который затем приобрел известноси.
благодаря работам многих знаменитых авторов. Этот
принцип с аналитической точки зрения заключается
в том, что при движении тел, действующих друг на
друга, сумма произведений масс на скорости и на
пройденные пути является минимумом. Мопертюи
выводит отсюда законы отражения и преломления света,
равно как и законы удара тел; эти выводы помещены
в двух мемуарах, из которых первый был опубликован
в Memoires de I'Academie desSciences de Paris 3al74i г.,
a второй спустя два года в Memoires de I'Academie
des Sciences de Berlin.
Однако указанные применения носят слишком
специальный характер, чтобы на них можни было построить
доказательство общего принципа; кроме того, они
несколько неопределенны и произвольны, что придает
некоторую ненадежность и выводам, которые можно
было бы сделать на основании их о точности самого
принципа. Поэтому мне кажется, было бы неправильно
из.поженный в таком виде принцип ставить в один ряд
с теми принципами, которые были указаны выше.
Существует, однако, и другой способ его применения, более
общий и более точный, который один только и
заслуживает внимания математиков. Первую идею этого
принципа дал Эйлер в конце своего сочинения «De isoperi-
metricis», напечатанного в Лозанне в 1744 г.; он
показал, что при траекториях, описанных под
действием центральных сил, интеграл скорости, умножен-

320 ДИНАМИКА
яый на элемент кривой, всегда является максимумом
или минимумом.
Указанное свойство, найденное Эйлером при
движении изолированных тел, которое представлялось
присущим только этим телам, я, пользуясь принципом
сохранения живых сил, распространил на движение
любой системы тел, действующих друг на друга каким
угодно образом; отсюда вытекает новый общий принцип,
согласно которому сумма произведений масс на
интегралы скоростей, умноженных на элементы
пройденных путей, является всегда максимумом или
минимумом.
Таков тот принцип, которому, хотя и не вполне
точно, я даю здесь название принципа наименьшего
действия и на который я смотрю не как на
метафизический принцип, а как на простой и общий вывод из
законов механики. Во втором томе Memoires de Turin *)
можно увидеть применение, которое я дал ему для
разрешения многих трудных проблем механики. Этот
принцип, будучи соединен с принципом живых сил
и развит по правилам вариационного исчисления,
дает тотчас же все уравнения, необходимые для
разрешения каждой проблемы; отсюда возникает столь
же простой, как и общий, метод разрешения проблем,
касающихся движения тел. Однако этот метод
представляет собою не что иное, как следствие метода,
составляющего предмет второй части настоящей работы и
обладающего в то же время тем преимуществом, что он
выводится из первых принципов механики.
Oeuvres de Lagrange, t. 1, p. 365.

j^^f:;^^^'^^s^(^qs:i:^
ОТДЕЛ ВТОРОЙ.
ОБЩАЯ ФОРМУЛА ДИНАМИКИ ДЛЯ ДВИЖЕНИЯ
СИСТЕМЫ ТЕЛ, НАХОДЯЩИХСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
КАКИХ-ЛИБО СИЛ.
1. Когда силы, действующие на систему тел,
распределены соответственно законам, изложенным в
первой части настоящего сочинения, то эти силы взаимно
уничтожаются и система остается в равновесии. Но если
равновесия не существует, то тела необходимо должны
двигаться, подчиняясь полностью или частично
влиянию действующих на них сил. Определение движений,
вызываемых заданными силами, и составляет предмет
настоящей, второй части «Аналитической механики*.
Мы будем рассматривать главным образом силы
ускоряющие и замедляющие, действие которых,
подобно действию силы тяжести, непрерывно и которые
стремятся каждое мгновение сообщить бесконечно малую
и одинаковую для всех частиц материи скорость.
В том случае, когда эти силы действуют свободно
и равномерно, они необходимо вызывают скорости,
которые возрастают пропорционально времени;
сообщенные таким образом за заданное время скорости
можно рассматривать, как наиболее простое действие
этого рода сил, которое, следовательно, является
наиболее подходящим для измерения. Простые действия
этих сил следует в механике считать известными, и все
искусство этой науки • заключается лишь в том, чтобы
21 ж. Лагра нж, т. I

322 ДИНАМИКА
вывести из них сложные явления, которые должны
получиться в результате соединенного и
видоизмененного действия этих сил.
2. Итак, допустим, что для каждой ускоряющей
силы известна скорость, какую она способна сообщить
в течение определенного промежутка времени, который
мы примем в качестве единицы времени, движущемуся
телу, действуя на него все время одинаковым образом,
и будем измерять ускоряющую силу именно с помощью
этой самой скорости; последняя же в свою очередь
должна измеряться тем пространством, которое
движущееся тело прошло бы в течение такого же времени,
если бы оно продолжало двигаться равномерно; на
основании теорем Галилея известно, что это пространство
всегда вдвое больше пространства, фактически
проходимого телом под постоянным действием ускоряющей
силы.
Вообще можно какую-нибудь известную ускоряющую
силу принять в качестве единицы и к ней относить все
прочие силы. Тогда в качестве единицы пространства
следует принять удвоенную величину того
пространства, которое под влиянием той же равномерно
действующей силы тело пройдет в течение промежутка
времени, принятого в качестве единицы времени, а
скорость, полученная за то же время под постоянным
действием той же силы, будет в этом случае единицей
скоростей.
Таким образом, силы, пространства, времена и
скорости явятся лишь простыми отношениями,
обыкновенными математическими количествами.
Так, например, если в качестве единицы
ускоряющих сил принять силу тяжести на широте Парижа и
время измерять в секундах, то тогда следует 30,196
парижских фута принять в качестве единицы
пройденных пространств, так как 15,098—это высота,
с какой на этой широте падает в одну секунду тело,
предоставленное самому себе; в этом случае
единицей скоростей будет та скорость, которую падающее
тело приобретает, пройдя указанную высоту.

ОБЩАЯ ФОРМУЛА ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ 323
3. Установив эти предварительные определения,
рассмотрим систему тел, расположенных соверщенно
произвольным образом и находящихся под действием
любых ускоряющих сил.
Пусть т — масса любого из этих тел, которое мы
будем рассматривать в качестве точки; для простоты
отнесем абсолютное положение этого тела к концу
любого промежутка времени t к трем прямоугольным
координатам х, у, z. Эти координаты мы будем
предполагать всегда параллельными трем осям,
неподвижным в пространстве, и пересекающимися под прямыми
углами в одной точке, называемой началом координат;
тогда, следовательно, эти координаты выразят
прямолинейные расстояния тела от трех плоскостей,
проходящих через эти же оси.
В силу взаимной перпендикулярности указанных
плоскостей координаты х, у, z выражают те
расстояния, на которые тело при своем движении отдаляется
от этих плоскостей, следовательно,
dx dy dz
Ш' Tt' It
выразят те скорости, которые рассматриваемое тело
имеет в некоторое мгновение, чтобы удалиться от
каждой из этих плоскостей и двигаться в сторону
возрастающих координат; если бы тело было затем
предоставлено самому себе, то согласно основным
принципам теории движения эти скорости остались
бы в последующие мгновения постоянными.
Однако, вследствие существования между телами
связи и под действием влияющих на них
ускоряющих сил, эти скорости в течение мгновения dt
получают приращения
,dx ,dy ,dz
'^St' ^W ^d7'
которые надлежит определить. Эти приращения можно
рассматривать как новые скорости, сообщенные
каждому телу, и если их разделить на dt, то мы будем
21*

324 ДИНАМИКА
иметь меру ускоряющих сил, необходимых для того,
чтобы вызвать эти приращения; в самом деле, как
бы ни менялось действие какой-либо силы, согласно
природе дифференциального исчисления мы можем ее
всегда считать постоянной в течение бесконечно
малого времени; тогда скорость, сообщенная этой
силой, пропорциональна произведению силы на время;
следовательно, сама сила будет выражена с помощью
отношения скорости ко времени.
Если элемент времени dt считать постоянным,
то рассматриваемые ускоряющие силы выразятся
через
d^x d^y d>z
dfi' di^ ' di^ '
a если эти силы помножить на массу т тела, на
которое они действуют, то
d4 d^y d^z
выразят силы, примененные непосредственно для
того, чтобы в течение времени dt двигать тело т
параллельно осям координат х, у, z. Таким образом
каждое тело тп системы можно рассматривать как
находящееся под действием подобных сил;
следовательно, все эти силы должны быть эквивалентны тем
силам, под влиянием которых согласно допущению
находится система и действие которых видоизменяется
вследствие природы самой системы; поэтому согласно
теореме, приведенной в «Статике» (отд. 11, п. 15),
сумма «моментов» первых всегда должна быть равна
сумме «моментов» вторых.
4. В дальнейшем мы будем применять обычный
знак d для обозначения дифференциалов по
времени, а вариации, выражающие виртуальные скорости,
мы будем обозначать знаком S, как мы это уже
делали и раньше при разрешении некоторых вопросов в
«Статике».

ОБЩАЯ ФОРМУЛА ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ 325
Тогда мы будем иметь
т^Ьх, т^Ьу, m-^bz
для моментов сил
d^ d^ d4
"^ dt^ ' "^ dfi ' "^ ~dW '
действующих по направлению координат х, у, z и
стремящихся увеличить эти координаты; сумма их
моментов может быть, таким образом, выражена с
помощью формулы
если допустить, что знак интегрирования S
распространяется на все тела системы.
5. Пусть теперь Р, Q, R,. . , суть заданные
ускоряющие силы, действующие на каждое тело системы
по направлению соответствующих центров, к которым
согласно допущению направлены эти силы, и пусть
р, q, г,... прямолинейные расстояния каждого из
этих тел от тех же центров. Тогда дифференциалы Ьр,
bq, Ьг,. . . представят вариации линий р, q, г, .. . ,
зависящие от вариаций 8х, 8у, Sz координат х, у, z
тела т. Но так как эти силы Р, Q, R,. .. согласно
нашему представлению стремятся уменьшить эти
линии, то их виртуальные скорости должны быть
выражены через —Ьр,— bq, —Ьг, .,. (Статика, отд, II,
п. 3); следовательно, моменты сил тР, mQ, mR,. . .
выразятся через — mPbp,^mQbq, —mRbr,..., а
сумма моментов всех этих сил составит
— ^m(Pbp + Q8q + Ji8r + -'-)-
Следовательно, если эту сумму приравнять
сумме, приведенной в предыдущем пункте, мы получим
= -^m{Pbp + Qbq + Rbr + ...)

326 ДИНАМИКА
или, перенеся правую часть влево,
+ Hm{P8p + Q8g +R8r+ ...) = 0.
Такова общая формула динамики для движения
любой системы тел.
6. Ясно, что эта формула отличается от общей
формулы статики (Статика, отд. II) только членами, происхо-
d^x d'y d^z
дящими от сил m-j-2^ , ^ ш ^ ^ нЖ < вызывающих
ускорение тела по направлению возрастающих
координат X, у, Z. В самом деле, в предыдущем отделе (п, И)
мы видели, что эти силы, взятые в противоположном
направлении, т. е. таким образом, как если бы они
стремились укоротить линии х, у, z, должны
уравновесить действующие силы Р, Q, R которые
согласно предположению должны стремиться укоротить
линии р, q, г, . . . Таким образом следует только к
«моментам» последних сил прибавить «моменты» сил
d4 d^y db g.
^Ш ' ^ 1^ ' ^ dW ^■'^^ каждого из тел m, чтобы от
условий равновесия тотчас же перейти к свойствам
движения (Статика, отд. II, п. 4),
7. Таким образом fe же самые правила, какие
были даны нами в «Статике» (отд, II) для вывода
общей формулы статики, могут быть применены и к
общей формуле динамики. При этом следует лишь
иметь в виду:
1) что дифференциалы, которые мы для
выражения вариации там обозначили через d, дальше будут
всегда обозначаться через S;
2) что знак d будет всегда относиться ко времени
t, равно как и соответствующий символ \ для
интегрирования, за исключением частных дифференциалов,
где безразлично, какой символ взят;

ОБЩАЯ ФОРМУЛА ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ 327
3) что для выражения элементов кривой, или
поверхности, или вообще системы, состоящей из
бесконечного числа частиц, будет всегда применяться знак
D, соответствующий символу интегрирования S.
Следовательно, если формулы, выведенные нами для
равновесия (Статика, отд. V, гл. III и IV), мы
захотим распространить и на движение, то следует
повсюду знак d заменить знаком D, и тогда мы будем
иметь выражение для суммы моментов всех сил.
8, Если движение происходит в сопротивляющейся
среде, то сопротивление среды можно рассматривать
как силу, которая действует в направлении,
противоположном направлению движения тела, и которую,
следовательно, можно считать направленной к
некоторой точке на касательной.
Допустим, что сопротивление равно R. Для того
чтобы получить момент этой силы — R Ьг, следует
только принять во внимание, что вообще
г = Y{x - ZJ+( у - т)^+ (г - «)' ,
где I, т, п представляют собою координаты центра
силы R] поэтому
Возьмем центр силы R на касательной к кривой,
описываемой телом, и очень близко от последнего; для
этой цели положим
X — I = dx, у — т^= dy, z — п = dz;
если c?s обозначает элемент кривой, то это даст
X — I dx у — т dy z — п dz
г ds ' г ds ' z ds '
и, следовательно.

328 ДИНАМИКА
Если сопротивляющаяся среда находится в
движении, то ото движение следует сложить с
движением тела, для того, чтобы получить направление
силы сопротивления. Назовем с?а, с?р, с?у малые пути,
проходимые средой параллельно осям координат ж,
у, Z, в то время как тело описывает путь ds\ тогда
следует только эти величины вычесть из dx, dy, dz,
чтобы получить относительные движения. Так как
ds ■-■= V dx^ + dy^ -j- dz^,
TO, если мы положим
da = Y{dx — doL^ ['{dy — d^f+ [dz — dy)^ ,
мы в этом случае полу 1им
^ dx — da. ^ dy~dR^ , dz — dy ^
8r = -^^ Ьх -f ~^~ by -f -^^ bz.
Что касается "сопротивления R, то оно обычно
является функцией скорости -j- ; но в том случае,
когда среда находится в движении, оно будет функ-
циеи относительной скорости -j -.
Указанным путем можно применить наши общие
формулы к движениям, происходящим в
сопротивляющихся средах, не имея надобности при этом
прибегать к какому-либо особому рассмотрению этих видов
движений,
9. Важно отметить, что выражение
d4 Ьх + d^y by -f dH bz,
которым общая формула динамики отличается от
общей формулы статики (п. 5), не зависит от полон^е-
ния осей координат х, у, z.
В самом деле, предположим, что вместо этих
координат мы подставим другие прямоугольные
координаты х', у\ z\ имеющие то же начало, но
отнесенные к другим осям. Согласно формулам преобразова-

ОБЩАЯ ФОРМУЛА ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ 329
ния координат, приведенным в «Статике» (отд. III,
п, 10), МЫ имеем
a; = aa;' + py + Tz',
у = «'ж' + РУ+ Т'г',
z = aV+p'y+TV.
Если мы продифференцируем эти выражения,
рассматривая при этом все коэффициенты а, р, у, а', ...
как постоянные и новые координаты х\ у', z' как
единственные переменные, то мы получим
dH = а dH' + р dV + У dH',
d'^y = а' dH' + Р' rfV + -i'dH',
dH = a" dH' + p" d V + YdH'.
Точно так же мы будем иметь
Sa; = a Sx' + P S/+ У Sz',
Sz = a''Sa;' + p"S/ + y"Sz'.
Подставив эти значения и приняв во внимание
условные уравнения между коэффициентами а, р, у,
а', . . . , приведенные в упомянутом выше пункте,
мы получим
dH Ьх + dV 8г/ + dH Iz = d^j.' ga;' + rfa^^' 8г/' + dH' W.
Если произвести такие же подстановки в
выражениях для прямолинейных расстояний между
различными телами системы, представляемых с
помощью р, q, . . . , то легко видеть, что величины а,
р, у, а',. ., исчезнут и что преобразованные
выражения сохранят тот же вид. В самом деле мы имеем
.p = l/(a:-xJ^-(г/-y/^-(z-z)^
где х,у, Z являются координатами тела т, а х,у, z—
координаты другого тела ш, отнесенные к тем же
осям. Благодаря изменению осей, первые из этих
координат превращаются в х', у', z', а если мы

330 ДИНАМИКА
через х', у', г' обозначим новые значения последних,
то мы будем также иметь
х = ах'+ Py' + yz',
у = а'х' + РУ + y'z'.
Произведя подстановку и приняв во внимание те
же условные уравнения, мы получим
р = У{х' - x'f + (у' - уУ + (г' - z'J ;
подобные же выражения получатся для
аналогичных величин q, г, .. .
10. Отсюда следует, что если система находится
только под действием внутренних сил Р, Q, . . . ,
пропорциональных каким-либо функциям расстояний
р, q, . . . между телами, если только условия
системы зависят лишь от взаимного расположения тел,
так что условные уравнения связывают между
собою только различные линии р, q, . . . , то общая
формула динамики (п. 5) имеет для преобразованных
координат х', у', z' тот же вид, что и для
первоначальных координат X, у, z. После того как путем
интегрирования различных уравнений, выведенных
из этой формулы, мы нашли значения координат
X, у, Z каждого тела т, выраженные в качестве
функций времени, можно эти координаты х, у, z
преобразовать в какие-либо другие х', у', z , пользуясь
следуюш;ими уравнениями:
X =(хх' ■\-^у' +Tz',
у = а'ж' + \'у' + Т'г',
в которых девять коэффициентов а, р, у, . . .
содержат три неопределенных величины, так как между
ними суш;ествует шесть условных уравнений.
Если значения х', у', z' содержат в себе все
произвольные постоянные, необходимые для полного
определения различных интегралов, то три упомянутые

ОБЩАЯ ФОРМУЛА ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ 331
неизвестные величины СОЛЬЮТСЯ с этими
произвольными постоянными; но они могут возместить собою
недостающие величины, отсутствие которых делает
решение неполным. Таким образом с помощью этих
трех новых произвольных величин, которые могут
быть введены к концу вычислений, мы получаем
возможность положить равными нулю, или равными
каким-либо определенным величинам, такое же
количество произвольных постоянных, что зачастую
приводит к облегчению и упрощению расчета.
И. Хотя действия импульса и удара можно всегда
ввести в вычисления подобно действиям ускоряющих
сил тем не менее в тех случаях, когда определяется
только общая величина сообщенной скорости, можно
избавиться от рассмотрения последовательных
приращений, и импульсивные силы можно принять
просто эквивалентными сообщенным движениям.
Итак, пусть Р, Q, R, . . . будут импульсивные
силы, приложенные к какому-либо телу т системы,
направленные по линиям р, д, г, . . . ; предположим,
что скорость, сообщенная этому телу, разложена на
три скорости X, у, Z по направлениям координат х,
у, z; тогда, как в пункте 5, заменив ускоряющие
d^x d^v d'z
СИЛЫ jw> 'Ш' Ш скоростями X, у, Z, мы получим
общее уравнение
Sm{xU + y 8y + z8z) + S {P 8p+ Q8q+R8r + ...) =0.
Это уравнение даст столько частных уравнений,
сколько останется независимых вариаций, после
того, как все вариации, обозначенные знаком S, мы
сведем, в соответствии с условиями системы, к
минимальному возможному их числу.

g>^u^ ^-^\^^б^7^^=^ .^^^M><jg^:
ОТДЕЛ ТРЕТИЙ.
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ, ВЫВЕДЕННЫЕ
ИЗ ПРЕДЫДУЩЕЙ ФОРМУЛЫ.
1. Рассмотрим систему тел, расположенных одно
по отношению к другому и связанных между собой
каким угодно образом, но при этом предположим, что не
существует никаких неподвижных точек или
препятствий, которые стесняли бы их движения; тогда
ясно, что в этом случае условия системы могут
зависеть только от взаимного расположения тел;
следовательно, условные уравнения не могут содержать
в себе каких-либо иных функций координат, кроме
выражений взаимных расстояний между телами. Это
соображение дает для движения системы общие
уравнения, не зависящие от природы системы,
аналогичные тем, какие были найдены нами (Статика, отд. Ill,
§ I) для равновесия.
§ I. Свойства, касающиеся центра тяжести.
2. Пусть х', у , z'—координаты какого-либо
определенного тела системы, в то время как х, у, z
представляют Собой вообще координаты какого-либо
иного тела. Положим, что всегда допустимо
а; = ж' +^, у = у' + У1, z = z' + К-
Ясно, что величины х', у', z' не войдут в
выражения для взаимных расстояний между телами и что

ОБЩИЕ свойства ДВИЖЕНИЯ 333
эти расстояния будут зависеть только от различных
величин ^, 7], ^, которые собственно и выражают
координаты различных тел по отношению к телу,
имеющему своими координатами х', у', z';
следовательно, условные уравнения системы будут иметь
место только между переменными ^, т], J^ и
совершенно не будут содержать х', у', z'.
Таким образом, если в общей формуле динамики
(отд. II, п, 6) все вариации свести к 8х, 8у, 8z и
затем вместо 8х, 8у, Sz подставить их значения
8х'+8^, S/ + Sy), 8z' + K, то вариации 8х', 8у, Sz'
будут независимыми от всех -остальных и сами по
себе будут произвольными; поэтому надо будет
приравнять нулю отдельно совокупность всех членов,
в состав которых входит каждая из этих вариаций,
в результате чего мы получим три общих уравнения,
не зависящих от особой структуры системы.
Внутренние силы, с помощью которых тела могли
бы действовать друг на друга и которые мы,
совершенна так же как в «Статике> (отд. III, п.2),
обозначим через Р, Q,, . . , совсем не войдут в эти
уравнения, так как вследствие независимости
взаимных расстояний р, q, , . . от х', у', z' вариации
Ър, 8q, . . . , относящиеся к этим переменным, будут
равны нулю.
Что касается внешних сил Р, Q, R,.. . , то если
их свести к трем силам X, Y, Z, направленным по
осям координат х, у, z и стремящимся укоротить эти
координаты, то согласно формулам, приведенным в
«Статике> (отд, V, гл. I), мы имеем
P8p + Q8g + R8r+ . ..= X8x + Y8y + Z8z,
и общая формула принимает следующей вид:
^т ф +Х) 8х+^тф +У) 8у+^т @ + z) Sz=0;
если принять во внимание только вариации Ьх', Ьу', bz',

334 ДИНАМИКА
которые не зависят от всех остальных, то это
уравнение даст
откуда тотчас же вытекают следующие три
уравнения:
которые всегда будут иметь место при движении лю-'
бой системы тел, если эта система совершенно сво'
бодна.
3. Предположим теперь, что тело, которому
соответствуют координаты х', у', z', расположено в
центре тяжес'хи системы. Согласно известным свойствам
этого центра (Статика, отд, III, § IV) мы будем
иметь уравнения
Sm^ = 0, Sm7] = 0, SmJ^ = О,
которые, будучи продифференцированы по t, дадут
нижеследующие уравнения:
Отсюда следует, что
Sd^x а d^x' d^x' с
"'di^ = ^"'-dr-=4i^^'^'
так как х', имеющий одинаковое значение для всех
тел, не зависит от знака S; аналогично мы будем
иметь
с d^y dW с с d^z d^z' с

ОБЩИЕ свойства ДВИЖЕНИЯ 335
Таким образом три уравнения предыдущего пункта
получат следующий более простой вид:
d4
~ Sm + SmX = О,
-^ Sm + SmZ = 0.
Приведенные уравнения послужат для
определения движения центра тяжести всех тел независимо
от особого движения каждого из этих тел; а так как
значения SmX, ^mY, SmZ вовсе не содержат
внутренних сил системы, то движение центра тяжести
соверщенно не будет зависеть от взаимного
действия, которое тела могут оказывать друг на
друга, а будет зависеть лищь от ускоряющих сил,
действующих на каждое тело. В этом заключается
общий принцип сохранения движения центра тя-
мсести.
Этот принцип остается в силе и в том случае,
когда тела при своих движениях взаимно
сталкиваются; в самом деле, какова бы ни была природа этих
тел, можно всегда представить себе, что их действия
при удяре происходят при посредстве расположенной
между ними пружины, которая после своего сжатия
стремится или же не стремится вернуться к своему
первоначальному состоянию, в зависимости от того,
являются ли тела упругими или же нет. Таким
образом действие удара будет представлено как
результат действия сил, имеющих ту же природу,
что и те силы, которые мы выше обозначали
через P,Q,... и которые в общей формуле (н. 2)
исчезают.
4. Вообще ясно, что уравнения движения центра
тяжести тождественны с уравнениями движения
одного тела, которое находится под одновременным
действием всех ускоряющих сил, влияющих на раз-

336 ДИНАМИКА
личные тела системы. В самом деле, если предполо*
жить, что все тела соединены в одной точке,
которой соответствуют координаты х', у', z', то тогда в
общей формуле мы имеем
х = х', у=у', z = z';
приравняв нулю все члены, в состав которых
входит каждая из трех вариаций Ьх', Ьу\ bz', мы
получим те же самые уравнения, какие были выведены
нами выше.
Отсюда следует общая теерема:
Двимсение центра тяжести системы свободных
тел, располоокенных одно по отношению к другому
совершенно произвольным образом, всегда таково, как
если бы все тела были сосредоточены в одной точке
и если бы в то же время каждое из них находилось
под действием тех otce ускоряющих сил, под
влиянием которых оно находится в своем действительном
состоянии.
5. Эта теорема остается в силе и в том случае,
когда тела, образующие свободную систему,
получают только какие-либо импульсы; в самом деле,
если в уравнении пункта 11 предйдущего отдела
подставить Ьх' -f S^, Ьу' -f Ьу\, bz' -f S^ вместо Ьх, by,
bz и силы Р, Q, R,.. . свести к силам X, Y, Z,,
можно, как в пункте 2, доказать, что вариации Ьх', Ьу',
bz' должны остаться произвольными, что даст нам
три уравнения
S (тх -f X) = О, S {ту -f У) = О, S {m'z -f Z) = 0.
Но если координаты х', у , z' отнести к центру
тяжести системы, то в силу свойств этого центра мы
имеем
ж'8т = 8тж, y'Sm = Smy, z'Sm = %mz.
Дифференцируя по f и положив
dx = X dt, dy ^у dt, dz^ z dt,
dx'= 'x'dt, dy'=y'dt, dz'= z'dt,

ОБЩИЕ свойства ДВИЖЕНИЯ 337
мы получим
х' Sm = 8тж, y'Sm = Smy, z'Sm = %mz
и, следовательно,
ж'8т + SX = О, у'%т + 8У = О, z''Sm + SZ = 0.
Отсюда видно, что скорости х', у', z', сообщенные
центру тяжести, совершенно таковы, как если бы
все тела, будучи соединены в этом центре,
одновременно получили импульсы X, У, 7j.
6. Общая формула (п. 2) после подстановки
Ьх' -\- §5, Ьг/ + Sy), bz' -\- S!^ вместо Ьх, Ьу, bz и после
сведения к нулю всех членов, содержащих в себе
Ьх', Ьу', bz', примет следующий вид:
^т(^^Ы+'1^Ьу^ + ^^ьх, + хьг + уьг^ + гы)=о.
Если в дифференциалы (Рх, dhj, dH подставить
х' + 5, у' -\-У], z' -\-^ вместо х, у, z ж вывести за
знак S дифференциалы d^x', d^y', d^z', то членами,
содержащими эти дифференциалы, будут
следующие:
'^^^гпЫ+%^гпЬ-,+ %^тЬХ..
Но если координаты х', у', z' отнести к центру
тяжести, то мы будем иметь (п. 3)
Sm5=0, Sm7i=0, Smj;=0.
Следовательно, после дифференцирования в смысле
символа Ь, мы получим
результате чего рассматриваемые члены исчезают.
Таким образом общая формула сводится к
22 ж. Лагранш т. I

338 ДИНАМИКА
последнее выражение совершенно аналогично первой
формуле, — с тем лишь отличием, что координаты
X, у, Z, имеюш;ие неподвижное начало в пространстве
заменяются 5, ч\, ^; начало которых находится в
центре тяжести.
Отсюда *) можно сделать заключение, что вообш;е
в свободной системе мы имеем по отношению к центру
тяжести те же уравнения и те же свойства,что и по
отношению к некоторой неподвижной точке вне системы.
§ II. Свойства площадей.
7. Рассмотрим теперь движение системы вокруг
какой-либо неподвижной точки и допустим, что она
может совершенно свободно враш;аться вокруг этой
точки в любом направлении. Если отвлечься от
взаимных движений тел системы одних по отношению
к другим, то в соответствии с тем, что было
установлено в «Статике» (отд. III,п. 8), вращение вокруг
каждой из трех осей х, у, z даст следующие
выражения вариаций для Ъх, Ьу, bz:
Ъх = zb(u — г/§9, 8г/ = ж8(р — z 8ф, Sz = г/8ф—ж8со,
где §9, Sw, 8ф представляют собою элементарные
вращения вокруг трех осей z, у,хти могут оставаться
произ вольными.
Эти выражения являются общими для вариаций
координат всех тел системы; их следует лишь
подставить в формулу пункта 5 предыдущего отдела,
предварительно сведя все вариации к Ьх, Ьу, bz, и
*) Это заключение носит слишком абсолютный характер.
Действительно, дифференциальное уравнение, связывающее
^, Г), ij, имеет совершенно тот же вид, что и уравнение между
X, у, Z, но силыХ, F, Z не выражаются одинаково по отношению
к указанным двум системам переменных. Так, например, если
мы представим себе две точки, взаимно притягивающие друг
друга силой, обратно пропорциональной квадрату
расстояния, то по отношению к подвижным осям, проходящим через
центр тяжести, эти точки будут описывать эллипсы; по
отношению же к неподвижным осям их траектории будут гораздо
более сложными. (Прим. Бертрана.)

ОБЩИЕ свойства ДВИЖЕНИЯ
339
затем отдельно приравнять нулю все величины, в
состав которых входят три неопределенных величины
§9, 8w, Ц.
Тогда, как и в названном выше пункте «Статики»,
мы прежде всего найдем, что вариация 8р станет
равной нулю и что таким образом члены,
происходящие от внутренних сил Р системы, не содержащие
вариаций S(p, Sw, 8ф, ничего не прибавят к
рассматриваемому уравнению. Кроме того, как мы видели
в том же пункте, мы найдем, что когда сила Р
направлена к началу координат, вариа1|ия 8р равна
нулю, и таким образом указанная сила совершенно
не входит в эти уравнения.
Следовательно, если просто сделать указанные
подстановки для 8х, 8у, 8z, заменив, как и раньше
(п. 2), силы Р, Q, R, . . . силами X, Y, Z, то мы
получим для вариаций S(p, Sw, 8ф следующее
уравнение:
S,
{ (х '^"У
X
1 / d.H
-'J + ^'У-
-Zx')8oi+ .
a так как вариации S(p, 8ф, Sw являются общими для
всех тел системы, то они не войдут в выражение,
стоящее под знаком S; таким образом мы получим
три следующих уравнения по отношению к каждой
из этих вариаций:
d^x
bm(xj
У
dt^
+ жУ
X
dt^
\У dt'
d'z , V
^S+y'-
yX) = 0,
- xZ^ = 0,
0.
22*

340 ДИНАМИ1{А
Эти уравнения имеют место одновременно, если
система может свободно вращаться вокруг каждой из
трех осей, т. е. во всех тех случаях, когда
система устроена таким образом, что она может
свободно вращаться в любом направлении вокруг
неподвижной точки, являющейся началом
координат.
Следует отметить, что эти уравнения имеют всегда
место независимо от взаимодействия между телами,
в каком бы виде оно ни осуществлялось, хотя бы
даже в виде взаимного столкновения тел системы,
как мы это видели в пункте 3, и по тем же
основаниям; сверх того они независимы от сил,
направленных к неподвижной точке, в которой находится
начало координат.
8. Для того чтобы составить себе более ясное
представление об этих уравнениях, заметим:
1) что величины
X d^y—yd^x, zd^x — xd^z, у d^z — zd^y
являются дифференциалами следующих величин:
xdy—у dx, zdx — xdz, у dz — zdy,
выражающих удвоенное значение элементарных
секторов, описываемых телом т в плоскостях ху, xz и
yz, т. е. в плоскостях, перпендикулярных к осям
Z, г/ и ж. В самом деле, если в выражении xdy—у dx
вместо X и у подставить их значения рсозф, psiiKp,
то мы получим p*S(p, представляющее удвоенное
значение площади, заключенной между радиусом-вектором
р и следующим радиусом, составляющим с ним
угол d(f;
2) что величины X, Y, Z представляют собою
силы, действующие на каждое тело т вдоль
координат X, у, Z по направлению к их началу и
являющиеся результирующими всех сил Р, Q, R
действующих на эти тела в любых направлениях, и что.

ОБЩИЕ свойства ДВИЖЕНИЯ 341
таким образом, величины
yX — xY, xZ—zX, zY—yZ
представляют собою моменты сил, стремящихся
вращать тела вокруг каждой из трех осей координат
Z, у, X, — если слово «момент» принять в его обычном
гмысле произведения силы на перпендикуляр,
опущенный на его направление.
9. Если на систему не действуют никакие
внешние силы или же если она находится только под
действием сил, направленных к точке, принятой нами
в качестве начала координат, то приведенные выше
три уравнения принимают следующий вид:
У d4\ „
с / d^x d^z\ ^
если их проинтегрировать по переменной t и ввести
три произвольных постоянных А, В, С, то мы
получим
S/и (.
dy dx\ ^
S/' dx dz\ г,
^mfu^-z^^ =
""U^-- dtj
A.
Последние три уравнения, очевидно, содержат в
себе принцип площадей, о котором мы упомянули в
первом отделе.

342 ДИНАМИКА
10. Кстати, следует отметить, что эти уравнения
принадлежат к тому роду уравнений, которые были
указаны в пункте 10 предыдущего отдела, так что
путем изменения осей координат можно ввести три
новые произвольные постоянные.
Пусть ж', у', z' — новые координаты, тогда мы
будем также иметь
^'^(^'l--
С! /' , dx'
^'"(У'^-
,dx'\
-'¥) =
-'?) =
С,
■В',
А',
где величины А', В', С будут тоже произвольными
постоянными, но отличными от А, В, С.
Подставим теперь в выражение xdy — г/б?ж
значения X, у выраженные через х', у', z', приведенные в
упомянутом пункте того же отдела; тогда мы будем
иметь
xdy — ydxr=^+ (аР' — Ра') {x'dy' —y'dx') +
+ (уа' - ay') {z'dx' - x'dz') + (Py' - yP') {y'dz'- z'dy').
Точно так же мы получим
Z йж — ж dz = + (Ра" — аР") {x'dy — y'dx') +
+ (ay" - уа") {z'dx'— x'dz') + (yP" - Py") {y'dz' - z'dy'),
ydz — zdy=+ (a'p" — P'a") {x'dy — y'dx')^-
+ (y'a" — a'y") {z'dx' — x^dz') +
+ {y'^''-^Y){y'dz'-z'dy').
Если все члены этих уравнений снабдить знаком
S, предварительно умножив их на m и разделив на
dt, и затем вместо интегралов, обозначенных
знаком S, подставить соответствующие им значения
А, В, С, А', В', С, то мы получим
С = (аР' - Ра') С + (уа' - ау') В' + (Ру' - ур') А',
В = (Ра" - аР") С + (ау" - уа") В' + (уР" - Ру") А',
А = (а'р" — р'а") С + (у'а"— а'у") В' + (у'р" — р'у") А'.

ОБЩИЕ свойства ДВИЖЕНИЯ 343
Эти формулы можно свести к более простому
выражению, если принять во внимание существование
тождества
(аР' — Ра')^ + (ра" — л^У + (а'р" — р'а")^ =
на основании условных уравнений (Статика, отд. III, п.
10) последняя величина сводится к единице. Сверх
того мы имеем следующие тождества:
а(а'.З" — |3'а") + а' (Ра" — ф") + а" (а^' — ^а') = О,
[3 (а'р" - Р'«") + р' (Ра" - «П + р" (ар' - р«') = 0.
Следовательно, если эти тождества сравнить с тремя
условными уравнениями
Т*+Т'НТ''*=1. ау+«'т' + «"т'=0. РТ + Р'Т' + Р"Т''=0.
то легко притти к заключению, что
а'Р"—Р'а'' = у, Ра" —аР'' = у', аР'—Ра'=у''.
Величины у, у', у" могли бы иметь и знак —, но
так как при совпадении осей ж', у', z' с осями х, у, z
мы должны иметь (Статика, отд. III, п. И)
а = 1, р=0, у = 0,
а'=0, Р'=1, у'=0,
а" = 0, Р'' = 0, у" = 1,
то это условие может иметь место только в том
случае, если мы примем у", а следовательно, и
у' и у положительными.
Тем же путем мы найдем
у'а" —а'у" = р, ау" —уа"=Р', уа'—ау' = Р'',
у'р"_Р'у''=а, ур''__ру/т^а', ру'-ур'=а'';
так что мы будем иметь
А = хА' + ^В' + уС,
B = ol'A' +^'В' +у'С',
С ==аМ' + ^'-р' +у"С\

344 ДИНАМИКА
откуда с помощью условных уравнений пункта 10
(Статика, отд. Ill) получается
А' = A(x. + Bol' + С(х.",
В' =А^ + Sp' + Ср",
С =Ау + By' + Су",
,^2 _f. 52 4- С2 = А'^ + 5'2 + С'2.
Из последнего уравнения следует, что вообще
откуда можно сделать вывод, что функция
имеет всегда значение, независимое от плоскости
проекции и от положения в пространстве осей
координат X, у, Z, — при условии, если эти координаты
взаимно перпендикулярны.

ОБЩИЕ свойства ДВИЖЕНИЯ 345
и. Найденные выше выражения для А, Л, С
через А', Б', С аналогичны выражениям для х, у, z
через х', у', z', приведенным в пункте 9 предыдущего
отдела. Следовательно, если положить
х' = А', у' = 1Г, z' = C',
то мы будем иметь
Л = ж, В ^ у, С ^ z;
и обратно, ж = Л, у = В, z = C даст А'^х', В'=у',
С = z'. Это значит, что А, В, С и А\ В', С
представляют собою две системы координат,
соответствующие одной и той же точке, причем первая
из них отнесена к осям х, у, z, а вторая к осям
х\ у', z'.
Отсюда тотчас же становится ясно, что можно
сделать
^'=0, В' = 0,
если ось С или z' провести через точку, которой
соответствуют координаты А, В, С, и что тогда
координата будет иметь наибольшее свое значение,
равное УА^ + В^-\- С^. В этом случае
А = уС', B = YC', C=Y'C',
и легко доказать, что коэффициенты у, у', у"
представят собою не что иное, как косинусы углов,
образуемых линией С с осями А, В, С.
Таким образом решение уравнений
8'"(-'^-»'т)-'^'.

346 ДИНАМИКА
даст решение следл^ющих уравнений:
S/и ^,
dt dt J '
где у, у, у —три постоянные величины, связанные
между собою соотношением
у2 _f. у'2 _f. у = 1^
так что две из них являются произвольными.
Плоскость, перпендикулярная к оси С", когда С
является максимумом, представляет собою именно
ту плоскость, которую Лаплас называет неизменной
плоскостью; он же первый доказал ее существование
и положение.
Положение этой плоскости легко определить с
помощью уравнений
А=уС', В=.у'С', С = у''С';
в самом деле, так как величины у, у', у"
представляют собою косинусы углов, которые ось С, или z',
перпендикулярная к неизменной плоскости, образует
с осями X, у, Z системы, то, назвав эти углы /, т, п,
мы в силу С = У^А^ -\- В^ -\- С^ будем иметь
, А в
cos I = ^ =■ , cosm =
Va' + в' + с' Va' + в^ + с^'
с
cos п = , .
Va^+ в^ + с^
12. Если система свободна, т. е. если в системе
не имеется никакой точки, которая должна оставаться
неподвижной, то можно начало координат х, у, z,
которое согласно допущению должно быть неподвижным,
избрать в каком угодно месте; следовательно, те

ОБЩИЕ Свойства движения 347
свойства площадей и моментов, которые были нами
выше доказаны, будут иметь место по отношению
к любой неподвижной точке, произвольно взятой в
пространстве.
Но согласно тому, что было нами доказано в
пункте 6, эти же свойства остаются в силе и по
отношению к центру тяжести всей системы
независимо от того, будет ли этот центр неподвижен или
нет. В самом деле, если в трех уравнениях пункта 7
вместо X, у, Z подставить величины х' -j- 5, у -\- т),
z' + "С,, приписывая, как в пункте 3, координаты ж', у\ z'
центру тяжести системы, и если принять во
внимание три уравнения этого последнего пункта, то мы
получим следующие преобразованные уравнения:
87пE|^
s<-^S
-■^^ + ^Y--^^)=
-l^ + ^x-iz)-
-K^+r,Z~KY) =
= 0,
= 0,
= 0;
как видим, эти уравнения подобны уравнениям
пункта 7: все их различие заключается в том, что
вместо координат х, у, z, отнесенных к неподвижной
точке, мы имеем координаты 5, т)', !^, начало которых
лежит в центре тяжести системы.
Таким образом в том случае, когда ускоряющие
силы равны нулю, мы имеем интегралы
по поводу которых можно сделать замечания,
аналогичные тем, какие были нами сделаны относительно
уравнений пункта 9.

348 ДИНАМИКА
13. в том случае, когда одно из тел системы
удерживается в неподвижном состоянии каким-либо
препятствием, мы, поместив начало координат в этом
теле, будем иметь перед собою случай, указанный
в п. 7. Если же мы допустим, что два тела системы
неподвижны, то линию, проходяш;ую через эти два
тела, следует рассматривать как ось, вокруг которой
система может свободно враш;аться; приняв эту ось
за ось координат z, мы на основании того же пункта
получим просто
8х = —у8(р, 8у=х8(р,
где §9 — элементарное враш;ение вокруг указанной
оси, которое должно оставаться неопределенным.
Таким образом мы будем иметь только одно уравнение
относительно упомянутой вариации 8(р, а именно:
^"^ (^ $ - У S-+^^ - у^)=О'•
а так как момент жУ — уХ внешних сил по отношению
к оси враш;ения равен нулю, то путем интегрирования,
как в пункте 9, мы получим
Это уравнение выражает принцип плош;адей по
отношению к плоскости ху, перпендикулярной к оси
враш;ения, на которую должны проектироваться пло-
ш;ади, описываемые телами.
Если бы мы допустили, что три тела системы
остаются неподвижными, то положение каждого из
остальных тел в пространстве определилось бы его
расстояниями от указанных трех тел; в этом случае
уже не суш;ествовало бы никаких вариаций,
независимых от природы системы и от взаимного
расположения тел, из которых можно было бы вывести обш;ие
уравнения для движения любой системы.

ОБЩИЕ свойства ДВИЖЕНИЯ 349
§ III. Свойства, касающиеся вращений,
вызванных импульсами.
14. В том случае, когда система, способная
свободно вращаться во всех направлениях вокруг
неподвижной точки, получает какие-либо импульсы, можно
в уравнении пункта И предыдущего отдела тоже
воспользоваться выражениями для 8х, 8у, 8z пункта 7,
предварительно сведя импульсивные силы Р, Q, R,...
к силам X, Y, Z; приравняв затем нулю отдельные
члены, которые умножаются на 8ф, Sw, 8ф, мы получим
три уравнения:
S [т {ху — ух) 4- жУ — уХ] 7= О,
S [тп {zx — xz) -\- zX — xZ] = О,
^[m{y'z-zy) + yZ-zY]=0
для первого мгновения движения, вызванного
импульсами X, Y, Z.
В совершенно свободных системах можно
неподвижную точку брать где угодно в пространстве, и
приведенные выше уравнения будут всегда оставаться
в силе по отношению к этой точке.
15. В подобных системах можно тоже отнести
вращения к трем осям, проходящим через центр тяжести;
в рамом деле, если, как в пункте 5, положить
8х = 8х'+ S5, 8у = Ц' + §7), Sz = Sz'+ S!;,
то вариации 8х', 8у', Sz' сначала дадут три уравнения
для движения центра тяжести, найденные в том же
пункте.
Тогда останется еще уравнение
S [{тх + Х)81 + {ту +Y) Ц + {mz + Z) ЬЦ = 0.
Но если вращения 8ф, Sw, 89 отнести к осям
координат 5, 7), р и учесть только эти вращения, то,
как в пункте 7, мы будем иметь
85 = J:Sw-7)S(p, St) = 5 S(p — г; 8ф, 8г:=7)8ф—U",

350 ДИНАМИКА
и три неопределенных вариации 8ф, Sw, S(p даду!
следующие три уравнения:
S[/wEy-7)i) + 5y-7)Z]=0,
S [т {^х — li) + ^Z — IZ] = О,
S [т (y)z - ^у) + 7)Z - ^У] = 0.
Mo X = х' -\- %, у = у' -\- У], Z = z' -\- t', следовательно,
есл! подставить эти значения, вывести из под
знака S величины х', у', z', относящиеся
исключительно к центру тяжести, и принять во внимание, что
в силу свойств центра тяжести мы имеем
Sm^ = О, 8/И7) = О, 8/и!^ = О,
то приведенные три уравнения примут следующий
вид:
S[/wEY)-7)e) + 5F-v)Z]-0,
последние уравнения совершенно аналогичны
уравнениям предыдущего пункта; в них координаты 5, yj, ^
имеют свое начало в центре тяжести, а скорости
i, У], t тоже отнесены к этому центру.
Таким образом в том случае, когда система
свободна, уравнения, относящиеся к какой-либо
неподвижной точке, сохраняет силу и по отношению
к центру тяжести этой системы.
16. Уравнения, найденные нами выше для
действия импульсов в первое мгновение, сохраняют
свою силу и для последующих мгновений — при
условии, что никаких ускоряющих сил не
существует,— если члены, зависящие от импульсов X, Y, Z,
рассматривать как постоянные. В самом деле, так
как X, у, Z представляют собою скорости,
параллельные осям X, у, Z, то мы имеем
dx =" X dt, dy = у dt, dz^z dt.

ОБЩИЕ свойства ДВИЖЕНИЯ 351
и уравнения пункта 9 переходят в следующие:
8т(жг/ — ух) = С,
S т {zx — xz) = В,
^m{yz — zy) = А,
которые, будучи сопоставлены с уравнениями
пункта 14, дают
C = ^{yX~xY), B = ^{xZ-zX),
A=,^{zY — yZ).
Таким образом мы получаем значения А, В, С,
выраженные в первоначальных импульсах,
сообщенных каждому телу; легко видеть, что эти значения
представляют собою не что иное, как суммы
моментов этих импульсов по отношению к осям X, у и Z.
Сказанное имеет силу и для уравнений,
относящихся к центру тяжести, как в этом можно
убедиться, сравнив уравнения nj^HKTa 12 с уравнениями
пункта 15.
17. Если рассматривать только вращательные
движения по отношению к трем осям координат х, у, z
и обозначить через ф, со, ф скорости этих вращений,
то вариации 8х, 8у, 8z будут пропорциональны
скоростям X, у, Z, а вариации 8ф, Sw, 89 будут
одновременно пропорциональны скоростям ф, со, (р; в этом
случае формулы пункта 7 дадут
ж = ZCO—г/ф, г/=^Ж(р—гф, 7=г/ф—жо).
Эти значения х, у, z являются только частями,
зависящими от трех вращений; для того чтобы
получить полные значения истинных скоростей х, у, z,
Ч5ледует еще прибавить те части их, которые зависят
от изменения взаимного положения тел системы и
которые не зависят от вращений.

