Е. Т. ВОЛОДАРСКИЙ
Б. Н. МАЛИНОВСКИЙ
Ю. М. ТУЗ
ПЛАНИРОВАНИЕ
и ОРГАНИЗАЦИЯ
измерительного
эксперимента
Основные положения
регрессионного
анализа
и статистических
методов планирования
Принципы организации
автоматизированного
эксперимента
Методы повышения
точности измерения,
экспериментальная
оценка параметров
Е. Т. ВОЛОДАРСКИЙ
Б. Н. МАЛИНОВСКИЙ
Ю. М. ТУЗ
ПЛАНИРОВАНИЕ
и ОРГАНИЗАЦИЯ
измерительного
эксперимента
-----—и--------
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования УССР /
в качестве учебного пптбия С/
для студентов технических вузов,
обучающихся по специальности
«Информационно-измерительная техника»
КИЕВ
ГОЛОВНОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИЗДАТЕЛЬСКОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ
«ВИЩА ШКОЛА»
1987
32.9б5я73
В68
УДК 389.14/07/
Планирование и организация измерительного экспе-
римента /Е. Т. Володарский, Б. Н. Малиновский,
Ю. М. Туз — К. : Вища шк. Головное изд-во, 1987.—
280 с.
В учебном. пособии систематизированы основные по-
ложения регрессионного анализа и статистических методов
планирования полного и дробного факторного эксперимен-
та первого и второго порядка, а также экстремальных экс-
периментов с элементами дисперсионного анализа. При-
ведены принципы организации автоматизированного экспе-
римента, рассмотрены системы автоматизации экспери-
ментальных исследований на основе интерфейсов.
Для студентов технических вузов, обучающихся по
специальности «Информационно-измерительная техника».
Табл. 35. Ил. 62. Библиогр.: 30 назв.
Рецензенты: доктор технических наук профес-
сор В. Я. Малиновский, кандидат технических наук
доцент В. П. Федотов (Московский энергетический ин-
ститут), кандидат технических наук профессор В. С. По-
лищук, кандидат технических наук доцент О. Ф. Дысса
(Львовский политехнический институт)
Редакция учебной и научной литературы по информатике,
вычислительнрй технике, кибернетике и АСУ
С. М. Рудь
Учебное пособие
Евгений Тимофеевич Володарский
Борис Николаевич Малиновский
Юлиан Михайлович Туз
'ПЛАНИРОВАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ
ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Редактор И. В. Мисюренко. Художественный редактор С. П. Духленко. Оформ-
ление художника Г. М. Балюна. Технический редактор С. Л. Светлова,
Корректор М. Г. Прус
Информ, бланк № 11440
Сдано в набор 17.12.85. Поди, в печать 15.12.86. БФ 02197. Формат 84Х108/32.
Бумага типогр. № 2. Лит. гарн. Выс. печать. Усл. печ. л. 14,7. Усл. кр.-отт.
14,96. Уч.-изд. л. 15,43. Тираж 3000 экз. Изд. № 7211. Зак. 9—1891. Цена 70 к.
Головное издательство издательского объединения «Вища школа», 252054,
Киев-54, ул. Гоголевская, 7.
Отпечатано с матриц Головного предприятия республиканского производствен-
ного объединения «Полиграфкнига». 252057 Киев. ул. Довженко, 3 в Киев-
ской книжной типографии научной книги, 252004, Киев-4, ул. Репина, 4. Зак. 7-25.
1502000000-097	•	© Издательское объединение
вМ211(04)-87	1 ’	«Вища школа», 1987
ОГЛАВЛЕНИЕ
)
Введение .................................................... 5
Глава 1. Основные понятия и определения теории вероятностей
и математической статистики ................................. 7
1.1.	Вероятности событий. Параметры распределений случайных
величин ..................................................... 7
1.2.	Статистическая оценка параметров распределения ....	18
1.3.	Статистическая проверка гипотез........................ 24
Глава 2. Регрессионный анализ. Оценивание параметров ....	34
2.1.	Линия регрессии ....................................... 35
2.2.	Метод наименьших квадратов при линейной парной зави-
симости .................................................... 37
2.3.	Множественный регрессионный анализ .................... 44
2.4.	Нелинейная регрессия .................................  53
Глава 3. Активный эксперимент. Ортогональные планы первого
порядка .................................................... 66
3.1.	Полный факторный эксперимент .......................... 67
3.2.	Обработка результатов эксперимента .................... 73
3.3.	Дробный факторный эксперимент.........................  85
3.4.	Ротатабельность планов первого порядка................. 96
3.5.	Применение планов первого порядка в отсеивающи х экспери-
,	ментах ..............................................   98
Глава 4, Планирование эксперимента при отыскании экстремальной
области ....................................................106
4.1.	Классические методы определения экстремума.............107
4.2.	Факторные методы определения экстремума ...............111
4.3.	Центральные композиционные планы второго порядка ... 121
4.4.	Ортогональные центральные композиционные планы	• . . 123
4.5.	Ротатабельные центральные композиционные' планы	... 128
Глава 5. Дисперсионный анализ при экспериментальном исследо-
вании ......................................................140
5.1.	Однофакторный дисперсионный анализ ....................141
5.2.	Двухфакторный эксперимент. Иерархическая и перекрест-
ная классификации ............................./............151
5.3.	Латинские и греко-латинские квадраты...................158
3
Глава 6» Организация автоматизированного эксперимента . • . 163
6.1.	Цели автоматизированного эксперимента. Структура САНТЭ 164
6.2.	ЭВМ В автоматизированном эксперименте...................169
6.3.	Интерфейсы .............................................174
6.4.	Программный и аппаратурный обмен данными в САНТЭ 179
6.5.	Организация САНТЭ на основе стандартных системных интер-
фейсов ....................................................188
Глава 7. Методы повышения точности измерения в системах ав-
томатизации экспериментальных исследований *.................201
7.1.	Модель процесса измерительного преобразования........203
7.2.	Итерационные алгоритмы повышения точности при времен-
ном разделении каналов ....................................210
7.3.	Алгоритм аддитивной итерационной коррекции.........213
7.4.	Алгоритм мультипликативной итерационной	коррекции	216
7.5.	Эффективность коррекции случайных погрешностей	.	.	.	224
Глава 8. Экспериментальная оценка параметров модели .... 232
8.1.	Достоверность экспериментальной оценки параметров мо-
дели ......................................................233
8.2.	Градуировка преобразовательного	канала .................341
8.3.	Калибровка преобразовательного	канала..................267
Приложения ..................................................276
Предметный указатель ....................................... 278
Список использованной литературы.............................279
ВВЕДЕНИЕ
Основной задачей программы социального развития со-
ветского государства является существенное повышение
эффективности общественного производства, которое в
основном достигается за счет ускорения научно-техничес-
кого прогресса, включающего повышение эффективности
фундаментальных и прикладных исследований. Автоматиза-
ция общественного производства, планирование и органи-
зация экспериментальных исследований — путь для, реше-
ний этой важной задачи. Внедрение статистических методов
планирования эксперимента в значительной степени поз-
воляет исключить волевые решения, заменив их научно
обоснованными программами исследований, обеспечиваю-
щими достоверную оценку результатов эксперимента при
приемлемых затратах. В настоящее время разработаны си-
стемы и измерительно-вычислительные комплексы (ИВ К),
использующие средства вычислительной техники.
Как известно, экспериментальные исследования явля-
ются высшей формой эмпирических методов познания ок-
ружающей действительности. Процесс этот многоэтапный
и включает различные простейшие формы эмпирического
познания: наблюдение, сравнение, контроль и измерение.
На начальной стадии эксперимента, наблюдая за поведе-
нием объекта или протеканием явления, исследователь
делает предположения о наличии некоторых взаимосвязей
и закономерностей их функционирования. В заключитель-
ной стадии формируется цель исследования, определяются
величины — факторы, влияющие на свойства объекта и вид
их взаимосвязи, иными словами выдвигается гипотеза о виде
модели исследуемого объекта. В соответствии с видом моде-
ли строится план эксперимента. От правильного выбора
плана проведения целенаправленного эксперимента, в особен-
ности если объект сложный, в первую очередь зависит
успех дальнейших исследований — правильно выбранный
план позволяет не только уменьшить объем исследований, но
и минимизировать влияние на результат исследования неуч-
тенных, или неконтролируемых (неуправляемых) факторов.
S
Немаловажным моментом является организация экспе-
риментальных исследований, включающая вопросы выбора
технических средств, в особенности измерительных, и сог-
ласования их. Метрологические характеристики средств
измерений в первую очередь определяют правильную
оценку полученных результатов, достоверность их. Совре-
менный эксперимент характеризуется большим объемом
данных, высокой скоростью протекания исследуемых про-
цессов и немыслим без применения средств вычислительной
техники, позволяющих обрабатывать данные и выдавать
информацию в реальном масштабе времени. В процессе
организации экспериментальных исследований следует рас-
сматривать вопросы согласования технических средств с
ЭВМ, обмена данными и их обработки.
В настоящее время в вузах страны все большее внимание
уделяется постановке научно-исследовательской работы и
ее составной части — экспериментальным исследованиям:
введены курсы НИРС, «Основы научных исследований»,
«Планирование эксперимента», «Планирование и организа-
ция экспериментальных исследований» и др.
В настоящем учебном пособии рассматриваются вопросы
планирования и организации автоматизированного экспе-
римента с учетом метрологических свойств средств измере-
ния и достоверности оценки полученных результатов.
Разработаны методы повышения-точности средств измере-
ния в составе автоматизированных систем, с использованием
итерационных алгоритмов, а также повышения достовернос-
ти оценки параметров с учетом законов распределения сово-
купности исследуемых величин.
Принимая во внимание, что трудно в полном объеме рас- -
смотреть столь обширные вопросы, авторы все же предпри-
няли попытку последовательно изложить,, теорию регрес-
сионного анализа и базирующиеся на ней методьиланиро-
вания полных и дробных факторных экспериментов, по-
лучения математической модели и проверки ее адекватности,
применения дисперсионного анализа и организации автома-
тизированного эксперимента, повышения точности измере-
ния и достоверности оценки параметров модели.
Введение написано Е. Т. Володарским, главы 1—6 —
авторами совместно, глава 7 — Ю. М. Тузом, глава 8 —
Е. Т. Володарским.
Отзывы и пожелания по настоящему изданию просим на-
правлять по адресу: 252054, Киев-54, ул. Гоголевская, 7,
Головное издательство издательского объединения «Вища
школа».
ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
В начале развития любой новой отрасли науки обычно
познаются основные закономерности изучаемых ею явлений
или объектов и мало уделяется внимания точным характе-
ристикам оценки этих закономерностей, поскольку техника
эксперимента на этой стадии не достаточно отработана и не
позволяет обеспечить высокой точности результатов иссле-
дования. Однако по мере развития отрасли оказывается бо-
лее необходимой точная оценка этих результатов. Но здесь
возникают трудности, связанные со случайным характером
данных, так как невозможно предвидеть, какое значение
будет получено при очередном измерении. В случае много-
кратного проведения измерений наблюдается некоторая зако-
номерность, позволяющая оценить погрешность их результата.
Какие бы ни были причины случайности результата
измерений, при большом числе наблюдений проявляется
статистическая устойчивость его (согласно закону больших
случаев Колмогорова). Изучению подлежат только те явле-
ния, которые могут повторяться при неизменных условиях
большое число раз, т. е. так называемые массовые явления.
Но нет необходимости (а иногда и возможности) проводить
наблюдения большое число раз. Достаточно изучить пове-
дение простейших случайных явлений и, построив теорию,
описывающую их закономерности, перейти к изучению бо-
лее сложных явлений.
Закономерности массовых явлений изучаются в теории
вероятностей. Раздел теории вероятностей, занимающийся
обработкой и классификацией результатов эксперименталь-
ных данных и получения из них необходимых характеристик
и зависимостей, называется математической статистикой.
1.1. Вероятности событий.
Параметры распределений случайных величин
Основные положения теории вероятностей базируются на
данных, полученных в результате опыта. Под опытом пони-
мается наблюдение при каком-либо комплексе условий
7
Рис. 1.1. Геометрическая ин-
терпретация объединения и
пересечения событий.
и действий, которые могут быть вое-'
произведены (оставаться неизмен-
ными) несколько раз. Явление, про-
исходящее при реализации опыта,
называется событием. Для сравне-
ния событий вводится понятие их
вероятности. Степень возможности
данного события оценивается при
помощи соотношения с вероят-
ностью достоверного события. Достоверным называется
событие U, которое неизбежно происходит при прове-
дений опыта, например, появление одного из чисел 1,
2, 3, 4, 5, 6 при подбрасывании игральной кости. Веро-
ятность достоверного события принимается равной едини-
це. Невозможное событие V, вероятность которого прини-
мается равной нулю,— это событие, которое вообще не
может произойти при реализации опытов (например, появ-
ление числа больше 6 при подбрасывании игральной
кости).
Событие, заключающееся в появлении хотя бы одного
из событий, называется суммой событий (4 + В), т. е.
их объединением. Отсюда следует, что два события А и А
(не А) называются взаимодополнительными или противо-
положными, если они несовместимы и в сумме составляют
достоверное_событие А + А = U. В рассматриваемом при-
мере А и А — появление четного и нечетного числа. Веро-
ятность любого события заключена между нулем и еди-
ницей.
Несовместные события — это события, которые в одном
опыте появиться не могут. События А и А составляют пол-
ную группу событий, т. е. события, одно из которых
обязательно произойдет при реализации опыта. Событие,
состоящее в совместном наступлении нескольких событий
при реализации одного опыта, называется произведением
событий (их пересечением). На рис. 1.1 представлена гео-
метрическая интерпретация операции объединения и пере-
сечения событий А и В. Наличие области пересечения со-
бытий А и В (двойная штриховка) свидетельствует о том, что
события А и В являются совместными.
Если при проведении п опытов событие А произошло т
раз, то отношение w — mln называется частностью события,
которая является случайной величиной. При увеличении
числа опытов частность события стабилизируется и прибли-
жается к некоторой постоянной величине, которая представ-
ляет количественную меру возможности реализации слу-
8
чайного события А и называется его вероятностью Р (Л).
Вероятность события определяет среднюю частность, с ко-
торой можно ожидать появления события в длинной серии
опытов. Вероятность события связана с условиями прове-
дения опытов и изменяет свое значение при изменении
этих условий. Событие А считают независимым от события В,
если вероятность его появления не зависит от вероятности
возникновения события В, т. е. не зависит от того, произош-
ло событие или нет. Вероятность события А, вычисленная
при условии, что произошло событие В, называется услов-
ной вероятностью и обозначается Р (A/В). Отличие услов-
ной вероятности от безусловной свидетельствует о зависимос-
ти событий. Для независимых событий Р (А/В) = Р (Л) и,
наоборот, Р (В/Л) = Р (В). Условная вероятность является
мерой возможности появления события Л при условии,
что произошло событие В, т. е. она связана с безусловной ве-
роятностью события В и совместной вероятностью события
Л и В следующим соотношением:
Р(Л/В) = Р(ЛВ)/Р(В).
Таким образом, вероятность события Л при условии,
что произошло событие В, будет равняться отношению
вероятности совместного наступления этих событий к веро-
ятности условия. Из последнего выраженияможно получить
соотношение для совместной вероятности событий Л и В:
Р(АВ) = Р(В). Р(А/В),
на основании которого можно сформулировать правило
определения вероятности произведения двух независимых
событий.
Из рис. 1.1 можно получить правило определения
вероятности суммы двух случайных событий Л и В. Если со-
бытия совместны, то они имеют некоторую область пересе-
чения АВ. Следовательно, Р (Л + В) = Р (Л) -f- Р (В) —
— Р (АВ). Если события несовместны, то третья составляю-
щая здесь будет равна нулю.
Важным следствием правил сложения и умножения
вероятностей является формула полной вероятности. Пред-
положим, что с данным опытом связана группа несовмест-
ных событий Н1г Н2, .... Нп, вероятности которых Р (Н{),
i = 1, п известны. Требуется найти вероятность события
Л, для которого известны условные вероятности Р (A!Hi).
Ввиду того что события Hi образуют полную группу, то
их сумма образует достоверное событие. Событие Л может
появиться при наступлении одного из событий Hi, т. е.
совместно. Следовательно, событие Л является объедине-
9
нием событий А • Hi, которые также являются несовмест-
ными. Поэтому можно применить определения вероятности
п
суммы событий Р (Л) = У, Р (А • Н(). Использовав правило
п
умножения, получим Р(А) = S Р(Н{) • Р(А/Н{).
4=1
События Н( называются гипотезами, при которых воз-
можно наступление события А. Очень часто на практике
приходиться определять вероятность гипотез после того,
как была произведена серия опытов, т. е. проверить пер-
воначальное распределение гипотез и уточнить их вероят-
ности. Как уже указывалось, событие А может произойти
тогда и только тогда, когда произойдет одно из несовмест-
ных событий Hi. Требуется найти вероятность гипотезы
Hi, если уже установлено, что событие А произошло. На ос-
новании определения условной вероятности можно записать
Р(Н/А\-	РЩ-РМЪ)
P(ni/A)	— р(л)
Исходя из формулы полной вероятности Р (Л) =
п
— X	• P(A/Hi), окончательно получим выражение для
f=l
условной вероятности гипотезы Ht при условии Л:
£ Р (Н{) • Р (А/Н{)
i=i
Последняя формула, называемая формулой вероятностей
гипотез (формулой Байеса), позволяет на основании прове-
денных исследований уточнить априорные значения вероят-
ностей гипотез.
Любой объект исследования характеризуется определен-
ными величинами (параметрами). Если в результате испыта-
ний эти величины могут принимать различные заранее не-
известные значения, то они являются случайными. Так как
случайные величины получены в результате опытов, то
они принимают числовые значения. Случайная величина
обозначается обычно прописными буквами X, Y, Z, ...,
а некоторые их конкретные реализации — строчными —
х, у, z, ... . Случайная величина может быть описана в том
случае, если можно точно указать, какой вероятностью ха-
рактеризуется каждое событие. Для такого описания ис-
пользуется закон распределения случайной величины,
который представляет собой соотношение, связывающее
возможные значения случайной величины с вероятностью
ю
их возникновения. Закон распределения дискретной ве-
личины задается либо в графическом, либо в табличном
виде.
Математическое ожидание (наиболее вероятное] значе-
ние) является дискретной величиной
п
М [X] = XJ) (Xi) 4- • • • + х„р (х„) = S х,р (х£),
f==l
где р (х/) — вероятность появления величин со значением
п
хе, S р (х{) = 1.
Л=1
Если число опытов п ограничено, то положение центра
рассеяния определяется так:
_	1 п	j п
X = — S xtw (х{) = — S Xitti.
п 1=1	п 1=1
На практике используются также моменты более высо-
ких порядков, случайной величины X. МоментыМ [Xk]
называются начальными моментами k-ro порядка vk, т. е.
п
vk = M[Xk] = % xktp(xi),
i=i
откуда vx = М [X].
Кроме математического ожидания М [X] случайной
величины и среднего значения х ее выборки используется
еще одна характеристика — мода, которая соответствует
значению наиболее вероятной случайной величины для тео-
ретического распределения или же значению, имеющему
наибольшую частность для эмпирического распределения.
Для описания случайной величины недостаточно знать толь-
ко центр ее группирования. Необходимо еще, по крайней
мере, знать степень или масштаб рассеивания случайной
величины около центра группирования. Для оценки сте-
пени рассеивания случайной величины служит дисперсия
величины. Введем величину X' = X — М [X], характери-
зующую отклонение случайной величины. Тогда центр
группирования величины X' будет лежать в нуле и средняя
величина (момент первого порядка) X' будет равна нулю.
Моменты величины X' называются центральными момента-
ми X. Центральный момент &-го порядка записывается в виде
H* = M[(Xf]=M((X-Vi)fc]==2 {xt-v^P(xd .
и представляет среднее значение £-й степени отклонения
случайной величины X от центра группирования. Диспер-
11
сия представляет собой момент второго порядка:
п
DIX] = Ра = М К* — vi)2J = 2 (xt — Vj)2 р (х<).
В отличие от математического ожидания дисперсия име-
ет размерность квадрата величины. Для получения характе-
ристики рассеивания, имеющую одинаковую размерность
с математическим ожиданием, применяется среднее квад-
ратическое отклонение, которое равно положительному зна-
чению корня квадратного от дисперсии случайной величины,
т. е. ах = VD [X].
Центральный момент р.3 используется для определения
асимметрии распределения. Если распределение симмет-
рично, то нечетные центральные моменты его равны нулю.
Возможно, что из-за асимметрии по одну сторону от центра
группирования лежит более «длинная» часть распределения,
т. е. возможные значения случайной величины дальше уда-
лены от центра. Когда «длинная» часть лежит справа от цент-
ра, то рз положительно, так как взвешенная сумма кубов
положительных отклонений. больше суммы кубов отрица-
тельных отклонений. Асимметрия в этом случае положи-
тельна. Показатель асимметрии определяется выражением
р.3 / о8. Для симметричного распределения сумма кубов по-
ложительных и отрицательных отклонений равна нулю.
Для характеристики большей или меньшей «вершин-
ности» используется эксцесс ек = (р.4^/о4)—3. В качестве
эталонного распределения чаще всего принимаются нормаль-
ные распределения, для которых рЛ/сг4 = 3.
Непрерывная случайная величина в результате испыта-
ний может принимать любое значение в одном или несколь-
ких заданных интервалах. Эти величины образуют несчет-
ное множество и поэтому для них, в отличии от дискретных
величин, нельзя составить нумерованный перечень, попа-
дающих даже в очень узкий интервал — вероятность попа-
дания непрерывной случайной величины в точку равна
нулю. Для описания поведения непрерывной случайной
величины вводится понятие плотности распределения ве-
роятностей. Выбираем интервал Дх, начинающийся в
некоторой точке (значении). Тогда вероятность попадания
случайной величины в этот интервал запишется в виде
Р (x<Z X <. х + Дж). Взяв отношение этой вероятности к
длине интервала при условии стремления Дх -> 0, получим
выражение для плотности распределения величины X:
p(x) = lim .Р(х<Х<х±М
’ д^о
12
Рис. 1.2. К определению вероятности по- п/ \
падания случайной величины в заданный
интервал
X/	Л
которую еще называют дифференциальной функцией рас-
пределения. При бесконечно малом интервале вероятность
элементарного события запишется в виде Р (х < X < х +
4- Дх) = р (х) Дх.
Кроме дифференциальной функции распределения слу-
чайная величина характеризуется интегральной функцией
распределения, которая указывает, какова вероятность то-
го, что величина X меньше заданного (фиксированного)
значения х, т. е. Р (X < х). Она представляет собой пло-
щадь под кривой распределения р (х), лежащую слева от
точки х. В виду того что плотность вероятности обладает
свойством j р (х) dx = 1, то интегральная функция распре-
деления является монотонной возрастающей функцией, ле-
жащей в пределах 0...1. Из рис. 1.2
Р(Х<х1)= \ p(x)dx; Р(Х<х2) = \ p(x)dx.
На рисунке площади, соответствующие данным интег-
ралам, заштрихованы. Вероятность попадания случайной
величины в интервал хх...х2 представляет собой площадь с
односторонней штриховкой. В результате получаем
Р (х± < X < х2) = Р (X < х2) — Р (X < х^ = j р (х) dx.
' При описании непрерывных случайных процессов ис-
пользуется понятие квантиля. Квантилем заданной вероят-
ности называется такое значение х, при котором функция
распределения принимает заданное значение Р ч(х) = Р.
Квантиль, отвечающий вероятности Р = 1/2, называется
медианой и представляет среднее значение данных, полу-
ченных в результате опытов.
Начальные и центральные моменты непрерывной случай-
ной величины определяются аналогично дискретным величинам:
М [X] = У хр (х) dx; vk = j хкр (х) dx;
18
Модой непрерывного случайной величины называется
такое ее значение, при котором плотность вероятности
р (х) достигает максимума. Если максимумов два, то такое
распределение называется двумодальным.
Во многих экспериментальных исследованиях на объект
воздействуют несколько случайных величин. Эти величины
могут быть представлены точкой в пространстве соответст-
вующего числа измерений. Они именуются по числу компо-
нент — двумерные, трехмерные и т. д. Статистические
данные о таких величинах представляются в виде таблиц
с соответствующим числом входов. Двумерная величина
теоретически может быть рассмотрена как совокупность
точек на плоскости со случайными координатами (X, Y)
или же как случайный вектор, конец которого может за-
нимать одно из возможных состояний.
В результате • проведенных испытаний случайная ве-
личина принимает различные значения, составляющие
полную группу событий. Эта группа содержит события, ко-
торые могут происходить с вероятностью р (х/, г/г), т. е.
с вероятностью того, что в результате проведенного опыта
случайная величина одновременно принимает значения
X = Xi, Y = Y{. Так как полная группа событий является
достоверным событием, то
2 2 P(xt, yj) = 1.
Рассмотрим вероятность возникновения события Y при
условии, что второе событие принимает фиксированное зна-
чение X = х{, т. е. YiP (xi> У/)- Эта вероятность будет рав-
на полной вероятности возникновения события X = Xtt
т. е. Sp (,xt, yt) = р (х{).
Аналогично можно записать
%Р(ХЬ У1) = р(У}).
Таким образом, можно заключить, что при известной ве-
роятности (законе распределения) двумерной случайной
величины одномерные вероятности полностью определены.
Двумерные законы характеризуются условным законом рас-
пределения одной величины прй фиксированном значении
другой. Условная'вероятность события У = у/ при условии,
что наблюдается событие X = хе.
P(Y = yt/X = х^ *=Р (х{, yj)/P (xt).
Совокупность условных вероятностей появления всех со-
бытий yt при наступлении фиксированного события X = х(
14
образует условное распределение случайной величины У,
если случайная величина X приняла фиксированное значение
X = Xi. Вероятность суммы всех условных событий
^Р(хьу1)/Р(х1) = -^г=\,
что подтверждает правильность представления об их веро-
ятности.
Условные вероятности многомерных событий характе-
ризуются математическим ожиданием одной величины,
если другая величина приняла одно из возможных значений
М lY/Xil. По определению математического ожидания:
М [У/xJ = S у/р (у^) = S у,р (xh yfi/p (Xi),
i	i
или с учетом £ P(xb yf) — p(xt)
M [Y/Xij = S yip (x,, P (Xi, y,).	(1.1)
Функция (1.1), которая еще обозначается уь называет-
ся регрессией случайной величины Y по X. Она позволяет
судить о том, как будет изменяться математическое ожида-
ние случайной величины Y в различных сечениях по слу-
чайной величине X, т. е. при различных xt.
При непрерывном распределении величин X и У их сов-
местное распределение задается при помощи плотности ве-
роятности р (х, у). Интегральная функция распределения
двумерной величины или просто функция
X у
Рху(х, у) = P(X<x,Y<y)= У j р(х, y)dxdy
—00 —оо
показывает вероятность попадания точки в область плоскос-
ти, ограниченной сверху линией X = х и справа У = у.
Эта функция возрастает при увеличении каждой из пере-
менных х и у, в пределе стремясь к единице. Если известна
совместная плотность двумерного распределения р (х, у),
то можно определить одномерные функции распределения
и их плотности. Интегральная функция распределения бу-
дет определяться так:
Р (X < х) = Р (X < х, У < + оо) = У dx У р(х, у) dy.
—00	—оо
Исходя из данного выражения, определим плотность
вероятности величины X как производную от функции
15
распределения!
+°°
/>*(*) = J p(x,y)dy.
—oo
Данное выражение аналогично выражению для дискрет-
ного распределения. Для определения условной вероятности
двух случайных величин воспользуемся общей формулой
Ру(У1х) = р(х,у)/рх(х).
С использованием последнего равенства окончательно
получим
+.~
Ру (У/х) = Р (х, у)/ ) р (х, у) dy.
—00
Рассуждая аналогично, получим выражение для линии
регрессии
+°°
у (х) = М [У/х] = У ур (у/х) dy =
—00
4~ОО	-{—00
= J yp(x,y)dy/^ p(x,y)dy.
—00	—00
Если величины зависимы, то для характеристики свя-
зи их служит математическое ожидание произведения от-
клонений величин X и У от их центра группирования, ко-
торое называется ковариацией, т. е._
cov(X, Y) =	= М [(X- v,) (Y- vff)].,
Ковариацию в некоторых случаях называют моментом
связи. Перепишем выражение для ковариации в виде
cov (X, Y) = М [XY — Yvx — Xvy + vxvy] =
= М [ХУ] — М [Кvx] — М [Xvy] -f- M [vx • vy].
Приняв во внимание, что vx = М [X], М [У] = vy,
М [vxvy] == vxvy, получим
cov (X, Y) = М [XY] — М [X] • М [У].
Если события независимы (связи между ними не суще-
ствует), то
М (ХУ] = М [X] • М [У], cov (X, У) = 0.
Ковариация имеет ту же размерность, что и величины
X и У, а это неудобно для ее практического использования.
Поэтому вводится понятие ковариации нормированных
отклонений величин
X* = (X — vx)/ox и У* = (У — vy)/oy,
16
каждая из которых имеет центр группирования в нуле и
дисперсию, равную единице. Тогда величина
™	,,Г X~vx y~vy 1 cov(X, У)
Рху-cov(X* У*) = М, —57-]--------------------
называется коэффициентом корреляции величин X Y.
Если величины независимы, рху — 0, так как cov (X, У) “=
= 0.
Рассмотрим взаимосвязь дисперсии суммы величин с
коэффициентом корреляции
D [X + У] = Af [((X + У) - Vx+y)2],
где
Vx-j-y = Ух + Vy.
D[X + Y] =M[(X + Y — vx — vy)2]-
= Af [((X — vx) + (У — Vy))2],
или после преобразования
D [X + У] = D [X] + D [У] + 2 cov (X, У).
Окончательно
^x+y e tfx + tfy + 2pxyffx^y.
Если величины нормированы, то их дисперсии D [Х*1 =
= D [У*] - 1 и cov (X*. У*] = рху.
Дисперсия суммы нормированных величин /
D [X* + У*] = 1 + 1+ 2рху - 2 (1 4- рху).
Для разности двух величин
Д[Х*-У*] = 2(1-рху).
z Так как дисперсия всегда больше нуля, то 1 + рху >
> 0 и 1 — рху > 0. Следовательно, —1 рху <
г^+1. Значения рху, близкие к единице, указывают на бли-
зость связи между X и У к линейной функциональной за-
висимости. Если события независимы, то
D[X±Y] = D[X}±D\Y}.
Важным следствием из последнего выражения является
формула для дисперсии средней арифметической
D [X] = D Гп~1 £ X J = ri~2D I Е Xj = п“2 £ D [XJ.
L ^=“1 J	L^i J
Если величины Х( одинаково распределены, то D [X] =
» n-1D IX], следовательно,	»= а2х/п.
9 л
2 в-1881
11
1.2.	Статистическая оценка параметров распределения
Для изучения случайных явлений или процессов на
практике ставятся опыты. При этом в распоряжении экс-
периментатора оказывается ограниченный объем данных,
являющихся выборкой из генеральной совокупности слу-
чайных величин. Выборка должна достаточно полно отра-
жать особенности всей генеральной совокупности, т. е.
быть репрезентативной (представительной). Наблюдаемые
при проведении эксперимента значения xt случайной ве-
личины X (ее i-я реализация) сами являются случайными
величинами, так как от случая зависит, что при проведении
t-ro опыта было зафиксировано значение xit а не какое-
либо другое. Только полная совокупность результатов поз-
воляет судить о поведении случайной величины, оценить
характеристики ее генеральной совокупности, т. е. получить
одно из множества возможных значений всей совокупнос-
ти оценок. Каждую характеристику, полученную на основа-
нии выборки, следует рассматривать как значение случай-
ной величины, варьируемой от выборки к выборке. Основной
задачей оценивания является получение лучшей среди воз-
можных оценок параметра случайной величины. При этом
на основании исходных данных либо получают определенные
значения — точечные оценки, которые максимально стре-
мятся приблизить к значениям соответствующих парамет-
ров, либо вычисляют граничные значения, между которыми
с большой вероятностью должны лежать значения парамет-
ров, т. е. строят доверительные интервалы.
В результате точечного оценивания решается, какую
величину следует принять в качестве оценки параметра,на
основании различных критериев минимизации отклонений.
При этом полученные точечные оценки параметров должны
обладать тремя свойствами: несмещенностью, состоятель-
ностью и эффективностью.
Несмещенной называется оценка, математическое ожи-
дание которой равно истинному значению оцениваемого
параметра; состоятельной — оценка, которая при увеличе-
нии объема выборки стремится к истинному значению;
эффективной — оценка, которая минимизирует дисперсию
отклонения, по сравнению с другими оценками.
Р. Фишер предложил метод максимального правдоподо-
бия, позволяющий найти состоятельные оценки, распреде-
ленные асимптотически нормально и имеющие наименьшую
дисперсию по сравнению с другими, также асимптоти-
чески нормальными оценками (см. [11]). Пусть имеем
выборку из п значений случайной величины X (хи ...
18
...» хп). Плотность этой величины р (х, 0) известна и зависит
от'искомого параметра 0. Тогда вероятность того, что слу-
чайная непрерывная величина X примет определенное
значение, равна р (х, 0) dx.
dP = L (dxjdx2 ... dxn),
где L (xx,..., xn, 0) = p (Xt, 0)... p (xn, 0) — функция прав-
доподобия.
Так как принято, что значения хх, ..., хп даны, то L
будем считать функцией искомого параметра 0. Сущность
метода максимального правдоподобия заключается в отыс-
кании такой оценки 0, которая обращает функцию правдо-
подобия в максимум, т. е. необходимо определить
dLldQ = 0 и найти значение 0 = 0 (хх.хп), обращающее L
в максимум. На практике удобнее пользоваться не самой
функцией, а ее логарифмом и оценку параметра находить,
решая уравнение
[51nL(x, 0)]/д0 = О.
• Если неизвестных параметров распределения несколько,
то для их определения необходимо взять частные производ-
ные функции правдоподобия по этим параметрам и прирав-
нять их к нулю.
Рассмотрим случай, когда распределение X является
нормальным. Неизвестными параметрами являются мате-
матическое ожидание и дисперсия. Из всего множества
оценок 0„ необходимо найти наиболее правдоподобные
оценки. Функция правдоподобия запишется так: •
L (0n, v, ст) = |ехр	— v)2/2a2 |/(2лст2)п/2.
Прологарифмируем ее:
1	"
In L ~--------1. In 2л - In ст2 - S (х{ - v)2. (1.2)
Из последнего выражения видно, что функция правдо-
подобия достигает максимума, когда сумма квадратов от-
клонений 2 (х( — v)2 — минимальна. В этом и заключает-
ся сущность метода наименьших квадратов, являющаяся
частным случаем метода правдоподобия при нормальном рас-
пределении.
Для определения оценок возьмем производные вы-
ражения (1,2) и приравняем их нулю. Уравнения для
2
19
определения оценок для v и сг2:
dL/dv ~
(х< — v) /о2 = Oj
дЫд^ = -	+ -±- Д (Ж1 - v)2 = 0.
Л п
Из первого уравнения следует, что v = £ xjn = х,
г-1
Л Г п	1
а из второго, что о2 ™ S (xi — *)* vn ж
L/«i	J
Проверим состоятельность и несмещенность получен-
ных оценок. Математическое ожидание М [xj = v. Поэтому
{п	]
S Л4 [xjf/n =
<—i	)
= nv/n = v. Следовательно, значение x, полученное
на основании метода максимального правдоподобия, яв-
ляется несмещенной и состоятельной оценкой v, так как
в соответствии с законом больших чисел при п ->оо оценка
Х-> V.
В выражении для а2 случайными являются х и х{.
Поэтому
После преобразования получим
3? = [S — v)2]/n — (х — V)2.
Приняв во внимание, что
М (xt — v)2 = <т2; М. (х — v)2 = D [х]; D [х] = а*1п,
будем иметь
М [S*] = <т2 — ст2/п = (п — 1) о2/п.
Следовательно, полученная на основании функции прав-
доподобия оценка S2 является смещенной, но состоятельной,
так как при п ->оо М. [S^ -> о2]. Чтобы поправить оценку
и сделать ее несмещенной, нужно S2 умножить на поправоч-
ный коэффициент п/(п — 1). Тогда
52=ГЕ(^-^4(п-1).	(1.3)
J
20
Эта оценка также состоятельная, но уже несмещенная,
хотя несколько отличающаяся от наиболее правдоподобной.
Однако это менее существенно, чем смещенность.
Полученные таким образом оценки будут случайными
величинами. Повторив измерения, получим другую группу
наблюдений, а для нее другие х и ст5. Рассеивание этих
оценок можно охарактеризовать их среднеквадратическим
отклонением ст (х) и ст (ст). Так как D [х] = ста/п, то
о (х) =	[х] = ст/]/ п.
Поскольку вместо ст берется ее оценка S, то получим
тоже оценку
ст(х)
]*/»
(х,— х)’/п(п— 1)
= S(x).
Аналогичным образом определяется оценка среднего
квадратического отклонения S [21]:
ст [S] = S/(2 (п — 1)]’/*. или ст [S]/S = [2 (п — 1 )]-,/*. (1.4)
Соотношение (1.11) характеризует погрешность определе-
ния среднего квадратического отклонения, которая, как
видно, зависит от числа наблюдений в группе. При малом
числе наблюдений эта погрешность может принимать
большие значения.
Чтобы можно было с уверенностью применять точечные
оценки даже в случае, когда они вычислены на основании
лучших из возможных зависимостей, необходима добавоч-
ная информация, позволяющая судить с какой точностью
определены эти оценки (хотя бы приближенно).
Для получения представления о точности и надежности
оценки 0 для параметра 0 необходимо при выбранном уров-
не значимости а > 0 указать такое 6, чтобы выполнялось
условие
Р (0 —6<0 <0 + 6) = 1 —а,
которое указывает на то, что фиксированные значения 0
будут накрыты интервалом (0 — 6, 0 + 6) примерно в
100 (1 — а) % случаев. Данный интервал называется довери-
тельным, а (1—а) — надежностью сделанной оценки.
Доверительные границы (0 — 6) и (0 + 6) находятся по
сделанной выборке и поэтому являются функциями случай-
ных величин .......х„.	Следовательно, сами они являются
21
случайными величинами и доверительный интервал тоже
является случайным. Наиболее правильная точка зрения
на доверительный интервал дана в [II]: «Доверительный
интервал и связанные с ним понятия похожи на то, с чем мы
сталкиваемся при игре с набрасыванием подковы на кол.
Кол здесь играет роль проверяемого параметра (его положе-
ние никогда не изменяется вопреки ошибочным представ-
лениям). Подкова выступает в роли доверительного интер-
вала. Если при 100 бросаниях подковы удается в среднем
90 раз набросить ее на кол, то имеется 90 %-ная гарантия
(или уровень доверия) набросить подкову на кол. Довери-
тельный интервал подобно подкове может изменять свое
положение. Параметр же, подобно положению кола, оста-
ется неизменным. При любом броске (или при построении
некоторой интервальной оценки) кол (или параметр) мо-
жет как попасть внутрь подковы (интервала), так и ока-
заться вне ее. Таким образом, делают вероятностные ут-
верждения относительно переменных величин, характери-
зующих положение подковы». Чем меньше для данного а
будет б, тем точнее оценка 0.
Рассмотрим построение доверительных интервалов для
некоторых параметров нормальной совокупности.
Математическое ожидание при известной дисперсии.
Для оценки v естественно использовать величину х, которая
также распределена по нормальному закону. При заданной
надежности у = 1 — а подберем такое число б >• 0, чтобы
выполнялось условие
Р(\х — v| <б) = у.
Так как случайная величина х имеет параметры
М [х] = v и D [х] = ст2/и, то ее функцию распределения
можно записать в виде F (х) = 4- + Ф( х~ _ |. Исходя
2	\ о/у п /
из этого выражения (1.12) можно переписать в виде
Р (v — 6<x<v + 6) = F(v4-6) — F(y — б) —
= 2Ф[б(п)’/7а].
Следовательно, необходимо подобрать число б, которое
бы удовлетворяло равенству
пяч ( б Vn \
2Ф(—— ) = ?.
Поскольку функция Ф непрерывна и возрастает на ин-
тервале (0, 4-оо) от 0 до 0,5, то для любого числа 0 < у <
< 1 существует единственное число такое, что Ф (^) =
22

=Лу72. Это число /v называется квантилем (у 4- 1)/2 нор-
мального распределения. Отсюда получим 6 = cr/v/j/7£ Сле-
довательно, доверительный интервал
с надежностью у покрывает неизвестный параметр v, а
точечная оценка х дает значение параметра v с точностью
до 6 = aty/Yn. и с надежностью у.
Математическое ожидание при неизвестной дисперсии.
Отличие данного случая от ранее рассмотренного заключа-
ется в том, что кроме v неизвестна и а и их необходимо
находить по выборке ограниченного объема. Вычислив
случайные величины
х = и-1 X xt и S2 = (п — I)-1 X — х)2,
z=i	1=1
рассмотрим случайную величину
I _ X — V
“ s/Vn '
Известно (24), что закон распределения случайной ве-
личины t называется законом распределения Стьюдента
(или /-распределением) с п — 1 степенями свободы. Восполь-
зовавшись таблицами этого распределения, определяем при
выбранном у значение /у, обеспечивающее выполнение ра-
венства
Р(х — tyS/Y^n < v < х -J- /yS/J/n) — у.
Отсюда получим, что интервал
(х — tyS/Vп < v < х 4- tySfYn)
с достоверностью у является доверительным для математи-
ческого ожидания v случайной величины X.
Дисперсия. В данном случае по результатам опытов не-
обходимо определить точность оценки дисперсии а2, ко-
торая неизвестна. Для решения данной задачи необхо-
димо рассмотреть случайную величину
%2= (и—1)$2/а2,
функция распределения которой называется распределе-
нием хи-квадрат [24] с п — 1 степенями свободы. Подбе-
рем по заданной надежности у положительные числа
(у) и х2 (у) так", чтобы выполнялось неравенство
F [4 (у)] = (1 - У)/2; F 1x1 (у)] = (14- У)/2,
23
где F (х)'— функция распределения случайной величины
X2, непрерывно возрастающая. Для любого числа Д <
<у < 1 числа хх (у) и х2 (у) существуют и единственные,
и можно записать	'
Р [Xi (?) < X2 < х! (у)] = F [4 (Т)] - F [х? (у)] = у,
ИЛИ
р И (у) < (П - 1) w < х! (у)] - у.
Отсюда получаем доверительный интервал для диспер-
сии о2:
РГ (n-l)S2 а (n-l)S2l =
[ *2 (У)	*1<Т) J
о надежностью у = 1 — а.	I
1.3.	Статистическая проверка гипотез
Кроме статистической оценки параметров распределе-
ния не менее важным приемом математической статистики
является статистическая проверка гипотез. Проверка
гипотез заключается в вычислении характеристик (пара-
метров) на основании полученных опытных данных и
сравнении их со значениями, введенными априори (до
опыта) на основе предположений. Процедура обоснован-
ного сопоставления высказанной гипотезы с имеющимися
с помощью того или иного статистического критерия назы-
вается статистической проверкой гипотез. Процедура про-
верки гипотез [111 представляет собой правило, которое
позволяет для любого множества значений Хх, ..., Х„ по-
лучить решение: принять или отклонить проверяемую
гипотезу Но. Если множество Xlt ...» Хп представить в
виде точки «-мерного пространства, то точки, для которых
гипотеза Но отклоняется, можно отнести к области w ис-
следуемого пространства. Эта область называется крити-
ческой. Ввиду ограниченности объема выборки, на основа-
нии которой проверяется гипотеза, а также из-за случай-
ного характера множества значений Х1г ..., Хп при про-
верке гипотез допускаются ошибки, которые подразделя-
ются на два типа:
ошибки первого рода — отклонение гипотезы Но, ког-
да она верна;
ошибки второго рода — принятие гипотезы Н9, когда
верна какая-либо другая гипотеза.
Значение ошибки первого рода определяется так назы-
ваемым уровнем значимости a-критерия, отвечающем со-
бытиям, которые при данных условиях проведения ис-
24
Рис. 1.3. Варианты выбора крити-
ческой области
Л В Bq £ Ffy	$
Рис. 1.4. Выбор критической облас-
ти при максимальной мощности
критерия
следований считаются (с некоторым риском) практически
невозможными. Значение а может быть явно определено
только в случаях, когда Яо является простой гипотезой.
Увеличивая или уменьшая критическую область мож-
но активно воздействовать на значение
а = Р[(Хх......Xn) С о>/Я0].
Чем меньше уровень значимости а, тем меньше вероят-
ность забракования' проверяемой гипотезы, когда она
верна (совершить ошибку первого рода). Однако с умень-
шением а снижается чувствительность критерия к другим,
гак называемым альтернативным гипотезам, увеличива-
ется вероятность принятия проверяемой гипотезы, когда
она не верна, а верна другая гипотеза, близкая к прове-
ряемой. Это приводит к возникновению ошибки второго
рода. Таким образом, уровень значимости критерия про-
верки позволяет оценить ошибки первого рода, но не
изменяет степень риска, связанного с принятием невер-
ной гипотезы.
Вероятность ошибки второго рода зависит от гипотезы
Я, которая верна в действительности. Ее обычно обозна-
чают р и называют оперативной характеристикой крите-
рия по отношению к Я:
р=1-Р[Х1, ...»
Если, например, некоторая статистика 0 имеет нор-
мальное распределение ре (rj/0o) при справедливости ги-
потезы Яо» то возможны четыре варианта выбора кри-
тической области w (рис. 1.3), обеспечивающей уровень
значимости критерия а [24]:
1)	область больших положительных отклонений
оо
а = ( ре (я/0о) dx;
£5
2)	область больших отрицательных отклонений
в	I
«= J Р0(п/0о)^;
—00
3)	область больших по абсолютной величине откло-
нений
А	+оо
а = J Ре (т]/0о)dx + У Ре (n/0o) dx>
—оо	F
4)	область малых по абсолютной величине отклонений
D
а=\ре (nA)dx-
с
В зависимости от значения альтернативной гипотезы
и ее соотношения с гипотезой Но выбор критической
области необходимо осуществлять таким образом, чтобы кри-
терий проверки обладал наибольшей чувствительностью, ко-
торая заключается в обеспечение, наибольшей вероятности
попадания критерия в критическую область, когда справед-
лива альтернативная гипотеза Hv Эта вероятность назы-
вается мощностью критерия по отношению к альтернатив-
ной гипотезе, является дополнением к оперативной харак-
теристике (ошибке второго рода) и определяется на осно-
вании соотношения
РЦХЬ ...»	=	(1.5)
Если справедлива гипотеза Hlt то статистика 0 име-
ет распределение ре Ol/0i)> причем 0Х > 0О. Из рис. 1.4
следует, что в качестве критической области необходимо
выбирать область больших положительных отклонений,
при которой обеспечивается максимальная мощность кри-
терия
1—0!= J
Е
Выбор в качестве критических иных областей приводит
к меньшему значению мощности критерия соответственно:
А	В
1—02= У Pe(^i)dx", 1—08= j Pe(n/0i)dx +
*—00	—00
-{-оо	D
+ j Pe (n/0i) dx‘, 1 — 04 = J Po (H/0i)dx-
E	G
26
Следовательно, при выборе в качестве критических
областей ранее определенные области отклонений, кроме
первой, вероятность попадания в них критерия при спра-
ведливости альтернативной гипотезы будет меньше а
(ср. заштрихованные области на рис. 1.4) и проверяемая
гипотеза будет чаще отвергаться, когда она верна, чем
тогда, когда не верна.
В случае, когда проверяются так называемые нулевые
гипотезы об отсутствии существенного различия между
параметрами сравниваемых генеральных совокупностей,
то в качестве критической области следует выбирать об-
ласть больших по абсолютному значению отклонений.
Как уже отмечалось, мощность критерия зависит от
альтернативной гипотезы Ях. Для исследования зависи-
мости мощности критерия от гипотезы Нг необходимо,
в первую'очередь, определить способ проверки гипотезы,
в который вхоДят объем выборки, процедура проверки
гипотезы и уровень значимости.
Предположим, что на основании выборки из нормаль-
ной совокупности, объем которой равен 9, необходимо про-
верить гипотезу [10] Но : р = р0 (Ро = 20). Известна
дисперсия исследуемой величины ст2 = 16. Выбираем уро-
вень значимости а = 0,05. Гипотеза Но отбрасывается при
выполнении неравенства X > А, где А — граница крити-
ческой зоны, значение которой выбирается. на основании
соотношения
Р [X > Л/(р0 = 20); ах = (“/я)"7’ = 4/3] = 0,05,
или
V -
J pz(X/20; %)dx = 0,05,
А
где рх (Х/р0, ах) _ ехр [ (
Подставив значения р0, и произведя нормировку,
найдем А = 22,2. Следовательно, критическая область
определяется неравенством X > 22,2.
Определим мощность критерия относительно каждой
из гипотез 1) Н : р = 22; 2) Н : р = 24; 3) Н : р = 26. Для
этого воспользуемся соотношением (1.5) и получим
4-00
1)	Р [X > 22,2/р = 22]; 1 — ₽2 = J рх (Х/22; %) dx »
22,2
«= 0,44038;
27
Рис. 1.5. Кривая мощности кри-
терия
Рис. 1.6. Пример определения минималь-
ного объема выборки
2)	Р(Х>22,2/р = 24]; 1 —р2 = J р* (X/24; 4/3)dx =
22,2
= 0,91149;
-J-00
3)	Р (х > 22,2/ц = 26]; 1 — 03 = J р* (Х/26; %) dx =
29 2
= 0,99781.
В случае различных гипотез Н для значений р. можно
аналогичным образом получить мощности, которые могут
быть графически представлены в виде кривой мощности
критерия (рис. 1.5). Из данной кривой одностороннего
критерия следует, что по мере увеличения «расстояния»
между Ро и Н мощность критерия асимптотически прибли-
жается к единице. При двустороннем критерии кривая
мощности будет симметрична по отношению к р0.
Для определения минимального объема выборки, по-
зволяющего оценить статистику критерия с заданными
ошибками первого и второго рода, необходимо рассмотреть
множество ситуаций, подобных представленным на рис. 1.6.
В зависимости от кратности проведения опытов п и вы-
бранной критической области необходимо выбрать при
заданном п точку А таким образом, чтобы при выбранной
критической области X > А удовлетворялись условия'.
-j-oo	—|~оо
f р* (Х/0О; a/]/и) dx = а; j р* (Х/в^ с/Уп) dx = 1 — 0,
А	А
ИЛИ
1
А
dx-
2а2-	’
Т 1
Т^ехр“
А	х

28
Произведем нормировку распределения, введя новую
переменную
t/o = (X-0o)/ax и t71 = (X-01)/ox.
Тогда
+J (2л)-,/*ехр(— Uo/2)dUo-, J (2л)в,/‘ exp (— t/?/2) dult
откуда получим процентные точки нормированного нор- ,
мального распределения:
А Г J
~ ~ Ufi-
Решив совместно эти равенства, можно установить
необходимое число проведения опыта п, позволяющее про-
верить гипотезу Но: 0 = 0О при альтернативной гипотезе
Ях : 0 = 0х с заданными ошибками первого а и второго
рода 0:
и > [а («1_а —	— 0О)]2.
Если значение среднего квадратического отклонения со-
вокупности не известно, то необходимо на основании выбо-
п
рочных данных найти оценку S2 = (Xi — Х)2/(п — 1),
а в качестве критерия использовать статистику
Т* —	— %
~ S//n ’
Этой статистике при справедливости гипотезы Яо: 0 =
= 0О свойственно распределение Стьюдента, т. е. /-распре-
деление [24] с (п — 1) степенями свободы. Критическая об-
ласть Т > /n-i.i-a задается уровнем значимости а. Мощ-
ность, критерия по отношению к Нг: 0 = 0Х равна
Р IT > Zn-i.i-а | 0i; S], где t п-1.1-а — значение коэффи-
циента Стьюдента при уровне значимости а и числе сте-
пеней свободы п — 1.
Чтобы уменьшить размер критической области w, по-
нижают уровень значимости (ошибку первого рода)
а. Это обычно приводит к снижению мощности критерия
(возрастанию ошибки второго рода) по отношению к аль-
тернативной гипотезе Следовательно, требования к
снижению вероятностей ошибок первого и второго рода
противоречивы. Для разрешения этого противоречия вы-
бирают значение а, равное заданному, и при данном уровне
29
значимости отыскивают критическую область, обеспе-
чивающую максимальное значение мощности критерия
по отношению к альтернативной гипотезе Ht. При
Х19 Хп — непрерывных случайных величинах, данную
задачу можно сформулировать следующим образом: тре-
буется так выбрать критическую область ш0, чтобы ошиб-
ка первого рода была
® = У У * * * J Pxtiхп (xt, • • • > хт • • • dxn
и>о
и при этом достигалось максимальное значение
У У ’ ' У РХц ...t хп (xit ..., х^Н-^ dx1 ... dx„ = 1 0.
u>0
Решение данной задачи дает лемма Неймана — Пирсона,
из которой следует, что сформулированные условия будут
удовлетворены, если критическая область определится
из выражения
Рх,..xnfa......
PxitХп (х1> • • • >	Я о)
причем значение А выбирается так, чтобы выполнялось
условие равенства ошибки первого рода заданному зна-
чению а. Отношение X можно рассматривать как отноше-
ние функций правдоподобия соответственно для гипотез
и Яо. Критерий с критической областью % >• А назы-
вается критерием отношения правдоподобий.
Возвратимся к примеру проверки гипотезы Но (среднее
значение совокупности, имеющей нормальное распределе-
ние с известным средним квадратическим отклонением о0,
равно 0 = 0О (против альтернативной гипотезы Нг : 0 =
= 0Х; 0Х > 0О). Проверку данной гипотезы проводим на
основании случайной выборки, включающей п независимых
наблюдений Хг,Хп. Отношение правдоподобия гипотез
п	п
1 = П Рх, (XilH^lY\ рх (xjH0).
i=i	t=i
Неравенство In Л > In А эквивалентно исходному не-
равенству К > А, поэтому в дальнейшем, исходя из упро-
щения получаемых выкладок, будем рассматривать лога-
рифм функции правдоподобия. Логарифм отношения
1п<)/Г2л«а0) п ехр 1п 1	J.	—таг22 ц-01)а	1
In	. а0) п ехр		5" сто"2 S <*£ “ 0в)2	1
30
преобразуется к виду
п
(2а1Г1 S	- О»)2 - (*< - 0i)2] > In Л.
i=l
С учетом того что 0Х > 0О, последнее неравенство пере-
пишется так:
-	2<Ул
п [2х — 0Х — 0О] > -р—ё0'ln А>
п
где	х = n-1 S хь
£=1
откуда следует, что для минимизации Р при заданном а
необходимо выбирать критическую область, исходя из
неравенства
—	On	1
х>Л, где Л = п^_0о) 1пЛ + —(0о + 01)-
Уменьшение объема испытаний без увеличения ошибок
проверки гипотез позволяет последовательный анализ
[11]. Особенность последовательного анализа состоит в
многоэтапности статистического эксперимента. При этом
решение о прекращении или продолжении эксперимента
на данном этапе зависит от его случайного хода на преды-
дущих этапах в отличие от классических статистических
экспериментов, рассмотренных выше, когда число этапов
(кратность проведения опытов п) заранее назначается.
Нами было установлено, что в окрестностях границы кри-
тической области в зависимости от соотношения пара-
метров статистик критериев возникают ошибки первого
и второго рода. Поэтому в последовательном анализе об-
ласть возможных значений разбивается не на две непере-
секающиеся подобласти (как в классической процедуре),
а на три. Обозначим Цп функцию правдоподобия для i-й
статистики (I = 0,1), т. е. вероятность получения выборки
Xi, ..., Х'п при условии, что справедлива Яггипотеза.
Малому значению отношения правдоподобия knllon
соответствуют случаи, когда справедлива гипотеза Но,
а большому, — когда справедлива гипотеза Hv Для опре-
деления границ подобластей будем исходить из следую-
щих соотношений:
а)	если 1\пИйп В, то принимается гипотеза Ях;
б)	если hn/lon^A, то принимается гипотеза Но;
в)	если А < hn/lon < В, то принимается решение о
продолжении наблюдений.
31
Из соотношений а) и б) можно определить множество J
всех наборов значений (сочетаний) Xj.......хп, при ко- 3
торых принимается гипотеза Н( (i = 0, 1), т. е. определить 1
подобласти а>оп и ®in> для которых выполняются нера- 1
венства:	I
®0n : tin Alon‘> ®1п • lln Bion.	
В соответствии с этими неравенствами можно записать
следующие соотношения:
А • Р [принимается	[принимается Hq/Hx]', (1.6) i
Р [принимается Ну/Н^^В • Р [принимается Нх/Н0]. (1.7)
Если теперь предположить, что последовательная про-
цедура принятия либо гипотезы Но, либо Нг с вероятностью,
равной единице, закончится, то Р [принимается +
+ Р X [принимается ] = 1 для каждого зна-
чения i (i = 0,1), так как составляют полную группу собы-
тий. При этом выражения (1.6) и (1.7) преобразуются к
виду:
А{1—Р [принимается Hx/H0]}^P [принимается Hq/HxY,
(1.8)	'
1 —Р [принимается	. Р [принимается Н^НД.
(1.9)
Положив, без большой потери в точности, в соотноше-
ниях а)—в) знаки равенства, из (1.8) и (1.9) получим
д ~ Р [принимается Яо/Я1] ,
1 — Р [принимается Яц/Я0] *
п ~ 1 — Р [принимается
Р [принимается
или, исходя из ошибок первого и второго рода:
х-А’	О'»)
Использование значений А и В в соотношениях а) —
в) приводит к простому последовательному методу про-
верки гипотез. Число опытов при этом случайно и в сред-
нем меньше, чем при классической проверке гипотез. На-
блюдение прекращается и принимается гипотеза Ht, как
только knlhn. « (1 — Р)/а. Наблюдения также прекра-
щаются и принимается гипотеза Яо, как только l\nllon
« р/(1 — а), если это равенство выполняется первым.
В случае рассмотрения задачи различения значений
0О и 0Х для математических ожиданий нормальной сово-
32
купности с известным средним квадратическим отклоне-
нием а0 отношение правдоподобия для т первых шагов
(т < п) при последовательном методе проверки гипотез
будет иметь вид
l\n/lon — ехР I S	=
I 2ао i=l	J
= exp(AzA_rg Xl-^.(в0 + eJl .
I ао U-l	JJ
При 0г > 0o область продолжения наблюдения после
tn шагов определится так:
^<ехр {A=Ms +	.
I а0 [_»=>	JJ
Выполнив логарифмирование, получим
(-^)in(^W(e°+9-><::
< Si Xt < ( е1 — ) 'П (	+ ~2"
Если на /n-м шаге одно из неравенств выполняется, то
последовательная процедура прекращается и принимается
гипотеза, соответствующая данному неравенству. При этом
ошибки первого и второго рода равны заданным значе-
ниям.
Изложение материала настоящей главы проводилось
на примерах проверки гипотез для средней выборки. Оста-
новимся на статистической особенности проверки гипотез
для дисперсий, играющих заметную роль при проведении
исследований. Для проверки гипотез о равенстве дисперсий
двух генеральных совокупностей, из которых взяты выбор-
ки, необходимо в качестве критериальной ввести такую
функцию их статистических оценок, распределение которой
не зависело бы ни от каких-либо других неизвестных вели-
чин. Таким свойством обладает распределение отношения
двух несмещенных оценок дисперсий, вычисленных для
/ = 1, 2 на основании выражения
полученного по результатам независимых выборок, взятых
из нормальных совокупностей. Такое распределение на-
зывается ^-распределением — распределением Фишера.
Значение коэффициента определится из соотношения
3 6-1861
зз
F = S?/S2, где Si —большая из двух сравниваемых оценок
дисперсий. Значение коэффициента F зависит только от
числа степеней свободы числителя (nx — 1) и знаменателя
(па — О-
Для проверки гипотезы Но : а? = ст? необходимо по-
строить критическую область для критерия F. Альтерна-
тивной гипотезой является НА : ст #= ст. Как уже отмеча-
лось, при нулевой гипотезе за критическую область при-
нимают два интервала (рис. 1.7): «больших» значений F >
> Fa и «малых» значений 0 < F < Fv Для обеспечения
наибольшей чувствительности критерия подбирают кри-
тические точки так, чтобы при уровне значимости а вероят-
ность попадания в составляющие критической области
была одинакова, т. е.
P(F>F2) = P(F<F1) = a/2.
Если выборочное значение F оказывается в критиче-
ской области (на рис. 1.7 заштрихована), то гипотеза of =
= ст? отвергается.
ГЛАВА 2
РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. ОЦЕНИВАНИЕ
ПАРАМЕТРОВ
При экспериментальных исследованиях изучаются объек-
ты, которые в общем случае могут быть представлены в
виде «черного ящика», на вход (входы) которого воздей-
ствуют величины, называемые факторами, независимыми
переменными, или регрессорами. Цель экспериментальных
исследований — является получение зависимости между
входными величинами и выходной величиной, называе-
мой функцией отклика. Функция отклика является в об-
щем случае функцией многих переменных и о ней имеются
самые общие представления (иногда интуитивные). Конеч-
ной целью экспериментального исследования является
84
математическая модель, адекватно описывающая поведе-
ние объекта.
Входные переменные, или факторы, могут быть разбиты
на два класса: контролируемые (измеряемые) и неконтро-
лируемые (неизмеряемые). В свою очередь контролируемые
переменные могут быть управляемыми и неуправляемыми.
Управляемыми являются такие факторы, целенаправлен-
ное изменение в ходе эксперимента которых возможно.
Факторы, для которых изменение не возможно, называ-
ются неуправляемыми.
Если все факторы трактуются как качественные, то
применяется дисперсионный анализ, если один из факто-
ров качественный, а другие количественные — то корре-
ляционный анализ. Ниже будет рассмотрен случай коли-
чественных факторов, когда для получения математиче-
ской модели, связывающей входные и выходные величины,
применяется регрессионный анализ.
2.1. Линия регрессии
Одна из наиболее общих и часто встречаемых задач
экспериментальных исследований состоит в оценивании
степени связи между двумя величинами (входной и выход-
ной), если таковая существует. Для этой цели необходимо
задать определенную совокупность входных величин х
и определить опытным путем соответствующие ей значе-
ния выходной величины исследуемого объекта. Имеющие-
ся N пар наблюдения (xi, у!) можно представить точками
на плоскости, получив так называемую диаграмму рассе-
яния, или поле корреляции (рис. 2.1).
Разобъем весь интервал Дх входных величин на k
равных интервалов 6xz. Подсчитаем /п, точек выходных
величин у для каждого элементарного интервала бх; и оп-
ределим среднее значение yt. Отметим yt крестиком в се-
редине каждого интервала и соединим их отрезками прямых.
Получим ломаную линию, которая называется экспери-
ментальной линией регрессии. Если увеличить общее
число наблюдений N и одновременно, но не столь же быст-
ро уменьшать длину элементарного интервала бх/ (чтобы
число точек в бх/ возросло), то ломаная линия будет ста-
новиться более плавной и при N оо превратится в теоре-
тическую линию регрессии, которая аналитически может
быть представлена в виде у = ай 4- а^Хц где — сво-
бодный член, геометрически представляющий собой рас-
стояние от начала координат до точки пересечения линии
регрессии о ординатой, или отрезок, отсекаемый на
3*
85
Рис. 2.1. Поле корреляции и экспери-'
ментальная линия регрессии
Рис. 2.2. Модель стохастической связи
ординате линией регрессии, коэффициент ах — тангенс угла
наклона линии регрессии к оси абсцисс.
Следовательно, по результатам проведенного экспери-
мента необходимо подобрать (или попытаться подобрать)
такую гладкую кривую (в рассматриваемом случае пря-
мую), чтобы она располагалась как можно ближе к теоре-
тической линии регрессии. Не следует ожидать, что все
точки поля корреляции лягут на соответствующую пря-
мую, так как, даже в случае «беспогрешного» задания вход-
ной величины, выходная величина у подтверждена случай-
ным флуктуациям в результате воздействия факторов,
которыми мы не в состоянии управлять или о существова-
нии которых не знаем. Если даже между какими-то двумя
величинами, например напряжением и током, существует
вполне определенная связь (существует функциональная
зависимость), то на поле корреляции все же будут на-
блюдаться флуктуации, вызванные погрешностями измере-
ний, что приводит к стохастической связи. Схема объекта
для данного случая приведена на рис. 2.2. Величина е
обусловлена погрешностью измерения функции отклика.
Ее можно интерпретировать как помеху, или шум. Предпо-
лагая, что входная величина не случайна, а фиксирована
или управляема, для каждого значения хп имеем случай-
ную величину yi со средним значением <р (хх), т. е. yt =*
= Ф (х0 + 6ь где математическое ожидание М (ej = 0.
Функция <р (х) называется функцией регрессии случай-
ной величины Y на а график этой функции — линией
регрессии Y на хг. Ее математическое ожидание опреде-
ляется так: М [у] = а0 -f- а^.
На практике возможны случаи, когда обе величины
X и Y являются случайными. Пара случайных величин
имеет некоторое совместное распределение. Уравнение
регрессии в этом случае определяется как условное мате-
матическое ожидание переменной Y относительно X (ре-
грессия Y на X). Величина М [У/х] — \ yf (у/х) dx и пред-
36
ставляет собой усредненную характеристику связи между
у и X. Кроме прямой регрессии возможна и обратная
4-00
регрессия М [Х/у] = j xf (х/у) dy. Схема регрессии как
—00
условное математическое ожидание является более общей.
Классическая регрессия, заключающаяся в исследова-
нии линейной зависимости для фиксированных значений
X, характеризуется безусловной регрессией. Она позво- '
ляет делать выводы только для данного, имеющегося в
наличии набора независимой переменной, тогда как в ус-
ловной регрессии полученные выводы и оценки имеют более
общий характер. Эти выводы могут быть распространены
на всю генеральную совокупность независимых пере-
менных.
Вначале будем рассматривать линейные модели — ли-
нейные по параметрам at. Выбор для рассмотрения только
линейных моделей не ограничивает общности полученных
выводов. Это обусловлено тем, что многие нелинейные
модели могут быть приведены к линейным с помощью со-
ответствующего преобразования. Модели же, содержащие
факторы во второй и высших степенях, либо факторы в
них являются функциями каких-либо других перемен-
ных (sinx, 1gхи т. п.), могут быть преобразованы в ли-
нейные.
2.2. Метод наименьших квадратов при линейной
парной зависимости
Пусть имеется N пар наблюдений (х;, yi), причем X/ — •
фиксированные значения входной величины. Этому на-
бору соответствует некоторое поле корреляции, аналогич-
ное рассмотренному в п. 2.1. Необходимо подобрать линию
регрессии вида у = ай + а^, которая бы наилучшим
образом описывала поведение объекта. Как уже отмеча-
лось, из-за наличия, например, погрешности измерения
наблюдаемые значения выходной величины у{ также бу-
дут случайными. Так как по экспериментальным данным
(значениям у() определяются коэффициенты модели, то
они также будут случайными величинами.
Для оценки коэффициентов регрессии а0 и использу-
ется метод наименьших квадратов (МНК) [15, 24], который
позволяет минимизировать сумму квадратов разности от-
клонений экспериментальных данных у{ и расчетных зна-
чений, полученных на основании уравнения регрессии
87
У — а» + «А- МНК заключается в минимизации функции
N _ Л
Q = S (yi — y<)2-*min.
f=l
Для линейной парной зависимости имеем
/V _ /К	/К
Q = S [У( — («о + a Ai)]2 -> min.
i=l
При нахождении оценок коэффициентов, удовлетворяю-
щих данному условию, необходимо взять частные произ-
9Q	п
водные —-г- и приравнять их нулю. Получим систему урав-
да/
нений, называемую системой нормальных уравнений. Чис-
ло этих уравнений соответствует числу неизвестных.
Введем фиктивную переменную х0 = 1 и умножим на нее ав.
Получим следующую систему нормальных уравнений!
dQ	Д	-	Л	А
Т- = — 2 2j	(yt — аоХю — aAi) хео = 0;
да0	<==i
0Q	Д	-
“7“ = — 2 2j (У{ — аохю—ajXa) ха = 0.
даг	ш
После преобразований окончательно получим
Л N	Л N	N _
а0 S хю + ах S хю • хп = 2 yiXio",
i=i	t=i	1=1
л N	л N	W
Яо ХюХц tZi Хц — У(Хц,
1=1	i=l 1=1
Представленная в данном виде система нормальных
уравнений имеет три особенности:
1)	в правой части системы под знаком суммы располо-
жены произведения, полученные в результате последо-
вательного умножения совокупности выходных величин
на совокупность /-й входной величины (введение х0 по-
зволяет найти оценку коэффициента ао, называемого сво-
бодным членом);
2)	на диагонали левых частей уравнений под знаком
суммы последовательцо стоят квадраты независимых пере-
менных;
3)	по отношению к диагонали в левой части наблюда-
ется симметрия.
Оценки коэффициентов уравнения регрессии, удовле-
творяющих методу наименьших квадратов, можно найти
38 7
из соотношений!
Од — AJA-, а.} — А]/А,
N S хп
i=l
N	N
S Хп S Хи
1=1	(=1
N
= N xh
— главный определитель системы при условии, что х0,
называемая фиктивной переменной, тождественно равна
единице;
n ~
S yi
1=1
N
S У&Н
S
f=l
N ~ N	N	Л/
= S у‘ S —S Хау‘ SХя;
Z==1	4=1	4=1	4=1
N
N
Xj xil
4=1
N
S yt
f=l
N
S у&н
i-==i
2V	2V _
=n s ^Xa ~ SXa s
^=1	<=1 i=l
являются дополнениями.
Следовательно,
N	N	N	~ N
£ Ш S x?i “ S S xil
£=1 1=1	1=1 i=l
a0 “ '	N 7~N	\2
N S x?i—(S xn)
i=l \i=l /
Нахождение оценок методом наименьших квадратов
базировалось на предположении, что условное математи-
ческое ожидание Y при данном х линейно и зависит от х.
Графически математическая модель М [У7х| представлена
на рис. 2.3. Погрешность измерения предполагается не
связанной с измеряемой величиной Л1 [У/х] = у и распре-
делена по нормальному закону. Следовательно, получен-
ное значение выходной величины исследуемого объекта

Рис. 2.3. Построение линии регрессии на
основе метода максимального правдоподо-
бия
у будет случайной вели-
чиной, тоже распреде-
ленной по нормальному
закону.
В связи с этим может
быть выдвинуто множе-
ство гипотез о конкрет-
ном виде модели (значе-
ниях коэффициентов), не
противоречащих опыт-
ным данным. Задача состоит в выборе модели, наилучшим
образом описывающей поведение объекта. Для этого вос-
пользуемся методом максимального правдоподобия 111], по
которому выбирается такая гипотеза, согласно которой
вероятность получения в процессе измерения фактически
наблюдаемых величин была бы максимальной. Если при
каждом х значения Y распределены по нормальному зако-
ну со средним на прямой регрессии М [У7х] = а0 + аххх
(см. рис. 2.3), то условная плотность вероятности Yi
Р (yJxt) = (/2л а) 1 ехр-(у{ — у()2] .
Если имеем N выборочных точек, где проводился экс-
, перимент, то функция правдоподобия будет равна произ-
ведению условных вероятностей выходных величин, т. е.
- N
L= П р (yi'lxi).
;=i
С учетом ранее изложенных предположений имеем:
Г 1 N ~	1
L = (2n)-W2a“wexp[—g (у{-&)»] .	(2.1)
Прежде, чем исследовать функцию правдоподобия на
максимум, прологарифмируем ее:
In L = - -J- In (2л) - N In а - g (у{ - yt)\ (2.2)
Для получения оценок максимального правдоподобия
аомп и О1мп необходимо подставить М lYM = yi = а0 +
+ ajXt и взять частные производные InL по а0 и а1 и при-
равнять их нулю. Из рассмотрения выражения (2.2) можно
сделать вывод, что оно будет стремиться к максимуму,
когда последнее слагаемое в правой части будет стремиться
к минимуму. Поэтому необходимо исследовать условия,
АГ ~
обеспечивающие минимизацию S	— (а0 + a^xi 1)]2. Дан-
z=i
40
ное условие совпадает с условием МН К. Следовательно,
метод наименьших квадратов является частным случаем
метода максимума правдоподобия при нормальном зако-
не распределения. Оценки коэффициентов, найденные на
основании МНК, будут несмещенными, состоятельными
и асимптотически нормальными. При этом предполага-
лось, что только выходная величина исследуемого объекта
искажается погрешностью измерения.
В случае, когда и входная величина х имеет погреш-
ность измерения (или просто является случайной величи-
ной), то кроме минимизации отклонений опытных данных
от линии регрессии параллельно направлению Оу возмож-
на минимизация в направлении, параллельном Ох, что
приведет к другой линии регрессии М [X/Y = у] = Ь0 +
+ Ь^у, причем коэффициенты Ьо и Ьг нельзя получить прос-
тым обращением ранее полученных коэффициентов а0 и
аг. Для их получения необходимо в определителях А, А0
и Лх взаимно поменять х и у и получить определители
В, Во и В1г а затем уже воспользоваться известным алго-
ритмом. Таким образом, в случае, если х и у представляют
собой двумерную величину, то существуют две регрессии —
прямая М [Y/X = х] и обратная М [Х/У = у], пересека-
ющиеся в центре тяжести, т. е. в точке с координатами
| х = £ x{/N; у = 2 y{/N), и образующие некоторый, угол
\	1=1	i=i /
между собой.
В случае предполагаемой линейной зависимости степень
тесноты этой связи может быть количественно определена
коэффициентом корреляции, выборочное значение которо-
го определяется выражением
N~
г =l—______________
s А	’
где х( и у, — i-e значение случайной входной и выходной
w	w
величин, a Sx = S (х — x)2/N и Szg = £ (у(-— y)2/N.
i=i	i=i
Преобразуем числитель в выражении для г к виду
] n ______________ j n ~ _	__	__
~ S (Xi — x)(yt — У) — -Jy- S (Xiyc — ХУ( — Х(у + ху) =
‘ {	1 N __	*1"______ .	«
N -N-Z.W+
41
= -ДГ Д	+ xy =
. w __	—
= —S Х1У1 — xy
i—1
и подставим в данное выражение:
1 N ~~
„	-ы^х1У1~х~У
г = -—feL_-------.
S^D
Формально коэффициент корреляции может быть вы-
числен для любой двумерной системы наблюдений. Одна-
ко для совместного нормального распределения случайных
величин X и Y коэффициент корреляции имеет четкий
смысл, характеризуя степень тесности связи между ними.
Если | г | = 1, то это подтверждает функциональную (не
статическую) линейную зависимость между исследуемыми
величинами, а г = 0, что свидетельствует об их полной
независимости. Однако такое рассуждение при г = О
возможно только в том случае, если есть полная уверен-
ность, что зависимость линейна. Если такой уверенности
нет, то при г = 0 можно утверждать, что величины некор-
релированы, а уже после детального статистического ана-
лиза говорить об их независимости.
Коэффициент корреляции .определяет угол наклона
линии регрессии, или значение оценки коэффициента ах.
В ранее полученном соотношении для ах примем, что
входная величина случайна, т. е.
N____N _ N
Si
Д*1- ’	(2>3)
N S Д S *и)
Разделим числитель и знаменатель на N2 и восполь-
_ Л/	_ N
зуемся соотношениями: х = S xjN и у = S Vi'N.
<=1	<=i
1 " - ~ _
л ‘ — S х1\У(~ху
Тогда =? •	; / w Г5" •
ТГ А ***	(Ах<1)
feei*	\4в4 /
42
Рассмотрим выражение
N ~	. N _
Sx = -у- (Хи — х)2 = -jj- S (xh — 2хпх + х)2 =
, N _	„ N _	. N
= "N Д ~ ~ Д X{lX + ~ /S х* ~
= тД х“ ~ 2х~ <51Хп "*х2 = "лГ Хп ~ х>’
сопоставим его со знаменателем выражения (2.4) и, приняв
во внимание выражение (2.3), получим
©ведем геометрическую характеристику концентрации
точек корреляционного поля (х{, у,) около своего центра
тяжести (х, у). Для случая совместного нормального рас-
пределения величин X и Г удобной характеристикой явля-
ется эллипс рассеяния. Его уравнение имеет вид [3]
у—у
su
(~ - \21
у — У I v2 .
----о----1 I — л(а.г),
/ J
где Х(а,г) — 100 а %-ная точка %2-распределения с двумя
степенями свободы, и показывает, что 100 (1 — а) % точек
поля корреляции будут «накрыты» эллипсом.
Эллипс рассеяния непосредственно связан с регрес-
сионными прямыми, которые являются его диаметрами,
сопряженными с координатными осями; Так, для проведе-
ния регрессионной прямой у — аа+ аг (хх — х) следует
построить две вертикальные прямые KL и PD, касатель-
ные к эллипсу и соединить точки касания. Для построения
обратной регрессионной прямой х = b0 + Ьг (у — у) не-
обходимо соединить точки касания горизонтальных пря-
мых КР и LD с эллипсом. Чем больше разброс данных (чем
больше «размыто» корреляционное поле), тем сильнее
эти прямые будут отличаться (расходиться). Эту зависи-
мость можно выразить соотношением [3]
Рис. 2.4. Эллипс рассеяния и линии
прямой и обратной регрессии
где а—острый угол, отсчиты-
ваемый от линии М [Y/X =
= х] к линии М [X/Y = у} с
обычным правилом знаков (на
рис. 2.4 угол отрицательный).
Из выражения (2.5) следу-
ет, что линия обратной регрес-
сии более круто наклонена к
горизонтальной оси. При от-
сутствии корреляционной свя-
зи г = 0 и tg а-> оо линии бу-
дут взаимно перпендикулярны.
Наличие двух линий регрессии (прямой и обратной)
во многих практических случаях является неудобным —
возникает необходимость определить такую одну линию,
которая бы представляла истинное соотношение между
входной и выходной величинами. Такую линию можно
получить, если свести к минимуму суммы квадратов рас-
стояний от экспериментальных точек до этой линии, изме-
ряемых в направлении перпендикуляров, опущенных из
этих точек на данную линию. Полученная таким образом
прямая регрессии называется ортогональной. Однако за-
кон связи между величинами при этом существенно зави-
сит от шкал измерения по координатным осям (масштаба
по осям). При различных масштабах по осям нарушается
ортогональность. Данный недостаток отсутствует только
в том случае, когда входная и выходная величины исследу-
емого-объекта однородны. Понятие ортогональной регрес-
сии также связано с эллипсом рассеяния — она явля-
ется одной из главных осей эллипса.
2.3.	Множественный регрессионный анализ
Часто на практике случайная выходная величина Y
зависит не от одной, а нескольких переменных. Здесь мож-
но говорить уже о поверхности регрессии М [YIX1 ==
= х1( Х2 = Xj, ..., Х„ — хп] — <р (Xj, х2, ..., хп).
Будем рассматривать линейные модели, в которых
функция регрессии линейна по параметрам а/ (/ = 1, п).
Для проведения регрессионного анализа необходимо со-
блюдение следующих условий:
точность, с которой задаются входные переменные
(факторы) xz, не являющиеся случайными величинами,
должна быть высокой;
44
погрешность измерения выходной величины является
случайной с математическим ожиданием, равным нулю;
результаты наблюдений представляют собой однород-
ные независимые нормально распределенные величины;
каждый фактор не является линейной комбинацией
других факторов.
Следовательно, рассматриваемая здесь регрессия имеет
вид безусловного математического ожидания. Задача мно-
жественного регрессионного анализа состоит в построении
такой прямой в n-мерном пространстве, квадрат отклоне-
ния результатов наблюдений от которой был бы минималь-
ным.
Исходя из свойств, которыми обладает система нормаль-
ных уравнений, на основании которой определяются оцен-
ки коэффициентов уравнения регрессии, для п факторного
эксперимента можно записать:
Л N	л N	л N
а0 S Xl° + ai X Xl°Xil + "' + а1 X XioX4 + • * •
1=1	i=l _	1=1
А W	Л/ ~
• • • + S Xi°Xin = S
i=l	1=1
А N	а АГ	А N
а0 S xlQjCa “Ь а1 S Х{1 + * ’ ’ + а! S ХПХЧ + * • • +
i=l
А	N ~
••• + XiiXir* = X
i=l	i=l
(2.6)
A N	A N	A N
aQ 5] xtQXin +	£ xiixin + • • • + af хщХц -}-----
f=l	Z=1	i=l
a N	N	~
Xin= S	У^п-
i=l	/=1
Решение данной системы уравнений и дает значения оце*
нок коэффициентов метода наименьших квадратов.
Анализ уравнения и методика становятся более на-
глядными, а расчетные процедуры существенно упрощаются,
если воспользоваться матричной формой записи. Совокуп-
ность входных величин, представленных в виде вектора
•^10	хи •	• •	ХИ • •	•	*^1п
•^20	^21	•	• •	^2/ • •	•	Х2п
Xnq '	Xn\	Xnj	X^in
45
Рис. 2.5. Геометрическое пред-
ставление метода наименьших
квадратов
подается на исследуемый объект
и измеряются выходные вели-
чины, соответствующие данной
точке факторного пространства,
образованного входными величи-
намиУ = |г/х, уй, ...,
По результатам данных на-
блюдений при известном X необ-
ходимо найти вектор А, являю-
щийся оценкой метода наимень-
ших квадратов. Геометрически
это может быть интерпретировано следующим образом. В иде-
альном случае вектор выходных величин представляется в ви-
де Y = ХА. Из-за наличия погрешностей врктор наблюдений
результатов эксперимента будет Y «= ХА + 8. По методу
наименьших квадратов минимизируется значение в'в =а
= ||Г-У|Р.
Область Q, в которой расположены векторы входных
величин, представляет собой гиперплоскость (на рис. 2.5
представлен двумерный случай). В этой же области Q
отображается вектор регрессии Y. Минимальное расстоя-
ние между вектором наблюдений Y и гиперплоскостью □
будет соответствовать длине перпендикуляра, опущенного
из конца этого вектора на гиперплоскость, т. е. вектор Y
является проекцией Y на область Q и квадрат длины век-
тора Q « || Y — Y р будет минимальным. Условие орто-
гональности разностного вектора Y — Y к гиперплос-
кости Q может быть записано в виде (22) j X* (Y — Y) =
= 0, где Х‘ — транспонированная матрица входных ве-
личин (по отношению к матрице X в ней строки и столбцы
поменялись местами). Приняв во внимание, что Y = ХА
(где А — вектор оценок коэффициентов), получаем нормаль-
ное уравнение в матричной форме
Х*ХА = Х'У.
(2.7)
Матрица Х‘ X = С и называется информационной мат-
рицей. Нормальное уравнение (2.7) можно переписать в
виде
СА = X*Yt	№
и оно всегда имеет решение.
46
Действительно, для матрицы X, являющейся матрицей
плана (каждая строка показывает условия проведения 4-го
опыта), транспонированная матрица будет:
Х10
Х11
Х20 • • • X^VO
#2i	• • Xn\

X2j ... XNf
Информационная
Х2п • • • Хып
Х].п
матрица в этом случае
С =
Л/	N	N	N
S &	X(oX(i •	• • S XlQXij . • •	s
1=1	4=1	4=1	4=1
N	N	N	
S Х(0Хц	S*n ..	• S xnXii. • •	s
1=0	4=1	4=1	4=1
N	N	N	
XiQXin 4=1	ХцХ^п • 4=1	• • S X{jXin . . 4=1	.s 4=1
XiQXjn
XilXin
X2in
будет квадратной, с размером (п + 1) X (n + 1).
Для определения вектора А оценок МНК необходимо
выражение (2.8) домножить слева на обратную матрицу С-1.
Так как матрица С квадратная, то ее можно обращать.
Обратная матрица С-1 называется ковариационной (дис-
персионной). Перепишем выражение (2.8) так:
С~'СА = С“1Х'У.
Произведение обратной матрицы на прямую даст еди-
ничную матрицу. В результате получим выражение для
вектора оценок коэффициентов
А = CTWy.	(2.9)
Каждый коэффициент множественной регрессии опре-
делится из выражения
л п N ~
«/ = S c‘i S	<2л°)
/=0	4=1
где —элементы матрицы С-1.
47
, Нахождение ковариационной матрицы С~т при значи-
тельном числе факторов п — сложная и трудоемкая зада-
ча. Если при проверке модели установлено, что точность
аппроксимации мала, то все необходимо начинать сначала,
так как любое добавление (убавление) членов в уравне-
нии регрессии в соответствии с (2.10) приведет к изменению
значений всех коэффициентов а/. Следовательно, после
уточнения уравнения регрессии необходимо снова транс-
понировать матрицу факторов, находить ковариационную
матрицу, а затем в соответствии с (2.10) определять а/,
т. е. все коэффициенты уравнения регрессии взаимосвя-
заны.
Известно, что просто обращается диагональная матри-
ца — матрица, в которой все элементы, кроме стоящих
на главной диагонали, равны нулю. Для обращения мат-
рицы С в диагональную необходимо выполнить условие
N
2^ XtjXtk = 0, j k,
называемое условием ортогональности, которое можно вы-
полнить в том случае, если в л-мерном факторном простран-
стве каждому из факторов поставить в соответствие одну
из взаимно перпендикулярных координатных осей. Тогда
матрица С и соответствующая ей ковариационная матрица
С-1 будут иметь вид;
N
S 4о 0... 0
f=l
N
с= 0
N
О 0... £ 4»
i=l
N
1/Ё о... о
Ы)
N
. о i/S 4... о
i=l
N
о о... 1/S 4п
i=l
48
Приняв во внимание, что
S *1ОУс
N
S w
<=1
м
S х^Ус
так:
а также, что матрица С-1 диагональна, выражение (2.9)
можно представить
N	~ N
f=l
N	~ N
t^Xnyi/^ Ха
;=i f=i
а0