352 ДИНАМИКА
Но если система неизменяема, что бывает в
случае всякого твердого тела любой формы, то эти части
скоростей равны нулю и значения х, у, z сводятся
просто к тем, которые мы дали выше.
Следовательно, эти значения можно подставить в приведенные
выше уравнения; выведя из под знака S величины
ф, О), 9 и подставив элемент Dm вместо т (отд. II,
п. 7), мы для твердого тела любой формы получим
следующие уравнения:
ср S (ж^ + г/*) Dm — ф S 2;z Dm — ш S г/z Dm = С,
w S (ж* + z*) Dm — Ф S жг/ Dm — <p S yz Dm = B,
Ф S (y^ + z*) Dm — 0) S жг/ Dm — ф S жz Dm = A.
С помощью этих уравнений можно определить
начальные скорости вращения ф, со, ф, вызванные
импульсами X, Y, Z, приложенными к любым точкам
тела, моменты которых по отношению к осям ж, у,
Z равны А, В, С.
Так как скорости вращения пропорциональны
бесконечно малым углам, описанным одновременно
соответствующими вращениями, то отсюда следует,
как мы это уже доказали (Статика, отд. III, п. И),
что три скорости ф, О), ф складываются в единую
скорость 6, величина которой составляет
6=-. Кф2 + С02-{-ф2;
с этой скоростью тело фактически вращается вокруг
мгновенной оси, образуя с осями х, у, z углы X, (х,
V, величины которых равны
C0SX=4-, COS(i,==-r-, COSV=-^.
е ^ е е
Таким образом приведенные выше три уравнения
дают положение оси, вокруг которой тело вращается
в первое мгновение, и скорость вращения вокруг

овщиЕ Свойства движения 353
этой оси. Эту ось называют мгновенной *сь/о
вращения.
18. В следующие мгновения тело в силу своей
инерции будет продолжать вращаться, и найденные
выше три уравнения будут еще сохранять свою
силу, если мы будем рассматривать в качестве
постоянных члены, содержащие в себе силы импултьса
X, Y, Z, как мы это видели в пункте 16; однако
величины Н{х^ + y^)Dm, ^xyDm,... станут уже
переменными в связи с изменением во время
вращения координат X, у, z.
Но из этих уравнений вытекает интересное
следствие, заключающееся в том, что в любое мгновение
тело имеет такое же вращательное движение, какое
оно получило бы в это мгновение благодаря им-
пл'льсу тех же самых сил, которые первоначально
привели его в движение, если бы эти силы были
приложены к нему таким образом, что они
образовали бы те же моменты вокруг осей х, у, z.
Так как эти уравнения представляют собою не
что иное, как общие уравнения пункта 16 для
любой системы тел в применении к твердому телу
любой формы, то отсюда следует, что если система,
получившая первоначальные импульсы, затем под
непрерывным взаимным действием тел превратится
в неизменяемую или твердую систему, то те же
уравнения все еще будут оставаться в силе.
Следовательно, твердое тело будет в любое мгновение иметь
то же самое вращательное дрижение, какое оно
получило бы под действием первоначальных
импульсов, если бы последние были приложены к нему
непосредственно и притом таким образом, что они
образовали бы те же самые моменты.
Следовательно, и жидкая масса, которая
первоначально была приведена в движение какими-либо
силами, будучи затем предоставлена самой себе и
превратившись, вследствие взаимного притяжения
своих частей, в твердое тело, будет в любое
мгновение иметь те же самые вращательные движения,
23 ж. Лагранш, т. I

354 ДИНАМИКА
какие ей сообщили бы первоначальные силы, если
бы они совершенно таким же образом
воздействовали на твердое тело.
19. Три уравнения пункта 17 дают значения
моментов А, В, С всех первоначальных сил, если
известны мгновенное положение тела и три его
вращательные скорости ф, W, <р по отношению к
неподвижным осям X, у, Z, или результирующая
скорость 6 вокруг мгновенной оси вместе с углами
X, (А, V, образуемыми этой осью с неподвижными
осями X, у, z; и обратно, если нам известны эти
моменты, мы можем из них вывести значение
скоростей вращения.
Из этих уравнений также видно, что упомянутые
моменты равны нулю, когда скорости равны нулю;
но если мы допустим, что моменты равны нулю, то
отсюда еще не следует, что скорости вращения
должны быть нулями. В самом деле, если мы
положим
^=0, 5 = 0, С=0,
то получим три линейных уравнения между ф, ш, ф
и тогда следует доказать, что эти три уравнения не
могут существовать совместно, если не допустить,
что
ф = 0, w = 0, 9 = 0.
Исключив два из этих неизвестных, мы получим
одно уравнение, которое для значения третьего
неизвестного даст нуль или любое число, но при
условии
=S(a;2-|-i/2)Z)m- (8жг/DmY -|- S (ж^ + z^)Dm- (S xz Dmf -|-
+ S (г/2 + z2) Dm- (S yz DmY 4-
-f- 2^xyDm-^xzDm-^yzDm,

ОБЩИЕ свойства ДВИЖЕНИЯ 355
н тогда следует доказать, что это условие невоз
йгожно выполнить, что, однако, представляется очень
трудным*). Но дальше (п. 31) мы докажем, что
в том случае, когда моменты равны нулю, всякое
враш;ение исчезает.
Отсюда мы можем прежде всего заключить, что
система изолированных точек или какая-либо
жидкая масса ни в коем случае не может образовать
твердого тела, имеюш;его враш;ательное движение,
если только первоначальные импульсы не были по
крайней мере такими, что благодаря им мог
возникнуть момент относительно оси, вокруг которой тело
фактически враш;ается.
20. С помош;ью преобразований, описанных в
пункте 10, можно три уравнения пункта 17 заменить
подобными же уравнениями, в которых величины х,
у, Z, А, 5, С будут замещены аналогичными
величинами х', у', z', А', В', С.
Обозначим через ф', ш', <р' скорости вращения по
отношению к новым осям х', у\ z'; тогда мы будем
также иметь
dx' =х' dt= (z'w'— г/'9') dt,
dy' =у' dt = (ж'9' — z'^') dt,
dz' =i' dt = {y'^'~x'(^')dt;
с помощью этих подстановок три первых уравнения
пункта 10, если вместо т поставить Dm, перейдут
в следующие:
Ф' S (ж'г + у'^)Пт — ф' S x'z' Z)m — О)' S y'z' Dm = С,
w' S (z'2 -Ь ж'2) Z)m — ф' S x'y' Z)m — 9' S y'z' Dm = B',
t{''S(y'2-bz'2)Z)m —to' '^x'y'Dm — r^''^x'z'Dm=A',
*) В конце настоящего тома помещено доказательство
указанной теоремы, далеко не представляющее тех трудностей,
какие, повидимому, ему был склонен приписать Лагранж.
Бинэ (Binet) уже давно опубликовал это доказательство в
Bulletin de la Societe philomathique. {Прим. Бертрана.)
23*

356 ДИНАМИКА
ъ которых согласно тому же пункту мы будем иметь
А' =A(x.+Bol' + Col",
Б' = Лр + 5р' + Ср",
С = Ау + By' + Су".
Эти уравнения обладают тем преимуществом, что
положение осей вращения является здесь совершенно
произвольным, так как оно зависит только от
величин а, р, у, а' а так как это—линейные
уравнения, то ничто не мешает дать этим осям от
одного мгновения до другого различное положение и
избрать их таким образом, чтобы они заняли
определенное положение внутри тела и, следовательно,
двигались бы вместе с последним в пространстве.
Тогда величины
^{х'^ + y'^)Dm, ^x'y'Dm,...
станут постоянными, но зато величины А', В', С
будут переменными — в силу изменчивости величин
«, Р, Т. *', • • • В дальнейшем мы укажем прямые
способы, с помощью которых можно получить эти
уравнения, которые оказываются очень полезными
при разрешении проблемы вращения тел.
21. Мы видели в пункте 16, что постоянные
величины А, В, С выражают суммы моментов
первоначальных импульсов, сообщенных телам
относительно осей X, у, Z, Но легко доказать, что величины
а, а', а" представляют собою косинусы углов,
образуемых осью х' с осями X, у, Z, что величины р, р',
Р" представляют собою косинусы углов, образуемых
осью у' с теми же осями х, у, z, и что величины у,
у', у" представляют собою косинусы углов,
образуемых осью z' с теми же осями. Следовательно,
согласно доказанному в «Статике» о сложении моментов
(отд. III, п. 16) три величины А', В', С являются
моментами тех же импульсов относительно осей х',
у', z', т. е. относительно осей вращения, неподвижно

ОБШ,ИЕ свойства ДВИЖЕНИЯ 357
закрепленных в теле и движуш;ихся в пространстве.
Таким образом по отношению к этим осям можно
применить те же заключения, к каким мы пришли
н пункте 19.
§ IY. Свойства неподвижных осей вращения
свободного тела любой формы.
22. Мы сохраним для особой главы полное
решение обш;ей проблемы о враш,ении твердого тела любой
формы; здесь мы исследуем лишь тот случай, когда
мгновенная ось враш;ения остается неподвижной в
пространстве или по крайней мере остается всегда
параллельной самой себе в то время, как тело
движется поступательно, так как этот случай может
быть легко разрешен с помош;ью формул предыду-
ш;его параграфа и так как он дает возможность
установить изяш;ные свойства тех осей, которые называют
главными или естественными осями вращения.
Вернемся к основным уравнениям пункта 17;
положим для краткости письма
1^=^хЮт, f=^yzDm,
т = ^ уЮт, g = ^xzDm,
тг = S z^Dm, h = ^ ху Dm
и подставим вместо ф, со, <р соответствуюш;ие зна-
• • • •
чения 6 cos X, 6 cos у., 6 cos v, где 6 представляет собою
скорость враш;ения вокруг мгновенной оси, образую-
ш;ей с осями х, у, z углы X, (х, v. Эти уравнения
после деления на 6 перейдут тогда в следуюш;ие:
(т -f- п) cos X — h cos [i — g cos v = ~ ,
(/ -f- n] COS (i, — h cos X — / cos V = -T- ,
{I -j- m) cos V — g cos X — / cos jj, = - ,

358 ДИНАМИКА
23. Шесть величин I, т, п, /, g, h являются
переменными; продифференцировав их, подставив вместо
dx, dy, dz выражения xdt, ydt, zdt vi затем вместо
X, у, z их значения (см. упомянутый пункт), мы
получим
dl =2(^cos[i,— hcoa^)%dt,
dm — 2(h cos v — / cos X) 6 dt,
dn = 2 (/ cos X — g cos jx) 6 dt,
df = [{m — n) cos k-\- g cos v —Л cos [x] 6 dt,
dg = [{n — Г) cos [x-j- h cos X— / cos v] б dt,
dh = [{I — m) cos v+ / cos \x — g cos X] б dt.
Эти шесть уравнений совместно с тремя
уравнениями, приведенными в предыдущем пункте,
содержат общее решение; однако мы здесь рассмотрим
только тот случай, когда углы X, \х., v остаются
неизменными, и тогда вопрос сведется к тому, чтобы
выяснить, при каких условиях указанные величины
могут быть постоянными.
24. Для этой цели следует лишь три первых
уравнения продифференцировать на основе указанного
допущения и затем подставить значения дифференциалов
dl, dm, . . . ; тогда после деления на б dt мы получим
следующие три уравнения:
/ (cos2 V — cos^ \х) — g cos X cos \х -\- h cos X cos v -\-
+ (m — n) cos (x cos V = ■— ;— ,
^ ' ^ ev«
/ cos X cos [X -j- ^ (C0S2 X — COS^ v) — h cos [X COS V +
+ In — L) COS X COS V = — -.- -1- ,
— / COS X COS V -\- g COS [X COS V + л (COS^ [X C0S2 X) -f

ОБЩИЕ свойства ДВИЖЕНИЯ 359
Если эти три з'равнения сложить, помножив
предварительно первое из них на cos X, второе на cos [х и
третье на cos v, то мы получим уравнение
-4 cos X + Я cos [i. 4- С cos v d6 ^
03 dt
которое дает
(^6 = О, или А cos X + /? cos [).-\- С cos v = 0.
}Гиже (п. 38) мы увидим, что величина
представляющая собою то же, что
{А cos X + S cos (Л + С cos v) б,
выражает живую силу тела, которая никогда не
может быть равной нулю, если тело находится в
движении.
Таким образом следует вообще допустить, что
с?ё = О и, следовательно, что скорость вращения б
является постоянной величиной. При этих условиях
приведенные выше три уравнения сводятся к двум,
дающим отношения cos X, cos \х, cos v; а так как мы
имеем
COS^ X + C0S2 \Х -\- C0S2 V = 1,
то указанных отношений достаточно для определения
трех косинусов.
25. Положим
cos li. cos V
COS X COS X
тогда приведенные выше три уравнения, если
принять во внимание, что йб = О, преобразуются к
следующему виду:
/ («2 — s2) — gs + hu -\- {т — п) SU = О,
g{i—u^) — hsu + fs + {n — r)u =0,
Л (s2 — 1) + gsu — fu + {l — m)s =0.

360 ДИНАМИКА
Последнее из этих уравнений дает
_ h(s^-l) + (l-m)s
f—gs
Если это значение подставить в первое уравнение или
во второе., или, еще лучше, в сумму обоих этих
уравнений, предварительно помножив одно из них на g,
а другое на /,— с целью исключения члена,
содержащего м^,— то мы получим
\gh{m — n) + f{g^-h^)\s^ +
+ [g{l - т){т-п) + fh{n-2l + т) + g{g^ + h^ -
— 2/2)] s2 + [/(/ — m) {m — n) + gh {n — 2m + l) +
+ f{f' + h^-2g')]s + fh{l-n) + g{f^-h^) = 0.
Это уравнение, будучи третьей степени,
необходимо имеет один вещественный корень; таким
образом мы обязательно будем иметь одно значение s и
соответствующее ему значение и, с помощью которых
можно будет определить положение постоянной оси
равномерного вращения. Но так как это определение
зависит от величин I, т, п, /, g, h, изменяющихся
со временем t, то следует еще доказать, что
изменчивость указанных величин совершенно не влияет на
значение двух величин s и и.
26. Для этой цели обозначим через Р, Q, Елевые
части трех уравнений пункта 22; тогда левые части
о/ dP dO dR
уравнения пункта 24 примут вид ::— ^ т—^, ^— ,
Qdt bdt bdt
причем вместо dl, dm,. . . поставлены их значения.
Но легко видеть, что после проведения указанных
подстановок мы получим
dP = {R cos [i~Q cos v) ё dt,
dQ = (/> cos V — Д cos X) ё dt,
dR = {Q cos X — /> cos [x) bdt.

ОБЩИЕ свойства ДВИЖЕНИЯ 361
Из этих уравнений, в которых X, [х, v и б —
постоянные величины, легко видеть, что если значения
dP dO dR
—, -7^ , -г— равны нулю, когда t равно нулю или же
равно какой-нибудь заданной величине, то и значения
d^P dЮ dm d^P d^Q d^R
-dF^ ^' -dF' « ^««'«^ d^' d^' dF « ^«« ^^^^
до бесконечности, тоже равны нулю для того же
значения t.
Но на основании теоремы Тейлора мы знаем, что
dp
когда t переходит в t -\-1, то значение функции j-
одновременно переходит в
^i^J^/'j_l^ f'2 -L. ^ d^P ,3 I
d« "•" Л^ ^ 2 dt'> ^ i-Z df- ^ • • •
Следовательно, если — = О, когда t' = О, то мы всегда
dp
имеем 37 ~ *^' ^^''^ово бы ни было значение t'. То же
do dR
самое относится и к значениям ^ и -т- •
dt dt
Отсюда следует, что если уравнения пункта 25,
являющиеся только преобразованными уравнениями
dPf.dQ-f.dRf. ^
jj = ^, йГ ~ ' in ~ ' ^^^^"^ силу в какое-либо
мгновение, то они сохраняют силу и для любого
времени t,— если только допустить, что s и и —
постоянные величины. Следовательно, значения указанных
величин будут независимы от изменчивости величин
I, т, п, /, g, h. Таким образом достаточно будет
определить' значения этих последних величин для
любого положения тела по отношению к неподвижным
осям X, у, Z, чтобы получить значения величин s ш и,
определяющих положение оси вращения, которая
должна оставаться неподвижной в пространстве, или,
во всяком случае, всегда параллельной самой себе,
когда тело находится в поступательном движении.
А так как эта ось в силу своей природы в
течение некоторого мгновения неподвижна внутри тела

362 ДИНАМИКА
поскольку последнее согласно допущению должно
вращаться около этой оси, то отсюда следует, что она
должна всегда оставаться неподвижной; ведь ясно,
что если бы в следующее мгновение она изменила
свое положение в теле, то она необходимо изменила
бы и свое положение в пространстве, что, однако,
противоречит принятому допущению.
27. После того как определено положение этой
оси в пространстве, ничто не мешает нам допустить,
что она совпадает с осью х, положение которой
произвольно.
Можно, таким образом, допустить, что X равняется
нулю, и, следовательно, что cos X = 1, что даст нам
s = 0, и = 0.
Отсюда с помощь}о уравнений пункта 25 мы находим
^ = 0, Л = 0.
Таким образом рассматриваемая ось обладает тем
свойством, что если ее принять за ось ж, то
значения обоих интегралов HxyDm, oxzDm (п. 22)
становятся равными нулю.
Допустим теперь, что в наших формулах
g
= 0, Л = 0,
и обозначим через /', I', т', п' значения, которые при
этом получают величины /, I, т, п. Это допущение
прежде всего дает
s = 0, и = 0,
т. е. приведенный выше случай. Далее, для s и и
оно дает бесконечные значения, а следовательно,
cosX = 0, Х = 90°;
это значение соответствует остальным двум корням
уравнения третьей степени относительно s и,
следовательно, соответствует положению двух других осей.

ОБЩИЕ свойства ДВИЖЕНИЯ 363
Но первое из уравнений относительно s и и {п. 25),
если g и h равны нулю, переходят в
/' («2 _ s^) + (т' — п') SU = О,
а если вместо s и и подставить их значения, то мы
получим
/' (cos2 V + cos^ [J.) + {т' — п') cos [j. cos v = 0;
если в выражении
cos^ X + cos2 [i, -j- cos^ V = 1
.мы положим cos X = 0, то мы будем иметь
cos V = |/l — cos^ [i, = sin (i,,
и приведенное выше уравнение сведется к
следующему:
tang2[x = —г^—•,,
° ~ т — п
дающему для угла [х два значения, из которых одно
больше другого на 90°.
Итак, если за ось х мы взяли первую ось
вращения, то две другие оси равномерного вращения
будут лежать в плоскости yz и образуют с осью у
углы [х и [X -(- 90°. Таким образом три оси вращения
будут, наподобие осям координат, между собою
взаимно перпендикулярны. Следовательно, эти
последние две оси можно будет тоже принять в качестве
осей г/ и z; тогда мы будем иметь [х = О и стало быть
/'= 0; поэтому и значение интеграла ^yzLm тоже
будет равно нулю.
28. Итак, для каждоьо твердого тела, какова бы ни
была его форма и структура, существуют по
отношению к любой точке этого тела три взаимно
перпендикулярные оси, пересекающиеся в этой точке, вокруг
которых тело может вращаться свободной равномерно;
эти три оси определяются о помощью следующих
условий:
HxyDin = О, HxzDm = О, S//z Dm = О,

364 ДИНАМИКА
при этом предполагается, что указанные оси приняты
в качестве осей координат х, у, z.
Если эти оси проходят через центр тяжести тела,
то согласно Эйлеру, которому мы обязаны их
открытием, их называют главными осями; их называют также
естественными осями вращения или вообще главными
осями, независимо от того, проходят ли они через
центр тяжести или нет.
29. Если положить
/ = 0, ^ = 0, Л = 0,
что имеет место по отношению к трем главным осям,
то с помощью уравнений пункта 23 мы получим также
dl „ dm ^ dn ^
Tt^^' 1Г^ ' ~dt = '
откуда ясно, что в данном случае величины I, т, п
имеют наибольшие или наименьшие значения. Для
того чтобы получить возможность решить, имеем ли
мы здесь дело с максимумами или минимумами,
d4 d^m d^H
следует лишь определить значения -т-^, ^-^ , ^ ; в силу
постоянства б мы найдем
g = 2 [{п — 1) cos2 у.-{1 — т) cos2 v] б»,
d^m
= 2 [{I — т) cos2 v — {m — n) cos^ X] б»,
■ 2 = 2 [{m — n) cos^ X — (ai — I) cos^ \i] б^.
dt^
d^H
Следовательно, если l^m, m'^n, то значение ^
всегда будет отрицательным, значение -т-^ всегда бу-
d^ т г
дет положительным, а значение -^гт- может быть по-
dt^
ложительным или отрицательным; таким образом I
всегда будет максимумом, п — минимумом, а m не

овщИЕ свойства движения 365
будет ни тем, ни другим. Кроме того, мы видим, что
—J -j- —^ будет всегда иметь отрицательное значение,
а -т^ + JY будет всегда иметь положительное
значение; таким образом величина I -\- т будет всегда
максимумом, а m + и — минимумом.
Величины I -\- т, I -\- п, т-\-п, выражающие суммы
произведений каждой частицы тела на квадрат ее
расстояния от трех осей х, у, z, называются, по
Эйлеру, моментами инерции тела по отношению к этим
осям; они являются для вращательного движения
тем же, чем для поступательного движения являются
простые массы, так как именно на эти моменты
следует делить моменты сил импульса, чтобы
получить скоростр вращения вокруг тех же осей.
Путем рассмотрения наибольших и наименьших
моментов инерции Эйлер и нашел главные оси; в
настоящее время их обычно определяют с помощью
трех условий
^xyDm = 0, HxzDm = 0, HyzDm = 0.
30, Так как на основании анализа, изложенного
в пункте 27, мы вполне уверены, что уравнение
относительно s (п. 25) имеет три вещественных корня,
то их всегда можно легко найти, если упомянутое
уравнение, освободившись от второго его члена,
сравнить с известным уравнением
х^ — Зг^ X — 2г^ cos ф = О,
имеющим следующие три корня:
2/- cos I , - 2/- cos (б0° + I) , -2г cos (б0° - |-) .
Таким образом мы получим три значения s, которые
мы обозначим через s, s', s", и соответствующие
значения и, и', и". Если, далее, мы обозначим через
^1 ^1 ?^" углы, образуемые трЬмя главными осями с

1
V 1 + s=
s
1 l+s2
и
+
+
u^
u^
3EE ДИНАМИКА
осью X, через jx, jx', jx" у1'лы, образуемые ими с осью /у,
и через V, V, v" углы, образуемые ими с осью z, то
на основании п. 24 и 25, мы получидг
cos X —
cos [i, =
(•OS V = ^^
V 1 + s2 -ь M^
аналогичные выражения мы получим также, если
снабдим буквы X, [х, v, s, и одним или двумя
штрихами. Таким образом определение трех главных осей
может быть легко осуществлено с помощью этих
формул для всякого твердого тела любой формы,
однородного или неоднородного, если только нам
известно значение величин /, g, h, I, тп, п
относительно неподвижных осей х, у, z для какого-нибудь
заданного положения тела.
Если найденные значения cos X, cos (i,, cos v
подставить в три уравнения пункта 22, то мы получим
значения моментов Л, В, С, необходимых для
приведения во вращение с постоянной заданной скоростью
б тела вокруг неподвижной в пространстве оси,
положение которой задано теми же углами X, \l, v и
которая одновременно будет одной из главных осей
тела, если для s тл и взять один из трех корней
уравнения относительно s [^^].
31. Так как указанные оси всегда взаимно
перпендикулярны, то в формулах пункта 20 их можно взять
в качестве осей х', г/', z'. В силу природы указанных
осей мы, таким образом, будем иметь
Sa;' у' Dm = О, Sa;' z' Dm = О, Ну' z' Dm = 0;
а если положить
l' = Hx'^Dm, m'^Hy'^Dm, n'=^Hz'^Dm,

ОБЩИЕ свойства движения 367
то три уравнения упомянутого выше пункта получат
следующий простой вид:
{1'+т')^' = В',
из этих уравнений мы тотчас же получаем скорости
вращения ф', со', ср' вокруг трех главных осей.
Здесь будет как раз уместно доказать
предложение, упомянутое нами в пункте 19. В самом деле,
если положить
А = 0, B = Q, С = 0,
то мы будем также иметь (п. 20)
А' = 0, В' = О, С = 0;
следовательно, приведенные выше уравнения дадут
f = О, w' = О, ф' = О,
так как для тела трех измерений величины I, т, и
никогда не могут быть равны нулю. Отсюда мы
должны сделать вывод, что если первоначальные моменты
равны нулю, то никакое вращательное движение
невозможно.
Если из трех моментов А', В', С какие-либо два,
например В' и С, равны нулю, что бывает в том
случае, когда импульс происходит в плоскости у' z',
то две скорости вращения ш, <р тоже равны нулю, и
тело движется вокруг главной оси х со скоростью ф'.
Но согласно формуле пункта 20 мы имеем
в силу основных уравнений между величинами а, р,
у, а', . . . ; следовательно, если мы положим
£' = 0, С' = 0,

368 ДИНАМИКА
то мы будем иметь
А' = \/'А^ + В^+С\
таким образом А' будет величиной постоянной; поэтому
согласно первому уравнению скорость ф' тоже будет
постоянной.
32. Что касается значений I', т', п', то их легко
вывести из значений I, т, п, /, g, h, так как в силу
условных уравнений (Статика отд. III, п. 10)
выражения для X, у, Z через х , у', z' обратно дадут
ж' = аж + «V + *"^1
у' = ^х + р'г/ + p"z,
z' =yx + y'y + y"z.
Но если за оси х\ у', z' принять главные оси,
то на основании пункта 21 легко видеть, что
величины а, а', а" будут тождественны с cosX, cos [х,
cos V, что точно так же р, Р', Р" будут тождественны
с cosX', cos [х', cosv' и Y, у', у"—с созХ", cos [х", соз v".
Если подставить приведенные выше значения этих
косинусов (п. 20), то мы получим
, X + sy -{-UZ
X =
V \ +
х + s'
У1 + .
x+s"
s^ + u^
y + u'z
s'2 + и''
y + u"z
Возведем эти выражения во вторую степень и
проинтегрируем, предварительно помножив их на Dm;
тогда мы получим
,, _ I + s^m + и^п -Ь Uh -\- 2ug + 2suf.
I + s'^m + и'Ы + 2s'h + 2a'g + 2s'u'f
m =
1 -f s'2 -f u'2
I + s'^TO -f u'^n + 2s"h + 2u''g -f 2s"u"{
1 -f s"^ +4"^

ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ 369
Определение главных осей различных тел можно
найти в большинстве курсов механики; у тел,
имеющих симметричную форму, осью фигуры всегда
является одна из главных осей; две другие можно
затем найти с помощью формулы пункта 27.
§ Y. Свойства, связанные с живой силой.
33. Вообще говоря, как бы ни были расположены
или связаны друг с другом различные тела,
образующие систему, если только это расположение не
зависит от времени, т. е. если условные уравнения между
координатами различных тел совершенно не
содержат переменной t, ясно, что в общей формуле
динамики всегда можно приравнять вариации Ьх, Ьу, Sz
дифференциалам dx, dy, dz, выражающим пути,
фактически пройденные телом за мгновение dt, в то время
как вариации Ьх, Ьу, bz должны выражать некоторые
пути, которые могли бы быть пройдены телами за
то же мгновение, если принять во внимание
взаимное расположение этих тел.
Подобное допущение является частным и может,
следовательно, дать только одно уравнение, но так
как оно не зависит от формы системы, то оно
обладает тем преимуществом, что дает общее уравнение
для движения любой системы.
Следовательно, если в общую формулу пункта 5
(предыд. отд.) вместо вариаций Ьх, Ьу, bz подставить
дифференциалы dx, dy, dz, а стало быть и вместо
вариаций Ьр, Ьд, Ьг, . . . , зависящих от Ьх, Ьу, bz, .. . ,
подставить дифференциалы dp, dq, dr, .. . , то мы
получим следующее общее уравнение, имеющее силу
для любой системы тел:
+ Q dq + R dr+ ...)=-0.
34. В том случае, когда величина
Pdp+Qdq + Rdr+ ...
24 ж. лаграиж, т. I

370 ДИНАМИКА
интегрируема, что имеет место, когда силы Р, Q,
R, . .. направлены к неподвижным центрам или к
телам той же системы, и являются функциями
расстояний р, q, г, . . . , мы можем, положивши
Рdp + Q dq + Rdr -^ . . . = dn,
привести указанное выше уравнение к следующему
виду:
последнее уравнение после интегрирования дает
S'»[4-(I^+^+4f)+"]-''.
где Н обозначает произвольную постоянную, равную
значению левой части уравнения в заданное
мгновение.
Последнее уравнение содержит принцип,
известный под названием принципа сохранения мсавых
сил. В самом деле, так как rfa;^ + dy^ -j- dz^
представляет собою квадрат пути, проходимого телом в
течение мгновения dt, то
dx^ 1^ dy^ dz^
~d^ "■" ~de "■" 'W
будет квадратом его скорости, а
Г dx^ dy^ d^
"^ \d^ '^ 'dF '^li^
его живой силой. Следовательно,
с* /" dx^ , dy^ , dz^
представит сумму живых сил всех тел, или живую
силу всей системы; из рассматриваемого уравнения
видно, что эта живая сила равна величине
2Я-28П
т.

ОБЩИЕ свойства ДВИЖЕНИЯ 371
зависящей просто от ускоряющих сил, действующих
на тела, и нисколько не зависящей от их взаимных
связей; таким образом живая сила системы в любое
мгновение равна той живой силе, которой обладали
бы тела, если бы, находясь под действием тех же
сил, каждое из них двигалось свободно по описанной
им линии. Поэтому указанное свойство движения и
получило название сохранения мсивых сил.
35. Приведенный принцип имеет место и в том
случае, если движение тел отнести к их центру
тяжести; в самом деле, если, как раньше (п. 3),
обозначить через х', у', z' три координаты центра тяжести
и положить
х = х' + ^, y = y'+ri, z = z' + ^,
то координаты 5, т], ^ будут иметь свое начало в
центре тяжести. Тогда мы получим
1 с /:dx^ , dy^ , dz^\
T^'^\:d^ + -dF + -d?) =
,1c; rdl-'\ dtf , d!:2N dx' о dS ,
+ -T^"'{-dF- + 4k + ~d¥-)+-df^^-dr +
, dy' c; di) , dz' о dK,
в силу природы центра тяжести мы имеем (см.
упомянутый пункт)
Следовательно, если мы приведенное уравнение
продифференцируем и вычтем из уравнения, указанного
в пункте 33, то мы получим
+ '^т{Р dp -^ Q dq + Rdr + . . .)r=Q.
24*

372 ДИНАМИКА
Вместо
Pdp + Qdq + Rdr+ .. .
подставим эквивалентную величину
Xdx.+ Ydy-\-Zdz
и вместо dx, dy, dz подставим значения dx^ + d^,
dy' + d-q, dz' + dZ,; тогда, в силу дифференциальных
уравнений пункта 3, последнее уравнение примет
следующий вид:
-\-'i!>m{Xdl + Ydfi + ZdZ,) = 0,
аналогичный уравнению пункта 33; однако здесь
величина
Xdl + Ydri+ZdX,
будет интегрируемой только в том случае, если силы
будут действовать по направлению к самим телам
системы и будут пропорциональны функциям
расстояний. В этом случае мы будем иметь
уравнение, содержащее сохранение окивых сил
относительно центра тяжести [**].
36. Впрочем, условия для принципа мсивых сил
не аналогичны условиям для принципов центра тя-
мсести и площадей; последние имеют место
независимо от тех действий, которые тела системы могут
.проявить друг по отношению к другу, даже в том
случае, когда тела соударяются,—так как все
внутренние силы исчезают из уравнений, выражающих
оба эти принципа.
Уравнение сохранения живых сил содержит все
члены, происходящие как от внешних, так и от
внутренних сил: оно не зависит только от действия
тел, вызванного их взаимно^ связью. Этот принцип

ОБЩИЕ свойства ДВИЖЕНИЯ 373
имеет место и при движении неупругих жидкостей,если
последние образуют сплошную массу и между их
частями не происходит никаких столкновений. В том
случае, когда величина Эй;мвыа; сил после столкновения
упругих тел имеет то же значение, что и до столкновения,
считают, что и тела после столкновения вернулись в то
состояние, в каком они были до удара; таким образом
члены \Р dp выражения П, которые зависят от сил
Р, происходящих от упругости тела, и значение
которых бывает максимальным, когда сжатие достигает
наивысшей степени, — затем во время возвращения
к первоначальному состоянию равномерно убывают
и к концу столкновения становятся равными нулю.
Только при этом допущении сохранение живых сил
может иметь место и при столкновении упругих тел.
Во всех прочих случаях, когда происходят
внезапные изменения в скоростях некоторых тел системы,
общая сумма живой силы уменьшается на величину
тех живых сил, которые могли вызвать эти
изменения; указанная величина может быть всегда
измерена суммой масс, умноженных на квадраты
скоростей, которые были этими массами потеряны или
могли считаться потерянными при внезапных
изменениях реальных скоростей тел. Такова теорема,
найденная Карно (Carnot) для удара твердых тел.
37. В уравнении пункта И предыдущего отдела
можно тоже допустить, что вариации Sa;, 8г/, bz
пропорциональны скоростям X, у, Z, полученным телом
благодаря импульсу. В таком случае мы будем иметь
уравнение
S [т {х^ + 'у^+ г^) +Хх + Ту + Z'z] = О,
в котором часть ^ т (х^-\-у^-\-z^) выражает окивую
силу всей системы.
Если это уравнение соединить с тремя
уравнениями пункта 14, то мы получим свойство
максимумов и минимумов по отношению к линии, вокруг
которой система вращается в первое мгновение, когда

374 ДИНАМИКА
она получила какой-либо импульс; эту линию можно
также назвать мгновенной осью вращения.
Если мы обозначим через а, р, у те части
скоростей X, у, Z, которые зависят от изменения взаимного
расположения тел системы *) и если мы их прибавим
*) Указанные величины а, р и у не являются достаточно
определенными. Действительно, каково бы ни было смещение
системы, изменяющейся по своему виду, его всегда можно
рассматривать как результирующее некоторого произвольного
движения, сообщенного отвердевшей системе, и затем второго
движения, вызывающего изменение взаимного расположения
рассматриваемых точек. Неопределенность величин а, р и v
делает настоящий пункт 37 крайне неясным. Я должен
сознаться, что не был в состоянии понять ход мыслей Лагран-
жа и не мог вложить какой-либо точный смысл в теорему,
которой заканчивается этот параграф. Поэтому приведенные
ниже примечания относятся только к случаю твердой системы.
(Прим. Бертрана.)
Вполне присоединяясь к приведенным выше замечаниям,
мы предлагаем следующее толкование вывода, полученного
Лагранжем: если в формулах, дающих значения х, у, z, мы
будем рассматривать а, р, у как заданные функции х, у, z,
а (О, ф, ip — как произвольные переменные, то это приведет
к рассмотрению всех движений системы, при которых
деформация к концу бесконечно малого промежутка времени
останется одной и той же; ибо если, например, определить
производную расстояния двух точек системы по времени, то можно
легко установить, что эта производная совершенно не зависит
от произвольных величин ш, ф, ф и, следовательно,
сохраняет одну и ту же величину, когда эти произвольные
величины принимают любые возможные значения. Стало быть,
теорема Лагранжа может быть выражена следующим образом.
Если двимсение, получаемое системой под действием
заданных импульсов, сравнить со всеми двимсенаями, при кОт.орых
деформация к концу бесконечно малого промежутка времени
оставалась бы неизменной, то сисивая сила, приобретенная
системой при естественном двимсении, будет, всегда
максимумом или минимумом.
Сверх того, из доказательства, данного Бертраном в
дальнейшем примечании, следует, что эта окивая сила всегда будет,
максимумом.
Предложение Лагранжа содержится, впрочем, как частный
случаи в весьма общей теореме, которой мы обязаны Штурму
(Sturm); изложение этой теоремы можно найти в статье,
помещенной в Comptes rendus de TAcademie des Sciences, том ХП1,

ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ 375
к тем скоростям, которые получаются в результате
вращений (п. 17), то мы получим- полные значения
X, у, Z, которые выразятся следующим образом:
,; = ZW — г/ф + а, г/ = жф — 2ф + р, z = г/ф — zw + у.
Предположим теперь, что мы продифференцировали
эти значения, рассматривая при этом в качестве
переменных только ф, (Л, ф, и что эти дифференциалы
обозначили с помощью символа S *); тогда мы получим
si = Z Sa> — г/Sep, 8г/= а; Sep — z 8ф, Sz = г/8ф — а; Sa>.
Если три уравнения пункта 14 помножить
соответственно на Sep, Sa>, 8ф и сложить, а затем
подвести под знак интеграла S дифференциалы Sep,
Sa>, 8ф, являющиеся общими для всех тел, то путем
подстановки приведенных выше значений мы
получим
S [т {ibi+yby -\-'zbz) + ХЬх-\-Y by + Zb'z] = 0.
Но найденное нами выше уравнение живой силы,
пудучи продифференцировано в смысле символа S**),
дает
'^[2m{ibi + ybif + ibz) + Xbx-\-Yby-irZbz] = 0.
стр. 1045, а доказательство — в посмертном мемуаре Штурма,
опубликованном Пруэ (Prouhet) (см. Sturm, Lefons de Шса-
nique, t. II). {Прим Дарбу.)
*) Указанные вариации, выраженные символом 8,
относятся к изменениям, испытываемым скоростями вследствие
введения новых связей, причем движущие силы остаются
неизменными. Так, например, в случае твердого тела вариации 8
могут возникнуть вследствие введения в систему неподвижной
оси. {Прим. Бертрана.)
**) Если допустить, что вариации, обозначенные через 8,
являются конечными, то путем дифференпирования уравнения
живых СИ.Т1 мы получим
S[ 2то (хЗх -f xj^ +zbz) -f m[(8,rJ + {^y) + (82>] +
+ Z8i-by82/-f 2 8z} = 0,

376 ДИНАМИКА
Таким образом путем сравнения последних двух
уравнений мы получаем
S m {х si + ^S^ + z 8z) = О
и, следовательно,
SSm(i2 + ^2_|_22) = 0;
из последнего видно, что живая сила, приобретенная
системой в результате импульса, является всегда
максимумом или минимумом *) по отношению к
вращениям вокруг трех осей; а так как эти три
вращения складываются в единое вращение вокруг
мгновений оси, то отсюда следует,, что положение
этой оси таково, что живая сила всей системы по
отношению к этой же оси является наименьшей или
наибольшей.
Эйлер доказал указанное свойство мгновенной оси
вращения для твердых тел любой формы; из
приведенного выше анализа видно, что оно является общим
свойством для всякой системы тел, как связанных
между собою, так и не связанных,— когда эти тела
получают какие-нибудь импульсы.
38. Когда система представляет собою твердое
тело, способное свободно вращаться вокруг точки и
не находящееся под действием какой-либо ускоряю-
а если продолжить это рассуждение, приняв во внимание
новые члены, введенные благодаря указанному допущению,
то мы найдем
8 S m (i^ + 3/2 + z'2) ^ _ S то [(8жJ + (Sy)^ -\- (SzJ],
Отсюда видно, что приращение живых сил является
отрицательным и равно сумме живых сил, связанных со>скоростями,
потерянными различными точками. {Прим. Бертрана.)
*) Из предшествующего примечания следует, что она
всегда бывает максимумом. Это было впервые установлено
Делонэ (Delaunay), который доказал его совершенно иным
путем (Journal de Liouville, серия I, т. V, стр. 255). (Прим.
Бертрана^)

ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВЯЖЕНИЯ 377
щей силы, то из сочетания уравнения окивых сил с
уравнением площадей можно вывести отношение,
достойное быть отмеченным благодаря своей простоте,
которое, насколько я знаю, до сих пор еще не было
отмечено, а именно, отношение между скоростями
вращения ф, ш, ср вокруг трех неподвижных осей
координат X, у, Z. в этом случае мы имеем просто
(п. 17)
dx^ xdt — (zo) — г/ф) dt,
dy = ydt^ (жф — гф) dt,
dz^ zdt ^ (г/ф — x(x>) dt.
Если три последних уравнения пункта 9 сложить,
помножив их соответственно на ср, и, ф, подвести эти
а dx dy dz
величины под знак о и подставить -j- >-j-, -г- вместо
их значений, то мы получим
НО уравнение п. 34 при П = О дает
1 с fdx^ , dy^ , dz^\ гг
Таким образом мы имеем
.Ц + 5ш + Сф = 2Я,
где А, В, С являются моментами первоначальных
импульсов, а Н представляет собою произвольную
постоянную, которая необходимо должна быть
положительной.
Если в этом уравнении вместо А, В, С подставить
выражения пункта 11
уС, y'C", y''C'

378 ДИНАМИКА
или с COS I, с COS т, с cos п, а вместо ф, а>, <р
значения пункта 17
в cos X, 6 cos (А, 0 cos V,
то мы получим
6 (cos / COS X -j- COS m cos jj, + cos n cos v) = -^ .
в этой формуле /, т, п представляют собою углы,
образуемые осью, перпендикулярной к неизменной
плоскости, с неподвижными осями х, у, z, а X, (а, v
представляют собою углы, образуемые с теми же
осями мгновенной осью сложного вращения, скорость
которого равна 6. Таким образом, если мы обозначим
через о угол, образуемый мгновенной осью вращения
с осью, перпендикулярной к неизменной плоскости,
то с помощью известной формулы мы получим
cos (J = COS / COS X + COS m cos (л + cos n cos v
• 2Я 2Я
И, следовательно, 0 cos a = -рг > где величина ^т-
является постоянной, зависящей от начального
состояния; отсюда получается независимое от формы тела
соотношение между фактической скоростью вращения
в каждое мгновение и положением оси вращения
относительно неизменной плоскости.
Между прочим, если плоскость жг/выбрать таким
образом, чтобы она прошла через центр тела и через
прямую, по направлению которой произошел импульс, то
постоянные величины А vi В будут равны нулю (п. 16)
и найденное выше общее уравнение сведется к
следующему
С<^ = 2Я;
из последнего видно, что скорость вращения по
отношению к оси Z, т. е. параллельно плоскости импульса,
остается всегда неизменной,

ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ 379
§VI. Свойства, касающиеся наименьшего действия.
39. Рассмотрим теперь четвертый принцип, а
именно принцип наименьшего действия.
Если мы обозначим через и скорость любого тела т
системы, то мы будем иметь
2 ^ ^^ 1 ^^ 1 '^
и уравнение живых сил (п. 34) примет следующий
вид:
8т(^Чп) = Я;
соли последнее выражение п^)oдиффepeнциpoвaть в
смысле символа S, то оно даст
S т {и Ьи + 8П) = 0.
Но так как П является функцией р, q, г, .. . , то
мы имеем
m = P8p + QSq + RSr+ ...
Таким образом
Sm{P8p + Q8q + RSr + ...) = —iimu8u.
Это уравнение всегда будет иметь место, если
Pdp+Qdq + Rdr+ ...
представляет собою интегрируемую величину и если
связь между телами не зависит от времени; оно
перестает быть верным, когда одно из приведенных
условий не выполнено.
Если указанное выше выражение теперь подставить
в общую формулу динамики (п. 5 отд. II), то
последняя примет следующий вид:

380 ДИНАМИКА
Но
d4 Ьх + d^y by + d4 bz ~
= d {dx bx -\- dyby -\- dz bz) — dx dbx — dy dby — dz dbz.
Так как символы d т\ Ь выражают совершенно
независимые друг от друга дифференциалы или вариации,
то величины dbx, d8y, d8z должны представлять
собою то же самое, что и Мх, ^dy, 8dz. Сверх того,
ясно, что
dx Мх + dy My + dzMz = Y^ (^^^ + ^^^ + ^^')-
Таким образом мы имеем
d4 8х + d^y Sy + d4 bz =
= d (dx 8x + dy8y + dz Щ — у S (dx^ + dy^ + dz^).
Пусть s представляет собою пространство или
дугу, описанную телом т за время t] тогда мы
имеем
ds = Yd^^+'WT^^, ^^ = ¥ •
Следовательно,
d4 Sx+d^y Sy+d4 Sz=d (dx Sx+dy Sy+dz Sz) —ds Ms
и отсюда
d^x ^ . dh/ ^ , dH J, d (dx bx + dy Si/ + dz Sjz) 2 ^'^^
di^^^^d^^y^d^^^- л^ " ~dJ-
В силу этого рассматриваемая общая формула примет
следующий вид;
8Г d (dx Sx + d« Sv + dz Sjj) . Ms 5. T n
"^V- ш^ «V-«4 = ^'
или, если все члены помножить на постоянный элемент
ds
dt =: — и принять во внимание, что mS ds + ds Ьи =
= S (и ds),

ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ 381
Так как знак интеграла S не связан со знаками
дифференциалов d и S, можно последние поставить
впереди первого, в результате чего приведенное
уравнение примет следующий вид:
d^m(^^8x+^Sy+p^Sz'^-S^muds = 0.
Проинтегрируем это уравнение по отношению к
знаку дифференциала d и обозначим это
интегрирование с помощью обычного знака интеграла \ ; тогда
мы получим
S т С-^ 8х +3^ ^^ + ^ Sz j — \ S S »гм rfs = const.
Но знак у в выражении
\
S ^ ти ds
может относиться только к переменным м и s и не
находится нив какой связи со знаками S и S; поэтому
ясно, что указанное выражение тождественно со
следующим:
S^ffz \м ds;
если предположим, что в тех точках, где начинается
интегрирование у uds, мы имеем
Sa;=0, 8г/= О, ,-Sz = О,
то произвольная постоянная должна равняться нулю,
так как в этих точках левая часть уравнения должна
обратиться в нуль. Таким образом в этих случаях
Мы будем иметь

382 ДИНАМИКА
Следовательно, если сверх того мы предположим,
что вариации 8х, 8г/, 8z равны нулю также
и в тех точках, где интегрирование \ uds
кончается, то мы получим просто
SSffz \м ds= О,
т. е. вариация величины Sm \ «rfs будет равна нулю;
таким образом эта последняя величина будет
максимумом или минимумом.
Итак, отсюда вытекает следующая общая
теорема.
При движении любой системы тел, находящихся
под действием взаимных сил притяжения, или сил,
направленных к неподвиокным центрам и
пропорциональных каким-либо функциям расстояний, кривые,
описываемые различными телами, а равно их скорости
необходимо таковы, что сумма произведений
отдельных масс на интеграл скорости, умномсенной на
элемент кривой, является максимумом или минимумом —
при условии, что первые и последние точки каждой
кривой рассматриваются как заданные, так что
вариации координат, соответствующих этим
точкам, равны нулю.
Такова теорема, которую под названием принципа
наименьшего действия мы упомянули в конце
первого отдела *).
*) Интеграл ^т \uds оказывается максимумом или
минимумом, если его сравнить с аналогичными интегралами,
относящимися ко всякому другому движению системы,
которое было бы вызвано теми же силами и при котором, несмотря
на введение новых связей, допускающих существование
принципа живых сил, начальные и конечные положения оставались
бы одними и теми же. Возможно, что это заключение,
которое с очевидностью следует из доказательства, в тексте
выражено недостаточно ясно. (Прим. Бертрана.)

ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ 383
40. Однако приведенная теорема не только
содержит в себе интересное свойство движения тел, но
.люжет также послужить для определения этого
движения, В самом деле, так как выражение Sm \ и ds
должно быть максимумом или минимумом, остается
только, пользуясь методом вариаций, выяснить
условия, при которых она может принять указанные выше
значения; если применить общее уравнение
сохранения живых сил, то мы всегда найдем все уравнения,
необходимые для определения движения каждого тела.
Действительно, для существования максимума или
минимума необходимо, чтобы вариация была равна
нулю; следовательно, мы будем иметь
S S »г\ Mrfs = 0;
отсюда, проделав приведенные выше операции в
обратном порядке, мы найдем ту общую формулу, из
которой мы исходили.
Для того чтобы сделать этот метод более ясным,
мы изложим его здесь в нескольких словах.
Условие максимума или минимума вообще дает
SS »г\ uds=0;
если знак дифференциала S ввести под знаки S и \
(что согласно природе этих различных знаков,
очевидно, допустимо), то мы получим уравнение
SffzCs(Mrfs) = 0,
По поводу этого принципа можно посмотреть статью
О. Родригеса, напечатанную в Correspondance de I'Ecole Poly-
teclinique, t. Ill, p. 159 и Vorlesungen iiber Dynamik Якоби.
(Прим. Дарбу.)
(Есть русский перевод: Якоби, Лекции по динамике,
ОНТИ, М. —Л. те. —Прим. ред.)

384 ДИНАМИКА
или, дифференцируя в смысле символа 8,
Hm[{dsSu + uMs) = 0.
Я рассматриваю сначала часть
SffzVrfsSM;
если вместо ds подставить его значение и dt, то она
перейдет в
S т\ ubudt,
или, если изменить порядок знаковой \, которые
совершенно независимы друг от друга, то она примет
следующий вид;
тиЬи.
Но общее уравнение принципа живых сил дает (п. 34)
8»ги2=2Я —28»гП,
где dH равен
Pdp + Qdq + Rdr+ . . .;
поэтому, если Приведенное выражение
продифференцировать в смысле символа S, то мы получим
S ти 8а =— S »г 8П = —Sm {Р 8р+ Q8q + R8r + . . .),
ибо так как согласно допущению П является
алгебраической функцией р, д, г то дифференциал 8П
представляет собою то же самое, что и dU, с
заменой только символа d символом S. Таким образом
величина
Hm\ds8u
будет приведена к следующему виду;
— [ dtSm{PSp+Q8q + R8r+ ...).

ОБЩИЕ свойства ДВИЖЕНИЯ 385
Затем я рассматриваю вторую часть
S т\ uSds
и подставляю в нее вместо злемента ds его
величину, выраженную с помощью прямоугольных
координат или с помощью каких-либо других переменных.
Если мы пользуемся прямоугольными координатами
X, у, Z, то '^
ds = Ydx^ + dy^ + dz^;
следовательно, дифференцируя в смысле символа S,
мы получим
^ds=^^Ьdx + f^Ыy + ^^Ыz,
ИЛИ, переставив знаки rf и S и написав rfS вместо Ы,
что всегда допустимо ввиду независимости этих
символов,
bds=^Jbx + ^dby +^ dSz;
таким образом, подставив это значение и написав dt
ds
вместо — , мы получим
\ubds = \{'^dbx+'^dby+'^dbz).
Так как здесь под знаком интеграла \ находятся
дифференциалы вариаций Sa;, 8г/, Sz, то следует их
устранить, пользуясь известной операцией
интегрирования по частям согласно правилам вариацион-
С dx
ного исчисления. Таким образом величина \ -j-d Sa;
преобразуется в другую ей эквивалентную
если предположить, что обе крайние точки кривой
заданы, так что координаты, соответствующие началу
и концу интеграла, не изменяются, то мы будем
25 ж. Лагранж, т. I

dx
dt
dz
dt
386 ДИНАМИКА
иметь просто
Аналогично мы найдем
Таким образом мы получим следующее
преобразованное выражение
Следовательно, величина Sm \mSc?s, если
переставить знаки S и \ , Sl dt считать постоянной
величиной, примет следующий вид:
-^rf^Sm(Sa;rf5+S?/rfg + Szrf
d^z-
dt
Таким образом мы получим следующее
уравнение максимума или минимума:
\ dt Sm (Р Ьр +(? 8^ -f Я St- + . . .+
+ %b.^'^M+%bz)=^,
которое, вообще говоря, должно иметь силу для всех
возможных вариаций; поэтому величина, стоящая
под знаком \ , должна в любое мгновение быть
равной нулю; таким образом мы получим
неопределенное уравнение
S-w (Р 8^0+ Q8q + R 8г+. . . +

ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИНСЕНИЯ 387
которое представляет собою не что иное, как общую
формулу динамики (отд. II, п. 5) и которое,
следовательно, подобно ей, даст все уравнения,
необходимые для разрешения настоящей задачи.
41. Вместо координат ж, у, z можно также
воспользоваться любыми другими неопределенными
величинами, и тогда все сведется к тому, чтобы
элемент дуги ds выразить в функции этих
неопределенных величин. Так, например, если взять
радиус, или прямолинейное расстояние от начала
координат, которое мы назовем р, и два угла, из
которых один,ф, пусть обозначает угол, образуемый
упомянутым радиусом с плоскостью ху, а другой, ф —
угол, образуемый проекцией того же радиуса на
указанную плоскость с осью ж, то мы будем иметь
Z = р sin ф, г/= р созф sin«p, а; = р cos ф cos ф,
а отсюда мы получим
ds" = dx^ + dy-" + dz^ = dif + p^ (Йф2 ^ ^^^^ ф ^^2).
это выражение можно было бы вывести и
непосредственно, пользуясь геометрическим методом.
Продифференцировав в смысле S и написав db вместо bd,
мы будем иметь
ds Ms = dp d8p + р(йф2+ cos2 ф df^)8? +
+ p\d<li й8ф — sin Ф cos ^ df4<^ + cos^ ф d<p d8f),
,. ds
откуда, разделив на dt = — и проинтегрировав,
получим
Двойной символ d8 под знаком \ можно
устранить путем интегрирования по частям. Сначала
25*

388 ДИНАМИКА
отбросим члены, содержащие вариации вне знака
\ , так как эти вариации, которые в данном случае
должны относиться к пределам интеграла,
становятся равными нулю благодаря принятому допущению,
что начальные и конечные точ1<и кривых, описываемых
телами, наперед заданы и являются неизменными.
В результате мы получим следующее
преобразованное выражение:
\ и Ms =— \ им Ss =
Таким образом уравнение максимума или
минимума примет следующий вид;
idt^m JpSp + Q8q + R Sr+. . .+
, rd^f dUf^ „ , d,f\ 5,
+
,.2
, . , , йф^ '^ \У' dt
Ц +
d
+ ^ dt ^W=Q-
Если приравнять нулю величину, стоящую под
знаком \ , мы получим неопределенное уравнение,
аналогичное уравнению, приведенному в предыдущем
пункте, которое, однако, вместо вариаций 8х, уЬ, bz
будет содержать вариации Sp, 8(р,8ф; отсюда можно
вывести уравнения, необходимые для решения
поставленной задачи, если сначала все вариации свести к
возможно меньшему их числу и затем отдельно при-

ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ 389
равнять нулю все члены, в состав которых входит
каждая из оставшихся вариаций.
Если воспользоваться другими неопределенными
величинами, то мы получим иные формулы, но
можно быть уверенным, что в каждом отдельном случае
всегда можно получить наиболее простые формулы,
вытекающие из природы этих неопределенных
величин. Смотри том II Memoires de I'Academie de Turin,
где этот метод был применен для разрешения
различных вопросов механики *).
42. Впрочем, так как ds — и dt, то величина.
SmJ
и ds.
которая представляет собою максимум или минимум,
может быть приведена к следующему виду Sm \ u'dt
или \ dt S/WM^, где S ти^ выражает живую силу всей
системы в любое мгновение. Таким образом
рассматриваемый принцип сводится собственно к тому, что
сумма живых сил всех тел от момента, когда они
выходят из заданных точек, до того момента, когда
они приходят в другие заданные точки, является
максимумом или минимумом. Следовательно, его
можно было бы с большим основанием назвать
принципом наибольшей или наименьшей мсивой силы; эта
формулировка имела бы то преимущество, что она была
бы общей как для движения, так и для равновесия;
в самом деле, в отд. III «Статики» (п. 22) мы
видели, что при прохождении положения равновесия
живая сила системы всегда бывает наибольшей или
наименьшей.
*) См, также интересную статью О, Родригеса в Correspon-
dance sur I'Ecole Polythechnique, т, Ш, стр. 159. (Прим.
Бертрана,)

^(Zb^^
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВСЕХ ПРОБЛЕМ ДИНАМИКИ.
1. Достаточно развернуть ту формулу, к которой
мы свели во втором отделе всю теорию динамики,
чтобы получить все уравнения, необходимые для
решения любой задачи в данной отрасли знания, в чем
бы она ни заключалась; но это применение формулы,
представляющее собою чисто вычислительную
операцию, может быть в некоторых отношениях еще
упрощено с помощью тех приемов, которые мы применим
в настоящем отделе.
Так как все дело сводится к тому, чтобы свести
различные переменные, входящие в состав указанной
формулы, к возможно меньшему числу, пользуясь
условными уравнениями, заданными природой каждой
задачи, то одна из главнейших операций заключается
в том, чтобы вместо заданных переменных подставить
функции других переменных. Эта цель может быть
всегда легко достигнута с помощью обычных
методов; но по отношению к рассматриваемой формуле
существует особый прием выполнения этой
операции, имеющий то преимущество, что он всегда
непосредственно приводит к наиболее простым
преобразованиям.
2. Упомянутая формула состоит из двух частей,
которые должны быть рассмотрены отдельно.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ 391
Первая часть содержит члены
которые происходят исключительно только от сил,
являющихся следствием инерции тел.
Вторая часть состоит из членов
^m{P8p + QSq + RSr+ .. .),
происходящих от ускоряющих сил Р, Q, R, . . . ,
которые согласно допущению действуют на каждое тело
по направлению линий р, д, г, . . . и которые
стремятся сократить эти линии. Сумма этих двух
величин, будучи приравнена нулю, и дает общую
формулу динамики (отд. II, п. 5).
3. Рассмотрим сначала величину
d^x 8х + d^y by + d4 Sz;
ясно, что если к ней прибавить величину
dx d Ьх -\- dy d Ьу -\- dz d Sz,
то сумму можно будет проинтегрировать, и мы
получим в качестве интеграла
dx Ьх + dy^y + dz Sz.
Отсюда следует
d^x Ьх + d^y by + d4 Sz =
= d (dx 83; -\- dySy -\- dz 8z)—dx d 8x —dy dby — dzdbz.
Ho так как согласно известным принципам
двойной знак rfS эквивалентен ак1,ку Ы, то величина
dx d 8х -\- dy d 8у -\- dz d 8z может быть приведена к
следующему виду:
dx 8 dx -\- dy 8 dy -\- dz 8 dz,