л/
В результате последнее выражение, а следовательно ,
выражение (2.9), распадается на (n + 1) независимых
уравнений, позволяющих независимо находить оценки
коэффициентов уравнения множественной регрессии:
л n ~ n	____
«/ = £ Хцу^х] j=0, п.	(2.11)
i=i i=i
Рассмотрим, какими свойствами обладают оценки наи-
меньших квадратов коэффициентов уравнения множествен-
ной регрессии, полученных из матричного уравнения (2.9).
Так как предполагается, что погрешности измерения
выходной величины являются несмещенными, то матема-
тическое ожидание матрицы (точнее вектор — столбцы)
погрешностей равно нулю Е [е] = 0. Определим, чему бу-
дет равно математическое ожидание оценки вектора ко-
эффициентов А, т. е.
Е [Л] = Е [(Г'х'Г] = бГ’Х'Е [Г].
Приняв во внимание, что Y — ХА + в и Е [е] = 0, получим
Е[А] = С~1Х*ХА; Е[А] = А,
<г. е. вектор А является несмещенной оценкой вектора А.
4 6-1861
49
Для определения дисперсии полученных оценок коэф-
фициентов воспользуемся выражением (2.9):
D[A] = О[С~1Х*У].
Так как матрица С~1Х* детерминированная, a Y —
случайная матрица, то можно записать:
D [Л] = Е [C~XX‘Y, СГхХ*У] = С~хХ*Е [Г, У] ХСГх =
= C7xX*DlY}XC-x.	(2.12)
Дисперсия наблюдений (результатов измерения) опре-
делится так:
Д[У] = Р[ХЛ4-е] = Р[в].
Если погрешности измерения выходной величины не-
коррелированы и имеют одинаковую дисперсию, т. е.
cov [8(6,1 = 6(,ст2, то D [е] = а21„, где 1„— единичная
матрица.
Подставим в выражение (2.12)
D [Л] = &СГхХхХСГх = &С~Х	(2.13)
и получим, что если в качестве оценки вектора А выбираем
именно вектор-столбец А (оценку наименьших квадратов),
то данная оценка обладает наименьшей дисперсией. Если
погрешности б( независимы и одинаково распределены,
то Я к тому же является и эффективной.
Для случая, когда погрешности е, коррелированы,
D [е] = ct2U7, где W — известная, положительно опреде-
ленная матрица. Тогда оценка наименьших квадратов
для вектора А
Л* = (Х'йГ-’х')-' XtW~1Y
и называется обобщенной оценкой наименьших квадратов,
а для случая, когда матрица W диагональная, то взвешен-
ной оценкой.
Если матрица W диагональная с элементами w~l, то
взвешенная оценка наименьших квадратов для вектора Л
и дисперсия этой оценки определятся так:
*N-.N	л	N 9
а* = S	wixu'> D [а>] = а2/£ Вд/.
i=l	£=1
Важное место в классической регрессии (независимые
переменные детерминированы) занимают регрессии пла-
нируемого эксперимента (о них более подробно см. гл. 3).
50
Основными требованиями к ним является отсутствие по-
грешностей измерения (фиксации) управляемых перемен-
ных. Если это требование не выполняется, то происходит
смещение оценки коэффициентов.*
Пусть между выходной и входными величинами су-
ществует определенная функциональная связь. Сущест-
вуют истинные значения yi, Хц, хц, .... xzn; i = 1, N,
которые детерминированы. В виду того что измерение вход-
ных и выходной величин сопровождается погрешностями,
которые носят случайный характер, в результате опытов
определяются не истинные значения этих величин — из-
вестными становятся наблюдения хц и yi, отличающиеся
от Xij и yi на погрешности измерения, т. е.
хц = ха + д{{; у{ = у{ + &{; i = 1, N; j = T7n.
При этом связь между величинами из функциональной
переходит в стохастическую, коэффициенты подлежат
оцениванию.
Следует отличать данную модель с погрешностями в
переменных, дающую взаимосвязь математических ожида-
ний входных и выходных величин, с моделью, когда сами
величины, между которыми устанавливается взаимосвязь,
по своей природе являются случайными.
Предполагаем, что погрешности измерения bq некор-
релированы и однородны с математическим ожиданием
Е [б] = 0, где б; = | бц, |, а также что б не зави-
сит от е.
Ввиду того что б не зависит от 8 (и от выходной величи-
ны), оценка МНК при измерении входных величин с по-
грешностью будет такова:
А6 = (X‘X)~l X*Y.
Подставим в выражение Y = Y + в = ХА 4- 8 зна-
чение X = X — б, получим
Y = (X — б) А + е = ХА + в — 6Л.
Тогда оценка вектора Л в перепишется в виде
Лб (Х‘Х)~'Х‘ (ХА + 8 — 6Л) = Л + (Х‘ХГ1 Х*1,
где g = 8 — 6Л.
Второе слагаемое в последнем выражении является сме-
щением оценки МНК. Рассмотрим отдельно матрицу Х%.
4*
S1
Ее математическое ожидание определится так:
Е [X*g] « Е [(X* + б*) (в — 6Л)] = Е [Х*8 — Х'бЛ +
+ 6*8 _ 6*64] = Х*£'[8] — Х*АЕ [б] + Е [б*е] — АЕ [б*б].
Приняв во внимание, что 8 и б независимые случайные
величины с математическим ожиданием, равным нулю,
т. е. Е te] = О, Е [б] = 0, получим
£[X*g] = _ ЛЕ[б*б].
Для случая п факторного эксперимента матрица по-
грешностей измерения входных величин и транспонирован-
ная ей будут:
Тогда
N
^S|i
;=i
N
S 6/16/2
1=1
6 =
6' =
«О О	612 . б22 •	.. 61/ • • 62/	• • • 61n . . . 62rt
6л	6/2 .	.. bij	. . . bin
бли	6/V2 .	.. bui	. . . 6wn
6ц	62i . .	.ba .	. . бди
612	622 • •	 612 •	. . 6tf2
61/	627 . .	• Ьц .	• • 6jv/
62П . . . b{n
bfiln
N	N
S 6/16/2 . • • S
i=l	t=1
Л/	N
N
bi\bij • • • S Sh6m
i=l
N
. . . S ^26in
6'6 =
NN	N	N
5 биб</ 1]	... S $1 • • • S Sifiin
i=l	i=l	i=l	i=l
N	N	N	N
S бибм б^б^п... £б{/б^... 2 $п
i=l	f=l	f=l	i=l
Учитывая предположение, что погрешности измерения
входных величин некоррелированы, матрица б*б вырож-
дается в диагональную с элементами, лежащими на глав-
ной диагонали вида у б//, а ее математическое ожидание
<=i
Е [6*6] = D [6] будет также диагональной матрицей (n X
X л) с /-м диагональным элементом 6/ = Ох/, соответ-
ствующим дисперсии измерения J-й входной величины
(фактора).
В случае однородности погрешностей измерения вход-
ных величин получим
Е[Х‘] = —Апс?х.
Следует ожидать, что Е [(Х'Х)-1 Х‘1-] также будет от-
лично от нуля, т. е. оценка Аъ будет смещенной.
Если погрешность измерения выходной величины в,-
является случайной величиной, но ее математическое ожи-
дание не равно нулю, то происходит нарушение одной из
основных предпосылок регрессионного анализа. В этом
случае необходимо поступать следующим образом. Вво-
дится предположение, что Е [е] = an+i — величина по-
стоянная, являющаяся неизвестным параметром, т. е.
— оо < an+i <4-оо. Приняв такое предположение, можно
считать, что остаточный эффект в среднем постоянный.
Из этого следует, что погрешность измерения преобразует-
ся к виду е< = &{ — an+i и Е 1е'] = 0 — основная пред-
посылка регрессионного анализа выполняется. Теперь
можно известными методами находить оценку МНК век-
тора А, элемент которого an+i является оценкой матема-
тического ожидания постоянной составляющей погреш-
ности измерения выходной величины.
2.4. Нелинейная регрессия
Выше предполагалось, что математическая модель,
описывающая поведение исследуемого объекта, линейна
Л	Л	Л П
и может быть представлена в виде у/ = а0 4- Я/ Xх/- Од-
/=1
нако представление о виде взаимосвязи между величинами
может оказаться неверным. Чтобы убедиться в достовер-
ности результатов, необходимо оценить отклонение рас-
четных значений выходной величины, полученных по
результатам эксперимента (наблюдений), с этими же экс-
периментальными данными, т. е. оценить величину, про-
порциональную S (yi — yi)“- Однако для этого необходимо
63
Рис. 2.6. Построение линии регрес-
сии и определение полной дисперсии
выходной величины
проделать вначале трудоем-
кую процедуру определения
оценок коэффициентов ajt а за-
тем, в худшем случае, убедить-
ся, что гипотеза о виде модели
была выбрана неверно.
Возможен более быстрый
путь оценки отклонения за-
висимости от линейной. Он
базируется на определении
коэффициента детерминации
(дисперсионного либо корре-
ляционного отношения).
Рассмотрим поле корреляции для парной зависимости
(рис. 2.6) и построим в нем линию регрессии, удовлет-
воряющую методу наименьших квадратов.
Для произвольной точки с координатами (х{, yi) рас-
смотрим полное отклонение выходной величины от сред-
него значения (центра тяжести). В соответствии с рис. 2.6
для данной Z-й точки можно записать:
(Ус~ У) = (Ус~ У) + (Ус — yi)-
Возведем в квадрат
(Ус — У? = (Ус — У? + 2 (^ — у) (у< — yi) + (yt— у if.
Для всей совокупности точек поля корреляции
Ё (& —#)2 = Ё (Ус — # + 2Ё (Ус — У) (Ус — Ус) +
Z=1
N ~ A
+ s (yt-ytf-
i=l
В случае некоррелированности систематических (yt —
у) и случайных (yi — yi) отклонений, второе слагаемое
в правой части равенства будет равно нулю. Тогда
Ё (Ус—yf = Ё (У‘ ~ у? + Ё — у^- (2-14)
С=1	С=1	С=1
Поделив (2.14) на (N—1), получим выражение для
полной дисперсии выходной величины, которая слагается
из дисперсии условного математического ожидания и
средней условной дисперсии. Первое слагаемое в правой
части характеризует рассеяние за счет влияния исследуе-
мой входной величины, т. е. является «объяснимой» дис-
54
Персией, так как отклонения (yi — у) зависят от уравнения
регрессии и, следовательно, обусловлены регрессионной
связью': Отклонения (у< — yi) варьируются случайным
образом и не могут быть объяснены моделью, т. е. эти от-
клонения отображают влияние случайных факторов (к
случайным в данном случае относятся неучтенные факторы,
а также высокие степени или комбинации учтенных фак-
торов).
Из приведенной трактовки следует, что дисперсия ус-
ловного математического ожидания может служить харак-
теристикой степени связи между входной и выходной пере-
менными, а средняя условная дисперсия — характеристикой
степени неопределенности, неидентичности, количественно
характеризующей неадекватность данной модели из-за не-
учета остальных факторов, кроме х.
Коэффициент детерминации регрессии определится как
отношение суммы квадратов объяснимых отклонений (дис-
персии условного математического ожидания) ко всей
сумме квадратов отклонений (дисперсии выходной величи-
ны) выражения (2.14), т. е.
n _ N _
^/х= Е (^-#/Е (^-# =
f=l	1=1
[N ~ /ч N ~	_1
Е (^-^)2/Е	•
/=1 J
Из анализа последнего выражения следует, что R$/x
N ~ л
стремится к единице, если (у{ — yi)2 стремится к нулю.
£=1
Это говорит о том, что исследуемые величины связаны функ-
циональной зависимостью, а разброс выходных-величин
yt связан, например, со случайной погрешностью их изме-
рения. Из этого же выражения следует, что коэффициент
детерминации будет равен нулю только тогда, когда
S (л—л)2 = Ё у?>
/=1
т. е. когда рассеяния возле линии регрессии у равны рассе-
яниям возле общего среднего у при любом xt. Это может
быть, если входная и выходная величины независимы.
Отсюда следует, что Ry/X — 0, если входная и выходная
величины исследуемого объекта независимы, но обратное
утверждение не всегда будет верным. В общем случае
65
коэффициент детерминации регрессии лежит в пределах
/
и интерпретирует количественную характеристику меры
неопределенности случайной величины Y по значениям
случайной величины X. В отличие от коэффициента кор-
реляции коэффициент детерминации несимметричен по
отношению к исследуемым переменным, т. е. Ry/X Ф
Ф R2X[y. В регрессиях с детерминированными независи-
мыми переменными коэффициент детерминации необхо-
димо трактовать только как показатель, отражающий,
насколько модель регрессии лучше модели среднего.
Взаимосвязь между коэффициентами корреляции и де-
терминации выражается так:
гху	(2.15)
Равенство здесь выполняется лишь в том случае, когда
имеется строгая линейная зависимость Y на х, т. е. у =
= М [У7х]. Из неравенства (2.15) следует, что количест-
венная характеристика стохастической связи X с Y, изме-
ренная коэффициентом детерминации, может быть больше
нуля в случае нулевого коэффициента корреляции. Как
известно, коэффициент корреляции при двумерном нор-
мальном распределении имеет смысл только при линейной
связи. Поэтому можно использовать соотношение между
коэффициентами корреляции и детерминации, чтобы оце-
нить правильность выбора линейной модели.
Рассмотрим статистику [3]
(S mi~N](Ry/x~ r8)	S —
w = Alz!______L--------- —______----------------
(tf —2)(1 —/£,,)	N "L‘ „	_
yt (AT-2)£ £ Oty-0)2
i=l /-1
которая пропорциональна сумме отклонений групповых
средних yi от прямой регрессии, деленной на сумму от-
клонений уц от общего среднего. Она имеет F-распределе-
(N	\
^пц — N1 степенями
свободы. Здесь N — число точек (значений xi), в которых
проводились опыты; mi — кратность проведения опыта
! т1 ~
в t-й точке; yt —	£ уц — среднее значение выход-
56
ной величины, измеренное для i-й точки; у = 2 miyilN —
общее\ среднее значение выходной величины. Найденное
значение W сравнивается с табличным значением Ft при
выбранном уровне статистической значимости а и числе
степеней свобода /х и /2. Если W > Ft, то гипотеза о
линейности связи между входной и выходной величинами
с выбранным уровнем статистической значимости отбра-
сывается.	"
Убедившись при статистической обработке результатов
эксперимента в том, что линейная модель неадекватна
исследуемому объекту или же когда при графическом изо-
бражении поля корреляции видно, что зависимость явно
нелинейна, следует выдвинуть гипотезу, например при
однофакторном эксперименте, о квадратичной парной за-
висимости вида
у = а0 +	-J- auxi.
При этом необходимо не забывать, что речь идет о не-
линейной зависимости по факторам, но линейной по параме-
трам. Получить оценки коэффициентов парной квадратич-
ной регрессии можно на основании системы нормальных
уравнений для множественного линейного регрессион-
ного анализа (2.6), подставив вместо а2 -► ахх и линейно-
го фактора х2 -> х?. Тогда:
Л N	„ Л N	л N	N	..	]
а0 2	Хю + ах £	хюха + а1г £	х(0х2а =	£	х{Оу{‘,
i=i	i=i	i=i	i=i
„ N	Л	N	Л N	N	„
а0 2	х,охп + аг	2	х2а 4- аг1 2	хах^ =	£	хцу(;
i=l	i=l	i=l	i=l
л N	л N	л N	W
ао 2 хюх2ц 4-^2 хцх^ 4- аи 2 хпх*а = 2
i=i	i=i	t=i	t=i
Решив данную систему уравнений, получим оценку
коэффициентов парной квадратичной модели. Пользуясь
известным свойством системы нормальных уравнений, мож-
но записать систему уравнений для получения оценок ко-
эффициентов парной зависимости любого порядка. Одна-
ко при выполнении операций возведения в степень для
получения формул порядка выше четвертого погрешности
округления становятся столь велики, что сводится на нет
выигрыш от повышения порядка регрессии (об этом обсто-
ятельстве необходимо не забывать).
57
Изложенный выше подход распространяется и на мно-
жественный регрессионный анализ, когда модель содер-
жит факторы во второй и выше степенях, а также их ли-
нейные XjXk и другие комбинации. Например, для модели
вида
У = Oq + аххх + а2х2 + а12ххх2 + auxf + а22х2
необходимо составить известным образом систему из л =
= 6 нормальных уравнений, в которых выполняется соот-
ветствие (подставляют вместо элементов системы):
Л|2	^з»	^-4>	^22	^5’
ХхХ2 Х2, Х\ Х^, Х2 Х3.
Другая форма проведения . нелинейного регрессион-
ного анализа заключается в применении предварительных
преобразований зависимости в линейную по параметрам.
К таким преобразованиям в первую очередь относится
логарифмирование, линеаризующее по параметрам муль-
типликативную, показательную (как частный случай —
экспоненциальную) зависимость. Будем рассматривать
пример парной зависимости, что не нарушает общности
рассуждений и распространения полученных результатов
на множественную нелинейную регрессию.
Пусть модель имеет вид у — а^', т. е. является не-
линейной по параметру. Для линеаризации осуществим
логарифмирование:
1пу — 1па0 + ах 1пх1э
что будет соответствовать линейной модели по параметрам!
у' = do 4- a'lXi, где у' = In у; do = In а0; d\ = ах, х[ — In xt.
Над данной линейной моделью можно выполнять все опе-
рации регрессионного анализа.
Для случая экспоненциальной зависимости вида у =
= exp (oq + ajXj) или у = «о ехр (цххх) операция логарифми-
рования дает соответственно линейные уравнения:
In у = а0 +	и In у = In а0 + а^.
Для первого уравнения имеем: у' = In у\ do = а0; d\ =*
= а,; хх = хп а для второго: у' = Inу; ао = lna0; d\ = ах',
Xi = Xj.
Как уже отмечалось, обратное преобразование позволя-
ет также линеаризовать некоторые зависимости. Так, если
модель имеет вид у — 1/(Оо + а1х1), то после обратного
58
преобразования получим линейное уравнение у' = а0 4-
+ ал, где У' — ^У- Возможны случаи применения лога-
рифмического и обратного преобразования. Например,
для зависимости у — [1 4- ехр (а0 + ajxj]-1 вначале
проделаем обратное преобразование y~l = 1 4- exp (а0 +
4- apj, или у~1 — 1 == ехр (Оо + а^), а затем лога-
рифмирование — 1п (г/-1 — 1) = Оо + арх. Здесь у' =
После вычисления на основании системы нормальных
уравнений коэффициентов ао и а{ выполняются обратные
преобразования, т. е. по ао и а[ определяются оценки ко-
эффициентов Оо и аг.
В табл. 2.1 приводятся наиболее часто встречаемые
нелинейные функциональные преобразования и линеари-
зующие преобразования их, позволяющие определить оцен-
ки коэффициентов на основе использования метода наи-
меньших квадратов.
При этом используется система нормальных уравнений
Л, Л, N	N
Nao 4- ai £ х'а = £ ус,
fc=l	1=1
a, N . Л, N	N ~	'
ао £ хп + ai 2 (xn)a = £ ytXi\,
Z=1	Z=1	i=l
решение которой дает оценки МНК для коэффициентов ао
и ai линеаризованной модели у' = ао + aix’i.
Необходимо учитывать, что при линеаризации модели
следует особо уделять внимание погрешности измерения
выходной величины (погрешности наблюдения).
Например, если предполагается, что модель имеет вид
у — ай ехр (OjXj), то ее легко можно линеаризовать, ис-
пользуя соотношения из строки №3 табл. 2.1. Если по-
грешность измерения выходной величины мультипликатив-
на, то измеренное значение
f/ = aoea<*«(l 4-80)	-	(2.16)
для любой точки поля корреляции. Погрешность изме-
рения носит случайный характер, так что М. [е0] = 0 и
D [е0] = 4.
Перепишем выражение (2.16):
у = аоехр (fljXj) 4- в,
где в = а0 ехр (а^) 80 = уе0; D [е] = а2 {М [У]}2, т. е. дис-
персия изменяется вместе с М [У] => у.
59
Таблица 2.1
№ п/п	Вид функциональной зависимости	Линеаризующее преобра- зование				Тип преобразо- вания
		переменных		параметров		
		У'		a0	«1	
1	у = аоах1	1g У *1 lg а0 1g				Логарифмиро- вание
2		1g У 1g *1 1g а0 «1				
3	у — аоеа‘*‘	In у Xj In aQ a±				
4	у = а^х'	In у 1/Xj In a„ at				
5	У = а0 + Ox/xi	У	l/xi «о	af				Подстановка
6	У = а» + «1-4	ST				
7	У = «о + ai1g	У Ig^i a0 ar				
8	У = 1/(а0 + atxj)	l/y xt a0	at				Гиперболи- ческий
9	У = */(л0 + аЛ)	xjy xt a0 at				
10	^ = a0/(“i+*i)	i/y	Xi Oi/a,, l/aa				
11	У = Mi/(ai + *1)	Uy \/Xi 1/йо аг/а0				
12	У = 1/(о0 +	Uy	«о «1				Гиперболи- ческий с под- становкой
Однако при переходе к линейной модели и наличии
погрешности измерения будем иметь
у' = а'а + ajxi + In (1 + в0).
В последнем слагаемом выделим некоторую постоянную
составляющую а0 = М [In (1 + в0)] и случайную состав-
ляющую 8, для которой М Ы = 0 и D [е] = а2. Тогда
у' “ (оо + »0) 4- aix[ + е и в результате получим сме-
60
щенную оценку коэффициента ао, если погрешность е0
была распределена нормально, то распределение s уже не
будет нормальным й наоборот.
Если же погрешность наблюдения выходной величины
аддитивна, то можно записать
У = ай exp (^xj + в0 = а0 exp [1 + г^у},
где kJ у = По-
При переходе к линейной модели и при аддитивной
погрешности наблюдения имеем:
у'= ао + a[xt + In (1 + n0).
Дисперсия In (1 + е0) изменяется вместе а М [Г] = у,
а так как у зависит от входной величины xlt то и в зави-
симости от значения хх.
Таким образом, если в первом случае (при мульти-
пликативной погрешности) переход к линейной модели путем
логарифмического преобразования стабилизирует погреш-
ность, а следовательно, и ее влияние на определение оце-
нок параметров модели, то во втором случае приводит к
тому, что дисперсия погрешности измерения выходной
величины становится зависящей от значения входной ве-
личины исследуемого объекта.
Преобразование исследуемой зависимости к линейному
виду имеет свой недостаток. Он заключается в том, что
оценки параметров а], полученные после линеаризации с
помощью метода наименьших квадратов, на самом деле
минимизируют не сумму квадратов отклонений yt от per-
А	ЛГ ~ Л
рессионной кривой yi, a S (y’i— У')2— сумму квадра-
тов отклонений преобразованных значений выходной ве-
личины от соответствующей регрессионной прямой у' =
« Оо + 01X1.
Остановимся на геометрическом смысле оценки МНК
в нелинейной регрессии. Совокупность функций-регрес-
сий f\ (a),	(а), ..., fn (а) задает отображение модели из
пространства Rm, где модель нелинейна, в пространство
Rn, модель линейна по параметрам. В результате в
пространстве Rn получаем некоторую поверхность F
(рис. 2.7). Кроме того в Rn задана точка у, отвечающая
выборке регрессии. Задача заключается в том, чтобы
на поверхности F найти точку, наименее удаленную от у.
61
rh
Рис. 2.7. Геометрический смысл оценки
метода наименьших квадратов в нели-
нейной регрессии
При этом сумма квадратов
отклонений ||t/ — у' Ц2 =
= S (#z —• уд2 будет мини-
мальной. Для нахождения
оценки МН К необходимо
совершить обратную опера-
цию: по найденному значе-
нию у' восстановить значение аргумента а'. Если в ли-
нейной регрессии оценка МНК является несмещенной, то
для оценки в МНК нелинейной регрессии это свойство не
соблюдается.
Рассмотрим простейшую нелинейную регрессию, для
которой математическая модель имеет вид у = Ре-
зультаты наблюдения выходной величины будут у{ — Уа0 4-
+ е,, где yi, (i = 1, N) независимы и одинаково распре-
делены по нормальному закону. Осуществим линеариза-
цию путем замены f (а) = V~a^ — do, а результаты наблюде-
ний представим в виде yi = do 4- е,. Для данного случая
Л W
получим ао = S yJN. Осуществив обратное преобразо-
£-1	f N - \
вание, найдем оценку МНК, равную Оо=1Ху?1/№.
Определим смещение оценки МНК для нелинейной рег-
рессии. Для этого определим
* Г" -	1	1 I N	N ~ -
М [а0] = М J y*lN* = ’ 2 М [$ + J М [у(У1]
J U=1	w
Рассмотрим отдельно слагаемые
М [у2] = М l(]/a^ + е,)2] = М [а0 4- 2 Ко?8,4-8?]= а04-
где а2 — дисперсия измерения выходной величины
М 1У(У/\ = м [(/а^ 4- е,)	4- 8/)] = а0.
Подставим в выражение (2.17)
М [о0] = N~2 [N (а„ 4- а2) 4- а0 (N2 - N)] = а0 4- ст2/М.
Таким образом, смещение оценки МНК нелинейной рег-
рессии, найденной путем линеаризации модели для рас-
62
сматрйваемого случая, определится как М [а0] — а =
== ct2/7V и будет отличным от нуля, как для случая линей-
ной модели.
Поэтому, когда требуется особенно точное приближе-
ние истинной регрессионной зависимости, то в некоторых
случаях корректируют значения aj, т. е. пытаются найти
такие оценки а/ параметров а], которые бы минимизирова-
ли сумму квадратов соответствующих отклонений для ис-
ходных переменных. Подсчет уточненных оценок следует
производить путем решения видоизмененной системы урав-
нений, а именно [3]:
д Г V / 1 Y	Т
iV7- Ц“(7г)	=0’
dai [SV /	J
где (#<)' — производная функции линеаризующего преоб-
разования по исходной функции t/i, являющейся аргу-
ментом. Во многих случаях введение таких весовых мно-
жителей под знак суммы позволяет снижать среднюю квад-
ратическую погрешность аппроксимации опытных данных
уравнением регрессии в два и более раза.
Как уже указывалось, аппроксимация зависимости
п
нелинейным полиномом вида у = а0 + Sa/х/ имеет огра-
ничения из-за влияния погрешностей округления при уве-
личении степени п. Кроме того, при каждом повышении
степени полинома приходится вычислять не только коэф-
фициент вновь введенного слагаемого, но и пересчитывать
все остальные коэффициенты. Избежать данного недо-
статка позволяет аппроксимация зависимости полиномом
Чебышева [20]. Сущность такой аппроксимации заключа-
ется в том, что многочлен отыскивается не просто в виде
суммы степеней х, а в виде комбинации многочленов, ко-
торые выбираются специальным образом. При этом иско-
мый многочлен для случая парной регрессии запишется
в виде
г/ = аофо(х) +«!<₽!(х) + ... 4-а„<р„(х) ]
(коэффициенты а/ отличаются от коэффициентов a,; j =
= 0, п).
В соответствии с методом наименьших квадратов не-
обходимо минимизировать функцию
N -
Q = S (У( — 1аоФо (*) + ai<Pi W + ♦ • • + “Л (*)}2-
i=i
63
Выполнение условия минимизации приведет к системе
нормальных уравнений
Л N	Л N “0 У (Фо (Xi)]2 + «1 S Фо (Xi) Ф1 (х{) 4- • • • f=I	f=l a N	N ~ * • • + а„ £ ф0 (х£) ф„ (х{) =	^ф0 (xt); i=l	(=1 a N	A N ао S %	+ ai S [(Pi	+ • • • 1=1 a N	N ~ • • • + «п S fl (Xi) Фп (Xt) = 2 1//Ф1 (Xi); i=l	Z=1	(2-17)
A N	A N «0 S f 0 (Xi) Фп (Xi) + «1 2 Ф1 (Xt) <pn (xt) 4- • • • i=l • • • + a„ £ (Ф„ (xt)]2 = £ ^ф„ (xr), /=1	i=l	
на основании которой можно определить оценки МН К
коэффициентов (параметров) а/, (j = 0, п). Однако, как
уже было показано, полученные непосредственно из дан-
ной системы оценки коэффициентов будут взаимосвязан-
ными и процедура отыскания их становится трудоемкой.
Многочлены <p0 (х), q>j (х). <р„	(х) выбираются таким
образом, чтобы система (2.17) значительно упростилась.
Известно, что система нормальных уравнений упростит-
ся, если данные полиномы будут ортогональными, т. е.
необходимо, чтобы многочлены удовлетворяли условию
N
S Ф/ (Xi) фл (*») = 0, /V k;
N	____
£ (ф/(^)12¥=0,	/ = 0, п.
t-i
(2.18)
Последнее из соотношений обозначает, что хотя бы в
одной из точек xj, i = 1, N многочлен ф/ (х) не равен нулю.
Понятию ортогональности соответствует понятие перпен-
дикулярности векторов на плоскости в многомерном про-
странстве. При выполнении условия (2.18) в левой части
системы нормальных уравнений остаются лишь члены,
расположенные на главной диагонали вида а,- 2 1ф/ to)l2;
64
f = 0, n. Это позволяет записать'выражения для нахожде-
ния оценок коэффициентов:
Л	_	N	____
“/ = S (ХМ% [(Р/ (-М12. / = °’ п-
;=1	4=1
Данные оценки находятся независимо друг от друга и
позволяют непосредственно оценить вклад каждого вновь
введенного слагаемого на точность аппроксимации.
.Используя соотношение (2.18), получим явные выраже-
ния для ортогональных полиномов. Будем «наращивать»
степень полинома поэтапно. Начнем с того, что поле
корреляции аппроксимируется полиномом первой степени
# = <M>o(x) + oVP(x).
N
Условие ортогональности S Фо (х;) Ф1 (х3 = По-
скольку фо (х), как и фиктивная переменная в линейной ре-
грессии, стоит возле свободного члена а0, то^ф0 (х) = 1
. и условие ортогональности перепишется в виде S Ф1 (xi) —
= 0. Полином первой степени является линейной функ-
цией хз
Фх (х) = х + Ci.
N
Следовательно, у, (х; + ед) =* 0, отсюда
f=l
N	-
S xf 4- Ncx = 0 или q = —x.
Z=1
Для построения многочлена <p2 (x) будем исходить из
условий^
N	N
S Фо (Xi) Ф2 (xi) = 0 и S Фл (х() ф2 (х{) = 0.	(2.19)
i-i	i=i
При этом старший коэффициент в многочлене ф2 (х)
равен единице и этот многочлен можно записать в виде
Ф2 (х) = (х + 62) фл (х) + й2ф0 (х).
Подставим ф2 (х) в систему (2.17) и о учетом ф0 (х) = 1
получим
N	'	N	.
S Х*Ф1 (xi) + s Ф1 (Xi) + Ndz = 0;
i=i	i—i
N	N	N
s Xi (Ф1 (X,)]2 + bz 2 (Ф1 (xt)]2 + dz 2 Ф1 (Xi) = o.
t=l	t=l	4=1
Б 6—1881	65
Приняв во внимание ранее полученное условие орто-
N
тональности £ ф1(х£) = 0, имеем:
N
Ё xt<p1(xf)-]-Md2 = 0;
6=1
N	N
Ё Xt [Ф1 (х()]2 + Ь2 Ё [Фх (х()]2 = 0.
(=1	i=l
Решая данную систему, получим
N
— X *H<Pi («z)]2	N
^2 = N	’ ^2 = ~“ X *<Фх (X()IN.
Ё 1Ф1	1-1
£=1
Можно проделать аналогичную процедуру для нахо-
ждения функций фз (х), ф4 (х) и т. д. Ниже приводится рекур-
рентное соотношение [3, 16], позволяющее построить любой
последующий многочлен, если известны два предыдущих:
Фт+l (х) = (X + fem+l) фт (х) +	(х);
N	N
X Х1 ]фт	X х«Фт-1 <**) Фт <**)
b/n-f-t= “  n	» ^4-1 =	д/	•
Ё [Фт (*/)12	Ё 1Фт-1<х«)Г
i=l	f=l
Следовательно, если полученное уравнение регрессии
неадекватно описывает поведение объекта, то для увеличе-
ния порядка аппроксимирующей кривой понадобится вы-
числить лишь оценку ат+) для вновь вводимой функции
фш+1 (х), в то время как оценки ранее вычисленных ко-
эффициентов останутся прежними. Прибавляя так новое
слагаемое (повышая степень аппроксимирующего полинома),
можно наблюдать, как убывает остаточная дисперсия. Таким
образом, облегчается и процесс выбора степени многочлена.
ГЛАВА 3
АКТИВНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПЛАНЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Активный эксперимент, в отличие от пассивного, заклю-
чается не в простом фиксировании входных и выходных
величин с последующей их статистической обработкой,
а в активном вмешательстве в течение процесса или актив-
66
1
ном воздействии на объект по заранее выбранному плану.
План эксперимента предусматривает условие и число про-
ведения опытов и, главным образом, определяет точность
полученной в результате эксперимента математической
модели. Математическая модель получается на основании
проведения регрессионного анализа.
Для реализации активного эксперимента необходимо
выполнять следующие условия:
результаты наблюдений уъ у2, ...» уы должны пред-
ставлять собой независимые, нормально распределенные
случайные величины;
случайные помехи е/ на выходе объекта в каждом Лом
опыте должны быть независимыми друг от друга, а также
от значения входных переменных х/ и коэффициентов урав-
нения регрессии а/ (J — 1, п);
дисперсии наблюдения выходной величины должны
быть равны друг другу (выборочные оценки S2 {yi} одно-
родны) или, другими словами, если производить многократ-
ные повторные наблюдения над величиной yi при некотором
определенном наборе значений хл, хп, ..., xin, то ди-
сперсия о2 {yi} не должна отличаться от дисперсии о2 {ук},
полученной при повторных наблюдениях для любого дру-
гого набора значений независимых переменных хи, хи ,...
• • • > Xktl 9	'
независимые переменные х19 х2, хп должны измерять-
ся с пренебрежимо малой погрешностью по сравнению в
определении у.
Данные условия предполагают, что между входными
и выходной величинами существует функциональная связь
и целью эксперимента является определение оценок пара-
метров, которые будут отличаться от их математического
ожидания из-за наличия погрешностей измерения выход-
ной величины или же из-за влияния неучтенных неуправ-
ляемых факторов.
3.1.	Полный факторный эксперимент
В факторных экспериментах в отличие от классических
происходит одновременное варьирование всеми незави-
симыми переменными. Эксперимент, в результате которого
все независимые переменные варьируются на всех выбран-
ных уровнях, называется полным факторным экспериментом
(ПФЭ). Количество опытов при ПФЭ подсчитывается так [2J:
ЛГ = kn,
где k — количество уровней, п — число факторов.
5* х	67
Если эксперименты проводятся только на двух уровнях
(при двух значениях факторов) и в эксперименте осуществ-
ляются все возможные комбинации из п факторов, то по-
становка опытов по такому плану носит название полного
факторного эксперимента типа 2".
Ввиду того что факторы различны по физической при-
роде и изменяются в различных динамических диапазонах,
для дальнейшей формализации процесса анализа и неза-
висимости полученных результатов от изменения масшта-
ба входных величин факторы предварительно кодируют.
Для этой цели используют соотношение
_ Х/-Х/ср	Х/-Х/ср
*/	Y ____ Y	Y ___ V	>
Л/тах /ср	/ср /min
где Xjcp = (X/ max + X/min)/2; Xj max» X/min — гранич-
ные значения варьирования независимыми переменными,
которые или заданы или выбираются экспериментатором
самостоятельно на основании априорной информации об
объекте.
Таким образом, операция кодирования независимых
переменных заключается в переносе центра координат
в точку Х/ср, называемую в дальнейшем центром плана
эксперимента.
В кодированной системе на основании выражения (3.1)
будут соблюдаться соответствия;
Xj min -X] = —1; Хуср —= 0; Х/max-= 1.
В дальнейшем будут использоваться кодированные пере-
менные.
В случае парной зависимости для определения линии
регрессии достаточно провести два опыта при граничных
значениях фактора хх, т. е. план эксперимента имеет вид
Х = |—1; -4-11*. Если число входных величин две —
хх и х2, т. е. реализуется двухфакторный эксперимент, то
для построения матрицы плана полного факторного экс-
перимента, позволяющего оценить коэффициенты модели
у = Оо +	4- ц2х2, необходимо пользоваться следую-
щим правилом; при добавлении нового фактора каждая
комбинация уровней исходного плана встречается два-
жды — в сочетании с нижним (—1) и верхним (+1) уровнями
нового фактора. Иными словами, матрицу исходного плана
(однофакторного эксперимента) необходимо повторить
дважды — при нижнем уровне (х2 = —1) и верхнем уров-
не (х2 = +1) добавленного фактора. Исходя из этого пра-
вила можно построить и матрицу плана и трехфакторного
68
эксперимента. В табл. 3.1 показано
поэтапное построение матриц плана по
мере увеличения числа факторов в мо-
дели. Если рассмотреть матрицу пла-
на двухфакторного эксперимента, по-
строенную по изложенному выше
правилу, то видно, что в ней присут-
ствуют все N = 22 = 4 сочетания фак-
торов хг и х2: «—» и «—»; «+» и «—»;
«—» и «+»; «+» и «+». Геометричес-
ки план такого эксперимента интер-
Рис. 3.1. Расположение
точек при ПФЭ 2п в фак-
торной плоскости
претируется точками, расположенными в вершинах квадрата
(рис. 3.1).
Построенная таким образом матрица обладает рядом
ценных свойств:
1) ортогональности, которое обеспечивает независимость
оценок коэффициентов модели
N	___
j%ik= 0; / k\ j = 1, п,
где /, k = 1, п — номера вектор-столбцов соответствую-
щих факторов; i — текущая точка факторного простран-
ства, в которой производится эксперимент; иными словами,
данное свойство можно сформулировать так: скалярное
произведение вектор-столбцов матрицы планирования рав-
но нулю;
2) симметричности, которое обеспечивает независимость
свободного члена
N	____
—	/ = 1, п,
т. е. сумма элементов вектор-столбцов х/ равна нулю, точ-
ки, в которых проводятся опыты, расположены симметрич-
но по отношению к центру плана;	х
Таблица 3.1
Кв п/п	xi	xi	х8	№ п/п	Хх	*2	
1	—1	—1	—1	5	—1	— 1	+1
2	+1	—1	—1	6	4-1	— 1	—1
3	—1	+1	—1	7	—1	' +1	—1
4	+1	+1	—1	8	4-1	4-1	—1
.69
3) нормировки, обеспечивающее одинаковую дисперсию
оценки коэффициентов,
N
£4 = М
последнее равенство вытекает из того, что кодированные
факторы принимают только значение ±1.
Расчет и статистическая оценка коэффициентов урав-
нения регрессии, полученного на основании плана ПФЭ,
основаны как и при пассивном эксперименте, на примене-
нии регрессионного^ анализа. Ввиду того что матрица
плана обладает свойством ортогональности, все расчеты
чрезвычайно упрощаются. Это обусловлено тем, что кова-
риационная матрица С~1 в выражении для определения
оценок коэффициентов
А = C-1XV
оказывается диагональной, что приводит к системе незави-
симых оценок коэффициентов уравнения регрессии
A N -N	---
«/= S ХЧУ^ ХИ> /= 1, п-	(3.2)
i=i i=i
Каждый коэффициент рассчитывается независимо от
других, причем общее число коэффициентов не должно
превышать числа уравнений, из которых они определялись,
а это число совпадает с числом строк матрицы планирова-
ния, определяемого соотношением N — 2".
В соответствии со свойством нормировки матрицы плана
полного факторного эксперимента выражение для опреде-
ления оценки коэффициента уравнения регрессии при двух-
уровневом эксперименте окончательно запишется в виде
Л N
а/ = Ё XifyjN.	(3.3)
i=i
Так, если в соответствии с матрицей плана двухфак-,
торного эксперимента были получены выходные величины
К = |{/1» Уз, Уз', У*\‘, то оценки коэффициентов при фак-
торах запишутся так:
Дх = v ( “ У1 + Уз — Уз + У^'
= -J- (— У1 — Уз + Уз +У^,
т. е. значение у{, полученное в результате проведения опы-
та в i’-й точке факторного пространства (в соответствии с
70
Таблица 3.2
№ п/п	Хо		X*	Х1 Х2	
1	+1	—1	—1	+1	
2	+1	+1	—1	—1	У2
3	+1	—1	+1	—1	Уз
4	+1		+1	+1	У*
i-й строкой матрицы плана), берется со знаком, соответ-
ствующим знаку уровня варьирования /-го фактора, ко-
эффициент при котором вычисляется для данной :-й строки
матрицы планирования. Так,
ХцУ! = (— 1) Уй х21у2 = (+ 1) у2; х31у3 == (— 1) у3 и т. д.
Если в каждой точке факторного пространства опыт
проводится параллельно т раз, то выражение (3.3) видо-
изменится:
A n _
а/ = S x4VilN>	(3-4)
*=1
m ~
где У( = S yuJtn — «среднее построчное» значение выход-
fc=i
ной величины объекта в t-й строке матрицы плана.
Для определения оценки коэффициента а,, необходимо
матрицу плана дополнить вектор-столбцом фиктивной пе-
ременной х0, тождественно равной единице, как это пока-
зано в табл. 3.2.
Врйду того что вектор-столбцы матрицы плана облада-
ют условием симметричности, то
N	N	____
S Х{/Хю = S хц = 0; / = 1, п.
i=\	f=i
Следовательно, вектор-столбец фиктивной переменно!»
будет ортогональным вектор-столбцам независимых пере-
менных, и поэтому оценка свободного члена будет опреде-
ляться независимо от оценок а, в соответствии с выражени-
ем (3.3):
A N	N _
ао = £	Xi.yjN	=	У yjN.
'=i	<=1
Если модель содержит	линейные парные взаимодей-
ствия факторов Х/ХА, то для определения оценок коэффи-
71
циентов при них матрица плана дополняется вектор-столб-
цом для взаимодействия. Причем чередование знаков в
этом вектор-столбце получают путем перемножения знаков
входящих в него вектор-столбцов Xj и хк. В табл. 3.2 дан-
ная процедура проведена для определения оценки коэф-
фициента а12 при взаимодействии ххх2. Полученный таким
образом вектор-столбец будет обладать тремя перечислен-
ными выше свойствами матрицы планирования — ортого-
нальности, симметричности и нормировки. Следовательно,
оценка коэффициента при линейном взаимодействии на-
ходится независимо на основании того же выражения (3.3):
, N	N
aik = 2 (XjXk)JN = 2 XjiXkdN.
i=i	i=\
Найденные таким образом оценки коэффициентов мо-
дели показывают степень влияния факторов и их взаимо-
действия на выходную величину. Если перед коэффици-
ентом стоит знак плюс, то с увеличением данного фактора
выходная величина увеличивается, а если стоит знак минус,
то наоборот.
Регрессионный анализ исходит из предпосылки о слу-
чайности погрешностей, которые накладываются на вход-
ные и выходные величины. Однако, если проводить опыты
в том порядке, в каком следуют строки матрицы планирова-
ния, построенной в соответствии 'с правилом (тем более
для случая проведения серии параллельных опытов в
каждой точке факторного пространства), то чем больший
порядковый номер фактора, тем при большем числе опытов
его уровень не изменяется. Для самого «старшего» фактора
п его уровень остается неизменным (зафиксированным)
в течение N/2 опытов. При этом реализация случайной
погрешности задания факторов будет зафиксирована и
становится систематической.
Таким образом, в течение большого числа опытов фак-
тор, например х„, будет задан с систематической погреш-
ностью, что приведет к смещению оценок коэффициентов.
Известно, что случайность величины проявляется во мно-
жестве ее выборок. Поэтому, чтобы оставить только слу-
чайную погрешность в установке уровней факторов с
нулевым математическим ожиданием, все опыты осуществ-
ляют в случайном порядке — производят рандомизацию
эксперимента. Рандомизация заключается в проведении
опытов в случайном порядке. В заключение следует
заметить, что возможны случаи, когда рандомизацию осу-
ществить нельзя. Это бывает в тех случаях, когда после-
довательность условий проведения опытов является опре-
72
деленным параметром. Например, испытание катушки
индуктивности с железным сердечником, когда форма пет-
ли гистерезиса зависит от предыдущей рабочей точки.
3.2. Обработка результатов эксперимента
Основной целью регрессионного анализа является полу-
чение по результатам активного эксперимента модели,
адекватно описывающей поведение исследуемого объекта.
Проведение эксперимента должно строго соответство-
вать выбранному случайному порядку. Установка уровней
факторов Xj должна происходить в соответствии с теоре-
тическими предпосылками регрессионного анализа и быть
возможно более точной. Регистрация результатов изме-
рения выхода Y должна соответствовать реально обеспе-
чиваемой в опыте точности измерения. Если нет уверен-
ности, что условия проведения опытов остаются постоян-
ными, то опыты в каждой точке факторного пространства
дублируются (проводится серия опытов). Предположим, что в
каждой точке факторного пространства, которой соответ-
ствует одна из строк матрицы планирования, проводится
серия из т опытов. Для любой i-й точки вычисляется сред-
нее значение выходной величины
и построчную дисперсию выходной величины (точнее ее
оценку):
т
и==1
Найденные таким образом построчные дисперсии исполь-
зуются для проверки воспроизводимости опытов, заклю-
чающейся в проверке однородности построчных диспер-
сий — одной из основных предпосылок множественного
регрессионного анализа.
В дальнейшем будем рассматривать этапы обработки
результатов эксперимента на примере двухфакторного
эксперимента, реализация которого дала следующие зна-
чения выходной величины (табл. 3.3).
Определим среднее значение выходной величины yt
в каждой точке (для каждой строки т = 3);
уг = (43 4- 35 + 48)/3 = 42;
у2 = (90 4- 86 4- 96)/3 = 90;
73
Таблица 3. 3
№ п/п	*0	*1	Xt	xi х9	Vu	У21		"vt	S’ {»/}
1	4-1	—1	—1	4-1	43	35	48	42	43
2	4-1	4-1	—1	-1	90	86	94	90	16
3	4-1	—1	4-1	—1	10	16	.16	14	12
4	4-1	4-1	4-1	4-1	56	54	58	56	4
j/3 = (10 4-16-f-16)/3 = 14;
у4 = (56 + 54 + 58)/3 = 56,
а также построчную дисперсию выходной величины
S2 {t/J = [(43 — 42)2 + (35 — 42)а 4- (48 — 42)2]/2 = 43;
S2 {у*} = [(90 — 90)2 + (86 — 90)2 4- (94 — 90)2]/2 = 16;
S2 {г/3} = [(10 — 14)2 + (16 — 14)2 4- (16 — 14)2}/2 = 12;
S2 {yj = [(56 — 56)2 4- (54 — 56)2 4- (58 — 56)2]/2 = 4.
Полученные результаты внесены в табл. 3.3.
Среди всей совокупности рассчитанных построчных
дисперсий выбирается максимальная S2 {г/ijmax и берется
отношение данной дисперсии к сумме всех построчных
дисперсий S2 {yt}, т. е. определяют расчетное значение
коэффициента Кохрэна
N
Gv = &{y^ft&{yt},
который показывает, какую долю в общей сумме построч-
ных дисперсий занимает максимальная из них — эта доля
взята как мера различия между дисперсиями. В случае
идеальной однородности построчных дисперсий коэффи-
циент Gp стремился бы к значению UN. Расчетное значе-
ние коэффициента Кохрэна сравнивается с табличным
(критическим) значением G-критерия, которое выбирается
из таблиц для принятого уровня значимости а и для чисел
Степени свободы соответственно числителя fx и знаменате-
ля /2:
Л = /п-1; f2 = JV.
Для этого значение /х находится в горизонтальном за-
головке таблицы (выбирается столбец), а /2 выбирается сле-
ва в вертикальном заголовке таблицы (выбирается строка)
и на пересечении получаем табличное значение GT коэф-
фициента Кохрэна. Если выполняется условие
GP<G«	(3.5)
74
то с выбранным уровнем статистической значимости а
(с достоверностью 1 — а) все построчные дисперсии при-
знаются однородными. В противном случае следует отверг-
нуть гипотезу об однородности построчных дисперсий,
что является нарушением одной из главных предпосылок
регрессионного анализа — дальнейшая статистическая об-
работка результатов эксперимента не имеет смысла. При
создании такой ситуации необходимо увеличить число
параллельных опытов или провести эксперимент заново,
обратив особое внимание на правильность и точность
установки уровней входных факторов, а также применить
более точные приборы или методы измерения.
По данным табл. 3.3 максимальная построчная диспер-
сия была получена в первом опыте. Определим расчетное
значение коэффициента
Gp = 43/(43 + 16 + 12 4-4) = 0,57.
В соответствии с таблицей, приведенной в приложении
(П.1) для а = 0,05; Л = 3 — 1 = 2 и/2 = 4, находим С, =
= 0,77; Ст>6р, т. е. условие (3.5) выполняется.
Убедившись в однородности, переходят к определению
оценок коэффициентов по формуле
л	N _
a-k =	£ yikXiiJN,
।	z=i
где k — номер вектор-столбца.
Для этого воспользуемся табл. 3.3. Получим;
а0 = (42 + 90 + 14 4- 56)/4 = 50,5;
^ = (-^-42 4-90—14 4-56)/4 = 22,5;
а2 = (— 42 — 90 4- 14 4- 56)/4 = — 15,5;
а12 = (42 — 90 — 14 4- 58)/4 = 1,5.
Найденные таким образом коэффициенты уравнения
регрессии необходимо оценить на статистическую значи-
мость. Оценка производится по /-критерию Стьюдента.
Для каждого коэффициента ak вычисляется коэффициент
/ = |аА— aft|/S {а*},
т. е. проверяется отклонение от нуля найденной оценки
коэффициента ак. Здесь S {а*} — оценка среднего квад-
ратического отклонения погрешности определения ко-
эффициента.
75
Оценка дисперсии коэффициентов, найденных по экс-
периментальным данным:
S2 {а*} = S2 U- Ё XikyX = -Jyr-S2 |Ё XikyX .
I i=l J	U=1 J
Примем во внимание, что Xtk во всех опытах в кодиро-
ванном виде принимают значения 4-1 или —1, поэтому для
случая независимых случайных величин, х^ знак под
знаком суммы не влияет на результат. Кроме того, извест-
но, что дисперсия среднего yi в т раз меньше дисперсии
одного измерения (/и — кратность проведения опытов), т. е.
__	I	,	т _	_
зчй)=$> ым=4- •
На основании вышеизложенного и с учетом однород-
ности построчных дисперсий можно записать
л	1	1 N т ~	_
S* (<М = тит • -<яг=тг S 2
'	1=1 и=1
Оценка генеральной дисперсии воспроизводимости Sb»
характеризующей точность (усредненную) одного измере-
ния, является средняя из всех построчных дисперсий
N
52в= S S*{y(}/N,
1=1
или
N т ~	_
£=lu=sl
А
Следовательно, оценку дисперсии коэффициента ак
можно записать в виде
S2 {ak) = Sl’/N » т.	(3.6)
В некоторых случаях, когда есть уверенность, что дис-
персии однородны, оценкой дисперсии воспроизводимости
может служить одна из построчных дисперсий или же
оценка дисперсии для любой точки факторного простран-
ства (чаще всего это бывает центр плана).
Когда число параллельных опытов в каждой точке фак-
торного пространства различно, при усреднении однород-
ных дисперсий для определения оценки дисперсии воспро-
изводимости пользуются средневзвешенным значением дис-
персий, взятых с учетом степеней свободы
/ N	\ N
5в= 2 52{^}А/ЕЛ,
\i=i	/ <«=i
70
где ft —mi — 1 — число степеней свободы в i-м опыте;
иц — число параллельных опытов.
Сущность /-критерия Стьюдента проверки статистиче-
ской значимости найденных оценок коэффициентов заклю-
чается в следующем. Изменение выходной величины за-
висит от влияния k-ro члена аппроксимирующего полино-
ма и неуправляемых и неконтролируемых факторов.
Влияние k-ro фактора, отклонение оценки k-ro коэф-
фициента от нуля учитывается коэффициентом
4==|а*|/5{а*},
влияние же неуправляемых или неконтролируемых фак-
торов, а также погрешности измерения выходной величины
может быть учтено при помощи дисперсии воспроизводи-
мости Sb, имеющей N (т — 1) степеней свободы (N степе-
ней свободы «потеряно» на вычисление построчных сред-
них). При выбранном уровне статистической значимости
а по таблицам распределения Стьюдента при числе степе-
ней свободы f = N (m — 1) находят табличное значение
коэффициента /табЛ. Найденное табличное значение сравни-
вается с расчетным значением коэффициента. Если выпол-
няется неравенство
/табл /ft»	(3.7)
то принимается нуль-гипотеза, т. е. с принятым уровнем
статистической значимости а (статистической достоверно-
стью 1 — а) и числе степеней свободы / считается, что
найденный коэффициент ак является статистически незна-
чительным и его следует исключить из уравнения ре-
грессии.
Таким образом, при выполнении условия (3.7) нельзя
определить (в 100 — а случаях), чем вызвано изменение
выходной величины: влиянием fe-го члена уравнения регрес-
сии или влиянием неучтенных факторов и наличием слу-
чайной погрешности измерения выходной величины.
Для рассматриваемого примера оценка дисперсии вос-
производимости как оценка усредненных построчных дис-
персий в соответствии с табл. 3.3 будет
N
$в = S S2 {y(}/N = (43 + 16 + 12 4- 4)/4 = 18,75.
Как уже отмечалось, ввиду свойства нормировки оцен-
ки коэффициентов будут найдены с одинаковой дисперси-
ей, т. е.
S2 {ak} = SllNm = 18,75/4.3 = 1,56.
77
Тогда
S {ак] = 1,25.
Определим расчетное значение коэффициента Стьюдента
tk для найденных оценок коэффициентов ак:
t0 = | а0 |/S {ак} = 50,5/1,25 = 40,4.
Аналогично получим
t]_ = 22,5/1,25 = 18; /2 = 15,5/1,25 = 12,4; /12 = 1,5/1,25 =
= 1,2.
Из таблиц приложения П. 2 и при уровне статистиче-
ской значимости d = 5 % и числе степеней свободы f =
— N (т — 1) = 4 (3 — 1) = 8 определим табличное зна-
чение коэффициента. Оно равно /т = 2,3. Сопоставим рас-
четные значения tk с табличным /т. Неравенство (3.7) вы-
полняется для /12. Следовательно, можно предположить,
что коэффициент а12 статистически незначим и его можно
исключить из уравнения регрессии — в рассматриваемом
случае (для данного объекта) влияние парного взаимодей-
ствия отсутствует или оно незначительно.
Однако перед тем как принять гипотезу ак = 0 необходи-
мо убедиться в правильности поставленного эксперимента.
Может оказаться, что выбор диапазона варьирования не-
зависимой переменной (Х*тах — Xjmin) мал, а суммарная
случайная помеха, наложенная на выходную величину
объекта, велика. Это также может привести к статистиче-
ской незначимости коэффициента. Убедившись, что с этой
точки зрения эксперимент проведен правильно (взять бо-
лее точное измерительное устройство, увеличить число
параллельных опытов), можно ак коэффициент исключить
из уравнения регрессии. Так как полный факторный экс-
перимент обладает свойством ортогональности, то исклю-
чение данного коэффициента из уравнения регрессии не
повлияет на найденные оценки других коэффициентов.
Таким образом, уравнение регрессии исследуемого
объекта, содержащее статистически значимые коэффици-
енты, будет (в кодированной системе)
у = 50,5 + 22,5*! — 15,5х2.
Для каждого коэффициента ак можно найти довери-
тельный интервал, в который должен попасть истинный
генеральный коэффициент ак с принятым уровнем зна-
78
чимости, для чего применяют формулу
ак — tjS {ak} < ak < ak -f- trS {ak}.
Таким образом, истинные значения коэффициентов
модели будут находиться в пределах
47,6 <а0< 53,4; 19,6 <аг< 25,4;
—12,6 >а2>—18,4.
Полученное уравнение регрессии необходимо проверить
на адекватность исследуемому объекту, т. е. установить,
насколько хорошо оно аппроксимирует полученные экс-
периментальные данные. Для этой цели необходимо оце-
нить, насколько отличаются средние значений У1 выходной
величины, полученной в точках факторного пространства
в результате проведения опытов, и значения Уь получен-
ного из уравнения регрессии в тех же точках факторного
пространства.
Для этого вычисляют остаточную дисперсию, которую
чаще всего называют дисперсией адекватности-
N
= §,(»-»<)’• (3'8)
где т — число параллельных опытов в i-й точке фактор-
ного пространства; I — число определенных в результате
проведения N опытов, значимых коэффициентов.
Если число паралельных опытов различно, то оценка
дисперсии адекватности находится из выражения
,	1 w _
f=l Ц=1
Отличие Зад от нуля объясняется, в общем случае,
двумя причинами: действительно неадекватностью урав-
нения регрессии физическому объекту (неправильно^вы;
бран аппроксимирующий полином) и наличием случайной
погрешности восприятия, характеризуемой Зе-
Если модель адекватна, то оценка дисперсии адекват-
ности, как и оценка дисперсии воспроизводим00™» зави-
сят только от погрешности восприятия выходной величи-
чины, обусловленной суммарной помехой, И в пределе
будут одинаковыми. Поэтому адекватность полученной мо-
дели проверяют путем сравнения оценок двух дисперсий
5ад и Зв и F-критерию Фишера
Fp = Зад/Зв.
79
Найденное расчетным путем Fp сравнивают с табличным
значением Гт, которое определяется при уровне статис-
тической значимости а и числе степеней свободы /ад =
= N — I и fB~N(m — 1), выбранными в горизонталь-
ном и вертикальном заголовках таблицы, соответственно.
Если
FP<F„	(3.9)
то полученная математическая модель с принятым уров-
нем статистической значимости а адекватна эксперимен-
тальным данным и ее можно использовать для дальнейших
исследований.
Возвратимся к рассматриваемому примеру. Было полу-
чено уточненное уравнение регрессии у = 50,5 + 22,5хх —
— 15,5х2. Определим для полученной модели оценку
дисперсии адекватности. Вначале вычислим значение yt,
соответствующее строкам матрицы плана!
уг = 50,5 + 22,5 • (— 1) — 15,5 • (— 1) = 43,5;
у2 = 50,5 + 22,5 . (+ 1) — 15,5 (— 1) = 88,5;
& = 50,5 + 22,5 • (—!) — 15,5 (+ 1) = 12,5;
ул = 50,5 + 22,5 •(+!)— 15,5 (+ 1) = 57,5
Рассчитаем в соответствии g (3.8) оценку дисперсии
адекватности!
SIa = 3 f(42 — 43,5)а + (90 — 88,5)а + (14 — 12,5)3 +
+ (56 — 57,5)а1/(4 — 3) = 27.
Полученное значение оценки дисперсии адекватности
Зад = 27 разделим на оценку дисперсии воспроизводи-
мости 31 = 18,75 и получим расчетное значение коэф-
фициента Фишера Гр = 27/18,75 = 1,44.
Табличное значение коэффициента Фишера (см. п. 3)
при уровне статистической значимости а = 0,05 и числе
степеней свободы /ад = (4 — 3) = 1 и /в = N (т — 1) =
= 4 (3 — 1) = 8 будет Гт = 5,32. Следовательно, при
выбранном уровне статистической значимости а = 0,05
полученная в результате эксперимента у = 50,5 4- 22,5хх —
—15,5 ха адекватна исследуемому объекту. Следует
заметить, что данная модель представлена в кодированной
системе координат. Чтобы получить ее в естественной сис-
80
x=-f x^o Xf=f1 л
Рис. 3.2. К проверке адекват-
ности линейной модели при
проведении серии опытов в
центре плана
теме, необходимо использовать фор- К
мулы перехода (3.1).
На практике часто оказывается,
что линейное уравнение регрессии,
адекватно описывающее опытные
данные, которые были поставлены
в точках факторного пространства,
соответствующих строкам матрицы
плана, неудовлетворительно харак-
теризуют внутреннюю часть изучае-
мой области факторного пространства. На рис. 3.2 показан
случай парной зависимости, когда опытные и расчетные дан-
ные в точках, где проводился эксперимент (в кодирован-
ной системе хп = —1 и х21 = 1), совпадают, однако внут-
ри поля корреляции наблюдаются большие отклонения
между регрессионной и реальной зависимостями.
Для повышения надежности проверки адекватности
модели часто ставят дополнительную серию параллельных
опытов в базовой точке xf = 0, / — 1, п. Тогда число точек
факторного пространства, по которым оценивается адек-
ватность уравнения регрессии, увеличивается на одну и
оказывается равным N 4- 1, т. е. увеличивается на едини-
цу и число степеней свободы /ад, что увеличивает статисти-
ческую надежность принимаемого решения. Однако ба-
зовая точка не учитывается в расчете коэффициентов урав-
нения регрессии. Значение выходной величины в центре
плана должно быть соизмеримо (в пределах дисперсии вос-
производимости) со свободным членом уравнения регрес-
сии, т. е.
где 6 — наперед заданные значения, зависящие от Sb.
В случае нарушения этого неравенства для математи-
ческого описания рассматриваемой области факторного про-
странства потребуется уравнение более высокого порядка.
Рассмотрим еще один пример построения математичес-
кой модели по результатам эксперимента. Предположим,
что на объект воздействуют три фактора
Xi min = 4; Xi щах = 8;
Х2 min = Ю» Х2 max — 12j
Хз min =12; Х3 max = 28,
связанные с выходной величиной следующей зависимостью?
=	+ Л^ 4- Л2Х2 4* Л3Х3 4~ Л12Х1Х2 4- Л13ХхХ3 4-
4“ Л23Х2Х3 4~ Л123Х1ХаХ3.
в в-18М
81
Таблица 3.4
№ п/п	*1	*в	*8		*о			-*1*3	*2*8	
1	—1	—1	—1	2		-1	+1	+1	+1	—1
2	+1	—1	— 1	6		-1	—1	—1	+1	+1
3	—1	+1	— 1	4		-1	—1	+1	—1	+1
4	+1	+1	— 1	8		-1	+1	—1	—1	—1
5	—1	—1	+ 1	10		-1	+1	—1	—1	+1
6	+1	—1	+ 1	18		-1	—1	+1	—1	—1
7	—1	+1	-“1	8		-1	—1	—1	+1	—1
8	+1	+1	+ 1	12		-1	+1	+1	+1	+1
Среднее значение Х/Ср = (Х/шая 4-X/min)/2 и интер-
вал варьирования независимых переменных А/ =; (Х/Шах —
— Х/ср)/2 будут:
Х1ср = 6; Ах = 2;
Х2ср=11; Д2=1;
Хзср = 20; А3 = 8.
Подставим значения Х/Ср и А/ в формулу перехода
(3.1) и получим уравнение модели в кодированной системе
координат
У = Оо + aixi +	+ азхз + a12xtx2 + а1аХ!Х3 +
+ й23Х2Хз +
Оценки коэффициентов этой модели будем находить по
экспериментальным данным, полученным в результате
проведения ПФЭ типа 2", где п = 3. В соответствии с из-
вестным правилом построим матрицу полного трехфактор-
ного эксперимента, обладающую свойствами ортогональ-
ности, симметричности и нормировки (табл. 3.4).
Предполагается, что опыты однородны. Поэтому в каж-
дой точке факторного пространства можно проводить только
по одному опыту (серия параллельных опытов не прово-
дится). Значения выходной величины у( для этого случая
приведены в соответствующей графе табл. 3.4.
Для определения оценок коэффициентов уравнения рег-
рессии дополним матрицу плана (обведена более жирными
линиями) вектор-столбцами фиктивной переменной и ли-
нейными взаимодействиями факторов.
По результатам эксперимента определим оценки ко-
эффициентов (3.3):
а0 = (2 + 6 + 4 + 8 + Ю + 18 + 8 + 12)/8 = 8,5;
82
^ = (—2 + 6 — 4 + 8—10+18 — 8+12)78 = 2,5;
я2 = (__2 — 6 + 4 + 8— 10—18 + 8+ 12)/8 = — 0,5;
а3 = (—2 —6 —4 —8+ 10 + 18 + 8 + 12)/8 = 3,5;
д12 = (2 —6 —4 + 8 + 10—18 —8 + 12)/8 = — 0,5;
а13 = (2 —6 + 4 —8—10+18 —8+ 12)/8 = 0,5;
а23 = (2 + 6 —4 —8—10—18 + 8 + 12)/8 = — 1,5;
«123 = (—2+6 + 4 —8 + 10—18 —8 + 12)/8 = — 0,5.
Для определения оценки дисперсии воспроизводимос-
ти, а также более достоверной проверки адекватности полу-
ченной модели в центре плана была поставлена дополни-
тельная серия из р = 3 опытов и получены следующие зна-
чения!
Ум = 8,0; t/2o= 9,0; у$о = 8,8.
Среднее значение выходной величины в центре плана (х =
= 0)
Уо = (8 + 9 + 8,8)/3 = 8,6,
а дисперсия в центре плана, принимаемая за оценку дис-
персии воспроизводимости, определится так!
S2 {УО} = = 1(8,6 - 8)2 + (9 - 8,6)2 +
+ (8,8 — 8,6)а] /(3 — 1) = 0,28.
Поскольку выполняется условие нормировки, оценки
коэффициентов данной модели будут найдены с одинаковой
дисперсией, т. е.
S2 {aj = S2b/N . 1 = 0,28/8 = 0,035,
кратность опыта в каждой i-й точке (/ = 1, N) равна
единице, т. е,. tn = 1, откуда S {ак} « 0,2.
Проверим статистическую значимость найденных ко-
эффициентов ак, найдем расчетные значения коэффициента
= I «к |/S {ак}|
/0 = 42,5; /х = 12,5; /2 = 2,5; t3 = 17,5;
/Х2 = 2,5;	= 2,5; /23 = 7,5; /Х23 = 2,5.
6*
83
Табличное значение коэффициента Стьюдента при а »
= 0,05 и числе степеней свободы (р — 1) = (3 — 1) =
= 2 (оценка дисперсии воспроизводимости проводилась на
основании серии из р = 3 опытов в одной точке — цент-
ре плана) будет (см. П. 2) /т = 4,3.
Сравнив табличное tT и расчетное tK значения коэф-
фициентов, установим, что незначимыми (так как tK < /т)
являются найденные оценки коэффициентов а2, а12, а13
и «пз-
Уравнение регрессии, содержащее статистически зна-
чимые коэффициенты;
у = 8,5 4- 2,5xi 4- З,5х3 — 1,5х2х3.	(3.10)
Полученную таким образом математическую модель
необходимо проверить на адекватность. Для этого опре-
делим оценку дисперсии адекватности. Так как кратность
опытов равна единице, т. е. т = 1, то
N
i=i
Предварительно убедившись, что уравнение регрессии
(3.10) «подходит» для описания экспериментальных дан-
ных, поскольку среднее значение выходной величины в
центре плана у0 = 8,6, а оценка свободного члена а0 =
= 8,5 и | а0 — у01 = 0,1 < 1,5 %, определим значение
выходной величины на основании уравнения регрессии в
точках плана. Для первой точки
У1 = 8,5 + 2,5 (— 1) + 3,5 (— 1) —1,5 (+ 1)« 1.
Аналогично получим значения и для других точек пла-
на, которые сведем в табл. (3.5), исходя из которой найдем
оценку дисперсии адекватности при условии, что N — I =
= 8 — 4 (1 = 4), т. е. уточненное уравнение регрессии
содержит четыре коэффициента
«ад = % = 2.
Зная значение 31д, определим расчетное значение ко-
эффициента Фишера
Fp =	= 2/0,28 = 7,14.
Число степеней свободы — (N — I) = 4, fB = р —
— 1=2. Задавшись уровнем статистической значимости
(см. П. 3) а = 0,05 при /ад = 4 и /в = 2, определим таб-
84
Таблица 3.£
№ п/п
ус
Ус
(У1 — У[)
(УС-УС?
1
2
3
4
5
6
7
8
2
6
4
8
10
18
8
12
1
6
4
9
11
16
8
13
1
0
О
1
1
2
О
1
1
О
О
1
1
4
О
1
N
I
личное значение FT = 19,3. Следовательно, с достовер-
ностью (1 — а) = 95 % уравнение регрессии адекватно
экспериментальным данным.
Полученное уравнение регрессии представлено в коди-
рованной системе координат. Для перехода в естественную
систему координат воспользуемся формулой перехода (3.1)
и значениями Х/ср и Д/.
Тогда
Y = 8,5 4- 2,5 	+ 3,5 -*3~=—---
, е Х2-11	Х3-20
1>о	1	8
или
Y = 8,5 + 1,25Хх — 7,5 + 0,44Х3 — 8,75 — 0,19Х2Х3 +
+ 3,75Х2 — 2,06Х3 — 41,25.
Окончательно получим уравнение регрессии
Y = — 49,0 + 1.25Х, + 3,75Х2 — 1,62Х3 — 0,19Х2Х3,
адекватно описывающее экспериментальные данные.
3.3. Дробный факторный эксперимент
В полном факторном эксперименте число опытов соот-
ветствует N = 2«. Поэтому при большом числе факторов п
реализация ПФЭ становится практически невозможной.
В действительности эффектами взаимодействий факторов
8$
Таблица 3. 6
№ п/п			«8	№ п/п	«1	х2	xt
1	—1	—1	— 1	5	—1	—1	+1
2	+1	—1	— 1	6	+1	—1	
3	—1	+1	— 1	7	—1	+1	
4	+1	+1	— 1	8	+1	+1	--1
больших порядков в большинстве случаев можно пренеб-
речь (так как влияние их незначительно) или априори
известно, что некоторые из них отсутствуют. Известно,
что число опытов, по которым определяются оценки коэф-
фициентов аппроксимирующего полинома — уравнении рег-
рессий, должно быть равно числу определяемых коэф-
фициентов или быть хотя бы на единицу больше. Исходя
из изложенных предпосылок, число опытов для нахожде-
ния оценок неизвестных коэффициентов такого уравнения
для большинства практических случаев может быть суще-
ственно уменьшено. Это достигается с помощью дробных
факторных планов, или дробных факторных эксперимен-
тов (ДФЭ), представляющих дробные реплики полного
факторного эксперимента. Если в ПФЭ наблюдения произ-
водятся во всех вершинах W-мерного гиперкуба, то при
использовании дробных реплик наблюдения проводятся
в некоторых из них.
Рассмотрим пример построения дробной реплики, пред-
полагая вначале, что эффекты взаимодействий отсутству-
ют, т. е. модель имеет вид:
У = а0 + ад 4- ад + ад.
При таком виде зависимости неизвестными являются
четыре коэффициента, для определения которых достаточ-
но, как минимум, четыре опыта. Рассмотрим матрицу ПФЭ
типа 28 (табл. 3.6). Для оценки коэффициентов а/, / = 0,3
достаточно четырех опытов (строк). Можно ли для этой
цели выбрать первые четыре строки? Очевидно нет, так
как видно, что в них х3 находится только на нижнем уров-
не и нельзя получить информации о влиянии фактора х3
на выходную величину. То же можно сказать и о нижних
четырех строках, где фактор х3 находится только на верхнем
уровне. Можно попытаться выбрать только четные или
нечетные строки полной матрицы планирования, но ре-
зультат будет неудачным. Выберем строки 5,2, 3, 8 и по-
строим матрицу плана
*1
— 1
в которой первые два столбца являются матрицей плана
двухфакторного эксперимента вида 22. Следовательно, чис-
ло опытов в данном плане будет N = 22 = 23-1, или
N = 23 • 2-1. Построенная таким образом матрица обла-
дает тремя свойствами: ортогональностью, нормировкой
и симметричностью. Но раз матрица плана обладает дан-
ными свойствами, то, следовательно, она выбрана не про-
извольным образом, а по какому-то расчету. Показатель
степени в выражении для числа опытов (3 — 1) показыва-
ет дробность матрицы плана ПФЭ N = 28, т. е. дробная
матрица планирования составляет полуреплику плана
ПФЭ. Если сопоставить матрицу X дробного факторного
эксперимента 23-1 и ПФЭ 23, то можно заметить, что пере-
менная ха в точках плана удовлетворяет уравнению
х3 = *1*2,
которое имеет свой определенный смысл и называется
генерирующим соотношением (ГС).
Таким образом, дробным факторным экспериментом
ДФЭ называется эксперимент, реализующий строго опре-
деленную часть ПФЭ. Матрицу, получаемую при ДФЭ,
называют дробной матрицей планирования (ДМП). Число
строк ДМП в общем случае определяется соотношением
N = 2"-р,
где п — число линейных факторов; р — показатель дроб-
ности.
Для (и — р) факторов, условно называемых основными,
строится матрица полного факторного эксперимента, а
для р факторов, называемых дополнительными, уровни
варьирования в опытах выбираются на основании генери-
рующего соотношения. Генерирующее соотношение — это
формальное равенство, показывающее, знаки каких ос-
новных переменных, стоящих в правой части равенства,
необходимо перемножить для получения знака дополни-
тельного фактора (уровня варьирования), чтобы ДМП
оказалась ортогональной, норм!фованной и симметричной.
87
Таблица/3.7
№ п/п	Xi	X,	х3	Х4	*1*4	^2*4
1 -1		—1	—1	+1	—1	-i-l
2	+1	—1	—1	—1	—1	
3	— 1	4-1	—1	—1	4-1	-11
4	4-1	4-1	-1	+1	4-1	4-1,
5	—1	1	4-1	+1	—1	—11
6	4-1	—1	4-1	—1	—1	4-1'
7	—1	4-1	4-1	-1	4-1	—1
8	4-1	4-1	4-1	+1	4-1	4-1
Для рассматриваемой линейной модели можно постро-1
ить и другую полуреплику ПФЭ, выбрав генерирующее I
. соотношение х3 = —хгх2. Таким образом, для трехфак- '
торного эксперимента можно выбрать два генерирующих \
соотношения и построить две полуреплики, не имеющие :
общих строк.
Несколько иначе строятся полуреплики для случая
четырехфакторного эксперимента вида 24-1. Предположим,
что х4 — дополнительный фактор. Для трех основных
факторов (п — р) = (4 — 1) = 3 строим матрицу плана
ПФЭ (табл. 3.7). Уровни варьирования дополнительного
фактора (чередование знаков) устанавливаем на основании
генерирующего соотношения.
Пусть ГС будет х4 = х4х2. В соответствии с выбранным
ГС заполним вектор-столбец для х4 путем перемножения
вектор-столбцов х4 и х2. Построенная таким образом
матрица плана ДФЭ позволяет раздельно оценить коэф-
фициенты линейной модели у = а0 + а4х4 4- а2х2 4- а3х3 4-
4- а4х4. Если же модель еще содержит и линейные взаимо-
действия факторов, то правильный выбор ГС является оп-
ределяющим при дальнейшей правильной трактовке ре-
зультатов эксперимента. Предположим, что первоначальное
предположение о виде модели оказалось неверно (напри-
мер, она не адекватна экспериментальным данным в нуле-
вой точке) и в ней должны присутствовать линейные вза-
имодействия х4х4 и х2х4, т. е. модель имеет вид
у = а0 4- atxr 4- а2х2 4- а3*з + «Л + а^хгхА 4- а24х2х4. (3.11)
Для нахождения оценок коэффициентов при взаимодей-
ствиях факторов дополним матрицу плана вектор-столбцами
х4х4 и х2х4. Чередование знаков в них, как известно, опре-
деляется чередованием знаков вектор-столбцов факторов,
входящих сомножителями в данные взаимодействия. Рассмот-
88
рев матрицу, представленную в табл. 3.7, можно заметить,
что чередование знаков в вектор-столбце полностью
совпадает с чередованием знаков в вектор-столбце х2, а в
вектор-столбце х2х4 — со знаком в вектор-столбце xv Ины-
ми словами, в точках плана i = 1, N, где проводятся опыты,
выполняются равенства
хх = х2х4; х2 — ххх4.	(3.12)
Подставив их (3.11), получим
у = а0 + (ях 4- а24) хх 4- (я2 4- я14) х2 4- ад, 4- а4х4,
или
У = а0 4- а'хг 4- а*2х2 4- а3х3 4- я4х4,
где а* = 014* Ог4; л2 = а2 4- а14.
Таким образом, полуреплика 24-1, определяемая гене-
рирующим соотношением х4 = ххх2, позволяет найти нес-
мещенные оценки методом наименьших квадратов а0,
а*, а*2, as, а4 соответственно параметрических функций ат
01 4- Огд, а2 4- о14, а3, а4. Ниже приводится условная за-
пись того, что найденные оценки являются несмещенными
МНК-оценками этих параметрических функций:
о0 о3, л/ (ях 4е о^), 02 ) (а2 4- о44),
а3->Оз; а4->а4.
Оценки a] (j = 1, 2) параметрических функций Я; на-
зывают смешанными оценками линейных эффектов и эф-
фектов взаимодействий.
Выражение (3.11) с учетом (3.12) можно записать еще
в таком виде:
У = а0 4- а3х3 4- я4х4 4- (я14 4- я2) ххх4 4- (а^ 4- ях) х2х4,
или
у = о0 4- я3х3 4- я4х4 4- яих^ 4- а*4Х2х4,
где а*4 = аи 4- я2; а24 = я24 4-
,Следовательно, несмещенными МНК-оценками будут:
аи -> (я14 4- о2); а24 -> (я24 4- а^.
Таким образом, можно сделать вывод, что оценки ко-
эффициентов ях и я24, а также и а14 оказываются смешан-
ными, т. е. нельзя раздельно оценить влияние на выходную
величину фактора и смешанного с ним линейного взаимо-
действия.
89
Выбор ГС вида х4 = —xtx2 приведет лишь к тому, что
знак в смешанной оценке изменится, т. е.
а* -> (di — ам)‘, az ->• (а2 — ах4);
0*4-> (Оц — 02); 024 -> (а24 — Oj).
Для установления факта смешения оценок коэффици-
ентов модели нет необходимости на основе неправильно
выбранного ГС строить матрицу плана, дополнять ее век-
тор-столбцами взаимодействий, а затем в результате убе-
диться в том, что выбранное ГС не позволяет раздельно
оценить влияние факторов и их взаимодействий на выход-
ную величину — оценки коэффициентов будут смешаны.
Связь между линейными факторами и их взаимодействия-
ми можно определить с помощью определяющего контраста
(ОК) — формального равенства, показывающего, какие не-
зависимые переменные необходимо перемножить, чтобы во
всех строках матрицы дробного планирования получить
значение +1, т. е. ОК является ГС, по которому можно
получить знак фиктивной переменной х0 в любой строке
дробной матрицы планирования. ОК легко получается из
генерирующего соотношения путем умножения обеих час-
тей ГС на левую его часть, содержащую дополнительный
фактор.
В рассмотренном призере было выбрано ГС х4 = ххх2.
Домножим на х4 и получим
Х4 = ХхХ2Х4.
' Так как переменная xf в опытах принимает значение
+1 или —1, то определяющий контраст примет вид
1 = ххх2х4.
Умножим последовательно полученный ОК на незави-
симые переменные и получим систему равенств:
хх = xix2x4 = х2х4;
ха = хххгх4 = ххх4;
Х3 =
х4 = ХХХ2Х4 = ХхХ2.
Можно заметить, что равенства хх = х2х4 и х2 = ххх4
совпадают с равенствами (3.12), полученными ранее при
анализе построенной и затем дополненной матрицы дроб-
ного факторного эксперимента. Существует взаимное соот-
90
ветствие между системой параметрических функций а/
и системой равенств, т. е.
(«1 + о24) *-> Xi = х2х4; (аа + а14) «-> х2 = х^.
Следовательно, исходя из соотношений
(Оз + 01234)	= Х1Х2Х3Х4, а4 х4 = ххх2,
оценок коэффициентов при независимых переменных, по-
лученных по аналогии, можно судить о полной системе
смешивания а именно! оценки всех коэффициентов при
независимых переменных, кроме коэффициента а3, смешаны
с оценками коэффициентов при парных взаимодействиях.
Оценку коэффициента
«3 = а3 + 01234
можно считать несмещенный МНК-оценкой, так-как чет-
верное взаимодействие факторов либо отсутствует, либо
его влияние пренебрежимо мало. Значит, если модель со-
держит значимые парные взаимодействия ххх4 и х2х4, то
ГС х4 — ххх2 не подходит.
При эксперименте вида 24-1 выбор уровней варьирова-
ния дополнительным фактором х4 возможен на основании
следующих генерирующих соотношений (кроме уже рас-
смотренных х4 = ххх2 и х4 = —ххх2):
Х^ Х]Х&) Х^ X2X3t Х& —J
х4 = — ххх3; х4 —- — х2х3; х4 ==: — ххх2х3.
Возьмем для сравнения ГС х4 = —ххх2х3 и рассмотрим
смешивание оценок. Для этого выберем определяющий
контраст»
1 = — ххх2х3х4.
Умножим последовательно независимые переменные
на ОК и получим систему равенств, позволяющую оценить
смешивание оценок при данной дробной матрице планиро-
вания (о учетом х/ = l)j	z
Хх = — XgXgXti
Х2 =» —
Х3 =* — ХгХ2Х^
Х^ =s — Х]Х2Х3.
Отсюда получим систему оценок коэффициентов модели
во—01234);	—fltai);
(^2	^134)»	Лз -*• (^3 ~ Я124)!
си -> (а4 — апз),
из которой следует, что при х4 = —х1х2х3 коэффициенты
при независимых переменных смешаны с коэффициентами
при тройном взаимодействии факторов.
Разрешающей способностью плана ДФЭ называется его
способность получать такие оценки коэффициентов а/
при независимых переменных, в которых идеальные ко-
эффициенты а/ (их математические ожидания) смешаны
с коэффициентами взаимодействий наиболее высокого по-
рядка. Чем с большим порядком взаимодействий смешаны
факторы, тем большей разрешающей способностью обла-
дает данный план. Данное определение основывается на
том, что в опытах связи сразу между всеми факторами ме-
нее вероятны, чем между какими-либо их комбинациями.
Поэтому можно считать, что чем выше порядок взаимодей-
ствия, тем менее он значим и с тем большей уверенностью
им можно пренебречь. Разрешающая способность полу-
реплики определяется числом элементов (факторов), вхо-
дящих в ОК. Если матрица ДФЭ построена на основе ГС
х4 = ххх3, т. е. ОК 1 = *1Х3х4, то разрешающая способ-
ность такого плана равна III и полуреплика такого вида
записывается так: 2щ*. Примером полуреплики 24-1 с раз-
решающей способностью IV являются полуреплики с опре-
деляющими контрастами:
1 = х1хах3х4; 1 = — х-^х^.
Эти полуреплики называются главными в классе полу-
реплик типа 24-1 и записываются 2IV1. Они строятся на
основе главных определяющих контрастов, включающих
линейные факторы. Главные полуреплики обладают наи-.
большей разрешающей способностью по отношению к ли-
нейным факторам — линейные эффекты смешаны с эффек-
тами взаимодействий наиболее высоких порядков. Однако
иногда при наличии определенных априорных сведений о
значимости некоторых тройных взаимодействий может
оказаться более выгодным использовать планы и с меньшей
разрешающей способностью, но такие, в которых значимые
тройные взаимодействия не смешаны с линейными фактора-
ми и значимыми парными взаимодействиями.
Иногда может оказаться, что в результате осуществле-
ния ДФЭ типа 24-1 число значимых взаимодействий будет
большим, чем предполагалось. Это в основном проявляется
93
в неадекватности полученной математической модели. Как
уже было показано, изменение знака в ГС на противопо-
ложный приводит к изменению знака в системе совместный^
оценок а/. Знак в системе совместных оценок показывает,
является ли расчетная оценка при данном ГС в среднем
преувеличенной по сравнению с ее математическим ожида-
нием (плюс) на значение коэффициента взаимодействия,
либо преуменьшенной (минус) тоже в среднем, если по
данному ДФЭ провести опыты несколько раз. Если после
реализации опытов первой полуреплики,например х3 =
s= xtx3 для ДФЭ типа 23-1, возникает сомнение в том,
что коэффициенты при парных взаимодействиях равны ну-
лю:
а* -> (ах + а2з); «2-> (а2 + «и); «з -> (а3 + а12),
то можно поставить еще четыре опыта (реализовать вто-
рую полуреплику при ГС х3 = —х1х3) и получить еще од-
ну систему совместных оценок
аГ -> (дх — а23); дГ -> (а2 — а13); аз -> (а3 — д12).
Среднее из суммы для первой и второй систем совместных
Л ♦
оценок д/ дает независимую оценку коэффициентов при
факторах
а1 — (fli 4“ &I )/%• i= 1» з,
а среднее из разности дает независимую оценку для линей-
ных взаимодействий
Д23 = & — Д*)/2; а13 = (аг — дГ)72; а13 = (аз — дГ)/2.
(3.13)
Проводя расчеты по формулам (3.13) и впоследствии
осуществив статистическую обработку, можно окончатель-
но убедиться в статистической значимости (незначимости)
полученных оценок коэффициентов при взаимодействиях.
Активные эксперименты, проводимые в соответствии
с планом ДФЭ, обладают важной особенностью: при обра-
ботке последующей серии экспериментов полностью ис-
пользуется информация, полученная при обработке
предыдущей серии (полуреплики), т. е. эксперимент, про-
водимый во вторую очередь, дополняет эксперимент, про-
веденный на первом этапе исследования.
Данное свойство используется для случая, когда тре-
буется поставить несколько опытов и возникает опасность
93
временного дрейфа выходной величины. Для исключения
влияния временного дрейфа ПФЭ разбивают на блоки.
Так, как ПФЭ 23, приведенный в табл. 3.6, целесообразно
разбить на два блока при ГС х3 = хгх2 и х3 = —Сопо-
ставление оценок свободного члена для обеих полуреплик
йц и ад при условии отсутствия значимого тройного взаимо-
действия позволяет выявить влияние временного
дрейфа и затем учитывать его при дальнейшей обработке
результатов эксперимента.
При большом числе факторов и предполагаемом линей-
ном виде модели избыточность ПФЭ резко возрастает.
Так, при числе факторов п = 5 необходимо по результатам
эксперимента оценить 6 коэффициентов, так как модель
имеет вид
5
У=Од+^ OjXj.
Для этой цели достаточно провести 2я-” > 6 Опытов.
Исходя из минимальной избыточности ДФЭ, выбираем N =
= 8, т. е. (п — р) = 3. Следовательно, р — 2 и ДФЭ
является х/4 частью ПФЭ. Дополнительных факторов при
этом будет два, следовательно, необходимо выбирать два
генерирующих соотношения. Система смешивания оценок
в этом случае будет сложнее, чем при построении полуреп-
лики. Для нахождения системы смешивания также исполь-
зуется определяющий контраст.
Пусть для построения четверть-реплики 25”2 исполь-
зуются генерирующие соотношения!
х4 = х4х2; х6 = х4х2х8.
Запишем определяющие контрасты для этих соотношений»
1 = ХхХ2Х4; 1 = Х^гХзХд.
Если перемножить между собой эти исходные определя-
ющие контрасты, то в соответствии е определением получим
еще один ОК
1 = х3х4х5.
Обобщенный определяющий контраст (ООК) — равен-
ство, содержащее все возможные комбинации определяю-
щих контрастов. Он включает исходные определяющие
контрасты, построенные на основе генерирующих соотно-
шений, а также их комбинации (произведения) по два,
по три и т. д.
Для рассматриваемого примера ООК запишется так»
1 = ХуХдХ^ == XjX^CgXg == ^3X4X3.
94
Умножая обобщенный_определяющий контраст после-
довательно на xt (j = 1,5), получаем следующую систему
смешивания независимых переменных и взаимодействий:
х0 = x1x2xi = х3х4хб =
х± = ХаХ4 = ххх3х4х6 = х2х3хв;
Х2 = ХхХ4 == Х2Х3Х4ХВ = ХхХ3Хв,
Х3 = Х4Х2ХдХ4 = Х4ХВ == Х2Х2ХВ,
х4 = ххх2 = х3хБ = х^ХзХ^;
Хв = ХхХ2Х4Х6 = Х3Х4 = XjX^.
Отсюда, по аналогии ранее рассмотренным, можно за-
писать несмещенные МНК-оценки a*j для следующих пара-
метрических функций!
Йо -> («о + °124 + 0345 + 01235);'
л *
Oi -> (ах 4~ а24 -f- 01345 4- 0235);
02 —»- (02 + 014 4“ 02345 4- O135);
Оз -> (Оз 4- 01234 + а45 + 0125);
04 —> (а4 + а12 + а35 4" #12 345);
05 ~> (а5 4- 01245 + ом 4- О12з).
Из приведенной системы оценок следует, что оценки
коэффициентов при факторах а} (/ = 1,5) смешаны с оцен-
ками коэффициентов при парных взаимодействиях, поэтому
если приведенные взаимодействия значимы, то ГС выбраны
неправильно, или же данный ДФЭ не позволяет раздельно
оценить коэффициенты, т. е. необходимо вначале достроить до
полуреплики, а если это не поможет, то достроить до ПФЭ.
Если модель включает значимые взаимодействия хгх3
и хгхъ, то при выбранных ГС х4 = ххха и хв = ххх2х3, из
системы смешивания
ххх3 = х2ХзХ4 = ххх4х5 = х^;
^1^5 ==	== Х4ХдХ4 =" Х3Х^
следует, что эти парные взаимодействия не будут смешаны
с факторами, а с другими парными взаимодействиями.
Обозначим г1( г2, ..., rz числа элементов ОК, входящих
в ООК дробной реплики 2п~р. Тогда разрешающей способ-
ностью этой реплики называют величину г =s min {г1г
г2,	Г/}.
95
, В рассмотренном примере дробная реплика 25-2 с обоб-
щенным определяющим контрастом такова:
1 =: Х^Х^Х^ =t XjXgXg = XgXgX^Xg.
Составляющие ОК, входящие в ООК, содержат соответ-
ственно число элементов гг = 3, г2 = 3 и rs = 4. Следова-
тельно, разрешающая способность четверть-реплики 25-а
будет равна трем и ее можно записать в виде 2цТ2.
Так, если матрица плана ДФЭ обладает свойствами орто-
гональности, нормировки и симметричности, то оценки ко-
эффициентов находятся на основании выражения
л N
ak = S XikHtlN.
i=i
Статистическая обработка результатов ДФЭ аналогич-
на обработке при ПФЭ.
3.4. Ротатабельность планов первого порядка
Планы первого порядка позволяют, ввиду свойства
ортогональности, находить независимо оценки коэффи-
циентов линейной модели. Каждый коэффициент определя-
ется по результатам всех опытов, все коэффициенты урав-
нения регрессии определяются с одинаковой дисперсией.
Рассмотрим как оценивается выходная величина ис-
следуемого объекта на основе полученного уравнения рег-
рессии и как по полученной модели можно предсказывать
значения выходной величины.
Итак, предположим, что модель линейна и полученное
уравнение регрессии, адекватно описывающее эксперимен-
тальные данные, имеет вид
л л п л	____
y = a0+^ialxf,
i=l
Оценка дисперсии выходной величины ’
S2 [у] = S2 {а0 4- S а}х\.
/=:	J
Вследствие отсутствия корреляции между найденными
оценками коэффициентов для случая линейного уравнения
имеем
А	А	П	А
52{^}=S2{a0} 4- Ъ&М.
Так как ортогональные планы первого порядка облада-
ют свойством нормировки, то дисперсии коэффициентов
одинаковы:
S2 = S2 {аД = S2 {а}
96
и их можно вынести за знак суммы, т. е.
л	Л /	п \
где S* {а} = Sl/Nm.
п
Учитывая, что выражение £ х/ = ра представляет собой
/=1
радиус сферы в п-мерном пространстве, получим окончательно
$а{£} = 5аД(1+ра).	(3.14)
Отсюда следует, что дисперсия оценки выходной величи-
ны, полученной на оснований уравнения регрессии, для
точек, находящихся на гиперсфере, зависит от ее радиуса
и не зависит от их положения на ней. Планы, обладающие
таким свойством, называются ротатабельными [20].
Таким образом, двухуровневые ортогональные планы
первого порядка позволяют не только независимо оценить
коэффициенты математической модели, но и с одинаковой
точностью предсказывать (в среднем) значения выходной
величины для равноудаленных от центра плана точек не-
зависимо от направления.
Величину, обратную S2 {у}, можно принять за меру
информации, содержащуюся в уравнении регрессии. Из
выражения (3.14) следует, что количество информации
убывает пропорционально квадрату радиуса сферы ра и
одинаково для всех эквидистантных точек. Таким образом,
чем дальше расположена точка от центра плана, тем мень-
шей надежностью обладают предсказанные на основании
уравнения регрессии значения выходной величины.
Рассмотрим некоторые другие принципы оптимальнос-
ти планов. Более подробней с этим вопросом можно озна-
комиться в [27].
План называется D-оптимальным, если ему соответст-
вует ковариационная матрица С-1 с наименьшим значением
определителя или соответствует информационная матрица
Ё 4о	N E XiOXil <	N ... E
i=l	i=l	
ЛГ	N	N
Е	E 4i .	••• E Xi\X[n
1=1'	i=i	i=l
N	N	
E XiQXifi 1=1	S XilXjn i=l	... Ё x2{n 1=1
7 6-1861
97
с наибольшим значением определителя. D-оптимальный
план минимизирует обобщенную дисперсию, что приводит
к уменьшению объема эллипсоида рассеяния оценок пара-
метров модели (коэффициентов уравнения регрессии).
Если ковариационная матрица имеет наименьший след,
т. е. сумму диагональных элементов, то такой план назы-
вается А-оптимальным. Такой план минимизирует сред-
нюю дисперсию лучших линейных оценок параметров.
План называется G-оптимальным, если обеспечивает
наименьшее по всем планам максимальное значение дис-
персии предсказанных значений в заданной области пла-
нирования.
Если максимальное характеристическое значение соот-
ветствующей плану ковариационной матрицы оценок пара-
метров минимально, то такой план называется Е-оптималь-
ным. Он минимизирует максимальную ось эллипсоида
рассеяния параметров.
Критерии D-, А- и Е-оптимальности эквивалентны,
если ковариационная матрица оценок коэффициентов имеет
вид С-1 = 11, где I — константа; 1 — единичная матрица.
Как уже отмечалось, в ортогональных планах матрицы
информационная С и ковариационная С-1 диагональны.
Ввиду того что планы ПФЭ и ДФЭ обладают условием нор-
мировки, то на диагонали этих матриц расположены соот-
N	N
ветственно элементы £ хц = N и 1/хц = UN, которые
(=1	/=1
являются константами. Поэтому ковариационная матрица
будет удовлетворять условию С-1 = /1.
Следовательно, ортогональные двухуровневые планы
первого порядка будут ротатабельными, а также D-, А-
и Е-оптимальными.
3.5. Применение планов первого порядка
в отсеивающих экспериментах
Перед проведением эксперимента необходимо прежде
всего установить, какие из факторов включать в круг рас-
сматриваемых, как влияющих на выходную величину ис-
следуемого объекта. Отсутствие в модели хотя бы одного
из существенных факторов может привести к ошибочным
результатам, а следовательно, к неверным выводам. Однако
учет всех влияющих величин приводит к дополнительным
затратам, «затемняет» результат исследования. Поэтому
перед проведением экспериментальных исследований объек-
та необходимо прежде всего установить минимальный набор
входных величин (факторов) на «шумовом» фоне остальных,
68
которые в наибольшей степени характеризуют исследуемый
объект. К «шумовому» фону относятся неучитываемые
(нерегулируемые) влияющие величины и несущественные
входные переменные, мало влияющие на выходную величину.
Если число предполагаемых факторов невелико (не
более шести —восьми), то для предварительного изучения
объекта можно применить дробный или полный факторный
эксперимент, определить оценки коэффициентов модели,
проверить их статистическую значимость и затем по абсо-
лютному значению значимых факторов осуществить их
ранжировку по степени влияния на выходную величину.
Однако при большом числе предполагаемых влияющих
факторов этот метод оказывается громоздким и трудоем-
ким. В данном случае предпочтительней применение ме-
тода случайного баланса [20], который базируется на сверх-
насыщенном полном факторном эксперименте. Сверхнасы-
щенными называются планы, имеющие отрицательное чис-
ло степеней свободы, т. е. число коэффициентов модели пре-
вышает число опытов N (предполагается, что модель содер-
жит взаимодействия). Метод случайного баланса эффекти-
вен в тех случаях, когда из всей совокупности независимых
величин только 15...20 % являются существенными. При
этом должны выполняться предпосылки множественного
регрессионного анализа. Метод случайного баланса обла-
дает меньшей чувствительностью, чем ПФЭ или ДФЭ, т. е.
способностью выделять оценки а,, статистически значимо
отличающиеся от нуля, но он обладает большей способ-
ностью независимо выделять существенные переменные сре-
ди большой совокупности рассматриваемых факторов.
Первоначально все линейные независимые переменные
разбиваются на группы, содержащие по три-четыре фак-
тора. При этом необходимо учитывать, исходя из физики
процесса, взаимодействие факторов, если таковое существу-
ет, то данные факторы необходимо включать в одну группу.
Затем для каждой группы известными методами составля-
ется матрица планирования ПФЭ. Пусть имеются 10 фак-
торов, разбитых на три группы! I — хх — х4; II — х6
~ х8; III х9 -j- Xjq.
Для каждой группы составим матрицу планирования.
Так как группа III содержит только два фактора, то матри-
ца плана 22 повторяется четыре раза (как будто взяты два
вектор-столбца из матрицы ПФЭ 24). Данные матрицы
приведены в табл. 3.8.
Для формирования общей матрицы отсеивающего экс-
перимента строкам матриц групп присваиваются случай-
ные номера, в соответствии с таблицей случайных чисел
7*	99
Таблица 3.8
i	«1	*2	Х3	Х4		xR xe X, x6	*n		*iu
1	— 1 — 1 -	-1 — 1	7	—1 —1 —1 —1	11	—1 —1	10
2	+1 -1 -	-1 —1	5	4-1 —1 —1 —1	16	4-1 -1	15
3	-1 +1 -	-1 —1	8	—1 4-1 —1 —1	3	—1 4-1	2
4	-+-1 +1 -	-1 —1	10	+1 +i -i -i	7	4-1 4-1	6
5	-1 -1 4	hl -1	11	—1 —1 4-1 —1	9	—1 —1	8
6	4-1 -1 4	hl -1	15	+1 -i +i -i	8	4-1 -1	7
7	-1 +1 4-1 -1		14	-1 4-1 4-1 —1	4	-1 4-1	3
8	+ 1 +1 н	hl -1	1	4-1 +1 4-1 -1	12	4-1 4-1	11
9	—1 —1 -	-1 -1-1	13	—1 —1 -1 4-1	5	—1 —1	4
10	1 —1 -	-1 4-1	6	+ 1 -i -i -bi	13	4-1 -1	12
11	—1 4-1 -	-1 4-1	9	-1 4-1 -1 4-1	14	—1 4-1	13
12	+ 1 +1 -	-1 4-1	2	4-1 4-1 —1 4-1	10	4-1 4-1	9
13	—1 — 1 -	Н 4-1	4	-1 -1 +1 4-1	15	—1 —1	14
14	+ 1 -1 н	hl 4-1	3	4-1 -1 4-1 4-1	1	4-1 -1	16
15	-1 +1 н	hl 4-1	12	—1 4-1 4-1 4-1	2	-1 4-1	1
16	+ 1 +1 н	hl 4-1	16	4-1 +1 4-1 4-1	6	4-1 4-1	5
(столбцы k\, fen и feni). В первую строку матрицы отсеива-
ющего эксперимента записывается 8 строка из матрицы
ПФЭ группы I факторов, 14 строка группы II и 15 строка
группы III (fei, fen и fem для этих строк равны 1). Во вто-
рую строку общей матрицы записываются строки, где fei,
fen и fem принимают значения 2 (соответственно строки 12,
15 и 3) и т. д. Построенная таким образом матрица отсеи-
вающего эксперимента приведена в табл. 3.9.
В соответствии с полученной матрицей проводится экс-
перимент. Порядок проведения опытов выбирают в соот-
ветствии с законом изменения случайных чисел, т. е.
производят рандомизацию. Для оценки воспроизводимо-
сти опытов для каждой строки проводят опыты несколько
раз. В табл. 3.9 приведены искусственно синтезированные
данные у и и yi2, а также среднее значение выходной вели-
чины для данной точки факторного пространства. На ос-
новании полученных результатов строится диаграмма
рассеивания. Для каждого xf выбирается своя ордината. Сле-
ва от нее отмечаются точками те значения выходной величи-
ны у{, которые были получены, когда данный х{ фактор
находился на верхнем уровне (принимал значение 4-1),
а справа — для случая х} — —1. Затем находят частные
медианы для группы точек слева и справа ординаты Xj.
Использование в методе случайного баланса в качестве
центра распределения медианы объясняется тем, что при
несимметричном распределении она является более эф-
100
Таблица 3.9
о
№ опыта	*1	Xi	Хз	х4	Хь	Х9	X,	X*	х9	*10	У1\	У12	У1	.V1
И	+1	+1	+1	—1	+1	—1	+1	+1	—1	+1	58,4	56,6	57,5	24,1
2	+1	+ 1	—1	+1	—1	+1	+1	+1	—1	+1	78,6	79,8	79,2	79,2
3	+1	—1	+1	+1	—1	+1	—1	—1	—1	-ы	54,2	55,8	55,0	55,0
4	+1	—1	+1	+1	—1	+1	+1	—1	—1	—1	20,2	18,6	19,4	19,4 '
5	+1	—1	—1	—1	—1	—1	—1	+1	+1	+1	8,2	8,6	8,4	8,4
6	+1	—1	—1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	80,2	82,4	' 81,3	47,9
7	—1	—1	—1	—1	+1	+1	—1	—1	+1	—1	30,6	32,4	31,5	—1,9
8	—1	+1	—1	—1	+1	—1	+1	—1	—1	—1	42,2	44,8	43,5	10,1
9	—1	+1	—1	+1	—1	—1	+1	—1	+1	+1	6,8	7,6	7,2	7,2
10	+1	+1	—1	—1	+1	+1	—1	+1	—1	—1	38,6	40,2	39,4	6,0
11	—1	—1	+1	—1	—1	—1	—1	—1	+1	+1	15,2	16,0	15,6	15,6
U2	—1	+1	+1	+1	+1	-н	+1	—1	+1	—1	62,2	64,4	63,3	29,9
13	—1	—1	—1	+1	+1	—1	—1	-ы	—1	+1	68,6	66,4	67,5	34,1
14	—1	+1	+1	—1	—1	+1	—1	-н	—1	—1	18,2	19,2	18,7	18,7
15	+1	—1	+1	—1	—1	—1	+1	+1	-н	—1	24,6	26,0	25,3	25,3
16,	+1	+1	+1	+1	+1	—1	—1	—1	+1	—1	42,2	43,8	43,0	6,6
Рис. 3*3. Исходное поле рассеяния, построенное на основе матрицы отсеиваю-
щего эксперимента
фективной оценкой, чем среднее арифметическое. Раз-
мах между медианами может служить признаком влияния
j-го фактора (соединены ломаными линиями). В рассматри-
ваемом примере число точек для уровней X/ = +1 и Ху =
= —1 чётное, следовательно, медиана находится между
точками 4 и 5. Обязательно необходимо брать разность
между медианой слева и медианой справа. Чем больше
разность между медианами, тем больший вклад х{ фактора
в изменение выходной величины. Для рассматриваемого
случая наибольший вклад вносит фактор х5. Визуальное
выявление преобладающих факторов можно осуществить
также и по числу «выделяющихся» точек. «Выделяющимися»
называются точки выходной величины уь которые при
уровне хц = +1 расположены выше «наибольшей» точки
при другом уровне фактора хц == —1 (или ниже «наимень-
шей»). Такое определение относится к положительным
вкладам, когда медиана слева больше (выше), чем медиа-
на справа. Для отрицательного вклада должно быть нао-
борот. Так, для диаграммы рис. 3.3 фактор х6 имеет 10
«выделяющихся» точек — четыре слева вверху и шесть
справа внизу, а фактор х4 имеет всего 6 таких точек —
четыре сверху и одну снизу слева. Поэтому, несмотря на
то что размах медиан для х4 почти такой же, что и для х6,
наиболее существенным на первом этапе выделения явля-
ется фактор х8, т. е. вносит наибольший вкладе изменение
выходной величины. Для определения оценки вклада
данного фактора необходимо вначале найти разность В{
между медианами слева и справа для данного фактора,
102
Рис. 3.4. Поле рассеяния после выделения существенного фактора
а затем вычесть из всех значений выходной величины yt,
которые были получены, когда этот фактор = 4~1 на-
ходился на верхнем уровне. Так, для рассматриваемого
самого существенного фактора в соответствии с рис. 3.3
и табл. 3.9	г
В6 = (67,5 4- 43,5)/2 — (18,7 + 15,5)/2 = 33,4.
Исходя из значения Bt, можно найти «грубую» (прибли-
женную) оценку коэффициента Я/ = Ву/2. Для выделения
других существенных факторов необходимо исключить
влияние уже выделенного существенного фактора на выход-
ную величину у. Вычтем из вектор-столбца у вклад Вй фак-
тора хБ в точках (строках), где х6 = 4-1, и получим вектор-
столбец yi, в котором не учитывается влияние х6. Для дан-
ного вектор-столбца строим диаграмму рассеивания, из ко-
торой опять находим наиболее (рис. 3.4). Если в оезультате сопо- 			существенный фактор Таблица 3.10			
ставления размаха медиан окажутся равноценно зна-		+хг		~хг	
чимыми сразу несколько факторов xr, xk и хт, необ- ходимо поступить следую-		+ xk	— xk	+ xk	— xk
щим образом. Строим табл. 3.10, в соответствую- щие графы которой заносят- ся значения у}, получен- ные при соответствующих	+ хт	y'l	Уч.	Уз	У<
	хт	Уъ	У&	У7	Уд
103
сочетаниях факторов, и найдем среднее значение выход-
ной величины для каждой графы. Например, у\ равно сум-
ме значений у}, полученных, когда хг, хт и xk принимают
значение 4-1, деленной на число этих значений, т. е. это
среднее значение выходной величины преобразованного
вектор-столбца, соответствующее определенной ситуации.
Оценки вкладов факторов определяются разностью между
суммами средних значений для уровней «плюс» и «минус».
Например,
D У>4- У2 + Уз 4- %	Уз + ^4 4- У? 4- Уз
В'~	4	~	4
Определив значение В/, можно найти приближенную
оценку коэффициента а/. Полученные оценки коэффициен-
тов проверяют на значимость по /-критерию Стьюдента.
Условие значимости имеет вид | at | /KpS {af}. Для
определения S2 {а;} необходимо вычислить дисперсию
каждой i-й графы таблицы
:	k
S(= s (ytu-ytflfi,
u=\
где f{ = lt — 1 — число степеней свободы; lt — число
значений выходной величины, «попавшее» в i-ю графу табли-
цы; i = 1, п — текущий номер графы таблицы.
Затем определяют усредненное значение дисперсии
всех граф таблицы (аналогично усреднению построчных
дисперсий для получения дисперсии воспроизводимости)!
п	п
^=Х	f{. 
1=1	1=1
Если число степеней свободы Д для каждой из граф оди-
наково, то последнее выражение можно переписать в виде
п
S2 = S S?/n,
i=l
где п — число граф таблицы.
В результате получаем оценку дисперсии коэффициента
регрессии
А	п
S^{af}=S^ lt
1=1
п
с числом степеней свободы f = X k — п-
f=l
104

Такую проверку значимости, естественно, можно про-
водить в том случае, когда каждая графа таблицы содержит
по меньшей мере два значения выходной величины. Если
в результате проверки статистической значимости коэффи-
циентов окажется, что коэффициент при одном из факторов,
например хг, незначим, то для дальнейшего выявления
существенных факторов необходимо из вектор-столбца
выходных величин вычитать значения Вт или (и) Вк для
тех строчек матрицы отсеивающего эксперимента, когда
фактора хт = 4-1 или (и) хк = 4-1.
После нахождения и ранжировки существенных факто-
ров необходимо установить значимые парные взаимодей-
ствия, общее число которых равно = п!/2! (л — 2)1.
Построение диаграммы рассеяния для такого большого
числа взаимодействий трудная, да и не нужная задача.
Значимые парные взаимодействия можно определить на ос-
нове визуального изучения диаграммы рассеяния для неза-
висимых переменных. Для того чтобы парное взаимодейст-
вие факторов Xj и хк относилось к числу существенных,
НеОбХОДИМО, ЧТОбы На УРОВНЯХ ХЛХ; = +1 И XkXj = —1
были «выделяющиеся» точки. Для первого случая фак-
> торы хк и Xj должны иметь «выделяющиеся» точки
при одинаковых уровнях факторов (хк = 4-1, xt = 4-1
или хк = —1, X/ = —1), а для случая х*х, = —1 — на
разных уровнях взаимодействующих факторов. Из этого
следует, что наибольшее число «выделяющихся» точек, а
следовательно, наибольший вклад вносит то взаимодействие
x^j, у которого факторы хк и Х; будут иметь большое чис-
ло «выделяющихся» точек как на одинаковых, так и
на разных уровнях; у таких факторов нижняя часть диаг-
раммы должна быть похожа на зеркальное отображение
верхней.
Процесс выделения существенных факторов заканчива-
ется на основании /'-критерия Фишера. После очередного
этапа выделения значимых факторов и исключения их влия-
ния на выходную величину определяют дисперсию преобра-
зованного вектор-столбца у"1 выходной величины по отно-
шению к ее среднему
N
S^ = X (1/Г-Г)2.
f=l
где т — номер шага выделения существенных переменных;
N — число строк в общей матрице отсеивающего экспери-
N
мента; ут « J] yf/N — среднее значение вектор-столбца
1=1
105
преобразованных выходных величин на /га-ом шаге выделе-
ния существенных факторов.
Эту дисперсию сравнивают с оценкой дисперсии погреш-
ности измерения S2, которую вычисляют на основании серии
дополнительных опытов. Для этого вычисляют значение
коэффициента Фишера
Fp = S^/S2
и сравнивают с табличным при числе свободы числителя
(W — 1) и знаменателя (и — 1), где и — число параллельных
опытов.
Процесс уменьшения дисперсии S2m является быстро-
сходящимся. Когда Fp будет больше Гт, то дисперсия изме-
рения будет соизмерима с дисперсией выходной величины,
обусловленной изменением оставшихся невыделенных фак-
торов. На этом процесс выделения существенных факторов
заканчивается, а невыделенные факторы относятся к «шу-
му».
ГЛАВА 4
ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
ПРИ ОТЫСКАНИИ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
Одной из основных задач планирования эксперимента
является задача поиска экстремума функции отклика. Эта
задача возникает при оптимизации производственных и
научно-технических процессов, осуществлямой для улучше-
ния свойств изделий, изучения предельных возможностей
приборов и устройств и т. д. Например, граничные испыта-
ния радиоэлектронной аппаратуры заключаются в оценке
экстремальных возможностей объекта при воздействии на
него одновременно нескольких возмущающих воздействий
(факторов), например температуры, влажности, электричес-
ких и магнитных полей.
Поиск экстремума функции отклика происходит путем
исследования поверхности отклика. Эти исследования осу-
ществляются посредством измерения поверхности отклика
в различных точках факторного пространства. Возникает
вопрос: какой должна быть стратегия планирования экс-
перимента, чтобы число опытов (измерений), необходимое
для нахождения экстремума или близких к нему значений,
было бы как можно меньше. Конечной целью проведения
экспериментальных исследований, как уже отмечалось,
10в
является достижение экстремальной области и получение
экстремального значения функции отклика.
Решение этой задачи обычно осуществляется в два эта-
па [2]:
^'первый этап — поисковые движения к области экстре-
мума; второй — уточнение экстремальной точки либо с по-
мощью дополнительных поисковых опытов, либо с помощью
математической модели области экстремума, причем мо-
дель эта получается при помощи специально организован-
ных опытов.
Все поисковые методы определения экстремума при ак-
тивном эксперименте подразделяются на классические и
факторные.
4.1. Классические методы определения экстремума
По классическим методам поисковые опыты для про-
движения к области экстремума осуществляются путем по-
очередного варьирования независимых переменных. При
этом предполагается, что все остальные факторы остаются
на это время неизменными (зафиксированными).
Изобразим функцию отклика исследуемого объекта то-
пографическим способом с помощью замкнутых линий по-
стоянного уровня (рис. 4.1), использовав метод Гаусса —
Зейделя. Выбирается (или задается) базовая точка Ко (Хох,
Х02....Хоп), где п — число управляемых входных величин.
Затем выбирается ступень варьирования независимыми пе-
ременными. Она должна быть не слишком малой, чтобы
движение к экстремуму не было замедленным, а выбор сту-
пени очень большой может привести к грубым ошибкам в
нахождении экстремума.
Согласно методу Гаусса — Зейделя, на первом этапе ста-
билизируют все независимые переменные, кроме первой, на
уровне Хо/ (/ = 2, п), а переменная Хх варьируются с вы-
бранным шагом. Таким образом, в окрестностях базовой точ-
ки Ко проводятся два опыта при значениях Ххх = Хох —
— ДХх и Х21 = Хох + ДХх и определяются соответственно
значения функции отклика Ух и У2 в точках Хх и К2 (ДХх —
шаг варьирования независимой переменной Хх). Сопостав-
лением Y (Ххх) и Y (Х2Х) выясняется направление измене-
ния Хх, приводящее к увеличению функции отклика Y (X).
Для случая, представленного на рис. 4.1, значение функции
отклика в точке К2 больше, чем в точке Хх. В такой ситуа-
ции двигаться следует в направлении Ко — К2 с выбран-
ным шагом ДХх. Процедура продвижения к локальному
(частному) экстремуму по фактору Хх заканчивается, если
107
Рис. 4.1. К использованию метода
Гаусса — Зейделя
Рис. 4.2. К использованию гради-
ентного метода
для каких-либо трех последовательных точек Х^-щ,
Xm>1, X(m+D,i выполняется ym_i<ym>ym+b . Точка
Кт соответствует локальному экстремуму и выбирается ба-
зовой, значение Хт фиксируется и первый этап заканчива-
ется. Для случая, представленного на рис. 4.1, такой точ-
кой является точка К3.
На втором этапе точка первого частного экстремума при-
нимается за новую базовую точку и варьируется вторая не-
зависимая переменная Х2 со своей ступенью варьирования
ДХ2, а остальные факторы стабилизируются. Опять осуще-
ствляются пробные опыты для выявления направления дви-
жения к экстремуму по фактору Х2, а затем проводятся ра-
бочие движения до достижения частного экстремума. Для
примера на рис. 4.1 продвижение к экстремуму после про-
ведения пробных опытов необходимо осуществлять в на-
правлении — Кв ДО достижения точки К7, принимаемой
за новую базовую точку. Если число независимых перемен-
ных п, то на третьем этапе варьируется Х3 при стабилизи-
рованных остальных X/ и т. д. до нахождения частного
экстремума по n-му фактору. Если главный экстремум не
достигнут, то проводят новый цикл опытов из п этапов и
т. д. до достижения главного экстремума.
Очевидным достоинством метода Гаусса — Зейделя яв-
ляется его наглядность и простота. Однако путь к главному
(глобальному) экстремуму обычно оказывается долгим, осо-
бенно при большом числе п переменных. Кроме того, при
этом трудно стабилизировать все управляемые факторы,
кроме одного, на длительное время, что вызывает дополни-
тельные погрешности в нахождении частных экстремумов.
Применение градиентных методов позволяет быстрее
отыскать область экстремума. Эти методы основаны на пред-
варительном определении градиента функции отклика
Y (X) = Y (Хх, Х2, ...} Xrt). Градиентом непрерывной
108
функции Y (X) называется вектор с координатами
dY |
дх1 к’
1=1, п,
где Хо = (Xoi, Х02, Хоп) — точка, в которой берется
градиент
,	( дУ I дУ I дУ \
grad Г (X)-	|х/ дХ^ дХп (4.1)
Если функцию отклика в окрестностях точки Хо раз-
ложить в ряд Тейлора и ограничиться лишь линейными
членами,. то область, расположенную вблизи Хо, можно
аппроксимировать зависимостью
Г(Х) = У(Х0) + -^
Хо(х11-х01) + <;
J*”
- Х02) + ... + -g- |Хо(Х1л - Х<и) = Л + Л (Хц - Хо1) +
+ А* (х12 - Х02) + ... + Ап (Х1п - ХОп). (4.2)
Сопоставляя (4.1) и (4.2), нетрудно сделать вывод, что
координаты вектор-градиента по отношению к точке Хо,
совпадают с коэффициентами А1г Л2, ..., Ап линейной по-
линомиальной модели.
Методы градиента различаются правилом выбора шага
продвижения к экстремуму. Сущность стратегии всех гра-
диентных методов состоит в том, что на каждом этапе дви-
жения к экстремуму вокруг выбранной (или полученной)
базовой точки проводятся пробные опыты, по результатам
которых оценивается направление градиента в факторном
пространстве, после чего совершается с выбранным рабо-
чим шагом К продвижение в новую базовую точку, которая
будет ближе к экстремуму, чем первоначальная точка. Сле-
довательно, градиентным называют метод, согласно которо-
му точка Хт+1 выбирается из условия
Хт+1 = Хт + К grad Y (Xm).	(4.3)
На рис. 4.2. показан порядок проведения опытов по ме-
тоду градиента. Как и по методу Гаусса — Зейделя, в ок-
рестностях базовой точки ставим пробные опыты для отыс-
кания направления продвижения (в данном случае в на-
правлении градиента).
Выбираем ступени варьирования ДХх, ДХ2 независимы-
ми переменными. Следует учитывать, что при малых сту-
пенях варьирования ДХ, (/ = 1, п) может оказаться боль-
шой погрешность оценки составляющих градиента, а при
109
слишком больших — можно не учесть особенности «рель-
ефа» в окрестностях базовой точки поверхности отклика.
Пробные опыты в точках К1г К2, Кз> Kt дают значения
функции отклика в данных точках. Составляющие гради-
ента по переменным Хг и Х2 вычисляются на основании ре-
зультатов пробных опытов как отношение приращения
функции отклика Y в соответствующих точках к прираще-
нию аргумента в тех же точках:
«rad YIX (К\~ ДУ -	.
grad Y /Хг (Ло) ~	Xi (Ks) _ Xt ~ Аи
„ad YIX (К }« ДУ -	_ л
graar/A2(A0)~ 2AXj - X2(/q_x2(k8) “я2-
В соответствии с (4.2) было установлено, что составляю-
щие градиента являются оценками коэффициентов Лу в рас-
сматриваемом случае уравнения плоскости
У = Ло + ЛхХх + А2Х2,
аппроксимирующей поверхность отклика в районе базовой
точки Ко.
Направление градиента К0Кб при выбранном шаге X
строится так, чтобы проекция К0К& на ось Хх была пропор-
циональна Аи а на ось Х2 — пропорциональна Л2. Для
этой цели умножают шаг продвижения к экстремуму К на
соответствующее значение коэффициента Л у и получают
произведения Мх и ХЛ2, которые соответствуют второму
слагаемому в правой части выражения (4.3).
Полученные значения откладывают в масштабе (пере-
считывают) от базовой точки вдоль осей Хх и Х2 с уче-
том знака Лх и Л2. Если отыскивается максимум функции
отклика, то при Лу > 0 это произведение откладывается в
положительном направлении оси Ху, а при Лу<0 — в
отрицательном. Таким образом, получают координаты но-
вой базовой точки Х5, в окрестностях которой уже описан-
ным способом ставится новая серия пробных опытов,
по результатам которых оценивается новое направление
градиента.
Рабочие шаги продвижения к экстремуму и пробные опы-
ты продолжаются до тех пор, пока все значения Л у не ока-
жутся пренебрежимо малыми. Это и будет признаком попа-
дания очередной базовой точки в область экстремума.
Модификации классического градиентного метода раз-
личаются правилом выбора шага К продвижения к экстре-
мальной области. Так, по методу Кифера — Вольфовица зна-
110
чения пробных приращений ДХ/ и параметр рабочего шага
% уменьшаются по мере приближения к экстремальной об-
ласти (в зависимости от номера шага).
Градиентному методу по сравнению с методом Гаусса —
Зейделя, свойственна большая скорость продвижения к
экстремуму. Однако он более «чувствителен» к случайным
помехам — погрешности в определении проекций градиента
сильно сказываются на правильности выбора направления
рабочего шага. Градиентный метод при осуществлении проб-
ных опытов предполагает также фиксацию регулируемых
переменных при варьировании одной из них.
4.2. Факторные методы определения экстремума
К факторным методам поиска экстремальной области от-
носится метод крутого восхождения (метод Бокса — Уилсо-
на) [31]. Среди методов, рассматриваемых теорией планиро-
вания эксперимента, метод крутого восхождения (будем
ргссматривать нахождение максимума фукции отклика) яв-
ляется связующим между начальным и конечным этапами
исследования.
Основная идея метода заключается в том, что на началь-
ном этапе на основании ПФЭ или ДФЭ получают простей-
шие линейные модели в качестве приближенного описания
некоторой части функции отклика, далекой от экстремума.
Коэффициенты модели, полученной в результате ПФЭ и
ДФЭ, пропорциональны проекциям вектор-градиента и
позволяют оценить само направление градиента, т. е. на-
правление самого крутого склона поверхности отклика. За-
тем вдоль этого направления совершается постепенное ша-
говое движение к области экстремума (отсюда и само на-
звание метода). Метод крутого восхождения (МКВ) сочетает
лучшие свойства классических методов — градиентного и
Гаусса — Зейделя. Сходство с градиентным методом заклю-
чается в том, что при реализации МКВ происходит также
продвижение к области экстремума в направлении градиен-
та, найденного на основании пробных опытов в окрестности
базовой точки. Однако на этом их сходство и заканчивается.
По классическому градиентному методу ставятся по два
пробных опыта по обе стороны от базовой точки (см. рис. 4.2)
путем поочередного варьирования каждой из входных ве-
личин при стабилизации остальных п — 1 факторов, а по
МКВ пробные опыты ставятся в соответствии с матрицей
плана ПФЭ или ДФЭ. При факторном эксперименте в оцен-
ке каждого коэффициента модели, а следовательно, каждой
составляющей градиента, участвуют все N точек (опытов).
Ш
Поэтому эти оценки получа-
ются более точными, чем при
классическом градиентном ме-
тоде, где каждая составляю-
щая градиента вычисляется
только по двум точкам. Най-
денное таким образом по МКВ
направление градиента более
помехозащищенно и достовер-
но. В этой связи в найденном
направлении градиента можно
осуществлять несколько, а не
Рис. 4.3. К использованию метода
крутого восхождения (спуска)
один, пробных шагов до достижения частного экстремума.
В этом состоит сходство МКВ с методом Гаусса — Зейделя.
Однако по классическому методу предполагается фиксация
п — 1 независимой переменной при продвижении к экстре-
муму по варьируемой переменной. Продвижение осуществ-
ляется вдоль оси-фактора, что замедляет продвижение к
области экстремума. Таким образом, МКВ позволяет го-
раздо быстрее и надежнее по сравнению с классическими
методами достичь экстремальной области. Кроме того, МКВ
позволяет получить информацию о степени крутизны по-
верхности в районе базовой точки — эта информация зало-
жена в коэффициентах взаимодействий.
Допустим задана базовая точка Ко (рис. 4.3). Приняв ее
за центр плана, поставим в ее окрестностях ПФЭ (или ДФЭ).
Важной особенностью МКВ является проведение статисти-
ческой оценки результатов ПФЭ, что значительно повышает
надежность интерпретации этих результатов.
Допустим по результатам опытов в области базовой точ-
ки получено линейное уравнение регрессии (в кодирован-
ной системе координат)
Л А	П А
У = а0 + S aixb
1=1
содержащее статистически значимые коэффициенты. Выше
было показано, что найденные оценки коэффициентов а/ (/ =
= 1, п) пропорциональны проекциям вектор-градиента на
оси-факторы. Следовательно, по оценкам линейных коэффи-
циентов а/ можно оценить и направление вектор-градиен-
та, по которому с выбранным шагом можно осуществлять
продвижение к частному экстремуму. О достижении част-
ного экстремума, как и по методу Гаусса — Зейделя, можно
судить по неравенству < Ym > Ym+i- Если данное
неравенство выполняется, точка К{ является точкой част-
112
кого экстремума, ее принимают за базовую и в окрест-
ностях реализуют ПФЭ или ДФЭ. Для случая, приведенного
на рис. 4.3, при продвижении в направлении градиента
(луч КоМ) такой точкой будет точка Л8.
В реальных условиях на исследуемом объекте рассмат-
риваются входные переменные в реальном масштабе, варь-
ирование независимых переменных осуществляют в естест-
венных координатах. Полный или дробный факторный экс-
перимент дает значения функции отклика в кодированной
системе координат. Поэтому при оценке составляющих гра-
диента следует учитывать значения ступеней варьирования
по каждому фактору, а также то, что значение составляю-
щих градиента зависит и от масштаба измерения (представ-
ления) факторов. Поэтому в течение всего эксперимента не-
зависимые переменные необходимо измерять (задавать) в
одних и тех же единицах, сохранять постоянный масштаб.
Для вычисления координаты точки Ki в направлении
градиента при поиске частного экстремума необходимо
определить взаимосвязь между шагом варьирования /-й
независимой переменной в естественной и кодированной
системах координат. При этом на основании уравнения
регрессии, полученного по результатам ПФЭ или ДФЭ в ок-
рестностях базовой точки, устанавливают наиболее сущест-
венный фактор, например fe-й. Оценка коэффициента по этому
фактору по абсолютной величине максимальна по сравне-
нию с другими оценками коэффициентов. Из физических
соображений для данного фактора выбирается шаг варьиро-
вания в естественном масштабе kk. Исходя из известного
соотношения между значением фактора в кодированной
хк и естественной Хк системе координат
_ X.	'	(4.4)
где Д* = (Xk
max — Xk min)/2, можно установить взаимосвязь
между Кк и нормированным шагом А, варьирования неза-
висимой переменной в кодированной системе координат.
Так как точка со значением А*Ср для пробного ПФЭ и
ДФЭ лежит в центре плана (на рис. 4.3 это точка Ко) и, на-
чиная с нее, начинается продвижение к экстремуму в на-
правлении градиента, то координата по Xk первой точки в
направлении экстремума (для рассматриваемого примера
точки Къ) определится как разность
X^-XkcP = h-	(4.5)
На основании соотношения (4.4)	в кодированной систе-
ме координат получим для точки К5
М5) = %А/ДА.	(4.6)
8 6-1861	..,
Однако для кодированного значения k-ro фактора для точки
К6 можно записать
х^ = х^ 4-1 я* | К.
Как уже отмечалось, точка Ко лежит в центре плана,
поэтому 4” = 0 и
45) = К|Ь.	(4.7)
Сопоставив выражения (4.6) и (4.7), получим взаимо-
связь между шагом варьирования k-ro фактора Кк в нату-
ральных единицах с нормированным шагом варьирования
Л в кодированных единицах: .
X = X*/1 ак | А*.	(4.8)
Так как первоначально был выбран шаг варьирования
наиболее существенной переменной Kk, то для того чтобы
продвигаться в направлении градиента, найденного на ос-
новании факторного эксперимента, необходимо, исходя из
выражения (4.8) для нормированного шага, найти значение
в натуральных единицах шагов варьирования остальными
факторами. Он будет
Х/ = ХяуАу; (j = 1, п—1).
В этом случае получим координаты точки К.& (первой точки),
лёжащей на направлении градиента.
Используя соотношения:
+ /X,, ^ = /[0/1%,	(4.9)
полученные из выражений (4.5), (4.7) с учетом Х/ср = Xj1
и х/0) = 0, можно находить координаты точек, лежащих на
направлении градиента, где I — шаг продвижения в на-
правлении градиента.
Пример. По МКВ определить экстремальную область
для функции отклика. На вход объекта воздействуют два
фактора Хг и Х2, для которых задано (в натуральных еди-
ницах):
Xi max “ 2,0, Xl min = 1,0;
Х2 max “ 8,0, ХгпЯп = 6,0.
Определим координаты базовой точки и интервалы
варьирования факторов:
Х/ср = Х\) = (X/ max 4~ X/ min)/2j А/ = (X/ щах — X/ min)/2j
Xi0) = 1,5; Дх = 0,5; Х$’ = 7,0; Да = 1,0.
114
Таблица 4.1
Л7	Xi	*2	••	1 "	«1		Vi
1	—1	—1	95,0	3	—1	+1	85,0
2	+ 1	—1	90,0	4	+1	+1	82,0
В окрестностях базовой точки Х/Ср = Х® в соответст-
вии с матрицей планирования ПФЭ провели эксперимент
и получили значения выходной величины (функции отклика)
в соответствии с табл. 4.1.
Л 4
На основании формулы а/ = S xt/^74 определим зна-
чения коэффициентов!
а0 = (95,0 + 90,0 + 85,0 + 82,0)74 = 88,0;
ах = (_ 95,0 + 90,0 — 85,0 4- 82,0)/4 = — 2,0;
а2 = (— 95,0 — 90,0 + 85,0 + 82,0)/4 = — 4,5.
Таким образом, уравнение регрессии, полученное в ок-
рестности базовой точки Х/0), имеет вид
у = 88,0 — 2j5xx — 4,5х2.
Наиболее существенно влияет на изменение функции от-
клика фактор Х2, так как коэффициент при нем по модулю
наибольший.
Выберем шаг варьирования фактором Х2, равный Х2 =
= — 0,5 (шаг взят со знаком «минус», так как отыскивается
максимум, а увеличение значения Х2 в исходном уравнении
регрессии приводит к уменьшению оценки выходной вели-
чины).
Затем определим нормированный шар варьирования
факторов в кодированной системе координат:
1 = _0,5/4,5.0,11,
округляем до первой значащей цифры после запятой 1 =
= —0,1 .Зная X, можно определить шаг, варьирования факто-
ром Хх в натуральных единицах, позволяющий найти коор-
динаты первой точки в направлении градиента (аналогично
точке на рис. 4.3)
Х1 = —0,1 * 2,0.0,5 =— 0,1.
Тогда координаты точки К6 при условии, что I = 1 (пер-
вый шаг продвижения к экстремуму), определяются в соот-
*	116

Ко к5 ке к7 к8 ка м
Рис. 4.4. Сечение поверхности
отклика в направлении крутого
восхождения
ветствии с (4.9):
Х(15>= 1,5 —0,1 = 1,4;
Х^ = 7,0 — 0,5 = 6,5.
Установив значения Х\ = 1,
4 и Х2 = 6,5, в результате опы-
та получим значение функции от-
клика Y (К5). .
Значение выходной величины
(вернее, его оценку) можно получить и на основании уравне-
ния регрессии, используя выражение (4.9) для определения
кодированных значений факторов прй I = 1:
*|б> = %|а1| = —0,1 -2,0 = — 0,2;
л£5) = Л|а2| = —0,1 -4,5 = — 0,45.
Тогда
у& = 88,0 — 2,0 (— 0,2) — 4,5 (— 0,45) = 90,4.
В каждой рабочей точке необязательно проводить реаль-
ные опыты. Чтобы уменьшить объем исследований, а сле-
довательно, увеличить их эффективность, часть натурных,
опытов на объекте заменяют на так называемые «мыслен-
ные». «Мысленные» опыты заключаются в получении значе-
ний выходной величины на основании имеющегося линей-
ного уравнения регрессии при подстановке в него координат
рабочей точки, определенных на основании выражения (4.9),
как это было проделано выше. Реальные проверочные опы-
ты проводятся через два-три «мысленных» опыта. На
рис. 4.4 изображено сечение поверхности отклика верти-
кальной плоскостью, след которой проходит через луч К.0М
(см. рис. 4.3). «Идеальная» кривая 1 представляет собой
действительное сечение поверхности отклика, а прямая 2 —
значения выходной величины, полученные (предсказанные)
на основании линейного уравнения регрессии.
Первый цикл крутого восхождения прекращается после
прохождения частного экстремума (точка К8), о чем судят
по реальным опытам. Поэтому по мере приближения к част-
ному экстремуму следует чаще проводить проверочные опы-
ты, а после прохождения частного экстремума в ряде случаев
поставить дополнительный проверочный опыт в промежутке
между теми двумя рабочими точками, после которых на-
чалось уменьшение выходной величины и в которых достиг-
нуты примерно одинаковые и самые большие из всех пре-
дыдущих значения Y. Кроме того, как следует из рис. 4.4, о
116
прохождении области частного экстремума свидетельству-
ет изменение знака разности между расчетными и опытными
данными («мысленными» и натуральными опытами).
Второй цикл начинается из достигнутой точки частного
экстремума, принятой за новую базовую точку, в окрест-
ностях которой ставится ПФЭ или ДФЭ. По мере приближе-
ния к. экстремальной области шаг варьирования следует
уменьшать. Полученная новая линейная модель дает новое
направление градиента, вдоль которого проводятся «мыс-
ленные» и проверочные опыты до достижения в данном на-
правлении частного экстремума.
Признаком достижения глобального экстремума являет-
ся неадекватность линейной модели, полученной на основа-
нии ПФЭ иди ДФЭ, когда коэффициенты при факторах а}
становятся незначимыми, коэффициенты при парных вза-
имодействиях резко возрастают.
Рассмотрим пример применения метода крутого восхож-
дения при определении экстремальной (максимальной) об-
ласти (основу его составляет приведенный в [19] пример
изучения оптимального состава легированной стали).
Функция отклика Y зависит от семи факторов, граничные
значения которых выбирались на основании накопленного
ранее опыта. Исходные данные, матрица планирования, ре-
зультаты опытов для пробных точек, координаты шагов
варьирования при продвижении к экстремуму и значения
функции отклика в этих точках сведены в табл. 4.2.
• Для определения направления градиента в окрестностях
базовой точки с уровнем X/0* достаточно в ее окрестностях
построить линейную регрессионную модель, аппроксимиру-
ющую поверхность отклика
Л Л 7 Л
У = а0 + S «Л/.
/«=1
коэффициенты которой пропорциональны проекциям гра-
диента. Для этой цели достаточно, провести N^8 опытов.
Следовательно, в окрестностях базовой точки достаточно
провести ДФЭ вида 27-4, в котором факторы хх, х2 и х3
считаются основными и для которых матрица плана строит-
ся по известному правилу, как при ПФЭ.
Уровни варьирования дополнительных факторов уста-
навливаем на основании четырех генерирующих соотноше-
ний, которым соответствуют определяющие контрасты.
Пусть были выбраны следующие ГС:
х4 = ххх2х3; х5 = — хгх2;
Xq =F *^1^8’	^7 3=3
117
V'-» J
'$,1
Группа данных	Влияющие величины (факторы)		Х1		
Исходные данные для эксперимента	Базовый уровень Интервал варьирова- ния Д/ Нижний уровень X/mIn Верхний уровень Х/тах		2 1 1 3	0,1 0,1 0 0,2	
	Кодирование с учетом генери- рующих соотношений				
Матрица плана ДФЭ	27_4	1 2 3 4 5 6 7 8	—1 +1 —1 +1 —1 +1 —1 +1	—1 —1 +1 +1 —1 —1 +1 +1	
Исходные данные для МКВ	Оценка коэффициентов Рабочий шаг Лу	№ опыта	-0,09 -0,1	0,64 0,07	
Крутое восхожде- ние (опыты)	Мысленный Мысленный Мысленный Мысленный  Натурный Натурный Натурный Натурный Натурный Натурный	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0	0,17 0,24 0,31 0,38 0,45 0,52 0,59 0,66 0,73 0,80	
которые дадут соответственно OKi
1 =	1 == X^X^X^
1 = — од; 1 = — х^ХзХ,.
В обобщенный определяющий контраст будут входить ис-
ходные ОК, а также их сочетания по 2, по 3 и одно сочета-
ние из всех четырех ОК. Общее число сочетаний, входящих в
ООК, составит 44-64-4+1 = 15, и даст весьма слож-
ную картину смешивания оценок коэффициентов. Однако
смешивание оценок определять не надо, так как цель проб-
ных опытов при МКВ — это определение направления гра-
Л
диента, т. е. оценок коэффициентов а{ при фактора^.
11$
Таблица 4.2
	х9	х4	Хз	*•	*,	У	'у
	0,02	4	0,1	0,4	0,4		
	0,02	1	0,1	0,1	0,1		
	0	3	0	0,3	0,3		—_
	0,04	5	0,2	' 0,5	0,5		
	*3	*1Ч*з	—*1*2	““*1*3	—*2*3	—	—
	— 1	—1	— 1	—1		1	1,5	1,5
	— 1	+1	4-1	4-1	— 1	3,5	3,5
	— 1	+1	4-1	—1	+ 1	6,2	6,2
	—1	—1	—1	4-1	+ 1	3,2	3,2
	+ 1	+1	—1	4-1	+ 1	5,3	5,3
	+1	—1	+1	—1	+ 1	5,1	5,1
	+1	—1	+1	4-1	— 1	5,3	5,32
	+1	+1	—1	—1		1	5,8	5,8
	0,89	0,71	0,54	—0,16	0,46		
	0,02	0,8	0,06	—0,02	—0,05		
	0,04	4,8	0,16	0,38	0,45	__	6,95
	0,06	5,6	0,22	0,36	0,50	—	9,34
	0,08	6,4	0,28	0,34	0,55	—	12,65
	0,10	7,2	0,34	0,32	0,60	—	15,51
	0,12	8,0	0,40	0,30	0,65	10,3	16,67
	0,14	8,8	0,46	0,28	0,70	10,5	—
	0,16	9,6	0,52	0;26	0,75	11,0	—
	0,18	10,4	0,58	0,24	0,80	11,5	—
	0,20	11,2	0,64	0,22	0,85	11,2	—
	0,22	12,0	0,70	0,20	0,90	10,1	—
В соответствии с матрицей ДФЭ вида 27“* при выбран-
ных ГС были проведены опыты и получены значения функции
отклика в точках плана. Исходя из формулы
Л	W
«/ = S yiXij/N,
найдены оценки коэффициентов и уравнение регрессии
у = 4,49 _ о,О9хх 4- 0,64х2 4- 0,89х3 4- 0,71х4 + 0,54хБ —
— 0,16хв + 0,46х7.
Наиболее существенным является фактор х3, т. к. ко-
эффициент Оз = 0,89 по модулю, является самым большим
119
из всей совокупности а/. Для него устанавливаем шаг
варьирования, например, %8 = 0,02.
Тогда в соответствии с (4.8) нормированный шаг варьи-
рования
К = 0,02/0,89 • 0,02 = 1,12,
откуда в соответствии с выражением К/ = ha/Aj опреде-
лим расчетные значения шага варьирования входными ве-
личинами в естественной системе координат, позволяющие
получить координаты точек, лежащих на направлении гра-
диента. Так, для переменной Хг рабочий шаг варьиро-
вания
= 1,12-(-0,09)- 1,0 =—0,1008 « — 0,1.
Аналогично определяются и другие 1» (результаты зане-
сены в соответствующую строку табл. 4.2).
При крутом восхождении нет необходимости проводить
реально все опыты — их можно заменить на «мысленные».
Для этого на основании соотношения (4.9) определяются
значения xf и рассчитывается значение yt.
Так, для первого «мысленного» опыта расчетное значение
выходной величины
^= 4,49 — 0,09 - 0,09.1,12 + 0,64.0,64 • 1,12 +
+ 0,89-0,89. 1,12 + 0,71 • 0,71.1,12 + 0,54 • 0,54- 1,12 —
— 0,16 • 0,16 • 1,12 + 0,46 • 0,46 • 1,12 = 6,95.
Аналогично найдем значения выходной величины для
точек в направлении градиента, в которых проводятся «мыс-
ленные» опыты, и занесем их в табл. 4.2. Как уже отмечалось,
что на начальном этапе поиска экстремума натурный (ре-
альный) опыт можно ставить через три—пять «мысленных».
В рассматриваемом примере натурный опыт ставится после
четырех «мысленных» и полученное, значение у& = 10,3
сравнивается с расчетным у6 = 16,67. В соответствии с
рис. 4.4 можно предположить, что область экстремума уже
пройдена, так как у6 >» уъ, т. е. расчетное значение больше
реального. Поэтому следующий (шестой) опыт также надо
провести натурным, чтобы уточнить область экстремума
(в. действительности при пятом опыте находились вблизи
этой области). Шестой опыт показывает, что область экстре-
мума еще не достигнута, так как ув > у6. Следовательно,
тот факт, что в пятом опыте расчетное значение у6 больше
значения, полученного опытным путем у6, можно объяснить
120
только тем, что уравнение регрессии хорошо аппроксимиру-
ет поверхность отклика лишь в области базовой точки (об
этом можно судить о совпадении расчетных и опытных дан-
ных при реализации ДФЭ 27^4). Это следует из того, что
ДФЭ 27“4 дает смешивание оценок и поэтому линия регрес-
сии во всех точках будет давать значения функции отклика
больше, чем в экспериментальных данных (на рис. 4.4 дан-
ная ситуация представлена пунктирной линией). В даль-
нейшем проводим только натурные опыты. Так как значе-
ние выходной величины, полученное в шестом опыте, будет
больше значений, полученных в седьмом, а также в девятом
и десятом опытах, то точка восьмого опыта находится в
области частного экстремума в найденном по ДФЭ 27—4
направлении градиента. На этом заканчивается первый цикл
крутого восхождения, из рассмотрения которого следует,
что даже за один цикл достигнуто значение функции откли-
ка (уе = 11,5), которое в 2,5 раза превосходит значение в
базовой точке у0 = 4,49, что свидетельствует об эффек-
тивности МКВ.	.	,
После достижения области экстремума проводится ее
исследование. Для этой цели строятся планы более высоко-
го порядка, так как поверхность отклика вблизи экстремума
плохо аппроксимируется гиперплоскостью. Как уже отме-
чалось, о достижении экстремальной области свидетельст-
вует уменьшение по абсолютной величине коэффициентов
при факторах и резкое возрастание коэффициентов модели,
полученной на основании ПФЭ или ДФЭ в области текущей 4
базовой точки.
4.3.	Центральные композиционные планы
второго порядка
Полный или дробный факторный эксперимент позволяет
получить независимые оценки коэффициентов при незави-
симых переменных уравнения регрессии, а также их неко-
торых линейных взаимодействиях.
Из теории аппроксимации известно, что для получения
линейной модели достаточно каждый из факторов варьиро-
вать на двух уровнях.
Коэффициенты при факторах во второй степени из двух-
уровневого планирования определить нельзя, так как они
смешаны со свободным членом. Вектор-столбец для фак-
тора во второй степени х/ во всех строках будет со-
держать лишь -f-1, независимо от уровня варьирования
фактора Xj, и
Рис. 4.5. «Звездные» точ-
а* = а0 + Д о/л
Чтобы, например, определить по-
ложение кривой на плоскости, необхо-
димо фактор варьировать на трех уров-
нях (известным примером является
ки плана	проведение окружности через три точ-
ки).
Таким образом, для получения регрессионной модели,
включающей и факторы во второй степени, необходим план
активного эксперимента, предусматривающий как мини-
мум три уровня варьирования каждым фактором. В каче-
стве такого уровня может быть выбран «нулевой» уровень,
при котором X] = 0. Однако ПФЭ с числом уровней варьи-
рования k = 3 обладает большой избыточностью, так как
число опытов N = 3я.
Одним из подходов при построении планов второго по-
рядка состоит в использовании результатов планирования
на последнем шаге крутого восхождения. План такого вида
получается достраиванием плана, представляющего собой
факторный эксперимент в окрестностях базовой точки, даю-
щего неадекватную регрессионную модель и называемого
композиционным, или последовательным, состоящим из
нескольких частей, которые осуществляются последова-
тельно. Эти части таковы [20]:
1)	«ядро» плана, включающее точки ПФЭ или ДФЭ, в
которых уже были поставлены опыты, но результаты кото-
рых дали неадекватную линейную модель;
2)	«звездные» точки, лежащие на всех п осях-факторах
по обе стороны от центра плана (базовой точки) на расстоя-
нии а, называемом «звездным» плечом (точки называются
«звездными», так как они обычно обозначаются крестиками,
как показано на рис. 4.5);
3)	центральная точка с кодированным значением факто-
ра xf = 0, в которой проводится серия из No параллельных
опытов.
Общее число точек в факторном пространстве, в кото-
рых реализуются опыты:
N = ^ + Na + N0,
где ЛГф » 2Я-Р (при ПФЭ р = 0) — число точек факторного
планирования на двух уровнях; Na = 2 • п — число «звезд-
ных» точек (п — число факторов); No — число точек (опы-
тов) в центре плана.
122
Поскольку композиционный план предусматривает по-
становку опытов в центре плана и его точки расположены
симметрично относительно центра (рис. 4.5), то его называ-
ют центральным.
Таким образом, в центральном композиционном плане
(ЦКП) осуществляется варьирование независимыми пере-
менными на пяти уровнях:—а; —1; 0; +1; -f-а. Значение
«звездного» плеча а выбирается из условия выполнения
критерия оптимальности плана. Из этих же соображений
выбирается и число центральных точек No.
Центральные композиционные планы в зависимости от
критерия оптимальности бывают двух видов:
1)	ортогональные, для которых критерием оптималь-
ности является Ортогональность всех вектор-столбцов мат-
рицы планирования, что обеспечивает независимость оце-
нок коэффициентов уравнения регрессии (в том числе и при
квадратичных членах);
2)	ротатабельные, для которых критерием оптималь-
ности служит одинаковая точность прогнозирования функ-
ции отклика по уравнению регрессии в любом направлении
исследуемой области факторного пространства на равном
расстоянии от центра плана, обеспечивающие равномерное
распределение информации по гиперсфере, центр которой
совпадает с центром плана (с базовой точкой).
4.4.	Ортогональные центральные композиционные
планы
В ортогональных ЦКП второго порядка достаточно про-
водить только один опыт в центре плана, т. е. No = 1. Рас-
смотрим случай двухфакторного эксперимента. Матрица ор-
тогонального ЦКП и вектор-столбцы для вычисления оце-
нок коэффициентов при фиктивной переменной х0, взаимо-
действиях X/Xk, а также факторах во второй степени X/,
представлены в табл. 4.3.
Как уже отмечалось, в ортогональных ЦКП второго
порядка должны быть ортогональными друг с другом все
вектор-столбцы, включая и вектор-столбцы квадратичных
членов и вектор-столбец фиктивной переменной. Как
видно из табл. 4.3, не все вектор-столбцы являются попарно
ортогональными. Действительно:
N	____
2 XigXij ^^0, j = 1, А;
t=i
N	____
Xijfyu 0, ft Ц 1, J
183
Таблица 4.3
	№ п/п	Х1	*2	*0	*1*2	Х1	х2 х2
ПФЭ	1	—1	—1	4-1	4-1	4-1	+ 1
22	2	+1	—1	+1	—1	4-1	— 1
	3	—1	4-1	+ 1	—1	4-1	— 1
	4	+1 .	4-1	4-1	4-1	4-1	~~1
«Звездные» точки	5	—ос	0	4-1	0	а2	0
	6 ’	+а	0	4-1	0	а2	0
	7	0	—ос	4-1	0	0	а2
	8	0	+а	+1	0	0	а2
Центр	9	0	0	+1	0	0	0
Для обеспечения попарной ортогональности преобра-
зовывают модель и выбирают значение а, для обеспечения
ортогональности вектор-столбца фиктивной переменной пре-
образуют вектор-столбец факторов во второй степени так,
чтобы выполнялось условие
n
^Xio(Xi})2 = O,
где (Xf/)2 = X// — р — преобразованные значения вектор-
столбца.
Приняв во внимание, что х0 тождественно равно едини-
це, получим
N
gi(^/-P) = O.
Из данного выражения определится смещение р, которое
необходимо ввести в вектор-столбец факторов во второй
степени, чтобы он был ортогонален вектор-столбцу фиктив-
ной переменной, т. е.
N
Р = S х?//ЛГ.	(4.10)
Однако даже при введении смещения р преобразован-
ные вектор-столбцы факторов во второй степени (х?/ —Р)’
между собой не будут ортогональными. Для обеспечения их
ортогональности необходимо должным образом выбирать
значение «звездного» плеча а. Наглядность выбора а.легко
установить для простейшего случая трехфакторного экспе-
римента, когда модель имеет вид
У « а0 + atX! + а2хг 4- а3х3 4- а^х^ 4- а13х,х3 4-
4" о23х2х3 -f- а1гХ1 -}- а32х2	a3$x&
1$4
Таблица 4.4
№ п/п	Xi	хе	*8	*0	*1*2	*1*8	*8*8	(*Р2 * * * * *	(*2>а	
1	—1	—1	—1	4-1	4-1	4-1	+1	1-р	1-Р	1-р
2	+1	—1	—1	4-1	—1	—1	+ 1	1-р	1-р	1 -р
3	—1	+1	—1	4-1	—1	4-1	—1	1 -р	1-р	1-р
4	+1	+1	-1	4-1	4-1	—1	—1	1-р	1-р	1-р
5	—1	—1	4-1	4-1	4-1	—1	—1	1-р	1-р	1-р
6	+1	—1	4-1	4-1	—1	4-1	—1	1 -р	1-р	1-р
7	—1	4-1	4-1	4-1	—1	— 1	+1	1-р	1-р	1-р
8	+1	4-1	4-1	4-1	4-1	4-1	+1	1 -р	1 -р	1-р
9	—ОС	0	0	4-1	0	0	0	а2—Р	-р	-р
10	+а	0	0	4-1	0	0	0	а2—р	-р	-р
И	0	—ос	0	4-1	0	0	0	-Р	а2— Р	-р
12	0	+а	0	4-1	0	0	0	-Р	а2—Р	-р
13	0	0	—а	+1	0	0	0	-Р	-Р 	а2— р
14	0	0	+а	4-1	0	0	0	-Р	-Р <	=с2—Р
15	0	0	0	4-1	0	0	0	-Р	-Р	-Р
Матрица, содержащая преобразованные вектор-столбцы
представлена в табл. 4.4. Условие ортогональности
N
£ (/</)* (№)8«0.
Число опытов, составляющих «ядро» плана = 2п~р
(если основу ЦКП составляет ПФЭ, то р = 0).
В «звездных» точках реализовано ЛГа = 2п опытов. По-
этому условие ортогональности, исходя из приведенных со-
отношений, на основе табл. 4.4. для двух вектор-столбцов
может быть переписано так:
2"-₽ (1 — р)2 — 4 (а2 — р) (3 + (2га — 4) 02 + 02 = 0,
или окончательно
2«-₽ (1 — 02) _ 4 (a2 — Р) р + (2га — 3) Р2 = 0. (4.11)
Согласно табл. 4.3,
Р = (2«-р + 2a2)/(2"-P + 2n + 1),
тогда можно, решив уравнение (4.11), определить значение
«звездного» плеча а для различного числа факторов:
п~2, a = 1;
п — 3, a = 1,215;
п — 4, а — 1,414 и т. д.
Следовательно, выбор значений Р и а по (4.10) и (4.11)
обеспечивает ортогональность вектор-столбцов. Вектор-
125
столбцы матрицы, приведенной в табл. 4.4, кроме ортого-
нальности обладают еще и свойством симметричности, но
условие нормировки в этом случае не соблюдается. Выше
отмечалось, что условие нормировки обеспечивает одинако-
вую точность оценки коэффициентов уравнения регрессии.
Для ортогональных ЦКП точность определения различных
групп оценок будет не одинаковой, так как в них не выпол-
няется условие
N
S •*«=/=
г=1
В данном выражении под индексом k понимается любой
вектор-столбец, кроме нулевого. Определим значение
w 2
Е^л для четырех групп однородных вектор-столбцов!
1)	независимые переменные (столбцы xt, j = 1, n)
N
E 4/ “ 2n-" 4- 2a8;
i=i
2)	линейные взаимодействия (столбцы xfxai j Ф uj
N
E (xtjXiuY = 2n~p',
3)	преобразованные факторы во второй степени (столб-
цы (х</)8)
N
S (Хц)* = 2"-р (1 — р)8 4- 2 (a8 — Р)8 4- (2п — 1) р8;
4)	фиктивная переменная х0
N
S Xio = 2п-р 4- 2п 4-1.
i=i
Исходя из выражения
A	w	w
= Е Xi^y^l Е Xikt
i=l /=1
можно найти оценки коэффициентов уравнения регрессии,
где номер вектор-столбца матрицы, представленной в
табл. 4.4. В результате получаем модель в кодированной
системе координат, включающей преобразованные квадра-
тичные члены:
АЛ	^ Л	Л	П А
у = do 4- Е ajX) 4- Е ajuXjXu 4- Е ЦИ
Ж	/,м=1	/«1
126
Учитывая смещение 0, т. е. (х/)2 = X/ — 0, окончатель-
но получим уравнение регрессии
А./Ч	” Л	П	А	П	А
У = а0 + X aixt + X aJUXjXu + X оих2,
j=l i,u=l	/=1
где
А	А	П А
^0	«О	Р jhJ Пуу.	*
/=1
Оценки дисперсий коэффициентов для каждой из четы-
рех однородных групп подсчитываются по следующим фор-
мулам (при т параллельных опытов):
S2 {а,} = Хв/ т
S2B/[m (2п~р + 2а2)];
[n 1
т X (хцх{и)2] = S2B/[m • 2«-q;
Л г N 1
S2 Ы = sl/l т X (xj/)41 = Sjj/fm [2"~p (1 -₽)2 +
+ 2 (a2- p)2 + (2n — 1)P2]};
S2 {^} = S2 ft} + p2S2 (X «//) =
= s2 (— -I___________________!_________________'l /tn
B \ N 2n-p (1 — P)2 + 2 (a2 — P)2 + (2n — 1) p2/
Выбор числа m параллельных опытов, рандомизация по-
рядка их проведения в точках факторного пространства
предусмотрены матрицей планирования ортогонального
центрального композиционного плана, статистическая оцен-
ка однородности опытов проводится так же, как и при ПФЭ
(или ДФЭ). Однако следует помнить, что на последнем цик-
ле крутого восхождения уже был выполнен двухуровневый
факторный эксперимент (в табл. 4.4 восемь первых опытов),
то рандомизировать и проводить нужно только опыты в
«звездных» точках и в центре плана. Однако статистиче-
ская оценка построчных дисперсий должна проводиться для
всех N построчных дисперсий сразу, а не отдельно для
вновь выполненных опытов в «звездных» и центральных
точках.
Если полученное на основании ортогонального ЦКП
уравнение регрессии оказалось адекватным принятому уров-
ню значимости, то его можно исследовать аналитическими
методами и уточнить область экстремума. Для этого необхо-
12?
димо взять частные производные по всем п факторам, при-
равнять их нулю и решить полученную систему п урав-
нений.
Полученное описание математической области экстре-
мума может быть также использовано для прогнозирования
функции отклика. Однако дисперсия оценки у функции от-
клика в некоторой точке факторного пространства зависит
не только от расстояния этой точки до центра плана р, но и
от ее положения на гиперсфере. Поэтому, если не предъ-
являются особые требования к точности предсказания
выходной величины по уравнению регрессии в любом на-
правлении факторного пространства от базовой точки,
предпочтительно применение ортогонального ЦКП ввиду
его простоты. При наличии требований к предсказанию вы-
ходной величины следует применять ротатабельные ЦКП.
4.5. Ротатабельные центральные композиционные
планы
При исследовании экстремальной области часто интерес
представляет оценивание не коэффициентов полученной рег-
рессионной модели, а самой функции отклика. Кроме того,
часто на практике можно значительно упростить регрессио-
нную модель путем поворота координатных осей, т. е.
преобразованием координат. Ротатабельное планирование,
обеспечивающее погрешность предсказания выходной вели-
чины по уравнению регрессии, зависящую лишь от расстоя-
ния точки факторного пространства до центра эксперимента,
позволяет предсказывать с одинаковой точностью значение
функции отклика, а следовательно, преобразовывать систе-
му координат с целью упрощения уравнения регрессии.
Основным условием ротатабельности планов [31] явля-
ется инвариантность нормированной информационной С и
корреляционной матрицы С~1 ко вращению прямоуголь-
ных осей относительно начала координат, помещенного в
базовую точку. Исходя из условия инвариантности матриц
ко вращению системы координат, точность оценок коэффи-
циентов регрессии при вращении также не будет изменять-
ся. Следует при этом отметить, что изменение масштаба
входных переменных приводит к несохранению свойства
ротатабельности. Таким образом, необходимо поддерживать
постоянство масштаба задания независимых переменных
при проведении всего эксперимента.
Рассмотрим матрицу плана второго порядка, дополнен-
ную вектор-столбцами взаимодействий, факторами во вто-
128
рой степени и свободным членом
	^10 Х20	Хц, . ,Х\п ^21* * *Х2п	х1Лз‘ • Х21%22‘ •	\)Xin •Xzt(n—1)Х2п	2 Х1,1Ь Дп.	2 • *X\tnn 2 • »Х2, пп
х =	Хц)	Хц, , .Xin	А/1А/2* •	•Xit(n—A)Xin	#111.	2 • »Х1,пп
		X/vi« • *Xtfn		2 .*Л7,(л—l)*Wn XjV.ll.		2
(4.12)
Для определения информационной матрицы необходимо
найти транспонированную матрицу
Xjq	%20	• •
Хд	• • .Хц • • .XjVl
Xin	%2п	• • -Xin	• • •XNn
^11^12	^21^22	• •	• • •ХщХщ^
Х* ==
Х1г(п—1)Х1п	#2,(л—l)^2n. . •Xi,(n— 1)Х(п, • -^N ,(п^\)Х^п
2	2	2	2
*1,11	AT2.11	. . Л,Ц . . .Xjv.ll
•
2	2	2	2
^1,пл	%2, пп	• • .^i,nn • • 'XN.nn
Нормированная информационная матрица Фишера Ф =
= CIN должна обладать некоторыми свойствами, чтобы быть
инвариантной к ортогональному преобразованию (вращению).
Будем называть моментами плана элементы нормирован-
ной информационной матрицы
а порядком момента величину
Pku — Jtj Рр
7=1
Момент будет четным, если все степени pt четные, и не-
четным, если хотя бы одна степень pt элемента нормирован-
ной информационной матрицы нечетна.
Для ротатабельного плана второго порядка все нечет-
ные моменты вплоть до четвертого порядка включительно
должны быть равны нулю [31, 19]. К таковым относятся
9 в—1801
129
следующие моменты:
w	____ ।
1)	первого порядка £ **/ = 0, / = 1, п,
N	____
2)	второго порядка 2 хцх1и = 0, /=/=«, /== 1, и;
N	N	N
3)	третьего порядка хпх^хиг = S xuXik = S = 0;
z=i	i=i	i=i
j^Lu=^k\ j, и, k, = 1, и;
4)	четвертого порядка
N	N	N
S XijXiu = J] XijXiuXik = S XijXiuXikXig = 0,
f=i	1=1	1=1	(4.13)
j^u^k*£g\ j, u, k, g=l, n.
Все четные моменты такого плана до четвертого порядка
включительно должны удовлетворять соотношениям [191:
нулевого порядка
N
Ё х?о = Л^;
i=l
второго порядка
N
^х2ц = МХ2, j=l,n;
<=i '	2	1	|	(4.14)
четвертого порядка
N	___
S xqxlu^ j, и= 1, и; j=£u*,
N	_____
2 xjj = ЗМ,4;	/ = 1, п.
i=i
Согласно (4.13) и (4.14) нормированная информационная
Ф матрица ротательного плана второго порядка имеет вид
табл. 4.5, где соответствие с выражением (4.12) получается
при умножении столбца на строку.
Информационная матрица для удобства дальнейших вы-
числений расчленена на подматрицы. Такое расчленение
отделяет элементы, соответствующие свободному члену, ли-
нейным членам, парным взаимодействиям и квадратным
членам регрессионной модели.
Решение задачи регрессии возможно в случае, когда ин-
формационная матрица Фишера невырожденна. Определи-
ISO
Таблица 4.5
тель этой матрицы в качестве сомножителя содержит ((п +
+ 2) Х4 — пМ). Поэтому условием невырожденности мат-
рицы, приведенной в табл. (4.5), будет выполнение нера-
венства
~	М.2 =/=«/(«+ 2).	(4.15)
Константа выбирается из условия выбора масштаба
плана, а константа Х4 выбирается из условия (4.15) невы-
рожденности информационной матрицы.
Если все точки плана расположить на поверхности сферы
с радиусом рис центром в начале координат нормированно-
го факторного пространства, то для любой i-й точки данного
плана можно записать
(i= 1, n).
9*
181
В соответствии с матрицей, приведенной в табл. 4.5
(подматрица с линейными членами),
n N
Р2 = Е £•*?/= «Л-2,
/=1 7=1
можно выразить радиус сферы и через моменты четвертого
порядка
nN	nN
(р2)2 = Е S + Е S 4 -п(п~ 1)Л4 + зпх4
/,и=1 1=1	/=1 t=i
(выражение получено из подматриц с парными взаимодей-
ствиями и квадратичными членами).
Следовательно, из последних двух выражений
71^X2 в л (п — 1) Х4 ЗпХ4.
Окончательно получим	. (
Х4/Хг — пЦп 4- 2),
т. е. условие невырожденности (4.15) информационной мат-
рицы Ф этого плана не выполняется.
Таким образом, точки ротатабельного плана, в которых
реализуются опыты, должны быть расположены на несколь-
ких (как минимум двух) концентрических гиперсферах с
общим центром.
В предыдущем разделе было рассмотрено построение ор-
тогонального ЦКП второго порядка, обеспечивающего не-
зависимость оценок коэффициентов уравнения регрессии.
При этом условие ортогональности решалось путем выбора
двух параметров ЦКП — «звездного» плеча а и числа No
центральных точек. Для построения ротатабельного ЦКП
второго порядка «звездное» плечо а и No необходимо выби-
рать таким образом, чтобы моменты ЦКП вплоть до четвер-
того порядка включительно соответствовали условиям (4.13)
и (4.14) ротатабельности плана второго порядка.
Рассмотрим матрицу тг-факторного ЦКП, представлен-
ную в табл. 4.6. Ввиду того что вектор-столбцы X/ матрицы
ядра плана (ПФЭ или ДФЭ) обладают свойством симметрии-
ности у xtj = 0, а также принимая во внимание, что «звезд-
7=1
ные» точки располагаются по обе стороны на одинаковом
расстоянии а от центра плана (симметрично), все нечетные
моменты удовлетворяют требованию (4.13), т. е. они равны
нулю при любых значениях а и No.
Принимая во внимание, что общее число опытов (а сле-
довательно, строк в матрице)
АГ-=^ф + АГа + ЛГ0,
132
Таблица 4.6
№ п/п
1
2
3
4
2п
2п + 1
2п + 2
>2п + 3
;2п + 4
2п + 2п —
— 1
2п + 2п
2" + 2п +
+ 1
2П + 2п +
+ 2
2” + 2п 4-
+ No
+1
-1
— 1
+ 1
+ 1
О
о
о
о
а* 1 2 3
а2
О
О
где Л/ф = 2"; Na — 2п, можно на основании табл. 4.6 по-
лучить выражения в общем виде для всех четных моментов
ЦКП.
Запишем эти выражения для моментов нормированной
информационной матрицы Ф = C/Ni
1) нулевого порядка
N
S xl0/N = 1;
f=l
2) второго порядка
N	____
Е fiflN = (2n + 2a2)/(2n + 2n + No) (i = 1, n)j
t==l
3) четвертого порядка
N
S tiitiu/N = 2"/(2" + 2n + No) а, и = 1, п; /V «)5
N	____
Б x4tj/N » (2" + 2а4)/2" -f- 2n + N9 (j = 1, n).
199
Чтобы четные моменты удовлетворяли условию (4.14),
необходимо выполнение равенств:
(2” + 2а2)/(2" + 2n + No) = Л2;
2"/(2п + 2л + No) = Х4;
(2П + 2а4)/(2” + 2л + No) = ЗХ4.
Как уже отмечалось, значение Х2, определяющее масштаб
плана, выбирается произвольно. Поэтому первое соотноше-
ние не накладывает ограничений на выбор а и No.
Последнее соотношение позволяет получить условие ро-
татабельности
3.	_ 2я + 2««
2"+2« + W0 “ 2" + 2п + ^ ’
ИЛИ а4 = 2".
Следовательно, чтобы ЦКП второго порядка обладал
свойствами ротатабельности, значение «звездного» плеча
должно составлять
а = 2Я/4.
Как и в случае ортогональных ЦКП, а зависит от числа
п входных величин (факторов).
Для определения числа опытов в центре плана («нуле-
вой» точке) необходимо исходить из условия (4.15) невырож-
денности информационной матрицы Фишера для ротатабель-
ных планов;
= 2п(2пЧ-2п + ^0) = 2”4-2п + ^	. п
(2п + 2а2)а	(2га/2 4-2)а	« + 2 '
Из последнего соотношения следует, что для построения
ротатабельного ЦКП с невырожденной информационной мат-
рицей Фишера достаточно в центре плана проводить одит
опыт. Увеличение числа No опытов в центре плана приводит
к увеличению числителя и позволяет усилить неравенство
до требуемой степени.
Часто исследователя интересует информация о функции
отклика в некоторой окрестности центра плана, т. е. тре-
буется, чтобы информация о выходной величине, получен-
ная на основании уравнения регрессии, была практически
одинаковой (постоянной) внутри гипершара радиуса р = 1
для р £ [0, 1]. Такое планирование называется униформ-
ротатабельным, для получения которого достаточно обеспе-
чить равенство дисперсии в центре плана (р = 0) и на по-
верхности гиперсферы радиуса р = 1. Этого добиваются
подбором числа наблюдений No в центре плана.
В случае, когда число факторов велико, то в качестве
«ядра» ротатабельного ЦКП выбирается матрица ДФЭ.
134
Оптимальное значение «звездного» плеча при этом опреде-
ляется так:
а = 2<л~р^4.
Если ПФЭ или ДФЭ уже был выполнен на последнем
цикле крутого восхождения, то число параллельных опы-
тов т в «звездных» точках и в центре плана должно соответ-
ствовать числу т параллельных опытов, которые до этого
были осуществлены в ПФЭ или ДФЭ. Это обусловлено тем,
что в расчете коэффициентов уравнения регрессии участву-
ют все N строк матрицы планирования, которые должны
иметь одинаковое число степеней свободы. Не следует сме-
шивать понятие числа параллельных опытов т и числа то-
чек No в центре плана. Каждая из No точек в центре плана
рассматривается как «автономная» точка, и для нее прово-
дят серию из т параллельных опытов. Проверка однород-
ности построчных дисперсий (воспроизводимости опытов)
производится аналогично ранее рассмотренному на основа-
нии критерия Кохрэна.
Для нахождения методом наименьших квадратов оценки
коэффициентов регрессии будем исходить из известного со-
отношения
А = С~1Х*У,
которое может быть переписано в виде
Д = -^-Ф-1Х<У,	(4.16)
где Ф"1 — матрица, обратная нормированной информаци-
онной матрице Ф любого ротатабельного плана.
Для ее определения воспользуемся матрицей Ф, представ-
ленной в табл. 4.6. Ввиду того что подматрицы с линейными
факторами, а также с их парными взаимодействиями диа-
гональные, то они легко обращаются (аналогично ортого-
нальным планам).
В табл. 4.7 приведена матрица Ф-' ротатабельного
«-мерного плана второго порядка, в которой используется
обозначение
В = (2%4 [(п + 2) %4 — п%2]}
Подставив в выражение (4.16) из табл. 4.7 элементы мат-
рицы Ф~1, получим формулы для определения оценок коэф-
фициентов [51:
л я (Г	N _ 1	« N _ 1
= ц 2^4 (л + 2) yi J — 2%2%4 Xi/ffij >
f==i
135
X	Xo	A	*2	...	xn
Xq	2BX| (ft + 2)	0	0	...	0
	0	V1	0	...	0
X2	0	0	%2		0
. . •	...	...	...		
xn	0	0	0	...	17'
xix2	0				
x2x3	0			0	
	...				
xn— \xn	0				
A	—				
4	25X2X4			0	
...					
4		25X2X4				
Таблица 4.7
*1*2	*2*з	...	хп—1хп	*1	2 х2	...	2 хп
0				2В%2^4	— 23^2^^	...	— 2ВХзХ4
				0 1			
*г‘	0	...	0	0			
0		...	0				
	. •.		...				
0	0	...					
0				В[(л+1)Х4- — («_ 1) а.2]	В(%2-Х4)		
				В (Х| — Х4)	В [(п +1)Х4- _(П-1)Х|]	...	В(Х| —14)
						-1	1	-
				В(Л|-Л4)	В (Х| — Х4)	...	В[(п+1)Х4- -(п-1)М1
Oju “	XiiXiUyilN'k^
л	Г	/ N _ \
Of/ = -jy- |[(n + 2) X4 — nbl] xnyij +	(4 17)
[n N	_-|	N _J
(%2--^4) S S XiutJl I--2%2^<4 ltd Уц >
U=1 i=l J	1=1 J
(/, U = 1, n, i<.u).	j
Точность вычисленных оценок определяется их диспер-
сиями. Для определения дисперсий оценок коэффициентов
воспользуемся табл. 4.7, в которой представлена матрица
ф-i, рассмотрев ее диагональные и недиагональные элемен-
ты. Поскольку в матрице Ф-1 недиагональные элементы не
нулевые, то оценки коэффициентов регрессии квадратичных
членов и оценка свободного члена остаются взаимозависи-
мыми.
Исходя из системы оценок коэффициентов с учетом крат-
ности т проведения опытов получим:
S2 {а0} = |2В%| (п + 2) Д &] Sl/Nm;
S2 (af} = Sl/NmK2;
S2 {fl/u} — SjNmK^
S2 {afl} = [(n + 1) — (n — 1) Af] BSl/Ntn.
~ , Вторые слагаемые в выражениях оценок а0 и ац об-
условлены наличием корреляционной связи между ними. Ис-
ходя из системы (4.17) найдем взаимозависимость оценок!
г {«о. «//} = (— 2ВМ1) Sl/Nm;
г {o-ц, Ou*} “ В (Л| — Х4) Sl/Nm (J, и = 1, п, j < а).
Поскольку остальные подматрицы нормированной мат-
рицы Фишера Ф и обратной матрицы Ф-1 диагональны или
нулевые, то все остальные корреляционные моменты равны
нулю. Из этого следует, что оценки коэффициентов и
a/ti при факторах и их линейных взаимодействиях незави-
симы. Поэтому их можно проверять независимо от получен-
ных оценок других групп коэффициентов на статистическую
Значимость на основании /-критерия Стьюдента, как и при
1$7
ортогональном планировании. Если какой-либо из коэффи-
циентов Д/ или a/и окажется статистически незначимым, то
его можно исключить из уравнения регрессии, не пересчи-
тывая оценки других коэффициентов. Значимость оценки Oq
свободного члена или оценки ац квадратичных коэффициен-
тов регрессии должна проверяться при фиксированных зна-
чениях всех остальных коэффициентов из этой группы с по-
мощью F-критерия. Если какая-либо из оценок коэффици-
ентов До или д// окажется статистически незначимой, то для
ее исключения из уравнения регрессии требуется пересчет
остающихся оценок коэффициентов данной группы.
Рассмотрим задачу проверки гипотезы адекватности по-
лученной регрессионной модели, содержащей значимые ко-
эффициенты. Вначале будем предполагать, что параллель-
ные опыты не ставятся, т. е. т = 1. Тогда остаточная сум-
ма квадратов (аналогично ранее рассмотренному) может
быть записана
JV	Л N-N„ _ a	w	а	а
5Д = Е (Hi — У{У= £ (yt — yi)* 2 * * * * * В+ s (yt — yt)2,
Z=1	i=I	t=N-N»+l
т. e. остаточная сумма разбита на сумму отклонений в точках
ПФЭ (или ДФЭ), в «звездных» точках и на сумму отклонений
опытных yt и расчетных у{ значений выходной величины
в центре плана.
Перепишем последнее выражение в виде
$я = £ (th — Уд2+	Е	<У1 — Уа + Уо — У У =
f=JV-W04-l
N—No ~ Л	A
= E (in—yt)2+ E (у1—уУ +
M	i=N-Nb+l	_
N ~	—
+ S	(yt—Уо)2-
i^N—No+l
В данном выражении первые два слагаемых связаны о
общим рассеянием результатов наблюдений отклика yt от-
носительно оценки регрессионной модели. Общее рассеяние
связано со случайными погрешностями наблюдений, воз-
никающими в результате влияния неконтролируемых факто-
ров и систематическими погрешностями в случае неадекват-
ности регрессионной модели и функции отклика. Третий
член остаточной суммы связан с дисперсией, характеризую-
щейся только случайной погрешностью опыта. Следователь-
138
i
I
но, с дисперсией адекватности (остаточной дисперсией) свя-
зана сумма
n ~	_ N ~ л
Зост =	Ъ ({ft — Уо)2 — S (Ус — Уд* —
t=N—7Vo4-l	<=4
— S (yi—yi)2-
i=N-Na+l
Подставим уравнение регрессии в выражение
N	~ А	п л	п	л
•$ост = S	\.Ui — (#о +	X tyXj +	X	ajuXijXiu	+
f=l	/=1	hu—l
№
П A	\"12 N	__
+ £«//*?/	- S (Ус-У0)2	(4.18)
/=1	/J	f=2V-2Vo+l
и получим остаточную сумму квадратов, связанную с дис-
персией адекватности и имеющую число степеней свободы
/ад = N - 	- (No - 1).
Если в каждой точке ротатабельного центрального ком-
позиционного плана проводилось т параллельных опытов,
то, проделав аналогичные выкладки, можно получить вы-
ражение для остаточной суммы, связанной с дисперсией
адекватности. Оно будет отличаться от выражения (4.18)
заменой результатов у{ единичных наблюдений в точках
m
плана на средние арифметические yt =* S yiklm единичных
fe—1
наблюдений, а среднего арифметического у0 из No парал-
лельных наблюдений в центре плана на общее среднее ариф-
метическое у0 из No т таких наблюдений, т. е.
(Т ДО	/ п Л	п	л
Sow = rn I S у? — (а0 + S а!хЧ + S aluxl{xtu +
\	/=1	/,U=1
п Л гр N -	1
+ S; ацх2ц ) - S (у{	.
/=»1 /J	lassN—iVo-H	f
Данная остаточная сумма имеет то же число степеней
свободы Дд, что и сумма (4.18).
Далее для проверки адекватности модели необходимо
для отношения дисперсии адекватности = 50ст//ад и
дисперсии воспроизводимости применить F-критерий Фише-
ра, как в общем случае регрессионного анализа. Полученная
199
адекватная модель позволяет не только предсказать равно-
точно независимо от направления значение величины от-
клика, но и оценить ординаты точки экстремума. Ввиду свой-
ства ротатабельности плана эта задача облегчается — мож-
но от полинома второго порядка, полученного в результате
эксперимента, преобразованием системы координат (поворо-
та координатных осей) перейти к стандартному канониче-
скому уравнению.
ГЛАВА б
ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
ПРИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОМ ИССЛЕДОВАНИИ
Во многих практических задачах влияние некоторых
величин на выходную величину объекта (или его признак)
нельзя оценить количественно. Однако исследователя ин-
тересует вопрос, насколько существенно влияние того или
иного фактора (или их комбинации) на рассматриваемые
величины. Пусть, например, какая-либо технологическая
операция выполняется параллельно на нескольких стан-
ках. Для правильной организации дальнейших этапов тех-
нологического процесса необходимо знать, в какой мере
однотипными являются средние размеры деталей, получае-
мых на параллельно работающих станках. При эксперимен-
тальных исследованиях, проводимых различными оператора-
ми на различном оборудовании, важно изучение влияния
двух факторов на результат эксперимента — оператора и
оборудования. Если к тому же данные исследования про-
водились в различное время (или в различных местах), то
вводится еще один фактор — время (место) проведения экс-
перимента. Аналогичная задача возникает при исследовании
партий изделий, получаемых от различных поставщиков,
при выяснении влияния различных свойств сырья на ка-
чество продукции и т. д. Ниже будут рассматриваться за-
дачи, связанные с экспериментальными исследованиями, в
частности с проверкой правильности их организации.
В общем случае задача выглядит следующим образом.
Пусть:
1)	выходная величина (признак, отклик) в силу физи-
ческих свойств зависит от п факторов, не имеющих количест-
венного описания, и от их парных взаимодействий;
2)	каждый фактор можно варьировать на нескольких
уровнях (эксперимент проводят несколько операторов,
применяются различные методы измерения и т. д.);
149
3)	каждую опытную ситуацию можно наблюдать не-
сколько раз, т. е. реализуется серия параллельных опытов.
Требуется определить, в какой степени на выходную ве-
личину (на фоне воздействия случайных величин) влияют
данные качественные факторы, произвести их сопоставление
и ранжировать.
При этом предполагают, что отклик (признак) у в об-
щем случае является случайной величиной, распределен-
ной по нормальному закону, дисперсия ее во всех опытах
однородна, т. е. налагается условие воспроизводимости опы-
тов. Данные предположения в процессе проведения иссле-
дования необходимо проверить.
5.1. Однофакторный дисперсионный анализ
Рассмотрим идеальный вариант — случайные воздей-
ствия отсутствуют и необходимо исследовать влияние толь-
ко одного фактора. Наилучшей оценкой влияния фактора
может служить величина, аналогичная дисперсии, харак-
теризующая рассеяние выходной величины yt вокруг не-
которого среднего значения. Однако не следует забывать,
что в данном случае наблюдается только аналогия с дис-
персиями, так как yi — детерминированные величины, по-
скольку влияющие величины и погрешность восприятия
отсутствуют.
Тогда количественная оценка влияния фактора может
быть представлена в виде (251
i=l
где W — количество приборов (уровней), каждым из кото-
рых проводится одно измерение.
В действительности наблюдается влияние случайных
неучтенных величин, которые в совокупности можно обо-
значить в. Влияние их можно представить в виде<4- При
этом дисперсия выходной величины уже будет определяться
не только влиянием фактора х, но и случайной величины 8.
Сопоставление влияния этих величин через сопоставление
обусловленных ими дисперсий и является основой дисперси-
онного анализа. Если исследуемый фактор несущественен и
дисперсия воспроизводимости, характеризующая один опыт,
известна, то общая дисперсия будет в основном определяться
дисперсией воспроизводимости. Если же фактор существе-
нен, то можно считать, что
S? (iZ) =	+ <Г».
141
			Таблица 5.1			Исходя из данного со-
						отношения, можно найти
i	1 = 1	1 = 2	...	1 = т	«1	дисперсию, которую об- условливает изучаемый
						