392 ДИНАМИКА
т. е. к Y ^ (^^^ "Ь ^^^ "Ь ^^^)- Таким образом мы
получим следующее преобразование
d^x 8х + d^y 8у + d4 Sz =
= d {dx Ьх -\-dyby + dz bz) — ^ S {dx^ + dy^ + dz^),
из которого видно, что для вычисления
интересующей нас величины
dH Sa; + d^y by + dH bz
достаточно вычислить нижеследующие две величины,
содержащие только первые дифференциалы
dx Ьх -\-dyby-\- dz bz, dx^ + dy^ + dz^,
и затем одну из них продифференцировать в смысле
символа d, а другую—в смысле символа S.
4. Итак, предположим, что речь идет о том,
чтобы вместо переменных х, у, z подставить заданные
функции других переменных 5, ф, ср, . .. ;
продифференцировав эти функции, мы получим выражения
следующего вида:
dx = Adl + Bd<\)-{-Cd(^ + ...,
dy = A'dl + B'd<l> + C'dff + ... ,
dz = A"dl + B"d^\-\- C4(9 + ...,
в которых A, A', A", B, B\ . . . будут известными
функциями тех же переменных 5, Ф, <?,•■•;
аналогичным образом будут выражены значения 8х, 8у, 8z
с заменой лишь символа d символом S.
Если произвести указанные подстановки в
выражении dx 8х -\- dySy -\- dz Sz, то оно примет следующий
вид:
FdE,SE,+Gidm+d<i>Sl) -f Яйф8ф+/ (rf^Scp+rfcpS?) + . . . ,
где F, G, Н, I, . . . будут конечными функциями
. Ф, 9,• • •

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ 393
Следовательно, если заменить символ S символом d,
то мы получим также значение
dx^ + dy^ + dz^,
которое будет равно
F dl"^ + 2G dl йф + Яйф2 + 2/ ЙЫ<Р + .. .
Если первую из этих двух величин
продифференцировать в смысле символа d, то мы получим
дифференциал
d (Fdl) bl-^Fdlll-^d{G dl) 8ф + t/ (<7 d\) dl +
+ G dldl^ -^ G dif dbl-\r d(H dii)b^ Л- lidif dbif -\r- • ■ l
если затем вторую величину продифференцировать
в смысле символа S, то получим
SFd^^ + 2Fdl Ы1+ 2SG dl йф + 2G йф Ml +
+ 2Gdlbd<\) + bHd<\)^ + 2Hd<\)b d<\) + ...
Если половину последнего дифференциала вычесть
из первого и принять при этом во внимание, что db и
bd представляют собою одно и то же, то мы найдем
d {Fdl) 85 — V ^Pdl^ + d{G dl) Ц +d {G йф) Ы—
— bGdldi^ + d(Hdi>) Ц — -~8Яйф2 + ...
в качестве преобразованного значения величины
d4 8x + d^y8y+ d4 8z.
Но ясно, что это значение может быть рыведено
непосредственно из последнего дифференциала, если
все члены последнего разделить на 2, изменить
знаки тех членов, которые совершенно не содержат
двойного символа S<^, а в других членах опустить
знак d после S, применив его к величинам, которые
умножаются на двойные дифференциалы,
обозначенные символом Ы. Таким образом член 8F dE,^

394 ДИНАМИКА
даст —ySFrf?^^ член 2FdlMl даст'^(Frf?) S?, член
2SG dl d<\) даст — SG dl d<\), член 2G йф Srf? даст d (Grfф) S?
и т. д.
5. Из сказанного следует, что если мы обозначим
через Ф функцию 5, ф, ср, . . . и rf?, йф, rfcp, . .. , в
которую преобразуется выражение
:^{dx^ + dy^ + dz^),
если подставить значения x,y,z, выраженные в
функции 5, ф, ф, . .. , то мы вообще получим следующее
преобразованное выражение:
+ C-S-ф + ^ 85ф Г^'^ + С~ S7 + ^ Wr'P + • • • '
если, как это обычно принято, обозначить через -кг-
коэффициент 8? в дифференциале 8Ф, через ^-тг-
коэффициент Srf? в том же дифференциале и т. д.
6. То, что мы нашли выше, пользуясь
искусственным приемом, могло бы быть выведено более просто
и более общо с помощью принципов вариационного
метода.
В самом деле, пусть Ф является какой-либо
функцией X, у, Z, . . . , dx, dy, dz, . . . , d^x, d^y, d4, . . . ,
которая после подстановки значений х, у, z,.. . ,
выраженных через 5, ф, ф,. .. , становится функцией
5, ф, ф, . . . , dl, йф, d<p, . . . , d% d^<^, d^q>,. . . ; если
произвести дифференцирование в смысле символа S, то
мы получим следующее тождество:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ 395
+ =
8Ф jj , 8Ф J. , 8Ф J , ,
= Ж^^ + 'W ^"^^W ^<Р + • • • +
+
Если двойные символы Ы, 8d^, . . . заменить
эквивалентными им символами rfS, d^S,. . . , затем
проинтегрировать по отношению к символу d и путем
интегрирования по частям устранить все двойные
символы dS, d^S,. . . под знаком интеграла \ ,
относящегося к знаку дифференциала d, то мы получим
уравнение следующего вида:
= [ (Л'85 +В'Ц + C'Scp + ...) + Z',
в котором
. _8Ф
Р 8Ф
^ 8Ф
" 8dx ^ Sd^x • • • '
^d^ + d^^-
"■Mz ^ ЫЧ • • • '
8ф 8^9 ^ Sd\ • • * '

396 ДИНАМИКА
7 — r^^*^ ' ^*^
, /8Ф . 8Ф , л S I ЗФ ,5 ,
Таким образом, продифференцировав еще раз и
произведя перестановку, мы получим следующее
уравнение:
ASx + 58г/ + CSz + . . . —
-А'8^—В'Ц — С'Ц- ... = dZ'—dZ,
которое должно удовлетворяться и должно иметь
силу, каковы бы ни были вариации, или
дифференциалы, обозначенные буквой S.
Так как вторая часть приведенного уравнении
представляет собою полный дифференциал по
отношению к символу d, то, значит, и первая часть его
тоже должна быть полным дифференциалом по
отношению к тому же символу и независимо от символа S;
но это невозможно, так как члены первой части
содержат просто вариации %х, 8у, Sz, .. . , S^, 8ф, Sep, .. .
и совершенно не содержат дифференциалов этих
вариаций.
Отсюда следует, что для возможности
существования указанного уравнения необходимо, чтобы обе
части были порознь равны нулю, что дает нам два
следующих тождественных равенства:
4 Sa; + В 8г/ + С Sz + .. . =
= А'81 + В'Ц + С'8<р+..., dZ=-dZ',

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ 397
которые могут оказаться полезными в различных
случаях.
Пусть, например,
Ф = у {dx^ + dy^ + dz^y,
тогда мы имеем
Sx "^ ^' Sdx ~ ^' и^х — ^^> • • •
и совершенно так же для остальных подобных
величин; следовательно,
A=^—d4, B=-d^y, C = —d4.
Дальше, так как Ф содержит в себе только
дифференциалы первого порядка, то мы имеем просто
^ ~ Щ "-bdl '
Til _ оЧ> 7 04J
Таким образом мы получаем тождественное
равенство
~d^8x~d^y8y-d4Sz= (^^-d^)S^ +
которое совпадает с равенством, приведенным в
пункте 5.
7. Отсюда следует, что для получения значения
величины

в
В(
функции
зличины
1,
Ф, 9, •
1 с;
у от
* * J
достаточно
. dz^
^~ de
найти значение
:)
В функции 5, ф, ф, ... и их дифференциалов, ибо если
эту функцию назвать Т, то мы тотчас же получим
преобразованное выражение
(^i-^D»«+c•'S-a-f)»*+(•'S-|>+■•■
Это преобразование будет всегда иметь силу, если даже
среди новых переменных будет находиться время t,
при условии только, что мы будем его рассматри^
вать как постоянную величину, т. е^ что мы будем
принимать Si = 0.
Дальше легко видеть, что подобное же
преобразование будет иметь место и в том случае, когдй
вариации 8^, 8ф, Sep, ... не будут полными
дифференциалами, если только они выражают неопределенные
величины и вариация 87" имеет следующий вид:
каковы бы ни были вообще коэффициенты
ЪТ ЪТ ЪТ
fC ' dS^' Щ '" '
8. Наконец, следует отметить, что если
выражение Т содержит член dA, являющийся полным
дифференциалом функции А, в которую одна из
переменных, на1пример 5, входит только в конечном виде,
то этот член не внесет ничего в приведенное- выше
преобразованное выражение по отношению к
указанной переменной. В самом деле, если положить
T^dA^'A.dl^%di,+ ...,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ 399
ТО мы получйм
8Г дА
дА ^дА
ST di ^^ , д^ ,. , Й>М 5М ,, ,
ST = 1Г ^^ + -«Г ^* + • • • = 51^ ^^ + 5р-/* + • • •=
, дА
Следовательно, d^-т^ — s^ , представляющее
собою коэффиццрнт S5, примет следующее значение:
J дА ,дА ^
Отсюда, далее, следует, что если выражение для
Т содержит член вида BdA, где А является
функцией ^, ф, . . . , без d^, а В — какой-либо
функцией без ^, то этот член по отношению к вариации
5 даст просто член -^ dB.
В самом деле, если написать член BdA в виде
d {ВА) — А dB, то прежде всего можно убедиться,
что член -d^BA) не дает ничего по, отношению
к вариации 5, так как АВ содержит $, но не
содержит d^; далее, так как dB не содержит в себе
ни 5 ни d^, а А содержит 5, но не содержит d^, то
ясно, что если положить Т = — А dB, мы получим
851 = 0 и _ = -^й5,
SA
так что коэффициент при 8^ сведется к р- г?5.
.9. Что касается величины PSp-\-QSq-{-R8r-\-...,
то ее всегда легко свести к функции 5, ф, ср, . . . ,
так как при этом дело сводится лишь к тому, чтобы
преобразовать отдельно выражения для расстояний
р, q, г, . . . и сил Р, Q, R, . . . Но это
преобразование становится еще более легким, когда силы

400 ДИНАМИКА
таковы, что сумма моментов, т. е. величина
Pdp+Qdq + Rdr + . . .
оказывается интегрируемой, что, как мы уже
отметили, всегда имеет место в природе.
Действительно, если, как в п. 34 отдела III,
положить
йП = Рdp + Qdq + Rdr -{-... ,
го мы получим П, выраженное в виде конечной
функции р, q, г, . . . ; следовательно, мы будем, иметь
Ш = Р Sp + QSq^RSr + . . . .
Умножив на m и взяв сумму для всех тел системы,
мы получим
^m{P8p + QSq +RSr + ...) =Sm 8П= S S mU,
ибо знак 8 не зависит от знака S.
Таким образом достаточно определить значение
величины S тП в функции 5, ф, ср, . . . , а это
требует лишь подстановки значений х, у, z,. . . ,
выраженных через 5, ф, ф, . . . , в выражения для р, д, г, . ..
(Статика, отд. II, п. I); если это значение Smll
обозначить через V, то мы тотчас же получим
S>T/ ^^ Sir 1 ^^ SI I ^^ S> I
W = ^Jl + -^^jH + -^s<p +..,
10. Указанным путем общая формула динамики
(п. 2) преобразуется к следующему виду:
Н85 + Т8ф + Ф8(р+... =0,
где
^~ bdl 8^ + 55 '
IF - ^ ^il — !^ J_ ^-
bdi/ Ц ^ Ц '
(Т) — ^ ?1 _ ST 8F

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ 401
если положить
и
dU = Pdp + Qdq + Rdri-. ..
Если два тела т ш т' системы, рассматриваемые
как точки, расстояние между которыми равно р,
взаимно притягиваются с ускоряющей силой Р,
являющейся функцией р, то легко видеть, что
момент этой силы выразится через mm'Pdp; тогда к
значению V следует прибавить величину mm' \Р dp.
Совершенно так же надо поступить, если в системе
имеются еще другие силы взаимного притяжения.
Вообще, если в системе имеются какие-либо силы
F, G,. . . , стремящиеся уменьшить значение величин
f, g,.. ., то FSf, G8g,. .. будут служить моментами
этих сил (Статика, отд. II, п. 9); в соответствии с этим,
рассматривая F в качестве функции f, G — в
качестве функции g- и т. д., следует к значению V
прибавить столько членов вида \ F df, \ Gdg, .. . ,
сколько имеется подобных сил.
А если при выборе новых переменных 5, Ф1 <р, ? • •
принять во внимание условные уравнения,
вытекающие из природы рассматриваемой системы, и выбрать
эти переменные таким образом, чтобы они были
совершенно независимы друг от друга и,
следовательно, чтобы их вариации S|, 8ф, 8<р,. . . оставались
совершенно неопределенными, то мы тотчас же
получим частные уравнения [^']
а = о, т = о, Ф = о
которые и служат для определения движения системы;
ибо число эуих уравнений в точности равно числу
переменных 5, ф, ср, . . . , от которых зависит
положение системы в каждое мгновение.
26 ж. Лагранж, т.1

402 ДИНАМИКА
11. Но хотя разрешение задачи можно всегда
довести до указанной стадии, так как все дело
сводится к тому, чтобы, пользуясь условными
уравнениями, исключить столько переменных, сколько
позволяют эти уравнения, и затем в качестве 5, ф, f,...
взять оставшиеся переменные, тем не менее могут
встретиться такие случаи, когда этот путь может
оказаться слишком затруднительным и когда во
избежание излишнего осложнения расчета может
оказаться целесообразным сохранение большего
числа переменных. В этих случаях условные
уравнения, которые остались еш;е неудовлетворенными,
должны быть использованы для исключения в обш,ей
формуле некоторых из вариаций S^, 8ф,. . . ; однако
вместо действительного исключения можно
применить и метод множителей, изложенный в «Статике»
(отд. IV).
Пусть
L = О, Л/ = О, Л^ = О, .. .
рассматриваемые уравнения, сведенные к функциям
5, ф, <р, . . ., так что L, М, N, . . . представляют
собою заданные функции этих переменных. Прибавим
к левой части обш,ей формулы (предыдущий пункт)
величину
в которой X, [Л, V,... являются неопределенными
коэффициентами; тогда мы можем рассматривать
вариации S5, 8ф, Sep,. . . как величины независимые и
произвольные.
Указанным путем мы получим общее уравнение
S S^ + Y 8ф -f Ф Sep -Ь . . . + X SL -f
+ [Л 8Л/ + V 8Л^ + . . . = О,
которое должно иметь силу независимо от вариаций
8^, 8ф, 8<р, . . . и потому даст нижеследующие част-

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ 403
ные уравнения движения системы:
да , . SI, , SM , Ш' , (.
^ , , 81, , SM , Ш , ^
Из этих уравнений следует затем исключить
неизвестные X, [L, V, . . . , благодаря чему количество
уравнений соответственно уменьшится; но если сюда
присоединить условные уравнения, которые
необходимо должны иметь место, то у нас всегда будет
столько же уравнений, сколько имеется переменных.
12. Так как эти уравнения могут иметь
различные более или менее простые формы и, в частности,
более или менее удобные для интегрирования,
является небезразличным, в каком виде они
представлены с самого начала; пожалуй, одно из главных
преимуществ нашего метода заключается в том, что
он всегда дает уравнения каждой задачи в наиболее
простой форме по отношению к примененным при
этом переменным и дает нам возможность наперед
судить о том, каковы те переменные, пользование
которыми может нам максимально облегчить
интегрирование. Мы изложим здесь несколько общих
положений, касающихся данного вопроса.
Применение которых мы увидим в дальнейшем при
разрешении различных задач.
Из тех же формул, которые мы дали выше, ясно,
что дифференциальные члены уравнений движения
любой системы тел происходят только от величины Т, вы-
ражающеи сумму всех величин упг f ^-|-^ + ^ )
по отношению к различным телам; при этом каждая
переменная конечная величина, например 5. входя-
щая в выражение Т, дает член— ^, а каждая диф-
26*

404 flHHAMHRA
ференциальная переменная, например d^, дает член
d ^-Tr. Отсюда прежде всего видно, что
рассматриваемые члены не могут содержать иных
функций переменных, кроме тех, которые входят в
состав выражения Т; следовательно, при применении
синусов или косинусов углов, что представляется
естественным при разрешении многих задач, может
случиться, что эти синусы или косинусы исчезнут
из функции Т; тогда последняя будет содержать в
себе только дифференциалы углов и рассматриваемые
члены тоже будут содержать только эти же
дифференциалы. Таким образом, применяя указанного вида
подстановки, можно всегда выиграть с точки зрения
простоты уравнений задачи.
Так, например, если вместо двух координат х, у
применить радиус-вектор г, проведенный из начала
тех же координат и образующий с осью х угол ср,
то мы будем иметь
X = г cos ф, у =^ г sin <р,
а после дифференцирования
dx = cos <^dr — г sin ср йф, dy = sin vfdr-\-r cos cp d<p,
следовательно,
dx^ + Йг/2 = rf?-2 + 7-2 (;<p2;
это выражение является очень простым, оно не
содержит в себе ни синуса, ни косинуса ср, а лишь
дифференциал его rfcp. Тем же путем выражение dx'^-\-
-\- dy^-\- dz^ может быть заменено выражением гЫ<р^->г
+ dr^ + dz^.
Вместо г и Z можно было бы ещ,е подставить новый
радиус-вектор р и угол ф, образуемый этим радиусом
с г, являющ,имся проекцией р; это дало бы
/• = рС08ф, 2 = р81пф,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ 405
а следовательно,
таким образом величина dx^ + dy^ -\- dz^
преобразовалась бы в следующую:
р^ (cos^i dq>^ + di>^) + dg^.
В данном случае ясно, что р будет радиусом,
проведенным из начала координат в точку пространства,
в которой находится тело т, ф будет углом
наклонения этого радиуса к плоскости ху, а ср будет углом,
образуемым проекцией этого радиуса на ту же
плоскость с осью х; тогда мы будем иметь, цац в пунк-
.те 4 отдела II «Статики»:
а; = р созф coscp, г/= срсозфзШср, 2 = р8тф.
Наконец, по желанию можно было бы применить
и другяе подстановки, а в том случае, когда система
составлена из многих тел, их можно было бы отнести
непосредственно одни к другим, пользуясь
относительными координатами; обстоятельства каждой задачи
всегда сами укажут наиболее подходящие
преобразования. Можно даже, найдя с помощью какой-либо
подстановки одно или несколько уравнений задачи,
вывести другие уравнения, пользуясь иными
подстановками: это даст новое средство для различного
выражения этих уравнений и для нахождения
наиболее простых и наиболее легко поддающихся
интегрированию уравнений.
13. Другие члены рассматриваемых уравнений
зависят от ускоряющих сил, которые согласно
допущению действуют на тела, и от условных уравнений,
существующих между переменными по отношению к
аодожению тел в пространстве.
В том случае, когда силы Р, Q, R,,.. направлены
к неподвижным центрам или к телам самой системы
и когда они пропорциональны каким-либо функциям
расстояний, как это имеет мерто Э природе, .вел»5ана

406 ДИНАМИКА
V, выражающая сумму
т
для всех тел т системы, будет алгебраической
функцией расстояний и для каждой переменной 5,
из которых она составлена, даст конечный член
вида -щ.
Аналогично условные уравнения L = 0, М=0, .. .
„ "Г . SL SM
дадут для той же переменной с, члены ^Yi* ^W • '' •
и так далее. Таким образом надо будет только к
значению V прибавить величины XL, [lM, ... ,
рассматривая в дальнейшем величины X, [х при
дифференцированиях в смысле S, как постоянные.
Следовательно, если некоторые из переменных,
входящие в состав функции Т, не входят в V, а
также в L, М то уравнения, относящиеся к этим
переменным, будут содержать в себе лишь
дифференциальные члены и интегрирование этих уравнений
будет очень легко осуществить, особенно если в Т
Эти переменные будут входить только в
дифференциальной форме. Последнее будет иметь место, когда
в случае тел, тяготеющих к центрам, мы в качестве
координат возьмем расстояния от этих центров и
углы, описанные вокруг последних [^8].
14. Интеграл, который всегда имеет место, когда
силы являются функциями расстояний, а функции
Т, V~ L, Л/,... не содержат в конечном виде
переменной t, это —интеграл, который дает принцип
сохранения живых сил. Хотя мы уже показали, каким
образом Этот принцип получается из нашей общей
формулы динамики (отд. III, п. 34), тем не менее
представляется не бесполезным показать, что
частные уравнения, выведенные из этой формулы, всегда
дают интегрируемое уравнение, которое явля&тся
уравввнв«м оохраввния зшзвых сш1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ 407
Упомянутые уравнения, рассматриваемые во всей
их общности, имеют каждое следующий вид (п. 11):
'^ Mi,~ Щ-^ SI'^ ^ W^ ^Ж'^ '
если эти уравнения сложить, помножив
предварительно на соответствующие дифференциалы <^^, <^ф,...,
и если при этом принять во внимание, что согласно
допздцению величины V, L, М, ., . являются
алгебраическими функциями переменных ^, ф, . . ., но не
содержат t, то ясно, что мы будем иметь
уравнение
+ -kdL-\-\idM+. . . = 0;
но так как согласно условным уравнениям L ^ О,
Jf = О,. .. , то мы будем иметь вообще dL = О,
dM = О,. .. ; следовательно, предыдущее уравнение
сведется к следующему:
Но мы имеем
а так как Т является алгебраической функцией
переменных ^, ф, . . . и их дифференциалов d?,, <^ф, .. ., но
не является функцией t, то мы будем иметь
таким образом данное уравнение примет следующий
вид:

408 ДИНАМИКА
Это уравнение, очевидно, интегрируемо; интегралом его
является уравнение
Далее, так как
то ясно, что какие бы переменные ни были
подставлены вместо X, у, Z, получающаяся при этом
функция будет непременно однородной и двух измерений
по отношению к дифференциалам этих переменных;
следовательно, согласно известной теореме мы будем
иметь
Таким образом найденный интеграл будет просто
Г+7 = const;
этот интеграл содержит принцип сохранения живых
сил (отд. III, п. 34).
Если бы величина V не была алгебраической функ-
цией *), то мы не имели бы sf <^^ + . . . = dV, а
если бы величины Т, L, М,... содержали
переменную t, то их дифференциалы dT, dL, dM, . ..
- ST ,, Si ,, SM ,,
содержали бы и члены ^dt, ^dt, -^ dt, . . . ;
*) Для того чтобы понять это место, следует вспомнить
определение функции V. Было принято (п. 9), что dli=zPdp-{-
+ Qdq + Rdr + ... и затем дальше, что F = S '"■П. Для того
чтобы V была, пользуясь выражением. Лагранжа,
алгебраической функцией, необходимо и достаточно, чтобы таковой была
П, т.е. чтобы выражение Pdp + Qdg + Л dr + . . . было полным
дифференциалом; если этого нет, то фушщии П не существует,
равным образом не существует и F; «алгебраическая функцд^^
означает здесь просто функцию; это выражение ни в коем
случае не следует рассм_атривать как противоположность
выражению «неалгебраическая функция».-(Я/>иж. Бертрана.)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВ1ЭЕНИЯ ДИНАМИКИ 409
,ледовательно, не имели бы места ни те
преобразования, которые привели уравнение к
интегрируемому виду, ни принцип живых сил.
15. Хотя теорема об однородных функциях, о
которой мы только что упомянули, была доказана в
различных работах и, следовательно, ее можно считать
известной, тем не менее изложенное ниже
доказательство этой теоремы настолько просто, что я не
считаю себя вправе его опустить. Если F представляет
собою однородную функцию различных переменных
ж, у, ... и имеет п-е измерение, го ясно, что если
вместо X, у, . . ■ подставить ах, ссу, .. . , то эта
функция необходимо примет вид a^F, какова бы ни была
величина а. Если положить а = 1 + а и рассматривать
а нак величину бесконечно малую, то бесконечно
малое приращение F, вызванное бесконечно малыми
приращениями аж, аг/, . . . величин х, у, . . ., будет
равно ncuF. Но если х, у, . . . изменить на величины
хх, аг/, .. . , то согласно общей формуле мы будем
иметь для вариации F
Следовательно, если мы приравняем друг к другу
приведенные два выражений для приращения F, то
по разделении на а мы получим
16. Интеграл, относящийся к сохранению окивых
сил, представляется очень полезным при разрешении
задач механики, в особенности когда функция Т
содержит телько дифференциал одной переменной,
которая не входит в состав функции V; в этом случае
указаннцй интеграл служит для определен ая атой
переменной и для исключения ее из
дифференциальных уравнений.
Что касается, интегралов, относящихся к
сохранению д'вцо^сения центра тяо^еести и к принципу площа-

410 ДИНАМИКА
дей, которые, пользуясь общим методом, мы уже нашли
в отделе III, то они сами собою получаются при
разрешении каждой задачи при условии, что при выборе
переменных мы стараемся отделить абсолютное
движение системы от относительных движений тел одного
по отношению к другому, как мы это сделали в
упомянутом выше отделе.
Другие интегралы зависят от природы
дифференциальных уравнений каждой задачи, и нет
возможности дать общее правило для их нахождения. Есть,
однако, один случай, имеющий весьма обширное
применение, который всегда поддается полному решению
в конечных выражениях; а именно — это тот случай,
когда система совершает лишь очень малые колебания
около своего положения равновесия. Ввиду важности
этой задачи мы ей посвятим особый отдел.
17. Когда система, движение которой определяется,
состоит из бесконечно большого числа частиц или
элементов, совокупность которых образует конечную
массу изменяемой формы, следует применить анализ,
аналогичный тому, который мы изложили в § II отд. IV
«Статики»; однако вместо символа d, примененного
нами (п. И и след.) для обозначения дифференциалов
переменных по отношению к различным элементам
системы, следует применить символ D,
соответствующий знаку интегрирования S, относящемуся ко всей
системе,— с тем, чтобы иметь возможность сохранить
другой символ d для дифференциалов, относящихся
ко времени, для которых мы его и предназначили в
отд. II, «Динамики», п. 7.
Таким образом, если мы обозначим через т всю
массу, а через Dm один из ее элементов, то в
выражениях 7" и F п. 10 надо будет вместо т
подставить Dm.
Если для каждого элемента тела существуют силы
F, G,.. ., стремящиеся уменьшить величины /, g,...,
функциями которых являются эти силы, то следует к
значению V прибавить выражения § \-f<^/, S\<'<^?.'-'

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ 411
Если имеются условные уравнения L = О, М =
= 0, ..., из которых каждое имеет силу для каждого
элемента массы т, то в формулах п. 11 следует
вместо XSL, [х8Л/, .. . поставить SXSL, S [zSfl/,...
Так как величины /, g, ..,, равно как L, М, ., .
могут содержать в себе дифференциалы переменных,
обозначенные символом D, следует с помощью
известной операции интегрирования по частям устранить
двойные символы SZ), ЬВ^, .. ., так что под знаком
S останутся только простые вариации,
обозначенные символом S, а члены, стоящие вне знака S, будут
Относиться только к крайним значениям интегралов.
Наконец, следует еще принять во внимание силы
и условные уравнения, относящиеся к определенным
точкам массы т, и учесть их в общей формуле; но
Они дадут лишь такие члены, которые не зависят от
Символа S.
Вариации, которые останутся под знаком S, если
JSX коэффициенты положить равными нулю, дадут
jpaBHoe им количество неопределенных уравнений для
движения каждого элемента системы, а вариации вне
энака S дадут определенные уравнения для известных
точек системы.

ggg?^- ,^^^г^Ш>^а;;
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ.
ОБЩИЙ ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ ДИНАМИКИ, ОСНОВАННЫЙ НА
ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ.
Общие уравнения, данные нами в предыдущем
отделе, представляя собою уравнения второго порядка,
требуют еще интегрирований, которые зачастую
превышают возможности известного нам анализа; поэтому
приходится прибегать к приближениям, и наши
формулы дают также наиболее подходящие средства для
этой цели.
1. Всякое приближение предполагает точное
решение какого-либо случая рассматриваемой задачи, при
котором мы отбрасываем элементы или количества,
принимаемые нами в качестве очень малых величин.
Это решение образует первую степень приближения;
затем его исправляют, учитывая постепенно
отброшенные величины.
В задачах механики, которые можно разрешить
только путем приближения, обычно первое решение
находят, принимая во внимание только главные силы,
действующие на тела; для того чтобы это решение
распространить на другие силы, которые можно
назвать возмущаюгцими, проще всего сохранить форму
первого решения, но рассматривать входящие в его
состав произвольные постоянные как переменные
величины; ибо если величины, которыми мы прене-

приближенный метод 1>ешвния задач динамики 413
брегли и которые мы теперь хотим учесть, очень малы,
то новые переменные фактически будут почти
постоянными и к ним можно будет применить обычные
методы приближения. Таким образом вся трудность
сводится к нахождению уравнений между этими
переменными.
Мы знаем общий метод варьирования произвольных
постоянных интегралов дифференциальных уравнений
с целью согласования этих интегралов с теми же
уравнениями, но с прибавлением к ним определенных
членов; однако та форма, которую мы в предыдущем
отделе (п. 10) придали общим уравнениям динамики,
имеет то преимущество, что она дает некоторое
соотношение между вариациями произвольных
постоянных, вводимых при интегрировании, которое особенно
упрощает формулы этих вариаций в задачах, где они
выражают действие возмущающих сил. Мы выведем
сначала это соотношение;, затем мы дадим наиболее
простые уравнения для определения вариаций
произвольных постоянных в интересующих нас проблемах.
§ I. Вывод общего соотношения между вариациями
произвольных постоянных из уравнений,
приведенных в предыдущем отделе.
2. Пусть имеется какая-либо система тел т,
находящихся под действием ускоряющих сил Р, Q, R
направленных к каким-либо неподвижным или
подвижным центрам и пропорциональных каким-нибудь
функциям их расстояний р, q, г, . . . от этих центров.
Допустим, что, приняв во внимание условные
уравнения системы, мы выразим координаты х, у, z
каждого из тел в функции других переменных
^, ф, (р, . . . , которые совершенно независимы друг от
друга и служат для определения положения системы
в любое мгновение.
Для движения всей системы мы будем иметь
уравнения п. 10 предыдущего отдела; легко видеть, что

414 ДИНАМИКА
эти уравнения являются уравнениями второго порядка
по отношению к переменным ^, ф, ср, . . . ; таким
образом полные значения этих переменных, которые
будут найдены путем интегрирования и которые
будут выражены в виде функций времени t, будут
содержать в себе вдвое большее число
произвольных постоянных, чем имеется переменных. Так как
эти постоянные должны оставаться произвольными,
то их можно произвольно изменять; таким образом
рассматриваемые уравнения можно будет
дифференцировать по этим постоянным, которые согласно
предположению содержатся в выражениях
переменных ^, ф, ф, . . .
3. Положим для большей простоты d\ = ^'dt,
<^ф = ф'Л, dff = <^'dt, . . . ; тогда величина Т будет
функцией ^, ф, ф, . . . и ^', ф', ф' и если силы
направлены к неподвижным центрам или к телам
самой системы, то величина V будет простой
функцией ^, ф, ф, . . . В этом случае, положив Z = T — V,
мы будем иметь
ЬТ 1 dZ
8d5 ~ dt W '
ST 1 dZ
Sdif ~ dt 5ф' '
■ ST _ i dZ
Sdq) ~ dt 5ф' '
СИМВОЛ S здесь можно заменить символом д, так как
он служит только для выражения частных
дифференциалов.
Таким образом дифференциальные уравнения
движения системы (п. 10 предыдущего отдела), будучи
помножены на dt, сведутся к следующему более
простому виду:
dZ dZ ^

приближенный метод решения задач динамики 415
4. Продифференцируем эти уравнения в смысле
символа S*), который мы отнесем исключительно к
вариациям произвольных постоянных, содержащихся в
выражениях переменных ^, ф, ср, . . . , функцией
которых является Z; так как символ d, находящийся в
,dZ ,dZ
членах d-^, d-^,, . . . относится только к
переменной t, выражающей время, можно согласно принципам
вариационного исчисления двойной символ bd заменить
символом d^; указанным путем мы получим
следующие уравнения:
о'%-
"»!?■
J dZ
5> ^2
_s —
5ф
dt =
dt =
dt =
= 0,
= 0,
= 0,
Точно так же, если для выражения других
вариаций тех же произвольных постоянных мы применим
символ Д, то мы получим
d^fr-^f^dt^Q,
5. Если теперь первую группу уравнений
умножить соответственно на Д^, Дф, Дер, ... и из их суммы
вычесть сумму второй группы уравнений, умножен-
*) Здесь предполагается, что после интегрирования этих
уравнений вместо переменных %, i/,... подставлены их общие
выражения, полученные с помощью этого интегрирования.
Тогда уравнения превращаются в тождества и их можно
дифференцировать по различным бутсвам, входящим в их состав.
{Прим. Бертрана.)

416 ДИНАМИКА
ных соответственно на 8^, 8ф, Sep, . . . , то мы пол,учим
AUsf+ Аф^8|^+А<Р^8|^ +
-8UA§-HdA^,-8^dA^,+ .
-(AUf + Аф8^+ A,sf^+.
-(s^Af + 8фА|^+ S,a|^ + .
. . —
. ?\dt —
. .^dt^O.
Ho A^<iS^ = <^(A^s||-)-<iAs||-; при этом
dA^ = Ad\ = A^'dt, ибо d^ = ^'dt; следовательно,
AUb~ = d {Alb Щг) - A^S Ifdt.
Подобным же образом мы будем иметь
8ldA§ = d(8lA^^-8l'A^dt,
и такие же формулы для других величин.
С помощью указанных преобразований предыдущее
уравнение будет приведено к следующему виду:
A^sf+ Аф8||+ A<pS||+...-
[-8^А§-8фА||-8,А|^-...
dt +
^f 8^А^+8фА|^+8фА^^+...+1
[+П1'а'^ + Ц'аЩ, + Ц'А'^, + ...
6. Если развернуть выражения S ^ , S ==,-
равно как аналогичные им выражения А ^,

ЛРИБЛИЖЕННЫИ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ 417
- dZ
Д'^ ,..., рассматривая при этом Z как функцию ^, ф,
(р, . . . и ^', ф' ф', . . . , то легко видеть, что члены
предыдущего уравнения, будучи умножены на dt,
взаимно друг друга уничтожают. Действительно, мы
имеем
dZ d^Z d^Z d^Z d^Z
^dz _ ifiz .. 5=z ., d^z .., d^z .,,
^dZ _ cP-Z ^^, _^Z^, , , 5^2 ^g, , g'Z ^,,,
Если члены расположить в порядке по отношению
частным дифференциалам Z, то мы получим следую
вдее разложение:
Д^8|^ + Дф8|^+...+ А^'8§+ Аф'8||+...=
«■+^^Д^8?+^(АН8ф+Дф8^) + рДф8ф+...+
+ ^-^ (Аф 8^'+ А^'8ф) + ^ (Аф 8фЧ Аф'8ф)+ • • . +
+ || A^'sr + ^ (АГ8ф + Дф'8^') + ^ Дф'8ф' + ..,
Если символы S и А переставить один на место
1фугого, то мы получим аналогичное разложение
85А|- + 8фД^+...+ S^'Af+8ф'А||+...
27 ж. Пагранж, т. 1

418 ДИНАМИКА
Мы видим, однако, что эта замена не вызывает
никакого изменения в предыдущем разложении; отсюда
следует, что приведенные два выражения
тождественны; а так как они встречаются в указанном выше
уравнении с противоположными знаками, то они
должны взаимно уничтожиться.
7. Таким образом мы получаем просто уравнение
= 0.
в котором вместо Z можно поставить Т, так как
Z = T — V, а V не должно содержать в себе
переменных I', ф', ф', . . . (п. 3).
Из приведенного уравнения видно, что величина
-85Af-StA--8,Ag-...
необходимо всегда является постоянной по
отношению ко времени t, к которому относятся
дифференциалы, обозначенные символом d. Таким образом,
если в эту величину подставить значения
переменных ^, ф, <р,. . . , выраженные в виде функций t
и произвольных постоянных, полученные из
уравнений какой-либо задачи механики, то переменная t
сама собою исчезнет, каковы бы ни были те
вариации, которым подвергнуты эти постоянные в
величинах, снабженных символами S и Д. Здесь мы
имеем новое весьма замечательное свойство
функции Т, выражающей живую силу всей системы,
которое может дать общий критерий для суждения
о точности решения, найденного с помощью какого
угодно метода. Но, как мы это покажем ниже,
важнейшее применение эта формула находит для
варьирования произвольных постоянных в вопросах механики.

приближенный метод решения задач динамики 419
§ п. Вывод простейших дифференциальных
уравнений для определения вариаций произвольных
постоянных, происходящих
от возмущающих сил.
8, Теперь предположим, что после разрешения
задачи, содержащейся в дифференциальных
уравнениях п. 3, путем полного интегрирования этих
уравнений, возникает вопрос о разрешении той же задачи,
но с прибавлением новых сил, приложенных к той
же системе, причем эти силы направлены к
неподвижным центрам или же к центрам, движущимся
каким угодно образом, и пропорциональны функциям
расстояний от этих центров. Эти новые силы,
которые можно рассматривать как силы, возмущающие
движение системы, и которые имеют природу,
подобную силам Р, Q, R,..., от которых зависит
функция V, прибавят к этой функции аналогичную
функцию, которую мы обозначим через — Q. Таким
образом надо будет подставить только V — Q вместо V
в уравнениях п. 10 (предыдущего отдела) и,
следовательно, Z — Q вместо Z в соответствующих членах
уравнений п. 3, содержащих частные дифференциалы Z
по ^, ф, <р,. .. , — чтобы получить уравнения новой
задачи, которые, таким образом, будут иметь
следующий вид:
^^^t
-щA1 =
-%^^-
-fdt =
щЛ1,
f*.
^f^'.
9. Если допустить, что нам известны выражения
переменных \, ф, <р, . .. через t и через
произвольные постоянные в случае, когда правые части
приведенных уравнений равны нулю, можно, сохраняя
неизменными эти выражения, но делая переменными
27*

420 ДИНАМИКА
их произвольные постоянные, добиться того, что
они будут полностью удовлетворять этим
уравнениям; приводимый нами ниже анализ и имеет целью
дать простейшие формулы для определения этих
пост.оянных, ставших переменными.
Прежде всего отметим, что число эгих
постоянных вдвое больше числа переменных ^, ф, ср, , ,, ,
как мы это уже указали выше (п, 2), и,
следовательно, вдвое больше числа уравнений, которым
мы должны удовлетворить; поэтому мы можем их
подчинить еще некоторому количеству произвольных
условий, равному числу этих переменных.
Наиболее простыми и в то же время наиболее
подходящими для этого являются условия,
заключающиеся в том, что значения -^ , -^, -^, ... сохра-
db i*fi dv
няют тот же вид, как если, б-ы постоянные в них
совершенно не изменялись. При этих условиях не
только пространства, проходимые телами, но и их
скорости будут выражаться аналогичными
формулами, как в том случае, когда произвольные
постоянные остаются неизменными, что имеет место при
отсутствии каких-либо возмущающих сил, так и
в случае, когда они изменяются вследствие действия
этих сил.
Сверх того указанные условия обладают еще тем
преимуществом, что дифференциальные уравнения
между новыми переменными они сводят к уравнениям
первого порядка, в результате чего мы получаем
вдвое большее число уравнений, но зато лишь
первого порядка.
10. Если, как в п. 4, символ S применить для
обозначения дифференциалов, получающихся
исключительно вследствие варьирования произвольных
постоянных, а символ d относить только к
дифференциалам, взятым по времени t, то условия, о которых
мы только что говорили, выразятся с помощью
уравнений
Ы = 0, 8ф = О, 8<р = 0.

приближенный ме?год решения задач динамики 421
Следует отметить, что в этих уравнениях все
произвольные постоянные должны одновременно
рассматриваться как переменные, так что в дальнейшем
символ S будет указывать на одновременное *)
изменение всех произвольных постоянных, — между тем как
в формулах п. 4 й следующих тот же символ, равно
как и другой символ Д, означал вообще
дифференциалы, относящиеся к изменению всех постоянных, или же
только некоторых из них, произвольно взятых.
Итак, если изменять все величины, то
дифференциалы ^, ф, ф, ... будут просто d^, d^, df,. . ., или
^' dtf ф' dt, <^' dt, . . ., как если бы изменялось только
время t.
Таким образом функция Z в уравнениях п. 8
будет одной и той же независимо от того, будем ли
мы произвольные постоянные считать переменными
или нет; но если их рассматривать как переменные,
Л.Л. j9Z jdZ ,dZ
то к дифференциалам d-^,, d-^-, d-^,..., следует
g. ^dZ ^dZ ^dZ
прибавить члены 8 -^ , Ъ ^, ь -^, • • • ,
появляющиеся вследствие варьирования этих постоянных.
С другой стороны, согласно допущению,
функции t и постоянных, выражающие значения ^, ф,
Ф, .. . тождественно удовлетворяют тем же самым
уравнениям, но только в том случае, когда эти
постоянные не варьируют, отсутствуют вторые члены,
каковы бы в остальном ни были их значения; отсюда
ясно, что члены
, dZ dZ ,, , dZ dZ ,, , dZ dZ ,,
должны взаимно уничтожиться и, следовательно, их
можно заранее опустить.
*) То-есть изменение функций, которые замещают эти
постоянные и которые в каждой задаче являются вполне
определенными, так что их значение является функцией времени,
изменение которого не имеет совершенно ничего
произвольного. (Прим. Бертрана.)

422 ДИНАМИКА
Таким образом для вариации произвольных
постоянных мы будем иметь просто следующие
уравнения:
5,52 дП ,. ^dZ 5П ,, 5,52 5П ,,
последние следует скомбинировать с приведенными
только что уравнениями 8^ =» О, 8ф = О, 8ф=0,,. .
Так как число этих уравнений вдвое превышает
число переменных ^, ф, <р, • . • и, следовательно, равно
числу произвольных постоянных (п. 2), то их
окажется достаточно для определения всех этих
постоянных, ставших переменными.
11. Если найденные нами только что уравнения
помножить соответственно на Д^, Дф, Д<р, ... и
затем сложить, то мы получим
Выражения Д^, Дф, Дф, . . . означают здесь, как и
в п. 4, дифференциалы функций ^, ф, <р,. . . в
предположении, что изменяются каким угодно образом
только произвольные постоянные, причем они могут
изменяться или все одновременно, или же только
некоторые из них.
Если Q рассматривать как функцию ?,, ф, ф,. . .,
то, продифференцировав согласно символу Д, мы
получим
Следовательно, мы будем иметь
ДОЙ^^Д^ЗЦ+ Дф8|^+ Д?8|,+ ...
Вычтем из правой части этого уравнения величину

приближенный метод решения задач динамики 423
которая в силу условных уравнений 8^ = 0, 8ф = О,
8<р = О,.. . равна нулю, тогда мы получим
следующее общее уравнение:
AQdt = A^S§ + Дф8^ + АФ8^ + . . . -
-П1А^,-ЦА'^-8^а'^,-...,
поставив Т вместо Z, как мы это сделали в пункте 7.
Мы видим, что правая часть приведенного выше
уравнения представляет собою ту самую функцию,
относительно которой мы показали, что она должна
быть независимой от времени t (п. 7); отсюда
следует, что если в ней подставить значения 5, ф, <р,...
в функции времени и произвольных постоянных,
можно t положить равным нулю или какому угодно
числу.
12. Следовательно, если предположить, а это
всегда допустимо, что эти функции, а равно и функ-
оТ дТ дТ
ции, выражающие значения ^ > ^, у q-f , ■ • •,
разложены в ряды по восходящим степеням t, так что
^ = -К + Г t + W t^ + Г' t^ + .. . ,

424 ДИНАМИКА
и если эти значения подставить в правую часть
уравнения предыдущего пункта, то мы можем
положить ^ = О, в результате чего они сведутся только
к своим первым членам а, Р, у, , ,,, X, |л, v, . . .
Таким образом указанное уравнение примет
следующий вид:
ДО Л = Да SX + Др S[x + Ду Sv + , .. —
— ДХ Sa — Д[X Sp — Дv Sy — ,..
13. Величины а, р, у, • • • , X, Ц, v,., . могут быть
только функциями произвольных постоянных,
вносимых двойным интегрированием в конечные
выражения переменных %, ф, «р,... , и их можно
тоже принять в качестве этих самых постоянных
величин.
Действительно, произвольными постоянными,
придающими решению какой-либо задачи механики всю
ту общность, какую она способна иметь, являются
начальные значения переменных, а равно начальные
значения их первых производных, иначе говоря
значения 5, Ф, <р, • • • ^ Л' Jt ^ JT ' ' ' ' при j! = 0;
таким образом в принятых нами для ^, ф, ф, . . .
выражениях эти значения равны а, р, у,..., а', р',
у',... А так как Т является заданной функ-
цией ^, ф, ;р, . . . и Г =g, Ф' = 5i, Ф' = J , . . . ,
то ясно, что если положить ^ = О в функциях
дТ дТ дТ
5F ' 5ф"" 5^ "• • • ' ^° °^ сведет к X, [х, v, .. ., то
эти постоянные X, [х, v,.. . будут такими же
функциями постоянных а, ^, у^. .., а', ^\ у', ... , какими
- дТ дТ дТ
являются функции ^ , qTi , -Q-,, • .. по отношению
к переменным ^, ф, <р, . . ., ^', ф', ф', . . .
Следовательно, вместо того чтобы в качестве произвольных
постоянных взять непосредственно а', р', у', . . .,
можно взять зависящие от них X, [х, v, . .. Таким

приближенный метод решения задач динамики 425
образом мы будем иметь а, ^,. у, ..., X, [х, v, ...
в качестве произвольных постоянных в выражениях
для ^, ф, <р, .. .; причем, как мы видим, число этих
постоянных ровно вдвое больше числа переменных
!;, Ф, ф. •••
В соответствии с изложенным дифференциал ДО,
в котором символ . Д должен быть отнесен только
к произвольным постоянным, входящим в состав Q
в связи со значениями ^, ф, <р,. .., содержащими
эти постоянные,— получит следующий вид:
. г\ ^^ А 1 ^^ Лп 1 ^^ л 1 I
дО = _д« + _Др + ^Дг + ...+
Если это выражение подставить в первый член
уравнения предыдущего пункта и расположить члены
по дифференциалам, обозначенным . симтзолом Д, то
мы будем иметь
(^^.-8х)Да + (| ^^-8|х)Др +
+ (l^^-Sv) Ду + . .. + (f^^^ + S«) Д'Х +
+ (|^rf^ + sp)д^x + (^rf^+SY)дv + ...=o.
Так как дифференциалам Да, Др, . • ., обозначенным
символом Д, можно дать любое значение, то
необходимо, чтобы уравнение оставалось в силе независимо
от этих дифференциалов, что дает нам столько
частных уравнений, сколько имеется постоянных, а
именно
gA=SX. ^^, = 8,. |НЛ = 8
|5л = -8„, f * = -Sp. f * = -8r,...

426 ДИНАМИКА
14. Дифференциалы, обозначенные символом
S,являются собственно дифференциалами произвольных
постоянных, ставших переменными (п. 10); а так как эти
дифференциалы могут быть теперь отнесены и ко
времени ^, то представляется допустимым и даже удобным
заменить символ S символом d; тогда для
определения новых переменных а, Р, у, . . ., X, [х, v, . . . мы
будем иметь следующие уравнения:
da. __ до.
~di ~ д\ '
d\ дП.
rft ~ + 5а '
dp _ да
dt (х '
d\j. _ да
dt г- 5р 7
dy _ дО.
dt ~ 5v ' ■ ■ • '
d4 до.
dt ~ "^ ду ' • • • '
как видим, эти уравнения имеют очень простои вид
и таким образом дают наиболее простое решение
задачи о варьировании произвольных постоянных.
15. Так как функция Q содержит величины а,
Р, у, ..., X, [х, V, . .., то их следует рассматривать как
переменные; также и в частных дифференциалах этой
функции, но так как согласно допущению значение Q,
зависящее от возмущающих сил, очень мало, то ясно,
что и вариации произвольных постоянных будут очень
малыми, а потому в первом приближении их можно
рассматривать в частных дифференциалах Q как
постоянные и принимать во внимание их изменчивость
лишь при дальнейших приближениях.
Обозначим через а, Ь, с, . . ,_, I, т, п, . . .
постоянные части а, Р, у X, [х, v, . . . и через а', Р',
у', . . . к', у.', V,.., ■—их переменные части, которые,
будучи одного порядка с величиной О, необходимо
должны быть очень малыми, и пусть О — значение,
принимаемое величиной Q, когда а, р, у, . . ., X, [х, v, . . .
заменяются величинами а, 6, с, . . . , I, т, п,. . .
Таким образом мы будем иметь
« = а-Ьа', P = 6-fP', y = c-fy', •••,
X = Z -f X', [X = m -)- [x', V = n -f v', . . .,

приближенный метод решения задач динамики 427
а путем разложения получим
дО , , до , di
дО , .дО , дО
" = ^ + 57* + дЬ^ +5^^ +...+
, 50 ., , 50 , ,дО , . .
+ ж^ +^> +л;г^ +••■ +
+
Дифференциальные уравнения предыдущего пункта
дадут
rfA'== + ^ dt, d^ = + -^ dt, dV = + -^dt,...,
так как очевидно, что частные дифференциалы по
а, Р, Y,. •. , X, [х, V, .. . могут быть отнесены к
аналогичным величинам а, Ь, с, ... , I, т, п, . . ,
Для первого приближения мы будем иметь Q = О,
где О представляет собою функцию только t;
следовательно, путем интегрирования мы получим
v = + 5£*, .• = + $^*. v = + 55*---
Подставив эти значения в выражения для Q, мы
получим для второго приближения
+
и так далее.
16. Здесь следует сделать одно важное замечание.
Если функция О содержит время только под знаком
синуса или косинуса, то ясно, что в первом
приближении значение Q. будет содержать только те же
синус и косинус. Однако может возникнуть сомнение,

428 ДИНАМИКА
не будет ли эта функция в дальнейших своих
приближениях содержать членов, в которых время t
находится вне знаков синуса и косинуса и которые,
непрерывно нарастая, увеличивают значение Q до
бесконечности и, таким образом, делают приближение
неверным.
Для того чтобы устранить это сомнение, отметим,
что подобные члены могут произойти лишь от
постоянной части Q, т. е. от части, которая совершенно не
содержит синуса и косинуса, заключающего в себе t.
Так, пусть А будет этой частью, которая является
функцией произвольных постоянных а, Р, у,.. ..,
X, [х, V,, . . Тогда и О будет содержать в себе
подобную функцию а, Ь, с,. . ., I, т, п,. .., которую
мы тоже обозначим через А,
Подставив А вместо О в выражение Q,
приведенное в предыдущем пункте, мы получим во втором
приближении ту часть Q, которая происходит от
постоянной А; эта часть составит
А 4-—^/ дАдА_ , дА.д_А дА дА
'^ dl да да"дГ '^ дт дЬ дЬ дт^'^
+
Как видим, здесь члены, содержащие в себе t,
взаимно уничтожаются.
Таким образом мы уверены, что второе
приближение не даст в Q какого-либо члена, который
возрастал бы со временем t; следовало бы однако
еще посмотреть, не могут ли образоваться подобные
члены при дальнейших приближениях.
Впрочем, тот же самый постоянный член А мог
бы еще дать в Q члены, умноженные на t, которые
скомбинированы с непостоянными членами той же
функции Q; но тогда это t, стоящее вне синуса или
косинуса, было бы одновременно умножено на синус
или косинус углов, пропорциональных времени. То
же самое имело бы место, если бы коэффициент t под
знаком синуса или косинуса был функцией
произвольных постоянных а, р, у, • • •, так как в этом

приближенный метод решения задач динамики 429
случае частные дифференц^ирования Q по этим
постоянным вывели бы t из-под знака синуса или
косинуса. Можно, однако, отметить, что вообще, когда
последовательные приближения приводят к появлению
членов указанного вида, в которых синус или
косинус оказывается умноженным на угол, стоящий под
знаком синуса или косинуса, то этого рода члены
почти всегда являются результатом разложения
других синусов или косинусов и их можно избежать,
интегрируя дифференциальные уравнения
непосредственно между произвольными постоянными величинами,
ставшими ныне переменными.
17. Хотя примененные нами произвольные
постоянные являются такими величинами, которые
представляются нам более естественными и которые
приводят к более простым результатам, тем не менее
зачастую бывает так, что различные интеграции
вводят вместо них другие постоянные, которые,
однако, м^огут быть лишь функциями первых.
Обозначим вообще через а, Ь, с,.. ., произвольные
постоянные, которые должны войти в выран^е.ния
переменных к, ф, ф,.. ., причем число этих
постоянных должно быть вдвое больше числа переменных.
Для того чтобы получить соотношения между этими
новыми постоянными и первоначальными, достаточно
положить / = О в значениях функций 5, ф, ф. .. .,
дТ дТ дТ
Ш ' Ш7 ' 'а~" ' '' и полученные при этом результаты
приравнять величинам а, р, у, • • м X, [х, v,. ..
Указанным путем мы получим такое количество
уравнений между различными постоянными, что с их
помощью можно будет определить значения а, Ь, с,. . .
в функции а, р, Y, .. ., X, [х, v,. . .
Итак, мы будем рассматривать эти функции как
известные; дифференцирование нам даст тотчас же

430 ДИНАМИКА
Следовательно, подставив найденные только что
(п. 14) значения <^а, d^, ... и разделив на dt, мы
получим
да дО. да дС1 да 5Q _.
~~ 'д^ ~дХ~ ~д^ ~д^ 'д^'д^ ^ ' "
Аналогичные выражения будут получены нами
^ db dc
ДЛЯ значении -т- , -jr , ■ • • > Д^я которых достаточно
в предыдущем уравнении вместо а поставить Ъ, с,. ..
18. Приведенные формулы содержат, однако, еще
частные дифференциалы О по постоянным а, р,
Y,..., и их следует заменить частными
дифференциалами по а, Ъ, с, .. ., что легко выполняется с
помощью известных операций.
Действительно, так как О рассматривается теперь
как функция а, Ь, с, ... и так как зти последние
величины сами по себе являются функциями а, р,
Y, .. . , X, [X, V, . .., то согласно алгорифму частных
дифференциалов мы тотчас же получаем
дП. _ дд да дО. дЬ . да дс
да ~ да да. "^ дЬ да. "^ дс да. "^ ' ' ' '
дО^ _ дО. da_ дО. дЬ дО. дс_ .
5р ~'да'д^^'дЬ'Щ'^~д^'^'^'"'
И эти значения следует только подставить в
выражена db
ния для -7-, -J- , ... предыдущего пункта.
Если произвести указанные подстановки и
расположить члены по частным дифференциалам Q, то мы
прежде всего увидим, что коэффициент ~ в
значена »» дП
НИИ -J- равен нулю, что коэффициент -^ в значении
db
-гт равен нулю и т. д.

приближенный метод решения задач динамики 431
Чтобы выразить -jr- мы применим формулу
тогда мы получим
/ _ j,\ . дп дЬ , да дЬ , да дЬ ,
(«.
с) =
да дЬ да дЬ да дЬ
да. д\ 5Р дц ду дч
_ . да дс . да дс . да дс
~ '^ дх"д^ "^ 'д^^'Щ "^ д^ 'ду "^ '
да дс да дс да дс
да. д\ д^ ду. ду д^ ' ' '
Для того чтобы получить значение -г-, следует
только в приведенных выше формулах поставить b
на место а и а на место Ь, приняв при этом во
внимание, что {Ь, а) = — (а, Ь); таким образом мы
получим
db , ,'дС1 , ,, , 5Й ,
. дЬ
>-ж
дь
да
дс
да.
дс
д\
дЪ
+ д^
дЬ
5р
дс
1 5Р
дс
d\j.
дЬ
ду
до
ду
дс
ds
+ ...-
* * * У
Вообще, если через к обозначить какую-либо из
произвольных постоянных а, Ь, с,... и принять во
внимание, что значение символов, выраженных двумя
скобками, равно нулю, когда обе буквы, стоящие в
скобках, тождественны, и что оно изменяет свой знак,
когда порядок букв изменяется, то мы получим

432 ДИНАМИКА
следующие общие формулы:
dk ,, , дО. , ,, ,. дО. , ,, , дП ,
-аГ = (*' "^ Ж + (*' *) ^ + ("' ^) д^ +
,, . . дк да . дк да . дк да ^^
(Л, а) — + -gx" ^ + 5jr 5^ + 7 57 "f" ■ ■ ■ ~
5Л 5а 5А 5а дк да
~'д^Ж~"Щ'ЩГ~'д^'д^ ■"'
19. Приведенные выше формулы применяются
главным образом в теории планет для
вычисления их возмущений путем сведения задачи
к вариации произвольных постоянных,
являющихся элементами первг>начального движения. Они
особенно полезны для определения тех изменений,
которые астрономы называют вековыми, так как они
имеют очень длинные периоды и не зависят от тех
изменений, которые происходят в первоначальных
переменных величинах.
Уравнения п. 18 не содержат в себе никаких иных
функций времени, кроме частных дифференциалов
функции Q; поэтому, когда определяют ту часть А
функции Q, которая не зависит от времени / и
содержит только произвольные постоянные а,Ь, с, . . -,
путем разложения в ряды или каким-либо иным
способом, то достаточно в этих уравнениях поставить А
вместо Q, и тогда Мы прямо получим уравнения между
величинами а, 6, с, ... , которые стали переменными,
и временем t; эти уравнения' послужат для
определения их вековых изменений, так как они совершенно
свободны от всяких синусов и косинусов.
§ III. Доказательство важного свойства величины,
выражающей живую силу в системе, находящейся
под действием возмущающих сил.
20. Произвольные постоянные, вариации которых
мы только что дали, зависят От природы каждой
задачи и могут быть определены только в особых
случаях. Существует, однако, одна постоянная.

ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ 433
которая бывает представлена вообще во всех задачах,
где V является только функцией 5, ф, ф, ..;; это — та
постоянная, которую интегрирование должно прибавить
к /; в самом деле, так как дифференциальные
уравнения в этом случае содержат только элемент dt, то
ясно, что в конечных выражениях постоянных в
функции / всегда можно вместо t поставить / плюс
некоторая произвольная постоянная.
Обозначим эту постоянную через К и отнесем к
ней дифференциалы, обозначенные в общей формуле
п. 11 символом Д; тогда мы будем иметь
ДО = -§Д^, Д5=|^Д^, Дф = ^Д^,...
Но так как 5, ф, ф, ,, . являются функциями t -\- К,
то ясно, что мы будем иметь
дК dt ^ '
а также
~ т > am ~ fit ~ г '
дК dt ~^ ' дК ~ dt
Следовательно,
Д? = ^'АК, Дф = ф'Д^, Дф = ф'Д^, . . .
По тем же основаниям мы будем иметь
dZ dZ
Но дифференциальные уравнения пункта 3 дают
dZ dZ
'^ dl' ^ dZ W ^ dZ
dt ~ dl ' dt ~ д^ ' " ''
следовательно,
28 ж. Лагранж, т. I

434 ДИНАМИКА
Таким образом блаюдаря указанным подстановкам в
после деления на АК общая формула пункта И
принимает следующий вид:
Но
мы
5'S
имеем
dZ
as.'
+ ф'8
= sE'
dZ
dZ
dl,'
—
+ .Ф'
+ Ф'
^57 + "
dZ
5ф'
dZ ..,
+ Ф
dZ
5ф'
, . .=
5ф'
8ф'-
+ ••
5Z
" 5ф'
О-
8ф' —
а так как Z по предположению должна быть функцией
5, ф, Ф, .. . и 5', ф'1 ф'- • • , то мы будем иметь
+ #S?' + #Sf +-^8ф' + -.-
Таким образом предыдущее уравнение преобразуется
к следующему виду:
дО.
дК
■"=45'^+ +'^+''f+ --^)^
В ЭТОМ уравнении правая часть должна быть функцией
произвольных постоянных, не зависящей от t.
21. Если вместо Z мы поставим Т — I/, а вместо
5 ,ф , Ф , . . . поставим -^ , -^ ,-^ > • • •■ (п. 3), то легко
видеть, что величина
^, dZ , ,, dZ , , dZ . „

ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ 435
представляет собою совершенно то же, что и
следующая величина:
которая, как мы видели, всегда равна постоянной
величине и которая сводится к 7" + V' (отд. IV, п. 14);
отсюда вытекает уравнение
T + V = H,
быражающее принцип сохранения живой силы системы.
Следовательно, если принять Н за одну из
произвольных постоянных, то для ее вариации, вызванной
возмущающими силами, содержащимися в функции О,
мы получим следующую весьма простую формулу:
22. К этой формуле можно притти и другим, более
коротким, путем. В самом деле, если вернуться к
уравнениям п, 8, сложить их, предварительно
помножив соответственно на dE„ <^ф, d<f, . .., и
проинтегрировать, применив при этом те же самые преобразования,
которыми мы воспользовались в п. 14 предыдущего
отдела, то мы прямо придем к уравнению
В этом уравнении величина, стоящая под знаком
интеграла, вообще говоря, не интегрируема, так как
функция Q. вследствие подвижности, которую можно
предположить у центров возмущающих сил, будет
помимо переменных |, ф, ф, . . . содержать еще и
другие переменные, не зависящие от первых.
В том случае, когда никаких возмущающих сил не
существует, мы имеем просто Т -{-V = Н. Ясно, что
эту форму можно сохранить у интеграла, который мы
28*

436 ДИНАМИКА
только что нашли, если постоянную Н превратить в
переменную и положить
НО очевидно величина
до. ,_ до. ,, дО , ,
'W'^^^'W^^^'d^'^'^^'"
есть не что иное, как дифференциал D., если
изменять только величины 5,ф,ф,. .., которые зависят
от первоначальных дифференциальных уравнений и
которые согласно допущению известны в функции
t -\- К, где К, как и в п. 20, представляет собою
постоянную величину, которая всегда может быть
прибавлена к переменной t. А так как переменные
5, ф, Ф,... изменяются только со временем /, то легко
видеть, что рассматриваемая величина представляет
собою то же самое, что и -^=г- dt; следовательно, как
и выше, мы получаем уравнение
dH _ до
dt ~ дК '
23- Это уравнение может быть приведено к
следующему виду:
dH _ дО^
dt ~ '~дГ '
при условии, что в частном дифференциале О мы будем
изменять величину / только постольку, поскольку
она содержится в выражениях переменных 5, Ф1 ф, • • •
Из этой формулы следует, что если функция Q
содержит время / только под знаком синусов и
косинусов, как это имеет место в теории планет, то
дО -
выражение -^ будет содержать только
периодические члены, так как каждый постоянный член О
при дифференцировании по / исчезает. Таким образом

ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ 437
В первом приближении, когда произвольные
постоянные, входящие в функцию О, мы рассматриваем как
абсолютно постоянные, интеграл величины —^ dt,
т. е. значение Н, не будет содержать членов вида
Nt, которые возрастали бы со временем /. Выше (п. 16)
мы видели, что второе приближение не может
создать в О члена, который не был бы периодическим;
таким образом по отношению к величине Н этот
вывод будет иметь силу еще и при втором
приближении.
24. Величина Т выражает живую силу системы и
равна Н — V. Когда система не подвергается действию
каких-либо возмущающих сил, Н является
постоянной величиной и живая сила зависит только от
ускоряющих сил, содержащихся в выражении 1/,как мы это
видели в п. 34 отд.III. Э та величина становится переменной,
когда имеются возмущающие силы; следовательно,
под действием этих сил живая сила тоже изменяется;
однако из того, что мы только что доказали, ясно,
что если выражение для возмущающих сил является
периодическим, то эти изменения могут быть только
периодическими по крайней мере в первых двух
приближениях. Этот вывод имеет большое значение
для определения возмущений.

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ.
О МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ.
Дифференциальные уравнения любой системы теа
бывают всегда интегрируемыми в том случае, когда
тела лишь очень мало удаляются от своих положений
равновесия; тогда можно определить законы
колебаний всей системы. Общий анализ этого случая,
имеющего очень широкое распространение, и разрешение
некоторых относящихся сюда основных задач и
составляют предмет настоящего отдела.
§ I. Общее решение проблемы о маяых колебаниях
системы тел около их точек равновесия.
1. Пусть а, Ь, с — значения прямоугольных
координат X, у, Z тела т системы в положении
равновесия. Так как согласно допущению система при
своем движении лишь очень мало удаляется от своего
положения равновесия, то мы имеем вообще
a; = a-fa, y = b-\-'^, z=»c + y,
где переменные а, р, у всегда очень малы;
следовательно, в дифференциальных уравнениях движения
достаточно принимать во внимание первое измерение
зтих величин. То же самое имеет силу и по
отношению к другим аналогичным выражениям, которые

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮВОИ СИСТЕМЫ ТЕЛ 439
МЫ будем отличать одним, двумя и т. д. штрихами
для различных тел т', т" и т. д. той же системы.
Рассмотрим сначала условные уравнения, которые
должны иметь место в соответствии с природой
системы и которые можно представить в виде L = О,
Л/ = О, ... , где L, М, . . . являются заданными
алгебраическими функциями координат х, у, z, х', г/',. . .
Так как положение равновесия есть одно из тех
положений, которые система может занимать, то отсюда
следует, что эти уравнения L = О, Л/ = О, . . . будут
оставаться в силе, если допустить, что х, у, z, х', ,, .
получили значения а, Ь, с, а', . , , ; отсюда легко
притти к выводу, что эти уравнения не должны
содержать времени t.
Пусть А, В, . .. —величины, в которые
обращаются L, Л/, ... , когда X, у, Z, х', . .. становятся равными
а, Ь, с, а', . ,.; ясно, что если вместо х, у, z, х', . , .
подставить их значения а + а, 6 -|- Р, с + у, а' -f а', . . . ,
то вследствие незначительности величин а, р, у, а', . . .
мы будем иметь
г . . дА . дА г, , дА , дА , ;
да ' дЬ ^ дс ' ' да'
дВ , дВ г, , дВ . дВ
%f п , дВ , дВ ^ , дВ , дВ , ,
и так далее.
Таким образом, во-первых, мы будем иметь
Л = О, 5 = 0,...
по отношению к положению равновесия; во-вторых,
мы будем иметь уравнения
дА , дА . дА . дА , . ^
да^^ дЬ ^ ' дс ' ^ да
дБ , дВ г. , дВ , дЬ
дВ ,дВ а .дВ .дВ , . (.
а+жР + лГТ+5Т.а +...=0,
Эти уравнения дадут нам соотношения, которые
должны существовать между переменными а, р, у, а', ...

440 ДИНАМИКА
Если сначала пренебречь очень малыми
величинами второго и высших порядков, то получаются
линейные уравнения, пользуясь которыми можно значения
некоторых из этих переменных выразить через
другие; затем с помощью этих первых значений можно
найти более точные значения, приняв во внимание
вторые, а по желанию и более высокие степени. Этим
путем можно получить значения некоторых из
переменных а, р, Y, а', ..., выраженных в виде
разложенных в ряд функций остальных переменных, а зти
оставшиеся переменные будут тогда совершенно
независимы друг от друга.
Таким образом в большинстве случаев, если
принять во внимание условия задачи, можно уменьшить
число координат непосредственной подстановкой
вместо них целых рациональных функций других
переменных, независимых друг от друга и очень малых,
значение которых в состоянии равновесия равно нулю.
Итак, допустим вообще, что мы имеем
x = a + a^E, + a^i> + a^(p + ...+ а[Е,^ + .. .,
у = Ъ + Ь^1 + 6,ф -ЬбзФ + . . . + b\l'i + ...,
Z = с -f Ci5 -f- Сзф -f Сзф -Ь . . . -Ь c'il^ -f . . . ,
и совершенно так же относительно других координат
х', у',...; величины а, Ь, с, а^, Ь^, ... — постоянные,
а величины 5, ф, ф, ... — переменные, очень малые и
при равновесии равные нулю.
2. Теперь необходимо лишь произвести указанные
подстановки в значениях Т в V пункта 10 отд. IV.
При этом достаточно принять во внимание только
вторые степени, чтобы таким образом получить линейные
дифференциальные уравнения. Прежде всего ясно, что
значение Т будет иметь следующий вид:
г-HmS+m^+i'Ig+■■■] +

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 441
если для сокращения положить
(l)=Sm(a? + 6? + c?),
{2)=Hm{al + bl + cl),
C) = Sm(al + t3 + 4),
A.2) = S m {a^a^ + b^b^ + с^с^),
A.3) = S m (aiflg + Мз + Cit'g),
B,3) = S m (a^ag + 6^63 + c^Cg),
• ••••■••• J
где знак S означает интегрирования или
суммирования, произведенные по отношению ко всем различным
телам т системы и в то же время независимые от
переменных 5> Ф, ф, • • • , а равно от времени t.
Далее, если через F обозначить значение
алгебраической функции П, в которой вместо х, у, z
поставлены а, Ь, с, то ясно, что общее значение П
выразится следующим образом:
F + {41 + а,<^ -^ Ч'9 + •••)% +
+ (Ы + М + 6зФ+...)^+
+ (Ci5 + Саф -f СзФ + • • •) 1^ +
"■" 2 5а2 "Г
+ (ai5-b а,ф + азф -f .. .){b^l + б^Ф +*зФ + • • •)S.+
' 9 ЛА2 "Г
-н. . . .
где достаточно принять во внимание только вторые
степени переменных 5, Ф, ф, • •.

442
ДИНАМИКА
Если эту функцию умножить на m и
проинтегрировать согласно символу S, то мы получим вообще
7=Я+.Я,5+Я,ф+ЯзФ+...+ [m'+[2]WV+--- +
' 2Y~rT I •• • I 2
+ [1,2]5ф+[1,3]5ф + [2,3]фф +
и a /" 9F , , dF , dF\
TT U r dE , , dF ,
дЕ . г. dF , дРЛ
f ^2 d^F , ,2 d^F . 2d^F , ]
1 , о J. 5'^ , о 5^^ , oj. d'^F (
+ 2a,o, 5-— + 2aiCi;r-^ + 2o,c, ^r^
(, ' ^ ^ 5a5b ' ^ '■дадс ' '■ '■дЬдс )
( ^2 d^F , ,2 5^^' , 2 52ii' ,
<^2 ;5;;Г + ''2 £12- + C2 з:^ +
•5с2
[3]=.S
m<
„2 5^;? ,2 ^i'ii' . 2 ^^ii' .
«3 л:;!- + 03 ЛЙ + сз ;,-:г +
'5a2
'5c2
_L о », ^'^ 1 о d^F , r,, d^F
\ + 2^^3*3 ёШ, + 2«зСз 5^^ + 2^3 565^
/ ' ' i^i?- ", ' ' " d'^F \ ' ' 'd^F' ,
{ «l«2 я:^ + 01*2 5П + CiCa 5ГГ +
[1,2] = S m < + («Л + «2*i) IrS + ('^I'^a + «2C1) ^, > ,
1 +(V2 + VlMblj)
+ C1C3 Q^ +
[1,3] =Sm
ai'^3 Q^ + *i*:
3 56^
дЧ
дадЬ
d^F d^F
+ («Л + «з^Ол^Ж +('^i^3+a3Ci)
+ (*lC, + 63C1)
5a 5c
3^'i'5d5c;

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 443
d^F , , г. d*F , d*F
[2,3]= Sm
, , , , I. s d^F , , , , d^F .{
d^F I
+ {K4+hc,)^^^ j
3, Когда таким образом значения Т nV выражены
в функции величин 5, Ф, ф, • • • > независимых между
собой, уже не приходится больше удовлетворять
какому-либо условному уравнению; а так как
величина Т содержит только дифференциалы
переменных, то для движения системы тотчас же
получаются следующие уравнения:
* I
число которых, как видим, равно числу переменных.
Эти уравнения должны иметь силу и в состоянии
равновесия, так как если система однажды находилась
в равновесии, то она всегда сама собою остается в
этом положении. Но в состоянии равновесия согласно
условию мы всегда имеем а; = а, у = Ь, z =с;
х' = а',.. ,; следовательно, 5 = 0, ф = О, f = О, .. .,
равно как л = ^> j: =0, • • • >' J^ = О, . .. Поэтому чле-
1^^Щ' ^Щ"-' Ра^ны нулю, и члены ^^,у^'
^ , . . . обращаются в Н^, Н^, Н^,.. .
Следовательно, мы будем иметь
Я1 = 0, Я, = 0, Яз = 0,...
Таковы условия, необходимые для того, чтобы а, Ь,
■С, а', . .. являлись значениями х, у, z, х',... в
состоянии равновесия, как мы это предположили.
В самом деле ясно, что

444
ДИНАМИКА
О, 'J-.
0.
выражает сумму моментов всех сил тР, mQ, mR,...,
которые приложены ко всем телам т системы и
которые в состоянии равновесия должны взаимно друг
друга уничтожить; поэтому согласно общей формуле,
данной в отд. II части I, необходимо, чтобы dV
равнялось нулю по отношению к каждой из
независимых переменных; следовательно,
будут условиями равновесия; а так как последние
согласно допущению соответствуют 5 = 0, ф = О,
Ф = О, . . . , то мы будем иметь
Н^ = 0, Я, =0, Яз = 0,...
Таким образом в выражении V первые измерения
переменных 5, ф, ф, . .. всегда исчезают.
Поэтому, если в общие уравнения подставить
значения 7" и F и приравнять Н^, Н^, Н^, .. . нулю, то
мы получим следующие уравнения движения
системы:
0 = (l)g+A.2)g-fA.3)g-f...-l-
-f [!]$-}- [1,2] ф + [1,3] 9 +...,
-Ь[2]ф-Ь [1,2] 5-f [2,3]ф +...,
0 = C)S? + A.3)S^ + B.3)g|+...-f
+ [3]Ф+ [l,3]5-f [2,3]ф +...,
Так как эти уравнения имеют линейную форму с
постоянными коэффициентами, то с помощью
известных методов они могут быть проинтегрированы
совершенно точно и в общем виде.
4. Можно сначала допустить, что в этого рода
уравнениях переменные находятся между собою в

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 445
постоянных отношениях, так что мы имеем
ф = /5, ф = §-5, . . . ;
после выполнения этих подстановок приведенные
уравнения примут следующий вид;
[A) + A,2)/ + A,3)^+ •••]р +
+ ([1] + [1,2]/ + [1,3]^'+...M = 0,
[B)/+ A,2) + B,3)^+ ...ф +
+ ([2]/+ [1.2] + [2,3] g+ ...)? = О,
mg+ A,3) +B,3)/+ ...]5 +
+ ([3]^+ [1,3] + [2,3]/ + ...M = 0,
из них получается ^л" + ^5 = 0, если положить
^_[1] + [1,2]/+[1,3]^+. .._
A) +A,2)/ +A,3) ^+...
= [2]/ + [l,2] + [2,3].g + -.. ^ [3]g+[l,3] + [2.3]/+...
B) / + A,2) + B,3) g+... {S)g+ B,3) + B,3) /+...;*
Как видим, число этих уравнений равно числу
неизвестных /, g,. .., к; следовательно, они
полностью определяют эти неизвестные. Сохраняя член
к в качестве левой части и умножая его на
знаменатель правой части, мы получаем линейное
уравнение относительно /, д, .. . ; если затем, пользуясь
одним из известных методов, исключить эти
величины, то, как это легко увидеть из общих формул
исключения, для к получится уравнение, степень
которого равна числу уравнений, а следовательно, и
числу рассматриваемых дифференциальных
уравнений. Таким образом для к получится такое же
число различных значений, причем каждое из этих
значений, будучи поставлено в выражения f,g,-.-,
даст соответствующие значения этих величин.

446 ДИНАМИКА
Интегрирование уравнения -т^ + ^ = О приводит к
следующему результату:
Е, = £ sin {tyTc+e),
где Е, S — произвольные постоянные; а поскольку мы
допустили, что ф = /5, ф = g"^,. .., мы получим также
значения ф, ф,...
Приведенное решение является, правда, только
частным, но можно в то же время получить и
второе, третье и т. д. решения — соответственно числу
значений к; следовательно, если все эти решения
соединить, то мы получим общее решение, так как, с
одной стороны, сумма частных значений 5, ф, ф, . ,.
равным образом удовлетворит дифференциальным
уравнениям в силу их линейного вида, а с другой стороны,
эта сумма будет содержать вдвое большее число
произвольных постоянных, чем имеется уравнений, и,
следовательно,— как раз такое число этих постоянных,
сколько их могут допустить общие интегралы.
Обозначим через к', к", к"', .. . различные
значения к, т. е, корни уравнения относительно к, а через
/'. /, ."• •. /", g", ■ ■■ , Г, g",-.-- соответствующие
значения f,g,... и возьмем равное количество
произвольных постоянных Е', Е", Е'", . . . , а также
произвольных углов s', s", s'", .. .; тогда мы получим
следующие полные значения 5> Ф, ф, • • •:
^ = £' sin {tyV + е') + ^"sin (^/F + е") +
+ E"'sm{tyF' + s'")+ ...,
ф = f'E' sin {i\^F + e') + f'E"sin {t YF + e") +
+ f'"E"' sin (^ V¥' + e") + .. • ,
Ф = / £' sin (t /F + e') + g"-E"sin {tyk" + e") +
+ g"'E"'sin {tV¥' + z"')-\....,

о МАЛЫХ Колебаниях любой системы тел
447
в которых произвольные величины Е', £", Е'",. .. ;
е', е", е"; . . . зависят от тех значений, какие 5, ф,
dZ. dii do . r\
Ф, ... и -у- JT ' dt '' " принимают, когда ^ = О, т. е.
от начального состояния системы.
В самом деле, если в найденных выражениях для
5, ф, ф, ... положить ^ = О и принять в качестве
заданных значения 5i Ф. ф, • • •, то мы получим
линейные уравнения между £'sins', E"siB е" ,...,. с
помощью которых можно определить каждую из этих
величин. Точно так же, если в дифференциалах этих
же выражений положить ^ = О и опять принять в ка-
d^ du) d<a
честве заданных значения '17 > Jt ' It ' '''' "^^ ^^ "°"
лучим вторую систему линейных уравнений между
£'coss', £" cos s",..., которые послужат для их
определения. Указанным путем можно легко получить
значения £', £",,.., равно как tgs', tgs",... и,
наконец, значения самих углов s', е", ...
Однако мы изложим здесь более простой способ
прямого определения этих неизвестных, при котором
не приходится прибегать к весьма многочисленным
операциям исключения.
5. Отмечу прежде всего, что если сложить
дифференциальные уравнения п. 3, умножив
предварительно второе из них на /, третье на g и т. д. и
положив для краткости
р = {1) +A,2)/+A,3)^ +
/>=[!] + [1,2]/+[1,3]^+
9 = B)/ + A,2) +B,3) ^ +
^=[2]/ + [1,2] +[2,3] g +
r = {3)g + {i,3)+ B,3) / +
Д=[3]^+[1,3]+ [2,3]/ +
мы получим следующее уравнение;
+ Р^ + (?ф + Д(р + ... = 0.
4t^
dfi

448 ДИНАМИКА
Но уравнения пункта 4 дают
Р = кр, Q = kq, R = kr,
Следовательно, предыдущее уравнение принимает вид:
интеграл которого есть
р5 + 9ф + /-Ф + ... = /^ sin {t /F+ X),
где L и X — две Произвольные постоянные.
Приведенное уравнение должно иметь силу
одинаково для всех различных значений к, которые
вытекают из тех же условных уравнений и которые мы
обозначили через к', к",... Следовательно,
обозначив через р', р", . .. , q', q",..., соответствующие
значения р, q, ... и введя различные произвольные
постоянные L', L", . . . , X', Х", ... , мы получим
следующие уравнения:
/5 + q'^+ /<?+... = и Sin {tyk-' + X'),
p"i + q"<i> + r"<p+... = L" sin {tyF + X"),
/'^ + 9"'Ф + /•>+... = Z-"' sin {ty¥" + Г'),
Эти уравнения вообще могли бы служить для
определения значений 5, ф, ф,... , причем ясно, что эти
значения должны совпасть с найденными выше (п. 4),
так как и те и другие получаются из одних и тех
же дифференциальных уравнений. Таким образом,
если в приведенные уравнения подставить значения,
найденные в указанном пункте, то они должны
тождественно удовлетвориться.

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 449
Отсюда легко притти к заключению, что для
первого уравнения мы получим
)/ = £', L'^{p' + rq' + g'r' + ...)E\
и затем
Р' -Ь /Y +^V + ... = о, / + /'Y + g"'r'+.. .= о,...;
аналогично для второго уравнения мы получим
■к"^г, L" = {р" + ГУ+ g"r"+...)£"',
и затем
р" +. Г я" + g'r" +... = 0, р" + f"Y + g'" г" + ...= 0...,
и так далее во всех остальных случаях.
Подставив в указанные выше уравнения вместо
X', L', X", и, W", L'" , . .. найденные нами только что
значения, мы получим следующие уравнения:
i5-si„«KF+.-)-,^VV?tv4::..
которые являются обратными по отношению к
уравнениям пункта 4.
Определение произвольных величин Е', Е", .. . ,
s', s", . .. теперь уже не вызывает никаких
трудностей; в самом деле:
1) если положить ^ = 0, то левые части приве-
денйых выше уравнений обратятся в Е' sin е',
£" sin е", . . . , правые же части все известны, если
допустить, что значения 5, ф, 9, .. . в первое
мгновение заданы;
29 ж. Лагранда, т. I

450 динАМикА
2) если эти же уравнения продифференцировать и
затем положить ^ = О, то левые части будут равны
/к'Е' cos е', yW'E" cos е"
правые же части тоже будут все известны, если
dE di> da - ,
считать заданными значения -~ , -j- , -г- , ... при
^ = 0. Следовательно, и так далее.
6. Таким образом решение задачи свелось только
к определению величин к, /, g, h, ...; но, как мы
видели в пункте 4, это определение зависит от
решения уравнений
pk — p = 0, qk~Q = 0, rk-R^O,...,
если дли величин р, q, г, .. . , Р, Q, R, .. .
Сохранить выражения, данные в пункте 5.
Но если через А обозначить значение, которое
„ d't <^ф da
принимает величина Т, когда вместо ■зг, -jt > "^ >•••
поставлено е, f, g, ..., и через В — значение той
части величины V, в которой переменные ^, ф, ф, ...
образуют функцию второй степени, когда эти
переменные точно так же заменены величинами е, /,
g,. . ., то легко увидеть, в чем можно было бы
убедиться и а priori, что мы получим
_ 5Л_ _ дА _ дА
Р- де ' ^ - 5/ ' ''— dg '•■•'
Р-ЁЁ. П-2Е. р-Ё?-
де ' ^ ~ df • ^~ dg ' •• • '
если затем положить е = 1.
Следовательно, вообще, если положить Ак — В ^ К,
то уравнения для определения неизвестных к, f, g, ...
приобретут следующий вид:
де "' df ' де '" ''

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 451
если положить е = 1. Таким образом, так как
величина К образуется непосредственно из величин Т и V,
можно искомые уравнения найти прямо, не прибегая
к выводу их из дифференциальных уравнений
движения системы.
Теперь замечу, что так как ^представляет собою
однородную функцию двух измерений величин е, f, g, . . .,
то в силу свойства этого рода функций, доказанного
в пункте 15 отдела IV, мы имеем
„„ дК , , дК , дК ,
Поэтому мы имеем также ^ = 0; следовательно,
неизвестные величины f,g,h,... должны быть такими,
чтобы не только величина К была равна нулю, но
чтобы и каждый из ее дифференциалов по этим
неизвестным тоже был равен нулю; отсюда следует,
что величина А, которую мы рассматривали как
функцию этих неизвестных и которая зависит от
уравнения К = 0, должна быть максимумом или минимумом.
Если положить сначала е = 1 и вместо -;;—= О взять
де
уравнение ^ = О, то для определения неизвестных
f,g,h,... мы получим уравнения
^ = 0' f =0' f =0.---
Следовательно, если сначала определить значение /
из уравнения -^ = О и подставить его в уравнение
/Г = 0, то это уравнение перейдет в К' =0; затем
дК' л
следует лишь положить -^— = U, и значение §',
наиденное из этого последнего уравнения, тоже
подставить в уравнение К' = 0; тогда, написав полученное
дК"
уравнение в виде К" = О, мы снова положим—^т-*- О, я
так далее. Указанным путем мы придем к вконча-
28*

452 ДИНАМИКА
тельному уравнению, которое уже не будет
содержать неизвестных f,g,h,..., а лишь величину к,
и которое будет искомым уравнением
относительно ft, корни которого были выше обозначены через
т.' к» jLOT
/t , /t , /t , . . .
Это уравнение можно представить и в общем виде,
если принять во внимание, что так как величины
/, g, h, . .. образуют в значении К только выраже-
ния двух измерений, то величина 2К -^ ^^
по необходимости будет свободна от /, так как ее диф-
ференциал по / будет иметь вид 2К -^j^df и,
следовательно, будет равен нулю. Таким образом мОжно
будет положить К — 2К -^ jt^, а так как
оставшиеся в этой величине К' неизвестные g, h,.. . будут
тоже представлены только во втором измерении, то
МОЖНО будет точно так же положить К"=2К' -^ — -к-х,
и так далее. Последняя из величин К, К', К",. .. ,
будучи приравнена нулю, и даст искомое уравнение
относительно к. Конечно, это уравнение может
повыситься до более высокой степени, чем это необходимо,
вследствие существования посторонних множителей,
введенных в уравнения К" = О, К'" = О, ... ; но если
эти уравнения разложить и постараться постепенно
освободиться от этих множителей и затем взять для
значений^", К'",.. . только первые члены, упрощенные
указанным выше путем, то окончат льное уравнение
само собою сведется к тому виду и с тепени, которые
оно должно иметь.
Что касается значений /, §-, .. ., то их можно затем
^ дК ^ дК' п
определить с помощью уравнений -^ = О, -^—=0, . ..,
причем следует начать с последнего уравнения и затем
путем последовательной подстановки найденных
значений дойти до первого.
7. Так как приведенное выше решение основано на
допущении, что переменные 5) Ф. 9> • • • представляют

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 453
собою очень малые величины, то для того, чтобы
это решение было законным, требуется, чтобы
указанное допущение фактически осухцествлялось;
а это требует, чтобы все корни к', к",... были
вещественными, положительными и неравными между собою
с тем, чтобы время t, возрастающее до бесконечности,
всегда находилось под знаком синуса или косинуса.
Если бы некоторые из этих корней были
отрицательными или мнимыми, то вместо соответствующих
синусов или косинусов они ввели бы вещественные
экспоненциальные величины, а если бы они были
просто равны между собою, то ввели бы
алгебраические степени дуги; в этом можно убедиться
с помощью известных методов: в первом случае введя
вместо синуса или косинуса их мнимые
экспоненциальные выражения, а во втором случае допустив,
что равные корни отличаются друг от друга на
бесконечно малые неопределенные величины; но так
как изложение этих слз^аев не представляет интереса
для рассматриваемого нами вопроса, то мы на нем не
будем останавливаться [2*].
Если условия вещественности и неравенства коэф-
фициеитов при t выполнены, то ясно, что наибольщие
значения 5, <р> • • • будут меньше суммы величин
Е', Е", Е'", ...,Г Е', f" Е", Г" Е"', ..., если все эти
величины взять положительными;
следовательно, если эти различные суммы очень щлы, то
мы можем быть уверены, что и значения переменных
тоже будут всегда очень малыми.
Но так как коэффициенты Е', Е", Е'", .. . являются
произвольными постоянными и зависят только от
начального смещения системы, то возможно, что
переменные ^, ф, . .. будут очень малыми, хотя бы среди
величин Y^k', \^к", ,. . некоторые были мнимыми или
равными между собою. В самом деле, для этого
достаточно, чтобы соответствующие величины Е', Е",,. ,
быян равны нулю, и тогда члены, возрастающие
вместе со временем t, исчезнут. В этом случае
решение, не будучи верным в общем смысле, будет, однако.

454 ДИНАМИКА
пригодно в частном случае, когда имеет место
указанное выше условие ['"].
8. Существуют методы, с помощью которых можно
определить, имеет ли заданное уравнение, какой бы
степени оно ни было, сплошь вещественные корни
или же нет, и в случае их вещественности — судить
об их знаке и о существовании между ними равных
корней; но так как применение этих методов всегда
несколько затруднительно, то мы сейчас изложим
несколько простых и общих признаков, с помощью
которых в большом числе случаев можно судить о виде
интересующих нас корней.
Если взять уравнения ^ = О или Ак — 5 = О (п. 6),
то мы имеем л = -j ; но легко видеть, что величина А
всегда имеет положительное значение, в то время как
f,g, .., являются вещественными величинами,ибо
функция 7", из которой ^получается путем подстановки 1,/,
d£ Йф dm , „ ,
g-,... вместо-^, -тг , тт-,... (указанный выше пункт),
составлена из суммы нескольких квадратов, умножен^
ных на положительные коэффициенты.
Следовательно, если и величина В всегда положительна, что имеет
место в том случае, когда часть функции F, в
которой переменные 5, Ф, <?,••• образуют функцию
второй степени, может быть приведена к тому же виду,
что и функция Т — ведь величина В тоже получается
из указанной части V путем подстановки 1, /, g, . ..
вместо 5, ф, ф, ., ., — то мы уверены, что значения к,
т. е. корни уравнения относительно к, будут всегда
положительными во всех тех случаях, когда они
будут вещественными.
Наоборот, если величина В всегда отрицательна,
что бывает в том случае, когда она составлена из
большого количества квадратов, умноженных на
отрицательные коэффициенты, то вещественные • корни к
все будут отрицательными. В этом последнем случае
решение не может быть удовлетворительным, так как
тогда корни уравнения относительно к могут быть

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 455
ТОЛЬКО мнимыми или же вещественными
отрицательными, и, следовательно, выражения для
переменных 5, ф,. . . необходимо будут содержать в себе
время t вне знаков синуса и косинуса.
В первом случае, когда В положительно, мы
видим только, что если корни вещественны, то они
необходимо должны быть положительными; однако,
пожалуй, было бы трудно доказать, что все они
действительно должны быть вещественными; можно, однако,
иным путем убедиться, что это должно быть
именно так.
В самом деле, принцип сохранения живых сил,
доказанный нами в § V отд. III, дает уравнение
7" -f F = const (п. 14 отд. IV), которое всегда имеет
место, так как 7" и F являются функциями, не
содержащими t (п. 2). Но если обозначить через V ту часть
V, которая содержит члены второй степени, то F =
=Н + F', так как Я^ = О, Я^ = О, Яд = О, . .. (п. 3);
тогда мы имеем
Т + Н + V' = const = (Г) + Я -f (Г),
если обозначить через G") и (F') значения 7" и F'
в первое мгновение. Следовательно,
r+F' = (r) + (F').
Так как Т по своему виду — всегда величина
положительная, то если и V' положительно, мы необходимо
имеем F'>0 и F'<|G') + (F'); таким образом
значение F', а следовательно, и значения переменных
5, ф, (р,... будут всегда находиться в заданных
пределах, которые зависят только от начального
состояния. Отсюда ясно, что упомянутые переменные не
могут содержать времени t вне знаков синуса и
косинуса, так как в этом случае они могли бы
возрастать до бесконечности. Но если Значение В
постоянно положительно, то и зйачение V' тоже
положительно; следовательно, корни уравнения относительно

456 ДИНАМИКА
к необходимо все будут вещественными полонш-
тельными и неравными (п. 7) и, стало быть, решение
будет всегда удовлетворительным.
В последнем случае состояние равновесия, из
которого система была смещена, является устойчивым,
так как система возвращается к нему или всегда
стремится вернуться с помощью очень малых
колебаний; во всяком случае система всегда может
отклониться от него лишь на очень незначительную
величину [^^].
9. Совершенно таким же путем в конце отдела III
«Статики» (п. 23 и след.) мы доказали, что когда
функция П является минимумом в состоянии равновесия,
то это состояние является устойчивым; в самом деле,
легко видеть, что функция, обозначенная в п. 21
упомянутого отдела через П, представляет собою ту
же самую функцию, которую ми здесь обозначили
через F, так как и та и другая являются интегралом
суммы моментов сил, действующих на различные тела
системы, — суммы, которая при равновесии должна
равняться нулю. Но так как мы имеем V ^ Н-\-У,
а V' содержит переменные 5, ф, ф, .. . только во
второй степени, то отсюда следует, что V будет
минимумом или максимумом в зависимости от того,
будет ли значение V положительным или
отрицательным, если этим переменным дать произвольные
значения. Следовательно, равновесие необходимо будет
устойчивым в том случае, когда V является
минимумом (п. 8).
Если же, наоборот, V является максимумом, то так
как в этом случае величина V всегда отрицательна,
величина В тоже будет отрицательна, ибо если положить
Ф=«/5, <9 = gl,...,
то значение V' будет равно ^^В (п. 6); а в силу того,
что мы доказали в предыдущем пункте, выражения
переменных необходимо будут содержать члены,
в которых t будет находиться вне знаков синуса и

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 457
косинуса; следовательно, в этом случае равновесие
не может быть устойчивым, так как система, будучи
хоть сколько-нибудь смещена из него, будет все
больше от него удаляться. Эта вторая часть теоремы,
упомянутой в указанном месте «Статики», не могЛа там
быть доказана за отсутствием необходимых для етого
положений; поэтому мы перенесли ее доказа[тельство
в «Динамику», и приведенное нами выше обоснование
этой части теоремы яБляется вполне исчерпывающим.
10. Впрочем, кроме двух указанных состояний
абсолютной устойчивости или абсолютной неустойчивости,
при которых система, будучи каким-нибудь образом
хоть немного вывецена из состояния равновесия, либо
сама собою стремится вернуться к последнему, либо
стремится от него все больше и больше удалиться,—
могут существовать и состояния условной и
относительной устойчивости, при которых восстановление
равновесия зависит от начального смещения системы. Если
некоторые из значений ]/A являются мнимыми, то
соответствующие члены в значениях переменных
содержат круговые дуги и равновесие, вообще говоря, не
является устойчивым; но если коэффициенты этих
членов оказываются равными нулю, что зависит от
начального состояния системы, то круговые дуги
исчезают и равновесие можно еще считать устойчивым,
по крайней мере по отношению к этому частному
случаю [*2].
И. Когда все значения У^А вещественны и не
равны между собою и, следовательно, когда равновесие
является устойчивым, выражения всех переменных
составлены из такого количества членов вида
Esinityic + e),
сколько имеется переменных.
Но этот член представляет очень малые и
изохронные колебания простого маятника, имеющего
длину -|- , где g-означает силу тяжести. Таким образом

458 ДИНАМИКА
колебания различных тел системы можно считать
как бы составленными из простых колебаний,
аналогичных колебаниям маятников, длины которых
g 8 8
равны -jp , jpf , -^ ) • • •
Но так как коэффициенты Е', Е", . . . являются
произвольными и зависят только от начального
состояния системы, можно это состояние всегда
предположить таким, что все коэффициенты, за
исключением какого-нибудь одного, равны нулю; тогда все
тела системы будут совершать простые колебания,
аналогичные колебаниям одного и того же маятника;
отсюда видно, что одна и та же система способна
совершать столько различных простых колебаний,
сколько она содержит движущихся тел*). Таким
образом, вообще говоря, любые колебания системы
составляются лишь из всех тех простых колебаний,
которые могут иметь место в силу природы системы.
Даниил Бернулли отметил это сложение простых
и изохронных колебаний при движении колеблющейся
струны, нагруженной множеством мелких грузов; он
рассматривал его как общий закон всех малых
взаимных движений, которые могут иметь место в любой
системе тел. Единственного случая, подобного
случаю колеблющихся струн, было недостаточно для
того, чтобы установить этот общий закон; однако тот
анализ, который мы только что дали, обосновывает
этот закон вполне надежно и в общем виде; из него
видно, что сколь неправильными ни могли бы нам
показаться малые колебания, наблюдаемые в
природе, они всегда могут быть сведены к простым
колебаниям, число которых равно числу колеблющихся
в той же системе тел.
Изложенное является следствием, вытекающим
из природы линейных уравнений, к которым сводятся
*) Число простых колебаний равно не числу движущихся
тел, но числу независимых переменных. Впрочем, это
отмечает и сам Лагранж вначале параграфа. (Прим. Бертрана.)

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 459
движения тел, составляющих любую систему, когда
эти движения очень малы.
12. Когда значения величин ]/A', V^A", V^A"', .. .
несоизмеримы, то ясно, что и периоды этих
колебаний тоже несоизмеримы, и, следовательно, что система
никогда не может вернуться к своему
первоначальному положению.
Но если эти величины относятся между собою как
рациональные числа и если их общая наибольшая
мера равна [х, то легко видеть, что по истечении
времени б = — , где л соответствует углу в 180°,
система всегда возвращается в одно и то же
положение. Таким образом б является периодом сложного
колебания всей системы.
13. Данное нами только что решение требует,
чтобы заданные координаты могли быть выражены
с помощью функций, которые разлагаются в ряд по
степеням очень малых переменных величин и
которые в состоянии равновесия равны нулю, как мы это
допустили в пункте 3.
Но, как мы видели, это всегда возможно в том
случае, когда условные уравнения, будучи разложены в
ряд, содержат первые степени переменных,
рассматриваемых нами как очень малые величины,
так как прежде всего эти члены дают уравнения,
разрешимые рационально, а затем, пользуясь методом
рядов, можно получить все более и более точные
рациональные решения.
Тем не менее, может случиться, что в одном или
нескольких условных уравнениях отсутствуют члены
первого измерения; это может, например, случиться,
когда в уравнении L = О значения координат для
равновесия таковы, что они обращают в нуль не
только L, но и каждый из первых его
дифференциалов; в самом деле, тогда мы имеем
^А = о ^ = о ...
да ^' дЬ ^' • •• '

460 ДИНАМИКА
и уравнение L = О содержит только вторые и
более высокие степени а, р, у, а', ... (п. 1).
Следовательно, если в этом случае координаты выразить
в функции независимых переменных, то эти функпии
уже не могут быть рациональными, и
дифференциальные уравнения не будут ни линейными, ни даже
рациональными. Таким образом допущение очень
малых движений системы тогда уже не приведет к
упрощению решения задачи или во всяком случае
не даст возможности применить к ней тот общий
метод, который мы изложили выше.
Для того чтобы разрешить такого рода задачи
простейшим образом, следует сначала отвлечься от
условных уравнений, в которых первые степени
переменных уже не представлены, и этим путем притти
к тем выражениям для Т и F, которые приведены
в п. 2. К этому выражению V следует затем
прибавить первые члены условных уравнений, которые еще
не были приняты во внимание, причем каждое из
них следует умножить на неопределенный
коэффициент, который при дифференцированиях в смысле S
следует рассматривать в качестве постоянной
величины; тогда в этих членах, полученных из условных
уравнений, достаточно будет принимать во внимание
более низкие степени очень малых переменных.
Отсюда ^^oжнo будет обычным образом найти
дифференциальные уравнения, после чего все дело
сведется к исключению неопределенных
коэффициентов.
Если бы условные уравнения оказались второй
степени и если бы неопределенные коэффициенты
можно было рассматривать как постоянные величины,
то значение V сохранило бы еще тот же вид, какой
оно имеет в общем решении; следовательно, его
можно было бы применить и в этом случае; после
этого следовало бы; определить коэффициенты таким
образом, чтобы были удовлетворены условные
уравнения. Таким образом можно всегда начинать с того,
чтобы сделать указанное выше допущение, а затем

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 461
посмотреть, могут ли удовлетворить условным
уравнениям те значения, которые при этом получаются
для переменных; в случае положительного ответа на
этот вопрос допущение будет законным и решение
верным, в противном случае следует изыскать особые
методы для интегрирования дифференциальных
уравнений.
§ П. О колебаниях системы :лвнейно
расвояоженных тел.
14. Когда тела, образующие рассматриваемую
систему, расположены одно по отношению к другому
каким-либо однообразным и правильным образом,
вычисления можно упростить и можно притти к общим
и симметричным формулам, применяя обозначения и
алгоритм конечных разностей. Мы приведем пример
этого, рассмотрев случай, когда произвольное число
тел, ра*сположенных на прямой или кривой линии,
колеблется под влиянием каких-либо сил и
взаимодействий тел.
Пусть X, у, Z — прямоугольные координаты одного
какого-либо из тел системы, которое мы обозначим
через Dm, причем мы применим прописную букву D
для обозначения конечных разностей (п. 17 отд. IV).
Мы имеем прежде всего
1 с /'dx^ , dy^ , dz^\ тл
где символ S выражает сумму, относящуюся ко всей
системе.
Функция V должна содержать сумму hiiDm,
происходящую от ускоряющих сил, Р, Q, R, . ■ . , если
допустить, что эти силы таковы, что мы имеем
и -^ Up dp + Q dq + Р dr + . . .).