	Г*’				-	фактор. Обычно диспер-
1	Ун	У12	• • •	У 1т	yi	сия воспроизводимости
2	У21	У22	• • •	У 2т	У2	<4 неизвестна и ее необ-
						ходимо найти по резуль-
•			• • •	• • •	. •.	татам эксперименталь-
XT				**	—	ных исследований, поэ-
	Ут	Ут	• • •	Уыт	Ум	тому проводят парал-
лельные опыты для каж-
дого уровня варьирования факторов.
Предположим, что исследование объекта проводится
одновременно различными приборами с целью уменьшения
влияния фактора — прибора на результат исследования
(погрешность показаний). Выясним, можно ли системати-
ческие погрешности приборов считать одинаковыми.
Пусть число приборов будет N (фактор варьируется на
W уровнях) и для каждого прибора (уровня) проводится се-
рия из т параллельных опытов. Число опытов при реали-
зации однофакторного дисперсионного анализа будет Nm.
Результаты опытов приведены в табл. 5.1.
По результатам исследований для каждого t-го уровня
независимой переменной (разновидности прибора) находят
среднее значение (предполагаем одинаковую кратность про-
ведения опытов)
т
Уи'/т.
i=i
Разброс значений откликов в фиксированной строке
(для конкретного прибора) определяется совокупным дей-
ствием случайных величин и характеризуется оценкой
дисперсии воспроизводимости. Разброс между средними
значениями выходных величин определяется влиянием
фактора. Если систематические погрешности приборов
одинаковы, то следует ожидать повышенного рассеивания
выборочных средних у{.
Несмещенная оценка дисперсии воспроизводимости для
всей совокупности исследования определится в виде
N т	_
N
где у = S yJN'
142
Рассмотрим числитель данного выражения Qo, введя под
скобки —Ус и +yz:
Л/ w ~	_	__	__ N т ~
Qo= £ £ Кун—ус) + (ус—у)]2 = Е Е (ун—уд2 +
1=Л l=\	1=1 Z=1
N т ~	N т
+ 2 Е S (Уи — Уд (Ус—У) + И S (Ус — у)2-
С=11=1	С=1 1=1
Рассмотрим отдельно второе слагаемое в правой части
выражения Qi:
N т ~	~	_
S S (Ун — Уд (Ус — y) = Yi (yi — y)Yi (Уи — Уд-
с=\ С=\	4=1	4=1
Так как сумма отклонений от среднего в i-й серии равна
нулю
Е (Уи~ ?4) = 0,
6=1
то и второе слагаемое также равно нулю. х
Следовательно, полная сумма квадратов отклонений от-
дельных наблюдений от у.
N т	N	т	N	т
Qi= S S (Ун-Уд2 + Е Е (Ус - У)2 = Е Е (уи - уд2 +
4=1 4=1	4=1	4=1	4=1	4=1
N _	_
+ "*£ (Ус —у)2,
4=1
или в сокращенном виде
Qo = Qe + QjL
где
N tn	N tn ~	__
Ql - S S (yu - y)2\ Qi = S S (уи - Уд2;
f=l /=1	i=l Z=1
N _	__
Q* = 4«E (Ус—У?-
Слагаемое Qx представляет сумму квадратов разностей
между средними yt отдельных серий (строк, приборов) и
общей средней у по всей совокупности наблюдений и ха-
рактеризует степень расхождения систематических погреш-
ностей в отдельных приборах. Ее также называют «рассеи-
ванием по факторам».
Слагаемое Qi представляет сумму квадратов разностей
между отдельными наблюдениями и средней соответству-
143
ющей серии у{ (среднее значение показаний данного прибо-
ра) и характеризует «остаточное рассеивание» случайных
погрешностей опытов.
Следовательно, полное рассеивание показаний приборов
Qo складывается из двух компонент, характеризующих рас-
сеивание между приборами, т. е. различие между их систе-
матическими погрешностями Q* и рассеиванием «внутри»
приборов (серий), характеризующим одинаковую (на осно-
вании предпосылок дисперсионного анализа) для всех при-
боров вариацию под воздействием случайных величин 0%.
Предположим, что гипотеза равенства систематических
погрешностей верна и потому нормальные распределения
для всех приборов тождественны, т. е. погрешности имеют
одинаковый центр распределения (систематическая погреш-
ность) и дисперсию 4 В этом случае все Nm наблюдений
можно рассматривать как выборку из одной и той же нор-
мальной совокупности, a (&/(Ntn— 1), как уже отмечалось,
является несмещенной оценкой дисперсии а2е по этой выбор-
ке. Откуда следует, что отношение будет следовать
распределению X2 с (Nm — 1) степенями свободы.
Однако средние по группам (приборам) yt также, в со-
ответствии с предположением, нормально распределены о
дисперсией <т1/т каждая и независимы друг от друга. По-
этому 3-
n —
£ (У1 - y)4(N - 1) = C&lm (N - 1)
является несмещенной выборочной характеристикой дис-
персии Og/m, полученной на основании N наблюдений вели-
чины^. В результате можно заключить, что величина
л2 -2	N т
распределена по закону X2 с (N — 1) степенями свободы. ..
Сумма квадратов отклонений от среднего в каждой серии,
отнесенная к дисперсии
т ~
^(Уи — Уд2/^
также распределена по закону X2 с (т — 1) степенями сво-,
боды.
144
Согласно свойству композиции для N серий (приборов),
компонента
Л/ т
1=11=1
также распределена по закону %2 с N (т — 1) степенями
свободы. Следовательно, CfijN (т — 1) является также оцен-
„	2
кои параметра а8.
Из изложенного следует, что в случае равенства система-
тических погрешностей приборов (несущественности влия-
ния исследуемого фактора) существуют три несмещенные
оценки а|. Отношение двух однородных оценок дисперсий
Fp = [&/(N - !)]/[$/# (т - 1)]	(5.1)
будет следовать F-распределению с (N — 1) и N (т —1)
степенями свободы. Задаваясь а уровнем значимости, на
основании таблицы /'-распределения, можно установить
соответствующий а предел, так что
P(Fp>FT) = а/100.
Рассмотрим случай, когда исследуемый фактор сущест-
венен, т. е. гипотеза о равенстве систематических погреш-
ностей (центров распределения случайных погрешностей)
неверна, но параметр а8 во всех N совокупностях один и
тот же. Изменение центров построчных распределений, т. е.
замена уц на у и — с{ (где с{ — систематическая составля-
ющая погрешности Z-го прибора) не изменит значения Q8,
которое по-прежнему распределено по закону X2 с N (т — 1)
степенями свободы, a (fyNQn — 1) остается несмещенной
оценкой of. Однако числитель выражения (5.1) именно учи-
тывает расхождение между центрами распределения с{ и
имеет тенденцию к возрастанию при увеличении расхож-
дения между систематическими составляющими. Поэтому
правило проверки правильности выдвинутой гипотезы мож-
но представить в следующем виде: гипотеза сх = с2 = ...
... = сц принимается, если Fp > FT, и отбрасывается, если
Fp > Гт. Схема однофакторного дисперсионного анализа
может быть представлена в виде табл. 5.2.
Рассмотрим пример применения однофакторного дис-
персионного анализа для определения отличия системати-
ческих погрешностей трех приборов (N = 3). Одно и то же
значение выходной величины объекта исследования изме-
рялось этими приборами пять раз (кратность проведения
опыта — число опытов внутри серии т = 5). Полученные
ю «-1861	14б
Таблица 5.2
Компонента ' дисперсии	Средний квадрат	Степень свободы
Между факторами	N пг N - 1 Д	W—1
Внутри серии	N т Ыт т X X (Уи-Уд2 Nm — т	N(m—\)
Полная (общая)	N т Nm-1	У?	Nm — 1
Таблица 5.3
Номер прибора	Результат измерения				
	1	2	3	1 4	5i
1	98	98		79	96	96
1	—4	—2	—21	—4	—4
9	107	111	130	128	127
	+7	+11	+30	+28	+27
Q	119	102	87	91	102
О	+19	+2	—13	—9	+2
результаты приведены в табл. 5.3. Для упрощения вычис-
лений вычтем из всех граф таблицы число 100 (при этом зна-
чение дисперсий не изменится), а также воспользуемся сле-
дующим соотношением:
k	_ k	__	_ k	_ k
S (*i — x)2 = J (4 —	+ x2) = J] — 2x S xt +
*=i	t=i	i=i
& _ \ _
+ X x2 = X	— %kx IX xjk) + kx*=
i-=l 1=1	\i=l /
k	_ k	/ k
« X xi—^x2 = X x?—X xi\ik.
i=l	<=1	V=1	/
Преобразованные значения результатов измерения при-
ведены в знаменателе соответствующей графы табл. 5.3.
На основании последнего соотношения получим удобные
для расчета формулы, не требующие вычисления средних
146
Таблица 5.4
i	^Zl	2 ^/2	VZ3		4s	m S^ZZ I = 1	m	ч 2	tn 5>lz I = 1
1	16	4	441	16	16	—35	1225	493
' 2	49	121	900	784	729	103	10 609	2583
3	361	4	169	81	4	1	1	619
N S.	426	129	1510	881	749	69	11 835	3695
значений. Для полной суммы квадратов Qo, принимая во
внимание, что k = Nm:
N tn	N tn	/ N tn	\2
S S (ya—# = S -д^-(Ё S yn].
i=i 1=1	/=1 /=i	V=i /=i	/
Для суммы квадратов между приборими Q^
N т _	N	_ Г Л7	/ N \21
S S (& —#="»£ (у( — У)2—т S у2 — S У(] =
/=1 1=1	1=1	U=1 /v и=1 / J
{N [ т	\2	j ~ N / tn	\’|2'|
S (S уи/т] —-ТГ S (S Уи/т)1 1 =
Z=1 \z=l	/	zv L;==1 yz=1	j J J
N / tn	\2	/ N tn	\ 2
= SS Ун]/т - S S Уч] /Nm. (5.2)
1=1 \/=l /	\/=l Z=1 /
Для суммы квадратов внутри приборов (&
N tn	__ N tn	N / tn	\ 2
}а^(Ун—У1)2 = ^^Уа~^\^Уч]/т-	(5.3)
/=11=1	1=11=1 i=l \/=1	/
Для определения Qe и Q* вычислим соответствующие
составляющие выражений (5.2), (5.3), исходя из табл. 5.3.
Чтобы оценить, одинаковы ли систематические погреш-
ности приборов N = 3, необходимо, используя выражения
(5.-2), (5.3) и данные табл. (5.4), найти (при условии т = 5):
Qx = (11 835/5) — (692/3 • 5) = 2050;
$ = 3695 —(11835/5) « 1328.
Число степеней свободы определяется в соответствии с
табл. 5.2:
= Q2x/(N — 1) = 2050/(3 — 1) = 1025;
Sl = Ql/N(m—l) = 1328/3(5— 1)= 111.
10*
147
Теперь можно произвести проверку нулевой гипотезы о
равенстве систематических погрешностей приборов. Для
этой цели определим расчетное значение коэффициента
Фишера
Fp = S2x/Sf = 9,3.
Сравним найденное значение с табличным FT. Задав-
шись уровнем статистической значимости а = 5 %, по
табл. П.З из столбца 2 и 12-й строки определим значение
FT = 3,88. Следовательно, Fp > FT, поэтому гипотеза о
равенстве систематических погрешностей приборов отверга-
ется.
Если же предположение о том, что дисперсия of оста-
ется одной и той же для всей совокупности приборов, то мож-
но найти оценку дисперсии St и, на основании того, что
АГ (т — 1) Si/oi имеет распределение X2 с N (т — 1)
степенями свободы, и доверительный интервал для нее.
Действительно, для i-ro прибора при /-ом измерении
Уи = Q + 8;/,
где ct — систематическая погрешность t-ro прибора; ец —
l-я реализация случайной погрешности. Тогда
N I
_	tn	"7 2
Qe = Zj ---------------------------(Ci + 8;/)
i=l ,71=1 [
N I /	m	\2
V V I tn — 1 V 1
2j 2j I m 2d 8“ ’
i=l m=l \	i=i J
откуда
Si = Ql/N (tn - 1); М {Si} = 4.	(5.4)
Как уже было указано, для рассматриваемого случая
Sx = Qx/(A/-l),
где
(5.5)
N
Обозначим с = S ct/^> получим
f=l
N
M{S^}=ol+^rgi(cr-C)2.
Следовательно, дисперсия между приборами (факторами)
несет информацию как о дисперсии случайной величины
о|, так и об усредненном отклонении систематических не-
148
грешностей. Из выражений (5.4) и (5.5) следует:
f	М 1 1	1 N
м (S’ - si) -^=-U = 4-2 (С/ - су = 6С, (5.6)
где 6с является мерой изменения систематических погреш-
ностей.
По результатам выборки можно определить оценку б’ в
виде
о 2 Af 1 /с* 2 с2\
°0-----Nm~ — °8'ф
Кроме того, по результатам проведенного дисперсион-
ного анализа можно оценить расхождение (рассогласова-
ние) между систематическими погрешностями i-ro и /-го
приборов. Для этого определим значение коэффициента [24]
t = V-т Гу< — yi—— c/)l/s8,
который следует распределению Стьюдента с N (т — 1)
степенями свободы (в предположении ае = const). На осно-
вании найденного коэффициента t при числе степеней сво-
боды N(m—1) можно определить доверительный интервал
для разности ct — Cj в виде
Qt —
На практике встречаются случаи, когда числа наблюде-
ний в сериях различны. Обозначив через т£ число наблюде-
N
ний Лй группы (серии) при 2 mi в получим:
z==l
ml	_	N ni	N	_
Vi = 2 У1^' у = 25 Уч/к = S
1=1	м i=i	i=i
Основное соотношение дисперсионного анализа запишет-
ся в следующем виде:
„ N ml	_ N _	_
Qo = 2 2 &‘-уУ = %т‘ (у^-у^ +
Z=*l	Z=1
N	_
+ 2 S	=
Z=1 /=1
Рассмотрим пример проведения дисперсионного анализа
для случая, когда число наблюдений в группах различно
[11]. Для четырех составов резиновой смеси проверялся
предел прочности на растяжение. Из каждого состава было
изготовлено по четыре одинаковых образца. Цель испыта-
149
Таблица 5.5
A	в	c	D
3210	3225	3220	3545
				— -——		—
42	45	44	109
3000	3320	3410	3600
0	64	82	120
3315	3165	3320	3580
 -  —	— —		
63	33	64	116
—	3145	3370	3185
			