462 ДИНАМИКА
Указанная функция должна содержать и сумму
S у Ф cf Ds, если допустить, что Ф представляет
собою силу, с которой два соседних тела,
находящихся на расстоянии Ds, взаимно притягиваются, в
что эта сила является функцией того же расстоянияZ)s,
так что {фdDs является интегрируемой величиной,
дифференциал которой в смысле S равен Ф8ХM.
Указанная сила Ф, которую мы рассматриваем как
функцию Ds, может таким образом изменяться от одного
тела к другому и, следовательно, она будет также
функцией числа или величины, выражающей место
каждого тела в ряду всех тел и к которой относится
знак суммирования S. В том случае, когда тела
вместо взаимного цритяжения взаимно отталкиваются,
функцию Ф следует взять отрицательной.
Таким образом мы будем иметь
V = ^nDm + ^'\^ФdDs
и, следовательно,
SF = Ssn/)m-b 8Ф81M.
Следует отметить, что приведенное выражение SV
остается в силе и в том случае, когда тела связаны
между собою таким образом, что их взаимные
расстояния остаются неизменными; в самом деле, в этом
случае мы будем иметь условное уравнение 8Ds = 0,
которое даст в выражении SF член SxSZ)s
(упомянутый выше пункт).
15. Если элемент Ds выразить с помощью
конечных разностей х, у, z, то ясно, что мы будем иметь
Ds = YDx^ + Dy^ + Dz^,
м, следовательно, дифференцируя в смысле 8.
8Ds= 51 •

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 463
Если подставить это значение и для краткости ввести
обозначение ^ = ^ (функция Ds), то мы получим
Так как символы Z) и S не зависят друг от друга,
можно 8D заменить символом D8, и тогда мы
получим
SF =SsnZ)m + ^W{DxDS±+DyD8y + DzDSz).
Путем интегрирования по частям, примененного к
конечным разностям, можно также добиться того,
чтобы D перед S исчезло.
16. Действительно, мы имеем вообще
Dxy = xDy + уDx-^- DxDy =
= {х + Dx)Dy + yDx = x^Dy + У Dx,
если X, означает тот член, который следует за а; в
последовательном ряду членов х, х -{• Dx, ...
Следовательно, если от разностей перейти к суммам, то мы
получим
S yDx =г ху ~Нх ,Dy.
Аналогичным путем мы найдем
^yDH = yDx — x ,D^y -Ь S x„D^y
и так далее, где х, х,, ж,,, ... представляют собою
члены, следующие друг за другом в том же ряду.
Для того чтобы выполнить эти суммирования,
следует члены, стоящие вне знака S, отнести к
последнему члену конечной суммы ^yDx и вычесть те же
члены, относящиеся к первому члену. Если знаками
нуль и i, помещенными внизу букв, обозначить члены,
относящиеся к первой и последней точкам, то мы

464 ДИНАМИКА
получим нижеследующие формулы полного
суммирования:
S г/ Da; = Xiyi — х^у^ — S а; ,Dy,
%уВ^х = yiDXi — a;i+i Dyi — yj)x^ + х,Вуо + S ж „Dy,
Поскольку символ S означает полные суммы
заданного числа членов, ясно, что вместо членов x,Dy,
x,,Dy, . . . под знаком S можно взять предыдущие
члены, которые мы обозначим через xD, у, xD,, у, . . . ,
указывая одним, двумя и т. д. поставленными слева
штрихами члены ,,г/, ,у, предшествующие у в
бесконечном ряде . .. „у, ,у, у, у,, у,„ ...
17. Исходя из изложенного выше, поставим в
предыдущих формулах 8х вместо х и W Dx вместо у;
тогда мы получим следующие преобразования:
S Y Da; Z) Sa; = (Y Da; Sa;)i — (Т 7)а; Sa;)o — S Sa;Z), (YDa;)
и точно так же
^YDyD8y = {4'Dy8y)i-{TDy8y),-^8yD,{TDy),
^4!'DzDSz = (TDzSz)i —D!-DzSz)^- SSzD,(YDz);
соответствующие подстановки следует произвести в
выражении для W.
Если первое тело и последнее приняты
неподвижными, то вариации Вх„, Sy^, Sz^ и hxi, Syi, Szi,
относящиеся к обоим этим телам, равны нулю. Мы
сначала примем это допущение, упрощающее формулы,
и вследствие этого тогда получим
SF = S S П D/w — S Sa; D, (Y Dx) —
— S 8г/ D, (Т Dy) - S dz D, (T Dz).
Вообще же, так как вариации должны исчезать
всегда, то если первое тело или последнее, или же
оба очи неподвижны, следует значение Y в начале или
в конце принять равным нулю. Таким образом

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 465
it;. Ф
В силу того, что т = JT— , следует выполнить условие
Фц = О или Ф{ = О, если первое или последнее тело не
остается неподвижным; а если бы оба тела двигались,
то мы имели бы оба условия Ф^ = О и Ф{ = 0.
18. После того как вариация W была приведена к
указанному простому виду, общие уравнения отд. IV
(п. 10), отнесенные к переменным х, у, z каждого
из тел системы, дают для этих переменных
следующие три уравнения, в которых я снова ставлю Ф
вместо YZ)s:
Эти уравнения являются совершенно точными,
каково бы ни было движение тел; однако в том
случае, когда эти движения очень малы, указа1нные
уравнения упрощаются и становятся линейными, как
мы это видели выше (§1).
19. Предположим, что в состоянии равновесия
системы координаты ж, г/, z принимают значения а,
Ь, с и что при движении эти координаты равны а + 5,
^ + ■*)) с + ^, где величины 5,7],^ очень малы.
Функция П превращается в П 4- -^ 5 -|- ^ т] -|- -^ ^. Таким
образом, если в дальнейшем П рассматривать как
функцию только а, Ь, с, то три частных производных
8П 8П 8П д
•г—, -g—, у- могут быть выражены следующим
образом:
да "^ \да^ ^'^ дадь'^'^ дадс '') '
дп / дт J, дт дт j\
ди. f дт ^ g'n g'n ^\
де '^\дадс ^^дЬдс ^'^ де^ V*
Ж. Лагранж, т. I

466 ДИНАМИКА
После выполнения таких же подстановок а + 5, 6+v],
с + ^ вместо X, у, Z разности Dx, Dy, Dz перейдут в
Da+Dl, Db+Dri, Dc + D^.
Что касается величины Ф, которая согласно
допущению является функцией Ds, то, если положить
для краткости
Df = YDa^ + Db^-\- Dc\
мы получим сначала
затем, если через F обозначить то значение, которое
принимает функция Ф, когда Ds мы заменяем вы-
rs, dF F'
ражением Dj, и положить , „ = -^ , то с помощью
разложения мы получим
.)
и, следовательно,
Ds ~ Df "^ Df \Df Df '^ Df Df "^ Df Df J '
20. Указанные подстановки произведем в трех
найденных выше уравнениях; так как в состоянии
равновесия переменные 5, fl, К согласно допущению
равны нулю, то эти уравнения должны
удовлетворяться при этом допущении; таким образом
постоянные члены должны уничтожиться, в результате пего
мы сначала получим три условных уравнения
-• Т^ -• yrtf Df ^ Df Df ^ Df Df

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 467
Эти уравнения дают значения, которые должны
иметь коэффициенты а, Ь, с в положении равновесия;
легко видеть, что они представляют в общем виде те
уравнения, которые мы нашли в отд. V «Статики» для
равновесия нескольких тел, соединенных между
собою растяжимой или нерастяжимой нитью.
21. Затем, если для краткости положить
G = F — F',
' ~Р± h' —— , _Dc_
"■ ~Df < ° ~Df ' '^ ~ Df '
мы получим три следующих уравнения между
переменными 5, 7], .^ И t:
Таковы уравнения, служащие для определения
колебаний системы, относительно которых мы
допускаем, что они очень малы; они относятся к тому
виду уравнений, которые называют уравнениями в
конечных и бесконечно малых разностях, и так как они
имеют постоянные коэффициенты, то к ним можно
применить общий метод, изложенный в предыдущем
параграфе.
22. Уравнения пункта 20, содержащие
условия равновесия, после перехода от разностей к
80*

468 ДИНАМИКА
суммам дают
rjDb
= S^i)m+^
= S^i)m + /?,
дс ' '
где Л, В, С являются произвольными постоянными;
из них тотчас же получается
в том случае, когда F является заданной
функцией Di, что бывает, когда мы допускаем, что тела
взаимно притягиваются или отталкиваются с силой
Ф, являющейся функцией их взаимных расстояний
Ds, приведенное значение F дает значение i)/,
которое должно иметь место в состоянии равновесия.
Но в том случае, когда расстояния Ds мы
рассматриваем как заданные и неизменные, величина Ф,
занимающая место множителя X (п. 14), неизвестна,
и ее следует определить с помощью приведенной
выше формулы; но в данном случае мы имеем
Ds= Df
и, следовательно (п. 19),
что упрощает уравнения предыдущего пункта.
23. Идея метода, изложенного в п. 4,
заключается в следующем: мы допускаем, что каждая
переменная может быть выражена с помощью одной и той
же функции t, помноженной на некоторую величину,
различную для каждой переменной.
Если эту фун кцию обозначить через 6, то мы
бу дем иметь
1 = ЬХ, 1)-еУ, l^bZ;

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 469
подставив эти значения в уравнения п. 21, мы легко
увидим, что для удовлетворения этих уравнений
необходимо, чтобы переменная б была определена
с помощью уравнения следующего вида:
в самом деле, подставив тогда вместо -ту его значение
— Аб и разделив все члены на б, мы получим три
следующих уравнения в конечных разностях:
24. Уравнение относительно 6 легко интегрируется;
оно дает
6 = £sm(^/A+e),
где Е и е — две произвольные постоянные.
Что касается уравнений относительно X, Y, Z,
то они, вообще говоря, поддаются интегрированию в
конечных выражениях с помощью известных методов
только тогда, когда они—с постоянными
коэффициентами; но если разложить конечные разности,
обозначенные символом D, то они принимают следующий
вид (п. 16):
АХ, + BY, + CZ, -Ь АХ -Ь B'Y + C'Z +
+ а: X + B'J + C:Z =^ 0;

470 ДИНАМИКА
коэффициенты А, В, С, А', И, . .. являются
постоянными или переменными, но независимыми от t, а
величина к входит только в значения А', В', С и
притом только в первой степени.
Если обозначить через Xq, Xi, Х^, Х^, . . .
последовательные значения X, начиная с первого,
соответствующего первому телу системы, и точно так же через
5^0. Yi, Уз, Уз, ... , Zo, Zi, Zg, Zg, . . . соответствующие
им последовательные значения У и Z и затем эти
значения подставить в три уравнения, приведенных
к указанному выше виду, то легко видеть, что первые
три уравнения дадут значения X^yY^, Z^ в линейных
функциях Х^, Уц, Zo, Xi, Yi, Z^, три следующих
дадут Хз. Y^, Zg в линейных функциях Zg, Y^, Z^,
Х^, Yi, Zi, которые путем подстановки значений Х^,
Уд, Z2 тоже станут линейными функциями Xq, Yq, Zq,
Xi, Yi, Zi и так далее.
Таким образом вообще значения Xn+i , Уп+i , Zn+i
будут иметь следующий вид:
АХ, + BYo+ CZ, + А'Х, + B'Y, + C'Z„
причем путем вычислений легко убедиться, что
величины А, В, С будут рациональными и целыми
функциями к степени (и — 2) и что величины А', В', С
будут аналогичными функциями {п — 1)-й степени.
Мы допустили (п. 17), что первое и последнее
тела системы неподвижны; первое тело относится к
индексу нуль; следовательно, если через п обозначить
число всех движущихся тел, то последнее тело,
которое должно быть неподвижным, относится к индексу
п + 1. Таким образом должно иметь место
X, = 0, Уо = о, Zo = О,
Xn-^i = о, Yn+i = О, Zn+i = О,
что дает три линейных уравнения между Х^, Y^, Z^
следующего вида: A'Xi-\- B'Yi-\-C'Zi = 0, в которых
коэффициенты А\ В', С являются рациональными и
целыми функциями к, имеющими п-е измерение.

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 471
Если исключить величины Xi, Y^, Z^, то
получается уравнение степени Зп относительно к, что
соответствует числу неизвестных X, Y, Z, и,
следовательно, это уравнение будет иметь Зп корней-
Эти же уравнения дадут и отношения между тремя
величинами Х^, У^, Z^, так что значение одной из
этих величин можно будет взять произвольно. Так
как эти отношения выражаются с помощью
рациональных функций к, можно значения трех величин
Х^, Yi, Zj выразить с помощью рациональных и
целых функций к и, таким образом, неизвестные X,
Y, Z будут тоже, вообще говоря, выражены с
помощью известных рациональных и целых функций к.
25. Обозначим через к', кГ, к'", . . . , А:<^">
различные корни уравнения относительно к, решение
которого следует предположить известным, и аналогично
обозначим через X', X", X"' Г, У", Г", . . . , Z',
Z", Z'", . . . соответствующие значения величин X, Y, Z,
которые получаются в результате подстановки вместо к
этих различных корней.
Итак, в соответствии с тем, что мы нашли раньше
(п. 23 и 24),
l = XE%\n{t ^^A-f- е),
r^=YE sin {t /А + е),
X, = ZEbm{lYl^-\-^.
Если последовательно подставить различные
значения к и взять различные произвольные постоянные
JS и е, мы получим столько же частных значений 5,
7], X,, сумма которых в соответствии с природой
линейных уравнений даст полные значения этих переменных.
Эти частные значения 5, tj, X, аналогичны тем
выражениям, которые представляют малые
колебания маятника, имеющего длину -р- (п. И), при
условии, что к является величиной вещественной и
положительной; движение каждого тела состоит из

472 ДИНАМИКА
такого количества подобных колебаний, сколько
имеется различных значений к; таким образом в том
случае, когда все эти значения между собою
несоизмеримы, невозможно, чтобы система когда-нибудь
вернулась в свое первоначальное состояние, — по
крайней мере, если значения 5, >], ^ не могут быть
сведены к частным значениям, соответствующим только
одному из корней к. Если в этом последнем случае
в приведенных выше формулах положить ^ = О, то
мы получим XEs'mz, y^sine, ZJSsine в качестве
значений 5, т], ^ и ХЕ cos е, YE cos е, ZE cos е, в
качестве значений -^ , -^ , ~т- • Следовательно, для
того чтобы этот случай мог иметь место, необходимо
чтобы начальные смещения 5, т), ^, равно как и на1
чальные скорости -j-, -—, -т- были
пропорциональны X, Y, Z, причем существует столько путей для
выполнения этих условий, сколько имеется
различных значений к.
26. Если обозначить верхними штрихами различные
произвольные постоянные, то мы получим
5 = Х'Е' sin {t У к' + е' ) + Х'Е" sin {t У¥' + е" ) +
+ Х'"Е"' sin {t VJ^+ £'")+. . . ,
7] == Y'E' sin {t Yk' + z') + Y"E" sin {t V^+ e") -f
+ Y"'E"' sin {t УТГ + e") + . . . ,
!: = Z'E' sin {t Yk' + г') + Z"E" sin {t У¥ +z") +
+ Z"'E" sin {t yW + e"')+. . . ,
в качестве полных значений переменных 5, т], ^,
выражающих колебания каждого из тел заданной
системы, каково бы ни было их начальное состояние.
Эти значения можно представить в более простом
виде, применив знак V для выражения суммы
значений, соответствующих различным значениям к; таким

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 473
образом мы будем иметь
5 = 2 [XEsiB(tVk + z)],
ri=-^[YEsin {tVk + z)],
К = ^[ZEsin (tVk + z)].
Частные выражения [^для переменных 5^, tj^, ^i, ^^,
7J, ^2, . . . для каждого из тел системы мы
получим, подставив в приведенные выше выражения Х^,
Yi, Zi, Х^, Y^, Z^, . . . , вместо X, Y, Z и приняв для
Е и Z различные произвольные постоянные Е^, Е^, .. . ,
El, Eg, ... , зависящие от начального состояния системы.
27. Для того чтобы эти постоянные определить
наиболее простым путем, я снова обращаюсь к
уравнениям п. 21 относительно 5, т], ^ и складываю их,
умножив предварительно первое из них на X, второе
на У и третье на Z; затем я беру сумму всех этих
уравнений, составленных указанным образом,
распространив ее на все тела системы, и обозначаю эту
сумму символом S; если принять во внимание, что этот
символ независим от символа d дифференциалов,
относящихся к t, то мы получим следующее уравнение:
, ci / 52П ^ , эт -^ , 5»п „\ ^ ,
-^YD,[F^-GbXa'^ + b'^ + c'^)]-
-^ZD,[F^-Gc'(^a'^ + b'^ + c'-^)] = 0.

474 ДИНАМИКА
в этом уравнении члены, содержащие под
знаком суммирования S разности, обозначенные
символом D, поддаются преобразованиям, аналогичным
тем, какие имеют место при интегрированиях по
частям; тип этих преобразований был нами указан
в п. 16. Для этого рассмотрим вообще какой-либо
член вида SXZ), (F/)?); с помощью указанных впри-
веденном пункте преобразований, если при этом мы
примем во внимание, что величины X и 5 в начале
и в конце интегрирований, сопровождающихся
символом Д равны нулю (п. 24), то получим
^XD,{VDl)= — ^VDlDX=^l^D{VDX).
Но S?,/>(F/)Z) —это то же самое, что ^ID,{VDX),
если вместо члена ^,Diy DX) взять предшествующий
ему член.
Итак, мы получим вообще
^XD,{V DI) ^^lD,{VhX);
аналогичные выражения мы получим и для других
подобных членов. Таким образом предыдущее
уравнение примет следующий вид:
-^ 8 (Z5 -Ь Ут] -Ь ZX,) Dm + ^ [{X) 5 -Ь (У) г, -Ь (Z) Ц=0.
Величины, обозначенные через {X), (У), (Z), будут
содержать те же члены, которые образуют правые
части уравнений п. 23; таким образом эти
уравнения дадут
{X) = кХ Dm, (У) = kY Dm, (Z) = kZ Dm,
откуда следует, что приведенное выше уравнение
примет следующий вид:
dt^
S (Х^ + Y-n + ZqDm + k^{Xl + Yr^ + ZQ Dm = 0.

о Малых колебаниях любой системы тел 475
Отсюда путем интегрирования мы тотчас же получаем
S (Xg + Yri + Zl)Dm = Lsin (t /A + X),
где L и к—две произвольные постоянные.
28. Из природы самого исчисления легко видеть,
что если в это уравнение вместо к подставить один
из корней уравнения относительно к, которые мы
обозначили через к', к", к'", ... (п. 25), то мы
должны получить результат, тождественный с
выражениями дйя 5, 7], ^ пункта 26; следовательно, если в
предыдущее уравнение подставить эти самые
значения, то оно должно обратиться в абсолютное
тождество для всех значений к.
Таким образом мы получим тождество
I X'^[XEsin{tVk+z)]+]
S| + 5^ 2 [^^''° (^ ^^+ ^)J + \Dm== Lsin {tVк+ Х)
l+Z^[ZE sin (tVk+z)] j
для каждого из значений к', к", к'", . . . величины к; а так
как это тождество должно иметь место независимо от
значения t, то нетрудно убедиться, что все члены левой
и правой частей уравнения, содержащие в себе одну
и ту же дугу t ]/A, должны быть тождественными;
отсюда прежде всего необходимо следует, что X = е
для всех значений X и е.
Далее, если обратить внимание на значение
знаков S и V, из которых первый, S, выражает сумму
стоящих под знаком величин, относящихся ко всем
телам системы, т. е. сумму величин, которые мы
обозначили числами, поставленными в виде знаков
у основа-ния букв (п. 24), а второй, V, выражает
сумму аналогичных величин, соответствующих всем
корням к', ¥, К", ..., A<^"\ которые мы обозначили
штрихами вверху (п. 25), то путем сравнения членов,

476 ДИНАМИКА
в состав которых входит один и тот же синус, мы
получим уравнение
ES{X^ + Y^ + Z^)Dm = L.
Таким образом мы будем иметь вообще
^ S {^2 + у2 ^ 2^) Dm
и, следовательно, согласно пункту 27
это — уравнение, которое имеет силу для всех
значений к.
29. Пусть теперь, когда ^ = О,
5 = а, 7] = р, !: = Y
и
dt *• dt ~ Р' dt ''
ЭТИ шесть величин заданы начальным состоянием
системы; следовательно, если их ввести в
предыдущее уравнение, а также в то уравнение, которое
получается путем дифференцирования его по t, то,
положив ^ = О, мы получим следующие значения
произвольных постоянных:
S {Х^ + Г^ + Z2) Dm
1 S (ЛГа + Гр + ZV) Dm
Vk S {^2 Jf- Y^ + Z^) Dm
Следовательно, если эти значения подставить в
выражения для 5, >), ^, приведенные в пункте 26, то

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮВОИ СИСТЕМЫ ТЕЛ ^■^■j
МЫ, наконец, получим
^\Vk 8{Х^+ Y^ + Z^)Dm '^
у|(^^Щ|г)^соз.Ка) +
^i\ Vk 8(X^4- r^-i- 7Л Dm
r S (Xa + ri
Yt S {^2 + ya ^ Z^) Dm
= V (z |H^L±J1+M^ COS tVk\ +
+ IlGrS(x^+y^ + z^)Dm^'°^^^j •
Эти формулы, столь же замечательные по своей
общности, как и по своей простоте, содержат
решения многих проблем, анализ которых с помощью
других методов был бы очень труден. Мы применим
их к двум задачам, которые уже были разрешены
в различных работах, но недостаточно полно.
§ Ш. Применение выведенных выше формул
к колебаниям натянутой струны, нагруженной
несколькими теяами, и к колебаниям
нерастяасимой нити, нагруженной яюбым
количеством грузов и закрепленной в обоих концах
или только в одном из них.
30. Найденные нами выражения для переменных
\,1\,Х, сильно упрощаются, когда в дифференциальных
уравнениях п. 21 рассматриваемые переменные
отделены. Тогда и переменные X, У, Z оказываются
отделенными в уравнениях п. 23, и каждое из этих
уравнения с помощью процесса, изложенного в п. 24,
дает особое уравнение т-й степени относительно к.
Если через к, к^, к^ обозначить значения к,
соответствующие величинам X, Y, Z, заданным этими тремя

478 ДИНАМИКА
уравнениями, и если при этом сохранить обозначения
предыдущего пункта, то выражения для ^, т), J^ в
данном случае сводятся к следующим:
5 = 2(^11^-'^*) +
^ = 2(''tSIS-'>'*'.) +
31. Этот случай имеет место прежде всего тогда,
когда предполагается, что тела в состоянии равновесия
расположены на прямой линии; в самом деле, если
мы примем эту линию за ось х, то координаты бис
будут равны нулю, точно так же будут равны нулю
и их разности Db, Dc; из условных уравнений п. 20
будет вытекать требование, чтобы --^-=0, -j- = О, т. е.
чтобы силы, перпендикулярные к оси, были равны
нулю. Тогда мы будем также иметь ^ , = О,
-Q—Q- = О, И уравнения п. 21 в силу того, что а = 1,
6'= О, с'= О и G=F — F', примут следующий вид:
5 n^-Z,.(F^-).0.

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 479
Следовательно, уравнения пункта 23 перейдут в
следующие:
дЧ1
kZDm-\-D,(^F~\ = 0;
как видим, в этих уравнениях переменные отделены
друг от друга, так что каждую из них можно
определить особо.
Неопределенная постоянная величина к может
быть, следовательно, различной в этих трех
уравнениях, и каждое из последних даст уравнение ге-й
степени для определения этой постоянной. Таким
путем мы получим формулы предыдущего пункта.
32. Так как в рассматриваемом случае Db = О,
Dc = О, то Df = Da (п. 19) и уравнения равновесия
(п. 22) дают
F = ^^Dm + A.
да '
Но для того чтобы получить значение величины
F' (п. 19), следует знать F как функцию Df
или Da; тогда путем дифференцирования можно
получить значение F' в функции F.
Так, например, если допустить ф z= К (Ds)'", то мы
получим F = К (Df)'", а отсюда F' = тК (Df)'" = mF.
В том случае, когда мы отвлекаемся от какой бы
то ни было посторонней силы, мы имеем -^— = О,
откуда получается F ^ А, и, следовательно, тогда F
является постоянной для всех тел. Но значение F'
может изменяться от одного тела к другому, по
крайней мере, когда расстояние Da между
двумя следующими друг за другом телами не является
тоже одинаковым для всех тел. В последнем
случае величины F и F' являются двумя постоянными.

480 ДИНАМИКА
которые могут быть определены а posteriori без
знания закона функции Ф.
Последний случай — это случай натянутой нити
или струны, оба конца которой закреплены и которая
нагружена любым количеством тел, расположенных
на равных друг от друга расстояниях; тогда
величина F выражает натяжение нити или груз, который
может его вызвать; однако величину F' нельзя вывести
из F, не зная закона упругости струны.
Эта проблема, которая известна под названием
проблемы колеблющихся струн, заслуживает особого
исследования, так как, с одной стороны, она поддается
общему решению, а с другой стороны, она тесно
связана со знаменитой проблемой колебаний звучащих
струн.
33. Допустим, что все тела Dm, которыми
нагружена нить, равны между собою и лишены веса и что
промежутки Df или Da, отделяющие их друг от друга
в состоянии равновесия, тоже равны.
Так как п представляет число движущихся тел,
то ясно, что если через М обозначить всю массу или
же сумму всех масс Dm, включая и последнюю,
которую мы принимаем неподвижной, и через
I — длину струны в состоянии равновесия, то мы
будем иметь
Dm = -^ и Df = Da=. '
п + 1 " ^1 ^ ге-Ь1'
И три уравнения п. 31 относительно X, Y, Z примут
следующий вид:
-^^f^Y + DKY = ^,
IMk
(п + 1J F
Z-\-D\Z = Q.
Так как эти уравнения совершенно аналогичны,
достаточно разрешить первое из них; поставив F вместо

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮВОИ СИСТЕМЫ ТЕЛ 481
F*f мы затем получим решение и для других двух
уравнений.
34. Пусть г будет указателем, или индексом
порядка, занимаемого каким-либо членом X в ряду
Х-ов; мы будем вообще обозначать этот член через
Хг, а предыдущий ^Х будбт X^_i. Тогда первое
уравнение примет следующий вид:
(п + 1)» F' ^^ + '^'^'•-1 = О-
Для разрешения этого уравнения положим
Хг~ я sin (г<р -f- е),
где Hue — две произвольные постоянные; с помощью
известных формул умножения углов мы получим
D^Xr-i='Xr+t—2Xr+Xr-i^ — 4Я8т (г<р + е) sin^ -|- ;
если эти значения подставить в предыдущее
уравнение, то последнее после разделения на Хг примет
следующий вид;
1Мк
■Ып^4- =0,
откуда получается
Но нам следует (п. 24) выполнить два условия:
J^o = О и Xn+i = 0. Первое из них дает е = О, второе
sm(re-|-1)<р = О, откуда получается Gг + 1)ф = ртс,
где 71 -^ угол в 180°, а р —^любое целое число. Таким
образом мы имеем ср =s —q—г > следовательно, если
положить Н=\, что вполне допустимо, то мы получим
вообще
31 ж. Дагранж, т. I

482 ДИНАМИКА
Такое же выражение мы получим для Yr и Zj., ко-
торые следует подставить вместо X, Y, Z в
выражения ^, 7), X, пункта 30.
Если то же значение ср подставить в найденное
выше выражение для j/^A, то получается
l/A = 2(„ + l)/^sin^
здесь можно вместо р ставить все целые числа от
О до ге включительно, ибо р = ге -f 1 дает для X, Y, Z
значения, равные нулю, а при
значениях,.превышающих ra + l, синусы „."_■; получают прежние
значения.
Таким образом мы имеем столько значений к,
сколько имеется движущихся тел; эти значения
являются корнями уравнения, определяющего к.
Если вместо F' поставить F, получается значение
корней к-^, к^ двух других уравнений для к.
Произведем эти подстановки в общие формулы
п. 30, причем обратим внимание на то обстоятельство,
что знак суммирования S должен относиться только
к показателям или индексам порядка г от г акт 1
до г =5 ге и что знак суммирования 2j должен
относиться к индексам р различных корней, от р = 1
до р == ге.
Что касается величины %Х^Dm ^= Dm^X*, то в
силу <р = . ^ ■■ , мы будем иметь следующее cyHRfH-
рование:
SX? = sin^<p-f sin2 2(p + sin,^3<p + . . . -f sin^ recp «я
1 1
a= -—re Y (cos 2(p -f cos 4(p -f eos 69 -f . .. + cos.2re)=
1_ 4_ ["cos 2n<p — cos 2 (n -|-lj<p IT n + i
~ 2 "~~ ~ L 2 A — cos 2<p) Г J ~ 2 '
Точно так же мы получим Sf^ = Sz^= " 7^ .

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 483
35. Так как значения к между собою
несоизмеримы, то струна никогда не сможет вернуться
к своему первоначальному положению, если только
выражения ^, т), X, не сводятся к единственному
члену (п. 25). В последнем случае, подставив в
формулы упомянутой статьи вместо X, Y, Z и к
найденные нами только что выражения и положив для
краткости
мы получим следующие выражения, в которых я
сохраняю угол ср вместо его значения ^ ,
^ = Esin rep sin f h't sin -|- -f e
7) = j5 sin rep sin (htsm — -\- z
X,= Esm rep sin Г Af sin -|- -f e
HO при этом требуется, чтобы первоначальные
значения а, р, Yi к, Р, Yi соответствующие t = 0, были
пропорциональны sin пр. Это — известное решение,
при котором допускается, что тела совершают лишь
простые и изохронные колебания.
36. Для того чтобы получить общие выражения,
применимые к любому начальному состоянию,
следует воспользоваться формулами п. 30, подставив
в них найденные выше (п. 34) значения. Для
большей ясности применим к переменным ^, т), X,
показатель или индекс г, поставленный внизу у этих
букв, чтобы таким образом отметить порядок тел,
к которым они относятся; что же касается величин
а, р, Y, '«, р, у VI X, Y, Z, находящихся под знаком
суммы S, то для них мы применим показатель s
вместо г, так как первый из них относится только
к знаку S, который показывает, что следует взять
31*

484 ДИНАМИКА
сумму всех членов, соответствующих значениям s,
от О до п.
Таким образом мы получим следующую общую
формулу:
S ai sin Sep cos 2 (re -f-1) A7 sin-| +
^"-li n + i 1 c, sin 2(re + l)A'гsin-y
^- о as sin scp —t ±
2 (re+ 1) A'sin-|- j
a для того, чтобы получить выражения vjr, ^r,
следует лишь вместо h' взять Л, а а, а заменить
величинами р, р, и Y, у.
Переменные ?г выражают продольные смещения
тел по прямой линии или оси, проходящей через оба
конца струны, а переменные у;,, ^г выражают их
поперечные или боковые смещения по направлению,
перпендикулярному к оси,— единственные смещения,
которые до сих пор рассматривали при решении
проблемы о колеблющихся струнах.
Что касается знака V, то следует вспомнить, что
он выражает сумму всех величин, стоящих под этищ
символом, соответствующих р = 1,2, 3, ...,ге; отсюда
видно, что смещения каждого тела как продольные,
так и поперечные складываются, вообще говоря^ из
такого количества частных смещений, аналогичных
смещениям различных маятников, длины которых
равны
или
4 (ге -Ь 1J h'" sin^ у 4 (re -Ы)^ h^ sin^ -|-
где g означает силу тяжести,— сколько имеется
движущихся тел.
Для того чтобы значения h и h' были
вещественными, величины F и /''должны быть
положительными (п. 35); следовательно, согласно допущению п. 32

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 485
показатель т должен быть положительным. В том
случае, когда тела друг друга отталкивают, F
будет величиной отрицательной, и тогда показатель
т тоже должен быть отрицательным; сверх того,
чтобы йоаеречные колебания т) и ^ были равны нулю,
мы должны иметь Р = О, Р = О, у = О, у = ^•
37. Здесь следует сделать важное замечание по
поводу только что найденного нами общего
выражения для^г- Хотя мы и предполагали, что число п
движущихся тел задано и что струна, длина которой
тоже задана, закреплена в обоих своих концах, тем
не менее расчет не ограничивается этими допущениями,
и рассматриваемое выражение дает значение ^г для
всех тел, расположенных на той же прямой линии,
порядок которых выражается любым целым числом г,
положительным или отрицательным.
В самом деле, так как это число г входит только
в sin r<f, то ясно, что ему можно дать какие yrojpjo
значения, и в то же время мы видим, что, так как
9 = ^ , этот синус не изменяет своего значения,
если вместо г подставить 2Х (п-\-i) + г, и становится
только отрицательным, если вместо г подставить
2Х (ге -f 1) — г, где X — любое целое число,
положительное или отрицательное- Отсюда следует, что если
соответственно характеру расчета допустить, что струна
простирается бесконечно далеко в обе стороны и что
она по всей своей длине нагружена равными телами,
расположенными на равных друг от друга
расстояниях, то эти тела будут двигаться таким образом,что
мы всегда будем иметь
?2Х(п+1)±г = ± ?г-
Но легко видеть, что формула 2Х (ге-f 1)+:г может
выразить все целые числа, если допустить, что г
заключается между О и п -\- i; в самом деле, пусть
.имеется какое-нибудь целое число; если его разделить
на 2.(re-fl) так, чтобы остаток, положительный или
отрицательный, оказался меньше га + 1, а это всегда

486 ДИНАМИКА
возможно, и если X считать частным,
а±г—остатком, то это число выразится через 2Х (п -{- i)-+^r.
Таким образом значение ^, относящееся к
любому телу, помещенному на той же линии на люг
бом расстоянии от начала оси /, всегда сведется к
значению ^ для одного из тел, расположенных на
этой оси.
Так как найденное нами соотношение между
различными значениями ^ является общим, каково бы
ни было число г, то если вместо г поставить X (re-f l)-f г
и взять нижний знак, мы получим
5х(п+1)-г — — ^X(n+i)+r-
Отсюда легко заключить, что если мы представим
себе всю неограниченную длину струны, разделенной
на части, равные длине / заданной струны, то
значения ^ в каждой из этих частей на равных расстоя-
нжях от точек деления будут между собою равны,
но будут иметь различные знаки в двух смежных
частях. Следовательно, если значения ^ для всех тел,
расположенных на оси /, представить с помощью
ординат вершин многоугольника, построенного на этой
оси, то достаточно будет только перемещать этот
многоугольник попеременно и симметрично вверх и вниз
вдоль оси, продолженной в обе стороны до
бесконечности, так что стороны, прилегающие к точке раздела,
будут иметь одни и те же величины, но будут
направлены противоположно и будут лежать на одной и той
же прямой; таким образом для каждого мгновения
мы получим значения ^ для всех тел, которые мы
предполагаем распределенными на одной и той же
прямой линии, продолженной до бесконечности,—
с помощью ординат вершин этого многоугольника,
составленного из бесконечно большого количества
частей. В каждой точке раздела эти значения равны
нулю, так что тела, расположенные в этих точках,
сами по себе остаются неподвижными; таким образом
самый расчет удовлетворяет условию, чтобы оба конца
заданной струны остались нелодвиякными.

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ ^87
То^ ЧТО 5ыло до1{азано нами для переменных ?,
5 равной мере действительно и для производных
-J-; в самом деле, если выражение для^г продифферен-
■ dl
цйроватЬ по t, то мы получим выражение для -—,
к которому можно применить те же самые
рассуждения, какие были изложены выше.
Следовательно, и значения для а и а, выражающие
с d^
значения z, и -^ в первое мгновение и являющиеся
произвольными для всех тел, расположенных на оси/,
могут быть выражены с помощью подобного же
построения на протйжении струны неограниченной длины.
Так как выражения для двух других Переменных
t\ иX отличаюся от выражения для ^ только
начальными значениями р, р, и у, у, занимающими места ос,
а, то те же выводы имеют силу и но отношению
к этим переменным.
38. Отсюда можно сделатй общий 1зывод, что если
натянутая струна произвольной длины, нагруженная
равными телами, расположенными на равных друг от
друга расстояниях, разделена на ряд равных частей,
лричем каждая из них заключена между двумя
телами, и если все тела, за исключением находящихся
в точках раздела, одновременно привести в колебание
таким образом, чтобы движения тел, находяпдахся на
равных, расстояниях по обе стороны от точек раздела,
были равны, но противоположно направлены, то
в этом случае тела, расположенные в точках раздела,
будут сами собою оставаться неподвижными и каждая
часть струны 'буде* двигаться таким образом, как
если бы она была изолирована и оба ее конца были
закреплены совершенно веподБижнО.
Отсюда следует, что натянутая струна длины /,
закрепленная ff обоих своих концах, нагруженная п
телами и разделенная на v частей, ^'де г» является
делителем га -f 1, если нэчал1.нов с^стрядие такова,

488 дйНАМИйА
что тела, находящиеся в точках раздела, не йсйыты-
вают никакого толчка, а тела, лежащие на равных рас*
стояниях по одну и другую сторону от точци раздела,
получают одинаковые, но противоположно
направленные толчки, то струна будет колебаться таким обраддм,
как если бы точки раздела были неподвижны и струна
имела бы только длину —-.
39. Отделение переменных в уравнениях oтH0cи■^
тельно ^, 7), ^ может быть произведено и без
допущения, что в состоянии равновесия тела распбаошенц
на прямой линии, а на основе допущения, что при
движении их взаимные расстояния не изменяются во
время движения. В п. 14 мы указали, что этот случай
связан с теми же общими формулами, если только раб-
сматривать, величину Ф, а, следовательно, и величину
F, как неопределенные величины, а в п. 22 мы видели,
что в этом случае кы имеем условное уравнение
в силу которого в общих урйвнениях п. 21 все ЧлёП1Л,
умноженные на G, исчезают.
Если принять во внимание только тяжесть *еЯ и
допустить, что оси абецисс х и а расположены берти-
кально и направлены снизу вверх, то -^- будет равно
ускоряющей силе тяжести^ которую мы обозначит
через g, и, далее, *^ = О, ^ = О', уравнейия уйОмН'
нутого пункта примут тогда следующий вид:
лри котором неремеаные разделены.

Q МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 489
Значение F будет равно (п. 22)
Уравнения относительно X, Y, Z примут тогда
следующий вид (п. 23):
kYDm + D,(F^^ = 0,
kZDm + D, (^5т) = 0-
Как видим, последние уравнения совершенно подобны
друг другу, так что можно положить X =Y = Z, ибо
произвольные постоянные, которыми эти величины
могут отличаться друг от друга, определяются одними
и теми же условиями и, следовательно, тоже равны
между собою. Таким образом значения ^, т), J^, данные
общими формулами п. 30, будут отличаться друг от
друга только начальными значениями а, Р, у, а, ^, у,
которые могут быть произвольными.
Следовательно, вся трудность сводится к
нахождению общего выражения X; однако это не может
быть осуществлено с помощью известных методов.
Последний случай касается движения
нерастяжимой нити, нагруженной множеством грузов и закре-
йленной неподвижно обоими своими концами.
40. Когда нить закреплена только одним из своих
концов, в качестве которого мы возьмем верхний конец,
то, так как нижнее тело должно быть свободно, значение
Ф или F на нижнем конце нити согласно п. 17 должно
быть равно нулю. Если это! конец принять за начало
абсцисс, роторые мы будем считать направлендыми
снизу рверх, и если, начиная отсюда, образовать
сумму НВт, то в этом месте значение F будет равно
йулю, если только А^=0, В = О, С =0. Таким обра-
зОйц-мы будем иметь F = gHDm,

490 ДИНАМИКА
Так как в рассматриваемом случае мы имеем
да.~ ^' дЬ ~" ' дс ~^'
ТО ура1знения пункта 22 дадут
Da = Df, Db = 0, Dc = О,
т. е. что координаты Ь, с постоянны; таким образом в
состоянии равновесия нить образует прямую линию,
параллельную вертикальной оси абсцисс а.
Следовательно, можно положить 6 = 0, с = О, если за ось
а принять вертикальную линию, проходящую через
точку подвеса нити.
, Этот случай, представляющий собою случай очень
малых колебаний нити, подвешенной в неподвижной
точке и нагруженной любым количеством грузов,
тоже поддается общему решению в том случае, когда
грузы между собою равны и расположены на равных
друг от друга расстояниях.
41., Если в последнем случае обозначить через п
число тел, через М—сумму их масс Dm и через
/—длину нити, то мы будем иметь
Dm = —, Df = Da = —;
а если сверх того обозначить через г число тел,
начиная с нижнего конца и до тела, которому соотг
ветствуют переменные ^, т), X,, то мы будем иметь
^Dm = {r-i)Dm = ^^^^,
а отсюда мы получим
п
Если уравнение п. 39 относительно X умножить
I' ■-■■'■,■'
на -^, поставить Хг вместо X и принять во
внимание, что ,Х превращается в Xr-i, &.Х,—вХг+i, тоато

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 491
уравнение примет следующий вид:
^X + i)[(r-l)i)Z,_i] = 0;
следовательно, если произвести дифференцирования,
указанные символом JJ, то согласно формуле пункта
16 мы будем иметь
JJ- Z, + (Х,+1 - ^г) + (г - 1) (Z.-1 -2Z, + Xr+i) = 0.
Ввиду наличия переменного коэффициента г,
настоящее уравнение нельзя трактовать аналогично тем
уравнениям, которые дают обыкновенные
рекуррентные последовательности, но из него можно одно за
другим получить значения Х2, Х^, • • •
Для этого ему нужно лиШь придать следующий
, 1к
вид, где Л = — :
„ 2г — h—l Y '■—1 Y
лг+1 = ;; '^г ~—- Лг-1.
Отсюда, давая г последовательно значения r = i,
2,3,...' мы получим
Xg = —Y~ ^^ — '2^ "^1 ~ ( ^ — "^h -\—Y jXi,
Х^= -g—Хз—у^г = (^1—ЗЙ + -2 ITTJ^i'
Х, = (^1-4й + -2---2^ +27374;^!
и так далее; таким образом бы будем иметь вообще
*) Общий член этого ряда имеет следующий вид:

492 ДИНАМИКА
Допустим, что верхний конец нити, который
должен оставаться неподвижным, соответствует телу,
порядок которого равен п-\-i; тогда мы должны
иметь Х„4-1 = О, что дает следующее уравнение, если
, 1к
вместо Л поставить его значение — ,
gn
, Ik (ге-1)№ {n-l)(n-2)l»k* _
g "Т" 4reg2 4-9re»g» "< ~^-
Это уравнение будет ге-й степени относительно к и,
следовательно, даст п значений к, которые мы
обозначим вообще через А;(р).
42. Таким образом в формулах п. 30 следует лшпь
подставить вместо X, Y и Z приведенное выше
выражение Хг и вместо к значение А<р) и затем выполнить
суммирования, обозначенные символами S и^. Следует,
однако, принять во внимание, что в рассматриваемом
случае, когда мы допускаем D6 = О, Dc = 0 (п. 40),
условное уравнение п. 39 дает D^ == О и что,
следовательно, I имеет одно и то же значение для всех
тел, которое, однако, может быть функцией t; для
начала движения мы имеем а и а, равные постоянным
величинам; но так как первое тело согласно
допущению неподвижно, то начальные значений а и а для
этого тела равны нулю; стало быть, они будут равны
нулю и для всех остальных тел. Следовательно,
и общее выражение переменной ^ будет равно нулю.
К такому выводу мы приходим, если, как Мы это
сделали выше, пренебречь вторыми и более высокими
степенями переменных ^, у). С, которые мы считаем
очень малыми. В самом деле, в силу соотношения
JDs^ = Dx^ + Пу^ + Dz'i и Db=0, Dc = О уравнение
Ds ^ Dj пункта 19 дает
Da^ = {Da + Dlf -f Dy\^ -f i?^^
откуда следует
пр _ Д^' + -D^'-.

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮВОИ СИСТЕМЫ ТЕЛ 493
таким образом переменные ^ будут величинами второго
ворядна по отношению к т] и J^.
Обозначим теперь через Ф^ следующую функцию г:
l-(r-l)J^+'-"'-V^f
gn 4 V ^'^
(г-1)(г_2)(г-3) / 1к
4-9 \ gn J ^
щ » общем выражении для переменной v) п. 30
подставим, KaiK мы это сделали в п. 36, v)r вместо у;
К в членах, стоящих вне знака |§, подставим Фг
вместо Y, а в тех членах, которые стоят под знаком ^г,
МЫ поставим- s вместо г и %, Рз вместо Р и р. Таким
образом для любого тела, порядок которого при счете
снизу вверх равен г, мы получим
+
^L 8(Фз)>Ка<^) J
где знак ^ выражает сумму членов, соответствующих
^=1, 2, 3,..., п, а знак V представляет сумму
членов, соответствующих р = 1, 2, 3,..., п, если
допустить, чтоА('>, k'-^'i, к<-^'>, . . . , А(") являются корнями
уравнения Фп+i = О относительно к'-^К
Совершенно такое же выражение мы получим для
переменной ^г, если величины Рз, Рз мы просто заменим
величинами уз, уз.
Таким образом проблема бесконечно малых
колебаний нити, нагруженной любым количеством равных
грузов, полностью разрешена; остается только
определить корни уравнения относительно А^^', что в общем
случае представляется невозможным.
43. Впрочем, хотя мы и не в состоянии определить
этих корней, тем не менее можно быть уверенным.

494 ДИНАМИКА
что все они должны быть вещественными,
положительными и неравными; в противном случае значения
5, 7), ^ содержали бы в себе члены, которые со
временем возрастают, что невозможно, так как в силу
самой природы задачи ясно, что колебания нити
должны всегда иметь лишь небольшие размеры, если
начальные значения ^, т), J^ очень малы.
Обратное имело бы место, если бы мы
предположили, что величина g, выражающая тяжесть,
отрицательна, т. е. что она действует в противоположном
направлении; действительно, это был бы случай,
когда точка подвеса вертикальной нити помещена
в нижнем ее конце; тогда нить, будучи хоть немного
выведена из своего вертикального положения,
перевернулась бы. В самом деле, если в уравнении
относительно к положить g отрицательным, то все
члены уравнения становятся положительными, таЦ
что уравнение может иметь лишь корни мнимы<}
или отрицательные вещественные.
Приведенные результаты можно получить и а priori
с помощью принципов, изложенных в п. 8, что может
послужить для доказательства правильности этих
принципов. В самом деле, если принять во внимание
условие нерастяжимости нити, из которого вытекает
(см. предыд. пункт; суммирование начинается с
нижнего тела)
? = ?i-S-
2Da
TO значение V составит просто ^П/^т, и тогда мы
будем иметь
n = gx = ga + gl.
Но так как верхнее тело, соответствующее
порядковому числу re-fl, согласно допущению закреплено
неподвижно, то в данном месте значение ^ должно
быть равно нулю; следовательно, мы будем иметь
^^-<^4F-y

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 495
при этом предполагается, ЧТО стоящая в скобках сумма
представляет собою полную сумму. Поэтому мы имеем
где знак 8' означает суммы, взятые в обратном
порядке, начиная с самого верхнего тела, и
представляющие собою разности между всей суммой
и частными суммами, обозначенными через 8, которые
должны начинаться с нижнего тела, где находится
начало абсцисс.
Таким образом мы получаем
V^gHdDm + g^Dm^' ^^^Да^^' ,
откуда видно, что часть V, содержащая вторые
степени переменных V) и ^, которые теперь являются
независимыми друг от друга, необходимо всегда
положительна, и что, следовательно, корни уравнения
относительно к все вещественны, положительны
и неравны между собою. Обратное получилось бы,
если бы мы дали g отрицательное значение.
§ 1У. О колебаниях звучащих струн,
рассиатриваемых в качестве натянутых струн,
нагруженных бесконечно больший количеством
иалых грузов, расположенных бесконечно близко
^руг от друга; о прерывности произвольных функций.
44. Общее решение, данное нами для проблемы
колеблющихся струн, имеет силу, каково бы ни было
число п движущихся тел и каково бы ни было
начальное состояние этих тел; следовательно, его
можно применить и в том случае, когда п становится
бесконечно большим, а промежутки между телами
становятся бесконечно малыми так, что длина струны
остается при этом неизменной; тогда движение каждого
тела будет выражено с помощью бесконечного ряда

496 ДИНАМИКА
членов, сумма которых будет эквивалентна некоторой
конечной функции, отличной от той функции, е по>
мощью которой выражается каждый из его членов.
Таков случай звучащей струны постоянной плотности,
причем обычно его разрешают непосредственно с
помощью дифференциального исчисления; между тем для
анализа представляется, пожалуй, интересным
показать, каким образом его можно вывести из общего
решения, в особенности,—принимая во внимание то
o6GT6flTeab&tBo, что, идя этим путем, мы уверены
в подучении решения, применимого к любой форме,
какую струна может иметь в начале своего движения.
45, Отметим сначала, что если п предположить
бесконечно большим, то значение |/& (п. 34)
будет равно l/ -щ- pit, так как предельное значение
2(ге + 1) sin 2(^\и составляет ри; таким образом кор.нц
уравнения относительно к, которые все между собою
несоизмеримы когда число п движущихся тел конечно,
станут соизмеримыми, когда п будет бесконечно
большим; их общей мерой будет "^ у щ при
продольных смещениях ^ и ir |/ -щ- при поперечных
■т) и ^; отсюда следует, что по истечении времени
2 1/ -- - струна всегда будет принимать сбой flep-
воначальный вид по отношению к оси, каково бы ни
было ее начальное состояние.
Конечно, число р тоже может стать бесконечно
большим, т. е. могут быть такие случаи, когда уже
нельзя будет принимать
2(« + l)sin2-^^^ = p^;
но так как это может случиться только после
бесконечно большого числа членов в бесконечных рядах,
обозначенных символом V' то из известной теории

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 497
&ТИХ рядов следует, что эти особые случаи не
представляют собою исключения из общего вывода.
В этом, впрочем, можно убедиться и
непосредственно; в самом деле, в том случае, когда п бесконечно
велико, конечные разности, обозначенные через
D, становятся бесконечно малыми; поэтому уравнение
п. 33 относительно X, при замене D знаком d и при
подстановке вместо ге -f 1 его значения -т-
принимает следующий вид:
это уравнение после интегрирования дает
Х=Я81п(а|/^ 4-е).
Если а = Оиа = /, тоХ должно равняться нулю,
так как оба конца струны неподвижны; первое условие
дает S = О, а второе дает / I/ -у=г = pi^, откуда
следует, как и раньше, Yк = pit 1/ -тр--
Таким образом для того, чтобы в данном случае
струна всегда возвращалась в свое первоначальное
состояние, нет необходимости допускать, что она
совершает только простые колебания, аналогичные
колебаниям маятника, как мы это делали в п. 35;
Действительно, каково бы ни было ее первоначальное
состояние, мы уверены, что ее колебания будут всегда
1-ами по себе изохронными и в то же время
синхронными с колебаниями простого маятника, длина
которого равна -|-. Однако закон этих колебаний будет
Отличен от закона колебаний маятников и будет
Зависеть от начального состояния струны.
Для того чтобы установить этот закон, следует
Просмотреть, во что превращаются общие выражения
82 ж. Лагранж, т. I

498 ДИНАМИКА
5, 7), ^ в случае бесконечно большого п; этот вопрос
мы сейчас и исследуем.
46. Подставим в общей формуле п. 36 —хт ^^^'
сто ф и „, ^" ■, вместо sin ~г, полагая п беско-
^ 2(ге + 1) 2
нечно большим; вместо индексов газ, обозначающих
порядковый номер тел, к которым относятся
переменные ? и а, применим, что значительно проще, части
самой оси или абсциссы, соответствующие этим
телам, обозначив через х абсциссу, относящуюся к ^,
и через а абсциссу, относящуюся к « и к а. Так как
согласно допущению вся длина струны равна /, то
мы будем иметь
г X S а , л I
ге + 1 I ' ге + 1 I ' •" ' ^ Da'
И рассматриваемая формула даст следующее общее
выражение для продольных смещений ^:
? = 2 2 sin£^ [4<^>cos(puA'0 + А^"''^^^] -
где
4(rt=S(sinP^?^),
Знак V обозначает здесь бесконечный ряд членов,
соответствующих значениям р = 1, 2, 3, ...,а знак 8
обозначает другие бесконечные ряды членов,
соответствующих всем значениям а, Da, 2Da, 3Da, ..., так
как Da бесконечно мало.
Аналогичные выражения мы получим для
поперечных смещений iq и ^, если вместо h' поставим h
и вместо а, а поставим р, р и у, у.
47. Даниил Вернулли, обобщая решение задачи о
звучащих струнах, данное Тейлором (Taylor), пришел
к формуле, которая подобна приведенной выше, но

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 499
В которой коэффициенты А^"^ равны нулю, а
коэффициенты 4(р) обозначают просто произвольные
постоянные, зависящие от начального вида струны (Memoires
de Berlin 1753); он полагал, что с помощью
различных членов его формулы можно объяснить
гармонические тоны, которые струна издает одновременно со
своим основным тоном. Наша формула, в которой эти
коэффициенты выражены с помощью начальных
значений а, а, дает нам возможность дополнить это
объяснение, которое после Бернулли было принято
многими авторами.
В самом деле, легко видеть, что основной тон струны
получается от первого или от двух первых членов
ряда, соответствующих р = 1, и что последовательные
гармонические тона, т. е. октава, дуодецима, двойная
октава, септендецима, . . . получаются от следующих
членов, соответствующих р = 2, 3, 4, 5, ... Итак, для
того чтобы основной тон доминировал над всеми другими
и чтобы одновременно были слышны только первые
гармонические тона, следует допустить, что
коэффициенты А<-^\ ^(') значительно больше всех остальных,
вместе взятых, и что дальнейшие коэффициенты
4<2), 4C), AW iB), 4C), 4D), ...
образуют очень сильно сходящиеся ряды. Однако из
характера зависимости этих коэффициентов от
начальных значений а и а видно, что это допущение
неприемлемо, если начальное состояние струны рассматривать
как произвольное; мы видим даже, что в большинстве
случаев эти коэффициенты образуют расходящиеся
ряды, что, однако, не мешает тому, чтобы струна
совершала изохронные или одинаковой
продолжительности колебания,— единственное условие, необходимое
для образования тона.
48. Хотя формулы п. 46 дают точно движение
струны по истечении любого времени t, тем не менее
32*

500 ДИНАМИКА
бесконечные ряды, входящие в эти формулы, не дают
возможности составить ясное и наглядное
представление об этом движении. Однако, если общую
формулу рассмотреть с другой точки зрения, то из
нее можно вывести простое однообразное построение
для определения состояния струны в любой момент
времени, каково бы ни было ее первоначальное
состояние.
Вернемся к этой формуле и представим ее в
следующем виде, что допустимо ввиду независимости
знаков суммирования S и V:
?. = Sa.2J?^5^sin.9Cos[2(« + l)A'fsin|]j +
sin Г2(ге-Ь1)А'«8т-?-1
2 sin г<р . L 2 J
_——j-!--sin Sep =
" + V ^ {n + i)h'sm^
Из этой формулы сначала выведем одно следствие,
которое будет для нас очень полезно. Так как
согласно допущению а представляет собою начальное
значение ^ (П; 29), то если в приведенном выше
выражении для ^г положить t = 0, оно превратится в а^
и, следовательно, у нас получится следующее
тождество:
8X1 2 sin г<р .
a-sZi п + 1 ^^Д^У-
Ясно, что правая часть этого тождества не может
свестись к Хг, если только мы не имеем вообще
Х^ 2 sin га . „
когда S отлично от г; а когда s = г, мы имеем
Х^ 2 sin га . .
где ср равно ^ , а знак ^относится к последова-

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕ!Л 501
тельным значениям 1, 2, 3, ... , ге величины р; это
дает ряд, образованный из произведений синусов
углов, кратных ——г и . , сумма которых в
первом случае всегда должна быть равна нулю, а во
втором ^—р— . Этот вывод может быть получен и
непосредственно с помощью известных формул для
суммирования этого вида рядов.
В приведенных формулах г и s являются согласно
допущению любыми целыми числами,
заключающимися между О и ге -f 1. Но так как ср = -^-j- , где р —
тоже целое число, то если вместо г поставить
21 (п-{-i) + г, где X — любое целое число,
положительное или отрицательное, то мы будем иметь
sin [2Х (га + 1) гЬ '■] 9 = ± sin rep;
следовательно, мы получим вообще
V f 2 sin [2Х (ге -Ь 1) -f- г] <р . 1 , л п
2j { n + i Sin scpl = ± 1 или = О,
в зависимости от того, равны ли между собою «иг
или не равны.
Вырангение 2X(re-|-l) + r может представить все
целые числа, положительные или отрицательные,—
как мы это уже видели в п. 37; следовательно, если
мы имеем какое-либо целое число Л'^, мы можем
положить iV = 2Х (ге + 1) ifc /•, откуда получится
г = 4: [iV — 2Х (ге -f 1)], и тогда мы получим вообще,
каково бы ни было число N,
2j ^1 ^ = ±т или = 0,
в зависимости от того, имеем ли мы равенство
S = + [iV—2X(re-|-l)] или же нет, где s — целое
число, заключающееся между О и re-f 1.
49. На основе изложенного и, принимая во
внимание, что выражение для ^^ состоит из двух частей,

502 ДИНАМИКА
из которых первая содержит начальные значения а
переменной ?, а вторая содержит начальные значения
а производных -г-, мы рассмотрим отдельно каждую
из этих частей, причем первую обозначим через ^J. а
вторую через ^г» так что мы будем иметь ^^ = ?г + ??•
Если допустить, что п — бесконечно велико, то
угол tp = ^ ■ станет бесконечно малым, и sin-|-
сведется к ~ (п. 46). Произведя соответствующие
подстановки в выражении для ^J!» мы получим (п. 48)
t'r = 8аз2 - . л sin rep sin Sep cos (re -j- i)h' trf,
a разложив произведение sin rep cos (re + 1) Л'^cp в ряд,
Так как re должно быть бесконечно большим
числом, то число (re + l)^' мы всегда можем
рассматривать как целое число, каково бы ни было число,
вырай{ающееся через h't.
Таким образом, если в последней формуле
предыдущего пункта положить N ^ г -\- {п + i) h' t, то мы
получим
IS аз 2j -^ n^l —^^ sin Sep ^ = ± -2 аз,
где
«= ±[r + {n+i)h't~2-k{n + i)];
и если положить N = г — {п -\- I) h't, то мы получим
аналогично
S-V fsinrr —(ге-Ь 1)А'«]<р . \ ,1
<^»'2л\ ^-^1 —-^ sins(pV = ±-2-a,' ,

о МАЛЫХ КОЛВВАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТВЛ ^03
где
s'=±[r-{n+i)h't — 2Х' (га + 1)],
а X и Х' являются любыми целыми числами или же
равны нулю.
Объединив два приведенных выше значения, мы
таким образом получим просто
\т= -2(±'Xs±(Xs'),
где двойные знаки аз и аз' соответствуют знакам s и s'.
50. Вместо показателей или индексов г и s,
указывающих порядковый номер тел, к которым
относятся переменные ^ и а, представляется.более
удобным применить части самой струны, заключающиеся
между первым неподвижным концом и этими телами.
Обозначим, как в п. 46, через х часть оси или
абсциссу, соответствующую \, а через а —
соответствующую а; так как длина струны равна /, то мы
имеем
г X S а
S'
а также
^т = 1' ^^'^ д^^'^
_ (n + i)x _ (n+i)a , _ (п + 1) а' .
Г— ^ , S— ^ , S ^ ,
следовательно, вместо ^г> "'si осз' можно написать
просто ^х, ССа, ССа' .
Подставив эти значения г, s, s' в формулы
предыдущего пункта, помножив на / и разделив на ra-fl,
мы получим
a = ±{x + lh't — 2-kl),
а' = ±{x~lh't~ 2X7),
?'а; = -2-(±аа±<Ха'),
Где двойные знаки Ха и ад/ соответствуют двойным
знакам а и а'; эти знаки, равно как и значения а и а'.