	29	74	97
2
нии заключалась в определении
прочности каждого образца, вы-
. боре наилучшего и получении
оценки экспериментальной по-
грешности. Один из образцов
смеси А по внешним признакам
сразу был признан дефектным и
исключен из испытаний. Резуль-
таты испытаний приведены в чис-
лителях граф табл. 5.5. Для
упрощения обработки и анализа
данных вычтем из каждого зна-
чения 3000 и разделим на 5. Эти
кодированные данные представ-
лены в знаменателях граф. При
этом отношение средних квадратов не меняется, а диспер-
сия случайных величин составляет V2S первоначальной.
После вычислений получаем!
3	4	4	4
S Уи =	105;	S	У21 =171;	£ уы =	264;	£ У» =	442;
/=1	Ы	/=1	/=1
4 mi	* mi о
22^=982; £ £ у*и = 8! 162; N = 4; k = 15.
Z=1 z=i	z—1 z=i
Тогда средний квадрат между смесями
о 1 N —	-	1 гN 1
1 / n mi \2“|	1/1	1
—ПГ(s S »") ] - 4 (t 1051 + т •l7p +
4- 4- • 264®+ 4“ • 442®----• 982®) =
‘4	'4	15	/
= 4- (77250,25 — 64288,27) = 4320,66.
О	„
Средний квадрат внутри смесей
„	. N ml	_	. Г N mi rt
3 S S to-и)*- -ТГ s s A -
t=i 1=1	U=i z=i
N x f mi \21 I
- S (S	I =~n"(81 162 — 77250,25) = 355,61.
Расчетное значение коэффициента Фишера
F, = 4320,66/355,61 = 12,15.
150
Табличное значение FT при степенях свободы 3 и И и
,j __ а) _ о,999 меньше расчетного, поэтому можно сде-
лать вывод о различии среднего предела прочности на рас-
тяжение для четырех составов резиновых смесей.
95 % доверительных интервалов для среднего предела
прочности на растяжение каждой из этих смесей определя-
ются по формуле
yt ± tSdVть
где t находится из таблиц распределения Стьюдента при
числе степеней свободы 11, так как оценка al основана на
11 степенях свободы из общего числа их 14.
5.2. Двухфакторный эксперимент. Иерархическая
и перекрестная классификации
При однофакторном дисперсионном анализе данные толь-
ко группируются по различным уровням единственного
фактора. Для случая двух факторов необходимо учитывать
и способ их взаимодействия, т. е. вид модели. Существуют
два вида взаимодействия факторов Хг и Х2 — иерархиче-
ское и перекрестное, либо иерархическая и перекрестная
классификации.
При иерархической классификации различают факторы
основной группы и факторы подгрупп. Каждый уровень од-
ного основного фактора может быть связан с множеством
уровней второго фактора — фактора подгруппы.
При перекрестной классификации каждый уровень од-
ного фактора может сочетаться со всеми уровнями другого
фактора и упорядочение в этом случае, в отличие от иерар-
хической классификации, невозможно.
Для большей наглядности различия классификаций и
особенностей проведения эксперимента рассмотрим следую-
щий пример [11]. Пусть имеются четыре установки, на каж-
дой из которых тремя операторами производится некоторая
продукция (или проводятся измерения). Необходимо оце-
нить однородность полученной продукции. Таким образом,
реализуется двухфакторный эксперимент, где одним факто-
ром с четырьмя уровнями является установка, а вторым
фактором с двенадцатью уровнями — операторы. При такой
постановке задачи нет никаких оснований связывать какого-
либо оператора одной установки с оператором другой уста-
новки. Следовательно, существует иерархическая связь,
схематически представленная на рис. 5.1, где каждый кре-
стик обозначает одно наблюдение (единицу продукции, одно
измерение). Например, имеется три наблюдения для второго
151
4 установка
Рис. 5.1. Представление иерархической связи между факторами
(I = 1, 7V.) / = 1, т^, k = 1
Рис. 5.2. Представление перекрестной связи между факторами
оператора первой установки и одно наблюдение для-второго
оператора четвертой установки (на рис. 5.1 порядковый
номер этого, оператора 11).
Однако, если известно, что операторы имеют различную
квалификацию и из трех операторов, работающих на каждой
из установок, один имеет 1-й разряд, второй — 2-й, а тре-
тий — 3-й, то при имеющихся исходных данных реализует-
ся перекрестная классификация с четырьмя уровнями «уста-
новка» и тремя уровнями «разряд». Схематически перекрест-
ная связь представлена на рис. 5.2. (предполагаем, что
первый оператор каждой установки имеет 1-й разряд, а тре-
тий — 3-й разряд). В данном случае присутствует сложная
взаимосвязь между факторами.
Рассмотрим вначале иерархическую классификацию.
Как и в случае однофакторного анализа, отличие наблю-
дений определяется действительным влиянием фактора X/ и
действием случайных величин е. Основной фактор (установ-
ка) содержит 1 = 1, N уровней (в рассмотренном примере
N = 4). Каждый i-й основной фактор связан с множеством
ni уровней фактора подгруппы. В рассматриваемом приме-
ре число уровней второго фактора — операторов для всех
подгрупп одинаково nt = 3. Для каждой k = 1, nt под-
группы i-ro основного фактора (i-й группы) проводится mk
наблюдений. Так, для (k = 2) второй подгруппы i = 3 ос-
152
новногофактора число наблюдений ’/п« = 3. Иными слова-
ми, в соответствии с рис. 5.1 оператор с порядковым номе-
ром 8 на установке 3 провел 3 наблюдения. На основании
полученных экспериментальных данных можно вычислить:
_ mlk
среднее подгрупп у{к = £	где у1Ы — текущее
____
значение (I = 1, mik) наблюдения k-м оператором (Л =
= 1, ni) на i-й установке (i = 1, N);
— ni _
среднее основных групп у( = £ у^/щ — усредненное
значение наблюдения на t-й установке «прикрепленными»
операторами;
N
общее среднее у =
1=1
В соответствии с основной идеей дисперсионного анализа
разобьем полную сумму квадратов наблюдений от общего
среднего Qo на компоненты, используя найденные средние
подгрупп и основных групп:
N nt mlk	_ N п{ mlk
Qo= 2 2 s (yw—# = 2 2 2 0/iM—vik+vik—
Z=1 fe=l Z=1	f=l k=l Z=1
_	_	‘ _ N ni mik _	_ ЛГ	_
-^+^-#=2 2 2 &-#+2 2 2<^-&)a+
(=1Ы/=1	t=lfc=l 1=1
N ni mik	_ N _	_
+ 222 ^tki~у^ = 2 Ъ(у<—у)*+
t=l Л=1 Z=1	Z==l
N ni _	_ N ni mlk	_
+ 22 m^(yik — yt)2 + 2 2 2 (yw—yik)2,
i=i fe=i	<=i *=i /=i
ii
где R{ = 2	~ число наблюдений на i-й установке (напри-
fo=l
мер, для второй установки i = 2 число наблюдений R{ = 6);
Qx, = 2 (yi—У)2 характеризует отклонение между основны-
ми группами (между средними значениями наблюдений,
полученных на i = 1, N установках)' и имеет число степе-
N ni	'
ней свободы fXi = (N— 1);' Q«, = 2 2 mtk ^—уд2 ха-
i=ifc=i
рактеризует отклонения внутри основных групп между под-
группами (отклонения между средними значениями наблю-
дений, полученными k = 1, П( операторами, работающими
163
(N	\
— N j степеней свободы;
N nl mlk
$ = s s s (уш— У ik)	характеризует отклонения
z=i *Zi f±i
внутри подгрупп, вызванные влиянием случайных величин,
и имеет /е = (R— 2 nJ степеней свободы, R = SRz-
\ z=i /	Z=1
Разделив сумму квадратов на ее число степеней свободы
получим оценки соответствующих дисперсий (средний квад-
рат). Сравнение среднего квадрата между основными груп-
пами S,, = с остаточным средним квадратом S1 =>
= Qs/fe (оценка дисперсии влияния случайных величин) мо-
жет использоваться для проверки гипотезы о равенстве (по-
стоянстве) среднего каждой группы (установки имеют оди-
наковую систематическую погрешность). Для этой цели
вычисляется Fp = S2Xi/S2e и сравнивается с табличным зна-
чением коэффициента Фишера FT при числе степеней
свободы fx. = N — 1 и fe = R — У ni. Если Fp < F„
z=i
то гипотеза принимается (в приведенном на рис. 5.1 схемати-
ческом примере fx, = 4—1 и fs = 27—12).
Сравнение среднего квадрата между подгруппами внутри
основных групп Sx2 = C^xjfx, с остаточным средним квад-
ратом Si может использоваться для проверки гипотезы об
отсутствии различий между средними подгрупп в каждой
основной группе (наблюдения, получаемые различными по
квалификации операторами, работающими на одной уста-
новке, для всех установок однородны, т. е. расхождения
наблюдений не зависят от субъективных свойств операто-
ров, а только от параметров установок). Для этой цели необ-
ходимо найти Fp = S2JS2 и известным способом сравнить
с F„ при fx, и f&.
Если необходимо проверить гипотезу об отсутствии
влияния операторов отдельно для каждой f-й установки,
то необходимо вместо S2, и Fp подставить вычисленное зна-
чение
— —
— yi)2l(ni— 1)
с числом степеней свободы (п< » 1).
При перекрестной классификации взаимосвязь между
наблюдениями и факторами, как следует из рис. 5.2, весьма
154
Таблица 5.6.
Номер уровня фактора	Номер уровня фактора	Среднее по строкам
	1	'2	|	| k |	Nt	
1	#121	У1М	y\Ni\ • ... • •• ... ... ... У \\т У 12m	У\кт	y\N2m	
2	#211	У221	#261	#2^1 У 21т	У22т	Уъкт	У2Ы2т	Уг
...			...
1	Ущ У121	Уил	Уш21 ...	••• ••• ♦ • • ... У Нт У 12т	УИгт	У1Ы,т	Vi
			...
	Уых1\	у^21	y^ki	yNiNtI • • • ••• ... #^lm Уы±2т	У^кт	Уы^2т	VNt
Средние по столбцам	У\	У2 ••• Vk ••• Уы,	~У
сложна. Наглядное представление об этом может быть по-
лучено на основании табл. 5.6.
Для простоты выкладок, не теряя общности рассуждений,
будем полагать, что опыты при различных сочетаниях факто-
ров повторяются одинаковое число т раз; I — порядковый
номер варьирования (изменения) фактора Хх, k— порядко-
вый номер варьирования фактора Х2, I — порядковый номер
ч параллельного опыта в серии при каждом ik сочетании уров-
ней факторов (графа ik таблицы), т. е. при фиксированных
значениях факторов.
По полученным в результате эксперимента наблюдениям
Уш определим среднее значение yik серий из т повторных
наблюдений для каждого сочетания t-ro и fe-го уровней
155
факторов (для каждой графы таблицы)
пг
yik = 2 yiki/m.
1=1	-
Затем определяем среднее значение yt по строкам табли-
цы из N2 • tn наблюдений для каждого i-ro уровня фактора
Хх (производим суммирование по строкам, а результаты сво-
дим в последний столбец таблицы)
_	j N> т	j	Ni	_
У/ =	~М .	т 2 2 У(М =	fj	2	У Ik'
т *=1 М	k=l
_ Аналогичным образом определяется и среднее значение
Ук по столбцам таблицы изЛ\- т наблюдений для каждого
k-vo уровня фактора Х2, результаты сводятся в последнюю
строку таблицы
j	т	~
yk=Y> 2 yikilN^ • /и = 2 ViklNi
Г=1 /=1	i=l
(в данном случае средние значения снабжены индексом
«штрих», чтобы можно было отличить среднее по столбцам от
среднего по строкам).
Из табл. 5.6 также можно определить общее среднее ~у
всех /? = наблюдений по всем ЛГХЛГ2 сочетаниям
уровней
Nt Nt tn	Nt Nj,
NiN^n S S Z У{Ы = Z Z y<k ~
1 2 i=l ft=l z=l	1 2 z=l fe=l
Nt	N,
Сопоставляя отклонения соответствующих средних зна-
чений, можно получить полную картину о взаимосвязях
факторов, наблюдений и случайных величин.
Так, рассеяние средних по строкам yi определяется влия-
нием только одного фактора Хх с дисперсией <т^, на рассея-
ние средних по столбцам yi оказывает влияние только фак-
тор Х2 с дисперсией о£,, так как все уровни другого фатора
в каждом из этих случаев осреднены. Рассеяние в каждой
серии относительно среднего в той же серии обусловлено
действием только случайных величин в с дисперсией al,
а рассеяние самих средних в сериях по всем возможным
сочетаниям уровней Хх и Х2 по отношению к общему сред-
нему у обусловлено не только влиянием случайных величин,
но и взаимодействием факторов Хх и Х8 с дисперсией <4,*,.
156
Nt Nt т	_
Полную сумму квадратов Qo = Е Е S (.Уш— у)2 вна-
<=1 *=i i=i
чале можно разделить на сумму квадратов между ячейками
и сумму квадратов внутри ячеек:
Nt Nt tn _	~	т
Qo= S E S (yik-y)2 + E S X (ytki-ytky. (5.7)
1=1 k=l 1=1	Z=1 fe=l 1=1
Остальные суммы квадратов можно получить, разбивая
сумму квадратов между ячейками на три части:
N3 т __	_ Nt N3 т ~	,
Е S S («/<*—# = S S E (yik—yi + yt—y'k + yk—
1=1 k=l Z=1	Z=1 k=l 1=1
_	_ Nt N, m _	_ Nt N, m	_
— y + y — #=SS SO/z —# + S S S (Fa — #4-
f=l k=l 1=1	i=l k=l 1=1
Ni Ni m _	_	-
+ S S E (yik — yi — yk + y)2 = Qxt + Ql + Qxtxa,
£=i k=i i=i
Ni _	_
где Q2i = N2tn Yifyi— У)2 — сумма квадратов отклоне-
ний «между строками», характеризующая рассеяние средних
по строкам yt в результате действия случайных величин с
дисперсией среднего для строки e^N^tn, фактора Хх с
дисперсией и взаимодействия факторов с дисперсией
среднего для строки о!,ж/ЛГ2;	(Уь—У)2 —
сумма квадратов отклонений «между столбцами», характери-
зующая рассеяние средних по столбцам в результате дей-
ствия случайных величин с дисперсией среднего для столб-
ца cfijNitn, фактора Х2 дисперсией и взаимодействия
факторов с ^дисперсией среднего для столбца i&ixJNi,
= т Ef S t (j/ik — yi — Ук + у)2 — сумма квадратов
отклонений между сериями, характеризующая рассеяние
средних у{к серий в результате действия случайных вели-
чин с дисперсией среднего о^т, и взаимодействия факторов
с дисперсией о^Л.
Следовательно, полная сумма квадратов в соответствии
с (5.7) может быть представлена в виде
Qo = Qxt 4* Qxt 4" Qxtx, 4* Qe»
Ni Nt m
где Q1 = E S S (yiki — у tk)2 — сумма квадратов отклоне-
u	^=1 k=l 1=1
нии «внутри серий», характеризующая рассеивание отдель-
157
ных наблюдений у на в сериях только за счет влияния слу-
чайных величин, так как на протяжении серии Хг и Х3 оста-
ются постоянными.
Гипотезу об отсутствии различий между средними внут-
ри строк или столбцов, т. е. о несущественном влиянии фак-
торов и Х2, можно проверить, вычисляя соответственно
отношение среднего квадрата между строками Si, = C&Jfx,
о числом степеней свобода fXl = Nt — 1 или между столб-
цами Sx2 = с числом степеней свобода	— 1
к оценке дисперсии случайных величин Si = Qi//e с
числом степеней свобода /8 = NXN2 (т— 1).
Гипотезу об отсутствии взаимодействий факторов можно
проверить, используя отношение среднего квадрата взаимо-
действий = Q^x/^ с числом степеней свобода
Д,х, = (Л\— 1) (Л/2— 1) к среднему квадрату случайных
величин Si. Проверка гипотезы производится аналогично
ранее рассмотренной.
Для случая, когда т = 1, т. е. опыты не повторяются,
невозможно непосредственно определить суймы квадратов
Qi и оценить <4 отдельно от значений параметра. Таким об-
разом, невозможно определить, насколько велико наблюда-
емое значение среднего квадрата ввиду того, что нельзя
применить известную стандартную процедуру сравнения,
которая применяется при наличии Si, вычисленного по ре-
зультатам эксперимента. В данном случае поступают так, если
бы взаимодействия были равны нулю (для всех I и k), т. е.
предполагают, что эффекты строк и столбцов комбиниру-
ются аддитивно. При этом средний квадрат взаимодей-
ствия
1=1 k=l
используется как остаточный средний квадрат (эквивалент
влияния случайных величин). Для случая наличия взаимо-
действия факторов такой подход увеличивает значение al и
соответственно ухудшает точность анализа.
5.3. Латинские и греко-латинские квадраты
При изучении влияния одного и двух факторов план экс-
перимента был довольно прост. При увеличении числа рас-
сматриваемых факторов, влияющих на объект, объем иссле-
дования резко возрастает и анализ экспериментальных дан-
ных усложняется. Применение так называемых «латинских
квадратов» позволяет значительно уменьшить объем иссле-
158
Таблица 5.7
дований и упростить об-
работку данных. Пл: н
исследования вида «клас-
сический латинский
квадрат» позволяет ис-
следовать влияние трех
факторов, варьируемых
на N уровнях, но для
Фактор	Фактор [t			
	t	2	3	4
1		В^		D
2	2)^			
3			'Ж	'-В
4	в	""C		
этой цели используется
только № комбинаций уровней факторов вместо № возмож-
ных комбинаций, причем существование различий можно
проверить для каждого из трех факторов. Размерность ла-
тинского квадрата определяется числом уровней варьирова-
ния факторов; если N = 3, то говорят о латинском квадра-
те 3 X 3 [181.
Первоначально латинские квадраты нашли применение
при агротехнических экспериментах — два из трех факторов
указывали положение ячейки на поле в двумерной системе
координат, а третий (основной) представлял собой, напри-
мер, способ обработки, урожайность. Такой подход позво-
лял при исследованиях избавляться от влияния «мешающих
факторов» — колебания плодородия при переходе от одной
ячейки к другой. Впоследствии планы такого рода начали
находить широкое распространение и в научно-технических
исследованиях.
План типа латинского квадрата приведен в табл. 5.7.
Уровни варьирования двух факторов представлены в виде
строк (фактор I) и столбцов (фактор II), а третий фактор,
уровни которого обозначены буквами, заносится в ячейки
квадрата 4X4.
В первую строку (первый уровень фактора I) в упоря-
доченной последовательности заносятся буквенные обозна-
чения уровней третьего фактора. Порядок расположения
уровней третьего фактора в последующих строках опреде-
ляется путем сдвига элементов предыдущей строки вправо
и перевода последнего элемента в первый столбец (в сочета-
ние с первым уровнем фактора II). Построенный таким обра-
зом план имеет на диагоналях одни и те же уровни третьего
фактора (на главной диагонали располагается уровень А),
а уровни-буквы распределены таким образом, что в каждой
строке и каждом столбце каждая буква встречается только
один раз. Если имеется N строк и N столбцов, то построен-
ный латинский квадрат содержит № ячеек и в каждой ячей-
ке комбинация номера строки, столбца и буквы дает сочета-
ние уровней первого, второго и третьего факторов. Таким
образом, используются № различных комбинаций уровней
159
Таблица 5.8
Фактор 1	Фактор II			
	1	1 2	-1 3	4
1	А	в	с	А
2	А	А	в	С
3	С	А	А	В
4.	В	С	А	А
факторов, что значительно уменьшает объем исследования.
При рассмотрении матрицы плана типа латинский квадрат
можно заметить, что какой-либо общий член, описывающий
взаимодействие, нельзя отделить от случайных величин и по-
этому нельзя получить остаточную сумму квадратов Q|,
не зависящую от значения какого-либо фактора. Следова-
тельно, уменьшение объема исследования приводит к невоз-
можности раздельной оценки влияния взаимодействия. Ес-
ли взаимодействия существуют, то они увеличивают оста-
точную дисперсию обусловленную влиянием случайных
величин. Однако три суммы квадратов для разностей уров-
ней факторов и остаточная (пусть даже увеличенная) сумма
квадратов позволяют осуществить проверку эффектов изме-
нения уровня каждого из факторов в отдельности.
Возможно и другое построение латинского квадрата,
когда третий фактор в упорядоченном порядке располага-
ется в первом столбце, а остальные столбцы формируются
путем перестановки последнего уровня третьего фактора в
предыдущем столбце на первое место (в первую ячейку) и
сдвигом вниз без изменения остальных уровней факторов.
Основной особенностью планов типа латинский квадрат
является то, что все три фактора должны иметь одинаковое
число уровней N, что относится к недостаткам. От этого не-
достатка можно «избавиться», если использовать так назы-
ваемые фиктивные уровни, т. е. уровень фактора, представ-
ляющий наибольший интерес, повторяется несколько раз.
В табл. 5.8 показан план, когда два фактора, образующих
строки и столбцы, имеют по четыре уровня, а третий фактор
имеет три уровня (А, В, С). Данный план получен из плана,
приведенного в табл 5.7 путем замены уровня D уровнем А.
После построения плана по изложенному правилу его
столбцы (или строки) переставляют случайным образом и
проводят эксперимент. Суммы квадратов, объясняющих эф-
фект изменения каждого из факторов определяются на ос-
160
новании разложения общей суммы квадратов
N N	_
Qo= 2 2 (Уш—у)2
t=l fe=l
на составляющие’
N	N _
» 2(у<-у)2-, <&= 2 (уь—уУ
/=1	fe=l
AZ	_
Qx3 = S (уi	у)2* Qe = Qo — Qxt — Qxg — Qxs,
i=i
где Qi,, Qx„ Qx, — суммы квадратов отклонений для фак-
торов, Qi — остаточная сумма квадратов; i — номер строки
(уровень фактора I): k — номер столбца (уровень фактора
II); I—номер буквы в упорядоченном виде (уровень
третьего фактора);
_ N	_ N	N N
yi = Yi ykilN-, = 2 УиМ У/ = 2 2 Уш/N
*=i	z=i	Z=l ft=l
(для третьего фактора ущ = 0 для ячеек, где третий фактор
не находится, на Z-м уровне
N N
у = 2 2 yikiiN2.
1—1 fe=l
Оценки дисперсий, вызванных влиянием факторов, оп-
ределяется так:
•Sx, = Ох,//*,; Sx, = Q.xjfxi> ^Xt — ^xjfx,,
числа степеней свободы /х, = /*, = fx, = N— 1.
Поскольку остаточная дисперсия
Sl = Qi/^-l)(A/-2),
то расчетные значения коэффициентов Фишера (сопоставле-
ние которых с табличным значением позволяет сделать
вывод о влиянии фактора) определяется так:
FT, = Qi,(A/-2)/Qi; FT, = Qi, (N - 2)/Qi;
FTi = Qi,(A/-2)/Qi
при числе степеней свободы (N— 1) и (N— 1)*(ЛГ— 2).
Как уже отмечалось, план типа латинский квадрат поз-
воляет одновременно изучать три фактора. Для большинства
случаев число изучаемых факторов можно увеличить до
четырех путем наложения на основной латинский другого
латинского квадрата такой же размерности N X N и орто-
гонального первоначальному, т. е. каждая буква одного
латинского квадрата один раз появляется на одной и той же
11 в-1861
161
Таблица 5.9
Фактор 1	Фактор II			
	1 1 2		3	4
1	Аа	вр	Су	D6
2	Вв	Ау	Dp	Са
3	ср	Da	Л6	ву
4	Оу	С<5	Ba	Ар
позиции, как и каждая буква другого латинского квадрата,
т. е. каждая буква первого квадрата встретится только один
раз с каждой буквой другого квадрата. Чтобы различать
уровни факторов, входящих в первоначальный и орто-
гональный квадрат, во втором латинском квадрате употреб-
ляются греческие буквы (отсюда название греко-латинский
квадрат).
Из всего множества латинских квадратов 4X4 суще-
ствуют только три ортогональных квадрата (цифрами ука-
заны упорядоченные уровни факторов, расположенных в
ячейках квадрата):
I	II	III
1234	1234	1234
2143	3412	4321
3412	4321'	2143
4321	2143	3412
Так, наложив квадрат I на квадрат III, получим греко-
латинский квадрат 4X4, представленный в табл. 5.9.
Методы построения греко-латинских квадратов разнооб-
разны. Некоторые из них отличаются простотой, но не явля-
ются общими и не позволяют получить полного множества
греко-латинских квадратов. Так, если число уровней N яв-
ляется простым нечетным числом, то можно воспользоваться
следующей процедурой для построения пары ортогональных
квадратов [181: первый квадрат получается с помощью од-
ношаговой циклической перестановки справа налево, вто-
рой — слева направо. Проделаем такую процедуру для N =>
— 5. Записываем в первую строку для одного квадрата пять
латинских букв, а для другого— греческих, записанных
в алфавитном порядке. Для первого квадрата вторую строку
табл. 5.10 образуем с помощью одношаговой циклической
перестановки, передвигая последнюю букву (£) на первое
место (в первый столбец), а все остальные сдвигая на одну
162
Таблица 5.10
Фак- тор 1	Фактор II									
	1		2		а		4		5	
1	А	а	В	р	С	У	D	6	Е	8
2	Е	р	А	V	В	6	С	8	D	а
3	D	V	Е	6	А	8	В	а	С		р
4	С	6	D	8	Е	а	А	р	В	У
5	В	8	С	а	D	р	Е	У	А	6
позицию направо. Аналогичную процедуру проделывают для
остальных строк соответственно. Для второго квадрата за-
писываем в первой строке в алфавитном порядке пять
греческих букв. Во второй строке первую букву ставим на
последнее место, все остальные сдвигаем на одну позицию
налево. Аналогично поступаем с остальными строками
табл. 5.10.
Методы построения полного множества ортогональных
латинских квадратов для любого N приведены в [18]. Одна-
ко построение греко-латинского квадрата не всегда ока-
зывается возможным, как, например, для случая N — 2
или N = 6.	z
Дисперсионный анализ для плана типа греко-латинский
квадрат совершенно аналогичен ранее рассмотренному ана-
лизу для плана типа латинский квадрат. Отличие состоит
лишь в том, что необходимо еще вычислять сумму квадра-
тов для четвертого фактора Кроме того, число степеней
свободы остаточной суммы квадратов уменьшается на (АГ —
— 1). Поэтому при N= 3 число степеней свободы для остаточ-
ной суммы квадратов равно нулю и греко-латинские квад-
раты 3x3 для автономных исследований строить не имеет
смысла.
ГЛАВА 6
ОРГАНИЗАЦИЯ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО
ЭКСПЕРИМЕНТА
Современному этапу развития науки и техники свойственны
высокие скорости протекания исследуемых явлений, при
которых требуется быстрое фиксирование состояния объекта
и его реакции на ход эксперимента. Однако при этом тради-
11*	163
ционные методы проведения эксперимента не позволяют
достичь требуемой точности результатов, а в некоторых слу-
чая х и выполнить исследования в целом. Особо важной
проблемой является организация испытаний объектов, про-
цессы функционирования которых носят сложный динами-
ческий характер и подвержены существенным влияниям
извне.
В ходе испытаний накапливается большое количество
экспериментальных данных, требующих обработки и ана-
лиза. Во многих случаях значительная часть операций по
регистрации, сбору и обработке информации проводится
вручную с использованием сложной аппаратуры. Это за-
трудняет математическую обработку полученных данных,
обусловливает неполное использование их объема, снижает
оперативность принятия решения о ходе эксперимента ввиду
ограниченных возможностей человека-оператора.
Применение современных ЭВМ позволяет преодолеть все
перечисленные трудности, связанные с усложнением экс-
перимента (методикой проведения его и планированием) и
высокой скоростью его протекания, поскольку реакция ЭВМ
на внешние факторы может доходить до долей микросекунд.
ЭВМ способны принимать в запоминающие устройства (ЗУ)
большие объемы данных со скоростью до сотен килобайт в
секунду, выполнять сотни тысяч операций в секунду, что
позволяет оперативно управлять экспериментом и представ-
лять почти в реальном масштабе времени обработанные дан-
ные для оценки их исследователем. Следовательно, включе-
ние ЭВМ в состав средств, при помощи которых проводится
эксперимент, существенно увеличивает эффективность по-
следнего.
6.1.	Цели автоматизированного эксперимента.
Структура САНТЭ
Вопросы автоматизации экспериментальных исследова-
ний с использованием управляющих ЭВМ включают выбор
средств измерения, обеспечивающих необходимую точность
и быстродействие, взаимосвязь этих средств между собой и
с центральным модулем (ЭВМ). Прежде чем приступить к
организации автоматизированного эксперимента, необхо-
димо на основании априорных данных определить цели ав-
томатизаций. Обычно цели формулируются либо в терминах
количественной оценки эффективности (экономический эф-
фект, ускорение исследования, повышение достоверности
результата исследования и т. п.), либо качественной (улуч-
164
шение условий труда исследователей, повышение качества
исследований и т. п.).
В зависимости от целей автоматизации эксперименты
подразделяются на следующие [121:
при автоматизации которых требуется лишь повышение
производительности при обработке результатов исследова-
ний без изменения методик и плана их реализации;
целью автоматизации которых является качественное
улучшение метрологических и информационных характе-
ристик процесса исследования (улучшение точности, опре-
деление неучитываемых при ручной обработкепараметров
изучаемого объекта, увеличение количества обрабатывае-
мой информации);
автоматизация которых связана с осуществлением прин-
ципиально новой методики исследования или коренным из-
менением существующей с целью поиска качественно новых
решений.
Наибольшее распространение получили эксперименты
первого типа. Это обусловлено тем, что во многих случаях
исследования проводятся при помощи серийно выпускае-
мого оборудования по стандартным методикам, с большими
массивами измерительной информации, без автоматических
средств обработки ее, хотя эта обработка весьма трудоемка.
Осуществление экспериментов второго и третьего типов
возможно в результате автоматизации на основе применения
более совершенной аппаратуры с ориентацией на автомати-
ческое измерение, управление и обработку информации.
В последнее время такие эксперименты успешно проводятся
для создания системно-ориентированных устройств.
Измеряемыми в экспериментальных исследованиях яв-
ляются физические величины: напряжение, ток, температу-
ра, линейные, объемные и угловые перемещения, давление и
другие. Для получения первоначальной информации о значе-
нии измеряемой величины используются датчики, которые
чаще всего выдают сигнал в аналоговой форме. Если сигнал
на выходе датчика не является электрическим, то его преобра-
зуют вначале в электрический (токовый или потенциальный),
а далее — в цифровую форму. Для управления эксперимен-
тальными установками в соответствии с выбранным планом
исследования необходимо цифровую информацию преобра-
зовывать в аналоговую. Для соединения между собой уст-
ройств, ориентированных на автоматизацию, применяются
устройства сопряжения — интерфейсы.
Автоматизация эксперимента требует существенной пе-
рестройки организации всего процесса экспериментальных
исследований,[разработки новых методов проведения экспе-
165
римента, учета изменения роли экспериментатора в процес-
се исследований, ставшего элементом в общей системе ис-
следований. Автоматизация эксперимента направлена на соз-
дание таких условий, в которых за фиксированное время ра-
боты при ограниченной номенклатуре технических средств
была бы получена минимальная погрешность измерения и
набрано достаточное количество данных для доказательства
достоверности результатов. Повышение эффективности экс-
периментальных исследований с применением автоматиза-
ции достигается благодаря улучшению условий их проведе-
ния, а также возможности проведения экспериментов в не-
доступных для человека областях.	i
Реализация автоматизированного эксперимента осуще-
ствляется с помощью систем автоматизации научно-техни-
ческого эксперимента (САНТЭ), под которыми понимается
программно-аппаратурный комплекс на базе средств вычис-
лительной и измерительной техники, предназначенный для
проведения исследований и комплексных испытаний образ-
цов новой техники на основе получения и использования
моделей исследуемых объектов, явлений и процессов.
Технические средства, входящие в САНТЭ, должны
обеспечивать выполнение возлагаемых задач с удовлетво-
рением необходимой точности воздействия на объект, ввода
и обработки экспериментальных данных, скорости перера-
ботки экспериментальных данных, скорости переработки
информации, форм отображения результатов. С этим свя-
зано также требование наличия развитого математического
обеспечения, включающего удобный язык экспериментато-
ра, широкий набор программ обработки данных, планиро-
вания и проведения (управления) эксперимента, интерпре-
тации и представления его результатов, сервисных прог-
рамм, обеспечивающих удобство общения экспериментатора
с САНТЭ. Последнее требование непосредственно связано с
обеспечением удобства работы экспериментатора, который
должен иметь возможность не только наблюдать за течением
эксперимента, но и по необходимости вмешиваться в ход его
(вплоть до корректировки плана исследования). При этом
должна быть обеспечена удобная форма визуального пред-
ставления экспериментальных данных и документирования
результатов их обработки.
В общем случае в САНТЭ входят следующие подсистемы.
1.	Подсистема взаимосвязи с исследуемым объектом.
Предназначена для преобразования выходной величины
объекта в унифицированную форму, обеспечивающую ввод
в ЭВМ, а также задания на объект воздействий в соответ-
ствии с планом эксперимента. В состав этой подсистемы
166
Рис. 6.1. Подсистема взаимосвязи с исследуемым
объектом
входят (рис. 6.1) цифро-аналоговые преобразователи (ЦАП),
задающие воздействия на объект исследования (ОИ), и ана-
лого-цифровые преобразователи (АЦП), преобразующие
выходные величины ОЙ. Так как технические средства под-
системы могут иметь различное число разрядов и различные
уровни представления цифровой информации, то вводятся
преобразователи цифра-цифра (Ц—Ц) для согласования с
ЭВМ. От правильного выбора характеристик средств этой
подсистемы и режима их использования в основном зависит
эффективность работы остальных подсистем и достоверность
полученных результатов.
2.	Подсистема связи с объектом. Позволяет проводить экс-
перимент, следить за ним и активно вмешиваться в его ход.
3.	Подсистема регистрации и хранения.
4.	Подсистема экспресс-обработки. Осуществляет пред-
варительную (грубую) обработку экспериментальных дан-
ных с целью проверки правильности хода эксперимента и
выявления, в случае возникновения, аварийной ситуации.
5.	Подсистема обработки результатов и принятия ре-
шения. Осуществляет в полном объеме статистичёскую обра-
ботку экспериментальных данных, статистическую про-
верку гипотез, представление информации в форме, удоб-
ной для последующего использования.
6.	Подсистема хранения. Выполняет функции банка
данных, типовых программ проведения эксперимента и об-
работки результатов его.
В зависимости от задачи, решаемой САНТЭ, некоторые
подсистемы могут отсутствовать.
Построение систем можно осуществлять по принципу
централизации и децентрализации. По централизованному
принципу вся информация от объекта (объектов) поступает
непосредственно к центральному модулю (ЭВМ), что имеет
определенное преимущество с точки зрения обслуживания.
Однако ЭВМ должна обладать большой вычислительной
мощностью, чтобы обрабатывать в соответствии с алгорит-
мом исследования весь поток экспериментальных данных;
Кроме того, такая система не позволяет получать в реальном
масштабе времени представление об исследуемом объекте —
можно пропустить интересную, с исследовательской точки
зрения, ситуацию. По децентрализованному принципу’име-
ется возможность оперативно следить за ходом исследова-
167
ния; алгоритмы обработки и управления в этом случае про-
ще. На практике чаще всего встречается сочетание цент-
рализации и децентрализации, где экспресс-обработка
производится на нижнем уровне, а обработка результатов,
хранения их и принятие решения — на верхнем.
Разнообразие научно-технических экспериментов обус-
ловливает различные требования к САНТЭ разного типа
по структуре, организации, реализуемым алгоритмам уп-
равления и обработки, форме представления результатов.
Создание специализированных систем, предназначенных для
автоматизации отдельных конкретных видов эксперимен-
тальных исследований, несмотря на их высокую произво-
дительность и простоту, нецелесообразно, что обусловлено
большой трудоемкостью и высокой стоимостью работ на соз-
дание таких систем. При этом число их неограниченно воз-
растает, а это усложняет ремонт и обслуживание.
Вместе с тем можно выделить целый ряд задач, требую-
щих одинаковых типовых подходов при их решении и тех-
нической реализации результатов.. Эти обстоятельства и
являются предпосылкой для создания типовых (проблемно-
ориентированных) систем, ориентированных на автомати-
зацию отдельных классов экспериментальных исследова-
ний, базирующихся на общей форме представления входной
и выходной информации и алгоритмах-обработки. Типовость
решений должна приниматься прежде всего в отношении
технических средств и математического обеспечения систем.
Для этого необходимо создавать функционально закончен-
ные элементы системы, имеющие одинаковый интерфейс
ввода-вывода, называемые модулями. При наличии типовых
модулей различного назначения САНТЭ может быть со-
ставлена из них полностью или частично. Аналогичная
картина наблюдается и для программного обеспечения.
Оформляя типовые алгоритмы обработки данных, отобра-
жения данных, управления объектом и ходом эксперимента
в виде модулей, можно из таких модулей составлять прог-
рамму для автоматизированного эксперимента выбранными
техническими средствами — модулями или, по крайней
мере, использовать эти модули как часть создаваемой си-
стемы программного обеспечения.
Весьма эффективным методом общения ЭВМ с экспери-
ментатором является диалоговое, или интерактивное, взаи-
модействие. Диалог позволяет экспериментатору быстро оце-
нивать с помощью ЭВМ возникающие ситуации, а также при-
нимать оперативные решения. ЭВМ в момент диалога являет-
ся как бы усилителем и ускорителем действий либо решений
экспериментатора, «предостерегает» его от грубых ошибок.
168
Такое построение позволяет развивать САНТЭ в процес-
се ее функционирования, так как после ввода системы в
эксплуатацию количество и сложность задач автоматиза-
ции возрастают, повышаются требования к достоверности
и точности экспериментальных данных и результата ис-
следования в целом. При этом система обладает гибкостью,
т. е. способностью перестраивать свою работу в соответст-
вии с изменениями внешних условий, а также перераспре-
делять функциональные назначения отдельных подсистем.
6.2.	ЭВМ в автоматизированном эксперименте
На ЭВМ в системах автоматизации эксперимента, кроме
операций ввода-вывода данных и их обработки, возлагают-
ся обязанности по управлению объектом исследования и
техническими средствами САНТЭ при реализации алгорит-
ма исследования. При этом эксперимент должен проводить-
ся в реальном масштабе времени. Возможностью прямого
доступа к памяти обладают мини-ЭВМ. Они ориентированы
на управляющее функционирование, что является опреде-
ляющим фактором при выборе их в качестве центральных
модулей в автоматизированном эксперименте.
Упрощенная структура мини-ЭВМ приведена на рис. 6.2.
Машина содержит счетчик- команд (СК), регистр адреса
памяти (РАП), память, буферный регистр памяти (БРП),
регистр команд (РК), дешифратор команд (ДК) и накопи-
тельный регистр (HP). Будем исходить из того, что машин-
ное слово содержит 12 разрядов. Поэтому СК и РАП пред-
ставляют собой 12-разрядные регистры. СК работает в ре-
жиме автоиндексации и предназначен для формирования
в наростающем итоге текущего адреса ячейки памяти, где
хранится команда, которую необходимо в данный момент
времени выполнить для реализации соответствующего этапа
алгоритма исследования. Данный адрес из счетчика команд
поступает в РАП, который позволяет считать (записы-
вать) содержимое ячейки памяти в БРП (или записать из
БРП в указанную ячейку памяти). Укороченное слово ми-
ни-ЭВМ не позволяет непосредственно обращаться ко
всем участкам ее памяти, которая в общем случае для рас-
сматриваемого примера может содержать до 1212 = 4096 яче-
ек, из-за малого числа разрядов в адресной части команды.
Поэтому память разбивают на страницы, к которым возмож-
но прямое и косвенное обращение. Для12-разрядного слова
выделяется три поля (рис. 6.3). В старших трех разрядах
указывается код команды обращения к памяти (КОП), на-
пример сложение, вычитание, сдвиг влево. В последующих
169
двух разрядах размещается код признака адресации (ПА).
Остальные семь разрядов, являющихся смещением, ука-
зывают номер ячейки на странице. Таким образом, одна
страница памяти содержит 27 = 128 ячеек, в которых могут
храниться данные и команды. Обращение к памяти обычно
осуществляется в восьмиричной "системе, один разряд кото-
рой соответветствует трем разрядам в двоичной системе счис-
ления. Следовательно, адреса ячеек на страницах:
нулевая 0—1778;
первая 2008—3778;
вторая	4008—5778 и т. д.
Если младший разряд ПА равен «нулю», то ячейка, где
находится число, над которым необходимо выполнить дей-
ствие, предписанное командой, находится на нулевой стра-
нице и ее адрес соответствует смещению в слове, считанном
из памяти при обращении к ней по адресу, выработанному
СК. Если же младший разряд ПА равен «единице», то адрес
ячейки, где находятся данные, определяется путем суммиро-
вания смещения к начальному адресу страницы, где на-
ходилась команда, предписывающая действия над этими
данными. В первом случае осуществляется адресация к ну-
левой странице, а во втором — к текущей. Если старший раз-
ряд признака адресации равен нулю, то реализуется прямая
адресация, а при «единице» — косвенная. Косвенная адре-
сация позволяет переходить с одной страницы памяти к
другой. В состав ЭВМ входит также и генератор основных со-
стояний (ГОС, на рис. 6.2 не показан), который реализует
одну из фаз работы при выполнении КОП: выборку, фор-
мирование адреса и выполнение. При косвенной адресации
присутствуют все три фазы, а при прямой отсутствует фаза
формирования адреса.
Счетчик команд и регистр адреса памяти условно разби-
ваются на две части: СК1 и РАШ, содержащие пять раз-
170
рядов, и СК2 и РАП2, содержащие семь разрядов в соответ-
ствии с числом разрядов в смещении. Счетчик команд после-
довательно вырабатывает адреса ячеек памяти, в которых
располагаются команды.
Пусть ядрес ячейки, где находится следующая команда,
будет 217 (см. рис. 6.2). Сформированный СК адрес зано-
сится в РАП и возбуждается 217 ячейка памяти. Содержи-
мое 217 ячейки переписывается в БРП. Следует отметить,
что данные заносятся или считываются из памяти только
через БРП с целью защиты ее. Содержимое ячейки в соответ-
ствии с рис. 6.3 содержит код операции 1 (например, сло-
жение), а ПА указывает, что прямая адресация должна осу-
ществляться к нулевой странице. Код операции переносит-
ся в РК, декодируется и подготавливаются логические
связи для осуществления операции «Сложить». Признаки
адресации анализируются для задания режимов ГОС. На
этом фаза выборки заканчивается. Смещение 102 переносит-
ся в РАП2 и таким образом в РАП формируется адрес ячей-
ки памяти 102, расположенной на нулевой странице, в ко-
торой записан операнд, над которым необходимо выполнить
предписанное действие (в нашем случае сложение). Затем
происходит обращение к ячейке памяти 102, содержимое ее
(0002) считывается в БРП. Так как в старшем разряде ПА
стоит «0», то наступает фаза выполнения — число 0002 из
БРП переносится в HP, где ранее находилось число 0004,
и в результате в накопительном регистре получаем резуль-
тат сложения 0006.
Если в младшем разряде ПА стоит «1», т. е. в ячейке
217 записано -1 01 102, то адрес ячейки памяти, к которой
необходимо обращаться для из-
влечения числа, над которым не-
обходимо осуществить операцию
сложения, определится как сум-
ма смещения 102 и начального
адреса страницы, где находилась
команда 200, т.е. получаем адрес
ячейки 302. В остальном органи-
зация работы ЭВМ не отличается
от ранее рассмотренной.
При косвенной адресации стар-
ший разряд ПА содержит «1» и
происходит обращение к памяти
три раза: для выборки команды,
формирования адреса и извлече-
ния числа, над которым выполня-
ется предписанное действие. Рас-
Рис. 6.4. Организация выполне-
ния КОП с косвенной адреса-
цией
171
смотрим этот процесс подробней (рис. 6.4). Счетчик команд
вырабатывает адрес, например 320, где хранится команда. Этот
адрес заносится в РАП, возбуждается 320 ячейка памяти и ее
содержимое переписывается в БРП. Смещение 70 переносит-
ся в РАП2, а код команды — в РК. Признаки адресации
служат для указания фаз работы ГОС. Наличие «1» в млад-
шем разряде ПА свидетельствует о том, что необходимо обра-
щаться к ячейке на текущей странице с адресом 200 + 70 =
=270. Содержимое 270 ячейки считывается с БРП. Но так как
в старшем разряде ПА стоит «1», то содержимое этой ячейки
1210 не является, как при прямой адресации, числом, над
которым необходимо выполнить действие. Содержимое ячей-
ки 270 указывает адрес ячейки на другой странице, где
находится операнд, над которым необходимо выполнить
действие (в данном случае сложение) — происходит форми-
рование адреса. Сформированный адрес 1210 переносится в
РАП и происходит обращение по адресу. Содержимое ячей-
ки 1210 (число 0004) переносится в БРП и затем складывает-
ся с содержимым HP. В результате получается 0006. Таким
образом, осуществляется переход на другую страницу. На
нулевой странице, так как на нее можно перейти с любой
страницы памяти, располагаются наиболее распространен-
ные константы. Косвенная адресация широко применяется
при обработке результатов экспериментальных исследова-
ний, когда подпрограмма обработки находится в одной части
памяти, а экспериментальные данные заносятся в другую.
Элементы ЭВМ и соответствующие ей устройства рабо-
тают по двухпозиционной (двоичной) системе. В настоящее
время разработано большое количество языков, которые
дают возможность пользователю писать программу на легко
понимаемом языке. Написанные на соответствующем языке
программы с помощью специальных программ-транслято-
ров переводятся с алгоритмического языка пользователя
на машинный. Главное отличие программного обеспечения
САНТЭ от традиционных программ научных расчетов со-
стоит в том, что оборудование системы функционирует в
реальном времени и тесно связано с объектом исследования.
Поэтому в программном обеспечении САНТЭ можно выде-
лить две составные части: вычислительную и управляющую.
В функции управляющей части входит: организация сов-
местной работы узлов; управление передачей данных;
управление сменой программ; обеспечение диалога с экспе-
риментатором; контроль за работой системы.
Существуют два способа трансляции (организации пере-
вода) алгоритмических языков на язык, понятный ЭВМ —
интерпретация и компиляция. Наиболее экономичной с точ-
172
ки зрения затрат оборудования в САНТЭ является компи-
ляция. Компилятор — это транслятор, у которого исход-
ным является язык высокого уровня, а объектный (выход-
ной) язык близок к реальному языку машины — языку
Ассемблер или его варианту (с абсолютными или относитель-
ными адресами). Однако при компиляции нет возможности
внести изменения в рабочую программу — весь цикл ис-
следования проходит по заложенному алгоритму от начала
до конца.
Интерпретирующий транслятор переводит программы,
записанные на алгоритмическом языке, в машинный код по
мере их поступления, т. е. синхронно. Интерпретация отли-
чается от компиляции принципиально лишь тем, что при
компиляции результат преобразования исходной програм-
мы фиксируется в памяти в виде объектной программы, а
при интерпретации — результат преобразования фиксиру-
ется в памяти по частям, каждая из которых представляет
набор машинных команд, моделирующих текущие операто-
ры исходной программы. Эти наборы фиксируются в памя-
ти лишь на время, необходимое для выполнения входящих в
них машинных команд.
Диалоговый режим при интерпретации позволяет экс-
периментатору активно вмешиваться в ход эксперимента,
изменяя программу исследования. Однако поскольку транс-
ляция выполняется во время исследования объекта, слож-
ность языка ограничивается быстродействием ЭВМ, а сле-
довательно, данный метод предпочтительнее использовать
для так называемых простых алгоритмических языков, или
языков низкого уровня. Для языков высокого уровня до-
стоинства интерпретации сводятся на нет значительными за-
тратами объема памяти.
В управляющих мини-ЭВМ память невелика. Поэтому
целесообразно при использовании языков высокого уровня
переходить к совместному использованию методов компиля-
ции и интерпретации. В этом случае программа, записанная
на языке высокого уровня, сначала преобразуется в про-
грамму более низкого уровня (например, мнемокод), а затем
исполняется. Процесс преобразования программы с языка
высокого уровня происходит в тот момент, когда САНТЭ
свободна от выполнения своих основных функций — рабо-
ты с объектом. Эта часть общего процесса преобразования
называется фазой компиляции, а вторая часть — исполнение
программы, переведенной на язык низкого уровня,— фазой
интерпретации. Исполнение трансляции по приведенной схе-
ме имеет преимущества в смысле затрат оборудования —
после завершения процесса компиляции компилятор бывает
173
не нужен и занимаемый им объем памяти машины можно
использовать в процессе исследования объекта (например,
для занесения экспериментальных данных).
6.3.	Интерфейсы \
Для организации” САНТЭ необходимо реализовать’функ-
ции передачи и восприятия информации, а также управления
обменом. Функциональные модули (ФМ), реализующие дан-
ные функции, соответственно носят название источников,
приемников и контроллеров. В некоторых случаях функции
приемника и передатчика могут объединяться в одном или
нескольких ФМ, но функции контролера в САНТЭ выполняет
только один ФМ.
Для обеспечения взаимодействия ФМ, входящих в состав
САНТЭ, и организации определенного алгоритма их работы
(взаимодействия) служат интерфейсы. Под интерфейсом
понимается совокупность унифицированных технических
и программных средств, необходимых для организации взаи-
мосвязи ФМ и реализации алгоритма их функционирования
в составе САНТЭ и обеспечивающих информационную сов-
местимость указанных модулей.
Для обеспечения информационных взаимосвязей и вза-
имодействий ФМ используются следующие сигналы, кото- -
рые передаются по соответствующим линиям связи, образу-
ющим одноименные шины интерфейса: информационные;
программные; адресные; управляющие, включающие в себя
командные и оповещения; специальные.
В зависимости от конкретной реализации интерфейса
отдельные шины могут и отсутствовать.
Информационные сигналы являются содержательными и
несут информацию о численных значениях величин или
упорядоченных нечисленных значениях, например, о ре-
зультате измерения, номере измерительного канала,- о по-
ложениях коммутационных элементов. Число линий, по
которым передаются информационные сигналы, чаще всего
определяется разрядностью центрального модуля, управ-
ляющего обменом информацией.
Данные, передаваемые от передатчика к приемнику, мо-
гут представляться в последовательном, параллельном и
последовательно-параллельном кодах. Соответственно под-
разделяются и интерфейсы. Для передачи данных в после-
довательном коде необходимо две линии — одна для собст-
венно передачи информационных сигналов, а вторая для
передачи тактовых импульсов. Информация, находящаяся
на информационной линии, воспринимается как достовер-
174
ная только при наличии тактирующего импульса. Такая пе-
редача данных медленнодействующая, ее применяют для со-
единений большой протяженности.
При параллельной передаче численного значения вели-
чины, содержащей N битов, требуется N линий. При этом
интерфейс должен обеспечивать двусторонний обмен между
сопрягаемыми ФМ. Реализация такого обмена возможна
двумя путями: применением двух аналогичных ^разряд-
ных шин «чтения» и «записи» или применения так называе-
мой общей шины, по N линиям которой информация может
передаваться между двумя устройствами как в прямом, так
и в обратном направлении. Первый путь, несмотря на его
громоздкость, увеличивает пропускную способность ка-
нала передачи данных.
Если разрядность сообщений больше разрядности ин-
формационной шины, применяется последовательно-парал-
лельная передача данных. Для передачи по информацион-
ной W-разрядной шине данных, содержащих L символов,
необходимо L/N посылок.
Программные сигналы определяют' функциональное со-
стояние ФМ, а также устанавливают алгоритм обработки
информации в блоке. Они определяют режим работы функ-
циональных блоков, а также технические характеристи-
ки их (например, чувствительность, время измерения, гра-
ницы допусков классификаторов). Рассмотренные сигналы
представляют группу приборных сигналов. Все остальные
сигналы относятся к интерфейсной группе и служат для
осуществления процесса передачи данных..
Адресные сигналы позволяют выбрать из всего набора
устройств именно тот ФМ (или несколько блоков), которые
будут участвовать в процессе обмена информацией. Причем
они указывают, какой из ФМ является приемником или
передатчиком.
Управляющие сигналы обеспечивают подготовку, начало
и проведение операций в ФМ. Они организуют связь между
устройствами, обменивающимися информацией, а также со-
гласовывают работу устройств в процессе обмена информа-
цией. Управляющие сигналы подразделяются на команд-
ные и оповещения. К командным относятся сигналы запро-
са о связи, согласия на связь, прием и выдача данных,
очистка интерфейса и т. п. Сигналы оповещения вырабаты-
ваются устройствами в ответ на командные сигналы. Они
свидетельствуют о наличии связи, о готовности или него-
товности к выдаче данных, приняты данные или нет и
т. п. Следует отметить, что по информационной шине могут
передаваться управляющие и адресные сигналы. В этом
175
случае для определения смысла сигнала, передаваемого по
информационной шине, вводятся дополнительные сигналы,
а следовательно, линии идентификации, кодовые комбина-
ции которых позволяют распознавать сигналы на инфор-
мационной шине.
Специальные сигналы применяются в случае неисправ-
ности интерфейса или же функционирования отдельных ФМ,
входящих в состав системы. К ним относятся также сигналы
прерывания, вырабатываемые ФМ.
Линии и шины, их состав и взаимное расположение в
САНТЭ являются базовыми при рассмотрении особенностей
функционирования того или иного интерфейса. Основным
, являются три вида интерфейсов: каскадный; радиальный;
магистральный.
Каскадный, или последовательный, интерфейс является
наиболее простым, в котором каждая пара источник-прием-
ник связана друг с другом общим потоком информации.
Обмен данными производится непосредственно между мо-
дулями. Управляющие функции распределяются между
ФМ, которые могут .выполнять функции источника или
приемника. В некоторых случаях для управления обменом
данными вводится контроллер — центральный модуль. На
рис. 6.5 приведено использование каскадного итерфейса.
Управление обменом происходит непосредственно под
управлением самих ФМ — многие системно-ориентировочные
приборы имеют режим внешнего запуска, а также содер-
жат сигнал, оповещающий об окончании цикла работы,
например преобразования, поэтому информация на выходе
ФМ достоверна. Для запуска работы системы используется
внешний сигнал. Когда преобразователь напряжения в
частоту (ПНЧ) закончит цикл преобразования, он выдает
сигнал, который поступит на запускающий вход цифрового
частотомера (ЦЧ). Последний после получения цифрового
кодового значения частоты запустит цифровое печатающее
устройство (ЦПУ), на котором зафиксируется результат
измерения. В некоторых случаях возникает необходимость
в циклической работе системы, для чего необходимо реа-
лизовать обратную связь по управлению с выходного ФМ ко
176
входному, т. е. при каскадном ин-
терфейсе происходит последова-
тельная передача информационных
и управляющих сигналов.
Применение радиального интер-
фейса позволяет подключить боль-
шое количество ФМ к ЦМ — процес-
сору (рис. 6.6), который располагает
определенным числом каналов для
обмена данными.
Рис. 6.7. Магистральный ин-
терфейс
Подключение ФМ осуществляется через систему инди-
видуальных шин. Номенклатура и порядок расположения
шин для подключения каждого ФМ одинакова. Это позво-
ляет изменять порядок подключения ФМ к центральному
модулю при соответствующем изменении в программе. Об-
мен информацией между ФМ и центральным модулем может
происходить как по инициативе контроллера, так и по ини-
циативе ФМ. Если обмен осуществляется по инициативе ФМ,
то последний посылает в контроллер запрос. Контроллер
определяет ФМ, требующий обмен, и логически устанавли-
вает связи с этим блоком. После этого начинается обмен. Сле-
дует подчеркнуть, что при радиальном интерфейсе обмен
может осуществляться только между ФМ и контроллером.
Так как запрос на обмен одновременно может поступить от
нескольких ФМ, устанавливается шкала приоритетов. При-
оритет присваивается в зависимости от важности информации,
получаемой от ФМ, их быстродействия и т. п. В интерфей-
сах с радиальной структурой приоритет в большинстве слу-
чаев определяется местом (порядковым номером) подключе-
ния ФМ. Чем выше порядковый номер канала обмена дан-
- ными, тем ниже приоритет устройства, подключенного к
нему. Перекоммутация соединений изменяет приоритет ФМ
при обслуживании.
Магистральный интерфейс, в отличие от радиального,
вместо групповых содержит коллективные шины, к кото-
рым одновременно подключаются все приемники и передат-
чики (рис. 6.7). В этом случае все сигналы, находящиеся
на магистрали, могут быть доступны всем ФМ. Однако пе-
редают информацию или воспринимают ее только те блоки,
которым контроллером предписаны эти функции в данный
момент времени. Процессом обмена управляет контроллер.
Если обмен происходит по инициативе ФМ, то он на маги-
страль выставляет сигнал запроса на обслуживание. Кон-
троллер воспринимает этот сигнал, а затем, если в данный
момент времени магистраль свободна, выдает сигнал согла-
сия на обмен. ФМ, восприняв этот сигнал, устанавливает
12 6—1861
177
связь с блоком, с которым необходимо осуществить обмен,
путем посылки в интерфейс сигнала, код которого соответ-
ствует адресу того устройства, с которого должны посту-
пить данные (или с которого они запрашиваются). После
установления связи происходит обмен информацией. В ма-
гистральном интерфейсе связь между ФМ и передача дан-
ных между ними осуществляется при помощи контроллера.
Однако, в отличие от случая радиального интерфейса, кон-
трольно-измерительная информация поступает от источника
к приемнику непосредственно через линии магистрали, ми-
нуя контроллер. Запрос на обслуживание, как показано
выше, может одновременно поступать от нескольких ФМ.
Поэтому необходимо предварительное' задание приоритетов,
в соответствии с которыми контроллер сортирует требова-
ние на передачу данных и разрешает обмен устройству о
наибольшим приоритетом.
Система индивидуальных шин при радиальном интер-
фейсе, в отличие от случая шин коллективного пользования
при магистральном интерфейсе, несмотря на большие затра-
ты оборудования, обеспечивает более высокую надежность
работы системы. Так, выход со строя одной из шин приведет
только к неправильной работе одного из ФМ. При магистраль-
ном интерфейсе это приводит систему в нерабочее состояние.
Однако, при радиальном интерфейсе легче и быстрее устанав-
ливается источник запроса на обмен, более просто уста-
навливается связь, а при магистральном возможно подклю-
чение большого числа ФМ при непосредственном обмене
данными между ними.
При построении САНТЭ можно идти двумя путями:
1)	создавать систему, которая может работать с любой
мини- или микро-ЭВМ; 2) проектировать систему на основе
вполне определенных (конкретных) ЭВМ.
В первом случае при сопряжении ФМ характеристики
ЭВМ не учитываются. Согласование работы блоков с кон-
кретной машиной осуществляется через специально разра-
батываемое согласующее устройство — интерфейсный блок
сопряжения, которое называется машинно-независимым
(например, итерфейс системы КАМАК).
Во втором случае ФМ, входящие в состав САНТЭ, явля-
ются такими же внешними устройствами для ЭВМ, как и
цифропечатающее устройство, фотосчитыватель и т. п. Сле-
довательно, схемы сопряжения должны строиться аналогич-
но интерфейсу канала ввода — вывода ЭВМ с соблюдением
условий логической, электрической и конструктивной сов-
местимости. При машинно-независимом интерфейсе эти ус-
ловия должны соблюдаться как при согласовании с кон-
178
кретной ЭВМ, так и при организации внутрисистемных
(внутрифункциональных) связей. При этом необходимо со-
блюдать логические, электрические и конструктивные усло-
вия сопряжения [28].
Логические условия определяют последовательность про-
хождения сигналов по цепям интерфейса, а также процедуру
обмена между сопрягаемыми ФМ и между ФМ и ЭВМ.
К ним относятся: вид и количество сигналов, передавае-
мых по шинам: система кодирования; пространственно-вре-
менная диаграмма сигналов; названия и действие сигналов,
в частности, управляющих.
Важным в логике работы интерфейса является последо-
вательность появления сигналов в различных линиях, вре-
менные соотношения между ними, а также появления сигна-
лов на линиях. Алгоритм работы и взаимодействия ФМ, вхо-
дящих в состав САНТЭ, достаточно сложен. Для упрощения
записи, чтения и проверки программ работы интерфейса ис-
пользуется мнемоническое или символическое кодирование.
Перевод мнемо-кода в двоичный при использовании ЭВМ в
качестве контроллера осуществляют с помощью программы
на языке Ассемблер.
Под электрическими условиями понимается совокуп-
ность требований к параметрам передаваемых сигналов, ви-
ду логики, коеффициентам нагрузки по входу и выходу,
уровням логического нуля и единицы.
К конструктивным условиям интерфейса обычно относят
тип соединительного элемента, размещение соединительных
элементов в ФМ, а также вид электрических соединений меж-
ду ФМ (многожильный кабель, коаксильный кабель и т. п.).
6.4.	Программный и аппаратурный обмен данными
вСАНТЭ
Обмен данными в системах автоматизированного контро-
ля между ФМ и между ФМ и центральным модулем может
осуществляться как при помощи программ, реализующих
алгоритм обмена, так и при помощи специальных устройств,
введенных в состав ФМ. При аппаратурном обмене данные
передаются по специальному быстродействующему каналу,
называемому каналом прямого доступа в память ПДП.
Программный обмен данными может осуществляться
тремя путями: безусловным (синхронным); условным (асин-
хронным); по прерыванию.
Безусловный обмен данными осуществляется путем пере-
коммутации цепей между блоками, обмен информацией меж-
ду которыми должен происходить в соответствии с реали-
1в*	пр
зуемым алгоритмом контроля. Темп передачи определяется
устройством, которое синхронизирует прохождение каждого
бита либо группы битов и сообщения. В противном случае
сообщения могут неверно восприниматься и трактоваться.
Безусловный обмен данными возможен только в случае,
когда в состав системы входят устройства, всегда готовые к
обмену, т. е. для устройств, имеющих известные и постоян-
ные временные соотношения.
Условный обмен данными реализуется значительно чаще.
При таком обмене нет необходимости знать временные соот-
ношения функционирования устройств, входящих в состав
системы. Обмен происходит после того, когда ФМ готов к
выполнению этой операции. Следовательно, перед выпол-
нением операции обмена необходимо установить готовность
ФМ. Программа проверяет состояние ФМ. Если устройство
не готово, то выполняется цикл проверок готовности. Когда
ФМ готов к обмену, программа выходит из цикла и осуществ-
ляется обмен данными. Основным преимуществом такого об-
мена является возможность синхронизации центрального
устройства, обладающего высоким быстродействием, с любым
ФМ независимо от его быстродействия. При этом осуществ-
ляется асинхронный обмен данными.
Более эффективное использование времени центрального
модуля обеспечивается при передаче данных по прерыванию.
В исходном состоянии центральный модуль может быть за-
нят выполнением какой-либо счетной задачи, называемой
«фоновой». Когда ФМ требует дополнительных данных или
же он накопил их, он сообщает центральному модулю, что
обмен необходим. При этом фоновая программа прерывается
и последующие циклы отдаются на операцию обмена данны-
ми. После завершения этой операции центральный модуль
возвращается к выполнению прерванной «фоновой» задачи.
Передача данных по прерыванию может применяться в си-
стемах сбора и обработки информации, где последователь-
ность обмена не является существенной, а также в многопо-
стовых системах, работающих на один центральный модуль.
Принимая во внимание, что САНТЭ должна работать в
реальном масштабе времени, в качестве центрального моду-
ля в них используются мини-ЭВМ с уменьшенной длиной
разрядной сетки, ограниченным числом операций, возмож-
ностью микропрограммирования и предельной простотой,
что в конечном итоге повышает их быстродействие [25].
Основные принципы организации программной и аппа-
ратурной передачи данных рассмотрим на примере ЭВМ с
магистральным интерфейсом, к которым относятся отечест-
венные ЭВМ типа «Саратов» и «Электроника-100». Структура
180
команды ввода — вывода для обмена информацией имеет трех-
звенную структуру (рис. 6.8). Поле кода операции опреде-
ляет системную процедуру, т. е. операцию ввода-вывода.
Поле адреса выбирает одно из 64 внешних устройств —
функциональных модулей, поле управления содержит ин-
формацию о восьми возможных режимах работы ФМ.
Каждый ФМ имеет собственное устройство управления,
которое выполняет следующие функции:
декодирует адрес ФМ, поступающий из ЭВМ, и дает ответ
лишь в том случае, если адрес совпадает с ключом (пред-
установленной кодовой комбинацией) данного устройства;
. декодирует код операции, поступающий из ЭВМ, и ини-
циирует ее выполнение;
посылает в ЭВМ информацию о текущем состоянии ФМ;
осуществляет управление обменом информацией.
Организация безусловной передачи данных. В соответ-
ствии с алгоритмом исследования ЭВМ обращается к ФМ,
образуя канал обмена данными, по которому затем и проис-
ходит передача их. Если все ФМ подключены к системе шин,
то в состав блоков вводится селектор, представляющий собой
дешифратор. Каждому ФМ присвоен определенный адрес
(код). Селектор в этом случае срабатывает лишь тогда, когда
на адресных шинах магистрали будет выставлена соответ-
ствующая данному блоку кодовая комбинация.
На рис. 6.9 приведена схема обмена данными с двумя
ФМ. В состав ФМ введен регистр, служащий для буфериза-
ции данных. Это позволяет более эффективней распределить
временные ресурсы САНТЭ. Когда ФМ закончит выполне-
ние предыдущей команды, полученные данные заносятся в
регистр, й ФМ готов к выполнению следующей команды, не
ожидая пока данные будут считаны в ЭВМ.
181
Стать
Рис. 6.10. Структурная схема условной пе-
редачи данных
На адресную шину
ЭВМ выставляет код, вы-
бирая то устройство, ко-
торое в данный момент
времени должно участво-
вать в обмене. Селектор
этого ФМ, возбужден-
ный кодом, открывает
входные вентили, позво-
ляя управляющим им-
пульсам пройти на вы-
бранное устройство. Пос-
ле открытия селектора
ФМ на шине управления
соответствующая коман-
выставляется кодовая комбинация,
де СЧИТАТЬ. В результате с выхода селектора после деко-
дирования на схему совпадения поступает стробирующий
сигнал, который открывает ее и разрешает прохождение на
шину «Вход данных» ЭВМ данных из регистра. Через опре-
деленный промежуток времени, соответствующий быстро-
действию следующего ФМ, участвующего в обмене, выраба-
тывается код, соответствующий его адресу. Обмен затем про-
исходит аналогично ранее рассмотренному в соответствии с
алгоритмом:
Выбор устройства (функционального модуля) -> Управ-
ление (команда СЧИТАТЬ) -> Передача данных
Организация условной передачи данных. Как уже отме-
чалось, быстродействие ФМ и ЭВМ различно. Может ока-
заться, что в момент прихода новой команды ФМ будет занят
выполнением предыдущей команды. Так, после выдачи ко-
манды ИЗМЕРИТЬ для ФМ потребуется время для выбора
предела измерения и время на выполнение собственно изме-
рительно-преобразовательных операций. Поэтому с прихо-
дом команды СЧИТАТЬ полученные в результате измерения
данные могут оказаться недостоверными, так как будет еще
длиться переходный процесс. Поэтому, чтобы ЭВМ могла
проверять состояние ФМ и решать, возможно ли осуществ-
лять с ним обмен, в состав ФМ вводится триггер флага (ТФ,
флаг), представляющий собой R — S триггер. Если флажок
сброшен, т. е. установлен в нулевое состояние, это означает,
что устройство занято, а именно: устройство вывода инфор-
мации еще выполняет предыдущий приказ — команду, а ус-
тройство ввода еще не закончило формирование данных.
Структурная организация для рассматриваемого случая
приведена на рис. 6.10. По шине адреса передается код адре-
са того устройства, которое должно участвовать в обмене
182
данными. Селектор, входящий, в состав ФМ, открывается.
Передача данных осуществляется под управлением двух
команд. Сначала на шину управления поступает команда
ПРОПУСК, которая, пройдя через открытый селектор мо-
дуля, имеющего адрес Л\, стробирует схему совпадения 1.
На эту же схему подается сигнал с выхода триггера флага.
В исходном состоянии на выходе флага — логический нуль.
Опрос модуля Nt о готовности к обмену командой ПРОПУСК
повторяется циклически с тактовой частотой работы ЭВМ.
Когда ФМ готов к обмену, он выдает сигнал на S-вход ТФ,
устанавливая его тем самым в «единичное» состояние. При
этом команда ПРОПУСК пройдет через схему совпадения
1 на шину пропуска ЭВМ. Восприняв эту команду, логиче-
ские схемы ЭВМ переходят к передаче данных. Алгоритм об-
мена:
I невозврат-!
Выбор ФМ -> ПРОПУСК —I
> СБРОС СЧИТАТЬ^-* Передача дан-
А	ных
В счетчике команд ЭВМ после команды ПРОПУСК запи-
сана команда ВОЗВРАТ-1, которая возвращает ЭВМ к пре-
дыдущей команде, т. е. организует цикл опроса готовности.
При прохождении команды ПРОПУСК следующая за ней
команда пропускается и ЭВМ переходит к выполнению ко-
манды СБРОС, возвращая ТФ в исходное состояние, а затем
команды СЧИТАТЬ, которая дает разрешение на ввод дан-
ных в ЭВМ через схему совпадения. Предварительно акку-
мулятор (накопительный регистр), куда вводятся данные,
очищается. Нахождение ТФ в исходном (нулевом) состоянии
подтверждает, что данные в регистре ФМ недействительны,
т. е. новые еще не подготовлены.
Организация передачи данных по прерывания. При боль-
шом различии в быстродействии ЭВМ и ФМ, входящих в со-
став САНТЭ (что наблюдается почти по всех практических
случаях), при большом объеме вычислительных операций, а
также в случае многопостового построения системы следует
избегать использования циклов опроса и ожидания готовнос-
ти устройств к обмену инфомацией. При такой постановке
вопроса целесообразно использовать прерывание передачи
данных (рис. 6.11). В исходном состоянии ЭВМ занята обра-
боткой ранее полученных данных, т. е. выполняет так называ-
емую «фоновую» программу. В случае готовности устройства
передать данные или необходимости получение дополни-
тельной информации из центрального модуля, флаг устанав-
ливается в единичное состояние. Выход ТФ подключен к
183
Считать
Рис. 6.11. Структурная схема передачи данных по прерыванию
линии прерывания, в свою очередь, подсоединенную к триг-
геру прерывания ТП ЭВМ. Если нет запрета на прерыва-
ние, то логические схемы ЭВМ переключают программное
управление с фоновой программы к программе ввода — выво-
да. Процедура обслуживания прерывания содержит поиск
адреса ФМ, запросившего прерывание для обмена информа-
цией.
Уже указывалось, что в состав каждого ФМ введен триг-
гер флага. Все эти ТФ объединены через схему ИЛИ с ли-
нией прерывания. Кроме того, они через вторую схему ИЛИ
соединяются с линией пропуска. При получении запроса
на прерывание ЭВМ в ответ вырабатывает на шине выбора
устройства последовательно адреса ФМ и одновременно по
шине управления команду ПРОПУСК. Сигнал пропуска
поступает в ЭВМ только при опросе того устройства, кото-
рое требует обмена и ТФ у него находится в единичном
состоянии. Такая процедура определения источника с после-
довательной проверкой флажков называется полингом. Пос-
ле определения источника прерывания управление переда-
ется управляющей программе. Начальный адрес этой про-
граммы вычисляется на основе адреса ФМ, определенного в
результате полинга. При большом числе ФМ потери време-
ни на полинг могут быть значительными, в пределе представ-
184
льющими п циклов работы ЭВМ (где п — число ФМ). В тех
случаях, где требуется повышенное быстродействие, исполь-
зуется векторная система прерывания 114]. Для ее реали-
зации вводится блок приоритетного прерывания, который
освобождает ЭВМ от процедуры поиска источника прерыва-
ния, сразу указывая ей соответствующую программу обслу-
живания прерывания.
В состав ЭВМ кроме триггера запроса ТП входит также
триггер разрешения ТР. Если ЭВМ выработала команду раз-
решения прерывания, то ТР в единичном состоянии и сигнал
прерывания через схему И поступает на ТП и начинается
обмен данными. При этом выходной сигнал ТП опрокидыва-
ет ТР, блокируя тем самым вход прерывания. После оконча-
ния обработки прерывания вырабатывается команда на раз-
решение прерывания. Алгоритм обмена данными по преры-
ванию:
Прерывание фоновой программы-»- Полинг -> СБРОС ->
-> СЧИТАТЬ -> Передача данных -> Возврат к фоновой
программе
Если в момент поступления запроса на прерывание ЭВМ
занята обслуживанием ФМ с более низким приоритетом, то
блок приоритетного прерывания выдает в ЭВМ сигнал пре-
рывания и начальный адрес программы обработки данного
прерывания. Вслед за этим ЭВМ вырабатывает команду
разрешения прерывания, которая разблокирует вход пре-
рывания. Содержимое прерванной, программы обработки
прерывания или же любой фоновой программы запомина-
ется на том месте, где произошло прерывание. Для этой цели
более всего удобны стековые регистры, организованные по
принципу «последним вошел — первым обслужился». Ис-
пользование стека для запоминая состояния прерванного
процесса весьма эффективно, так как позволяет простейши-
ми приемами реализовать возврат к прерванной программе
после окончания обработки прерывания.
Отметим, что в отличие от безусловной и условной пере-
дачи данных передача данных по прерыванию осуществляет-
ся по инициативе модуля.
Передача данных по каналу прямого доступа в память
(ПДП) осуществляется под руководством аппаратурных
средств, которые вводятся в интерфейс ФМ. Содержимое
аккумулятора (накопительного регистра), а также счетчика
команд ЭВМ при этом остаются без изменения. При наличии
канала ПДП машина одновременно выполняет две функции,
которые не зависят друг от друга, выполняет программу и
осуществляет обмен информацией через канал ПДП. В со-
став ФМ, обменивающегося данными по каналам ПДП,
185
Рис. 6.12. Структура обмена данными по каналу прямого
доступа в память
входят (рис. 6.12) триггер запроса, регистр адреса данных и
регистр данных. Триггер запроса вырабатывает сигнал, не-
сущий информацию о состоянии ФМ; установление его в еди-
ничное состояние свидетельствует о том, что устройство нуж-
дается в передаче данных или получении дополнительных
данных от ЭВМ. При выполнении каждой команды програм-
мы ЭВМ анализирует состояние канала ПДП. Если посту-
пил запрос на передачу, то по окончанию текущей команды
выполнение программы приостанавливается (без изменения
содержимого регистров ЭВМ, как было при программном
обмене) и за следующий цикл реализуется обмен данными
через канал ПДП.
Для организации передачи по каналу ПДП необходимо
перед работой указать при помощи программы подготовки, в
каком направлении должен происходить обмен данными
(ввод или вывод), где в памяти ЭВМ разместить или считать
массив данных, а также длину массива данных. После этого
программным способом осуществляется запуск, который
подключает ФМ к каналу ПДП. В дальнейшем программа
186
при обмене не участвует. Обмен данными между ФМ и ЭВМ
по каналу может осуществляться как с занятием цикла, так
и с остановом программы.
В первом случае обмен осуществляется отдельными сло-
вами. По мере готовности ФМ к обмену триггер запроса ус-
танавливается в единичном состоянии. При этом сигнал
ЗАПРОС поступает к логическим схемам канала ПДП, ко-
торые, восприняв его, вырабатывают сигнал ЗАПРОС ПРИ-
НЯТ, который возвращает триггер запроса в исходное со-
стояние. Этот же сигнал используется для увеличения на
4-1 содержимого регистра адреса данных. В исходном состо-
янии в регистр программным путем записан адрес началь-
ной ячейки массива памяти, отведенного для обмена по ка-
налу ПДП. Следовательно, сигнал ЗАПРОС ПРИНЯТ фор-
мирует текущий адрес, куда размещаются или откуда берутся
данные. Следующий цикл работы ЭВМ состоит в обмене через
канал ПДП; данные из регистра ФМ предписываются в буфер-
ный регистр памяти (или же из буферного регистра в регистр
данных) ЭВМ. Затем продолжается выполнение программы.
Второй случай реализуется, если необходимо осущест-
вить быстрый обмен большим массивом данных. При
этом программа останавливается и последующие циклы, со-
ответствующие числу информационных слов (числу пересы-
лок), выполняют через канал. Выход из режима передачи
массива данных возможен по прерыванию или же по коман-
де пропуска. С этой целью в интерфейс ФМ вводится регистр-
счетчик и флаг. В исходном состоянии в регистр-счетчик
занесено в дополнительном коде количество слов в массиве.
Сигнал ЗАПРОС ПРИНЯТ увеличивает также на 4-1 и
содержимое этого счетчика. Следовательно, когда все ячей-
ки массива памяти, отведенного для канала ПДП, будут
заполнены (или из них будет считана информация), счетчик
установится в нулевое состояние, что приводит к «подъему»
флага, связанного с шиной прерывания ЭВМ. Поступление
сигнала прерывания в ЭВМ свидетельствует о том, что обмен
массивом данных через канал ПДП закончен и основная
программа может быть продолжена.
Если нет необходимости продолжать выполнение другой
программы параллельно с передачей данных через канал
ПДП, для выхода из цикла обмена массивом данных может
быть использована команда пропуска. Триггер флага, как
показано на рис. 6.12 пунктиром, в этом случае подключает-
ся к шине пропуска ЭВМ. Появление команды ПРОПУСК на
этой шине свидетельствует о завершении обмена.
В заключение следует заметить, что передача данных че-
рез канал ПДП позволяет повысить скорость обмена в три—
187
пять раз по сравнению с программным обменом. Однако при
этом нельзя преобразовывать формат данных, а также осу-
ществлять проверку по условию программным путем.
6.5. Организация САНТЭ на основе стандартных
системных интерфейсов
При построении САНТЭ на основе системных интерфей-
сов характеристики канала ввода—вывода конкретных ЭВМ
не учитываются, т. е. создаются машинно-независимые си-
стемы. Для соединения с шинами интерфейса конкретной
ЭВМ в этом случае разрабатывается или же применяется
уже готовый переходной блок сопряжения — адаптер, а
собственно САНТЭ строится, исходя из поставленной перед
ней задачи, учитывая особенности обмена информацией и
управления приборами.
Интерфейс для .программируемой измерительной аппара-
туры — линия коллективного пользования (ЛКП), либо
канал общего пользования (КОП), разработан для програм-
мно-управляемой передачи данных в системе, образованной
из измерительных устройств, устройства ввода—вывода и
управления. Данный интерфейс начал широко применяться
с 1972 г., а 1976 г. введен в качестве стандарта рекоменда-
циями Междунарной Электротехнической Комиссии (МЭК).
В СССР распространяется ГОСТ 26.003—80 «ЕССП. Система
интерфрейса для измерительных устройств с байт-последо-
вательными, битпараллельным обменом информацией. Тре-
бования к совместимости». Интерфейс обеспечивает асин-
хронный режим обмена данными.
В основу ЛКП положен магистральный интерфейс. При-
боры, входящие в состав системы, подключаются к 16 лини-
ям, объединенным в три шины: данных (ШД), синхрониза-
ции (ШС), управления (ШУ). Максимальное число приборов,
которое непосредственно может быть подключено к этим
шинам, не превышает 15 (регламентируется электрическими
условиями). Приборы, подключенные к ЛКП, могут вы-
полнять функции приемника, источника или же совмещать
обе функции. По отношению к магистрали все приборы рав-
ноценны. В каждый момент времени в обмене информацией
могут участвовать только один источник и один или нес-
колько приемников. Обменом информацией руководит уст-
ройство управления УУ (контроллер). Информация переда-
ется непосредственно от источника к приемнику, минуя кон-
троллер.
Шина данных содержит восемь линий ЛДО ... ЛД7 и
предназначена для двунаправленной передачи и приема дан-
188
яых, адресной информации, программной информации, а
также сведений о состоянии приборов. Передача по ШД осу-
ществляется побайтно, причем по ЛД7 передается старший
разряд, а по ЛДО — самый младший. Если разрядность сло-
ва меньше восьми, то вместо отсутствующих старших раз-
рядов передается «О», а по ЛДО — самый младший разряд.
Шина синхронизации служит для управления] переда-
чей каждого байта сообщения и содержит три линии: «Со-
провождения данных» (СД), «Не готов к приему» (НГП) и
«Данные не приняты» (НДП). Наличие сигнала на линии СД
свидетельствует о том, что данные на ШД являются достовер-
ными и их можно принимать.К моменту появления сигнала
все приемники должны принять и обработать ранее полу-
ченную информацию. Сигнал на линии НГП вырабатывается
приемником, передавая тем самым подтверждение о готов-
ности к приему. Устройство готово к приему только в том
случае, когда на линию НГП выставляет логический нуль
(не «Не готов к приему»). Сигнал НДП поступает от прием-
ника и служитподтверждением, что информация принята —
на линии устанавливается логический нуль (не «Данные не
приняты»).
Шина управления осуществляет управление всей работой
магистрали при помощи сигналов, передаваемых по пяти
линиям. Линия управления (УП) возбуждается (переводится
в «единичное» состояние) только устройством, которое в дан-
ный момент времени выполняет функции контроллера. Все
остальные приборы, подключенные к магистрали, на время
единичного состояния линии УП находятся в режиме ожи-
дания и только УУ передает информацию, из которой сле-
дует, какой из приборов в соответствии с реализуемым алго-
ритмом должен выполнять функции источника, а какой
(ие) — функции приемника (ов). После возвращения УП в
исходное состояние передают (принимают) только те при-
боры, которым были предписаны эти функции.
Коды сигналов, передаваемых по ШД при возбужденном
состоянии линии УП, подразделяются на четыре класса
(табл. 6.1).
Состояние линий ЛД6 и ЛД5 указывают на значение,
которое приписывается кодовым комбинациям, передаваемым
по линиям ЛД4—ЛДОО. Команды, приведенные вторыми в
графах таблицы, выполняются в том случае, когда по ЛД4 —
ЛДОО передается код 11111. Так как адресация к приборам
и устройствам осуществляется путем передачи соответству-
ющего кода по первым пяти линиям ШД, то код 11111 заве-
домо не присваивается никакому устройству в системе. Сле-
довательно, при выставлении данной кодовой комбинации
189
Таблица 6.1
№	Номер линии IIID							Назначение сигналов
1	ЛО6	JID5	JID4 !	лэз	ЛО2	ЛО1	ЛЭ0	
	0	0	4	^3	Аз	А,	Л	Универсальные команды
2	0	1	4	Аз	а2	Аг	л	Адреса приемников
			1	1	1	1	1	«Не принимать»
3	1	0	А,	Аз	Аз		^0	Адреса источников
			1	1	1	1	1	«Не передавать»
4	1	1	А4	Аз	Аз	Аг	^0	Вторичные команды
			1	1	1	1	1	«Не выполнять»
происходит адресация к несуществующему устройству.
Адрес прибора-источника выбирает только один прибор, посы-
лающий информацию и запрещает выдачу информации всем
остальным устройствам. С процессом адресации связаны
команды НЕ ПРИНИМАТЬ и НЕ ВЫПОЛНЯТЬ, адреса-
ция происходит к несуществующему источнику или при-
емнику. Эти команды применяются, когда необходимо от-
ключить ранее выбранный источник или приемник.
Таким образом, в ЛКП может осуществляться непосред-
ственная адресация к 31 устройству. Если для адресации
использовать и вторичные команды, то число устройств, к
которым возможно адресоваться, возрастает до 31 х 31 =
= 961.
По второй линии ШУ — линии «Конец передачи» (КП),
источник вырабатывает сигнал, отмечающий конец много-
байтового сообщения. Линия «Очистка интерфейса» (ОИ)
связана с контроллером и служит для установки узлов при-
боров в исходное состояние. Сигнал ОИ используется при
запуске системы.
Линия «Запрос на обслуживание» (30) служит для пере-
дачи источником или приемником сигнала, указывающего
на наобходимость установления с ним связи для осуществ-
ления обмена информацией.
ISO
Переключение приборов на дистанционное управление
осуществляется при помощи сигнала, поступающего по ли-
нии «Дистанционное управление» (ДУ) от контроллера.
Цикл передачи каждого байта (восьмиразрядного слова)
состоит из трех фаз;
1)	источник подготавливает и устанавливает данные на
ШД;
2)	приемник(и) принимает данные и подтверждает их
прием;
3)	источник и приемник(и) подготавливаются к приему
следующего байта.
Источник переводит линию СД в нулевое состояние, ука-
зывая тем самым, что информация на ШД недействительна,
и проверяет состояние линий НГП и НДП, управляемых
приемниками. Приемники приводят линии НГП и НДП в
единичное состояние, указывая, что ни один из них не готов
к приему и данные не принял. Определив единичное состоя-
ние НГП и НДП, источник выставляет на ПЩ данные. При-
емник с наивысшим быстродействием, участвующий в обме-
не, выдает на линию НГП сигнал логического нуля, сигна-
лизируя о готовности к приему. Однако линия НГП остается
в единичном состоянии, так как другие приемники еще не
выдали сигнал логического нуля, показывая свою готовность
к приему. Когда все приемники готовы к приему, то на ли-
нии НГП появится логический нуль. Проверив состояние
НГП и убедившись, что она находится в нулевом состоянии,
источник переводит линию СД в единичное состояние, сиг-
нализируя, что данные на ШД установились и достоверны.
На этом первая фаза заканчивается.
В начале второй фазы приемник с наивысшим быстродей-
ствием, восприняв логическую единицу на линии СД, выдает
через схему И на линию НГП сигнал логической единицы,
сигнализируя об окончании готовности к приему, а затем при-
нимает данные. Другие приемники по мере своего быстродей-
ствия проделывают те же операции, и линия НГП перево-
дится в единичное состояние. После окончания приема при-
емники со своим быстродействием выдают на линию сигнал
логического нуля, переводя линию НДП в нулевое состоя-
ние, сигнализируя о приеме данных всеми устройствами,
участвующими в обмене.
На третьей фазе источник проверяет наличие сигнала
логического нуля на линии НДП и затем переводит линию
СД в нулевое состояние, сигнализируя, что данные на ШД не
действительны. После этого он выставляет новый байт ин-
формации на ШД. Приемники с соответствующим быстро-
действием проверяют наличие нуля на линии СД, вследствие
191
чего переводят линию НДП в единичное состояние для под-
готовки к следующему циклу обмена. Затем все приемники
приводят линию НГП в нулевое состояние, сигнализируя о
готовности к приему следующего байта данных. Источник
проверяет, находится ли линия НГП в нулевом состоянии,
и переводит линию СД в единичное состояние, подтверждая
достоверность выставленных на ШД данных и т. д., анало-
гично ранее рассмотренному.
После окончания обмена контроллер выдает команду
«Не принимать», отключая участвующие в обмене приемни-
ки, и команду «Не выдавать», отключая источник, переводя
их в режим ожидания. Команда «Не выполнять» применяется
при перестройке конфигурации системы, когда предписан-
ные контроллером ранее приборам функции источника и
приемников при единичном состоянии линии УП, необхо-
димо отменить.
Если прибор нуждается в обслуживании, он переводит
линию 30 в единичное состояние. Восприняв сигнал 30, кон-
троллер включает программу индентификации источника
запроса. Процедура поиска аналогична полингу. Вначале
УУ посылает в ЛКП универсальную команду ОТПИРАНИЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ОПРОСА, а затем формирует
адрес потенциального запросчика, затем линия УП пере-
водится в нулевое состояние, позволяя адресуемому устрой-
ству передать байт состояния. Этот байт воспринимается УУ
и анализируется им. Если на ЛД6 — «0», то запрос не по-
ступал, а если «1» — тб поступал. Сигналы на линиях
ЛДО... ЛД5 несут информацию о состоянии источника
запроса. Определив источник запроса, УУ переводит линию
УП в единичное состояние, передавая одновременно по ШД
требуемые команды или данные (в зависимости от информа-
ции, считанной с линий ЛДО ... ЛД5). Затем УУ посылает
в ЛКП универсальную команду КОНЕЦ ПОСЛЕДОВА-
ТЕЛЬНОГО ОПРОСА, линия УП переходит в нулевое со-
стояние и процесс функционирования системы продол-
жается.
Для ускорения поиска источника запроса в системе мо-
жет быть использован параллельный опрос, который осу-
ществляется контроллером. В данном режиме каждый из
приборов приписан к одной из линий ЛД. На запрос УУ по-
ступает ответное сообщение, содержащее данные о требова-
нии запроса — логическая единица на соответствующей
ЛД свидетельствует о наличии запроса. Таким образом, осу-
ществляется за одно обращение проверка состояния восьми
приборов. При большем числе возможных источников зап-
роса опрос осуществляется группами по восемь устройств.
192
Приборы, подключаемые к ЛКП, должны удовлетворять
следующим требованиям:
каждый прибор должен иметь собственный индивидуаль-
ный адрес, помнить его и позволять простейшими средства-
ми осуществлять (в случае необходимости) перекодировку
адреса:
содержать согласующую нагрузку для всех 16 линий
ЛКП, даже если они и не используются;
осуществлять прием программируемых данных, переда-
ваемых последовательно по байтам;
иметь память для хранения программ;
выдавать и снимать сигнал ЗАПРОС НА ОБСЛУЖИВА-
НИЕ;
осуществлять программируемый запуск и сброс.
Адрес устанавливается на приборе, например при помощи
переключателей на задней панели прибора или при помощи
перемычек на его печатной плате. Предусматривается пять
переключателей или пять перемычек, с помощью которых
можно задавать пять разрядов адреса источника или прием-
ника.
Как уже отмечалось, объем системы ограничивается 15
приборами, миксимальная допустимая длина кабеля — 20 м,
максимальная скорость передачи информации по магистра-
ли — 1 Мбайт/с. В выходных и входных цепях интерфейса
применяются ТТЛ-схемы. Каждая линия магистрали замы-
кается внутри каждого прибора на резистор 3 ком, подклю-
ченный к шине + 5 В, и резистор 6,2 ком, подключенный
к общему заземлению.
Примером построения САНТЭ на основе стандартного
интерфейса ЛКП служит система сбора и обработки дан-
ных 1002/10.
Стандарт КАМАК (Computer Application for Measurement
and Control, CAM AC;. применение ЭВМ для измерения и
управления) не только является интерфейсом, но и представ-
ляет собой целую систему модулей, объединенных единым
интерфейсом и едиными конструктивными параметрами,
предназначенную для сбора, накопления, преобразования
и обработки измерительных и управляющих сигналов в
системе автоматизации эксперимента, работающую в реаль-
ном масштабе времени с задержками порядка микросекунды.
Первоначально КАМАК был разработан для автоматиза-
ции сбора данных в ядерном физическом эксперименте и
1969 г. по инициативе Комитета Европейских стандартов по
ядерной электронике был предложен как стандартная систе-
ма. Необходимость в КАМАКе возникла при исследовании
быстропротекающих процессов, когда подготовка приема —
13 6-1861
193
передачи данных по прерыванию составляет 20 ... 60 мкс, а
исследуемый процесс за это время уже может закончиться.
Следовательно, быдо необходимо создать некоторую буфер-
ную специализированную систему, способную быстро реа-
гировать на сигналы запроса приема — передачи информа-
ции, способную принять информацию, перекодировать ее в
форму, приемлемую для канала ЭВМ (если форма отличается
от стандартной), и переслать в ЭВМ. Данные требования и
легли в основу создания КАМАК, в котором были стандар-
тизированы механические, конструктивные параметры, элек-
трические сигналы, логика связи и питание. Ввиду удачного
совмещения таких свойств как гибкость и универсальность
данная система нашла широкое распространение при автома-
тизации лабораторных и производственных исследований и
испытаний в различных областях науки и техники, в част-
ности она является базовой в системе институтов АН СССР.
Функциональным нижним звеном КАМАК является мо-
дуль-элемент, выполненный в форме стандартной ячейки с
86-контактным разъемом, являющийся конструктивно за-
вершенным устройством, предназначенным для выполнения
функций преобразования или (и) накопления, или (и) обра-
ботки информации ит. п., но не содержащее источников пи-
тания. Модули размещаются в едином конструктивном уст-
ройстве, который называется крейтом. Крейт имеет 25 сек-
ций (станций), в которых располагаются до 23 модулей.
Два посадочных места (секции) резервируют для размеще-
ния контроллера крейта (КК). От контроллера ко всем сек-
циям идет система из 65 линий (магистраль), по которым он
может посылать сигналы и команды ко всем модулям. Об-
мен информацией и управление модулями внутри крейта осу-
ществляет КК через магистральный интерфейс. Структура
команды обращения контроллера к модулю имеет вид NAF
(N — номер модуля; А — адрес субблока, входящего в со-
став модуля; F — функция, реализация которой приписыва-
ется субблоку указанного модуля). Сигнал А передается
по четырем проводам магистрали, a F — по пяти проводам.
Следовательно, каждый модуль может содержать до 16 суб-
блоков, которые могут выполнять до 32 предписанных дей-
ствий-команд, причем 18 из них жестко определены
(табл. 6.2).
Для выбора модуля, с которым в данный момент времени
будет происходить обмен данными или передаваться коман-
да, от контроллера отходят 23 индивидуальных линии N —
по числу модулей в крейте. Если обмен информацией проис-
ходит по инициативе модуля, то вырабатывается сигнал за-
проса на обслуживание, выдаваемый на линию L. От каждого
194
Таблица 6.2
Команды операции	Содержание функции	Код команды					Использование линий R и W
		16	8	1 4 1	2	1 1	
F (0)	Чтение содержимого регистра группы 1 ♦	0	0	0	0	0	
F (1)	Чтение регистра группы 2*	0	0	0	0	1	
F (2)	Чтение и сброс регистра группы 1	0	0	0	1	0	R
F (3)	Чтение дополнения к содержимому регистра труп-						
	пы 1	0	0	0	1	1	
F (8)	Контроль требований	0	1	0	0	0	
F (9)	Сброс регистра группы 1	0	1	0—	0	1	Не используются
F (Ю)	Гашение сигнала-требования	0	1	0	1	0	
F (И)	Сброс регистра группы 2	0	1	0	1	1	
F (16)	Перепись содержимого регистра группы 1	1	0	0	.0	0	
F (17)	Перепись содержимого регистра группы 2	1	0	0	0	1	
F (18)	Селективная установка регистра группы 1	1	0	0	1	0	
F (19)	Селективная установка регистра группы 2	1	0	0	1	1	
F (21)	Селективный сброс регистра группы 1	1	0	1	0	1	
F (23)	Селективный сброс регистра группы 2	1	0	1	1	1	
F (24)	Блокирование	1	1	0	0	0	
F (25)	Исполнение	1	1	0	0	1	Не используются
F (26)	Деблокирование	1	1	0	1	0	
F (27)	Проверка состояния	1	1	0	1	1	
* В регистры 1 заносятся данные, а в регистры 2 записываются сигналы управления и в нем хранятся данные.
со
О1
модуля к контроллеру тянется индивидуальная линия L.
Следовательно, в крейте адресация к модулю и ответ его
построены по радиальному интерфейсу— к каждому, моду-
лю тянутся по две индивидуальные линии NnF.
Обмен данными осуществляется 24 разрядным словом.
Причем запись и считывание данных происходит по отдель-
ным шинам W и R, каждая по 24 линии, которые входят в
65-проводную магистраль (рис. 6.13).
Кроме адресных команд, в системе КАМАК использу-
ются безадресное, для которых используются три линии
магистрали: Z — подготовка; С — сброс; I - запрет.
Появление сигнала на линии Z приводит все блоки в ис-
ходное состояние. Сигнал на линии С осуществляет очистку
регистров всех модулей, а сигнал на линии I запрещает вы-
полнение ранее предписанной модулю (субблоку) команды.
На время, пока происходит обмен информацией между мо-
дулем и контроллером или же между модулями, последний
выдает на линию В команду ЗАНЯТО, указывая тем самым,
что на данное время магистраль занята. Кроме того, от мо-
дулей идут сигналы Q (ответ блока на некоторые команды
контроллера) и X (восприятие команды — способность
модуля или субблока выполнять требуемую операцию).
Сигналы Q могут использоваться для передачи из модуля
или записи в него массива данных, а также проверки состоя-
ний модуля и его субблоков.
Обмен данными в крейте может происходить в трех ре-
жимах: со сканированием адреса; с повторением адреса;
«стоп» — под управлением модуля.
Первый режим используется, когда возникает необходи-
мость последовательно считывать данные из всех субблоков,
содержащих регистры (или же запись в них информацию).
В этом случае контроллер формирует адрес N первого моду-
ля и адрес первого его субблока А (0); Затем по единичке
наращивается адресация субблока и тем самым последова-
тельно обмениваются данными с контроллером субблоки,
входящие в состав этого модуля. При переходе адресации к
субблокам из А (15) в А (0) на единицу возрастает адрес
модуля и происходит опрос субблоков следующего модуля.
После того как обмен данными будет произведен с последним
регистром последнего модуля на линии Q, сигнал изменяет-
ся с «1» логического состояния в «0» и процесс обмена оста-
навливается.
Во втором режиме осуществляется многократный обмен
данными между контроллером и регистрами. Используется
режим в том случае, когда блок данных считывается из ре-
гистра или записывается в него повторением команд. Эта опе-
196
Рис. 6.13. Функциональная схема ма-
гистрали крейта КАМАК <
Рис. 6.14. Схема многокрейтовой систе-
мы (вертикальная ветвь)
Мгз
рация продолжается до тех пор, пока сигнал на линии не
перейдет из состояния «1» в состояние «О».
Третий режим используется, когда необходимо считать
или записать массив данных в регистры модулей. В этом
случае задается число слов в массиве данных, которое хра-
нится в одном из модулей. Операция обмена продолжается
до тех пор, пока этот модуль, не отсчитав заданное число
слов, не выставит на линию Q логический «О». Это соответ-
ствует сигналу ОСТАНОВ. Линия .Q может использоваться
также при полинге.
Ввиду малости длины магистральных линий, а следова-
тельно, малых временных задержек, в крейте используется
безусловная передача данных, которой управляют два строб-
импульса Sj и 32, передаваемых по индивидуальным линиям
магистрали. Данные воспринимаются модулем лишь с при-
ходом этих импульсов. Строб-импульс Sj вырабатывается
контроллером с задержкой, учитывающей задержку выдачи
сигнала NAF, и используется для выполнения команд, ко-
торые не изменяют состояния субблоков (например, СЧИ-
ТАТЬ, ЗАПИСЫВАТЬ, ДОБАВИТЬ). Сигнал на линии
S2 появляется после сигнала на линии Sj и служит для раз-
решения приема команд, которые изменяют состояние ре-
гистров и тем самым субблоки подготавливаются для выпол-
нения следующего этапа исследования.
Если для решения какой либо задачи недостаточно 23 мо-
дулей, то применяется многокрейтовая система. Для связи
крейтов с ЭВМ и служит контроллер ветви. Если контрол-
леры крейтов унифицированы, то контроллер ветви специа-
лизирован: зависит от типа ЭВМ, применяемой в системе.
Он осуществляет переупаковку данных (так, как разряд-
ность большинства ЭВМ 16, а в КАМАК используется
197
24-разрядное слово), а также управляет обменом данными
между ЭВМ и крейтами.
Сопряжение крейтов с ЭВМ может осуществляться нес-
колькими способами. Обмен данными между малым числом
крейтов (до семи) обычно осуществляется через стандарт-
ное сопряжение, которое называется ветвью. При этом конт-
роллеры крейтов соединяются последовательно друг за дру-
гом (рис. 6.14). Первый контроллер подключается к контрол-
леру ветви, апоследний—коконечной согласующей нагрузке.
Обычно многокрейтовая система'располагается в одном
конструктивном устройстве, являющимся стойкой, друг над
другом, поэтому такое сопряжение еще называют вертикаль-
ной ветвью. Обращение контроллера ветви (его еще назы-
вают драйвером ветви) к крейтам осуществляется по индиви-
дуальным линиям, число которых равно семь. Для посылки
запроса на обслуживание от каждого крейта к контроллеру
ветви также тянется индивидуальная линия.
Таким образом, обращение к крейту и выдача запроса
крейтом осуществляется по радиальному интерфейсу. Все
остальные и информационные, и радиальные сигналы
(рис. 6.15) передаются по магистральному интерфейсу. Ад-
рес крейта передается в параллельном двоичном коде по пяти
линиям BN. При поступлении адресного сигнала в крейт
происходит его преобразование в численный код для после-
дующей адресации к модулю по радиальному интерфейсу.
Сигналы адресов субблоков и предписанные им операции
передаются соответственно по четырем линиям ВА и пяти
линиям BF, которые непосредственно транслируются конт-
роллером соответствующего крейта. Так как система
КАМАК является системой с рассредоточенным интеллек-
том, т. е. основная обработка первичной информации про-
исходит внутри крейта, то нет необходимости часто обмени-
ваться данными между ЭВМ и крейтами. Поэтому обмен дан-
198
ными в ветви осуществляется в обе стороны по 24-проводной
общей шине 24 BRW. Назначение остальных сигналов в ма-
гистрали ветви аналогично назначению сигналов в крейте.
Последовательная ветвь (рис. 6.16) позволяет включить
в систему до -62 крейтов, удаленных на большие расстоя-
ния. Она представляет собой замкнутую цепь, начинающую-
ся у контроллера последовательной ветви КПВ, прохо-
дящую последовательно через контроллеры всех крейтов,
включенных в систему, и заканчивающуюся в КПВ. При этом
поток информации движется только в одном направлении.
КПВ с тактовой частотой (5 МГц) в соответствии с реалйзу-
емым алгоритмом выдает сигналы, содержащие адресную, ко-
мандную или информационную часть. Эти сигналы последо-
вательно обходят все контроллеры крейтов КК, каждый из
которых дешифрирует адреса, содержащиеся в поступившем
на его вход потоке данных, и при несовпадении расшифро-
ванного адреса с собственным адресом транслирует посту-
пившую на его вход информацию без изменения в последо-
вательную магистраль. Информация в последовательной
ветви может передаваться двоично поразрядно по одной ли-
нии или побайтно по восьми линиям с тактовыми сигналами,
передаваемыми по отдельной линии. Для контроля ошибок
передачи по магистрали используется проверка на четность
передаваемых разрядов кодов.
Контроллер последовательной ветви и КК в последова-
тельной ветви обмениваются сообщениями трех видов:
1)	командными, передаваемыми КПВ, в соответствии с
которыми разрешаете^ выполнение операций выбранными
(в соответствии с адресами) контроллерами крейтов;
2)	ответными, передаваемыми КК контроллеру последо-
вательной ветви и содержащими затребованную ими инфор-
мацию;
3)	требованиями на обслуживание, передаваемыми КК.
Структура сообщений, передаваемых- в параллельном
коде по магистрали последовательной ветви, содержит го-
ловной байт, байты сообщений и оконечный байт. На
рис. 6.17 приведена структура такого сообщения. Первый —
шестой разряды являются информационными, седьмой раз-
ряд служит признаком разделения первого и последнего
байта одного сообщения. Восьмой разряд является контроль-
ным. Содержание разрядов в байтах и число байтов в сооб-
щении обусловлены видом сообщения. Головной байт явля-
ется первым байтом сообщения, где в седьмом разряде появ-
ляется «О», а в оконченом байте в данном разряде появляется
«1». После оконечного разряда следует следующее сообщение
или состояние ожидания.	_ .
189
Головной Оконечный	8	7	6	...	1
	К	0	Айрес крейта
	к • •• к	0 • •• 0	Текст ••• Текст
	к	1	Текст
Рис. 6.17. Обобщенная структура
сообщения, передаваемого в парал-
лельном коде
Рис. 6.18. Структура последователь-
ного подразрядного сообщения
8...	1
1	Информация	о
Разряд	Разряд
окончания	начала
Первый (головной) байт сообщения в младших шести
разрядах несет информацию о номере КК. Адрес 111111 в пос-
ледовательной магистрали не используется, поэтому при по-
явлении одного или нескольких байтов с таким адресом нас-
тупает пауза (холостыетакты), вовремя которой КК выстав-
ляет на' магистраль ответные сообщения или выдает запрос.
Когда байты передаются последовательно поразрядно, то
передаче восьми двоичных разрядов предшествует передача
разряда начала (рис. 6.18), а завершает передачу разряд
окончания.
На рис. 6.19 приведена структура командного сообщения,
выдаваемого КПВ, которое при необходимости завершается
байтами ожидания — контроллер последовательной ветви
обращается к крейту с адресом ППП. Передачей данных
байтов, число которых варьируется от двух до шести, резер-
вируется время для выполнения команд контроллером крей-
та и для ответного сообщения адресуемых КК.
Выбранный по адресу КК в подтверждение расшифровки
адресованного ему командного сообщения передает это
командное сообщение в сокращенном виде, которое состоит
из головного байта с адресом крейта и оконечного байта (по-
этому минимальное число посылаемых «пустых» байтов равно
двум). Сокращенное командное сообщение не связано с от-
ветным сообщением КК на посланную ему команду. Переда-
	37 6 54321				
1	К	0	Адрес крейта		ВС
2	К	0	О	0 | Субадрес	А
3	К	0	1	Команда	F
4	К	0	1	Модуль	N.
3 /о	Ответное сообщение				
Рис. 6.19. Структура командного сооб-
щения» выдаваемого контроллером по-
следовательной ветви
чей сокращенного команд-
ного сообщения в подтвер-
ждение принятого команд-
ного сообщения исключает-
ся возможность одновремен-
ной реакции на посылае-
мую команду более чем
одного крейта.
Структура ответного со-
общения КК содержит пер-
вый головной байт сообще-
ния, который содержит ад-
200
pec крейта, а четыре младших разряда второго байта отобра-
жают состояние крейта.
Сообщение, содержащее требование на обслуживание,
содержит три байта: головной с адресом крейта — источни-
ком запроса, байт с пятиразрядным словом, содержащий ад-
рес модуля, требующего обслуживание, и конечный байт с
указанием вида самого обслуживания.
На базе стандарта КАМАК в СССР выпускается изме-
рительно-вычислительный комплекс ИВ К-2 [17, 20]. При
создании САНТЭ на основе стандарта КАМАК для програм-
мирования используется как обычное математическое обес-
печение ЭВМ, так и специальные языки, ориентированные
работу с КАМАКом. Введение в состав модуля микропро-
цессоров позволит сильно увеличить общую информацион-
ную и вычислительную мощность крейта и всей системы в
целом. КАМАК по сравнению с ЛКП обладает большими
функциональными возможностями, позволяет на основе
стандартного набора модулей быстрее реализовать задуман-
ную АСНИ, обеспечивает большие скорости передачи инфор-
мации. Но данный интерфейс не лишен недостатков: доволь-
но сложно программирование; для случая многоканальных
измерений САНТЭ оказывается громоздкой; наличие много-
контактных разъемов, что снижает надежность; большинст-
во мини-ЭВМ имеет 16-разрядное слово. Несмотря на пере-
численные недостатки, интерфейс КАМАК оказал огромное
влияние на развитие интерфейсов САНТЭ. Принцип «общей
шины», разработанный для модулей, лег в основу главного
интерфейса таких ЭВМ, какСМ4, «Электроника-60», СМ 1420
и других. Система КАМАК принята в качестве стандартной
в сочетании с СМ ЭВМ для исследовательских экспери-
ментов в системе АН СССР.
ГЛАВА 7
МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ
В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЗАЦИИ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИИ
Отличительной особенностью систем автоматизации на-
учных исследований является то, что их выходным про-
дуктом является математическая модель исследуемого
объекта.
Математическая модель строится на основе экспери-
ментального определения входных воздействий и откли-
ков. Нет необходимости доказывать, что адекватность
201
полученной модели в значительной степени определяется '
точностью измерений величин, определяющих параметры
модели.
Как правило, автоматизированная система научных
исследований, особенно при активном эксперименте, со-
держит набор генераторов стимулирующих воздействий и
набор измерительных преобразователей. При пассивном
эксперименте необходимая информация получается толь-
ко с помощью измерительных преобразователей.
Автоматизированные системы научных исследований
содержат необходимые аппаратные и программные средст-
ва для переработки измерительной информации с целью
получения математической модели. Наличие этих средств
в значительной степени облегчает задачу повышения точ-
ности измерения, так как последняя может быть сведена
к задаче уточненного определения модели средства изме-
рения и последующего измерения с помощью уточнение й
модели.
Таким образом, весь аппарат экспериментального опре-
деления математической модели объекта, например корре-
ляционный, регрессионный, дисперсионный анализ, мо-
жет быть применен для повышения точности средств изме-
рения путем определения их модели.
В ряде случаев необходимо некоторое усложнение си-
стемы экспериментальных исследований путем добавления
набора образцовых мер физических величин, подлежащих
измерениям при проведении эксперимента, а также расши-
рением программного обеспечения.
Однако эта избыточность всегда оправдана, так как
затраты на создание более точного измерительного прибора
превосходят те дополнительные аппаратные и программные
затраты, которые необходимы для достижения одинако-
вой точности в составе системы, содержащей средства пере-
работки информации и управления экспериментом.
Вместе с тем для целей повышения точности могут быть
использованы более простые алгоритмы обработки инфор-
мации, так как во многих случаях достаточно уточнения
модели средства измерения только в окрестностях данного
значения измеряемой величины без определения модели
во всем динамическом диапазоне.
Рассмотрим основные алгоритмы повышё ия точности
средств измерений, работающих в составе систем авто-
матизации эксперимента.
202
7.1. Модель процесса измерительного преобразования
В общем случае на измерительное устройство поступав!
некоторое множество входных величин, содержащих изме-
ряемые величины и неинформативные величины для дан-
ного вида измерений. Эти множества поступают на мно-
жества измерительных преобразователей, характеризуе-
мых внутренними погрешностями, а также погрешностями,
зависящими от внешних факторов. Выходная информация
представляет собой множество выходных величин. Такой
процесс иллюстрируется рис. 7.1.
В отдельно взятом канале измерительное устройство
описывается уравнением измерения у = <р (х), в кото-
ром известными являются номинальная функция преобра-
зования <рн и представленный результат измерения у{,
неизвестными — измеряемая величина х, а также погреш-
ности, из-за которых функция преобразования отличается
от номинальной. Не применяя дополнительных мер повы-
шения точности, значение измеряемой величины опреде-
ляют как значение номинальной обратной функции ре-
зультата измерения
xi = Фи (у!),	(7.1)
вследствие чего xi определяется с погрешностями.
Для получения уточненной модели измерительного
устройства
Ут = фу (х)	(7.2)
необходимо провести эксперимент для задания дополни-
тельных уравнений с целью составления полной системы
уравнений и решения ее относительно измеряемой вели-
чины х.
Количество уравнений определяется числом неизвест-
ных, а последние — видом априорной или апостериорной
модели устройства.
При всем возможном разнообразии моделей и соот-
ветственно систем уравнений можно выделить два их
Множество
р измеряемых
величин
Множество
внутренних
погрешностей
Множество
входных,
величин
—>	Множество
измерительных
преобразователей
Множество
Ъ выходных
величин
Множество
Ч неинформированных —
параметров
Множество
внешних влияющих
факторов
Рис. 7.1. Схематическая модель процесса измерительного преобразования
203
класса: первый, в котором дополнительные уравнения созда-
ются путем введения дополнительных известных, анало-
гичных измеряемой величине, и второй, в котором допол-
нительные уравнения создаются путем деформации извест-
ным образом функции преобразования измерительного
устройства. Назовем их соответственно: система тест-
аргумента и система тест-функции. Систему тест-аргумента
можно записать в виде
Уо=Ф(*о);
У1=Ф(*1); .
Уп=(<Р(хп),)
а систему тест-функции в виде
^о = Ф(*о);
= Фх (Хо);	(7.4)
Уп = фч
где хо — неизвестная измеряемая величина; х( — извест-
ные значения аргумента; <pf — функция преобразования,
деформированная известным образом; yt — результаты
измерений.
Дополнительные уравнения могут быть получены со-
четанием тестов, аналогичных аргументу, и деформирую-
щих функцию преобразования.
Для моделей средств измерения, заданных в виде поли-
номов n-й степени
Уо = а0 + ахх4- ••• +апхп,	(7.5)
алгоритмы задания тестов, определения коэффициентов
полинома ai и решения уравнения (7.5) относительно х
наиболее полно разработаны в [6]. Важным выводом здесь
является следующее. Если в полиномиальной модели все
at ф 0, то применение только аддитивных тестов вида
Aj (х) = х + 9/ или только мультипликативных вида
А) (х) = k/ (х) • х к системе уравнений вида t// = «о +
+ ах • Д/ (х) + ... + ап [А/ (х)]п приводит к тождест-
вам, не позволяющим решить уравнение (7.5) относительно
измеряемой величины х, и, следовательно, повысить точ-
ность измерений. Однако, если в уравнении (7.5) некото-
рые а{ = 0, / < п, то отдельно примененные аддитивный
и мультипликативный тесты приводят к повышению точ-
ности. В противном случае успеха достигают только сов-
местным применением аддитивных и мультипликативных
тестов.
204
Если в процессе измерения представляется возмож-
ность отключить измеряемую величину от входа измери-
тельного устройства и вместо нее подать тестовую, то за-
дача повышения точности сводится к классической задаче
регрессионного анализа.
Пусть модель измерительного устройства представлена
полиномом n-й степени
Ф (х) — а0 + агх 4- а2х® +•••-!- а;х£ + апхп,
то коэффициенты модели а/ могут быть найдены из системы
линейных относительно а/ уравнений, полученной подачей
на вход устройства n + 1 значений тестовой величины
а0 + ai*o + я2хо + ----F апХо = у о,
ао + aixi 4~	4" • • • 4* ап*" — У1>	(7 6)
а0 4-агхп 4-а2х„4- ••• + апхпп=уп,
или в матричной форме
или в векторной форме
• а, = Yt.	(7.8)
Здесь коэффициенты ai определяются как отношение опре-
делителей
«/=-§-,	(7-9)
где
1 х0 Xq ... Хо
(7.10)
%п %п • • • %п
определитель Вандермонда. В нем элементы i-й строки
представляют собой степени Xi от 0 до и одной и той же
величины Xi, т. е. элемент определителя есть х{; Dj —
определитель, равный определителю системы, в котором
j-й столбец заменен матрицей-столбцом правых. частей.
Относительная погрешность определения а/ находится
по погрешностям определителей D/ и D и составляет
e 6D, — 6D
= 1 + 6£>
(7.П)
205
где 8аj, 8Dj, 8D — относительные погрешности величин
а/, Dj, D соответственно.
Погрешность 8D зависит от погрешностей задания или
измерения тестовых величин Xt и при высоких порядках
полинома ф (х) сильно влияет на погрешность определе-
ния коэффициентов а/.
В ряде случаев недостаточно учитывать погрешности
только первого порядка малости (как при учете первых
членов разложения функции в ряд Тейлора), а необходи-
мо учитывать полные приращения при любых прираще-
ниях аргументов.
Поскольку уравнения регрессии наиболее удобно пред-
ставлять в матричной форме, рассмотрим методику нахож-
дения приращения определителя в зависимости от при-
ращений его элементов, не накладывая ограничений на
величину этих приращений.
Пользуясь теоремой, согласно которой определитель,
элементы одного столбца (строки) которого представляют
собой сумму двух величин, равен сумме двух определителей,
в которых соответствующий столбец (строка) одного опре-
делителя состоит из первых слагаемых элементов, а соот-
вествующий столбец (строка) второго определителя — из
вторых слагаемых элементов, можно сделать обобщение на
случай, когда все элементы определителя представляют
' собой сумму двух величин.
Пусть каждый элемент определителя равен сумме номи-
нального значения и его приращения
_	а1] = ац + &1),	(7.12)
где ац и Д(-/ — номинальное значение и приращение эле-
мента соответственно.
Тогда определитель n-го порядка равен сумме 2" опре-
делителей n-го порядка, столбцы которых представляют
собой или номинальные значения, или приращения эле-
ментов.
Введем понятие определителя n-го порядка k-ro
порядка приращений D„, под которым будем понимать
определитель n-го порядка, в котором k столбцов представ-
ляют собой приращения, ап — k столбцов — номиналь-
ные значения элементов; k принимает значения от 0 до п.
В общей сумме из 2П определителей число определите-
лей k-ro порядка приращений равно числу сочетаний из
п элементов по k. Сумма определителей k-ro порядка
приращений образует член k-ro порядка приращений В*;-
число этих членов на единицу больше порядка исходного
определителя. „
206
Таким образом,
п
п	п
D = Y,Bki B^^D*.
о	1
Применим изложенное к определителю третьего порядка,
элементы которого представляют собой сумму номинального
значения и приращений ац = ац + Az/, который может
быть представлен в виде суммы 23 определителей согласно
табл. 7.1.
Так как Сз = 1, Сз = 3, Сз = 3, Сз = 1, то опреде-
литель третьего порядка содержит один определитель
нулевого порядка приращений, т. е. такой, в котором
все элементы представляют собой номинальные значения,
три определителя первого порядка приращений, т. е. та-
кие, в которых один столбец состоит из приращений, три
определителя второго порядка приращений, т. е. такие, в
которых два столбца являются приращениями. Новый
определитель имеет третий порядок, т. е. в нем все эле-
менты представляют собой приращения.
Применительно к анализу погрешности модели средст-
ва измерения целесообразно иметь матричную форму пред-
ставления модели, из которой составляется матрица
приращений, являющейся матрицей абсолютных погреш-
ностей.
Для анализа при малых приращениях используются
только определители первого порядка приращений. В этом
случае абсолютная погрешность определителя равна сум-
ме определителей первого порядка приращений
= AD' = J] Dr,
r=l
а при разложении определителей'по правилу Крамера от-
носительно приращений получим
п п
(7.13)
где А// — приращение ij-ro элемента; Ац — алгебраи-
ческое дополнение ij-ro приращения.
Относительное приращение первого порядка, выражен-
ное через относительные приращения элементов»
п п
(7.14)
° /=u=i
О	Д£/
где оц *=-=4---относительное приращение ij-ro элемента.
аЧ
207
1
Заметим, что алгебраическое дополнение Ац является
частной производной определителя по элементу ац.
Приведенная методика анализа погрешностей пригодна
и тогда, когда элементы ац представляют собой функции
некоторой действительной или комплексной переменной.
Поэтому она пригодна для анализа как статических, так
и динамических погрешностей.
В упомянутом определителе Вандермонда элементы ац
представляют собой функции тестовой величины
ац = х{.
* Поэтому матрица приращений элементов должна быть
найдена в зависимости от приращений Ах/. Для случая
учета только линейной части приращений функции
приращение
Аац = /Дх,х{-1;
относительное приращение элемента матрицы
6i/ = /6xf.	(7.15)
Из последней формулы ясна необходимость задания те-
стовой величины с высокой точностью при высоких порядках
полинома модели средства измерения.
В процессе проведения эксперимента, особенно в ре-
альном масштабе времени, важнейшее значение имеет
скорость выполнения измерений, поэтому следует отда-
вать предпочтение алгоритмам повышения точности, тре-
бующих применения минимального числа тестов, а также
наиболее простых вычислений.
В этом случае решается альтернативная задача опре-
деления модели средства измерения во всем динамическом
диапазоне перед серией измерений или определения мо-
дели на небольшом участке в окрестностях измеряемой
величины перед каждым измерением.
Для принятия решения нужна априорная информация
о скорости протекания процессов в исследуемой модели,
а также о нестабильности средства измерения.
Если компромиссным решением будет отдано предпо-
чтение уточнению модели в узком диапазоне, то большие
преимущества имеют итерационные алгоритмы повышения
точности, так как приближенные значения корня уравне-
ния всегда определяются по номинальной функции преоб-
разования измерительного устройства
хо ~ Фн (У#).
14 6-1861
209
7.2. Итерационные алгоритмы повышения точности
при временном разделении каналов
Обобщенная структурная схема устройства, реачизую-
щего итерационный алгоритм повышения точности, пред-
ставлена на рис. 7.2.
Устройство содержит прямую цепь со статической ха-
рактеристикой
0 = <Р(х),	(7.16)
обратную цепь со статической характеристикой
x — f(y)>	(7.17)
а также устройство обработки и управления.
Прямая	цепь	средства измерения	представляет	собой
аналоговый	или	аналого-цифровой	преобразователь, точ-
ность которого недостаточно высока.
Обратная цепь устройства должна обладать высокой
точностью преобразования, так как ее погрешность входит
полностью в погрешность измерения.
Если у0 = <р (хо) есть результат начального измерения
измеряемой величины Хо, то уточненные результаты могут
быть получены с помощью рекуррентной зависимости
Уп = А(Уо>Уп-1). п= 1,2,3,...,	(7.18)
где А — оператор, действующий в пространстве у.
Если последовательность {уп} сходится к некоторой
точке у*, т. е. если существует
limi/„ = y*	(7.19)
П->оо
и если оператор А непрерывен в точке у*, то из (7.18)
следует, что у* является решением уравнения
У = А (у0, у).	(7.20)
Остановимся на общих свойствах конкретных итерацион-
ных алгоритмов.
Напомним, что корнями уравнения (7.20) являются
точки пересечения операторной функции А (у0, у) с бис-
сектрисой координатного угла. Таких корней в общем
случае может быть множество. Те из них, которые могут
быть получены с помощью итерационной формулы (7.18),
будем называть итерационными корнями, остальные — не-
итерационными. Для данного значения измеряемой.величи-
ны хо операторная функция А (у0, у) представляет со-
бой плоскую кривую в координатах у, А (у0, у) (рис. 7.3).
Измеряемая величина х0 и, следовательно, у0 могут
принимать значения в широком динамическом диапазоне.
210
Рис. 7.2. Обобщенная структурная
схема устройства, реализующего
итерационный алгоритм повышения
точности
Рис. 7.3. Неоднозначность харак-
теристики преобразования
Вследствие этого операторную функцию необходимо рас-
сматривать как функцию двух переменных Z (х, у), пред-
ставляющую собой некоторую поверхность, а проекции
сечений плоскостями х = const (параллельными верти-
кальной плоскости ZOY) на вертикальную плоскость яв-
ляются плоскими кривыми операторной функции А (у0, у)
и соответствуют определенным значениям х измеряемой
величины. Сечение поверхности Z (х, у) биссекторной плос-
костью угла ZOY дает пространственные кривые, проек-
ции которых на плоскость XOY дают годографы итерацион-
ных и неитерационных корней.
Пространственные кривые, принадлежащие оператор-
ной поверхности и ограничивающие допустимые значения
у0, в проекции на плоскость XOY образуют некоторую
область, которая может быть незамкнутой при разрывах
пространственных кривых или иметь особые точки.
Обобщенный критерий сходимости трехмерного итера-
ционного процесса можно сформулировать так: трехмерный
итерационный процесс сходится, если кривая <р (х) и
кривая итерационных корней лежат внутри области, огра-
ниченной проекциями кривых допустимых значений у0 (х),
и не проходят через особые точки допустимых значений.
Доказательство этого критерия основано на рассмотрении
условий сходимости сечений операторной поверхности
Z (х, у) плоскостями А (у0, у). При этом, как было пока-
зано, сечения представляют собой плоскую кривую А (у0, у)
и согласно [26] условием сходимости является
|Л'(#0, 1/)|<М<1..	(7.21)
Важнейшей характеристикой итерационных процессов
является скорость сходимости. Для количественного опре-
деления быстроты сходимости в [26] введено понятие по-
казателя скорости сходимости, который определяется как
отношение погрешности предыдущего измерения к по-
грешности последующего:
ад—(7-22)
14*
211
где До = у0 — у* — погрешность начального приближе-
ния; Д1 =	— у* — погрешность первого приближения;
Дп = уп — у* — погрешность n-го приближения.
В [26] показано, что
51л-1-л=wto ’	(7,23)
где &1-1 — точка в пространстве у, принадлежащая интер-
валу («/*, Z/n-1)-
Для сходящегося итерационного процесса разности
уп — у* уменьшаются с увеличением п (п = 1, 2, .... п),
следовательно, |п при увеличении п стремится к у* и
lim А' (у0, |) = А' (у0, у*). Поэтому при больших п показа-
тель скорости сходимости стремится к постоянной величине
Нтт)п-1,п - л,(уо> .
(7.24)
Чем меньше по абсолютному значению А' (у0, ?„), тем
быстрее сходится итерационный процесс.
Для определения необходимого числа тактов коррекции
для достижения заданной точности необходимо знать по-
грешность n-го приближения Д„ и начального измерения.
Взяв произведение показателей скорости сходимости,
получим
Ц0.Щ1.2 . . . fln-l.n =	—д^
Дд—2 Дд—1
Дп—1 Дп
__До___________1
дп
П А1 (у0, у
/=о
Остюда погрешность n-го приближения .
Д„ = До П А' (у0,	= До П —.
i=0	i=l ’li-l.t
Для линейной прямой и обратной цепей
Дп = Д0(—Y)rt.
где у — мультипликативная погрешность прямой
Учитывая (7.24), из (7.26) можно получить
д» = д°-^г-
Приближенное значение числа тактов итерации
(7.25)
(7.26)
цепи.
(7.27)
212
или
п
Итерационная процедура не дает описания модели
устройства, но осуществляет в предельном переходе реше-
ние уравнения измерения относительно искомой измеря-
емой величины.
Сходящийся итерационный процесс в пределе инва-
риантен к виду модели исходного устройства и это явля-
ется главным и важнейшим свойством итерационных ме-
тодов повышения точности.
Наличие случайных сбоев при осуществлении процесса
итерации, не нарушающих условий сходимости в предель-
ном переходе, также обеспечивает инвариантность резуль-
тата измерения, так, сбой можно рассматривать как неко-
торое новое начальное приближение, от которого продол-
жается итерационная процедура.
Рассмотрим некоторые наиболее распространенные в
технике измерений итерационные алгоритмы.
7.3. Алгоритм аддитивной итерационной коррекции
Обобщенная схема устройства, реализующего алгоритм
аддитивной итерационной коррекции (ААИК) с времен-
ным разделением каналов, представлена на рис. 7.2.
” Устройство содержит прямую цепь со статической ха-
рактеристикой
f/ = <P(x),	(7.29)
обратную цепь со статической характеристикой
x = f(y),	(7.30)
а также вычислительное (ВУ) и запоминающее (ЗУ) устрой-
ства.
Прямая цепь прибора представляет собой аналоговый
или аналого-цифровой преобразователь, точность которого
недостаточно высока.
Обратная цепь устройства обладает высокой точностью
преобразования и преобразует выходную величину прямой
цепи или всего устройства к масштабу входной величины.
Устройство работает следующим образом. В первый
такт измерения с помощью прямой цепи измеряемая ве-
личина х со значением xj преобразуется в значение
г/о = Ф(4),	(7.31)
213
которое запоминается в ЗУ и преобразуется обратной
цепью в значение
хо = 1(Уо)-
Во второй такт выходная величина обратной цепи х0
преобразуется прямой цепью в значение
Уо = ф (х0) = ф If (у0)] = F (у0).
Первый скорректированный результат с помощью за-
поминающего и вычислительного устройств образуется
по алгоритму
У1 =Уа + Уо — Р(Уо)-
Для получения второго скорректированного результата
Ух преобразуется обратной цепью в величину = f (ух),
которая далее преобразуется прямой цепью в величину
У\ = 4>(Xx) = F(yx),
а второй скорректированный результат определяется по
алгоритму
У2 = Уо + Ух~ Р(У1)-
Аналогично n-й скорректированный результат
Уп = Уо + Уп-1 — F(yn-i),	(7.32)
где
F (yn-i) = ф (x„_i) = ф [f Gfo-i)]; (7.33)
F (yn-i) — результат преобразования прямой цепью уст-
ройства тестовой величины, имеющей значение xn_i,
которая формируется на выходе обратной цепи.
Условия сходимости. Формулу (7.32) можно предста-
вить в виде обобщенной итерационной формулы (7.18)
Уп = 4 (Уо< Уп-i) (п = 1, 2, 3, ...),
где А — оператор, действующий в пространстве у.
Если последовательность {уп} сходится к некоторой
точке у*, т. е. если существует
11туп = у*
П-ЮО
„ и если операторная функция А непрерывна в точке у*,
то из (7.18) следует, что у* является решением уравнения
(7.20)
У = А(Уо, У),	(7.34)
а для ААИК у = у0 + у — F (у), т. е.
У* = Уо + У* — F (у*).
214
С учетом (7.31) и (7.33) находим
ф(*о) = ф [/(£*)],
или для монотонных функций
У* = ГЧ/о).	(7.35)
В общем случае для немонотонных функций одному
значению функции может соответствовать несколько аргу-
ментов, как это видно на рис. 7.3. Однако в подавляющем
большинстве случаев статические характеристики измери-
тельных преобразователей описываются монотонными функ-
циями.
Таким образом, решения уравнения (7.20) являются
обратной функцией обратной цепи от искомой измеряемой
величины xq.
Для линейной обратной цепи с коэффициентом преоб-
разования, равным единице, решением (7.20) является
искомая измеряемая величина у* = х*0.
Для ААИК неравенство (7.21) с учетом (7.24) можно
переписать в виде
|1—	(7.36)
или
0<g<F'(y*X%<2.	(7.37)
Для линейной обратной цепи неравенство (7.27) с уче-
том (7.33) представим в виде
• 0<5<ф'(х)<%<2.	(7.38)
Показатель скорости сходимости (7.23, 7.24) для ААИК
пЛт,п_1,п = [i-F (П1 :	<7,39)
при линейной обратной цепи
lim ri„_M = J - .	(7.40)
П->ОО	1 — ф (Лтд)
Если, кроме того, и прямая цепь линейна (у = ф (х) =
— kx + b), показатель скорости сходимости постоянен
на каждом шаге итерации и равен
Ч- -Л—тзр	(7.41)
где у — мультипликативная погрешность.
Если при каком-либо значении & окажется, что произ-
водная операторной функции А' (у0, &) = 0, то показатель
скорости сходимости обратится в бесконечность. Это сви-
215
детельствует о равенстве i-ro приближения предельному
значению у*. Такой случай реализуется для линейной
прямой и обратной цепей при отсутствии мультипликатив-
ной погрешности.
Погрешность л-го приближения для ААИК согласно
(7.26) и (7.34)
п—1
Д„ = Д0П [1-F'(yo, I/)].	(7.42)
/=0
Для линейных прямой и обратной цепей относительная
погрешность
-V = Л- (- т)п = (- у)п (У + 6 + уб), (7.43)
где 6 — относительная аддитивная приведенная ко входу
погрешность корректируемого устройства.
Необходимое число тактов коррекции для достижения
погрешности Д„ в этом случае
1п
"“-ЙПТГ-	г7-44>
Из (7.43), (7.44) видно, что алгоритм аддитивной итера-
ционной коррекции имеет преимущества при малой муль-
типликативной погрешности, так как при этом минимизи-
руется число тактов коррекции.
Из (7.26) следует, что сходимость знакопеременна,
если все производные А'(у0, &) на интервале сходимости
отрицательны (т. е. приближения располагаются пооче-
редно по обе стороны предельного значения у*), и моно-
тонна (т. е. все приближения располагаются с одной сто-
роны от у*), если производные положительны. В общем
случае итерационный процесс для одной и той же опера-
торной функции может быть как знакопеременным, так
и монотонным.
Интересно отметить, что при знакопеременной сходи-
мости среднее геометрическое двух рядом расположенных
показателей скорости сходимости примерно равно показа-
телю скорости сходимости при п -> оо;
7.4. Алгоритм мультипликативной итерационной
коррекции
Как будет показано ниже, для устройств с преобладаю,
щей мультипликативной погрешностью целесообразно при-
менять алгоритм, в котором используются только множи-
216
тельно-делительные операции, т. е. мультипликативную ите-
рационную коррекцию (АМИК).
Сущность мультипликативной итерационной коррекции
можно рассмотреть на примере устройства, структурная
схема которого представлена на рис. 7.2. Устройство со-
держит прямую цепь с номинальной статической функцией
преобразования
i/=<p(x),	(7.45)
обратную цепь с номинальной статической характерис-
тикой
x = f(y),	(7.46)
а также вычислительное и запоминающее устройства.
Прямая цепь представляет собой аналоговый или аналого-
цифровой преобразователь, точность которого недостаточна
для данной измерительной задачи.
Обратная цепь представляет собой аналоговый или
цифро-аналоговый преобразователь и имеет высокую точ-
ность преобразования. Характеристика ее может быть как
линейной, так и нелинейной. Она предназначена для пре-
образования выходной величины устройства к масштабу
входной величины.
Устройство работает следующим образом. В первый
такт измеряемая величина х, имеющая значейие хо, пре-
образуется прямой цепью в значение
Уо = Ч>(хо),	 (7.47)
которое запоминается в ЗУ и преобразуется обратной цепью
в значение
х0 = f(y0)-
Во втором такте выходная величина обратной цепи х0
преобразуется прямой цепью в значение
Уо = Ф (х0) = ф [/ (t/0)] = Р (у0).
С помощью запоминающего и вычислительного устройств
первый скорректированный результат образуется по
алгоритму
У1=Уо~П^Г'
Для получения второго скорректированного результата
первый скорректированный результат преобразуется
обратной цепью в величину хх = f (yj), которая далее
преобразуется прямой цепью в величину
^ = ф(Х1)=/Г(«/1).
217
Второй скорректированный результат получают по
алгоритму
у<
У^У»-^:
п-й скорректированный результат — по алгоритму
По выражению (7.48) строится рекуррентная последова-
тельность, если п = 1, 2, 3, ... Формула (7.48) может быть
представлена в виде обобщенной итерационной формулы
Уп = А (у0, yn-i),
как и в случае аддитивной итерационной коррекции. По-
этому все дальнейшее изложение АМИК опирается на вы-
воды, полученные для АИИК. Если последовательность
[уп] (7.48) сходится к некоторому пределу у*, т. е. если
существует
limy„ = у*,
П-too
и если п -> оо и операторная функция A (yOi у) непре-
рывна в точке у*, то из (7.18) следует, что у* является
корнем уравнения
У = А (уо, у).
Для АМИК это уравнение имеет вид
			у У — Уо Р(у) »	(7.49)
ИЛИ для точки	У*~~Уо F (у*) ’	(7.50)
откуда		(7.51)
С учетом того	что	
	Уо= <P(*o) = F («/*),	(7.52)
у УМК, как и в устройствах аддитивной коррекции, реше-
ние уравнения (7.52) имеет вид
(7.53)
где f~' (х) — функция, обратная f (х).
Для линейной обратной цепи
у* = 4.	(7.54)
218
Поскольку у0 определяется измеряемой величиной, то
А (Уо, у) является функцией двух переменных, и обобщен-
ный критерий сходимости для АМИК формулируется
так же, как и для ААИК.	__
Условие существования итерационного корня при
АМИК совпадает с условием (7.21). Для АМИК из урав-
нения (7.49) получим
(7.55)
А' (у0, у) =
С учетом (7.21) и (7.51) из (7.55) получим условие су-
ществования итерационного корня АМИК
|1_.уТ(у*). <Л1<1
I F(y*)	’
или
(7.56)
Для линейной обратной цепи
<₽(*)
(7.57)
Область допустимых значений начальных приближений у'о
и значений измеряемой величины, при которых итера-
ционные корни уравнения (7.50) могут быть найдены ите-
рационным путем, определяются так же, как и для ААИК,
если оперировать обобщенной итерационной формулой
(7.18).
При изучении трехмерных итерационных процессов
принципиально возможно сведение их к двумерным, если
в общем виде произвести последовательные подстановки
в рекуррентное соотношение (7.18). Рассмотрим этот спо-
соб на примере устройства мультипликативной коррекции
с линейными прямой и обратной цепями.
Последовательная подстановка уравнений рекуррент-
ной последовательности в уравнении для АМИК дает
,.	1<Р(х)1"+1
Уп ~~ п— 1
П <f(yt)
1=0
Для линейной прямой цепи
у = kx + b,
для линейной обратной цепи
х — у*
(7.58)
(7.59)
(7.60)
219
Из выражения (7.58) имеем
_ (Ь + Ь)"+1
Уп— i
П (fy + &)
f=0
(7.61)
Исключая последовательно у{ из уравнения (7.61),
после громоздких преобразований, используя метод мате-
матической индукции, получим
И.-------„	-------
k £ (kx + b)1 bl~l + bn
(7.62)
Предел yn при n, стремящемся к бесконечности, найти
весьма затруднительно, поэтому будем искать предел
выражения —.
Уп
Поделив члены суммы знаменателя на числитель в выра-
жении (7.62), найдем
Г-63)
Сумма в правой части уравнения (7.63) представляет
собой геометрическую прогрессию, первый член которой
= <7-64)
а знаменатель
<7-«)
Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии
конечна, если
|7|<1.	(7.66)
и равна
limS„ = S=-r^-.	(7.67)
4 ч
Используя соотношения (7.64), (7.65), (7.67), можно
записать
lira k У - b'-~ = —.	(7.68)
При выполнении условия (7.66) справедливо выражение
У1
(kx -J- 6)n+1
(7.69)
220
Следовательно,
Нт —
/1->оо Уп
Таким образом, условие сходимости АМИК при линей-
ной прямой и обратной цепях таково:
ь 
kx-\-b
(7.70)
Найдем n-е приближение при п Ф оо. Воспользовав-
шись выражением (7.63), а также учитывая, что сумма п
членов убывающей геометрической прогрессии
8п = -	(7.71)
получим	;
k Г J _ 6я 1
1 kx + b	(kx + b)n J t
~	. b	(fex + b)n+1 ’
kx + b‘
откуда после преобразований найдем
(7.72)
1	(kx-\-b)n [* k* + b
или о учетом равенства (7.65)
(7 73)
Если qn 1, то относительная погрешность n-го при-
ближения
(7.74)
Выразим q через погрешности устройства — аддитив-
ную и мультипликативную:
6 = 6(1+y)x, (^ + 6) = (1+т)(1+6)х, (7.75)
1 = -гтг 	<1 * * * * 6 7-76’
где 6 — аддитивная относительная погрешность, приведен-
ная ко входу устройства; у — мультипликативная по-
грешность, причем k = (1 + у).
Подставляя выражения (7.75) и (7.76) в (7.74), получим
6п(т4-6-|-т6)	,
Т (1 + 6)"+’ (1 + ?)	Ь }
221
Рис. 7.5. Структурная схема устройства с
вычислительной мультипликативной кор*
рекцией и разновременным вводом сигналов
Рис. 7.4. Структурная схема уст-
ройства с вычислительной муль-
типликативной коррекцией
Точное выражение
6" (-у 4- fry6)
Уп (1+б)'Ж(1+?)_6',(-у + в + -у6)
(7.78)
Из последней формулы видно, что мультипликативная
коррекция наиболее эффективна при малой аддитивной
погрешности 6	1.
Устройства мультипликативной коррекции с пространст-
венным разделением каналов и вычислительной коррек-
цией. Общий недостаток УМ К с внутренним масштаб-
ным преобразователем — наличие замкнутой петли по цепи
регулирования и связанной с этим проблемы устойчивости.
Этого недостатка можно избежать применением вычислитель-
ной коррекции. Структурная схема УМК, в котором реализо-
вана вычислительная коррекция, приведена на рис. 7.4.
Корректируемая цепь 1 с функцией преобразования
у = ф1 (х) снабжена линейной обратной цепью 0. Кор-
ректирующий множитель образуется с помощью блоков 2
и 3 с функциями преобразования U = <р2 (Р#) и V = <р3 (х);
соответственно
== ”•
Алгоритм работы УМК, реализуемый вычислительным
устройством 4, сводится к умножению результата преобра-
зования измеряемой величины X, корректируемой цепью
на корректирующий множитель
(7-79)
Если все блоки линейны, то скорректированный ре-
зультат таков:
лг _ 2L 2i>3.	1	(1+?8)___________1 + ^з_______
₽» *оз d + vp) (1+?з) Г, ।	бз	1 ’
[ ф (l + SiHl+^Wo J
222
где k01, fe02, &оз. ₽o — номинальные значения коэффициен-
тов преобразования блоков 1, 2, 3, 5; 61( 62, 63 — аддитив-
ные приведенные ко входу и к измеряемой величине по-
грешности блоков 1—3 соответственно; ?х = Vi + 61 +
4-
Если принять условие настройки ^oiPo = тИ" ~ то
«оа
условия инвариантности:
Л
78 = 72;	63 = —р^-_— .
Второе условие является условием инвариантности
к погрешностям корректируемого блока 1.
Первое условие инвариантности у8 = у2 легко реали-
зуется при пространственном совмещении блоков 2 и 3
и разновременном преобразовании, как показано на
рис. 7.5.
Блоки 1—4 имеют функции преобразования у = фх (х),
U = <p2 (х), Z — фз (у), V = ф4 ((/), соответственно. Кор-
ректируемая цепь 1 снабжена линейной обратной цепью
6. Блоки 3 и 4 служат для преобразования выходных
величин корректируемого и корректирующего устройств
к виду, удобному для ввода в вычислительное устройство
5. Корректирующий множитель образуется за два такта
измерения а и б:
k -Va
«м = -р— •
v б
Алгоритм работы, как и в УМК на рис. 7.4, сводится
к умножению результата преобразования измеряемой вели-
чины корректируемой цепью 1 и вспомогательной 3 на
корректирующий множитель
N = z -^- = фз [фх (х)}
у б
Ф4 [фа С*)]
ф4 (Фа 1₽Фх (х)]}
Если все блоки линейны, то скорректированный ре-
зультат при выполнении условий настройки &01р0 = 1
и &оАз = ^02^04 (для простоты принято Р = р0 = 1 и
^зх = ^оа = &оз = ^04 = 0 таков:
ЛГ = х(1+&з)
1
1 Тг
где 5i = Ti + 81 + тД; 5з = Тз + 8з + Тзб3; Н = 8з + 64 +
+ 51 + 5а + 8364 + 5i5a + 835aJ 5г = Т2 + 82 4“ Ta^aJ 83, 84 —
223
приведенные ко входу блоков 3 и 4 и к измеряемой вели-
чине х аддитивные погрешности блоков 3 и 4.
Условие инвариантности к погрешностям корректируе-
мого блока 1 сводится к равенству
б4 = 63(1+?2).
При несоблюдении этого равенства погрешность скор-
ректированного результата
То «	[б4 - 63 О + Тз)] + £з-
Первый член погрешности, содержащий погрешность
корректируемой цепи, является величиной второго поряд-
ка малости. Погрешность может быть уменьшена, если вы-
числительную коррекцию сочетать с параметрической
включением управляемого масштабного преобразова-
теля последовательно с блоком 1, т. е. уменьшением
Коррекция в этом случае может быть итеративной, а кри-
терий сходимости будет таков:
lim &м.п. = 1.
«-►ОО
7.5. Эффективность коррекции случайных
погрешностей
Выше были получены и исследованы уравнения измере-
ния и погрешностей УАК, УМК при временном разделе-
нии каналов. При этом предполагалось, что измеряемая
величина и погрешности каналов неизменны. Такое до-
пущение приемлемо при коррекции систематических по-
грешностей. Считая измеряемую величину детерминиро-
ванной, погрешности устройства случайными величинами,
также полагая, что интегрирование выходных преобра-
зователей происходит в течение времени Та, получим урав-
нения измерения и уравнения погрешности для УАК(
УМК.
Устройства аддитивной коррекции. В первый такт
измерения устройством, приведенным на рис. 7.2., на вы-
ходе аналогового преобразователя имеем
Уо(0 = *П + 6(0] [1+7(0],	(7.80)
где х — измеряемая величина; 6 (0 — аддитивная по-
грешность, приведенная ко входу; у (0 — мультипликатив-
ная погрешность — случайные функции времени.
224
J_ г
В результате интегрирования и усреднения получим
• и	М-ги
J y0(t)dt = x I + -77 J Wdt +
L
<о+Ги	<.+Ги
J V(t)dt + ^- J 6(0т(0Л.
a t,	«.
(7.81)
Введем обозначения:	j
*оЧ-ги	1
~=4~ f y^d{’
Уо	1 и J
/0
*о+Ги
~ = “77 У S <0 dt''
to+T*
T = -T7 S
to	J
(7.82)
Здесь слева цифра над чертой указывает номер такта.
Тогда результат первого измерения
ООО
£0 = х(1 +6 + V + ?6).	(7.83)
Первый скорректированный результат получим из урав-
нения
£ _о _i_____________ о	£	1 L
У1 = Уо	+ Уо — Ф (Уо)	= 2^0 —	(У + М (1	+ У)	=
£ _i £	1 о i 01	01	_9 1
= х[1 + (у —у) + (6 — 6) + (уб — уб) — уу — бу — убу].
Третий скорректированный результат при хранении
первого измерения у0 в памяти прибора таков:
оз, 2	3	2	2 зо2
Уз = *П 4-(у —у) + (б —6) + (уб—уб) —у(б —б)—
1-1	11	2	23 £	1	23 0	1
— У (У — У) — У (уб — уб) + уу (у — у) + уу (б — б) +
23 О 1	0 1 23	01 23 £ 1 23
+ УУ (уб — уб) — уууу — бууу — убууу].	(7.84)
Можно показать, что при соблюдении алгоритма, при
котором в памяти хранится результат первого измерения
у, п-й скорректированный результат будет содержать
15 6-1861	225
члены
Г J? —	—	~	.2	—
Уп = X 1 + (у — у) + (б — 6) 4- (уб —уб) —•
п £ п—1 п_ о п—1	гг £	п—1
— у(у —у) —у(б —б) —у(уб —уб) + •••
i=n J £	£	£
... +(-1)"П (у (у + б + уб)) .
1=1	J
(7.85)
Из выражений (7.84) и (7.85) видно, что при хранении
о
у в памяти номер второго члена разностей возрастет. Это
приводит к тому, что корреляционная связь выборок слу-
О * п
чайного процесса ослабляется и дисперсия D {(у — у)}
возрастет, стремясь к максимальному значению, т. е.
О	п
сумме дисперсий D {(у) + D {у} в том случае, когда время