504 ДИНАМИКА
следует определить таким образом, чтобы эти значения
были положительными и меньшими, чем /.
51. Обозначим через А и А' значения + аа и ±Ха',
так что мы будем иметь вообще
^, _А + А'
<=х— 2
Следовательно,
1) если X + Ih't лежит между О и /, надо принять
а = х -\- Ih't и А = -\- Ха,
2) если X -\- Ih't лежит между / и 21, надо
принять а = — {х -\- Ih't — 21) и А = — ot-a,
3)если x-\-lh't лежит между 2/иЗ/, надо принять
а^х -\- Ih't — 21 и А = -\- Ла и так далее.
Точно так же
1) если X — Ih't лежит между / и О, надо принять
а' = X — Ih't и А' = oLa',
2) если X — Ih't лежит между О и —/, надо
принять а'= — {х — Ih't) и А'= —Xa'l
3) если X — Ih't лежит между — / и — 21, надо
принять а' ^ X — Ih't -|- 2/ и А' = Ха' и так далее.
Как видим, эти различные случаи сводятся к
определению абсцисс а и а' путем прибавления или
вычитания из абсциссы X отрезка Ih't, причем если
полученное значение переступит через один или другой
конец оси /, то отрезок следует перегнуть вперед или
назад, как если бы на обоих концах
происходило отражение от помещенных там препятствий, а
соответствующую ординату Ха или Ха' следует взять
положительной, когда число отражений четное, или
отрицательной, когда это число нечетное.
52. Однако еще проще будет продолжить кривую
величин X на той же оси /, продленной в обе
стороны, так что можно непосредственно получить
ординаты Ха И аа', соответствующие абсциссам x + lh't
и X —Ih't.
Для этой цели следует сначала построить на оси /
ломаную с бесконечно большим количеством стороц

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 505
ИЛИ кривую, ординаты которой для какой-либо
абсциссы X составляют a^ и которая задана
начальными значениями смещений ^д. всех точек струны^ эту
кривую следует перемещать попеременно выше и
ниже той же самой оси, бесконечно продолженной
в обе стороны, так что в результате получится
непрерывная кривая, составленная из равных ветвей,
которые расположены симметрично относительно оси
и соединяются своими концами; на этой кривой
ординаты точек, равно удаленных от одного и другого
конца оси /, всегда равны по своей длине, но
противоположны по направлению. Если на этой кривой
взять ординаты, соответствующие абсциссам х -\- Ih't
и X — Ih't, то мы получим значения ^ и ^', а
значение переменной ^' по истечении какого-либо
времени t будет представлено спомощью формулы
Указанное продолжение кривой, выражающей
значения а, можно было бы прямо вывести из того, что
в общем виде было нами доказано в п. 37, — если
допустить, что струна вместо того, чтобы быть
ограниченной двумя неподвижными точками, простирается
в обе стороны до бесконечности; тогда ломаная,
которую мы мысленно представили себе в
настоящем пункте, превратится в непрерывную кривую,
которая, будучи приложена к первому мгновению
движения, представит кривую значений величин а,
продолженную до бесконечности.
53. Рассмотрим теперь вторую часть ^г, которую мы
обозначили через ^' и которая представлена
формулой (п. 46)
2smr9 . sm[2(n + l)A'«sm \
?' = SoCsS
п -\- 1 ^ <р
2(re-bl)A'sm Y
Здесь следует начать с того, чтобы освободиться
от знаменателя sin ~; тогда эта формула станет

506 ДИНАМИКА
подобной формуле для ^'^ и ее можно будет
подвергнуть таким же преобразованиям.
Для этой цели я беру разность Z)^', но так как
показатель г входит только в sinrcp, достаточно
поставить символ D только перед этим синусом.
Согласно известным теоремам мы имеем
Dsiixrrf = sin(r + 1)<р — sin rep = 2 sin -|- cosTr + -s)?-
Подставив это значение в выражение D^', мы
получим
^ [2соз/г+-2-\ф \
О^'г = (ThFW Sa,2( kr-^ ^'"^ "f «1п[2(п+1)А'« Sin f J j .
Положив для случая бесконечно большого п
sin |- = |- и разложив произведение cos ( г + "о") •^
к (psin(re + ^)h't(f, мы получим
1 с- ^sin[r + (n + l)A'« + |]^
£»5, , 8а„ Л| -^ sin s<p —
'"^ (re + 1) А' * -^ ге + 1 ^
~ {п + 1) А' ^"'^ ~МЛ ^i"^ ""Р-
Это выражение Z)^' состоит из двух частей,
аналогичных частям выражения для ^' (п. 49); стало быть, к
ним можно применить те же рассуждения и придать
им такой же вид.
Следовательно, если на оси / построим ломаную
с бесконечно большим числом сторон или кривую,
ординаты которой для каждой абсциссы ж равны а^
и которая задана начальными скоростями а, и будем
ее перемещать попеременно выше и ниже от той
же оси, неопределенно продолженной в обе стороны.

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТВМЫ ТЕЛ 507
ТО в результате этого мы получим непрерывную
кривую, подобную кривой предыдущего пункта. Если
затем поставить jr- или jr- вместо п -\- i тя. пренебречь
1
величиной „, ■ по сравнению с х, считая ее
равной нулю, то мы получим
„■;, DX ,' ' .
^Чд. = -Щ7 y*-x+lh't — <^x-lh't),
а отсюда, переходя от разностей к суммам
^ж = 'Ш ^ ("'»:+"''' ~ '^x-lh't) Dx.
54. Как видим, эти суммы или интегралы выражают
площади кривых, координаты которых равны а; счет
этих площадей следует начинать только с точек, где
а; = О или где абсциссы равны Ih't и — Ih't; однако
удобнее начинать счет с общего начала абсцисс,
каковым является внешний край отрезка /. Для этой
цели следует из площади, начинающейся в
указанной точке и соответствующей абсциссе x-\-lh't,
вычесть площадь, соответствующую абсциссе Ih't, с тем,
чтобы оставшаяся площадь начиналась в точке ж ^ 0;
что же касается площади, соответствующей абсциссе
х-—Ih't, то к ней следует прибавить площадь,
соответствующую — Ih't, с тем, чтобы ее начало отнести
к той же точке начала абсцисс.
Обозначим вообще через fXxdxj всякую
площадь, которая начинается в этом начале и которая
соответствует какой-либо абсциссе ж; согласно тому,
что мы сказали выше, мы имеем в выражении для £^
S k.+wi /)ж =E i dx\^^^,^ - E к йж)^^,^,
S «._<.'. 2>ж=Eасгж)^_,^,^ +Eас/ж)_^^,^.

508 ДИНАМИКА
Подставим эти значения и заметим, что вообще
так как согласно природе кривой величин а
ординаты, соответствующие равным, но с
противоположными знаками, абсциссам, тоже между собою равны
и имеют противоположные знаки; так что мы всегда
имеем ajft't + (X-ift't = О-
Таким образом мы получим просто (предыд. пункт)
i' = J-^\([;,dx) -([kdx) 1.
^х 2lh' LVj Jx+lh't VJ Jx-lh't A
55. Наконец, соединив значения ^' и ^^, мы
получим следующее общее выражение для ^^ к концу
любого времени t:
i
?ж= f {<X.x+lh'l + <X.x-lh't) -f
+Ш [(S ^ ^^)x+iK'i ~ (S ^ ^^X-<vt ] ■
Аналогичные выражения получаются для
переменных у)^, Z,^, если только вместо h' поставить h и
вместо а, а поставить р, р, у и у и если предположить, что
мы, как и раньше, построили кривые, соответствующие
начальным значениям р,р и у, у.
Определив таким образом продольные смещения
^ и поперечные смещения т) и J^ каждой точки
струны, соответствующей взятой на оси абсциссе х,
мы будем знать состояние струны к концу любого
времени t, истекшего с начала движения, а так как
начальные значения а, |3, у, равно как а, Р, у,
совершенно произвольны, ТОМЫ видим, что ничто не может
ограничить этого решения, лишь бы кривые,
составленные по этим значениям, имели непрерывно
изменяющуюся кривизну и не образовали каких-либо конечных уг-

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 50С
лов, в результате чего могли бы возникнуть скачки в
выражениях для скоростей и для ускоряющих сил.
Мы положили (п. 35) Л = Т/ Z.,, h! = л/ €L, где
' V Ш V Ш
/ — длина струны и М — масса всех расположенных
на ней грузов (п. 33); таким образом М будет
массой или весом всей струны, которая согласно
допущению имеет постоянную плотность следовательно,
если через Р обозначим удельный вес струны,
зависящий от ее плотности и толщины, то мы будем иметь
М ^ IP; итак, мы получим
*-4П. ^'-I/?-
Что касается величин F и F', то мы видели, что они
представляют собою две постоянные величины, из
которых одна, F, выражает натяжение струны и,
следовательно, пропорциональна натягивающему ее
грузу, а другая, F', зависит от закона, выражающего
зависимость этого натяжения от растяжения струны (п. 32).
56. Если хоть немного исследовать вид кривых,
представляющих значения а и а, то легко видеть,
что ординаты, удаленные друг от друга на
расстояние 21, всегда между собою равны и имеют
одинаковый знак и что площади, заканчивающиеся
на этих ординатах, тоже между собою равны, так как
вся площадь, соответствующая промежутку в 21,
взятая в любом месте оси, продолженной до
бесконечности, всегда равна нулю, ибо она составлена из двух
частей, равных между собою, но имеющих
противоположные знаки.
Отсюда следует, что значение ^х остается
неизменным, если время t увеличить на -гг или на любое
кратное этой величины; следовательно, продольные
смещения струны становятся одинаковыми к концу
2 1 / Р"
промежутка времени, равного -г-, или 2/1/ р, ; это —
продолжительность продольных колебаний.

510 ДИНАМИКА
То же самое относится к значениям т)^ и ^х, если
вместо h' взять h, т. е. вместо F' взять F;
следовательно, продолжительность поперечных колебаний
равна 21 у у.
Все авторы, писавшие до сих пор по вопросу о
колебаниях звучащих струн, исследовали только
поперечные колебания, причем для их
продолжительности они нашли ту же самую формулу, какую мы
дали выше.
Что касается продольных колебаний, то насколько
я знаю только Хладный (Chladni) упомянул о них в
своем интересном трактате по акустике, § 43; он
указывает способ их получения на скрипичной струне
и отмечает; что сообщаемый ими тон отличается от
тона, получаемого при поперечных колебаниях,
откуда следует, что F' отлично от F; таким образом
при наличии весьма вероятной гипотезы, что упругая
сила, с которой каждый элемент струны
сопротивляется своему растяжению или укорочению,
пропорциональна некоторой степени т этого элемента, т. е.
что ф = К {Ds)"^ (п. 14), т должно быть отлично от
единицы (п. 32), и'если, как, повидимому, полагал
Хладный, продольный тон всегда выше поперечного,
мы должны иметь F''^F и, следовательно, т]>1.
57. Мы видели (п. 36), что натянутая струна
длины /, нагруженная п телами, может двигаться таким
образом, как если бы она имела только длину —, где
V является делителем ге -f 1. Когда п — бесконечно
большое число, V может быть любым целым числом; таким
образом звучащая струна длины / может колебаться
подобно струне, длина которой составляет -у, т. е,
некоторую аликвотную часть /; продолжительность
ее колебаний сводится тогда к — 1/ =; для
продольных колебаний и к — V^ ^ — для поперечных.

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 511
В самом деле, если начальные произвольные
значения а и а таковы, что кривые, или места этих
значений на оси /, разделяют эту ось на две или на
V равных частей и ветви, соответствующие этим частям,
одинаковы, но расположены попеременно выше, и ниже
оси, так что на равных расстояниях по обе стороны
•от каждой из точек раздела ординаты равны и имеют
противоположный знак, то эти кривые, будучи затем
продолжены до бесконечности, будут согласно
построению п. 49 иметь тот же вид, как если бы они
получились из струны, длина которой составляет
только —, а общее выражение ^х (п. 52) показывает,
что значения ^, соответствующие точкам раздела,
всегда равны нулю; таким образом при продольных
своих колебаниях струна сама собою делится на
соответствующее число равных частей, которые
колеблются таким образом, как если бы их концы были
неподвижны.
То же самое относится и к поперечным
колебаниям, представленным переменными т) и J^.
58, Так как тон, издаваемый звучащей струной,
зависит только от продолжительности ее изохронных
колебаний, которая для одной и той же натянутой
струны пропорциональна ее длине, то отсюда следует,
что струна, разделяясь сама собою на равные части,
издает такие тона, которые относятся к главному
тону, когда струна колеблется вся целиком, как
дроби, выражающие эти части, относятся к единице.
Следовательно, когда струна делится на 2, 3,
4,... равные части, то эти тоны выражаются дробями
11 1 1
у, -д-, -г, -F-,. .. и, значит, составляют октаву,
дуодециму, двойную октаву, септендециму и т. д. основного тона.
Эти тоны, которые струна сама собою может
издавать, называют гармоническими тонами; известно,
что их можно по желанию вызвать, если во время
колебания струны слегка прикоснуться к ней в одной
из точек раздела, которые называют узлами колеба-

512 ДЙЙАМИКА
пай, — вслед за Совером (Sauveur), который с
помощью этих узлов впервые в Memoires de FAcademie
des Sciences за 1701 г. объяснил гармонические тоны
однострунной лиры и других инструментов. Валлис
(Wallis) наблюдал их уже у струн, настроенных на
октаву, дуодециму, двойную октаву и т. д. низке той
струны, которую заставляли звучать; они колебались
естественно разделяясь на две, три, четыре,. ..
равные части, из которых каждая могла издавать тот
же самый тон, какой издавала струна,которую
заставляли звучать. (См, главу 107 его «Алгебры».)
59. Теория и опыт находятся между собою в
хорошем согласии по вопросу о получении
гармонических тонов; но не так легко найти причину того
явления, которое вслед за Рамо (Rameau), положившего
его в основание своей системы, называют
резонансом звучащего тела и которое заключается в
соединении гармонических тонов с основным тоном у
всякой струны, которую заставляют звучать любым
образом.
Если эти гармонические тона действительно
издаются струной одновременно с ее основным звуком,
то следует предположить, что струна одновременно
совершает целые колебания и частичные и что ее
Действительные колебания состоят из этих различных
колебаний, подобно тому как всякое движение
может быть составлено или может считаться
составленным из многих дрз^гих движений.
Раньше (п. 47) мы уже видели, что с помощью
формулы Даниила Бернулли невозможно достаточно
ясно объяснить одновременное существование
гармонических тонов; к этому мозкно добавить, что ряды,
которые могли бы дать эти различные тоны,
исчезают из формулы, когда мы допускаем, что число тел
бесконечно велико и что при этом допущении, как
мы это недавно доказали, для каждой точки струны
получается закон простой и однообразной
изохронности, непосредственно и просто зависящий от
начального состояния.

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 513
Впрочем, если бы мы пожелали во что бы то ни
стало объяснить многократный резонанс струн с
помощью сложных колебаний, то нам пришлось бы,
например, считать, что начальная фигура струны
составилась из различных наложенных друг на друга
кривых, так что одна из них является осью для
следующей, причем первая образует на всем протяжении
струны только одну ветвь; вторая образует две ветви,
равные и расположенные симметрично, разделяющие
ось на две равные части; третья образует три равные
ветви, разделяющие ось на три равные части, и так
далее.
Колебания струны можно тогда считать
составленными из целых колебаний по всей длине струны и
из колебаний, соответствующих только половине
струны, трети ее, четверти и т. д. Но так как подобное
сложение кривых и колебаний является только
гипотетическим, то выводы, которые отсюда можно
было бы сделать по вопросу об одновременном
существовании гармонических тонов, были бы совершенно
ненадежными.
60. Вернемся теперь к общей формуле, найденной
в п. 55. Так как величины a^+j/i't и Xx-ih't являются
координатами заданной кривой, соответствующими
абсциссам х -f Ih't их — Ih't, то их можно
представить с помощью функций этих абсцисс одного и того
же вида. Если обозначим символом F неопределенную
функцию, то мы будем иметь
ix.x+ih't =F{x + Ih't), tx.x_ih4 = F{x — Ih't).
Вместе с тем, если взять другую функцию,
обозначенную символом /, то можно положить
Таким образом выражение для ?,х (п. 55) может быть
представлено в следующем виде:
_ _ F{x+ lh't)-\-F(x—lh't) f{x + lh't) — f{r~W,)
''=' ~ 2 "^ 21 h'
33 ж. Лагранж , т. I

514 ДИНАМИКА
где функции, обозначенные символами F и f,
являются произЕОльными, так как они зависят только от
начального состояния струны.
Это выражение можно представить и в более про-
F(x + lh't) ,
стом виде, приняв во внимание, что —^—^ +
, f(x+ Ih't) - -
-f „,. /—■ представляет собою собственно только
одну функцию X + Ih't^ которую можно обозначить
^ F{x— Ih't) fix— Ih't)
СИМВОЛОМ Ф, и что —^—S — - „..,—■ тоже
представляет собою только одну функцию а; — Ih't^ однако
отличную от предыдущей, которую можно обозначить
другим символом Т.
Указанным образом общее выражение для ^ будет
приведено к следующему виду:
1 = ф{х-\- Ih't) 4- Т (ж — Ih't).
61. К этому выражению можно притти
и,непосредственно, пользуясь дифференциальным уравнением,
определяющим переменную I, (п. 31). Если положить
т-= О и принять, как в п, 32, i^'= const, а символ
D конечных разностей заменить символом d бесконеч-
но малых разностей, то указанное уравнение примет
следующий вид:
Если теперь положить df = dx, dm = -fdx и h' =
a TO это уравнение получит следующий вид:
V 1М
это — уравнение в частных дифференциалах второго
порядка между тремя переменными ^, х, t, полным
интегралом которого является уравнение
^ = ф (а; + Ih't) + Т (а; — Ih't),

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 515
где знаки Ф и Т, как и раньше, обозначают две
произвольные функции.
Эти функции должны быть определены с
помощью начального состояния струны и с помощью
условий, что оба конца неподвижны. Если их
разложить на две другие функции, обозначенные
символами F и f, и притом такие, что Ф = -s- + кттг
И ^ = у — оЖ'' ^^ ^^ получим
J- _ F(x + Ih't) Jf-F{x — Ih't) f{x+ Ih't) —f(x~lh't)
как мы это вывели раньше из своего построения;
первое суловие, если положить f = О, дает
откуда следует
/ {х) = \м.в,х\
таким образом с помощью начальных значений а и а
Йы тотчас же получаем значения функций F (х) и
f (ж) на всем протяжении / струны.
Условия неподвижности концов струны дают \=Q,
когда а; = О и когда а; = /, каково бы ни было
значение t. Если обе функции i^ и / отдельно подчинить
указанным двум условиям, что вполне допустимо,
то для первой из них мы получим
F {—Ih't) = —F {Ih't), F{l + lh't) = —F{l — lh't)
и для второй
/ (- Ih't) = f {Ih't), f {I + Ih't) = f{l~ Ih't),
что с помощью дифференцирования дает
- /' (- Ih't) = f {Ih' t), f {I + W t) = —i'{l- Ih't);
33*

516 ДИНАМИКА
отсюда видно, что условия, которым должна удовле^
творять функция /', те же, что и для функции F.
Эти условия определяют значения функций F (х),
f {х) для абсцисс х, отрицательных или
превышающих /, соответственно значениям этих функций для
абсцисс, лежащих между О и /; легко видеть,
что отсюда получаются построения, данные в
п. 52 и 53,
Если вместо продольных смещений I, рассмотреть
поперечные смещения т) или X,, то мы получим то же
самое дифференциальное уравнение и, следовательно,
тот же интеграл и те же построения, при этом
придется лишь вместо Л' взять h и вместо а, а взять
Ь, Р или Y, у.
Эти построения походят на те, какие дал Эйлер,
чтобы определить вид струны в любой момент времени,
исходя из ее начального вида, отвлекшись при этом
от скоростей, сообщенных ей в начале движения.
Следует, однако, отметить, что так как эти построения
основаны только на функциях, представляющих
интегралы уравнений в частных дифференциалах, то они
не могут иметь более широкой области применения,
чем то, какое допускает природа функций, будь то
алгебраические функции или трансцендентные. А
так как дифференциальное уравнение для всех точек
струны и для всех моментов ее движения остается
одним и тем же, то выражаемое им соотношение должно
постоянно и равномерно сохраняться между
переменными, в какой бы области они ни изменялись; отсюда
следует, что хотя произвольные функции сами пб себе
имеют неопределенный вид, тем не менее, когда этот
вид на известном промежутке задан начальным
состоянием струны, то отсюда естественно можно сделать
вывод, что эта форма должна оставаться одной и той же
во всей области функции и что ее нельзя изменять с
целью подчинить условиям, связанным с принятой
неподвижностью концов струны.

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 517
И Даламбер, которому мы обязаны нахождением
этого интеграла в произвольных функциях, всегда
утверждал, что вытекающее отсюда построение только
тогда законно, когда начальная кривая имеет такой
вид, что в силу своей природы она имеет равные и
подобные ветви, попеременно лежащие выше и ниже оси и
которые все заключаются в одном и том же
уравнении, для того, чтобы та же функция могла
представить данную кривую со всеми ее ветвями, до
бесконечности. Наоборот, Эйлер, принимая аналитическое
реш.ение Даламбера, полагал, что для образования
непрерывной кривой достаточно перемещать начальную
кривую попеременно вверх и вниз от оси до
бесконечности, не заботясь о том, могут ли различные ветви
быть связаны одним и тем же уравнением и
подчинены закону непрерывности аналитических функций.
См. Memoires de Berlin за 1747 и 1748 гг. и т. I и IV
«Opuscules» Даламбера.
62. Формулы, дающие движение натянутой струны,
нагруженной неопределенным числом равных тел, не
вызывают никаких затруднений, поскольку движение
каждого тела определяется частным уравнением; ясно,
что если эти же формулы можно применить к
движению струны постоянной плотности, допуская, что
число тел берконечно велико, а их взаимные
расстояния бесконечно малы, то закон, который отсюда
получится для колебаний струны, будет совершенно
независим от ее первоначального состояния; и если этот
закон олажется тем же, какой получается из
рассмотрения произвольных функций, то тем самым будет
доказано, что эти функции могут быть любого вида,
непрерывного или прерывного, лишь бы только они
представляли начальное состояние струны. Этим именно
путем я в первом томе Memoires de Turin доказал
правильность построения Эйлера, которое до тех пор
еще не было достаточно обосновано. Примененный
мною там анализ, за исключением некоторых
упрощений, которые я ввел с тех пор, совершенно подобен
тому, какой я дал сейчас; я полагал, что его следует

518 ДИНАМИКА
привести и в настоящей работе, так как он прямо
"приводит к строгому разрешению одного из наиболее
интересных вопросов механики.
Общность произвольных функций и их независимость
от закона непрерывности, доказанные для интеграла
уравнения, относящегося к колебаниям звучащих струн,
дает основание считать, что эти функции могут быть
аналогичным образом применены при интегрировании
других уравнений в частных дифференциалах; я сам
во втором томе указанных Memoires показал, Каким
образом многие из этих уравнений можно
проинтегрировать, не рассматривая произвольных функций, и йри
этом притти к тем же решениям, какие можно
получить с помощью этих функций, рассматриваемых во
всем их объеме.
В настоящее время принцип прерывности функций
является общепринятым для интегралов всех
уравнений в частных дифференциалах, и построения, которые
Монж (Monge) дал для большого количества этих
уравнений, соединенные с теорией образования
поверхностей с помощью произвольных функций, не оставляют
больше никакой неясности в вопросе о применении
прерывных функций в проблемах, зависящих от такого
рода уравнений.
63. Заслуживает быть отмеченным, что та же формула
1 = Ф{х + к1) + '¥{х- Ы),
которая удовлетворяет уравнению в частных
дифференциалах
дает решение такого же уравнения в конечных
разностях, кот&рое может быть представлено в
следующем виде:

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ 519
если только положить Dx'= к Dt и считать Dt
постоянным. В самом деле, если изменять только х, то
Ь^,Ф{х + kt) -^Ф{х +Dx-\- kt) —
— 2Ф (а; + kt) + Ф (а; — Z?a; + kt),
а если изменять только t, то
D^, Ф(x-\■kt) = Ф{x-\-kt + k Dt) —
— 2Ф{x■\^kt) + Ф{x-\-kt —kDt);
эти выражения становятся равными, если положить
Dx^=kDt\ то же самое можно получить для
функции Т(а; — Ы).
При бесконечно малых величинах условие dx ^ kdt
отпадает, и интеграл всегда существует; основание
этого заключается в том, что в данном случае выра-
жение ---^; которое по виду представляет второй
дифференциал ^, разделенный на квадрат дифференциала t,
является не чем иным, как символом, выражающим
простую функцию t, производную первоначальной
функции I и отличной от этой функции, которая
совершенно не зависит от значения dt. То же самое
верно и' для выражения -^-^ по отношению к х;
В' этом превращении функций фактически и
заключается переход от конечных величин к бесконечно малым
и самая сущность дифференциального исчисления.
64. Я добавлю здесь еще одно замечание, которое
может оказаться полезным во многих случаях. Я имею
в виду новый метод интерполяции, вытекающий из
формул п. 48.
Мы видели, что величина
„-f.S[em(^)S..sln(^)]
становится равной а^, когда г = 1,2,3, . .., п.
Следовательно, если имеется ряд величин а^, ag, х^,. . . , Хп,
число которых равно п, то можно с помощью приведен-

ной формулы выразить любой промежуточный член,
порядок которого обозначен любым целым или дробным
числом г, так как если последовательно принять
r = i, 2, 3 п, то формула дает а^, а^, «g,. .. , а„.
Символ S ^эбозначает сумму всех членов,
соответствующих S = 1, 2, 3, . .., и, а символ ^ — сумму
всех членов, соответствующих о = 1, 2, 3, ,. . , л, причем
7г обозначает угол, соответствующий двум прямым.
Допустим, что задан только один член а^; положим
n=i, s~i, р=1; тогда мы получим для общего
выражения а,.
гтс
хг = а^ sin -q- •
Пусть п = 2 и пусть два заданных члена равны,
. а^, 01.2, если положить s — i, 2, р = 1,2, то мы получим
а,. — -д- [А' sin -g- -f ^ sin -g- J ,
где принято
Л = ai sin у -f ^2 sin -g- ,
Atr . 2т: , 4 4tc
Л = a^ Sin -g- -f a^ sin -g-.
Пусть и = 3 и пусть заданные члены равны а^, qc^, «j;
положим S == 1, 2, 3 и р = 1, 2, 3; тогда мы получим
a. = |(^'sin^ + ^"sin^ + ^"'sin-^),
где коэффициенты А\ А", А'" определяются
следующими формулами:
At . ТС , * 2тс , * Зтс
А' = а^ sin -^ -f а^ sin -^ -f ag sin -^ ,
лп . 27Т , . 4тс , . бтс
А" — Xi Sin -^ + 1^2 sin -^ -f ag sin -j- ,
A ,11 . Зтс , . бтт , . 9тс
^'"=aiSin-^ -f ajSiii -^-f agSin -^ ,
и так далее.

При обычном методе интерполирования допускают,
что через концы ординат, представляющих
заданные члены, мы проводим параболическую кривую
вида
у = а -\- Ьх -\- сх^ -\- dx^ + • • •
При изложенном выше методе вместо параболической
кривой .принимают кривую вида
у^А'ът — +A"sm^^^+ Л'" sin ^^ + .••
" а ' а ' а '
Существует очень много случаев, когда последнее
допущение можно предпочесть, как более
соответствующее природе задачи.

ДОПОЛНЕНИЯ
-«<в>.

'^ЧУ>сГтз~"^^Г>уг^
I.
л. ПУАНСО.
OB основном ПОЛОЖЕНИИ «аналитической
МЕХАНИКИ» ЛАГРАНЖА.
1. Известно, что Лагранж в своей знаменитой книге,
озаглавленной им «Аналитическая механика», поставил себе
целью свести механику к общим формулам, выведенным из
единственного принципа виртуальных скоростей, или, вернее,
из дифференциальной формулы, выражающей этот принцип.
Для придания своему труду большего совершенства автор при
разрешении исследуемых им проблем старается избегать
применения каких бы то ни было чертежей или аргументов,
основанных на геометрических или механических
соображениях; все операции производятся у него путем исчисления и
с помощью простых преобразотаний'координат; даже столь
естественный и простой вопрос, как вопрос о сложении сил,
приложенных в одной точке, мы видим представленным в чисто
аналитическом виде.
«Если какие-либо силы Р, Q, R, . .. , направленные по
линиям р, q, г, . . . , действуют на одну и ту же точку, и мы
захотели бы эти силы свести к трем другим силам S, П, S,
направленным по линиям ^, тс, ст, то для этого,—говорит
автор,—нам следует лишь рассмотреть равновесие сил Р, Q,
R, . . . и S, <F, Ф, приложенных к той же точке и
направленных соответственно по линиям р, q, г, .. ., — |, —ф, — <pi и
следовательно, составить уравнение
Р dp+ Q dg + Л dr + . . . — S d^ — W ^ф — Ф d<p = О,
которое должно оставаться верным, каким бы образом мы ни
меняли положение точки встречи всех сил. Но каковы
бы ни были Линии 5, тс, ст, ясно, что если только все они не
лежат в одной и той же плоскости, их будет достаточно для
определения положения этой точки, следовательно, линии

526 л. пуАнсо
р, q, г, . .. можно всегда выразить с помощью функций
переменных ^, тс, ст, и приведенное выше уравнение должно иметь силу
для вариаций указанных трех величин каждой в отдельности;
отсюда следует, что мы имеем
dl dl dl
diz dn dn
da da da
Таковы формулы, данные Лагранжом для того, чтобы
силы Р, Q, R, .. . , приложенные к одной и той же точке и
действующие по направлениям линий р, д, г, . . ., свести
к трем другим силам S, П, S, направленным по трем любым
заданным линиям ^, иг, а; эти выражения к тому же
совершенно аналогичны тем, какие мы имеем для преобразования
любой системы сил, действующих на различные точки,
связанные между собою произвольным образом,— в др}тую
эквивалентную систему сил S, П, S, приложенных к тем же
точкам по другим направлениям ^, тс, ст, . . .
2. По поводу приведенного положения Лагранжа следует
сделать одно существенное замечание, которое, повидимому,
ускользнуло от внимания автора «Аналитической механики».
Замечание это сводится к тому, что рассматриваемые формулы
совершенно не подходят, как это можно было бы
предположить, ко всем Видам линий или координат ^, тс, а, . . . , хотя
эти линии и пригодны для определения положений тел.
Приведенные формулы хороши только в том случае, когда эти
новые линии (подобно первым р, д, г, . . .) представляют
собою расстояния рассматриваемых тел от каких-либо непо-
двимсных центров или от каких-либо неподвигисных плоскостей,
как это имеет место в случае обычных координат х, у, z,
обозначающих расстояние исследуемой точки от трех
неподвижных взаимно перпендикулярных плоскостей. Вообще, можно
сказать, что для того, чтобы эти формулы были верными,
требуется, чтобы природа линий Д, тс, ст, . . . была такова,
чтобы их дифференциалы d5> diz, da, . . . выражали
виртуальные скорости точки приложения сил S, П, }£,..., т. е. чтобы
*) Приведенные выше строки взяты из первого я.эдания,
отр. 62; во втором издании, опубликованном Лагранжем (см.
стр. 153—154 настоящей книги), они были автором несколько
видоизменены, но замечания Пуансо применимы' к новой
редакции срвершенно так же, как и Ц старой, {Прим, Бертрана.)

OB основном ПОЛОЖЕНИИ ЛАГРАНЖА ^27
любая яз них, d^, была прямоугольной проекцией на
направление силы S бесконечно малого перемещения, которое мы
представляем себе сообщенным этой точке в пространстве; без
этого условия все указанные аналитические преобразования,
хотя бы с точки зрения чистого анализа они и были верными,
окажутся неверными в области механики и приведут к
неправильным выводам. . ,
3. Предположим, например, что речь идет об одной
единственной точке, подверженной действию любых сил Р, Q, R, . ■ ,
направленных по линиям или радиусам-векторам р, д, г, . . . ,
и что мы желаем эти силы свести к трем силам S, П, ii,
действующим по трем координатам ^, тс, ст, параллельным трем
неподвижным- осям, находящимся друг к другу под косыми
углами; согласно теории автора можно было бы подумать,
что для искомых сил мы будем иметь
^=.p^ + q?1. + rIl+...,
n=p££L-LQ^, + i?^+-...,
д-к dtz diz
^=P^JL + qH_ + rEL+...;
da da da
однако это неверно, так как можно доказать, что
равнодействующая сил Р, Q, R, . . . не будет тождественна
равнодействующей трех сил S, П, 2> определяемых с помощью
приведенных уравнений.
В самом деле, пусть j (р, д, г, . . .)—любая функция
радиусов-векторов р, д, г, . . .; обозначим через /' (р), ]' (д), /'('')• • • •
первые функции этой функции, взятые по отношению к линиям
р, д, г, . . . Я доказал *), что силы Р, Q, R, . . . ,
пропорциональные этим первым функциям и направленные по
соответствующим линиям р, д, г, . . ., имеют равнодействующую,
перпендикулярную к кривой поверхности, заданной уравнекием
/(Р> Я, '■) = const,
причем р,'д, г, . . ■ рассматриваются как переменные.
Представим себе теперь три наклонные оси, не располо-
Жвнн-щё в одной и той же плоскости, и пусть g, тс, а — три
координаты точки приложения сил по отношению к этим
осяй; тогда линии р, д, г, . . . можно всегда выразить; с
*) См. Statique Пуансо и мемуар, озаглавленный Theorie
Renerale de requilibte et du.mouvement des systemes (Journal
de I'Ecole Polytechnique, ХП1 cabier). (Прим. Бертрана.)

528 ^- пуАнсо
помощью координат ?, тс, ст; если эти выражения внести в
функцию f{p, q, г, . . .) вместо р, q, г, . . . , го мы будем иметь
/ {Р> 9. '•.•••) = <Р (?. ^, о) = const,
откуда, Дифференцируя последовательно по 5, тс, ст, мы получим
f(P)||-+/'(?)||-+ /'('•) — +... =9'(?).
ait ait с/тс
/'(p)^. +/'(9)-!?- +Г(Г)^. + ...^<,- («).
w ста oo
Следовательно, согласно формулам Лагранжа три силы S, П,
i, к которым сводятся силы f (р), f (q), /'('")> будут выражены
с помощью
2 = <р'(?), П = <р'И. S = <P'(<T).
Таким образом <р' E)> <р' (^t)- 9' (') должны представлять собою
три силы, равнодействующая которых тождественна
равнодействующей рассматриваемых сил f (р), f (q), /'('')>••• ",
следовательно, направлена перпендикулярно к поверхности,
заданной уравнением
f(P< Ч, '■,-••) = const.
Но эта поверхность тождественна такой поверхности, которая
была бы задана уравнением
<р (^> ''.<') = const
между косоугольными координатами %, тс, ст. Следовательно,
если рассмотреть поверхность, представленную уравнением
<р E, тс, ст) = const
между тремя координатами 5, тт, ст, относительно трех косо
угольных осей, то можно было бы утверждать, что три силы,
направленные по этим координатам и пропорциональные трем
геервьм» функциям <р'(^)' 9'('')> 9'(")> Д*чот равнодействующую,
перпендикулярную к рассматриваемой поверхности, или
находятся на этой поверхности в равновесии. Но это неверно,
в чем можно убедиться непосредственно с помощью самого
принципа виртуальных скоростей.
В самом деле, для равновесия точки, к которой
приложены три силы <р'(^)> "?'('<^)> <р'(")> требуется, чтобы сумма
виртуальных моментов этих сил была равна нулю для каждого

OB основном ПОЛОЖЕНИИ ЛАГРАНЖА 529
бесконечно малого перемещения ds, какое мы пожелали бы
дать этой точке на поверхности. Следовательно, если мы
обозначим через 8^, &к, 8ст три прямоугольные проекция на
три косоугольные оси ?, тс, ст, то для равновесия необходимо,
чтобы всегда имело место равенство
<р' (?) К + <р' (тс) 8тс + <р' (а) 8ст = О,
или же, так как ds представляет собою диагональ ромбоэдра
гранями которого являются дифференциалы di„ d-K, da, и так
как три проекции ds на направлении этих граней выражаются
с помощью следующих формул:
8? = d? + X rfic + ц d<s,
8тс = dTc + V da + X dZ,
Sa = da + [id^ + s d-K
л л л
(где X, (X, •» — косинусы углов ?тс, S,a, тест, об]разуемыХ между
собою осями координат), то, если вместо 8?, 8тг, '8ст подставить
их значения, для равновесия требуется, чтобы между
дифференциалами d^, d-Tt, da всегда имело место уравнение
[<р' E) + Х<р' (тс) + (Хф' (ст)] di + [<р' (тс) + Ч^' (<J) + Х<р' (?)] dft +
+ [<Р' (") + У-<?' (?) + v<p' (rt)] da =* 0. A)
С другой стороны, так как движущаяся точка вотгда
остается на поверхности, одновременно должно существоваггь
уравнение
rf'(S,)d?,+ ,f'{Tt)dTz+<f'(&)d(! = 0. B)
Но ясно, что уравнения A) й B) да могут одновременно
существовать, если только ко^фв1;иеаты d^, d-K, da в омявм. из
них не будут пропорциональна коэффициентам тех же неЬпре-
деленяых величин во втором уравнении я, следовательно, если
только мы не будем иметь следующих двух уравнений:
<Р' (?) [v<p' (ст) + Х<р' (?)] - 9' (тс) [Х<р' (тс) + ti<p' (ст)] = О,
<р' (?) [v<p' (тс) + A<р' (?)] - <р' (ст) [х<р' (тс) + т' (»)] •= 0;
а эти уравнения не могут иметь места в общем случае, т. е.
независимо от переменных ?, тс, ст, и, следовательно, от
положения точки на рассматриваемой поверхности.
Таким образом движущаяся точка с любыми
координатами ?, тс, ст не может быть удержана в равновесии на
поверхности тремя силами <р' (?), <р' (тс), <р' (ст); значит,
результирующая этих сил не направлена нормально к этой поверхности
и, следовательно, она не тождественна равнодействующей
заданных сил i' (р), f {я)< /'('■). • • • . что и требовалось доказать.
34 ж. Лагранж, т. I

530 л. пУАНсо
4. Итак, формулы Лагранжа для преобразования сил в
предположении, что координаты ?, тс, ст — косоугольные,
неверны, и существует только один случай, когда ошибка
может исчезнуть, а именно тот случай, когда координаты ?, тс, ст
удовлетворяют приведенным выше двум уравнениям и
одновременно удовлетворяют уравнению поверхности
<р (?, тс, ст) = const,
что, как видим, соответствует только определенной точке этой
поверхности или известной определенной пропорции между
тремя силами <р' (?), <р' W> 9' (')• Однако даже в этом единственном
случае, когда равнодействующая трех сил S, П, 2 имеет такое же
направление, как равнодействующая рассматриваемых сил
/' (Р)> f (ч)> ■ ■ ■ > мы найдем, что она имеет неодинаковую с ней
величину; таким образом мы получаем вывод неверный и
с этой стороны.
В том случае, когда все три косинуса X, ц, v равны нулю,
приведенные выше два условия всегда сами по себе
выполняются, и формулы Лагранжа оказываются всегда
правильными. Таков случай координат ?, тс, ст, отнесенных к трем
взаимно перпендикулярным осям. Действительно, для подобных
координат дифференциалы d^, dr:, dts представляют собою
выражения самих виртуальных скоростей движущейся точки,
измеренных по направлению этих линий, и дифференциальное
уравнение
<р' (?) di + <р' (тс) dTC + <р' (а) da = О,
выведенное из уравнения поверхности, выражает равенство
нулю суммы виртуальных моментов трех сил <р' (?)• 9' ('')'
<р' (ст) и, следовательно, равновесие этих сил в точке, которая
согласно допущению должна описывать эту поверхность.
Но при любом ином допущении, при котором все три
величины X, (X, V не равны нулю, приведенные два условия не
могут быть выполнены независимо от значений ?, тс, ст, и
указанные формулы всегда оказываются неверными.
5. Пусть, например, мы имеем чрезвычайно простой
случай точки, расположенной на окружности неподвижного
круга. Если взять уравнение этого круга в прямоугольных
координатах ж и у, то мы будем иметь
/ (ж, у) = х^ + у^ = const,
ткуда
/' (ж) dx + /' (у) dy =2xdx + 2ydy = 0;
в данном случае можно с полным основанием утверждать, что
две силы X и У, взятые по направлению координат в
отношении первых функций /' (х), f (у), дают равнодействующую

OB основном ПОЛОЖЕНИИ ЛАГРАНЖА 531
перпендикулярную к окружности круга, и удерживают точку
их приложения в равновесии на этой окружности.
Но если вместо этих прямоугольных координат х, у взять
две другие ? и тс с тем же началом и, скажем, одну из них,
?, взять по направлению х, а другую, тс, под углом а к
первой, что даст
ж = S + тс cos а, у = тс sin а,
то после подстановки мы получим
/ (ж, у) = <р E, тс) = тс^ + ?* + 2тс5 cos а = const,
откуда
<р' (?) d?, + <р' (тс) dTc = 2 (? + тс cos а) d? + 2 (тс + ? cos а) ^тс -- 0.
Но ясно, что две силы, пропорциональные <р' (?) и <р' (тт). т. е
8 данном случае пропорциональные (? + тс cos а) и (тс + ? cos а),
не дают равнодействующей, перпендикулярной к окружности
рассматриваемого круга; в самом деле, для этого было бы
яёоб^содимо, чтобы равнодействующая проходила через центр
и, следовательно, чтобы две ее составляющие по
направлениям ? и тс были пропорциональны просто ? и тс, а не
E -f- тс cos а) и (тс -|- ? cos а).
Таким образом, хотя мы здесь имеем (если положить
<р' (?) = S, <р' (тс) = П) уравнения
Е^Х^+У^, П = Х^+У^,
нельзя утверждать, что две силы X и У, направленные по
прямоугольным осям а; и у, могут быть приведены к двум
силам Н и П, направленным вдоль осей косоугольных
координат ? и тс.
Для того чтобы имело место соотношение
? -|- тс cos а : тс + Е cos а = ? : тс,
мы должны иметь cos а = О, что представляет собою случай
взаимно перпендикулярных координат ? и тс.
Или же мы должны иметь ? = тс, а это представляет
только частный случай положения рассматриваемой точки М на
окружности круга, уравнение которого
<р E, тс) = const.
Но даже в том единственном случае, когда
равнодействующая двух сил S и П имеет одинаковое направление с
равнодействующей двух сил X и У, мы найдем, что эти две
равнодействующие
К 32 + 2 Sn cos а -ь П» и YX^ -Ь 7»
34*

532 л. пуАнсо
имеют различные зна»юния и что первая из них относится
ко второй, как 1 + cos а относится к единице.
Таким образом, если cos а не равен нулю или, что то же,
если координаты | и jr косоугольны», то рассматриваемые
СИЛЕ! Z я У никогда не могут быть приведены к двум силам
S и П, заданным формулами Лагранжа.
6. В приведенном выше анализе, для того чтобы
представить силы Р, Q, R, . . . , которые надо было привести к
другим силам, я взял просто первые функции одной и той же
произвольной функции f{p,q,r,...) радиусов-векторов
р, q, г ,. . . , вдоль которых силы направлены; это только
прием, с помощью которого можно тотчас же определить
направление равнодействующей силы при посредстве
направления нормали к кривой поверхности, которая получается, если
взять уравнение
/(Р, 9. »•, • • •) = const.
Но так как может возникнуть мысль, что лодобное
допущение представляет собою нечто, ограничивающее наше
доказательство случаем определенных сил, то будет уместно
отметить, что оно годится для любых сил J*, Q, R, . . . , заданных
каким угодно образом. В самом деле, какова бы ни была
избранная нами функция /, мы имеем возможность поместить
центры сил где угодно по их направлениям р, q, г, . . . , и
всегда/ можем выбрать для этих линий такие длины,
которые дают
Пр) = р, f'D)^Q, f'(T) = R,...
Впрочем, если бы мы взялисилы любой величины Л, В, С,...
то очевидно их всегда можно рассматривать как первые
функции линейной функции
Ар + Bq + Cr -\-. . . ,
взятые по отношению к линиям р, q, г, . . . , по которым
согласно условию силы направлены. Таким образом наше
допущение всегда законно, и наше доказательство обладает
всей требуемой общностью.
7. Итак, мы видим, что в небесной механике,
основанной исключительно на принципе виртуальных
скоростей, единственные координаты, которыми допустимо
пользоваться, должны обладать тем свойством, что их
дифференциалы представляют в этих координатах прямоугольные
проекции малых отрезков, описываемых согласно
предположению в пространстве точкой приложения сил. Это имеет место
в случае координат р, q, г, . .. , х, у, z, о которых мы
говорили выше, а также тех координат, которые состоят из
радиуса-вектора р и двух углов или дуг круга <р> ф' перпенди-

OB основном ПОЛОЖЕНИИ ЛАГРАНЖА ^33
кулярных' к этому радиусу, и т. п. Но следует исключить
все те координаты 5> ^tj '> которые не обладают указанным
свойством. Таким образом будет неверно утверждать, что при
данном аналитическом методе нас ничто не заставляет
отдавать предпочтение прямоугольным координатам перед иными
линиями или величинами, определяющими, полдогеения тел,
и т. д. (см. «Аналитическая механика», стр. 62); по этому
поводу следует еще отметить, что принцип виртуальных
скоростей не дает столь общего метода, как это можно было
бы предположить.
Так, например, в том случае, когда несколько сил Р, Q,
R, S, . . . находится в равновесии, будучи приложены в одной
точке, принцип виртуальных скоростей говорит просто, что
прямоугольные проекции сил на любую прямую, проходящую
через эту точку, должны дать сумму, равную нулю. В самом
деле, если мы назовем dit любую линию, выражающую
перемещение точки приложения сил в пространстве, то линии dp,
dq, dr, . . . будут не чем иным, как прямолинейными
проекциями du на линии р, q, г, . . ., указывающие направления
сил Р, Q, R, . . . Следовательно, если мы назовем г, г', £",...
углы наклона этих сил к линии du, то мы будем иметь
dp = du cos г, dq = du cos г', dr ^ du cos i", . . . ,
и уравнение виртуальных скоростей
Р dp + Q dq + R dr + . . . = О,
после разделения всех членов на общий множитель du
перейдет в
Р сое i -t- Q cos i' -t- i? cos i" -t- . . . -» 0; ,
последнее уравнение показывает, что силы,
спроектированные под прямым углом на любую ось, должны в случае
равновесия дать сумму, равную нулю. Но принцип сложения
сил говорит более общо, что если силы спроектировать на
какую-либо ось с помощью линий, параллельных одной и
той же плоскости, находящейся под любым углом наклона
к этой оси, то сумма всех этих косоугольных проекций должна
быть равна нулю. Дело не в том, что второе положение
Нельзя легко обосновать с помощью первого, нр выражение
второго принципа, очевидно, носит более общий характер, чем
выражение' принципа виртуальных скоростей.
Точно так же можно отметить, что уравнения равновесия
твердой системы доказаны в «Аналитической механике»
только по отношению к трем взаимно перпендикулярным осям;
однако, как я показал в своей «Статике», совершенно такие же
уравнения получаются по отношению к любым трем
косоугольным осям. Таким образом ив этом примера принцип
виртуальных скоростей не является столь общим, как принцип

534 л. пуАнсо
сложения сил. Он не является также и столь прямым; в
самом деле, если он приводит к трем первым уравнениям при
применении прямоугольных координат х, у, г, то три
последних уравнения он может дать только при замене этих
координат другими координатами иного вида, причем их выбор
представляется произвольным или кажется произведенным
только для того, чтобы получить уравнения равновесия,
которые наперед известны.
Впрочем, хотя Лагранж дает основание полагать, что
при его методе можно применять координаты любого вида, если
только они пригодны для определения положений тел,
чрезвычайно интересно, что этот математик никогда не применял
иных координат, кроме тех, которые фактически подходят к
принципу виртуальных скоростей; по крайней мере я не знаю
такого примера и полагаю, что его и нельзя найти в
работах Лагранжа. В самом деле, если бы для разрешения
какой-либо проблемы он попытался воспользоваться
некоторыми координатами, недопустимыми при его методе, то
весьма вероятно, что заметная ошибка в каком-либо полученном
им выводе навела бы его на мысль об ошибочности его
формул; тогда, конечно, он сам не замедлил бы сделать по этому
поводу ясную оговорку, по крайней мере во втором издании
своего прекрасного труда.
8. Как бы то пи было, все могло бы быть очень просто
исправлено, и мне казалось целесообразным указать это
раньше, чем закончить настоящую статью, так как причина
ошибки сразу видна и сверх того ясно, чтб нужно сделать
для того, чтобы ее избежать, не отказываясь от применения
тех координат, которые дают повод для этой ошибки.
В самом деле, какова бы ни была природа тех координат,
5, тс, о, . . . , в которые мы желаем преобразовать линии или
радиусы-векторы р, д, г, . . . , известно, что всегда можно,
вместе с Лагранжем взять следующее совершенно правильное
уравнение:
Pdp + Qdq + Rdr + . . . =Sd^+ndT: + Zda+ . . .,
где S, П, S , . . . представляют собою величины, выраженные
с помощью уравнений пункта 1.
Но теперь я отмечу, что в левой части уравнения
дифференциалы dp, dq, dr, . . . обозначают виртуальные скорости
точки приложения сил по направлениям линий р, д, г, .. .
и что, таким образом, каждый член Р dp представляет собою
виртуальный момент силы Р. Если в правой части
уравнения дифференциалы d^, dn, da, . . . обладают тем же
свойством, т. е. если каждое dt обозначает виртуальную скорость
точки по направлению 5, то каждый член S dS, тоже является
виртуальным моментом силы, выраженной через Е; тогда из
данного уравнения, содержащего в себе две суммы виртуаль-

OB основном ПОЛОЖЕНИИ ЛАГРАНЖА 535
ных моментов, которые всегда остаются равными между
собою, ^гожно с полным основанием сделать вывод, что система
сил 3, П, S. ■ ■ ■ способна заменить систему заданных сил
Р, Q, Я, . . .
Но если дифференциалы d^, diz, da, . . . не обладают
указанным свойством, то каждый член типа З^^уле не является
виртуральным моментом силы S, и тогда согласно самому
принципу виртуальных скоростей нельзя делать вывода, к
которому мы пришли раньше, что совокупность сил S, П, 2,...
эквивалентна совокупности заданных сил. Такова та
своеобразная ошибка, в которую мы впали бы, если бы из
правильного принципа и из верного уравнения мы сделали неверный
вывод, не обратив внимания на то обстоятельство, что
фактически данное уравнение представлено не в том виде,
который соответствует выражению принципа. И одновременно в
этом можно увидеть средство для избежания подобной
ошибки, не изменяя координат 5, тс, с, ... , которые могли бы
дать повод для этой ошибки.
В самом деле, если бы мы пожелали получить
действительные силы 3', П', S'> ■ • • . которые, будучи направлены
по координатам ^, тс, с, . .., способны заменить силы Р, Q,
R, S,. . ■ , то следовало бы начать с того, чтобы в уравнении
вместо дифференциалов d?, ^тс, da, ... подставить их выражения
в функции самих виртуальных скоростей; эти значения, как
в п. 3, я обозначу через 8^, 8тс, Ьа, . . . ; далее следует
объединить в виде одного члена все члены, в состав которых
входит 8?, точно так же в один член объединить все члены, в
состав которых входит 8тс, . . . ; тогда наше прежнее
уравнение будет представлено в следующем новом виде:
Р dp + Q dq + R dr + . . . = Е' Ь1 + П' Ы + ^' Ьа + . . . ,
из которого уже можно будет сделать правильный вывод, что
совокупность сил 3', П', S', • • • вполне эквивалентна
совокупности сил Р, Q, R, . . ., так как сумма виртуальных
моментов тех и других всегда одна и та же.
9. Если бы мы захотели это вычисление произвести для
случая координат ?, тс, а, параллельных трем косоугольным
осям, то, сохраняя обозначения п. 3, мы получили бы
следующие значения:
В A - у») + П ((XV -X) + S-(Xv-»
П' =
ПA
2A-
1 — Х> — (х^ _
1-х»-
- V») + г
!(Хц-
■ V* — 2 X(ji.v
- V) -Ь В ((xv -
v» — 2 Xfiv
-.v)-|-n(Xv-
-^)
-V-)
1 — X» — D» — v> — 2 Xfiv

536 •"■ ПУАНСО
как 1ввдим, эта значения не тождественны значениям 3,|П, S
и их мошн» свести к последним только в том случае, когда
все три косинуса X, {а, v равны нулю, т. е. в том cjiy4ae,
когда все три оси взаимно перпендикулярны; этот случай
поясняет и подтверждает наш прежней анализ.
Ш. Из тех же вьгра1;(енвй мы также видим, что уравг
неиия
S' == О,
S' —о
влекут за собою следующее:
п —о,
и наоборот. Следовательно, если мы ищем только условия
равновесия между силами Р, Q, R, . . . , то можно, не
опасаясь, впасть в ошибку, ограничиться следующими тремя
уравнениями:
др да
dp да
dp dp
Если же силы Р, Q, R, . . . не уравновешивают друг
друга и их требуется привести к другим силам, направленным
по ^5, Tt, <'', то в качестве эквивалентных сил необходимо взять
не S, П, 5, а обязательно значения S', П', S'-
То, что я сказал выше, может быть без труда применено
к любой системе сия, действующих на различные точки,
связанные между собою произвольным образом. Таким
образом уравнения равновесия, данные Лагранжем (стр. 63 наст,
изд.. Статика отд. И, п. 12 и след.), всегда хороши, но
формулы, приведенные в конце п.15 для-эквивалентности двух
систем сил, верны лишь в случае определенных
координат.
Мы могли бы вщр многое сказать по поводу указанного
положения, но настоящее исследование уже слишком
затянулось, а с другой СТоцойЫ,; еша в этом встретится
надобность, мы вернемс» к этому вопресу при другом случае.