от первого такта до n-го превосходит интервал корреляции
(интервал времени, после которого корреляционная функ-
ция близка к нулю) и дисперсия n-го скорректированного
результата оказывается больше, чем дисперсия первого
скорректированного результата. Принимая во внимание
необходимость осуществления п > 1 тактов коррекции
для существенного уменьшения систематических погреш-
ностей, необходимо строить алгоритм прибора таким об-
разом, чтобы после каждого такта коррекции осуществлял-
ся такт измерения измеряемой величины.
Устройство мультипликативной коррекции. Итератив-
ная мультипликативная коррекция с временным разделе-
нием каналов осуществляется по алгоритму
Уп = У о - V*~' г •	(7.86)
ф (уп_,)	'	>
Результат первого измерения уа совпадает с (7.83).
Первый скорректированный результат
У1= _	1	\-----•	(7.87)
Уо +Дх +WV+Д*Т
После подстановки равенства (7.83) в (7.87) получим
первый скорректированный результат:
О О О	00000	00	00
- _ Ц 1 + (б)2 -ь (у)2 + (уб)2 + 2 (б + у + уб + уб + буб -|- ууб
— х	О i_	I о _ о I .и _
1	+ (б + б) + (У + у) + уб-|- уб + бу + бу + буу
(7.88)
226
Полагая в последнем выражении сумму членов после
единицы числителя и знаменателя гораздо меньше едини-
цы, можно с достаточной точностью записать:
°	1	1 о О О 2
(6-6) 4- (т — т) + (уб- 76) + (6)2 + (у)2 +
2	°? °о оо оо о» о 1
4- (?6)2 4- 26у	26у6 4- 2у6у — бу — уу — буу]. (7.89)
Можно показать, что при последующих тактах итера-
ции в n-м скорректированном результате сохраняются
разности погрешностей первого порядка малости. Тогда
приближенно получим
п П—-1	П п—1 п	п—1
^«х[14-(6-6) + (т-у)4-(у6-?6)4- •••]- (7.90)
Если преобразование измеряемой величины осуществ-
ляется только один раз и сохраняется в памяти в течение
всего цикла измерения, то
0 п £ п 0 п
уп«х[1 + (6-б)4-(т-т)4-(уб-уб)4-	(7.91)
Таким образом, и при мультипликативной коррекции
преобладающее значение имеют составляющие погрешнос-
ти, обусловленные разностями погрешностей канала ря-
дом расположенных или удаленных тактов.
Оценка случайной погрешности разности двух выборок
случайного процесса. Рассмотренные выше вероятност-
ные погрешности устройств с коррекцией погрешностей со-
держат основную характерную составляющую погрешнос-
ти, представляющую собой разность усредненных значе-
ний выборок за время Тя одного случайного процесса,
отстоящих на некотором расстоянии 9 (рис. 7.6):
<о+ги	*.+о+ги_
= j x(t)dt---------j x(t)dt, (7.92)
где х (0 — нестационарный случайный процесс; t0 — про-
извольный момент времени; Тк — длительность интегри-
рования; 9 = Тп 4- Т„ — сдвиг на-
чала интегрирования следующего
такта; Тп—длительность паузы
между выборками.
В связи с тем что Ти Ф оо, ин-
тегралы в правой части уравне-
ния (7.92) представляют собой слу-
чайные величины и разность их так-
же — случайная величина. Найдем
X(tK
Рис. 7.6. График выборок
случайного процесса
15*
227
математическое ожидание и дисперсию разностной величи-
ны yt.
Пусть х (/) = х (0 + т (/), тогда математическое ожи-
дание
*.+о+гв
( W(0 +
(,4-е
*о+Ти	*о+9-|-Ги
+ m(t)}dt	f m(t)dt—C m{t)dt. (7.93)
J Ти *?	"
Если, например, tn (() = At, то
М{у(}----------------------Л0.
Найдем дисперсию величины
D = {^} = (W{y?}-[M{yz}]2,
,М-9+Ти_
~т7 J Л
/.+0
*о+Ти_ *.+9+Ти_
—С x(t)dt ( x(t)dt..
Ги t,	*.+е
После преобразований, которые опускаются, получим
(.+е	*.4-е4-ги
D{yt}^-^^ R(t1,Qdt1dt2+-jr J J R^Qdt.dt,-
to	®	^o4"0
o М-Т^о++Тп
, г*.+Л.
м = "т7 J
где
м {$ = м
! Ь+Ти
~ТГ J
12 Г
2
(7.94)
2>
(7.95)
где R (4» 4) — корреляционная функция нестационарного
случайного процесса.
Выражения (7.93) и (7.95) можно существенно упрос-
тить, если х (t) — стационарный случайный процесс. Учи-
тывая то, что погрешности многих устройств представляют
собой стационарные процессы, рассмотрим математическое
ожидание и дисперсию yt, полагая х (f) стационарной
функцией времени.
Определим математическое ожидание у^
f	*.4"в4-Ги
Л4 {yz} = ЛН-у- f x(t)dt-----§ x(t)dt .=
Iй*.	и М-е
228
4>4-Ги
= -L j
М-б+Т’и _
—=r-	C M{x (0} dt = mx — m~ = 0.
7 и J	X
/o4-9
Таким образом,
M {yt} = 0.	7.96)
Найдем дисперсию

п2
D{y(} = M{y2{} = M
^>4’04*7’и	' 2	^<гНЧ"7’и
у х(/) dt----------------§ x(t) dt J х(0 dt
И 4+Э J и 4	Го+0
= м1 + м2 — мз.	(7.97)
Учитывая, что математическое ожидание суммы равно
сумме математических ожиданий слагаемых, рассмотрим
отдельно каждое из них.
Первое слагаемое с учетом того, что х (0 = х (/) +
(7.98)
Ввиду стационарности процесса можно записать
М1 = М
где
<о+гим-ти _	_
7^" У У । %	~ т* I ^2) J dtjdt3  =
И ^0	^0
= 4- (	( RA^-Qdt^t,, (7.99)
И £	<0
= М {[х(^-тх] [x(t3)-mx]]. (7.100)
После интегрирования выражения (7.99) получим
Ги
(!--^-)/?x(T)dT.	(7.101)
и о ' и '
Отметим, что Л11 есть дисперсия одиночного измерения
интегрирующим прибором.
229
Так как М.х не зависит от начального момента времени
t0, то математическое ожидание второго слагаемого, кото-
рое отличается сдвигом на 0 относительно t0, будет равно
математическому ожиданию первого:
Mi = М2.
(7.102)
Определим математическое ожидание третьего слагае-
мого:
М, = Л4
О
/,+ги м-о+ти_ ,
4- С x(t)dt [ x(t)dt
И t,	/„+0
(7.103)
Проведем преобразования, справедливые при стацио-
нарности процесса:
<о+Ги<о+0+Ти
~ ~Т^~ 5	Х dt^dt^ ~
и 6	«о+0
*о+ГИ ^“МН^и
= ~~Т^~ У	S	df^dt^ ==
И *0	^0
Для удобства произведем замену переменных
т = /а — = 0.
Тогда
2 T<F
Al3=-^-f (Ти-т)[/?х(т + 0) + ^(т-6)]^. (7.104)
О
Поскольку D {у<} = Mi + М2 + М3, окончательно
получим
Ги
D {^} = ?7 J (! - тг)[27?*(г) ~ К* <г+е> “	<Т-0И dT-
и о ' и '
(1АЬЪ)
Последнее выражение позволяет строго оценить эф-
фективность коррекции и сравнить дисперсию устройства
без коррекции и с коррекцией.
Подынтегральное выражение в уравнении (7.105) со-
держит разность удвоенной корреляционной функции
230
исходного процесса и двух смещенных корреляционных
функций этого же процесса — одной влево на 0 и другой
вправо на 0. Если расстояние между выборками Та
таково, что смещенная вправо на 0 корреляционная функ-
ция не попадает в область интегрирования 0 — Та, то
дисперсия разностного процесса равна удвоенной диспер-
сии одиночных выборок, т. е.
Ги
D{y(} = -^ (i-*b(T)dT.	(7.Ю6)
И Л \	И '
Если корреляционная функция не затухает в преде-
лах Т„, то дисперсия разностного процесса будет меньше,
чем удвоенное значение дисперсии одиночных выборок.
Для наглядности на рис. 7.7 приведены графики со-
ставляющих подынтегрального выражения формулы (7.105).
Две заштрихованные области вычитаются из площади, огра-
ниченной кривой, представляющей собой произведение
удвоенного значения корреляционной функции 2RX (т)
на падающую прямую (1------=?-), и осями координат.
Из рис. 7.7 видно, что эффективность коррекции будет
тем больше, чем ближе расположены выборки, т. е. при
6 -> Та, а также при плоских на удвоенном интервале
интегрирования корреляционных функциях исходного про-
цесса х (/)•
Выражения (7.82) и все последующие предусматривают
операцию интегрирования при взятии выборки, т. е. при-
менение интегрирующего преобразования. Приборы для
определения мгновенных значений можно рассматривать
как частный случай интегрирующих приборов, полагая,
что Т„ -> 0. Поэтому выводы, полученные в настоящем
параграфе, будут справедливы для приборов мгновенных
значений, если осуществить в соответствующих формулах
предельный переход при Ти -> 0.
Прежде чем это сделать, найдем предельные значения
характерных для нашего случая выражений:
lim
т -»о
И
1 >
-±-j f(T)dT = f(O);
и о
1 ЛИ /	т \	1
lim (l-^-)f(T)dT = 4-f(0).
7и-»0 'и Л	2
(7.107)
(7.108)
Выражения (7.107) и (7.108) получены в результате
применения правила Допиталя и правила дифференциро-
.231
-1,4-12-0,8-0,4 О 0,4 08 1,2 f
'	Та
вания интеграла с переменным
верхним пределом.
Применяя формулу (7.108)
к (7.101), найдем
М2 = Т?(0), (7.109)
т. е., как и следовало ожи-
дать, дисперсия при одиноч-
ных измерениях прибором
мгновенных значений равна
R (0), т. е. дисперсии исход-
ного процесса.
Рис. 7,7. К определению дисперсии
разности выборок
Применяя выражение (7.108) к (7.105) и учитывая чет-
ность корреляционной функции, получим
D{yt} = 2Rx(0)-2Rx(Q).	~	(7.П0)
Из уравнения (7.110) следует, что, если Rx (т) не за-
тухает на расстоянии 0 и не изменяет знака, то дисперсия
разностного процесса, полученная прибором мгновенных
значений, меньше удвоенного значения дисперсии исход-
ного процесса. Если 0 = 7'и, т. е. Тп = 0, то дисперсия
разностного процесса стремится к нулю. Последний вывод
очень важен, так как указывает на возможность уменьше-
ния дисперсии результатов измерения прибором с коррек-
цией погрешности в сравнении с дисперсией результатов
измерения прибором без коррекции.
ГЛАВА 8
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ОЦЕНКА
ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ
При проектировании (синтезе) какого-либо устройства
необходимо иметь математическую модель, адекватно ото-
бражающую поведение этого устройства (точнее, его выход-
ной величины) в зависимости от воздействия влияющих
величин. Параметры такой модели отображают влияние
каждой из этих величин на правильность функционирова-
ния устройства. Математическую модель получают мето-
дами регрессионного анализа и планирования экспери-
мента.
' Обычно для вектора выходных величин устанавливает-
ся некоторая область, попадание в которую свидетель-
ствует о правильном функционировании объекта. Как уже
отмечалось, выходная величина объекта исследования явля-
232
ется\функцией влияющих величин и параметров. Уста-
новление области допустимых значений для выходной ве-
личины объекта не позволяет назначить допуск на каждый
параметр в отдельности, поскольку все параметры связаны
между собой.
Если модель получена на основании ортогонального
планирования, то можно определить допуск на каждый
из параметров в отдельности. На практике в случае линей-
ной модели поступают следующим образом; допусковую
область заменяют гиперпараллелепипедом с гранями, па-
раллельными осям координат параметров и на каждый из
параметров назначается свой допуск. Процесс экспери-
ментальной оценки параметров модели исследуемого объек-
та и установления соответствия их заданным нормам (до-
пускам) называется контролем. При контроле считается,
что вид модели объекта известен (получен в результате
ранее проведенных исследований), а неизвестными явля-
ются значения параметров для каждого конкретного объек-
та, т. е. параметры во всей совокупности являются слу-
чайными величинами. Процесс контроля заключается в
получении информации о фактическом состоянии устрой-
ства, т. е. его математической модели путем получения
оценок коэффициентов — параметров, а затем принятии на
основании полученной информации решения о его состоя-
нии (годности или негодности). Получению информации
о параметрах предшествует операция восприятия, заклю-
чающаяся в преобразовании выходной (или ей пропорцио-
нальной) величины исследуемого объекта в форму, в кото-
рой хранятся граничные значения допусковой зоны по
параметру. В системах автоматизации эксперимента дан-
ной формой является код. При осуществлении операции
восприятия возникают погрешности, которые снижают точ-
ность оценки параметров, а следовательно, могут привести
к неправильному суждению о состоянии объекта, причем
случайные и систематические погрешности по-разному
влияют на правильность суждения. Оценке влияния по-
грешностей преобразования на достоверность контроля
и исследованию путей их уменьшения и посвящена данная
глава.
8.1.	Достоверность экспериментальной оценки
параметров модели
Не нарушая общности рассуждений, вначале будем
предполагать, что на объект воздействует только одна ве-
личина (модель однофакторная) и необходимо оценить
233
только один параметр. Для данного параметра устанавли-
вается допусковая зона с граничными нижними и /верх-
ними значениями уя и ув. Из-за несовершенства техноло-
гии значение параметра от объекта к объекту изменяется.
Следовательно, выходная величина объекта у также бу-
дет случайной величиной с плотностью распределения
/ (у). До проведения экспериментальной оценки пара-
метра вероятность того, что параметр соответствует допус-
ку (объект функционирует нормально либо объект испра-
вен), определится соотношением
Ув
Pu=^f(y)dy,
а вероятность неправильного функционирования объекта
Ун	4-00
Рй= j f(y)dy+ J f(y)dy,
-оо	ув
где у = ах.
Задачей контроля, базирующегося на эксперименталь-
ной оценке параметров, является выявление из всей сово-
купности исправных и неисправных устройств (объектов).
Наблюдаемые значения выходной величины у ввиду
наличия погрешности восприятия будут отличаться от
истинных значений у. Будем считать, что погрешность вос-
приятия (преобразования) е носит случайный характер
и ее математическое ожидание равно нулю, т. е. отсут-
ствует систематическая составляющая погрешности. Таким
образом, с граничными значениями допусковой области
у„ и ув сопоставляется не выходная величина i-ro конт-
ролируемого объекта совокупности у{, а величина
У1 = + ег,
где 8; — реализация случайной погрешности восприятия
при контроле i-ro объекта; у{ для данного i-ro объекта
является детерминированной величиной. Наличие погреш-
ности преобразования 8г может привести к неправильному
суждению: исправный объект будет отнесен к негодным,
а неисправный — к годным. Для оценки вероятности
неправильного суждения о состоянии объекта вводится
понятие достоверности контроля, которая характеризует
степень доверия к его результатам.
Таким образом, из-за наличия погрешности преобразо-
вания возможно возникновение одного из четырех цесов-
234
местных событий(/ = 1, 4) со своей вероятностью Р (Hj):
Hi — объект исправен, результат контроля «Годен»
(У„<У1<УВ, У«<У1<УВУ,
Н2 — объект исправен, результат контроля «Не годен»
(УЯ<У1<УВ> УВ>У1>УВ)>
На — объект неисправен, результат контроля «Годен»
(ув>у{>ув> Уа<У{<Ув)’>
Hi — объект неисправен, результат контроля «Не го-
ден»
(УВ>У1>УВ> Уч>У{>Ув)-
События Hi и Нл соответствуют правильным решениям,
принятым по результатам контроля, несмотря на то что
имеется погрешность преобразования и воспринятое зна-
чение у{ отличается от истинного у{. Событие Н2 носит
название ложного отказа. Его вероятность Р(Н2) явля-
ется полной вероятностью получения результата «Не
годен», соответствующая состоянию объекта «Исправен»,
и называется вероятностью ложного отказа Рл. Соответ-
ственно событие На называется необнаруженным отказом
и его вероятность Р„ соответствует полной вероятности
признания неисправного объекта годным.
Вероятности ложного и необнаруженного отказов за-
висят от законов распределения оцениваемых параметров
(точнее, их плотности распределения) и погрешностей
восприятия, а также от граничных значений допусковой
зоны.
Согласно определению, вероятность ложного отказа
Р„ равна произведению вероятности двух . событий —
«Объект исправен» и результат контроля «Не годен»:
Рл = Р И(У1<У^ V (Ус >УВ)] Л (У*<У{<УВ)}, (8.1)
где V — операция логического сложения (дизъюнкция),
Д — операция логического умножения (конъюнкция).
Приняв во внимание, что у{ = у{ + ео перепишем вы-
ражение (8.1) так:
Рл = Р {!(& + st <ув) V (У( + > ув)] Л (ув <у{ <&)},
или
Ра = Р {l(8< <ya~ yii М (8, > ув — Z/z)] Л (!/н < у( < &)}.
235
Рис. 8.1. Допусковые области
при определении ложного и не-
обнаруженного отказов
Так как ложный отказ может
возникнуть лишь тогда, тогда ре-
зультат восприятия располагает-
ся или слева от ув (yi<.ya)> или
справа от ув (у{ > ув) при исправ-
ном объекте, то последнее выра-
жение можно записать в виде
Рл = Р 1(е/ < Ун — у,) Л (уа <
< Ус < Ув)] + Р l(et > Уй —
~Ус) К (Ув<Ус<Ув)1-
Ввиду того что события (ув < у{ < ув), (е, < ув — у^
и (f/н < Ус < Ув)> (6i > Ув — У) попарно независимы, то
вероятность их совместного появления равняется произ-
ведению вероятностей этих событий. Следовательно,
Рл = Р (е< < У в — Ус) Р (Ув < Ус <Ув) +
+ Р^с>Ув — Ус)Р(Ув<Ус<Ув)- (8.2)
Случайные величины у, в (их генеральная совокуп-
ность) характеризуются плотностью распределения веро-
ятностей f (у) и fx (в). Тогда выражение (8.2) можно за-
писать в виде'
= J J f(y) fi (s) dyde + И f(y)fi (e) dyd&-
Gt	Gt
Для определения областей интегрирования Gx и G2,
где одновременно существуют оба события, построим гра-
ницы этих областей (рис. 8.1). Область Gx — это область,
где одновременно присутствуют события ув < yt < ув
и &с < Ув — Ус- Она заключена между прямыми у =
= у„и у = ув и располагается ниже прямой е = ув — у
(нижняя заштрихованная область).
Область G2 — это область, где одновременно присут-
ствуют события ув < у < ув и > ув — у{. Этому соот-
ветствует на рис. 8.1 верхняя заштрихованная область. Най-
дя границы областей Gx и G2, можно подставить пределы
интегрирования в выражение (8.3):
ГУа'9
УВ
Ув	„	.
Partly) S №№ dy + i fi(y) J dy-
yB
Ув
1~УВ~У
(8.4)
236
По аналогии с выражением (8.1) запишем выражение
для вероятности необнаруженного отказа:
Рв = Р {(Уа<У1<Ув) Л 1(У{<Ун) V (У<>УВ)]} =
= Р(Уп—У1<^<Ун — Ус) Р (Ус < Уп) +
+ Р (Ун — Ус < < Ув — Ус) Р (Ус > t/в).
С учетом плотностей распределения вероятностей па-
раметра и погрешностей последнее выражение запишется
так:
Рв = J J / (У) fi (е) dyds +^f(y)fi (в) dyde.
G,	Gt
Область G3 является областью, где контролируемый
параметр меньше граничного значения уа (лежит левее),
а погрешность заключена между прямыми в = уа — у
и 6 — Ув — У- Области G4 на рис. 8.1 соответствует ниж-
няя вертикально заштрихованная область. Исходя из этого
вероятность необнаруженного отказа
Исходя из рис. 8.1 можно записать выражения для
вероятностей событий Ях и Я4:
Ун
P(HJ= If (у)
—00
4-00
+ J fto)
»В
'Уп-У	4-со
J fi(8)de+ J fi(e)ds
. -«>	Vb-У
dy.
Следовательно, логическая схема формирования реше-
ния при контроле будет такой. Априори объекты с вероят-
ностью Ра и Рй разделяются на исправные и неисправные.
Границами разделения являются прямые у = уп и у =а ув.
Однако ввиду наличия событий ложного и необнаружен-
ного отказа с вероятностями РП и Ри после контроля ве-
роятности несколько перераспределяются (это и следует
из рис. 8.1). Так, вероятность события будет равняться
237
вероятности изготовления (получения) исправного объекта
за вычетом вероятности ложной забраковки:
PViJ-P.-P»
а вероятность события будет отличаться от вероятности
Появления неисправного устройства (объекта) на вероят-
ность возникновения события необнаруженного отказа:
Р(Н4) = Р--РВ.
Из рассмотренной логической схемы следует, что ве-
роятность формирования результата «Годен»
РГ = (РИ-РЛ)4-РН,	(8.6)
результата «Не годен»
Р? = (РИ--РН)4-РЛ.	(8.7)
Таким образом, из выражений (8.6) и (8.7) следует, что
вероятность неправильного суждения о состоянии объекта
будет зависеть от значений Ря и Рв, которые являются
естественной мерой недостоверности (искаженности) полу-
ченных результатов.
Наглядней для оценки качества контроля использовать
вероятность правильного решения (вероятности событий
Нг и Нл), являющуюся достоверностью контроля:
D = Р (HJ + Р (HJ = (Ри - Рл) + (Р- - Рн) = 1 - Рл - Рн,
так как Р„ и Р- — составляют полную сумму несовмест-
ных событий.
Однако часто «цена» ложного и необнаруженного отка-
зов, различна. Поэтому вводят отдельно оценку достовер-
ности результатов «Годен» и «Не годен». Суммарная ве-
роятность результата «Годен» определяется выражением
(8.6). В действительности среди объектов, признанных
годными, действительно исправными будут объекты с
вероятностью (Ри — Рл). Следовательно, достоверность ре-
зультата «Годен» можно определить как отношение вероят-
ности получения действительно исправных объектов среди
годных после контроля к вероятности результата «Годен»:
Dr = (Р„ - РЛ)/[(РИ - Рд) + Рв]. (8.8)
Аналогичным образом можно получить достоверность
результата «Не годен», которая запишется в виде
D- = (рв ~ рН)/1(Р5 - Рв) + PJ. (8-9)
В некоторых случаях вместо полных вероятностей
ложного и необнаруженного отказов применяются их отно- i
238	'
I
J
сительные значения:
« = рл/ри; ₽ = рй/Рй. (8.Ю)
которые чаще всего называют ошибками первого и второго
рода, или «риском изготовителя» и «риском заказчика»
соответственно.
С учетом а и Р выражения (8.8) и (8.9) перепишутся
следующим образом:
Dr = Ря (1 -а)/[Ри(1 — a) -f- Р5Р];
Dp = Р-(1 — P)/[Pg(l — р) + Риа]. (8.11)
Для многопараметрического объекта вероятности лож-
ного и необнаруженного отказов с учетом соотношений
(8.10) [1] будут:
Рд — П Pal — П (Pat — Pal) = П Pai — П Pal (1	®f) =
Z=1	Z=1	Z=1	Z=1
= l-п (1-а<)1пРи<;
J
Рц = П [(^ni — Pai)	Pnd — П (Pni	Pai) == ,
i=l	i=l
= П [P«z(l — aj + Ps,p] — П Pal (1 — az),
Z=1	Z=1
где n — число параметров в модели объекта.
Достоверности результатов «Годен» и «Не годен» в
соответствии с выражениями (8.11) для многопараметри-
ческого объекта запишутся так:
Dr = П [Ри/(1 -az)/(P-HZ(1 -af) + Р5Д)];
z=i
п Ря( - П Pat (1 -at)
D?= 1-------!=Ц;-----.
1—П [Ри<(1-а<)+ЗД1
z=i
Рассмотрим, как зависит достоверность оценки пара-
метра от систематической погрешности преобразования,
т. е. когда математическое ожидание погрешности восприя-
тия не будет равно нулю. При этом аддитивная и мульти-
пликативная погрешности будут проявляться по-разному.
Аддитивная погрешность .преобразования Д приводит к
239
Рис. 8.2. Влияние систематической
аддитивной погрешности на закон
распределения оцениваемых пара-
метров
Рис. 8.3. Влияние систематической
мультипликативной погрешности на
закон распределения оцениваемых
параметров
смещению закона распределения оцениваемого параметра.
Поскольку граничные значения допусковой зоны уа и
ув зафиксированы, это проводит к неправильному сужде-
нию о состоянии объекта.
На рис. 8.2 представлен случай, когда аддитивная по-
грешность преобразования положительна. Эго приводит к
аддитивному смещению закона распределения оценивае-
мых параметров.
Решающее правило в этом случае примет вид
Влияние аддитивной погрешности на результат конт-
роля может быть оценено эквивалентным смещением гра-
ниц допусковой зоны на значение А в противоположную
сторону (берется с противоположным знаком) по отноше-
нию к исходному закону распределения, т. е.
Уа = Уа~ А, Уз = Уя — А.
В результате получаем ложный и необнаруженный
отказы, которые определяются как безусловная вероятность
попадания оцениваемого параметра в зоны сдвига допус-
ков (на рис. 8.2 эти зоны заштрихованы):
0В	УН
^л= J f(y)dy; Ра= J f(tj)dy,
Ув—Д	^н""Д
где Рл и Рн — безусловные вероятности ложного и необ-
наруженного отказов, вызванных отличием математиче-
ского ожидания случайных погрешностей восприятия от
нуля — в дальнейшем их будем называть «безусловный
ложный и необнаруженный отказ».
Влияние мультипликативной погрешности преобразо-
вания у проявляется не только в смещении закона распре-
деления, но и «деформации» его (рис. 8.3). Аналогично
случаю с аддитивной погрешностью, влияние мультипли-
240
кативной погрешности может быть представлено эквива-
лентным смещением границ допусковой зоны в противо-
положную сторону. Однако, если для случая аддитивной
погрешности смещение обеих границ одинаково, то при
мультипликативной погрешности различно, т. е.
У» = У« — Wk, Ув^Ув — аУв,
где а = у/(1 + у); смещение верхней границы уа по абсо-
лютной величине больше, а следовательно, для представ-
ленной на рис. 8.3 ситуации вероятность ложного отказа
будет больше:	у
«в	Ув
Ря= J f(y)dy', Рв= J f(y)dy.
0b/(1+V)	{^(1-ИЙ
Для наглядности рассмотрения влияния погрешностей
преобразования на достоверность оценки параметра на
рис. 8.2 и 8.3 приведен случай, когда контролируемый
параметр распределен по нормальному закону как наи-
более часто встречаемому на практике. Введение эквивалент-
ного смещения границ допусковой зоны в качестве меры
влияния погрешности преобразования позволяет произво-
дить оценку эффективности различных методов повышения
достоверности контроля (оценки) без привязки к опре-
деленному закону распределения контролируемых величин.
Повышение достоверности контроля возможно путем
совершенствования элементарных средств, участвующих в
восприятии контролируемой величины (данный вопрос был
рассмотрен в гл. 7). Возможен и другой путь повышения
достоверности — применение структурных методов, под
которыми понимается совокупность приемов использования
средств контроля, обеспечивающая дополнительные воз-
действия на снижающие достоверность элементарные сред-
ства (в рассматриваемом случае участвующие в восприятии
контролируемой величины).
8.2.	Градуировка преобразовательного канала
Градуировка преобразовательного канала заключается
в подаче на преобразовательный тракт дополнительного
воздействия с последующим формированием новых гра-
ничных значений допусковой зоны, учитывающих влияние
погрешностей преобразовательного тракта. При этом осу-
ществляется смещение границ сформированной допуско-
вой зоны, аналогичное смещению после преобразования
закона распределения контролируемых величин.
16 6-1861
241
Рис. 8.4. Градуировка с двумя тестовы-
ми величинами
Дополнительные воздействия могут быть сформированы
образцовым объектом или же каким-либо другим формиро-
вателем, имеющим известную образцовую величину (ве-
личины), однородную с выходной величиной контролируе-
мого объекта.
Предположим, что преобразовательный канал имеет
аддитивную и мультипликативную погрешности, математи-
ческое ожидание которых соответственно Ди у, т. е.
регрессионная характеристика канала имеет вид
у = (у + Д) (1 + у),
На вход преобразовательного тракта подаются тесто-
вые величины у№ и ув, соответствующие нижнему и верх-
нему граничным значениям контролируемой величины.
Предполагая, что коэффициент пропорциональности меж-
ду выходной и входной величинами преобразовательного
канала равен единице, получим сформированные значе-
ния границ допусковой зоны:
Ун(в> =	+ Д) (1 + ?)•
С этими границами сравнивается текущее значение
контролируемого параметра
г/н<(#-|-Д) (1+т)<0в.
Подставим в последнее выражение значения уа и ув
и получим решающее правило, не зависящее от влияния
аддитивной погрешности:
УЯ<У<УВ-
Данное соотношение выполняется только для матема-
тического ожидания оцениваемой величины. Из рис. 8.4
следует, что размеры допусковой зоны могут изменяться
(в приведенном случае — уменьшаться), что может при-
вести к резкому возрастанию влияния случайной состав-
ляющей погрешности на правильность суждения.
242
Рассмотрим случай, когда контролируемый параметр
распределен по нормальному закону с плотностью /	'
f (У) = (У2л оГ1 ехр [(— у2/2<та)],
а случайная погрешность преобразования — по равномер-
ному закону с плотностью
Л (е) = 1/26.
Вначале определим, чему будет равняться вероятность
ложного отказа, возникающая (рис. 8.5), когда контроли-
руемая величина у находится вблизи границ допусковой
зоны и отличается по модулю от граничного значения на
величину, меньшую предельного, значения случайной
погрешности преобразования.
Вероятность события, что параметр находится в зоне
допуска, а результат контроля свидетельствует о том, что
он находится вне допусковой зоны, такова:
»н+б	№
₽»= $ (/2ла)-1[ехр(— z/2/2ct2)] J -^-ctedy +
i'a	*~6
4-6
+ J (/^or'fexpC-i/W)] J -^-dsdy. (8.12)
Приняв во внимание симметричность нормального рас-
пределения, можно записать
4	+6
^Л = 2 J (К^лст)-1 ехр (—г/72ст2)-^-8 | dy =
ув-у