OB устойчивости равновесия 537
II.
П. Г. ЛЕЖЕН-ДИРИХЛЕ.
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ.
Если система материальных точек находится под возму^
щатощим действием сил притяжения или отталкивания,
которые зависят только от расстояния и которые направлены к
неподвижным центрам или которые происходят в результате
взаимодействий меяеду двумя массами, то действие и
противодействие между собою равны; с другой стороны, если
условные уравнения, связывающие координаты различных тел, не
содержат в себе времени, то имеет место уравнение живых
сил, а именно:
'2^mv^= f{x,y,z,x', . . .)+С.
Знак ^распространяется на все массы системы, причем ка?;:-
дая масса выражается через т, а ее скорость через v; С—
некоторая пролзвольнад постоянная. Функция координат
зависит только от природы сил и может быть выражена с
помощью определенного числа независимых переменных
X, fi, V,.... , так что уравнение живых сил напишется
следующим образом:
S
mv^ = <р (X, {А, V, . . .) + С.
Функция <р тесно связана с положениями равновесия
системы, так как условие, выражающее, что для известных
определенных значений X, у,, ч, . . . система находится в
положении равновесия, совпадает с условием, выражающим, что для
тех же самых значений дифференциал tp равен нулю. Таким
образом вообще для каждого положения равновесия эта
функция является максимумом или минимумом. Если в
действительности имеет место максимум, то равновесие— устойчивое;
это значит, что если точки системы бесконечво мало сместить
из их положений равновесия и каждой из них сообщить
необходимую начальную скорость, то в течение всего движения
смещения разпвчных точек системы по отношению к
положению равновесия всегда будут находиться между некоторы-
МВ! определенными и очень малыми пределами.
Эта теорема является одной из важнейших в механике.
Она служит основой теории малых колебаний, приводящей
к столь многим интересным применениям в области физики.
Поэтому приходится удивляться, что до сих пор эта теорема
не была обоснована достаточно, строго и удовлетворительно.

538 п. г. ЛЕЖЕН-ДИРИХЛЕ
Предположим, — а это можно сделать без ущерба для
общности, — что положение равновесия системы, или
максимум функции <р> соответствует значениям X = О, [х =: О , . . .
Доказательство, данное Лагранжем («Аналитическая
механика». Статика, отд. П1), заключается в следующем:
разложение функции по степеням X, [х, v, . . . , начинающееся с
членов второго порядка, сводится к этим членам; затем, на
основании известного условия максимума, согласно которому
члены второго порядка могут быть рассматриваемы как
сумма отрицательных квадратов, для X, (х, ч, . ..
устанавливаются известные пределы, которых эти величины не могут
переступить. Этот вид доказательства, применяющийся еще
и в других вопросах об устойчивости и особенно в
физической астрономии, является недостаточно строгим. В самом
деле, можно с полным основанием сомневаться в том, что
величины, для которых мы имеем малые пределы, исходя из
предположения, что эти величины всегда будут очень малы
(ибо мы это делаем только в том случае, когда можем
пренебречь членами высшего порядка), действительно всегда в
течение любого промежутка времени будут оставаться в этих
пределах и притом вообще — в малых пределах.
Только что приведенное доказательство повторялось,
насколько я знаю, без существенных изменений всеми
авторами, занимавшимися этим вопросом; а все то, что было
прибавлено Пуассоном (Р о is son, Traite de Mecanique, т. 2,
стр. 492) для того, чтобы ввести в рассмотрение члены более
высокого порядка, основывается на неприемлемом допущении,
что каокдый член второго порядка превосходит сумму всех
членов высшего порядка.
Если даже дополнить рассуждения Лагранжа для случая,
к которому они применяются и где наличие максимума
устанавливается при помощи членов второго порядка,
рассматриваемая теорема не может быть доказана в полном своем
объеме. Известно, что существование максимума совместимо с
исчезновением членов второго порядка; вообще достаточно,
чтобы первые члены, отличные от нуля, были четного по-
^ядка и чтобы сумма этих членов была всегда отрицательной,
•ормулы, относящиеся к этому последнему условию, до сих
пор еще не были даны даже в том случае, когда речь идет о
членах четвертого порядка. Поэтому сначала следовало бы
найти эти формулы. Но это неизбежно ввело бы большое
осложнение в доказате-льство теоремы механики, о которой
сейчас идет речь, К счастью, положение об устойчивости
равновесия можно доказать независимо от этих формул,
пользуясь очеьь простым рассуждением, которое непосредственно
связано с идеей максимума.
Ломимо сделанного выше допущения, что положение ран-
новесия соответствует значениям X = О, (х = О, . . ., мы пред-

OB устойчивости равновесия
539
положим еще, что <р (О, О, О, . . .) = 0; такое предположение
допустимо ввиду наличия произвольной постоянной. Определим
постоянную, приняв во внимание заданное начальное состояние,
для которого значения V, X, [х, v, . . . мы обозначим через г>о,
Хо, Но. ^0, . . . Таким образом мы получим
2 mv^ = <р (X, (X, V, . . .) — 9 (К, (Хо, vo, . . . ) + ^rnvl ■
Так как согласно допущению при X = О, (х = О, v = 0. . .
<р (X, [X, V, . . .) является нулем и максимумом, то можно взять
положительные величины I, т, п, . . . достаточно малыми,
чтобы 9 (X, (X, v) была всегда отрицательной для всякой
системы значений X, [х, v, . . . , если абсолютные значения
переменных соответственно подчинены условию не выходить
за пределы I, т, п, . . . , за исключением одного
единственного случая, когда X, [х, v, . . . все одновременно равны нулю.
Этот случай исключается, есгли мы будем рассматривать лишь
такие системы, в которых по крайней мере одна из
переменных X, [X, V, . . . будет по своему абсолютному значению равна
своему пределу I, т, п, . . . Предположим, что из всех
отрицательных значений функции для подобных систем
наименьшим по абсолютной величине значением явится — р; тогда
можно легко доказать, что, если взять Хд, pi,, Vo, . . .
численно меньшими, чем I, т, п, . . . , и если в то же время
удовлетворить неравенству
— 9 {\> (А). V, . . .) -f '^mV, < р,
то каждая из переменных X, fi, v, . . . останется в течение,
всего времени движения внутри пределов I, т, п, . . . В
самом деле, если бы имело место противоположное, то, так как
цдчальныо значения Хд, [х^, v^, . . . удовлетворяют
поставленным нами условиям, а также в силу непрерывности переменных
X, [X, V, . . ., прежде всего было бы необходимо, чтобы в
определенное мгновение существовало равенство между одним или
несколькими численными значениями X, [х, v, . . . и
соответствующими их пределами I, т, п, . . . , причем другие
значения не должны выходить за свои пределы. В это мгновение
абсолютное значение <р (X, (х, v, . . .) будет больше или по
крайней мере равно р. Следовател^.но, второй член
уравнения живых сил будет отрицательным ввиду наличия
написанного выше равенства, относящегося к начальному
состоянию; но это невозможно, так как /jwuj всегда
положительно.
Очевидно, отсюда также следует, что скоростл v всегда
заключаются между определенными пределами, так как

540 ^- ВЕРТРАН
мы всегда имеем
2ww»< '^miH — <р {\, (*в. ve, . . .)•
Очевидно также, что пределы для каждой скорости,
равно как и пределы для каждой переменной X, (х, v, . . . тоже
могут быть сколь угодно мал^лми, так как и величины I, т,
п,. . . могут стать сколь угодно малыми.
Ш.
Ж. БЕРТРАН.
О РАВНОВЕСИИ УПРУГОЙ НИТИ.
Данные Лагранжем формулы (стр. 204) предполагают, что
силы упругости в каждой точке проявляются в плоскости,
соприкасающейся с линией, находящейся в равновесии,
причем они стремятся восстановить первоначальный радиус
кривизны этой линии; однако подобное допущение далеко от
того, чтобы представить эти явления, и Бинэ (Binet) указал,
что к силе упругости, рассматриваемой Лагранжем, следует
прибавить еще другую силу, эффект которой заключается в
том, что она противодействует изменениям второй кривизны.
Сложность формул, выражающих эту новую кривизну, не
дает нам возможности при развитии выводов из указаний Бинэ
сохранить обозначения и ход изложения, примененные
Лагранжем. Мы ограничимся непосредственным составлением
уравнения равновесия, следуя в данном случае методу,
изложенному Пуассоном в статье, помещенной в Correspondance sur
I'Ecole Polytechnique (т. Ill, cap. 355).
Рассмотрим пребывающую в равновесии упругую линиях
АМВ, все точки которой находятся под действием заданных
сил. Если мы допустим, что часть линии MB, заключенная^
между какой-либо точкой М и концом В, становится
негибкой и нелодвижнои, а другая часть МА становится только
негибкой, сохраняя в то же вррмя свободу вращения вокруг
точки М, то равновесие не будет нарушено, и, следовательно,
сила упругости, развивающаяся в точке М. должна уничтожить
пару, которой в силу неподвижности точки М эквивалентны,
силы, действующие на часть МА кривой. Но мы допустим,
что сила упругости может произвести две пары, одну,
которую учел Лагранж, действующую в соприкасающейся
плоскости и стремящуюся вернуть кривизне ее первоначальное
значение, и другую, имеющую в качестве своей оси
касательную к упругой кривой и стремящуюся уииЧтожВть кручение,
возвращая второй кривизне ее первоначальное значение.Назовем,
эти две пары.в uJE. Сначала докажем, что 6 остается'постюлнной,
каковы бы ни были заданные (или и первоначальный вид кривой.

о РАВНОВЕСИИ упругой НИТИ 541
в самом деле, для того чтобы определить обе пары в и
Е, следует силы, детствующие на часть МА кривой, свести к
одной силе F, проходящей через точку М, и к одной паре G.
Эта пара G должна быть эквивалентна двум парам — 6 и — Е,
имеющим соответственно в качестве осей касательную к
рассматриваемой кривой и перпендикуляр к ее соприкасающейся
плоскости. Если мы повторим то же самое разложение,
подставив вместо точки М бесконечно близко к ней
расположенную соседнюю точку М', то сила F и пара G изменятся, с
одной стороны, вследствие изменения точки приложения
силы, а с другой стороны, под влиянием новых сил,
действующих на дугу ММ'. Заметим сначала, что эти последние силы
не могут иметь какого-либо влияния на значение пары 6, так
как их точка приложения находится на бесконечно малом
расстоянии второго порядка от касательной в точке М',
являющейся осью пары. Таким образом достаточно принять во
внимание изменение положения неподвижной точки, а это
изменение, очевидно, приводит к тому, что к паре G
присоединяется вторая пара, образуемая силой F и равной ей и
противоположно направленной силой, приложенной в точке М'.
Но сила F, подобно силам, приложенным к дуге ММ', имеет
точку приложения, расположенную на бесконечно малом
расстоянии второго порядка от касательной в точке М'; таким
образом искомая пара, осью которой является эта касательная,
изменяется только на величину такого же порядка. После этих
замечаний можно вычислить значение 6" пары кручения, соот.
ветствующей точке М', так, как если бы пара G не изменяла
ни своей величины, ни направления; ее следует теперь лишь
разложить на две другие, из которых одна должна быть
перпендикулярна к касательной в точке М'. Для определения
этой составляющей пары, выражающей искомый момент
кручения, подставим вместо пары G две пары —в и —Е,
которые ей эквивалентны. Каждая из этих пар должна быть
умножена на косинус угла, образуемого ее осью с осью пары 6',
которая представляет собою не что иное, как касательную к
рассматриваемой кривой в точке М'. Оси пар вив' образуют
бесконечно малый угол, косинус которого равен единице, если,
как это было сделано выше, пренебречь бесконечнр малыми
второго порядка; что касается оси пары — Е, то угол,
образуемый ею с касательной в точке М', равен прямому, если
мы опять-таки пренебрежем бесконечно малыми второго
порядка, так как coпJ)икacaIoщaяcя плоскость в точке М
параллельна касательной в точке М'; следовательно, косинус этого
угла может быть принят равным нулю; таким образом, если
перенебречь бесконечно малыми второго порядка, мы получим
в' = в,
откуда следует, что момент кручения строго постоянен по
всей длине упругой кривой.

542 JK- БЕРТРАН
После сделанного замечания составим уравнения
равновесия, написав, что силы, приложенные к некоторой части
МА кривой, которую мы считаем жесткой, уничтожаются
неподвижностью точки М и двумя парами — 6 и — Е,
имеющими соответственно в качестве своих осей касательную к
кривой и ось соприкасающейся плоскости; при этом
6—постоянная величина, а Е пропорциональна разности между
действительной кривизной в точке М и первоначальной
кривизной в той же точке.
Рассмотрим, в частности, случай, когда кривая первона
чально представляет собою прямую линию и к ней приложена
единственная сила, действующая на конец ее А, причем
конец В остается неподвижным. Если предположить, что мы
закрепляем точку М, координаты которой х, у, z, то
моменты заданных сил по отношению к этой точке будут иметь
составляющие следующего вида:
cy — bz + a^,
az — ex -\- bi,
bx — ay -{- Ci,
где a, b, c, a^, bi, Ci — постоянные, зависящие от
направления силы и от положения ее точки приложения. Приравняв
эти моменты парам упругости, разложенным
перпендикулярно к тем же трем осям, мы получим уравнения
dyd^z — dzd^y dx
Р d? =Qji + cy-bz + a„
dz d^x — dx d^z dy
P d? = e5^ + a^-cx-f-6i,
dx d^y — dy d^x dz
P — d? = 6 5^ -b бх - ay 4- Ci,
отличающиеся от уравнений Лагранжа (стр. 210) только
обозначением и введением членов, содержащих 6.
Получив яти уравнения, Лагранж прибавляет: их
интегрирование в общем случае, быть может, неосуществимо. Мы
покажем, наоборот, что оно всегда выполнимо, причем для этой
цели воспользуемся методом, указанным Вииэ •) и немного
спустя упрощенным Ванцелем (Wantzell).
*) См. Comptes rendus de I'Academie des sciences за 1844,
Стр. 1115 и 1197,

о РАВНОВЕСИИ упругой НИТИ 543
Если в качестве оси х взять само направление заданной
силы, то, как легко видеть, приведенные формулы примут
следующий вид;
dy d^z — dz d^y dx
P d? = ^57 + ^'"'
dz d^x — dx d^z dy
P d? =^ds-S'^'
dx d^y — dy d^x dz
P d^ =^ds'
A)
где g — постоянная величина.
Последнее уравнение показывает, что если пренебречь 6,
как это сделал Лагранж, то кривая необходимо окажется
плоской. Помножив эти уравнения на dx, dy, dz и сложив
их, мы получим
0 = Qds+g{ydx — xdy)*y, B)
сложив первые два уравнения, предварительно умножив их
соответственно на ж и у, мы получим также
в pdz(x d^y —»/ d^x) xdx-\-ydy
f^dHixdy-ydx)-" J, •' ' = b ]^, C)
или в силу приведенного выше, если принять » за
независимую переменную,
, р d'z xdx-\-ydy
g ds*~ ds ' (
и после интегрирования
2р dz с
Если вместо х л у подставить полярные координаты,
положив
х^ + У^=г\ -|=tgco,
•) Можно отметить, что если бы в формуле B) мы могли
положить ж = О, j/=0, то мы получили бы 6=0.
Следовательно, для осуществления кручения необходимо, чтобы сила
не была приложена прямо к той точке кривой, на которую
она воздействует, (Прим, Бертрана.)

544 ^^ БЕРТРАН
то предыдущие уравнения примут следующий вид:
в dz gr' — c
г'da = -— ds, -г = —1^—;
g ds 2p '
dz
откуда, положив -т- = cos 9 и применив известную формулу
ds^ = dr^ -f г" dco> + dz»,
мы получим
р sin 9 d(f
ds ■
dco =:
V^gsin*ip Bpcosip-f) — в'
вр sin <p dip
Bp cos <p + c)Vg sin^ 9 Bp cosjp 4" c) — 6*'
далее мы будем иметь
dz = \ cos 9 ds,
X ^ г cos CO,
J/ = г sin CO,
j_^ds
~ g dco '
таким образом x, у, z могут быть с помощью квадратур йы-
ражены в функции угла 9-
IV.
Ж. БЕРТРАН.
О ФИГУРЕ ЖИДКОЙ МАССЫ, НАХОДЯЩЕЙСЯ
ВО ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ.
Обратимся к уравнениям
mM—f А^
liar = в^' A)
mN—f Л»
полученным Лагранжем на стр. 268; прежде всего мы
замечаем, что примененное им рассуждение не обосновывает впол-

о ФИГУРЕ жидкой МАССЫ 54§
не строго равенства осей В и С. В самом деле, так как- Д^ и
N отличаются друг от друга только взаимной заменой .букв
В и С, то ясно, что допущение В ;=:С сводит эти два урав:
нения к одному, но не представляется очевидным, что это
допущение необходимо для того, чтобы .приведенные урарне-
ния могли существовать одновременно. И действительно, мы
покажем, что существуют эллипсоидальные формы с
неравными осями, для которых возможно равновесие.
Выражения, обозначенные Лагранжем через L, М, N,
развернуты в «Небесной механике» (Mechani-que celeste)
Лапласа и в настоящее время их можно найти в большей части
курсов механики. Эти выражения следующие *):
1
3|х г ж' dx
' о
1
3(х С х^ dx
^ *'■ УA + ^'«') » '
О
1
_ Зд Г x^dx
^- к" \(l-f Х'»а;>)Я'
О
в этих формулах (х обозначает массу эллипсоида,, и положено
Если из уравнений A) и B) исключить /,. томи получим
соотношение
(Л/ — 7V) A + \^)( 1 + X'») = LiX* - Х'>); C)
или согяаСнонаписаныым выше выражениям Для jD, М и Л
1 1
x^dx'
-Я =0. Щ
о о
1 1
Р ' с х^ dx ■ 'Г
(Х« - х'«) A4- х^) A -)- х'«) ^ -нг--\
L 0 0
•) Laplace, Mechanique celest-^, т. IL.fJpr. 14
36 ж. Лагранж, т. I

546
Ж: БЕРТРАН
Э'тому равенству можно удовлетворить двумя путями:
1. Если положить X'=sX, что дает рллипсоид вращения
и согласуется с указанием Маклорена (Maclaurin),
приведенным Лагранжем.
2. Если положить
1 1
С ж* da; С ж* dx
E)
это уравнение дает X в функции X' и приводит к эллипсоиду
с неравными осями, указанному Якоби (Jacobi).
Сверх того можно доказать, что для каждого значения X
уравнение E) дает соответствующее значение X'.
Действительно, представим это уравнение в следующем
виде:
1
С ж» A — ж») A — Х^Х'^ж*) dx
\ -^ -^. — = 0; F)
тогда ясно, что если X приписать определенные значения, то
первый член будет положительным, когда X' равно нулю, и
отрицательным, когда X' очень велико; следовательно, он
необходимо обращается в нуль при некотором положительном
значении X'.
Более подробно можно ознакомиться с этим вопросом в
статье, помещенной Лиувилем в 14 томе Journal de I'Ecole
Polytechnique (XXlll выпуск). Укажем еще статью,
помещенную Лиувилем в IV томе его журнала, содержащую
несколько интересных замечаний по поводу уравнения F). Эта статья
озаглавлена; Observations sur un memoire de M. Yvory.
Наконец, этот вопрос был исследован немецким математиком Мейе-
ром (Меует) из Кенигсберга. Мейер поставил вопрос *), многие
ли эллипсоидальные формы с тремя неравными осями
могут дать равновесие при заданной скорости вращения, и
пришел к выводу, что существует только одна подобная фор-
ма__эллипсоида. Одновременно Мейер доказал, что
заданной скорости вращения соответствуют, вообще говоря, две
эллипсоидальных формы вращения; впрочем, с этим
можно ознакомиться в «Mechanique celeste» Лапласа» т. II,
стр. 56.
•) Crell's Journal, т. XXIV.

УРАВНЕНИЕ, КОТОРОЕ ЛАГРАНЖ ПРИЗНАЛ НЕВОЗМОЖНЫМ 547
V.
Ж. БЕРТРАН.
ОВ УРАВНЕНИИ, КОТОРОЕ ЛАГРАНЖ
ПРИЗНАЛ НЕВОЗМОЖНЫМ.
На странице 354 Лагранж пришел к заключению, что
уравнение
S (ж» + у») Dm ■%(х^ + z^) Dm -8(^4- ^^) Dm = j
= %(x'' + y*)Dm.(^xyDmY+ \
+ ^(x^ + z^)Dm.(^xzDmY+ i A)
+ ^(y^ + z^)Dm-(^yzDmY+ \
+ 2 g жу Dm • g xz Dm + g уг Dm !
следует признать невозможным, но он не остановился на
доказательстве этой невозможности, так как беглый просмотр
этого уравнения привел Лаграннш к выводу, что эту
невозможность трудно обосновать. Целью настоящей статьи является
восполнение этого пробела, который, впрочем, послужил уже
предметом исследования Бинэ (Binet) Положим
а = g ж» Dm, 6 = g у^ Dm, с = g г> Dm,
d = ^xyDm, e = ^xzDm, f=^yzDm;
следует доказать, что равенство
(а +.b){a + с)(Ъ + с) =d^(a + Ъ)+ еЦа + c)+f {b + c)+2def B)
ни в коем случае де может иметь места. С этой целью мы
докажем, что если все члены перенести в левую часть
уравнения, то результат будет существенно положительным.
После переноса членов мы получим на левой стороне
2аЬс + ЪЧ + ас>+ 6с> + са^ + 6а> + а6> — F + с) f —
— (а + с)е^—(а + Ь) d» — 2dej,
что может быть написано и следующим образом;
2 (аЬс — dej) + (аЬ — d^) (а + 6) -f
+ (ac~e*)(a+c)-\-(bc~i»)(b + e). (8)
35*

548 я*- БЕРТРАН
Но мы имеем
ab—d^='Sx^Dm- S У^-Dw — (S жу Z»m)>,
ас-е^= Sx^Dm- S «'X>m-(S а;гХ>т)>,
причем овднь легко увидеть, что все эти три разности
положительны; далее из неравенств
аЬ > d>,
ас > е>, } D)
ЬоГ
получается
и, следовательно,
аЬс ^ def;
Tienepb мы видим, что все члены выражения C) существенно
Ьош)Жительвы И, следовательно, что указанное выражение
никогда не может стать равным нулю.
Неравенства D) мы приняли как очевидные. В самом деле,
если допустить, что число точек системы имеет какое-либо
конечное значение п, то первое из указанных неравенств,
отличающееся от двух других лишь заменой букв, примет
следующий вид:
{тхх\ + w,a;| + . . . + т^х^) (m.iv{ + w,y|+ ■ ■ ■ + т-пу^) >
> (OTi^jyi -f . . . + rn^xjj^f;
но оно вложет быть представлено и в таком виде
22 т.те., (a:jyj,- !t^,y^Y■>■ 0;
в этом виде оно становится совершенно очевидным.
Единственный случай исключения мы будем иметь, когда все
элементы суммы будут равны нулю. Но это условие может бкт'ь
выполнено одновременно для всех трех неравенстр D) только
в том случае, когда все точки системы лежат на одной й тот
же прямой лвнии, проходящей через начало координат.

Q дифференциальных: уравнениях механики 549
VI.
Ж. БЕРТРАН.
О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ МЕХАНИКИ
И О ВИДЕ, КАКОЙ МОЖНО ПРИДАТЬ ИХ ИНТЕГРАЛАМ.
В IV отделе «Динамики» Лагранж указал чрезвычайно
интересный вид, какой получают уравнения динамик;и, если
вместо координат различных точек подставить любую систему
переменных. В настоящей «татье мы вернемся к составлению
этих уравнений. Затем мы укажем чрезвычайно удачное
преобразование, которому подверг их Гамильтон (Hamilton) и из
которого можно вывести ряд свойств их интегралов,
подходящих ко всем тем проблемам, при которых применяется
преобразование Гамильтона.
I.
Пусть Xi, У1, Zi, ж,, у„ Zj, . . . , Жд, у„, г„ представляют
собою Зге координат точек системы. П1=0, П^ = О, , . ., ^у^—к"^^
представляют.собою Зге — к уравнений связей, определяющих
систему, причем Зге координат могут фигурировать в этих
уравнениях любым образом вместе со временем t; обозначим
через ?1, 92. • • • >4h * новых переменных, так что Зге
координат xi, уи Zi, . . . , х^, у^, z^ можно выразить в функции этих
переменных и времени t. Формулы, выражающие координаты,
конечно, таковы, что уравнения Hi = О, П^ = О, . . . , Пз„_,й=0
тождественно удовлетворяются, если вместо различных ttoop-
.динат подставить их выражения в функции новых
переменных.
Как известно, общий тип уравнений движения
представляется в следующем виде:
„ '^'^i _ -г ^ ^ ^Hi ^,^П, ^ ^ , дЩп-k '
^^i-v^-^ д^1_^^9Ц^л. Л.Х .^"Зп-ft
т '^'^i -Y +Х ^"i+X ^Й»+ +
dt^ -'• ^ ду^ ' 'Л/. ■ ■ *"-« ду. •
^'^i -Z .4-х ^"i+X ^П»+ +Х ^"Зп-ft .
__ ._ Z, -f X, +Х, +. . .+ Хз„_, _^-^ ,
>A)
буква i .обозначает любое целое число, не превышающее ге, те^
дбозначрех массу точки^ Коордицаты которой равиы ж^, yi,z^, а
X^, Yp 'Zj-^составляющие силы, действующей на эту точку.

550 ^^ БЕРТРАН
дх, ду. dz.
Умножим уравнения A) соответственно на —— , —1- —L.
И прибавим их ко всем аналогичным уравнениям, которые
получаются, если индексу г приписать п значений, которые он
может принять; тогда мы получим
/ дx^ d^x, ду, d^y, dz, d^z^ \
li'^i[dq^ dfi ^ dq^ dfi '^ dq^ dt^ ) '^
множители Xi, X , Хз„_й при сложении исчезают ввиду
наличия соотношения
^ /дП„ дхс. ди„ ду„ ди dzr.\
^\дх^ dq^ ду^ dq^ dz^ dq^j
которое получается вследствие того, что фун!{ция Па (где а
обозначает любой индекс, не превышающий Зд — к) тождественно
обращается в нуль при замещении х^^, х^, . .., х^, у^, у%,. ■ . ,г/„,
Zi, Z ,z^ их значениями в функции д,, q^,. . .,g^ и t.
Правую часть уравнения B) мы должны рассматривать
как известную функцию переменных q^, q 9й и г, так
как согласно условиям задачи величины X,, Y,, Z,, х,, у,, z,
даны в функции указанных к-\-Х переменных. Таким образом
правую часть не приходится преобразовывать и мы ее
обозначим буквой Q„,.
Для преобразования левой части напишем ее в
следующем виде:
^Н dx,' ду, dy, dz, dz,'
dq^ dt + dq^ dl + dq^ ~dt
обозначив через х,', у,', z,' составляющие скорости точки,
координаты которой равны х,, у,, z,. Мы имеем тождествевно
/dxj^dx^ ду.^ dy,' dz, dz,'
L"'i\dq^ dt ^ dq^ dt + dq^ dt
^ ( , d d^i d dz, a ^4 \
E)

о ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ МЕХАНИКИ
551
Согласно допущению xj, j/j, z^ даны в функции q^, q^, . . . , q^^
и t; путем дифференцирования формул, выражающих эту
функциональную зависимость, Л1ы получим
dxi
дх.
^i' = ^r + ^-9i' +
dt "^ dq^
dt
9/ +
У1 =~яГ + 'Щ;91+-о^ Чъ +
dz,
dz,
dz,
Z; =
"^ + ^ ^i' + ^ 9,' +
dX:
+
9й
^9k
+ 1^4^
F)
откуда можно заключить
дх^
dq' ' dq'
^9'
^S„
кроме того, мы имеем
d дх^ d^Xi
с^х, , d^Xi
+ ЗГ-^ 91 +
^9т^' ^91^9
dq^dq,
Чг Л-- ■■ +
с^х,
^.ЧьРЧг,
■Ян
ЧТО согласно значению х^', получающемуся с помощью урав-
дх'
нения F), {«квивалентно ^— . Точно так же мы получим
d_d^^_dy^ d dZ:,
^9т
Если принять во внимание эти соотношения и сверх того
положить
?'=-|-S'«iK'+j'i"+v').
то уравнение D) примет следующий вид:
d дТ дТ
dtdq'^-dq^-^ш.
Давая индексу т последовательно вбе значения 1, 2,.. ., к,
мы получим к уравнений указанного вида и таким образом

552 JK- ВЕРТРАН
составим к дифференциальных уравнений:
d дТ
dt dqi
d дТ
dt dq^'
d дТ
dt dq^'
дТ ^
1
дТ ^
-wr^^'
дТ .
-^ТГ^'^'
которые.представляют собою в_ точности уравнения Лагранжа.
В этих уравнениях неизвестными являются q^, 92> - • ■ > 9а и их
производные q^', q^,. . ., qf^'; Qj, Qj, . ..,Q^ являются
заданными функциями этих неизвестных; то же самое относится
к Т; в самом деле, так как согласно допущению x^, щ, z^ заданы,
.то путем дифференцирования можно получить ж/, у^', z^'. Важно
отметить, что согласно правилам дифференцирования х^\ у^', z^
будут линейными функциями q-^, q^,.. ., 9й' и,
следовательно, Т будет целой алгебраической функцией второго порядка
всех этих различных производных. Если выражения ж^, у^, z^
не содержат явно буквы t, а это будет иметь место во
всех тех Случаях, когда связи будут независимы от времени,
то, как легко видеть, xj', «/j' г/ будут однородными
функциями ;первого порядка, а стало быть Г будет однородной
функцией второго порядка по отношению к переменным qi.
Qi, i.9ft'. Зта замечание имеет очень большое значение..
II-
В последующих рассуждениях представим себе
систему, связи которой не зависят от времени и котор^
находится под действием сил, составляющие которых являются
частными нроизводными одной и той же функции. Одним
словом допустим, что к задаче, которой мы займемся,
применим принцип живых сил.
Возьмем вновь' дифференциальные уравнения движения
A)
d дТ
dtdqi
d дТ
dt ^9i'
d дТ
dt dqfi'
дТ
dqi
дТ
dq%
дТ._
•
=f Qi'
-
=«.,)

о ДИФФЕРЕНЦИАЛБЯНПГ УРАВНЕНИЯХ МЕХАНИКИ ^53
Которые представляют собою уравнения второго порядка; их
можно свести к уравнениям первого порядка, если ^i') gi>---,^qk'
рассматривать как к новых неизвестных, определяемых
уравнениями
dt *^ dt ** dt '* ' ^^>
.указанным путем мы'получим систему 2* уравнений первого
порядка.
У Пуассона была мысль о преобразовании систем A):я B)
путем подстановки вместо неизвестных 5i', д^', • ■ ■-, д^,' новых
дТ " дТ ■ дТ
неизвестных ^—г , чт-г , ■ ■ ■, чт-f, которые являютсй их
линейными функциями, но он цоливстью не раввил своего
преобразования, и Гамильтон первый дал очень простые
уравнения, к которым нас могут,привести эти иовые переменные.
Положим
дТ „ дТ ^ дТ ^
dqi dq^' dq^l
Тогда уравнения A) примут следующий вид:
dt dqi ^^' dt dq^ ' dt 5g^ ^'"
HO подстановка переменных Pi, Pi, ■ ■ ■ , Pj, вместо g/, g/, . .., q^<
;,требует, чтобы были преобразованы и правые части этих
уравнений. В самом деле, ясно, что если Т выражено в функции
9i. 9s. • ■ ■. ?ft, 9i'. 9s'. ■ ■ • . 9ft. a затем в функции q^, g„ . . . ,5^,
Pi. Ps. • ■ ■, Pk' TO в этих двух видах она не будет иметь одной'
и той же Производной по д^. . -
Так как Т является однородной функцией второго порядка
переменных q^ , g/, .... ^^', то мы имеем тождественно
9qi o»gj' " dq^l
что можно написать в следующем виде:
*^ 5д- ^ '' dq,' ^ ^ '" dq^
= 4iPi + q% Pi + ■ ■ ■ + gft' Pu - T. C)

554 ж. ВЕРТРАН
Возьмем вариации обеих частей, одновременно изменяя все
переменные; тогда мы получим
(В правой частч опускаем члены p^^q'^ и — Sg/,, ко-
"т
торые взаимно уничтожаются.)
Но рассматривая Т как функцию р^, р^, . . . , р^, q^,
q^, . . ., q^, мы из уравнения D), очевидно, получим
dpi dpt др^
дТ_^_дТ_ дТ_^_дТ_ ^ - — _^ F)
Благодаря уравнениям F) уравнения движения получают
следующий вид;
dt ^^ dqi dt ^' 5gj Л ^* 5д^, ^ ^
a если к ним присоединить соотношения E),
dT__dqi dT^^dq^ дТ_ _ ^q
- , - =^^, (В)
dpi dt &Pi dt dPf^ dt
t-o мы получим 2A дифференциальных уравнений первого
порядка между неизвестными р^, р р^, q^, q^ . . ■ , 9й- Для
того чтобы эти уравнения уцростить, вспомним, что Х^, У^, Z^^
составляющие силы, действующей на топку ж^, у^, z^,
являются согласно допущению частными производными одной и
той же функции и и, следовательно, мы имеем
поэтому, если принять во внимание определение функции Q„:
-vi дх, ду, dzj

о ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ МЕХАНИКИ 555
мы придем к следующему выводу:
Q =.^JL
^^ дЯт-
Если значения, получающиеся с помощью этой формулы,
подставить в уравнения (А) вместо Qi, Qa, . . . , Q^ и сверх того
положить и — Т = Н, то эти уравнения примут следующий
вид:
dpi_dH dp^_dH^ dp^ _ ен_ . ,(-..
dt ~ dqi ' dt ~ dq^ ' ' ' ' dt dq^^
кроме того мы примем во внимание, что так как U не со-
держит в,. Pi, ..., Рь, то мы имеем — = — — ; поэто-
му уравнения (В) могут быть написаны в следующей виде:
^ = —^Л dqt^_dH_ ^gft - _ ^g
dt dPi' dt dPi <••■■> ^^ Q^^
(D)
Системы (С) и (D) дают в наиболее простом виде
уравнения задачи механики, к которой применим принцип живых
сил. Как видим, две задачи этого рода отличаются друг
от друга только числом переменных и видом функции Д.
III.
Хотя, вообще говоря, мы далеки от того, чтобы иметь
возможность проинтегрировать уравнения (С) и (D)
предыдущего параграфа, тем не менее их вид позволяет нам притти
к ряду очень важных теорем, которые применимы ко всем
вопросам, представляемым этими уравнениями. ,
Мы начнем с вывода следующей теоремы, данной
Гамильтоном.
Теорема. Все интегралы механической задачи, к
которой применим принцип живых сил, могут быть найдены,
если приравнять постоянным величинам частные производные
одной и т,ой оке функции, взятые по отношению к другим
постоянным..
Возьмем дифференциальные уравнения механической
задачи, к которой применим принцип живых сил
dt dqi ' dt dqt' ' ' ' ' dt dq^^
dq,^_dH dq^^_dH_ ^=_^
dt dPi' dt dPi' ' dt dp^ ' )
I .A)

^56 *• ВЁРТРАН
Предположим, что после интегрирования этих уравнений
Pi, р Pft, 91, ?i 9й нам станут известными в
функции 2 и 2А: произвольных постоянных. Если подставить эти
значения в функцию Н, то, продифференцировав полученный
результат по одной из постоянных а, мы получим
дН^дНдр^ л. ^ f^ л.
да dpi да. др^ да
+ ^^1 ^ dRdq^ _|_ ^^дЦ_ 9Чь_ _
dqi да дд^ да dq^^ да
т. е. если принять во внимание уравнения A), которые
согласно допущению удовлетворяются
dH^_dqidpj_dq^dp^_ __ dq^ др^
да dt да dt да dt да
_1_ dpj ^1 _1_ dpa ^ _1_ _|_ dp^ dq^ _ ^^^
dt да dt да dt да
последнее можно представить в следующем виде:
.f=4(-^i; + '-^^ + -+>«^)
д
да
Но так как Г ^-однородная функция второй степени по
отношению к qi, д%', . ■ ■, qii', то мы имеем
дТ дТ дТ
А. это выражение тождественно тому выражению, производная
которого по а фигурирует в правой части уравнения C), так
что это уравнение принимает следующий вид:
НИИ же

о ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ МЕХАНИКИ 557
Есдн обе части этог» уравнения проинтегрировать по г, то мы
цолучим
t
да.
О
-Pi'
индексы О и г, поставленные внизу возле скобок, указывают,
что время следует принять равным нулю или i.
t
Интеграл \ (Я + 2Т) dt является функцией t и 2к произ-
0
вольных постоянных; если мы его обозначим через S, то
приведенное выше уравнение примет следующий вид:
S-(-1+ '■!■ +- + '»t).-
если последнее умножить на da. и затем сложить со всеми
аналогичными уравнениями, которые получатся при
последовательной замене постоянной а всеми постоянными,
фигурирующими в интегралах данной задачи, то мы получим
bS = PiSq^ + p^Sq^ +.'..+ Ph^k — (Pi)o (891H -
- (Рг)о (89г)о- • ■ • - (Pk)o (89й)о. G)
где символом 8 обозначена полная вариация функции
различных постоянных, когда носледние одновременно все изменяются.
Теперь отметим, что S, являющаяря функцией t я 2к
произвольных постоянных, может быть выражена в функции t и
9i. 9s. • • ■ . 9ft. (9i)o. (9г)о. • • • . (9ft)o- В самом деле, допустим,
что 9], 9 , 9й являются функциями г и 2А прстояннщ;;
если в к уравнениях, определяющих эти величины, положить
t = 0, то мы получим к новых уравнений, в которых {qi)g,
(9г)о' • • ■ ' {9й)о заменят собою 91, q^, . . ., 9^ и которые, будучи
присоединены к предыдущим уравнениям, позволят выразить
2А постоянных в функции t и 9i. 9г. • • •. 9ft. (?i)o. (9s)o' ■ • •> (Як}в-
Если допустить, что указанное «ычисление произведено,
го уравнение G) даст вариацию S, когда все переменные, от

558 Ж- ВЕРТРАН
которых зависит эта функция, за исключением лишь t.
получают бесковечно малые приращения. На основании принципов
дифференциального исчисления мы приходим к .следующим
уравнениям:
dS „ dS dS
~ =Рю \
(8)
а "l' — °°° ' ■ ■ • I 3 Pfe' I
ад - > dS .. dS
~ — (Pl)o. T7—V- = — (Pi)
=-(Pk)A
так как эти уравнения имеют место между р,, р^, . . . , р^^
9i. 9s. • • • . 9ft. временем г и 2А постоянными (Pi)o, {Pi)o, ■ . . ,
(Pft)o' (9i)o> (92H1 • • • . (9ft)o. TO, очевидно, они являются
полными интегралами проблемы. Можно заметить, что уравнения,
входящие в сос7ав второго ряда группы (8;, образуют отдель-
flyro систему, в которой не фигурируют Pi, Рц . . ., Pj, и
которая, следовательно, позволяет вычислить неизвестные
9ii 921 • • • I Як ° функции времени и всех начальных
значений (gi)o, (92H (9й)о, (Pi)o, {Pi)o, • • • . (Рй)о-
IV.
Если судить по тому, как в прошлом параграфе была
введена функция S, можно было бы подумать, что для
определения Этой функции необходимо предварительно'
разрешить рассматриваемую задачу. Но мы сейчас покажем, что
эта функция удовлетворяет некоторому дифференциальному
уравнению в частных производных перпого порядка, каждый
полный интеграл которого может заменить эту функцию при
образовании интегралов механической задачи.
Мы положили
+ 2T)dt; A)
на основании параграфа П имеем
н = и-т,
следовательно,
t
О
\(U + T)dt.

о ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ МЕХАНИКИ 559
Пролифференцируем обе части этого равенства по t, причем
примем во внимание, что S содержит t явно, а также
9г1 9i. • ■ . i9ftt зависящие от времени; тогда мы будем иметь
dt dqi dt dq^ dt dqf^ dt ' ^ '
dqi dq^ dq^^ „
Ho -37 , "j7i • • • > -5 ЯВЛЯЮТСЯ линейными функциями Pi,
dS dS dS
Pi,...,Pk' т.е. (параграф III) функциями df^' д^^' ■ ' ■' df^'
таким образом благодаря подстановке этих значений
уравнение B) станет дифференциальным уравнением в частных
производных второго порядка по отношению к производным S. Для
составления этого уравнения следует, как мы это указали,
преобразовать сумму
dS f dS , dS ,
входящую в состав второй части, но результат этого
вычисления, очевидно, останется тем же, если вместо этой суммы
подставить выражение
Pi9i + Mj+.. + Pft9ft'.
„ dS dS dS
отличающееся от нее лишь заменой -^—', -з~ , . •., ^— вели-
dji dq^' dq^
чинами Pi, jOj, . . ., Pf^, — заменой, эффект которой будет
уничтожен благодаря обратной замене, которую придется сделать
в конце вычисления. Но так как Т — однородная функция
второго порядка по отношению к 9,, 9,...,?^, то мы
имеем следующее тождество
дТ , дТ , дТ ,
2^=-^9i + ^9.+ ...+ ^9,=
= Piq[ + рл[ + ... + Pk9k ;
так что уравнение B), которому удовлетворяет функция S,
может быть символически написано следующим образом:
а г.
и+-Т шш.-^ + 2Т,

5Б0 Ж. «вртрйн
Ркобки у Т, указывают на то, что эта функция должна
быть выражена в функции Рх, Pt, • • •, Pj, и что затем эти
переменные должны быть заменены величинами
dqi' dq^' ■ ■ ■ ' dqf^ '
Уравнение'(8) допускает бесчисленное множество
решений, причем каждое из них родержит к произвольных
постоянных; Лагранж называет их полными {completes)
интегралами. Одним из этих интегралов будет функция S, которую
мы опр.еделили в предылущем параграфе, nq мы сейчас
покажем,' что всякий другой полный интеграл может ее заменить
и дать решение исследуемой нами механической проблемы; •
В самом деле, пусть
S = F(t, 5^1, 9s. • • •. 9ft. "i. oj. • ■ ■ . Oft) (-4)
РДИНВЗ подобны^ Ийтегр&лов^.тождествйнно удовпетворяю-
1ций уравнений "(8)^ и соДержахДЙй к произвольных постоян--
ных; если положить
= Ol, т;г- = *i' • • • ' ^Г" = "ft' ^^*)
да^ да^ . да
к
то я утв^й«'даю, *!*о мы будем иметь лолное решение
предложенной задачи и что,лриведенные уравнения E)
д?1дут-значений ji, jj, ..., q^ в функции t и 2А произвольных iiqcto-
^нйых. Для того чтобщ это дрказать, иапо8»ним, что слелу?рщие
Дифференциальные ^уравнения являются уравнечиями
движения
^1 ^?9i ' dt ■•" dqi ' ' '■'' dt ° dq^
dqi _ __ дН dqt _ дН\ dq^ дН
'dt 'dp^' 7 ^ ~ ~dpi " ■ ■ •■;' '^ ^ " ^'
F)
где ^?•рбозвачае(г разностЕ ■U-—T.-- Так) как i/Hff Сод&ржит
в ce6(gjPi,,-j!>4,.... .ij9^,OTjo мыимеем
дН . дХ

о ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ МЕХАНИКИ 561
так что второй ряд уравнений F) может быть написан в
следующем виде:
dt dpi' dt dPi' '" ' dt dpf^' ^ '
Мы начнем с того, что покажем, что эти уравнения G)
могут быть получены из системы уравнений E).
Если уравнения E) продифференцировать по t, то мы
получим уравнение
к которому следует присоединить к — 1 уравнений,
получающихся путем замены в этом уравнении буквы а^ буквами
Oj, Oj, ..., Ojj. Полученная таким образом система к
уравнений даст значения q^ , q^', ..., q^^ , вытекающие из
соотношений E).
А если продифференцировать по а^ уравнение C),
которому 1? тождественно удовлетворяет, то мы получим
.^!^,iiZl = 0; (9)
dt да^ ' да^
д(Т) ^
—J. обозначает здесь производную по а.-^ выражения, в
которое преобразуется Т, когда Pi, Рг» • ■ • > Рй в нем замещаются
dS dS dS „
величинами — , — , ■ . ., — . Но на основании этого мы,
dq^ dq^ dq^
очевидно, имеем
^(Г)^ дТ d^S ,дТ d^S , , дТ d^S . ,^q.
да^ dPi dqida^ др^ dq^da^ dpf^ dq^^da^ '
в правой части этого уравнения следует еще преобразовать
дТ дТ дТ
др ' 'др ' ■ ■■' 'др ' з*'*'®нив в них р-^, Рг, ■ ■. , р^ величина-
dS dS dS „
ми ^ , ^ , ..., н^ ■ Для того чтобы отметить это
преобразование, поместим эти величины в скобках. Тогда
уравнение (9) примет следующий вид:
dtda
\dp^Jdq^doi
36 Ж. Лагранж, т. I

562 5"- БЕРТРАН
К этому уравнению можно присоединить еще к — 1
аналогичных уравнений, которые могут быть образованы путем
замены в нем ai величинами а^, а,, .. ., а^. Но если полученную
т^ким образом систему уравнений сравнить с уравнениями
типа (8), то мы придем к выводу, что последнее
удовлетворяется следующими значениями неизвестных q^', q^', . . ., q^:
"■=(i)' '■■=A.)---=(©- <'^>
Но выше [параграф II, уравнение E)] были выведены
соотношения
дТ _ , дТ _ , дТ _
так что предыдущие формулы могут быть написаны следующим
образом:
9i' = (9i'), 92' = (92').-.-.9а' = (9й')' A3)
где X9i)> (Яг)' ■ ■ ■' (9ft') обозначают величины, в которые
обращаются qi', gj', ..., gj,, когда их выражают в функции
переменных Pi, Pi,. .. , Pf,, а затем последние замещают с помощью
л с лс л с
— , — , . • • , —■ ■ Предположим теперь, что, проведя ука-
dqi dqt dq^^
занное преобразование в правых частях уравнений A2), мы
одновременно с помощью тех- же формул, которыми мы
воспользовались, выразим левые части их в функции
Pi. Pi, • • •, Ph< тогда мы составим систему уравнений, обе
части которых будут отличаться друг от друга только
замело л с лс
иой Pi, Р2,..., Ръ выражениями — , _ rL и из
dqi dq^ 5g^
которых, следовательно, мы выведем
ds ds as
Pi = ^,' P» = ^, ^^ = ^й • (^^>
Если мы вернемся теперь к уравнениям A2), то их можно
будет написать следующим образом:
дТ ^ дТ , дТ
91=^, 92 =^^.---. ?й = ^, A5)
т. е., опустив скобки, назначение которых заключается толь-
, dS dS dS
ко в том, чтобы указать подстановку 5— , я— , ..., я—

о ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ МЕХАНИКИ 563
вместо величин, равных им в силу уравнений A4), Формулы
A5) образуют половину дифференциальных уравнений
движения, которые, таким образом, удовлетворены.
Нижеследующие уравнения, будучи присоединены к системе A5),
представляют полные условия задачи;
dpi _дН 4рг_дН_ dPk *»
dt ^dqi' dt ^ dq^ It ^ dq'^' ^^^^
Для того чтобы показать, что эти уравнения тоже
удовлетворены, продифференцируем по t уравнения A4); полученные при
этом результаты будут иметь следующий вид:
dpi _ d^S d^S , d^S , d^S
dt = dq^dt + dqi^ 'i + dqidq^ '^ + • • • + dq^dq^ 'ft'' ^"^
или, если qi, q^', . . ., q^' заменить их значениями
дТ_ дТ дТ
дРг' д^г ^й '
dPi d^S d^S дТ d^S дТ_ d^S дТ_
dt ~ dq^dt + dqi^ др^ + dq^dq^ др^ + '' ' + dq^dq^ др^ ' (^^^
Продифференцируем теперь по qi уравнение
dS
U = 'Q^ + (T); A9)
получим
dU_ _ d^S д(Т) _
dqi ~ dtdqj ' dqi ~
d^S f^L^ {'—Л —
dt dq, + ^dqj + K^dpJ dq,^ +
+ \dpj dq,dq, +■■■ + KjfJ dq^dq, • (^0)
dq^dqi
или, заменив I ^ ) I ^ ), .. . их значениями qi, д^', ..., д^'
dqi dtdq-i
d'S
+ ---+'ft'§?^ W
Сравнив уравнения A7) и B1), мы придем к следующему
выводу:
dpi_dU__ fdT_\
dt ~ dqi \dqij '
Ж. Лагранш, т. I

564 ж. ВЁРТРАН
Но в силу соотношений A4) мы можем о-пустить скобки
дТ
у -х—, и тогда, наконец, мы получим
dpi _ d(U — Т) _ дН_
dt ~ dqi dqi '
Здесь мы имеем как раз то соотношение, которое мы хотели
вывести; аналогичные выражения мы получим для
—, .. ., -J- и, таким образом, докажем, что все уравнения
dt dt
движения удовлетворяются системой соотношений E).
Мысль о замещении функции S Гамильтона каким-либо
из интегралов уравнения, которому она удовлетворяет,
принадлежит Якоби *). Он привел доказательство этого положе-
ния«для случая системы без связей. После этого многие
математики исследовали тот же вопрос, но я полагаю, что
приведенное выше доказательство является простейшим вз
всех, какие были даны до настоящего времени.
V.
Гамильтон называет функцию S, к которой относятся
приведенные выше рассуждения, главной функцией задачи. Он
рассматривает сверх того другую функцию, которую он
называет характеристической и которую мы обозначим через V.
Мы считаем своим долгом дать здесь определение этой
функции V и изложить наиболее важное ее свойство. Гамильтон
впервые дал именно эту функцию, и я полагаю, что при
ознакомлении с ней легче всего будет понять те идеи,
которыми он руководствовался.
Функция V представляет собою не что иное, как инте-
i\^dt^,
гралХ dt ^mw', который рассматривают в связи с принципом
о
наименьшего действия, так что в процессе доказательства
этого принципа можно, как мы это сейчас увидим,
наиболее естественным путем притти к прекрасному открытию
Гамильтона.
Согласно обозначению, принятому в настоящей статье,
мы имеем
t t
F = ^ 2Г di = ^ (Pi^i' + РгЯг' +... + р„9„') dt.
*) Crell's Journal, XVII.

о ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ МЕХАНИКИ 565
откуда следует
(
SV
SV--
= [ iPi^Pi + Р.8?/ + . • . + Pjqn) d^ +
о
t
+ 5 (Яг^Рг + 9s'8P2 + • • . + 9„'8р„) dt,
О
где символ 8 относится к вариации всех постоянных величин,
фигурирующих в выражениях ^i, Яг <?„, Pi, Р% Р„.
Интегрируя по частям члены первого интеграла и приняв
во внимание, что o^i = ~тг , мы Получим
о
+ q.'Sp, + ... + q^'Sp^dt + ip^Sq^ + p,Sq^+. . . + pjqjj
индексы 0 и г, поставленные позади скобок, указывают, что
здесь следует для времени принять последовательно
значения О и t и затем взять разность двух полученных
результатов. Но согласно дифференциальным уравнениям движения
мы, очевидно, имеем
srr й ^1 S dpi dp„
а так как вследствие принципа живых сил Ш — постоянная
величина, то приведенное уравнение принимает следующий
вид:
SV = ~ t SH + р^Цг + P^Sq, + . . . +
+ Рп ^9„ - Р[ Ц[ - Р° 89] - • • • - Р'п ^I'n •
Следовательно, если рассматривать V как функцию ^i, д^,---,
Яп, q > q 9n и Я, то мы будем иметь
дУ дУ '^V _
dqi - Р" dq, =Р^'---' dq^ ^"'
^_ . дУ__ о &V_ о дУ_

566 ^ ВБРТРАН
Эти уравнения можно рассматривать как полное решение
поставленной задачи, которая, следовательно, будет
разрешена, если достичь определения характеристической
функции V; V, как и S, удовлетворяет частному
дифференциальному уравнению, единственного полного интеграла которого
достаточно для решения задачи. Но для исследования
этого уравнения мы отошлем читателя к мемуару Якоби,
который подробно проанализировал случай свободной
системы; что касается случая системы с любыми связями, то он
не представит никаких затруднений для лиц, которые усвоили
аналогичные предложения, изложенные выше применительно
к функции S. ,
Мы не можем здесь указать какого-либо частного
применения теории, послужившей предметом настоящей статьи.
По этому поводу можно с пользой посмотреть
многочисленные мемуары Лиувилля, напечатанные в XlV и XVI томах
его журнала и в Additions а 1а Connaissance des Temps
за 1850 г.
vn.
Ж. ВЕРТРАН.
О ТЕОРЕМЕ ПУАССОНА.
Йуассон в одном из своих мемуаров изложил весьма общую
теорему, на которой он основал новый метод изложения
теории вариации произвольных постоянных. Хотя эта теорема
сама по себе представлялась чрезвычайно интересной,
Пуассон удовольствовался применением ее к специальной
цели, которую он себе поставил, не отметив даже того
обстоятельства, что ее можно применить и в других случаях.
Спустя больше чем тридцать лет после этого, уже в момент
смерти Пуассона, внимание математиков снова было
привлечено к этому вопросу знаменитым Якоби, который указал на
теорему Пуассона как на замечательное достижение, по его
мнению, — наиболее важное во всей науке о движении.
Впрочем, Якоби не подкрепил какими-либо выводами своего
утверждения, относительно которого, быть может, мы
найдем более подробные указания в его посмертных трудах.
Цель настоящей статьи заключается в том, чтобы изложить
теорему Пуассона и указать ту пользу, какая может быть из
нее извлечена для интегрирования дифференциальных
уравнений механики.
I.
Рассмотрим какую-либо задачу механики, к которой
применимо изложенное в предыдущей статье преобразование
Гамильтона. Пусть имеются дифференциальные уравнения этой

о ТЕОРЕМЕ ПУАССОНА 567
задачи
dpi_ дН dPi_ дН_ ^Il_ ^JL \
dt ^ '^ dqi ' dt ■ ^ dq^ dt '" ^Оь ' I
dgi дН_ dgt_ дН_ «9^ _ дН^ |
dt ^ ~ dpi' dt ^ ~ dPi' ■ ■ ■ ' dt ^ ~ dp^- }
Если мы допустим, что нам известны два интеграла &той
системы уравнений, причем каждый из них содержит
произвольную постоянную В разрешен относительно этой
постоянной
а = <Р (9i. 9s. • • • . Як' Рк Р». • • • . Pk' 0. B)
Р = "I* (9i> 92 9й. Pi, Pi, ■ ■ ■ ,Pk, 0. C)
то теорема Пуассона сводится к тому, что выражение
а «1 dpi дрг dqi '^ dq.dp, др.да,'^ ' "'^ да^ dPh " dPk aqji (*)
которое он обозначает через (а, Р), сохраняет во время
движения постоянное значение, так что если равенство
(а, р) = const
не является тлокдеством, то оно представляет собою
интеграл рассматриваемой системы дифференциальных
уравнений.
Для доказательства этого предложения составим
производную выражения (а, Р) и удостоверимся, что она равна
нулю; мы имеем
\aqidi'dpi^ dpidl dQi dPidi dqi daj di dpi ) ' ^ '
Ho так как аир являются интегралами системы A), то
da. dp
dT ^ Ж ' ^^^ принять во внимание эти уравнения,
тождественно равны нулю, и тогда мы имеем
да. .^ I да дН да дН \
дГ + 2J\дf^д^^~Щ'^дf^\=^'
dt ^ Zi[dpidq. dq.^dpA -";

568 ЯС. БЕРТРАН
если эти два уравнения продифференцировать по p^, и q^,, где
I обозначает какой-либо индекс, то мы получим
д^а. дН да. д^Н \
- dq.dp^, др. - dq. др.др^,) = О' F)
д^а ^ / дЧ дН_ 5а^ g'g
дЧ дН да д^Н \
~ dqi dq^, dPi ~ dq^ dp^dq^J = ^ (^^
И два других уравнения, отличающихся от приведенных лишь
заменой буквы а буквой р.
Сверх того мы имеем
- -^ = ^'^ , VI дЧ '^Pj . g'« £9i ^
dt dPi, dt др^, + 2j 5p, 5p., dt dq- др., It
дЧ Ж-, дЧ дН дЧ дН
дtдp^,^ ZJдp^дq^,дq^ dq^dp^rdp^'
d_ _да_ _ д^а -у дЧ ^Pj дЧ dq^ ^
dt 'Щ, ^ dt 9q^, + ^ dpi dq:^, dt + dq^^r dt ^
_ ff^a y^ дЧ дН д^а дН
= &t дд-, + 2j др. dq^, dq. ~ dq. dq., Щ '
в силу этих соотношений уравнения F) и G) могут быть
написаны в следующем виде:
dt др^Л hydp^dq^dp^,- dq^dp^dp^J = ^' (^)
dt-d^, + b \др^ dq^ dq., ~ dq. др^ д^^,} = ^^ (^)
ТОЧНО так же мы будем иметь
dt дq^, + 2Л др^ dq^ dq^, dq^ 9p^ дq^, " "' ("^

о ТЕОРЕМЕ ПУАССОНА 569
Если ИЗ уравнений (8), (9), A0), A1) найти значения
d да. d_ да ^ д^ d д^
Ждр^ ' dt dq^, ' dt др^, ' dt dq^,
для всех значений индекса i и внести их в уравнение E),
правильность которого мы хотели доказать, то мы получим
тождество, в чем можно очень просто убедиться, если
принять во внимание, что после указанной подстановки все
члены правой части уравнения будут содержать в качестве
множителя вторую производную функции Н; если соединить все
члены, соответствующие одной и той же производной, то мы
увидим, что таких членов имеется четыре и что они попарно
друг друга уничтожают. Отсюда мы получим
d (а, Р) .
dt -"
и, следовательно, (а, Р) = const, что дает нам в точности
теорему Пуассона.
Если (а, Р) — функция переменных д,, ?j, . . . , g^, р,,
Pi, ... , Pf^, которую нельзя рассматривать как функцию а и
Р, то это уравнение (а, р) = const будет третьим интегралом
который можно скомбинировать с двумя интегралами аир
таким образом, чтобы составить новое постоянное выражение,
которое в некоторых случаях может послужить четвертым
интегралом, и так далее. К сожалению, случаи, при которых
этот процесс не приводит к новым интегралам, чрезвычайно
многочисленны. Мы остановимся на некоторых частностях,
связанных с этим важным вопросом.
II.
Пусть
a = <pi. Р = 92' T = 9s. •••. ^ = «Рай
представляют собою интегралы какой-либо механической
задачи, причем <pi> 92> • • • > 92й выражают функции
неизвестных координат и времени г, сохраняющие Ьдно и то же
значение в течение всего времени движения. Очевидно, что
любая функция величин <pi. «Ра- • • • > 9гй будет обладать тем
же свойством, вследствие чего величину
A = Fi (<pi, 92. • • • - <Psft) = ^1 (а- Р- у, • • • , Ч. >')
мы можем тоже рассматривать как некоторый интеграл
дифференциальных уравнений движения.

570 5K- БЕРТРАН
Если мы рассмотрим второй интеграл
В = Ft (<pi. 92 <P2ft) = P'i (a. p. r Ч. >').
причем Fi и Fj обозначают две произвольные функции, то,
пользуясь только правилами дифференцирования, мы легко
удостоверимся, что если скомбинировать оба интеграла А и
В, как это было указано в предыдущем параграфе, мы
получим тождественно
,, „, , „, /aFi ар, др^ вр,\,, , (дРг дР, др^ ар,\ , ,
Эта формула дает результат сочетания двух интегралов А и
В в функции результатов, полученных путем комбинирования
интегралов, от которых зависят величины А п В. Эта
формула в дальнейшем нам очень пригодится.
III.
Когда нам известны два интеграла, которые мы для
краткости обозначим через а и р по наименованию входящих в них
постоянных, можно двумя различными путями добиться того,
чтобы результат их сочетания не дал нового интеграла.
В самом деле, это будет в том случае, когда выражение
(а, Р) тождественно постоянно или когда, не будучи
тождественно постоянным, оно является такой функцией аир,
которая может быть получена путем сочетания этих двух
интегралов. Важно исследовать оба эти случая и Определить,
должны ли они часто встречаться. Докажем сначала
теорему, которая позволяет связать эти два случая. Если а = <р»
^ = ^ представляют собою два таких интеграла одной и той
оке задачи, что {а., р) является функцией а. и ^, то всегда
существует некоторая функция а. и ^, которая, будучи
приравнена постоянной у, дает такой интеграл, что (а., у) то-
ждественно равно единице.
Действительно, согласно формуле предыдущего параграфа
мы имеем
(а, у) = (а, Р) щ ;
следовательно, если (а, р), как мы допустили, является
функцией аир, можно всегда определить у с помощью условия
?Х ___L_
Щ - (а, р)
и сделать так, чтобы величина (а, у) была равна единице.

о ТЕОРЕМЕ ПУАССОНА 571
IV.
После того как мы доказали, что оба случая, для
которых теорема Пуассона дает иллюзорные результаты, тесно
связаны друг с другом, мы в дальнейшем ограничимся
исследованием интегралов, которые, будучи скомбинированы с
заданным интегралом, сообщают выражению Пуассона то-
окдественнб постоянное значение.
Докажем следующую теорему.
Каков бы ни был заданный интеграл ex., всегда можно
дополнить решение задачи, прибавив к нему другие интегралы
Pi, Рг, . . . , Pjft—1, котлрыл, будучи скомбинированы с а., сообщат
уравнению Пуассона тоогедест,венный вид, так что мы будем
иметь
(а, PJ = 1, (а. р,) = О, (а, р,) - О (а, P2ft-l)=0.
Отметим прежде всего, что каков бы ни был интеграл а,
невозможно, чтобы не существовал по крайней мере еще один
интеграл р такого рода, чтобы величина (а, Р) была отлична от
нуля.
В самом деле, если бы это было не так, то уравнение
2 да 5р да ^Р _ л
dpi dq^ dqlWi
в котором р рассматривается как неизвестная величина,
допускало бы все решения уравнения
^дН_д^_дН_д^ =0
2л dpi dqi dqi dpi
выражающего, что р является интегралом. Но так как оба
эти уравнения линейные и содержат одинаковое число
независимых переменных, то они не могут иметь одного и
того же общего интеграла, не будучи тождественными, а это,
очевидно, требует того, чтобы а была функцией Н, т. е.
чтобы заданный интеграл был интегралом живых сил. Но даже
в этом случае существует интеграл, который, будучи
скомбинирован с а, дает в качестве результата единицу; это—тот
интеграл, постоянная которого прибавлена ко времени. Таким
образом наше утверждение доказано для всех случаев.
Во-вторых, докажем, что заданному интегралу а всегда
соответствует по крайней мере один такой интеграл р, что
К Р) = 1.

572 ^- БЕРТРАН
в самом деле, пусть имеется такой интеграл у, что
величина (а, у) отлична от нуля. Положим
(а, Y) = 8,
(а, 8) = 6,
(а. е) = -^,
и остановимся тогда, когда один из интегралов 8,е, -г] будет
тождественно постоянен или будет функцией предыдущих
интегралов. Невозможно, чтобы один из этих случаев не
наступил, так как число различных интегралов необходимо
ограничено. Предположим, например, что мы имеем
yi = F(a,'T, 8, е),
где функция F может свестись к простой постоянной величине.
П)'сть <о (а, Y, 8, е) — новый интеграл, который я обозначу
через С тогда мы имеем
положив (а, Q= 1, мы получим дифференциальное уравнение,
из которого выведем ш.
Теперь мы можем дать доказательство теоремы,
составляющей предмет настоящего параграфа.
Если дан некоторый интеграл а, можно всегда дополнить
решение задачи с помощью таких интегралов Pi, Pj,, , ., P2ft_i,
что
(а, Pi) = 1, (а, PJ = О, . . . , (а, Pj^.j) = О,
Выше было доказано существование такого интеграла Pi, что
(а. Pi) = 1. Следовательно, остается доказать, что существует
2к — 2 интегралов, отличных от аир, которые, будучи
скомбинированы с а, сообщают уравнению Пуассона вид 0 = 0.
Действительно, назовем |л число интегралов,
удовлетворяющих этому условию, и обозначим их через Ра, Р», . . . , Pu-f-i-
Если (i-|- 1 меньше 2к — 2, то существуют интегралы, не
зависимые от упомянутых, как от а, так и от Pi- Пусть Р^.г —
один из этих интегралов; положим
где Р„ , 3 согласно допущению будет отлично от нуля. Оно
будет также отлично от единицы, так как в противном
случае мы имели бы
(а, Р^^2 - Pi) = О-

о ТЕОРЕМЕ ПУАССОНА 573
И тогда Эй! 12—^1 согласно нашему допущению было бы
функцией Pi, Pj Р|^, J, так что Р|^, 2 не было бы новым
интегралом.
Положим
И так далее, пока мы не дойдем до интеграла, который
тождественно постоянен или является функцией предыдущих
интегралов. Пусть этот интеграл
И положим
Т = <» (Рц+t-l . P(.+t-2 ' K+i-3 • ■■■' Р> «)>
тогда мы будем иметь
приравняй (а, 7) нулю, мы, очевидна, получим уравнение
относительно (О, интеграл которого даст решения для функций
Pi, Рц+2' Pii+3' ■ ■ ■ • Pt4-i-i и притом отличные от р^, Р»....
Рц4-1! ибо если бы этого не было, то в противоположность
сделанному допущению существовало бы соотношение
между интегралами, полученными до Pu+i- Следовательно, мы
сделали невозможное допущение, ограничивши числом (х
количество интегралов^ которые, будучи скомбинированы о а,
дают результат, тождественно равный нулю, и стало быть
число \х не может быть отлично от 2А—2.
Таким образом упомянутая выше теорема доказана.
V.
Согласно изложенному выше, если дан некоторый
интеграл а, то можно дополнить решение задачи с помощью
интегралов Pi, Ра,..., P2ft_t> которые, будучи скомбинированы с а,
все сообщают формуле Пуассона тождественный вид. Несл'е-
дует, однако, думать, что в силу этого все интегралы задачи
заключаются в одном и том же случае.

574 ^- ДАРБУ
В самом деле, рассмотрим наиболее общий интеграл
<» (а. Pi. Ps . Pzft-l) = '^''
тогда согласно формуле параграфа II мы имеем
(а, i) = (а. Pi) а^ = ^ ,
и, следовательно, выражение (а, -г]) будет тождественно
постоянным только в том случае, если -Л само по себе яв-
^Pi
ляется постоянной величиной; но мы видим, что все
интегралы, число которых бесконечно и которые получаются
путем комбинирования а, Ра, • • • ,^2k—i' Дают результат,
тождественно равный нулю, если их сочетать с а. Только те
интегралы, которые содержат в себе Pj, могут привести к
нетождественным результатам. Согласно этому два интеграла
а и Pi связаны между собою совершенно особым образом,
вследствие чего я предложил бы их назвать сопряокенными
интегралами. Свойства этих сопряженных интегралов могли
бы послужить темой для интересного исследования, которому
здесь, однако, не может быть уделено место. По вопросу о
применениях, какие могла бы получить теорема Пуассона
для интегрирования дифференциальных уравнений механики
я отопйтю читателя к мемуару, опубликованному в XVII томе
журнала Лиувилля, стр. 393.
VIII.
Г. ДАРБУ.
О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ СИСТЕМЫ ТЕЛ.
В начале шестого отдела (стр. 438) Лагранж подвергает
углубленному исследованию малые колебания, выполняемые
различными телами системы, когда их лишь немного
выводят из положения равновесия. Только применение
замечательных результатов, которыми аналитическая механика обязана
Лагранжу, позволяет успешно разрешить этот вопрос, один из
наиболее ваяшых и общих, какие только встречаются в теории
движения. Но некоторые из выводов, приведенных Лагранжем,
недостаточно обоснованы. Решение этой проблемы зависит от
разрешения алгебраического уравнения, метод составления
которого был указан Лагранжем; это уравнение никогда не
имеет мнимых корней, но, в противоположность утверждению

A)
знаменитого математика, может иметь равные корни.
Сейчас мы покажем это, пользуясь методом приведения
квадратичных форм, принадлежащим Кронекеру (Кгопескег).
Рассмотрим две однородные квадратичные формы
/ = вцж^ + 2 a^iX^x^ + . . . = "^^a^^^i^h'
<р = бцж^ + 2 bi^x^x^ + . .. = 2S *ift^t^ft.
зависящих от п переменных Xj^, х^, . . . , х^. Формула
в которойXобозначает постоянную,способную принимать
всевозможные значения, определяет то.что мы вместе с Кронекером
назовем пучком квадратичных форм. Алгебраическое уравнение
Хвц — бц Хви — 6i2 • • ■ ^вщ •
Ха»
Хв»
• ^ V — *2П
Ха
11
Ха„
'П2 ■
■'^^^nn~^nn
:0,
B)
как известно, определяет значения X, для которых
квадратичная форма X/ — <р сводится к сумме, составленной по
меньшей мере из п квадратов; это уравнение никогда
тождественно не удовлетворяется, если, какая-либо форма, например /,
имеет детерминант, отличный от нуля.
На основе изложенного мы начнем с обоснования
следующей леммы.
Будем, как обычно, называть определенной формой всякую
квадратичную функцию п переменных, которую можно
свести к сумме п квадратов, имеющих один и тот же знак, и
которая, следовательно, может стать равной нулю только в
том случае, когда мы присвоим нулевые значения всем
переменным, от которых она зависит. Мы докажем, что если
уравнение B) имеет один мнимый корень, то квадратичная фор11(а /
или всякая иная форма пучка не может быть определенной
формой.
В самом деле пусть Хо = а -Ь Рг является этим мнимым
корнем уравнения B); квадратичная форма
будет представлять собою сумму, составленную по крайней мере
из п квадратов. Следовательно, можно написать
(a+pi) / - 9 = (Ух+iZiY + (y^+iz,)^-¥ ... + (yn-p+iZn-рУ' C)

576 г. ДАРБУ
где y^, z^ обозначают линейные вещественные функции
переменных Xj^, х^, . . . ,х^. Если приравнять вещественные и
мнимые части, стоящие в обеих частях равенства, то мы
получим
Р/ = 2(/1 Zi -Ь 2у2 Za -f . . . -Ь 2y„_pZ„_p,
af — ^ = y[-z[ + y[-z[+... + у„'_р - z„'_p,
и стало быть
Этому уравнению можно, очевидно, придать следующий
вид:
>^/-- 9 = 2 ^Vi - '«i^j) (y^ + — Ziy
i;ne все постоянные величины Wj являются вещественными.
Следовательно, функция X/—<р обратится в нуль, если для
всех значений г мы йоложим
2/t —'^t^t^O- (^)
Число полученных таким образом уравнений меаьше п;
эти уравнения линейны по отношению к переменным х-у, . . . ,
хп, сверх того все их коэффициенты вещественны.
Следовательно, ОНИ- мргут быть удовлетворены вещественными
значениями xi, х^,. . . ,х^, которые не все равны нулю. Таким
образом форма X/ — <р> обращающаяся в нуль при вещественных
значениях независимых переменных, которые не все равны
нулю, не может быть определенной формой, каково бы ни
было вообще значение, приписываемое X.
Если бы мы захотели обосновать этот вывод только для
формы /, можно было бы приведенное выше рассуждение
повторить, подставив в систему D) уравнения y^ = 0.
Из указанного выше предложения непосредственно
следует, что если пучок квадратичных форм содерокит одну
определенную форму, то все корни уравнения относительно
X, соответствуюгцего этому пучку, обязательно вещественны.
В частности, это имеет место в том случае, когда, как мы
это примем в дальнейшем, / является определенной формой.
Пусть теперь к — корень, необходимо вещественный,
уравнения B). Квадратичная функция kf — f может быть
приведена к следующему виду:
А/ — <р = aj,x" -f- а^х" +,...+ ах'' , E)

о МАЛЫХ колёванйях системы 577
. . . ,х обозначают функции,.линейно независимые
от a;i, . . ., х^^ а число р не превйшает п— 1.
В качестве новых независимых переменных можно
принять ж' , х' ,.. ., X и их подставить вместо равного числа
первоначальных переменных. Так, например, если из формул,
выражающих ж' ,. . .,х , можно вывести значенияa;i, х^, . . . ,хр,
то мы изберем в качестве новых незаййсимых переменных
Тогда мы получим
/=Р(А.-' .4) + ^( "'^'"' '" 1 +
I ^р+1' ■ ■ ■ '^п )
+ Ф {^p+i, ■ ■ ■ ' ^п)' (g)
где F обозначает часть, содержащую только аеременные х'.>
В — часть содержащую произведения переменных x^ на
переменные Х)^, и Ф — часть, содержащую только переменные Жь.
Для дальнейшего преобразования / мы воспользуемся
следующим замечанием.
Пусть дана определенная форма ге переменных х^, х^, . ..
... ,х^; если ПОЛОЖИТЬ равными нулю некоторое количество
переменных, например «p^i, ■ ■ . , а;„, то остается определенная
форма переменных х^, х^,. . ., х .
В самом деле, если бы эта форма не была определенной,
то она обращалась бы в нуль для значений переменных
х^,. .. . Хр, которые не все были бы нулями; тогда одна из
этих систем значений, взятая в сочетании с нулевыми
значениями последующих переменных х ,^, . .., х^, превратила
бы в нуль первоначальную форму, которая, в
противоположность допущению, не оказалась бы определенной.
Из приведенного замечания следует, что в выражении F)
для / части F и Ф являются определенными формами по
отношению к" переменным, от которых они зависят. Стало быть,
Ф можно свести к сумме квадратов
V+1 + 4+2 + • • • + ?п >
имеющих одинаковые знаки, например положительные, если
форма / положительна, причем х^.^, . .., х^ обозначают
функции, независимые от х-.^,..., х^, которые мы
подставляем вместо этих последних переменных.

578 г, ДАРБУ
Затем часть В примет следующий вид:
где Р, . . ., Р„ являются линейными функциями ж' ,. . . ,х'
и / может быть написана следующим образом:
/=К+1+^р+/+ ■■■+(<+Рп)'+ h (^[, \,-- ,^;).
Наконец, если мы введем новые переменные
, X
п = ^„ + Л
/ = ^р+1 + ■■ + =^"п +fi(\'\ ^р); G)
"p+i ~ -^p+i ^ ■■ р+1'
то мы получим следующее окончательное выражение для /:
+ t, IX . ;.
согласно сделанному выше замечанию /j тоже будет
определенной формой переменных, от которых она зависит.
Уравнение E) дает нам возможность определить <р и мы
получаем
<Р = ^ (^р+1 + ■ • • + ^^*) + 91 (^1. ^j . • • • . *р). (8)
где для краткости с помощью <pi обозначена квадратичная
функция
АД (ж^, . . ., Жр) — а^ ж^ — ... — врЖр ,
зависящая исключительно от переменных х , . .., х .
Все допущения, сделанные в начале этой статьи, можно
теперь применить к двум формам Д и <pi> анологичным / и <р>
но зависящим от меньшего количества переменных.
Следовательно, к этим двум формам можно снова применить тот
метод, которым мы воспользовались выше, и совершенно так
же продолжать до тех пор, пока мы не исчерпаем всех
переменных. Окончательный результат, очевидно, сведется к
следующему.
Две квадратичных формы f и (р моокно всегда представить
в следующем виде:
t=n i=n
/ = 22/f. <f = ^Ht'
t=i 1=1
еде величины y^ являются функциями линейными,
вещественными и независимыми от первоначальных переменных, а
постоянные величины а. являются корнями уравнения B),
необходимо вещественными, но при этом равными или неравными.

о МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ СИСТЕМЫ 579
Приведенное предложение играет основную роль в
большом количестве применений. Рассмотрим, в частности, проблему
бесконечно малых колебаний; метод, которым пользовался
Лагранж, сводился к тому, что все переменные, От которых
зависит положение системы, выражаются в функции новых
переменных
которые независимы и в положении равновесия все райны
нулю. Согласно' этому, если предположить, что все тела
находятся очень близко от своего положения равновесия и
что сообщенные этим телам скорости тоже бесконечно малы,
то все упомянутые выше переменные будут очень малыми
величинами и такими же будут их производные
^' Ж ^^'ЧГ-
Вычислим половину живой силы Т и функцию сил V,
ограничившись членами меньшего измерения. Мы получим
Г = /(^(, Е^,...,е„),
где / обозначает квадратичную форму производных ^j,... , ^^^
которая в силу своей природы будет определенной формой.
Что касается функции сил, то если через F. обозначить
ее значение в положении равновесия, то мы будем иметь
V = V^ + <f{E^,%^ 5„),
где <р обозначает квадратичную форму переменных ?,^, . . ., ?„.
Применим метод Кронекера к двум функциям
/ {^г ■■-, ?п)> 9 (п . ■ ■ ■. 5„);
с помощью той же линейной подстановки с постоянными
коэффициентами мы сможем свести их к простым формам
i—п г=п
Величины a^ будут корнями уравнения относительно X по
отношению к пучку X/ — <р; они все будут положительными
если в состоянии равновесия функция сил будет минимумом.
37*

580 г. ДАРБУ
Если по отношению к переменным ?,^, 5j' применить
линейную подстановку, то они преобразуются подобным же образом;
тогда мы необходимо получим
И, следовательно, уравнения Лагранжа (стр. 443) примут сле-
дуюший вид:
_^+«{Уг = 0 (/ = 1,2 п).
Как мы показали выше, величины ар которые всегда
вещественны, могут быть, однако, и равными меокду собою. Тем не
мрнее основной вывод, указанный Лагранжем, остается в силе:
еели в состоянии равновесия функция сил является
минимумом, то постоянные величины а^ все положительны, и
интегралы указанных выше дифференциальных уравнений никогда
не содержат времени вне знаков синуса или косинуса.
■,с^-к£2:>'^~

ПРИМЕЧАНИЯ
-<о>~
Ш. Лагранш, т. I

Е^У^Ш'Р^. >■- ■— ~^isr.^M.j>—
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА.
\}] Жозеф-Луи Лагранж (Joseph-Louis Lagrange) родился
в Турине 25 января 1736 года в семье военного казначея,
разоренного постоянными финансовыми спекуляциями.
Молодой Лагранж весьма легко отнесся к разорению семьи.
Впоследствии он говорил: «Если бы я был богат, я, вероятно, не
достиг бы моего полоя{ения в математике; а в какой другой
деятельности я добился бы тех же успехов?».
Семнадцатилетним юношей Лагранж увлекся
математическими науками, главным образом под влиянием мемуара
Галлея «О преимуществах аналитического метода», а в
восемнадцать лет уже Получил самостоятельные результаты
как в области дифференциального и интегрального исчислений,
так и в области зарождавшегося тогда (Эйлер) вариационного
исчисления. В 1754 году, т. е. девятнадцати лет от роду,
Лагранж уже профессор артиллерийской школы в Турине; он
объединяет своих слуша1елей и образует ученое общество, в
дальнейшем превратившееся в знаменитую Туринскую
академию. В печатном органе итого общества «Actes de la societe
privee de Tourin» Лагранж помещает свои первые работы
по изопериметрии, вызвавшие восхищенные отзывы Эйлера;
здесь же появляется исследование по применению
принципа Даламбера к проблемам непрерывных сред
(гидродинамика и акустика), впоследствии развитое в его «Mecanique
Analytique». Даламбер высоко оценил работы Лагранжа по
равновесию жидких тел. В 1759 году, по представлению
Эйлера, Лагранж был избран членом Берлинской академии
наук.
Парижская академия объявила (в 1764 г.) конкурс яа
лучшее сочинение, содержащее объяснение явления либрации
луны. Лагранж представил на конкурс свою работу, дающую
исчерпывающее решение задачи, основанное на применении
принципа Даламбера и начала виртуальных скоростей. Премия
была присуждена Лагранжу. Даламбер по этому поводу писал
ему: «Я читал столько ше с удовольствием, сколько и с
пользой Ваше замечательное произведение о либрации луны, столь

584 ПРИМЕЧАНИЯ
достойное премии, которую оно получило». Результаты,
полученные Лагранжем, позволили Академии поставить еще
более сложную задачу создания теории спутников Юпитера.
Лагранж A766)-вновь получает премию за значительное
продвижение этой сложной задачи. Лишь 24 года спустя эта
задача была полностью решена Лапласом.
В 1766 году Лагранж переехал в Париж, где был радостно
встречен Даламбером, Клеро, Кондорсе и другими. В это
время стало известно, что Эйлер оставил пост президента
физико-математического класса Берлинской академии и
переехал в С.-Петербург. Даламбер предложил кандидатуру
Лагранжа, Эйлер горячо ее поддержал, и 6-го ноября 1766 года
Лагранж переехал в Берлин, где и пробыл до 1787 г. Сборники
Берлинской академии в этот период обогатились целым
рядом блестящих работ Лагранжа как по математике, так и по
общей и небесной механике. Именно к этому времени относятся
его знаменитое решение задачи Кеплера (ряд Лагранжа),
исследования по вопросу о вращении твердого тела вокруг
неподвижного центра, решение задачи о притяжении
эллиптического сфероида, создание основ теории возмущений
и многие другие.
К этому же периоду относится и создание знаменитой
«Mecanique Analytique», перевод первого тома которой здесь
дается. Исходя из основного принципа возможных скоростей,
которому Лагранж дал новое доказательство, и пользуясь
разработанными им же вариационными методами, Лагр'анж
строит здесь впервые полную систему аналитической механики.
В этом классическом труде сосредоточено такое количество
фундаментальных идей и блестящих методов, до такой
предельной ясности доведено изложение основных законов
механики, что и до сих пор эта книга не потеряла своей свежести
и Может быть использована как классический трактат по
аналитической механике. Здесь впервые появляется идея
обобщенных координат; лагранжев метод рассмотрения
жидкости, как материальной системы, характеризуемой большой
гйэдвиншостью частиц, уничтожил различие между механикой
жидкости и механикой твердого тела, так что общие принципы
механики могли быть распространены на гидростатику и
гидродинамику. Механика у Лагранжа стала общей наукой
о движении материальных систем; Лагранж показал, что
газ, жидкость, упругое тело в своих движениях
подчиняются уравнениям, которые могут быть выведены из общих
принципов.
Применение чисто аналитических методов (без единого
чертежа) показало, что механика может получить
значительное развитие при пользовании анализом.
Элегантность и внутренняя гармоничность методов
«Аналитической механики» вполне оправдывает мнение В. Гамильтона,
называвшего эту книгу «научной поэмой» (а kind of scientific

ПРИМЕЧАНИЯ ggg
poem). Лагранж решил издать свою «Аналитическую механику»
на французском языке в Париже. Несмотря на ряд
затруднений, она в конце концов вышла в 1788 году. Третье издание
этой книги вышло с примечаниями Ж. Бертрана в 1853 году,
а четвертое было дополнено примечаниями Г. Дарбу.
В 1786 годзг умер прусский король Фридрих Великий
и «просвещенный абсолютизм» сменился мрачным
царствованием Фридриха-Вильгельма II. В связи с изменившимся
отношением к ученым и Академии Лагранж решил вернуться во
Францию, где он в течение предыдущих 15 лет числился
иностранным членом Академии. Переезд во Францию
произошел в 1788 году. После революции Лагранж был назначен
председателем комиссии по установлению новой (метрической)
системы мер и весов и много сделал для введения этой
системы. Учредительное собрание специальным декретом
назначило ему пенсию. После издания декрета Конвента
о высылке из Франции лиц иностранного происхождения,
Лагранж уже готовился принять новое прусское предложение,
но Конвент для него сделал исключение и просил его остаться.
Создание Нормальной школы (Ёсо1е Normale) и
Политехнической школы (Ёсо1е Polytechnique) заставило Лагранжа
оставить мысль об отъезде и обратиться к работе по развитию
этих высших школ.
Происшедшие затем смены власти не отразились на
отношении к Лагранжу. До конца своих дней великий ученый
пользовался большим авторитетом. Умер Лагранж в 1813 году.
Останки его покоятся в Пантеоне.
Полное собрание сочинений Лагранжа издано в 14 томах
в период с 1866 по -1892 год. Нет такой области
математического анализа, геометрии, механики, которую Лагранж не
двинул бы далеко вперед. Им почти целиком создана
сферическая тригонометрия, результаты его исследований по теории
чисел, по алгебре, дифференциальному и интегральному
исчислениям переполняют существующие монографии и курсы,
и, наконец, его работами было фактически определено все
дальнейшее развитие механики XIX века. Такие великие
математики, как его современники Пуассон, Лаплас, а в
дальрейшем Остроградский, Якоби и др., развивали методы
Лагранжа. И в настоящее время, когда читаешь
«Аналитическую механику», то не можешь оторваться от мысли, что
современные курсы механики (например, курс Аппелн) в большей
своей части пересказывают и комментируют эту
классическую работу.
Перевод «Аналитической механики» Лагранжа вызвал
значительные трудности, и ответственность за этот перевод крайне
велика. Переводчик и редакторы старались как можно точнее
придерживаться оригинала и сохранять терминологию
Лагранжа, хотя в настоящее время она уже значительно изменилась.

586 ПРИМЕЧАНИЯ
Незначительные комментарии редакторов перевода стремятся
облегчить нашему советскому читателю понимание наиболее
сложных мест книги и дать некоторые дополнения к
исчерпывающим комментариям Бертрайа и Дарбу к последнему
французскому изданию «Mecanique Analytique», с которого
сделан настоящий перевод на русский язык.
[*] (к стр. 18). Имеется русский перевод: Галилоо
Галилей, Беседы и математические доказательства, касающиеся
двух новых отраслей науки, относящихся к механике и
местному движению; перевод под ред. Л. Н. Долгова,
Москва — Ленинград, 1934. По излагаемому здесь вопросу
см. стр. 220.
['] (к стр. 31). Под силой бросания (force de projection)
Лагранж, очевидно, подразумевает начальный импульс.
[*] (к стр. 32). Под относительной тяокестью Aа gravite
relative) подразумевается составляющая сила веса вдоль
наклонной плоскости.
[*] (к стр. 39). Это определение, конечно, не является
строгим. Под виртуальной скоростью или перемещением
следует понимать скорости или перемещения, совместимые со
связями. Лагранж суживает определение, понимая под
виртуальным перемещением или скоростью одно из
действительных перемещений или скоростей, а именно то, которое
произойдет при нарушении условий равновесия.
i'J (к стр. 42). Интересно отметить, что ни здесь, ни в
дальнейшем не применяется термин работа. Лагранж для
произведения силы на проекцию перемещения на
направлении силы употребляет термин Галилея — момент. Термин
работа появился в начале XIX века (в 1826) в сочинениях
по прикладной механике (Poncelet, Prony, Dupin и др.).
Кулон говорил количество . действия, Карно —
механическая мощность, динамический аффект и пр. См. по этому
поводу L. Zoretti, Les principes de la mechanique classique,
Paris, 1928.
['] (к стр. 43). Весьма ясное изложение лагранжева
доказательства принципа возможных перемещений дано в
известной книге В. Л. К и р п и ч е в а. Беседы о механике,
Москва—Ленинград, 1933, стр. 15.
[*] (к стр. 48). Лагранж везде вместо термина ощреаок
употребляет термин линия.
['] (к стр. 55). Особенность изложения Лагранжа состоит
в том, что он, вводя классификацию сил на внешние и
внутренние, при определении работ внутренних сил всегда в
качестве элемента рассматривает сумму работ действия и
противодействия, особо отмечая взаимное перемещение
взаимодействующих точек.
\}'>] (к стр. 65). В этом пункте Лагранж, говоря о
неуравновешенной системе тел, противопоставляет
непосредственно приложенные силы (заданные по современной термине-

ПРИМЕЧАНИЯ
587
логии) и взаимодействия тел, т. е., повидимому, реакции
идеальных связей. Последняя фраза Лагранжа должна быть, по
нашему мнению, понята в том смысле, что при нарушении
равновесия система придет в движение, определяемое как
действующими силами, так и связями, существующими в
системе.
["] (к стр. 95). Чтобы избежать недоразумений, укажем,
что П является у Лагранжа потенциальной энергией (по
современной терминологии), а не силовой функцией. То, что
сумма «моментов» оказывается равной йП, а не —йП,
объясняется тем, что по ^Лагранжу dp представляет уменьшение
расстояния .точки приложения силы до центра, куда сила
направлена.
[1*] (к стр. 97). Напомним читателю, что если первая
часть теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия была
впоследствии строго доказана Лежен-Дирихле, то вторая,
заключающая утверждение о неустойчивости равновесия при
максимуме потенциальной энергии П, с почти
исчерпывающей полнотой доказана А. М. Ляпуновым. См. его мемуар
«О неустойчивости равновесия в некоторых сл-учаях, когда
функция сил не есть максимум, воспроизведенный в книге
«Общая задача об устойчивости движения», Москва —
Ленинград, 1935, стр. 357.
[1»] (к стр. 101). Недостатком доказательства Лагранжа
является предполон;ение о разложимости величины П вряд
по степеням координат, что является, вообще говоря,
стеснительным ограничением. Доказательство, данное Дирихле,
не имеет этого недостатка.
I- [^*] (к стр. 101). Указание Лагранжа на возможность
обобщения его метода доказательства на случай равенства нулю
всех вторых и третьих производных вызывает серьезное
сомнение, так как сама возможность приведения формы 4-й.
степени к каноническому виду не исследована.
[1*] (к стр. 130). Здесь уравнение сохранения массы dm
при движении трактуется, как условное уравнение, что и
позволяет Лагранжу писать в согласии с предыдущими
обозначениями 8L = 8 dm.
[1°] (к стр_ 199). Под F Лагранж здесь понимает силу
упругости, отнесенную к единице длины кривой на
поверхности. Если выбрать на данной поверхности элементарную
площадку произвольной формы, то работа силы натяжения
Fds на перемещении Sre будет равна F ds Sn, т. е. F 8в, где
под 8ст понимается вариация элементарной площади; таким
образом и получается формула в тексте.
I"] (к стр. 203). Это замечание Лагранжа объясняется
тем, что интеграл последнего уравнения (равновесия
мембраны) может быть выражен через функцию от комплексного
переменного. В наше время метод комплексных переменных
дал столь большое число решений прикладных задач^ что при-

588
ПРИМЕЧАНИЯ
Мвчание Лагранжа о «малой пригодности для применения»
этого метода покажется современному читателю анахронизмом.
[1>] (к стр. 233). План построения статики твердого тела
(деформируемого и недеформируемого) в аналитической
механике Лагранжа следующий: в отделе третьем Лагранж дает
общее уравнение равновесия любой системы материальных
точек, показывая, что необходимыми условиями__ равновесия
являются условия равенства нулю сумм проекций сил и сумм
моментов сил относительно координатных осей. Хотя это
нигде не оговорено, но, повидимому, в третьем отделе речь идет
о свободной системе. В четвертом отделе Лагранж
рассматривает системы! подчиненные связям (условным уравнениям),
и вводит для решения задачи метод множителей, носящий и
ныне его имя. Таким путем он может уже подойти к
связанным системам и, в частности, к вопросам равновесия упругих
тел (пятый отдел). В этом порядке идей сложность задачи
оказывается возрастающей вместе с числом налагаемых связей,
так что абсолютно твердое тело оказывается наиболее
сложным случаем, рассмотрение которого отложено на самый
конец отдела V. Интересно отметить, что рассмотрению твердого
тела предпосылается случай равновесия жесткой нити
заданной формы (двоякой кривизны), т. е. линейного
многообразия, подчиненного условиям нерастяжимости, неизгибаемости
и незакручиваемости. Эти условия и служат условиями связи.
Лагранж, прекрасно понимая, что здесь рассматривается
весьма частный случай твердого тела, считает интересным
рассмотреть эту задачу, чтобы показать плодотворность и
единообразие своих методов.
[^•] (к стр. 257). Интересно отметить, что здесь дана
теория перемещений сплошной среды (формулы для
относительных удлинений и сдвигов), обычно приписываемая Коши
(см., например, Л я в. Математическая теория упругости,
стр. 22, Москва — Ленинград, 1936).
[*"] (к стр. 259). По существу говоря, здесь выведена
формула, называемая обычно формулой Гаусса-Остроградского.
[*1] (к стр. 293). Следуя подлиннику, мы сохраняем здесь
термин «принцип силы инерции», хотя следовало бы по
современной терминологии сказать просто «принцип инерции».
[22] (к стр. 301). Понять это место текста чрезвычайно
трудно. Неясность в определении силы имеет своим следствием
то, что одна и та же величина называется разными
терминами, сообразно тому, какая сторона явления рассматривается.
Повидимому, Лагранж хочет выразить следующую мысль:
тело, имеющее некоторое количество движения, может
сообщить другому телу импульс, называемый здесь давлением
(pression); этот же импульс под видом «движущей силы»
(force motrice), по мнению Лагранжа, может сообщить
покоящемуся телу ту скорость, с которой оно ударилось о второе тело.
[*'J (к стр. 310). Прием изменения направления движу-

ПРИМЕЧАНИЯ
589
щих сил на противоположное и утверждение, что эти силы
должны находиться в равновесии с приложенными силами,
составляет, как известно, содержание принципа Даламбера
в том модернизированном виде, который придали ему в
первой четверти XIX века творцы прикладной механики. Силы,
равные по величине движущим силам и направленные в
противоположную сторону, теперь носят название сил инерции.
[24] (к стр. 312). Интересно еще раз подчеркнуть, что в этой
формулировке Даламбера, в отличие от современных
формулировок, принцип не содержит термина сила инерции. Даже
наоборот, Даламбер, несомненно знавший работы Якова Bef-
нулли и Эрмана, не считает необходимым связывать
формулировку столь общего принципа с частным приемом
изменения направления движущих сил на противоположное.
[26] (л стр. 366). В настоящее время для разыскания
главных Осей инерции применяется ме^од определения осей сим--
метрии эллипсоида инерции (Пуансо). Очевидно, что кубическое
уравнение, применяемое Лагранжем в пункте 25,
соответствует кубическому уравнению, применяемому при приведении
квадратичной формы к каноническому вицу.
[*'] (к стр. 372). В формулировке теоремы живых сил в
относительном движении по отношению к центру тяжести,
приведенной Лагранжем, нужно иметь в виду, что работа
(момент, по терминологии Лагранжа) сил вычисляется на
перемещениях, взятых относительно центра тяжести. Кстати
отметим, что преобразование выражения живой силы,
приведенное в начале этого пункта, известно в курсах механики
под именем теоремы Кенига.
["] (к стр. 401). Эти уравнения называются обычно у нас
лагранжевыми уравнениями второго рода, тогда как
уравнениями Лагранжа первого рода называются уравнения с
неопределенными множителями. Происхождение такого порядка
наименования уравнений, повидимому, объясняется тем, что
уравнениями с неопределенными множителями Лагранж
пользуется уже в статике.
[*'] (к стр. 406). Такие координаты впоследствии получили
наименование циклических (ГельмгоЛьц).
[2»] (к стр. 453). Лагранж не дает доказательства
вещественности и положительности корней уравнения,
определяющего квадраты частот. Доказательство вещественности их
приведено в заключительной заметке Дарбу в конце
настоящего тома. Что касается положительности корней, то она
вытекает из известной теоремы Сильвестра, в предположении,
что обе квадратичные формы Т я V — определенные и
положительные. См/ по этому поводу, например, Уиттекер,
Аналитическая динамика, Москва — Ленинград, стр. 206 или
ЛойцянскийЛ. Г. иЛурье А. И., Теоретическая
механика, Москва—Ленинград, 1934 г., том III, стр. 490. Утверждение

590 ПРИМЕЧАНИЯ
Лагранжа о том, что в случае равных корней уравнения частот
интегралы уравнений движения будут содержать время вне
тригонометрических функций, как известно, опровергнуто
академиком О. И. Сомовым в мемуаре «Sur I'equation algeb-
rique к I'aide de laquelle on determine les oscillations tres
petites d'un systeme de points materiels» (Memoires de I'Aca-
demie des Sciences de St.-Petersbourg, серия VII, т. I, № 14,
1859, стр. 30). Этот же вопрос рассмотрел К. Вейерштрасс
(Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin,
1858, стр. 207—220).
po] (к стр. 454). В этом абзаце рассуждение основывается
на неверном предположении, что интегралы уравнений малых
колебаний системы около поло^кения устойчивого равновесия
могут содержать вековые члены. См. предыдущее примечание.
["] (к стр. 456). Рассуждение этого абзаца ясно показывает,
что Лагранж не сомневался в нево.чможности существования
вековых членов в интегралах уравнений свободных колебаний,
но пе имел строгого доказательства этого положения.
[»2] (к стр. 457). Повидимому, здесь имеются в виду
неустойчивые системы, равновесие которых по отношению к части
координат устойчиво, к другой части неустойчиво; например,
тяжелое тело вблизи вершины седлообразной поверхности.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
От издательства • 1
Предисловие автора ко второму изданию 9
СТАТИКА
Отдел п е р в ы й. О различных принципах статики . . 17
Отдел второй. Общая формула статики для равновесия
любой системы сил и метод применения этой формулы 48
Отдел третий, Общие свойства равновесия системы
тел, выведенные из предыдущей фopмyлыJ 68
§ I. Свойства равновесия свободной системы по
отношению к поступательному движению . . 69
§ II. Свойства равновесия по отношению к
вращательному движению 72
§111. О сложении вращательных движений вокруг
различных осей и моментов относительно
этих осей 83
§ IV. Свойства равновесия по отношению к
центру тяжести 90
§ V. Свойства равновесия, относящиеся к
максимуму и минимуму 95
Отдел четвертый, Более простой и более общий
метод применения формулы равновесия, данной в
отделе втором .105
§ I. Метод множителей 106
§ II. Применение того же метода к формуле
равновесия сплошных -тел, все точки которых
находятся под действием каких-либо сил . . 112
§ III. Аналогия между рассматриваемыми
проблемами и проблемами максимума и минимума 122

592 ОГЛАВЛЕНИЕ
Отдел пятый. Разрешение различных проблем
статики 147
Глава первая. О равновесии нескольких сил,
приложенных к одной и той же точке, о сложении и
разложении сил 147
§ I. О равновесии тела или точки, находящейся
. под действием нескольких сил 149
§ II. О сложении и разложении сил 153
Глава вторая. О равновесии нескольких сил,
приложенных к системе тел, рассматриваемых в качестве
точек и связанных между собою нитями или
стержнями 1Е9
§ I. О рапповосии трех или большего количества
тел, укрепленных на нерастяжимой нити
или же на пити растяжимой и способной
сокращаться 160
§ II. О равновесии трех или большего числа
тел, укрепленных на негибком и жестком
стержне 173
§ Ш. О равновесии трех или большего числа
тел, укрепленных на упругом стержне . . . 180
Глава третья. О равновесии нити, все точки которой
находятся под действием каких-либо сил, и
которая рассматривается как гибкая или негибкая,
или упругая, и в то же время — растяжимая или
нерастяжимая 184
§ I. О равновесии гибкой и нерастяжимой нити. 185
§ II. О равновесии гибкой и вместе с тем
поддающейся растяжению и сокращению нити
или поверхности 197
§ III. О равновесии упругой нити или пластинки. 203
§ IV. О равновесии жесткой нити заданной формы. 215
Глава четвертая. О равновесии твердого тела конечной
величины и любой формы, все точки которого
находятся под действием любых сил 227
Отдел шестой. О принципах гидростатики 234
Отдел седьмой, О равновесии несжимаемых
жидкостей • 243
§ I. О равновесии жидкости в очень узкой
трубке 2-13
§ II. Вывод общих законов равновесия
несжимаемых жидкостей из свойств частиц, их
составляющих 250

ОГЛАВЛЕНИЕ 593
§ III. о равновесии свободной жидкой массы
с покрываемым ею твердым телом 269
§ IV. О равновесии несжимаемых жидкостей,
содержащихся в сосудах 278
Отдел восьмой. О равновесии сжимаемых и упругих
жидкостей 281
ДИНАМИКА
Отдел первый. О различных принципах динамики . . 291
Отдел второй, Общая формула динамики для движе-
"ВИЯ системы тел, находящихся под действием каких- .■
либо сил 321
Отдел третий, Общие свойства движения,
выведенные иа предыдущей формулы 332
§ I. Свойства, касающиеся центра тяжести . . . 332
§ II. Свойства площадей 338
§ III. Свойства, касающиеся вращений,
вызванных импульсами 349
§ IV. Свойства неподвижных осей вращения
свободного тела любой формы 357
§ V. Свойства, связанные с живой силой .... 369
§ VI. Свойс-тва, касающиеся наименьшего действия. 379
Отдел четвертый. Дифференциальные уравнения для
решения всех проблем динамики . , ; 390
Отдел пятый. Общий приближенный метод решения
задач динамики, основанный на вариации
произвольных постоянных 412
§ I. Вывод общего соотношения между
вариациями произвольных постоянных из
уравнений, приведенных в предыдущем отделе . . 413
§ II. Вывод простейших дифференциальных
уравнений для определения вариаций
произвольных постоянных, происходящих от
возмущающих сил 419
§ III. Доказательство важного свойства величины,
выражающей живую силу в системе,
находящейся под действием возмущающих сил . 432
Отдел шестой. О малых колебаниях любой системы
тел • 438
§ I. Общее решение проблемы о малых
колебаниях системы тел около их точек равновесия. 438

594 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ п. о колебаниях системы линейно
расположенных тел 461
§ III. Применение выведенных выше формул к
колебаниям натянутой струны, нагруженной
несколькими телами, и к колебаниям
нерастяжимой нити, нагруженной любым
количеством грузов и закрепленной в обоих
конпах или только в одном из них .... 477
§ IV. О колебаниях звучащих струн,
рассматриваемых в качестве натянутых струн,
нагруженных бесконечно большим
количеством малых грузов, расположенных
бесконечно близко друг от друга; о прерывности
произвольных функций 495
ДОПОЛНЕНИЯ
I. Л. Пуансо — Об основном положении сАналитичес-
кой механики» Лагранжа 525
II. П. Г. Л е ж е н - Д и р и X л е— Об устойчивости
равновесия 537
III. Ж. Бертран — О равновесии упругой нити 540
IV. Ж. Бертран — О фигуре жидкой массы,
находящейся во вращательном движении 544
V. Ж. Б е р т р а н — Об уравнении, которое Лаграпж
признал невозможным 547
VI. Ж. Бертран —О дифференциальных уравнениях
механики и о виде, какой можно придать их
интегралам 549
VII. Ж. Бертран — О теореме Пуассона 566
VIII. Г. Дарбу — О бесконечно малых колебаниях
системы тел 574
Примечания редакторов русского перевода ....... 583