или
°
Ув
(8.12.а)
16*
243
Рис. 8.6. Возникновение необна-
руженного отказа
В первом интеграле выраже-
ния (8.12, а) произведем замену
переменной х — у/a. Приняв во
внимание, что dx = dy/a, а также
то, что второй интеграл является
табулированным [24], выраже-
ние (8.12, а) перепишется так:
_ _6~Ув
л“ 6/2л Х
X У [ехр(— y2/2)]dx +
+ WET >«₽ <-	L •
(8.13)
Функция вида (2n)"'Vl j [ехр (— м2/2)] du = Ф (с) — функ-
ция Лапласа. Она табулирована, поэтому значение первого
интеграла в выражении (8.13) можно определить из таб-
лиц [24]. Во втором слагаемом произведем замену перемен-
ной t — у/о. Тогда пределы, в которых определяется
функция, изменяются на ув/а и (ув — 6)/ст, а функция
F (0 = (2л)-‘/г ехр (—F/2) также является табулированной.
В результате окончательно получаем
[ф <Ув№ - Ф	-
—(8.14)
Если допусковая зона несимметрична по отношению к
центру распределения контролируемой величины, то ве-
роятность ложного отказа
Лх = -Г" [Ф (^-) - Ф +
g Г р ( Ун 4~ 6 р / Ун ^1
26 L \ о
+	[Ф W*) - Ф (-^-)] +
j_ _2_ Гр'(Ув  р ( Ув — й \1
+ 26 И к о / V а / J ’
244
Исходя из рис. 8.6, на основе аналогичных рассуждений,
вероятность необнаруженного отказа запишем в виде
»н	4-е
, Ри= J (/2лст)-1[ехр(—z/2/2<t2)] J
Уя-б	уи-у
Ув+6	Ув~У
f -^-dtdy. (8.15)
й
6
Ун —й
а
р (	1__р (	^1 I
\ а /	\ а	/] ~
Гф f _ ф
L \ а 1	\ ° I.
р (	р ( Ув \1
г \ а /' г \ а /I *
«в
После преобразований получим
. для симметричного допуска
рв = _£в + «.Гф(_Ув211)
+ тН^)-
для несимметричного допуска
Р = й~~Ун [ф _ I
в 26 L \ о I
а
~ 26
I Ув + &
-Г 26
+ —
26
В соответствии с рис. 8.2 наличие систематической
аддитивной погрешности приводит к смещению закона
распределения контролируемых величин. Но операция гра-
дуировки преобразовательного канала перемещает границы
допусковой зоны на Д и тем самым устраняет влияние
систематической погрешности на достоверность контроля.
Вероятность неправильных суждений о состоянии объек-
та из-за влияния случайных погрешностей остается неиз-
менной (как и до операции градуировки), так как размеры
допусковой зоны после градуировки остаются теми же:
^ = Ув~ Ув-
Если же в преобразовательном канале преобладает
мультипликативная систематическая погрешность, то ар-
мированные в результате калибровки новые значения гра-
ниц допусковой зоны
Ув = Ув<1 + т);	= &»(!+?)
(8.16)
245
будут учитывать влияние погрешности преобразования.
Приняв во внимание, что
<р (у) = exp [— у2 (1 + у)2/2ст2 (1 + у)2]/1/2л о (1 4- у),
на основании выражения (8.12) запише вероятность лож-
ного отказа после коррекции
Рл = j (К2Й a)’1 {exp [- у2 (1 4- у) W (1 4- у)2]} х
уво+?)
фв—vxi+v)	рва+?)
х f ~^-dedy+ f (/2ла(1-Ь?)]-’X
•=-6	»ва+й-в
+«
X {ехр[(—#2(1+у)2/2о2 (1+т)2]} J -т^-сМу.
Фв-В)(1+?)
После преобразований
yHd+?)+e
р« в. №04-7)4-6.. f [ехр уу2^)] dy—
2вГ2яа(1+?)
0н(1-Н?)+в
---- Г S У [еХР ^2<т2)1 dy +
26 У 2л а (1 4-у)
0BO+v)
4---6—ув(14-т)—	f	jeXp (— z/2/2ct2)] dy 4-
2б/2яа(14-Т)
»в(1+т)
+ оятЛГ+л -I- T J У [ехр ^2а2)1 dy'
26 У 2л а (1 4-у) Рв(1_^т)_в
Произведя замену х = у/о, воспользовавшись табу-
лированными интегралами и проведя преобразования ана-
логично проделанным выше, получим
ПК_ №04-7)4-6	№(14-7)4-6 1 гпГ № 11
--------26 г I а (14-7) J “ L“ Jj ~~
о04-7) /рГ №(14-7)4-6 1 _р( уя \| 
26 Г L 0(14-7) J \ о Д'1"
t 6 —№(14-7) /л» / № 1 <т»Г №(14-7)—6 1} ,
"* ’	26	I	L о(14-у) Л'1’
, а(1 4-7) /г/ № 1 рГ №04-7) —6 11 /о
+ 26	г VT7- F L 0 0 4-7)" JJ • (8, '
246
Исходя, из выражения (8.15) и используя соотношения
(8.16), получим вероятность необнаруженного отказа после
операции градуировки:
рк_ 6 —0H(l+y) 1^/уя \	фГ Ун(1 4-?)—6 11
Иа---------26	г \~а~/ L <1(1 + Y) J)
0(1 +y) fp( Ун 1	г Г Ун(1+т) —6 Ц I
—	26	Г \ а /	[ 0(1 +т) JJ+
I Ув(1 -{-у) + 6 {ф Г Ув О +?) + 6 1 ф ( Ув V I
"*	26 I L 0(1+т) J \ О
। q 0 4-?) (р Г Ув(1 + v) + d 1 р ( Ув М	/о j о\
+	26	г[ о(1+?) J \ojj- ^-1О'
Из выражений (8.17) и (8.18) следует, что за счет де-
формации размера допусковой зоны
kK = Ув — Ун = (У* — Ун) Л- Y (Ун — Ун)
мультипликативная погрешность изменяет вероятность не-
правильных суждений. Особенно ее влияние (в данном
случае после градуировки — косвенное) сильно при отри-
цательной погрешности — Ря и Р„ сильно увеличиваются
и выигрыш от градуировки может быть малым или вооб-
ще отрицательным. Следовательно, градуировка измери-
тельного канала путем подачи на его вход ун и ув позво-
ляет исключить влияние систематической погрешности на
результат контроля (получается «идеальное» решающее
правило), но при этом деформирует допусковую зону.
Кроме того, не всегда удается для различных групп объек-
тов сформировать набор образцовых значений, соответ-
ствующих нижней и верхней границам допусковой зоны.
Часто в распоряжении экспериментатора имеется только
одна образцовая величина (объект), например при контроле
импедансов. В этом случае результат уй преобразования
образцовой величины используется для коррекции гранич-
ных значений ув и ув исходной допусковой зоны. При ад-
дитивной коррекции вводится поправка с = у0 — Уо —
= Ко? 4* Д (1 4- ?), а при мультипликативной коррекций —»
поправочный множитель
Ь = Ко/Ко = (Уо + Л) (1 + ?)/Ко-
Остановимся вначале на аддитивной коррекции гра-
ничных значений. Новые граничные значения, учитываю-
щие влияние систематической погрешности преобразова-
ния:
#н(в) = #н(в) + £*= Ун(ь) + УоУ + Д (1 + ?)•
247
С этими граничными значениями сравниваются теку-
щие значения контролируемой величины, и решающее
правило примет вид
Ун+Уо? + Д(1 + ?)<(У + А) (1 + ?)<Ув + УоТ +
+ А(1 +?),
или
Ун + «(у0 —ун)<х<ув + а(у0 —ув),
где a « ?7(1 + у).
Наличие слагаемых а (у0 — уя) и а (у0 — свиде- -
тельствует об остаточном эквивалентном сдвиге исходных
границ допускового интервала (в масштабе входных ве-
личин преобразовательного канала). Это приводит к оши-
бочным решениям, вероятность которых будет в первую
очередь определяться соотношением между уя, ув, и у0.
Возможны три варианта выбора значения у0 : у0 >
>ув; Уй<Ув> Ун<Уо<Ув> которым соответствуют
ошибочные решения с вероятностями:
= F (уя 4- 0В1) - F (уя) + F(yB + 0В1) - F (ув),
где 0В1 = а (у0 — Ун); бв, = «(Уо ~ Ув):
= F (ун) - F (уя - 0BJ + F (ув) - F (ув - 0В J,
где 0Н1 = а (ун — у0); 0Bt = а (ув—у0);
= F (уя + 0В,) - F (уа) + F (ув) - F (ув - 0Bj),
где 0В, = а (у0 — ун), 0Bi = а (ув — у0),
пропорциональными площади под интегральной функцией
F (•) распределения оцениваемых величин для указанных
значений аргументов.
Сопоставление первого и третьего случаев дает, что
?ош, < Рош, выполняется только тогда, когда у0 < ув,
что противоречит первоначальной предпосылке. При сопо-
ставлении безусловной вероятности ошибочных решений
пбсле коррекции (индекс к) для второго и третьего случаев
приходим к выводу, что Рош, < Рош, лишь при наруше-
нии исходного условия, т. е. при у0 > ув. Следовательно,
необходимым условием минимизации вероятности ошибоч-
ных решений , при аддитивной коррекции границ исходного
допускового интервала является выбор значения граду-
ировочной величины у0 внутри этого допускового интер-
вала. При a > 0 будет возникать только безусловный
ложный отказ, а при а < 0 — необнаруженный отказ.
Таким образом, если у0 выбрано внутри допускового
интервала при a > 0, то остаточная безусловная вероят-
248
ность ложного отказа, в соответствии с соотношениями
для Рош2 в выражении (8.19),
К = F (у, + 0И) - F (уй) + F (ув) -F(yB- 0В) (8.20)
и зависит от параметров закона распределения контролиру-
емых величин.
Для определения оптимального значения градуировоч-
ной величины, расположенной внутри допускового интер-
вала, продифференцируем выражение (8.20) по у0>
дР^/ду0 = a [f (ув + 0„) - f (ув - 0J],	(8.21)
где f (•) — значение функции плотности вероятности кон-
тролируемых величин, и приравняем полученное выраже-
ние пулю/
Разложим функцию плотности вероятности в ряд Тей-
лора в окрестностях точек ув и ув. Выражение (8.21) за-
пишется в виде	а,ж
f (Уп) + Г (Уп) 0И + 4 г	0н - f (У*> + г (&>) 0в -
---12Г(У*)£ = °-	(8.22)
Будем исходить из того, что закон распределения —
симметричный, а границы допускового интервала распо-
ложены симметрично по отношению к математическому
ожиданию. Тогда на основании соотношений
f(yn) = f(yn)', Г(Уп) = -Г(Ув)-, Г (Уп) = Г (Уп) (8.23)
выражение (8.22) перепишется в виде
(0н - 0в) [f (Уп) + 4 Г (^н) (0н + 0в)1 = 0.
Подстановка во второй сомножитель последнего выра-
жения значений 0Н и 0В приводит к тому, что данный
сомножитель не зависит от у0. Первый сомножитель дает
экстремальное значение
Уо = (Ув + Уп)/2.
Как следует из выражения (8.22), если (•) = 0
(I Ф 0). то необходимое условие минимизации остаточной
безусловной вероятности ложного отказа и является до-
статочным условием. Данный вывод правомочен для равно-
мерного распределения совокупности оцениваемых величии.
Исследовав вторую производную от выражения (8.20),
можно установить, что при у0 = (ув 4- уй)/2 будет
минимальной, когда производная функции плотности слева
249
от математического ожидания положительна, а справа —
отрицательна. Если контролируемые величины распреде-
лены по нормальному закону (или закону Симисона), то
для минимизации остаточной безусловной вероятности
ошибочных решений необходимо выбирать значение гра-
дуировочной величины, равное математическому ожиданию
значения контролируемых величин.
Если же контролируемые величины распределены та-
ким образом, что производная плотности слева от математи-
ческого ожидания отрицательна, а справа положительна,
то экстремальное значение у0 соответствует максимуму
Р%. Такая ситуация наблюдается, когда контролируемые
величины распределены по закону арксинуса. Следовательно,
оптимальное значение градуировочной величины, уменьшаю-
щее вероятность ошибочных решений, должно быть больше
или меньше значения математического ожидания. Принимая
во внимание необходимое условие минимизации Р„, полу-
чим два оптимальных значения градуировочной величины
Уо = Уп и у0 = Ув- Разложив выражение (8.20) в ряд
Тейлора и воспользовавшись соотношениями (8.23), полу-
чим выражение для остаточной вероятности ложного отказа
= f Ш + 0в) + 4-/' tin) (0н + 0в) +
+ 4-П0н)(0н + 0в)-	(8.24)
Как уже отмечалось, из-за отличия характеристики
преобразования от , идеальной принимаются ошибочные
решения о состоянии объекта. В зависимости от исходного
соотношения составляющих погрешности преобразования
(аддитивной и мультипликативной) и их знака изменяется
как значение вероятности ошибочных решений (до коррек-
ции), так и характер — ложный или необнаруженный
отказ. Так, при условиях а = у/ (1 + т) > 0 и y=z(y +
+ Д) (1 + у)- возможны следующие ситуации:
1.	Д > 0; 0Н1 = аун + Д; 0Bi = аув + Д.
В данном случае влияние погрешности преобразования
может быть оценено эквивалентным сдвигом влево обоих
исходных граничных значений на 0Н1 и 0В1. Следова-
тельно, Ув = ув — 0нГ, у'в — Ув ~ 0В1 и вероятность
ошибочных решений
Рош! = Р (Ув) -Р (Ув -0Н1) 4“ Р (Ув) Р (Ув 0В1)»
250
или с учетом разложения трех первых членов разложения
F (.) в ряд Тейлора:
Рош1 = Г<Уя) (0Н1 + 0В1) [1 + 4"Ф' <Ун) (°ЛВ1 - 0Н1) +
+ 4 ф' (Ун) (§Н1 + & - Мв.)],	(8.25)
где ФЮ (уя) = (yH)/f (уя) — нормированная i-я про-
изводная функции плотности распределения контролируе-
мых величин. Эквивалентное смещение нижней границы
приводит к необнаруженному отказу, а верхней — к лож-
ному отказу. При симметричном расположении границ
0в1 > 0нь следовательно, безусловная вероятность лож-
ного отказа будет больше. Это необходимо учитывать, если
«расплата» за составляющие ошибочного решения различ-
на. Исходя из того что вероятность всегда больше нуля,
необходимо, чтобы ауя + Д > О и аув + Д > 0. Эти
условия будут выполняться в случае, когда для &/уя и
а будет выполняться соотношение v =s (Д/уи)/а >• 0.
2.	Д < 0; 0н2 = ауя — Д; 0В2 = at/B — Д.
Обе границы также сдвинуты влево, но по абсолютной
величине меньше, чем в первом случае. Вероятность ошибоч-
ного решения Рош2 определится из выражения (8.25), если
в него вместо 0Hi и 0Bi подставить: соответственно 0н2
и 0в2. Эквивалентные сдвиги 0н2 и 0вг будут учитывать
влияние составляющих погрешности преобразователя для
случая v < 1.
3.	Д< 0; 0н3 = — ауи -f- Д; 0B3 = ai/B —Д.
Исходя из того что ауа < | Д | < аув, нижняя гра-
ница сместится вправо, что приводит к ложному отказу.
Верхняя граница эквивалентно сместится влево — возни-
кает также ложный отказ:
Рошз = F (уя + 0нз) — F (уя) + F (ув) — F(yB — 0^),
или
ЛшЗ = f (Уя) (0B3 + 0вз) I 1 + 4-ф' (Ун) 0НЗ + е*3 •
_1_ф’
6
0нз + 0вЗ
(Ув) (0H3 4- 0в3 — 0н30вз) .
(8.26)
251
Область существования выражения (8.26) 1 < v < Р, •
где величина р = ув/уи учитывает размер исходного допус-
кового интервала.
4.	Д<0; 0Н4 = — ауа 4- Д; 0в4 = — аув 4- Д.
Исходя из того что | Д | > аув и | Д | > аув, обе
границы исходного допускового интервала эквивалентно
сместятся вправо, чем учитывается влияние погрешности
преобразования для случая v > р. Вероятность ошибоч-
ного решения будет аналогична (8.25)
Рош4 = f (Ув) (®н4 4" ®в4) [14-2" Ф' (Ув) (®в4 — 0н4) 4"
+ 4 Ф" ^н) (6в4 + 0В4 - 0в40н4)] .
Остаточная безусловная вероятность ошибочных реше-
ний после коррекции по результатам градуировки незави-
симо от соотношения погрешностей преобразования при
а > 0 определяется выражением (8.24). Произведем оцен-
ку эффективности градуировки как отношения безуслов-
ной вероятности ошибочных решений до коррекции и пос-
ле, т. е. т|/ = Рошу/Рл (в рассматриваемом случае / =>
= 1,4). Преобразуем выражение (8.24) к виду
[1	9^ I 92
l + T®'to-^- +
+ 4 Ф" («'и)	+ °2в - w] •	(8.27)
Из рассмотрения выражений (8.25) — (8.27) можно за-
метить, что они содержат в качестве сомножителей
f	+ 0в/) и / (ун) (0Н 4- 0В)> которые являются выра-
жениями для вероятности ошибочных решений при равно-
мерном законе распределения величин до коррекции при
/-м соотношении составляющих погрешности преобразова-
ния и после коррекции соответственно. Сомножители,
стоящие в квадратных скобках, учитывают влияние произ-
водных высших порядков на эффективность коррекции
(отклонение закона от равномерного).
Пусть р,/ — эффективность коррекции при равномер-
ном законе распределения контролируемых величин. Тогда,
исходя из
И/ = 0/4- %1 и 0« + 0в=
где К = ув — Ув = ув (Р — 1),
252
получим
_ сц/н+Д + «Ув + А _
№(₽-1)
Р+1 fl , 2Д ]-
- р-i L1 + at,.,(Р + о г
или при По = (Р + 1)/(Р —
— 1) и (Д/^н)/а = v
/. . 2v Л
Hi —УЦ1 + р-|-1/-
Рис. 8.7. Эффективность градуировки
при равномерном законе
Рассуждая аналогичным образом при принятых обо-
значениях получим
Иг = !Ц1 —-ртрт/: ^=1:	= тЦр+т”!J-
На рис. 8.7 сплошной линией показана зависимость
эффективности градуировки для равномерного закона рас-
пределения при р = 2, а пунктирной линией — при р =
— 5. При положительной аддитивной погрешности и а >0
эффективность р-х максимальна. Она возрастает с увели-
чением v и падает с ростом р. При отрицательной аддитив-
ной погрешности (Д < 0) эффективность т]2 падает с ро-
стом V, достигая значения, равного единице, при v = 1 и
остается постоянной до значения v = р. Начиная с v = Р
(на рис. 8.7. р = 2, Р = 5) эффективность т)4 опять начи-
нает возрастать. Из рис. 8.7 также следует, что, начиная
G v = р, р4 изменяется с такой же скоростью, как и jij.
Следовательно, при v = 1... р и равномерном законе рас-
пределения контролируемых величин введение градуировки
не целесообразно.
Если исследуемая величина распределена по закону,
отличному от равномерного, то отношение вторых сомно-
жителей выражений (8.25) — (8.27) будет отлично от еди-
ницы. Рассмотрим два наиболее распространенных и ти-
повых случая— исследуемые величины распределены по
нормальному закону и закону арксинуса.
Ранее было установлено, что при распределении иссле-
дуемых величин по нормальному закону на вход преобра-
зовательного канала необходимо подавать градуировочную
величину, значение которой равно математическому ожи-
данию контролируемой величины.
При этом остаточная безусловная вероятность ложного
отказа принимает минимальное значение. Исходя из того
что у0 = (ув + уа)/2 и 0во — Оно —на основании
253
выражения (8.27) получим
р“о = «¥ (У.) [1 + -j-Ф' аК + Ж ф" ^н)aUa] • (8-28)
Приняв во внимание, что
fto) = (2n)-'^-'exp[-to-gW],
получим
Ф' (у) = — (У — М {у\)№\ Ф" (у) = [(у — М (у])2 — о2]/<т4,
где М [у] = (ув + ун)/2 — математическое ожидание конт-
ролируемой величины.
Для у = ув получим
Ф' (Ун) = W; ф’ (Ун) = (X2 - 4<т2)/4<А	(8.29)
После подстановки (8.29) в выражение (8.28):
Рло = alf (уи) [ 1 + -1- о#2 + -2- a2d* (d2 - 1)], (8.30)
где d = (X/2)/a — нормированное значение допускового ин-
тервала.
Рассмотрим вероятность исходных ошибочных реше-
ний при распределении исследуемой величины по нормаль-
ному закону. Будем данную процедуру проделывать по-
следовательно для каждой из четырех исходных характери-
стик преобразовательного канала (соотношения состав-
ляющих погрешности).
Для первого'вида исходной характеристики преобразо-
вания коэффициент при Ф' (ув) будет
.	0н,--0В1 --
при Ф"(ун):
бы + бы — 0н1 • 0.1 = а2Ун + 2уваД 4- А2 + а2ув 4- 2аув 4-
+ А2 — а2увун — ауиА — аувА — А2 = а2 (ув 4- Ув) —	+
4- аА (ув 4- ун) 4- А2.
Прибавим и вычтем а2УвУа и примем во внимание, что
Х2 = (Ув-уи)2:
0н, + 0в, - 0И1 • 0в, = а2х2 4- а2УвУн + аА (у8 + уя) + А2.
Рассмотрим отдельно слагаемое
а2УвУв = а2 ((Ув + Ув)2 — (Ув ~ Ун)21/4 = а2 (ув 4-
+ У.)2/4-а2Х2/4.
254
Тогда можно записать
©Hi+ем - 0н10в1=4а2%2+4-^»++
+ аД(Ув + !/н) + Д2 = 4а2Х2[3+ ^г+ъв + ^*- +
* L «л	\уй — у^)
, 4Д(Ув+Ун) 1 _	212 [о , (Р +1)2 , 4Д(Р+ 1) .
+ а(№-Ун)2]“ 4 аЛ Г+ (Р-1)2 + о%(Р-1)2 +
I 4Д2]_ 1 2«2[о । «2Г1 । 4v \ ,	4v2 ]
"* а2Х2]- 4	+	+ p_|_J+ ф—1)2 ]•
Следовательно, выражение (8.25) запишется в виде
Л>ш1 = [а (ув + ув) + 2Д] f (ув) (1 + 4 ф' (Ун) +
+ 4ф'<«“М3 + ’41 + т^т+ф^-]}-
Обозначим сомножитель, стоящий в фигурных скоб-
ках, через р1г подставим в него соотношения (8.29) и при
принятых обозначениях получим
Ро = 1 +ad2 + 4 “2d2 (d2— 1) [з + по (1 + р4т) +
।	4v2	1
+ (Р-Не-
эффективность коррекции для первого случая (Д > О,
а > 0) при нормальном законе распределения исследуе-
мых величин будет
Hi = Hi • Р1/Ро,
где р0= 1+ada + 4d2(d2~1)»
ИЛИ
П1 = 1*1 (1 + 81),
nfo , 2/, , 4v \ ,	4v2
где 8i = D [2 +	+ jqpp) +	_ 1)3-, учитывает из-
менение эффективности коррекции при нормальном законе
по отношению к равномерному.
Здесь D = 4 а2^2 (<*2 — D/[l + ad2 + 4 a2rf2 (<? ~ о] •
Вероятность ошибочных решений во втором случае
?ош2 в общем представляется также выражением (8.25).
При подстановке значений 0н2 и 0в2, а также используя
соотношения (8.29), получим
112 = 1*2(1 + 82),
где ва = D[г + по(1 — р4т) + 'ф—Л)2']’так как д < °*
255
Рис, 8.8. Изменение эффективности гра- Рис. 8.9. Поправочные множители
дуировки для нормального закона и
закона арксинуса
Для третьего случая Рош3 определяется на основании
выражения (8.26). Подставим значения 0^ и бвз. опре-
делим коэффициенты при Ф' (ув) и Ф* (ув), подставим их
в (8.26) и получим
Рз= 1 +«d2 [14-по(1 ~ р^т)] +	1) X
X [з-f- “По^!
4v \
“ Тн/
4v2	1
(Р-1)2 Г
Так как эффективность градуировки для третьего вида
исходной характеристики при равномерном законе распре-
деления исследуемых величин равна единице, то для нор-
мального закона
Т1з = 1 + ез.
где Зз = 3D 2 + поj) + ф4v] •
Для четвертого вида исходной характеристики преобра-
зования, пользуясь выражением (8.25) и всеми вышепри-
веденными обозначениями, получим
!к=1Ч(1 +««)»
где е4 = в[2 + по(1—р^т)+ (р-^]»
На рис. 8.8 приведена зависимость изменения эффек-
тивности градуировки для нормального закона распределе-
ния исследуемых величин. Для первого случая, когда
аддитивная погрешность положительна, эта зависимость
представлена пунктирной линией, а4 значение ординаты
умножается на 10. Характер дополнительного изменения
эффективности для нормального закона аналогичен ра-
нее рассмотренному для равномерного распределения. На
рис. 8.9 сплошной линией показана зависимость коэффици-
ента D от нормированного допускового интервала d при
фиксированных значениях а.
256
Когда исследуемые величины"распределяются по закону
арксинуса, то, выбрав оптимальное значение градуировоч-
ной величины у = ув и принимая во внимание, что при
этом 0но = 0, 0во = а%, из выражения (8.24) получим
Р5о = f (Ув) аХ [ 1 + Ф' (ун) аЛ + 4 ф' “^J • <8-31>
Для данного закона функция плотности распределения
f (У) - [яУа^-(у-М[у]ГГ1
дает следующие соотношения:	\
Ф' (У) = (У — М [у\)/[а2 — (у — М [ у])2;
Ф* (У) = [а2 + 2 {у - М Ы)2]/[а2 - (у - М [у])2]2.
При подстановке в последние соотношения у = ув,
получим
Ф' (Ув) - - 2А (Z2 - 1); Ф" (ув) - 4 (Z2 + 1)А2 (Z2 - I)2,
(8.32)
где I — а/(М2) всегда большэ единицы.
Подставим соотношения (8.32) в выражение (8.31),
получим
% = f (ув)«1 [1 -	+ -|-a2. (8.33)
Значение вероятностей ошибочных решений Рош/ оста-
ется без изменения. Поэтому эффективность при распре-
делении арксинуса может быть определена на основании
тех же вычислений, что и для нормального закона, а именно:
— L 82 = Z# ₽ — 37			4v 0+U 4v P + U 4v	1 1	4v2		— 1 — 	J	при при nnu	v V < 1 <	>0; Cl;	(8.34)
	[no| Г 2 I	1 r rl — 1 			1 +	(p-1)2 4va					
					(P -1)2 4v2					
	1	1 		P+1)		(P-1)2		при			
							< |	V | <	CP;	
84 = L |	Гпо|	[1 —	4v 5 P+l>	1 +	4va (P-1)2	— i]	при		>₽,	
где зависимость L = [4_a2 ~(/£с 1)т]п-------^-j" +
. 2 2 Р + 2	-о п	.
+ — a2	__	, представлена на рис. 8.9 пунктирной ли-
нией.
17 6—1861
257
Из рассмотрения выражений (8.34), с аналогичными
для нормального закона, можно заключить, что зависи-
мость е/L от v будет иметь тот же вид, что и зависимость
&i/D от V, но ось абсцисс должна быть при этом сдвинута
по ординате на три деления для е2...е4.
Рассмотрим, насколько «критично» значение остаточ-
ной безусловной вероятности ложного отказа к точности за-
дания градуировочной величины, что позволит выдвинуть
требования к формирователю градуировочной величины.
При наличии погрешности формирования считают, что
на вход преобразовательного канала подается у0, хотя в
действительности с формирователя поступает у0 = у0 4- 6.
Не нарушая общности рассуждений, будем считать для
определенности б > 0. По результату преобразования этой
величины у0 = (у0 4- б 4- А) (1 4- у) формируется по-
правка с = уоу + (б -j- А) (1 4- у), которой корректируют-
ся исходные граничные значения допускового интервала.
При оценке совокупности величин из-за неточного задания
градуировочной величины увеличивается вероятность оши-
бочных решений, которая будет пропорциональная допол-
нительным эквивалентным остаточным смещениям исход-
ных границ, т. е.
6нв = а (у0 — уя) 4- б = 0н 4- б; 0вв = а (ув — у0) — б =
= 0в-б.
Вероятность ложного отказа при 0Н > б и 0В > б
Я$в = F (ув 4- 0нв) — F (ун) 4-
4-^:'(г/в)—^(ув—0вс)«/7(г/н4-9н)+
+ f (Ун + 0н) 6 4- 4 f (Уп + %) 62 4- 4 f (Уп + 0н)68 -
- F (ув) 4- F (ув) - F (ув - 0В) - f (ув - 0 J б -
-4Г(^в-0в)б2--------^-Г(^-0в)б’.
Прй отсутствии погрешности формирования градуиро-
вочной величины в соответствии с выражением (8.20)
% = 7* 4- б [f (ув 4- 0Н) - f (ув - 0В)] 4- 4" If' (Уп + 0н) -
-Г (Ув-0В)] + -у 1Г(Уп + 0н)~Г (Ув-0в)].
Таким образом, Р%6 =	(1 4- se). Если пренебречь
членами выше третьего порядка малости, то
з .
86 = S тг [/<Z-I) (Уп + 0в)	(Ув - 0»)1/^ (8.35)
1=<
258
учитывает изменение (уменьшение) эффективности граду-
ировки из-за погрешности формирования градуировочной
величины.
При распределении исследуемой величины по равно-
мерному закону выражение (8.34) принимает вид
ев = 6 [f (ув + 0Н) - f (ув - 0в)]/7*
Для данного закона при выполнении 0Н > 6 и 0В > б
с учетом того, что плотность остается постоянной во всем
диапазоне изменения величины, получим Рло = Рл-
Следовательно, при принятых ограничениях вероятность
ложного отказа при равномерном распределении остается
постоянной, т. е. не зависит от погрешности формирования
градуировочной величины.
При нормальном распределении исследуемой величины
и оптимальном выборе градуировочной величины
/*о = f (УЯ) оЛ 4- -1- f (ув)	+ 4- f (ув) а’Х».
При симметричном по отношению к математическому
ожиданию расположении границ допускового интервала
будут справедливы следующие соотношения (0но = 0во =
= аМ2):
/<0(^ + 4-) = /<0(^-4-)пРи /==0’ 2---:
=	ПРИ	‘=1.3,.,.
Тогда выражение (8.34) преобразуется	к	виду
6а	[г (г/н) + -^Г(г/н)]
е°=	аФ аФ	’
(г/н) + -7- Г (г/н) + -хт- Г (г/н)
4	24
ИЛИ
8в = б’[ф' (ув) + -^Ф” (г/и)]/аф + 4-Ф'а/я) +
+4т-фМ-
Подставим (8.29) в последнее выражение
и = 4---------4 +	.	(8.36)
I + —«Я + —
2	О
Здесь т = 6/(aX/2)	1, исходя из условия минимизации
вероятности ошибочных решений. Значение второго сомно-
17*
259
8в = Ш
жителя выражения (8.36) даже при d = 2,0 и а = 0,3 не
превышает 0,5.
Если исследуемые величины распределить по закону
арксинуса, то в предположении, что погрешность формиро-
вания 6 > 0, необходимо выбирать у0 = уа, чтобы не
нарушить необходимое условие минимизации вероятности
ошибочных решений. Тогда
0нб = б; Овв = а(ув — ув) — 6 = ой — 6 = 0В — б
и на основании выражений (8.33) и (8.35) получим
б2(|—2^)	Ф'(^я)4--^Ф'(Ув)
“=• °*  , (8-37)
!4--х-Ф (Ун)4-—т—Ф 0/н)
2	о
Подставим сюда из (8.32) значения Ф‘ (ув) и Ф’ (ya)i
а ( , , Р + 2 \
1т \ /а i I 1 "г а is 1 /
-----/_ И	I—i_L	!—LZ_(8.38)
р — 1 \ 1	3 “ Р— 1/
В данном случае т < 2. При tn = 1 в6 принимает
максимальное значение. Второй сомножитель в выражении
(8.38) при Z = 0,8 и а = 0,2 не превышает 0,5.
Таким образом, как следует из проведенного анализа,
погрешность формирования градуировочной величины при
аддитивной коррекции граничных значений снижает эф-
фективность градуировки пропорционально квадрату
отношения этой погрешности к остаточному эквивалент-
ному сдвигу исходных границ допускового интервала.
Если погрешность формирования может принимать как
положительные, так и отрицательные значения, то, осо-
бенно при распределении параметра по закону арксинуса,
может не выполняться необходимое условие минимизации
остаточной вероятности ошибочных решений. Так, при
выборе уй = у„ и б < 0 вероятность ошибочного решения
Р$шв<о = F (ya) — F{yB — б) — F (у в — 0вО — б) — F (ув),
и эффективность будет уменьшаться пропорционально по-,
грешности формирования, т. е.
1 а, Р + 2
6 (Р — I)2
!____«	। 2	'а4-2 '
Р — 1	3 (Р - I)2
-т-СС'
.(2 + 3/n + m2) ,
8fi<0 == m 1 +
или окончательно
eo<o = m (1 -j- L (2 4- 3m 4- m2)].
260
Поэтому для рассматриваемого случая, когда возмож-
на и отрицательная погрешность формирования, необходи-
мо выбирать значение градуировочной величины, отличаю-
щееся от оптимального на модуль погрешности б. Изменение
вероятности ошибочного решения за счет отклонения гра-
дуировочной величины от оптимального значения может
быть определено из выражения (8.37) подстановкой ат
вместо б •, где т — отклонение от оптимального значения,
т. е. у0 = у0 + т.
Как следует из проведенного анализа, а также зависи-
мостей, представленных на рис. 8.8, 8.9, градуировка с
введением поправочного слагаемого (аддитивная коррек-
ция исходных граничных значений) эффективна при отно-
сительно малых значениях а = у/(1 + у) и малой длине
допускового интервала А.
Если мультипликативная погрешность преобразования
велика, то по результатам градуировки у0 = (уа 4-Д) х
X (1 + ?) вводится поправочный множитель с = yjyo,
на который умножаются граничные значения допускового
интервала
Уп = Уп (Уо + д) (1 + У)/Уо, £ = Ув (Уо + д) (1 + У)/Уо-
Преобразованные значения исследуемых величин оце-
ниваются в новых границах у“ •< (у 4- Д) (1 + у) < Ув-
Так как влияние погрешности преобразования не полностью
исключено, то остаточное (после коррекции) ее влияние
учитывается остаточным эквивалентным смещением гра-
ниц исходного допускового интервала (как и при аддитив-
ной коррекции):
Уп + ~£~ (Уп — Уо)<У<Ув+	—
Уо	Уо
Как и при аддитивной коррекции, можно выбирать
Уо > У» Уо < Уп или Уп < Уо < Ув- Сопоставив остаточ-
ные безусловные вероятности ошибочных решений для
данных трех случаев, придем к тому же выводу, что необ-
ходимым условием минимизации вероятности ошибочных
решений является выбор значения градуировочной величи-
ны внутри допускового интервала. При этом, если аддитив-
ная погрешность положительна (Д > 0), то эквивалент-
ное смещение нижней границы, учитывающее остаточное
влияние погрешности преобразования, произойдет влево,
а верхней границы — вправо, и будет существовать толь-
ко одна составляющая ошибочного решения — необнару-
женный отказ. При отрицательной аддитивной погрешности
(Д < 0) будет реализован только ложный отказ.
261
В дальнейшем будем исходить из того, что аддитивная
погрешность преобразования положительна. Тогда оста-
точная безусловная вероятность необнаруженного отказа
(после мультипликативной коррекции границ)
= F (ув) -F(yB- 0Н) + F (ув + 0В) - F (yj, (8.39)
где 0Н= 4-G/o — Ун). 9в = v-G/в — Уо)-
Уо	Уо
Определим оптимальное значение тестовой величины,
являющееся необходимым для минимизации остаточной
вероятности необнаруженного отказа. Для этого возьмем
частную производную
Нг[/ {у* ~0н) у* ~f +0в)
и приравняем ее нулю. Тогда
f (Ун) Ун — Г (Ун) 0н • Ун— f (Ув) Ун — К (Ув) 0в{/в = о,
или с учетом (8.23)
/ (Ун) (Ун Ув) 4* f (Ун) (®вУв 0нУн) = 0-
Подставим в последнее уравнение значения 0В и 0Н
и решим его относительно у0. Получим
-	______Af (ун) (ув + ув)___
^°~ Л/' (Ун) (Ув + Ун) + f (Ун) (Ув — Ун)
Определим, какое максимальное или минимальное зна-
чение принимает Рв при у0. Для этого возьмем вторую
производную по у0:
dyg “ f {У»	0я) у< 2КУа 9н) yg +
+ f' (Ув + 0в)	+ 2/ (Ув + 9в)	= - Л Г (Ун) (yl +
Уо	У о	Уо
+ г/н) - 4- (f (Ун) (Ун - Ув) + Г (Ун) ФвУв - 0иг/н)].
Уо
Приняв во внимание, что второе слагаемое равно нулю,
получим

(8.40)

Уо
262
Рис.8.10. Изменение остаточных эквивалент-
ных смещений границ при мультипликативной
коррекции
Подставим в последнее выражение оптимальное значе-
ние и исследуем знак второй производной
(	- ч _ [Г (Ун) А (Ув + Ун) + f (Ун) (Ув - Ун)]4
{Уо Уо)	а2[Г(ун)13(у1 + у^)3
Если исследуемые величины распределены по нормаль-
ному закону, то f (уи) > Ои д*Ря/ду1 < 0, т. е. уа соот-
ветствует максимальной остаточной вероятности необнару-
женного отказа. Для закона арксинуса f' (ун) < 0 и у0
соответствует минимуму Ря. На рис. 8.10 показано изме-
нение остаточных эквивалентных смещений границ допус-
ковой области при изменении от уа до ув. Следовательно,
в отличие от аддитивной коррекции при нормальном законе
существует только одно оптимальное значение градуировоч-
ной величины у0 = ув. Из этой же зависимости следует,
что при равномерном распределении Р$ также «критично»
к выбору у0.
Как уже отмечалось, если исследуемые величины рас-
пределены по закону арксинуса при у0, определяемом вы-
ражением (8.40), Рд принимает максимальное значение.
Проведем дополнительное исследование выражения (8.40).
Если допусковый интервал мал, то граничные значения
располагаются вблизи математического ожидания контро-
лируемой величины, /'(«/„)->0 и
. л .
ду0 & f (У* У^
будет равно нулю при ув -> ув (исходное условие)' или
при ДЛ/о = 0.
Если исходить из необходимого условия обеспечения
минимума Рн, предельное значение у0 = ув. Если же
допусковый интервал большой, то Af' (ya) > f (уя) и
согласно (8.40) будет стремиться к (ув + у§!(ув + z/H) =
= М. [у] 4- (М2) (Р — 1)/(Р + 1). Таким образом,. и в дан-
ном случае минимум Рн будет обеспечиваться при уй =
e yv
263
Можно сделать вывод, что при мультипликативной-кор-
рекции границ по результатам градуировки значение гра-
дуировочной величины независимо от закона распределе-
ния исследуемых величин должно равняться верхнему гра-
ничному значению допускового интервала, т. е. у0 = ув.
На основании изложенного и исходя из (8.39) мини-
мальное значение остаточной безусловной вероятности
необнаруженного отказа
Ряо = F (уа) — F(yB — 0Ho),
где 0но=-^-(Ув —^и)=-
Ув	Ув
Разложим F (ув — 0но) в ряд Тейлора и окончательно
получим
% = F (ув) - F (ув) + f (Ув) - 0но - 4" Г (Ун) 0но +
+ 4-/"^н)0нО,
или
р*=f (ув)	к [1 - 4-ф/	-гк + 4-ф” Л- И •
*В [	*	Ув	°	yR J
Рассмотрим эффективность мультипликативной коррек-
ции при различных соотношениях составляющих погреш-
ности исходной характеристики преобразования. При этом
будем исходить из того, что аддитивная составляющая по?
грешности больше нуля (Д > 0)	,
1.	У>0; а — у/(1 + у); 0Hi — а^я + Д; 0Bi == а#в + Д.
Вероятность исходного ошибочного решения опреде-
ляется выражением (8.25).
Для равномерного закона распределения контролируе-
мых величин
-Z
.. _	°Н1 + 0В1 _ («£<„ + Д + аув + Д) ув
------“--------------
Приняв во внимание, что ув — г/н0 и % = ув (0 — 1)',
получим
Р Л . 2v
+ к+ТГ
2.	у<0; аг »	; 0н2 = —	+ Д;
0В,«1УВ4- Д.
264
Влияние аддитивной погрешности больше, поэтому обе
границы эквивалентно сдвинуты влево, но меньше чем
в первом случае. Вероятность ошибочных решений также
определяется выражением (8.25)
I, _ (—	— «1«/в + 2Д)г/в	Р / 2vf
-----------------ДХ	110 Vi VF+T V’
где vt = (A/y^/cq, которое при равных по модулю зна-
чениях мультипликативной погрешности больше v =
= (Д/уя)/а.
Область существования для данного случая 0а, >• О
и 0в2 > 0, откуда следует, что vx > 0.
3.	у<0; |аун|<Д; |аув|>Д.
Тогда Рошз = F(y^ — F (ув — 0н3) + F (ув + 0вз) — F (ув),
где 0нз = —«1УН + Д; 9в3 = а1ув —Д.
Используя разложение в ряд Тейлора, получим
РошЗ — f (Ун) (®нЗ “Ь 0вз) 1	~2
+ V ф" <?-)	+ & “ бвз0нз)]. (8.42)
Эквивалентный сдвиг нижней и верхней границ приво-
дит к безусловному необнаруженному отказу — выраже-
ние (8.42) отличается от (8.26) знаком перед Ф' (ун):
Из = aif/H (0—1) Р&ЛР — 1) М “ P/Vp
Условие существования выражения (8.42) определится
из соотношений 0нз>О, 0вз > 0, т. е. 1 < vx < р.
4.	у<0; |аун|>Д; |аув|>Д,
т. е. обе границы эквивалентно сдвинуты вправо.
Вероятность ошибочного решения определится из вы-
ражения (8.25) при 0Н4 = <Х1УВ — Д и 0В4 = ахув — Л«
Эффективность коррекции при равномерном законе
„ _	[«1 (Ун + Ув) — 2Д] Р	Р /. 2vi )
I*4----------ДХ	~Р-М”/’
где vx < 1.
Если сопоставить выражения для р/ при мультипли-
кативной и аддитивной коррекции граничных значений,
можно заметить, что они отличаются сомножителем 0/vv
18 e-ieej
265
При рассмотрении представленной на рис. 8.8 зависимости
аддитивной коррекции от изменения p/vx в этих же коор-
динатах можно сделать следующие выводы:
при vx < 1 щ для мультипликативной коррекции значи-
тельно больше Pi для аддитивной; при увеличении vx
от 0 до 1 уменьшение происходит по гиперболическому
закону и при Vj = 1 щ = 0;
в диапазоне 1 < vx < 0 р2 не остается постоянным,
как при аддитивной коррекции, а уменьшается пропорцио-
нальнее vx и при Vj = 0 рх = 1;
при vx > 0 увеличение р4 происходит значительно мед-
леннее, чем при аддитивной коррекции.
На основании изложенного можно заключить, что муль-
типликативная коррекция граничных значений целесооб-
разна при vx < 0, а также при больших значениях допус-
кового интервала.
О изменении эффективности градуировки при отличии
закона распределения исследуемых величин от равномер-
ного можно судить по отношению сомножителей в квад-
ратных скобках выражений для РОш/ и выражения (8.41)
при подстановке параметров соответствующих законов
распределения (нормального или арксинуса).
Определим, как зависит остаточная вероятность ошибоч-
ных решений от погрешностей формирования градуировоч-
ной величины, Ограничимся случаем, когда исследуемая
величина распределена по равномерному закону, т. е.
/(О (у) = 0 (i =/» 0). Решающее правило при у0 = ув и
отрицательной погрешности формирования будет
у„(»,-« + Л)(. + т).<+ Д)(1 + т) <
<!/в(Ув-б + А (1 +?)
Ув	9
или
Ун — -7- * —6 V" < У < Уз — б.
Ув	Ув
Введем обозначение ^1ув = 0Но. Тогда остаточная
вероятность необнаруженного отказа
“ F (ув) - F L/„ - 0но) - 6 -£2-1 + F (ув) -F(yB- S).
L	Ув J
Для равновероятного распределения исследуемой вели-
чины на основании разложения в ряд Тейлора получим
Рнб<о - F (ун) — F (ув — 0но) + f (уа — 0ао) б -у- + F (ув) —
Ув
— F(yJ + f(yB)8.
266
С учетом (8.41) при принятых ограничениях ув послед-
нее выражение преобразуется к виду
%<о = ^о + /(ун-Оно)б-^- + /(ув)6,	.
УВ
ИЛИ
= Р*> + f (ун) 6 (-&- + 1) = Р“0 (1 4- 8в<0),
где 8в<о = я<Л; h = S/Д — отношение погрешности фор-
мирования к аддитивной погрешности преобразования.
Таким образом, в отличие от аддитивной при мульти-
пликативной коррекции даже для равномерного закона
распределения погрешности формирования сказываются на
эффективности градуировки. Уменьшение эффективности
прямо пропорционально г|0, а следовательно, допусковому
интервалу, а также значению h. Если же погрешность
формирования может принимать и положительные значе-
ния, то при выборе у0 = ув верхняя граница эквивалентно
сместится вправо.
Вероятность ошибочных решений при этом
Рк>о = Р (Ув) - F Г[(у„ - 0нО) + 6 -&-] + F (ув + 6) - F (yj.
L	Ув J
Для равномерного распределения
^6>0 = % ~ f (уа) 6	+ f (yj 6 = /*о + 6-^ .
Ув	Ув
Тогда 8а>о = h. При большом значении допускового
интервала 1 и ев>0 « 8в<0. Это необходимо учиты-
вать при законе распределения, отличном от равномерного.
Так, для закона арксинуса для минимизации остаточной
вероятности ошибочных решений желательно, чтобы 6 < О,
а для нормального закона — 6 > 0. Если же погрешность
формирования может принимать положительные и отрица-
тельные значения, то необходимо значение у0 выбирать о
отклонением от оптимального значения.
8.3. Калибровка преобразовательного канала
В отличие от градуировки при калибровке выделяется
величина, пропорциональная погрешности преобразова-
тельного канала, которая в дальнейшем используется для
видоизменения характеристики преобразования с целью
приближения ее к номинальной. При сопоставлении оце-
ниваемой величины (параметра) с граничными значениями
допускового интервала достаточно приблизить реальную
характеристику к номинальной в окрестностях точек уи и
18*
267
Рис. 8.11. Характеристики калиб-
ровки преобразовательного канала
ув. Степень этого приближе-
ния определяется параметра-
ми закона распределения ис-
следуемой величины и требо-
ваниями к достоверности ре-
зультата оценивания.
Калибровочные величины
уа и ув поочередно подаются
на вход преобразовательного
канала. При подаче ув изменя-
ется угол наклона исходной
характеристики преобразова-
ния, при подаче уя происходит аддитивное перемещение
этой характеристики. Цикл калибровки включает обе опе-
рации.
Рассмотрим случай, при котором цикл начинается с
подачи верхнего граничного значения ув на вход преобра-
зовательного канала, исходная характеристика которого
У = (у + Д) (1 + у). По результату преобразования этой
величины вырабатывается масштабирующее воздействие,
при котором должно выполняться равенство
Л - (Л+ Д) (!+?!)-&,	(8.43)
т. е. происходить изменение угла наклона (коэффициента
преобразования) исходной характеристики, представлен-
ной на рис. 8.11 прямой 1, чтобы она проходила через
точку, соответствующую верхнему граничному значению
на номинальной характеристике преобразования (прямая
2). Полученная в результате первого этапа калибровки
характеристика преобразования в соответствии с выра-
жением (8.43) представлена на рис. 8.11, прямой 3. Зна-
чение из выражения (8.43):
или = <8*44>
т. е. зависит от соотношения исходной аддитивной погреш-
ности и верхнего граничного значения допускового интер-
вала. Таким образом, если исходить из характеристики
преобразования уи = (у + Д) ^.д, то решающее пра-
вило при оценке исследуемой величины примет вид:
!Г.<(У + Д)^д-<^
ИЛИ Ув + Ьа\\<У<Уъ,
где 0нп = — Д (Р — 1 )/₽; 6ви = 0.
(8.45)
268
Наличие остаточного эквивалентного смещения 0нц
приводит к ошибочному решению при оценке величин,
значение которых лежит внутри интервала уи ... | уа 4-
+ Он |-
На втором этапе цикла на преобразовательный канал
подается калибровочная величина ув и производится адди-
тивное перемещение характеристики преобразования так,
чтобы она проходила через точку уа на номинальной ха-
рактеристике. Скорректированной на втором этапе харак-
теристике у12 будет соответствовать прямая 4. Аддитивное
смещение производится по выходной величине. Таким
образом, на основании соотношения ун = (ун + Дх) (1 4-
+ Т1) = Ув можно определить остаточную аддитивную
погрешность Дх скорректированной характеристики пре-
образования:
А1 = TTyi----Уи’ ИЛИ Л1 = Л/^‘	(8,46)
Характеристика преобразования после второго этапа
будет у12 = (у 4- Д/₽)ув/(ув + А)- Остаточные эквивалент-
ные смещения границ допускового интервала, позволяю-
щие оценить вероятность ошибочных решений:
0н12 = О; 0в12 = Д .	(8.47)
На основании выражений (8.45) и (8.47) ,можно заклю--
чить, что внутри цикла смещения нижняя 0нц и верхняя
0В12 равны по абсолютной величине, зависят от значения
исходной аддитивной погрешности Див меньшей степени
от длины допускового интервала. Для рассматриваемого
случая влияние остаточной аддитивной и мультипли-
кативной Ух погрешностей приводит к ошибочному реше-
нию при оценке исследуемой величины — необнаружен-
ному отказу:
A52=F(yB4-A-Lf1)-/7Q/B).
При симметричном расположении граничных значе-
ний по отношению к математическому ожиданию =
- %2.
Если значение вероятности ошибочного решения боль-
ше допустимого, то необходимо произвести следующий
(второй) цикл коррекции, который также включает два
этапа, как и предыдущий.
«69
На первом этапе будет выполняться соотношение
Уъ = («/в + Ai) (1 + Тг) = У»
откуда получим у2 = — Aj/(yB + kJ, или после подста-
новки из выражения (8.46) значения А, у2 = — A/(z/BP +Д).
Решающее правило дает эквивалентные остаточные
смещения:
0.Й1 = — Al (Р — 1 )/р, или 0Н2, = — А (р — 1 )/р2; 0в21 = 0.
(8.48)
На втором этапе данного цикла выполняется соотноше-
ние ув = (уа + А2) (1 + у2), откуда А2 = ун/(1 + у2) — уа.
После подстановки значения у2 А2 = А/р2.
Из решающего правила получаем эквивалентные оста-
точные смещения границ допускового интервала:
0н22 = 0; 0в22 = А -^1.	(8.50)
Таким образом, рассмотрев выражения (8.50), можно
в обобщенном виде записать эквивалентные остаточные сме-
щения:
0^ = А-^(2-0; OBnZ = A-^l(Z-l), (8.51)
а также остаточную вероятность необнаруженного отказа
 = F(yB)~ ДА^(2-/)1 +
L	Р	J
L	Р	J
где п — номер цикла калибровки; i = 1, 2 — номер
этапа цикла.
На основании полученных выражений можно сделать
следующий вывод. Внутри цикла остаточные эквивалент-
ные смещения границ в основном зависят от исходной адди-
тивной погрешности преобразовательного канала, мульти-
пликативная погрешность не влияет на вероятность оши-
бочного решения при калибровке. Целесообразность вы-
бора конечного такта внутри цикла определяется видом
закона распределения контролируемых величин и сим-
метричностью расположения границ по отношению к мате-
матическому ожиданию. Мультипликативная погрешность
преобразовательного канала не влияет на остаточные сме-
щения 0НП/ и 0впь Изменение же знака аддитивной по-
грешности преобразования, т. е. у — (у — А) (1 + у), при-
водит только к изменению знака остаточных смещений.
27Q
Поэтому в данном случае вместо необнаруженного отказа
будет возникать ложный отказ, вероятность которого
^ = Грв-Д^(2-0]-^я) +
+ P(yJ-a-6— d -1)1 •
L	Р	J
Как следует из выражения (8.51) эквивалентные оста-
точные смещения в основном определяются исходной адди-
тивной погрешностью преобразования. Поэтому при пре-
обладающей аддитивной погрешности целесообразно в цикле
первым производить этап аддитивного смещения харак-
теристики преобразования, чтобы выполнялось соотно-
шение
Ув = (Ув + Ai)(! + У) = Ув,
откуда Дх = —аув, где а = у/(1 + у)- При этом на'
основании решающего правила ув < у < yj(\ у) —
— Дх остаточные эквивалентные смещения границ
Они = 0; 0вц = — ау„ (0 — 1).
Смещение верхней границы влево приводит на первом
этапе к ложному отказу, вероятность которого
PSn = F (yj — F [ув — аув (0—1)}
определяется не только мультипликативной погрешнос-
тью преобразования и нижним граничным значением, но
и длиной допускового интервала. Таким образом, чем боль-
ше % = ув — ув = ув (fi — 1), тем сильнее на вероят-
ность ошибочных решений влияет мультипликативная по-
грешность преобразования.
На втором этапе производится изменение угла наклона
характеристики преобразования с тем, чтобы выполня-
лось соотношение ув = (ув + Дх) (1 + ух) = ув. На осно-
вании данного соотношения определим новое значение
мультипликативной погрешности yi = yJ(yB + Дх) — 1,
или после подстановки Дх ух = а/(0 — а).
Проанализировав решающее правило, определим оста-
точные эквивалентные смещения исходных границ допус-
кового интервала:
ОН12 = КУН(0— 1)/0; 0в12 = 0.
Смещение нижней границы допускового интервала впра-
во приводит также к ложному отказу, вероятность которого
?л12 = F }i/a + аув (0 - 1)/0] - F (ув)
271
при симметричных границах будет в ₽ раз меньше, чем на
первом этапе цикла.
Произведя аналогичные исследования и для второго
цикла, можно установить закономерность в изменении
аддитивной и мультипликативной погрешностей, а также
вероятности ошибочных решений, которая связана с ними.
Обобщенные выражения для остаточных эквивалентных
смещений при калибровке, если на первом этапе осуществ-
ляется аддитивное перемещение характеристики преобра-
зования, можно представить в следующем виде:
ёнп^а^^-a-l); 9вП/ = аув-й-(2-0. (8.52)
р	р
Связанная с ними вероятность ложного отказа запи-
шется так:
= F [ув + аун	(i - 1)] - F (yj + F (ув) -
— F Ув — аув^г (2— г)] •
Следовательно, если в цикле первый этап — аддитивное
перемещение характеристики преобразования, остаточное
эквивалентное смещение границ внутри цикла не одина-
ково — на втором этапе оно в 0 раз меньше, чем на пер-
вом. Поэтому при симметричном расположении границ на
первом этапе цикла будет большей вероятность ложного
отказа. Это необходимо учитывать при выборе алгоритма
калибровки преобразовательного канала.
Как следует из выражения (8.52), исходная аддитивная
погрешность преобразования не влияет на результат конт-
роля, т. е. на Онп/, бвпь которые определяются мульти-
пликативной погрешностью. Если мультипликативная по-
грешность отрицательна, то ах = у/(1 — у), остаточные
смещения нижней границы влево, а верхней вправо будут
эквивалентны, что приводит к возникновению необнаружен-
ного отказа, вероятность которого
= F(y„) — F |ун-аув - 1)1 +
L	Р	J
+	+	(2— 01— F(у^.
L	Р	J
Для определения эффективности калибровки и измене-
ния ее внутри цикла и в зависимости от числа циклов, каи
и при градуировке, будем рассматривать отношение Роют
272
к исходной вероятности ошибочных решений ?ош/ (] « 1, 4).
Выражение для эффективности при одном цикле калибровки
при равномерном законе распределения совпадает с со-
ответствующим выражением при градуировке: на первом эта-
пе с изменением угла наклона характеристики (мультипли-
кативном) — с введением сомножителя, а на втором этапе
с перемещением характеристики (аддитивном) — с введе-
нием поправочного слагаемого. Однако следует отметить,
что при градуировке исходная характеристика преобразо-
вания остается без изменения, при калибровке она после
каждого этапа приближается к номинальной. Так как оцен-
ка параметра включает, кроме операции преобразования
(восприятия) операцию сопоставления с граничными зна-
чениями, то погрешность выполнения этой операции влия-
ет на результат оценивания. Если мультипликативная по-
грешность преобразования отрицательна, аддитивная мала
и производится градуировка с мультипликативной кор-
рекцией границ, то вероятность остаточного ошибочного
решения из-за влияния погрешностей преобразовательного
канала стремится к нулю. Однако при этом диапазон изме-
нения преобразованных величин уменьшается, преобразо-
ванные величины группируются возле математического
ожидания и вероятность ошибочных решений возрастает.
Из приведенного анализа эффективности калибровки мож-
но заключить, что если границы расположены симметрично
по отношению к математическому ожиданию оцениваемых
величин, то при калибровке на первом мультипликатив-
ном этапе нет необходимости осуществлять второй этап,
поскольку вероятность ошибочного решения на втором
этапе не изменяется. Если мультипликативная погрешность
отрицательна, то калибровка предпочтительнее, чем гра-
дуировка, даже в случае двух градуировочных величин.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица П.1, ос-5 %-ные пределы для отношения G наибольшей эмпирической дисперсии к сумме 2V эмпирических
дисперсий, полученных из независимых выборок с одинаковым числом степеней свободы
tl	ft = l	2	3	4	5	6	7	я	9	10	16	36	114
2	0,9985	0,9750	0,9392	0,9057	0,8584	0,8534	0,8332	0,8159	0,8010	0,7880	0,7341	0,6602	0,5813
3	9669	8709	7977	7457	7071	6771	6530	6333	6167	6025	5466	4748	4031
4	9065	7679	6841	6287	5895	5598	5365	5175	5017	4884	4366	3720	3093
5	0,8412	0,6838	0,5981	0,5440	0,5063	0,4783	0,4564	0,4387	0,4241	0,4118	0,3645	0,3066	0,2513
6	7808	6161	6321	4803	4447	4148	3980	3817	3682	3568	3135	2612	2119
7	7271	5612	4800	4307	3907	3726	3555	3384	3254	3254	2756	2273	1833
8	0,6798	0,5157	0,4377	0,3910	0,3595	0,3362	0,3165	0,3043	0,2926	0,2829	0,2462	0,2020	0,1516
' 9	6385	4775	4027	3584	3286	3067	2901	2768	2659	2568	2226	1820	1446
10	6020	4450	3733	3311	3029	2823	2666	2541	2439	2353	2332	1655	1308
12	0,6410	0,3924	0,3264	0,2880	0,2624	0,2439	0,2299	0,2187	0,2087	0,2020	0,1737	0,1403	0,1100
15	4709	3346	2758	2419	2195	2034	1911	1315	1736	1671	1429	1144	0889
20	3894	2705	2205	1921	1835	1602	1601	1422	1357	1303	1108	0879	0675
24	0,3434	0,2354	0,1907	0,1656	0,1493	0,1374	0,1286	0,1216	0,1160	0,1113	0,0942	0,0742	0,567
30	2929	1980	1593	1377	1237	1137	1061	1002	0958	0921	0771	0604	0457
40	2370	1576	1259	1032	0968	0887	0,827	0780	0745	0713	0595	0462	0347
70	0,1737	0,1131	0,0395	0,0766	0,0623	0,0583	0,0582	0,0520	0,0487	0,0411	0,0316	0,0234	0,0167
120	0998	0632	0495	0419	0371	0337	0312	0292	0279	0266	0218	0165	0120

Таблица П.2, а %-ные пределы для величины ta(f) в зависимости от f степеней свободы и от а/100 %-ной
вероятности для распределения Стьюдента
f		а = 20	10	5	2	1	1	0,5	|	|	0,2	0,1
1	2	3	4	5 1	1 6	7	8	9
1	3,077	6,313	12,706	31,820	63,656	127,656	318,308	636,619
2	1,885	2,920	4,302	6,964	9,924	14,089	22,327	31,599
3	6377	3534	3,182	4,540	5,840	7,458	10,214	12,924
4	5332	1318	2776	3,746	4,604	5,597	7,173	8,610
5	4759	0150	5706	3649	0321	4,773	5,893	6,863
6	1,439	1,943	2,446	3,142	3,707	4,316	5,207	5,958
7	4149	8946	3646	2,990	4995	0293	4,785	4079
8	3968	8595	3060	8965	3554	3,832	5008	0413
9	3830	8331	2622	8214	2498	6897	2968	4,780
10	3720	8125	2281	7638	1693	5814	1437	5869
11	1,363	1,795	2,201	2,718	3,105	3,496	4,024	4,437
12	3562	7823	1788	6810	0545	4284	3,929	3178
13	3502	7709	1604	6503	0123	3725	8520	2208
14	3450	7613	1448	6245	2,976	3257	7874	1405
15	' 3406	7530	1314	6,026	9467	2860	7328	0728
16	1,336	1,745	2,119	2,583	2,920	3,252	3,686	4,015
17	3334	7396	1098	5668	8982	2224	6458	3,965
18	3304	7341	1009	5514	8784	1966	6105	9216
19	3277	7291	0930	5395	8609	1737	5794	8334
20	323	7247	0860	5280	8453	1534	5518	8495
21	1,323	1,720	2,079	2,517	2,831	3,135	3,527	3,819
22	3212	7117	0739	5083	8188	1188	5050	7921
23	3195	7139	0687	4999	8073	1040	4850	7676
24	1378	7109	0639	4922	7926	0905	4668	7454
25	3164	7081	0595	4851	7874	0782	4502	7251
26	1,315	1,705	2,055	2,478	2,778	3,066	3,435	3,706
Таблица П.З. а-5 %-ные верхние пределы для величины 1
	/ад	2	3	4	5	6	7	8	9	
	161	200	216	225	230	234	237	239	241	
2 18,51		19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,36	19,37	19,38	
3 10,13		9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,88	8,84	8,81	
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00	
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,78	
6 5,99		5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10	
7 5,59		4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	
8 5,32		4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39	
с	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	1	
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	
11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90	
12	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	3,00	2,92	2,85	
13	4,67	3,80	3,41	3,18	3,02	2,92	2,84	2,77	2,72	
14	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,77	2,70	2,65	
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,70	2,64	2,59	
16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66	2,59	2,54 ,	
17	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,62	2,55	2,50	
18	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,58	2,51	2,46	
19	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,55	2,48	2,43	
20	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,52	2,45	2,40	
21	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,49	.2,42	2,37	
22	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,47	2,40	2,35	
23	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,45	2,38	2,32	
24	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,43	2,36	2,30	
25	4,26	3,38	2,99	2,76	2,60	2,49	2,41	2,34	2,28	
26	4,22	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,39	2,32	2,27	
27	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,37	2,30	2,25	
28	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,44	2,36	2,29	2,24	|	
29	4,18	3,33	2,93	2,70	2,54	2,43	2,35	2,28	2,22	
30	4,17	3,32	2,92	2,69	2j53	2,42	2,34	2,27	2,21	I	
40	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,25	2,18	2,12	
60	4,00	3,15	2,76	2,52	2,37	2,25	2,17	2,10	2,04	
125	3,92	3,07	2,68	2,44	2,29	2,17	2,03	2,01	1,95	
879
F в зависимости от чисел степеней свободы /ад и
	10	12	16	20	24	30	40	76	100
242		244	246	248	249	250	251	253	253
19,39		19,41	19,43	19,44	19,45	19,46	19,47	19,48	19,49
8,78		9,74	8,69	8,66	8,64	8,62	8,60	8,57	8,56
5,96		5,91	5,84	5,80	5,77	5,74	5,71	5,68	5,66
4,74		4,68	4,60	4,56	4,53	4,50	4,46	4,42	4,40
4,06		4,00	3,92	3,87	3,84	3,81	3,77	3,72	3,71
3,63		3,57	3,49	3,44	3,41	3,38	3,34	3,29	3,28
3,34		3,20	3,20	3,15	3,12	3,08	3,05	3,00	2,98
3,13		3,07	2,98	2,93	2,90	2,86	2,82	2,77	2,76
2,97		2,91	2,82	2,77	2,74	2,70	2,64	2,61	2,59
2,86		2,79	2,70	2,65	2,61	2,57	2,53	2,47	2,45
2,80		2,76	2,60	2,54	2,50	2,46	2,42	2,36	2,35
2,67		2,60	2,51	2,45	2,42	2,38	2,34	2,28	2,26
2,60		2,53	2,44	2,39	2,35	2,31	2,27	2,21	2,19
2,55		2,48	2,39	2,33	2,29	2,25	2,21	2,15	2,12
2,49		2,42	2,33	2,28	2,24	2,20	2,16	2,09	2,07
2,45		2,38	2,29	2,23	2,19	2,15	2,11	2,04	2,02
2,41		2,34	2,25	2,19	2,15	2,11	2,07	2,00	1,98
2,38		2,31	2,21	. 2,15	2,11	2,07	2,02	1,96	1,91
2,35		2,28	2,18	2,12	2,08	2,04	1,89	1,92	1,90
2,32		2,25	2,15	2,09	2,05	2,00	1,96	1,89	1,87
2,20		2,23	2,13	2,07	2,03	1,98	1,93	1,87	1,84
2,28		2,30	2,10	2,04	2,00	1,96	1,91	1,84	1,82
2,26		2,18	2,09	2,02	1,98	1,94	1,89	1,82	1,80
2,24		2,16	2,06	2,00	1,96	1,92	1,87	1,80	1,77
2,22		2,15	2,05	1,99	1,90	1,95	1,85	1,78	1,76
2,20		2,13	2,03	1,97	1,93	1,88	1,87	1,76	1,74
2,19		2,12	2,02	1,96	1,91	1,87	1,81	1,75	1,72
2,18		2,10	2,00	1,94	1,90	1,85	1,80	1,73	1,71
2,16		2,09	1,99	1,93	1,89	1,84	1,79	1,72	1,69
2,07		2,00	1,90	1,84	1,79	1,74	1,69	1,61.	1,59
1,99		1,92	1,81	1,75	1,70	1,65.	1,59	1,50	1,48
1,90		1,83	1,72	1,65	1,60	1,65	1,55	1,49	1,36
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адресация
— косвенная 171
прямая 170
Алгоритм
— вычислительной коррекции
223
— итерационный	аддитивный
210
— итерационный	мультипли-
кативный 216
Вероятность
— ложного отказа 235, 243
— необнаруженного отказа 237,
245
Дисперсия 12
—	адекватности 79
—	воспроизводимости 76
—	коэффициента регрессии 76,
127
Интервал
—	доверительный 21
—	эквивалентный 240
Интерфейс 174
—	КАМАК 174
—	магистральный 177
—	последовательный 176
—	радиальный 176
Квадрат
—	греко-латинский 162
—	латинский 159
Классификация
—	иерархическая 152
—	перекрестная 154
Коррекция
—	аддитивная 213
— граничных значений 247, 261,
256
—	мультипликативная
Критерий
—	Кохрэна 74
—	Стьюдента 75, 77
—	Фишера 79, 105, 145
Магистраль КАМАК
—	крейта 197
Матрица
—	информационная 47
— ковариационная 48
— нормированная Фишера 129
—	ортогональная 69
—	второго порядка 124
—	плана 47, 69
—	ротатабельная второго поряд-
ка 132
Метод
—	Гаусса—Зейделя 107
—	градиентный 108
— крутого восхождения 111
— максимального правдоподо-
бия 40
— наименьшего квадрата 38
— случайного баланса 99
Обмен данными
— безусловный 179, 181
— по каналу прямого доступа в
память 185
— по прерыванию 180, 183
— программный 179
— условный 180, 182
Преобразование
кодирующее 68
— линеаризующее 59
Рандомизация 72
Регрессия
— множественная 44
— ненлинейная 53
— обратная 44
— прямая 44
Система
— автоматизации научно-техни-
ческого эксперимента 166
нормальных уравнений, 38, 45
тест-аргумента 204
— тест-функции 204
Эксперимент
<— автоматизированный 165
— дробный 85, 118
— отсеивающий 98
— полный 67
— ротатабельный 96
—	факторный 67
—	экстремальный 106
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Автоматическая аппаратура контроля радиоэлектронного оборудо-
вания/Под ред. Н. Н. Пономарева.— М. : Сов. радио, 1975.—
328 с.
2.	Адлер Ю. П. Планирование эксперимента при поиске оптималь-
ных условий.— М. : Наука, 1976.— 286 с.
3.	Айвазян С. А. Статистические исследования зависимостей.— М. :
Металлургия, 1968.— 182 с.
4.	Анго А, Математика для электро-радиоинженеров,— М. : Наука,
1965.— 778 с.
б.	Асатурян В, И, Теория планирования эксперимента.— М. : Радио
и связь, 1983,— 248 с.
6	Бромберг Э. М., Куликовский К» Л. Тестовые методы повышения
точности измерений,— М. : Энергия, 1978.— 176 с.
7.	Вентцель Е. С. Теория вероятностей,— М. : Наука, 1969.— 576 с.
8.	Демиденко Е, 3. Линейная и нелинейная регрессии.— М. : Финан-
сы и статистика, 1981.— 302 с.
9.	Джонсон Н., Лион Ф, Статистика и планирование эксперимента
в технике и науке.— М. : Мир, 1980.— Т. 1. — 606 с.
10.	Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента
в технике и науке.— М. : Мир, 1981.— Т. 2.— 516 с.
И. Египко В. М. Организация и проектирование систем автоматизации
научно-технических экспериментов.— К. : Наук, думка, 1978.—
232 с.
12.	Иберна К» Факторный анализ.— М. : Статистика, 1980.— 398 с.
13.	Лабораторный практикум по курсу «Теоретические основы планиро-
вания экспериментальных исследований» / Под ред. Г. К. Круга.—
М. : МЭИ, 1974.— 185 с.
14.	Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории об-
работки наблюдений,— М. : Физматгиз, 1962.— 349 с.
15.	Львовский Е. Н. Статистические методы построения эмпирических
формул.— М. : Высш, шк., 1982.— 224 с.
16.	Малые ЭВМ и их применение / Под общ. ред. Б. Н. Наумова,—
М. : Статистика, 1980.— 231 с.
17.	Маркова Е. В,, Лисенко В. Н. Комбинаторные планы в задачах
многофакторного эксперимента.— М. : Наука, 1979.— 345 с.
18.	Налимов В. В., Чернова Н. Л. Статистические методы планиро-
вания экстремальных экспериментов.— М. : Наука, 1965.— 340 с.
19.	Планирование эксперимента в исследовании технологических про-
цессов / Под ред. Э. К. Лецкого.— М. : Мир, 1977.— 552 с.
20.	Рабинович С. Г. Погрешности измерений.— Л. : Энергия, 1978.—
” 261 с.
^21. Сербер Линейный регрессионный анализ,—М, : Мир, 1980.—
279
22.	Системы автоматизированного контроля радиоэлектронной аппа-
ратуры / Е. Т. Вблодарский, В. И. Губарь, Л. Л. Никифоров,
Ю. М. Туз.— К. : Техн1ка, 1983.— 151 с.
23.	Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероят-
ностей и, математической статистики для технических приложе-
ний.— Л. : Наука, 1969.— 511 с.
24.	Соучек Б. Мини-ЭВМ в системах обработки информации.— М. :
Мир, 1976.—520 с.
25.	Туз Ю, М. Структурные методы повышения точности измери-
тельных устройств.— К. : В ища шк. Головное изд-во, 1976.—
225 с.
26.	Федоров В. В. Теория оптимального эксперимента.— М.: Наук*-
1971.—312 с.
27.	Хазанов Б. 1К Интерфейсы измерительных систем.— М. : Энергия,
' 1979.— 215 с.	х
28.	Шеффе Г. Дисперсионный анализ.— М. : Физматгиз; 1963.— 625 с.
29.	Электрические методы автоматического 'контроля / Под ред.
К. Б. Карандеева.— М.: Энергия, 1965.—384 с.
80. Box G, Е. Р., Wilson К- В. On the Experimental Attainment of
Optimum Conditions. J, of the Royal Statistical Society. Series B. 13,
70 к.